ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

Цель этой книги — познакомить научных работников и студентов технических специальностей с основными статистическими методами и научить применять эти методы В книге изложены основные разделы математической статистики и для полного понимания материала необходимо хорошее знание прикладной математики* Главная задача, которую ставили перед собой авторы, состояла в том, чтобы дать четкое представление о способах применения статистических методов и принципах, лежащих в основе их использования. Эта книга не энциклопедия и не академический курс. Усложнение материала и математическая строгость не были самоцелью. Иногда это оказывалось необходимым, чтобы обеспечить требуемую гибкость, предотвратить появление ошибочных выводов или разъяснить доказательство При этом всякое усложнение материала подчинялось главной цели—научить правильно применять статистические методы

Полезную информацию может почерпнуть из книги и читатель, не знакомый с основами высшей математики. Приводимые доказательства можно опустить, рассматривая только постановку задачи и теоретические выводы. Чтобы студенты или научные работники могли легко усвоить рассматриваемые статистические методы, в книгу включено большое число примеров. Эти примеры приведены не для того, чтобы получился сборник готовых рецептов. Напротив, их назначение состоит в том, чтобы выделить и разъяснить тот или иной вопрос.

Некоторые разделы помечены звездочкой. При первом чтении они могут быть опущены. Однако было бы неправильно считать их второстепенными Обычно здесь рассматриваются специальные вопросы или дается другой подход.

В конце каждой главы приводится большое количество упражнений. Они имеют различную степень трудности, что дает читателям с разной подготовкой возможность выбора и позволяет закрепить материал, изложенный в соответствующей главе Примеры и упражнения взяты из различных областей науки и техники Ответы приводятся в конце книги примерно для десяти упражнений из каждой главы (за исключением гл 1) Списки литературы не претендуют на полноту и являются недостаточными для тех

читателей, которых интересуют главным образом теоретические вопросы математической статистики.

Материал этой книги предназначен студентам старших курсов, специализирующимся в области прикладной статистики, для изучения в течение двух-трех семестров. Книга будет полезна также студентам других специальностей.

Первый том может быть положен в основу курса, рассчитанного на один семестр. Однако может оказаться желательным отложить изучение гл. 11, а возможно и гл. 10, до следующего семестра.

В приложении к первому тому содержится ряд таблиц, используемых в статистической работе. Некоторые из этих таблиц потребуются только при изучении материала второго тома, однако для удобства все таблицы собраны в одном томе.

Мы хотим выразить глубокую признательность всем, чья помощь и поддержка сделали возможным появление данной книги. Приносим искреннюю благодарность нашим семьям и друзьям, терпение которых было важным фактором, способствовавшим завершению этого труда. Особенно хочется поблагодарить за помощь секретарей Маргарет Лачко и Мэри Фуллер из технологического института Кейса в Лондоне и Джоан Сиборн из колледжа Лондонского университета.

За разрешение использовать соответствующие материалы мы весьма признательны редакторам журналов Annals of Mathematical Statistics, Applied Statistics, Biometrics, Biometrika, Bulletin of the International Statistical Institute, Industrial Quality Control, Journal of the American Statistical Association, Journal of the Royal Statistical Society, Technometrics и других изданий, посвященных не только вопросам статистики.

Июль, 1964Июль, 1964Хочется поблагодарить проф. Пирсона и попечителей Общества биометрии за разрешение воспроизвести некоторые таблицы, опубликованные в книге Pearson Е. S., Hartley Н. О., Biometrika Tables for Statisticians, Vol. 1. Мы обязаны покойному сэру Рональду Фишеру, члену Королевского общества (Кембридж), д-ру Фрэнку Йейтсу, члену Королевского общества (Ротамстед) и издательству Oliver and Boyd (Эдинбург) за разрешение перепечатать таблицы III, VI и XXIII из книги Fisher A., Yates F., Statistical Tables for Biological, Agricultural and Medical Research. Авторы признательны также О. Дэвису и издательству Oliver and Boyd за разрешение перепечатать таблицы Е, Е1, G и Н из книги Davies О. L., Design and Analysis in Industrial Experiments.

Июль, 1964

Июль, 1964

H. Джонсон, Ф. Лион

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

Эта книга значительно отличается от первого издания (1964 г.), но основные принципы изложения материала те же, что указаны в предисловии к первому изданию.

Изменения первого издания проводились в следующих направлениях:

Исключение материала, который в настоящее время представляется менее важным (например, метод Дулиттла для решения нормальных уравнений в гл. 12).

Включение нового материала либо потому, что он обеспечивает более широкое освещение темы (например, материал о дисконтировании в гл. И), либо потому, что он отражает новые результаты, полученные после выхода первого издания книги (например, некоторые результаты в области последовательного анализа в гл. 16). Добавлено также несколько новых иллюстративных примеров.

Перестановка материала внутри глав и его перераспределение между главами. Глава 17 разделена на две главы, одна из которых посвящена поверхностям отклика, а другая—многомерному анализу. В каждую из этих глав включен новый материал. Особо следует отметить, что изменен порядок следования упражнений в каждой главе—упражнения сгруппированы по темам. Кроме того, добавлено значительное число новых упражнений, а некоторые исключены.

Важной особенностью второго издания является значительное увеличение количества упражнений с ответами. Приведено больше упражнений с решениями, и, кроме того, многие решения выполнены значительно подробнее. Это будет особенно полезно для студентов, использующих данную книгу как учебник.

В конце первого тома, как и во втором томе, помещены таблицы. Теперь каждый том имеет таблицы, соответствующие содержащимся в нем материалам.

Мы хотим выразить благодарность всем тем, кто упоминался в предисловии к первому изданию, а также Джун Максвелл из университета шт. Северная Каролина и Дороти Циммерман за помощь в подготовке второго издания.

Чепел-Хилл, шт. Северная КаролинаИ.Джонсон

Вашингтон, округ КолумбияVп..™

Май, 1976^‘лиок

Глава I

ВВЕДЕНИЕ

Математическую статистику определяют как научную дисциплину, изучающую числовые данные. Это определение указывает на широту возможных применений статистических методов. В настоящее время вряд ли существует какая-либо область, где количественные измерения в той или иной степени не играли бы определенной роли. В повседневной работе многих людей, и, конечно, не только специалистов в области математической статистики, мы наблюдаем применение количественных измерений во многих формах. При сборе точной информации для любых целей человек автоматически применяет некоторые статистические методы (возможно, в очень малой степени, возможно, даже не зная об этом), чтобы эффективно использовать получаемые данные в качестве прочной основы для своих выводов и решений.

Слово «статистика» употребляется в самом различном смысле. К сожалению, непрофессионал, не знакомый со статистическими методами,—будь это человек с невысоким образовательным уровнем или выдающийся ученый в определенной области (в том числе и в математике) — обычно считает, что статистика—это только совокупность определенных данных, например таких, как „Статистические данные ООН”, „Материалы переписи населения страны”, „Таблицы смертности”, „Статистика дохода фермеров” и т. п. Безусловно не следует пренебрежительно относиться к таким совокупностям данных, поскольку существует определенная необходимость в информации такого рода, наличие которой действительно является важной предпосылкой для последующих статистических исследований. Однако это лишь небольшая часть статистики. В данной книге основное внимание уделяется технике статистического вывода. С помощью данных, собранных (как мы надеемся) в контролируемых условиях (или, во всяком случае, в условиях, о которых, как обоснованно полагается, у нас имеется известное представление), мы получаем информацию, на основании которой делаем определенные выводы.

LL ВЫБОРКА И СОВОКУПНОСТЬ

Накопленные данные можно рассматривать как измерения определенных свойств объектов, выбранных из некоторой большой совокупности. Необходимо с особой тщательностью определить, что понимается под совокупностью. Мы регистрируем информацию об определенных характеристиках элементов выборки. Например, берется группа стержней, обработанных на станке, и для каждого элемента этой выборки определяется предел прочности на разрыв. Здесь объектами являются стержни, а измеряемым признаком—предел прочности на разрыв. Измеряемыми характеристиками объектов (контрольных образцов, проб материала и т. д.), составляющих выборку, могут быть содержание углерода в контрольных образцах; число частиц, регистрируемых за единицу времени при радиоактивном излучении; снижение веса детали за счет истирания; количество осадков за месяц в определенном городе.

Обычно принимаются некоторые допущения относительно выборки. Они могут быть различными для разных задач. Часто принимается допущение о том, что выборка является однородной, т. е. она получена только из одной совокупности. Кроме того, нам хотелось бы иметь выборку, не содержащую систематических ошибок.

С помощью выборочных измерений определяются (или вычисляются) некоторые статистические показатели (статистики). В свою очередь они используются как основа для выводов относительно некоторых количественных характеристик (или параметров) исходной совокупности, из которой была взята выборка.

Существует неограниченное множество задач, однако некоторые свойства распределения значений совокупности изучаются особенно часто. Например, обычно нас интересует среднее значение некоторой характеристики совокупности. Кроме того, нередко нас интересует общая форма распределения. Часто удобно представлять его в виде математической кривой y = f(x), где f(x) показывает (во всяком случае, приближенно) частость появления в рассматриваемой совокупности значений, равных х (с определенной степенью точности). Если такое математическое описание возможно, то мы получаем ответ на следующие вопросы: 1) каковы пределы распределения, 2) является ли распределение унимодальным (т. е. имеет ли оно только один максимум) и 3) является ли оно колоколообразным

(/-образным

или /-образным

Очень часто важно знать, является ли распределение симметричным или насколько оно асимметрично. [Говорят, что функция /(х) симметрична относительно некоторого значения х, например Хд, если f (х0 + А) = f (х0—А) для всех значений А.]

ПОРЯДОК СЛЕДОВАНИЯ ГЛАВ

При изложении материала этой книги мы рассмотрим вначале эмпирические распределения и числовые характеристики, используемые для их обобщенного описания (гл. 2). Сюда входят представление выборочных значений в табличном виде и вычисление на основании выборки некоторых статистик, а также графическое представление этих результатов. После этого мы рассмотрим отдельные разделы общей теории вероятностей (гл. 3) и некоторые основные законы и свойства распределений в целом (гл. 4 и 5). Глава 4 посвящена наиболее часто используемым дискретным распределениям, а в гл. 5 рассматриваются непрерывные распределения. Непрерывные распределения используются, если существуют любые возможные значения (за исключением, может быть, некоторого числа значений) случайной величины (в определенных пределах). Если имеется только последовательность отдельных возможных значений, то приемлемо дискретное распределение. Результаты счета обычно являются примерами дискретных случайных величин. С другой стороны, вес контрольного образца, рост человека, долговечность некоторого материала и угол вхождения ракеты в атмосферу являются примерами непрерывных случайных величин.

Глава 6 посвящена порядковым статистикам, применяемым к данным, которые естественным образом упорядочены во времени, по величине и т. д. или размещаются в определенном порядке. В гл. 7 и 8 рассматриваются наиболее известные критерии значимости и методы оценивания параметров совокупности с помощью выборки. Эта тема продолжается в гл. 9, где вводятся непараметрические критерии. Большинство задач аналогичны рассмотренным в гл. 7 и 8, но в этой главе ослаблены некоторые допущения о форме совокупности или ее характеристиках.

В гл. 10 весьма кратко описаны контрольные карты и методы выборочного контроля. Контрольные карты накопленных сумм рассматриваются достаточно подробно, чтобы читатель смог оценить возможности этого метода. В гл. 11 кратко излагаются такие вопросы, как функции -стоимости и применение функций априорного распределения. Эта глава приведена для того, чтобы показать читателю, что статистика и статистический вывод существуют не в вакууме, а связаны с такими требующими постоянного внимания проблемами, как стоимость научных исследований И экспериментов.

Глава 12 называется „Регрессия и корреляция". Цель включения этих двух вопросов в одну главу состоит не в том, чтобы попытаться показать, что они взаимосвязаны (очень часто они вообще не связаны друг с другом). Причина здесь скорее в том, что многие используемые методы вычислений одинаковы.

Главы 13—15п посвящены дисперсионному анализу (более правильно было бы называть его анализом изменчивости) и статистическому планированию эксперимента. Здесь читатель найдет множество стандартных статистических методов, используемых многими научными работниками в области естественных наук. В гл. 16 излагаются методы последовательного анализа данных. Некоторые критерии, первоначально введенные в гл. 7 и 8, здесь модифицированы таким образом, чтобы их можно было применять при последовательном анализе и на каждом этапе получения выборочных значений можно было принимать решения относительно рассматриваемой совокупности. Однако не ставится задача полностью охватить все возможные ситуации (да это и невозможно).

При обсуждении в гл. 18 методики исследования поверхности отклика рассматриваются как регрессионный анализ, так и методы планирования эксперимента. В гл. 17 дается элементарное изложение многомерного анализа. В гл. 19 описаны различные способы выборочного обследования и их свойства. В частности, нас интересует использование имеющихся сведений о структуре совокупности, которые помогают выбрать лучшие способы получения выборок.

Данная книга написана главным образом для специалистов в области физических и технических наук. Однако авторы надеются, что она будет полезна исследователям, работающим в других областях. Статистические методы, важные для одной области, часто имеют большую ценность и для других областей, так как основы статистического анализа являются общими для многих сфер деятельности. Разумеется, при переходе от одной об-

1> В первый том входят 12 глав, остальной материал помещен во втором томе.—Прим. ред.

ласти к другой акценты могут смещаться. Авторы уделяют основное внимание потребностям специалистов в области физических и технических наук, ибо в попытке охватить очень широкую аудиторию им пришлось бы слишком разбавлять материал (в математическом смысле). Авторы опасались, что такая попытка снизила бы ценность книги, и она ни для кого не представляла бы интереса. Кроме того, эта конкретная аудитория ближе всего к естественным интересам авторов и обеспечивает очень широкую область приложений.

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

Материал этого раздела при необходимости можно использовать как справочный. Некоторые упоминаемые здесь функции определяются ниже, однако знание этих функций не обязательно для понимания рассматриваемых методов.

При статистической обработке данных используются некоторые таблицы значений математических функций. Естественно, что такие таблицы могут содержать лишь конечное число значений. Так, например, таблица значений функции g(x)- может содержать конкретные значения этой функции только для конечного числа значений аргумента х. Если требуется найти значение функции g(x) для такого х, которого нет в таблице, то либо значение функции g(x) вычисляется специально для заданного значения х, либо значение функции g(x) находится с помощью табличных значений этой функции путем интерполяции. Разработаны очень сложные методы интерполяции, однако здесь мы ограничимся тем минимумом, который необходим для эффективного практического использования таблиц, приведенных в этой книге. Если читатель желает получить более полное представление о существующих методах интерполяции (а также о методах численного дифференцирования и интегрирования), то полезные сведения можно почерпнуть в соответствующей литературе [2,3,5].

Стандартные методы интерполяции эквивалентны подбору многочлена от х по заданному набору табличных значений функции g^. Простейшим является случай линейной аппроксимации. Допустим, что g(x0) и g(Xj)—табличные значения функции g(x). Интерполированное значение функции g(x) при х=х определяется по формуле

g(V) = g(x0) + ^g(x1). (1.1)

Этот прием называется линейной интерполяцией. Обычно значение х' находится между х0 и х^ а интерполированное значение функции g(x) будет тем точнее, чем ближе g(x) к линейной функции х в интервале (х„, xj.

Полезной проверкой точности представления g(x) как линейной функции переменного х является вычисление отношений первых разностей [g(xj—g(x0)] к длине соответствующих интервалов (хг—х0). Вычисление этих интервалов показано в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Линейная интерполяция

X

g(*>

Отношение разности к ширине интервала

х0

[g (*1) — g (Хо)]/(Х1 — Хо)

Xi

g(Xi)

1g (х2) — g(xi)]/(x3—Xi)

Хз

g(x3)

(g(x3)—g(x2)]/(x3—х2)

Если g(x)—линейная функция переменного х, то отношения этих первых разностей должны быть почти постоянны. Если последовательные значения х отстоят друг от друга на равные интервалы, т. е. х^—х0 = х2—х1 = х8— х2=...,то деление на ширину интервала (общую) можно не производить.

Даже если g^ не является линейной функцией от х (во всяком случае, при точной аппроксимации), то, заменив х монотонной функцией от х, можно применять линейную аппроксимацию. В частности, если функцию g(x) можно представить как g (х) = а0 + а^-1 + а2х-^ + .... то при больших х можно аппроксимировать g(x) линейной функцией от х-1. Например, табличным значениям g(20), g(24), g(30), g(40), g(60), g(120) и g(oo) соответствуют значения функции G (y) = g(120y-1) при y=6, 5, 4, 3, 2, 1,0. Если G (у)—приближенно линейная функция у, то путем линейной интерполяции можно найти, например, значение функции g (48) = G (2,5) как 1/2[G(2) + G(3)] = V2[g(60)+5(40)]. Этот метод называется гармонической интерполяцией; он особенно полезен, так как позволяет проводить интерполяцию по бесконечным интервалам. Следует заметить, что табл. Е, К, П и Р приложения составлены таким образом, чтобы облегчить гармоническую интерполяцию. (Например, используемое в примере 12.9 значение ^45; о,975 может быть получено из табл. Е путем гармонической интерполяции.)

Пример 1.1. Допустим, что требуется вычислить верхние 5%-ные точки F-распределения при 1) 10 и 50 степенях свободы и 2) при 18 и 50 степенях свободы.

Из табл. Ж приложения находим значения Рю; v,; о,эв» приведенные в табл. 1.2. Здесь в первом столбце даны значения;

у» 120/VsV*^10; vz; о,#5Разности5242,250,094302,160,083402,080,092601,990,0811201,910,080601,83у» 120/VsV*^10; vz; о,#5Разности5242,250,094302,160,083402,080,092601,990,0811201,910,080601,83Таблица 1.2Таблица 1.2Интерполяция в таблице ^-распределенияИнтерполяция в таблице ^-распределенияy=120/v2, а в четвертом столбце приведены разности последовательных значений Fi0; v,; о,95- Постоянство чисел в последнем столбце указывает на то, что Flo;Ve;e,e5 очень хорошо представляется линейной функцией переменного у в интервале рассматриваемых значений. Например, можно записать

у» 120/Vs

V*

^10; vz; о,#5

Разности

5

24

2,25

0,09

4

30

2,16

0,08

3

40

2,08

0,09

2

60

1,99

0,08

1

120

1,91

0,08

0

60

1,83

у» 120/Vs

V*

^10; vz; о,#5

Разности

5

24

2,25

0,09

4

30

2,16

0,08

3

40

2,08

0,09

2

60

1,99

0,08

1

120

1,91

0,08

0

60

1,83

Таблица 1.2

Таблица 1.2

Интерполяция в таблице ^-распределения

Интерполяция в таблице ^-распределения

Fie;v,;o.»6 «1,83 + 0,084^.

При v2 = 50 имеем у = 120/50 — 2,4, и с помощью этой формулы получаем Fie; 60; o.es^ 1,83 + 0,084-2,4 = 2,02. Обычно используются только два соседних значения; при этом получаем

1,99 + 0,4-0,09 = 2,03.

Это решение для первого случая. Для второго случая нельзя использовать этот метод, так как табл. Ж не содержит значений для v1=18. Здесь требуется интерполировать как по vlt так и по v2, т. е. необходима двумерная интерполяция. Выведено множество формул для двумерной интерполяции. Они дают интерполированное значение как функцию (обычно линейную, даже если интерполяция не является линейной) табличных значений соседних пар значений аргумента. В данном случае используется более простой поэтапный подход. Сначала находятся значения FV1; so; 0.95 путем интерполяции, как и в первом случае. Затем с помощью последовательности значений FVi; 60; 0,95 путем интерполяции находится Fie; Во; 0,95- Порядок вычислений представлен в табл. 1.3, которая не требует объяснений.

p'=60/ViV1^Vf, 5 0; 0,05Разность5122,044151,960,083201,880,082301,780,10p'=60/ViV1^Vf, 5 0; 0,05Разность5122,044151,960,083201,880,082301,780,10Получены следующие интерполированные значения Fv^so; 0,95*-

p'=60/Vi

V1

^Vf, 5 0; 0,05

Разность

5

12

2,04

4

15

1,96

0,08

3

20

1,88

0,08

2

30

1,78

0,10

p'=60/Vi

V1

^Vf, 5 0; 0,05

Разность

5

12

2,04

4

15

1,96

0,08

3

20

1,88

0,08

2

30

1,78

0,10

Если v^lo, то у "Tg^y- Путем интерполяции данных в по- следней таблице находим Flt-t 60; 0Л5 = 1,91.

Если мы уверены, что линейная интерполяция дает удовлетворительные результаты, то достаточно использовать только четыре центральных табличных значения, очерченные в табл. 1.3 прямоугольником.

Разумеется, иногда могут применяться другие функции переменного х. В частности, если g(x) = a0 + a1x-1/2+a2x_1+ ..., то можно взять такие значения х, как 9, 16, 36, 144, ... (так что 12//х=4, 3, 2, 1).

Если точность линейной интерполяции недостаточна, то могут использоваться многочлены более высокого порядка. В прикладной статистике часто нет необходимости использовать многочлены выше третьего порядка. Быстрый способ интерполяции с помощью кубических многочленов основан на использовании формулы Эверетта для центральных разностей до вторых разностей включительно. Вывод формулы, объяснение ее применения, а также таблицы, облегчающие использование данной формулы, приводятся в книге Томпсона [5].

Иногда бывает необходимо путем интерполяции находить значение аргумента, при котором функция принимает некоторое конкретное значение, т. е. требуется найти такое значение х6, что

gto=g„(1.2)

где g0 — заданное значение функции. Такая задача называется обратной интерполяцией. Используя значения g(x0), ^(xj, g(x2), ..., соответствующие значениям аргумента х0, х*, ха, . требуется с помощью последовательности значений х путем интерполяции найти х0, удовлетворяющее уравнению (1.2). Можно показать, что этот процесс можно рассматривать как прямую интерполяцию, если поменять ролями аргумент и функцию. Обычно значения этих новых аргументов отстоят друг от друга на неравные интервалы.

Пример 1.2. Допустим, что требуется найти такое значение 9, что значение случайной величины X, распределенной по закону Пуассона с математическим ожиданием 9гс вероятностью 0,975 будет не меньше 4. Из табл. Б приложения находим

9

Р = Рг [X ^ 4]Разность

8,6

8,7

8,8

8,9

0,9719

0,97380,0019

0,97560,0018

0,97720,0016

Вероятности Р следует рассматривать как значения аргумента, а математические ожидания 9—как значения функции. Если бы вероятности Р линейно зависели от математического ожидания 6, то математическое ожидание 9 тоже было бы линейной функцией Р и можно было бы использовать метод обратной линейной интерполяции. В данном случае получаем промежуточное значе- 12

ние 0 « 8,7 + 0,1 • у^ = 8,77. При использовании многочленов более высокого порядка можно подобрать кубический многочлен, беря четыре пары заданных значений. В общем случае, когда задано к различных значений g^x^ (i= 1, 2, ..., к) функции g(x), многочлен (й—1)-го порядка, воспроизводящий эти значения, имеет вид

к

у <*~х^‘ • •(*—*<-i) (x—Xi+V).. -(х —Х^), ,

~ kXi — XlY . \Xi — Xi_^ (Xi — Xi + 1). . Axt — XkV ' *'■

Этб известная формула Лагранжа. В рассматриваемом случае с помощью данной формулы получаем кубическое уравнение

8,6 (х—0,9738) (х—0,9756) (х—0,9772) .

(-0,0019) (-0,0037) (-0,0053)+

, 8,7 (х—0,9719). (х—0,9756) (х—0,9772)

+0,0019-(-0,0018)(—0,0034)+

, 8,8 (х-0,9719)(х—0,9738) (х-0,9772) .

+0,0039-0,0018-(—0,0016)+

, 8,9 (х —0,9719) (х—0,9738) (х^ 0,9756)

+0,0053-0,0034.0,0016

Подставляя сюда х = 0,9750, находим интерполированное значение

0_ 8,6 12 (-6) (-22) , 8,7-31 (-6)-(-22) .

(—19)-(-37) (-53) + 19-(-18)-(—34) +

8,8-31-12-(—22) 8,9-31-12 (-6) _"V 37-18 (—16) +53-34-16—

= —8,6-0,04251+8,7-0,35191+8,8-0,76802 —

—8,9-0,07741 = 8,77 (как и при линейной интерполяции).

Заметим, что это интерполированное значение является линейной функцией табличных значений 8,6; 8,7; 8,8 и 8,9 и что (с точностью до ошибок округления) сумма этих четырех коэффициентов равна единице.

Вычисления, аналогичные описанным в этом примере, используются при построении приближенных доверительных интервалов для математического ожидания случайной величины, распределенной по закону Пуассона (см. пример 8.13).

СПОСОБЫ ПЕРЕЧИСЛЕНИЯ

При вычислении вероятностей появления тех или иных событий необходимо перечислять все множество выборочных точек, в которых происходит событие.

Особенно широко используются два способа перечисления: перестановки и сочетания. Перестановка—это упорядоченная последовательность элементов. Пусть, например, требуется определить, сколькими способами можно установить Порядок следования друг за другом четырех различных элементов:

4-3-21 = 4!

Существуют четыре способа заполнить первую позицию и три способа заполнить вторую позицию, так как один элемент уже использован. Существуют два способа заполнить третью позицию и один способ завершить последовательность. Число перестановок четырех элементов записывается как 4Р4 = 41. В общем случае „Р„ = п!(L3)

С другой стороны, если выбирать всякий раз только г из п элементов, то получим число размещений из п элементов по г. Оно определяется как

„Pr = n(n-l)(n-2)...(n-r-H) = (^yi.(1.4)

Число сочетаний из п элементов по г по существу представляет собой число способов выбора г элементов из п независимо от того, в каком порядке выбираются элементы. Заметим, что размещение п элементов по г можно выполнить путем выбора г элементов из п (ПСГ) и перестановки этих выбранных г элементов ^Р,}. Следовательно, nPr = (пСГ) (ГРГ) или пСг=пРг[гРТ. Подставляя сюда „Рг = п!/(п—г)!, получаем

(1.5) /п\\ г/ '(1.6)(1.5) /п\\ г/ '(1.6)р п\Цп—гр

(1.5) /п\

\ г/ '

(1.6)

(1.5) /п\

\ г/ '

(1.6)

^г й

Более широко используемой является запись пСг в виде

Поэтому /п\ п!

V / —(я—И1 н"

ЛИТЕРАТУРА

Fox L., Tables of Everett Interpolation Coefficients, Mathematical Tables, Vol. 2, Department of Scientific and Industrial Research, London, 1956.

Freeman H., Finite Differences for Actuarial Students, Cambridge University Press, I960.

Milne-Thomson L. M., The Calculus of Finite Differences, Macmillan, London, 1944, Ch. 1, 3.

Tanur J. M., Mosteller F., Kruskal W. H., Link R. F., Pieters R, S., Rising G. R., Statistics: A Guide to the Unknown, Holden-Day, San Francisco, 1972.

Thompson A. J., Tables of Coefficients of Everett’s Central Difference Interpolation Formula, Cambridge University Press, 1943.

^и^еУ y^tT 1 Exploratory Data Analysis, Vol. 1, Addison-Wesley, Reading,

Wallis W. A., Roberts H., Statistics, A New Approach, Free Press of Glencoe, Ilk, 1956.

УПРАЖНЕНИЯ

С помощью табл. Д вычислите х|4;а при а = 0,25; 0,50; 0,75; 0,90.

Предполагается^что подходящей функцией для интерполяции является %v, а—V —и» V2v, где значения иа берутся из табл. Г. Проверьте, так ли это.

С помощью табл. Ж вычислите Fv ; 0999 при a) vx = 4, v2 = 50;

vx=50, v2 —4.° 2’

4» С помощью табл, И вычислите Q/^v; 0,95 при а) к — Ъ, v = 40; б) £ = 5, ? = 17,

С помощью табл. Б оцените значение 0, при котором

/=3 L

Используя отношение ОД,-« — Ху; о s^a’ с помощью табл. Д оцените значения: а) ^0;0|,0; б) х§;о,997В;' в) х!в; 0’002В-

В бейсбольной команде малой лиги 13 игроков. Только трое нз них владеют подачей и только двое (не из числа первых трех)— захватом. Сколько различных вариантов команды из девяти игроков может составить тренер, заполняя остальные семь вакансий.

Из 12 имеющихся кандидатов необходимо составить комитет из пяти членов. Сколькими способами это можно сделать?

На пять должностей—председатель, заместитель председателя, секретарь, казначей и администратор —имеются 12 претендентов. (Один человек не может занимать более одной должности.) Сколькими способами можно произвести назначения?

В ситуации, описанной в упражнении 8, средн претендентов шесть женщин н шесть мужчин. Необходимо, чтобы в комитет вошли две женщины и трое мужчин либо три женщины н двое мужчин. Сколькими способами можно составить этот комитет?

Если в упражнении 9 любые две должности должны быть заняты женщинами, а три —мужчинами, либо наоборот, и имеется шесть мужчин и Шесть женщин, то сколькими способами можно заполнить эти вакансии?

Выполните упражнение 9 при следующих дополнительных условиях: администратором должна быть женщина, а председатель и вице-председатель ДРлжны быть разного пола.

Вычислителю Джо Зилчу сообщили, что можно улучшить способы МШоднения упражнений 2 и 6, используя значения

7— Xv; a — Xv; о,б

й"»*

при интерполяции по v или а. Он решает проверить это на соответствующих Упражнениях данной главы. Опишите и проделайте вычисления, которые должен выполнить Джо, и прокомментируйте полученные результаты.

Глава 2

ЭМПИРИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

ВВЕДЕНИЕ

Обширной областью математической статистики, имеющей наибольшее практическое применение, является теория статистического вывода. В этой области источником информации является выборка; с помощью полученных данных оцениваются параметры, позволяющие описать совокупность, из которой взята выборка; устанавливается интервал, в котором предположительно находится истинное значение параметра, а затем проверяются гипотезы и делаются выводы. Это неотъемлемая и важная часть работы, выполняемой специалистом в области математической статистики. Математическая статистика применяется как инструмент, способствующий проведению научных исследований и накоплению данных в области техники и естественных наук. Чтобы можно было использовать аппарат математической статистики, исследователь должен прежде всего уметь находить некоторые числовые характеристики и строить эмпирические распределения, с помощью которых в дальнейшем можно будет сделать необходимые выводы. Далее мы покажем, что при статистическом выводе необходимо принимать определенные допущения. Некоторые из этих допущений касаются распределения совокупности, из которой взята выборка. Иногда важно иметь лучшее представление о принимаемом распределении. Для этой цели используется эмпирическое распределение. Может потребоваться большая выборка, по возможности тщательно составленная. Большая выборка может быть использована для обоснованного выбора определенного теоретического распределения. С помощью этого распределения можно описать некоторые приближенные результаты.

Поэтому желательно заранее получать эмпирические распределения и иметь в своем распоряжении несколько простых числовых характеристик. При выборе числовых характеристик не следует забывать, каково основное назначение этой информации. В общем случае мы должны с помощью выборки сделать вывод о том, какое именно распределение имеет совокупность, из которой взята выборка. Такой вывод обычно является неопределенным. Значительная часть математической статистики связана с измерением и минимизацией этой неопределенности, однако основной предпосылкой грамотных статистических исследований является применение обоснованных выборочных методов.

ЭМПИРИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

В этом разделе рассматривается представление необработанных данных в табличном виде. Сюда относятся принятие решений о ширине интервалов, некоторые необходимые определения, а также ряд эмпирических логических правил.

Подготовка к табличному представлению данных

Допустим, что получены данные, подобные представленным в табл. 2.1. Такие числовые характеристики, как среднее значение или среднее абсолютное отклонение от некоторого заданного значения, могут быть вычислены непосредственно. Однако нередко необходимо иметь более полную информацию без сохранения точных деталей первоначальных наблюдений. Удобным способом, обеспечивающим выполнение этих требований, является группировка данных. В процессе группировки данных первоначально наблюдаемые значения теряются, но если группы выбраны правильно, то сохраняется удовлетворительное общее представление о полученных фактических данных.

Первым этапом при составлении таблиц сгруппированных данных является принятие решения об объеме групп (или ширине интервалов группировки). Можно выбрать такую малую группу, что даже небольшие случайные колебания будут способны исказить общую картину. С другой стороны, при слишком малом числе групп нельзя получить достаточно детальной картины. Обычно берется 10—20 интервалов группировки. Выбор точного числа интервалов зависит от: 1) размаха имеющихся данных, т. е. разности между наибольшим и наименьшим выборочными Значениями, 2) удобного объема группы и 3) общего числа наблюдений. Например, если измеряется внутренний диаметр трубы и выборочные значения лежат в интервале от 0,352 до 0,431 см, то размах составляет 0,079 см. При ширине интервала 0,010 см получаем 8—9 интервалов, а при ширине интервала 0,005 см получаем 17 интервалов. Если общий объем выборки Составляет 300—400 наблюдений, то разумно выбрать интервал шириной 0,006—0,007 см, тогда получим 12 интервалов. Если имеется выборка общим объемом в 100 наблюдений, то 12 интер- Валов может оказаться слишком много.

Дадим теперь несколько определений, связанных с нашей Таблицей. Нам нужно иметь данные, распределенные по группам (Или интервалам), каждая из которых охватывает некоторый Интервал значений (обычно) постоянной ширины, т. е. интервал группировки. Интервал группировки представляет собой группу Значений, попадающих в данный интервал. Вначале выбираем ширину интервала группировки и находим границы интервалов.

В каждом из этих интервалов группировки определяем частоту попадания в интервал, или просто частоту f. Теперь каждый интервал группировки имеет определенные границы, и целесообразно задать в нем некоторое представительное значение. Определим вначале пределы интервала группировки. Это наибольшее и наименьшее возможные значения, которые могут находиться в данном интервале. С другой стороны, границы интервала лежат где-то между наибольшим значением одного интервала и наименьшим значением следующего интервала, содержащего большие значения. Это относится ко всем границам интервалов, кроме первой и последней, которые можно вычислить исходя из условия постоянства расстояния между границами каждого интервала. Наконец, в качестве представительного значения каждого интервала группировки будем использовать срединное значение X. Оно находится посредине между пределами интервала или между границами интервала. В некоторых случаях ширина интервала группировки может быть переменной, например на краях диапазона, где наблюдаемые значения встречаются реже.

Табличное представление данных

Данные, приведенные в табл. 2.1, представляют собой объемы плавок в тоннах, полученные в течение месяца, причем эти значения округлены до ближайшего целого числа.

Таблица 2.1

Объемы плавок, полученные в течение месяца, т

144

143

139

161

134

135

157

158

144

138

155

162

151

134

141

121

137

16?

133

147

125

154

154

150

145

157

165

157

152

164

145

187

153

144

175

150

162

158

174

150

161

165

163

124

142

152

183

141

146

172

148

133

151

164

153

176

160

148

136

160

154

.148

161

149

147

161

158

155

175

137

147

132

129

154

161

132

168

147

159

118

179

162

143

151

158

157

156

146

146

157

136

161

166

152

167

160

137

156

145

184

162

153

146

144*

. 155

139

173

151

145

166

141

148

161

155

142

150

159

166

173

171

127

164

163

159

148

143

148

149

155

131

139

142

156

149

154

163

149

164

142

136

146

153

154

144

172

150

143

150

169

157

164

152

165

116

177

169

168

138

143

160

137

140

164

142

132

176

138

165

167

158

153

162

134

153

156

137

169

161

172

143

171

158

125

170

153

170

152

145

154 е

134

156

153

146

138

173

179

156

154

147

180

145

165

170

127

. 135

156

157

174

167

169

174

150

152

137

166

142

В табл. 2.2 данные из табл. 2.1 сгруппированы по интервалам. В первом столбце табл. 2.2 указаны границы интервалов группировки, а во втором столбце записаны срединные значения

Таблица 2.2

Табличное представление данных об объемах плавок

(1) и^тербала группировки^

(г) срединное значение^

(3)

{ РаспреЗехение Зонных

(*)

Частота

(5),

Накопленная 1 частота

(6)

Накопленная частость

115,5-119,5

117,5

И

2

2

0,009

119,5-123,5

121,5

/

1

3

0,014

123,5-127,5

125,5

ж

5

8

0,037

127,5-131,5

129,5

И

2

10

0,046

131,5-135,5

133,5

ж пи /

И

21

0,097

135,5-139,5

137,5

ЖЖ Ж!

16

37

0,171

139,5-143,5

141,5

ЖЖЖ1

16

53

0,245

143,5-147,5

145,5

Ж Ж № Ж 11

22

75

0,347

147,5-151,5

149,5

ж ж пи Ж /

21

96

0,444

151,5-155,5

153,5

ж пи ж ж ж и

27

123

0,569

155,5-159,5

157,5

Ж Ж ЖЖ III

23

146

0,676

159,5-163,5

161,5

ЖЖ Ж Ж 1

21

167

0,773

163,5-167,5

165,5

ж ж пи ш

18

185

0,856

167,5-171,5

169,5

Ж Ж 1

11

196

0,907

171,5-175,5

173,5

ж ж /

11

207

0,958

175,5-179,5

177,5

ж

5

212

0,981

179,5-183,5

181,5

II

2

214

0,991

183,5-187,5

185,5

II

2

216

1,000

216

для каждого интервала. Можно было бы указать также и пределы интервала группировки. Однако при любом табличном представлении данных нет необходимости задавать более одной характеристики интервала группировки, так как, зная одну из них, легко определить две остальные. При использовании границ интервалов, а также срединных значений обеспечивается легкость'и точность табличного представления данных. В случае задания только срединного значения возрастает вероятность появления ошибок при составлении таблиц. Срединное значение играет исключительно важную роль при некоторых способах графического представления данных.

Заметим, что здесь границы интервала заданы с точностью ДР величины, меньшей основной единицы измерения (в данном случае 1 т). Это не создает неопределенности при распределении Данных по интервалам. Заметим также, что срединные значения могут не совпадать с фактически полученными значениями. Срединные значения могли быть выражены целым числом тонн, но этй не обязательно.

Некоторые общие правила

Существует несколько общих правил группировки необработанных данных по интервалам, помогающих избежать путаницы и обеспечивающих более эффективное составление таблиц, а впоследствии облегчающих подбор теоретической кривой, соответствующей этим данным. Приведем наиболее важные правила.

При выборе числа интервалов группировки лучше всего ориентироваться на 10—20 интервалов. Несомненно, иногда делаются исключения из этого правила, но при числе интервалов, большем 20, вся картина может исказиться. При слишком большом числе интервалов ощущается влияние даже небольших случайных колебаний. С другой стороны, если число интервалов меньше 10, то построение теоретической кривой по эмпирическим данным может быть затруднено.

Обычно предпочтительно иметь интервалы одинаковой ширины. Если же интервалы имеют разную ширину, то площади должны быть пропорциональны соответствующим частотам попадания в интервал (см. рис. 5.6).

Необходимо охватывать всю область данных. Если неизвестны предельные значения, то невозможно вычислить некоторые выборочные статистики.

Следует избегать открытых интервалов, т. е. интервалов, ограниченных только с одной стороны. Обычно они затрудняют составление таблицы. Например, какую ширину следует приписывать открытым интервалам?

Интервалы не должны перекрываться. Не должно возникать никаких сомнений относительно того, в какой интервал попадает любое конкретное значение.

Нужно выбирать удобные интервалы группировки. Следует выбирать более естественную либо обоснованную ширину интервала. Кроме того, если отчетливо наблюдается определенная последовательность равноотстоящих значений, то их можно использовать в качестве срединных значений интервалов.

ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕЭМПИРИЧЕСКИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Наиболее распространенными способами представления эмпирических данных являются гистограмма, полигон частот и полигон накопленных частот. Существуют и другие способы: секторная диаграмма, столбиковая диаграмма и т. п. Последние способы здесь не рассматриваются. В большинстве книг по прикладной статистике они обсуждаются довольно подробно.

Гистограмма

Гистограмма состоит из последовательности примыкающих друг к другу прямоугольников, как показано на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Гистограмма распределения плавок по объемам (в тоннах).

Ширина этих прямоугольников равна ширине интервалов группировки и откладывается по оси абсцисс (X), а их высота измеряется по оси ординат (У) прямоугольной системы координат. Число наблюдений, попадающих в определенный интервал, выражается площадью соответствующего прямоугольника. Основание прямоугольника равно ширине интервала группировки, а высота его такова, что площадь прямоугольника пропорциональна частоте попадания в данный интервал. Например, если Для данных из табл. 2.2 взять интервал со срединным значением 145,5, то соответствующий прямоугольник гистограммы будет иметь вершины (Xz; KJ в точках с координатами (143,5; 0), (147,5; 0), (143,5; 22) и (147,5; 22). На рис. 2.1 показана гистограмма, построенная по данным из табл. 2Д. Если ширину интервала группировки удвоить, то при одной и той же частоте попадания в интервал высота прямоугольника уменьшится вдвое. Если же, например, объединить группы со срединными значениями 145,5 и 149,5, то прямоугольник, изобра-

жающий объединенную группу, будет иметь вершины в точках с координатами (143,5; 0), (151,5; 0), (143,5; 21,5) и (151,5; 21,5).

Обратим внимание читателя на излом оси X в самом ее начале. Это означает, что если оси координат X и Y пересекаются в точке (0; 0), то горизонтальная ось обрывается до области наших данных.

При построении гистограмм и других подобных графиков необходимо добиваться ясности. Слишком часто в научной литературе наблюдается одна из крайностей: на графике слишком мало или слишком много информации. Дополнительная информация, например название графика, формула (если она имеется) и единицы измерения, должна даваться, но в кратком виде. График должен быть полным, но не перегруженным деталями. Приходится удивляться, как часто в литературе можно встретить график, который фактически представляет собой наложение трех-четырех, а то и большего числа графиков при попытке представить всю информацию на одной „картинке". В этом случае смысл графика может быть затемнен и трудно уловим. Инженер или ученый, обрабатывающий статистические данные, должен думать о ясности представления результатов и избегать ненужной сложности.

Если для эмпирических данных необходимо подобрать теоретическое распределение, то, возможно, потребуется сравнение двух графиков, которые строят в сравнимом масштабе, чтобы получить либо равные общие площади (в непрерывном случае), либо равные общие суммы ординат (в дискретном случае). В последнем случае более предпочтительным может оказаться построение графика, состоящего только из вертикальных отрезков прямых, показывающих наблюдаемые частоты. В этом случае вертикальные отрезки будут иметь следующие координаты (Xz; ¥ ^ конечных точек: (срединное значение; нуль), (срединное значение; частота). Например, в табл. 2.2 для интервала, срединное значение которого равно 145,5, конечные точки вертикального отрезка будут иметь следующие координаты: (145,5; 0) и (145,5; 22).

Полигон частот и полигон накопленных частот

Еще одним способом графического изображения данных является построение полигона частот, представляющего собой многоугольник с вершинами в точках, соответствующих срединным значениям интервалов и частотам, как показано на рис. 2.2. Вершины имеют координаты (113,5; 0), (117,5; 2), (121,5; 1), (125,5; 5)

30

Объем плавок m

Рис. 2.2. Полигон частот объемов плавок (см. табл. 2.2).

Рис. 2.3. Полигон накопленных частот объемов плавок (см. табл. 2.2).

В столбце 5 табл. 2.2 записаны суммарные (или накопленные) частоты, начиная с самого первого интервала 115,5—119,5. Вершины полигона накопленных частот имеют координаты, соответствующие верхней границе интервала и накопленной частоте. Заметим, что используется верхняя граница интервала. Если

говорят, что накопленная частота для наименьшего интервала равна 2, то это означает, что имеются два значения, меньшие 119,5, но нельзя гарантировать, что эти два значения будут меньше любого какого-либо другого числа, меньшего 119,5. Например, для интервала, срединное значение которого равно 145,5, вершина имеет координаты (147,5; 75). На рис. 2.3 показан полигон накопленных частот для данных, приведенных в табл. 2.2. На дополнительной вертикальной шкале отложены накопленные частости, т. е. доли общего числа значений, не превышающих границы данного интервала. Например, интервал со срединным значением 145,5 имеет на этой шкале координаты (147,5; 0,347).

Полигон накопленных частот используется главным образом для представления дискретных данных, например таких, как число дефектных изделий в партии или число спичек в коробке.

Двумерные данные

Определение „двумерный" употребляется в том случае, когда для каждого объекта измеряются две характеристики и каждое измерение выражается двумя величинами; аналогично используются определения „трехмерный" (три характеристики) и „многомерный" (несколько характеристик) и т. д. Более конкретно этот вопрос рассматривается в последующих главах. Здесь же мы приведем два примера. В табл. 2.3 представлены результаты

Таблица 2.3

Результаты проверки калибровки поплавкового расходомера (х —высота поплавка, мм; у — расход воды, фунт/ч при 77° F)

X

У

X

У

X

У

4

5,765

11

25,38

18

44,46

5

7,746

12

27,83

19

47,88

6

10,44

13

30,66

20

51,95

7

13,64

14

33,20

21

56,38

8

16,63

15

35,73

22

60,14

9

19,28

16

38,49

23

64,65

10

22,20

17

41,40

24

68,80

проверки точности калибровки поплавкового расходомера. Абсцисса х—высота поплавка в миллиметрах, а ордината у— расход воды (при 75° F) в фунт/ч. Объем выборки равен 21.

На рис. 2.4 эти данные изображены графически. Целью исследования был вывод уравнения достаточно высокого порядка для определения расхода как функции высоты поплавка.

Рис. 2.4. Калибровка поплавкового расходомера.

Еще одним примером двумерного графика является диаграмма рассеяния. Рассмотрим представление данных, полученных при проведении испытаний в Бристольской лаборатории (Brumbaugh М. A. (Ed.), Quality Control in Central New York Industry—A Case Book, 1952), когда для определения некоторой характеристики качества пенициллинового бульона в аналитической лаборатории использовались два метода. Хотя эти методы дают различные результаты, полученное соотношение позволяет построить номограмму для перехода от одного метода к другому. Диаграмма рассеяния данных приведена на рис. 2.5.

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Составление таблиц необработанных данных и последующее графическое представление их в виде гистограммы, полигона частот или диаграммы дает большой объем информации. Однако нередко этого бывает недостаточно, и требуется охарактеризовать имеющуюся совокупность значений некоторыми количест-

Рис, 2.5. Диаграмма рассеяния результатов, полученных двумя методами анализа.

венными показателями. Показатели, характеризующие положение, рассеяние (или разброс) и асимметрию, дают количественное представление об эмпирических данных и помогают сравнить одну совокупность данных с другой.

Характеристики положения

Существует несколько характеристик положения (или мер положения центра) совокупности эмпирических данных. Наиболее распространенными из них являются среднее (арифметическое среднее), медиана и мода. Кратко говоря, среднее представляет собой первый момент распределения, т. е. значение, относительно которого может быть „сбалансировано" все эмпирическое распределение (фактически это абсцисса центра масс

гистограммы). Иначе говоря, среднее х—это такое значение величины х, для которого алгебраическая сумма расстояний выборочных значений xv xv . ., хп от х равна нулю. С другой стороны, медиана х представляет собой такое значение х, что одна половина значений х меньше ее, а другая—больше (медиана делит площадь гистограммы пополам)1*. Мода—это наиболее часто появляющееся значение х. Если данные сгруппированы, то в качестве моды обычно выбирается срединное значение интервала с наибольшей частотой. Обычно мода не используется, так как ее трудно определить или интерпретировать.

Начнем рассмотрение вычислений выборочного среднего арифметического со случая необработанных (несгруппированных) данных xv xa, ..., х„. Среднее равно

x = n-15xi, i= 1, 2, .,., п.(2.1)

Однако если данные сгруппированы, как в табл. 2.2, xt— срединное значение i-ro интервала, a fz—частота попадания в данный интервал, то

к

_ 2 iX? к

Z = 1, 2, к, (2.2) 2л-

где п обозначает общий объем выборки, а к — число интервалов. Для данных из табл. 2.2

х=(2-117,5 +1 • 121,5 + 5-125,5+ ... +2-185,5)/216 = 153,2.

При вычислении выборочного среднего может оказаться целесообразным представление данных в следующем виде:

и,. = с-1(х1.-х0),(2.3)

где х0 — некоторое произвольное начало отсчета, а с—ширина интервала группировки. Тогда

х8 = си(+хв,х8 = си(+хв,* кS /, (си, +х0) 1=1* кS /, (си, +х0) 1=1= си-\-хй.= си-\-хй.(2-4)(2-4)

х8 = си(+хв,

х8 = си(+хв,

* к

S /, (си, +х0) 1=1

* к

S /, (си, +х0) 1=1

= си-\-хй.

= си-\-хй.

(2-4)

(2-4)

г) При четном числе наблюдений медиана не может быть определена однозначно; например, медиана совокупности 3, 7, 5, 4 представляет собой любое число, лежащее между 4 и 5.

* № 819

Рассмотрим данные, представленные в табл. 2.4. В первом

Таблица 2*4

Табличное представление данных об объемах плавок

Среоинное

(2),

Частота!

(3) и

(4) fu

(5) fu1

117,5

121,5

125,5

129,5

133,5

137,5

141,5

145,5

149,5

153,5

157,5

161,5

165,5

169,5

173,5

177,5

181,5

185,5

2

1

5

2

11

16

16

22

21

27

23

21

18

11

11

5

2

2

-9 -8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0 1

2 3

4

5

6 7

8

-18

-8

-35

-12

-55

-64

-48

-44

-21

0

23

42

54

44

55

30

14

16

162

64 245

72 275 256 144

88

21

0

23

84 162 176 275 180

98 128

Итого

216

-27

2453

1) См. табл. 2.1 и 2.2

столбце приводятся срединные значения интервалов группировки. Второй столбец содержит наблюдаемые частоты. В третьем столбце записаны преобразованные значения и™^х( —153,5)/4 при х0= 153,5 и <7 = 4,0. В четвертом столбце дано произведе- дение fz и иь Тогда

к

u^n-^tiU^-^ -0,125.

Таким образом, х = 4,0 (—0,125) +153,5 = 153,0.

Чтобы определить медиану х по несгруппированным данным, находим срединное значение, если объем выборки п — нечетное число. Если же объем выборки —четное число, например п = 2г,

1

то медиану х можно рассматривать как полусумму двух средин- ных значений: х = \кг (xr + ^r+i)- В случае сгруппированных данных х находится путем интерполяции. Это удобно выполнять

графически путем построения полигона накопленных частот (см. разд. 2.3.2). В случае данных из табл. 2.2 требуется найти значение х, при котором накопленная частота равна 216/2=108. (Заметим, что в общем случае медиана больше 108-го и меньше 109-го из упорядоченных по возрастанию значений х в наблюдениях.) При х= 151,5 накопленная частота равна 96; при х= 155,5 накопленная частота равна 123. Полагая, что увеличение происходит по линейному закону (как при линейной интерполяции, см. разд. 1.3), получаем

х = 151,54-4,0 = 153,3.

(Можно вывести формулы, основанные на более сложных методах интерполяции, однако на практике дополнительное повышение точности вряд ли необходимо.)

На рис. 2.6 изображена гистограмма, построенная по данным табл. 2.2, где указаны среднее, медиана и мода.

Рис. 2.6. Гистограмма распределения плавок (см. табл. 2.2.); указаны среднее значение, медиана и мода.Рис. 2.6. Гистограмма распределения плавок (см. табл. 2.2.); указаны среднее значение, медиана и мода.

Рис. 2.6. Гистограмма распределения плавок (см. табл. 2.2.); указаны среднее значение, медиана и мода.

Рис. 2.6. Гистограмма распределения плавок (см. табл. 2.2.); указаны среднее значение, медиана и мода.

(2.5)(2.5)В качестве характеристики положения может использоваться также среднее геометрическое. В случае выборки объема п среднее геометрическое определяется как

(2.5)

(2.5)

(-W • -+)1/п-

Еще одной характеристикой положения является гармоническое

(2.6)(2.6)среднее^ определяемое как

(2.6)

(2.6)

(п-^хГ1)"1.

Характеристики рассеяния

Одной из наиболее часто используемых характеристик рассеяния (или разброса) данных является среднее квадратическое (стандартное) отклонение. Вначале определим квадрат этой величины, называемый дисперсией. Для выборки несгруппирован- ных данных дисперсия находится как

to—3*

S2 = ±2.—.(2.7)

п—1' '

Если данные сгруппированы, то

s2 = —..(2.8)

п—1'7

Внимательное изучение этого выражения показывает, что оно (если исключить —1 в знаменателе) представляет собой момент инерции, или второй момент относительно среднего.

Среднее квадратическое отклонение определяется как положительный квадратный корень из дисперсии. Для несгруппиро- ванных данных

1=1.

п— 1*

для сгруппированных данных

s =s =n —1n —1(2.9)(2.9)

s =

s =

n —1

n —1

(2.9)

(2.9)

В случае несгруппированных данных при использовании формулы (2.9) для выполнения вычислений ее можно записать в следующем виде:

Пусть, например, требуется вычислить среднее квадратическое отклонение для следующей выборки наблюдаемых значений: 10, 18, 15, 20, 19, 14, 15, 12, 13, 18. Среднее арифметическое этих 10 чисел равно 154/10 = 15,4. При использовании формулы (2.9) потребовалось бы вычислить (10—15,4)2, (18 —15,4)2 и т. д. Проще вычислить 102 + 182 + • • • +182 = 2468; тогда

s= ]/ j (2468 —10 • 15,42) = 3,27.

В прикладной статистике можно встретить немало случаев, когда исходная формула, подобная формуле (2.9), довольно громоздкая либо легко приводит к ошибкам округления, особенно при больших выборках. Часто целесообразно находить формулу, удобную для выполнения вычислений. Если в данном случае использовать 2(^1—ХУ как часть формулы, то потребуется определять среднее, вычитать из него каждое значение, возводить в квадрат полученный результат, а затем находить сумму.

Формулу (2.8) можно преобразовать следующим образом:

А_^_ 6 ^

2 ti ^-х?2 hxl-2x 2 hxi+х» 2 ti

t=l_ 1=11=11=1 3=n—\”

1

A/ A\2

n 2 Ь^гЧ 2 hxn

1 = 1\Z=1/

n(n—1)•(2.10)

Полученная формула (2.10) весьма удобна для вычислений.

Еще одним весьма полезным упрощением вычислений является использование преобразованных данных, рассмотренных в разд. 2.4.1. Этот способ очень полезен, особенно при отсутствии вычислительных устройств (даже ручного вычислительного устройства) или когда существует большая вероятность появления ошибок округления. Пусть, как и ранее, и£ = (х£—х0)/с. Мы используем для дисперсии индекс х или и, чтобы различать соответствующие дисперсии. Тогда х{ = си£А-хо и применяется формула (2.4). Подставив это значение х£ в формулу (2.8),

будем иметь

2 f 1 (с“< + х0—си — xQy

к_к_

2 h(cui — CufС2 2 fi(ui— иУ

Это дает следующее соотношение между средними квадратическими отклонениями:

sx = csa.(2.11)

Результаты (2.4) и (2.11) можно сформулировать в более общем виде. При линейном преобразовании х, например вида z = a + &x, среднее значение и среднее квадратическое отклонение соответственно равны

г = а-\-Ьх,

sz = bsx.(2.12)

Вычислим среднее квадратическое отклонение для данных, приведенных в табл. 2.4. Вначале вычислим sa, а затем по формуле (2.11) определим sx. Напомним, что п, = (х;—153,5)/4,0. Столбец (4) этой таблицы содержит произведения м£ и /,- для каждого интервала. При п = 216, ^=18, е = 4,0

кк

5 Д«, = —27,2 f^ = 2453,

i=ii=i

/

216-2453—(—27)2 i/TF-oHoZ о оО 2167215 = ^ 11,3936 = 3’38,

Тогда sx = 4,0-3,38= 13,5 т.

Иногда может потребоваться получить более точную оценку среднего квадратического отклонения с помощью поправки Шеппарда на группировку. Метод состоит в уменьшении дисперсии s2 на величину, равную (ширина интервала)2/12. Следовательно, в случае данных из табл. 2.4 дисперсия s2= 11,3936 уменьшится до s2 = 10,8936. Тогда sx = 4,0-3,30= 13,2 т.

Еще одной весьма полезной характеристикой рассеяния является размах R, представляющий собой разность между наибольшим и наименьшим наблюдениями:

^"■^макс -^мин*(2.13)

Особенно широко используется размах в контрольных картах, применяемых при управлении качеством. Вследствие простоты этой характеристики по сравнению со средним квадратическим отклонением задачу нанесения точек на контрольную

карту и определения пределов регулирования с помощью размаха можно поручить персоналу, обслуживающему установку, так как необходимые вычисления сводятся к минимуму. Если точность информации, получаемой при использовании размахов, достаточна, то простота вычислений делает этот способ весьма ценным. Использование размаха в контрольных картах рассматривается в гл. 10, а также в других частях книги в связи с некоторыми иными приложениями. В данный момент мы не намерены подробно обсуждать, в каких именно случаях целесообразно применять размах. Однако следует заметить, что при использовании размахов объем выборки не должен быть слишком большим. Размахи, вычисленные для выборок, содержащих более 10 наблюдений, следует использовать с большой осторожностью.

Еще одной характеристикой рассеяния является среднее отклонение, равное

2 I*/—*1

1—п.(2.14)

Полезной формулой для вычисления среднего отклонения является следующая:

(Среднее отклонение) = 2 [(Сумма значений х, превышающих х)—(Число значений х, превышаю- (2.15) щих х)х]/п.

Среднее отклонение обладает тем преимуществом, что оно менее чувствительно к изменению формы распределения, чем среднее квадратическое отклонение или размах.

Среднее отклонение, вычисленное для сгруппированных данных, может быть скорректировано путем введения поправки на группировку, которая вычисляется как

(Доля наблюдений в группе, содержащей арифметическое среднее)- (^у^—|х —х| + ^ ,

где с —ширина интервала, а х—средняя точка группы, содержащей среднее значение.

Пример 2.1. За каждый час 8-часовой смены изготовлено следующее число изделий: 115, 120, 124, 130, 128, 119, 120, 123. Для упрощения вычислений примем 120 за произвольное начало отсчета, т. е.

и = х —х0 = х—120.

14141=11=1f iu I150 ’f iu I150 ’

14

14

1=1

1=1

f iu I

150 ’

f iu I

150 ’

Тогда выборочное среднее вычисляется-как

х = Х0 + « = хе + 5 + 0+4+:11+3 = 122375

Выборочная дисперсия равна

С2 _ е 2 _ ^Н2>Г - 8(-5р+(0)2+... + (3)»-№. 50.

Sx~Su~ n(n—1)-18.17’’

s = 2,l.

Пример 2.2. Для определения способности стали к глубокому отпуску проводились испытания 150 образцов. При испытаниях по методу Эриксона в образец вдавливается конус с шаровым наконечником. Глубина вдавливания измеряется в миллиметрах. Полученные данные представлены в табл. 2.5. Требуется по-

Таблица 2.5

Данные о способности 150 стальных образцов к глубокому отпуску (глубина вдавливания, мм)

10.62

9,72

10,85

11,05

9,85

10,22

9,10

9,97

10,30

10,57

10,18

10,59

10,24

10,07

10,63

9,75

10,02

10,72

4,61

9,28

10,85

9,68

10,48

10,03

10,22

10,00

11,53

10,55

10,22

10,33

11,02

10,92

10,35

10,57

9,30

9,85

11,40

10,42

9,08

9,12

9,78

9,87

11,07

10,27

9,83

10,77

9,80

11,66

10,34

10,32

10,42

1Q,27

9,54

9,97

10,75

11,23

9,80

9,31

10,41

9,23

10,90

10,22

11,18

9,92

10,65

10,05

9,83

9,46

11,22

11,51

10,23

10,97

9,67

10,62

10,20

10,30

10,13

10,00

11,28

10,33

9,45

10,82

11,43-

10,87

9,57

10,03

10,23

11,35

9,85

9,30

10,50

10,66

9,80

10,47

9,89

10,73

10,50

9,33

9,63

9,65

10,48

10,69

10,86

10,12

10,17

9,79

11,45

10,05

10,03

9,98

11,11

10,80

11,15

10,08

10,05

10,88

10,51

10,27

10,40

1(^77

11,58

9,42

10,23

9,99

10,02

10,03

10,67

10,38

10,93

10,07

9,53

10,69

10,08

9,96

10,35

10,17

10,45

10,24

10,46

9,57

10,05

10,54

9,75

9,85

10,34

10,22

10,77

10,43

10,58

10,24

строить гистограмму и полигон накопленных частот. Необходимо также вычислить выборочное среднее и среднее квадратическое отклонение. В табл. 2.6 представлены данные, сгруппированные по интервалам. Здесь столбцы (1) и (5) те же, что и в табл. 2.2. В столбце (6) приводятся данные, преобразованные по формуле

_Xi—10,305

Ui" 0,20'

Мы используем это преобразование для вычисления

14/ 14 у

150 5 /;«Н ^fiUj

■а <=1М=1/

150-149

Таблица 2.6

Данные о глубине вдавливания для 150 стальных образцов

(1) Граниаы интервала гоиппироВки^ мм

(2)

X, мм

(3)

Распределение данных

(4)

Частота

(5) Накопленная частота

(6) и

(7)

Л

(8) /и2

9,005 - 9,205

9,105-

ж

3

3

-6

-18

108

9,205- 9,405

9,305

Ж1 !

6

9

-5

-30

150

9,405- 9,605

9,505

Ж/ //

7

16

-4

-28

П2

9,605- 9,805

. 9,705

Ж4Ж4 П

12

28

-3

-36

108

9,805-10,005

9,905

ж/ Ж! Ж! !

16

44

-2

-32

64

10,005-10,205

10,105

Ж/ Ж/ Ж/ Ж/

20

64

-1

-20

20

10,205-10,405

10,305

ж/ жи же же же

25

89

0

0

0

10,405-10,605

10,505

Ж4Ж4Ж4 Ш

18

107

1

18

18

10,605 -10,805

10,705

Ж4Ж1Ж4

15

122

2

30

60

10,805-11,005

10,905

ЖЛ Ж4

10

.132

3

30

90

11,005-11,205

11,105

же /

6

138

4

24

96

11,205-11,405

11,305

же

•5

143

5

25

125

11,405- 11,605

11,505

же

5

148

6

• 30

180

11,605» 11,805

11,705

//

2

150

7

14

98

Итого1507 1229

На рис. 2.7 изображена гистограмма, построенная по данным табл. 2.5 и 2.6. На рис. 2.8 показан полигон накопленных частот, построенный по этим данным.

РйС. 2.7. Гистограмма распределения 150 стальных образцов по глубиневдавливания.

Рис. 2.8. Полигон накопленных частот глубин вдавливания для 150 стальных образцов.

Вычислим выборочное среднее и выборочную дисперсию случайной величины и*.

и- 0,0467, s^ —8,2461.

Следовательно, выборочное среднее и выборочная дисперсия случайной величины х равны

10,305 + 0,20й-10,314 мм, sj-0,04s*-0,329844, откуда

5^ = 0,574 мм.

Меры асимметрии здесь не рассматриваются. Характеристики асимметрии, используемые для распределений вероятностей, приводятся в разд. 3.14. Можно построить аналоги этих характеристик для использования их при описании эмпирических распределений.

В последние годы появились новые способы графического представления данных. Некоторые интересные примеры приводятся в статье Чернова [2] и книге Тьюки [10].

ЛИТЕРАТУРА

Bennett С. A., Franklin N. L., Statistical Analysis in Chemistry and the Chemical Industry, Wiley, New York, 1954^ Ch. 2.

Chernoff H., The Use of Faces to Represent Points in ^-Dimensional Space Graphically, Journal of the American Statistical Association, 68, 361 — 368 (1973).

Hahn G. J., Shapiro S. SM Statistical Methods in Engineering, Wiley, New York, 1967. [Имеется перевод: Хан Г., Шапиро С. Статистические модели в инженерных задачах.—М.: Мир, 1669.]

Hald A., Statistical Theory with Engineering Applications, Wiley, New York, 1952. Ch. 3. [Имеется перевод: Хальд А. Математическая статистика с техническими приложениями.— М.: ИЛ, 1956.]

Hays W. L., Winkler R. L, Statistics: Probability, Inference and Decision, Vol. 1, Holt, Rinehart & Winston, New York, 1970, Ch. 5.

Hoel P. G., Introduction to Mathematical Statistics, 4th ed., Wiley, New York, 1971, Ch. 2.

Kempthorne 0., Folks L., Probability, Statistics and Data Analysis, Iowa State University Press, Ames, Iowa, 1971.

Mosteller F., Kruskal W. H., Link R. F., Pieters R. S., Rising G. R., Eds., Statistics by Example, Exploring Data, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1973.

Yule G. U., Kendall M. G., An Introduction to the Theory of Statistics, 14th ed., Hafner, New York, Griffin, London, 1950, Ch. 4—6. [Имеется перевод: Юл Дж., Кендалл М. Теория статистики, М., Госстатиздат, I960.] 10. Tukey J. W., Exploratory Data Analysis, Vol. 1, Wiley, New York, 1971.

УПРАЖНЕНИЯ

Ниже в таблице приводятся данные о ширине (в дюймах с точностью до 0,0001 дюйма) 115 образцов из цинка марки ВВ. Ширина этих образцов измерялась до проведения коррозионных испытаний.

Измеренная ширина 115 образцов, дюйм

0,4998

0,5002

0,5000

0,4995

0,5001

0,5005

0,5000

0,5008

0,5000

0,5005

0,5009

0,5005

0,5001

0,5004-

0,5000

0,4998

0,4997

0,4998

0,4994

0,4999

0,5001

0,5003

0,4996

0,4994

0,5001

0,4999

0,4992

0,4999

0,5001

0,5004

0,4998

0,5005

0,5005

0,5002

0,5003

0,5003

0,5008

0,5000

0,4999

0,4999

0,5000

0,5005

0,5008

0,5007

0,5008

0,5002

0,5000

0,4994

0,4998

0,4991

0,5008

0,5009

0,5010

0,5005

0,5006

0,4997

0,4997

0,4999

0,5001

0,5003

0,5000

0,5001

0,5002

0,4995

0,4996

0,5001

0,5003

0,4990

0,4993

0,5000

0,4993

0,4994

0,4999

0,4996

0,4997

0,4999

0,4998

0,5001

0,5006

0,4998

0,4995

0,4995

0,4992

0,4995

0,4992

0,5000

0,4999

0,5000

0,5002

0,4997

0,4994

0,4998

0,4990

0,5000

0,5000

0,5002

0,4996

0,5000

0,5007

0,5005

0,5000

0,4993

0,5002

0,5001

0,5003

0,4998

0,5004

0,4998

0,4999

0,5000

0,4994

0,5000

0,4996

0,4997

0,5001

Постройте гистограмму, полигон частот и полигон накопленных частот.

Определите среднее значение и среднее квадратическое отклонение: 1) путем непосредственного вычисления по табличным данным; 2) с помощью линейного преобразования вида и — (к—kQ)/c.

М. Крауч и Дж. Хейнем (Crouch М. F., Haynam G. Е., Monte Carlo Calculation of the Slowing-Down Time for Neutrons in Hydrogen, Nuclear Science and Engineering, Sept. 1957) изучали распределение времени замедления нейтронов до различных энергий в водородсодержащем замедлителе. Приведенные ниже данные представляют собой сгруппированную выборку, содержащую 1000 значений времени t замедления нейтронов (в микросекундах) до энергии 0,025 эВ.

Постройте гистограмму, полигон частот и полигон накопленных частот.

Определите среднее значение и среднее квадратическое отклонение: 1) путем непосредственного вычисления по табличным данным; 2) с помощью линейного преобразования вида u^^k — k^k-

Время L мкс

Частота /

Время 1, мкс

Частота /

0

40

И

20

1

104

12

14

2

124

13

10

3

150

14

6

4

121

15

1

5

106

16

2

6

104

17

0

. 7

76

18

1

8

49

19

0

9

42

20

0

10

29

21

1

При изготовлении миниатюрных радиоламп их выводы крепятся с помощью автоматического оборудования. Важно, чтобы проводники для выводов ламп были прямыми, иначе они не попадут в нужное место, что вызовет заедание подающего механизма, а это приведет к изготовлению некачественных ламп, которые должны браковаться. Прямизна проводника измеряется с помощью оптического компаратора при закрепленном одном конце проводника во вращающейся колодке. Прогиб определяется как разность между максимальным и минимальным положениями, принимаемыми незажатым концом проводника при вращении, минус диаметр проводника. Так, прогиб идеально прямого проводника равен нулю. Ниже в таблице приведены данные, полученные при проведении эксперимента.

Вычислите выборочное среднее и выборочную дисперсию.

Постройте гистограмму и полигон ^накопленных частот.

Ниже приводятся 150 результатов анализов, проведенных в течение месяца для определения процентного содержания трехокиси серы в порошке смеси.

Постройте гистограмму.

Вычислите среднее значение и дисперсию.

Данные о прогибе 487 проводников х> (упр. 3)

Прогиб, 10”6 м

Наблюдаемая частота

Прогиб, 10”^ м

Наблюдаемая частота

1

12

23

18

3

26

25

14

5

36

27

12

7

50

29

4

9

45

31

7

И

49

33

2

13

51

35

5

(5

44

37

2

17

44

39

2

19

40

41

1

21

32

43

1

1) Leone F. С., Nelson L. S., Nottingham R. В., The Folded Normal Distribution, Technometrics, 3, No. 4 (November 1961).

Процентное содержание трехокиси серы (упр. 4)

15,8

16,0

15,7

16,0

15,7

15,9

16,0

15,7

15,8

15,7

15,4

15,7

15,8

15,7

15,9.

16,0

15,7

15,7

15,7

15,8

15,8

15,6

15,9

15,8

15,5

16,0

15,7

15,7

15,7

15,9

15,7

15,8

15,8

16,0

15,8

15,9

16,2

15,7

15,5

15,9

15,7

15,7

15,3

15,6

16,1

15,7

16,1

15,9

15,8

16,0

16,1

15,7

15,6

15,5

15,8

15,6

15,8

15,8

15,6

15,7

15,6

15,9

15,8

15,8

15,8

15,9

15,6

15,8

15,8

15,9

15,5

15,8

15,4

15,5

15,5

15,7

15,6

15,9

15,8

15,5

15,9

15,6

15,8

15,6

15,7

15,7

15,7

15,7

15,7

16,0

15,6

16,0

16,1

15,6

15,5

15,6

15,5

16,0

15,5

15,8

15,8

15,9

16,1

15,5

15,7

16,0

15,9

15,7

15,5

16,1

15,7

15,7

15,5

16,2

15,7

15,6

16,0

15,6

15,7

15,3

15,5

15,4

16,0

15,7

15,5

15,8

15,4

15,7

16,3

15,9

15,6

15,7

15,4

15,9

15,6

16,0

15,7

15,8

15,9

16,0

16,0

15,8

15,9

15,7

15,6

15,6

15,9

15,6

15,5

15,5

Приведенные ниже данные представляют собой количество изделий, изготовленных за час в цехе небольшого предприятия, работающего по заказам. Представьте данные в табличной форме, определите среднее значение и среднее квадратическое отклонение

136

122

132

128

123

133

130

131

134

149

138

127

119

137

133

130

143

134

128

131

118

133

131

132

118

128

122

130

139

145

122

J3O

128

136

132

126

124

117

139

132

14!

144

138

133

127

150

144

133

134

125

140

135

129

138

138

147

150

126

135

136

150

135

138

140

122

142

127

127

132

145

140

133

127

142

144

125

132

145

137

132

Ниже приводятся данные о температуре (°F) соляного раствора при производстве хлора и каустической соды. Данные получены в два различных месяца. Определите среднее значение и среднее квадратическое отклонение для каждой выборки. Постройте гистограмму для каждой выборки. О чем говорят эти данные?

Выборка

А

Выборка

в

155

157

156

147

149

143

159

153

155

148

144

150

157

158

157

149

144

152

155

156

155

149

145

147

154

155

159

147

149

148

158

158

156

148

151

146

160

153

150

142

При 25 проверках октанового числа одного и того же сорта бензина получены следующие результаты:

3838444243

4141424537

4144414140

4245404439

3941404341

Определите среднее значение и среднее квадратическое отклонение.

а) Вычислите среднее квадратическое отклонение для каждого столбца данных, приведенных в упражнении 7.

Вычислите среднее арифметическое этих средних квадратических отклонений.

Извлеките квадратный корень из среднего арифметического значения соответствующих дисперсий.

Обсудите различия между средним квадратическим отклонением, определенным в упражнении 7, и результатами, полученными в пунктах б) и в).

Определите медиану и моду для данных из упражнения 1.

Постройте полигон накопленных частот для данных из упражнения 4. Определите медиану.

Постройте полигон частот и полигон накопленных частот для данных из упражнения 5. Определите медиану, первый квартиль (25%-ную точку) и третий квартиль (75%-ную точку).

Ниже приводятся данные о пределе текучести для 100 образцов из титанового сплава при_1000 фунт/кв. дюйм. Постройте гистограмму для этих данных. Определите х и s.

150

154

148

149

160

147

158

164

153

135

152

150

166

158

138

151

147

136

160

160

163

141

148

139

153

171

141

143

156

164

161

159

149

146

156

152

130

137

142

152

139

153

154

136

166

169

147

152

156

154

166

135

158

155

138

136

.136

150

159

173

142

144

150

145

145

146

157

125

144

132

156

148

153

151

150

158

168

139

139

164

154

150

151

154

138

154

158

134

146

154

160

148

138

141

158

156

167

155

144

147

Студент Дж. Зилч вычислил среднее арифметическое и медиану для каждого из десяти столбцов данных предыдущего упражнения. Он утверждает, что в четырех случаях из десяти медиана ближе к среднему по всем 100 наблюдениям, чем среднее по десяти наблюдениям, а поэтому медиана почти так же хороша, как и среднее арифметическое. Проверьте вычисления Зилча и прокомментируйте его утверждение.

При бросании двух игральных костей возможны 36 комбинаций. Сколькими способами можно получить общее число очков, равное 2, 3, 4, . . ., 12? Подбросьте две игральные кости 36 раз и сравните полученные результаты.

Подбросьте восемь монет 100 раз. Запишите число выпадений цифры в каждом случае. Полученные результаты занесите в таблицу. Вычислите х и s.

Число выпадений цифры

Частота

Число выпадений цифры

Частота

05

16

27

38

4Всего100

Проводились испытания на долговечность авиационных пневматических шин определенной марки (марка Щ, применяемых в самолетах, базирующихся иа авианосце. Для испытаний использовались десять самолетов; получены данные, показывающие число посадок до разрушения шины. Для каждого самолета получены пять результатов.

Для каждого набора данных определите размах и нанесите полученные данные на график, где по оси абсцисс откладывается номер самолета, а по оси ординат — размах.

Заметны ли какие-либо особенности этих данных? Объясните их.

Номер

самолета

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Число

посадок

7

14

25

24

57

10

57

26

68

66

ДО

разрушения

5

45

8

56

32

5

46

7

17

8

шины

64

7

61

38

14

14

7

64

18

14

5

55

5

32

56

7

14

32

10

8

5

14

24

27

49

24

38

41

32

24

Для данных из предыдущего упражнения вычислите среднее геометрическое каждой выборки. Сравните полученные значения и обсудите эти результаты.

В эксперименте, аналогичном описанному в упражнении 16, были получены следующие данные:

Номер самолета

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Число посадок до

27

8

27

13

11

3

43

27

13

15

разрушения

11

36

44

15

17

43

26

8

8

10

шины

43

34

8

43

8

24

33

46

30

44

112

30

33

34

15

27

29

30

9

19

35

3

17

15

13

34

29

17

28

43

Вычислите среднее квадратическое отклонение для каждой выборки и нанесите его значение на график, где по оси абсцисс откладывается номер самолета, а по оси ординат—среднее квадратическое отклонение. Дают ли эти данные какую-либо информацию о долговечности шин? Эти данные получены для марки шин, отличной от марки шин предыдущей задачи.

Для данных из упражнения 18 вычислите х в каждой выборке. Сравните среднее каждой выборки со средним по всем результатам.

Для данных из упражнения 18 вычислите среднее значение средних квадратических отклонений каждой выборки. Сравните полученное значение со средним квадратическим отклонением для всех 50 шин, рассматриваемых как одна большая выборка. Обсудите полученные результаты.

Сравните размах данных о долговечности шин самолетов с номерами 1—10 (упражнение 16) с размахом данных для самолетов с номерами 21—30 (упражнение 18). Какие выводы можно сделать?

Приведенные ниже данные взяты из публикации Бюро переписей Министерства торговли США „USA Statistics in Brief —1973“ („США. Краткие статистические данные.— 1973 г.“):

Год

I960

1965

1970

1971

1972

Мощность всех первичных двигателей, 1012 Вт

8,09

11,01

15,00

16,01

16,84

Потребление энергии, 1018 Дж

47,05

56,22

70,89

72,48

76,38

в том числе в промышленности, %

33

32

30

29

29

Производство электроэнергии, Ю12 Вт-ч

Ассигнования на научные исследования и разработки, млрд. долл.

842

1158

1640

1718

1853

13,7

20,4

26,6

27,3

29,2

Федеральные расходы на программу космических исследований, млрд, долл.

0,9

6,9

5,4

5,0

4,8

Численность ученых, тыс. человек

201

224

313

(Прочерк означает, что данные отсутствуют.)

Постройте для этих данных соответствующие графики, отложив годы по оси абсцисс, а по оси ординат—рассматриваемые показатели. Прокомментируйте каждый набор данных.

Приведенные ниже данные характеризуют коррозионную стойкость керамических плит при испытаниях на долговечность. Данные представляют уменьшение веса плит в миллиграммах (после преобразования).

Постройте гистограмму для этих данных.

Определите среднее значение и среднее квадратическое отклонение.

Уменьшение веса

Частота

Уменьшение веса

Частота

0

23

6

13

1

47

7

6

2

58

8

3

3

44

9

2

4

35

10

1

5

18

Выберите 120 случайных чисел из табл. А приложения. ^Представьте результаты в табличной форме и постройте гистограмму* Оцените х с помощью гистограммы, а затем вычислите х и s2.

Ниже приводятся данные об испытаниях 20 образцов из того же материала, что и в упражнении 1:

0,4997

0,4997

0,4994

0,4999

0,4996

0,4996

0,4992

0,4997

0,4996

0,4999

0.4999

0,4993

0,4998

0,4993

0,4997

0,4996

0,4996

0,4997

0,4994

0,4996

Вычислите среднее значение и среднее квадратическое отклонение.

Сравните эти данные с результатами, приведенными в упражнении 1.

Какие выводы можно сделать?

Дж. Зилч в духе своих комментариев, приведенных в упражнении 13, рекомендует вычислять медиану для каждого столбца таблиц данных, рассматриваемых в упражнениях 16 и 18. Действуя в соответствии с его рекомендациями, прокомментируйте полученные вами результаты и покажите, почему идея Зилча в данном случае может оказаться ценной^

а) Для данных из упражнения 1 определите х для 23 групп по пяти виачений в каждой (рассматривая строки таблицы).

Используя эти 23 значения х, определите s2 для значений х.

Сравните это значение со значением s2, определенным в упражнении!.

а) Для каждого столбца таблицы данных из упражнения 7 определите х.

Вычислите дисперсию этих пяти значений х.

Сравните ее с дисперсией, определенной в упражнении 7,

Приведенные ниже данные показывают процентное содержание влаги в 80 кирпичах, используемых для футеровки печи, после хранения их в течение месяца. Каждая группа из четырех результатов представляет собой выборку из суточного объема производства. Вычислите х и s2 для всех 80 зЕирпичей. Постройте полигон частот.

7,5

7,1

7,1

7,3

6,7

6,9

7,1

6,9

6,8

7,5

7,1

7,2

6,9

6,8

6,8

6,7

7,2

7,2

6,9

7,0

6 8

7,1

7,5

7,1

7,2

7,1

7,1

6,7

7,1

7Д

6,9

6,8

7,0

6,9

■ 7,2

6,9

6,8

7,0

Л2

7Д

7,2

6,7

6,5

6,7

6,8

6,9

7,1

7,0

7,3

7,0

7,2

7б

7,1

7,3

7,4

7,1

7,0

6,9

7,0

6,8

6,9

6;9

7 2

7,1

7,3

7,0

7,0

6,9

6,7

Л2

7,1

7,0

ЛО

7,2

6,8

7,3

6,9

6,8

7Д

7,0

а) Для данных из упражнения 29 вычислите х в каждой выборке из четырех значений.

Вычислите дисперсию значений х.

Сравните ее с дисперсией первоначальных значений х. Обсудите полученные результаты.

Готовится резиновая смесь, из которой затем делаются образцы для испытаний. Ожидаемая прочность на изгиб в условных единицах равна 11. Какие выводы можно сделать на основании приведенных ниже данных? Вычислите х и сделайте выводы.

10,3

11,1

11,8

12,0

10,8

13,6

12,0

12,5

11,6

12’2

12,3

12,5

12,6

12,5

13,7

13,3

10,5

10,7

10,5

12,2

9,5

11,4

11,3

13,1

9,8

а) Вычислите s2 для данных из упражнения 31. б) Вычислите s| с помощью средних для каждого столбца, в) Найдите отношение s2 к s^. Прокомментируйте полученные результаты.

а) Для данных из упражнения 12 вычислите средние значения для групп из пяти значений (полученных путем разбиения каждого столбца на две части).

Вычислите s2 для этих средних.

Сравните полученный результат со значением s2 для 100 исходных наблюдений.

а) Для данных из упражнения 12 вычислите средние значения по 10 столбцам.

б) Определите дисперсию s2 этих средних, в) Сравните ее с дисперсией, полученной в упражнениях 33 и 12.

Приведенные ниже данные показывают число трещин на стержень, обнаруженных при испытаниях 600 нейлоновых стержней. Определите среднее значение и дисперсию.

Число трещин настержень01234 5

Число стержней27520781238 6

Для уменьшения выхода нежелательного побочного продукта применялись два различных катализатора — А и В. При использовании каждого катализатора были получены выборки данных, приведенные ниже. Определите х и s2 для каждой выборки. (Наблюдаемой величиной является выход нежелательного продукта в процентах.)

Катализатор Л I Катализатор В

40

53

32

48

32

43

12

60

29

45

31

25

39

27

58

40

45

57

67

36

42

46

Предполагается, что механический кухонный таймер работает с большой погрешностью. Было проведено 100 проверок для выдержки, равной 1 мин. Полученные результаты (с точностью до секунды) приводятся ниже. Вычислите

X И S.

Продолжительность работы х, с

Частота f

Продолжительность работы х, с

Частота f

Продолжительность работы х, с

Частота f

50

1

56

16

62

4

51

3

57

15

63

1

52

5

58

11

64

2

53

4

59

8

69

1

54

8

60

6

55

13

61

2

38. Допустим, что в упражнении 37 отсчет собой выброс, вызванный38. Допустим, что в упражнении 37 отсчет собой выброс, вызванныйравный 69 с, представляет неправильной установкой. Как повлияет исключение

38. Допустим, что в упражнении 37 отсчет собой выброс, вызванный

38. Допустим, что в упражнении 37 отсчет собой выброс, вызванный

этого значения на х, х и наблюдений.этого значения на х, х и наблюдений.s? Вычислите эти характеристики для остальных 99

этого значения на х, х и наблюдений.

этого значения на х, х и наблюдений.

39. Ниже приводятся данные о числе дефектных изделий, полученных за час, и указывается общее число изготовленных изделий. Выборку составляют данные для 20 одночасовых интервалов.

Номер выборки

Объем выборки

Число дефектных изделий

Номер выборки

Объем выборки

Число дефектных изделий

1

200

16

11

177

12

2

186

12

12

182

13

3

210

10

13

142

11

4

145

14

14

156

16

5

139

10

15

138

12

6

186

13

16

179

11

7

174

12

17

193

15

8

178

14

18

148

14

9

149

12

19

159

13

10

168

16

20

167

15

а) Вычислите взвешенную среднюю долю дефектных изделий (р = ^di/^n^

и невзвешенную среднюю долю дефектных издели йи невзвешенную среднюю долю дефектных издели йэд S (d[/ni) I и сравните их.

и невзвешенную среднюю долю дефектных издели й

и невзвешенную среднюю долю дефектных издели й

б) Формула для оценивания дисперсии случайных

1 величин Pi~di!ni2q 2 ^i* Вычислите дисперсию по этой формуле.1 величин Pi~di!ni2q 2 ^i* Вычислите дисперсию по этой формуле.имеет вид р (1 —р^п, где п=

1 величин Pi~di!ni

2q 2 ^i* Вычислите дисперсию по этой формуле.

1 величин Pi~di!ni

2q 2 ^i* Вычислите дисперсию по этой формуле.

„„в) СРавните„^У величину с невзвешенной дисперсией значений р. Обсудите полученный результат.очелии р. иОсу

юшие°‘ качай^ъ Р°УпеРа’ изданном в 1974 г., содержатся оценки, показывающие, какой процент граждан не возражает, чтобы 1) правительственный

орган, ведущий секретные работы, 2) частная компания, 3) местное отделение

полиции или 4) фирма, предоставляющая кредит,

имели

(2)

следующие

(3)

данные:

(4)

(1)

Данные о занятости

74

64

27

44

Данные о психическом состоянии

66

38

34

10

Данные о состоянии здоровья

64

50

25

13

Данные о членстве в ассоциациях Сведения о дорожно-транспортных проис

53

20

22

7

шествиях

43

19

50

8

Налоговые декларации

39

13

15

10

Сведения о взаимоотношениях в семье

31

12

20

5

Представьте эти данные графически и прокомментируйте их.

Глава 3

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ. ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Из предыдущих глав читатель уяснил, что необходим набор методов, связанных с относительной частотой появления событий В длинной серии наблюдений. Эти методы дает хорошо разработанная область математики, называемая теорией вероятностей. В этой и двух последующих главах рассматриваются наиболее важные методы.

Некоторые основные понятия теории вероятностей выводятся с помощью двух различных подходов. Один из них—теоретикомножественный подход—является более абстрактным и, по-ви- димому, используется чаще. Другой подход, основанный на переходе к пределу при последовательных испытаниях, применяется не так широко, но является интуитивно более привлекательным. Этот подход, по-видимому, более доступен для понимания, хотя в действительности он не менее абстрактен. Для каждого подхода даются только необходимые начальные понятия.

Теоретико-множественная концепция вероятности

Множество можно рассматривать как совокупность абстрактных объектов. Этими абстрактными множествами могут быть образцы для испытаний, удовлетворяющие определенным требованиям; бейзбольные команды высшей лиги, выигравшие в среднем более половины матчей; ученицы средней школы ростом выше 167 см или любая другая, четко определенная группа. Объект, принадлежащий множеству, называется элемитом множества. Символическое обозначение хС А означает, что х является элементом множества А. Обычно прописные буквы обозначают множества, а строчные—элементы множества. Например, множество образцов, измеренная толщина (х) которых не выходит за заданные пределы (от 1,37 до 1,65 см), можно обозначить как

А = {1,37; 1,38; 1,39; ...; 1,64; 1,65},

или

А' = (х:1,37<х<1,65}.

(Это означает, что множество Д' состоит из всех значений х, удовлетворяющих условию 1,37^ х^ 1,65.) Эти два множества А и Д' не одинаковы, если х не измеряется с точностью до 0,01 см.

Два множества А и В равны (Д = В), если все элементы множества А являются также элементами множества В, и наоборот. Обозначение А а В означает, что А является подмножеством множества В. Это значит, что все элементы множества А являются также элементами множества В. Если А а В и В а А, то А^В.

Пример 3.1. Пусть А = {х:0 <х^ 2}, В=Цу;у^0, 1,2}, С — ^{z:0^z^l} и Z) — {0, 1, 2}. Тогда справедливы следующие соотношения: ВаА, СсД, B^D и Dc:A.

Вероятность определяется как некоторая мера на множествах, соответствующих рассматриваемым сложным событиям. Предполагается, что эта мера аддитивна над счетным числом непересе- кающихся множеств. (Два множества А и В являются непересе- кающимися, если у них нет общих элементов.)

Концепция последовательных испытаний

Второй подход основан на понятии последовательных испытаний. Модель строится в предположении, что рассматривается последовательность наблюдений (часто называемых испытаниями); в каждом случае отмечается, произошло или не произошло определенное событие, обозначаемое Е. Под событием может подразумеваться почти любое наблюдаемое явление, но всегда должна существовать последовательность (абстрактных) испытаний, которую можно рассматривать как часть очень большой последовательности. Обозначим число испытаний, в которых наблюдается событие Е после N первых испытаний, через nN- Полагаем, что если существует вероятность появления события Е в этой последовательности, то существует предел

lim !LEN 1

равный этой вероятности и обозначаемый как Рг[£].

Обычно nN называется частотой, a nNjN — частостью появления события Е в первых N испытаниях. В данном случае вероятность определяется как предел частости в длинном ряду испытаний.

Следует заметить, что это определение невозможно проверить непосредственно в том смысле, что мы не можем получить беско-

нечную последовательность (реальных) испытаний и обнаружить, действительно ли существует единственное предельное значение отношения nN!N. Разумеется, это определение достаточно хорошо согласуется с нашими интуитивными представлениями, однако следует иметь в виду, что оно основано на идее бесконечной последовательности испытаний, а не на реальной последовательности, какой бы большой она ни была.

Основанием для использования любого из этих определений (или какого-либо другого) является полезность результатов в различных ситуациях. Если эти результаты получают по существу одинаковую интерпретацию, то не имеет значения, какой именно подход используется.

Основные свойства

Определение вероятности, основанное на концепции последовательности испытаний, имеет вид

Рг[£] = Иш^.

L J N

Поскольку nN и N — неотрицательные числа, a nN не больше N,

N .

Следовательно,

0<Рг[£]^1.(3.1)

Если событие Е появляется при каждом испытании, то nN= N и nN/N = 1 для всех N, поэтому

Рг[£]=1.

Это соотношение можно сформулировать следующим образом: „Вероятность достоверного события равна Г*.

Поскольку возможно, что ИтпЛ,^=1 при nN^N для лю-

бых значений N, то обратное утверждение не всегда справедливо, т. е. вероятность, равная 1, не обязательно означает достоверность.

Если событие Е никогда не появляется, то п^=0и nN/N=0 для всех N, поэтому

Рг[£] = О.

Это соотношение можно сформулировать следующим образом:

„Вероятность невозможного события равна 0“.

И в данном случае обратное утверждение не всегда справедливо, так, как возможно, что limrajV/A^ = 0 даже при пЛ, >0.

Несмотря на сделанные оговорки, полезно рассматривать вероятность, изменяющуюся от (почти) невозможности до (почти) достоверности (от 0 до 1).

При теоретико-множественном подходе мера появления всех возможных событий (в любой конкретной задаче) произвольно принимается равной 1, а мера пустого множества (т. е. множества, не содержащего никаких элементов) равна О,

СЛОЖНЫЕ СОБЫТИЯ

Чтобы применять теорию вероятностей, необходимо уметь связать вероятность появления сложного события с вероятностями появления составляющих его более простых событий. Это оказалось возможным благодаря использованию двух стандартных способов комбинирования двух событий, называемых объединением и пересечением.

Объединением двух событий fj и Ег является событие, которое происходит при появлении события Ег или Ег либо обоих. Символически объединение обозначается как ЕгиЕе.

Пример 3.2. Допустим, что проверяются две характеристики металлической пластины—толщина и качество покраски. Пластина бракуется, когда ее толщина превышает 6,35 мм либо качество покраски не превышает 8 баллов по заданной произвольной шкале. Обозначим первое событие через Ev а второе через £а. Тогда объединение событий Et U Ег представляет собой событие, приводящее к браковке пластины, т. е. пластина бракуется, если появляется событие Ег или событие Е3 либо оба.

Это определение можно непосредственно распространить на случай более двух событий. Например, если Е3— третье событие, то событие (£t и Е$) U Е3 имеет место в том случае, когда происходит одно из событий: (^USs) или Е3 либо оба, т. е. появляется одно из событий Ev Ev Е3 либо любая их комбинация. Проще говоря, происходит хотя бы одно из событий ■ Др Ег или Е3. Очевидно, что (EL U Е^ U Е3 = Et U (Ег и Е3), и запись в виде Et U Et U Е3 имеет однозначный смысл.

Пересечение двух событий Е^ и Е2 представляет собой событие, которое происходит при появлении обоих событий Ех и Ег. Символически пересечение событий записывается как ^flfg.

Пример 3.3. В примере 3.2 событие ЕгпЕа происходит, когда толщина пластины превышает заданное значение и качество покраски является слишком низким.

Если Е3 — третье событие, например чистота поверхности менее 6 единиц по некоторой произвольной шкале, то ^Ег п Е2) Л Е3— событие, которое происходит при появлении событий Е^\Ег и Е3, т. е. всех трех событий. Это событие однозначно обозначается как Е^ЕзЛЕз-

Эти два определения можно распространить на любое число событий к. Таким образом, запись в виде Ех и£2 U ... U Ек означает, что происходит хотя бы одно из событий Ev Ег,..., Ек, а запись в виде Е) Л Ег Л • • - Л Ек означает, что происходят все события Ev Е3, ..., Ек.

Комбинируя эти две стандартные формы, можно построить более сложные комбинации событий. Например, запись в виде Е, U (Е2 Л Е3) означает, что происходит событие Ev либо события Е2 и Е3, либо все три события.

Однако таким способом невозможно обозначить событие, означающее, что событие Е не происходит. Для этой цели вводится такое понятие, как дополнительное событие. Событие, дополнительное к Е, обозначается как Е. Если происходит событие Е, то событие Е не происходит; если же происходит событие Е, то событие Е не происходит.

Событие Е можно комбинировать с другими событиями описанными выше способами.

Событие ЕХЛЕ2 означает, что происходит событие Еп а событие Е2 не происходит.

Событие Ej (J Е2 U Е3 имеет место, если не происходит хотя бы одно из событий Ег и Е3, либо происходит событие Ev Это означает, что либо происходит событие Ev либо не происходят события Е2 или Е3, либо появляется любая комбинация этих трех элементарных событий.

События (Ej и Е2) и (Ei Л Е2) идентичны; каждое из них представляет собой событие „ни Ev ни Е2“.

Пример 3.4. Если в N испытаниях событие Е появляется it раз, то событие Е обязательно появится (^—п) раз. Поскольку

Pr[E] = lim -£-, Pr[E] = lim ^

и n/N + (N—n)/N = 1, to

Pr[E] + Pr[E]=l.(3.2)

При теоретико-множественном подходе для описания событий Используются множества. Например, в случае изготовления

пластин событием Et может быть множество пластин, толщина которых меньше заданной (т. е. множество бракованных пластин), а событием £2— множество пластин, цвет которых не удовлетворяет заданным требованиям, Тогда множество Et и Е2 можно представить, как показано на рис. 3.1, а. Это множество всех пластин, не удовлетворяющих одному или обоим требованиям. Более темная область на рис. 3.1,6 изображает множество

a) £,U£2a) £,U£2Рис. 3.1. События Ех и Е2.Рис. 3.1. События Ех и Е2.

a) £,U£2

a) £,U£2

Рис. 3.1. События Ех и Е2.

Рис. 3.1. События Ех и Е2.

пластин, не удовлетворяющих обоим требованиям, а именно событие Ех(АЕ2. Диаграмму, изображенную на рис. 3.1, часто называют диаграммой Венна.

* Пример 3.5. Рассмотрим графическое представление событий Ег и Е2 (рис. 3.1). Без потери общности можно принять, например, что Ех и £2 —события, рассмотренные в примере 3.2 (событие Ег— толщина, превышающая 6,35 мм, и событие £2 — качество покраски ниже 8 баллов). На рис. 3.1, а изображено объединение (логическая сумма) событий Ех и £2 фх и £2), которому соответствует вся заштрихованная область. С точки зрения рассматриваемого примера вся эта область представляет собой сложное событие, состоящее в том, что изделие является дефектным. На рис. 3.1,6 более темная область представляет собой пересечение (логическое произведение) событий Ег и £2 (£t п £2), т. е. сложное событие, состоящее в том, что изделие является дефектным по двум причинам (несоответствие по толщине и качеству покраски). На рис. 3.2 показано пересечение событий Е,, Е, и £3.

Дальнейшее развитие некоторых основных положений теории вероятностей может проводиться в соответствии с концепциями разд. 3.1.1 или разд. 3.1.2. Мы будем следовать подходу, основанному на рассмотрении последовательности испытаний, хотя

вполне можно было бы использовать теоретико-множественный подход. С данным подходом читатель может познакомиться в литературе [3, 8].

УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

Допустим, что в последовательности испытаний наблюдается появление двух событий Et и £2. Нас интересует исследование возможной связи между этими двумя событиями. Естественно разделить последовательность испытаний на две подпоследовательности в соответствии с появлением или непоявлением события Ег и определить частоты появления другого события Е^ в каждой из этих подпоследовательностей. В частности, можно определить вероятность появления события Е^ в каждой из двух подпоследовательностей, если существуют соответствующие пределы.

Эти вероятности (если они существуют) называются условными вероятностями. Вероятность появления события £2 в подпоследовательности испытаний, в которой имеет место событие Et, называется (условной) вероятностью появления события Е^ при условии появления события Ег и обозначается как Pr^lfJ; вероятность появления события £2 в другой подпоследовательности испытаний обозначается как Pr[£2|£j. Очень часто определение „условная" можно опустить, так как слова „при условии появления события £/ уже означают, что вероятность является условной.

Если при первых N испытаниях событие Ех (и не £2) появляется пх раз, событие £а (и не Е^ появляется иа раз, а оба

события (Ef и Еа) появляются ni2 раз, то

Рг[Е2]= Нт(3.3)

а

И

(35)

Эти определения условной вероятности справедливы и в том случае, когда Et и (или) Еа заменяются сложными событиями. Например, Рг [Ег и Е2|Е3 П Е4] означает вероятность появления события Ei или события Е2 (либо обоих) при условии, что происходит событие Е3 и не происходит событие Е4.

В общем случае три вероятности, заданные формулами (3.3)—

не равны. Однако если любые две из них равны, то и третья вероятность равна их общему значению, за исключением некоторых частных случаев. Чтобы показать это, заметим, что

^24-^12 (1^14-^12)^2। ^14” ^12- Л

N \ N J N —n4 —л12"4" N П14-П12

Переходя к пределу, когда N стремится к бесконечности, получаем

Рг [Ед] = {1 - Рг №П Рг [Е, | Д] + Pr [EJ Рг [Eg IEJ.

Допустим теперь, что

Pr[Eg] = Pr[Eg|Ei], Тогда

{-1 - Pr [EJ} Рг [Ед] = {1 - Pr [Ei]} Рг [Ед|Е“].

Если Рг [EJ #= 1, то

Prt£J=Pr[£,|Sj = Pr [£,!£,].

Эго соотношение может, быть справедливо даже при Pr[Ej=l, но это возможно не всегда.

Читателю предлагается рассмотреть другие случаи самостоятельно, начиная с любых двух выражений (3.3) —(3.5).

Если условие Рг [Е2] = Pr [Е21EJ выполняется, на частость появления события Е2 в длинной последовательности не влияет появление или непоявление события Ev Когда это условие выполняется, говорят, что событие Е2 не зависит от события Et.

Согласно этому определению, событие Et не зависит от события Ед, если Рг[Е1] = Рг[Е1|Е2]. В следующем разделе мы

покажем, что если событие Ег не зависит от события Ev то событие Et не должно зависеть от события Ег (и наоборот), если только Рг[Е2]^=0. Это означает, что независимость, определяемая выше, является взаимным свойством, и можно сказать, что события Ег и Е, независимы (друг от друга).

При рассмотрении множеств из трех и более событий следует иметь в виду, что попарная независимость еще не гарантирует, что какое-либо одно событие будет независимым от любой комбинации других событий. Этот случай рассматривается в примере 3.6.

Пример 3.6. В сумке находятся девять шаров: три желтых, один белый, один красный, один голубой и три разноцветных. Разноцветные шары окрашены в следующие цвета: один в белый, синий и желтый, один в красный, белый и желтый и один в красный, синий и желтый. Шар вынимается из сумки случайным образом (т. е. вероятность вынуть какой-либо один конкретный шар равна 1/9). Пусть Ev Ev Е3 и Е4 —события, состоящие в том, что вынуты шары, имеющие желтый, белый, красный и синий цвета соответственно.

Тогда

Рг [Е2] = Рг [Е3] = Pr [EJ = 3/9 = 1/3.

Кроме того, Рг[Е2|Е3] = 1/3, поэтому события Е2 и Е3 взаимно независимы.

Аналогично, Е2 и Е4 — независимые события, события Е3 и Е4 также независимы. Однако событие Е3 Л Е4 может произойти только в том случае, если вынутый шар окрашен в красный, синий и желтый цвета, поэтому Рг[Е2|Е3 А Е4] = 0#Рг[Е2]. Следовательно, событие Е3 и сложное событие Е3[\Е4 не являются независимыми.

Можно также показать, что события Е, и £, и события Ег и Е3 взаимно независимы, но Рг [Ех | Еа Л Е3] = 1, поэтому Et и Е2П£а — не являются взаимно независимыми событиями.

ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

В этом разделе мы докажем две фундаментальные теоремы, которые используются при вычислении вероятностей сложных событий (при допущении, что все соответствующие вероятности существуют).

Теорема 3.1

Pr [Ех U EJ = Pr [EJ + Рг [Е2] - Рг [Ех Л ЕД.(3.6)

Доказательство. Используя те же обозначения, что и в разд. 3.3, имеем

Рг[Е1иЕ2] =,

Pr[£J= lim ^L2; Pr[E2] = lim ^Ц^2.jV 00'*N co

РгЕЕ1Г)Е8] — Um ^-

Поскольку n14-n2 + n12 = (n1 + n12) + (n2 + n12) — и12, деля обе части этого равенства на N и переходя к пределу когда N стремится к бесконечности, получаем выражение (3.6).

Теорема 3.2

PrE^nEa-PrEEaPrE^lEJ.(3.7)

Доказательство. Ограничимся вначале случаем PrEEJ^O. По определению

Рг[Е1ПЕ2]= lim ^-

N со

И

Рг[Е2|Е1] = limN ооРг[Е2|Е1] = limN оо«12«1+ «12«12«1+ «12

Рг[Е2|Е1] = lim

N оо

Рг[Е2|Е1] = lim

N оо

«12

«1+ «12

«12

«1+ «12

Поскольку эти вероятности лежат между 0 и 1 включительно и

«12«1+ «12«1 2

N “ N «i + «j2 ’

то

Нт -^ =N^ оо /vНт -^ =N^ оо /vПт Д+Д* пт _2^_

Нт -^ =

N^ оо /v

Нт -^ =

N^ оо /v

N-f» N N -> oo "1+ n4

что доказывает справедливость теоремы.

Допустим теперь, что Рг[Е±] = О, а вероятность PrEEJEJ может принимать любое значение от 0 до 1 включительно. Но PrEEjnE2] не может превышать PrEEJ. Следовательно, если PrEEJ = O, то Pr EEj П Е2] = 0, и обе части уравнения, выражающего теорему, равны 0 (и, следовательно, равны друг другу).

Используя определение независимости событий, данное в конце разд. 3.3, видим, что если событие Е2 не зависит от события Ev то теорема 3.2 принимает более простой вид

Рг[£1пЕ2] = Рг[Е1]Рг[Е2].(3.8)

Меняя местами события Ег и Е2 в теореме 3.2, получаем

Рг[Е1пЕ2] = Рг[Е2]Рг[Е1|Еа].

Следовательно, уравнение (3.8) справедливо также, если событие Ег не зависит от события Е2. Действительно, если при Рг[£2]=^0 событие Е2 не зависит от события Ev то событие Et должно быть независимо от события £2. Итак, в этом случае имеем

Рг[£,]Рг[£2] = Рг[£2]Рг [£,!£,], откуда следует, что

если Рг[£2]#=0.

Аналогично если Рг[£а=/=О и событие Ег не зависит от £2, то £2 не зависит от Ev

Если ни вероятность Pr[£J, ни вероятность Рг[£2] не равны нулю, то независимость должна быть общим свойством этих двух событий. Это означает, что если событие Ег не зависит от события £3, то событие £2 должно быть независимым от Ev и наоборот.

Частный случай теоремы 3.1, аналогичный специальной форме (3.8) теоремы 3.2, можно получить, если положить Рг [£х Г) £2] = 0. Это условие выполняется обязательно, если совместное появление событий Ег и £2 невозможно, т. е. если эти события взаимно исключающие (несовместные). (Например, если Ег — событие, состоящее в том, что при бросании кости на верхней грани выпадает 1, а £2 —событие, состоящее в том, что при бросании этой же кости на верхней грани выпадает 2, то это несовместные события, так как на верхней грани не может появиться 1 и 2 одновременно.) В.этом случае

Pr[£1U£2]=Pr[£1] + Pr[£2].

Теоремы 3.1 и 3.2 остаются справедливыми, если ограничиться подмножеством испытаний, в котором появляется, например, событие G. В этом случае имеем (из теоремы 3.1)

Pr[(£1u£2)|G] = Pr[£1|G] + Pr[£2|G]-Pr[£1n£2|G] (3.9) и (из теоремы 3.2)

Рг \Ег П £21G] = Рг [£г | G] Рг [£21Е, n G].(3.10)

Каждую из двух теорем легко обобщить на случай произвольного числа событий.

Заменяя в теореме 3.1 событие £2 сложным событием £2и£3, имеем

Prt^u (£2U£3)] = Pr[£1] +

+ Рг[£2и£3]-Рг[£1П(£2и£з)]. (З.Н)

Здесь £1Л(£2и£3)—сложное событие, состоящее в том, что происходит событие Ег и одно из событий £2 или £3 либо оба,

что эквивалентно появлению одного из событий £tn£a или ftflfs либо обоих. Поэтому можно записать

£, Л (£2 U Е^ = <ЕХ Л Е^ U (£i П Е3\

Применяя теорему 3.1 к вероятностям Pr [£2 U £3] и Рг [(£х f) Е^ U U ^Ех Л £3)] в выражении (3.11) и используя соотношение (£1Л£2)Л(£1Л£3) = £1П^ЛДр после преобразований получаем Рг [£, и Е, U £3] = Pr [£J + Рг [£а] + Рг [£,} -

—{Рг [£а л £3] + Pr [£i Л £3] + Рг [£г Л £VD + Рг [£t Л £2 Л £,].

(3.12)

Повторяя эту процедуру для к событий Ev Ег> ..., Ек, получаем формулу. Уоринга:

' ь 16

РгРги Е. - 2 Pr[£/]-SS Рг[£/ л £/'] + ./ = 11 / = 1 кг

Рг

Рг

+ S 2 2^ IE, П Е,- u£,-l- • ■ • +(-!)**> Pr+ S 2 2^ IE, П Е,- u£,-l- • ■ • +(-!)**> Pr*n E, L/=i .*n E, L/=i .(3.13)(3.13)

+ S 2 2^ IE, П Е,- u£,-l- • ■ • +(-!)**> Pr

+ S 2 2^ IE, П Е,- u£,-l- • ■ • +(-!)**> Pr

*

n E, L/=i .

*

n E, L/=i .

(3.13)

(3.13)

В этой формуле

U ^^^u^U -.Uf»;

n Е.-^П^А ... №•

Если все к событий являются несовместными, то формула Уоринга приобретает легко запоминающуюся форму

РгРг«А -2Рг[Е;].«А -2Рг[Е;].(3.14)(3.14)

Рг

Рг

«А -2Рг[Е;].

«А -2Рг[Е;].

(3.14)

(3.14)

Обратимся теперь к теореме 3.2. Если заменить Ег на^ЛЕз, то будем иметь

Рг [£х л £2 Л £3] = Pr [EJ Рг [£, л £3|£1].

Используя снова теорему 3.2 в виде формулы (3.10) и заменяя G на £1Г получаем

Рг [£а Л £3|£J = Рг [f.lEJ Рг [£3|Е1 Л £2].

Следовательно,

Pr [£t Л £а Л £3] = Pr [£J Pr [f.lEJ Рг [ОД Л EJ.(3.15)

Разумеется, эти события можно брать в любом порядке. Правую часть формулы (3.15) можно записать, например, как.

Рг[£а]Рг[£3|£а]Рг [£,!£, Л £J.

Повторяя эту процедуру для к событий Ev Е^ ..., Ек, получаем формулу

Если события взаимно независимы, то

РгРг™ & т &П£/ =ПРг[^].L/=i J /=1™ & т &П£/ =ПРг[^].L/=i J /=1(3.17)(3.17)

Рг

Рг

™ & т &

П£/ =ПРг[^].

L/=i J /=1

™ & т &

П£/ =ПРг[^].

L/=i J /=1

(3.17)

(3.17)

Пример ^Л. Допустим, что вероятности наличия у изделий дефектов по каждому из трех свойств равны Рг[£1] = 0,03, Рг [£2] = 0,05 и Рг [£3] = 0,02 соответственно. Если предположить, что эти три события взаимно независимы, то вероятность появления в одном изделии всех трех дефектов равна

Г 3 1

Рг п £У | = П Рг [£/1 = 0,03.0,05-0,02 = 0,00030.

L/=i J /=1

Теорема 3.3 (теорема Байеса). Если событие Е можно разделить на к несовместных событий Ev Е2Ек, а событие Н на I несовместных событий Hv Нг, ..., Нр то

£/ПЯ = (£/пЯ1)и(£/АЯ,)и ... U^D//,) и

Рг [Ez Л/7]= S Рг [^ПЯД.

Если Рг [Я] = 1, а Рг [£Д =# 0, то

n.rW ic-л _РГ№ЛЯУ]^ Pr[£, n^l

РЦлия,]— рг[£/]— I

2 Рг [Е/ п НД

/ = 1

и, согласно теореме (3.2), рг№|е,.]=^!^№_.(з.18)

£Рг|Е,|И,)Рг|Яу1

Эта формула позволяет определить условные (апостериорные) вероятности Рг [//у | £z] с помощью обратных условных вероятностей Pr[£z|//y], если известны априорные вероятности Рг[//у]. Теорема Байеса является очень мощным средством статистичес-

3 № 819

кого анализа, когда выполняются условия ее применимости. Ситуации, в которых может использоваться теорема Байеса, время от времени встречаются в последующих главах этой книги.

Пример 3.8. Три предприятия Hv Ha и Н8 поставляют алюминиевые оконные рамы фирме „Оптима“. Предприятие Нг поставляет 25% рам, предприятие Нг—50%, а Н8—25%. Предприятие Ht изготавливает 2% дефектных рам, предприятие Нг—1%, а Н8 — 0,5%. Проверяется одна рама (изготовитель неизвестен) и оказывается, что она дефектна (D). Какова вероятность того, что ее поставило предприятие Ну? Имеем Рг [ЯП = -0,25, Рг[Я2] = 0,50, Рг[Я3] = 0,25, Рг [01^1 = 0,02, Рг[П|Я2] = 0,01 и Рг [D | Я3] = 0,005.

Получаем Рг № | D] - ,р> № П Д| _ Рг №1 Р, [О | »,1 _

2 Рг № П 012 Рг [Я,] Рг [010,1

i = l1 = 1

0,25-0,02= П 44 — 0,25 0,02+ 0,50-0,01 + 0,25-0,005’

Аналогично можно вычислить

Рг [Я2|О] = 0,44,Рг [Я31D] = 0,11.

(Вследствие ошибок округления в данном случае сумма вероятностей оказалась равной 0,99, а не 1,00.)

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

При измерении определенной характеристики какого-либо объекта получаем некоторую величину X, которая обычно является действительным числом. Можно определить Е как событие, состоящее в том, что X не больше х, где х— некоторое заданное действительное число. В последовательности испытаний, т. е. при выполнении измерений для некоторой последовательности объектов, иногда может появляться событие Е. Если частость появления события Е = (Х^х) стремится к некоторому пределу при любом значении х, т. е. когда вероятность Рг [Х<х] существует для всех действительных чисел х, то X называется случайной величиной.

Важность этого понятия совершенно очевидна. При проведении прикладных научных исследований выполняются измерения, и результаты измерений представляют собой последовательности чисел. Очень часто обнаруживаются закономерности среди этих чисел. Если общие условия эксперимента достаточно стабильны,

то вполне приемлемо принять допущение о существовании вероятностей Рг[Х^х]. Таким образом, случайные величины являются существенным элементом любой модели, предназначенной для описания условий и результатов очень многих научных исследований.

Обычно рассматриваются два типа случайных величин: дискретные и непрерывные. Эти два класса не охватывают всех случайных величин, но для практических целей можно построить удовлетворительные модели, используя только эти два типа случайных величин или их комбинацию.

Дискретная случайная величина принимает одно из множества различных (дискретных) значений; вероятность появления какого- либо одного данного значения больше нуля. Символически эта вероятность выражается как

Рг[Х = xj = р£, 1, 0, 1

(Индекс I может принимать значения от —оо до + оо.)

Дискретные случайные величины особенно хорошо подходят для описания измерений, принимающих целочисленные значения, например таких, как число дефектных изделий, число телефонных вызовов, число дефектов в изделии, т. е. фактически любых измерений, основанных на счете. Однако дискретные случайные величины могут использоваться для измерений более широкого класса. Строго говоря, они должны использоваться при любых измерениях, так как на практике измерения выполняются с точностью до некоторого значения; длина измеряется, например, с точностью до 0,01 см, вес—с точностью до 0,1 унции, время — с точностью до 0,2 с и т. д. В этих случаях фактически наблюдаемые величины могут принимать лишь одно из множества возможных различных значений: длина —..., 9,98; 9,99; 10,00; 10,01; ...см; вес—0,0; 0,01; 0,02; ... унции; время—...; 5,0; 5,2; 5,4; ... с и т. д.

Однако в этих случаях число возможных значений часто бывает настолько велико, что значительно удобнее представлять измерение в виде непрерывных случайных величин, которые могут принимать любое значение в некотором интервале. В этом случае вероятность того, что будет получено какое-то из возможных значений (фактически таких значений бесконечно много), должна быть равна нулю. Это следует из того факта, что число значений с ненулевыми вероятностями является счетным, т. е. множество значений может быть упорядочено. [Это можно видеть из того факта, что значения с ненулевыми вероятностями можно объединить в группы с вероятностями появления от т-1 до (m + l)-3j для т—1, 2, ..., каждая из которых может содержать лишь Некоторое конечное число значений, фактически меньшее (/п+1).] Однако все значения в любом непрерывном интервале не могут 3»

быть записаны подобным образом, и поэтому существуют некоторые значения, имеющие нулевую вероятность. Формальное определение непрерывных случайных величин дается в разд. 3.6.

ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Различие между двумя видами случайных величин наглядно проявляется при изучении свойств вероятности Pr [X ^ х]. Следует напомнить, что существование вероятности Рг [X ^ х] для всех значений случайной величины X было основой для определения случайной величины, данного в начале разд. 3.5.

Очевидно, что Pr [X ^ х] для данной случайной величины является некоторой функцией х (в обычном математическом смысле). Запишем эту функцию в следующем виде:

Pr[X<x] = Fx(x).(3.19)

Заметим, что FxM всегда обозначает функцию распределения случайной величины X, а не конкретную математическую функцию переменного х.

Допустим, что X—дискретная случайная величина с вероятностями

Рг[Х = х,.] = р,, где

<

уYY Y Y

л g л j•

События (X = xz)—несовместные, так как случайная величина X принимает каждый раз только одно значение, поэтому

S Pt = ii

(суммирование производится по всем значениям i). Рассмотрим теперь значение вероятности Рг[Х^х], где х/_1^х<х/. Событие (X ^ х) представляет собой объединение несовместных событий (Х = хе) для всех Z^/—1. Используя соотношение (3.14), получаем

Fx (х) = 5 Pi (х^ < х < Xj\

Аналогично

Fx(x) = 5 Pi + P) (x,<x<xJ+1\

Поэтому функция Fx^ остается постоянной при Xy„j<x<xy и в точке х —Ху возрастает на величину pj = Pr [X = х7-]. Fx^ является ступенчатой функцией (рис. 3.3). Это типичная функция распределения любой дискретной случайной величины.

Рис. 3.3. Распределение дискретной случайной величины.Рис. 3.3. Распределение дискретной случайной величины.

Рис. 3.3. Распределение дискретной случайной величины.

Рис. 3.3. Распределение дискретной случайной величины.

Пример 3.9. Если Рг[Х = х] = 2~* при х=1, 2, 3, ..., то

Fx(5)= 2 2-* = 31/32 и

Рг[З^Х<6] = Рг[1<Х<5]-Рг[1<Х<2] = |-4=1.

Возвращаясь к непрерывным случайным величинам, рассмотрим вычисление вероятности

Рг [х, < X < х2] = Fx (х2)—Fx (xj

для любой пары значений xi<x1 в некотором интервале возможных значений х. Имея в виду замечания, изложенные в конце разд. 3.5, видим, что в данном случае ни в одной точке невозможны скачкообразные изменения, как на рис. 3.3. Однако при ха> х4 имеем Fx^x^^-Fx^x^, если Fx(x)—возрастающая функция х (в интервале рассматриваемых значений). Назовем случайную величину X непрерывной, если функция Fx(x) является непрерывной. Это означает, что за исключением сравнительно небольшого числа точек, должна существовать производная функции Fx(xY Кроме того, поскольку из непрерывности функции Fx(x) следует, что lim Fx^ = Fxlxab

x->-xt

имеем

и посколькуи посколькуlim Pr [xt < X < х2] = О,Xi -> ха

и поскольку

и поскольку

Pr [X = х2] < Pr [xj < X < ха],

то Рг[Х = х2] = 0 при любых х2. Следовательно, непрерывные случайные величины обладают тем весьма неудобным свойством, что вероятность появления какого-либо конкретного значения равна нулю. Вспомним, однако, что, как говорилось в разд. 3.2, нулевая вероятность не означает невозможности. Следует заметить, что вследствие этого особого свойства непрерывных случайных величин нет необходимости задумываться над тем, как правильно писать: (Xj^X<x2), (xf < X < х2) или (хх^Х^х2)—все эти события имеют одинаковую вероятность появления. В случае непрерывной случайной величины важную роль играет вероятность попадания в заданный интервал (как, например, рассматривавшаяся выше вероятность Рг [xt ^Х < х2]), а не вероятность появления определенного численного значения.

Мы уделили некоторое внимание различию между функциями распределения дискретных и непрерывных случайных величин и заключаем этот раздел перечислением свойств, общих для всех функций распределения. К ним относятся следующие:

O^^xW^^

Fx^x)—неубывающая функция х.

Так как Fx^—вероятность, то свойство 1 следует непосредственно. Относительно свойства 2 заметим, что если хх < хг, то

(X < х^ =\Х ^ хх) + (Xj < X ^ х^, т. е.

^ М = Fx (^1) + Pr k < X ^ ха] > Fx (xj.

Еще одним свойством, которым обладают почти все рассмотренные функции распределения, является следующее:

lim F*(x) = 1; lim Fx^ = 0.. Х-> »х ->- 00

Это означает, что фактически с вероятностью, большей нуля, х не становится бесконечно большой величиной.

ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

В случае непрерывных случайных величин производная F х(х) = = (d/dx) [^(х)] существует почти для всех значений х. Эта ве- личина имеет исключительно важное значение при аналитическом исследовании непрерывных случайных величин. Она называется плотностью распределения вероятностей [и обозначается Ру(х)ф Заметим, что рх(х\ как и Fx(x\ описывает свойство случайной величины X, а не просто какую-то математическую функцию х.

Любопытно рассмотреть, почему pxW называется плотностью распределения вероятностей. По определению для непрерывной

случайной величиныРг [Xjслучайной величиныРг [Xj<Х<ХХъ<x4A=\px^dx,xvХъ<x4A=\px^dx,xv(3.20)(3.20)где Xi <где Xi <х2.х2.

случайной величины

Рг [Xj

случайной величины

Рг [Xj

<Х

<Х

Хъ

<x4A=\px^dx,

xv

Хъ

<x4A=\px^dx,

xv

(3.20)

(3.20)

где Xi <

где Xi <

х2.

х2.

Полагая xt--=x—^(бх)» х2 = % + 1/2(6х), имеем

х+(бх)/2

Рг [х — % ^х) < X < X + Va (6х)] = J Рх («) du № рх (х) (бх), х-(бх)/2

(3.21)

если бх мало. Поэтому рх(х) можно рассматривать как плотность вероятности в окрестности х. Это доказательство не является строгим, и оно служит лишь для установления полезной основы для понимания природы плотности вероятности рх(х).

СОВМЕСТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Если X и У—две случайные величины, то вероятности Рг [X ^ х' и Рг [У < у\ существуют. Если вероятность Рг [X ^ х, Y ^ у существует для всех х и у, то функция совместного распределения случайных величин X и Y определяется по формуле

Fx, у (х, у) = Рг [X < х, Y < у]. (3.22)

Если X и У—дискретные случайные величины, то функция Гх, у(х, у) будет скачкообразно изменяться в каждой точке, соответствующей паре значений Х=хф V = yj3 где существует ненулевая вероятность. Если X и У—непрерывные случайные величины, то плотность их совместного распределения Рх.у^х.у) определяется с помощью уравнений

Рг [(X, У) в области 5?] = ^ $ pXi Y(х, у) dxdy, (3.23)51

где (X, У) обозначает точку с координатами X и У, а 5?—любая односвязная область в плоскости (х, у). Легко показать (беря область 51, определяемую неравенствами Х^х, У^у, и дифференцируя), что

рх>у(х,у^ = д-^УЫ.

дхду

Не представляет труда перейти к совместным распределениям большего числа случайных величин.

Функция совместного распределения т случайных величин Хъ Х2, ..., Хт имеет вид

Рг Г П (Ху ^Ху)1 = ЕХ1хт (Хр .. •, х„),(3.24)

а плотность вероятности равна

Рх1х„(х„ . • .,xj - дХ1дхг...дхт •^,25^

Распределение каждой отдельной случайной величины называется частным (маргинальным) распределением. Функцию распределения случайной величины Ху легко найти, полагая, что в функции FXlхт (хп ..., х„) все х, кроме хр стремятся к бесконечности.

Условие Х2^оо всегда выполняется, поэтому

Рг [Хх ^ xj = Pr [(Xt < х,) П (Ха < со)]; следовательно,

Fх, (xi) = FxlX. kxv °0)-(3.26)

Аналогично

FX1Xm-.^v ••• .xm-I) = Fxlx„(xv ...,xm-i,oo\ (3.27) Если совместное распределение случайных величин Хп ..., Хт непрерывно и имеет некоторую плотность вероятности, то с помощью соотношения (3.27) получаем

00

PxtХт-1 (xv • • 1» Хя-1) = $ Рх,Хт kxv • • • • хя) (3.28) - 00

В частности, при т = 2 имеем

Pxi(xi) “ 5 Pxt*xAxv яа)^х2.(3,29)

Условная плотность распределения случайной величины Х2 при заданном значении случайной величины Хг определяется как

Рх» 1 хх (х21^1)—р ^ ^.(3.30)

Аналогично условная плотность распределения случайной величины Хт при заданных значениях случайных величин Xt, ..Хт_г определяется как

/ IV РхУ/О 014

рхт I Х1Xm-1 кХт I Xv • * *-^^Txjn^T^^"^^

Если знаменатель в формулах (3.30) и (3.31) равен нулю, то с помощью совместной плотности вероятности мы не сможем вы-

вести выражения для условной плотности распределения случай- ной величины Х2 (или Хт) при заданных значениях xt или (хх, хт_^ соответственно.

Необходимо проводить строгое различие между условным распределением случайной величины Х2 при Хг = хг [имеющим плотность распределения (3.30)] и условным распределением случайной величины Х2 при X, ^ xv имеющим функцию распределения

Рг [Х2 < х21X, xj =.

L 221 1J FX1(x!)

Условное совместное распределение случайных величин Xt и Х2 при заданных значениях Х3, ..., Хт имеет плотность вероятности

Рх„ х, | х Хщ kxv ха I хз« • • • • хт)"Т~^ ’"—^т?~г • (3.32)

Другие условные совместные распределения определяются аналогичным образом.

НЕЗАВИСИМОСТЬ

Две случайные величины X и Y (взаимно) независимы, если события (X ^ х) и (У ^ j/) взаимно независимы для любой пары значений х и у. Это естественное и вполне понятное определение. Оно означает, что распределение значений случайной величины X не зависит от значения случайной величины Y, и наоборот.

В- случае независимости имеет место простое соотношение между совместным распределением и распределениями случайных величин X и Y:

Fx,y^ У) = Pr [X ^ х, Y < у} = Рг [X < х] Рг[У ^ у] (так как X и У —независимые случайные величины). Это означает, что

Fx» у(х> У)= Fy, у(х) Fх, укУ\(3.33)

В случае непрерывных случайных величин аналогичное соотношение существует между плотностями распределения вероятностей:

Рх, y (х. У) = Рх И Ру ^•(3-34)

Это важное соотношение можно вывести из того факта, что Pr [X < х, У С«/] = Pr [X х] Рг [У < I/] можно записать как

* Vх у

$ $ Px,y(u,v)dudv = $ 5 Px^Py^Audv

-• go — go— ® — <зр

для всех x и всех у.

ЗЛО. БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Допустим, что случайные величины Xz(t= 1, 2, ..., и) независимы и каждая из них принимает значения 0 и 1 с вероятностями 1 —р и р соответственно (0 ^ р ^ 1). Найдем вероятность того, что случайная величина

у=х1+х2+...+х„

примет значение r(r = 0, 1, 2, ..., и).

Поскольку случайные величины Хк . ,.,ХИ взаимно независимы, вероятность появления любой конкретной последовательности, содержащей г единиц и п— г нулей (т. е. У = г), равна рЦ1—рУ-г* Например, вероятность появления сложного события (Х4 — О, Х2 = 1, Х3=1, Х4 = 0) равна

(1 —р) р2 (1—р)=р2 (1—р)2.

Вероятность появления сложного события (Xj = 1, Х2 = О, Х3 = 1, Х4 = 0) также равна

Р (1 —Р) Р (1 —Р) = Р2 (1 —Р)2.

Действительно, существует I I возможных различных последовательностей, для которых У^г, т. е. последовательностей, содержащих г единиц и п — г нулей (см. разд. 1.4). Каждая из этих последовательностей появляется с вероятностью рг (Д—рУ~г, и все 0^ последовательностей несовместны. Ни для одной другой последовательности нельзя получить Y — г. Следовательно, используя соотношение (3.14), имеем

Рг[У = г] = (")/У(1—Р)""'-(3-35)

Эта формула очень важна. Она определяет распределение случайной величины У, которая принимает значения уг^г = — О, 1, . ,.,п с вероятностями рг — Рг[У = г] = ^^^(l— РУ~Г* Случайная величина с таким распределением называется биномиальной случайной величиной, а ее распределение называется биномиальным. Случайные величины Хп Х2, ..., Х„ и У являются дискретными. Единственными значениями, которые принимает каждая случайная величина X с ненулевой вероятностью, являются 0 и 1, а случайная величина У с ненулевыми вероятностями принимает только значения 0, 1,2, ..., п.

Это распределение называется биномиальным потому, что вероятности рг являются последовательными членами в формуле

разложения бинома [(1—р) + рАп- Отсюда непосредственно следует, что

2 Рг[Г = г]=1, г=0

и мы знаем, что это условие выполняется, поскольку г —О, 1, 2, ..., п являются единственными возможными значениями случайной величины У, а события (У=г) и у = г'\ где г^г', несовместны. Числа п и р, необходимые для определения этого распределения, называются параметрами биномиального распределения.

Это распределение широко используется как распределение случайной величины, представляющей собой число появлений определенного события в однородной последовательности, содержащей п испытаний.

Пример 3.10. Вероятность появления дефектного изделия составляет 0,04. Допустим, что выбраны 10 независимых изделий. Какова вероятность: а) отсутствия дефектных изделий; б) появления не более одного дефектного изделия? Поскольку р — 0,04, имеем

Pr [X = 0] = ^о ) р° (1 —руо = 0,9610 = 0,6648;

Pr [X = 1] = ( ^ ) (0.04)10,96» = 0,2770;

Рг[0<Х<1] = Рг[Х = 0] + Рг[Х = 1] = 0,9418.

ПОЛИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Рассмотрим теперь естественное обобщение задачи, приведенной в разд. 3.10. Допустим, что независимые случайные величины Х( могут принимать любое из конечного числа к различных возможных значений xv х^ ..., хк,

Рг [Xz = хД = р. для всех i и, разумеется, к

Пусть среди п значений случайных величин Xv Xv ...,Хп числу значений, равных хп соответствует величина Yv числу значений, равных х2, соответствует У2 и т. д. Тогда вероятность появления совместного события (YT = гVY2 = г Yk = гк) равна

7J7^^P?P?...P?(3.36)

4

(разумеется, при условии, что ^г^ = п; в противном случае эта 1

вероятность равна нулю). Справедливость этого результата доказывается путем непосредственного обобщения метода, используе- мого в разд. 3.10. Заметим, что пД \ Цг.Л ) обозначает число ' V=1/

перестановок п элементов, гх из которых одного рода, г2 другого рода и т. д. Распределение (3.36) ^справедливо в любом случае, когда элементы могут попадать в любую из к категорий независимо от того,, определяются ли они численными значениями.

Совместное распределение случайных величин Уп Г2, ..., Yk называют полиномиальным распределением, а случайные величины У1? У2, . ..,Yk образуют множество полиномиальных случайных величин.

Первыми конкретными распределениями, с которыми мы познакомились, были биномиальное и полиномиальное распределения. Эти распределения вновь рассматриваются в гл. 4, где вводятся также некоторые другие широко используемые распределения. Существует бесконечное множество возможных типов распределений, однако, как показывает опыт, на практике часто используется лишь ограниченное число распределений. В большинстве случаев наше внимание будет сосредоточено на этой небольшой группе, однако следует постоянно иметь в виду возможность введения некоторого необычного распределения, если это оправдывается условиями задачи.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ

Рассмотрим дискретную случайную величину Z. Пусть Pr [Z = гД = р;.; 2 Р/ = 1, a Zn Z2, ..., Zn — последовательность независимых случайных величин, каждая из которых имеет такое же распределение, что и случайная величина Z. Эта модель описывает повторные наблюдения случайной величины Z. Обозначим число значений величин Zz, равных г^ через Nр так что 2 N^n. Тогда .среднее арифметическое значение случайных величин Zt определяется как

i

Рассмотрим теперь, что происходит при увеличении п (это соответствует получению все большего и большего числа наблюдений). Согласно первоначальному определению вероятности, дан-

ному в разд. 3.1, имеем

Нт ?„= ^Ит -=^р,./1

Таким образом, видим, что среднее арифметическое случайных величин Z, стремится к постоянному числу 2Z/P/- Можно ожидать, что эта величина будет близка к среднему арифметическому, полученному по большому числу случайных величин Zt. Она называется математическим ожиданием (средним значением) случайной величины Z, а иногда математическим ожиданием распределения случайной величины Z. Чтобы показать связь этого параметра со случайной величиной Z, записывают Е (Z), однако следует иметь в виду, что это не математическая функция от Z. Фактически это некоторое постоянное число, которое точно так же, как функция распределения, является характеристикой случайной величины Z. Заметим, что Е (Z) — постоянная, поэтому в обозначении Е (Z) символ Z нельзя заменять конкретным значением. Формула для Е (Z) имеет вид

^(2) = Sz/Pr[^ = z/].(3.37)

Пример 3.11. Найдите математическое ожидание случайной величины X, если Рг [Х = г] = ^^pr(l — ру~г, где г = О, 1, ... ..., п (т. е. случайная величина X имеет биномиальное распределение).

пП / X

Е (X) = 2 г Рг [X = г] = £ г (nr) рг (1 - Ру- =г=0г = 1 4 z

= пр £ ( г -1) Рг-1 О-рУ"-1'-^ = г= 1 '

"-1 /IX

= п/>£(\ )^(1— ру-г-$ = пр.

5=0 '

Для непрерывной случайной величины Z с плотностью распределения pz^z) математическое ожидание определяется по формуле

E^Z) = J zpz^dz.(3.38)

[Заметим, что значение Е (Z) не зависит от Z.]

Это определение можно пояснить, рассматривая непрерывную случайную величину как предельный случай последовательности дискретных случайных величин, принимающих с вероятностями, приближенно равными Pxkxi^^xV значения х^ отделенные друг от друга интервалом (бх), когда длина интервала (6х)стремится к нулю. Это эвристический, а не строгий подход, который помогает уяснить данное определение.

Математическое ожидание любой однозначной функции /(X) случайной величины X определяется аналогичным образом. (Заметим, что здесь /(X) — обычная математическая функция от X.) Если X = X/, то / (X) = / (Ху) и, рассуждая, как и ранее, получаем

EVfWA^Pjf^(3.39)

/

для дискретных переменных и

00

£[fWJ= $ f^Px^dx(340)

для непрерывных переменных.

Ниже приводятся некоторые элементарные, но полезные свойства математических ожиданий. Читателю предлагается самостоя

тельно доказать их.

Если а —постоянная, то £(ах) = а£(Х).

Если а—постоянная, то Е (X + ^) = Е (Х) + а.

Е Ui (X) +f2 (X) + ... + f (X)]=

= £[Л(Х)] + £[А(Х)]+...+£[/й(Х)Г о

Последнее свойство представляет собой частный случаи важного результата, который можно сформулировать следующим

образом.

Если Xit Х2, Х3, ..., Х„ —случайные величины (зависимые или независимые), то

(

пXп

SX = S£(xz).(3.41)

1=1/1=1

Докажем справедливость этого соотношения для случая дискретных случайных величин при п = 2. Пусть

Pr [Xi = Ху] = р^, Pr [Х2 = х2 J = p2t и

Pr[Xi = x1y, X2 = x2Z] = Pyp

В данном случае (X2 = x2Z)—объединение несовместных событий (Xj —Ху, Х2 —x2Z), где / изменяется во всем интервале возможных значений. Следовательно,

p2Z = 2p/z и аналогично р1) = ^Рц- (3.42)

Теперь

е (хг+х2) = 2 2 P/z (xv + *2z)—2-^1/ 2 Pz/ + 2 х^ 2 P/z=

= 2 %ijPij + 2 xuPn — E (XJ + £ (X2).

Это доказывает справедливость данного результата для двух дискретных случайных величин (л = 2). Обобщение на случай п > 2 получается путем многократного применения результата для л = 2. Переход к непрерывным случайным величинам осуществляется аналогично. В частности, используем формулы

РхАхА = $ Px„xAxv х^йхг\ рхАхА = $ Px„xAxv * (3.43)

аналогичные соотношению (3.29).

Второй важный результат, который справедлив для взаимно независимых случайных величин, имеет вид

Е (X,X2... ХА = Е (ХА Е (ХА ...Е (ХА,(3.44)

т. е.

(

п\п

П^,- =П£№).1=1у 1=1

Докажем справедливость этого результата для непрерывных случайных величин при л —2:

Е (Х^Х2) = J ^ -^1-^2 Рхц х2 (^v ^2) dxt dx2.

Поскольку Хг и Х2 — независимые случайные величины, с помощью соотношения (3.34) получаем

Px„xAxv x»>=PxAx^PxAx»Y

Следовательно,

E(XV ХА= 5 х^хАхА^ J х^РхАхА dx2 = Е (ХА Е (ХА.

Не представляет труда перейти к произвольному значению п; читателю предлагается доказать справедливость этого результата для дискретных случайных величин.

Математическое ожидание случайной величины Y, когда У имеет распределение, обусловленное значением другой случайной реличины X, называется условным математическим ожиданием случайной величины Y при данном значении X и записывается как Е (У | X). Если это математическое ожидание рассматривается

как функция X, то оно называется также регрессией Y на X (см. гл. 12).

Иногда используется формула

£[ХП = £х№(^1^)].(3.45)

(ДИ'] обозначает математическое ожидание относительно случайной величины X.) Не представляет труда перейти к трем и большему числу случайных величин. В более общем случае условное математическое ожидание [например, (3.30) или (3.31)], рассматриваемое как функция других случайных величин, называется регрессионной функцией, или функцией регрессии. Например, функция регрессии случайной величины Х3 на (Хп Х2) имеет вид

а»

Е [*з I (^1 = ^1) П (Х2 = ^2)] ~ $ ^зРХ) I Х,Х, (^з I ^1» X4^dx8.

МОМЕНТЫ

В разд. 3.13 было показано, как вычислить математическое ожидание функции / (X) случайной величины X. Математические ожидания некоторых функций имеют важное значение. Сюда относятся случаи, когда /(Х) = (Х—а)г, где а и г —постоянные, рассматриваемые в этом разделе.

Е[(Х — а)г] называется r-м моментом случайной величины X относительно а.

Если а = 0, то имеем r-й момент относительно нуля; часто он называется r-м начальным моментом и обозначается как Цг(Х). Если а = £(Х), то имеем r-й центральный момент, который обозначается как рДХ). Если путаница не возникает, то X опускается, и для обозначения r-го начального момента и r-го центрального момента употребляются символы р, и рг соответственно. Как мы уже указывали,

р! = £(Х)(3.46)

(заметим, что р1 = 0). Момент

р2 = £{[Х-£(Х)р}(3.47)

называется дисперсией случайной величины X и часто обозначается как Var(X). Чем больше случайная величина X отклоняется от ее математического ожидания £(Х), тем больше ц2. Дисперсия измеряет изменчивость случайной величины X. Если требуется иметь показатель изменчивости, имеющий такую же размерность, что и случайная величина X, может использоваться величина р^^ —ст, называемая средним квадратическим отклонением слу* чайной величины X,

Центральные моменты {рг} можно выразить через начальные моменты ^рг}:

^-е [(X-^у] = е i (- iy (,) х-/] -

= S (- 1У (•) ^е [X-/] = ^ (- iy (J) р^;.,. (3.48)

В частности, р0 = 1, р1 = 0 и

Нг = Нг Н12>

Нз = Нз — ЗН1Нг + 2Н1'3>(3.49)

Н« = И» — 4н1Нз + 6н?И^ — Зр?.

И наоборот,

=е {[р;+(X - иоу} = ^ (Г:) н; <г*л и/-

Иногда удобно вычислять факториальные моменты

Н(Г) (X) = Е (Х<'>) = Е [X (X -1)... (X - г +1)].

Начальные моменты можно получить из факториальных моментов е помощью простых формул.

Так,

Hd) = Hi»

Н(2) "^2Н1»

Но) = р' — Зр2 + 2ро

.откуда следует, что

Н2 = Н(2)+Н(1)-Н<1).

Из ~ Н(з) + Зр(2) + р<1>3 [Н(2) +рт] Н<1) + 2p*ir

Если для дискретной случайной величины

Pr [X = Е (X) - Д] = Рг [X = Е (X) + А]

при всех Д или для непрерывной случайной величины рх[£(Х)-Д] = М£(Х) + Д]

при всех Д, то распределение случайной величины X называется симметричным. Эквивалентное формальное определение симметрии, относящееся ко всем случайным величинам, имеет вид

Fx [Е (X) - Д] + Fx [Е (X) + Д] = 1(3.50)

при всех Д, для которых Pr [X = Е (X) — Д] = Рг [X=Е (Х)+Д]=0.

Если распределение случайной величины симметрично, то р3 = Е([Х—Е(Х)]3} = 0 (как и все центральные моменты нечет-

Е№ = ^Ц.Е№ = ^Ц.(3.51)(3.51)

Е№ = ^Ц.

Е№ = ^Ц.

(3.51)

(3.51)

ного порядка), так как каждое положительное значение [X — £ (X)]3 сокращается с равновероятным отрицательным значением. Если р3 > О» то это указывает на преобладание больших положительных отклонений относительно математического ожидания; в этом случае говорят, что распределение случайной величины X имеет положительную симметрию. Если же р3 < 0, то преобладают большие отрицательные отклонения и распределение случайной величины X имеет отрицательную симметрию. Однако третий момент р3 является неудовлетворительным показателем асимметрии, так как зависит от единиц, в которых измеряется случайная величина X. Если вначале X измеряют в дюймах, а затем переходят к измерениям в ярдах, то каждое значение нужно делить на 36, а р3 уменьшается в отношении 1:363 = 1:46 656. Чтобы получить меру асимметрии, которая не изменялась бы подобным образом, р3 делится на р^2 а3. Отношение р3/р|/а обозначается через KPi> или а3. Если необходимо подчеркнуть, что этот показатель относится к случайной величине X, его записывают как ИР1(Х) или а3(Х).

Этот показатель иногда называют первым коэффициентом формы, или коэффициентом асимметрии (либо третьим стандартным моментом). Аналогичным образом приходим к определению величины p4/pi, называемой вторым коэффициентом формы, или эксцессом (либо четвертым стандартным моментом). Этот показатель обозначается символом Р2 или а4; если необходимо подчеркнуть связь со случайной величиной X, то записываем Р2(Х) илиа4(Х).

Пример 3.12. Допустим, что Х4, Х2, ..., Х„ —взаимно независимые случайные величины, имеющие общее математическое ожидание^, дисперсию о2, третий центральный моментр3=о3]/Р1= = о3сс3 и четвертый центральный момент р4 = 64р2 = 64а4. Каковы соответствующие значения моментов среднего арифметического

x-n-^+Xs+.-.+xj?

Используя формулу (3.41), получаем

Таким образом, видим, что математическое ожидание выборочного среднего равно математическому ожиданию совокупности.

Затем с помощью формулы (3.47) получаем

Var (X) = Е [(X - g)2] = Е

= ^ пЕ [(X, - £)2] + ^ п (п -1) Е [(X, — g) (X,- - £)],

где i^j; приведенные математические ожидания не зависят от значений индексов. В данном случае E[(XZ —^)2] = о2; так как случайные величины Х( и Х;- взаимно независимы, то

Е [(Xz - g) (X, - g)] = Е (X,- - g) Е (X, - g),

а поскольку Е (Х[ — g) = 0, данное соотношение равно нулю. Следовательно,

Var(X) = lno^^.(3.52)

Таким образом, мы видим, что дисперсия выборочного среднего равна дисперсии совокупности, деленной на объем выборки. Аналогично получаем

п

222№-g)(x/-g)(x;-g)

= /I-3/гр3 + О + 0 = °3 ^ или ^ (3.53)

И

И4(Х) = /г-Ч^[(Х1-^] +

+ 3n(n-l)E[(X1.-g)4Xy—g)3]} =

= п-3а4Р2 + 3 (п~- — /г-3) о4 или

п-3о4а4 4-3 (п-? —п~3) о4 при i=#j.(3.54)

Следовательно,

а3(Х) = -^ , а1(Х)=п-Ч+3(1-п"1)=3+(а1-3)п-1,

_(3.55)

V^ (X) = фЬ , р2 (Х)=и-1Р2 4-3(1—п-1) = 3+(Р-3)п-\

НОРМИРОВАНИЕ

Рассмотрим У = а + ЬХ — линейную функцию случайной величины X, где а и Ь — постоянные. Тогда математическое ожидание случайной величины У запишется как

E^ = aArbE (X),

а дисперсия случайной величины Y имеет вид

Var (У) = Е ({а + ЬХ—[а + ЬЕ (X)]}2) = Е {62 [X - Е (X)]2} = '

= №Е {[X - Е (X)]2} = Ь2а2 (X).

В общем случае r-е центральные моменты случайных величин X и У связаны уравнением

МУ) = &%(Х).(3.56)

Если принять

^оЧХ)/а»(Х)

то случайная величина Г = [X—£ (Х)]/Ко2 (X) будет иметь ма- тематическое ожидание, равное 0, и среднее квадратическое отклонение, равное 1. Это так называемая нормированная случайная величина, соответствующая X.

Поскольку

МУ) = ^Ш,МП _ рг(Х)[МПГ/2 l^WY'2’то при г = 3 и г = 4

а3(У) = а3(Х), а4(У) = а4(Х).(3.57)

В частности, нормированная случайная величина, соответствующая X, имеет такие же коэффициенты формы (коэффициент асимметрии и эксцесс) что и случайная величина X. Нормирование влияет на величины среднего значения и среднего квадратического отклонения, но не на отношения моментов.

КОРРЕЛЯЦИЯ

Допустим, что Хп Х2, ..., Хп — случайные величины и что Е(Х^^ УаЦХ^оГ

Рассмотрим теперь случайную величину

Z = агХг + а^Х^ + ... + апХп, где а—известные постоянные, Z — линейная функция случайных величин Хь

Математическое ожидание случайной величины Z имеет вид

£(Z)=S^,-.(3.58)

— 1

Дисперсия случайной величины Z может быть записана как

Var(Z) = £Var(Z) = £= Еп= Епп122а.№-^)1 = 1Jпп122а.№-^)1 = 1Jппп^аНХ^У +£ 222Му(Х,-^)(Ху-£у) =^аНХ^У +£ 222Му(Х,-^)(Ху-£у) == ^Е [(X,-S,.)2] + 2 22 а^Е№ -^ (Х^] = i=iKj= ^Е [(X,-S,.)2] + 2 22 а^Е№ -^ (Х^] = i=iKjпппп= 2 аМ + 2 22 а^Е [(X,- - £,) (Ху - ^)].= 2 аМ + 2 22 а^Е [(X,- - £,) (Ху - ^)].(3.59)(3.59)

Var(Z) = £

Var(Z) = £

= Е

п

= Е

п

п12

2а.№-^)

1 = 1J

п

п12

2а.№-^)

1 = 1J

п

п

п

^аНХ^У +£ 222Му(Х,-^)(Ху-£у) =

^аНХ^У +£ 222Му(Х,-^)(Ху-£у) =

= ^Е [(X,-S,.)2] + 2 22 а^Е№ -^ (Х^] = i=iKj

= ^Е [(X,-S,.)2] + 2 22 а^Е№ -^ (Х^] = i=iKj

п

п

п

п

= 2 аМ + 2 22 а^Е [(X,- - £,) (Ху - ^)].

= 2 аМ + 2 22 а^Е [(X,- - £,) (Ху - ^)].

(3.59)

(3.59)

Рассмотрим теперь величину Е [(X, —£,) (Ху — ^Д]. В примере 3.12 мы уже видели, что если X,- и X,—независимые случайные величины, то данная величина равна нулю. Если же эти случайные величины не являются независимыми, то эта величина не обязательно будет равна нулю. Таким образом, ненулевое значение величины £[(Х,— 5,) (Ху — ^)] свидетельствует об отсутствии независимости. Данная величина называется ковариацией между случайными величинами X,- и Ху и обозначается следующим образом:

Cov (X,., Ху) = Е [(Х,—^.) (Ху - gy)]. (3.60)

Удобно рассматривать эту величину как показатель зависимости частного вида, так как она может принимать нулевое значение, даже когда Х{ и Х^ не являются независимыми, что будет показано в приведенном ниже примере.

Пример 3.13. Случайная величина X принимает значения—1, 0, 1, а случайная величина Y принимает значения 0, 2 с вероятностями, приведенными в табл. 3.1. Вероятности, определяющие

Таблица 31

Совместное распределение дискретных случайныхвеличин

X

-1 о 1

YYо2о21/12 1/2 1/121/12 1/6 1/121/12 1/2 1/121/12 1/6 1/122/31/32/31/3

Y

Y

о

2

о

2

1/12 1/2 1/12

1/12 1/6 1/12

1/12 1/2 1/12

1/12 1/6 1/12

2/3

1/3

2/3

1/3

1/62/3 1/6

распределения случайных величин X и У, взятых в отдельности, указаны по краям таблицы. Математические ожидания случайных величин X и У определяются как

£(Х)=1.(-1)+|.0 + 4-1=0 и £(У) = |.О + 4'2 = |

соответственно.

Имеем

Е {[X—Е (X)] [У—Е (У)]}=Е [ХУ—ХЕ(Y)—YE(X)+Е (X) Е(У)]= = £ (ХУ) —£ (X) £ (У)

и

£(ХГ)-1.0.(-1) + 1.0.0 + 1.0.1 +

+ 1-2.(-1) + 1.2-0 + 1.2-1 = 0.

Следовательно,

Е {[X —Е (X)] [У—Е (У)]} = 0 —0 • у = 0.

Однако

Рг[Х<0|Г = 0] = 14-1

И

Рг[Х<0|У-2] = 1:1=4^1;

таким образом, случайные величины X и У не являются независимыми.

Если в качестве показателя зависимости использовать ковариацию £JPG — E(Xz)][Xy—Е(Ху)]}, то серьезным недостатком является то, что ее значение может изменяться при изменении единиц, в которых измеряются исходные случайные величины. Если Xt обозначает длину, а Ху—вес, то при переходе от футов к дюймам и от футов к унциям этот показатель увеличится в 12-16=192 раза без изменения реальной зависимости. Чтобы исключить такой эффект, разделим данный показатель на произведение средних квадратических отклонений 0*^.. Полученное отношение называется коэффициентом (линейной) корреляции между Х( и Ху. Обозначив его через pZy, запишем

Е {[X,--Е (X,.)] [X,—Е (Ху)]) = pijOiOj; (3.61) выражение (3.59) принимает вид пп

a2 (Z) = 2 «М + 2 25 сца^^а,.(3.62)

/ = 1< <i

Пример 3.14. Четыре элемента Л, В, С и D, размещаемые один за другим, образуют единый узел. В налаженном производстве средняя длина и среднее квадратическое отклонение длины элементов каждого типа имеют следующие значения:

авGD

Средняя длина, мм5710810861

Среднее квадратическое отклонение,мм0,0560,1700,1700,092

Элементы типа В и С должны быть подогнаны; в результате коэффициент корреляции между длинами этих элементов, используемых в одном и том же узле, равен 0,70. Коэффициенты корреляции между длинами всех остальных элементов равны нулю. Можно допустить, что между последовательными элементами нет никаких зазоров.

Какова средняя длина узла? Каково среднее квадратическое отклонение общей длины узла?

Чтобы получить ответ, возьмем среднюю длину элементов каждого типа. В соответствии с формулой (3.41) средняя длина узла равна

5,7+ 10,8 + 10,8 + 6,1 = 33,4 см.

С помощью формулы (3.62) находим дисперсию общей длины: а3 = (0,056)2 + (0,170)3 + (0,170)2 + (0,092)2 + 2 • 0,70 • 0,170 • 0,170 = = 0,10986 мм3.

Следовательно, среднее квадратическое отклонение о равно 0,33 мм.

Очень часто при использовании коэффициента корреляции pzV опускается слово „линейная“, однако следует иметь в виду, что этот показатель характеризует лишь частный вид зависимости между случайными величинами Xt и Ху.

Допустим, что

Var {X,—£ (Xz)-P [Ху—£ (X,.)]} = а'2.

Это означает, что

£ ^Xt-E (Ха-Р [Ху —£ (Ху)]}2) = а'2, т. е.

Е {[X,—£ (Хар} — 2Р£ ({[X,—£ (Ха] [Ху-£ (Ху)]}) +

+ Р2£{[Ху-£(Ху)]2} = о^ или

а2—2Рр;уа;ау + Р2а) = а'2.(3.63)

Полагаем P — pi/^/Oy; тогда формула (3.63) принимает вид o2i—2o4tplj + р1^ = о'?, откуда

^(l-p?/)^'3.(3.64)

Так как о?>0 и а'^0, 1—ру^О, то —1^р;у^1. Здесь р,у принимает предельные значения ±1, когда о'? = 0, т. е. когда X;—£(Х,) = Р[Ху—Е (Ху)] с вероятностью 1 и когда существует строго линейное соотношение между X,- и Ху. Можно считать, что ргу показывает, насколько близко соотношение между X,- и Ху соответствует строго линейной зависик ости. Другие формы зависимости (предельный случай был рассмотрен в примере 3.13) не могут быть так хорошо измерены с помощью коэффициента корреляции р,у.

Задавая величинам а, а и р, входящим в формулу (3.62), конкретные значения, можно получить ряд исключительно полезных формул. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, найденные в примере 3.12, определены при p1V = О, а, = 1/п, а, = о. Другие случаи будут встречаться в процессе изложения материала.

Если Z' =а{Х1+п,2Х1 + ... + апХ„—линейная функция случайных величин Xv Х2, ..., Х„, то

£(Z')= 2^£(Ху)

и

Cov(Z, Z') = £( ^ s О/[Х,—£(Х,.)]К 2 а;-[Ху-£(ха]И =

V U = IJ и = 1J /

= £ { 2 а^ [Ху - £ (Xар +- £<Ха][Ху -Е(Х^ } =

пп п/

= 2 aia,io$i + ’2Saiaip£/a£dj.

Когда случайные величины X не являются взаимно коррелированными, т. е. pzy = 0, го

Cov (Z, Z') = 2 а^ь

I =1

Если все случайные величины X имеют одинаковую дисперсию, т. е.

а?-= о|о^ о2, то

ппCov(Z, Z') = o2 2Cov(Z, Z') = o2 2а£а£.а£а£.

п

п

Cov(Z, Z') = o2 2

Cov(Z, Z') = o2 2

а£а£.

а£а£.

Можно показать, что если случайные величины взаимно корре- лированы и имеют одинаковую дисперсию, то необходимым и достаточным условием того, что ковариация и коэффициент (линейной) корреляции между Z и Z' равны нулю, является равенство

п

аД = 0.

i = l

Пример 3.15. Пусть X,, Х2, ..., Х„—взаимно некоррелированные случайные величины, имеющие одинаковую дисперсию а2. п

Покажите, что если Х = п-1 2 Хь то X и Ху — Х—некоррелированные величины. Найдите также коэффициент корреляции между X, —X и XjX(j^j').

Имеем XJ—X = Xj—n-Y^1Xi. Полагая Х. — Х = 2 aiXj, получаем а£ = — ц-1^^/) и aj =1—л-1. Аналогично, полагая Х=2^Х„ имеем а\ = п-'-. Следовательно, 2 aia't = п~г X ‘=।i=i

Х[1— л-1 — (л—1)л-1] = 0. Кроме того,

Var (X, — X) = о2 [(л — 1) (л-1)2 +<1 - л-1)2] = -^-о2,

Cov (Ху -X, Xj—X) = [(л —2) (л*1)2 + 2(— л-1) (1 — л-1)] о2 -

= —л-1а2.

Таким образом, по формуле (3.61) находим __ _— п-1^2 1

РХу-Х, Xj,-X ~■ [(л— 1)/л] о2 —Л —1 ‘

НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА

Пусть У—случайная величина, которая не принимает отрицательных значений. Тогда r-й начальный момент р' будет математическим ожиданием величины Yr. Для любого фиксированного а > 0 можно записать

р;=£(УО = Рг[У<а]£(У^У<а) + Рг[У>а]£(У^У>а).

Поскольку У^О,

р;>Рг[У>л]£(У'|У>а).

Ясно (в предположении, что Рг[У>а]>0), что Е(Г'|У >а) >п'.

Следовательно,

р, > Рг [У > а] аг,

или

Рг [Г > а]Рг [Г > а](3.66)

Рг [Г > а]

Рг [Г > а]

Это так называемое неравенство Маркова.

Теперь рассмотрим случайную величину X (которая не обязательно принимает только положительные значения). Случайная величина Y = | X — Е (X) | принимает только неотрицательные значения, и к ней применимо неравенство (3.66).

Так как ц' =£[| X—Е (X) |г], то, следовательно, р'г представляет собой r-й центральный абсолютный момент X, который обозначим через vr. Если г четно, то это именно r-й центральный момент X и, значит, vr = pr для четного г. Применяя формулу (3.66), получаем

Рг[|Х-Е(Х)|>а]<£.

Подставим a — t^Vr*.

Рг [| X —Е (X) | > /^/г] < t*'.(3.67)

Это и есть известное неравенство Чебышева. Оно наиболее часто используется в виде, который получается при г = 2. Тогда имеем неравенство

Рг [| X —£ (X) | >/а] </~3, где о —среднее квадратическое отклонение X. Ему эквивалентно неравенство

Рг[| X—£ (X) | ^/о] > 1—/-2.(3.68)

Важно отметить, что неравенство (3.68) применимо к любой случайной величине X (в предположении, что о конечно). Таким образом, можно сказать (взяв, например, / = 3), что вероятность того, что случайная величина отличается от математического ожидания более чем на три средних квадратических отклонения, всегда меньше, чем 1/9. Конечно, для многих случайных величин фактическая вероятность много меньше, чем 1/9. На практике очень полезно уметь делать утверждения, подобные (3.68), ничего не зная о виде распределения X.

Эта независимость от распределения, присущая некоторым методам, называемым свободными от распределения, обсуждается в разд. 9.3.

Пример 3.16. При производстве кристаллов кварца техническими условиями устанавливались границы для некоторой величины, отстоящие по крайней мере на четыре средних квадратических отклонения от математического ожидания. Если даже не делать обычного предположения о форме распределения, можно сказать, что

Pr [| X —£ (Х)| > 4а] < 4~а,

или что лишь доля изделий, меньшая, чем 0,0625, может оказаться за установленными границами.

ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ МОМЕНТОВ

Величина E^etxy где t—константа, называется производящей функцией моментов случайной величины X и обозначается как тх^\ Может оказаться, что Е (etx) не будет функцией от t, потому что ее математическое ожидание бесконечно. Если же эта функция существует, то

mxW = E(etxy=E^ + tX + ^-X»+...^(3.69)

и (поскольку правая часть сходится) имеем

тх(() = 1 + (£(Х) + -^£(Ха)+... = 1+^ + 4^^ • (3.70)

Действительно, коэффициент при р' в правой части (3.70) имеет вид tr/r\. Следовательно, если продифференцировать тх(Д г раз по 1, то получим

д^ = Pr+ ^+1+"^ Рг+г + • • • •

d4mx(Q] | df ^о-^-d4mx(Q] | df ^о-^-(3-71)(3-71)Подставим ( = 0:

d4mx(Q] | df ^о-^-

d4mx(Q] | df ^о-^-

(3-71)

(3-71)

Это один из возможных путей вычисления моментов случайной величины X.

Для вычисления центральных моментов можно воспользоваться приведенной ниже формулой. Так как e-tEm константа, то

e-tE tX> тх (О = Е (e~tE <х> ext) = Е (е< 1Х-Е <х>1) = У ^ рг. (3.72)

Следовательно,

<^Ч£2^^£1х(011(3 73)

df' '

Величину е-гЕ®тх^ часто называют производящей функцией центральных моментов.

Производящая функция моментов часто оказывается полезной при исследовании распределений сумм независимых случайных величин. Главная причина этого заключается в том, что если Х^ и Х2 — независимые случайные величины, то

mXi+Xa W Е ке1 - Е ^х^х^ = Е (^х0 Е (^) =

= тхД1)тхДП. (3.74)

Следовательно, можно получить производящую функцию моментов (Xi + X^, просто перемножая производящие функции моментов X, и Х2.

Еще один полезный результат состоит в том, что если а—константа, то

тх+а (t) = £ (е* <а*хЧ = Е (eia) Е (s'*) = etomx(О,(3.75)

maX^-E^x^mx(atY(3.76)

Возможно, что тх^ не существует. Например, если X — непрерывная величина с

рх(х) = л (1 4-х2)™1 (распределение Коши), то интеграл

$ etxpx^x)dx бесконечен.

В таких случаях применяются характеристические функции ^Х^^Е ^еУ-их\ Они существуют всегда и обладают свойствами, похожими на свойства тх^. Систематическое построение теории для ф^(0 в данной книге не проводится. Этот материал содержится в руководствах более высокого уровня. В двух следующих главах приведено множество примеров применения производящей функции моментов.

ЛИТЕРАТУРА

Bennett С. A., Franklin N. L., Statistical Analysis in Chemistry and the Chemical Industry, Wiley, New York, 1954, Chapter 3.

Durand D., Stable Chaos, General Learning Corporation. Morristown, N. J., 1971, Chapters 2—5, 13.

Hays W. L., Winkler R. L., Statistics: Probability, Inference and Decision, Vol. 1, Holt, Rinehart & Winston, New York, 1970, Chapters 2,3.

Hoel P. G., Introduction to Mathematical Statistics, 4th Ed., Wiley, New York, 1971, Chapter 3.

Larson H. J., Introduction to Probability Theory and Statistical Inference, Wiley, New York, 1969.

Mood A. M., Graybill F. A., Boes D. C., Introduction to the Theory of Statistics, McGraw-Hill, New York, 1974, Chapters 2,5.

Parratt L. G., Probability and Experimental Errors in Science, Wiley, New York, 1961.

Parzen E., Modern Probability Theory and its Applications, Wiley, New

York, 1960.7

УПРАЖНЕНИЯ

Сколькими способами можно расположить буквы слова televizeTaK, чтобы

не было рядом двух гласных букв,

рядом могли находиться две буквы „е“, но не три?

Правильная игральная кость подбрасывалась пять раз.

Если выпадет 1 или 2 очка, то это рассматривается как успех. Какова вероятность

отсутствия успехов,

одного успеха,

не более двух успехов?

Совместная функция распределения X и Y приведена ниже в таблице. Определите

а) Рг [Х = 2]; б) Рг[Х=1, Г^1]; в) Рг[Х = 3|Г = 1]; г) Рг \Х^¥ <0]; Д) Рг [У < X].

X

1

2

3

—1

1/3

0

1/12

Y 0

1/12

1/4

0

1

0

1/6

1/12

В колоде 52 карты четырех мастей, по 13 карт каждой масти. Какова вероятность:

вытянув две карты, получить сначала туза, а затем короля?

вытянув две карты, получить туза и короля?

вытянув пять карт, получить ровно два туза?

вытянув пять карт, получить не менее двух тузов?

вытянув одну карту, получить либо туза, либо пики?

Предполагается, что карты вытягиваются случайным образом.

Малая партия резины, отобранная для испытания, содержит 100 образцов. Если в этой партии есть два дефектных образца, то какова вероятность, что они попадут в выборку объема 20? Предполагается, что отбор образцов производится независимо.

Вторая партия из 100 образцов резины содержит три дефектных. Какова вероятность того, что в выборке объема 20 из этой партии окажется больше дефектных образцов, чем в выборке того же объема из первой партии (в которой было только два дефектных образца)?

Сформулируйте и докажите теорему Байеса.

Одна из двух партий, описанных в упражнениях 5 и 6, выбирается случайно. Затем из нее случайно берется выборка объема 20, причем оказывается, что в ней два бракованных образца. Какова вероятность того, что это партия из упражнения 5?

При производстве малых стальных цилиндрических стержней проверка соответствия внешнего диаметра показала, что 5% изделий имеют больший диаметр, чем нужно, 91% изделий укладывается в установленные границы и 4% имеют меньший диаметр. Какова вероятность обнаружить в выборке из 10 независимо отобранных образцов

ровно один образец с большим диаметром и один с меньшим диаметром,

все годные образцы,

по крайней мере один образец с диаметром вне установленных границ?

С конвейера было отобрано 20 независимых образцов, среди которых не оказалось бракованных.

Что можно сказать относительно процента брака в этом процессе?

Если доля брака р равна 2%, то какова вероятность наблюдаемого сложного события?

Какова эта вероятность, если р = 4%?

Из партии, содержащей 80 образцов, из которых три дефектные, отбирается пять образцов. Считая, что X — случайная величина, обозначающая число дефектных образцов в выборке, постройте таблицу, показывающую распределение X.

И. Два человека А и В играют в следующую вероятностную игру. А бросает монету. Если выпадает герб, то он выигрывает, в противном случае монету бросает В, Если у В выпадает герб, то он выигрывает, а если нет, то снова бросает А и право хода переходит к В, если выпадает не герб. Игра продолжается, пока один из игроков не выигрывает.

Какова вероятность того, что победит А?

Сформулируйте предположения, на которых основан ваш ответ.

Какова вероятность того, что в группе из 40 человек хотя бы двое родились в один день? (При вычислениях следует предполагать, что днем рождения каждого человека с равной вероятностью может быть любой из 365 дней.)

Восемь игроков принимали участие в турнире с выбыванием (по олимпийской схеме) и со случайным выбором пар в каждом туре. Джо Зилч имеет вероятность р(> 1/2) выиграть у любого из остальных семи игроков, в играх между любыми двумя из остальных семи участников вероятности победить у игроков равны. (Игры не могут заканчиваться вничью.) Какова вероятность того, что Джо выиграет этот турнир?

В условиях упражнения 13 найдите вероятность того, что в ряду таких турниров Джо первым победит в двух турнирах подряд?

В относительно новом процессе все еще получается 10% брака. В выборку отбирается восемь образцов.

Какова вероятность не обнаружить брака?

Какова вероятность получить более чем один бракованный образец?

Каково ожидаемое число дефектных образцов в выборке из 30 независимых образцов?

Можете ли вы сказать, что 0 дефектов в выборке из 30 образцов — неожиданное событие?

Известно, что 92% изделий выдерживают проверку Л, а 85%—проверку В. Изделия достаточно высокого качества должны быть использованы в некотором процессе и среди них 80% изделий выдерживают проверку А, 90%—проверку В и 98% изделий обе проверки А и В.

На основе приведенных данных найдите границы, между которыми должна лежать доля изделий, выдерживающих обе проверки.

Рассматривая долю изделий, которые можно использовать в процессе, покажите, что приведенные данные противоречивы. (Возможно, что изделия, которые не выдержали либо проверку А, либо В могут оказаться полезными для процесса.)

Даны множества

А -{1, 2, 3, ..., 9, 10},

В = {5, 10, 15, 20},

С -:{х:Кх <10}, D-{0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Определите результаты

следующих операций:

а) ЛЦВ,

е) АПО,

л) лувис,

б) ЛиС,

ж) BUD,

м) Ли(ВПС),

в) ЛОВ,

з) BUC,

н) ВП(СиУ),

г) ВПО,

и) ЛОР,

о) (ЛиВ)П(СиО),

Д) СЦО,

К) висло,

П) (ЛПВ)и(СПО).

Проиллюстрируйте случаи а), в), е) и к) предыдущего упражнения с помощью диаграммы Венна.

Pr[£1U£2],Рг [£гГ]£2],Pr[£1U£2],Рг [£гГ]£2],Пусть Pr [£]] = 1/2, Рг[£2] = 1/3, Рг[£3[ — 1/6 и Elt Е^ Е^ взаимно исключают друг друга, т, е, являются несовместными событиями; найдите

Pr[£1U£2],

Рг [£гГ]£2],

Pr[£1U£2],

Рг [£гГ]£2],

в) Pr^Uf^L

г) Рг[(£1П^2)и^3].

Пусть X—дискретная случайная величина с распределением Рг [X = х] = — п-1 при х—0, 1, 2, ..., (п — 1).

Найдите

вероятность того, что X меньше к;

вероятность того, что X больше А, но меньше I (k < Z);

Е (X);

VarX.

Девять случайных величин Хь Х2* ..., Х9 одинаково распределены, как X из упражнения 20.

Найдите Е (X), где X = (Хх + Х2+...+Хэ)/9.

Найдите наибольшее число х, для которого Pr [X ^ х] < 1/2.

Для упражнения 21 вычислите Рг [X ^ 1/3].

В ряду независимых опытов каждый приводит только к одному из результатов А, В или С; каждый результат имеет вероятность появления 1/3. Найдите математическое ожидание числа опытов до появления трех последовательных результатов в порядке А, В, С.

Определите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X с плотностью вероятности рх(х) = 1/2х при 0^х^2.

Найдите медиану случайной величины X из упражнения 24.

Определите а3 и а4 для равномерной плотности распределения вероятностей ру(х) = 0-1 при О^х^б.

Вероятность наступления события Е меняется в последовательности независимых опытов циклически, принимая значения р, р + 6, р, р— 6, р, р+6, где 0 < р — 6 < р < р+6 < 1.

Найдите вероятность наблюдения ровно г событий £ в 4л последовательных опытах.

Найдите среднее и дисперсию распределения г и сравните с соответствующими значениями для биномиального распределения (с вероятностью р).

В условиях, описанных в упражнении 27, рассмотрите случай р=^п^”г, 6 = (8л)-1, когда л велико. Обсудите ваши результаты.

В условиях, описанных в упражнении 27, предположите, что опыты продолжаются непрерывно до тех пор, пока событие Е не произойдет точно к раз. Полагая, что на это понадобится N опытов, постройте распределение N. Прйх6 = 0 и ^^2 покажите, что (/г—1)/(Л/—1) имеет математическое ожи- дание'р.

а) Покажите, что £ (ХУ2) = £ [Х£ (KZ | X)].

Подбрасывается правильная шестигранная кость и записывается число (X), оказавшееся на ее верхней грани. Две (правильные) монеты подбрасываются каждая X раз и отмечается число гербов, выпавших при этом. Число Y обозначает X плюс число гербов для первой монеты, a Z—это X плюс число гербов для второй монеты. Найдите коэффициент корреляции между X и YZ.

Сделано п измерений физической величины 0: Хъ Х2, Хп. Можно полагать, что среднее квадратическое отклонение Xt — константа (для всех t) и коэффициент корреляции между X/ и Х^+(есть р (> 0) для t = 1, 2, ..., п— 1, однако коэффициенты корреляции между всеми остальными парами X равны 0.

Найдите такую линейную функцию X, которая имела бы наименьшую дисперсию среди всех линейных функций с математическим ожиданием 0.

Получите формулу для дисперсии этой линейной функции от X. [Полагая, что Е (Лд)^^ Для всех Л]

В условиях, описанных в упражнении 31, найдите математические ожидания величин

п

2 (X,—X)2,

1 = 1

п —1

(п-1)-1 2 (X.+i-X,)2.

/ = 1

Взаимно независимые случайные величины U, Vj, Рг» **•* Vn и W1, 1^2. ..., ^п имеют математическое ожидание 0 и дисперсию о2. Величина X не зависит от всех этих случайных величин и имеет дискретное распределение с

Рг[Х — г] — рг > ^ при г —О, 1, 2, ..., N; Р/^^^ / = 0

Случайные величины К и Z задаются уравнениями

XX

Покажите, что X и YZ некоррелированы, но не независимы.

Определите коэффициент корреляции между Y и Z.

к совокупностей смешаны в долях ръ р^ ..., р^ причем ^Р/=1-

В /-й совокупности величина X распределена по пуассоновскому закону со средним 0у-; никакие два из чисел 0!, 02> ..., 0& не равны. Получите формулу распределения значений X для объектов, выбранных из этой смеси распределений случайным образом.

Пусть Flt F^ ..., F^— полное множество несовместных событий, так к

что 2 Рт [^/] = 1; покажите, что

к

Рг [Е] = 2 Рг [£ | Е,] Рг [f,],

к

2 Рг [Е U f/1 = 1 + (Л-1) Рг [Е].

f=l

Звезды классифицируются по светимости как карлики, гиганты и сверхгиганты. Среди голубых звезд а—доля карликов, р—доля гигантов и ^ = 1—а—р—доля сверхгигантов. Метод классификации включает изучение спектра звезд и подвержен ошибкам. Пусть

рх — вероятность принять карлика за гиганта, р2—вероятность принять карлика за сверхгиганта, Рз—вероятность принять гиганта за сверхгиганта, р4 — вероятность принять гиганта за карлика, р5—вероятность принять сверхгиганта за гиганта, рй— вероятность принять сверхгиганта за карлика.

Сделаны три независимых измерения спектра каждой звезды. Пусть X— число случаев, когда по результатам измерений звезда классифицируется как гигант. Найдите Рг [X =&].

97

Ежедневно экспресс-методом проверяется качество материала в большом числе М малых изделий массового производства. Лишь в малой доле случаев наблюдаются дефекты, но поскольку дефекты в материале могут быть связаны с серьезными дефектами обработки, в каждом случае обнаружения дефектов экспресс-методом отбирается три изделия для всесторонних проверок. Такие проверки значительно более строги и, если р изделий (в среднем) окажутся отбракованными при первой проверке, то вторая проверка даст (в среднем) 1/40 (1 + 39р) долю таких изделий.

Выразите распределение числа изделий, ежедневно отбраковываемых второй проверкой^ через р (предполагаемое постоянным для данного дня).

Найдите среднее значение и среднее квадратическое отклонение для этого распределения.

Логарифмическое распределение случайной величины X задается выра- жением

Рг [X = r} = [—In (1 —а)](аг/г), г — 1,2, ...; О < а < I.

Получите общую формулу для моментов этого распределения. Из нее найдите вреднее значение, среднее квадратическое отклонение и моменты а3 и а4.

Геометрическое распределение случайной величины X задается выражением

Рг [X — г] ~ ar (1 — а),г = 0, 1,2, ...; О< а < 1.

Получите общую формулу для моментов этого распределения. Из нее найдите среднее значение, среднее квадратическое отклонение, а также третий и четвертый стандартные моменты а3 и а4.

Даны случайные величины Хь Х2, ...» Х^. Покажите, что для любых положительных чисел ф, d^ ..., d^

k

Pr[|Xz—E (X,-) | < d{ для всех Z = 1,2, ...,^]^1 — У йё^ХаЦХ;).

z = i

Случайная величина V принимает значения, ограниченные интервалом 0 < К < В; плотность распределения вероятностей V является убывающей функцией у. Покажите, что при 0 < Д < В

(^У АГ Рг [Г^Х]<И; (У)<

< ф Рг [У < Д]+5-—Рг [ГД] у

Покажите, как из этих неравенств выводятся неравенства типа неравенства Чебышева.

Изготовитель утверждает, что eho изделия будут выдерживать нагрузку в 2500 ± 200 фунт/кв. дюйм. Если известно, что среднее квадратическое отклонение равно 40 фунт/кв. дюйм, то какова вероятность выполнения требуемых условий? Предполагается, что среднее равно 2500 фунт/кв.дюйм, но нет сведений о форме распределения.

Штамповочный автомат имеет 10 головок. В условиях нормальной работы вероятность получить бракованную штамповку составляет 0,001 для хорошо отрегулированной головки и 0,01 для разрегулированной головки. Можно считать, что число разрегулированных головок распределено по биномиальному закону с параметрами 10 и 0,02.

Среди 100 полученных штамповок две оказались бракованными. Найдите апостериорную функцию распределения числа разрегулированных головок. (Требуется найти формулу для вероятности того, что разрегулировано точно / головок, и предложить способ вычисления.)

Известно, что среди пяти шестигранных игральных - костей одна неправильная. Для этой неправильной кости вероятности выпадения 1, 2, 3, 4, 5, 6 равны либо

1/12, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/4 соответственно, либо

1/12, 1/12, 1/6, 1/6, 1/4, 1/4.

Эти альтернативы равновероятны.

Случайным образом из этих пяти костей взяли одну и бросили ее 12 раз. Получились следующие результаты (в порядке появления): 2, 6, 6, 3, 1, 4, 5, 5, 6, 1,3, 2.

Найдите апостериорную вероятность того, что выбранная кость неправильная.

Если допустить, что выбрана именно неправильная кость, то какой из вариантов (1) или (2) имеет большую апостериорную вероятность?

В упражнении 7 из гл. 2 найдите нормированные величины для 25 октановых чисел.

Определите коэффициент корреляции между X и Y для совместной функции распределения из упражнения 3.

Ниже представлена совместная плотность распределения вероятностей случайных величин X и Y:

PXi Y ^.х'lh" ^"V^ * O^x^l, 0^у^2.

Вычислите а) Рг [X < 1/2]; б) Рг [X < У]; в) Рг [У < 1/2 | X < 1/2].

Найдите в предыдущем упражнении частные плотности распределения вероятностей рх(х) и PvkuY

Пусть рх у(х,у) = ^У ПРИ °^я<1 и 0<^<Г, найдите

a) px(xV *б)Рг[Х>У],

в) Рг[Х < 1/2 | У < 1/2], г) Рг[Х<1/2, У<1/2],

д) Рг [Х< 1/2].

Глава 4

ДИСКРЕТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ

Как отмечалось в разд. 3.5, многие распределения вероятностей можно классифицировать как дискретные и непрерывные. В этой главе рассматриваются только дискретные распределения вероятностей и прежде всего 1) биномиальное, 2) пуассоновское, 3) гипергеометрическое и 4) равномерное распределения. Кроме того, описываются следующие распределения: 1) полиномиальное, 2) отрицательное биномиальное, 3) Неймана типа Л, 4) логарифмическое и 5) дзета-распределение. В каждом случае приводятся некоторые параметры распределений, такие, как моменты и. другие числовые характеристики. Там, где возможно, даются ссылки на существующие таблицы. Приведены также примеры приложений.

Напомним, что общие свойства дискретной функции распределения вероятностей включают

Р {х) > О,

(4.1)

lira 2 Р И = О,К -> - оо х < К

lim 2^W=1.

К-*® х<К

БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Пусть в некотором процессе получается 2% брака. Берется выборка из 10 независимых образцов. Интересно узнать вероятность того, что в этой выборке не окажется дефектов. Ясно, что это может произойти только тогда, когда ни один из десяти образцов не будет бракованным. Вероятность этого события равна (0,98)10, или 0,8171, так как 0,98 —вероятность получения одного недефектного образца. Можно представить этот результат и иначе: ^ ^ (0,98)10 (0,02)°. Здесь первый сомножитель ^^ указывает на то, что имеется только один вариант появления события, второй сомножитель 0,98 х 0,98х ... 0,98—вероятность

появления десяти последовательных недефектных образцов, третий сомножитель (0,Q2)° —вероятность непоявления бракованных образцов.

Обобщая этот результат, запишем выражение для вероятности Р^ получения ровно х „успехов" (успешных исходов) в выборке объема и, если вероятность „успеха" (появления дефектного образца) равна р, а вероятность неудачи есть 9=1— р\

Рqn-xpx при х = 0, 1, 2, ..., и. (4.2)

Иными словами, это выражение содержит 1) 1^1 — число способов получения х успехов при п образцах, 2) qn*x—вероятность получения ровно п—х неудач, наконец, 3) рх—вероятность получения ровно х успешных исходов. Это было показано в разд. 3.10.

Такое распределение известно как биномиальное; его название происходит от разложения бинома, которое имеет вид (см. также разд. 3.10)

^рУ-^Кх^р*^ kq+p}-^(4.3)

х = 0

Каждый член в этом разложении представляет одно из (и + 1) дискретных значений ^(х).

В биномиальном распределении предполагается, что отбор отдельных образцов (с целью проверки: успех или неудача) не меняет вероятности успеха, т. е. параметр р постоянен. Все отборы независимы и вероятность успеха неизменна. Это важное предположение, поскольку в конечном множестве с фиксированным числом дефектных образцов выбор одного образца фактически меняет долю дефектных среди оставшихся.

При определении моментов этого распределения можно вычислять каждый момент непосредственно (разд. 3.13) или при помощи производящих функций (разд. 3.17). Производящая функция моментов в данном случае имеет вид

mx(Z) = 52 е<хР (■х)= 52 etx ? (^ — Р)п~хРх =*х-0х=0

п .

= 52 ("Ш-рГ-ЧР^ЧР^-р)".(4.4)

л—0 '

Возьмем первые две производные:

-^^ = п (ре* + 1 — рУ^ре1,

^^ = п (п — 1) Vpe1 + 1 —рУ-^ (ре^ + «(р^Цг1 — Р) ”-1 ре* •

Теперь, полагая / = 0, получим

^ = пр,

Рз = П (П — 1) Рг + пр = П2р? — Прг-\-П.р.

(4-5)(4.6)(4-5)(4.6)Среднее и дисперсия равны p = pl = np

(4-5)

(4.6)

(4-5)

(4.6)

П2 = Ра—Р^2= — пр2 + пр = Пр(1 —р).Следовательно,а2 = npq.

Аналогично вычислив

Г^(01 и Г^ДЛ

L dP Jt=0 L dt* Jf=0,

получим Рз и pi. Используя формулу (3.49), можно найти р3 и р4: р3 = npq^q—p\

p,4 = 3nip2q2Jrnpq(\—6pq')'

Наконец, третий и четвертый стандартные моменты равны

„ - Из _ д-р

(4.8)(4.8)3 (pD3/2 (W/2>

(4.8)

(4.8)

4(Ца)2+ прд

Эти результаты можно также получить и из формулы рм = =n>s''ps для s-ro факториального момента.

Из формулы (4.8) видно, что при п—юо величина а3 стремится к нулю, а а4 —к трем. Ниже будет показано, что эти величины представляют собой третий и четвертый стандартные моменты для нормального распределения. Для любого симметричного распределения а3=0.

Пример 4.1. Какова вероятность ровно трех успехов в 8 опытах в случае постоянной вероятности события р = 0,5? Это эквивалентно вероятности выпадения трех гербов при восьми подбрасываниях монеты. Имеем

Рг [X = 3] = (|) (0,5)8-3 (0,5)3 =^(0,5)8 = 0,2188.

Рассмотрим теперь графическое распределения для случаева) р = 0,1, б) р = 0,3, в) р = 0,5,Рассмотрим теперь графическое распределения для случаева) р = 0,1, б) р = 0,3, в) р = 0,5,представление биномиальногопредставление биномиальногоп = 8п = 8п = 8п = 8п = 8п = 8

Рассмотрим теперь графическое распределения для случаев

а) р = 0,1, б) р = 0,3, в) р = 0,5,

Рассмотрим теперь графическое распределения для случаев

а) р = 0,1, б) р = 0,3, в) р = 0,5,

представление биномиального

представление биномиального

п = 8

п = 8

п = 8

п = 8

п = 8

п = 8

На рис. 4Л показаны вероятности х успешных исходов при п независимых опытах, когда вероятность успеха в каждом отдельном опыте равна р. Для этих случаев среднее р и среднее квадратическое отклонение о равны

о = 0,85, о =1,30, о = 1,41.о = 0,85, о =1,30, о = 1,41.а) р = 0,8, б) р = 2,4, в) р = 4,0,

о = 0,85, о =1,30, о = 1,41.

о = 0,85, о =1,30, о = 1,41.

0,3 -

0,2 -

асас। II

ас

ас

012345678

р=0,5Л = 8

Рис. 4.1. Биномиальные распределения.

В третьем случае среднее совпадает с модой. Это верно для таких биномиальных распределений, где пр оказывается целым числом. В табл. 4.1 приведены числовые значения вероят- ностей для и = 8 и р = 0,1; 0,3; 0,5; 0,7 и 0,9. Отметим подобие распределений при р = 0,1 и 0,9, а также при р = 0,3 и 0,7. Действительно, распределение X при р = р$ то же самое, что и для п—X при р = 1 — р0.

Таблица 4 Л

Биномиальное распределение: п = 8

[значения Р (х) из (4.2)]

X

Р=0,1

р=0,3

Р-0,5

P=V

Р-0,9

О

0,4305

0,0576

0,0039

0,0001

0,0000

1

0,3826

0,1977

0,0312

0,0012

0,0000

2

0,1489

0,2965

0,1094

0,0100

0,0000

3

0,0331

0,2541

0,2188

0,0467

0,0004

4

0,0046

0,1361

0,2734

0,1361

0,0046

5

0,0004

0,0467

0,2188

0,2541

0,0331

6

0,0000

0,0100

0,1094

0,2965

0,1489

7

0,0000

0,0012

0,0312

0,1977

0,3826

8

0,0000

0,0001

0,0039

0,0576

0,4305

Если известна Рг[Х —Л], то Рг[Л’ = Л4~1] можно вычислить, пользуясь рекуррентной формулой. Это полезно при больших и, особенно когда нуя^но определить сумму некоторого числа членов. (Надо лишь следить, чтобы точность сохранялась в требуемом числе десятичных знаков.) Так как

Pr YX = k"\ = ^q"-kpk

И

Pr [X = к + 1] = ^ + J)

то можно легко увидеть, что

Рг[Х = ^ + 1] = ^|Рг[Х = ^.(4.9)

Поскольку p[q—константа, то можно очень быстро вычислить последующий член при известном предыдущем члене распределения.

В последнем примере при р = 0,3 и п = 8 можно определить вероятность не более двух успешных исходов. Эта вероятность равна

2

Рг[0^Х<2]= У (j(0,7)8-*(0,3)* = 0,5518.

Следует проявлять осторожность при установлении границ для х. Так как X может принимать только дискретные значения, выражение Рг [0 X < 2] должно отвечать на вопрос: „Какова вероятность менее чем двух успешных исходов?**. Действительно,

Рг[0<Х<2] = 0,2553.

Таблицы биномиального распределения

Существует несколько таблиц для вычисления как значений Рг[х], так и накопленных вероятностей. Из множества таблиц укажем следующие с их границами для аргументов:

Harvard University, Tables of the Cumulative Binomial Probability Distribution, Harvard University Press, 1955

[p = 0,01 (0,01)0,50; 1/12(1/12)5/12: 1/16(1/16)7/16;

n = 1 (1) 50 (2) 100 (10) 200 (20) 500 (50) 1000].

National Bureau of Standards, Tables of the Binomial Probability Distribution, Government Printing Office, 1949 [p= =0,01 (0,01)0,50; n = 2(l)49].

H. G. Romig, 50—100 Binomial Tables, Wiley, 1953 [p = 0,01 (0,01) 0,50; /1 = 50(5)100].

U. S. Office of the Chief of Ordnance, Tables of the Cumulative Binomial Probabilities, Aberdeen Proving Grounds, Maryland, Ballistics Research Laboratory, 1952 [p = 0,01 (0,01) 0,50; /1=1(1)150].

CRC Handbook of Tables for Probability and Statistics, 2nd ed., CRC Press, Cleveland, Ohio, 1968 [/> = 0,05(0,05)0,50; n=l(l)20, 4 десятичных знака].1

(Можно вычислять биномиальные вероятности и по таблицам отношения неполной бета-функции [6.7], используя результат упражнения 22 из гл. 5.)

Распределение долей

Иногда вероятность заданной доли успешных исходов представляет больший интерес, чем число успешных исходов в п опытах. Например, в случае р = 0,5 и и = 20 может представлять интерес вероятность того, что доля успешных исходов в выборке будет не более 0,10. Это эквивалентно вероятности не более двух успешных исходов в 20 опытах. Функция распределения вероятностей для доли у есть

Рк¥ = у\=^пуух-ру-"»р"«1 гдеу=0,±^,,..,1.(4.10)

Величина Y—это просто линейное преобразование величины X. Можно показать, что среднее и дисперсия Y составляют 1/п среднего и Yin? дисперсии X соответственно. Следовательно,

cfy^pqin. (4.11)

Пример 4.2. Лабораторные образцы эмалированных пластин были подготовлены для испытаний на скручивание. Все они находились в одинаковых условиях контроля. Наш опыт подсказывает, что в этом конкретном эксперименте не выдержат испытания около 5% образцов.

Какова вероятность того, что в выборке объема 10 окажется: 1) нуль дефектов, 2) один дефект, 3) менее трех дефектов?

Как много образцов надо включить в выборку, чтобы в ней с 95%-ной вероятностью оказалось не менее пяти бездефектных образцов?

Вероятность дефекта р = 0,05. Вероятность х дефектов в десяти опытах равна

р^ =f10 кода0-*-(0,05)*.

Отсюда получаем

Рг[Х-0]-(0,95)10 = 0,5987;

Pr [X - 1 ] - 10 * (0,95)9 ■ (0,05) = 0,3151;

2

Рг [0 < X < 3] = У ( ^ (0,95)10~* (0,05)* = 0,9884.

Для определения объема выборки потребуем, чтобы Рг[Х^п — 5] >0,95.

Другими словами, мы хотим, чтобы число дефектов было по крайней мере на 5 единиц меньше, чем объем выборки. Из таблицы биномиального распределения находим

Рг[Х^1] = 0,97 при и = 6,Рг[Х^0] = 0,85 при п — 5.

Следовательно, наш ответ: 6.

Отрицательное биномиальное распределение

Рассмотрим последовательность независимых опытов, в каждом из которых вероятность наступления события Е равна р. Пусть опыты продолжаются до тех пор пока событие Е не произойдет ровно к раз. Вероятность того, что для этого потребуется точно г опытов, равна

Рг[(&—1) раз событие Е происходит в первых (г —1)опытах и событие Е происходит в r-м опыте] =

= Рг[(£ — 1) раз событие Е происходит в первых (г—1)опытах] Рг [событие Е происходит в г-м

/ у | \/ у — 1 X

опыте] — ( ^ _ J ) pk~lqr~kp — ( ^И pkqr~kt

где q = 1 — р.

Случайная величина R имеет распределение

Заметим, что по структуре эти вероятности похожи на биномиальные. Можно показать, что они образуют последовательные члены в отрицательном биноме.

Действительно,

tr-k = pk^-qyk = ^Q-Py\

гдегдеQ = P~\ P = qp-1, a Q — P = \. Распределение, определяемое по формулеQ = P~\ P = qp-1, a Q — P = \. Распределение, определяемое по формуле+ $-1-1+ $-1-11] X^pkq5 =s = 0, 1, 2, .1] X^pkq5 =s = 0, 1, 2, .(4.12)(4.12)

где

где

Q = P~\ P = qp-1, a Q — P = \. Распределение, определяемое по формуле

Q = P~\ P = qp-1, a Q — P = \. Распределение, определяемое по формуле

+ $-1

-1

+ $-1

-1

1] X^pkq5 =

s = 0, 1, 2, .

1] X^pkq5 =

s = 0, 1, 2, .

(4.12)

(4.12)

называется отрицательным биномиальным распределением. Его моменты можно получить по соответствующим формулам для биномиального распределения, заменяя в них п на — к, q на Q' и р на — Р. Это дает

Е^Х^кР, Vav(X) = kPQ = kP(l+P), м (Y\ Q-b^ „ (ухо । 1+6PQ(4.13)

a4(X)-3 + "№Q--V 7

Производящая функция моментов есть (Q — Pef)~k.

Записывая вероятность в виде

Рг ГХ = з] -- —^—S^Q-* f—У

гг 1Л J s! Г (й) v \ Q ) *

можно распространить отрицательное биномиальное распределение на случай, когда к — нецелое число1*.

Я Здесь Г (А)—гамма-функция (см. разд. 5.6.1).— Прим. ред.

Пример 4.3. Несколько примеров отрицательного биномиального распределения дано Эренбергом в работе The Pattern of Consumer Purchases, Appl. Stat., 8 (1959). Один из них приведен в табл. 4.2. Он относится к покупкам товаров широкого

Таблица 4.2

Отрицательное биномиальное распределение числа единиц товара, приобретенных в течение недели (по выборке в 2000 семей за 26 недель)

Число купленных единиц товара X

Частота

Число куп- ленных единиц товара X

Частота

наблюдаемая

теоретическая

наблюдаемая

теоретическая

0

1612

1612,0

14

1,8

1

164

156,9

15

—

1,5

2

71

74,0

16

—

1,2

3

47

44,2

17

2

0,9

4

28

29,2

18

—

0,8

5

17

20,3

19

—

0,6

6

12

14,7

20

1

0,5

7

12

10,8

21

—

0,4

8

5

8,2

22

2

0,3

9

7

6,2

23

—

0,3

10

6

4,8

24

—

0,2

11

3

3,8

25

1

0,2

12

3

2,9

26

2

0,1

13

5

2,3

27

—

0,9

потребления недлительного пользования. Эти товары обычно продаются расфасованными или в фабричной упаковке. В первом и четвертом столбцах табл. 4.2 приведено число единиц товара (X), купленного в течение недели. Во втором и пятом столбцах указаны числа семей (из 2000 обследованных), которые приобрели х единиц. Выборка охватывает 26 недель. В третьем и шестом столбцах даны теоретические частоты, полученные после оценки параметров k и Р, подстановки этих оценок в формулу (4.12) и затем вычисления Р^ длях = 0, 1, .... Следует отметить, что формулы (4.13) указывают метод оценки параметров, причем оценки £[Х] и Var(X) берутся как х и sa соответственно. Все остальное имеется в распоряжении. Эти вопросы обсуждаются в упомянутой статье Эренберга.

Если взять k = 1, то получим частный случай отрицательного биномиального распределения, известный как геометрическое распределение. Для этого распределения

Pr [X = s] = pqs, s=0, 1,2,....

[Отметим, что последовательные вероятности образуют геометрическую прогрессию со знаменателем ^(<1), т. е. прогрессия уменьшается с ростом s.]

4.3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА

Распределение Пуассона является дискретным распределением, очень полезным в промышленных применениях статистики. Оно получается из биномиального'распределения (4.2) при устремлении п к бесконечности, а р™ к нулю таким образом, чтобы математическое ожидание пр оставалось постоянным и равным, скажем, 6.

Подставив р = ^]п и q=\— fyn в формулу (4.2), получим

Wх!V п )\ п ) •

Правую часть этого уравнения можно преобразовать к виду

Когда п стремится к бесконечности, (1 —9/п)п стремится к е-0, каждый из (х—1) членов (1 —1/n), (1—2/п), ..., [1—(х—1)/п] стремится к единице так же, как и член (1—9/п)-х. (Напомним, что мы считаем х постоянным числом.)

Следовательно, предел Р(х) при п—>оо равен

е- е0х

Распределение Пуассона определяется как распределение, для которого

Р(х)= е ^- при х = 0, 1, 2,....(4.Ц)

Отметим, что

2?(х)=1.

Параметр 9 должен быть положительным. С другой стороны, используя производящую функцию моментов, получим

х=0х=0

= е-е^^1 = е-ееое1==е8(г<_1)е(4.15)

х=0

Первые две производные равны ^L=ee(et-i)eett

Подставляя / = 0, получаем

р4 = 0, Ра —0’4-9-

(4.16)(4.16)Отсюда среднее и дисперсия равны р = 0, о’= 6.

(4.16)

(4.16)

р3 = 0, р4 = 0(1 4-30).р3 = 0, р4 = 0(1 4-30).(4.17)(4.17)Если взять третью и четвертую производные от (4.15) и положить / = 0, то получим pg и р4. Снова применяя формулы (3.49), найдем значения р3 и р4;

р3 = 0, р4 = 0(1 4-30).

р3 = 0, р4 = 0(1 4-30).

(4.17)

(4.17)

Показатель асимметрии и эксцесс (третий и четвертый стандартные моменты) равны

a3 = 0-V2, a4 = 3 + e-i.(4.18)

Эти формулы можно также вывести и из соотношения р(5) = 0$. В табл. Б приложения приведена функция распределения Пуассона при 0, изменяющемся от 0,1 до 20.

Пример 4.4. В окрестностях города Кливленда (шт. Огайо) среднегодовое число погибших в автомобильных катастрофах за период 1945—1951 гг. составило 0,5. В 1952 г. в автомобильных катастрофах погибло 3 человека. Не указывает ли это на реальный рост транспортной опасности? (Действительно, как следствие этого наблюдения предельная скорость на главных трассах была снижена на 10 миль/ч на период в несколько месяцев.)

Не будем вдаваться в политические аспекты ситуации, а ответим на следующие вопросы: какова вероятность а) точно трех смертей, б) трех или более смертей? Предполагаем, что распределение числа смертей в год хорошо представляется распределением Пуассона со средним 0,5.

Рг [X = 3] - Р (3) = ^.“J0-51, = 0,0126.

Рг[Х>3]=£ PM_f 223»» = 33» = х=3 х = 3 х^0

= 1 - 0,6065 - 0,3033 - 0,0758 = 0,0144.

Читателю предлагается сделать собственные выводы, а также обсудить, насколько применимо в этом случае распределение Пуассона.

*4.3.1. Применения распределения Пуассона

Распределение Пуассона широко применяется при решении многочисленных задач науки и техники. Оно часто используется как первое приближение для описания данных об отказах, таких, как число отказов в течение заданного отрезка времени. Другие примеры —число несчастных случаев за определенный интервал времени, число импульсов, зарегистрированных счетчиком Гейгера в единичном интервале, число дефектов на зеркальном стекле и число дефектов в некоторой большой совокупности. Более общее, хотя и несколько опасное утверждение (из-за отсутствия упоминания о необходимости независимости), касающееся распределения Пуассона, состоит в том, что оно часто используется в ситуации, где вероятность наступления отдельного события чрезвычайно мала, хотя подходящих случаев для его наступления очень много. Рассмотрим, например, число несчастных случаев на дорогах пригорода Кливленда. Распределение числа несчастных случаев можно считать пуассоновским, так как в любую данную минуту вероятность несчастного случая мала, а год содержит большое число минут. Однако возможность наступления нескольких смертей в одном происшествии показывает, что независимость может оказаться очень сомнительным предположением.

На рис. 4.2 приведены три примера распределений Пуассона: а) 9 = 0,5; б) 9=1,0 и в) 9=6,0. При малых 9 наблюдается асимметрия. Заметна также тенденция к симметрии с ростом 9.

В табл. Б приложения приведена функция распределения Пуассона. Значения 9 меняются от 0,1 до 20. Как образец применения этой таблицы рассмотрим пример 4.4. Используя эту таблицу непосредственно, можно вычислить

Pr [X = 3]=Pr [X > 3]—Рг [X >4]=0,0144—0,0018=0,0126;

Рг[Х>3] = 0,0144.

Более подробные таблицы пуассоновского распределения приводятся в следующих публикациях:

Poisson Exponential Binomial Limit by E. C. Molina (D. Van Nostrand, 1942) co значениями P(x) и РгГХ^с] при 0,001 < <9<100.

Tables of the Individual and Cumulative Terms of the Poisson Distribution by the Defence Systems Department of the General Electric Co. (D. Van Nostrand, 1962) co значениями P(x) и Рг[Х<с] при 0,00000010 <9 <205.

Tables of Poisson Distribution by T. Kitigawa (Baifukan, Tokyo, 1952) co значениями P(x) при 0,001 <9<10.

ОД ОД ОДОД ОД ОД£ 0,3£ 0,3ОДОДОДОДОДОД01 23456789 10 11 129 = 0,501 23456789 10 11 129 = 0,50,4 -0,3 -3 0,2 -0,4 -0,3 -3 0,2 -ОДОДОДОД- —'■ "■*<11IIТ""''|1 "I | I л* ®0 1 23456783 1011126 = 1,0- —'■ "■*<11IIТ""''|1 "I | I л* ®0 1 23456783 1011126 = 1,0о,з -^ 0,1 -о,з -^ 0,1 -ОДОД0 1 23456789 10 11 12е=б,о

ОД ОД ОД

ОД ОД ОД

£ 0,3

£ 0,3

ОД

ОД

ОД

ОД

ОД

ОД

01 23456789 10 11 129 = 0,5

01 23456789 10 11 129 = 0,5

0,4 -

0,3 -

3 0,2 -

0,4 -

0,3 -

3 0,2 -

ОД

ОД

ОД

ОД

- —'■ "■*<11IIТ""''|1 "I | I л* ®

0 1 23456783 101112

6 = 1,0

- —'■ "■*<11IIТ""''|1 "I | I л* ®

0 1 23456783 101112

6 = 1,0

о,з -

^ 0,1 -

о,з -

^ 0,1 -

ОД

ОД

Рис. 4.2. Распределения Пуассона.

^ х^ х4А. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

^ х

^ х

Обозначим число элементов в совокупности через N и положим, что именно D из них обладают некоторым свойством ip (например, являются в некотором смысле дефектными). Если случайная выборка объема м отбирается по одному элементу и каждый элемент возвращается в совокупность прежде, чем будет осуществлен выбор следующего, то вероятность того, что выбираемый элемент обладает свойством 1р, одна и та же (D/N) в каждом опыте. Общее число X элементов, обладающих свойством тр в выборке объема п, описывается случайной величиной, распределенной по биномиальному закону с функцией распределения вероятностей

Но если каждый элемент не возвращается после отбора, то мы не будем иметь постоянную вероятность или независимость при переходе от одного элемента к другому. Если, например, первый отобранный элемент обладает свойством яр, то условная вероятность того, что и следующий элемент будет им обладать, равна ф — 1)/^ — 1); если первый элемент наоборот не обладает свойством ф, то вероятность того, что следующий элемент будет им обладать, равна D/(N— 1). Вероятность того, что х элементов среди п элементов выборки обладают свойством ф, можно получить, рассматривая число способов получения выборки „без возвращения^. Существует (^ ) равновероятных способов отбора группы из п элементов в совокупности объема N. Группы, содержащие х элементов, которые обладают свойством ф, можно перечислить, используя тот факт, что они образуются при выборе х элементов из D элементов, обладающих свойством ф, и ^п — х) элементов из остальных (W —D) элементов. Перебирая все возможные комбинации исходов, видим, что число различных воз- можных групп равно И п — х ) • Это и дает гипергеометрическое распределение:

(?)(-=?)

Р(х) = -у^х-> где max (0, n + D — N) ^x^min(D, n), )

D<N,n<N. (4.19)

Величина x заключена в пределах O^x^D; 0^.n—x^N — D.

Гипергеометрическое распределение приведено для различных значений N, п и D в Tables of the Hypergeometric Probability Distribution by Lieberman and Owen (Stanford University Press, 1961). Параметры изменяются в пределах от N = 2, п=1 до N = 100, п = 50.

Применение производящих функций моментов при определении моментов гипергеометрического распределения приводит к сложным вычислениям. Однако, используя определения

р = 2 хР (х)

X

И

^^^(х—р)2Р(х),

X

удается непосредственно найти

^ = пр, о2 = пр (I — Р) ^у ,

Можно показать, что s-й факториальный момент равен

Пример 4.5. Необходимо проверить партию, состоящую из 100 изделий. План контроля предусматривает проверку 20 изделий. Если среди них оказываются плохие, мы возвращаем всю партию, в противном случае принимаем. Чтобы оценить, насколько хорош план, которым мы пользуемся, ответим на следующие вопросы.

а) Если в партии 5 бракованных изделий, как часто будет приниматься решение об ее приеме? б) Если в партии 10 бракованных изделий, как часто она будет возвращаться? в) Предположим, что в выборке допустим один случай брака; какого рода гарантии хотели бы мы иметь как потребители? Чтобы ответить на вопрос а), необходимо найти Pr [X = 0] или просто Р (0), когда партия объема N = 100, число дефектов в ней D = 5, а объем выборки и = 20. Из формулы (4.19) имеем

а) ^(0) = ^° = 0,3193,

( 20/

и значит можно ожидать принятия примерно 32% партий, имеющих по пять бракованных изделий.

В случае б) D=10. Отсюда

/1°\ /90\

^^--^Дт -0,0951 •

(20)

Но если в выборке оказывается 0 дефектов, то партия принимается. Таким образом, вероятность возврата партии равна 0,9049.

В случае в) просто ответим на вопрос: „Какова вероятность принять партию с пятью дефектными изделиями, если в выборке допустим один случай брака?“ Тогда

ГгГХ<..1О®^)®

к 20;12о;

= 0,3193 4-0,4201= 0,7394 п.

*> Ошибка округления: должно быть 0,7395.

*4.5. СРАВНЕНИЕ БИНОМИАЛЬНОГО,ПУАССОНОВСКОГО И ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОГОРАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Существуют две проблемы, связанные с этими тремя распределениями, а именно: 1) когда и какое из этих распределений следует выбирать; 2) когда одно из них можно использовать как аппроксимацию другого? Первая проблема, конечно, более фундаментальна. Мы не будем здесь детально рассматривать вопрос о выборе подходящей модели. Сравнение моделей проведено ниже. Следует отметить, что распределение Пуассона полезно само по себе, а не просто как предельный случай биномиального. В табл. 4.3 распределения сравниваются по их параметрам р, п, D и N.

Таблица 4.3

Сравнение биномиального, пуассоновского и гипергеометрического распределений

Распределение

Параметры

р

п

N

Биномиальное

р, П

Постоянно

Задано

Бесконечно (цли очень велико)

Пуассона

[1 — 0

Очень мало

Неизвестно, но очень велико

Неизвестно

Гипергеометрическое

D, п, N

D— х p=N-n^

(м+ 1)-м наблюдении; р изменяется по мере увеличения выборки

Задано

Конечно

Вопрос о том, когда можно использовать одно из этих распределений вместо другого, перестал быть таким важным, каким он был 25 лет назад или еще раньше. Возросшие вычислительные возможности позволили получить таблицы многих распределений, в том числе и биномиального распределения, так что вряд ли надо брать пуассоновское распределение при малых р и больших п для аппроксимации биномиального, за исключением случаев, когда это упрощает аналитические исследования. Сравним распределения с помощью табл. 4.4, где даны три варианта биномиального распределения для пр = 1, а именно /7 = 0,2, п = 5;

Таблица 4.4

Биномиальные и пуассоновское распределения вероятностей

Биномиальные

Пуассоновское

X

р=0,2, я = 5

р=0,1, п=Ю

р —0,05, о=20

0=1

0

0.3277

0,3487

0,3585

0,3679

1

0,4096

0,3874

0,3774

0,3679

2

0,2048

0,1937

0,1887

0,1839

3

0,0512

0,0574

0,0596

0,0613

4

0,0064

0,0112

0,0133

0,0153

5

0,0003

0,0015

0,0022

0,0031

6

0,0001

0,0003

0,0005

7

0,0000

0,0000

0,0001

3

0,0000

р = 0,1, п=10 и р = 0,05, /г = 20. Заметьте, как хорошо распределение Пуассона, приведенное в последнем столбце при 0=1, аппроксимирует их, особенно при малых х.

ПОЛИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Полиномиальное распределение (см. разд. 3.11) можно рассматривать как обобщение биномиального. Его параметры не просто р и п, a pv р21 .... рк_г и п. В этом случае совокупность состоит из элементов, имеющих к различных взаимно исключающих признаков, каждому из которых соответствует вероятность появления р(. Заметим, что параметрами являются рп Р^ Pk-i и п> поскольку рк задается требованием

к

^xPi = X.(4.21)

Вероятность того, что в выборке объема п будет xt элементов с первым признаком, х2 —со вторым и т. д., равна

Р^х4(4.22)

Величина X; имеет биномиальное распределение с параметрами п и р^ Поэтому среднее и дисперсия равны

Их, = npit ^xt" ^Pi ^ — РiV

Таким образом, если два или большее число признаков объединяются, то получающаяся сумма частот будет иметь биномиальное распределение. Например, Xz + Xy + Xft распределена по биномиальному закону с параметрами п, р; + Р/ + Рк- Вообще если множество признаков объединяются в непересекающиеся подмножества, результирующие частоты будут иметь полиномиальное распределение.

Пример 4.6. В некотором производстве систематически получается 1% металлического лома и 5% исправимого брака, т. е. 5% продукции применимо лишь после некоторой дополнительной обработки, а 1% продукции вообще не может быть использован. Остальная продукция хорошая. С поточной линии взята выборка объема 50 образцов, а) Надо ли рассматривать 2% лома и 8% исправимого брака как нечто необычное? б) Какова вероятность обнаружить в этой выборке два плохих (неисправимых) образца?

Пусть Xi —число плохих образцов и Х2 —число исправимых образцов. Вопрос а) относится к случаю X^l, Х2 = 4. Чтобы на него ответить, следует сначала найти вероятность этой плохой ситуации или ситуаций, еще худших, а именно Рг[Хх^1, Х2^4]:

РгГХ^!, Х2>4] = У , гг,п50!-тгХ

L 1jх1!х2! (50 — Хх — х2)!

х2 > 4

X (0,01)^1 (0,05)^ (0,94)60 - -^ = 1 - {Рг [Хх = 0] + + Рг [Х2 < 4] - Рг [X! = 0, Х2 < 4]} = 0,0913.

В этом случае вероятность 0,0913 следует рассматривать как необычную. При ответе на вопрос б) нужно воспользоваться биномиальным распределением при ^ = 0,01 и 1—^ = 0,99. Тогда

(^о\

0,0756.0,0756.2 ? (0,01)2 (0,99)*8 —

0,0756.

0,0756.

РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ(ДИСКРЕТНОЕ)

В наиболее общем смысле понятие о равномерном распределении относится к непрерывному равномерному распределению. Существуют, однако, некоторые задачи, в которых величина х принимает конечное множество значений, имеющих равные вероятности появления. Например, при подбрасывании игральной кости число очков х может оказаться равным 1, 2, 3, 4, 5 или 6, каждое с вероятностью 1/6. При подбрасывании монеты можно

приписать гербу значение 0, а цифре — значение 1. При каждом исходе Р(х)=1/2 при х = 0 или х=1. Пусть из десяти мужчин нужно выбрать „добровольца** для выполнения некоторого задания. Им можно приписать номера 1, 2, ..., 10 и выбрать одного из них случайно. Тогда Р^ = 1/10 при х= 1,2, ..., 10. Во всех этих случаях мы исходим из предпосылки, что различные ситуации равновероятны.

Вообще функция дискретного равномерного распределения определяется как

Р(х)=4> х = а, а + А, а + 2А, ..., а + (^ — 2) А, Ь, (4.24) где

(&-1)Д = 6—а.

Величина X принимает равноотстоящие (эквидистантные) дискретные значения от а до Ь. Постоянная вероятность 1 Ik — обратная величина от числа значений, которые может принять X, т. е.

Среднее и дисперсия этого распределения соответственно равны а 4-6

(4.25)

Если А стремится к нулю, а к—к бесконечности, причем так, что величина А(&—1) остается равной (Ь — а), то а2 стремится к величине (b— а)2/ 12, соответствующей непрерывному равномерному распределению (см. разд. 5.3).

Пример 4.7. При выборе случайных цифр с одинаковой вероятностью может быть взята каждая цифра 0, 1,2, ..., 9. В выборке объема 3 все три отобранные цифры превосходят 6. Можно ли считать это неожиданным событием? Чтобы ответить на этот вопрос, сформулируем его следующим образом: какова вероятность в трех независимых выборах получить все цифры, большие, чем 6? Сначала возьмем равномерное (дискретное) распределение и найдем

9

Рг[Х>6] = £Р(х)=3/10.х=7так как

Р(х) = ‘/10, х = 0, 1, ...,9.

Затем обратимся к биномиальному распределению и определим Рг[У = 3 успешным исходам|р = 3/10].

Это дает

\ / 7\ о/ ч\ з

Если считать вероятность, меньшую, чем 5%, необычной, то получилось редкое событие и мы будем вынуждены приписать его появление чему-то большему, чем просто случайность. Следует признать, что более принято делить возможные события на классы и рассматривать вероятность того, что произойдет событие из данного класса.

ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ БИНОМИАЛЬНОЕРАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАК СМЕШАННОЕРАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА

Если некоторое событие имеет малую вероятность появления в коротком случайно выбранном интервале времени, то число X появлений этого события в заданном интервале времени длиной 9 распределено по закону Пуассона с функцией распределения

Р$ = ^, х = 0Лv 7 х!

В этом случае предполагается, что каждое единичное событие независимо и появление одного из них не оказывает влияния на другие. Однако существует класс задач, для которых это не так. Например, при изучении промышленного травматизма решающим фактором является предрасположенность к травматизму. Изучение статистики несчастных случаев на производстве в крупных фирмах часто показывает, что есть группы, в которых несчастные случаи повторяются значительно чаще, чем этого можно было бы ожидать. Иными словами, риск попасть в промышленную аварию не одинаков для всех членов совокупности. Гринвуд и Юл [An Inquiry into the Nature of Frequency Distributions Representative of Multiple Happenings, Journal of the Royal Statistical Society, 83 (1920)] подошли к этой задаче с помощью впервые введенной ими функции травматизма (представляющей собой распределение на множестве людей среднего числа травм в год)

П Л

PW=T^)e-9hk-1. 0<у<оо,

где у —индекс травматизма. Предполагается, что число травм при данном у распределено как пуассоновская случайная вели-

чина со средним значением 7. Тогда функция распределения вероятностей X есть

^(*)=г7П"й Се-^у^е^у^у, 0 < у < 00. о

После интегрирования и упрощения она принимает вид

РМ^Уг№Йа>Ш' "’“ t-0’1-2'3

(4.26)

Но это и есть отрицательное биномиальное распределение (см. разд. 4.2.3). Вероятность Р(х) — это член разложения

/0+1 i ух / е \х ^LVX

\“0"о/ -\e+U V 6+U 1

Среднее и дисперсия этого распределения равны

^ = У@.(4-27)

Отрицательное биномиальное распределение можно представить как смешанное распределение Пуассона, если приписать среднему гамма-распределение (см. разд. 5.6.1). Это частная разновидность смешанного распределения Пуассона. Любое распределение, получаемое приписыванием распределения („смешиваемого распределения") среднему пуассоновского закона, называют смешанным пуассоновским распределением.

Пример 4.8. События Ег и Е^ происходят независимо во времени, так что для любого данного момента времени вероятность того, что Ei не произойдет в следующие Т секунд, равна ехр(—T/6Z) при i = l, 2. Найдем вероятность того, что в период времени То произойдет ровно к событий (либо Ev либо Е2).

Поскольку события Ег и Е2 происходят независимо, то и случайные величины 7?! и R2t представляющие число появлений Ег и £2 соответственно за время Тй1 можно полагать взаимно независимыми.

Разделим То на N временных интервалов каждый длиной T^N. Вероятность появления Et (i = 1,2) в любом заданном интервале равна 1—ехр (—ТО5М9^ а появления событий в различных интервалах взаимно независимы. При устремлении N к бесконечности можно ожидать, что распределение 7?z будет прибли-

жаться к распределению Пуассона со средним значением Нт Г АЛ Г1ехо^^М ——

expjve,Jj е, -

Следовательно, Rt и Кг будут независимыми пуассоновскими случайными величинами со средними значениями То/61 и Т0/9а соответственно. Тогда [см. упражнение 34, п. a)] ^^-^ тоже будет пуассоновской величиной со средним значением I^OV H-fV), так что

Рг [fe событий] = L71.^61—± 02 ^ еХр [—То (611 4- 6а1)].

Отметим, что, хотя такое распределение и можно назвать смешанным пуассоновским распределением, в действительности это обычное распределение Пуассона.

*4.9. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Ниже будут описаны распределения, которые используются не так широко, как предыдущие. Они предназначены для особых ситуаций и позволяют расширить область применения статистического анализа.

*4.9.1. Распределение Неймана типа A (Contagiousdistributions)

Простые биномиальные и пуассоновские распределения можно комбинировать различными способами в распределения, подходящие для более сложных ситуаций. Пусть, например, число несчастных случаев на производстве, происшедших на некоторой операции за определенный период, описывается пуассоновской случайной величиной (7) со средним Хп а число тяжелых травм, приходящихся на каждый несчастный случай, тоже описывается независимой пуассоновской случайной величиной со средним Х2. Тогда, если произошло / несчастных случаев, общее число X тяжелых травм будет распределено по закону Пуассона со средним /%а, т. е. условное распределение X при данном / имеет вид

P(x|/) = e-A«i^.

Безусловное распределение X равно

^ W = S ПП РШ^ е-М ti) e-i^ « =/=1/—1

=(4.28)

Оно известно как распределение Неймана типа А. По-видимому это распределение можно применять, когда события сгруппиро-

ваны вместе, а не разбросаны случайно. Это смешанное распределение Пуассона с пуассоновским смешиваемым распределением.

Во многих случаях могут оказаться эффективными модификации этого распределения, соответствующие требованиям конкретных ситуаций. Можно, например, полагать, что исключена возможность легких травм, т. е. все травмы тяжелые. В этом случае условное распределение X при данном / оказывается возможным представить распределением суммы / независимых усеченных пауссоновских величин У1Ъ ¥^ ..., ¥^ где

Р(у)_|е-х*(-^.)][1-е-^]-\ у=1,2

Возвращаясь к распределению (4.28), заметим, что его моменты можно вычислить методом, вытекающим из формулы

E(X3) = E[E(X2|y)J.

Например,

и, следовательно,

(4.29) Аналогично

Е (X2 | /) = \Е (X | ^ + Var (X | /) = /X, + j^ а значит,

Е (X2) = ^Е W+W” Kk + ^ [{Е (/)р +Var (/)] == ^2^1 “Г ^2 (^1 + ^1) •

Следовательно,

Var (Х)±= ХД -ЬХ2^ +X!)-(W - ^Л (1+ М- (4.30)

Отметим, что для распределения Неймана типа А

Var(X) = (l+X2)E(X)>E(X),

тогда как для распределения Пуассона

Var(X) = E(X).

4.9.2. Логарифмическое распределение

При 0 < 0 < 1 имеем разложение

-1п(1-е) = 0+10»+|9з + ..., отсюда

[_1п(1_0)]-^е + |0’+1оз+...} = 1.(4.31)

Если последовательные члены этого ряда отождествить с вероятностями того, что случайная величина X примет значения

ууiууiCOdcDxfOlcOxhCOCOCMCMю cm* —7 о о о* о* o' о" о* смСО Ш xfСМсмог—г—^сьсох^сосмсмсм~ СО СМ ^ о О О О* О* О* О* соСО ь- ^ —со°хСЮООСОСМСОООСОх^еОСМСМСМ 00 —« xh см —* о* о о* о* о* о* о"$2- 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1So.смсогп—*оо^оошх^сосмсмсмСО ОО СО СО —7 —г О о* o' о* о* о о00 О Ш CM xf [|1о смIIIOOONCD^iOONUD^CONM 00 О) О) xf CM — —’ о о о о о оО Xb Ь- СМ 1 со — — I —^Stx 1 ^XСОСООх^СОх^спсОх^сОСМСМO^O't'CM^OOOOOO смй й *10 ” 1 - 1 11 1 -I0,NCI0)(0COCOOO(D4'COC<CM ^b^OxfCM—<000000 со ~см о 1 —г см 1 1 1 см О со ^ соCjOOLQx^r^-OCDxt<cOCMО’—1 00 СО —< о о о о осо Ю xf СМ [СМ 1 —< ^00 со11о*°xГ'- —* СО -^ со Xf см см о - xfCOcDCM^OOOO см смСО со I см—' со1хг см смma.7 ^xЮ Г- ~ ОО т^ см00 00 см о о о о—' 00 см оCMОе со о со СМ io х#7 —7 о о ю00 соOi1СО Ю ID СМ''со см* о* оCDID со соO I R S ф к о 8 D* =1—'CMCOxfincOh-OOODO — СМ со *00COdcDxfOlcOxhCOCOCMCMю cm* —7 о о о* о* o' о" о* смСО Ш xfСМсмог—г—^сьсох^сосмсмсм~ СО СМ ^ о О О О* О* О* О* соСО ь- ^ —со°хСЮООСОСМСОООСОх^еОСМСМСМ 00 —« xh см —* о* о о* о* о* о* о"$2- 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1So.смсогп—*оо^оошх^сосмсмсмСО ОО СО СО —7 —г О о* o' о* о* о о00 О Ш CM xf [|1о смIIIOOONCD^iOONUD^CONM 00 О) О) xf CM — —’ о о о о о оО Xb Ь- СМ 1 со — — I —^Stx 1 ^XСОСООх^СОх^спсОх^сОСМСМO^O't'CM^OOOOOO смй й *10 ” 1 - 1 11 1 -I0,NCI0)(0COCOOO(D4'COC<CM ^b^OxfCM—<000000 со ~см о 1 —г см 1 1 1 см О со ^ соCjOOLQx^r^-OCDxt<cOCMО’—1 00 СО —< о о о о осо Ю xf СМ [СМ 1 —< ^00 со11о*°xГ'- —* СО -^ со Xf см см о - xfCOcDCM^OOOO см смСО со I см—' со1хг см смma.7 ^xЮ Г- ~ ОО т^ см00 00 см о о о о—' 00 см оCMОе со о со СМ io х#7 —7 о о ю00 соOi1СО Ю ID СМ''со см* о* оCDID со соO I R S ф к о 8 D* =1—'CMCOxfincOh-OOODO — СМ со *003S3SПримечание: расчетные значения, меньшие чем 0,2, опущены.Примечание: расчетные значения, меньшие чем 0,2, опущены.

у

у

i

у

у

i

COdcDxfOlcOxhCOCOCMCM

ю cm* —7 о о о* о* o' о" о* см

СО Ш xfСМ

см

ог—г—^сьсох^сосмсмсм

~ СО СМ ^ о О О О* О* О* О* со

СО ь- ^ —

со

°х

СЮООСОСМСОООСОх^еОСМСМСМ 00 —« xh см —* о* о о* о* о* о* о"

$2- 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

So.

смсогп—*оо^оошх^сосмсмсм

СО ОО СО СО —7 —г О о* o' о* о* о о

00 О Ш CM xf [|1

о смIII

OOONCD^iOONUD^CONM 00 О) О) xf CM — —’ о о о о о о

О Xb Ь- СМ 1 со — — I —^

Stx 1 ^X

СОСООх^СОх^спсОх^сОСМСМ

O^O't'CM^OOOOOO см

й й *10 ” 1 - 1 11 1 -

I0,

NCI0)(0COCOOO(D4'COC<CM ^b^OxfCM—<000000 со ~

см о 1 —г см 1 1 1 см О со ^ со

CjOOLQx^r^-OCDxt<cOCM

О’—1 00 СО —< о о о о о

со Ю xf СМ [СМ 1 —< ^

00 со11

о*

°x

Г'- —* СО -^ со Xf см см о - xfCOcDCM^OOOO см см

СО со I см

—' со1

хг см см

ma.

7 ^x

Ю Г- ~ ОО т^ см

00 00 см о о о о

—' 00 см о

CM

Ое со о со СМ io х#7 —7 о о ю

00 со

Oi

1

СО Ю ID СМ''

со см* о* о

CD

ID со со

O I R S ф к о 8 D* =

1—'CMCOxfincOh-OOODO — СМ со *00

COdcDxfOlcOxhCOCOCMCM

ю cm* —7 о о о* о* o' о" о* см

СО Ш xfСМ

см

ог—г—^сьсох^сосмсмсм

~ СО СМ ^ о О О О* О* О* О* со

СО ь- ^ —

со

°х

СЮООСОСМСОООСОх^еОСМСМСМ 00 —« xh см —* о* о о* о* о* о* о"

$2- 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

So.

смсогп—*оо^оошх^сосмсмсм

СО ОО СО СО —7 —г О о* o' о* о* о о

00 О Ш CM xf [|1

о смIII

OOONCD^iOONUD^CONM 00 О) О) xf CM — —’ о о о о о о

О Xb Ь- СМ 1 со — — I —^

Stx 1 ^X

СОСООх^СОх^спсОх^сОСМСМ

O^O't'CM^OOOOOO см

й й *10 ” 1 - 1 11 1 -

I0,

NCI0)(0COCOOO(D4'COC<CM ^b^OxfCM—<000000 со ~

см о 1 —г см 1 1 1 см О со ^ со

CjOOLQx^r^-OCDxt<cOCM

О’—1 00 СО —< о о о о о

со Ю xf СМ [СМ 1 —< ^

00 со11

о*

°x

Г'- —* СО -^ со Xf см см о - xfCOcDCM^OOOO см см

СО со I см

—' со1

хг см см

ma.

7 ^x

Ю Г- ~ ОО т^ см

00 00 см о о о о

—' 00 см о

CM

Ое со о со СМ io х#7 —7 о о ю

00 со

Oi

1

СО Ю ID СМ''

со см* о* о

CD

ID со со

O I R S ф к о 8 D* =

1—'CMCOxfincOh-OOODO — СМ со *00

3

S

3

S

Примечание: расчетные значения, меньшие чем 0,2, опущены.

Примечание: расчетные значения, меньшие чем 0,2, опущены.

1, 2, 3, ..., то получится распределение, называемое логарифмическим, Для этого распределения

Рг[Х-х]-Р(х) = [—InQ-O)]-1*-^ х—1,2, ... . (4.32)

Из формулы (4.31) следует

х= 1

Факториальный момент X порядка s равен

Е [*u>] = [— In (1 —9)]~1 2 (х-1)^-1’ 0* =

= [—1п(1—б)]-^! —6)"5, s>l. (4.33)

Из формулы (4.33) получим

Е [X] - [- In (1 —0)]"10 (1 - 0)“\

Var (X) = [— In (1 -0)]-10 (1 —0)'2 {1 —[- In (1 —0)]-10}.

Максимум Р^х) достигается при х^1.

Это распределение оказывается полезным при описании множества категорий наблюдений, например числа различных видов дефектов в стандартных товарах или числа разных насекомых, попавших в световую ловушку [8].

*4.9.3. Дзета-распределение

Как показывают наблюдения, распределения, порождаемые числом повторений каждого данного класса событий, можно представить простой формулой (во всяком случае, во всей существенной части области варьирования)

Рг[Х = г] ос г-(р+1), г = 1, 2, ..

где р > 0. Чтобы получить точную формулу для каждой вероятности, воспользуемся условием

^Рг[Х = г] = 1

Г=1 и найдем

Рг[Х = г](4.34)

где £(р + 1)= 2 г-(р+^-дзета-функция Римана1). Ее числен- г= 1

ные значения приведены в Tables of the Rieman Zeta Function by C. Haselglove and J. С. P. Miller (Royal Society Mathematical

x) Подробности относительно дзета-функции Римана см., например, в работе: Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции.— М.: Наука, 1965.— Прим, перев.

Tables, 6: Cambridge University Press, 1960). Дзета-распределение дает хорошее представление для распределения „дублирован- ных“ вкладов страховых полисов (т. е. числа полисов, принадлежащих одному лицу). В лингвистических исследованиях это распределение (часто называемое в этой связи законом Цапфа) хорошо представляет число повторений одного и того же слова в длинном однородном тексте.

Момент s-ro порядка случайной величины X с распределением (4.34) равен

..^(P-s+D

Up+I) '

При s^p момент p.s становится бесконечным.

*Пример 4.9. В табл. 4.5 (в столбцах Н) показано число держателей заданного количества полисов одной страховой компании (Seal Н. L., A Probability Distribution of Deaths at Age x When Policies Are Counted Instead of Lives, Skandinavisk Aktua- rietidskrift, 30, 1947.) Данные классифицированы по возрасту застрахованных лиц.

В качестве грубого приема оценивания величины р берется отношение числа (/2) держателей двух полисов к числу (f^ держателей только одного полиса и приравнивается к отношению теоретических частот (соответствующих дзета-распределению), что дает

р log2

Значения этих оценок приведены в табл. 4.6.

Таблица 4.6 Оценки р

Возрастная группа

Середина возрастного интервала х

Р

р —3,38—0,032 х

15-19

17,5

2,58

2,82

20-24

22,5

3,27

2,66

25-29

27,5

2,66

2,50

30-34

32,5

2,22

2,34

35-39

37,5

2,02

2,18

40-44

42,5

2,31

2,02

45-49

47,5

1,73

1,86

50-54

52,5

2,06

1,70

55-59

57,5

1,43

1,54

60-64

62,5

1,79

1,38

65—69

67,5

1,22

1,22

70-74

72,5

1,37

1,06

В четвертом столбце этой таблицы представлены значения р, полученные по формуле

р —3,38 —0,032%(4.35)

(где х—возраст, соответствующий середине данной возрастной группы).

Столбцы табл. 4.5 с расчетными значениями (столбцы Р) содержат средние частоты дзета-распределений с параметрами р, вычисленными по формуле (4.35).

ЛИТЕРАТУРА

Durand D., Stable Chaos, General Learning Corporation, Morristown, N. J., 1971, Chapters 5, 9, 11.

Hahn G. J., Shapiro S. S., Statistical Models in Endineering, Wiley. New York, 1967, Chapter 4. [Имеется перевод: Хан Г., Шапиро С. Статистические модели в инженерных задачах.— М.: Мир, 1969.]

Hays W. L., Winkler R. L., Statistics: Probability, Inference and Decision, Vol. 1, Holt, Rinehart & Winston, New York, 1970, Chapter 4.

Hoel P. G., Introduction to Mathematical Statistics, 4th Ed., Wiley, New York, 1971, Chapter 3.

Johnson N. L., Kotz S., Distributions in Statistics —Discrete Distributions, Wiley, New York, 1969.

Mood A. M., Graybill F. A., Boes D. C., Introduction to the Theory of Statistics, McGraw-Hill, New York, 1976, Chapter 3.

Parzen E., Modern Probability Theory and Its Applications, Wiley, New York, 1960, Chapters 2—8.

Rowe J. A., Mosquito Light Trap Catches for Ten American Cities, 1940, Iowa State College Journal of Science» 16, 487—518 (1941).

УПРАЖНЕНИЯ

Вероятность того, что потребуется сверхнормативная сборка, равна 0,035.

Если в смену производится 200 сборок, то как много случаев сверхнормативной сборки можно ожидать? (Предполагается независимость сборок.)

Будет ли появление 11 или более таких случаев неожиданностью?

В упражнении 1, п. а), определите вероятность

самое большее пяти сверхнормативных сборок,

двух или менее таких сборок,

более шести таких сборок.

Из партии объема 80 взята выборка объема 20.

Пусть в партии четыре дефектных образца; найдите вероятность отсутствия брака в выборке.

Какое среднее число дефектных изделий можно ожидать в такой выборке?

Как часто можно ожидать именно этого (среднего) результата?

Подбросьте пять монет 50 раз. Зафиксируйте число случаев появления герба 0, 1, 2, ..., 5 раз. Сравните полученные данные с теоретическими частотами для биномиального распределения с параметрами 5, 1/2.

В одном городе в среднем из-за автомобильных катастроф гибнет 8 человек в месяц. В предположении, что все смерти,наступившие в течение месяца, независимы и их число имеет распределение Пуассона, найдите вероятность того, что в течение двух месяцев погибнет в автомобильных катастрофах 23 или более человек.

Вероятность попадания в цель равна 0,90.

Найдите математическое ожидание числа попаданий в 10 независимых попытках.

Какова вероятность более чем пяти попаданий?

Какова вероятность двух или менее попаданий?

Как много независимых попыток нужно сделать в условиях упражнения 6, чтобы вероятность попасть хотя бы один раз была не менее 0,99?

Среднее число дефектов некоторого вида для фанеры равно 2 на лист. Оцените вероятность нуля дефектов. На какой доле листов можно ожидать более чем по три дефекта?

По заявлению некоторой фирмы вероятность того, что данное покрытие устойчиво против коррозии (что определяется путем стандартных испытаний), равна 0,95. Было отобрано 20 независимых образцов.

Если эти покрытия столь хороши, как утверждается, то как много брака можно ожидать?

Какова вероятность того, что будет обнаружен более чем один случай брака?

Испытываемые пластины делятся на четыре категории в зависимости от чистоты их поверхности. Математические ожидания чисел пластин различных категорий находятся в соотношении 1:1:2:4. Исследовано 100 образцов. Какова вероятность того, что среди них не окажется пластин первых двух категорий?

И. Для категорий из упражнения 10 найдите, какова вероятность того, что в выборке объема 40 окажется 5 пластин первой категории, 5 —второй, 10 —третьей и 20 —четвертой? Является ли это ожидаемым результатом для выборки ^ 40 единиц? Если так, ю почему вероятность столь мала?

При испытании металлических образцов ожидается, что 20% из них окажутся негодными, 30% будут на грани возможного использования и 50%— хорошего качества. Испытывалось 40 образцов. Какова вероятность того, что а) все отобранные образцы хорошие,

самое большее один плохой и. ровно два на грани возможного использования,

ровно один плохой, два на грани возможного использования и 37 хороших?

Бейсболист Джо Зилч достиг среднего результата 0,280 в 400 попытках. Когда он подписывал контракт, ожидалось, что он покажет результат 0,300. Есть ли причина для тревоги (со статистической точки зрения)? Поясните, что вы понимаете под „причиной для тревоги11 и сделайте вывод.

Другой бейсболист Стри Каут имеет в среднем 25 успешных перебежек за последние 10 сезонов. Но к концу данного сезона, в котором он сыграл то же число игр, что в среднем в последние 10 сезонов, он имеет лишь 17 успешных перебежек. Какие выводы вы могли бы из этого сделать? (Предполагается, что было 400 попыток.)

Процент выхода, характеризующий эффективность химического процесса, распределен симметрично около среднего 87%. В каждом из шести независимых лабораторных испытаний выход оказался менее 87%.

Какова вероятность такого события?

Какова вероятность того, что эффективность окажется выше 87% (для этого процесса) в 8 случаях из 10?

Максимальное сопротивление резиновой ленты должно составлять 2,ООм-см‘ Ниже приведены числа дефектов (X), полученные в 1000 выборках по 10 образцов.

X

/

X

/

X

f

0

353

4

11

8

0

1

382

5

2

9

0

2

196

6

I

10

0

3

55

7

0

Сравните эти результаты с биномиальным распределением при р — 0,1 и л — 10.

Сравните результаты с распределением Пуассона при 6=1.

В каком случае данные аппроксимируются лучше? Почему?

Пусть вероятность получения качественного листа при нанесении на него покрытия равна 0,90.

Сколько бракованных листов следует ожидать в выборке объема 50?

Какова вероятность того, что в выборке объема 50 окажется более пяти плохих листов?

Какова вероятность того, что окажется менее трех плохих листов?

Какова вероятность двух или более дефектных образцов в выборке объема 20, если средняя доля дефектных образцов равна 0,12?

Фирма провела полевые испытания шести образцов одинакового оборудования и не обнаружила среди них неисправных. Как часто можно ожидать, что в выборке объема 6 будут отсутствовать неисправные образцы, если

ожидаемая доля неисправных образцов равна 5%?

ожидаемая доля неисправных образцов равна 10%?

В партии объема 100 пять плохих образцов и пять образцов на грани возможного использования, которые можно доработать и использовать. Какова вероятность того, что в выборке объема 30 окажется самое большее один образец на грани возможного использования и не будет плохих?

Найдите среднее значение и дисперсию распределения Пуассона непосредственно, не обращаясь к производящей функции моментов.

■ 22. Найдите среднее значение биномиального распределения Р (х) = ~ (х) ^~ХРХ ПРИ ^ = 0, 1,2, ..., п непосредственно, не обращаясь к производящей функции моментов.

Сравните вероятности Х = 0, 1, ..., 10 для выборки объема 10 в случае биномиального распределения при р = 1/2 и в случае пуассоновского распределения при 0 = 5.

Сравните значения, полученные в упражнении 23, с соответствующими вероятностями гипергеометрического распределения при А = 20, п=10 и тем же самым средним значением, что и у двух распределений из упражнения 23.

Сравните значения, полученные в упражнениях 23 и 24, с соответствующими вероятностями для отрицательного биномиального распределения при ^=10 и тем же самым средним значением, что и у трех распределений из упражнений 23 и 24.

Джозеф Зайличстоун очень тревожился насчет 20 образцов нового изделия. Изготовитель утверждал, что при сегодняшнем состоянии производства можно в лучшем случае получить 5% брака. Как много образцов должен был бы поставить изготовитель, чтобы среди них с не менее чем 99%-ной вероятностью было как минимум 20 хороших изделий?

В табл. А приложения приведены некоторые случайные числа. Представьте в виде таблицы число появлений 0, 1, 2, ..., 9 в 200 последовательных цифрах. Можете ли вы рассматривать этот результат как выборку из равномерного дискретного распределения с р = 0,1 и п — 10?

Возьмите еще одну выборку, такую же, как в упражнении 27. Согласуется ли она с теоретическими частотами? Сравните с данными упражнения 27.

Исследовательская лаборатория состоит из 10 технологов, 4 химиков и 3 физиков. По жребию выбирается группа из трех человек для представительства при переговорах. Какова вероятность того, что все трое окажутся технологами?

Фирма провела кампанию по уменьшению числа несчастных случаев. Среднее число таких случаев за предыдущие годы было 20. В год проведения указанной кампании их число оказалось равным 16. Можете ли вы сказать, что это произошло под влиянием неслучайных причин? Оцените вероятность 16 или менее несчастных случаев, полагая, что условия не изменились.

Десять фотовспышек были извлечены случайным образам из продукции, содержащей 0,5% брака.

Из множества в 10 фотовспышек были отобраны тоже случайно две, которые оказались бракованными. Какова вероятность того, что ни один из остальных восьми образцов не бракованный?

В двух мешках А и В лежат по восемь белых шаров. Из третьего мешка с четырьмя черными шарами шары извлекаются но одному и кладутся случайным образом в мешок А или В.

Из мешка А случайно выбираются четыре шара: один черный и три белых. Найдите математическое ожидание числа шаров в мешке В?

Изобразите графически распределение Пуассона при ЕЛХ)—5.

а) Покажите, что если Xt и Ха—независимые случайные величины с распределениями Пуассона, то (Xj + X^ тоже имеет распределение Пуассона.

б) Найдите условное распределение Хх при заданном значении Xj+X^

а) Покажите, что если Xt и Х2—независимые случайные величины, имеющие отрицательные биномиальные распределения с равными значениями Р, но различными к, а именно кх и ка, то (Х^Хз) тоже имеет отрицательное биномиальное распределение.

Найдите условное распределение Xt при заданном значении (Xi+X2).

Пусть вы отвергаете утверждение о том, что монета правильная, если происходит событие, вероятность которого меньше чем ОДУ Сколько раз должен выпасть герб в 50 подбрасываниях, чтобы вы сказали, что монета неправильная, если событие состоит в том, что герб выпал к или меньшее число раз?

Сохраняются все условия упражнения 36, за исключением того что „событие11—это появление либо к или менее, либо (50—/г) или более гербов.

Случайные величины Xi и Х2 взаимно независимы и каждая из них имеет дискретное равномерное распределение

Рг [Х = х]= 1/10 [х —5(10)95].

Найдите распределение 1/a(Xi+X2).

Случайные величины Xi, Х2, ..., Хт независимы и распределены по закону Пуассона со средним значением 0.

Найдите условное распределение Хг при заданном значении суммы (Хг + Хз+... + ^z»).

Покажите, что распределение Xi (Хх4-Х2+ ... + ХЖ)“Х не зависит

от 6 и найдите его среднее и дисперсию.

Величина X распределена по закону Пуассона с Е (Х) = Х$. Условное распределение (У—1) при данном X будет пуассоновским с £(У— 1) = Х2х.

Покажите, что при у = 1, 2, ...

Prl^]^^-/=1Prl^]^^-/=1уХ^^е"1^1(У-1)1уХ^^е"1^1(У-1)1

Prl^]^^-/=1

Prl^]^^-/=1

уХ^^е"1^1

(У-1)1

уХ^^е"1^1

(У-1)1

£(У)=1+Ц,

Var (У) = Xj%2 (1 -^ АД.

Случайная величина X принимает значения r/s, где г и s—положительные целые числа, не имеющие общих множителей, с вероятностями K^er^*s — I)"1. (Все возможные значения целых г и s содержатся в распределении х.)

Найдите значение К.

Найдите вероятность того, что X < 1.

Найдите вероятность того, что X ^ L

В партии^ содержащей п изделий, D изделий дефектные. Осуществляется случайны^ выбор (без возвращения) до тех пор, пока не получится ровно к дефектных изделий. Покажите, что если ^“ число извлечений, то

а) Е [№>] = ^SJ (л + 1)И/(О+1)[$],

где

Xtsl=X(X+l)...(X+s+l);

б) Var (N) —б) Var (N) —k(n+l)(n—D)(D + l —fy(Г>+1)2(^ + 2)

б) Var (N) —

б) Var (N) —

Выборка из полиномиальной совокупности с к категориями (1), (2), .(к), имеющими вероятности р-ь р2, ..., рд, производится до тех пор, пока не получится т объектов из категории (/) р/ > 0, 2 Pi~^ •

Покажите, что число объектов в выборке из Z-й категории (z ^ /) имеет отрицательное биномиальное распределение с параметрами т, Pi (.pi+p/)™1.

Предложите возможное применение этого результата.

Величина X имеет распределение Пуассона со средним значением 6. Покажите, что математическое ожидание А^ равно

ехр [0 (Л —1)].

Каково среднее значение, если X имеет биномиальное распределение с параметрами пир?г гг

5 № 819

Глава 5

НЕПРЕРЫВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ

В двух предыдущих главах были приведены некоторые основные принципы и законы теории вероятностей, функции распределения вероятностей для дискретного случая и плотности распределения вероятностей для непрерывного случая. Описаны производящие функции моментов и их применения к некоторым более общим дискретным распределениям; дано множество примеров. Теперь перейдем к рассмотрению непрерывных распределений. Для каждого из них определим некоторые свойства и приведем примеры. В подходящих местах будут представлены таблицы и примеры их использования. Рассмотрим нормальное, равномерное и экспоненциальное распределения, гамма- и бета- распределения, %2-распределение, /-распределение Стьюдента, F-распределение и распределение Вейбулла. Приведем также общие идеи и примеры применения наложенных и усеченных распределений, а также рассмотрим преобразование переменных. Представим двумерные распределения, причем особое внимание будет уделено двумерному нормальному распределению. Наконец, опишем подбор теоретических распределений по экспериментальным данным.

НОРМАЛЬНОЕ (ГАУССОВО)РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Нормальное распределение —самое важное в прикладной статистике по нескольким причинам. Прежде всего, многие наблюдаемые данные можно успешно описать нормальным распределением, или по крайней мере нормальное распределение может стать первым приближением. Не существует таких распределений эмпирических данных, которые были бы в точности нормальными, поскольку (как увидим) пределами любой нормальной величины являются —оо и +оо, и для ее представления необходимо бесконечно много десятичных знаков. Зато как приближение нормальное распределение очень часто хорошо подходит. Проводятся ли какие-либо измерения в технологическом процессе, рассматриваются ли ошибки измерений, проводится ли контроль температуры, оценивается ли концентрация или же собираются

данные, подверженные влиянию множества случайных источников вариации,— как правило, оказывается, что данные распределены приблизительно по нормальному закону.

Предположение о нормальном распределении как основа для анализа выборочных данных очень часто используется при построении статистической теории. Мы покажем, что распределение многих выборочных статистик стремится к нормальному при возрастании объема выборки.

Пример 5.1. В табл. 5.1 представленны данные об отклоне-

Таблица 5.1

Распределение частот отклонений от установленного чистого веса X (в 0,01 унции) для масляных орехов без скорлупы г)

Границы интервалов группировки

X

f

Границы интервалов группировки

X

1

Границы интервалов группировки

X

Г

—12—(—11)

-11,5

3

0-1

0,5

236

10-11

10,5

29

—10—(—9)

-9,5

10

2-3

2,5

346

12-13

12,5

13

-8-(-7)

-7,5

6

4-5

4,5

371

14-15

14,5

14

-6-(-5)

—5,5

14

6-7

6,5

240

16-17

16,5

9

—4 —(—3)

-3,5

29

8-9

8,5

79

18-19

18,5

3

-2-(-0

-1,5

74

О Lifson К. A., Package Weight Controls through Statistical Analysis, 9th Midwest Quality Control Conference Papers (1954).

ниях веса ореха без скорлупы от требуемого чистого веса для каждого из отобранных 1476 масляных орехов. Эти данные собирались при исследовании потерь, возникающих из-за малых колебаний в весе, т. е. в пределах допусков, при превышении требуемого чистого веса, хотя и не слишком большом. Было установлено, что превышение среднего веса на 0,01 унции по отношению к установленному чистому весу обходится фирме в 8000 долл, в год. Эти данные представлены на рис. 5.1; они распределены приближенно нормально. В разд. 5.15 рассмотрим подбор по таким данным нормального распределения. После этого можно проверить, достоверно ли наше предположение о нормальности.

Рис. 5.1. Распределение частот отклонений от чистого веса орехов без скорлупы.

Свойства нормального распределения

Продолжим рассмотрение нормального распределения с помощью плотности нормального распределения вероятностей, имеющей вид1)

рх^ = Д- е-^-ц)2^, —оо<х<оо.(5.1)

V Зло

График этой функции приведен на рис. 5.2. Отметим, что рх(х) стремится к нулю при приближении х к —оо или + оо. Кривая симметрична относительно х^р. Дифференцируя рх^ дважды

*) Ниже будем считать, что а) если рх (х) и Р (х) не определены для некоторого частного значения х, то их значения равны нулю, б) если формула для рх(х) справедлива при всех конечных х, то условие —оо < х < оо опускается.

по х и приравнивая производные нулю, определим еще два свойства: 1) р^ достигает максимума в точке х = р и 2) при х = ц±о имеют место две точки перегиба нормальной кривой.

Рис. 5.2. Нормальное распределение.

Для определения £ (X) и Var(X) можно воспользоваться формулами (3.38) и (3.47):

Е (X) = J хрх (х) dx,

Var (X) = $ [х-Е (X)]2 рх (х)dx = Е (X2)-[Е (X)]2. (5.2)

Теперь с учетом (5.2) получим

Е(Х) = -Д- С xe-^W^dx.

Сделав подстановку (х—р)/а = у, найдем

^W^T^ f ^-V^e-^^dy, —оо<у<оо.

У 2п и^

Поскольку

J ye^^^dy = 0, то

Е(Х) = р.(5.3)

Определим дисперсию с помощью формулы (5.2):

Var(X)=—f x^e-^w-31 dx-u?.

' ’ /2ла Jr

При использовании указанной выше подстановки интеграл сводится к виду

v^- f l^ + ^y + a^e-^dy.

V 2л J

Это в свою очередь дает

Var (X) = р2 + 0 + оа — р2

и, наконец,

(5-4)(5-4)Уаг(Х)=ст2.

(5-4)

(5-4)

Нормальное распределение симметрично относительно среднего, медианы и моды, которые совпадают и равны р. Его среднее квадратическое отклонение о (или корень квадратный из дисперсии) дает расстояние от р до каждой из двух точек перегиба. Третий и четвертый моменты этого распределения вычисляются (в разд. 5.2.5) с помощью производящей функции моментов, хотя могут быть легко найдены прямо по определениям

Рг= 5 xrPx(x)dx

и

pr= $ Vx — EW\rPxWdx — OD

(см. разд. 3.13).

Нормированное нормальное распределение

Распределение (5.1) описывает семейство кривых, зависящих от двух параметров р и о. Оба этих параметра имеют одинаковые размерности (дюймы, градусы Цельсия, фунты на квадратный дюйм, проценты концентрации и т. п.). Для определения, например, того, какая доля распределения лежит за точкой х = хв, надо интегрировать по области х > х0. Это требует численного интегрирования и весьма утомительно. Чтобы избежать этого, введем нормированное нормальное распределение с р = 0 и а=1. Площадь под этой кривой представлена в табличном виде в широком диапазоне значений х. Тогда можно решать простые задачи о площадях, преобразуя данные к случаю р = 0, о=1 и находя искомые значения прямо из таблиц.

Для этого надо нормировать X по уравнению

Среднее значение и среднее квадратическое значение U равны О и 1 соответственно, а плотность распределения вероятностей есть pu^=vWe“,,a' —°°<u<00-(5-5)

Из сравнения формул (5.1) и (5.2) видно, что

Е[У]-0,(5 6)

Кривая плотности нормированного нормального распределения изображена на рис. 5.3, где указаны доли площадей под этой кри-

Рис. 5.3. Нормированное нормальное распределение N (0, 1). (Показано приблизительное распределение площадей под кривой.)Рис. 5.3. Нормированное нормальное распределение N (0, 1). (Показано приблизительное распределение площадей под кривой.)

Рис. 5.3. Нормированное нормальное распределение N (0, 1). (Показано приблизительное распределение площадей под кривой.)

Рис. 5.3. Нормированное нормальное распределение N (0, 1). (Показано приблизительное распределение площадей под кривой.)

вой. Функция нормального распределения, т. е. Рх(,х) — Ф^хЗ =Ф(и)^н, приведена на рис. 5.4.

Обычно используются обозначения

и

(5.7)(5.7)O(u) = (J/~2n)-1 J e-'^dt

(5.7)

(5.7)

и

ф (и) = (И2л)-1 е-“‘/2 ди.

Эти общепринятые обозначения мы и будем использовать.

Теперь введем другое обозначение. Пусть символ ^(р, ст) обозначает нормальное распределение со средним значением (или математическим ожиданием) р и средним квадратическим отклонением ст. Тогда N (0, 1) есть нормированное нормальное распределение.

Таблицы нормированного Нормального распределения

Функция нормированного нормального распределения при Ведена в табл. В приложения для значений и от « = 0,00 до м = 3,99 с шагом 0,01. Эта таблица широко используется при решении таких задач, как вычисление вероятности, соответствующей появлению случайной величины в желаемых границах области изменений, или доли, попадающей в „стандарт", и во многих других случаях, когда предполагается нормальное распределение. Заметим, что область и начинается от м = 0. Для других (отрицательных) значений и можно использовать свойство симметрии. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение таблицы.

Примеры использования таблиц нормальногораспределения

Ниже приведено три примера, чтобы проиллюстрировать применение таблиц нормального распределения. Первый из них решается многократным обращением к таблице. Второй требует преобразования к нормированной нормальной форме [Af(O, 1)]. В третьем примере сначала используются таблицы нормального распределения, а затем —биномиальное распределение.

Пример 5.2. Задана нормированная нормальная величина U. Найдем следующие вероятности. (Заметим, что Pr[<z < X <&] = =Рг[а^Х^&] для всех а и Ь, что обусловлено непрерывностью. В дискретном случае, вообще говоря, это неверно.)

а) Рг[(/<1,60],б) Pr[t/< —1,60],а) Рг[(/<1,60],б) Pr[t/< —1,60],в) Рг [1,55^ f/1,69], г) Рг[—2,00 <£7< 0,45].

а) Рг[(/<1,60],

б) Pr[t/< —1,60],

а) Рг[(/<1,60],

б) Pr[t/< —1,60],

Pr[t/^ 1,60]—0,94520, что получается прямо из таблицы.

Рг [(/ ^ - 1,60] = 1 - Pr \U < 1,60] = 1 - 0,94520 = 0,05480.

в) Pr[l,55<t/<l,69]=Pr[i/<l,69]-Pr[^<l,55] == 0,95449-0,93943 = 0,01506.

г) Рг [—2,00 < U < 0,45] = Pr \U ^ 0,45] -

— Pr [г/ <—2,00] = Рг [(/ < 0,45] - {1 - Рг [(/ < 2,00]} =

= 0,67364 - 0,02275 = 0,65089.

Существует очень много методов вычисления этих вероятностей. Приемы зависят от формы представления таблиц и предпочитаемых арифметических операций. Начинающим полезно изображать нормальную кривую, чтобы они были уверены в том, что рассматривают правильную площадь. Некоторые таблицы непрерывных распределений, представленные в приложении, сопровождаются рисунками и уравнениями. Это особенно полезно как гарантия того, что читатель и авторы имеют в виду одни и те же вероятности.

Пример 5.3. Предполагается, что внешний диаметр (ВД) годных для сборки стальных стержней распределен приблизительно по нормальному закону со средним 2,30 дюйма и средним квадратическим отклонением 0,06 дюйма, т. е. ^(2,30; 0,06). Пределы допуска 2,31 ±0,10 дюйма. Изделие с ВД ниже нижнего предела допуска считается ломом, тогда как при превышении ВД верхнего предела возможна доработка. Нужно получить ответы на следующие вопросы: а) каков получающийся процент лома? б) сколько процентов продукции нуждается в доработке? и в) каков ожидаемый процент лома и изделий, требующих доработки, будет иметь место, если изменить средний ВД до 2,31 дюйма?

а) Надо узнать вероятность Рг[Х < 2,21 |р, = 2,30].

Если нормировать рассматриваемую величину, то получим

2,21-2,30и 0,062,21-2,30и 0,061,50.1,50.

2,21-2,30

и 0,06

2,21-2,30

и 0,06

1,50.

1,50.

Следовательно, Рг [X < 2,21] = Рг [Ц < — 1,50] = 0,06681.

Вырабатывается примерно 6,7% лома.

б) Рг [X >б) Рг [X >2,41] = Рг \U>2,41] = Рг \U>"о,Об’30] = Рг IV > 1-831 = 0,03362."о,Об’30] = Рг IV > 1-831 = 0,03362.

б) Рг [X >

б) Рг [X >

2,41] = Рг \U>

2,41] = Рг \U>

"о,Об’30] = Рг IV > 1-831 = 0,03362.

"о,Об’30] = Рг IV > 1-831 = 0,03362.

Значит, приходится дорабатывать ~3,4% продукции, в) Если бы среднее значение ВД равнялось 2,31, то

Рг[2,21 < X <2,41] = Рг Р^< U <^=^= Рг [—1,67 < ¥ < 1,67] = 0,90508.

Процент лома и изделий, требующих доработки, уменьшился с 10,1 до 9,5%.

Пример 5.4. Следующий пример требует использования и нормального и биномиального распределения. Цель группы бомбометания — разрушить железнодорожное полотно. На основе прошлых стрельб было установлено, что хорошим приближением для среднего квадратического отклонения ошибки упреждения (при этом X измеряется на перпендикуляре к рельсам, лежащем в плоскости полотна) является 20 футов, тогда как ошибка относа бомбы (вдоль полотна) равна нулю. Допустим, что расстояния от точек падения бомб до центра полотна распределены нормально с N (0, 20). Бомба, упавшая в полосе шириной 8 футов от рельсового пути, считается достигшей цели. Как много бомб надо сбросить, чтобы с вероятностью не менее 95% получить хотя бы одно попадание? Допустим, что бомбометания независимы.

Нормирование величины X дает U = (X — 0)/20. Сначала найдем вероятность одного попадания на одно метание. Она равна Pr[—8<X<8] = Pr[—0,40<i/< 0,40] = 0,31084. Теперь установим наименьшее значение п, для которого Рг[/^1|р = =0,31084, п]^0,95, где J — число попаданий.

Иными словами,

2 ^(i-p^p^ o.gs.

Это эквивалентно илиЭто эквивалентно или7=1 V /

Это эквивалентно или

Это эквивалентно или

1— (1— рУр°>0,95,(0,68916)" <0,05.

Взяв десятичный логарифм, получим nig 0,68916 < 1g 0,05,

так что

-1,30103 ,Я05

-0,16168 — °’U&'

Следовательно, в данных условиях необходимо совершить девять бомбометаний, чтобы с не менее чем 95%-ной уверенностью получить хотя бы одно попадание.

Таблицы Ф(х) полезны и при аппроксимации биномиальных распределений вероятностей. Если X имеет биномиальное распределение с параметрами п, р (см. разд. 4.2), то

рг[хс^]=2 трт-ру-'.

/=0 \/ /

Для больших п необходимые вычисления очень трудоемкие.

Когда п стремится к бесконечности, распределение X стремится к нормальному. Для большого п и целого /?(0^7?^п)

Рг[х«^ф(^г^ы-,6'8)

Лучшая аппроксимация получается при подстановке вместо/?—пр в аргументе Ф() выражения R — пр+1/2. (Это так называемая

поправка на непрерывность Йейтса.)

Еще лучшие приближения получаются с помощью формулы

Pr [X < /?]« Ф ({4/? + 3) (1 -р)У<» - {(4n —4R -1) pV/a). (5.9)

Для вероятностей на хвостах распределения (< 0,05 или > 0,95) эту формулу нужно модифицировать следующим образом:

Pr [X С /?] * Ф (2 {(/? + 1) (1 - р)р/2 - 2 {(n - R) р}^). (5.10)

Когда р близко к 1/2, нужно применять соотношения (5.9) и для хвостов, хотя вместо (5.10) следует взять формулу

Рг[Х^/?]«Ф((1/2(8/? + 5)(1-р)}^ - {1/2(8п-8/?-3)рр/2).

(5.11)

Если X имеет распределение Пуассона со средним значением 0, то для целого положительного R

R г

Рг[Х<Л]=2 ^1.

/=0 L J

По мере того как 6 стремится к бесконечности, распределение X смещается к бесконечности и

Учитывая поправку на непрерывность, имеем

Рг [Х^/?]^ФРг [Х^/?]^Ф^-6+1/2\/ё )'^-6+1/2\/ё )'

Рг [Х^/?]^Ф

Рг [Х^/?]^Ф

^-6+1/2\

/ё )'

^-6+1/2\

/ё )'

Еще лучшее приближение получается с помощью формулы

Рг[Х^Я]»Ф(2/Я+3/4 — 2/0),(5.12)

переходящей в

Рг[Х<#]«Ф(2/#+Т—2/0)(5.13)

для хвостов.

Подробно эти приближения рассмотрены Моленаром [11].

Производящие функции моментов

Используя определение и свойства производящей функции моментов, представленной в гл. 3, получим эту функцию для нормированного нормального распределения и применим ее к IV (р, ст). Для распределения N (0, 1) производящая функция моментов есть

т(П = -Д= Г eue"u2^du =

4 ' у 2л J

(5.14)

= _J_ [ е-(«-W2 ^‘/2 =.

/2я А

Следовательно,

Таким образом, поскольку Х = р + ст1/,

Е(Х) = £(р+о/) = £(и) + £ W = p,

Var (X) = Е ^A-oUY-VE (У+^)Р =

= Е (р2) + 2£ (рст^) + Е (o2U2) - р2 = р2+-2 • 0 + ст2 • 1—р2=ст2.

(5.15)

Точно так же можно получить высшие моменты нормированного нормального распределения (или стандартные моменты любого нормального распределения). Они равны

аг = рг:(/ = 0 для г нечетного;

а, = рг;[/ = 1-3-5... (г—1) для четного г.

Например, а2—1, а4 —3 и а6 = 16. Кроме того, ^Чк = (^1) ^2ft —2*

РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Непрерывное равномерное (или прямоугольное) распределение встречается в прикладной статистике в основном в двух типовых ситуациях: во-первых, когда в некотором интервале все значения случайной величины равновозможны и, во-вторых, при аппроксимации других непрерывных распределений в относительно малых интервалах. Если, например, величина X распределена как N (р., о), а интерес представляет ее поведение в интервале р—о/З X ^ р + о/3, то равномерное распределение — хорошая аппроксимация значений X в этом интервале для некоторых целей.

Пример 5.5. Испытывалось 500 образцов бумаги, которую в экспериментальных целях покрывали жидким полимером и сушили, а затем разбили на пять классов по весу. В среднем из этих классов измерялась толщина образцов для выяснения того, нет ли здесь равномерного распределения. В табл. 5.2 пред-

Таблица 5.2

Толщина образцов

X

/

X

Г

—5

13

1

8

— 4

14

2

6

-3

8

3

10

— 2

14

4

9

— 1

7

5

10

0

5

6

12

ставлены значения толщины (средние по пяти точкам—центр листа и четыре угла) 116 образцов этого класса. Данные закодированы в единицах отклонения от нормы.

На рис. 5.5 построена гистограмма по этим данным с наложенным теоретическим распределением 116р(х) = 9,67.

5.3.1. Свойства равномерного распределения

Равномерное распределение задается плотностью

рх(х) = (Р—а)-1, а^х^р.(5.16)

Вероятность того, что величина X попадет в некоторый диапазон значений между аир, равна вероятности того, что она попадет в любой другой диапазон той же длины, т. е. Рг[с^ ^X^d] = Pr[c'^X^d'j, если d—c = d'—с', а с, d, е’ и d' лежат между аир. Хотя (5.16) представляет собой наиболее общую форму равномерного распределения, обычно используется формула другого вида:

px(x) = 0-i, -0/2^х^О/2 и 0 <6,(5.17)

где 0 = р—а [получается подстановкой у=(х—а)/0]. Центральные моменты этого распределения равны

0/2

СV + 1 10/2

u,=u'=0-1 I xrdx = 0-1—j-r.

Гг Г Jг+1-0/2

-6/2

Следовательно,

р.г — 0для нечетного г,

0Г(5.18)

= (7q_ ij27 Для четного г.1 '

Второй и четвертый центральные моменты равны

6204/С юх

И, = 12 и ц.=8б-(5.19)

Третий и четвертый стандартные моменты равны

а3 = 0 и а4 = 9/5.(5.20)

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Частное распределение, известное как экспоненциальное, выделяется потому, чти оно широко используется. Его можно было бы рассматривать как особый случай гамма-распределения (см. разд. 5.6) или распределения Вейбулла (см. разд. 5.5). Экспоненциальное распределение часто служит первым приближением в задачах о надежности и т. п. Для иллюстрации этого распределения рассмотрим пример 5.6,

Пример 5.6. В табл. 5.3 представлены данные о долговеч-

Таблица 5.3

Число часов до отказа (X) индикаторных ламп на 600 В

Долговечность X, ч

Частота f

Долговечность X, ч

Частота f

50

29

500

10

150

22

700

9

250

350

12

10

1000

8

ности в часах для 100 индикаторных ламп на 600 В, применяемых в авиационных радиолокационных станциях (радарах)

Рис. 5.6. Гистограмма срока службы в часах (X) для 600 —вольтовых индикаторных ламп. (Гистограмма построена так, что площади пропорциональны соответствующим частотам.)

[Davis D. J., An Analysis of Some Failure Data, Journal of the American Statistical Association, 47 (1952)]. Гистограмма по этой выборке (с наложенной теоретической кривой) построена на рис. 5.6. Пунктиром нанесена подобранная экспоненциальная кривая плотности распределения вероятностей.

Свойства экспоненциального распределения

Экспоненциальное распределение определяется формулой

(5-21)(5-21)рх(х) = 6е~6'с, О^х и 0 < 6.

(5-21)

(5-21)

Используя для отыскания моментов производящую функцию, получим

/Их(0 — 6 $ etxe~9xdx = 0 J e~<9~t}xdx при t <0,

оо

Это приводит к ^(0=Д=1+4+-& + $+---(5.22)

Дифференцируя г раз по t и приравнивая t к нулю, получим

, _ г!

ОтсюдаОтсюда(5.23)(5.23)Нг—0Г-

Отсюда

Отсюда

(5.23)

(5.23)

Д(Х) = 8-1,Var(X) = 0"a.

Третий и четвертый стандартные моменты (отношения моментов) равны

а3 = 2, а4 = 9.(5.24)

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЙБУЛЛА

Распределение Вейбулла весьма широко применяется в последние два десятилетия. Особенно оно полезно в задачах о долговечности и надежности. Его можно рассматривать как обобщение экспоненциального распределения, поскольку в нем три параметра и оно сводится к экспоненциальному при подходящем выборе (с= 1) одного из них. Параметры задают область и форму распределения (и, конечно, его моменты). Плотность распределения вероятностей Вейбулла определяется как

(5ЗД

при х^а^ Ь>0, с>0. Обычно проще работать с функцией распределения Вейбулла, которая имеет вид

Fх (х) = 1 -ехр [ - (")'] •(5.26)

Заметим, что (X —а)с распределено по экспоненциальному закону со средним значением Ьс. График рх (х) представляет собой колоколообразную кривую (т. е. распределение унимодально) при с> 1 и L-образную кривую (т. е. функция является убывающей от х) при 0<с^1. При о=0 и с=1 уравнение (5.25) превращается в (5.21) после замены 5 на 0.

При у = (х—а^Ь соотношения (5.25) и (5.26) соответственно принимают вид

pv (у)=:сус~1е~Ус, у^О, с > 0,(5 27)

и

Еу^=\-е-У.(5.28)

Математические ожидания X и Y соответственно равны

£(Х) = о + № (1+4) •(5-29)

£(У) = г(1+1),(5.30)

где Г (Л) находится как определенный интеграл

Г (А) = ^e-yy^dy, ^>0,(5.31)

О

и называется гамма-функцией. Интегрируя (5.31) по частям, можно получить

Г (&) = (& — 1)Г (& —4).

Следовательно, если к—целое,

Г (£) = (£-!)!

Дисперсия Y есть

Уаг(У) = г(1+4)-г(1+1).(5.32)

Высшие моменты равны

р;:У=г(1+4).(5.зз)

Пример 5.7. В качестве примера распределения Вейбулла рассмотрим некоторые данные, представленные Берреттони [Вег-

rettoni J. N., Practical Applications of the Weibull Distribution, Proceedings of the 16th Convention on the American Society for Quality Control (May, 1962)]. Данные табл. 5.4 показывают

Таблица 5.4

Возвраты товаров, классифицированные по числу недель, прошедших после отгрузки для 83 случаев

Число недель лс-10 —1 (середина интервала)

Частота /

Число недель лс-Ю-1 (середина интервала)

Частота f

4

5

14

7

6

17

16

5

8

15

18

5

10

16

20

0

12

13

частоту возвратов товаров, которые классифицированы по числу недель, прошедших после отгрузки до того, как они были возвращены. Случайная величина X— число недель (-10-1). (Для изучаемого производства и данного продукта было установлено, что степень „дефектности" зависит от числа недель, прошедших от отгрузки до возврата товара.)

Графически данные представлены в виде гистограммы на рис. 5.7.

Рис. 5.7. Гистограмма и кривая плотности распределения Вейбулла.

Уравнение распределения Вейбулла, аппроксимирующего эти данные, имеет вид

рх(х) = 0,57(х—З.б^^-О’^^-з.б)1’7, х > 3,6.

Чтобы приравнять площади под кривой и гистограммой, Ру(х) умножается на 83/2 (или на объем выборки, деленный на длину интервала).

ЕЩЕ НЕСКОЛЬКО ПОЛЕЗНЫХРАСПРЕДЕЛЕНИЙ

В этом разделе опишем несколько распределений, весьма полезных в статистической работе. Гамма-распределение, как и распределение Вейбулла, полезно при представлении распределения величин (таких как вес или длина), которые не могут быть отрицательными или значения которых ограничены снизу известным числом. Как и семейство распределений Вейбулла, семейство гамма-распределений включает экспоненциальное распределение как частный случай [при обращении а в нуль в выражении (5.34)].

Бета-распределение полезно при описании распределений величин, возможные значения которых ограничены с двух сторон (к ним относятся, например, доли). Семейство бета-распределений включает равномерное как частный случай.

Как бета-, так и гамма-распределения допускают обобщение путем „вейбуллизации". При этом принимается, что Xе (где с^1) имеет гамма- или бета-распределение. Такие распределения, однако, используются не очень часто.

Распределение Парето оказалось полезным при представлении (во всей ограниченной области) распределений экономических индексов доходов и производства. Для этих целей используется Также логарифмически нормальное распределение, которое оказалось весьма удачной аппроксимацией распределения размеров частиц в природных образованиях. Эти распределения не обобщаются „вейбуллизацией**; если величина X распределена по закону Парето или по логарифмически нормальному закону, то 6 Xе будет распределена по тому же закону.

Логистическое распределение применяется в экономических и биологических исследованиях. Простой вид этого распределения делает его особенно полезным.

Гамма-распределение

Гамма-распределение определяется формулой

Рх (х) = г ta-Tn в»"Х“е"Х№ * Х > °* (5,34)

V Р

где Р>0 и а> — 1. Для получения моментов снова возьмем производящую функцию

тх ^ = т^ПУр^ IetXxae-x/Mx

iГ («+ 1) р“ +1iГ («+ 1) р“ +1J €-(\/^-Пхха ДХеОJ €-(\/^-Пхха ДХеО

i

Г («+ 1) р“ +1

i

Г («+ 1) р“ +1

J €-(\/^-Пхха ДХе

О

J €-(\/^-Пхха ДХе

О

Если положить

У = (1—р/)х/р и dy = (1 — $f)dx$, то будем иметь

1р“+1

тх(0= г(а+1)Ра+1 (1 —Р0а+1

Следовательно,

mx (/) = (1—₽/)-<«+D при 0</<1/р.(5.35)

Начальный момент порядка г тогда будет равен

==р.(а+1)(а + 2)...(а + г) =

г|/ = о

рТ (а+г+Р

Г(«+0 . *

£(Х) = 0(а + 1),

Var(X) = p2(a+l).voon

Так как ps = 2p3(a+l) и p4 = 3p4(a+1)(а+3), то третий и четвертый стандартные моменты равны

a3 = 2(а + 1)-1/2,

3 («+ 3)(5.38)

к

Неполная гамма-функция Гк (a+1) равняется ^ xae"xdx. Веро- о

ятность того, что случайная величина X с функцией плотности (5.34) окажется меньше или равной К, дается отношением неполной гамма-функции Гк (a +1 )/Г (а + 1).

Бета-распределение

Бета-распределение определяется формулой

^М-г^огде+о^Ч-^- °<'[<1'<5'39>

гдеа>— 1, р> — L Бета-функция в свою очередь определяется как

В(а + 1, Р4^)= $ха(1-х)Мх = Г(а+1)Г(Р + ^^ о

Момент г-го порядка проще вычислить непосредственно, чем через производящие функции:

,_ Г(а+р + 2) Г а(1 _ .р , _ Г(а+₽ + 2Ща + г+])^-Г(а+1)Г(Р+1) J ЛГ(а+1)Г(а+₽+г + 2)‘

(5.40)

Интеграл в (5.40) равен

Па+г-М)17р-Н)Г(а+р44, + 2)1

Из формулы (5.40) можно получить

Е = а+р+2 ’ Var = (а+р + 2)2 (а+ 0+ 3) ’(5ф41)

величины а3 и а4 можно вычислить непосредственно.

к

Неполная бета-функция Вх(а+1,Р+1) равняется $х®(1—x^dx.

о

Вероятность того, что случайная величина X с плотностью вероятности (5.39) окажется меньше или равной К, задается отношением неполной бета-функции

7к(а+1, ₽ + 1) = Вк(а+1, 0+1)/В(а+1, р + 1).

Логарифмически нормальное распределение

Когда распределение положительной величины (например, веса, дохода) имеет положительную асимметрию, часто доста- Точно простым преобразованием этой величины можно получить Такое распределение, которое для преобразованных значений будет нормальным по крайней мере приближенно.

Если 1пХ имеет (строго) нормальное распределение N ^, а), то говорят, что X имеет логарифмически нормальное распределение.

В таком случае

(In х -6) fa

Fx(x) = Pr[X^x] = Pr[lnX^lnx] = y= j e-^du.

- 00

Следовательно, плотность вероятности X равна

рх (X) = F'x (х) =1 exp [-^ (InХ-В)2] , х > 0.

Момент X порядка s равен (с учетом того, что Х* = е*1пХ) w Jехр [”-

(5Л2)

= ехр ^+уЛ2) •

Из этой формулы получаем

Е^-е^^2,

Var (Х) = е^+^ (^2 — 1),

w=/рЖ=(^2 - о1/2 (^2+2),

«4 W = 02 W = е4°2 + 2^3а2 + Зе2°8 — з.

Показатели асимметрии и эксцесса (третий и четвертый стан: дартные моменты) KPi и Р2 зависят только от е^ и не зависят от £. У логарифмически нормального распределения моменты jx^ конечны при любом s. Его медиана соответствует 1пх = £ и, таким образом, равна ехр(^), а мода х = ехр(£ — а2).

Если значения эмпирической функции распределения нанести на нормальную вероятностную бумагу в зависимости от logx, то в том случае, когда величина X распределена по логарифмически нормальному закону, должна получиться приблизительно прямая линия. Имеется миллиметровая бумага с нормальными ординатами и логарифмическими абсциссами; для построения графика на ней нужны лишь фактические значения эмпирической функции распределения и соответствующие х. Эта разновидность миллиметровой бумаги называется логарифмической нормальной вероятностной бумагой. Из трафика на такой бумаге можно оценить а как величину, обратную углу наклона прямой к абсциссе и £—как абсциссу точки, соответствующей значению 0,5 функции распределения.

При малых о логарифмически нормальное распределение столь похоже по форме на нормальное, что одно из них можно использовать вместо другого. Если величина X существенно положительна, то предположение о нормальности содержит логическую некорректность, поскольку вероятностям такого рода, как Pr [X ^ ^—1], приписываются ненулевые значения. Эту трудность удается обойти, если положить, что logx имеет нормальное распределение (а значит, X распределена по логарифмически нормальному закону) с малым значением о [и подходящими значениями

(значением) остальных параметров], поскольку logX изменяется от —оо до оо, когда X изменяется от 0 до оо.

В предположении, что log(X—6) имеет нормальное распределение М(|, о), можно ввести третий параметр 6. Ясно, что дисперсия, а3(Х) и а4(Х) не зависят от 6, но значения Е (X), медианы и моды увеличатся на 6.

*5.6.4. Распределение Парето и логистическоераспределение

Распределение Парето является еще одним распределением, полезным в экономических исследованиях (особенно при анализе дохода и других экономических индексов). Это распределение случайной величины X с плотностью вероятности

рх(х)^рХ?х'<Р+1>, х>Х0>0, р > 0. (5.43)

Такое распределение применимо только к значениям х, превосходящим Хо (напримёр, к доходам, превышающим заданный уровень). Часто величина X ограничена еще и сверху; тогда не стоит пользоваться подобным распределением, поскольку оно хорошо не воспроизводит фактическое положение.

Любопытно, что распределение Парето — это непрерывный аналог дзета-распределения (разд. 4.9.3). Как и дзета-распределение, распределение Парето обладает тем свойством, что его моменты могут быть бесконечными. Действительно,

рДХ) = XJp/(p — s), s < р,

и jig обращается в бесконечность, если s^p.

Еще одним распределением, широко используемым в экономических исследованиях, является логистическое распределение. Оно имеет функцию распределения

Fx (х) = (1 + ехр | ~Х • (5.44)

Это распределение симметрично относительно значения х = а, которое является математическим ожиданием. Дисперсия равна Vs^2 [и,_ следовательно, среднее квадратическое отклонение есть (л/^3) р/1,8р. а величина а4 = 4,2]. Хотя значение а4 в этом случае отличается от значения а4 для нормального распределения (при котором а4 = 3), логистическое распределение очень похоже на нормальное в большей части диапазона с тем же самым средним значением и средним квадратическим отклонением на 1/15 больше (чем у нормального). Так же, как и логарифмически нормальное, логистическое распределение можно использовать вместо нормального. Правда, это связано не с исклю-

чением отрицательных значений из области изменений (у логистического закона неограниченная область), а со стремлением использовать простую математическую форму логистической функции распределения.

х2-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Следующие три распределения играют в статистической методологии исключительно важную роль. Они широко используются наряду с нормальным распределением, когда рассматриваются распределения выборочных статистик. В этом и двух следующих разделах представлены %2-распределение, 1-распре- деление Стьюдента и F-распределение. Описаны сами эти распределения и их свойства, показано, как пользоваться их таблицами, а также даны некоторые примеры. Никакие выводы не приводятся.

Свойства ^"распределения

Пусть Uy U2, ..., U,,— независимые случайные величины, каждая из которых имеет нормальное распределение N (0, 1). Обозначим сумму их квадратов через х2:

Х?=^+^+..-+Щ.(5.45)

Эта сумма квадратов имеет плотность распределения (см. разд. 5.13)

Мх)=2*'/2г\?/2^^(°^^)-(5-46)

Выражение (5.46) описывает гамма-распределение [см. формулу (5.34)] с a = 1/2v—1 и Р = 2. Производящую функцию моментов можно получить непосредственно или с помощью формулы (5.35). Имеем

^(^ = (1 —2Z)-V/2.(5.47)

Отсюда [или из формулы (5.36)] находим моменты и показатели асимметрии и эксцесса (третий и четвертый стандартные моменты):

£(X2) = v,(5.48)

Var (x2) = 2v,а3 = 2/ 2/v,a4 = 3 + ^.(5.49)

.Параметр v называется числом степеней свободы. Пока мы можем считать v просто параметром семейства х2’распределений.

В приведенных выше формулах v — целое. Правда, плотность вероятности (5.46) можно использовать при любом положительном значении v (не обязательно целом). Ниже будет показано, что число степеней свободы можно связать с числом независимых величин, остающихся после оценки параметров или подбора распределения. Этот термин имеет разный смысл в различных задачах.

Как видно из рис. 5.8, %3-распределение имеет положительную асимметрию. На этом рисунке представлены %2-кривые с числами степеней свободы V, равными 2, 4, 8 и 16. При %2 = 0 тангенс угла наклона кривой обращается в бесконечность для v = 3, он остается конечным и ненулевым при v = 4 и обращается в нуль при v > 4. С ростом v кривая приближается к симметричной.

Таблицы %2-распределения

В табл. Д приложения приведены процентные точки ^-распределения. В таблице содержатся значения F ^ для v' меняющихся от 1 до 30 с шагом 1, затем до v — 100 с шагом 10. Каждая строка этой таблицы имеет 14 различных значений %2, которые соответствуют указанным значениям F ^Y т- е- Для фиксированной площади под кривой таблица содержит абсциссу %2.

Пример 5.8. Следующие значения %2 можно просто выписать из таблицы:

Хе; о,о5о— 1,635, Х18; 0,97^ = 31 ,53,Хе; о,о5о— 1,635, Х18; 0,97^ = 31 ,53,Хво; 0,950 — 101,9, Хм; 0,900 — 40,26.Хво; 0,950 — 101,9, Хм; 0,900 — 40,26.

Хе; о,о5о— 1,635, Х18; 0,97^ = 31 ,53,

Хе; о,о5о— 1,635, Х18; 0,97^ = 31 ,53,

Хво; 0,950 — 101,9, Хм; 0,900 — 40,26.

Хво; 0,950 — 101,9, Хм; 0,900 — 40,26.

Первый индекс здесь обозначает число степеней свободы, а второй—накопленную вероятность. Другой способ получения тех же самых результатов, например в первом случае, таков: %2 %2

— 1,635 —значение, для которого ^ рХ2 (х) dx = 0,050 при шести о

степенях свободы.

В следующих главах %2-распределение будет использоваться в критериях значимости, доверительных интервалах, таблицах сопряженности признаков и при проверке согласия теоретического распределения с эмпирическими данными.

Рх№Рх^рх№1

3,2 6,4 9,6 12,8 16,0 19,2 22(1 25,6 28,8 32,0 35,2 38,4 41,6 44,8

Рис. 5.8. ^-распределение с v степенями свободы.

Приближения

Когда число степеней свободы стремится к бесконечности, значения а3 и а4 стремятся к нулю и трем соответственно, т. е. к значениям этих моментов для нормального распределения. Действительно, можно показать, что распределение нормированной величины

%$-у

стремится к нормированному нормальному распределению1 при стремлении v к бесконечности. Еще лучшие приближения получаются, если использовать величины

p^Xv—KSv — 1 (аппроксимация Фишера) (5.50)

или К у2 \ Vs91 /

(аппроксимация Уил- сона — Хилферти),(аппроксимация Уил- сона — Хилферти),(5.51)(5.51)^) — l+4v-i /9v/2 v /J

(аппроксимация Уил- сона — Хилферти),

(аппроксимация Уил- сона — Хилферти),

(5.51)

(5.51)

которые имеют нормированное нормальное распределение.

Свойство аддитивности

Если Uv U^ ..., i/V1+v2 есть (v^v^ взаимно независимых случайных* величин, распределенных нормально N (0, 1), то VtVi+V2

Xt — 2 U2j и Х2~ 2 ^/ т°же являются взаимно независимыми / = 1/=Vi+l

случайными величинами, имеющими распределения х2 с vi и v2

V1+V2

степенями свободы соответственно. Тогда Х4 + Х2 = 2 ^/ имеет распределение х2 с (vi + v3) степенями свободы. Этот результат, иногда называемый аддитивностью х2» можно выразить формально: „сумма двух взаимно независимых величин, имеющих х2“Рас- пределение, подчинена распределению х2 с числом степеней свободы, равным сумме степеней свободы обеих исходных величин".

t РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА

Вторым из числа распределений, широко используемых в статистических проверках, является t-распределение Стьюдента, или просто t-распределение. Это распределение было впервые предложено Госсетом (под псевдонимом „Стьюдент")п и затем более

1> То есть „студент11,— Прим» перев»

строго обосновано Фишером. Оно лежит в основе множества процедур статистического анализа в науке и технике. На простом /-критерии основаны очень многие более сложные статистические критерии. Теперь рассмотрим это распределение прежде всего как статистическую функцию. Различные статистические критерии, использующие /-распределение, приводятся в следующих главах.

Определение /-распределения

Рассмотрим независимые случайные величины U и У, где U распределена нормально N (0, 1), а V имеет распределение %2 с v степенями свободы. Можно показать, что случайная величина

7 =7 =(5.52)

7 =

7 =

имеет плотность вероятностиимеет плотность вероятности— оо < / < оо, (5.53)— оо < / < оо, (5.53)

имеет плотность вероятности

имеет плотность вероятности

— оо < / < оо, (5.53)

— оо < / < оо, (5.53)

которая, как и у %2-распределения, зависит только от параметра v. Это /-распределение с v степенями свободы; Tv означает „7 с v степенями свободы".

Кривые /-распределения для v=l и 4 представлены на рис. 5.9, где показано также нормированное нормальное рас-

<S> *о <51 to *о ^ ^ ^ V) ta ^ sa Ч) ^<S> *о <51 to *о ^ ^ ^ V) ta ^ sa Ч) ^V УТ У Т У *7* Т Т У У У ^^ ^<ч csfivf ►ГГ-ЧГ'^ чГ i^ccT 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 £+ + + + ++ + + + ++ +V УТ У Т У *7* Т Т У У У ^^ ^<ч csfivf ►ГГ-ЧГ'^ чГ i^ccT 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 £+ + + + ++ + + + ++ +Рис. 5.9, /-распределение Стьюдента при v —1 и v = 4.Рис. 5.9, /-распределение Стьюдента при v —1 и v = 4.

<S> *о <51 to *о ^ ^ ^ V) ta ^ sa Ч) ^

<S> *о <51 to *о ^ ^ ^ V) ta ^ sa Ч) ^

V УТ У Т У *7* Т Т У У У ^^ ^<ч csfivf ►ГГ-ЧГ'^ чГ i^ccT 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 £+ + + + ++ + + + ++ +

V УТ У Т У *7* Т Т У У У ^^ ^<ч csfivf ►ГГ-ЧГ'^ чГ i^ccT 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 £+ + + + ++ + + + ++ +

Рис. 5.9, /-распределение Стьюдента при v —1 и v = 4.

Рис. 5.9, /-распределение Стьюдента при v —1 и v = 4.

пределение. Следует отметить, что с ростом v распределение / стремится к нормированному нормальному распределению М(0,1). Нормальная аппроксимация М(0, j/v/(v —2)) очень хороша при v^30. /-распределение симметрично относительно нуля. Его

среднее и дисперсия (при v > 2) равны

Е (Т^ = О,

VarW^2.<5'54>

Обычное отношение, к которому применимо /-распределение, представляет собой статистику

т =•<5-55)

где

Х = п-12Хд

И

$* = ("—D'15 №—Х)8.

Это отношение имеет /-распределение с (n — 1) степенями свободы, если каждый X,- подчинен одному и тому же нормальному распределению, а значения X,- независимы. Если же все X,- распределены нормально, то и X = ^Х^п тоже распределена нормально. Тогда [X —Е(Х)]/о^ распределено как N (0, 1). Отношение (м—])Sa/o2 имеет ^-распределение с га—1 степенями свободы и независимо от X. Используя формулу (5.52), получим

X —£(Х) Л °х RX —£(Х) Л °х R(л—l)Sa ГЛ _ х—£ (X) о

X —£(Х) Л °х R

X —£(Х) Л °х R

а2 ' л-1 ) — а//л S ’

поскольку оу = о/К»- Это выражение сводится к (5.55).

Аналогично можно показать, что если Xv Х2, ..., Хт; Уп У2Yn взаимно независимы и имеют одно и то же нормальное распределение, то

(X -У) ^SV + n~xSVY4,

будет иметь /-распределение с (m + n —2) степенями свободы.

Таблицы /-распределения

Процентные точки /-распределения приведены в табл. Е приложения. Таблица содержит значения / для указанных сверху накопленных вероятностей. Каждая строка соответствует определенному значению v и, следовательно, различные строки относятся к разным членам семейства этих распределений.

Пример 5.9. Определим значения / для следующих вероятностей:

a) Fr (0 = 0,750 при v=15; б) § рг ^dt = 0,450 при ~v = 8; О

в) 5 рт(1)&^ 0,990 при v = 5.

/ = 0,691 непосредственно берется из таблицы.

Благодаря симметрии относительно / = 0 значения / для tt

$ Рт (0^ = 0,450 иJ pT^dt — 0,950 будут одинаковы. Тогда

/= 1,860 можно просто найти в таблице при v = 8.

t

Значение / для $ pr(/)d/ = 0,990 такое же, что и / для t

pr(/)d/ = 0,995. Его можно прямо взять из таблицы. Получим

= 4,032 при v = 5.

F РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Третье распределение, часто применяемое при анализе выборочных данных из нормальной совокупности, — это F-распределе- ние. Прежде всего оно используется в задачах, связанных с дисперсиями.

Свойства /^распределения

Если величины U и V независимые и каждая распределена как х2 с vi и vs степенями свободы соответственно, то

(5.56)

имеет плотность вероятностиимеет плотность вероятности(5.57)(5.57)

имеет плотность вероятности

имеет плотность вероятности

(5.57)

(5.57)

Получилось двупараметрическое семейство распределений с параметрами Vj и v2, называемыми степенями свободы. Константа

обозначается как B^t/2, va/2). Это бета-функция (см. разд. 5.6.2), определяемая формулой

1

В(т, п) = ^ут-1 (1—у)”-1 dy = В (п, /и).(5.58)

о

Предположим, что мы имеем случайные выборки объема гц и п2 из нормальных совокупностей П, и П2 с дисперсиями о? и о2 соответственно. Пусть S? и Si обозначают выборочные дисперсии. Тогда S?/Si будет распределено как (ai/o^x(F с п, —1 и п2—1 степенями свободы). Действительно, (п1—l)Si/o? распределено как х2 с v1 = n1 —1 степенями свободы. Аналогично (п2 — l)S2/a2 независимо распределено как х2 с v2 = n2—1 степенями свободы. Тогда, согласно формуле (5.56), отношение

Г/ Г(n2-l).Si

О2 (»1— 1), ' _ oi (n2— 1)

будет распределено как РП1_\,Пг-г.

Таким образом, Sf/Si распределено как (af/oi) РПх_х>П1-\ с v1 = n1—1 и v2 = n2—1 степенями свободы соответственно.

Среднее и дисперсия Рмх, Уз-распределения равны

Е^, v,) = ^,2v!(V14-v2-2)(5‘59)

Vi(v2-2)2(v2-4) •

Величина Е (FVu VJ стремится к единице как к пределу, когда v2 стремится к бесконечности независимо от значения vp

Следует отметить два крайних случая Е-распределения: 1) Когда V! — 1, Е-распределение превращается в распределение с v2 степенями свободы. Это рассматривается в гл. 13. 2) Когда v2 стремится к бесконечности, Е-распределение стремится к виду (%2 с Vj степенями свободы)Л\. Заметим, что Е (Е) —> 1, Var (Е) —2/v^ при v2—оо.

Таблицы Е-распределения

Процентные точки Е-распределения приведены в табл. Ж приложения. В этой таблице даны верхние процентные точки для Р=1—а = 0,95; 0,975; 0,990 и 0,999. Нижние процентные точки можно получить из тождества

EV1, v2, a" EV2i vu 1—а)(5.60)

где Еа—значение, удовлетворяющее уравнению

$ PF{f)df=a.

О

Чтобы доказать справедливость тождества (5.60), сначала нужно показать, что

Pr [^, va < ^i] = Рг ^Т7v„ vt > j^j •

Это вытекает из того факта, что неравенство (%vA^Xv,^) < Fi идентично неравенству

(Xv,/V2)/(Xv1/Vl) > X/FV

Следовательно, нижние процентные точки FV1, v, можно получить, используя обратные значения дополнительных процентных точек для Fv„vv

Пример 5.10. Согласно равенству (5.60), значение Рм; &, 0105 равно обратному Fs; i8; 09б. Следовательно, FX1; а; е,№ = Р^хг; 0,е6 = = (3,11)-1 = 0,321. "

*5.10. МОДИФИКАЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

В этом разделе опишем различные приемы, с помощью которых стандартные распределения могут быть модифицированы в соответствии с конкретными обстоятельствами. Попытаемся дать лишь беглый набросок, однако из этого вовсе не следует, что не важны общие идеи. Напротив, для хорошей работы в прикладной статистике построение достаточной Модели имеет фундаментальное значение, а это часто влечет за собой модификацию стандартных распределений статистической теории. Нужно обладать достаточно большим опытом, чтобы уметь выбирать подходящую модификацию. Данная книга является лишь введением в эти проблемы.

миниатюрных радиоламп (см. пример 5.11) и 2) определение центральности перфораций движущейся пленки по данным о различиях в расстояниях левой кромки пленки от левой перфорации и правой кромки пленки от правой перфорации. Поскольку неиспользованная пленка не ориентирована, алгебраический знак теряется.

Если действительные значения распределены нормально, то величины без учета знака не имеют нормального распределения. Их распределение называют наложенным нормальным распределением. Форма такого распределения зависит от отношения среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию (коэффициента вариации) исходного нормального распределения. В предельном случае (когда математическое ожидание исходного распределения равно нулю)—это полунормальное распределение, описанное Дэниелом [Daniel С., Use of Half-Normal Plots in Interpreting Factorial Two Level Experiments, Technometrics, 1 (1959)]. Однако часто точка наложения бывает неизвестна. Тогда необходимо оценить два параметра исходного нормального распределения по наблюдениям, которые имеют наложенное распределение.

Плотность вероятности для такого распределения равна

Px(jc) = ^J=^[e-(*-^>/2a2+e-<*+^^^х>0,(5.61)

где р и а2 —среднее и дисперсия исходного нормального распределения.

Методы оценивания р и о представлены в работах [10] и [2]. Эти методы используют моменты, вычисленные по наблюдениям в данном примере. В первой из этих работ содержатся таблицы, помогающие оценить р и о по выборочному среднему и среднему квадратическому отклонению. Джонсон [8] показал, что такие методы (в больших выборках, при любых соотношениях) дают почти точно оценки максимума правдоподобия (см. разд. 7.3).

Можно показать, что среднее р^ и среднее квадратическое отклонение а^ случайной величины с распределением (5.61) связаны с р и о формулами

pz = С e~u^2du + о зЛjLe^t^W1 К 2л Jг л

-ц/о

Следует отметить, что второе из этих соотношений справедливо для любого наложенного распределения независимо от того, является ли исходное распределение нормальным или каким-либо другим. Математическое ожидание X2 при наложении не меняется [поскольку (—х)2 = ( + х)2] и, следовательно,

^ + ^ = р2+о2.

*Пример 5.11. Для иллюстрации наложенного нормального распределения рассмотрим следующий пример. При производстве миниатюрных радиоламп выводы устанавливаются автоматически. Важно, чтобы они были прямыми; иначе они могут не попасть в нужное положение и произойдет сбой направляющего механизма. В результате некоторое число ламп будет* не полностью укомплектовано и их придется забраковать. Изогнутость измеряется оптическим компаратором при закрепленном одном конце провода во вращающемся зажиме. Она фиксируется как разность между минимальным и максимальным положениями в предположении, что нет биений, за вычетом диаметра провода. Тогда у совершенно прямого провода изогнутость будет равна нулю. Предполагается, что рассматриваемое распределение нормально; требуется оценить среднее значение и среднее квадратическое отклонение. В табл. 5.5 приведены данные, для которых х = 14,0140

Изогнутость 497 в

ыводов радиоламп

Таблица 5.5

Отклонение.)H^c^

Отклонение

Наблюдаемая частота

112

23

18

326

25

14

536

27

12

750

29

4

945

31

7

1149

33

2

1351

35

5

1544

37

9

1744

39

2

1940

41

1

2132

43

1

^ В десятых долях мила (1 мил = 2,5 ■ 10 “5 м). Указаны середины

интервалов группировки.

и s = 7,7868. С помощью таблиц из работы [10] найдем, что среднее и дисперсия исходного нормального распределения оцениваются величинами 13,642 и 70,987 соответственно. На рис. 5.10 приведена гистограмма, построенная по этим данным, а также изображены теоретическая нормальная кривая с наложением (сплошная линия) и обычная нормальная кривая (штрихпунктир-

ная линия, переходящая в сплошную). [Значение РхМ умножается на объем выборки, деленный на длину интервала, для получения равных площадей под гистограммой и кривыми.]

Рис. 5.10. Изгибы 497 выводов.

*5.10.2. Усеченные и цензурированные распределения

Иногда значения случайной величины можно точно зафиксировать только в некотором интервале или из-за ограничений измерительного инструмента, или из-за чисто практических обстоятельств легкости и быстроты наблюдений.

Если наблюдаются лишь те значения X, которые меньше, чем заданное значение х0, то говорят, что распределение X усечено по х0. Чтобы характеризовать отбрасываемые значения, усечение иногда называют положительным, но само ограничение нередко опускается, .если оно и так ясно. Иногда известно, сколько наблюдений превышает х0 (так как нет никаких более точных мер для этих величин). Такой случай иногда называют цензурированным распределением в противоположность усеченному распределению, когда предполагается, что о значениях, превышающих хи, ничего не известно. Хотя это -различие можно считать довольно педантичным, может случиться, что на практике оно окажется важным. Дополнительная информация, появляющаяся в случае цензури- 6*

рования, может и должна использоваться для улучшения методов статистического анализа.

Пример усеченного распределения получается, когда производятся прутки для некоторого устройства и с помощью сортирующего инструмента те из них, которые оказываются короче заданного размера (а также и длиннее), исключаются. Этот случай явно отличается от случая наложения. Усечение может сочетаться, а может и не сочетаться с наложением.

В задачах, связанных с исследованием долговечности, часто встречаются усеченные распределения. Пусть, например, испытываются рассчитанные на 500 ч непрерывной работы лампы накаливания, для которых среднее квадратическое отклонение срока службы равно 150 ч. Из этих ламп можно взять выборку для исследования долговечности. Чтобы проверка не слишком затянулась, можно закончить ее после 650 ч. работы. Тогда не будет точной информации о сроках службы, больших, чем 650 ч. (Поскольку обычно известно, сколько ламп проработало свыше 650 ч, то в соответствии с данным выше определением имеет место случай цензурирования.) Эта ситуация иллюстрируется на рис. 5.11.

В данном примере усечением отбрасывается порядка 16% исходного распределения.

Если плотность вероятности исходного распределения равна рх(х\ то плотность усеченного распределения есть

(5.62)

С px(x)dx

Как и в случае наложенного распределения часто представляют интерес выражения для моментов усеченного распределения через параметры исходного.

Если исходное распределение нормально ^(ц, о), то можно показать, что среднее значение и среднее квадратическое отклонение усеченного распределения равны

И* = Н— от

о* =оо* =ог»x0-g /2^1/3

о* =о

о* =о

Fa а V F ) ]

соотбёТстВённо, где

р=ф(*0—^ \ а /

*5.10.3. Смеси

Другой тип модификации простых распределений появляется, когда смешиваются изделия, полученные из двух или большего числа источников. Если к станков производят простые изделия и признак X распределен по нормальному закону для изделий, полученных на любом станке, однако со средним значением и (или) средним квадратическим отклонением, меняющимися от станка к станку, то смешанная продукция всех к станков уже не будет в общем случае иметь нормальное распределение X.

Пусть gz и oz обозначают среднее значение и среднее квадратическое отклонение X для изделий t-ro станка. Тогда, если р{—доля изделий f-го станка в смешанной продукции (при усло- вии, конечно, 2 Pi — О» то Д°ля значений X, меньших, чем за- i=i данное х6, равна

Плотность распределения X есть

(5.63)

ЛёГкО найти момёнты X. Если r-й момент (начальный) изделий ОТ 1-го станка обозначить через р^> т0 очевидно, что

кмх)-5 pi^ri.

Если, как в данном случае, X имеет распределение N ^{1 о^ для 1-го станка, то

i = 1к

и, следовательно,

кк/ к\2

Var(X) = ^(X)-[^(X)p=S p.^+S ^- 2 PtM = t” 11=1V=1/

1= 11= 1

где к

^=2 PiUz=i

Заметим, что этот результат сохраняется при любом распределении X для изделий каждого станка, независимо от того, будет оно нормальным или нет.

Частный случай, когда одно из р, скажем ?й велико, а все остальные р, малы, часто называют загрязнением первого распределения всеми остальными.

Пример 5.12. Новый автомат делает сигары со средним квадратическим отклонением веса 0,020 унции. У старого автомата соответствующее значение составляло 0,025 унции. Можно полагать, что при соответствующей регулировке оба автомата будут давать желаемый средний вес, например б унций, и что отклонения распределены приблизительно нормально. Какова максимальная доля сигар, полученных на старом автомате, если доля сигар общей продукции, вес которых больше, чем (6 4-0,05) унций, не превышает 1%?

Доли сигар, вес которых превышает (6 4-0,05), для каждого автомата в отдельности равны

Новый автомат: 1 — Ф ^§^) = 1 —Ф (2,5) = 0,00621;

Старый автомат: 1 —Ф ^^^ j = 1 —Ф (2) = 0,02275.

Следовательно, если продукция этих автоматов смешана в отношении (новая продукция)/(старая продукция) = (! — ?)/?, то доля сигар, вес которых превышает (6 4-0,05), равна

0,00621 (1 —р^ 4- 0,02275? = 0,00621—0,01654?.

Чтобы эта доля не превышала 1%, должно выполняться соотношение

0,00621+0,01654/7^0,01,

т. е.т. е.0,00379 _0,01654 —0,00379 _0,01654 —0,2291.0,2291.

т. е.

т. е.

0,00379 _

0,01654 —

0,00379 _

0,01654 —

0,2291.

0,2291.

Максимальная доля (с точностью до 0,1%) равна 22,9%.

СОВМЕСТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Статистическая работа очень часто связана с совместной вариацией двух или большего числа случайных величин. Например, при испытаниях сталей на прочность могут представлять интерес одновременно и прочность на разрыв и относительное удлинение; эффективность некоторой операции может быть связана с температурой и с влажностью; это могут быть пары переменных, например внутренний и внешний диаметры цилиндра, или же скорость процесса фрезерования и срок службы инструмента, взаимосвязь между которыми имеет важное значение.

Статистическими моделями, подходящими для этих случаев, являются многомерные распределения. Здесь будут рассмотрены в основном двумерные распределения, и прежде всего двумерное нормальное распределение.

Соответствующие определения совместной и условной совместной плотностей вероятности, а также регрессионных функций были введены в разд. 3.§. Этот раздел стоит перечитать, прежде чем идти дальше.

Двумерное нормальное распределение

О двух случайных величинах X и Y говорят, что они имеют двумерное нормальное распределение, если их совместная плотность вероятности равна

Рх ехр<—2naxaY /1 - р2 (2 (1 — р*)Рх ехр<—2naxaY /1 - р2 (2 (1 — р*)

Рх ехр<—

2naxaY /1 - р2 (2 (1 — р*)

Рх ехр<—

2naxaY /1 - р2 (2 (1 — р*)

для всех значений х и у.

Интегрируя по у, получаем

Рх W = т+-- ехр Г— + (х- цх)2Г 2л о^ [ 2ох

Следовательно, величина X распределена нормально N (рх, ау). Аналогично и величина Y распределена нормально N (рг, аг).

Можно показать, что коэффициент корреляции между X и У равен р. Если р = 0, то

Px,y^x, У) = Рх(х)Ру(у1

и для двумерного нормального распределение нулевая корреляция влечет независимость, хотя, как мы видели в примере 3.13, в общем случае это не имеет места.

Деля Рх,у(х» У) на PxW' получаем

р¥ | X кУ I х) = ——3== XY^V ау(1-р2)

X ехр Г(ы—и,у—(х — Рх))а1.

Таким образом, условное распределение Y нормальное с математическим ожиданием

^г+^(х—рх)(5.65)

и дисперсией оу(1—р2).

Следует заметить, что эта дисперсия не зависит от х и регрессия линейна с угловым коэффициентом Р = роу/Ох- Эти условия появятся позднее (в гл. 12) среди обычных предположений, вводимых при подборе линии регрессии методом наименьших квадратов. Формулы, подобные (5.65), справедливы и для регрессии X на Y.

На рис. 5.12 представлена функция pXi у{х, у) [формула (5.64)]. Вершина „горы" имеет координаты х = £, у = 4.

Рис. 5.12. Двумерное нормальное распределение.

Многомерные нормальные распределения

Если есть п случайных величин Xv Хг, ..., Хп с совместным распределением

Pxv х,Pxv х,,,xAxv x2, .... x„) =n n

Pxv х,

Pxv х,

(5.66)(5.66)= ^exp -V.Z 2ty(*/4)0H/) ,L z=i/=i

(5.66)

(5.66)

то говорят, что это многомерное нормальное распределение.

Можно показать, что Е^Х^ = ^ для всех г = 1, 2, ..., п. Матрица дисперсий и ковариаций X размером (и хм) является матрицей, обратной к симметричной матрице (с/у). Отсюда следует, что (коэффициент корреляции между и Хр)х xKVarPQ Var(X/,) равен элементу /-й строки и /'-го .столбца матрицы (с^)”1.

Условное совместное распределение любого подмножества X при заданном любом другом подмножестве X является многомерным нормальным. Условные математические ожидания первого подмножества являются линейными функциями значений элементов второго, условные дисперсии и корреляции постоянны (не зависят от значений элементов второго подмножества).

Подробные формулы и другие свойства многомерных нормальных распределений приведены в работах [3] и [9].

Полагая и = 2, получим двумерное нормальное распределение. Матрица дисперсий и ковариаций в этом случае равна

Ох, Р^Х^х,„рох^х, о^2

а матрица, обратная к ней, имеет вид

11°х2рОх^Хг°х2рОх^ХгРОХ^Х;Ох,РОХ^Х;Ох,

1

1

°х2

рОх^Хг

°х2

рОх^Хг

РОХ^Х;

Ох,

РОХ^Х;

Ох,

Линейные функции нормально распределенныхвеличин

Ниже будет использоваться следующий важный результат.

Если две нормально распределенные величины Xt и Х2 имеют совместное распределение (5.64), то любая линейная функция Y = а1Х1+а2Х2 этих переменных распределена тоже нормально.

Докажем это в случае, когда Е (XJ = Е (Х2) = 0, Var(XJ^ = Var(X2)=l, т. е. когда

Px^xAxv ха) = [2л(1— р3)1^]'1 Xх exp [—2/2 (1 — р2) — 1 (х!—2рххха + х!)].

Поскольку можно записать

+ агХ2 =[^=~^] +

+ to.) р-;/”-] + «i^ №) + а2Е (Х^,

наше доказательство охватывает также и общий случай.

Вероятность того, что Y меньше, чем у, равна

Рг[У <у] = [2л(1—р2)^]-* х

X 5$ ехр[—vjl— р2)-1(х^—2pxtx2 + х2)] dxx dx2. ¥<у

Теперь воспользуемся преобразованием вида у = а1х1 + а2х2, z = линейная функция от xt и х2, так что

xl — 2рххх2 + х| = К [у2 + z2],где /( — константа. Тогда Рг[У<у] пропорциональнаj ^e-K^^dzdy,

т. е. у

Отсюда следует, что величина Y распределена по нормальному закону. Поскольку Е(У) = 0 и Уаг^^^ + Зра^ + Яз, то / х1ГУ2

Ру\У) =’—^7.:-• _ _: : СХр;Г .

У 2л (оЗ + гра^з+аг)L 2 (г?1+2ра1а2+а2).

Обобщение этого результата на произвольные значения средних и дисперсий тривиально и предоставляется читателю.

Отметим, что в частном случае р ^0 верно следующее утверждение.

Любая линейная функция двух независимых нормальных величин распределена нормально.

Эти результаты можно распространить на произвольное число п многомерных нормальных величин или в частном случае на п взаимно независимых нормальных случайных величин.

Следует сделать одну оговорку. Возможно, что две нормальные величины будут иметь совместное распределение, которое не является двумерным нормальным (как описано в данном разделе). В этом случае уже нельзя сказать, что распределение любой линейной функции таких величин нормальное.

*5.12. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ

Часто требуется получить совместное распределение некоторых функций („статистик") от случайных величин с известным совместным распределением. Например, при данном совместном распределении и случайных величин Хп Х2, ..., Хп может понадобиться узнать совместное распределение среднего арифметического X и выборочной дисперсии S2 = (п — I)"1 2№ — ^)2-

Задачи такого типа могут возникнуть как для дискретных, так и для непрерывных величин. В этом разделе речь пойдет в основном о непрерывных величинах.

При прямом обобщении (3.43) можно увидеть, как получается совместная плотность вероятности любого подмножества из множества случайных величин Уп У2, ..., ¥п при усреднении по мешающим переменным совместной функции плотности вероятности. Таким образом,

Pv.Y, кУ1У$) =

0000ОО

= j* V" S Py*Уп^У1ynWSA.i • • • dyn. (5.67) — 00 — 00— QO

Последовательно применяя формулы типа (5.67), можно исключить из множества Уп ..., У„ любые мешающие переменные и получить совместное распределение любого подмножества случайных величин.

Но сначала определим совместное распределение всех Y. Для этого надо вывести ру„ . ., Уп (У1yj из рХ1х„ (xv ..., х„).

Если преобразование (ху, х2, ..., хп) в (yv у4, ..., уп) взаимно однозначно (т. е. одному набору значений х соответствует одно множество значений у и наоборот), то событие

Er.x^^Xv Х2, ..., Х^ произойдет в области R“ оказывается эквивалентным событию

ERg^«(yv ^2> Y ^ произойдет в области Ry“, где Rg соответствует Rx. (Если преобразование взаимно однозначно, то Ry однозначно определяется по Rx.)

Следовательно,

pr[^J = Pr[^J,

<1xn(xv ..., x^cbq ...dx„ =

pYiy»^y^dy!... dyn.

Но левую часть этого уравнения можно выразить (с помощью стандартной формулы преобразования кратных интегралов) следующим образом:

У • ■ • J Рх,..... X, <xv . . ., Х„),.= ,<»!Vn) X

Х |- Лп) I dy^" dy"'

где рх, xn<xv ..., x^Xi-XjUk у„) —совместная плотность вероятности Xv Х2, .Хп, выраженная через yv у4, ..., у„, a d(xlf х2, ..., xn)/d(t/x, у2, ..., уп) — определитель матрицы, в которой элемент на пересечении r-й строки и с-го столбца равен дхг/дус. Такой определитель называется якобианом, здесь берется его абсолютное значение

I д (хп х2, .... хп) 1

I д(уъ у4, ...,у„)Г

Итак, если записать

РУ, Уп (Уи Уп^ РХ,X„(.XV . . . , Xn)xi=xi (у,yn) X

tq чсегда можно найти правильную вероятность по формуле

Рг [£дй] = J • • • J Ру,уп^ • • •. y^dy^.. dy„.

Таким образом, (5.68) можно использовать как формулу для совместной плотности распределения вероятностей Yv У4, ..., У„.

14и-Ч» О О VaV-^*14и-Ч» О О VaV-^*9 (х, У) _._ д(и, v)9 (х, У) _._ д(и, v)= (4ы,/«у,Л)-1.= (4ы,/«у,Л)-1.Отметим, что число У-ов должно равняться числу Х-ов. Тогда должно быть эффективно и преобразование к совместному распределению подмножества У с помощью формулы (5.67).

14и-Ч» О О VaV-^*

14и-Ч» О О VaV-^*

9 (х, У) _._ д(и, v)

9 (х, У) _._ д(и, v)

= (4ы,/«у,Л)-1.

= (4ы,/«у,Л)-1.

Отсюда, используя формулу (5.68), найдем

Ри, v(u, о) — 4и‘/1р1л (4ti1/«o1/«)-1 — 1

припри0<и^1, 0<о<1.0<и^1, 0<о<1.

при

при

0<и^1, 0<о<1.

0<и^1, 0<о<1.

Заметим, что всегда важно точно установить границы, в которых справедлива математическая формула для плотности вероятности. Границы для и и и получаются преобразованием границ для х и у.

Интегрируя по о, найдем

1

ри (и) = J do = 1, 0 ^ и С L

о

Аналогично

pv (у) = 1, 0 ^ у ^ 1.

Следовательно, ри, г(н, у) = Ри («) Pv (у), a V и V взаимно независимы (как и исходные X и У).

*Пример 5.14. Функция

Рх„ х,^, х2) = е-^+;с=), 0^х„ 0<х2,

есть совместная плотность вероятности случайных величин Хх ц Хг, которые взаимно независимы и каждая из них имеет экспоненциальное распределение

РхДх^^е-*', 0<rz, i = l,2.

Нужно найти плотность вероятности их среднего арифметического У = 1/2(Х1 + Х2). Сначала введем преобразование

u = xv v = l/,(x1+xg),

или, наоборот,

хх = и, х2 = 2о—и.

Якобиан равен

д (х„ х2) _1 0 _ у

д(«, 0—12

Отсюда, используя формулу (5.68), найдем Ри, г (и, и') = е-г”2, 0^ы^2о.

Интегрируя по и, получим

2v

pv(v) = 2e~M ^du = 4ve~ly, О^о.о

Чтобы определить вероятность того, что среднее арифметическое Xi и Х2 меньше, чем х, вычислим

х

Рг [^ (Хх + Ха) < х]=4 ^ ое*^ dv = 1 — е-2х—2хе-2+ х^ О,

о

*5.13. ВЫВОД ^-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Напомним, что %2-распределение с v степенями свободы определяется как распределение суммы квадратов v взаимно независимых случайных величин, имеющих нормированное нормальное распределение N (0, 1).

Если иг — нормированная нормальная величина, то

Prft/^vJ-O/’Sn)-1 J e-ul^du =

-Vz>

V уу

= V2/л С e-“z/2 du = )С v-‘/.е-о/а^р

J/2л J

0r о

при U = "W^U.

Отсюда плотность вероятности / = U^ равна

Pv^u^ = Y^u^,2e~yi/2’ yi^°-(5-69)

Следовательно, это распределение %2 с одной степенью свободы. Теперь получим общую формулу для распределения Vn—UX-V + L^ + ... +^«> гДе м—любое число. Воспользуемся для этого методом математической индукции, т. е. допустим, что р^о^ описывается некоторым выражением, и покажем, что это следует из того, что аналогичное выражение имеет место для р^опЛ.^, т. е. при переходе от п к п+1.

Допустим, что

Pv^-K^'V^, у„ > О,(5.70)

где Кп—константа (такая, что Кп $ и^г-1е-'Оп1г dv„ = 1 L Пола- \о/

гая п=1, придем к формуле для р^, которая уже получена.

Теперь положим, что Wn+1 = U^+1, где (/п+1—случайная величина с нормированным нормальным распределением N (0, 1), не зависимая от Vn. Тогда

pvn, wn+1 (vn, te>„+1) = -^.иТ"1^^-^^"*^^, 0 < vn, wn+i.

Теперь введем преобразование

yn+i = yn + ty.i+1,

Обратное преобразование таково:

у„ = у;+1.

®п + 1 = ^и + 1уп+1»

и якобиан равен

О 11 —1О 11 —1<Ж. ^+1)d(yn+i, v»+i)Следовательно,

О 1

1 —1

О 1

1 —1

^„+1, v'n+1 ^ип+и ^п+1) = ^-^ и"+1 1 (yn+i — ^п+1) /ге-вп+1^,0^o;+i^v„+1.

Интегрируя по и„+1, получаем

PVn*i (^п+1)PVn*i (^п+1),Vn + lО,Vn + lО

PVn*i (^п+1)

PVn*i (^п+1)

,Vn + l

О

,Vn + l

О

Подстановка в этот интеграл v;+1 = fon+1 дает

Pv^W=K.h&\1№V^ ип+х>0,(5.71)

где

^+i^+iК „Г/2л JОК „Г/2л JО^/a-i ^—tV^dt.^/a-i ^—tV^dt.

^+i

^+i

К „Г

/2л J

О

К „Г

/2л J

О

^/a-i ^—tV^dt.

^/a-i ^—tV^dt.

Выражение (5.71) имеет такой же вид, что и (5.70), только п увеличилось до «4-1. Так как ту же форму имеет и распределение / (при n = 1), то отсюда следуют аналогичные выражения для распределений / (как уже было показано), К, К и вообще V„.

Величина Кп определяется из условия

об

j* Pvn^v^dv^L

Подставляя значение руДиД из (5.70), получим

откудаоткуда^nSun2-1e-t''»/Mvn = l,о

откуда

откуда

/<„ = 2-^ [Г (Чп)]-1.

Следовательно, плотность распределения %2 с v степенями свободы равна

pv (у ) = — Jу^2 -1 e-Dv /2, у ^ о. (5.72) v/ 2v/2T(1/2v)

При v = 2 будем иметь

pv, (v,) = 1/1e-°«i1, v2 > 0.

Тогда распределение V2 (%2 с двумя степенями свободы) экспоненциальное (см. разд. 5.4) с 0=2. Начальный момент порядка г от Vv равен

= 2'Г e/av Ч- Г)/Г e/2v) = v (V + 2) ... [V + 2 (г-1)].

НЕЦЕНТРАЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Эти распределения полезны в теоретической статистике, хотя очень редко используются для описания непосредственно наблюдаемых величин.

Нецентральное ^-распределение

Нецентральное х2-распределение с v степенями свободы определяется как

= 2(У;+а/)2.

где av а^ ..., av—константы. Распределение х* (нецентральное ^-распределение) зависит от значений а( только через пара-

метр Х = 2°2- Действительно,

, X V Г -1/, W1 (z)<v+2i-*V2 е"^2

Рх'8 (х) ~J 2(v+2i)/3r [i/2(v+2i)l ’

Удобно рассматривать правую часть этого уравнения как смесь (см. разд. 5.10.3) центральных х2-распределений с (v-|-2t) степенями свободы и с весами, равными вероятностям

пуассоновского распределения со средним Х/2.

Существуют различные способы получения выражения (5.73).

Один из них включает следующие шаги;

доказательство этого результата для v=l (и, конечно,

с помощью доказательства а) демонстрация того, что если результат верен при а^^а^— ... = а^_х = 0, т. е.

%'a = X?-i + (^+^)a,

a Xv-i и ^v взаимно независимы, то х'2 имеет плотность вероятности (5,73) с Х = а^;

с помощью результата б) демонстрация того, что если соотношение (5.73) верно,, то распределение

Xv + (^ v+l + &v+i)2> где yv+i — нормированная нормальная величина, независимая от х'2, aVH—константа, имеет тот же самый вид, что и (5.73) с v, увеличившимся до v 4-1, и 1, увеличившейся до Х4-а2+1.

Повторяя этот процесс от а) до в), методом математической индукции можно получить выражение (5.73) в общем случае.

Из формулы (5.73) и таблиц центрального распределения х2 непосредственно получается распределение х'2- Правда, если нужен более быстрей метод вычислений, то формулу (5.73) заменяют на многомерное центральное распределение х2 с теми же средним и дисперсией, что и х'2, и получают полезные результаты, если v больше 5.

Среднее и дисперсия (У^а,*)2 равны (1 +^) и 34-6^4-^-— — (1 4-а2)2 ^ 2 4-4а2 соответственно и, таким образом,

V

^(x;2)=S(i+^)=v+x,1=1

а

Var(X;2)-S(2 + 4«n = 2(v + 2X).1 = 1

Если с%’ имеет те же самые среднее и дисперсию, что и х'а, то с/ = v + ^,

2fc2 = 2(v + 2X) и, следовательно,

с-21±^

v + X ’

Нецентральное /"-распределение

Центральное /'-распределение — распределение отношения двух взаимно независимых средних квадратов OXj^iMb&J^iY Нецентральное /'-распределение — распределение того же отношения, но С нецентральным %2 в числителе,

Можно записать F'Vi, Vj = (х^Л^Мх2,/^)’ гДе х'2— нецентральное х2-распределение с параметром нецентральности X, которое не зависит от х2,- Распределение отношения двух независимых центральных х2: GV1, v2 = Xv./Xv, есть

„ (lA = rp/2(V1+v2)]g^2"1n

re^vjreM (i + g)(Vi+v,)/2 •

Поскольку нецентральное х'2-распределение можно представить как смесь центральных х5,+2гРаспРеДелений с весами е-^К1/^)'//!], то отсюда следует, что G;,, V, = x'8/Xv2 распределено как смесь распределений величин GV1+2tv, с теми же весами, т. е.

. .XГР/а^ + гГ+Уг)]g(v> + 20/2-i

pG'Vg ) еit г [1/2(v1+2i)] Г (V2v2) (i-|_g')(vi+2t+v2)/2 .

g* > 0. (5.75)

Распределение F'^ Vz = v2Gvn vJxY можно получить непосредственно из формулы (5.75). Воспользовавшись аппроксимацией, описанной в конце разд. 5.13, найдем, что х 2 приблизительно распределено как [(v + 2X1)/(v + X1)]x2v1+a,)=/(v,+2X1), a F’VvV,— как

/у+2Х,) (vi4-X1)2(vi + 2X1)~i р

у v+Xt /^^(Vi+Wtvi + aX!), V,»

т. e. как

Лу.+яа^+гх,). v2.

Нецентральное /-распределение

Нецентральное /-распределение с v степенями свободы —распределение (U + 6)/(xv/Kv), где U —нормированная независимая от Ху нормальная случайная величина, а 6 (параметр нецентральности)—константа. Это распределение используется при вычислении функции мощности /-критерия. Полезная аппроксимация (при условии, что v > 10) получается, если учесть, что

РгГ-^>фргГ//-(-?О Xv>-s] ,Lxv/У v J L \ V v / J

а аппроксимирующее распределение U— (A71/v)xv—нормальное распределение co средним значением (—/</)/v) £ (xv) и средним квадратическим отклонением [1 + (/(/К^)2Уаг(ху)]1/2.

Другое полезное приближение получается при рассмотрении Arsh [/р^З^у)] как величины с N (Arsh [6 У 3/(2v)J, 1) (см. [9]).

ПОДБОР РАСПРЕДЕЛЕНИЯПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ

Пусть для определения вида распределения, к которому принадлежат некоторые данные, взята большая выборка. Фактически мы не знаем точного распределения совокупности, из которой извлечена выборка. Было бы разумно спросить: „Оправдано ли наше предположение о том, что имеет место тот конкретный вид распределения, которому удовлетворяет наша выборка?*1 Исследуя собранные данные, можно, конечно, увидеть, допускают ли они распределение некоторого вида, и потом проверить, приемлемы ли наши идеи в дальнейших исследованиях.

Рассматриваемый метод подбора распределения заключается в построении по данным гистограммы, умножении теоретической функции распределения на общее число наблюдений и, наконец, сравнении полученных таким образом чисел с соответствующими наблюдаемыми числами из гистограммы. В сущности при этом в случае непрерывного распределения (так же, как и дискретного) проводится сравнение наблюдаемых и теоретических частот. Если расхождения слишком большие, то отклоняется предположение о том, что данная выборка взята из совокупности с указанным распределением. В противном случае говорим, что разумно считать, что выборка порождена именно этим распределением или что это распределение является достаточно хорошей аппроксимацией. Методы, основанные на этих проверках, обсуждаются в гл. 8. Сначала рассмотрим только методы подбора распределений по экспериментальным данным. Это по существу методы оценивания, теория которых приведена в гл. 7. Здесь же ограничимся лишь некоторыми практическими примерами. Другие примеры и пояснения можно найти в специальных книгах, таких, как книга Элдертона и Джонсона [3].

Некоторые примеры подбора распределений

Выделим ряд общих этапов, осуществляемых при подборе нормального распределения, а затем дадим два примера. Предположим, что взята выборка объема п. Измерения представлены в виде несгруппированных данных. Метод состоит в следующем:

Данные объединяются в интервалы группировки, определяются частоты для каждого интервала.

Если параметры (среднее 6 и среднее квадратическое отклонение о) не заданы, по данным вычисляются х и s.

Границы интервалов группировки xt нормируются по формулам

Xi™ 0Xi — х

у = -2 ИЛИ = оS

Для каждого интервала группировки по теоретической кривой вычисляется вероятность. Она равна

(J/^n)"1 $ е-“Ч2<1и.

"i-i

Эта вероятность умножается на объем выборки п, что дает подобранную (теоретическую) частоту.

Объемы плавок, полученные в течение месяцаОбъемы плавок, полученные в течение месяцаПример 5.15. Этот пример уже приводился раньше в гл. 2, и данные содержатся в табл. 2.2. Данные относятся к переменной X—объему плавок в тоннах. Выборка—результат одномесячной работы. В табл. 5.6 к этим данным присоединены допол-

Объемы плавок, полученные в течение месяца

Объемы плавок, полученные в течение месяца

(1)

Срединное антенн

(2)

Границы импер&ла грунпуреоки

(3)

f*

(4)

(5)

#ОД=

(0

: Д(5)

О) |

fioWpmma частота

(8)

п

Н5,5

117,5 '

21

П9,5

121,5

1|

123,5

127,5

з!

НО

0,05592

12,1

0,364^

125,5

329,5

2J

-1,59

0,05592

131,5

333,5

11

0,04088

8,8

0,5500

135,5

-1,30

0,09680

137,5

И

0,0619

13,4

0,5045

. В9,5

— 1,00

0,1587

141,5

16

0,0833

18,0

0,2224

143,5

-0,70

0,2420

145,5

22

0,0989

31,4

0,016$

147,5

-0,40

0,3409

149,5

21

0,4562

0,1153

34,9

0,610$

151,5

-0,11

153,5

27

0,1191

35,7

0,0658

155,5

0,19

0,5753

157,5

159,5

23

0,6844

0,1091

23,6

0,015$

0,48

161,5

21

0,0979

21,1

0,00057

163,5

0,78

0,7823

165,5

18

0,0754

16,3

0,1773

167,5

1,07

0,8577

169,5

11

0,0570

12,3

0,1374

171,5

1,37

0,9147

8,3

173,5

175,5*

И

0,0378

0,956^

1,67

0,9525

377,5

5’

179,5

181,5

183,5

2

9

0,0475

10,3

0,1641

185,5

2;

187,5

Таблица 5.6

2161,0000216,13,78 53

нительные столбцы, используемые при рассмотрении примера. Будем применять предложенный метод по этапам, обращаясь к табл. 5.6. Мы хотим подобрать по данным нормальную кривую.

Срединные значения интервалов группировки приведены в столбце (1), границы интервалов —в столбце (2), а наблюдаемые частоты—в столбце (3). Срединные значения интервалов группировки можно было бы опустить, но они использованы при построении полигона частот.

Е (X) и )/Var(X) оцениваютсяп как £=153,0, а =13,5.

Для каждой границы интервалов группировки определим t/z = (xt—153,0)/13,5. Эти значения приведены в столбце (4). Заметим, что первые четыре интервала объединены, как и три последних. Этим обеспечивается требование, чтобы частоты не были много меньше десяти.

Определим области под кривой У(0,1), приходящиеся на разные интервалы. Сначала вычислим Ф^^), приведенные в столбце (5). Затем, взяв разности, найдем площади, относящиеся к разным интервалам [столбец (6)].

Теоретические частоты получаются путем умножения столбца (6) на п. Результаты приведены в столбце (7) и изображены графически на рис. 5.13.

Рис. 5.13. Подбор нормального распределения по экспериментальным данным (объемы плавок в тоннах).

11 Эти значения не отличаются от тех, которые получены по сгруппированным данным в табл. 2.2. Для исходных данных среднее арифметическое равно 153,2, а среднее квадратическое отклонение составляет 13,5 т.

Теперь сравним f( с соответствующими наблюдаемыми ча- стотами fo{. [Величины <foi — fi^/fi, приведенные в столбце (8), используются в формальном критерии сравнения теоретических (/,) и наблюдаемых foi частот в разд. 8.9.1.]

Аналогичными методами подбираются и другие распределения. Пример 5.16 демонстрирует подбор дискретного распределения.

Пример 5.16. Рассмотрим следующую гипотетическую задачу. Пусть вероятность попадания при стрельбе по мишени некоторого вида должна быть 0,50. Проводилось обучение с общим числом стрельб, равным 200, с шестью попытками в каждой стрельбе, т. е. состоялось 200 стрельб с шестью независимыми попытками в каждой. Два первых столбца табл. 5.7 содержат

Таблица 5.7

Частота числа попаданий в шести независимых попытках для 200 стрельб

(1)

(2)|

(3)

(4)

(5)

Число попада

Частота f^

р м

Подобранная

ний х.

частота f*

0

25

0,015625

21>9

0,4388

1

20/

0,093750

18,8/*

2

42

0,234375

46,9

0,5119

3

65

0,312500

62,5

0,1000

4

49

0,234375

46,9

0,0940

5

19

0,093750

‘^121,9

0,3840

6

2/

0,015625

3,1/

200

1,000000

200,1

1,5287

число попаданий и частоту числа попаданий, приходящихся на одну стрельбу. Если допустить биномиальное распределение, то вероятность х попаданий равна

Р(х)=^)(1—р)6"^Д х = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

где р = 0,50. В столбце (3) приведены теоретические значения Р(х,). В столбце (4) даны теоретические частоты f^nP^x^ для п = 200. В остальном эта таблица аналогична табл. 5.6.

Некоторые другие процедуры

Для всех других непрерывных распределений процедура подбора распределения аналогична. Нормирование (этап 3) не всегда сводится к вычислениям типа (переменная — среднее)/(среднее квадратическое отклонение); скорее речь идет здесь о приведении данных к некоторой стандартной форме. На этапе 4 искомая функция зависит от заданного распределения. Если ее трудно вычислять и нет подходящих таблиц, подбор может оказаться практически невозможным без ЭВМ. Однако даже для очень сложных функций подходящие таблицы могут сделать подбор возможным и простым.

ЛИТЕРАТУРА

L Durand D., Stable Chaos, General Learning Corporation, Morristown, N. J., 1971, Chapters 12, 13, 18.

Elandt R., The Folded Normal Distribution, Technometrics, 3 (1961).

Elderton W. P., Johnson N. L., Systems of Frequency Curves, Cambridge University Press, 1969, Chapter 4.

Hahn G. J., Shapiro S. S., Statistical Models in Engineering, Wiley, New York, 1967, Chapter, 3, 8. [Хан Г., Шапиро С. Статистические модели в инженерных задачах.—М.: Мир, 1969.]

Haynam G. Е., Govindarajulu Z., Leone F. С., Tables of the Cumulative Non-central Chi-Square Distribution, Selected Tables in Mathematical Statistics, Vol. 1, 1973.

Hays W. L., Winkler R. L., Statistics: Probability, Inference and Decision, Vol. 1, Holt, Rinehart & Winston, New York, 1970, Chapter 4.

Hoel P. G., Introduction to Mathematical Statistics, 4th ed., Wiley, New York, 1971, Chapter 4.

Johnson N. L., The Folded Normal Distribution: Accuracy of Estimation by Maximum Likelihood, Technometrics, 4 (1962).

Johnson N. L., Kotz S., Distributions of Statistics—Continuous Univariate Distributions 1, 2, Continuous Multivariate Distributions, Wiley, New York, 1970, 1972.

Leone F. C., Nelson L. S., Nottingham R., The Folded Normal Distribution, Technometrics, 3 (1961).

Molenaar W., Approximations to the Poisson» Binomial and Hypergeometric Distribution Functions, Mathematical Centre, Amsterdam, 1970.

Mood A. M., Graybill F. A., Introduction to the Theory of Statistics, McGraw-Hill, New York, 1963, Chapter 4, 6, 9.

Plait A., The Weibull Distribution, Industrial Quality Control, 19(1962).

УПРАЖНЕНИЯ

Наружные диаметры втулок распределены нормально. Среднее этого распределения равно 2000 дюймов, а среднее квадратическое отклонение составляет 0,003 дюйма. Определите вероятность того, что наружный диаметр втулки

равен или больше, чем 2,009 дюйма;

меньше, чем 1,994 дюйма;

заключен между 1,997 н 2,003 дюйма;

между 1,994 и 2,006 дюйма.

Пусть установлено, что выход в граммах красителя стандартного цвета со специальным оттенком распределен нормально со средним 1550 и средним квадратическим отклонением 50. В скольких из 100 проверок вы ожидаете, что выход в среднем будет

ниже 1550,

выше 1650,

между 1525 и 1575,

выше 1470?

Для некоторого процесса получены оценка среднего значения, равная 101,7, и оценка среднего квадратического отклонения, равная 11,5. В ходе процесса через равные промежутки берутся выборки объемом 4 наблюдения; найденные по ним средние наносятся на график. Требуется найти нижнюю границу, ниже которой выборочное среднее может оказаться не более чем два раза в среднем на 1000 наблюдений в предположении, что отклонения от среднего в процессе распределены нормально.

В некотором химическом процессе стандартная жидкость из трех бутылей сливается в большой бак. Если среднее квадратическое отклонение объема жидкости в каждой бутыли равно 0,07 унции, то каково среднее квадратическое отклонение общего объема жидкости в большом баке?

Для производства металлических трубок с внутренним диаметром (ВД), равным 0,35 дюймам требуется некоторая операция. Допустимые отклонения ± 0,04. Предполагается, что ВД этих трубок распределен нормально с о = 0,025 дюйма. Если номинальный диаметр (0,35) в среднем выдерживается, то

каково математическое ожидание числа дефектных образцов в выборке объема 100?

какова вероятность того, что в этой выборке окажется менее четырех дефектных образцов?

Для некоторого процесса получены оценка среднего, равная 10,264, и оценка среднего квадратического отклонения, равная 2,51. В этом процессе через равные промежутки извлекаются выборки объема 5 наблюдений; полученные по ним средние наносятся на график. Найдите верхнюю границу, за которой среднее значение может оказаться не более чем один раз на 1000 наблюдений в среднем, в предположении, что отклонения от среднего в процессе распределены нормально.

Изделия типа А должны подгоняться к изделиям типа В. Предполагается, что критический внешний размер А распределен нормально со средним 4,30 дюйма и средним квадратическим отклонением 0,04 дюйма. Изделия В имеют критический внутренний размер, который считается распределенным нормально со средним 4,36 и средним квадратическим отклонением 0,04 дюйма.

Какова ожидаемая доля случаев, когда изделия А и В, выбранные независимо и случайно, окажутся непригодными друг для друга?

. Надо ли считать необычным два случая несовместимости из 20?

Рычаг собирается из пяти секций. Исследование отдельных секций показало, что средняя длина крайних секций составляет 1,001 дюйма, а трех средних 1,999 дюйма. Средние квадратические отклонения длин всех секций равны 0,004 дюйма. Если осуществить случайную сборку и отдельные секции предполагаются распределенными нормально, то

какова средняя длина сборки,

каково среднее квадратическое отклонение длины сборки,

какова вероятность того, что длина рычага превысит 8,002 дюйма?

Две части А и В соединяются в одну трубу С. Средние квадратические отклонения длин А и В равны 0,22 и 0,45 мм соответственно. Дли ня, добавляемая при соединении, имеет среднее квадратическое отклонение о мм. Получите формулу для среднего квадратического отклонения длины С, предполагая, что А и В взаимно независимы.

При сборке два изделия С (см. упражнение 9) должны отличаться по длине менее чем на 1,25 мм. Предполагая нормальное распределение, найдите

выражение для вероятности того, что два случайно взятых изделия С окажутся совместимыми. Как мала должна быть величина а, чтобы эта вероятность составляла не менее 90%?

Если в упражнении 10 величина а = 0,12 мм, а пары С отбираются случайно до тех пор, пока не найдется пара, пригодная для сборки, то каково среднее число пар, которые придется перебрать?

Подберите нормальное распределение для данных табл. 2.6, которые относятся к глубинам вдавливания для 150 стальных образцов.

IX На одном крупном газовом месторождении на западе США фирма за последние 10 лет пробурила 75 скважин. Ниже приведены данные о распределении запасов газа на скважину в единицах 10е фут3. Подберите по этим данным экспоненциальное распределение рх (х) = бе ~ $* (0 ^ х ^ оо), оценивая О как (Х)~х, и вычислите теоретические частоты.

к

f

X

0—1,999

30

10—11,999

1

2-3,999

15

12—13,999

2

4-5,999

11

14—15,999

1

6—7,999

9

16-17,999

2

8—9,999

3

26-27,999

1

14. В таблице, приведенной ниже, X—твердость D по Шору сложного сплава. Постройте гистограмму и сравните ее с нормальным распределением при р = 73,5 и о = 3.

X

f

X

f

57—58

1

73-74 -

38

59-60

3

75—76 :

22

61-62

5

77—78

18

63—64

8

79—80

15

65-66

10

81-82

11

67—68

13

83—84

6

69—70

20

85—86

3

71—72

25

87—88

2

15. В выборку включены 224 последовательные бобины медной проволоки. Измеряется толщина (в миллах) пластикового покрытия проволоки. Можно лн на основе приведенных ниже данных считать, что толщина имеет нормальное распределение? [Данные взяты из работы: Harry Thompson, A Talk with the Foreman about Quality Control, Industrial Quality Control, May, 1950.] Сравните наблюдаемые и теоретические частоты.

Толщина

Частота

Толщина

Частота

Толщина

Частота

X

f

X

f

X

/

146

3

151

33

156

11

147

3

152

34

157

9

148

7

153

37

158

2

149

11

154

25

159

0

150

25

155

23

160

1

Приведенные ниже данные получены из большой выборки, собранной на одном промышленном предприятии. [Данные основаны на работе Vollen- weider L. К., Preparation and Use of Area Curve in Presenting Information, Quality Control Conference Papers, 1951.) Измерен диаметр шага резьбы металлического штифта. Приведены отклонения от заданного среднего, сгруппированные в интервалы длиной 0,0003 единицы. Подберите по данным нормальное

распределение.

X

/

X

Г

от —0,0018

до —0,0015

3

от —0,0003 до —0,0000

178

от —0,0015

до —0,0012

11

от 0,0000 до 0,0003

147

от —0,0012

до —0,0009

32

от 0,0003 до —0,0006

91

от —0,0009

до —0,0006

89

от 0,0006 до 0,0009

43

от —0,0006

до —0,0003

149

от 0,0009 до 0,0012

12

Подберите нормальное распределение по данным примера 5.1.

Найдите следующие критические значения распределений F, х2 и ^> используя соответствующие таблицы. Первые индексы обозначают степени свободы, а последний — накопленную вероятность.

а) ^8; 0,9 75; б) t2o; 0,010; в) Х1б; 0|990; Г) %б; 0,050’ Д) ^ 6 8; 0,990; е) Р8; 5; 0,990;

ж) F8; 10; 0,050; З) F&; д; 0,975-

Величина X распределена нормально со средним значением 50 н средним квадратическим отклонением 5.

Вычислите:

a) Pr [X > 47]; б) Pr [X < 45]; в) Рг [49 < X < 52].

Величина X распределена нормально и 1) Рг [X > 7]=0,05; 2) Рг [Х<5]= = 0,50. Найдите Рг [4 < X < 6].

Величина X распределена как смесь двух нормальных распределений с общим (неизвестным) средним значением 100 и средними квадратическими отклонениями 1 и 5 соответственно. Известно, что Pr [X < 95] = 0,1; вычислите (приближенно) Рг [99 < X < 100].

Функция

Г х1 г 1-11

1Х (т, п) =1Х (т, п) =^-i(i„t^-^dt о^-i(i„t^-^dt о^ ^-^l— t)n-*dt о^ ^-^l— t)n-*dt о

1Х (т, п) =

1Х (т, п) =

^-i(i„t^-^dt о

^-i(i„t^-^dt о

^ ^-^l— t)n-*dt о

^ ^-^l— t)n-*dt о

называется отношением неполной бета-функции.

Покажите, как можно использовать таблицы этой функции для подбора по данным бета-распределения.

Покажите, что если Y—распределенная по биномиальному закону величина с параметрами п и р, т. е. если

Рг[У = г] = (^)р'-(1_р)П-г> г = 0, 1,2п.

то

23. Функция23. ФункцияPr W^kA-lp^, n — k^-\yPr W^kA-lp^, n — k^-\y

23. Функция

23. Функция

Pr W^kA-lp^, n — k^-\y

Pr W^kA-lp^, n — k^-\y

называется отношением неполной гамма-функции.

Покажите, как можно использовать таблицы этой функции для подбора по данным гамма-распределения.

Покажите, что если Y— распределенная по закону Пуассона величина со средним значением 0, то

Рг[У^^ = /е (^).

а) Выразите распределение %2 через отношение неполной гамма-функции, б) Выразите распределения t и F через отношение неполной бета-функции.

Распределение рх^ — Кх при 0 < х < 0 называется треугольным распределением.

Определите К с учетом того, что pxW—плотность вероятности.

Определите производящую функцию моментов.

Найдите Е (X) и Var (X).

а) Покажите, что r-й момент %3-распределения с v степенями свободы равен

2^2Г([у+г]/2)/Г (v/2).

б) Получите формулы для первых четырех центральных моментов /-распределения с v степенями свободы.

Найдите плотность вероятности суммы Z = X + У, если рх, у (х, у) = 1; О ^ х ^ 1; 0 ^ ^ ^ 1.

В длинных рядах наблюдений выполняется соотношение

Среднее—Мода

Среднее — Медиана

Проверьте, так ли это для распределений Парето и логарифмически нормального.

Величины X и У имеют совместное двумерное нормальное распределение с Е [У] ^ оу. Покажите, что с хорошей степенью приближения

« ф te).« ф te).

« ф te).

« ф te).

где

g=^KE [Y]—E [X]} ^х-грахоу+о^"1/2.

С помощью аппроксимации Уилсона — Хилферти (с. 155) и результата упражнения 29 найдите приближение для F-распределения. Сравните точные и приближенные значения

0 ^з; Ю; о,о&;2) Рз; ю; 0,95;

3) Рз; 20; 0,95;4) F3; 3 о; 0,95*

Точка Р случайным образом падает на прямую. Известно, что расстояние (с соответствующим знаком) точки Р от заданной точки О на этой прямой распределено по нормальному закону со средним § и средним квадратическим отклонением о. | и о известны. Требуется выбрать три точки Л, В и С на прямой так, чтобы математическое ожидание наименьшего из трех абсолютных расстояний | АР |, | ВР | и | СР] было минимальным.

Предполагая, что точка В должна быть расположена в ожидаемом положении точки Р (т. е. ОВ = у, найдите оптимальные положения для Л и С.

Полагая, что положения точек Л и С в упражнении 31 оптимальны, выведите формулу для распределения минимума | АР |, | ВР | и |СР [; найдите среднее квадратическое отклонение этой величины.

Глава 6

ПОРЯДКОВЫЕ СТАТИСТИКИ

ВВЕДЕНИЕ

Статистики, основанные на упорядоченных по величине наблюдениях, часто оказываются относительно простыми в вычислительном отношении. Чтобы глубже понять их свойства, необходимо выяснить, как применять теорию распределений при работе со статистиками указанного типа. Это основной вопрос, рассматриваемый в данной главе. Используя описываемые здесь методы, получим некоторое представление о возможностях применения „порядковых статистик" при анализе различных данных0.

Термин „порядковые статистики" применяется только по отношению к данным, упорядоченным по величине. Достаточно часто данные оказываются упорядоченными некоторым естественным образом во времени или пространстве. Однако такое упорядочение не имеет отношения к теме исследования данной главы, где слово „порядок" употребляется только в рассмотренном выше узком смысле.

Ограничимся сначала изучением непрерывных случайных величин, а в конце главы рассмотрим, как можно перенести эти методы на случай дискретных величин. Такой подход обусловлен тем, что порядковые статистики при исследовании непрерывных случайных величин используются значительно чаще, чем при работе с дискретными случайными величинами.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Будем использовать модель, соответствующую случайной Выборке из очень большой (бесконечной) совокупности, в случай, когда измерения непрерывной величины X проведены для каждого объекта выборки. Измерения, относящиеся к выборке объема п, представляются случайными величинами X,, Х2, ..., Хп. Все Xt взаимно независимы и обладают одинаковыми Плотностями

Детальное рассмотрение порядковых статистик см. в книгах: Боярский Э. А. Порядковые статистики,—М.: Статистика, 1972; Гумбель Э. Статистика экстремальных значений,—М/. Мир, 1965; Введение в теорию порядковых статистик.—М.: Статистика, 1970,— Прим. ред.

вероятности, т. е. рхДх^ — f(x)x=x., при t = 1, 2, ..п, где /(х) — математическая функция отх. Функция распределения имеет вид

РхДх^ $ f^dx.

Введем теперь п новых случайных величин Х^Х^ ...Д*п> представляющих собой исходные случайные величины Xv Ха, ..., Х„, расположенные в порядке возрастания их значений, так что

X't <_ Х'2 <_ ... < Хп

(вероятность того, что две величины из множества X могут оказаться равными между собой, пренебрежимо мала, поскольку в данном случае используются непрерывные случайные величины).

Достаточно серьезной проблемой оказывается нахождение таких характеристик случайных величин Х'ъ Х'2, ..., Х„, как их совместные распределения, а также распределения основанных на них статистик, таких, например, как размах Х'п—X'v Последние называются порядковыми статистиками. Их следует отличать от статистик, основанных на рангах (равных 1, 2, 3, ... для величин Xi, X', Xg, ... соответственно), которые иногда называются ранговыми порядковыми статистиками. Эти статистики лежат в основе многих непараметрических статистических методов. Некоторые из последних будут рассмотрены в гл. 9.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАИМЕНЬШЕГОИ НАИБОЛЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ

В ВЫБОРКЕ

Событие (Х„^х) эквивалентно пересечению событий (Хх ^х), (Х2^х), .. .ДХп<_х\ Если наибольшее из выборочных значений X,- меньше или равно х, то это справедливо и для всех остальных X,-, и наоборот, если все X,- меньше или равны л, то Это справедливо и для наибольшего из них.

Следовательно, пп

Рг [X; < х] = П Рг [^ <П Fx. (X) = [Fx Wb

i=li=l

Таким образом, функция распределения величины Х„ есть

fa;(x;)=[Fx(x;)]",(6.1)

а плотность вероятности

Рх; М = п 1 М •И

Пример 6.1. Если /(х)=1 (О^х^ 1), т. е. X' имеет равномерное распределение, то Fx (х) = х (0 ^ х ^ 1) и

Рх to = «(О"-1. 0<х^<1.

Начальный момент порядка г для величины Х'п равен

1

Рг №) = га У х'пп+г-г dx'n = ^У .о

Следовательно, среднее значение наибольшего из X в случайной выборке объема п равно n/(n + 1), а дисперсия наибольшего значения равна n(n + 2)~x—n2(n+l)~2=-n(n + 2)~1(n+ I)-2. Дальнейшие вычисления показывают, что

1/н7ТЧ 2 (я-1) (п + 2)1/2

„ ,у,х 3(п+2) (Зп^-п + 2)

“4 — р2(Лп)—я(п_|_3)(п+4)•

Если п стремится к бесконечности,

а3—►—2, а4—>-9.

Распределение X;, наименьшего среди п значений X', можно исследовать аналогичным образом. Событие (X; > х) эквивалентно пересечению п событий (Х4 > х), (Х2 > х), ..., (Х„ > х). Следовательно,

-Ел; (х) = П [1 -Fx. (х)] = [1 -Fx (х)]«,Ex,(x;)=l‘-[1-Fx(xyp.(6.3)

Отсюда

Рх; W) = п Е1 — Fx W)?-1 f to-(6.4)

Если распределение величины X симметрично относительно математического ожидания, которое равно, скажем, g, то / (64-6)= =f(6-6) и Ех(6 + 6) = 1-Ех(^ + 6).

Отсюда следует, что

р,;(Н6)-рл-.(Е-6).

Распределение величины Х{ является зеркальным отображением распределения Х^. В частности,

\/2[£W) + £(X^)]-6,о (Х0 = О (х;), а3(Х0 = -а3(Х'),а4(Х;)-а4№).

Событие (Х;^х) событий:Событие (Х;^х) событий:РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОРЯДКОВЫХСТАТИСТИК, ПОСТРОЕННЫХ ПО СЛУЧАЙНЫМВЫБОРКАМ

Событие (Х;^х) событий:

Событие (Х;^х) событий:

является логической суммой следующих

„точно / среди случайных величин Xlt Хг, ..., Хпменьше или равно х“, при j-r, г+1, г+ 2, . ,.,п.

Все эти события взаимно исключающие, поэтому

Рг№ < х] = 2 (?) [F,« [ 1 -Fx «Рг№ < х] = 2 (?) [F,« [ 1 -Fx «Следовательно, плотность вероятности для Х'г равнаСледовательно, плотность вероятности для Х'г равна

Рг№ < х] = 2 (?) [F,« [ 1 -Fx «

Рг№ < х] = 2 (?) [F,« [ 1 -Fx «

Следовательно, плотность вероятности для Х'г равна

Следовательно, плотность вероятности для Х'г равна

/ п—1\

Здесь) —- 0.

\ п /

Ниже приводится другой метод вывода рассмотренной функции, более поучительный, хотя и менее строгий. Вероятность того, что r-е по степени малости значение случайной величины находится между х'г—^(бх') и х^ + ^бхЗ, приближенно равна Рх^х^^бх^. Другое приближенное выражение для вероятности того же самого события можно получить, используя полиномиальное распределение вероятностей. Случай, когда r-е по малости значение X находится между х,—^(бх^) и х^ + ^^х,), можно считать эквивалентным следующему событию:

г — 1 из п значений X меньше, чем х'г—1/2(6хЗ,

из п значений X лежит между хг—^(бхЗ и х^ + ^ДбхЗ,ап — г из п значений X больше, чем х^ + ^^хЗ-

[При этом исключается возможность попадания более одного значения X между хг—х/2 (6x3 и x' + 1/2(6x3. Вероятность такого события имеет порядок (6х32.]

Для любого X имеем

Pr [х < х;—v2 (бх;)]« fx vo-mj (х'г) (б.<),Pr [х,—72 (бх;) < х < xr+72 (бх;)]«f (х;) (бх;),Pr [X > х;+у, (6x;)j«1—fx (х;)—7 j (х;) (бх;).

Отсюда, используя выражение для полиномиального распределения, можно получить

Рх; (х;) (бх;>«(7^7^7)! ^ СО]-1 [1 - f х СО]”-' f (О (бх;) + + Члены, кратные (бх;)8 и более высоким степеням величины (бх;).

Разделив обе части полученного выражения на (бх;) и устремив (бх;) к нулю, получим выражение, совпадающее с (6.5).

Рассмотренный метод можно применить при выводе выражений для совместных распределений величин Х'г. Эти выражения, которые проверяются путем прямых вычислений, приводятся ниже. При г <s

Px'r x's (Х„ Xs) = (Г_1)| (s-r-J)! (n_s)!X

X [fx (О]-1 [fx СО Fx (х;)]^^-1 х

х [1—fх СО]»-* / (х;) f (х;), х; > х;.(6.6)

В частном случае г = 1, s = п плотность вероятности совместного распределения наибольшего и наименьшего значений из п величин X имеет следующий вид:

Рх'г, х^Хг> Хп) =

= п (п— 1) [f х (х;)—Fx (х0]п-2) (х;) f (х[), х'п > х;.(6.7)

При г < s < t справедливо равенство

Px'r X's, х; (Xr> Xs> X/) = (7-2^ц72^Г])ц^^[Лх (хг)]г-1 X

X [fx Ю —fx (х;)]—1 [fx Ш — РХ (х;)]^5-^

х[1—fx(x;)]n-tf(^r)f(Xs')/(x;), x't>x'^x'r.(6.8)

Плотность вероятности совместного распределения всех п упорядоченных величин Х^ Ха, ..., Х'п имеет вид

Рх^, Xgх^ (^1> *^2* * * • ’ ^п) — п1 f (Xi) f (х2) - - • / (xn) “

= «!nf(^). x;<x;<.. .<x;. (6.9)

Пример 6.2. Пусть Xn X2, ..., Xn—взаимно независимые случайные величины, имеющие экспоненциальные плотности ве-

роятности

рхДх^Хе-^, х,-> 0.

Как распределена величина к-1

где Xi < Xi < ... < Х'к—множество к наименьших из п значений X?

Сначала отметим два момента, которые полезно доказать:

все X; распределены как (2Х)“1-(х2 с двумя степенями свободы);

условное распределение величины (Xi—х) при Xz > х совпадает с (безусловным) распределением Xz.

С учетом формулы (6.4) плотность вероятности величины Х[ можно записать как

Рх^ (х0 “ ^е*пКХ1» ^1 > 0.

Следовательно, Xi имеет распределение [см. приведенное выше утверждение 1)]

(2/гХ)-1Х(х2 с двумя степенями свободы).

В силу утверждения 2) условное распределение величины (Xi —Xi) при заданном Xi [т. е. когда (п— 1) оставшихся случайных величин из X превышают Xi] совпадает с распределением (п—1) взаимно независимых случайных величин, имеющих такие же распределения", как и Xz. Как мы только что видели, условное распределение есть

[2 (п— 1) X]-1Х(х2 с двумя степенями свободы), причем (Xi—Xi) и Xi взаимно независимы.

Проводя аналогичные рассуждения, можно убедиться, что величина (Xi — Xi) имеет распределение

[2 (м —2) X]-1х(%2 с двумя степенями свободы);

в общем случае (X',—X'_i) распределена как

[2(„_/+1)Л]-1х(х2 с двумя степенями свободы)

и все указанные случайные величины взаимно независимы. Следовательно пХу и (п—/ + 1) (XJ —XJ.x) при / = 2, 3, ..., к представляют собой к взаимно независимых случайных величин, которые распределены как

(2X)-iХ(х2 с двумя степенями свободы).

Отсюда их сумма

¥пХу + 2 (п—^+0(^t—^/-i) — 2 ^/+(^—к+1)^к 1=11 = 1.

распределена как (см. разд. 5.13)

(2К)-1х(%2 с 2fe степенями свободы).

Плотность вероятности случайной величины ¥к равна

Р¥к^ = Т^^Уе'ХУЬ' Ук>0-

(Этот результат будет использован в примерах 7.4 и 17.2.)

ТОЛЕРАНТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Плотность вероятности вероятностного интеграла Fx^X^ величины X', выбранной случайным образом, есть

0<^И<1. (6.Ю) поскольку

xiFxUi)= $ f(x)dx.

При любом f(x), но только при условии, что X является непрерывной случайной величиной, Fx.(XT) представляет собой равномерно распределенную на интервале между 0 и 1 случайную величину. Поскольку при г < s Fx (XT) ^ Fx (^Q (причем вероятность равенства стремится к нулю), га величин Y,= Fx(XT) подчиняются такому же распределению, как и упорядоченная выборка объема п из совокупности с плотностью вероятности

Используя формулу (6.6), можно показать, что при r^s

Ру',., у'^” У^~

= (г-1)! (s —г— 1)! (и —s)! ^Уг^ 1 ^Уз Уг^ Г '^-У^

o^y;^z/s'^ 1. (6.11)

Теперь применим для отыскания распределения величины Y's—Y'r методы, рассмотренные в гл. 5. Во-первых, сделаем переход

к новым переменным

^г"Уг7 ^rs"tis Уг*

Якобиан этого преобразования имеет вид

8 Ur. y's) _ d(zr, zr5)8 Ur. y's) _ d(zr, zr5)1 О1 11 О1 1-1.-1.

8 Ur. y's) _ d(zr, zr5)

8 Ur. y's) _ d(zr, zr5)

1 О

1 1

1 О

1 1

-1.

-1.

Следовательно,

pzr, Zrs ^Г1 ^rs) —~ (r~ 1)! (s —r —1)! (n —$)!pzr, Zrs ^Г1 ^rs) —~ (r~ 1)! (s —r —1)! (n —$)!гГ^Г"10 — z,—zrs)—s.гГ^Г"10 — z,—zrs)—s.0 ^zrl0 ^zrl0 ^ ^rS' ^r 4” ^rs ^ 1 *0 ^ ^rS' ^r 4” ^rs ^ 1 *

pzr, Zrs ^Г1 ^rs) —

~ (r~ 1)! (s —r —1)! (n —$)!

pzr, Zrs ^Г1 ^rs) —

~ (r~ 1)! (s —r —1)! (n —$)!

гГ^Г"10 — z,—zrs)—s.

гГ^Г"10 — z,—zrs)—s.

0 ^zrl

0 ^zrl

0 ^ ^rS' ^r 4” ^rs ^ 1 *

0 ^ ^rS' ^r 4” ^rs ^ 1 *

Далее, проинтегрировав выражение no zn получим плотность вероятности для Zrs в виде

P^rj (^rs)™ J Р^г^гДгп zr^dzr~

— (r—l)!(s —r — !)!(« — $)! ^ 1 J ^ 1U—zrs—Zr)"-Sdzr.

0

Упростим выражение следующим образом:

Pzrs (Z„) =

= (г — 1)! (s —г —1)! (« —s)! Z" Г Ч1 —zrs)n~S+r иГ-1 (Д -и)"-5du,

О

где

1 Zrs

Так как

о

получаем

Pzrs lZr^ = (s —Г —l)!(n —s+г)! 2" 1— 2«)""S + r’

0^2„^l.(6.12)

Следовательно, числа 7^^^ «южио определить таким образом, что

Рг[2„> г^цл)]= I—е.

7е

(Эти числа достаточно легко получаются путем решения уравнения

1

Jp(z„)dz„= 1—8. г

При этом можно использовать таблицы неполной бета-функции [10] или аналогичные им.)

Полученный результат имеет полезную статистическую интерпретацию, которая приводится ниже. Вероятность того, что при случайной выборке, включающей и точек, доля совокупности, заключенная между значениями X' и X', окажется больше z^n), составляет 1 — е. Путем соответствующего подбора значений п, г и s всегда можно добиться требуемой точности (т. е. желаемой степени малости величины в), так чтобы по крайней мере заданная доля совокупности, допустим р, была заключена между двумя заранее определенными выборочными значениями. Следовательно, нужно всего лишь выбрать такие г, s и п, при которых (для требуемого значения е) z^ (и) будет по крайней мере равно р. Необходимо отметить, что это справедливо для любых непрерывных случайных величин с любой плотностью вероятности /(х) и, следовательно, не нужна никакая информация овиде t^xY Изложенное выше является примером построения толерантных областей, которые будут рассмотрены в разд. 9.8.1,

Пример 6.3. Требуется установить пределы, в которых должно находиться по крайней мере 90% значений X* Предлагается оценить эти пределы с помощью значений Х«, X^+i-a. взятых из упорядоченной случайной выборки объема п.

Используя формулу (6.12), получим для плотности вероятности величины

z-Pr[x;<x<x;+1„a] выражение

0 < z0 < z1.1.

0 < z

0 < z

1.

1.

Отсюда следует

1

pr IZ > 0,90] =

0,90

—— I о ,io (2oc, n — 2cz -j— 1).

\IX — отношение неполной бета-функции, определенное в разд. 5.6.2.) В табл. 6.1 приведены некоторые значения указанной вероятности для различных значений и и а.

п

a

10

20

30

40

50

1

0,2639

0,6083

0,8163

0,9195

0,9662

2

0,0128

0,1330

0,3526

0,5769

0,7497

3

—

0,0113

0,0732

0,2063

0,3839

4

—

0,0004

0,0078

0,0419

0,1221

5

—

—

0,0005

0,0051

0,0245

Толерантные вероятности

Таблица 6.1

Из указанной таблицы следует, что для получения предельных значений, между которыми с вероятностью, не меньшей 95%, находятся не менее 90% объектов совокупности, необходима выборка с минимальным объемом, равным примерно 47 объектам (при а = 1). (При больших объемах выборок (и соответствующих значениях а) можно получить толерантные пределы, обладающие меньшей изменчивостью в том смысле, что заключенная между ними часть совокупности в меньшей степени изменяется от одной выборки к другой.)

НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯДЛЯ БОЛЬШИХ ВЫБОРОК

В этом разделе предполагается, что выборки содержат нечетное число точек n^^m^l, где т—целое число. Тогда медиана выборки определена однозначно как Х'тлА. С вероятностью единица т выборочных значений оказываются меньшими Х^, а т значений превышают эту величину. Положив n^Sm^l, г=т-^1 в выражении (6.5), получим

Р^+1 (ti = ^т^ \Fx (х^+1) [1 - Fx (х^+1)]Г f (х^+1). (6.13)

Значение р, удовлетворяющее уравнению ^(р)^!^, является медианой совокупности.

Можно показать, что для больших выборок (т. е. при большом т) распределение величины (Х^+1 — ^)У"п приближенно описывается нормальным законом с математическим ожиданием, равным 0, и дисперсией (4 [/ (р)]2)-1. Если Х^+1 —медиана, то

^ (^m+i) ~ Р>

(6.14)

Var (Х;+1) «^(з^[f (И)]-= (1) U(ЮГ2-(6-15)

В общем случае при больших п

(6.16)(6.17)(6.16)(6.17)Е(Х'А«1р,Var(X;)«l[f(y]-^(l-p),

(6.16)

(6.17)

(6.16)

(6.17)

где FX(^ = P ПРИ условии, что г/п стремится к пределу р при О < р < 1, когда п стремится к бесконечности.

Анализ выражения (6.6), проведенный аналогичными методами, приводит к равенству

cov кх;та=-^[f (У г о-1 р (1 -Р'),(6. is)

где r<r', a r'/n—^p'. Опять эта формула должна рассматриваться как предельное соотношение,, которое получается при возрастающем п, но остающихся неизменными отношениях г/п и г'/ц.

Необходимо отметить, что формулы (6.16) — (6.18) нельзя использовать с какой бы то ни было степенью доверия при а) малом объеме выборки п (например, менее 15) или б) при исследовании экстремальных наблюдаемых значений (наибольших или наибольших среди наибольших и т. п.).

Выражения (6.16) и (6.17) можно уточнить следующим образом:

е (х;)« ^ {1+р (1 -р) 2 [ад-31(6.16)'

И

Var (X;) « [1 +П [/ (Ц? [р (1 -р)]-1?1-(6.17)'

В пределе совместное распределение величин Кп(Х'г — ^р) и У"п(Х^—£Р0 представляет собой двумерное нормальное распределение.

Пример 6.4. Пусть плотность вероятности наблюдаемых значений имеет вид /(х). Получим нижнее граничное значение для дисперсии медианы случайной выборки объема 2/и+1, когда максимальное значение /(х) находится в точке медианы 6 совокупности, а сама функция симметрична относительно х = 0.

Дисперсия величины Х„+1 равна

^J^ J (2^+1—9)472x;„+1)[l—F(x;„+1)]}mf

где

F (х) =/ (х) dx и F (6) = 1 /2.

Далее, поскольку f(x)^f(0),

|F(.^+1)-l/2|^|x^+1-0|f(0),z 'о\2[^ (•’-m+l)1 /2]

^m+1°1[/(О)]2

Имеем

Var(Xm+i)^Var(Xm+i)^(2т+1)!(м!)2 [/ (О)]2(2т+1)!(м!)2 [/ (О)]2j Ж1Н/2ГХ

Var(Xm+i)^

Var(Xm+i)^

(2т+1)!

(м!)2 [/ (О)]2

(2т+1)!

(м!)2 [/ (О)]2

X {f (лт+1) [1 F (^hi)]}*” f (^m+i) ^m+1-

Таким образом,

Var (Х^)^-^^ j(F-l/2)2 F^l-F^dF,О

var> [/(ед-- ид;;;^- g^+1/4].

Var№.l)>1-i^_[f(e)]-,

где и = 2т + I.

Поучительно сравнить последнее выражение с (6.15).

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗМАХА ВЫБОРКИ

Размах, имеющий в принятой нами форме записи вид(Х„ — Xi), равен разности между наибольшим и наименьшим выборочными значениями. Эта величина представляет особый интерес, поскольку часто используется как мера рассеяния вместо выборочной оценки среднего квадратического отклонения или усредненного выборочного отклонения. Применение размаха обусловлено тем, что его можно вычислить с меньшими трудностями, однако для эффективного использования этой величины, а также для того, чтобы можно было оценить возможные потери точности по сравнению с другими статистиками, необходимо иметь достоверную информацию об ожидаемом распределении величины размаха выборки. Зная средние потери точности, можно компенсировать их выигрышем, получаемым за счет упрощения вычислений.

Распределение размаха выборки можно найти прямым методом, рассмотренным в гл. 5, используя совместное распределение величин Xi и X' [как в (6.7)]. Кроме того, можно предложить и другие способы получения распределения величины размаха. Если классифицировать все выборки в соответствии с величиной Х'п (наибольшим значением), то вероятность того, что размах выборки W меньше или равен w, когда наибольшее из выборочных

значений находится между х'п — V2 (бх„) и x/i + 1/2 (6х„), приближенно равна

Рг [г < w | х;]»(n j^ [Fx (х;)—fx (х’п—ш)]"-1 / (х;) бх;.(6.19)

Проводя суммирование по всем значениям х^ [всякий раз на интервале (SxA)] и устремляя величину бх^ к О, получаем

Pr[!T^uj]^n J [^W”^y(^—tw)]"-1 f(x)dx.(6.20)

Плотность вероятности величины W имеет вид

р^(ш) = и-^ J [Fx(x) —Fx^x—цу)]"-^(х)^х =

= n(«—l) J [Fx(x) —Fx(x — w^"~4^f (х — w)dx. (6.21)

Если Fx(x)— какая-нибудь простая функция от х, то можно получить явное выражение для интеграла; в остальных случаях необходимо проводить численное интегрирование. Для нормированного нормального распределения

Fx(x)=tW f е"“2/2^=фм

отсутствуют простые явные выражения для распределения вероятностей величины W, однако составлены достаточно полные таблицы (например, табл. 20, 22 и 23 из [7])1), пользуясь которыми можно получить вполне адекватное представление об ожидаемом поведении размаха выборки из совокупности, подчиняющейся нормированному нормальному распределению. Указанные таблицы можно также использовать и в случае, когда совокупность имеет обычное нормальное распределение с произвольными средним значением и средним квадратическим отклонением. Размах выборки в последнем случае распределен как

(Среднее квадратическое отклонение совокупности) х

X (Размах выборки при нормированном нормальном

распределении).

Так, если требуется определить вероятность того, что размах случайной выборки объема 7 из совокупности, имеющей нормаль-

х) См. также: Большее Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики.—М.: Наука, 1965.— Прим. ред.

ное распределение со средним квадратическим отклонением 2,5, превышает 4, то по указанным таблицам определяют вероятность того, что размах выборки объема 7 из совокупности, имеющей нормированное нормальное распределение, превышает величину 4/2,5= 1,6. (В данном случае вероятность этого события равна 0,9186).

Математическое ожидание величины, размаха выборки равно Е (Х;)-£(Х(). Поскольку вероятность того, что размах выборки, заданный значениями Х( и Х„, не накроет интервал от х—^(бх) до x + V2(8x), равна (приближенно) [Fx(x)]"+[1—Fx(x)]", можно непосредственно получить формулу

E(W)- $ U-\.FxW-V^-FxW\dx. (6.22)

(Это сумма вероятностей событий Х^<.х и Х^>х.)

Пример 6.5. Опять рассмотрим случайную выборку объема п, а именно Хп Х2, .Хп из совокупности, где наблюдаемая величина X имеет экспоненциальную плотность вероятности рх (х) = 0-^-^, 0 < 0, 0 < х.

Требуется найти распределение величины размаха выборки W = — Хп — XT Первый метод основан на использовании совместного распределения Xi и Х„. Согласно формуле (6.7), имеем Р*р х-п«, х;) = п (п-1) (е-^-е-^6)"-2 e^e-W+^/e,

о ^Ху^Х^. Перейдем к новым переменным

W = X^—хТ U^Xn+Xi,или, обратно,X^^t^+u),х;=г/г(И—й>).

Якобиан этого преобразования имеет вид д(хп, хЭ __1/2 1 /2, 9

д (w, и)—1/2 1/2' *

откуда Pw,a^> «) = 1/2« (" — 1) [е-*"-^/29—е-("+®)/2б]Л-2е-2е-н/е = = 1/8П(П — l)(eu>/20_e-w/^-2Q-2e-nu/-z9tO<.w<_u.

Наконец,

PwW = $ Pw,ut^ u)du =— сю

ОО

= ЧгП (« — 1) О-2 [е®/2в _e-to/26Jn-2- g-nti/26 ди —

— (ft ] ) О”1 ^ГУ/20£-ш/20р-2 ^-ЛКУ/20 ~

= (п— 1) O-te-^/e (1 — е-^у-\ 0<щ.'

Второй метод, в котором используются выражения (6.20) и (6.21), дает

Рг [И7 < да] = иб"1 К [1 — е-^у-1 e~x^dx + Vo

+ J [е-^-®*70 — ех1еУ-х e-^dx} =

= n0-1 j J [1 —e-x№y-1e-x<6dx + (eu,^—iy-19n~1e-nB,i9

Дифференцируя по w, найдем

pw (ан) = «0-! (1 — e-w^y-1e-w<6 — n9-1 (1 —е-^у^е-^А- + (л — 1) 0-1 (1 —е-^у-10-w/e = (п _ 1) б-^-^/е ц „е-ш/в^-е,

что совпадает с уже полученным результатом.

ДИСКРЕТНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Упорядоченные величины редко используются в статистических исследованиях, если применяется модель с дискретными случайными величинами. Однако теория распределений упорядоченных дискретных случайных величин опирается на те же положения, что и теория для упорядоченных непрерывных случайных величин. Важно однако обратить внимание на случаи совпадающих значений (т. е. одинаковых результатов наблюдений), которые возможны при использовании дискретных величин.

Рассмотрим дискретную случайную величину X, принимающую значения х,-, которые возрастают вместе с i так, что xt, < х,-, если V <1. Пусть Рг [X = х,] = рь Тогда вместо формулы (6.20) можно записать

Рг[1Г<ш] =

= 2[(Р; +Р/-1+ • • • A-Pl' wy—kPi-X"VPi-»-Y • • • +Рй(1))П], (6.23)

где V (i) определено следующим неравенством:

Х^ Хр (() ^ W < Х^ Х^^-у.

Вместо формулы (6.22), основываясь на тех же рассуждениях, получаем

Е (Ю = 2[^-^-1][1-(- • • +Pi-»+Pi-iy-(Pi+Pi+t+-- •)"]=

= 2 (х,—x.-J (1 — {Pr [X ^ xz _ J}" — {1 -Pr [X < x,-.]}").

(6.24)

Пример 6.6. Рассмотрим дискретное равномерное распределение (см. разд. 4.7), которое можно задать с помощью следующих уравнений:

Рг[Х = а + /Л] = ^-1, / = 0, 1Л-1.

Если /А ^ w < (/ +1) А (где / — целое число, не превышающее k — 2), то к-1-\

Pr[U7^ty] = Pr[X;^a + /A]+ 2 (Рг[а + /А<А:,1СХ;<а +

4- (/ + /) Д] _ Pr [а + /А < х; с х; С а + (/ + / -1) А]}. (6.25)

(Отметим, что при X'n^a-VIN должно выполняться неравенство U7 ^ /А, поскольку Х( ^ а.) Размах выборки от а 4- /А до а 4- (/+/) А заключает I4-1 возможных значений случайной величины X, а размах от а 4- /А до а 4- (/ 4-/— 1) А содержит I возможных значений. Отсюда, учитывая взаимонезависимость Xz hX/, получаем

Рг [а 4- /А < X; < Хп < а (14- /) А] =

= П Рг [а + /А ^ х,. ^ а4-(/ + /) А] = ,(^)”. Рг [а4- /А ^ Х( ^ Х^ ^а 4- (Z + /— О А] = ^^ .

Из формулы (6.25) следует

к-1-1

Рг[Г^]=(Ш)"+ Е [(1±1)--(2)-1 =

откуда

Pr\W с ZA] = (Л-1) (^)“-(Л-I-1) (1у,(6.26)

а также

Рг [Г = /А] = Рг [U7 < /Д]-Рг VW ^ (/- 1) А] =

= (6_1)<>±1)^±(Ы£.(6.27)

Рассмотрим теперь предельный случай, когда к стремится к бесконечности, а А стремится к нулю так, что &А = Н и (feA) (//£) = w остаются неизменными.

В этом случае

1/#dw —

и, следовательно, П VW7 / 1И1 + Х\П / I

стремится к

Это выражение представляет собой функцию распределения размаха случайной выборки объема п из совокупности с непрерывным равномерным распределением

Рх М а^х^а + А.

Продифференцировав ее, можно получить плотность вероятности PwW = n^n—X^h-^^w4-2 (h— ш), 0 Ж^ЖЖ- (6.28) (Конечно, значительно проще было бы получить этот результат непосредственно.)

*6.9. НЕКОТОРЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕРЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ НОРМАЛЬНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Во многих работах распределения порядковых статистик вычисляются в предположении нормальности распределения случайных величин. Точные формулы для распределений и средних значений рассмотренных статистик достаточно сложные, однако могут быть получены полезные аппроксимации.

Известны две аппроксимации распределения размаха случайной выборки объема п (1^ = Х„ —Xi) из совокупности, имеющей нормальное распределение:

величина W распределена примерно как oc^JV vf,

величина F распределена примерно как oc2Xv2/v3,

причем q, с2, vx и v2 зависят от п; некоторые значения этих констант даны в табл. 6.2. Исследования, проведенные Пирсоном [6], показывают, что в первом случае лучшие результаты обеспечиваются при п < 10, а во втором — при больших объемах выборок п. Поскольку размах относительно редко используется при п> 10, то первая аппроксимация представляется более полезной для практических целей.

Таблица 6.2

Приближенное распределение размаха случайной выборки объема п из нормально распределенной совокупности

п

Аппроксимация (1)

|Аппроксимация (2)

С1V,

С3

v2

3

1,9164

1,93

4

2,2374

2,95

—

—

5

2,4812

3,83

—

—

6

2,6721

4,69

—

—

7

2.8295

5,50

—

—

8

2,9630

6,26

2,8472

24,11

9

3,0778

6,99

2,9700

27,01

10

3,1789

7,69

3,0775

29,81

11

—

—

3,1729

32,48

12

—

—

3,2585

35,04

13

—

—.

3,3360

37,50

14

—

—

3,4068

39,87

15

—

—

3,4718

42,16

Замечания: 1) с2 равно ожидаемому значению размаха случайной выборки объема п из совокупности, имеющей нормированное нормальное распределение (а= 1); 2) vt ~ V< (v2 + 1) при п > 1 0.

Рассмотренные способы аппроксимации можно использовать для приближенного построения распределений статистик, основанных как на размахе, так и на различных его комбинациях с другими статистиками. Это приводит к важному выводу, что многие стандартные таблицы статистических функций оказываются применимыми при исследовании распределений таких статистик.

Вместо размаха иногда используется статистика

Ли = 2 х;_,— 2 х-ь

/ = 0/=1

называемая усиленным размахом (thickened range)1) [2, 3].

Таблицы могут использоваться и в случае, когда сг является сомножителем, таким, что E(crJ{r}) = ст. Среднее квадратическое отклонение crJ<r> (при больших и) имеет минимальное значение при выборе г^0,255п. Полезный и легко запоминающийся результат состоит в том, что при выборе r/п ^ 1/6 (при больших п?) величина ^^(Зг)-1.

т) Используется также термин „сумма подразмахов". (См. Боярский Э. А. Порядковые статистики.—М.: Статистика, 1972.)—Прим, ред.

Рассмотренные статистики особенно полезны в случаях, когда а) объем выборки велик и б) есть сомнения в том, что реальные отклонения от математического ожидания (на „хвостах" распределения) адекватно описываются нормальным распределением. В обоих случаях статистика ограждается от влияния случайных выбросов.

Экстремальные значения вообще можно отбрасывать. Традиционным показателем изменчивости является междуквартильное расстояние, определяемое как разность между верхним и нижним квартилями. Для объемов выборок п — 4т 4-3, где/и —целое число, выборочное значение X3m+3 является верхним квартилем, а Х'^— нижним квартилем. (При других объемах выборки квартили определяются не так просто, однако для больших п можно использовать любую подходящую интерполяцию для значений Xa/4<rt_3)+3 и Х1/4 (п-з) + 1 •)

При выборках большого объема из нормальной совокупности Е (междуквартильного расстояния) ^ {1,349 4- 1,252 (я 4-2)-1} о.

Статистика (1,349)-х (X3m+3 —X4+i) ^ 0,74 (Х^т+3—Х^ имеет математическое ожидание, равное о (приблизительно.) Среднее квадратическое отклонение этой величины равно 1,166п~1/2 о (приблизительно). Оно несколько больше, чем среднее квадратическое отклонение выборочного среднего квадратического отклонения (приблизительно 0,71п-1о). Вообще для статистик вида ьдх^-х;)

с математическим ожиданием, равным о, наименьшая величина среднего квадратического отклонения (для больших /г) может быть получена при выборе г0,069п.

Рассуждения, аналогичные приведенным выше (см. случаи а и б) лежат в основе использования медианы вместо арифметического среднего.

Среди статистик вида

аг (^n-r+1 + X^)

с математическим ожиданием £ наименьшее значение среднего квадратического отклонения (при больших п) достигается при г 0,270 п.

Более высокую точность можно получить при использовании „усеченных средних" (trimmed means). В этом случае арифметическое среднее вычисляется после того, как отброшены г наибольших и г наименьших среди наблюдаемых значений. В принятых обозначениях усеченные средние могут быть представлены в виде

(п —2г)-1 2 ху

i-r+i

Свойства усеченных средних рассмотрены в работе [4]. (См, также [П].))

В табл. 6.3 (взятой из [4]) приведены отношения средних

Таблица 6. 3

Отношение средних квадратических отклонений для усеченных и обычных выборочных средних

1

2

3

4

5

6

7

3

1,16

4

1,09

5

1,07

1,20

6

1,05

1,14

7

1,04

1,11

1,21

8

1,03

1,09

1,16

9

1,03

1,07

1,13

1,22

10

1,03

1,06

1,И

1,18

И

1,02

1,06

1,10

1,15

1,23

12

1,02

1,05

1,09

1,13

1,19

13

1,02

1,05

1,08

1,12

1,16

1,23

14

1,02

1,04

1,07

1,11

1,15

1,20

15

1,02

1,04

1,07

1,10

1,13

1,17

1,23

квадратических отклонений для усеченных средних к соответствующим средним квадратическим отклонениям для обычного арифметического среднего (равным п*V х[дисперсия совокуп- ности]1/2) в предположении, что совокупность имеет нормальное распределение.

Если, например, среднее квадратическое отклонение совокупности равно о0, а выборка объема 8 преобразована путем отбрасывания наибольшего и наименьшего выборочных значений, то среднее квадратическое отклонение усеченного среднего равно

1,03 = О,36ао.

(Заметим, что диагональные члены соответствуют медианам выборок с нечетным числом элементов. Например, выбор и = 7, г = 3 приводит к 7—2-3= 1 наблюдению, которое и является медианой.)

Если о0 неизвестна, может возникнуть необходимость в получении оценки этой величины по данным для того, чтобы опре-

делить точность оценивания среднего значения. При использовании только усеченных средних значений (т. е. при отброшенных экстремальных значениях) необходимо принимать во внимание, как была получена оценка среднего. В табл. 6. 4. (взятой из [4])

Таблица 6. 4

Поправочные коэффициенты, на которые следует делить сумму квадратов для получения несмещенной оценки дисперсии совокупности (по усеченным данным)

XГ

п

1

2

3

4

5

6

4

0,301

5

0,719

6

1,22

0,144

7

1,79

0,375

8

2,40

0,679

0,0845

9

3,05

1,04

0,231

10

3,73

1,46

0,436

0,0555

11

4,44

1,92

0,692

0,157

12

5,18

2,42

0,996

0,256

0,0393

13

5,93

2,96

1,34

0,494

0,114

14

6,69

3,52

1,72

0,725

0,194

0,0293

15

7,47

4,11

2,14

0,993

0,372

0,0862

приведены поправочные коэффициенты, на которые необходимо разделить сумму квадратов отклонений от (усеченного) среднего значения, чтобы получить несмещенную оценку дисперсии По

следует отличать усеченные средние от средних значений, полученных после отбрасывания выделяющихся наблюдений (выбросов) (см. разд. 8. 3. 4). При вычислении усеченных средних общее число (2г) и относительные величины (г наибольших и г наименьших) наблюдений, которые не будут приниматься во внимание, определяются до анализа выборочных данных.

Усеченные средние используются для того, чтобы относительно малой ценой в смысле увеличения дисперсии выборочного среднего (как показано в табл. 6. 3) уменьшить влияние отклонений от нормальности, особенно на хвостах распределений совокупностей.

выборок составляет 3,4 единицы. Предполагается уменьшить объемы выборок до четырех элементов. Какие значения следует использовать в качестве 21/2-и 0,1-процентных пределов для раз- махов выборок при указанном уменьшении их объема?

Предположим, что в первой серии выборки имели достаточный объем для того, чтобы величину 3,4/2,5344= 1,34 можно было считать хорошей оценкой среднего квадратического отклонения (а) совокупности. (Знаменатель 2,5344 взят из табл. 3 приложения.) Среднее квадратическое отклонение среднего значения раз- махов в N выборках объема по шесть элементов каждая равно 0,8480 a/N, а среднее квадратическое отклонение оценки величины о* равно (0,8480/2,58441) oN”1^. что составляет 0,3346 х xaN"1^. Таким образом, при N, равном 25 и более, отношение среднего квадратического отклонения оценки о, найденной по среднему размаху выборки, к величине о не превышает 7%.

Положив о, равным 1,34, определим по табл. 3 верхнюю 21/2-процентную точку для размахов при объеме выборок 4:

1,34-3,98 = 5,33.

Верхняя 0,1-процентная точка равна 1,34-5,31 = 7,12.

Отметим, что второй и третий столбцы табл. 3 содержат соответственно средние значения и средние квадратические отклонения для размаха п взаимно независимых нормально распределенных случайных величин, обладающих одинаковыми средними значениями и средними квадратическими отклонениями, равными единице. Если каждая из величин имеет среднее квадратическое отклонение ах, то

Е (размаха) = [Значение в столбце (2)]-ох,о (размаха) = [Значение в столбце (3)]-ох.

Таким образом, [размах/значение из столбца (2)] оказывается несмещенной оценкой величины о^, которая имеет среднее квадратическое отклонение, равное [значение из столбца (3)/значение из столбца (2)] *ох. Среднее значение для N независимых оценок указанного типа равно [средний размах/значение из столбца (2)] при среднем квадратическом отклонении [значение из столбца (3)/значение из столбца (2)] • (Гу/К^У • Если ох оценивается путем усреднения по нескольким оценкам, то среднее квадратическое отклонение полученного среднего значения можно оценить следующим образом:

Значение из столбца (3) Средний размах

[Значение из столбца (2)]2 у^дГ

ЛИТЕРАТУРА

David Н. A., Order Statistics, Wiley, New York, 1970.

Dixon W. J., Massey F. J., Introduction to Statistical Analysis, 3rd Ed., McGraw-Hill, New York, 1969, Chapter 9.

Jones A. E., A Usefull Method for the Routine Estimation of Dispersion from Large Samples, Biomet rika, 33 (1946).

McLaughlin G., Tukey J. W., The Variance of Means of Symmetrically Trimmed Samples from Normal Populations, and its Estimation from Such Trimmed Samples, Technical Report No. 42, Statistical Techniques Research Group, Princeton University, 1961.

Nair K. R., Efficiencies of Certain Linear Systematic Statistics for Estimating Dispersion from Normal Samples, Biometrika, 37 (1950).

Pearson E. S., Comparison of Two Approximations to the Distribution of Range in Small Samples from Normal Populations, Biometrika, 39 (1952).

Pearson E. S., Hartley H. O., Biometrika Tables for Statisticians, Vol. 1, Cambridge University Press, 1968.

Pearson K. (Ed.), Tables of Incomplete „ Beta Function, 2nd. ed., Cambridge University Press, 1969.

Renyi A., On the Theory of Order Statistics, Acta Math, Acad. Sci. Hung, Budap., 4 (1953).

Sarhan A. E., Greenberg B. G. (Eds.), Contributions to Order Statistics, Wiley, New York, 1962, Chapters 2, 5, 7, 8, 10.

Tukey J. W., The Future of Data Analysis, Annals of Mathematical Statistics, 33 (1962).

Wilks S. S., Order Statistics, Bulletin of the American Mathematical Society, 54 (1948).

УПРАЖНЕНИЯ

При исследовании некоторой продукции с использованием последовательности выборок, содержащих пять элементов каждая, получены следующие размахи для каждой из них (в мм):

1,0

0,7

1,4

0,8

0,9

1,5

0,5

0,2

0,8

1,3

0,2

0,8

1,1

0,6

0,9

Получите несмещенную оценку величины о, предполагая, что наблюдения имеют нормальное распределение с неизменным средним квадратическим отклонением о.

Принято решение уменьшить объемы выборок до 4. Оцените пределы, за которые величина размаха выборок уменьшенного объема будет выходить не более, чем в 5% случаев.

Требуется оценить 50%-зону разброса снарядов при стрельбе в обычных условиях. Известны результаты 4V4-3 выстрелов, а 50%-зона определяется как диапазон между (М-|-1)-м среди наименьших и ^+1)-м среди наибольших из расстояний наблюдаемого разлета. Как велико должно быть N, чтобы вероятность того, что действительное число попаданий в зону, определенную таким образом, составляет от 40 до 60%, была бы не меньше 0,90?

Предположим, что при условиях, описанных в упражнении 2, проведено 55 измерений (V=13) и зафиксированы их результаты. Укажите, как найти такой интервал, чтобы не менее 50% снарядов падали вне этого интервала с вероятностью не менее 90%.

Используя табл. 3, вычислите среднее квадратическое отклонение несмещенных оценок среднего квадратического отклонения, полученных на основе размаха выборки из совокупности, имеющей нормальное распределение.

Дана случайная выборка объема 8 из совокупности, имеющей нормальное распределение. Нужно оценить среднее квадратическое отклонение совокупности. Предлагается сделать это одним из трех способов:

по размаху выборки;

по среднему значению размахов двух выборок, каждая объема 4, полученных путем случайного разбиения восьми выборочных значений на две выборки;

по среднему значению размахов четырех выборок, каждая объема 2, полученных случайным разбиением восьми выборочных значений.

Какой из этих способов обеспечивает наиболее точную оценку среднего квадратического отклонения для совокупности?

а) Получите приближенное выражение для дисперсии величины xk (^г+^п-г-и)> где Xi^^2^ . . . ^Хп являются упорядоченными членами случайной выборки объема п из совокупности, имеющей нормальное распределение с математическим ожиданием 5 и дисперсией а2.

Получите для достаточно большого п приближенную формулу, определяющую число г, минимизирующее дисперсию величины 1/2 (Х^+Х^-г-ц). (Заметим, что эта формула дает несмещенную оценку £, обладающую наименьшей дисперсией среди всех оценок, зависящих от двух порядковых статистик.)

Проведите исследование, аналогичное рассмотренному в упражнении 6, и найдите (приближенно) несмещенную оценку о, обладающую минимальной дисперсией, в виде с (Xn-r-vi — Х'г).

а) Используя соответствующие таблицы, определите оптимальный объем случайной выборки из совокупности, имеющей нормальное распределение, при оценивании среднего квадратического отклонения с помощью выборочного значения размаха.

Проведите аналогичное исследование в случае, когда совокупность имеет распределение вида

to(x) = 0-1exp [—(х—у)/6],6 > О, х > у*

Найдите распределения а) наименьшего и б) наибольшего значений среди п независимых непрерывных случайных величин, каждая из которых распределена в соответствии с законом

ру(х) = 2х0~2, О^х^О.

Найдите среднее значение размаха случайных выборок объема п из совокупности с указанным законом распределения.

а) Найдите распределение размаха выборки при условиях, описанных в упражнении 9.

Постройте таблицы процентных точек для распределения размаха выборки в виде сомножителей к величине среднего квадратического отклонения указанного распределения.

Хь Х2, ..., Хп—взаимно независимые случайные величины, имеющие одинаковые плотности вероятности. Покажите, что если Хп.г означает r-е по порядку сверху значение среди п случайных величин, то для любого а справедливо равенство

ЧЕ W"E №-1:,-i)]=M [^ kXan:r-d-E ^n".^-

Объясните, как можно использовать это уравнение при построении таблиц математического ожидания (и других моментов) порядковых статистик.

Найдите распределение медианы случайной величины X в выборках объема 2п+1 из совокупности, в которой половина элементов имеет распределение с плотностью вероятности

Рх W = Vs6 ~ ^/6»° < х»

а другая половина —с плотностью

(х) = 1/ве~‘х/в,0 < х.

Из большой партии случайным образом выбрано пять лампочек. Их сроки службы исследовались на пяти установках (одна лампочка на каждой установке). Четыре установки измеряют срок службы лампочек точно, а пятая (установка Зилча) завышает оценку этой характеристики на величину 0,1Х(срок службы).

Срок службы распределен по закону, весьма близкому к экспоненциальному со средним значением 0:

pT(t) = 9-Vt/6,0 < t.

Какова вероятность того, что установка Зилча покажет максимальный из пяти зафиксированных сроков службы лампочек?

Найдите распределение медианы для пяти наблюдений.

Из достаточно большой совокупности отобраны две независимые случайные выборки объема пх и п^ соответственно. Величина X измерялась для каждого из объектов указанных выборок. Запишите выражение для вероятности того, что значение с номером rv считая от максимального для первой выборки, превосходит соответствующее значение с номером г2 из второй выборки.

Почему эта вероятность не зависит от того, какую форму имеет распределение совокупности X?

а) Покажите, что для случайных выборок объема п из совокупности, имеющей нормальное распределение, размах и среднее между наибольшим и наименьшим значениями взаимно независимы.

Покажите на примере, что это выполняется не для всех симметричных распределений, хотя две эти статистики всегда некоррелированы. (Замечание: вероятно, это проще показать, если в качестве примера использовать дискретное распределение.)

X—дискретная случайная величина, принимающая значения 0, 1,

00

... с вероятностями Рй, Pv Р^ ...,; 2 Ру = 1. Хд, Х2, .... Х„ —взаимно j=0

независимые случайные величины, каждая из которых распределена как X.

Найдите выражение для распределения размаха выборки X.

Чтобы упростить это выражение, предлагается заменить X непрерывной случайной величиной, добавляя к ней У, причем величина Y равномерно распределена между 0 и 1 (Х+У является,-таким образом, непрерывной величиной). Оцените качественно соотношение распределений размахов выборок Хх, ..., Хп и Хх-|-Уп Хи-|-У„.

5i, S^ ..., 5^ —независимые случайные величины, каждая из которых распределена как 1/2о2х3 с двумя степенями свободы. Найдите распределения а) максимального значения среди 52, б) отношения наибольшего значения из 52 к наименьшему, в) отношения наибольшего значения из S2 к сумме всех S2.

К данным, приведенным в упражнении 17, добавляется случайная величина Sq, распределенная (независимо от остальных величин 52) как a2v-i^2 с v степенями свободы. Найдите распределение отношения наибольшей из величин Si, S^ ..., 5| к Sq.

Покажите, что величины

Y^St/T. Y2 = (Sl+Sl)/T, .... Yk_x = I^.

имеют такое же совместное распределение, как и порядковые статистики для случайной выборки объема (k — 1) из совокупности с равномерным распреде- k

лением, если 7=^5/, aS?, ..., S& распределены так же, как в упраж- / = 1

нении 17.

Описанный ниже критерий был предложен для обнаружения асимметрии. Он используется в случаях, когда можно ожидать, что (симметричная) плотность вероятности совокупности имеет вид /(х).

По случайной выборке Хх, Х2, ..., Хп вычисляются значения У( =

Х1

= f ^ dx. Пусть К1 < У2 < • • • <Yn представляют собой расположенные

— со

в порядке возрастания величины Fi, Y^ ..., Yn.

Вычислим отношение

Верхний квартиль величин У-|-Нижний квартиль величин Y— 2 (Медиана У) Верхний квартиль величин Y— Нижний квартиль величин Y

При n = 4m + 3 (т— целое число) это выражение можно переписать как

Fm+iH~ Y з/п+з — 2Y 2/п+2

Yam гз Утц-1

Найдите распределение величины S, предполагая, что f (х)— плотность вероятности для совокупности. Покажите, как вычислять критические точки для 5.

Хъ Х2, ..., Хп — независимые случайные величины, каждая из которых имеет двойное экспоненциальное распределение

Ру (х) = V2 ехР (— |х|).

Покажите, что дисперсия медианы X (при л = 2т+1, где т—целое число) равна

т

(2m+1)! £ (_ 1)У [^ , (т_п , (m+/+ Dej-i.

/=0

Сравните этот результат с приближенной величиной дисперсии медианы, задаваемой выражением (6.15).

Случайная выборка объема 5 извлечена из совокупности, имеющей нормальное распределение с математическим ожиданием 5 и средним квадратическим отклонением 2. Первое из полученных значений равно 4,2. Какова вероятность того, что оно является медианой выборки?

Случайная выборка объема п включает значения х' < х' < ... < х'п непрерывной случайной величины X [с плотностью вероятности / (х)]. Для оценивания среднего значения совокупности предлагается использовать статистику

r^n-i р<+х;+1+.. .+*;_,+rx;_r+i]-

Получите в общем виде приближенное выражение для дисперсии величины Тг.

Предполагая, что величина X распределена по нормированному нормальному закону, получите какие-нибудь числовые результаты по построенной вами приближенной формуле.

Кусок радиоактивного вещества излучает а-частицы случайно во времени при средней скорости излучения т частиц в секунду. Измерительный прибор фиксирует каждую излученную частицу, кроме тех частиц, которые

c-mT^ ^ГNc-mT^ ^ГN(N—Y^dANТ ](N—Y^dANТ ]излучались в течение d секунд после последней зарегистрированной частицы („мертвое время11 прибора). Покажите, что вероятность того, что прибор зафиксирует все частицы, излученные за Т секунд (в предположении, что в течение d секунд, предшествующих началу периода измерения, частицы не излучались), равна

c-mT^ ^ГN

c-mT^ ^ГN

(N—Y^dAN

Т ]

(N—Y^dAN

Т ]

где суммирование должно проводиться от ^ = 0 до ^, равного целой части величины T/d (Институт статистических исследований, 1953 г.).

Замечание: вероятность того, что N частиц излучается за Т секунд, равна e~mT (mT)NIN !. Следовательно, необходимо показать, что

Рг [по крайней мере, d секунд проходит между последовательными г —nd 1 л/

моментами излучения ] #] = 1 —-—=

Глава 7

ОЦЕНИВАНИЕ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

ВВЕДЕНИЕ

В предыдущих главах был рассмотрен ряд методов, полезных при проведении конкретных статистических исследований, но не делалось попыток систематизировать эти методы в рамках единого подхода к решению статистических проблем. В этой главе делается такая попытка. Для успешного анализа. результатов исследования необходимо обладать весьма полной информацией об условиях (обстоятельствах), при которых оно проводилось. Эта информация включает затраты, связанные с реализацией каждого из допустимых способов извлечения выборки и каждой из возможных линий поведения (последовательности этапов исследования) при справедливости любой из рассматриваемых гипотез. В нее также входят априорные вероятности всех гипотез. Такая обширная информация, особенно связанная с последним замечанием, довольно редко оказывается в распоряжении исследователя. Часто ему удается получить только некоторую часть этой информации. Например, информация, касающаяся соотношения первоначальной стоимости извлечения выборки (на каждый добавочный опыт) к стоимости ошибки в оценке среднего, грубо может быть отражена в увеличении доли объектов, не отвечающих заданным требованиям. Или же можно располагать информацией о том, что априорная вероятность дефекта для некоторого механизма находится скорее всего в пределах 1—5%, а не в диапазоне 5—10%, хотя точное распределение априорных вероятностей дефектов и неизвестно.

Гл. И является введением в общую теорию решений, использование которой возможно при наличии исчерпывающей информации указанного выше типа. Хотя не так уж часто представляется возможность применять эту теорию в общем виде, все-таки полезно уметь распознавать природу используемой информации. При глубоком изучении общей теории решений появляется возможность распознать ситуацию и применить при принятии решения информацию нестандартного типа, которая предоставляется в распоряжение исследователя.

Как правило, статистическое исследование полезно начинать с наиболее пессимистических предположений, сводящихся к тому, что п зявление специфической информации является весьма мало-

вероятным событием, и выбирать такие статистические методы, чтобы для их применения требовалось как можно меньше добавочной информации. В связи с этим представляется удобным разделить основные проблемы статистического исследования на два класса: оценивание и проверка гипотез. Основной задачей при оценивании является получение наилучших среди возможных оценок значений одного или нескольких параметров. Проверка гипотез охватывает методы, использующие выборочные данные для проверки предположений (гипотез) относительно совокупности, , сделанных до знакомства с выборкой, по которой будут проверяться эти предположения. Очевидно, что такое разграничение является произвольным, поэтому возможно некоторое перекрытие между указанными классами. Эти классы входят как часть в общую теорию статистических решений. Наконец, достаточно часто в распоряжении исследователя оказывается добавочная информация, которую иногда удается использовать для модификации стандартных методов.

ТОЧЕЧНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ

Оценивание. Термин „оценивание" относится к классу статистических методов, которые используются с целью получения представления о значении одного или нескольких параметров с максимально возможной точностью. При этом на основании исходных данных либо получают определенные значения, иначе говоря точечные оценки, которые стремятся максимально приблизить к значениям соответствующих параметров, либо вычисляют граничные значения, между которыми с большой вероятностью должны находиться значения параметров. Сначала будет рассмотрено точечное оценивание, а затем второй метод —построение доверительных интервалов.

С точки зрения общей теории решений точечное оценивание является процедурой, в результате которой мы „решаем", какую величину 9 следует принять в качестве оценки для 6. Функция потерь W (9, 9) является функцией от 9 и 9. Очень часто функцию W (9, 9) выбирают так, чтобы она зависела только от ошибки оценки (9 — 9). Нередко функция 1Г(9, 9) бывает связана только с абсолютным значением |9—9|.

Наиболее широкое применение находит критерий, в котором функция W(9, 9) пропорциональна (9—6)2. Точечная оценка, минимизирующая математическое ожидание величины (8 —9)2, называется оценкой наименьших квадратов. Поскольку распределение величины (9 —9)2 зависит от 9, то очевидно, что полу-

ченная методом наименьших квадратов оценка, которая минимизирует

£ [(9 — О)210],

в общем случае также зависит от 6. Так как мы не знаем значения 6 (иначе не было бы необходимости его оценивать), то построить оценку 9 также невозможно.

При наличии априорной информации о распределении 0 появляется возможность обойти указанную трудность путем усреднения по 0 и отыскания такой оценки 9, которая минимизирует

£{Е[(9-9р|9]}.

Когда 9, 9 —• непрерывные случайные величины, то рассмотренное выше выражение может быть переписано в виде

^ р0 (i) $ (f— typtAt^dt dt.

— 00 L - 00

Несмотря на то что критерий наименьших квадратов широко используется, это ни в коей мере не означает, что только его всегда следует применять. Часто более подходящими оказываются оценки, минимизирующие абсолютные значения ошибок, т. е. выражение

£[|9-9||9]

или

£{£[|9-9||9]}.

Однако математический анализ при таком методе оценивания чрезвычайно громоздкий.

Требование другого рода, предъявляемое к оценкам, состоит в том, что оценки должны быть несмещенными. Это означает, что математическое ожидание оценки 9 должно совпадать со значением 9, т. е.

£(0|9)=9.(7.1)

Пример 7.1. а) Если Xv Xv .... Х„ — случайные величины с одинаковыми средними значениями, то X = 2 Х^п является £ = 1 несмещенной оценкой величины р независимо от того, являются ли X независимыми величинами, и даже в том случае, когда они имеют различные распределения (при условии, однако, что Е (Х^) = р при всех /).

Известно, что для любого распределения [см. (3.51)]

Е<Х^Е<Х\

Для нормального распределения £(Х)^ц. Следовательно, X является несмещенной оценкой р, поскольку

Е<Х^ = Е (н) = и-

Наработки до отказа восьми элементов, выраженные в часах, равны: 10,8; 15,7; 12,0; 9,2; 13,2; 11,6; 10,4; 12,7. Предполагая, что наработки до отказа всех элементов имеют одно и то же распределение, получим несмещенную оценку средней наработки элемента до отказа. Вычислим среднее арифметическое

V8 [Ю,8 + 15,7 + • • • + 12,7] - 11,95.

Существуют, конечно, и другие несмещенные оценки, которые в отдельных случаях окажутся более точными, чем арифметическое среднее. Однако ранее было показано, что арифметическое среднее при рассмотренных условиях всегда является несмещенной оценкой.

Требование несмещенности кажется естественным, хотя с точки зрения общей теории оно оказывается не столь уж важным, как может показаться. Только в очень редких случаях функция потерь W (б, 0) имеет вид, который приводит к несмещенности как к обязательному свойству оценки б. Тем не менее на самом деле этому условию обычно придается важное значение, и оно часто фигурирует в требованиях к оценке. Это означает, что мы в первую очередь ограничиваемся рассмотрением только несмещенных оценок (б), а затем уже пытаемся минимизировать £[IF(0, 0)|О] на указанном ограниченном классе оценок.

Выбор функции W (0, 0), пропорциональной величине (0 — 0)2, означает, что мы пытаемся минимизировать дисперсию оценки 0. При этом в действительности производится поиск несмещенных оценок с наименьшей дисперсией. Если имеется (что очень желательно) единственная оценка 0 этого типа для всех значений 0, то ее называют несмещенной оценкой с равномерно наименьшей дисперсией. В некоторых случаях такие оценки можно найти методом, разработанным Блэкуэллом [Blackwell D., Conditional Expectation and Unbiased Sequential Estimation, Annals of Mathematical Statistics, 18 (1947)].

Предположим, что совместное распределение случайных величин Хх, Х2, ..., Х^ зависит от параметра 0 и требуется найти несмещенную оценку параметра 0 с равномерно наименьшей дисперсией. Для этого необходимо иметь такую статистику Т,

чтобы распределения величин Хх, Х2, ..., Хп при заданном Т не зависели от 0. В этом случае Т называют достаточной статистикой для 0. Предположим теперь, что Y является статистикой (т. е. функцией от X), которая представляет собой несмещенную оценку 0, т. е. £(У) = 0. Тогда Z = E (Y\T) также оказывается несмещенной оценкой 0, поскольку E(Z) = E^E(Y\T3 = = Е (У) = 0. При этом

Var (У) - Е [(У - 0)2] = Е {[У - Z) + (Z - 0)]^.

Далее,

Е [(Y-Z) (Z-0)] - Е {£ [У -Z) (Z-0) 17]}.

Поскольку Z зависит только от статистики Т, в выражении Е[(У —Z) (Z —6) | Т]

Z является константой. При этом имеем (Z —0){£(У |7) —Z} = 0, так как Z = Е (У 17). Отсюда следует, что Var (У) — Е [(У — Z)2] + + Var(Z) и Var (У) ^ Var (Z). Иначе говоря, задавая некоторую несмещенную оценку У параметра 0, можно, вычисляя £(У|7), получить функцию достаточной статистики 7, которая также оказывается несмещенной оценкой параметра 0, а ее дисперсия не превышает дисперсии оценки У.

Таким образом, несмещенную оценку с равномерно наименьшей дисперсией всегда можно найти в виде функции достаточной статистики (если последняя существует). Теперь (путем исследования корреляции между двумя оценками такого типа) можно показать, что рассмотренная оценка действительно единственная. Если отсутствует функция от 7 (не равная тождественно нулю), имеющая математическое ожидание 0, то величина Z = Е (У 17) является искомой оценкой. Итак, выше дан метод нахождения оценок в случае, когда существует достаточная статистика.

Пример 7.2. Хх, Х2, ..., Х„ — независимые случайные величины, каждая из которых распределена по закону Пуассона со средним значением 0. Требуется найти несмещенную оценку с равномерно наименьшей дисперсией для величины еЛ представляющей собой вероятность того, что наблюдаемое значение равно 0.

Совместная функция распределения вероятностей имеет вид

Рхг ..., хп (^1» xvРхг ..., хп (^1» xvХ^ = И е1 — 1 LХ^ = И е1 — 1 Le^i Xi Ie^i Xi Iп- s e-n6 0 <-!п- s e-n6 0 <-!пПх-1 (=1пПх-1 (=1

Рхг ..., хп (^1» xv

Рхг ..., хп (^1» xv

Х^ = И е1 — 1 L

Х^ = И е1 — 1 L

e^i Xi I

e^i Xi I

п

- s e-n6 0 <-!

п

- s e-n6 0 <-!

п

Пх-1 (=1

п

Пх-1 (=1

п

Сумма 2 xi распределена по закону Пуассона с математиче- 1—1

ским ожиданием пО (см. упражнение 34 гл. 4), поэтому

п

(

п \- X хи/ п \

2 Xi = е~п6(п0) ‘=1 7(Sx<h,(7.2)

' \l= 1/

где 2xi = 0> 1> 2, ..., а условная функция распределения вероятностей не зависит от величины 6, поскольку в силу (3.7)

Таким образом, 2 Х{ представляет собой достаточную статис- п

тику для 6. Величина 2 ^t имеет распределение Пуассона со

средним значением л9, и выполнение для всех 0 условия

пi=0пi=0WitWit00

п

i=0

п

i=0

Wit

Wit

0

0

возможно только, если g(j) = O при любом j.

Совместное распределение (7.2) представляет собой полиномиальное распределение с элементарными вероятностями п-1, л*1, ..., п*1. Величина Хх, следовательно, имеет (условное) п

биномиальное распределение с параметрами 2 -^/> л-1. Величина

/1 при Х^О,to при Хг=1

имеет математическое ожидание е ®. Теперь, используя теорему Блэкуэлла, вычислим

ЕЕ(п1=1(п1=1п2 х{-1У=1 ,п2 х{-1У=1 ,

Е

Е

(п

1=1

(п

1=1

п

2 х{

-1У=1 ,

п

2 х{

-1У=1 ,

Дисперсия полученной оценки равна

£ [(1 —п-1)2 2 Х'] — е~2е = е~26 (в9/" — 1) (см. упражнение 44 из гл. 4).

ОЦЕНИВАНИЕ МЕТОДОМ МАКСИМАЛЬНОГОПРАВДОПОДОБИЯ

Метод максимального правдоподобия представляет значительный интерес. Оценки, полученные этим методом на основании случайных выборок из совокупностей с неизменными характеристиками, при самых общих условиях и достаточно больших выборках обладают желаемыми свойствами. Они являются почти несмещенными, имеют нормальное распределение и, кроме того, среди всех оценок с аналогичными свойствами при больших выборках обеспечивают наименьшее значение величины [(объем выборки) х (дисперсия)]. Необходимо отметить, что все сказанное имеет отношение только к асимптотическим свойствам и может не выполняться для выборок конечного объема.

Функция плотности вероятности (для непрерывных случайных величин) и функция распределения вероятностей (для дискретных случайных величин) зависят не только от значений (хп ..., ..., х„), которые принимают случайные величины (Хп ..., Х„), но и от значений параметров 0V 02, ..., 05. Эти функции, рассматриваемые как функции от параметров при фиксированных выборочных значениях случайных величин, называются функциями правдоподобия, относящимися к данной выборке.

Оценки О^мп, 9s, мп параметров 0lt 02, ..., 05, построенные по выборочным значениям случайных величин и максимизирующие функцию правдоподобия, называются оценками максимального правдоподобия. В большинстве случаев (но не всегда) для выбранных значений параметров 0 имеется только одно множество оценок такого типа, и, следовательно, 01( мп, • • •, 6S, мп определены однозначно. В этой книге везде предполагается, что последнее утверждение справедливо.

Рассмотрим теперь более подробно свойства оценок при больших выборках, упоминавшиеся в первом разделе. Предположим, что требуется оценивать только один параметр 0.

Если Хп Х2, ..., Хп — независимые случайные величины, обладающие одинаковыми функциями распределения с параметрами 0, то оценки 0мп максимизируют п

ЦХи Х2Х„|9) = П/(Х,|в).(7.3)

L = I

Тогда при самых общих условиях, наиболее важным из которых является независимость от величины 0 граничных значений области, в пределах которой /(х|0)>О, оценки 0Мп обладают следующими свойствами:

iim £’(0мп|6)^6, поэтому 9Мп является асимптотически П -*• 00

несмещенной оценкой 0;(7.4)

^^(бмп —6) имеет асимптотически нормальное распределение при п—юо;

hm пУаг(емп) = — £ ^-1 -) I ;

d2 In / (X | в)дв2d2 In / (X | в)дв2для всех оценок 6, которые являются несмещенными и распределены по асимптотически нормальному закону [т. е. таких, как 6МП, обладающих свойствами 1) и 2)],

d2 In / (X | в)дв2

d2 In / (X | в)дв2

lim п Var (9) ^— f

Л —► 00L

Последнее условие означает, что при достаточно большом объеме выборок оценки 9МП по крайней мере не хуже большинства других оценок параметров 0. Однако в общем случае нет гарантий, что указанное преимущество оценок 5МП по сравнению с другими оценками сохранится и для конечных выборок. Очевидно, что в любой практической ситуации очень важно иметь некоторое представление о том, как велико должо быть п для того, чтобы оценки 9МП были не хуже любых других оценок. Получить такую информацию удается не всегда, но тем не менее известно, что оценка максимального правдоподобия обычно является по крайней мере хорошим начальным приближением искомой оценки.

Легко заметить, что если Т является достаточной статистикой, то

ЦХц ...,X„|0) = /(T|9)g(X1, Х„) (7.5)

и 9Мп зависит только от Т. В этом случае 5МП обладает определенными оптимальными свойствами даже при выборках малого объема. Во всех же остальных случаях нужно четко представлять себе, что основные достоинства оценок максимального правдоподобия проявляются в выборках большого объема, и оценки любого другого типа могут успешно конкурировать с указанными оценками, если они обладают теми же свойствами при больших выборках.

Пример 7.3. Чтобы найти оценку максимального правдоподобия параметра 9, имеющего нормальное распределение N (9, о) с известным значением о, используя при этом случайную выборку X, ..., Хп, взятую из совокупности с распределением N (9, ст),

запишем сначала следующую функцию правдоподобия:

/(X,.,Х„|0)=Прх,.(^|О)=

= (2л)-"/2 а~" ехр= (2л)-"/2 а~" ехрп^£№-9)’ ■п^£№-9)’ ■

= (2л)-"/2 а~" ехр

= (2л)-"/2 а~" ехр

п

^£№-9)’ ■

п

^£№-9)’ ■

Часто оказывается, что проще прологарифмировать l(Xv ... ..., Хп 19) и найти максимум полученной функции относительно 9. Воспользовавшись натуральными логарифмами, получим

lnZ(Xx, . ... XJ9) = —|ln(2n)-nln<T-£(Xz-e)W, откуда

A [In / (Xv ..., XJ 9)] = -2 £ (Xz -9)/2o2. I

Полагая обе части уравнения равными нулю и разрешая его относительно 9, приходим к

бмп — я-12 Xt = X.

Пример 7.4. Рассмотрим ситуацию, описанную в примере 6.2. Предположим, что требуется оценить параметр X методом максимального правдоподобия, используя при этом к наименьших среди п выборочных значений величины X, обозначаемых как XL XL XL

Совместная плотность вероятности для XL XL ..., Хи имеет вид

r.W. 4*9-5СТВГ[Д<*«-х';>]

й-1

где yk~ 2 x'j-V(n — ^ + 1)%L как и в примере 6.2. Частная про- j = i

изводная функции р по X равна

"5к=Рхр .... х^^1* ^2’^) [^ 1 У кА*

Приравнивая ее нулю, находим Х~куйг^ Можно показать, что это значение X действительно максимизирует функцию Рх* xrk^x^ х^ X^V П0ЭТ0МУ оценка максимального правдоподобия параметра X записывается в виде

Х — кУй1.

В примере 6.2 было показано, что величина Yk распределена как (2Х)“гх(х2 с 2& степенями свободы), а X распределена как 2Х6/Х2Й, так что

Г 2Х&„ г 2Хй * .

Pr I —< Л < — Л = 1 — а.

L X2ft, 1-*/«аХай,‘/z®

Последнее уравнение можно использовать для построения 100(1 —а)%-го доверительного интервала для параметра X.

Метод максимального правдоподобия можно распространить на множество случаев, когда требуется оценить ^(^2) параметров. Найдем значения параметров, при которых функция правдоподобия ЦХИ Xv ..., Х»^, 92.6й) достигает максимума.

В случае, когда наблюдения представляют собой независимые одинаково распределенные случайные величины, предел, к которому стремится пх (матрица дисперсий и ковариаций), представляет собой (при некоторых вполне разумных условиях) матрицу, обратную матрице, элемент которой, стоящий на пересечении строки г и столбца с, имеет вид

n pa2 in z (X10!ей) ■]

£ [ дб> dec J ’

где г, с = 1, 2, ..., k, a Z(X10Г, ..., 0е)—функция правдоподобия для единичного наблюдения. Так, при й = 2 имеем

lim nVar^, Мп) = п №lim nVar^, Мп) = п №(7.6)(7.6)

lim nVar^, Мп) = п №

lim nVar^, Мп) = п №

(7.6)

(7.6)

Нт (корреляции между б^мп и 92 МП) =

Пример 7.5. Рассмотрим, как можно вычислить оценки максимального правдоподобия для параметров двойного экспоненциального распределения (называемого также распределением Лапласа^, обладающего плотностью вероятности

рх (х) = (20,)-1 ехр [■=Ц^-]. ° < 62-(7-8)

Если Xv Х2, ..., Хп — независимые случайные величины, каждая из которых имеет плотность вероятности (7.8), то функ-

цня правдоподобия выражается в виде

п

'№, ...» Х^ = (20,)*”exp -6г1 2 IXj-0гI ,

откуда

1п/(хп хл)=-п1п(202)-еа-15 [x.—ej./=i

При любом значении параметра 02 оценка максимального правдоподобия 0Х для параметра 0, может быть получена путем мини- п

мизации 2 |Х, — О,] по 6,. При нечетном п оценка 0, совпадает /=1

с медианой множества Xr, X,. ..., Хп. При четном п оценка 0, может равняться любому из значений, заключенных между порядковыми статистиками Xi/,n-i и Х1/2П.

Оценка максимального правдоподобия 0, параметра 0„ удовлетворяющая уравнению

1*221=0

50 2 Ь1=6,*

имеет вид

т. е. она равна средней величине отклонения от 61.

Пример 7.6. Рассмотрим особый, но очень важный случай, когда 0j ярляется параметром положения, а 63 —параметром масштаба. Функция правдоподобия в этом случае имеет вид

Z(Xn .... Х„|01,е,) = 02-^(^, Ы),

где £(•) — явная функция. [Отметим, что формула (7.8) представляет собой .особый случай.]

Легко показать, что совместное распределение [(Ху —0ю)/02О] (/ = 1, ..., га) не зависит от 016 и 0,е, когда 01о и 02О — истинные значения параметров.

Статистиками 01,мп и 62>мп являются значения параметров 0, и 02, максимизирующие выражение

ft-n„( Х>—01Х„— 0г \

2 5 к”еГ-0Т

__ 1 /■бге кп а(-^1—®ю640 01—®юХ„—Pip028 _01 — 0ю\

е& к 02 / к $200202’’02002®2 /

Следовательно, §2.мп/9ао и (91,мп — ®ю)Д,мп являются функциями от {(Ху—6M)/0M[ (/ = 1, 2, ..., га), а их совместное распределе-

ние не зависит от 01о или 02О. То же самое справедливо для распределения величин (01,мп — 6ю)Ао-

Эти результаты в силу их общности весьма важны. В частности, при нормальном распределении, когда

/ (X 10!, 02) = (02 /2л) ■1 ехр {—Va [(* — 91)/еа]а}.

п

оказывается,оказывается,ЧТО 01 мп = п-1 2 Xt = X (ср. с примером 7.2) и

оказывается,

оказывается,

п — I1/2

$2, МП —$2, МП —п-15№-х)»

$2, МП —

$2, МП —

i = 1J

В этом случае (01,мп — 0ю)/02о имеет распределение N (0,1), а отношение 02,мп/02о распределено как xn-JV п.

Возможности применения этих результатов при других распределениях рассмотрены в разд. 7.7.

Пример 7.7. Метод максимального правдоподобия не всегда удается применить даже в достаточно простых ситуациях.

Предположим, что величины Xv Х2, ..., Х„ взаимно независимы и каждая распределена как сумма двух случайных величин, имеющих нормальное распределение с плотностью вероятности

f (х) = со—=L—ехр Г—1/2 (^VVI +

1 v '/2л 01 L \ ^1 / J

+(1-a)7S^7expL-1/ Г

Тогда

/(Х1,.... Х„)=ПГ(ХД

/ = 1

Далее, если положить g^X, для некоторого t(=l, . ...п), то

f ^Х^ > (1 —to) (/^aj"1 ехр [-1/2 (^^"/j

при j^i.

Таким образом,

/ > (2л)-”/г to(l — <»)”-1аг1о2-<"~1>ехр[—1/2 £ (—^—-

I i*ix 2

и при выборе достаточно малой величины Oj можно получить сколь угодно большое значение /. Следовательно, такого мно-

жества значений co, Of, а2, ^ и |2, которые обеспечивали бы максимальную величину /, не существует.

Аналогичные рассуждения остаются в силе даже в том случае, когда можно предположить, что о1=а2.

При построении оценок параметра 9 можно различными способами использовать апостериорное распределение этого параметра. Оценки такого типа иногда называются байесовскими оценками.

В общем случае в качестве оценки параметра 0 можно брать моду его апостериорного распределения. (В частности, при равномерном распределении параметра 0 такой способ, как было показано выше, приводит к оценке максимального правдоподобия.) Другая возможность — это вычисление математического ожидания или медианы апостериорного распределения.

Апостериорное распределение можно также применять и для получения границ, в которых с известной вероятностью, скажем 1—е, должно лежать значение параметра 0. Эти границы вЛ^п А„), 0i/№, • AJ подбираются таким образом, чтобы

Рг[0£<0<0у|Х1Х„] = 1-е.(7.9)

Когда существует апостериорная плотность вероятности параметра 0, должно быть справедливо уравнение

$ p»^t\Xv .... Х„)Л = 1-в.

Ч

ОЦЕНИВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ

Для того чтобы можно было с уверенностью применять точечные оценки даже в том случае, когда они вычислены по наилучшим из возможных формул, требуется некоторая добавочная информация. Необходимо знать, по крайней мере приближенно, величину ошибок оценивания, т. е. конкретное значение разности (0—0). Часто эту величину удается получить в виде (оцененного) среднего квадратического отклонения искомой оценки или в более общем случае в виде корня квадратного из среднего квадрата ее ошибки. Если оценка 0 не смещена и имеет приближенно нормальное распределение, то можно утверждать, что

Рг |0 Wi-a^Cg < 0 < 0 + «1-а/гО|®J ~ 1 —а» (7»Ю)

где

Ф (^1 -а/2) ^U ” 1 g" ’

а а^ является средним квадратическим отклонением оценки 9. Неравенства

9—U!-a/2Og < 9 < в + ^х-а/г0^можно преобразовать так, чтобы они оказались записаннымиотносительно значения параметра 0:

Рг[6 —^-а/гОд < 6 < е + «1-а/аО§ 19] « 1—«•(7.11)

Необходимо четко отличать это выражение от (7.9)1). Фор- мула (7.11) представляет собой запись доверительного интервала и означает, что если вычислить 0±Ui-a/aag ранее описанным методом, то фиксированное значение 0 попадает между этими границами (примерно) в 100(1—а)% случаев. При этом не следует считать, что параметр 9 имеет распределение, скажем р^Г), где 0-—непрерывная случайная величина, для которой

® + Ul-a/2ff0

f p^dt^ 1—a.

Правильная точка зрения на концепцию доверительных интервалов отражена в следующих словах одного статистика, работающего в промышленности: „Доверительный интервал и связанные с ним понятия похожи на то, с чем мы сталкиваемся при игре с набрасыванием подковы на кол. Кол здесь играет роль проверяемого параметра (его положение никогда не изменяется вопреки ошибочным представлениям некоторых спортсменов). Подкова выступает в роли доверительного интервала. Если при 100 бросаниях подковы удается в среднем 90 раз набросить ее на кол, то имеется 90%-ная гарантия (или уровень доверия) набросить подкову на кол. Доверительный интервал, подобно подкове, изменяет свое положение. Параметр же, подобно положению кола, остается неизменным. При любом броске (или при построении некоторой интервальной оценки) кол (или параметр) может как попасть внутрь подковы (интервала), так и оказаться

11 Существует три подхода к проблеме интервального оценивания: доверительно-интервальный, байесовский (эти подходы рассмотрены выше) и фиду- циальный. Полезное описание и сопоставление этих подходов содержится в книге: Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Статистические выводы и связи.—М.: Наука, 1973; См. также: Климов Г. П. Фидуциальный подход в статистике.— М.1 Изд-во МГУ, 1970.— Прим. ред.

вне ее. Таким образом, делаются вероятностные утверждения относительно переменных величин, характеризующих положение подковьГ.

Формально доверительный интервал для параметра 6 определяется следующим образом. Интервал [^(Хп ..., Х^, вя(Хп ..., XJ] является доверительным для 9, если

РгРИХх, .... Х„)<9<ея(Х1,Х„)|е]=1—а (7.12)

при любом 6. Величина 1 — а называется доверительной вероятностью.

Очевидно, что для практического применения это определение должно быть дополнено некоторыми соображениями. Действительно, при оценивании, например, среднего квадратического отклонения в совокупности можно было бы выбрать границы вЛХ^ ...» XJ —0; 9Н (Хх, ..., XJ —оо (независимо от конкретных значений X) и получить доверительный интервал

0 < о < ОО,

имеющий 100%-ную доверительную вероятность. Хотя в этом случае мы всегда были бы правы, никакой пользы извлечь отсюда не удалось бы, так как наши знания о значении о не возросли. Вообще говоря, нужно стремиться к тому, чтобы доверительный интервал был как можно более узким. Мы не будем здесь заниматься интерпретацией понятия „узость”, отметим только, что доверительные интервалы, которые рассматриваются ниже и сведены в табл. 7.1, следует считать одними из лучших при оценивании по случайным выборкам из нормально распределенных совокупностей.

Методика построения доверительного интервала сводится по существу к

получению вероятностного утверждения, включающего оцениваемые параметры;

преобразованию утверждения к виду неравенства относительно искомого параметра (или параметров).

Предположим, например, что требуется оценить среднее значение параметра 6 совокупности, имеющей нормальное распределение, при неизвестном значении дисперсии. Если Xv Х^ .... Хп представляют собой выборку случайных наблюдений объема п, то [из (5.55)] известно, что случайная величина

У"п (X—е)

где

х=«-* 2 х,.,1=1х=«-* 2 х,.,1=1s2=(«—i)-1S (Х—ху,i= 1s2=(«—i)-1S (Х—ху,i= 1

х=«-* 2 х,.,1=1

х=«-* 2 х,.,1=1

s2=(«—i)-1S (Х—ху,i= 1

s2=(«—i)-1S (Х—ху,i= 1

распределена как tn_v Следовательно,

SS^л-1, 1-а/з|9 — 1—а*^л-1, 1-а/з|9 — 1—а*

S

S

^л-1, 1-а/з|9 — 1—а*

^л-1, 1-а/з|9 — 1—а*

Неравенства в этом выражении могут быть переписаны в виде

^л-1, 1-а/2 $^л-1, 1-а/2 $^л-i, i-g/2 $^л-i, i-g/2 $

^л-1, 1-а/2 $

^л-1, 1-а/2 $

^л-i, i-g/2 $

^л-i, i-g/2 $

Следовательно, равенства

№.....x.^x-^Stil

и

е„№х^х+^-у^

V »

задают доверительный интервал со 100(1—а) %-ной доверительной вероятностью, или, короче: 100(1—а)%-ный доверительный интервал для 0.

Пример 7.8. Предположим, что требуется оценить разницу между средними значениями двух совокупностей, имеющих нормальное распределение, полагая при этом, что дисперсии обеих совокупностей равны о2. Обозначим среднее в первой совокупности через рп а во второй — через р2. Если Хи, Х12, ..., Х1П1 — выборка случайных наблюдений объема nf из первой совокупности, a X2i, Х22, .. .,Х2Па—случайная выборка объема п2 из второй совокупности, то случайная величина

(^1 — Р-1)— (-^2 — Нг)

Sp 1/

Р Г П! 1 п2

распределена как /„,-„,-2. Здесь Xj и Х2—средние арифметические значения для выборок из первой и второй совокупностей соответственно, a Sp—объединенная оценка дисперсии (о2), одинаковой для обеих совокупностей (см. разд. 8.5.2). Величина Sp вычисляется по формуле

ег (Л1-1)^+(п2-1)52

РЛ14~^2 — 2*

где Si и S|—оценки о2, полученные раздельно по каждой выборке.

Следовательно, можно утверждать, что

Рг ^Л1+л8-2, 1-а/2Рг ^Л1+л8-2, 1-а/2^1 — ^2 — (Р1 — Иг)^1 — ^2 — (Р1 — Иг)= 1—а.= 1—а.^Л^Лг-З, 1-а/2 | Hi»^Л^Лг-З, 1-а/2 | Hi»^2^2

Рг ^Л1+л8-2, 1-а/2

Рг ^Л1+л8-2, 1-а/2

^1 — ^2 — (Р1 — Иг)

^1 — ^2 — (Р1 — Иг)

= 1—а.

= 1—а.

^Л^Лг-З, 1-а/2 | Hi»

^Л^Лг-З, 1-а/2 | Hi»

^2

^2

Неравенства в квадратных скобках могут быть преобразованы так, чтобы получился 100(1 — а)%-ный доверительный интервал для Их — щ:

^1 — ^2— ^ni + n2-2, 1 -ot/sSp ]/ l//li Н- 1/^2 < f^i На < <х1-х2+/П1+ П2-2, 1-а/2 5,К l/«i + 1/п2.

Это неравенство приведено в четвертой строке табл. 7.1. Отметим, что /а/а = —/1-а/а в силу симметрии ^-распределения относительно ^ = 0.

Предположим теперь, например, что обработка данных, относящихся к случайным выборкам из совокупностей А и В, дает результаты, приведенные в табл. 7.2. Тогда

Совокупность

Выборочное среднее

Выборочная дисперсия

Объем выборки

А

12,6

10 ,-02

9

в

3,9

16,08

7

_ 8 (10,02) +6 (16,08) _ , 9 fi9 йр 9 + 7_212,с>21

Таблица 7.2

Выборки из двух совокупностей

95%-ный доверительный интервал для величины рл—рв имеет вид

12,6—8,9—2,1451^1^62(1/94-1/7)1/2 <

следующемуследующему< Ид—Ра < 12,6—8,9 + 2,145КЖ62 (1/9+ 1/7)V2,

следующему

следующему

где б*;.о,»75 ^ 2,145. Эти неравенства приводятся к виду:

ОД < Рд—Рв < 7,5.

Пример 7.9. Случайная выборка, состоящая из 20 образцов полиэтиленовых полос, подвергается испытанию на растяжение. Наряду с другими характеристиками измеряется относительное удлинение образцов в процентах. Среднее значение и дисперсия измеряемой величины, вычисленные по указанной выборке, составляют соответственно 625% и 0,34-104(%)2. Что можно сказать относительно дисперсии совокупности, из которой взята выборка?

Можно было бы записать выражение для вероятности и изменить его, как это было показано в предыдущем примере, чтобы

получить 100(1—а) %-ный доверительный 'интервал, используя при этом тот факт, что величина (п—l)S2/o2 распределена как Xn-i. Однако обратимся непосредственно к табл. 7.1 и построим 99%-ный доверительный интервал для величины о2. При этом получим следующие граничные значения для аа:

(n-l)S2 и (n-l)S2 .

^19! 0.995^191 0,005

в рассматриваемом случае имеем для о2

0,17-104 (%)2 и 0,94* 104 (%)2, а для а

42% и 97%

В табл. 7.1 приведены также доверительные интервалы для р при известной величине а2, для р при неизвестной о2 и для отношения двух дисперсий. Случай парных наблюдений рассмотрен в гл. 8.

Если случайные величины, представляющие наблюдения, дискретные, то, как правило, не удается получить заданное значение доверительной вероятности точно. Это объясняется тем, что вероятность Pt |9Z (Xn ..., Хи) < 6 < 0^(Хр ..., XJ| 9] может принимать только отдельные значения (а иногда лишь конечное число значений). Часто стремятся не к достижению точного значения доверительной вероятности, а к получению значения, которое было бы не меньше заданного. Приближенные доверительные интервалы в этом случае можно строить, используя методы, аналогичные разработанным для непрерывных случайных величин.

Определение необходимого объема выборкидля получения доверительного интервала заданного размера

Обычно исследователи задают следующий вопрос: „Какой объем выборки нужен для того, чтобы оценка 0 находилась в пределах заданного „расстояния" от истинного значения параметра 9?“. Очень редко можно это гарантировать, но ответить на поставленный вопрос все-таки удается, если ввести доверительную вероятность и выбрать п таким образом, чтобы доверительный интервал имел заранее заданный размер. Рассмотрим этот подход более подробно на примере. Предположим, что величина о равняется 10 единицам0, и требуется, чтобы X находилось не далее чем

]> В большинстве прикладных задач точная величина а неизвестна, но иногда о известна приближенно.

на расстоянии 1,2 единиц от р. Для нормального распределения это требование означает, что половина ширины доверительного интервала, т. е. половина от

( Y I Ui-a/2°( Y Ui-a/2a>\^и1-а/а°

I л "177=— / М—— I —— ,

\ У ^ / \ у п / уп

должна равняться 1,2. Следовательно,

Ц1-а/2 ° —|2У п

Полагая, например, а=0,05 при п=Ю, получаем из табл. Г

1,961,2, или

V _266.8.

Таким образом, необходимый объем выборки равен 267; при этом вероятность того, что выборочное среднее будет отличаться от среднего совокупности не более чем на 1,2 единицы, составляет 0,95. Отметим, что если разность между X и ц должна быть меньше 2,4 а не 1,2 единиц, то объем выборки можно уменьшить в 22, или в 4 раза, что дает в рассматриваемом случае п = 67.

Доверительные интервалы для долей

Пусть х0—наблюдаемое значение случайной величины X, имеющей биномиальное распределение с параметрами пир. Частость xjn = p является несмещенной оценкой параметра р. Требуется построить 100(1—а)%-ный доверительный интервал для р. Приближенно такой интервал можно построить, найдя значения рг и рг (рг < р2), удовлетворяющие уравнениям

Рг[Х>х0|р1] = |(7.13)

и

Рг[Х<х0|р2] = |.(7.14)

Эти значения являются решениями (относительно р) уравнений

S (х) РИХ-Р^"~х = ^» х=х0

Хо \

Границы доверительных интервалов для различных объемов выборок содержатся в табл. Л в виде доверительных зон. Пользуясь этой таблицей, можно получить граничные значения 80, 95 и 99%-ных доверительных интервалов для величины р в случаях, когда оценка р строится по выборке объема п. Рассмотрение этого вопроса будет продолжено в разд. 8.7.

Пример 7.10. Из 50 изделий случайной выборки пять оказались дефектными. Что можно сказать относительно параметра р, показывающего, какова в действительности доля дефектных изделий? Оценка р параметра р равняется 5/50 = 0,10. Используя табл. Л, можно построить 95%-ный доверительный интервал. Проведем через точку с абсциссой 0,10 вертикальную линию. Ординаты пересечений этой линии с кривыми при п = 50 дают pt и рг. Следовательно, 95%-ный доверительный интервал для р равен

0,03 < Р < 0,22.

Доверительные области

Иногда приходится одновременно оценивать два или большее число параметров. Например, может возникнуть необходимость одновременно оценить среднее значение и среднее квадратическое отклонение совокупности или средние значения нескольких совокупностей.

Задачи такого типа можно решать двумя методами. Можно строить доверительные интервалы отдельно для каждого параметра, получая при этом множество одновременных (simultaneous) доверительных интервалов, или же можно строить доверительную область, содержащую точки с координатами, равными значениям параметров, с заданной вероятностью. Результаты, получаемые этими методами, значительно различаются. По существу первый из них является частным случаем второго. Действительно, область, получаемая совмещением одновременных доверительных интервалов, совпадает с доверительной областью только в том случае, если последняя имеет вид квадрата или прямоугольного параллелепипеда со столькими измерениями, сколько параметров подлежит оцениванию. На рис. 7.1 и 7.2 наглядно показано сходство и различие между двумя указанными случаями.

Если определить доверительную вероятность в многопараметрическом случае как вероятность того, что доверительная область включает точки истинных значений параметров, то становится

очевидным» что для метода одновременных доверительных интервалов доверительная вероятность лишь является вероятностью того» что каждый г/з доверительных интервалов, рассматриваемых раздельно, содержит истинное значение соответствующего параметра.

Рис. 7.1. Совмещение одновременных доверительных интервалов для 0г и 02.Рис. 7.1. Совмещение одновременных доверительных интервалов для 0г и 02.Рис. 7.2. Доверительная область для 01 и Go*Рис. 7.2. Доверительная область для 01 и Go*

Рис. 7.1. Совмещение одновременных доверительных интервалов для 0г и 02.

Рис. 7.1. Совмещение одновременных доверительных интервалов для 0г и 02.

Рис. 7.2. Доверительная область для 01 и Go*

Рис. 7.2. Доверительная область для 01 и Go*

Доверительные области в любой конкретной задаче можно строить более чем одним способом, так же как для отдельного параметра всегда существует множество способов построения доверительного интервала.

Пример 7.11. Предположим, что Хи Х2—независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение с известным значением среднего квадратического отклонения о0, но не- известными £(Х1) = 91 и £(Х2) = в2. Доверительные интервалы, построенные раздельно для 6, и 6, с доверительными вероятностями (1—aj и (1—а2) соответственно, имеют граничные значения Х{—и1-а{/а°о> Xt-\-Ui-a./iO9, 1=1,2. ,(7-15)

Поскольку Хг и X, взаимно независимы, доверительная вероятность для пары совмещенных одновременных доверительных интервалов равна

(1—аЩ!—а2).

С другой стороны, можно использовать тот факт, что /х^ел2 /х2-е2у

имеет ^-распределение с двумя степенями свободы. Следовательно,

Pr [(X, - 0J2 + (X, - 0,)» < xl- 1-аО^ = 1 - а. (7.16) В формуле (7.16) выражение (Хх —0J2 + (X2 —02)2 = yJ;i_rX определяет границы доверительной области для 9, и 62 с доверительной вероятностью (1—а).

Выбором ctj = а2 = 1 —V 1 —а можно добиться равенства доверительных вероятностей соответствующих областей.

Интересно сравнить площади доверительных областей рассмотренных типов при равных доверительных вероятностях. Доверительные интервалы, определяемые выражениями (7.15), имеют размер 2«[1+r ^7^jy2 а0, а площадь области при этом равна

Граница доверительной области, задаваемой формулой (7.16), представляет собой окружность радиуса Ха; i-ao0- Площадь области равна

Поскольку [см. (5.70)] р^Ч^1, 0<xt приходим к еле- дующему уравнению:

^2,1-а

$ P(xl)dxi=l—о

которое имеет решение

X2,i-a^— 2 Ina.

Отсюда площадь области равна (—2л In a) а^.

В табл. 7.3 проводится сравнение сомножителей 4«[31+y^^j/2 и —2л Ina при нескольких значениях а. Можно заметить, что площадь меньше у области, имеющей форму круга.

Таблица 7.3

Множители в выражениях для площади доверительных областей

a

4w[i +V1 -a]A _

-2л In a

0,10

15,193

14,468

0,05

20,008

18,823

0,025

24,908

23,178

0,01

31,485

28,935

0,005

36,311

33,290

7.5. КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ

Стандартные критерии значимости подробно будут рассмотрены в гл. 8. Здесь мы коснемся лишь общих принципов построения критериев.

Гипотезы

Критерии значимости предназначены для оказания помощи исследователю в тех случаях, когда требуется принять некоторое решение относительно проверяемых статистических гипотез. Статистическая гипотеза—это утверждение относительно распределения случайных величин, соответствующее некоторому представлению о реальном мире. Предположим, например, что введен новый способ управления процессом, при котором измеряется характеристика X выходного продукта, причем среднее значение 0О и среднее квадратическое отклонение а6 результатов измерений до изменения способа управления—известные величины. Требуется проверить следующие утверждения:

среднее значение и среднее квадратическое отклонение характеристики X остались неизменными;

среднее значение осталось неизменным, а среднее квадратическое отклонение увеличилось;

изменение среднего значения не превышает величины среднего квадратического отклонения.

Конечно, все возможные утверждения не ограничиваются только перечисленными. Пусть 0 и ст представляют собой среднее значение и срёднее квадратическое отклонение после изменения способа управления; тогда приведенные выше утверждения можно сформулировать в следующем виде:

0 = 0О, о = а0;

0 = 0О, ст < ст0;

0О—ст<0<0о+ст.

Это три разные статистические гипотезы.

Гипотеза называется простой, если она точно определяет распределение случайной величины; в противном случае она называется сложной. Предположим, что после изменения способа управления проведено п измерений величины X, а результаты этих измерений представлены случайными величинами Х^, Х2, ... ..., Хп. При отсутствии других предположений три указанных утверждения являются сложными гипотезами, поскольку они не определяют полностью совместного распределения величин X, а касаются только значений первого и второго моментов распределения для каждого из X. Однако если заранее определить вид

распределения для каждого из X (принять, например, нормальное распределение) и потребовать, чтобы Хъ Хг, ...,Хп были взаимно независимы, то гипотеза 1) становится простой, так как распределение

/№х„|е0,/№х„|е0,<г0) = (РЛ2ла<|) " ехр<г0) = (РЛ2ла<|) " ехрi= 1i= 1

/№х„|е0,

/№х„|е0,

<г0) = (РЛ2ла<|) " ехр

<г0) = (РЛ2ла<|) " ехр

i= 1

i= 1

оказывается полностью определенным. Гипотезы 2) и 3) по-прежнему остаются сложными даже при указанных условиях, поскольку в рамках гипотезы 2) остается неопределенной величина о, а гипотеза 3) заранее не устанавливает значений ни 6, ни о.

Критические области

Процедура проверки гипотез—правило, которое позволяет для любого множества значений X,Хп получить решение: принять или отклонить проверяемую гипотезу Но. Полезно попытаться представить множество Xt, Х4, ..., Хп в виде точки в n-мерном пространстве. Тогда точки, для которых гипотеза Но отклоняется, можно отнести к области w исследуемого пространства. Эта область называется критической.

Пример 7.12. Проверяя утверждение о том, что внутренний диаметр трубы равен в среднем 1,20 дюйма, можно формально выдвинуть гипотезу

Я»: М^Но (=1»20).

Можно произвольно принять решение отклонить ее, если выборочное среднее X меньше, чем 1,10, или больше, чем 1,30 дюйма. При этом мы не обращаем внимания на ошибки, присущие нашему решению (это будет сделано в следующем разделе), а просто (произвольно) назначаем критическую область. Эта критическая область задается соотношениями Х< 1,10 и X > 1,30. Теперь перейдем к разработке систематических методов построения критических областей.

Ошибки

Удобно разделить ошибки, допускаемые при проверке гипотез, на два основных типа:

отклонение гипотезы Но, когда она верна—ошибки первого рода;

принятие гипотезы Не, когда верна какая-либо другая гипотеза—ошибки второго рода.

Противопоставление гипотезы Нй всем остальным является искусственным, но весьма удобным приемом.

Вероятность ошибки первого рода равна

Рг[(Хп .Х^ принадлежит ^|Я0].(7Л7)

Ее принято обозначать через а.

Величина а может быть явно определена только в отдельных случаях (когда Яо является, например, простой гипотезой). Однако возможность находить а представляется весьма удобной, потому что это дает очевидные преимущества. Уменьшая или увеличивая критическую область w, можно активно воздействовать на а. Обычно величина а принимается равной 0,05 или 0,01, хотя, конечно, можно использовать и другие значения а. Чтобы упростить задачу построения критериев, для многих стандартных случаев разработаны таблицы.

Величина а называется уровнем значимости критерия; иногда ее называют размером критической области w.

Вероятность ошибки второго рода зависит от гипотезы Я, которая верна в действительности. Эта sвероятность равна

Рг[(Хп ...Дп) принадлежит ш|Я].(7.18)

Гипотезу Н обычно называют альтернативной гипотезой (по отношению к Но). Вероятность ошибки второго рода принято обозначать через р и называть оперативной характеристикой (ОХ) критерия по отношению к Н. Дополнение к ОХ

Рг[(Хп . ..,ХП) принадлежит ю|Я] (7.19)

называют мощностью критерия по отношению к Н. Мощность и ОХ функционально связаны; в этой книге термин „мощность" будет употребляться чаще, чем ОХ, но не следует думать, что это является общепринятым.

Предположим, что рассматриваются только две простые гипотезы Но и Hv В этом случае а и Р можно представить так, как это сделано в табл. 7.4, где показаны две возможности принятия

Таблица 7.4

Решения и ошибки

Решение

Принять Но

Принять Hi

Справедлива Но

Справедлива Нг

Правильное

Р

а

Правильное

решения и ошибки двух типов по отношению к гипотезе Но. Отметим, что если гипотеза Нй справедлива и она принимается, то в таблице указано, что решение принято правильно. Если справедлива гипотеза Hv а принимается Н01 то при решении допущена ошибка второго рода. Если справедлива гипотеза Нв, а принимается гипотеза Hv то при решении допущена ошибка первого рода.

На рис. 7.3 показан другой способ интерпретации ошибок.

А

Рис. 7.3. Ошибки первого и второго рода.

Предположим, что статистика 0 имеет распределение р6 (/10О), если гипотеза Яо справедлива. Будем также считать, что критическая область, задаваемая соотношением 0>Д, такая, как показано на рисунке. Если гипотеза Нг справедлива, то статистика 0 имеет распределение р@(/|01), а вероятность ошибки, состоящей в при- А

нятии Н^ равняется ₽= J рЙЦ\9^Д1. Эта область отмечена на

-осу

рис. 7.3 вертикальной штриховкой. Величина а равняется $Рб(/|90)^/; соответствующая ей область отмечена на рисунке А

наклонной штриховкой.

Кривые мощности

Мощность критерия зависит от гипотезы Н; эта характеристика, рассматриваемая как функция от Н, называется функцией мощности критерия. Ее графическое представление (обычно мощность откладывается по ординате, а параметр, определяющий Н,— по абсциссе) называется кривой мощности критерия. _ Чтобы построить кривую мощности, необходимо в первую очередь определить способ проверки гипотезы. Как указывалось выше, сюда входят объем выборки, процедура проверки гипотезы и уровень значимости.

Предположим, что проверяется гипотеза Не\ ц = цо( = 2О). Допустим, что величина о2 известна и равна 16, а также заранее решено, что объем выборки равен 9. Пусть имеет место нормальное распределение. Если а=0,05 и принято решение отклонять гипотезу Нй, когда X > А, а значение А выбирается так, что

Pr [X > Д | р0 = 20, cry - 4/3] = 0,05

(т. е. уровень значимости равен 0,05), то величина А должна быть такой, чтобы

$Ру(х|20, 4/3) dx = 0,05, . А

где ру(х]р, (Ту)— плотность вероятности нормального распределения N (р, оу). Величина А равна 22,2, а критическая область определяется неравенством X > 22,2. Это показано на рис. 7.4.

Рис. 7.4. Критическая область для Нв: р=20.

Рассмотрим теперь гипотезы: 1) Н: р = 22; 2) Н: р = 24; 3) Н: р = 26. Определим мощность критерия относительно каждой из этих гипотез согласно (7.19):

Рг [X > 22,21 р= 22],

Рг[Х>22,2|р = 24],

Рг[Х> 22,2 |р = 26].

Эти вероятности можно записать в виде интегралов

$ ру (х 122,4/3) dx,

22,2

$ ру (х 124, 4/3) dx,

22,2

$ ру (х| 26, 4/3)dx.

22,2

Нормируя данные и используя табл. В, получим мощности, соответствующие каждой из гипотез:

1—0 = 0,44038,

1—0 = 0,91149,

1—0 = 0,99781.

Для гипотез р = 21, р = 23 и р = 25 можно получить мощности, равные 0,18406; 0,72575 и 0,98214 соответственно. Эти результаты графически представлены на рис. 7.5 для всех значений р.

Среднее содокдпности р

Рис. 7.5. Кривая мощности для Н». р=20 при о = 4, л = 9, а=0,05.

Пример 7.13. В рассмотренном выше случае разобран только односторонний критерий. Гипотеза Нй отклонялась только при слишком больших значениях X, т. е. критическая область была определена неравенством X > 22,2. Рассмотрим теперь гипотезу Нв; £ = £о(=2О), но альтернативную гипотезу определим значениями £, большими или меньшими §0. Положим опять, что о2 = 16, п = 9, а распределение является нормальным. При а=0,05 гипотезу Но отклоняют теперь, если X < Аг или X > Л2, как показано на рис. 7.6. Отметим, что величина X распределена

Рис. 7.6. Критическая область для Но: «-=20 при использовании двустороннего критерия.

как У(£, 4/3). На этом рисунке £ = 20, что соответствует случаю справедливости гипотезы //0. Разделим произвольно величину а на две равные части. Нет необходимости поступать именно так во всех возможных случаях. (В рассмотренном ранее примере две части составляли 0 и 0,05.) Гипотезу отклоняют, если X оказывается меньше, чем 17,4, или больше, чем 22,6, т. е.

Рг [X < Ах | £ = 20] - Pr [X > А21 £ = 20] - 0,025.

Искомые значения равны Ax=17,4 и Ла = 22,6. Чтобы построить кривую мощности для двустороннего критерия при Но: £ = 20 и о =4, п = 9, а =0,05, вычислим такие величины, как

1-Рг[Л1<Х<Л2|£ = 22]=1-Рг[Л1<Х<Л2|£ = 18],

1-Рг[Л1<Х^Л2|£ = 24]=1-Рг[Л1^Х<Л2|£=16], 3) 1-Рг[Л1^Х<Л2|£ = 26]=1-Рг[Л1^Х<Л2|£=14].

Получается симметричная кривая со значениями ординат 1) 0,327; 2) 0,853; 3) 0,995 для Н; £ = 22 и 18, Я: £ = 24 и 16, Н: £ = 26 и 14 соответственно. Отметим, что для гипотезы Но; £ = 20 мощность 1 — р равна а = 0,05. Кривая мощности приведена на рис. 7.7.

5.5. Определение объема выборки при заданных аир

Рассмотрим задачу, в которой требуется проверить гипотезу Но; 6 = 00. Если заданы а и максимальное значение р для Ht: 0 = 0!, то при построении статистики критерия необходимо выбрать такой минимальный объем выборки, чтобы удовлетворялись указанные требования к ошибкам первого и второго рода. Например, при случайной выборке из совокупности, имеющей нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением ст, для проверки гипотезы Но: 0 = 9О с заданной вероятностью ошибки первого рода а и при альтернативной гипотезе

Н<. 6— 6П вероятность ошибки второго рода для которой не должна превышать р, следует рассмотреть множество ситуаций, подобных двум ситуациям, показанным на рис. 7.8. Каждая из

Рис. 7.8. Соотношения между а, £ и п при проверке статистических гипотез.

этих ситуаций зависит от а и 0, которые в свою очередь определяют значение п. Необходимо, чтобы (при критической области X > К) удовлетворялись следующие условия:

5 Рх (хI б0> °/Кя) dx = а,

*_(7-20)

J Рх (х 10i, а/Г n) dx ^ 1 —0.

При заданных аир эти уравнения (обычно) можно решить и определить подходящую величину п. В данном случае требуется. Чтобы

-= Щ-а, "<«0-

Исключая К, находим п>[о0 (Ui_a —Up)/^ —Оо)]2- Поскольку нижняя граница для п не обязательно оказывается целым числом, то п обычно округляют до большего целого значения.

Пример 7.14. Средняя производительность машины равна 200 единиц продукции в час. Предложено усовершенствование машины, в результате внедрения которого ожидается увеличение выхода продукции. Руководитель предприятия готов принять это предложение при условии, что выход возрастет в среднем по крайней мере на 30 единиц в час. Проведенные исследования позволяют предполагать, что среднее квадратическое отклонение составляет 20 единиц в час. Выберем величину а равной 0,05, а 0=0,01, т. е. только в одном случае из 20 допускается возможность обнаружить наличие изменения в производительности, когда на самом деле его нет, а если (что может быть более важно в этой задаче) на самом деле изменение производительности составляет не меньше 30 единиц в час, то в среднем это может остаться незамеченным не чаще, чем в одном случае из 100.

Здесь X является выборочной статистикой, а критическая область имеет вид X > К. В соответствии с формулами (7.20) мы хотим иметь

р_ (х | р0, 20/prn) dx = 0,05,к х

р_ (х | р0 + 30, 20/Кn) dx > 0,99. к х

Графически эта ситуация представлена на рис. 7.8. В рассматриваемом случае а = 0,05, Р = 0,01. Два записанных выше уравнения нужно разрешить относительно К и п. Предполагая, что X имеет нормальное распределение со средним квадратическим отклонением 20/j/n, запишем

К = 200 +1,6449 (20/К«) для первого уравнения, /С>200 — 2,3263 (20/K/i) для второго уравнения,

так как «е,95= 1,6449 и я0,01=—2,3263, что следует из табл. Г приложения. Исключая как К, так и р„, можно получить для п: 30^ 3,9712 (20/р'п), откуда п >(3,9712 • м/30)2 > 7,01.

Следовательно, искомый объем выборки п = 8.

Предположим, что значение среднего квадратического отклонения совокупности неизвестно. Тогда в качестве критерия может использоваться статистика Т = Vп (X —90)/S. Эта статистика при справедливости гипотезы Но (9 = 90) имеет /-распределение с (п—1) степенями свободы, а критическая область Т > /п-1,1-а задана уровнем значимости а. Мощность по отношению к Я1(9=91) равна

Pr [Т >/„_!. !_а [9^0],(7.21)

где X имеет распределение N (9П а1Уп), a S2 распределено независимо от X как [х2 с (n— 1) степенями свободы]/(п — 1). Следовательно,

т УК (х-е0)/ук (Х-е^ УК(ег—е0)\ / „ и+УКо

где D = ^t—60)/а и U — случайная величина, имеющая нормированное нормальное распределение /V (О, 1).

Таким образом, величина Т имеет нецентральное t-pacnpede- ление с параметром нецентральности V nD и числом степеней свободы (л—1). [Johnson N. L., Welch В. L., Applications of the Noncentral /-Distribution, Biometrika, 31 (1940); Resnikoff G., Lieberman G., Tables of the Noncentral /-Distribution, Stanford University Press, 1957.] Мощность (7.21) зависит от D, т. e. от отношения (Oj — О0)/о. Если значение о неизвестно, то невозможно оценить мощность критерия, а также построить критерий, удовлетворяющий необходимым условиям. Однако можно сравнить свойства /-критерия со свойствами критерия, который используется при известном значении среднего квадратического отклонения, сопоставляя их мощности при соответствующих значениях величины (0! —90)/о. Таблицы Н, О, П и Р приложения помогают сопоставить объемы выборок, необходимые для получения примерно одинаковых мощностей по отношению к заданным альтернативным гипотезам; пояснения приводятся вместе с таблицами. (См. также разд. 5.14.3.)

Пример 7.15. Рассмотрим задачу, описанную в примере 7.14. Из табл. Н следует, что когда /-критерий используется при неизвестном значении о, то объем выборки, необходимый для достижения заданного уровня значимости а =0,05 при условии, что мощность 1— £>0,99, a (9^ 0о)/а = 30/20= 1,5, равен 9. При известном среднем квадратическом отклонении совокупности в тех же условиях достаточна выборка объема 8 (почти 7).

Это дает некоторое представление о добавочной работе, необходимой для восстановления отсутствующей информации о значе-

нии среднего квадратического отклонения совокупности. К сожалению, табл. Н нельзя использовать для принятия решения о подходящем объеме выборки, когда значение <т неизвестно, поскольку в этом случае невозможно оценить величину D = 30/о.

Если имеется некоторая оценка величины а, ее можно использовать для того, чтобы получить приближенное представление о соответствующем значении D. Когда оценка достаточно точна и, пользуясь ею, можно вполне удовлетворительно оценить величину О, последнюю допустимо брать в качестве основы для критерия, предполагающего, что значение среднего квадратического отклонения известно.

7.6. Критерии отношения правдоподобия

Для того чтобы уменьшить размер критической области ш, понижают вероятность ошибки первого рода или уровень значимости а. Это обычно сопровождается снижением мощности (или возрастанием ОХ) критерия по отношению к альтернативной гипотезе Я, т. е. увеличивается вероятность ошибки второго рода. Требования снижения вероятностей ошибок первого и второго рода противоречивы. Для того чтобы разрешить это противоречие, задают уровень значимости и максимизируют при выбранном уровне мощность критерия по отношению к альтернативной гипотезе Н.

Предположим, что обе гипотезы Нй и Нх—простые, а ХиХг,...,Хп—непрерывные случайные величины. Аналитически задачу можно сформулировать следующим образом: требуется так выбрать критическую область we, чтобы

И ' •' S ^х»^’ •••»xn\HeWv • • • dx„ = a

(обеспечение заданного уровня значимости) и при условии а) достигалось максимальное значение величины

Н ... $ pxtхп(ххxn\HWi • ■ • dxn.

Решение этой математической задачи получается с помощью весьма полезного результата, известного как лемма Неймана — Пирсона. В ней утверждается, что условия а) и б) будут удовлетворены, если щд определяется из выражения

1-7Х"7^.^ > КО 0),(7.22)

РххХп * * * • I "О'

где К—число, выбираемое так, чтобы выполнялось условие а).

Отношение рХ1х„ (Xv..., Хп | Н^рХхх„ (XtХП | Н») можно рассматривать как отношение функций правдоподобия для гипотез Н и Нй. Критерий с критической областью (7.22) называется критерием отношения правдоподобия.

Доказывается лемма весьма просто. Если через w0 обозначить критическую область (7.22), а через tv любую другую критическую область, удовлетворяющую условию а), то

S S Р^ ^п (‘^1 * * • * ’ ^п I ^0) ^1 • 1 1 ^^п

$ $ * *е $ Р^х^п C^v • * •» ^п IНо) dx^ ... dxn = 0.(7.23)

Общую для w0 и w часть, обозначенную через z^w0, можно удалить из каждой области, по которой проводится интегрирование, не изменяя при этом величину левой части выражения (7.23). Поскольку ui0—way0 лежит в пределах области we, то 1$ \Рххxn<xv .. .,x„\He)dx1... dxn$^

И*О - 6УСУ 0

<MS ^ Pxt....x„(xv ...,x„\JT)dxl...dx„.

W^WW^

Так как значение отношения правдоподобия вне критической области меньше или равно К» a w — ww0 лежит вне области w0> то, проводя аналогичные рассуждения, приходим к неравенствам

3 j * * * J P^ixR (xlt . •., хп | H^dXy... dxn ^

CV-tVtV0

^П S^ixn<xv ...,хп\н^хг ...dx„.

Подставляя эти неравенства в уравнение (7.23), прибавляя и вычитая величину

К"1 И • • • S РХ1хп (Х1хп I • • • dxn,

«ИУ0 получаем

К-4 [И "' $ Рх.Хп(хгx„IH)dx1... dx„—

S 5 ■ ■ ■ 5 Pxixn (-^i» ■ • ■, xn | H^ dxt ... dx„3 ^ 0.

tv

Отсюда следует неравенство

И • • • $ Рх.XntXv • XnlHjdXi ...dx„>

> П $ PXxXn (^1. ...,xn\H')dx1... dxn, показывающее, что условие б) также выполняется.

Подобные рассуждения могут быть проведены и в случае, когда Хп ..., Х„ являются дискретными случайными величинами. Критическая область для критерия отношения правдоподобия в этом случае определяется неравенством

а величина Д’ выбирается так, чтобы уровень значимости был как можно ближе к а. Для дискретных величин невозможно в общем случае достигнуть точного совпадения этого уровня с величиной а.

Пример 7.16. Требуется построить критерий для проверки гипотезы Нй о равенстве среднего значения 9 совокупности, имеющей нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением о0, величине 90 против альтернативной гипотезы Нг- 9~9f(>60). Имеется случайная выборка, включающая п независимых наблюдений Xv Х2, ..., Хп.

Отношение правдоподобия Нг к Но равно

(К*2л о0У"п ехр(К*2л о0У"п ехрх=х=-w2 2 (х,—oj2-w2 2 (х,—oj2

(К*2л о0У"п ехр

(К*2л о0У"п ехр

х=

х=

-w2 2 (х,—oj2

-w2 2 (х,—oj2

( К2л <т0) ” ехр( К2л <т0) ” ехр-Ч^о1 2 (X,— 0О)2-Ч^о1 2 (X,— 0О)2

( К2л <т0) ” ехр

( К2л <т0) ” ехр

-Ч^о1 2 (X,— 0О)2

-Ч^о1 2 (X,— 0О)2

Неравенство X > К эквивалентно неравенству 1пЛ>1п/С, т. е

2 [(Х,-^)2-^—^)2] > 2о§1пХ,

или

2о021п^2о021п^(61-60) 2 2 Х,—/г(01 + 9е)

2о021п^

2о021п^

1 = 1

Поскольку 0Т больше, чем 60, последнее неравенство можно упростить следующим образом:

n^X-g^g^g^Lln/G где Х = п-^Х{.

Полученное неравенство можно переписать в виде

хж*.

На самом деле К' равно [по/» (9i — 90)]1пХ + 1/а (0o + 0i)> но этого можно и не знать. Необходимо только выбрать такое значение К',

чтобы уровень значимости соответствовал а. Это означает, что

Рг[Х>^|//0] = а

или поскольку X имеет распределение N (0О, oJVn) при справедливости гипотезы Н6, то

С е~“1<г du = a.

/2л _ J

Yn (К’-SoWa,.

Решая последнее уравнение относительно К', получаем

(Х'-0о) /Й

ИЛИ

V п

ЧЛ. РАВНОМЕРНО НАИБОЛЕЕ МОЩНЫЕ КРИТЕРИИ

Критерий отношения правдоподобия является наиболее мощным критерием для гипотезы Нй (с заданным уровнем значимости) по отношению к заданной простой альтернативе Hv Иногда оказывается, что получается один и тот же критерий при произвольном выборе альтернативной гипотезы Hv из заданного множества й. Следовательно, используя этот критерий, можно быть уверенным в том, что он окажется наиболее мощным, какая бы из гипотез, составляющих множество й, ни была в действительности справедливой. В большинстве случаев такого удачного стечения обстоятельств нет, но если это имеет место, то критерий называется равномерно наиболее мощным по отношению к множеству Й. Такой критерий, если его применение не вызывает чрезмерных трудностей, следует предпочесть любому другому, разумеется, в тех случаях, когда имеется уверенность в достаточной близости постулируемых предпосылок применения к реально существующим условиям.

В примере 7.14 при построении критерия для гипотезы ЯО(0 = 0О) использовалась критическая область Х>К', не зависящая непосредственно от 0f, поэтому этот критерий является равномерно наиболее мощным по отношению ко всем 0„ превышающим 0О. Однако он не останется равномерно наиболее мощным по отношению ко всем значениям альтернативной гипотезы 0V как большим, так и меньшим 0О.

*7.8. КРИТЕРИИ ОТНОШЕНИЯ ПРАВДОПОДОБИЯДЛЯ СЛОЖНЫХ ГИПОТЕЗ

В случае, когда проверяется гипотеза Ни, а альтернативная гипотеза оказывается сложной, метод отношения правдоподобия в том виде, как он был рассмотрен в разд. 7.6, оказывается неприменимым. Тем не менее дальнейшее развитие метода путем эвристических предположений позволяет распространить его и на случай сложных гипотез. Для такого метода уже нельзя гарантировать, что он обладает свойствами наиболее мощного критерия, но в действительности он оказывается весьма полезным среди известных хороших критериев.

Каждую сложную гипотезу можно рассматривать как множество простых гипотез. Если предположить, что среднее значение совокупности, имеющей нормальное распределение, равно 0О, а значение среднего квадратического отклонения остается неопределенным, то такая сложная гипотеза будет эквивалентна множеству простых гипотез о том, что совокупность имеет нормальное распределение N (0, ст), где ст может принимать любое неотрицательное значение.

Обозначим символом со множество простых гипотез, определяемое Но. Множество всех возможных простых гипотез (включающее Но и все альтернативы) будем обозначать символом й. Тогда вместо отношения правдоподобия (7.22) можно использовать отношение максимальных функций правдоподобия для соответствующих множеств простых гипотез. Таким образом, имеет место критическая область

Рх.Хи№Я„ | Юманс) „_

РХ1 хв^.....А„|Ймакс)

Здесь К опять является числом, выбираемым так, чтобы уровень значимости совпадал с некоторой желаемой величиной. При этом необходимо отметить, что последнее неравенство противоположно по знаку неравенству (7.22). Это объясняется тем, что Рх.хп №» • • •, Х„ | ®макС)— плотность вероятности выборки для наиболее правдоподобной среди всех (простых) гипотез из множества св и соответствует рХ1х,(Х1( .. .,Х„\Н^, тогда как Рх.хп (Хх » • • • »^ц | ^макс) соответствуетрХ1,..., Хп (XtХп (Я^, и, следовательно, отношение правдоподобия (7.25) является обратным к тому, что записано в выражении (7.22.) Иногда такая перестановка может приводить к путанице, но это только лишний раз подчеркивает необходимость делать различие между двумя типами записи отношения правдоподобия. Хотя выражение (7.22) и можно рассматривать как частный случай (7.25), когда со заменяется на простую гипотезу Но, a Q—на простые гипо-

тезы Яо и Hv при этом следует помнить, что критерий гарантирует оптимальные свойства только в первом случае (7.22).

Были предложены и другие методы построения критериев для сложных гипотез. В частности, Рой [11] предложил использовать критические области, представляющие собой сумму (объединение) критических областей, на которых мощность (тип 1) или значение отношения правдоподобия (тип II) имеют постоянную величину для всего множества альтернативных гипотез.

ЛИТЕРАТУРА

Bennett С. A., Franklin N. L., Statistical Analysis in Chemistry and the Chemical Industry, Wiley, New York, 1954, Chapter 5.

Blackwell D., Conditional Expectation and Unbiased Sequential Estimation, Annals of Mathematical Statistics, 18, 105—110 (1947).

Cox D. R., Hinkley D. V., Theoretical Statistics, Chapman and Hall, London, Halstead Press, New York, 1974, Chapters 3—5, 7, 8. [Имеется перевод: Кокс Д., Хинкли Д., Теоретическая статистика,—М.: Мир, 1978.]

Davies О. L. (Ed.), Statistical Methods in Research and Production, 3rd ed., Oliver and Boyd, London, 1958.

Dixon W. J., Massey F. J., Introduction to Statistical Analysis, McGraw- Hill, New York, 1969, Chapter 6.

Hays W. L., Winkler R. ,L-, Statistics: Probability, Inference and Decision, Vol. 1, Holt, Rinehart and Winston, New York 1970, Chapter 6.

Kempthorne O., Folks L., Probability, Statistics and Data Analysis, Iowa State University Press, Ames, Iowa, 1971.

Mood A. M., Graybill F. A., Boes D., Introduction to the Theory of Statistics, McGraw-Hill, New York, 1963, Chapter 8.

Natrella, M. G., Experimental Statistics, N. B.S. Handbook No. 91, U. S. Dept. of Commerce, Washington, D. C., 1963, Chapters 1,2.

Pearson E. S., Hartley H. O., Biometrlka Tables for Statisticians, Vol. 1, Cambridge University Press, 1968.

Roy S. N., Some Aspects of Multivariate Analysis, Wiley, New York, 1957, Chapters 1, 2.

УПРАЖНЕНИЯ

При выполнении некоторых упражнений этой и последующих глав для построения моделей нужно сделать некоторые предположения.

Следующие цифры представляют собой значения твердости 15 образцов сплава в условных единицах: 12,1; 13,7; 11,0; 11,6; 11,9; 12,9; 13,4; 12,2; 12,5; 11,9; 11,9, 11,5; 12,9; 13,0; 10,5. Проверьте гипотезу о том, что среднее значение твердости равно 12,0. (Используйте двусторонний критерий с уровнем значимости примерно равным 5%.)

Проверьте, используя данные упражнения 1, гипотезу о том, что среднее квадратическое отклонение составляет 1,4 условных единиц.

Какой потребуется объем выборки для того, чтобы с доверительной вероятностью, равной 99%, среднее выборочное значение твердости (X) отличалось от его математического ожидания не более чем на 0,3 условных единиц, если стандартное отклонение известно и равно 2,0 условным единицам?

При шести измерениях концентрации в процентах получены следующие результаты: 1,20; 1,27; 1,33; 1,19; 1,09 и 1,24. Требуется оценить ожидаемое значение концентрации в процентах, предполагая, что результаты измерения

являются случайными независимыми величинами и имеют нормальное распределение с дисперсией, равной 3-Ю-3. Постройте 95%-нын доверительный интервал для величины Е (X).

В упражнении 4 постройте 99%-ный доверительный интервал для Е (X), считая дисперсию неизвестной величиной.

Для данных, приведенных в упражнении 4, постройте совместную 95%-ную доверительную область для Е (X) и а2.

Получите выражение для оценки максимального правдоподобия дисперсии нормального распределения ^(0, а). Оцените дисперсию последующим данным: 12,80; 13,27; 13,06; 12,95; 13,10; 13,30; 12,88; 13,06; 12,98; 12,86; 13,09; 13,20; 12,92; 12,90; 12,83; 12,80.

Покажите, что оценка максимального правдоподобия для дисперсии нормального распределения может быть смещена.

Найдите 90%-ный доверительный интервал для отношения дисперсий предела прочности на разрыв по двум приведенным ниже выборкам (предположительно однородным), полученным при испытаниях на прочность на двух разных испытательных стендах.

Стенд АСтенд В

1,324

1,322

1,327

1,342

1,301

1,3091,3581,398

1,3741,3181,375

1,3191,3181,341

1,3921,3211,366

1,3961,4141,408

При обучении методам расчета надежности в качестве примера выбрали исследование деревянных брусков при осевой нагрузке. Пяти бригадам было дано задание исследовать 100 брусков из древесины твердой' породы. Весь материал был доставлен из одного места. В процессе исследования деревянные бруски по одному помещались в гидравлический пресс, давление увеличивалось до тех пор, пока брусок не ломался, а его величина в этот момент измерялась и регистрировалась. Использовались бруски размером 3/eX5/e4X41/4 дюйма. На стр. 255 приведены результаты измерений в форме таблицы. Определите 95%-ный доверительный интервал для среднего значения в каждом из пяти экспериментов. Какие можно сделать выводы?

Эффективность некоторого процесса доведена до 89%. Внесение некоторых изменений позволит повысить эффективность процесса. Руководитель предприятия считает, что не следует вносить изменения в процесс, если ожидаемое увеличение эффективности меньше, чем 4% (имеется в виду не 4% от 89%). В целях проверки проведено 16 экспериментов. Что можно сказать относительно мощности критерия, если 'среднее квадратическое отклонение величины эффективности для отдельного эксперимента известно и равно 2%? Четко сформулируйте все предположения, которые вы используете.

Для задачи, рассмотренной в упражнении 11, постройте кривую мощности при а = 0,05 и а) п = 4, б) п = 9, в) п = 16, г) и —25. Сравните построенные кривые.

Предположим, что при условиях, рассмотренных в упражнении 11, каждый четвертый эксперимент будет проводиться под руководством Джо Зилча. Можно ожидать, что эффективность процесса, управляемого Джо, в среднем такая же, как у другого мастера, однако у Джо среднее квадратическое отклонение составляет не 2, а 21/2%. Проведите соответствующие вычисления и покажите, какое влияние могла бы оказать такая информация на ответы, полученные в упражнениях 11 и 12.

Пользуясь результатами, полученными при выполнении упражнения 12, найдите для упражнения II план эксперимента, имеющего целью выяснить, действительно ли приводит предполагаемое изменение к повышению эффектив-

Частота

Интервал

Эксперимент

1

2

3

4

5

0,00— 2,0

2

1

2,01— 4,0

2

1

1

0

4,01— 6,0

3

0

3

9

6,01— 8,0

10

3

3

5

10

8,01—10,0

16

6

9

11

28

10,01—12,0

32

7

12

И

31

12,01—14,0

24

17

19

20

20

14,01—16,0

9

18

19

29

1

16,01—18,0

2

11

28

9

18,01—20,0

14

9

10

20,01—22,0

9

1

1

22,01—24,0

6

24,01—26,0

1

26,01—28,0

2

28,01—30,0

0

30,01—32,0

1

32,01—34,0

2

98

100

100

100

100

ности процесса. Установите объем выборки, вероятности ошибок и решающие правила.

Сколько потребуется провести пар наблюдений на двух различных типах эмалевых покрытий для того, чтобы каждое из выборочных средних отличалось от соответствующего математического ожидания на величину, не превосходящую 0,50 условной единицы, с совместной вероятностью не менее 90% ? Предполагается, что наблюдения взаимно независимы и каждое из них имеет среднее квадратическое отклонение 3,5 условных единиц.

Как велика должна быть выборка для того, чтобы обнаружить отношение действительного значения дисперсии совокупности к заданной величине, равное 2,4, если

а=0,01 и р = 0,01?

а=0,05 и Р = 0,01?

(Предполагается, что используется односторонний критерий и необходимо выявлять случаи, когда значение дисперсии совокупности превышает заданную величину.)

Одно время в паспорте на катапульту для пилота реактивного самолета указывалось: „вероятность того, что частота отказа не превышает 1 иа 10 000 случаев, составляет 95%„. Какого объема должна быть выборка, чтобы гарантировать справедливость такого утверждения?

Как велика должна быть выборка, чтобы гарантировать с а = 0,05, что разность между выборочным средним и средним значением совокупности, равная 0,6 среднего квадратического отклонения, будет выявлена с р<0,01.

Две независимые выборки извлечены из нормально распределенных совокупностей. Разность между математическими ожиданиями совокупностей не превосходит величины 0,3-(среднее квадратическое отклонение). Как велика должна быть каждая из выборок, чтобы можно было обнаружить это различие с вероятностью не менее 0,99 при использовании критерия с уровнем значимости 0,01?

В отчетах отдела сбыта одной фирмы отмечалось, что некоторый элемент прибора в полевых условиях оказывается неисправным в 1% случаев. Это значит, что за шесть месяцев с момента поставки выходит из строя 1% приборов этого типа. Фирмой были проведены шестимесячные испытания шести таких приборов и при этом не наблюдалось каких-либо отказов. Оценка доли неисправных приборов (по результатам упомянутого эксперимента) оказалась равной 0%. Что можно сказать об этой оценке ожидаемой доли неисправных приборов? Объясните, в чем состоит недостаток использованной процедуры и способа вычисления рисков, а таже наметьте план другого эксперимента.

Два типа красок для внешних покрытий требуется исследовать на одном станке. Хотелось бы выявить среднюю разницу в потерях веса, равную 0,02 г. Известно, что дисперсия результатов измерения составляет (0,100 г)3. При заданных значениях а=0,05 и Р—0,01 определите объем выборки и приведите :явные формулы для использованного критерия.

Одна фирма производит два типа покрытий для подземных трубопроводов. Намечен эксперимент, при проведении которого покрытие можно нанести на 40 труб. Эти трубы затем будут размещены в образцах весьма однородного (по плотности, влажности, типу и т. д.) грунта. Составьте план эксперимента для исследования этих двух типов покрытий, предполагающий исключение мешающих воздействий, связанных с тем, что образцы представляют различные типы грунта. Сформулируйте гипотезу и необходимые предположения, а также разработайте процедуру проведения эксперимента.

Вычислите (для нормально распределенной совокупности) мощность стандартного критерия проверки гипотезы Н^. [дисперсия совокупности (о2) — ^] против альтернативных гипотез: о2 —iOq, где t= 1/6, 1/4, 1/2, 3/2, 2, 3. Следует предположить, что случайная выборка может включать десять измерений, а уровень значимости критерия составляет 5%. Постройте кривую мощности критерия.

Случайные выборки объема по 10 элементов взяты из двух нормально распределенных совокупностей. Обозначив неизвестные дисперсии этих сово- „22<>

кулностеи через Ох и 02, построите оперативную характеристику стандартного одностороннего критерия проверки гипотезы of/oa—I с 5%-ным уровнем значимости против альтернативы их/^ > 1. (Можно предложить для проведения вычислений следующие значения отношения 0х/о1* 1,5; 2,0; 2,5, ..., 5,0.)

Найдите оценку максимального правдоподобия для среднего значения треугольного распределения px(x) — kxt0^x < V 2//?), если наблюдения Xt, Л2, ..., Хп представляют собой случайную выборку объема и.

Случайные выборки объема пх и п2 извлечены из совокупностей, имеющих нормальные распределения N (0х, а) и ^ (02, а) соответственно. Предполагается, что среднее квадратическое отклонение а известно, а 100(1 —а)%-ные доверительные интервалы, построенные для 0г и 02, соответственно равны

Предлагается отклонять гипотезу О1 = 02, если два указанные интервала не пересекаются.

Запишите этот критерий в аналитическом виде и покажите, что в действительности уровень значимости критерия меньше а.

Рассмотрите задачу, аналогичную той, которая была поставлена в упражнении 26, для случая, когда а —неизвестная величина.

Предполагается, что случайная величина X имеет усеченное распределение Пуассона

А 0^Рг[Х = х]=е“0^- л:!А 0^Рг[Х = х]=е“0^- л:!x = r, r+ 1, г+ 2, .., .x = r, r+ 1, г+ 2, .., .

А 0^

Рг[Х = х]=е“0^- л:!

А 0^

Рг[Х = х]=е“0^- л:!

x = r, r+ 1, г+ 2, .., .

x = r, r+ 1, г+ 2, .., .

Используя п независимых величин Xi, Х2, ... . Хп, каждая из которых распределена как X, выведите формулы оценки максимального правдоподобия для параметра 6 и приближенной дисперсии этой оценки.

Для задачи, сформулированной в упражнении 28, постройте другие оценки параметра 0, основанные на выборочных моментах случайных величин Xi, Хп при г = 1 и г = 2.

Оценка Ту параметра 0 называется более точной, чем оценка Т2, если Рг [1^-01 < |Т2-0|] > v2.

Покажите на примере, что могут существовать три статистики 7\, Т4, Т3, такие, что

Тх оценивает параметр 0 точнее, чем Т2,

Т2 оценивает параметр 0 точнее, чем Т3,

но Тз оценивает параметр 0 точнее, чем Тг.

Xi, Х2, ..., Хп являются взаимно независимыми случайными величинами, каждая из которых имеет дзета-распределение

Рг[Х = г] = [$(р+1)]-1г-<Р+1>,г = 1, 2

Составьте уравнение, которое можно использовать для построения оценки максимального правдоподобия параметра р.

Выведите также приближенную формулу для среднего квадратического отклонения указанной оценки.

Случайная величина X имеет плотность вероятности рх(х | 0), зависящую только от значений параметра 0; Рх(х|0) положительна для всех (конечных) значений х.

Xi, Х2, ..., Хп — взаимно независимые случайные величины, каждая из которых распределена как X, а Т (Хх, Х2, ... , Х^)— статистика, вычисленная по значениям этих случайных величин. Исследуя корреляцию между величинами Т и рх(Х1( ... , Хп | 02) / рхкхъ • • •> Х„ | 91). покажите, что

Var (Т I 6 ) - {Eriej-E^iejp

1 и^{£[(рх(*|е2)//>х(х|ба)2^^

Рассмотрите поведение этого неравенства в предельном случае, когда 62 стремится к 0Х, а 0Х остается неизменной.

Функция распределения непрерывной случайной величины Т является -непрерывной монотонно убывающей функцией единственного параметра 6. Покажите, что решения 0^ (Г) и 0//(Т) уравнений

Ft (Т | 9L (Г)) = 1 - 42«i,FT (Г 16Н (7)) =1/2«2

соответственно образуют 100(1—1/2ос1 — 1/2ос2)%-ный доверительный интервал для 0.

Объясните, почему полученный результат нельзя применять в случае, когда Т— дискретная случайная величина. Используйте распределение Пуассона в качестве иллюстрации.

Используя метод Блэкуэлла (разд. 7.2), покажите, что если Х1( Х2, ... ..., Хп являются независимыми случайными величинами, имеющими нормальное

9 № 819

распределение с известным средним квадратическим отклонением о0, но неизвестным средним значением, то для любых х3, х2 (при х} < х2) величина Ф((?2) — Ф №) является несмещенной оценкой величины Ф(х2)— Ф (хД когда 6у = {(ху- — Х)/о0}(*—Л’1)-^2 при / = 1, 2 (X — и~1 ^ X/). [Указание. Сначала покажите, что условное распределение величины Xj при заданном X имеет

вид Х(Х, о0 1^1—п"1). См. Barton D. Е., Unbiased Estimation of a Set of Probabilities, Biometrika, 48 (1961).]

Xn X2, .Xn — независимые случайные величины с распределением

. Покажите, как оп ре. Покажите, как оп ре>2>2X(g, О), x^n-^^; S= (^-D"1 S№-^r /2 "

. Покажите, как оп ре

. Покажите, как оп ре

>2

>2

делить L, чтобы

Рг [Pr [X < X + LS|X распределен как N^ 6)] >Р] = 1—е.

(На основе этого соотношения можно построить толерантные пределы для распределения случайных величин X/. См. разд. 9.8, где описаны толерантные области и методы их построения, свободные от распределений.)

Глава 8

НЕКОТОРЫЕ СТАНДАРТНЫЕ КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ И ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ

ВВЕДЕНИЕ

В предыдущей главе в общем виде были рассмотрены методы оценивания и критерии значимости. Обсуждались такие вопросы, как назначение критерия, необходимые предпосылки, вероятности ошибок и мощность. Кроме того, были отмечены различия между доверительными интервалами и критериями значимости, но при этом указывалось, что соответствующие доверительные интервалы часто легко можно использовать при построении критериев проверки гипотез и наоборот. Вообще критерии значимости предназначены для того, чтобы помочь исследователю прийти к решению: принять или отклонить определенную гипотезу. Методы же построения доверительных интервалов позволяют продвинуться несколько дальше и получить дополнительные сведения относительно совокупности, из которой была взята выборка.

Поскольку процедура проверки значимости в общем виде была рассмотрена выше, перейдем непосредственно к изучению частных критериев. Приведем для каждого из них проверяемые гипотезы, необходимые предпосылки, вероятности ошибок, положенные в основу статистики, критические области и возможные выводы.

В качестве иллюстраций представим несколько примеров.

Сначала остановимся на нескольких критериях значимости, основанных на предположении нормальности. В частности, рассмотрим критерии значимости для дисперсий и средних значений, когда исходные данные имеют нормальный закон распределения. Затем обсудим еще несколько полезных критериев.

ПРИМЕРЫ КРИТЕРИЕВ ЗНАЧИМОСТИ

Рассмотрим два примера применения критериев значимости. В первом из них предполагается, что выборка взята из совокупности с нормальным распределением, а во втором исходная совокупность имеет распределение Пуассона.

Пример 8.1. На трубопрокатном заводе выпускаются стандартные трубы с внутренним диаметром (ВД), равным 2,40 дюйма, причем дисперсия этой величины (о2) составляет 0,0004 дюйм2.

Для выборки, включающей 25 труб, проведены соответствующие измерения. Среднее значение ВД, вычисленное по этой выборке (измерения проводились в определенном месте трубы), составляет 2,41 дюйма. Можно ли утверждать, что выборка взята из указанной совокупности? Другими словами, есть ли основания считать, что среднее значение отклонилось от исходной величины (р0), равной 2,40 дюйма? Различие между выборочным средним и предполагаемым средним значением совокупности (р0) можно исследовать, используя отношение

где а^ = ст/)/25.

Эта величина U сравнивается с соответствующим теоретическим распределением. Если она больше по абсолютной величине, чем значение, которое можно было бы получить в силу случайного характера измерений, то делается вывод, что ход процесса нарушился в смысле изменения среднего значения. В противном случае можно сказать, что нет оснований считать, что изменилось среднее значение ВД. Используем критерий и сделаем выводы.

Вычисленное значение U равно

£/ = ^=^2 = 2,50.0,02/ /25

Если предположить, что исходная совокупность имеет нормальное распределение, а выборка извлекалась случайным образом, то величина U должна быть распределена по нормальному закону N (0* 1), если среднее значение равно 2,40 дюйма. При использовании 5%-ного уровня значимости гипотеза о равенстве среднего значения 2,40 дюйма отклоняется, если | U | > >1,96. Поскольку вычисленное абсолютное значение | U | превышает 1,96, то, применяя критерий, приходим к выводу, что среднее значение совокупности не равно 2,40 дюйма. Однако не следует утверждать (и даже подозревать), что вся производимая продукция дефектная или процесс в целом претерпел изменения. Скорее именно эта выборка (и любая из входящих в нее измеренных величин) взята из совокупности, про которую можно сказать, что ее среднее значение не совпадает с величиной 2,40.

Пример 8.2. При работе специального счетчика в некоторых заданных условиях среднее число отсчетов в течение одной минуты 6о = 4,О. За 10-минутный интервал было зарегистрировано Хо = = 31 отсчетов. Можно ли считать этот результат совместимым С ожидаемым? Предположим, что нас устраивает ситуация, когда мы с 5 %-ной вероятностью совершаем ошибку, делая вывод

о несовместимости выборки и совокупности, когда на самом деле они совместимы.

Среднее число отсчетов за 10-минутный интервал составляет 40. Положим, что есть основания принять для числа отсчетов закон распределения Пуассона.

Можно ли утверждать, что наблюдаемая величина 31 оказалась так далека от среднего значения 40 отсчетов за 10 мин только в силу случайности? Гипотеза о том, что среднее значение числа отсчетов за 10 мин равно 40, может быть отклонена с уровнем значимости, примерно равным 5%, если наблюдаемое число отсчетов не попадает в диапазон между значениями хх и х^ где

~V e~4o4Ox 0,05

Рг[Х>х1] = 2^-ТГ-^Т*

х = 0

х=х2

Значения х, и х2 равны соответственно 27 и 55. Следовательно, нет оснований полагать, что выборка взята из совокупности, отличающейся от предполагаемой.

Приближенно границы 95%-ного доверительного интервала для 10 0, среднего числа отсчетов за 10 мин, получаются при решении относительно 10 0 следующих уравнений:

Рг[ХРг[Хб-1о62 (io ег)* _ о,о5 х! ^ 2 ’б-1о62 (io ег)* _ о,о5 х! ^ 2 ’

Рг[Х

Рг[Х

б-1о62 (io ег)* _ о,о5 х! ^ 2 ’

б-1о62 (io ег)* _ о,о5 х! ^ 2 ’

Рг [XРг [XV е-^^рое,)^0,05

Рг [X

Рг [X

^Xgj — ^x)^2*

х=х0

(Отметим, что выбрать уровень значимости точно равным 0,05, или доверительную вероятность точно равной 95%, невозможно из-за дискретного характера распределения Пуассона.)

Другой подход состоит в том, что рассматривается доверительный интервал для ожидаемого числа отсчетов за 10 мин при условии, что в эксперименте был зафиксирован 31 отсчет. Тогда 95%-ный доверительный интервал (построенный с использованием табл. М) равен

21,0 < 100 <44,0.

Отсюда 95%-ный доверительный интервал для 0 равен

2,1<0<4,4.

Можно утверждать с вероятностью ошибки, составляющей 5%, что выборка совместима с совокупностью, поскольку значение 0о = 4,О лежит внутри построенного доверительного интервала.

ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЕВ ЗНАЧИМОСТИ

Процедура проверки значимости

В каждом из двух рассмотренных примеров были определены вероятности ошибок, статистики, лежащие в основе критериев, сделаны некоторые предположения и окончательные выводы. Проанализируем все это еще раз, но не с позиции общего подхода к проверке гипотез, а скорее с точки зрения статистика, которому нужно принять определенное решение. Используем в качестве иллюстрации пример 8.1. Рассматривался действующий процесс. Предполагалось, что имеет место определенное распределение совокупности значений (Х = ВД в дюймах).

В данном случае было принято предположение о нормальном распределении, причем значение одного из параметров распределения считалось известным (о2 = 0,0004 дюйм2). Если бы не было оснований для принятия какого-либо определенного закона распределения совокупности, то пришлось бы воспользоваться критерием, свободным от распределения. Решение о том, что объем выборки п должен равняться 25, принято, быть может, в результате проведенного исследования мощности критерия. Проверялась гипотеза //0:р = р0, где ц —среднее значение совокупности, из которой в действительности взяты выборочные значения, а р,о( = 2,4О)— предполагаемое в соответствии с гипотезой среднее значение совокупности. Были сделаны следующие предположения относительно выборки. Полагалось, что случайные величины, которым соответствуют выборочные значения Xv Х2, ..., Х2б, взаимно независимы, а вероятность ошибки первого рода составляет 0,05. Ошибка второго рода связана с альтернативной гипотезой. Как показано в (8.1), статистика

лежащая в основе критерия, при рассмотренных предположениях имеет нормальное распределение Х(0, 1), критические значения для U равны ±1,96, что показано на рис. 8.1. Гипотеза была отклонена, поскольку вычисленная величина превышала 1,96. При проведении рассмотренной выше процедуры проверки гипотезы нужно выполнить следующие этапы.

Сделать предположения, -указать гипотезу, вероятности ошибок (уровень значимости), статистику и критерий для принятия решения, как показано ниже.

Рис. 8.1. Критические значения для нормального распределения М (О, 1) при а —0,05.

Предположения: Х( являются независимыми величинами, взятыми случайным образом из совокупности, имеющей нормальное распределение; о2 =0,0004.

Гипотеза: Я0:р = р0.

Альтернативная гипотеза: р,^=|ы0.

Уровень значимости: а = 0,05.~

Статистика критерия: U — ^ ~Е° #

Решения: если | U | < 1,96, то Н^ принимается, если \U |^1,96, то Нй отклоняется.

Оперативная характеристика: 0 (р) = Pr [| U | < 1,961 Е [X] = р].

Извлечь выборку в соответствии с требованиями п. 1.

Сделать выводы.

Заметим, что объем выборки можно найти из условия ^(pJ^Pi (где pt и 0! являются заданными величинами).

Односторонние и двусторонние критерии

В предыдущей главе уже были рассмотрены различия между односторонними и двусторонними критериями, поэтому здесь следует лишь напомнить основные выводы. В первую очередь для любого конкретного критерия значимости ни в коем случае нельзя производить выбор между односторонней и двусторонней формами критерия после завершения эксперимента. Пусть, например, нужно сравнить средние значения для выборок А и В. Если нет оснований для априорных предположений, что одно из средних значений больше другого, то следует проверять гипотезу о равенстве средних. Альтернативной гипотезой будет предположение о том, что средние значения не равны между собой; при этом

их разность может иметь как положительный, так и отрицательный знак. Конечно, любая из двух выборочных статистик может оказаться как большей, так и меньшей. Уже одно это никак не может оправдать использования одностороннего критерия.

Иногда двусторонний критерий считают более подходящим, чем односторонний, даже в том случае, когда ожидается, что одна выборочная статистика будет больше другой. Например, известно, что некоторая термическая обработка стальных образцов приводит к определенному улучшению их прочностных свойств. Первая группа образцов подвергается термической обработке, а вторая нет. Одна из возможных гипотез записывается следующим образом:

/^О^ 92.

Если ожидается улучшение свойств обработанных образцов по отношению к свойствам необработанных точно на К единиц, то можно сформулировать более подходящую гипотезу:

Н^^+К.

Две рассмотренные гипотезы связаны с двумя разными вопросами. В рамках первой из них ставится вопрос, есть ли какой- нибудь эффект от термической обработки в смысле улучшения прочностных свойств образцов, а в рамках второй гипотезы выясняется, окажется ли усредненный результат для обработанных образцов на К единиц выше, чем для необработанных.

При правильной формулировке множества альтернативных гипотез подход, связанный с построением отношения правдоподобия, всегда позволит выяснить, какой из критериев—односторонний или ‘двусторонний — лучше в каждом конкретном случае.

В практических приложениях очень важно, чтобы выдвижение гипотез, выбор предположений, уровня значимости и критической области производились до того. как станет известно первое из выборочных значений. Никогда нельзя, глядя на уже полученную выборку, ставить вопрос: какие следует сделать предположения (или какие принять вероятности ошибок и т. д.)г чтобы доказать определенные утверждения?

Конечно, всегда полезно анализировать данные, чтобы выяснить, не подскажут ли они еще каких-нибудь гипотез. Это один из основных методов научного исследования. Статистические критерии могут быть применены неформально только при условии, что гипотезы формулировались независимо от данных. Новые гипотезы лучше проверять по результатам дополнительных опытов, а обоснованными могут считаться только те выводы, которые сделаны на основе дополнительных данных.

Связь с доверительными интервалами

При принятии или отклонении гипотез удобно пользоваться таблицами критических значений статистики, положенной в основу критерия. Ряд таких таблиц приводится в приложении.

Часто при проверке гипотез можно использовать таблицы, предназначенные для построения доверительных интервалов для рассматриваемого параметра (или параметров). Если предполагаемое значение параметра попадает в пределы 100(1—а)%-ного доверительного интервала, то при критерии, основанном на соответствующей статистике, и уровне значимости а принимают решение о справедливости гипотезы и наоборот. Не всегда удается поступать подобным образом, но для критериев общего типа, которые рассматриваются в этой главе, это вполне возможно.

Связь между проверкой гипотез и построением доверительных интервалов можно пояснить, используя следующую таблицу:

Проверка гипотезыПостроение теоретической моделиВыдвижение гипотезы //О:0 = 0ОВыбор статистики критерияОпределение критических значенийИзвлечение выборкиФормулировка выводовПроверка гипотезыПостроение теоретической моделиВыдвижение гипотезы //О:0 = 0ОВыбор статистики критерияОпределение критических значенийИзвлечение выборкиФормулировка выводовДоверительный интервалПостроение теоретический моделиФормулировка правила построения доверительного интервалаИзвлечение выборкиОпределение доверительного интервала для 0Сравнение 0О с доверительным интервалом для 0Формулировка выводовДоверительный интервалПостроение теоретический моделиФормулировка правила построения доверительного интервалаИзвлечение выборкиОпределение доверительного интервала для 0Сравнение 0О с доверительным интервалом для 0Формулировка выводов

Проверка гипотезы

Построение теоретической модели

Выдвижение гипотезы //О:0 = 0О

Выбор статистики критерия

Определение критических значений

Извлечение выборки

Формулировка выводов

Проверка гипотезы

Построение теоретической модели

Выдвижение гипотезы //О:0 = 0О

Выбор статистики критерия

Определение критических значений

Извлечение выборки

Формулировка выводов

Доверительный интервал

Построение теоретический модели

Формулировка правила построения доверительного интервала

Извлечение выборки

Определение доверительного интервала для 0

Сравнение 0О с доверительным интервалом для 0

Формулировка выводов

Доверительный интервал

Построение теоретический модели

Формулировка правила построения доверительного интервала

Извлечение выборки

Определение доверительного интервала для 0

Сравнение 0О с доверительным интервалом для 0

Формулировка выводов

Преимуществом подхода, основанного на построении доверительных интервалов, является то, что получается дополнительная информация об истинном значении параметра.

В этой главе дан обзор критериев значимости и показано, как использовать доверительные интервалы при проверке гипотез. Каждый, кто хочет пользоваться статистическими методами, должен владеть обоими рассмотренными подходами. При простых критериях подход, основанный на доверительных интервалах, реализуется довольно легко, но его использование в более сложных случаях, как, например, при анализе дисперсий (см. гл. 13 и 15), оказывается трудной задачей.

Исключение выбросов

Время от времени мы подчеркиваем, что выбор проверяемой гипотезы должен производиться до того, как начат анализ данных. Новая гипотеза, конечно, может быть сформулирована в результате анализа данных, но тогда для ее проверки необходимо провести дополнительные эксперименты. Выбор процедур анализа

данных не должен быть связан с идеями, возникающими при изучении тех же данных.

Однако данные не только можно, но и необходимо проверять, если возникли явные отклонения от условий, при которых предполагалось использовать статистическую процедуру. При выборе метода экспериментирования, отборе экспериментального материала или просто при регистрации результатов наблюдений всегда могут быть допущены такие ошибки, которые приводят к совершенно неверным выводам, даже в том случае, если применялась формально корректная процедура.

Возможны различные воздействия ошибок на результат, но в данном разделе будут рассмотрены только такие ошибки, которые приводят к существенному отклонению отдельных значений от основной массы результатов, полученных при наблюдении одной переменной. С такими ошибками приходится сталкиваться наиболее часто, но и выявляются они, к счастью, весьма просто. Ошибочным наблюдениям иногда дают естественные названия „грубые”, „невероятные" или просто „выбросы”п. На рис. 8.2

р

Рис. 8.2. Выброс.

приведена точечная диаграмма, иллюстрирующая ситуацию, когда можно подозревать наличие выбросов. Здесь представлены результаты десяти опытов. Наблюдение, обозначенное буквой Р, представляется подозрительным.

Разработан ряд критериев, с помощью которых принимаются решения, следует ли такое наблюдение, какР, считать слишком подозрительным, чтобы включать его в выборку.

Эти критерии носят скорее эвристический характер, чем опираются на общие принципы, такие, как требование наибольшей мощности. Кроме того, почти все они относятся к совокупностям, имеющим нормальное распределение, но если это потребуется, то можно построить подобные критерии для других типов распределений.

В табл. К приложения приведены доверительные границы для некоторых критериев исключения выбросов, применимых в предположении, что совокупность имеет нормальное распределение. Во всех случаях исключение выбросов (т. е. удаление

г) Ошибочные наблюдения также называют аномальными, выпадающими, резко выделяющимися. —Прим. ред.

Критерии, значимости и доверительные интервалы 267 их из выборки) производится, когда расчетное значение критерия превосходит табличное. Доверительные границы вычислены таким образом, что вероятность превышения этих границ в случае, когда случайная выборка целиком взята из одной нормально распределенной совокупности, совпадаете определенным уровнем значимости. Поскольку статистики, используемые в критериях, основаны на экстремальных выборочных значениях (наибольших, наименьших, наибольших среди максимальных и т. д.), то их распределения, по-видимому, окажутся весьма чувствительны к отклонениям от нормальности. Это общий недостаток всех критериев, используемых для исключения выбросов.

Наиболее простым является случай, когда имеется только один выброс. Выбросов, конечно, может быть и больше. Обычно используется процедура последовательного типа, когда выбросы удаляются по одному до тех пор, пока результаты не окажутся незначимыми. Однако наличие нескольких выбросов может уменьшить кажущуюся значимость большего из них. Критерии ^21 и ^22 предназначены для случая, когда предполагается наличие двух выбросов. Однако все возможные ситуации учесть слишком трудно.

Если число ошибочных наблюдений превышает 3 или 4, то возникает серьезный вопрос об однородности выборки наблюдений. В-этом случае приходится решать, была выборка взята из одной совокупности (имеющей, скажем, нормальное распределение) или из смеси двух и более (нормальных) совокупностей. Последняя задача здесь не рассматривается.

Пример 8.3. При следующих температурах (по шкале Фаренгейта) происходит сгорание десяти образцов керамических покрытий: 1430, 1520, 1460, 1470, 1480, 1340, 1460, 1520, 1450 и 1500. Если упорядочить результаты наблюдений по [величине, т. е. Xi < Лз <... < Х^ то получится следующая последовательность наблюдений: 1340, 1430, 1450, 1460, 1460, 1470, 1480, 1500, 1520, 1520. Запишем отношение

х^-х; _ 1430-1340 _ 90 0

X^i-Xi " 1520 — 1340 180 “

Обращаясь к табл. К приложения, находим, что критическое значение при а = 0,05 и п=10 равно 0,477. Следовательно, имеются достаточные основания для того, чтобы исключить (этим объективным методом) выброс 1340 из рассмотренных экспериментальных данных. Далее можно продолжить проверку наличия выбросов среди оставшихся девяти наблюдений, но теперь уже ясно, что они отсутствуют.

КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ

ДЛЯ ДИСПЕРСИЙ НОРМАЛЬНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

В этом и последующих разделах предполагается, что мощность используемого критерия -известна, и эта информация принимается во внимание при определении необходимого объема выборки. Сначала рассмотрим критерии, основанные на предположении о нормальности распределения исходной совокупности.

Рассмотрим три случая, относящихся к проверке гипотез о дисперсиях нормально распределенных совокупностей: 1) проверка совместимости выборочного значения дисперсии с предполагаемым или известным значением дисперсии совокупности, 2) сравнение двух выборочных дисперсий и 3) проверка однородности нескольких выборочных дисперсий.

Совместимость выборочной дисперсии с известнойвеличиной

Предположим, что значение дисперсии совокупности установлено на основе прошлого опыта. Обозначим это значение через о2. Взята выборка объемам. Можно ли принять гипотезу Нй\ог = <Г^ где о2 —дисперсия нормально распределенной совокупности, из которой взята выборка?

В гл. 5 было показано, что статистика (м—l)S2/o^ распределена как %2сп~1 степенями свободы. Используем процедуру, рассмотренную в разд. 8.3.

Предположения: Х( являются независимыми случайными величинами, имеющими нормальное распределение 2V(p, о).

Гипотеза: Н^&^У^

Альтернативная гипотеза: o2^=Oq.

Уровень значимости: а.

Статистика критерия: S2.

Решение: если Xn-i, а/2 < (я — l)S2o0"2 < Xn-i,i-a/2, то принимается Но\ в противном случае Но отклоняется.

Оперативная характеристика:

РГ [Хя-1, а/2 < (^ — 1) S2O0-2 < Хп-1, 1-а/2 | О' = Ог] =

= Рг [(Оо/01)2Хга-1, а/2 < Xn-i < (Oo/Oi)2 Хп-1,1-а/2]*

Пример 8.4. В результате проведения стандартной процедуры проверки коэффициента упругости образцов резины установлено, что среднее квадратическое отклонение при измерении этого коэффициента составляет 18,0 единиц. Взята выборка объема 20 и получено S = 23,2 единицы. Обосновано ли предположение о нестабильности стандартной процедуры проверки коэффициента

упругости? Гипотеза записывается следующим образом: а2 = =а2( —324). Пусть вероятность ошибки первого рода ос составляет 0,05. Вычисленное значение статистики критерия равно

(п_ 1)52_ 19. (23,2)2 _

а2 ™ (18,0)2 ^Не-

критические значения для двустороннего критерия оказались равными Х19; о,о25 — 8,907 и xt; 0,975 32,85. Критическое значение для одностороннего критерия (также при а =0,05) равно либо Xig; о,о5 Ю,12, либо Xig; о,95 — 30,14. Первое из них применимо при проверке альтернативной гипотезы а2 < о2, а второе при а3 > Оо- В последнем случае, проверяемую гипотезу следует отклонить; нельзя утверждать при использовании двустороннего критерия, что рассеяние изменилось —для этого недостаточно „объективных" данных. Несомненно, что решение о том, какая из альтернатив применима в каждом конкретном случае, должно быть принято до начала анализа результатов эксперимента.

В рассмотренной задаче подход, основанный на использовании доверительных интервалов, требует построения 100(1—а)%- ного доверительного интервала для о2, а именно

(п-1)32(п— 1) S2m

от ^— ДО \2(8.2)

1-а/2Лп-1, а/2

Для примера 8.4 95%-ными границами интервала для о2 должны быть

(19)-(23,2)2(19)-(23,2)2

32,85 И 8,907’

или 311,3 и 1148,1. Соответствующие границы для о должны быть равны 17,6 и 33,9. Отметим, что предварительно заданное значение о0 = 18,0 находится между этими границами.

Сравнение дисперсий нормально распределенныхсовокупностей

Предположим, что взяты две выборки А и В объема пА и пв. Требуется решить, есть ли основания считать, что они взяты из совокупностей, имеющих нормальные распределения с одной и той же дисперсией. Кратко можно записать: Предположения: XAv ХАг, ..., ХАпд представляют собой независимые случайные величины, взятые из совокупности N (Рл, Од);

ХВ1, -^В2> Хв„в—независимые случайные величины, взятые из совокупности N (цд, од).

Гипотеза: Н0:а^ = Ов.

Альтернативная гипотеза: о\^=Ов-

Уровень значимости: а.

Статистика критерия: S^/Sy.

то принимаетсято принимаетсяН6,Н6,Решение: если ЕХд, ^& ai»<-^< ЕХд, ^ !_а/2,

то принимается

то принимается

Н6,

Н6,

в противном случае Нй отклоняется (ул = пА — 1;

Vy = rty—1).

Как показано в гл. 5, в данном случае

sWa

8гв/ав

имеет F-распределение Фишера с числом степеней свободы vA, vb- Если гипотеза Но справедлива, то это отношение можно записать просто как Sa/Sb-

Следовательно, оперативная характеристика имеет вид

Г

Р^д, Vg, а/2 < Та < Fva, vb, i-a/21 Од» О в =

— Рг [(<Уд/<Ул)2^л, vB, а/2 < Р^Л> ув < (ов/(Ул)а F^ у& i—а/з]-

В таблицах обычно приводятся значения ^л, vB, i-a/г только для малых а, но всегда можно применить соотношение

vл, vB, a/2— (^л, vB, i-a/2,

Чтобы проверить гипотезу Но\ используя двусторонний критерий, вычисляют

F* = S12/S|> 1(8.3)

(т. е, большую из двух выборочных дисперсий обозначают через Si). Вычисленную величину сравнивают с критическим значением FV1,V„ i-a/2, где vf—число степеней свободы, соответствующее оценке S2 (/ = 1, 2).

Пример 8.5. Чтобы выяснить, варьирует ли от одного дня к другому величина изменчивости температуры высокоскоростного аппарата, в первый день было проведено 12 измерений, а во второй 10. Среднее квадратическое отклонение в первый день (А) составило 23° F, а во второй (В) 30° F.

При рассмотренных предположениях и a =0,05 критическое значение F-критерия с 9 и 11 степенями свободы F9; н; 0|97б =3,59. Можно сказать, что различий в дисперсиях, измеренных в разные дни, не обнаружено, так как F* = 302/232 = 1,70, что меньше

критического значения. Такой же вывод можно сделать, проверив, включает ли доверительный интервал для од/ов значение 1 при заданных 5д — 23 и Зв" 30.

Равенство дисперсий нескольких нормальнораспределенных совокупностей

Теперь рассмотрим случай, когда имеется к выборок с дисперсиями 81 (i=l, 2, ..., к). Гипотеза состоит в том, что /70: (уз^да^ ^дг^^ Предположения и критические значения такие же, как и в предыдущем случае, за исключением того, что сравниваются не две, а к выборок. Статистика критерия, построенная методом максимального правдоподобия, имеет вид

Х2* = I vlnS»—5vzlnS?l, (8.4)

2(i/va-i/v L< J

1 j—5 3(6-1)

где S* и vz— соответственно дисперсия и число степеней свободы (nz—1), относящиеся к t-й выборке, а

S^v-^v,^.(8.5)

и

v = 5vf(8-6)

Если гипотеза Но справедлива, то величина %2* распределена примерно как %2* с (к—1) степенями свободы. Очень часто при вычислении %2* корректирующий множитель Г^ (к— 1)-1х X^vf1— v~1] можно опустить. Рассмотренный критерий — это предложенная Бартлеттом модификация критерия, разработанного Нейманом и Пирсоном.

Гипотезу HQ отклоняют, если наблюдаемое значение %2* достаточно велико. Отметим, что этот критерий является существенно односторонним.

Пример 8.6. Требуется решить вопрос об однородности дисперсий, полученных при определении предела прочности на разрыв нескольких- различных по структуре полимеров. Испытания проводились на восьми образцах каждого из шести исследуемых полимеров. Следующие числа представляют собой оценки дисперсий в кодированном виде: 3,24; 4,18; 4,06; 3,98; 4,19; 4,02 (единиц)2. Нужно проверить гипотезу Но; о2 = о!= ... =о|. Допустим, что необходимые предположения выполняются, а уровень значимости а = 0,01. Тогда, используя формулы (8.4) и

(8.6), получаемХ2* =(8.6), получаемХ2* =v,.lnS|lv,.lnS|l

(8.6), получаем

Х2* =

(8.6), получаем

Х2* =

v,.lnS|l

v,.lnS|l

1

S(l/v;)-l/v i

3 (k— 1)

откуда

х2*=-

1

Se/,)-1^ i

3-5

7(3,24 + 4,18+ ... + 4,02)

42

—7(ln3,24 + ln4,18+...+ln4,02)j , так как к = 6, ч; = пг—1=7, v = 42. Следовательно,

X2* = 18/i* [42 1л 3,945 —7 (1л 3,24 + In 4,18 + ... + In 4,02)] =.= 18А9 [0,15666] = 0,1484.

Поскольку эта величина значительно меньше xt 0,99, то нет оснований считать дисперсии неоднородными. Гипотеза принимается.

Следует помнить, что критерии, описанные в этом разделе и разд. 8.4.1, 8.4.2, можно использовать только при исследовании выборок из нормально распределенных совокупностей. Они не могут быть рекомендованы в случае, когда можно ожидать отклонений от нормальности. Такой случай будет рассмотрен в разд. 9.1.

Существуют критерии для сравнения дисперсий нескольких совокупностей, когда альтернативной гипотезой является не просто неоднородность дисперсий, а наличие среди них дисперсии (неизвестной), превосходящей по величине остальные. К таким критериям относится критерий Кохрэна, рассматриваемый в разд. 13.14.3.

КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ ДЛЯ СРЕДНИХЗНАЧЕНИЙ НОРМАЛЬНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

В этом разделе рассматриваются следующие задачи: ^сравнение выборочного среднего со средним значением совокупности, 2) сравнение двух выборочных средних значений при некоррелированных выборках, 3) сравнение двух выборочных средних при коррелированных выборках и 4) сравнение более чем двух средних значений. В большинстве таких задач следует учитывать, известны ли дисперсии совокупностей и предполагаются ли они равными,

Проверка гипотезы о равенстве среднего значениясовокупности заданной величине

Эта статистическая процедура при условии, что величина о2 известна, характеризуется следующим.

Предположения*, величины Xz, распределенные по нормальному закону N (р, о), являются случайными и независимыми.

Гипотеза*. Я0:ц^ц0.

Альтернативная гипотеза*. р^р0.

Уровень значимости*, а.

Статистика критерия*. U^=^^.

Решение*, если \U\ < Ui_a/2, то гипотеза Но принимается, в противном случае Но отклоняется.

Такая процедура использована в примере 8.1. Предположим теперь, что величина о2 неизвестна. Нужно получить выборочную оценку а2. В качестве такой оценки можно использовать выборочную дисперсию S2. В гл. 5 отмечалось, что статистика

Т=^=^(8.7)

SlVn

имеет /-распределение Стьюдента с п—1 степенями свободы. Эта статистика вычисляется так же, как и в рассмотренном выше случае, но критические значения tn~i, а/2 и /n_lf 1_а/2 выбираются по таблицам /-распределения Стьюдента. Этот критерий также получен методом максимального правдоподобия. Возвращаясь к примеру 8.1 в разд. 8.2, найдем критические значения ± /24; 0,975 = ± 2,064. Необходимо заметить, что критические значения, вычисленные при неизвестной дисперсии, больше, чем при известной (или предполагаемой) величине дисперсии. Это понятно, поскольку при неизвестной дисперсии уровень неопределенности выше, и, чтобы сделать вывод о различии между средними значениями совокупностей с той же достоверностью, требуется большее расхождение между выборочными средними.

Сравнение средних значений совокупностей

В данном случае предполагается, что выборки некоррелиро- ваны. Рассмотрим четыре варианта возможных предположений, а именно: а) обе дисперсии известны и равны между собой, б) обе дисперсии известны, но не равны между собой, в) обе дисперсии неизвестны, но предполагается, что равны между собой, г) обе дисперсий неизвестны, а предположения об их равенстве не сделано. Гипотезы, предположения и вероятности ошибок для всех четырех случаев могут быть одинаковыми, за исключением единственного предположения о равенстве диспер-

сий. Проверяется гипотеза: Я0:р1 = р2, а альтернативная гипотеза имеет вид ^^Цг-

Для случая, когда обе дисперсии известны и равны между собой, статистика, лежащая в основе критерия, имеет вид

и =^1-^2(8.8)

<7 1/1

п2первой выборки, a Ха = яг12 Х2- и п2— выборочное среднее зна* i= 1чение и объем второй выборки. Статистика критерия имеет нормальное распределение при обычных предположениях о нормальности, случайности и независимости значений в каждой из выборок. Критические значения представляют собой 100а/2 и 100(1—а/2)%-ные точки распределения N (0, 1).В случае, когда значения обеих дисперсий известны, но не равны между собой, статистика критерия имеет видп2первой выборки, a Ха = яг12 Х2- и п2— выборочное среднее зна* i= 1чение и объем второй выборки. Статистика критерия имеет нормальное распределение при обычных предположениях о нормальности, случайности и независимости значений в каждой из выборок. Критические значения представляют собой 100а/2 и 100(1—а/2)%-ные точки распределения N (0, 1).В случае, когда значения обеих дисперсий известны, но не равны между собой, статистика критерия имеет видгде Х1 = п1~15 -^1/ и пг—выборочное среднее значение и объем 7= 1

п2

первой выборки, a Ха = яг12 Х2- и п2— выборочное среднее зна* i= 1

чение и объем второй выборки. Статистика критерия имеет нормальное распределение при обычных предположениях о нормальности, случайности и независимости значений в каждой из выборок. Критические значения представляют собой 100а/2 и 100(1—а/2)%-ные точки распределения N (0, 1).

В случае, когда значения обеих дисперсий известны, но не равны между собой, статистика критерия имеет вид

п2

первой выборки, a Ха = яг12 Х2- и п2— выборочное среднее зна* i= 1

чение и объем второй выборки. Статистика критерия имеет нормальное распределение при обычных предположениях о нормальности, случайности и независимости значений в каждой из выборок. Критические значения представляют собой 100а/2 и 100(1—а/2)%-ные точки распределения N (0, 1).

В случае, когда значения обеих дисперсий известны, но не равны между собой, статистика критерия имеет вид

(8.9)(8.9)^i-X2

(8.9)

(8.9)

Пу П2

Она распределена как N (0, 1) при тех же дополнительных предположениях и критических значениях, как в случае а).

В том случае, когда значения дисперсий неизвестны, но предполагаются равными между собой, критерий может опираться на выборочные дисперсии совокупностей. Обе выборочные дисперсии S? и S1 являются оценками одной и той же дисперсии совокупности а2. В связи с этим представляется разумным ввести объединенную оценку с числом степеней свободы, равным сумме степеней свободы исходных оценок. Объединенная оценка имеет вид

22п'1_

5v,S| s ^Хц-Х^

Sp = ^= ‘^^2. где vf = nz—1.(8.10)

Sv/Sv;

<=1/=1

(Последнее выражение предпочтительнее, поскольку позволяет уменьшить вычислительные погрешности, связанные с ошибками округления.) Статистика критерия

Т = ™7^(8.11)

sp V тгп;

имеет /-распределение Стьюдента с ч = П1 + па — 2 степенями свободы при р1 = ра.

Пример 8.7. Чтобы определить силу сцепления клеевых соединений двух стекол, были проведены испытания на растяжение. Исследовались образцы, у которых обработка склеиваемых поверхностей производилась двумя различными методами, называемыми 1) перекрестной шлифовкой (cross lap) и 2) торцевой обточкой (square center).

Требуется решить при уровне значимости а = 0,05, могут ли эти данные быть взяты из нормально распределенных совокупностей с одинаковыми средними значениями. Необходимо проверить гипотезу //0+i = P'2 в предположении случайности и независимости выбора образцов при испытании соединений каждого типа, а также равенства дисперсий. Поскольку величина дисперсии неизвестна, оценим се по обеим выборкам, используя формулу (8.10), следующим образом:

02 (^1— 0 5?+ (П2— 1) $2

Р—/1^112 — 2”

[s^t— (s хм )7«q+[2 (s ^/)7П2]

Таблица 8.1

Сила сцепления образцов склеенных поверхностей

Перекрестная шлифовка

Торцевая обточка

Перекрестная шлифовка

Торцевая обточка

1620

1314

1817

1713

1415

1918

1915

1410

1918

2115

Вычислим оценки Хх = 17,4 и Х2=15,1. Подставив эти значения в (8.11), получим

Т =17,4-15,1= 2,3. q7

Следует принять нулевую гипотезу ц1 = р-2, поскольку критические значения двустороннего 5%-ного критерия равны ± ^1в; о,975 = ± 2,101. Нет оснований утверждать, что один из типов соединений прочнее другого. Двусторонний критерий был использован потому, что отсутствовала априорная информация, позволяющая предположить, что одно из соединений прочнее другого.

Как выбрать один из двух типов соединений? Конечно, следует выбрать тип соединения, в среднем наиболее прочный. Однако статистически доказать его преимущество не удается (при а = 0,05, произвольно выбранном до начала исследования).

Наконец, в случае когда обе дисперсии неизвестны и не пред- полагавтся, что они равны, статистика критерия [10] есть

(8.12)

Ее распределение близко к ^-распределению Стьюдента с числом степеней свободы

(8.13)(8.13)

(8.13)

(8.13)

Отметим, что величина v всегда лежит между наименьшим из (пх—1) и (п2—1) и их суммой (^4-Пц—2).

Таблица 8.2Таблица 8.2Пример 8.8. При производстве синтетического волокна для уменьшения последующей усадки продукция, движущаяся непрерывным потоком, подвергается термической обработке. В табл. 8.2

Таблица 8.2

Таблица 8.2

Усадка синтетического волокна в процентах

120°С140"С

3,45 3,623.64 3,563,57 3,443,45 3,623.64 3,563,57 3,443,60 3,493,52 3,533,56 3,433,60 3,493,52 3,533,56 3,433,72 4,014,03 3,403,60 3,763,72 4,014,03 3,403,60 3,763,54 3,673,963,913,54 3,673,963,91

3,45 3,62

3.64 3,56

3,57 3,44

3,45 3,62

3.64 3,56

3,57 3,44

3,60 3,49

3,52 3,53

3,56 3,43

3,60 3,49

3,52 3,53

3,56 3,43

3,72 4,01

4,03 3,40

3,60 3,76

3,72 4,01

4,03 3,40

3,60 3,76

3,54 3,67

3,96

3,91

3,54 3,67

3,96

3,91

приведена величина усадки в процентах для волокон после обра- ботки при двух температурах 120 и 140° С. До начала эксперимент» предполагалось, что дисперсии усадки а? и а| при рассмотренных температурах не равны между собой. Требуется проверить при а = 0,01, будет ли усадка при 140° С больше, чем при 1209С. Сначала преобразуем данные следующим образом:

Уц = 100 ^Хч—3,40),

где Х,у представляет собой величину усадки в процентах для /-го волокна при температуре i [1) i=120°C, 2) t=140°CJ.

В результате преобразования получаем

120° С

140° С

5

22

20

9

32

61

14

27

24

16

12

13

63

0

56

17

4

16

3

20

36

51

Выборочные статистики, вычисленные по значениям Y, равны/ = 13,4,/ = 36,0,

5? = 49,54, S| = 456,89, rtj 12,10#

Подставив эти значения в формулу (8.12), получим

13,4 — 36^0 —22,6

1/49,54 456,89 “ V49,8173

V 12 + ю

41; о,о»^/1241; о,о»^/12//41; о.оо1^:/1241; о.оо1^:/12Hi < Yx 4Hi < Yx 4Число степеней свободы v, вычисленное по формуле (8.13), равно 10,6. Поскольку есть априорная информация о том, что большая усадка имеет место при более высокой температуре, сравним вычисленное значение t с Ло,#; o,oi ~—2,735 (или Ло,в; о,»»» « + 2,735, если в качестве числителя в выражении для t взять величину /—Y^. Далее, если требуется построить 98%-ный доверительный интервал для величины усадки при 120°С в процентах, то в первую очередь нужно закодировать заново данные

41; о,о»^/12

41; о,о»^/12

/

/

41; о.оо1^:

/12

41; о.оо1^:

/12

Hi < Yx 4

Hi < Yx 4

Это соответствует следующему выражению "в исходных единицах.

(0,01/+ 3,40)—0,01< Нпо» <

<(0,01/ + 3,40) + 0,01-^=^,

3,534-0,01.2,718-2,03 < нао. < 3,534 + 0,01.2,718-2,03.

Границы доверительной области для р1а0 равны приблизительно 3,479 и 3,589.

Равенство средних значений совокупностейпри парных или коррелированных выборках

Существует много задач, в которых две выборки взаимосвязаны в силу особенностей планирования эксперимента или потому, что избежать этой связи невозможно. Иначе говоря, существует посторонний фактор (или факторы), не относящийся к различию между выборками Л и В. Например, это имеет место тогда, когда признаки Л и В измеряются на одном и том же объекте. Чтобы учесть взаимосвязь выборок, берут соответствующие выборочные значения парами (X* из Л и ¥г из В, Х2 из Л и У2 из В и т. д.) и исследуют их разности D^Xt — Y^ Гипотеза и предположения в этом случае отличаются от предыдущих случаев, но они совпадают с описанными в последней части разд. 8.5.1. Их можно записать следующим образом.

Предположения*, случайные величины Dv D^. ..., Dn выбраны случайным образом из совокупности с распределением N (Цд. ^dY

Гипотеза: р-д = 0.

Альтернативная гипотеза: р-д^О.

Уровень значимости: а.

„„ 5—0

Статистика критерия: Т = —я^- .

Решение: если | Т | < tn-x, i-а/а, то гипотеза Нй принимается; в противном случае Но отклоняется.

Заметим, что число степеней свободы на единицу меньше, чем число пар (т. е, равно п — 1). Оно всегда оказывается меньше числа п1 + п2 —2(= 2м —2), за счет чего мы по существу снижаем дисперсию, связанную с посторонним фактором, если такой имеет место. Часто эта посторонняя дисперсия скрывает истинное различие выборок, которое и является целью исследования.

Рассматриваемая процедура применима, когда модель записана в виде

X= X; -|- Z'b

Y{ = Xi + 6+Zl.

Здесь величины х{ могут быть как константами (параметрами), так и случайными величинами; 6 —константа; Z{, Z2Z„ — взаимно независимые случайные величины, так же как и Zb Z2, ... ..., Z„. Величина Z\ может быть связана с ZL но она должна быть независима от ZJ при / ФI. Тогда

Di = Xt-Yi = 6-VkZi-Zi) = b-^Z1

Критерии значимости и доверительные интервалы27У и при условии, что Var (Zz) не зависит от I [а это так, если каждая из величин Var (Zz), Var(Z^) и Cov(Zt', Z/) является константой], можно использовать описанный метод для проверки гипотезы 6 = 0.

Пример 8.9. В качестве примера проверки гипотезы о средних значениях рассмотрим данные, полученные при испытаниях шин. Несмотря на то что использовался критерий, специально предназначенный для выявления различий между парными наблюдениями, на первом этапе эти различия выявлены не были (исследование было проведено некорректно). Значимого различия не было обнаружено. В дальнейшем при исследовании использовалась методика, более подходящая для анализа парных наблюдений, что позволило получить полезные выводы. В табл. 8.3 при-

Таблица 8.3

Условные значения температур левой и правой передних шин

Левая передняя (ЛП)

Правая передняя (ПП)

а=пп-лп

Левая передняя (ЛП)

Правая передняя (ПП)

^=пп-лп

36

27

-9

41

60

19

42

45

3

40

34

—6

55

84

29

100

117

- 17

59

84

25

58

78

20

79

70

-9

38

56

18

108

99

-9

73

85

12

79

84

5

89

65

—24

41

77

36

58

72

14

36

56

20

60

85

25

47

86

39

ведены результаты такого исследования. Эти данные представляют собой температуру, до которой нагревается шина при движении рейсового автобуса. Приведенные цифры являются результатами испытания левых и правых передних шин 19 автобусов. Рассмотрены три варианта нагрузки на каждую шину —один при движении по поверхности с частыми и острыми ребрами и два при движении по более мелким неровностям. При этом замечено, что при движении по поверхности с частыми ребрами шины нагреваются до более высокой температуры. Не будем рассматривать все три случая, а изучим сначала только наблюдения, полученные при движении автобусов по поверхности с частыми ребрами. Эти данные приведены в табл. 8.3.

Для указанных результатов D = 11,84, а $5 = 3,92. Подставив эти величины в выражение

получим

При а —0,05 критическое значение ^i8; 0,975 =2,101, и гипотезу о равенстве температур правой и левой передних шин следует отклонить. Теперь уже есть основания для продолжения исследований по выявлению различий в температуре. Нужно определить, какие особенности дорожного покрытия или другие факторы следует включить в рассмотрение. Если все полученные результаты удастся обосновать, то появится возможность разработать некоторые модификации шин с учетом того, что повышенная температура свидетельствует о большем износе шин.

Сравнение более двух средних

Иногда возникают вопросы, связанные со сравнением более двух средних значений. Большинство таких ситуаций будет рассмотрено в первой из глав (гл. 13), посвященных дисперсионному анализу. Здесь мы остановимся лишь на одном особом случае. Предположим, что требуется проверить гипотезу о равенстве 6 средних значений, т. е. Я0:р1 = р2 = ... = рА, когда извлечено к выборок. Нужно выяснить, могут ли все выборки относиться к одной нормально распределенной совокупности N (р, а). Отметим, что дисперсии всех совокупностей предполагаются равными (но неизвестными). Предполагается также, что выборки являются случайными. При этих ограничениях можно получить несмещенную оценку о2, а именно

ns? sspq,— ^4

sp="V^nr= ‘ v<n n ’<8-15)

iI

где i=l, ..., к\ j = \,...,nf, п,—объем i-й выборки, a S?— оценка дисперсии по Z-й выборке. Величина Sp/гц является оценкой дисперсии среднего значения Х;. Один из методов проверки указанной выше гипотезы состоит в исследований размаха средних значений с использованием распределения стьюдентеризованного

(8.16)(8.16)размаха. Предположим, что все гц равны (скажем п^ а размах для значений Xz записывается как ^х^^макс — ^мин- Распределение стьюдентеризованного размаха Q,

(8.16)

(8.16)

табулировано и приведено в табл. И.

Пример 8.10. На сталелитейном заводе возникли подозрения относительно постоянства содержания марганца в одной из марок выпускаемой стали. В течение восьми недель производилось по 10 отливок в неделю (при разной температуре ковшей). В табл. 8.4

Процентное содержание марганца

Таблица 8.4

, установленное при анализе отливок

Номер

з

4

5

6

7

8

выборки

1,20

1,39

1,18

1,22

1,21

1,30

1,33

1,13

1,17

1,31

1,17

1,15

1,24

1,35

1,35

1,11

1,15

1,29

1,08

1,17

1,19

1,25

1,27

1,20

1,21

1,28

1,15

1,22

1,17

1,26

1,30

1,12

1,14

1,30

1,18

1,26

1,15

1,23

1,24

1,13

1,17

1,28

1,09

1,27

1,18

1,24

1,30

1,08

1,18

1,34

1,06

1,19

1,17

1,26

1,27

1,15

1,21

1,32

1,08

1,22

1,17

1,33

1,29

1,17

1,25

1,30

1,15

1,20

1,25

1,28

1,34

1,Н

1,14

1,35

1,06

1,15

1,18

1,24

1,28

1,16

Средние

1,182

1,316

1,120

1,205

1,191

1,274

1,297

1,136

значения

Дисперсия- 104

12,6222

12,2667 25,3333

17,1666

10,5444

16,4889 12,0111

12,0444

приведены результаты исследований этих отливок. Приведенные цифры показывают процентное содержание марганца в каждой отливке. Необходимо решить, можно ли при уровне значимости а = 0,01 считать, что отливки относятся к совокупностям с одним и тем же средним значением, т. е. //^^ =р2 — ... =р8. Предполагая, что выборки взяты из совокупностей с нормальным распределением и одинаковыми (но неизвестными) значениями

дисперсии, определим эту дисперсию как

Sp = -^5— = ^‘^J0"* = 14,8097.10-

72

Тогда наблюдаемое значение стьюдентеризованного размаха равно

1,316—1,120_ 0,196

0,0385/^10 ”0,0122

Критическое значение, взятое из табл. И, равно qn=&, v=72; 0,99 ^

5,2. Поэтому можно сказать, что отсутствие однородности средних значений совокупностей, из которых взяты выборки, достаточно очевидно.

НЕКОТОРЫЕ СТАНДАРТНЫЕ КРИТЕРИИЗНАЧИМОСТИ

Стандартные критерии проверки гипотез относительно дисперсий и средних значений, рассмотренные в разд. 8.4 и 8.5, сведены в табл. 8.5. Знакомство с этой таблицей ни в коей мере не может заменить тщательного изучения проблем, связанных с проверкой различных предположений. Она служит скорее для облегчения ссылок и сравнения рассматриваемых критериев."

В первом столбце таблицы представлены проверяемые параметры, а во втором—условия, при которых производится проверка. Далее приведены статистики критериев, их распределения и критические значения двустороннего критерия. Во всех случаях предполагается, что выборочные значения являются случайными независимыми величинами и имеют нормальное распределение.

КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИДЛЯ БИНОМИАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

В этом разделе рассматриваются две задачи; а) сравнение выборочной оценки параметра р с предполагаемым значением р0 этого параметра для совокупности и б) сравнение двух и более оценок параметра р совокупности, имеющей биномиальное распределение.

Сравнение значения р0 параметра совокупностии его выборочной оценки

Пластмассовые контейнеры должны обладать определенной прочностью. При исследовании 100 образцов контейнеров было обнаружено, что два из них не удовлетворяют критерию прочности. Что можно сказать относительно вероятности (1— р) того,

!) сс—степени свободы.!) сс—степени свободы.

!) сс—степени свободы.

!) сс—степени свободы.

что выбранный случайным образом контейнер будет удовлетворять требованиям прочности? Известно, что величина Х/п, где X—число дефектных контейнеров, является оценкой максимального правдоподобия для Параметра р. Предположим, что требуется проверить гипотезу о равенстве доли дефектных изделий величине Р« = 0,01. Эта гипотеза записывается следующим образом: Н6;р = — Ро(=О,О1), где р — истинная Доля дефектных изделий в совокупности, из которой взята Выборка, а р0—ее предполагаемое значение.

В этом случае представляется естественным рассматривать альтернативные гипотезы р > р0. Таким образом, имеется следующая информация.

Предположения; величины X имеют биномиальное распределение с параметрами п, р.

Гипотеза; Н^.р—р^.

Альтернативные гипотезы; р > р0.

Уровень значимости; ^а (см. последующие замечания). Статистика критерия; Х/п.

Нужно еще определить правило принятия решения. Представляется естественным делать это следующим образом: принимать Нв, если Х/п^Х, отклонять Нв в противном случае.

Не всегда удается найти такое значение X, чтобы Рг[Х/п< ^^С|^о] точно совпадала с а. Поэтому величина К выбирается так, чтобы уровень значимости имел наибольшее возможное значение, не превосходящее а.

Когда альтернативами рассмотренной гипотезы являются все значения р^ра (т. е. р < р0 и р>р0), то необходимо использовать правило принятия решения следующего вида: принимать Но, если Xi ^ Х/п ^ Х2, И отклонять Но в противном случае. Константы Kv Х2 следует выбирать так, чтобы уровень значимости не превышал величины а, но максимально приближался бы к ней. (Можно использовать и другие правила, например часто требуют чтобы PrrX/zK KJ^K^a и Рг [Х/п > Х21 НД < */2 а или просто Рг [Xi < Х/п X,] « 1 —а.)

Один из подходов основан на использовании доверительных интервалов. Можно Приближенно построить 100 (1—а)%-ный доверительный интервал для параметра р. Если величина р0 попадает в пределы этого интервала, то гипотезу Но принимают с уровнем значимости а,'в противном случае гипотезу отклоняют. Доверительный интервал для р имеет вид Рг < р < Р2, где границей Рг является наибольшее из значений р, удовлетворяющих уравнению

П / х

(8-17)(8-17)Рг{Х>х0} = £( )рЧ1-р)"-ж<Т,х=х0 \ /

(8-17)

(8-17)

а х0— наблюдаемое значение X.

^ — наименьшее из значений р, удовлетворяющих уравнению

Рг{ХРг{Х(8.18)(8.18)

Рг{Х

Рг{Х

(8.18)

(8.18)

Указанные значения Рг и Р^ могут быть взяты из таблиц, упоминавшихся в гл. 5. Эти значения можно также найти с помощью кривых, приведенных в табл. Л, где даны 80, 95 и 99%-ные доверительные интервалы для величины р при заданных х0 и п. Чтобы воспользоваться этими кривыми, нужно сначала выбрать значение абсциссы х0/п. Из точки х0/п восстанавливается вертикальная прямая. Эта линия пересекает две кривые, задающие область возможных значений и, в точках, ординаты которых соответствуют нижней и верхней доверительным границам для р. Их значения можно прочесть на вертикальной оси.

Пример 8.11. В задаче, поставленной вначале раздела, было задано х0 = 2, а п = 100. Эти данные определяют значение оценки максимального правдоподобия для параметра р, р =xQ/n = 0,02. Чтобы проверить гипотезу Hti: р = 0,01 при а = 0,05 с использованием двустороннего критерия, обратимся к табл. Л^приложения (доверительная вероятность 0,95), взяв значение абсциссы, равное 0,02. Вертикальная линия пересекает пару кривых, соответствующих п =100, примерно в точках ^ = 0,00 и Р2 = 0,07. Нет оснований отклонять гипотезу Но, поскольку величина р0 = 0,01 попадает в пределы доверительного интервала. В случае когда значения Рг и Рй определяются непосредственно по уравнениям (8.17) и (8.18), доверительные границы оказываются равными 0,002 < р <0,071.