Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ СОКРАЩЕНИИ
АИО — асимптотически инвариантный оптимальный (алгоритм) АО — асимптотически-оптимальный (алгоритм)
АОИ — асимптотически оптимальный инвариантный (алгоритм)
АР — асимптотически робастный (алгоритм)
АРИ — асимптотически робастный инвариантный
АЦП — аналого-цифровой преобразователь
ЛЗ — линия задержки
ЛТС — линейный тракт системы
МИ — максимальный инвариант
ИРВ — плотность распределения вероятностей
РИМ — равномерно наиболее мощный (алгоритм)
УВХ — устройство выборки и хранения
Список используемых сокращений 3
Содержание 4
Введение 8
ПРОБЛЕМА ОБЕСПЕЧЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
АЛГОРИТМОВ ОБНАРУЖЕНИЯ, РАЗЛИЧЕНИЯ
* И ОЦЕНИВАНИЯ СИГНАЛОВ К ИЗМЕНЕНИЮ УСЛОВИЙ НАБЛЮДЕНИЯ
Основные термины и определения. Классическая формулировка задачи синтеза алгоритмов обнаружения, различения и оценивания сигналов 13
Краткая характеристика методов обеспечения устойчивости . .23
СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ УСТОЙЧИВОГО ОБНАРУЖЕНИЯ
. И РАЗЛИЧЕНИЯ СИГНАЛОВ ПРИ ОГРАНИЧЕННОМ ОБЪЕМЕ НАБЛЮДАЕМОЙ ВЫБОРКИ
Критерии оптимальности и общая методика синтеза алгоритмов устойчивого обнаружения и различения сигналов в условиях априорной неопределенности 27
Теория равномерно наиболее мощных алгоритмов обнаружения
и различения сигналов 31
Синтез равномерно наиболее мощных алгоритмов обнаружения сигналов (31). 2.2.2. Синтез равномерно наиболее мощных алгоритмов совместного обнаружения и различения сигналов (35).
Примеры синтеза и анализа равномерно наиболее мощных алгоритмов обнаружения и различения сигналов (36).
Теория несмещенных алгоритмов обнаружения и различения сигналов 43
О принципах несмещенности и подобия в задачах обнаружения и различения сигналов (43). 2.3.2. Синтез РНМ несмещенных алгоритмов обнаружения сигналов (45). 2.3.3. Синтез РНМ несмещенных алгоритмов совместного обнаружения и различения сигналов (56). 2.3.4. Примеры синтеза РНМ несмещенных алгоритмов обнаружения и различения сигналов (61).
Теория инвариантных алгоритмов обнаружения и различения сигналов 96
Принцип инвариантности в задачах обнаружения и различения сигналов (96). 2.4.2. Синтез РНМ инвариантных алгоритмов обнаружения сигналов (99). 2.4.3. Синтез РНМ инвариант-
ных алгоритмов совместного обнаружения и различения сигналов (102). 2.4.4. Построение максимальных инвариантов (102).
Примеры синтеза инвариантных алгоритмов обнаружения и различения сигналов (113).
Синтез алгоритмов обнаружения сигналов на основе совместного применения статистических принципов несмещенности и инвариантности и аппроксимации распределений вероятностей . . . . 128
Теоретическое обоснование синтеза алгоритмов обнаружения сигналов на основе совместного применения принципов несмещенности и инвариантности и аппроксимации распределений вероятностей (128). 2.5.2. Примеры синтеза алгоритмов обнаружения сигналов на основе совместного применения принципов несмещенности и инвариантности и аппроксимации распределений вероятностей (129).
Синтез алгоритмов обнаружения и различения сигналов на основе совместного применения принципа инвариантности и байесовского метода 140
Теоретическое обоснование синтеза алгоритмов обнаружения и различения сигналов при совместном применении принципа инвариантности и байесовского метода (140). 2.6.2. Примеры алгоритмов обнаружения и различения сигналов при совместном использовании принципа инвариантности и байесовского мето
да (151).
АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЕ
>. ИНВАРИАНТНЫЕ АЛГОРИТМЫ ОБНАРУЖЕНИЯ
И РАЗЛИЧЕНИЯ СИГНАЛОВ
Предварительные сведения155
Основные определения и положения асимптотической теории проверки статистических гипотез 157
Контигуальность последовательностей распределений (157).
Асимптотическое разложение и асимптотическая нормальность логарифма отношения правдоподобия (159). 3.2.3. Аппроксимация в Li-норме последовательности распределений наблюдаемой выборки (161).
Статистический синтез асимптотически оптимальных инвариантных алгоритмов163
Формулировка задачи синтеза АОИ-алгоритмов (163).
Аппроксимация в Li-норме последовательности распределений максимального инварианта (164).3.3.3. Построение
АОИ-алгоритмов (178). 3.3.4. Оценка параметров помехи (186).
Построение АОИ-алгоритмов при квадратурной обработке наблюдаемого процесса (192).
Статистический синтез асимптотически инвариантных оптимальных алгоритмов196
Примеры асимптотических алгоритмов обнаружения и различения сигналов 201
АОИ-алгоритм обнаружения и различения детерминированных сигналов (201).3.5.2. АО алгоритм обнаружения сигнала
при квадратурной обработке наблюдаемого процесса (207).
АИО-алгоритм обнаружения сигнала с селективными замираниями (211).
Резюме213
Обзор литературы по асимптотической обработке сигналов . . 214
I АСИМПТОТИЧЕСКИ РОБАСТНЫЕ АЛГОРИТМЫ
* ОБНАРУЖЕНИЯ И РАЗЛИЧЕНИЯ СИГНАЛОВ
Предварительные сведения216
Модели априорной неопределенности шума218
Статистический синтез асимптотически робастных алгоритмов 220
Исходные посылки. Формулировка задачи синтеза АР-алго- ритмов (220). 4.3.2. Асимптотически эквивалентные представления АО-алгоритмов (223). 4.3.3. Построение АР-алгоритма (225).
Статистический синтез асимптотически робастных инвариантных алгоритмов239
Формулировка задачи синтеза АРИ-алгоритмов. Исходные посылки (239).4.4.2. Построение АРИ-алгоритмов (241).
АРИ-алгоритмы при квадратурной обработке наблюдаемого процесса (244).
Адаптация АР-алгоритмов 245
Параметрическая оптимизация АР-алгоритмов (245).
Построение адаптивных АР-алгоритмов (248).
Примеры АР-алгоритмов250
АР-алгоритм демодуляции с мягкими решениями (250).
АРИ-алгоритмы обнаружения и различения сигналов (255).
Резюме259
Обзор литературы по робастной обработке сигналов261
МЕТОДЫ СИНТЕЗА АЛГОРИТМОВ УСТОЙЧИВОГО
: ТОЧЕЧНОГО ОЦЕНИВАНИЯ СИГНАЛОВ
* С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОЛНЫХ
ДОСТАТОЧНЫХ СТАТИСТИК
Построение эффективных оценок параметров сигналов с использованием полных достаточных статистик 269
Синтез устойчивых оценок основных параметров сигналов в условиях априорной неопределенности с использованием полных достаточных статистик 271
Оценивание периода сигнала, наблюдаемого на фоне гауссова шума (271). 5.2.2. Оценивание энергетического параметра синусоидального сигнала, наблюдаемого на фоне гауссова шума и постоянной составляющей (279). 5.2.3. Оценивание энергетического параметра шума, наблюдаемого в смеси с синусоидальным сигналом и постоянной составляющей (282). 5.2.4. Оценивание
энергетического параметра сигнала неизвестной формы, наблюдаемого на фоне гауссова шума (284). 5.2.5. Оценивание параметров линейно изменяющегося сигнала, наблюдаемого на фоне гауссова шума (286).
ОСОБЕННОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ АЛГОРИТМОВ
О. В АНАЛОГО-ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ
ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
Эффект дрожания отсчетов в устройствах дискретной обработки сигналов 290
Модель дрожания отсчетов в системах с высокостабильными генераторами синхросигнала (290). 6.1.2. Математическая модель и эквивалентная схема устройства дискретизации (292).
Отношение сигнал/шум на выходе устройства дискретиза
ции (294).
Оценивание периода сигнала с помощью аналого-цифровых систем 296
Синтез оценок периода сигнала (296). 6.2.2. Анализ погрешностей оценок (298).
Оценивание сигнала по бинарно квантованной выборке . . . . 304
Заключение309
Список литературы311
Об авторах317
Теория обнаружения, различения и оценивания сигналов, существовавшая до середины 80-х годов в виде двух относительно самостоятельных направлений: обнаружение и различение сигналов на фоне помех, а также оценивание сигналов, заявила о себе как о самостоятельной отрасли науки примерно в середине 40-х годов. Начиная с этого времени, специалисты в области теории связи, электро- и радиотехники, медицины и т. д., решая конкретные прикладные задачи, пришли к выводу, что для принятия решений по данным, искаженным действием помех, детерминистский подход, преобладавший у прикладных исследователей того времени, оказывается мало эффективным. Поиск путей выхода из создавшегося положения и привел к становлению и бурному развитию теории обнаружения, различения и оценивания сигналов.
50-е годы можно назвать “романтическим” периодом развития теории. Основные результаты в это время получены благодаря исследованиям в области систем связи, радиолокации, радионавигации, основополагающей является работа академика АН СССР В.А. Котельникова [48]. Большинство авторов того времени для решения задач обработки сигналов использовали байесовский подход. Классической стала формулировка задач, включающая, кроме критерия качества, большое число априорных (от латинского “a priori” — до опыта, независимо от опыта) характеристик сигналов, помех и способов их взаимодействия. Реальные условия эксплуатации различных технических систем характеризуются тем или иным уровнем априорной неопределенности относительно параметров исследуемого объекта, используемых технических средств и условий их применения: заранее неизвестными могут быть сам факт наличия сигнала от объекта исследований, значения измеряемых параметров исследуемого объекта, параметры помех, а также условия применения технических систем. Таким образом, экспериментатор часто не обладает всеми необходимыми априорными сведениями, либо не уверен в их достаточной достоверности, что не дает возможности воспользоваться результатами классической теории. Не случайно уже в то время Ф.М. Вудворд в своей книге [38] высказывал опасения, что вопрос об априорных распределениях как для сообщений, так и для несущественных параметров станет камнем преткновения на пути синтеза оптимальных алгоритмов обработки сигналов.
К началу 70-х годов исследователи окончательно осознали необходимость решения задач обнаружения, различения и оценивания сигналов с учетом априорной неопределенности в исходных данных.
Началось становление и бурное развитие теории обработки сигналов в условиях априорной неопределенности. В ее основу легли методы решения статистических задач с параметрической и непараметрической априорной неопределенностью, математические основы которых заложены в работах Э. Лемана [103, 104], Ю.В. Линника [56], Дж. Русаса [112] и Дж. Хьюбера [94]. Большую роль в развитии теории обнаружения, различения и оценивания сигналов в условиях априорной неопределенности сыграли труды отечественных ученых- специалистов в области статистической радиотехники: П.А. Бакута, Д.Е. Вакмана, В.П. Ипатова, В.А. Корадо, В.П. Кузнецова, Е.И. Куликова, Б.Р. Левина, М.А. Миронова, В.Г. Репина, Ю.Б. Синдлера, Ю.Г. Сосулина, Р.Л. Стратоновича, Г.П. Тартаковского, В.И. Тихонова, А.П. Трифонова, Л.М. Финка, Д.М. Чибисова, Ю.С. Шинакова, А.М. Шлома, М.С. Ярлыкова и др. С середины 80-х годов выходят в свет монографии, посвященные проблемам совместного обнаружения и оценивания сигналов (см., например, монографию [75]), и с тех пор практически все авторы рассматривают эти задачи с единых позиций. В настоящее время теория продолжает интенсивно развиваться и еще далека от своего завершения. Об этом свидетельствуют большое число публикаций, появляющихся в научных журналах, и множество различных подходов к решению проблемы. Сфера применения устойчивых в условиях априорной неопределенности алгоритмов обработки сигналов непрерывно расширяется. К таким традиционным прикладным сферам, как связь, радио-, эхо- и гидролокация, добавились системы управления, медицина, психология, контрольно-измерительная техника и многие другие. Все это создает благоприятные условия для дальнейшего развития теории, появления новых идей и подходов. Один из таких подходов разработан авторами и нашел отражение в настоящей книге. Его сущность состоит в том, чтобы обеспечить синтез оптимальных, в условиях конкретного вида априорной неопределенности, алгоритмов обработки сигналов. Иными словами, синтезированные алгоритмы должны обеспечивать наилучшее качество обработки сигналов при любых фактических значениях параметров сигнальнопомеховой обстановки и обладать устойчивостью к их изменениям. Такие свойства алгоритмов чрезвычайно полезны при их реализации в автоматических или автоматизированных технических системах. Совокупность методов синтеза таких алгоритмов названа авторами “Теорией устойчивого обнаружения, различения и оценивания сигналов”. Слово “устойчивого” подчеркивает, что теория ориентирована на синтез алгоритмов, автоматически подстраивающих технические системы, в которых они реализованы, под конкретную сигнальнопомеховую обстановку и позволяет получить максимальную в этих условиях эффективность.
Практически весь материал книги является оригинальным и является обобщением полученных авторами результатов при выполнении
ряда исследований, поддержанных Российским фондом фундаментальных исследований (гранты .NW 99-01-00624, 99-05-64611 и 96-05-66084) и ведущими НИИ России [1, 4-20, 27-37, 51, 65, 73]. Исключение составляют гл. 1 и 2, в которых авторы для лучшего восприятия материала излагают не только свои, но и известные материалы, нашедшие отражение, например, в работах [103], [45], [21]. Известные положения приводятся без доказательств, интересующиеся могут познакомиться с ними в соответствующих источниках.
Авторы выражают благодарность д. т. н., профессорам В.Н. Васюкову и В.Л. Горохову, к. т. н., доцентам Б.М. Антипину, В.Н. Васюкову, В.И. Сиротинину и М.Е. Шевченко, к. т.н., ст. н. с. В.С. Гутину, ст. преподавателю А.О. Елистратову, аспирантам А.Я. Грошеву, А.В. Кривецкому, К. А. Куратову, магистрантам ВТ. Брему и А. А. Бизяеву за помощь в проведении синтеза, анализа и экспериментального исследования ряда алгоритмов, а также за обсуждение полученных результатов. Особую признательность авторы выражают д.т.н. Б.В. Пономаренко за спонсорскую помощь в подготовке второго издания книги.
ПРОБЛЕМА ОБЕСПЕЧЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ АЛГОРИТМОВ ОБНАРУЖЕНИЯ, РАЗЛИЧЕНИЯ И ОЦЕНИВАНИЯ СИГНАЛОВ К ИЗМЕНЕНИЮ УСЛОВИЙ НАБЛЮДЕНИЯ
Методы обнаружения, различения и оценивания сигналов играют существенную роль при решении многих технических задач и наряду с методами получения первичной информации являются составной частью процесса сбора и обработки данных об объекте исследования. Источниками первичной информации в технических системах являются датчики, или первичные преобразователи. Их физическая природа может быть самой разнообразной — антенны в радиоприемных устройствах, гидрофоны в гидролокаторах, преобразователи неэлектрических физических величин в электрические в информационноизмерительных системах и системах технического контроля и т. п. В процессе первичного преобразования происходит “отбор” информации от объекта, однако использовать ее напрямую, без дальнейшей обработки, обычно не представляется возможным. Связано это с тем, что, во-первых, процесс на выходе первичного преобразователя наряду с полезным, несущим информацию об объекте исследования, сигналом всегда содержит мешающий сигнал, и, во-вторых, он не всегда доступен для непосредственного использования или восприятия человеком. Требуются те или иные дополнительные преобразования процессов на выходах первичных преобразователей, чтобы представить информацию в требуемом виде, причем первичное преобразование определяет предел достижимой информации об исследуемом объекте. Дальнейшие преобразования могут лишь уменьшить количество информации об объекте. Задача состоит в том, чтобы подобрать или синтезировать такие методы обработки сигналов, которые позволили бы минимизировать потери полезной информации. Теория обнаружения, различения и оценивания сигналов дает возможность синтезировать оптимальные алгоритмы обработки сигналов, поступающих с выходов первичных преобразователей, для решения широкого класса практических задач, в которых конечной целью являются обнаружение (радио- и эхолокация, допусковый контроль), различение (связь, селективная сборка в машиностроении) и оценивание сигналов (радионавигация, фильтрация, измерительный контроль и т. п.) в условиях действия помех. Поскольку помехи, а зачастую и полезный сигнал, носят статистический характер, теория основана на применении методов теории вероятностей и математической статистики.
Априорная информация является одним из основных факторов, определяющих эффективность процедуры сбора и обработки данных. Так, при полном отсутствии априорной информации сбор и обработка данных бессмысленны — невозможно найти “то, не знаю что”, а при наличии всей информации об объекте исследования они просто не нужны. Поэтому, хотя и считают, что классическая теория обнаружения, различения и оценивания сигналов предназначена для работы в условиях полной априорной определенности [53, 67], в действительности всегда имеет место априорная неопределенность. В классическом случае это — неопределенность относительно полезного сигнала: в задачах обнаружения неизвестным является сам факт наличия сигнала, в задачах различения — неизвестен тип принимаемого в данный момент времени сигнала из заданной совокупности, в задачах оценивания неизвестно значение измеряемого сигнала или его параметра. Остальные компоненты сигнально-помеховой обстановки в классической постановке полагаются известными, т. е. априорно определенными: известны статистическое описание помех, значения неизмеряемых параметров сигнала, условия проведения эксперимента и т. д. Классическая теория позволяет в этих условиях синтезировать оптимальные алгоритмы, однако их структура и показатели качества оказываются существенно зависящими от значений параметров сигнально-помеховой обстановки. Если фактические значения параметров, описывающих сигнальнопомеховую обстановку, даже незначительно отличаются от фигурирующих в используемом оптимальном алгоритме, качественные показатели последнего могут существенно ухудшиться и даже сделать невозможным его использование на практике.
Обычно экспериментатор до опыта обладает лишь частью информации, необходимой для синтеза алгоритмов обработки сигналов методами классической теории. В этом случае имеет место проблема априорной неопределенности. Применение оптимальных для полностью известных сигналов и помех алгоритмов обработки сигналов в условиях априорной неопределенности приводит, как правило, к существенному снижению их эффективности или даже к полной потере работоспособности. Поэтому естественным является вопрос, существуют ли оптимальные для заданного вида априорной неопределенности алгоритмы обработки сигналов, обеспечивающие лучшие по сравнению с классическими характеристики эффективности, и, если да, то как их найти? Иными словами, нужно указать, как воспользоваться априорными сведениями об исследуемом объекте, которые имеются в распоряжении исследователя, чтобы сформулировать и решить задачу оптимального синтеза.
В общем виде эта задача до сих пор не решена. Подход, предлагаемый в настоящей книге, частично восполняет этот пробел и дает возможность решения довольно широкого класса практических задач.
Для практики важны не только методы синтеза оптимальных алгоритмов обнаружения, различения и оценивания сигналов, но и их анализ, методы расчета характеристик эффективности синтезированных алгоритмов. Вопросы анализа алгоритмов в общем виде в настоящей книге не рассматриваются. Однако почти во всех приводимых примерах наряду с синтезом алгоритмов присутствует и их анализ.
Основные термины и определения.
Классическая формулировка задачи синтеза алгоритмов обнаружения, различения и оценивания сигналов
Термин ^сигнал” широко используется в технический литературе, однако его содержательный смысл в значительной степени зависит от конкретики решаемой задачи. Отсутствует общепринятое определение сигнала. Так, в работе [2] указывается, что “в соответствии с принятой традицией сигналом называют процесс изменения во времени физического состояния какого-либо объекта, служащий для отображения, регистрации и передачи сообщений”. Такое определение является наиболее подходящим для решения задач в области электросвязи.
В работе [89] отмечается: “Обычно под сигналом понимают величину, отражающую каким либо образом состояние физической величины. В этом смысле естественно рассматривать сигнал как результат некоторых измерений, проводимых над физической системой в процессе ее наблюдения”. Причем под сигналом автор понимает величину, которая может быть как постоянной, так и изменяющейся во времени, сигнал может быть функцией не только времени, но и других физических величин — частоты, пространственных координат (в этом случае сигнал представляет собой поле) и т. д. Данное определение является более широким, чем предыдущее. Именно таким определением сигнала мы и будем пользоваться. Чаще всего, кроме специально оговоренных случаев, будет подразумеваться, что сигнал является функцией времени и в общем виде будет обозначаться S^ = Xs(t,9), где X — энергетический, 9 — неэнергетический параметры сигнала, s(t,9) —
АТ
функция, задающая форму сигнала, j s2(t^)dt = 1, АТ — интервал о
наблюдения. Для детерминированного сигнала X представляет собой действующее, для случайного — среднеквадратическое значение сигнала. Детерминированный сигнал иногда будем обозначать УтЗ^б^ где Um — амплитуда сигнала.
Наблюдаемый процесс — процесс ж(£), регистрируемый в произвольной точке технической системы и представляющий собой результат некоторого взаимодействия сигнала S(t) и помехи ц(£):
x(t) = S(t)
где знаком ф обозначено взаимодействие между сигналом и помехой.
Помеха ц(Ц представляет собой составляющую наблюдаемого процесса, которая в результате взаимодействия с сигналом препятствует достоверному восприятию последнего. Помехи могут быть случайными и детерминированными. К числу случайных можно отнести помехи, обусловленные отражениями от подстилающей поверхности, тепловые шумы радиоэлектронных компонентов в регистрирующей аппаратуре, к детерминированным — помехи, обусловленные сетевыми наводками, различными источниками периодических сигналов (излучения мониторов на частотах строчной и кадровой разверток), нескомпенсированные постоянные напряжения на выходах видеоусилителей и т. п. По отношению к технической системе помехи можно разделить на внутренние и внешние. К внутренним помехам следует прежде всего отнести тепловые шумы радиоэлектронных компонентов, а также помехи, возникающие в каналах передачи сигналов. Все эти помехи носят, как правило, случайный характер. К внешним помехам можно отнести сетевые наводки, сигналы от источников помехового излучения, специально поставленные помехи при радиопротиводействии и т. д. Внешние помехи могут быть и случайными, и детерминированными. Иногда для того, чтобы подчеркнуть различие между внутренними и внешними помехами, особенно, когда имеют место и те, и другие, мы будем называть их соответственно шумами и помехами.
Таким образом, независимо от того, случайным или нет является полезный сигнал, наблюдаемый процесс всегда является случайным, так как он содержит случайную помеховую составляющую, обусловленную по крайней мере тепловыми шумами регистрирующей аппаратуры. Совокупность всех возможных реализаций наблюдаемого процесса образует пространство наблюдений.
При аналоговой форме регистрации наблюдаемого процесса пространство наблюдений представляет собой функциональное пространство непрерывных или кусочно-непрерывных функций. Однако современные технические системы в связи с широким внедрением компьютеров и аналого-цифровых преобразователей (АЦП) строятся как аналого-цифровые (иногда их называют просто цифровыми, подразумевая, что в их состав обязательно входит АЦП). В таких системах наблюдаемый процесс жЦ) подвергается дискретизации и квантованию. Если разрядность АЦП настолько велика, что эффектами квантования можно пренебречь, то при ограниченных значениях длительности интервала наблюдения АТ и шага дискретизации т наблюдаемый процесс можно представить конечномерным вектором х = {жд, • • • ... , жп~1}, п = АТ/т, составленным из отсчетов непрерывного наблюдаемого процесса Х{ = ж(Т), взятых в моменты времени t^ = = гт, г = 0, ...,п — 1, х 6 Хп, Хп — подмножество п-мерного евклидового пространства. Вектор х называется выборочным вектором (или просто выборкой) размера п, а подмножество Хп — выборочным
пространством. В дальнейшем для краткости там, где это не вызовет двоякого толкования, выборочное пространство будем обозначать X (без верхнего индекса).
Если разрядность АЦП не настолько велика, чтобы эффектами квантования можно было пренебречь, то в качестве выборочного вектора следует принять вектор u = {?1q7 • • • 7 ^п-1}7 компоненты которого получены квантованием соответствующих компонент вектора х, и е К, к — конечное множество квантованных выборок.
В настоящей работе будет рассматриваться теория синтеза алгоритмов устойчивого обнаружения, различения и оценивания сигналов в предположении, что в качестве исходного материала для синтеза используется выборочный вектор х, компоненты которого являются непрерывными случайными величинами. Это соответствует случаю разработки либо дискретно-аналоговых, либо аналого-цифровых систем, использующих АЦП с достаточно большим числом разрядов.
Полное статистическое описание выборочного вектора х дает его n-мерная функция распределения вероятностей Рх.
Статистическая гипотеза — предположительное суждение о вероятностных закономерностях, которым подчиняется изучаемое случайное явление (например, гипотезы о значении параметров распределения выборки из наблюдаемого процесса при отсутствии и наличии сигнала в нем). Гипотезу о характере распределений наблюдаемой выборки в отсутствие сигнала будем обозначать Н^ при наличии одного из т сигналов — через Н^ г = 1, . . . , т. Часто гипотезу Но называют просто гипотезой, a Н^ г = 1, . . . , т, — г-й альтернативой. В задачах обнаружения сигналов имеется только одна альтернатива Hi, в задачах различения сигналов их число равно т.
Простая статистическая гипотеза — гипотеза, определяющая единственный закон распределения вероятностей, в противном случае статистическая гипотеза называется сложной. Сложная статистическая гипотеза может быть представлена как множество простых гипотез. Например, если в гипотезах о значении параметров распределения выборки из наблюдаемого процесса, при отсутствии и наличии сигнала в нем, значения параметров распределения в обоих случаях полностью известны, гипотезы являются простыми, если же какие-либо параметры могут принимать несколько, в том числе и континуум значений, то гипотезы будут сложными.
Алгоритм (правило) обнаружения сигнала — решающая процедура, позволяющая каждому значению выборочного вектора х сопоставить решение о наличии или отсутствии в нем сигнальной компоненты. В математической статистике алгоритм обнаружения часто называют критерием гипотезы Н^ однако в теории обнаружения, различения и оценивания сигналов этот термин широкого распространения не получил.
Критерий оптимальности — система целей, которые следует достигнуть в результате решения конкретных задач. Так как универсальный критерий оптимальности, позволяющий решать задачи обнаружения, различения и оценивания сигналов при любом типе априорной неопределенности в исходных данных, до сих пор не выработан, в литературе можно встретить решение задач с использованием самых разнообразных критериев.
Начнем с задачи обнаружения сигналов в условиях действия помех, ее содержательная постановка выглядит следующим образом. Экспериментатор наблюдает процесс х^1\ который может быть только помехой ц(£) или результатом некоторого взаимодействия полезного сигнала 8^ и помехи r|(t). Необходимо разработать правило, обеспечивающее принятие решения о наличии или отсутствии сигнала в наблюдаемом процессе. Эта задача эквивалентна задаче проверки статистических гипотез относительно наблюдаемого процесса х^\
Hq : x(t) = r|(t) (сигнал отсутствует);
Hi : x(t) = r|(t) ф s(t) (сигнал присутствует).
Знаком ф обозначено обобщенное взаимодействие между сигналом и помехой. В случае аддитивной помехи имеем x(t) = r|(t) + s(t).
Поскольку экспериментатору не доступны для наблюдения все возможные реализации процесса х^1\ более того, каждую реализацию он может наблюдать лишь ограниченное время (называемое интервалом наблюдения АТ), то свое решение о наличии или отсутствии сигнала он принимает по ограниченным данным. Обычно в качестве таких данных используют выборку х = {жд, . . . , жп-1}, составленную из п отсчетов реализации наблюдаемого процесса х^1\ взятых в моменты времени ^о? • • • ?^п-1? х 6 Хп, Хп — n-мерное пространство выборок. Выборка х представляет собой случайный вектор, полное описание статистических свойств которого дает совместное распределение вероятностей его компонент (в теории обнаружения, различения и оценивания сигналов чаще всего используют дифференциальную форму закона распределения вероятностей — плотность распределения вероятностей (ПРВ)).
Обозначим wq(x | фр,) совместную плотность распределения вероятностей выборочного вектора для случая, когда полезный сигнал в наблюдаемом процессе отсутствует, т. е. имеет место гипотеза Н^ (индекс “0” в wq(x | ф р,) использован для того, чтобы подчеркнуть, что плотность соответствует гипотезе Hq), wi(x | ф р.) — ПРВ выборочного вектора х для случая, когда наблюдается смесь сигнала с шумом, т. е. имеет место гипотеза Ну. Через р и Ф обозначены векторы параметров соответственно помехи и сигнала. На практике часто помеха представляет собой гауссов случайный процесс, а выборка х — нормально распределенный вектор с взаимно независимыми компонен-
тами и плотностью распределения вероятностей (при наличии сигнала)
(
1 х п/2Г1п — 1
2 ) еХР 12 V$i ~~ ^т С08(^ЮТ + V)] f •
2ло /I2о.nI
7 = 0'
(1-2) Здесь о2 — дисперсия помехи, т — временной интервал между соседними отсчетами наблюдаемого процесса ж(£); г — номер отсчета; Um — амплитуда, со — частота, \|/ — начальная фаза сигнала. В данном случае вектор параметров помехи является одномерным (р = о2), а вектор параметров сигнала — трехмерным (il = {[/т, со, \|/}). В отсутствие сигнала Um = 0, и ПРВ наблюдаемого процесса имеет вид
(1.3)(1.3)
(1.3)
(1.3)
Задача обнаружения сигнала (1.1) может быть переформулирована в виде задачи проверки статистических гипотез относительно распределения наблюдаемой выборки. Гипотеза Но об отсутствии сигнала заключается в том, что плотность распределения вероятностей выборки имеет вид wq(x | фр,), гипотеза Н\ о наличии сигнала заключается в том, что плотность распределения вероятностей выборки имеет вид wi(x | фр). Если wq(x | фр,) и wi(x | фр,) имеют одинаковый функциональный вид и различаются только значениями параметров, то задача обнаружения сигнала может быть переформулирована как задача проверки статистических гипотез относительно параметров распределения вероятностей. Так, для рассматриваемого примера обнаружения синусоидального сигнала на фоне гауссовой помехи wi(x | фр) задается выражением (1.2), wo(x|il,p,) — выражением (1.3), т.е. плотность вероятности wq(x | фр,) можно получить из wi(x | фр,), положив Um = = 0, и задачу обнаружения (1.1) можно представить в следующем виде:
(1-4)(1-4)Но : Um = 0 (сигнал отсутствует);
(1-4)
(1-4)
Hi : Um > 0 (сигнал присутствует).
Общее число всех возможных алгоритмов принятия решения о наличии или отсутствии сигнала может быть бесконечно большим. Поэтому для выбора наилучшего алгоритма задаются некоторым критерием оптимальности и в соответствии с ним выбирают наилучший. Нерандомизированная решающая функция искомого оптимального алгоритма обнаружения сигналов разбивает пространство выборок X на две непересекающиеся области Xq и Xi, Xq U Xi = X и имеет вид
хеХ1;X 6 Xq.хеХ1;X 6 Xq.
хеХ1;
X 6 Xq.
хеХ1;
X 6 Xq.
Это означает, что при попадании выборки х в область Xi принимается гипотеза Ну^ в противном случае принимается гипотеза Н^. Область Хо называется допустимой, а область Xi — критической. Рандомизированная решающая функция принимает любые значения из отрезка [0,1], и при ее значении, равном у, гипотеза Ну принимается с вероятностью у. На практике чаще используют нерандомизированные алгоритмы.
При использовании любого правила обнаружения, в силу случайного характера наблюдаемой выборки, наряду с правильными решениями возможны и ошибочные. Существуют ошибки двух типов. Ошибка первого рода возникает, когда принимается решение о наличии сигнала, а на самом деле сигнальной составляющей в наблюдаемых данных нет. Ошибка второго рода возникает при принятии решения об отсутствии сигнала, хотя на самом деле он присутствует. Вероятность ошибки первого рода (иначе ее называют вероятностью ложной тревоги) равна
ос(ф ц) = j q)(x)w0(x | фц)(±Х = j W0(x I Ф, ji)dx.
X Xi
Вероятность ошибки второго рода
5(ф ц) = 1 — P(il,p) = 1 — j cp(x)wi(x | Ф, p)(/x = j wi(x | Ф, pi)dx.
X Xo
Вероятность правильного обнаружения р(фц), дополняющую вероятность ошибки второго рода до единицы, иначе еще называют мощностью алгоритма обнаружения ф(х). Вероятность ложной тревоги и вероятность правильного обнаружения зависят от векторов параметров сигнала и помехи Ф и ц.
Для заданного размера выборки невозможно одновременно сделать сколь угодно малыми вероятности ошибок и первого, и второго рода. Например, чтобы ошибка первого рода появлялась редко, можно размер критической области Xi сделать очень малым, при этом, соответственно, допустимая область Xq будет охватывать почти все выборочное пространство, и вероятность ошибки второго рода может оказаться недопустимо большой. Поэтому при синтезе правил обнаружения стараются найти наилучшее в соответствии с задаваемым экспериментатором критерием оптимальности.
Классическая теория обнаружения сигналов в качестве критерия оптимальности использует байесовский критерий (критерий минимума среднего риска), сущность которого состоит в следующем. Пусть a priori заданы условные плотности вероятности wq(x | ф ц) и гщ(х | ф ц), вероятности р^ и pi, соответственно, отсутствия и наличия сигнальной составляющей в наблюдаемой выборке х (pi = 1 — ро)7 а также потери Поо, Пц, По1, Пщ, определяющие, соответственно, расходы на правильные решения и платы за ошибочные решения. Среднее значение потерь
(или средний риск) равно
Я = роПоо j w0(x | й,ц)б/х + р0П01 j w0(x | й,р)с/х+
XoX!
+ Р1Пю j wi(x | l^p)dx + Р1Щ1 j wi(x | l^p)dx.
XoX!
Проведя несложные преобразования, выражение для среднего риска можно представить следующим образом:
R = РоПоо + Р1Пю —
- j [Pi(Пю - nn)wi(x И,р) - Ро(ПО1 - n00)w0(x | $,p,)]dx. (1.5) Х1
Первые два слагаемые в выражении (1.5) представляют собой постоянную величину, поэтому минимальное значение среднего риска будет получено в том случае, когда подынтегральная функция в (1.5) будет неотрицательной, т. е. когда критическая область Xi будет состоять из тех точек выборочного пространства X, для которых выполняется неравенство
, , = Wi(x I О, у.)(П01 - П00)р0
Х — w0 (х |(Пю - Пц)р1 '
q _ (Пот — Прр)рр(Пю - Пц)р1q _ (Пот — Прр)рр(Пю - Пц)р1Функция /(х) называется отношением правдоподобия. Отношение правдоподобия представляет собой неотрицательную случайную величину, отображающую точки n-мерного пространства выборок на действительную полуось. Таким образом, оптимальное по критерию минимума среднего риска правило обнаружения сигнала имеет вид
q _ (Пот — Прр)рр
(Пю - Пц)р1
q _ (Пот — Прр)рр
(Пю - Пц)р1
где
— пороговая константа. Решение о наличии сигнала в наблюдаемой выборке принимается в том случае, если отношение правдоподобия для исходной выборки оказывается не меньше пороговой константы С.
В задаче обнаружения синусоидального сигнала на фоне независимой гауссовой помехи отношение правдоподобия для выборки, состоящей из п отсчетов, задается выражением
Цх) = ехр(-^2 ^ [Жг - Um cos(zcot + у)]2 + ^ Т •
Таким образом, наблюдая данную реализацию х^ и действуя по алгоритму, задаваемому оптимальным правилом обнаружения, т. е. вычисляя отношение правдоподобия /(х) и сравнивая его с порогом С. экспериментатор получает гарантию, что его потери в среднем будут минимальными.
В тех случаях, когда распределение вероятностей наблюдаемой выборки принадлежит экспоненциальному семейству, т. е. плотность вероятностей имеет вид
w(x I #,ц) = Co(d,n)exp J ^ Q/d, р.)Т/х) Шх),
для упрощения реализации правила обнаружения вместо статистики отношения правдоподобия используют ее логарифм L(x) = ln[/(x)]. Для рассматриваемого примера обнаружения синусоидального сигнала на фоне гауссовой помехи распределение наблюдаемой выборки принадлежит экспоненциальному семейству, и правило обнаружения, выраженное через L(x), имеет следующий вид:
0, в противном случае.
Здесь х = {жо,. . . , xn-i} — по-прежнему выборочный вектор, составленный из отсчетов наблюдаемого процесса, s = {sq, . . . , sn-i} — вектор, составленный из отсчетов полезного сигнала, взятых в те же
тт / •।\ 2 1 Г (^01 Поо)ро"| моменты времени, s^ = ит cos (гсот + \|/), С = о m ——(— .
L (Ию — Иц )Р1 J Видно, что правило, основанное на логарифме отношения правдоподобия проще в вычислительном отношении, чем правило, использующее непосредственно отношение правдоподобия.
Задача совместного обнаружения и различения сигналов в условиях действия помех во многом подобна задаче обнаружения. Отличие состоит в том, что наблюдаемый процесс x(t) может представлять собой либо реализацию помехи ц(£), либо результат некоторого взаимодействия помехи и одного из т сигналов з^1\ г = 1,...,т. Соответственно задача совместного обнаружения и различения сигналов оказывается эквивалентной многоальтернативной задаче проверки т + 1 гипотез об исследуемом процессе:
Hq : x(t) = r|(t) (все сигналы отсутствуют);
Нг : x(t) = r|(t) ф SiW (^"й сигнал присутствует), (1.6) г = 1, . . . , т.
Все данные, кроме факта наличия сигнала и его типа в наблюдаемом процессе, полагаются известными: известны априорные безуслов-
ные вероятности гипотез Pi^ i = 0,. . . , ш, У^ pi = 1, плотности распре- г=0
деления вероятностей наблюдаемой выборки в отсутствие сигналов и при наличии любого из них (соответственно wq(x | ф ц) и гщ(х | фц), г = 1,. . . ^тУ Нерандомизированная решающая функция искомого оптимального алгоритма совместного обнаружения и различения сигналов является векторной и разбивает пространство выборок X на т + 1 непересекающихся областей Xq, . . . ,Xm и имеет вид ф(х) = = {ф^^х),. . . , ф(т)(х)}7 где
(1-7)(1-7)/ 1, хеХ^;
(1-7)
(1-7)
[ 0, х^Х^, г = 1,...,т,
области Хо, . . . , Хт выбраны таким образом, чтобы минимизировать функцию среднего риска , которая в этом случае имеет вид
(1.8)(1.8)R = У У П<кр< f w;(x | »,ц)</х.i=0 к=0v
(1.8)
(1.8)
В выражении (1.8) П^ — потери, связанные с принятием решения в пользу &-й гипотезы, когда на самом деле имеет место г-я гипотеза. Можно показать [55], что оптимальный алгоритм совместного обнаружения и различения сигналов задается выражением (1.7), в котором области Х^, г = 1,. . . , т, состоят из тех точек выборочного пространства X, для которых выполняется система неравенств
^^ (^jr — П^)—/Дх)Пог — ПОг,
г = 0, . . . , т, г ^ i; г = 11...1т1
а область Xq определяется из условия Xq = X — |J Х^. В выражении (1.9) /Дх) = 3£lfZLL^2_El — отношения правдоподобия.
Wo(x I фц)
При решении задач оценивания сигналов в качестве критерия оптимальности, как и при решении задач обнаружения и различения, классическая теория предполагает использование критерия минимума среднего риска. Пусть по-прежнему наблюдаемый процесс х^ представляет собой результат некоторого взаимодействия полезного сигнала s^ и помехи цД), т.е. х^ = s^ ф лДД выборка х = = {жо7 • • • 7 жп-1} € X, составленная из п отсчетов наблюдаемого процесса x^ty имеет распределение wi(x | фц) (в задачах оценивания предполагается, что факт присутствия сигнала является достоверным), через ц и il обозначены векторы параметров соответственно помехи и сигнала, причем вектор ц является полностью известным. Для простоты будем полагать, что полезный сигнал является детерминированным.
Оптимальной по критерию минимума среднего риска будет такая оценка 11опт, которая обеспечит минимальное значение среднего риска
R = j П[т1(х,ц),il]wi(x | ^,g)dx, (1.10) х
где П[т1(х, ц), il] — функция потерь, а минимум отыскивается по всем возможным оценкам й(х,ц). Оценки, обеспечивающие минимум функции (1.10), иначе еще называют байесовскими. Чаще всего в качестве функции потерь используют квадратичную функцию
П[й(х, ц), il] = [il(x, ц) — il]TA[il(x, ц) — 11], (1.11)
где 11 — r-мерный вектор полезных параметров сигнала, А — некоторая положительно определенная матрица размером т х г, т — знак транспонирования. В одномерном случае (г = 1, А = 1) П[ф(х, ц), 11] = = [il(x, ц) — il] . Таким образом,
11ОПт. = arg min (R^ (1.12) 5(х,ц)
где R задается выражением (1.10). Часто в дополнение к функции потерь для характеристики качества оценки указывают величину ее смещения. Последнее вычисляется как разность между математическим ожиданием оценки и истинным значением оцениваемого параметра. Оценки, смещение которых равно нулю, называются несмещенными. Потенциально достижимое качество оценки при квадратичной функции потерь определяется неравенством Крамера-Рао. Несмещенные оценки, в которых достигается нижняя граница Крамера-Рао, следуя терминологии [68], будем называть наиболее эффективными. Оценки, значения функции потерь которых достигают минимума в классе всех несмещенных оценок, будем называть просто эффективными. Очевидно, что при существовании наиболее эффективной оценки значения функции потерь эффективной и наиболее эффективной оценок совпадают. Если эффективная оценка существует, а наиболее эффективная — нет, то значение функции потерь эффективной оценки будет больше границы, определяемой неравенством Крамера-Рао, но останется минимальным в классе всех несмещенных оценок. Таким образом, эффективная оценка обладает наилучшим качеством среди всех несмещенных оценок и является предпочтительной при синтезе правил оптимального оценивания параметров сигналов.
К задачам оценивания сигналов относятся также задачи фильтрации, прогнозирования и интерполяции. В тех случаях, когда неизвестными являются не только вектор параметров сигнала il, но и сам факт его присутствия, возникает задача совместного обнаружения и оценивания сигналов [75, 107]. Данные вопросы выходят за рамки настоящей книги и здесь не рассматриваются.
Краткая характеристика методов обеспечения устойчивости
В общем случае априорно неопределенными могут быть любые компоненты в составе исходных данных. Если неизвестны только параметры функции распределения вероятностей исходной выборки, а ее вид известен, то говорят о параметрической априорной неопределенности. Неизвестные параметры, существенные для формулировки задачи, называются полезными, остальные (т. е. несущественные) — мешающими. В рассмотренном выше примере (см. (1.3) и (1.4)) параметр Um является полезным, остальные (дисперсия помехи, начальная фаза и частота сигнала, если они неизвестны) — мешающими. Если же неизвестным является и вид функции распределения вероятностей, то говорят о непараметрической априорной неопределенности. Соответственно для каждого типа априорной неопределенности существуют свои подходы к решению задачи. Ключевым моментом при этом является выбор подходящего критерия оптимальности. Существующие подходы к решению задач обработки сигналов в условиях априорной неопределенности можно найти, например, в работах [54] и [73].
Первые попытки преодоления априорной неопределенности в исходных данных были сделаны в рамках классического байесовского подхода. Исследователи трактовали неизвестные параметры распределения исходной выборки как случайные величины, для которых а priori задано распределение вероятностей. Пусть, например, значения векторов параметров сигнала и помехи, ФЕ © и ц Е М, являются неизвестными и пусть они распределены в области (ф ц) Е П = = © х М с априорной совместной плотностью вероятности ГЕ(фц). Тогда оптимальные алгоритмы обнаружения и различения сигналов будут аналогичны алгоритмам, задаваемым выражениями (1.7) и (1.9), с той лишь разницей, что в них вместо статистик отношения правдоподобия следует использовать усредненные по распределению W(ф ц) отношения правдоподобия. Так, для задачи обнаружения оптимальное правило примет вид
1, Л(х) > С* О, Л(х) < С,
где Л(х) = j j /(х | фц)1У(фц) d^dp, (запись /(х | фц) подчеркивает, что при неизвестных параметрах Ф и ц отношение правдоподобия зависит от их фактических значений), С — пороговая константа. Правило оценивания параметра при таком подходе будет определяться выражением (1.12), однако средний риск в этом случае будет задаваться функцией
Д = 111¥(ф ц) dt^dp. | П[ф(х, ц), ^]wi(x | Ф, ц)(/х. (1-14) Q X
Здесь по-прежнему требуется знание априорных вероятностей наличия или отсутствия сигнала в наблюдаемой выборке, функций распределения вероятностей и потерь.
В отсутствие априорных сведений и о величине потерь, и о вероятностях наличия или отсутствия сигнала в исходной выборке иногда применяют критерий максимального правдоподобия, который в случае задач обнаружения или различения сигналов эквивалентен критерию минимума среднего риска, задаваемого формулами (1.5) или (1.8), в которых потери, связанные с принятием правильных решений, приняты равными нулю, а потери, связанные с принятием ошибочных решений, и априорные вероятности всех гипотез приняты одинаковыми. Однако по-прежнему необходимо точное знание условных функций распределения wq(x | фц) и w^x | ф ц). В задачах оценивания сигналов этот критерий предполагает, что функция потерь является константой, равной единице, а распределение wi(x | фц) известно с точностью до вектора полезных параметров й. Структура алгоритмов обнаружения, различения и оценивания параметров в этом случае зависит от вектора мешающих параметров ц, т. е. алгоритмы не являются структурно устойчивыми. Кроме того, показатели эффективности алгоритмов в значительной мере зависят от фактических значений мешающих параметров. Поэтому на практике для задач обнаружения и различения сигналов критерий максимального правдоподобия практически не используется. Применительно к задачам оценивания сигналов метод максимального правдоподобия оказался более эффективным: неизвестные мешающие параметры исследователи включают в состав оцениваемых параметров и находят оценки всех, в том числе и несущественных для решаемой задачи, параметров. Более того, в математической статистике показано [21], что существование оценки максимального правдоподобия является необходимым признаком существования наиболее эффективной оценки, причем наиболее эффективная оценка, если она существует, совпадает с оценкой максимального правдоподобия.
Для задач обнаружения сигналов одним из самых распространенных критериев оптимальности, применяемых в условиях априорной неопределенности, является критерий Неймана-Пирсона. Согласно этому критерию, из всех возможных алгоритмов обнаружения выбирают тот, который обеспечивает максимум вероятности правильного обнаружения сигнала р(ф ц) при условии, что вероятность ложной тревоги ос(ф ц) не превысит наперед заданного значения ос. В случае параметрической априорной неопределенности стараются выбрать такое правило, которое бы при заданном уровне ос обеспечивало максимум вероятности правильного обнаружения при любых значениях неизвестных компонент векторов Ф и ц. Такие алгоритмы называются равномерно наиболее мощными, однако существуют они лишь для ограниченного класса распределений вероятностей исходных выборок и редко встречаются в прикладных задачах. Для того, чтобы получить
приемлемое решение, класс алгоритмов, в котором ведется поиск оптимального решения, еще больше сужают, накладывая дополнительные ограничения, например, рассматривая только те алгоритмы, у которых вероятность ложной тревоги не превышает вероятность правильного обнаружения, т. е. ос(фц) ^ р(фц). Такие алгоритмы называются не- смегценними. В этом, более узком, классе алгоритмов обнаружения часто удается найти оптимальное.
Другим способом сузить класс рассматриваемых алгоритмов обнаружения является рассмотрение только тех алгоритмов, которые остаются инвариантними относительно некоторой группы преобразований выборочного пространства. Характеристики таких алгоритмов весьма привлекательны, однако далеко не все практические задачи позволяют воспользоваться принципом инвариантности [73].
Еще одним способом решения задач обнаружения и различения сигналов в условиях параметрической априорной неопределенности является использование минимаксного подхода. На качественном уровне сущность подхода состоит в том, чтобы ограничить наибольший (по множеству значений параметров помехи) уровень вероятности ложной тревоги и, при этом условии, максимизировать минимальное (по множеству параметров смеси сигнала с помехой) значение вероятности правильного обнаружения сигнала. Существуют и другие варианты минимаксного критерия оптимальности. Например, обеспечение минимального значения максимумов условных рисков. Достоинство минимаксного подхода состоит в том, что минимаксные правила существуют всегда, однако в подавляющем большинстве случаев удается получить лишь численные решения.
В непараметрическом случае ни вид функции распределения вероятностей наблюдаемых данных, ни априорные плотности распределения вероятностей неизвестны. Обычный путь преодоления априорной неопределенности состоит в поиске статистик (т. е. некоторых функций исходной выборки х), не зависящих от распределения вероятностей помехи в достаточно широких пределах. Это обеспечивает стабилизацию вероятности ложной тревоги в условиях изменяющейся помеховой обстановки.
Синтез оптимальных непараметрических алгоритмов обнаружения наталкивается на практически непреодолимые математические трудности. Решить эту проблему удается лишь в асимптотическом случае, когда число независимых наблюдений (размерность выборочного вектора х) или величина отношения сигнал/шум стремятся к бесконечности. Теория асимптотически оптимальных алгоритмов излагается в монографиях [73] и [54]. Основная идея асимптотического подхода состоит в том, что в асимптотике логарифм статистики отношения правдоподобия распределен по гауссову закону, и непараметрическая
априорная неопределенность переходит в параметрическую. При конечных размерах выборки предложены и проанализированы лишь эвристические алгоритмы.
Промежуточное положение между параметрическими и непараметрическими алгоритмами обнаружения сигналов в условиях априорной неопределенности занимают робастные алгоритмы. Основная идея робастных алгоритмов состоит в том, что распределение вероятностей отсчетов помехи не может быть произвольным, как в непараметрическом случае: о нем всегда имеется какая-либо априорная информация. Эта информация не позволяет конкретизировать функциональный вид распределения, чтобы можно было воспользоваться параметрическими алгоритмами обнаружения сигналов, однако она дает возможность указать множество ожидаемых распределений вероятностей отсчетов помехи и синтезировать алгоритм обнаружения, минимизирующий максимальное ухудшение качества на этом множестве. Большинство разработанных робастных алгоритмов ориентированы на детерминированный (неслучайный) сигнал с известными параметрами, и лишь в последние годы появились работы (в частности, работы одного из авторов настоящей книги В.А. Богдановича), в которых параметрическая неопределенность сигнала и помехи (например, неопределенность среднего значения и дисперсии) преодолевается на основе статистического принципа инвариантности, а непараметрическая неопределенность помехи — на основе принципа асимптотической робастности (минимаксности). Существуют и другие подходы к решению задач обнаружения и различения сигналов.
В задачах оценивания сигналов основными способами преодоления параметрической априорной неопределенности являются включение неизмеряемых параметров в состав параметров, подлежащих оценке, и поиск асимптотически оптимальных оценок [50, 53, 55, 67]. При наличии полных достаточных статистик для оцениваемых и мешающих параметров распределений вероятностей наблюдаемой выборки, оптимальный алгоритм оценивания сигналов можно построить без включения мешающих параметров в состав оцениваемых параметров. Именно этот подход нашел отражение в настоящей работе.
СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ УСТОЙЧИВОГО ОБНАРУЖЕНИЯ И РАЗЛИЧЕНИЯ СИГНАЛОВ ПРИ ОГРАНИЧЕННОМ ОБЪЕМЕ НАБЛЮДАЕМОЙ ВЫБОРКИ
Настоящий раздел посвящен методам синтеза алгоритмов обнаружения и различения сигналов, оптимальных при конечных объемах наблюдаемой выборки в условиях параметрической априорной неопределенности.
Критерии оптимальности и общая методика синтеза алгоритмов устойчивого обнаружения и различения сигналов в условиях параметрической априорной неопределенности
Предлагаемый в настоящей книге подход основан на модификациях и обобщениях критерия Неймана-Пирсона, а также его использовании совместно с байесовским подходом в задачах обнаружения и различения сигналов.
Критерий Неймана-Пирсона используется в задачах синтеза равномерно наиболее моии^них алгоритмов обнаружения сигналов. Пусть исходные данные для синтеза алгоритма обнаружения представлены выборочным вектором х = {жо, . . . , жп~1} £ X. Оптимальным будет такой алгоритм ср(х)обнаружения сигналов, который обеспечит максимум вероятности правильного обнаружения сигнала р(фц) при условии, что вероятность ложной тревоги ос(ф ц) не превысит наперед заданного значения ос:
р(ф ц) = cp(x)wi(x | фц)с/х = шах;
JФ(х)
г(2.1)
а(^,ц) = cp(x)w0(x | фц)с/х < ос.
X
Здесь через ц и Ф по-прежнему обозначены векторы параметров помехи и сигнала, wq(x | Ф, ц) и wi(x | ф ц) — плотности распределения вероятностей исходной выборки в отсутствие ({ф ц} € Юо) и при наличии ({ф ц} € fii) сигнала, fio, ^1 — непересекающиеся множества параметрического пространства П, fig U ^1 = ^- Поиск оптимума в
задаче (2.1) осуществляется по всем возможным алгоритмам обнаружения. Поэтому, если решение удается найти, то оно будет равномерно наиболее мои^ным (РНМ).
Для задач совместного обнаружения и различения сигналов будем использовать обобщенный критерий Неймана-Пирсона, сущность которого состоит в следующем [7]. Введем следующие обозначения:
Р»(^,ц) = | <p^^(x)w^(x I #,ц)(/х X
— условная вероятность правильного принятия решения в пользу г-й альтернативы, г = 1,. . . , т, при условии, что она верна,
аДт1,ц) = | cp^\x)w0(x | il,g)dx
X
— условная вероятность ложного принятия решения в пользу г-й альтернативы, г = 1,...,т, при условии, что верна гипотеза об отсутствии сигнала Н^. Отметим, что события, связанные с принятием решения в пользу г-й альтернативы, являются несовместными, поэтому можно ввести понятие полной вероятности ложной тревоги:
а(»,ц) = Е аД^’Н)-
»=1
Полная вероятность правильного обнаружения будет зависеть не только от условных вероятностей принятия решения в пользу истинных альтернатив но и от их априорных вероятностей:
₽(^u) = Е
г=1
Здесь р^ — условные априорные вероятности соответствующих гипотез при условии, что в наблюдаемом процессе присутствует сигнал, Ep^i. г=1
В реальных задачах различения сигналов априорные вероятности j^1), р^\ • • • ,Рт обычно не известны. Поэтому естественно выделить те алгоритмы, у которых полная вероятность правильного обнаружения инвариантна к изменению р^, р^\ • • • , PmV Используя равенство m
У^ р^ = 1, нетрудно установить, что вероятность p(il, ц) инвариантна г=1
относительно р^ тогда и только тогда, когда р^ (il, ц) = Р& (il, ц) при всех й € 0, ц € Ми любых и к = 1,. . . , m (0 и М — области возможных значений параметров il и ц). С учетом этого обобщенный критерий
Неймана-Пирсона будет иметь следующий вид:
У^ Рг(Ф ц) = 52 [ Ф^\х)гсДх | ф g)dx = шах;
z=lг=1х
т
Е <pW(x)w0(x I d,g)dx < а;
<=*х
| Ф^\х)гсДх | ф g)dx = | ср^^(х)гщ(х | фц)с/х XX
при любых г. k = 1,. . . , т.
Возможно дальнейшее обобщение критерия Неймана-Пирсона, когда при фиксированном уровне вероятности ложной тревоги вместо максимизации вероятности правильного обнаружения минимизируется некоторая функция потерь. Подробнее такой критерий обсуждается в п. 2.6 при разработке методов совместного применения принципа инвариантности и байесовского подхода при синтезе алгоритмов обнаружения и различения сигналов.
Алгоритм ф(х) = {ф^\х),. . ., ф^^х)}, оптимальный в соответствии с критерием (2.2) при любых значениях векторов полезных и мешающих параметров, будем называть РНМ алгоритмом совместного обнаружения и различения сигналов. РНМ алгоритмы совместного обнаружения и различения сигналов существуют очень редко и в мало интересных для практики случаях. Однако в довольно широком классе задач удается отыскать РНМ алгоритмы среди несмещенных или инвариантных алгоритмов совместного обнаружения и различения, которые в дополнение к условиям (2.1) или (2.2) удовлетворяют условиям несмегценности^
52 Pi(d,Jl) ^ а г=1
(для задач обнаружения сигналов т = 1), или инвариантности,
<p(gx) = ф(х),
при всех g е G, х е X, где G — группа преобразований выборочного пространства X, относительно которой решающая функция алгоритма должна оставаться инвариантной.
Отсюда критерий оптимальности для синтеза РНМ несмещенных алгоритмов обнаружения и совместного обнаружения и различения сигналов примет вид соответственно (2.3) и (2.4):
Р(фц) = ф(х)гщ(х | ц)(/х = шах;
ф(х)
ос(фц) = | ф(х)гсо(х | фц)с/х < ос;
х
р(фц) > ос, при всех {й, ц} € Hi;(2.3)
^ рг(Ф и) = У? f Ф^(х)^г(х | ^7 ц)^х = max;
11 Jф(х)
г=1г=1 х7
I tpw(x)wo(x Iфц)с/х<ос при всех {й, ц} Е Юо;
i = 1X
| cp^\x)wi(x | ф ц)(/х = | ^k\x)u)k(x | ф ц)(/х
XX
при любых г, k = 1,. . . , т; тт
^ Зг (^, и) ^ « ПРИ всех {^7^} Е U ^.(2.4)
г = 1г=1
Здесь П^ г = 0, . . . , ш, — области возможных значений параметров {й, ц} при гипотезе и альтернативах.
Аналогично формулируется критерий оптимальности для синтеза РНМ инвариантных алгоритмов обнаружения и совместного обнаружения и различения сигналов с тем лишь различием, что в выражениях (2.3) и (2.4) условия несмещенности (последние строчки) заменяются на условие инвариантности.
Общую методику синтеза алгоритмов устойчивого обнаружения и различения сигналов в условиях параметрической априорной неопределенности можно сформулировать следующим образом:
Проводится анализ исходных данных и проверяется возможность синтеза РНМ алгоритма обнаружения сигналов. В этом случае в качестве критерия оптимальности используется критерий Неймана- Пирсона. При успешном синтезе полученный алгоритм будет оптимальным при любых фактических значениях параметров распределения вероятностей исходной выборки. Однако РНМ алгоритмы обнаружения сигналов существуют для ограниченного класса распределений исходной выборки — для распределений с монотонным отношением правдоподобия [103], которые редко встречаются в прикладных задачах. Поэтому чаще всего РНМ алгоритм отыскать не удается, и необходим переход к следующему этапу.
Класс алгоритмов, в котором ведется поиск оптимума, сужается до класса несмещенных алгоритмов, у которых вероятность правильного обнаружения не может быть меньше вероятности ложной тревоги. В этом суженном классе алгоритмов часто удается найти оптимальный, т. е. РНМ несмещенный алгоритм обнаружения. Отметим, что используемый здесь критерий оптимальности аналогичен критерию Неймана-Пирсона, однако не является таковым, так как поиск оптимума осуществляется не среди всех возможных алгоритмов обнаружения, а лишь среди несмещенных. Очевидно, что РНМ алгоритм, если он существует, является также и РНМ несмещенным. Если РНМ
несмещенный алгоритм отыскать не удается, переходят к третьему этапу синтеза.
Проверяется наличие симметрии задачи обнаружения и семейства распределений наблюдаемой выборки относительно подходящей группы преобразований, описывающей априорную неопределенность данных. При положительном ответе на этот вопрос предпринимается попытка синтезировать РНМ инвариантный алгоритм, оптимальный среди инвариантных к преобразованиям данной группы алгоритмов. Все такие алгоритмы зависят от наблюдаемых данных через специальную статистику, называемую максимальным инвариантом (МИ), поэтому РНМ инвариантный алгоритм существует, если распределение МИ имеет монотонное отношение правдоподобия [103].
Если все эти попытки оказываются безуспешными, возможно дальнейшее сужение множества рассматриваемых алгоритмов [103]: к задаче, сформулированной относительно параметров наблюдаемой выборки или достаточных статистик, применяется принцип инвариантности, а затем к задаче, сформулированной относительно распределения МИ — принцип несмещенности, либо используется подход, основанный на совместном применении принципа инвариантности и байесовского подхода.
В тех случаях, когда все перечисленные подходы не дают желаемого результата, можно предложить синтезировать квазиоптимальные алгоритмы, основанные на аппроксимации распределений данных или статистик, используемых на любом из перечисленных этапов синтеза.
2.2. Теория равномерно наиболее мощных алгоритмов обнаружения и различения сигналов
Синтез равномерно наиболее мощных алгоритмов обнаружения сигналов. Рассмотрим вначале случай, когда задача обнаружения сигналов сводится к задаче проверки простых статистических гипотез. Пусть в отсутствие сигнала выборка х из наблюдаемого процесса x(t) характеризуется плотностью вероятностей wq(x | фц), при его наличии — плотностью гщ(х | ф ц), причем значения векторов параметров ц и Ф являются априори заданными. Обозначим w(x) плотность вероятностей наблюдаемой выборки х, тогда задача обнаружения сигнала может быть сформулирована как задача проверки простых гипотез:
Яо : w(x) = wq(x | фц) (сигнала нет);
Я1 : w(x) = wi(x | фц) (сигнал есть).
Процедуру нахождения оптимального, в соответствии с критерием (2.1), алгоритма обнаружения дает фундаментальная лемма Неймана-Пирсона [103], которая
доказывает существование алгоритма, обеспечивающего заданный уровень вероятности ложной тревоги: для проверки гипотез (2.5) найдутся алгоритм ф(х) и константа С такие, что
cp(x)w0(x | фц)с/х = ос, (2.6)
X
и
Wi(x | р.) > Cw0(x | р.); (27) О, wi(x | ^,ц) < Cwq(x | д,ц);
дает достаточное условие для оптимального алгоритма обнаружения: если алгоритм ф(х) удовлетворяет требованиям (2.6) и (2.7) при некотором значении (7, то он является оптимальным в соответствии с критерием (2.1);
дает необходимое условие для оптимального алгоритма обнаружения: если алгоритм ф(х) является оптимальным в соответствии с критерием (2.1), то при некотором значении С он удовлетворяет соотношению (2.7) почти всюду; он также удовлетворяет соотношению
(2.6), кроме случая, когда существует алгоритм, обеспечивающий вероятность ложной тревоги меньше ос и вероятность правильного обнаружения, равную 1.
Следствие 1. Для оптимального алгоритма вероятность правильного обнаружения р(ф ц) ^ ос, за исключением случая w0(x I фц) = Wi(x I фц).
Рассмотренный выше случай представляет в основном теоретический интерес, так как на практике задачи, сводящиеся к простым гипотезам, встречаются крайне редко. Чаще всего семейства распределений, описывающие наблюдаемые данные, зависят от одного или нескольких непрерывных параметров. Но даже в том случае, когда параметр, характеризующий семейство распределений наблюдаемых данных, является непрерывным и одномерным (одномерные параметры будем обозначать греческими буквами 9 с индексами и без индексов), для существования РНМ алгоритмов необходимо, чтобы семейства распределений удовлетворяли некоторым дополнительным требованиям. Рассмотрим этот случай подробнее, для чего нам понадобится понятие монотонного отношения правдоподобия.
Зависящее от действительного одномерного параметра 9 семейство плотностей распределения вероятностей Р6 обладает монотонном отношением правдоподобия, если для любых 9 и 9' распределения Ре и Ре' различны и существует функция Т(х) такая, что отношение правдоподобия /(х | 9', 9) = w(x | 9')/w(x | 9) является неубывающей функцией от Т(х), /(х | 9', 9) = /(Т(х) | 9', 9).
Пусть семейство распределений наблюдаемых данных характеризуется плотностями распределения вероятностей w(x | 9), где 9 —
действительный параметр, и проверяемые гипотезы имеют вид
Ни : 0 < 0п (сигнала нет):z х
Ну : 0 > 0о (сигнал есть).
Тогда справедлива следующая
Т(х) > С;Т(х) = С;Цх) < С,Т(х) > С;Т(х) = С;Цх) < С,Теорема 2.1 [103]. Если семейство плотностей распределения вероятностей w(x | 0) наблюдаемых данных обладает монотонным относительно Т(х) отношением правдоподобия, то для проверки гипотез (2.8) существует РНМ алгоритм
Т(х) > С;
Т(х) = С;
Цх) < С,
Т(х) > С;
Т(х) = С;
Цх) < С,
(2-9)
где Сиу выбираются так, чтобы выполнялось равенство
| (p(x)w(x | 90)dx = ос;(2.10)
х
функция мощности этого алгоритма р(0) = j cp(x)w(x | ^)dx строго х
возрастает во всех точках, где р(0) < 1.
Кроме того, для всех 0' алгоритм обнаружения, задаваемый выражениями (2.9) и (2.10), является РНМ для проверки гипотез
Но : 0 ^ 0' (сигнала нет),
Ну : 0 > 0' (сигнал есть),
при вероятности ложной тревоги ос' = р(0'), а для любого 0 < 0g алгоритм минимизирует вероятность ложной тревоги в классе всех алгоритмов, удовлетворяющих условию (2.10).
Теорема 2.1 имеет важное значение при отыскании РНМ инва- риантых и РНМ несмещенных алгоритмов, когда применение принципов инвариантности или несмещенности позволяет свести задачу к проверке гипотез относительно одномерного действительного параметра, характеризующего распределение специальных статистик — максимальных инвариантов или условных распределений, взятых по отношению к некоторой достаточной статистике. Эти вопросы будут рассмотрены позднее. Самостоятельное значение теорема 2.1 может иметь в том случае, когда семейство распределений вероятностей наблюдаемых данных характеризуется однопараметрическим экспоненциальным распределением, в этом случае справедливо
Следствие 2. Пусть 0 — действительный параметр и пусть плотность вероятностей выборочного вектора х задается выражением
w(x | 0) = (7(0) exp {Q(0)T(x)} h(x),(2.11)
3 Богданович В.А., Вострецов А.Г.
где Q(-) — строго монотонная функция. Тогда РНМ алгоритм для проверки гипотез (2.8) при возрастающей Q( •) имеет вид
W > С;
ф(х) = <ф(х) = <Т(х) = С;Т(х) = С;(2-12)(2-12)О,О,W < С,W < С,
ф(х) = <
ф(х) = <
Т(х) = С;
Т(х) = С;
(2-12)
(2-12)
О,
О,
W < С,
W < С,
где Сиу по-прежнему выбираются так, чтобы выполнялось равенство (2.10). Если Q(-) — убывающая функция, то в (2.12) неравенства следует заменить на противоположные.
РНМ алгоритмы обнаружения существуют не только для односторонних, но также и для некоторых двусторонних гипотез типа
(2.13)(2.13)Но : 9 ^ 91 U 9 ^ 02 (сигнала нет);Ну : 9 Е (91,92) (сигнал есть).
(2.13)
(2.13)
Задачи, сводящиеся к проверке статистических гипотез (2.13), могут возникать, например, при допусковом контроле комплектующих при сборке радиоаппаратуры, при обнаружении цели в заданном диапазоне дальностей и т. п. Приведем структуру РНМ алгоритмов обнаружения для случая, когда плотности вероятностей наблюдаемых данных принадлежат однопараметрическому экспоненциальному семейству.
Теорема 2.2 [103]. В однопараметрическом экспоненциальном семействе существует РНМ алгоритм проверки гипотез (2.13), задаваемый соотношениями
Т(х) € (Ci,C2), Сг<С^
ф(х) = <ф(х) = <(2-14)(2-14)T(x) = Ci, г = 1,2;
ф(х) = <
ф(х) = <
(2-14)
(2-14)
Т(х) £ \СХ,С^ Сг<С^
где Ci, С2 и у выбираются тащ чтобы выполнялись равенства
| cp(x)w(x | 9i)(Zx = | cp(x)w(x | 92)dx = ос.(2.15)
XX
Этот алгоритм минимизирует вероятность ложной тревоги ос(9) = cp(x)w(x | 9)dx при условии (2.15) и при всех 9 ^ (91,92).
X
Кроме того, при 0 < ос < 1 вероятность правильного обнаружения этого алгоритма имеет максимум при 9 = 9q, 9i < 9q < 92, и строго убывает при удалении 9 от 9q вправо или влево. При этом исключается случай, когда существуют два числа ty и ^ для которых
Р6{Т(х) = ty^ = Р6{Т(х) = ^2} = 1 при всех 9.
Важным обстоятельством является то, что хотя для однопараметрического экспоненциального семейства распределений существует РНМ
алгоритм проверки гипотез (2.13), решение двойственной задачи,
Яо : 9 G (91,92) (сигнала нет);
Я1 : 9 < 9i U 9 > 92 (сигнал есть),'
или задачи Яо : 9 = 9о, Ну : 9 ^ 9q, может не существовать. Как будет показано ниже, для таких задач существуют РНМ несмещенные алгоритмы обнаружения.
Синтез равномерно наиболее мощных алгоритмов совместного обнаружения и различения сигналов. Рассмотрим задачу совместного обнаружения и различения сигналов. В этом случае наблюдаемый процесс может представлять собой либо реализацию шума, либо смесь одного из т сигналов и шума. При синтезе алгоритмов совместного обнаружения и различения сигналов будем полагать, что энергетические параметры всех сигналов одинаковы, и отличаются они друг от друга только неэнергетическими параметрами. Выборка х из наблюдаемого процесса в отсутствие сигнала принадлежит семейству распределений Р^0) = {wq(x | ц),ц Е М}, а при наличии г-го сигнала — семейству Р(г) = {w^(x | X, Ф, ц), X Е Л = (0,оо), й Е 0^г\ ц Е М}. Здесь через ц обозначен вектор параметров шума, X - энергетический параметр сигнала (например, амплитуда), й- вектор неэнергетических параметров г-го сигнала, М, Л, 0^ — области значений соответствующих параметров. Задача совместного обнаружения и различения сигналов эквивалентна многоальтернативной задаче проверки т + 1 статистических гипотез:
Яо : X = 0, il Е |J 0^г\ ц Е М (сигнала нет);
i=1(2.17)
Я^ : X > О, $Е^г\ цеМ, г = 1,...,ш (присутствует г-й сигнал).
Граница между гипотезой Яо и альтернативами Я^, г = 1, . . . ... , ттг, задается множеством Q = (X = 0) х М, совпадающим с множеством параметров, определяющих гипотезу Яо- Множества значений параметров всех сигналов Е^ = Л х 0^г\ г = 1, . . . ... ,?72, имеют общую границу (X = 0) х 0^г\ не принадлежащую этим множествам. При подстановке X = 0 в распределения Р(г\ все семейства Р(г\ г = 1, . . . , ттг, переходят в семейство Р^°\
Рассмотрим случай простых гипотез. Для этого зафиксируем значение энергетического параметра сигнала X, а значения параметров шума ц Е М и неэнергетических параметров сигнала il Е 0^г\ г = 1,. . . , ттг, полагаем a priori заданными. Тогда задача синтеза оптимального по критерию (2.3) правила совместного обнаружения и различения
сигналов будет эквивалентна задаче выпуклого программирования:
— У^ р^г\х, ^,ц) = — У2 [ (P^\X)W»(X I ^, $> ц)б/х = min;
E [ <p^^(x)w0(x I g)dx - a < 0;
j ф^^гсЦх | X, p)dx — j ф^(х)гщ(х | X, ^, p)dx = 0, XX
к = 2,. . . , m.
Разобьем выборочное пространство X на систему непересекающих- ся множеств:
Хо = {х : ^ max sklk(X^p) < С};
Х^ = {х : ^ шах £& Z&(X, 11, у,) С, ^Ц^^^р.) > £& Z&(X, 11, у,), к / г},
г = 1,. . . , т, (2.19) z X wk(x I X, й,ц)
где lk\X il, и) = —к = 1, . . . , т — отношения правдоподо-
7 Wo(x I р)
бия, £!,...,£& — некоторый набор чисел, и Xi = х.
г=0
Применяя теорему Куна-Таккера [63], получим решение задачи (2.18) в виде
(2.20)(2.20)(0,. ..,0), хеХ0;
(2.20)
(2.20)
(0,. ..,0,ф^(х) = 1,0,. ..,0), хеХ^
где Х^, г = 0,. . . , т, определяются из соотношений (2.19), а константы С и £i, . . . , £т — из системы уравнений
У2 j ф^г\х)гс0(х | p)dx = ос, г^1 х
j Ф^^гсЦх | X, il, p)dx = j ф^\х)ге/с(х | X, 11, ц)(/х,(2.21)
XX
к = 2,. . . , т.
Примеры синтеза и анализа равномерно наиболее мощных алгоритмов обнаружения и различения сигналов. На практике теория синтеза равномерно наиболее мощных правил обнаружения и различения сигналов применяется в основном после редукции исходных данных с помощью достаточных статистик (при построении несмещенных правил), статистического принципа инвариантности (при синтезе
инвариантных алгоритмов), совместного применения принципов инвариантности и несмещенности, а также применения аппроксимирующих функций распределения. Функции распределения вероятностей статистик, получаемых в результате редукции, обычно характеризуются одномерным параметром, что и создает предпосылки для синтеза РНМ правил. Ниже рассматриваются наиболее характерные примеры построения РНМ алгоритмов обнаружения и различения сигналов, встречающихся на практике.
Пример 2.1. Обнаружение детерминированного сигнала известной формы на фоне гауссова шума с известным статистическим описанием.
Наблюдаемый процесс ж(£) представляет собой аддитивную смесь полезного сигнала Ums(t) (Um — в общем случае неизвестная амплитуда сигнала, s(t) — нормированный по амплитуде сигнал известной формы) и гауссова стационарного шума r|(t) с нулевым средним и известной дисперсией о2:
Д<) = Ti(<) + Ums(ty
В отсутствие сигнала Um = 0, и наблюдаемый процесс представляет собой реализацию гауссова шума. На интервале наблюдения АТ образуем выборку х = {жд, • • • ^п-Л размером п, составленную из отсчетов реализации наблюдаемого процесса ж(^), взятых в моменты времени tg,. . . • Ti • х € X, X — n-мерное пространство выборок. Моменты времени tg, . . . , tn_\ обычно задают в соответствии с теоремой отсчетов, Т = ^о + ^д? где тд = 1/(2AF) — шаг дискретизации, АТ — полоса пропускания линейной части регистрирующей системы, а сами отсчеты полагают статистически независимыми.
Обозначим q = Um/Q — отношение сигнал/шум. Тогда выборочный вектор можно охарактеризовать плотностью вероятностей:
= C(q) exp S - 52 8гжг ( MXL (2.22) I ° z=0 J
где
Задача обнаружения сигнала эквивалентна задаче проверки статистических гипотез относительно параметров распределения (2.22):
(2.23)(2.23)Hq : q = 0 (сигнал отсутствует);
(2.23)
(2.23)
Ну : q > 0 (сигнал присутствует).
Видно, что гипотеза Но является простой, а альтернатива Н^ — сложной. Поскольку распределение наблюдаемых данных (2.22) принадлежит однопараметрическому экспоненциальному семейству вида n —1
с Q(q) = -, Т(х) = У^ 8{Х^ функция Q(q) — строго возрастаю°г=0
щая, то, в соответствии с (2.12), имеем РНМ алгоритм обнаружения сигнала:
1,п — 1УУ >С;ф(х) = <Y,г=0п — 1У Зг^г —С;0,г=0п — 1У<г=0с,1,п — 1УУ >С;ф(х) = <Y,г=0п — 1У Зг^г —С;0,г=0п — 1У<г=0с,(2.24)(2.24)
1,
п — 1
УУ >
С;
ф(х) = <
Y,
г=0
п — 1
У Зг^г —
С;
0,
г=0
п — 1
У<
г=0
с,
1,
п — 1
УУ >
С;
ф(х) = <
Y,
г=0
п — 1
У Зг^г —
С;
0,
г=0
п — 1
У<
г=0
с,
(2.24)
(2.24)
где Сиу выбираются так, чтобы выполнялось равенство (2.10). Статистика Т(х) может принимать любые значения на числовой оси, поэтому вероятность события Т(х) = С равна нулю, и вместо алгоритма (2.24) можно рассматривать нерандомизированный алгоритм:
1,0,1,0,п — 1
1,
0,
1,
0,
(2.25)(2.25)У SiXi > С; г=0 п — 1
(2.25)
(2.25)
С.
г=0
Определим пороговую константу С алгоритма (2.25). В отсутствие сигнала статистика Т (х) имеет гауссово распределение вероятностей с п — 1
нулевым средним и дисперсией о^ = о2 У^ s2, отсюда для обеспечения г=0
заданного уровня вероятности ложной тревоги пороговую константу1п — 1
следует принять равной С = о а У^ s^F-1(1 — ос), где F-1(l — ос) — V 7=0
квантиль порядка (1 — ос) стандартного нормального распределения с нулевым средним и единичной дисперсией.
При наличии сигнала статистика Т(х) имеет гауссово распределе- п — 1
ние вероятностей со средним, равным Um ^ s^, и дисперсией о^ = г=0
п — 1
= о2 ^ S-, отсюда вероятность правильного обнаружения сигнала г=0
будет задаваться формулой
р = 1 - Тр = 1 - Т/ С - Urn^ 82Лг = 0/ С - Urn^ 82Лг = 0(2.26)(2.26)
р = 1 - Т
р = 1 - Т
/ С - Urn^ 82Л
г = 0
/ С - Urn^ 82Л
г = 0
(2.26)
(2.26)
где
^(ж) =^(ж) =dtdt
^(ж) =
^(ж) =
dt
dt
— интегральная функция стандартного нормального распределения, n —1
Если сигнал нормирован по энергии ( ^ s? = 1)? т0 выражение для г=0 вероятности правильного обнаружения упростится и примет вид
P = l-F[F-1(l-a)-Q].(2.27)
Пример 2.2. Обнаружение гауссова случайного сигнала с неизвестной дисперсией на фоне гауссова шума с известным статистическим описанием.
Наблюдаемый процесс ж(£) представляет собой аддитивную смесь полезного сигнала X^t?) (X — в общем случае неизвестное среднеквадратическое отклонение сигнала, yt) — стационарный гауссов процесс с нулевым средним и единичной дисперсией) и гауссова стационарного шума T\(t) с нулевым средним и известной дисперсией о2:
Д<) = лИ + W)-
В отсутствие сигнала X = 0, и наблюдаемый процесс представляет собой реализацию гауссова шума r|(t). На интервале наблюдения АТ образуем выборку х = {ж0, . . . , жп_]} размером п, составленную из статистически независимых отсчетов реализации наблюдаемого процесса ж(£), взятых в моменты времени to? • • • ? tn i, х G X, X — n-мерное пространство выборок.
В этом случае выборочный вектор характеризуется плотностью распределения вероятностей
w(x | X) =w(x | X) =12л(о2 + X2)12л(о2 + X2)п/2ехрп/2ехр2(а2+Х2)2(а2+Х2)
w(x | X) =
w(x | X) =
1
2л(о2 + X2)
1
2л(о2 + X2)
п/2
ехр
п/2
ехр
2(а2+Х2)
2(а2+Х2)
= С (X) ехр= С (X) ехр12(о2 + Х2)12(о2 + Х2)(2.28)(2.28)
= С (X) ехр
= С (X) ехр
1
2(о2 + Х2)
1
2(о2 + Х2)
(2.28)
(2.28)
где
Г 11п/2
С^ =.
+ X )
Задача обнаружения сигнала эквивалентна задаче проверки статистических гипотез относительно параметров распределения (2.28)
Но : X = 0 (сигнал отсутствует);
Ну : X > 0 (сигнал присутствует).
Видно, что гипотеза Но является простой, а альтернатива Hi — сложной. Поскольку распределение наблюдаемых данных (2.28) принадлежит однопараметрическому экспоненциальному семейству вида (2.11) с
функция Q(X) — строго возрастающая, то, как и в предыдущем примере, имеем РНМ нерандомизированный алгоритм обнаружения
сигнала:сигнала:ф(х) = <ф(х) = <0,0,(2.30)(2.30)
сигнала:
сигнала:
ф(х) = <
ф(х) = <
0,
0,
(2.30)
(2.30)
В отсутствие сигнала статистика Т (х) /о2 имеет х2-распределение с п степенями свободы, отсюда для обеспечения вероятности ложной тревоги, равной ос, пороговую константу следует принять равной С = = а2Хп,(1-ар гдеХ2,(1-а) — квантиль порядка (1-ос) ^-распределения с п степенями свободы. При наличии сигнала статистика Т(х)/(о2 + X2) имеет ^-распределение с п степенями свободы, отсюда вероятность правильного обнаружения сигнала будет задаваться формулой
С^п, (1 — а)
a2(l + q2)1 + q2
(2.31)(2.31)0 = 1- | й^и = 1- j x^Wt,
(2.31)
(2.31)
^ n / 2 — 12n/T(n/2)^ n / 2 — 12n/T(n/2)expexpt > 0, n > 1;t > 0, n > 1;где
^ n / 2 — 1
2n/T(n/2)
^ n / 2 — 1
2n/T(n/2)
exp
exp
t > 0, n > 1;
t > 0, n > 1;
XnW = <
0, t0, t< 0< 0
0, t
0, t
< 0
< 0
является плотностью %2-распределения с п степенями свободы, q = = Х/о — отношение сигнал/шум.
Пример 2.3. Выборочный контроль партии изделий [103].
Пусть на контроль представлена партия из N изделий. Размер партии настолько велик, что сплошной контроль представленных изделий экономически не целесообразен, поэтому применяют выборочный контроль. Для этого случайным образом из партии извлекают и контролируют п изделий. Пусть полное число дефектных изделий в партии равно D. тогда число X дефектных изделий в выборке имеет гипергеометрическое распределение
ж = 0,1,...,Р.(2.32)
Партия изделий считается бракованной, если в ней D > Do^ где число Do задается техническими условиями. Задачу обнаружения бракованной партии изделий на основе выборочного контроля можно сформулировать как задачу проверки статистических гипотез относительно параметров распределения (2.32):
Но : D < Do
(число бракованных изделий в партии не превысило норму);
(2.33) HV.D> Do
(число бракованных изделий в партии превысило норму).
Интерпретируя Рр(х) как плотность по отношению к мере ц, которая для каждого множества на прямой равна числу содержащихся в нем точек с целыми неотрицательными координатами, и учитывая, что
Pd+Дж) = (D + 1)(W - D - п + ж)
PD^ (N - D)(D^l-x) 1 можно сделать вывод, что рассматриваемые распределения имеют монотонное отношение правдоподобия с Т(ж) = ж, и РНМ алгоритм проверки гипотез (2.33) имеет вид
1,1,0,0,(2.34)(2.34)
1,
1,
0,
0,
(2.34)
(2.34)
где константы у и С выбираются таким образом, чтобы обеспечить заданный уровень ос вероятности ложного забракования годной партии изделий, т. е. чтобы выполнялось равенство
min(n,Do)
чРоАс^ 52 роА^ = °-г=С+1
Вероятность правильного принятия решения о забраковании всей партии
min(n,D)
0 = уРо(С) + £ РгМ(2.36)
г = С + 1
Пример 2.4. Обнаружение сигнальной составляющей в бинарно квантованной выборке.
Пусть наблюдаемый процесс представляет собой поток статистически независимых единиц и нулей. Такой процесс получается, например, в результате бинарного квантования исходной аналоговой выборки. При адаптивном пороге квантования [4] вероятность появления в наблюдаемом потоке “1” в отсутствие сигнала является постоянной и равной ро^ вероятность появления “0” равна 1 — р^. При наличии полезного сигнала вероятность “1” становится равной pi > р^.
Образуем из наблюдаемого квантованного процесса выборку х = = {жо, . . . , жп_1} объемом п. Элементы вектора х могут принимать только два значения — “0” либо “1”. Совместное распределение вектора п — 1
х обладает достаточной статистикой ^ жй распределение которой г=0
дается выражением
\ 71— 171—1
2С гп— V жг
^р(х) —^р(х) —(i-р) До .(2.37)
^р(х) —
^р(х) —
Xi I
г=0/
Задача обнаружения сигнальной составляющей эквивалентна задаче проверки статистических гипотез относительно параметра р распределения (2.37):
Но : Р = Ро (сигнала нет);
тг/\^J.OOj
Hi : р > pq (сигнал есть).
п — 1
Распределение (2.37) удовлетворяет (2.11) с Т(х) = У^ ж^, Q(p) = z=0
= log[p/(l — р)] и обладает монотонным отношением правдоподобия, поэтому РНМ алгоритм обнаружения имеет вид
1,1,ф(х) = <ф(х) = <О,О,^х) > С;Т(х) = С;Т(х) < С.^х) > С;Т(х) = С;Т(х) < С.(2.39)(2.39)
1,
1,
ф(х) = <
ф(х) = <
О,
О,
^х) > С;
Т(х) = С;
Т(х) < С.
^х) > С;
Т(х) = С;
Т(х) < С.
(2.39)
(2.39)
Константы у и С выбираются таким образом, чтобы обеспечить заданный уровень а вероятности ложной тревоги, т. е. чтобы выполнялось равенство
чРрсЛС'Н Е рро(0 = «-
г = С + 1
Вероятность правильного обнаружения сигнала равна
(2.41)(2.41)р = 7РР1(С) + £ РР1Щ
(2.41)
(2.41)
г = С + 1
Теория несмещенных алгоритмов обнаружения и различения сигналов
О принципах несмещенности и подобия в задачах обнаружения и различения сигналов. Переход от поиска РНМ к поиску РНМ несмещенных алгоритмов обусловлен тем, что в большинстве практических задач РНМ алгоритмы не существуют. Критерии оптимальности для синтеза несмещенных алгоритмов обнаружения и различения сигналов сформулированы в п. 2.1 в виде выражений (2.3) и (2.4). Во многих задачах обнаружения и совместного обнаружения и различения сигналов в качестве полезного параметра распределения наблюдаемой выборки, определяющего границу гипотезы Н^ об отсутствии сигналов, обычно выступает общий скалярный (чаще всего энергетический) параметр сигналов. Обозначим такой параметр X. В этом случае удобно представить параметры распределений наблюдаемой выборки при выполнении г-й гипотезы в виде Е^ — Хх ф(г) х щ где х обозначает декартово произведение векторов, X Е 1 = [О, оо) — общий для всех сигналов энергетический параметр, ^г^ € 0^ — вектор неэнергетических параметров г-го сигнала, ц € М — вектор параметров шума. При гипотезе Hq Ew Е fio = U (^ ^ ^т>) х 0W х М, г = 1,..., т, г = 1
при выполнении г-й альтернативы Н^ Е^ Е fl г = (X > Хгр) х 0^г^ х х М, г = 1,..., т (в случае решения задач обнаружения сигналов число альтернатив т = 1), flo, • • • > ^m — области значений вектора параметров распределения вероятностей наблюдаемой выборки при выполнении соответствующих гипотез. Предполагается, что на границе А = U (X = Хгр) х 0^ х М между гипотезой об отсутствии сигнала и г = 1
всеми альтернативами функциональный вид функции распределения наблюдаемой выборки остается неизменным, и плотность распределения вероятностей можно записать в виде wq(x | Е), Е € А.
Рассмотрим вначале задачу обнаружения одного сигнала (т = 1). Для этого введем в рассмотрение функцию мощности алгоритма
р(Е) = | cp(x)w(x | H)dx.(2.42)
х
При Е е flo функция р(Е) будет задавать вероятность ложной тревоги, при Е € fli — вероятность правильного обнаружения. Условия
несмещенности алгоритма примут вид
Р(Е) < ос при р(Е) ^ ос приР(Е) < ос при р(Е) ^ ос приЕ € ^ois G l^i.Е € ^ois G l^i.(2.43)(2.43)
Р(Е) < ос при р(Е) ^ ос при
Р(Е) < ос при р(Е) ^ ос при
Е € ^oi
s G l^i.
Е € ^oi
s G l^i.
(2.43)
(2.43)
Переход к поиску РНМ несмещенного алгоритма обнаружения сигналов не ведет к потере РНМ алгоритма (если РНМ алгоритм существует, то он будет и РНМ несмещенным, так как его мощность не может быть меньше мощности алгоритма ф(х) = ос).
При довольно общем ограничении функция мощности р(Е) непрерывна по Е. Поэтому у несмещенных алгоритмов она равна постоянному значению ос на границе А = Хгр х 0 х М множеств Qq и ^ь т- е-
р(Е) = ос для всех S Е А. (2.44)
Алгоритмы, удовлетворяющие условию (2.44), называются подобными на границе (между гипотезами Но и Hi). При отыскании оптимального алгоритма обнаружения удобнее оперировать с выражением (2.44), чем с (2.43), т. е. желательно при отыскании оптимума вместо класса всех несмещенных правил обнаружения рассматривать класс правил, подобных на границе между гипотезой и альтернативой. Правомерность такого перехода обосновывается нижеследующей леммой [103].
Лемма 2.1. Если распределения w(x | S) таковы, что функция мощности любого алгоритма обнаружения непрерывна, и если фо является равномерно наиболее мощным среди всех алгоритмов, удовлетворяющих условиям (2.44), и имеет вероятность ложной тревоги, не превышающую уровень ос для исходной задачи обнаружения, то фо — РНМ несмещенный алгоритм.
Доказательство леммы приведено в [103]. Таким образом, для подавляющего большинства практических задач принцип несмещенности ведет к принципу подобия на границе между гипотезой и альтернативой и позволяет значительно сузить класс алгоритмов, в которых отыскивается оптимум. При этом, если для мешающих параметров имеются достаточные статистики, то их использование позволяет существенно упростить задачу синтеза РНМ несмещенных алгоритмов и исключить неизвестные мешающие параметры.
Рассмотрим теперь задачу совместного обнаружения и различения сигналов Qm > 1). Критерий оптимальности для поиска наилучшего несмещенного алгоритма задается выражением (2.4), которое в рассматриваемом случае, когда в качестве полезных параметров распределений наблюдаемой выборки, определяющих границу гипотезы Но об отсутствии сигналов, выступают их энергетические параметры, примет
видвид
вид
вид
В^ е По;В^ £ По;В^ е По;В^ £ По;(2-45)(2-45)У^ рДЕ^) ^ ос при всех г = 1
В^ е По;
В^ £ По;
В^ е По;
В^ £ По;
(2-45)
(2-45)
У2 Рг(Е^) ^ « при всех г = 1
Рг(В(г)) = РДЕ^) при i^j;
Здесь Pi(H) = | (p^\x)wj(x | Е^ € Sli)dx, i = 1,... , m — веро-
X
ятность принятия решения в пользу альтернативы Ht при значении параметра Е^.
Первые два условия в (2.45) являются обобщением условий несмещенности (2.43) на многоальтернативный случай. Аналогично обобщение условия (2.44) подобия на границе А между гипотезой Но и всеми альтернативами примет вид:
(2-46)(2-46)УРг(Е(г))=« привсех Е^) Е А.
(2-46)
(2-46)
г = 1
В многоальтернативном случае аналогом леммы 2.1 является
Лемма 2.2. Если распределения го {(х | Е^), г = 1,. . . ,ш, таковы, что функция мощности любого алгоритма обнаружения непрерывна по всем компонентам вектора параметров Е^\ и если ф(х) = = {фХ(х),. . . ,фт(х)} — РНМ подобный на границе (2.46) алгоритм обнаружения с уровнем ос для вероятности ложной тревоги то ф(х) — РНМ по критерию (2.45) несмещенный алгоритм с тем же уровнем вероятности ложной тревоги а.
Синтез РНМ несмещенных алгоритмов обнаружения сигналов.
Синтез несмещенных алгоритмов обнаружения для выборок из однопараметрического экспоненциального семейства. Выше отмечалось, что РНМ алгоритмы обнаружения существуют далеко не всегда, даже для такого “хорошего” семейства распределений вероятностей наблюдаемых данных, как однопараметрическое экспоненциальное вида (2.11), отсутствуют РНМ алгоритмы обнаружения для задач, задаваемых выражением (2.16) (Но : 6 £ (61^2) — сигнала нет; Hi : 9 9i U U 9 ^ 92 — сигнал есть), или для задач вида
Но : 9 = 9q (сигнала нет),Hi : 9 / 9q (сигнал есть).
В работе [103] показано, что для решения этих задач существуют РНМ несмещенные алгоритмы, удовлетворяющие критерию оптимальности (2.3) и задаваемые выражениями
1,1,Т(х) < (71 или > С^Т(х) < (71 или > С^ср(х) = <ср(х) = <1г,1г,T(x) = Ci, г = 1,2;T(x) = Ci, г = 1,2;(2.48)(2.48)0,0,(71 < Т(х) < С2(71 < Т(х) < С2
1,
1,
Т(х) < (71 или > С^
Т(х) < (71 или > С^
ср(х) = <
ср(х) = <
1г,
1г,
T(x) = Ci, г = 1,2;
T(x) = Ci, г = 1,2;
(2.48)
(2.48)
0,
0,
(71 < Т(х) < С2
(71 < Т(х) < С2
где постоянные Ci, С^, yi и у2 находятся из системы уравнений
cp(x)w(x | 9i)(Zx = | cp(x)w(x | 92)(/х = ос,(2.49)
XX
для решения задачи (2.16) и из системы уравнений
T(x)cp(x)w(x | 90)^х = « j T(x)w(x | 90)dx,(2.50)
XX
| cp(x)w(x | 90)^x = oc,(2.51)
X
для решения задачи (2.47).
Синтез РНМ несмещенных алгоритмов обнаружения с неймановской структурой. Пусть распределение вероятностей наблюдаемой выборки характеризуется плотностью w(x | Е) = w(x | X, 0), где Е = = X х 0, X — энергетический параметр сигнала, 0 = {91, . . . , 9П} — вектор мешающих параметров сигнала и шума. Кроме того, для вектора 0 мешающих параметров существует достаточная статистика т = {Т1(х),...,гп(х)} е т, т — область значений статистики Т. Пусть Рт — семейство распределений статистики Т на границе между гипотезой и альтернативой, характеризуемой плотностями вероятностей w(x | Хгр,Т), которые при Е 6 А не зависят от 0, так как на границе X = Хгр, и плотность вероятности исходной выборки х зависит только от вектора мешающих параметров 0, для которого Т — достаточная статистика. Тогда любой алгоритм обнаружения сигнала, для которого, при Е = Хх0бД(5 = Хгр х 0),
cp(x)w(x | Хгр, T)dx = ос Рт — почти всюду) ,(2.52)
X
называется алгоритмом с неймановской структурой, причем левая часть выражения (2.52), в силу достаточности статистики Т, не зависит от мешающего параметра 0. Все алгоритмы неймановской структуры, как следует из равенства (2.52), подобны на границе А.
Вероятность ложной тревоги для алгоритмов с неймановской структурой остается постоянной и равной ос на каждой из поверхностей Т = t. Так как распределение вероятностей на каждой из этих поверхностей не зависит от вектора мешающих параметров 0, то условие (2.52) позволяет задачу обнаружения свести к задаче проверки простых статистических гипотез при каждом значении t, и задача синтеза РНМ подобного алгоритма обнаружения может быть решена для каждой поверхности отдельно. Общая формулировка задачи оптимизации имеет следующий вид:
cp(x)w(x | Хгр, t)dx = ос, при всех t € Т;
(2.53) cp(x)w(x | X, t)dx = шах, при всех X > Хгр, t Е Т.
х
Найденный таким образом алгоритм обнаружения оказывается наиболее мощным среди всех подобных алгоритмов в предположении, что все подобные критерии обладают неймановской структурой. Сформулируем условия, при которых справедливо последнее предположение. Для этого нам понадобится понятие полного и ограниченно полного семейства распределений.
Семейство распределений Рт называется полным, если для любой измеримой функции f(T) из равенства j /(T)w(T)dT = 0, справед- х
ливого для всех w(T) Е Рт, следует /(Т) = О Рт — почти всюду. Семейство распределений Рт называется ограниченно полным, если для любой ограниченной функции f(T) из равенства j / (T)w(T)dT = х
= 0, справедливого для всех w(T) Е Рт следует /(Т) = О Рт — почти всюду. Естественно, если семейство Рт является полным, то оно тем более является ограниченно полным.
Необходимые и достаточные условия для того, чтобы все подобные на границе алгоритмы обнаружения имели неймановскую структуру, дает следующая теорема.
Теорема 2.3 [103]. Пусть х — случайный вектор с плотностью вероятностей w(x | Хгр,0) Е Р£ @ и пусть Т = {ТДх),. . . ,Тп(х)} — достаточная статистика для семейства распределений Р* р @. Тогда для того, чтобы все подобные алгоритмы обнаружения имели неймановскую структуру относительно Т, необходимо и достаточно, чтобы семейство распределений РТ достаточных статистик Т было ограниченно полным.
Таким образом, для того, чтобы обосновать правомерность сужения области поиска РНМ несмещенных алгоритмов обнаружения до области алгоритмов с неймановской структурой, необходимо убедиться, что
функция мощности алгоритма обнаружения непрерывна, семейство распределений наблюдаемой выборки обладает достаточной статистикой Т для мешающих параметров, и распределение вероятностей достаточной статистики на границе А является полным или ограниченно полным. Для большого числа распределений вероятностей, характерных для практики обнаружения сигналов, полнота семейств распределений достаточных статистик может быть установлена на основании следующей теоремы:
Теорема 2.4. Пусть х — случайный вектор с плотностью
распределения вероятностей w(x | 0) = &(0)ехр < ^ ^iTt(x) > h(x)D ч=1 )
0 = {6i,---^n}5 пусть РТ — семейство распределений достаточной статистики Т = {ТДх),. . . ,Тп(х)} при 0, пробегающем множество А. Тогда. если А содержит п-мерный интервал, то семейство распределений РТ является полным.
Доказательство этой теоремы с использованием теории аналитических функций приведено в работе [103] (гл. 4, п. 3). Теорема 2.4 позволяет устанавливать факт полноты достаточных статистик без записи вида их функций распределений в явном виде.
Рассмотрим процедуру синтеза РНМ несмещенного алгоритма обнаружения с неймановской структурой подробнее. Предположим, что условия непрерывности функции мощности алгоритма обнаружения и полноты семейства распределений, достаточной для мешающих параметров статистики Т, выполнены. Зафиксируем произвольное значение достаточной статистики Т = t Е Т и заменим исходную плотность вероятностей w(x | X, 0) условной плотностью вероятностей w(x | ХД). Сформулируем задачу обнаружения сигнала как задачу проверки статистических гипотез относительно параметров условного распределения вероятностей w(x | X, t) наблюдаемой выборки х:
Но : X Хгр, Н1 : X > ХГр,Но : X Хгр, Н1 : X > ХГр,t Е Т;t Е Т.t Е Т;t Е Т.(2-54)(2-54)
Но : X Хгр, Н1 : X > ХГр,
Но : X Хгр, Н1 : X > ХГр,
t Е Т;
t Е Т.
t Е Т;
t Е Т.
(2-54)
(2-54)
Для построения алгоритма проверки гипотез (2.54) временно зафиксируем два значения Хгр и Xi > Хгр полезного параметра, что равносильно замене сложных гипотез (2.54) простыми гипотезами:
(2.55)(2.55)Н^ : X — Хгр, t Е Т;Н^ : X = Xi, t Е Т.
(2.55)
(2.55)
Для простоты в дальнейшем ограничимся рассмотрением только нерандомизированных алгоритмов обнаружения. Это ограничение не является существенным, так как на практике обычно имеют дело с непрерывными случайными величинами, для которых вероятность равенства решающей статистики пороговому значению равна нулю. Согласно фундаментальной лемме Неймана-Пирсона, оптимальный
нерандомизированный алгоритм проверки простых статистических гипотез задается решающей функцией
ф(х) =ф(х) =1,О,1,О,/(х | Xi, Хгр, t) > (7; /(х | Xi, Хгр, t) < С,/(х | Xi, Хгр, t) > (7; /(х | Xi, Хгр, t) < С,(2.56)(2.56)М _ W(X I Х1 Д) где /(х | X1;Xrp,t) - ю(х|Хгр;()М _ W(X I Х1 Д) где /(х | X1;Xrp,t) - ю(х|Хгр;()— условное отношение правдоподо— условное отношение правдоподобия, пороговая константа С выбирается так, чтобы выполнялось рабия, пороговая константа С выбирается так, чтобы выполнялось равенство ф(х)гс?(х | XrpD t)dxвенство ф(х)гс?(х | XrpD t)dxос. Допустим, что семейство Р^7"ос. Допустим, что семейство Р^7"XXусловных распределений вероятностей наблюдаемой выборки имеет монотонное отношение правдоподобия /(х | Xi, Х2 Д) = ^[Д(х) | Xi, Х2 Д] при любых Xi > Х2Д € Т (для определенности будем полагать, что 1[Д(х) | Х1Д2Д] — монотонно возрастающая по Д(х) функция). Положив Х2 = Хгр, получим эквивалентное выражение для алгоритма обнаружения (2.56):условных распределений вероятностей наблюдаемой выборки имеет монотонное отношение правдоподобия /(х | Xi, Х2 Д) = ^[Д(х) | Xi, Х2 Д] при любых Xi > Х2Д € Т (для определенности будем полагать, что 1[Д(х) | Х1Д2Д] — монотонно возрастающая по Д(х) функция). Положив Х2 = Хгр, получим эквивалентное выражение для алгоритма обнаружения (2.56):Г 1, Д(х) > Г^С I Х1,ХгрД);[ 0, Д(х) С Г^С I Х1,ХгрД),Г 1, Д(х) > Г^С I Х1,ХгрД);[ 0, Д(х) С Г^С I Х1,ХгрД),(2-57)(2-57)где /-1( • | Х1,ХгрД) — функция, обратная /( • | Х1,ХгрД).Рассматривая /-1(С | Х1,ХгрД) как новый порог L, находим его значение из условиягде /-1( • | Х1,ХгрД) — функция, обратная /( • | Х1,ХгрД).Рассматривая /-1(С | Х1,ХгрД) как новый порог L, находим его значение из условия| ф(х)м(х | Хгр, t)dx = ос.X| ф(х)м(х | Хгр, t)dx = ос.X(2.58)(2.58)В это условие не входит значение параметра Xi, поэтому порог L не зависит от него, определяется только уровнем вероятности ложной тревоги ос и значением t статистики Т, т. е. является функцией L = = L(t,oc) (зависимость порога L от Хгр несущественна, так как Хгр — априори заданная величина). Таким образом, решающую функцию (2.57) можно представить в видеВ это условие не входит значение параметра Xi, поэтому порог L не зависит от него, определяется только уровнем вероятности ложной тревоги ос и значением t статистики Т, т. е. является функцией L = = L(t,oc) (зависимость порога L от Хгр несущественна, так как Хгр — априори заданная величина). Таким образом, решающую функцию (2.57) можно представить в видеz х 11, U(х) > £Д, ос);ф(х) = ^v 7 v 7( О, U (х) < L(t, ос).z х 11, U(х) > £Д, ос);ф(х) = ^v 7 v 7( О, U (х) < L(t, ос).(2.59)(2.59)В связи с независимостью решающей функции (2.59) от значения Xi, полученный алгоритм обнаружения максимизирует вероятность правильного обнаружения не только при X = Xi, но и при произвольном значении X. Тем самым алгоритм обнаружения с решающей функцией, задаваемой выражением (2.59) удовлетворяет условиям (2.53) и является поэтому РНМ алгоритмом с неймановской структурой.В связи с независимостью решающей функции (2.59) от значения Xi, полученный алгоритм обнаружения максимизирует вероятность правильного обнаружения не только при X = Xi, но и при произвольном значении X. Тем самым алгоритм обнаружения с решающей функцией, задаваемой выражением (2.59) удовлетворяет условиям (2.53) и является поэтому РНМ алгоритмом с неймановской структурой.4 Богданович В.А., Вострецов А.Г.4 Богданович В.А., Вострецов А.Г.
ф(х) =
ф(х) =
1,
О,
1,
О,
/(х | Xi, Хгр, t) > (7; /(х | Xi, Хгр, t) < С,
/(х | Xi, Хгр, t) > (7; /(х | Xi, Хгр, t) < С,
(2.56)
(2.56)
М _ W(X I Х1 Д) где /(х | X1;Xrp,t) - ю(х|Хгр;()
М _ W(X I Х1 Д) где /(х | X1;Xrp,t) - ю(х|Хгр;()
— условное отношение правдоподо
— условное отношение правдоподо
бия, пороговая константа С выбирается так, чтобы выполнялось ра
бия, пороговая константа С выбирается так, чтобы выполнялось ра
венство ф(х)гс?(х | XrpD t)dx
венство ф(х)гс?(х | XrpD t)dx
ос. Допустим, что семейство Р^7"
ос. Допустим, что семейство Р^7"
X
X
условных распределений вероятностей наблюдаемой выборки имеет монотонное отношение правдоподобия /(х | Xi, Х2 Д) = ^[Д(х) | Xi, Х2 Д] при любых Xi > Х2Д € Т (для определенности будем полагать, что 1[Д(х) | Х1Д2Д] — монотонно возрастающая по Д(х) функция). Положив Х2 = Хгр, получим эквивалентное выражение для алгоритма обнаружения (2.56):
условных распределений вероятностей наблюдаемой выборки имеет монотонное отношение правдоподобия /(х | Xi, Х2 Д) = ^[Д(х) | Xi, Х2 Д] при любых Xi > Х2Д € Т (для определенности будем полагать, что 1[Д(х) | Х1Д2Д] — монотонно возрастающая по Д(х) функция). Положив Х2 = Хгр, получим эквивалентное выражение для алгоритма обнаружения (2.56):
Г 1, Д(х) > Г^С I Х1,ХгрД);
[ 0, Д(х) С Г^С I Х1,ХгрД),
Г 1, Д(х) > Г^С I Х1,ХгрД);
[ 0, Д(х) С Г^С I Х1,ХгрД),
(2-57)
(2-57)
где /-1( • | Х1,ХгрД) — функция, обратная /( • | Х1,ХгрД).
Рассматривая /-1(С | Х1,ХгрД) как новый порог L, находим его значение из условия
где /-1( • | Х1,ХгрД) — функция, обратная /( • | Х1,ХгрД).
Рассматривая /-1(С | Х1,ХгрД) как новый порог L, находим его значение из условия
| ф(х)м(х | Хгр, t)dx = ос.
X
| ф(х)м(х | Хгр, t)dx = ос.
X
(2.58)
(2.58)
В это условие не входит значение параметра Xi, поэтому порог L не зависит от него, определяется только уровнем вероятности ложной тревоги ос и значением t статистики Т, т. е. является функцией L = = L(t,oc) (зависимость порога L от Хгр несущественна, так как Хгр — априори заданная величина). Таким образом, решающую функцию (2.57) можно представить в виде
В это условие не входит значение параметра Xi, поэтому порог L не зависит от него, определяется только уровнем вероятности ложной тревоги ос и значением t статистики Т, т. е. является функцией L = = L(t,oc) (зависимость порога L от Хгр несущественна, так как Хгр — априори заданная величина). Таким образом, решающую функцию (2.57) можно представить в виде
z х 11, U(х) > £Д, ос);
ф(х) = ^v 7 v 7
( О, U (х) < L(t, ос).
z х 11, U(х) > £Д, ос);
ф(х) = ^v 7 v 7
( О, U (х) < L(t, ос).
(2.59)
(2.59)
В связи с независимостью решающей функции (2.59) от значения Xi, полученный алгоритм обнаружения максимизирует вероятность правильного обнаружения не только при X = Xi, но и при произвольном значении X. Тем самым алгоритм обнаружения с решающей функцией, задаваемой выражением (2.59) удовлетворяет условиям (2.53) и является поэтому РНМ алгоритмом с неймановской структурой.
В связи с независимостью решающей функции (2.59) от значения Xi, полученный алгоритм обнаружения максимизирует вероятность правильного обнаружения не только при X = Xi, но и при произвольном значении X. Тем самым алгоритм обнаружения с решающей функцией, задаваемой выражением (2.59) удовлетворяет условиям (2.53) и является поэтому РНМ алгоритмом с неймановской структурой.
4 Богданович В.А., Вострецов А.Г.
4 Богданович В.А., Вострецов А.Г.
Нетрудно убедиться, что, что в случае монотонности отношения правдоподобия /[[/(х) | Х1Д2Д] выполняется неравенство
| cp(x)w(x | X, t)dx ос для всех X Хгр. (2.60) х
Из неравенства (2.60) следует, что полученный алгоритм с неймановской структурой обеспечивает уровень вероятности ложной тревоги не выше ос при любых значениях t Е Т. В силу полноты семейства распределений достаточной статистики Т на границе А алгоритм с неймановской структурой (2.59), в котором t заменено на Т = = {ТДх), . . . , Тп(х)}, будет, согласно теореме 2.3, РИМ подобным и, согласно лемме 2.1, РИМ несмещенным.
Суммируем требования, при выполнении которых для синтеза РИМ несмещенного алгоритма обнаружения сигнала можно воспользоваться методикой синтеза РИМ алгоритмов с неймановской структурой.
Параметр S = X х 0, характеризующий распределения w(x | Е) = w(x | X, 0) наблюдаемой выборки х можно представить в виде декартова произведения полезного X и мешающего 0 параметров, причем полезный параметр является одномерным, мешающий может иметь произвольную размерность.
Семейство распределений наблюдаемой выборки таково, что функция мощности любого алгоритма обнаружения сигнала непрерывна по параметру Е.
Для мешающего параметра 0 существует достаточная статистика Т.
Семейство распределений вероятностей Рт статистики Т на границе между гипотезой и альтернативой является полным.
Семейство условных распределений выборки х, характеризумое условными плотностями распределения вероятностей w(x | ХД) при Т = t Е Т, при любом значении t имеет монотонное отношение правдоподобия /[[/(х) | Х1Д2Д] относительно статистики U(x).
В практике применения теории обнаружения, различения и оценивания сигналов наиболее распространенным является случай, когда распределения наблюдаемой выборки в отсутствие полезного сигнала образуют экспоненциальное семейство, для которого все перечисленные условия, кроме последнего, как правило выполняются. Поэтому наиболее ограничительным является требование монотонности отношения правдоподобия /[[/(х) | Х1Д2Д]. Установить последнее можно часто и без вычисления условного распределения на основе следующей теоремы.
Теорема 2.5. Пусть х — случайный вектор с плотностью вероятностей D представимой в виде
w(x | S) = £(Х,0)/г([/(х) | X)g(T(x) | 0)/г(х),
и функция f(U(x) | li,12) = h(U(x) | li)//z([/(x) | I2) монотонна относительно U (x) при всех li, I2. Тогда семейство условных распределений вероятностей w(x | Хф) имеет монотонное отношение правдоподобия относительно U (х).
Доказательство. Обозначим
Wi(x I Е) = к(Хъ ®)/Д£/(х) I lx)g(T(x) | 0)/г(х), w0(x | Е) = к(Х2, 0)/г([/(х) | l2)g(T(x) | 0)/г(х).
Тогда для плотности распределения вероятностей wi(x | Е) можно записать, что
ю1(х I =I X1’^)wo(x I В).
/(х | li,l2,0)/(х | li,l2,0)/(х | 11, ^Д) =/(х | 11, ^Д) =В работе [103] (лемма 6 гл. 2) показано, что условное отношение правдоподобия при Т (х) = t имеет вид
/(х | li,l2,0)
/(х | li,l2,0)
/(х | 11, ^Д) =
/(х | 11, ^Д) =
| /(х | 11,12,0)dPo(x | 12 Д)
где /(х | 11,12,0) = —— безусловное отношение правдоподо- W0(X |
/([/(х) |Х1,12)/([/(х) |Х1,12)Дх I 11,12, t) =Дх I 11,12, t) =□□бия, dP$(x I 12Д) — условное распределение выборки при Т(х) = t в отсутствие сигнала. Отсюда окончательно имеем
/([/(х) |Х1,12)
/([/(х) |Х1,12)
Дх I 11,12, t) =
Дх I 11,12, t) =
□
□
j f(U(x) I 11,12)^Л)(х I 12, t)
Построение пороговой функции РИМ несмещенного алгоритма обнаружения сигналов. Выражение (2.59) дает общую структуру РНМ несмещенного алгоритма обнаружения сигнала. Для его конкретизации следует определить вид пороговой функции L(t,a\ В общем случае для этого нужно решить уравнение (2.58) относительно L(t, ос). Однако этот путь далеко не всегда дает возможность получить решение в явном виде из-за сложностей, связанных с вычислением w(x | 1Д). Для практических целей не обязательно иметь решение уравнения (2.58) в явном виде. Достаточно получить вид пороговой функции L(t^a) с точностью до некоторых постоянных коэффициентов, которые затем можно уточнить методом имитационного моделирования алгоритма обнаружения на ЭВМ, либо проведя испытания алгоритма на реальных сигналах. Поэтому рассмотрим две методики, позволяющие в случае симметрии распределения вероятностей на границе А относительно некоторой группы G преобразований выборочного пространства X получить структуру пороговой функции без решения уравнения (2.58). Эти методики дают возможность определить пороговую функцию
с точностью до постоянных множителей и существенно конкретизируют алгоритм обнаружения [6].
Пусть f(u;t) — некоторая непрерывная функция, возрастающая по и при каждом Т Рд — семейство распределений вероятностей наблюдаемой выборки х на границе между гипотезой и альтернативой, т. е. при Е 6 А = Хгр х 0, симметричное относительно группы G преобразований выборочного пространства. Симметрия семейства Рд относительно группы G означает, что для любого преобразования g Е G существует такое, индуцированное в параметрическое пространство, преобразование g* Е G*, при котором справедливо равенство Р^*д = РдХ = Рд- Множество G* является группой, так как индуцирующие преобразования G образуют группу (подробнее о симметрии относительно групп преобразований см. ниже в п. 2.4, посвященном инвариантным алгоритмам обнаружения сигналов).
Первая методика позволяет отыскать непосредственно решающую функцию и основана на использовании следующей теоремы.
Теорема 2.6. Если
семейство распределений вероятностей Р д обладает полной достаточной статистикой Т (х) и симметрично относительно группы преобразований G,
индуцированная группа G* транзитивна в А (т. е. для любых Ei, S2 6 А найдется такое преобразование g* Е G*, что Е2 = g*Ei),
статистика V(х) = /[1/(х);Т(х)] инварианта относительно группы G, т. е. V(gx) = V(х) при всех х 6 X. g Е G, то решающая функция алгоритма (2.59) примет вид
(2.61)(2.61)( х I 1, v^ > С(ос);
(2.61)
(2.61)
ср(х) = ^v 7 v 7
[ О, V^ < С(а),
где С (ос) — константа зависящая только от заданного уровня вероятности ложной тревоги.
Доказательство. Поскольку рассматриваемые алгоритмы являются подобными на границе А, то равенство j cp(x)w(x | E)cZx = ос х
должно выполняться при всех Е Е А. Пусть алгоритм ф(х) таков, что оно выполняется при Е = Ei Е А, т. е. j ф(х)гс(х | Hi)dx = х
= ос. Зафиксируем произвольное значение Е = Е2 Е А. В силу транзитивности группы преобразований G* существует такое преобразование g* 6 G*, что Е2 = g*Ei. Тогда, учитывая симметрию распределения семейства распределения вероятностей на границе А, вероятность ложной тревоги, при Е = Е2, можно представить в
следующем эквивалентном виде:
| ф(х)м(х I S2)dx = j ф(х)м(х I g^B^dx = j ф(gx)w(x | B^dx.
XXX
(2.62) Если в (2.62) решающая функция ф(х) инвариантна, т. е. ф(gx) = ф(х), то вероятность ложной тревоги будет постоянной на всей границе А. Поскольку статистика V(x) = /[[/(х); Т(х)] инвариантна относительно группы G, то, принимая ее в качестве решающей функции правила (2.61) и находя пороговую константу С(а) либо из уравнения | ф(х)гс(х | B)dx = ос, где в качестве параметра Е можно взять любое х
5 Е А, либо моделированием, мы обеспечим постоянство вероятности ложной тревоги на границе А.□
Учитывая монотонность функции / [ • ; ^(х)] по первому аргументу, алгоритм (2.61) можно представить в следующем эквивалентном виде:
УМ>/-[С(«):Т(х)];
I о, t/(x) </-1[С(«);Т(Х)].
Здесь /-1[ • ^(х)] — функция, обратная к /[ • ;Т(х)] по первому аргументу. Из (2.63) видно, что структура полученного правила совпадает с (2.59), если принять L[a, Т(х)] = /-1[С(ос); Т(х)], и в силу полноты семейства распределений достаточных статистик Т на границе А данный алгоритм будет единственным РНМ несмещенным алгоритмом.
Ниже, в п. 2.4, будет показано, что для того, чтобы произвольная функция /(х) была инвариантна относительно группы преобразований G, необходимо и достаточно, чтобы она зависела от х только через специальную статистику, называемую максимальным инвариантом (подробнее о максимальных инвариантах см. п. 2.4). Поэтому алгоритм построения инвариантной статистики V(x) = /[[/(х); Т(х)] состоит в нахождении максимального инварианта группы G, а затем синтезе на его основе статистики V(x). Если для построения максимального инварианта существуют регулярные методы, то последний этап выполняется эвристически. Однако на практике, если U(х) и Т(х) — достаточные статистики, соответственно, для полезного и мешающего параметров, максимальный инвариант очень часто зависит от х только через U(x) и Т(х), и в результате после нахождения максимального инварианта остается лишь убедиться в его монотонности по U(x\
Второй способ не предполагает эвристического подхода и дает каноническое построение пороговой функции в алгоритме (2.59). Для его формулировки нам понадобится следующая лемма.
Лемма 2.3. Если семейство распределений вероятностей Рд, А = Хгр х 0, обладает полной достаточной статистикой Т = = Т(х), Т 6 Т, семействоР^ симметрично относительно некоторой группы преобразований G, группа индуцированных в параметрическое пространство преобразований G* транзитивна в А, то группа индуцированных преобразований G, определяемых тождеством gT = = ТЫ, g G G; g Е G, будет транзитивна в Т.
Доказательство. Прежде всего отметим, что так как статистика Т (х) является достаточной для семейства распределений вероятностей Рд, то из симметрии Рд относительно групп преобразований G и G* следует симметрия семейства Рд распределений достаточной статистики Т(х) относительно групп преобразований G и G*.
Пусть ху(Т) — некоторая статистика, инвариантная относительно группы преобразований G. Зафиксируем Eq 6 А и положим
с = | \|/(t)w(t | Ho)dE
т
где w(t | Eq) — плотность распределения вероятностей достаточной статистики Т(х). Из симметрии семейства распределений вероятностей Рд имеем
j v(t)w(gt I S^dt = j v(f)w(f I g*So)dt
TT
для каждого g и соответствующего g*. С другой стороны
| \\f(t)w(gt I S0)dt = j \y(t)w(t I Ео)(/д
TT
так как ^(T) инвариантна относительно группы преобразований G. Поэтому, принимая во внимание транзитивность группы G*, получаем \|/(t)w(t | S)dt = с для каждого Е G А. Отсюда в силу полноты
т
семейства распределений вероятностей Рд статистика ^(Т) постоянна при почти всех Т Е Т. Поскольку ^(Т) — произвольная инвариантная статистика, то G — транзитивная в пространстве Т группа преобразований.□
Второй способ построения пороговой функции в алгоритме (2.59) дает следующая теорема.
Теорема 2.7. Пусть
семейство распределений вероятностей Рд, А = угр х 0, обладает полной достаточной статистикой Т = Т (х), Т Е Т;
семейство Рд симметрично относительно некоторой группы преобразований G;
группа индуцированных в параметрическое пространство преобразований G* транзитивна в А;
статистика U(х) алгоритма (2.59) удовлетворяет равенству
Г(§х) =m(g)[/(x)+^2(g), (2.64)
где цД • ) и р2( * ) — некоторые функционалы на группе G;
в пространстве Т значений статистики Т введена группа G индуцированных преобразований g. определенных тождеством gT = = T(gx), где g Е G.
Тогда пороговая функция алгоритма обнаружения сигнала (2.59) определится из выражения
ЦТ(х),а\ = С(а)УДТ(х)^ + ^РДх)], (2.65) где С (ос) — константа зависящая только от заданного уровня вероятности ложной тревоги
V1[T(x)]=m[gT(x)]; V2[T(x)]=g2[gT(x)], (2.66) gT^ — преобразование из группы G, которое индуцируется в преобразование gt удовлетворяющее уравнению
gtto = t, (2.67)
to — произвольным образом выбранное значение статистики Т (х).
Доказательство. Согласно лемме 2.3 группа G транзитивна в Т. Отображение группы G в группу G без ограничения общности будем полагать изоморфным (взаимно однозначным), так как в противном случае в группе G можно выделить подгруппу, которая изоморфно отображается в группу G и относительно которой семейство Рд симметрично.
Зафиксируем некоторое начальное значение статистики Т(х) = to и определим при этом условии пороговое значение статистики U (х) = = L(to, ос) = С (ос) алгоритма (2.59) (при фиксированном to оно зависит только от заданного уровня вероятности ложной тревоги ос). Пусть теперь статистика Т(х) принимает произвольное значение Т(х) = t Е Т. В силу транзитивности группы G найдется такое преобразование gt Е Е G, что t = gtto- Данное преобразование отыскивается путем решения уравнения (2.67) относительно gt- Обозначим gT(x) преобразование из группы G, которое индуцируется в преобразование gt, и из выражения (2.64) определим соответствующее пороговое значение статистики U(х) в алгоритме (2.59):
Цщ Т(х)] = С(а)УД(Т(х)^ + V<T(x)V (2.68) где Vi[(T(x)] и ^[(^(х)] задаются выражениями (2.66). В силу полноты семейства распределений Рд пороговая функция (2.68) будет единственной. □
Отметим, что выбор to вследствие единственности РНМ несмещенного алгоритма обнаружения не влияет на функциональный вид пороговой функции и может выбираться поэтому исходя из удобства
решения уравнения (2.67) относительно g^. От выбора to зависит лишь значение константы С (ос), которое все равно уточняется после синтеза пороговой функции в соответствии с заданным уровнем ос вероятности ложной тревоги. Единственное требование к выбору to состоит в том, чтобы оно не принадлежало собственному подпространству группы G.
2.3.3. Синтез равномерно наиболее мощных несмещенных алгоритмов совместного обнаружения и различения сигналов. При синтезе алгоритмов совместного обнаружения и различения сигналов будем полагать, что в качестве полезного параметра распределения наблюдаемой выборки, определяющего границу гипотезы Но об отсутствии сигналов, выступает общий энергетический параметр сигналов X Е Е Л = [0, ос). Выборка х из наблюдаемого процесса в отсутствие сигнала (гипотеза Но) принадлежит семейству распределений Р(°) = = {wq(x | S Е По)}, а ПРИ наличии г-го сигнала (гипотеза Н^) — семейству Р(г) = {w^(x | Е е ЮД}, ^о = U (^ ^ ^гР) х 0^ х М, г=1
^ = (X > Хгр) х 0^ х М, г = 1,..., т.
Задача совместного обнаружения и различения сигналов эквивалентна задаче проверки т+1 статистических гипотез:
Но : X С Хгр,Р Е Р(о) (сигнала нет);
Нi : X > Хгр, Р 6 р(г\ г = 1,. . . , т (присутствует г-й сигнал).
(2.69) Очень часто Хгр = 0. В этом случае граница между гипотезой Но и альтернативами Н^ г = 1,...,ш, задается множеством А = = U (X = 0) х Ow х М, совпадающим с множеством параметров, г=1
определяющих гипотезу Но- Множества значений параметров всех сигналов Л х 0^, г = 1,. . . , ш, имеют общую границу (X = 0) х х 0(г\ не принадлежащую этим множествам. При подстановке X = = 0 в распределения Р(г\ все семейства Р(г\ г = 1,. . . , т, переходят в семейство Р(°\
Для синтеза РНМ подобного алгоритма совместного обнаружения и различения сигналов требуется выполнение тех же посылок, что и при синтезе РНМ подобных алгоритмов обнаружения сигналов (разделение параметров распределения вероятностей наблюдаемой выборки на полезный X и мешающие 0(<), ц, непрерывность функции мощности любого алгоритма по компонентам вектора S^ параметров сигнала и шума, наличие достаточной статистики Т для мешающих параметров, полнота семейства распределений статистики Т на границе А проверяемых гипотез, монотонность отношений правдоподобия). Кроме того, требуется выполнение дополнительных условий. Первое состоит
в том, чтобы плотность распределения вероятностей наблюдаемой выборки была представимой в виде
гщ(х | Е е ^J = k(H)ht(X,x)g\(d^T(x)^(2.70)
где k(S) — не зависящий от гипотезы нормирующий множитель, Е = = X х © х ц — общий для всех гипотез параметр распределения вероятностей. Второе заключается в требовании существования такой совокупности G = {g*, г = 1,. . . , т} взаимно-однозначных преобразований X ч X. что
для любых gi^gk Е G произведение g^gk Е G;
w0(giX | Е Е По) \Jgi \ = w0(x | S E По) при всех х Е X; Е Е По; г = 1,. . . , т;
Wi^giX | s е nj \Jgi\ = wi(x | S E fli) при всех x E X; S E f^; г = 1,. . . , m.
Рассмотрим вначале структуру оптимального алгоритма совместного обнаружения и различения сигналов для фиксированного значения параметра X, которая задается следующей теоремой.
Теорема 2.8. Если распределения вероятностей наблюдаемой выборки х Е X представимы выражениями (2.70), достаточные статистики Т на границе А являются полными то оптимальный по критерию (2.45) подобный алгоритм совместного обнаружения и различения сигналов задается выражением
ф(х) =ф(х) =(0,. . . , 0), хеХ0;
ф(х) =
ф(х) =
(0, ...,0,<р^(х) = 1,0, ...,0), хе Xi, i = l,...,m,
т(2’П)
где непересекаюгциеся множества Х^, г = 0,... ,т, |J Xi = X, опре- г=0
деляются неравенствами
Хо = {х : Т(х) = t, t Е Т; max £^ (f) Z^ (х, X) < C(t)};
Хг = {х : Т(х) = t, t Е Т; ^ max £^ (^)Z^. (х, X) > C^t^
£i(t)Zi(x,X) > £^ (/)Z^ (х, X) , k ^ z},
Zj(x, X) = hi(x^ X)//io(x, X), z = 1,. . . , m,
(2.72) и удовлетворяют системе уравнений
У^ | cp^\x)wo(x | S e ^07 t^dx = oc;
г = х x
j (p^\x)wi(x | S E fli, t)dx = j ^k\x)u)k(x | S E ^k^ t^dx^ ^^^ XX
k = 2,. . . ^ m.
Доказательство. Из полноты семейства распределений достаточных статистик Т следует, что РИМ подобный алгоритм имеет структуру Неймана, т. е. исходная задача оптимизации эквивалентна задаче выпуклого программирования:
V рДЕ) = V f (р^Дх)ггДх | S е fit, f)dx = шах;
г=1г=1^
£f (/^(х^х | Е е П0,Щх = а;
| </1)(x)wi(x | Е е Qi, t)dx = J </fc\x)w/.(x | E G St^, t^dx,
XX
к = 2,. . . , m,
где t 6 T — произвольное фиксированное значение статистики Т. Применяя к решению задачи (2.74) теорему Куна-Таккера [63], получаем необходимость и достаточность условий (2.72) и (2.73) для оптимального алгоритма совместного обнаружения и различения сигналов. □
Функция C(t) алгоритма (2.72) называется пороговой, при ее помощи достигается подобие алгоритма на границе А. Функции еД^), г = 1,. . . , т, называются выравнивающими, благодаря им выравниваются вероятности правильного обнаружения каждого из m рассматриваемых сигналов при всех значениях мешающих параметров.
Выравнивающие функции определяются в общем случае путем решения системы уравнений (2.73). Однако в целом ряде практических задач (например, при обнаружении эквидистантных, ортогональных, биортогональных сигналов в белом шуме) функции еД^), г = 1,. . . , т, имеют простой вид и определяются непосредственно из условия задачи. В связи с этим большую роль играет приводимое ниже следствие из теоремы 2.8.
Следствие. Если существует такая совокупность G = {g^, г = = 1,. . . , m} взаимно-однозначных преобразований X ч X. что
для любых gi^gk Е G произведение g^gk Е G;
w0(gzX | Е е Юо) \Jgi\ = w0(x | S E Юо) при всех х Е X; Е Е Юо; г = 1,. . . , т;
Wi(giX I Е е ЮД \Jgi\ = мДх I S e ЮД при всех x e X; S e Юг; г = 1,. . . , m,
то P^ — почти всюду выравнивающие функции еДД = 1, г = 1,. . . , т.
Согласно данному следствию для конкретизации алгоритма достаточно определить из первого уравнения системы (2.73) только пороговую функцию C^ty Надобность в решении остальных уравнений системы отпадает, так как при еДД = 1, г = 1,. . . , т, они выполняются автоматически. При выполнении условий этого следствия подобный алгоритм обладает не только равными вероятностями правильного
обнаружения отдельных сигналов, но также равными вероятностями ошибок, обусловленных перепутыванием сигналов.
Определение оптимального подобного алгоритма совместного обнаружения и различения сигналов при фиксированном значении параметра X является первым этапом при построении РНМ несмещенного алгоритма. Следующий этап состоит в выяснении вопроса о том, в каких случаях алгоритм сохраняет оптимальность при всех значениях полезного параметра сигналов, т. е. когда он будет РНМ подобным алгоритмом. Нетрудно проверить, что алгоритмы, устанавливаемые теоремой 2.8, будут РНМ подобными, если выполняется следствие этой теоремы и если семейства Р(г\ г = 1,. . . , т, имеют монотонные отношения правдоподобия по распределению из Р(°\ т. е. функции /Дх, X), г = 1, . . . , т, представимы в виде
МХ,Х) = /О[ЩХ)],
где /о(‘) — непрерывная функция, общая для всех г = 1,...,т и строго монотонная при каждом X 6 Л; Ui (•) — функционалы выборки х, не зависящие от параметра X.
Решающая функция РНМ подобного алгоритма по-прежнему задается выражениями (2.71) и (2.72), в которых необходимо положить SiW = 1, г = 1, . . . ,т (значение параметра X может быть выбрано произвольным образом из области Л). Однако для практических применений решающую функцию удобнее представить в форме, которая не зависела бы от параметра X. Используя монотонность функции /(•), получим эквивалентное представление алгоритма совместного обнаружения и различения сигналов в следующем виде:
{
(О, . . . , 0), max Uk(x) < L[T(x)];
(0, . . . , 0, ф^Дх) = 1, 0,. . . , 0), ^ max Uk(x) ^ L[T(x)];
Ui(x) ^ Uk^x\ к / г, г = 1,. . . , т, (2-75) где пороговая функция L[T(x)] = / Х[^(^)]7 ^ = Т(х), / Ч') — обратная функция.
На завершающем этапе синтеза РНМ несмещенного алгоритма достаточно проверить выполнение леммы 2.2, согласно которой РНМ подобный алгоритм также является РНМ несмещенным. Заметим, что условия леммы 2.2 выполняются практических во всех реальных задачах совместного обнаружения и различения сигналов.
Для окончательного определения структуры РНМ несмещенного алгоритма необходимо найти пороговую функцию L[T(x)]. Эта функция в общем виде определяется путем решения при каждом t Е Е Т первого уравнения (2.73). Однако такой путь часто сопряжен со значительными математическими трудностями (особенно при т > 1). Поэтому приведем сравнительно простой способ вычисления функции
L[T(x)] с точностью до некоторой константы к. не требующий решения уравнения (2.73).
Пусть /о(^7^) — некоторая непрерывная функция, строго возрастающая по и при каждом Д G и G* — группы преобразований X —> X и Q ч fl Тогда пороговую константу L[T(x)] можно определить на основании нижеследующих теорем.
Теорема 2.9. Если
семейство распределений вероятностей Р д обладает полной достаточной статистикой Т (х) и симметрично относительно группы преобразований G;
индуцированная группа G* транзитивна в А (т. е. для любых Е1,Е2 6 А найдется такое преобразование g* Е G*, что В2 = g*Ei);
статистика V(х) = /[Z(х);Т(х)], где Z(x) = шах [[/Дх)], инвариантна относительно группы G, т. е. V (gx) = V (х) при всех хеХ, geG,
то пороговая функция алгоритма (2.75) примет вид
W] =(2.76)
где к (ос) — константа зависящая только от заданного уровня вероятности ложной тревоги ос.
Теорема 2.10. Если
семейство распределений вероятностей Рд, обладает полной достаточной статистикой Т = Т(х), Т Е Т;
семейство Рд симметрично относительно некоторой группы преобразований G;
группа индуцированных в параметрическое пространство преобразований G* транзитивна в А;
статистики U^x^ г = 1,. . . ,т, алгоритма (2.75) удовлетворяют равенствам
Ut(gx) = m(g)CA(x)+|i2(g), г = 1,...,т,(2.77)
где цД • ) и ц2( • ) — некоторые функционалы на группе G;
в пространстве Т значений статистики Т введена группа G индуцированных преобразований g. определенных тождеством gT = = Т(gx), где g Е G, тогда пороговая функция алгоритма обнаружения совместного обнаружения и различения сигналов (2.75) определится из выражения
ЦПх^ = С»(х)] + Г2[Т(х)],(2.78)
где С (а) — константа зависящая только от заданного уровня вероятности ложной тревоги ос.
Доказательство теорем 2.9 и 2.10 аналогично доказательству теорем 2.6 и 2.7.
2.3.4. Примеры синтеза равномерно наиболее мощных несмещенных алгоритмов обнаружения и различения сигналов.
Пример 2.5. Бинарное квантование импульсного сигналанаблюдаемого в некоррелированном гауссовом шуме неизвестной мощности.
Процедура бинарного квантования импульсного сигнала широко применяется в практике обработки сигналов, в частности для обнаружения последовательности синхронизирующих импульсов, сигнала от цели в заданном элементе разрешения по дальности при периодическом зондировании и т. п. Существенным требованием при проведении квантования является стабилизация вероятности появления единиц и нулей на выходе квантователя в отсутствие сигнала при произвольно изменяющемся уровне шума. Эта задача может быть успешно решена на основе применения рассмотренной выше теории синтеза РНМ несмещенных алгоритмов обнаружения сигналов.
Наблюдаемый процесс является аддитивной смесью полезного сигнала, представляющего собой периодическую последовательность радиоимпульсов, и гауссова шума. Амплитуда сигнала и дисперсия шума в пределах одного периода меняются незначительно, так что их можно считать постоянными на интервале времени, равном периоду следования импульсов. В то же время от периода к периоду под влиянием различных факторов их значения могут изменяться. Для преодоления априорной неопределенности амплитуды сигнала и мощности шума используем метод “контраста”: г-й период последовательности Т^ разбит на два непересекающихся интервала АТ^ и AT2i. На интервале АТ^ сигнал заведомо отсутствует и может появиться лишь на интервале AT2i. Шумы в указанных интервалах являются гауссовыми, статистически независимыми с одинаковыми (и неизвестными) дисперсиями.
Возьмем на интервалах времени АТ^ и ДТ2^ по одному отсчету огибающей наблюдаемого процесса. Их совместная плотность распределения вероятностей при наличии полезного сигнала имеет вид [55, п. 3.2.3]
\ УнУ^г ГУ1г 4" Ун 1 т ( БгУ2г\/
^\У1г-) У2{)4 СХр <22 Г (2 / '(2.79)
а» ( 2gzJ \/
где ун^ ун — отсчеты огибающей наблюдаемого процесса на интервалах времени АТ^ и ДТ2^, /о( *) — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. Плотность распределения вероятностей в отсутствие полезного сигнала получается из выражения (2.79), если положить Б, =0.
Распределение (2.79) характеризуется двумя параметрами ^Ш = = — 1/(2о?) и ^н = Ui/^. При построении алгоритма квантования удобно перейти от отсчетов огибающей ун^ ун к достаточным относительно параметров $1, $2 статистикам Тц = у^ + у^ Тн = = ун- Используя методику нахождения плотности распределения
вероятностей функции от случайных величин [55, п. 3.1.12], получаем
Г .2)
м(7н, Т^ = 2^^ ехр <> T^i exp {iIuTh} То^лТУс (2.80)
где 0 < Ti < ос, Т2 С VTy.
Параметр il^ является мешающим, так как он зависит только от неизвестной дисперсии шума, параметр 112г является полезным, так как он пропорционален амплитуде импульса. Задачу квантования сформулируем как задачу проверки сложных статистических гипотез относительно параметров распределения достаточных статистик (2.80):
Но : il2% = 0, iln £ [0, ос) (сигнальный импульс отсутствует);
Ну : il2i > 0, ilii £ [0, ос) (сигнальный импульс присутствует).
Нетрудно видеть, что, при гипотезе Но- 112% = 0, поэтому распределение (2.80) принадлежит экспоненциальному семейству, зависит только от одного параметра 111г ^ 0, область значений которого содержит одномерный интервал. По теореме 2.4 такое распределение является полным, поэтому функции мощности всех алгоритмов обнаружения будут непрерывными. Согласно лемме 2.1, РНМ несмещенный алгоритм обнаружения следует искать среди подобных алгоритмов, которые по теореме 2.3 имеют неймановскую структуру, т. е. достаточно найти РНМ алгоритм при фиксированном значении статистики Тц. Для этого запишем условную плотность распределения вероятностей статистики Т^г при фиксированном значении статистики Tyv-
где /q( •) и /i(-) — модифицированные функции Бесселя нулевого и первого порядка, Т^ ^ л/Тц. Можно показать, что распределение (2.81) обладает монотонным относительно статистики Т^ отношением правдоподобия, а оптимальный алгоритм обнаружения задается выражением (2.57), которое применительно к нашему примеру примет вид
141 >(2.82)
( 0, T2i < цтиу
Пороговая функция Г(Тц) определяется из уравнения
VTT
| w(T2i | ТИ^2г = 0)dT2i = Ро,
решение которого дает HjTy^ = V(1 — РоУ^н- Здесь ро — заданный уровень вероятности появления “1” на выходе квантователя в отсутствие сигнального импульса. Подставляя значение пороговой функции Г(Тц) в (2.82) и выражая статистики Ту^ и Т^ через отсчеты
огибающей уц и у^ получаем окончательное выражение алгоритма бинарного квантования:
Вероятность появления “1” на выходе квантователя при наличии сигнала равна
Р = 1 - (1 - Ро) exp(-poQi),(2.84)
где q^ = U^ / (2о?) — отношение сигнал/шум перед детектором в г-й период последовательности. Если отношение сигнал/шум является случайной величиной, то необходимо усреднить вероятность (2.84) в соответствии с законом распределения вероятностей w(^). В частности, при рэлеевских флуктуациях амплитуды импульса средняя вероятность
Рср = Ро^^г,(2.85)
1 +P0QCp
где q^ — среднее отношение сигнал/шум перед детектором.
Алгоритм бинарного квантования (2.83) обладает следующими свойствами:
он обеспечивает постоянный уровень вероятности появления “1” на выходе квантователя в отсутствие сигнала, равный р^ при любых изменениях дисперсии шума о?;
вероятность появления “1” на выходе квантователя при наличии сигнала является максимально возможной при всех значениях отношения сигнал/шум qf.
Пример 2.6. Обнаружение сигнала в некоррелированном гауссовом шуме неизвестной мощности.
Рассмотрим задачу обнаружения сигнала Ums(t) на фоне гауссова шума. Функция s(t) задает форму сигнала, полностью известна и обладает на интервале наблюдения Т единичной мощностью. Амплитуда сигнала Um априорно не определена. Наблюдаемым является процесс ж(£) на выходе линейного тракта системы (ЛТС) с П-образной амплитудно-частотной характеристикой и полосой пропускания А/. Шум на входе ЛТС является белым с неизвестной спектральной плотность No 6 (0, ос). Коэффициент передачи ЛТС полагаем равным 1.
Образуем выборку х = {жо, • • • , ждг-i} объемом N = AfT из отсчетов комплексной огибающей ж(^) наблюдаемого процесса ж(^), взятых в моменты времени t^ = ^тд,г = 0,. . . , А — 1;тд = 1/А/ — интервал дискретизации, выбранный в соответствии с теоремой отсчетов. Плотность распределения вероятностей этой выборки при наличии
в наблюдаемом процессе сигнальной компоненты имеет вид
Wi(x I Um, No) =Wi(x I Um, No) =14kN0NJ14kN0NJ14N0Nf14N0Nf||х - i/ms||2| ,||х - i/ms||2| ,(2.86)(2.86)
Wi(x I Um, No) =
Wi(x I Um, No) =
1
4kN0NJ
1
4kN0NJ
1
4N0Nf
1
4N0Nf
||х - i/ms||2| ,
||х - i/ms||2| ,
(2.86)
(2.86)
где s = {sq, . . . , sn-1} — вектор, составленный из отсчетов комплексной огибающей s(t) сигнала s(t), взятых в моменты времени Е = = гтд, г = 0, . . . , N — 1; (1/7V) ||s|| = 1 (сигнал имеет единичную мощность); || • || — норма в комплексном евклидовом пространстве. Если в выражении (2.86) положить Um = 0 (сигнал отсутствует), то получим ПРВ wq(x | Um = 0, Л^о) выборочного вектора в отсутствие сигнала. Таким образом, функциональный вид плотности распределения вероятностей выборочного вектора при наличии сигнала и при его отсутствии остается неизменным.
Представим плотность вероятностей (2.86) в виде, удобном для синтеза оптимального алгоритма обнаружения сигнала, выделив предварительно полезный и мешающий параметры. Опуская индексы “О” и “1” у плотностей вероятностей, получаем
w(x | X, 0) = — — ехр {9Т(х) + XU(х)} ехрw(x | X, 0) = — — ехр {9Т(х) + XU(х)} ехр(2.87)(2.87)
w(x | X, 0) = — — ехр {9Т(х) + XU(х)} ехр
w(x | X, 0) = — — ехр {9Т(х) + XU(х)} ехр
(2.87)
(2.87)
где 6 = — ^д/ду ^ (—оо,0) — мешающий параметр, X = 2^ ду
Е [0, оо) — полезный параметр; Т(х) = ||х||2; U(x) = Re(x,s*); (• , •) — скалярное произведение в комплексном евклидовом простран
стве, * — знак комплексного сопряжения. Параметр X представляет собой квадрат отношения сигнал/шум q2, которое представляет собой
отношение амплитуды сигнала [/т к среднеквадратическому значению шума V^^VoA/на выходе ЛТС. Отношение сигнал/шум может быть
выражено через энергию сигнала Es:
,2 = Um = ^I|S||2 = Е32N0Af 2N0AfN 2NN0'
В литературе (см., например, [55, 73]) часто при построении характеристик обнаружения сигналов в качестве отношения сигнал/шум используют параметр Q = л/Nq = ^^^~) равный корню квадратному из отношения энергии сигнала на интервале наблюдения к спектральной
плотности мощности шума.
Распределение вероятностей (2.87) характеризуется общим для гипотезы и альтернативы векторным параметром Е = X х 6 6 £1^ г = 0,1. В отсутствие сигнала Е Е Юо> Юо = {X = 0} х 9, 9 Е Е (—оо,0), при его наличии — Е Е Hi, fii = {X > 0} х 9. Исходная задача обнаружения сигнала может быт сформулирована как задача проверки сложных статистических гипотез относительно параметров
распределения вероятностей (2.87):
Яо : X = О, 9 Е (—оо, 0) (сигнала нет);
Я1 : X > 0, 9 Е (—ос, 0) (сигнал есть).
Из (2.87) и теоремы факторизации [103] получаем, что статистика U (х) является достаточной для полезного параметра X, статистика Т(х) — достаточна для мешающего параметра 6. Граница А между гипотезами Яо и Я1 представляет собой множество {X = 0} х {9 Е 6 (—оо,0)}. Распределение вероятностей наблюдаемой выборки на границе А имеет вид
w(x | X, 9) = — - ехр {9Т(х)}(2.88)
и принадлежит однопараметрическому экспоненциальному семейству. Параметр 9 является одномерным и при неизвестной спектральной плотности белого шума может принимать произвольные значения из интервала (—оо,0), т.е. содержит одномерный интервал. Отсюда по теореме 2.4 распределение вероятностей (2.88) является полным. В работе [103] показано, что в задачах проверки статистических гипотез относительно параметров распределения вероятностей, принадлежащих экспоненциальному семейству, функция мощности любого алгоритма обнаружения является непрерывной по любому из параметров распределения. Поэтому если РНМ несмещенный алгоритм обнаружения сигнала существует, то он совпадает с РНМ подобным алгоритмом, имеет неймановскую структуру, и для его синтеза можно воспользоваться результатами п. 2.3.2.
Нетрудно убедиться, что распределение вероятностей (2.87) удовлетворяет требованиям теоремы 2.5, следовательно семейство условных распределений вероятностей обладает монотонным относительно достаточной статистики U(х) отношением правдоподобия, и РНМ несмещенный алгоритм обнаружения сигнала задается выражением (2.59) и имеет вид
Ф^)^/1,^(х) >(2.89)
( 0, ЩхКЦ1,а\
Для завершения синтеза алгоритма обнаружения необходимо определить пороговую функцию L(£, ос).
Семейство распределений (2.87) наблюдаемого процесса на границе А симметрично относительно группы G = {g : х —У цх, р 6 (0, оо)} масштабных преобразований. Индуцированные в параметрическое пространство преобразования образуют группу G* = {9ц29}. Группам
G и G* в отсутствие сигнала соответствуют произвольные изменения спектральной плотности мощности шума Nq. Индуцированная группа
5 Богданович В.А., Вострецов А.Г.
G* транзитивна в А, так как для любых Ei = {X = 0} х {е = еГ} 6 Е А, Е2 = {X = 0} х {9 = 02} е А найдется такое преобразование g* Е Е G*, что S2 = g*Ei. Преобразование g* = 02/вт Е (0, ос) существует, так как на границе А всегда 01 < 0, 02 < 0.
Статистика U(х) алгоритма (2.89) удовлетворяет равенству
U(gx) = Щ (g) и (х) + р2 (g),при m(g)=p; це(о, оо) и p2(g) = o.
Поэтому для построения пороговой функции воспользуемся теоремой 2.7. Так как индуцированная в пространство достаточных статистик Т группа преобразований имеет вид
G = {g : t —> p2t, р Е (0, оо)} ,то преобразование gt, удовлетворяющее уравнению
gtto = t,
задается параметром р2 = t/to. Соответствующее ему преобразование gT(x) имеет параметр р = ^/Т(х)/^о- Отсюда статистики (2.66) примут вид
Vi[t(x)] = УЦ*№ v2[T(x)] = о.
Полагая to = 1 и используя равенство (2.65), получаем пороговую функцию
L[T(x)] =
где константа С (ос) зависит только от вероятности ложной тревоги ос. Выражая статистики U(х) и Т(х) через элементы исходной выборки х, получаем окончательный вид искомого РНМ несмещенного алгоритма обнаружения сигнала:
(2.90)
Здесь х^ s^ г = 0, . . . , N — 1 — элементы выборочного и сигнального векторов, через s* обозначена комплексно-сопряженная к s^ величина.
Алгоритм обнаружения сигнала (2.90) обладает следующими свойствами:
он обеспечивает постоянный уровень вероятности ложной тревоги, равный ос при любых изменениях спектральной плотности мощности шума Wq;
вероятность правильного обнаружения является максимально возможной при всех отношения сигнал/шум q2.
Алгоритм (2.90) предполагает наличие полной априорной информации о форме сигнала, в том числе и о начальной фазе (сигнальный вектор s = {so,...,syv-i} должен быть полностью известным), поэтому его иначе еще называют когерентным алгоритмом обнаружения сигнала.
Определим характеристики эффективности полученного алгоритма. Отметим, что алгоритм (2.90) может быть представлен в следующем эквивалентном виде:
(2.91)Здесь Ci(a) — новая пороговая константа, определяемая уровнем(2.91)Здесь Ci(a) — новая пороговая константа, определяемая уровнемвероятности ложной тревоги а. Решающая функция
(2.91)
Здесь Ci(a) — новая пороговая константа, определяемая уровнем
(2.91)
Здесь Ci(a) — новая пороговая константа, определяемая уровнем
в отсутствие сигнала подчинена распределению Стьюдента с 2N — 1 степенями свободы. Отсюда пороговая константа (71(a) определяется как квантиль порядка (1 — а) ^-распределения Стьюдента с 2N — — 1 степенями свободы. При наличии сигнала решающая функция подчиняется нецентральному распределению Стьюдента с параметром нецентральности 8 =- = qVN= Q и с 2N — 1 степенями
свободы. На рис. 2.1 приведены графики зависимости вероятности р принятия решения о наличии сигнала от параметра сигнал/шум Q и объема выборки N при вероятности ложной тревоги a = 0,005. Одинаковые значения параметра Q при различных N соответствуют одинаковым отношениям энергии сигнала Es = U^ ||s||2 тд к дисперсии шума на выходе линейной части системы. На рис. 2.2 показана зависимость порогового отношения сигнал/шум Qo,9 от объема выборки N
при том же уровне вероятности ложной тревоги (пороговое отношение сигнал/шум Qp представляет собой такое отношение сигнал/шум, при котором вероятность правильного обнаружения принимает значение, равное р).
Рис. 2.1. Характеристика обнаружения когерентного сигнала в шумах неизвестной мощностиРис. 2.1. Характеристика обнаружения когерентного сигнала в шумах неизвестной мощностиАнализ этих зависимостей показывает, что вероятность правильного обнаружения р монотонно возрастает с увеличением отношения сигнал/шум Q и объема выборки из наблюдаемого процесса, N = Д/Т, пропорционального произведению полосы пропускания линейной части
Рис. 2.1. Характеристика обнаружения когерентного сигнала в шумах неизвестной мощности
Рис. 2.1. Характеристика обнаружения когерентного сигнала в шумах неизвестной мощности
Рис. 2.2. Зависимость порогового отношения сигнал/шум от объема выборки
системы на время наблюдения (при равенстве времени наблюдения длительности сигнала это произведение называется базой сигнала). В пределе, когда N —У ос, вероятность р стремится к вероятности правильного обнаружения алгоритма, предполагающего априорное знание спектральной плотности мощности шума. При конечном значении N имеется проигрыш в пороговом отношении сигнал/шум по сравнению с отношением, получаемом при потенциальном алгоритме. Этот проигрыш является “расплатой” за незнание спектральной плотности мощности шума. Потери в пороговом отношении сигнал/шум быстро убывают с ростом N и уже при N ^ 10 не превышают 1,0-1,5 дБ.
Пример 2.7. Совместное обнаружение и различение т сигналов в некоррелированном гауссовом шуме неизвестной могцности.
Рассмотрим задачу совместного обнаружения и различения т сигналов Ums^t\ г = 1,. . . , т, наблюдаемых на фоне гауссова шума на выходе Л ТС. Характеристики шума на входе Л ТС и параметры Л ТС полагаем такими же, как и при решении рассмотренной выше задачи обнаружения, а именно: спектральная плотность мощности шума равна Nq 6 (0, ос) и априорно не определена, Л ТС имеет П-образную амплитудно-частотную характеристику шириной Д/ и единичный коэффициент передачи. При этом амплитуды всех сигналов одинаковы, равны
Um и априорно не определены. Функции Si(t)^ г = 1,. . . ,т, задают форму сигнала, полностью известны, обладают на интервале наблюдения Т единичной мощностью и образуют ортогональную, биортого- нальную или эквидистантную совокупность. Такие сигналы встречаются в дискретных системах связи и при радиолокационном обнаружении цели с указанием элемента разрешения, в котором она находится.
Для решения задачи совместного обнаружения и различения сигналов образуем выборку х = {жд, • • • )$n-i} объемом N = AfT из отсчетов комплексной огибающей ж(^) наблюдаемого процесса ж(^), взятых в моменты времени t^ = k^^ к = 0, . . . , N — 1; тд = 1/Д/ — интервал дискретизации, выбранный в соответствии с теоремой отсчетов. Плотность распределения вероятностей этой выборки при условии, что наблюдаемый процесс представляет собой аддитивную смесь г-го сигнала и шума, имеет вид
Wi(x I Um, No) = 4лууоДу ехр{-4^д/ IIх - ^^И }’ (2-92)
где s^ = {s^, . . . , s^_i} — вектор, составленный из отсчетов комплексной огибающей s^(t) сигнала s^(t), взятых в моменты времени ti = ^д, ^ = 0,. . . , N — 1; (l/^) ||sW|| = 1 (сигнал имеет единичную мощность); || • || — норма в комплексном евклидовом пространстве. Представляя (2.92) в виде, аналогичном (2.87), получаем
(х | X, 9) = — - exp ^Т(х) + ХЩ (х)} exp { - } , (2.93)
где 6 = — G ос,0) — мешающий параметр, X = G Е [0, оо) — полезный параметр; Т(х) = ||х||2; Ui(x) = Re(x,s*^^); (• , •) — скалярное произведение в комплексном евклидовом пространстве, * — знак комплексного сопряжения. ПРВ wg(x | X = = 0, 9) в отсутствие сигнала получается из (2.93) подстановкой X = 0. Таким образом, распределение вероятностей наблюдаемой выборки в отсутствие сигнала принадлежит семейству Р(°) = {wg(x | X = 0, 9), 6Е (—оо,0)}, при наличии г-го сигнала — семейству Р(г) = = {ггДх | X, 9), X е (0, ос); 9 6 (—оо, 0)}, г = 1, . . . , т.
Распределение вероятностей (2.93) характеризуется векторным параметром Е = Хх9бП^,г = 0, . . . , п. В отсутствие сигнала Е Е Пд, По = {X = 0} х 9, 9 Е (—оо, 0), при наличии г-го сигнала — Е Е Г^, П^ = = U > 0} х 9, 9 Е (—оо,0). Параметр X является полезным, параметр 9 — мешающим. Исходная задача обнаружения сигнала может быть сформулирована как задача проверки сложных статистических гипотез
относительно параметров распределения вероятностей (2.93):
Яо : Л = 0,9 G (—оо,0), Р 6 Р^ (сигнала нет);
Я;:Х>0, ее (-00,0), PeP(i), г = 1,...,т
(присутствует г-й сигнал).
Распределение вероятностей (2.93) принадлежит экспоненциальному семейству, обладает достаточными статистиками для полезного и мешающего параметров (ЯДх) и Т(х) соответственно). Можно убедиться, что распределение статистики Т(х) на границе А является полным, а функция мощности любого алгоритма совместного обнаружения и различения сигналов — непрерывной по всем компонентам векторного параметра Е. Кроме того, распределение вероятностей (2.93) представимо в виде (2.70) с к(Х^ 0,ц) = — (о/л) ехр {Х2/л}, hi(X^ х) = exp{Wt(x)}, g[0,g, Т(х)] = ехр{9Т(х)}, и семейства Р(г\ г = 0,. . . , т, симметричны относительно группы ортогональных преобразований G = {g^ : s^ -Л s^\ г = 1, . . . , m}. Такие преобразования задаются оператором g поворота на некоторый угол ср вокруг оси, перпендикулярной подпространству Ls сигналов s^\ г = 1, . . . , т. Например, для трех эквидистантных сигналов ср = 2л/3, при четырех биортогональных сигналах ср = л/2. Преобразования g^ = gz-1, где g1-1 — (г — 1)-я степень оператора g.
Решающая функция алгоритма совместного обнаружения и различения сигналов задается выражением (2.75), в котором вместо статистик U^-) и Т(-) следует подставить статистики Uk(x) = = Re(x,s*^^) и Т(х) = ||х|| . Замечая, что в отсутствие сигнала семейство распределений (2.93) симметрично относительно группы масштабных преобразований G = {g : х —> Зх; 3 > 0}, и статистика Я(х) = ^ шах [С4(х)] удовлетворяет соотношению U(gx) = 5Я(х), получаем по теореме 2.10 пороговую функцию L[T(x)] = С (а) а/[Т(х)] , где (7(a) — константа, зависящая только от заданного уровня вероятности ложной тревоги ос. Окончательное выражение для решающей функции РНМ несмещенного алгоритма совместного обнаружения и различения т сигналов имеет вид
(О, . . . , 0), max Re (х, s*(^) < (7(a) ||х|| ;
(О,. . . , 0, д/г)(х) = 1, 0,... , 0), ^ max Re (х, s*^)) >
> (7(a) ||х|| ; Re (х, s*(^) > Re (х, s*(^) ,
к ф г^ г = 1, . . . , т.
(2.94)
К сожалению, точный анализ алгоритмов совместного обнаружения и различения сигналов связан со значительными математическими сложностями, поэтому часто ограничиваются приближенным анализом, основанным на использовании неравенств Бонферрони.
Применительно к алгоритму (2.94) методика анализа выглядит следующим образом. Вначале определяется пороговая константа С (ос). Для ее точного вычисления необходимо отыскать распределение экс
.Re (х § * ^ ^ \
тремальной статистики ^(х) = шах - при условии, что
выборочный вектор х не содержит сигнальной компоненты и обусловлен только шумом. Формально для нахождения пороговой константы достаточно решить уравнение
Г^)[С(«)] = 1-а,(2.95)
где 7^(х)Н — интегральная функция распределения случайной величины ^(х)
Решение задачи (2.95) обычно сопряжено со значительными математическими трудностями, так как распределение статистики ^(х) чаще всего через элементарные функции не выражается [44]. При малых уровнях вероятности ложной тревоги ос < 0,1 для нахождения приближенного значения пороговой константы используют первое неравенство Бонферрони:
т Г Re з*(АД
< Р{Дх) > С(а)} < £ РС^
k=i I ||х|1
где через Р {^(х) ^ ^(ос)} обозначена вероятность того, что случайная величина ^(х) будет больше или равна пороговому значению С (ос). В отсутствие сигнала все слагаемые в правой части неравенства одинаково распределены, поэтому
Ерк=1Ерк=1( Re(x,s‘w)I INI( Re(x,s‘w)I INI1f Re
Ер
к=1
Ер
к=1
( Re(x,s‘w)
I INI
( Re(x,s‘w)
I INI
> C(a) k mP V ®5? C(a)
JI INI v '
и пороговую константу можно определить из уравнения
Г /v1ОС
р ( и} = 1 "{С(“)} = m’ <2-96)
Re (х s*^^)
где ^i(x) = -, ос — заданный уровень вероятности ложной
тревоги. Пороговая константа С(ос), найденная из уравнения (2.96),
обеспечит уровень вероятности ложной тревоги, не превышающий заданной величины ос.
Оценим вероятность правильного обнаружения. Пусть имеет место 1-й сигнал. Введем в рассмотрение события
ииК2 =К2 =KiKiRe(x,s*^)Re^s*^)Re(x,s*^)Re^s*^)
и
и
К2 =
К2 =
Ki
Ki
Re(x,s*^)Re^s*^)
Re(x,s*^)Re^s*^)
Тогда для вероятности правильного обнаружения р справедливы следующие соотношения:
р = />(№) = Р(К!)Р(К2 I Кт) < Р(Кх), (2.97)
т. е. Р(КД является верхней границей вероятности правильного обнаружения.
Для нахождения нижней границы воспользуемся очевидными неравенствами:
Re (х, s*^)Re (х, s*^)Re (х, s*^1^) INIRe (х, s*^1^) INIР(К21 КД =
Re (х, s*^)
Re (х, s*^)
Re (х, s*^1^) INI
Re (х, s*^1^) INI
Re (х, s*^1^)
INI
Re(x,s*HRe(x,s*H(2.98)(2.98)
Re(x,s*H
Re(x,s*H
(2.98)
(2.98)
Объединяя (2.97) и (2.98), получим
(1-«№)^Н P^iY(2.99)
Из выражения (2.99) видно, что при ос < 0,1 вероятность Р(КД определяет вероятность правильного обнаружения с погрешностью, не превышающей 10 %. Поэтому при малых вероятностях ложной тревоги можно записать, что
(2.100)(2.100)Р(К1) = Р К(:^
(2.100)
(2.100)
Сравнивая (2.100) с (2.97) и принимая во внимание (2.96), приходим к выводу, что для анализа алгоритма совместного обнаружения и различения сигналов можно воспользоваться результатами расчетов примера 2.6 для вероятности ложной тревоги, равной а/m. На рис. 2.3 приведены зависимости порогового отношения сигнал/шум Qo,9 от объема выборки N при различном числе различаемых сигналов ш, на рис. 2.4 — зависимость порогового отношения сигнал/шум Qo,9 от числа различаемых сигналов т при постоянном объеме наблюдаемой
выборки N = 30. Из этих рисунков видно, что при т = 1 мы имеем характеристику алгоритма бинарного обнаружения сигнала, с ростом
Рис. 2.3. Зависимости порогового отношения сигнал/шум Qo,9 от объема выборки N при различном числе различаемых сигналов тРис. 2.3. Зависимости порогового отношения сигнал/шум Qo,9 от объема выборки N при различном числе различаемых сигналов тРис. 2.4. Зависимость порогового отношения сигнал/шум Qo,9 от числа различаемых сигналов т при фиксированном объеме наблюдаемой выборки N = 30Рис. 2.4. Зависимость порогового отношения сигнал/шум Qo,9 от числа различаемых сигналов т при фиксированном объеме наблюдаемой выборки N = 30
Рис. 2.3. Зависимости порогового отношения сигнал/шум Qo,9 от объема выборки N при различном числе различаемых сигналов т
Рис. 2.3. Зависимости порогового отношения сигнал/шум Qo,9 от объема выборки N при различном числе различаемых сигналов т
Рис. 2.4. Зависимость порогового отношения сигнал/шум Qo,9 от числа различаемых сигналов т при фиксированном объеме наблюдаемой выборки N = 30
Рис. 2.4. Зависимость порогового отношения сигнал/шум Qo,9 от числа различаемых сигналов т при фиксированном объеме наблюдаемой выборки N = 30
числа различаемых сигналов т величина порогового отношения сигнал/шум возрастает, причем эта зависимость нелинейная. В области малых значений т рост порогового отношения сигнал/шум происходит быстрее, чем при больших.
Пример 2.8. Обнаружение сигнала по бинарно квантованной последователъности отсчетов наблюдаемого процесса.
Предположим, что из наблюдаемого процесса методом бинарного квантования сформированы две независимые выборки объемом N^x = = {жх,. . . , ждг} и у = {?/i, . . . , PnY Первая выборка содержит только отсчеты шума, вторая — либо отсчеты смеси сигнала и шума, либо шума (применяется контрастный метод обнаружения). Отсчеты при разных значениях г независимы и обладают распределениями Р^х^ = = 1) = Рь Г(жг = 0) = 1 - pi; Р(у; = 1) = Рг, r(yi = 0) = 1 - — р^. Вероятности рх и р^ априори неизвестны, однако, при отсутствии сигнала рх = р^ при его наличии — р-2 > рх-
Совместное распределение векторов х и у имеет вид
N— Xi X УгN — V 11 i
Р^У'^РТ1 (1-Р1)i=1 P*2=1 (1-Р2)i=1 = (1-р1)^(1-р2) X
J гр2(1-р1)]Л, . г pi, Л \)
х схр V" g [(Т^)] (g + g J =
= (1 - pj^l - p^N exp ^U + yT} . (2.101)
ЗдесьЗдесь0=1п Гр2(1 -Р1)Lpi(l - р^0=1п Гр2(1 -Р1)Lpi(l - р^т = ln[ri-V)]; и = Г,у^ т = Е^ + ЕЖ<- 'г=1г=1г=1
Здесь
Здесь
0=1п Гр2(1 -Р1)
Lpi(l - р^
0=1п Гр2(1 -Р1)
Lpi(l - р^
Задача обнаружения сигнала по бинарно-квантованной последовательности отсчетов наблюдаемого процесса может быть сформулирована как задача проверки сложных статистических гипотез относительно параметров распределения (2.101):
Но : il = 0; у Е (—ос, ос) (сигнал отсутствует);
Н\ : 11 > 0; у Е (—ос, ос) (сигнал присутствует).
Распределение (2.101) принадлежит экспоненциальному семейству, обладает достаточными статистиками U иТ, при гипотезе Но распределение зависит только от одного параметра у Е (—ос, ос), область значений которого содержит одномерный интервал, поэтому по теореме 2.4 при гипотезе Но оно является полным, и функция мощности любого алгоритма непрерывна. По лемме 2.1 РНМ несмещенный алгоритм обнаружения совпадает с РНМ подобным на границе между гипотезой Но и альтернативой Ну алгоритмом, который, в свою очередь, обладает неймановской структурой. При монотонном условном отношении правдоподобия решающая функция оптимального нерандомизированного алгоритма обнаружения задается выражением (2.59), которое для
настоящего примера имеет вид
(2.102)(2.102)z .1, U > ЦТ,аУ
(2.102)
(2.102)
ф(х) = <v 7
NNгде U = Еу«> Т = Е У» г=1г=1находится из равенстваNNгде U = Еу«> Т = Е У» г=1г=1находится из равенстваN+ У^ Xi. Пороговая функция г=1N+ У^ Xi. Пороговая функция г=1ЦТ, ос)ЦТ, ос)У2 p(u |ii = o,r) = (7=L(T,a) + lУ2 p(u |ii = o,r) = (7=L(T,a) + lN£U=L(T, a) + lN£U=L(T, a) + l(2.103)(2.103)P(U |il = 0,T) =P(U |il = 0,T) =( 0, и ЦТ,а),
NN
где U = Еу«> Т = Е У» г=1г=1
находится из равенства
NN
где U = Еу«> Т = Е У» г=1г=1
находится из равенства
N
+ У^ Xi. Пороговая функция г=1
N
+ У^ Xi. Пороговая функция г=1
ЦТ, ос)
ЦТ, ос)
У2 p(u |ii = o,r) = (7=L(T,a) + l
У2 p(u |ii = o,r) = (7=L(T,a) + l
N
£
U=L(T, a) + l
N
£
U=L(T, a) + l
(2.103)
(2.103)
P(U |il = 0,T) =
P(U |il = 0,T) =
ванном значении статистики Т,ванном значении статистики Т,
ванном значении статистики Т,
ванном значении статистики Т,
— условное распределение достаточной статистики U при фиксиро-
т, Х|,. — биномиальный
уп — к)\к\
коэффициент; ос — заданный уровень вероятности ложной тревоги. Однако, поскольку исходная выборка представляет собой дискретную случайную величину, то решение уравнения (2.103) существует далеко не при всех значениях Т и ос. Можно предложить два подхода к решению этой проблемы. Первый подход состоит в переходе к рандомизированному к варианту алгоритма (2.59), который имеет вид
U > ЦТ^а);
(2.104)(2.104)у(Т,а),1/ = L(T, ос);
(2.104)
(2.104)
0, и<ЦТ\аУ
Здесь 0 < у(Т, ос) < 1 — вероятность принятия решения в пользу альтернативы при U = L^T, ос). Пороговая функция L^T, ос) и вероятность у(Т, ос), зависящие от значения достаточной статистики Т и уровня вероятности ложной тревоги ос, подбираются таким образом, чтобы при каждом значении Т и ос выполнялось равенство
NЕU=L(T, а) + 1NЕU=L(T, а) + 1/ N \ / N \+ у(т, ос)/ N \ / N \+ у(т, ос)
N
Е
U=L(T, а) + 1
N
Е
U=L(T, а) + 1
/ N \ / N \
+ у(т, ос)
/ N \ / N \
+ у(т, ос)
(2.105)
Второй подход состоит в том, что алгоритм обнаружения принимается нерандомизированным в виде (2.102), а пороговая функция L(T, ос) при каждом Т находится как решение задачи
шахL(T,a)шахL(T,a)(7=L(T,a) + l(7=L(T,a) + l(2.106)(2.106)
шахL(T,a)
шахL(T,a)
(7=L(T,a) + l
(7=L(T,a) + l
(2.106)
(2.106)
Найденная таким образом пороговая функция приводит к некоторым колебаниям условной вероятности ложной тревоги при изменении значений статистики Т, в результате чего безусловная вероятность ложной тревоги становится зависимой от параметров распределения исходной выборки рх = р^ однако ее величина не превысит заданный уровень ос.
На рис. 2.5 показана зависимость условной вероятности ложной тревоги а-у^Т) в виде функции от Т при ос = 0,01; N = 50. Подчеркнем, что условная вероятность ложной тревоги зависит только от объема выборки N, значений достаточной статистики Т и заданного уровня вероятности ложной тревоги ос и не зависит от параметров распределения исходной выборки рх = р^. На рис. 2.6 показана зависимость безусловной вероятности ложной тревоги осе от параметра р = рх = р^ при тех же значениях ос = 0,01; N = 50.
Рис. 2.5. Зависимость условной вероятности ложной тревоги от значений достаточной статистики Т при ос = = 0,01; N = 50Рис. 2.5. Зависимость условной вероятности ложной тревоги от значений достаточной статистики Т при ос = = 0,01; N = 50Рис. 2.6. Зависимость безусловной вероятности ложной тревоги от значений параметра распределения исходной выборки р = ^
Рис. 2.5. Зависимость условной вероятности ложной тревоги от значений достаточной статистики Т при ос = = 0,01; N = 50
Рис. 2.5. Зависимость условной вероятности ложной тревоги от значений достаточной статистики Т при ос = = 0,01; N = 50
Из рис. 2.6 видно, что при рх = р^ 6 [0,2,. . . , 0,8] вероятность ложной тревоги приблизительно стабильна и несколько меньше заданного уровня ос.
Определим вероятность правильного обнаружения. Для этого найдем совместное распределение достаточных статистик U и Т. Рассмотрим событие А, состоящее в том, что случайные величины U и Т примут значения и и t соответственно. Нетрудно убедиться, что событие А эквивалентно событию В, состоящему в том, что случайные N
величины U и Z = ^2 жг примут значения и и t — и соответственно. г=1
Таким образом,
Р(А) = P^U = и,Т = t) =
= Р(В) = Р^и = и, Z = t — и) = B^u)B^(t - и), где В? (•) — распределение Бернулли с параметрами р и N. Обозначим q = ехр{о} = 5^—^Ц, тогда р2 = т—^—тт- Параметр q J pi(i - р^1 + pivq - i)
имеет смысл отношения сигнал/шум, причем область его значений задается неравенством q ^ 1. Окончательно совместное распределение достаточных статистик примет вид
P(U— Pi А Г N А
k 7 'Vlrpi(q-l)) Vlrpi(q-l))
х р["и(1 -= (N\( N ) PkfkLPllTV, (2.107)
U < min(^T).
Используя (2.107), получаем выражение для вероятности правильного обнаружения p(g, pi, N^ которая зависит от отношения сиг- нал/шум q, параметра шумовой выборки рх и объема сигнальной и шумовой выборок N:
2N min(7V,T)= 52527=0 U=L(T,а) + 12N min(7V,T)= 52527=0 U=L(T,а) + 1ииТ/-.\N — T Ipi(i-pi) дМР1(д-1ГТ/-.\N — T Ipi(i-pi) дМР1(д-1Г(2.108)(2.108)
2N min(7V,T)
= 5252
7=0 U=L(T,а) + 1
2N min(7V,T)
= 5252
7=0 U=L(T,а) + 1
и
и
Т/-.\N — T I
pi(i-pi) д
МР1(д-1Г
Т/-.\N — T I
pi(i-pi) д
МР1(д-1Г
(2.108)
(2.108)
На рис. 2.7 приведены зависимости порогового отношения сиг- нал/шум Qo,9 от параметра шумовой выборки рх при различных значениях объема выборки N и заданном уровне ос = 0,01 вероятности ложной тревоги. Анализ этих зависимостей показывает, что величина
Рис. 2.7. Зависимость порогового отношения сигнал/шум qo^ от параметра распределения шумовой выборки рх и объема выборки N при вероятности ложной тревоги равной ос = 0,01Рис. 2.7. Зависимость порогового отношения сигнал/шум qo^ от параметра распределения шумовой выборки рх и объема выборки N при вероятности ложной тревоги равной ос = 0,01
Рис. 2.7. Зависимость порогового отношения сигнал/шум qo^ от параметра распределения шумовой выборки рх и объема выборки N при вероятности ложной тревоги равной ос = 0,01
Рис. 2.7. Зависимость порогового отношения сигнал/шум qo^ от параметра распределения шумовой выборки рх и объема выборки N при вероятности ложной тревоги равной ос = 0,01
порогового отношения сигнал/шум существенно зависит от объема выборки N и параметра распределения шумовой выборки рх- При больших значениях рх (рх > 0,25 при N = 10, рх > 0,5 при N = 30 и Рх > 0,75 при N = 50) пороговое отношение qo^ оказывается недостижимым, так как в этом случае вероятность правильного обнаружения при любых значениях отношения сигнал/шум оказывается меньше 0,9.
Из рис. 2.7 также видно, что имеется интервал значений вероятностей pi, при которых пороговое отношение сигнал/шум остается практически неизменным, причем с ростом N ширина этого интервала увеличивается (при N = 50 этот интервал равен (0,1; 0,6)). Важным свойством полученного алгоритма является то, что внутри этого интервала стабильной оказывается не только вероятность ложной тревоги, но и пороговое отношение сигнал/шум.
Если выбрать рх = 0,5, то при симметрии плотности распределения вероятностей наблюдаемого процесса, в отсутствие полезного сигнала относительно нуля, становится очень простой практическая реализация алгоритма бинарного квантования: достаточно входное
напряжение наблюдаемого процесса сравнить с нулевым напряжением, и, если оно окажется больше нуля, принять квантованное значение равным “1”, если меньше или равным нулю — принять квантованное значение равным “0”. Такой алгоритм бинарного квантования в отсутствие полезного сигнала обеспечит практически стабильный уровень вероятности ру и, следовательно, стабильные уровни вероятностей ложной тревоги и правильного обнаружения.
Пример 2.9. Пространственно-временное обнаружение случайных сигналов на фоне шумов и помех с неизвестным энергетическим спектром.
Рассмотрим задачу обнаружения случайного сигнала от точечного источника излучения, находящегося в дальней зоне, на фоне гауссова шума и помех от пространственно разнесенных источников помехового излучения. И сигнал, и помеха представляют собой случайные процессы, причем ни мощность сигнала, ни энергетический спектр помехи не известны. Различие полезного сигнала и помехи имеется только в пространственно-временной области, поэтому для синтеза алгоритма обнаружения необходимо использовать пространственновременные свойства сигнально-помехового поля в области приема. Задача решается при следующих посылках.
Антенная система приемника представляет собой решетку из п изотропных элементов, расположенных в пространстве так, что волна, приходящая от обнаруживаемого источника, может считаться плоской. Процесс на выходе г-го элемента решетки yi(t) представляет собой аддитивную смесь полезного сигнала S{(t) и помехи T\i(t)^ которые являются гауссовыми стационарными процессами с неизвестными корреляционными функциями. Положение источников помех в пространстве задано.
Таким образом, наблюдаемый на выходе решетки процесс можно представить в виде вектора Y(t) = ^yi^t^ . . . ^ yn(t)^ где yi(t) = = Si(t) + vu(t).
Запишем процесс Y(t) в базисе Фурье:
Y(t) = 2 ReY(t) = 2 ReZ& exp {z&coqOZ& exp {z&coqO\t\ < T)^\t\ < T)^(2.109)(2.109)
Y(t) = 2 Re
Y(t) = 2 Re
Z& exp {z&coqO
Z& exp {z&coqO
\t\ < T)^
\t\ < T)^
(2.109)
(2.109)
где
^k^k-T/2-T/2Y(t) exp {—z&coqO dt.Y(t) exp {—z&coqO dt.
^k
^k
-T/2
-T/2
Y(t) exp {—z&coqO dt.
Y(t) exp {—z&coqO dt.
k — L^ L^ T 1,. . . , L2, coo — 2 л/T.
Пределы суммирования в (2.109) взяты конечными, так как спектр процесса, доступного наблюдению, ограничен полосой пропускания линейной части приемника, и составляющие, лежащие за пределами
полосы, пренебрежимо малы [92]. При этом ширина полосы выбирается исходя из заданного интервала анализируемых частот, а время наблюдения определяется интервалом разрешения по частоте. Таким образом, процесс Y(t) полностью характеризуется комплексным вектором Z = {Z&, к = Li, Li + 1,..., L^Y
В силу линейности преобразования Фурье Z& = S& + т]/., где компонентами векторов S& и т\к являются комплексные коэффициенты разложения в ряд Фурье сигнальной и помеховой составляющих процесса Y(t). Случайный вектор Z имеет комплексное нормальное распределение с нулевым средним. При Т >> то (^о — интервал корреляции процесса Y(t)) ковариационную матрицу этого вектора можно считать блочно-диагональной [92]:
M{ZZ*} = diag{D/.}, D, = M{ZfcZ*},
k = LbLi + l,...,^. ' ' '
Здесь M{ • } — символ математического ожидания, * — знак эрмитова сопряжения.
Определим ковариационную матрицу вектора Zk в отсутствие и при наличии сигнала от обнаруживаемого источника излучения. Если на частоте kto^ полезного сигнала нет, то Т)к = Y^R^, где Nk — мощность помеховой составляющей в области приема, R& — нормированная матрица, учитывающая пространственную корреляцию шума, обусловленную источниками помехового излучения. При наличии на частоте кто полезного излучения
D, = NkRk^GkWkW*k.D, = NkRk^GkWkW*k.(2.111)(2.111)
D, = NkRk^GkWkW*k.
D, = NkRk^GkWkW*k.
(2.111)
(2.111)
где Wk = {1, ехр(у Axdqt^) , • • • , ехрО^оИп)}; Gk — мощность сигнала в области приема;
сс, sin Osin Уз COS (v — фг) + COS Osin Уз Иг — d^
с
с
— время распространения сигнала от первого до г-го элемента антенной решетки; {с^,уз,фз} — координаты г-го элемента антенной решетки в сферической системе координат, начало которой совпадает с первым элементом; {0,v} — пеленг источника излучения; с — скорость распространения сигнала в среде.
Поскольку мощности сигнала и шума в реальных условиях обычно неизвестны, величины Gk и Мк полагаем априорно неопределенными.
Учитывая (2.110) и (2.111) и используя для обращения матрицы (2.111) формулу Бартлетта [81], записываем выражение для плотности вероятности вектора Zk:
w(Zfc) = [det(nDfc)] 1 expw(Zfc) = [det(nDfc)] 1 expZ^Z* G^zy^W^^^
w(Zfc) = [det(nDfc)] 1 exp
w(Zfc) = [det(nDfc)] 1 exp
Nk Nk(Nk + GkWkR^Wk) J ' (2.112)
Распределение (2.112) характеризуется двумя параметрами:
1Pfe = -^5- и \jk =Wk1Pfe = -^5- и \jk =WkGkGkN^Nk + GkW^R^WkYN^Nk + GkW^R^WkY
1
Pfe = -^5- и \jk =Wk
1
Pfe = -^5- и \jk =Wk
Gk
Gk
N^Nk + GkW^R^WkY
N^Nk + GkW^R^WkY
достаточными статистиками относительно которых являются, соответственно, T(Zk) = Z*R;% и U^ = Z*R^ WfcW*RyZfe.
Сформулируем задачу обнаружения сигнальной составляющей на частоте к^о как задачу проверки сложных статистических гипотез относительно параметров распределения (2.112):
Но : бк = 0, |д Е (—ос, 0) (сигнала нет);
Hi ;бк > 0, Ц& Е (—оо,0) (сигнал есть).
Распределение (2.112) принадлежит экспоненциальному семейству и при гипотезе Но характеризуется одномерным параметром р^. 6 6 (—оо, 0), содержащим одномерный интервал, по теореме 2.4 оно будет полным. Поэтому функция мощности любого алгоритма обнаружения является непрерывной относительно своих параметров и согласно лемме 2.1 РНМ несмещенный алгоритм обнаружения совпадает с РНМ подобным на границе алгоритмом, а последний, согласно теореме 2.3, будет иметь неймановскую структуру. Кроме того, можно показать, что распределение (2.112) является симметричным относительно группы преобразований, состоящих в умножении статистики Т(Zk) на положительную константу, и при этом выполняются условия теорем 2.5 и 2.6. Следовательно существует РНМ несмещенный алгоритм обнаружения сигнала, который имеет вид
ф(2к) = <ф(2к) = <1,о,1,о,f(za) T^Z^ и^ Т^f(za) T^Z^ и^ Т^> ЭД;< CH> ЭД;< CH(2.113)(2.113)
ф(2к) = <
ф(2к) = <
1,
о,
1,
о,
f(za) T^Z^ и^ Т^
f(za) T^Z^ и^ Т^
> ЭД;
< CH
> ЭД;
< CH
(2.113)
(2.113)
где C(a) — пороговая константа, определяемая заданным уровнем вероятности ложной тревоги ос.
Для вычисления пороговой константы С (ос) и вероятности правильного обнаружения р преобразуем (2.113) к виду
ф(2ь) =ф(2ь) =1,О,1,О,Р^ > 0;Р^ < О,Р^ > 0;Р^ < О,
ф(2ь) =
ф(2ь) =
1,
О,
1,
О,
Р^ > 0;
Р^ < О,
Р^ > 0;
Р^ < О,
где Р^/Д =— эрмитова форма, Ф = R, 1W/eW^R, 1 -
V Nk VNk
- одл;1.
Пороговую константу находим, решая относительно С (а) уравнение
l-Fo(O) = a,(2.114)
а вероятность правильного обнаружения — из равенства
Р = 1-^(0).(2.115)
Здесь Fm(PY т = 0,1, — интегральная функция распределения эрмитовой формы P(Z/e) при гипотезе и при альтернативе соответственно.
Учитывая, что Z^/VNk является комплексной многомерной нормально распределенной случайной величиной с нулевым средним и ковариационной матрицей В^ = R^, при гипотезе Н^ и В^ = R^ + + Q^W/.W^ при альтернативе Hi (^ = Gk/Nk — отношение сигнал/шум), а эрмитова форма (Z^/vr/V^)B^"1(Z/e/VA^) положительно определена, можно найти такое преобразование А, при котором А*В^ХА = I, А = diag{X^,z = l,...,n} (I — единичная матрица, 11,...,Хп — собственные значения матрицы ВФ), и распределение эрмитовой формы ^(Z^) совпадает [57] с распределением формы
О=£2^|Хг|2,(2.116)
г=1
где |%г|2 — независимые случайные величины, имеющие %2-распре- деление с двумя степенями свободы. Группируя в (2.116) члены с одинаковыми коэффициентами, получаем Q = ^ ^Х^Х^г г’ где ^ ^
+ Xj при г ^ j^ bi ^ 1 — кратность коэффициента Х^ г ^ 0^ и ^ — 1; Х^ь г — независимые %2-случайные величины с 2bi степенями свободы; Xi ^ 0 при г < 0; Xi > 0 при г ^ 1.
Функция распределения величины Q при bi = 1 имеет вид [57]
г=1 Iз^гJ
(2.117)
Подставляя (2.117) в (2.114) и (2.115) и вычисляя Xi при гипотезе и альтернативе соответственно, находим С (ос) и р.
Например, для случая, когда антенная решетка содержит всего два элемента, а сосредоточенные источники помехового излучения отсутствуют (п = 2, R/g = I) решение уравнения (2.114) дает С(ос) =
Ао «(1 + 2^)
= 2(1 — ос), а вероятность правильного обнаружения р = —
1 + 2aqk
Алгоритм обнаружения (2.113) случайного пространственно-временного сигнала обладает следующими свойствами:
алгоритм основан на пространственно-временной обработке принимаемого сигнала и учитывает направление прихода волны от обнаруживаемого источника излучения и пространственную корреляцию помехового поля;
вероятность ложной тревоги алгоритма не превосходит заданного уровня ос при любых фактических значениях дисперсии шума и не зависит от неизвестной формы энергетического спектра помехи, т. е. оно автоматически подстраивается под фактическую структуру помехи;
6 Богданович В.А., Вострецов А.Г.
вероятность правильного обнаружения зависит только от отношения сигнал/шум и максимальна в классе всех несмещенных алгоритмов;
структура алгоритма не зависит от значений параметров сигнала и помехи, т. е. алгоритм структурно устойчив.
Пример 2.10. Обнаружение сигнальной составляющей в многомерном пуассоновском потоке неразличимых импульсов неизвестной интенсивности.
В некоторых приложениях возникает задача обнаружения сигнальной компоненты в пуассоновском потоке неразличимых импульсов в условиях априорной неопределенности относительно его сигнальной и фоновой (помеховой) составляющих. Такие задачи возникают, например, при контроле радиоактивных загрязнений, ионизирующих излучений, в спектроскопии и т. д. Ниже приводится решение такой задачи для случая, когда помеховая составляющая является рассредоточенной (наблюдается в каждой компоненте регистрируемого процесса), а сигнальная — сосредоточенной (может появиться только в одной из компонент). Рассматривается решение для двух вариантов — 1-й вариант, когда ограничений на время наблюдения нет, и фиксированным является число событий, 2-й вариант — фиксированным является время наблюдения.
1-й вариант. Пусть каждая из п компонент наблюдаемого процесса представляет собой однородный пуассоновский поток импульсов с интенсивностью Х^, г = 1, . . . , п. Величины Xi, . . . ,ХП являются априорно неопределенными и могут различаться друг от друга. Для определенности будем рассматривать случай, когда сигнальная составляющая может появиться в 1-й компоненте наблюдаемого процесса. При наличии сигнала в 1-й компоненте, значение Xi превосходит средневзвешенное по другим компонентам Х^, j > 1, значение. Таким образом, задача обнаружения сигнальной компоненты сводится к проверке статистических гипотез:
Но : Xi У/ (сигнала нет);
П к^ (2.118)
Hi : Xi > —^ Хк (сигнал есть).
Коэффициент у в выражениях (2.118) показывает, во сколько раз интенсивность 1-й компоненты, при наличии сигнала, должна превышать среднее по остальным компонентам значение интенсивности.
Пусть за время наблюдения в г-й компоненте наблюдаемого процесса появилось mi импульсов. Обозначим t^, j = 1, . . . , т^ интервал времени между появлениями у-го и (у — 1)-го импульсов в г-й компоненте наблюдаемого процесса. Совместная плотность распределения
вероятностей величин t^\ j = 1,.. . , г = 1,. . . , п, подчинена экспоненциальному закону [103] и имеет вид
«^Е..., <W ,..., <М) = П (Х^) exp - Е ^ Е ^(2.119)
z=lI к = 1 j = lJ
Преобразуем (2.119) к виду, удобному для решения:
п(/n \ mi
= П(^)ехР -Е Е 4^ -
г=1к=‘2 ' j = l
н (ткv mi1
- ЕМ Е 4 - ДI 4 Г • (2-i20)
k=i \j=i п 1 ,=1/ J
Плотность распределения вероятностей (2.120) характеризуется
”—fс достаточнойT1V к = 2”—fс достаточнойT1V к = 2одномерным полезным параметром il = Xi —
”—fс достаточной
T1V к = 2
”—fс достаточной
T1V к = 2
статистикой Ту = У^ tj и мешающими параметрами Х2, . . . , Хп с доста-
тк (к) Y Ш1 (1)
точными статистиками Тк = У^ t) Н У^ t} , к = 2,. . . , п.
3 п — 13
3=13=1
Задача обнаружения сигнальной составляющей в первой компоненте наблюдаемого процесса эквивалентна задаче проверки сложных
статистических гипотез относительно параметров распределения вероятностей (2.120):
(2.121)(2.121)Но : й ^ 0, Х2, . . . , кп — любые (сигнала нет);
(2.121)
(2.121)
Ну : й > 0,Х2,. . . кп — любые (сигнал есть).
Достаточные статистики Ti,. . . , Тп несут всю информацию о полезном и мешающих параметрах й и Х2,. . . , Хп, поэтому переход при синтезе алгоритма обнаружения от исходной выборки t^\ j = 1, . . . ... , т^^ к достаточным статистикам не приводит к потере информации и оптимального алгоритма. Совместная плотность распределения вероятностей достаточных статистик определяется выражением [103, 55]
w(Ti,... Тп) =w(Ti,... Тп) =Л тк (rpY гр А
w(Ti,... Тп) =
w(Ti,... Тп) =
(mi - 1)! 11(mi, - 1)!
Задача обнаружения сигнальной составляющей, сформулированная относительно параметров распределения (2.122), имеет тот же вид (2.121), что и для исходной задачи. Кроме того, распределение (2.122) принадлежит экспоненциальному семейству и при гипотезе Но характеризуется (п — 1)-мерным параметром ц = {^ • • • Д™} £ е (о, оо) х (0, ос) х ... х (0, ос), содержащим (п — 1)-мерный интервал, по теореме 2.4 оно будет полным. Поэтому функция мощности любого алгоритма обнаружения является непрерывной относительно своих параметров и, согласно лемме 2.1, РНМ несмещенный алгоритм обнаружения совпадает с РНМ подобным на границе алгоритмом, а последний, согласно теореме 2.3, будет иметь неймановскую структуру.
Поскольку распределение (2.122) удовлетворяет условиям теоремы 2.5, то РНМ подобный и, следовательно, РНМ несмещенный алгоритм обнаружения примет вид
^ < С(а,Т2,...,Т„);
О, ^ ^ С(а,Т2,...,Тп).
Здесь С(сх, Т2, . . . , Тп ) — пороговая функция, зависящая от уровня вероятности ложной тревоги ос, достаточных статистик Т2,...,ТП и определяемая из уравнения
М[ф(Т17. . . , Tn) I ^ = О, Т2,. . . , Тп] = ос, (2.124)
где М[• |il = 0,T2,...,Tn] — условное математическое ожидание при й = 0.
Для решения уравнения (2.124) необходимо найти условную плотность распределения вероятностей
«№16 = 0,7;,.(2.125)
Найдем знаменатель в правой части выражения (2.125):
w(T2,. . . , Тп) = j w(TT. .... T^dTy.(2.126)
D
где D — область определения плотности w(Ti.. . . , Тп) по переменной mk (к)
Ту. Исходя из того, что У^ tj ^ 0 при любых к = 1, . . . , п, находим, j=i
что область D задается системой неравенств
°[1:2™ JN •
J Lrv — ^ ^ . . . ^ 11J
Из (2.125) с учетом (2.126) и (2.127) получаем
тккп — 1/тккп — 1/w(Ti | д = 0,Т2,... ,ТП) =
тккп — 1/
тккп — 1/
_ к = *2
1 min(T2,...,Tn)
'п ✓х m^ — 1
^г1-1 П (^ —Цт) dT^
Оfe = 2
Пороговую функцию найдем из уравнения
j w(Ti | Ц = О, Т2,. . . , Tn)dTi = ос, о
которое можно представить в следующем виде:
С^Т^...^) 'П /\ mk~ 1
-1 П (Тк - -^ЦТ!) dT! =
1 1 \ п — 1/
Оfc=2
тр1"1 П (Тк - ;^^т1у1к dTi. (2.128) к=2уравнение (2.128) можно решить численными частных случаях могут быть и аналитическиетр1"1 П (Тк - ;^^т1у1к dTi. (2.128) к=2уравнение (2.128) можно решить численными частных случаях могут быть и аналитические= ОС|
тр1"1 П (Тк - ;^^т1у1к dTi. (2.128) к=2
уравнение (2.128) можно решить численными частных случаях могут быть и аналитические
тр1"1 П (Тк - ;^^т1у1к dTi. (2.128) к=2
уравнение (2.128) можно решить численными частных случаях могут быть и аналитические
о
В общем случае методами, однако, в
решения. В качестве примера рассмотрим случай m^ = 1,. . . , тп = = 1, соответствующий ситуации, когда помеховые импульсы редки. Пороговая функция для этого случая имеет вид
С(а, Т2,..., Т^ = CL Iai/mi min(T2j..., Тну
а алгоритм обнаружения, выраженый через исходные наблюдаемые величины t^, j = 1,. . . , тгц., г = 1,. . . , п, имеет вид
= <mi1/miz. r,(2),(n)i(2.129)
7з //1 i /m i \*
y(1 - a 7 4
Анализируя алгоритм (2.129), приходим к выводу, что при наличии серии импульсов в первой компоненте не обязательно ждать появления
импульсов в остальных компонентах (при малых Х^ = 2,. . . , п, это время может быть значительным). Решение о наличии сигнальной
vA .(1)/ n2^ в оставшихся (n — 1) компонентах не j=ivA .(1)/ n2^ в оставшихся (n — 1) компонентах не j=i.(n-l)a1/mi..(n-l)a1/mi.компоненты можно принимать уже в том случае, если за время АТ =
vA .(1)/ n
2^ в оставшихся (n — 1) компонентах не j=i
vA .(1)/ n
2^ в оставшихся (n — 1) компонентах не j=i
.(n-l)a1/mi.
.(n-l)a1/mi.
появятся импульсы.
Анализ эффективности алгоритма (2.129) сводится к нахождению
зависимости вероятности р принятия правильного решения о наличии сигнальной компоненты от величин параметров Xi,...,Xn. Вероят
ность принятия правильного решения
Р = Р J- у ^ > oL 1 - FzW,
(2.130) где Fz (•) — интегральная функция распределения случайной величины 7 _ “1/mi (" - 1) ™п[^2), ■ • • , ^п)] ^ . (1)
Y(l-a /mi)
Обозначим
Zi =Zi =a^mi (п _ 1) min[Z^, • у(1 -oc1/mi)a^mi (п _ 1) min[Z^, • у(1 -oc1/mi)22 = Е t™.3=122 = Е t™.3=1Тогда [52]Тогда [52]Fz(x) = j wZ2(xT)FZ1(x + x^dxi.Fz(x) = j wZ2(xT)FZ1(x + x^dxi.(2.131)(2.131)где wz2 (*) и FZ1 (•) — соответственно, плотность вероятности вегде wz2 (*) и FZ1 (•) — соответственно, плотность вероятности величины Z2 и интегральная функция распределения величины Z^.личины Z2 и интегральная функция распределения величины Z^.Учитывая, что Z^ получаемУчитывая, что Z^ получаем\ л 7\ л (\Х1(Х1Ж1) 1у> О, Z2 > 0, wZ2(xi) =^^ J 1), ехр{Х1Ж1},\ л 7\ л (\Х1(Х1Ж1) 1у> О, Z2 > 0, wZ2(xi) =^^ J 1), ехр{Х1Ж1},2) (n)i > у(1 - ос1/т1)(ж 4-(к) ^^-ос^2^1(£^Ь£1) 1 _2) (n)i > у(1 - ос1/т1)(ж 4-(к) ^^-ос^2^1(£^Ь£1) 1 _к = 2к = 2(п - l)oc1/mi(п - l)oc1/mioc1/mioc1/mi= 1 — ехр<= 1 — ехр<к = 2z(п — l)ot1//miк = 2z(п — l)ot1//mi
Zi =
Zi =
a^mi (п _ 1) min[Z^, • у(1 -oc1/mi)
a^mi (п _ 1) min[Z^, • у(1 -oc1/mi)
22 = Е t™.
3=1
22 = Е t™.
3=1
Тогда [52]
Тогда [52]
Fz(x) = j wZ2(xT)FZ1(x + x^dxi.
Fz(x) = j wZ2(xT)FZ1(x + x^dxi.
(2.131)
(2.131)
где wz2 (*) и FZ1 (•) — соответственно, плотность вероятности ве
где wz2 (*) и FZ1 (•) — соответственно, плотность вероятности ве
личины Z2 и интегральная функция распределения величины Z^.
личины Z2 и интегральная функция распределения величины Z^.
Учитывая, что Z^ получаем
Учитывая, что Z^ получаем
\ л 7\ л (\Х1(Х1Ж1) 1у
> О, Z2 > 0, wZ2(xi) =^^ J 1), ехр{Х1Ж1},
\ л 7\ л (\Х1(Х1Ж1) 1у
> О, Z2 > 0, wZ2(xi) =^^ J 1), ехр{Х1Ж1},
2) (n)i > у(1 - ос1/т1)(ж 4-
(к) ^^-ос^2^1(£^Ь£1) 1 _
2) (n)i > у(1 - ос1/т1)(ж 4-
(к) ^^-ос^2^1(£^Ь£1) 1 _
к = 2
к = 2
(п - l)oc1/mi
(п - l)oc1/mi
oc1/mi
oc1/mi
= 1 — ехр<
= 1 — ехр<
к = 2z
(п — l)ot1//mi
к = 2z
(п — l)ot1//mi
из (2.131) получим
”.(Y ) (1 - a1/mi)
fx^xi^n"1 J .\^ )L
—7^гтт—exp < —Х1Ж177«1 >ахл =
J (mi — 1)! p) 11 (n-l)a1/mi Г o'-'
=(2.132)
Xi где q = -отношение значения интенсивности потока им
пульсов в первой компоненте к средневзвешенному значению интенсивности по остальным компонентам наблюдаемого процесса. Из (2.132) видно, что вероятность принятия правильного решения о наличии сигнальной составляющей зависит только от параметра q, т. е. от того,
во сколько раз интенсивность потока импульсов в компоненте, содержащем сигнальную составляющую, превосходит средневзвешенное значение интенсивности по остальным компонентам наблюдаемого процесса.
На рис. 2.8 приведены графики зависимостей правильного обнаружения от параметра q при ос = 0,01 (рис. 2.8, а) и ос = 0,001 (рис. 2.8, б)
Рис. 2.8. Характеристики эффективности алгоритма обнаружения сигнальной составляющей в пуассоновском потоке импульсовРис. 2.8. Характеристики эффективности алгоритма обнаружения сигнальной составляющей в пуассоновском потоке импульсов
Рис. 2.8. Характеристики эффективности алгоритма обнаружения сигнальной составляющей в пуассоновском потоке импульсов
Рис. 2.8. Характеристики эффективности алгоритма обнаружения сигнальной составляющей в пуассоновском потоке импульсов
при различных значениях ту. Видно, что с ростом ту вероятность принятия правильного решения возрастает.
2-й вариант. Пусть теперь фиксированным является время наблюдения АТ, остальные исходные данные и формулировка гипотез те же, что и для 1-го варианта. Для определенности будем рассматривать задачу обнаружения сигнальной составляющей в 1-й компоненте.
Пусть за время наблюдения АТ в г-й компоненте наблюдаемого процесса зафиксировано тгц импульсов, г = 1,. . . ,п. Их совместное
распределение вероятностей может быть представлено в форме
ехр 52 J еХР |52 т* |p(mi,..., ш„) =——.(2.133)
г = 1
Из выражения (2.133) видно, что параметры распределения вероятностей величин mi 7 • • • 7 тп нелинейно зависят от параметров Xi, . . . ... , Хп, поэтому точное решение задачи (2.118) при фиксированном времени наблюдения и произвольном п получить затруднительно. Как будет показано ниже, такое решение можно отыскать для случая, когда ?2 = 2, у — произвольное. Тем не менее, решение задачи обнаружения сигнальной составляющей в многомерном потоке импульсов на основе исходных данных, представленных в виде чисел 7721 , . . . , тп импульсов на интервале наблюдения АТ, возможно, если ее сформулировать с учетом свойств распределения (2.133) (формулировка (2.118) учитывала свойства распределения вероятностей статистик времен появления отдельных импульсов).
Преобразуем распределение вероятностей (2.133) к виду, удобному для формулировки и решения задачи обнаружения сигнальной составляющей:
p(mi,... ,m„) =
5>ДТг = 15>ДТг = 1ехр < 7721ехр < 7721log(Xi ДТ)log(Xi ДТ)1 пг = 21 пг = 2
5>ДТ
г = 1
5>ДТ
г = 1
ехр < 7721
ехр < 7721
log(Xi ДТ)
log(Xi ДТ)
1 п
г = 2
1 п
г = 2
П mi!
г = 1
х ехр ( 52log^^71)4=2х ехр ( 52log^^71)4=2) ^ ехр {mi log(yi)} =) ^ ехр {mi log(yi)} =ехр 7721 logехр 7721 logг = 1г = 1
х ехр ( 52log^^71)4=2
х ехр ( 52log^^71)4=2
) ^ ехр {mi log(yi)} =
) ^ ехр {mi log(yi)} =
ехр 7721 log
ехр 7721 log
г = 1
г = 1
(2.134)(2.134)+ 52 (ш* + ^~[) |ое(АД72 г=2 V
(2.134)
(2.134)
Распределение (2.134) характеризуется одномерным полезным параметром
il = logil = log
il = log
il = log
и (п — 1)-мерным мешающим параметром ц = {ц2,---,Рп}, Нг = = log(X^AT), г = 2,...,п. Задача обнаружения сигнальной составляющей может быть сформулирована как задача проверки сложных статистических гипотез относительно параметров распределения вероятностей (2.134):
Но : il ^ 0, щ 6 (—ос, +оо), г = 2, . . . , п (сигнала нет);
Ну : 11 > 0, щ 6 (—ос, +оо), г = 2, . . . , п (сигнал есть).
(2.135) Сопоставим формулировки (2.135) и (2.118) задачи обнаружения. Выражение (2.118) предполагает сравнение интенсивности Xi со среднеарифметическим значением интенсивности по компонентам Х2,. . . ... , Хп, при этом коэффициент у показывает, во сколько раз интенсивность 1-й компоненты при наличии сигнала должна превышать среднюю по остальным компонентам интенсивность. В соответствии с (2.135) для принятия решения о наличии сигнала необходимо сравнить интенсивность Xi со среднегеометрическим значением интенсивности по компонентам Х2,. . . , Хп, при этом коэффициент yi показывает, во сколько раз интенсивность 1-й компоненты при наличии сигнала должна превышать среднее геометрическое по остальным компонентам значение интенсивности. При п = 2 и yi = у формулировки гипотез (2.118) и (2.135) совпадают.
Распределение (2.134) принадлежит экспоненциальному семейству, обладает достаточными статистиками U = ту и Т = {^2,...,ХП}, ti = т^ + ^^у ч г = 2,. . . , п, при гипотезе Но зависит от (п — 1)- мерного параметра ц, область значений которого содержит (п — 1)- мерный интервал, поэтому по теореме 2.4 при гипотезе Но оно является полным, и функция мощности любого правила непрерывна. По лемме 2.1 РНМ несмещенный алгоритм обнаружения совпадает с РНМ подобным на границе между гипотезой Но и альтернативой Ну алгоритмом, который, в свою очередь, обладает неймановской структурой.
Поскольку распределение (2.134) удовлетворяет условиям теоремы 2.5, то РНМ подобный и, следовательно, РНМ несмещенный алгоритм обнаружения примет вид
ф(Г,Т)={ v,ф(Г,Т)={ v,о,о,и > С(а, ту, и = С(а,ту U < С(а, ТУ
ф(Г,Т)={ v,
ф(Г,Т)={ v,
о,
о,
Здесь С(ос, Т) — пороговая функция, зависящая от уровня вероятности ложной тревоги ос и достаточной статистики Т, 0 ^ \|/ ^ 1. Пороговая функция С^Т^ и константа \|/ определяются из уравнения
(2.137)(2.137)М[ф([/, Г) I й = 0, Г] = ос,
(2.137)
(2.137)
где М[ • | il = 0, Т] — условное математическое ожидание при il = 0.
Для решения уравнения (2.137) необходимо найти условную вероятность
р^и |il = 0,T) =р^и |il = 0,T) =(2.138)(2.138)p(U,T I 11 = 0)рСФ = о) •
р^и |il = 0,T) =
р^и |il = 0,T) =
(2.138)
(2.138)
Совместное распределение достаточных статистик P(U^T) можно получить из выражения (2.134), если учесть, что якобиан преобразования {mi, . . . , m^ ^U^T^ равен единице, a mi = [/, m^ = ti^-у, г = 2,. . . , n:
exp — expexp — explogYin — 1logYin — 152 exp (щ)г = 252 exp (щ)г = 2p(U,T^ =p(U,T^ =x y^7 expx y^7 exp^U + 52 ^iti1=2^U + 52 ^iti1=2(2.139)(2.139)
exp — exp
exp — exp
logYi
n — 1
logYi
n — 1
52 exp (щ)
г = 2
52 exp (щ)
г = 2
p(U,T^ =
p(U,T^ =
x y^7 exp
x y^7 exp
^U + 52 ^iti
1=2
^U + 52 ^iti
1=2
(2.139)
(2.139)
Найдем знаменатель в правой части выражения (2.138):
р(Т I 11 = 0) = ^p^U, Т I 11 = 0),(2.140)
D
где D — область допустимых значений переменной U. Суммирование в (2.140) производится по всем mi из области D. Исходя из того, что т^ ^ 0, при любых к = 1,. . . ,п, находим, что область D задается системой неравенств
(2.141)(2.141)0 < U < (п — 1) [min (t2, • • • , t^ .
(2.141)
(2.141)
Из (2.139) с учетом (2.140) и (2.141) получаем
р([/|^ = 0,Т) =
г = 2г = 2г = 2г = 2
г = 2
г = 2
г = 2
г = 2
Подставляя (2.142) в (2.137), получаем уравнение для нахождения пороговой функции С (ос, Т):
(2.143)
Для нахождения вероятности правильного обнаружения р необходимо найти математическое ожидание решающей функции ср(^У, Т) = = ф(С/, ^ • • • , tn) алгоритма (2.136), используя совместное распределение вероятностей P^U^T):
(п — 1) min(t2,(п — 1) min(t2,exp <exp <— exp— expt2=o t„=0t2=o t„=0t/=C(a,T)t/=C(a,T)logYiTl ilogYiTl i
(п — 1) min(t2,
(п — 1) min(t2,
exp <
exp <
— exp
— exp
t2=o t„=0
t2=o t„=0
t/=C(a,T)
t/=C(a,T)
logYi
Tl i
logYi
Tl i
52 ехР(Нг) г=252 ехР(Нг) г=241 exp (м/ + 52^^»41 exp (м/ + 52^^»(p(mi, ш2) = <(p(mi, ш2) = <(2.145)(2.145)C(a,mi+m2)C(a,mi+m2)+ ++ +7721 + 7722 С(а3 mi + 7722)7721 + 7722 С(а3 mi + 7722)mi+m2 — C(oc,mi+m2)= ОС,mi+m2 — C(oc,mi+m2)= ОС,
52 ехР(Нг) г=2
52 ехР(Нг) г=2
41 exp (м/ + 52^^»
41 exp (м/ + 52^^»
(p(mi, ш2) = <
(p(mi, ш2) = <
(2.145)
(2.145)
C(a,mi+m2)
C(a,mi+m2)
+ +
+ +
7721 + 7722 С(а3 mi + 7722)
7721 + 7722 С(а3 mi + 7722)
mi+m2 — C(oc,mi+m2)
= ОС,
mi+m2 — C(oc,mi+m2)
= ОС,
52 exp (щ)
г=2
Ti l
(2.144)
Рассмотрим структуру и характеристики алгоритма (2.136) при п = = 2 подробнее. Его структура, выраженная через компоненты исходной выборки, имеет вид
1, mi > С(ос, mi + m2);\|/, 777-1 = <7(0С, 777-1 + m2);О, 777-1 < С(а, 777-1 + 777-2).
Пороговая функция С(ос, ttii + 777-2) и параметр рандомизации \|/ зависят от заданного уровня вероятности ложной тревоги ос, значения суммы 777,1+777,2 и определяются как решение уравнения (2.14 3), которое при п = 2 имеет следующий вид:
где ос — заданный уровень вероятности ложной тревоги. Если ограничиться рассмотрением только нерандомизированных алгоритмов обнаружения (положить \|/ = 0), то для нахождения пороговой функции, как и в примере 2.8, необходимо решить неравенство
mi+m2/,\ z\ у , -1 \ mi+m2 — у
Е
2/ mi + т2 А / Yi А ( 1 А/
С ОС.
\ у ) U+Yi/ + Т17 у = С (a,mi+m2) + l \ у /
(2.147)
Найденная таким образом пороговая функция из-за того, что исходная выборка носит целочисленный характер, приводит к некоторым колебаниям условной вероятности ложной тревоги при изменении значений статистики mi + т^.
Рис. 2.9. Зависимость условной вероятности ложной тревоги от значения статистики mi + m2 при ос = 0,01; у + 1 = 1 (нерандомизированный алгоритм обнаружения)Рис. 2.9. Зависимость условной вероятности ложной тревоги от значения статистики mi + m2 при ос = 0,01; у + 1 = 1 (нерандомизированный алгоритм обнаружения)
Рис. 2.9. Зависимость условной вероятности ложной тревоги от значения статистики mi + m2 при ос = 0,01; у + 1 = 1 (нерандомизированный алгоритм обнаружения)
Рис. 2.9. Зависимость условной вероятности ложной тревоги от значения статистики mi + m2 при ос = 0,01; у + 1 = 1 (нерандомизированный алгоритм обнаружения)
На рис. 2.9 показана зависимость условной вероятности ложной тревоги нерандомизированного алгоритма «^(mi +777-2) в виде функции от mi + m2 ПРИ oc = 0,01;yi = 1. Подчеркнем, что условная вероятность ложной тревоги зависит только от объема выборки ttt-i +777-2, заданного уровня вероятности ложной тревоги ос, параметра yi и не зависит от параметров распределения исходной выборки Xi, Х2.
При
(mi + m2)) > 9
\1+Yi/V1 + yi/
И
mi + m2mi + m2 + 1mi + m2mi + m2 + 11 < Y1 mi + m2 + 11 + Yi
mi + m2mi + m2 + 1
mi + m2mi + m2 + 1
для вычисления пороговой функции С (ос, ттт-i + 777-2) и параметра рандомизации \|/ можно воспользоваться аппроксимацией биномиального
распределения в (2.146) нормальным распределением вероятностей со
средним (mi + m2)—- и дисперсией (mi + m2)—- [711: Yi + 1Yi + 1 Yi + 1
V ^ a — <V ^ a — <1 - F1 - FC(a, mi + m2) + 1—1 + Yi >(mi + m^i /1\у (1 + Yi) V + Yi // ,! (mi + m^i \С(щ mi + m2) + 1 - —?1 + Yi/ (mi + m^i /1\' у (1 + Yi) \1 + Yi /C(a, mi + m2) + 1—1 + Yi >(mi + m^i /1\у (1 + Yi) V + Yi // ,! (mi + m^i \С(щ mi + m2) + 1 - —?1 + Yi/ (mi + m^i /1\' у (1 + Yi) \1 + Yi /- F- F\ (mi+m2)Yi\С(щ mi + m2)—1 + Yi/ (mi + m^i / 1 \у (1 + Y1)\1 + Y1 /■\ (mi+m2)Yi\С(щ mi + m2)—1 + Yi/ (mi + m^i / 1 \у (1 + Y1)\1 + Y1 /■-1-1, (2.148), (2.148)С^ос, mi + m2) = int < (mi + m2)
V ^ a — <
V ^ a — <
1 - F
1 - F
C(a, mi + m2) + 1—
1 + Yi >
(mi + m^i /1\
у (1 + Yi) V + Yi // ,
! (mi + m^i \
С(щ mi + m2) + 1 - —
?1 + Yi
/ (mi + m^i /1\
' у (1 + Yi) \1 + Yi /
C(a, mi + m2) + 1—
1 + Yi >
(mi + m^i /1\
у (1 + Yi) V + Yi // ,
! (mi + m^i \
С(щ mi + m2) + 1 - —
?1 + Yi
/ (mi + m^i /1\
' у (1 + Yi) \1 + Yi /
- F
- F
\ (mi+m2)Yi\
С(щ mi + m2)—
1 + Yi
/ (mi + m^i / 1 \
у (1 + Y1)\1 + Y1 /■
\ (mi+m2)Yi\
С(щ mi + m2)—
1 + Yi
/ (mi + m^i / 1 \
у (1 + Y1)\1 + Y1 /■
-1
-1
, (2.148)
, (2.148)
где int{;r} — целая часть числа ж, F-1(l — ос) — функция, обратная к интегральной функции стандартного нормального распределения вероятностей с нулевым средним и единичной дисперсией.
На рис. 2.10 показана зависимость вероятности правильного обнаружения р алгоритма (2.145), в котором пороговая функция С (ос, mi + + m2) и параметр рандомизации \|/ вычисляются в соответствии с выражениями (2.148), от отношения сигнал/шум, q = Х1/Х2? при
Рис. 2.10. Зависимость вероятности правильного обнаружения р от отношения сигнал/шум q при вероятности ложной тревоги ос = 0,01 (а) и ос = 0,001 (5) и при различных значения интенсивности шума Xi АТРис. 2.10. Зависимость вероятности правильного обнаружения р от отношения сигнал/шум q при вероятности ложной тревоги ос = 0,01 (а) и ос = 0,001 (5) и при различных значения интенсивности шума Xi АТ
Рис. 2.10. Зависимость вероятности правильного обнаружения р от отношения сигнал/шум q при вероятности ложной тревоги ос = 0,01 (а) и ос = 0,001 (5) и при различных значения интенсивности шума Xi АТ
Рис. 2.10. Зависимость вероятности правильного обнаружения р от отношения сигнал/шум q при вероятности ложной тревоги ос = 0,01 (а) и ос = 0,001 (5) и при различных значения интенсивности шума Xi АТ
различных значения вероятности ложной тревоги и интенсивности шумовой компоненты. Зависимости получены методом имитационного моделирования алгоритма (2.145) на ЭВМ.
Из рисунка видно, что вероятность правильного обнаружения алгоритма (2.145), в отличие от алгоритма (2.129), зависит не только от отношения сигнал/шум, но и от значения интенсивности шума. Вероятность ложной тревоги (на рис. 2.10 область q ^ 1) при этом не превосходит заданного уровня ос.
Разработанные алгоритмы обнаружения сигнальной составляющей в многомерном пуассоновском потоке импульсов неизвестной интенсивности обладают следующими практически важными свойствами:
вероятность ложной тревоги алгоритмов не превосходит наперед заданного значения ос, при любых фактических значениях интенсивности компоненты, содержащей сигнальную составляющую. Следовательно, алгоритмы автоматически подстраиваются под характеристики регистрируемого процесса;
структура решающих функций алгоритмов не зависит от фактических значений Xi,...,Xn, т. е. они структурно устойчивы. Это свойство особенно важно при реализации в автоматических системах обнаружения сигналов;
вероятность правильного обнаружения алгоритмов максимальна в классе всех несмещенных алгоритмов при любых значениях параметра q.
Пример 2.11. Обнаружение узкополосного сигнала с неизвестной несущей частотой на фоне шумов с неизвестным энергетическим спектром, наблюдаемого на выходе анализатора спектра.
Наблюдаемым процессом в этой задаче выступают оценки х^ спектральных плотностей принятого сигнала, поступающие в заданном частотном диапазоне от анализатора спектра. Здесь индекс г обозначает номер цикла формирования спектральных оценок; индекс j — номер интервала разрешения по частоте. Предполагается, что ширина интервала разрешения по частоте равна или больше ширины спектра обнаруживаемого сигнала, а спектр шумового фона является настолько гладким, так что спектральную плотность мощности шума в пределах т ^ 2 соседних интервалов разрешения можно считать практически постоянной. Сигнал может появиться только в одном из т интервалов. Таким образом, весь частотный диапазон можно разбить на поддиапазоны, каждый из которых включает в себя т указанных интервалов. Поскольку алгоритмы обнаружения сигнала во всех частотных поддиапазонах идентичны, остановимся на задаче обнаружения в одном (k-м) таком диапазоне.
В качестве наблюдаемой выборки примем вектор х = {ж^-; г = 1, . . . ... , n; j = 1, . . . , ш}, где п — число циклов формирования спектральных оценок хц. При статистической независимости спектральных
оценок и аппроксимации их распределения ^-распределением с v степенями свободы [42] (v определяется произведением времени оценки на ширину интервала разрешения), плотность распределения вероятностей выборки х при наличии сигнала в к-м интервале разрешения имеет вид
где 01,^2 — соответственно мощности шумового фона и смеси шумового фона и сигнала, отнесенные к одному интервалу разрешения по частоте. Из (2.149) следует, что в задаче имеется мешающий параметр, 1о2 — о2
р =2(—°0; 0), и полезный параметр, X х 9^\ где X = °2 2 21 —
2(512(51(52
общий для всех гипотез энергетический параметр; 0^ = к — номер интервала разрешения по частоте, содержащего полезный сигнал.
Достаточная для мешающего параметра статистика
T(x) = 525yv-г=1 з = 1T(x) = 525yv-г=1 з = 1(2.150)(2.150)
T(x) = 525yv-
г=1 з = 1
T(x) = 525yv-
г=1 з = 1
(2.150)
(2.150)
Задача обнаружения сигнала, когда требуется не только обнаружить сигнал, но и указать номер интервала разрешения, в котором он находится, формулируется как задача совместного обнаружения и различения сигналов:
(2.151)(2.151)Яо : X = 0; р G (—ос, 0);
(2.151)
(2.151)
Hr : X > 0; к = г; р,Е(—ос,0), r = l,...,m.
Используя теоремы п. 2.3.3, можно показать, что в данной задаче выполняются все предпосылки, необходимые для существования РНМ несмещенного правила совместного обнаружения и различения сигналов. Совокупность преобразований G (см. теорему (2.8)) задается циклическими перестановками величины ж^-, j = 1,. . . , m, по индексу j. Условные отношения правдоподобия при каждой альтернативе Н монотонны относительно статистик
(2.152)(2.152)Uk(x) ^^Жгк-
(2.152)
(2.152)
i = l
Подставляя статистики (2.151) и (2.152) в (2.75) и вычисляя пороговую функцию, находим решающую функцию РНМ несмещенного
алгоритма совместного обнаружения и различения сигналов:
ппт
(О,... , 0), шах 52 xik < С(а) 52 52
(2.153)(2.153)(0,. . . , 0, ф^(х) = 1, 0,. . . , 0), max V Xik k = l,...,m z=l птnп
(2.153)
(2.153)
С (а)^^ Xij;XijXik^
г=1 j = lг=1г=1
k/j, j = l,...,m.
Алгоритм (2.153) обеспечивает стабильную вероятность ложной тревоги при любых изменениях уровня шумового фона и формы его энергетического спектра, не нарушающих постоянства спектральной плотности в пределах установленных поддиапазонов. Вероятность правильного обнаружения сигнала не зависит от его местоположения в поддиапазоне и максимальна для всех отношений сигнал/шум: q2 = = Oc/oJ, где о^ — мощность сигнала, oj — мощность шума, отнесенная к одному элементу разрешения.
2.4. Теория инвариантных алгоритмов обнаружения и различения сигналов
Принцип инвариантности в задачах обнаружения и различения сигналов. Многие задачи обнаружения и различения сигналов обладают симметрией, которую можно использовать для синтеза устойчивых в условиях априорной неопределенности алгоритмов обнаружения и различения. Особенно это оказывается полезным, когда задачу обнаружения и различения сигналов в условиях априорной неопределенности не удается решить методом синтеза РНМ или РНМ несмещенных алгоритмов.
Математическим выражением симметрии является инвариантность относительно подходящей группы преобразований G. Напомним, что под группой G понимается совокупность элементов, удовлетворяющих следующим условиям.
Определена операция группового умножения, которая любым элементам gi,g2 € G ставит в соответствие элемент g3 Е G. называемый произведением элементов gi и g2 и обозначаемый gig2.
Групповое умножение ассоциативно, т. е. gi(g2g3) = (gig2)g3-
Существует единичный элемент е € G такой, что ge = eg = g для всех g 6 G.
Для каждого элемента g 6 G имеется обратный элемент g-1 Е Е G такой, что gg-1 = g-1g = в.
Если элементы g Е G являются преобразованиями пространства X на себя и групповое умножение gig2 определяется как результат
последовательного применения преобразований gi и g2, то G называется группой преобразований. Преобразованный элемент х G X обозначается gx.
Семейство распределений Рх = {w(x | 0); 0 е Е} называется симметричным относительно группы G, если для любого преобразования g Е G найдется такое индуцированное в параметрическое пространство S преобразование g*, при котором g*0 Е Ей
w(gx | g*0)| Jg\ = w(x | 0) для всех хЕХ и 0 E S, (2.154)
где Jg — якобиан преобразования g. Совокупность G* всех индуцированных преобразований g* образует группу, если таковой является совокупность G преобразований в пространстве X [103].
Симметрия семейства Рх относительно группы G означает, что распределения преобразованной выборки также принадлежат семейству Рх. Действительно, вводя новую переменную у = gx, находим, что w(y) = w(g-1y | 0)|Jg|-1. После подстановки х = g-1y в (2.154), получим w(g-1y I 0) = w(y I g*0)|Jg|. Поэтому w(y) = w(y | g*0). Так как у = gx € X и g*0 € E, то w(y) принадлежит семейству Px.
Пример 2.12. Семейство распределений, симметричное относительно ортогональной группы преобразований.
Семейство
Рх = ^Цх | 0) =
=ехр {—^ [(ж1 — а cos Фо)2 + (^2 — a- sin Фо)2] 1* г (2.155)
2ло I 2оJ I
симметрично относительно группы ортогональных преобразований
cos \|/ sin \|/ — sin \|/ cos \|/cos \|/ sin \|/ — sin \|/ cos \|/(2.156)(2.156)
cos \|/ sin \|/ — sin \|/ cos \|/
cos \|/ sin \|/ — sin \|/ cos \|/
(2.156)
(2.156)
V / гх гх \ гх01 COS фо0 = (^,д2) :^ =^;о= G.обнаружения и различенияV / гх гх \ гх01 COS фо0 = (^,д2) :^ =^;о= G.обнаружения и различения
V / гх гх \ гх01 COS фо
0 = (^,д2) :^ =^;
о
= G.
обнаружения и различения
V / гх гх \ гх01 COS фо
0 = (^,д2) :^ =^;
о
= G.
обнаружения и различения
Индуцированная в пространство Е = 1I2 = а 812 ^ f группа преобразований G* Принцип инвариантности в задачах т сигналов основан на представлении априорной неопределенности в
форме воздействия на наблюдаемый процесс (или выборку из этого процесса) некоторого произвольного преобразования g из фиксированной группы преобразований G. При таком представлении априорной
неопределенности предполагается:
симметрия семейства Рх = {w(x | 0);0 € Е} распределений выборок из наблюдаемого процесса относительно группы G;
7 Богданович В.А., Вострецов А.Г.
инвариантность множеств ^о, . . . , ат ^ задающих в параметрическом пространстве гипотезы Hq, . . . , Нт относительно индуцированной группы G* преобразований пространства Е. Множество Е^ г = = 0, . . . , т^ инвариантно относительно группы G*, если g*0 6 Ej при всех 0 е Е^ и любом g* е G*.
Симметричность семейства Рх относительно группы G обеспечивает принадлежность распределения преобразованной выборки gx семейству Рх при всех g Е G. Инвариантность множеств Eq,. .., Em свидетельствует о том, что преобразование выборки х операторами группы G не нарушает сформулированных гипотез. Без выполнения этих двух условий группу G нельзя было бы использовать для представления априорной неопределенности.
Пример 2.13. Представление априорной неопределенности начальной фазы сигнала группой ортогональных преобразований.
Пусть требуется обнаружить сигнал с неизвестной начальной фазой Фо в гауссовом шуме. Амплитуду а и мощность о2 шума примем для простоты известными. Наблюдаемую выборку х = {^1,^2} образуем из отсчетов колебаний на выходах квадратурных каналов приемника в момент окончания сигнала. Плотность распределения вероятностей этой выборки задается выражением (2.155) и характеризуется век- z хa cos Фоa sin ф0
торным параметром 0 = (^1,^2): $1 = 2—5 $2 = 2—, Фо Е
€ [0,2л). Гипотезы об отсутствии и наличии сигнала могут быть сформулированы в следующем виде:
Но : 0 G Во = {© : ^ + й| = 0};
tfi:0GSi = {0:^ + ^ = a2/a4}.°
Возьмем группу G ортогональных преобразований, заданную выражением (2.156). В примере 2.12 было показано, что семейство распределений наблюдаемой выборки симметрично относительно данной группы G, а индуцированная в параметрическое пространство группа преобразований G* = G. Множества Eq и Ei инвариантны относительно группы G*, так как ортогональное преобразование не меняет значений ^1+^2- Тем самым приведенная группа G может быть использована для представления априорной неопределенности начальной фазы сигнала.
Задачи с симметричными семействами распределений вероятностей наблюдаемой выборки Рх и инвариантными множествами Eq , . . . , Em значений параметров этих распределений при гипотезах Hq, . . . , Нт соответственно называются далее симметричными относительно группы преобразований G. Так как в симметричных задачах априорная неопределенность сводится к изменению распределения вероятностей наблюдаемой выборки под действием преобразований индуцированной группы G*, то естественно потребовать от алгоритма проверки гипотез независимости его функции мощности от такого изменения
распределения. В связи с этим выделяются правила с инвариантными относительно группы G* функциями мощности р(ф | 0), т. е. правила, у которых р(ф | g*0) = р(ф | 0) при всех 0 Е S, g* Е G*. Для симметричных задач условие инвариантности функции мощности выполняется, если решающая функция алгоритма обнаружения инвариантна относительно группы G, т. е. ф(gx) = ф(х) при всех х € X и g G G. Это утверждение вытекает из следующей цепочки равенств:
Р(ф I g*®) = | <p(x)w(x I g*®)dx = | <p(gx)w(gx I g*0)| Jg\dx =
XX
= j ф(х)гс(х | ©)dx = р(ф | 0). x
Обратное, вообще говоря, неверно, и класс алгоритмов с инвариантной относительно индуцированной группы преобразований G* функцией мощности шире, чем класс инвариантных алгоритмов. Однако регулярные методы синтеза РНМ алгоритмов разработаны лишь для случая, когда поиск ведется в классе инвариантных алгоритмов. И лишь в том случае, когда семейство распределений наблюдаемой выборки обладает полными достаточными статистиками, РНМ инвариантный алгоритм совпадает с РНМ алгоритмом с инвариантной функцией мощности [103]. Поэтому при использовании принципа инвариантности из класса всех возможных алгоритмов обнаружения сигналов выделяется класс инвариантных алгоритмов, имеющих инвариантные относительно группы преобразований G решающие функции, и в этом классе отыскивается оптимальный алгоритм. Это обеспечивает, с одной стороны, устойчивость полученного алгоритма в условиях априорной неопределенности и, с другой стороны, создает во многих случаях предпосылки для отыскания РНМ алгоритма в этом классе.
2.4.2. Синтез РНМ инвариантных алгоритмов обнаружения сигналов. В теории синтеза РНМ инвариантных алгоритмов обнаружения сигналов большую роль играют специальные статистики — максимадъ- ные инварианты (МИ). Максимальным инвариантом группы G называется такая статистика Z(x), для которой выполняются следующие условия:
Z(gx) = Z(x), при всех х Е X, g 6 G;
из равенства Z(x') = Z(x") следует х" = gx' (2.158) для некоторого g Е G.
В примере 2.13 максимальным инвариантом относительно группы ортогональных преобразований G является статистика Z(x) = ж^ + + ^2 (в этом можно убедиться непосредственной проверкой выполнения условий (2.158)).
Отметим, что МИ — не единственная статистика, удовлетворяющая условиям (2.158). Действительно, при любой взаимно-однозначной функции /(•) статистика /[Z(x)] также удовлетворяет условиям (2.158).
Статистика МИ обладает тем важным свойством, что она принимает, в отличие от просто инвариантных статистик, разные значения на различных траекториях группы G (под траекторией понимается совокупность всех точек х 6 X, связанных друг с другом преобразованиями g € G). Таким образом, МИ обеспечивает наибольшую редукцию наблюдаемых данных и может быть использован для представления любой инвариантной статистики. Особая роль МИ при синтезе инвариантных алгоритмов обнаружения сигналов определяется следующей теоремой, доказательство которой приведено в работе [103].
Теорема 2.11. Алгоритм обнаружения сигнала будет инвариантным тогда и только тогда, когда его решающая функция ф(х) будет зависеть от х только через максимальный инвариант Z(x), т. е. когда существует такая функция у( • ), что ф(х) = v[^(x)]-
Принцип инвариантности, редуцируя наблюдаемые данные до МИ, сокращает также и параметрическое пространство Е. Математическое выражение этого дается следующей теоремой, доказательство которой также приведено в работе [103]:
Теорема 2.12. Если статистика Z(x) инвариантна относительно группы преобразований G, и если у(0) является максимальным инвариантом относительно индуцированной в параметрическое пространство группы преобразований G*, то распределение вероятностей статистики Z(x) зависит только оту(0).
Из этой теоремы следует, что параметром семейства распределений вероятностей Pz является у(0), и что функция мощности инвариантного алгоритма зависит от 0 только через у(0), т. е. p[q)(Z(x) | 0] = = p[q)(Z(x) | у(0)]. Это еще раз подтверждает независимость функции мощности инвариантного алгоритма от изменения параметра 0 под действием преобразований группы G.
В соответствии с вышеизложенным сформулируем методику синтеза РНМ инвариантного алгоритма обнаружения сигналов, которая состоит в следующем.
Задача обнаружения сигналов формулируется как задача проверки статистических гипотез относительно параметра 0 семейства распределений Рх наблюдаемой выборки х.
Подбирается подходящая группа преобразований G выборочного пространства X (либо индуцированная в параметрическое пространство группа G*), отражающая априорную неопределенность в исходных данных.
Проверяется симметрия задачи обнаружения и семейства распределений вероятностей наблюдаемой выборки относительно подо-
бранной группы преобразований, находится индуцированная в параметрическое (выборочное) пространство группа G*(G).
Отыскиваются максимальные инварианты Z(x), у(О) групп G и G* и находится семейство распределений Pz = {w(Z | у)}.
Проверяемые гипотезы переформулируются относительно параметра у семейства Pz и в новой формулировке имеют вид Но : у 6 Го; //"1 : У Е Г1, где Го и Г1 — соответственно образы множеств Eq и Ei при отображении у(0).
Отыскивается РНМ алгоритм проверки вновь сформулированных гипотез, для чего используются методики подраздела 2.2.
Принцип инвариантности приводит к построению РНМ инвариантного алгоритма, если семейство Pz обладает монотонным относительно некоторой статистики U(Z) отношением правдоподобия. Это условие обычно выполняется, когда МИ у(0) одномерен. В тех случаях, когда Го = {у : у = угр} и Гх = {у : у > угр}, где угр — граничное значение параметра, решающая функция РНМ инвариантного алгоритма обнаружения примет вид
(2.159)(2.159)1,U^ > С(а);
(2.159)
(2.159)
0,U^ < ОД,
где постоянный порог С(ос) определяется заданным уровнем ос вероятности ложной тревоги (порог находится из условия р(ф | у = угр) = ос).
В примере 2.13, у(0) = Ф? + $2? семейство распределений МИ группы G обладает монотонным относительно статистики U^Z) = = Z отношением правдоподобия, и РНМ инвариантный алгоритм обнаружения имеет вид
1, ж^ + ^2 > С (а);
0, ж^ + ^2 < С(а).
При построении РНМ инвариантных алгоритмов обнаружения сигналов наиболее ограничительным оказывается требование монотонности отношения правдоподобия семейства Pz. Это требование обычно выполняется в тех случаях, когда МИ одномерен, а исходное семейство распределений вероятностей Рх экспоненциально. При многомерном МИ требование монотонности отношения правдоподобия чаще всего не выполняется, и РНМ инвариантный алгоритм не существует. Тем не менее, и в этом случае принцип инвариантности оказывается полезным: он может быть использован в сочетании с принципом несмещенности или с байесовским подходом. Эти вопросы обсуждаются ниже в подразделах 2.5 и 2.6. Максиминный подход к решению задачи обнаружения сигналов с векторным параметром, предложенный В.Н. Прокофьевым [62], обсуждается в примере 2.26.
.4.3. Синтез равномерно наиболее мощных инвариантных алгоритмов совместного обнаружения и различения сигналов. Теория инвариантности допускает обобщение на многоальтернативный случай, если качество алгоритмов оценивать полной вероятностью правильного обнаружения и оптимальными (РНМ) считать инвариантные алгоритмы, удовлетворяющие критерию оптимальности, сформулированному в п. 2.1. Аналогично тому, как это было сделано в п. 2.3.3 при построении РНМ несмещенных алгоритмов совместного обнаружения и различения сигналов, можно показать, что для существования РНМ инвариантного алгоритма совместного обнаружения и различения сигналов требуется, чтобы:
гипотеза //о, сформулированная через параметры семейства Pz распределений МИ, была простой;
семейства Pz распределений МИ при каждой альтернативе Н^^к = 1,...,т, обладали монотонными относительно некоторых статистик Uk^Z) отношениями правдоподобия, и нормирующие множители распределений были одинаковыми при всех альтернативах;
существовала такая совокупность преобразований МИ, Gz = = {gz7 г = 1, . . . , m}, взаимно-однозначных преобразований пространства значений максимального инварианта Z —> Z, что
для любых gz7gz 6 Gz произведение gzgz 6 Gz;
w0(gzz | E g n0)|Jgf| = wq(Z | E G fio) ПРИ всех Z G Z; S G Юо; г = 1,. . . , m;
w^gfz I s e na |^| = Wi(Z | E G fli) при всех Z G Z; 5 G fi*; г = 1,. . . , m.
При этом решающая функция РНМ алгоритма совместного обнаружения и различения сигналов примет вид
ф(х) = ф[Щх)] =
{
(0,...,0), ^ max U k\_Z (х)\ < С (а);
(0,. . . , 0, (p^^[Z(x)] = 1, 0, . . . , 0),^ шах [Z(x)] > С (ос);
Ui(x) ^ [//.(х), к / г, г = 1,. . . , т,
(2.160)
где постоянный порог С (ос) определяется заданным уровнем вероятности ложной тревоги ос из уравнения
£ j</’)(Z)w0(Z)dZ = «.(2.161)
7=1 X
2.4.4. Построение максимальных инвариантов. Ключевым моментом при использовании принципа инвариантности является построение МИ. Часто инвариантную статистику находят интуитивно, а затем,
используя соотношения (2.158), проверяют, является ли она максимальным инвариантом. Однако, такой способ пригоден далеко не для всех групп преобразований, поэтому большой интерес представляют регулярные способы построения МИ. Разработанные к настоящему времени регулярные методы построения МИ, к сожалению, не позволяют решить эту задачу для групп преобразований общего вида. Кроме того, они трудоемки в использовании. Тем не менее, в большом числе практических случаев их применение дает положительный результат.
Впервые регулярный метод построения МИ был предложен в работе [49]. Он основан на максимизации функционала px(g), определенного на группе G и зависящего от наблюдаемой выборки х. Если при каждом х е X функционал px(g) имеет единственный максимум, достигаемый при gx, то МИ группы G Z(x) = gxx. Данный способ требует подбора функционала px(g) с единственным максимумом на группе G.
Авторами разработан ряд регулярных способов построения МИ [5,
33]. Приведем наиболее универсальные из них.
Первый способ [8] пригоден для случая, когда группа преобразований G = {g : х —> gx Е X; х Е X} является коммутативной, и ее можно дополнить до транзитивной группы D = ^d : d = Xg; X Е A; g 6 G}, где Л — дополняющая группа преобразований пространства X. Сущность этого способа отражает следующая теорема.
Теорема 2.13. Если группа преобразований G является коммутативной и существует такая коммутативная группа Л, что
a) Xg = gX при всех g Е G иХ Е Л;
5) пересечение G П Л = е, е — единичное преобразование;
в) совокупность D = ^d:d = Xg;X Е X;g Е G} транзитивна в X, то для любых х,х0 Е X найдутся единственные преобразования Хх Е Е XugxEG,при которых Xxgxx = х0; функция Z(x) =gxx является МИ группы G.
Доказательство. При коммутативности групп G, Л и выполнении условия а) совокупность D коммутативна, так как d^d^ = = Mgl^2g2 = ^2g2Mgl = d^dy.
Покажем, что два произвольных элемента х', у 6 X преобразуются один в другой единственным преобразованием d Е D. Допустим, что это не так. Тогда у = d^x' и у = d^x' при ds / di. Отсюда имеем х' = d^d^x' (—1 — знак обратного преобразования). Подействуем на это равенство произвольным преобразованием d Е D. Тогда с учетом коммутативности D получим dx' = ^d^1 d^dx'. Так как D транзитивна в X, то из последнего равенства, в силу произвольности d Е D, имеем х = (d^Tds)x при всех х Е X. Поэтому d^ds = е, или ds = d^.
Найдем операторы g Е G и X Е Л, при которых выполняется равенство Xxgxx = xq; х, xq 6 X. Так как совокупность D транзитивна в X, и любые два элемента из X преобразуются друг в друга только одним преобразованием из D, то найдется такое единственное преобразование d^ Е D, что xq = d^x. Представим преобразование d^
в виде произведения Xxgx, где Хх 6 Л, gx 6 G. Очевидно, что при л = = Хх, g = gx имеем Xgx = х0.
Допустим, что для преобразования dx возможны два различных представления, Xxgx и цх6х, Хх 6 Л; цх 6 Л; gx 6 G; bx Е Е G. Тогда, в силу единственности преобразования dx. имеем Xxgx = = рхЬх. Подействуем на это равенство справа преобразованием 6”1, в результате получим цх = Xxgxb~T. Так как gxbxT Е G и пересечение G П Л = е, то равенство цх = Xxgxb~T возможно только при gxb~T = = в. Таким образом, gx = bx и Хх = цх, т. е. равенство Xxgxx = х() выполняется при единственных операторах Хх Е Л и gx Е G.
Для завершения доказательства осталось показать, что Z(x) = gxx является МИ группы G. Возьмем произвольное преобразование а Е G и рассмотрим Z(ax) = gax(ix и Z(x) = gxx. Так как равенство Xgx = = хо выполняется при единственных преобразованиях из G и Л, то gx = gaxa- Отсюда имеем Z(ax) = Z(x), при всех а Е G, х Е X, т.е. функция Z(x) инвариантна относительно группы G. С другой стороны, при Z^xM^ = Z(xf) получаем gx"Xu = gx/x', или х" = gx"„1gx/x/, где g”//1gx' 6 G. Итак, функция Z(x) = gxx — МИ группы G. □
Способы, предложенные в [33], пригодны для построения МИ для более широкого класса групп преобразований и формулируются следующими теоремами.
Теорема 2.14. Пусть Хп некоторое п-мерное пространство, представимое в виде прямого произведения пространств меньшей размерности, Хп = Х™^Х^1т, где т < п и (п — т) — размерности пространств Хт^ и Х^22т; группа G преобразований пространства Хп индуцирует группу G^ преобразований пространства Х^; 8^(г G Е D) — т-мерные инвариантные относительно G^ области пространства Хт\ в которых группа G^ транзитивна, т. е. при любых g(!) ^ G^\ х^1) Е Sr1 \ g^x^1) Е S^ и для любых х^, х^ Е S^ найдется преобразование g^1^ Е G^\ при котором х^ = g^^x^, г — “номер” области S^, D — множество всех возможных номеров г, мощность множества D равна числу областей S^\ на которые разбито пространство Х^, может быть конечнойD счетной или равной мощности континуума (в соответствии с этим в качестве r используются либо целыелибо действительные числа)^
Тогда, если равенства
(2.162)(2.162)„WXW - х(!)x(i)х(!) е e(i)
(2.162)
(2.162)
бхг х — x0r ’ х > x0r fc °r
для каждого г Е D выполняются, при единственном преобразовании gxT Е G индуцирующем gx) Е G^\ то
Z(x) = gxX = {gXrx, х = (х(1\х(2));х(1) Е S^x^ Е X^lm,r Е О} (2.163) является МИ группы G.
Доказательство. Отметим, что инвариантность множеств S^ (г 6 D) относительно группы G^1) и транзитивность группы G^1) в Sp1^ означает, что S^ A S^ = 0 при ri / т^. Так как при этом Us^ = х^, то функция Z(x), задаваемая выражением (2.163), определена при всех х 6 Xn = Х^Х^_т. Покажем, что функция Z(x) инвариантна относительно группы G. Для этого возьмем произвольное преобразование а Е G, индуцирующее преобразование а^1) 6 G^\ и рассмотрим Z(ax) = gaxax и Z(x) = gxx. Пусть для определенности X = (х^\х^), е S^ G Х„, х<2> € X^2m.
Поскольку по условию теоремы индуцированная группа G^1) транзитивна в Sp1), то найдутся преобразования gXr и gaXr индуцирующие (1) (1)Т Т
gxT и gaxTl такие, что выполняются равенства
g^x(1) = Х^; gWa(1)x(1) = х^; xW,^ е 8^.(2.164)
Учитывая, что gaxra Е G, gaxrci^ Е G^ и что по условию теоремы равенства (2.164) выполняются при единственном gXr 6 G, получаем gaxr = gx,^ при каждом г Е D, и Z(ax) = ^(х), т.е. функция Z(x) инвариантна.
С другой стороны, при Z(xi) = Z(x2), из (2.163) получаем gX1xi = = gX2x2 или Xi = gXi1gX2x2, где gX11gx2 Е G, т.е. функция Z(x), определяемая соотношением (2.163), — МИ группы G.□
Теорема 2.15. Пусть G — группа преобразований пространства Xn; SP (г Е D) — п-мерные инвариантные относительно группы G области пространства Хп, в которых группа G транзитивна, r — «номер» области Sr, D — множество (конечное, счетное или с мощностью^ равной мощности континуума) всех возможных номеров г, U Sr = Хп. Тогда
Z(x) = gxX = {gXrx; X Е Sp*. г Е D^(2.165)
в которой gXr (т Е D) определяются из равенств
gxTx = хОг; х,хОг Е Sp Е Хп,(2.166)
является МИ группы G.
Доказательство. Инвариантность множеств Sr^ г Е D относительно группы G и транзитивность группы G в Sr означают, что 8Г1 П ST^ = 0 при ri ^ г2. Так как при этом |J ST = Хп, то
задаваемая выражением (2.165) функция Z(x) определена при всех х Е Хп. Покажем, что Z(x) инвариантна относительно группы G. Для этого возьмем произвольное преобразование а Е G и рассмотрим Z(ax) = gaxax и Z(x) = gxx. Пусть для определенности х Е Sr, тогда ax Е ST. В силу транзитивности группы G в Sr найдутся gaXr и gXr, обеспечивающие выполнение равенств gaXrax = хог и gXrx = хог, х, Хог 6 ST. Отсюда gXrx = gaXrax, и функция Z(x) инвариантна.
С другой стороны, при Я(х1) = Z(x2), из (2.165) следует, что gX1Xi = gx2x2, т. е. Xi = gx11gx2x2, где g~^gx2 € G. Таким образом, функция Z(x), задаваемая выражением (2.165), — МИ группы G. □
Теорема 2.16. Пусть пространство Хп, представляет собой прямое произведение т пространств меньшей размерности, т. е. тт
хп =ПЕ Hi= п (]Д — обозначение прямого произведения),
г=!г=1
группа преобразований G пространства Хп представляет собой прямое произведение т групп преобразований G^ пространств Х^, т. е.
G = П G^h Тогда, если Z^x^) — МИ группы G^, г = 1,. . . ,т, то г=1
/Дх) = П ^г(х^) — МИ группы G.
г=1
тz.x
Доказательство. Пусть х = ]Д х^г\ х Е Хп, х(г) Е Х^. г=1
Возьмем произвольный оператор g Е G и рассмотрим Z(gx) и Z^x\ По условию теоремы g = ]Д g^, отсюда gx = ]Д g^x^ г=1г=1
и Z(gx) = ]Д Zi(g^x^). Поскольку Z^(x^) — МИ группы G^, то г=1
х^^ - мх^) и Z^gx) = Z^x\ т. е. функция Z(x) инвариантна относительно группы G.
С другой стороны, при Z(xi) = Z(x2) имеем ]Д Zi(x^ ) = г=1
= ]Д Z^x^), отсюда Zi(x^) = Z^x^), г = 1, . . . ,т. По условию г=1
теоремы Z^x^^ — МИ группы G^\ поэтому х^ = g^x^\ при некотором g^ 6 G^, г = 1,. . . ,т. Таким образом, Xi = gx2, где т , .хт , .хт
Х1 = П Х1 е х»; х2 = П х2 е х»; g = П 8^ е G Отсюда Z(x) — г=1г=1г=1
МИ группы G.□
Теорема 2.14 дает эффективный способ нахождения МИ для случая, когда размерность вектора параметров, определяющих группу G, и, соответственно, размерности инвариантных областей Sr^, в которых индуцированная группа G^1) транзитивна, меньше размерности
пространства Хп. Теорема 2.15 позволяет находить максимальный инвариант для случая, когда размерности инвариантных областей ST1 в которых группа G транзитивна, совпадает с размерностью пространства Хп, при этом размерность вектора параметров, определяющих группу G, может превосходить размерность пространства Хп. Теорема 2.16 показывает, что в тех случаях, когда группу G можно представить в виде прямого произведения групп меньшей размерности, для нахождения МИ группы G достаточно найти МИ групп-сомножителей.
Рассмотрим теперь случай, когда группа преобразований G порождена двумя подгруппами D и Е в том смысле, что она является наименьшей группой, содержащей D и Е. Элементы группы G представляют собой произведения соответствующих элементов подгрупп D и Е, т. е. г-й элемент группы G gi = diCi, где di 6 D, ei Е Е. Следующая теорема [103] показывает, что в этом случае синтез МИ можно провести поэтапно, последовательно находя МИ относительно групп D и Е.
Теорема 2.17. Пусть G — группа преобразований, порожденная подгруппами D и Е, у = s(x) — МИ группы D и для каждого е 6 Е выполняется условие
s(xi) = s(x2) влечет s(exi) = s(ex2).
Если Z = Ду) является максимальным инвариантом группы Е*, состоящей из элементов е* таких, что е*у = s(ex), когда у = s(x), то Z = A[s(x)] — МИ относительно группы G.
Доказательство теоремы 2.17 приведено в работе [103].
Ниже приведены примеры нахождения МИ с помощью предложенных способов. Во всех примерах приняты следующие обозначения: Rn — n-мерное действительное евклидово пространство; Сп — п- мерное комплексное евклидово пространство; diag(Xi, . . . ,ХП) — диагональная матрица с элементами М, . . . , Хп по диагонали.
Пример 2.14.
Хп — ^пч Ст — ^*^г^ ^г kCi^ Z — 1, . . . , П}, С — "{^1? • • • ч ^п^"
Е Rn — произвольный фиксированный вектор, у которого щ ^ 0; |&| < < ос.
Для решения этого примера применим теорему 2.13, положив Л = = {я?1 —> Ж1, Xi —У Xi — Xi, |Xj | < ос, г = 2,. . . , n}, xq = {жоь 0,. . . , 0}. DfXoi)ci .1
В результате получим Z(x) = < жОь жг — -'—ч ^ = 2, . . . , n >.
IClJ
Учитывая, что Z(x) взаимно однозначно выражается через U(x) = = {а^ — ^*—^ох)сг ^ _ 2, . . . , п|, то U(х) — также МИ группы G.
Пример 2.15.
Хп = Яп\{х : Xi = 0, г = 1, . . . , n}; G = {diag(Zc, А:2, . . . , А:2), к > 0}.
Применим теорему 2.13, положив
Л = {diag(Xi,. . ., Xn), Xi = ±1, Х^ + 0, г = 2,. . . , п},Xq — {ж01, • • • 7 ^Оп},Г2
Z(х) = < sign ж01 sign Ж17 жг~^, г = 2,. . . , п
U(х) = {sign Ж1,, г = 2, . . . , гД .
При Xn = {х : $i > 0, г = 1, . . . , п} Л = / — единичная матрица, U(х) = ^Xijx^ г = 2, . . . , п}.
Пример 2.16.
Xn = {х : Xi > 0, г = 1, . . . , n}\{x : Xi = 1, г = 1, . . . п};
G = {xi —> х^ к / 0, г = 1,. . . , п}.
Применим теорему 2.13, положив
Л = {Ж1 —У Ж1, Xi —Ух^Дг / 0, г = 2,. . . , п},Х0 = {жог, ^ = 1, • • • 7 ^};
х ГА1пяЛ1
х) = < жОь ехР in ж01; , г = 2, . . . , п > , I\1ПЖ1/J
Пример 2.17.
X = L2 — гильбертово пространство вещественных функций, интегрируемых с квадратом на отрезке [а, 6],
G = ^ж(<) Х^ - ^gWikt-Y Фг(^) € ^2, (фйф*) = 6ik, |gi| < ОО, i=1
г, к = 1, . . . , т >, ь
где Ьц^ — символ Кронекера, (ф^Ф/е) = | Фг(^)ф/е(^)^^ — скалярное
произведение в L2.
Применим теорему 2.13, положив
Л = ^x(t) —У x(t) — X(t), k(t) Е L\ (фг, X) = 0, г = 1, . . . ,х0 = ж0(^);
ZYx^ = Х^ - 52 (ж, ф^ ^i(t) + 52 (Ж07 Фг) ФгГО,г=1г=1
t/[®(t)] = ж(о - 52 (ж, ф^ фД^)-г=1
Пример 2.18.
Хп = Яп\{х : Xм = 0, г = 1,..., п};
G = {diag(&i,. . . , кп\ кг > 0, г = 1,. . . п}.
В данном примере
Х” = П Х^ ’ Х^ = ^Ш^ = о}, г = 1,..., п; г=1
G = Р[ G^\ G^ = {kt, kt > 0}, г = 1,..., n. г=1
По теореме 2.16 МИ группы G Z(x) = П Z^x^\ где Z^x^^ — г=1
МИ группы G^\ г = 1,...,п. Пространство Х^ разобьем на две области: S^ = {ж^г^ : х^ > 0} и S^ = {ж^г^ : х^ < 0}.
Нетрудно убедиться, что эти области инвариантны относительно группы G^\ S^ U S^ = Х^ и группа G^ транзитивна в S^ и S^ (г = 1,. . . , п). Поэтому выполняются условия теоремы 2.15 и условие
[ gi2Е 8^ ,
где g^ = Хд^/х^; хм, х^ > 0; g^ = х^/х^; xw, х^ < 0.
Приняв Хд^ = |жо^|> ж02 = — |жо^Ь жо е Xjl\ получим gx^ = = gx^ = |жог)I / |ж(г)I; Z^X^ = |жог)| х^/ |ж(г)| = |®^| signa:^); Хд \ Х^ € Xj’\
Окончательно имеем МИ группы G:
Z(x) = {|жо^| signa?^; х^ \ х^ Е Х^; г = 1, . . . , п} ,U(х) = {sign х^, г = 1,. . . , п}.
Этот же результат можно получить на основе применения теоремы 2.13, приняв
Л = {diag(Xi, . . . , Хп), кг = ±1, г = 1,. . . , п},
х0 = {жог),г = 1, • • • , п}.
Пример 2.19.
х„ = яп\{х : Xм = 0, г = 1,..., п},
G = {diag(&i,. . . , кпу кг = ±1, г = 1,. . . , п}.
В данном примере, как и в предыдущем,
Х" = Г№ Х^ = НД^ =0}, г = 1,..., п; г=1
С = ПС(<), G(<) ={^,^ = ±1}, г = 1,...,п; г=1
Z(x) = П Z^x^, Zt(x^) - МИ группы G^. г=1
Пространство Х^ разобьем на области
8^ = ^х^ : |ж^^| = г}, т Е (0, ос).
Очевидно, что |J Sr^ = Х^, и группа G^ транзитивна в 8тг\ области 8^ инвариантны относительно группы G^\ поэтому по теореме 2.15
Zi(x^) = {g^x^\ х^ Е 8^г\т Е (0, ос)}, где g^ = х^/х^.
Так как х^^ х^ Е 8тЪ\ то |ж^| = |ж^^| и gx^ = signal signa?^. Примем в качестве х^ числа с одинаковыми знаками, т. е. signa^ = = signa^, х^ Е Х^\ при всех г Е (0,оо). Тогда функция gx) = = sign х^ sign х^ не зависит от г, и МИ Z(x) = П |а?(г) | sign х^ = г=1
= {|ж^^ | signх^\ . . . , |ж^п^| sign х^^ U(x) = {|ж^^| ,. . . , |ж^п^|}. Такой же результат дает теорема 2.13 при Л = {diag(Xi,. . . ,ХП),Х^ > > 0, г = 1, . . . , п}, х0 = ^Xq \ г = 1,. . . , п}.
Пример 2.20.
Xn = Rn\^ : Xi = xj; г ^ j^ij = 1, . . . , n},
G = {g = (a, b) : Xi —У axi + 6; a ^ 0, b E (—ос, ос); г = 1, . . . , n}.
При решении данного примера воспользуемся теоремой 2.14. Здесь размерность вектора параметров, определяющих группу G, равна 2. Поэтому представим пространство Хп в виде прямого произведения Х„ = Х^ х Х^2]2, п > 2.
Нетрудно убедиться, что индуцированная группа G^1) = {g^1) = = (a, b) : Xi —У axi + 6; a ^ 0,6 6 (—ос, oo); г = 1, 2}, пространство X^ инвариантно относительно индуцированной группы G^\ и группа G^1) транзитивна в Х^ .
Равенство gP^1) = хр\ х^1) = (ж1,ж2), хр) = (ж017ж02) Е Хр\
(1)/ Ж02 - Ж01Ж2Ж01-Ж02Ж1\
однозначно определяет gx = (,) и, таким
\ Ж2 X1Ж2 X1/
образом, gx = gP2 Следовательно, условия теоремы 2.14 выполнены, и МИ группы G^^
Z(x) = gxX = Жоь Ж02,Z(x) = gxX = Жоь Ж02,Жр2(Жг - Ж1) - ЖрДЖг - Ж2)Ж2 - Х1Жр2(Жг - Ж1) - ЖрДЖг - Ж2)Ж2 - Х1г = 3,. . . ^пг = 3,. . . ^п
Z(x) = gxX = Жоь Ж02,
Z(x) = gxX = Жоь Ж02,
Жр2(Жг - Ж1) - ЖрДЖг - Ж2)
Ж2 - Х1
Жр2(Жг - Ж1) - ЖрДЖг - Ж2)
Ж2 - Х1
г = 3,. . . ^п
г = 3,. . . ^п
Окончательно, при Ж01 = О, Ж02 = 1, U(х) = < ———, г = 3, . . . , п [, I Ж2 Ж1J
так как Z(x) взаимно однозначно выражается через U(x). Такой же результат получен в [103] с помощью теоремы 2.17 путем разбиения группы G на две подгруппы (подгруппу сдвигов D = {ж^ -Э ж^ + 6, - —оо < b < ос, г = 1, . . . , ш} и подгруппу умножения на скалярный множитель Е = {ж^ —У ах^а 7^ 0, г = 1,...,п}) и отыскания соответствующих МИ. Применение теоремы 2.13 здесь невозможно, так как группа G не является коммутативной.
Пример 2.21.
Хп — Яп\{х : ж г — Xj; z 7^ J 7 ^7 3 — С • • • 7 ^} 7
G = {g = (а, 6) : Xi = axi + 6; а > 0; b 6 ( —оо, оо); г = 1, . . . , п}.
Данная группа представляет собой группу масштабных преобразований и сдвигов, наиболее характерную для задач обнаружения сигналов. Как и в предыдущем примере, здесь Хп = Х^ х Хр22, п > > 2; G^ = {g^1) = (а, 6) : х^ axi + 6; а > 0; b 6 (—оо, оо); г = 1, 2}. Пространство Х^ разобьем на два множества: Sp) = {х^1) : ж2 > > Ж1}, S^ = {х^1) : ж2 < Ж1}; Sp) U S^ = Хр\ Нетрудно убедиться, что Sp) и Sp) инвариантны относительно группы G^\ и группа G^1) транзитивна в 8^ (г = 1,2). Равенства (2.162) однозначно определяют
(1)/ Ж02 - Ж01Ж02 - Ж01\(1)
gx/ = I , Ж01Ж1 , Ж2 > Ж1,Ж02 > Ж01 И g// =
\ Ж2 — Ж1Ж2 — Ж1 /
/ Ж()2 — Ж01Ж02 — Ж01\
— I? ^01^1 ) 7 ^2 *^ ^17 ^02 *^ ^01*
\ Ж2 — Ж1Ж2 — Ж1 /
Приняв ж01 = О, ж02 - ж01 = 1, при ж02 > ^01, И ж02 - Ж01 = -1, /(1) (1)
при Xq2 < X01, получим, что выражения для gxT и gx2 не зависят от г и равны
g^n = (|1, | ~Ж1 ,) , Ж! , Ж2 € х<1}.
Преобразование gP^ индуцируется единственным преобразованием
gx = gPP поэтому условия теоремы 2.14 выполнены, и МИ группы G
Z(x) = {О,Z(x) = {О,Ж2 - Ж1 Xi - Х1 . о Г 7 1Г 7 г = 3,. . . , п
Z(x) = {О,
Z(x) = {О,
ж2 - Ж1 ж2 - Ж1
или U(х) = {sign(ж2 — Ж1), (ж^ — Ж1)/|ж2 — жД, г = 3,. . . , п^ так как Z(x) взаимно однозначно выражается через U(x).
Пример 2.22.
Х„ = С„\{х : |х| = 0}, G = Q, где Q — произвольная унитарная матрица.
Пространство Хп, разобьем на области Sr = {х : |х| = г, г 6 е (о, ос)}.
Очевидно, что |J Sr = Хп, области ST1 инвариантны относительно
группы G, и группа G транзитивна в Sr, т. е. условия теоремы 2.15 выполнены, и МИ группы G Z(x) = {gXrx,x 6 Sr,r Е (0,оо)}, где gxr = Qr находится из равенства Qrx = xOr;x,xOr Е S^ xOr = = г diag(eJ(^01, . . . , е7'ф0п)Ь, b — вектор с единичными координатами; Ф01,. . • , фон — фазы компонент вектора хОг. Поскольку Qr, — унитарная матрица, то можно записать: фг1 = фот, • • • , Фт = Фоп? и МИ группы G Z(x) = |х| diag(eJ(^01,. . . , e-^^b, или, окончательно, U(х) = |х|, так как Z(x) взаимно однозначно выражается через СДх).
Пример 2.23.
Хз = {х : — ос < Ж1,Ж2 < ос; жз > 0}, G — группа линейных преобразований, задаваемых матрицами
f ц cos \|/ psin\|/ 0 ^
ц 6 (0, ос); \|/ 6 [0, 2л).ц 6 (0, ос); \|/ 6 [0, 2л).g —— |л sin \ц ц cos \|/07
ц 6 (0, ос); \|/ 6 [0, 2л).
ц 6 (0, ос); \|/ 6 [0, 2л).
\ о о ц2/
Группа G описывает априорную неопределенность сигнала с неизвестной начальной фазой, наблюдаемого на фоне шума с неизвестной дисперсией.
Для решения задачи воспользуемся теоремой 2.17, для чего группу G представим в виде двух подгрупп D и Е, задаваемых соответственно матрицами
d =d =^ COS \|/— sin \|/^ COS \|/— sin \|/\ о\ оsin \|/ 0^cos \|/ 0 701/sin \|/ 0^cos \|/ 0 701/v е [о, 2л),v е [о, 2л),
d =
d =
^ COS \|/
— sin \|/
^ COS \|/
— sin \|/
\ о
\ о
sin \|/ 0^
cos \|/ 0 7
01/
sin \|/ 0^
cos \|/ 0 7
01/
v е [о, 2л),
v е [о, 2л),
и
е = diag{p, ц, ц2},цЕ(0,оо).
Поскольку Х3 = Х^ х Х<2), Х^ = {Ж1,ж2}; Х<2) = {ж3}, D = DW х D<2), DW = Дм : dW = f COSV sinv)}, D<2) = (\— siny cosy/ J
= {жз -Л жз}, то согласно теореме 2.16, максимальный инвариант S(x)
группы D представляет собой прямое произведение максимальных инвариантов групп D^1) и D^2\ Первый из них представляет собой статистику ж2 + ж^, второй, в силу тождественности преобразования D<2) — величину Ж3. Таким образом, S(x) = {ж2 + ж^жз}. Нетрудно убедиться, что из условия S(xi) = S(x2) следует S(exi) = S^ex^) для каждого е Е Е. Кроме того, максимальным инвариантом группы масштабных преобразований Е* = {е* : е* = diag(p2,p2)} пространства Y = {у : 0 < уг.у^ < ос} является Z(y) = t(y) = yi/y^ (в этом можно убедиться, например, непосредственной проверкой соотношений (2.158)), причем группа Е* состоит из таких элементов е*, что е*у = s(ex) при у = S(ex). Следовательно, условия теоремы 2 .2
2.17 выполнены, и МИ группы G Z(x) = t[S(x)] = ———.
Примеры синтеза инвариантных алгоритмов обнаружения и различения сигналов.
Пример 2.24. Обнаружение сигнала с неизвестной начальной фазой на фоне белого гауссова шума с неизвестной моздностъю.
Рассмотрим задачу обнаружения сигнала Ums(t, фо) с произвольной начальной фазой фо на фоне гауссова шума r|(t) на выходе линейного тракта приемника с П-образной амплитудно-частотной характеристикой и полосой пропускания А/. Здесь Um — амплитуда сигнала, s(t, фо) — нормированная по амплитуде известная (при фиксированном значении фо) функция времени, задающая форму сигнала. Шум r|(t) в пределах полосы пропускания приемника имеет постоянную спектральную плотность мощности No. Априорно неопределенными являются амплитуда сигнала Um^ его начальная фаза фо и спектральная плотность мощности шума No. В качестве наблюдаемой выборки примем вектор х = {ж1, . . . , жп}, составленный из отсчетов ж^ комплексной огибающей ж(£) наблюдаемого на выходе линейного тракта приемника процесса в моменты времени гт, где т = 1/А/ — интервал дискретизации. Плотность распределения вероятностей вектора х при наличии сигнала имеет вид
Wi(x I ит,ч>0, No) =
=(2-167)
где s = {si,...,sn} — вектор отсчетов комплексной огибающей нормированного сигнала $(£,фо) при фо = 0, ||х|| = , / У^ |^i|2 — норма у г=1 в комплексном евклидовом пространстве.
Преобразуем (2.167) к виду, удобному для синтеза алгоритма обнаружения, получим
8 Богданович В.А., Вострецов А.Г.
Wi(x I Е) =
= (—^-) ехр(^^|ехр{д1Т1(х)+д2Т2(х)+д3Тз(^
\ Л11з /[4t>3 J
(2.168)
где Е = {д1,^2,дз} — вектор параметров распределения (2.168), ill = итсо8^^0М\ d2 = [/msin9o/(2^A/), О, = -l/RA/), Ti(x) = Re(x,s), T2(x) = Im(x,s), T3(x) = ||x||2, (x, s) = ^ «,«• — Z=1 скалярное произведение в комплексном евклидовом пространстве, * — знак комплексного сопряжения.
Задача обнаружения сигнала может быть сформулирована как
задача проверки сложных гипотез относительно параметров распределения вероятностей (2.168):
Но : Е € По = {Е : ^ + 0^ = 0; -оо < П3 < 0};, х
(2.169)
Hi : Е е П1 = {Е : 0 < И2 + $2 < оо; -оо < П3 < 0}.'
Для решения этой задачи не удается воспользоваться принципом несмещенности, так как полезный параметр {ill, П2 } является векторным. Поэтому применим принцип инвариантности.
Вначале подберем группу преобразований, описывающую априорную неопределенность в исходных данных, а затем убедимся, что задача и семейство распределений наблюдаемой выборки симметричны относительно этой группы. Неопределенность начальной фазы, амплитуды сигнала и спектральной плотности мощности шума представим группой
G = {g : хцехр(—j^x, ц е (0, ос), \|/ е [0, 2л)}.
Замечая, что якобиан \Jg\ = ц, и
4- ||цехр(-;»х - Um ехр(—j<p0)s||2 = 4у ||х - U'm ехр(—j<p^)s||2 ,
при Aq = Nojv?, и'т = Гт/|1, Фо = фо - ф, нетрудно установить симметрию семейства Рх с плотностью распределения вероятностей (2.168) относительно группы G. Группа преобразований G индуцируется в пространство значений достаточной для семейства Рх статистики Т(х) = {Ti(x), Т2(х), Тз(х)}, в группу линейных преобразований, задаваемых матрицами
р. cos ц/—ц sin \|/ .0р. cos ц/—ц sin \|/ .0р^ sin \|/0\
р. cos ц/
—ц sin \|/ .0
р. cos ц/
—ц sin \|/ .0
р^ cos \|/ О]? Р £(0, оо), \|/ е [0, 2л).
о V?)
Поскольку статистика Т(х) является достаточной для семейства Рх, при синтезе инвариантного алгоритма обнаружения вместо выборочного вектора х будем использовать Т(х), а группу G — представлять
линейными преобразованиями с матрицами с. Так как семейство распределений статистики Т(х) является экспоненциальным, то индуцированная в пространство П = fig U ^1 группа преобразований G* состоит из линейных преобразований, матрицы которых с* = с-1. Легко проверить, что множества Qq и ^1 инвариантны относительно группы преобразований G*.
Таким образом, к данной задаче применим принцип инвариантности. Используя результаты примера 2.23, находим, что МИ групп G и G* соответственно равны Z = ^Т^ -V Т^(Т^ и у = (ф2 + ^iVl^sl- Гипотезы (2.169), выраженные через параметр у, примут вид
(2.170)(2.170)Но : Y € Го = {у = 0};
(2.170)
(2.170)
Hi : у € Г1 = {у : 0 < у < оо}.
Статистика Z имеет нецентральное бета-распределение с параметром нецентральности у/2 [103]. Семейство бета-распределений обладает монотонным относительно статистики Z отношением правдоподобия. Поэтому существует РИМ инвариантный алгоритм проверки гипотез (2.170), его решающая функция задается выражением
<р(х) = <<р(х) = <1,0,1,0,Щх) + Т2 (х) о Тз^.>VflxHlfWТз(х)Щх) + Т2 (х) о Тз^.>VflxHlfWТз(х)> ОД;< С^.> ОД;< С^.(2.171)(2.171)
<р(х) = <
<р(х) = <
1,
0,
1,
0,
Щх) + Т2 (х) о Тз^.>
VflxHlfWТз(х)
Щх) + Т2 (х) о Тз^.>
VflxHlfWТз(х)
> ОД;
< С^.
> ОД;
< С^.
(2.171)
(2.171)
Выраженный через исходные наблюдения, алгоритм (2.171) примет
вид
0,0,(2.172)(2.172)
0,
0,
(2.172)
(2.172)
Алгоритм (2.172) обладает стабильной вероятностью ложной тревоги при любых изменениях спектральной плотности мощности шума, обеспечивает инвариантность вероятности правильного обнаружения относительно начальной фазы сигнала и максимизирует эту вероятность для всех отношений сигнал/шум, у2 = U^ ||s||2/(2А^0А/). Так как в задаче имеется достаточная статистика Т(х), и семейство ее распределений принадлежит экспоненциальному семейству и, согласно теореме 2.4, является полным, то алгоритм (2.172) максимизирует вероятность правильного обнаружения не только в классе инвариантных правил, но и в более широком классе правил с инвариантной к группе преобразований G* функцией мощности.
На рис. 2.11 приведена зависимость вероятности правильного обнаружения р от отношения сигнал/шум q алгоритма (2.172) при различном объеме наблюдаемой выборки п и вероятности ложной
Рис. 2.11. Характеристики инва-риантного алгоритма обнаруже-ния сигнала с неизвестной началь-ной фазой на фоне белого шума
тревоги ос = 0,01. Видно, что при п > 30 значение вероятности правильного обнаружения практически не отличается от максимально возможного при п ос.
Пример 2.25. Обнаружение и различение сигналов с неизвестной начальной фазой на фоне стационарного гауссова шума с неизвестным энергетическим спектром.
Как и в предыдущем примере, рассмотрим задачу обнаружения сигнала UmS^ft^ фо) с произвольной начальной фазой фо на фоне стационарного гауссова шумат|(£) на выходе линейного тракта приемника с П-образной амплитудно-частотной характеристикой и полосой пропускания А/, с тем отличием, что шум т|(£) в пределах полосы пропускания приемника имеет не постоянную , а произвольной формы спектральную плотность мощности. Здесь по-прежнему Um и фо — априорно неопределенные амплитуда и начальная фаза сигнала, з^^фо) — нормированная по амплитуде известная (при фиксированном значении Фо) функция времени, задающая форму сигнала.
Строгое решение этой задачи методами теории инвариантности не представляется возможным, так как полная неопределенность энергетического спектра шума представляется транзитивной группой, относительно которой МИ является константой. Однако могут быть получены приближенно инвариантные алгоритмы обнаружения. Рассмотрим синтез одного из них.
Пусть в полосе частот обнаруживаемого сигнала 8^(1) существуют сигналы s^(t^ г = 2, ...,т, ортогональные к сигналу s^^O) и друг к другу при любых временных задержках, и имеющие такой же, как у сигнала s^^t\ амплитудно-частотный спектр. В качестве наблюдаемой выборки примем вектор х = {ж1,...,жп}, составленный из отсчетов ж^ комплексной огибающей ж(£) наблюдаемого на выходе линейного тракта приемника процесса в моменты времени гт, где т = 1/А/ — интервал дискретизации. Используя эти сигналы, преобразуем выборку х = {жх,. . . , жп} в вектор у = ^у^ . . . , Ут^
составленный из комплексных случайных величин: Уг = ^2 ^j^j
з=1
г = 1,. . . , т, где s^) = {s^, . . . , s^} — отсчеты комплексной огибающей соответствующих сигналов
Если шум стационарный, то компоненты вектора у не коррелиро- ваны между собой и имеют одинаковые дисперсии. Математические ожидания компонент вектора у в отсутствие обнаруживаемого сигнала 8^(^ равны нулю. При наличии сигнала з^^ математические ожидания величин р^ j = 2,. . . , m, остаются равными нулю, а математическое ожидание величины р^ примет значение nUm ехр( —jcpo)• Априорная неопределенность энергетического спектра шума выражается в неопределенности дисперсий компонент вектора у, причем изменение энергетического спектра сопровождается “дружными” изменениями этих дисперсий и не влияет на коррелированность величин ру ,. . . , р^ если не нарушается стационарность шума.
С учетом отмеченных свойств вектора у его совместная плотность распределения вероятностей, при наличии сигнала, имеет вид
Wi(y I Гт,Фо,о2) =
= (Аз) ехР 1 - А 52 |у»|2 - А |У1 - «rmexp(-j<po)|2 I , '(2.173)
где о2 — дисперсия квадратурных составляющих Re pi и Im р^ величин Pi. Преобразуя (2.173) к виду, удобному для синтеза алгоритма обнаружения, получим
wi(y | Е) =
= (“^) ехрехр^Т^у)+д2Т2(у)+д3Т3(у)},
(2.174)
где S = {ill,^27^з} — вектор параметров распределения (2.174), di = nUm costpo/a2, 02 = nUm sin<р0/а2, 03 = -1/(2о2), 7i(y) = = Reyi, Т2(у) = 1туъ Т3(у) = ||у||2 = ^ |^|2. Задача обнаружения, г=1
сформулированная относительно параметров распределения (2.174), примет вид
Но: ЕеП0 = {В:^+^ = 0;-оо<д3 <0};
Нг : Е € П! = {Е : 0 < »2 + »2 < <х>; -оо < 03 < 0}.'
Нетрудно убедиться, что семейство Ру распределений (2.174) и задача обнаружения (2.175) симметричны относительно группы преобразований G = {g : ру -> pex^j^px.pi н- ц^г = 2, . . . ... , ш} пространства Y значений вектора у. Группа преобразований G индуцирует в пространстве значений достаточной для семейства Ру
статистики Т(у) = {Ti(y)7 ^(у), 7з(у)} группу линейных преобразований, задаваемых матрицами
с =с =J1COS \|/—u sin \|/. ОJ1COS \|/—u sin \|/. Оlisiny 0\
с =
с =
J1COS \|/
—u sin \|/
. О
J1COS \|/
—u sin \|/
. О
jicosy О I 7 Ц 6 (0, оо); \|/ 6 [0, 2л).
О Ц2/
Поскольку статистика Т(у) является достаточной для семейства Ру, то, как и в предыдущем примере, при синтезе инвариантного алгоритма обнаружения вместо выборочного вектора у можно использовать Т(у)7 а группу G — представлять линейными преобразованиями с матрицами с. Повторяя рассуждения предыдущего примера, получим РНМ инвариантный алгоритм обнаружения сигнала в виде
ф(у) = <ф(у) = <о,о,7 (у) + Т?(у)Тз(у)7 (у) + т22 (у)W)7 (у) + Т?(у)Тз(у)7 (у) + т22 (у)W)> ОД;> ОД;< С^.< С^.(2.176)(2.176)
ф(у) = <
ф(у) = <
о,
о,
7 (у) + Т?(у)Тз(у)
7 (у) + т22 (у)W)
7 (у) + Т?(у)Тз(у)
7 (у) + т22 (у)W)
> ОД;
> ОД;
< С^.
< С^.
(2.176)
(2.176)
Выражая ф(у) через компоненты исходного выборочного вектора х, получим алгоритм (2.176) в следующем эквивалентном виде:
ф(х) = <ф(х) = <1,О,1,О,(2.177)(2.177)
ф(х) = <
ф(х) = <
1,
О,
1,
О,
(2.177)
(2.177)
Характеристики обнаружения алгоритма (2.177) совпадают с характеристиками алгоритма (2.172) из предыдущего примера, если число ортогональных сигналов т алгоритма (2.177) равно объему выборки п алгоритма (2.172), и если в качестве отношения сигнал/шум для алгоритма (2.177) принята величина q2 = U^ ||s|| /о2. Анализ этих характеристик позволяет сделать вывод о целесообразности использования сигналов с большой базой, так как с увеличением базы расширяются возможности построения ансамбля взаимно-ортогональных сигналов s^\ty г = 1, . . . , m, что позволяет увеличить параметр т и тем самым повысить эффективность обнаружения.
Инвариантность алгоритма (2.177) выражается в стабильности вероятности ложной тревоги при изменении уровня шума и формы его энергетического спектра (корреляционной функции), если при этом не нарушается стационарность шума на интервале наблюдения, и в независимости вероятности правильного обнаружения от таких изменений характеристик шума и сигнала, которые не изменяют отношения сигнал/шум q2, причем вероятность правильного обнаружения максимальна при всех отношениях сигнал/шум.
Отметим, что алгоритм (2.177) не обеспечивает строгой инвариантности относительно изменений энергетического спектра шума, так как не существует сигналов, сохраняющих идеальную ортогональность при любых относительных задержках. Однако его устойчивость к изменению спектральных характеристик шума будет достаточно высокой, если интервал корреляции шума меняется в конечных пределах, и взаимно-корреляционные функции сигналов s^(t^ г = 1,...,т, имеют малые выбросы при изменении задержек в этих пределах. Эти требования обычно выполняются при достаточно широкополосном шуме и большой базе обнаруживаемого сигнала.
Алгоритмы обнаружения (2.172) и (2.177) допускают обобщение на случай совместного обнаружения и различения сигналов (многоальтернативного обнаружения), если обнаруживаемые сигналы ортогональны при любых начальных фазах при обнаружении в белом шуме или ортогональны при произвольных относительных задержках в случае шума с произвольным энергетическим спектром.
Пример 2.26. Обнаружение сигналов на фоне гауссова шума и пассивных помех с неопределенными параметрами.
Рассмотрим задачу обнаружения сигнала на фоне гауссова шума и мешающих сигналов, например, мешающих отражений в локационных системах, межсимвольных помех при многолучевом распространении сигнала и межканальных помех в системах связи. Известны методы борьбы с пассивными помехами, когда они адекватно представляются гауссовым коррелированным шумом [24]. Однако не всегда для пассивных помех справедлива гауссова аппроксимация. В ряде случаев вообще отсутствуют основания для представления пассивной помехи случайным процессом с устойчивым распределением. Поэтому представляют интерес алгоритмы обнаружения при минимальных априорных данных о пассивной помехе, когда задано только множество ее реализаций без определения на нем вероятностного распределения. Ниже рассмотрен синтез такого алгоритма на основе применения принципа инвариантности.
Пусть наблюдаемым процессом является комплексная огибающая процесса на выходе линейного тракта приемника с П-образной амплитудно-частотной характеристикой и полосой пропускания А/. Наблюдаемый процесс представляет собой аддитивную смесь полезного сигнала Ums(t^ пассивной помехи |(t) и гауссова шума ц(£), причем спектральная плотность мощности шума является постоянной и равной Nq в пределах полосы пропускания приемника. Процессы Ums(t)^ |(t) и T](t) аппроксимируются финитными по частоте процессами, принадлежащими гильбертову пространству Н с воспроизводящим ядром, равным корреляционной функции комплексной огибающей шумац(^) [77]. Комплексная огибающая наблюдаемого процесса x(t) = = Ums(t) + |(£)+т](£) также принадлежит пространству Н. Так как
точность аппроксимации ограниченного во времени процесса финитным по частоте процессом возрастает с увеличением произведения ширины А/ спектра на время Т наблюдения, то полагаем, что условие А/Т ^ 1 выполнено. Конкретный вид реализации |(t) пассивной помехи зависит от многих факторов и полагается заранее неизвестным. Единственное предположение о помехе состоит в том, что совокупность всех ожидаемых реализаций |(t) образует подпространство L С Н.
Действие пассивной помехи на наблюдаемый процесс эквивалентно преобразованию его комплексной огибающей группой G = {g : ж(^)
—> ж(^) + ^tYAW 6 L} аддитивных преобразований. В связи с этим для построения алгоритма обнаружения, устойчивого относительно пассивной помехи, воспользуемся принципом инвариантности. Применяя методику и. 2.4.4, находим, что МИ группы G является процесс i(t) = ж(£) — х^\ где x(t) = Рг[ж(£)] — ортогональная проекция наблюдения ж(£) в подпространство L. Оператор Рг ортогонального проектирования существует, так как L — подпространство в пространстве Н и х^ € Н. Полученный МИ принадлежит ортогональному дополнению Q подпространства L и состоит из сигнальной Um\s(t) — — s(t)] и шумовой c,(t) = ц(£) — ц(£) компонент, где s(t) = Pr[s(f)] и rf(t) = Pr[f|(£)]. Пассивная помеха отсутствует в процессе ^(tY так как ж(£) + Щ) — Рг[ж(£) + |(£)] = ж(£) — Рг[ж(£)] в силу равенства Pr[|(t)] = |(t). Это создает необходимые предпосылки для устойчивости алгоритма, построенного на основе процесса i(t), к воздействию пассивной помехи. В связи с линейностью оператора Рг процесс 2(f) является гауссовым со средним значением Um\s(t) — s(£)] и некоторой ковариационной функцией B^t^t^Y
В качестве наблюдаемой выборки примем вектор z = {ii, . . . , in}, составленный из отсчетов ^ процесса 2(t) в моменты времени гт, где т = 1/А/ — интервал дискретизации. Плотность распределения вероятности вектора z при наличии сигнала имеет вид
Wi(z) = к exp {-i Re(z - Um(s - s),y^} , (2.178)
где s — s = {$i — ?i, . . . , sn — ?n} — отсчеты сигнальной компоненты; у = ^г/ъ •••> ^n} — вектор, удовлетворяющий уравнению
В^у = z-l/m(s -s), (2.179)
где В^ = [В^(^7 tj)Y ГЗ = 1, •••,?!, — матрица размером п х х п, составленная из отсчетов ковариационной функции В^« ^ *Y к — нормирующий множитель. Используя свойство воспроизведения пространства Н и заменяя (2.179) интегральным уравнением с ядром B^ty^t^Y можно показать, что при большом значении п = AfT
уравнение (2.179) имеет решение
z - Um(s - s)2№А/
где Nq — спектральная плотность мощности белого гауссова шума на входе линейного тракта приемника. С учетом этого решения плотность распределения вероятностей (2.178) примет вид
Wi(z) =
= ^ехР^-^ду llzll + 2^д/ Re(z’s “ s> - 4№A/IIS “ sll }’ (2.180)
Распределения с плотностью (2.180) образуют экспоненциальное семейство, для которого выполняются условия существования РНМ алгоритма обнаружения. Так как выражение (2.180) совпадает с выражениями (2.86) и (2.167) для плотности распределения вероятностей при обнаружении сигнала в белом шуме, с той только разницей, что наблюдаемая выборка х заменена вектором z, обнаруживаемый сигнал s — сигналом s — S5, то при синтезе РНМ инвариантного алгоритма можно непосредственно использовать результаты примеров 2.6, в случае, когда начальная фаза известна, и 2.24 — при неизвестной начальной фазе сигнала. Согласно этим результатам при когерентном обнаружении (начальная фаза сигнала известна) в условиях априорной неопределенности спектральной плотности мощности шума получаем с учетом равенства (z, s — s) = (х, s — s) решающую функцию РНМ инвариантного алгоритма в виде
ср(х) = <ср(х) = <1,0,1,0,Re(x,s — s) > С (а) ||х — х||2;Re(x, s — s) < (7(oc)^/||x — х||2.Re(x,s — s) > С (а) ||х — х||2;Re(x, s — s) < (7(oc)^/||x — х||2.(2.181)(2.181)
ср(х) = <
ср(х) = <
1,
0,
1,
0,
Re(x,s — s) > С (а) ||х — х||2;
Re(x, s — s) < (7(oc)^/||x — х||2.
Re(x,s — s) > С (а) ||х — х||2;
Re(x, s — s) < (7(oc)^/||x — х||2.
(2.181)
(2.181)
При некогерентном обнаружении (начальная фаза сигнала может быть произвольной) и априорно неопределенной спектральной плотности мощности шума решающая функция примет вид
ф(х) =ф(х) =1,0,1,0,|(x,s - s)p > С(а)||х — х||2;|(x,s - s)|2С(а)||х- х||2.|(x,s - s)p > С(а)||х — х||2;|(x,s - s)|2С(а)||х- х||2.(2.182)(2.182)
ф(х) =
ф(х) =
1,
0,
1,
0,
|(x,s - s)p > С(а)||х — х||2;
|(x,s - s)|2С(а)||х- х||2.
|(x,s - s)p > С(а)||х — х||2;
|(x,s - s)|2С(а)||х- х||2.
(2.182)
(2.182)
В решающих функциях алгоритмов обнаружения (2.181) и (2.182) пороговые константы С(ос) вычисляются исходя из заданного уровня вероятности ложной тревоги ос.
Алгоритмы обнаружения (2.181) и (2.182) обеспечивают инвариантность вероятностей ложной тревоги и правильного обнаружения к воздействию пассивной помехи. Они имеют также стабильную вероятность ложной тревоги при изменении уровня шума, а алгоритм (2.182) —
инвариантную к начальной фазе сигнала вероятность правильного обнаружения. Вероятность правильного обнаружения у этих алгоритмов максимальна среди всех алгоритмов инвариантных к действию пассивной помехи рассмотренного вида.
В прикладных задачах пассивная помеха часто аппроксимируется квазидетерминированным сигналом с комплексной огибающей
^ = ^MtY(2.183)
г=1
где ^ — произвольные комплексные коэффициенты; ^г(^) — известные линейно независимые нормированные по амплитуде сигналы, п — некоторое (конечное) целое число.
(2.184)(2.184)Множество сигналов (2.183) образует подпространство L. Ортогональная проекция сигнала s(t) в это подпространство
(2.184)
(2.184)
s(t) = Е ^iVi(t)-г=1
Весовые коэффициенты ^ проекции (2.184) определяются из системы уравнений
Е XiRik = (s,Vk), к =
г=1
где Rik = (v^V/e) — коэффициенты взаимной корреляции мешающих сигналов, у^, к = 1,...,т, — вектор, составленный из отсчетов функций ^(t).
Вторая статистика ||х — х||2, входящая в пороговые функции алгоритмов (2.181) и (2.182), при пассивной помехе вида (2.184), определяется выражением
II1|2т т
||х-х|| =||х||2-££(х,^7?-1(х,^Г,(2.185)
г=1 к=\
где R^1 — элементы матрицы R-1, обратной к матрице R = [Я^], составленной из коэффициентов корреляций Rik-
Характеристики обнаружения алгоритмов (2.181) и (2.182) с достаточной для инженерной практики точностью совпадают с характеристиками когерентного и некогерентного обнаружения сигнала, приведенных в примерах 2.6 и 2.24, если заменить параметр п = А/Т параметром п = А/Т — ш, где т - число мешающих сигналов модели (2.184), а под отношением сигнал/шум понимать величину
тг2 Vт т"
J L i=lk=l-I
Так как q2 < U^ ||s||2 /(27VqA/), to вероятность правильного обнаружения при наличии пассивной помехи меньше, чем в ее отсутствие.
Анализ полученных алгоритмов показывает, что их применение оправдано, если протяженность помехи на плоскости “время-частота” мала по сравнению с длительностью и шириной спектра обнаруживаемого сигнала, и уровень помех существенно превышает уровень гауссова шума.
Пример 2.26. Пространственно-временное обнаружение поли- гармонического сигнала ^векторный информативный параметр) с неизвестным амплитудно-фазовым спектром от точечного источника излучения на фоне гауссова шума.
Рассмотрим задачу обнаружения сигнала от точечного источника излучения, находящегося в точке пространства с известными координатами. Антенная система приемника представляет собой решетку из п изотропных элементов, расположенных в пространстве так, что шумы, действующие на их входах, можно считать взаимно независимыми. В остальном положение элементов решетки произвольно. Излучаемый источником сигнал 8(f) является полигармоническим и может быть представлен в виде суммы конечного числа гармонических составляющих:
L+/-1
S(z) = у Ui sin(/cooZ + (рг),
l = L
где Ui^i — априорно неопределенные амплитуда и фаза Z-й гармоники; «о = 2л/Т, Т — интервал наблюдения; L > 0 — некоторое целое число, определяющее нижнюю границу спектра излучаемого сигнала; / = £,...,£ + / — 1. Сигнал в области приема представляет собой суперпозицию / сферических волн и на входе г-го элемента решетки (г = 1,. . . , п) имеет вид
L+/-1
S^t) = 52- kiRiA-^i)!Нг-
l = L
Здесь k[ = I^q/c — волновое число; с — скорость распространения сигнала в среде; R^ — расстояние от г-го элемента решетки до источника излучения.
Процесс yi(t) на входе г-го элемента решетки представляет собой аддитивную смесь полезного сигнала и стационарного белого гауссова шума, причем шумы на входах различных элементов являются статистически независимыми. Это предполагает отсутствие сосредоточенных источников интенсивного помехового излучения.
Смесь сигнала и шума yi(t) будем представлять в виде ряда Фурье:
yi(t) = 52 (^/г COS/соо^ + ^/г sin ^ю0^)”^7(2.186)
l = LT
где
Т/2Т/2
2 г2 г .
нц = —j уcostal di., vu = —^ j уi (t) sin I®otdt (2.187) -T^-T^
— коэффициенты Фурье; / = L\^. . . ^ L^. Число членов (L^ — Li + 1) ряда (2.186) определяется полосой пропускания линейного тракта приемника. Таким образом, процесс уг^ полностью описывается набором из 2(L2 — Li + 1), а принимаемое антенной пространственно-временное поле — системой из 2n(L2 — Li + 1) коэффициентов Фурье. Последние, в силу принятых допущений, являются независимыми гауссовыми величинами [92] с дисперсией о2, одинаковой и неизвестной, в силу априорной неопределенности мощности шума, для всех элементов антенной решетки и средними
M{n/J = U^ вЦчн + фД; М{щ J = U^t cos(yn + фД,
при г = 1, . . . , n; Li < / = L, . . . , L + / — 1 < L2 и М{г^} = М{щД = = 0 при г = 1,..., n; Z = Li,. . . , L — 1 U Z = L + /,... , L^. Здесь Ег = Vr/R^ ^li = kiRi, M{.} — символ математического ожидания.
Для обеспечения устойчивого приема при указанной априорной неопределенности потребуем, чтобы решающая функция алгоритма обнаружения не зависела от априори неизвестных параметров сигнала и шума, вероятность правильного обнаружения была инвариантной к изменению начальных фаз ф/, вероятность ложной тревоги не зависела от мощности шума.
В качестве наблюдаемой выборки примем совокупность коэффициентов Фурье (2.187). Семейство их совместных распределений обладает достаточными статистиками X = {Xi, . . . , X/}, Y = {Ух, . . . , У/}, W где
У^ £i(^L-l+j,i COS у£-1+^ — Vl-I+j^ sinYL-l+j,z)
У2 £i(^L-l+j,i sin YL-1+j,2 + VL-l+j,i COSYL-1+тД
L — 1 пL2 пI
w^YY(ul + ^+ Е № + ^ + №Yb+
1 = ЬТг=1[=UH=1j = l
In_
+ ^ > ^ > [(^L —l+j,z COS YL — 1+j,i^L — l+j,i ®i^7L — l+j,i^i^j) “b
j=li=l
+ (l/L-i+j^ sinyL-i+j^ + VL-l+j,i COSYL-l+j,» - KiYj)2]. Распределения достаточных статистик образуют полное экспоненциальное семейство с плотностью при наличии сигнала
wHX, Y, W) =V ’’7^(^-Li+l)]-^^ _ L1 + 1) _ ^wHX, Y, W) =V ’’7^(^-Li+l)]-^^ _ L1 + 1) _ ^(2.188)(2.188)^(Ь2-Ь1+1)
wHX, Y, W) =
V ’’7^(^-Li+l)]-^^ _ L1 + 1) _ ^
wHX, Y, W) =
V ’’7^(^-Li+l)]-^^ _ L1 + 1) _ ^
(2.188)
(2.188)
где У/ (Xj + Y^ < W; W 0; Г( •) — гамма функция; ilij =
= JT-^UL-l+jCOSL-i+j /<52; -&2j = J^E^UL-l+jSmL-i+j /<52; j =
Уг=АVi=A
= 1,..., 7; t>3 = l/(2c2).
Задачу обнаружения сформулируем как задачу проверки сложных статистических гипотез относительно параметров ilij, ^j и ^з распределения вероятностей (2.188):
Но : ilij = ^2j = 0 при всех г = 1, . . . , /;1I3 6 (0, схэ);
Hi • ^ij + ^2j > 0 хотя бы при одном j; 1I3 Е (0, схэ).
Изменение параметров ilij, ^j и Из, вызванное изменением первичных параметров Ui ^ ф/ и о2,I = £,...,£ + / — 1, при которых отношения
/2+ ^3
сигнал/шум д^ = ——- остаются постоянными, характеризуется группой линейных преобразований G с матрицами:
diag{Ai,. .diag{Ai,. .Л/,ц}, A5=pЛ/,ц}, A5=pcos \|/jsin \|/j— sin \fjcos \fjcos \|/jsin \|/j— sin \fjcos \fj(2.189)(2.189)
diag{Ai,. .
diag{Ai,. .
Л/,ц}, A5=p
Л/,ц}, A5=p
cos \|/jsin \|/j
— sin \fjcos \fj
cos \|/jsin \|/j
— sin \fjcos \fj
(2.189)
(2.189)
ц 6 (0, схэ), \\fj E [0, 2л); j = 1, . . . , I.
Нетрудно убедиться, что задача симметрична относительно этой группы, а ее МИ представляет собой вектор Z = {^1,. . . , zj^ где Zj = = (Xj + Y^fW; j = 1, . . . , I. При выполнении гипотезы Hi плотность
распределения вероятностей статистики Z имеет вид
W1(Z | 81, . . . , 5/) — j V W§=0;2[n(L2-Li + 1)-/] X
0
(y2) / \ 2
где w^ C ) — плотность нецентрального % -распределения с и степенями свободы и параметром нецентральности 8; bj = у —j = = 1, . . . , I. Плотность вероятностей w^Z^ отвечающая гипотезе Но, получается из выражения (2.190), если положить 5j = 0, j = 1, . . . , I.
Распределение вероятностей (2.190), характеризуемое векторным полезным параметром 8 = {81,... ,8/}, не зависит от априори неизвестных параметров сигнала и шума и определяется только отношениями сигнал/шум 6j. Анализ выражения (2.190) показывает, что в общем случае (/ > 1) не существует РНМ инвариантного алгоритма обнаружения, так как семейство распределений Pz МИ не обладает монотонным отношением правдоподобия. Однако можно построить алгоритм обнаружения с максиминными свойствами на естественном классе альтернатив [62], когда альтернатива Hi состоит в том, что хотя бы одно из значений 6j > §j > 0, j = 1,. . . , /, где 8* — некоторое заданное число, определяющее границу “зоны безразличия”. Такой алгоритм максимизирует минимальную вероятность правильного обнаружения. Так как распределение (2.190) удовлетворяет условиям теоремы 2 в [62], то решающая функция максиминного алгоритма имеет вид
> С(а);< (Да),(2.191)> С(а);< (Да),(2.191)wi(Z | 8j = 8*,8, = 0 при j 5^ i,j = 1, . . . , I)w0(Z)
> С(а);
< (Да),
(2.191)
> С(а);
< (Да),
(2.191)
wi(Z | 8j = 5*,5j = 0 при j г, j = 1, . . . , I)w0(Z)
где С(а) —где С(а) —пороговая константа, определяемая заданным уровнем
где С(а) —
где С(а) —
вероятности ложной тревоги ос.
Подставляя (2.190) в (2.191) и интегрируя, получим максиминные алгоритм обнаружения сигнала:
(2.192)(2.192)1, t(Z) > С(а);
(2.192)
(2.192)
0, t(Z) < С(а).
Здесь
t(Z) = £ exp{-8*2/2}M[n(L2 - Li + 1), 1, Sfz^, z=l
М (•, •, •) — функция Куммера. В области больших и малых значений отношения сигнал/шум для статистики t(Z) алгоритма (2.192) можно получить более простые выражения. Так, при 5* = 5* <С 1,
t(Z) = ^^(2.193)
г=1
а при 5* >> 1,
t(Z) = £ ехр{8*2^/2}Д(Ь2"Л1+1)"1.(2.194)
г=1
Для большого числа приложений наибольшая эффективность требуется для малых значений отношения сигнал/шум, поэтому в качестве статистики t(Z) алгоритма (2.192) следует принять статистику (2.193), которая имеет нецентральное бета-распределение с плотностью ^2,2/,2[n(L2-L!+i)-/](^), где 2/ и 2[n(L2 - Li +1) - /] — число степеней
свободы, q2 = У/ 52 — параметр нецентральности. При гипотезе Но г = 1
Q2 = 0, и нахождение пороговой константы С(ос) сводится к решению уравнения
Вс(а)[Д ^(^2 - Li + 1) - /] _
где Вж[о,6] = j to-1(l — t)b-1dt — неполная бета-функция; В(а, 6) = о 1
= j to-1(l — t)b-1dt — бета-функция; ос — заданный уровень вероят- о
ности ложной тревоги. При альтернативе Н^ q2 > 0, и вероятность 1
правильного обнаружения р = j 5д2 2/д[п(£2-£1+1)-/](ж)^ж, гДе ОД
^q2,2/,2[n(L2-Li+i)-/]( •) — плотность нецентрального бета-распределения с параметром нецентральности q21 и 2/, 2[n(L2 — £i + 1) — — /] степенями свободы. Отметим, что при / = 1 распределение вероятностей статистики t(Z) имеет монотонное отношение правдоподобия, и алгоритм (2.192) при этом является РНМ инвариантным и обеспечивает максимально возможную вероятность правильного обнаружения при любых значениях параметра q2. На рис. 2.12 а и б. для случая ос = 0,01 приведены графики зависимости вероятности правильного обнаружения р от отношения сигнал/шум q при различных значениях параметра / (на рис. 2.12 а / = 1, а на рис. 2.12 5 / = 4) и v = n(L2 — Li + 1). Из приведенных графиков следует, что вероятность правильного обнаружения при фиксированных /
Рис. 2.12. Характеристики обнаружения инвариантного алгоритма обнаружения пространственно-временного сигнала
и q зависит от величины v и, при v > 30, с ростом v почти не меняется. Это свидетельствует о том, что при большом числе элементов антенной решетки п полосу пропускания линейного тракта приемника достаточно взять приблизительно равной ширине спектра полезного сигнала. Кроме того, с увеличением параметра /, при фиксированных q и v, что соответствует рассеянию сигнала по частоте, эффективность алгоритма обнаружения снижается.
Синтез алгоритмов обнаружения сигналов на основе совместного применения статистических принципов несмещенности и инвариантности и аппроксимации распределений вероятностей
Теоретическое обоснование синтеза алгоритмов обнаружения сигналов на основе совместного применения статистических принципов несмещенности и инвариантности и аппроксимации распределений вероятностей. В тех случаях, когда не удается синтезировать РНМ, РНМ несмещенные или РНМ инвариантные алгоритмы обнаружения и различения сигналов, иногда оказывается возможным найти оптимальный алгоритм путем дальнейшего сужения множества рассматриваемых алгоритмов [103]: к задаче, сформулированной относительно параметров наблюдаемой выборки или достаточных статистик, применяется принцип инвариантности, а затем к задаче, сформулированной относительно распределения МИ — принцип несмещенности.
В тех случаях, когда и этот подход не дает желаемого результата, можно предложить синтезировать квазиоптимальные алгоритмы, основанные на аппроксимации распределений данных или статистик, используемых на любом этапе синтеза, так как часто, при росте объема выборки или отношения сигнал/шум, распределения вероятностей наблюдаемых данных или статистик слабо сходятся к распределениям,
обладающим желаемыми свойствами симметрии или полноты. Решающие функции алгоритмов, построенные на основе этих предельных распределений, в допредельных ситуациях будут иметь характеристики, близкие к характеристикам оптимальных правил (стабильную вероятность ложной тревоги и высокую вероятность правильного обнаружения).
В основе подхода лежит теория слабой сходимости в метрических пространствах [85]. Пусть х 6 X- вектор исходных данных, ф( •) — статистика, отображающая (X, В) в (S, Ф) (В и Ф — соответствующие о-поля). Обозначим Рх функцию распределения вектора исходных данных, Р* — аппроксимирующую функцию распределения. Пусть Рх => Р* (символом => обозначена слабая сходимость при выполнении условий неограниченного роста объема выборки или отношения сигнал/шум), тогда, если множество D точек разрыва ф( •) имеет нулевую меру P*(D) = 0, то
j <p(x)dPx | <p(x)dP*. (2.195)
Выражение (2.195), справедливость которого доказана в [85], служит основой для использования аппроксимирующих (предельных) распределений при синтезе приближенно инвариантных и/или несмещенных алгоритмов.
Если синтезируемый алгоритм ф( •) является нерандомизированным, а аппроксимирующее распределение Р* имеет конечную плотность относительно меры Лебега, то множество точек разрыва функции ф( •), имеющих место на границе раздела областей Xi и Xq, соответствующих наблюдению смеси сигнала, шума и помехи и только шума и помехи, имеет нулевую меру, P*(D) = 0. Для таких алгоритмов справедливо соотношение (2.195), и аппроксимирующим распределением Р* можно при необходимости пользоваться как для их построения, так и для анализа эффективности.
Ниже рассматривается синтез алгоритмов обнаружения сигналов с использованием предложенной методики путем последовательного применения принципа инвариантности, аппроксимации распределения МИ и принципа несмещенности.
Примеры синтеза алгоритмов обнаружения сигналов на основе совместного применения статистических принципов несмещенности и инвариантности и аппроксимации распределений вероятностей.
Пример 2.27. Обнаружение сигнала с неизвестной начальной фазой на фоне гауссова шума с неизвестной мощностью и рассредоточенной помехи.
Пусть наблюдаемый процесс x(t) представляет собой комплексную огибающую на выходе линейного тракта системы регистрации сигнала с П-образной частотной характеристикой и полосой пропускания А/
9 Богданович В.А., Вострецов А.Г.
и является аддитивной смесью либо полезного сигнала, гауссова шума и рассредоточенной помехи, либо только шума и рассредоточенной помехи. Под рассредоточенной помехой будем понимать помеху, состоящую из большого числа компонент, одна из которых по форме совпадает с сигналом (например, сигнал содержит одну, а рассредоточенная помеха — несколько гармонических составляющих). Задача обнаружения сигнала эквивалентна задаче проверки статистических гипотез
(2.196)(2.196)Но : oc(t) = n(t) + k(t);
(2.196)
(2.196)
Hi : oc(t) = Us(t) + n(t) + k(t).
Здесь n(t) — комплексная огибающая стационарного гауссова шума с нулевым средним и спектральной плотностью N^ постоянной в полосе пропускания A/; s(t)- известный нормированный по энергии сигнал, АТ
J |s(t)|2c/t = 1, АТ — интервал наблюдения; U — комплексная амо.
плитуда сигнала; h(t) — комплексная огибающая помехи. Априорно неопределенными являются комплексная амплитуда сигнала U спектральная плотность мощности шума No и комплексная огибающая помехи h^tY Отличие помехи h^ от сигнала s(t) состоит в ее рассредоточенности, т. е. вектор, представляющий помеху в базисе, один из ортов которого совпадает с сигнальным вектором, имеет ненулевые проекции на оси, ортогональные сигналу.
На интервалах наблюдения Mj = [(j — 1)АТ, JAT), j = 1,. . . , m, образуем выборки Xj = {iji,. .., ж7П} объемом n = 2NfNT каждая, состоящие из отсчетов наблюдаемого процесса х.^ = x^t^k взятых в моменты времени tji = (j — 1)АТ + гт, где т = 1/(2А/) — интервал дискретизации. Комплексная амплитуда сигнала U^ энергетический п .2
параметр помехи ^ VmA и спектральная плотность шума Noj по- г=1
лагаются постоянными в пределах интервала времени Ntj и могут изменяться от интервала к интервалу таким образом, что отношения сигнал/шум и помеха/шум остаются неизменными. Такая модель соответствует медленным изменениям коэффициента передачи линейной части регистрирующей системы, например, вследствие изменения условий наблюдения, температуры и т. п. Совместное распределение выборочного вектора х = {ху, j = 1, . . . , m} имеет вид
Ч*) = П () ехр 1 Е 11^' - UjSj - hj2 > ,
^V2^/( 2g5 j=lJ
где Sjгде Sj= {«Ji,..., sjn} и hj = ^hji,..., hj^ — векторы отсчетов
где Sj
где Sj
комплексной огибающей сигнала и помехи, взятые в моменты времени ^ji = U — 1)АТ + й; Oj = 27VojA/ — дисперсия комплексной огибающей шума; || • || — норма вектора в комплексном евклидовом пространстве. Для удобства формулирования гипотез (2.196), через параметры распределения выборочного вектора х, и последующего синтеза алгоритма обнаружения преобразуем каждую компоненту Xj вектора х унитарным преобразованием Dp таким, чтобы в новом базисе вектор сигнала совпадал по направлению с первым ортом. Тогда для вектора наблюдения, представленного в новом базисе в виде У = {У1,...,Ут}, У, = DjXj = {уя,...,%„}, 3 = 1,...,т, справедливы соотношения M{^i} = а^ = Uj + bji^ м{у^} = = bj^ г = 2,. . . , n; 6ji,. . . , bjn — проекции вектора помехи на соответствующие орты нового базиса; М{ • } — символ математического ожидания. Преобразования D^ j = 1,. . . , m невырожденные, поэтому замена вектора х вектором у не приводит к потере эффективности обнаружения.
Плотность вероятности вектора у имеет вид
(2.197) где Aj = ^а^ bj2^. . • , bjn^ j = 1,. . . , m, * — знак эрмитова сопряжения. Задачу обнаружения сигнала (2.196) сформулируем в виде
задачи проверки статистических гипотез относительно параметров распределения вероятностей (2.197) следующим образом:
н . 1^|2н . 1^|2j = 1,. . . , m;j = 1,. . . , m,j = 1,. . . , m;j = 1,. . . , m,(2.198)(2.198)
н . 1^|2
н . 1^|2
j = 1,. . . , m;
j = 1,. . . , m,
j = 1,. . . , m;
j = 1,. . . , m,
(2.198)
(2.198)
где у — константа, определяющая степень “рассредоточенности” помехи. Область альтернативы в (2.198) имеет вид конуса, а область гипотезы — дополнения к нему. В случае, когда \bjt\ = \bjk\ = 6, к ф Ф j, у = д/1/(п — 1), энергия помехи поровну распределена между ее компонентами. Случай у = 0 соответствует обнаружению сигнала на фоне шума в отсутствие помехи.
Неопределенность комплексной амплитуды сигнала, спектральной плотности шума и помехи можно рассматривать, как результат воздействия на выборочный вектор у произвольного преобразования, принадлежащего группе G = {g : yj —^ Му diag[exp(—гду), Qj\yj, j = = 1,. . . , m}, где py € (0, oo), ^j G [0, 2л), Qj — произвольная унитарная
(n—1) х (п—1)-матрица. Преобразованию g соответствует произвольное изменение начальной фазы компоненты, содержащей сигнал, перераспределение энергии между компонентами вектора помехи и изменения мощности сигнала, шума и помехи, сохраняющие значения отношений п ,2
сигнал / шум, q^ = |dj| /а^, и помеха/шум q^j = ^ WjA f^ j = Y . . . z=2
... ^т. Отметим, что величина q^- названа отношением сигнал/шум для краткости. Фактически она представляет собой отношение мощности суммы сигнала и проекции помехи в подпространство сигналов к мощности шума. Нетрудно убедиться, что семейство распределений с плотностью вероятности (2.197) симметрично относительно группы G. Группа G индуцирует в параметрическое пространство группу G' = = {g' : Aj -л diag[exp(-^j), Q^Aj/py,^ = l,...,m}. Видно, что гипотезы Hq и Ну инвариантны относительно индуцированной группы G'. Поэтому для решения задачи используем метод, основанный на применении статистического принципа инвариантности.
Группу G можно рассматривать как порожденную двумя подгруппами Gi и G2, Gi = {gi : yj H- diag[exp(-z<pJ), Qj\yj, j = = 1,..., m}, произвольное преобразование из группы G2 состоит в умножении вектора yj на скалярный множитель ру. В этом случае максимальный инвариант группы G можно отыскать в два этапа: сначала необходимо найти МИ относительно одной подгруппы, а затем относительно другой. По методике п. 2.4.4 находим МИ относительно подгруппы Gi: зц (у) = {|yji| , Цу'.Ц , j = 1,..., т] , где у< = {yj2,... ... , yjnb Подгруппа G2 индуцирует преобразование {|у,1| Н- ц, |у>1|; Цу'Ц —> ру Цу'Ц, j = 1,. . . ^mY Следовательно, условия теоремы 2.17 п. 2.4.4 выполнены, и МИ группы G равен (с точностью до монотонного преобразования)
z(y) = J2v^l^, j = l,...,m}.(2.199)
В общем случае распределение МИ (2.199) не имеет простого явного выражения, пригодного для синтеза оптимального правила обнаружения, поэтому рассмотрим аппроксимацию величины z(y) при больших п и отношениях сигнал/шум q^p что характерно, например, для систем технического контроля.
При п —У оо случайная величина ||у'-1|2 / [2о^(п — 1)] сходится по вероятности к постоянной величине 1 + q^j/\2(n — 1)], а ^2 |^ji|2 /о2 при q^ —> оо — к нормально распределенной случайной величине со средним и дисперсией, равными, соответственно, V^Qcj и 2 [72].
Поэтому плотность вероятности величины
гзгз\/2|уЯ|2 /о?\/2|уЯ|2 /о?
гз
гз
\/2|уЯ|2 /о?
\/2|уЯ|2 /о?
можно аппроксимировать гауссовым законом со средним ^j2q^.(\Y + q^j/2(n - 1)] и дисперсией 2/[1 + q^j/2(n - 1)]. Учитывая, что по условию задачи отношения сигнал/шум и помеха/шум во всех временных интервалах одинаковы (обозначим их соответственно q^ и q2), и величины Zj взаимно независимы, запишем совместную аппроксимирующую плотность вероятности вектора z = z(у):
w(z)w(z)"1 + ^/2(тг-1)""1 + ^/2(тг-1)"х expх exp441 + ^/2(72-1)1 + ^/2(72-1)ViVi^qc+ q^^Tt - 1)^qc+ q^^Tt - 1)(2.200)(2.200)
w(z)
w(z)
"1 + ^/2(тг-1)"
"1 + ^/2(тг-1)"
х exp
х exp
4
4
1 + ^/2(72-1)
1 + ^/2(72-1)
Vi
Vi
^qc
+ q^^Tt - 1)
^qc
+ q^^Tt - 1)
(2.200)
(2.200)
Из выражения (2.200) видно, что при q^ —> 0 распределение w(z) перестает зависеть от q^ и задача обнаружения становится эквивалентной задаче обнаружения сигнала на фоне шума в отсутствие рассредоточенной помехи. При q^/2(n — 1) ^ 1 распределение (2.200) принимает вид
w(z) =w(z) =2 qn2 qnm/2m/28л(?2 —8л(?2 —1)1)expexp8(n — 1)8(n — 1)2^сУ(n - 1) Qn2^сУ(n - 1) Qn
w(z) =
w(z) =
2 qn
2 qn
m/2
m/2
8л(?2 —
8л(?2 —
1)
1)
exp
exp
8(n — 1)
8(n — 1)
2^сУ(n - 1) Qn
2^сУ(n - 1) Qn
Для синтеза правила обнаружения удобнее вместо величин Zj рассматривать величины Zj = Zj — 2уд/п — 1, средние значения которых при гипотезе Hq меньше или равны нулю, а при альтернативе Н\ — больше нуля. Обозначим il = ^п^с /^1 v = — х. Тогда 28(п - совместное распределение вектора z' = ^z^ j = 1, . . . , m} примет вид
(2.201)(2.201)
(2.201)
(2.201)
Задача обнаружения сигнала (2.198), эквивалентна задаче проверки сложных статистических гипотез о среднем значении нормального распределения (2.201), аппроксимирующего распределение МИ:
Ид : il С 0; —ос < v < ос;
Hi : il > 0; —ос < v < ос.
Для проверки гипотез (2.202) существует РНМ несмещенный алгоритм следующего вида [103]:
ф(г') = <ф(г') = <о,о,в противном случае.в противном случае.(2.203)(2.203)
ф(г') = <
ф(г') = <
о,
о,
в противном случае.
в противном случае.
(2.203)
(2.203)
Пороговая константа С(ос) определяется, исходя из допустимого уровня вероятности ложной тревоги ос, как решение уравнения j tm-x^dy = ос, где tm-x^ — плотность ^-распределения Стьюдента с т — 1 степенями свободы. Выражая решающую функцию алгоритма обнаружения (2.203) через данные наблюдений, получаем
. 0, в противном случае.
(2.204) Здесь через (♦, •) обозначено скалярное произведение в комплексном евклидовом пространстве. Функцию мощности р правила обнаружения (2.203) можно приближенно найти, как р = j ^-x^lAd-lb где tm_i^(-) — плотность нецентрального ^-распределения с т — 1 степенями свободы и параметром нецентральности X. При q^/2(n—1) ^ 1 (интенсивная помеха) X « д/m (qc — удп). Отсюда видно, что в отсутствие сигнала (значение q^ = |6i| /о2 обусловлено только помехой) максимальный уровень вероятности ложной тревоги имеет место при сильной помехе. При слабой помехе параметр нецентральности X < 0, и вероятность ложной тревоги становится меньше заданного уровня ос.
На рис. 2.13 представлен график зависимости вероятности правильного обнаружения р от отношения сигнал/шум q = |С^|/о алгоритма обнаружения (2.204) при ос = 0,01, \Ь\ = 60 (сплошная линия). Для сравнения штриховой линией изображена функция мощности РНМ инвариантного алгоритма (2.172) обнаружения сигнала с неизвестной фазой на фоне белого шума неизвестной мощности. Вероятность
правильного обнаружения сигнала на фоне шума выше, чем вероятность правильного обнаружения сигнала на фоне шума и помехи. Однако алгоритм (2.172) утрачивает работоспособность в присутствии рассредоточенной помехи, в то время как мощность алгоритма (2.204) при росте интенсивности помехи, напротив, стремится к предельно достижимой, рис. 2.14.
Пример 2.28. Обнаружение сигнала неизвестной формы на фоне гауссова шума и постоянной составляющей неизвестного уровня.
Пусть в течение времени At = Ati + At2 наблюдается исходный процесс, для обозначения которого на интервале Ati будем использовать обозначение ^(t), а на интервале At2 — У^У На интервале Ati полезный сигнал заведомо отсутствует, и процесс х^ представляет собой сумму стационарного гауссова процесса Л (^) с нулевым средним и дисперсией о2 и постоянной составляющей В, значения о2 и В априори не известны,
ж(^) = л(^) + ^7^ ^ Ati.
На интервале At2 наблюдаемый процесс y(t) представляет собой аддитивную смесь стационарного гауссова шума, постоянной составляющей и полезного сигнала S(t):
y(t) = n(t) + в + S(t), t e At2.
В отсутствие сигнала S(t) = 0, при его наличии S(t) ф 0. Форма полезного сигнала априори не известна. Задача обнаружения сигнала эквивалентна задаче проверки статистических гипотез о процессах х^ и
Но : x(t) = r|(t) + В, Ze Ati; y(t) = л(^) + В, t Е М2
(сигнал отсутствует);
Bi : x(t) = r|(t) + В, t Е Ati; y(t) = r|(t) + В + S(t), t E M^ (сигнал присутствует).
(2.205)
Представим рассматриваемые процессы ж(^) и y(t) на интервалах наблюдения Ati и А^ векторами отсчетов х = {ж^, ^ = 0, . . . , п — 1}, у = ^pj^ j = 0,. . . , т — 1}, взятыми в моменты времени ti+гт, г = 0, . . . ... , n —1, и ^2+^7 3 = 0, . . . , т — 1, где 1^ — начало интервала АА; t2 — начало интервала At2; ^ = А А Л; т = Ыъ/ъ т = 1/(2 А/) — интервал дискретизации, выбранный в соответствии с теоремой отсчетов; А/ — полоса пропускания линейной части регистрирующей системы.
Совместная плотность распределения вероятностей векторов х и у имеет следующий вид:
W(x,y) = (2ла2)-(т+п-*/2 х
х exp ]£ (ж; - S)2 - А А ^Уз-В- 8з? ? =
I 2с i=02а j=0J
= (2ла2)-(т+п)/2х
{
I/п — 1т —1\В( П~^т —1\
Е ^ + Еул+-2 Е ж<+Е Уз+
2,0\г=0j=0/°\г=0j=0/
т — 1 с] I 1т —1т — 1|
+ Е^р exp -A nB^^S^^B^Sj . (2.206)
j=0 J I L j=0j=0 J J
Задача обнаружения сигнала (2.205) эквивалентна задаче проверки сложных статистических гипотез относительно параметров распределения (2.206):
Но : У/ SJ = 0, В Е (—ос, ос); о2 Е (0, ос);
Ai(2.207)
Hi : У^ Sj > 0, В Е (—ос, ос); о2 Е (0,ос).
При решении поставленной задачи воспользуемся методами синтеза, основанными на использовании достаточных статистик, поэтапном применении статистических принципов инвариантности и аппроксимирующих распределений.
Редукция с помощью достаточных статистик приводит к вектору z = {^i, %2^ Уо^ • • • 1 Ут-1^ z Е Z, где Z — (т + 2)-мерное евклидово
пространство;ж^;^2 =
Уо^. . . , Ут-i — компоненты вектора у.Уо^. . . , Ут-i — компоненты вектора у.г=0
Уо^. . . , Ут-i — компоненты вектора у.
Уо^. . . , Ут-i — компоненты вектора у.
Нетрудно убедиться, что задача (2.207) и семейство распределений (2.206) симметричны относительно группы преобразований выбороч-
ного пространства:
Go = {go • Жг а^ + d; г = 0,. . . , п - 1;
Pj apj + d, j = 0,. . . , т — 1; а ^ 0; d € (—ос, ос)}.
Группе Go соответствует произвольное изменение мощности шума и постоянной составляющей в наблюдаемом процессе. Группа Go индуцирует в пространстве достаточных статистик Z группу преобразований
G'o = {go : ^i -> «^i + d- ^2 а^ Pj -5 apj + d- j = 0, . . . , т - 1}.
Максимальным инвариантом группы G'o будет статистика z' = = Щ,..., У _J, zj = (uj - гЩг2, j = 0,..., т - 1.
При п —> ос, ^2 —> о; zi —> В, поэтому на этапе синтеза при больших п распределение вектора z' можно аппроксимировать гауссовым законом с единичной дисперсией и средним, определяемым вектором отношений сигнал/шум: Q = {^, г = 0, . . . , ш}; q^ = Si/^ — отношение сигнал/шум для г-го отсчета,
(
< х m/2С < m —1
^) exp) 2 52 (2i “ ^)2 /(2.208)
l z=0J
Используем это распределение для синтеза правила обнаружения.
Задача (2.207), переформулированная относительно параметров распределения (2.208), примет вид
Bq : У/ q^ = 0 (сигнала нет);
(2.209)
Hi : У) д? > 0 (сигнал есть).
г=0
Задача (2.209) и распределение вероятностей (2.208), в свою очередь, симметричны относительно группы ортогональных преобразований Gi. Группе Gi соответствуют такие изменения сигнала на интервале наблюдения Д^ которые оставляют неизменной энергию сигнала в пределах этого интервала. Максимальный инвариант группы
Gi задается соотношением ZM = — У/ (z'-)2. Его распределение при т j=o
гипотезе Bq может быть аппроксимировано В-распределением с ш, п — 1 степенями свободы, а при альтернативе Bi — нецентральным В-распределением с шуп - 1 степенями свободы и параметром нецен-
тральности З2 = У/ S^/d1. Оно обладает монотонным отношением
правдоподобия [103]. Отсюда равномерно наиболее мощный инвариантный алгоритм обнаружения сигнала имеет вид
ф(^) =ф(^) =1,0,1,0,Z" > С(а);Z" > С(а);Z”Z”< С(а).< С(а).(2.210)(2.210)
ф(^) =
ф(^) =
1,
0,
1,
0,
Z" > С(а);
Z" > С(а);
Z”
Z”
< С(а).
< С(а).
(2.210)
(2.210)
Здесь пороговая константа С (ос) определяется заданным уровнем вероятности ложной тревоги ос и является квантилью порядка ос F-распределения с т, п — 1 степенями свободы.
Вероятность правильного обнаружения алгоритма (2.210) можно вычислить по формуле
(2.211)(2.211)Р J ^52 ,m,n — 1 (t^dt^С
(2.211)
(2.211)
где /^т^-Д/) — плотность вероятности нецентрального F-распределения с т, п — 1 степенями свободы и параметром нецентральности З2.
Выражая алгоритм (2.210) через элементы выборки из наблюдаемого процесса, получаем
ф(ж, у)= <ф(ж, у)= <в противном случае.в противном случае.(2.212)(2.212)
ф(ж, у)= <
ф(ж, у)= <
в противном случае.
в противном случае.
(2.212)
(2.212)
Выражения для пороговой константы С (ос) и вероятности правильного обнаружения р, были получены на основе аппроксимации функции распределения максимального инварианта. Поэтому представляет интерес сравнение фактических значений параметров алгоритма (2.212) с расчетными. На рис. 2.15 приведены зависимости пороговой константы от объема шумовой выборки п при ос = 0,1, полученные расчетным путем (сплошная линия), и методом имитационного моделирования алгоритма (2.212) на ЭВМ (пунктирная линия) по 10000 экспериментов в каждой точке. Данные зависимости практически совпали (расхождение при 60 < п < 100 не превышает 1 %).
На рис. 2.16 приведены кривые зависимости вероятности правильного обнаружения р от отношения сигнал/шум q. Эти зависимости были получены расчетным путем на основе аппроксимации (сплошная линия) и методом имитационного моделирования (пунктирная линия) при вероятности ложной тревоги ос = 0,1 для трех значений объемов шумовой и сигнальной выборок: п = т = 64, п = т = 128 и п = т = = 192. Результаты моделирования получены по 100 экспериментам для каждого q, что объясняет довольно большой разброс полученных значений.
Из рис. 2.16 видно, что расчетные значения хорошо согласуются с экспериментально полученными данными.
Таким образом, в данном примере синтезирован алгоритм обнаружения сигнала неизвестной формы на фоне некоррелированных
гауссовых шумов с неизвестными дисперсией и средним, обладающий следующими свойствами:
структура алгоритма не зависит от неизвестных параметров сигнала и шума;
вероятность ложной тревоги постоянна и не зависит от неизвестных параметров шума, т. е. алгоритм автоматически подстраивается под характеристики сигнала и шума;
вероятность правильного обнаружения максимальна в классе всех инвариантных правил обнаружения.
Синтез алгоритмов обнаружения и различения сигналов на основе совместного применения принципа инвариантности и байесовского метода
Теоретическое обоснование синтеза алгоритмов обнаружения и различения сигналов при совместном применении принципа инвариантности и байесовского метода. Выделим задачи обнаружения и различения сигналов на фоне помех в условиях параметрической априорной неопределенности. В этих задачах распределение наблюдаемой выборки х = (a?i,. . . , жп) принадлежит, при отсутствии сигнала, семейству
Р^ = {w(x|7),7er}(2.213)
и, при его наличии, одному из семейств
Р^ = {w„ [X - xs (0) I 7], 7 е г, х е (0, оо), е е Е^},k = 1, . . . , т,
где т — число различаемых сигналов; wn — известная по форме плотность распределения вероятностей помехи, у — априорно неопределенный параметр помехи; Г — множество неопределенности параметра у; X и 9 — соответственно энергетический и неэнергетический параметры сигнала; Е^, к = 1, . . . , ш, и (0, ос) — множества неопределенности параметров 9 и X ; S (9) = (Si (9) , . . . , Sn (9)) — сигнальный вектор с нормой ||S (9)|| = 1 V9 G U • Параметры у и 9 могут быть как скалярными, так и векторным^ величинами.
В п. 2.4 было показано, что во многих случаях применение принципа инвариантности позволяет преодолеть параметрическую априорную неопределенность всех неизвестных параметров задачи обнаружения и различения сигналов. Однако нередко встречаются задачи, при решении которых недостаточно одного только принципа инвариантности для полного преодоления параметрической априорной неопределенности.
Такой является, например, задача обнаружения и различения сигналов с неопределенными параметрами X и 9 на фоне негауссова шума с неизвестным параметром масштаба у € Г = (0, ос). В этой задаче ПРВ помехи в семействах (2.213) и (2.214) имеет при независимом шуме вид
(х I 7) = 0 (l/7) w (ж;/7),(2.215)
г=1
где w(-) — некоторая известная плотность, отличная от плотности распределения Гаусса.
Группой G преобразований выборки х, относительно которой симметричны семейства (2.213) и (2.214) с ПРВ помехи вида (2.215), является группа масштабных преобразований g : х ^ цх, ц 6 (0, ос). Индуцированная в параметрическое пространство группа G* состоит из преобразований g* : X цХ, у —> цу. Группа G* транзитивна на множестве Г и ее МИ равен отношению Х/у. Поэтому применение принципа инвариантности позволяет преодолеть априорную неопределенность параметров X и у. Однако применение этого принципа не решает проблему априорной неопределенности сигнального параметра 9 из-за отсутствия симметрии семейств (2.213) и (2.214) относительно подходящей группы преобразований.
В тех случаях, когда параметрическую неопределенность невозможно преодолеть на основе одного только принципа инвариантности, может оказаться полезным совместное применение этого принципа с другими методами преодоления параметрической неопределенности. В п. 2.5 уже был рассмотрен синтез алгоритмов при совместном применении принципов инвариантности, несмещенности и аппроксимации распределений. В данном разделе имеется в виду совместное применение принципа инвариантности и байесовского метода при синтезе алгоритмов, причем принцип инвариантности ориентирован на преодоление неопределенности параметров X и у, а байесовский метод - на преодоление неопределенности параметра 9.
Задача совместного обнаружения и различения сигналов формулируется как задача проверки сложных статистических гипотез:
Яо : X = 0, у Е Г;
(2-216)
Hk:X>0,у£Г, к = 1,...,т.
В задаче проверки гипотез (2.216) параметры X и у полагаются априорно неопределенными. Поэтому для них не задаются какие- либо априорные распределения на множествах (0, оо) и Г. Параметр 9 считается случайным с распределением Р (9) = ^ РкР^ (®), где к=1
pW (д) — априорные распределения на множествах Е^, р^ — априорные вероятности гипотез Н^. Для гипотезы Яо априорная вероятность
не вводится, поэтому вероятности р^ удовлетворяют равенству У^ р^ = к=1
= 1. В соответствии с концепцией априорной неопределенности все распределения Р^ (9) и вероятности р^ полагаются неизвестными (для синтеза алгоритма важен лишь факт существования распределения Р (9)). Семейства (2.213) и (2.214) принимаются симметричными относительно некоторой группы G. Группа G* полагается транзитивной на множестве Г.
Классический байесовский метод не может быть применен в нашем случае, так как рассчитан на известное распределение Р (9). Кроме того, его применение сопряжено, как правило, с непреодолимыми математическими трудностями, связанными с усреднением отношения правдоподобия по распределению Р (9). Для нашего случая подходит асимптотический вариант байесовского метода, который позволяет синтезировать асимптотические байесовские алгоритмы, независящие от априорного распределения неизвестного параметра и асимптотически оптимальные при практически любой форме этого распределения.
Асимптотический байесовский метод предполагает выделение некоторого неограниченно возрастающего параметра, относительно которого строится асимптотический алгоритм. В роли такого параметра обычно выступает размер наблюдаемой выборки [21]. Однако в гл. 3 и 4 неограниченное увеличение размера выборки используется для другой цели — для асимптотической аппроксимации в Li-норме распределения наблюдаемой выборки. Поэтому в качестве неограниченно возрастающего параметра при синтезе асимптотических байесовских алгоритмов примем параметр определенной далее функции потерь, с помощью которой задаются потери от ошибочных решений, выносимых алгоритмом.
Прежде, чем приступить к построению инвариантных асимптотических байесовских алгоритмов, рассмотрим синтез алгоритмов проверки гипотез (2.216) при совместном применении принципа инвариантности и классического байесовского метода.
Выделим класс $ таких алгоритмов ср, которые наряду с решением в пользу определенной гипотезы Гр формируют также оценку 9 параметра 9 6 Н^к\ к = 1,...,т. В общем виде алгоритмы ср 6 6 $ представляются условным распределением вероятности Р^ | х, ср) оценки 9 при наблюдении х.
Распределение Р^ | х, ср) определяется на объединенном множестве Е = [J Е^, в которое кроме множеств Е^, представляющих /с = 0
гипотезы Н^ включено также одноточечное множество Е^0) = {9 = 0}, формально представляющее гипотезу Но.
Оценка 9 (х) при заданной реализации х наблюдаемой выборки формируется датчиком случайной величины 9 в соответствии с распределением Р(9 | х, ср). При наблюдении х решения о выполнении гипотез Гр принимаются с вероятностями ср^ (х) = М{ 7/^(9) | х, ср}, к = 1, . . . ... , ттг, где Ik (9) — индикатор множества Е^, М { • | х, ср} — оператор усреднения по распределению Р^ | х,ср). Решение о выполнении ги-
потезы Но принимается с вероятностью ф^0^ (х) = M{/q(9) | х, ф} = = 1 — 52 Ф^ (х)- Функция ф (х) = {ф^ (х) , ф^ (х) , . . . , ф^ (х)} к=1
называется решающей функцией алгоритма или отождествляется с алгоритмом.
В соответствии с байесовским методом сопоставим выносимым решениям неотрицательные потери тгi (9) и 712 (9,9), полагая их ограниченными и считая 712(9 = 9, 9) = О V9 6 Е. С помощью функции tti (9) определим потери от пропуска сигнала S (9), а с помощью функции 712(9,9) — потери от ошибочного оценивания параметра 9.
В качестве критерия оптимальности алгоритма выберем обобщенный критерий Неймана-Пирсона и временно зафиксируем значения параметров X, у. Согласно этому критерию качество алгоритма ф характеризуется суммарными средними потерями,
П(ф,Х,у)= £Щ(ф,М),(2.217)
к=1
при заданном уровне ос вероятности ложной тревоги, где Щ (ф,Х, у) — средние потери при выполнении гипотезы Н^. Напомним, что под уровнем вероятности ложной тревоги (уровнем алгоритма) понимается допустимое максимальное значение ос вероятности ложной тревоги.
Средние потери П/е(ф,Х,у) складываются из потерь от пропуска сигнала и потерь от ошибочного оценивания сигнального параметра и выражаются в виде
п&(ф,х,у) = M{4(e)ni(e)[i-ф(А:)(х)] + 4(0)4(0)712(9,0) | ф},
(2.218) где М { • | ф} — оператор усреднения по распределению из семейства (2.214) и по распределениям Р(9 | х, ф) и Р (9) = ^PiP^ (9). Веро- г=1 ятность ложной тревоги
а(фл) = М0{£ф«(х)| = 1-М0{ф(°Цх)},(2.219)
где Мо { • } — оператор усреднения по распределению из семейства (2.213).
По критерию Неймана-Пирсона алгоритм ф* оптимален, если он имеет в классе $ минимальные средние потери (2.217) при заданном уровне ос вероятности ложной тревоги (2.219). При синтезе алгоритма
Ф* должна быть решена следующая задача оптимизации:
П (ф*, X, у) = min П (ф, X, у) , X е (0, ос) , у 6 Г,
< Г тфЕ^(2.220)
Mo S 52 V ' (х) г Y Е Г,
<ч=1 J
где Sa = < ф : ф 6 S, Мд < 52 Ф^ (х) с ^ а с — множество алгоритмов
уровня ОС.
Положим теперь параметры X и у неизвестными и уточним задачу (2.220), приняв во внимание симметричность семейства (2.213) и (2.214) относительно определенной группы G преобразований наблюдаемой выборки.
У симметричных семейств изменение неопределенных параметров можно трактовать как результат преобразования этих параметров индуцированными в параметрическое пространство операторами g*, образующими в совокупности группу G*. Поэтому, для обеспечения устойчивости показателей качества синтезируемого алгоритма относительно неопределенных параметров X и у, естественно потребовать от функционалов (2.217) и (2.219) инвариантности относительно группы G*, т. е. потребовать выполнения следующих условий:
п (<р, g*x, g*y) = П(ф,М) Vg* е G*, Уф е S«; Г2 2211«(ф, g*?) = «(ф, у) Vg* € G*, Уф е Sa.’
В свою очередь, для выполнения условий (2.221) достаточно, чтобы алгоритмы ф 6 Sa были инвариантными относительно группы G, т. е. удовлетворяли тождеству Р(9 | gx, ф) = Р(9 | х, ф) Vg Е G. Следовательно, уточнение задачи (2.220) при априорной неопределенности параметров X и у сводится к ограничению множества Sa множеством инвариантных относительно группы G алгоритмов.
При выполнении условий (2.221) функционалы П( •) и ос( •) должны выражаться через МИ группы G*, т. е. представляться в виде П [ф, со (X, у)], ос [ф, со (X = 0, у)], где со (X, у) — МИ группы G*. В приведенном примере МИ со(Х,у) = Х/о (точнее МИ является пара (со, 9), однако здесь параметр 9 опущен ввиду независимости функционалов П (•) и ос (•) от этого параметра).
Итак, если от алгоритма требуется устойчивость показателей к изменению неизвестных параметров, то оптимальный алгоритм ф* целесообразно отыскивать в классе инвариантных относительно группы G алгоритмов. При выделении класса инвариантных алгоритмов задача синтеза алгоритма ф* формулируется в виде следующей задачи оптимизации:
П (ф*, со) = min П (ф, со) , со Е Hi;
фез»(2.222)
ОС (ф* , со) ^ ОС, СО 6 Юо ,
где Sa — множество инвариантных алгоритмов уровня ос, £1д = = {со (X, у) , X = 0, у 6 Г} , £11 = {со (X, у) , X > 0, у 6 Г} — множества значений МИ группы G* соответственно при отсутствии и наличии сигнала.
Когда группа G* транзитивна на множестве Г, функция со (X = 0, у) имеет постоянное значение на множестве Г, т. е. множество £1д является одноточечным (в нашем примере £1д = {со = 0}). Таким образом, в случае транзитивной группы G* применение принципа инвариантности позволяет свести сложную гипотезу Н^ к простой. Отметим, что множество £11 не обязано быть одноточечным даже при транзитивной группе G* (в нашем примере £11 = {со > 0}).
Найдем решение задачи (2.222) при фиксированном значении со 6 Е £11, положив без потери общности £1д = {со = 0}. Обозначим у (х) МИ группы G и Р (у | со, 9) — его распределение вероятностей.
Для решения задачи (2.222) применима теория выпуклого программирования [63] в связи с тем, что выпуклыми являются множество Sa и функционалы П (ср, со), а (ср, со) — ос по аргументу ср. Используя теорему Куна-Таккера этой теории можно установить следующее.
Оптимальный байесовский алгоритм ср* задается условным распределением
?Е I у, ф*) = £ ф^ (у) Ые I у), (2.223) к=0
где ср^ (у) — компоненты решающей функции ср* (у); ср^0^ (у) — вероятность принятия решения в пользу гипотезы Pg; 5^(9 | у), к = 0, . . . ... .т — единичные массы, сосредоточенные в точках 9^ (у), к = 0, . . . ... , 772, 9g (у) = 0, 9 & (у) Е Е^ — точечные оценки параметра 9.
При к = 1,...,тт2 оценки 9/. (у) = arg min Д^^б | у), где
функционалы
△W(e|y) = | л2(б,е)Цу | (о^с/Р^), k = l,...,m,(2.224)
/ (у I co, 9) = dP (y | co, Q)/dPo (у)- отношение правдоподобия МИ группы G, Pg (у) — распределение МИ в отсутствие сигнала.
Решающая функция
Ф* (у) =Ф* (у) =(0,. . . , ср(г) (у) = 1, 0,. . . , 0) , шах Мк>) (у) =
Ф* (у) =
Ф* (у) =
<= Д(г) (у) С (а) , г = 1, . . . , 772;
(ф^0^ (у) = 1? 0,..., 0), ^ шах Л^) (у) < С (а), ’ ’(2.225)
19 Богданович В.А., Вострецов А.Г.
где С (ос) — порог, устанавливающий заданный уровень ос алгоритма, функционалы
МкЧу) = | {*1 (6) - ^[е* (у), е]}< (у | ю, е) dP (0), к = 1,...,т.
(2.226)
Для оптимальности алгоритма ср* в классе 9а, из которого исключены бесполезные алгоритмы, у которых ф^) (у) = OVA: = 1, . . . ... , ттг, необходимо и достаточно, чтобы Мд {/с (у)} > 0, где Mq{ • } — оператор усреднения по распределению Pq (у), 1с (у) — индикатор множества
С = |у : шах Xw (у) > о|.(2.227)
Отметим, что для оптимальности алгоритма ф* достаточно выполнения неравенства ni (9) > ^(0,9) V9, 6 6 |J Е^. Это утверждение /с = 1
следует из того, что при лх (9) > Л2(9,9) вероятность множества (2.227) равна 1 в силу положительности функционалов (2.226).
Для завершения синтеза инвариантного байесовского алгоритма осталось вычислить отношение правдоподобия / (у | со, 9)=
= dP (у | со, 9)/dPo (у). Общий метод вычисления / (у | со, 9) приведен в следующей лемме.
Лемма 2.4. Для отношения правдоподобия МИ группы G справедливо выражение
I [у I to (К, у), 6] = р (х | х, е, у) dP (х I у, у),(2.228)
X
где X — область значении выборки х, I (х л, 9, у) = —- —
dP (х|у)
отношение правдоподобия выборках, Р (х |Х, 9, у) , Р (х | у) — распределения выборки х соответственно при наличии и отсутствии сигнала, Р (х | у, у) — условное распределение выборки х в отсутствие сигнала при фиксированном значении у статистики у(х).
Доказательство. Введем обозначения М{- |Р(у|со,9)} и М{- | Ро (т/)} для операторов усреднения статистики у (х) по распределениям Р (у | со, 9) и Pq (у) при наличии и отсутствии сигнала, где со = со (X, у), и М{ • | Р (х | у)} и М { • | Р (х | у, у)} — операторы усреднения по распределению Р (х | у) и условному распределению Р (х | у, у) выборки х в отсутствие сигнала.
Выберем некоторое измеримое множество В в пространстве значений статистики у (х) и обозначим через В-1 = {х : у (х) Е В} прообраз этого множества. Введем индикаторные функции 1в (у) и Ib-1 (х) множеств В и В-1. Вычислим двумя способами среднее значение М{/^ (у) | Р (у | со, 9)}. При первом способе применим усреднение по
распределению Ро(у)- В результате вычисления получим равенство
М{Ш|Р(у |Ю,0)|} = М{/в(у)Цу |<0,9) I Ро(у)}.(2.229)
При втором способе воспользуемся двойным усреднением — сначала по условному распределению Р (х | у, у), а затем по распределению Ро (у)- Выполняя соответствующие вычисления, находим
м У в (у) | р (у | СО, 0)} = М Ув-1 (х) I (х I X, 0, у) | р (х I у)} =
= М {М Ув-1 (х) I (х I X, 0, у) I Р (х I у, у)} I Ро (у)} =
= М У в (у) М {Цх | X, 0, у) | Р (х | у, у)} | Ро (у)} =
= М У в (у) М {/ (х | X, 9, у) | Р (х | у, у)} | Ро (у)} .
Отсюда следует равенство
м{/в (у) I Р(у I со, 9)} =
= М У в (у) М {/ (х | X, 9, у) | Р (х | у, у)} | Ро (у)} . (2.230) Сравнивая правые части равенств (2.229) и (2.230) и учитывая произвольность множества В, находим
I (у I со, 9) = М V (х I X, 9, у) I Р (х I у, у)} ,
что является иной формой записи равенства (2.228).□
Рассмотрим построение асимптотического байесовского алгоритма на основе асимптотической аппроксимации функционалов (2.224) и (2.226) при специальных функциях потерь тгх (9) и 712(9,9). Эти функции зададим в виде
Л1 (9) — л (9), л2(9,9) = л (9) [1 — p(v|| 9 — 9||2)], (2.231) где 0 < тг(9) ^ 1, р (t) — неотрицательная дважды непрерывно дифференцируемая функция, имеющая при t = 0 максимальное равное 1 значение и монотонно убывающая при t -Л ос, и — неограниченно возрастающий положительный параметр (например, р (t) = exp (—£)).
При выборе функций (2.231) потери от ошибочного оценивания параметра 9 приравниваются с увеличением в к потерям от пропуска сигнала. Отметим также, что при таких функциях потерь выполняются достаточные условия оптимальности алгоритма, определенного выражениями (2.223)-(2.226).
Из выражений (2.224) и (2.226) следует, что при функциях потерь (2.231) решающая функция (2.225) выражается в форме
(ф(°) (у) = 1, 0,. . . , 0) , у е А^ (ос) ,
(2.232)(2.232)ф(у) = < (0,. . . ,ср^ (у) = 1,0,. ..,0), у G А^ (ос) ,
(2.232)
(2.232)
,г = 1,. . . , т,
где множества
А^0) (ос) = |у : max sup In 8^(9 | у, со) < С (ос) j
А^ (ос) = < у : maxsup 1п8^\9 | у, со) =
’ ?евмч
= sup In 8^ (9 | у, со) > С (ос) >, ?es^)
г = 1, . . . , т. функционалы
5^(6 |у,со) =pfc [ Л(е)рН9-9||2)/(у |<о, 9)^(9), sw(2.233)
k = 1, . . . , т.
Построим на основе алгоритма (2.232) асимптотический байесовский алгоритм, заменив функционалы (2.233) на их асимптотические по параметру в представления. Асимптотические представления функционалов (2.233) получим методом Лапласа [76], считая к (9) непрерывной функцией и полагая, что распределения Р^ (9) имеют непрерывные плотности w^ (9) = с/Р^) (9)/c/v (9) по равномерной
вероятностной мере v (9) на |J Е1 Г
k=i
Согласно [76] для функционалов (2.233) справедливы равномерные
по 9 асимптотические разложения:
Зъ'Дэ | у,со) = К (v) [р*л(9)ш(/г) (9)/(у I со, 9) + О (1/и)].(2.234)
Vy е В, к = 1,. . . , т,
где В — любое замкнутое множество в пространстве значений МИ у (х), К (в) — некоторый зависящий только от в коэффициент.
Практически без ограничения общности распределения МИ можно считать плотными в том смысле, что для любого сколь угодно малого с > 0 существует в пространстве значений МИ ограниченное замкнутое множество В с вероятностью Р (В) > 1 — г. Поэтому на множестве значений МИ, имеющего сколь угодно близкую к 1 вероятность, решающая функция асимптотического байесовского алгоритма может быть выражена согласно (2.234) в виде
' (0, ...,ф№(у) = 1,0,...,0), уеПИ(а),
<Р*(у)Лг = 1,...,ш,(2.235)
, (ф(°) (у) = Г 0,..., 0), У G Ш0) (а),
где множества
D(o) (а) = (у: max sup 10 8^(9 | у, со) < (7 (ос)
О EEW
D^ (ос) = |у : max sup In 8^(9 | у, со) =
I к=Ц...<т
6 £г(к)._1
= sup In 8^ (9 | у, со) > С(ос)|, ?ев(9
г = 1, . . . , т.
функционалы
8^(9 | у, со) = pkn(Q)w^k\Q)l(y | со, 9), к = 1,...,т.(2.236)
Алгоритм (2.235) выгодно отличается от алгоритма (2.232) тем, что для вычисления функционалов (2.236) не требуется усреднение по априорному распределению Р (9), в отличие от вычисления функционалов (2.233). Однако априорное распределение Р (9), по-прежнему, должно быть известно.
На практике широко применяется независящий от Р (9) алгоритм отношения правдоподобия [21]. Этот алгоритм является частным случаем алгоритма (2.235) при функции потерь л (9) = Х^р^^ (9)] на каждом множестве Е^\ к = 1,...,т. При такой функции потерь функционалы (2.236) принимают вид 8^(9 | у, со) = /(у | со, 9) ^к = = 1, . . . , т.
Покажем, что при большом значении параметра со алгоритм отношения правдоподобия является асимптотическим байесовским алгоритмом при любом распределении Р (9) и произвольной функции л (9), если Р (9) и л (9) — плавные функции аргумента 9.
Введем параметр d = max sup |1п \ркк (9) w^ (9)]|, характере— 1,. .. , ГП ^ ^ тт( А;)
ризующий изменчивость распределения Р (9) и функции л (9) (при л (9) = 1 и Р (9) = v (9) параметр d = 0). Положим d < D < ос на множестве ожидаемых распределений Р (9) и возможных функций л (9). В соответствии с (2.236) имеем неравенства
|1п8^(9 | у, со) — In/(у | со, 9)| < D V9 е 5^,& = 1,...,т.
Из этих неравенств находим, что
sup In 8^(0 | у, со)7 ЕВМsup In / (у I (0, 0)7 eeWsup In 8^(0 | у, со)7 ЕВМsup In / (у I (0, 0)7 eeWD| sup ln/(y|to, 9)17 esWD| sup ln/(y|to, 9)17 esWк = 1, . . . , m.к = 1, . . . , m.
sup In 8^(0 | у, со)
7 ЕВМ
sup In / (у I (0, 0)
7 eeW
sup In 8^(0 | у, со)
7 ЕВМ
sup In / (у I (0, 0)
7 eeW
D
| sup ln/(y|to, 9)1
7 esW
D
| sup ln/(y|to, 9)1
7 esW
к = 1, . . . , m.
к = 1, . . . , m.
Из последних неравенств с учетом того, что
| sup In/(у | со, 9)| > inf |1пZ(y | со, 0)|, V& = l,...,m,
?es(fc)^eW
получаем неравенства
sup In 6^(0 | у, со)VeaWsup In /(у | co, 6)(2.237)sup In 6^(0 | у, со)VeaWsup In /(у | co, 6)(2.237)infТ es(fe)infТ es(fe)DDk = 1, . . . ,т.k = 1, . . . ,т.
sup In 6^(0 | у, со)
VeaW
sup In /(у | co, 6)
(2.237)
sup In 6^(0 | у, со)
VeaW
sup In /(у | co, 6)
(2.237)
infТ es(fe)
infТ es(fe)
D
D
k = 1, . . . ,т.
k = 1, . . . ,т.
Рассмотрим отношение правдоподобия Z (х | X, 9, у) наблюдаемой выборки при наличии и отсутствии сигнала. При наличии сигнала выборка х = XS (9) + ^, и отношение правдоподобия Z(x | X, 9,у) = = wn (^ | y)/wn (XS (9) + ^ | у), где wn — плотность распределения выборки ^ из помехи. При отсутствии сигнала выборка х = ^, и отношение правдоподобия Z (х | X, 9, у) = wn (^ — XS (9) | y)/wn (£ | у). Поэтому в случае плотных распределений помехи имеет место сходимость |In Z (х | X, 9, у)| ^—> ос как при х = ^, так и при х = XS (9) + £, когда ^ Е Е В, где В — ограниченное замкнутое множество, вероятность которого Р (В) > 1 — с при сколь угодно малом е > 0. Отсюда с учетом леммы 2.4 получаем, что |ln Z (у|со, 9)|> ос при у 6 у (В), где у (В) — образ
множества В при отображении х —> у (х). Тем самым, в соответствии с неравенством (2.237) находим, что по вероятности
sup In 6^(0 | у, со) Т es(fe)sup In /(у | CD, 0 )TesWsup In 6^(0 | у, со) Т es(fe)sup In /(у | CD, 0 )TesW0, к = 1, . . . , m.0, к = 1, . . . , m.(2.238)(2.238)
sup In 6^(0 | у, со) Т es(fe)
sup In /(у | CD, 0 )
TesW
sup In 6^(0 | у, со) Т es(fe)
sup In /(у | CD, 0 )
TesW
0, к = 1, . . . , m.
0, к = 1, . . . , m.
(2.238)
(2.238)
Из сходимости (2.238) следует, что в алгоритме (2.235) функционалы (2.236) могут быть заменены при достаточно большом значении параметра со на функционалы 5^) (9 | у, со) = Z(y | со, 9) У к = 1, . . . , т.
Итак, установлено, что при большом значении параметра со алгоритм отношения правдоподобия является асимптотическим байесовским алгоритмом в широком классе априорных распределений Р (9) и функций потерь к (9).
В общем случае асимптотический байесовский алгоритм в форме алгоритма отношения правдоподобия оптимален лишь при одном значении параметра со. Однако, когда отношение правдоподобия Z (у | со, 9) монотонно относительно некоторой статистики Т(у,9), существует асимптотический байесовский алгоритм, равномерно оптимальный во всей области больших значений параметра со. У этого алгоритма
решающая функция
Ф* (у) = <Ф* (у) = <(ф(0) (у) = 1,0,,0),(ф(0) (у) = 1,0,,0),шах k=i,...,шах k=i,...,(0,...,ф^ (у) = 1,0,...,0),(0,...,ф^ (у) = 1,0,...,0),sup Т(у, 9) < С (ос), ?geWmax sup T(y, 9) =’ ’ ?es(fc)sup Т(у, 9) < С (ос), ?geWmax sup T(y, 9) =’ ’ ?es(fc)
Ф* (у) = <
Ф* (у) = <
(ф(0) (у) = 1,0,,0),
(ф(0) (у) = 1,0,,0),
шах k=i,...,
шах k=i,...,
(0,...,ф^ (у) = 1,0,...,0),
(0,...,ф^ (у) = 1,0,...,0),
sup Т(у, 9) < С (ос), ?geW
max sup T(y, 9) =
’ ’ ?es(fc)
sup Т(у, 9) < С (ос), ?geW
max sup T(y, 9) =
’ ’ ?es(fc)
= sup Т(у, 9) > С (ос) , г = 1,...,т.
(2.239)
Примеры алгоритмов обнаружения и различения сигналов при совместном использовании принципа инвариантности и байесовского метода.
Пример 2.29. Обнаружение сигнала на фоне некоррелированного гауссова шума с неизвестной дисперсией.
Построим инвариантный байесовский алгоритм обнаружения сигнала XS (9) на фоне некоррелированного гауссова шума с неизвестной N
дисперсией о2, полагая S (9) = ^ 9^8^\ где {S^’\ 3 = 1,. . . , т^ —
заданный ортонормированный базис, 9 = (91,. . . ,9уу) — неизвестный параметр с множеством неопределенности Е. В этом примере распределения выборки при наличии и отсутствии сигнала симметричны относительно группы G масштабных преобразований. Данный пример представляет интерес для систем с селективными замираниями сигнала в канале передачи систем связи.
В соответствии с принципом инвариантности редуцируем выборку х к МИ у (х) = (у! (х),... ,yn (х)), у^ (х) = Жй/ |я?1|, к = 1,...,ш. Вычисляя отношение правдоподобия МИ по формуле (2.228), находим
где Г(-) — гамма-функция, статистика Т(у,9) = (у, S (9))/||у || ((•, •) — скалярное произведение векторов),
F (Т, со) = J ^ ехр (—0,5§2 + соТ^ d^ со = Х/а.о
Так как производная -^F (Т^ со) > 0 Vco € (0,оо), то отношение правдоподобия I (у | со, 9) — монотонно возрастающая функция статистики Т. Поэтому в области больших значений параметра со существует равномерно оптимальный байесовский алгоритм с решающей функцией (2.239).
Из (2.239), с учетом представления статистики Т в форме
T(x,e) = ^f>(x,S(*)),(2.240)
получаем решающую функцию искомого алгоритма:
(ф(0) (х) = 1,0),
N
Е 61 (х)
(x,Sb))<C(a)||x||;
Ф* (х) = <
j=i N
(0,<р(1) (х) = 1),
Е 6i (х)
(x,Sb))^C(a)||x||,
4
j=1
(2.241)
где в j (х) — компоненты векторной оценки
_N _.
9 (х) = arg sup 52 9 j (х, S^).
?GHJ=1
j = 1,. . . , m,j = 1,. . . , m,и решающая функция (2.241)и решающая функция (2.241)принимает видпринимает вид(2.242)(2.242)Если множество Е = {9 : ||9|| = 1}, то оценка 9 (х) имеет компоненты
j = 1,. . . , m,
j = 1,. . . , m,
и решающая функция (2.241)
и решающая функция (2.241)
принимает вид
принимает вид
(2.242)
(2.242)
Отметим, что алгоритм (2.242) совпадает с полученным в п. 2.4.5 инвариантным алгоритмом (2.172). Это связано, во-первых, с тем, что в случае множества Е = {9 : ||9|| = 1} семейства распределений наблюдаемой выборки симметричны не только относительно группы масштабных преобразований, но и относительно группы ортогональных преобразований, и, во-вторых, с тем, что при симметричных семействах алгоритм отношения правдоподобия принадлежит классу инвариантных алгоритмов [103].
Пример 2.30. Совместное обнаружение и различение сигналов в системе с ФАПЧ на фоне некоррелированного гауссова шума с неизвестной дисперсией.
В качестве еще одного примера асимптотического байесовского алгоритма приведем алгоритм совместного обнаружения и различения
сигналов, у которых априорная неопределенность параметра 9 обусловлена системой фазовой автоматической подстройкой частоты (ФАПЧ). Положим, что у системы ФАПЧ фазовые ошибки ос € [—у, у], и закон распределения этих ошибок неизвестен. Шум считаем, по-прежнему, независимым нормальным с неизвестной дисперсией о2.
2т
Сигнал S (9) запишем в форме S (9) = ^ %^\ где
3=1
^U) — / ^с^ 1 3 — ^k — V k = 1, . . . , т;
[ Ss^k\ j = 2к, k^l,...^
Sc^, Ss^ — известные квадратурные составляющие сигналов, т — число различаемых сигналов. Множества неопределенности параметра 9 определим в виде двумерных множеств:
Е^ = {9 : 92&_i = cos ср, 92& = sin ср,
9? = О ^3 / 2к — 1, 2к, ф е [—ф, ф]}, к = 1, . . . , т.
Введем для сокращения записи двумерные векторы 9^) = = (91^-1,92)/е), к = ^...^т. В результате решения задачи синтеза алгоритма обнаружения и различения сигналов получаем оценки векторов 9^) в форме
qW (х) = <qW (х) = <Ргд, (х)/ 11Рг* (х)11, (х, 8с(/г)) ^ cosy ПРг* (х)||,
qW (х) = <
qW (х) = <
созуЗс*'1 + sin vsign ((х, Ss^)) si*\
(x, Sc^) < cosy ЦРгд; (x)||, к = 1,..., m.
Здесь Pr/g( •) — оператор ортогонального проектирования в двумерное подпространство, натянутое на векторы Sc^ и Ss^, sign (t) = t/\t\.
Выражая проекции Pr/е (х) через скалярные произведения (х, Sc^), (х, Ss^) и подставляя оценки 9^) (х) в статистику (2.240), находим решающую функцию
(ф(°) (х) = 1, 0,. . . , 0), max W^ (х) < С (ос),
ф* (х) =ф* (х) =(0,. . . , ф(г) (х) = 1, 0,. . . , 0), max W^ (х) =
ф* (х) =
ф* (х) =
= W^ (х) > С (ос) , г = 1,. . . , т^
(2.243)
где статистики
М (х) + VA2 (х)]1/2 , Uk (х) >
Ww (х) =Ww (х) => cosy [[/^(х) + 142(х)]1/2 ;
Ww (х) =
Ww (х) =
Uк (x)cosy + \Vk (х) | sin у, Uк (х) <
< cos v \Uk (х) + Vk (х)]1/2 >
Uk (х) =Uk (х) =(x,Scw)INI(x,Scw)INIVk (х) =Vk (х) =(x,Ssw)INI(x,Ssw)INIк = 1,. . . , т.к = 1,. . . , т.
Uk (х) =
Uk (х) =
(x,Scw)
INI
(x,Scw)
INI
Vk (х) =
Vk (х) =
(x,Ssw)
INI
(x,Ssw)
INI
к = 1,. . . , т.
к = 1,. . . , т.
Максимальное фазовое рассогласование ф является параметром алгоритма (2.243). С помощью этого параметра можно управлять устойчивостью алгоритма к фактическим ошибкам системы ФАПЧ. При \|/ = 0 алгоритм наименее устойчив и совпадает с оптимальным несмещенным алгоритмом обнаружения и различения сигналов в шумах произвольного уровня (2.90). С увеличением ф устойчивость алгоритма возрастает. Максимальное значение ф зависит от системы сигналов. Для систем сигналов, ортогональных в усиленном смысле (ортогональных при любых начальных фазах) шах ф ^ л, Для систем из двух противоположных сигналов шахф ^ л/2, и для систем сигналов, ортогональных при одинаковых начальных фазах, шахф ^ л/4.
При идеальной работе системы ФАПЧ алгоритм с параметром ф > > 0 уступает в пороговом отношении сигнал/шум, q2 = Х2/о2, оптимальному для данного случая алгоритму, т. е. алгоритму с параметром Ф = 0. Однако при отличных от нуля ошибках ср системы ФАПЧ помехоустойчивость алгоритма с параметром ф = 0 резко снижается с ростом |ср|. При больших значениях |ф| этот алгоритм становится даже несостоятельным. В тех же условиях пороговое отношение сигнал/шум у алгоритма с параметром ф > 0 остается практически неизменным, при |ср| ^ \|/, и сравнительно медленно возрастает при |ф| > ф. В случае идеальной работы системы ФАПЧ потери в пороговом отношении сигнал/шум у этого алгоритма зависят от величины ф и относительно небольшие. Например, при обнаружении и различении двух противоположных сигналов, эти потери не превышают 1-1,5 дБ, если параметр ф ^ л/4.
Данный асимптотический байесовский алгоритм более подробно рассмотрен в [9]. Там же приведены и другие примеры синтеза алгоритмов при совместном использовании принципа инвариантности и байесовского метода.
АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЕ
ИНВАРИАНТНЫЕ АЛГОРИТМЫ ОБНАРУЖЕНИЯ И РАЗЛИЧЕНИЯ СИГНАЛОВ
Предварительные сведения
Рассматривается статистический синтез асимптотически оптимальных инвариантных (АОИ) алгоритмов обнаружения и различения сигналов в условиях параметрической априорной неопределенности. В качестве аддитивной помехи принимается сумма стационарного шума с нулевым средним и сигналоподобной помехи. Выборка из шума полагается независимой с маргинальной ПРВ, известной с точностью до значения параметра масштаба о € (0, ос). Выборка из сигнало- р
подобной помехи представляется вектором ц = У^ ^-е^^ с неопре- j=i
деленными параметрами ^j € (—ос, ос) Vj = 1,. . . , Р и фиксированным ортогональным базисом {e(J) = (ер*\ . . . , е^) j = 1, . . . , Р}. Выборкой из сигнала является вектор XnS (9), где Хп = X/^/n, X Е Е (0, ос) — неопределенный энергетический параметр сигнала, S (9) =
N..
= У2 9j^\ {S^ = (SpP . . . , Sn^ •) 3 = 1,. . . , N^ — известный орто- j=i
гональный базис сигнала, 9 = (9i,. . . ,9^) — неопределенный неэнергетический параметр сигнала, п — размер наблюдаемой выборки х = = (a?i, • • • , жп).
При данных предположениях распределение выборки х принадлежит, при отсутствии сигнала, семейству
.3 = 1
о Е (0, ос) , ^j Е (—ос, ос) Vj !>, (3.1)
и, при его наличии, одному из семейств
Рк.п = {w (х I х, е, у) = wn [х - X„S (0) I у],
w(- I у) € Ро.пЛ € (0,оо) ,0 € Е(/г)}, (3.2)
где k = 1,. . . , т, у = (о, il], . . . , ^р) — совокупный параметр аддитивной помехи, w (t) — маргинальная ПРВ шума с единичным масштабом, Е^, к = 1,. . . , т — множества неопределенности параметра 9, т — число гипотез Н^ при наличии сигнала. Для параметра у устанавливается только множество ожидаемых значений без определения на нем какого-либо априорного распределения. Параметр 9 принимается случайным, поэтому для него задаются не только множества Е^, но и некоторое априорное распределение Р (9) на объединении этих множеств.
Размер п наблюдаемой выборки считается неограниченно возрастающим в соответствии с асимптотическим подходом к синтезу алгоритмов обнаружения и различения сигналов. Для того чтобы энергия сигналов (l/v^)S(9) и (l/v^e^, j = 1, . . . , Р, не стремилась к бесконечности с ростом п, приняты нормировки (1/д/п) ||S (9)|| = = 1, ||9|| = 1, (l/v^) Це^^Ц = 1 Vy = 1, . . . , Р. Кроме того, полагается, что
max \Si (9)| < ос V9 Е II S^, max I < ос Vy = 1,. . . , Р.
к = 1
Семейства распределений (3.1) и (3.2) встречаются во многих задачах обнаружения и различения сигналов. В частности, они характерны для задач с общими и селективными замираниями сигналов в канале передачи, для задач с межсимвольными и межканальными помехами в системах связи, для задач с мешающими отражениями в локационных системах и т. п.
Для преодоления априорной неопределенности параметра у предполагается использовать принцип инвариантности ввиду симметричности семейств (3.1) и (3.2) относительно группы G преобразований масштаба и сдвига (определение симметричных семейств распределений дано в п. 2.4.1), а для преодоления неопределенности параметра 9 — байесовский метод в связи со случайным характером этого параметра.
р
Группа G состоит из преобразований g : х ^ рох + J2 Hje^\ цо + з=^
^ 0, ру € (—оо, ос) Vy = 1, . . . , Р. Индуцированная в параметрическое пространство группа G* включает в себя преобразования g* : о
—> Цое, Л —> Ц(Д, ^j -^ ро^у + Ру, J’ = 1,. . • , Р. Отметим, что группа G* транзитивна в пространстве значений параметра у.
Применив любой метод построения МИ (см. п. 2.4.4), можно установить, что МИ группы G является статистика
z х х — Рг X= ||х — Ргх|Г
где Рг — оператор ортогонального проектирования в подпространство сигналоподобной помехи, а МИ группы G* — функция
ф (X, 9, у) = (со, 9) , со = Х/о. (3-4)
Синтез АОИ-алгоритмов выполняется на основе Li-подхода, предусматривающего рассмотренную далее аппроксимацию распределений наблюдаемой выборки и распределений МИ в Li-норме.
Основные определения и положения асимптотической теории проверки статистических гипотез
Асимптотическая теория проверки статистических гипотез восходит к фундаментальной работе Ле Кама [102]. Дальнейшее развитие она получила в исследованиях Д.М. Чибисова [78], Я. Гаека и 3. Шидака [39], Б.Р. Левина [54] и ряда других авторов. Достаточно подробный список публикаций по асимптотическим алгоритмам имеется в [54]. Строгое изложение математических основ асимптотической теории проверки гипотез дано в монографии Дж. Русаса [112].
При формулировке основных определений и положений данной теории ограничимся для простоты случаем проверки простых гипотез Но и Ну (бинарным обнаружением сигнала при априорно определенных параметрах 9 и у).
Согласно асимптотическому подходу к статистическому синтезу, рассматриваются бесконечные последовательности ^Рп (х \ Но) п = = 1,2,...}, {Рп (х | Ну) п = 1,2,...} распределений наблюдаемой выборки х = (^1,. . . , хп) при гипотезе Но (“сигнала нет”) и при альтернативе Ну (“сигнал есть”). Синтез алгоритмов проверки гипотез опирается на ряд определений и положений, касающихся этих последовательностей. К ним относятся контигуальность данных последовательностей, асимптотическое разложение логарифма отношения правдоподобия (производной Радона-Никодима, 1п (х) = = dPn (х \Ну )/dPn (х \Н0)), асимптотическая нормальность логарифма отношения правдоподобия In 1п (х) и асимптотическая аппроксимация в Lу-норме последовательности {Рп (х | Ну) п = 1,2, . . .}.
Контигуальность последовательностей распределений. При синтезе и анализе асимптотических алгоритмов используются асимптотические свойства статистики 1п/п(х) как при гипотезе Но так и при гипотезе Ну. Многие из этих свойств в случае их выполнения при гипотезе Но (Ну) автоматически выполняются и при гипотезе Ну (Но). если последовательности ^Рп(х | Но), n = 1, 2,. . .} и {Fn (х I Hi) , п = 1, 2,. . .} асимптотически эквивалентны (контигу- альны) в смысле определения, введенного Ле Камом [102]. Благодаря контигуальности, представляющие интерес асимптотические свойства
1п/п(х) достаточно установить только при одной из гипотез Яо, Hi (обычно это проще сделать при гипотезе Яо) [39, 54, 78] .
Последовательности {Рп (х | Яо), n = 1, 2,. . .} и {Рп (х | Я1) , п = 1, 2,. . .} называются контигуалъными^ если для любой статистики ^п (х) сходимость по вероятности) ^п (х) -^> 0 для выборки X из распределения Рп (х | Яо) имеет место тогда и только тогда, когда ^п (х) -А- 0 для выборки х из распределения Рп (х | Я1). Здесь и всюду в дальнейшем, если особо не оговорено, имеется в виду предельный переход при п —> оо.
Контигуальность характеризует близость последовательностей распределений при п —> ос. Доказано ([112], лемма 2.1, с. 17), что из сходимости двух последовательностей распределений в Li-норме, т. е.
из предельного соотношения
||P„ (х I Яо) - Рп (х I Я1)||£1 = j |wn (х I Яо) - wn (х I Hi^dx О,X
где wn (х | Н^ — плотности распределений Рп (х | Н^ , к = 0,1, по мере Лебега, следует контигуальность этих последовательностей. Однако обратное утверждение неверно в общем случае, т. е. контигуальность — более слабая мера близости распределений по сравнению с мерой в Li-норме. Поэтому у контигуальных последовательностей предельное отношение правдоподобия не обязано быть тождественно равным 1 в отличие от отношения правдоподобия распределений, эквивалентных в Li-норме.
Имеется ряд признаков контигуальности последовательностей распределений [39, 112]. Приведем один такой признак, удобный для практического применения. Рассмотрим последовательность функций распределения Фп (z) = Р ^1п ^ z | |Я0} отношения правдоподобия 1п (х) и функцию распределения Ф (z) = Р{/ ^ z | Н^ некоторой статистики I (х), где Р^- | Яо} — вероятность указанного в скобках события при гипотезе Яо- Ле Камом доказана следующая лемма ([39], с. 256).
Лемма 3.1. Если Фп (z) —> Ф (z) во всех точках непрерывности функции Ф (z) и справедливо равенство
(3.5)(3.5)zdФ (z) = 1,
(3.5)
(3.5)
то последовательности {Рп (х | Яо) > ^ = 1? 2,. . .} , {Рп (х | Я1), п = 1, 2,. . .} контигуальны.
Сходимость Фп (z) —> Ф (z) в каждой точке z, где Ф (z) непрерывна, равносильна сходимости по распределению случайных величин 1п,п = = 1,2,..., к случайной величине /).
Если вместо указанной сходимости ln Д I рассматривается сходимость 1п/п Д ц, то условие (3.5) записывается в виде
j exp (У df (У = 1, (3.6)
где / (У — функция распределения случайной величины ц.
Следствие леммы 3.1. Если ц — нормальная случайная величина со средним значением а и дисперсией о2 и 1п/п Д ц, то для контигуальности последовательностей распределений Рп (х | Яо) , Рп (х | Я]) достаточно чтобы при гипотезе Н^ среднее значение а = —о2/2.
В справедливости следствия нетрудно убедиться, проверив выполнение условия (3.6).
Асимптотическое разложение и асимптотическая нормальность логарифма отношения правдоподобия. Асимптотическое разложение логарифма отношения правдоподобия имеет основополагающее значение в асимптотической теории проверки гипотез. На этом разложении базируется аппроксимация в Ly-норме последовательности ^Рп (х | Я1) ,п = 1,2,...}, которая используется при статистическом синтезе асимптотических алгоритмов. Приведем асимптотические разложения In 1п (х) в случае независимой выборки из шума.
Обозначим через го (У маргинальную ПРВ шума и через го (t | il) маргинальную ПРВ смеси сигнала с шумом и положим, что го (t \ б = 0) = го (t\ При аддитивном шуме это условие выполняется, так как плотность го (t | il) = го (t — б).
Асимптотическое разложение In 1п (х) выражается либо через поточечную производную по il от In w (t | il) в точке il = 0 [54, 55], либо через среднеквадратическую производную по il от ^/го (t | il) в той же точке [112]. В теоретическом отношении более оправдано применение среднеквадратической производной. Однако при решении прикладных
задач удобнее пользоваться поточечной производной:
так как ее проще вычислить.
Если ПРВ шума строго положительная и имеет производную , то при аддитивном шуме производная (3.7) существует и выражается в виде
v(t) =-^tnw^).(3.8)
Функции (3.7) и (3.8) принято называть логарифмическими производными ПРВ шума.
В случае независимой выборки логарифм отношения правдоподобия
ln/^x) = f>^M^^(3.9)
г=1
где S^ i = 1,. . . , п — компоненты сигнального вектора S, у которого для краткости опущена зависимость от параметра 9.
Асимптотическое разложение статистики (3.9) на основе поточечной производной (3.7) существует при выполнении следующих условий.
Сигнальный вектор S имеет при любом п норму ||S|| = д/п и равномерно ограниченные по модулю компоненты: max |S^| С В < < ос.
Плотность w (t | й) — непрерывная и положительная по аргументу t функция, дифференцируемая по il в точке il = 0.
ЗА. Информация Фишера о сдвиге, / (w) = j V2 W w № ^ удовлетворяет неравенству 0 < / (w) < ос.
Существует окрестность U точки il = 0, в которой плотность w (t | il) = w (t) [1 + il\|/ (t) + il23 (t, il)], где j 82 (t, il) w (t) dt < C < < oo Vii e U.
Из приведенных условий наиболее сильным является условие 4А, так как для его выполнения ПРВ шума должна быть достаточно гладкой функцией. Это условие, в частности, выполняется, если в окрестности U плотность w (t | il) дважды дифференцируемая по il функция и справедливо неравенство
а29 W ай2а29 W ай222(t | il) w (t) dt(t | il) w (t) dt< oo w е и.< oo w е и.(3.10)(3.10)
а2
9 W ай2
а2
9 W ай2
2
2
(t | il) w (t) dt
(t | il) w (t) dt
< oo w е и.
< oo w е и.
(3.10)
(3.10)
Неравенству (3.10) удовлетворяют многие известные ПРВ шума, в частности, ПРВ с минимальной информацией Фишера о сдвиге,
играющие важную роль при синтезе асимптотических робастных алгоритмов.
Асимптотическое разложение логарифма отношения правдоподобия и предельные распределения логарифма отношения правдоподобия при наличии и отсутствии сигнала, даны в следующей теореме.
Теорема 3.1. При выполнении условий 1А^ ...^ ДА логарифм отношения правдоподобия (3.9) имеет как при гипотезе Но. так и при альтернативе Hi асимптотическое разложение;
In и (х) = ХТ„ (х, S) - —/ (w) + а„ (х), (3.11)
где ап (х) А 0, статистика
T„(x,S) = A^S^iY (3.12)
V z=l
Логарифм отношения правдоподобия^ 1п (х) А ц, гдет\ — нормальная случайная величина с дисперсией о2 = X2/ (w) и средними значениями то = — (X2/2) / (w), и mi = (X2/2) / (w), соответственно^ при гипотезах Но и Hi.
Из теоремы 3.1 следует, что статистика (3.12) удовлетворяет предельным соотношениям Тп -^ ц (ао, о2)? ПРИ гипотезе Но. и Тп -^ ц («1, о2), при гипотезе Н^ где ц (ао, о2) , п («1, о2) — нормально распределенные случайные величины с дисперсией о2 = X2/ (w) и средними значениями ао = 0 и ai = I (w).
Теорема 3.1 справедлива при менее сильных предпосылках, чем известная теорема аналогичного содержания ([55], теорема 1, с. 505). Это связано с тем, что в теореме 3.1 вместо достаточно сильного условия ([55], неравенство (17.23а), с. 498), используется существенно менее ограничительное условие 4А.
Несмотря на изменение исходных посылок, доказательство теоремы 3.1 совпадает в основном с доказательством указанной теоремы в [55]. Поэтому оно не приводится. Отметим только, что при доказательстве теоремы 3.1 сначала доказывались утверждения теоремы при гипотезе Но. а затем устанавливалась их справедливость, при гипотезе Н^ с использованием контигуальности распределений при гипотезах Но и Hi. Контигуальность этих распределений нетрудно доказать на основе следствия леммы 3.1.
Аппроксимация в Li-норме последовательности распределений наблюдаемой выборки. При Li-подходе к синтезу алгоритмов используется аппроксимация в Li-норме последовательности ^Рп (х | Hi) , ?2 = 1, 2, . . .} последовательностью экспоненциальных распределений [112]. К идее подобной аппроксимации приводит асимптотическое разложение (3.11), согласно которому отношение
11 Богданович В.А., Вострецов А.Г.
правдоподобия 1п (х) ведет себя приблизительно так, как если бы оно было отношением правдоподобия экспоненциальных распределений.
При Li-подходе к статистическому синтезу последовательность {Рп (х | Яо), п = 1, 2,. . .} не изменяется, а ^Рп(х | Я1), п = 1, 2,. . .} заменяется на последовательность {Рп (х | Я1), п = 1, 2, . . .} распределений экспоненциального типа, имеющими по мерам Рп (х | Яо) производные Радона-Никодима (отношения правдоподобия) 1п (х) = = dPn(x\HT)/dPn(x\H0Y ~
Для построения распределений Рп (х | Я1) применяется статистика (3.12). В общем случае при построении этих распределений требуется усечение статистики (3.12). Усеченная статистика определяется в виде Тп (х, S) = Тп (х, S) Iq^ (х) , п = 1,2,..., где Тп (х, S) — статистика (3.12) , Ic^ (х) — индикатор множества Сп = {х : \Тп (x,S)| < осп}, an, n = 1, 2,. . . — последовательность порогов усечения, неограниченно возрастающих с ростом п (подробнее о порогах усечения см. в [112] на с. 77).
Усечение статистики (3.12) требуется тогда, когда нет гарантии, что среднее М {exp \_ХТп (х, S)] | Р (х | Яо)} < оо, где М { • | Р (х | Яо)} — оператор усреднения по распределению Рп (х | Яо). Введение усеченной статистики Тп (х, S) — это математический прием, при помощи которого определяются распределения Рп (х | Н^. На завершающем этапе синтеза алгоритм выражается через исходную не усеченную статистику Тп (х, S) без потери эффективности.
Распределения Рп (х | Н^ определяются через отношения правдоподобия:
ln (х) = exp [—Ап (X, S)] exp \ХТп (х, S)], п = 1, 2,. . . , (3.13)
где Ап (X, S) = InM {exp \ХТп (х, S)] | Р (х | Яо)}. В (3.13) множитель exp [—Ап (X, S)] необходим для нормировки к единице меры РП1 т. е. для обеспечения равенства M{/n (х) | Р (х | Н^ = 1. В ([112], с. 83, 84) установлено, что Ап (X, S) —> (X2/2) / (w).
При выполнении определенных условий последовательности {Pn (х | Hi) , n = 1, 2,. . .} и {Pn (х | Hi) , n = 1, 2,. . .} асимптотически эквивалентны в Li-норме (см. в [112] теорему 1.1 на с. 77 и примечание 4 на с. 240). Сформулируем этот фундаментальный результат в виде следующей теоремы.
Теорема 3.2. Li-норма
||Р„(х| Н1)-РДх\ Нт)\\и =
= M{|L„(x)- L„(x)| | P(x| Я0)}^0, (3.14) если существует асимптотическое разложение (3.11) логарифма отношения правдоподобия^ и при гипотезе Н^ справедлива сходимость
Тп (х, S) 4 ц, где ц — нормально распределенная случайная величина с нулевым средним и дисперсией о2 = X2/ (w).
Из теоремы 3.1 следует, что в нашем случае для сходимости (3.14) достаточно выполнения условий 1А, ..., 4А.
В заключение отметим, что все приведенные в п. 3.2 определения и положения остаются в силе и в случае много альтернативной проверки гипотез. Наличие т альтернатив вместо одной альтернативы проявляется лишь в том, что эти определения и результаты формулируются в отдельности для каждой пары {Но, Н^ k = 1, . . . , т.
Статистический синтез асимптотически оптимальных инвариантных алгоритмов
Формулировка задачи синтеза АОИ-алгоритмов. В данном разделе разрабатывается методика синтеза АОИ-алгоритмов обнаружения и различения сигналов в предположении, что распределения наблюдаемой выборки х принадлежат семействам (3.1) и (3.2). Параметры X и у этих семейств принимаются априорно неопределенными, а параметр 6 — случайным с некоторым априорным распределением Р (9). Для преодоления неопределенности параметров X и у используется принцип инвариантности в связи с симметричностью семейств (3.1) и (3.2) относительно группы G преобразований масштаба и сдвига. Априорная неопределенность параметра 9 преодолевается с применением байесовского метода (см. п. 2.6).
В соответствии с асимптотическим подходом к синтезу алгоритмов рассматриваются бесконечные последовательности ср = = {фп, п = 1, 2,. . .}, где срп — алгоритмы при конечных размерах выборки х. Эти последовательности называются асимптотическими алгоритмами. В связи с применением принципа инвариантности алгоритмы ограничиваются классом $инв последовательностей ф, инвариантных относительно определенной в п. 3.1 группы G.
Так как любой инвариантный алгоритм выражается через МИ группы G, то выборка х редуцируется к статистике у (х) — МИ группы G. В соответствии с этой редукцией семейства (3.1) и (3.2) распределений выборки х заменяются при каждом п на семейства распределений МИ:
Ро,« = {Рп (у)} , (3.15)
Р^,» = ^Рп (у |®,е), со е (0, оо), е е E(fc)}, к = 1,...,т, (3.16)
где статистика у выражается в форме (3.3), а параметр со = Х/у согласно (3.4). Отметим, что каждое семейство Ро,™ состоит из единственного независящего от параметра у распределения Рп (у), так как группа G* транзитивна на множестве значений параметра у.
Для последовательности семейств (3.15), (3.16) задача синтеза АОИ-алгоритма ср* формулируется в виде следующей задачи оптимизации:
П (ф*, со) = min П (ф, со) , со е (0, ос) , ]
<pesa V (3.17) а (ф*) ос, J
где П (ф, со) = lim П (фп, со), П (фп, со) — усредненные по распределению Р (9) потери алгоритмов фп (см. п. 2.6), а(ф) = lim а(фп), ос(фп) — вероятность ложной тревоги алгоритмов фп, ос — заданный уровень вероятности ложной тревоги, Sa С $Инв — множество инвариантных асимптотических алгоритмов уровня ос.
Решение задачи (3.17) разделим на следующие этапы.
Этап 1. Построение последовательности распределений Рп(у | со, 0), п = 1,2,..., аппроксимирующих в Ly-норме последовательность распределений Рп(у | со, 9), п = 1, 2,. . ., из семейств (3.16).
Этап 2. Построение последовательности байесовских алгоритмов Фп уровня ос, оптимальных при каждом п для семейств распределений
Ро,п = {Рп (У)} ,
Рк,» = ^Г (у I СО, е), со € (0, оо), 0 € E(fc)} , к = 1,..., т.
Этап 3. Доказательство асимптотической оптимальности последовательности ф = {фп, п = 1, 2,. . .} для последовательности семейств распределений (3.15), (3.16).
Этап 4. Построение алгоритмов ф* путем замены в алгоритмах Фп усеченных статистик, использованных при построении распределений Рп(у|®,9), на соответствующие не усеченные статистики и доказательство того, что последовательность ф* = {ф* , п = 1, 2,. . .} удовлетворяет условиям задачи (3.17).
Последний этап исключается, если для построения распределений Рп (у | ®, 9) не требовалось применять усеченные статистики. В этом случае искомым АОИ-алгоритмом является последовательность ф* = = ф.
Аппроксимация в Li-норме последовательности распределений максимального инварианта. Аппроксимация в Li-норме последовательности распределений Рп (у | со, 9) базируется на аппроксимации в Li-норме последовательности распределений наблюдаемой выборки и на лемме 2.4, в которой дано общее выражение для отношения правдоподобия МИ группы G.
В п. 3.2.3 было установлено, что для асимптотической аппроксимации в Li-норме распределений наблюдаемой выборки требуется выполнение условий 1А,... ,4А. Поэтому эти условия примем также
и при асимптотической аппроксимации в Li-норме распределений МИ группы G.
При выполнении условий 1А,... ,4 А справедливы теоремы 3.1 и 3.2. Согласно теореме 3.1, семейства распределений (3.1), (3.2) имеют следующее асимптотическое разложение логарифма отношения правдоподобия:
(3.18)(3.18)ln/n (х I Х,9,у) = -Т„ (х, 9, у) - Al (w) +ап (х),
(3.18)
(3.18)
где ап (х) ^-> 0, статистика
(3.19)(3.19)1 п
(3.19)
(3.19)
Тп (х, 9, у) = ^52 Si (е) V
Согласно теореме 3.2
М{|/п (х | Х,9,у) —/п (х | Х,9,у)| | Р„(х|у)}^0,(3.20)
где М { • | Рп (х | у)} — оператор усреднения по распределению выборки х при отсутствии сигнала,
Тп (х | X, 9, у) = exp [- Ап (X, 9, у)] ехр [(Х/а) Тп (х, 9, у)] ,
Ап (X, 9, у) = In М {ехр [(Х/а) Тп (х, 9, у)] | Рп (х | у)} ,
Тп (х, 9, у) = Тп (х, 9, у) 1Стг (х) ,
1сн (х) — индикаторная функция множества Сп = {х : \Тп (х,9,у)| ^ ^ осп}, ап — порог усечения статистики (3.19).
Используя разложение (3.18) и лемму 2.4, определим аппроксимирующие распределения Рп (у | со, 9) статистики у (х) через отношения правдоподобия dPn (у | со, 9)/dPn (у) вида
Тп (у | со, 9) = М (Гп (х | X, 9, у) | Рп (х | у, у)} ,(3.21)
где М { • | Рп (х | у, у)} — оператор усреднения по условному распределению выборки х при отсутствии сигнала и фиксированном значении у статистики у (х).
Покажем, что последовательность ^Рп (у | со, 9) , п = 1,2,...} действительно аппроксимирует в Li-норме последовательность {Рп (у | со, 9) , п = 1,2,...} распределений МИ группы G.
Лемма 3.2. При выполнении условий 1А,... ,4А,
М {\Тп (у | со, 9) - 1п (у | со, 9)| | Рп (у)}0,(3.22)
где М { • | Рп (у)} — оператор усреднения по распределению МИ в отсутствие сигнала^ 1п (у | со, 9) = dPn (у | m^)/dPn (у) — отношение правдоподобия МИ.
Доказательство. Согласно лемме 2.4 отношение правдоподобия /п (у | со, 9) = М {/n (х | X, 9, у) |РП (х |у, у) }. Отсюда, принимая во внимание (3.21), находим
м{|7п (у) - /„ (у)| I Рп (у)} =
= М-ЦМД» (х) - /„ (х) |Fn (х I у,у)}| I Р» (у)} <
< М{М{|7„ (х) - /„ (х)| I Рп (х I у, у)} | Рп (у)} =
= М{|7„ (х) - ln (х)| I Рп (х I у)} , где /п (•) и Zn( •) — сокращенные обозначения для отношений правдоподобия. Тем самым, имеем неравенство
М{|Х (у) - In (у)| I Рп (у)} < М{|?„ (х) - ln (х)| I Рп (х I у)}.
Из данного неравенства и сходимости (3.20), получаем, что при выполнении условий 1А,..., 4А имеет место сходимость (3.22).□
В соответствии с леммой 3.2 последовательность {Рп (у | со, 9) , п = =1,2,...} аппроксимирует в Ly-норме последовательность
^Рп(у | со, 9) , п = 1,2,...}, так как сходимость (3.22) означает, что lA(y I ®,е) - Рп(у I w,e)||Li -> о.
При использовании разложения (3.18) редко удается получить явное выражение для 1п (у | со, 9) в связи с трудностями, возникающими при вычислении оператора М{- | Рп (х | у,у)}. Однако эти трудности можно обойти, если вместо разложения (3.18) применить другое асимптотическое разложение логарифма отношения правдоподобия (в принципе, это возможно сделать, так как (3.18) не единственное такое разложение).
Для построения нового разложения In ln (х | X, 9, у) образуем на основе (3.19) статистику
(3.23)(3.23)Zn (х, 0) = Т„[х,0, у„ (х)],
(3.23)
(3.23)
где у „ (х) - Уп-состоятельная оценка) параметра у. Предположим, что для статистики (3.23) как при отсутствии, так и при наличии сигнала справедлива сходимость
(3.24)(3.24)Тп (х, 0, у) - Zn (х, 0) А 0,
(3.24)
(3.24)
где р — вероятностная мера с тем же значением параметра у, что и у статистики (3.19) (далее приведены условия, обеспечивающие эту сходимость).
Асимптотическое разложение In/п (х | X, 9, у), выраженное через статистику (3.23), имеет вид
1п/„ (х I X, e,v) = -Zn (х,0) - —^I (w) + Р„ (х), (3.25) так как рп (х) = ап (х) + (Х/а) \Тп (х, 9, у) — Zn (х, 9)] Д 0 ввиду сходимости (3.24).
Вследствие сходимости (3.24) статистика Zn (х, 9) сходится по распределению к той же случайной величине, что и статистика (3.19). Поэтому согласно теореме 3.2 разложение (3.25) равносильно разложению (3.18) с точки зрения аппроксимации в Li-норме распределений выборки X. _
Построение распределения Рп (у | со, 9) на основе разложения (3.25) существенно упрощается, когда статистика (3.23) инвариантна относительно группы G. Покажем, что для инвариантности статистики (3.23) достаточно, чтобы оценка у п (х) была эквивариантной) относительно групп G и G*. Из (3.19) с учетом определения преобразований масштаба и сдвига получаем
Тп (gx, 9, g^ = Тп (х, 9, у) Vg Е G, (3.26) где g* — преобразование группы G*, имеющее те же параметры, что и преобразование g Е G. Из (3.23) с учетом эквивариантности оценки уп (х) находим ZH (gx, 9) = Tn[gx, 9,g*yn (x)]. Согласно (3.23) и (3.26) имеем Zn (x, 9) = Tn[gx, 9, g*yn (x)]. Тем самым, получаем, что Zn (gx, 9) = Zn (x,9) Vg 6 G, т. e. что статистика (3.23) инвариантна относительно группы G.
Используя выражение (3.21), вычислим отношение правдоподобия 1п (у | со, 9) в случае применения эквивариантной оценки параметра у. В соответствии с разложением (3.25) имеем
Тп (х I X, 9, у) = ехр [- Ап (Х/о, 9)] exp [(Х/а) Zn (х, 9)] , (3.27) где Zn (х, 9) = Zn (х, 9) 1Стг (х), 1Стг (х) — индикатор множества Сп = = {х : \Zn (х,9)| С осп},
Ап (1/(5, 9) = In М {exp [(Х/а) Zn (х, 9)] | Рп (х | у)} .
Ввиду инвариантности статистики Zn (х,9), существует некоторая функция Vn (у, 9) такая, что Zn (х, 9) = Vn [у (х) , 9]. Поэтому выражение (3.27) может быть преобразовано к виду
Тп (х | со, 9) = ехр [- Ап (со, 9)] exp {coVn [у (х) , 9]} , (3.28) где со = Х/а, Vn [у (х) , 9] = Vn [у (х) , 9] 1Ст1 (х).
Подставляя (3.28) в (3.21) и вынося exp {соУп [у (х) ,9]} за оператор М { • | Рп (х | у, у)}, ввиду фиксированного значения статистики у (х), получаем искомое отношение правдоподобия:
U (у | со, 9) = ехр \-Ан (со, 9)] exp [coVn (у, 9)] .(3.29)
Выражение /п (у | со, 9) в форме (3.29) важно в теоретическом отношении. Однако при его практическом применении требуется явное выражение для статистики V^(y,9), которое нелегко получить. Для практики представляет интерес выражение отношения правдоподобия /п не через МИ группы G, а через наблюдаемую выборку. Такое выражение следует из (3.29), тождества ZH (х, 9) = Vn [у (х) , 9] и выражения (3.23) для статистики Zn (х,9). Оно имеет вид
U [у (х) I со, 9] = ехр \-Ап (со, 9)] ехр{соТп[х, 9, уп (х)]},(3.30)
где Tn[x,9, yn (х)] = Tn[x,9, yn (x^Ic^ (х), 1Ст1 (х) — индикатор мно
жества Сп = {х : |Тп[х,9, уп (х)] | < осп}.
Приведем теперь условия, при выполнении которых обеспечивается сходимость (3.24). При формулировке этих условий подразумевается,
что оценка у п (х) является д/п-состоятельной в отсутствие сигнала. Отметим, что при этом не требуется, чтобы оценка была д/п-
состоятельной также и при наличии сигнала.
Лемма 3.3. Для сходимости (3.24) как при наличии, так и при отсутствии сигнала, достаточно, чтобы
существовали производные А„(х, 9, у) =Tn(x,9,y) Vy =
= 0,. . . , Р, где у0 = о, ^з = ^j, j = 1, . . . , Р;
в отсутствие сигнала производные Ап^(х,9,у) сходились по распределению к ограниченным по вероятности случайным величинам МА при всех j = 0,. . . , Р;
у любой точки у существовала окрестность UY такая, что
||Ап(х,9,у) - Ап(х,9,у)|| С Qn(x,9,y)||y-y|| Vy Е UY,
M{Qn(x,9,y) | wn(x | у)} С Сп(9,Дпа,
где
Ап(х,9,у) = {А^(х, 9, у), у = 0,. . . , Р}, СДе,Д < С < ос, ос< 1, М{ • | wn (х | у)} — оператор усреднения по распределению семейства (3.1).
Доказательство. Докажем сначала данную лемму в случае принадлежности распределения выборки х семейству (3.1).
Для краткости обозначим через Тп (у), Ап (у) и уп, соответственно, статистики Тп (х,9,Д, Ап (х, 9, у) и оценку уп (х). Применяя формулу Тейлора, находим
Тп (у) - Тп(у„) = (Дп (у) ,^„),(3.31)
где у = у + P^n, ^n = Yn — Y? Р ^ [0,1], (*, •) — скалярное произведение векторов.
Запишем (3.31) в виде
Тп (у) - Тп(уп) = (An(y),U + ^пЛп^ .(3.32)
где 8П = Дп (у) — Дп (у). Представим первое слагаемое правой части
р.
в форме (Дп (у) , ^п) = ^ Ап^ М ^п \ где Д„^ (у) — компоненты j=o
векторной статистики Дп (у), '^ = у^ — у?, Yn^Yj — соответственно компоненты оценки у п и параметра у.
Согласно посылке 2) компоненты Д„ ^ (у) сходятся по распределению к некоторым случайным величинам. Кроме того, в силу состоятельности оценки уп, справедливы сходимости у„ ^ — у? ^ 0 Vy = 0,. . . ... , Р. Поэтому в соответствии с теоремой Крамера ([ИЗ], теорема 40.2, с. 132) имеем Д^^у)^^ A OVJ = 0,. . . , Р. Отсюда с учетом конечности Р находим, что
к^МДДу),^) АО.(3.33)
Установим сходимость к£2^ = (8П,^П) А- 0. Так как сходимость по вероятности метризуется с помощью расстояния d (кп, к) = = MY {min (1, |кп — к|)} ([79], с. 374), то сходимость к^ А 0 равносильна сходимости d (к£2\ 0) А 0. Здесь и далее при доказательстве леммы Му { • } — сокращенное обозначение оператора М{- | wn(x | у)}.
Для д/п-состоятельной оценки у п найдутся при любом е > 0 такие Ь£ и п^ что Ь£/^1 < г,Му{/дп} < е/2 Vn ^ п', где т — радиус окрестности UY, Ia^ — индикатор множества Ап = {х : д/п ||^п|| > 6е}.
Представим расстояние d (кп, 0) в виде
d (кп, 0) = Му{/^ min (1, |кп|)} + Му{/Лтг min (1, |кп|)},(3.34)
где 1д — индикатор множества Ап = {х : д/п ||^n|| ^ b£Y
Так как min (1, |кп|) ^ 1, то
Му{/Лптт(1,|кп|)} < Му{/лЗ < г/2 Vn > <.(3.35)
На множестве Ап имеем ||^n|| ^ Ь£/у/п < т ^п ^ pY Поэтому у = у + p^n е Uy при х е Ап и пpY так как ||у — у|| =
= Pll^nll С рг ^ г. Следовательно, при выполнении посылки 3) полу-
чаем |к„| = К3„,^„)| < ||3„|| • ||^n|| < Qn Цу-уЦ • Н^Н < Qn |Ы|2 Vx € 6 Ап^п ^ п^. Отсюда с учетом того, что min (1, |кп|) ^ |кп|, находим
MY{/5n min(l, |к„|)} < МД/^Q» НМ2}-(3.36)
Из (3.36) с учетом того, что ||^п||2 С ЬЦп Уж 6 АП1^П -п^
получаем
MY{/^min(l,|Kn|)} < 62MY{Qn}/n Vn <(3.37)
Согласно посылке 3) имеем My{Qn} ^ Спа^ где ос < 1. Потому существует такое значение п", что 62My{Qn}/n ^ СЬ^/п1-а ^ е/2 Vn ^ п”. Тем самым, полагая п,м = шах (п', пП) и учитывая (3.37), находим
М^ {/^ min (1, |кп|)} С е/2 Vn > пш.(3.38)
Согласно (3.34), (3.35) и (3.38) имеем сходимость
(3.39)
Из (3.33) и (3.39) получаем в отсутствие сигнала сходимость
Тп(уп) — Тп (у) ^> 0. Справедливость этой сходимости при наличии сигнала следует из контигуальности последовательностей {wn (х | у) , n = 1, 2,. . .} и {wn (х | X, 9, у), n = 1, 2,. . .} распределений семейств (3.1) и (3.2), которую нетрудно установить с помощью теоремы 3.1 и следствия леммы 3.1. □
Лемма 3.3 применима как при зависимой, так и при независимой наблюдаемой выборке. Далее на основе этой леммы доказываются другие леммы, более удобные для применения в случае независимой выборки.
Лемма 3.4. При независимой выборке для сходимости (3.24) до- статочно^ чтобы логарифмическая производная \|/ (t) была абсолютно непрерывной функциейи выполнялись условия
1) (1/Vn)^5i(0)1) (1/Vn)^5i(0)(W^)E^ (6) 4^(W^)E^ (6) 4^D < ос,D < ос,
1) (1/Vn)^5i(0)
1) (1/Vn)^5i(0)
(W^)E^ (6) 4^
(W^)E^ (6) 4^
D < ос,
D < ос,
max \S{ (9)I < В < ос, . max le^l < В < ос, при всех 9 6 IJ S^\ г = 1,...,пг=1,...,пk — i
3 = V • • .Р.Т1 = 1^.. ц
0 < М {[tv' (^)]2 I w W} < °°? 0 < М{[у' (t)]2 | w (t)} < 00, где М{ • | w (t)} оператор усреднения по маргинальному распределению шума с параметром о = 1;
для каждого у сухцествовала окрестность UY такая^ что
\РЧ!,Х - РЧ^чД <9р)(^т)||т-т|| V7eUy,г = 1, . . . , п, з = 0,. . . , Р,
гдегдеМ^ q^М^ q^-(г+Е^Д.УV J = 17--(г+Е^Д.УV J = 17-Iw wIw w^ C (y) < oo^ C (y) < ooVj = 0,..., P,Vj = 0,..., P,Vz = 1,. . . , n,Vz = 1,. . . , n,
где
где
М^ q^
М^ q^
-(г+Е^Д.У
V J = 17-
-(г+Е^Д.У
V J = 17-
Iw w
Iw w
^ C (y) < oo
^ C (y) < oo
Vj = 0,..., P,
Vj = 0,..., P,
Vz = 1,. . . , n,
Vz = 1,. . . , n,
fi^ ^ = ^v ^ 6 - E ^e?^L \ J=i/
Ab) (<,?) =Ab) (<,?) =YT-V -ft" E^e-^ dll) O \3 г
Ab) (<,?) =
Ab) (<,?) =
L X J = 1
3 =
Доказательство. Лемма верна, если статистики Д„ (х,9,у) =
= (1/V^) У^ Si (9) jz3 (xi, у) удовлетворяют условиям 2) и 3) лем- г=1
мы 3.3. Согласно определению статистик f^ (Ду) и посылке 2) имеем
М{[Л(0) (жйУ)] I wn (х I у)} = (4) М{Н'W]2 I w W} < °°,М{[ЛО) (жьу)] I wn (х | у)} < (^) M{[V'(t)]2 | w(t)} < оо,В = max max
z=l,...,n j = lv..,P 1 г 1
M{AW (х,е,у) |w„ (x|y)} = -EM{tv'(t) I wity^^Si (e),V z=l
М{Д«) (x,e,y) I W„ (X I У)} = -1m{V W I w (*)} -^ £ ^s, (e),j = 1,..., p.
Отсюда с учетом посылок 1) и 2) находим, что согласно центральной предельной теореме все статистики Дп ^ (х,9,у) сходятся по распределению к ограниченным по вероятности нормальным случайным величинам. Тем самым, статистики Дп ^ (х,9,у) удовлетворяют посылке 2) леммы 3.3.
Выполнение условия 3) леммы 3.3 следует из того, что при выполнении посылок 1) и 3) справедливы неравенства
М{|Д^ (х,е,у) - д^) (х,е,у)| I w„(x I у)} < ВС (у) ^/2 ||7_7||Vj = О,..., Р,
где В = . max \Si (9)| < 00, С (у) < оо.□
Приведем еще одну лемму, содержащую достаточные для сходимости (3.24) условия при независимой выборке. Эта лемма играет далее важную роль при синтезе асимптотически робастных алгоритмов.
Лемма 3.5. При независимой выборке с конечной дисперсией и выполнении условия 1) леммы 3.4 для сходимости (3.24) достаточно^ чтобы
логарифмическая производная \|/ Д) имела производные ^ W и V' (£) ^Р11- всех t за исключением^ может быть, конечного числа точек t^ k = 1, . . . , L, в которых У (t) претерпевает разрывы первого рода;
при всех t ^ tk выполнялись неравенства 1^ (^)l С С, \V'№\ ^С.С < ос.
Доказательство. Ввиду наличия разрывов первого рода у производной \/ Д) воспользуемся при доказательстве леммы следующим математическим приемом — заменим функцию \|/ Д) последовательностью более гладких функций {\|/n (t) ,п = 1,2,...}. Функции \|/n Д) выберем такими, чтобы, во-первых, для статистики
Тп (х, е, у) =52 ^ (6) V»Тп (х, е, у) =52 ^ (6) V»1о1о(3.40)(3.40)
Тп (х, е, у) =52 ^ (6) V»
Тп (х, е, у) =52 ^ (6) V»
1
о
1
о
(3.40)
(3.40)
выполнялись посылки леммы 3.3 и, во-вторых, имела место сходимость
(3.41)(3.41)Тп (х, 0, у) - Т„ (х, 0, у) А 0.
(3.41)
(3.41)
Для построения функций \|/n Д) выделим окрестности т^ = = ^tk — n-\tk + n-v) точек tk разрыва первого рода у производной \/ (t^ положив v > 0. Определим на этих окрестностях кубические сплайны 5п(Дт/е), удовлетворяющие условиям Sn (tk ± n-v, т^ = = \|/ (tk ± ti-n\ S' (tk ± n-v) = \|/z (f =E n-v), k = 1,. . . , L, и построим функции \|/n (t) путем сглаживания функции \|/ (t) на всех окрестностях Tk сплайнами Sn (t,Tk\.
Vn W = <Vn W = <(3.42)(3.42)^n (^?^A:) .^ ^ ^ks ^ — 1,, ^t
Vn W = <
Vn W = <
(3.42)
(3.42)
v(t), t $ T, T = U Tfc. fc=i
Покажем, что при значении v > 0,25 имеет место сходимость (3.41). Согласно посылкам леммы функция \|/ Д) удовлетворяет условию Липшица порядка 1, поэтому
шах |\|/ (t) — Sn (Д т/Д| С Ajn^ ^k = l,...,L,(3.43)
tETk
где А < оо ([82], теорема 2.3.1, с. 25). С учетом (3.42) и (3.43) находим, что М {|\|/ (t) — \\fn (t)| | го (t)} < AM ^IT (t) | го (t)}/nv, где 1т (^) — индикатор множества Т. В случае непрерывной по мере
Лебега плотности w (t) среднее значение М ^Дт (t) |w (t) } ^ К/т^при некотором значении К < ос, поэтому
M{|v(t) - Vn W\ I w (t)} < АК/п2".(3.44)
Согласно (3.40) и (3.44) имеем
м{|т„ (х,е,у) - тп (х,е,у)| | w (х | у)} <
< (l/Vn) Ё |Д (е)|М{|у[^ (х,у)] - Vn [ti (х,у)]| I W (х I у)} < г=1
< АК max |^ (е)|/n2v-°’5,
где max |S< (9)| < оо, величины
Мхл) = | Ё\ ~ У L г = 1,...,п.(3.45)
\j=1/
Таким образом, при значении v > 0,25 обеспечивается сходимость М {|ТП (х, 9, у) — Тп (х, 9, у)| | wn (х | у)} —> 0, из которой, как более сильной, следует сходимость (3.41).
Для доказательства леммы требуется также сходимость
(3.46)(3.46)тп[х, е, у„ (х)] - тп[х, е, у„ (х)] Д о.
(3.46)
(3.46)
Эта сходимость доказывается так же, как и сходимость (3.41), если заменить (3.45) на величины t^ (х) = ^[х, у (х)], г = 1,. . . , п.
Из определения \|/n Д) в форме (3.42) следует, что при выполнении посылки 2) производные Дп (t) и \|/^ (t) удовлетворяют при некотором значении L < ос неравенствам
SUP IK Wl < L, sup IK (t)| < W.(3.47)
tt
Используя неравенства (3.47), докажем сходимость
Т„[ж,е,у„(х)] -Тп(х,0,у) До(3.48)
путем проверки условий леммы 3.3.
Выполнение условия 1) леммы 3.3 следует из посылки 1) доказываемой леммы и выражения \|/n (t) в форме (3.42).
Для проверки выполнения условий 2) и 3) леммы 3.3 вычислим про
изводные Ап (х, 9, у) =(х, 9, у), з = 0, . . . , Р. Дифференцируя
статистику (3.40) по параметрам у^-, находим
д^(х,е,у) = ^ЕД(е)/р')(х,у), j = O,...,P,(3.49)
где
Л(0) (х, y) = fa (x,y)] ti (x,v) ,
Ab) (x,y) = [ti (x,y)]
при j = 1, . . . , P, ti (x,y) — величины (3.45).
Замечая, что M ^f^ (х,у) | w (х | у)} = — (l/o2) М {t^n (^) I w
М { УГ (х, y)] I (х | y)} = (4) M-f^^t)]2 I w(t)},M{Ab) (x,y) I Wn (x I у)} = Де^М-^ (t) I w(Z)},m{[A0)(x,y)] I w„(x I y)} = [^e^j М{[у (t)]2 | w(t)}
Vz = 1,..., n, Vy = 1,..., P, и принимая во внимание (3.47), конечность дисперсии шума, независимость величин f^ (х,у) при разных значениях z, а также ограниченность по модулю компонент базисных векторов е^ и соотношения
4 Ё Si (9)4 Ё Si (9)С D < оо,С D < оо,ts. №=™V z=lts. №=™V z=lС D < оо,С D < оо,
4 Ё Si (9)
4 Ё Si (9)
С D < оо,
С D < оо,
ts. №=™
V z=l
ts. №=™
V z=l
С D < оо,
С D < оо,
находим, что статистики Ап^(х,0,у) сходятся по распределению к ограниченным по вероятности нормальным случайным величинам. Таким образом, установлено, что выполняется условие 2) леммы 3.3.
Отметим, что при финитной функции ц/7 (t) предположение о конечности дисперсии шума не требуется для выполнения условия 2) леммы 3.3, так какМ{Шф]2|МШ < С2М {/у (t) t2 | w (t)} < < (X) в соответствии с посылкой 2), где Id (t) — индикатор множества D = {Z:|<WI>0}-
Проверим выполнение условия 3) леммы 3.3. Для этого выберем окрестность Uy = {у: ||у — у|| Ст} некоторого радиуса г > 0 и представим в этой окрестности разности f^ (х,у) — f^ (х,у) формулой Тейлора по аргументу у. С учетом этого представления получим неравенства
l/p) (x,y) - jT (х,7)| < Е kS^^’Y^HlY-Yll, z . k=0
Vy E UY, г = 1,. . . , n, где
у = (1 — e) у + ey, O^e^l,
<Pij UJ = Ф;°о W = keTГ^ К (Z) + Vn (i) t\ ,
4>S W =W/g2, j,k = l,...,P,
Ф^о № = (V^2) [2Vn to t + y" (t) t2].
С учетом (3.47) и ограниченности компонент векторов е^ находим, что при достаточно больших значениях п выполняются неравенства
|Y$(t)| < Dn'(l + t2), D < оо, Vj,k = O,...,P.(3.51)
В соответствии с (3.50) и (3.51) имеем
\РЧх,ч) - РЧХ^)\ < (F + l)Dnv[l + ^(x,Y)]||Y-Y|| ,352) 4j = 0,..., Р, Mi = 1,..., п.’
Оценим норму || Дп (х, 9, у) — Ап (х, 9, у)||, где Д(х,9,у)=
= {Дп ^ (х,9,у) , j = 0,. . . , Р^. Согласно (3.49) и (3.52) получим
№ (х^ТЭ-Д^ (х,е,у)| <
< (Р + 1)2иВ^-0-5£[1 + ^(х,у)]||у-у||, (3.53) г=1
где max |S* (9)| В < ос.
Из (3.53) следует, что норма
Йп (х,е,у) - Д„ (х,е,у)|| < Qn (х,у) 117-у||, Vy € UY, (3.54) где
Qn (х,у) = Сп-°'ь £ [1 + t2 (х,у)], СМР + I)2 DВ < оо. г=1
Так как дисперсия З2 шума конечная, то М {t2 (х,у) | wn (х | у)} = = З2 < ос. Поэтому с учетом выражения для величины Qn (х,у) имеем
М {Qn (х, у) I wn (х I у)} = Fnw,(3.55)
где F = (7(1 + З2) < ос.
Из (3.54) и (3.55) следует, что при значении v < 0,5 выполняется условие (3) леммы 4.2. Отсюда с учетом выполнения условия (2) леммы 3.3 получаем сходимость (3.48).
Отметим, что в случае финитной функции ц/' (t) конечность дисперсии шума не требуется не только для выполнения условия 2) леммы 3.3, как было ранее установлено, но и для выполнения условия 3) этой леммы. Последнее следует из того, что если функция ц/7 (t) финитная, то функции ф^ (t) тождественно равны нулю вне ограниченного интервала. Вследствие этого Qn(x,y) в правой части неравенства (3.54) можно заменить на Qn(x,y) = / (х) Qn (х, у), где I (х) —
176 Гл. 3. Асимптотически оптимальные инвариантные алгоритмы индикатор дополнения к множеству, на котором все 9^ [^ (х,у)] = 0. Таким образом, в случае финитной функции ц/7 Д) сходимость (3.48) обеспечивается без предположения о конечности дисперсии шума.
Теперь докажем сходимость (3.24): Тп[х, 9, уп (ж)] — Тп (х, 9, у) А 0. Заметим, что при значении v Е (0,25, 0,5) имеют место как сходимости (3.41) и (3.46), так и сходимость (3.48). Так как
^[х.е, Yn(x)] - Т„(х,9,у) = {Т„[х,9, уп(х)]-Тп[х,9, у„(х)]}+
+ {Тп[х,0, уп(х)]—ТДх, 9, у)} + {Тп(х,9,^ - Т„(х,9,у)}, то при значении v 6 (0,25, 0,5) справедлива сходимость (3.24) согласно сходимостям (3.41), (3.46) и (3.48).□
Замечание. При доказательстве лемм 3.4 и 3.5 полагалось, что выполняются неравенства
(VV™) 52 Si (е)г=1(VV™) 52 Si (е)г=1С D < оо,С D < оо,^/V™) 52 Si Ме-^г=1^/V™) 52 Si Ме-^г=1С D < оо,С D < оо,
(VV™) 52 Si (е)г=1
(VV™) 52 Si (е)г=1
С D < оо,
С D < оо,
^/V™) 52 Si Ме-^г=1
^/V™) 52 Si Ме-^г=1
С D < оо,
С D < оо,
k=l
При достаточно большом размере наблюдаемой выборки даннаяПри достаточно большом размере наблюдаемой выборки даннаяПри расширении Rn до подпространства R* за счет включения вектора е(°) = (1, . . . , 1) в базис ^е^\ j = 1,. . . , Р} это предположение формулируется в виде следующей посылки: коэффициенты корреляции Гп ) (9) = (1/п) 52 ^ Si (9) = О (n-1/2), j = 0, . . . , Р. г=1
При достаточно большом размере наблюдаемой выборки данная
При достаточно большом размере наблюдаемой выборки данная
посылка практически равнозначна предположению об ортогональности вектора S (9) расширенному подпространству R* (условию S (9) -LR*).
Далее показано, что условие S (9) ±R* необходимо для сходимости (3.24). Поэтому в тех случаях, когда данное условие не выполняется, в качестве опорного сигнала в статистике Тп(х,9,у) должен использоваться вектор S (9) = [S (9) — PrS (9)]/||S (9) — PrS (9)||, где Рг — оператор ортогонального проектирования в подпространство R*. Отметим, что при известном параметре масштаба не требуется указан
ное расширение подпространства Rn, так как может быть исключено
условиеусловие(W^) 52 s» (0)z=l(W^) 52 s» (0)z=lD <D <(X).(X).Лемма 3.6. При выполнении посылки 3) леммы 3.3 условие S(9)±P* необходимо для сходимости (3.24).Доказательство. Примем, как и при доказательстве леммы 3.3,Лемма 3.6. При выполнении посылки 3) леммы 3.3 условие S(9)±P* необходимо для сходимости (3.24).Доказательство. Примем, как и при доказательстве леммы 3.3,
условие
условие
(W^) 52 s» (0)z=l
(W^) 52 s» (0)z=l
D <
D <
(X).
(X).
Лемма 3.6. При выполнении посылки 3) леммы 3.3 условие S(9)±P* необходимо для сходимости (3.24).
Доказательство. Примем, как и при доказательстве леммы 3.3,
Лемма 3.6. При выполнении посылки 3) леммы 3.3 условие S(9)±P* необходимо для сходимости (3.24).
Доказательство. Примем, как и при доказательстве леммы 3.3,
сокращенные обозначения Тп (у), Дп (у) и уп для статистик
Тп (х, 9, у) , Дп (х, 9, у) и уп (х). Согласно (3.32) разность
где к^ = (Д„(у),5„), к^2) = (Дп (у + Р5П) - Дп (у) ,^„), ^„ = уп - — У, О С Р С 1- Положим, что Тп(у) — Тп(уп) Д> 0, и докажем лемму от противного.
В случае л/п — состоятельной оценки у п и выполнении посылки 3) леммы 3.3 имеем сходимость к^ -^ 0 (см. доказательство леммы 3.3). Поэтому при разности Тп(у) — Тп(уп) А 0 должна выполняться СХОДИМОСТЬ Кп —> U.
Пусть вектор S (9) не ортогонален подпространству R*. Покажем, что при таком предположении Кп -Л £, где £ — отличная от нуля случайная величина. Для этого образуем статистики ^^ = = (1/Угг) Д^Уу) у^Уу), где Д„Уу),у = 0,..., Р — компоненты векторной статистики Дп (у), v^ (у) = V^Yn^ — у?], Yn\ 3 = 0,... ... , Р, — компоненты векторной оценки у п.
В соответствии с определением статистик Дп ^ (у) имеем
ДАп^ to = Е Si (0) V Vi (х,у)] ti (х,у),z=l
1 1 п
(y) = о-1- Е si (е) е? V [ii (х,у)],
при j = 1,. . . , Р, где ti (х,у) — одинаково распределенные независимые случайные величины (3.45). С учетом данных выражений для статистик (1/^)Д^(у) получаем согласно закону больших чисел сходимости
(l/i/n) Дп0) (у)-^ О 1го(е)м{<у'(<) I w(t)}; 1 (1/^)Д^(у) ^а^гД^МУИ^ГО, >(3.56)
j = 1,..., Р, J
где Tj (е) = Пт г„ ^ (б), j = 0,..., Р. Из сходимостей (3.56) следует, что
^М^с 1r0(e)M{ZV (t) I w(t)}v0(y); '
(3.57)(3.57)^ (y) ^ o"1^ (6) M {v/ (t) | w (t)} vj (y),>
(3.57)
(3.57)
j = 1,..., P,
где Vj (y) — пределы по вероятности величин v? (у), j = 0,..., P.
12 Богданович В.А., Вострецов А.Г.
Из определения величины к^1^ и сходимостей (3.57) имеем к^ ^ ^ где предельная величина
£ = о-1г0 (е)м{^'(^) I w(Z)}v0 (у) +
+ g-1M{V'(Z) I w^ E rj (9)^(7). (3.58)
В случае д/п-состоятельной оценки уп величина V^ll Yn — y|| ограничена по вероятности, но не обязана стремиться к нулю при п —У ос. Поэтому по вероятности пределы v^ (у) ^ 0, j = 0,. . . , Р. Тем самым, случайная величина (3.58) отлична по вероятности от нуля, когда коэффициенты корреляции Tj (9) 7^ 0. Это противоречит сходимости к^1) ^Л 0, что свидетельствует о необходимости условия S (9) -LR* для сходимости (3.24).□
Отметим, что в случае симметричных (четных) ПРВ шума первое слагаемое в (3.58) равно нулю, независимо от значения коэффициента корреляции го (9). Поэтому при симметричных плотностях w (t) необходимое условие сходимости (3.24) имеет вид S (9) _LR4.
Построение АОИ-алгоритмов. После аппроксимации распределений МИ следующим этапом синтеза АОИ-алгоритмов является построение байесовских алгоритмов ^п для аппроксимированных распределений МИ. В соответствии с результатами п. 2.6.1 алгоритмы фп представляются условными распределениями:
^(9 I У,Фп) = Е Ф^ (У)5^(6 I У),(3-59)
к=0
где Фп^ (у) — компоненты решающей функции фп (у), 5^(9 | у) — единичные массы, сосредоточенные в точках 9/- (у), 9о (у) = 0, 9 (у) 6 Е В^\ к = 1, . . . т, — точечные оценки параметра 9.
Решающая функция
Г (фп^ (у) = 1,0,... ,0) , max Л^Цу^Ща),
Iк=Е...<т
Фп (у) — \ (0,..., фпДу), 0,..., 0) , ^тах Л^ (у) =(3.60)
[= ^ (у) с (а), г = 1,... ,т,
где функционалы
Л^)(у)= [ {л1(е)-л2[9А:(у),е]}7п(у |<о,9)</Р(е),
(3.61)
к = 1,. . . , т.
In (у | ю7 $)~ отношение правдоподобия (3.29).
Оценки сигнального параметра
9k (у) = arg inf Д^ (9 | у), k = 1,..., т, (3.62)
где функционалы
△^>(9 I у) = j ^(б.б)^ (у | <о,9) dp (9), к = 1,...,т.(3.63)
Перейдем к этапу 3 синтеза АОИ-алгоритма, на котором должен быть решен вопрос об асимптотической оптимальности последовательности ф = {фп,п = 1,2,. . .} для истинных распределений МИ. При решении этого вопроса будем полагать, что множество $а инвариантных асимптотических алгоритмов в задаче оптимизации (3.17) состоит из последовательностей ф = {фп, п = 1, 2,. . .}, у которых каждый алгоритм фп имеет заданный уровень ос вероятности ложной тревоги. Напомним, что в задаче (3.17) в качестве П (фп, со) выступают средние потери, соответствующие распределениям из семейств (3.16), т. е. истинным распределениям МИ.
Теорема 3.3. Если функции потерь ni, 712 удовлетворяют не
равенствам лДо) < (7, 712(0,0) С С V0, 0 6 |J Н , С < оо, то ~~/с = 1
последовательность ф = {фп,п = 1,2,. . .} является решением задачи (3.17).
Доказательство. В соответствии с определением средних потерь П (фп, со) (см. выражения (2.217) и (2.218)) теорема верна, если
lim J (фп, фп) > 0 Уф Е За,(3.64)
где функционал
j (<Рп,ф) = 52 J J | J ki (6) - л2(9,б)]с(Р„(9 I у,фп)- s(fe) Y k в^
- j [ki (9) - 7t2(9,9)]dPn(9 I y,<pn)|dPn(y I co, 9)dP(9), (3.65) EO)
Pn(0 | у,фп) — условное распределение (3.59) алгоритма фп, Pn(0 | У,Фп) — условное распределение алгоритма фп, Рп (у | со, 0) — распределение семейства (3.16), Y — множество значений МИ у(х), Р (0) — априорное распределение параметра 0.
Заменим в функционале (3.65) распределение Рп (у | со, 0) на аппроксимированное в Li-норме распределение Рп (у | со, 0) и обозначим полученный при такой замене функционал J (фп, фп).
По построению алгоритмы фп удовлетворяют неравенствам J (фп,фп) ^ 0, п = 1,2,..., где фп — произвольные алгоритмы уровня ос. Поэтому для доказательства соотношения (3.64) достаточно установить, что
lim [J (ф„, фп) - J (ф„, фп)] = 0 Уф е Sa.(3.66)
Из определения функционалов J и J следует, что
J(фп?фп) J(фп?фп)
= £ | j А (у,б) [Му I ю,б)-1(у | со, 0)]с/Р„ (у) с/Р (0), (3.67)
—1 т(/с) Y
где
, / IdPn (у I to, 9)7 , ., dP„ (у I (0,9)
'-(У№|у| : Му!^ №-(у) .
Рп (у) — распределение семейства (3.15) и
ЛДу,б) = j [тч (6)-712(9,9)] <ZPn(e I у,ф„)-
- j [м (6) - л2(0,0)]с/Р„(0 | у,фп).
EO)
-m (LA
Так как тгi (9) ^ (7, 712 (9,9) ^ C V9, 9 E J S э гДе С < oo^ и k=i
o< j dPn(e I у,ф„) < 1, 0< j dPn(Q I у,ф„) < 1, BWs(fc)
to \A^ (y, 9)| < 4(7 < 00 ^k = 1,. . . , m.
Поэтому с учетом (3.67) получаем
\J (фп,фп) J (фп?фп)| 7
< 4C У) j j|/„(y I co,0)-7„(y I co,0)|</P„(y)</P(0). k=1 SW Y
Отсюда следует, что
lim | J (фп,ф„) - J (фп,Фп)| <
< 4C У] lim [ [ |Z„(y I co, 0)-Z„(y I co, 0)|dP„(y)dP(0). (3.68) к-1 T(k) Y
Так как j |/п (у | со, 9) — 1п (у | со, 0)| dPn (у) < 2, то согласно теореме Лебега о мажорируемой сходимости ([79], теорема 3, с. 202) предельный переход в (3.68) можно перенести под знак интеграла. Поэтому
lim|J (фп,фп) J (срп,срп)| ^
К (у I со, 9) - 1п (у I со, 9)1 dPn (у) dP (9) .К (у I со, 9) - 1п (у I со, 9)1 dPn (у) dP (9) .(3.69)(3.69)
К (у I со, 9) - 1п (у I со, 9)1 dPn (у) dP (9) .
К (у I со, 9) - 1п (у I со, 9)1 dPn (у) dP (9) .
(3.69)
(3.69)
Из (3.69) с учетом того, что
Нт | |/„ (у | ю,0) — Тп (у | со, 0)| dPn (у) = 0,
получаем сходимость (3.66) и, следовательно, неравенство (3.64).□
Перейдем к завершающему этапу синтеза АОИ-алгоритма — обоснованию замены алгоритмов фп на алгоритмы ф*, выраженные через неусеченные статистики Уп(у,9). Алгоритмы ф* определим, как и алгоритмы фп, выражениями (3.59)-(3.63), но при условии, что отношения правдоподобия
Тп (у | со, 9) = exp[coVn (у, 9) - Ап (со, 9)]
в функционалах (3.61) и (3.63) заменены на статистики
U (У | со, 9) = exp [coVn (у, 9) - Ап (со, 9)] .
Обоснование замены ср = {cpn, п = 1, 2, . . .} на последовательность ф* = = {ф* , п = 1, 2, . . .} дано в следующей теореме.
Теорема 3.4. При непрерывной почти всюду логарифмической производной \|/(£) и ограниченных функциях потерь тгi (9), к^ (9,9) последовательность ф* = {ф* ,п = 1,2,. . .} удовлетворяет условиям задачи (3.17).
Доказательство. В соответствии с (3.17) теорема верна, если
(3.70)(3.71)(3.70)(3.71)Пт|^(ф„) - 7Дф*)| = 0,Пт|^(ф„) - 7Дф*)| = 0,Пш |П (фп, со) — П (ф* , со)| = 0, Vco е (0, ос) ,
(3.70)
(3.71)
(3.70)
(3.71)
Пт|^(ф„) - 7Дф*)| = 0,
Пт|^(ф„) - 7Дф*)| = 0,
где F (фп) , F (ф*) — вероятности ложных тревог алгоритмов фп,ф*.
Для того чтобы установить (3.70) и (3.71) выразим условные вероятности Рп(в | у, срп), Рп(9 | у, ф*) алгоритмов фп, ф* через выборку х в виде
Рп(9 | х,фп) = Р„[9 | у (х) ,ф„], Рп(9 | х,ф*) = Р„[9 | у(х),ф*]
и выделим множества Ап = {х : Рп(^ | х, фп) ^ Рп(® | х’Фп)}; п = = 1,2,... Согласно определению алгоритмов фп, ф* и тождеству Vn [у (х) , 9] = Zn (х, 9) множество {х : Zn (х, 9) = Zn (х, 9) V9 е Е} С
С А^ где А^ — дополнение множества Ап^ Е = |j Е^\ Поэто- ~ k=i
му, с учетом определения усеченной статистики Zn(x,9), получаем
Ап С Сп, где Сп = < х : sup\Zn (х, 9)| > ап
I оев
Выразим Zn (х, 9) через функции
Vi (^у) = VVi (^у) = Vг = 1, . . . , n,г = 1, . . . , n,
Vi (^у) = V
Vi (^у) = V
г = 1, . . . , n,
г = 1, . . . , n,
в виде Zn (х, 9) = (1/д/п) ^ St (9) \|^[жг, У п (х)] и оценим вероятность г = 1
множества Сп при отсутствии сигнала. Так как
sup|zn(x,e)| < (B/Vn) 52 Ыжь?п (х)]|,
где В = max sup \Si (9)| < oo, to
i=l,...,n0eS
B{C„} < в < 52 l^i [жь Yn (x)j | > «nX/n/B >.M=l'
Здесь P{ • } = P{ • | wn (x | у)} вероятность множества (события) в отсутствие сигнала.
Из последнего неравенства следует, что вероятность
В{с„} < у; ^{Ivd^i, Yn (х)]| > «„/(BVn)}.(3.72)
г=1
Согласно неравенству
Ivd^i, Yn (х)]| < |Vi (^,у)| + Ыж^ Yn (х)] - V» (жгЛ)| имеем
В{|\|/г[жг, Y„ (х)]| > a„/(BVn)} < B{|vi («i,Y)| > an/(2BVn)} +
+ В{|уДж^ yn (x)] - Vi (ж^у)| > an/(2BVn)}. (3.73)
В соответствии с неравенствами Чебышева и Коши-Буняковского [79] имеем Р (|vi (ж,,у)I —^—УЦ»)- Поэтому для любого конечного г > 0 существует возрастающая последовательность ос^, n = 1, 2, . . ., такая, что при некотором значении v > 0 вероятность
В{к(жгЛ)| ></(2В^)}<Е/(2п1+'').(3.74)
В силу состоятельности оценки чп (х) и непрерывности \|/ (t) найдется согласно теореме непрерывности ([21], теорема 1, с. 31) возрастающая последовательность а^, n = 1, 2,. . ., такая, что
^{Ыжг,?п (х)] - Wi (жг,у)| > «"/(2BVn)} < e/(2n1+v).(3.75)
Заменив в (3.74) и (3.75) ос^ и ос^ на ап = шах{ос^, ос^} и приняв во внимание (3.73), получим
Р{|Уг[ж;,(х)]| > a„/(BVn)} < e/(n1+v).
Отсюда с учетом (3.72) находим вероятность
Р(Сп)^г/п\
Отметим, что приведенную здесь последовательность an, n = 1, 2,. . ., можно рассматривать (при необходимости с корректировкой значений ап в сторону увеличения) как последовательность порогов усечения статистики Zn (х, 9) при аппроксимации в Li-норме распределений наблюдаемой выборки (см. определение порогов усечения в [112] на с. 77).
Из неравенства Р (Сп) ^ e/nv следует, что при отсутствии сигнала имеется сходимость Р (Сп) —>• 0. Благодаря контигуальности последовательности распределений наблюдаемой выборки, при наличии и отсутствии сигнала, данная сходимость имеет место также и при наличии сигнала. Отсюда с учетом включения Ап С Сп получаем, что lim Р (Ап) = 0 как при отсутствии, так и при наличии сигнала.
Установим сходимость (3.70). Так как
Р(е | х,фп) = Р(0 | х,<р*) УхеЛ=,
ТО
|П(ф„,со) -П(ф*,<о)| <
[Я1 (9) - л2(9,9)]с/Р„(9 I х,ф„)-
- J [тц (9) - л2(9,9)]сТп(9 I х,ф*) dPn (х | Х,9,у) dP (9) , S(fe)
где Рп (х | X, 9, у) — распределение выборки при наличии сигнала. Из последнего неравенства с учетом того, что tii (9) ^ (7, 712(9,9) ^ (7, С < ос, | dPn(9 | х,фп) 1, | dPn(9 | х,ф*)1, находим
|П(фп,Ю)-П(ф*,со)| <4С£ | dP(9) J dPn(x|M,r). (3.76) k = 1H(k)Дп
Применяя к обеим частям (3.76) предельный переход по п и используя в связи с неравенством j dPn (х | X, 9, у) 1 теорему Лебега
А-п, о мажорируемой сходимости, получаем
lim |П (фп, со) — П (ф* , со) | ^ 4С У^ j dP (9) lim j dPn (x | X, 9, y).
(3.77)
Из (3.77) и сходимости P (An) —> 0 следует сходимость (3.70).
Докажем сходимость (3.71). В соответствии с определением вероятности ложной тревоги имеем
- Фп” (х I Фп)] dP„ (х I у)
где Рп (х | у) — распределение выборки х в отсутствие сигнала, Ф™°) (х | фп), фп°) (х | ф*) — вероятности принятия решения об отсутствии сигнала у алгоритмов фп, ф*. Так как 0 С фп^ (х | фп) С 1, 0 < ф^0) (х I ф*) < 1 и ф^ (х I ф„) = ф^ (х I ф*) Vx € А^, то
|Г(фп)-^(ф*)| <2 j dPn(x|y).
Отсюда с учетом того, что j dPn (х | у) —> 0, получаем сходимость
(3.71). □
Итак, установлено, что в случае сходимости (3.24) и выполнения условий теорем 3.3 и 3.4 последовательность ф* = {ф*,п = 1,2, . . .} является АОИ-алгоритмом. Алгоритмы ф* этой последовательности определяются выражениями (3.59)-(3.63) при замене отношения правдоподобия 1п (у | со, 9) = ехр[соУп (у, 9) — Ап (со, 9)] в функционалах (3.61) и (3.63) на статистику 1п (у | со, 9) = exp [coVn (у, 9) — Ап (со, 9)].
Данное общее выражение алгоритмов ф* представляет теоретический интерес, но редко может быть использовано на практике в связи с трудностями, возникающими при вычислении функционалов (3.61) и (3.63). Однако оно важно в том отношении, что на его основе могут быть получены квазиоптимальные алгоритмы, которые сравнительно просто реализуются.
В п. 2.6.1 было показано, что при функциях потерь ти (9), 712(9,9) типа (3.19) так называемый алгоритм отношения правдоподобия близок по эффективности (в области больших значений параметра со) к асимптотическому байесовскому алгоритму практически при любом априорном распределении Р (9) сигнального параметра. Существенными достоинствами алгоритма отношения правдоподобия являются
относительная простота реализации и независимость от распределения Р (9), которое обычно неизвестно.
Выразим алгоритмы ср* в форме алгоритмов отношения правдоподобия. В соответствии с результатами п. 2.6.1 алгоритмы ср* в таком выражении представляются решающими функциями
Фп (у) = *Фп (у) = *(фи1 (у) = 1,0, . . . , 0) , ^max^ln /„[у | со, 9к (у)] < С(а), (0,... ,ф^г) (у) = 1,0,..., 0) , max 1пТ[у | го, 9fc (у)] = = 1п7„[у I со, 9t (у)] > С(а),
Фп (у) = *
Фп (у) = *
где г = 1,..., т, оценки 9к (у) = arg sup In 1п (у | со, 9) ^к = 1,... ... ^т.
Статистика In 1п (у | со, 9) = юУп (у, 9) — Ап (со, 9), где Ап (со, 9) —>
—> |со2/ (w), статистика Уп (у, 9) определена тождеством
У„[у(х),9] = Т„[х,9, у„ (х)].
Доказательство сходимости Ап (со, 9) —> |0)21 (w) входит составной частью в доказательство теоремы 3.2 (см. в [112] доказательство теоремы 1.1, с. 81, 84). Оно основано на сходимости по распределению статистики Тп (х,9,у) к нормальной случайной величине с нулевым средним и дисперсией о2 = со2/ (w). В нашем случае эта сходимость
является равномерной по параметру 9 в силу применимости равномерной центральной предельной теоремы ([21], теорема 2, с. 248). Поэтому равномерной по параметру 9 будет также и сходимость Ап (со, 9) —>
^co2/(w)^co2/(w)|®2/(w).
^co2/(w)
^co2/(w)
Благодаря равномерной по 9 сходимости Ап (со, 9) —>
решающие функции алгоритмов ср* можно выразить в форме
Фп (у) = <Фп (у) = <(фп0) (у) = 1, о,..., 0) , ^Дпау^ К[у, 9к (у)] < С (а), (0,..., фп} (у) = 1, 0,..., 0) , fcjpaxm К[у, 9к (у)] = = г„[у, 9; (у)] > С (а), г = 1,...,т,
Фп (у) = <
Фп (у) = <
где оценки 9/. (у) = arg sup Уп (у, 9), к = 1, . . . , т.
sebW
Для применения алгоритмов ср* в данном выражении требуется явное выражение для статистики Уп (у, 9), которое не всегда имеется. Однако это затруднение легко преодолевается при выражении алгоритмов ср* не через МИ, а через наблюдаемую выборку х. Согласно
(фп* (х) = 1,0,..., 0) ,(фп* (х) = 1,0,..., 0) ,тождеству Vn [у (х) ,9] = Тп[х, 9, у п (х)] решающие функции алгоритмов ф* принимают в этом случае вид
(фп* (х) = 1,0,..., 0) ,
(фп* (х) = 1,0,..., 0) ,
< С (а),< С (а),._yaxmTn[x, 6^ (х),7n (х)] <
< С (а),
< С (а),
,Ф^ (х) = 1,0,...,0) ,
^iaxynx, 9к (х), у„ (х)] =
= ^[х, 9» (х), уп (х)] > С (а), г = к = 1,..., т,
(3.78)
(3.79)(3.79)где оценки сигнального параметра
(3.79)
(3.79)
9 Дх) = arg sup Т„[х, 9, уп (х)], к = 1,..., т. OESW
Для конкретизации алгоритмов ф*, представленных выражениями (3.78) и (3.79), достаточно иметь явное выражение для статистики Тп (х,9,у), которое всегда может быть получено из асимптотического разложения логарифма отношения правдоподобия.
Оценка параметров помехи. Для АОИ-алгоритмов требуется совместная эквивариантная и д/п-состоятельная оценка у п (х) = = (Sn (х) , $1)П (х) , . . . , ^р1П (х)) параметра масштаба о и параметров ’’р .
dj-j = 1, . . . , Р, сигналоподобной помехи П = 52 ^j^^• В случае j=i
известных по форме распределений наблюдаемой выборки получены эффективные оценки параметров этих распределений [104, 26], которыми можно воспользоваться при синтезе АОИ-алгоритмов. Однако, имея в виду в дальнейшем синтез алгоритмов при неизвестном распределении шума, отдадим предпочтение непараметрическим (свободным от распределения выборки) оценкам параметров о и fy, j = 1, . . . ... , Р. В качестве такой оценки параметра примем непараметрическую оценку у п (х), построенную путем объединения квантильной оценки параметра масштаба и проекционной оценки параметров сигналоподобной помехи.
Параметры сигналоподобной помехи условимся далее называть параметрами сдвига в связи с тем, что наличие этой помехи приводит к сдвигу распределения наблюдаемой выборки.
Квантильная оценка параметра масштаба. Временно положим параметры сдвига 6j = 0 Vy = 1, . . . , Р. При этом предположении
квантильные оценки параметра масштаба выражаются в форме [23]
S„(x) = y„(x)/KL,(3.80)
где
у /х\ _ у (W»M» ~ Wj-iUj-i) [wjUj (х) - Wj-jUj-j (х)] z=l
Ь + 1 />.2
E
VWtUt ~ Wi-iUi-i) • ,=1 ai - ОСг-1
Здесь и далее гц — квантиль порядка ос^), гщ = w (^^), г = 1, . . . , L, w (t) — маргинальная ПРВ шума, L — число квантилей, используемых при построении оценки (3.80), гц (х) — выборочная квантиль порядка а^, г = 1,. . . , L, а0 = 0, ocL+i = 1, w0 = wL+i = 0, at + ocL+i_^ = 1, ^г T ^L + l —г — 0.
По определению выборочная квантиль гц (х) = sup{t : Fn (t | х) ^ С «г}, где Fn (t | х) — эмпирическая функция распределения (Fn(t | х) = = к / п при t Е (х^, ж(/е+1)], к = 0, . . . , п, Ж(0) = -ОС, Ж(п+1) = ос, х^, к = 1, . . . , п, — к-я порядковая статистика выборки х). В соответствии с этим определением квантиль и^, (х) = х^п.^ где П{ = int{noc^} + 1, 1п1{ж} — целая часть числа х.
На практике отдают предпочтение квантильной оценке при L = = 1 в связи с ее независимостью от ПРВ шума и достаточно высокой эффективностью. В соответствии с (3.80) квантильная оценка при L = = 1 выражается в виде
Sn(x) = —р = int{noc} + 1.(3.81)
и
Наряду с оценкой (3.81) для построения АОИ-алгоритмов представляет интерес также квантильная оценка масштаба, полученная на основе модульной статистики z (х) = (zi = |жх| , . . . , zn = |жп|). Такая оценка
on (х) = —(х) , р = int{noc} + 1,(3.82)
и
где z^ (х) — р-я порядковая статистика вектора z (х).
Оценки (3.81) и (3.82) имеют при п —>- ос нормальные распределения с математическим ожиданием, равным параметру масштаба о. У оценки (3.81) асимптотическая дисперсия D = о2ос(1 — oc)/[nw2(?i)?i2], а у оценки (3.82) эта дисперсия D = о2ос (1 — ос)/[nw2(и) и2], где w (t) = = w (t) + w (—t) ([25], теорема 4, c. 27). Поэтому данные оценки асимптотически несмещенные и д/п-состоятельные. Кроме того, они
эквивариантные в силу эквивариантности выборочной квантили относительно группы масштабных преобразований.
Квантильным оценкам (3.81) и (3.82) соответствуют определенные классы ПРВ с единичным параметром масштаба. В случае оценки (3.81) таким классом является множество ^w (t) : j w (t) dt = а а в случае оценки (3.82) — множество ^w (t) : j w (t) dt = a
При известных параметрах сдвига 6j ф 0 оценка параметра
масштаба принимает вид 5П (х,^) = <зп(х — ^ ^j^^ Ь где <зп (х) — V j=1/
оценка параметра масштаба при нулевом сдвиге. Оценка параметра масштаба при неизвестных параметрах сдвига получена далее при построении совместной оценки параметров масштаба и сдвига.
Проекционная оценка параметров сдвига. Ограничимся наиболее важным для практики случаем конечной дисперсии шума. При конечной дисперсии шума достаточно эффективна проекционная оценка векторного параметров сдвига Ф = (ill, . . . ^pY Такая оценка выражается в виде
5„(х) = (51)П (х),..., 0Р,„ (х)),(3.83)
где »j,n (х) = (1/п) 52 ХгЧ’, j = 1,..., Р.
г = 1
Оценки ^3iH (х) асимптотически независимы межу собой и имеют предельные нормальные распределения с математическими ожиданиями tyj и дисперсией D = 82/п, где 82 — дисперсия шум. Поэтому оценка (3.83) несмещенная и ^/п-состоятельная. Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что она является также эквивариантной относительно преобразований масштаба и сдвига.
Совместная оценка параметров масштаба и сдвига. В связи с отличными от нуля параметрами сдвига заменим оценку (3.81) или (3.82) на определенную выше оценку 5n (x,il). В качестве совместной оценки параметров о и Ф рассмотрим статистику
Yn (х) = {5n[x, 5» (х)],(х)},(3.84)
где ^п (х) — оценка (3.83). Покажем, что статистика (3.84) является эквивариантной и ^/п-состоятельной совместной оценкой параметров масштаба и сдвига.
Лемма 3.7. Пусть 5n(x,il) и iln(x) — эквивариантные и у/п- состоятельные оценки соответственно параметра о при фиксированном параметре б и параметра б. Пусть также для любой точки б
существует окрестность U^ такая. что
| §п(хф) - 6n(x,il)| С Qn(x) ||5 - il|| V5 е и^,(3.85)
где среднее значение M{Qn(x)} С < ос Vn = 1,2,... Тогда статистика (3.84) является эквивариантной и л/п-состоятельной совместной оценкой параметров о и^.
Доказательство. Сначала установим, что статистика 5n[x, iln(x)] является ^/n-состоятельной оценкой параметра масштаба при неизвестных параметрах сдвига. Из неравенства
|а - 8„[х, 5„(х)]| < |а - 8„(х,д)| + |8„(х,д) - 3„[х, 5„(х)]| следует, что при любом значении b вероятность
F{Vn|G - 8„[х, о„(х)]| ^ 26} < F{Vn|c - 3„(х,0)| ^ 6}+
+ F{Vn|Sn(x,d) - 8„[х, 0„(х)]| ^ 6}. (3.86)
Зафиксируем произвольное значение г > 0. В силу л/ri-состоятельности оценки 5n(x,il) существует такое значение 6', при котором
P{V^ — 5n(x, il)| > 6'} < г Vn = 1, 2,. . .(3.87)
Обозначим для краткости ^/n\8n(x,il) — 5n[x, iln(x)]| через £п(х, 11). Так как
^&(х, 11) > 6} =
= Р{^п(х, 11) > 6; 5n(x) е U^} + Р{^п(х, 11) ^ 6; 5n(x) ^ U^}
и Р{^п(х, 11) > 6; 5n(x) ^ U^} С P{5n(x) ^ U^}, то
Р{^п(х, 11) > 6} с Р{^п(х, 11) > 6; Sn(x) е U^} + P{iln(x) ^ U^}.
(3.88)
Ввиду состоятельности оценки iln(x) существует пе такое, что
Р{5п(х) ^ 1ДД < е/6 Vn > щ.(3.89)
При iln(x) е U^ имеем
(1/Vn)?n (х,О) < Qn(x)||»- д„(х)||.
Поэтому
Р{^„(х,£) > 6; 5„(х) е ив} <
< F{VnQn(x)||d - 3„(х)|| > 6; 5„(х) е и»}.
Отсюда следует неравенство
Р^х,-») > Ь; й„(х) € и»} < P{VnQn(x)||d-5п(х)|| ^ by (3.90)
Представим при некотором 6" правую часть неравенства (3.90) в виде
P{VnQn (х)||д - 5„(х)|| > 6} =
= P{VnQn(x)||# - О„(х)||6, V^ll^ - 3„(х)||6"}+
+ P{VnQn(x)||i? - Vn(x)|| > 6, Vn||i? - Sn(x)H < 6"}. (3.91)
В силу д/п-состоятельности оценки iln(x) имеется такое У^ при котором P{v^ll^ — iln(x)|| 6''}е/6 Vn = 1, 2, . . . Поэтому первое
слагаемое в правой части равенства (3.91) удовлетворяет при данном У' соотношению
P{VnQn(x)||d - 3„(х)|| > b, Vn||d - S„(x)|| > 6"} < е/6/3 д2)
Vn = l,2,...’
Так как
P{VnQn(х)Ц-& - 5n(x)|| > b, V^||» - Sn(x)|| < 6"} < P{6"Qn(x) > by то с учетом неравенства Чебышева Р {Qn(x) > Ь)У^ 6''М {Qn(x)}/6 находим, что
P{VnQn(x)||» - dn(x)|| ^ b, Vn||il - 3„(х)|| < Ь"^ < 6"M{Qn(x)}/6Vn = 1,2,...
Отсюда, принимая во внимание неравенство M{Qn(x)} ^ С < оо и наличие такого 6'", при котором ЬмС]Уп ^ е/6, получаем, что при b = = У£м второе слагаемое правой части (3.91) удовлетворяет соотношению
F{VnQn(x)||d - 3„(х)|| > b, Vn||d - 5„(х)|| < 6"} < е/6/3 д3)
Vn = l,2,...’
Подставляя b = У£' в (3.90)-(3.93), получаем неравенство
РЫ^Л) ^ У 5n(x) eU4 <е/3 Vn = l,2,...(3.94)
Принимая во внимание (3.86)-(3.89) и (3.94), находим, что при любом е > 0 и 6е = max {6', 6'"} вероятность
F{Vn|c - Зп[х, 5n(x)]| 2be} < е Vn > пе.
Заменяя в последнем неравенстве Ь£ на Ь£ = шах{6е, Ь£^ где
b£ = max^b£ik : P{V&|o — 8/.[х, il/.(x)]|2b£)k^ < е, k = 1, . . . , п£ — 1},
устанавливаем, что
P{V^|g — 8n[x, iln(x)]| > 26е} <е Vn = 1, 2,. . .(3.95)
Из неравенства (3.95) следует, что статистика 8n[x, iln(x)] является д/п-состоятельной оценкой параметра масштаба при априорно неизвестных параметрах сдвига.
Установим теперь, что статистика (3.84) представляет собой л/п- состоятельную совместную оценку параметров масштаба и сдвига.
Так как норма ||у - yn(x)|| С к - 5n[x, Sn(x)]| + ||il - 5п(х)||, то вероятность
^V^Hy- ?„(х)||6} <
< PVVn\c - 8„[х, 0„(х)]| > 6/2} + Р{Уп||^ - Sn(x)|| > 6/2}.
Отсюда с учетом д/п-состоятельности оценок iln(x) и 8n[x, iln(x)] получаем, что уп(х) является д/п-состоятельной оценкой параметров масштаба и сдвига.
Принимая во внимание равенство §n(gx, g*il) = g* 8n(x, ^7 следующее из определения оценки §n(x,il), и эквивариантность оценок Sn(x) и iln(x), непосредственной проверкой устанавливаем эквивариантнось оценки уп(х) относительно преобразований масштаба и сдвига. □
Покажем, что оценки §n(x,il), построенные на основе оценок (3.81) и (3.82), удовлетворяют условию (3.85) леммы 3.7. Для этого введем р п~
статистики t^^) = х^ — ^L г = Л^ . . . ^п. Так как ti(il) — £i(il) = j=i
= 52 (^j — ^й^Р и п0 предположению |e^| < A < 00 Vj = 1,. . . , P,
Z = 1, . . . , П, TO
I^W — ^Wl С Ад/^РЦй — il||, z = 1. . . , n. (3.96)
Построим на основе статистик ti^ порядковые статистики t(fe)W = tik^Y k = l,...,n, где tife(^ < ^H+iW ^k = 1,... ... , n — 1. Сохраняя неизменными номера z/c заменим в статистиках tik (il) аргумент il на il 7^ il и обозначим полученные в результате такой замены статистики через tik^Y В соответствии с (3.96) имеем
M»)-tw WI < ^VP||5-i>|| ^k = l,...,n.(3.97)
Образуем множества В^ = ^т : |^mW — ^(fc)WI С Л V^||il — il||}- Отметим, что эти множества содержат согласно (3.97) по крайней мере по одному элементу т = к. ~
На основе статистик ^mW> т = 1? • • • ?п? построим порядковые статистики t^(^ = tik(d^ к = где tik(^) < ^к+1(йУ При каждом к = 1,. . . ,п статистика t^(^) Е {tim^)^m Е В^ так как множество В к содержит по крайней мере один элемент т = к. Отсюда из определения множеств В^ находим, что
1М5)"Мд)1 < Л^Р||5-д|| Vfe = l,...,n. (3.98)
Согласно неравенствам (3.98) оценка Зп(х,й) = оп( х — ^ ^е^ ),
у которой статистика Sn(x) определена в форме (3.81), удовлетворяет условию (3.85) при Qn = Ал/Р. Используя неравенство ||а| — \Ь\\ ^ \а — 6|, нетрудно установить, что условию (3.85) при Qn = = Ал/Р удовлетворяет также оценка 3n(x,il), у которой статистика Sn(x) определена в форме (3.82).
Итак, установлено, что статистика (3.84), построенная на основе квантильной оценки параметра масштаба и проекционной оценки параметров сдвига, является эквивариантной и ^/п-состоятельной совместной оценкой параметров масштаба и сдвига.
Построение АОИ-алгоритмов при квадратурной обработке наблюдаемого процесса. В цифровых устройствах обнаружения и различения радиосигналов широко применяется квадратурная обработка наблюдаемого процесса. В качестве выборки х при такой обработке выступает последовательность двумерных векторов х^ = (хс^ Х8{), состоящих из отсчетов жс(т^)и xs (т^) квадратурных составляющих наблюдаемого процесса в совпадающие моменты времени.
Векторы х^ принимаем независимыми между собой и считаем, что распределение выборки х ={x^,z = 1, . . . , п} принадлежит, при отсутствии сигнала, семейству
Po,n = |wn(x) = PJ Гю ^(жС{ - T|Cj (о)); (жЗ; - Г|3г (»))] , г-1 о Е (0, ос) , il Е ©
и, при его наличии, одному из семейств
Pfe.n = {Wn (х I X, 9, у) = w„ [х - XnS (9) I у],
| у] € Ро)П,Х€ (О,оо),0 € EW}, где к = 1,. . . , т, у = {о, il}, il = {ilj, J = 1, . . . , Р^ о — параметр
масштаба, ^j = (^Cj , ^Sj) — параметры сигналоподобной помехи т|(й) = рр
= {r|c(il), r|s(il)}, r|c(il) = 22 ^Cje^\ r|s(il) = 22 ^Sj^^ — квадратур- j=ij=i
ные составляющие помехи r|(il), 8(9) = {Sc(9), Ss(9)}, Sc(9), Ss(9) — квадратурные составляющие сигнала 8(9), w(ti;^2) — маргинальная ПРВ квадратурных составляющих шума с нулевым средним и единичным масштабом, © — множество значений параметра ф равное прямому (декартовому) произведению пространств (—оо, ос), Е^) — множества значений сигнального параметра при гипотезах Н^, /с = 1. . . ... ^т^т — число гипотез при наличии сигнала. Квадратурные составляющие 8с(0) и Ss(9) нормированы так, что (||Sc(o)||2 + ||Ss(9)||2)/n = = 1 при всех значениях п и 9.
Положим, что плотности w(ti;^2) принадлежат семейству
Р = {w(ti; : w(ti; t2) = ^^t^tiY w^t^t^) = w(-ti; t2);
£1, £2 E (—oo, oo)}.
В это семейство входят многие распределения, удовлетворяющие естественным для квадратурных составляющих шума требованиям: симметричности совместного распределения отсчетов хс^ и хз^ некоррелированности этих отсчетов, одинаковости их маргинальных (w(^c^ = = ti) = U)(xSi = ti) = р(й)) и условных (ll)(xCi = ^2 I ЖЗ^ = ti) = = w(xsi = ^2 I ^Ci = ti) = w(^2 | й)) распределений. В частности, семейству Р принадлежат часто применяемые распределения с круговой симметрией и распределения с независимыми отсчетами квадратурных составляющих шума.
При w(ti;^2) Е Р статистика Тп(х,9,у) в асимптотическом разложении (3.18) логарифма отношения правдоподобия имеет вид
Tn(x,9,y) =
х/П z—у z=l
+ Ss^(9)^[ts^(xs,y); £щ(хс,у)]}, (3.99)
где
^(й;^) = -^-lnw(^;^2) = -^-lnw(ti |,
atiati
XC = (ЖС1, . . . , XCn) XS = (ж51, . . . , xsn)
tCi (xc,y) = -(^ХСг — ^^^cjei^^ 1
P.
tSi (xs,v) = -^ESi - У^^ерп,° j=l
г = 1,. . . , n.
Богданович В.А., Вострецов А.Г.
Отметим, что функция ц/ (^1? ^2) является нечетной по первому аргументу и четной по второму аргументу, когда плотность w (ti;^) G Р.
Рассмотренная в п. 3.3.2 и п. 3.3.3 методика синтеза АОИ-алгоритмов может быть использована (при некоторой модификации) также и в случае квадратурной обработки наблюдаемого процесса. В соответствии с этой методикой АОИ-алгоритмы при квадратурной обработке должны выражаться через статистику (3.99) и эквивариантную д/п-состоятельную оценку уп(х) параметра у. Согласно выражению (3.99) для применения этих алгоритмов требуется полная априорная информация о плотности w ^tv^t^ которая часто отсутствует из-за недостатка сведений об условной плотности w(t2 | ^1)-
В случае неизвестной плотности w^t^ | й) практический интерес представляют алгоритмы с инвариантными относительно этой плотности показателями качества. Рассмотрим построение таких алгоритмов.
Для сокращения математических выражений временно положим параметр масштаба о = 1 и параметры сдвига ^j = 0 Vj = 1,. . . , Р. Выделим класс асимптотических алгоритмов ср = {фп,п = 1,2, . . .}, у которых решающие функции алгоритмов фп определены по аналогии с выражениями (3.78) и (3.79) в форме
1
(фп\х) = 1,0,...,0) , шах Тп[х, е^(х)] < С(а),
(О,..., фп\х) = 1, 0,..., 0) , max Тп[х, 0*(х)] =
= Т„[х, бДх)] ^ С (а),
(3.100)
где г = 1,..., in, оценки 0^(х) = arg sup Тп (х, 0), k = 1,..., т, oes(fc)
статистики
Тп (х, 0) = А V [Sci (0) / (xct; X8i) + Ssi (0) / (xst; же;)]. (3.101) z=l
Функции /(йД2) в статистиках (3.101) полагаем принадлежащими множеству F нечетных по аргументу ty и четных по аргументу t^ функций, имеющих производные по обоим этим аргументам и удовлетворяющих условиям М {/' (ti; t^) | w} < ос, 0 < М {/2 (ti; t^) | w} < < ос Vw G Р, где М{ • | w} — оператор усреднения по распределению с плотностью w (ti; t2), /' (й; ^2) = ^г/ (^15 ^2)-
Заметим, что при /(йД2) € F и w(ti;t2) G Р предельным распределением статистики (3.101) является, согласно центральной предельной теореме, нормальное распределение со средним значением a (w) = ХМ {/' (ti; t2) I w} и дисперсией D (w) = M {/2 (ti; t^ | w}.
Обозначим через $ множество асимптотических алгоритмов ср = = {фп,п = 1,2,...} с инвариантными относительно условной плотности w (^2 | ^1) характеристиками качества при любой одномерной плотности р (ti) распределения отсчетов квадратурных составляющих шума.
Докажем, что при / (ti; t^ Е F и w (ti; t^ G P последовательности алгоритмов (3.100) принадлежат классу $ тогда и только тогда, когда функции /(ti;^) = V (^i) Vti,^2 Е (—оо,оо), где v(^i) — любая нечетная и дифференцируемая функция такая, что М {\/ (ti) | w} < < оо и 0 < М {\|/2 (ti) | w} < ос Vw G Р.
Положим в статистике (3.101) функцию / (fi;^) = V (^1)- В этом случае предельное распределение статистики (3.101) имеет среднее значение a (w) = ХМ{/' (fi;^) | w} = ХМ {^ (й) | р} и дисперсию D (w) = М {/2 (ti; t2) | w} = М {\|/2 (ti) | p} при любой условной плотности w (^2 | ^i)- Так как асимптотические характеристики алгоритма Ф определяются предельным распределением статистики (3.101), то последовательность алгоритмов с решающими функциями (3.100) принадлежит классу 3, при /(ti;^) = V (^1)? вследствие независимости параметров a (w) и D (w) от плотности w (t^ | ti).
Пусть последовательность ф алгоритмов с решающими функциями (3.100) принадлежит классу $. Из принадлежности ф классу $ и нормальности предельного распределения статистики (3.101) следует независимость средних величин М {/' (ti; t^) | w} и М {/2 (ti; t^) | w} от условной плотности w (^2 | й)- Отсюда, с учетом представления оператора усреднения М{ • | w} в виде
М{ • |w} = M{M{- \w(t2\t1^\p(t1^
(М{ • | w (^2 | ^1)} — оператор усреднения по условному распределению с плотностью w (^2 | ^1)) и произвольности плотности p(ti) заключаем, что М {/' (ti; t2) I W (t2 | й) |} И М {/2 (Д; t2) | w (t2 | tj} должны быть не зависимыми от плотности w (£2 | й) функциями аргумента ty. Последнее в силу произвольности плотности w (^2 | £1), возможно только тогда, когда / (ti; t^ = v (^i) Vti, t^ G (—oo, oo).
Найдем в классе $ асимптотически оптимальный алгоритм ф* при заданной плотности р (ti). Так как асимптотические характеристики алгоритма ф G S полностью определяются величиной
ХМ{ф (Н) | р(Н)}Vm^ ^) Ip^)}’
то у алгоритма ф* отношение
W VM{V2 (tl) |р(<1)}
должно быть максимальным при данной плотности р (ti).
В соответствии с [94] (теорема 4.2, с. 84), находим, что sup /г (ц/)
dv
достигается при х|/ (^i) = — "5F^nP^TV Поэтому решающие функции алгоритмов ф* асимптотически оптимальной последовательности ф* = = {ф* , n = 1, 2,. . .} € А определяются в виде (3.100) при выражении статистики (3.101) через функцию / (ti; t^ = \|/ (ti) Vti, £2 Е (—оо, ос), где v (^1) — логарифмическая производная заданной плотности р (й).
В случае априорно неизвестных параметров масштаба и сдвига АОИ-алгоритм ф* € S также представляется решающими функциями (3.100), но при замене статистики (3.101) на статистику
Т„[х,0, у„(х)] = А V {Sci(e)Y[tCi(xc, у„(х))] + z=l
+ SSj^MiS^XS, Y„(x))]|,(3.102)
где у п(х) — эквивариантная и д/п-состоятельная совместная оценка параметра масштаба о и параметров сдвига ^с^ &Sj, j = 1,. . . , Р
v(£) = _^ln?W’
,РX
t^ (хсл) = Джсг - ^^е^ Ь
,РX
t^ (xs, у) = - [ xs4 - V №>е^ ).
п. 3.3.4) путем объеди-|[Sn(xc) + S„(xs)], гдеп. 3.3.4) путем объеди-|[Sn(xc) + S„(xs)], гдеОценку у п(х) можно сформировать (см. нения оценки параметра масштаба Sn(x) =
п. 3.3.4) путем объеди-|[Sn(xc) + S„(xs)], где
п. 3.3.4) путем объеди-|[Sn(xc) + S„(xs)], где
an (хс) , an (xs) — квантильные оценки параметра масштаба у квадратурных составляющих наблюдаемого процесса, и проекционных оценок ilnj(x) = (^cnj (хс) , ^snj (xs)), j = 1, . . . , P, параметров сдвига у этих составляющих.
Статистический синтез асимптотически инвариантных оптимальных алгоритмов
По приведенной в п. 3.3 методике синтеза оптимальный алгоритм отыскивался путем минимизации условных потерь П (ф, со | б), усредненных по априорному распределению сигнального параметра 6. При этом никак не контролировалась зависимость неусредненных потерь П (ф, со | б) от параметра 6.
Для практики представляют интерес алгоритмы ср* с минимальными и независящими от 9 потерями П(ф*,со). При использовании подобных алгоритмов снимается проблема задания априорного распределения параметра 9. Такие алгоритмы могут быть построены на основе принципа инвариантности, если семейства распределений наблюдаемой выборки симметричны относительно подходящей группы преобразований наблюдаемой выборки (см. п. 2.4).
Принцип инвариантности эффективен, когда распределения наблюдений принадлежат экспоненциальному семейству. Вследствие этого область применения принципа инвариантности при конечном размере наблюдаемой выборки ограничивается в основном задачами обнаружения и различения сигналов в гауссовом шуме. Однако при асимптотическом походе к синтезу алгоритмов область применения принципа инвариантности существенно расширяется в сторону задач с негауссовым шумом. Это расширение обусловлено принадлежностью аппроксимированных в Li-норме распределений экспоненциальному семейству (см. п. 3.2.3 и 3.3.2). В связи с этим представляют интерес асимптотически инвариантные оптимальные (АПО) алгоритмы обнаружения и различения сигналов с неизвестными параметрами.
По области применения АИО-алгоритмы уступают байесовским АОИ-алгоритмам, так как для их построения требуется симметричность семейства распределений асимптотически достаточных статистик [112] относительно некоторой группы преобразований. Тем не менее, при наличии такой симметричности АИО-алгоритмы предпочтительнее байесовских АОИ-алгоритмов ввиду более высокой устойчивости в условиях априорной неопределенности.
Рассмотрим синтез АИО-алгоритмов, полагая для простоты априорно неопределенным только сигнальный параметр 9 (априорную неопределенность параметров масштаба и сдвига учтем после построения АИО-алгоритма для данного частного случая). Для конкретности примем параметр масштаба о = 1 и параметры сдвига ^j = О VJ = = 1,...,Р.
Ввиду того, что при использовании принципа инвариантности нет необходимости в оценивании сигнального параметра, оптимальный алгоритм будем отыскивать в классе алгоритмов, которые выносят решение о наличии того или иного сигнала без оценки параметра 9. Качество таких асимптотических алгоритмов ср = {фп,п = 1,2,. . .} оценивается предельными средними потерями П (ф, X) = ПшП(фп,Х) при условии, что асимптотическая вероятность ложной тревоги ос (ф) = = lima (фп) < ос.
Положим потери
П (фп, X) = У PkM {лк [фп(х)] | X, S^ (9)},k=l
где рк — априорные вероятности сигналов 8^ (9), М { • | X, 8^ (9)} — оператор усреднения по распределению выборки х при наличии сигнала (X/Vn) 8^ (9), к^ •) — непрерывные ограниченные функции, определяющие потери при пропуске сигнала 8^ (9), фп(х) = = (фп^ (х) , фп\х),. . . , фп^ (х)) — решающие функции алгоритмов фп. Вероятность ложной тревоги
«(фп) = 1 - Мо {ф^^х)} ,
где Мо{ • } — оператор усреднения по распределению выборки х в отсутствие сигнала.
Положим сигналы
N
8^ (9) = ^.S^,
3=1
где {S^,J^ = ^lj\ . . . , S^’^y j = l,...,m} — ортогональные базисные вектора подпространств R&, нормированные таким образом, что (1/д/п) ||S^’J^ || = 1 Vn = 1, 2, . . ., k = 1, . . . , m; j = 1, . . . , N, параметр 9 = (9i,. . . ,9yy) € E, E — множество ожидаемых значений параметра 9. Сигналы 8^(9), k = 1,...,т, принимаем взаимно ортогональными при любом значении параметра 9, что равносильно посылке о взаимной ортогональности векторов S^,J\ к = 1,. . . , т,
Перейдем к построению АИО-алгоритма ф*. Обозначим через /п(х, А:,9) отношение правдоподобия при наличии сигнала (Х/v^) х х 8^ (9) и положим, что выполняются условия 1А, ..., 4А, приведенные в п. 3.2.2. При выполнении этих условий справедлива теорема 3.1. В соответствии с этой теоремой асимптотическое разложение In 1п (х, к. 9) выражается через статистику
т N
П (X, к, е) = £ £ Ki (к, 6) гГЧх),г=1j = l
где параметры 9^- (к, 9) = bi^j^ §i,k ~ символ Кронекера, статистики
k=l
\|/ (t) — логарифмическая производная ПРВ шума.
Образуем из статистик Z^ ,J\x) векторную статистику
Мх^^ЧхУ t == Л} (3.103)
и заменим, при синтезе алгоритма, выборку х на Zn(x). Эта замена не повлияет на асимптотическую эффективность синтезируемого алгоритма, так как согласно ([112], теорема 5.1, с. 87) алгоритмы
с решающими функциями фп(х) и фп (zn) = М{фп(х) | zn} имеют одинаковую асимптотическую эффективность, где М{- | zn} — оператор усреднения по условному распределению выборки х при отсутствии сигнала и Zn(x) = zn. Статистику (3.103) принято называть асимптотически достаточной статистикой [112].
При использовании алгоритмов фп с решающими функциями фп(гп) потери
П (фп, X) = ^ ^ Pk"NL ^Kk [фп (zn)] | Pk (Zn | X, 9)}, к = 1
а вероятность
а(Ф„) = 1-М{ф№ (z„) | P0(Z„)},
где М { • | Рк (Zn | X, 9)} и М { • | Ро (Zn) |} — операторы усреднения по распределению статистики (3.103) соответственно при наличии сигнала (Х/л/п) S^ (9) и при отсутствии какого-либо сигнала.
При отсутствии и наличии сигнала, справедлива сходимость Zn(x) Д Z, где Z = {Х^’Д к = 1, . . . , m, j = 1, . . . , TV} — вектор с гауссовым распределением [112, теоремы 4.2, 4.6, с. 61]. В отсутствие сигнала вектор Z имеет распределение N (0; / (w) Е), а при наличии сигнала (X/V^ S^ (о) — распределение N (X/ (w) а^ (9); / (w) Е), где 0 — нулевой вектор размерностью mN, I (w) — информация Фишера маргинального распределения шума, Е — единичная матрица размерности mN х mN, а^) (9) — вектор размерности mN с координатами а^ = ^j_^_^N при j = (к — 1) N -\- 1, kN и а^ = = 0 при других значениях j, N(-; •) — обозначение многомерного нормального распределения вероятностей.
Оптимальные алгоритмы практически всегда принадлежат классу нерандомизированных алгоритмов. У таких алгоритмов множество точек разрыва решающих функций имеет нулевую меру Лебега. Поэтому при поиске алгоритма ф* можно ограничиться классом Ф алгоритмов, у которых множество точек разрыва решающих функций фп (zn) имеет нулевую меру по предельному распределению статистики (3.103).
Принимая во внимание сходимость Zn(x) Д Z, а также непрерывность и ограниченность функций потерь л&(-), находим, что для алгоритмов ф G Ф справедливы сходимости [85, теоремы 5.1 и 5.2, с.49]
М {лк [ф„ (z„)] I Рк (Z„ I X, 9)} Н- М {л* [ф„ (z)] I Рк (Z I X, 9)} , k =(3104)
М {ф^ (z„) | Ро (Zn)} М {ф^ (z) | Ро (Z)},(3.105)
где М { • | Ро (Z)} и М { • | Рк (Z | X, 9)} — операторы усреднения по
предельным распределениям статистики (3.103), соответственно, при отсутствии и наличии сигнала.
Благодаря сходимостям (3.104) и (3.105), истинные распределения статистики (3.103) можно заменить при синтезе АИО-алгоритма на ее предельные распределения N (0; / (w) Е) и N (XI (то) a<fc) (е); / (w) Е), k = 1, . . . , т, соответственно при отсутствии и наличии сигнала.
f N
Положим множество Е = < 9 : 52 9? = 1 f • В этом случае семей- I j=i J
ства распределений {N (X/ (w) а^ (9); / (w) Е) , X G [0, оо) , 9 € Е}, к = = 1, . . . , т, симметричны относительно группы G всевозможных ортогональных преобразований, собственными подпространствами которых являются подпространства R^\ образованные векторами S^ = = (S^’1), . . . , S^1^. Индуцированная группа G* также состоит из всевозможных ортогональных преобразований, определенных на множестве Е. Группа G* транзитивна на множестве Е. Поэтому независимость потерь П (ср, X) от параметра 9 обеспечивается при инвариантных относительно группы G алгоритмах ф 6 Ф.
Таким образом, АИО-алгоритм ср* может быть построен на основе последовательности {фп, п = 1, 2,. . .} алгоритмов обнаружения и различения сигналов на фоне гауссова шума, инвариантных относительно группы G и оптимальных при конечных размерах наблюдаемой выборки (такие алгоритмы фп получены в [73]). Для построения алгоритма Ф* достаточно заменить в решающих функциях фп (t) указанных алгоритмов фп выборку t на реализацию zn статистики Zn(x) и образовать последовательность ф* = {ф* , п = 1,2,...} алгоритмов ф* с решающими функциями фп (zn).
Отметим, что множество неопределенности сигнального парамет- r N
ра вида Е = < 9 : 52 9^ = 1 г характерно для задач обнаружения I j=i J
и различения сигналов с неизвестной начальной фазой, с общими замираниями, с селективными замираниями и при многоканальном приеме. Поэтому АИО-алгоритмы могут найти применение при решении многих практически важных задач.
Приведем выражения для решающих функций АИО-алгоритма, когда функции потерь к^ [фп(х)] = 1 — ф^\х), к = 1,. . . , т. При таких функциях тгд. (•) предельные потери П(ф,Х) равны асимптотической средней вероятности пропуска сигнала, которая часто используется для оценки качества алгоритмов обнаружения и различения сигналов. Положим также априорные вероятности сигналов р^ = 1/т Vk = 1, . . . ... ^т.
В соответствии с результатами, полученными в [73], решающие функции АИО-алгоритма выражается в виде
фп (^п) <фп (^п) <(ф^) (z„) = 1,0,... ,0) , fc_max UW(zn)<C(a), (0,... ,фф (zn) = 1,0,... ,0) , max U^ (z„) =
фп (^п) <
фп (^п) <
(3.106)где г = 1,. . . , m, < U^) (zn) = 22к = 1,. . . , m > — МИI3=1)(3.106)где г = 1,. . . , m, < U^) (zn) = 22к = 1,. . . , m > — МИI3=1)= и^ (z„) ^ C (a),
(3.106)
где г = 1,. . . , m, < U^) (zn) = 22к = 1,. . . , m > — МИ
I3=1)
(3.106)
где г = 1,. . . , m, < U^) (zn) = 22к = 1,. . . , m > — МИ
I3=1)
группы G ортогональных преобразований, z^'^ = Z^^^A = —
x 22 S^k,^\f (xi), к = 1,. . . , m, з = 1,. . . , N.
Z=l
Алгоритм с решающими функциями (3.106) соответствует случаю, когда параметр масштаба о = 1 и параметры сдвига 11& = 0 У к = 1, . . . ... , Р. При других известных значениях параметров о,^, к = 1, . . . ... , Р, решающие функции алгоритма также представляются в виде (3.106), но при ^’J = Znk^ (х,у), где
у = (о,Цх, . . . ,ЦР) .у = (о,Цх, . . . ,ЦР) .
у = (о,Цх, . . . ,ЦР) .
у = (о,Цх, . . . ,ЦР) .
В случае априорно неизвестных параметрах масштаба и сдвига величины z^^ = Z^'^ [х, уп(х)], где уп(х) — д/п-состоятельная эквивариантная оценка параметров масштаба и сдвига.
Примеры асимптотических алгоритмов обнаружения и различения сигналов
АОИ-алгоритм обнаружения и различения детерминированных сигналов. Рассмотрим обнаружение и различение т детерминированных сигналов на фоне (в общем случае) негауссова шума и р .
сигналоподобной помехи ц = 22 ^j^^- Сигналы представим в виде 5=1
(xMi)sR^i,..., m, где S (9) — определенный в п. 3.1 сигнал с нормой ||S (в)|| = д/п, 9^) — известные значения неэнергетического параметра 9. Априорно неопределенными полагаем энергетический параметр X 6 (0,оо), а также параметры масштаба о 6 (0, оо) и сдвига ilj 6 (—оо, оо), j = 1,. . . , Р, смеси шума и сигналоподобной помехи. При детерминированных сигналах параметр 9 имеет априорное
распределение Р (9) = ^2 Pk^k (б), гДе Рк ~ априорные вероятности к=\
различаемых сигналов, 3& (9) — единичные массы, сосредоточенные в точках 9^.
Приведем наиболее интересный для практики АОИ-алгоритм обнаружения и различения равновероятных сигналов (р^ = 1/т У к = 1, . . . ... , т) при функции потерь к (9) = 1. В случае такой функции потерь л (о) предельные потери равны средней асимптотической вероятности пропуска сигналов.
Применяя разработанную в п. 3.3 методику статистического синтеза, находим с учетом априорного распределения Р (9), что АОИ- алгоритм обнаружения и различения детерминированных сигналов представляется оценками 6 (х) = 9^) Vk = 1,. . . , m и решающими функциями:
к = 1,...,т
, 0), шах Тп[х, 9^\ у п (х)] = k = lv..,m
г\ Чп (х)] > С (ос) , г = 1,. . . , т,
(3.107)
где у п (х) — совместная оценка (3.84) параметров масштаба и сдвига, статистика
Si (9) — координаты опорного сигнала S(9), \|/(t) = — — In w(t), w(t) — ПРВ шума с единичным масштабом. Опорный сигнал
S(o) = ^ S(e)-PrS(e)
W ||S(e)-PrS(e)||’
где Pr — оператор ортогонального проектирования в подпространство R*, порожденное векторами е^0) = (1,. . . , 1), е^ = (е^,. . . , е^ ^), у = 1,...,Р.
Напомним, что для оптимальности алгоритма (3.107) требуется сходимость Тп (х,9,у) — Тп[х, 9, уп (х)] А 0 (см. п. 3.3.2). Для обеспечения этой сходимости недостаточно одной только состоятельности оценки у п (х). Должны также выполняться определенные условия, сформулированные в леммах 3.3-3.5 (см. п. 3.3.2). Одним из этих условий является ортогональность опорного сигнала статистики Тп (х, 9, у) подпространству R*, которому принадлежит сигналоподобная помеха. По этой причине в роли опорного сигнала выступает вместо исходного
сигнала S (о) его проекция S (о) в ортогональное дополнение подпространства R*.
Благодаря сходимости
Т„ (х,0,у) - т„[х,е, Yn (х)] А о, асимптотические характеристики алгоритма (3.107) определяются предельными распределениями Р (Т | Н^ векторной статистики Tn (х,у) = ^Тп (х, Q^\ у) j = 1,.. . , m} при гипотезе Но и при альтернативах Н^. к = 1,...,т. Согласно центральной предельной теореме, распределение Р (Т | Но) = N (0; / (w) R) и распределения Р (Т | Н^) = N (со/ (w) а/д I (w) R), где N(-;-) — m-мерное нормальное распределение, со = Х/о — МИ группы преобразований масштаба и сдвига, / (w) — информация Фишера ПРВ шума с единичным масштабом, R = [г^^ — корреляционная матрица, Tj^ = lim (1/n) (S (0^) , S (0^)) — коэффициенты корреляции опорных сигналов S(9^^), J = l,...,m, а^ = (а^д, . . . , а^^^ a^j = = lim (1/n) (S (0^) , S (0^)) — коэффициенты корреляции между принятым сигналом и опорными сигналами, (• , •) — скалярное произведение векторов. Ввиду нормальности распределений Р (Т | Н^) асимптотические характеристики алгоритма (3.107) совпадают с характеристиками инвариантных алгоритмов обнаружения и различения известных сигналов на фоне гауссова шума и сигналоподобной помехи (см. п. 2.2.1, [73]).
Асимптотическая вероятность ложной тревоги у алгоритма (3.107) инвариантна относительно параметров масштаба и сдвига, а асимптотическая вероятность пропуска сигналов не зависит от параметров сдвига и монотонно возрастает с ростом величины cP (w) = co2/(w). Асимптотическая вероятность пропуска сигналов при любом значении параметра со минимальна в классе инвариантных асимптотических алгоритмов.
В соответствии с методикой синтеза указанные свойства инвариантности вероятностей ложной тревоги и пропуска сигналов обеспечиваются не только в асимптотике, но и при конечных размерах наблюдаемой выборки. Минимальность асимптотической вероятности пропуска сигналов при любом значении параметра со означает равномерную по этому параметру асимптотическую оптимальность алгоритма. Вследствие этого, при любом априорном распределении Р (со) усредненная по этому распределению асимптотическая вероятность пропуска сигналов будет минимальной.
Инвариантность вероятностных характеристик алгоритма относительно сигналоподобной помехи достигается за счет режекции этой помехи (при эквивариантных оценках ^j (х) сигналоподобная помеха
Р ~ .
исключается из вектора х — 53 ^j (х) е*^ и, следовательно, из стати- 3=1
стики Тп(х,у)). Эта режекция приводит к энергетическим потерям /г, когда сигналы S(9^)) не ортогональны подпространству Rn, порожденному базисными векторами е^\ j = 1, . . . ^ Р^ сигналоподобной помехи. Потери h2 зависят от коэффициентов корреляции р/. = = lim (1/n) (S (9^) , Prn S ^k^Y где Ргп — оператор ортогонального проектирования в подпространство Rn. Например, в случае бинарного обнаружения (m = 1) потери h2 = 1/(1 — р2). Этот пример показывает, что потери за счет режекции сигналоподобной помехи небольшие, при значениях |р| ^ 0,3, но резко возрастают с увеличением |р| в области значений |р| > 0,3.
Отметим, что величина К2 определяет энергетические потери при сравнении АОИ-алгоритма с асимптотически оптимальным (АО) алгоритмом в случае отсутствия сигналоподобной помехи. Однако при наличии такой помехи, АОИ-алгоритм существенно эффективнее АО- алгоритма, который никак не защищен от воздействия сигналоподобной помехи.
Выясним, насколько критично построение статистики Тп (х, 9, у) на основе сигнала S (9), а не на основе исходного сигнала S (9). Выражение Тп (х, 9, у) через сигнал S (9) нарушит сходимость Тп (х, 9, у) — — Тп[х, 9, уп (х)] ^> 0, что приведет к дополнительным энергетическим потерям. Эти потери были оценены в типичном для практики случае симметричных (четных) ПРВ шума. При бинарном обнаружении сигнала они определяются величиной
Коши [98]. Плотность обобщенного распределения Гаусса
ГГС(^а) =ГГС(^а) =осос2К (ос) Г (1/ос)2К (ос) Г (1/ос)t 6 ( — ОО, ос) ,t 6 ( — ОО, ос) ,а плотность обобщенного распределения Кошиа плотность обобщенного распределения КошиГИС^ос,^ =ГИС^ос,^ =D (ос, й)D (ос, й)1 + О [^ (а)1 + О [^ (а)
ГГС(^а) =
ГГС(^а) =
ос
ос
2К (ос) Г (1/ос)
2К (ос) Г (1/ос)
t 6 ( — ОО, ос) ,
t 6 ( — ОО, ос) ,
а плотность обобщенного распределения Коши
а плотность обобщенного распределения Коши
ГИС^ос,^ =
ГИС^ос,^ =
D (ос, й)
D (ос, й)
1 + О [^ (а)
1 + О [^ (а)
КИ = [iW^ D<“-«> = "«-‘^Л^ТОМГИ' П-) - гамма-функция.
У обобщенного распределения Гаусса логарифмическая производ-
vg ^ = иС< ^I01”1 sign ^ ’
и информация Фишера
V ’Г2 (1/а)
У обобщенного распределения Коши логарифмическая производная
/,\ остЗ" —|— 1 । .а—1 . z х
VC О [К («)]“+ |t|a Slgn ’
и информация Фишера
1С / д) = Н + I)2 г (3/а) Г (д + 1/а) Г (О + 2/а) Г (2 - 1/а) ’ д2/аГ2 (1/а) Г (о) Г (2 + д + 1/а) ’
Информация Фишера у распределений WG и WC конечная, когда параметр ос > 0,5. Дисперсия у распределения WG конечная и равна 1 при всех ос > 0, а у распределения WC дисперсия конечная только при остЗ > 2. От параметра ос зависит так называемая “тяжесть” хвостов распределения. С уменьшением параметра ос хвосты распределений WG и WC становятся более тяжелыми.
Плотность WG (t, ос) совпадает при ос = 2 с плотностью нормального распределения w (t) = (1/V^) exp (—t2/2), а плотность WC (t, oc, i3) равна плотности распределения Коши w (t) = 1/[л (1 + t2)] при ос = 2 ий= 1/2.
В случае известной плотности w распределения шума АОИ- алгоритмы обеспечивают потенциальную помехоустойчивость обнаружения и различения сигналов. Однако их характеристики весьма чувствительны к отклонению ПРВ шума от плотности w, принятой при синтезе алгоритма.
Свойство алгоритма сохранять свои характеристики при изменении ПРВ шума называется его устойчивостью. Количественно устойчивость оценивается коэффициентом асимптотической относительной
эффективности % алгоритма, используемого при “чужом” шуме (с плотностью р ф w), по отношению к алгоритму, асимптотически оптимальному для этого “чужого” шума (оптимальному для плотности р) [55, 98].
Коэффициент асимптотической относительной эффективности (КАОЭ) определяется в виде
X (р, w) =X (р, w) =«t (p)/Pw (р)Пр)«t (p)/Pw (р)Пр)
X (р, w) =
X (р, w) =
«t (p)/Pw (р)
Пр)
«t (p)/Pw (р)
Пр)
где / (р) — информация Фишера у плотности р, aw (р) = М {\|/^ (t) | р}, Й (р) = M{Vw W I р}, v™ W = -^ Inw (t), v'w (t) = W- Отметим, что % (p, w) 1, так как aw (w) = p^ (w) = / (w).
В соответствии с определением КАОЭ величина П (р, w) = = l/x(p,w) равна тем энергетическим потерям, которые возникают в случае использования в изменившихся условиях алгоритма, асимптотически оптимального при определенном распределении шума. Расчеты показывают, что эти потери могут быть значительными.
Для иллюстрации устойчивости АО-алгоритма в табл. 3.1 и 3.2 приведены значения КАОЭ и энергетических потерь при исполь-
Таблица 3.1
Распределение W G (ос)
ос
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,4
1,6
2,0
КАОЭ
0,035
0,118
0,237
0,370
0,500
0,618
0,718
0,863
0,948
1,000
П,дБ
14,53
9,27
6,25
4,32
3,01
2,09
1,44
0,64
0,23
0
Таблица 3.2
Распределение WC (ос, ъ), ъ = 4
ос
0,75
1,0
1,25
1,5
1,75
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
КАОЭ
0,027
0,183
0,434
0,661
0,820
0,916
0,982
0,957
0,904
0,839
П,дБ
15,69
7,38
3,63
1,80
0,86
0,38
0,08
0,19
0,44
0,76
зовании оптимального для гауссова шума алгоритма обнаружения сигнала в шумах с обобщенным распределением Гаусса и с обобщенным распределением Коши.
Ввиду низкой устойчивости АО-алгоритмы могут быть рекомендованы для применения только при наличии достоверной информации о распределении шума. В случае отсутствия такой информации требуется адаптация алгоритма под фактическое распределение шума.
Адаптивные АО-алгоритмы синтезируются на основе оценки неизвестной ПРВ шума, полученной по обучающей выборке [54, 55, 95]. При достаточно большом размере этой выборки адаптивные АО-алгоритмы имеют практически те же характеристики, что и АО-алгоритмы при известной ПРВ шума [95]. Однако, вследствие оценивания ПРВ, их состоятельность гарантируется при весьма сильных предположениях относительно распределения шума [87, 95], которые могут и не выполнятся на практике.
АО алгоритм обнаружения сигнала при квадратурной обработке наблюдаемого процесса. Рассмотрим сначала бинарное обнаружение детерминированного сигнала с выделением квадратурных составляющих наблюдаемого процесса. Априорно неопределенными считаем по-прежнему энергетический параметр Л сигнала и параметры масштаба о и сдвига ^Cj^ ^Sj, j = 1,. . . , Р, смеси шума и сигналоподобной помехи. Кроме того, к априорно неопределенным характеристикам отнесем также условную плотность w (£2 | й) распределения отсчетов квадратурных составляющих шума в совпадающие моменты времени. Одномерные распределения квадратурных составляющих шума полагаем одинаковыми с известной плотностью w (t). Относительно совместного распределения квадратурных составляющих шума примем предположения п. 3.3.5.
В соответствии с выражениями (3.100) и (3.102) п. 3.3.5 получаем решающие функции АОИ-алгоритма обнаружения детерминированного сигнала в виде
m(х) = 1,0) ,Т„[х, ?„(х)] < С(а),
[ (0,} (х) = 1) , Tn[x, Y„(x)] С (а),
где статистика
_1 п__
(х)] = Е {Scivltc^xc, (х))] + Ss^ts^xs, (х))]},
V (£) = — ^lnw(^)? Уп (х) — эквивариантная и д/п-состоятельная оценка параметра у = (о, Фщ, . . . , ilcp, ilsi,. . . , ilsp), x = (xc, xs) — наблюдаемая выборка, xc = (жщ,. . . , xc^ xs = (ж«1,. . . , xs^ — выборки из квадратурных составляющих наблюдаемого процесса, Sc^ Ssi — отсчеты квадратурных составляющих обнаруживаемого сигнала,
,/х 1
3=13=1tCi (хс, у) = - ХСг
3=1
3=1
tSi (xs, у) = - I XSi - ^ ^зГ' j,
z = 1,. . . , n.
В качестве опорных сигналов статистики Тп приняты вектора Sc и Ss, образованные соответственно из отсчетов Sc^ и Ss^ г = = 1,...,п, квадратурных составляющих обнаруживаемого сигнала. Согласно исследованию, выполненному в п. 3.5.1, это приведет лишь к незначительному снижению эффективности алгоритма, если модуль коэффициента корреляции между сигналом и сигналоподобной помехи меньше 0,3.
Напомним, что асимптотические характеристики обнаружения данного АОИ-алгоритма не зависят от условной плотности w (£2 | й) распределения квадратурных составляющих шума. Кроме того, асимптотическая вероятность ложной тревоги инвариантна относительно параметров масштаба и сдвига, а асимптотическая вероятность пропуска сигнала не зависит от параметров сдвига и определяется при известной плотности w (t) единственным параметром со = Х/о. По устойчивости к изменению плотности w (t) маргинального распределения квадратурных составляющих шума приведенный алгоритм аналогичен алгоритму п. 3.5.1.
С целью подтверждения устойчивости АОИ-алгоритма к изменению условной плотности w (^2 | ^1) было проведено его исследование путем расчета характеристик обнаружения по предельным распределениям статистики Тп при отсутствии и наличии сигнала, а также путем статистического моделирования алгоритма на ЭВМ.
Исследование проводилось при следующих плотностях распределения квадратурных составляющих шума:
™1 (tl, t2) = W (ti) W1 (t2 I tl) , W2 (tl, t2) = w (ti) w2 (t2 I ti) ,w3 (^1, <2> = w(ti)w(t2),
гДе
w(t) = j wi(i,£)d£; wi (ii,i2) = L ^t^ + £3) ,
при L (r)=при L (r)=r2v exp (—r2/2)2v+T(v + l)
при L (r)=
при L (r)=
wi (i2 I ii) =wi (i2 I ii) =W (£1)W (£1)W2 (^2 I ^1) — 2^ (^2 — Й) + -8 (^2 + ti) ,W2 (^2 I ^1) — 2^ (^2 — Й) + -8 (^2 + ti) ,
wi (i2 I ii) =
wi (i2 I ii) =
W (£1)
W (£1)
W2 (^2 I ^1) — 2^ (^2 — Й) + -8 (^2 + ti) ,
W2 (^2 I ^1) — 2^ (^2 — Й) + -8 (^2 + ti) ,
8( •) — дельта-функция.
Для сравнения, при данных распределениях шума, был исследован также АО-алгоритм, оптимальный при распределении шума с плотностью wi (ti, t^Y
Пороги у АОИ- и АО-алгоритмов были фиксированы и установлены такими, чтобы асимптотическая вероятность ложной тревоги ос была равна 0,01 при распределении шума с плотностью гщ (ti, t^Y
Для каждой плотности w^^t 1,^)7 к = 1,2,3, были вычислены асимптотическая вероятность ложной тревоги ос и пороговое соп? отношение Х/о. Значение соп определялось при вероятности пропуска сигнала 0,1 и вероятности ложной тревоги ос = 0,01 (при вычислении соп у АО-алгоритма условие ос = 0,01 выполнялось путем корректировки его порога). Результаты вычислений приведены в табл. 3.3.
Таблица 3.3
Алгоритмы
Параметры
W1
W2
w3
АО-алгоритм
ос
9,91
0,4
0,1
(Оп, дБ
4,0
39,8
17,0
АОИ-алгоритм
ос
0,01
0,01
0,01
ton, дБ
6,2
6,2
6,2
Приведенные в таблице 3.3 результаты подтверждают независимость характеристик обнаружения у АОИ-алгоритма от условной плотности w (^2 | й) и свидетельствуют о том, что АО-алгоритм при неизвестной плотности w (t^ | й) не обеспечивает устойчивого обнаружения сигнала. Устойчивость АОИ-алгоритма достигается ценой определенных энергетических потерь при известной плотности w (£2 | tiY Согласно таблице 3.3 эти потери имеют порядок 2 дБ.
Статистическое моделирование, выполненное по 10000 независимых испытаний, подтвердило приведенные в таблице 3.3 результаты и показало, что при известных параметрах масштаба и сдвига асимптотические характеристики обнаружения достигаются при размере наблюдаемой выборки (базе сигнала) порядка 100, а при неизвестных параметрах масштаба и сдвига — при размере выборки порядка 200300.
Рассмотрим теперь обнаружение сигнала с неизвестной начальной фазой ф его несущего колебания. В случае неизвестной фазы ф квадратурные составляющие сигнала выражаются в форме
Sc (9) = 9iSc — 628s, Ss (9) = 9iSs + 92Sc,
где Sc и Ss — квадратурные составляющие сигнала с начальной фазой ф = 0, 9 = (91,92) — неэнергетический сигнальный параметр с компонентами 91 = С08ф, 92 = зшф.
Априорное распределение фазы ф считаем неизвестным. Поэтому априорное распределение Р (9) также полагаем неизвестным. В качестве области определения параметра 9 принимаем множество Е = = {9:9^+9^ = 1}.
Богданович В.А., Вострецов А.Г.
Подставив приведенные выражения для квадратурных составляющих Sc (9) и Ss (9) в (3.102), получим статистику
Тп\х,еЛп (х)] = 0i^i,n[x, у„ (х)] +02Z2.„[x, yn (х)],
где
Zi,n\x, уп (х)] = ГТ, {-SciV^c^xc, Y„(x))] + Ss^s^xs, у„(х))]), V z=l
^2,n[x, у„ (x)] = ГУ! {Scivtis^xs, Y„(x))] - Ss^tc^xc, y„(x))]). V z=l
Согласно (3.79) оценка параметра 9 при данном выражении статистики Т^х, 9, уп(х)] имеет вид
e(x) = (0i (х),02 (х)),
где
01 (х) =,2L„x^Jx)]
V Zl, п[х, У n (х)] + Z2,n[x, Yn (х)]
2 м ^пКъДх)]
0 2.
V Zl.nV^ Уп (х)] + Z^x, уп (х)]
После подстановки оценки 9 (х) в (3.78) находим решающие функции АОИ-алгоритма в виде
( (ф^0) (х) = 1, 0) , Un\x, у„ (х)] < С (а),
<Р»(х)=< , m ч_
( (0, ф£' (х) = 1) ,1/п[х, у„ (х)] С (а),
где статистика Un\x, у„ (х)] = уZfn[x, yn (х)] + Z^n[x, уп (х)].
При больших значениях параметра со = Х/о полученный АОИ- алгоритм близок по эффективности к асимптотическому байесовскому алгоритму практически при любом распределении начальной фазы сигнала (см. п. 2.6.1). В случае равномерного распределения начальной фазы он является асимптотическим байесовским алгоритмом, независимо от значения параметра со. В отношении параметров масштаба и сдвига данный алгоритм обладает той же устойчивостью, что и АОИ- алгоритм обнаружения детерминированного сигнала.
В заключение отметим, что благодаря нормальным предельным распределениям статистик Тп[х, уп(х)] и Zi)Tl[x, уп (х)], ^2,п[х, уп (х)], асимптотические характеристики полученных АОИ- алгоритмов совпадают с известными характеристиками оптимальных
инвариантных алгоритмов обнаружения сигналов на фоне гауссова шума (см., например, [73]), если под отношением сигнал/шум понимать величину q2 = X2/ (w)/o2.
АИО-алгоритм обнаружения сигнала с селективными замираниями. Рассмотрим обнаружение сигнала при наличии селективных замираний, возникающих в многолучевых каналах передачи. Для конкретности ограничимся случаем частотно-селективных замираний сигнала. Кроме того, положим, что наблюдаемая выборка образована из отсчетов квадратурных составляющих процесса на выходе канала передачи. Квадратурные составляющие шума считаем независимыми между собой.
Каналы с частотно-селективными замираниями хорошо представляются дискретной моделью в виде линии задержки (ЛЗ) с отводами [61]. В соответствии с этой моделью квадратурные составляющие сигнала на выходе канала выражаются в форме
xSc (0) = х £ [e^Sc^ - ©^W)],j=i
XSs (9) = X £ [o^Ss^ + 0<j)Sc(j)],
N
где X = V X^ — энергетический параметр сигнала, N — число
отводов ЛЗ, 6^ = (Xj/X) cos <pj, 9^ = (X^/X) sin (р7- Vj = 1, . . . , N, Xj и фу — соответственно энергетические параметры и начальные фазы сигналов на отводах ЛЗ, Sc^J^ и Ss^ — квадратурные составляющие сигналов на отводах ЛЗ при Xj /Х = 1 и фу = 0.
Параметры Xj и фл VJ = 1,. . . , TV, принимаем априорно неопределенными и принадлежащими соответственно множествам (0, оо) и (—л, л]. К априорно неопределенным отнесем также параметр масштаба шума на выходе канала.
В качестве наблюдаемой выборки примем вектор х = {хс^'), xs^\ з = 1,.. . , TV}, где хс^ = (жс^, . . . , хс£xsM^ = = (хз^\ . . . , Х8п ^) — последовательности из независимых отсчетов квадратурных составляющих процесса на j-м отводе ЛЗ.
В соответствии с данным представлением квадратурных составляющих сигнала на выходе канала передачи асимптотическое разложение логарифма отношения правдоподобия выборки х выражается через статистику
Тп\х, 9, оп(х)] = 52 {g^Z^tx, Sn(x)] + ^Z^x, оп(х)]}, 3=1
где <зп (х) — эквивариантная и д/п-состоятельная оценка параметра масштаба,
г = 1 I1г = 1 I1zAlx’ °"(х)] = ^ Е ^c^VzAlx’ °"(х)] = ^ Е ^c^V
г = 1 I1
г = 1 I1
zAlx’ °"(х)] = ^ Е ^c^V
zAlx’ °"(х)] = ^ Е ^c^V
Для построения алгоритма воспользуемся методикой синтеза АИО- алгоритмов, разработанной в п. 3.4. Эта методика основана на выделении асимптотически достаточной статистики. Согласно выражению для Тп[х, 9, оп(х)] такой статистикой является векторная статистика
Z„(x) = {z^[x,3„(x)],Z^[x,3n(x)], j =
Найдем предельное распределение статистики Zn (х), полагая сигналы на отводах ЛЗ ортогональными между собой и удовлетворяющими условию Д||8с(^||2 +||Ss(^||2) = 1. Эти посылки обычно выполняются, так как в случае частотно-селективных замираний часто отдают предпочтение сложным сигналам с малым уровнем боковых лепестков автокорреляционной функции.
При выполнении данных посылок распределение статистики Zn (х) стремится с ростом размера выборки к нормальному распределению N{O,/(w)E}, при отсутствии сигнала, и к нормальному распределению N {со/ (w) 9, / (w) Е} при его наличии. Здесь 0 — нулевой вектор размерности 2N^ I (w) — информация Фишера плотности распределения шума с единичным масштабом, Е — единичная матрица размера 2N х 2ND параметр со = Х/о, 9 = {9^,9^, j = 1, . . . , А^} € Е, Е = {9:||9|| = 1}.
Семейства данных предельных распределений симметричны относительно группы ортогональных преобразований вектора Zn. Максимальным инвариантом этой группы является статистика U (Zn) = = У^ | [Z^] + [Z^] }. Выразив эту статистику через выборку х, j=i
получим решающие функции искомого алгоритма в виде
(фп ’ (х) = 1, 0) ,
Фп (х) = <Фп (х) = <Е {[^(х, Sn (х))]2 + [Z^(x, an(x))]2} < С(а), (0, ф^ (х) = 1) ,
Фп (х) = <
Фп (х) = <
Е {[zg(x, an(x))]2 + [Z^(x, ап(х))]2} > С(а).
J=1
Отметим, что данный алгоритм обнаружения может быть построен и другим способом — с применением рассмотренной в п. 3.3.3 методики синтеза АОИ-алгоритмов. Поэтому он является также байесовским АОИ-алгоритмом.
Благодаря асимптотической инвариантности относительно группы ортогональных преобразований, полученный алгоритм обладает полезным свойством устойчивости в условиях априорной неопределенности параметров Xj и ф7-, j = 1,. . . , А, канала передачи. Эта устойчивость выражается в том, что асимптотическая вероятность пропуска сигнала инвариантна к изменению начальных фаз t^j и перераспределению энергии принятого сигнала между его компонентами по ветвям разнесения (эта вероятность зависит от суммарного энергетического
N
параметра X = 52 ^)- Кроме того, асимптотическая вероятность
V=1
ложной тревоги у данного алгоритма не зависит от уровня шума, а асимптотическая вероятность пропуска сигнала полностью определяется единственным параметром со. Причем по параметру со алгоритм равномерно оптимален, если фактическая ПРВ шума совпадает с той плотностью распределения, которая была выбрана при его синтезе. Однако надо иметь в виду, что алгоритм весьма чувствителен к изменению маргинальной ПРВ шума.
Полезным свойством полученного алгоритма является также инвариантность его характеристик к статистической зависимости квадратурных составляющих шума в совпадающие моменты времени (см. п. 3.3.5). Поэтому при его использовании можно не принимать во внимание наличие такой зависимости у шума.
В заключение отметим, что при соответствующей корректировке полученный АИО-алгоритм может быть применен и при других типах селективных замираний сигнала, если для соответствующих каналов передачи справедлива линейная модель.
Резюме
На основе Li-подхода, принципа инвариантности и байесовского метода разработана методика синтеза АОИ-алгоритмов обнаружения и различения детерминированных сигналов и сигналов со случайными параметрами на фоне помех. Алгоритмы, построенные с применением данной методики, имеют высокую эффективность и большую степень устойчивости в условиях параметрической априорной неопределенности. Устойчивость алгоритмов выражается в инвариантности их характеристик относительно параметра масштаба, параметров сдвига (параметров сигналоподобной помехи) и в практической независимости этих характеристик от априорного распределения параметров сигналов.
Кроме того, на основе Li-подхода и принципа инвариантности (без использования байесовского метода) разработана методика синтеза АИО-алгоритмов, характеристики которых асимптотически инвариантны относительно неизвестных параметров сигналов. Для синтеза АИО-алгоритмов требуется симметричность семейства распределений асимптотически достаточных статистик относительно определенной группы преобразований. Поэтому область применения АИО- алгоритмов меньше, чем у АОИ-алгоритмов. В отношении параметров масштаба и сдвига АИО-алгоритмы имеют ту же степень устойчивости, что и АОИ-алгоритмы.
Устойчивость АОИ и АИО-алгоритмов гарантируется только в условиях параметрической априорной неопределенности. В случае непараметрической априорной неопределенности эти алгоритмы имеют, как правило, низкую устойчивость. В связи с этим теория асимптотических алгоритмов получила дальнейшее развитие в направлении синтеза асимптотически робастных (АР) алгоритмов, устойчивых в условиях как параметрической, так и непараметрической априорной неопределенности. Методика синтеза таких АР-алгоритмов разработана в следующей главе.
Обзор литературы по асимптотической обработке сигналов
Асимптотическая теория проверки гипотез и оценивания опирается на фундаментальные работы Ле Кама [102], Чибисова Д.М. [78] и Гаека Я., Шиддака 3. [39]. Систематическое изложение этой теории дано в книге Русаса Дж. [112]. В этой книге детально излагаются также основные результаты Ле Кама, относящиеся к контигуальности распределений, асимптотическому разложению логарифма отношения правдоподобия и аппроксимации в Li-норме семейства распределений наблюдаемой выборки.
Подробное изложение теории АО-алгоритмов обнаружения сигналов дано в книгах Левина Б.Р. [54, 55], в которых развиты и систематизированы результаты оригинальных работ Левина Б.Р., Баронкина В.М., Кушнира А.Ф., Пинского А.И., Рыбина А.К. В этих работах получены АО-алгоритмы обнаружения сигналов по независимым наблюдениям и сделаны существенные для практики обобщения на случай зависимых наблюдений, а также на случай обработки сигналов по ранжированным и квантованным наблюдениям.
При достаточно большом размере наблюдаемой выборки АО-алгоритмы обладают фактически потенциальной помехоустойчивостью. Однако вследствие низкой устойчивости к изменению характеристик помех, для применения данных алгоритмов требуется полная априорная информация о распределении помех. Ввиду отсутствия такой информации на практике асимптотическая теория обнаружения
сигналов получила дальнейшее развитие в направлении обеспечения устойчивости синтезируемых алгоритмов в условиях априорной неопределенности помех.
Для преодоления априорной неопределенности помех применяются два подхода — адаптация алгоритмов под фактические характеристики помех и обеспечение устойчивости алгоритмов за счет использования при их синтезе специальных принципов подобия и инвариантности.
Способы построения адаптивных АО-алгоритмов рассмотрены в [54, 55]. Подробное исследование адаптации АО-алгоритмов при неизвестной ПРВ шума дано в [95]. При достаточно большом размере обучающей выборки адаптивные АО-алгоритмы имеют практически те же характеристики, что и АО-алгоритмы. Однако их состоятельность в случае непараметрической априорной неопределенности гарантируется при весьма сильных предположениях о распределении шума, которые могут и не выполняться на практике.
Принципы подобия и инвариантности эффективны в случае параметрической априорной неопределенности. Построенные на их основе алгоритмы могут несколько уступать по показателям качества АО- алгоритмам, но зато имеют существенно более высокую степень устойчивости при неизвестных параметрах помех. Синтез устойчивых АО- алгоритмов на основе принципа подобия рассмотрен в статьях [3, 22], а на основе принципа инвариантности — в статьях [11, 12, 17].
4.4.
4.
4.
АСИМПТОТИЧЕСКИ РОБАСТНЫЕ АЛГОРИТМЫ ОБНАРУЖЕНИЯ И РАЗЛИЧЕНИЯ СИГНАЛОВ
Предварительные сведения
В этой главе рассмотрен статистический синтез асимптотически робастных (АР) и асимптотически робастных инвариантных (АРИ) алгоритмов обнаружения и различения сигналов.
При синтезе АР-алгоритмов применен минимаксный критерий оптимальности, согласно которому в некотором классе ожидаемых ПРВ шума минимизируются максимальные асимптотические потери от пропуска сигнала при фиксированном уровне асимптотической вероятности ложной тревоги. При синтезе АРИ-алгоритмов наряду с минимаксным критерием оптимальности использован также принцип инвариантности для преодоления априорной неопределенности параметров аддитивной помехи. Аддитивная помеха по-прежнему представлена суммой независимого стационарного шума, с некоторым параметром р
масштаба о € (0,оо), и сигналоподобной помехи ц = 52 ^J6^ с j=i
произвольными параметрами сдвига ^ € (—оо, ос), j = 1, . . . , Р.
АР-алгоритмы предназначены для обнаружения и различения сигналов в условиях только непараметрической априорной неопределенности, при которой в роли неизвестной характеристики аддитивной помехи выступает ПРВ шума. АРИ-алгоритмы ориентированы на задачи с априорной неопределенностью смешанного типа, когда априорно не определены не только ПРВ шума, но и параметры масштаба и сдвига аддитивной помехи.
Априорно неопределенными считаются также энергетический X и неэнергетический 9 параметры обнаруживаемого сигнала (X/v^) S (9). Для параметра X установлено лишь множество его значений в связи с возможностью построения АР-алгоритмов, равномерно асимптотически минимаксных относительно этого параметра. Параметр 9 полагается случайным, но с неизвестным априорным распределением Р (9). Для преодоления неопределенности распределения Р (9) применен асимптотический байесовский подход к статистическому синтезу, рассмотренный в п. 2.6.
В случае непараметрической априорной неопределенности гипотеза Hq об отсутствии сигнала и альтернативы Н^ к = 1, . . . , ш, о наличии
того или иного сигнала представлены, соответственно, семействами распределений
Pt,» = (w (х | х,е,у) = w„[x —^s (е) | у],Pt,» = (w (х | х,е,у) = w„[x —^s (е) | у],, w € W, w € W(4-1)(4-1)
Pt,» = (w (х | х,е,у) = w„[x —^s (е) | у],
Pt,» = (w (х | х,е,у) = w„[x —^s (е) | у],
, w € W
, w € W
(4-1)
(4-1)
wn(- |у) е Ро,„,Х€ (о,<х>),ее Ew},
(4.2)
где W — класс ожидаемых ПРВ шума, у = (о,тД, . . . ,йр) — фиксированный параметр аддитивной помехи, av 7 — множества неопределенности параметра 9 при альтернативах Н^ к = 1, . . . , ш.
При априорной неопределенности смешанного типа семейства Ро,п и Рк,п^ к = 1, . . . , ш, принимают вид
го G W,a € (О, ос) G (—ос, oc)VJ J, (4.3)
Pfc.n = (wn (х | х,е,у) = wn[x —^s (e) | y],
wn(- |y) € P0,n,X€ (O,oo),0€ BW}, (4-4)
где у = (o,i^i,. . . ,ilp) — априорно неизвестный параметр аддитивной помехи.
Сигнал S (9) в семействах (4.2) и (4.4) выражен в форме
(4.5)(4.5)s(e)= f>s(G1=1
(4.5)
(4.5)
где {S(J4 = (Sp\ . . . , Sn^ • j = 1, • • • , N^ — известный ортогональный базис сигнала, 9 = (9i,. . . , 9дД — случайный параметр.
Для того чтобы энергии сигналов (l/^/n)S^\ j = 1, . . . , N, (1/V^)e^\ г = 1, . . . , Р, не стремились к бесконечности с ростом размера наблюдаемой выборки, приняты следующие нормировки: (l/v^) IIS^II = 1 ^з = 1,..., N, (1/V^) ||е^|| = 1 Vz = 1,..., P.
Кроме того, полагается, что норма ||0|| = 1 V0 е S = |J Е^\ k=i
Поэтому при всех значениях параметра 6 € Е сигнал (Х/л/п) S (0) имеет норму ||(X/V^) 8(e) II = X.
Модели априорной неопределенности шума
Непараметрическую априорную неопределенность шума представим некоторым классом W плотностей w (t) распределений с конечной информацией Фишера о сдвиге. При конечной информации Фишера плотности w Д) являются абсолютно непрерывными функциями, а информация Фишера / (w) = | Vw to w to dt^ где \|/w — логарифмическая производная плотности w(t) [94] (теорема 4.2, с. 84).
При синтезе АР-алгоритмов в случае независимого шума наибольшее применение получили следующие модели распределений шума: модель с конечной дисперсией, модель е-загрязнения и ^-точечная модель.
Модель с конечной дисперсией представлена классом ПРВ шума
W§ =: J t2w (t) dt = 32, / (w) < oo^ ,
модель е-загрязнения — классом
We = {w : w (t) = (1 — г) / (t) + гК (t) , / (/) < ос, / (/г) < ос} , ^-точечная модель — классом
"Wa)q —: j w (t) dt — q, I (го) < oo^ ,
где все ПРВ имеют нулевое среднее значение (ПРВ с отличными от нуля средними значениями отнесены к семейству (4.3)), / — такая дважды дифференцируемая ПРВ, что функция —log/(f) является выпуклой, г € (0,1), 5 € (0,оо), q € (0,1), а € (0, ос) — параметры моделей.
Модели Wg,We и WO)<7 наиболее полно исследованы. Для этих моделей найдены распределения с минимальной информацией Фишера о сдвиге, которые играют важную роль при синтезе АР-алгоритмов [94]. Плотность распределения с минимальной информацией Фишера принято называть наименее благоприятной ПРВ шума. Для этой плотности примем обозначение wo (t) и всюду в дальнейшем будем его придерживаться.
В классе W§ наименее благоприятная ПРВ совпадает с плотностью нормального распределения:
Wo (t) =Wo (t) =1V2tt821V2tt82expexp(4-6)(4-6)
Wo (t) =
Wo (t) =
1
V2tt82
1
V2tt82
exp
exp
(4-6)
(4-6)
В классе We наименее благоприятная ПРВ выражается в форме
й;й;(4-7)(4-7)(1 — е) У (ti) exp \к (t — ti)] ,— оо < t
й;
й;
(4-7)
(4-7)
wo(t) = < (1 - e) / (z), ti t < t2;
. (1 - e) / (t2)exp[-fe (t - t2)] ,<2 < <
где ti и t^ — концы интервала, на котором выполняется неравенство |/' (У)// (t)| ^ к, к — параметр, связанный со значением е соотношением
I / w dt+f^+fH = (4 8)
Если номинальная плотность У (t) = (1/\/2л) exp (—12/2), то согласно (4.7) и (4.8) плотность
Wo (t) = <Wo (t) = <1 — Е1 — Е1 — £1 — £—= exp—= exp
Wo (t) = <
Wo (t) = <
1 — Е
1 — Е
1 — £
1 — £
—= exp
—= exp
В классе Wa>g наименее благоприятная ПРВ имеет вид
Wo (t) = <Wo (t) = <С 2 \AtA ш —5cos — , \t < а,С 2 \AtA ш —5cos — , \t < а,cos2 (А/2) L2aJ’cos2 (А/2) L2aJ’Н > а,Н > а,(4-9)(4-9)
Wo (t) = <
Wo (t) = <
С 2 \AtA ш —5cos — , \t < а,
С 2 \AtA ш —5cos — , \t < а,
cos2 (А/2) L2aJ’
cos2 (А/2) L2aJ’
Н > а,
Н > а,
(4-9)
(4-9)
где параметры А и В удовлетворяют уравнениям
В = А • tg (Л/2),| wo (t) dt = q,
cos2 (А/2)
а параметр C =•
Модель We применяется в том случае, когда ожидаемые распределения шума близки к некоторому известному распределению. В случае значительной априорной неопределенности распределений шума используются модели W§ и WO)<7, которые при необходимости могут быть существенно расширены за счет введения априорно неопределенного параметра масштаба.
Расширение моделей W§ и Wал основано на возможности представления практически любой ПРВ с нулевым средним значением в виде
p(t) = (1 /о) w (t/о), где плотность w Е W§ (Wa)q\ Для такого представления ПРВ достаточно положить плотность w (t) = <зр (ot) и определить параметр о из уравнения j t2p (t) dt = o232 в случае мо
дели Wg, или из уравнения j р (t) dt = q в случае модели WM. Ввиду произвольности плотности р параметр о, при указанном расширении моделей Wg и Wа^ оказывается априорно неопределенным. Поэтому расширенные модели Wg и Wa>g являются моделями априорной неопределенности смешанного типа и представляются, соответственно, классами распределений
Pg = ^р : р (t) = -w (-) , о Е (0, ос) , w Е Wg} , (4-10)
Po,g = |р : p(i) = ^) , a € (0, оо), w е Wo,g) . (4.11)
Без потери общности в моделях Р5 и Ра,д можно положить соответственно параметр 8 = 1 и параметр а = 1. Далее класс Wai4^ при а = 1, обозначается для краткости через Wg, а класс Ра^ — через Р9.
Модели (4.10) и (4.11) рассматриваются в дальнейшем в качестве основных моделей априорной неопределенности шума при синтезе АР- алгоритмов. По широте охвата распределений шума эти модели практически равноценны. Выбор в пользу одной из них будет сделан после сравнения эффективности построенных на их основе АР-алгоритмов.
Статистический синтез асимптотически робастных алгоритмов
В данном разделе рассмотрен синтез робастных алгоритмов обнаружения и различения сигналов в условиях только непараметрической априорной неопределенности аддитивных помех. На основе результатов этого раздела далее в п. 4.4 синтезированы асимптотически робастные инвариантные алгоритмы, устойчивые в условиях как непараметрической, так и параметрической априорной неопределенности аддитивных помех.
Исходные посылки. Формулировка задачи синтеза АР-алго- ритмов. Исходные посылки. При синтезе АР-алгоритмов будем учитывать, как было отмечено выше, только непараметрическую априорную неопределенность аддитивной помехи. Параметры масштаба и сдвига этой помехи считаем известными. В связи с этим распределения наблюдаемой выборки представим семействами (4.1) и (4.2). Сигнал
S (9) определим в форме (4.5), положив параметр 9 случайным с произвольным априорным распределением Р (9).
Синтез АР-алгоритмов выполним при следующих исходных посылках.
Базисные вектора S^ = (Sp\ . . . , Sn^ сигнала S (9) удовлетворяют условию
max max \S^ I В < оо Vn = 1, 2,. . .
j=lv..,N z = l,...,n 1 г 1
Все распределения класса W имеют конечную информацию Фишера о сдвиге.
Плотность w (t | ti) = wo (t — ti), где wo — наименее благоприятная ПРВ в классе W), удовлетворяет условиям 2А и 4А, приведенным в п. 3.2.2.
При всех плотностях w Е W функция
aw (т) = М {vo (t + т) | w (/)}
дифференцируема по т в окрестности точки т = О, причем значение ocw (т = 0) = 0 и производная
<4, (т = 0) = М {yo W | w (t)} ,
где Yo(t) = -^lnwo W-
Функция v^, (т) = М {[\|го (t + т) — aw (т)] | w (t)} больше нуля, конечна и непрерывна в окрестности точки т = 0, при всех плотностях w Е W.
Посылка 1В практически всегда выполняется. Посылку 2В, в принципе, можно заменить на другую посылку, в которой не предполагается конечность информации Фишера (см. условия 2-4 на с. 153 в сборнике [111]). Однако выполнение этой посылки трудно проверить на практике. Посылка ЗВ требуется для построения АО-алгоритма для наименее благоприятной ПРВ шума, на основе которого строится АР-алгоритм. Посылки 4В и 5В типичны для теории АР-алгоритмов [94] и легко проверяются при известной плотности wo.
Особо остановимся на условии aw (т = 0) = 0 в посылке 4В, которое присутствует практически во всех публикациях по робастным алгоритмам. Для его выполнения классы ожидаемых ПРВ шума обычно ограничивают симметричными (четными) ПРВ. Однако такое ограничение класса W заметно сужает область применения робастных алгоритмов, что противоречит самой идее робастности при синтезе алгоритмов. Поэтому далее наряду с синтезом АР-алгоритмов для класса W симметричных ПРВ рассмотрено также построение АР
алгоритмов для расширенного класса W*, в который наряду с симметричными включены также и несимметричные ПРВ шума. При определенном далее условии АР-алгоритм для класса W остается таковым и в классе W*.
Определение АР-алгоритмов. Качество асимптотических алгоритмов ф = {фп, п = 1, 2, . . .} по-прежнему оцениваем предельными средними потерями от пропуска сигнала,
П (ф, X, w) = lim П(фп,Х, w),
и предельной вероятностью ложной тревоги, ос (ф, w) = lim а(фп,гс),
где потери П (фп, X, w) и вероятность ложной тревоги ос (фп, w) определены выражениями (2.217)-(2.219) в п. 2.6.1.
Выделим класс Фа = {ф : ос (ф, w) ^ ос Vw 6 W} всех асимптотических алгоритмов уровня ос. Определим в этом классе АР-алгоритм в соответствии с минимаксным критерием оптимальности. Согласно данному критерию алгоритм фАР Е Фа называется АР-алгоритмом, если он удовлетворяет условию
sup П(фАР,Х, w) = inf sup П(ф,Х, w) VX 6 A, (4.12) wEW 'P^^wGW
где A C (0, oo) — некоторое множество значений параметра X, на котором алгоритма фАР равномерно оптимален по минимаксному критерию.
Формулировка задачи синтеза АР-алгоритмов. Поиск алгоритма, удовлетворяющего условию (4.12), представляет собой сложную задачу, которая обычно не имеет явного решения. В связи с этим при синтезе АР-алгоритма используют другие несколько более сильные условия, достаточные для выполнения соотношения (4.12). Данные условия имеют вид неравенств:
П(ФАР,Х,р) < П(ф,Х,р) Уф€Фа, VXeA, (4.13)
П(фАР,Х,р) > П(фАР,Х, w) Vw € W, VXeA, (4.14) где р — некоторая ПРВ из класса W.
Пара (фАР, р\ удовлетворяющая неравенствам (4.13) и (4.14), определяет седловую точку целевой функции П (ф, X, w) на прямом произведении ФaxW множеств Фа и W. Поэтому задачу синтеза АР-алгоритма формулируют как задачу отыскания седловой точки (фАР, р) на множестве Фа х W.
Условию (4.13) удовлетворяет алгоритм фАР = фАО, где фАО — асимптотически оптимальный для плотности р алгоритм класса Фа. Поэтому при поиске седловой точки (фАР, р) выполняются следующие этапы: 1) построение для произвольной плотности р Е W алгоритма
Фр , имеющего уровень ос при распределении шума с плотностью р; 2) отыскание такой плотности р, при которой алгоритм фр ° принадлежал бы классу Фа и удовлетворял условию (4.14).
Для построения алгоритма фр ° применима методика, рассмотренная в главе 3. Построенный по этой методике алгоритм выражается в форме корреляционного алгоритма с фиксированным порогом (см. выражение (3.78) в п. 3.3.3). Однако, если сведения о классе W ограничены лишь посылками 2В-5В, то при данном выражении алгоритма Фр °, по-видимому, не существует в общем случае плотности р, при которой пара (фр°,р) являлась бы искомой седловой точкой. Однако, как показано далее, такая плотность имеется для определен- „АО
ных асимптотически эквивалентных представлении алгоритма Фр , которые могут быть получены ввиду неоднозначности АО-алгоритмов.
Асимптотически эквивалентные представления АО-алгоритмов. Временно положим, что энергетический параметр X имеет большое значение (далее в п. 4.3.3 это ограничение будет снято). При большом параметре X решающие функции АО-алгоритма выражаются в форме (3.78). Подставив в (3.78) оценку ^п (х) = у в связи с априорной определенностью параметра у, получим решающие функции алгоритма до
Фр в виде
(фпО)(х) = 1,0,... ,0), ^_шах^Тп[х, 0*(х),у] < С(а),
(0,..., ф„\х) = 1, 0,..., 0), fc_yax Т„[х, 0fe(x),y] =
= Т„[х, 0;(х),у] > С(а), г = 1,...,т,
(4-15)
где статистика
(4.16)(4.16)
(4.16)
(4.16)
9& = arg sup Тп(ж,9,у), k = 1,...,т, — оценки параметра 9, ? es(fc)
\yp(t) = — "^^nPW — функция безынерционного преобразования выборки х, С (ос) — фиксированный порог, с помощью которого устанавливается заданный уровень ос алгоритма.
В известных публикациях по робастности [111, 100, 88] для построения АР-алгоритма применяют так называемый алгоритм М-типа
М«АО
Фр , асимптотически эквивалентный алгоритму фр с решающими функциями (4.15) при распределении шума с плотностью р. Алгоритм
Фр имеет решающие функции
(фп^х) = 1,0,... ,0), fe_max Zn[x, 6^(х), y] < 0;
(0,... ,фпг)(х) = 1,0,... ,0), fc_yax Zn[x, 9fe(x),y] =
= Zn[x, еДх),у] 0, г = 1,...,т,
(4-17)
где статистика
z„(x, е,т) = А У StW'VpV i=lz„(x, е,т) = А У StW'VpV i=lz=l/z=l/Ф^(е) ,(4.18)Ф^(е) ,(4.18)
z„(x, е,т) = А У StW'Vp
V i=l
z„(x, е,т) = А У StW'Vp
V i=l
z=l/
z=l/
Ф^(е) ,
(4.18)
Ф^(е) ,
(4.18)
оценки ^k^) = arg sup Zn(x, 9, y), k = 1,. . . , ттг, ц(ос) — параметр, ? EBW
с помощью которого устанавливается заданный уровень алгоритма.
Для построения АР-алгоритма на основе алгоритма ф^ требуется, чтобы при наличии и отсутствии сигнала обеспечивались следующие сходимости по вероятности:
sup Т^х, 9, у) — sup Zn(x, 9,у) ^ ц(а)М{\|/'(£) | w(£)} g^nW9es^)(4.19)
Vw 6 W, k = 1,. . . , m.
В случае сходимости (4.19) асимптотическая эквивалентность алгоритмов фр ° и фМ обеспечивается при выполнении равенства ц (ос) = = С(а)/1(р) в силу того, что среднее значение М {\|/р (t) | p(t)} = = / (р), где / (р) — информация Фишера плотности р.
В связи с тем, что для сходимостей (4.19) требуется выполнение более сильных условий по сравнению с посылками 1В — 5В, далее для построении АР-алгоритма выбран АО-алгоритм фр корреляционного типа с зависящим от наблюдаемой выборки порогом. Решающие функции алгоритма фр имеют вид
(ф«0)(х) = 1,0,..., 0), fc_yax Tn[x, 9^(х), y] <
к / х< Сп(х,ал);
Ф„ (х) = /_
(0,... , ф„ (х) = 1,0,..., 0), fc_yax Т„[х, 0fe(x),y] =
,= Т„[х, 0»(х),у] > Сп(х,а,у), i = l,...,m,
(4.20)
где оценки 9/. = arg sup Tn(x, 9,у),& = l,...,m, статистика Тп(х, 9,у) задана выражением (4.16), зависящий от наблюдаемой
выборки порогвыборки порогСп (х, а, у) = ц (а)Сп (х, а, у) = ц (а)(4.21)(4.21)
выборки порог
выборки порог
Сп (х, а, у) = ц (а)
Сп (х, а, у) = ц (а)
(4.21)
(4.21)
Для построения АР-алгоритма на основе алгоритма с решающими функциями (4.20) требуется, чтобы при наличии и отсутствии сигнала имела место сходимость по вероятности,
Сп (х, а, у) ц (а) ^М {\|/2 (f) | ю (i)} Vw € W. (4.22)
Согласно закону больших чисел ([55], с.72) и теореме непрерывности ([21], теорема 1, с. 31) для сходимости (4.22) в отсутствие сигнала достаточно выполнения посылок 4В и 5В. Этих посылок достаточно также для сходимости (4.22) и при наличии сигнала, вследствие контигуальности распределений наблюдаемой выборки при наличии и отсутствии сигнала.
В соответствии со сходимостью (4.22) и равенством
M{^(t)|p(t)} = /(p)
алгоритмы с решающими функциями (4.15) и (4.20) асимптотически эквивалентны при плотности р, когда параметр ц (ос) = С (а)/у/(р).
Построение АР-алгоритма. Выделим в классе W наименее благоприятную плотность wo и положим у алгоритма ф^ плотность р = = wo. Докажем, что при больших значениях параметра X алгоритм ф^ с параметром ц (ос) = С (ос) / д// (wo) является искомым АР-алгоритмом для класса W, если выполнены посылки 1В-5В.
Сначала установим, что алгоритм ф^о принадлежит классу Фа и удовлетворяет условию (4.14). Используя представление (4.5) для сигнала S(6), запишем статистику (4.16) в форме
3 = 13 = 1(4.23)
3 = 1
3 = 1
где вектор ^п = (^пд, . . . Лп^У случайные величины
j = l,...,N. (4.24)j = l,...,N. (4.24)
j = l,...,N. (4.24)
j = l,...,N. (4.24)
Ввиду выполнения посылок IB, 4В и 5В для вектора ^п применима центральная предельная теорема Линдеберга ([55], с.74; [85], теорема 7.2, с. 66). В соответствии с этой теоремой и ортогональностью базисных векторов 8^ = (Sp\ . . . , Sn^ вектор ^п сходится по
15 Богданович В.А., Вострецов А.Г.
распределению (^п —^ £) к вектору £, образованному из независимых нормально распределенных случайных величин ^j, j = 1, . . . , N. В отсутствие сигнала величины имеют средние значения aj = = 0 Vj = 1, . . . , N и одинаковую дисперсию v^ = v^ (т = 0). При наличии сигнала (X/ д/n) S (9) дисперсия этих величин остается прежней, а средние значения aj = (Х/о) oc^Gj, где ос^ = ос^ (т = 0), 67- — компоненты параметра 9.
В соответствии с (4.23) и сходимостью (4.22) решающие функции (4.20) алгоритма ф^о можно выразить, при фиксированной плотности w, в виде
(<Рп0)(х) = 1,0,. ..,0),^_тах^(0/.(^п), ^п) <
К / \^ h(^)^w “Ь кп?
(х) = <_
(0,. . . ,фХ}(х) = 1,0,... ,0), kmaxj6^nyQ =
<= (9Д^П),^П) > p(oc)vw +кп, г = 1, . . . , m,
(4.25)
где (9Д£П),£П) — скалярное произведение векторов 9г(^п) и ^п> 9/с(^п) = arg sup (9,^n) — оценки сигнального параметра, случайная
величина кп ^> 0 Vw 6 W.
В соответствии с (4.25) асимптотическая вероятность ложной тревоги алгоритма ф^ определяется выражением
а(ф^о,гс) = lim j dPn (t | w),(4.26)
А
где Pn(t | w) — распределение вектора tn = (l/vw)^n в отсутствие сигнала, множество А = U А^, множества А^ = {t : <9%(t), t) > z=l
> <0^(t), t> Vk + i- (9i(t),t) > ц(а)}.
Из сходимости по распределению ^п ^А ^ следует, что вектор ^п сходится по распределению к вектору с гауссовым распределением N (0,Е), где 0 — нулевой вектор размера А, Е— единичная матрица размера N х N. Кроме того, границы множеств А^ имеют нулевую вероятность по распределению N(0,E). Поэтому при вычислении предела в (4.26) применима теорема непрерывности ([21], теорема 2, с. 32; [85], теорема 5.2, с. 49), которая допускает перенос предельного перехода под знак интеграла. Выполнив такой перенос предельного перехода в правой части равенства (4.26), получим асимптотическую
вероятность ложной тревоги:
а(ф*о,™) = рР(е,(4.27)
А
где Р (t) — нормальное распределение N (О, Е).
Так как распределение N(O,E) не зависит от плотности w, то согласно (4.27) алгоритм ф^о с параметром ц (ос) = С (ос)/ у/1 (wo) имеет равную ос асимптотическую вероятность ложной тревоги при любой плотности w 6 W. Тем самым, установлена принадлежность алгоритма ф^о классу Фа.
Покажем, что алгоритм ф^ удовлетворяет неравенству (4.14). Для этого выясним характер зависимости асимптотических потерь П (ф^ , X, w) ОТ ПЛОТНОСТИ W.
В соответствии с (2.218) и (2.231) потери П(ф^о,Х, w) выражаются через усредненные по распределению Р (9) пределы G^(w,X, 9) = = lim G^ (w,X, 9) величин
G^ (w, x, e) = j P [|| ^ (0 - e||2pp„ (t I w, x, 6),A,
E S^, г = 1, . . . , m.
Здесь и далее Pn (t | w, X, 9) — распределение вектора tn = (l/vw) £n при наличии сигнала (X/^/n)S(9), p (т) — функция, через которую выражены потери 712(9,9) = л(9)[1 — р(||9 — 9||2)] при ошибочном оценивании параметра 9 (параметр в выражения (2.231) отнесен для сокращения записи к функции р).
Заметим, что потери П(ф^о,Х, w) убывают при изменении плотности w, если это изменение приводит к увеличению предельных величин G^ (w. X, 9) при любых значениях параметров X и 9.
Вычислим величины G^г) (w, X, 9), полагая функцию р, как и прежде, ограниченной, непрерывной и неотрицательной на интервале (0, ос). Естественно также считать, что 1 ^ р (V) ^ р (т") Vt" > V на интервале [О, А] и р (т) = 0 на интервале (А, ос), где
А ^ min {2, dx^ d^ , di = min max max ||9Z — 9/z||2,k e'^S^) e^GS^^
d^ = min min min Нэ' — Э"!!2 ,k^i q'gS^) 0"GE(9
k = 1, . . . , m, г = 1,. . . , m.
При данной функции р величины G^ (ги^Х^) можно выразить в виде
G^ (w, X, 0) = f р [|| 0 (t) — 6||2](ZPn (t | w, X, 0), в,(4.28)
е Е^, г = 1, . . . , т,
где множества В^ = А^ Q D^, D^ = {t : 11 в % (t) — 0||2 С А}.
При наличии сигнала (Х/л/п) S (0) вектор ^п сходится по распределению к вектору с гауссовым распределением N[(X/o)a^0, v2 Е]. Поэтому предельным распределением вектора tn при наличии сигнала является гауссово распределение N(Xw0,E) с параметром Xw = = (o^/vw) (Х/о). Имея в виду данное предельное распределение вектора tn, вычислим пределы величин (4.28) с применением упомянутой выше теоремы непрерывности. Использование данной теоремы правомерно, так как, во-первых, функции ft (t) = р[||0Д1) — 0||2] непрерывны и ограничены ввиду непрерывности и ограниченности функции р и непрерывности оценок 0^(t), и во-вторых, границы множеств В^ имеют нулевую вероятность по распределению N(Xw0, Е).
Применив указанную теорему непрерывности, получим пределы величин (4.28) в виде
G^ (w, X, 0) = Г р[|| 0г(t) — 0||2]<iP(t | w, X, 0),
X(4.29)
€ B^, г = 1,... ,m,
где Р (t | w, X, 0) — нормальное распределение N (Xw0, E).
Докажем, что, независимо от значений параметров X и 0, величины (4.29) имеют минимальное значение при плотности w = wo. Решающую роль в доказательстве этого утверждения играет неравенство
Vw е W,(4.30)
которое следует из неравенства ([94], (6.9), с. 101), в связи с положительностью величины ос^, при любой плотности w Е W.
Представив переменную интегрирования в (4.29) в виде t + Xw0, получим величины
G^ (w, X, 0) = j р [||0Д1 + Xw0) - 0||2]6/P(t), вд™)(4-31)
0 e S^, г = 1,. . . , m,
где P(t) — распределение N(0, Е), множества
Bj (w) = Ai (w) Pl Di (w),
Ai (w) = {t : (9 i (t + Xw9) , t + Xw9) > {Qk (t + Xw9) , t + Xw9)
Vk + t, (9i (t + xw9), t + xw9) > ц (a)},
Di H = U: IIei(t + xw9) - e||2 с A}.
В соответствии с (4.30), при любом значении параметра X 6 (0, оо), справедливо неравенство
Xw ^ XWo \/w Е W.(4.32)
Используя (4.32), установим, что множество Bi (wo) С Bi (w) Vw Е Е W, Vz = l,...,A.
Так как оценки 9i (t + Xw9) = arg sup < в %, t + Xw9), то скалярные
?es(9 произведения
(0i(t + Xw9),t + Xw9) (9i(t + XWo9),t + Xw9) —
= (^i (t + XWo9), t + XWo9) + (XwXWo) (6i(t + XWo9), 9).
Отсюда, положив t 6 Bi (wo), получим следующие соотношения:
(9г(t + Xw9), t + Xw9) ^ ц(ос) + (Xw — XWo)(9i(t + XWo9), 9)Vt e Bi(wo), г = 1, . . . , m.
Из этих соотношений, а также из (4.32) и неравенств
(0i (t + XWoe), 0) > (2 - А)/2 > О V0 € S(i), Vt € Bi (wo) следует, что скалярные произведения
(9i(t + Xw9), t + Xw9) ^ ц(ос)^ 33)
Vt E Bi(wo), V9 E S^\ z = l,...,m.
Докажем теперь, что при всех к ^ г справедливы неравенства
(9 i (t + Xw 9), t + Xw 9) ^ (9 (t + Xw 9) , t + kw 9)^ 3^)
Vt E В^ (wo) , V9 E E^^, г = 1, . . . , m.
Так как при t E Bi (wo) и 9 E S^ скалярное произведение
22(9i(t + XWo9),9) >
2
2
а скалярные произведения —2 — А
(04^ + хше),е) < Vk^i, то выполняются неравенства
<еД* + xWoe),e) ^ (efc(t + xwe),e)^^
Vt € В, (wo), V0 € B^-* Vk / i, i = 1,..., m.
Кроме того, согласно равенству
(9 & (t + Xw 9), t + Xw 9) =
= (9/Д1 + Xw9), t + XWo^ + (Xw — XWo)(9Д1 + Xw9), 9), скалярное произведение
(9&(t + Xw9), t + Xw9)
C (б/Д^ + ^wo®)? t + ^wo®) + (Aw — ^wo)^ k^ + ^w^)) 6) Vt 6 B^(wo).
Отсюда с учетом (4.32) и (4.35) находим, что
(9/g (t + Xw9) , t + Xw9)
(9& (t + XWo9) , t + XWo9) + (Xw — XWo) (9 Д1 + XWo9) , 9) vteBi(wo), о € в^®\
Потому, согласно неравенствам
(9/g (t + XWo9) , t + XWo9) ^ (9^ (t + XWo9) , t + XWo9), имеем, что
(9/g (t + Xw9) , t + Xw9) ^ (9^ (t + XWo9) , t + Xw9) Vt 6 B^ (wo) .
Отсюда, с учетом соотношений
(9^ (t + XW09),t + Xw9) C (9^ (t + Xw9),t + Xw9),
получаем неравенства (4.34).
Согласно (4.33) и (4.34) справедливы включения
B^(wo)CB^(w) VweW, Vz = l,...,m.(4.36)
Для доказательства неравенства (4.14) требуется еще установить соотношения
II 0g(t + Xw0) - 0|| < ||0i(t + Xwo0) - 0||(4 37)
Vw€W, V0eE(i), VteBi(w), г =
Докажем соотношения (4.37). Так как скалярные произведения (о, (t + xwo), t + a^g) > (Si (t + x^o), t + xwo), то справедливы неравенства
(0; (t + Xw0) - 0; (t + XWo0) , t +
+ ^wo®) + (^W — ^wo)(®i (t + ^w^) ~ 0/ (t + XWQ0) ,0) ^ 0,
Vt e Bi (w) , V0 e B^, % = 1,. . . , m.
Из этих неравенств, с учетом того, что kw — XWo ^ 0 и
(^ (t + хюо), t + xWoo) < (Oj (t + xWoo), t + xWoo), получаем неравенства
(0i (t + Xw0) , 0) > (0^ (t + XWo0) , 0)
VteBi(w), VweW, V0eE(i), z = l,...,m.
Неравенства (4.37) следуют из (4.38) ввиду того, что ||0|| = 1 и || 0|| = = 1.
Заметим, что соотношения (4.36) и (4.37) выполняются при любом значении параметра X, так как разность Xw — XWo ^ 0 VX е (0, оо). Имея в виду данное замечание, докажем неравенства
Gw (wo,;>L,e) < Gw (w,X,0)
(4 39)
VweW, VoeB(<), VX>0, i ='
В соответствии с (4.31) величины
GW(wo,M) = j р [||0; (t + XWo0) - 0||2]dP (t), i = l,...,m.
Bi(wo)
Заменим в этих выражениях множества В^ (wo) на В^ (w). Вследствие того, что функция р (т) ^ 0, и множества В^ (wo) С Bj (w), подобная замена приведет к неравенствам
G^ (woAO) < j p[||6i(Z + Xtt,o0)-0||2]</P(t), Bi(w)
VweW, V0es(i), vx>o.
Заменив в этих неравенствах норму ||0^ (t + XWo0) — 0||2 на || 0i (t + Xw0) — 0||2 и приняв во внимание (4.37) и возрастание функции р (т) при уменьшении т, получим неравенства (4.39).
Согласно неравенствам (4.39) средние потери
п (фК^, х, w) < п (ф^о, х, wo) Vw е w, vx е (о, ос), независимо от распределения Р (9) . Итак, для алгоритма ф^ выполняется условие (4.14) с множеством Л = (0, ос).
Для доказательства робастности алгоритма ф^ осталось показать, что этот алгоритм удовлетворяет условию (4.13). При достаточно больших значениях параметра X выполнение условия (4.13) следу- „к АО
ет из асимптотической эквивалентности алгоритмов фх;о и ф^, при распределении с плотностью wo, и асимптотической оптимальности алгоритма ф^ при параметре X —У ос.
Таким образом, алгоритм ф^ является искомым АР-алгоритмом в классе Фа, если параметр X имеет такие значения, при которых алгоритм ф^ достаточно близок к асимптотически оптимальному байесовскому алгоритму.
Ограничение множества А в условии (4.13) областью больших значений параметра X означает, что для алгоритма Ф^оне гарантируется в классе Фа минимум верхней границы для потерь ГЦф^и;) = = М {П (ф^ , X, w) | Р(Х)} при любом априорном распределении Р (X). Однако такая гарантия может быть дана при замене класса Фа на достаточно представительное множество Фа С Фа асимптотических алгоритмов ф специальной структуры. В соответствии с требованием независимости алгоритмов от априорно неизвестных параметров, множество Фа образуем из алгоритмов ф с решающими функциями
(фп0)(х) = 1,0,..., 0), fc_max Т„[х, efc(x),y] <
~ х<5„(х,а,у),
Фп (х) =~„
(0,..., ср» (х) = 1, 0,..., 0), ^jnax Tn[x, efc(x),y] =
,= Т„[х, ёДх), у] > С„(х, а, у), г = 1,...,т,
(4.40)
где оценки 6/. (х) = arg sup Tn[x, 6 (х) ,у], статистика
ees«
(4.41)(4.41)
(4.41)
(4.41)
зависящий от наблюдаемой выборки порог
/ — произвольная функция из класса №./ — произвольная функция из класса №.(4.42)(4.42)
/ — произвольная функция из класса №.
/ — произвольная функция из класса №.
(4.42)
(4.42)
Функцию / считаем принадлежащей классу №, если выполняются следующие условия:
У — непрерывно дифференцируемая функция на множестве (—ос, ос) — Aj, где А^ — некоторое, в общем случае зависящее от / множество с вероятностью Р (Af | w) = О Vw € W;
функция ocw (т; У) = М {/ (t + т) | w (t)} удовлетворяет посылке 4В;
функция v2 (т; /) = М {[/ (Z + т) - aw (т; /)]2 | w (t)} удовлетворяет посылке 5В.
Выполнение данных условий требуется для применения в последующих доказательствах центральной предельной теоремы Линдеберга и закона больших чисел. Кроме того, в этих доказательствах учтено также выполнение исходных посылок 1В-5В.
Выразим статистику (4.41) в форме (4.23), положив в (4.23) величины
и вычислим с применением центральной предельной теоремы Линдеберга предельные распределения вектора £п = (^пд,. . . Лп^) при отсутствии и наличии сигнала (X/д/n) S (9). Этими распределениями являются соответственно нормальные распределения N(O,v^(/)E) и N ((Х/о) a'w (/) 0, v^, (/) Е), где a'w (/) = М {/'(t) | w (t)} и v2 (/) = = М{/2 (t)|w(t)}.
По закону больших чисел порог (4.42) сходится по вероятности к величине р (ос) vw (У). Поэтому у алгоритмов ф предельные вероятность ложной тревоги ос (ф, w) и средние потери П (ф, X, wo) выражаются через предельные распределения вектора tn = ^/^w (У). Вектор tn имеет в пределе нормальные распределения N ((Х/о) dw (f^^E) и N (0,Е), соответственно, при наличии и отсутствии сигнала, где параметр dw (У) = aw (f)/vw (У)- Используя эти распределения, можно доказать следующие утверждения:
алгоритмы ф имеют постоянное значение вероятности ложной тревоги ос (ф, w) при всех ПРВ из класса W и, следовательно, принадлежат множеству Фа при соответствующем значении параметра ц(ос);
при любом распределении Р (9) и произвольном значении параметра X средние потери П (ф, X, wo) зависят от величины XWo = = (Х/о) dWo (У) и убывают с увеличением параметра dWo (У).
Ввиду выполнения посылок 4В и 5В логарифмическая производная Фо € №. Отсюда с учетом конечности информации Фишера / (wo) находим, что параметр dWo (У) достигает sup dWo (У) = / (wo) при °°
функции / = фо ([94], теорема 4.2, с. 84). Поэтому для распределения с плотностью wo алгоритм ф^ является в классе Фа байесовским алгоритмом, асимптотически оптимальным при любом распределении
Р (О) и при всех значениях X € (О, ос). Следовательно в классе Фа он удовлетворяет условию (4.13) при множестве Л = (0, ос). Кроме того, ранее было доказано, что для алгоритма ф^ при всех значениях X Е Е (0, ос) и любом распределении Р (9) выполняется неравенство (4.14). Тем самым в классе Фа алгоритм ф^ равномерно асимптотически оптимален по минимаксному критерию в области Л = (0, ос) при любом распределении Р (9).
Сформулируем доказанные утверждения относительно алгоритма Ф^о в виде следующей леммы.
Лемма 4.1. При выполнении посылок 1В-ЗВ алгоритм ^ является АР-алгоритмом в классе Ф(п причем его оптимальность по минимаксному критерию обеспечивается в этом классе при всех значениях параметра X Е (0,ос) и любом распределении Р(0). В классе всевозмоэюных асимптотических алгоритмов свойство асимптотической оптимальности алгоритма ф^о по минимаксному критерию обеспечивается в пределе. когда параметр X —>- ос.
Отметим, что при сходимости (4.19) утверждение данной лемм
мы справедливо также и в отношении алгоритма ф^о с решающими функциями (4.17). Однако оптимальность этого алгоритма по минимаксному критерию обеспечивается только в том случае, когда параметр X ^ 2оц (ос)/(2 — А). При малом уровне ос алгоритма (большом параметре ц(ос)) нижняя граница для параметра X может оказаться слишком высокой, что является недостатком алгоритма ф^
Применим лемму 4.1 для построения АР-алгоритмов в случае представления непараметрической априорной неопределенности классами распределений W§, We и WO)Q. Временно положим, что данные классы состоят из симметричных ПРВ. Случай несимметричных ПРВ рассмотрим после построения АР-алгоритмов для симметричных ПРВ.
В соответствии с выражениями (4.6), (4.7) и (4.9) логарифмическая производная наименее благоприятной ПРВ в классе W§ имеет вид
Vo W = ^,Vo W = ^,t Е (—ос, ос) ,t Е (—ос, ос) ,(4.43)(4.43)
Vo W = ^,
Vo W = ^,
t Е (—ос, ос) ,
t Е (—ос, ос) ,
(4.43)
(4.43)
в классе We — видв классе We — видVo ГО = <Vo ГО = <— k. t Е (—ос, ti) , -/'W//W, tEVW2V к. t Е (t^ ос) ,— k. t Е (—ос, ti) , -/'W//W, tEVW2V к. t Е (t^ ос) ,(4.44)(4.44)и, наконец, в классе WO)Q — види, наконец, в классе WO)Q — вид— В, t Е (—ос, а) ,— В, t Е (—ос, а) ,
в классе We — вид
в классе We — вид
Vo ГО = <
Vo ГО = <
— k. t Е (—ос, ti) , -/'W//W, tEVW2V к. t Е (t^ ос) ,
— k. t Е (—ос, ti) , -/'W//W, tEVW2V к. t Е (t^ ос) ,
(4.44)
(4.44)
и, наконец, в классе WO)Q — вид
и, наконец, в классе WO)Q — вид
— В, t Е (—ос, а) ,
— В, t Е (—ос, а) ,
Vo W = <Vo W = <Atg(At/2a), t е [—а, а],Atg(At/2a), t е [—а, а],(4.45)(4.45)
Vo W = <
Vo W = <
Atg(At/2a), t е [—а, а],
Atg(At/2a), t е [—а, а],
(4.45)
(4.45)
. В, t Е (а, ос) .
Проверим для производных (4.43)-(4.45) выполнение посылок ЗВ- 5В. Функции (4.43)-(4.45) имеют ограниченные почти всюду непрерывные производные \|/q W- Поэтому для них выполняется посылка ЗВ (см. условие (3.10) в п. 3.2.2).
Положим
q)v (t, т) = min ^М. max (—М, - [\|/о (t + т) — Vo (^ + т — v)]) } ,
где величина v ^ 0, М — верхняя граница для |\|/о (^)|- Очевидно, что |фу(Дт)| Мифу(£,т) \|/q (£ +т), при всех Д для функции (4.43) или, почти при всех t, для функций (4.44), (4.45). Поэтому согласно теореме Лебега о мажорируемой сходимости ([79], теорема 3, с. 202) производная <(т) = lim М {фу (t, т) | w (t)} = М {\|/q (^ + т) | w (t)Y Кроме того, вследствие симметричности ПРВ, имеем равенство aw (т = 0) = 0. Таким образом, для логарифмических производных (4.43)-(4.45) выполняется посылка 4В. Выполнение посылки 5В следует из непрерывности и ограниченности функции aw (т), непрерывности логарифмических производных и неравенства 0 < М {\|/^ (^ + т) | w (t)} < ос.
Итак, в случае представления непараметрической априорной неопределенности классами W5, We и Wa g симметричных распределений, АР-алгоритмом является алгоритм ф^о с решающими функциями (4.20), выраженными через соответствующие этим классам функции безынерционного преобразования вида (4.43), (4.44) и (4.45).
Для логарифмических производных (4.43)-(4.45) справедлива сходимость (4.19). Поэтому для классов W§, We и Wo q с симметричными ПРВ в качестве АР-алгоритма может быть применен также алгоритм Ф^о с решающими функциями (4.17).
Покажем, что при определенном изменении исходных посылок 1В и 4В алгоритм ф^ асимптотически робастный в классе Фа при симметричных ПРВ, остается таковым и без ограничения множества распределений шума симметричными ПРВ.
Обозначим через W* класс симметричных ПРВ шума и через W* класс распределений, в который наряду с симметричными включены также и несимметричные ПРВ шума. Среднее значение у несимметричных ПРВ положим равным нулю. Информацию Фишера считаем по-прежнему конечной у всех ПРВ из классаАУ*. Исходные посылки 1В и 4В сформулируем следующим образом.
1В'. Базисные вектора S(J) = (Sp\ . . . , S™^ сигнала S (9) удовлетворяют условиям
max max IS^ I < В < oo Vn = 1, 2,. . .;
j^l.Ni^l^n
lim Д У S^ = 0 = 1,..., N.
4В'. При всех плотностях w € W* функция aw (т)=
= М {\|/о (t + т) | w (t)} дифференцируема по т в окрестности точки т = 0, причем производная
< (т = 0) = М {Vo I w (i)}.
Требование ocw (т = 0) = 0 исключено из исходных посылок по той причине, что оно может не выполняться в расширенном классе W* распределений шума. Вместо него в исходные посылки включено условие Пш (1/д/п) S^ = 0 VJ = 1,. . . , А, благодаря которому П^ОО г=1
становится возможным построение АР-алгоритма в случае несимметричных ПРВ шума.
Докажем следующую лемму.
Лемма 4.2. Пусть выполняются условия леммы 4-1 тгри формулировке посылок 1В и 4В в виде 1В' и 4В' • Тогда алгоритм ^ ^ где wo — наименее благоприятная ПРВ в классе W*, является АР-алго- ритмом на множестве асимптотических алгоритмов с решающими функциями (4.40) для расширенного класса W*.
Доказательство. Согласно лемме 4.1 алгоритм ф^о есть АР- алгоритм для класса W*, так как в случае симметричных ПРВ посылка 4В' равносильна посылке 4В в связи с выполнением равенства ocw (т = 0) = 0 Vw € W*, а посылка 1В' включает в себя посылку 1В.
Ввиду достаточности условий (4.13) и (4.14) для выполнения соотношения (4.12) алгоритм ср* = ф^о удовлетворяет равенству
sup П(ф*,Х, w) = inf sup П (ф, X, w),(4.46)
wEW*(рЕФ« wEW*
где Фа = {ф : ос (ф, w) < ос Vw € WJ — множество алгоритмов с решающими функциями (4.40), имеющих уровень ос в классе W*.
Пусть ф* — АР-алгоритм уровня ос для расширенного класса W* распределений шума. Этот алгоритм по определению удовлетворяет равенству
sup П(ф*,Х, w) = inf sup П(ф,Х, w),(4.47)
wEW*V^^wEW*
где Ф* = {ф : ос (ф, w) ^ ос Vw € W*} — множество алгоритмов с решающими функциями (4.40), имеющими уровень ос в классе W*. Заметим, что множество Ф* С Фа, так как класс W* С W*.
Ввиду включений W* С W* и Ф* С Фа выполняются неравенства sup П(ф,Х, w)> sup П(ф,Х, w) Vф Е Ф*, wEW*wEW*
inf sup П (ф, X, w) > inf sup П (ф, X, w) .
<Р^Ф* wEW*(pE$«wEW,
Из этих неравенств следует соотношение
inf sup П(ф,Х, w) > inf sup П(ф,Х, w) Vф E Ф*.(4.48)
V^^wEW*tpE$«wEW,
В соответствии с (4.46)-(4.48) справедливо неравенство
sup П(ф*,Х, w)> sup П(ф*,Х, w).(4.49)
wEW*wEW*
Согласно (4.49) алгоритм ф* будет АР-алгоритмом для класса W*, если, во-первых, ф* € Ф* и, во-вторых, выполняется равенство
sup П(ф*,Х, w)= sup П(ф*,Х, w).(4.50)
wEW*wEW*
Покажем, что алгоритм ф* = ф^ удовлетворяет этим двум условиям.
Асимптотические характеристики данного алгоритма определяются предельными распределениями вектора ^п, через который выражаются решающие функции (4.25). В отсутствие сигнала вектор ^п имеет в пределе нормальное распределение N(pw;o^E), а при наличии сигнала (X/ д/п) S (9) — нормальное распределение N (nw + (Х/а) а'юе; а^, Е), где ц.№ = (ц^, ..., ц^) — вектор смещения с компонентами ц^Р = M{\|/O(i) I w (Z)} lim (l/Vn) У S^, j =
== M{^(<)|w(t)} - [M{Vo(t)}M< < =
= м{уЛ0 I
Согласно этим распределениям несимметричность ПРВ приводит к зависящему от плотности w смещению pw предельных распределений вектора ^п, которое препятствует построению АР-алгоритма при произвольных сигналах S^\ Однако, если сигналы S^ удовлетворяют второму условию посылки 1В', то смещение отсутствует при любой ПРВ шума. Благодаря этому становится возможным построение АР- алгоритмов в случае несимметричных распределений шума.
При смещении pw = 0 Vw € W* вероятность ложной тревоги oc^*,w) ос Vw Е W*, так как о^ М {^ (t) | w (t)}, а потери П(ф*,Х, w) зависят от плотности w через параметр h (w) = ow/oc^ и возрастают с увеличением этого параметра. В соответствии с неравенством о^ ^ М {ф(2} (t) | w (t)} параметр h (w) ограничен сверху величиной hrp (w) = з/М {v|/o W I w WWa'w
Вычислим величину hrp (w), представив плотность w в виде
w (t) = p (t) + z (t) ,
где
p (t) = 0,5 [w (t) + w (—t)] , z (t) = 0,5 [w (t) — w (—t)] .
Функция р (t) есть симметричная ПРВ с конечной информацией Фишера / (р), так как j р (t) dt = 1 и
осх.2 ^ООх. 2^
Цр) =[(^^^ 1df<2[(^ю (^1^= 2/ (w)< оо.
J(РJJ(W (t)Jх 7
Отсюда следует,чтоплотностьр€W*, когдаW*равномножеству
W5, We или Wo,g.
Параметр
^w = M{VoW |р(^)}+ j Vo W zW^ = M{Vo W I p(t)},
так как \|/° (t) и z (t) — соответственно четная и нечетная функции. Аналогично устанавливается, что М {^ (t) | w (t)} = М {^ (t) | р (t)}. Поэтому величина hrp (w) = h (р) = \р,агр1 где а^ = М {^ (t) | р (t)} и Np = Vм {Vo (t) | p^tW Отсюда согласно неравенству (4.30) имеем Лгр (w) С Vwo/^wo ^^W*. Тем самым, для параметра h (w) справед
ливо неравенство
h(w)C^ VweW*.(4.51)
awo
В соответствии с (4.51) потери П(<р*,Х, w) максимальны в классе W’, когда плотность w = wo. Поэтому алгоритм ср* = ф^ удовлетворяет равенству (4.50). Кроме того, он принадлежит множеству Ф*, так как вероятность a^w) ^ a Vw € W*. Таким образом, алгоритм ф* является АР-алгоритмом для расширенного класса W* распределений шума.□
Утверждение леммы 4.2 справедливо также и в отношении алгоритма фМ 7 если выполняется сходимость (4.19), и параметр X ^ 2ц (а)/(2 — Д2).
В случае нарушения условия Пш (1/д/п) ^= 0= 1, . . .
... , N алгоритмы ф^ и ф^ теряют свойство асимптотической робастности в классе W* вследствие появления неконтролируемого смещения pw при несимметричных ПРВ. Однако при определенной модификации, данные алгоритмы сохраняют свойство асимптотической робастности и в этом случае, но ценой некоторых энергетических потерь.
Модификация алгоритмов ф^ и ф^о состоит в замене опорного
сигнала 8(0) в статистиках (4.16) и (4.18) на сигнал
у которого вектора S = S(J) — PrS^. Здесь Рг — оператор ортогонального проектирования в подпространство, образованное вектором е = (1,. . . , 1). При таком изменении опорного сигнала lim (1/д/п) У^ S^ = 0 Vj = 1,. . . , так как сумма У^ S^ = 0 для
всех з = 1, . . . , N.
Энергетические потери при рассмотренной модификации алгоритмов не превосходят величины 1/(1 —Ц2), где
т| = max — V ,j = l,...,N П г 1
и малы, если ц < 0,3. Этому условию удовлетворяют многие сложные сигналы, у которых автокорреляционная функция имеет малый уровень боковых лепестков.
Статистический синтез асимптотически робастных инвариантных алгоритмов
Этот раздел посвящен построению АРИ-алгоритмов обнаружения и различения сигналов в условиях непараметрической априорной неопределенности ПРВ шума и априорной неопределенности параметров масштаба и сдвига аддитивных помех и параметров сигнала. При синтезе АРИ-алгоритмов использованы результаты, полученные в н.п. 3.3 и 4.3.
Формулировка задачи синтеза АРИ-алгоритмов. Исходные посылки. Формулировка задачи синтеза. В соответствии с характером априорной неопределенности сигнально-помеховой обстановки сопоставим гипотезе об отсутствии сигнала семейство распределений (4.3) и альтернативам при его наличии семейства (4.4).
При синтезе алгоритмов воспользуемся принципом инвариантности для преодоления априорной неопределенности параметров масштаба о и сдвига ^з^З = 1,. . . , Р, принципом минимакса для преодоления непараметрической неопределенности распределения шума и байесовским подходом в связи со случайным характером неэнергетического параметра 9 сигнала. Проблему неопределенности энергетического параметра X и распределения Р (б) решим, как и прежде, путем построения алгоритмов, оптимальных по минимаксному критерию при всех значениях параметра X и любом распределении Р (0).
В соответствии с принципом инвариантности выделим класс ^sHHB асимптотических алгоритмов ср = {фп,п = 1,2,. . .}, у которых все алгоритмы фп инвариантны относительно группы G преобразований масштаба и сдвига наблюдаемой выборки. У таких алгоритмов фп
вероятность ложной тревоги oc^n,w) инвариантна относительно параметров масштаба и сдвига, а средние потери П (фп, со, w) не зависят от параметров сдвига и выражаются через параметр со = Х/о — максимальный инвариант группы G* индуцированных в параметрическое пространство преобразований масштаба и сдвига (определение групп G и G* дано в п. 3.1).
Благодаря данным свойствам алгоритмов фп, асимптотическая вероятность ложной тревоги а (ср, w) = limoc(cpn,w) инвариантна относительно параметров масштаба и сдвига, а средние асимптотические потери П (ср, со, w) = lim П (фп, со, w) выражаются через параметр со, который не зависит от параметров сдвига.
Алгоритм срАРИ называется асимптотически робастным инвариантным, если он принадлежит классу Ф™в и удовлетворяет равенству
sup П (фАРИ, со, w) = inf sup П (ф, со, w) Vco Е Q, wewT^^wGW
где ФцНВ = {ф : ос (ф, w) < aVw Е W^ Е Аинв} — множество асимптотических инвариантных алгоритмов уровня ос, W — множество возможных ПРВ шума с единичным масштабом и нулевым сдвигом, Q — множество значений параметра со, на котором обеспечивается рав- АРИ
номерная оптимальность алгоритма ф по минимаксному критерию. Задачу синтеза АРИ-алгоритма формулируем как задачу поиска седловой точки целевой функции П (ф, со, w) на прямом произведении финв х уу т е как задачу отыскания такого алгоритма фАРИ Е Ф“нв и такой плотности р Е W, для которых выполняются следующие условия:
П(фАРИ,со, р) < П(ф,со,р) Уф€Ф™в, VcogQ, (4.52)
П (фАРИ, со, р) > П (фАРИ, со, w) VweW, VcoeO. (4.53)
Ограничим класс $инв множеством асимптотических алгоритмов с решающими функциями вида
(ф„0)(х) = 1, 0,..., 0), ^jnax Тп[х, 9к(х), у (х)] <
/ ч< С„[х,а, у(х)],
Фп(х) =~_
(0,..., ф„ (х) = 1,0,..., 0), max Тп[х, 9к(х), у (х)] =
,= Т„[х, 9Дх), у(х)] > С^^а, у(х)], г = 1,..,ш,
(4.54) где у (х) — эквивариантная и д/п-состоятельная оценка векторного параметра у = (о, ill, •••, ilp); ^k (х) = arg sup Tn[x, 6, у (x)] — оценки e £=;(&)
сигнального параметра 6. Статистику Тп(х, 9,у) и порог Cn(x,cz,y)
определим, соответственно, выражениями (4.41) и (4.42)
где / — произвольная функция из установленного в п. 4.3.3 класса №, р (ос) — параметр, с помощью которого устанавливается заданный уровень ос алгоритма. В качестве опорного сигнала статистики Тп принят сигнал 8(9) = ^ ^j^\ базис которого удовлетворяет условию j=i
1 приведенной далее леммы 4.3.
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что статистики Тп(х, 9,у) и Сп (х,ос,у) удовлетворяют соотношениям
Tn(gx,9, g*y) = Т„(х, 9, у), Cn(gx, a,g*y) = бп(х, а,у) Vg € G, где g* — индуцированное в параметрическое пространство преобразование группы G*, соответствующее преобразованию g. Поэтому решающие функции (4.54) инвариантны относительно группы G, так как для эквивариантной оценки у (х) справедливо тождество у (gx) = = g*? (х).
Отыскание алгоритма <рАРИ в классе йинв сводится к нахождению плотности р Е W, функции / 6 К и параметра р (ос) таких, что соответствующий функции / алгоритм фАРИ Е Ф«нв, а для пары (фАРИ,^ вьшолняются неравенства (4.52) и (4.53).
Исходные посылки. В качестве исходных посылок примем, во- первых, предположения, при которых были получены АР-алгоритмы в разделе 4.3 (см. посылки лемм 4.1 и 4.2), и, во-вторых, условия, выполнение которых обеспечивает следующие сходимости по вероятности:
Тп(х, 9,у) - Тп[х,9, у(х)] ^ 0 Vw Е W,(4.55)
Сп(х, 9,у) — Сп[х,9, у(х)] ^ 0 Vw Е W.(4.56)
При данных исходных посылках АРИ-алгоритмы могут быть построены на основе АР-алгоритмов, полученных ранее в п. 4.3.
Построение АРИ-алгоритмов. Положим функцию / = yWo и установим у соответствующего этой функции алгоритма фАРИ то же значение параметра ц(ос), что и у АР-алгоритма ф^о уровня ос.
16 Богданович В.А., Вострецов А.Г.
Покажем, что такой алгоритм фАРИ 6 Ф«нв и в паре с плотностью р = = wo удовлетворяет условиям (4.52) и (4.53).
При любых заданных распределениях семейств (4.3) и (4.4) алгоритм срАРИ имеет благодаря сходимостям (4.55) и (4.56) ту же асимптотическую вероятность ложной тревоги и те же асимптотические средние потери, что и алгоритм ф^, рассчитанный на соответствующее заданным распределениям значение параметра у.
Вследствие этого алгоритм фАРИ, во-первых, принадлежит классу Ф™ и, во-вторых, удовлетворяет неравенствам (4.52) и (4.53) при плотности р = wo, так как алгоритм ф^ е Фа, и для пары (ф^, р = wo) выполняются неравенства (4.13) и (4.14). Отметим, что неравенства (4.52) и (4.53) справедливы на множестве Q = (0, оо) в связи с тем, что неравенства (4.13) и (4.14) выполняются на множестве Л = (О, оо).
Итак, установлено, что в классе алгоритмов с решающими функциями (4.54) искомый АРИ-алгоритм имеет решающие функции вида
(фп\х) = 1, 0, . . . , 0), max sup Тп[х, 9, у(х)] <
к=Г-лп
< Сп[х, а, у (х)],
(0,...,ф^(х) = 1,0,..., 0),
АРИ / \ __
'max sup Тп[х, 6, у (х)] =
^ = l,---,m ^^E(fe)
= sup Т„[х, 9,7(х)] > Cn[x,a, у(х)],
г = 1, . . . , т,
(4-57)
статистика
Т„[х,9,у(х)] = ^^Sj(e)vWo (х, - £ Sj (x)e(j) ] , v i=iMx) \ j=i/
(4.58) порог
(4.59)
В качестве оценки у (х) для алгоритма фАРИ может быть рекомендована совместная оценка параметров о и Пу, j = 1,. . . , Р, рассмотренная в лемме 3.7 (см. п. 3.3.4). В соответствии с (3.84) эта оценка имеет вид
Y (х) = (о (х)Л(х)),
где о (х) = 3[х, il (х)] — оценка параметра масштаба при неизвестном
сдвиге Ф = (й1,...,йр), 5(х,й) = So I х — ^ ^е^И — оценка \ j=i /
параметра масштаба при известном сдвиге Ф, So (х) — эквивариантная и д/п-состоятельная оценка параметра масштаба при нулевом сдвиге, й(х) = (фДх),. . ., Фр(х)) — эквивариантная и д/п-состоятельная оценка параметров сдвига.
В качестве оценок Зо(х) и Ф (х) хорошо показали себя следующие оценки: оценка So (х) = (1/5) J (1/п) У/ х^ в случае принадлежности уг=1
ПРВ шума классу (4.10), оценка 5о (х) = (l/a) z^ (х), когда ПРВ шума принадлежит классу (4.11), и проекционная оценка Ф (х) с компонентами ^j (х) = (1/п) У/ х^3 . Здесь z^ (х) —р-я порядковая г=1
статистика вектора z (х) = (zi = |жх| ,. . . , zn = |жп|), р = int{ng} + 1, int{ • } — целая часть числа, 5 и a, q — параметры моделей (4.10) и (4.11). Напомним, что в моделях (4.10) и (4.11) можно положить без потери общности параметр 5 = 1 и параметр а = 1.
Доказательство асимптотической робастности алгоритма фАРИ опиралось на сходимости (4.55) и (4.56) и на установленную в разделе 4.3 асимптотическую робастность алгоритма ф^. Для асимптотической робастности алгоритма ф^достаточно выполнения условий леммы 4.1 в случае симметричных распределений шума или условий леммы 4.2, когда ожидаемые распределения шума могут быть как симметричными, так и несимметричными.
Для сходимостей (4.55) и (4.56) недостаточно одной только л/п- состоятельности оценки параметров масштаба и сдвига . Требуется еще выполнение ряда дополнительных условий, приведенных в следующей лемме.
Лемма 4.3. В случае у/п-состоятельной оценки параметров масштаба и сдвига и конечной дисперсии шума для сходимостей (4.55) и (4.56) достаточно, чтобы выполнялись следующие условия.
Базисные вектора S^\ j = 1,. . . ,N*, е^\ k = 1,. . . ,Р, опорного сигнала 8(б) и сигналоподобной помехи удовлетворяют неравенствам
шах7 = 1,.-Лшах7 = 1,.-Л< D,< D,шах шахj=l,...,N k=lv..,Ршах шахj=l,...,N k=lv..,Р< D< D
шах
7 = 1,.-Л
шах
7 = 1,.-Л
< D,
< D,
шах шах
j=l,...,N k=lv..,Р
шах шах
j=l,...,N k=lv..,Р
< D
< D
Vn = 1,2, ...,£>< оо.
Функции f(t) 6 № имеют ограниченные по модулю производные ff(t) и f"(t) при всех t Е (—оо,оо) — Ау, где Af = \t^,i = 1,. . . ,L} — мноснсество точек разрыва первого рода у производной f'(t).
Доказательство этой леммы практически ничем не отличается от доказательства аналогичной по содержанию леммы 3.4.
Отметим, что в случае финитной производной /'(t) конечность дисперсии шума не требуется для сходимостей (4.55) и (4.56).
Нетрудно установить, что условию 2 леммы 4.3 удовлетворяют логарифмические производные \|/Wo (t) наименее благоприятных ПРВ в классах We,W§,WO)Q. Тем самым, для этих классов алгоритмы с решающими функциями (4.57) являются АРИ-алгоритмами. При построении АРИ-алгоритмов для классов W§,WM можно положить параметр 5 = 1 и параметр а = 1. Вопрос о выборе значения параметра q будет решен далее после исследования АРИ-алгоритма для ^-точечной модели.
АР И-алгоритмы при квадратурной обработке наблюдаемого процесса. Наблюдаемой выборкой при квадратурной обработке выступает вектор х = (xc,xs), состоящий из двух векторов хс = = (жС1, . . . , жсп) и xs = (ж51,. . . , Ж5П), где хс^ xsi — отсчеты квадратурных составляющих наблюдаемого процесса. Отсчеты квадратурных составляющих в различные моменты времени полагаем независимыми. Отсчеты хс^ и хз^ в совпадающие моменты времени считаем зависимыми с априорно неизвестным совместным распределением. Маргинальные распределения этих отсчетов принимаем одинаковыми, а условные распределения — произвольными в пределах установленного в п. 3.3.5 множества.
Ввиду априорной неопределенности условного распределения отсчетов xci и Х8г для практического применения интерес представляют алгоритмы, характеристики которых инвариантны относительно этого распределения. Асимптотически оптимальные алгоритмы в классе подобных алгоритмов были найдены в п. 3.3.5. На основе данных АО- алгоритмов могут быть построены с применением принципа минимакса АРИ-алгоритмы , учитывающие априорную неопределенность не только условного распределения отсчетов хс^ и хз^ но и их маргинального распределения.
Применив рассмотренный в п. 4.4.2 подход к построению инвариантных робастных алгоритмов, можно показать, что АРИ-алгоритмы при квадратурной обработке наблюдений имеют решающие функции типа (4.57) при соответствующем выражении статистик Тп[х, 9, у(х)] и Сп[х, ос, у (х)]. Выражения для данных статистик имеют вид
_ _1 п_
^[х, 9, у(х)] = ^ 52 {Sci(9)Vwo[ici(x)] + SsiCe^wJZs^x)]}, vn
*(4.60)
(4.61)(4.61)В (4.60) и (4.61) приняты следующие обозначения :В (4.60) и (4.61) приняты следующие обозначения :
(4.61)
(4.61)
В (4.60) и (4.61) приняты следующие обозначения :
В (4.60) и (4.61) приняты следующие обозначения :
г = 1,г = 1,Е Ocj (хс)е^Е ^8з (xs) 4й3=1Е Ocj (хс)е^Е ^8з (xs) 4й3=1
г = 1,
г = 1,
Е Ocj (хс)е^
Е ^8з (xs) 4й
3=1
Е Ocj (хс)е^
Е ^8з (xs) 4й
3=1
где о (х) = |[ос (хс) + os (xs)], ос(хс) и os (xs) — оценки параметров масштаба ос и os, ^Cj (хс) и ^Sj (xs) — оценки параметров сдвига ^Cj и ^Sj^ j = 1,. . . , Р, квадратурных составляющих наблюдаемого процесса, Sc^(9), Ss^(9), г = 1,...,п, — компоненты квадратурных составляющих Sc(9) = {S'ci(o),. . . , S'cn(0)}, Ss(9) = = {Ssi(9), . . . , Ssn(9)} сигнала S(9).
Адаптация АР-алгоритмов
Параметрическая оптимизация АР-алгоритмов. АР-алго- ритмы синтезируются по минимаксному критерию оптимальности применительно к некоторой модели W ожидаемых ПРВ шума. В пределах заданной модели синтезированный АР-алгоритм обладает высокой эффективностью и устойчивостью характеристик к изменению ПРВ шума, но при выходе ПРВ за пределы этой модели эффективность алгоритма существенно снижается. Кроме того, при известной ПРВ шума АР-алгоритм, как правило, уступает по эффективности АО- алгоритму.
В связи с этим представляет интерес построение более эффективных адаптивных АР-алгоритмов, которые бы тем или иным образом подстраивались под фактическое распределение шума, но при этом не предъявляли таких сильных требований к ПРВ шума, как адаптивные АО-алгоритмы.
Для построения адаптивных АР-алгоритмов можно воспользоваться зависимостью АР-алгоритмов от параметров модели W, на основе которой они были синтезированы. В принципе, варьируя этими параметрами, можно повысить эффективность АР-алгоритма при данном распределении шума.
Выясним возможность и целесообразность оптимизации АР-алгоритмов по параметрам моделей (4.10) и (4.11). Выбор данных моделей обусловлен тем, что практически любая ПРВ шума может быть
выражена через распределения этих моделей при соответствующем параметре масштаба.
В п. 4.3.3 установлено, что средние асимптотические потери от пропуска сигнала у АР-алгоритмов определяются величиной Xw = = (Va)(aw/vw) и убывают с ростом этой величины. Напомним, что о — параметр масштаба, при котором ПРВ шума выражается в виде Р W = (Vе) w (Vе), «w = м Ы W I w (t)^ vw = Vм Ы W I w (t)}, плотность w 6 W, Vo — логарифмическая производная наименее благоприятной ПРВ в классе W. Обозначим через d варьируемый параметр модели W и запишем Xw для отражения зависимости от параметра d в виде Xw (d) = [Х/о (d)^ [ос^ (d)/\w (d)].
Для оптимизации выберем АР-алгоритм корреляционного типа с зависящим от наблюдаемой выборки порогом. Асимптотическая вероятность ложной тревоги у этого алгоритма имеет согласно (4.27) постоянное значение при любом параметре d. Поэтому при изменении параметра d можно не контролировать асимптотическую вероятность ложной тревоги и отыскивать оптимальное значение данного параметра путем максимизации величины Xw (d).
Рассмотрим сначала параметрическую оптимизацию АР-алгорит- ма, синтезированного на основе модели (4.10). Для краткости назовем данный алгоритм API-алгоритмом. При выборе модели (4.10) варьируемый параметр d = 3, где 3 — среднеквадратическое значение у распределений класса W = W§.
В соответствии с (4.43) имеем afw (8) = 1/8 и vw (8) = 1 при любой плотности р (t) = (l/o) w(t/o). Из равенства М {t2 | р(ОД = о282 находим параметр масштаба о (8) = 8р/8, где Ьр — среднеквадратическое значение шума с плотностью p(t). Отсюда следует, что Xw (8) = Х/бр при любом значении параметра 8.
Таким образом, на основе API-алгоритма невозможно построить адаптивный алгоритм ввиду независимости величины Xw от параметра модели Wg.
Адаптивный робастный алгоритм может быть построен на основе АР2-алгоритма, синтезированного с применением модели (4.11). При выборе данной модели варьируемый параметр d = q, где q — вероятность интервала [—1,1].
В связи с отсутствием явного выражения для величины Xw (q), были выполнены численные расчеты этой величины в достаточно представительных классах обобщенных распределений Гаусса WG (ос) и Коши WC(a, в), приведенных в п. 3.5.1 (ос, в — параметры распределений). Эти расчеты показали, что для каждого распределения шума существует оптимальное значение qonT параметра q. при котором величина Xw (q) достигает максимума. Например , допт = 0,95 для нормального распределения WG (ос = 2) и допт = 0,25 для двустороннего распределения Лапласа WG (ос = 1).
Оптимизация АР2-алгоритма по параметру q дает заметный энергетический выигрыш, особенно существенный при распределениях с тяжелыми хвостами (при ос ^ 1). Значения В этого выигрыша для распределений WG (ос) и WC (ос, в = 4) с различными значениями параметра ос приведены соответственно в табл. 4.1 и 4.2.
Таблица 4.1
ос
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1Д
1,2
1,4
1,6
2,0
в, дБ
5,90
4,60
3,60
2,78
2,08
1,52
1,03
0,35
0,06
0
Таблица 4.2
ос
0,75
1,0
1,25
1,5
1,75
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
в, дБ
4,97
2,69
1,33
0,47
0,07
0
0,14
0,50
0,86
1,12
Выигрыш вычислялся по формуле
В = 20 log [Xw ,L xw (^о) J
где qo = 0,9 — фиксированное при всех ос значение параметра q. Значения qonT этого параметра, оптимальные для соответствующих ос, отыскивались на интервале [0,25; 0,95] с шагом 0,05. Фиксированное значение qo оптимально для нормального разрешения шума и часто используется при синтезе АР-алгоритмов на основе модели (4.11).
Согласно полученным результатам оптимизация АР2-алгоритма по параметру q возможна и заметно увеличивает его эффективность. С целью ответа на вопрос о целесообразности разработки адаптивного алгоритма на основе АР2-алгоритма сравним оптимизированный АР2- алгоритм с API-алгоритмом, который в настоящее время почти повсеместно применяется на практике.
Для этого вычислим энергетические потери API-алгоритма и оптимизированного АР2-алгоритма при сравнении с АО-алгоритмом, оптимальным при известном распределении шума, и вычислим через эти потери коэффициент асимптотической относительной эффективности h оптимизированного АР2-алгоритма по отношению к API-алгоритму.
Результаты этих расчетов приведены в табл. 4.3 и 4.4, соответственно, для обобщенных распределений Гаусса WG (ос) и Коши WC (ос, d = 4).
В этих таблицах П1 и П2 — энергетические потери, соответственно, у API-алгоритма и у оптимизированного АР2-алгоритма, коэффициент асимптотической относительной эффективности h = П1 — П2.
Энергетические потери вычислялись по формулам
п -ОЛ1 rv^(a)" Пс 20 log ^ мс ^ j ,п -ОЛ1 rv^(a)" Пс 20 log ^ мс ^ j ,
п -ОЛ1 rv^(a)" Пс 20 log ^ мс ^ j ,
п -ОЛ1 rv^(a)" Пс 20 log ^ мс ^ j ,
где IG (ос) и IC (ос) — информация Фишера у распределений WG (ос), WC (ос, в = 4), MG (ос) и МС (ос) — отношение XW)X для этих распределений при соответствующем алгоритме.
Таблица 4.3
ОС
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,4
1,6
2,0
П1,дБ
14,53
9,27
6,25
4,32
3,01
2,09
1,44
0,64
0,23
0
П2, дБ
6,79
3,35
1,71
0,85
0,44
0,23
0,17
0,19
0,17
0,13
h, дБ
7,74
5,92
4,54
3,47
2,57
1,86
1,27
0,45
0,06
-0,13
Таблица 4.4
ос
0,75
1,0
1,25
1,5
1,75
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
П1,дБ
15,69
7,38
3,63
1,80
0,86
0,38
0,08
0,19
0,44
0,76
П2, дБ
3,95
0,92
0,15
0,08
0,07
0,03
0,05
0,06
0,14
0,32
h, дБ
11,74
6,46
3,48
1,72
0,79
0,35
0,03
0,13
0,30
0,44
Из табл. 4.3 и 4.4 следует, что АР2-алгоритм с оптимальным значением параметра q, во-первых, существенно превосходит по эффективности API-алгоритм в случае распределений с тяжелыми хвостами и, во-вторых, практически равноценен API-алгоритму при распределениях, близких по тяжести хвостов к нормальному распределению. Это свидетельствует о целесообразности построения адаптивного АР- алгоритма на основе АР2-алгоритма.
Построение адаптивных АР-алгоритмов. В процессе адаптации алгоритма по обучающей выборке у должно быть вычислено оптимальное значение допт (у) параметра q. В связи с этим определим такую целевую функцию Z (q | у), при которой допт (у) = arg max Z (q | у).
q
В качестве целевой функции можно выбрать состоятельную оценку величины % (q) = ос^ (q)/[o (q) vw (q)^ так как при ее максимизации минимизируются асимптотические средние потери при любом значении энергетического параметра сигнала. Эта целевая функция имеет вид
Z(Q|y) = JLMy),[о (9 I У) v (q | у)]
где S' (q | у), v (q | у) и S (q | у) — состоятельные оценки величин aw М^ ^w (q) и масштабного параметра о (q) соответственно.
При целевой функции (4.62) достигается максимальный эффект от адаптации алгоритма. Однако применение этой функции приводит к достаточно сложной процедуре адаптации ввиду необходимости оценивания величин ос^ (q) и vw (q). Процедура адаптации заметно упрощается, если в качестве целевой функции принять состоятельную оценку величины ?(q) = ^/I ^q^fo (q), где I (q) — известная минимальная информация Фишера в классе Wg (величина ? (q) определяет верхнюю границу для асимптотических средних потерь при данном параметре q). Такая целевая функция выражается в форме
2(,|у, = ^-<“3’
Основанием для применения целевой функции (4.63) служит то обстоятельство, что параметрическая оптимизация АР2-алгоритма путем максимизации величин г (q) и ? (q) дает практически одинаковые результаты. Так сравнение соответствующих оптимизированных АР2- алгоритмов в классах обобщенных распределений Гаусса и Коши показало, что замена величины г (q) на г (q) приводит к энергетическим потерям порядка 0,01 дБ при указанных в табл. 4.1 и 4.2 значениях параметра ос.
При целевой функции (4.63) процедура адаптации алгоритма включает в себя формирование оценок S (qj | у) масштабного параметра на некотором фиксированном множестве ^q^ j Е J} значений параметра определение номера j (у) = arg шах- и выбор в качестве
jeJ о (qj I у)
функции нелинейного преобразования наблюдаемой выборки х логарифмической производной Vj(y) наименее благоприятной ПРВ в классе Wq с параметром q = qj(yy
Адаптивный АР-алгоритм имеет решающие функции (4.57), в которых функция нелинейного преобразования \|/о = Vj(y), а в роли оценки S (х) параметра масштаба выступает оценка S (х | оду)), соответствующая параметру q = qj(yy
Адаптивные АР-алгоритмы имеют заметное преимущество по эффективности как перед АР-алгоритмами с фиксированным параметром q. так и перед широко применяемыми АР-алгоритмами, синтезированными на основе модели распределений с конечной дисперсией. По сравнению с адаптивными АО-алгоритмами они менее эффективны. Зато их состоятельность обеспечивается при существенно менее жестких предположениях относительно ПРВ шума, так как для адаптации АР-алгоритмов достаточно оценить только параметр масштаба и не требуется оценивать ни ПРВ шума, ни ее производную.
Адаптация АР-алгоритмов по параметру q снимает проблему выбора значения этого параметра при синтезе алгоритмов. В классе неадаптивных АР-алгоритмов эта проблема не имеет эффективного решения, так как оптимальное значение этого параметра зависит от ПРВ шума, и отклонение от этого значения приводит к заметному снижению показателей качества алгоритма.
Примеры АР-алгоритмов
АР-алгоритм демодуляции с мягкими решениями. В цифровых системах связи широко применяется мягкое декодирование, основанное на мягких решениях демодулятора [46, 91]. Такое декодирование увеличивает энергетический выигрыш от кодирования примерно на 2 дБ при сравнительно небольшом усложнении демодулятора и декодера.
В известных работах по мягкому декодированию шум в канале передачи принимается гауссовым. Однако для систем связи, в которых главную роль играют внешние шумы, данное предположение обычно не соответствует действительности [64]. Для таких систем представляют интерес алгоритмы демодуляции, обладающие устойчивыми характеристиками в условиях непараметрической априорной неопределенности шума и практически не отличающиеся по эффективности от оптимальных алгоритмов в случае гауссова шума. Покажем, что этим требованиям удовлетворяют АРИ-алгоритмы демодуляции. Для конкретности ограничимся когерентной системой связи с двумя противоположными сигналами S^1) = S, S^2) = — S и мягким декодированием по алгоритму Витерби [91].
Сначала получим АО-алгоритм демодуляции с мягкими решениями в случае негауссова шума с известной ПРВ. В общем виде асимптотический алгоритм демодуляции ср с мягкими решениями представляется бесконечной последовательностью решающих функций фп (к | х), п = 1,2,..., задающих условную вероятность формирования целочисленного значения к = 0, . . . , L — 1 при наблюдении х.
L-1
Решающие функции удовлетворяют тождеству У^ фп (к | х) = 1, так к=0
как принимаемые решения образуют полную группу событий.
Практически без ограничения общности можно считать, что АО- алгоритмы принадлежат классу нерандомизированных алгоритмов с решающими функциями
фп (^ | х) =фп (^ | х) =1,0,1,0,х е А^-X А^,х е А^-X А^,
фп (^ | х) =
фп (^ | х) =
1,
0,
1,
0,
х е А^-
X А^,
х е А^-
X А^,
где Ап 7 — непересекающиеся множества пространства реализации наблюдаемой выборки х = (х^ . . . ^ хп\
Синтез нерандомизированного АО-алгоритма сводится к построению такой последовательности А^\ к = 0,..., L — 1,п = 1,2,..., при которой достигается в асимптотике (при п -Л ос) минимум средней вероятности Ре ошибочного декодирования.
Без изменения асимптотической эффективности алгоритма его решающие функции фп можно выразить через асимптотически достаточную статистику Тп, положив фп (к | х) = фп \к | Тп (х, о)]. Здесь о — фиксированный масштабный параметр ПРВ, р (t) = (l/o) w (t/o^ статистика
(х, о) = 4= Ё ^Vw (-), (4.64)
где \|/w — логарифмическая производная плотности w, Si (г = 1, . . . ... , п) — компоненты сигнала S.
При выполнении условий теоремы 3.1 статистика (4.64) сходится по распределению к случайной величине с нормальным распределением N (( —1)г (Х/о) / (w) , / (w)), где г = 0, при передаче сигнала S^\ и г = 1 при передаче сигнала S^2\ Поэтому для построения АО- алгоритма можно воспользоваться известными результатами синтеза оптимальных алгоритмов демодуляции с мягкими решениями для гауссова шума.
Оптимальный для гауссова шума алгоритм демодуляции в случае декодирования по алгоритму Витерби приведен в [91]. Используя этот алгоритм в качестве прототипа, находим решающие функции АО- алгоритма демодуляции фАО в виде
АО ( к I \ J ^’ Ц/е + 1 ^ Тп (^7^) < Ц/с 7& — 0, . . . , L 1,
Фп I
О, в противном случае.
(4.65)
Уровни квантования р^. в (4.65) определяются из уравнений
f ц^ - ц^+i = 45/L 4k = 1,. . . , L - 2,^
( Ц /с = -PL-к V/c = 0,. . . , L/2, цо = ОС,
где 5 = з/1 (w) — среднеквадратическое значение статистики (4.64), L — четное число.
Асимптотическая оптимальность алгоритма фАО обеспечивается только для заданной ПРВ шума и фиксированного масштабного параметра. В отношении энергетического параметра сигнала алгоритм фАО равномерно асимптотически оптимален.
В случае неизвестного параметра о вместо алгоритма фАО должен применяться АОИ-алгоритм демодуляции, инвариантный относительно масштабных преобразований наблюдаемой выборки. Этот алгоритм
получается путем замены в решающих функциях (4.65) неизвестного параметра о на его эквивариантную и д/п-состоятельную оценку 8П (х). Выполнив такую замену, получим решающие функции АОИ-алгоритма фАОИ в виде
АОИ // I J 1? Ц& + 1 С Т^Дх, °™ (х)] ? к = 0,. . . , L 1, 10, в противном случае,
(4-67) где уровни квантования определяются по-прежнему из уравнений (4.66).
Алгоритм фАОИ асимптотически эквивалентен алгоритму фАО вследствие сходимости Т^х, 8П (х)] — Тп (х, о) 0. Ввиду инвариантности решающих функций (4.67) к масштабным преобразованиям выборки х оптимальность уровней квантования алгоритма фАОИ обеспечивается при любых значениях параметра масштаба. Кроме того, данный алгоритм равномерно асимптотически оптимален по параметру со = Х/о. Однако в условиях непараметрической априорной неопределенности шума алгоритм фАОИ может существенно уступать по эффективности АО-алгоритму в связи с несоответствием функции нелинейного преобразования у статистики (4.64) и параметра 5 в уравнениях (4.66) истинному распределению шума.
Перейдем к построению АРИ-алгоритма с устойчивыми характеристиками в условиях непараметрической априорной неопределенности шума. Непараметрическую априорную неопределенность представим ^-точечной моделью (4.11).
Обозначим через Ре (ф, со, р) асимптотическую вероятность ошибочного декодирования, когда шум имеет плотность р (t) = = (l/o) w (f/o), и для демодуляции сигнала применен алгоритм ф, инвариантный относительно масштабных преобразований наблюдаемой выборки.
В соответствии с минимаксным критерием оптимальности алгоритм фАРИ считаем асимптотически робастным, если он в паре с некоторой плотностью ро образует седловую точку (фАРИ,ро) целевой функции Ре (ф, со, р), т. е. удовлетворяет условиям
Ре (фАРИ, со, ро) < Ре (ф, со, ро) Уф е Ф, со е (0, ос) , (4.68)
Ре(фАРИ,<0,Ро) > РЕ(^РИ,«>,р) VpeP9, <о€(0,оо), (4.69)
где Ф — класс всех асимптотических инвариантных алгоритмов демодуляции, Рд — множество распределений (4.11) с параметром а = 1.
Полагая выполненными посылки 1В-5В и принимая во внимание лемму 4.3, находим, что неравенствам (4.68) и (4.69) удовлетворяют плотность р (t) = (l/c)wo(t/c) и алгоритм фАРИ с решающими
функциями,
фУи (к I х) = / 11 ^+!<^(Х)<ИЬ k = O,...,L-l, (470) [О, в противном случае ,
где статистика
^2 ^гфо^г/^п (х)]
Z„ (х) = i="=,(4.71)
t/^Vo^i/Sn (х)]у г = 1
Vo — логарифмическая производная плотности wo с минимальной в классе W9 информацией Фишера, цА. — уровни квантования, удовлетворяющие системе уравнений (4.66) с параметром 5=1.
Благодаря сходимостям (4.55) и (4.56), а также сходимости по вероятности (1/п) У^ Vo (жг/°) "^ ^(wo)’ алгоритм срАРИ асимптотически г=1
эквивалентен алгоритму фАОИ, оптимальному для распределения с плотностью ро. Вследствие этого для алгоритма фАРИ выполняется условие (4.68). Выполнение условия (4.69) следует, во-первых, из сходимости по распределению статистики (4.71) к нормальной случайной величине со средним сц (р) = (—1)г (Х/о) (cx^/vw) , где г = 0,1, и единичной дисперсией, и во-вторых, из того, что отношение oc^/vw минимально в классе W9 при плотности w = wo, а вероятность Ре убывает с ростом данного отношения.
Асимптотическая вероятность Ре ошибочного декодирования при АРИ
использовании алгоритма демодуляции ф зависит от величины hw = Xoc^/(ovw). Верхняя граница вероятности Ре в классе Р9 определяется единственной величиной hWo = соз/I (wo), где со = = Х/о. Отсюда, в частности, следует, что алгоритм фАРИ равномерно асимптотически оптимален по минимаксному критерию в отношении параметра со.
Алгоритм фАРИ может быть представлен также в форме алгоритма с зависящими от наблюдаемой выборки уровнями квантования. В такой форме он имеет решающие функции
АРИ/, I \ I 1, to+i (х) < Тп (х) < щ (х), к = 0,..., L - 1; Фп (fc I х) = <
в противном случае,
(4.72) где статистика и уровни квантования выражаются следующими формулами:
Алгоритм срАРИ был исследован, при L = 8, методом имитационного моделирования на ЭВМ. Исследование проводилось для наименее благоприятной плотности wo, плотности нормального распределения
W1 = N(0;0,61)
и плотности загрязненного нормального распределения
w2 = 0,9N (0; 0,393) + 0,05N(10; 1) + 0,05N(-10; 1).
Все эти плотности принадлежат классу W9 с параметром q = 0,8.
Вероятность ошибки Ре на выходе декодера Витерби измерялась по 4 • 106 испытаниям для кода К = 7, R = 1/2 при размере наблюдаемой выборки (базе сигнала) п = 256.
Наряду с АРИ-алгоритмом был исследован при тех же распределениях АОИ-алгоритм демодуляции, оптимальный для нормального распределения N(0;0,61).
В результате данных исследований было установлено, что при гауссовом шуме АРИ-алгоритм незначительно уступает по эффективности АОИ-алгоритму, но существенно превосходит его в условиях непараметрической априорной неопределенности шума. Была также подтверждена характерная для робастных алгоритмов слабая зависимость их эффективности от ПРВ шума. Для иллюстрации этих свойств АРИ-алгоритма в табл. 4.6 даны значения порогового отношения Х/о,
Таблица 4.6
ПРВ шума
Х/о^ дБ
АОИ-алгоритм
АРИ-алгоритм
Wo
2,96
2,80
Wi
2,31
2,66
w2
15,6
2,70
вычисленные для приведенных распределений шума при вероятности ошибочного декодирования Ре = И)5.
Для повышения эффективности АРИ-алгоритма можно воспользоваться приведенной в п. 4.5 процедурой адаптации по обучающей выборке у. Решающие функции адаптивного АРИ-алгоритма выражаются в виде
Фп™ (& | х,у) = <Фп™ (& | х,у) = <Ц*+1 (х, у) < Т„ (х, у) < цк (х, у), k = 0,.
Фп™ (& | х,у) = <
Фп™ (& | х,у) = <
. 0, в противном случае,
где статистика
уровни квантования
Wt (х, у) = !ЧWt (х, у) = !Ч-^п (^(у) | х).-^п (^(у) | х).
Wt (х, у) = !Ч
Wt (х, у) = !Ч
-^п (^(у) | х).
-^п (^(у) | х).
Qj(y) — оптимальный для фактической ПРВ параметр q на множестве {qj^j ^ J}? Vj — логарифмическая производная наименее благоприятной ПРВ в классе W9^ <зп (qj | х) — оценка параметра масштаба, соответствующая параметру qj.
Согласно результатам п. 4.5 адаптация алгоритма по параметру q дает заметный энергетический выигрыш, особенно существенный (2-5 дБ) в случае распределений с тяжелыми хвостами.
АР И-алгоритмы обнаружения и различения сигналов. АРИ-алгоритмы обнаружения и различения детерминированных сигналов. Алгоритмы этого типа могут найти применение в когерентных системах связи с многопозиционным кодированием. Для простоты ограничимся случаем отсутствия сигналоподобной помехи. Априорную неопределенность ПРВ шума представим расширенной q- точечной моделью (4.11) с параметром а = 1. В соответствии с (4.9) наименее благоприятная ПРВ в классе W9 данной модели имеет вид
т / —2777^7 с°82 (^/2), И < 1,
Wo W = < cos (Л/2)
( Cexp(-B(|Z|-l)),|t| > 1.
Минимальная в классе W9 информация Фишера выражается в виде
I (wo) =I (wo) =А^В2 + В"А^В2 + В"
I (wo) =
I (wo) =
А^В
2 + В"
А^В
2 + В"
Логарифмическая производная наименее благоприятной ПРВ выражается в форме
Vo W = <Vo W = <В, t > 1,Atg(A^2),В, t > 1,Atg(A^2),-1 <-1 <t < 1,t < 1,(4.74)(4.74)
Vo W = <
Vo W = <
В, t > 1,
Atg(A^2),
В, t > 1,
Atg(A^2),
-1 <
-1 <
t < 1,
t < 1,
(4.74)
(4.74)
— В, t < -1.
Параметры А, В, С и информация Фишера для ряда значений q приведены в табл. 4.7.
В типичном случае уравновешенных сигналов S^ (^ S^ ~ О, г=1
\/к = 1,...,т) АРИ-алгоритмы обнаружения и различения таких
Таблица 4.7
q
0,25
0,35
0,45
0,55
0,65
0,75
0,85
0,95
А
0,758
0,926
1,089
1,256
1,433
1,635
1,886
2,281
в
0,302
0,463
0,66
0,911
1,249
1,743
2,599
4,966
с
0,113
0,15
0,182
0,205
0,219
0,22
0,195
0,124
0,025
0,161
0,294
0,494
0,789
1,245
2,010
3,709
сигналов имеют, в соответствии с (4.57), решающие функции
(фп0) (х) = 1, 0,..., 0) , max Т^ (х) < Сп (х, а), (О,. . . фп^ (х) = 1, 0,. . ., 0) , шах Т^ (х) =
= Т^ (х) > Сп (х, ос) , m = 1, . . . ,
(4.75)
где статистики
ФоФо
Фо
Фо
зависящий от наблюдаемой выборки порог
Сп (х, ос) = ц (ос)Сп (х, ос) = ц (ос)
Сп (х, ос) = ц (ос)
Сп (х, ос) = ц (ос)
Фо — функция нелинейного преобразования (4.74), ц (ос) — параметр, определяющий уровень асимптотической вероятности ложной тревоги.
В качестве оценки Sn (х) должна применяться квантильная оценка (3.82) параметра масштаба в связи с выбором Q-точечной модели распределений шума. Алгоритм с решающими функциями (4.75) имеет
равную ос асимптотическую вероятность ложной тревоги фактически при любой (симметричной и несимметричной) плотности распределения шума с нулевым средним. Асимптотические средние потери равны асимптотической вероятности Р (Xw) пропуска сигнала, зависящей от единственного параметра Xw = (Х/о) (oc^/vw).
Ввиду того, что отношения Т^/Сп имеют в пределе нормальное распределение, вероятность Р (Xw) может быть вычислена по известным выражениям, полученным в случае гауссова шума [47, 55]. В частности, при бинарном обнаружении вероятность Р (Xw) =
= Ф [ц (ос) — Xw], где Ф ^ = 5” | ехР (—^2/2) dt — интеграл Лапласа,
ц (ос) — процентная точка распределения Гаусса [55].
Обозначим через Р (со, w) = Р (coXw/vw) характеристику помехоустойчивости АРИ-алгоритма, где по-прежнему параметр со = Х/о. Для любой плотности р (t) = (l/o) w (f/o) справедливо неравенство
Р (со, w) < Р (со, wo) Vco е (0, оо),
где Р (со, wo) — характеристика помехоустойчивости при наименее благоприятной ПРВ шума. По верхней границе Р (со, wo) можно вычислить пороговое отношение со = Х/о, которое можно трактовать как своего рода пороговое отношение сигнал/шум при непараметрической априорной неопределенности шума. Отметим, что в случае представления непараметрической априорной неопределенности моделью распределений с конечной дисперсией отношение Х/о совпадает с общепринятым определением отношения сигнал/шум.
Для асимптотически робастных алгоритмов типично компактное расположение характеристики помехоустойчивости Р (со, w) при различных ПРВ вблизи от верхней границы Р (со, wo). Например, в классах обобщенных распределений Гаусса и Коши различие пороговых значений величины со, рассчитанных по зависимостям Р (со, wo) и Р (со, w), не превосходит 0,05 дБ.
Для практики важное значение имеет скорость сходимости допредельной характеристики Рп (со, w) помехоустойчивости к асимптотической характеристике Р (со, w). В основном эта скорость определяется скоростью сходимости распределения статистик 1 п к нормальному распределению. В соответствии с полученными в [84] результатами векторная статистика Tn = ^T^k\ к = 1, . . . , т} сходится по распределению со скоростью порядка 1 /л/ri. Тем самым, можно предположить, что при размерах выборки порядка 100-200 будет достигаться приемлемая для практики 10% точность приближения характеристики Рп (со, w) к асимптоте Р (со, w). Многочисленные экспериментальные исследования асимптотических алгоритмов подтверждают это предположение.
Эффективность АРИ-алгоритма при распределениях шума с тяжелыми хвостами может быть заметно увеличена путем его адаптации по параметру q в соответствии с процедурой, рассмотренной в п. 4.5. Адаптивный АРИ-алгоритм выражается через решающие функции (4.75), выраженные через статистики
^'(у)^'(у)Хг- °п^з(у) | х)_Хг- °п^з(у) | х)_
^'(у)
^'(у)
Хг
- °п^з(у) | х)_
Хг
- °п^з(у) | х)_
и порог
Xi-^п Vq^ |х)_Xi-^п Vq^ |х)_
Xi
-^п Vq^ |х)_
Xi
-^п Vq^ |х)_
17 Богданович В.А., Вострецов А.Г.
АРИ-алгоритмы обнаружения радиосигналов с обидами замираниями. Обнаружители радиосигналов обычно строятся на основе квадратурной обработки наблюдаемого процесса. Общие замирания радиосигнала приводят к изменению его энергетического параметра Л и начальной фазы фо несущего колебания.
В п. 3.5.2 получен соответствующий квадратурной обработке АОИ- алгоритм обнаружения радиосигналов с общими замираниями. АРИ- алгоритм обнаружения таких сигналов может быть построен путем замены постоянного порога АОИ-алгоритма на зависящий от наблюдаемой выборки порог и выражения функции нелинейного преобразования через логарифмическую производную \|/о наименее благоприятной ПРВ квадратурных составляющих шума.
Выполнив указанное изменение, получим решающие функции искомого АРИ-алгоритма в виде
фАРИ (х) = Г (ф»0) (х) = 1,0) , Т„[х, 0 (х)] < Сп (х, а);
( (о, ф^ (х) = 1) , Т„[х, 0 (х)] Сп (х, а),
где статистика Тп (х, 9) = ^iZin (х)+92 22)П (x),9i = со8фо,92 = 8Шфо, статистики
1 п
Zy^ (х) =^ {Sc^o \tci (х)] + Ss^o \tst (х)]},
V z=l
1 п
Z2,n (х) = У {SCiVo [fS; (х)] - SSiVo \tct (х)]}, г=1
порог
(х, а) = ц (а)
9 (х) = arg sup Tn (х, 9), Sc^, Ss^ — компоненты квадратурных состав- 0
ляющих сигнала с нулевой начальной фазой.
tCi
(х) =
1
3DCi -
E »ci
(xc)
ph')
On (х)
tSi
(х) =
1
Х8г ~
E ^sj
3=1
(xs)
1 e^
On (х)
si
Sc„ (
хс) + osn (xs)
, ?Cn(
xc).
, GSn (XS)
— оценки
В статистиках Tn, Zi,n и Z^ приняты следующие обозначения:
где оп параметров масштаба квадратурных составляющих наблюдаемого процесса, ^Cj (х), ^Sj (х) — оценки параметров сдвига этих составляющих,
хс, xs — выборки из квадратурных составляющих, х = {хс, xs} — наблюдаемая выборка.
Оценка 9 (х) = (бДх), 02(х)) сигнального параметра 9 = (91,92) имеет компоненты
91 (х) =, е 2 (Х) = Z^ (х) =,
(х) + ^>п (х)(х) + Z^п (х)
Подставив эту оценку в (4.76), получим решающие функции АРИ- алгоритма в виде
АРИ /х = f (ф»0) (х) = 1, 0) , Un (х) < Сп (х, а);
"1 (о, Фп ) (х) = 1) , ип (х) > Сп (х, а),
где статистика Un (х) = Z^ n (х) + Z^ (х).
Полученный алгоритм равномерно оптимален по минимаксному критерию относительно сигнальных параметров X и 9. Поэтому он имеет минимальную верхнюю границу для асимптотических средних потерь при любом распределении сигнальных параметров. Асимптотическая вероятность ложной тревоги у этого алгоритма равна заданному значению ос при любых параметрах масштаба и сдвига и при любом маргинальном распределении квадратурных составляющих шума. Асимптотические средние потери и вероятность ложной тревоги инвариантны относительно статистической зависимости квадратурных составляющих шума в совпадающие моменты времени.
Резюме
Для представления непараметрической априорной неопределенности шума предложены новые модели (4.10) и (4.11), полученные путем расширения известных моделей: модели распределений с конечной дисперсией и Q-точечной модели. Расширение моделей получено за счет введения априорно неопределенного параметра масштаба. Благодаря этому через распределения моделей (4.10) и (4.11) может быть выражена практически любая ПРВ при соответствующем параметре масштаба.
С применением принципов инвариантности и минимакса, а также байесовского подхода, разработана методика синтеза асимптотически робастных инвариантных алгоритмов обнаружения и различения сигналов с неизвестными параметрами на фоне независимого шума и сигналоподобной помехи с неопределенными параметрами. В соответствии с этой методикой АРИ-алгоритм отыскивается в классе алгоритмов корреляционного типа с зависящим от наблюдаемой выборки порогом. Введение такого класса алгоритмов позволяет применять
разработанную методику синтеза при любой модели ПРВ с конечной информацией Фишера о сдвиге. В отличии от известного класса алгоритмов М-типа, при использовании указанного класса алгоритмов, не предъявляются какие-либо требования к энергетическому параметру сигнала при синтезе робастного алгоритма.
Сформулированы условия, обеспечивающие синтез АРИ-алгоритмов. Данные условия выполняются для большинства известных моделей непараметрической априорной неопределенности, включая модель с конечной дисперсией и Q-точечную модель.
Качество АРИ-алгоритмов оценивается асимптотическими средними потерями от пропуска сигнала и неверной оценки его параметров при фиксированном уровне асимптотической вероятности ложной тревоги. Ввиду оптимальности по минимаксному критерию АРИ-алгоритмы имеют минимальную верхнюю границу для средних потерь при любой ПРВ шума и при любом априорном распределении сигнальных параметров. Вследствие инвариантности алгоритма к преобразованиям масштаба и сдвига, средние потери не зависят от параметров сигналоподобной помехи и при фиксированной ПРВ шума определяются единственным параметром со = Х/о (X — энергетический параметр сигнала, о — параметр масштаба, при котором ПРВ шума выражается через плотность распределения выбранной модели). Асимптотическая вероятность ложной тревоги имеет постоянное значение при любой ПРВ шума и произвольных параметрах масштаба и сигналоподобной помехи.
Структурно АРИ-алгоритмы не зависят от всех априорно неизвестных характеристик сигналов и помех и сохраняют свойство оптимальности по минимаксному критерию при любом распределении параметров сигнала.
Верхняя граница для асимптотических средних потерь является функцией единственного аргумента со = Х/о и может быть вычислена заранее. В соответствии с принципом гарантированного качества параметр со можно рассматривать как своего рода отношение сигнал-шум в условиях непараметрической априорной неопределенности, определяя его пороговое значение по верхней границе для средних потерь. Фактическое значение параметра со может быть определено экспериментально с применением состоятельных оценок параметров X и о.
Установлено, что в случае уравновешенных сигналов (такие сигналы имеют нулевое среднее значение) АРИ-алгоритмы, оптимальные по минимаксному критерию при симметричных ПРВ шума, сохраняют оптимальность и при включении в модель распределений шума несимметричных ПРВ. Тем самым фактически снимается проблема построения робастных алгоритмов в случае несимметричных ПРВ шума, так как применяемые на практике сложные сигналы являются как правило уравновешенными.
В достаточной мере асимптотические свойства АРИ-алгоритмов проявляют себя при большом размере наблюдаемой выборки — порядка 200-250. Поэтому областью применения АРИ-алгоритмов являются системы, в которых используются сложные сигналы с большой базой.
На основе АРИ-алгоритма, соответствующего расширенной (/-точечной модели распределений шума, разработан адаптивный вариант этого алгоритма. В качестве варьируемого параметра алгоритма выбран параметр q, который подстраивается по обучающей выборке под фактическое распределения шума путем максимизации специальной целевой функции.
Исследование адаптивного АРИ-алгоритма показало, что разработанная процедура адаптации заметно увеличивает эффективность обнаружения сигналов, особенно в случае распределений с тяжелыми хвостами (энергетический выигрыш по пороговому отношению Х/о достигает 5 дБ в классе обобщенных распределений Гаусса и Коши).
При распределениях с тяжелыми хвостами адаптивный АРИ-алгоритм имеет весомое преимущество (порядка 5-10 дБ по пороговому отношению Х/о) перед широко применяемым алгоритмом, оптимальным для гауссова шума, и практически равноценен ему, когда ПРВ шума близки по тяжести хвостов к нормальному распределению. Широкое применение оптимального для гауссова шума алгоритма объясняется тем, что этот алгоритм является АРИ-алгоритмом, синтезированным на основе расширенной модели распределений с конечной дисперсией.
По сравнению с адаптивными АО-алгоритмами адаптивные АРИ- алгоритмы менее эффективны. Однако состоятельность адаптивных АРИ-алгоритмов гарантируется при существенно менее жестких требованиях к ПРВ шума, так как процедурой адаптации не предусматривается оценивание логарифмической производной ПРВ шума. Данное обстоятельство имеет важное значение, так как адаптивные алгоритмы предназначены для применения в условиях большой априорной неопределенности распределений шума.
Полученные АРИ-алгоритмы могут найти применение при разработке различных информационных систем, в которых сигнальнопомеховая обстановка характеризуется существенно априорной неопределенностью. Ограничение области применения этих алгоритмов сигналами с большой базой не является в настоящее время большим недостатком, так как совершенствование многих информационных систем идет по пути внедрения сложных сигналов с большой базой.
Обзор литературы по робастной обработке сигналов
Проблеме робастной обработки сигналов посвящено большое число публикаций как зарубежных, так и отечественных авторов. Не претендуя на полноту, дадим краткий обзор части этих публикаций,
имеющих отношение к минимаксным асимптотическим алгоритмам обнаружения и различения сигналов.
Систематическое изложение теории робастных статистических процедур впервые дано в монографии Хьюбера [94]. В этой монографии в основном дана теория асимптотически робастных оценок. Однако в идейном плане и в части полученных фундаментальных результатов она имеет основополагающее значение для теории асимптотически робастных алгоритмов обнаружения сигналов. Интересный подход к построению робастных процедур, основанный на применении функций влияния, рассмотрен в книге [90], которая в определенном смысле дополняет монографию [94].
Важное значение для построения робастных процедур имеет модель, с помощью которой представляется непараметрическая априорная неопределенность наблюдаемых данных. Впервые модели такого типа были предложены Хьюбером в работе [93]. Это так называемые модель е-загрязнения, приведенная в п. 4.2, и г-нормальная модель распределений, расстояние которых от стандартного нормального распределения не превосходит г в метрике Колмогорова.
Часто применяемой моделью непараметрической априорной неопределенности является ^-точечная модель, рассмотренная в работе [105]. Важный частный случай этой модели, представленный классом приближенно финитных распределений, приведен также в монографии [94] и использован в данной работе.
Давно известна также модель распределений шума с ограниченной дисперсией [94]. Наименее благоприятная ПРВ этой модели равна плотности нормального распределения. Поэтому оптимальные для гауссова шума алгоритмы являются по существу асимптотически робастными алгоритмами для широкого класса распределений. Именно этим фактом и объясняется успешное применение оптимальных для гауссова шума алгоритмов в тех случаях, когда отсутствуют достаточные основания для представления шума гауссовым процессом.
При синтезе робастных алгоритмов на основе приведенных моделей приходится предъявлять к ПРВ шума дополнительное требование симметрии, которое, вообще говоря, противоречит самой идее робастности. В связи с этим были предложены модели, учитывающие возможную асимметрию ПРВ шума [86, 99]. В рамках этих моделей ПРВ шума полагаются симметричными в пределах некоторого конечного интервала и имеющими вне этого интервала произвольные, в частности, и асимметричные хвосты. Подобное предположение о ПРВ может не соответствовать действительности, что снижает практическую ценность этих моделей. Как показано в п. 4.3 данной работы, асимметрию ПРВ шума можно преодолеть за счет применения уравновешенных сигналов, каковыми являются многие применяемые на практике сигналы с большой базой.
Модель е-загрязнения и е-нормальную модель целесообразно использовать в тех случаях, когда возможные ПРВ шума не очень сильно отличаются от известной ПРВ. Ситуации со значительной априорной неопределенностью ПРВ шума более адекватны модель распределений с конечной дисперсией и Q-точечная модель, так как эти модели могут быть расширены до класса практически произвольных ПРВ за счет введения априорно неопределенного параметра масштаба.
Всем приведенным моделям шума присуще одно общее существенное ограничение — предположение о независимости наблюдаемой выборки. Без этого предположения трудно обойтись, поскольку в случае зависимой выборки сильно усложняется проблема синтеза робастных алгоритмов. В настоящее время имеются отдельные результаты по синтезу асимптотически робастных алгоритмов при зависимой выборке [109,108, 20]. В [109] зависимая выборка представлена моделью скользящего среднего с известными параметрами. В [108] зависимая выборка аппроксимируется случайной последовательностью ф-перемешивания при определенном предположении о последовательности ф данной модели. В [20] для этой цели используется т — зависимая случайная последовательность с произвольным характером статистической зависимости в пределах заданного интервала, но зато предъявляются высокие требования к уровню боковых лепестков у АКФ сигнала.
Подробный обзор робастных методов обработки сигналов дан в заказной статье Кассама и Пура [100]. В этой статье имеется также обширная библиография публикаций по проблемам робастной линейной фильтрации сигналов, робастному обнаружению сигналов, робастному оцениванию параметров сигналов и робастному квантованию данных. Основное внимание уделено минимаксному подходу, который получил наибольшее применение при синтезе алгоритмов обработки сигналов с устойчивыми характеристиками в условиях непараметрической априорной неопределенности. Большая часть представленных в этой статье результатов была получена в 70-80 гг. прошлого столетия, однако упоминаются и более ранние идеи в области минимаксных методов обработки сигналов.
Круг проблем, связанных с устойчивыми статистическими процедурами, достаточно широк. Робастные методы обработки данных считаются важным самостоятельным направлением математической статистики. Этому направлению посвящена также книга [111]. Она представляет собой сборник докладов в Исследовательском центре армии США в апреле 1978 г. Среди авторов докладов такие известные в области математической статистики специалисты, как Дж. Тью- ки, Э. Парзен, П. Хьюбер, Г. Уилкинсон, В. Ванде-Линде и др. Непосредственное отношение к проблемам робастного оценивания и обнаружения сигналов имеет опубликованная в этом сборнике работа В. Ван де-Л ин де “Методы помехоустойчивого оценивания в задачах
передачи сообщений”, в которой получен ряд важных теоретических результатов.
Дадим краткий обзор некоторых работ, имеющих прямое отношение к асимптотически робастным алгоритмам обнаружения и различения сигналов, полученных с применением принципа минимакса.
Впервые АР-алгоритмы обнаружения сигналов получены Мартином и Шварцем в работе [106], а несколько позднее обобщены Кассамом и Томасом в работе [101]. В этих работах на основе предложенной Хьюбером модели е-загрязнения синтезированы, с применением принципа минимакса, АР-алгоритмы обнаружения детерминированных сигналов. Полученные робастные обнаружители имеют структуру корреляционного алгоритма с ограничением наблюдаемы данных (“коррелятор-ограничитель”).
В упомянутой работе Ванде-Линде в сборнике [111] и несколько раньше в статье [88] получены АР-алгоритмы обнаружения детерминированных сигналов, основанные на М-оценках амплитуды сигнала. Это так называемые алгоритмы М-типа (М-обнаружители). Важная особенность алгоритмов М-типа состоит в том, что их асимптотическая робастность может быть обеспечена не только в случае модели е- загрязнения, но и при любой другой модели распределений с конечной информацией Фишера о сдвиге. В [111] даны также условия, выполнение которых обеспечивает робастность М-обнаружителей и в случае неограниченной информации Фишера. Однако эти условия достаточно жесткие и трудно проверяемые. Поэтому на практике предпочтение отдают моделям распределений с конечной информацией Фишера.
Устойчивые алгоритмы обнаружения случайных сигналов, поступающих от совокупности датчиков, а также одноканальные минимаксные обнаружители случайного сигнала получены, соответственно, в работах [96] и [110].
Для радиотехнических приложений актуальны робастные алгоритмы обнаружения радиосигналов (детерминированных и со случайными параметрами) на фоне полосового шума. В связи с широким внедрением цифровой обработки сигналов, при разработке таких алгоритмов, предполагается выделение квадратурных составляющих наблюдаемого процесса на выходе соответствующего полосового фильтра. Робастные алгоритмы обнаружения сигналов по выборке из квадратурных составляющих наблюдаемого процесса получены в работах [97, 114]. В [97] получены робастные обнаружители детерминированных сигналов при условии, что совместное распределение квадратурных составляющих шума в совпадающие моменты времени имеет круговую симметрию и принадлежит модели е-загрязнения. Причем к загрязняющему распределению данной модели предъявляется довольно жесткое требование равенства нулю в определенной окрестности начала координат. В [114] приведен робастный алгоритм обнаружения радиосигналов с общими рэлеевскими замираниями. Данный алгоритм получен путем
модификации известного обнаружителя такого сигнала на фоне гауссова шума. Модификация сводится к замене квадратурной обработки оптимального для гауссова шума обнаружителя на обработку типа “ограничитель-квадратор”, приведенную в обзоре [100].
Робастные алгоритмы для моделей с асимметричными ПРВ, а также для моделей с зависимыми наблюдениями получены, соответственно, в упомянутых ранее статьях [86, 99] и [109, 108, 20].
Алгоритмы М-типа, соответствующие Q-точечной модели Wa>g, детально исследованы в работах Сосулина и Саликова [69, 70]. В этих работах впервые предложен адаптивный АР-алгоритм М-типа применительно к модели Wai4 с неизвестным параметром а и фиксированным параметром q. Процедурой адаптации алгоритма предусматривается состоятельное оценивание параметра а по обучающей выборке. Показано, что такой адаптивный алгоритм заметно эффективнее АР- алгоритма, рассчитанного на фиксированной значение параметра а.
В [10] разработаны инвариантные робастные алгоритмы обнаружения и различения детерминированных сигналов для расширенной модели е-загрязнения и расширенной Q-точечной модели. Расширение данных моделей получено за счет введения априорно неопределенных параметров масштаба и сдвига. В связи с наличием неопределенных параметров робастные алгоритмы синтезированы путем совместного применения принципов минимакса и инвариантности. Инвариантный к масштабу АР-алгоритм исследован в работе [1].
В [13] разработана методика синтеза инвариантных робастных алгоритмов обнаружения и различения сигналов со случайными параметрами. Отличительная особенность этой методики состоит в совместном применении байесовского подхода с принципами минимакса и инвариантности. Детально эта методика рассмотрена в главе 3 данной работы.
В [16] установлено, что в случае применения уравновешенных сигналов алгоритмы, робастные для симметричных ПРВ шума, сохраняют свойство робастности при расширении класса симметричных распределений до распределений произвольной формы. Данный результат практически снимает ограничение моделей распределений шума симметричными ПРВ. По материалам статьи [16] подготовлен один из разделов данной работы.
Методика синтеза робастных алгоритмов обнаружения сигналов с неопределенными параметрами без применения байесовского подхода дана в [17]. Однако она применима, если семейство предельных распределений статистик, асимптотически достаточных для неизвестных параметров сигнала, симметрично относительно некоторой группы преобразований. Полезное свойство получаемых по этой методики алгоритмов состоит в том, что их асимптотические характеристики инвариантны к изменению неизвестных параметров сигнала.
В [18] получены асимптотически оптимальный и асимптотически робастный алгоритмы обнаружения радиосигналов по выборке из квадратурных составляющих наблюдаемого процесса. При выполнении определенных требований характеристики этих алгоритмов инвариантны к статистической зависимости квадратурных составляющих шума в совпадающие моменты времени. Данные алгоритмы имеют ту же структуру, что и в случае независимых между собой квадратурных составляющих шума. Материалы статьи [18] включены в данную работу.
Для систем связи с бинарным кодированием и мягким декодированием разработан в [19] робастный алгоритм демодуляции с мягкими решениями. Найденная в [19] структура робастного алгоритма дает определенные преимущества с точки зрения устойчивости характеристик синтезируемых алгоритмов. Алгоритмы подобной структуры использованы в данной работе при синтезе АРИ-алгоритмов обнаружения и различения сигналов.
В [14] получен для расширенной Q-точечной модели адаптивный алгоритм различения сигналов, детально рассмотренный в данной работе.
Как уже отмечалось ранее, в подавляющем числе публикаций по робастным алгоритмам выборка из шума считается независимой. Однако имеются попытки построения робастных алгоритмов без предположения о независимости наблюдаемой выборки [109, 108, 20]. В статьях [108, 109] по робастному обнаружению сигналов в зависимом шуме минимаксные алгоритмы отыскиваются в классе алгоритмов с безынерционным преобразованием наблюдаемой выборки, т. е. в том же классе, в котором находятся робастные алгоритмы в случае независимой выборки. Это в значительной степени упрощает задачу синтеза робастного алгоритма и сводит ее решение к поиску подходящей функции преобразования отсчетов наблюдаемой выборки.
Такие функции найдены в работах [109, 108] в предположении слабой зависимости между отсчетами наблюдаемой выборки, но при довольно значительной информации о характере статистической зависимости шума. В [109] полагаются известными параметры модели скользящего среднего, а в [108] фиксируется последовательность ф, с помощью которой определяется процесс ф-перемешивания.
Попытка построения робастного алгоритма в условиях априорной неопределенности статистической зависимости между отсчетами наблюдаемой выборки предпринята в [20]. В этой работе выборка их шума представлена m-зависимой случайной последовательностью с произвольным характером статистической зависимости между т соседними отсчетами, а к алгоритму предъявлено требование инвариантности его характеристик к виду данной статистической зависимости. Показано, что в случае сигналов с малым уровнем боковых лепестков автокорреляционной функции этому требованию удовлетворяет алгоритм с
режекцией низкочастотной части спектра и с функцией безынерционного преобразования, равной логарифмической производной ПРВ с минимальной информацией Фишера для выбранной модели одномерных маргинальных распределений шума.
Теория робастного обнаружения сигналов в зависимом шуме находится в начальной стадии развития и еще не сформировалась как самостоятельное направление математической статистики. По этой причине вопросы робастного обнаружения сигналов при зависимом шуме не включены в данную работу.
МЕТОДЫ СИНТЕЗА АЛГОРИТМОВ УСТОЙЧИВОГО ТОЧЕЧНОГО ОЦЕНИВАНИЯ СИГНАЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОЛНЫХ ДОСТАТОЧНЫХ СТАТИСТИК
В математической статистике для отыскания эффективных оценок параметров распределений, обладающих полными достаточными статистиками, и функций от них успешно используется теорема Лемана- Шеффе [21, 45]. При ее помощи получены эффективные оценки параметров распределений и в тех случаях, когда наиболее эффективные оценки не существуют.
К достоинству эффективных оценок следует отнести то, что они обеспечивают наилучшее качество оценивания параметров при любых конечных объемах выборки и не требуют дополнительных исследований на предмет несмещенности и степени близости полученных оценок к оптимальным.
В радиотехнических приложениях распределения выборок и наблюдаемых процессов часто обладают полными достаточными статистиками, что создает предпосылки для применения теоремы Лемана- Шеффе при отыскании эффективных оценок параметров сигналов. Тем не менее, метод, основанный на использовании теоремы Лемана- Шеффе, в теории оценивания сигналов широко не используется. Указанный факт связан, по-видимому, с тем обстоятельством, что первый этап построения эффективной оценки с использованием теоремы Лемана-Шеффе (нахождение произвольной несмещенной оценки для оцениваемого параметра) не формализован и решается эвристически. Однако в ряде случаев это не является существенным ограничением, и метод может быть использован при решении многих практических задач.
В настоящей главе приводится решение задачи применения аппарата построения эффективных оценок параметров распределений, основанного на использовании теоремы Лемана-Шеффе, для точечного оценивания параметров сигналов, наблюдаемых в условиях действия шумов и помех при априорной неопределенности сигнально-помеховой обстановки; показана эффективность предлагаемого подхода на примерах задач оценивания основных параметров сигналов, наблюдаемых на фоне шумов и помех в условиях параметрической априорной неопределенности, получен ряд новых оценок.
Построение эффективных оценок параметров сигналов с использованием полных достаточных статистик
Пусть на отрезке времени [О, АТ] наблюдается процесс ж(£), являющийся известной функцией /(•) от полезного сигнала з(1Д^) и помехи v\(t^ v):
ДО =
Функция /(•) определяет характер взаимодействия сигнала и помехи. Сигнал характеризуется векторами полезных и мешающих параметров, X = {Хь . . . , Xm} 6 Л и у = {yi, . . . ,yr} 6 Г, помеха — вектором параметров v = {vi,...,v&} 6 N, где Л, Г и N — области значений векторов параметров X, у и v. Образуем из наблюдаемого процесса x(t) выборку х = {ж1, ..^хД, п = АТ/т, составленную из отсчетов хг = ж(Т), взятых в моменты времени 1^ = гт, г = 1,. . . ... , п, т — интервал дискретизации, х 6 Хп, Хп — подмножество п- мерного евклидового пространства. Выборка х имеет распределение Pq, функциональный вид которого известен, параметр 0 = ($1,... ... ,й5) распределения Р^ представляет собой некоторую известную функцию параметров сигнала и помехи, т. е. 0 = 0(X,y,v) 6 Q, где Q — область значений параметра 0. Априорная неопределенность сигнально-помеховой обстановки выражается в неизвестности некоторых (или даже всех) компонент параметра 0. Полезный параметр X, в свою очередь, может быть представлен в виде функции g от параметра 0, т. е. X = g(0).
Пусть А — положительно определенная матрица размером т х х т, ф(х) — статистика, отображающая (X, В) в (Л, Ф) (В и Ф — соответствующие о-поля). Тогда квадратичная функция потерь при оценивании функции g(0), согласно (1.11), представляет собой функционал
= (ф(ж) - g(0))TА(ф(ж) - g(0)), определенный на Л х Л. Эффективной оценкой Х*ф вектора X, при квадратичной функции потерь, будем называть несмещенную оценку, обеспечивающую минимум средних потерь в классе Kq всех несмещенных оценок, т. е. удовлетворяющую условиям
м{х;ф(х)} = g(0)
^ф(ж) = аг8 min М{£(Ф(х), g(0))},ф(ж)еко
где М — символ усреднения по распределению Р^.
При отыскании эффективных оценок существенную роль играют полные достаточные статистики. Напомним, что статистика Т называется полной, если семейство Рт ее распределений полно.
Эффективная оценка функции g(0), при существовании полной достаточной статистики, может быть получена на основе теоремы
Лемана-Шеффе. Ее формулировку и доказательство можно найти, например, в работе [45]. Согласно этой теореме, если Т(х) — полная достаточная статистика для семейства распределений Рх = {Pq}, ф(х) — произвольная несмещенная оценка функции g(0), то эффективная оценка функции g(0) является измеримой функцией от Т(х) и определяется выражением
= М{<р(ж) |= Х^Щж)],(5.1)
причем эта оценка существенно единственна. В выражении (5.1) М{ • | Т(х)} — символ условного математического ожидания.
Таким образом, если известна какая-либо несмещенная оценка ф(х) функции g(0), то правило (5.1) дает возможность найти ее эффективную оценку. Обычно ф(х) находят эвристически, исходя из физического смысла задачи.
Из теоремы Лемана-Шеффе также следует, что если несмещенная оценка ф(х) является измеримой функцией полной достаточной статистики Т(х) (ф(х) = ф[Т(х)] — зависит от х только через Т(х)), то ф[Т(х)] и есть искомая эффективная оценка функции g(0), т. е. Х*ф[Т(х)] = ф[Т(х)]. Поэтому, если это возможно, ф(х) целесообразно искать среди оценок, выраженных через Т(х), и тем самым сразу получать искомую эффективную оценку. Ниже приводится способ получения такой оценки, когда g(0) представляет собой линейную комбинацию моментов полной достаточной статистики Т (х) произвольного порядка.
Теорема 5.1. Обозначим через М размерность полной достаточной статистики Т (х) = {^1,...^м}; т3{(0) = М{^(ж)}, г = 1,. . . ... ,М; з = 0,. . . ,7V; m^(0) = 1; N — максимальный номер порядка момента. Тогда если
м N .
g(@) = Е Е aijmi(®), - ОО < а^ < +оо,(5.2)
г=1j=0
то эффективная оценка функции g(0) задается выражением
м N
^[т(х)] = ЕЕ^Н(5.з)
г=1j=0
и эта оценка существенно единственна.
Доказательство. Справедливость утверждения непосредственно следует из теоремы Лемана-Шеффе и из того, что оценка Хэф(Т(х)) является несмещенной, так как
М N.М N.
лЩэфМх)]} = 52 Ем{°о^(ж)} = 52 Е anmi^ = sW, г=1j=0г=1j=0
и измеримой функцией полной достаточной статистики Т(х).□
Формула (5.3) дает простой механизм построения эффективных оценок в тех случаях, когда функция g(0) имеет структуру, определяемую выражением (5.2). Отметим еще одно свойство оценок в виде измеримых функций полных достаточных статистик. Если полученная оценка ф(Т(х)) является смещенной со смещением 6(0), то она обеспечивает минимум средних потерь в классе Кь всех оценок, имеющих смещение 6(0) [21]. Это свойство можно использовать, например, в случае, когда несмещенную оценку не удается найти, а оценка ф[Т(х)] имеет несущественное для практики смещение (например, оно много меньше среднеквадратического отклонения от истинного значения). В этом случае оценку ф[Т(х)] можно рассматривать как приближенно эффективную.
Синтезированные оценки будут обладать свойством устойчивости в условиях априорной неопределенности в том смысле, что их структура не будет зависеть от неизмеряемых параметров сигнала и помехи, а средние потери при этом будут минимально возможными.
Синтез устойчивых оценок основных параметров сигналов в условиях априорной неопределенности с использованием полных достаточных статистик
Оценивание периода сигнала, наблюдаемого на фоне гауссова шума. Пусть наблюдаемый процесс x(t) представляет собой аддитивную смесь сигнала Ums(t) и дифференцируемого стационарного гауссова шума ц(^), т. е.
ж(<) = Ums(t) +T\(t),
где Um — амплитуда сигнала; s(t) — нормированный по амплитуде сигнал. Шум ц(£) характеризуется дисперсией о2 и нормированной корреляционной функцией r(t\ Соотношение энергетических параметров сигнала и шума будем характеризовать отношением сигнал/шум q = Um(о. Пусть Т — период, v — скважность сигнала, тогда s(t + Т) = s(t); длительности импульсов сигнала, определяемые как интервалы времени между соседними пересечениями некоторого наперед заданного уровня Н передними и задними фронтами сигнала, равны ти = T/v. Пусть передние фронты импульсов сигнала s(t) пересекают уровень Н в моменты времени t^ = t"^0 + гТ, задние фронты — в моменты времени t^ = t^0 + T/v + гТ, г = 0,1, . . . ..., тогда при больших отношениях сигнал/шум, q ^ 1, процесс ж(£) будет пересекать уровень Н в моменты времени t^ = t^ + At^, IT = = t^ + М^, где M^, M^ — малые случайные добавки, обусловленные действием шума ц(£). В качестве исходных данных для синтеза оценки периода Т примем статистики t+ = ^t^ . . . , t^ и t = {t^ ,. . . , tn }.
Полное статистическое описание исходных данных дает совместная плотность вероятности статистик t+ и t . Для ее нахождения воспользуемся результатами, приведенными в работе [74].
Предположим, что отношение сигнал/шум настолько велико, что с вероятностью, близкой к единице, пересечение уровня Н будет происходить в непересекающихся окрестностях (ttmin, t+max) и (t7mjn, t;max) точек t^ и^ив этих окрестностях справедливо линейное приближение при разложении функций s(t) иф) в ряд Тейлора. Тогда одномерные плотности распределения вероятностей времен пересечения уровня Н можно записать следующим образом [74]:
Л-t+Q-iTf\
vW (2c2J
1вЧг+^1Ф fexo/ —
x um\sI+ r— exp <2>
L\ G1 / V 2л [ ai J
•
г mm ^ г ^ г max’
,0, <Cin,^ >Cax-
(5-4)
1 f _ UmVs4O\t7 - too - T/v - ITf 1 x
V*w p lJ
x Г[7 Is4t")l$ (
L\ G1 / V 2л [ Oi J
^i max’^i max’
^i max’
^i max’
^i < ^min’^i ^ ^zmax*
(5.5)
Здесь s'^t^) и s'(toi) — значения крутизны переднего и заднего фронтов нормированного сигнала в соответствующие моменты времени, Ф(ж) = —f ехр{—I2 j^dt — интеграл Лапласа, о^ = V 2л J
= —о2г"(0) — дисперсия производной процесса ц(^), г"(0) — значение второй производной нормированной корреляционной функции r(t) при t = 0. Формулы (5.4) и (5.5) применимы, если вероятности ложного пересечения уровня Н (сверху вниз на интервале (^min, ^max) и снизу
вверх на интервале (^min, ^max)) малы, т-е., если [74]
Лтах
р+ = 1- J Ums'^WoVH-UmS^Wt ^min(5.6)
Рг7 = 1- । UmS'^Q^WolH-UmS^^dti < 1,
где wg(i) = CV v/^mj2) ехр{—t2/(2o2)}. Если при этом выполняются условия [74],
Ф ( Um\s (^оЛА .J U™\8 (^оЛ 1, х
\°1/ Um\s (^0J| V^K[ О1 J
где toi = t^ для переднего и tOi = ^ог — Для заДнег0 фронта сигнала, то формулы (5.4) и (5.5) упрощаются и принимают вид
Здесь о+ = 1/[q|s'(^)I], °- = 1/[9|s,(t0i)|].
Будем полагать, что интервал корреляции т^ процесса ц(£) удовлетворяет условию
^k ^ max(^ min — ^i max’ ^г + 1 min — ^г max) *(5.10)
В этом случае процессы в пределах интервалов (^min?^max) И (^imin ’ ^imax) ’^=0, . . . , П, ПереДНИХ И ЗНДНИХ фрОНТОВ
сигнала, на протяжении которых формируются статистики времен пересечения наблюдаемым процессом уровня Нбудут статистически независимыми. Требование (5.10) не является обременительным и обычно выполняется при выполнении условий (5.6) и (5.7). Применительно к задаче измерения периода синусоидального сигнала оно будет рассмотрено ниже.
Из выражений (5.8), (5.9), с учетом (5.10), получим совместную ПРВ выборочных векторов t+ и t :
Н/1\п+!
№(t+,t-) = nw(^)w(^) = (^^) X
г=0
(5.П)
I • л 2о।. п2о_I
г=0г=0
18 Богданович В.А., Вострецов А.Г.
ПРВ (5.11) дает полное статистическое описание выборочных векторов t+ и t.
Синтез оценок периода Т проведем для двух вариантов, характеризующихся разным уровнем априорной неопределенности относительно неизвестных параметров сигнала и шума.
Вариант 1. Скважность v исходной последовательности известна, модули крутизны переднего и заднего фронтов совпадают, т. е. s^t^ = — з'(^). Отношение сигнал/шум q, значение модуля крутизны фронта, начальная фаза сигнала (момент времени t^0 первого пересечения уровня Н) являются априорно неопределенными. Отметим также, что из равенства модулей крутизны переднего и заднего фронтов следует равенство параметров о+ и о_, которые также являются априорно неопределенными. В этом случае плотность вероятностей (5.11) можно записать следующим образом:
w(t+, f) = С(О) ехр^У! + О2У2 + О3У3}, (5.12)
где
0 = {д1,д2,^з};1>1=^о/с^;1>2 = Т/О2;»3 = -1/(2^+);
yi = Ё (^ + ^7); у2 = Ё К + (»+ i/v)tr];г=0г=0
уз = Ё[(^)2 + т2];
г=0
V, _ / d3\"+1 f(n+l)O? (n + l)(n + l/v)»l»2
V к) ехр X 2»з+2»з+
»2 Гп(п + 1)(2п + 1) (п + 1)(пу + 1)"
4йз6у2 .
Распределение (5.12) принадлежит экспоненциальному семейству с достаточной статистикой Y = {У1, У2, Уз} и параметром 0. При неизвестных t^, Т и о+ параметр 0 принимает значения из области (0, оо) х х (0, оо) х (—оо,0), т. е. содержит трехмерный интервал. Поэтому по теореме 2.4 о полноте статистика Y является полной, и для построения искомой оценки периода можно воспользоваться результатами п. 5.1. Учитывая, что
М(У1) = 2(п + 1)<+М(У1) = 2(п + 1)<+
М(У1) = 2(п + 1)<+
М(У1) = 2(п + 1)<+
значение периода Т можно получить как линейную комбинацию первых моментов этих статистик, т. е.
Т =^2 [м(У2) - ^^МЩ)] ,
(п + l)(n2v2 + 2nv2 + 3) L2v'J
отсюда по теореме 5.1 эффективная оценка периода примет вид
Т1 = ( +1V 2 У, 2 2 ,[^2 -.(5.13)
(n+l)(nv + 2nv + 3) LJ
Выражая Ti через исходные статистики t+ и t , получим
Т1 = / ,1V 2 lV, 9 2 , Е С(2™ - W - 1)^ + (2™ - MV + 1)^ ].
(n + l)(nv + 2nv +3)“^
(5.14) Учитывая, что D^3 = D^ti } = o'/ = 1/[qsz(tgo)]2 (£){•} — символ дисперсии), получим дисперсию оценки (5.14):
•(5Л5)
(^oo)J (n + l)(nv + 2nv + 3)
Из выражения (5.15) видно, что минимальное значение дисперсии оценки имеет место при таком значении порогового уровня Н = = /Р, при котором крутизна фронта сигнала в точке его пересечения максимальна. Например, для синусоидального сигнала Н* = 0.
Вариант 2. Модули крутизны переднего и заднего фронтов совпадают (s^t^) = — s^t^, отсюда о+ = о_), и являются априорно неопределенными. Априорно неопределенными являются также скважность v, начальная фаза (момент времени t^0) сигнала и отношение сигнал/шум q. В этом случае плотность распределения вероятностей (5.11) можно представить следующим образом:
w(t+,t-) = С(0) exp^Tx + il2^2 + 113У3 + 1I4V4},(5.16)
где 0 = {ill, 112,113,114};
„too„ Т
iii = —;1^2 = —;
г=0
х ехрх ехр(п + 1)(^+^)2$з(п + 1)(^+^)2$зП^П 4- l)ll2(lltll4)4^П^П 4- l)ll2(lltll4)4^п(п + 1)(2п + 1)1^2п(п + 1)(2п + 1)1^2
х ехр
х ехр
(п + 1)(^+^)
2$з
(п + 1)(^+^)
2$з
П^П 4- l)ll2(lltll4)4^
П^П 4- l)ll2(lltll4)4^
п(п + 1)(2п + 1)1^2
п(п + 1)(2п + 1)1^2
Распределение (5.16) принадлежит экспоненциальному семейству с достаточной статистикой Y = {Yi, Y^ Y^ Кд} и параметром 0. При неизвестных tjo, Т. v и о+ параметр 0 принимает значения из области (0, оо) х (0, оо) х (—ос, 0) х (0, ос), т. е. содержит четырехмерный интервал. Поэтому по теореме 2.4 о полноте статистика Y является полной. Аналогично предыдущему примеру получим
Т = —Г^М{УД - 7— [М{У1} + М{У4}1,
п(п + 1)(п + 2)1 2i (n + l)(n + 2)L1 111 4Л’
и эффективная оценка периода Т примет вид
Выражая (5.17) через исходные статистики t+ и t-, получим
Т2 = — ^ У U- пШ -VtTY(5.18)
n(n + l)(n + 2) ^ V ! >\ г ' г )V )
Дисперсия оценки (5.18)
= ;^та = ЛМ‘+ ?^Ы ■ (5J9)
СомножительСомножитель+ v2п(п + 2)+ v2п(п + 2)в выражении (5.19) характеризует увев выражении (5.19) характеризует уве
Сомножитель
Сомножитель
+ v2п(п + 2)
+ v2п(п + 2)
в выражении (5.19) характеризует уве
в выражении (5.19) характеризует уве
личение дисперсии D^T2} по сравнению с D^T 1}, обусловленное априорной неопределенностью скважности v исходной последовательности
импульсов. При п —> ос D^T2} —> D^T 1} —> 0.
Пример 5.1. Оценивание периода синусоидального сигнала с неизвестными амплитудой и начальной фазой, наблюдаемого на фоне гауссова шума неизвестной мощности.
Наблюдаемый процесс
ж(<) = Ums^ +T|(i),
где Um — амплитуда сигнала; s^t) = sin I — + ф I — нормированный по амплитуде синусоидальный сигнал; Т — его период; ф — начальная фаза; ц(£) — шум, представляющий собой стационарный дифференцируемый гауссов процесс с дисперсией о2. Необходимо оценить период сигнала Т при условии, что величины Um, ф и о2 заранее не известны.
Производная нормированного сигнала
s'(t) = ^ coss'(t) = ^ cos
s'(t) = ^ cos
s'(t) = ^ cos
максимальна в моменты пересечения им нулевого уровня, поэтому примем Н = 0. При Н = 0
^° ~ 2л ’ lS ^0г)\ — Is (^0г) I —- G+ — G- — 2тш '
8ш(2лДЕ£)2лДЕ£8ш(2лДЕ£)2лДЕ£Исходными данными для синтеза оценки периода являются статистики времен пересечения процессом x(t) нулевого уровня снизу вверх t+ = = {tj,...,f+} и сверху вниз t = У^^ . . . Д”}. Если измеритель периода имеет прямоугольную полосу пропускания шириной AF^ а шум, действующий на его входе — белый, то нормированная корреляционная функция процесса ц(£) имеет вид [74]
8ш(2лДЕ£)2лДЕ£
8ш(2лДЕ£)2лДЕ£
r(t) =
ее вторая производная при t = 0
г"(0) =
дисперсия отсчетов производной процесса ц(£)
Поскольку процесс x(t) симметричен относительно нуля, то естественно принять
^г max ^0г + ^’ ^г min ^0г Т’ ^г max ^0г + ^’ ^г min ^0г где т — некоторое фиксированное значение. Из выражений (5.6) и (5.7) получим
._ /2лдт\ 11 — Ф ( —ЕV Т /2’._ /2лдт\ 11 — Ф ( —ЕV Т /2’ДЕТ дУУкДЕТ дУУкО 2>3g I $2(ДЕТ)2 JО 2>3g I $2(ДЕТ)2 JдУзAFTдУзAFT1.1.
._ /2лдт\ 1
1 — Ф ( —Е
V Т /2’
._ /2лдт\ 1
1 — Ф ( —Е
V Т /2’
ДЕТ дУУк
ДЕТ дУУк
О 2>
3g I $
2(ДЕТ)2 J
О 2>
3g I $
2(ДЕТ)2 J
дУз
AFT
дУз
AFT
1.
1.
дУзAFTдУзAFTЗТ 2лд 7ЗТ 2лд 7> AFTV3.> AFTV3.(5.20)(5.20)
дУзAFT
дУзAFT
ЗТ 2лд 7
ЗТ 2лд 7
> AFTV3.
> AFTV3.
(5.20)
(5.20)
Учитывая, что значение последнего выражения находится в преде
лах между Флах между Фи 1 и что Ф(3) = 0,99865 . . . ~ 1, получаем
лах между Ф
лах между Ф
Подставляя значение т = ЗТ/(2кд) в выражение (5.10), получаем
Для измерителя с прямоугольной полосой пропускания это эквивалент
но условиюно условиюТ (1-6/(кд)) ~ AF° [1 +J •Т (1-6/(кд)) ~ AF° [1 +J •(5.21)(5.21)
но условию
но условию
Т (1-6/(кд)) ~ AF° [1 +J •
Т (1-6/(кд)) ~ AF° [1 +J •
(5.21)
(5.21)
Здесь ДЕо = 1/Т — минимальная ширина полосы пропускания,
обеспечивающая измерение периода Т. При больших отношениях сигнал/шум расширение полосы пропускания AF. требуемое условием (5.21), оказывается несущественным и практически всегда выполняется. При выполнении условий (5.20) и (5.21) для совместной плотности распределения вероятностей справедлива аппроксимация (5.11), и эффективная оценка периода задается выражением (5.14), которое в случае синусоидального сигнала принимает вид
f■ =t «4i - 2" - 4>^ + <4i - 2" + 1>‘-
’(5.22)
Дисперсия оценки (5.22)
1 J Q\2(n + l)(2n+l)(2n + 3)’ ее относительная среднеквадратическая погрешность
== £ /6
Т nq\ (n + l)(2n + 1)(2п + 3) *
Сравним погрешность полученной оценки с реализованными в большинстве измерительных приборов традиционными оценками периода. Наиболее распространенной является оценка, основанная на измерении временного интервала между двумя соседними пересечениями нулевого уровня наблюдаемым процессом снизу вверх [58], т. е. в виде То = = t^ — t"^. Нетрудно показать, что оценка То — несмещенная, и ее дисперсия, как это следует из формулы (5.8), равна
D{T0} = 20^ =2л q
Относительная среднеквадратическая погрешность
__ 1
° Т
Полученное значение совпадает с приводимым в литературе (например, в работе [58]) выражением для погрешности, обусловленной действием шумов. Если оценка производится по п примыкающим друг к другу периодам процесса, ее относительная среднеквадратическая погрешность уменьшается в п раз. Если оценку периода проводить не только по результатам пересечения нулевого уровня передним фронтом сигнала, но и использовать информацию, заключенную в статистике времен пересечения нулевого уровня задним фронтом, т. е. принять То = —^о_Ы^^Ц т0 погрешность уменьшится еще в V2 раз.
Таким образом, можно считать, что для традиционной оценки по
n + 1 пересечениям нулевого уровня снизу вверх и n + 1 пересечениям сверху вниз относительная среднеквадратическая погрешность равна „1„ V(n + l)(2n + l)(2n + 3),
§о = ;;• Она в- раз больше погрешности,
^qn2nV6
полученной в результате синтеза оптимальной оценки (5.22).
Сравнение оптимальной и традиционной оценок можно также провести по необходимой длительности интервалов наблюдений, обеспечивающих одинаковую погрешность. Если объем выборки для оптимальной оценки обозначить 2п + 2 (по суммарной размерности векторов t+ и t-), для традиционной — 2по + 2, то
_ Г лД™ + 1)(2п + 1)(2п + 3)1 1
no — mt < Н - > ,
I2^62 J
где 1п1{ж} означает взятие целой части числа ж. Так, при п = 10, по = = 15, и требуемый объем выборки для формирования традиционной оценки будет в 1,5 раза больше, чем для оценки (5.22).
Оценивание энергетического параметра синусоидального сигнала, наблюдаемого на фоне гауссова шума и постоянной составляющей. Пусть наблюдаемый процесс x(t) представляет собой аддитивную смесь сигнала Um sin (mt + ср), стационарного гауссова шума ц(£) с дисперсией о2 и постоянной составляющей До т- е.
x(t) = Um sin(cot + ф) + n(t) + До,
где Um — амплитуда, со = 2л/; / — частота; ф — начальная фаза сигнала. Постоянная составляющая До характеризует величину постоянного смещения на выходе соответствующего тракта обработки сигналов. В частности, если такой тракт выполнен на базе усилителя постоянного тока (У ПТ), то До — напряжение смещения на выходе У ПТ. Параметр До может быть также использован для описания величины сетевой наводки в случае, когда интервал наблюдения АТ много меньше периода изменения сетевого напряжения, и величину наводки можно считать постоянной в пределах этого интервала. Процессом x(t) могут быть описаны в пределах АТ сигналы на выходе усилителя высокой частоты в радиоприемных устройствах (в этом случае До- величина наводки, / — несущая частота) или на выходе линейной части измерительной аппаратуры (в этом случае До — сумма напряжений сетевой наводки и смещения на выходе У ПТ, / — частота измерительного сигнала).
Образуем из наблюдаемого процесса x(t) выборку х = {жо, . • . ... , xn-i^ у которой Xi = ж(Т), ti = й, — моменты взятия отсчетов, г = 0, . . . , п — 1; т — интервал дискретизации, т = АТ/п. Интервал наблюдения АТ выберем кратным целому числу периодов сигнала, т. е. АТ = k/f (к — целое число). Отсчеты ж*, г = 0, . . . , п — — 1, наблюдаемого процесса полагаем статистически независимыми, частоту сигнала — известной, начальную фазу ф и амплитуду Um
сигнала, дисперсию отсчетов шума о2 и постоянную составляющую До — априорно неопределенными.
Оценке подлежит энергетический параметр U^.
Представим плотность ПРВ вектора х в следующем виде:
w(x) = Cl (О) ехр{й1Т1 + ^2^2 + ^з^з + ^474},(5.23)w(x) = Cl (О) ехр{й1Т1 + ^2^2 + ^з^з + ^474},(5.23)О = {^1, й2,1^3, ^4};О = {^1, й2,1^3, ^4};
w(x) = Cl (О) ехр{й1Т1 + ^2^2 + ^з^з + ^474},(5.23)
w(x) = Cl (О) ехр{й1Т1 + ^2^2 + ^з^з + ^474},(5.23)
О = {^1, й2,1^3, ^4};
О = {^1, й2,1^3, ^4};
Распределение (5.23) принадлежит экспоненциальному семейству с достаточной статистикой Т = {Ti, Т2, Т3, Т4}. При неизвестных Um^ Ф, До, о2 параметр О принимает значения из области (—ос, ос) х х (—00,00) х (—оо,0) х (—00,00), т. е. содержит 4-мерный интервал. Поэтому по теореме 2.4 о полноте статистика Т является полной,
ит = 2/4 „Л(и - ^it0) + (п - 1)«гК@) - nm^(0) + m^(0)], 71 (П — 3)
m2(0) = M(T2) = -^ + ^;lv 7 v 174*316*зm2(0) = M(T2) = -^ + ^;lv 7 v 174*316*зт^ = М(Т2) = -Г + ^;2 7 v 2 74*з16*зт^ = М(Т2) = -Г + ^;2 7 v 2 74*з16*з
m2(0) = M(T2) = -^ + ^;lv 7 v 174*316*з
m2(0) = M(T2) = -^ + ^;lv 7 v 174*316*з
т^ = М(Т2) = -Г + ^;
2 7 v 2 74*з16*з
т^ = М(Т2) = -Г + ^;
2 7 v 2 74*з16*з
тз(0) = М(Т3) =тз(0) = М(Т3) =п п(*1 + *2)72*4 .2*38*34*3 ’п п(*1 + *2)72*4 .2*38*34*3 ’
тз(0) = М(Т3) =
тз(0) = М(Т3) =
п п(*1 + *2)72*4 .
2*38*34*3 ’
п п(*1 + *2)72*4 .
2*38*34*3 ’
т2т2(0) = м(тД = -^ + ^(0) = м(тД = -^ + ^
т2
т2
(0) = м(тД = -^ + ^
(0) = м(тД = -^ + ^
Таким образом, измеряемый параметр U^ имеет структуру, задаваемую выражением (5.2), его единственная эффективная оценка может быть получена на основании теоремы 5.1:
Приведем выражение для дисперсии оценки (5.24):
q2 = U^/o1 — отношение сигнал/шум.
Как видно из выражения (5.25), дисперсия оценки возрастает с ростом отношения сигнал/шум (при фиксированном объеме выборки п), что характерно для случайных величин, имеющих распределение вероятностей типа нецентрального %2 (оценки U^ при соответствующей нормировке имеют нецентральное %2 — распределение). Часто более наглядным показателем качества является не дисперсия оценки, а ее относительное среднеквадратическое отклонение, т. е. величина
(5.26)(5.26)^р№ = 4Ь_
(5.26)
(5.26)
Um nq2 ‘
Выражение (5.26) показывает, что относительное среднеквадратическое отклонение оценки энергетического параметра U^ убывает с ростом отношения сигнал/шум q2 и числа наблюдений п, причем при nq2 ос, имеем 3 У87(п^).
Часто требуется оценить не квадрат амплитуды сигнала U^ (что соответствует измерению мощности сигнала), а амплитуду Um. Параметр Um невозможно представить в виде линейной комбинации моментов полной достаточной статистики, поэтому теорема 5.1 в этом случае неприменима. Однако в качестве приближенно эффективной можно рекомендовать оценку, задаваемую следующим выражением:
UU(5-27)(5-27)
U
U
(5-27)
(5-27)
Покажем, что оценка (5.27) является приближенно эффективной.
Обозначим U^ через 2^ тогда Um = v^ и ПРИ высокой точности измерений (nq >> 1) величина смещения &Um оценки Um определяется приближенным выражением [80],
2 Э?2 Э?2Umb2
2 Э?
2 Э?
2 4п q
относительное смещение — выражением
(5.28)
Оценка (5.27) асимптотически несмещенная, так как при nq2 -Л ос имеем 8СМ ^ — XKnq2) -^ 0. При высокой точности измерений
дисперсию оценки (5.27) можно получить, используя формулу для погрешности косвенных измерений [80]:
т,,)=[^]2о(4^.т,,)=[^]2о(4^.л 2,2 4g Оп qл 2,2 4g Оп q
т,,)=[^]2о(4^.
т,,)=[^]2о(4^.
л 2,2 4g О
п q
л 2,2 4g О
п q
Относительная среднеквадратическая случайная погрешность имеет вид
= (5/29) nq
Сравнивая выражения (5.28) и (5.29), приходим к выводу, что при п^2 —> (X) величина случайной относительной среднеквадратической погрешности рассматриваемой оценки может во много раз превышать величину смещения. Поэтому смещением &ит оценки Uт по сравнению со случайной составляющей погрешности можно пренебречь, считать ее приближенно несмещенной, а также приближенно эффективной на основании свойства оценок, являющихся измеримыми функциями полных достаточных статистик (см. п. 5.1).
Оценивание энергетического параметра шума, наблюдаемого в смеси с синусоидальным сигналом и постоянной составляющей. Исходные данные задачи те же, что и в п. 5.2.2: наблюдаемый процесс х(^ = Um sin(cot + ф) + ц(£) + Ло, где Um sin(cot + ф) — синусоидальный сигнал с амплитудой Umi частотой / и начальной фазой ф, со = = 2л/, Ло — постоянная составляющая, ц(£) — стационарный гауссов процесс с дисперсией о2. Оценке подлежит параметр о2 случайного процесса ц(£). Такая задача возникает, например, при измерении уровня собственных шумов линейных трактов передачи сигналов. Синусоидальный сигнал может быть обусловлен, например, сетевыми наводками с частотой 50 Гц на измерительные цепи, постоянная составляющая Ло — дрейфом нуля усилителя постоянного тока.
Образуем из наблюдаемого процесса х(^ выборку х = {жо, • • • ... ,жп_1}, у которой Xi = x^ti\ ti = й, — моменты отсчетов, г = = 0, . . . , п — 1; т — интервал дискретизации, т = АТ/п. Интервал наблюдения АТ выберем кратным целому числу периодов сигнала, т. е. АТ = k/f (к — целое число). Отсчеты ж^, г = 0, . . . , п — 1, наблюдаемого процесса полагаем статистически независимыми, частоту сигнала — известной, начальную фазу ф и амплитуду Um сигнала, а также постоянную составляющую Ло — априорно неопределенными.
Плотность вероятности выборочного вектора х задается выражением (5.23), которое характеризуется вектором параметров 0 = = {^1,^2,1>3,д4},
ТТ COS (D тт sin® „ „Ф1 — Um 2 5 ^2 — Um 2 5 о < Ф < 2л;
и обладает достаточной статистикой Т = ^Т^Т-^Тз^Т^
п — 1г=0п — 1г=0п — 1
п — 1
г=0
п — 1
г=0
г=0г=0г=0г=0Т"2= У XiCf,г=0
г=0г=0
г=0г=0
г = 0, . . . , П — 1.г = 0, . . . , П — 1.
г = 0, . . . , П — 1.
г = 0, . . . , П — 1.
При неизвестных Um^^ Ло, о2 параметр 0 принимает значения из области (—(X), ос) х (—ос, ос) х (—ос,0) х (—ос, ос), т. е. содержит 4- мерный интервал. Поэтому по теореме 2.4 о полноте статистика Т является полной, а параметр о2 можно представить в виде линейной комбинации моментов достаточных статистик:
2_1/™1/Ах2[m?(@) +mi(0)]m4(0))
° - (n-3)пп
= М^2) = -^ + ^; т» = М(Т^) =+ ^;
4г>з 1613^34t>31619^3
т£(е)=М(Тз) = -^ +т£(е)=М(Тз) = -^ +n(di + ^2) . ^4»8»1+ 4д|n(di + ^2) . ^4»8»1+ 4д|
т£(е)=М(Тз) = -^ +
т£(е)=М(Тз) = -^ +
n(di + ^2) . ^4»
8»1+ 4д|
n(di + ^2) . ^4»
8»1+ 4д|
Таким образом, измеряемый параметр о2 имеет структуру, задаваемую выражением (5.2), его единственная эффективная оценка может быть получена на основании теоремы 5.1:
(5.30)(5.30)
(5.30)
(5.30)
Если известно, что в наблюдаемом процессе постоянная составляющая отсутствует, то формула (5.30) упрощается, и оптимальная, в этих
условиях, оценка дисперсии примет вид
(5.31)(5.31)
(5.31)
(5.31)
Оценивание энергетического параметра сигнала неизвестной формы, наблюдаемого на фоне гауссова шума. Пусть процесс x(t) на выходе линейной части регистрирующей аппаратуры представляет собой аддитивную смесь сигнала неизвестной формы s(t) и стационарного гауссова шума ц(£) с неизвестной дисперсией о2:
x(t) = s(t) + T|(t).
Необходимо по результатам наблюдений за процессом x(t) в течении времени Т оценить энергию сигнала.
На интервале времени Т образуем выборку х = {ж1,...,жп} объемом п из отсчетов ж^ в моменты времени t^ = zAt, At — интервал дискретизации. Совместное распределение вероятностей выборочного вектора х имеет вид
W(X)=(;A) ехР (A Z “ s<)2) •(5-32)
\ 2kg /( 2gJ
Здесь si, . . . , sn — отсчеты сигнальной составляющей, о2 — дисперсия шума. Длительность сигнала т может быть меньше длительности интервала наблюдения Т, в этом случае часть отсчетов сигнала st в начале и в конце интервала наблюдения будет иметь нулевые значения. Энергия сигнала Ес « к У^ s2At, где к — константа, г=1
зависящая от параметров регистрирующей аппаратуры.
При неизвестных дисперсии шума о2 и форме сигнала s(t) ПРВ (5.32) обладает тривиальными достаточными статистиками, число неизвестных параметров распределения на единицу больше числа отсчетов регистрируемой смеси сигнала с шумом, поэтому оценка каких-либо параметров сигнала, в том числе его энергии, по наблюдаемой выборке х будет обладать плохими статистическими свойствами, в частности, в оценке энергии будет присутствовать составляющая энергии шума тем большая, чем больше длительность интервала наблюдения. В случае, когда длительность сигнала много меньше длительности интервала наблюдения, шумовая составляющая в оценке энергии сигнала будет доминировать, и точность оценки окажется неприемлемо низкой. Указанную проблему можно решить, если получить дополнительную информацию либо о сигнале, либо о шуме. Для ее получения воспользуемся методом контраста. Его сущность применительно к рассматриваемой задаче состоит в том, что сначала осуществляется выборка из процесса, в котором заведомо отсутствует сигнал (на
интервале времени Тш формируется “шумовой” выборочный вектор у = ^ут . . . , ЦтУЬ а уже затем регистрируется процесс, в котором возможно присутствие сигнала, и формируется выборочный вектор х. Алгоритм оценки энергии сигнала определяется при совместной обработке информации о векторах х и у.
Совместное распределение вероятностей выборочных векторов х и у имеет вид
(5.33)(5.33)( I х m/2 + n/2( 1171п
(5.33)
(5.33)
exPSr^ Е Vj + Е“ sif
k Ь=!7=1.
Здесь х = {ж1, . . . , жп}, si, . . . , sn, о2 имеют тот же смысл, что и в выражении (5.32), у = ^у^ . . . , ут^ —“шумовая” выборка объемом ш, составленная из отсчетов у^ в моменты времени tj = j&t, j = = 1, . . . , m, взятыми на интервале наблюдения шумовой выборки Тш. Представим распределение вероятностей (5.33) в форме, удобной для синтеза алгоритма оценки:
(5.34)(5.34)
(5.34)
(5.34)
Распределение (5.34) принадлежит экспоненциальному семейству с достаточными статистиками Zq = У^ ?/2 + У^ ж2; Z^ = ж^, г = 1, . . . , п, .7=1г=1
18"
и параметрами йо =2, ^ = "^^ = 1, • • • ,^- При неизвестных
2gо
s^ о2 вектор параметров 0 = {^o,...,^n} принимает значения из области (—ос,0) х (—ос, ос) х ... х (—ос, ос), т. е. содержит (n + 1)- мерный интервал, поэтому по теореме 2.4 статистики Zq и Z^ являются полными. Используя методику п. 5.1, получим эффективную оценку Ес в виде
Ес = k/XtЕс = k/Xt(5.35)(5.35)
Ес = k/Xt
Ес = k/Xt
(5.35)
(5.35)
Из выражения (5.35) нетрудно получить соотношения для вычисления среднеквадратической погрешности оценки Ес:
? - УМ = а (1 +? - УМ = а (1 +5'5'ЕсЕс—) + —,т) nq3—) + —,т) nq3(5.36)(5.36)
? - УМ = а (1 +
? - УМ = а (1 +
5'
5'
Ес
Ес
—) + —,
т) nq3
—) + —,
т) nq3
(5.36)
(5.36)
Ес
где дэ = ^ 2 — “энергетическое” отношение сигнал/шум, равное отношению энергии сигнала на интервале наблюдения смеси сигнала с шумом Т = n&t к средней энергии шума на этом интервале, равной kn&ta2. Выражение (5.36) позволяет определить требуемые объемы выборок т и п и сформулировать требования к отношению сигнал/шум.
Оценивание параметров линейно изменяющегося сигнала, наблюдаемого на фоне гауссова шума. Пусть наблюдаемый процесс представляет собой аддитивную смесь стационарного гауссова шума r|(t) с нулевым средним и дисперсией о2 и линейно изменяющегося сигнала s(t) = at + b:
x(t) = T\(t) + at + 5,
где a — крутизна сигнала; b — постоянная составляющая.
Необходимо оценить крутизну сигнала а и значение постоянной составляющей Ь.
Сформируем из наблюдаемого процесса x(t) выборку х = = {ж1,...,жп}, где $г = x^t^ — отсчеты напряжений, ti = гт — моменты взятия отсчетов, г = 1,...,п; п — объем выборки; т — интервал дискретизации. Отсчеты х^ г = 1,...,п полагаем статистически независимыми, дисперсию шума о2 — априорно неопределенной. Совместная плотность распределения вероятностей вектора х
(
< V n/2С 1 пЛ
—) ехр j -—^ у (Xi - ati - bf У (5.37)
Преобразуем плотность распределения вероятностей (5.37) к виду, удобному для синтеза оценки:
w (ж) = w (Т (ж)) = С (0) exp (^^ + ^Т^ + №) ,(5.38)
где 0 = {^i, $2, $з} — вектор параметров с компонентами
аb
а также Т(Ж) = {Т1,Т2,Т3}, где ппп
Т1 = У^х^ Т2 = ^2x114, T3 = y$i;
г=1г=1г=1
/ 1 \ п/2
С (0) = (— • $1)— нормирующий множитель.
Плотность распределения вероятностей (5.38) принадлежит экспоненциальному семейству, вектор ее параметров 0 при неизвестных
значениях а, 6, о2 принимает значения из области (—ос, 0) х (—ос, ос) х х (—ос, ос), т. е. содержит трехмерный интервал. Поэтому на основании теоремы 2.4 о полноте достаточная статистика Т (ж) является полной.
Поскольку параметры а и b могут быть представлены в виде линейной комбинации моментов полной достаточной статистики Т (ж),
_ 12ш2 (О) — 6т (п + 1) m3 (0)^ _ 2т (2п + 1) т^ (0) — бт^ (0)
т2п (n + 1) (п — 1)’тп(п—1)
где
т^©) = М{Т2} =+++ bm(n + l).
mj(O) = М {Т3} = £1^±1) + пЬ,
на основании методики п. 5.1 эффективная оценка параметров а и b может быть представлена в виде линейной комбинации соответствующих компонентов полной достаточной статистики:
(5.39)(5.40)(5.39)(5.40)12Т2 - 6^71 + 1)73. т2п (п + 1) (п — 1) ’ 2т (2n + 1) Тз — 6Т2
(5.39)
(5.40)
(5.39)
(5.40)
тп (п — 1) '
Выражая статистики Т^ и Тз в (5.39) и (5.40) через компоненты вектора исходных наблюдений х, получаем
6 У^ (2г — п — 1)жг
тп (п + 1) (п — 1)v 7
У^ (2^ + 1 — Зг) Хг
На основании (5.41) и (5.42) нетрудно получить выражения для дисперсий оценок:
2 _122.2 _ 2 (2тг + 1) 2
° тп (п + 1) (п — 1)Ь п (п — 1)
где о2 — дисперсия отсчетов, п — объем выборки, т — шаг дискретизации.
Полученные оценки можно использовать, например, для компенсации дрейфа нуля в усилителях постоянного тока, если на интервале наблюдения его можно представить в виде линейной функции времени: сначала при короткозамкнутом входе усилителя производится оценка параметров дрейфа, затем, в обычном режиме, вырабатывается корректирующая функция, компенсирующая дрейф.
ОСОБЕННОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ АЛГОРИТМОВ В АНАЛОГО-ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
Подавляющее большинство современных систем обработки сигналов строятся как аналого-цифровые. Обусловлено это тем, что современные аналого-цифровые преобразователи (АЦП) и цифровые компьютеры позволяют на их основе реализовывать системы, производительность и точность которых может значительно превосходить аналогичные характеристики аналоговых систем. В связи с этим необходимо учитывать особенности аналого-цифровых систем при построении и реализации алгоритмов обработки сигналов.
Процесс обработки сигналов в аналого-цифровых системах можно условно разбить на три этапа при цифровом и на четыре — при аналоговом выходе системы:
нормализующие аналоговые преобразования сигнала с выхода датчика к виду, пригодному для подачи его на вход аналого-цифрового преобразователя;
аналого-цифровое преобразование регистрируемого процесса, включающее его дискретизацию во времени и квантование по уровню;
цифровая обработка отсчетов сигнала, представленных в цифровом виде и выдача результатов обработки в цифровом виде на выход системы (при цифровом выходе) или на вход цифро-аналогового преобразователя (при аналоговом выходе);
цифро-аналоговое преобразование для систем с аналоговым выходом.
Большая часть алгоритмов обработки сигналов, в том числе и алгоритмов обнаружения, различения и оценивания сигналов, рассмотренные выше в настоящей книге, по терминологии работы [55], синтезируются как “цифровые”, предусматривающие некоторые действия над совокупностью дискретных отсчетов наблюдаемого процесса. Фактически же эти алгоритмы являются дискретно-аналоговыми, так как учитывают только дискретизацию наблюдаемого процесса во времени в ходе его преобразования в АЦП и совершенно не учитывают других особенностей такого преобразования (квантования сигнала по уровню, периодичности частотной характеристики идеального устройства дискретизации и наличии в связи с этим паразитных каналов приема сигналов, “неидеальности” работы АЦП, приводящей к появлению таких эффектов как “дрожание отсчетов” (“джиттер”) — флюктуация величины интервала дискретизации в течение времени наблюдения,
фильтрация высокочастотных составляющих сигнала в результате инерционности устройства выборки и хранения, осуществляющего “взятие отсчета”, дифференциальная и интегральная нелинейность характеристики преобразования АЦП и др.). Некоторые из этих особенностей учитываются не в синтезируемых алгоритмах, а косвенно, путем ввода дополнительных устройств в состав аналого-цифровой системы и преследующих, в основном, цель ослабить нежелательные эффекты. Так, для подавления паразитных каналов приема сигналов, обусловленных периодичностью частотной характеристики устройства дискретизации, в систему перед АЦП вводят фильтр низких частот с высокой избирательностью, подавляющий все каналы приема, кроме основного. Для ослабления эффекта “дрожания” отсчетов используют высокостабильные кварцевые генераторы синхросигналов, стробирующие процесс дискретизации. Для уменьшения погрешности квантования сигнала по уровню применяют многоразрядные АЦП. В целом, при создании аналого-цифровых систем стремятся использовать наиболее совершенные схемотехнические и конструкторские решения, применять наиболее совершенные технологии при их изготовлении.
Тем не менее, все перечисленные эффекты не устраняются полностью, а лишь в той или иной степени ослабляются (дискретность во времени и по уровню являются принципиальным свойством аналогоцифровых систем и не может быть устранена, “дрожание” отсчетов невозможно устранить полностью из-за природы физических процессов, протекающих в устройстве дискретизации и т. д.). При реализации прецизионных алгоритмов (например, для высокоточных измерительных систем) учет этих особенностей принципиально необходим. Поэтому представляется целесообразным учитывать особенности аналого-цифрового преобразования уже при постановке задачи синтеза алгоритмов обработки сигналов, в используемых моделях и осуществлять синтез оптимальных в этих условиях алгоритмов. Это позволит повысить точность, расширить сферу применения существующих и создать высокоэффективные новые аналого-цифровые системы. Однако, несмотря на широчайшее распространение аналого-цифровых систем, общая теория построения алгоритмов обработки сигналов в аналогоцифровых системах на сегодня отсутствует. Более того, имеющиеся публикации посвящены исследованию отдельных аспектов аналогоцифрового преобразования и их учету при синтезе алгоритмов обработки. Практически отсутствуют публикации, в которых бы исследовались границы применимости существующих дискретно-аналоговых алгоритмов при их реализации в аналого-цифровых системах.
Приводимые в настоящем разделе результаты исследований авторов также не решают эту проблему в целом, тем не менее они дают конструктивную математическую модель устройства дискретизации в составе АЦП, показывают, как можно оценить влияние эффекта дрожания отсчетов на эффективность используемых алгоритмов, как
19 Богданович В.А., Вострецов А.Г.
использовать свойства АЦП при синтезе алгоритмов оценивания сигналов для повышения разрешающей способности (и, соответственно, точности) систем по времени и по амплитуде сигнала без увеличения разрядности и повышения частоты дискретизации. Кроме того, приводимые данные дают представление о значимости этой проблемы.
Эффект дрожания отсчетов в устройствах дискретной обработки сигналов
Реальная дискретизация всегда сопровождается так называемым дрожанием отсчетов (джиттером) [41, 59], что снижает эффективность алгоритмов, построенных без его учета. Для ослабления этого эффекта рекомендуют применять высокостабильные задающие генераторы. На практике используют кварцевые генераторы с относительной нестабильностью 10-8-10-11. Однако, как будет показано ниже, даже в этих случаях дрожание отсчетов может оказать значительное влияние на характеристики систем дискретной обработки сигналов. Эта проблема, тем не менее, не получила достаточного освещения в литературе. Из имеющихся публикаций следует упомянуть работы [66, 83]. Работа [83] посвящена влиянию джиттера на корреляционные и спектральные характеристики последовательности отсчетов случайных и детерминированных сигналов, в работе [66] рассмотрено влияние эффекта дрожания отсчетов на характеристики цифровых фильтров.
Ниже приводятся математические модели, описывающие явление джиттера в системах с высокостабильными генераторами синхросигнала, а также процессы на выходе устройства дискретизации при наблюдении аддитивной смеси сигнала с шумом; исследуются характеристики процессов на выходе устройства дискретизации с учетом эффекта дрожания отсчетов.
Модель дрожания отсчетов в системах с высокостабильными генераторами синхросигнала. Введем в рассмотрение обобщенную структурную схему системы дискретной обработки сигналов, рис. 6.1, а. Основными ее элементами являются входной усилитель 1, фильтр 2^ устройство выборки и хранения (УВХ) 5, генератор синхросигнала ^, а также устройство обработки отсчетов сигнала 5. Входной усилитель 1 и фильтр 2 образуют линейную часть системы, предназначенную для обеспечения необходимого динамического диапазона и предотвращения наложения спектров при дискретизации входного сигнала, УВХ и генератор синхросигнала вместе образуют устройство дискретизации.
При разработке модели дрожания отсчетов примем, что УВХ представляет собой идеальный ключ, управляемый генератором синхросигнала 4, и конденсатор, служащий для запоминания уровня сигнала на время, необходимое для аналого-цифрового преобразования, рис. 6.1, б.
Рис. 6.1Рис. 6.1
Рис. 6.1
Рис. 6.1
Сигнал на входе системы обозначим жвх(£), на выходе линейной части системы — x(t)^ значение г-го отсчета на выходе УВХ обозначим р^. Pi = OD^ti)^ ti — момент взятия г-го отсчета. Ключ подключает конденсатор к выходу фильтра 2 при превышении синхросигналом d(t)^ поступающим от генератора, порогового уровня /г. Синхросигнал представляет собой сумму высокостабильного колебания 5(2), вырабатываемого генератором, и стационарного шумау(^), который всегда
Рис. 6.2Рис. 6.2имеет место в цепях синхронизации. Поэтому момент tj пересечения порогового уровня h смесью d(t) = = S(t) + v(Z) смещен, относительно момента ts пересечения этого уровня колебанием 5(2), на некоторую случайную величину ^ = td — ts^ рис. 6.2.
Рис. 6.2
Рис. 6.2
Пусть нестабильность генератора
настолько мала, что ее можно не учи
тывать. Тогда джиттер будет обусловлен только случайной составляющей моментов пересечения синхросигналом уровня /г, возникающей из-
за наличия шума в цепях синхронизации.
11gv|s'(ia)rgv|s'(ia)r(6.1)(6.1)Предположим, что колебание S(t) имеет вид S(t) = Uss(t\ где s(t) — нормированный по амплитуде периодический сигнал, v(t) — дифференцируемый стационарный гауссов процесс с нулевым средним и дисперсией о^: отношение сигнал/шум в цепях синхронизации равно qv = U8l<sN. Тогда, согласно п. 5.2.1, при больших значениях параметра qv, распределение вероятностей случайной величины ^ описывается гауссовым законом с нулевым средним и среднеквадратическим отклонением
1
1
gv|s'(ia)r
gv|s'(ia)r
(6.1)
(6.1)
где s'(ts) — производная нормированного по амплитуде колебания s(t) в момент пересечения им уровня h снизу вверх. В частности, если h = 0, s(t) = sin(cot), где со = ^к/Тд — частота дискретизации, то о^ = 1/[qvco]. Относительное среднеквадратическое смещение момента дискретизации 8^ = c^jTa определяется в этом случае выражением
5^ = 1/[2tiqv], и, при отношении сигнал/шум в цепях синхронизации qv = 40 дБ, составляет величину 0,0016, что значительно (на несколько порядков) превосходит относительную нестабильность частоты кварцевого генератора (10-8-10-11). Таким образом, дрожание отсчетов даже в системах с высокостабильными генераторами синхросигнала представляет собой заметное явление, которое нельзя игнорировать при расчете характеристик эффективности таких систем.
Математическая модель и эквивалентная схема устройства дискретизации. Пусть наблюдаемый на выходе линейной части системы процесс x(t) представляет собой сумму полезного сигнала u(t) и стационарного шума ц(£) с нулевым средним:
x(t) = u(t) + T|(t).
Полезный сигнал u(t) = ити(1Д) может быть квазидетермини- рованным или случайным. В первом случае Um — амплитуда сигнала, u^t^ X) — нормированный по амплитуде сигнал, X = {Xi, . . . , Хм} — вектор параметров сигнала, во втором случае Um — среднеквадратическое значение сигнала, и(1Д) — реализация нормированного по мощности случайного процесса, X = {Xi, . . . , Хм} — вектор параметров процесса. Компоненты вектора параметров X могут быть частично или полностью неизвестными. Смесь x(t) характеризуется отношением сигнал/шум q = Um /ол, где ол — среднеквадратическое отклонение шума.
На выходе устройства дискретизации формируется последовательность из N отсчетов у^ = x^t^Y взятых в моменты времени t^ г = 1, . . . ... ,7V; каждый из них представляет сумму отсчета u(ti) = Umu(ti^ X) полезного сигнала и отсчета r|(f^) шумовой составляющей процесса на выходе линейной части системы. При реализации алгоритмов дискретной обработки сигналов обычно полагают, что отсчеты берутся в моменты времени ^о = ^Т^ (Т^ — шаг дискретизации), в то время как фактически они берутся в моменты ti = ^io + ^ 7 = 1,. . . , 7V, где ^ — случайное смещение г-го отсчета, обусловленное его дрожанием.
Положим, что случайные величины ^, г = 1, . . . , N образуют стационарную последовательность с нулевым средним и малым среднеквадратическим отклонением о^ и что функции u(t) и ц(£) дважды дифференцируемы. Тогда, используя для представления процесса x(t) в окрестности точки ^о ВВИДУ малости о^ три первых члена разложения в ряд Тейлора, можно записать для г-го отсчета на выходе устройства дискретизации выражение
Ui = «(A) = Wio + 5») + n(*io + ^i)
u(t,o) + n(*io) + 2u(t,o) + n(*io) + 2d2u(t,o)d2T|(t»o)dt2 dt2d2u(t,o)d2T|(t»o)dt2 dt2
u(t,o) + n(*io) + 2
u(t,o) + n(*io) + 2
d2u(t,o)d2T|(t»o)
dt2 dt2
d2u(t,o)d2T|(t»o)
dt2 dt2
^"^Y (6.2)^"^Y (6.2)Г5и(^о) ^n(*io)l е 1 [S2u(t;o) S2ti(^o)
^"^Y (6.2)
^"^Y (6.2)
L at + st P 2 at2 at2
В правой части выражения (6.2) первые три слагаемых описывают частотные искажения входного колебания, обусловленные дрожанием отсчетов, остальные два слагаемых — появление добавочного шума.
Частотные искажения входного процесса х^1\ возникающие из-за дрожания отсчетов, как видно из выражения (6.2), эквивалентны воздействию на него фильтра с комплексной частотной характеристикой
К(;И = 1 - 5ю2 °2,
где со = 2л/ — круговая частота; о| = ^ — дисперсия отсчетов случайной последовательности ^, постоянная в силу ее стационарности. Последнее справедливо, если шум v(t) является стационарным, а синхросигнал — строго периодическим. Добавочный шум в отсчетах процесса представлен случайными величинами:
_ Г^п(^о)^л(^го)1 .1
Э2м(^о)dji(tio)St2 St2Э2м(^о)dji(tio)St2 St2Г duetto)L atГ duetto)L at+ ^Ф<. (6.3)+ ^Ф<. (6.3)_ L at + at Pj + 2
Э2м(^о)dji(tio)
St2 St2
Э2м(^о)dji(tio)
St2 St2
Г duetto)
L at
Г duetto)
L at
+ ^Ф<. (6.3)
+ ^Ф<. (6.3)
Очевидно, величины ^ и $j при i ^ j являются некоррелированными как между собой, так и с отсчетами шума v\(tiY В отсутствие полезного сигнала величины ^ г = 1,... , N имеют одинаковое значение дисперсии о^ to Gv°^ (чеРез G^' обозначена дисперсия производной T\f(t) процесса ц(£)). Поэтому их можно рассматривать как отсчеты стационарного шума, имеющего в полосе частот шириной /XF = = 1/(27^) постоянную спектральную плотность мощности,
2
^ = £> = ^Td- <6Л)
Для случая, когда линейная часть системы имеет П-образную амплитудно-частотную характеристику с граничными частотами Fh и Fb- после подстановки в соотношение (6.4) дисперсии о^, выраженной через параметры входного шума ц(£) и джиттера ^, получим
FB
N^^lTd f2N^f)df,(6.5)
FH
где М//) — спектральная плотность мощности входного шума.
Появление детерминированного сигнала увеличивает дисперсию добавочного шума, обусловленного дрожанием отсчетов, на величину qF = (^^2FL\ q2, и общая дисперсия г-го отсчета (г = 1, .. . , N)
становится равной
FHFH
FH
FH
Как следует из выражения (6.6), наличие детерминированного сигнала на входе приводит к появлению на выходе дополнительной нестационарной составляющей шума, дисперсия которой зависит от производной сигнала в момент взятия отсчетов.
При дважды дифференцируемом стационарном случайном процессе u(t) общая дисперсия г-го отсчета определяется выражением
fb
(6-7)(6-7)< = 4kV J Р [N^f) + N4O df,
(6-7)
(6-7)
F н
где Nu(f) — спектральная плотность мощности сигнала на выходе линейной части системы.
Рис. 6.3Рис. 6.3
Рис. 6.3
Рис. 6.3
Исходя из вышесказанного, на рис. 6.3 представлена эквивалентная схема устройства дискретизации, учитывающая эффект джиттера.
Отношение сигнал/шум на выходе устройства дискретизации. Для характеристики отсчетов наблюдаемого процесса будем использовать отношение сигнал/шум, q^ = ^J <3^2^ где при случайном
FB
входном сигнале о|.с = j Nu(f) |^(j'2ti/)|2 df — дисперсия последова- FH
тельности отсчетов сигнальной составляющей процесса uft) на выходе устройства дискретизации (N^f) — спектральная плотность мощности сигнала на выходе линейной части системы, множитель |/C(j2ti/)|2 учитывает эффект подавления его высокочастотных составляющих
FB
вследствие дрожания отсчетов); о|.ш = j N^f) \K(j2nf)\2 df + о2 — F н
дисперсия последовательности отсчетов шумовой составляющей процесса на выходе устройства дискретизации. При детерминированном периодическом сигнале о|.с представляет собой среднюю мощность сигнала, a Nu(f) — его спектральную плотность мощности, состоящую из взвешенных 5-функций, соответствующих гармоническим составляющим. Учитывая, что K(j2uf) = 1 — |(2ti/)2o^, и пренебрегая величинами второго порядка малости, получаем:
FBfB
| N^ndf-^ot | fNu(f)df
FHFH
j N.(ndf + 4KX j fNJJ)df
FHFH
FB/ /FB\
q2-^ j fN^df / j N^f)df\
FH'\^H/ FBI (FB\ ’
+ 4л2а2 | fN^df / j N^pdf \
где q2 — отношение сигнал/шум на выходе линейной части системы. Видно, что с ростом дисперсии джиттера о2 отношение сигнал/шум на выходе устройства дискретизации уменьшается.
Рассмотрим ситуацию, когда и полезный сигнал, и сигнал в цепях синхронизации являются синусоидальными. Можно показать, что в этом случае
_ Q2 (1 - Tdp/qP
।*2 гтп *2 р2 / 2\
(1 + q Tdf0/qv)
где /о — частота синхросигнала.
Представляет интерес анализ поведения результирующего отношения сигнал/шум при различных соотношениях q2 и q^. Видно, что при малом джиттере (q2 —> ос) результирующее отношение сигнал/шум 2
стремится к величине qv = 2—2-2—2- При этом различают-
+ q Tdf0/qv
ся два частных случая. При относительно слабом входном сигнале (q ^) результирующее отношение сигнал/шум определяется
V IdjoJ
входным отношением q^ —> q2 • При большом отношении сигнал/шум на входе \q^), что имеет место, например, при проведении
высокоточных измерений, результирующее отношение сигнал/шум полностью определяется отношением сигнал/шум в цепях синхрони- 2
зации и стремится к величине q^ =^ 2 • Кроме того, отношение
Td fo
сигнал/шум на выходе устройства дискретизации падает с ростом частоты сигнала вследствие подавления джиттером высокочастотных составляющих наблюдаемого процесса.
Оценивание периода сигнала с помощью аналого-цифровых систем
Техническая реализация оптимального высокоточного измерителя периода сигнала на основе алгоритма и. 5.2.1 в аналого-цифровых системах методами, используемыми в цифровых измерителях периода и основанными на подсчете числа тактовых импульсов в течении одного или нескольких периодов, представляет собой достаточно сложную задачу, так как при этом требуется высокая частота дискретизации наблюдаемого процесса. Однако данный алгоритм можно реализовать, используя относительно низкую частоту дискретизации, если наблюдаемый процесс между соседними отсчетами аппроксимировать линейной функцией времени. Такая аппроксимация оказывается достаточной для большинства практических приложений.
Синтез оценок периода сигнала. Пусть наблюдаемый процесс x(t) представляет собой аддитивную смесь периодического сигнала Ums(t) и дифференцируемого гауссова шума ц(£):
«(О = ums(t) +T|(t),
где Um — амплитуда сигнала, s(t) — нормированный по амплитуде сигнал, ц(£) — дифференцируемый гауссов шум с дисперсией о2 и нормированной корреляционной функцией r(t\ Соотношение энергетических параметров сигнала и шума будем характеризовать отношением сигнал/шум, q = Um)<3. Пусть Т — период сигнала, ти = = T/v — длительности импульсов сигнала, определяемые как интервалы времени между соседними пересечениями некоторого наперед заданного уровня Н передними и задними фронтами сигнала, v — скважность сигнала. Пусть сигнал s(t) пересекает уровень Н снизу вверх в моменты времени t^ а сверху вниз — в моменты времени IT. В и. 5.2.1 с использованием статистик t+ = ^t^ , . . . , ^} и t = {t^, . . . ... , t ~} синтезированы эффективные оценки периода. Рассмотрим способ получения таких статистик в аналого-цифровых системах с использованием линейной интерполяции наблюдаемого процесса между двумя соседними отсчетами, один из которых находится ниже, а другой — выше уровня Н.
Исходные данные о процессе х(1) в аналого-цифровых системах представляются отсчетами напряжения, взятыми с шагом дискретизации т. Выделим пары соседних отсчетов входного процесса х^1\ между которыми он пересекает уровень Н. Пусть суммарное число пересечений снизу вверх и сверху вниз в пределах интервала наблюдения АТ равно 2п. Обозначим через {ж^ , ж^+}, {ж7+, я"}, г = 0, . . . , п, пары, составленные из отсчетов при пересечении процессом ж(^) уровня Нсоответственно, снизу вверх и сверху вниз (рис. 6.4).
Предположим, что шаг дискретизации т настолько мал, что входной
быть с высокой точностью аппроксимирован линейной функцией. Тогда для моментов времени ^, 17 г = 0, . . . , п, когда происходит пересечение уровня Н. соответственно, снизу вверх и сверху вниз, справедливо следующее представление:
tt = t (Tit +-1^-+7\ , i=0,...,n;(6.8)
17 = т ( п7 +г = 0, ...,п,(6.9)
®\ г Ж; + - Ж; /V
где п^ — число отсчетов процесса х(1) от начала наблюдения до отсчета х^ ’ п7 — число отсчетов процесса х(1) от начала наблюдения до отсчета ж^+.
Из величин 1^17 задаваемых формулами (6.8) и (6.9), сформируем векторы t+ = ЦЦ • • • ^п) и t" = Цу,..., ^}.
Используя полученные таким образом значения выборочных векторов t+, t и результаты п. 5.2.1, получаем оценку периода для случая, когда априорно неопределенными являются модули крутизны переднего и заднего фронтов (кроме того, они полагаются равными), временное положение сигнала и отношение сигнал/шум при известной
(оценка Ti) и неизвестной (оценка Т^ скважностях сигнала:
3vt
(п + l)(n2v2 + 2nv2 + 3)
(6.10)(6.10)Т.Т.+ (2zv — nv + 1)+ (2zv — nv + 1)(6.11)(6.11)х у/ (2zv — nv — 1) f n^ +z=0 L\
(6.10)
(6.10)
Т.
Т.
+ (2zv — nv + 1)
+ (2zv — nv + 1)
(6.11)
(6.11)
Анализ погрешностей оценок). При анализе погрешностей оценок будем учитывать, что на них влияют следующие факторы:
аддитивный гауссов шум ц(^), присутствующий на входе измерителя вместе с сигналом;
случайное смещение моментов взятия отсчетов при дискретизации (джиттер);
шум квантования с шагом а, имеющий дисперсию а2/12 [59].
Наличие этих факторов приводит к тому, что величины х^ , х^, х^^ и х^-входящие в выражения (6.10) и (6.11), содержат случайные составляющие, которые необходимо учитывать при анализе погрешностей оценок. Для удобства введем обозначения
- Н^7 =- Н^7 =- Ж;- Ж;
- Н
^7 =
- Н
^7 =
- Ж;
- Ж;
Полагаем, что дисперсии указанных случайных величин достаточно малы, так что можно воспользоваться формулой случайной погрешности косвенных измерений.
Запишем дисперсию случайной величины А/" в виде
где R — коэффициент корреляции случайных величин ж++ и х7 .
Аналогичный вид имеет дисперсия величины Д7. Точный анализ дисперсии погрешностей затруднен ввиду неопределенности временного положения сигнала, поэтому рассмотрим наихудшую ситуацию, когда вследствие случайных отклонений величин х^ и х^ от Н дисперсии величин Д+ и Д7 максимальны. Принимая
.2.22^2^2_ 2
.2
.2
О +- ~ о -+ ~ О — — О
для всех г, и учитывая, что
2«Мг2,
12|s|2t2 ж12|s|2t2 ж(6-12)(6-12)где |s'| — модуль крутизны сигнала в момент пересечения им уровня Нможно показать, что максимальное значение дисперсии величин Д+ и Д7 равно
12
|s|2t2 ж
12
|s|2t2 ж
(6-12)
(6-12)
Дисперсии отсчетов х^ х^ xi + и xi с учетом входного шума, влияния джиттера и шума квантования равны
оо22< <5^ + о2< <5^ + о2FB1 + 4тг2 j f2N^f)df.FH.FB1 + 4тг2 j f2N^f)df.FH.
о
о
2
2
< <5^ + о2
< <5^ + о2
FB
1 + 4тг2 j f2N^f)df
.FH.
FB
1 + 4тг2 j f2N^f)df
.FH.
где о2 — дисперсия случайных колебаний момента взятия отсчетов (дисперсия джиттера), о2^ — дисперсия входного шума, подвергнутого вследствие влияния джиттера частотной фильтрации эквивалентным фильтром с комплексной частотной характеристикой (см. и. 6.1),
К(/) = 1-2л2А72.(6.13)
Введем в рассмотрение случайные величины
1 (п + l)(n2v2 + 2nv2 + 3)
х 52 [(^v — tiv — l)v^ + (2^v — nv + 1)\|/^]; z=0
v 6t v' ГЛ nA ( w (2hl
6v2х
(п + l)(n2v2 + 2nv2 + 3)
ТТ(6.14)(6.14)
Т
Т
(6.14)
(6.14)
(6.15)
Дальнейший анализ проведем для двух конкретных примеров.
Пример 6.1. Оценивание периода синусоидального сигнала. Рассмотрим задачу оценивания периода Т синусоидального сигнала Ums(t) = Um sin[(27i/T)t], наблюдаемого на фоне гауссова шума ц(£), сформированного из белого шума фильтром с прямоугольной амплитудно-частотной характеристикой и граничными частотами FH = 0 и Fb = 1/Т. Производная синусоидального сигнала максимальна в моменты пересечения им нулевого уровня, поэтому порог Н принимается равным 0, а скважность v = 2.
Под воздействием джиттера происходит частичное подавление сигнала эквивалентным фильтром (6.13), в результате крутизна сигнала в момент пересечения им уровня Н становится равной
(6.16)(6.16)з'=^ (1-2л24Т \ т
(6.16)
(6.16)
а дисперсия шума
<• = ^Гв(1-^Р1 + ^Г4ву (6.17)
Максимальные дисперсии оценок Т^ и Т ^ можно рассчитать по формулам (6.14) и (6.15) с учетом (6.16) и (6.17).
На рис. 6.5 приведены зависимости относительных среднеквадратических погрешностей 31 = о_ /Т и З2 = о_ /Т (кривые 1 и 2
Т1т2 __
соответственно), характеризующих точность оценок Ti и Т2, от числа пересечений п, полученные на основании формул (6.14)-(6.17). При отношении сигнал/шум, q = 100, графики заметно различаются лишь для небольших п, при q = 10 они практически сливаются (кривая 3).
Представляет интерес вопрос о влиянии джиттера на точность оценок. Чтобы проиллюстрировать это влияние, введем в рассмотрение величину Ао_/о_ = (о_ — о_ MQ^ 1 гДе — величина среднеквад- Т То Т То То Т
ратического отклонения оценки Тi или Т2 при наличии джиттера, а — в его отсутствие. На рис. 6.6 приведена зависимость величины
То
Ао_/о_ , выраженной в процентах, от относительного среднеквад-
Т То
ратического отклонения джиттера Gj/Т (эта зависимость для обеих оценок практически одинакова).
Видно, что при относительном среднеквадратическом отклонении джиттера порядка 0,0015, вполне реальном для аналого-цифровых систем, учет этого явления приводит к возрастанию относительной погрешности оценок примерно на 40%.
Пример 6.2. Оценивание периода последовательности прямоугольных импульсов.
Рассмотрим задачу оценивания периода Т последовательности прямоугольных импульсов длительности ти, спектр которой ограничен входным фильтром нижних частот с прямоугольной амплитудно-
частотной характеристикой и граничными частотами Fh = 0 и Fb = = ^оДи- Предполагается, что процесс гД) сформирован из белого шума этим же фильтром, а уровень Н равен половине амплитуды импульсов.
Воздействие эквивалентного фильтра (6.13) на сигнал и шум приводит к тому, что крутизна фронта сигнала в момент пересечения уровня Н становится равной
а дисперсия шумаа дисперсия шума2 _2 _‘ZUnoТи‘ZUnoТи1 °з 2 21 - Ч ( оЛ По -Ти1 °з 2 21 - Ч ( оЛ По -ТиN^npТиN^npТил2.4422 ^0444 П01 — -71 О + -Л <5а^37 ти5тил2.4422 ^0444 П01 — -71 О + -Л <5а^37 ти5ти(6.18)(6.19)(6.18)(6.19)
а дисперсия шума
а дисперсия шума
2 _
2 _
‘ZUno
Ти
‘ZUno
Ти
1 °з 2 2
1 - Ч ( оЛ По -
Ти
1 °з 2 2
1 - Ч ( оЛ По -
Ти
N^np
Ти
N^np
Ти
л2.4
422 ^0444 П0
1 — -71 О + -Л <5а^
37 ти5ти
л2.4
422 ^0444 П0
1 — -71 О + -Л <5а^
37 ти5ти
(6.18)
(6.19)
(6.18)
(6.19)
Используя эти выражения, легко рассчитать максимальные дисперсии оценок Ti и Т2 по формулам (6.14) и (6.15).
На рис. 6.7 приведены кривые относительных среднеквадратических погрешностей 31 = /Т и З2 = /Т (кривые 1 и 2 14т2
соответственно), аналогичные кривым 1 и 2 на рис. 6.6, полученные на основании формул (6.14), (6.15), (6.18), (6.19). Как и в случае
синусоидального сигнала, кривые различаются лишь для небольших п при q = 100, при q = 10 они сливаются (кривая 3).
На рис. 6.8 приведена зависимость величины Ао_/о_ , выражен- Т То
ной в процентах, от относительного среднеквадратического отклонения джиттера <5j /Т. Сравнение рис. 6.6 и рис. 6.8 показывает, что точность оценивания периода прямоугольной последовательности сильнее подвержена влиянию джиттера по сравнению с синусоидальным сигналом. Так, увеличение среднеквадратической погрешности оценки на 40% происходит уже при относительном среднеквадратическом отклонении джиттера порядка 0,0007.
Квантование сигнала с шагом а не оказывает заметного влияния на качество оценок при отношениях ajUm ~ 0,01 и менее. На рис. 6.9 приведены кривые, иллюстрирующие сказанное. Кривая 1 повторяет кривую, приведенную на рис. 6.6, рассчитанную без учета квантования. Кривая 2 соответствует отношению шага квантования к амплитуде синусоидального сигнала a(Um = 0,01, а кривая 3 — отношению a/Um = 0,1.
Видно, что с увеличением шага квантования от 0,011/т до 0Дит происходит резкое относительное снижение влияния джиттера на точность оценок. При этом относительные погрешности оценок 31 = о_ )Т и §2 = <^_ /Т возрастают более чем в 2,5 раза из-за превалирующего т2
влияния шума квантования. На рис. 6.10 показана зависимость относительной среднеквадратической погрешности оценки Ti от количества пересечений п для четырех случаев: кривая 1 получена без учета эффектов дрожания отсчетов и квантования, кривая 2 — с учетом
джиттера при относительном среднеквадратическом отклонении gj /Т порядка 0,0015, кривая 3 — с учетом квантования при ajUm = 0,1, но без учета джиттера, и кривая Д — с учетом джиттера и шума квантования.
Оценивание сигнала по бинарно квантованной выборке
Для повышения точности измерений в современных аналого-цифровых системах широко применяется метод, основанный на добавлении к сигналу гауссова широкополосного шума [115]. Такие системы получили название систем с добавочным шумом (systems with dither). Дискретизация смеси сигнала и широкополосного гауссова шума с частотой, при которой на интервале наблюдения Т оцениваемый сигнал изменяется незначительно, а отсчеты отражают динамику дискретизации шумового процесса, дает возможность значительно увеличить точность оценки сигнала при применении соответствующей обработки отсчетов. С быстрым ростом производительности и степени интеграции современных вычислительных средств расширяются возможности обработки результатов квантования сигналов в системах с добавочным широкополосным шумом. Ниже приводится синтез и анализ алгоритма обработки отсчетов сигналов в системе с добавочным шумом и бинарным квантованием исходных данных (одноразрядный АЦП).
Пусть Uо — оцениваемый сигнал, постоянный на интервале наблюдения Т, х Ц) — гауссов 3-коррелированный процесс с нулевым средним и дисперсией о ..
В течение интервала наблюдения Т, в моменты времени гт = -,
п Л г = 1,. . . , п, возьмем п бинарно квантованных отсчетов процесса х Ц), полученных по следующему правилу:
g^ (ii)] =g^ (ii)] =1, если ж (^) < 1/0, г =^ ^
g^ (ii)] =
g^ (ii)] =
0, если ж (tj) ^ Uq, г = 1,..., п.
Введем обозначение
где П1 — число единиц, выпавших в п испытаниях. Очевидно, что при п -А ос, отношение п^/п приближается к значению вероятности Р (ж < Ро), которая для нормально распределенной случайной величины с нулевым средним определяется как
Р(ж<Р0) =Р(ж<Р0) =dt — интеграл Лапласа.dt — интеграл Лапласа.1—= ехр1—= ехрt2 1У Jt2 1У J
Р(ж<Р0) =
Р(ж<Р0) =
dt — интеграл Лапласа.
dt — интеграл Лапласа.
1
—= ехр
1
—= ехр
t2 1
У J
t2 1
У J
Отсюда п^ / п и F (Uo/а), а оценку сигнала Ро можно представить
(6.21)(6.21)в следующем виде:
(6.21)
(6.21)
где Р-1( •) — функция, обратная к Р( •).
Получим дисперсию оценки (6.21). Полагая оценку высокоточной, воспользуемся методами приближенного вычисления погрешности для косвенных измерений [80]. Обозначим р^ = ni/n, тогда, с учетом того, что
2 _ А _ Г (Uo/^ (1 - Г (1/оЯ)
" п2 "п’
имеем дисперсию оценки сигнала:имеем дисперсию оценки сигнала:
имеем дисперсию оценки сигнала:
имеем дисперсию оценки сигнала:
Относительная среднеквадратическая погрешность оценки сигнала Ро имеет вид
8 == -^ exp 1- УРоЩАгО, (6-22)
Do qy/n I J
где q = Uq/q — отношение сигнал/шум.
20 Богданович В.А., Вострецов А.Г.
На рис. 6.11 показаны зависимости относительной среднеквадратической погрешности 3 оценки сигнала Uq от отношения сигнал/шум 7, полученные аналитически по формуле (6.22) (пунктирная линия)
и методом имитационного моделирования (сплошная линия). В ходе моделирования определялось относительное среднеквадратическое отклонение оценки сигнала от истинного значения. При этом для каждого значения отношения сигнал/шум, менявшегося с шагом 0,1, проводилось 500 экспериментов для выборки объемом п = 1000.
Рассмотрим зависимость объема бинарно-квантованной выборки, необходимой для оценки сигнала с заданной относительной среднеквадратической погрешностью от отношения сигнал/шум. Из выражения (6.22) следует, что
9 Г 2 1
п = ^2 ехР 1 У f^ (у) (! - ^ (?)) •q 8 I 2 J
На рис. 6.12 приведен пример такой зависимости для 3 = 0,001.
Очевидно, что при использовании алгоритма оценки сигнала (6.21) наилучшим является диапазон оцениваемого сигнала, расположенный в пределах 1,2 < q < 2,1.
В том случае, если дисперсия шума является априорно неопределенной, для ее преодоления можно в алгоритме оценивания сигнала заменить дисперсию шума ее оценкой.
Пусть 1/ref — некоторый постоянный, заранее известный ненулевой порог. Возьмем т бинарно квантованных отсчетов процесса х (t^ полученных по правилу
(6.23)(6.23)Г /, м I 1, если ж (£;) < [/REF г = 1, г?[ж (ti)\ = <
(6.23)
(6.23)
( 0, если ж (tj) ^ t/REF г = 1,..., т.
Обозначим
v = — V v (ж (ti)) = —mi,m хт
г=1
где mi — число единиц, выпавших в т испытаниях. Аналогично оценке сигнала (6.21) получим выражение для среднеквадратического отклонения:
где ri = m^jm.
Подставив значение (6.24) в выражение (6.21), получим
и0 = / (и, Р1) =.(6.25)
F (п)
Для определения дисперсии оценки (6.25), учитывающей ее случайный характер, воспользуемся методом оценки точности косвенных измерений [80]. В результате получим
С учетом того, что
2 Gmi F ((/ref/o) (1 — F ((/ref/o))= 9" =
20*
имеем дисперсию оценки (6.25):
°т = ^ГТуД ехР {?ref) F (9ref) (1 - F (qref)) + (VrEF
+ exP {92} F (9) (1 - F ,
где q = Fo/o; Qref = Fref/g.
Таким образом, введение добавочного шума в аналого-цифровую систему с одноразрядным АЦП, при соответствующей обработке отсчетов, позволяет реализовать практически любую точность измерения постоянного напряжения. Данная задача показывает, как учитываются свойства квантования сигналов по уровню при разработке алгоритмов оценивания сигналов в одноразрядных системах. При разработке алгоритмов для многоразрядных систем синтез оценок можно провести, используя результаты теории оценивания по группированным данным [43].
Рассмотренные в монографии методы синтеза алгоритмов обнаружения, различения и оценивания сигналов позволяют получить оптимальные в условиях конкретного вида априорной неопределенности алгоритмы.
При ограниченных объемах выборки и параметрической априорной неопределенности хороший эффект дают подходы, основанные на принципах несмещенности и инвариантности, на их совместном использовании, а также на совместном использовании принципа инвариантности и байесовского метода, описанные в гл. 2. Однако эти подходы требуют, чтобы распределения или наблюдаемой выборки, или достаточных статистик, или максимальных инвариантов обладали теми или иными свойствами (полноты, симметрии относительно некоторой группы преобразований, описывающей априорную неопределенность в исходных данных, монотонности отношения правдоподобия). В некоторых случаях желаемыми свойствами могут обладать аппроксимирующие распределения, что позволяет синтезировать приближенно оптимальные алгоритмы. Синтезированные с использованием этих подходов алгоритмы обеспечивают стабильные характеристики, в отсутствие полезного сигнала (вероятность ложной тревоги), и оптимальные характеристики, при его наличии (максимизируется вероятность правильного обнаружения сигнала, стабилизируется вероятность перепутывания сигналов), при любых изменениях параметров, описывающих сигнально-помеховую обстановку.
При больших объемах выборки и симметрии распределения вероятностей наблюдаемой выборки относительно подходящей группы преобразований хороший эффект дает предложенный в гл. 3 метод синтеза асимптотически оптимальных инвариантных алгоритмов обнаружения и различения сигналов, основанный на использовании Li- подхода и применения принципа инвариантности совместно с байесовским методом. Синтезированные по этому методу АОИ-алгоритмы имеют высокую эффективность и стабильные показатели качества при неопределенных параметрах сигналов и помех. Благодаря разработанному методу существенно расширяется область применения весьма эффективного принципа инвариантности при решении различных радиотехнических задач.
В гл. 4 на базе теоретических результатов гл. 3 разработан, с применением принципов минимакса, инвариантности и байесовского подхода, метод синтеза асимптотически робастных инвариантных алгоритмов
обнаружения и различения сигналов. Этот метод наряду с априорной неопределенностью сигналов и помех учитывает также непараметрическую априорную неопределенность шума. В отличие от известных методов синтеза асимптотически робастных алгоритмов данный метод применим при более высокой степени априорной неопределенности сигнально-помеховой обстановки.
Рассмотренные в гл. 5 методы оценивания основаны на применении аппарата построения эффективных оценок параметров распределений с использованием теоремы Лемана-Шеффе. Методы применимы для точечного оценивания параметров сигналов, наблюдаемых в условиях действия шумов и помех при априорной неопределенности сигнально-помеховой обстановки и обеспечивают минимальную погрешность оценки при любых изменениях параметров сигнала и помех.
В гл. 6 рассмотрены проблемы реализации алгоритмов обработки сигналов с помощью аналого-цифровых систем. Полученная математическая модель реального устройства дискретизации позволяет учесть эффект “дрожания” отсчетов при расчете характеристик алгоритмов. На примерах синтеза оценок периода сигнала и уровня постоянного напряжения с помощью аналого-цифровых систем показано, что при синтезе оптимальных (особенно прецизионных) алгоритмов необходимо учитывать особенности получения и представления информации в таких системах.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Антипин Б.М., Богданович В.А. Инвариантный к масштабу робастный обнаружитель сигналов // Радиотехника и электроника. 1993. Т. 38. Я2 4. С. 689-693.
Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб, для вузов по спец. “Радиотехника”. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш, шк., 1988. — 448 с.
Бернштейн А.В. Проверка сложных статистических гипотез по выборкам большого объема // Известия вузов. — Математика. 1983. Я2 11. С. 3-18.
Богданович В.А. Бинарные накопления импульсов при неизвестной мощности шума // Радиотехника и электроника. 1969. Т. 14. Я2 10. С. 18931895.
Богданович В.А. Регулярный способ построения максимального инварианта в задачах проверки сложных гипотез // Радиотехника и электроника. 1972. Т. 17, Я2 4. С. 873-876.
Богданович В.А. Способ построения подобных правил обнаружения сигналов при априорной неопределенности // Радиотехника и электроника. 1973. Т. 18, Я2 4. С. 763-770.
Богданович В.А. Многоальтернативные несмещенные правила обнаружения сигналов // Радиотехника и электроника. 1973. Т. 18, Я2 11. С. 22942301.
Богданович В.А. Способ построения инвариантных статистик // Проблемы передачи информации, 1975. Т. 11, Я2 1. С. 114-116.
Богданович В.А. Обнаружение и различение сигналов с априорно неопределенными параметрами // Радиотехника. 1988, Я2 6. С. 44-50.
Богданович В.А. Робастное инвариантное обнаружение и различение сигналов // Радиотехника и электроника. 1990. Т. 35, Я2 2. С. 1021-1028.
Богданович В.А. Асимптотические инвариантные алгоритмы приема сигналов в условиях априорной неопределенности. // Радиотехника и электроника. 1990. Т. 35, Я2 9. С. 1877-1886.
Богданович В.А. Асимптотические инвариантные алгоритмы обнаружения и различения сигналов. // Электросвязь, 1992. Я2 10. С. 9-12.
Богданович В.А. Робастные алгоритмы обнаружения сигналов со случайными параметрами // Радиотехника и электроника. 1995. Т. 40, Я2 5. С. 790-797.
Богданович В.А. Адаптивный робастный алгоритм различения сигналов // Радиотехника и электроника. 2001. Т. 46, Я2 2. С. 201-207.
Богданович В. А., Вострецов А.Г. Обнаружение сигнала на фоне пространственно-рассредоточенной помехи // Радиотехника. 1984. Я2 4. С. 50-53.
Богданович В. А., Елистратов А.О. Робастное обнаружение сигналов в шумах с несимметричным распределением // Радиотехника и электроника. 1996. Т. 41, Я2 4. С. 456-460.
Богданович В.А. Робастное инвариантное обнаружение сигналов // Радиотехника. 1997. Я9 1. С. 64-70.
Богданович В.А., Шевченко М.Е. Асимптотические алгоритмы обнаружения радиосигналов // Радиотехника и электроника. 1997. Т. 42, № 5. С. 591-595.
Богданович В. А., Шевченко М.Е. Асимптотические алгоритмы демодуляции с мягкими решениями // Радиотехника и электроника. 1997. Т. 42, № 7. С. 812-817.
Богданович В. А., Шевченко М.Е. Асимптотически робастный инвариантный алгоритм демодуляции с мягкими решениями при зависимом шуме // Доклады Сибирского отделения Академии наук высшей школы, 2001. № 1. С. 45-57.
Боровков А.А. Математическая статистика. — М.: Наука, 1984. — 472 с.
Боровков А. А. Асимптотически оптимальные тесты проверки сложных гипотез // Теория вероятностей и ее применения, 1975. Т. 20, Я2 3. С. 463487.
Боярский Э.А. Порядковые статистики. М.: Статистика, 1972. — 119 с.
Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции в 4-х т.: Пер. с англ. — М.: Сов. Радио, 1977. — Т. 3. — 662 с.
Введение в теорию порядковых статистик. Пер. с англ, под ред. Боярского А.Я. — М.: Статистика, 1970. — 414 с.
Воинов В.Г., Никулин М.С. Несмещенные оценки и их применения. — М.: Наука, 1989. — 440 с.
Вострецов А. Г., Кушнир В.И. Обнаружение сигнальной составляющей в пуассоновском потоке импульсов неизвестной интенсивности // Изв. вузов. Радиоэлектроника, 1980. Т. 23, Я9 4. С. 110-112.
Вострецов А.Г. Двухэтапное обнаружение сигнала в шумах неизвестного уровня // Изв. вузов. Радиоэлектроника, 1982. Т. 25, Я9 3. С. 78-80.
Вострецов А.Г. Инвариантное пространственно-временное обнаружение сигнала от точечного источника излучения // Изв. вузов. Радиоэлектроника, 1982. Т. 25, Я^ 7. С. 63-67.
Вострецов А.Г. Пространственно-временной панорамный прием стохастических сигналов // Радиотехника. 1982. Я9 7. С. 72-74.
Вострецов А.Г. Обнаружение надежного звена в гибкой производственной системе // Автоматика и телемеханика, 1987. Я9 4. С. 179-184.
Вострецов А.Г. Оценивание периода сигнала, наблюдаемого на фоне гауссовского шума в условиях априорной неопределенности // Радиотехника и электроника. 1997. Т. 42, Я5 6. С. 707-711.
Вострецов А.Г. Формирование инвариантных статистик в задачах обнаружения сигналов // Радиотехника и электроника. 1998. Т. 43, Я9 2. С.185-188.
Вострецов А.Г. Эффективное оценивание параметров сигналов в условиях априорной неопределенности при использовании полных достаточных статистик // Радиотехника и электроника. 1999. Т. 44, Я9 5. С. 551-556.
Вострецов А. Г.. Васюков В.Н. Эффект “джиттера” в устройствах дискретной обработки сигналов // Доклады Сибирского отделения Академии наук высшей школы, 2000. Я9 1. С. 62-70.
Вострецов А. Г., Васюков В.Н. Синтез алгоритмов обнаружения сигналов на основе аппроксимации распределений вероятностей и совместного
применения статистических принципов несмещенности и инвариантности // Радиоэлектроника, 2001. Я9 4. С. 34-43.
Вострецов А. Г., Вострецов Д.Г. Правило обнаружения сигнала на фоне импульсных помех и шумов неизвестной интенсивности для автоматизированных систем контроля // Радиотехника. 1994. № 7. С. 48-51.
Вудворд Ф.М. Теория вероятностей и теория информации с применениями в радиолокации. Пер. с англ. / Под ред. Г.С.Горелика. — М.: Сов. радио, 1955. — 128 с.
Гаек Я., Шидак 3. Теория ранговых критериев. / Пер. с англ, под ред. Большева Л.Н. — М.: Наука, 1971. — 375 с.
Грановский В. А., Сирая Т. Н. Методы обработки экспериментальных данных при измерениях. — Л.: Энергоатомиздат, 1990. — 288 с.
Горелов ГВ. Нерегулярная дискретизация сигналов. — М.: Радио и связь, 1982. - 255 с.
Грибанов Ю.И., Мальков В. Л. Спектральный анализ случайных процессов. — М.: Энергия, 1974. — 239 с.
Денисов В. И., Лемешко Б.Ю., Цой Е.Б. Оптимальное группирование, оценка параметров и планирование регрессионных экспериментов: моно- графия/Новосиб. гос. техн. ун-т. — Новосибирск, 1993. — 346 с.
Дэйвид Г. Порядковые статистики. Пер. с англ. — М.: Наука, 1979. — 256 с.
Закс Ш. Теория статистических выводов. — М.: Мир, 1975. — 776 с.
Кларк Дж. мл., Кейн Дж. Кодирование с исправлением ошибок в системах цифровой связи. — М.: Радио и связь, 1987. — 392 с.
Коржик В.И., Финк Л.М., Щелкунов Л.Н. Расчет помехоустойчивости систем передачи дискретных сообщений: Справочник. — М.: Радио и связь, 1981. — 232 с.
Котельников В.А. Теория потенциальной помехозащищенности. — М.: Госэнергоиздат, 1956. — 152 с.
Кузнецов В.П. Инвариантность решений по отношению к мешающим параметрам // Проблемы передачи информации, 1971. Т. 7, № 4. С. 3644.
Куликов Е.И., Трифонов А.П. Оценка параметров сигналов на фоне помех. — М.: Сов. Радио, 1978. — 296 с.
Курленя М.В., Вострецов А.Г, Яковицкая ЕЕ. Об одной модели сигналов электромагнитного излучения нагруженных горных пород // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых, 1996. № 3. С. 3-11.
Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники в 3-х кн. — М.: Сов. радио, 1974. — Кн. 1. — 552 с.
Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники в 3-х кн. — М.: Сов. радио, 1975. — Кн. 2. — 392 с.
Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники в 3-х кн. — М.: Сов. радио, 1976. — Кн. 3. — 288 с.
Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Радио и связь, 1989. — 656 с.
Линник Ю.В. Статистические задачи с мешающими параметрами. — М.: Наука, 1966. — 252 с.
Мартынов Г. В. Функции распределения квадратичных форм от нормальных случайных величин // Теория вероятностей и ее применения, 1975. Т. 20, № 4.
Орнатский П.П. Автоматические измерения и приборы (аналоговые и цифровые). — Киев: Вища школа, 1986. — 503 с.
Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов: Основные методы. — М.: Мир, 1982. — 328 с.
Оценка длительности сигналов электромагнитного излучения при разрушении горных пород/ Курленя М.В., Вострецов А.Г., Кулаков Г.И., Яковицкая Г.Е. // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых, 1999. Я9 4. С. 61-65.
Поляков П.Ф. Прием сигналов в многолучевых каналах. — М.: Радио и связь, 1986. — 248 с.
Прокофьев В.Н. Максиминное решение задачи обнаружения с векторным информативным параметром // Изв. АН СССР. “Техническая кибернетика”, 1978. № 5. С. 145-149.
Пшеничный В.Н. Необходимые условия экстремума. — М.: Наука, 1982. — 144 с.
Пышкин И.М.. Дежурный И. И.. Талызин В.Н., Чвилев Г.Д. Системы подвижной радиосвязи / Под ред. Пышкина И.М. — М.: Радио и связь, 1986. - 328 с.
Регистрация и обработка сигналов электромагнитного излучения горных пород / Курленя М.В., Вострецов А.Г., Кулаков Г.И., Яковицкая Г.Е. — Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. — 232 с.
Рогожкин И. Б., Черняков М.С. Характеристики цифровых фильтров при случайном изменении периода дискретизации // Радиотехника. 1992. № 1-2. С. 57-60.
Сосулин Ю.Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических сигналов. — М.: Сов. радио, 1978.
Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации: Учеб, пособие для вузов. — М.: Радио и связь, 1992. — 304 с.
Сосулин Ю.Г.. Саликов С. Л. Робастное обнаружение когерентных и некогерентных сигналов // Радиотехника и электроника. 1988. Т. 33, №3. С. 499-487.
Сосулин Ю.Г.. Саликов С. Л. Адаптивно-робастное обнаружение сигналов // Радиотехника и электроника. 1990. Т. 35, Я2 2. С. 363-371.
Справочник по вероятностным расчетам/ Г.Г.Абегауз, А.П. Тронь, Ю.Н. Копенкин, И.А. Коровина. — М.: Воениздат, 1970.
Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами/ Под ред. М Абрамовица и И. Стиган. Пер. с англ. — М.: Наука, 1979. — 832 с.
Теория обнаружения сигналов/ Акимов П.С., Бакут П.А., Богданович В.А. и др. Под ред. Бакута П.А. — М.: Радио и связь, 1984. — 440 с.
Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. — М.: Радио и связь, 1982. — 624 с.
Трифонов А.П., Шинаков Ю.С. Совместное различение сигналов и оценка их параметров на фоне помех. — М.: Радио и связь, 1986. — 264 с.
Федорюк М.В. Асимптотика: Интегралы и ряды. — М.: Наука, 1987. — 544 с.
Функции с двойной ортогональностью в радиоэлектронике и оптике. США, 1961-1968 гг. Перевод и научная обработка М.К. Размахнина и В.П. Яковлева. — М.: Сов. Радио, 1971. — 256 с.
Чибисов Д.М. Теорема о допустимых критериях и ее применение к одной задаче проверки гипотез // Теория вероятностей и ее применения. 1967. Т. 12, № 1. С. 96-111.
Ширяев А.Н. Вероятность. — М.: Наука, 1989. — 640 с.
Шишкин И.Ф. Основы метрологии, стандартизации и контроля качества. — М.: Изд-во стандартов, 1987. — 320 с.
Adams S.L., Nolte L. W. Bayes optimum array detection of targets of known location // J. Acoust. Soc. Amer. 1975. V. 58, № 3. P. 656-669.
Альберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. Пер. с англ. / Под ред. Стечкина С.Б. — М.: Мир, 1972. — 316 с.
Balakrishnan А. V. // IRE Transactions on Information Theory. 1962. V. IT- 8, № 3. P. 226.
Бхаттачария P.H., Ранга Pao P. Аппроксимация нормальным распределением и асимптотические разложения. Пер. с англ./ Под ред. В.В. Сазонова — М.: Наука, 1982. — 286 с.
Биллингсли Н. Сходимость вероятностных мер. Пер. с англ. / Под ред. В.В. Сазонова — М.: Наука, 1977. — 352 с.
Collins J. Robust estimation of location parameter in the presence of asymmetry // Ann. Math. Stat. 1976. V. 4, № 1. P. 68-85.
Деврой JL, Дьерфи Л. Непараметрическое оценивание плотности. Li- подход. Пер. с англ. / Под ред. Малютова М.Б. — М.: Мир, 1988.
El-Sawy А. Н., Vande-Linde V.D. Robust detection of known signal // IEEE Trans. Inform Theory. 1977. V. IT-23. P 722-727.
Френке Л. Теория сигналов/ Пер. с англ. Под ред. Д.Е. Вакмана. — М.: Сов. Радио, 1974. — 344 с.
Хампель Ф., Рончетти Э., Рауссеу П., Штаэль В. Робастность в статистике: Подход на основе функций влияния./ Пер. с англ. Под ред. Золоторева В.М. — М.: Мир, 1989. — 512 с.
Heller J.A., Jacobs LM. // IEEE Trans. Inform Theory. V. COM-19, № 5. P. 835.
Hodgkiss W., Nolte L. Covarince between fourier coefficients representing the time waveforms observed from an array of sensors // J. Acoust. Soc. Amer. 1976. V. 59, № 3. P. 589-591.
Huber P.J. Robust estimation of a location parameter // Ann. Math. Stat. 1964. V. 35. P. 73-104.
Хьюбер Дж. Робастность в статистике. Пер. с англ. / Под ред. Журбенко И.Г. — М.: Мир. 1984.
Gustafsson R.T., Hossjer O.G., Oberg Т. Adaptive Detection of Known Signals in Additive Noise by Kernel Density Estimators // IEEE. Trans. On Inform. Theory. 1997. V. 43, № 4. P. 1192-1204.
Kassam S.A. Locally robust array detectors for random signals // IEEE Trans. Inform Theory. 1978. V. IT-24, №5. P. 309-316.
Kassam S.A. Detection of narrowband signals: Asymptotic robustness and quartization // Proc. Conf. On Inform. Sciences and Systems. 1984. P. 297301.
Kassam S.A. Signal Detection in Non-Gaussian Noise. — N.Y.: SpringerVerlag, 1988. — 226 p.
Kassam S.A.^ Moustakides G. V., Shin J. G. Robust detection of known signals in asymmetric noise // IEEE Trans. Inform Theory. 1982. V. IT-28, № 1. P. 84-91.
Кассам C.A., Пур Г.В. Робастные методы обработки сигналов: Обзор // ТИИЭР. 1985. Т. 73, № 3. С. 54-110.
Kassam S.A.^ Thomas J.В. Asymptotically robust detection of a known signal in contaminated non- Gaussian noise // IEEE Trans. Inform Theory. 1976. V. IT-22, № 1. P. 22-26.
Le Cam. On the Asymptotic theory of Estimation and Testing Hypotheses // Proc. Third Berkeley Simp. Math. Stat. 1956. P. 129.
Леман Э. Проверка статистических гипотез./ Пер. с англ. Ю.В.Прохорова. — М.: Наука, 1979. — 408 с.
Леман Э. Теория точечного оценивания. / Пер. с англ. Ю.В. Прохорова — М.: Наука, 1991.
Martin R.D., Masneliez С. J. Robust estimation via stochastic approximation // IEEE Trans. Inform Theory. 1975. V. IT-21, № 5. P. 263-271.
Martin R.D., Schwarz S.C. Robust detection of a known signal in nearly Gaussian noise // IEEE Trans. Inform Theory. 1971. V. IT-17, № 1. P. 50-56.
Middleton D., Esposito R. Simultaneous Optimum Detection and Estimation of Signals in Noise // IEEE Trans. On Inf. Theory. 1968. V. IT-4, № 3. P. 434-444.
Moustakides G.V.. Thomas J.B. Min-max detection of weak signals in ф- mixing noise // IEEE Trans. Inform Theory. 1984. V. IT-30, № 5. P. 529-537.
Poor H. V. Signal detection in the presence of weakly dependent noise - Part II : Robust detection // IEEE Trans. Inform Theory. 1982. V. IT-28. P. 744752.
Poor H.V., Mami M., Thomas J.B. On robust detection of discrete-time stochastic Signals // J. Franklin Inst. 1980. V. 309, № 1. P. 29-53.
Устойчивые статистические методы оценки данных. Пер. с англ. / Под ред. Волкова Н.Г. — М.: Машиностроение, 1984. — 232 с.
Русас Дж. Контигуальность вероятностных мер./ Пер. с англ. Под ред. Чибисова Д.М. — М.: Мир, 1975. — 254 с.
Шметтерер Л. Введение в математическую статистику./ Пер с немец. Под ред. Линника Ю.В. — М.: Наука, 1976. — 520 с.
Shin J.G., Kassam S.A. Robust-detection for narrowband signals in nonGaussian noise // J. Acoust. Soc.-Amer. 1983. V. 74. P. 527-533.
J.Vanderkooy, S.P.Lipshitz. Resolution Below the Least Significant Bit in Digital Systems with Dither // J. Audio Eng. Soc. 1984. V. 32, № 3. P. 106- ИЗ.
Vostretsov A.G. The Effect of Time Jitter in Sampling Inside Discrete Systems with High-Stable Synchronizing Clock: Models and Analysis // Proc, of the 4th Russian-Korean International Symposium in Science and Technology KORUS 2000. V. 1. P. 106-111.
ОБ АВТОРАХ
Богданович Вениамин Алексеевич, доктор технических наук, профессор кафедры радиоэлектронных средств Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета “ЛЭТИ”. Основное направление научных исследований — теория устойчивого обнаружения, различения и оценивания сигналов в условиях априорной неопределенности. Работает в этой области с 1970 г., имеет 120 публикаций, в том числе 2 монографии.
E-mail: bogdanovichv@mail.ru
Вострецов Алексей Геннадьевич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой конструирования и технологии радиоэлектронных средств, проректор по научной работе Новосибирского государственного технического университета. Основное направление научных исследований — теория устойчивого обнаружения, различения и оценивания сигналов в условиях априорной неопределенности. Работает в этой области с 1980 г., имеет 80 публикаций, в том числе 2 монографии.
E-mail: vostretsov@first.nstu.ru
V.A. BOGDANOVICH, A. G. VOSTRETSOV
THE THEORY OF STABLE DETECTING,RECOGNIZING AND ESTIMATING OF SIGNALS
FIZMATLIT
Moscow, 2004, 320 pages
The monograph is dedicated to the theory of stable detecting, recognizing and estimating of signals under conditions of a priori uncertainty. The theory is a new approach to synthesis of self-adjusting and robust signal processing algorithms (decision functions) for radar, radio positioning, telecommunication, controlling and measuring systems functioning in conditions of a priori uncertain and changing signal-noise environment. The approach permits to synthesize optimal signal processing algorithms as in case of parametric (the form of distribution function of observed process is known except of some or all of its parameters) and nonparametric (the form of distribution function is unknown) uncertainties in given data. In the case of parametric uncertainty procedure is based on statistical principals of unbiasedness, invariance, data distribution function approximation and their combinations. In the case of parametric uncertainty it is based on combining of invariance principle and Bayes’ or L2-methods. The strict account is combined with a number examples of solving of real problems in radars (target detection), communications (algorithms of week demodulations), controlling and measuring systems (measuring of signal period, frequency, magnitude, etc.). The main advantages of technical systems, based on suggesting approach, are their properties of robustness and automatic adjustment to real signal-noise environment and measurement conditions retaining optimal accuracy figures at the same time. These properties are especially important during creating of automatic systems. The problems of realization of algorithms in analog-digital systems are considered taking into account such effects as time jitter and amplitude quantization. The model of real sampling and data storage device has been offered. The monograph is destined for specialists in creating of radar, radio positioning, telecommunication, accurate controlling and measuring systems as well as for specialists in mathematical statistics and statistical radio engineering.
Научное издание
БОГДАНОВИЧ Вениамин АлексеевичВОСТРЕЦОВ Алексей Геннадьевич
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОГО ОБНАРУЖЕНИЯ, РАЗЛИЧЕНИЯ
И ОЦЕНИВАНИЯ СИГНАЛОВ
Редактор М. Б. КозинцоваОригинал-макет Е. Ю. МорозоваОформление обложки А. Ю. Алехиной
ЛР Я9 071930 от 06.07.99. Подписано в печать 05.04.04.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 20. Уч.-изд. л. 20. Заказ Я9
Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИ К «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ruhttp://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивовв Чебоксарской типографии Я9 1428019 г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15
ISBN 5-9221-0505-8
1 - Р
где р (w) = М ^t\y (t) | w}, 32 (w) = M {t2 | w} — дисперсия шума с единичным масштабом, р — коэффициент корреляции между сигналами
S (9) и Prn S (9).
Потери p2(w,p) возникают вследствие нелинейности логарифмической производной v(t). При линейной функции ц/(^) = ^ т-е- в случае гауссова шума, потери отсутствуют, так как /(w) = p(w) = 32(w) = 1.
Из выражения для р2 (w, р) следует, что потери малы при |р| ^ 0,3, но резко возрастают с увеличением |р| при |р| > 0,3. Тем самым, замена опорного сигнала S (9) на исходный сигнал S (9) вполне допустима, когда коэффициент корреляции между обнаруживаемым сигналом и сигналоподобной помехой не превышает по модулю 0,3. Такие значения р типичны для многих каналов передачи с сигналоподобной помехой.
Для представления негауссова шума достаточно широко применяются обобщенное распределение Гаусса и обобщенное распределение
(1)(2)„
где \|^ и \|^— некоррелированные случайные величины с диспер
сиями, определяемыми выражением (6.12). Можно показать, что дис
В.А. БОГДАНОВИЧ, А.Г. ВОСТРЕЦОВ
ТЕОРИЯУСТОЙЧИВОГООБНАРУЖЕНИЯ,РАЗЛИЧЕНИЯИ ОЦЕНИВАНИЯСИГНАЛОВ
Издание второе, исправленное
МОСКВАФИЗМАТЛИТ2004
УДК 621.39
ББК 32.811.7
Б73
Богданович В. А., Вострецов А. Г. Теория устойчивого обнаружения, различения и оценивания сигналов. — 2-е изд., испр. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 320 с. - ISBN 5-9221-0505-8.
В монографии обобщаются результаты, полученные авторами в течение ряда лет в области теории обнаружения, различения и оценивания сигналов. Отражены разработанные авторами методы синтеза алгоритмов обнаружения, различения и оценивания сигналов, основанные на использовании статистических принципов инвариантности, несмещенности и подобия для решения задач с параметрической априорной неопределенностью, при ограниченных объемах выборки, а также на сочетании этих принципов между собой и с широко применяемыми байесовским подходом, принципом минимакса и принципом асимптотической оптимальности при больших объемах наблюдаемой выборки. Предложены методы синтеза робастных и асимптотически робастных алгоритмов, мало чувствительных к изменению вида распределений наблюдаемых данных. Обсуждаются проблемы синтеза алгоритмов для аналого-цифровых систем обработки сигналов.
Для научных работников, аспирантов и инженеров, работающих в области теории обработки сигналов, математической статистики, статистической радиотехники, радиолокации, статистической теории связи, информационноизмерительной техники.