ГЛАВА 1

ПРИМЕРЫ ПОЯВЛЕНИЯ УСТОЙЧИВЫХ ЗАКОНОВВ ПРИЛОЖЕНИЯХ 1 s

Главным и самым крупным потребителем устойчивых законов является пока сама теория вероятностей. В современной математической литературе устойчивые распределения можно встретить в самых различных разделах. Прежде всего это предельные теоремы для сумм независимых и слабо зависимых случайных величин и разнообразные их уточнения. Далее можно назвать теорию случайных процессов, в частности, теорию ветвящихся процессов, теорию случайных детерминантов и ряд других разделов, где в том или ином количестве встречаются задачи, связанные с устойчивыми законами.

Относящийся сюда материал настолько обширен, что попытка собрать его в достаточно полном объеме здесь не предпринималась. Однако мы сочли все же полезным включить какую-то его часть, связанную главным образом с предельными теоремами, в список литературы (четвертый раздел).

В качестве иллюстрации к сказанному мы приведем два примера появления в задачах устойчивых законов.

Пример 1. Рассмотрим ветвящийся случайный процесс с дискретным временем с одним типом частиц, каждая из которых в конце единицы времени преобразуется одним из трех возможных способов: исчезает с вероятностью р ^ 0, превращается в такую же частицу с вероятностью 1 — 2р или же превращается в две частицы с вероятностью р. Производящая функция F (s) вероятностей преобразований одной частицы, задающая ветвящийся процесс, имеет вид

F (s) = р + (1 — 2р) s + ps2.

Обозначим через v0 (Z) число частиц в (Z — 1)-м поколении, не давших потомства (т. е. исчезнувших к моменту

появления Z-ro поколения) и через v — ^ v0 №) — сум- k=l

марное число таких частиц, появлявшихся в процессе за

все время 0 < # < оо его эволюции (поскольку в начале процесса рассматривается ровно одна частица, то v0 (0) =

= 0). Производящая функция ф(и) = У qnu" распреде- 71^0

ления qn = Р {v = и} связана с функцией F (s) уравнением ф (и) = F (ф (и)) + р (и — 1), откуда для ф (и) нетрудно получить следующее явное выражение:

Ф (и) = 1 - У1 - и =Г (и — 1/2) и"№-

П=1"

Отсюда следует, что

9п = ' 2"^" Г (и — 1/2)/Г (и + 1) ~ 2^_ п^ при л —> ос.

Эта асимптотика указывает на то, что распределение случайной величины v принадлежит области нормального притяжения устойчивого закона с параметрами (в форме

| а = 1/2 J р ~1, у = 0, X = 1.

Таким образом, если в начальный момент была не одна, а п частиц, то суммарное число частиц, не давших потомства, выразится суммой Vj + . . . + vn независимых случайных величин с тем же распределением, что и величина v. После нормировки сумма (Vj + . . . + vn) п-2 будет иметь распределение, приближающееся с ростом п к устойчивому распределению G (ж, 1/2, 1).

Стоит заметить, что среди подобного рода задач, связанных с ветвящимися процессами, можно найти примеры появления устойчивых законов с различными значениями основного параметра а. Например, в работе 179] есть упоминание о ситуациях, когда в качестве предельных законов появляются устойчивые законы с а = 2~г, г ^ 1, 2, . . ..

Пример 2. Он взят из теории случайных матриц (см. по этому поводу 1191). Рассмотрим системы линейных алгебраических уравнений вида

8пзсп = Wn, п = 1, 2, . . ., (1.0.1) где Еп = (Ху ^ — квадратная матрица порядка п со случайными элементами Ху> и Wn = (И^™1) — случайный вектор. Как известно, решение (1.0.1) существует и един-

ственно, если det Еп ^= 0, причем

^ = (^Г) = Sn1^.

В случае, когда det Еп = 0, решение (1.0.1) может не существовать и в этой ситуации условимся приписывать хп значение х^ = 0. При больших значениях и, когда решение линейных уравнений становится очень трудоемкой вычислительной задачей, известную информацию может доставить следующая предельная аппроксимация.

Предположим, что для каждого значения п случайные величины Ху \ Wjn); i, 7 = 1, . . ., п взаимно независимы, что ЕХ^’ = Е^п) = 0, DX^ = D^n) = 1 и величина sup Е (| Ху^ | ® + [ И7^1 |6) конечны. Тогда для любых я,4, i

1 ^ I, / ^ и, г т^ 7 имеют место следующие предельные соотношения:

lim Р ^ < |) = lira Р (х^’/а^ < 9 =

П-*х>

= 4" + 4" arctg? = GAa,l,O). (1.0.2)

Оказывается, что аналогичное предельное распределение возникает, если рассматривать совместные распределения любого конечного числа компонент решения xw Именно, при тех же предположениях для любого фиксированного к

l™?^?^,...,^^)-

= л-(к+1)/2Г (-^-) J (1 +1 w |=)-<к+1>/= аи,'Ч<^

т. е. предельным законом здесь оказывается А-мерное распределение Коши.

Надо сказать, что распределение Коши (как одномерное, так и многомерное) появляется в различных задачах чаще других устойчивых законов, уступая в этом только нормальному закону. Особое положение закона Коши, как и нормального закона1Л, прослеживается также и в аналитическом плане.

К этим законам можно было бы добавить еще и распределение Лапласу, приписав ему условно значение а = 0 "(чему есть известные основания, см., например, соотношение (2.9.1)). Т|ем самым, симметричные законы с целы-

ми значениями а по своей значимости выделяются среди прочих устойчивых законов.

Довольно часто можно встретить в задачах и закон Леви с а = 1/2Х Р = 1, Т = 0. Как закон Коши, так и закон Леви тесно связаны с нормальным законом. Это видно, из того факта, что отношение NjNa независимых случайных величин, подчиненных стандартному нормальному закону, имеет распределение Коши, а случайная величина N^2 имеет распределение Леви ) (именно первым обстоятельством объясняется, в конечном счете, появление предельного соотношения (1.0.2)).

Есть немало примеров, в которых механизм появления закона Коши мало чем напоминает привычный нам механизм суммирования случайных величин. Проиллюстрируем это еще одним примером, взятым из книги [89].

Пример 3. На плоской фольге, расположенной параллельно экрану и отстоящей от него на расстоянии, равном единице, имеется точечный источник радиации. Радиоактивное излучение вызывает на экране световые точечные вспышки. Вычисление распределения этих вспышек на экране составляет нашу задачу. Прежде всего выберем в пространстве такую декартовую систему координат (ж, у, z), что плоскость (ж, у) совпадает с плоскостью экрана, а источник радиации имеет в этой системе координаты (0, 0, 1).

Точки, в которых мы увидим вспышки, имеют случайное положение на плоскости. Обозначим координаты одной из таких вспышек (77, V, 0). Понятно, что в силу геометрической симметрии в самой постановке задачи, случайный вектор (U, V) имеет круговое распределение, для определения которого достаточно найти распределение одной из его координат, скажем, U. С этой целью спроектируем весь процесс на плоскость (z, z). В плоской модели источник радиации имеет координаты (0,1), а случайные положения вспышек и на оси х — координату U.

Обозначим через F (х^ функцию распределения случайной величины U, представляющую собой вероятность падения луча на ось левее точки с координатой (а;, 0). Все лучи, удовлетворяющие этому условию, заключены внутри угла, величина которого равна л/2 + arctg х, если его отсчитывать от прямой z = 1 против часовой

стрелки. Все лучи, которые могут попасть на экран, заключены, очевидно, внутри угла, равного по величине л. Кроме того, нетрудно сообразить, что угол <р, соответствующий случайной точке (17, 0), имеет в пределах от 0 до л равномерное распределение. Следовательно,

F (х) = ~ + -^- arctg x = GA(x, 1,0),

т. е. компонента 17 (так же как и V) подчинена распределению Коши.

Поскольку распределение вектора (17, V) круговое, то оно совпадает с двумерным распределением Коши.

Распределения семейства Коши, имеющие плотности вида

^ (z, 1,0, Г\ у Л) = 4" [V + (ж - у)]1, (1.0.3) играют важную роль в современной физике. В молекулярной атомной, ядерной физике, физике элементарных частиц распределения типа (1.0.3) известны под собственными названиями.

Так, распределение энергии нестабильных состояний в реакциях продуктов распада называется законом Лоренца, а распределение масс частиц, участвующих в тех же реакциях, называется распределением Брейт — Вигнера.

Механизм появления распределения Коши в квантовой механике при описании нестабильных систем весьма специфичен и не связан видимым образом с теми привычными для нас механизмами, которые приводят к устойчивым законам. Специалистам по теории вероятностей, на наш взгляд, полезно иметь представление о действии этого механизма. Мы приведем вкратце соображения, приводящие к появлению распределения Лоренца.

В квантовой механике состояние нестабильных физических систем описывается так называемой волновой функцией | ф (Z)>, имеющей векторные значения и являющейся решением нестационарной задачи Коши уравнения Шредингера

Я]ф(<)> = г-^|ф(<)>, |ф(О)) = |фо>, (1.0.4) где Н — оператор Гамильтона (эрмитовский оператор), соответствующий рассматриваемой системе и | ф0> — заданное начальное значение волновой функции ).

Пусть {| фв>, I Фк» — полная система собственных векторов оператора Н (|фе> соответствует абсолютно непрерывной составляющей его спектра, а | ф^) — дискретной составляющей), т. е.

Н I фв> = Е | фЕ>, <фЕ' | фЕ> = 6 (£" — Еу

И I Фк> = Е^ | фк>, <фк | фг> = 6И,

где 6 (£" — Е^ — дельта функции Дирака и 6к1 — символ Кронекера.

Нас будет интересовать вероятность Р (t) того, что система в момент У ^ О находится в начальном состоянии | фо>- Согласно правилам квантовой механики [108],

р (0 = КФо IФ (0> I2.

Решая задачу Коши (1.0.4) для уравнения Шредингера мы можем считать, что <ф0 | ф0> = 1. В этом случае по теореме Фока — Крылова [113] имеем

/ (0 = <Фо | Ф (0> = SI ck I8 exp (— iE^ + к'

+ § | с (£) |2 ехр (—iEt)№, (1.0.5) о

где ск и с (£) коэффициенты Фурье в разложении вектора | фо> по полной системе собственных векторов {|фя >, I Фк»:

I Фо> = S Ск I фк) + 5 С (Е) | фЕ> №.ко

Таким образом, / (У) можно интерпретировать как характеристическую функцию некоторого распределения, имеющего дискретную составляющую (вероятности отдельных значений) | ск |2 и абсолютно непрерывную составляющую (т. е. плотность) | с (Е) |2. Нестабильность системы означает, что вероятность Р (У) = | / (У)|2 возвращения системы в первоначальное состояние в момент Устремится к нулю при t —> оо.

Поскольку / (У) — характеристическая функция, то | / (У) | —> 0 только тогда, когда отсутствует дискретная составляющая спектра оператора Н, т. е. ск = 0. В этом

случае

/ (0 = $ ® ^ ехР (— ^0 йЕ, (1.0.6) о

где <о (S) = | с (Е) |2 имеет смысл плотности распределения энергии распадающейся физической системы, описываемой уравнением (1.0.4).

Оказывается, что для очень широкого класса нестабильных физических систем плотности <о (Е^ являются мероморфными функциями (см. [113]). Случай функции <о (Е), имеющей лишь два простых полюса (в силу условия <о (Е^ ^ 0 они комплексно сопряжены), по ряду соображений представляет наибольший интерес. В этом случае, очевидно,

ю (Е) = А [(Я - Еоу + Г2]"1, Е > 0,

где А — нормирующая постоянная, а Ео и Г — наиболее вероятное значение и мера рассеяния (относительно Е^ энергии системы. Для реальных нестабильных систем ) отношение Г!ЕУ, как правило очень мало (10-18 или еще меньше). Поэтому без заметного ущерба для расчетов вероятности Р ^ можно заменить нижний предел 0 в интеграле (1.0.6) на —оо, после чего функция плотности <о (£) и связанная с нею вероятность Р (<) получают следующие приближенные выражения

ю^^-Е-^-^ + г2]"!,

р (0 = I / (0 I2 ~ ехр (-2Г0-

Из первого соотношения (распределение Лоренца энергии нестабильной системы) видно, что мы имеем дело с распределением Коши, а из второго, что время жизни нестабильных систем рассматриваемого типа подчинено экспоненциальному закону.

Таким образом, закон Коши появляется здесь лишь как более или менее хорошее приближение реального распределения энергии нестабильных систем. И можно указать ситуации, когда замена 0 на —оо в (1.0.6) оказывается недопустимым огрублением, поскольку соответствующий закон распада системы Р (<) существенно отличается от экспоненциального (см. по этому поводу [138]).

Модель точечных источников влияния

Математическая модель, с которой мы познакомимся в этом разделе, носит довольно общий характер и с нею оказываются связанными некоторые типы задач из области астрономии, физики, биологии и т. д. Понятно, что в рамках общей математической модели решения практических задач скорее всего не могут претендовать на большую точность передачи свойств изучаемых явлений. Однако как первое приближение они все же могут оказаться полезными для понимания особенностей этих явлений и для ориентировки дальнейших (усилий исследователей 112.

Рассмотрим некоторую область U конечного или бесконечного объема в n-мерном евклидовом пространстве Rn, которая в конкретных задачах может быть областью физического пространства, пространства-времени, фазового пространства и т. п. В области U рассеяна счетная система" точечных объектов 31, которые мы условно будем называть «частицами». Частицы характеризуются значением параметра 0, принимающего значения из некоторого множества 0. '

Каждая из частиц системы 3( способна создавать в U некое «поле воздействия» (для кратности просто —«поле»), которое описывается с помощью «функции влияния» и (а;, у, z). Функция и ^т, у, z) принимает значения из некоторого множества V m-мерного евклидова пространства Rm и показывает величину поля, создаваемого в точке у G U частицей, расположенной в точке х G U и характеризуемой значением 0 = z. Конечный набор частиц А = {Х|} из У, в котором частица с номером I расположена в точке Xt и имеет значение Zt характеризующего ее параметра 0, по определению создает поле с функцией влияния, равной

I{v(Xi,y,Zi): Хг gA>,I{v(Xi,y,Zi): Хг gA>,(1.1.1)(1.1.1)

I{v(Xi,y,Zi): Хг gA>,

I{v(Xi,y,Zi): Хг gA>,

(1.1.1)

(1.1.1)

т. е. поле, равное векторной сумме полей, создаваемых отдельными частицами из множества А. ■

Как положения частиц Xi из 51, так и соответствующие им значения Zi мы будем считать случайными величинами, подчиненными ряду условий.

Пусть Uk1 U2—, какие-либо непересекающиеся области из U конечных объемов иг, и». Счетную систему

случайно расположенных в U точек называют пуассоновским ансамблем (по поводу этого понятия см. [89]), если она обладает следующими свойствами:

. 1°. Числа точек Nx, Na, попавших соответственно в области Ux и Ua, являются независимыми случайными величинами.•

2°. Вероятность Р (Хт ;= к) при любом к ^ 0 зависит от А и объема области uv но не зависит от ее формы.

3°. При малых значениях объема иг \

Р ^г = 1) = рМ! + О (U^,

р № > 2) = о (nJ,.

где р > 0 — постоянная величина, имеющая смысл средней плотности концентрации точек системы в области U.

Используя выписанные свойства, нетрудно показать, что распределение величины NT подчинено закону Пуассона с параметром X — pt^, т. е.

Р (Nx = fc) ^Хк exp (—X);к = 0, 1, . . . (1.1.2)

Отметим еще два свойства пуассоновских ансамблей точек, которые нам в дальнейшем понадобятся.

4°. Пусть Хх,. . ., Х^ — положения точек ансамбля, попавших в область Uv Тогда случайные величины Хг,

. . . и N\ независимы между собой.

• 5°. Условное распределение положения точки ансамбля в UT при условии, что она попала в эту область,— равномерное, т. е. имеет плотность распределения, равную Muv

В отношении системы частиц 51 мы сделаем следующие три предложения:

система 51 является пуассоновским ансамблем (и, следовательно, обладает свойствами 1°—5°);

для любой области Ux конечного объема число частиц NTl попавших в Ux, положения Хъ Х2, . . . этих частиц и значения ZT, Za,. . . характеризующего их параметра 0 являются независимыми случайными величинами;

случайные величины Zv Za, . . . подчинены одному и тому же закону распределения Ре-

Для каждой области Ux конечного объема поле, создаваемое частицами, попавшими в Ux, является, понятно, случайным, и в соответствии с правилом (1.1.1) его величина в точке у ЕЕ U равна

Г1 = Г1(у) = 3{У(^гУ. Z>): X-.elM. (1.1.3)

Поле, порождаемое всей системой 91, мы будем понимать как некоторый предел. С этой целью рассмотрим в Rn множество сфер St = ST (у) с общим фиксированным центром в точке у G U и меняющимися радиусами Т ^> 0. Затем образуем множества UT = UT (у) = U [~] 8Т (у), Т > 0 и обозначим через ит их объемы, а через NT — число частиц системы 91, попавших в UT. Эти частицы порождают поле, которое в соответствии с (1.1.3) имеет в точке у значение

vT = vT(y) =5{y(^j, У, ^j): XjGUtV (1.1.4)

По определению полагаем значение v (у) поля, порождаемого в точке у всеми частицами из 91, равным слабому пределу Vy (у) при Т —» оо. Для выяснения условий существования такого предела и его аналитического описания нам достаточно рассмотреть вопрос о предельном значении при Т —» оо характеристической функции величины vr (у)

/т (0 = /т (*, У) = Е exp V (t, vT)}, t е Rm.

С этой целью вычислим функцию /г (i), опираясь на сделанные предположения а) — с). Из записи (1.1.4) видно, что vT (у) представляет собой сумму случайного числа NT одинаково распределенных случайных величин Wj = v QCj, у, Zj), независимых от NT и между собой. Следовательно, обозначая <рт(0 характеристическую функцию случайной величины Wx, мы можем записать, что

/т (0 = 5j Р (NT = А) Е exp {i (t, Wx + ... + Wk)} = k=o

. ,k

= У, exp (— puT) p“[ • q£ (0 =k=o.

= exp {puT (<pT (Z)— 1)}.

Преобразуем выражение, стоящее в экспоненте последнего равенства:

Р^т(фт(0—1) = рнт ^(е*(*. *>(»,у»г»— 1) -^- Р6 (dz) =

Отхет

= р(exp (i (t, v (х, у, z))} — 1) dxPe ^dz^.

С7уХ$

Таким образом, для функции log /т (0 мы получаем выражение

log/r(0 = P $ [exp{z(<, г)} —1]йжВе(^), (1.1.5) итуе

которое мы можем преобразовать далее, приняв за новую переменную функцию v = и (х, у, z) и сформировав в Rm вееру

р(В)=р § d.rPe (c?z),(1.1.6)

в»

где В — борелевское множество в множестве V cz Rm и В* = {(ж, z): и (х, у, z) е BY Понятно, что введение такой меры предполагает измеримость функции v по паре (х, z) при каждом у ^U.

Как следствие (1.1.5) и (1.1.6) имеем, что

log /т(0 =IexP ^ (*> рН — !] Р (dy)>t1-!-7)

где VT = {(ж, z): и (х, у, z) е UT х 0}.

Таким образом, функция /т (О получает каноническое представление Леви для характеристических функций безгранично делимых распределений в Rm. Вопрос о сходимости интеграла (1.1.7) не возникает, поскольку Н (Гт) = р нт, где ит — объем области UT. Поскольку множество VT, очевидно, не убывает с ростом Т, то вопрос о существовании предела функции /т (() при Т —» оо сводится к вопросу о существовании предела интеграла

JT = § [exp {z (t, г)} — 1] p (c?v).(1.1.8)

vT'

И здесь может возникнуть несколько существенно различающихся ситуаций. Обозначим через I (Л) индикатор события А и через LT — интеграл (вектор)

$ ^(MKl)^^),vT

который, очевидно, существует при всех Т ^> 0. Запишем интеграл Jt в виде

Jt^I^L^ + ^ (е1^ — 1 — t (Z,v)Z(| v | < 1)) р. (dv).

vT

Во втором слагаемом интегрирование по множеству Ру можно заменить интегрированием по У, если одновременно заменить меру р на меру рт, совпадающую с р на множестве Ет и равную нулю вне его. При этом в силу того, что множества VT неубывают с ростом Т, мера рт —» р при Т —> оо.

Поскольку log /г (t) — Jj, то для сходимости fT (£) к некоторой характеристической функции / (i) при Т —> оо необходимо и достаточно (этот факт вытекает из общей теории безгранично делимых законов в 7?т), чтобы

1) LT —* L при Т —> оо, где L — вектор из Rm,

.2) D=^ min(l, |р|2)р (d^X оо.

v'

При выполнении этих условий характеристическая функция / (/) предельного распределения имеет вид log/ (О = Ц^» Ц + $ (ei(,,v) — 1 ^ i (i, v) 7 (| v X 1)) р (dp).

v

(1.1.9)

Укажем два случая, когда выражение (1.1.9) приобретает более простой вид.

1*. Если

Di = § min (1, | v |) р (dp) < оо, v

то условия 1) и 2) выполняются и

log/(<) = § (exp(i(t, р)) — l)p(dp). (1.1.10) 1 v

2*. Если выполнено условие 1) и условие

Da = min (1, | и |) | v | р (dp) < оо, v‘

из которого, очевидно, следует свойство 2), то

log/(t) = i(t,Af)+ $ (е^ — 1 — i (t, р)) р (dp), (1.1.11)

где

(1.1.12)(1.1.12)717 — L -|- ^ рр (dp).Н>1

(1.1.12)

(1.1.12)

Предельное значение L в рассматриваемом нами случае не обязано иметь интегральную форму записи, без чего М нельзя интерпретировать как среднее значение предельного распределения. Если все же такое представление L существует, то запись (1.1.11) легко преобразуется.

Нарушение условия 2) по сути дела исключает возможность существования предельного распределения vT (у) даже после дополнительной центровки этой величины. Поэтому рассмотрим ситуацию, когда условие 2) выполняется, а условие 1) — нет. В этом случае имеет смысл изучать не саму случйную величину vT, а ее сдвиг v^ = vT — LT. Соответствующий слабый предел х этой величины при Т —> оо существует тогда и только тогда, когда выполняется условие2), а характеристическая функция / случайной величины v при выполнении условия 2) имеет вид

log f (() = $ ^-^ - 1 - i (t, v) I (| и | < 1)) у ^. (1.1.13) v

Если дополнительно выполнено условие D2 < оо, то сдвиг величины vT можно производить математическим ожиданием Мт = EvT, которое в рассматриваемой ситуации конечно. При таком сдвиге случайная величина VT — vT —■ EvT слабо сходится к случайной величине "v с характеристической функцией / вида

log/(<) = §(e,(t»y)— 1 —i ((, v)) р. (dy).(1.1.14)

Рассмотренные варианты сдвигов случайной величины Vy производились в тех случаях, когда сама величина vT не имеет слабого предела, т. е. в тех случаях, когда поля, создаваемого всей системой частиц 51, просто не существует. Темне менее, приведенной выше конструкции предельных аппроксимаций распределений случайных величин vT и Vy можно придать практический смысл. Дело в том, что появление в модели области U бесконечного объема является математической идеализацией. В действительности же область U имеет хотя и большой, но конечный объем. В этом случае мы изучаем случайные флуктуации поля, порождаемого частицами в £7, из которого выделена некоторая постоянная составляющая. После выделения постоянной составляющей можно ради упрощения вычислений расширить соответствующим

образом область U, если это, конечно, не вносит существенных искажений в наши расчеты.

Предельные распределения, рассмотренные выше — (1.1.9) — (1.1.11) и (1.1.13) — (1.1.14), являются безгранично делимыми. Естественно ожидать, что в каких-то случаях мы столкнемся и с m-мерными устойчивыми законами, что целиком определяется видом меры, определяемой равенством (1.1.6), которая в свою очередь зависит от свойств функции влияния v (ж, у, г) и в меньшей степени от свойств распределения Ре-

Ниже мы выделим один класс функций влияния, порождающих устойчивые распределения. Он связан с преобразованием формулы (1.1.10), сопровождаемой условием D] < оо, и формул (1.1.11), (1.1.14), полученных под условием Da < оо.

В отношении области U и множества точек у, для которых будут вычисляться распределения величин v (у), v (у) и v (у), мы сделаем следующие предположения:

Если х g U, то х + у G U.

U — U! х U2, где U, — область из подпространства Rnj, при этом п, > 0 и п1 + п2 = п. Соответственно с этим разложением мы обозначим х = (ж^ х^ и У = (Уы У г), где Xl у у G Uy и х2, у2 е U2.

Предположим далее, что функция влияния v (х, у, z) имеет следующую структуру

I ^ — У! |-р D (| х2 — у2 |/| Ху — yj9,-), (1.1.15) где символ «•» указывает на зависимость D от у, $j = = (ж> — У.У1 х, — уД где / =1, 2, и z или же отчасти этих переменных. В дальнейшем числа р > 0 и q > 0 будут связаны с размерностями подпространств Пу, п2 дополнительными условиями.

Рассмотрим равенство (1.1.10) с условием Dy < оо, вернувшись в их записи к исходным переменным х, z:

log/(£) = p § (e^^l — l')dxP6(<dz>),(1.1.10*)

uxe

Di = p min(l, | v^cfcPe^z) ^ ^- uxe

Перейдем в интеграле (1.1.10*) к полярной системе координат в подпространствах Rni, полагая (/ = 1, 2) гз = I жз — Уз I. х; — у5 = rjSb

где sj — точка на поверхности сферы единичного радиуса Sj с центром в начале координат. Имеем

(01 — § (е"<*'т> — 1) dx = § § со2 ds» d$i, ив, s.

где

о2 = 5 5 IexP V (^ ^В Ыг11 •))} — 1] Г2!-1Г11-1 dr» drt. О

Сделаем замену переменного, заменив г2 па tv®, и получим после изменения порядка интегрирования

(о2 = ^ гГ1 dr» § [ехр (ib"iP) — 1] г^,+п=9-1 дГъ оо

где В = (£, В (г», •)).

После замены переменного гг р па гг находим 1 р , р— (ni+gn2)-l

0)2 = — \ г»2 1 dr» \ ^T1 — 1) rt рdri.

оо

Если число

а = -у- (и! -|- qn») < 1,(1.1.16)

то внутренний интеграл в выражении со2 сходится и

^Т1 — 1) г;“-1 drt = Г (— а) | В |“ ехр (— i ^- a sign £ ) , О откуда получаем, что

со2 = Г(~К) 11 (С s) |“ ехр (— i -J- « sign (t, s^ | D |“ г"2”1 dr», О

где s = D! \ D |.

Введем меру % па единичной сфере 5 в /?”, полагая для любого борелевского множества В на S

х (£) = -Ы-L^L J | D (Г», .) |“ гГ1 dr» dst ds»Pe (dr).

seB

(1.1.17)

С учетом тех выражений, которые мы получили для 0)1 и о)2, правую часть (1.1.10*) мы можем преобразовать

к виду

log/(()= —^ |(?,.s) |“ехр|— i-^-a sign (£, s)} х (ds), (1.1.18) s

что соответствует канонической форме записи характеристической функции и-мерного устойчивого закона со значением основного параметра 0 < a < 1.Дополнительным условием, которое присутствует при описании и-мерных устойчивых законов, является конечность полной меры % (5). Нетрудно проверить на основе (1.1.17), что условие х (5) <С 00 эквивалентно условию 7)1 <^ оо.

Второй случай связан с преобразованием интеграла

со = § (e’d-^ — 1 — i (Z, v)) p (dr)v

в формулах (1.1.11) и (1.1.14) при условии выполнения условия D2 < оо. Имеем, повторяя те же рассуждения, которые использовались выше,

со = р § Р6 (dr) (e’d-®) — 1 — i (t, v)) dx = e и

= P$^e(dr)$ $ <o2 ds2 dst, e Si s,

где

<o2 = ^ [exp {i (t, f^D)) — 1 — i (f, r7₽D)] r^2-1^-1 dr2 drx. о

После замены переменного r2 на r2ri величина D становится независимой от гъ а после замены rvp на гг интеграл (о2 преобразуется к виду

ю2 = ~^~ ^ г?2'1 dr» (е^п — 1 — i^fi) rf“-1dri, оо

где £ = (Z, D (г2, •)) и a = — (пг + qn^. Если 1 <а < 2, то внутренний интеграл сходится и может быть вычислен. Он оказывается равным Г (— a) | £ |а ехр ^— i -^- a sign ^). Следовательно, вводя меру х так же, как это делалось в (1.1.17), но с противоположным знаком, мы придем к следующему выражению для a> = log / (t) — i (t, M) и

СО = log / (0:

(0=—\ | (#, s) |а exp (— z-^-asign(£,s)I%№). (1.1.19) s

Конечность полной меры % (5) эквивалентна условию D2 < оо.

■ Разобранные случаи относятся к числу наиболее простых. Устойчивые законы получаются и на основе формул (1.1.9), (1.1.13), поскольку вопрос о том, будет ли предельное распределение устойчивым или нет, решается в конечном счете лишь видом спектральной меры у (dp), который напрямую связан с видом функции р (х, у, zy В этих усложненных случаях появляются также и законы

со значением a = — (пг + qn^ = 1.

Замечание 1. Отметим тот факт, что поле, создаваемое множеством частиц, не обязано быть однородным и изотропным. Каким будет это поле — зависит от структурных особенностей функции влияния. Поэтому в общей ситуации вычислявшиеся устойчивые распределения величины поля v (у) в точке у или величины предварительно центрированного поля V (у) зависят от у, хотя основной параметр а этих распределений при изменении у не меняется.

Распределения v (у) и V (у) не будут зависеть от у в том случае, когда функция влияния р обладает свойством однородности в пределах множества U:

р (х, у, z) = р (х — у, 0, z),(1.1.20)

что равносильно тому, что функция D в выражении (1.1.15) не зависит от у.

Отметим еще одну деталь. Вместо функции влияния вида (1.1.15) можно было бы выбрать функцию

р (х, У, z) = | хх Г D (I х2 |/| х, Г, .),(1.1.21)

где.символ «•» означает зависимость от xj\ хг |, х2/| х2 |, у и z. В этом случае условие (i) не нужно. Все рассуждения и выводы, проводившиеся на основе предположения (1.1.15), останутся без изменения.

Замечание 2. Предположим, что функция D в равенстве (1.1.15) имеет следующую структуру:

D (| х2 — у2 |/| ^1 — Ут I®, •) =

= <р (| х2 — У2 1/1^ — уг |®, у, z) ф (sn s2, у), (1.1.22)

где <р — вещественная функция, s5 = (х, — у7-)/| х, — уД и ф (—si, s2, у) = —ф (sn s2, у) или же ф (su —s2, у) = = —ф (su s2, у). В этом случае величины v (у) и v (у) при выполнении соответствующих условий (т. е- условия Dt <^_ оо для v и условия /)2<^ оо дЛЯ v) имеют сферически симметричные распределения с характеристическими функциями вида

exp (—X | t |“), 0 < <х < 2,

где а = — («1 + у«г) и Л— постоянная, зависящая от и и Ре-

Замечание 3. Вопрос о том, какие функции влияния приводят к устойчивым распределениям в модели точечных источников влияния, по-видимому, не исчерпывается функциями типа (1.1.15) и (1,1.21). Поэтому представляет интерес поиск других типов функций г, порождающих устойчивые законы. Другое интересное направление исследований связано с желанием ослабить исходные предположения а) — с) общей модели. То, что поиск в этом направлении перспективен, показывает следующий частный случай.

Пусть

и (я, у, z) = ] ^ — ут |-p D (х2 — у2, •), р> о, (1.1.23)

где символ «■» означает зависимость от sn s2, у и z, и пусть вместо условий Ь) и с) имеются условия:

Ь*) для любой области Uv конечного объема число частиц Nx, попавших в L^, не зависит ни от положений Х17 Х2, . . . этих частиц, ни от значений Zx, Z2, . . . характеризующего их параметра 6;

с*) пары случайных величин (Хь Z7), (Х2, Z2), . . . независимы и одинаково распределены.

В плане новых условий мы предположим, что совместное распределение Р (dx, dz^ имеет следующую структуру

Р (dx, dz) = dxxQ (dx», dz).(1.1.24)

Оказывается, в тпм _

вия (1.1.23), (1.1.JL y4ac’когда Действуют усло- устойчивым с параметпом Р -ЛеТе ^^ и v ^)являетСя log / (О в (1.1.10) и Л/J - ^/р Вычисление функций той же схеме, котопак Jr. В (1ЛЛ4) осуществляется по « = Ban™nvc. исп°льзовалась выше. Параметр ся условие Dx < oj ивинте5®®™ ^ ^ если использУет' ся условие Da < о^ Рвале (1, 2), если использует-

Если, по аналогии с (1.1 22)

у (ж, У, z) =

= I »i - Pi I "<р (| ^ _ у2 ц у, 2) ^ (^(1Л.25)

а t такова, что ф (-^ s. ^ =

Q (dxa, dz) = Qv (™ X S1’ —= —^ ^ Sa’ и распределение являе2’я то порождаемое функцией и чивым с параметром „ ™ГРически симметричным устой-

Приведем несколько пни Щ™СЯ в пределах от 0 до 2.

НЫХ задач.примеров конкретных приклад-

Пример 1 гпа и„

звезд. Задача о DacLP “ И тационное поле действия звезд ра-™™" Д ении гравитационного воз- в пространстве^ Пло-ХпЛаССЫ’ Равномерно рассеянных выбранной точке narrr ЛЮ Р’ на единичную массу в (об этой задаче говорилок РИвалась Хольцмарком J139] ложений, исполь3оваВ|ГГИ J®° ввеДенй). Система вредно- чает условиям рассмат™Л Хольцмарком, вполне отве-

.Ривавщеися нами модели. Выберем

и = v - № е „ д» = (0 ^ и

" '1- 9- 2> = й= te — у)/| 1 — д р. (1.1.26) Функция и выражает

тона, показывая, с какой НЫИ 3аКОН притяжения Нью- в точке х и имеющее MarrrJ СИЛ0И тело’ расположенное массу, помещенную ВтСпУ2’пРи™вает к себе единичную стоянная. . очку у, — гравитационная по-

D2 < оо^будет соответстьует случаю (1.1.22). Условие = Е63/= < оо Пос олнено> если предположить, что к = чивает равенство М^о ^ PJ122) Функйии у обеспе- переменному s. „ „У в И .1.11) за счет нечетности по после вычислений что гпавТ®™™ С ^1ЛЛ9) мы п01^4™ , и 1 равитационное поле однородно и

1«8/(0--Х|1Г-.,^рда„|(|1№]

т. е. суммарное воздействие v всех звезд в любой фиксированной точке имеет сферически симметричное распределение с а = 3/2 ,3-

Вместе с величиной силы v гравитационного воздействия системы звезд на единичную массу в нуле можно рассматривать и скорость изменения v во времени, которую мы обозначим v'. Поскольку из равенства

v = £ р №, О, Z4) = G2 Z,X, | ^ I"3 гг

следует, что

V = G^Z, (У {1 ^ | з — ЗХ, (Х„ У О | X, р}, г

где У,- — скорость изменения X;, то сделав естественные предположения, что тройки величин (Хг, Yь Z^ независимы между собой, как и то, что Xi не зависит от пары У2, Zt, мы получаем ситуацию, описанную в замечании 3 в виде условий а), Ь*) и с*).

Пусть U = R6, Ux ;= R3, U^ = R3, V = R3, @ = R+. Выберем здесь функцию влияния

и (х, у, г) = | х, — yt Г3у (Jx2 — у2 |, z) ф (sn s2),

где <р (г, z) = Grz иф (sT, s2) ~ s2 — 3sr (s1, s2). Совместное распределение Yx и ^обозначим через Р (dx2, dzY Вид функции р показывает, что она является частным случаем (1.1.23).

Из физических соображений следует, что это распределение является сферически симметричным по первому аргументу, т. е. Р (dx2, dz^ — Q (dr^ dz) dsz.

Описанная ситуация является, как легко видеть, частным случаем ситуации, обсуждавшейся в замечании 3. Мы имеем р = 3 и пх = 3, откуда а = 1. Следовательно, скорость изменения силы v' в любой точке пространства подчинена устойчивому распределению с характеристической функцией вида ехр (—/. | t|), т. е. v' имеет трехмерное распределение Коши. Несложные расчеты показывают, что

А =у- Gkh, где h = rzQ (dr, dz)

о о и

к =| (е, ф ($1, $2)) | dsi ds2, е = (1, 0,0).

Si 8,

П ример 2. Распределение температуры в ядерном реакторе. Задача, которой мы будем заниматься, выглядит следующим образом. В теле D с границей Г под воздействием облучения в случайные моменты времени т1; т2, . . . и в случайных местах У17 У2, . . . возникают кратковременные, но весьма интенсивные температурные вспышки, связанные с актами ядерных преобразований. Каждая вспышка, возникшая в момент тг в точке Уt приводит за счет распространения тепла в теле к повышению температуры к моменту г > т, в выбранной точке «ЕДна величину L (г — Tj, Уг, а), где функция L (х17 х2, а) является решением уравнения теплопроводности

^- = Д£, + 6(а-ж2)6(Ж1) (1.1.27) с граничным условием L -|- Ь-^- |г = 0, где Д — оператор Лапласа по переменному а и 6 (х) — так называемая 6-функция Дирака (как обобщенная функция 6 служит плотностью вырожденного распределения, сосредоточенного в точке ж, по поводу решения этого уравнения см. [871).

Температура Т (г, я) в точке а в момент г складывается из тех взносов, которые дали вспышки, происшедшие до этого момента, т. е.

7 (г, а) = ^ (^ (r ~ ti, Y^ay т4<г}.

Нетрудно заметить, что задача полностью отвечает тем условиям, которые были положены в основу модели точечных источников влияния, если относительно пар Xt = (т{, У{) сделать естественные предположения а) — с), полагая при этом Uv .= Д+, иг = D, U = UY х Uai V = R+. Если мы считаем, что вспышки происходят за счет распада атомов одного типа, то множество 0 можно считать пустым, т. е. считать функцию L не зависящей от характеризующего атомы параметра 6. В противном случае функцию L следует считать зависящей от этого параметра. Мы разберем наиболее простой первый случай.

То, что в решение L уравнения (1.1.27) не входят физические характеристики материала облучаемого тела такие, как коэффициент температуропроводности, энергия, выделяемая в процессе одной вспышки, теплоемкость вещества и т. д., объясняется специальным выбором

58 ГЛ. 1. ПРИМЕРЫ ПОЯВЛЕНИЯ УСТОЙЧИВЫХ ЗАКОНОВ единиц измерения — длины, температуры и времени, благодаря чему задачу можно рассматривать в безразмерной трактовке (подробнее см. [114], где впервые рассматривалась эта задача).

Поскольку мы предполагаем набор парХг = (тц Y^ пуассоновским ансамблем, подчиненным условиям 6) и с), то ответ на вопрос о том, каким является распределение случайной величины Т (г, а), связанной с телом D конечного объема, решается просто. Согласно (1.1.5) ее характеристическая функция /д (0 имеет вид

log/д (i) = itMD + Р 5 5^e™L — ^ — ^^^^2’ (1-1-28) D О

где р — средняя плотность пар Xt в пространственно- временном множестве D X R^, L = L (х!, х2, а) и

Md ~ Р S S ^ (Х1’Жй’ а^ ^ ^х»-по

Изучая стохастические закономерности изменения температуры Г в различных пространственно-временных точках (а, г), естественно исключить из Т постоянную составляющую MD и рассматривать величину Уд = = Т - Мь.

Изменим в точке (а, г) начало отсчета времени, заменив г на г 4- со и устремим о —> оо, что означает, очевидно, переход к стационарному режиму. Пусть величина v"n обозначает слабый предел величин Уд при таком предельном переходе. Согласно (1.1.28), величина уд имеет характеристическую функцию

log fD (i) = Р \ (eitL — 1 — itL) dxY dx^.

Dx№

Понятно, что распределение уд не зависит уже ни от а, ни от г.

Дальнейший успех в вычислении /д (/) целиком зависит от того, сумеем ли мы найти явный вид функции влияния L.

Рассмотрим случай столь большого тела D, что его без большого ущерба можно заменить в вычислениях всем пространством R3. Здесь в качестве граничного условия уравнения (1.1.27) естественно взять L (х1? хг, а) —> О при | а | —> оо. Нетрудно проверить, что в этом случае

решением (1.1.27) будет функция

2ж~ I х2 ~'а Р

Положим х — (Xj, х2) и у (х) = L (а^, х2, 0) и вычислим характеристическую функцию / (2), соответствующую D — R3. Имеем

l°g/(O = P S S (e'to—^—itv^dxidx». (1.1.29) № R+

Нетрудно заметить, что мы имеем ситуацию, соответствующую (1.1.14) с функцией влияния вида (1.1.21). При этом р = 3/2, q — 1/2, пх = 1, п2 = 3. Следовательно, распределение v является устойчивым с параметром а = 5/3.

Проведем более детальное вычисление (1.1.29). С этой целью вычислим меру ц (dy) = dxxdx2l приняв за новую переменную ю = у (м). Имеем

Р (ю) = dxi dx^ = 4 л r2 dxi dr^.D>toТ><0

После соответствующей замены переменных находим, что

Р (со) = аг6/3 § 4лг2 dr^ dxx = кат9!9.

V>1

Постоянная к вычисляется благодаря тому, что интегрирование по области ((г2, хху. у > 1) сводится к последовательному интегрированию. Именно

где А = (4л) 1 и В = (—6хт log (4лх1))-1^. Таким образом,

5

р (dm) = — кит -!3 da.

Дальнейшее вычисление (1.1.29) труда не составляет. В итоге получаем, что V имеет одномерное устойчивое распределение с характеристической функцией

log / (0 =4" г l^pk^-ityi9,

что соответствует в форме (В) значениям

а ==5/3, р = 1, у = 0, А = ^- 1 г 12ип

Пример 3. Распределение напряжений в кристаллических решетках. Кристаллические структуры, как известно, отличаются строгим геометрическим расположением входящих в них атомов. Однако это идеализированное представление о кристаллах оказывается справедливым лишь в очень небольших их частях. Реальные кристаллы всегда имеют те или иные нарушения в своей структуре то ли за счет того, что на положенном месте иногда оказываются посторонние атомы, то ли за счет того, что в этих местах вообще нет никаких атомов.

Такие аномалии в кристаллических решетках называют дислокациями. Они могут быть рассеяны в теле кристалла, но могут собираться, образуя линии и даже поверхности сложных конфигураций. Мы будем рассматривать случай точечных дислокаций, равномерно рассеянных в теле кристалла со средней плотностью р. Каждая из точечных дислокаций создает некоторое дополнительное напряжение в узлах кристаллической решетки, описываемое тензором напряжений у — (ик1; к, Z = 1, 2, 3; к ^ Z), зависящим вообще говоря, от точки у, где присутствует дислокация, от той точки я, в которой напряжение рассматривается, и от типа дислокации, задаваемого значением некоторого параметра 6. Во многих конкретных случаях тензор и (х, у, 6), который без ущерба для сути разбираемого вопроса мы можем считать просто 6-мерным вектором, имеет следующий вид (по крайней мере, для точек х, у, удаленных от границ кристалла):

V <х, у, z) = I X — у |‘3/J (s, 2), S = (х — у)/|х — у I,

(1.1.30)

где вектор D (s, 2) обладает следующим свойством

D (з, 2) = —D (—3, 2).(1.1.31)

Суммарное напряжение в точке у, создаваемое точечными дислокациями, расположенными в точках Xi и имеющими соответствующие типы Zt, равно векторной сумме ^и(Хь у, Z^.

Совершенно очевидно, что здесь имеется основа для использования модели точечных источников влияния. Действительно, U — тело кристалла в Я3, точечные дислокации Xj в U образуют систему частиц У, которую можно считать удовлетворяющей условиям с) — с) общей модели, возможность этого подтверждает знакомство со специальной литературой, см. [103], [141]. «Действие» отдельных дислокаций описывается одной и той же функцией влияния р (ж, у, z) со значениями из некоторого множества V е= RG. Вид функции и совпадает с (1.1.15) (р = 3, пх = 3, п2 = 0), а ее свойство центральной симметрии дает возможность использовать для расчета суммарного действия т системы 91 равенство (1.1.10) со значением М = 0.

В итоге мы получаем, что v подчинено устойчивому центрально-симметричному распределению в R6 со значением а = 1:

log/(t) = -$|(M0lx(^). (1-1.32) где

X(S) = p-^- $ yD^^dsP^dzy Be R6.

DflDtGB

Это распределение является несферическим аналогом шестимерного распределения Коши. Его проекции на координатные оси представляют собой обычные распределения Коши (с различными, вообще говоря, масштабными параметрами X). Отметим, что решение приведенной задачи на уровне расчета распределений координат суммарных напряжений содержалось в [112].

Пример 4. Распределе’ние магнитного поля, порождаемого сетью элементарных м а г н и т о в ). В одной из задач физики встречается следующая схема.

В пространстве U = R3 рассеяны со средней плотностью р элементарные магниты, расположенные в точках Xt е U, d которыми связаны соответствующие им магнитные моменты Zi, Магнитный момент — векторная характеристика, принимающая значения из © — R3. Каждый такой магнит создает в U магнитное поле, причем величина и направление напряженности магнитного поля в

точке у, создаваемые элементарным магнитом, находящемся в точке х и обладающим моментом z, дается функцией влияния ■ (V — R3y.

v (х, у, z) = С \ х — у |-2| z | (s, е)2(2 (s, в) s — е), (1.1.33) где s = (х — уУ\ х — у |, е = z/1 z | и С — магнитная постоянная.

Физические соображения показывают, что систему 91 рассеянных в U элементарных магнитов со средней плотностью р можно считать пуассоновским ансамблем, удовлетворяющим условиям 6) и с). Распределение Ре (dz) магнитных моментов может быть различным.

Поле магнитной напряженности v, создаваемое системой магнитов У, как это видно из (1.1.33), однородно. Вид функции влияния — частный случай (1.1.15) со значениями р = 2, пт=3 и п2 = 0. Центральная симметрия этой функции и выполнение условия D2 < оо приводит нас к распределению v, задаваемому (1.1.11) со значением М = 0.'

В итоге мы получаем для v трехмерное устойчивое распределение с а = 3/2 и характеристической функцией

S

r 3)

| (<, s) |3/2 exp j — i -£- л sign (<, s) L p (ds), s

где

p (В) = -|- Ул C*h ^ I (s, z) I31 z y/2 dsPe (dz). .в*

Интегрирование здесь проводится по множеству В* тех (s, z), для которых (2 (s, z)s — z)/| z | E fl.

В частности, если Pe (dz) является сферически симметричным распределением, то v подчинено распределению Хольцмарка (см. пример I)1-3 .

1.2. Устойчивые законы в задачах радиотехникии электроники

Мы познакомимся ниже с двумя примерами появления устойчивых законов в практически используемых моделях. Модели эти совершенно различны и объединены здесь по чисто формальным соображениям.

Первый пример связан с расчетами работы систем ретрансляционных радиостанций (в инженерной практи-

ке их называют радиорелейными линиями связи). В математическом плане та часть общей проблемы, которой будет отдано наше внимание, берет свое начало в работе И 33], а ее решение с привлечением устойчивых законов составило содержание ряда работ, из которых основной следует считать [132]. Передача высококачественных радиосообщений на дальние расстояния (например, телепередач) ставит перед инженерами не только задачу ретрансляции высокочастотных радиосигналов, возможных к приему лишь в пределах прямой видимости, но и задачу борьбы с их шумовыми искажениями. Одна из простейших моделей, на которой можно проследить как сами возникающие при этом эффекты, так и пути их количественного анализа, выглядит следующим образом.

Рассмотрим вектор a G= /?2, вращающийся с большой угловой скоростью со. Проекция вектора а на ось х в момент времени t при условии, что его движение началось с положения, определяемого углом ф, является периодической функцией у (<) — l« I cos (о< + ф). Колебательный процесс на выходе радиопередатчика описывается функцией у (t), в которой величина | а | называется амплитудой радиосигнала (его мощность пропорциональна | а |2), (о — его частотой и tot + ф — его фазой (в момент ty На выходе передатчика величины | а | и о поддерживаются постоянными, а передача полезного сигнала осуществляется модуляцией сигнала по фазе, т. е. изменением величины ф.

Если бы радиосигнал достигал приемника без изменения, то восстановление его информативной части — сдвига по фазе ф — происходило бы без затруднений. Однако в реальной обстановке радиосигнал достигает приемника в искаженном и ослабленном виде. Происходит это за счет того, что после выхода из передатчика имеется многолучевое рассеяние сигнала (даже если ему и стараются придать остролучевую направленность). В результате часть излучения не попадает на приемную антенну, ввиду ограниченности ее размеров, что приводит к падению мощности сигнала, тем, понятно, большей, чем дальше от приемника отстоит передатчик. Та же часть излучения, которая достигает антенны, проходит расстояние не по единой траектории, а по пучку траекторий. Различие траекторий, в свою очередь, приводит к тому, что составляющие пучок лучи достигают приемника с измененными фазами. Так как изменения сами по себе малы, то в сочета-

нии с большой частотой о и с тем, что их много, мы имеем близкое к равномерному распределение по фазе связанных с ними векторов. В итоге суммарный двумерный вектор X имеет характер случайного вектора, подчиненного круговому нормальному распределению. Отсюда следует, что длина | X | вектора X подчинена распределению Релея с плотностью

р (х) = D~2x exp (—х2/2Д2), х ^ 0, (1.2.1)

где D2 — дисперсия компонент вектора X. Ослабление мощности сигнала и преобразование детерминированной по величине амплитуды радиосигнала в случайную еще не создает серьезных трудностей для выделения полезного сигнала — сдвига фазы ф. Сложности начинаются после вторжения шумовых эффектов, создаваемых самой приемной аппаратурой.

Влияние шума можно представить себе как добавку к X случайного двумерного вектора У, имеющего круговое нормальное распределение с дисперсией компонент о2. Вектор X + У имеет фазу, отличающуюся от фазы вектора X на угол ф, который определяется равенством

tg^'ur^f^^)- -л<ф<л, (1.2.2)

где Ур, Ут — радиальная и тангенциальная составляющие вектора У по отношению к вектору X, а £ (l^m) — случайная величина, определяемая направлением Ут и принимающая значения +1 и —1 с вероятностями 1/2. Поскольку вся картина развертывается во времени, векторы X, У и определяемый ими угол ф зависят от t, т. е. представляют собой случайные процессы. Процессы X (<), У (<) (и, следовательно, ф (<)), связанные с различными участками ретрансляции, можно считать независимыми и стационарными.

Суммарное искажение ф информационной фазы ф в момент времени t после прохождения Л* участков ретрансляции (если пренебречь запаздыванием при переходе от участка к участку) определяется равенством

tg ф (0 = tg (ф! (0 + . . . + ф^ (0), —л < ф < л.

(1.2.3)

Распределение ф; (0 симметрично при каждом t, как это видно из (1.2.2). Поэтому Еф,- (0 = 0. Тем же свойст-

L2. ПРИМЕРЫ ИЗ РАДИОТЕХНИКИ И ЭЛЕКТРОНИКИ 65 вом, очевидно, обладает и величина чр (i). С учетом этого свойства! в качестве меры, характеризующей уровень шума в передаче, обычно выбирается величина квадратического отклонения ip (t) от нуля на каком-либо интервале времени фиксированной длины. Например,кна интервале длиной в 1 сек

1^^^^dt.о

Оценка величины У2 представляет собой довольно сложную в аналитическом плане задачу. Упростить ее можно за счет некоторого огрубления. Именно, во-первых, в соответствии с (1.2.3),

1

^с^трнон-.-.+^а^й^ о

11

= 2 $ ^ ^ ^ + S s ^ W ф/ \0 at.(1.2.4)

j Оij о

Во-вторых, принимая во внимание независимость стационарных процессов яр, (i) и свойство Еярг (f) = 0, из которого следует, что

1

5 Фг (0 % к^ dt« Ечрг (f) ip; (f) = 0, i ^ j, O'

вторым слагаемым в (1.2.4) можно пренебречь, приняв в качестве оценки величины У2 сумму

1

2S^j№^.(1.2.5)

j о

Слагаемые этой суммы, в свою очередь, допускают упрощенное приближенное выражение, если считать малыми величины в; = GjIDj, где О;, D^ — дисперсии компонент векторов Уj и Xj, связанных с у-м участком ретрансляции. Действительно, согласно (1.2.2),

1(у

( яр; (f) dt — { arctg2 ( —-——*, A dt,

?? 4i^+w/

где Uj= F^/n,, U3= Ypj/Oj и V 3 = X3ID3. Следовательно,

JF? II7.I2p „ I tZ. p

\ ф; UA dt \—;— dt ?x \ Bj -j dt.

JJ |F , + e,^ I2J I I2

оO ' 13 1 1о

Следующий шаг в упрощении оценки Т2 связан с тем обстоятельством, что векторы V 3 (t) и U; (i) меняются с резко различающейся интенсивностью. Так, V 3 (t) на интервале времени рассматриваемой длины практически не меняется, в то время как вектор U3 (t) на том же интервале совершает огромное число поворотов (порядка 10е). По этой причине

$ Ej тйгг dt ~ гА7 S1 Uj ^ ^dt~ о33 о

«p^EI^W^e^F,.!-2.

Следовательно, упрощенная оценка величины У2 предстает в виде суммы .

т2=5е*1^г2,

3

где е, — малые по величине постоянные и Fj — независимые случайные векторы, подчиненные нормальному распределению с единичной ковариационной матрицей. Таким образом, в качестве оценки У2 случайной величины У2 мы получаем сумму N независимых случайных величин е) | F, |-2, функции распределения которых имеют вид, как это следует из (1.2.1),

/8^ \

Р5 (ж) = ехр х> 0.

Так как слагаемые е| | V 3 |-2 малы, а число достаточно велико, то распределение Т2 достаточно хорошо аппроксимируется безгранично делимым законом, спектральную функцию которого нетрудно вычислить с помощью теоремы Б, приводившейся во введении. Именно, Н (ж) = 0, если х <_ 0 и Н (х) д; (F3 (х) — 1) жi- У'| е^т-1, если

зз

х ^ 0. Такая спектральная функция соответствует, согласно теореме В.1, устойчивому распределению с параметрами а = 1, 0 = 1 (см. по этому поводу примечание В.4). Приведем более аккуратный расчет аппроксимации распределения 4^, облекая этот расчет в форму предельной теоремы.

Рассмотрим последовательность серий чисел е^, . . . . . ., Enn, п = 1, 2, . . ., таких, что2^= 1 и 6П — 3

= max e„j —> 0 при и —> оо, и последовательность центри- з

рованных сумм

Zn ^nl + • • • + ^nm -^п

независимых случайных величин Xnj с функциями распределения Fnj (х) = ехр (—е„/х), х ^ 0. Выбором центрирующих постоянных Ап мы распорядимся позднее.

Преобразования Лапласа — Стилтьеса распределений Fnj выражается с помощью функции Макдональда Kt (z) следующим образом (см. [22], 3.471 (9)):

Е exp (— sXn^ = 2Vse^- Кг (2 Vsen,), s > 0.

Следовательно,

log Е exp (— sZn) = sAn + log Е exp (— sX^ =

3

= sAn + ^1lOgV2V^K1(2V^.(1.2.6)

3

Если принять во внимание тот факт, что при s —> 0 2хКл (2х) = 1 + х2 log х2 + (2С — 1)ж2 + О (x4log х2), (см. [22], 8.446; С — постоянная Эйлера), а также оговоренные выше требования в отношении величин е^, то правую часть равенства (1.2.6) можно преобразовать к виду sAn + S log 8 + (2С — 1 + 2 Enj log t£j) 8 + О (6n log (l/6„)) .

3-

Выберем An =—S enj log £„;-|-1—2C. Тогда из (1.2.6) з следует, что

log Е exp (—sZ„) = s log s + О (6n log (1/6J).

Поскольку функция exp (s log s) является преобразованием Лапласа — Стилтьеса распределения G (ж, 1, 1) (см., например, теорему 2.6.1), то

Р (Zn < х) —> G (я, 1, 1), п —> оо.

N

Отсюда, положив в исходной задаче Bn = S ej и °^- разовав величины bn, = e^/Bn, мы можем утверждать, что в том случае, когда 6n мало,

Р ф2 < z) ^ Р (Ф2 < я) ^ G (xBn + ^N, 1, 1).

Второй пример связан с расчетом модели однородной электрической линии, какой может быть, например, электрический кабель или цепочка последовательно соединенных четырехполюсников1-4. Ряд свойств такой линии описывается с помощью так называемой временной функции F (f, X), t > 0, показывающей реакцию линии длины X > 0 на возмущение типа «единичного толчка» в начальный момент времени. Функция Ft (<, X) называется импульсной реакцией линии, а ее преобразование Фурье / (о, X) — частотной характеристикой однородной линии длины X ).

Из теории электрических цепей известно, что при разбиении однородной линии длины X — Хт + Х2 на последовательно составленные части длины Хт и Х2ее временная функция F (f, X) формируется по временным функциям отдельных частей F (<, Хх) и F (f, Х2) посредством их сворачивания, т. е.

F (t, Хт + Х2) = F (t, Хт) * F (t, Х2), что равносильно перемножению соответствующих частотных характеристик:

/ (со, Хх + Х2) = / (о, Xj) / (о, Х2).

Отсюда следует, что для любых X > О

/ (ю, X) = Л (Ю, 1).(1.2.7)

С функцией / (о, X) связаны величины

а (о, X) -= —Re log / (о, X) = Ха (о, 1),

6 (о, X) -= Im log / (о, X) = X6 (о, 1), называемые соответственно затуханием и фазой частотной характеристики.

Оказывается, что нередки случаи, когда временная функция линии оказывается неубывающей на оси времени t > 0. Если к тому же затухание на нулевой частоте (о — = 0) оказывается равным нулю, то временную функцию F (t, X) мы можем рассматривать как функцию распределения, сосредоточенную на полуоси £ > 0. Из равенства (1.2.7) в этом случае следует, что F (t, X) является безгранично делимым распределением с характеристической функцией / (о, X) вида

log / (о, X) = X (icoy + § (e’“u — 1) dH (u^ , у > 0.

0

Для частотных характеристик такого вида фаза 6 (<о, X) восстанавливается по затуханию а (о, X) с точностью до слагаемого юуХ.

Так, если а (о, X) = Хс | о |“, где 0 <^а ^ 2 и с — положительная постоянная, то соответствующая этому затуханию фаза имеет вид

b (<о, X) = Хс (toy + tg -^- а [ со |“ sign оj , у ^ 0, а связанная с такой частотной характеристикой временная функция F (t, X) является устойчивым распределением, т. е.

F (t, X) = Ga (<, а, 1, у, сХ). (1.2.8)

В теории электрических цепей известны некоторые виды кабелей, которые имеют степенной характер затухания. Например, для так называемых безиндукционных и коаксиальных кабелей а (со, X) = Хс | о I'/*. Следовательно, в соответствии с (1.2.8), временная функция таких кабелей имеет вид

F It, X) = Ga (t, 1/2, 1, у, сХ) = 211 — Ф (сХ It— суХ)-*Х)], где Ф — функция распределения стандартного нормального закона. Импульсная реакция Ft (t, X) в этом случае имеет простое явное выражение:

Ft (t, X) = ^_ (z — cyX)-3/2 exp |^- (x — cyX)-^ .

ГЛАВА а

АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РАСПРЕДЕЛЕНИЙСЕМЕЙСТВА в

В отличие от следующей главы, где рассматриваются специфические свойства строго устойчивых законов, в настоящей главе собран материал, относящийся ко всем устойчивым законам. Аналитической основой его изложения является явное выражение характеристических функций распределений семейства © в одной из двух форм (А) или (В). Принадлежность формулировки того или иного свойства к определенной форме параметризации специально оговаривается или отмечается соответствующей подстрочной буквой. Отсутствие такой оговорки означает, что формулировка связана с формой (В).

Условимся называть стандартными те устойчивые законы и подчиненные им случайные величины, которые в форме (В) имеют значения параметров у = 0 и Х = 1. Множество стандартных устойчивых законов обозначается через ©0.

Связь понятия стандартных законов с определенной формой (мы выбрали форму (В) как наиболее подходящую для этой цели с аналитической точки зрения) объясняется тем, что множества устойчивых законов, имеющих значения параметров у = 0, X = 1 в различных формах, не совпадают между собой. Какие значения параметров имеют стандартные законы в формах (А), (М), без затруднений устанавливается с помощью формул перехода от формы (В) к формам (А) и (М^.

В каждой из форм параметризации семейства © или его частей S3 и ©о указывается область изменения соответствующих этой форме параметров, которую мы будем называть областью допустимых значений параметров.

Элементарные свойства устойчивых законов

Весьма простое выражение характеристических функций устойчивых законов позволяет сразу же подметить целый ряд взаимосвязей между ними. Основываясь на таких связях, мы получим, в частности, возможность сво-

дить изучение аналитических свойств распределений из © к изучению свойств распределений из различных частей этого семейства.

Во введении уже упоминалось о том, что в ряде случаев удобно и наглядно придавать соотношениям между устойчивыми распределениями форму соотношений между нодчиненными им случайными величинами *). Такая форма используется для формулировки приводимых ниже свойств (за исключением последнего). Обратный переход от соотношений между случайными величинами к соотношениям между соответствующими им распределениями достаточно прост и дополнительных пояснений не требует.

Свойство 2.1. Для любых двух допустимых наборов параметров (а, р, у, X) и (а, р, у', X') существуют такие однозначно определяемые ими вещественные числа а > О и Ь, что

У (а, р, у, X) = аУ (а, р, у', X') + ХЬ. (2.1.1)

В форме (Л) зависимость а и Ь от параметров выглядит следующим образом-.

а = (X/X')V“,

у — y'(X/X')V“, если

h-Y' + 4₽log(W. если а = 1.

Выделим из (2.1.1) один важный частный случай. Пусть у' = 0 и X' = 1. Тогда

У (а, р, у, X) = ХУ»У (а, Р) + X (у + Ьо), (2.1.2)

2

где Ьо — 0, если а ^ 1 и Ьо = — р log X, если а = 1.

Равенство (2.1.2) показывает, что X имеет смысл параметра масштаба, а у — параметра сдвига (точнее, чистый сдвиг распределения является линейной функцией у).

Свойство 2.2. Для любого допустимого набора параметров (а, р, у, X)

У (а, -р, -у, X) = —У (а, р, у, X).(2.1.3)

Полезное содержание этого свойства состоит, в частности, в том, что оно, не уменьшая общности, позволяет

*) В пределах настоящего раздела отсутствие индекса означает, что соотношение справедливо как для формы (В), так и для формы (Л)."

рассматривать функции распределения G (z, а, р,у, X) при одном (по нашему выбору) дополнительном условии сохранения знака аргументом х, параметром р или же параметром у.

Свойство ^.3. Для любых допустимых наборов параметров (a, pft, ук, Xfc) и любых вещественных чисел h, ск, к = 1, . . ., п, существует однозначно определяемый ими набор параметров (а, р, у, X) такой, что.

Y (а, р, у, X) = ^ ckY (а, Pft, ^к, к^ + h. (2.1.4) к

В форме (Л) зависимость набора (а, р, у, X) от выбранных параметров и чисел имеет следующий вид:

Ь=2Мск|“,к

Xp^SX^I cft|“signck,к

Ху = 5j ^-k"Vkck + ^о»к

где h0 = h, если а ^= 1, uh0 = h2- Ха-Р^ log | cfr |, к

если а = 1.'

Отметим несколько частных случаев свойства 2.3, представляющих самостоятельный интерес.

Свойство 3.3.а. Для произвольного допустимого набора параметров (а, р, у, X) и любых р', Р", таких, что —1 ^ Р' ^ Р ^ Р" ^ 1, найдутся однозначно определяемые ими положительные числа с', с" и вещественное число I, такие, что

Y (а, р, у, X) = c'Y (а, р') + c"Y (а, Р") + I. (2.1.5)

Зависимость параметров и чисел в форме (Л) выражается следующими равенствами: -

С' - -И'Г с" - (X р-р' AV“

Г Р" - Р') ’ Г Р" - Р') ’

{

Ху,если а ч^ 1,

Ху^- (Р'с' log с' -f- Р"с" log с"), если а = 1.

Выбрав Р' = —-1, Р" = 1 и воспользовавшись равенством Y (а, —1) = —Y (а, 1), мы получим, что линейной комбинацией двух независимых случайных величин вида

У (а, 1) можно выразить (в смысле равенстваь«=») любую случайную величину У (а, р, -у, ^-~" * - -

Свойство 2.3.6. Для любого допустимого набора параметров (а, р, у, X)

У (а, Р, ^A^-Y (а, р, у, X) = У (а, О, О, 2Х).

(2.1.6)

Свойство 2.3.с. Для любого допустимого набора параметров q = (а, р, у, X) имеется однозначно определяемый им допустимый набор параметров q* = (а, р*, у*, X*) такой, что

У (а, р, у, X) - -L У (а, Р, уД)^Y (а, р, у, X) =

= У (а, р*, у*Д*). (2.1.7)

В форме (Л) параметры набора q* выражаются через параметры набора q следующим образом-.

у* = О, если а^1 и у* =i- log 2р, если а=1,Х* = (1 + 21-“) X.

Нетрудно заметить, что случайные величины в правых частях равенств (2.1.6) — (2.1.7) имеют строго устойчивые распределения. Эта особенность преобразований независимых случайных величин (подчиненных произвольному устойчивому распределению), стоящих в левых частях равенств (2,1.6) — (2.1.7), окажется очень полезной в задаче статистической оценки параметров устойчивых законов (гл. 4).

Доказательство всех приведенных выше свойств производится по одной схеме. Мы рассматриваем характеристические функции левых и правых частей соотношений (2.1.1) — (2.1.7) (например, в форме (Л)) и, выписав их логарифмы, сравниваем коэффициенты при линейно независимых функциях переменного t. Для примера мы проведем доказательство свойства (2.1.4) в случае а^1.

Имеем

X (it^ — 1t1“ + it 1t1"-1 p tg -5- a) =

= ith + ^ Xk tit’VkCk — <£ 1t1“ + it |t |°~1c“p/r tg -^- a) .

Сравнение коэффициентов при функциях it, | t |“ и it | t |°-1 дает соотношения, определяющие значения параметров р, у, X. То, что у и X имеют допустимые значения, очевидно. Если выписать параметр р в окончательном виде:

ЗЧ1скГ₽к818пс»

3 ^к I ск 1“к

то выполнение условия | р | ^ 1, благодаря тому, что | Рк 1^1, также становится понятным.

Свойство 2.4. Для любого допустимого набора значений параметров q = (a, Р, у, X) и любых допустимых наборов q' = (a', Р', у', X'), таких, что q -^ q (m. е. сходятся соответствующие параметры),

Ум («', Р', у', V) Д ¥м (a, Р, У, X).

Сходимость Д понимается как слабая сходимость распределений. Однако, приняв во внимание, что устойчивые распределения имеют плотности, мы сразу же можем сде- d

лать вывод о том, что сходимость —> можно заменить сходимостью в смысле сближения соответствующих функций распределения в равномерной метрике.

Свойство 2.5. Пусть (а, р, у, X) — допустимый набор параметров и med У — медиана случайной величины У = У (а, р, у, X). Тогда для любых 0 ^ s < а справедливо следующее неравенство'.

Е | У - med У Г < 4 (2Х)«/“Г (1 - ^ Г (s) sin -J- s.

Z(2.1.8)

Замечание. Случай a = 2, соответствующий нормальному закону, мы можем исключить из рассмотрения, поскольку, как показывают элементарные расчеты, здесь

мы имеем при всех s ^ О

г)Г(»)х~jr(s)sin^-s.г)Г(»)х~jr(s)sin^-s.X sin-^6<4(2Х)=/2Г(1X sin-^6<4(2Х)=/2Г(1Е|У — med У Г=~ 2* = (2Х)^Г(1

г)Г(»)х

~jr(s)sin^-s.

г)Г(»)х

~jr(s)sin^-s.

X sin-^6<4(2Х)=/2Г(1

X sin-^6<4(2Х)=/2Г(1

Следствием неравенства (2.1.8), очевидно, является то, что Е | У Is <^ со для любых 0 ^ s < а.

Доказательство (2.1.8) основывается на следующем выражении абсолютного момента Е | X |* произвольной случайной величины X, в котором используется ее характеристическая функция [ (<):

Е | X |е = 2Г (1 + s)sin-^-s J (1 - Re f (t)) t^dt.

О

(2.1.9)(2.1.9)

(2.1.9)

(2.1.9)

Получается оно подстановкой X вместо х в равенство

| х |е = 2Г (1 + s) sin-^- s (1 — cos to) t-^dt (2.1.10) о

и переходом к математическим ожиданиям обеих частей. Само равенство устанавливается тем же приемом, который использовался для вычисления таких же интегралов в теореме В.2. Именно, сначала для вещественных р > 0 вычисляется интеграл

$ (1 — е-р‘) Г*"Ч1 = рТ (1 — s) s-1, (2.1.11) о

затем он аналитически продолжается в полуплоскость Re р > 0 и затем используется непрерывность этого продолжения на мнимой оси. Вещественная часть (2.1.10) после подстановки значения р = —it совпадает с интересующим нас интегралом в (2.1.10).

Рассмотрим независимые случайные величины У', У", одинаково распределенные с У. Случайная величина У' — У" в соответствии с (2.1.6) имеет характеристическую функцию exp (—2Х | t |а). Отсюда на основании (2.1.9)

имеем

Е | У'— К"р =

= 2Г (1 + s) sin -^s ^ (1 — exp (— 2Х/“)) t~s—1dt =

= 2 (2Х)’/“Г (1 — s/a) Г (s) sin -£- s.(2.1.12)

Правая часть (2.1.12), а, следовательно, и левая, конечны при 0 ^ s <^ а. Далее, из легко проверяемого неравенства

Р(|У'_у"|>ж)>_1_Р(|У'_ те(1 У'|>ж)

получаем неравенство

Е| У — med У|* < 2Е | У' - У* Is,

которое вместе с равенством (2.1.12) приводит нас к оценке (2.1.10).

Мы закончим этот раздел одним замечанием, которое имеет отношение как к соотношениям между случайными величинами У (а, р, у, X), приводившимся выше, так и к соотношениям между случайными величинами У (а, 6), Z (а, р), с которыми познакомимся 211 в гл. 3.

В работе [65], обобщавшей один из результатов заметки [29], приводится следующая теорема.

d d

Пусть У, = У2= У (ос, 0, 0, X) — независимые случайные величины и L = (ZT, L^ — произвольный двумерный вектор с Р (£t + £2 = 0) — 0, независимый от У, и У2. Тогда

/Л \Ма ( U

\ Lx + £2 /1\ Lt + Li

Нетрудно заметить, что это соотношение распространяет один из вариантов равенства (2.1.4) на случай, когда коэффициенты ск предполагаются случайными величинами. В связи с этим, естественно, возникает вопрос — насколько общей является та ситуация, когда в соотношениях между случайными величинами те или иные параметры можно при желании также считать случайными, не нарушая этим справедливости соотношений. Оказывается, что такой переход от неслучайных параметров к случайным возможен при сравнительно небольших ограничениях, и опирается он на следующий общий факт.

Лемма 2.1.1. Пусть h — h (а) — некоторая функция, определенная и измеримая на множестве Л CZ Rm и принимающая значения из Пп, и пусть X (а), X' (h) — какие- глибо случайные величины, распределения которых зависят соответственно от наборов параметров а и h, связанные при каждом а £ Л соотношением

X (а) = X’ (h (а)).

Тогда для любых случайных величин V == V со значениями из Л и таких, что V не зависит от X, а V не зависит от X*, справедливо соотношение

X (У) = X' (h (V)).

Доказательство элементарно. Имеем

Е ехр (г7Х[(Р)) = § Е exp (itX (a)) Pv (da) =

= § Е exp (itX* (h (a))) Pv (da) — Е exp (ИХ* (1г (Р'))).

Откуда, очевидно, следует утверждение леммы.

Проиллюстрируем сказанное одним примером. Пусть

Р = (а, р, X, сг, . . ., сп) = Р' = (а', Р', X', щ, . . ., сп) — случайные величины, такие, что с вероятностью 1 а ^ 7^ 1, р, X меняются в области допустимых значений и Sl.C/c l0 —1» Р не зависит от Y^..., Yn, а V' от У. Тогда, к ''

в соответствии с (2.1.4) и леммой 2.1.1,

Y (а', Р', О, X') = £ ckYk (а/р.ГО, X).к=г '

Представление устойчивых законов интегралами

Теоремой В.2 был установлен явный вид характеристических функций! g устойчивых законов. В этом разделе мы обратимся к вопросу о выражении самих устойчивых распределений, взяв за основу запись функций g в форме (В). Отметим, что благодаря свойству 2.1 можно, не уменьшая общности, рассматривать лишь стандартные устойчивые распределения. Более того, при рассмотрении плотности g (х, а, Р) или функции распределения G (х, а, Р), достаточно вопрос о представлении этих функций решить в более ограниченной ситуации, когда х ^> 0, или же

р 5? О, поскольку, согласно свойству 2.3,

g (—ж, а, Р) = g (ж, а, —Р), G (—х, а, р) = 1 —

— G (х, а, —Р), 0 (—t, а, р) = g(Z, а, —Р).

Как уже отмечалось во введении, функция I g (0 | интегрируема на всей вещественной оси t и, значит, плотность g может быть выражена с помощью функции g по формуле обращения

g (ж, а, Р) = -^ e'i,xg (Z, а, Р) dt =

= -1-Re ei<Kg(^, а,—Р) dt. (2.2.1)

о

Поиск различных вариантов представлений устойчивых законов естественно начать с анализа формулы обращения (2.2.1), дающей первый вариант записи плотностей g (ж, а, Р) стандартных распределений.

Подставляя в (2.2.1) выражение функции g (t, а, Р), приводившееся во введении, форма (5), получаем

В случае а ^ 1

g ^х, а, Р) = -^- Не ехр |— Их — 1а ехр ^— i — ^K (a)j| dt, о

(2.2.1a)

в случае а = 1

g (ж, 1, Р) = А- Не ехр |— Их^ t — ф< logz| dt.

о

(2.2.1.Ь)

Хотя функции g, как мы видим, записываются в простой форме ), выражения соответствующих им плотностей в элементарных функциях имеются только в четырех случаях. Проверить то, что эти устойчивые законы действительно имеют приводимые ниже плотности, можно прямым вычислением соответствующих интегралов (2.2.1а) и (2.2.1b) 2.2.

Распределение Леей

. <,(—, если О,

g^lF’1^ 2/лj

'IО,если ж < О.

Распределение Коши *)

g (х, 1,0) = -L (^ + х2)"1 .-

Распределение Гаусса (с дисперсией о2 ;= 2) g (г, 2,0) = -^^(-4).

Этот случай получается из первого симметричным отражением

g (х, */2, —1) = g (—ж, V2, 1).

Для преобразований интеграла (2.2.1), имеющих целью получение других выражений плотности, желательно иметь аналитическое продолжение функции g (i, а, Р) в комплексной плоскости z с полуоси Re z = t > 0. Рассматривая аналитические продолжения функций д, случай а = 2, соответствующий нормальному закону, можно исключить как очевидный. Для него функция g (z, 2, Р) = = exp (—z2) является целой функцией.

Если а < 2, то аналитическое продолжение функции g (t, а, Р) с полупрямой t > 0 (или с полупрямой £ < 0) также осуществимо, но при этом оно имеет точки ветвления z = 0 и z = оо. Поэтому для выделения его главной ветви надо сделать разрез по какому-либо контуру, который соединяет точки 0 и оо, не пересекая при этом вещественной оси t. В дальнейшем нам понадобится аналитическое продолжение g в полуплоскости Re z > 0, в связи с чем мы сделаем разрез в нижней полуплоскости по лучу (z: arg z = —3/4л}. Аналитические продолжения функции g (i, а, Р) с полуосей t >0 и t -4 0, которая задается на них различными формулами, обозначим соответственно через g+ (z)= д+ (z, а, Р) и д~ (z) = д- (z, а, Р). Они имеют следующий вид, что нетрудно проверить, используя за-

*) Запись плотности в форме (В) отличается от традиционной 1

формы записи, соответствующей форме (С): gc (х, 1, 0) = — (1 -|-

+ ^Г1-'

пись в форме (5) функции g (i, а, Р):

log д+ (z) =log д+ (z) =если a^l,если a=l,(2.2.2)если a^l,если a=l,(2.2.2)— z“ exp (— i-^-^K (а)).— z(-^- + ?piogz),

log д+ (z) =

log д+ (z) =

если a^l,

если a=l,

(2.2.2)

если a^l,

если a=l,

(2.2.2)

где под z“ и log z понимаются главные ветви этих функций, и

— (— z)“ exp (i -^- р/£" (a)) , если a ^ 1, logg*(z) =

z (—2fPlog(—z)j , если a = l.

(2.2.3)

Элементарное преобразование функций (2.2.2) и (2.2.3) позволяет придать им нужную нам форму (е (а) = = sign (1 — а)):

log0+(z) =

— е(а)(—iz)“exp Г — i ~ К (а)(Р — 1) L если а =# 1,

(— iz)^" (Р — 1) -£- + Р log (— iz)J , если а = 1,

'(2.2.4)

l°g0 (z)=.

— е (а)(— iz)“ exp (z -у- К (а)(Р — 1)) , если а =^ 1,

(— iz^i (1 — Р) + р log (—iz)k если а = 1.

(2.2.5)

Сравнение (2.2.4) и (2.2.5) показывает, что аналитические продолжения д+ и д_ не совпадают, за исключением уже упоминавшегося простого случая a = 2 и случая a < 2, р = 1. Если принять во внимание равенство д (С a, Р) = д(—t, а, —Р), то к указанному случаю прибавится еще и случай a < 2, р = —1. Мы суммируем сказанное в форме следующего утверждения.

Лемма 8.8.1. Аналитическое продолжение функции д (2, a, Р) со всей вещественной оси t в комплексную плоскость z: возможно лишь в случае a = 2, а в комплексную плоскость с разрезом по лучу arg z — —3/4л только в слу-

чаях а <^ 2, р = 1 и а < 2, р = —1, отвечающих крайним устойчивым распределениям. При этом

еслиеслиеслиесли=# 1»= L (2.2.6)=# 1»= L (2.2.6)( — е(а)(—iz)“,‘^■"•H(-^og(-te),

если

если

если

если

=# 1»

= L (2.2.6)

=# 1»

= L (2.2.6)

Замечание. Функция фи (z) = log д+ (z, а, 1) в полуплоскости Im z > 0 имеет следующее интегральное представление (см., доказательство теоремы В.2, где уже встречались подобные формулы):

Фа (z) =

" ^ (У!. ^ ^ (eizu — ^ — ^ги^ u-^+^du, если а^> 1, О

= 15 (eizu — 1) u-^+^du, если а <" 1,

о ."

(eizu — j—iz sin и) u-2du, если а = 1. . о

Перейдем к построению интересующих нас интегральных представлений плотности д. Преобразование интеграла

3 = 5 exp (izx1) д+ (z, а, — Р) dz,

о.

входящего в состав формулы (2.2.1), мы будем осуществлять за счет изменения контура интегрирования, причем такого изменения, при котором значение интеграла 3 или, по крайней мере, его вещественной части не меняется. Для обоснования изменений контура нам понадобится следующая лемма. ■

Лемма % МЛ. Пусть 0 < е < л/4 — фиксированное число. Тогда при г ^>- оо или г —>- О

Q (С^ = ^ exp (izx') д+ (z, а, — Р) dz —► О

Сг

для любой последовательности контуров следующего вида: . 1. Если х > 0, а< 1 и р — любое допустимое, или же х — любое вещественное, а = 1 и р ^> 0, то

Cr = {z: | z | = г, 0 ^ arg z ^ л — е}.

Если х ^> 0, а ^> 1 и 0 — любое допустимое, то

C, = |z:|z| = r,—+ e<argzг0—^L<—|.

Доказательство. Во всех рассматриваемых случаях длина контура СТ не превышает величины лг. Поэтому

| Q (Сг) | < лг max (| e“xg+(z, а, —0) | : z е Сг) =

= лг ехр {шах (17: z ЕЕ Сг)},

где U = — х Im z + Re log g+ (z, a, —0).

В случае a < 1, x > 0, полагая z = ге*ф, имеем

U = — xr sin ф — r“ cos a (ф ^ откуда

max (17: zeQ = max (17:0 ^ ф ^ л — e)

^ max ^17: 0 ^ ф <^ -y- (1 -

+ max+ maxrara(t/:-^1 — а)<ф<лcos -^- a (2 — аЙ — xr n(t/:-^1 — а)<ф<лcos -^- a (2 — аЙ — xr nЛЛ

+ max

+ max

ra

ra

(t/:-^1 — а)<ф<лcos -^- a (2 — аЙ — xr n

(t/:-^1 — а)<ф<лcos -^- a (2 — аЙ — xr n

Л

Л

При больших значениях г последнее выражение, очевидно, оценивается сверху величиной —2 log г, откуда следует, что | Q (С^ | ^ л/г -* 0 при г ^- оо.

■ В случае а = 1, 0 }> 0

17 == — (0 log г + х) г sin <р — г (-^- + 0ф j cos ф.

Отсюда находим, как и в предыдущем случае, что max (17: zEC^ = max (17: 0 ^ ф -^ л — е) ^Отсюда находим, как и в предыдущем случае, что max (17: zEC^ = max (17: 0 ^ ф -^ л — е) ^2 (4 + | х |) г — 0г log г min fe, ~^~2 (4 + | х |) г — 0г log г min fe, ~^~

Отсюда находим, как и в предыдущем случае, что max (17: zEC^ = max (17: 0 ^ ф -^ л — е) ^

Отсюда находим, как и в предыдущем случае, что max (17: zEC^ = max (17: 0 ^ ф -^ л — е) ^

2 (4 + | х |) г — 0г log г min fe, ~^~

2 (4 + | х |) г — 0г log г min fe, ~^~

Следовательно, при больших значениях г

max (17: z СЕ Ст) ^ —2 log г

и, значит, | Q (С^ | ^ л/г -* 0 при г -* оо. Из приведенных оценок видно также, что | Q (С^ | = О (г) при г ->- 0.

Случай ос ^> 1, х > О разбирается точно так же.

Замечание. Утверждение леммы сохраняется, если заменять контуры Ст их частями.

Лемма 9.9.3. Рассмотрим в комплексной плоскости z с разрезом вдоль луча arg z = —3/4л семейство контуров {Г}, удовлетворяющих следующим условиям-.

Каждый контур Г начинается в точке z = 0.

Ни один контур Г не пересекает линии разреза.

Двигаясь от точки z = 0 вдоль по контуру Г, мы уходим в бесконечность, причем таким образом, что начиная с некоторого места все точки z £ Г имеют значения аргументов в пределах

0^ arg z ^ л — е,

е - -^ (1 - И («)) < arg z < -^ (1 + Р^ (а)),

где 0 < а < 2, | р | ^ 1 и е ^> 0 — сколь угодно малое число.

Тогда для любого контура указанного вида и любой пары допустимых параметров (а ^fc 1, Р), (а = 1, Р ^> 0)

§ e'zx$* (z, а, — Р) dz = § eia:g+ (z, а, — Р) dz. (2.2.7) ог

Доказательство. Определим для выбранного контура Г и каждого г ^> 0 такие вспомогательные контуры:

ТТ — часть Г, которую мы получим, двигаясь от начальной точки z = 0 до точки zT первого пересечения контуром Г окружности | z | = г;

LT — часть окружности | z | = г (не пересекающая разреза) между точками z = г и zT, проходимая в направлении ОТ Z = г к zr.

Образуем замкнутый контур Dt,r = [Г, /?!№ и 'J (Jr \ 7Г) | J LT (черта означает, что мы проходим контур в обратном направлении).

Поскольку функция w (z) = е“х0+ (z, а, — Р) аналитична в той области, где лежит контур DTi R, то по теореме Коши

R

§ wdz = wdz +^^z — § wdz + § wdz — § wdz = 0.

Dr, RTLpTrTrLT

Привлекая лемму 2.2.2 (см. замечание к ней), мы найдем, что

wdz-V § wdz— § wdz-^0 при R->^c,r->0.

Lr Tr Lr

Следовательно, равенство (2.2.7) справедливо.

Теорема 2.8Л. Пусть х — произвольное вещественное число u а, р — допустимые значения параметров стандартного устойчивого распределения.

Если а < 1, х ^> 0, то

g (х, а, р) =

= -^~ Im ехр |— хи — иа ехр ^— i -^-а (1 + р) )} du = О

С

= — Im \ ехр {— хи — иа ехр (— глра)} du. (2.2.8) о

Если а = 1, р > 0, то g(x,l,p) =

—'~^~ Im ехр |— хи — Pu log и -|- i -^- (1 + р) и| du. (2.2.9) о

Если а > 1, то

g (х, а, Р) =

= -^- Re ехр |— и“ — ixu ехр ^i -^-0^ + г -^-9j-du= о

= — Im \ ехр {— и“ — хи ехр (глр) + глр} du.

о

(2.2.10)

Доказательство каждой из формул (2.2.8) — (2.2.10) сводится к следующим действиям:

выбору контура Г, нужного для преобразования интеграла (2.2.7);

обоснованию замены контура интегрирования в ип- теграле (2.2.7) с помощью леммы 2.2.3;

замене переменной интегрирования в правой части (2.2.7).

В случаях 1 и 2 в качестве контура Г берется положительная ча^ть мнимой оси. Применение леммы 2.2.3 здесь не требует никаких дополнительных объяснений. Замена переменного для такого контура z = ш, и^> О приводит к соответствующему выражению плотности.

В случае 3 на роль контура Г выбирается луч Г = = {z: arg z = у 0} с последующей заменой переменного z = u exp (i -?г б) -

Преобразования интегралов очень просты во всех рассматриваемых случаях. Например, если а < 1 и х > > 0, то используя (2.2.4) находим:

г

g (х, а, р) = — Re \ exp (izx) д+ (z, а, — р) dz — о

Im ехр | — хи — иа exp (i -^- (1 -|- Р))} du = о

= -i- Im ехр |— хи — иа exp ^ — г -^- (1 4- Р))} d.u.

"о

00Следствие 1. Если а < 1, то для любых допустимых и любых х > О

0

0

1 С т-ivd+P) du

G (х, а, Р) = 1— \ е"хи Im ехр (— иае) —— .

о

Если а = 1, то для любых допустимых р > 0 и любых вещественных х

G(x,l,p) =

= 1^^ ехр(—хи — ри logn)sin [-^-(1 + Р) «^ -^- .

о

Если а > 1, то для любых допустимых р и любых х > О

G (х, а, р) = -^- (1 — 0)^- ₽-““ Im ехр (— хие'кр') -^-.

В случае а ^ 1 приведенные равенства получаются интегрированием соответствующих выражений плотности. В случае а > 1, помимо интегрирования плотности в пределах от 0 до х, следует использовать выражение G (О, а, р), которое дается равенством (2.2.30).

Следствие 3. Если а ^ 1, то для любых допустимых значений р

g(0,=,№ = -Lr(t ^(^Дй). (2.2.И)

В случае а > 1 это равенство получается подстановкой в (2.2.10) значения х = 0 и вычислением получившегося интеграла.

В случае а < 1 сначала рассматриваем выражение (2.2.8) для плотности g (ж, а, — | р | ), х > 0, и переходим в нем к пределу при х —► 0. Получающийся в пределе интеграл вычисляется. Затем используется тот факт, что

g (0, а, р) = g (0, а, -р) = g (0, а, - | р |).

В случае а = 1, р > 0 значение плотности в нуле

g(0,1, р) = -^ J ехр (— рк log Ы) sin [-J- (1 + р) к] -^ о

элементарного выражения не имеет 2-3.

Следующие интегральные представления устойчивых законов связаны с параметризацией в форме (Л). Обозначим

^ = ptg-^a, у = х + |х |!-“p.

Теорема 3.3.3.

Если a < 1, то для любых допустимых р и х ^ 0, таких, что у 0,

gA (х + ц\х I1-", а, P)=^j X

X Im jехр| —9X Im jехр| —9^- — IЖ |-“ ^u/iy1 — ЦК ((K/i)"-1 — 1)1] du.

X Im jехр| —

9

X Im jехр| —

9

Если а = 1, то для любых вещественных х ^ 0 и любых р=# О

gA^x +-^-Р *051^1,1,р) =

= —:—г 1m \ ехр {to-iл—. — р log и —

Л I X IJ [| pz II Z I L Л 1 г 1 °

о

-i(l+|р|)1рк. (2.2.13)

Доказательство. В первом из рассматриваемых случаев имеем в соответствии с (2.2.1а)

gA (х + ИI х I1-", а, р) =

= — Be \ ехр (— izy — za + tpz®) dz —о

= тг^Т Be J exP {— * py - И'“ [ы“ — ^“ ^a-1 — ^du-

(2.2.14)

Поскольку a <( 1 и у > 0, то в интегралах (2.2.14) можно повернуть контур, не меняя их вещественной части, на угол —л/2. В результате получим (2.2.12).

Второй случай разбирается аналогично. Взяв за основу равенство (2.2.1b), мы получим после соответствующих преобразований, что

gA(x + -^piog|x|, 1, р) =

= —Г Re ( ехр I —tZ г~т(1 + i —— IР I l°gz^| dz.

л | х | J 1 I (Px I IXI \1 л 1 r 1

(2.2.15)

Поворот контура интегрирования в (2.2.15) на угол —л/2 приводит нас к равенству (2.2.13)2-4. Основание правомерности поворота контура в обоих случаях производится стандартными рассуждениями, уже не раз проводившимися выше с использованием леммы 2.2.2.

Интересно отметить тот факт, что равенство (2.2.13) может быть получено из (2.2.12) предельным переходом при a —> 1. Его доказательство основывается на следующих соображениях. Прежде всего, на основании

свойства 2.2 мы можем заключить, что в случае Р #= О 8а (У, «, Р) = 8а кУ*з «, | Р | ), где величина

y* = ysignp = -^ц + |Р1 ^^И1^

становится, очевидно, положительной для значений а, достаточно близких к 1. Поэтому, не ограничивая общности, можно в (2.2.12) рассматривать только случай р 0. Нетрудно убедиться, чтоб этой ситуации интеграл (2.2.12) преобразуется при а —> 1 в интеграл (2.2.13). Остается установить, что левые части этих равенств также сближаются. Связь параметров форм (Л) и (М) и специфичное свойство непрерывности устойчивых распределений в форме (М) по совокупности всех параметров, отмечавшиеся во введении, показывают, что

аА — «м, Ра — Рм.

gA (х, а, Р) = gM lx — р, а, Р),(2.2.16)

gA lx, 1, р) = gM (х, 1, р),

gM lx, а, Р) -^ gM (ж, 1, Р) при а-» 1.

Кроме того, как нетрудно проверить,

ц(|жр-а— 1)—>—piog|x| при а—*1. (2.2.17)

Из (2.2.16) и (2.2.17) следует, что

gA lx + р | ж I1-", а, Р) =

= ^м(^ + р(|^|1-“ — l),a,P)->gM(a: +-^ Р log | ж |, 1, р) = = gA<X +-^P10g|x|, 1, р).

Замечание 1. Выключенный из второй части теоремы случай a — 1, р = 0 соответствует хорошо известному закону Коши, и потому его устранение ущерба формулировке не наносит.

Замечание 2. В теореме 2.2.2 случай a ^> 1 не рассматривался. Похоже, что прямого аналога формулы (2.2.12) здесь не существует. Однако имеется формула, которая может служить в каком-то смысле дополнением этой теоремы. По методическим соображениям она отнесена в следующий раздел (см. (2.3.6)).

лcos —2~ срлcos —2~ срЛ cos фЛ cos фСМф.Р)СМф.Р)я В + Рф)2 лcos ■~2— q)я В + Рф)2 лcos ■~2— q)exp (-g-(ф 4- 1/р) tg^-tp)exp (-g-(ф 4- 1/р) tg^-tp)

лcos —2~ ср

лcos —2~ ср

Л cos ф

Л cos ф

СМф.Р)

СМф.Р)

я В + Рф)

2 л

cos ■~2— q)

я В + Рф)

2 л

cos ■~2— q)

exp (-g-(ф 4- 1/р) tg^-tp)

exp (-g-(ф 4- 1/р) tg^-tp)

Замечание 3. Для функций распределения представлений, аналогичных (2.2.12) и (2.2.13), не имеется. Точнее, они есть, но не столь простые, поскольку в подынтегральные выражения входят уже не только элементарные функции, но и такие, как неполная гамма-функция и интегральная показательная функция, которые, к тому же, должны рассматриваться в какой-то части комплексной плоскости.

- Все приведенные выше интегральные представления устойчивых распределений имеют одну особенность, которая иногда сильно осложняет их использование, например, при построении оценок, при табулировании значений плотности, функций распределения и т. д. Она состоит т том, что функции, стоящие под знаком интеграла в соответствующих представлениях, осциллируют, т. е. меняют знак бесконечное число раз. Естественно задаться вопросом о существовании представлений устойчивых распределений, свободных от указанного недостатка. Ответ оказывается положительным.

Ниже используются следующие обозначения (некоторые из них уже употреблялись ранее):

е (а) = sign (1 — а), 0 = р/Г(а)/а, 6* = 6 sign х.

С(а,6) = 1-4-(1 + е)(1+8(а)),

л _ \«/а-аГ л

С7а(<р,0) =С7а(<р,0) =sin -у- а (ф + 0) \cos -у- ((а — 1) ф + аб)

С7а(<р,0) =

С7а(<р,0) =

Теорема й.8.3. Плотности стандартных устойчивых распределений могут быть записаны в следующем виде-.

Если а ^ 1, х ^ 0, то для любых | р | ^ 1

g(x,a,p)=.

= -^^1- J Ua (ф, 0*) exp {- IX \»!^ua (ф, 0*)} dtp.

-e*"

Если а = 1, р #= 0, то для любых х

g(*J,P)=

1

= тгпп е~ж/Р ^1(ф* Р)ехр{— e-^Ui!^, р,}d<p. (2.2.19)

Отметим, что исключение в формулировке теоремы случаев а^=1,х = 0иа = 1,р=0не мешает общности ее утверждения, поскольку первый из них рассматривался в (2.2.11), а второй соответствует известному закону Коши 2-5.

Доказательство здесь, как и в предыдущих теоремах об интегральных представлениях, имеет отправным пунктом формулу обращения (2.2.1):

g (— х, а, — р) =

= -^- Re ^ exp (izx + ф (z, а, — р)) dz. (2.2.20) о

Функцию ф (z, а, р) = log g+ (z, а, р) берем в форме (й), т. е.-

Ф(г,а, р) =Ф(г,а, р) =— z“ exp ( — i -^- 6а ^- z — фг log z.— z“ exp ( — i -^- 6а ^- z — фг log z.если а^1,если а = 1.если а^1,если а = 1.(2.2.21)(2.2.21)

Ф(г,а, р) =

Ф(г,а, р) =

— z“ exp ( — i -^- 6а ^- z — фг log z.

— z“ exp ( — i -^- 6а ^- z — фг log z.

если а^1,

если а = 1.

если а^1,

если а = 1.

(2.2.21)

(2.2.21)

Не уменьшая общности, мы можем считать, что х > 0 в случае а^1ир^>0в случае а = 1. В комплексной плоскости z определим контур

Г = (z: Im (izx + ф (z, а, — Р)) = 0, -^- к ^ arg z ^ -у

где к = —6, если а ^ 1 и к = —1, если а = 1. Для а <^ <^ 1 и р = —1 имеем к = 1. Согласно (2.2.6), ф (z, а, 1) = = — (—izy и, значит, сумма izx + ф принимает вещественные значения на положительной части мнимой оси 7+, т. е. Г = /+, что объясняет смысл условия л/2 ^ arg z ^ ^ л/2, возникающего в этом случае.

В остальных случаях контур Г является некоторой кривой, уравнение которой в полярных координатах (z = те^, -^- к <^ ф <^ -^-) получаем, используя вид (2.2.21) функ-

ции ф:

ат cos ф— r“sin (ф +-77-6) = О, если а^1,

V(2.2.22)

xr cos ф + ₽r log r cos ф — ^-^- 4- Рф) т sin ф = 0,

если a=l.

Решение r = г (ф) находится в явном виде

Г(ф) =Г(ф) =

Г(ф) =

Г(ф) =

Контуры, описываемые функциями (2.2.23), различаются по своему виду в зависимости от того, какому выбору параметров (а, Р) они соответствуют. Их можно разделить на четыре группы (см. рис. 1).

(а < 1, р = —1), здесь Г = Гх = 7+

(а < 1, р ^= +1) и (а = 1, 0 <^ р <^ 1). Контуры этой группы начинаются в нуле и уходят в бесконечность.

Рис. 1. Вид контуров] интегрирования Г^ (в полярной системе координат).

когда ф приближается к л/2. К точке z = 0 они подходят под разными углами в зависимости от величины к, имея вид Гц если к = 1, Г2, если 0 < к < 1, или же Г3, если -1 < к < 0.'

(а ^> 1). Здесь контуры Г начинаются в нуле, к которому они подходят под углом л/2 и уходят в бесконечность, когда ф приближается к^-6, т. е. они имеют вид Г4, если р > 0, или Г5, если р ^ 0.

(а < 1, р = 1) и (а = 1, р = 1). Контуры Г6 этой группы уходят в бесконечность, когда ф приближается

к л/2, и начинаются в точке —it, где

а^ 1, а = 1.а^ 1, а = 1.{: 1

а^ 1, а = 1.

а^ 1, а = 1.

(а/т)1-",' " если

ехр(—х—1), если

С помощью контура Г6 образуем новый контур 5, следуя правилу: 8 = Г6, если р ^ 1 и 8 = Г6 [J Г*, если Р = 1, где Г* = {z: Re z = О, —т ^ Imz^ 0). Особенностью контура Г* является то, что

Im (izt + ip (z, a, —1)) = 0 для z G Г*,

откуда, очевидно, вытекает равенство

— Re \ exp (izx + ip (z, a, — 1)) dz = 0.

“ r*

Поэтому в случае p = 1

If1(‘

— Re \ exp (izx 4-1)1) dz = — Re \ exp (izx + ip) dz.

s.г j

Лемма 2.2.3 дает возможность (с учетом последнего равенства) произвести замену контура интегрирования в (2.2.20) на контур Г и мы видим, что

г

g (— х, а, — Р) = — Re \ exp (izx -j- ip) dz = " г

С-

= — \ exp {Re (izx +1)1)} d (Re z) = ■ г

= -^-\exp(—W (<p)) d(r cos <p),(2.2.24)

г

где -

жг sin <p + r“cosa^<p-f--^-0j , a^l,

^^ тг sin <p + Pr logr sin <p 4-^-77-+ P<p) r cos <p, a=l.

'(2.2.25)

Окончательный вид W (<p) мы получим, подставив в (2.2.25) выражение г (<р), найденное в (2.2.23).

Пусть а ^= 1. Так как* в соответствии с (2.2.23), sinattp + -^-0) хт = га—, COS q>’

то для функции W (ф) имеем

sinal q> +-^-0),х

W (ф) = г™ sin ф—h r“ cos а (ф + ^ 6) =

Если a = 1, то из уравнения (2.2.22) вытекает равенство р log г — —х + (Рф + л/2) tg ф, используя которое в (2.2.25), мы найдем в итоге, что

IE (ф) — CTsin ф + ^— ж + ^Рф + -^ tgфjrsinф +

+ (Pv+^)rc^=r(cosV + -^)(pv+-£) = = ехР(—г)^^»-

Для завершения доказательства нужно выяснить вид дифференциала d (г cos ф). Рассмотрим случай a ^ 1. Согласно (2.2.22), ctcos ф = r“sin а ^р + ~^-б) .

Следовательно,

xd (г cos ф) =

= ar™ cos а ^ф + -у- oj (1ф + ar™-1 sin а ^ф + -у- б) dr == ar™ cos а ^ф + -у- б) dtp + axr cos фг-1 dr =

= axd (r cos ф) + a I ст sin ф + r™ cos а ^ф -J- -^- б)^ dtp.

Второе слагаемое в последней сумме равняется, как это видно из (2.2.25), величине aW (ф)(1ф.=

Таким образом, мы располагаем уравнением

xd (г cos ф) = ах d (г cos ф) + ах“—1 Ua (— ф, 6j dtp.

из которого и следует искомый вид дифференциала d (г cos <р):

d (г cos tp) = t ^ а хР—Ч/а ^- <р, б) dtp. (2.2.26)

Случай а = 1 разбирается аналогично. Там в итоге вычислений появляется равенство

d (г cos tp) = -у W (tp) dtp = -L exp ( — -у) Ux (-^- <р, в) dtp.

Для завершения доказательства нам остается подставить найденные выражения W (tp) и d (г cos tp) в равенство (2.2.24) и принять во внимание, что при движении по контуру Г в направлении увеличения г угол <р меняется от -^- А до л/2 в случае а ^ 1 йот л/2 до ^-6 в случае а > 1.

Следовательно, равенство (2.2.24) в случае а 5^ 1 мы можем записать в виде

л/а 1^(-х,а,-Р) = ^^ $ ^^(JL.p.ejx— е2

Г —/ 2

X exp j — za-1 Uа (— <р, 6 В dtp, а в случае а = 1 в виде g(—x, !, — £) = ^ л/2^

— Л/2

Доказательство проводилось для плотностей g (—х, а, —Р) при дополнительных условиях х > 0 в случае а 54= 1 и р < О при а = 1. Общий случай легко сводится к случаям, оговоренным этими условиями. Действительно,

g (ж, а, Р)=£ (— | х |, а, — Р*),g^x, 1, p)=g (-х*, 1, - | р | ),

где р* = р sign х, х* = х sign р. Если подставить величины | х |, р* (в случае а ^ 1) и величины х*, | Р | (в случае а = 1) в найденные нами выражения плотности, то мы получим, после замены переменного tp на -^- ip, соответственно равенства (2.2.18) и (2.2.19). В последнем слу-

чае надо еще учесть то обстоятельство, что

->Г=~Т и ^(ф.^сМ-ф.-Р).

Сделаем несколько замечаний к доказанной теореме.

Замечание 1. Функции распределения G (ж, а, 0) стандартных устойчивых распределений могут быть записаны в следующей форме

Если а ^ 1, ж ^> О, то

1а

G (ж, а, 0) = С (а, 6) -|- --^ехр {— ж“-1 Uа (<р, 6)} dtp.

(2.2.27)

Если а = 1, 0 > 0, то

С(ж,1,0) = А_ ехр(-е” P£7i(<p,0))d<p. (2.2.28)

Случаи а^!, ж<Оиа = 1,0<О сводятся к соответствующим случаям а;£1, ж>0иа = 1, 0 > 0 за счет следующего равенства, вытекающего из свойства 2.2 и справедливого для форм (В) и (Л): для любых вещественных ж и любых допустимых параметров а, 0

G (—х, а, 0) + G (х, а, —0) = 1.(2.2.29)

Доказательство (2.2.27), (2.2.28) сводится к интегрированию соответствующих равенств (2.2.18) и (2.2.19). Рассмотрим, к примеру, случай а ^ 1, ж > 0. Тогда

1 — G (х, а, 0) = g (м, а, 0) du =

X

.1”а _а

= J ^ J ( ~ а —-1 ““^ 1 ^“) ех₽ (“ ua-1Ua) du =

-ех

= 6 ^ ^ ^^ $ ^ ехР ^— м“-1 ^“)=■

—6 ЭС .1а

= "^2 J [“Г^1 + е(а)) —ехр(— ж"-1 Ua^ dtp =

= -^- (1 + 6) (1 — е (а)) — -М^- ехр (— ж"-1 U^ dtp.

-е

Случай а = 1 разбирается аналогично.

Замечание 2. Хотя (2.2.27) доказывалось для значений ж > О, нам ничто не мешает устроить предельный переход при ж —» 0 и вычислить значение G (0, а, Р). Предельный переход под знаком интеграла не требует дополнительного обоснования. В итоге получаем, что в случае а =^ 1

G (0, а, Р) = А (1 _ р А^) .(2.2.30)

В случае а = 1, р > 0, к сожалению, не известно ни одного значения а, при котором G (а, 1, Р) выражалась бы комбинацией элементарных функций от р. Однако выражение G (0, 1, Р):

1

6(0,1^)=^ f ГЛ^ехрНГЛф.Р))^, (2.2.31) ■—1

получающееся из (2.2.28), также оказывается полезным в задаче статистической оценки параметра р.

3 а м е ч а н и е 3. Если а < 1, р = 1, то^при всех

х <^ 0

G (х, а, 4) = 0.(2.2.32)

Поскольку G (ж, а, 1) — неубывающая функция, стремящаяся к нулю при ж —» —оо, то (2.2.32) является следствием равенства G (0, а, 1) = 0 (см. (2.2.30)) 2-в. В свою очередь из (2.2.29) и (2.2.32) вытекает, что в случае а < 4 и р = —1 при всех ж > 0

G (х, а, -1) = 1.(2.2.33)

Замечание 4. Вид плотностей стандартных распределений (2.2.18), (2.2.19) вместе со свойствами (2.2.32) и (2.2.33) позволяют сделать следующий вывод.

Интервалами сосредоточения вероятностной меры стандартных устойчивых законов являются:

положительная полуось, если а < 4, р = 4,

отрицательная полуось, если а < 4, р = —1,

вся вещественная ось в остальных случаях. При этом в каждой внутренней точке х интервала сосредоточения меры^плотность g (ж, а, Р) положительна.

Замечание 5. Необычную форму записи нормального распределения мы получаем в случае а = 2 из

и (2.2.27). (Напомним, что стандартное устойчивое распределение с а = 2 соответствует несмещенному нормальному закону с дисперсией а2 = 2 (см. начало раздела 2.2)). Именно,

л/2

. exJ—У =( exn ( —^ N

V 2 л'2 / л J Р \2 sin2 <р / sin2 <р ’

'о

X t2л/2

—J— С е 2^=1— V ехр ( — -л—? —dtp, ж > 0.

У2л Jя J ' 2sin2q>/

—ООо

Равенства (2.2.18) и (2.2.19) дают, очевидно, возможность представлять в аналогичной форме производные ^п) (ж, а, Р) любого^ порядка и. Эти представления, так же как и представления самих плотностей, далеко не единственны. Дело в том, что использованный в доказательстве теоремы 2.2.3 прием можно применять к производным, полученным из (2.2.20):

g<n> (ж, а, Р)g<n> (ж, а, Р)1 с

g<n> (ж, а, Р)

g<n> (ж, а, Р)

= — Re \ (iz)” exp (izx -f- ip (z, а, — P)) dz,

о

т. e. заменять интегрирование по полуоси z Д 0 на интегрирование по контуру Г, и т. д. В результате получим

ллgW (a;, а, Р) =

л

л

exp (— W (tp)) г” (г' sin (п + 1) (ф + ^ +

+ г cos (п + 1) ^<р + -^-^ dtp. (2.2.34)

Оказывается, это представление обладает резко выраженной индивидуальностью и существенно отличается от того, что мы можем получить n-кратным дифференцированием равенств (2.2.18) и (2.2.19). Проиллюстрируем сказанное одним примером.

Рассмотрим случай n = 1, 0 < а < 2, | Р | — 1, ж ^> Д 0 и обозначим

^ (ж) =^ (ж) =1 ж0-1,если а=^1,

^ (ж) =

^ (ж) =

ехр (— ж/Р), если а = 1,

а(ф) =а(ф) =, если а^1, если а = 1;

а(ф) =

а(ф) =

b^) =b^) =1 —1 —Р I sinatpР I sinatpa I sin q>a I sin q>h—a ( a sin (2 — a) q> |\ sinaq.h—a ( a sin (2 — a) q> |\ sinaq.если ct =^= 1,если ct =^= 1,

b^) =

b^) =

1 —

1 —

Р I sinatp

Р I sinatp

a I sin q>

a I sin q>

h—a ( a sin (2 — a) q> |\ sinaq.

h—a ( a sin (2 — a) q> |\ sinaq.

если ct =^= 1,

если ct =^= 1,

и =и =exp(—2<p ctg <p) (2<p ctg <p— 1), если a = l,[ —л, если a^>l, 0=1»

и =

и =

в остальных случаях,если ct <^ 1, р = — 1

v=v=— лр/a, если ct>l,— лр/a, если ct>l,

v=

v=

— лр/a, если ct>l,

— лр/a, если ct>l,

в остальных случаях.

С помощью (2.2.23) равенство (2.2.34) преобразуется в равенство

g' (х, a, Р) = —кг (х)6(<р)ехр{—ка ^а (<р)} dtp. (2.2.35)

Вместе с тем, дифференцирование равенств (2.2.18), (2.2.19) дает в тех же обозначениях

g' (х, а, Р) = ск* ^ (1 — а.каа') а ехр (— каа') dtp,

где с = а/(л | 1 —а|), если a N= 1, с = 1/л, если а = 1.

Уже беглый взгляд показывает, насколько различны эти представления g' (ж, a, Р). Представление (2.2.35) в случае a ^ 1 впервые рассматривалось в работе [40], где с его помощью изучался вопрос об одновершинности устойчивых законов. Основной^результат этой]работы излагается ниже (теорема 2.7.5).

Равенство (2.2.35), в свою очередь может служить отправным пунктом для получения новых выражений функции g (ж, a, Р). Однако получающиеся при этом формулы, как правило, оказываются существенно сложнее тех, которые приводились в теореме 2.2.3. Наиболее простой вид они имеют в том случае, когда ct = 1/n, п = 1, 2, . . . .

Например,

g (ж, 1,1) = -^- ba"1 (lj+ ка) ехр (— ко) dtp,о

^ (Ж,1/3,1) =

= -^- ^ ba-4 (а3зг3/2 + 3a2z-1 + бах-'!2 + 6) exp (— зг1/2^) ^ф, о

Насколько могут оказаться полезными такие представления при изучении свойств устойчивых распределений — пока не ясно.

Закон двойственности в классестрого устойчивых распределений

Так называется соотношение, связывающее в пределах класса SB распределения с параметром tz > 1 и распределения с параметром а' = 1/а.

Надо сказать, что это соотношение свойственно не только устойчивым распределениям. В множестве безгранично делимых законов имеется аналог этого соотношения (точнее, его части, связывающей между собой крайние устойчивые распределения). Закон двойственности оказывается ценным дополнением к элементарным свойствам устойчивых распределений. Благодаря ему мы можем лучше составить себе представление о строении этих распределений.

Изложению специфических свойств строго устойчивых распределений (к числу таких свойств относится и закон двойственности) отводится следующая глава. Однако, исходя из соображений методического характера, мы осуществим знакомство с законом двойственности уже в этой главе. Поскольку на всем протяжении настоящего раздела нам не придется выходить за пределы класса S3, естественно параметризовать устойчивые законы в форме (С). В тех случаях, когда нам придется использовать другие формы, это будет специально оговариваться или отмечаться.

Не уменьшая общности, можно рассматривать лишь часть распределений из S3, фиксируя значение масштабного параметра. Мы условимся считать Хе = 1, что соответствует плотностям gc (ж, а, 6) и функциям распределе-

ния Gc (ж, а, 0) с характеристическими функциями вида

Теорема 2.3.1. Для любых пар допустимых параметров а ^ 1,0 и любых х > 0 справедливо следующее равенство-.Теорема 2.3.1. Для любых пар допустимых параметров а ^ 1,0 и любых х > 0 справедливо следующее равенство-.Sc (t, а, 0) = ехр ( — 111“ exp ( — i -^- а0 где 0 <^ а ^ 2 и | 0 | ^min (1, 2/а — 1).

Теорема 2.3.1. Для любых пар допустимых параметров а ^ 1,0 и любых х > 0 справедливо следующее равенство-.

Теорема 2.3.1. Для любых пар допустимых параметров а ^ 1,0 и любых х > 0 справедливо следующее равенство-.

а (1 - Gc (х, а, 0)) = Gc ^, а', 0') _ -L (1 - 0') =

= Gc (х~“, а', 0') — Gc (0, а', 0'), (2.3.1)

где параметры а', 0' связаны с а, 0 равенствами

а' = 1/а, 1 + 0' = а (1 + 0).(2.3.2)

В терминах плотностей (2.3.1) равносильно равенству'2-1

(2.3.3)(2.3.3)gc (я, а, 0) = x-^gc <х-а, а', 0').

(2.3.3)

(2.3.3)

Доказательство теоремы основывается на равенстве (2.2.27), которое в форме (С) имеет тот же вид, что и в форме (В), так как Gb (х, а, р) = Gc (х, а, 0). Рассмотрим случай а ^> 1, тогда

а(1 — Gc (х, а, 0)).= -^- \ ехр {— х™-1 Ua (<р, 0)} dtp. (2.3.4)

Правой части (2.3.1) мы можем придать аналогичную форму:

Gc (аг“, а', 0') — Gc (0, а', 0') =

= -^- ехр{—(z-“)“ 1 ?7а'(<р, 0')} dtp. (2.3.5)

Для того, чтобы установить справедливость (2.3.1), достаточно преобразовать правую часть (2.3.4) таким образом, чтобы она приняла вид правой части (2.3.5). Поскольку а' = 1/а, то

Лsin —у а (ср + 6)£М<р,0)=1\ cos ~2* срЛsin —у а (ср + 6)£М<р,0)=1\ cos ~2* срДалее,

Л

sin —у а (ср + 6)

£М<р,0)=1

\ cos ~2* ср

Л

sin —у а (ср + 6)

£М<р,0)=1

\ cos ~2* ср

cos -у [(а — 1) у + а0]

л cos -у <р

ЗТ\ 1—а ЗТ

sin -у а (у + 6) \ cos -у [(а — 1) у + аб] л Iл"

cos -у у / sin -у а (у + 0)

Произведем замену переменного, положив

а (у + 6) = 1 — х, т. е. у = —а'х + а' — 6.

При такой замене пределами интегрирования станут 1 и 1 — а (1 + 6) = —6'. Кроме того, мы получим, что (а — 1)у + аб = (а — 1) у + 1 — х — ау = 1 — х — — у = 1 — х + а'х — а' + 6 = (а' — 1)х +а'6', у = —а'х + 1 — а'б' = 1 — а' (х + 6').

Подставив эти выражения в (2.3.4) и приняв во внимание, 1а'

что q—— =i—у, мы получим равенство

Ua to, 0) = Ua. (X, 6').

В итоге (2.3.4) преобразуется в (2.3.5).

Случай а = 1 отдельно рассматривать не надо, поскольку справедливость (2.3.1) следует из факта непрерывности распределений класса SB по совокупности а, 6 во всей области допустимых значений этих параметров (свойство, отмечавшееся во введении). Таким образом, нам достаточно в (2.3.1) перейти к пределу при а —> 1.

В случае а = 1, 6 имеем а' = 1 и 6' = 6. Этот случай отвечает распределению Коши с линейно преобразованным а ргументом. Именно,

gc to, 1,0) = у- cos у 6 ^1 — 2ж sin у 6 + ж2) 1,

(

л \ х — sin —5- 6 \ I . (2.3.5а) cos -у 6/

Мы продемонстрируем сейчас возможности использования закона двойственности в задаче построения инте-

тральных представлений плотностей от сложных аргументов. То представление, которое будет доказываться ниже, относится к устойчивым законам с параметрами а 2> 1 и служит дополнением к представлениям (2.2.12) и (2.2.13) теоремы 2.2.2.

Теорема 2.3.8. Пусть ct 2> 1, 0 — некоторая пара допустимых параметров, соответствующих форме (Л), и х — вещественное число. Обозначим

0* = clg IS 'ctg [^ ^(“’ Р)1 • “' = 1/“-(2 (ос, 0) = 1 — Aarctg (Ptg-^- а).

P=[l +(0tg^ay^(sin^^^

Если у = х-\-\х |,-а'0* Lg -^-а.*, то

Dy-WgA фу-И“,а, 0) = gA (у, а', 0*).(2.3.6)

Доказательство. Справедливость равенства (2.3.6) проверяется путем последовательного преобразования его левой (или правой) части по схеме

gA (•, а, •) ^ ^в (•, а, •) -> gc (., а, •) ^ gc (., а', •) ->

*- gB (•, ct', •) ч-» gA (-, а', ■). (2.3.7)

Средняя часть этой цепочки преобразований есть закон двойственности, а остальные звенья суть переход от одной формы к другой. Поэтому равенство (2.3.6) по своему содержанию (если отвлечься от специального вида у и рассматривать его как самостоятельное переменное) — всего лишь запись закона двойственности в форме (Л). Нам будет удобнее проходить цепочку преобразований (2.3.7) от конца к началу.

Первый шаг — переход от формы (Л) к форме (Д);gA (У, «', 0*) = gB (У, а', 0|, 0, Х'ВУ

Здесь параметры 0в, Хв связаны с параметрами а', 0* равенствами (см. (В. 19))

1ё(-^-«'0в) = 0* tg-^а', Хвсо8^-^-а'0в) = 1. (2.3.8)

Далее, благодаря свойству 2.1,

gB (У, а', Рв, О, Хв) = Q^B^^gB ((ХвУ1!^, а', рв) = = ^-“Ус ((Ьв)-“У, «', О*), где 6* = рв.

Последняя функция по закону двойственности (2.3.3) равна функции

(^в)-“ ^вУ^У^с ^'а, «, 0),(2.3.9)

где параметр 6 связан с параметром 6* равенством

1 + 0* = а (1 + 0).(2.3.10)

Следующий шаг в (2.3.9) — переход к форме (В) — вида функции не меняет, поскольку

■ go (Хв, У-1/“, «, 0) = gB &вУ1,а, «, рв),

где 6 = -^- К № Рв = (1^-) Рв-

После чего нам остается перейти к форме (Л). Имеем

XBT^gB ^вУ11а.«, Рв) =

= ^By^^gA^Bg^^^^B. 0, ^-а) =

= М1'") y^gA W^y1'*, а, рА).

В этих равенствах параметры связаны соотношениями (Ра = Р):

ptg-^a=tg ^ (ос —2)рв^ , XA = cos ^(а —2)рв] .

(2.3.11)

Таким образом, мы пришли к равенству (2.3.6), в котором D = Х'вКА,а. Но остается выяснить, как величины Р* и D зависят от исходных параметров a ^> 1, р. Сделать это нетрудно, используя формулы связи параметров (2.3.8), (2.3.10), (2.3.11). Из (2.3.11)

ХА = (1 — tg= (-^ (а - 2) pB))’t/2 = (1 + (р tg -J- а)2)’1'2.

(2.3.12)

Так как, согласно (2.3.10),

Р^ = a _ 1 + (а - 2) рв = г^ - 1 + 3- агс t g (р tg ^- а) ,

ТО

cc'Ps = 1 — a/Q (а, Р),

tg (4га'^) = cig ^ Q (ос, р) | .(2.3.13)

Из (2.3.13) и (2.3.8) находим выражения параметров Хв и р*

^в = (1 + tg2 К pBJJ =

= |? + clg2 (£?(“’Р))]^ [^(^^(“’Р))?1' Р* ^^^^^ Q (“•₽)) •

Замечание 1. Обозначим р.* = р* tg-2-а', у = х + | х |н“'ц*, Z ^= sign у. Из равенств (2.3.6) и (2.2.12) вытекает интегральное выражение плотности от сложной функции в случае и ^> 1 в том случае, который не рассматривался в теореме 2.2.2:

Ву-^^д (Dy-d“, сс, Р) =

ОО1_1

тГ 7 2CU ।\ Ct

= ;г Im \ exp { — I -j;ж — ш) —

л I я I J Л I I я: I I 1'

о

— Zp*w ((— in) “ — 1)]| du.

Замечание 2. Обратим внимание на одну особенность закона двойственности, которая связана с присутствием в его формулировке условия х > 0. На первый взгляд это условие не существенно, поскольку случай х < 0 сводится к случаю а: > 0 за счет изменения знака р, т. е. за счет свойства g (х, а, р) = g (—х, а, —Р). И действительно, соотношение

g (х, а, Р) = z-1-ag (х~а, а', р'), а > 1, ж > 0, дополняется аналогичным соотношением при я < 0: g (х, a, Р) = g (\х |, а, —р) =| x|~i'a g(| х|-“, а', — р") = = |ж|-1-а ^(-ГхГ,а', р"),р"=р'-2 (1-а).

Так как Р' У= Р", если а ^> 1, то в этом случае «контрагенты» частей распределения g (•, а', ■) не являются составными частями какого-либо одного распределения

g (•, сс', •). Поэтому соотношения, аналогичного закону двойственности, между функциями g (ж, сс, р, у, X) и g (х-“, сс', Р', у', X') в случае ж> О, сс > 1 иу^Оне существует, т. е. класс ® представляет собой ту естественную часть семейства ®, где может действовать закон двойственности. При этом, в качестве самостоятельных аналитических объектов выступают «половинки» плотностей устойчивых законов g (х, сс, Р), ж > 0, а не плотности в целом. Точнее не сами «половинки» плотностей, а функции

£с (ж, сс, р) = Xgc <Ж, сс, 6) = xg (х, сс, Р),

если рассматривать их на полуоси ж > 0. Ибо именно они являются естественными аналитическими единицами при изучении группы свойств строго устойчивых законов, к числу которых принадлежит и закон двойственности. Взгляните, насколько симметричнее выглядит этот закон, если его записать в терминах функций £с-

Для любых ж 2> 0 и любых допустимых значений параметров сс, р zz сс', р', связанных между собой соотношениями

сссс' = 1, Усс р= /a'p',

справедливо равенство

£с (жг“, сс, р) = 1,0^'а', сс', р').

Группа свойств, связанная с «половинками» плотностей или с функциями £с, оказывается настолько обширной, что мы уделим ей основную часть следующей главы.

Замечание 3. Свойство двойственности оказывается очень удобным инструментом при решении ряда задач, таких, например, как представление плотностей или функций распределения класса SB интегралами, сходящимися или асимптотическими рядами и т. п. К примеру, мы уже знаем, что естественными интервалами распределения вероятностей для стандартных устойчивых законов являются полупрямая (0, со) в случае сс < 1, Р = 1, полупрямая (—со, 0) в случае ос < 1, Р = —1 и вся вещественная ось в остальных случаях.

Один из вопросов, который будет далее обсуждаться — асимптотическое поведение плотностей g (х, сс, р) и функций распределения G (ж, сс, р) на границах этих интервалов. Благодаря соотношениям (2.3.1) и (2.3.2) объем

работы по изучению асимптотического поведения сокращается почти наполовину, поскольку можно ограничиваться разбором случаев сс ^ 1. В случае же ос ^> 1 ответ получается путем несложного пересчета результатов, связанных со случаем сс / 1.

Аналитическая структураустойчивых распределений и их представлениесходящимися рядами

Устойчивые законы имеют плотности с равномерно ограниченными производными любого порядка. Этот факт был установлен во введении. Причем для тг-й производной плотности стандартного распределения имеется оценка

| gW (х, сс, Р) || gW (х, сс, Р) |п+1^(^(«.S^MPI)" ■п+1^(^(«.S^MPI)" ■

| gW (х, сс, Р) |

| gW (х, сс, Р) |

п+1

^(^(«.S^MPI)" ■

п+1

^(^(«.S^MPI)" ■

Настоящий раздел мы посвятим выяснению более тонкой аналитической структуры устойчивых распределений. Такой анализ удобно проводить, не выходя за пределы класса ®0. Рассмотрим множество ® всевозможных пар допустимых значений параметров (сс, Р), за исключением пары а = 1, р = 0. Для каждой пары (а, Р) е Ж определим на полуоси ж > 0 функции

[ xg (ж, сс, Р),если а

q<x, сс,р) = ]

[ x~4ag (аг1/™, сс, Р), если сс

[ G (ж, сс, Р),если сс

№ сс,р)=|

[ —aG (ж-1^, а, Р), если а

связанные между собой равенством

xQ' (х, а, Р) = q (ж, сс, Р).(2.4.1)

Теорема 3.4.1. Для каждой пари значений (а, Р) Е?- функция Q (х, а, Р) аналитически продолжается с полуоси х*> 0 во всю комплексную плоскость, т. е. является целой аналитической функцией.

Производная целой функции сама является целой функцией. Поэтому и произведение двух целых функций q (х, сс, р) = xQ* (х,а, Р) также является целой функцией, имеющей к тому же в точке z = 0 ноль первого порядка 2-8.

Доказательство. Рассмотрим случай сс = 1, Р > 0. Согласно следствию 1 теоремы 2.2.1 для любых вещественных х функция 1 — Q может быть представлена следующим абсолютно сходящимся интегралом:

l-^+H^l-^+H^1 — Q (х, а, Р) - 1 — G (х, сс, р) =

l-^+H^

l-^+H^

1 с

= — \ ехр (— хи — 0u log и) sin о

Если подставить в целую функцию ехр (—хи), входящую в состав подынтегрального выражения, вместо х любое комплексное число z, то интеграл останется абсолютно сходящимся. Это означает, что интеграл сходится равномерно в круге | z | ^ г сколь угодно большого радиуса г. Следовательно, интеграл, а вместе с ним и функция Q, аналитически продолжимы во всю плоскость z.

Случай сс <^ 1 рассматривается по той же схеме. Благодаря следствию 1 теоремы 2.2.1, имеем для любых х 0

Q (х, а, Р) = — aG (хтЧа, сс, Р) =

= — сс + -^ е “ Im ехр (— ZH“e-iIt₽“) -^- .

о

Интеграл сходится абсолютно и таковым остается, если вместо х подставить в подынтегральное выражение любое комплексное число z. Следовательно, он сходится равномерно в круге | z | ^ г любого радиуса, т. е. функция Q — целая.

Случай сс > 1 сводится к случаю сс < 1, если использовать соотношение (2.3.1):

Q (х, сс, Р) - G (х, а, Р) -

= 1 + 4~а' (1 — Р') — a'G (зт11а’, сс', Р') =

= 1 + -1-а' (1 - р') + Q (х, а!, р'), (2.4.2)

где а? = 1/сс и Р' = — 1 + сс (1 + РЛ" (сс)/сс).

Сделаем два замечания по поводу доказанной теоремы.

Замечание 1. Случай сс = 1, р = 0, соответствующий распределению Коши, занимает особое положение среди стандартных устойчивых распределений. Функ,

ция распределения в этом случае имеет вид

G (х, 1,0) = 4 + 4 arctS (4 4

11~ Т ^ "2Щ ^°»11~ Т ^ "2Щ ^°»лтлтлтлт

11

~ Т ^ "2Щ ^°»

11

~ Т ^ "2Щ ^°»

лт

лт

лт

лт

который показывает, что хотя функция G и продолжается аналитически с полуоси ж > 0, но только в полуплоскость с каким-либо разрезом (например, по отрезку [—гл/2, гл/2]), соединяющим точки ветвления — гл/2, гл/2.

Замечание 2. В конце предыдущего параграфа отмечалась одна особенность устойчивых распределений, состоящая в том, что «половинки» стандартных плотностей g (ж, а, Р), ж > 0, и g (ж, а, Р), ж <_ 0, в случае а 5^= 1 проявляют себя как самостоятельные аналитические образования. Теорема 2.4.1 дает тому еще одно наглядное подтверждение. Особенно хорошо это видно в случае сс < 1. Действительно, рассмотрим плотность g ^х, а, Р) с какой-либо парой значений параметров а <^ 1, р. «Половинку» g (х, а, Р), ж < 0, в симметрично отображенном виде мы можем найти среди «половинок» g (х, а., Р), ж ^> 0, при р = —р. Поэтому функции q^x, сс, Р) и q (ж, сс, — Р) образуются двумя частями одной плотности. Однако аналитические продолжения этих функций совершенно различны и не сводятся одно к другому с помощью какого- либо простого преобразования, вроде симметричного отражения. Например, если сс < 1, то q (ж, а, 1) имеет некоторое ненулевое продолжение в комплексную плоскость, в то время как q (ж, сс, —1) = 0, ж > 0, имеет в качестве продолжения функцию, тождественно равную нулю во всей плоскости.

Аналогичная картина наблюдается и в отношении функции Q.

Теорема 9.4.9. Для любой пари значений параметров &, Р) Е $ целая функция Q (х, а, Р) может бить представлена степенным рядом следующего вида:

Если а <^ 1, то

Q (х, а, Р) = — aG (ж-1/”, а, Р) =

=- сс+А- ^ (- 1Г144+4sin (лпра) ^ (2-4,3)

П=1

Если а > 1, то в тех же обозначениях а', Р', которые использовались в (2.4.2), имеем

1

Q^~ а, Р) = 6(ж,а,Р) = 1 -Р-^-аД! + Р') +

+ чг^-1>'-,'«Snrsin<я”р)х"- @лл> П=1

В случае а = 1, Р ^> 0

Q (х, а, Р) = G (х, а, Р) = 1 - A- b. + А £ (- l)-i V, П=1

(2.4.5) где

ь^ = Tpsnr $ ехр (— ^“log 1^и" 1 sin ["1Н1 + 0) “ ]du-

Случай а = 1, р < 0 сводится к случаю а = 1, р ^> 0, благодаря равенству (2.2.29).

Доказательство (2.4.4) — (2.4.5) основывается на разложении в степенной ряд по х подынтегральных выражений и последующему почленному интегрированию тех представлений функции Q, которые использовались в теореме 2.4.1 в случае а ^ 1. Разложение (2.4.3) получается из (2.4.4) благодаря связи (2.4.2).

Замечание. Равенства (2.4.1) и (2.4.3) — (2.4.5) позволяют получить (путем дифференцирования рядов) для плотностей g (ж, а, р) следующие представления сходящимися рядами 2-9.

Если а > 1, то для любых допустимых р и любых вещественных х

g (х, а, р) = А- У; (— 1)" 1 У"”^)- sin (лир) ж"-1. (2.4.6) П=1

Если (^ = 1, р ^> 0, то для любых вещественных а:

(2.4.7)(2.4.7)g (X, 1, Р) = А- у(- 1Г1 пЬпх"Л

(2.4.7)

(2.4.7)

71=1

Если а < 1, то для любых допустимых р и любых я > 0 g (ж, а, Р) = ^- ^ (— I)"’1 -^г^+ТГ sin (ЛПР“) ж""“'1- .(2-4-8)

Равенства (2.4.3) и (2.4.4) имеют, в отличие от (2.4.5), ту особенность, что стоящие в их правой части степенные ряды содержат явные выражения коэффициентов. Это позволяет вычислить порядок и тип целой функции Q (х, а, Р), используя следующие хорошо известные связи порядка о и типа 6 целой функции % (z) = 2 °nz" с

П=0 ее коэффициентами (см., например, [86]):

о = km sup -гт—т2—тг,(2.4.9)

6 =—— lim supn|an|°/n.(2.4.10)

06П—»oo

Положим a = a, если a < 1 и a = 1/a, если a > 1.

Теорема 8.4.3. В случае a 7^ 1 целая функция Q ^ a, P) имеет, порядок •

о = (1 — a)-1 и тип

6 = (1 — a)a-a/<1-™).

В случае a = 1, р ^ 0 целая функция Q (z, 1, Р) = = G (z, 1, Р) имеет бесконечный порядок2-10.

Доказательство. Пусть a 5^ 1, с помощью формулы Стирлинга находим, что

Г(ла + 1)/Г(« + 1) =

= ехр|(а— 1) л log л-]-и (a log а — а + 1) + yloga + o(l)|, опираясь на разложения (2.4.3), (2.4.4), находим по формулам (2.4.9), (2.4.10) значения а и 6.

Доказывать бесконечность порядка функции G ^z, 1,1) можно непосредственно, опираясь на асимптотическое поведение функции G (х, 1, 1) на отрицательной полуоси. Согласно теореме 2.4.3 при х —> — оо

G(a:’1’ 1)~V^eXPl -2-U+^)-exp(-(l 4-ж))[.

Из теории аналитических функций известно (см., например, хорошо известную книгу [86]), что если целая функция w (z) имеет конечный порядок о, то для любого фиксированного е )> 0 существуют окружности | z | = г сколь угодно большого радиуса г, на которых

min {| гр (z) | : | z | = г) > ехр (—га+Е).

Легко видеть, что асимптотическое поведение функции G (х, 1, 1) при х - > — оо несовместимо с предположением конечности ее порядка.

Для доказательства бесконечности порядка целой функции G (z, 1, Р), р Ф 0 мыизберем иной путь. Прежде всего заметим, что не уменьшая общности, можно считать Р > 0. Согласно следствию 1 теоремы 2.2.1, для любых вещественных х

G (х, 1, р) = 1^- ехр (— хи — ри log и) х

о

X sin [-^-(1 + Р)и]X sin [-^-(1 + Р)и]du и ‘du и ‘

X sin [-^-(1 + Р)и]

X sin [-^-(1 + Р)и]

du и ‘

du и ‘

Нетрудно заметить, что интеграл остается абсолютно сходящимся, если х заменить каким-либо комплексным числом. Это означает, что интеграл дает представление функции G (z, 1, р) во всей комплексной плоскости z. Рассмотрим последовательность комплексных чисел

Ч = — ^k — i 4~ (1 + Р) — 0 (1 + log ик) — г ^- (1 + Р),

где nk = (1 + 4/с)/(1 + Р), к = 1, 2, ..

Обозначим со = (2 (1 + Р))-1. Элементарные подсчеты показывают, что■

,2 du _,2 du _Im G(zk, 1, р) =

,2 du _

,2 du _

=44ехр ^и—Рм log и^ (sin 4" ^+0) мГ 4г

2 du _2 du _О

2 du _

2 du _

1СЛJ]u—uk|<ti>1СЛJ]u—uk|<ti>ехр (жкм — ри log и) (sin -^- (1 + 0) и^ -^-

1С

ЛJ

]u—uk|<ti>

1С

ЛJ

]u—uk|<ti>

^: "4гlog (ттй-) ехР ^* (“к — to) — 0 (“к + to) log (ик + со)}.

Эта величина при к —> оо имеет асимптотическое выражение

-g^ exp {P«t — (1 + ₽) ш log и^ — 2рЮ + о (1)} =

= [ехр ^Р ехр (-у1) + О (хА.) j .

Положим теперь

М (г) = шах {| G (z, 1, Р) | : | z | = г)

71f(|zk|)>ImG(zk,l,p)71f(|zk|)>ImG(zk,l,p)и заметим, что

71f(|zk|)>ImG(zk,l,p)

71f(|zk|)>ImG(zk,l,p)

exp |р exp (-|- Re zA. — 1) + G (Re zA/

Благодаря тому, что | zA.| = Re zA. (1 + о (1)), из последнего неравенства следует неравенство

lim sup — log log М (г) ~> 1/р > О, Г—*ооТ

из которого, в свою очередь, вытекает бесконечность порядка целой функции G (z, 1, Р).

Замечание. Производная любого порядка целой функции имеет, как известно из теории аналитических функций, тот же порядок и тип, что и сама функция. Отсюда, в частности, следует, что утверждение теоремы 2.4.3 справедливо также и в отношении функции q (z, а, Р).

В заключение настоящего раздела приведем без доказательства один интересный факт. Читателей, желающих ознакомиться с доказательством, мы отсылаем к работе 18], откуда он был заимствован 2-и.

Рассмотрим стандартное устойчивое распределение с параметрами а < 1, р = 1 и обозначим

Ь^ =

/ Г (п + 1) \V= YГ (1 + S + п) хк

\Г(« + 1+Ч/Г(А-|-1)Г(и-А: + 1)Г(1 + 4 + ,0

Г=о

— полиномы Лагерра, s )> —1, п= 0,1, ..., образующие полную ортонормированную систему в гильбертовом пространстве вещественных функций на [0, оо) с интегрируемым квадратом по мере р ^dx) = з? ехр (—z) dx.

Теорема 2.4.4. Для любого 0 < а < 1 и х Д 0 функция q (х, а, 1) может быть представлена сходящимся рядом

q Vr, а, 1) = х ехр (—ж) 2 ^ (а) L^ (я), (2.4.11)

П—О

где s — любое фиксированное число, большее —1, и

^ (а) =

„ / г(" + 1) \'Ь V(-1АЧ1_+М^) \Г (п -|- 1 + s)/7 I Г (m + 1) Г (n — m 4- 1) Г (1 + а (s 4- от))

В случае а ^> 1, х ^> 0 разложение в сходящийся ряд функции

q (х, и, 1) = ехр (— х) ^ А'^ (1/а) Л*"1 (ж)

П^О

получается из (2.4.11) благодаря свойству (2.3.3).

Асимптотические разложенияустойчивых распределений

Как уже отмечалось в замечании 4 к теореме 2.2.3, носителем меры распределений G (х, а, р) является полуось (0, сю), если а < 1, р = 1, полуось (— сю, 0), если а < 1, р= —1 и вся вещественная ось в остальных случаях. Материал предыдущего раздела не позволяет судить о поведении целых функций G (х, а, Р) и g (х, а, Р) в точке х 0 при а <4 и в точке х = сю при 1 <4 а < 2 (это не касается случая а = 1, Р = 0), поскольку в комплексной плоскости указанные точки являются для них особыми. Именно, точкой ветвления в первом случае и существенно особой во втором. Ниже мы исправим этот дефект информации, построив асимптотические разложения функций G и g в окрестности соответствующих им особых точек. Оказывается, что виды асимптотических разложений значительно различаются в зависимости от того, имеем мы дело с крайним распределением (т. е. р = = + 1) или нет, и от того, будет ли а < 1, а = 1 или а > 1."

В связи с этим различаются следующие шесть возможных ситуаций (благодаря свойству 2.2, асимптоти-

114

ческие

x > 0):

I.

II.

ГЛ. 2. СВОЙС>ва уСтойчирЫх ДИОНОВ разложения Д%татоЧно рассм^тРИВатЬ ЛИШЬ ДЛЯ

VI.

a < 1, a < 1, a = 1, a — 1, a > 1, a > 1,

P = 1

Р^о, «

X —> ОО,

X —> оо, X —> оо.

Расположение и rv^риала настоящего

раздела не следуют ч^ УппиРовка ат делениЮ на шесть случаев, поэтому во^™° Указан# У^мость некоторого пояснения. Приводи^ икает не0 ^готические разложения (понятие асим 6 НИже а ^да — традиционно принятое в математич^атОтИческоГДлятся на две группы. Первая (теоремы анали?>' Держит асимптотические формулы для Пд " ‘„^(„ Crt, Р) и функций рас

пределения в окрести.0ТН0Стеи 8 t ’ ующих особых точек. Вторая группа й,Стях соотЯб7С^2.5.7) объединяет асимптотические разл/теоРемы 2. " р) и G (г (ж), а, р), где г (а) — функции скЖения 8 V'При этом в тех

случаях, когда разло^ециал“ого ®Д распределения получаются в качестве ^ЯИЯ сим<1Т0ТИЧеСКИХ разло" жений соответствуюгщ5ледств1™ а они не выделяются в самостоятельные утв х им Плотно И.уе принцип сохраняется и тогда, когда РжДеНия. 1^ отмеченных выше

случаев свести к другом^даетСя 0ДР И ^зования соотношений двойственности (сд^ за ^чет и^ Л # случаю I, случай VI — к случаю II). С^ЧаИ Х сваД ут удается объединить в одной аналитической^111 Я в результате чего они рассматриваются у ФоРМе зап. я’рщих их теоремах 2.5.2—2.5.3, одна из а двух «бъер.ня с разложением функций распределен^котоРых сЯ а

Случай a = 1, р =^.ЯЛл имеются простые

явные выражения пль ’ ДЛя K0TfH2It^H распределения, вообще не рассматрив&ТН0Стй и Ф^

Теорема 2.5.1. ^еТСЯ" ,«1, то при х -> 0

имеет место следующ,ли a \ 1 u Р / -<ое представление: асимптотП-иче<р

g^».^

g _ k=Q Г(к-|-1)

^JL^ + W1-^"

(2.5.1)

Доказательство. Воспользуемся интегральным выражением плотности в виде (2.2.1) и запишем

g (х, а, р) = 4" Re exp ^itx — t“ exp ^i 4~ ар^ dt = 0

=4* У, 4г Re 5 ^exp (— ta exp 0 4~a^)) dt+R^' к=юо

где

con—1

^n = “4 Re Пеак — У,-^-1 exp (— i“ exp (i 4*aP)) dt- 0 Lfr=o J

Имеем

i Rn i < 4" $ 4* ^n exp (~ z°008 ^-“P)dt= 0

/ n-|-l ^_ n+1

= —I(2.5.2)

ла Г (n + 1) L 2 r ]''

В основной сумме во всех интегралах произведем замену переменного w = t exp ^i 4" p) и последующий поворот контура интегрирования с тем, чтобы интегрирование вновь осуществлялось по полуоси (0, оо). В результате получим разложение (2.5.1).

Следствие 1. Если a < 1, р =/= 1, то при х -> О

G (х, а, р) — G (0, а, р) = G (х, а, р)^ (^ — Р) ~

—— Уsin к (!—р)хк- (2-5-3)

ла / । Г (к -|-1)2'''

к=1

Справедливость (2.5.3) проверяется с помощью (2.5.1) и правила Лопиталя.

Следствие 3. Если a > 1, р =/= —1, то при х —> оо g^x^.^ — ^-x^^^^-sin-^-kt?. -a)(l + Р)2Г^.

Действительно, согласно (2.3.3) для а 2> 1 и ж)> О

g (х, а, Р) = ar1-® g (хт®, 1/а, 0'),(2.5.5)

где р' = -1 + а (1 + Р (а - 2)/а) = 1 - (2 - а)(1 + р).

Для правой части (2.5.5) мы имеем асимптотическое разложение (2.5.1). Отсюда и получается (2.5.4).

В свою очередь, из (2.5.4) находим, что в случае а )> 1, Р =/= 1 и при х --> ОО

- G (х, а, Р) ~ A^_W_ sin 2L к (2 _ а) (1 + р) х-ка.

(Это устанавливается с помощью того же правила Лопи- таля.)

Анализ асимптотического поведения устойчивого распределения при х —> 0 в случае а <^ 1, 0 = 1 и при х -* оо в случае а = 1, 0 = —1 опирается на хорошо известный метод Лапласа асимптотического представления интегралов. То утверждение, которое мы возьмем за основу анализа, представляет собой один из наиболее простых вариантов теорем подобного рода. Познакомиться с ними можно, например, по обстоятельной монографии [30].

Рассмотрим четные, аналитические на интервале (—л,л) функции s (i) и to (f), в отношении которых дополнительно предполагается, что

to (i) строго монотонна на интервале (0, л),

ц = з (0) > 0, т = to (0) > 0, о2 = to" (0) > 0,

з (f) = О (to (i)) при t —> л.

С помощью этих функций образуем интеграл

я

In— "2^~ \ s(t)exp{—Nw^dt, (2.5.6) —я

существующий, очевидно, при каждом N > 0.

Лемма2.5Л. IIpuN —» оо справедливо следующее представление интеграла In асимптотическим рядом;

ОС

ь ~ N”т ехр (_ тЛ° t1 + Е Q"N"1 ’ (2-5*7) где

Qn = у= J qn {t) exp (- i2/2) dt (2,5.8)

и функции qn (t), представляющие собой полиномы, являются коэффициентами разложения в ряд по степеням № — = (oW)-1 четной функции

со ((, h) = -j^- s (<Л) ехр |^^- [a (th) — т — o2Z%2/2]| =

= 1 +^^(0^. (2.5.9)

71=1

Доказательство. Интеграл In разбиваем на две части, обозначая е = N-1^,

НКее<|С]<я

Второе слагаемое оцениваем, используя оговоренные выше свойства 1) —3) функций s (t) и w (t) и тот факт, что функция х ехр (—х) монотонно убывает на полуоси ж > 1. Для достаточно больших N имеем (с, с', с" — постоянные)

я

In < с § w (t) ехр (— Nu) ^t)) dt <

<С лею (е) ехр (— Nw (е)) < с' ехр (— Nw (s)).

1

Поскольку w (е) = т + — о2е2 -|- о (е4), то

In \ с" ехр (— тМ1- a2WV3) .

Следовательно, эта часть интеграла In составляет бесконечно малую величину при N —> оо по сравнению с любым слагаемым асимптотического разложения (2.5.7).

В первом слагаемом, после того, как мы преобразуем его к виду

— —е//>

, /V 2Г

In = —2лс— еХР ^— T^ \ 6-</2со (^> ^) ^’

'—е/Л

производится разложение функции co (t, h) в асимптотический ряд (2.5.9) по степеням К4 и последующее почленное интегрирование. После чего дополнительно проверяется, что увеличение области интегрирования в интег-

Действительно, согласно (2.3.3) для а)> 1 и i> О

g (ж, а, Р) = xr1-» g (х-а, 1/а, Р'),(2.5.5)

где р' = -1 + а (1 + р (а - 2)/а) = 1 — (2 — а)(1 + р).

Для правой части (2.5.5) мы имеем асимптотическое разложение (2.5.1). Отсюда и получается (2.5.4).

В свою очередь, из (2.5.4) находим, что в случае а > 1, р У= 1 и при х —> оо

1 - С (х, а, Р) - 1У /AL sin А^(2 - а) (1 +Р) Х-. к=1

(Это устанавливается с помощью того же правила Лопи- таля.)

Анализ асимптотического поведения устойчивого распределения при х —> 0 в случае а <^ 1, Р = 1 и при z - > оо в случае а = 1, Р = —1 опирается на хорошо известный метод Лапласа асимптотического представления интегралов. То утверждение, которое мы возьмем за основу анализа, представляет собой один из наиболее простых вариантов теорем подобного рода. Познакомиться с ними можно, например, по обстоятельной монографии [30].

Рассмотрим четные, аналитические на интервале (—л,л) функции s (<) и w (t^ в отношении которых дополнительно предполагается, что

и) ^ строго монотонна на интервале (0, л),

р, = s (0) > 0, т = w (0) > 0, о2 = w" (0) > 0,

8 (Z) = О (id (Z)) при t —> л.

помощью этих функций образуем интеграл

(2.5.6)(2.5.6)Л

(2.5.6)

(2.5.6)

In = -^- \ $ (t) exp {— Nw (Z)} dt,

—Л

существующий, очевидно, при каждом А 2> 0.

Лемма2.5.1. IIpuN —> оо справедливо следующее представление интеграла In асимптотическим рядом:

1<х

ь ~ N"2 ехр (~ tN) t1+Е QJH * (2-5-7>

П=1 где

Qn =qn (^ exp (- f2/2) dt (2,5.8)

у 2Л <j

и функции qn t^, представляющие собой полиномы, являются коэффициентами разложения в ряд по степеням h2 ;= = ^o2NY^ четной функции

ю (7, ^) = ^~ 5 № ехР {5^5” Vw W — т — oW2/2]j =

= ХА-^<1п№п. (2-5.9) 71^1

Доказательство. Интеграл IN разбиваем на две части, обозначая е = /V-1^,

^^ = ^- ) +^Г j =In+In-|i|<eе<|<|<я

Второе слагаемое оцениваем, используя оговоренные выше свойства 1) —3) функций s (7) и w (7) и тот факт, что функция х ехр (—х^ монотонно убывает на полуоси а: > 1. Для достаточно больших N имеем (с, с', с" — постоянные) л

Ipr^ c^u?(t) ехр (— Mw(f)) dt<

< лею (е) ехр (— Nw (е)) < с' ехр (— Nw (s)).

Поскольку w (е) = т + — о2е2 + о (в4), то

In < с" ехр ^— tN|- сг^1/3^ .

Следовательно, эта часть интеграла In составляет бесконечно малую величину при N —> оо по сравнению с любым слагаемым асимптотического разложения (2.5.7).

В первом слагаемом, после того, как мы преобразуем его к виду

— —e/h

, Л' 2Г

In — " ~2лс—ехр (—тА^) \ e'^^to^t, h^dt,

-ч/h

производится разложение функции и (i, Л) в асимптотический ряд (2.5.9) по степеням h2 и последующее почленное интегрирование. После чего дополнительно проверяется, что увеличение области интегрирования в интег-

ралахралахe/h

ралах

ралах

9» W exp (— -^ dt

—e/h

до интегрирования по всей вещественной прямой дает в каждом из них изменение, не превосходящее величины О (exp (-№•)).

Рассмотрим случай а <^ 1, 0 = 1, z —> О и а ^ 1, 0 = —1, л: —> оо. Оказывается, что теорема 2.2.3 и замечание 1 к ней дают возможность записать функции g (ж, а, 0) и G (х, а, 0) в виде интеграла (2.5.6). Обозначим

а

5 = ?(х, а) =5 = ?(х, а) =11 — а | (х/а)0-1 , если а =^= 1,

5 = ?(х, а) =

5 = ?(х, а) =

w = го (ф, а) =w = го (ф, а) =аsin а<р \ а-1 sin (1 — а) <рasinq) /(1—a) sin <р ’аsin а<р \ а-1 sin (1 — а) <рasinq) /(1—a) sin <р ’если а < 1,если а < 1,sin <рsin <рexp (1 — <р ctg ф).exp (1 — <р ctg ф).если, а = 1если, а = 1ехр (т — 1), если а = 1,

w = го (ф, а) =

w = го (ф, а) =

а

sin а<р \ а-1 sin (1 — а) <р

asinq) /(1—a) sin <р ’

а

sin а<р \ а-1 sin (1 — а) <р

asinq) /(1—a) sin <р ’

если а < 1,

если а < 1,

sin <р

sin <р

exp (1 — <р ctg ф).

exp (1 — <р ctg ф).

если, а = 1

если, а = 1

(в случае а > 1 функция w = w (ф, а) определяется с помощью функции го, определенной для а < 1, путем замены а на 1/а),

v - v (а) ’=v - v (а) ’=1,1,если а ^= 1, если а = 1.если а ^= 1, если а = 1.

v - v (а) ’=

v - v (а) ’=

1,

1,

если а ^= 1, если а = 1.

если а ^= 1, если а = 1.

Нетрудно убедиться, что с помощью этих обозначений равенства (2.2.18) и (2.2.19) в случаях a < 1, 0 = 1 и a = 1, 0 = —1 можно свести в одно

л

g(x,a, 0)=-^-|Va ^’ w exp (— lw) dtp. (2.5.10)

—л

То, что эта формула остается верной и в случае a > 1, довольно просто проверяется, если воспользоваться соотношением двойственности (2.3.3) и следующими свойствами функции ^:

если a > 1, то для любых х > 0

Ца"“ -^^^'.гй,

1

v $“ (я"“’ Ч") з^14^ = v (а) ? “ (г, а).

Аналогично с помощью равенств (2.2.27), (2.2.28) и соотношения двойственности (2.3.1) записываются в единообразной форме функции распределения в случаях а<1, Р = 1 иа>1, р = —1. Именно,

12л12лЛехр (— ^ы-) йф—ЛЛехр (— ^ы-) йф—Л(С(ж,а, 1),11 — G (ж, а,(С(ж,а, 1),11 — G (ж, а,если а < 1,если а < 1,— 1), если а ^г= 1.— 1), если а ^г= 1.

1

2л

1

2л

Л

ехр (— ^ы-) йф

—Л

Л

ехр (— ^ы-) йф

—Л

(С(ж,а, 1),

11 — G (ж, а,

(С(ж,а, 1),

11 — G (ж, а,

если а < 1,

если а < 1,

— 1), если а ^г= 1.

— 1), если а ^г= 1.

В целях удобства изложения дальнейшегоВ целях удобства изложения дальнейшего(2.5.11)(2.5.11)материаламатериала

В целях удобства изложения дальнейшего

В целях удобства изложения дальнейшего

(2.5.11)

(2.5.11)

материала

материала

введем величину а*, полагаявведем величину а*, полагаяесли а < 1, если а > 1.если а < 1, если а > 1.(2.5.12)(2.5.12)

введем величину а*, полагая

введем величину а*, полагая

если а < 1, если а > 1.

если а < 1, если а > 1.

(2.5.12)

(2.5.12)

Функция £ (ж, а) -^ оо, если а < 1, р = 1 и z ^ 0 или же а > 1, р = —1 nz-^oo, а функция w (ф, а), что непосредственно видно из ее определения, является четной аналитической функцией на интервале (—л, л), для которой

т = w (0, а) = 1, о2 = ш"(0, а) = а* > 0.

Поскольку функция w (ф, а) только множителем отличается от функции а (ф), использовавшейся в равенстве (2.2.35), то из леммы 2.7.5 следует строгая монотонность ш на интервале (0, л).

Это означает, что функция ш удовлетворяет условиям 1), 2), используемым в лемме 2.5.1. То, что условие 3) также выполнено — очевидно, поскольку в (2.5.10) и (2.5.11) на роль функции s (t) выбирается или w (f, а) или же функция s (t) = 1 ^ w (t, а). Таким образом, мы вправе применить к интегралам (2.5.10) и (2.5.11) лемму 2.5.1. Для окончательного оформления интересующих нас асимптотических разложений детализируем разложение (2.5.9), от которого зависит вид коэффициентов Q^ в (2.5.7).

Выпишем предварительно разложение в степенной ряд функции log ш (ф, а) в случае а ^1, воспользовавшись известными разложениями функций log (sin х/х) и х ctg х (см. по этому поводу [22], 1.411, 1.518). Имеем

log w (ф, а) = 2 ап (а) ф2”» (2.5.13) п=1

где

а“ ^ = 2л (2л)!

[а (1 — а2П)

1 —а

1_(1—а)2»]

— полиномы степени (2га — 1) со свободным членом, равным нулю (2?п — числа Бернулли). Отсюда с помощью формулы Бруно получаем, что в случае а ^ 1

ю(ф,а) = 1 + а -^- + У, fen (а) ф2",(2.5.14)

П 2

где Ьп (а) = А- Сп (1! аъ 2; а2,..., ”! а») и С„ (уъ ..., у„)’= V1 / п- / У1 V1*( ^п Vм . 1 I 9Z. I । I

— и, /с ^ о} — так называемые полиномы Белла (см. |77|). Легко видеть, что Ьп (а) являются полиномами степени 2га — 1 со свободными членами, равными нулю.

Из (2.5.14) следует, что в случае а ^ 1

w (ф, а) = 1 + а* -^- + У 6П (а*) ф2П,

где bn (а*) — рациональная функция а.

Таким образом, если $ (ф) = w (ф) = w (ф, а), то разложение (2.5.9) имеет вид

со (ф, 0 =

= exp|]ogw(ф^,a) —-^^- ^гл(ф^.а) — 1 —-^ф^2]| =

= ехр^У1с?п(ф,а) Z2") = l + ^^„(ф.а)/2", (2.5.15)

П—-1п=1

где

dn (ф, а) = («п (а*) — -^— lw (а*)) ф2'1

и

9п (ф,«) = ^- Сп (Il dn 2i d2,..., ral d„)

являются полиномами степени 2 (га + 1) по переменному ф и полиномами степени 2га по переменному а*.

Если же s (<р) =е 1 и w (ф) = w (ф, а), то м (ф, /) = ехр |—^ [гл (ф^, а) — 1 — а#ф2<2/2]| =

= 1 +£9п(ф,аИ2П. (2.5.16)

П=1

где Яп (ф, а) получается из gn (ф, а), если в (2.5.15) положить ti1 = ti2 = .--=0. Тем самым, уп(ф, а) являются полиномами степени 2п по переменному а*.

Теорема 2.5.3. Пустъа < 1, 0 = 1 и х —» 0 или же а ^ 1, 0 = —1 и х —> сю. Тогда g(x,a,^~ '

~ _^^№ ехр (- Ю (1 + £ Qn М №") • (2-5.17)

Коэффициенты Q7l задаются равенством (2.5.8) с функциями qn из разложения (2.5.15) и представляют собой полиномы степени 2п относительно переменного а*.

Доказательство теоремы сводится к применению леммы 2.5.1 к интегральному выражению плотности (2.5.10). При этом, понятно, надо учитывать информацию, содержащуюся в разложении (2.5.15).

Замечание. В формулировке теоремы величина £ (х, а) использовалась как для получения компактной записи, так и для демонстрации единой формы асимптотического разложения в довольно сильно различающихся ситуациях. Для удобства использования (2.5.17) выпишем его главный член2-12:

в случае а =/= 1

2-аа

_^^(2-а)/2ае-6 =(^^^ ехр Г | 1 _ а | Ш 1

V2лаV 2ла | 1 — а |I1 \ «. / J

(2.5.18) в случае а = 1

^-ауаа^ = _1ехр — e”-i). (2.5.19)

угла/гл \ 2/

Если теперь за отправной пункт взять представление (2.5.11) функций распределения рассматриваемых устойчивых законов, то лемма 2.5.1 вместе с разложением (2.5.16) приведет нас к следующему утверждению.

Теорема 2.5.3. Пусть а < 1, Р = 1 и х —> 0 или же а > 1, р = — 1 и х—> сю. Тогда асимптотическое разложение функции G (х, а, Р) в случае а </ 1 и функции 1 — G (х, а, Р) в случае а 2> 1 имеет следующий, вид*.

-т!=-е^ (1 + У Ш ЫуЛ ,(2.5.20)

V 2лаЕ, X1

где полиномы Qn степени 2п задаются равенством (2.5.8), в котором функции qn (<р, а) определяются разложением (2.5.16).

Главный член (2.5.20), если вместо функции £ (ж, а) подставить ее выражение, преобразуется следующим образом:

если а ^ 1, то

= (^^ ехр ] №^ V2ла£ V 2ла 11 — а |

(2.5.21)

если а = 1, то

= —L^exp^-^-^A (2.5.22) /2ло£/2л г \•

- Замечание 1. Асимптотическое разложение (2.5.20) можно дифференцировать по х. Г[ри этом мы получим сначала (2.5.17), а затем и асимптотические разложения производных плотности (с соответствующим изменением знака). Допустимость такой формальной процедуры следует из вида представления (2.5. Ц), которое при дифференцировании продолжает оставаться интегралом типа IN из леммы 2.5.1. Полезно иметь в виду, дифференцируя (2.5.20), что

-§-= —6 (®)v(“)^

Таким путем нетрудно установить связь между полиномами Qn и Qn. Поскольку вид полиномов не меняется, каково бы ни было 0 <^ а ^ 2, то, не уменьшая общности,

можно считать а < 1. Имеем, дифференцируя (2.5.20),

G'^a,!)-—-^g ’^{^Л^НГЧ-

1 +тИ(1 + 2_Л«П)}=

п^1

= -^ ^№е^ {1 + £ (& + -^ (2п + 1) Q^ №"}

Отсюда следует, что

Qu (а) = -т (2п + 1) <Vi (а) + Qu (а).

Непосредственное вычисление полиномов в Qn осуществляется несколько легче, чем Q^ и поэтому рекуррентная связь между ними оказывается полезной. Например, подсчет показывает, что (Л (а) 24"(2 + 7а + 2аа). Отсюда,

принимая во внимание, что Qo = 1, имеем (\ (а) = = -^-(2-29а + 2аа). '

Замечание 2. Явное выражение полиномов ап показывает, что они имеют рациональные коэффициенты. Механизм образования полиномов fcn, Qn и Qn сохраняет для них это свойство. Интересно отметить, что полиномы an, bn, Qn и Qn имеют симметричные коэффициенты. Действительно, простые преобразования показывают, что в достаточно малой окрестности нуля

to (<р, 1/а) = to (<р/а, а), 0 < а ^ 2.

Разлагая обе части этого равенства в ряд по степеням <р, получим, что

Ь„ (1/«) = а-2« Ъи (а), а разлагая в ряд логарифмы обеих частей, получим

а-п (1/“) = а'2Х (а).

Следовательно, тем же свойством обладают и образуемые с их помощью полиномы Qw Qu- Н° это означает, что все эти полиномы имеют симметричные коэффициенты.

Последний из рассматриваемых случаев, а = 1, 0 =/= ^= —1, весьма своеобразен.

Теорема 8.5.4. Если а = 1,О<0<1, то при х ->

—» ОО ния:—» ОО ния:справедливы следующие асимптотические разложе-

—» ОО ния:

—» ОО ния:

g^x, tP) — -^ V -^-Рп (log х) х~п *,(2.5.23)

П=1

где Рп (у) = ^ гыу и

Z—О

71'

т^=Е (У (У (~1),п"' г(,,"°(1+и) х

х г ^ (1 + Р))”"" sin ^- (п - ту,

1 - G (х, 1, 0) ~ А- £ ^ Р* (log х) х^,(2.5.24)

'71—1

где Р* (у1) = У, т*пу1 и коэффициенты т*п отличаются от z=o■.

rZn только тем, что входящие в них производные функции Г в точке 1 + п заменяются на те же производные в точке п.

Доказательство. С помощью равенства (2.2.9) плотность g (х, 1, 0) в случае 0 )> 0, х > 0 можно записать в виде

g(x, 1,0) =

^^Im $ехР {~ ы + 4- |_Р10^(т-) +^(! + Р)]} dM = О

N—1_ оо

= -4" У\ —г-1™ е~“ I Р l°g +

п=0о

+ i 4" (1 + Р)] иП du + Rn-

Принимая во внимание, что для любых комплексных z справедливо неравенство

нетрудно проверить, что при а: —> оо | Rn | = О (ж-<л’+> (log 2)^).

Поэтому доказательство (2.5.24) сводится к преобразованию слагаемых конечной суммы в записи плотности. Имеем

Im J е^ ^Р kg ^V^ (1 + Р)]"“" du = .0

- £ (") $ (р '«г Ш)‘ Нг (*+pF-^ -г <" - z>л" d“- z=o о

Дальнейшее несложное преобразование этой суммы с

учетом того, что

J e^zz” (log zz)™ du = Г»") (1 + n) о

приводит нас к выводу, что она представляет собой полином Pn (log ж) указанного в формулировке теоремы вида.

Доказательство (2.5.24) проводится дословно так же. При этом исходным является интегральное представление 1 — G (х, 1, 0) из следствия 1 теоремы 2.2.1.

Теорема 3.5.5. Если а = 1 и — 1 <^ 0 ^ 1, то при х —> оо справедливы следующие асимптотические разложения 2ЛЗ:

g (х + 0 log х, 1,0)i- ^ d^x-^,(2.5.25)

n=l

где

X pn-2m-ip(n-2m-l) (n -J- 1);

заменяется на х + 0 log х, имеем

g (а: + 0 log ж, 1,0) =-^ Re / =

(^- - ф log tydt. (2.5.27)(^- - ф log tydt. (2.5.27)

(^- - ф log tydt. (2.5.27)

(^- - ф log tydt. (2.5.27)

Заменим интегрирование по полуоси Z > 0 в этом интеграле интегрированием по контуру L — LiU L^ в комплексной плоскости z = о + i|, где

Lx = {z: о = 0, 0 ^ 5 < х}, L2 = {z: о ^ О, 5 = х).

Обоснование допустимости такой замены элементарно, и мы его приводить не будем. Интеграл 7, стоящий в (2.5.27) под знаком вещественной части, запишем в виде суммы интегралов 1г + 72, из которых первый берется по контуру Ьл, а второй — по контуру L2. После замены переменного t = i^ в интеграле 7, получаем

Ь = i J exp |-g—L [^(l + р) + Эloggl}^ = О

хN—1_п х

= i ( ехр(- 5--1- Q\d^=i V -И- ( e^Qndl + RN.

О71^0о

Поскольку при любых 5 > О

I <2 К U" + I log g |), | Re Q I < 5 I log 5 I,

то для любых 1У>1иО<^^ж справедлива оценка

|ир(_ле)_£^(_Х)>| п=>э

4- (44 Г ехр (4" ।Re ^ 0 < (4^)^тах & ^)

и вытекающая из нее оценка

। й« к еЧ (-^Г max (^ u) ^ < ^N»

о

где с — числовая постоянная. Далее, положим ln=i^e^QndS,= о пОО

=1 £ & (iJ^(1+р)) SсЧ (р log ^г‘ ^= Л=оо

п

=£ С) ^+1 (^- (1 + Р))* Р”-т^> (п +1).

Элементарный подсчет показывает, что при х —> оо

X

i e-fc Qnd^ = ln + O ^ log" х exp (— ж)), о

Следовательно, при х —> сю имеем

Re 11=£ 4?Re г» (—Н+0 и- (2-5-28)

71—0

Оценим второй интеграл. Поскольку

^2 = exp (iz1- ^ф log z)) dz =

= exp {— x + Ic1+2£_ ^Ф log (o + ia:)^| da =

0

= xe"x exp pzo — (o + i) ^ф log [(о ф i) t])| da.

TO

з-1-Ре-х exp |^- о — p (log о + о arg (о + z))| do.

о

(2.5.29)

Собирая оценки (2.5.28) и (2.5.29), мы получаем, что при х —» оо справедливо следующее представление, како-

во бы ни было фиксированное целое N > 1:

7V-1^ A Ry 1п (- А)” + о (^), (2.5.30)7V-1^ A Ry 1п (- А)” + о (^), (2.5.30)£(ж + 01о&ж, 1,0) =

7V-1

^ A Ry 1п (- А)” + о (^), (2.5.30)

7V-1

^ A Ry 1п (- А)” + о (^), (2.5.30)

1 'ля ,

после чего остается только проверить, что (—1)” Re 1п =дп.

Асимптотическое разложение (2.5.26) получается как следствие (2.5.25). Действительно, поскольку

— G (ж 4-Р log ж, 1,0) = ^ (1 + -£-) g(w + 01og и, 1,0) tZw,

'(2.5.31)

то, подставляя в (2.5.31) выражение плотности (2.5.30), мы получим после соответствующего преобразования разложение (2.5.26).

Замечание. Случай 0 = —1 формально можно было бы включить в*формулировку теоремы, поскольку все рассуждения остаются в силе. Однако в этом случае все dn = 0, и содержательный смысл утверждения теоремы сводится к тому, что функции g (ж — log х, 1, —1) и 1 — G (ж — log ж, 1, —1) убывают быстрее любой степенной функции.

Еще один тип асимптотических разложений устойчивых распределений, родственных разложениям (2.5.25). (2.5.26), получается с помощью теорем 2.2.2 и 2.3.2.

Теорема 2.5.(>. При ж -^ оо справедлива следующие асимптотические разложения (р = 0 1g -^- а) :

Если а <^ 1, то для любых допустимых 0

gA (х + рж1*", а, 0)^- У, Ап (а, 0) ж-“"-1, (2.5.32)

П=1

где

Ап (а, 0) =

= Im Г - Г(^ + п-* + 1).лп-^-^Т K,f

Г (Л-|- 1) Г pi — k 4- 1) 1 w

1 — Ga (я + ца-1-", «, Р) —

2- У-^г Мп (а, Р) + (1 - аМы(а, РЖ™, (2.5.33) п=1

где А 0 = 0 и Ап, и > 1, — те же, что и в (2.5.32). 2. Если а = 1 и Р Ф 0, то

gA ^ + ^ Р 10g ^ Л, !Р) ~ 4" £ ^п^1’ С2'5*34) п=1

где

Dn —

- L г^+Тг^'+о-<4+1 ₽ d* (-4-1 ₽ 0 ^ 1 ^

1 - Ga (х + 4 Р log х, 1, р) ~ -2- У-2- (Dn + -L РЛ^) х^, п=1..

(2.5.35)

где Do = 0 и Dn, п ^ 1,— те же, что и в (2.5.34).

Доказательство (2.5.32) и (2.5.34) проводится разложением в асимптотический ряд подынтегральных выражений соответствующих представлений плотности (2.2.12) и (2.2.13). Асимптотические разложения (2.5.33) и (2.5.35) получаются из последних умножением первого *2_ \

1 + — Рх 11 и интегрированием в пределах от ж до оо. Вычисление вида коэффициентов Ап (а, Р) и D^, участвующих в этих разложениях, носят элементарный характер и мы их приводить не будем.

Еще одно разложение, однако уже не на бесконечности, а в окрестности нуля, получается с помощью равенства (2.3.6) и (2.5.32). Условимся использовать обозначения теоремы 2.3.2 (а' = 1/а, у = х + р/я1"01', р' = Р' tg-^-a' и т. д.).

Теорема *4.5.7. Если а^> 1, то для любых допустимых Р имеют место следующие асимптотические разложения

при ж —> оо:■

Ky-WgA ^КуЧ», а, Р) ~ А ^ лп (а, РЭ эг^, (2.5.36)

Ga (0, а, р) - Ga (Ку-Ч«, а, р) ~

~ ^ Е м"(а'*р,)+(1 -а,) ^'^ (а; р,)1 ж"п/а* 71=1

где Лп (а, Р) — те же величины, что и в (2.5.33).

Доказательство этих соотношений носит характер непосредственного сравнения (2.3.6) и разложений (2.5.33), (2.5.35).'

Интегральные преобразованияустойчивых распределений

Сведениями о свойствах распределений семейства ®, которые были собраны в предшествующих разделах настоящей главы, мы прежде всего обязаны тому, что характеристические функции этих распределений имеют простой вид. Так что явная форма записи преобразований Фурье плотностей устойчивых законов в какой-то степени смогла компенсировать нам отсутствие явных выражений самих плотностей. Вместе с тем, преобразование Фурье — всего лишь одно из многочисленных интегральных преобразований, известных в теории функций. И естественно ожидать, что каждое интегральное преобразование плотностей устойчивых распределений (или каких-либо связанных с ними функций), которое удастся получить в достаточно простой форме, может стать источником содержательной информации об их свойствах (см. гл. 3).

Материал настоящего раздела делится на две части. Одна часть содержит несколько доказываемых утверждений. Ей предшествует другая часть, несущая основную идею алгоритма, упрощающего в ряде случаев аналитические вычисления. Желание выделить этот алгоритм в чистом виде послужило причиной того, почему связанные с ним рассуждения носят формальный характер и в каждом конкретном случае требует дополнительного уточнения и обоснования. (Например, в каком смысле сходится интеграл, определяющий интегральное’преобразование, или каковы условия, допускающие изменение порядка интегрирования и т. п.)

Обозначим через D некоторое подмножество вещественной оси R, через / — подмножество комплексной плоскости С и через / (ж), h (а, ж) — функции с областью определения D и I х D соответственно. Рассмотрим интеграл

(W)(s) = § ^(S,Ж)/(ж)t/ж, sei, (2.6.1) о

в котором множества D, I и функция h, называемая ядром интегрального преобразования St, фиксированы, а /, выбираемая из некоторого множества $, представляет собой функциональную переменную. На роль ядра h выбирается такая функция, которая позволяет восстанавливать функции / е ^ в области их определения D по соответствующим трансформациям (^/)(а), рассматриваемым в области / ).

Приведем несколько примеров из числа хорошо известных интегральных преобразований, с которыми мы имели или будем иметь дело.

Преобразование Фурье ^St = S"^ соответствует в записи (2.6.1) ядру h (а, ж) = exp (/аж) и множествам D = I = R.

Двустороннее преобразование Лапласа (St = ^ связано с ядром вида h (а, ж) = exp (—аж) и с множествами D = R, I = {z: —сх^ Re z ^ с2}, где сп с2 — некоторые неотрицательные числа. Можно сказать, что это преобразование является родственным преобразованием ^, как это видно из связывающего их соотношения

■ (^(-is) = (Я)(*), seR.

Одностороннее преобразование Лапласа (St = Ж). Ему соответствует ядро h (а, ж) = ехр (—аж) и множества D = R+ = [0, оо), / — {z:—Ci ^ Re z ^ с2), где си с2 — некоторые неотрицательные числа. Очевидно, что (^f) (а)= = (Ж/) (а) на множестве функций /, равных нулю на полуоси ж <( 0.

Преобразование Меллина (St ^ J^Y Множества D и I здесь того же вида, что и в одностороннем преобразовании Лапласа, а ядро имеет вид h (а, ж) = ж8.

В отличие от принятого для преобразования Меллина ядра ж8-1 (см. [851) мы используем ядро ж8. Это несущест-

-венное изменение продиктовано желанием упростить запись аналитических выражений преобразований (Л/g) (з) плотностей устойчивых законов. Можно было бы оставить традиционный выбор ядра, но рассматривать при этом преобразования функций xg.

К этим известным преобразованиям мы добавим еще одно, которое пока что находило себе применение лишь в теории вероятностей и вероятностной теории чисел.

Характеристическое преобразование (5^ = W^ имеет в качестве ядра функцию Цз, х^ принимающую значения из множества диагональных матриц второго порядка

где hk (з, ж) = | х Г (sign ж)й, к = 0, 1 и 0ю = 0 при любых комплексных з, а множества D = R, I = {z: —сг ^ ^ Re z ^ с2}, где съ с2 — неотрицательные числа.

Если функция / в равенстве (2.6.1) записывается в виде интеграла

/ (ж) = h* (ж, и) f* (м) du, xeD, (2.6.2) De

то преобразование (3£^ (s) получает выражение в форме двойного интеграла. С подобной ситуацией приходится сталкиваться, рассматривая интегральные преобразования функций вида

/ (ж) = Z (ж) g (г (ж), а, р, у, X).

Отдельные случаи представлений такого типа функций интегралами мы наблюдали в равенствах (2.2.8) — (2.2.10), (2.2.12), (2.2.13), (2.2.17) и (2.3.14).

В тех случаях, когда интеграл § h (з, ж) к* (ж, u) dx D

удается вычислить в явном виде, рассматривая его как интегральное преобразование с ядром к или ядром к*, исходное преобразование (^/)(з) получает упрощенное представление однократными интегралами.

Приведем несколько формальных равенств, которые могут служить отправной точкой в указанном направлении для поиска явных или упрощенных выражений преобразований ЭС функций вида

/ (ж) = Z (ж) g (г (ж), а, р, у, X).

Пусть D = R и I = R. Используя формулы обращения (2.2.1а) и (2.2.1b) для записи плотности g (х, а, 0), находим для функций вида / (х) = lg = I (ж) g (х, а, 0), что

(ЭД = 4-Re $ 9 (t, а, ^lh,y— t) dt. (2.6.3) 0

Представления (2.2.8), (2.2.10) плотностей g (x, а, 0) также могут быть использованы, однако при некоторых значениях 0 они оказываются неудобными для наших целей (заведомо возникают сложности при обосновании изменения порядка интегрирования) и поэтому требуют предварительного изменения. Модификации равенств получаются поворотом контура интегрирования в (2.2.8) на угол лр/2 и в (2.2.10) на — лр/2. Во всех случаях ос =/= 1 новый вариант записи плотности g (х, а, 0) выглядит одинаково (однако в случае а < 1 все же предполагается, что ж ^ 0):

g(ж,a, 0) =

= -^- Im ^ exp (— жие*яР/2 — иае 2 + ■ ‘^^ du. (2.6.4) о

Отсюда при D — R+ получаем следующую формулу для преобразования 36 функции / (ж) = I (ж)g (ж, а, 0), а^1:

№)(s) =

1.

= — Im \ ехр (— u«e-i?tpa/2 -|- глр/2)(Ж№)(пегяр/2) du. (2.6.5) о'-

Если же а = 1 и 0 > 0, то для получения аналогичной формулы следует воспользоваться представлением (2.2.9) плотности g (ж, 1, 0), и мы получаем

№»=

= -i- ехр(— 0u log u) sin ^-^-(1 + 0) и^(Ж№)(и) du. (2.6.6)

О

В случае D = R, а = 1, 0 > 0 то же представление плотности приводит к формуле №^ =

~~ ^ ехр(—pu log u)sin [-zr(l + Р) u^(uTlh)(u) du.

^вЛ)

Рассмотрим случай D = R+ и функции / (ж) = = I (x)g(x, а, Р) с плотностями g из класса $9. Используя выражение (2.2.18) плотности и обозначая

w (s, х) = Z (х,-1/а) h (s, х1-1/а), получим

г (х) специальногог (х) специального(^Zg)(s) = -rVTa (<Р- 6№^Ua to.е)) ^ (2-6-) е

г (х) специального

г (х) специального

В случае сложного аргумента вида

г(ж) =г(ж) =Х^/а _|_ xl-1/sp.tg ЛК а,X-1|- Р log X,Х^/а _|_ xl-1/sp.tg ЛК а,X-1|- Р log X,если а < 1,если а < 1,если <z = 1,если <z = 1,

г(ж) =

г(ж) =

Х^/а _|_ xl-1/sp.tg ЛК а,

X-1|- Р log X,

Х^/а _|_ xl-1/sp.tg ЛК а,

X-1|- Р log X,

если а < 1,

если а < 1,

если <z = 1,

если <z = 1,

представления (2.2.12), (2.2.13) для lgA =1 (х) gA (г (х), а, Р) приводят в случае преобразования Ж с множеством D = R+ к следующей формуле (а <^ 1, р > 0):

№№ = 4" Im J е-" <X,x^4h^7") du, (2.6.9) о

где

Т<и^Т<и^— Uuy — up tg -^ а [(— iu^-1 — 1],“ I-^-Plog“—Ц1+Р)] ,— Uuy — up tg -^ а [(— iu^-1 — 1],“ I-^-Plog“—Ц1+Р)] ,еслиеслиеслиеслиа <^ 1,а = 1.а <^ 1,а = 1.

Т<и^

Т<и^

— Uuy — up tg -^ а [(— iu^-1 — 1],“ I-^-Plog“—Ц1+Р)] ,

— Uuy — up tg -^ а [(— iu^-1 — 1],“ I-^-Plog“—Ц1+Р)] ,

если

если

если

если

а <^ 1,

а = 1.

а <^ 1,

а = 1.

направлении сделано еще очень мало, и тематика интегральных преобразований устойчивых распределений еще ждет своих энтузиастов.

Хотя в формулах (2.6.5) — (2.6.9) переменная s, в конечном счете, выбирается из того или другого множества комплексной плоскости, первоначальные вычисления следует проводить в предположении, что s — вещественное, и лишь по нахождении явного вида преобразования или его упрощенного выражения переходить к комплексным значениям s.

Форма записи преобразования 3€ функций / = 1g может существенно зависеть от того, какое представление плотности используется. Не желая чрезмерно увеличивать объем настоящего раздела, мы не будем рассматривать все возможные варианты формул интегральных преобразований (Ь) — (d), которые получаются, если использовать представления плотности, приводившиеся в разделе

а отдадим предпочтение только тем из них, которые приводят к наиболее простым, на наш взгляд, выражениям. Вид преобразований Фурье устойчивых законов (т. е. характеристических функций) известен, поэтому мы начнем с двустороннего преобразования Лапласа.

Для плотности g = g (х, а, 0, у, X) (с системой параметров в форме (5)) обозначим

Л (s, а, 0, у, X) = (^g) (s).

Из асимптотических формул (2.4.8) и (2.5.4) видно, что в случае 0 ^ ±1 плотность g (х, а, 0, у, X) имеет степенной характер убывания при х —> оо и при х —> —оо. Следовательно, двустороннее преобразование Лапласа плотности g существует лишь при s = —it, t G R, т. e. только тогда, когда оно совпадает с характеристической функцией, соответствующей этой плотности. По той же причине оно не существует в полуплоскости Re s > О при 0 = —1. Преобразование Л в полуплоскости Re s <0 можно не рассматривать, ничего при этом не теряя, поскольку в соответствии со свойством 2.2

Л (s, а, 0, у, X) = Л (—s, а, —0, —у, X), т. е. достаточно ограничиться разбором случая

Re s > 0, 0 = 1.

Теорема 3.6.1. В полуплоскости] Re з> О справедливо следующее равенство214:

log Л (s, а, 1, у, X) = |log Л (s, а, 1, у, X) = |X (— sy — е (а) з“), если а ^ 1, Х(—sy +slogs), если а = 1.

log Л (s, а, 1, у, X) = |

log Л (s, а, 1, у, X) = |

(2.6.10)

Доказательство. Плотность g (ж, а, 1, у, X), как это видно из асимптотических формул (2.5.17) и замечания 3 к теореме 2.2.3, убывает при ж —> — оо быстрее ехр (еж) для любого с > 0. Поэтому преобразование Л существует для любых значений s из полуплоскости Re s ^ 0 и представляет в открытой ее части аналитическую функцию, непрерывную на ■ оси Re s = 0.

В рассматриваемом случае характеристической функции д ((, а, 1) в разделе 2.2 была придана особая форма (2.2.6), позволяющая без труда осуществить ее аналитическое продолжение с вещественной оси t в полуплоскость Im z > 0. Если в этом продолжении сделать замену переменного z = is, Re s > 0, то получим функцию Л (s, а, 1,у, X). Откуда и следует равенство (2.6.10).

Одностороннее преобразование Лапласа плотности g — g (ж, а, р, у, X), которое мы обозначим через

L (s, а, р, у, X) = ^g^ (s), L (з, а, Р) = L (s, а, Р, 0, 1), существует в полуплоскости Re з > 0 при любых допустимых значениях параметров. Достаточно рассматривать только случай Re з ^ 0, поскольку, в соответствии со свойством 2.2,

L (s, а, р, у, X) = L (—з, а, — р, —у, X).

Как уже говорилось выше, все формулы для функции L (з, а, Р, у, X) достаточно получать в предположении, что з > 0. Их распространение на случай комплексных s осуществляется аналитическим продолжением. Поскольку, согласно свойству;:

g (ж, а, р, у, X) = X-42g (Х-*/« (ж — Z), а, Р),

где I = уХ, если а^1и/ = уХ + рХ log X, если а = 1, то преобразование L можно записать в виде

L (s, а, р, у, X) = L (X1/" з, а, Р) +

охр (— 8Х1/аж) g (ж, а, Р) йх.

Упрощению доступны оба слагаемых, причем путь упрощения у них общий. Поэтому, избегая повторения, мы ограничимся разбором случая I — 0. Однако, по завершении этих рассуждений, все же приведем выражение преобразования L (s, а, р, у, X) в случае а ^ 1.

Теорема 3.6.3. Для любых s из полу плоскости Res ^ 0 справедливы следующие выражения односторонних преобразований Лапласа L (s, а, Р) стандартных устойчивых распределений 2Л5:

Если а т^ 1, то при любом допустимом Р -

L (s, а, Р) = — ( exp (— (su)“) —^и. (2.6.11)

' ’nJ г* и2 4- 2и cos пр + 1''

о‘

Если а = 1 и Р > 0, то

! рsin (1 + Р) и

■ L (s, 1, р) = — \ exp (— pu log и)——du..

.(2.6.12)

Если а = 1, то при любом допустимом Р

Ь(8,1,Р) =

1■ехр /—2

= — \ [s cos (ри log и) — и sin (ри log и)] 7 - du.

Л J1/ $2 J_ ц2

О

(2.6.13)

Доказательство. Пусть «тИ, подставим в преобразование (5?g)(s) модифицированное выражение плотности (2.6.4) и произведем изменение порядка интегрирования, что можно делать, поскольку двойной интеграл сходится абсолютно. Имеем

1— inpa

L(s,a, Р) = — Im \ ехр (— иае 2 + шр/2) dux о

рinp

X \ ехр (— 8х — хие 2 ) dx = о

= — Im \ ехр I—(ие 2 )а + ~^“ (s + ue 2 )-1du. о~

?"р + »| s -J- ие^ Р?"р + »| s -J- ие^ РПроизведем поворот контура интегрирования на угол — лр/2 и получим после замены переменного, что

?"р + »

| s -J- ие^ Р

?"р + »

| s -J- ие^ Р

L (s, а, Р) = -i- Im exp (— u“) о

Еще одна замена переменного и на su приводит нас к равенству (2.6.11).

В случае а = 1 рассуждения в основном остаются такими же. Различие сводится лишь к тому, какими выражениями плотности g (ж, 1, Р) мы пользуемся. Для получения (2.6.12) надо использовать равенство (2.2.9), а для получения (2.6.13) плотность берется в виде (2.2.1b).

По поводу теоремы 2.6.2 сделаем несколько замечаний.

Замечание 1. Рациональная функция под знаком интеграла (2.6.11), как показывает сравнение с (2.3.5а), равна ngc (х, 1, 6). Поскольку L (s, а, Р) = = Lc (s, а, 6), то равенству (2.6.11) мы можем придать следующую форму:

Lc (s, а, 6) = § ехр (— (us)“) gc (u, 1.6) du. (2.6.14) о

Если а < 1, то, согласно (2.2.6), (2.2.32), exp (—s®) = (56g (ж, а, l))(s) = L (s, а, 1).

Подстановка этого выражения в (2.6.14) дает

Lc (s, а, 6) = § ехр (— sup) gc (и, а, 1) go (u, 1,6) dudv = о о

= I ехр (— sv) dv ( gc (, а, 1) gc (и, 1,6).

оо

Сравнение левых и правых частей полученного равенства (как односторонних преобразований Лапласа) приводит к следующему соотношению между плотностями устойчивых законов для значений а < 1, ж > О 2Л6:

gc (х, а, 6) = J gc (-£-, а, 1) gc (и, 1,6)-^-. (2.6.15)

О

Замечание 2. Единственный случай, когда L (х, сс, Р, у. A), Re х > О, выражается в элементарных функциях, соответствует значениям а < 1, р = 1 и у = 0. Для таких значений параметров плотность g (ж, а, 1, у, А) = 0 на полуоси х <_ 0, т. е.

L (х, а, 1, у. А) = A (х, а, 1, у, А) = exp (—A (ух + х™)).

Замечание 3. Преобразование L (х, а, 1) в случае а )> 1 может быть выражено с помощью так называемых функций Миттаг-Леффлера (подробнее см. раздел 2.10).

Замечание 4. Преобразования L (х, а, р, у, А) с любыми допустимыми значениями параметров имеют интегральные выражения, аналогичные тем, которые были приведены в теореме 2.6.2. Например, в случае а > 1

е*лр14-ы<м>е*лр14-ы<м>du,du,L(x, а, р, у,А) =

е*лр14-ы<м>

е*лр14-ы<м>

du,

du,

= -^- Im ехр {— А [(хи)“ —- ху (не^ 4- 1)]} о

в случае а = 1, Р > 0

L(s, 1,р, у, А) =

= — \ ехр {— A (Pu log и — у (х + и) — хр log А]} х о

sin ~ А (1 + Р) и

Выражение L (х, а, р, у, А) в случае а < 1 оказывается точно таким же, как и в случае а > 1, если только у cos лр ^ 0. При у cos лр > 0 вид выражения L (х, а, р, у, А) меняется, однако различие со случаем а > 1сводится лишь к повороту контура интегрирования на угол со, такой, что у cos (лр — о) <^ 0.

Анализ преобразования (Ж/) (х) функций / (х) = = I (ж) gA (г (х), а, Р) осуществим по указанной методике с привлечением интегральных выражений (2.2.12) — (2.2.15) функций gA (г (ж), а, Р). Общего разбора таких преобразований мы приводить не будем, ограничившись двумя примерами, которые интересны сами по себе и являются хорошей иллюстрацией потенциальных возможностей метода в целом. Оба примера связаны с плотностями g U, 1, Р), Р > 0.

Рассмотрим на полуоси ат ^> 0 функцию / (а:) = х"1 gA (г (х), 1, Р), которая, согласно (2.2.13), имеет интегральное выражение

/ (а;) = — Im \ ехр (— и — хТ (и)) du,о

(функции г и Т — те же, что и в общей формуле (2.6.9)). Имеем

(2/)(s) =—Im^ ехр(—о о(2/)(s) =—Im^ ехр(—о оsx — и — хТ (и)) du,dx.sx — и — хТ (и)) du,dx.

(2/)(s) =—Im^ ехр(—о о

(2/)(s) =—Im^ ехр(—о о

sx — и — хТ (и)) du,dx.

sx — и — хТ (и)) du,dx.

22

Поскольку Re ?'(«)>— р + — Ри | log и |, то двойной

интеграл сходится абсолютно, и мы вправе менять порядок интегрирования. Следовательно,

е~юзг^А (аг1|- р log х, 1, рj dx =

= -^- Im e^du ехр {— (s + Г) х) du = о о

= — Im ( е~" л ”л J s + Т (и)

о

^ "Г ^ + P^ e'" I (s + "Г Р" 1о§ “V + t1 + Р)2“S]"1 vdu- 0

Во втором примере рассмотрим функцию

/ (а:) = x-1g (—Р log х, 1, Р), Р > 0,которая, согласно (2.2.19), записывается в видег

С7!(<Р,Р)ехр{— lUt^tp, Р)}йф, (2.6.16) -1

где

^i(v,P) = 2L11tiPLexp | -|-(<p + -l-)tg^-(p].

2 сон -л- <р

Используя равенство (2.6.9), получаем (изменение порядка интегрирования в рассматриваемом случае очевидно законно, поскольку все функции, стоящие под знаком двойного интеграла, неотрицательны)

(Ж/Х^) = e-^xr^g (— Р log х, 1, Р) dx = о 1оо

=^1 (ф» Р) ЙФ ехр <— (s + ^1 (ф» Р))ж^йж =

—1о

1

= ^- $ [1 + s/Ui (ф, Р)]-1 йф. (2.6.17)

Равенство (2.6.17) имеет одно интересное аналитическое следствие. Рассмотрим случай Р = 1. Согласно (2.5.17), функция g (—log х, 1, 1) при х —> оо убывает быстрее, чем ехр (—xleY Это означает, что преобразование (Ж/) (s) как функция s допускает аналитическое продолжение в полуплоскость Re s > — 1/е, т. е. оно является аналитической функцией в круге | s | < 1/е.

Разложим обе части (2.6.17) в ряды по степеням s и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях s. Это дает систему равенств (к = 0, 1, 2, ...)

ОС1

J ^-ig(- logX, l,l)dx = -L. J (/^(ф, 1) dtp, (2.6.18) о-1

которые при к ^ 1 носят нетривиальный характер. После замены переменного в интеграле, стоящем в левой части равенства, имеем

ОО"1

erkxg (х, 1,1) dx =-i- Щ16 (ф, 1) dtp, А =1,2,....

— оо—1

Левая часть этого равенства совпадает с Л (к, 1, 1) и, в соответствии с (2.6.10), равна ехр (к log к) = №. Следовательно, для любых целых значений к ^ 1

^7 к (1 + ф) tg -у <pj dtp = ^ кр

Рассмотрим преобразование Меллина плотности g = g (х, а, Р, у, ^). Обозначим

т (s, а, Р, -у, X) = p/g') (s).

Пусть 0 <( s <( 1, рассмотрим функцию

т (— s, а, р, у, X) = § x-®g (х, а, р, у, X) dx.о

Используя формулу обращения для плотности, находим, что

т (— s, а, Р, у, X) = -^- Rear’e-1^ (Z, а, р, у, X) dt =

о о

= -^- Re з (Z, а, р, у, X) dt x-*e~Uxdx = оо

=-^- Г (1 — s) Re ^ (jty-ig (t, а, р, у, X) dt. (2.6.19) о

Эти формальные преобразования интегралов требуют, конечно, обоснования, но мы их здесь приводить не будем. С одной стороны, они очень громоздки, а с другой, формула (2.6.19) далее не будет использоваться в столь общем виде. Значительно интересней оказывается решение той же задачи для устойчивых распределений из класса SB, поскольку в этом случае удается найти явное выражение функции т (s, а, р, у, Ху

Отметим несколько легко проверяемых фактов, которые понадобятся нам в ходе дальнейших рассуждений.

Преобразование т (s, а, р, у, X) конечно для любых s из полосы —1 <( Re s <( а (следствие конечности плотности g и| существования моментов порядка меньшего а).

В пределах класса SB

т (s, а, р, у, X) = Xslam (s, а, р, у, 1) =

= Х^тс (s, а, 6) = №атс ($, а, р),

(следствие свойства 2,2 и определения класса SB; р = = -л-(1 Н0^ — модификация параметра 0).

Если а ^4= 1, то

тс ($, а, р) = m (s, а, 0, 0, 1) = т (s, а, 0),

(см. связь систем параметризации (Б) и (С)).

Функция тс ($, а, р) непрерывна по совокупности параметров а, р в области их допустимых значений (этот факт отмечался во введении).

■ Теорема 8.6.3. Для любых строго устойчивых законов в полосе — 1 < Re s < а справедливо следующее равен- ство2Л7:

тс (s, а, Р)тс (s, а, Р)(2.6.20)(2.6.20)sin лр$а )

тс (s, а, Р)

тс (s, а, Р)

(2.6.20)

(2.6.20)

sin nsF(l-s) •

Доказательство. Пусть а ^ 1 и 0 имеет любое допустимое значение. Подставим в интегральное выражение функции т (s, а, 0) выражение плотности (2.6.4). Имеем для значений —1 < s 0

т (s, а, 0) = ^ x?g (ж, а, 0) dx = о

= — Im xadx ехр (—хие 2 —иае 2 + - ^ ) du. о о

Нетрудно проверить, что условия изменения порядка интегрирования здесь выполняются. Имеем

F— inpa ■

т (s, а, 0) = — Im \ ехр / — иае 2+ —^u х

0 ”inp

X \ ^ ехр(— хие 2 ) dx = о

°; inp_ глра ,

= Г (1 + s) — Im \ (ие 2 у* ехр (— и“е 2 ) -^-.

-о

Поворачиваем контур интегрирования в последнем интеграле на угол лр/2, в" результате чего после соответ-

ствующей замены переменного получаем

0^ sinnps =0^ sinnps =1ла1лаsin лр$ Г (1 — s/а)sin ns Г(1-$)sin лр$ Г (1 — s/а)sin ns Г(1-$)т (s, а, 0) = -^- Г (1 + s) sin nps u~s-i exp (— ua) du =

0

^ sinnps =

0

^ sinnps =

1

ла

1

ла

sin лр$ Г (1 — s/а)sin ns Г(1-$)

sin лр$ Г (1 — s/а)sin ns Г(1-$)

Как в левой, так и в правой части последнего равенства, стоят функции, аналитические в полосе —1 <Re s < а. Поэтому равенство, доказанное для —1 < s < 0, сохраняется для значений s из всей полосы. Таким образом, (2.6.20) доказано в случае а 5^1. То, что это равенство сохраняется при а = 1, следует из отмеченного выше свойства непрерывности функции тс (s, а, р) в точке а = 1.

(е) Характеристическое преобразование будет последним из рассматриваемых нами интегральных преобразований. Поскольку это преобразование нельзя отнести к1 числу хорошо известных, мы уделим ему несколько больше внимания, чем остальным. Прежде всего познакомимся с основными свойствами характеристических преобразований плотностей рх (х) произвольных случайных величин X:

о ЩЙЛ) = №Х0-

Хотя это определение предполагает существование плотности распределения случайной величины X, однако его легко освободить от такого ограничения, если положить

wk (t)x = Е I X 1“ (sign Xf, teR, к = 0, 1. (2.6.21)

Преобразования Wx (0 были впервые введены в [37] и впоследствии нашли себе применение в мультипликативных проблемах теории чисел. Характеристические преобразования случайных величин играют ту же роль в схеме перемножения случайных величин, какую играют в схеме суммирования характеристические функции. Эту аналогию нетрудно увидеть, ознакомившись со следующими свойствами характеристических преобразований.

-1) Характеристическое преобразование существует для любой случайной величины X, что видно из самого определения (2.6.21) функций wk^x.

- 2) Распределение Fx однозначно определяется характеристическим преобразованием Wx.

Действительно, положим

с+ = Р (X > 0), с" = Р (X < 0),с+Г (0 = Е | X \Ч (X > 0),с-Г (0 = Е | X \UI (X < 0),

где (+, [~ — некоторые характеристические функции, однозначно связанные с частями распределения Fx (ж) на полуосях х^ 0 и я < 0, если соответствующие коэффициенты с+ и с- отличны от нуля. Имеем с+ + с~ = 1 —

— Р (X = 0),

Wk (0х = сТ (0 1 (- 1)1 С"Г (0. к = 0,1, сТ (0 = 4" (^ (0х + ^1 (0х),(2.6.22)

сТ (0 = 4“ (^° (0^ — Wt (0х)-

Следовательно, распределение Fx действительно восстанавливается, если мы знаем функции ш0, wv

Если U, V — независимые случайные величины, то для их произведения X = UV

Wx (0 = Wu (0 Wv (0, tG R. (2.6.23)

Имеем

гок {t)x = E | UV |“ (sign UVf = wk (t)u wk (Ov, к = 0,1, откуда и вытекает равенство (2.6.23).

Для любой последовательности случайных величин X, Хъ Х2, ... соотношение

L (FXn, Fx) + I Р (Xn = 0) - Р (X = 0) | -> 0 при

п —» сю.

(где L обозначает метрику Леви) имеет место тогда и только тогда, когда

И7^ (0 -* Wx (0 ПРИ п -> со

в любом конечном интервале значений t.

Это утверждение является простым следствием соотношений (2.6.22) и известных фактов о слабой сходимости распределений и соответствующих им характеристических функций.

Пусть g = g (х, а, Р, у, X) и s — комплексное число из полосы —1 < Re s < а. Обозначим

Ж($,а,р,Т.^) = №)(- «) =

/w0 (s, а, Р, у, к)О

\0wv (s, а, Р, у

Эта функция существует для любых значений s из указанной полосы и любых допустимых значений параметров и тесно связана с преобразованием Меллина. Именно, w0 (s, а, Р, у, X) = т (s, а, Р, у, X) + т (s, а, —р, —у, X), '(2.6.24)

iTj (s, а, Р, у, X) = m(s, а, р, у, X) — т (s, а, —р, —у, X).

(2.6.25)

Поэтому то, что говорилось в отношении преобразований ш, остается справедливым и для элементов wk преобразования W. Теорема 2.6.3 позволяет легко получить явное выражение функций tok (s, а, р, у, X), соответствующих распределениям из класса 28 (в той же форме (С))-

Теорема 2.6.4. В полосе — 1 < Re s < а характеристические преобразования плотностей строго устойчивых распределений имеют следующий вид 2-18:

cos —тг (к — 0s) Г 1 — —-)

^ = 0,1.^ = 0,1.w^aAXIc-X-l-2-ПТ^Г'

^ = 0,1.

^ = 0,1.

cos ~2~ (/с — s)

(2.6.26)

Доказательство. На основании равенств (2.6.20) — (2.6.22) мы можем записать, что

wk (s, а, Р, у, X) = telawk (s, а, р, у, 1), к = 0, 1;

too (1, а, 6)с = тс (s, а, 6) + тс ($, а, — 6) =too (1, а, 6)с = тс (s, а, 6) + тс ($, а, — 6) =Л/ S \sin -у (1 4-6)$Г (1——)sin ns T(l-s)Л/ S \sin -у (1 4-6)$Г (1——)sin ns T(l-s)sin^-(l-0)sr(l--^-)Sin ns Г(1-$)sin^-(l-0)sr(l--^-)Sin ns Г(1-$)

too (1, а, 6)с = тс (s, а, 6) + тс ($, а, — 6) =

too (1, а, 6)с = тс (s, а, 6) + тс ($, а, — 6) =

Л/ S \

sin -у (1 4-6)$Г (1——)sin ns T(l-s)

Л/ S \

sin -у (1 4-6)$Г (1——)sin ns T(l-s)

sin^-(l-0)sr(l--^-)

Sin ns Г(1-$)

sin^-(l-0)sr(l--^-)

Sin ns Г(1-$)

Л/ s \

cos —0sГ (1-—)

лГ (1 — s) 1

cos s

Совершенно аналогично находим, что шх ($, а, 6)с = тс ($, а, 6) — тс (s, а, — 6) =

sin -у 6s г (1 _ $/а)~ л Г (1 — s) 'sin -"2~ s

Замечание. В общем случае ни преобразования Меллина т (s, а, 0, у, X), ни характеристические преобразования W (s, сс, 0, у, X) не имеют явного выражения. Объясняется это тем, что случаи простых выражений преобразований т и W органически связаны с естественным делением плотностей устойчивых распределений на две части. Например, в классе 3® такое деление (если мы используем систему параметризации (С)) производится точкой х = 0.

Одновершинность устойчивых распределений.

Вид плотностей

Среди разнообразных свойств вероятностных мер, признанных достойными внимания теории вероятностей, есть одно, называемое одновершинностью. Встреча с ним в ходе решения тех или иных задач обычно радует статистиков и не оставляет равнодушными вероятностников. Этим свойством обладают многие известные распределения, в том числе, как будет показано ниже, все устойчивые распределения.

Термин «одновершинность» сравнительно недавнего происхождения. Он появился в отечественной литературе как синоним бытовавшего в математической статистике термина «унимодальность», вошедшего туда, по-види- мому, с легкой руки Пирсона. В статистике «модой» абсолютно непрерывного распределения называют точку вещественной оси, в которой плотность достигает, грубо говоря, максимального значения. Понятно, что распределение может иметь не одну, а множество мод. Когда же статистики говорят, что распределение унимодально, то это означает, что оно имеет ровно одну моду (см. [52]). Нетрудно заметить, что так понимаемая унимодальность распределения неудобна для ее формального определения. Общепринятое в настоящее время определение унимодальности (одновершинности) распределения было предложено в 1938 г. Хинчицым [92],

Определение. Функция распределения F (а:) называется одновершинной, если существует по меньшей мере одно значение х = а, такое, что'при х \ а функция F (х) выпукла, а при х~> а — вогнута. При этом говорят, что вершина распределения F (х) находится в точке х = а (или, короче, что х = а является вершиной F (х)). При этом выпуклость и вогнутость функции F понимается в широком смысле, т. е., например, F выпукла на полуоси х < а, если для любых точек xt < а, хг <^ а справедливо неравенство

2F ^хг + ха)/2) < F (а^) + F (х2).

Из теории выпуклых функций (см., например, [91]) следует, что одновершинная функция распределения F (х) с вершиной в точке х = а обладает такими свойствами:

В каждой точке х ^ а функция F (х) имеет левостороннюю и правостороннюю производные, причем всюду, кроме точек, образующих не более чем счетное множество, односторонние производные совпадают.

Производная F' (х)’(где F' выбирается в каждой точке как одна из односторонних производных) не убывает на полуоси х < а и не возрастает на полуоси х > а.

. Таким образом, распределение F (х) является абсолютно непрерывным. Как будет видно далее, среди всевозможных вариантов определения плотности F* (х) наиболее удобен тот, который представляет собой (за исключением, быть может, одной точки) непрерывную слева функцию. Условимся класс функций распределения с такими плотностями обозначать ^0. Он понадобится нам при формулировке общих критериев одновершинности распределений.

Приведенное определение одновершинности обобщает первоначальное представление о свойстве унимодальности, поскольку распределение, одновершинное в смысле этого определения, может иметь не одну, а множество мод. Это показывает простой пример равномерного распределения на интервале (0,1), для которого, очевидно, модой является каждая точка отрезка [0,1].

. Из определения одновершинности видно, что в том случае, когда точки at < а4 могут быть выбраны в качестве вершин распределения F (х), каждая из точек отрезка (а,, аг] также является вершиной F (х),

Проблема одновершинности устойчивых законов берет свое начало в работе Винтнера 1936 г. [121, в которой было доказано, что все симметричные устойчивые законы одновершинны. Следует отметить, что, рассматривая симметричные распределения, он определял одновершин- ность так же, как Хинчин, с помощью свойства выпуклости функции распределения на отрицательной полуоси. Вместо термина «унимодальность» он использовал термин «выпуклость». .

Работа Винтнера могла служить хорошим основанием как для поиска естественного определения одновершинности распределений, так и для постановки общей проблемы одновершинности устойчивых законов. Известно, что в 1939 г. эта проблема обсуждалась на одном из семинаров, работавших в Московском университете под руководством Гнеденко. Однако, она оказалась весьма сложной, и ее полное решение растянулось на многие годы, обрастая по пути таким количеством трагикомических ситуаций, каким, пожалуй, не может похвастаться какая-либо другая проблема теории вероятностей. Самостоятельного аналитического доказательства одновершинности устойчивых законов нет до сих пор. Это свойство было доказано в 1978 г. Ямазато [1011 как следствие более общего факта — одновершинности законов класса 7,21».

Изложение теоремы Ямазато в несколько упрощенном варианте, связанном с подклассом © класса L, составит основное содержание настоящего параграфа. Но вместе с этим будут приведены доказательства частных результатов, полученных ранее результата Ямазато и другими методами. С одной стороны, такая информация будет полезна тем, кто захочет все же найти самостоятельное аналитическое доказательство одновершинности устойчивых распределений. С другой, такое знакомство с использовавшимися методами сможет сослужить хорошую службу при решении заведомо более сложной проблемы одновершинности многомерных устойчивых законов.

Мы начнем с того, что приведем несколько общих критериев одновершинности распределений. Прежде всего обратим внимание на то, что свойства 1), 2), вытекающие из определения одновершинности, можно рассматривать как необходимые условия одновершинности. И обратно, отправляясь от свойств 1) и 2) нетрудно убедиться, что обладающая ими функция распределения F (х) является

одновершинной с вершиной в точке х = а. Тем самым, мы получаем следующий критерий.

Теорема 8.7Л. Для того чтобы функция распределения F (х) была одновершинной с вершиной в точке х = а, необходимо и достаточно, чтобы она обладала свойствами 1) и 2).

Для каждой функции распределения F Е ^о определим на вещественной оси х непрерывную слева (за исключением, быть может, одной точки) функцию

V (ж) = F (ж) — xF'(x').

Теорема %.7 Я. Для того чтобы функция распределения F ^ ^0 была одновершинной с вершиной в точке х = О, необходимо и достаточно, чтобы соответствующая ей функция V была функцией распределения 2-20.

Доказательство. Необходимость условия. Рассмотрим дифференциал функции V (х), понимая его как величину скачка в точках разрыва. Тогда во всех точках х ^ О имеем

dV (х) = dF (х) — F * (ж) dx — xdF' (х) = —xdF' ^х\ '(2.7.1)

Поскольку F одновершинна с вершиной в точке х = 0, то правая часть (2.7.1) неотрицательна. Следовательно, функция V (ж) не убывает на полуосях х <^ 0, х > 0.

Если х > 0, то

0 < xF' (ж)< 2 J F* (и) du = 2\F (ж) — F (х/2)] < зс/2

< 2 min (1 — F (ж/2), F (х) -F(-\- 0)}, т. е. xF' (х) —> 0 при х—> 0 или же х — > оо. Аналогичные рассуждения в случае х < 0 приводят нас к выводу, которому, объединяя его с разобранным случаем х > 0, можно придать следующий вид:

xF' (ж) —> 0, если | х | —> 0, х ф 0, или | х | —> оо. (2.7.2)

Используя выражение функции V (х) и свойство (2.7.2), находим, что

V (+0) = F (+ 0) > F (-0) = V (-0),

- V (оо) = 1 — F (оо) = V (-оо) = F (-оо) = 0.

Р Вместе с установленным выше свойством dV (ж) > О, х ^ 0, эти равенства убеждают нас в том, что V (ж) является функцией распределения.

Достаточность условия теоремы. Пусть f Е ^о и связанная с нею функция V (х) являются функциями распределения. Тогда, очевидно, имеет место свойство (2.7.2), частным случаем которого является соотношение F' (ж) —» —> 0 при \ х | —> оо. Используя это свойство и интегрируя преобразованное равенство (2.7.1)

dF' (х) =i- dV (х), хф О,

в пределах от а; до +оо sign х находим, что

+«• sign ж

F* (ж) =-^- dV (v), х ^ 0.

X

Откуда видно, что F'^x) не убывает на полуоси х <^ 0 и не возрастает на полуоси х > 0, т. е. F (ж) — одновершинная с вершиной в точке х = 0.

Следующий общий критерий одновершинности распределений формулируется в терминах случайных вели- d

чин (напомним, что символ «=» означает равенство распределений) 2121.

Теорема 3.7.3. Для того чтобы распределение F х, случайной величины X было одновершинно с вершиной в точке х = 0, необходимо и достаточно, чтобы X можно было представить в виде

Х=Х^,(2.7.3)

где Хй, Z — независимые случайные величины, причем Хо подчинено равномерному распределению на интервале (0,1)-

Замечание. Условие, состоящее в том, что случайная величина X может быть представлена произведением независимых случайных величин

(2-7.4)(2-7.4)X = X'Z',

(2-7.4)

(2-7.4)

одна из которых (скажем, X') имеет одновершинное распределение с вершиной в нуле, также является критерием одновершинности Fх.

Действительно, то, что (2.7.4) является необходимым условием, вытекает из необходимости условия (2.7.3).

Проверим достаточность. (2.7.4). Если X' имеет одновершинное распределение, то, в соответствии с (2.7.3), X' == X0Z". Следовательно,

X = X'Z' = Хо (Z'Z") = х^.

Отсюда и из достаточности условия (2.7.3) вытекает одно- вершинность с вершиной в нуле распределения Fx. По сравнению с критерием (2.7.3) критерий (2.7.4) привлекательнее лишь как достаточное условие одновершин- ности.■-

Доказательство теоремы. Согласно условию теоремы 2.7.2, функция распределения Fx случайной величины X будет одновершинной с вершиной в нуле тогда и только тогда, когда найдется такая случайная величина Z, что Fz (ж) = Fx (х) — xF*x (ж).

Пусть Fx (ж) — одновершинная с вершиной в точке х = 0. Вычислим характеристическое преобразование Wz (Z). Принимая во внимание (2.7.1), имеем ™к (t)z = Е | Z |i( (sign Z)* =

= § |а;|и х (signx)K dFx (х), к=0,1. ху=0

Интегрируем по частям, и, привлекая свойство (2.7.2), находим, что

wK (Az = — $ | * l1+it (sign ^J1^ dFx M = X^O

= (1 + it) ^ | x |*r (sign xf Fx (x) dx =

■= (1 + it) wk (t)x, к = 0,1.

Следовательно, при всех IeR

Wz (t) = (1 + it) Wx (t).(2.7.5)

Поскольку для равномерно распределенной в интервале (0,1) случайной величины Хо характеристическое преобразование, как показывают несложные вычисления, имеет ВИД

^.w-cv" «А-.).<2-7-r>)

то из (2.7.5) и (2.7.6) вытекает, что

wx (А = Wx, (t) Wz (t).(2.7.7)

Теперь представление (2.7.1) получается как следствие (2.7.7) и свойства 2 характеристических преобразований, приведенного в конце предыдущего раздела.

Предположим обратное, т. е. что X может быть представлено в виде (2.7.1). Тогда

1ОО

Fx (ж) = Fz {хЭД du = — Fz (хи) d-^- =

О1

ос sign X

= Fz И + ^ ^ — dFz М.

X

Если понимать dFz (ж) как величину скачка функции Fz (ж) в точках ее разрыва, то из последнего равенства мы получим дифференцированием, что

+оо sign х

S

i

— dFz (и) dx.

X

Это означает, что Fx (х) не возрастает на полуоси х ^> О и не убывает на полуоси х < 0, т. е. Fx — одновершинная с вершиной в нуле.

Следствие 1. Распределение Fx одновершинно с вершиной в точке х = 0 тогда и только тогда, когда произведение (1 + if) Wx (£) является характеристическим преобразованием.

Следствие 2. Пусть р (ж) — плотность какого-либо одновершинного распределения F с вершиной в точке х = 0. Тогда распределение Fx с характеристической функцией Lr (О будет одновершинным с вершиной в нуле тогда и только тогда, когда

^x^^p^uHz^du,(2.7.8)

где fz (£) — некоторая характеристическая функция.

В частности, если F — равномерное распределение на интервале (0,1), то условие (2.7.8) имеет вид

UW=^-^z№du.

о

(Этот критерий был найден Хинчиным [21].)

Лемма 2.7.1. ПустъЧ^, F2,.„ — последовательность одновершинных функций распределения с вершинами в точ-

ках аг, а2, ... соответственно. Если Fn слабо сходится к функции распределения F при п —> оо, то F — одновершинная с вершиной в точке а = lim sup ап.

Доказательство. Одновершинность функции Fn в точке ап означает, что для любых точек xt, х2, лежащих левее ап, имеют место неравенство

2Fn ((ж, + х^ < Fn ^ + Fn (х2)

и обратное неравенство для точек, лежащих правее ап. Выберем последовательность натуральных чисел п^, такую, что аПк —> а при к —> оо. Тогда о любых двух точках хг, х2, лежащих левее а, можно сказать, что они будут находиться левее точек anfc для всех достаточно больших к. Переход к пределу Еп^ —> F при к —> оо показывает, что предельная функция F обладает аналогичными свойствами выпуклости и вогнутости, т. е. удовлетворяет неравенству

2^ ((ж, + ж2)/2) ^ F (хг) + F (ж2)

для точек, лежащих левее а, и неравенству в другую сторону для точек, лежащих правее а. Но это означает, что F — одновершинная с вершиной в точке а.

Лемма 2 Л.2. Если F^F^ — симметричные одновершинные функции распределения, то их свертка F = =F\ * F2 также симметрична и одновершинна 2-22.

Доказательство. Поскольку функцииF, симметричны, т. е. 1 — Fj (ж) = Fj (—ж) во всех точках непрерывности, то одновершинность равносильна выполнению неравенства

2^ ^хг + ^>/2) > Fj (xj + Р5 (х2)

для любых точек хг ^ х2 > 0. Образуем функцию

Gh (у) = Рг {у) - -L [F, (у + ^ - Л (у - h)\.

Нетрудно проверить, что

Gh (у) = — Gh (—у), Gh (у) sign у > 0,

и что величина дифференциала d [F2 (у — ж) — F2 (у + + ж)1 ^ 0 на полуоси у ^> 0 при любых значениях х j> 0.

Положим хг = х + h, хг = х — h, х > h > 0. Тогда

$ Gh(y)d[F2(y — я) — F2(y + з)]>0.

Используя определение функции Gh (у), мы можем преобразовать это неравенство к виду

F (toi + ^а)/2) — $ ^ ^^ + ^/З — у) dF2 (у) ^

> $ 4" tfi(Ж1 - ^)+fi ^ - ^dF» (у)=4" №)+Fw

С учетом того, что свертка симметричных распределений симметрична, это неравенство означает, как отмечалось выше, что F — одновершинная.

Замечание. Без условия симметричности распределений Fj утверждение леммы, как показывают примеры, неверно (первый такой пример был указан Чжуном [97]). Вот один из наиболее простых подобных примеров:

Пусть ра (х) — плотность равномерного распределения в интервале (0, а). Положим для а <^ 6

q to) = вра (х) + (1 — е) рь (ж).

Легко видеть, что это — плотность одновершинного распределения с вершиной в нуле (вершиной q является каждая из точек отрезка [0, а]). Рассмотрим плотность

ю ($) = to * у) to) = е?ра (х) + 2е (1 — е) (ро * рь) (х) +

+ (1 — е^рь' (ж).

Плотность р^ (ж) имеет вид равнобедренного треугольника с основанием (0, 2а) и высотой 1/а. Следовательно,

, Х \ е2 /м \ (1—е)2 С \ л \ (1 — е)3“(°) >~ ’Ы^ > ~b-’ ) to^dx> v ^ ' .

е2Ье2ЬПредположим, что ю (х) ^> со (а) в интервале а / х <^ Ь. Тогда

е2Ь

е2Ь

io (z) dx ^ (6 — a) io (а)

откуда получаем, что

2Ь( ю (ж) dx > -^е2 +2Ь( ю (ж) dx > -^е2 +(1 — е)22(1 — е)22

2Ь

( ю (ж) dx > -^е2 +

2Ь

( ю (ж) dx > -^е2 +

(1 — е)22

(1 — е)22

Если выбрать теперь е = 1/4, а = 1/16, Ъ = 1, то мы обнаружим, что нижняя оценка больше 1. Это означает, что предположение со (ж) ^> ю (а) при таком выборе параметров не оправдывается, т. е. между точками а и Ъ плотность io (ж) принимает значения меньшие, чем со (а) и со (6). Тем самым, распределение ю (ж) не является одновершинным.

Теорема 8.7.4. Симметричные устойчивые распределения одновершинны.

Д оказательство. Случай а = 2, соответствующий нормальному распределению, очевиден, и мы, ничего не теряя, можем ограничиться разбором случая 0 < а < 2.

В соответствии с теоремой В.1 каноническая форма записи (В. 17) характеристической функции g (/, а, 0, О, X) = ^ ехр (—X | t |с) симметричного устойчивого закона имеет вид

logg(t, а, 0,0,Х) = (cos tx— 1) Н'(х) dx,xyo

где

Н (х) = с | х |-1~“ = -А. Г (1 + а) sin -у- а | х |71-“.

Рассмотрим последовательность серий взаимно независимых в каждой серии случайных величин Xn1t, 1 ^ ^ к <^ п, п = 1,2, . . ., имеющих следующие симметричные функции распределения

Рцк ^) — 1 ^nk (-с) —Рцк ^) — 1 ^nk (-с) —Поскольку для не )> 1Поскольку для не )> 1p(l^nkl > е) = А-Я(— е)—>0 при п->соp(l^nkl > е) = А-Я(— е)—>0 при п->со

Рцк ^) — 1 ^nk (-с) —

Рцк ^) — 1 ^nk (-с) —

Поскольку для не )> 1

Поскольку для не )> 1

p(l^nkl > е) = А-Я(— е)—>0 при п->со

p(l^nkl > е) = А-Я(— е)—>0 при п->со

равномерно по Л, т. е. случайные величины Хпк удовлетворяют условию предельной равномерной малости (В.2), то предельное распределение суммы

х„ = хп1 + ... + хпп

мы можем определить, опираясь на теорему Б. Для х <0 nFnk (ж) = и [1 — Fnk (—ж)] —> Н (ж) при п —> оо.

Кроме того,

а» = пО(Хп/(|Х„,|<е)) =

= 2 хЧГ ^4) dx + 2 ^ хЧГ (ж) dx = о1/п

= 2 И* Ш + 2с ( x^’-dx =си“-2 +

3 n3 \ п / 1 J3*

Ifri

+ -^г (®а-“ - «““*)•

Следовательно,

lim lim sup о„ = 0.

Е—>0 П-*ОО

Поэтому, на основании теоремы Б, при п —> оо

Fn (х) = Р (Хп < ж) —> G (х, а, 0, 0, X).

Распределения F^ — симметричные и одновершинные по построению. Следовательно, согласно лемме 2.7.2, их свертка Fn (х) также симметрична и одновершинна. Для получения утверждения теперь остается применить к последовательности распределений f^} лемму 2.7.1.

Теперь мы докажем одновершинность крайних устойчивых законов (т. е. отвечающих значениям 0 = ±1) чисто аналитическим методом. Благодаря свойствам 2.1 и 2.2 доказательство одновершинности функций распределения G (х, а, 0, у, X) сводится к разбору крайних стандартных распределений G (ж, a, 1). При этом случай a = 2, как очевидный, мы можем не рассматривать и считать, что 0 < a < 2.

Теорема 2.7.52Л3. Крайние устойчивые распределения одновершинны и имеют ровно одну вершину. При этом в случае стандартного распределения G (х, a, 1) соответствующая ему мода положительна, если а <^ 1, и отрицательна, если 1 <^ a <f 2.

Доказательство теоремы основывается на представлении (2.2.35) функции g' (х, а, 0), 0 < а < 2, 0 = +1, я > 0. В ходе доказательства будет использовано несколько фактов, которые мы выделим в форме отдельных лемм, используя обозначения из (2.2.35).

Лемма 8.7.3. Если 1 < а < 2, то g' (х, а, 1) <0 для любых х > 0.

Доказательство. Согласно (2.2.35),

g' (х, а, 1) = -^- к16ехр(—k^a^d^,(2.7.9)

-Л где функция

'2

Ъ(ф) = (а - 1W1 -^- I “-1 /«^(2-а)ф _ л

| sin «ф |\ 8Ш«ф/

на интервале (—л, —л/а), как легко видеть, отрицательна. Поэтому отрицательным будет и интеграл (2.7.9).

Лемма 2.7.4. Если 1 < а <2, то

g' (0, а, 1) = — g' (0, а, - 1) = -^ Г (1 + 2/а) sin (2л/а) < 0.

Доказательство. Воспользовавшись представлением (2.2.10) плотности g (ж, а, 0), находим, что

g' (ж, а, 0) =^- Im у ехр (— уа — хуе1^ + 2лгр) dy.

о

Отсюда следует, что для значений 0 = ±1

g' (0, а, Р) =— sin 2лр \ и ехр (— иа) du =

о

= sin лег (2/а) =JL Г (1 + 2/а) sin -^- < 0.

В состав функции Ъ (ф), как это видно из ее определения, входят в качестве сомножителей функция, заведомо положительная внутри соответствующего интервала (и, и), и функция

.«sin (2 — а) ф .\. .

sign (1 —а)г1— — 1 , если а + 1, us (<р) ='sin “Ч>/

2ф etg ф — 1,если а = 1,

поведение которой не очевидно.

Лемма 2 Л .5. На соответствующем интервале (и, и) 1) функция а (ф) положительна и монотонно возрастает, 2) функция w (ф) монотонно убивает, если а ^ 1, и монотонно возрастает, если а > 1.

функцию О <С Ф '\ областифункцию О <С Ф '\ областиДоказательство. Рассмотрим Л (а, ф) = а ctg аф — ctg ф в области <^min (л, л/а), 0 < а < 2. Поскольку в этой

функцию О <С Ф '\ области

функцию О <С Ф '\ области

—— = (2 sin2 аф) 1 (sin 2аф — 2аф) < О,

то функция h (а, ф) при фиксированном ф убывает с ростом а. Так как h (1, ф) = 0, то-

К (а, ф) > 0, если 0 <^ а <^ 1, ’(2.7.10)

■Н (а, ф) < 0, если 1 < а < 2.

Случай а <^ 1, 0 = —1, для которого и = и, соответствует тривиальной ситуации (g (х, а, 0) = 0 на полуоси

Л > 0) и поэтому не входит в противоречие с утверждением леммы.

В случае а < 1, 0 = 1 имеем и = 0, и = л,

1

s’n аф \ i=5 s:n(l — а) ф

йтафйтаф8:Пф /8Шаф

йтаф

йтаф

Используя свойство (2.7.10), находим, что

а' ^!а (ф) = \аИ (а, ф) + (1 — а) И (1 — а, ф)1/(1 — а) > 0.

Поскольку положительность а (ф) в интервале (0, л) очевидна, то а* (ф) > 0.

Далее, с учетом (2.7.10),

ы/ (ф) = ос [7i (2 — ос, ф) — h (а, ф)] < 0.

Если а ^> 1, 0 = —1, то и = 0, р = л/а и на этом интервале, в соответствии с (2.7.10),

а'(ф)/а(ф) = — —^-^(а^ + ТЦа — 1,ф)> 0.

Функция to (ф) = —1 + а sin (2 — а) ф/sin аф на интервале (0, л/а) имеет производную, знак которой совпадает со знаком функции

a \—h (а, ф) + h (2 — а, ф)] > 0.

Пусть теперь а > 1 и 0 = 1. В этом случае и = —л, и = —л/а,

1

а f — sin<p “-1 sin (1 — сс) <р \ sin аф /sin аф ’

^(а))^-.^2-”)^ +1.

sinctcp - 1

Функция а (ф) — четная. Поэтому нам достаточно доказать ее убывание на интервале (л/а, л). Имеем а' (ф)/а (ф) = — q (ф)/(а — 1), где

q (ф) = а2ctg аф — ctg ф — (а — l)2ctg(a — 1) ф =

a2sin2 ф + 2а cos (а — 1) фsin ф sin (— аф) + sin2 аф sin (а — 1) ф sin ф sin (— аф)"

Знаменатель дроби на интервале (л/a, л) положителен, а числитель оценивается снизу величиной

a2 sin2 ф — 2а sin ф sin (—аф) + sin2 аф =

= (a sin ф + sin аф)2.

Откуда и следует убывание а (ф) на (л/a, л). Функция id (ф) также четная. Поскольку в интервале (л/a, л)

ю' (ф) = а [—h (2 — а, ф) + А (а, ф)] <_ 0,

то на интервале (—л, —л/a) мы получим id' (ф) > 0, что и требовалось доказать.

Если a = 1 (и = 0, и = л), то знак 0 на величину функций а (ф) и b (ф) не влияет. Имеем

а' (ц>)/а (ф) = 1/ф — 2 ctg ф + ф/sin2 ф =а' (ц>)/а (ф) = 1/ф — 2 ctg ф + ф/sin2 ф =w'(v) = 2ctgV-^w'(v) = 2ctgV-^= (ф sin2 ф) 1 (sin ф — ф cos ф)2 + Ф > 0,= (ф sin2 ф) 1 (sin ф — ф cos ф)2 + Ф > 0,= (sin 2ф — 2ф)/з1п2 ф </ 0.= (sin 2ф — 2ф)/з1п2 ф </ 0.

а' (ц>)/а (ф) = 1/ф — 2 ctg ф + ф/sin2 ф =

а' (ц>)/а (ф) = 1/ф — 2 ctg ф + ф/sin2 ф =

w'(v) = 2ctgV-^

w'(v) = 2ctgV-^

= (ф sin2 ф) 1 (sin ф — ф cos ф)2 + Ф > 0,

= (ф sin2 ф) 1 (sin ф — ф cos ф)2 + Ф > 0,

= (sin 2ф — 2ф)/з1п2 ф </ 0.

= (sin 2ф — 2ф)/з1п2 ф </ 0.

Замечание. Непосредственно подстановкой и последующим несложным подсчетом можно проверить тот факт, что во всех случаях из числа рассматриваемых (кроме тривиального a <^ 1, 0 = — 1 и случая a > 1, 0 = 1) е (a) id (и) > 0 и е (a) id (v) < 0. Это означает, что функция 8 (a) id (ф), а вместе с нею и 8 (a) b (ф), ровно один раз меняет знак с плюса на минус в некоторой точке и < ст <^ < V.

Перейдем теперь к доказательству самой теоремы. Если a < 1, 0 = —1 или a > 1, 0 = 1, то функция

g (х, а, 0) не может иметь максимума на полуоси х 5?- 0.

В первом случае это очевидно, а во втором этот факт следует из лемм 2.7.3 и 2.7.4. Рассмотрим случаи а <^ 1, Р = 1 и а > 1, Р = —1. На полуоси х > 0 плотность g (z, а, Р) может иметь лишь нечетное число экстремальных точек и при этом число минимумов будет на единицу меньше, нежели число максимумов. Сказанное следует из того, что в первом случае g (0, а, 1) = 0, а во втором (согласно лемме 2.7.4) g' (0, а, —1) > 0.

Пусть z0 > 0 — одна из экстремальных точек плотности g (z, а, Р), т. е. g' (z0, а, Р) = 0. Покажем, что в этой точке величина g" (z0, а, Р) обязательно будет отрицательной. С помощью равенства (2.2.35) имеем для z > 0

9 С

g" (z, а, Р) = — кк’ \ bехр (— каа) dtp —

^- калк’ аЪ ехр (— А“а) dtp = 2 (к'/к) g' (z, а, Р) +

+ -^- к”*1 (— е (а) к'^ ^ «(е (а) Ь) ехр (— каа) dtp. и

В точке z = z0 первое слагаемое обращается в нуль, а второе слагаемое, в котором —е (а) к' (х) > 0, при а 5b 1, z > 0 мы можем оценить следующим образом. Согласно лемме 2.7.5 в рассматриваемых нами случаях функция а (ф) > 0 монотонно возрастает на интервале (и, и), а функция е (а) b (ф) монотонно убывает, изменяя знак в точке и <^ о ^ и. Следовательно, av

§ а (еЬ) ехр (— каа) dtp + § a (еЬ) ехр (— каа) dtp < ис

ОV

< а (о) § гЬ ехр (— каа) dtp -{- а (о) § еЬ ехр (— као?) dtp — иа

v

= а (о) § еЬ ехр (— к°-а^ dtp. и

Отсюда следует, что в точке х = х0

g" (zo, а, Р) <^ -^- ka*i (— е (а) к”) е (а) b ехр (— каа) dtp —

что и требовалось.что и требовалось.= — ак^к'^ (z0, а, Р) = 0,

что и требовалось.

что и требовалось.

Таким образом, функция g (ж, а, 0) не может иметь локальных минимумов на полуоси ж О, но имеет один максимум.-

Объединяя установленные факты, мы можем сделать вывод, что плотность g (х, а, 0) в случае а ^= 1, 0 = ±1 имеет ровно один максимум в точке х = тп (а, 0) = = —тп (а, —0), причем тп (а, 1) > 0, если а < 1 и тп (а, 1) < 0, если а )> 1.

Случай а = 1 допускает аналогичный анализ. Однако этого делать не требуется. Дело в том, что свойство одно- вершинности G (х, а, 0) не нарушится при любом линейном преобразовании аргумента распределения G и, значит, при переходе от одной формы параметризации к другой. Например, при переходе от Gb к Gm и обратно. Поэтому GM (х, а, 0М, ум, Хм) — G (х, а, 0М, ув, Хв) — одновершинное распределение при любых наборах параметров. Фиксируем 0М, ^м, ^м и устремим а к 1. Тогда, согласно свойству 2.4,

Gm (х, а, 0М, ум, ^м) —* Gm (х, 1, 0М, ^мз ^м)- Распределение Gm (х, 1, 0М, ^м. ^м) как предельное для одновершинных само одновершинно для любых 0м, Тм, ^-м- Отсюда, очевидно, следует одновершинность распределений G (х, 1, 0), 0 = ±1.

Это интересное по замыслу чисто аналитическое доказательство пока не удалось распространить на все семейство устойчивых законов. Доказательство теоремы Яма- зато, к изложению которого мы сейчас приступим, основывается на совершенно иных соображениях, оказавшихся настолько общими, что позволили, в конечном счете, установить одновершинность всех законов в классе L. Это доказательство дает возможность видеть, что движущей пружиной механизма формирования свойства одновершинности безгранично делимых законов служит одно свойство распределений, обнаруженное еще в 1956 году Ибрагимовым [38] и названное им сильной одновер- шинностью.

Функция распределения F (ж) называется сильно одновершинной, если ее композиция с любым одновершинным распределением является одновершинным распределением. В работе [38] было установлено, что F является сильно одновершинной тогда и только тогда, когда функция — log F' (х) является выпуклой, а также то, что множество всех сильно одновершинных распределений зам-

кнуто по отношению к полной сходимости. Примером сильно одновершинного распределения является нормальное распределение.

Теорема 8.7.6. Каждое устойчивое распределение одновершинна.

Доказательству теоремы мы предпошлем несколько лемм. Рассмотрим безгранично делимое распределение Еп (ж) с характеристической функцией

f„ (i) = ехр {jj (е^ - l)v„ ^ -§-} , (2.7.11) О .

где vn (ж) — ступенчатая функция вида

Уп(ж) =Уп(ж) =li + ...+ln, если 0<х<сп\

Уп(ж) =

Уп(ж) =

+ ... +1п, если с (к — 1) п-1 ^ х < скп~\ О,если с ^ х,

определяемая набором положительных чисел ^, . . ., ^ с 6 = 61 + ... + In 53 4 положительным числом с. Поскольку при t —> оо

I fn№ I = exp [^6ft J (cos ^-х — 1) -^-} < fc=i о n t

< ехр^ У°Й\—^ —^ log 4. к=11

то распределение Еп абсолютно непрерывно, и его плотность рп имеет на всей оси непрерывную и равномерно' ограниченную' производную. Каждая функция Е^ является, как легко видеть, слабым пределом при е —> О обобщенных пуассоновских распределений Е^ с характеристическими функциями •

fn (t) = ехр (| (ei,x — 1) vn (ж) -^} ,е>0.

е

И так как каждое из распределений Е6п (ж) сосредоточено на полуоси ж > 0, то же самое можно сказать и о их предельном распределении Е^.

Лемма 3.7.6. Для любого безгранично делимого распределения с конечным математическим ожиданием и

характеристической функцией вида

f(0 = exp{$ (e^-l)^^)},

где спектральная функция Н неограничена и абсолютно непрерывна, существует плотность р, являющаяся решением интегрального уравнения

(2.7.12)(2.7.12)хр^ = $ pkx — y^yH'^dy.

(2.7.12)

(2.7.12)

у/о

Доказательство. То, что распределение с указанными свойствами функции Н имеет плотность, следует из результатов работы [36]. Существование математического ожидания этого распределения, как видно из работы [54], равносильно сходимости интеграла j |ж| dH (ж).

Рассмотрим преобразование Фурье функции хр (ж). Имеем

еи$хр(ж) dx = — tf' (Z) = — if (i) -^ ^ ^eUx — 1)IF dx =

= f (i)eUxxH’ (x} dx = ^ eUx dx ^ p (x — y^ уИ' (у) dy.

x/oy/o

Сравнение преобразований Фурье, стоящих в начале и в конце цепочки равенств, дает соотношение (2.7.12).

Замечание. Распределение Еп очевидно удовлетворяет условиям леммы, и поэтому соответствующая ему плотность рп является решением уравнения (2.7.12) с функцией Н* (ж) = v„ (х) 1х. Продифференцировав это равенство, получим после простого преобразования, что

тг

жр„ (Ж) = (ё — 1) р„ (ж) — У|^рп (х— -^ . (2.7.13)

Лемма 3.7.7. Распределение Еп одновершинно с вершиной в точке тп ^> cin.

Доказательство. Так как рп (х) = 0 для х 0, то на интервале 0 < х ^ с!п (2.7.13) имеет вид xpV (ж) = (§ — 1) р„ (ж), откуда

(2.7.14)(2.7.14)рп (ж) = с^-1, 0 <^ х ^ с!п.

(2.7.14)

(2.7.14)

Из (2.7.13) вытекает, что рп (ж) -^ 0 при х -^- оо. Вместе со свойством (2.7.14) это означает, что плотность р„ (ж)

имеет на полуоси х > с!п по крайней мере один относительный максимум. Обозначим через х0 нижнюю грань множества Л всех относительных максимумов на полуоси х > с/n. При этом возможны две ситуации.

Случай 1. Точка х0 является изолированной точкой в множестве А или же х0 сама является относительным максимумом. Предположим, что рп (х) не является невозрастающей функцией на полуоси х ~> х0. Тогда на этой полуоси существует по крайней мере один относительный минимум рп (х). Обозначим через хт нижнюю грань всех таких относительных минимумов. Очевидно, что #i ^> #о> > dn и р„ (Ху) = Рп (ж0) = 0.

Следовательно, мы можем утверждать, что 1° рп (ж) строго возрастает на интервале (0, ж0), п

2°@ - 1) Рп (ж0) - £ ^рп (^ - ^) = О,

3° Рп (ж) строго убывает на интервале (х0, хг),

п

4°№ - 1) Рп (*1) - £ ^Рп (*1 - 4") = °-

к=1

Если Ху — с > х0, то хг — ск!п ^ х0 при всех значениях к ^ п. Отсюда и из свойств 3°, 4° получаем

71

0 = (5 — 1) р„ (ху) — 2 1кРп (^1 — ск/п) =

71

= 2 ^к (Рп (a^l) — Рп (^1 — ск/п)) — рп (Ж1) < 0,

А'=1

что невозможно.

Пусть теперь хг — с < х0. Это означает, что найдется ] < п, для которого Ху — ckln > х0 если к ^ j и хх — — ckln <^г0, если / < к ^ п. В этом случае свойства 3° и 4° приводят к неравенству

< (^+1 + ... + gn — 1) Рп k^lY< (^+1 + ... + gn — 1) Рп k^lYТак как х0 — ск!п <^Ху из свойства 1° имеем у" <^ /с ^ п. Вместе с < Рп (^о), 1 < к < 7Так как х0 — ск!п <^Ху из свойства 1° имеем у" <^ /с ^ п. Вместе с < Рп (^о), 1 < к < 7£j+lPn (Ж1 — С (/ + 1)/«) + ••• +?пРп (Ж1 — с)

< (^+1 + ... + gn — 1) Рп k^lY

< (^+1 + ... + gn — 1) Рп k^lY

Так как х0 — ск!п <^Ху из свойства 1° имеем у" <^ /с ^ п. Вместе с < Рп (^о), 1 < к < 7

Так как х0 — ск!п <^Ху из свойства 1° имеем у" <^ /с ^ п. Вместе с < Рп (^о), 1 < к < 7

— ск[п < х0 для 7* << к ^ п, то Рп(ж0 — ckln) <^ рп ^Ху — ckln), неравенством р„ (ж0 — ckln) (также следующим из 1°) два

предыдущие неравенства дают

п

(£ — 1) Рп (^о) > 2 ^кРп (Яо — ск]пук=4

что противоречит свойству 2°.

Случай 2. Пусть х0 является предельной точкой множества А, но ему не принадлежит. В этом случае можно выбрать точку относительного максимума х* > х0 и следующую за нею точку относительного минимума

Xi /- х* таким образом, чтобы xt — dn < яо. Поскольку рп (х) строго ■ возрастает на интервале (0, z0), рп кх* — ск/п^ <^рп (хл — ckln^ для 1 ^ к <, п. Кроме того, Рп W) = Рп (х^ = 0 и рп(х^> рп (х^. Имеем

^-^^<£-1^^==

пп

= 2 ^ Рп (4 — ск/п) < 3 ^р„ (Ху — ск]п\

А=1к=1

что противоречит свойству 4°. Следовательно, распределение Fn имеет единственную вершину в точке т„ = = г0 ^> dn.

Лемма 2.7.8. Плотность рп (х) логарифмически вогнута на интервале (0, т^.

Доказательство. Напомним, что в определение распределения Fn входило условие 5^4. Из непрерывности р„ (ж) на всей оси и уравнения (2.7.13) следует, что рй (х) непрерывна на полуоси ж ^> 0. Дифференцируя обе части (2.7.13), получаем, что

71

ХРп (я) = (^ — 2) Рп (ж) — 2 ЕкРп (х — ckjnyk^i

Отсюда и (2.7.13)

хВ (х) = X [(р„ (ж))2 — Рп (я:) Рп (ж)1 = Рп (я:) pV (ж) +■

71

+ 2 hi [Рп М Рп (х — ск/п) — р'п (ж) Рп (ж — ск[п^. (2.7.15) п=1

Нетрудно заметить, что функция В (гс) непрерывна на полуоси ж ^ 0 и положительна в интервале 0 < х ^ tin. Покажем, что В (ж) ^ 0 и в интервале dn <^ х ^ т„.

Действительно, допустим, что это не так и обозначим х* = min {ж: В (ж) = 0, х ^> cinY Тогда В (х) ^> 0 для 0 <^ ж <^ ж*, р„ (х^ > 0 и с!п <^ ж* ^ шп. Рассмотрим

следующие два возможных случая

1*. Для некоторого к, 1 ^ к ^ п,

N = Рп (ж*) рп (ж* — ckln) — р„ (ж*) рп Ух* — ckln) < 0.

2*. Для любого к, 1 ^ /с^ п, величина Д >0. В первом случае ск/п ^х* ^ р^ (ж* — ckln) > 0. Следовательно,

Рп (ж* — ckln) р^ У$*)

'Рп(ж*—Ск/п) Рп ух*) •.

Это означает, что между точками х* — ск/п и х* найдется точка зс , в которой (рп/₽п) С^ ) > 0, что равносильно неравенству В Ух') < 0. Однако оно противоречит условию выбора х*. .

Во втором случае, как это видно из (2.7.15), при всех/с

Рп (^*) Р' (ж* — ckln) ~ Рп (а:*) Рп (я* — ckln) = 0.

Так как cln < х*, то рп Ух* — cln) ^> 0 и, значит,

Рп С1* — с/”) _ Рп(я*> Рп (ж* — с^ — Рп (ж*> '

Откуда вытекает, что существует точка х* в интервале (г* — с/п, а:*), в которой (рп/рп) (а^) = 0, т. е. В Ух') = 0, что вновь противоречит выбору точки х*. Доказанный нами факт В Ух) > 0 в интервале 0 < а: < тп, очевидно, равносилен утверждению леммы.

_ Лемма %.7.9. Пусть абсолютно непрерывные распределения с плотностями р Ух) и q Ух) обладают следующими свойствами:..

р' Iх) и Я Iх) существуют и непрерывны на всей оси,

р Ух) = 0 при х> 0 и q Ух) — 0 при х <^ 0,

Р (а:) и q Ух) одновершинны с вершинами соответственно в точках —а <^ 0 и b > 0,

р Ух) и q Ух) логарифмически вогнуты соответственно на интервалах (—а, 0) и (0, Ь).

Тогда свертка этих распределений одновершинна.

Доказательство. Возможны два случая: а ^ t> и а > t>. Симметричный характер условий говорит за то, что мы можем ограничиться разбором одного из них, например, первого. Рассмотрим плотность свертки

ЭСЭСs (а:) = \ р Ух — у) q Уу) dy = \ q ух — у) р Уу) dy.

ЭС

ЭС

Плотность s (ж) также имеет непрерывную и к тому же ограниченную производную

s'(^) =5 Р^ —!/)?'(!/) ЙУ= l^ — ^P'k^dy. (2.7.16) X—со

Очевидно, что на полуосях (—оо, а) и (Ь, оо) производная сохраняет знак, поэтому доказательство единственности максимума функции s (ж) достаточно провести для —а < х < Ь. Можно утверждать следующее:

1°. Если s' (х^ <С О Для некоторого х s (О, b — а), то s' (у) ^ 0 для всех у ГЕ (х, а— Ь).

2°. Если s' (х) ^ 0 для некоторого х из (—а, b — а), то s' (у) > 0 для всех у s (—а, ху

Действительно, пусть 0 < е < а. Положим

Л (ж) =Л (ж) =9(« + е) если , , > Qq^x) **

Л (ж) =

Л (ж) =

О, если q (х) = 0.

Функция Ле (я) непрерывна, поскольку непрерывна функция q (х). Так как q (х) логарифмически вогнута на (0, Ь), то функция Ле (г) не возрастает в интервале (0, b — е). Далее, так как q (х^ не убывает на (0, Ь) и не возрастает на (Ь. оо), то Ае (х) также не возрастает на интервале (Ь — е, а). Поэтому Ае (х) ^ 1 при х^ Ь и Ле (^) > 1 при X <^ Ь — 8.

Пусть точка х6 S (0, b — а) такова, что s' (г0) ^ 0. Из (2.7.16)

—а

s' (хо + 8) = § р' (у) Ае (х0 — y)q (х0 — у) dy -]-

о

(2.7Л7)(2.7Л7)+ 5 р' (у) ЛЕ (^Ь — у)»(^0 — Z/) dy.

(2.7Л7)

(2.7Л7)

—а

Поскольку Ае непрерывна и неотрицательна, функция р' (ж) не меняет знака на каждом из интервалов (—оо, а), (—а, 0) и функция р' (у) q (хе — у) интегрируема, то, используя (2.7.17) и теорему о среднем значении интег-

рала, находим:.

а

д'(а:0 + е) = Ле (жо + Щ) § Р' (у) У М» — У^у +

О

+ Л (ж0 + ц2) $ р* (у) q (zo — у) dy, (2.7.18)

—а

где х0 ^ х0 + ц2 ^ ^о + а < Ъ и х0 + а ^ х0 + цт. Если выбрать е > О так, чтобы Ъ — а — х6 > 0, то х0 + + ^г <^ ^ — е и, следовательно, Ле (ж0 + ц2) > 1. Если ^о + Лг <С а' T°i Б силу невозрастания функции Ле (ж) на интервале (0, ft),

Ае (zo + П2) > Ав (ж0 + гн).

Если же z0 + th 2> а, то

Ае (а:0 + Ча) > 1 > Ае (ж0 + Ц^.

Из соотношений (2.7.16) и (2.7.18) следует, что «'(^o+c)^ ^ 0 для 0 < е < Ь — а — х0, т. е. утверждение 1° справедливо.

Далее, пусть х0 G= (—а, b — а) такова, что s' (ж0) ^> 0. Из равенства (2.7.16) для всех е < ж0 + а

—а

s' (ж0 — е) = [Ле (з-о — е + щ)]-1 $ Р* (у) q (^о — у) dy +

зсс—е

+ Me (^0 — В I Ч';)Г' $ Р* (у) q (^0 — у) dy,

—а

где 0 ^ х0 — ц2 — е ^ х0 + а — е ^ х0 + т^ — е и х0 + а — е <^ b — е. Отсюда, в силу тех же соображений, что и выше, получаем неравенство s' ^х0 — е) > 0 для О <^ е < х0 + а, а вместе с этим подтверждение справедливости 2°.

Заметим, что условие b — а ^> 0 по ходу доказательства не использовалось. Значит, опираясь на симметрию условия в утверждении 2°, мы можем получить из него как следствие следующее утверждение:

3°. Если для какого-либо ж GE (Ь — а, Ь) выполняется условие s' (ж) ^ 0, то s' (у) ^ 0 для любого у GE (ж, Ъ\ Условие одновершинности s (ж) получается теперь как простое следствие свойств 1° — 3° (в предположении, что Ь — а^> 0).

Перейдем теперь к доказательству самой теоремы 2.7.6. Понятно, что, не ограничивая общности, мы можем рассматривать только стандартные распределения G (ж, а, 0). В соответствии с (2.2.5) характеристические функции этих распределений в случае а ^ 2 имеют вид

log д (t, а, Р) = ita -|- аС1 (ег,х — 1 — it sin ж) ж-а -^— -|- о

'о

.+ аС2 (еНж — 1 — it sin ж) | ж |-а -^ .

Функции х-а, ж > 0, и | ж|_“, ж < 0, очевидно можно аппроксимировать функциями типа vn таким образом, что связанные с ними последовательности распределений Fn (ж) на полуоси ж )> 0 и Fn (ж) на полуоси ж < 0 при соответствующем подборе постоянных ап для любого t обладали бы следующим свойством: йап + |(е^_ 1)^(3:)-^+ $ (е^-1)^(ж)-^--^

—»log д (t, a, Р) при п-^оо. (2.7.19)

Если п достаточно велико, то распределение F„ (ж) и распределение 1 — Fn (—ж) подпадают под действие лемм 2.7.7, 2.7.8 и, следовательно, Fn, Fn удовлетворяют условиям леммы 2.7.9. Поэтому распределение F^ * Fn одновершинно при всех достаточно больших п. Отсюда и из соотношения (2.7.19) вытекает, что предельное распределение G (х, a, Р) также одновершинно.

Замечание. Метод доказательства не дает возможности проследить положение моды распределения G (х, а, Р). Восполнить этот дефект теоремы 2.7.6 (по сравнению с теоремой 2.7.5) помогает в случае ос ^ 1 то же соображение, которое использовалось в доказательстве теоремы 2.7.5. Именно, что при любых допустимых значениях a ^= 1, р

£ (0,«, Р) = -^ Г (1 + A) sin [np#(a)/aj.

Поскольку мода т (a, Р) распределения G^x, a, Р) единственна, то отсюда следует, что в случае a ^= 1

sign т (a, Р) = sign (1 — a) sign р. (2.7.20)

Из соотношения (2.1.2), применяя формулы перехода (В.18), (В.19) от формы (Л) к форме (5), легко вывести связь моды т(а, Р, у, X) распределения G (х, а, р, у, X) и моды т (а, Р) соответствующего стандартного распределения. Так в случае а 5^ 1 имеем

т (а, Р, у, К^= ^к cos (-^- ^К (а)) )J' т (а, Р) + уХ.

Это равенство вместе со свойством (2.7.20) позволяет сделать следующий вывод о положении моды т (а, р, у, X) на вещественной оси в случае ct^l, Р > 0. Именно,

m (а, р,у, X) ^> уХ, если а < 1,

(2.7.21)(2.7.21)т (Т, Р, V, "Ц < Y^» если а > 1.

(2.7.21)

(2.7.21)

В частности, мода несмещенного распределения (т. е. имеющего параметр (у = 0) в случае а ^ 1 всегда находится на той же полуоси, на которой находится мода соответствующего стандартного закона. Этот вывод, как и неравенства (2.7.21) остаются справедливыми и для формы (Л).

Случай а = 1, р =5^= 0, к сожалению, так же просто не разъясняется по той причине, что отсутствует достаточно простое выражение g' (а, 1, Р), которое позволило бы установить знак производной хотя бы для одной точки а вещественной оси. Вместе с тем, численные подсчеты значений g’ (0, 1, Р) для 0 < р <^ 1, проводившиеся на ЭВМ (см. таблицу на стр. 172), показывают, что g' (0,1, Р) < 0 и, следовательно, m (1, Р) < 0 при р > 0. Отсюда, благодаря тому, что

т(1,р, у, X) = -^-Xm(l, Р) + уХ + pxiog^- х)

(см. (2.1.2), (В.19)) и, в соответствии с (2.1.3), при всех допустимых значениях параметров

т (а, —р, —у, к) = — т (а, р, у, к1),

получаем оценки

если Р>0, еслп р < 0.если Р>0, еслп р < 0.т (1, Р, у, X) <^ уХ + pXlog ^- х)

если Р>0, еслп р < 0.

если Р>0, еслп р < 0.

т (1, р, у, X) 3> ^к + рх log ^-^- xj

Некоторые дополнительные сведения о локализации моды т (а, Р) удается извлечь из результатов работы [78]

Таблица значений функции д' (0, 1, Р).

р

g' №. 1, Р>

Р

g'(0, 1, р)

0,05

-0,004

0,55

—0,022

0,10

—0,007

0,60

—0,022

0,15

—0,011

0,65

—0,021

0,20

—0,014

0,70

—0,021

0,25

—0,016

0,75

-0,020

0,30

—0,018

0,80

—0,019

0,35

-0,020

0,85

-0,018

0,40

—0,021

0,90

—0,017

0,45

—0,021

0,95

-0,016

0,50

—0,022

1,00

—0,015

Примечание. Ошибка в приведенных значениях функции g' (0, 1, Р) не превышает по абсолютной величине 0,0605. Вычисления проводились на основе следующего представления этой функции:

1

g' (0, 1, Р) = ^L^' и (17 - 1) exp (-17) *р,—1

где

с_=Ш$1„р{!,ф + ^„-,}.

сов- <р 1'

(см. теоремы 4.1 и 6.1). Так, в случае 0 < а <^ 1 можно утверждать, что

(4- Г (1 — a) cos -£- а) 1/а < т (а, 1) <

< ^ Г (2 — а) cos^- а) 1/а, m (а, — 1) ^ т (а, 0) ^ т (а, 1),

причем неравенства являются строгими, если | 0 | ^ 1. Если же 1 < а < 2, то

m (а, 1) > L Ц^- аГ (1 + а) sin -у- а)1^

где

L (ж) = — х +

а) cos -^ а

Г u^du

J 1 -|-u = о

и adu

i + u1

Xl-a

Заметим еще, что случаи а ^= 2, 0 = 0 и а = 2, соответствующие устойчивым распределениям, симметричным относительно прямой х = уХ, являются пока единственными, когда известно точное значение моды: т (а, 0, у, X) = уХ.

Суммируя накопленные выше факты, можно составить следующее общее представление о поведении плотностей устойчивых законов.

Графики плотностей

g (ж, а, 0, у, X) и g (х, а, — 0, у, X)

симметричны относительно прямой х = уХ, а графики плотностей g (х, а, 0, у, X) и g (х, а, — 0, у, X) симметричны относительно оси ординат. В частности, если 0 = 0, то график плотности g (ж, а, 0, у, X) симметричен относительно прямой х = уХ. С учетом того, что поведение плотности в случае а = 2 ясно без специального исследования, эти свойства позволяют при анализе поведения графиков плотностей ограничиваться разбором случая 0 < а < 2, 0 > 0, у > 0.

Если О<^а<^1,0 = 1,то плотность g (х, а, 1, у, X) отлична от нуля лишь в точках полупрямой х ^> уХ. Во всех остальных случаях плотность g (х, а, 0, у, X) отлична от нуля в каждой точке вещественной оси.

Графики плотностей g (х, а, 0, у, X) одновершинны и имеют единственную моду, которая находится правее точки уХ, если0<а<1, 0 > 0 и левее точки уХ, если 1 < а < 2.

Если —1 -< 0 ^ 1, то плотность g (ж, а, 0, у, X) при х->оо убывает как const ^-1-“. Если же 0 = —1, то в случае а -< 1 при х ->- уХ — 0 ив случае а > 1 при х —>- <х> g (ж, а, 0, у, X) имеет экспоненциальный характер убывания. Точнее logg(x, а, 0, у, X)const | (ж, а) (функция | определялась в разделе 2.5).

В дополнение к доказанным выше фактам мы добавим еще несколько свойств плотностей устойчивых законов, доказанных в работе [45].

Если а < 1, то для любых положительных Хх, Х2 графики плотностей g^x, а, 0, у, X) и g (ж, а, 1, 0, Х2) пересекаются только один раз на полоуоси их сосредоточения ж > 0.

Для любого 0 < а ^ 2 и любых положительных Ли Х2 графики плотностей g (ж, а, 0,0, Xi) и g (х, а, 0, 0, Х2)

пересекаются только в двух точках (естественно симметрично расположенных относительно точки х = 0).

-0,06-0,02 О 0,02 ■0,06^

0^

Рис. 2. Графики плотностей gA (ж, а, 0), соответствующие значениям 'а = 0,25 и а = 0,5.

Приводимые на рис. 2—4 графики плотностей устойчивых законов иллюстрируют перечисленные свойства.

В упомянутой работе [45] сделано еще одно интересное для нас наблюдение, опирающееся на следующий доказанный там же факт.

Рис. 3. Графики плотностей gA^x, а, Р), соответствующие значениямРис. 3. Графики плотностей gA^x, а, Р), соответствующие значенияма = 0,75 и а = 1.а = 0,75 и а = 1.

Рис. 3. Графики плотностей gA^x, а, Р), соответствующие значениям

Рис. 3. Графики плотностей gA^x, а, Р), соответствующие значениям

а = 0,75 и а = 1.

а = 0,75 и а = 1.

Пусть X — положительная случайная величина, подчиненная некоторому абсолютно непрерывному распределению.

Тогда эквивалентны следующие утверждения:

Распределение случайной величины log X одновершинно.

Существует по крайней мере одна версия плотности р (ж) случайной величины X (версия от версии отличается не более чем на множестве нулевой меры Лебега), такая.

Рис. 4. Графики плотностей gД (х, а, Р), соответствующие значениям а = 1, 25, о = 1,5 и о = 1,75.

что при любом с > О графики плотностей ср (сх) и р (ж) пересекаются ровно в одной точке на полуоси х 2> 0.

Из этого критерия и свойства 5 очевидно следует, что в случае 0 < а -< 1 плотность

exp (ж) g (exp (х), а, 1), —оо <_ х < оо,

случайной величины log У (а, 1, О, 1) является одновершинной.

2.8. Устойчивые распределения как решенияинтегральных, интегро-дифференциальныхи дифференциальных уравнений

Во введении приводилась каноническая форма записи характеристической функции g (f, а, Р) (справедливая как для формы (Л), так и для формы (В)), которую мы несколько преобразуем:

g (t) = g (t, a, P) = exp | (eUx — 1 — it sin ж) dH (ж) I =

X^O

= exp(—(e‘,x — 1 — it sin x) R (ж) -^Ц,(2.8.1)

где R (ж) = —xH' (ж), ж^ О,— функция, неубывающая на полуосях ж < 0 и ж )> 0. Наиболее простой вид она имеет, если параметризация берется в форме (Л):

^- Г (1 + a) sin ^-^- ct^ (1 ]- Р)ж_“, ж^>0,~r(l+a)sin(-^-a)(l — Р)|ж|-“ ж <0.

(2.8.2)

Функция R (ж), соответствующая форме (В), получается заменой в (2.8.2) параметра р = Ра его выражением через а и Рв- Обозначим далее через

с \ i sin t-

Si (.z) = \ —-— at

функцию интегрального синуса.

Теорема £.8.1. Для любой из двух форм параметризации (Л) и (В) функции распределения G ^х, а, Р) и плотности g (ж, а, Р) удовлетворяют следующим уравнениям1.

xG' (х, a, Р) =

= — $ (G' ^'а' Р) Si (^) — G^x — у, а, Р) + G (х, а, Р)) dR^y),

у^о

(2.8.3)

xg (х, а, Р) =

= J ^(x.a.^^-g^x-y.a^^R^dy.(2.8.4)

1/т^О

Доказательство. Преобразуем (2.8.1), интегрируя по частям интеграл в экспоненте и принимая во внимание, что

I S (е 'Г—^ — it sin у)-^ | = ^ (иа) при и—>0, о

5 ^etl> — ^—it sin у)-^-1 = О (log и) при и—> оо.

KkKu

В результате

9 (t) = exp { J [J (e- - 1)it Si (y) ] dR (y)} . (2.8.5)

1/7=00

Дифференцируя no t ^ О обе части (2.8.5), находим, что

9' (О = 4-9 (О $ ^ -i-itSi (y)) dR (y).

Отсюда, после замены переменного t = six, x =/= 0, имеем

(2.8.6)

Преобразуем формулу обращения

g (х, а, 0) = -^- e-*txg (t) dt, х ^ 0, производя замену переменного tx = s:

xg (х, а, Р) = -^-^- § e-isg (s/x^ ds.

Дифференцируем обе части этого равенства по х, и, подставляя вместо -^-g(s/z)ee выражение (2.8.6), получаем:

(xg (х, а, р))' = — ^gf J e-«g (s^ -^- J (е^/« — 1 —

-2LSi(y^dR(yV

После изменения порядка интегрирования и обратной замены переменного s = tx приходим к равенству

(xg(x,a, Р))' =

= — 4г dR ^ 5 ^ — ^~и Si ($/)) e~itx9 (t)й1-

Внутренний интеграл представляет собой линейную комбинацию интегралов, каждый из которых является не чем иным, как формулой обращения для плотности или ее производной, т. е.

(xg(x,a, ₽))' =

= —$(g(^— У,а,Р) —g(a:,ct,P) + g' (z, а, ₽) Si (у)) dR(yy ' “ (2.8.7)

Проинтегрировав обе части равенства по х от —оо до х и используя тот факт, что xg (х, а, 0 ) ->- 0, если х ->-— оо, мы получим равенство (2.8.3). Интегрирование по частям в (2.8.3) приводит нас к (2.8.4).

Замечание 1. Хотя теорема 2.8.1 связана с устойчивыми распределениями, нормализованными условия- миу = 0иХ = 1, утверждение теоремы легко распространяется на общий случай. Действительно, так как согласно (2.1.2) G (х, а, р, у, X) = G ((х — Z) Х-1/“, а, 0, 0, 1), где величина I простыми формулами связана с р, у, X, то уравнения для G (х, а, р, у, X) и g (х, а, р, у, X) мы получим из (2.8.3), (2.8.4), произведя замену х на (х — Z) Х-1/“.

Замечание 2. Обратим внимание на то, что по ходу доказательства было получено интегро-дифференциальное уравнение для плотностей устойчивых законов (2.8.7).

Интегральные и интегро-дифференциальные уравнения для устойчивых распределений могут различаться (иногда очень сильно) по форме, хотя все они, в конечном счете, эквивалентны. Наиболее близким к уравнению (2.8.7), почерпнутому вместе с (2.8.3) и (2.8.4) из [45], является, по-видимому, интегро-дифференциальное уравнение (для плотностей с а^1), полученное в работе [67].

С одним интегро-дифференциальным уравнением, сильно отличающимся от приведенных в теореме 2.8.1, мы . познакомимся ниже. Особым его достоинством является то, что из него можно довольно просто извлекать . дифференциальные уравнения для плотностей в случае рациональных а =£ 1^ Для формулировки этого уравнения нам потребуется, следуя [66], ввести понятие дробного интегрирования и дифференцирования.

Дробным интегралом порядка г > О функции h (Z), заданной на полуоси t _> 0, называется функция

. »-inr р ■

/ А (ж) = -р (г) уZ — ^)г-1 а (0 dt

(разумеется, Л (/) должна быть такой, чтобы интеграл в правой части равенства существовал). Если г — целое число, то оператор F с точностью до знака совпадает с оператором r-кратного интегрирования, т. е.

Fh У) = — p-^h (f) dt.

При этом под 1° понимается единичный оператор U°h ^ = К уу

Оператор FT дробного дифференцирования порядка г > 0 понимается как обратный к оператору 1Г, т. е.

F (I-r h (х)) = h (х).

Если г — целое число, то FT = (у^ *• В случае нецелого г )> 0 оператору Fr, как и оператору F, можно придать интегральную форму. Именно, если 0<г<1,

то

Длг р

Hh (х) = р^ ^ \h ^ — h (х)] (f — ху-' dt.

X

Если же г > 1, то

Гг h (х) = Fn Ц-^н ^у

где п — целая часть числа г. Определенное таким образом множество операторов {/г, — оо < г< оо} образует коммутативную группу 2-м.

С помощью операторов F можно записать ряд уравнений для плотностей устойчивых распределений из класса Ж. В рассматриваемых далее функциях ф (ж) = = xg (х, ct, 0), х ^> 0, плотности g (х, а, 0) имеют параметризацию в форме (С), однако отмечаться индексом С это не будет.

Отметим несколько специальных свойств операторов 7Г, которые нам в дальнейшем понадобятся.

Лемма 2.8.1. Пусть z — комплексное число. Если г ^ 0, Re z > 0 или же г < 0, Re z 2> 0, то

F ехр (— гж) = ехр (— 1кг — zx) z~r. (2.8.8)

В частности, для г^О и z = — it, t ^> 0,

Fr ехр (ita) = ехр (глг/2 + itx) V".(2.8.9)

Пусть s — вещественное число и п — минимальное целое число, такое, что п + s > 0. Тогда для любого г <2 s ... S (S + 1) . . . (s + п — l)T(s — г)

Гх- = exp (- №)<L х™.

(2.8.10)

В частности, если s ^> 0, то для любого г < s

Fx~s = exp (шг) 1 р^^ zr S' (2.8.11)

Доказательство. Случай г = 0, очевидно, в разборе не нуждается. Если г > 0 и Re z > 0, то

Г ехр (— za;)Г ехр (— za;)expr(~^^^^expr(~^^^^

Г ехр (— za;)

Г ехр (— za;)

expr(~^^^^

expr(~^^^^

_ exp(-inr) С

— Г (Г) еt at.

о

Отсюда, как нетрудно видеть, следует (2.8.8).

Если — 1 < г < 0 и Re z ^ 0, то с помощью интегрирования по частям получаем

Г ехр (— zz)Г ехр (— zz)^21_^2 (е~21 — е-2Ж) к* — XY-1 dt =X

Г ехр (— zz)

Г ехр (— zz)

= ^WT^2Vz4t-xYdt-

Дальнейшее преобразование интеграла проводится тем же путем, что в предыдущем случае.

Если г — целое отрицательное число, то оператор F является оператором r-кратного дифференцирования, и проверка (2.8.8) труда не составляет.

Если же г — число отрицательное и нецелое, то выбрав целое положительное число п, такое, что —1 < г + и < < 0, мы можем разложить оператор F = Jr+nj-n^ в ре_ зультате чего

dn

F ехр (— zx) = 1т*п —д- ехр (— zz) = dz

= ехр (г ли) znIr+n ехр (— zz),

т. е- мы приходим к случаю уже разобранному.

Проверка (2.8.10) осуществляется аналогичными рассуждениями.

Теорема 2.8.2. Пустьх> Ou а ^ 1, 6 — какая-либо пара допустимых значений параметров. Тогда для любого Г ^> — 1/а функция ф (ж) = xg (х, а, 0) является вещественной частью функции х (91 6 = я~“, удовлетворяющей уравнению 2125 хГ~ат (ж]х (я"“)) =

= ехр ^— /лг + i-^-a(l — 0) г) £Т-Гх (6).(2.8.12)

Доказательство. Рассмотрим функцию

Х(£) = ~- § ехР yit — &“ехр^-у-а0^ dt. (2.8.13) о

Несложное преобразование интеграла в (2.2.1а) показывает, что ф (х) = Re х О- Покажем, что функция х О удовлетворяет (2.8.12). Используя (2.8.8), находим, что

I-гх (6) = -^- ^ ехр (it) 1~т ехр ^— £t“ ехр (г ^- а0^ dt = о

= ехр ^'лг + г -у- «0г ^ -^- taT ехр (it — V1 ехр (г -2- af)^ dt.

(2.8.14)

Далее, поскольку р (z) = ж-1х (аг») =

= -^- ехр (itx — t“exp ^i -^- a0^ dt, (2.8.15) о

то, благодаря свойству (2.8.9),

х!-агу. (ж) = -^- ехр ^— ta ехр (i -^- aO^ 1-ат ехр (ito) dt = о

= ехр (i -^- ar^ -^- tar ехр (itx—ta ехр (i -^- a0^ dtx =0-

: — |r ехр (i *y*ar) ~" ^ taT eXP (it — ^“ exP (i "^ “в)) dt.

(2,8,16)

Сравнение - (2.8.14) и (2.8.16) подтверждает справедливость (2.8.12). Условие аг)>1 обеспечивает существование интегралов в этих равенствах.

Небольшое изменение в рассуждениях позволяет получить еще одно уравнение типа (2.8.12).

В выражении (2.8.13) функции % (£) произведем интегрирование по частям:

х®--^ +

-+ -^- exp ^i -^- («6 — 1)^ t"*1 exp (it —- £4“ exp (i -^- aO) di.

. (2.8.17

Обозначим т (£) = £-1% (£)• Функции т, % и ф связаны между собой следующими соотношениями:

1 (9 = ^“/ М = *1+“Н (^).2 g 18)

И (Ж) = № ^ = gl+1/ат (у,1 '

а дифференциальные операторы по переменным i и Е связаны равенствами

Jl^-^^d(2gl9)

ск,a dx ’ dxdi, ''

Теорема 2.8.3. Для любого г > —1 и любой пары допустимых значений параметров а ^= 1, 6 функция х1*1^ ^х, а, 6) является вещественной частью функции т (£), удовлетворяющей уравнению

^Ч-т © + -L г (1 4- Г) ехр (4 л (1 + г)) =

= а ехр ^4лг — i -^-а (г -f-1) (1 — 6)) Ii-^r+D (х-^1*^ (лг“)).

(2.8.20)

Доказательство. Согласно (2.8.17),

т®--^"

а

in

ехр

Отсюда, используя свойства (2.8.8), (2.8.11) операторов /’ , находим, что

1Л /

= I'7'! (I) + -^ ехр (/лг) Г (1 + г) ^<1+'-) =

= -^-exp (inr 4- i ^-а0(1 + r)^ X

in 1 \12' V

X \ #“<r+1)-] exp (it — |i“exp (i -^- «0^ dt.(2.8.21)

о

С другой стороны, в соответствии с (2.8.15) и (2.8.9)

f l-a(r+l)p. (z) = fl—а(г+1) (х-(1+“)т (z~“)) =f l-a(r+l)p. (z) = fl—а(г+1) (х-(1+“)т (z~“)) == exp (t -£- (а (г + 1) — 1))= exp (t -£- (а (г + 1) — 1))XX

f l-a(r+l)p. (z) = fl—а(г+1) (х-(1+“)т (z~“)) =

f l-a(r+l)p. (z) = fl—а(г+1) (х-(1+“)т (z~“)) =

= exp (t -£- (а (г + 1) — 1))

= exp (t -£- (а (г + 1) — 1))

X

X

X ~^~ #a<r+i)-i exp ^tx — ta exp (i -у- аб)) dt == £r+1 exp ^i -5- (a(r + 1) — 1)) x

X — (“(^iX1 exp (it — ^“exp ( i -5- аб^ dt. (2.8.22) о

Сравнение (2.8.21) и (2.8.22) дает равенство (2.8.20).

Следствие. Пусть г = 1/а — 1, в этом случае (2.8.20) упрощается и принимает вид

[i-Цах (|) -]_ _2_ Г (1/сх) ехр (гл/а) |-1/« =

= а ехр ^гл (1 — а)/а — г "^ (1 — 8)) ^ ©• (2.8.23)

Еще одно следствие мы выделим в самостоятельную теорему, поскольку оно связано со случаем, когда интегро-дифференциальное уравнение (2.8.20) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение2-26.

Теорема 8.8.4. Если а = p/q — рациональное число, отличное от единица, то для любой пара допустимах значений параметров а, 0 плотность g ^х, а, 0) является вещественной частью функции р. (ж), удовлетворяющей

уравнению

^ ^+T^)q^1+^H) =

*= рч ехр( — t -£- р (1 — 0))^’(^р' И М +1 ^~-^ p^xv.

'(2.8.24)

Доказательство (2.8.24) сводится к преобразованию уравнения (2.8.20) в случае а = р/д, г = д — 1. Переход от переменного 6 к переменному х осуществляется посредством соотношений (2.8.18) и (2.8.19). С их помощью уравнению (2.8.24) можно придать другую форму, если записать его для функции т (6) перейти от переменного х к переменному ^:

n9 (4Г т ®+* "^^г ^qP=

= (_ 1)р+»рР ехр ( - i -£- р (1 — 0)) ^' ^ "р У1’"1 X

Х(Грт®). (2.8.25)

Нетрудно заметить, что вариант (2.8.24) будет выглядеть проще чем вариант (2.8.25), если д < р, и сложнее, чем (2.8.25), если д > р. Это хорошо видно, например, в случае р = 1, когда (2.8.25) преобразуется в уравнение 2-27 9^ТТ® + .

+ (- I)7 ехр ( - i -^(1 - 0)) 6т ®+i(-l)g Ш^-Г^О- '(2.8.26)

Уравнения, приведенные выше, начиная с (2.8.12) имеют одну общую особенность. Они связаны не с самой плотностью g (х, а, р), а с некоторой комплекснозначной функцией, вещественная часть которой выражается через плотность. Это означает, что каждое из этих уравнений является, вообще говоря, системой двух уравнений для двух функций, из которых лишь одна нас интересует. Линейный характер обоих уравнений дает нам возможность выписать уравнение для каждой из этих функций, однако лишь за счет усложнения уравнения. Так, порядок уравнений (2.8.24) и (2.8.25) равен шах (р — 1, д — 1), в то время как порядок уравнения для плотности g (х, а, 0) =

= Re fi (ж) в общем случае будет 2 max (р— 1, g— 1). Иногда, впрочем, усложнения не происходит, благодаря тому, что сомножители при операторах оказываются вещественными.

Мы подробнее рассмотрим это явление на примере уравнения (2.8.20) и его частных случаев (2.8.24) и (2.8.25). Сомножителем в (2.8.20), о котором идет речь, является число exp^inr—i-^-a(r + 1)(1— 0)). Для того, чтобы оно было вещественным, необходимо и достаточно, чтобы число 2г — а (г + 1) (1 — 0) было четным, т. е. равнялось числу 2к, где к — целое. Имеем 2г — а (г + 1) (1 — 0) = 2к. Отсюда -

0 = 1 - . (2.8.27) а (г +1) ' '

Выявление чисел 0, удовлетворяющих условию (2.8.27), сопряжено с требованием принадлежности 0 области допустимых значений, т. е. | 0 | ^ 0а. Нетрудно подсчитать, что оно эквивалентно условиям

г ^ к ^ г + а (г + 1), если 0 < а < 1, (а — 1) (г + 1) + г ^ к ^ 2г + 1, если 1 <^ а ^ 2.

Для уравнений (2.8.24) и (2.8.25), в которых а = p!q=^ N= 1 и г = q — 1, представление (2.8.27) равносильно (по скольку г — целое) соотношению

0 = 0ОТ = 1-^1 (2.8.28)

Р '

с условиями на целое число к"

0 ^ к ^ р, если р < q,Р — q ^ к ^ q, если р > q.

Для каждой пары а = pfq, №, удовлетворяющей условию (2.8.28), уравнения (2.8.24) — (2.8.26) распадаются на пары несвязанных между собой уравнений для вещественной и мнимой части соответствующей функции. При этом наиболее интересное уравнение для вещественной части всегда оказывается однородным. ■

Нетрудно заметить, что для каждого а = plq ^ 1 имеется по крайней мере два значения 0, удовлетворяющих условию (2.8.28). Это 0 = 0а и 0 - —^0а. Множество тех а = plq=l= 1, для которых иных случаев расщепления дифференциальных уравнений, кроме случаев крайних

2.8. УСТОЙЧИВЫЕ ЗАКОНЫ КАК РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ 187 законов, не существует, образуется числами вида 1/(и 4? .1) и (2и + 1)/(п + 1), к = 1, 2, . . ..

Если порядок уравнений не превышает двух, то вид самих уравнений позволяет надеяться, что они могут быть решены, по крайней мере, с помощью тех или иных специальных функций. Рассмотрим эти случаи.

Если а = 1/2 и 6 — любое допустимое, то из (2.8.26) получаем, что

т' ©^- exp (inp) gt © + -^- Г2 = 0.

С учетом того, что т (оо) = 0, это уравнение решается без труда:

т (6) = —- ехр(-^- einpj $ exp ( — -^-е^) -^

Следовательно,

x^f^-g ^т, 1/2,6) — Не т (^) =

= —4"Im (z ехр ^^ $ ехр (— ,2/4) ^' (2-8-29)

где z = arVa ехр -^- pj.

В частности, если 6 = 0 (т. е. р = 1/2, что соответствует симметричному распределению), то (2.8.29) после надлежащих преобразований принимает вид

g^x, 1/2, 0) =

+ sin-^(4--5(4-))]. (2.8.30) где+ sin-^(4--5(4-))]. (2.8.30) где

+ sin-^(4--5(4-))]. (2.8.30) где

+ sin-^(4--5(4-))]. (2.8.30) где

1 /2л1 /2лdtdt

1 /2л

1 /2л

dt

dt

С^ =8 (и)

' ’/2.4 J Vt x ’

—• специальные функции, носящие название интегралов Френеля 2-28.

Если а — 1/3, 6 = 1 (случай расщепления уравнения (2.8.26)), то для у(§) = Re т (^) мы получаем уравне-

ние 11

у"® -4&® = °-

Решением этого уравнения является (с точностью до постоянного множителя) так называемый интеграл Эйри, выражающийся, в свою очередь, через функцию Макдональда порядка 1/3:

У (I) = Зс ^ cos V3 + Ф dt = с V ^ ^'/з£4 •

Установить значение с нам поможет разложение (2.4.8) функции х'Ь g (х, 1/3, 1) по степеням £ = аг1!*. Поскольку, с одной стороны (см. [22], 8.432 (5))

/№з(^^2)—1у-Г(1/3) при ^->0,

а с другой, при £ -► 0

У ®=^ (^ 1/3,1) -> 4 -^ г (W

то с = 1/Зл. Следовательно,

_ 3/2/2\е^ЛИ-Ак-М^ТГ^_ 3/2/2\е^ЛИ-Ак-М^ТГ^(2.8.31)(2.8.31)

_ 3/2/2\

е^ЛИ-Ак-М^ТГ^

_ 3/2/2\

е^ЛИ-Ак-М^ТГ^

(2.8.31)

(2.8.31)

Имеются еще четыре случая, когда плотность g (х, а, 6) удается выразить посредством специальных функций.

Если а = 2/3, 0 = 1, то из (2.8.25) следует, что у (£) = Re т(9 удовлетворяет уравнению

уи ®+4 ^" ®+4 & ®=°-

Если а = 2/3, 0 = 0, то для у (9 = Re т (£) имеем

/®-4^о-4^®-о.

Если а = 3/2, 0 = 0^2 = 1/3, то, как следует из (2.8.26), функция у (ж) = Re ц(£) является решением уравнения

У" И + 4 ^v ^ + 4 ху ^ = 01

Если а — 3/2, в = —1/3, то для у (х) = Re р (а) мы имеем уравнение

У" И — 4хйу' ^ ~^Гху ^ ~ °-

Напомним, что в двух последних случаях значение 6 = 1/3 соответствует значению Р = —1 в формах (Л) и (S), а 6 = — 1/3 — значению Р = 1 в тех же формах.

Все эти уравнения связаны с одним типом специальных функций, так называемыми функциями Уиттекера И^^Дж), Мы ограничимся разбором лишь одного случая а == 2/3,' 6 = 0. Остальные случаи разбираются аналогично.

Известно (см., например, [44], 2.273 (5)), что решением уравнения в выбранном нами случае является функция вида

у ® = С^ exp (А ^ W-^, 1/6 (А £3) .

Найти значение постоянной С поможет, как и при разборе предыдущего случая, сравнение асимптотического поведения у (£) при £ = хг’Ь ->- оо, полученного двумя различными путями. С одной стороны (см. [22], 9.227)

у © ~ С ^- £"(1+3/2) = С -^- Ж™/3.

С другой стороны, на основании (2.2.11),

у (£) = a;i+2/3g (ж, 2/3, 0) ~ x^l^g (0, 2/3, 0) =ж’+2/з.

' ' 4 У л

Откуда следует, что С = 1/(2 у^Зл), т. е. для любых х^ 0 g^, 2/3, 0) = g(—ж, 2/3, 0) =

ехр йгх-1У-^А4гх^- (2-8-32)

В остальных случаях тем же путем мы получим следующие выражения плотностей на полуоси а: > 02-29: g (ж, 2/3,1) = -^ exp ( - А-х-^ W1M6 ^^ ’ (2-8‘33) g (х, 3/2,1/3) = у=- ехр ( — 4ж3) ^i/2,i/e ("^^ ’

(2.8.34)

g (х, 3/2 — 1/3) = -2у^ ехр ^ х3^ W_1/2,1/в (4^) •

(2.8.35)

- Согласно закону двойственности (2.3.3), рассматриваемые плотности на положительной полуоси должны быть связаны равенствами

xg (ж, 3/2, 1/3) = x~*h g (х-’/г, 2/3, 1),xg (ж, 3/2, —1/3) = зт^Ь g (х-’!1, 2/3, 0).

И это действительно наблюдается в приведенных формулах (поэтому, в частности, мы можем получить (2.8.35) как следствие (2.8.32), а (2.8.33) — как следствие (2.8.34)).

Интегральное представление функции W-i/tii/v (z) в плоскости z с разрезом вдоль отрицательной полуоси (см. [22], 9.221)

W-i/2,i/e (z) = у^ ■ е z/2W-i/2,i/e (z) = у^ ■ е z/2е Ч1?6 (1 + -^ 5/6 dtе Ч1?6 (1 + -^ 5/6 dt

W-i/2,i/e (z) = у^ ■ е z/2

W-i/2,i/e (z) = у^ ■ е z/2

е Ч1?6 (1 + -^ 5/6 dt

е Ч1?6 (1 + -^ 5/6 dt

показывает, что это — многозначная функция с алгебраическими точками ветвления третьего порядка z = 0 и z = оо. Следовательно, функция W-ч,, i/„ (z3) является аналитической функцией во всей комплексной плоскости, и мы вправе говорить о ее значениях W_i/X,,/. (—z3) на отрицательной полуоси, хотя для1 их выражения приведенная формула непригодна. Это соображение, вместе со следствием свойства (2.1.3)

g(x, 3/2, 1/3) = g (-х, 3/2, -1/3),

приводит к новым выражениям плотностей g (х, 3/2, 1/3) и g (х, 2/3, 1):

g [х, 3/2, 1/3) = — ^L exp ( jA8) 1У_1/2,Ve ( — 4г^’ g (х, 2/3,1) = -^r exp (A x-^ W_1/2, i/e ( - A x^.

Сравнение этих выражений с (2.8.34) и (2.8.33) показывает, что в комплексной плоскости справедливо равенство

W_v„ ./„ (-z3) = - 2W_Vz, 1Ь (Z3).

Мы завершим изложение материала настоящего раздела еще одной теоремой.

Рассмотрим функцию

Sa(l, Ц) =Sa(l, Ц) =xg(x, а, р), если а^1, я>0, Pg (ж, а, Р), если а = 1, Р ^> 0,

Sa(l, Ц) =

Sa(l, Ц) =

где переменные Bi

1] связаны с ж, р соотношениями

— log ж,если а ^1,

, в=

-^logP, если а=1,

Т)=.

-^- рХ (а)/а, если а ^ 1,

л/(2р),если а=1.

Положим z = £ 4- й] и определим функцию Ta(z) следующим образом:

если 0 < сс < 1, то

Та (z) = -^- ехр^— t — ta exp ^ — i -2- а 4- az^ dt, о

если 1 <С а ^ 2, то

Та (z) = -^- exp (ite-z — z — i“) dt,о

если а = 1, то

(-у- 4- z)i — <log^ dt.(-у- 4- z)i — <log^ dt.

(-у- 4- z)i — <log^ dt.

(-у- 4- z)i — <log^ dt.

Возвращаясь к представлениям (2.2.8) — (2.2.10) плотностей g (ж, а, Р), мы видим, что

8а (В, 4) .= ReTa (Z).8а (В, 4) .= ReTa (Z).(2.8.36)(2.8.36)

8а (В, 4) .= ReTa (Z).

8а (В, 4) .= ReTa (Z).

(2.8.36)

(2.8.36)

То, что функция Та (z) при всех а является целой аналитической — очевидно.

Тем самым мы приходим к следующему утверждению.

Теорема 3.8.5. Для каждого допустимого значения а функция 8а (Bi 4) является решением первой краевой задачи уравнения Лапласа &Sa = 0 в области, совпадающей с полосой

^<ос,— 0а<Г|<—0а

в случае а ^ 1 и с полуплоскостью — оо <; g <; 00, т] ^ л/2 в случае а = 1. При этом краевыми условиями

будут для а ^ 1 ■^а(±^,1]) = 0,

Sa ^, ± -^- 0а) = e-Xg ^, а, + sign (1 — а)) и для а = 1

Si (+ о^» i|) — Si (£, ос) = О,Si (+ о^» i|) — Si (£, ос) = О,5i^,^)=g(^l,l).5i^,^)=g(^l,l).

Si (+ о^» i|) — Si (£, ос) = О,

Si (+ о^» i|) — Si (£, ос) = О,

5i^,^)=g(^l,l).

5i^,^)=g(^l,l).

Замечание. Появление здесь области изменения переменных £, ц связано, понятно, с теми ограничениями, которым подчинен параметр 0. Если же функцию Sa (6, ij) определять непосредственно как вещественную часть функции Та (г), то она будет гармонической в каждой точке плоскости (£, Т)).

Устойчивые законы как функции параметров

Из четырех параметров а, 0, у, X, определяющих распределения класса ©, два последних играют роль параметров сдвига и изменения масштаба. Из свойства (2.1.1) видно, что'

G = G (ж, а, 0, у, X) = G ((ж — /) VV“, а, 0, 0, 1), где величина I однозначно определяется значениями параметров. Поэтому при фиксированных а и 0 распределение G допускает представление в виде суперпозиции стандартного распределения G (я, а, 0) и линейной функции (ж — /) Х-1/“ со сравнительно простой зависимостью I от параметров. Тем самым, изучение свойств распределения G как функции у и X сводится, по сути дела, к изучению свойств G (ж, а, 0) как функции ж при фиксированных а и 0 и как функции х, а, 0 в общем случае.

Из теоремы 2.8.5 следует, что плотности g (х, а, 0) являются целыми функциями модифицированных переменных £, т], которые выступают как равноправные переменные в том смысле, что они являются вещественной и мнимой частью единого переменного 2 в равенстве (2.8.36).

Анализ функции Та (2) показывает, что ее порядок как целой функции бесконечен при любом а. Это указывает па то, что Sa (S, ц) как целая функция £ или ц также имеет бесконечный порядок.

Интегральные выражения функции Та (2) позволяют без больших усилий получить ее разложение в ряд по степе-

УСТОЙЧИВЫЕ ЗАКОНЫ КАК ФУНКЦИИ ПАРАМЕТРОВ 193 ням z, откуда уже совсем просто находится разложение в двойной ряд по степеням Е и г], после чего отделение вещественной части двойного ряда даст аналогичное разложение в двойной ряд функции Sa (£, т)).Мы не будем, однако, приводить здесь эти довольно громоздкие формулы, которые нетрудно получить, следуя сделанным выше ука- зиниям.

По параметру а распределения семейства <S, независимо от выбора системы параметризации, непрерывны в интервалах (0,1) и (1,2). Распределения G (х, а, 0), соответствующие системам параметризации (М) (для всего семейства <S), (С) и (Е) (для его части $8), оказываются непрерывными по совокупности всех переменных в области их изменения. Дополнительного внимания здесь заслуживает вопрос о поведении устойчивых распределений при приближении а к нулю и о поведении распределений См (#» а, 0) в окрестности а = 1. Последний — в связи с желанием иметь хорошие аппроксимации распределений См (я. a, 0) в терминах Gm (х, 1, 0).

Рассмотрим случайные величины У (а, 6) и Z (а, р) со значениями 0 < а < 1 ) и обозначим через Uy случайную величину, принимающую значения ±1 соответственно с вероятностями (1 ± 6)/2 и не зависящую от показательно распределенной случайной величины Е со средним значением единица.

Теорема 3.9.1. Для любой последовательности пар допустимых значений a < 1, р' = (1 + 6')/2, таких, что п .1+е -1

а-^0, р ->р = —

У“ (а, 6') = | У (а, 6') |“ sign У (а, 6') 4 и^Е, (2.9.1)

Z» (а, р') 4 1/Е.(2.9.2)

Доказательство. Элементы характеристического преобразования распределения случайной величины У® (а, 0') имеют вид

cos -s- (к — а$6') Г (1 — s)u)k (as, а, 0') =, k = 0,1.

cos ^- (к — as) Г (1 — as)

При а -> О, 0' -> О и фиксированном —1 < s < 1 очевидно, что

^о (as, a, 6') -^ Г (1 — s) = too (s),

toi (as, a, 6') -> 6Г (1 — s) = toi (s)." "

Покажем, что пара to0, toi соответствует характеристическому преобразованию случайной величины UqIE. Действительно,

Е | Uy/E Iе = Е <Е-'У = J х^е"* dx = to0 (s),

Е | Uq/E Iеsign фе/Е) = E (Е^Уs°ign Ue =

= (E sign U6) (E (7?'1)8) = e“’o («) = M'i U)-

Следовательно, (2.9.3) эквивалентно (2.9.1). Соотношение (2.9.2) доказывается аналогично 2-30.

Функции распределения случайной величины У“ (а, 0), ее срезки Za (а, р) и предельных к ним при а -> 0 случайных величин UyiE, ME выглядят соответственно следующим образом:

Fa V"h = G (| x I1/™ sign x, a, 9), x EE R1,

K(x) = ^[G(xl/a,a,p) — (l — p)], x>0,

^o H = -g- (1 — 0 -|- (sign x + 0) exp (— 1/| x I)), x G R\

Fo (x) = exp (— МхУ x > 0.

Соотношения (2.9.1), (2.9.2) можно уточнить, построив асимптотические разложения функций Еа (х) и Fa(^) в ряды по степеням a —> 0. Для этого нам понадобится ввести несколько новых обозначений. Положим а^ = а^ = = bt = — С, где С — постоянная Эйлера, и для значений п > 2, к = 0, 1

п

А _ 2П|В«1ппх

ппЬп~ пГ (n-1-l)Р ^

п

п

где Е1г — числа Бернулли и (и) — значение в точке п £-функции Римана. С помощью величин «„’и Ьп опреде-

пим' величины С«1 и Dn, связав их равенствами

Ч£И=£^- n=lт=о

Понятно, что величины Dm формируются величинами Ьп по тому же правилу, что и Ст1 величинами а^\ В обоих случаях реализацией этого правила являются так называемые полиномы Белла Сп (щ, . . ., и^ (их явное выражение приводится в разделе 3.6). Именно,

С^ = Сп (1! а™ . . ., щ А

Dn = Сп (11 bt, . . ., Щ b^.

Определим полиномы Рп (ж), п = 0, 1, 2, . . ., рекуррентным соотношением

^о И = !> ^п+1 (я) = хРи (х) + хР'п (х), п > 0.

Нетрудно подсчитать, что производящая функция этих полиномов равна п

У , РП (а) -^- = ехр (ж (е2 — 1)). 71=0

Следовательно, Рп (х) при желании можно интерпретировать как момент порядка п пуассоновского распределения с шагом 1 и средним значением х > 0.

Теорема 3.9.3. Пусть — l^Q^lux^B1 — фиксированные числа. Тогда при а->0 имеют место следующие асимптотические разложения2-31:

для любого вещественного х ^ 0

Fa(x)~F4x) +

+ 4- £ (с" ’+ес® sien ^ р« I- мх I) ех₽ (- j/iх П 4г ’

(2.9.4) для любого х ^> 0

ta {X) ~ Fo (х) + У| DnPn (- 1/х) ехр (- 1/х) -^- .(2.9.5)

П=1‘

Доказательство. Преобразуем функции

Wk (<xs, а, 6), используя введенные величины а^\

Г (1 - *)Г (1 — as)Г (1 - *)Г (1 — as)cos ~2~ (А — аОк)

Г (1 - *)

Г (1 — as)

Г (1 - *)

Г (1 — as)

wk (as, а, 6) cos -g- (/с — as)

= exp (^ а^ (sap) Г (1 — s) =n=l

= 0к^с£)-^-Г(1 — s), Л = 0, 1. (2.9.6) n=0

При этом в случае 6=0 принимается 6° = 1; по поводу преобразования (2.9.6) см. раздел 3.6. Складывая w0 с wx и вычитая Wi из w6, мы получим, что для — 1 < s < 1

2 J ^ dFa (я) = £(с<?> + 6С™) -^- snr (1 - s), оп=о

2 (- xy dFa ^ = £ (С<”> - ес^) -^- sT (1 - s). —ООn=>0

Сходимость рядов является следствием аналитичности в круге | s | < 1 тех функций в записи wk (as, a, 0), которые стоят сомножителями при Г (1—s). Далее имеем

s"r(l-s) =

= sn ^ х* d exp (— 1/ж) = (— 1)" ^ x d (х -£^П ехр (— 1/я). оо

(-1)" (* уехр (~1/ж)=(-1)" (* уехр (~1/ж)=Поскольку

(-1)" (* уехр (~1/ж)=

(-1)" (* уехр (~1/ж)=

(ы Уе" Lvx=р" {~ilx} ехр (~ ^'

то

Совершенно аналогично получаем

о

зпГ(1—s) = $ <-xyd\Pn№exptW

Вместе с (2.9.7) эти равенства после обращения преобразований Меллина приводят к формальному равенству (2.9.4). Полученное формальное соотношение имеет строгий смысл асимптотического разложения. Обоснование этого факта осуществляется стандартным методом, используемым в таких случаях. Примером может служить доказательство следующей теоремы 2.9.3, в которой решается аналогичная задача. Следует лишь принять во внимание то обстоятельство, что положив з = й, i Е Н\ мы можем трактовать преобразование Меллина как характеристиче; скую функцию. Обратное преобразование Фурье отдельных слагаемых существует благодаря известному свойству функции Г:

| Г (1— it)|—У2л [ZI1/2ехр ^^-|<|) при |t|—> оо. '

Доказательство соотношения (2.9.5) проводится аналогичными рассуждениями, отправной точкой которых служит равенство (см. (2.6.20) и (3.0.2))

, . sin npas Г (1 — s) р sin nas Г (1 — as)

= exp (£ bn (as) j Г (1 - s) = £ Dn ^Г (1 - s). n=ln=0

Асимптотическое поведение распределения Gm (я, a, 0) вблизи точки a — 1, где оно, как указывалось в пункте В.З введения, непрерывно, будет изучаться на основе соответствующей ему характеристической функции йм(^ а, 0).

Рассмотрим разность

Д (t) = log йм (<.«, 0) — log йм (t, 1, 0) =

--WW^-n + itOq^-l^g-^a-Htf^logl^

Обозначим для краткости е = a — 1 и разложим последнее выражение в ряд по степеням е. Имеем

д(0 =

= —|t|(exp(elog|<|) —l)4-itlog|t|0^ — ECtg-^-e) -

— it (exp (е log 1t1) — 1 — е log | i |) ₽ ctg -у- е =

= — (| Н 1ое IN + гФ 4-log21 ^ 06 + • • •= “ 5 Лп6”- п=1

Следовательно,

Йм (t, а, Р) = йм (t, 1, Р) ехр (— У, Л?ге’г) = п=1

= 6м (t, 1, Р) (1 - hie - (2кг _}^^- ...\

Формальное обращение этого равенства приведет к разложению плотности gM {х, а, Р) в асимптотический ряд по степеням е -> 0:

gM (л, а, Р) — gM (ж, 1, Р) — Нг (х, Р) е — ...(2.9.8)

Хотя функции Нъ Нй1 ... могут быть выражены в терминах распределения Gm (х, 1, р) и его кратных производных (в том числе и смешанных) по переменным х, р, эти выражения оказываются настолько громоздкими, что мы ограничимся вычислением только первого члена асимптотического ряда (2.9.8)2-82, т. е. функции Н, (х, Р), соответствующей

/ti = ^|log|^ + ^-LiOg2|q.

■ Теорема %.9.3. Пусть х ^ Rx и —1 ^ р ^ 1 — некоторые числа. Тогда при а-> 1 справедливо следующее соотношение:

(gM (х, а, Р) — gM (х, 1„ Р)) (1 — а) 1 -^ Hi (х, Р) =

= т- Р ~^ Gm ^-1 • Р) + "Г w Gm ^-1 • Р) -

- gM (х, 1, Р) - ^х 4- р) -L gM (х, 1, р). (2.9.9)

Доказательство. По формуле обращения для плотностей

Sa = gM (х, а, Р) — gM (х, 1, Р) =

= 4г $ е”их(9м (t, а, Р) — ЙМ (t, 1, Р)) dt =

= 4г $ е"Их6м (t, 1. Р) A (f) dt + 6,(2.9.10)

где

6 = ^ ^ е-'^м а, 1, Р) (ед - 1 - Д) dt.

Оценим 16 |, считая, что | е | <21/2, для чего сначала оценим | Д (0 |:

I Д К max (| t I, | t |V=) | log | t | | e + |t | | log | t ||e2 + '+ max (| t I, 1t |8/г) log2 | f | e <

< 3 | t | (1 + 11 I + log2 11 I) e.

Так как | §м (t, 1, Р) | = exp (— |t |), Re Д = — И|“+ 1t1,

I 6м (f, 1. Р) (^ - 1 - Д) |<

<2 exp (— | f |) max (1, exp Re Д) | Д | 2/2 <2

С max (exp (— | t |), exp (— | t ]“)) | Д |2/2.

Следовательно, |6 |=О(е2). Далее, нетрудно подсчитать,

Д (0 = - Л1 (О е + т) [(1 + t2) (1 + log4 | t |)1 e2,

где | т) | C const.

Отсюда и из (2.9.10) с учетом оценки 6 находим, что

Sa = — -^ ^ «-«“д^ (1,1, Р) At (f) dt + О (е2) =

= - Нг (ж, Р) е + О (е2).

Нам остается вычислить интеграл Нг (х, Р). В соответствии со свойством (2.1.2), для любого X > 0

9лг = дм (t, 1, Р) = ^ eltx dGM (-у^- Р log X, 1, р) .

Отсюда получаем, что

ЦА= $ е«х [Gm (JL _ JL р log х, 1, р) - D (Ж)] dx,

(2.9.11)

где Р(ж) = -2"(1 + signa:).

Обозначим для краткости

ip = — log дм (t, 1, Р) = 111 + it -L р J og 111.

Дифференцируя обе части (2.9.11) по X и полагая затем X = 1, приходим к равенству

4 ехр (— ф) = ^ eitx (ж + 4 р) йм (ж. 1. Р) йх. (2.9.12) Продифференцируем теперь обе части (2.9.12) по р. Имеем -|-logp |е-^ — -^-log ] 11-фе-* =

- $«- (4 ем + (т + 4 р) ^- ем) ах. (2.9.«з> С другой стороны, положив X = 1 в (2.9.11) и продифференцировав обе части по р, мы получим, что

4 kg 111 f* = $ ^ ^-Gm (x, 1, p) dx. (2.9.14) После повторного дифференцирования по р равенства (2.9.14) имеем

— 4й log2111 е-*= J е«х ^ GM (х, 1, Р) dx. (2.9.15) Равенства (2.9.13) — (2.9.15) позволяют представить в виде преобразования Фурье функцию.

6м (t, 1, Р) Ai (t) = log f t1 фв"*^-it log21t1 «-♦.

Откуда и получается выражение (2.9.9) функции Hi (ж, Р).

2.10. Плотности устойчивых распределений как класс специальных функций -

Многие факты указывают на то, что функции g (х, а, Р) по богатству аналитических свойств достойны выделения их в самостоятельный класс и признания за ними «права гражданства» в теории специальных функций. Некоторые из этих фактов приводятся ниже.

Функции g (ж, а, 1) с 0 < а < 1 оказываются полезными в теории преобразований Лапласа и связанном с нею операционном исчислении. Пусть

V (з) = ехр (— аж) г (ж) dx. Re s > 0, о.■

обозначает преобразование Лапласа функции и (ж) (коротко: V (s) -*■ v (ж)). Хорошо известны (см., например,

111 или 127]) такие формулы связи- Если V (s) -*■ v (ж), то, например,.

F (/Г) ^ 57^ Я"372 $ ехр ( ~ £) v М du’(2Л0Л)

'о

для любого числа с > 0

V (cs 4- 3<s ) ^ х/с

^ 2^" S ”^ _ см) 3/2 ехр ( — 4^^)у ^ du- (2-10-2)

Функции g (х, а, 1) со значениями 0 < а < 1 дают возможность обобщить соотношения (2.10.1) и (2.10.2).

Теорема 8.10.1. Если V (s) -^ и (ж), то для любого 0 < а < 1 и любого с ;> 0 справедлива следующие соотно- шения2’93:-

V(s“)-^ u-yag (хи-^^а, l)v(u)du,(2.10.3)

о-

х/с

V (cs + sa) -**- § u~1,ag ^и~1,а (х — си), а, 1) и (и) du. (2.10.4) о -

В частности, при а = 1/3

ж-3/2 СI 2\

V ^ ^ Лг- ) ий1гКШ (уру и8/2^1/2) V (и) du, (2.10.5)

V (cs + s1/3) ^

f ( и \s/2/ 2/ и» \i/e\ , х ,

^-з^И-т^г) ^3(т^(^=7г) )VW»*

(2.10.6)

где Kijt — функция Макдональда порядка 1/3.

Доказател ь ст в о. Согласно (2.6.10) и (2.1.2) для любого Ж 2> 0'

ехр (— ж«“) = e-^x-^g (х-Ч^и, а, 1) du. (2.10.7)

Используя это равенство в интегральной записи V (^, мы после изменения порядка интегрирования получаем (2.10.3).

Далее, с помощью того же равенства (2.10.7) находим, что

И (cs + s°) = 5 ехр (— csy — ^у^ v (у) dy = о

= 55 ехР (— 8 (СУ + “)) У~11аё 1У~1,аи, a, l)dy du. о о

После замены переменного и = х — су получается интеграл вида

5 ехр (— зж) U (ж) dx, о

где функция U (х) совпадает с правой частью (2.10.4).

Соотношения (2.10.6), (2.10.7) получаются из (2.10.3) и (2.10.4) после подстановки вместо g (и, 1/3, 1) ее выражения (2.8.31).

В разделе 2.8 мы видели, что функции g (ж, а, 6) являются решениями различного типа интегральных, интегро-дифференциальных, а в случае рациональных а =^ 1 также и специальных типов обыкновенных дифференциальных уравнений. И хотя функция g (ж, а, 6) представляет только одно из решений, детальный анализ ее аналитических продолжений (как это можно видеть на примере анализа уравнений Бесселя и Уиттекера), возможно, приведет к выявлению других линейно независимых решений.

И здесь в первую очередь, по-видимому, стоит обратить внимание на уравнения, решениями которых являются плотности g (ж, p/q, 1), р <. q.

Хорошей иллюстрацией является случай р = 1, q = = n + 1 ^ 2, связанный с уравнением (см.(2.8.26))

решением которого является функциярешением которого является функцияу<пЧ^ = У^№, g>o,

решением которого является функция

решением которого является функция

1

Интересна связь плотностей крайних устойчивых законов с функцией Миттаг-Леффлера *-5

£° ^ = Г (nS + 1) ’ °>°-

Теорема %. 10.%. Для любого 0 < а < 1 и любого комплексного s

аЕа (— s) = § exp (— sx) ar^^g ^x-1la, a, 1) dx. (2.10.8) 0

Если 1/2 ^ а < 1, mo 2-34

aEa (— s) — exp (— sx} g (x, 1/a, — 1) dx. (2.10.9) о

Еа (~ s)Еа (~ s)(2.10.10)(2.10.10)Доказательство. Пусть s > 0. Как известно [5], функция Еа (— s) в этом случае имеет представление

Еа (~ s)

Еа (~ s)

(2.10.10)

(2.10.10)

-к-:— \ exp (zV“ —г 2ша J r'' z +

L

где контур интегрирования L состоит из следующих трех частей (z = х + iy):

Ьг; прямая у = — (tg ср) х, где х меняется от х = — +оо до х = h. При этом h ^> 0 и угол ф подчинен усло- вию ~2~ а ф ла.

£2: дуга окружности | z | = /г/cos ф, —ф ^ arg z ^ ф.

L3; отражение Lt относительно оси х.

Заменим в (2.10.10) (z + s)-1 равным ей интегралом

ехр (— (z Д- s) и) du. о

Полученный двойной интеграл сходится абсолютно, поэтому мы вправе менять порядок интегрирования. Тогда

Еа (— s) = 5 ехр (~~ SM) ^“ (“) ^“’о

где функцию /а (и) мы преобразуем интегрированием по частям:

^“ ^ = "В S ехр (zl/“ “ ZH) dz =

L

=ехр (г1/® —dz1/".

2nzau J , х'

Сделаем замену переменного, полагая z = ^“/u. Имеем

fa (U) = А" ^^ ^й S еХ₽ (~К“ + ^“l ^) •

Контур L* является образом контура L при сделанной замене переменного. Интеграл, стоящий в скобках, является обратным преобразованием Лапласа функции ехр (— s®), О < а < 1, и, следовательно, в соответствии с (2.6.10) представляет функцию g (ы-1/®, а, 1).

Равенство (2.10.9) получается из (2.10.8), если использовать закон двойственности для плотностей (2.3.3) с учетом того, что пара а < 1, 6 = 1 в форме (С) соответствует паре а' = 1/а, 0 = —1 в форме (В).

Левая часть (2.10.8), (2.10.9) может быть аналитически продолжена с полупрямой s > 0 на всю комплексную плоскость, что видно из определения функции Еа kxY С другой стороны, x"1-1lag (ar1/®, а, 1) убывает с ростом х быстрее любой функции ехр (— сх\ с > 0. Поэтому правая часть также может быть продолжена на всю комплексную плоскость, т. е. равенства (2.10.8), (2.10.9) справедливы для любых комплексных s.

Еще одна интересная связь между функциями Еа (х) и g (х, а, 1) обнаруживается при обобщении следующего равенства, полученного в работе [90] для любого а > 0:

Еа)й (ж) —Еа)й (ж) —,_ $ Еа (жи°) ехр ( — ^^ du. (2.10.11) ' о

Еа)й (ж) —

Еа)й (ж) —

Теорема 2.10.3. Пусть 0<а<1иа>0. Тогда при любых комплексных s

E^^s) = $ ^а(su~®°)g(ы,а, 1) du. (2.10.12) о

Доказательство. Предположим сначала, что s = —х < 0 и вычислим преобразование Меллина левой и правой частей (2.10.12).

Пусть 0 < а < 1 и 0 < р < 1. Используя представление (2.10.8) и явный вид (3.0.2) преобразования Мелли-

на М (s, а, 1) функции g (ж, а, 1) находим, что

х^Еа (— ж) dx ~

е

'ОООО

= "5Г $ U^'1Z^ («-V» а, 1) du er^xi*'1 dx =оо

= г (p) $ u^d (1 - G (U-^, а, 1)) = -^^"^ . 0'

Следовательно, преобразование Меллина левой части (2.10.12) равно Г (р)Г (1 — р)/Г (1 — ссор). В правой части мы имеем М-свертку двух функций (см. по этому поводу гл. 3). Поэтому, если 0 <^ a < 1, то преобразование Меллина правой части оказывается равным

Г (1 - ор) г (р) Г (1 - р) г (р) Г (1 - р)Г (1 — аор) Г (1 — ар) Г (1 — ар) "

Таким образом, преобразования Меллина правой и левой частей (2.10.12) совпадают. Следовательно, в рассматриваемом частном случае 04< о < 1 верно и само равенство (2.10.12). Теперь остается заметить, что Еа (s) представляет аналитическую^функцию о в полуплоскости Re a > 0, и потому (2.10.12) мы вправе распространять не только’на всю комплексную плоскость s/но на всю полуось о > 0.

Есть еще одно соображение, говорящее в пользу - того, чтобы рассматривать плотности g (х, а, 0) как класс специальных функций. В теории специальных функций известна так называемая функция Эйри (или интеграл Эйри). Мы уже встречались с этой функцией в конце раздела 2.8. Она имеет вид

А (х) = -^- cos (f3 + to) dt — ~ exp (— it8 — ito) dt о

.(2.10.13)

и может быть выражена посредством функций Воссел я следующим образом:

при ж ^> 0при ж ^> 0

при ж ^> 0

при ж ^> 0

. , .(Зх)”1/4А (ж)—. , .(Зх)”1/4А (ж)—2zVx з/з 2х У х "зуТ2zVx з/з 2х У х "зуТАсимптотическое поведение функций Jv (ж) и Kv (ж) хорошо известно (см. [22], 8.451 (1) и 8.452 (6)), что дает нам возможность проследить поведение функции А (х) при ж -* оо, ж —> —ос. Именно, при ж -* оо

. , .(Зх)”1/4

А (ж)—

. , .(Зх)”1/4

А (ж)—

2zVx з/з 2х У х "зуТ

2zVx з/з 2х У х "зуТ

л /\(3x)~V4

А (Ж)— - COS

''УЗл

Таким образом, функция А (ж) положительна на полуоси г > 0 и очень быстро убывает при ж -»- оо. В то же время на отрицательной полуоси она знакопеременна и убывает не быстрее степени ж.

В равенстве (2.10.3) можно видеть формулу обращения для преобразования Фурье функции ехр (— it3). Но тогда

(2.10.14)(2.10.14)§ ехр (?<ж) А (ж) dx = exp {(it)3}.

(2.10.14)

(2.10.14)

Из асимптотических выражений А (ж) видно, что преобразование Фурье (2.10.14) допускает аналитическое продолжение по t в полуплоскость Im t ^ 0. Но это равносильно существованию двустороннего преобразования Лапласа

ехр («ж) А (ж) dx = ехр (s3)

в полуплоскости Be s > 0. Эта формула очень напоминает равенство (2.6.10) в случае 1<^а^2и наводит на мысль считать функцию А (ж) «трансустойчивым распределением», соответствующим значению а = 3. Подобная интерпретация подкрепляется еще и тем, что на полуоси ж > 0 функция А (ж) оказывается связанной, наподобие закона двойственности, с устойчивым распределением g (ж, 1/3, 1);

(2.10.15)(2.10.15)хА (ж) = ж 3 g (х 3, 1/3, 1).

(2.10.15)

(2.10.15)

Соотношение (2.3.3) охватывает лишь часть устойчивых законов с а < 1. Равенство (2.10.15) наводит на мысль воспользоваться другой их частью для определения «трансустойчивых» мер (точнее зарядов), предположив, что соответствующие им плотности А образуют трехпараметрическое множество функций, которые для любых ж 2> 0, X > 0, а' = 1/а < 1 и | 0' | < 1 и при наличии связи 1 + 0 = а' (1 + 0') обладают свойством

А (жХ1/™, а, 0, X) = ж-1~“£(ж_“, а', О'). (2.10.16)

То, что в правой части (2.10.16) стоит целая аналитическая функция, позволяет аналитически продолжить А с полуоси ж > 0 на всю ось ж. Из данного определения нетрудно вывести следующее утверждение:

Теорема 2.10.4. Определяемые условием (2.10.16) функции А имеют преобразования Фурье а следующего вида-.

logo(t, а, 0, X) = — X | < |“ exp f— i^ u0sign<

где а > 1, X ~> 0 и —1 ^ 02/а — 1.

Помимо отмеченного в (2.10.15) случая а = 3, 0 = = —1/3 есть еще один случай а = 2, 0 = —1/2, когда А может быть записана с помощью специальных функций (см. (2.8.30)).

Отметим несколько свойств трансустойчивых мер 2-35.

Для любых a ^> 1 двустороннее преобразование Лапласа

(ЖА ^х, а, 2/а — 1)) (s) = exp (s“), Re s > 0.

Для любых а)>1и0^р = (1 + 0)/2 <С 1/а преобразование Меллина функции А в полосе —1 < Re s < < а имеет вид

ИА (ж, a, 2р - 1)) (s) = Г (1 - s/a) Г (1 - s).

Нормировка функций А (ж, а, 0, X) / (ж > 0) в случае a > 1, —1^ 0 ^ 2/а — 1 образует плотности вероятностных распределений. Подчиненные им случайные величины Z (а, р) обладают свойствами, подробно описанными в гл. 3.

ГЛАВА 3

СПЕЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЗАКОНОВ КЛАССА $8

Аналитические свойства законов класса в, рассматривавшиеся в предыдущей главе, базируются на явных выражениях характеристических функций этих законов. То, что характеристические функции являются аналитическим аппаратом, - специально приспособленным для работы с суммами независимых случайных величин, нашло свое отражение в материале гл. 2. Это, например, хорошо видно по разделу 2.1, где свойства устойчивых законов записываются в терминах сумм независимых случайных величин.

Аналитической основой - исследований, проводимых ниже, служат преобразования Меллина и характеристические преобразования вероятностных распределений. Эти преобразования выполняют те же функции в схеме перемножения независимых случайных величин (М-схема), какие имеют в схеме суммирования характеристические функции. И поэтому большая часть материала настоящей главы, относящегося к различным соотношениям распределений в классе 28, излагается в терминах произведений независимых случайных величин3-1.

' Для строго устойчивых законов имеется, как мы видели в разделе В.5 введения, естественная система параметризации — форма (С). Напомним, что каждое распределение Се 28- однозначно идентифицируется тремя параметрами (а, 6, X), меняющимися в пределах

О < а ^ 2, | 6 | ^ 6а = min (1, 2/а — 1), Х> О

(улучай а == 1, | 6 | =^ 1 соответствует вырожденному распределению в точке х = 6), или же тройкой параметров (а, р, X), где параметр р = (1 + 6)/2 меняется в пределах

1 — min (1, 1/а) ^ р ^ min (1, 1/а). (3.0.1)

В распределениях Gc (ж, а, 6, X) параметр X связан с выбором масштаба на оси х. Это показывает равенство

Gc (х, а, 6, X) = Gc (жХ~^а, а, 6, 1),

ГЛ. 3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЗАКОНОВ КЛАССА Ю 209 справедливое при любых х и любых допустимых значениях параметров а, 6, X.

Если а =/= 1, то Хс — Хв, и поэтому условие Хс = 1 выделяет из $8 подкласс стандартных распределений. В случае а = 1 выбор Хс = 1 не соответствует стандартному распределению. Поскольку в случае | 61 56: 1

Gc (г, I, е, 1) = Св (х, 1,0, у, (4- + та)',/2),

то множество распределений Gc (х, 1, 6, 1), стандартизованных условием Хс = 1, представляет собой множество специальным образом нормированных распределений Коши, смещение вершин которых не выходит за пределы интервала (— 1, 1). Случай) 0 | = 1 является предельным для этого множества и соответствует вырожденному в точке 6 распределению Gc (я, 1, 6, 1) —D (х — 6).

Множество распределений, выделяемых из $8 условием Хс = 1, обозначим через $81- Характер тех закономерностей, которые составляют основное содержание этой главы, позволяет без какого-либо ущерба для общности рассматривать только распределения из $81. Обозначим для краткости Gc (х, а, 6) = Gc (х, а, 6, 1).

Условимся далее обозначать У (а, 6) — случайные величины, подчиненные распределению Gc (х, а, 6), не употребляя в их записи подстрочного индекса С. Вместе с системой параметров (а, 6) будет использоваться и ее небольшая вариация — система (а, р), где р=(1-|-6)/2. Во избежание недоразумений следует помнить, что буква 6 всегда обозначает параметр в первой системе, ар — параметр во второй.

sin nps Г (1 — s/а)р sin ns Г(1 — «) sin nps Г (1 — s/а)р sin ns Г(1 — «)Результаты раздела 2.6 дают для преобразования Медлина (нормированного его значением в точке s = 0 в предположении, что оно положительно) и характеристического преобразования распределений из 3$! следующие выражения:

sin nps Г (1 — s/а)р sin ns Г(1 — «)

sin nps Г (1 — s/а)р sin ns Г(1 — «)

М (s, а, р) = тс (s, а, р)/р

(3.0.2)

K^s.a.e)^^’®’0). 0

'\0^(s, а, 6)

где

wk (s, а, 6) = Е | У (а, 6) |8(sign У (а, 6))к =

лcos -J- (к — 0s)лcos -J- (к — 0s)cos ~2- (к — s)cos ~2- (к — s)Г (1 - s/а)r(l-s)’Г (1 - s/а)r(l-s)’Л=0,1.Л=0,1.(3.0.3)(3.0.3)

л

cos -J- (к — 0s)

л

cos -J- (к — 0s)

cos ~2- (к — s)

cos ~2- (к — s)

Г (1 - s/а)r(l-s)’

Г (1 - s/а)r(l-s)’

Л=0,1.

Л=0,1.

(3.0.3)

(3.0.3)

В обоих преобразованиях s может принимать любые значения из полосы — 1 < Re s < а.

Чтобы избежать громоздких формул, имеет смысл договориться еще об одном обозначении. Если X — какая- либо случайная величина, то для любого комплексного числа s мы условимся, что

Xе = | X Iе sign X,(3.0.4)

считая при этом 0s = 0 при любых s. Очевидно, что в том случае, когда X неотрицательна с вероятностью 1, такое обобщенное понимание степени совпадает с традиционным. Степени случайных величин в смысле (3.0.4) обладают, очевидно, основными свойствами обычной степени

ОТ = Х8Г, ВД = (Х^)8, однако имеют и существенное отличие, поскольку

Х° = sign X, (-Х)8 = - X8,

каково бы ни было s.

Здесь уместно отметить одну - особенность равенств между случайными величинами в смысле «=». С ними мы уже встречались в разделе 2.1 и будем постоянно использовать их в настоящей главе. Если мы имеем соотношение

X' + X = X" + X

или

(3.0.5)(3.0.5)(3.0.6)(3.0.6)Х'Х = Х"Х,

(3.0.5)

(3.0.5)

(3.0.6)

(3.0.6)

то из него, вообще говоря, не следует, что

X' = X".

Однако, в том случае, когда характеристическая функция fx (О + 0 для почти всех t или, соответственно, почти всюду wk (t)x ^= 0 (так обозначаются элементы характеристического преобразования И^!), см. 2.6), то это равен-

ство оказывается верным. Обратное заключение, естественно, справедливо без каких-либо ограничений в отношении распределения X.

Использование соотношений между случайными величинами (так, как это делалось в 2.1) вместо того, чтобы выписывать соотношение между связанными с ними распределениями, в рамках настоящей главы имеет еще больший смысл, нежели в 2.1. Дело в том, что далее нам неоднократно придется иметь дело с произведениями X = = XiX2 независимых случайных величин, а функция распределения F произведения X выражается через функции распределения Fu Ра сомножителей значительно более громоздким образом, чем, скажем, свертка Pi и Ра. Даже в наиболее простом случае, когда распределения Ръ Рг непрерывны,

F (х) = (1 - F2 (0)) $ Рг (х/у) dF, (у) + о о

+ Ра (0) $ (1 - л (х/у)) dF» (у).(3.0.7)

Поскольку в дальнейшем мы будем встречаться только с этим случаем, желающие перевести соотношения между случайными величинами на язык соответствующих им распределений должны использовать равенство (3.0.7).

Понятие срезки случайной величины

Определение. Срезкой случайной величины X с непрерывной функцией распределения F (х), не сосредоточенной полностью на отрицательной полуоси, называется любая положительная случайная величина X с функцией распределения 312

Р(х) = -^^- = Р(Х<х\Х>0), х>0.

F (0)где с = ттгг^<°°'F (0)где с = ттгг^<°°'Имеются конструкции, позволяющие строить срезки X как функции случайной величины X. Одна из таких конструкций хорошо известна:

F (0)

где с = ттгг^<°°'

F (0)

где с = ттгг^<°°'

2 = ^ (F (X)) = P_Y (-™-^)

Но эта конструкция заведомо не единственная. Так, например, полагая

{

х, если х > О,

^(l —Х(х)/с), если х<0, можно утверждать, что срезкой^Х является случайная величина X = 8 (X), если 0 < с < сю.

Действительно, пусть х > 0. Тогда

Р (5 (X) < х) = Р (5 (X) < х, X > 0) +

+ Р (8 (X) < х,Х < 0) = Р (X < х, X > 0) +

+ Р (F., (1 - F (Х)/с) <х, Fm<F (0)) =

= P(X<x|X>0)(l-F(0)) +

+ Р (с (1 — F (х))< F (X) < F (0)).

Поскольку Р (X < х I X ~> 0) = F (х) и F (X) имеет равномерное распределение на (0,1), то

P(S (Х)<х) =

= (1 - F ^ (х) + F (0) - с (1 - F (ж)) =

= (1 - F(0)) F (х) + F (0) F (х) = F (ж).

Выделим несколько полезных свойств срезок.

Если а — положительная постоянная, то

(«X) = аХ.

Если Xi — Х2, то^Хх = Х2, (—X,) == (—Х2), и наоборот (последнее равенство не’ рассматривается в случае Р (X, > 0) = 1).

Пусть Fi, Fa — какие-либо непрерывные функции распределения, не сосредоточенные целиком на отрицательной полуоси, ck = Fk (0)/(1 — Fk (0)), и пусть р(Еъ F2) обозначает одно из трех хорошо известных расстояний — метрику Леви, равномерную метрику или расстояние полной вариации. Тогда

И (А, А) < (1 + с^ ц (Fn F^ + | с2 - ct |. (3.1.1)

Отсюда, в частности, следует, что если Fo, Fx, F4,...— последовательность таких функций распределений, то сходимость р. (Fn, Fo) -♦- 0 при п -^ оо влечет за собой сходимость р (А, А) -*■ 0-

Если случайная величина X имеет непрерывное квазисимметричное распределение, т. е. для i>OF (—х) = = с (1 — F (я)), где 0 ^ с < оо, то X == | X |.

Среди множества срезок независимых случайных величин Хи Х2 имеются срезки Xi, Х2, являющиеся независимыми случайными величинами (например, Хг =

- S (X,) и Х2 = 5 (Х2)).

Пусть X — срезка случайной величины X, имеющей в некоторой полосе — ^ < Re s < с2 конечное преобразование Меллина 91 (s) = Е Xе/ (X > 0), где I — индикатор события. Тогда

91 (s)/9l (0) = Е X8.91 (s)/9l (0) = Е X8.(3.1.2)(3.1.2)

91 (s)/9l (0) = Е X8.

91 (s)/9l (0) = Е X8.

(3.1.2)

(3.1.2)

Все свойства, за исключением, быть может, свойства 3, носят элементарный характер и в специальном доказательстве не нуждаются. В свойстве 3 случаи равномерной метрики и расстояния полной вариации также несложны. Поэтому мы проведем доказательство неравенства (3.1.1) лишь для случая, когда ц является метрикой Леви. Согласно определению этой метрики, если е = ц (F^ F4), то при любых х

РДх — е) — е ^ F4 (ж) ^ Ei (х + е) + 8, причем уменьшить 8, сохранив справедливость неравенств при всех х, нельзя. Умножим все части неравенств на (1 + ci) и вычтем из них ci. Принимая во внимание, что Fk (ж) = (1 + с^ FK (ж) — ск, х> 0, имеем

Fi (х — 8) — (1 + С,) 8 < (1 + с,) Fa (х) — cY =

= F4 (я) + (с2 — с») (1 — F4 (а:)) < Л (^ + е) + (1 + ct) 8.

Полагая 6 = (1 + с^ е + \с4 — ^ |, мы видим, что при всех х■

Р^х-^-б^ ^х) < А (х + 6 ) + 6.

Следовательно, ц (Fu Е2) ^ 6.

Нам придется часто встречаться со срезками устойчиво распределенных случайных величин из $8ц поэтому мы примем для них отдельное обозначение, полагая

Z (а, р) = У (а, в).

Если а ^ 1, р = О или а = 1, р = 1, то срезка Y (а, 6) не определена. В первом случае распределение Y (а, —1) сосредоточено на полуоси х < О, а во втором Y (1, 1) = 1, т. е. ее распределение дискретно.

Доопределять понятие срезки в этих случаях, естественно, надо так, чтобы сохранить свойство непрерывности распределений срезок по параметрам а, р во всей области их изменения — свойство, которым обладают распределения случайных величин Y (а, 6).

Случай а = 1, р = 1 оказывается наиболее простым, ибо, положив Z (1, 1) = 1, мы получимте, к чему стремимся. Именно, что

Z(a, р) —> 1, если а->1, р -> 1. (3.1.3)

В случае а ^ 1, р = О дело обстоит сложнее и оказывается правильным положить Z (а, 0) не нулю, как это напрашивается, а случайной величине

Z (а, 0) = Z (а, 1) EIE, (3.1.4)

где Е — случайная величина с показательным распределением•

Р (Е > х) = ехр (—х), я > 0.

Напомним, что, согласно постоянному условию, все раздельно написанные в правой части (3.1.4) случайные величины считаются независимыми.

■ Объяснить естественность именно такого доопределения срезки нам поможет характеристическое преобразование Wz(s, а, р) срезки Z (ос, р), которое, ввиду того, что Z(a, р) >0 с вероятностью 1, имеет вид матрицы

Wz(s,a,p) = ^ оWz(s,a,p) = ^ о0м ($, а, р),0м ($, а, р),

Wz(s,a,p) = ^ о

Wz(s,a,p) = ^ о

0м ($, а, р),

0м ($, а, р),

где М (s, а, р) — преобразование Меллина распределения Z (а, р).

Если а ^ 1, то р меняется в пределах от 0 до 1 и для р>0"

М (s, а, р) = EZ* (а, р)М (s, а, р) = EZ* (а, р)sin nps Г (1 — s/a)

М (s, а, р) = EZ* (а, р)

М (s, а, р) = EZ* (а, р)

р sin ns Г (1 —s) *

Если а фиксировано и р -> 0, то, очевидно,

М (s, а, р)—» 8”$л$ М (s,a, 1) = Г (1 — s) Г (1 + s)M (s, а, 1).

(3.1.5)

Поскольку Г (1 + s) (или Г (1 — s)) представляет собой преобразование Меллина показательного распределения, т. е. случайной величины Е (соответственно преобразование Меллина распределения величины МЕ\ то из (3.1.5) следует (3.1.4).

Перейдем теперь к систематическому изучению свойств распределений случайных величин Y (а, 6) и Z (а, р), определенных в начале настоящей главы.

Случайные величины Y (а, 6) и Z (а, р). Теоремы эквивалентности

Мы начнем с простейших соотношений. Для любых пар допустимых значений (а, 6)

—Y (а, 6) = Y (а, -6).(3.2.1)

Если | 0 | = 1, то

Y (1, 6) = в.(3.2.2)

Для любых пар допустимых значений (а, 0Д, (а, 0.2)

Y (а, 60 d У (а, 6Л9 ~

У (а, 62) — У (а, ел *

В частности 3.3, для любых —1 <^ 0 <^ 1

У* (1, 0) = У (1, 0).

Напомним еще раз (об этом уже говорилось в разделе d

В.З введения), что во всех равенствах «=», связывающих функции от случайных величин в смысле равенства их распределений, случайные величины, находящиеся в одной части равенства и написанные раздельно (как, например, У (ot, 01) и У (а, 02) в (3.2.3)), предполагаются независимыми.

Все эти соотношения доказываются одним универсальным приемом. Вычисляются и сравниваются между собой характеристические преобразования распределений левой и правой частей равенств. Поскольку характеристические преобразования, как и характеристические функции, однозначно определяют связанные с ними распределения, то совпадение характеристических преобразований означает и совпадение соответствующих им распределений.

Так, используя (3.0.3), находим, что

(—l)kw6 (s, а, 6) = wk (s, а, —6), к — 0, 1,

откуда и следует справедливость (3.2.1) (заметим, что

является частным случаем свойства 2.2).

Далее, если | 6 | = 1, то

cos -s- (к — s0)

wk (s, 1,6) == 0к, к = 0,1,

cos -у (к — s)

что равносильно (3.2.2). В третьем случае

cos ~у (к — $01)

юк (s, а, 61) wk (— s, а, 62) =х

cos -у (к — $)

л

Л=0,1.Л=0,1.Г (1 — s/а) cos-у (к + $02) Г(1+$/а)Х Г(1 —s)лГ (1+ s)

Л=0,1.

Л=0,1.

cos -у (к + $)

Так как для значений к = 0,1 лл

cos -у (к — s0)cos -у (к + $0)

л „л

cos -у (к — s) cos -у (к + $)

то после соответствующего изменения знаков и перестановки сомножителей мы получим, что

wk (s, a, 6j) wk (—s, a, 62) =

= wk (—s, a, 0^ wk (s, a, 62),Л = 0, 1,

т. e. распределения левой и правой частей (3.2.3) совпадают. Частный случай получается, если мы положим в (3.2.3) a = 1, 6, = 1 и воспользуемся (3.2.2).

К числу простейших относятся следующие соотношения:

если 0 < a < 1, то Z (a, 1) = У (а, 1);

(3.2.4)(3.2.4)для любых допустимых значений а

(3.2.4)

(3.2.4)

г (a, Vs) = I У (а, 0) |;

для любых пар допустимых значений (а, рт), (а, р2), за исключением случая, когда одно из р17 р2 обращается

в нуль,

Z (a. Pi) Z (а, рз)(3.2.5)

Z (а, р2) Z (а, рО ‘‘ '

В частности, если 0 < р < 1, то

Z-i (1, p) = Z(l, р).

Первое и второе равенства являются простым следствием свойства 4 срезок. Справедливость (3.2.4) и (3.2.5) устанавливается вычислением и сравнением преобразований Меллина их левых и правых частей. Для того, чтобы случайные величины Хг = | Y (а, 6)| и Х4 — = signy(a, 6) были независимы, необходимо и достаточно, чтобы 6 — 0 или же 0<ос<1и|6| = 1.

В терминах характеристических преобразовний это свойство равносильно равенству WxiX, (s) = Wx, (s) Wx, (s), которое в нашем случае сводится, как легко проверить, к требованию wY (s, a, 6) = 6 w0 (s, a, 6), откуда и следует указанное условие.

. Теорема, 3.2.1. Пусть (an 0^, (а2, 62) — какие-либо пары допустимых значений параметров и v — число, удовлетворяющее условию

a2 (1 + I е, |)/2 < v < (cq (1 + I 0, |)/2)-‘. (3.2.6) Тогда

Y (аь 60 У* (а2, 6.) - У (a2/v, 6J У* fov, 62). (3.2.7)

Доказательство. Вычислим характеристическое преобразование левой части (3.2.7). Используя (2.6.23) и (3^0.3), имеем (А = 0, 1)

w^ (s, «1,6i) и>6 (sv, aB, 6S) =

cos T <fc ~ s8*) Г (1 — s/aj cos T (fc ~ sv62) Г (1 — sv/c^) лГ (1 — s) лГ (1 — sv) *

cos — (k—s)cos—(k — sv)

Аналогично для правой части„„

u>k (s, a8/v, 0i) wK (sv, aTv, 0Я) =

_cos — (k—e,s) J^_sv/^cos — (k -sv62) r (1 _sja^ лГ (1 — s)лГ (1 — sv) '

cos ~2“ (k — s)cos -g- (k — sv)

То, что оба выражения совпадают, очевидно. Остается проверить, что параметры правой части (3.2.7) находятся в области допустимых значений. Мы знаем, что | 6; | ^ ^ min (1, 2/а7- — 1), поэтому для выполнения нужного для правой части условия | 6i | ^ min (1, 2 v/a2 — 1), | 62 | <1 min (1, 2/(a, v) — 1), необходимо и достаточно, чтобы | 6j | < 2v/a2 — 1, | 62 | ^ 2/(01^) — 1. Но эти неравенства эквивалентны неравенствам (3.2.6).

Теорема 3.2.2. Пусть (Яц 6,), (<z2, 62) — какие-либо пары допустимых значений параметров к ц — любое вещественное число, удовлетворяющее условию

| ет |/min (1, 2/a2 — 1) < | р | ^ min (1, 2/ai — 1)/1 62 |.

'(3.2.8)

Тогда

Y (а„ GO Yu (а2, 62) = Y (а„ 62р) Yu (а2, 6,/р) =

= Y (ап—62р) У»* (а2, —б^р).(3.2.9)

Доказательство (3.2.9) в его первой части проводится дословно, как и доказательство (3.2.7). Вторая часть является следствием (3.2.1).

Отметим еще одно соотношение, вытекающее из (3.2.9) и (3.2.7).

Следствие. Для любых пар (an 6,), (a2, 62) допустимых значений параметров и любого числа р > 0, удовлетворяющего неравенствам,

(3.2.10)(3.2.10)| 61 | /р ^ min (1, 2/(«i, р) — 1),| 62 | р < min (1, 2p/a2 — 1),

(3.2.10)

(3.2.10)

имеет место соотношение

Y (а17 ед Yu (а2, 62) =

= Y (ot2/p, 62р) Yu («ip, 6,/р) =

= Y (а2/р, —62р) Yu («jp, —6i/p). (3.2.11)

Срезки Z (а, р) подчинены аналогичным соотношениям.

Теорема 3.2.3. Для любых пар (a17 pj, (a2, р2) допустимых значений параметров и любого числа V, удовлетворяющего условию

«г (|pi— 1/2| +4)cv<(ai|p2-l/2| + -^-) 1,

(3.2.12)

справедливо соотношение

Z (an pj Z^ (а2, р2) = Z (a2/v, p^Z^ (а^, р2). (3.2.13)

Доказательство. Вычислим и сравним преобразования Меллина распределений левой и правой частей (3.2.13). Их совпадение будет эквивалентно утверждению теоремы, если, конечно, параметры случайных величин в правой части (3.2.13) лежат в области допустимых значений.

Имеем в соответствии с (3.0.1)

М (s, alt pi) М (sv, a2, p2) =

sin np^ Г (1 — s/aj sin np2vs Г (1 — sv/aa)

Pi sin ns Г (1 — s) p2sinnvs Г (1 — sv) ’

M (s, a2/v, p^ M (sv, ajv, рг) —

sin np^ Г (1 — sv/a>) sin np2vs Г (1 — s/aj Pt sin ns Г (1 — s) p., sinnvs Г (1 — sv) "

Равенство этих преобразований очевидно. Для того чтобы пары («j/v, pj, (ajV, р2) находились в области допустимых значений, необходимо и достаточно, согласно (3.0.1), чтобы

| Pi — 1/2 | ^ min (1, v/a2) — 1/2,| р2 — 1/2 | < min (1, 1/(а^)) — 1/2.

Если принять во внимание, что по условию теоремы

| р2 — 1/2 | ^ min (1,1/аД — 1/2,| р2 — 1/2 | ^ min (1, 1/а2) — 1/2,

то становится понятным, что выписанное нами условие для v эквивалентно (3.2.12).

Теорема 3.2.4. Пусть (ап pj, (а2, р2) — какие-либо пары допустимых значений параметров и р — вещественное число, подчиненное условию

1 — min (1, 1/aJ < | р | р2 < min (1, 1/aJ, „ ,1 —min(l, l/a2) ^ pj/| p | ^ min (1, l/a2). ^' -1 '

Тогда

z (“i. Pi) ^ («2, p2) = z («i, p2 | p | ) Z^ (a2, pT/ | p I).

(3.2.15)

Доказательство проводится тем же приемом, что и доказательство предыдущей теоремы. Отметим одно следствие соотношений (3.2.14) и (3.2.15).

Следствие. Для любых пар (ап р,), (а2, р2) допустимых значений параметров и любого р. > 0, удовлетворяющего условиям

| pj/p - 1/2 |< min (1, 1/(а,р)) - 1/2, | р2р — 1/2 | < min (1,р/а2) — 1/2, справедливо следующее соотношение:

Z (а,, р,) Z* (а2, р2) = Z (а2/р, р2р) 7> (а^, р^р). (3.2.17)

Замечание. 'Условие (3.2.16) можно заменить явными неравенствами, указывающими интервалы изменения. Они не приводятся из-за своей громоздкости.

Теорема 3.8.5. Пусть а ~> 1, р — некоторая пара допустимых значений параметров. Тогда

Z ^ Р) = Z-V" (1/а, ар).(3.2.18)

Доказательство. Вычислим преобразования Меллина распределений обеих частей равенства (3.2.18). Имеем

sin ярд Г (1 — s/g)

р sin ns Г (1 — s) ’

Af (— s/a, 1 /а, ар) = —етлрд.

'//ар sin (я</а) Г (1 + s/a)

Рассмотрим отношение этих преобразований

. я sin (ns/я) Г (1 — s/a) Г (1 4- s/a) sin nsГ (1 — s) Г (1 + s)

Поскольку Г (1 — s) Г (s) = л/sin ns, то

д sin (ns/a) sin ns sinns sin (ns/a)

Из совпадения преобразований Меллина вытекает совпадение соответствующих им распределений, т. е. справедливость (3.2.18). Условие принадлежности пары значений (1/а, ар) к области допустимых значений состоит, согласно (3.0.1), в выполнении неравенств

1 — min (1, a) ^ ap ^ min (1, а),

что, очевидно, равносильно условию

1 — min (1, 1/а) ^ р ^ min (1, 1/а).

Но это есть условие принадлежности (а, р) области допустимых значений, если учесть, что а > 1.

Замечание 1. Соотношение (3.2.18) является не чем иным, как соотношением двойственности, составившим содержание теоремы 2.3.1. Так что здесь мы имеем второе доказательство этой теоремы.

Замечание 2. Выберем в (3.2.18) р = у, что соответствует значению 0 = 0. С учетом (3.2.4) получим в случае а > 1

| У (а, 0) | = Z-V» (1/а, а/2).(3.2.19)

Отсюда, положив а = 2, находим для нормально распределенной случайной величины У (2, 0) со средним значением 0 и дисперсией, равной 2, что

У (1/2,1) = | У (2,0) |-2 = -1* N~8*(3.2.20)

где N — случайная величина со стандартным нормальным распределением.

Аналога равенства (3.2.18) для случайных величин У (а, 0), по-видимому, не существует. Однако можно предложить следующее соотношение.

Теорема ЗА.6. Пусть а > 1, 0 — некоторая пара допустимых значений параметров и 0 ^ р ^ 1 — любое число *\ Обозначим х = (2р)-1. Тогда

Z' (1, p/а) | У (а, 0) | = Zv (1, р) | У (1/а, a0)|-V“.

(3.2.21)

Доказательство. Вычисляем преобразования Меллина обеих частей равенства (3.2.21), памятуя, что преобразование Меллина распределения величины | У (а, 0) | совпадает с ш0 (s, a, 0). Имеем для левой части М (sv, 1, p/a) wo (s, a, 0) =

л

a sin (nvps/a)Г (1 — s/a) psinnvsл Г — s) "

cos s

♦) В этой теореме p выступает в качестве независимого параметра, не связанного с 6 принятым соотношением р = (1 + 6)/2.

С другой стороны, для правой части

М (sv, 1, р) гий {— s/a, 1/a, a6) = л

•COS -75- US л I х

sin nvps 2 Г + s)psinnsv л Г (1 + s/a) "cos (s/a)

Используя известные равенства

Г (s + 1) = s Г (s) и Г (s) Г (1 — s) = л/sin ns

и тот факт, что v = (2р)-1, находим, что отношение вычисленных преобразований Меллина равно соотношению

лл

■, cos -77- 6s cos -75- s/a ■.

sinnvps/a 22 ' sinnvs sinns

sin nvs лл sin nvps sin ns/a ’

cos -ту- s cos 6s

которое после подстановки значения v и очевидных сокращений принимает вид

лл

sin s/a cos —2" sa sin ns ■= 1.

л л .

cos —2" s sin ~2" s sin ns/a

Поскольку p/a <1 и a |B | ^ a (1/a) = 1, то все случайные величины в (3.2.21) имеют значения определяющих их параметров в области допустимых значений.

Отметим два частных случая доказанной теоремы.

Если a > 1, 6 = 0 и р = 1, то

| Y (1/a, 0) |-i/“ = Z-V« (1/a, 1/2) =

= Z‘h (1, 1/a) I У (a, 0) I = Z*h (1, l/a)Z (a, 1/2). (3.2.22)

Если a ^ 1, 0 = 1/a и p = 1, mo

Y (1/a, I)"1/" = Z-Ч» (1/a, 1) =

= Z'h (1, 1/a) I Y (a, 1/a) |. (3.2.23)

Если воспользоваться теперь (3.2.18), то, преобразовав левую часть (3.2.23), получим

Z (a, 1/a) = Z‘/= (1, 1/a) | Y (а, 1/а) |.(3.2.24)

Соотношения типа «эквивалентности», рассматривавшиеся выше, конечно, не исчерпываются приведенным

списком. Его можно продолжать как за счет комбинации соотношений этого и следующего разделов, так и за счет поиска соотношений нового типа. Например, среди приводившихся соотношений нет таких, которые включали бы следующие легко проверяемые равенства.

Пусть а, 6 — некоторая пара допустимых значений параметров. Тогда

Z'h (1, | 6 |) | У (а, 6) | = Z (а, | 6 |). (3.2.25)

Если к тому же а <^ 1, то

У2 (1, 6) Z (а, | 6 |) = Z2 (1, | 6 |) У (а, 1). (3.2.26)

Случайные величины У (а, 6) и Z (а, р). Теоремы умножения и деления

Название «теоремы умножения и деления», используемое в этом разделе, в известной мере условно, и его основное назначение — провести какую-то классификацию в нашей коллекции соотношений между случайными величинами.

Теорема 3.3.1. Пусть (а, 6) — некоторая пара допустимых значений параметров и 0 <а' <1 1. Тогда (р = = (1 + 6)/2)) '

У (а, 6) W® (а', 1) = У (аа', 6),(3.3.1)

Z (а, р) Z1^ (а', 1) = Z (аа', р).(3.3.2)

Если 1 ^ а' ^ 2, то для любой пары (а, р), такой, что аа' ^2, р ^> а' — 1/а, справедливо соотношение

Z (а', 1/а') Z1^' (а, р) == Z (аа', р/а').(3.3.3)

Следствия.

В случае а < 1, а' ^ 1

У (а, 1) У1/" (а', 1) = У (аа', 1).(3.3.4)

Если а ^ 1, а' ^ 1 и аа' ^ 2, то

Z (а', 1/а') Z4a’ (а, l/a) = Z(aa', 1/аа'). (3.3.5)

Доказательство. Рассмотрим соотношение (3.3.1). Компоненты характеристического преобразования

его левой части имеют вид

Wy (s, а, 0) wH (s/a, а', 1) =

л

cos -у (к — sc) г ^ _ s/a) г (1 - $/аа') _

лГ (1 — sa) Г (1 — s/a)

COS —у (к — s)

cos — (к — $6) г (1 _ gf ^

=яГ(1—s) = шк (8, «а , 0), к = 0,1

COS -у (к — s)

Кроме того, учитывая, что а' ^ 1, имеем

| 0 | ^ min (1, 2/а — 1) ^ min (1, 2/аа' — 1),

т. е. пара (aa', 0) принадлежит области допустимых значений. Соотношения (3.3.2) и (3.3.3) доказываются аналогично ’•*.

Теорема 3.3.8. Для любых пар допустимых значений ^, 0), (1, 0')

У (а, 0) У6 (1, 0') = У (а, 00').(3.3.6)

Если (а, р), (1, р') — такие пары допустимых значений, что рр' > 1 — 1/а, то

Z (а, р) Zp (1, р') = Z ( а, рр').(3.3.7)

значений(3.3.8)(3.3.9)значений(3.3.8)(3.3.9)Следствие. Для любой пары допустимых (а, 0) имеют место следующие разложения:

значений

(3.3.8)

(3.3.9)

значений

(3.3.8)

(3.3.9)

У (а, 9) = У (а, 0») Уе“ (1, 0/0а),

Z (а, р) = Z (а, ра) Zp“ (1, р/ра), где 0а = min (1, 2/а — 1) и ра = min (1,1/а). В частности, в случае а ^ 1

У (а, 0) = У (а, 1) У (1, 0), Z (а, р) = Z (а, 1) Z (1, р), (3.3.10) т. е. имеет место разделение зависимости от определяющих случайные величины У (а, 0) и Z (а, р) параметров.

Доказательство (3.3.6) — (3.3.7) проводится точно так же, как и доказательство предыдущей теоремы.

Теорема 3.3.3. Рассмотрим какие-либо пары допустимых значений параметров (a,, 0J, (а2, 0а), такие, что а^ <^ 2аа.

Пусть а 2 ^ 1/а2 и 6 ТогдаПусть а 2 ^ 1/а2 и 6 Тогда^ 1, положим 6 = ос201, 6' = 62, если | 0Х | ^ = а202, 6' = 61, если | 62 | ^ 2/ах — 1/а2.

Пусть а 2 ^ 1/а2 и 6 Тогда

Пусть а 2 ^ 1/а2 и 6 Тогда

z^ 1/«2)4стт=у1/а2^/“2’0)у (i’0,)y t1-^)-

(3.3.11)

21/2 С1' W14стт | = Iу (а1/аг’6> 11/аг1у (у 6') I- (3-ЗЛ2>

Если а2 ^ 1, то, положив 0 = а20х, 0' = 02 в случае | 0j | ^ 2/ах — 1/а2 и 0 = а202, 0' = 0Т, в случае | 02 | ^ ^ 2!аг — 1/а2, можно утверждать, что

Y^ (у а2> И%Л) ” ^ (а1/“2’6) Г (1,^ '^(1, а2)’

(3.3.13)

1-^^1 = I У (“1/“2.6) W=»1 у (1,0') | z^ (1, а2).

(3.3.14)

Доказательство. Условия на |0Х | и | 02 | возникают как обязательные для того, чтобы значения пары параметров (сс^ая, 0) не выходили за область допустимых значений, что равносильно требованию | 0 | ^ ^ min (1, 2a2/ai — 1). Справедливость же (3.3.11) — (3.3.14) проверяется уже отработанным нами приемом. Мы ограничимся проверкой двух из них — (3.3.11) и (3.3.14). В первом случае вычисляем характеристическое преобразование левой части, учитывая, что для случайной величины Z (1, 1/а2) функции w0, п^ характеристического преобразования совпадают с М (s, а, р) (Те = 0, 1):

М (s, 1, l/a2) гик (s, ai, 0i) гок (— s, a2, 02) =

_ «.sinns/a, cos-^^-sGJsin nsл

cos (k — s)

Г (1 - slad cos 2 (fc-$02) Г(1 + $/а2)ГВ-s) лГ(1 + в)

cos -^- (k — s)

Правая часть (3.3.11) имеет характеристическое преобразование вида

wk (s/a^, ai/c<2,6) wK (s, 1,6') гск (s, 1,1/а2) =

cos-^-(А — s0/a2) r(1_s/ai)

~ лГ(1—s/aj X

cos -ту- (A — s/a2)

ЛЛ

cos “2“ (k — 0's) cos -g- (A — s/a2)

X ЛЛ'

cos -2~ (A — s) cos -ту- (A- — s)

Деление первого выражения на второе дает после упрощающих преобразований и сокращений

лл

sin ns/a2cos ~2" (к — s0,) cos -g- (А — s02) Г (s/a2) Г (1 — s/a2)

лл"

sin ns cos -g- (A — s0/a2) cos -g- (A — 6's) Г (s) Г (1 — s)

Поскольку F(s) Г(1 — s) = л/sin ns, то из условия выбора 6 и 6' вытекает, что последнее выражение равно единице.

При доказательстве (3.3.14) надо вспомнить, что, имея дело с положительными случайными величинами, достаточно вычислять и сравнивать только функции w0. Для левой части

w0 (s, «!, 6i) w0 (— s, a2,62) =

Л Г (1 — 5) cos ~2- sЛ Г (1 — 5) cos ~2- sГ (1 + s)Г (1 + s)лcos -ту- sлcos -ту- scos -2-6,$ r (1 $/ai) cos — 62s r (1 + s(a^

Л Г (1 — 5) cos ~2- s

Л Г (1 — 5) cos ~2- s

Г (1 + s)

Г (1 + s)

л

cos -ту- s

л

cos -ту- s

Для правой части получаем

. Л sin -g- s. Л sin -g- sгу0 (s/a2, ai/a2,6) w0 (s, 1,6') wo (s/2ct2,1, a2) =

. Л sin -g- s

. Л sin -g- s

cos-|-0^a2 r(1 $/ai) cos-^ O's

л Г (1 — s/a2) лл "

cos ~2- sla2cos s a2 sin s/a2

ллллОтношение обоих выражений имеет после преобразований и сокращений следующий вид:

л

л

л

л

cos -2" 6,5 cos -2" 0.5Sin Л5/а2 Г ^ г (1 _ ^ллГ (s) Г (1 —

cos o.Va-2 cos "2~ 6 s sin л»

Дальнейшее преобразование с учетом выбора параметров приводит нас к выводу, что это отношение равно единице.

Теорема 3.3.4. Пусть (ап р,), (а2, Рг) — какие-либо пары допустимых параметров, подчиненные условиям ах ^ 2а2, 1/а2 — 1/а, < Pi ^ 1/а2 или а, ^ 2а2, 1/а2 — — 17ат ^ р2 ^ l/«i. Выбирая р = a2pi, р' = р2 в первом случае и р = а2р2, р' = Pi во втором, можно утверждать, что

kW (3.3.15)

Следствия.

1. Для любых допустимых значений параметров а, а'

^1£Г(^а).

У (а, 1)\ 1 /

(3.3.16)

2. Если а

> 1, то для любого р ^ 1/а

Z (а, р) —

(3.3.17)

3. Если а <

1, то для любого р ^ 1

IM^Z^ll.pa).

Z (а, Р)1 ’

(3.3.18)

4. Пусть 1

^ 2а ^ 2. Тогда для любых

допустимых

пар (а, р)

Z

^1M^\Y^,O^ |V“Z(l,p)

(3.3.19)

и для любых допустимых пар (2а, р)

Т^З^ = । У <2* °) lV°Z t1’ Р)-(3-3-20)

Доказательство сводится к проверке того, что преобразования Меллина распределений левой и правой части (3.3.15) совпадают.

Приводившиеся выше соотношения между случайными величинами Y (а, 6) и Z (а, р) в ряде случаев могут облегчить и упростить вычисление распределений статистик, образованных случайными величинами, подчиненными устойчивым законам. Мы проиллюстрируем это двумя примерами.

Пример!. Рассмотрим независимые случайные величины Ki = У2 = Y3 = Y4 = YB (а, р, у, л), а =# 1, и

образуем с их помощью статистикут У,-У,y3-y4

(статистики такого рода используются, например, в задаче восстановления типа распределения). Вычислим распределение L. Согласно (2.1.6) и (2.1.1)

У3-У2 = Уд-У4 = Ув(а, О, О, 27) =

= ^у!»Ув (а, 0, 0, 1) = (2X)V«yc (c(j g, 1)е

Следовательно,

U, (3.3.21)U, (3.3.21)rd У (а, 0) d Z (а, 1/2) ~ У (а, 0) — Z (а, 1/2)

U, (3.3.21)

U, (3.3.21)

где U — случайная величина, принимающая значения 1 и —1 с вероятностью 1/2. Поскольку функция распределения FL (х) величины L симметрична, то она связана с функцией распределения FL (ж) срезки L равенством

Fl (х) = 2FL{x)~i, х> 0.(3.3.22)

Поэтому для вычисления FL (ж) достаточно вычислить Fl (х). Поскольку

f A z (“- V2)

L Z (a, 1/2) ’

то, используя (3.3.5), находим, что

Z = ZV“(1, a/2)Z (1, 1/2).

Функции распределения случайных величин Z4a (1, a/2) и Z (1, 1/2), как это видно из комментария к теореме 2.3.1, равны соответственно

^^=4-^^=4-т(1-«)т(1-«)(3.3.23)(3.3.23)।/ ж™ + соз -у a

^^=4-

^^=4-

т(1-«)

т(1-«)

(3.3.23)

(3.3.23)

— arete I

л 6 Iл

\ stn -у a

и FT (ж). Отсюда поручаем, что

РьИЦр^х/у^Р.,^о

и что плотность рь ^ распределения L имеет следующий вид 3-5:

Pl ^ = 4" 5 Fi ^'-^ Fa ^у) "^ = -о

ооос—° •4 LУ - sill -у аос—° •4 LУ - sill -у аy2ct _|_ 2у“cos"2" а + 1y2ct _|_ 2у“cos"2" а + 1dy.dy.

о

о

ос—° •4 L

У - sill -у а

ос—° •4 L

У - sill -у а

y2ct _|_ 2у“cos"2" а + 1

y2ct _|_ 2у“cos"2" а + 1

dy.

dy.

Пример 2. Пусть 1 < а ^ 2 и Уо = Ут = . . .

... = in — независимые случайные величины, распределенные так же, как У (а, —1, у, X). Обозначим через Z; срезку случайной величины Уу — у/. и рассмотрим статистику

(3.3.24)(3.3.24)

(3.3.24)

(3.3.24)

В соответствии с (2.1.2) распределение Z; не зависит от у. С другой стороны, в силу свойства 1 срезок и самой структуры статистики Q, ее распределение не зависит от А, т. е.

d /n“Z~“(a, 1/a)X1/»

= V Z"“ (a, 1/a) + . . . + Z-“ (a, 1/a) )"

Вычислим распределение Q. Из соотношения двойственности (3.2.18) следует, что Z_“ (a, 1/a) = У (1/a, 1). Кроме того, из (2.1.4) следует, что

п-“ (У (1/a, 1) + . . .+ У (1/a, 1)) = У (1/a, 1).

Таким образом.

А/ У (1/«, 1) у/“

V (У (1/a, 1) /’

откуда, применяя к отношению, стоящему в скобках, правило (3.3.16), получаем, что

.Q = Z (1, 1/a).(3.3.25)

Распределение правой части (3.3.25) без труда получается из распределения случайной величины Z1/" (1, а/2) (см. (3.2.23)):'

FQ W = — arctg ( -2п л/а ) + 1 - -Г • (3-3-26)

Свойства крайних строго устойчивых распределений

В классе SSj, которому было отдано основное внимание предыдущего раздела, имеется подкласс, объединяющий распределения с параметрами (а, 6а). По сути дела, основную роль среди них играют распределения с а <^ 1, поскольку 6Х = 1 соответствует распределению, вырожденному в точке х = 1, а распределения с а > 1 (точнее, их часть, сосредоточенная на полуоси ж > 0) выражаются благодаря свойству двойственности через распределения первой группы. Случайные величины У (а, 1), 0 <^ а < 1, распределения которых образуют эту группу (и только они), положительны с вероятностью 1, и поэтому Z (а, 1) = = У (а, 1). Условимся для величин У (а, 1) использовать далее сокращенное обозначение У (а).

Теорема 3.4.1. Пусть со,, . . ., <оп — некоторые числа, подчиненные условию 0 <^ а>, <^ 1. Тогда для всех п ^ 2 У(ап) - У (Ю1) У^^ (ю2) YW (<о3) . . . У1/Ю1“"'ЧО, (3.4.1) где ап = одоь. . . <оп.

Замечание. За счет перенумерации чисел со,- в обратном порядке соотношению (3.3.23) можно придать простым преобразованием вид

Y“n («п) = У“* («ДУ^ (<о2). . - Y^-^ (Юп). (3.4.2)

Доказательство (3.4.1) проводится по индукции. При п = 2 соотношение (3.4.1) совпадает с (3.3.4). Если оно верно для набора из п — 1 величин, то с помощью (3.3.4) получим, что

Y (а„) = У (ап_1Ю„) = У («„_,) У1/а"-1 (ю„).

Подставив теперь вместо величины У (an~i) ее выражение согласно (3.4.1), мы придем к соотношению (3.4.1) для п случайных величин.

Несмотря на то, что (3.4.1) и (3.4.2) являются простым следствием (3.3.4), они служат источником ряда интересных связей между распределениями рассматриваемого нами подкласса устойчивых законов. Поскольку далее будут встречаться бесконечные произведения положительных случайных величин, условимся называть эти произведения сходящимися, если сходятся с вероятностью 1 ряды из логарифмов их сомножителей.

Удобным для нас необходимым и достаточным условием сходимости бесконечного произведения XjX2. . . независимых и положительных (с вероятностью 1) случайных величин является условие сходимости произведения ЕХ^ЕХг • • • ПРИ каком-либо вещественном значении s =£ 0. Этот факт нетрудно установить, если свести вопрос о сходимости произведения случайных величин к вопросу о сходимости суммы случайных величин.

Как и раньше условимся через Е обозначать случайную величину с показательным распределением

Р (Е > z) = ехр (—z), z > 0.

Теорема 3.4.2. Пусть соц ю2, . . . — некоторая последовательность чисел, подчиненная условию 0 < CD; ^ 1, и а = (о1<о2. . .— uz произведение.

Если а > 0, то

У (а) = У (соаУ^* (®2) У^. (Юз). . .,(3.4.3)

У“ (а) = У“' (cojy^ (ю2). . . .(3.4.4)

Если а — 0, то

Уи* («а У™'"2 (ю2). . . = НЕ, (3.4.5)

в частности, при любом 0 < со < 1

Ую (to) ую. ^у^ (ыу . . ^ lfE (3.4.6)

Доказательство (3.4.3) и (3.4.4) сводится к тому, что мы в соотношениях (3.4.1) и, соответственно, (3.4.2) переходим к пределу при п —> ос, оперируя преобразованиями Меллина обеих частей равенств и приведенным выше критерием сходимости бесконечных произведений независимых случайных величин.

Обозначим для краткости Z (а) = Z (а, 1/а), 1 ^ а ^ ^ 2. Соотношение двойственности (3.2.18) У (1/а) = -= Z““ (а), 1 ^ а ^ 2, дает возможность получить для случайных величин Z (а) соотношения типа (3.4.1) — (3.4.4) и (3.4.6). Мы приведем их ниже.

Если ю,, ю2, . . .— конечная или бесконечная последовательность таких чисел, что <о, > 1 и а = с^од. . . ^ 2,

ТО

■ Z“ (а) = Z®1 (©J Ztoitoi (ю2) . . .,(3.4.7)

Z (а) = Z (©J Zi/“> (©„) Z1^ (ю,()

'(3.4.8)

Применение соотношения двойственности к (3.4.6) приводит для любого 1 < а ^ 2 к соотношению

Z (а) Z^» (а) ZV«! (а). . . = Е. (3.4.9) Легко видеть, что

Z (2) = | У (2, 0) | и У (2, 0) = V^N = UZ^, где N — нормально распределенная (0,1) случайная величина и U — независимая от Z (2) случайная величина, принимающая значения +1 и —1с вероятностью 1/2 каждое. Эти соображения вместе с (3.4.7) и (3.4.8) дают возможность для любого разложения числа 2 в конечное или бесконечное произведение 2 = ©!®2, . . ., ©, >1 получить следующие соотношения:

N = -^- Z^2 (Ю1) Z1”1^2 (©2)... =

= у=- Z (©О Z1M (©2) Z1/t01“2 (©з)...(3.4.10)

Аналогично, используя вновь соотношение двойственности, можно утверждать, что для любого разложения 1/2 = ©1©2 • • -, ©j ^ 1, в конечное или бесконечное произведение справедливы равенства

м = -^- у-1/2 (©!) у-1/2“ (©2) у-1^.^ (Юд)... ^

= -^- ^'“‘(©i) Y^8^ • • •(3.4.11)

Приведем еще три соотношения, в которых интересным образом появляются случайные величины N. Именно, как видно из (3.3.19), для любых 1/2 а <^ 1

^^A^Nyla,(ЗА12)

Далее, если в (3.4.1) выбрать ©j = ©2 = . ■ .= ©„ = 1/2 и воспользоваться равенством У (1/2) =-g-A-2, которое

вытекает из соотношения двойственности, то мы придем к представлению У (1/2") произведением степеней независимых нормально распределенных случайных величин:

У (1/2") = a^N^N-^. . . N-<(3.4.13).

И, наконец, третье соотношение мы получим, прологарифмировав (3.4.9), положив при этом а = 2:

log Е = log 2 + log| 7V| + 2"1 log | N | + 2”2 log | 7V|+ ...

(3.4.14>

Впрочем, разложение случайной величины log Е в ряд независимых случайных величин возможно не только с помощью величин log | N |. Это показывает соотношение (3.4.6), если мы прологарифмируем обе его части. Именно,

log Е = —\а log У (а) + а2 log У (а) +

.+ а3 log У (а) + . . .}, (3.4.15>

каково бы ни было значение 0 < а «У 1.

Как конечные, так и бесконечные разложения случайных величин в произведения независимых случайных величин можно очень просто приспособить для вычисления распределений, так сказать, «произведений отношений». С этой целью вычислим предварительно распределение отношения У (а)/У (а). Согласно (3.3.18), для а<4

У (а)/У (а) = ZV« (1, а).(3.4.16>

Функция распределения Еа (х) случайной величины ZV“ (1, а/2), 0 < а < 2, уже появлялась при разборе приводившегося в предыдущем разделе примера. И мы можем воспользоваться ее выражением (3.3.23) для вычисления функции распределения правой части (3.4.16). После простых преобразований получаем, что для любых 0<а<1'

На (ж“) = P(Y (a)/Y (а) < ж) = Р (Z (1, «)< ха) =

= — 'arctg_+созяа\ _ 1 + 1.(3-4Л7).

ла 1 ь \ sin ла )

Мы знаем (см. (2.9.2)), что Ya (а) —> Е-1 при а -^ 0. Тем самым, распределение Ra (ж®) не имеет собственного предельного распределения при а —> 0, но зато На (ж)

имеет. Нетрудно подсчитать, что при ос —» О

Ra^y^R^x^P^EjE <х^ = -г^—, х>0.

Возьмем по два комплекта соотношений (3.4.1) и (3.4.2), причем такие, что случайные величины, входящие в состав левых (правых) частей, были бы взаимно независимы, и затем поделим одну на другую соответственные части этих соотношений. В результате получим, что

/ У (со,) у У (со,) \i/№/ У(Ш1) х1/^ - “п-1 д

!\ У0>1) А У(^) / "ЦУМ/

^^^-^Z^nU.a»),(3.4.18)

^УМ/ "ЦУМ/z^-an)« (3.4.19)

Аналогичные соотношения можно записать для конечных или бесконечных произведений степеней величин Z (<Oj)/Z (a>j), опираясь при этом на (3.4.7), (3.4.8) и на тот ■факт, следующий из (3.3.17), что для а>1

Z (a)/Z (ос) = Z (1, 1/ос).

Предельный переход в (3.4.18) и (3.4.19), очевидно, возможен при п —> оо, если a„ -^- a > 0. Однако, если an —> 0, то предельного распределения в (3.4.18) не существует, в то время как в (3.4.19) оно есть, и мы получаем

f^ST (y^iLp8... = 4.(3.4.20)

\ У (С01) / \ у (со,) /Ех ’

Для случайных величин Z (ос), 1 <^ ос ^ 2, аналогичное утверждение следует из (3.4.9). Именно,

( z (a) \ / Z (а) У/а / Z (а) \i/«= d Д Щ Z

Z (а) Д Z(a) /\ Z (а) /Е " v '

Следующее соотношение стоит несколько особняком. Обозначим через Fv, v у> 0, случайную величину, имеющую Г-распределение с параметром v, т. е. плотность вида

Pv (Д = - р^- ^ ехр (— ж), х > 0.

Теорема 3.4.3. Для любого целого п ^ 2 справедливо соотношение

HY (1/,г) = Г1/ПГ2,П. . . Г(п_])/п/г”.(3.4.22)

Доказательство. Преобразование Меллина распределения величины 1/У(1/п) имеет, согласно (3.0.2), вид

^(-«.l/'-.D--!]^-.

Разложим эту дробь в произведение отношений Г-функций, используя так называемую теорему умножения для функции Г (ж), х > 0:

r(x)r(z + -L)...r(z + 2ri) = jy^W

Имеем

Поскольку отношение Г (s + v)/F (v) является преобразованием Меллина распределения величины Tv, то из сравнения преобразований Меллина, стоящих в левой и правой частях (3.4.23), следует соотношение (3.4.22) 3-6.

На этом заканчивается знакомство с «мультипликативными» свойствами строго устойчивых законов. Здесь уместно сказать, где могли бы оказаться полезными те многочисленные и разнообразные связи между распределениями, которые мы ради компактности записи облекали в форму соотношений между случайными величинами.

Прежде всего, такие связи являются удобным инструментом при вычислении распределений разного рода функций от независимых случайных величин У (а, 6) и Z (а, р). Если дополнить соотношения мультипликативного характера данной главы аддитивными соотношениями раздела 2.1, то мы получаем как бы своеобразную «алгебру» в множестве независимых случайных величин специального вида. Это особенно хорошо заметно, если выделить множество независимых случайных величин, подчиненных распределениям из 5В] со значением параметра 6 = 0а, О < а < 2.

В качестве иллюстрации покажем, как соотношения (3.4.13) и (3.4.22) помогают получить новые по форме выражения плотностей g (ж, 1/4, 1) и g ^х, 1/3, 1) интегралами от положительных функций. Согласно указанным соот-

ношениям

У (1/4) = У (1/2) У2 (1/2), У"‘ (1/3) = 27Г1/зГ,/„ откуда

g (х, 1/4,1) = L (х/у, 1/2,1) g (Уу, 1/2,1),(3.4.24)

x~^g (х\ 1/3,1) = ^1/3 ^ Рг(3 (у/27) ^ . (3.4.25) №

Вид плотностей g (х, 1/2, 1) и pv (х) известен. Первая приводилась еще в 2.2 (ее легко вычислить также и с помощью теоремы 3.4.3, поскольку, согласно (3.4.22), У-1 (1/2) = 4Г1/,), а вторая общеизвестна. После подстановки этих плотностей в (3.4.24), (3.4.25) и упрощающей замены переменного находим, что для ж > О

g(x, 1/4,1) ^-^^^^exPj—j-^1'3^4 + U-2^dy, (3.4.26)

О

g(x, 1/3,1) = -5— xr^ \ exp ]— -7=<y® + У-3)} dy. (3.4.27) 0

Вторая сфера применения «мультипликативных» свойств устойчивых законов — построение разного рода полезных статистик с явно вычисляемыми распределениями. Два примера таких статистик разбирались в конце предыдущего раздела.

И, наконец, некоторые из соотношений оказываются полезными в вопросах стохастического моделирования для генерации последовательностей случайных величин, подчиненных устойчивым распределениям. Так, например, располагая последовательностью случайных чисел, имеющих стандартное нормальное распределение, очень легко с помощью (3.4.13) строить последовательности случайных величин, распределенных так же, как У (1/271).

М-безграничная делимость распределенийвеличин У (а, 0) и Z (а, р)

Классическая теория предельных теорем для сумм независимых случайных величин обобщалась в различных направлениях. Одним из таких направлений была схема с обобщенным понятием суммы — некоторой операцией,

цо отношению к которой множество возможных значений ^суммируемых» случайных элементов образует коммутативную, локально компактную группу. По аналогии со схемой суммирования (A-схемой) в этой обобщенной схеме можно ввести понятие безгранично делимых законов (см. |371). Непосредственным обобщением A-схемы является схема перемножения независимых случайных величин (М-схема). Если в ней выделить случай, когда перемножаемые случайные величины положительны, то получится, с точностью до изоморфизма, A-схема. Аналог безгранично делимых распределений в М-схеме можно определить следующим образом (это определение, принятое в 1371, отличается по форме от определения, принятого в [71], но выделяет оно тот же самый класс распределений, который мы условимся обозначать через ®).

. Определение. Распределение Fx случайной величины X принадлежит к ®, если существует последовательность целых чисел 1 <^ щ < щ <Е . ., такая, что для каждого числа п, случайную величину X можно представить произведением п, независимых и одинаково распределенных случайных величин, т. е.

X = ХгХа. . . Х^ где Хк = ХЬ

Описание распределений Fx Е ® проводится в терминах соответствующих им характеристических преобразований Wx (t). Оказывается, что Fx будет М-безгранично делимым распределением тогда и только тогда, когда функции wk (Qx имеют вид

^о (Ох — Gyf! (0f2 (0, ^1 (Ох = aJi (002 (О,

где fn (2 — характеристические функции некоторых А- безгранично делимых законов, причем

f2 (i) = exp {^ <etx — 1) dH<i (i)} ,

где Н2 — спектральная функция, и вещественные числа л0, а1 удовлетворяют условиям

0^щ,<1, lai|^aoexp^—2^t/Zf2G0).(3.5.1)

Из класса 9R выделяется особый подкласс 9R' условием, что среди последовательностей Mj < п2 < • • • имеется последовательность, состоящая из четных чисел. Принадлежность распределения F Е $ к подклассу ®' обеспе-

чивается дополнительным (необходимым и достаточным) условием щ > 0. Особенность подкласса 96' состоит в том, что случайные величины X с распределениями из 9)1' разлагаются в произведение n > 1 независимых и одинаково распределенных сомножителей, каково бы ни было число п, четное или нечетное. В то время как X с распределением из 9R \ 9R' разлагаются в произведение любого, но лишь нечетного числа независимых сомножителей.

В применении к интересующим нас случайным величинам Y (ct, 6) и Z (а, р) принадлежность их распределений к ЭД связывается с соответствующим представлением характеристического преобразования W (s, а, 0) и преобразования Меллина М (s, а, р). Именно, для того, чтобы G (х, а, 6) ЕЕ 9R, необходимо и достаточно, чтобы

w0 (s, а, 0) = а^, (s) ф2 (s),

и\ (s, Ct, 0) = Щф! (s)Ap2 (s),\)

где

Ф1 (s) = exp (as -j- У (esx — 1 — s sin ж) dHx (ж)}, ф2 (s) = exp {j (e8x — 1) dH2 (ж)},

где Я15 Н2 — спектральные функции и а0, ах удовлетворяют указанным выше требованиям. Поскольку для положительных случайных величин X мы имеем ш0 (£)х = — wv GYi то условием принадлежности G (ж, ос, р) к 9R будет

М (s, ct, р) = фг (s).(3.5.3)

Нетрудно заметить, что если распределение неотрицательной случайной величины принадлежит к 9R, то оно непременно входит в состав 9R'.

Теорема 3.5.1. Для любых допустимых значений параметров (а, р) распределение случайной величины Z (ос, р) принадлежит ЭД'.

М (s, ct, р)М (s, ct, р)Г (1 — s/ct)Г (1 — s/ct)sin лр$р sin л$sin лр$р sin л$Г(1-6)Г(1-6)Доказательство. Покажем, что М (s, ct, р) представимо в виде (3.5.2). Имеем

М (s, ct, р)

М (s, ct, р)

Г (1 — s/ct)

Г (1 — s/ct)

sin лр$р sin л$

sin лр$р sin л$

Г(1-6)

Г(1-6)

— Г (1 —s) Г (1+») Г (1 —s/a) п с /х ~Г (1 — ps) Г (1 + ps) Г (1 — s) '

Из теории функций I1 нетрудно извлечь следующие равенства (для этого можно использовать, например, интегральное представление log Г (z) (см. 122], 8.341)):

В полосе | Re s | < а/Ъ, а > О, b ^> О,

log ( 1 ^—^ '^ ^ 6б^ ) = (е6и — 1 — su) v (и, а, Ь) du,

(3.5.5), где

v (и, а, Ь) = ехр (— | и \а/Ь) ( | и 1(1 — ехр (— | и| /Ь)))-1»

В полуплоскости Re s < 1/b, b ^> О,

log Г (1 — bs) = — ЬС$-|- ^ (esu — 1 — su) v (и, 1, b) du, (3.5.6)

где С — постоянная Эйлера.

С помощью этих равенств log М (s, а, р) записывается в следующей интегральной форме:

log М (s, а, р) = (—1/а + 1) Cs +

+ j (e$u — 1 — su) ^i (ы) ^u,

где

Ну (и) = v (и, 1,1) — V (и, 1, р) +

+ 4" (! + sign и) (v(u,l,l/a) — лДи,1,1)Д

Поскольку функция v (и, а, Ь) при фиксированных и, а не убывает с ростом Ъ, то на полуоси и < О

Я1 (и) = v (и, 1, 1) — v (и, 1, р) > О,

равно как и на полуоси и > U

^1 (ы) ~ v (“. 1, 1/°0 — v (и, 1, р) > И.

Следовательно, Нг (и) является плотностью некоторой меры. Если дополнить этот факт тем, что

1

и1 Ну (u) du <2 оо,

—1

то становится очевидным представление М (s, а, р) в виде (3.5.3).

Замечание. Для симметричных случайных величин Z (а, р) = UZ (а, р), где U — независимая от Z (а, р) случайная величина, принимающая значения +1 и —1 с вероятностью 1/2, утверждение теоремы остается в силе

по той причине, что соответствующие им характеристические преобразования имеют вид

ш0 W = М {it, a, р), wx (Z) = 0.

Теорема 3.5.2. Распределение У (а, 6) принадлежит к Ж тогда и только тогда, когда сх ^ 1 или же а > 1 и 0 = 0. Для того чтобы эти распределения принадлежали к Ж', необходимо и достаточно дополнительное условие 6 > 0.

Доказательство. Преобразуем функции u)k (s, а, 6) к виду (3.5.2) и выясним, когда Нх и Н2 не убывают.

1 Г (1 — s а) л Г (1 — s)COS s1 Г (1 — s а) л Г (1 — s)COS sГ (1 — s/а) F(l-s) *Г (1 — s/а) F(l-s) *Начнем со случая 6=0. Поскольку здесь wx (s, а, 0) = = 0, то преобразовывать надо лишь одну функцию w0 (s, а, 0), ибо ничто не мешает нам сразу принять <р2 (s) = = 1 и Oj = 0. Имеем ■

1 Г (1 — s а) л Г (1 — s)

COS s

1 Г (1 — s а) л Г (1 — s)

COS s

Г (1 — s/а) F(l-s) *

Г (1 — s/а) F(l-s) *

гео (s, сх, 0)

В соответствии с (3.5.5) и (3.5.6) мы можем записать log w0 (s, сх, 0) в виде

С (1у) $ + (esu — 1 — su) Нх {и) du, где

Нг {и) = v {и, 1/2,1/2) +

+ -|-(1 + sign u) {v {и, 1,1/сх) — v {и, 1, 1)}.

На полуоси и <0, очевидно, Нх {и) = v {и, 1/2, 1/2) > 0. После несложных преобразований Нх {и) на полуоси и > 0 принимает форму Нх {и) — v {и, 1, 1/сх) — —v {и, 1, 1/2). Эта разность неотрицательна, так как v {и, 1, Ь) не убывает с ростом Ъ. Поэтому G {х, сх, 0) е €= ® (точнее, принадлежит к Ж', поскольку ах = 0).

Пусть теперь 0 ^4= 0. Имеем

Г (1 - s/a)Г(1-$)Г (1 - s/a)Г(1-$)Л = 0,1.Л = 0,1.cos ~2~ (7с — 6s)

Г (1 - s/a)Г(1-$)

Г (1 - s/a)Г(1-$)

Л = 0,1.

Л = 0,1.

wk (s, а, 6) = ^ cos -^ (7с — s)

Отсюда «0 = 1, ^ = 6 и

ф1 ~ W^lB, ф2 = 6woiwv

Следовательно,

гп2 —Г(1-8)Г(1+$)г2(1 —$/а)4 1 w - г (1 _ es) г о + 6$) г2 (1 — $)гп2 —Г(1-8)Г(1+$)г2(1 —$/а)4 1 w - г (1 _ es) г о + 6$) г2 (1 — $)

гп2 —Г(1-8)Г(1+$)г2(1 —$/а)

4 1 w - г (1 _ es) г о + 6$) г2 (1 — $)

гп2 —Г(1-8)Г(1+$)г2(1 —$/а)

4 1 w - г (1 _ es) г о + 6$) г2 (1 — $)

Начнем с функции ф2 (s). В соответствии с (3.5.5) и (3.5.6)

log ф2 (s) = j (е™ — 1 — su) Я2 (u) du, где

н; (и)=4 (v (“-4/2’ 4/2) -v (ы- v2’ ।61/2) +

+ V (и, 1, |0 I /2) — V (и, 1,1/2)) =

= 4г Id + ^Т1 - (1 + e«/iei )-ij > 0.

Кроме того, как это следует из [22], 3.412, ехр (—2 j Яг (и) du^ = log | 6 |.

Наконец, в силу того, что Я2 (и) — четная функция, то log ф2 (s) = J (e8U — 1) Яг (и) du,

где Я2 (и) удовлетворяет условию (3.5.1).

Аналогичные рассуждения в отношении функции log фх (s) позволяют записать ее в виде

log Ф1 («) = С (1 — 1/») s + J (e8u — 1 — su) Нг (u) du,

где

^(«) = 4-Ь (n,l,l)-v(u,l,|0|) +

+ (1 + signu)(v(u, 1,1/а) — v(u, 1,1))].

На полуоси м < О, очевидно, Нг (ы) > 0. На полуоси м > 0

я; (М) =-L[2v (u, 1,1/сх) - V (п, 1,1) - V (п, 1,1 е |)].

Совершенно очевидно, что Нг (и) > 0, если а ^ 1. Поскольку в случае а ^> 1 Ят (ы) —• — 1/2 [v (u, 1, 1) + + V (и, 1, | 0 |)] при и —> оо, то на полуоси п > 0 неравенство Я1'(п) > 0 при больших и неверно, т. е. Н\ не является мерой. Выше отмечалось, что Gj = 0 и поэтому условие принадлежности распределения Y (сх, 0) к 5R' совпадает с условием 0 > 0.

Замечание 1. Отметим два частных случая, соответствующие величинам Y (2, 0) (нормальное распределение с параметрами (0,2)) и Y (1,0) (распределение Коши). Для НИХ Wy = 0 и

to»(s- 2-0) = г'хР(-Т0" + !^’“-1+®1а^7)’О

^0 (s, 1,0) = ехр (5 (^ - 1 + su) -.^ ) .

Замечание 2. Случайные величины | Y (сх, 0) | и Yr (сх, 0) = | У (сх, 0) |r sign Y (сх, 0) являются М-безгра- нично делимыми вместе с Y (сх, 0).

Логарифмические моменты случайных величинУ (а, 0) и Z(a, р)

Хотя случайные величины | Y (сх, 0) | и Z (сх, р) имеют конечные моменты лишь порядка, меньшего сх, их логарифмы имеют моменты всех порядков, что иногда (например, в некоторых статистических проблемах) оказывается очень ценным качеством. Оказывается, что моменты логарифмического типа имеют сравнительно простую форму записи. Мы займемся ниже вычислением следующих двух величин подобного рода (к = 0, 1 и п = 1, 2, . . .):

укп (сх, 0) - Е (log I У (сх, 0) I)” (sign У (сх, 0))*, Zn (“. р) = Е (log Z (сх, р))п.

Оказывается, что логарифмические моменты укп, zn являются полиномами степени п относительно переменного 1/сх и полиномами степени не выше п + 1 относительно

переменного 6 (или р). Их явные выражения записываются с помощью полиномов Белла Cn (un . . ., и^, с которыми мы уже встречались в разделе 2.5.

Введем величины qu q^, . . ., положив qA = (1/a — 1) С, где С — постоянная Эйлера и

9k = Ак+ (l/^ — 1) Г (А) £ (А) для к > 2,

где Вк — числа Бернулли, £ (А) — значение в точке к ^-функции Римана, и числа Ак определяются для различных логарифмических моментов следующим образом:

Ак = (2к — 1) (1 — 6й) для моментов уОп,

Ак = 1 — 6йдля моментов у1п,

Ак = 2й (1 — рй)для моментов zn.

Теорема 3.6.1. Для любых допустимых значений параметров (а, 6) или (а, р) имеют место следующие равенства (п = 1, 2, . . .)

Уоп = Сп (qu q2, . . ., q^,

Ут = 6Cn (qu q2, . . ., q^,(3.6.1)

^n Cn (<?i, Qj, • • ., On)-

Доказательство. Поскольку M (s, a, p) = = EZ8 (a, p) и wk (s, a, 6) = E | У (a, 6) |8 (sign Y (a, 6))й, TO

/ d \n .n\|

^ = \-dT) M(s,a,p)\s^0

являются коэффициентами разложения в ряд по степеням s функций wk и М. Разложение этих функций, однако, удобнее производить не непосредственно, а предварительно разложив в ряды их логарифмы. Отметим, что в случае 6 = 0 мы имеем и\ (s, a, 6) = 0, так что вычисление у1п следует производить при дополнительном условии 6^0. Имеем

log we(s, а, 6) = log cos -^- 6s — log cos -^- s +

+ log Г (1 — s/a) — log Г (1 — s).

Функция log cos x разлагается в степенной ряд так же, как и log Г (1 — ж) (см. по этому поводу [22], 1.518 и

244 гл. з. специальные свойства законов класса ев

8.342):

2V-1)|BJ к log cosz =j^j- ^ ,

л=о

log Г (1 — z) = С® + 5^-^^.к=2

С помощью этих формул получаем в итоге сюк

log гу0 (з, а, 6) = qk -^- ,к=1

где числа qk были определены выше. Используя теперь формулу Бруно, находим, что

/г=1

— 1 + У Сп^1,дй,... , дп)-^- ,

откуда и вытекает первое равенство (3.6.1).

Рассматривая iz^ (з, а, 0) при условии 6 =/= 0, удобно записать ее в виде

s*n 9 ®ь Г s

wi (s, а, 0) = 6= 6h (з)

0 sin ~2~ s

и раскладывать в ряд по степеням з функцию h (s). Понятно, что все коэффициенты разложения и?г в ряд будут пропорциональны 0. Разложение h (з) проводится так же, как и разложение w0, с той, однако, разницей, что при этом используется формула ([22], 1.518)

A 2k|BJ

log (z/sinх) = ^ kr^^ D ^ •

К=2

Тем же приемом получается разложение в ряд по степеням з функции М (з, а, р).

Поскольку величины дп, п > 2 являются полиномами степени п по отношению к переменным 1/а и 0 (или 1/а и р), то, возвращаясь к явному выражению полиномов

Белла (оно приводилось в разделе 2.5), нетрудно установить, что тем же свойством обладает и Сп (дъ . . ., q^. В случае логарифмического момента у1п максимальная степень 6 равна п + 1 за счет того, что у1п ~ 6СП.

Отметим одну вычислительную деталь, способную в ряде случаев упростить выражение величин q^. Значения £ (А) при нечетных к явного выражения не имеют, хотя и быстро приближаются к 1 с ростом к. При четных к значения ^ (А) выражаются через числа Бернулли, являющиеся рациональными дробями: t, (А) = З^л*1 | fi^J/r (к + 1).

В заключение приведем выражения логарифмических моментов при п = 1 и п = 2, принимая во внимание, что

Сх {q^ = qi и Са <qTl g2) = g? + q».

Уот = Z! = (l/« — 1) С, Ун = бУон (3.6.2) У02 = (l/« - I)2 C2 + -g- (2/a2 - 362 + 1), (3.6.3) У12 = е[(1/а-1)2 С2 + 4г(2/“2 + е2 —1)] , (3-6-4) z2 = (1/a _ I)» C2 + -^- (1/a2 - 2p2 + 1). (3.6.5)

ГЛАВА 4

ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ УСТОЙЧИВЫХРАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Без преувеличения можно сказать, что проблема построения статистических оценок устойчивых законов вошла в математическую статистику благодаря работам Мандельброта 1116]—[126]. Рассматривавшиеся в них экономические модели содержали устойчивые распределения, параметры которых надо было определять экспериментально. Причем сразу же обнаружилось, что математическая статистика, располагая большим арсеналом методов, в данном случае мало чем может помочь, поскольку основная часть этих методов опирается на такие предположения, как наличие явного вида плотности, существование какого-то количества моментов и т. д., которые в случае распределений из в заведомо не выполняются. Из моментов целого порядка они имеют в лучшем случае один (если а ^= 2), а явные выражения плотности, которые позволили бы конкретизировать алгоритмы оценок параметров (скажем, по методу максимума правдоподобия) имеются лишь в нескольких случаях.

. Однако появилась проблема, начались и поиски ее решения. Велись они в разных направлениях и приводили к рекомендациям, в той или иной степени удовлетворявшим практиков. Исследования еще продолжаются, и пока рано говорить о полном решении поставленной проблемы, если иметь в виду создание алгоритмов, отвечающих требованиям современной теории, т. е. оценок, по крайней мере в асимптотическом смысле несмещенных, эффективных и т. д. Мы не будем даже в ограниченном объеме знакомить читателя с имеющимися здесь достижениями, хотя среди них есть немало очень интересных. Назначение настоящей главы не состоит в том, чтобы осветить состояние проблемы в целом. Даже для краткого обзора потребовался бы объем, который никак не оправдывался бы направленностью настоящей монографии.

Ниже предлагается новый подход к проблеме оценки параметров устойчивых законов, основанный на использовании явных выражений соответствующих им характе-

ристических преобразований и хорошо известного в статистике метода выборочных моментов. Последнее, как мы увидим, создает известную близость предлагаемого метода классическому методу оценки параметров нормального закона 4Л.

Тем, кто заинтересуется современным состоянием общей проблемы, можно рекомендовать довольно обстоятельный обзор [951, охватывающий период до 1973 г. Список более поздних исследований входит в состав III части литературы, собранной в конце книги.

Особенностью предлагаемого подхода является то, что задача оценки параметров решается для распределений класса $8, а затем общая проблема сводится к решенной задаче некоторыми специальными приемами. Необходимость такого деления общей проблемы объясняется тем, что явные формулы для характеристических преобразований устойчивых законов, составляющие аналитический базис метода, имеются лишь для распределений класса $8.

При работе с устойчивыми законами этого класса наиболее удобной формой записи соответствующих им характеристических функций оказывается проводившаяся во введении форма (У).

v-!/2 flog 111 4- т — i -^- 6 sign <) + С (v-1/2 — 1v-!/2 flog 111 4- т — i -^- 6 sign <) + С (v-1/2 — 1Для удобства мы воспроизведем здесь запись логарифма характеристических функций g (t, v, 6, т) в этой форме: log д (#, v, 6, т) =

v-!/2 flog 111 4- т — i -^- 6 sign <) + С (v-1/2 — 1

v-!/2 flog 111 4- т — i -^- 6 sign <) + С (v-1/2 — 1

— ехр

(4.0.1) где С — постоянная Эйлера, параметры v, 6, т меняются в пределах

v > 1/4, | 0 | ^ min (1, 2 |/"v — 1), | т | < оо и связаны с параметрами а, 0, X (формы (С)) соотношениями

v = a“2, 0S = 0C, T=-i-log%+ С^1).

В пределах класса $8 параметры а, 0, у, X формы (У) (нам в дальнейшем также придется встречаться с нею) связаны с параметрами v, 6, т соотношениями

v = a-2, 0 =v = a-2, 0 =0ЛГ (а)/а,Aarctg^Y),0ЛГ (а)/а,Aarctg^Y),если а#= 1,если а = 1,если а#= 1,если а = 1,

v = a-2, 0 =

v = a-2, 0 =

0ЛГ (а)/а,

Aarctg^Y),

0ЛГ (а)/а,

Aarctg^Y),

если а#= 1,

если а = 1,

если а#= 1,

если а = 1,

,— log X 4- С f—1К если а ^= 1,

log X + log (у2 + л 8/4), если а = 1,

обратными к которым служат равенства

sign (1 — 1/v),sign (1 — 1/v),В = 0 щах (1 —Д

sign (1 — 1/v),

sign (1 — 1/v),

1’2Kv-l

О,если v^l,

^ х Z ^ А \А

"tgl^ti), еСЛи V = l,

если v ^= 1, , если v = l.если v ^= 1, , если v = l.exp (?/]/" v — 0(1 — 1/Vv)),

если v ^= 1, , если v = l.

если v ^= 1, , если v = l.

exp ft — 2 flog cos -^- 0 — log -2-

При построении оценок параметров устойчивых законов нам понадобится некоторое количество вспомогательных фактов. Они войдут в состав следующего раздела, где будет собрано несколько больше материала, чем впоследствии используется.

Сведения вспомогательного характера

Форме (У) соответствует своя форма записи характеристического преобразования W (s, v, 0, т), которую нетрудно получить из (2.6.26), используя формулы перехода от формы (У) к форме (У). Она имеет вид

и^ (s, v, 0, т) =

л

, COS о (^™) ГН_ е

= exp(« + Cd - Г*»2--^я^1 .

cos “2“ (к — s)1

(4.1.1)

где к = 0 или 1 и s меняется в полосе —1 < Res-^l/jAv.

Лемма 4.1.1. В круге | s | < min (1, l/p^v) функции log w^ (s, v, 0, т) являются аналитическими и представля-

СВЕДЕНИЯ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО ХАРАКТЕРА 249 ются там следующими степенными рядами (fc = О, 1): logu^ (s, v,6, т) =

= к log е + ts + \аки (1 - 0n) + 6kn (v^ - 1)1 -^- ,

П=2

(4.1.2)

причем предполагается, что 0 log 0=0 при любых значениях 6 и что w1 (s, v, 0, т) = 0, каковы бы ни были s, v и т. Коэффициенты akn, bkn для к = 0, 1 ип^2 имеют вид

^п - 4- (2"(1-м - ^ -к» ।в” I- ь^=rw ^-

Здесь £ (и) — значение в точке п ^-функции Римана.

Замечание. Для нечетныхп > 3 мы имеем акп = 0, поскольку для таких п числа Вп = 0. Если п — четное число, то Ькп = (2л)" | Вп | /(2п).

Доказательство леммы проводится на основе тех разложений в степенные ряды функций log cos х, log (ж/sin ж) и log Г (1 — ж), с которыми мы уже встречались при доказательстве теоремы 3.6.1.

Условимся ради упрощения записи на протяжении всей главы опускать у случайных величин YE (v, 6, т) и связанных с ними характеристик подстрочную букву Е. Опасности спутать это обозначение с использовавшимся ранее обозначением той же случайной величины У (а, 6, X) нет, поскольку буквы v и т закреплены за формой (Е).

Введем сокращенные обозначения:

U = sign Y (v, 6, т), V = log | Y (v, 6, т) |, U = U -EU, V = V — EV.

Функции wk (s, v, 6, т) в этих обозначениях запишутся в виде

wk (s, v, 6, т) = EZ7k ехр (sV), к = 0, 1.(4.1.3)

Из равенств (4.1.2), следуя рассуждениям теоремы 3.6.1, нетрудно получить явные выражения логарифмических моментов случайных величин Y (v, 6, т), т. е. смешанных моментов величин U и V. Действительно, поскольку, как это видно из (4.0.1), при любых допустимых

значениях параметров

Y (v, 6, т) = ехр (т + С (1 - /v)) Y (v, 6, 0) =

= ехр (т + С (1 — ^v))yB (а, 6), (4.1.4) то моменты окп = EUkVn оказываются связанными с логарифмическими моментами (в которых следует заменить величину 1/а на ]^v) следующими равенствами {к = 0, 1, п = 0, 1, 2, . . .):

®kn = Е (т + С (1 — У v) + log | Ув (а, 6) |)” (sign У в (а, 0))'; =

= В С) Ук5 (т + С ^ * l^)”^(4-1.5)

В частности, моменты <okn до порядка п = 2 включительно имеют следующий вид:

EU0 = ЕУ° = ЕС/2 = 1, EU = 0, EV = т, (4.1.6)

ЕС/У = Or = ЕС7ЕУ,(4.1.7)

ЕУ2 = т2 +-^-(2v-362+ 1),(4.1.8)

ЕС7У2 = е(т2 + -^-(2v-e2-l)).(4.1.9)

Замечание. Отметим один интересный факт. В разделе 3.2 упоминалось, что модуль | Ув (а, 0) | и знак sign У в (а, 6) случайной величины Ув (а, 0) являются независимыми в том и только том случае, когда 0 = 0 или же О<ос<1и|0| = 1. Благодаря свойству (4.1.4), отсюда вытекает, что | У (v, 0, т) | и sign У (v, 0, т) являются независимыми случайными величинами, если (и только если) 0 = 0 или же v > 1 и | 0 | = 1. Понятно, что тот же вывод сохранится и в отношении случайных величин V и U. В дополнение к нему равенство (4.1.7) позволяет утверждать, что U и V всегда являются некоррелированными случайными величинами.

Смешанные центральные моменты р.Ап = ЕС/'У", к, п = 0, 1,..., выражаются через моменты нецентральные и поэтому также могут быть выписаны в явном виде. Поскольку для любых целых m > 0

g(/2myn __ gyn gyam+iyn _ g UV^

то приникая во внимание, что ЕС/ = 6, имеем

к

Рмп = Е (I/ — 0)к У" = £(- 0)^ ЕГТ” =

j=o

=(- i) W" £о (^) ем - (-1/- euv" ум (*) е^,

где 5о и Si означают соответственно суммирование по четным л нечетным значениям /, не превышающим /с. Обозначим

^Оп == Иоп и ^1п = И1п/®»

понимая тоследнюю величину в случае 0=0 как предел Lfn при 6 —> 0. Вычислить Lkn нетрудно с помощью равенств (4.1.2) и (4.1.3). Поскольку, согласно (4.1.6), EV = т, го

У Lkn—Ц~ = ехр (— st — к log 6) EUk exp (sP ) = n=o

= ex p (— st — к log 6) wk (s, v, 0, t) = exp (^ PknSn/nl) .

71=2

где pkTl = akn (1 — 0n) + 6kn (vn/2 — 1). Отсюда следует, что

^kn Cn (0» Pk3i Pkai- • ч Pkn)i (4.1.10)

где Cn — фигурировавшие в разделах 2.5 и 3.6 полиномы Белла. Таким образом, мы пришли к следующему утверждению.

Лемма 4.1.%. Для любых допустимых значений параметров v, 0, т и любых г, п = 0, 1, 2, . . .

(- iy EOT"=£.„ £„ (;) 0-1 - Ь„ ^ (') »-i«.

Покажем, как выглядят несколько первых моментов pkn. Их явные выражения понадобятся в дальнейшем. В равенстве (4.1.10) рИ — 0, так что первые пять полиномов Белла (см. [77]) имеют вид

С'о = 1, Ci = 0, С2 = рк2, С3 = рк3, С4 = рк4 + Зрк2.

Отсюда следует, что

Lqo ~ Llo = 1, Lqi = Ln = 0,

L02 = ^-(i-e=) + ^(v_i),

£12=£(i-e2) + 4(v-i),

£-оз = Ln = 2£ (3) (v3/2 — 1),

^^-gr*1-^-^2-1^

_L(1_02) + _L(v_1)) ,

^^-Ci-^ + ^-iH

ч-чтС-г^-62^^-1))2’

что, в свою очередь, приводит к следующим выражениям для смешанных моментов:

EC'-l-D'^Qe'-1 -£,(;)<>-"-). (4Л.11)

ЕГГУ = О,(4.1.12)

Et7T«=4-(i-e^£o(;)e^ +

+ _iL (2v — 62 — 1) (— l)r Et7r, (4.1.13)

ЕГТ® = 2^ (3) (W2 _ 1) (_ 1)г еГг,(4.1.14)

ют- -^(i- o') ^ (>-' +

+ 4^-(8v2-e*-7)(-l)W. (4.1.15)

Лемма 4.1.3. Для любых целых положительных г, п COV фг, Гп) = (- l)r~l cov ф, Гп) ^ (;r) er-i =

= (- l)r (Lo„ - Lln) ^ (') е-^. (4.1.16)

_Док аз а т е л ь с т в о. Используя тот факт, что EFn = £Оп и равенство (4.1.11), имеем

cov фг, Гп) = ЕГТП — ЕГТП ==

^(-ir^n-^^^er-^.

Положим в этом равенстве г = 1 и получим

cov Ф, Г") = —е (£оп - £1п), откуда следует вторая часть (4.1.16).

Следствие. Для любых целых положительных г, п случайные величины UT,Vn некоррелированы тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих двух условий:

6 = 0, 2. £on = £1П.

Случай 6 = 0 малоинтересен, поскольку для него справедливо, как мы видели, более сильное утверждение, что UT и V" независимы.

Второе условие связано с нетривиальными ситуациями. Для всех нечетных п > 3 числа Бернулли В^ = 0, следовательно, р№ = Рш = Г (n) £ (n)(vn/2 — 1). Отсюда вытекает, что L№ = Llw т. е. для таких п случайные величины UT и Vn некоррелированы. В случае п = 1 этот вывод следует из того, что £oi = Llt = 0.

Рассмотрим некоторую выборку объема п ^ 2, т. е. набор Хп . . ., Хп независимых и одинаково распределенных случайных величин. Обозначим через

^i-^-£,x- " ,й=-^т£1№-л^

3=1 3=1

выборочное среднее и выборочную дисперсию.

Лемма 4.1.4. Предположим, что случайные величины выборки Хп . . ., Х„ имеют конечный четвертый момент и обозначим а = EXlt Ь2 = ОХЪ с4 = Е (Хх — а)4. Тогда имеют место следующие равенства: '■

ЕАх=а, DAx — ^/n, ES2x = b2, (4.1.17)

^ = («• - f) V + 2l* Т5Г^Г • l4JJ8)

Доказательства этих известных в математической статистике равенств мы приводить не будем. По этому поводу см. [48].

Рассмотрим пару некоррелированных случайных величин (£, М)/имеющих нулевые средние и конечные четвертые моменты. Пусть (£ъ М^, . . ., (£п, М^ — набор независимых между собой пар случайных величин, каждая из которых распределена так же, как и пара (£, NT). По наборам (£lf . . ., £п) и (Мц . . ., М^ строим выборочные дисперсии 51 и 8м-

Лемма 4.1.5. Для любых п ^ 2 имеет место следующее равенство:

COV (51,5м) = -L QOV (£2, М2), (4.1.19)

Доказательство. Используя последнее из равенств (4.1.17), имеем

cov (Я, ^ = ЕбМ - ES^S^ = E-Mi - DLDM.

(4.1.20)

Поскольку, как легко видеть, выборочную дисперсию можно записать в виде

Я = ^-(^-(^8),

где Ах» — выборочное среднее квадратов случайных величин Xj, то

Е81§м = (-^-)8 Е [AL,A№ - Av W - №АМ. + + (А)2 GW1 = (^)2 Е (7ц - 712 - 721 + 7Ю). (4.1.21)

Условившись, что индексы г, j, г, t независимо меняются от 1 до п, мы можем записать

EZ12 = и-» Е ^М5Мт^ = и"3 У^ Е (L2AZ2) = n^EZu,

EZ2i = и"8Е kULjM^ = п-8 У| Е ^М^ = n^EZu,

EZ22 = и"4 Е IL^M^ = п-4 Е ^М^) = п-^11Ъ

Следовательно,

ES1Sm = EZu = п^, Е (№)) =

= п-8 [п (и — 1) EL2EMa + г. EL^M^ =

= DLDM + п-1 (ELaM8 — Е7,2ЕЛГ).

Подставив это выражение в (4.1.21), мы получим равенство (4.1.19).

Оценки параметров распределений класса 8В

Пусть Ух, . . ., Уп — независимые случайные величины, распределенные так же, как и случайная величина У = У (v, 0, т), т. е. подчиненные распределению G^x, v, 6, т), о котором мы знаем только то, что оно принадлежит классу ЗВ. Нашей задачей является статистическая оценка параметров распределения G,

По этой выборке построим два набора независимых (в пределах каждого набора) случайных величин Ui = = sign Уп . . ., Un = sign У„ и Vx = log | Yx | , . . . ..., Уп= log | Уп | , распределенных соответственно так же, как U = sign У (v, 6, т) и V = log | У (v, 6, т) |.

Идея построения оценок параметров v, 0, т базируется на следующих трех равенствах:

v =4-Dy-4-Dt7 + l, e = EU, т = ЕУ. (4.2.1)

Последние два равенства отмечались в (4.1.6), а справедливость первого нетрудно проверить, вычислив дисперсии DU и ОУ. С помощью (4.1.6)—(4.1.8) находим, что

DU = EU2 — (ЕГ)2 = 1 — 02,

ОУ = ЕУ2 - (ЕУ)2 = -^- (2v - 302 + 1).

Исключая из этих равенств величину 02, получаем нужное нам соотношение.

Сама идея проста и не нова в математической статистике. В качестве поясняющего примера мы напомним классическую задачу оценки параметров нормального распределения с плотностью

pM=,7^exp(-4-(^D- <4-2-2>

Пусть Хи . . ., Х^ — независимые случайные величины, подчиненные распределению (4.2.2). Поскольку

а = ЕХг и а2 = DXb

то, воспользовавшись тем фактом, что при неограниченном возрастании объема выборки

Ах —* а, S'x —» о1 (сходимость по вероятности), мы можем в качестве оценок а, о2 параметров а ио2 выбрать а = Ах и о2 = Sx.

Метод выборочных моментов не очень жалуют в математической статистике. Его считают, и не без оснований, далеко не самым экономным способом оценивания. Однако в ряде случаев, когда распределение обладает достаточно хорошими аналитическими свойствами, например, такими, как существование моментов любых порядков и т. п., метод моментов в состоянии давать

256 ГЛ, 4. ПАРАМЕТРЫ УСТОЙЧИВЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ оценки параметров, отвечающие современным требованиям. Рассматриваемый нами случай распределений случайных величин U и V, имеющих конечные моменты любого порядка, относится именно к такой категории.

На основе наборов Ult . . ., U^ и Vu . . ., Vni порождаемых независимой выборкой Уъ . . ., Уп, образуем выборочные средние А и и Av, которые и принимаем в качестве оценок параметров 0, т, т. е.

0 = Ли» т = Ау.(4.2.3)

Лемма\4.%.1. Статистики 0, т являются несмещенными состоятельными оценками параметров 0 и т с дисперсиями.,

og = D0 = (1 - 02)n-i,(4.2.4)

о2 = От = ^ (2v - 302 + Д) п-4(4.2.5)

Доказате л ь с т в о. Несмещенность оценок (4.2.3) является следствием равенств (4.2.1). Вид дисперсий получается из (4.1.17) и (4.1.6), (4.1.8). Состоятельность оценок вытекает из стремления к нулю при п —> оо дисперсий оценок (4.2.4), (4.2.5).

Поскольку случайная величина U принимает только два значения 4-1 и —1 с вероятностями, равными соответственно р = V2 (1 + 6) и 1 — р = V2 (1 — 0), то оценка 0 равносильна оценке р, что представляет собой хорошо известную в математической статистике задачу. Известно, что для параметра р оценка р = V2 (1 + 0) является эффективной (см. например, [9]).

Построение оценки параметра v имеет, в отличие от оценок (4.2.3), свои сложности. Казалось бы, такой оценкой (состоятельной и несмещенной) может служить статистика

^=^5^-^-^ + !,(4.2.6)

поскольку, с одной стороны, при П —» ОО

Su = -^ <А№ - (Лу)2) Л ЕГ2 - (ЕГ)2 = DU

и, аналогично, £уа —> DV, откуда следует, что v v.

С другой стороны, в соответствии с (4.1.18) Ev = v.

<4 = К0): |6|<1.<4 = К0): |6|<1.в1хв1х-1-1Рис. 5. Области изменения оценок параметров (v, в) и (v, 0).Рис. 5. Области изменения оценок параметров (v, в) и (v, 0).

<4 = К0): |6|<1.

<4 = К0): |6|<1.

в

1х

в

1х

-1

-1

Рис. 5. Области изменения оценок параметров (v, в) и (v, 0).

Рис. 5. Области изменения оценок параметров (v, в) и (v, 0).

Однако принять v в качестве оценки v мешает то, что область Q = {(v, 6) : | 0 | ^ min (1,2 ]/v1)}

v, ti, которая имеет видv, ti, которая имеет видизменения параметров v, 0 не совпадает с областью фп изменения значений (см. рис. 5)

v, ti, которая имеет вид

v, ti, которая имеет вид

1, а

V ^ — "2"(1 + rin)J ,

где Лп = 3/(п — 1), если п — четное и rin = 3/п,

если и — нечетное. А это означает, что могут появиться такие пары значений v, О, которым не соответствуют никакие устойчивые распределения. Следовательно, надо изменить оценки v, 0 таким образом, чтобы их новая область изме

нения совпадала бы с областью Q. Проделать это можно разными способами, например, проводя нормаль из точки (v, 0) к границе Q (если, конечно, точка находится вне (?) и взяв за новые оценки координаты точки нормали на границе Q.

Но мы выберем наиболее простой способ, когда 0 вообще не меняется, а меняется только v. Именно, положим

(4.2.7)(4.2.7)v = max (v, (1 + | 0|)2/4).

(4.2.7)

(4.2.7)

При таком определении v область изменения значений пары (v, 0) совпадает с областью Q.

Лемма 4ЛЛ. Для любых п > 2

а2 = Dv =

= [4 (v - 1)2 + 4" (9-502) (^—1) + 3 (1 —02) (3+ О2)] А +

+ [2 (v — I)2 + 6(1 -0«)(v - 1) + 9(1 - О2)2] п(Д1} .

(4.2.8)

Доказательство. В соответствии с (4.2.6) имеем

^ = о(А15'2у-А^) =

= 5 D^ + 4 D^ - 5 ^ ^ svV

Преобразуем правую часть этого равенства, используя свойство выборочной дисперсии (4.1.18) и лемму 4.1.5: "

о? = {5 [ЕЙ4 - (СИ)2] + -®- [ЕЙ4 - (Ой)2] -

^^t+^W + tW]^

Мы располагаем явными выражениями смешанных центральных моментов (лемма 4.1.2). С помощью равенств (4.1.11), (4.1.13) и (4.1.15), а также выражений DU, DF, имеем после несложных преобразований

ЕЙ4 = 1 + 262 - Зе4 = 40Й (1 — Ой) + (Ой)2,ЕЙ2Й2 = ОЙОЙ + 4 ОЙ (1 — ОЙ),

ЕЙ4 = (DF)2 + 2 [(OF)2 - ^ (Ой)2] + 4 (OF - А Ой)2 + + АЛ2 (dF-Ad^H-A^-

Отсюда находим, что первым трем слагаемым в представлении Ov можно придать следующую форму:

А [ЕЙ4 — (OF)2] = A W1 4- 6 (Ой + A) w + 9ОЙ,

А [ЕЙ4 — (Ой)2] = 9ОЙ (1 — Ой),

ACov (Й2, Й2) = 6ОЙ (1 —Ой),

где PF=AdF1-Ой. Следовательно,

о2 = [ A W2 + 6 (Ой + A) W + ЗОЙ (4 - Ой)] А + + \2W^ + 61УОЙ + 9 (Ой)2] -^А)

Для того, чтобы получить (4.2.8), нам остается подставить в полученное выражение значения величин W = v — 1 и du = 1 — е2.

Лемма 4.2.3. Справедливы, следующие неравенства;

(Ev — v)2 < Е (v — v)2 < о® + ое- (4.2.9)

Доказательство. Поскольку

| 6 | ^ min (1, 2 y"v — 1),

то v = max (v, (1 + | 6 |)2/4). Далее, в силу того, что для любых вещественных а, а', Ь, Ъ' величина шах (а, 6) — max (а', 6') ^ max (| а — а' | , | Ъ — Ъ' |) и | 6 | ^ 1, | 6 | ^ 1, имеет место неравенство

v — v = max (v, (1 + | 6 |)2/4) —max (v, (1 + | 6 |)2/4) ^

^ max (| v — v | , | 6 — 6 |).

Совершенно аналогично получаем неравенство v — v < max (| v — v |, | 6 — (Г |), т. е. | v — v | ^ ^ max (| v — v |, | 6 — 6 |). Отсюда имеем

(v — v)2 ^ max ((v — v)2, (6 — 6)2) ^ (v — v)2 + (6 — 0)2.

Следовательно, E (v — v)2 ^ E (v — v)2 + E (0 — 0)2.

Теперь мы можем сформулировать следующее утверждение, вытекающее из лемм 4.2.2 и 4.2.3:

Теорема 4.2.1. Статистика х является асимптотически несмещенной и состоятельной оценкой параметра м, причем квадрат смещения и квадратичное отклонение v от истинного значения параметра v не превосходят суммы о2 + ^е, имеющей при п —> оо порядок О (1/п). Точные значения слагаемых этой суммы даются равенствами (4.2.4) и (4.2.8).*

Оценки параметров распределений семейства ©параметры а, 0, К

Рассмотрим распределение G (х, а, 0, у, X) Е? © и предположим, что мы располагаем независимой выборкой У1, . . ., Увп, подчиненной этому распределению. Идея построения оценок параметров а, 0, X состоит в преобразовании выборки таким образом, чтобы в результате получился другой набор У1т . . ., Ут случайных

величин, распределение которых принадлежит классу 88, а определяющие их параметры взаимнооднозначно связаны с параметрами а, р, X. Объем т нового набора будет существенно меньше исходного объема, что, однако, надо рассматривать как необходимую плату за появление у распределении случайных величин Y, нужных нам свойств (принадлежность классу $8). В качестве преобразования исходной выборки мы выберем следующее:

УТ - у3,-2 - 6Уз;-1 - (1 - ^Y^, / = 1, 2, . . ., 2», где 0 <2 5 ^ 1/2 — некоторое фиксированное число.

Предельный случай этого преобразования ^ = 0 выделяется в самостоятельное преобразование

>1 = У2М - У2/, / = 1, 2, . . ., Зи

(объем исходной выборки би был взят таким, чтобы при разбиении на тройки и двойки нам не надо было возиться с оставшимися величинами).

Лемма 4.3.1. Случайные величины У® распределены так же, как У (а, 0, 0, 21), а распределение УТ совпадает с распределением У (а, Р*, у*, X*), где параметры Р*, у*, X* связаны с а, р, у, X (если все они соответствуют форме (Л)) равенствами^

Р* = —е (^^(^Р, ** = Тй (5)1, у* = -Т. (5)Р, (4.3.1) где

тй (5) = 1 + 5“ + (1 - 5)“,

Л (5) = —|е (а) (1 - ^ - (1 - ^/Тй (Е) и

{

0,если а=/= 1,

^ (^ log 1 + (1 — 5) log (1 — 5)), если а = 1.

Как случайные величины У", так и величины Y* имеют распределения, принадлежащие к 88.

Доказательство. Утверждение леммы, связанное с видом параметров р*, 1*, у*, сводится к применению в рассматриваемом случае свойства 2.3. То обстоятельство, что распределения случайных величин У® и У* принадлежат классу $8, очевидно, поскольку для У* мы имеем у* = 0, если « ^ 1 и р* = 0, если а = 1.

Хотя распределения Yj и Y* принадлежат классу $8, построение оценок параметров этих распределений по методу раздела 4.2 возможно лишь после того, как мы перейдем от формы (Л), которой соответствуют выражения параметров (4.3.1), к форме (£).

С учетом того, что переход к величинам У* приводит к исключению параметра у, схема преобразований исходного набора параметров а, р, X в соответствующие им наборы параметров других форм выглядит следующим образом:

(а, Р,-, Ь)л~(а, Р*. Т*, Х*)А~(а, р*, у*, Х*)в ^ «-> (а, 0*, Х*)с <-> (v*, 0*, т*)Е. (4.3.2)

Все переходы обратимы, поэтому, построив оценки "v, 0*, т* параметров v*, 0*, т*, мы можем тем же путем вернуться, принеся с собой оценки а, р, X параметров а, Р, у.

Аналогичная ситуация возникает в случае перехода от первоначальной выборки к набору (У”}. В этом случае помимо у исключается еще и параметр р. Так что оценке подлежит только пара параметров а и X. Соответствующая схема переходов имеет вид

(а, ., -, Х)А «^ (а0, О, О, Х®)А ^ (а0, 0, 0, XV ~

~ (а0, О, XV ^ (v°, 0, t6)E- (4.3.3)

Найти связь между исходными параметрами а, р, X в форме (Л) и их эквивалентами v*, 0*, т* или же между ос, X (также в форме (Л)) и их эквивалентами v°,t° труда не составляет, если воспользоваться формулами перехода от одной формы к другой по указанным схемам.

Мы не будем приводить здесь детали этих простых, но громоздких выкладок, и сразу выпишем конечный результат:

v* = v = а-2,

0* = 0* (ос, Р) =A-arctg (рл (£) I tgf ос И , если а=£ 1, 0* = 0* (1, Р) = Иш0* (а, Р) =^-arctg (рТ8 ©),(4.3.4)

а-*13L

t* = t*(a, P,X) = f {logX + C(l — а) +

+ f log [ ?t (6) + Р2^ ® Г1 ® tg2 (f «)]}, если а 5^ 1,

т* = т* (1, р, X) = Игл т* (а, Р, X) = а -»1

= log(2X) + 4-log[l+P2^©].

Отметим сразу же две особенности формул (4.3.4). Первая состоит в том, что происходит изменение знака параметра асимметрии при переходе от Р к 6*. Этот эффект при желании убрать нетрудно, рассматривая набор случайных величин — У* вместо набора У*.

Вторая заключается в сужении области изменения параметров v, 6*, т* по сравнению с областью изменения параметров в форме (£). Это происходит за счет того, что в случае а 7^ 1

max Т^ = Л(1/2) = | 1 — 21-" | /(1 + 2^) < 1/3,

"(4.3.5)

и в случае а = 1

max У8 (5) = Г3 (1/2) =- 0,22...

В результате 6* меняется не от —min (1, 2j/"v — 1) до min (1, 2 fv — 1), а в более узких пределах. Изменение области значений 6* внесет, как мы увидим далее, дополнительные осложнения при построении оценок параметров v, 0*, т* и связанных с ними параметров а, р, X. В наших интересах свести сужение области изменения 6* к минимуму, что равносильно выбору такого значения 5, при котором функции УД^) и У3(§) достигают максимального значения, т. е. £ = ^. По этим соображениям в дальнейшем используется преобразование первого типа (переход к набору случайных величин У*) со значением | = 1/2. Запись соответствующих параметров v, 0*, т*, получается из (4.3.4) после подстановки указанного значения |.

Обратными к ним, т. е. выражающими параметры а, р, X через v, 0*, т*, являются следующие равенства:

а = l/l/"v,

P = P(v,0*) =

если v#=l, (4.3,6)если v#=l, (4.3,6)= _ IH^lULzlI/I^^

если v#=l, (4.3,6)

если v#=l, (4.3,6)

1 - exp [(1 - 1//v) log 2] tg (JL / y-\

₽ = ₽(*. е*) = lim Р (v, е*) = - ^ tg (-Ге*),cos 0*/Vv')

X = X (v, 6*, т*) =т=x

'1 + exp [(1 — 1/Vv) log 2]

x exp Г — C (17=-^ 1, если v ^ 1,

L У v \ у v

X = X (1,6*, t*) = lim X (v, 0*, t*) = -^- eT‘ cos (^- 6*) .

Для второго типа преобразования (т. е. переход к У”)

v° = v = a~2, 0°=О, T° = -^-[log(2X) + С(1—а)].

“(4.3.7)

Обратные к ним соотношения имеют вид

а=1/^, X = -^- ехр [(т° + С) V-1/2— С]. (4.3.8)

Как легко усмотреть из формул связи (4.3.4), область Q* изменения параметров (v, 6*) существенно меньше

Рис. 6. Области изменения параметров (v, 6) и (v*, 6*).

области Q изменения параметров (v, 6), задающих вместе с т распределения из класса S3 (область изменения т* остается той же, что и область изменения т — вся вещественная ось). Именно (см. рис. 6)

Q* = {(v, в*): v > 1/4, | в* | < Я (v)},

где

Я (О

2

л

fFarctg L.expW-V^WJ-l.

6 I exp [(1 — 1/VO log 2] + i

, / л X]

tg 7= I > •

Значение функции Я (f) в точке t = 1 задается по непрерывности

Я(1) - lim Я (f) = 4"arclg ^^Г^ •

По преобразованной выборке У*, . . ., У*п методами предыдущего раздела построим оценки 6*, т* параметров 6*, т* (по формулам (4.2.3)) и оценку ^ параметра v (согласно (4.2.6) и (4.2.7)). Параметр т* имеет областью значений всю вещественную ось, ту же область значений, что и его оценка т*. Но оценки v, 6*, меняющиеся в пределах Q, имеют большую область значений, чем область значений Q* оцениваемых ими параметров v, 6*. Это означает, что оценки v, 0* следует так изменить, чтобы область их значений совпадала с Q*. Одним из возможных вариантов такого изменения является следующий:

V—v, 9* = min (Я(у), | 0* |) sign 9*, т* = т*.

Проведем исследование свойств оценок "v, 0*, т*. Прежде всего, оценки "v, т*, которые не претерпели изменений, полностью подпадают под действие теоремы 4.2.1 и соответствующей части леммы 4.2.1. Так что в анализе свойств нуждается лишь оценка 0*.

Леасма 4.3.2. При п -^ со

Е (0*- 0*)2<Ae(v-v)2+ Е(0*-0*)2<

<4^+4 ^=0<w <4-3-9)

где о® и cl* вычисляютсяс учетом того, что объем Доказательст в о.тогде о® и cl* вычисляютсяс учетом того, что объем Доказательст в о.топо формулам выборки равен Посколькупо формулам выборки равен Поскольку(4.2.8) и (4.2.4) 2п.I 0* I < Я (v).(4.2.8) и (4.2.4) 2п.I 0* I < Я (v).

где о® и cl* вычисляются

с учетом того, что объем Доказательст в о.

то

где о® и cl* вычисляются

с учетом того, что объем Доказательст в о.

то

по формулам выборки равен Поскольку

по формулам выборки равен Поскольку

(4.2.8) и (4.2.4) 2п.

I 0* I < Я (v).

(4.2.8) и (4.2.4) 2п.

I 0* I < Я (v).

9* — 0* = min (Я (v), | 0* |) sign 9* -

— min (Я (v), | 9* I) sign 9*.

Элементарные подсчеты, связанные с различными возможными случаями, показывают, что для любых поло-

жительных чисел аъ а2 и любых вещественных чисел bi, 62

| min (а^ | bi |) sign bx — min (а2, | 62 |)sign 62 | <

< max (| щ — а2 |, I bi — 62 |).

Отсюда следует, что

Е (в* - в*)2 < Е max {(Я (v) - Я (v))2, (6* - в*)2} < < Е (Я (V) - Я (v))2 + Е (6* — е*)2. (4.3.10)

Функция Я (t) монотонно возрастает на полуоси i ^ 0, меняясь от 0 до 1/3, будучи при этом вогнутой. Посколь- 2

ку Я (t) д-1 при t —> 0 и функция Я' (i) монотонно убывает с ростом t, то

1Ж^) —Я^)|^Я'(+0)| V — v| = ^-| V — vf.

Отсюда получаем, используя (4.2.9), что

Е (Я(v) - Я(v))2 < 3- Е (v - v)2 < А (о2 + о2.).

Вместе с (4.3.10) это дает (4.3.9).

Таким образом, мы можем утверждать следующее.

Теорема 4.3.1. Статистики "v, 6* и т* являются состоятельными асимптотически несмещенными оценками параметров v, 6*, т* со среднеквадратическим отклонением от оцениваемого параметра и величиной смещения порядка MVп.

Оценки исходных параметров а, р, 1 извлекаются из равенств (4.3.6) путем замены параметров v, 6* и т* их оценками, т. е.

« = с^-ч., р = р (v,e*), 1 = i(v,e*, т*).

Поскольку зависимости величин а, р, 1 от параметров v, 6*, т* являются гладкими, т. е. все функции в (4.3.6) имеют производные по совокупности своих переменных (на границе области их изменения Q* следует говорить лишь об односторонних производных), то утверждение теоремы 4.3.1 распространяется и на оценки ci, Р и X. Однако явные формулы (4.3.6), (4.3.4), связывающие их с оцениваемыми параметрами а, р, X, оказываются очень громоздкими, что затрудняет получение компактных оценок среднеквадратических отклонений и смещений ста-

тистик а, 0, X от соответствующих параметров а, 0, X. Мы не будем приводить этих «негабаритных» расчетов и адресуем желающих с ними ознакомиться к работе [168]. Здесь же разберем более простой случай, связанный с оценками параметров а, X на основе преобразованной выборки У?, . . ., Удп.

Построим по набору величин V,o = log | У; |, / = = 1, . . ., Зп, выборочное среднее Ло, выборочную дисперсию sf и обозначим v0 =-^■*^0^~ • Рассмотрим ста

тистики

— , Vo) и То=Ло(4.3.11)

в качестве оценок параметров v° = v, т°, связанных с параметрами а, X равенствами (4.3.7), (4.3.8).

Большое преимущество оценок v0, т0 по сравнению с аналогичными оценками v, т* состоит в простоте связей оцениваемых ими параметров с а, X. В результате соответствующие им оценки а, X имеют следующий простой вид:

а = v0-’/s I = 4" exp [(to + C)vo1/2 - С]. (4.3.12)

Насколько хорошими оказываются статистики а, X в роли оценок параметров исходного распределения, позволяет судить следующее утверждение.

- Теорема 4.3.2. Для любых пар допустимых значений параметров а, X (в форме (Л)) их оценки а, X, построенные в соответствии с (4.3.11) и (4.3.12) по преобразованной выборке У®, . . ., Узп, удовлетворяют неравенствам

Е (а — а)2 < 4(22v2 + 10v + ^i +

+ 8(2v + l)2 3„(3^-_i)- «Р« и>1.(4-ЗЛЗ)

и

Е (X - X)2 < 2 [f^M + 27 (log 2Х + С)2 /РН?^)] X

X [max (1,4Х2) + ехр (2 (3—2/а) С)А®П/2] ^ при Зп > 8/а,

(4.3.14)

где Р2 (у) = 4 (36v2 -f- 20v + 19), Р% (v) — полином восьмой степени, совпадающий со знамением Lgs, если в нем

положить 6 = 0, и значение Дп дается равенством

(4.3.20).

Доказательство. Имеем

й а - Vg^2 V'1/2 = (v V0)/(VVg1/2 + Vgv-1/2).

Величины v и v0 не меньше чем 1/4, поэтому правая часть равенства по абсолютной величине не превосходит 4 | v — v0 | . Вместе с тем,

| ?0 — v | = | шах ^Ц- , v0) — max (-1-, v) | ^ | v0 — v |.

Принимая во внимание (4.1.17), (4.1.18) и то обстоятельство, что объем выборки равен Зп, получаем

Е р. - v)« < Е («. - v)* - i OS= =

= ^tE(F.r-(Dy.)=l-L+ ^W^jj^j-,

где Уо = Vo и Уо = Уо — ЕУ0. Согласно (4.1.15) и

(4.1.13),'

E № = W <36v2 + 20v + 3>’ <DF°)2 = ^ <2v + 1)2’

откуда находим, что

^ [E (Йо)4 - (DFo)2] = ^- (22v2 + lOv + 1).

Из выписанных неравенств и равенств оценка (4.3.13) получается теперь без труда.

Далее, используя очевидное неравенство

| ех — e“ | ^ | х — у | шах (ех, еу), х, у ЕЕ Н1, находим

| X — М ^ 11°8 ^ — l°g ^ | max (X, X)

Vo + V WOVo + V WO= (to — то) v-V2 _|_ (iOg 2Х -f- С) —V —r^ max(X, X)

Vo + V WO

Vo + V WO

^ (110 — То | -f-1 log 2X -f- c 11 v0 — v |) max (2X, 2X).

Кроме того, из (4.3.12) следует, что

шах (21, 21) < max (1,21, exp (2т0 + С)).

С помощью- неравенства Гельдера из полученных неравенств получается оценка

Е(Х-ХГ<[Е(| т„ -т0 | + | log 2Х + С 11 Vo - v |)*]V- хX Е max (1, (2Х)\ (2Х)4)|7. < 2 [(Е (т„ - т0)4)7= +

+ (log 2Х Ч- С)2(Е (v0 — v)4)74 [max (1, 412) +

+ (Е exp (4С + 8т0))*/.]. (4.3.15)

Из леммы 4.1.2, благодаря тому, что | v0 — v | С | v0 — v|, имеем

Е (Vo - v)4 < Е (v0 - V)4 = ^-Е (.V2 - DFo)4.

С учетом того, что объем выборки равен Зп, последнему выражению можно придать вид

Для оценки последней суммы воспользуемся следующими легко проверяемыми неравенствами.

Если Xi, . . .,Хц, N ^ 2 — независимые и одинаково распределенные случайные величины со средним значением а, то

N

е (7 £(Xj -«)/ < 4е (^ - «г w-2,

7 g(4.3.16)

Е (7 £(^ ~а))8 <15Е (Xi - a^N"2-

Кроме того, как показывает несложный расчет,

Е (Г2 - DEo)4 < ЕР® = Ь°№ = С8 (0, ро2, • • ., Еов)

(здесь верхний индекс «О» напоминает, что мы имеем дело с параметрами v0 = v, 60 = 0, от которых только и зависит функция Lg8Y

Следовательно,

Е (v0 _ v)» < А51 (^_)4 (4L"3 + 15L®8) (Зи)"2 = 2в-34-19 / Зп V

= ^( Зп _ fj ^8 (О, Р«2, • • • , Ров) (3«) 2.

Полином С8 имеет довольно сложную запись, однако в нашем случае, когда р01 = 0, она существенно упрощается и приобретает вид

Св — Ров + 28ровРо2 + 56р05р0з + 35р^| +

+ 210 РмРа№ + 28Ор23роа + 105 р^, (4.3.17)

где (ввиду того, что 60 = 0) величины рйк являются функциями одного параметра v:

Po2 = -g-(2v + l), Роз = 2^(3) (v3/a — 1), Po4 = ^-(8va + 7),Po2 = -g-(2v + l), Роз = 2^(3) (v3/a — 1), Po4 = ^-(8va + 7),p06 = 24£ (5) (vB/2 — 1), Poe =-^-(32vs 4-31), Po8 = -S-(128v* + 127).

Po2 = -g-(2v + l), Роз = 2^(3) (v3/a — 1), Po4 = ^-(8va + 7),

Po2 = -g-(2v + l), Роз = 2^(3) (v3/a — 1), Po4 = ^-(8va + 7),

Следовательно, L^ = P8 (У v) — полином восьмой степени переменного ^v. При желании можно выписать его в явном виде, используя (4.3.17) и явные выражения рок. Таким образом,

Е (v0 — v)4Е (v0 — v)44-19-64n84-19-64n8\^rfP^^№2 (4.3.18)\^rfP^^№2 (4.3.18)

Е (v0 — v)4

Е (v0 — v)4

4-19-64n8

4-19-64n8

\^rfP^^№2 (4.3.18)

\^rfP^^№2 (4.3.18)

ЗП

(заметим, что 4-19 • 64/л8 < 180). Далее, т0 — т = -^ ^ Уо.

j=i

откуда, используя (4.1.15) и (4.3.16), получаем оценку

Е (т0 - т0)4 < 4Е (У0)4 (Зи)'2 = Р2 М(Зп)"2, (4.3.19)

где Рй (v) = -^ (36v2 + 20v + 19). Для завершения построения оценки (4.3.15) надо оценить величину

(Е exp (4С + 8т0))*/= = exp (2Q (Е ехр (8т0))*/=.

Имеем

Е ехр (8т о) = Е exp (-^- (F;o — т0)] =

371ЗП

= ехр (- -А- То) Е П | У ;о р/зп = ехр (- 8т0) П Е | У;о |8/зп.

''7 j=ij=i

Здесь нам надо вспомнить, что в случае 8/Зи < а математическое ожидание Е | Y ,0 р/зп существует и что ему, в соответствии с (2.6.26), может быть придан вид

Е | Yj0 I8/3" = w0 (8/Зи, а, О, О, 2Х) = (2Х)№ДИ,

где

М^ттМ1-^)/1^-^)- <4-3-20»

Следовательно,

ехр (2С) (Е ехр(8то))’/2=ехр (2 (A log (2Х) - 2т0+ с)}азп/2= = ехр (2(3 — 2/«) С) Азп/а. (4.3.21)

Нетрудно убедиться, что Д3"/2 — ехр (4С (1/а — 1)) при п —» оо. Поэтому при больших п

(Е ехр (4С + 8т0))*/2 ~ ехр (20).

Объединяя теперь в неравенстве (4.3.15) оценки (4.3.18) (4.3.19) и (4.3.20), получаем неравенство (4.3.14).

Следствие. Статистики а, X, образованные согласно (4.3.11), (4.3.12), являются состоятельными и асимптотически несмещенными оценками параметров а, X со смещением и среднеквадратическим отклонением от оцениваемых параметров порядка О ^/дГп').

Замечание. На протяжении всего раздела оценки параметров устойчивого распределения связывались с исходной выборкой объема 6п, п > 1. Такое предположение позволяло без каких-либо остатков формировать преобразованные выборки У?, . . ., У^ и У?, . . ., Удп, благодаря чему соответствующие оценки были связаны с выборками объемов 2м и Зп.

Все неравенства, приводившиеся в теоремах 4.3.1 и 4.3.2, конечно, останутся справедливыми, если вместо фигурирующих в них последовательностей чисел {2и}

и (Зи) рассматривать последовательность целых чисел и = 2, 3,. . . . Это будет соответствовать исходным выборкам различных объемов — в первом случае Зщ а во втором — 2п.

Оценки параметра у

В плане предложенного выше подхода к решению общей проблемы статистической оценки параметров устойчивых законов параметр у занимает особое положение. Прием, с помощью которого строились оценки параметров а, 0 и X, состоял в том, что исходная выборка преобразовывалась в новую выборку меньшего объема, связанную зато с распределениями из класса $8, в пределах которого логарифмические моменты имеют сравнительно простые выражения в терминах оцениваемых параметров. Аналогичного универсального преобразования исходной выборки, который позволил бы оценить тем же способом параметр у, найти не удалось, и, похоже, что такого преобразования вообще не существует. Поэтому для построения оценок параметров у надо искать новые пути.

В случае а > 1 распределение GA ^х, а, 0, у, X) имеет конечное среднее значение, равное Ху, что, в принципе, дает возможность использовать для его оценки выборочное среднее. Однако конечных дисперсий эти распределения при а ><2 не имеют, имеются лишь конечные моменты порядка, меньшего а. Тем самым, разброс значений выборочного среднего по отношению к оцениваемой величине Ху оказывается большим, причем тем большим, чем ближе а к единице.

Основная идея построения оценки параметра у по независимой выборке Ух, . . ., Уп достаточно большого объема сводится к следующему. Пусть а, 0, у, X — параметры устойчивого закона (в форме (А)), которому подчинены случайные величины Y 3. Рассмотрим упрощенный вариант задачи, предположив, что значения параметров а, 0, X нам известны и оценке подлежит лишь один параметр у. В общей ситуации приходится сначала оценивать а, 0, X, а затем учитывать влияние замены точных значений этих параметров их оценками. Задача такого рода значительно сложнее, и мы не будем ее рассматривать вообще, памятуя, что назначение настоящей главы скорее иллюстративное, нежели самостоятельное.

Предположим далее, что в нашем распоряжении имеется последовательность случайных чисел Уц У2, . . ., распределенных по устойчивому закону Ga (х, а, р, О, X, с теми значениями параметров а, Р, X, которые мы считаем известными. Понятно, что задача генерирования такой последовательности чисел может оказаться по- своему непростой, поскольку мы, вообще говоря, располагаем лишь довольно сложными интегральными представлениями функции Ga (х, а, р, О, X) или же ее представлениями рядами. Но все эти трудности носят скорее вычислительный, чем принципиально-теоретический характер.

Исходную выборку Уъ . . ., Уп преобразуем с помощью случайных чисел Уп . . ., Уп в новый набор величин Уп . . ,,УП, следуя правилу

Y, = Х-1 (У, - У;-),/ = 1, 2, . . ., п.

Величины Yj можно трактовать как независимую выборку из совокупности, подчиненной устойчивому распределению. В соответствии со свойствами 2.3b и 2.1

V, = VYYа (а, О, у/2, 2Х) = Х^Ул (а, О, О, 2Х) + У, откуда видно, что У7- подчинены симметричному устойчивому закону, смещенному на величину у. Точнее F^x—у)= = Р У) <С z) — Ga (X (ж — у), а, О, О, 2Х). Следовательно, у совпадает с медианой распределения F(x — у), а это, в свою очередь, дает нам возможность использовать для оценки у хорошо известный в математической статистике метод выборочной медианы (см., например, [9]).

Расположим наблюдения У; в порядке их возрастания и обозначим члены полученной последовательности через т/.

Выборочная медиана рп определяется равенствами {^tn+D/iiесли п — нечетное,

(to(n+z)/2 + ^п/г), если п — четное.

Эту статистику мы и примем в качестве оценки неизвестного параметра у, т. е. положим у = рп. Случаи четного и нечетного п принципиально не различаются, и связанный ■ с ними асимптотический анализ (при п —> то) свойств оценки у приводит в обоих случаях к одним и тем

же выводам, но в техническом отношении случай нечетного п несколько проще, в связи с чем мы ограничимся разбором только случая п = 2тп + 1.

Обозначим Fп (ж) = Р (у — у < ж). Нетрудно подсчитать (см. [9], § 17), что

71

Fnto = £ ^F^x^-FtoT*- (4.4.1)

к=17П-]-1

Поскольку функция распределения F (ж) имеет плотность р (х) = XgA (хХ, а, 0, 0, 2Х), то Рп^ также имеет плотность и, как показывает дифференцирование (4.4.1),

р» to=К to ="(2") [^ to (1 -f toT р to=

= an exp(— шф (ж)) р (ж),(4.4.2)

где ф (ж) = — log F (ж) — log (1 — F (ж)) и an = и ^2^ .

Из равенства (4.4.2) следует, что смещение Е (у — у) и средний квадрат ошибки Е (у — у)2 оценки у записываются в виде интегралов

Е (у — у) = an j* хр (ж)ехр (—шф (ж))йж,(4.4.3)

Е (у — у)2 = an f хйр (ж)ехр (—шф (ж))^ж.(4.4.4)

Распределение F (ж) симметрично, т. е. 1 — F (ж) = = F (—ж) и р to = Р (—ж) ПРИ всех х. Отсюда вытекает, что, во-первых, функции ф (ж), рп (ж) — четные и, во- вторых, принимая во внимание (2.4.8), (2.5.4) и (2.5.23), что рп to—■ const ж^"<т+1)-1 при ж —> оо. Следовательно, интегралы (4.4.3), (4.4.4) существуют, если п > 4/а — 1 (первый из интегралов существует, если п > 2/а—1), и, кроме того, интеграл (4.4.3) равен нулю, т. е. оценка у является несмещенной.

Обратимся теперь к выяснению асимптотического поведения интеграла (4.4.4). В силу симметричности распределения F to

ф (0) = 2 log 2, ф' (0) = 0, (4.4.5) яр" (0) = 8р2 (0) = 812g2A (0, a, 0, 0, 2^).

Значение плотности в нуле симметричного устойчивого распределения известно (2.2.11). Поэтому, с учетом

274 гл. 4. ПАРАМЕТРЫ УСТОЙЧИВЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ свойства (2.1.2),

Г (0) = 2 L -L г (1 + 1/а) (2Xy-v-у > 0.(4.4.6)

Свойства (4.4.5), (4.4.6) позволяют применить для получения асимптотического представления интеграла (4.4.4) при п —» оо метод Лапласа, с которым мы уже встречались при аналогичных обстоятельствах в разделе 2.5 (см. также [30]). По этому методу путем стандартных рассуждений находим

1^ = ап хйр (х) ехр (— тиф (гс)) dx =

= ап ехр (— тлф (0)) т2р (т) ехр ^— тф" (0) -^- +.. J dx.

Поскольку о„ = тф" (0) —» оо при п -> оо, то госле замены переменного crna: = t и соответствующих оценок «хвостов» интеграла получим такую асимптотическую формулу:

/п — апи^р (0) ехр (—тф (0)) ^ ж2 ехр (—х2/2^х =

= (2т + 1) (2™) 2-2m (Sm^b у2^(р (0))-» ~ сп”', где

с = (л (2Х)(1-“)/“/Г (1 + 1/а))2.(4.4.7)

Приведенные рассуждения мы можем теперь суммировать в форме следующего утверждения.

Теорема 4.4.1. Статистика у = цп является состоятельной несмещенной оценкой параметра у для всех нечетных п > (2 — а)/а со средним квадратом ошибки

Е (у — у)2 —■ сгГ1 при п -> оо, где постоянная с дается равенством (4.4.7).

Замечание 1. Для четных п статистика у = цп является состоятельной и асимптотически несмещенной оценкой параметра у.

Замечание 2. Укажем еще один вариант оценки параметра у в предположении, что значения остальных параметров известны. Формально этот вариант оценки выгоднее рассматривавшегося выше, поскольку не требует преобразования исходной выборки. В основу оценки взяты следующие соображения. В соответствии со свой-

ством (2.1.2)

G (ж, а, Р, у, X) = G ((ж - Z)X-V“, а, р, 0, 1), где Z = X (у + 60) и величина Ьо однозначно определяется параметрами а, Р, X. Отсюда можно сделать вывод, что медиана m (а, р, у, X) распределения G(x, а, р, у, X) связана с медианой т (а, р) = т (а, 0, 0,1) соотношением

Х-1т (а, р, у, X) = W^m (а, Р) + Z>0 + у. (4.4.8)

Рассмотрим далее выборочную медиану р, построенную по исходной выборке Уъ . . ., У„, подчиненной распределению G (х, а, р, у, X). Благодаря хорошим аналитическим свойствам устойчивых законов, статистика цп оказывается распределенной асимптотически нормально со средним значением ц = т (а, 0, у, X) и дисперсией

о2 ~ g-2 (ц, а, Р, У, Х)(4п)-1, п->оо

(см., например, [91).

Следовательно, заменив в (4.4.8) медиану р выборочной медианой р, мы получим оценку параметра у

у = Х-!|Х — Ьо — cXi/""1,(4.4.9)

где с = m (а, 0) — единственное решение уравнения G (ж, а, Р) = 1/2.*

Оценка у является, как и оценка из теоремы 4.4.1, асимптотически несмещенной и состоятельной (точнее 1/)^п-состоятельной) оценкой параметра у.

Обсуждение оценок

Приводившиеся в разделах 4.2—4.4 оценки параметров устойчивых законов не являются наилучшими даже в асимптотическом смысле при возрастании объема выборки п до бесконечности. Объясняется это прежде всего тем, что все оценки строились на основе выборочных моментов и выборочной медианы — статистик простой структуры, не обладающих, как правило, наибольшей эффективностью. К тому же при построении оценок в общей ситуации использовалось преобразование исходной выборки, приводившее или к уменьшению ее объема в 2— 3 раза, или к увеличению в отдельных случаях рассеяния составляющих выборку случайных величин. Вместе с тем, найденные нами оценки обладают и рядом достоинств,

которые не только позволяют рассматривать эти оценки в качестве удобного инструмента при решении практических задач, но и делают их хорошей основой для построения наилучших в определенном смысле оценок соответствующих параметров.

Если условиться на время обозначать через'р оценку параметра pi (которым может быть любой из параметров, рассматривавшихся в разделах 4.2—4.4), то в отношении ее свойств можно сказать, что она

имеет алгоритмически простую структуру (прежде всего это относится к оценкам параметров а, 6, т, соответствующим форме (£)),

является асимптотически нормальной,

имеет средне квадратическое отклонение Е (jl — ц)2 порядка 1/п.

Свойство 2) ни для одной из оценок раздела 4.2—4.4 не доказывалось, но установить его справедливость с помощью центральной предельной теоремы нетрудно, воспользовавшись «локально аддитивной» структурой оценок. Из свойства 3), благодаря очевидным неравенствам

(Ер - ц)2 < Е № - р)=, Dp < 4Е (Р - р)2,

Р (/п | р - р | > Г) < «Е (р - ^Г-, Т>0, следует, что оценка р является асимптотически несмещенной со смещением порядка не выше 1/}/ п, что дисперсия оценки имеет порядок не выше 1/п и, наконец, что р представляет собой 1/ V n-состоятельную оценку параметра р.

Отметим еще одно обстоятельство, на которое следует обратить внимание. Построение оценок параметров устойчивых распределений производилось в пределах двух групп. В одну входили параметры а, 0, X, а во вторую— параметр у. Различались эти группы прежде всего видом преобразований исходной выборки при построении оценок. Оценки первой группы можно рассматривать в совокупности как координаты трехмерного случайного вектора, который, очевидно, будет l/^n-состоятельной оценкой соответствующей тройки параметров.

Современная математическая статистика располагает несколькими методами улучшения 1/)/ п-состоятельных оценок, которые дают принципиальную возможность построить асимптотически эффективные оценки параметров

устойчивых законов по крайней мере в пределах указанных групп на основе полученных нами оценок. Эти методы можно разделить на следующие две категории.

Первая содержит методы, не использующие информацию об аналитической записи плотности распределения элементов выборки. Здесь мы сошлемся на сравнительно недавнюю работу [143], содержащую, в частности, краткий обзор других работ того же направления.

Вторая включает в себя методы, в которых знание плотности распределения элементов выборки предполагается. Среди большого числа работ, связанных с использованием таких методов, мы упомянем работу [26], результаты которой могут составить удобную основу для решения общей проблемы асимптотически эффективных оценок устойчивых распределений.

Предпочтительность методов первой категории очевидна, особенно если принять во внимание, что используемые в них условия регулярности распределений элементов выборки слабее условий, обычно присутствующих в методах второй категории. К сожалению, развиты они значительно меньше последних и связаны только с задачей оценки скалярного параметра сдвига распределения, что позволяет привлекать их лишь для оценки параметра у и, в ряде случаев, для оценки параметра X. Поэтому, решая задачу построения асимптотически эффективных оценок в общей ситуации, нам придется прибегать к методам второй категории. Причем сразу же можно сказать, что при построении асимптотически эффективных оценок первой группы мы не встретим на указанном пути принципиальных затруднений. Трудности начнутся, если мы захотим строить подобные оценки для всей совокупности параметров, поскольку задача построения П^п-состоятельной оценки для параметра у при неизвестных остальных параметрах решена не была.

В рамках проводимого обсуждения мы не сможем детально ознакомить читателя с содержанием общих результатов упоминавшейся выше работы [26] и тем более проверить возможность их использования в задаче оценки параметров устойчивых распределений. Приведем лишь изложение основной идеи метода в наиболее простой ситуации, когда оценке подлежит лишь один параметр ц.

Пусть р (х, р) — плотность распределения независимых случайных величин Хг, . . ., Хп, образующих выборку, по которой мы хотим построить асимптотически эффектив-

ную оценку параметра р, располагая некоторой 1/[Лп-со- стоятельной оценкой р этого параметра. Обозначим через

L (X | р) = S log р (Xj, р)

j=i

функцию правдоподобия и через L' {X | р), L" {X | р) ее первую и вторую производные по параметру р.

Оказывается, что при выполнении некоторых условий регулярности в отношении плотности р (ж, р), таких, как существование и непрерывность второй производной плотности р (ж, р) по параметру р и т. п., статистика

р — р — L' (X | p)/L" (X | р)(4.5.1)

является асимптотически эффективной оценкой р. В тех случаях, когда удается вычислить информацию Фишера, связанную с распределением р (ж, р),

|2 р (ж, р) йж,

вместо статистики (4.5.1) можно использовать статистику

Р* = Р + и (X I V№ (р)). (4.5.2)

То, что при образовании статистик р, р* используется явная запись плотности, создает в случае оценки параметров устойчивых законов известные неудобства, поскольку мы располагаем, за несколькими исключениями, лишь сложными формами записи соответствующих им плотностей в виде рядов или интегралов. Однако это не те трудности, которые возникают при построении оценки максимального гравдоподобия п0, где приходится решать трансцендентное уравнение L* (X | р) = 0 относительно переменного р (р0 — решение этого уравнения).

Пусть, например, мы ищем значение только одного параметра р устойчивого закона, при условии, что остальные нам известны. Для того чтобы воспользоваться оценкой (4.5.1), мы должны, очевидно, располагать, как минимум, таблицами значений функций ^- log р (х, р) и -^- log р ^х, р). Табулирование этих функций не представляет собой очень сложной задачи. Опыт составления подобных таблиц для самих устойчивых распределений может служить тому подтверждением (см. [6] и [95]).

При построении аналогичных оценок для нескольких параметров (т. е. для оценок векторов) задача в вычислительном плане становится значительно сложнее, поскольку требуется табулировать все первые и вторые смешанные производные логарифма плотности по оцениваемым параметрам.

Как мы знаем, среди устойчивых законов имеются такие, плотности которых выражаются с помощью элементарных функций. Им соответствуют значения наборов параметров (а = 1/2, р = 1, у, X), (а = 1, р = 0, у, X) и (а — 2, р, у, X). Последний набор, соответствующий нормальным распределениям, известен настолько хорошо, что комментировать связанную с ним задачу оценки параметров нет надобности. Остальные два случая в этом плане известны меньше. Поэтому, на наш взгляд, будет полезно в порядке иллюстрации к приводившимся выше соображениям разобрать эти случаи. Мы рассмотрим наиболее простую задачу оценки одного из параметров у, X при условии, что значение второго параметра известно.

В первом случае имеем

g^x, 1/2,1,у,Х) =

=Т^(*~уХГ/геИ-^2^^ х>^ ^^

Предположим, что значение X известно, а значение у неизвестно и подлежит оценке. Образуем функцию правдоподобия £ (У | у). Ее производная по у имеет вид

и (к । у)=4х ЕVY5- ^)-1 - 4 Е <у > - ^.

3 3

Уравнение правдоподобия U (У | у) = 0, хотя и сводится к алгебраическому уравнению, не дает возможности выписать оценку максимального правдоподобия. Поэтому, мы будем искать асимптотически эффективную оценку у параметра у, следуя приведенным выше общим указаниям. Прежде всего, явный вид плотности (4.5.3) позволяет вычислить связанную с нею информацию Фишера I (у). Несложный подсчет показывает, что I (у) = 42/Х2. Это позволяет строить оценку у вида (4.5.2).

В нашем распоряжении имеются две М\Гп-состоятель- ные оценки параметра у. Одна приводилась в теореме

1, а вторая в замечании, сопровождавшем эту теорему.

В рассматриваемом случае наиболее удобной оказывается оценка (4.4.9). Именно,

у = Х'1^ — сХ,

где р — выборочная медиана и с = 4,38... —решение уравнения

1/2,1) = 2 Г1 — Ф Г—= 1/2,

где Ф — функция распределения стандартного нормального закона.

В итоге, с помощью (4.5.2) мы получим в качестве асимптотически эффективной оценки параметра у статистику

т = Т +-^5-^'(^ IТ) «-1-(4-5.4)

Пусть теперь значение у известно, а значение X надо оценить. Ход рассуждений остается прежним. Строим функцию правдоподобия L (У | X) и затем ищем ее производную по X:

L' (У | X) = нХ-i + (-|- Y - х) ^ (У, - уХ)^ -

.3

Понятно, что пытаться решить уравнение правдоподобия U (У | X) = 0 не следует, а надо строить асимптотически эффективную оценку X параметра X по указанному правилу. Однако в отличие от предыдущего случая информация Фишера I ^, хотя и вычисляется, оказывается зависящей от оцениваемого параметра X. Поэтому X следует строить по правилу (4.5.1). Нужную нам1/|Ап-со- стоятельную оценку X параметра X можно найти в разделе 4.3 (равенство (4.3.12)). Вычислим вторую производную L (У | X) до X:

Е- (У | X) = пГ» - £ (У,- - yXp +

3

+ 4 у (Зу - X) £ (У,-уХ)"’ - 4 Х=у2 £ (У, - уХ)-’.

В соответствии с правилом (4.5.1) асимптотически аффективная оценка X имеет вид

X = X _ L' (У | ^L" (У | X).

Оценка параметра X, как мы видим, оказалась сложнее оценки параметра у. Это связано в первую очередь с выбором системы параметризации. Если бы вместо системы (а, р, у, X) мы рассматривали систему (а, р, у', X), где у' = уХ, то сложность оценки у' в случае а = 1/2, р = 1 осталась бы той же, в то время, как оценка X при условии, что у' известно, получилась бы существенно проще, поскольку уравнение правдоподобия решается довольно просто. Оказывается, что получающаяся при этом оценка наибольшего правдоподобия является достаточной статистикой (см. [168]).

Построение асимптотически эффективных оценок одного из параметров у или X в случае а = 1, р = 0 осуществляется тем же путем с помощью явного выражения плотности

g ^ 1,0, у, X) = А [(х _ ТХ)= + X2]-*.

Для системы параметров (а, р, у', X), упомянутой выше, задачу построения асимптотически эффективной оценки параметра у', при известном X можно найти в [9]. Но решается она с помощью устаревшей итерационной процедуры.

Мы закончим обсуждение проблемы оценивания параметров устойчивых законов еще одним замечанием. Известно, насколько практически важным вопросом является построение доверительных интервалов для оцениваемых параметров. Этот вопрос вообще не рассматривался нами, хотя приводившиеся оценки параметров v, 0 и т благодаря своей простой структуре позволяют сравнительно просто строить для них доверительные интервалы. Например оценка 0 сводится к оценке параметра р —-^ (1 + 0) в биномиальной схеме (см. пояснение к лемме 4.2.1), для которой задача построения доверительных интервалов параметра стала классической (см. [9] или [48]).

ПРИМЕЧАНИЯ

Желая по возможности разгрузить основной текст книги, мы собрали в этом разделе сведения исторического характера, а также те сведения, которые, на наш взгляд, не имеют первостепенного значения. В частности, информация о том, кому принадлежит тот или иной результат и где он был впервые опубликован. Отсутствие в примечаниях пояснения п ссылки к какой-либо теореме означает, что автор такой ссылкой не располагает и, возможно, что соответствующее утверждение публикуется впервые.

Введение

Пойа ввел в теорию вероятностей один класс характеристических функций, получивший его имя. Этот класс образуют вещественные функции f (t), заданные на всей оси t и обладающие следующими свойствами:

f(0) = 1, - (- t) = f (0, Г (О<о, г (t) > о, г > о.

Функции '^“\ 0 < а < 1, входят, как легко в этом убедиться, в состав класса Пойа. Подробнее о классе Пойа см. [73].

Класс безгранично делимых законов по определению состоит из тех распределений G, которые могут быть представлены композицией п одинаковых распределений G^, каково бы ни было целое число и > 2. В 1934 году Леви получил описание распределений G этого класса в терминах соответствующих им характеристических функций g (t).

Так называемая каноническая форма записи Леви функций g (t) имеет вид (В.З).

Таким образом, теорема А является перефразировкой теоремы Хинчина, утверждающей, что введенный нами класс ® и класс безгранично делимых распределений совпадают. Впервые этот результат был опубликован Хинчиным в Математическом сборнике № 2 (44) за 1937 год в статье «Zur Theorie dec unbeschrank teilbaren Verteilungsgesetze».

В своих исследованиях Хинчин пользовался иной формой записи функций д (t), нежели Леви. В наше время она получила название канонической формы записи Леви — Хинчина. Теорема Б, доказанная Гнеденко, в оригинале соответствует канонической форме записи Леви — Хинчина, а не канонической форме записи Леви, с которой связана приводимая формулировка.

Встречающиеся в литературе варианты записи функций д (t) имеют вид

д (t) = exp (i/y — Хф (t, а, Р)).

В используемых нами формах записи функции log д (t) параметр 7 заменяется на уХ, в результате чего эта функция становится пропорциональной X. Оказывается, что такая форма записи имеет аналитические преимущества, хотя одновременно исключает из описания семейства ® вырожденные распределения. Можно удивляться тому, что до сих пор не возникало желания записывать характеристические функции устойчивых законов и характеристические функции (t, X) однородных устойчивых процессов X (X) согласованным образом. Дело в том, что (см. [80]) log (t, X) = X log (t, 1), где X > О имеет смысл параметра времени.

Наиболее известная и часто использовавшаяся до последнего времени форма (Л) записи функции log д (t) предложена Леви в [58]. В случае а = 1 эта формула независимо от Леви предложена Хин- чиным в [92]. Форме (Л) предшествовала в монографии Леви [57] следующая ее модификация, полученная для строго устойчивых законов:

/ лл \ - „

log S (О = АГ (— a) I cos "2“ а — Ф sin — а I 1 ,

где 0 < а < 2, I Р | < 1, X >0 и t > 0.

Формы (В), (М), (С) и (Е) впервые появились, по-видимому, в работах автора [32] — [33] и [152]. На достоинства форм (В) и (С) обращали внимание уже давно. Например, форму (С) можно встретить в известной монографии Феллера [89], а форма (В) систематически используется в монографиях Ибрагимова и Линника [39] и Лукача [61].

Связь постоянных Cv Сг, присутствующих в выражении (В. 10) спектральной функции Н(х^ устойчивого закона, задаваемого в форме (Л) параметрам a, р, у, X, устанавливается следующими равенствами:

Ci = X (1 + Р) л-1Г (a) sin -g- ct,

Сг = X (1 — Р) л-1Г (а) sin -"2" а.

Критерии 2 и 3 берут свое начало в работах Леви.

Если равенство (В.27) заменить равенством

d

ci^i -f- с2Х2 + ... + с^Х,, = X, + а,

где а — постоянная, то мы получим критерий принадлежности не вырожденного распределения к @.

Имеется довольно много работ (так или иначе связанных с устойчивыми законами), в которых повторяется одна и та же ошибка. Именно, для описания семейства <5 в них используется форма (Л) записи функции log д (t), в которой знак перед itmA (t, а, Р) в случае а ^= 1 выбирается «минус». Вместе с этим предполагается как обычно, что значение Р = 1 соответствует тем устойчивым законам, которые появляются в схеме (В.6) в качестве предельных распределений нормированных сумм Z,„ с положительными слагаемыми. Но такое предположение несовместимо с выбором «минуса» перед ittoA в форме (Л).

Ошибка, по-впдимому, получила распространение по той причине, что она проникла в хорошо известную монографию [21). Холл [94] посвятил обсуждению этой ошибки специальную заметку, которую он назвал (по-видимому, излишне претенциозно) «Комедией ошибок».

Будучи в целом бесспорно правым, он, на наш взгляд, излишне сгустил краски, представив дело так, будто замеченное им заблуждение является чуть ли не всеобщим. В действительности этот дефект в монографии [21] был замечен уже давно. Например, специальные замечания на этот счет делались в работах Золотарева [31] и Скорохода [82]. И вообще имеется немало статей и Книг, авторы которых оказались достаточно внимательными и в упомянутый «грех» не впали. Здесь можно для примера упомянуть работу Линника [60] и книгу Феллера [89].

Г л а и а 1

В конце пятидесятых — начале шестидесятых годов в Московском Университете работал семинар по теории вероятностей. На одном из заседаний руководитель семинара Е. Б. Дынкин рассказал следующую любопытную задачу, которая восстанавливается здесь мною по памяти.

В плоскости (л:, у, рассматривается броуновское движение частицы, начинающей свое движение из точки (0, 0) и подверженной постоянному сносу в направлении вектора а = (а^ а2) со значениями Cj ^ 0 и а2 < 0. Прямая у = —1 представляет собой поглощающий экран. При таком сносе частица поглощается с вероятностью единица. Пусть (Хо, —1) — точка поглощения. Оказывается, что в случае аг > 0, а2 < 0 случайная величина Хо имеет нормальное распределение на прямой у = —1, а в случае сг > 0, а2 = 0 она подчинена устойчивому распределению с параметрами а = 1, р = 1 (здесь параметры можно связывать как с формой (Л), так и с формой (В)). Если же а, = 0, а2 = 0, то Хо имеет распределение Коши (т. е. а = 1, р = -у = 0).

Модель точечных источников влияния, основанная на использовании пуассоновского распределения числа точек в конечной области, видна уже в небольшой заметке Лифшица [114[, посвященной решению одной физической проблемы (подробнее о ней говорится во втором примере). Несколько позже частный случай этой модели стал предметом самостоятельного исследования в статье Гуда [107]. Возможно, что интерес к самой модели был стимулирован работойХольцмарка [1391 (см. пример 1) или изложением ее результата в известной книге Чандрасекара [140].

Но ни Хольцмарк, ни Чандрасекар не опирались на идею использования модели, в которой число частиц, попадающих в ограниченный объем, случайной подчинено пуассоновскому распределению. В результате их метод выглядит более громоздким и менее универсальным.

Частный случай модели точечных источников влияния лег в основу решения одной задачи из теории твердого тела, рассматривавшейся в работе Золотарева и Струнина [112].

Распределение Хольцмарка стало широко известно в теории вероятностей благодаря книгам Чандрасекара [140] и Феллера [89]. Явного выражения в элементарных функциях плотности распределении v не существует. Однако известно (см. [153]) сравцитель-

но простое выражение функции распределения длины v:

г>0,г>0,Р (| vX-2/3 | < г) = 1 —• — \ (1 +3аг8) ехр (— ar8) dq>, о

г>0,

г>0,

где а = (cos <р)2 cos (<р/2) (sin (3<р/2))-3.

Пример взят из работы Овсеевича и Яглома [128]. В работе имеется ошибка, существенно влияющая на содержание всей работы. Отметив, что временная функция F (t, X) рассматриваемых типов линий может быть представлена в виде композиции любого числа п одинаковых временных функций F (t, X) = F (t, Мп)*... ... • F (t, Мп), авторы делают вывод, что функция F (t, X) должна быть функцией распределения устойчивого закона. Однако подмеченное ими свойство характеризует в действительности более широкий класс распределений (см. примечание В.2).

Уже после подготовки рукописи к печати мне стал известен один интересный пример появления устойчивых законов в наследственной теории упругости. Он содержится в книге А. А. Локшина и Ю. В. Суворова «Математическая теория распространения волн в средах с памятью» (Изд. МГУ, Москва, 1982 г.).

Общее уравнение движения однородного наследственно-упругого стержня единичной плотности, совершающего продольные колебания под воздействием внешней нагрузки / (t, х) имеет вид

уа уауа

Vu = /, где v = -^--"dF + Д (0 * а5Г -(Д)

t — время, х — координата точки стержня и R (t) — так называемое ядро релаксации, связанное с другой характеристикой стержня — ядром ползучести К (t) — соотношением

R (t) = К (t) — К (t) .K(t)+-

В том случае, когда ядро ползучести на интервале 0 <_ t <_ t0 1_

имеет вид К = ср -[- -£- <р * ср, где <р (t) = ht а Е (0/Г (1 — а), X > О, О < ос < 1 и Е (t) — единичное распределение, фундаментальное решение 8" (t, х) уравнения (D) отлично от нуля в угле t ^ | х | и может быть записано с помощью функций G (х, а, 1) в области | х | ^ <^ t <2 | ж | + <о:

$ (t, х) = -ту- G ^(t • | х |) I 2 ^1*1^ » ос» 1^ +

+4- S тк^с /13-ми) ,«,1^.

i*i

В других задачах теории наследственной упругости устойчивые законы появляются в связи с тем, что популярное в этой теории ядро ползучести Работнова К (t) = Э_о (— b, t) связано с функцией Миттаг-Леффлрра Ео (я): Эа (Ь, t) ;= (1 -f- а) 1аЕ'х+ц (btl+a).

Глава 2

Ссылка на материал гл. 3 приводится лишь в целях общей ориентировки при оценке возможностей использования приводимой ниже леммы 2.1.1.

Имеется несколько случаев, когда плотности устойчивых законов могут быть выражены с помощью специальных [функций Соответствующие формулы имеются в разделе 2.8.

Идея использования представлений (2.2.8) — (2.2.10) при анализе свойств устойчивых распределений берет начало в работе Линника [60], где рассматривался формально лишь случай а< 1. Равенство (2.2.11) указано в работе автора [33].

Представление (2.2.13) получено Скороходом [82].

Теорема 2.2.3 в несколько измененном виде доказана в работе автора [34].

Тот факт, что устойчивые распределения с а < 1, р = 1 и у = 0 целиком сосредоточены на полуоси х > 0, отмечал независимо друг от друга ряд авторов — Бергстрем [3[, Линник [60], Овсеевич и Яглом [128]. Однако первым на него обратил внимание Леви ([57], равенство (ИЗ)).

Теорема 2.3.1 (точнее равенство (2.3.3), соответствующее форме (Л)) является основным результатом работы автора [31].

Утверждение, эквивалентное утверждению теоремы 2.4.1 в части, соответствующей случаям а < 1 и а = 1, доказано Скороходом в [81] и [83]. Тот факт, что плотность g (х, а, Р), а > 1, является целой аналитической функцией, отмечался в книге Гнеденко и Колмогорова [21] со ссылкой на А.' И. Лапина.

Представления (2.4.6) и (2.4.8) независимо друг от друга найдены Бергстремом [3], Феллером [88] и Чжа Чжун-Чжэ [96]. Эти разложения в ряды плотностей g (х, а, 0) получены еще Винт- нером [14]. Для случая Р = 1 равенство (2.4.8) отмечается в работе Полларда [75]. В цитируемой работе Бергстрем делает ссылку на одну из работ Хамберта (Р. Humbert) 1945 года, где приводилось формальное разложение (2.4.8) функции g (х, а, 1) для а< 1.

После того как были найдены разложения в степенные ряды целых функций g (х, а, р), а ф 1, вычисление их порядка с и типа 6 труда не составляло, так что значения о и 6 были известны тем, кто интересовался свойствами устойчивых распределений. Теорема 2.4.3 в несколько измененной формулировке появилась впервые в книге Лукача [61]. Однако имеющееся там доказательство того, что а = оо в случае а = 1 6 =/= 0, ошибочно. Приводимый нами вариант доказательства этого факта предложен И. В. Островским, который заметил также, что имеет место точное равенство

lim sup r_4og log M (г) = 1/р.

О возможности разложения функции q (х, а, 1), а < 1, по полиномам Лаггерра знал Н. В. Смирнов. Мне довелось слышать об этом на семинаре Колмогорова (работавшего в Московском Университете в 1954—55 г.).

На асимптотическое соотношение (2.5.18) без строгого обоснования впервые указал Колмогоров на семинаре, упоминавшемся в примечании 2.11. Первыечлены асимптотического разложения (2.5.17) были получены в случае а < 1 Линником [60] и в случае а ^ 1 Скороходом [82]. В полном объеме асимптотическое разло-

жение (2.5.17) в несколько измененной форме появилось в книге Ибрагимова и Линника [39]. Следует заметить, что приводимые там формулы содержат опечатки.

Асимптотическое разложение (2.5.25) найдено Скороходом [82] (без явных выражений коэффициентов d^.

Равенство (2.6.10) в случае а < 1 получено Поллардом [75], а в случае а^ 1 автором в работе [33].

Равенство (2.6.11) доказано автором в [33].

Соотношение (2.6.15) является эквивалентом соотношения (3.3.10).

Теорема 2.6.3 доказана автором [33].

Равенство (2.6.26) доказано автором в [33].

Класс L является подмножеством @. Он может быть определен как множество всевозможных полных пределов ) распределений нарастающих сумм независимых случайных величин (X!-]- ... + Хп) Б”1 — А„ со свойством

max (Xi,.... Хп) В^Допри п—» оо

или же как множество безгранично делимых распределений с абсолютно непрерывными спектральными функциями Н, обладающими свойством невозрастания на полуосях я < 0, я > 0 произведения хН' (х).

Теорема 2.7.2 принадлежит Хинчину [92].

Теорема 2.7.3 представляет собой вероятностную интерпретацию известного критерия одновершинности Хинчина (он приводится в следствии 2). Равносильное утверждение в терминах характеристических преобразований (2.7.5) приведено в работе автора [37]. В книге Феллера [89] имеется упоминание, что на эту интерпретацию обратил также внимание Шепп (L. Shepp).

Лемма 2.7.2 использовалась Винтнером при доказательстве теоремы 2.7.4 в работе [11]. Мы приводим новое доказательство этой леммы.

Теорема 2.7.5 доказана в работе Ибрагимова и Чернина [40].

Используемая нами система операторов, интерпретируемая как дробное интегрирование и дробное дифференцирование, не единственная. Например, можно использовать систему операторов вида (0 < г < 1):

10

I ТН (z) = р -^ (х — t)r 1 h (t) dt,—oo

X

1 H (я) = р ^ уу [Л. ^х^ — К (t)] ^х t) г 1 dt.

Имеются и другие типы операторов с аналогичными свойствами. За дальнейшей информацией мы отсылаем читателей к работе Феллера [88]. Одной из немногих работ, в которых операторы дробного дифференцирования и интегрирования используются в задачах теории вероятностей, является статья Вольфа [17].

Родственным по структуре уравнению (2.8.12) является интегро-дифференциальное уравнение для плотностей устойчивых законов, приводимое в книге Ибрагимова и Линника ([39], теорема 2.3.2), которое содержит, однако, существенную неточность. Возникает она за счет того, что в определении оператора дробного интегрирования (аналогичного используемому нами) отсутствует комплексный множитель ехр (—/лг). В результате обратный оператор к определенному ими нельзя рассматривать как обобщение понятия дифференцирования.

Там же утверждается, что интегро-дифференциальное уравнение вида (2.8.12) преобразуется в дифференциальное уравнение (2.8.25) в случае рационального а. В действительности это уравнение получается как следствие интегро-дифференциального уравнения вида (2.8.20).

Медоши [69], рассматривая плотности g (х, а, р, 0, X) несмещенных строго устойчивых законов, вывел для них уравнение в частных производных в том случае, когда а = mln — рациональное число с взаимно простыми тип:

Еj=l

где aj, bj и Kj — постоянные числа, зависящие от т, п, ри некоторого свободного параметра, изменение которого дает семейство уравнений. Если учесть, что g = i.~^ag (xX~lla1 а, р, 0,1), то становится очевидной связь этого уравнения с уравнением (2.8.24)

Уравнение (2.8.26) содержится в работе Линника [60].

Правую часть (2.8.29) нетрудно преобразовать к виду 4" Re {Ул^ exp (- ^ - ^ (е)},

С

где е = —iz/2 и w (Q = ехр (—£г) § ехР № ^t. Функция w (Q для о

комплексных £ табулирована [47].

Равенство (2.8.33) установлено Поллардом [75].

Теорема 2.9.1 доказана автором [33].

В работе Кресье [53] изучаются свойства распределения Ra (х) = Р (| У (а, р, 0, X) |“ < х), а < 1, ирешаются такиезадачп, как представление плотности Д^ (х) рядом по обратным степеням х и предельное поведение Ra (х) при а —» 0 (мы пользуемся здесь своими обозначениями). Поскольку, как легко видеть,

Яа(х) = G (хх1а, а, р, 0, X) - G(xv“, а, -р, 0, X), то обе упомянутых задачи получают очевидное решение, если воспользоваться элементарным свойством У (а р, 0, X) = Х^У (а, 6) и привлечь равенство (2.4.8) и предельное соотношение (2.9.1).

Асимптотическое разложение (2.9.4) было получено автором в [33]. В работе Броквелла и Брауна [8] доказывается, что

асимптотическое разложение (2.9.4) в случае 6 — 1, ж>0 является сходящимся рядом при всех а<1. Структура асимптотического разложения (2.9.4) показывает, что его сходимость при любых допустимых а<1, 6 является следствием упомянутого результата.

Асимптотическое разложение (2.9.8) приводилось в работе автора [33]. Однако указанное там выражение функции Нг ошибочно.

Теорема 2.10.1 — результат автора [32].

На связи (2.10.9), (2.10.12) функций Миттаг-Леффлера с устойчивыми законами указывалось в работах автора [32] и [33].

Ю. П. Студнев в некоторых своих работах рассматривал обобщение понятия безгранично делимых распределений в пределах множества функций V (я) ограниченной вариации, удовлетворяющих условиям V (—оо) = 0, V (оо) = 1. В работе 1967 года «О некоторых обобщениях предельных теорем теории вероятностей», опубликованной в 4 выпуске журнала «Теория вероятностей и ее применения», имеется упоминание о классе «обобщенных устойчивых законов» и приводится вид соответствующих им преобразований Фурье — Стилтьеса. Хотя этот класс содержит функцию Эйри, вопрос о том, является ли он естественным расширением семейства устойчивых распределений, пока не рассматривался. Мерилом «естественности» может служить, в частности, закон двойственности, которому функция Эйри, как показывает (2.10.15), удовлетворяет.

Глава 3

Материал настоящей главы, за исключением теоремы 3.4.3 и сведений из раздела 3.5, базируется на результатах работы автора [33] (главным образом ее второй части). Имеется несколько публикаций других авторов, результаты которых прямо или косвенно связаны с излагаемыми ниже фактами. Эти случаи будут отмечаться и комментироваться отдельно.

Статистическая интерпретация понятия срезки такова. Если Xv . . ., Хп — независимая выборка, подчиненная тому же распределению, что и распределение случайной величины X, то отбирая среди Ху только положительные, мы получим выборку Xiv . . ., Х,т (случайного объема Т, подчиненного биномиальному распределению), распределение элементов которой совпадает с распределением срезки X.

Тот факт, что случайная величина 1/Х имеет распределение Коши, если ему подчинена самая случайная величина X, известен по-видимому, давно, но никаких ссылок, предшествующих работе автора [33], найти не удалось. Менон [70] получил следующую интересную характеризацию распределений типа Коши. Пусть случайные величины X и 1/Х являются устойчивыми, причем 1/Х = К (X), где h (ж) = Ах + О (1), А — постоянная и Н' (ж) = А + О (| х |-Е), е > 0, при | х | —» оо. Тогда X подчинено распределению GA (ж, 1, 0, у, X).

Из соотношения (3.3.4) можно извлечь следующее интересное равенство, если выбрать а = 1/2 и воспользоваться явным

выражением плотности g (х, 1/2, 1):

е ^g (Vи, а', 1) йи = ^- s ^^g ^-, а'/2, 1 j . о

Частным случаем его (если выбрать а' = 1/2) является равенство (3.4.26).

Наиболее простой случай распределения статистики L получается при а = 2. Это следует из (3.3.21) и (3.3.17):

l=u=z^ ^и=у (^ °)-

т. е. статистика L, представляющая в этом случае отношение N/N двух независимых случайных величин, распределенных по стандартному нормальному закону, имеет распределение Коши — факт хорошо известный в теории вероятностей. Аналитически родственным ему является следующее соотношение, вытекающее из (3.3.17):

Z (а, 1/а) d Z(a, 1/а)Z (а, 1/а) d Z(a, 1/а)Z (1,1/а),Z (1,1/а),2.2.

Z (а, 1/а) d Z(a, 1/а)

Z (а, 1/а) d Z(a, 1/а)

Z (1,1/а),

Z (1,1/а),

2.

2.

Теорема 3.4.3 принадлежит Вильямсу [10]. В предлагаемом им доказательстве вид преобразования Меллина М (—s, 1/п, 1) находится самостоятельно, с помощью одного остроумного соображения, которое мы считаем полезным привести. Пусть a = 1/п, тогда для любого $>0

ехр (—s“) = Е ехр (—$У (a)) = Р (хУ (а) < А),

где Е — независимая от У (а) случайная величина, имеющая показательное распределение. Так как

Р ((A/У (a))“ > s“) = ехр (-$“), то

^ElY ^а = Е и У ^1Е = Е"Ча.

Следовательно, при любых г > —а справедливо равенство Е (У-Г (a) Е^ = Е (£г/а) = Г (1 + г/а)

и, кроме того, ввиду независимости У (а) и Е,

Е (У"г (а) Е^ = Еуг (а) Е (£г) = ЕУ~Г (а) Г (1 + г).

Сравнение полученных равенств показывает, что

М (—г, a, 1) = ЕУГ (а) = Г (1 + г/а)/Г (1 + г).

Глава 4

Материал настоящей главы почерпнут в основном из работы автора [152]. Теорема 4.3 использует технику работы Януш- кявичене [168], где решалась, в частности, аналогичная задача.

ЛИТЕРАТУРА

Работы общетеоретического характера

Бейтмен Г., 3 р де йи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 1./При участии Магнуса В., Оберхеттингера Ф., Трикоми Ф.— М.: Наука, 343 с.

Бергстрем (Bergstrom Н.). On the theory of the stable distribution functions.— In: 12/te Skand. matematiker- kongr. Lund 1953, Lund: 1954, p. 12—13.

Бергстрем (Bergstrom H.). On some expansions of stable distribution functions. Ark. Mat., 1952, v. 2, N 18, p. 375—378.

Бергстрем (Bergstrom H.). Eine theorie der stabieler Verteilungsfunktionen.— Arch. Math., Karlsruhe, 1953, B. 4, N 5—6, S. 380—391.

Бибербах (Biberbach L.). Lehrbuch der Funktionentheo- rie. B. 2 — Leipzig — Berlin: Teubner, 1931, 356 S.

Б о льш e в Л. Н., Золотарев В. М., КедроваЕ. С., Рыбинская М. А. Таблицы устойчивых односторонних распределений.— Теория вероятн. и ее примен., 1970, т. XV, № 2, с. 309—319.

Бохнер (Bochner S.) Stable Laws of probability and completely monotone functions.— Duke Math. J. 1973, v. 3 p. 726— 728.

Броквелл, Браун (Brockwell P. J., Brown В. M.). Expansions for the Positive Stable laws.— Z. Wahrsch. verw. Gebiete, 1978, B. 45, H. 3, S. 213—224.

В а н д e p В a p д e н Б. Л. Математическая статистика,— M.: ИЛ, 1960, 434 с.

ГЮ] Вильямс (Williams Е. J.). Some representations of stable random variables as products.— Biometrika, 1977, v. 64, N 1, p. 167—169.

[И] В и н т н е р (Wintner A.). On the stable distribution laws.— Amer. J. Math., 1933, v. 55, p. 309—331.

В и н т н e p (Wintner A.). On a class of Fourier transforms.— Amer. J. Math., 1936, v. 58, p. 45—90.

В и н т н e p (Wintner A.). The singularities of Cauchy’s distributions.— Duke Math. J., 1941, v. 8, p. 678—681.

В и н т н e p (Wintner A.). Cauchy’s stable distributions and an «explicit formula» of Mellin.— Amer. J. Math., 1956, v. 78, N 4, p. 819-961.

В и н т н e p (Wintner A.). Stable distributions and Laplace transforms.— Ann. Scuola norm, super Pisa, 1956, t. 10, N 3— 4, p. 127-134.

В и н т н e p (Wintner A.). Stable distributions and the transforms of Stieltjes and Le Roy.— Boll. Unione mat., ital., ser. Ill, 1958, An. 13, N 1, p. 24—33.

Вольф (Wolfe S. J.). On moments of probability distribution functions.— Leet. Notes Math., 1975, v. 457, p. 306—316,

Ворсдейл (Worsdale G. I.). Tables of cumulative distribution functions for symmetric stable distributions.— J. Roy. Statist Soc., ser. C, 1975, v. 24, p. 123—131.

Г и p к о В. Л. Теория случайных детерминантов.— Киев: Вища школа, 1980, 366 с.

Гнеденко Б.В.К теории предельных теорем для сумм независимых случайных величин.— Изв. АН СССР, сер. матем., 1939, т. 3, с. 181—232.

Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин.— М.— Л.: Гостехиздат, 1949, 264 с.

Градштейн И. С., Р ы ж и к И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. 4-е изд., перераб.— М.: Физматгиз, 1962, 1100 с.

Г у л о тт a (Gulotta В.). Leggi di probabilita condizionata- mente bil bili.— Giorn. Inst. ital. attuari, 1956, v. 19, p. 22— 30.

Г юре (Ghurye S. G.). A remark on stable laws.— Skand. aktuarietidskr., 1958 (1959), N 1—2, p. 68—70.

Дарлинг (Darling D. A.). The maximum of sums of stable random variables.— Trans. Amer. Math. Soc., 1956, v. 83, Nl, p. 164—169.

Джапаридзе К. О. Об упрощенных оценках неизвестных параметров с хорошими асимптотическими свойствами.— Теория вероятн. и ее применен., 1974, т. XIX, № 2, с. 355— 366.'

Д и т к и н В. Л., Кузнецов П. И. Справочник по операционномуисчислению.— М.— Л.:Гостехиздат, 1951,

255 с.

( Добру ш и н Р. Л., Сухов Ю. М. Временная асимпто- ' тика для некоторых вырожденных моделей эволюции систем с бесконечным числом частиц.— Итоги науки и техн., Сер. Современные пробл. матем., 1979, т. 14, с.147—254.

Д ю г е (Dugue D.). Variables scalaires attachees a deux matrices de Wilks, Comparison de deux matrices de Wilks en analyse des donnees.— C. R. Acad. Sc. Paris, 1977, t. 284, Serie A, p. 899—901.

Евграфов M. А., Асимптотические оценки и целые функции.— М.: Гостехиздат, 1957, 159 с.

Золотарев В. М. Выражение плотности устойчивого распределения с показателем а большим единицы, через плотность с показателем 1/а.— ДАН СССР, 1954, т. 98, № 5, с. 735—738.

Золотарев В. М. Об аналитических свойствах устойчивых законов распределения.— Вестник ЛГУ, 1956, № 1, с. 49—52.''

Золотарев В. М. Преобразования Меллина — Стилтьеса в теории вероятностей.— Теория вероятн. и ее примен., 1957, т. II, № 4, с. 445—468.’

Золотарев В. М. О представлении устойчивых законов интегралами.— Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, 1964, ' т. 71, с. 47—50.

Золотарев В. М. Об ЛГ-разложимости устойчивых законов.— Теория вероят. и ее примен., 1967, т. XII, № 3, р, 559—562,'

Золотарев В. М. Аналитическое строение безгранично делимых законов класса L.— Лит. матем. сб., 1963, т. 3, № 1, с. 123—140.

Золотарев В. М. Общая теория перемножения независимых случайных величин.— ДАН СССР, 1962, т. 142, № 4, с. 788—791.■

Ибрагимов И. А., О композиции одновершинных рас- ■ пределений.— Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. I, № 2, с. 283—288.

Ибрагимов И. А., Линник Ю. В. Независимые и стационарно связанныевеличины.— М.: Наука, 1965,

524 с.

Ибрагимов И. А., Ч е р н и н К. Е. Об одновершин- ности устойчивых законов.— Теория вероятн. и ее примен., 1959, т. IV, № 4, с. 453—456.

И е с я к, Россберг (Jesiak В., Rossberg Н. J.). On the unique determination of stable distribution functions.— Math. Nachr., 1978, B. 82, S. 297—308.

И e с я к (Jesiak В.). An Uniqueness Theorem for Stable Laws.— Math. Nachr., 1979, B. 92, S. 243—246.

Каган A. M., Линник Ю. В., Pao С. P. Характери- зационные задачи математической статистики.— М.: Наука, 1972, 656 с.

Камке 3. Справочник по обыкновенным дифференциаль- ■ ным уравнениям.— М.: ИЛ, 1950, 328 с.

Кантер (Kanter М.) Stable densities under change of scale and total variation inequalities.— Ann. Probab., 1975, v. 3, N 4, p. 697—707.

Кантер (Kanter M.). On the unimodality of stable densities.— Ann. Probab., 1976, v. 4, N 6, p. 1006—1008.

Карпов К. А. Таблицы функции w (z)=exp (— z2) exp (t2) dt о

в комплексной области.— M.: Изд-во Вычислительного Центра АН СССР, 1954, 126 с.

Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Статистические вы воды и связи. Т. 2— М.: Наука, 1973, с. 899.

Колмогоров А. Н., Севастьянов Б. А. Вычисление финальных вероятностей для ветвящихся случайных процессов.— ДАН СССР, 1947, т. 56, с. 783—786.

Коши (Cauchy A.). Oeuvres completes, ser. 1, v. 12, Paris: 1900, p. 94—114.

Крамер (Cramer H.). On the approximation to a stable probability distribution.— In: Studies Math. Analysis and Related Topics, Stanford: Calif. Univ. Press. 1962, p. 70—76.

Крамер Г. Математические методы статистики.— М.: ИЛ, 1948, 630 с.

К р е с ь е (Cressie N.). A note on the behavior of the stable distributions for small index a.— Z. Wahrsch. verw. Geb- iete, 1975, B. 33, H. 1, S. 61—64.

Круглов В. M. Замечание к теории безгранично делимых законов,— Теория вероятн. и ее прим., 1970, т. 15, № 2, С, 330—336,''

Л а х a (Laha R. G.). On a characterization of the Stable law with finite expectation.— Ann. Math. Statist., 1956, v. 27, N 1, p. 187—195.

Л a x a (Laha R. G.). On the laws of Cauchy and Gauss.— Ann. Math. Statist., 1959, v. 30, N 4, p. 1165—1174.

Леви (Levy P.). Calcul des probabilities.— Paris: Gauthier— Villars et Cie, 1925, 350 p.

Леви (Levy P.). Theorie de 1'addition des variables allatoi- res. 2-me ed.— Paris: Gauthier — Villars, 1954, 387 p.

Леви (Levy P.). Remarques sur un problcme relatif aux lois stables.— In: Studies Math. Analysis and Related Topics, Stanford: Calif. Univ. Press, 1962, p. 211—218.

Линник Ю. В. Об устойчивых вероятностных законах с показателем меньшим единицы.— ДАН СССР, 1954, т. 94, № 4, с. 619—621.

Лукач Е. Характеристические функции.— М.: Наука, 1979, 424 с.'*

Л у к а ч (Lukacs Е.). On some properties of symmetric stable distributions.— Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai, 1980, v. 21, p. 227—241.

Лукач (Lukacs E.). Stable distributions and their characteristic functions.— Jahresber. Deutsch. Math.— Verein, 1969, B. 71, N 2, S. 84—114.'

Лукач (Lukacs E.). Some properties of stable frequency functions.— Bull. Inst. Internal. Statist., 1969, v. 42, p. 1213— 1224..''

Лукач (Lukacs E.). Sur quelques proprietes des lois stabiles et symetriques.— C. R. Acad. Sc. Paris, 1978, t. 286, Serie A, p. 1213—1214.

M a p ш а н (Marchand A.). Sur des deriveeset sur les differences des functions de variable reeles.— J. Math. Pures Appl., 1927, v. 6, p. 337—425.

Медеши (Medgyessy P.). Partial integro-differential equations for stable density functions and their applications.— Publ. Math., 1958, v. 5, f. 3—4, p. 288—293.

Медеши (Medgyessy P.). Stabilis valoszinuseg suruseg- fuggvenverke fennallo parcialis differenciale — gyenletek es alkalmazasaik.— Publ. Math. Inst. Hung. Ac. Sci., 1956, v. 1, N 4, p. 489—518.

Медеши (Medgyessy P.). Partial differential equations for stable density functions and their application.— Madyar Tud. Acad. Mat. Kutato Jnt. Kozl, 1956, v. 1, p. 489—518.

Менон (Menon M. V.). A characterization of the Cauchy distribution.— Ann. Math. Statist., 1962, v. 33, p. 1267— 1271.

Партасарати, Ранга Pao, В ap адан (Parthasarathy K. R., Ranga Rao R., VaradhanS. R. S.). Probability distributions on locally compact abelian groups.— Illinois J. Math., 1963, v. 7, N 2, p. 337—369.

Петров В. В. Суммы независимых случайных величин.— М.: Наука, 1972, 416 с.

П о й a (Polya G.). Herleitung des Gausschen Fehlergesetzes aus einer Funktionalgleichung.— Math. Z., 1923, B. 18, S. 96— 108,

ЛИТЕРАТУРАЛИТЕРАТУРА£95

ЛИТЕРАТУРА

ЛИТЕРАТУРА

Поллард (Pollard Н.). The completely monotonic character of the Mittag-Leffler function Ea (—x). Bull. Amer. Math. Soc. 1948, v. 54, N 12, p. 1115—1116.

Поллард (Pollard H.). The representation of exp (— xx) as a Laplace integral.— Bull. Amer. Math. Soc., 1946, v. 52, N 10, p. 908-910.

Рамачандран (Ramachandran B.). On characteristic functionsand moments.—Sankhya.Ser. A,1969, v. 31, p. 1 —12.

Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ.— М.: ИЛ, 1963, 286 с.

Сато, Я м а з а т о (Ken-iti Sato, Makoto Yamazato). On distribution functions of class L.— Z. Wahrsch. verw. Gebie- te, 1978, B. 43, H. 4, S. 273—308.

Севастьянов Б. А. Финальные вероятности ветвящихся случайных ироцессов.— Теория вероятн. и ее примен., 1957, т. II, № 1, с. 140—141.

Скороход А. В. Случайные процессы с независимыми приращениями.— М.: Наука, 1964, 280 с.

Скороход А. В. Об одной теореме относительно устойчивых распределений.— Успехи матем. наук, 1954, т. 9, № 2 (60), с. 189—190.

Скороход А. В. Асимптотические формулы для устойчивых законов распределения.— ДАН СССР, 1954, т. 98, № 5, с. 731—734.

Скороход А. В. Аналитические свойства устойчивых распределений вероятностей.— В сб.: Студенческие научные работы Киевского университета, 16,— Киев: Изд-во Киевского университета, 1955, с. 159—164.

Сэвидж (Savage L.). A geometrical approach to the special stable distributions.—Zastosowania Mat., 1969, 1.10, p. 43—46.

Титчмарш E. Введение в теорию интегралов Фурье. М,— Л.: ГИТТЛ, 1948, 479 с.

Титчмарш Е. Теория функций.— М.— Л.: ГИТТЛ, 1951, 506 с.

Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.— М.— Л.: ГИТТЛ, 1951, 659 с.

Феллер (Feller W.). On a Generalization of Marcel Riesz Potentials and the Semi-Groups generated by them.— In: Communications du seminaire mathematique de 1'uni versite de Lund, tome Supplementaire dedie a Marcel Riesz, Paris: Gauthier — Villars, 1952, p. 74—81.

Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2.— М.: Мир, 1967, 752 с.

X а м б е р т (Humbert Р.). Quelques Resultats Relatifs a la fonction de Mittag-Leffler.—C. R. Acad., Sc Paris, 1953, t. 236, N 15, p. 1467—1468.

Харди Г. Г., Л и т т л в у д Д. Е., П о л и а Г. Неравенства.— М.: ИЛ, 1948, 456 с.

X и н ч и н А. Я. Предельные законы для сумм независимых случайных величин,— М.— Л.: ОНТИ, 1938, 116 с.

X и н ч и и, Леви (Khintchine A., Levy Р.). Sur les lois stables.— C. R. Acad. Sc. Paris, 1936, t. 202, p. 701—702.

Холл (Hall P.). A comedy of errors: the canonical form for a stable characteristic function.— Bull. London Math. Soc., 1981, v. 13, N 40, p. 23— 28.

Холт, Кроу (Holt D. R., Crow Е. L.). Tables and graphs of the stable probability density functions.— J. Research Nat. Bur. of Standards, Sect. B, 1973, v. 77B, N 3—4, p. 143—197.

Чжао Чжун-Чже (Chao Chung-Jen). Explicit formula for the stable law of distribution.— Acta Math. Sinica, 1953, v. 3, N 3, p. 177-185.

Чжун (Chung K. L.). Sur les lois des probabilites unimodales. — C. R. Acad. Sc. Paris, 1953, t. 236, p. 583—584.

III e н б а г, Пестана, RI p и x a p и (Shanbhag D. N., Pestana D., Sreehari M.). Some results in infinite divisibility.— Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 1977, v. 82, p. 289—295.

III и г а н о в И. С. Метрический подход к исследованию устойчивости теоремы Пойа о характеризации нормального распределения.— В сб.: Проблемы устойчивости стохастических моделей. М.: Изд-во ВНИИСИ, 1981, с. 145—154.

III и м и ц у (Schimizy R.). On the decomposition of stable characteristic functions.— Ann. hist. Statist. Math., 1972, v. 24, p. 347—353.'

Я мазато (Yamazato M.). Unimodality of infinitely divisible distribution functions of class L.— Ann. Probab., 1978, v. 6, N 4, p. 523—531.

Работы прикладного характера

Берндосон, Ягере (Berndsson В., Jagers Р.). Exponen tial growth of a branching process usually implies stable age distribution.— J. Appl. Probab., 1979, v. 16, N 3, p. 651—656.

В а л п о л e (Walpole L. J.). The elastic field of an inclusion in an anisotropic medium.— Proc. Roy. Soc., 1967, v. A 300, p. 270—289.

Вестерфилд (Westerfield J. M.). An examination of foreign exchange risk under fixed and floating rate regimes.— J. Internal. Economics, 1977, v. 7, p. 181—200.

Витензон И. Г. Об относительном движении материальной точки переменной массы.— Записки НИИматематики и механики ХГУ и ХМО, 1949, т. 21, серия 4.

Г р е н г е р, О р р (Granger С. W., Orr D.). Infinite variance and research strategy in time series analysis.— J. Amer. Statist. Assoc., 1972, v. 67, p. 275—285.

Гуд (Good L). The real stable characteristic functions and chaotic acceleration.— J. Roy. Statist. Soc., Ser. B, 1961, v. 23, p. 180—183.

Давыдов А. С. Квантовая механика.— M.: Наука, 1963, 657 с.

Добрушин Р. Л. Одна статистическая задача теории обнаружения сигнала на фоне шума в многоканальной системе, приводящая к устойчивым законам.— Теория вероятн. и ее примен., 1958, т. II, № 2, с. 173—184.

Дюмошель (DuMouchel W. Н.). On the distributions of claim costs. Credibility: theory and applications.— In: The Proceedings of Berkeley Actuaruty Research Conference, New York: Academic Press, 1975, v. 23—50, 409—414.

Д ю с а к (DusakK.). Futures trading and investor returness/ an investigation of commodity market risk premiums.— J. Polit. Economy, 1973, v. 81, p. 1387—1406.

Золотарев В. М., Струнин Б. М. О распределении внутренних напряжений при случайном расположении точечных дефектов.— Физика твердого тела, 1971, т. 13, с. 594—596.

Крылов Н. С., Ф о к В. А. О двух основных толкованиях соотношения неопределенности для энергии и времени.— ЖЭТФ, 1947, т. 17, № 2, с. 93—107.

Л и ф ш и ц И. М. О температурных вспышках в среде, подверженной действию ядерного излучения.— ДАН СССР, 1956, т. 109, № 6, с. 1109—1111.*

Мак-Каллох (McCulloch J. Н.). Continous Time Processes with Stable increments.— J. Business, 1978, v. 51, N 4, p. 601—619.

Мандельброт (Mandelbrot B.). La distribution de Willis — Yule, relative aux nombres d’especes dans les genres biologique.— C. R.Acad. Sc. Paris, 1956,30 April, p. 2223—2226.

Мандельброт (Mandelbrot B.). Variableset processus sto- chastiques de Pareto — Levy, et la repartition des revenue.— C.R. Acad.Sc. Paris, 1959,23 November, p. 2153—2155, 3 Aout, p. 613—615.

M а н д e л ь б p о т (Mandelbrot В.). The Pareto — Levy law and the distribution of income.—Internal. Econ. Rev., 1960, v. 1, p. 79—106.

Мандельброт (Mandelbrot B.). Stable Paretian random functions and the multiplicative variation of income.— Econo- metrica, 1961, v. 29, p. 517—543.

Мандельброт (Mandelbrot B.). The stable Paretian income distribution when the apparent exponent is near two.— Internal. Econ. Rev., 1963, v. 4, p. Ill—115.

Мандельброт (Mandelbrot B.). New methods in statistical economics.— J. Polit Economy., 1963, v. 71, p. 421—440.

Мандельброт (Mandelbrot B.). The variation of certain speculative prices.— J. Business, 1963, v. 36, p. 394—419.

Мандельброт (Mandelbrot B.). Some noises Vf spectrum, a bridge between direct current and white noise.— IEEE Trans. Inf., 1967, Th. IT-13, p. 389—398.

Мандельброт (Mandelbrot B.). The variation of some other speculative prices.— J. Business Univ. Chicago, 1967, v. 40, p. 393—413.

Мандельброт, Герштейн (Mandelbrot В., Gerstein G.). Random walk models for the spike activity of a single neuron.— Biophysical J., 1964, v. 4, p. 41—68.

Мандельброт, Тейлор (Mandelbrot В., Taylor H.). On the distribution of stock price differences.— Operations Res., 1967, v. 15, p; 1057—1062.

M e д e ш и (Medgyessy P.). Eloszlas — es surusegfuggveny — grafikonok alakjanak jellem — zeserol. I, II,— MTA III. Oszt. Kozl., 1964, v. 14, p. 279—292, 1967, v. 17, p. 101—108.

О в с е e в и ч И. А., Я г л о м А. М. Монотонные переходные процессы в однородных длинных линиях.— Известия АН СССР, отд. техн, наук, 1954, № 7, с. 13—20.

Оффайсер (Officer R. R.). The distribution of stock returns.— J. Amer. Statist. Assoc., 1972, v. 67, p. 807—816.

Ролл (Roll R.). The behavior of interest rates. An application of the efficient market model to U. S. Treasury Bills.— New York — London:Basic books, 1970, 139 p.

Сил (Seal Н. L.). Stochastic theory of a risk business.— New York: Wiley and Sons, 1969.

С и н д л e p Ю. Б. Накопление шума в ЧМ радиорелейных линиях связи, обусловленное замиранием сигнала.— Радиотехника и электроника, 1956, т. 1, № 5, с. 627—637.

С и ф о р о в В. И. К вопросу о накоплении шумов и замираний в магистральных радиорелейных линиях связи.— Электросвязь, 1956, № 5, с. 6—17.

С т а к к, Клейнер (Stuck В., Kleiner В.). A statistical Analysis of Telephone Noise.— Bell System Technical J., 1974, v. 53, N 7, p. 1263—1320.

Ф а м a (Fama E.). Mandelbrot and the stable Paretian hypothesis.— J. Business, 1963, v. 36, p. 420—429.

Фама (Fama E.). The behavior of stockmarket prices.— J. Business, 1965, v. 38, N 1, p. 34—105.

Фили ц, Смит (Fielitz В. D., Smith E. W.). Assymmetric stable distributions of stock price changes.— J. Amer. Statist. Assoc., 1972, v. 67, p. 813—814.

Халфин Л. А. К теории распада квазистационарного состояний. ЖЭТФ, 1958, т. 33, № 6(12), с. 1371—1382.

Хольцмарк (Holtsmark J.). Uber die Verbreiterun von Spektrallinien.— Annalen der Physik, 1919, B. 58, S. 577—630.

Чандрасекар С. Стохастические проблемы в физике и астрономии.— М.: ГИИЛ, 1947, 167 с.

Э ш е л б и Дж. Континуальная теория дислокаций.— М.: ИЛ, 1963, 153 с. .

Оценки параметров устойчивых законов

Арад (Arad R. W.). Parameter estimation for Symmetric stable distribution.— International Economic Review, 1980, v. 21, N 1, p. 209—220.

Б e p а н (Beran R.) Asymptotically efficient adaptive rank estimates in location models.— Ann. Statist., 1974, v. 2, N 1, p. 63-74.

Блаттберг, Г о н е д е с (Blattberg R. С., Gonedes N. J.). A comparison of the stable and Student distributions as statistical models for stock prices.— J. Business, 1974, v. 47, N 2, p. 244—280.

Блаттберг, Сарджент (Blattberg R., Sargent T.). Regression with non-gaussian stable disturbances: some sampling results.— Econometrica, 1971, v. 39, N 3, p. 501—510.

Б p окве л л, Браун (Brockwell P. J., Brown В. M.). High efficiency estimation for the positive stable laws.— J. Amer. Statist. Assoc., 1981, v. 76, N 375, p. 626—631.

Б p а й а н, Польсон (Bryant J. L., Paulson A. S.). Some comments on characteristic function—based estimations. Sankhya, 1981, A41, N 1—2, p. 109—116.

Ворсдейлл (Worsdale G. I.). The estimation of the symmetric stable distribution parameters.— In: Proc. Comput. Statist. 2nd Symp. Berlin (West). Wien: 1976, p. 55—63.

Дюмошель (DuMouchel W. H.). On the asymptotic Normality of the maximum likelihood estimate when sampling from a stable distribution.— Ann. Statist., 1973, v. 1, N 5, p. 948— 957..

(1501 Дюмошель (DuMouchel W. Н.). Stable Distributions in Statistical Inference: 1. Symmetric Stable Distributions Companed to other summetric long-tailed distributions.— J. Amer. Statist. Assoc., 1973, v. 68, N 342, p. 469—477.

[1511 Дюмошель (DuMouchel W. H.). Stable distributions in Statistical inference: 2. Information from stably distributed samples.— J. Amer. Statist. Assoc., 1975, v. 70, N 350, p. 386 - 393.

[1521 Золотарев В. M. (Zolotarev V. M.). Statistical estimates of the parametters of stable laws.— Banach center publications, 1980, v. 6, p. 359—376.

3 о л о т a p e в В. M. (Zolotarev V. M.). Integral Transformations of Distributions and Estimates of Parameyers of Multidimensional Spherically Symmetric Stable Laws.— In: Contributions to Probability, A collection of Papers Dedicated to Engene Lukacs.— New York: Acad. Press, 1981, p. 283—305.

Ибрагимов И. А., Хасьминский P. 3. Об оценке плотности распределения.— Записки научн. семинаров ЛОМИ, 1980, т. 88, с. 61—85.

ИбрамхалнловИ.Ш. Об оценке параметров распределения.— Известия АН Азерб. ССР, серия физико-техн, и матем. наук, 1964, № 2, с. 31—41.

И брамхалилов (Ibramhalilov J. S.). On estimates of functionally Related parameters. — Theor. Probab. and Math. Statist., 1975, N 6, p. 59—71.

Квесенберри, Дейвид (Quesenberry С. P., David H. A.). Some tests for outliers.— Biometrika, 1961, v. 48, p. 379—390.

Л e й ч, Польсон (Leitch R. A., Paulson A. S.). Estimation of stable law parameters: stock price application.— J. Amer. Statist. Asscc., 1975, v. 70, N 351, p. 690—697.

Логан, M e л л о у в, P а й г, 111 e n n (Logan B. F., Mallows C. L., Rige S. 0., Shepp L. A.). Limit distribution of self-Normalized Sums.— Ann. Probab., 1973, v. 1, N 5, p. 788—809.

Польсон, Холькомб, Л e йч (Paulson A. S., Holcomb E. W., Leitch R. A.). The estimation of the parameters of the stable laws.—Biometrika, 1975, v. 62, N 1, p. 163—170.

Пресс (Press S. J). Estimation in invariate and multivariate stable distributions.— J. Amer. Statist. Assoc., 1972, v. 67, p. 842-846.

Торнтон, Польсон (Thornton J. C., Paulson A. S ). Asymptotic distribution of characteristic function—based estimators for the stable laws.— Indian J. Statist., ser. A, 1977, v. 39 N 4, p. 341—354.

Файервергер, Мак-Даннох (Feuerverger A., McDun- nough Fh.). On some Fourier methods for in erence.— J. Amer. Statist. Assoc. 1981, v. 76, N 374, p. 379—387.

Фама, Ролл (Fama E., Roll R.). Parameter estimates for symmetric slalle distributions.— J. Amer. Statist. Assoc., 1971, v. 66, p. 331-338.

Фепеш (Fenech A. P.). Asymptotically ei icient estimation of location for a symmetric stable law.—Ann. Statist., 1976, v 4, N 6, p. 1088—1100.

Фьервергер, Мак-Даннох (Feuerverger А., McDuunough Р.). On the efficiency of empirical characteristic function procedures.— J. Royal Statist. Soc., ser. B, 1981, v. 43, N 1, p. 20—27.*

] Ходжес, Леман (Hodges J. L., Lehmann E. L.). Estimates of location based on rank tests.— Ann. Math. Statist., 1963, v. 34, N 2, p. 598—611.

8] Янушкявичене О. Л. Исследование некоторых оценок параметров устойчивых распределений.— Лит. матем. сб., 1981, т. 21, № 4, с. 196—210.

IV. Предельные теоремы

Алеш к яви чепе А. Локальная предельная теорема для сумм случайных величин, связанных в однородную цепь Маркова, в случае устойчивого предельного распределения.— Лит. матем. сб., 1961, т. 1, № 1—2, с. 5—13.

Б а н и с И. И. Сходимость для плотностей в метрике р для предельного устойчивого закона в двумерном случае.— Лит. матем. сб., 1977, т. 17, № 1, с. 13—18.

Банис И. И. Оценки скорости сходимости в локальной теореме в многомерном случае.— Лит. матем. сб., 1979, т. 19, № 2, с. 13—21.

Б аннис И. И. Уточнение скорости сходимости к устойчивому закону.— Лит. матем. сб., 1976, т. 16, № 1, с. 5—22.

Банис И. И. Уточнение скорости сходимости к устойчивому закону в локальной теореме в многомерном случае.— Лит. матем. сб., 1976, т. 16, № 3, с. 13—20.

Банис И. И. Уточнение скорости сходимости плотностей к устойчивому закону с характеристическим показателем 0 < а < 1 в метрике Lp.— Лит. матем. сб., 1978, т. 18, № 2, с. 218—227.

Б а н и с И. И. О скорости сходимости в многомерной локальной теореме в случае устойчивого предельного закона.— Лит. матем. сб., 1973, т. 13, № 1, с. 17—22.

Б а н и с И. И. О неравномерной оценке остаточного члена в центральной предельной теореме.— Лит. матем. сб., 1974, т. 14, № 3, с. 57—65.

Банис И. И. Об интегральной предельной теореме при сходимости к устойчивому закону в многомерном случае.— Лит. матем. сб., 1970, т. 10, № 4, с. 665—669.

Бартельс (Bartels R.) Generating non-normal stable variates using limit theorem properties.— J. Statist. Comput. Simul., 1978, v. 7, p. 199—212.

[179[ Басу (Basu S. K.) On a local limit theorem concerning variables in the domain of normal attraction of a stable law of index. — Ann. Probab., 1976, v. 4, p. 486 —489.

Басу, Маеджима, П а т p a (Basu S. K., Maejima M., Patra N. K.) On the rate of convergence in a local limit theorem concerning the variables in the domain of non-normal attraction of a stable law.— Yokohama Math. J., 1979, v. 27, № 1, p. 63-72.

Басу, Маеджима (BasuS. K., Maejima M.). A local limit theorem for attractions under a stable law.— Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 1980, v. 87, p. 179—187.

Б а т з е р, X a a u (Batzer Р. L., Hahn L.). General theorems on rates of convergense in distribution of random wariables. IL Applications to the stable limit laws and weak law о large numbers.— J. Multivar. Anal., 1978, v. 8, p. 202—221.

Бергстрем (Bergstrom H.). On distribution functions with a limiting stable distribution function.— Arkiv. Math., 1953, v. 2, N 25, p. 463—474.

Бергстрем (Bergstrom H.). Limit theorems for convolutions.— New York — London: Acad. Press. 1963, p. 256.

Б и н г x e м (Bingham N. H.). Maxima of sums of random variables and suprema of stable processes.— Z. Wahrsch. verw. Geb., 1973, B. 26, S. 273—296.

Бунясомбт, Шапиро (Boonyasombut V., Shapiro J. M.). The accuracy of infinitely divisible approximation to sums of independent variables with application to stable laws.— Ann. Math. Statist., 1970, v. 41, p. 237—250.

ВайткусП. О больших уклонениях сумм случайных величин в случае предельного устойчивого закона.— Лит. метем. сб., 1972, т. 12, № 1, с. 85—98.

Володин Н. А. Оценки в слабой форме локальной предельной теоремы для случая устойчивого распределения.— В сб.: Предельные теоремы и математическая статистика. Ташкент: Фан, 1976, с. 32—36.

Вольф (Wolfe S. J.). A note on the complete convergence of stable distribution functions.— Ann. Math. Statist., 1972, v. 43, p. 363—364.

Гнеденко Б. В. К теории областей притяжения устойчивых законов.— Уч. записки МГУ, 1939, т. 30, с. 61—72.

Гнеденко Б. В. О локальной теореме для предельных устойчивых распределений.— Укр. матем. ж., 1949, т. 1, № 4, с. 3—15.

Гнеденко Б. В., Королюк В. С. Несколько замечаний к теории областей притяжения устойчивых распределений.— ДАН УССР, 1950 т. 4, с. 275—278.

Дарлинг (Darling D. A.). The influence of the maximum term in the addition of independent random variabies.— Trans. Amer. Math. Soc., 1952, v. 73, p. 95—107.

Дарлинг, Эрдеш (Darling D. A., Erdos P.). A limit theorem for the maximum of normalized sums of independent random variables.— Duke Math. J., 1956, v. 23, N 1, p. 143— 155.

ДубинскайтеИ. О точности аппроксимации распределений сумм независимых случайных величин устойчивым распределением. — Лит. матем. сб., 1983, т. 23, № 2.

Е г о р о в В. А. О скорости сходимости к устойчивому закону.— Теория вероятн. и ее примен., 1980, т. XXV, № 1, с. 183—190.

Золотарев В. М. О выборе нормирующих констант в нарастающих суммах независимых случайных величин.— Тр. Моск. физ.-техн, ин-та, 1961, т. 7, с. 158—161.

3 о л о т а р е в В. М. Об одной новой точке зрения на предельные теоремы, учитывающие большие уклонения.— В сб.: Труды VI Всесоюзного совещания по теории вероятностей и математической статистике. Вильнюс: Гос. изд-во полит, и научи, лит-ры Лит.ССР, 1962, с 43—47.

Золотарев В. М. Аналог асимптотического разложения Эджворта — Крамера для случая сближения с устойчивыми законами распределения.— В сб.: Труды VI Всесоюзного совещания ио теории вероятностей и математической статистике. Вильнюс: Гос. изд-во полит, и научи, лит-ры Лит.ССР, 1962, с. 49—50."

Золотарев В. М. Аналог закона повторного логарифма для полунепрерывных устойчивыхпроцессов.— Теория

вероятн. и ее примен., 1964, т. IX, № 3, с. 566—567.

Игнат Ю. И., Слюсарчук П. В. О сходимости к устойчивым законам распределения.— ДАН УССР, 1977, т. 10, с. 912—913.

КалинаускайтеН. О верхних и нижних функциях для устойчивых случайных процессов. I, II.— Лит. матем. сб., 1965, т. 5, № 4, с. 541—554, 1966, т. 6, № 2, с. 249—256.

Калинаускайте Н. Некоторые свойства устойчивых случайных процессов.— Лит. матем. сб., 1964, т. 4, № 4, с. 493-496.

КалинаускайтеН. О притяжении к устойчивым законам типа Леви — Фельдхейма.— Лит. матем. сб., 1974, т. 16, № 3, с. 93—105.

Кимблтон (Kimbleton S, R.). A simple proof of a random stable limit theorem.— J. Appl. Probab., 1970, v. 7, p. 502—504.

Крамер (Cramer H.). On asymptotic expansions for sums of independent random variables with a limiting stable distribution.— Sankhya Indian' J. Statist., 1963, v. A25, N 1, p. 13—24.

Крамер (Cramer H.). On the approximation to a stable probability distribution.— In: Studies in Mathematical analysis and related topics. New York: Academic Press, 1971, p. 70— 76.

Крамер (Cramer H.). Random variables and probability distributions. 2nd ed.— Cambridge: Cambridge Univ. Pres., 1962, p. 135.“

Кристоф (Christoph G.). Konvergenzaussage und asymp- totische Entwicklungen filr die Verfeilungsfunktion einer Summe unabhangiger identisch verteilter Zufallsgro en im Faile einer stabilen Grenzverteilungsfunction.— Wiss. Sitz. Stochast., 1979, N 2, S. 23.'

Кристоф (Christoph G.). Uber notwendigeund hinreidunde Bedingungen filr Konvergenzgeschwindigkeitaussagen im Faile einerbstabilen Grenzverteilung.— Z. Wahrsch. verw. Geb., 1980, B. 54, H. 1, S. 29—40.

Кристоф (Christoph G.). Uber die Konvergenzgeschwin- digkat im Faile eineStabibileu Grenzverteiling. — Math.Nachr., 1979, B. 80, S. 21—30.

Л и п ш у ц (Lipschutz M.). On the magnitude of error in the approach to stable distributions, I, II.— Indag. Math., 1956, v. 18, p. 281—294.

M a e д ж и н a (Maejima M.). A non-uniform estimate in the local limit theorem for densities, II.— Yokohama Math. J., 1978, v. 26, p. 119—135.

Масамото (Masamoto U.). On some limit theorems fo- the sums of indentically distributed independent random var

riables.— Kodai Math. Semin. Repts., 1956, v. 8, N 2, p. 85— 92.

Мейсон (Mason J. D.). Convolutions of stable laws as limit distributions of partial sums.— Ann. Math. Statist., 1970, v. 41, N 1, p. 101—114.

МиталаускасА. А. О локальной предельной теореме в случае устойчивого предельного распределения.— Лит. матем. сб., 1961, т. 1, № 1—2, с. 131—139.

МиталаускасА. А. О локальной предельной теореме для устойчивых распределений. — Теория вероятн. и ее примет, 1962, т. VIII, № 2, с. 185—190.

Миталаускас А. А. Асимптотическое разложение для независимых случайных величин в случае устойчивого предельного распределения.— Лит. матем. сб., 1963, т. 3, № 1, с. 189—194.

Миталаускас А. А. Об интегральной предельной теореме для сходимости к устойчивому предельному закону.— Лит. матем. сб., 1964, т. 4, № 2, с. 235—240.

МиталаускасА. А. Об оценке быстроты сходимости в интегральной предельной теореме в случае устойчивого предельного распределения.— Лит. матем. сб., 1966, т. 6, № 1, с. 85—90.

МиталаускасА. А., Статулявичус В. А., О локальных предельных теоремах. I.— Лит. матем. сб., 1974, т. 14, № 4, с. 129—144.

М и т а л а у с к а с А., С т а т у л я в и ч ус В. А., Асимптотическое разложениев случае устойчивого аппроксимирующего закона.— Лит. матем. сб., 1976, т. 16, № 4, с. 149—166.

О’ К о н н о р (О’ Konnor Th. A.). Some classes of limit laws containing the stable distributions.— Z. Wahrsch. verw. Geb., 1981, B. 55, H. 1, S. 25—33.

ОуянГуан-Ижун. О предельных теоремах и устойчивых предельных распределениях для сумм случайного числа независимых случайных величинах. — Acta Scient. natur. Univ. Fudan, 1956, v. 10, N 1, p. 1—8 (на кит. яз.).

Паулаускас В. И. Оценка остаточного члена в предельных теоремах с устойчивым предельным распределением. —Лнт. матем. сб., 1974, т. 14, № 1, с. 165—187.

П аулаускас В. И. Некоторые неравномерные оценки в предельных теоремах теории вероятностей.— ДАН СССР, 1979, т. 211, № 4, с. 791—792.

Паулаускас В.И.Об оценках скорости сходимости в предельных теоремах посредством псевдомоментов.— ДАН СССР, 1971, т. 199, № 1, с. 26 —29.

Паулаускас В. И.Равномерныеи неравномерные оценки остаточного члена в предельной теореме с устойчивым пре дельным законом.— Лит. матем. сб., 1974, т. 14, №4, с. 171 — 185.

Паулаускас В. И. О скорости сходимости в многомерной предельной теореме в случае устойчивого предельного закона.— Лит. матем. сб., 1975, т. 15, № 1, с. 207—228.

Пиллай (Pillai В. N.). Semi-stable laws as limit distributions.— Ann. Math. Statist., 1971, v. 42, p. 780—783.

Прохоров Ю. В. Локальная теорема для плотностей.— ДАН СССР, 1952, т. 83 № 6, с. 797—800.

Сакович Г. Н. Единая форма притяжения к устойчивым законам.— Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. I, № 3, с. 357—361.

Сатыбалдина К. И. К вопросу об оценке скорости сходимости в предельной теореме с устойчивым предельным законом.— Теория вероятн. и ее примен., 1973, т. XVIII, № 1, с. 211—212."

Сатыбалдина К. И. Абсолютные оценки скорости сходимости к устойчивым законам.— Теория вероятн. и ее примен., 1972, т. XVII, № 4, с. 773—775.

Сатыбалдина К. И. Влияние гладкости функции распределения на оценку скорости сходимости к предельному устойчивому закону.— В сб.: «Теоретические и прикладные задачи математики и механики». Алма-Ата: Изд. АН Каз. ССР, 1973, с. 198—202.

СтатулявичусВ. А. О предельных теоремах в случае устойчивого предельного закона.—Лит. матем. сб., 1967, т. 7, № 2, с. 321—328.

Стоун (Stone С. J.). Local limit theorems for asymptotically stable distribution functions. — Notices Amer. Math. Soc., 1964, v. 12, p. 465.

Танкер (Tucker H. G.). Convolutions of distributions attracted to a stable law.— Ann. Math. Statist., 1968, v. 39, p. 1381—1390.

Ткачук С. Г. Теорема о больших уклонениях в случае устойчивого предельного закона.— В сб.: Случайные процессы и статистические выводы, выл. 4.— Ташкент: Фан, 1974, с. 178—186.

Ткачук С. Г. Локальные предельные теоремы, учитывающие больше уклонения в Случае предельных устойчивых законов,— Изв. АН Узб. ССР, сер. физ.-матем., 1973, № 2, с. 25—30.'

Феллер (Feller W.). Fluctuation theory of recurrent events.— Trans. Amer. Math. Soc., 1974, v. 62, p. 98—106.

ФортусМ. И. Равномерная предельная теорема для распределений, притягивающихся к устойчивому закону с показателем, меньшим единицы.— Теория вероятн. и ее примен., 1957, т. II, № 4, с. 486—487.*

Холл (Hall Р.). Two-sided bounds on the rate of convergence to a stable law.— Z. Wahrsch. verw. Geb., 1981, B. 57, H. 3, S. 349—364.

Шапиро (Shapiro J. M.). On the rate of convergence of distribution function of sum of reciprocals of random variables to the Caushy distribution.— Houston J. Math., 1978, v. 4, N 3, p. 439—445.

n=l

при этом предполагается, что d0 = 0.

Доказательство. По формуле обращения

(2.2.1b) для плотности g (х, 1, 0), в которой переменная х

помощью представления (2.3.14). Из-за ее громоздкости мы ее приводить не будем. Однако воспроизвести ее после всего вышесказанного труда не представляет.

Формулы (2.6.5) — (2.6.9) служат источником многих интересных аналитических соотношений. Однако в этом

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКАмс

В. М. ЗОЛОТАРЕВ

ОДНОМЕРНЫЕУСТОЙЧИВЫЕРАСПРЕДЕЛЕНИЯ

МОСКВА «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1983

22.17

3-81

УДК 519.2

Золотарев В. М. Одномерные устойчивые распределения.— М.: Наука, Главная редакция физико-мцтематическои литературы, 1983,—304 с.

Класс устойчивых распределений, в состав которого входят нормальное распределение и распределение Коши, является одним из важнейших в теории вероятностей. В последние годы начал интенсивно расширяться круг практических задач, в которых стали естественным образом появляться устойчивые распределения (такие математические модели можно найти в технике, физике, астрономии и экономике).

Книга является первой не только в нашей стране, но и за рубежом, специально посвященной систематическому изложению известных к настоящему времени наиболее существенных сведений о свойствах и методах статистической обработки устойчивых распределений. В нее включены также некоторые из практически используемых моделей, связанных с устойчивыми распределениями.

Для специалистов в области теории вероятностей и ее приложений, инженеров и студентов старших курсов вузов.

Илл. 6. Библ. 244 назв.

Владимир Михайлович ЗолотаревОДНОМЕРНЫЕ УСТОЙЧИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ(Серия «Теория вероятностей и математическая статистика»)

Редакторы В. В. Сенатов, М. М. ГорячаяТехнический редактор В. Н. КондаковаКорректоры С. Н. Макарова, А. Л, Ипатова

ИБ М 12116

Сдано в Набор 13.01.83. Подписано к печати 05.05.83. формат 84х108‘/к.

Бумага тип. № 1. Обыкновенная новая гарнитура. Высокая печать.

Условн. печ. л. 15,96. Уч.-изд. л. 17,78. Тираж 5400 экз. Заказ М 2399.

Цена 2 р. 40 к.

Издательство «Наука»

Главная редакция физико-математической литературы117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15

2-я типография издательства «Наука»

121099, Москва, Г-99, Шубинский пер., 10

1702060000-086

3053 (02)-8343-83

© Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1983

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 5

Введение 9

Глава 1. Примеры появления устойчивых законов в приложениях 37

Модель точечных источников влияния 44

Устойчивые законы в задачах радиотехники и электроники 62

Глава 2. Аналитические свойства распределений семейства<370

Элементарные свойства устойчивых законов . ..70

Представление устойчивых законов интегралами77

Закон двойственности в классе строго устойчивых распределений . . . - 99

Аналитическая структура устойчивых распределений и их представление сходящимися рядами . .106

Асимптотические разложения устойчивых распределений 113

Интегральные преобразования устойчивых распределений 130

Одновершинность устойчивых распределений. Вид плотностей 147

Устойчивые распределения как решения интегральных, интегро-дифференциальных и дифференциальных уравнений 177

Устойчивые законы как функции параметров . .192

Плотности устойчивых распределений как класс специальных функций 200

Глава 3. Специальные свойства законов класса SB 208

Понятие срезки случайной величины 211

Случайные величины ¥ (а, 6) и Z (а, р). Теоремы эквивалентности 215

Случайные величины У (а, 0) и Z (а, р). Теоремы умножения и деления 223

Свойства крайних строго устойчивых распределений 230

М-безграничная делимость распределений величин У (а, 0) и Z (а, р) 236

Логарифмические моменты случайных величин У (а, 0) и Z (а, р) 242

Глава 4. Оценки параметров устойчивых распределений246

Сведения вспомогательного характера 248

Оценки параметров распределений класса SB...254

Оценки параметров распределений семейства ®;

параметры a, f, X 259

Оценки параметра у 271

Обсуждение оценок 275

Примечания 282

Литература 291

ПРЕДИСЛОВИЕ

Свою первую книгу я начну словами благодарности и глубокого уважения моему отцу, Михаилу Ивановичу Золотареву, вся жизнь которого связана с Советской Армией с момента ее образования. Ему посвящается эта монография.

С момента появления в книге Поля Леви «Calcul des probabilites», изданной в 1925 г., понятия устойчивого распределения прошло более пятидесяти лет. С тех пор наши знания о свойствах этих замечательных вероятностных законов настолько обогатились, что смогли бы составить содержание нескольких монографий. Однако ни одной из них, специально посвященной устойчивым законам, пока не появилось. Многочисленные и разнообразные связанные с ними результаты рассеяны по журнальным статьям или, в лучшем случае, входят в качестве вспомогательных параграфов или глав в состав книг, посвященных другим разделам теории вероятностей. Так, например, сведения о предельных теоремах для сумм независимых случайных величин, когда предельными распределениями являются устойчивые законы, можно найти в известных монографиях Б. В. Гнеденко и А. Н. Колмогорова [21], В. Феллера [89], И. А. Ибрагимова и Ю. В. Линника [39] и В. В. Петрова [72]. Основная часть результатов, касающихся характеризации устойчивых законов, вошла в состав книги А. М. Кагана, Ю. В. Линника и С. Р. Рао [43].

Ряд фактов, отражающих аналитические свойства устойчивых законов, содержится в упоминавшихся монографиях В. Феллера, И. А. Ибрагимова и Ю. В. Линника, в книге Е. Лукача [61], а также в хорошей обзорной статье Д. Холта и Е. Кроу [95]. Некоторые свойства однородных устойчивых процессов с независимыми приращениями включены в книгу А. В. Скорохода [80].

За всем тем эти сведении об устойчивых законах носят несистематизированный отрывочный характер и не позволяют составить достаточно полного представления о современном уровне знаний в том или ином направлении.

По-видимому, это объясняется и до известной степени оправдывается тем, что устойчивые законы долгое время, за редкими исключениями, не находили себе применения. Ситуация, однако, изменилась в шестидесятых годах после появления серии работ Б. Мандельброта и его последователей, наметивших использование устойчивых законов в некоторых экономических моделях. И сейчас - сть основания думать, что в дальнейшем роль этих законов в тех разделах экономики, социологии и биологии, где появились распределения Ципфа — Парето, будет возрастать. Что, понятно, потребует систематизации и более детального изложения известных фактов.

В порядке предварительной классификации эти факты можно, на наш взгляд, разнести по следующим четырем группам:

Предельные теоремы для сумм независимых (или специальным образом зависимых) случайных величин и различные их уточнения, такие, как оценки скорости сходимости к предельным устойчивым распределениям в различных метриках, асимптотические разложения, большие уклонения и т. д., а также свойства устойчивых процессов с независимыми приращениями.

Характеризация устойчивых распределений.

Аналитические свойства устойчивых распределений.

Статистические проблемы, связанные с устойчивыми распределениями (оценки параметров, задающих эти распределения, задачи проверки гипотез и т. п.).

К настоящему времени по тематике первых трех групп накопилось уже довольно большое число рэзультатов, позволяющих говорить о необходимости их систематического изложения.

Но реализация такой программы потребовала бы объема, в три-четыре раза превышающего объем настоящей книги, что намного превышает мои возможности. Это обстоятельство побудило меня поставить перед собой более скромную задачу — выделить для систематического изложения лишь одну из групп результатов.

Выбор, в качестве первоочередной, третьей группы связан с двумя соображениями. Во-первых, материал, сюда относящийся, уже достаточно устоялся, и приток новых фактов в настоящее время невелик, чего никак, например, нельзя сказать о первой группе. Во-вторых, я надеюсь, что систематическое изложение аналитических свойств одномерных устойчивых законов стимулирует аналогии-

ные исследования в отношении многомерных устойчивых законов, о свойствах которых нам известно очень мало.

Помимо введения и второй и третьей глав, содержащих основную массу сведений об аналитических свойствах устойчивых законов, в книгу включены также примеры появления устойчивых распределений в прикладных задачах (гл. 1) и глава, связанная с проблемой статистической оценки параметров, определяющих устойчивые законы. Однако включение этой главы диктовалось не столько желанием отразить в каком-то объеме материал четвертой группы, сколько продемонстрировать возможность использования аналитических свойств устойчивых распределений Цри решении статистических проблем.

Структура книги такова, что связанными между собой являются лишь введение и вторая и третья главы. Первая глава не является необходимой для понимания содержания остального материала, а четвертая глава использует сведения гл. 2 и 3 лишь в минимальной степени.

Хотя при подготовке материала основных глав книги ставилась задача возможно полнее учесть известные результаты, не исключено, что какие-то из них случайно выпали из поля зрения автора.

То же самое можно сказать о первых трех разделах собранной в конце книги литературы. Четвертый раздел литературы, посвященный предельным теоремам, связанным с устойчивыми законами, собирался лишь для первоначальной ориентации читателя и поэтому на достаточную полноту не претендует.

Сведения исторического и приоритетного характера в основном тексте сведены к минимуму и отнесены в раздел «Примечания».

Материал введения и второй и третьей глав является в книге основным. Часть его содержит новые результаты, другая же часть собранного материала подверглась в процессе подготовки существенной переработке как в отношении формулировок теорем, так и их доказательств.

Характерной особенностью изложения является то, что для описания свойств устойчивых законов использовался не один, а несколько формально различных видов записи соответствующих этим законам характеристических функций. Дело в том, что единой формы записи, соответствующей наиболее простым формулировкам излагаемых свойств устойчивых законов, просто не существует. Использование различных форм записи характеристиче-

ских функций позволяет все непринципиальные сложности формулировок сосредоточить в формулах перехода от одной формы к другой.

В моей работе я пользовался советами и разносторонней помощью моих друзей и коллег, среди которых в первую очередь, следует назвать В. В. Сенатова и И. С. Ши- ганова. Познакомился с книгой и высказал ряд резонных соображений, способствовавших ее улучшению, И. А. Ибрагимов. Ценные советы по некоторым частям главы 1 я получил от Ю. Б. Синдлера и Л. А. Халфина, а по отдельным вопросам главы 2 от И. В. Островского. Материал 4 главы с большой пользой для ее содержания обсуждался с 3. В. Хмаладзе и Д. М. Чибисовым. Н. Ка- линускайте помогла пополнить список цитируемой литературы.

Неоценимо внимание профессора Мак-Кал лоха из Государственного университета Охайо, снабдившего меня копиями нескольких работ из малодоступных у нас американских изданий.

Подготовке рукописи по-своему способствовали Г. Д. Смычникова и Л. Л. Петрова.

Всем им я приношу здесь свою искреннюю благодарность.

Москва, 1981 г.Москва, 1981 г.В, М. ЗолотаревВ, М. Золотарев

Москва, 1981 г.

Москва, 1981 г.

В, М. Золотарев

В, М. Золотарев

ВВЕДЕНИЕ

ВЛ. В теории вероятностей семейство устойчивых распределений, несмотря на ближайшие родственные связи с нормальным законом, никогда не пользовалось большим интересом математиков. Рожденные талантом Поля Леви и получившие от него свое имя, законы этого семейства привлекали к себе умеренное внимание ведущих специалистов, хотя были и энтузиасты, среди которых в первую очередь, надо назвать нашего замечательного математика Александра Яковлевича Хинчина. Сдержанность в отношении устойчивых законов, по-видимому, объясняется тем, что долгое время они не находили себе никакого применения в приложениях. Впрочем, одно исключение здесь все же было. В 1919 году, за несколько лет до появления монографии Леви, где он ввел понятие устойчивого закона, датский астроном Хольцмарк опубликовал работу [1391, в которой была найдена вероятностная закономерность, которой подчиняются случайные флуктуации гравитационного поля звезд в пространстве при некоторых естественных предположениях относительно их расположения и масс. Оказалось, что трехмерное преобразование Фурье плотности р (х) этого закона распределения вероятностей имеет очень простой вид:

§ ехр {< (А, ж)} р (х) dx = exp (— X11|3/2), t ER\ R»

где X — некоторая положительная постоянная, величина которой обуславливается физическими характеристиками рассматриваемого объекта.

Как выяснилось много позже (вначале работа не привлекла к себе внимания математиков), распределение, найденное Хольцмарком и носящее теперь его имя, относится к числу сферически симметричных устойчивых законов с параметром а = 3/2.

Наше время отмечено резким повышением интереса к устойчивым законам в связи с их появлением в некоторых социально-экономических моделях.

Возвращаясь к предистории появления устойчивых законов, надо сказать, что их создание Леви не происходило на пустом месте. Еще за сто лет до него сначала Пуассон, а потом Коши обратили внимание на распределение с плотностью

А И = ^Рт № =А И = ^Рт № =Л > 0, xeR\Л > 0, xeR\

А И = ^Рт № =

А И = ^Рт № =

Л > 0, xeR\

Л > 0, xeR\

(*)(*)которое обладает тем свойством, что РКх * Рк1 = Pbt

(*)

(*)

где Л однозначно определяется значениями Кх и К2. Коши, интересуясь в рамках своих статистических исследований, когда ошибка отдельного наблюдения может оказаться сравнимой со средней ошибкой в серии большого числа независимых наблюдений, обнаружил, что такая ситуация будет иметь место, если ошибки наблюдений подчинены распределению вероятностей с плотностью рх. Плотность Рх входит в состав множества функций {Аа)} (со значением а = 1), преобразования Фурье которых имеют простой вид: '

(**)(**)ехр (—Л | t |“), а > О, Л > 0.

(**)

(**)

Коши [50] было известно, что каждая из функций f^ обладает свойством (*), но выделить из их числа неотрицательные функции (каждая из таких функций является, очевидно, плотностью некоторого распределения вероятностей) за исключением Д1) = рх он не смог. Доказать, что f^ ^ 0 в случае 0 < а < 1, удалось только в начале нашего столетия известному венгерскому математику Пойа вл. Им же было доказано, что среди функций Да) имеется только одна, которая представляет собой плотность распределения с конечной дисперсией. И соответствует ей значение а = 2, т. е. такой функцией является плотность несмещенного нормального закона. То, что функции ^ являются плотностями вероятностных распределений лишь при 0 < а ^ 2, было установлено в полном объеме Леви в его первой монографии [57]. Долгое время устойчивые распределения с характеристическими функциями вида (**) называли законами Коши. Потом, к сожалению, эта традиция угасла и распределения такого типа, за исключением рх, стали называть просто симметричными. ■

Понятие устойчивых распределений полностью сложилось к 1937 году с появлением монографии Леви [58] и монографии Хинчина [92]. Тогда же стало понятно, что, за несколькими исключениями, устойчивые законы не имеют явных выражений плотности или функции распределения. Поэтому встал вопрос о косвенном исследовании аналитических свойств устойчивых распределений. За прошедшие годы этой проблеме были посвящены в общей сложности десятки исследований. В ходе накопления знаний об аналитических свойствах устойчивых распределений, образующих четырехпараметрическое семейство функций, выяснилось, что сложность исследования той или иной группы свойств в большой степени зависит от того, насколько удачно выбрана система параметров. Запись аналитических соотношений между устойчивыми распределениями и их доказательство могут быть, таким образом, проще или сложнее в зависимости от того, какую систему параметризации мы используем. Это обстоятельство делает не только допустимым, но и желательным употребление на равных правах нескольких систем параметризации с тем, чтобы выбирать в каждой конкретной ситуации ту из них, которая обеспечивает наименьшую сложность в формулировках и доказательствах. При таком подходе мы освобождаемся от тех дополнительных усложнений, которые при разумно выбранной системе параметров останутся в стороне и будут сконцентрированы в формулах перехода от одной системы параметров к другой.

Без преувеличения можно сказать, что современная теория вероятностей обрела свою самостоятельность, авторитет важной для приложений математической дисциплины и большую часть арсенала своих методов в ходе решения проблемы аппроксимации распределений сумм независимых случайных величин. Относящиеся сюда результаты, группирующиеся вокруг центральной предельной теоремы, сложились в наше время в большую и разветвленную теорию. С созданием этой теории, которая была завершена в общих чертах лишь в тридцатые годы нашего века и потребовала, в общей сложности, более полутора столетий усилий нескольких поколений математиков, связаны такие яркие имена, как Лаплас, Гаусс, Пуассон, Чебышев, Ляпунов, Марков, Леви, Хинчин, Колмогоров, Гнеденко. Ставшая в наше время уже классической теория предельных теорем для сумм независимых случайных величин продолжает питать своими идеями

многие новые разделы теории вероятностей, среди которых можно назвать теорию цепей Маркова, теорию стационарных процессов, теорию мартингалов, теорию распределений на группах и т. д.

Фундаментальный результат теории суммирования независимых случайных величин, который подвел черту под первым этапом исследований, был получен Хинчиным [92]. Состоял он в следующем.

Рассмотрим последовательность серий независимых (в сериях) случайных величин (Хп;, / = 1, 2, . . .,&„}, п = 1, 2, . . ., и образуем суммы

zn = хп1 + ... + Xnkn - Л„, (ВЛ)

центрированные некоторыми числами Лп. Предполагается, что слагаемые в суммах равномерно бесконечно малы, т. е. для каждого е > О

Игл max {Р (| Xnj | > е): / = 1,..., Ап) = О- (В-2)

Обозначим через Fn, Fnj функции распределения соответственно случайных величин Zn, Хп1 и, через @ — множество всех функций распределения G, которые могут быть слабыми пределами функций Fn при n-> оо.

Теорема А. Функция распределения G принадлежит к ® тогда и только тогда, когда соответствующая ей характеристическая функция g может бить записана в следующей форме-.

g (;) = exp ^ita — bt2 + § (еЯж — 1 — it sin ж) dH(a;)} , (B.3)

где a, b > 0 — вещественные числа и функция Н (ж), определенная на всей оси х, за исключением точки х = 0, не убывает на полуосях х < 0, х > 0, стремится к нулю при \х | -> оо и удовлетворяет условию

x2dH(x) <^ос'. (В .4)

0<|х|<1

Представление (В.З) называют канонической формой записи характеристической функции д, а функцию Н — спектральной функцией безгранично делимого распределения G®2.

Вторым важным достижением теории стал следующий результат, полученный Гнеденко [20].

Обозначим

«п(У)=2Е(ХпД(|ХпДО)),

3=1

где 7 (А) — индикатор события А, у — фиксированное положительное число такое, что у,— у являются точками непрерывности функции Н, и

0e„=SD(W„jIO)). е>0.

»=i

Теорема Б. Пусть G — функция распределения из класса @, характеристическая функция которой в канонической форме (В.З) задается тройкой а, Ь и Н. Выберем в суммах (ВЛ) центрирующие постоянные

■^n — ^iy) — ^ — $ “ АН (и) + § u^dH (и).1«1<и|«1>у

Для того чтобы функции распределения Fn слабо сходились к G при п-*-со, необходимо и достаточно, чтобы

1. В каждой точке непрерывности х функции Н

Вп -> со при п ->Вп -> со при п ->(В.7)(В.7)1™ ^(^Дж)^^-sign ^ = Я (х).(В.5)

Вп -> со при п ->

Вп -> со при п ->

(В.7)

(В.7)

Оказывается, что это свойство имеет место каждый раз, когда функции распределения Fn (х) = Р (Zn < х) слабо сходятся к невырожденному распределению G.

Действительно, пусть свойство (В.7) не имеет места. Тогда, очевидно, найдется такая подпоследовательность пк -> оо, для которой B„fc = О (1). Из сходимости Fn-> G следует, что для каждого t из любого ограниченного интервала

I f ЩВ^ р = I 9 (t) | (1 + о (1)) при А -> оо, где f, g — характеристические функции распределений F (х) = Р (Xi < х) и G (ж). Следовательно, для каждого достаточно малого значения t

If (0 1= l9(^nfe) |1/ПЧ1 + о (1)).

Но это соотношение возможно лишь в том случае, когда | f (t) | = 1. Это в свою очередь, означает, что | 9 (t) | = = 1, т. е. распределение G — вырожденное вопреки предположению.

Анализ предельного поведения распределений F^ в схеме (В.6), проводившийся (при сильных ограничениях на распределении слагаемых) в работах Лапласа, Гаусса на рубеже восемнадцатого и девятнадцатого столетий, привел к появлению первого и, как оказалось впоследствии, наиболее важного в теории вероятностей й ее приложениях распределения — нормального распределения (его иногда называют законом Гаусса):

Фа, а И = (2noa)-V2exp ( — -^ (t — а)) dt.

После того как сто лет спустя усилиями Ляпунова и Маркова (использовавших совершенно различные методы) была доказана в очень широкой трактовке центральная предельная теорема, внимание специалистов могло переключиться на анализ того многообразия предельных распределений,'которое связано со схемой (В.6) и ее обобщениями. Первый принципиально новый шаг в этом направлении был сделан Леви. Знакомство с этим результатом и его последующим развитием мы начнем с формального определения устойчивых законов, изучению свойств которых будет отдано далее все наше внимание.

Определение. Устойчивой называется каждая функция распределения G, которая может появиться в схеме (В.6) в качестве слабого предела функций распределения Fn при п —> оо.

Множество всех таких функций G называется семейством. устойчивых законов распределения и обозначается через ®.

Поскольку схема (В.6) — частный случай схемы (В.1), семейство устойчивых законов является частью множества @ безгранично делимых законов распределений.

Существует много различных критериев принадлежности функции распределения к семейству ®, и каждый из них при желании можно брать в качестве исходного определения устойчивых законов. Ниже будут рассмотрены некоторые из них. Мы начнем со следующего, который, в силу сложившейся традиции, особенно часто используется в качестве определения. Такая традиция берет свое начало с работ Леви [58] и Хинчина [92].

Критерий 1. Функция распределения G принадлежит к семейству ® тогда и только тогда., когда она обладает следующим свойством.

Для любых положительных чисел bi и Ь2 найдутся положительное b и вещественное а такие, что

сШ,еШ=с(^) (в-8>

(доказательство см. в разделе В.4).

В первой монографии Леви [57] в качестве определения устойчивых законов использовалось не равенство (В.8), а более ограничительное соотношение

СШ,СШ = СШ' <в'-9>

соответствовавшее лишь некоторой части 29 всего семейства ®. Несколькими годами позже во второй своей монографии [58] Леви исходил уже из определения (В .8), но называл при этом законы дополнительной части ® \ 29 квазиустойчивыми. К сожалению, этот термин не прижился в литературе, возможно по той причине, что естественности выделения класса 29 из (5 подавляющая часть специалистов не чувствовала в плане рассматривавшихся ими задач. Характерным исключением здесь оказался Феллер. Следуя терминологии его книги [89], мы будем

в дальнейшем называть распределения, входящие в состав SB, строго устойчивыми законами распределения.

Если в схеме (В.6) очертить ситуацию, которая приводит к предельным распределениям из класса 5В, то окажется, что она соответствует тому случаю, когда линейная нормировка не требует центрирования, т. е. тогда, когда мы можем выбирать постоянные Лп = 0.

Прежде чем перейти к доказательству критерия 1 и обсуждению других критериев, нам будет удобно, по чисто методическим соображениям, сначала получить описание семейства устойчивых законов © и его части SB, аналогичное приводившемуся выше описанию класса в безгранично делимых распределений.

Теорема В.1. Для каждого устойчивого распределения G соответствующая ему спектральная функция Н имеет вид

I — Ci зг®, если ж > 0,I — Ci зг®, если ж > 0,^ ^| С^ (— ж)~®, если х < 0,^ ^| С^ (— ж)~®, если х < 0,(В.10)(В.10)

I — Ci зг®, если ж > 0,

I — Ci зг®, если ж > 0,

^ ^| С^ (— ж)~®, если х < 0,

^ ^| С^ (— ж)~®, если х < 0,

(В.10)

(В.10)

где Ci, Са и а — неотрицательные числа, причем 0 < < а < 2.

Доказательство. Очевидно, мы можем ограничиться случаем невырожденного распределения G. Обозначим через Жн множество точек непрерывности спектральной функции И. Из условия Ge© вытекает существование последовательности независимых случайных величин Xi, Х2, . . . с общей функцией распределения F и последовательности пар нормирующих постоянных Л„, Вп (Вп -► оо), таких, что Fn (х) = Р (Zn < х) слабо сходится к G (ж) при п ->■ оо. Отсюда, согласно необходимому условию сходимости (В.5), имеем при п -• оо

п (f (Впх)^^- sing х^-»Н (ж), X е Хн-(В.11)

Рассмотрим случай х ^> 0. Если Н (ж) ф 0 *) на полуоси ж > 0, то найдется точка ж0 е Хн, для которой q = ;= — Н (ж0) > 0. Определим далее для каждого f > 0 целое положительное число

п = п (t) = min (/с: Bkx0 ^ f < B^Xg).

Функций U (х) = 1 — F (ж) не возрастает на положительной полуоси, и потому

(В.12)(В.12)DtBtotV\ U (tx) U VB^i^U кв^ ^ U (t) ^ U (Bn+1z0)

(В.12)

(В.12)

каким бы ни было х ^> 0. Так как п (f) ->- оо при t —»- оо, то, благодаря свойству (В.11), левая и правая части неравенств (В.12) стремятся при £—>- оо к общему пределу

1

£(я)= ~—#М,

если хох ЕЕ $н- Следовательно, с одной стороны, для любых положительных х, у, таких, что хох, хоу ЕЕ $н, имеем при t ->■ оо

и (<з:У) . т

С другой стороны, тот же предел мы можем вычислить иначе:

U (txy) U ^tzy) U (ty) - U^ * U (ty) 1 U (t)

В итоге получаем уравнение

(В.13)(В.13)L (ху) = L ^L (у),

(В.13)

(В.13)

справедливое при всех положительных х, у, за исключением, быть может, некоторого счетного множества точек.

Функция L (ж) определена во всех точках положительной полуоси, где она к тому же неотрицательна, не возрастает с ростом х и имеет значения L (1) = 1, L (оо) = 0. В этих условиях решение уравнения (В.13) непременно имеет вид L (ж) = ж", где а — положительная постоянная (подробнее о решении уравнения вида (В.13) или к нему сводящихся см. в монографии [91]).

Таким образом, функция Н (ж) должна иметь следующий вид при х ^> 0:

Н ^х) = — qL (х/х0) = х“Н (ж0)ж~“ = — Сгх"а.

Дополнительное условие (В.4), которое накладывается на любую спектральную функцию безгранично делимого, а потому и устойчивого распределения, ограничивает значения параметра а интервалом 0 < a < 2. Постоянная Сх > 0 не ограничивается какими-либо дополнительными условиями. В этом нетрудно убедиться, если вместе

с последовательностью нормированных сумм Zn рассматривать другую последовательность нормированных сумм CZn, С 2> 0. Обе последовательности имеют предельные устойчивые распределения со спектральными функциями, соответственно равными Н (х) = — СуХ^ и Нс (%) = = _ СгСах-®. ■

Случай я < 0 разбирается аналогично и приводит к выводу о том, что Н (х) = С2 (— хуь, где Са > 0 и 0 < 6 < 2. Покажем, что а = 6.

По ходу разбора случая х^> 0 было установлено, что

приприt —> oo.t —> oo.У (to) - _ 1-F^

при

при

t —> oo.

t —> oo.

U^ - 1-F^

Это означает (см. [89]), что 1 — F (х) = xr^hy (ж), где ^i (зс) — медленно меняющаяся функция. Следовательно, согласно (В.11), для любых х > 0 при п -► оо

n (1 — F (ВпхУ) = пВпа Ai ф^ ^а -► Сух-™.

Отсюда, используя свойства медленно меняющихся функций, находим, что.■

1гВ'а hy (Sn) ~ Cv1гВ'а hy (Sn) ~ Cv(В.14)(В.14)

1гВ'а hy (Sn) ~ Cv

1гВ'а hy (Sn) ~ Cv

(В.14)

(В.14)

Совершенно аналогично мы получим представление F (х) = = (— ж)-6Ла (— х) для х < 0, откуда получим соотношение

пВ^Нй (Sn) ~ С2.пВ^Нй (Sn) ~ С2.(В.15)(В.15)

пВ^Нй (Sn) ~ С2.

пВ^Нй (Sn) ~ С2.

(В.15)

(В.15)

Если мы считаем, что спектральная функция Н (ж) не обращается в нуль на обеих полуосях ж )> 0 и z < 0, т. е. что Су > 0 и С2 ~> 0, то соотношения (В.14) и (В.15) возможны только в том случае, когда а = 6.

Замечание. Отметим, что последняя часть рассуждений теоремы дает нам возможность судить о поведении нормирующих коэффициентов Вп при п -> оо в том случае, когда Fn в схеме (В.6) сходится к невырожденному распределению G с отличной от нуля спектральной функцией Н (т. е. Ci -f- С2 > 0). Действительно, пусть Ci 2> 0. Тогда, согласно (В.14), п — СуВпНу^В^, где 0 < а < 2. Основной порядок изменения правой части, очевидно, связан с В„. Поэтому основной порядок изменения Вп — степенной, и величина hi (В^ как функция п меняется медленнее любой степени, она является медленно меняющейся функцией h* (п). Следовательно, при

П —> ОО

Sn ~ nV= (C^h* (n))V“ = пЧ» h (n), (B.16) где h (n) — медленно меняющаяся функция. В теории правильно меняющихся функций соотношение (В.16) было бы простым следствием того факта, что функция, обратная к правильно меняющейся (но не медленно меняющейся) функции, вновь является правильно меняющейся функцией.

Описание семейства ®, которым мы сейчас займемся, является, очевидно, и критерием принадлежности к ®.

Теорема Вй. Невырожденное распределение G принадлежит к семейству (5 тогда и только тогда, когда логарифм его характеристической функции g допускает представление вида

log д W = X (if у — | t 1“ + it™ a (t, а, P)),(A)

где вещественные параметры меняются в пределах 0 < а ^ ^2, — 1 ^ р ^ 1, — оо < -у < оо, k> Q и

<oA(t, а, Р) =<oA(t, а, Р) =Itja-rptg^a) — P-^ioglH.Itja-rptg^a) — P-^ioglH.если а ^1, если а = 1.если а ^1, если а = 1.

<oA(t, а, Р) =

<oA(t, а, Р) =

Itja-rptg^a) — P-^ioglH.

Itja-rptg^a) — P-^ioglH.

если а ^1, если а = 1.

если а ^1, если а = 1.

Замечание. Индекс А ставится для отличия данной формы записи характеристических функций устойчивых законов от других|форм записи, с которыми"мы будем далее иметь дело.| fl

Доказательство. Так как ® есть подмножество @, то для уточнения вида функции д мы подставим выражение (В. 10) ее спектральной функции Н в общую форму (В.З) и вычислим получившиеся интегралы. Имеем для 0 < а < 2

log 9 (О = 7^а — Й2 — ^i 5 (еЯх — 1 — 7^ s*n ж) с^-™ — о■

— С2 ^ (е-Яж — 1 + it sin х) dxra = На — № -|- CxQa -f- C^Qa. о

(В.17)

Рассмотрим в области Res > 0, Вер > 0 функцию

фа (s, р) = P к6”” — е~РХ) ar“ dx, 0

Нетрудно заметить, что q>a (s, р) является непрерывной по а в интервале (0,2) при фиксированных s, ри непрерывна на границе области (т. е. на прямых Re s = 0, Re р = 0) при фиксированном значении а. Сравнение интеграла Qa с функцией <ра показывает, что если положить s = i и выделить из <pa (i, р) вещественную часть, считая при этом р положительным, а затем перейти к комплексным р и заменить р на — if, то мы получим интеграл Qa, т. е.

Qa = Re фа (i, р) |р=—it-

Вычислить явное выражение фо (s, р) несложно. Считая сначала a У= 1, найдем, интегрируя по частям, что

<Ра(8,р) =7^5О<Ра(8,р) =7^5Оре-Рж) ж1-*1 dx =ре-Рж) ж1-*1 dx == p'S"^ (^-р"'1).= p'S"^ (^-р"'1).

<Ра(8,р) =7^5

О

<Ра(8,р) =7^5

О

ре-Рж) ж1-*1 dx =

ре-Рж) ж1-*1 dx =

= p'S"^ (^-р"'1).

= p'S"^ (^-р"'1).

Затем переходим к пределу при a —► 1 и получаем равенство

Ti($.P) = Plog(-f-)1

Эта процедура приводит нас к следующему выражению для Qa:

)

— | < ,“Г (1 —a)cos-^-a—

— it (1 — 1t1“-1) Г (1 — a) sin -y- a, если a^l,

— |i |^- — if log|t|,— |i |^- — if log|t|,если a = l.если a = l.

— |i |^- — if log|t|,

— |i |^- — if log|t|,

если a = l.

если a = l.

Положим

sin -9- (1 — a)

d = (G + C2) Г (2 - a)f—

(в случае a = 1 значение d понимается в смысле предела при a ->-1), тогда

I 9 (t) | = exp (— bt2 — d | t |“).

Покажем, что числа Ь и d не могут быть одновременно отличными от нуля. Поскольку Ge 6, существует такая характеристическая функция f (f) и такая последова-

тельность нормирующих постоянных Лп, Вп (Вп ->■ оо), что

Г e^-^stt') при П->ОО.

Следовательно, | f (tB^ Г —>- | g (f) |. Предположим, что d > 0. В этом случае, в соответствии с (В.16), Вп = = п1!^ (ri}. Поэтому для любого целого А ^ 1 при и —> оо BJB^ ->■ krri<\ Далее, используя этот факт, находим, что

|[№^)Г =|[№^)Г =■в"А -|д(^/а)|\■в"А -|д(^/а)|\

|[№^)Г =

|[№^)Г =

■в"А -|д(^/а)|\

■в"А -|д(^/а)|\

С другой стороны, тот же предел, очевидно, должен равняться | g (t) |. Таким образом,

ехр (— №к1-ъ1а — d | £ |“) = exp (— bt1 — d | t |“),

каково бы ни было целое к ^ 1. Но это возможно лишь

в том случае, когда Ъ = 0. Положим в-4 •

{d, если о, если ^1 — ^ Р = Ci + Сз о,Т =-£-(« +о).{d, если о, если ^1 — ^ Р = Ci + Сз о,Т =-£-(« +о).С1 + с2>о,

{d, если о, если ^1 — ^ Р = Ci + Сз о,

Т =-£-(« +о).

{d, если о, если ^1 — ^ Р = Ci + Сз о,

Т =-£-(« +о).

Ci + Са = о,

если Сг + Сй > 0,

если Сг-\- Сй = 0,

где

{

(С»— СДГИ—a) sin-5-а, если а^1,

0,если а = 1.

Теперь правую часть (В. 17) можно записать в нужном нам виде (Л).

Каноническое представление (Л) характеристических функций устойчивых законов имеет одну неприятную особенность. Функции д, а следовательно, и связанные с ними распределения G, не являются непрерывными функциями определяющих их параметров, поскольку, как это видно из определения функции со^ (£, а, Р), они имеют разрывы во всех точках вида а = 1, Р ^ 0. Предельный переход а* -> 1 (а* ^= 1), р* -> р ^ 0, %* -> % и у* -> у не только не приводит нас к устойчивому закону с пара-

метрами <z = 1, р, у, X, но и вообще не дает в пределе собственного распределения. Вся мера уходит в бесконечность. Причем мы сами создали эту ситуацию, упрятав компенсирующий сдвиг а в параметр у. В исходной записи функций g интегралы Qa, как это специально подчеркивалось, являются непрерывными функциями переменного а. Таким образом, устранить разрыв мы можем, выделив сдвиг аХ-1= — р tg-^-a. Модификация формулы (Л) в этом случае выглядит следующим образом:

гдеtoM(t, a,P) =гдеtoM(t, a,P) =log д (t) = ^ (it"? — 11 |a + ittoM (t, a, P)), (M)

где

toM(t, a,P) =

где

toM(t, a,P) =

(|f|a-1—l)Ptg-^-a, если a^l,

2

— P — log 11|, если a = 1,

Легко видеть, что функция юм непрерывна по совокупности своих переменных. Область изменения параметров в форме (М) та же, что и в форме (Л). Параметры форм (Л) и (Л/) связаны следующими соотношениями (подстрочные литеры указывают на принадлежность параметров к соответствующей форме):

аА«М, Рд = Рм. Та = Тм—ptg-^-™» ^А = ^М-

Имеется еще много различных форм записи характеристических функций устойчивых законов. Одна из них, использование которой оправдывается рядом соображений аналитического характера, следующая.

Теорема В.З. Характеристические функции д невырожденных распределений G из О могут быть записаны в следующей форме-.

log д (f) = A (it-? — I t |"е>в (О a, Р)),(5)

где

toB (t, a, P) =toB (t, a, P) =exp^—z -^-P^(a)sign^, если a^ 1,

toB (t, a, P) =

toB (t, a, P) =

-y- + zP log 111 sign t, если a = 1,

К (a) = a — 1 + sign (1 — a), и параметры имеют ту же область изменения, что и в форме (Л).

Связь параметров, которую нетрудно установить, приравнивая правые части (Л) и (В), дает следующие

соотношения (основной параметр а в обеих формах одинаков): если а = 1, то

Ра = Рв. Та=—Тв> ^д = —^в,(В.18)

если а #= 1, то

Ра = ctg ^- а) • tg (-у- Рв^Г (а)).

Та = Тв (с08 (1Г Рв^ (а))) \(В.19)

Ха = Хв cos (-f-Рв^ (а)).

В форме (Б), как и в форме (Л), устойчивые законы не являются непрерывными в точках вида а = 1. Однако, в отличие от формы (Л), здесь при а* -> 1, р*->р,у*^- -> у и %* -> % предельное распределение существует, если а* остается все время больше или меньше единицы. При этом в качестве предела появляется устойчивый закон с характеристической функцией д вида

log д (£) = X (i£ (у + sin -у Р) — |<|cos-^- р) ,

где «+» выбирается, если а* > 1, а «—» выбирается, если а* < 1.

В дальнейшем характеристические функции д будут сопровождаться значениями параметров, т. е. д (0 = 9 (^> а, Р« Т, ^К В частном случае — более коротко: д (£, а, Р) = д (t, а, р, 0, 1). Если нам потребуется подчеркнуть, что для записи функций используется та или иная форма (Л), (Б) и т. д., то функции д (и другие связанные с нею величины и функции) будут сопровождаться соответствующей подстрочной буквой. Например, запишем с учетом этого соглашения следующее легко проверяемое свойство:

I 9а G. а, р, у, X) | = ехр (— % | i |“). (В.20)

Из этого свойства функции дА следует, что соответствующее ей распределение G имеет плотность gA, которая существует и равномерно ограничена на всей оси, как и любая ее производная. Действительно, используя формулу обращения

8д^ = -2^^ e-«=gA^dt

«4-1«4-11Й’И|1Й’И|^$|<Пвл(')|Л =^$|<Пвл(')|Л =1"—L x-(«+D/“.ла1"—L x-(«+D/“.лаи свойство (В.20), без труда убеждаемся в справедливости следующей оценки:

«4-1

«4-1

1Й’И|

1Й’И|

^$|<Пвл(')|Л =

^$|<Пвл(')|Л =

1"—L x-(«+D/“.ла

1"—L x-(«+D/“.ла

Функцию распределения и плотность устойчивого закона с характеристической функцией g (t, а, 0, у, %) обозначаем соответственно через G (а:, а, 0, у, Ц и g (х, а, 0, у, 1) и в сокращенных вариантах

G (х, а, 0) = G (х, а, 0, 0, 1),g (z, а, 0) = g (х, а, 0, 0, 1).

Для случайных величин, подчиненных устойчивым распределениям G (х, а, 0, у, %) или G (а:, а, 0), везде в дальнейшем используются соответственно обозначения Y (а, 0, у, X) и У (а, 0). И вообще символ У отводится только для обозначения случайных величин с распределениями из <3.

Следует оговорить еще одно правило, которому мы будем следовать на протяжении всей книги.

Во всех равенствах, связывающих функции от случайных величин в смысле равенства их распределений (для -d .„

таких равенств будет использоваться символ =), случайные величины, находящиеся в одной части равенства (даже написанные одинаково), понимаются как независимые.

Например, критерий 1 с использованием этого правила можно сформулировать следующим образом.

Для того чтобы распределение случайных величин d d

Хг = Х2 Ф const принадлежало ©, необходимо и достаточно, чтобы для любых положительных чисел Ьг, Ь2 нашлись положительное b и вещественное а, такие, что

ЪД^ + № = bxt + а.(В.21)

(Здесь независимость Хг, Ха в левой части (В.21) специально не оговаривается.) Такая форма записи соотношений между распределениями оказывается довольно часто предпочтительнее записи с использованием самих распределений, которая и более громоздка и менее наглядна. В дальнейшем мы не раз будем иметь возможность убедиться в справедливости этого.

Обратимся к доказательству критерия 1 в форме (В.21). Индуктивные рассуждения, начиная с соотношения Хг + Х2 = ЪаХг + аа, позволяют утверждать, что

Xj + . . . + Хп = ЬпХт + ап, п ^ 2.

Следовательно, для любых п > 2 Xi+... + Xn and

пп

Предельное распределение левой части при п —> оо, очевидно, существует и совпадает с распределением Х15 которое должно принадлежать семейству ©. Этим доказана достаточность критерия. Покажем его необходимость.

Пусть Xj = Х2 = Y (а, Р, у, X). Выберем какие-либо положительные числа Ьг и 62. Равенство (В.21) в терминах характеристических функций g случайных величин Y эквивалентно равенству

9 (М 9 ^ = g (6i) eito.9 (М 9 ^ = g (6i) eito.(В.22)(В.22)

9 (М 9 ^ = g (6i) eito.

9 (М 9 ^ = g (6i) eito.

(В.22)

(В.22)

Используя форму (Л), легко проверить его справедливость, если выбрать Ъ = (6“ + Ь^1^ и

Ху (61 + 62 — 6), если а Ф 1,

й =ь х(В.23)

Хр — ^6i log -X + 62 log -у-J , если а=1.

Критерий 3. Распределение случайных величин Хг = d v dd dd

= X 2 = . . . = X„ = . . . ^ const принадлежит © тогда и только тогда, когда для любого п "> 2 найдутся положительное число Ьп и вещественное ап, такие, что

X, + Х2 + . . . + Хп = 6ПХ, + ап. (В.24)

Этот критерий внешне выглядит как ослабление условия (В.21). Его доказательство осуществляется тем же путем, что и доказательство критерия 1. Оказывается, что критерий 2 можно, в свою очередь, внешне ослабить®-5.

Критерий 3. Распределение случайных величин. d d d

Xj = X2 = X3 #= const принадлежит © тогда и только тогда, когда соотношение (В.24) выполнено для п = 2 и п = 3.

Доказательство необходимости проводится аналогично доказательству необходимости критерия 1 и сложности не представляет.

Докажем достаточность критерия, т. е. если

X, + Ха = ЪйХг + аа, Хг + Х2 + Х3 = Ь3Хг + а3, где bv Ьй — некоторые вещественные числа, то Xj имеют устойчивое распределение. Обозначим через f (?) характеристическую функцию случайной величины Xv Нашей целью будет доказательство того, что ( (?) удовлетворяет при каждом целом к > 2 уравнению

Г (?) = f (М exp (ia„?),? е R1,

эквивалентному условию (В.24).

Из его справедливости при п = 2, очевидно, следует, что оно справедливо также при любых значениях п = 2т с константами Ьп и ап вида Ьп = Ъ™, ап = а2 (1 + 6а + + . . . + Ь™-1). Отсюда уже вытекает (см., например, (611), что распределение Х\ является безгранично делимым и, значит, f (?) ^ 0 при любых ?.

Определим функцию

X (?) = log f (?), ? (= R1.

Условие критерия в терминах функции х запишется следующим образом:

2х (?) = X (М + ?«г?, Зх (?) = X (М + ^з?-

Следовательно, для любых /, к = 0, ±1, ±2,. . .

2j3kx (?) = X ($?) + ^,

где ajk — некоторые вещественные числа.

Множество чисел {2*31: /, к = 0, ±1, ±2, . . .} плотно в множестве всех положительных чисел. Это следует из того хорошо известного факта, что множество чисел вида / + tok, j, к = 0, ±1, ±2,. . ., где о — иррациональное число, является плотным на действительной прямой. Таким образом, для любого п существует последовательность чисел тт = 2,m3*m, такая, что гт -> и при т -> оо. Обозначим bn (т) = b3mb3m и покажем, что эта последовательность чисел ограничена. Из функционального уравнения для функции х (?) Для любых целых т

и действительных t

Гт Re X (0 = Re х (6n (т) О-

Если бы последовательность bn (т) была неограниченной, то мы смогли бы выделить из нее подпоследовательность Ьп (т'), такую, что | fen (т') |->оо при т' -> оо. Произведем в последнем уравнении замену переменного, положив t' = tbn (т'). Тогда, принимая во внимание, что rm'-> и при т' -> оо, имеем

Re X кН = rm. Re х G' 1Ьп (т')) ->- 0.

Следовательно, | f (0 | = 1. Но это противоречит условию невырожденности распределения случайной величины Xv

Поскольку последовательность bn (т) ограничена, мы можем выделить из нее подпоследовательность fen(m'), сходящуюся к некоторому числу Ьп при т' —> оо. Отсюда получаем при т' —> оо, что

aWm- = irl ^ kbn (т') 0 — гт. х(01"*

^ if1 lx (6nt) — «X (01 = «п-

Следовательно, при любых п и любых вещественных t

пх (0 = X (М + itan.

Но это уравнение эквивалентно (В.24), т. е. мы свели достаточность критерия 3 к достаточности критерия 2.

Перейдем к описанию класса $8 строго устойчивых законов. Определение (В.9) перефразируется в терминах случайных величин следующим образом.

Qd d

Распределение случайных величин ХТ = Ха ^ const принадлежит к 3® тогда и только тогда, когда для любых положительных чисел Ьх и Ьй можно найти положительное число Ь, такое, что

-№ + ЬйХй = bXv(В.25)

Начнем с необходимых условий. Пусть Хт = Хй = =Y (а, р, у, X). Соотношение (В.25) в этом случае эквивалентно равенству

9 (М 9 W = 9 (W),

представляющему собой частный случай (В.22). Из записи величины а в равенстве (В.23) видно, что она равна

нулю только в том случае, когда

у = 0 (если а ^ 1) или 0=0 (если а = 1). (В.26)

Хотя этот вывод относится к форме (Л), он не изменится, как это видно из формул перехода (В.18) и (В.19), и в том случае, когда мы используем форму (5).

Приведем критерий принадлежности невырожденного распределения к классу 3®.

Критерий 4. Пусть cj exp (— d^, j = 1,. . . . . ., k, k ^ 2 — некоторые числа, подчиненные условиям:

с® -|- с2 -|- . . . -|- cl- <$ 1,

среди чисел dx, da, . . ., d^ имеется два таких, отношение которых иррационально.

d dd

Распределение случайных величин Хд = Х2 = . . . = d d

= Xk ^ const принадлежит Ж тогда и только тогда, когда

CiXi 4~ саХ2 + . . . + ckXk = Хд. (В.27)

Необходимость критерия проверяется без труда и тем же путем, каким проверялась необходимость предыдущих критериев (с помощью характеристических функций, в которых принадлежность к 3® учитывается в виде условия (В.26)). При этом, по ходу доказательства становится видно, что

d d

параметр а случайных величин Хд = Ха = . . . d _ d .

. . . — Ak = У (а, р, 7, л), удовлетворяющих условию (В.27), определяется как единственное положительное решение уравнения

с! + с2 + . . . + сд- = 1;

параметры 0, у, % (из числа не связанных условием (В.26)) могут варьироваться в пределах своей области изменения.

Доказательство достаточности критерия 4 получается путем довольно сложных аналитических рассуждений, и мы его здесь приводить не будем. Желающие все же ознакомиться с ним найдут его в монографии [43], где теорема 5.4.2 содержит утверждение достаточности критерия 4 в качестве частного случая в-6 .

Класс ЗВ формально описывается четырьмя параметрами, хотя на самом деле он является трехпараметричес-

ким множеством распределений (благодаря (В.26)). Это явно неудобно с аналитической точки зрения. Мы можем перейти к системе из трех параметров за счет изменения первоначальной системы (а, р, у, X), причем переход удобнее всего связывать с формой (В).

Теорема В.4. Характеристические функции g распределений из класса SS допускают следующее представление:

logd(0 = — Х|?|“ехр(— i-^-0a sign?^ ,(С)

где параметры а, 6, X меняются в пределах

0<а<2, |e|<ea = min(l,^- — 1) , Х>0.

В системе параметризации случай а = 1 занимает особое положение. В частности потому, что значения параметров а = 1, 6, X при | 6 | = 1 соответствуют вырожденному распределению в точке 6Х. Если исключить этот случай, то параметры а, р, у, X той же характеристической функции д в форме (В) связаны с параметрами а", 6, Хр следующими равенствами:

О-С = аВ,

6 — Рв К^ 1 ^с = Хв, если а ^= 1,

а 2. / 2\.. / Л2 ,2 \1/2.

6 = — arc tg (— ув 1, Хс = Хв I —-f-ув 1 , если а=1.

(В.28)

Для законов класса SB вместе с системой параметризации а, 6, Хс можно использовать еще одну близкую к ней систему параметризации а, р, Хв, в которой р = = 4= (1 + 0).

Имеет смысл не выделять ее в самостоятельную форму и именовать также формой (С), поскольку это всего лишь модификация формы (С). Путаницы можно не опасаться, если за формой (С) закрепить обозначения параметрова, 6, X, а за ее модификацией — обозначения параметров а, р, X. В модифицированном варианте характеристическая функция д имеет вид

д (?) = ехр {— X (г?)“ ехр (— inap sign ?)}.

Описание различных форм записи характеристических функций устойчивых законов мы завершим еще одной мо-

дификацией формы (С) (более значительной, чем предыдущая), которая понадобится при решении проблемы статистической оценки параметров этих законов. Логарифм характеристической функции g каждого распределения из 3® может быть записан в следующей форме:

log 9 (0 = — exp |v-V« (log 111 + т — i -у- 6 sign t^ +

C (V-1/2 _ 1)} ,(£)

где C = 0,577 . . . — постоянная Эйлера, параметры меняются в пределах v > 1/4, | 6 | ^ min (1,2 y"v — 1), | т | < оо и связаны с параметрами а, 6, X равенствами v = oT8, ев = ес, T = 4-logXc + c(-l-_ 1). (В.29) Естественно, может возникнуть недоуменный вопрос — зачем такое обилие различных форм записи характеристических функций устойчивых законов? Изучая аналитические свойства распределений устойчивых законов, мы встречаемся с различными по своим особенностям группами свойств. Запись аналитических соотношений, связанных с устойчивыми распределениями, может быть проще или сложнее в зависимости от того, насколько удачным оказался для нашей задачи выбор определяющих распределения параметров. Сопоставляя с рассматриваемой группой свойств наиболее естественную для нее форму параметризации, мы сводим тем самым сложность записи этих свойств к минимуму. При таком подходе излишняя сложность как бы выделяется из задачи и относится за счет формул перехода от одной формы записи характеристических функций д к другой в-3.

Сделаем еще одно важное замечание в отношении приводившихся выше форм записи функции д. В форме (Л) структура параметра рА, т. е. вл

Ра = (Ci - C2)/(Ci + С2)

позволяет связать крайние значения рА = 1, рА = —1, с двумя характерными случаями в схеме (В.6). Действительно, пусть суммы Zn в этой схеме образуются положительными случайными величинами Хъ Хй,. . ., такими, что предельное распределение G не является нормальным. Тогда в предельном выражении (В.11) спектральной функции Н, соответствующей распределению G, левая часть

будет тождественно равна нулю для ж < 0. Поэтому функция Н также будет равна нулю на полуоси х < 0, т. е. С2 = 0. Следовательно, распределение G имеет параметр Рд = 1.

Точно так же мы обнаружим, что в случае отрицательных слагаемых X, предельное распределение G для нормированных сумм Zn имеет параметр Ра = —1. Такая связь свойств слагаемых Xj с крайними значениями параметра Ра хотя и не обратима (т. е. из того, например, что предельному закону соответствует значение Ра = 1 не следует положительность Х^, но все же служит простым ориентиром при описании свойств устойчивых распределений. Это говорит в пользу того, что и в других формах записи характеристических функций желательно иметь то же правило.

В формах (Л) , (Л/) и (Б) оно имеет место, т. е. Ра = 1 соответствует Рм =1 и рв = 1. Однако в формах (С) и (Б) Рд = 1 соответствует значению 6 = 6а, если а < 1 и значению 6 = — 6а, если а }> 1. Конечно, переопределить запись (С) и (Б) нетрудно с тем, чтобы 6 = 6а также и в случае а }> 1. Но здесь мы должны выбирать между двумя несовместимыми свойствами формы (Б):

Ра = 1 - 6 = ев,

распределения класса $8 непрерывны по совокупности определяющих параметров во всей области их допустимых значений.

И в такой ситуации предпочтение, безусловно, следует отдать второму свойствув-7. В свете сказанного стоит обратить внимание на форму (Л/), которая обладает обоими указанными свойствами.

.6. Приведенное выше определение семейств 6 одномерных устойчивых законов может быть естественно распространено на случай конечномерных и даже бесконечномерных пространств. Рассмотрим последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин Хи Х^,. . . со значениями из ^-мерного евклидова пространства Б6 и образуем последовательность сумм

Хп = On С^ + • • • + Х^ — яп, п = 1, 2,. . ., нормированных некоторыми последовательностями положительных чисел а„ и неслучайных элементов ап из Rk. Множество б6 всевозможных слабых пределов распределений таких последовательностей Хи при п —>• оо называется семейством устойчивых распределений в Rk или

распределениями Леви — Фельдгейма. Это не единственный вариант обобщения распределений семейства ®. Если нормировку сумм Xi + . . . + Хп производить невырожденными матрицами оп, а не положительными числами, то понятие устойчивых законов существенно расширяется. В настоящее время о свойствах многомерных устойчивых законов (в частности, об их аналитических свойствах) известно очень мало. И объем, и разнообразие этих сведений не могут идти ни в какое сравнение с тем, что нам известно о распределениях из ®. По этой причине суммирование фактов о свойствах многомерных устойчивых законов сейчас явилось бы задачей явно преждевременной. Мы ограничимся здесь тем, что приведем и прокомментируем каноническое представление характеристических функций з (i), t G RH, конечномерных законов Леви — Фельдгейма.

Оказывается, что распределения из б6 образуют уже непараметрическое множество. Соответствующие им характеристические функции имеют вид

(Z) = exp {i (Z, а) — фа (i)}, 0 < а ^ 2, (В.30)

где а Е Rk и функции фа (i), определяемые параметром а и некоторой конечной мерой М (d^) на сфере S = — {£: I £ I = 1}, выглядят следующим образом:

если а = 2, то фа (f) = (af, i), где о — так называемая ковариационная матрица,

если 0 < а < 2, то

фа (0 = S I к1' I) 1“ «а (#, В) М ^,(В.31)

гдео™ (*, В) =гдео™ (*, В) =8

где

о™ (*, В) =

где

о™ (*, В) =

1 — i tg "^7 а sign (М)> если. а ^ 1,

2

*• + i — log |(t,g)|sign(i, I), если а=1.

Представление (В.30) — (В.31) является аналогом формы (Л) записи характеристических функций одномерных устойчивых законов.

Этот аналог не единственный. Если использовать сферическую систему координат в Rk и записывать вектор t в виде t = гт, где г = | t [ =^0 и т = t/\ t [, то представлению (В. 30) — (В.31) нетрудно придать следующую

форму:

log d (гт) =log d (гт) =X pry — r“ р — ф tg -j- aj J , если ос # 1, zry— r (1 + i — P logrj , если a=l, (B.32)

log d (гт) =

log d (гт) =

где 0 <a^2 и p, y> ^ — вещественные функции, заданные на единичной сфере S и определяемые равенствами

х = Х(т)=$|(т,эгм(с®, те5, S-

Хр = 1Р (т) = $ | (т, 91“ sign (т, ^) М №

(т,о),если сс^1,

Ху— Ху (т) =Ху— Ху (т) =(T.^-^M^IWI^ №)’

Ху— Ху (т) =

Ху— Ху (т) =

S

если ос = 1.

Отметим несколько свойств функций Р,.у, X.

Функции р, у, X непрерывны на S и при заданном значении а однозначно определяют сдвиг а и меру М (d^) в представлении (В.30) — (В.31).

Областью изменения значений функции у является вся действительная ось.

Для любых т G S имеют место следующие соотношения:

Р (-Т) = -р (Т), X (—т) = X (т),

1Р(т) |<1, 0<%(т)<М0,

где Мо — значение полной меры М (zZ£) на S. При этом все неравенства являются строгими, если мера М ^d^ не сосредоточена целиком в каком-либо подпространстве пространства Rk. Отсюда, в частности, можно извлечь, что

Хо = inf {X (т): т G 5} > 0, I й (0 I < ехр (—^0 I t 1“)

и, значит, соответствующее устойчивое распределение имеет плотность р (х, a, а, М), ограниченную величиной

Г (1 + kla)Г (1 + kla)Г (1 + /с/2)Г (1 + /с/2)^v^x^'V-^v^x^'V-

Г (1 + kla)

Г (1 + kla)

Г (1 + /с/2)

Г (1 + /с/2)

^v^x^'V-

^v^x^'V-

Формы (Л/) и (Б) также имеют по два аналога, получаемые преобразованием соответствующих аналогов формы (Л). Именно, если а ^ 1, то

log 61t) = i (f, а) —

- $ {l ^ Э Г - * (^ 9 tg -^а (| ^ ^ |“-1 - 1)} М ^

log 9 (rT) = ^ [irT — r“ + 'Pr (r“_1 — 1) tg-^- а] . (В.33)

В случае а = 1 функции log д (0 и log д (гт) определяются так же, как и в (В.30) — (В.31) и (В.32). В результате эти представления оказываются непрерывными функциями параметра а во всей области его изменения 0 < а ^ 2. -

Первым аналогом формы (Б) является представление (В.30) — (В.31), в котором функция соа (i, £) заменяется функцией

Гоа (*. £) =Гоа (*. £) =ехр(—£-^(a)signM))»^ + i log | (t, В) I sign(i, £),ехр(—£-^(a)signM))»^ + i log | (t, В) I sign(i, £),а мера М (d£) — меройа мера М (d£) — меройМ^ =М^ =| cos -у- а | 1 М (dg), AM№V| cos -у- а | 1 М (dg), AM№Vеслиеслиеслиеслиесли a^= 1,если a= 1,а^1,а=1.если a^= 1,если a= 1,а^1,а=1.

Гоа (*. £) =

Гоа (*. £) =

ехр(—£-^(a)signM))»^ + i log | (t, В) I sign(i, £),

ехр(—£-^(a)signM))»^ + i log | (t, В) I sign(i, £),

а мера М (d£) — мерой

а мера М (d£) — мерой

М^ =

М^ =

| cos -у- а | 1 М (dg), AM№V

| cos -у- а | 1 М (dg), AM№V

если

если

если

если

если a^= 1,

если a= 1,

а^1,

а=1.

если a^= 1,

если a= 1,

а^1,

а=1.

если a^=l, если a = l.(B.34)если a^=l, если a = l.(B.34)

если a^=l, если a = l.

(B.34)

если a^=l, если a = l.

(B.34)

Второй аналог формы (Б) получается из (В.32) теми же преобразованиями, которые использовались в одномерном случае для получения формы (Б) из формы (Л). Это представление имеет вид

logg(rr)=logg(rr)=X pry — г™ exp ( — i-y- Б(а) pj J X i try — r^- + ipiogrjl ,

logg(rr)=

logg(rr)=

Определяющие устойчивые распределения элементы а, р, у, X в равенствах (В.34) связаны с набором аналогичных определяющих элементов в (В.32) соотношениями (В.18), (ВЛ9).

В тех случаях, когда мера St (dE) оказывается сосредоточенной в пределах какой-либо половины 5* сферы 8, первый аналог формы (В) позволяет за счет покомпонентного аналитического продолжения функции g (замена t = is) записать преобразование Лапласа соответствующего устойчивого распределения р (я, a, a, MY Именно,

\ ехр {— (s, х^ р (х, а, а, /И) dx =

нк

если а #= 1,если а=1,если а #= 1,если а=1,ехр |— (s, а) — 8 (a) § (s, £)“ M ^d^ ,

если а #= 1,

если а=1,

если а #= 1,

если а=1,

exp (s, o) + (s> £) ]°g (s> 9 M (d£y

18*

где е (а) = sign (1 — а), и вектор s принимает значения из того полупространства, в котором содержится 8*.

Приведенные представления характеристических функций устойчивых распределений могут служить отправной точкой разнообразных аналитических исследований, аналогичных исследованиям свойств одномерных устойчивых законов. В настоящее время наиболее употребимой в литературе является форма (В.30) — (В.31), что объясняется, по-видимому, проявлением своеобразной «инерции», созданной первыми исследованиями.

Аналоги форм (В) и ^М) пока не использовались вообще, хотя они имеют, бесспорно, ряд достоинств, способных сделать их со временем не менее популярными. Эти представления, например, дают возможность связать плотности р (z, а, а, М) с плотностями g (и, а, р, у, X) одномерных устойчивых законов. Наиболее простой вид эта связь имеет в случае, когда размерность пространства к = 2m + 1 — нечетное число. Именно, для всех х S G Нн справедливо равенство

р (ж, а, а, М) =- L X g^ ((т, ж), а, р, у, X) d-t,

2 (2п) J

в котором р, у, X — функции, фигурирующие в представлении характеристической функции распределения р (а?,а, а, М) и где плотность g (u,a,p,y, X) отвечает форме (А) или (В) в зависимости от того, какое из представлений (В.32) или (В.34) нами используется.

Функции р, у,-X (вне зависимости от того, с каким представлением они связаны) являются соответственно обобщенными характеристиками асимметрии, сдвига и масштаба распределения, подобно их интерпретации в одномерном случае. При этом, однако, следует иметь в виду, что перенесение тех или иных понятий, связанных с одномерными распределениями, на многомерный случай неизбежно сталкивается с множественностью возможных обобщений. Так аналогом симметричных законов из 6, имеющих характеристические функции вида

8(0 = exp (—X | t |"), можно считать сферически симметричные распределения в R\ имеющие ту же форму характеристических функций (с X — const), но можно считать (это более естественно) аналогами симметричных законов устойчивые распределения с функциями Р (т) = у (т) = 0 при всех т G S, что равносильно равенству

log 9 (О = - X (т) ^ = - $ I (f, 91“ М ^(В.35)

s

где М (<^) — центральносимметрическая мера.

■ Многомерные устойчивые законы пока еще редко встречаются в прикладных вопросах (с двумя примерами их появления мы познакомимся в разделе 1.1), однако есть основания ожидать, что в недалеком будущем положение изменится (прежде всего за счет приложений в экономике).