ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТАУБЕРОВЫХ ТЕОРЕМ

Редактор И.Л. Легостаева

Оригинал-макет: И.Л. Поляков

Оформление переплета: А.Ю. Алехина

Подписано в печать 20.10.05. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 16. Уч.-изд. л. 19,2. Тираж 400 экз. Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литература»

МАИК «Наука/Интерпериодика»

117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90

E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;

http://www.fml.ru

Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП «Типография «Наука»

121099, г. Москва, Шубинский пер., 6

© ФИЗМАТЛИТ, 2005© А. Л. Якымив, 2005© ФИЗМАТЛИТ, 2005© А. Л. Якымив, 2005ISBN 5-9221-0647-3

© ФИЗМАТЛИТ, 2005

© А. Л. Якымив, 2005

© ФИЗМАТЛИТ, 2005

© А. Л. Якымив, 2005

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 4

Глава 1. Тауберовы теоремы 7

Правильно меняющиеся функции в конусе 7

Слабая сходимость мер и функций 16

Многомерные тауберовы теоремы типа Карамата 23

Слабо осциллирующие функции 35

Многомерная тауберова теорема сравнения 48

Одномерные тауберовы теоремы 63

Тауберовы теоремы Дрожжинова-Завьялова 85

Три многомерные тауберовы теоремы 92

Замечания к главе 1 103

Глава 2. Приложения к ветвящимся процессам 106

Ограниченные снизу ветвящиеся процессы 106

Ветвящиеся процессы Беллмана-Харриса 111

Сходимость конечномерных распределений 117

Число частиц-долгожителей 126

Глава 3. Случайные А-подстановки 132

Число А-подстановок 132

Первоначальные предельные теоремы 138

Основные предельные теоремы 148

Равномерно распределенные последовательности 161

Примеры множеств А 166

Случайные множества А 183

Глава 4. Безгранично делимые распределения 191

Вероятности больших уклонений 191

Асимптотика плотности на бесконечности207

Многомерный случай220

Глава 5. Предельные теоремы в схеме рекордов225

Межрекордные времена225

Асимптотика к-х рекордных моментов235

Список литературы240

Предметный указатель256

ВВЕДЕНИЕ

Абелевыми называют теоремы, выводящие из асимптотики последовательностей и функций асимптотичекие свойства их производящих функций и преобразований Лапласа (а также других интегральных преобразований). Теоремы, обратные к абелевым, называют тауберо- выми. Эти теоремы носят название в честь соответственно Абеля и Таубера, впервые доказавших теоремы таких типов (см. [159, 282]).

Обычно при доказательстве абелевых теорем используют прямые математические методы. Доказательство же соответствующих тауберовых теорем бывает существенно сложнее, и здесь используется широкий арсенал средств математического анализа. Существенными вехами в становлении и развитии тауберовой теории явились работы Г. X. Харди, И. Е. Литтлвуда, Н. Винера, И. Караматы, М. В. Келдыша, И. Кореваара, В. С. Владимирова [25, 60, 221, 227, 228, 237, 239, 288].

Последние 25-30 лет характеризуются повышенным интересом авторов к многомерной тауберовой теории. Во многом это можно объяснить появившимися новыми приложениями тауберовых теорем в математической физике, теории дифференциальных уравнений и теории вероятностей. Отметим, что упомянутая ранее работа В. С. Владимирова [25] не только явилась первым действительно глубоким многомерным обобщением известной тауберовой теоремы Харди и Литтлвуда [221], но и послужила отправной точкой для исследований его учеников Ю. Н. Дрожжинова и Б. И. Завьялова по тауберовой теории. Так, Ю.Н. Дрожжинов и Б. И. Завьялов написали совместную с В. С. Владимировым монографию «Многомерные тауберовы теоремы для обобщенных функций» [26] и провели после этого ряд глубоких исследований, которые могли бы составить еще не одну книгу (см., например, работы [37-47]).

Особо отметим также исследования по многомерной тауберовой теории Л. Алпара [163, 164], Л. де Хаана, Е. Омея, С. Резника и Е. Вилле- кенса [216, 217, 266, 252-254], Ф. Диамонда [190], С.М. Козлова [61], С. Пилиповича, Б. Станковича и А. Такачи [261], Б. Станковича [279281], У. Стадтмюллера и Р. Траутнера [275-277], А. Стама [278], Е. Челидзе [137].

Мы здесь не касаемся тауберовых теорем с остатком, отсылая интересущегося читателя к книгам С. Альянчича, Р. Боянича, М. Томича [162], Т. Ганелиуса [203], А. Г. Постникова [97], М.А. Субхан- кулова [118] и работам Л. Френнемо [201, 202], К. А. Букина [26, с.99], Ю.Н. Дрожжинова и Б. И. Завьялова [43, 44]. Тем не менее,

отметим, что применение обычных тауберовых теорем (без остатка) дало возможность автору получить точную асимптотику остаточного члена для безгранично делимых распределений в гл. 4.

Широкое применение тауберова теория получила в теории вероятностей. Тауберовы теоремы при исследовании асимптотических задач теории вероятностей применяли, в частности, Н. Г. Бингхэм, В. А. Ватутин, Г. И. Вейнер, Р. А. Доней, В.М. Золотарев, А. А. Новиков, Е. Омей, А. Г. Постников, С. Резник, Б. А. Рогозин, С.М. Сагитов, Б. А. Севастьянов, Е. Сенета, В. Феллер, И. де Хаан и ряд других математиков (см., например, работы [16-18, 21, 53, 50, 85, 97-99, 111, 270272, 135, 174-178, 216, 217, 252, 285]).

Несмотря на несомненный интерес вероятностников к тауберовым теоремам, до сих пор в мировой литературе ещё не было книги, специально посвящённой этим вопросам. Заполнить этот пробел и является основной задачей этой книги.

Тематике вероятностных приложений тауберовых теорем посвящены также ряд работ автора, написанных за последних 20 с небольшим лет [141-158, 289-291]. Эти работы и составили основу содержания настоящей книги. В книге содержатся полученные автором тауберовы теоремы и их применения при исследовании асимптотических свойств ветвящихся процессов, случайных процессов рекордов, случайных подстановок и безгранично делимых случайных величин. Также включены в книгу работы по ветвящимся процессам В. А. Ватутина и Б. А. Севастьянова [16, 111], которые явились исходными для исследований автора в этом направлении. Кроме этого, в книгу включены ряд тауберовых теорем Ю. Н. Дрожжинова и Б. И. Завьялова, которые, как нам кажется, представляют несомненный интерес для вероятностников, хотя написаны они были для приложений в других областях математики.

Отметим, что книга по тауберовым теоремам и их приложениям написана в духе традиций Математического института им. В. А. Стеклова. Достаточно, например, упомянуть книги А. Г. Постникова [96] и В. С. Владимирова, Ю.Н. Дрожжинова и Б. И. Завьялова [26], а также статьи М. В. Келдыша [60], Б. А. Севастьянова [111] и В. А. Ватутина [16].

Тауберовы теоремы содержатся в первой главе книги. В частности, многомерные обобщения тауберовых теорем Карамата даны в разделе 1.3, многомерная тауберова теорема сравнения типа Келдыша и обобщение тауберовой теоремы Литтлвуда имеются в разделе 1.5, в разделе 1.6 помещён ряд одномерных тауберовых теорем. Раздел 1.7 целиком посвящен тауберовым теоремам Дрожжинова- Завьялова. В разделе 1.8 приведены три многомерные тауберовы типа Дрожжинова-Завьялова, которые используются далее при исследовании асимптотики безгранично делимых распределений в конусе. Разделы 1.1, 1.2 и 1.4 носят вспомогательную роль — в них исследуются

те обобщения правильно меняющихся функций, которые используются в тауберовых теоремах.

Вероятностные приложения тауберовых теорем помещены в главах 2-5. Так, в гл. 2 исследуются асимптотические свойства ветвящихся процессов. В гл. 3 доказан ряд предельных теорем для случайных подстановок, длины циклов которых принадлежат фиксированному множеству А (так называемых A-подстановок). Глава 4 посвящена исследованию асимптотики безгранично делимых распределений на бесконечности. В гл. 5 изучаются вероятности больших уклонений для некоторых случайных величин в схеме рекордов.

В нумерации теорем, лемм, следствий, замечаний и определений указываются номер главы и номер раздела, где они находятся. В нумерации соотношений из-за экономии места для формул номер главы и номер раздела не указываются. Поэтому при ссылке на соотношение внутри одного раздела указывается только его номер, при ссылке на соотношение из другого раздела внутри одной главы кроме этого, указывается номер раздела, а при ссылке на соотношение из другой главы указывается ещё и номер главы.

Я искренне признателен своим коллегам по Математическому институту им. В. А. Стеклова профессорам В. А. Ватутину, Ю. Н. Дрож- жинову, А. М. Зубкову, В. Ф. Колчину, А. И. Павлову, В. Е. Тараканову и профессору МГУ В. Ю. Королёву за высказанные ими замечания и пожелания по поводу содержания настоящей книги. Работа над книгой проходила при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 02-01-01080 и 05-01-00583) и гранта президента РФ по поддержке ведущих научных школ (НШ- 1758.2003.1). Я также благодарен Российскому фонду фундаментальных исследований, поддержка которого позволила издать эту книгу (грант 05-01-14027).

Глава 1

ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ

Правильно меняющиеся функции в конусе

Назовем борелевское множество Г С Rn конусом с вершиной в точке а е Rn, если для произвольных х е Г, А > О, А е R,

а-ЕХ(х — а) Е Г.

Через inM обозначим внутренность множества А С Rn. Будем называть конус Г телесным, если intГ ^ 0. Замкнутый телесный выпуклый конус будем называть острым, если существует такая гиперплоскость размерности п — 1, проходящая через его вершину, которая имеет с ним только одну общую точку.

Пусть Г — конус в Rn с вершиной в нуле, S = Г\{0}. Зафиксируем некоторый вектор е Е S. Везде далее в этой главе будем считать t действительной положительной переменной.

Функцию /(%) назовем правильно меняющейся на бесконечности вдоль Г, если она определена для всех х ES, \х\ с > 0, положительна и измерима на этом множестве и для каждого х Е S при t —> оо

/ {tx)/f (te) —> р(х) > 0, р(х) < оо. (1)

Заметим, что множество всех правильно меняющихся функций на бесконечности вдоль Г не зависит от вектора е (будем обозначать это множество через 7?1(Г)). В самом деле, если (1) выполнено для /, то для каждого b Е S

= f(tx) fJM

при t —> оо. В соответствии с (1) полагаем р = Не. Функцию L Е 7?1(Г) назовем медленно меняющейся на бесконечности вдоль Г, если Не^ = 1. В одномерном случае в качестве конуса Г мы будем рассматривать только множество всех неотрицательных действительных чисел и функции, правильно (медленно) меняющиеся на бесконечности вдоль этого множества, будем называть просто правильно (медленно) меняющимися без указания, вдоль какого множества они правильно (медленно) меняются. Через Т?2(Г) обозначим множество всех / е 7?1(Г) таких, что для произвольной совокупности векторов

xt ES, xt х eS (t —> оо)

f(te) V 7 при ^ —> оо. Функцию p на S мы назовем однородной в S co степенью однородности р Е R, если она измерима по Борелю на S и для произвольных х Е S и t > 0 p(tx) = tpp^xY Соответственно этому определению будем обозначать /) = ind(^ и ОДГ) — множество всех однородных положительных функций на S. Через О2(Г) обозначим множество всех непрерывных на S функций р Е ОДЕ). Положим 7}(Г) = {A: L Е Ri(T) He(L) = 1} при / = 1,2 (в соответствии с (2) множества Д(Г) тоже не зависят от вектора е Е SY

Теорема 1.1.1. При 1 = 1,2 для функции р на S найдется такая функция f Е Ri(T\ что р = Яе(/) тогда и только тогда, когда р Е Oi(T) и р(р) = 1.

Доказательство. Пусть / = 1. Допустим, что р = He(f) для некоторой функции / е ^1(Г). Положим g(f) = f(teY согласно (1) g(f) правильно меняется на бесконечности, поэтому в силу теоремы 1.3 из [115, с. 17]

g^/gW Хр

при t —> оо для каждого А > 0 и некоторого действительного р. Далее, для произвольных хе£иА>0в силу (1) при t —> оо

/(А^х) /(А^х) /Де) р(Хх) f(tx) f(te) f(tx)р(х) ’

KXtx) = f(txX) f(Xte) f(te) > fW дР = ^p f(tx) f(Xte) f(te) f(tx) p^

Сравнивая (4) и (5), получаем, что р(Хх) = Xpp^xY т. е. р однородна. Измеримость, положительность р и то, что р^ = 1, следуют сразу из (1). Обратно, пусть р Е ОДЕ) и р^ = 1. Положим /(%) = p^xY х Е Е S. В этом случае

/(^х)p(tx)tpp(x)

=== р(х) f(te)p(te)tpp(e)

где p = ind(^, откуда следует, что р = He^Y Пусть теперь / = 2. Если р = He^Y рДе / ^ ^2(Г), то в силу только что доказанной части утверждения теоремы 1.1.1 для I = 1 р^ = 1 и р Е ОДГ). Покажем, что р непрерывна.

Если последовательность с^ Е S такова, что с^ —> с Е S при к —> оо, то согласно (1) и (3) для произвольных е > 0 и к Е N найдется такое ^, что при ^ > ^

/(^)/(^)<0/^<0/^(6)(6)

/(^)

/(^)

<0/^

<0/^

(6)

(6)

(7)(7)Без ограничения общности будем считать, что ф t °° ПРИ & —>> оо. Положим Xt = щ при t е [4,4+1). Заметим, что Xt —> с при t —> ос. В самом деле, если ко таково, что при k^ko |с — сД < 5, то при t > 40 в силу определения Xt будет \xt — с| <5. Поэтому согласно (1) и (3) существует to > 0 такое, что при t^to

(7)

(7)

/(^)

Полагая в (6) и (7) t = t^ и пользуясь неравенством треугольника, получим, что

И^)-^)! <И^)-^)! <(СМ Ktke)(СМ Ktke)-фСь)-фСь)fCMfUke)fCMfUke)-ф(е)-ф(е)< eI^A-e]^ = Е< eI^A-e]^ = Е

И^)-^)! <

И^)-^)! <

(СМ Ktke)

(СМ Ktke)

-фСь)

-фСь)

fCMfUke)

fCMfUke)

-ф(е)

-ф(е)

< eI^A-e]^ = Е

< eI^A-e]^ = Е

при к ^ max(&o+i), где к\ = min{£: t^ ^ to, к €.Ny Итак, ip непрерывна. Обратно, если р>Ю = 1 и у е Ог(Г), то при < >0 и ^ GS, х(-»хб$ С н- оо)

p(te)tpp(e)77

при t —>oo, где p = ind(/z Следовательно, (/?е^2(Г) и He(p) = p. Теорема доказана.□

Положим В = {%: х е S, |х| = 1}.

Теорема 1.1.2. а) Если f еТ?2(Г), то соотношение (1) выполнено для f равномерно по х Е К для произвольного компакта KCS.

б) 7?i (Г) = /?2(Г) тогда и только тогда, когда В конечно.

Пункт а) настоящей теоремы обобщает известную теорему о равномерной сходимости для одномерных правильно меняющихся функций (см., например, [115] или [181]).

Доказательство, а) Пусть L е ТДГ). Предположим, что соотношение

UtU

> 1 при t —> ОО

Ute)

выполнено неравномерно по х е К для некоторого компакта К С S. Тогда существует е > 0 и последовательности с^ Е К и ^ > 0 такие, что

Без ограничения общности будем считать, что с^ —> с Е К и ^ f оо при к —> оо. Положим Xt = с^ при t Е [^,^+1), тогда, поскольку Xt —> с при t —> оо, то найдется такое to > 0, что при ОФ

(9)(9)\Utxt)iUte)-\\<e.

(9)

(9)

Пусть к таково, что 0 > to, тогда, полагая в (9) t = t^, получаем, что

\ЦсАЧНЛО - 1| <е,

что противоречит (8). Пусть / е ^г(Г) и р = He{f\ Положим L^ = = /(х)/р(х). Заметим, что для произвольной совокупности at 6 S, at —> —> а е S (t —> ос)

Uta?) _ p(te) f(tadр(а)_ _

L(te) p(tat) f(te)p(a)

при t —> ос, откуда сразу следует, что L 6 Т^(Г). Далее, для произвольного компакта KCS при t —> ос

\f(xt)/f(te)-ip(x)\ = tplx^UxO/UteV 11 —> 0

равномерно по х 6 К, так как ^, будучи непрерывной на К, ограничена на компакте К.

б) Если В конечно, то / просто сводится к конечному числу правильно меняющихся функций одной переменной, следовательно, в этом случае (см. [115]) 7?i(Г) = /?2(Г). Пусть В бесконечно и а — предельная точка В. Положим при t > 0 и х е В

L(tx) = /(0(1 +min(l, 1//|х - 6z|)),(10)

где /(0 — некоторая медленно меняющаяся функция одной переменной. Из (10) следует, что L G R\(TY Тем не менее

supL(tx)/l(f) = 2, хЕВ

так что L ^ Т?2(Г). Теорема доказана.□

Лемма 1.1.1. Положим

{clnx}

ZW = exp(cxm Р (am+x -am^ g^du), x > 1,

о

где с > 0, m = [с In %], числовая последовательность (сх^, k е N) такова, что q^+i — ^ —)► 0 при к —> ос, и g — неотрицательная финитная функция, носитель которой находится в интервале (0,1) и $о§^и^и = ^ Тогда f(x) бесконечно дифференцируема при % > 1, причем для каждого k е N

^=/№М = 0ЦЩм)(II)

при х —> ОС.

Доказательство. Заметим, что

/ (%) = ехр(/г(с1пх)), х^\,(12)

где Цх) = «т + («т+1 - атHoX}g(u)du, х ^ 0. Пусть х — нецелое, тогда h\x^ = (ат+\ — ot^g^xY). Если же х — целое, то h\x^ = 0, следовательно, справедлива формула h\x^ = (ат+\ — o^g^xYh х > 0. Дальнейшим дифференцированием последнего соотношения получаем, что для каждого k Е N

h№C) = (am+i -am)g№"nax^,

где g^O = gCY Следовательно, для всех keN при х —> оо

Aw(x)=o(l).(13)

Положим у(х) = й(с1пх), х > 1. По формуле (0.430) из [35] для каждого k^N

к

у^(%) = х-к^2ь^1\с\пх),(14)

где b^ — некоторые числовые коэффициенты, не зависящие от х. Из (13) и (14) следует, что для каждого k Е N

и^(х) = о (x~k)(15)

при х —> оо. Заметим, что в силу (12) f(x) = ехр(у(х)), х > 1. По формуле (0.430) из [35] для каждого k eN

к

p4x)=fC^(16)

где суммирование происходит по всем целым /ь---Л'^ > 0, для которых ^щ\Н] = ^’ а C(i\,...,i^ — некоторые постоянные. В завершение доказательства леммы заметим, что (11) сразу следует из (15) и (16).

Лемма 1.1.2. Пусть конус Г замкнут, тогда для каждой функции L Е 72(E) существует действительное а > 0 такое, что

0 < inf Е(х) < supE(x) < оо(17)

хеА

для произвольного ограниченного множества Д С {х: х е S, |х| > а}.

Доказательство. По теореме 1.1.2 для произвольного 1 > е > 0 существует b > 0 такое, что при |х| b

Е(|х|е)(1 - в) < Е(х) < Е(|х|е)(1 +е).

Так как функция одной переменной g^ = L(te) медленно меняется на бесконечности, а для п = 1 лемма 1.1.2 справедлива [115], то из последних неравенств получаем, что для некоторого а^Ь выполнено (17). Лемма доказана.□

Обозначим через Zn множество всех векторов из Rn с целочисленными неотрицательными координатами. Для к = (к\,..., кп) EZn, к ДО и бесконечно дифференцируемой функции /(х) в Rn положим

ГЧх> =ГЧх> =дх^ ... дх^тдх^ ... дх^т

ГЧх> =

ГЧх> =

дх^ ... дх^т

дх^ ... дх^т

где / = к\ + ... + кп и кц,... ,kim суть все положительные компоненты вектора к, 1 < О < ... < im < п и /^(х) = /(х). При действительном а > > О положим

ак = ^1+...+^

Теорема 1.1.3. Пусть конус Г замкнут и а > 0 таково, что для функции L Е ^(Г) выполнено (17), тогда для произвольных а,Р, О < а <1 < (3 < оо найдутся две такие бесконечно дифференцируемые функции L^x^ Е MRnY i = 1,2, что

для произвольных k EZn, к^О и i= 1,2

при |х| —> оо;

для каждого х Е S, |х| > а,

inf Цу) < L\(х) < А(х) < 1Цх) < sup L^yYАyEKx

где Кх = ^у: у Е S, q|x| < |z/| < Р\х\, |z/| > а};

Ц(х)/Цх) —> 1 при |х| —> оо и i = 1,2;

АДх) = Li^ при |х| = |z/| и i = 1,2.

Тот факт, что для произвольной медленно меняющейся функции одной переменной L^ существует эквивалентная ей на бесконечности бесконечно дифференцирумая функция ТД^) такая, что Т^(Д = = 0(г^!(о) е —у оо) известен [181]. Тем не менее настоящая теорема является, по-видимому, новой и в одномерном случае.

Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что а = 1 (иначе перейдем к функции Z(x) = L^axY Д| > 1). Положим U(.x)=f(\x\V где

/{clnQ.

f(0 = exp I ат + <ат^х - а^ g(u) duV(18)

о'

О0, t^ 1, т= [с1пД,^(^) — произвольная неотрицательная финитная

функция с носителем в интервале (0,1), нормированная условием

1

g(u)du = 1,

о

Qm=sup(lnT(x): х Е S, |х| > 1, exp((m— 1)/с) < |х| < ехр((т+1)/с)).

По теореме 1.1.2 q^+i — с^ —у О при к —> ос. Поэтому согласно лемме 1.1.1 для каждого j Е N

(19)

при t —> ос. Заметим, что для произвольного к Е Zn, к^О,

46)(Ч = £Н-27('>1)№),(20)

/=1

где Pik<x> — полиномы степени не выше / и I = к\ А-... А-кп. В самом деле, для каждого / = 1 4- п

Далее, если (20) верно для некоторого к EZn, k^O, то, полагая к’ = = кА-ер получим, что

Но, поскольку

|х|2'-‘|x|2Z+2"‘ ’

а степень полинома (х,х)^е'\х) не выше / + 1, то Ц'О имеет требуемый вид, и (20) доказано. Теперь пункт а) теоремы для случая I = 2 сразу следует из (19) и (20). В силу явной формулы (18)

min(exp(am), exp(am+i)) < T2W < rnax(exp(Qm),exp(am+i)),

откуда

L(x) < L2(x) < sup(T(z/), exp((m-l)/c) < |z/| < exp((m + 2)/c), |z/| > 1),

где т = [с1п|х|]. Для доказательства неравенств пункта б), касающихся функции L2, осталось заметить, что при

с ^ max(—l/lna,2/ln/3), |х| > 1, выполнены неравенства

q|x| < exp((m— 1)/с) < exp((m + 2)/c) < ф\х\.

Пункт в) следует из проведенных оценок и того замечания, что по теореме 1.1.2 при |х| —> ос

Цх) = (1+о(1)) sup Цу)-

уекх

Пункт г) следует из явной формулы (18) для Г2. Все утверждения теоремы, касающиеся L\, являются дословным повторением уже проведенных рассуждений относительно Г2. Теорема доказана.□

В дальнейшем конус Г будем считать замкнутым. Следующая лемма является обобщением соответствующих одномерных результатов [115, 181].

Лемма 1.1.3. Пусть функция L е ТДГ) и при |х| > а> Q выполнено (17). Тогда при е > 0 функции

А*(^) = Щ“г sup \y\EUyY А**(х) = ЦГ inf Ш^Цу)

медленно меняются на бесконечности вдоль Г, причем

Цх) = (1 -Vo^TO = (1 ^oWK*W

при |х| —> ос,х е S.

Доказательство. Пусть L\ и Г2 — две бесконечно дифференцируемые функции, аппроксимирующие L, удовлетворяющие пунктам а)-г) теоремы 1.1.3. Положим ф^ = Гу^хф ф^ = Г2^хф где t = |х|. Тогда

Г*(х)^Г£ sup u£f2(u)^f2(T)=L2(x)a^u^t

при t to для некоторого to а, потому что

0(0)' = ^"72(0 C+4^) ^°

для достаточно больших t. По той же причине А*(%) > L\^ при достаточно больших |х|. Следовательно, А*(х) = (1 +о(1))А(х) при |х| —> —> сю. Утверждение относительно L** доказывается точно так же. □

Следующая теорема известна в одномерном случае под названием интегральной теоремы представления для медленно меняющихся функций [115, 181].

Теорема 1.1.4. L е Т2(Г) тогда и только тогда, когда найдутся константы а>0 и ceR и измеримые функции р(х) и e^tY определенные соответственно при х Е S, |х| > а и t^ а такие, что при х Е S, |х| > а,

L^ = exp тДх) +L^ = exp тДх) +

L^ = exp тДх) +

L^ = exp тДх) +

тДх) —> с (|х| —> ос) и для каждого целого к^О при t ос

е®кЙ = оЩку

Доказательство. Пусть L Е ^(Г). Представим L в виде

А(х) = ехр(Щ) + 1п/(|х|)),

/\

п(х) = In v 7, L2 удовлетворяет пунктам а)-г) теоремы 1.1.3,

a f(|x|) = L^Y Заметим, что в силу пункта в) теоремы 1.1.3 р(х) —> —> 0 (|х| —> оо). Согласно (15) o^(f) = o^t-k^ для каждого kEN при t —> 00, где о^ = 1п/(0- Положим е^ = to\tY тогда при |х| > а, где константа а определена в теореме 1.1.3

Цх) = exp р(х) + и (а) +Цх) = exp р(х) + и (а) +

Цх) = exp р(х) + и (а) +

Цх) = exp р(х) + и (а) +

причем для каждого целого & > 0 e^\f) = 0 (^ ^) при t ос. Докажем теперь достаточность условий теоремы 1.1.4: при х,е ES

t\x\-

= ехр I p(tx) — p(te) + du

Ше^ \J и

t\e\'

откуда

- = (l+o(l))expL(te)- = (l+o(l))expL(te)[ ^-dy =l+o(l)Ci /[ ^-dy =l+o(l)Ci /

- = (l+o(l))exp

L(te)

- = (l+o(l))exp

L(te)

[ ^-dy =l+o(l)

Ci /

[ ^-dy =l+o(l)

Ci /

□□

□

□

при t ^ oo. Теорема доказана.

Слабая сходимость мер и функций

В этом разделе будем считать Г замкнутым выпуклым острым телесным конусом с вершиной в нуле. Положим G = intF. Введем в Г отношение порядка [25]: будем писать, что

г г

х^у <х<у\

если х, у, у—х Е Г (соответственно х Е Г; у, у—х Е G\ Если не будет возникать недоразумений, относительно какого конуса рассматривается отношение порядка, то будем просто писать х ^ у (х < у\ Действительную функцию /(х), определенную на открытом множестве а С Г, назовем монотонно неубывающей (соответственно невозрастающеи) относительно Г, если при х,у Е а и х < у выполнено /(%) < f(y) (соответственно /(%) ^t^Y Запись

lim/O) = b (limf (у) = 6) уд,ху^х

означает, что для каждого £ > 0 найдется такое 5 > 0, что для произвольного у Еа, \у — х\<5, х <у (соответственно у < %) |f(z/) — Ь\ < е.

Обозначим через Afi (а) (соответственно Af2 (ст)) множество всех неубывающих (соответственно невозрастающих) функций относительно Г, определенных на множестве а С Г (зависимость множеств Afi (ст) и Af2(cr) от Г мы в их обозначениях опускаем, поскольку везде далее в этой главе считаем конус Г заранее зафиксированным), Af(a) = = Afi (ст) U Af2(ст).

Лемма 1.2.1. При х,у е Г, х < у, множества Д = {г: г Е Г, х < х < z/} и В = {г: х Е Г, х < х} являются непустыми открытыми подмножествами Г.

Доказательство. Множества Д и В непустые ввиду того, что

х^ еАГ\В. Множество В открыто, потому что В = {г: х = х + и, и Е

Е G}. Пусть х Е Д. Так как G открыто, то существует Ji > 0 такое, что у + х — h Е G для всех h Е Rn, \h\ < 5ь В силу того, что В открыто,

найдется такое 5s < ^ь что х < и при всех и Е Rn, \и — х\ < 5s. Тогда х < и и у — и = у — х А-х — и Е G для всех и Е Rn, \и — х\ < 62, откуда следует, что и Е Д при \и — г| < 62- Лемма доказана. □

Лемма 1.2.2. Пусть f ЕМ\(а) (f ЕМ2(а)).

Тогда для каждого х Еа существуют два следующих предела*.

(1)(1)(2)(2)lim/O) =f(x-l у^х

(1)

(1)

(2)

(2)

lim/O) =f(x+Y

где

/(x_) = sup(/(z/),z/ Ест,у <х\(3)

iCO = mWi<tiYy <у>(4)

{соответственно f{x_) = inf(/(z/), у < х, у е а\ /(%+) = sup(/(z/), х <у, у Е а)), причем

fC-^fC^tCO(5)

{соответственно f{x_) > / (%) > ({хДУ

Для того чтобы f была непрерывной в х Е а, необходимо и достаточно, чтобы /(%+) = /(%_).

Доказательство. Пусть / монотонно не убывает относительно Г. Тогда согласно (3) и (4) для каждого е > 0 существуют такие х£,у£ Е а, х£ < х < у£, что

е^ Кх-МСЛ^,(6)

OKyEVHx^W(7)

По лемме 1.2.1 множество U£ = {у: х£ < у < у£} — открытое и непустое, следовательно, таково же и множество V£ = U£r\a, поскольку а открыто и х Е V£. Поэтому для произвольного у Е V£, у < х, в силу монотонности / и (3) верно ^{хД ^f{y) </(%_). Учитывая (6), получаем, что

I/O)-/(*-)! <£, У^УЕ, у<х.(8)

При z/eI4hz/>xb силу монотонности / и (4) имеем /(%+) < /(z/) ^ ^f{yeY Учитывая (7), получим, что

\Ky)-fC+A ^е, уЕУ, у>х.(9)

В силу произвольности е из (8) и (9) получаем соответственно (1) и (2). Заметим, что /(г) < f{x) < f{y) при г,у Е a, z < х < у. Поэтому из (3) и (4) и последнего соотношения следует (5).

Пусть теперь дополнительно известно, что /(%+) = f{x~Y Тогда при у Е 14 в силу монотонности / имеем {{хД ^ /(z/) < f{y£Y Учитывая теперь соотношения (6) и (7), получим, что |/(%) — / (z/)| <£ при у Е 14, поскольку из неравенств (5) и того, что /(х_) = /(х+), сразу следует, что f{x_) = f{x) = f{x+Y Обратно, пусть f {y) непрерывна в точке х Е а. Тогда в силу только что доказанных соотношений (1) и (2) получаем, ЧТО ^хЛ=Кх")=!СЛ.

Если же / монотонно не возрастает, то —/ монотонно не убывает, и все утверждения леммы 1.2.2 для / автоматически следуют из того, что они справедливы для —/. Лемма доказана.□

При z = 1,2 положим

М+И = U-t ^ ^Y t<^ = tW Ф хЕа^,

7И+(сг)(a) UМ2(ст).

Будем говорить, что последовательность ^ еМ^(ст) слабо сходится при к —у оо к f 6 Afz+(cr) и писать, что

fk^f (й Н-оо),

если fk(x) —> f(x) при к —> оо для произвольной точки х непрерывности функции /.

Лемма 1.2.3. Если fk^ f ^ fk^ g при к^ оо, то f(x) = g(x) при х е а.

Доказательство. Рассмотрим все точки разрыва функции / на множестве 1Х = ^у\ у е а, у = tx, t > 0} для некоторого х е а. Их не более счетного числа. В самом деле, функция p(f) = /(tx) является монотонной функцией действительной переменной t, поэтому имеет не более счетного числа точек разрыва. Если же р непрерывна в точке t, то в силу леммы 1.2.2

t(tx_) = lim^(s) = p(t),

f(tx+) = lim(^(s) = p(t),

откуда следует, что f(tx_) = f(tx+) и по той же лемме 1.2.2 (пункт б)) получаем, что / непрерывна в точке tx. Но из определения слабой сходимости вытекает, что /(z/) = g(y) во всех точках у, где / и g непрерывны, поэтому / и g на множестве 1Х совпадают всюду, кроме, быть может, счетного числа точек. Выберем последовательность t^ 1 при к —у сю, чтобы

f^v^g^xy(ю)

Устремляя в (10) к к бесконечности, получим по лемме 1.2.2, что

K^)=g(xA

и, поскольку f,g еМ^(а), то f(x) = g(x). Лемма доказана.□

При 1 = 1,2 назовем семейство функций FCAf^cr) слабо относительно компактным или слабо предкомпактным, если из произвольной последовательности из F можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность.

Докажем следующий многомерный аналог теоремы Хелли.

Теорема 1.2.1. Пусть i = 1 или i = 2. Для того чтобы семейство функций F CMt(G) было слабо относительно компактным, необходимо и достаточно, чтобы для каждого х eG

SUp |/(х)| < ОО.(11)

Доказательство. Заметим, что слабая предкомпактность семейства F С M^G) равносильна слабой предкомпактности семейства F\ = ^g- g = —f Л Е F^ С М^(G), а (11) выполнено тогда и только тогда, когда

sup |g(x)| < ОО, gEFx

поэтому без ограничения общности будем считать, что / = 1. Положим а = {г: х < х < z/} при фиксированных х,у Е G, х < у, и пусть F2 есть совокупность всех сужений функций f из F на множество а. Заметим, что при этом F2 СТИ^(сг), так как F CM^GY Покажем первоначально, что из (11) следует слабая предкомпактность F2. Пусть Q — множество всех векторов из ст с рациональными координатами, Q = V^r2, • • •}, ^k = = (аЩу..) = ЧХЛЛкСЛ-Л i®KN и ЧиЛ^Н^ — произвольная фиксированная последовательность из F2. Заметим, что f (%) ^ /(г) ^ < /(у) для любой t Е F2 и хЕ а. Поэтому в силу (11) существует такая константа с, не зависящая от / е F2 и х Е а, что |/(г)| < с при / е F2 и х Е а. Из последнего замечания сразу следует, что \ЛД ^с для произвольных j,k eN . По критерию предкомпактности в R°° [8, с. 299] существует такая последовательность натуральных чисел (&(/), / Е NY что при / —> оо

ak(j) й Е R°°.

В терминах функций Д это значит, что для каждого г Е Q и некоторой функции р на Q при / —> оо

fkU^^rY(12)

Положим

f(x) = inf(y)(r): X < г, г eQY(13)

Заметим, что / Е М^Л). В самом деле, если r,s Е Q и г < s, то в силу (12) p(F) ^ ^(s). Пусть и, о Е а, и < о, тогда выберем произвольные r,s Е Q, такие, что и < г < о < s. Поскольку p(F) < ^(s), то, переходя в последнем неравенстве к нижней грани по s > щ получим согласно (3), что

(14)

Поэтому для доказательства монотонности / осталось заметить, что

/ (и) = inf(y)(r), и < г < о, ceQY(15)

так как (14) доказано для призвольных г Е Q таких, что и < г < и. Докажем (15). Допустим, что (15) не выполнено, тогда в силу (13)

inf(c/p(r): и < г,г е Q) < inf(^(r), и < г < и, г EQY

Если это так, то существует г > и, г е Q, но г ^ Д = {г: и < х < и, х е Q}, что ^(r) < y)(s) для каждого зеД. Но заметим, что найдется такое s Е А, что s <г\ множества {г: и < х < у} и {г: и < х < г} — непустые открытые (лемма 1.2.1) и их пересечению принадлежит вектор и(1+г) при достаточно малых е > 0 (в силу того, что ^(1 +г) > и при £ > 0 и v — и^ 1 + в) = (у — и) — ей Е G и г — и^ 1 + в) = (г — и) — ие Е G при достаточно малых в), следовательно, ^(s) < F^rY Противоречие.

Итак, / монотонна. Далее, покажем, что f(u) = f(u+Y Заметим, что в силу условия (13) для каждого е > 0 найдется такое г Е Q, г > и, что ф^ — г < /(м) ^ /(+). Поэтому при х <у<г, уЕа ^ подавно /(^+) — е < <t^ ^f(u+Y Из произвольности е следует, что ^и^ = /(^+). Значит, / бТИ^(сг). Покажем, что

tk^p ^ /, j OQ.

Пусть / непрерывна в точке и Е а, тогда при x<u<r<u<s<y и r,s Е Q

fkiiAO с fk(jAu) ^^^^^^^

Устремляя / к бесконечности и пользуясь соотношением (12), устанавливаем, что

Пшзир/ед(и) ^ y?(s),(16)

11т1п1/ед(и) ф(О.(17)

Из (16) следует, что

НшзирД(у)(^) < inf(^(s), s>x, sEQ)=f(x).(18)

Взяв от правой части (17) нижнюю грань по всем г Е Q и пользуясь соотношением (15), получим, что

ПтшГ/ед^) >/(и),

откуда в силу непрерывности f в и следует, что liminf/ft(/)(u) ^f(u).

Из (18) и (19) следует теперь, что при / —> оо

Таким образом, слабая предкомпактность F^ показана.

Зафиксируем u,v € G, и <и. Заметим, что

G = ^J ат,mEN

где ат = {г: и/т < z < mv}. Действительно, пусть z е G. Тогда в силу того, что G открыто, существует такое 5 > 0, что z-Vh G G и u-\-h Е G при \h\ < 5. Но, поскольку G — конус, то то — z Е G тогда и только тогда, когда o — z/m Е G. Поэтому z Е ат, если окажется, что z — u/m Е G и o — z/m Е G, что будет иметь место в случае, когда max5

\ т т )

или при т ^ 5~х max(|u|, |г|).

Пусть Д — произвольная последовательность из F. Выберем из нее подпоследовательность (f^yp j Е N) такую, чтобы для некоторой функции Дц eAf+^O было

fkyyM ^АрМ при /^оо

в каждой точке х Е а\ непрерывности функции f^. Из последовательности (k\(f), / EN) выберем такую подпоследовательность (k2(jY / ЕЛ^), чтобы для некоторой функции Д2)(х) е7И^(сг2)

kinW f^Y i ж,

в каждой точке х непрерывности функции ^- Продолжая этот процесс дальше, мы получим, что

/ып(х) ^/mW> /^оо,(20)

для некоторой подпоследовательности k^mMY / Е N^ в точках х непрерывности некоторой функции Дт) е7И^(сгт). Заметим, что по лемме 1.2.3 Дт)(х) = /щ(х) при т> / и х Е at. Определим функцию /(%) следующим образом: /(%) = ^т)М при х Е ат. В силу предыдущего замечания такое определение / корректно. Пусть х — точка непрерывности f. Тогда найдется такое т, что х Е ат, и из (20) следует, что

Лд/)^) fwto = /Ч)’ / °°>

в силу того, что (^/(/), / Е N) по построению есть подпоследовательность последовательности ^m^Y / Е N) и ат есть окрестность точки х, в которой Дт)(у) =f(yY У Е ат, и, следовательно, f(m)(z/) тоже непрерывна в х. Итак,

Ц(1)М =^/(х), j^oo.

Обратно, пусть F слабо предкомпактно. Предположим, что (11) не выполнено. Тогда существует х Е G такое, что для некоторой последовательности (f^, к Е N) С F

|^(х)|^ос, к^оо.

Без ограничения общности будем считать, что

k^oa.

Как было замечено в доказательстве леммы 1.2.3, монотонная функция не может иметь на луче 1Х = {у: у = tx, t > 0} более счетного числа точек разрыва, поэтому существуют такие t\, t^, 0 < t\ < 1 < ^2 < ос, что / непрерывна в точках t\x и t^x и, так как ^(^х) ^tk^ ^ fk(W) при к Е N, то, устремляя к к бесконечности, получим, что

ДМ < liminf^(x) < limsup^(x) ^KVY

Противоречие. Теорема доказана.□

Все меры, рассматриваемые далее, за исключением особо оговоренных случаев, будут считаться неотрицательными, сг-аддитивными и сг-конечными, определенными на 5-кольце 21 всех ограниченных борелевских множеств из Rn.

Мы будем говорить, что последовательность мер (^, к Е М) слабо сходится к мере pi и писать, что рк ^ Г (к ос), если ^(Л) —> —> ^(Л) (к —> ос) для каждого Л Е 21 такого, что р^ЭА) = 0 (здесь и далее через ЭА обозначается граница множества Л). Также мы будем говорить, что совокупность мер М слабо относительно компактна или слабо предкомпактна, если из каждой последовательности мер из М можно выделить слабо сходящуюся.

Относительно слабой сходимости мер справедливы утверждения, аналогичные ранее доказанным для монотонных функций. Мы выделим здесь только одно (см. [135, разд. VIII.6]).

Теорема 1.2.2. Семейство мер М слабо предкомпактно тогда и только тогда, когда для каждого А е 21

sup ^(Л) < ос.

Выражение «мера U на Г» будет означать в дальнейшем, что мера U сосредоточена на Г.

Для множества А С Rn и t > 0 положим tA = {у: у = tx, х Е Л}.

Пусть дана некоторая мера 17. Введем семейство мер (Ф^, t > 0):

$^) = ^,(21)

где p(f) — некоторая правильно меняющаяся функция одной переменной, ind р = 7 > 0, Д € Л. Положим

At = Ц: х е Rn, |х| < Q, Bt = Ц: % е Rn, |х| < Q, t> 0.

Лемма 1.2.4. Пусть для некоторой меры Ф

Ф^Ф, ^ос.(22)

Тогда для произвольного и>0

ф^ао = Ф(М) = о.

Доказательство. Для каждого и > 0

ПтМФ.(Ди) < Ф(Д.) < Ф(В.) < ПтзирФ.Ш. (23)

Поскольку границы множеств At и Аи при и ^ t не пересекаются, то всегда найдется такое v > 0, что Ф(ВДД = 0, а следовательно, Ф(ЭВД = = 0. Тогда в силу определения слабой сходимости мер будет иметь место равенство

Д™ ФМ) = Ф(ДД = Ф(ВД = Дш ФДВД.(24)

Заметим, что согласно (21) для каждого и > 0

Нтт1Ф,(Д„) = ПтЫФг (-А,) = liminf ^“("^„/„(Дв) =

t—^ооt—^оо\ у Jt—^ооРЫ)

= Нт Ф,(Л0) (25) \ У / >ОО

И

НтзирФДВы) = Нт ФДВв).(26)

<-5-00\и /

Теперь из соотношений (23)-(26) следует, что Ф(ДД = Ф(В^), т. е. что

Ф(ЭДЫ) = 0. Лемма доказана.□

Вместо (21) и (22) будем иногда писать кратко, что

U^t^/р^ => Ф, t —> оо.

Многомерные тауберовы теоремы типа Карамата

Пусть Г — замкнутый выпуклый острый телесный конус в Rn с вершиной в нуле (см. начало раздела 1.1). Положим

Т = Г* = ^у: у еВУ(у,х)>0 УШ}.

Конус Т называется конусом, сопряженным конусу Г. Конус Т тоже будет замкнутым острым выпуклым и телесным (см. [25] или [26]). Поэтому C = int7 ^ 0. Преобразования Лапласа и Лапласа-Стилтьеса функции и и меры U на Г обозначаются соответственно через

и^ и U<X\

и^ = e'^iAxW, U^= e4MU(dx)

Гг

в предположении, что они существуют при А > а для некоторого а ЕТ (напомним, что последнее неравенство означает, что X — а Е С; см. начало раздела 1.2). Для удобства все меры в дальнейшем будем считать сосредоточенными в Г.

Положим также G = int Г, через А будем обозначать замыкание множества А С Rn. Будем писать, что А <С Г, если А С G = intF. Обозначим |Д| меру Лебега множества А С Rn. Для двух функций /(х) и ^(х), заданных при х Е Г, |х| > а для некоторого а ^ 0, мы будем писать, что /(х) ~g(x) при |х| —> ос, если

> 1 при х —> ОО.

Пусть заданы некоторая мера U и функция и^ ^ 0, локально интегрируемая в Rn по мере U, тогда через u^U^dx^ будем обозначать меру V, определяемую равенством

V(A) = u^U^dx^

А

для каждого ограниченного измеримого множества А С Rn.

Следующая теорема является обобщением известной теоремы единственности для одномерного преобразования Лапласа мер [135, гл. XIII, разд. 1, теор. 1а].

Теорема 1.3.1. Пусть для мер U и V существуют их преобразо- ~~т

вания Лапласа U^ и У (А) при А > а для некоторого а еТ, причем

U(X) = V(X) Х> а.

Тогда U = V.

Теорема 1.3.1 следует из формулы обращения для преобразования Лапласа [26, гл. I, разд. 2.5, формула (5.3)]. Мы здесь приведем независимое доказательство этого факта.

Доказательство. Пусть

т

Н = Rn -Ei(a-EC) = {г: г = x + iy, х Е Rn, у > а},U^= A^Uidx), 7(г) = e^V^dxY zeH.

ГГ

Функции U^ и V(z) являются аналитическими функциями в области Н (см. [24]). По условию теоремы

[/(А) = У(А)=ц;(А) М Х> а.

По теореме единственности для аналитических функций многих комплексных переменных [140, с. 32] Щг^ = ¥^. Следовательно,

= e^V^VXdxX \/veRn, V Х> а,

Гг

откуда

e^Ux<dx^ e^x}Vx{dxY(1)

гг

где

Ux(dx) = —-U<dxY Vi(dx) = ——V<dxYw(A)сДА)

Ho U\ и l/i — вероятностные меры, а условие (1) говорит о том, что их характеристические функции совпадают, значит, U\ = 14. Итак, мы получили, что для каждого ограниченного борелевского множества Л

e"MU<dxX =(2)

АА

Заметим, что мера U абсолютно непрерывна относительно меры 1/. Действительно, если В е Л таково, что 1/(В) = 0, то согласно (2)

e-MUkdxX = O,

В

и, значит, U(В) = 0, поскольку е_С,Л > о для каждого х е В. Следовательно, U(dx) =/(%)!/(dx) для некоторой функции f(xY Но из (2) следует тогда, что

e-^f(xW(dx) = e"MV<dxYАА

или е-^4'^^ = е~{Х'х} 1/-почти всюду в силу единственности с точностью до множества 1/-меры нуль производной Радона-Никодима меры e~lx^V^dxY Значит, /(х) = 1 1/-почти всюду, и, стало быть, U = 1/. Теорема доказана.□

Сужением меры U, заданной на 21, на борелевское множество a CRn мы будем называть меру 1/, определенную на 5-кольце всех множеств В е 21 таких, что D С а равенством 1/(В) = U(DY

Следующая теорема является обобщением на многомерный случай известной теоремы непрерывности для преобразования Лапласа [135, гл. XIII, разд. 1, теор. 2а].

Теорема 1.3.2. Пусть (Uk,k eN) — последовательность мер на Г.

Если для некотрого а Е Т существуют преобразования Лапласа

UkW ЧХ>а, \/kEN,

и при оо

(3)(3)U^X^ —> щ(А) < оо V А > а,

(3)

(3)

то щ(А) является преобразованием Лапласа некоторой меры U на Г и U^^U при к оо.

Обратно, если Uk ^ U при к —> оо и Uk^ ограничено, то т выполнено соотношение (3) и для меры U существует при А > а -т

преобразование Лапласа U(А) = щ(А) при А > а.

Доказательство. Начнем с доказательства пункта 2). Выберем такую последовательность ^ f оо, чтобы было U^dA^ = 0, где Ак = = {х: х Е Rn, |х| < ^}. Пусть U^ и U^ — сужения мер Uk и U на Ат соответственно. В силу определения слабой сходимости мер для каждого т Е N U^ => при к —> оо, следовательно (см. [7]), при к —> оо

e^^U^dx^^ e~^x^U(dx) \/mEN,X>a. (4)

АтAm

T

Поэтому при A > a

e-^Ayk^x^= pm е-а^Щбх^ = m—>oo

ГAm

= lim lim е-(А,х)Щ^х) < КгпзнрЩа) < oo. (5) m^ook^oo Jk^oo

Am

Для произвольных k,m eN, A > a

\ubw-uw\^\ubw-uw\^e-^-^U^dxH e"MU<dxVe-^-^U^dxH e"MU<dxVe-^lMdx)e-^lMdx)e"^U<dx^Ame"^U<dx^Am(6)(6)

\ubw-uw\^

\ubw-uw\^

e-^-^U^dxH e"MU<dxV

e-^-^U^dxH e"MU<dxV

e-^lMdx)

e-^lMdx)

e"^U<dx^

Am

e"^U<dx^

Am

(6)

(6)

где Вт = Г\Ат. Заметим, что при h = А — а

e'^-^U^dx^ sup е"(М • Д(а) ^ c.e-WM.xeB„) 0(7)

vхЕВт

Вт

при т —> оо равномерно по k е N для некоторой постоянной с < ос, так как в силу того, что h ЕС и ^ f оо,

inf (Л,%) > tm inf (h,%) —> оо, т —> оо, хСВтхЕВ

где В = {%: х е Г, |х| = 1}.

Пусть е > 0. Выберем такое т Е N, чтобы для произвольных к Е N было

e"MUk(dx) < е/3, e-^UObO < е/3

втвт

(это можно сделать согласно соотношениям (5) и (7)). Для полученного т согласно (4) можно выбрать такое ко, чтобы при к^ ко

e-^’^U^dx^Атe-^’^U^dx^Ате-Ми^Ате-Ми^Ат<е/3.<е/3.

e-^’^U^dx^

Ат

e-^’^U^dx^

Ат

е-Ми^

Ат

е-Ми^

Ат

<е/3.

<е/3.

Поэтому из последних трех неравенств и соотношения (6) следует, что при к ко ^^(А) — ^7(A)| < е, что доказвает пункт 2) теоремы 1.3.2.

sup[4(A)> keNsup[4(A)> keNааВ предположениях пункта 1) теоремы 1.3.2 для каждого ограничен- т ного борелевского множества А С Rn и произвольного А > а

sup[4(A)> keN

sup[4(A)> keN

а

а

e-^U^dx) ^ Uk(A) • inf e”^, хеА

откуда по теореме 1.2.2 следует слабая предкомпактность последовательности мер U^. Если подпоследовательность U^p ^U (j ^ ос) для

некоторой меры U, то согласно пункту 2) теоремы 1.3.2 при / —> ос

Д(/)(А)^Г(А) V А > а,

следовательно, (/(А) = щ(А), и по теореме 1 у последовательности U^ имеется только одна предельная точка U в смысле слабой сходимости, причем U^ = uj^XY Таким образом, U^ U (к ос). Теорема доказана.□

Нижеследующие две тауберовы теоремы яляются многомерными аналогами известных тауберовых теорем И. Карамата [227-229]. Введем переменные t и т, связанные соотношением tr = 1.

Теорема 1.3.3. Пусть для меры U на Г существует преобразование Лапласа U^X\ А е С, и R^ — правильно меняющаяся на бесконечности функция.

Если

и^/Е{ф^Ф, ^ос,(8)

то для каждого ХеС

U(tX)/RW -> ^(А) < ос, гО,(9)

где

<А) = Ф(А) VAeC.(10)

Если (9) выполнено для некоторой функции ф, то имеют место также соотношения (8) и (10) для некоторой меры Ф на Г.

Доказательство. 1) Пусть выполнено (8). Заметим, что и(тХ)/Е(ф есть преобразование Лапласа меры U(t-)/R(tY Поэтому по теореме 1.3.2 для доказательства (9) и (10) достаточно проверить, что U(rd)/R(t) ограничены при t —> ос для каждого а е С. В самом деле, пусть

ОЦх:хеГ |%|^1}, В^^ПГ.

Тогда

Г(та)= e4aT’^U<dx') = ^2 e-^U<dxY

Гk^Ak

где А^ = ДДО = (2ktD\2k-XtD^ ПГ при k е N и До = (^) ПГ. Заметим, что (ат,х) т|х|и^ьевФгЬ) 2^-1c при х е А^, kEN, где с = = inf^5((2,b) > 0, так как а Е С = intr*. Как показано в лемме 1.2.4, Ф(ЭВ) = 0, следовательно,

U(tD)/R(t)^(D) ^ос.

Пусть U(tD} < KR(f) при t to, где Ф(В) < К < ос, тогда при t "> to

ив^ [/(^)+52 uokto^ < k<r<b+52 е"Йк"' R^bY kENkEN

Отсюда следует [135, разд. ХШ.5, соотн. (5.11)], что U(ra)/R(t) ограничены.

Пусть выполнено (9). Тогда (8) и (10) следуют сразу из пункта 1) теоремы 2. Теорема доказана.□

Теорема 1.3.4. Пусть для некоторой функции и^ > 0, заданной и измеримой на S, и^ < ос для каждого Хе С.

Если R(t) правильно меняется на бесконечности, при Хе С

XtX>/RW -а ^(А) < ос, ос(11)

и и(х) = f(x) • g(x), где f Е Rs(G) (см. разд. 1.1) и g монотонна в области G (см. разд. 1.2), то при х eG

u(tx)tn/R(t) ^ р(х) < oq, t^oo,(12)

и существует мера Ф наГ такая, что

Ф(^) = p(x)dx eG и Ф(А) = ^(А) VAeC. (13)

Если и еТ?2(Г) и ind^ > — п, то имеют место (11) и (13), где р = На(и) и R(t) = Ни^а) для каждого a eS (см. разд. 1.1), причем в этом случае заведомо Ф(ЭГ) = 0.

Пусть R(t) правильно меняется на бесконечности и выполнено (11). Если для произвольных векторов xt,x Е G таких, что Xt —> х (t —> ос)

(u(tx^ - u(tx))tn/R(t) —> 0, t —> ос,

то имеют место (12) и (13) для некоторой функции р на G и некоторой меры Ф на Г.

Замечание 1.3.1. Если в теореме 1.3.4 Ф(ЭГ) = 0, то согласно (13) будет выполнено равенство

^(А) = ^(А) < ос V А Е С.

Доказательство теоремы 1.3.4. Положим U(dx) = u(x)dx.

Пусть выполнены предположения пункта 1) теоремы 1.3.4. Тогда по теореме 1.3.3 существует такая мера Ф на Г, что

t —> ос.t —> ос.U(b) ж

t —> ос.

t —> ос.

=^> Ф,R(G

Таким образом, для произвольного множества Д Е 21, такого, что

Ф(ЭД) = 0

U(tA)"Ж"U(tA)"Ж"' u(ty)£. R(GА' u(ty)£. R(GАау^Ф(А),ау^Ф(А),t —> ОС.t —> ОС.(14)(14)

U(tA)

"Ж"

U(tA)

"Ж"

' u(ty)£

. R(G

А

' u(ty)£

. R(G

А

ау^Ф(А),

ау^Ф(А),

t —> ОС.

t —> ОС.

(14)

(14)

Возьмем произвольный вектор а Е S. Положим

у eG, t>0.у eG, t>0.. / х бНуУЧ'М пЛи) — R(t>

у eG, t>0.

у eG, t>0.

Заметим, что для каждого t > 0 функция ht(y) Е M+(G), так как g Е EM+(G). Покажем, что для каждого х Е G существует такая константа сх < ос, что при достаточно больших t

(15)(15)htO < сх.

(15)

(15)

Если g неубывает, то для произвольного шара D с вершиной в точке х такого, что D С G и Ф(ЭЕ) = 0,

Ф(£>) = hm ay ^limsup ht(y)dyf-i-ooj R^t^oo J №«)

DDi

y^D f(ta)y^D f(ta)(16)(16)

y^D f(ta)

y^D f(ta)

(16)

(16)

где Dx = {у: у E D, у > %}. Пусть Ha(j) = ^i. Тогда по теореме 1.1.2 в силу непрервности и положительности функции уд существуют b > 0 и ф > 0 такие, что для всех > Ф

. г /to)infy^D f(ta)

откуда следует, что при ^ > Ф выполнено (15) с сх = ^^. Если же g не возрастает, то в силу таких же оценок

Фф)^\О2\1пГ-МнАх),

yED f(ta)

где D2 = {у: у G D, у < %}, следовательно, (15) выполнено при ^ ф, где

Х b\D2\'

По теореме 1.2.1 множество функций \h^x\ t^ ф} слабо относительно компактно. Пусть при ф f оо

(17)(17)htk ^ h, к —> оо.

(17)

(17)

Покажем, что функция cpx(x)h(x) есть плотность меры Ф по мере Лебега в G. Пусть множество Л <^ Г, Л Е 21. Тогда существуют такие г г

£> 0 и А >0, что для произвольных х Е Л га < х < Ха. В самом деле, если бы для произвольного £ > 0 существовало такое х Е Л, что х — — ае Е Е = Rn \G, то нашлись бы такие последовательности х^ —> х Е Л и е^ —> 0 при к —> оо, что х^ — ае^ Е Е. Переходя к пределу по к —> оо, получим в силу замкнутости Е, что хеЕ. Противоречие.

Аналогично, если для каждого А > 0 выполнено аХ — х Е Е для некоторого х Е Л, зависящего от А, то найдутся такие последовательности А^ —> оо и х^ —> х Е Л, что аХ^ — х^ Е Е или а — х^/Х^ Е Е. Устремляя к к бесконечности, получим, что аЕЕ. Противоречие.

Итак, найдутся такие векторы u,d eG, что для всех х Е Л верно и < х < v. В силу теоремы 1.1.2 найдется такое ^ > 0 и константа с > 0, что при t^t\ и х еА

В силу (15) и монотонности ht при достаточно больших ^ > ^2 и х Е А

имеем ht^ < тах(сы,су). Поэтому при t ^ max(^,^) и х е Д

u^txYnRWu^txYnRWTrYt(x) с • max(cu,cB\ fYOTrYt(x) с • max(cu,cB\ fYOПо теореме Лебега в силу (17) и (18)По теореме Лебега в силу (17) и (18)^^dx—> px(x)h(x)dx, k^oc.AA^^dx—> px(x)h(x)dx, k^oc.AA(18)(19)(18)(19)

u^txYnRW

u^txYnRW

TrYt(x) с • max(cu,cB\ fYO

TrYt(x) с • max(cu,cB\ fYO

По теореме Лебега в силу (17) и (18)

По теореме Лебега в силу (17) и (18)

^^dx—> px(x)h(x)dx, k^oc.

AA

^^dx—> px(x)h(x)dx, k^oc.

AA

(18)

(19)

(18)

(19)

Допустим, что Ф(ЭД) = 0. Тогда наряду с (19) выполнено (14) и, следовательно,

Ф(Л) = px^h^dx.

Согласно последнему соотношению функция h пределятся по Ф однозначно с точностью до множества Лебеговой меры нуль. Однако согласно (17) h е M+(GY т. е. должно быть h(x) = h(x+Y так что h определяется по Ф однозначно. Действительно, если hx.h^ 6 M+(G) и hi(x) = ^(х) почти везде в G, то для произвольного х е G существует такая последовательность хДх при к—>ос, что hx^x^ ^h^x^Y Переходя в последнем равенстве к пределу по к —> ос, получим по лемме 1.2.2, что h\{x+) = Н^^х^ или йДх) = Й2(х). Поэтому, используя независимость предела h от последовательности (^, к eNY получим, что ht^h (t —у ос), т. е. что для произвольной точки х Е G непрерывности h

g(tx)r(t) h(xY t^oo, (20)

где r^ = tnf(td)/R(t) правильно меняется на бесконечности. Для произвольных х Е G, А > 0, // > 0 таких, что h непрерывна в точках Ах и цх,

ЦХх) = lim g(tXx)r(f) = lim g(bpix}rt~¥oob^-oo

- ) lim g(bpix}r(b} = A /6^-00

или

(21)

где а = indr. Положим а = {у: у Е G, у — точка непрерывности /г}. Тогда согласно (21) и лемме 1.2.2

/г(х+) = lim /г(Ах) = рак(рх)А4-1, Хх^сг

ии

и

и

Л(х_) = lim h^Xx^ = pah^pxY

Afi, ХхЕа

По той же лемме 1.2.2 h непрерывна в х. Итак, (20) выполнено для всех х е G. Положим р = p\h. Тогда из (20) и того, что / е R^GY

следует, что

fu^tx^RWfu^tx^RW-^АА,-^АА,^ —^ ОС,^ —^ ОС,

fu^tx^RW

fu^tx^RW

-^АА,

-^АА,

^ —^ ОС,

^ —^ ОС,

при х Е G. Пункт 1) теоремы доказан.

Пусть и Е R2(Г). Для некоторого вектора а Е S положим

R(t) = tnu(taY p = Ha(uY L^x) = u^/p^xY р = шбр.

По теореме 1.1.2 L Е ^(Г). Заметим, что при х Е S

0 < р^ = \х\рр ||х|^ max у>(6).

\|х|/ ЬеВ

Следовательно, при е < пРр функция |x|-£(^(x) локально интегрируема на S по мере Лебега, так как р > —п. Для каждого такого е > 0 и произвольного Д е 21, Д С Г,

(ДМ)"Ж"(ДМ)"Ж"А((х)А((х)' u(tx) [ L(tx) ах = р(х)dx,J ДО J L(ta)' u(tx) [ L(tx) ах = р(х)dx,J ДО J L(ta)ААААL(ta)L(ta)

(ДМ)"Ж"

(ДМ)"Ж"

А((х)

А((х)

' u(tx) [ L(tx) ах = р(х)dx,

J ДО J L(ta)

' u(tx) [ L(tx) ах = р(х)dx,

J ДО J L(ta)

А

А

А

А

L(ta)

L(ta)

U(tA^"ЖU(tA^"ЖU(bD)"ЖU(bD)"Жsup \у\ЕЦу^sup \у\ЕЦу^rLita)rLita)^(х)|х| £dx =А^(х)|х| £dx =А

U(tA^"Ж

U(tA^"Ж

U(bD)"Ж

U(bD)"Ж

sup \у\ЕЦу^

sup \у\ЕЦу^

rLita)

rLita)

^(х)|х| £dx =

А

^(х)|х| £dx =

А

где u(f) = u^taY Пусть b > 0 таково, что для каждого компакта К С {%: х ES, |х| > Ь^

0 < inf А(х) < supA(x) < осхЕКхЕК

(см. лемму 1.1.2). Положим D = {%: х Е Rn, |х| < 1}. Тогда

'xUtx)

р(х)dx

J Uta^

А

= о(1) + (1+о(1)) ^(х)|х| £dx,

А

в силу леммы 1.1.3 и того, что R(t) —> 00 (t —> 00) (ибо ind7?>0).

Следствием последних оценок является то, что для каждого £ Е (0, п+р)

г U(tA) lim sup Z^OO R^г U(tA) lim sup Z^OO R^(^(%)|%| £dx.А(^(%)|%| £dx.А

г U(tA) lim sup Z^OO R^

г U(tA) lim sup Z^OO R^

(^(%)|%| £dx.

А

(^(%)|%| £dx.

А

По теореме Лебега

(^(%)|%| £ dx —> p(x)dx,

АА

Следовательно,

(22)(22)lim sup< dx.

(22)

(22)

A

Оценивая U^tA^R^ снизу, получаем, что

U(tA) > U(bD) R(t)U(tA) > U(bD) R(t)inf \y\ EL(y) r yetA, \y\^binf \y\ EL(y) r yetA, \y\^bt EL(ta)t EL(ta)р(х)\х\£ dxАр(х)\х\£ dxА

U(tA) > U(bD) R(t)

U(tA) > U(bD) R(t)

inf \y\ EL(y) r yetA, \y\^b

inf \y\ EL(y) r yetA, \y\^b

t EL(ta)

t EL(ta)

р(х)\х\£ dx

А

р(х)\х\£ dx

А

для каждого £ > 0, откуда

(23)(23)Hmmi> <pmdx.

(23)

(23)

R(t) V

A

Из (22) и (23) следует, что

U^tA^ m^dx, t ОО.

A

Соотношения (11) и (13) непосредственно следуют из последнего соотношения и теоремы 3. Пункт 2) теоремы 1.3.4 доказан.

Пусть выполнены предположения пункта 3) теоремы 1.3.4. Покажем, что для произвольного компакта К CG существует и равен нулю следующий предел:

lim Нт sup |x-z/H0, х,уЕКlim Нт sup |x-z/H0, х,уЕКu(ty) — u(tx)у(0u(ty) — u(tx)у(0= 0,= 0,(24)(24)

lim Нт sup |x-z/H0, х,уЕК

lim Нт sup |x-z/H0, х,уЕК

u(ty) — u(tx)у(0

u(ty) — u(tx)у(0

= 0,

= 0,

(24)

(24)

где v(t) = t nR^tY Допустим противное, т. е. что найдутся последовательности

^k->yk ^ ^•> ^,

и найдется е > 0 такие, что

(25)(25)u(tkyk) - u(tkxk)

(25)

(25)

y(0

2 А. Л. Якымив

Без ограничения общности будем считать, что Хк —У х 6 К (к^ оо) и 0 < <t\ < t2 < ... < t^ < .... Тогда Ук^ х (к ^ оо). Положим а^ = Хк, 6(0 = = ук при t е \tk, tH\Y тогда а^ —> х, 6(0 —> х при t —> оо, следовательно,

u^aYY - u(tx) ^ u(tb(tY-u(tx) уу(0’у(0

при t —> оо, откуда utMtY-tAtbYY > О, t —> оо. у(0

Пусть при ^ > 0 u^taYY ~ uYbYY у(0<

Последнее соотношение при t = tk, tk^ to противоречит (25). Итак, (24) выполнено. По теореме 1.3.3 для некоторой меры Ф на Г

U(tY/R(Y^<s>, t^oo,(26)

причем Ф(А)=^(А)<оо VAeC.(27)

Зафиксируем произвольное х Е G. Выберем числа (гк > 0, к Е N) так, чтобы Ак = {у'- у Е Rn, \у -х\ < Гк} С G, Ф(ЭАу) = 0. Тогда

uYx)uYx)^ = №’ \tt-Mdy = wv\^ = №’ \tt-Mdy = wv\y(0y(0AyAyU^tAQRWU^tAQRW' u(ty) - uYx)' u(ty) - uYx)AyAyy(0y(0dydy_lU(tAk) \u(.ty) - u(.tx)\1F sup J R(t) уел, у(0_lU(tAk) \u(.ty) - u(.tx)\1F sup J R(t) уел, у(0(28)(28)Из (24) и (28) следует, во-первых, что и0х)/и(0 ограничено при достаточно больших t. Во-вторых, из (28) следует, чтоИз (24) и (28) следует, во-первых, что и0х)/и(0 ограничено при достаточно больших t. Во-вторых, из (28) следует, что. u(tx) Ф(ЛИ ,\uUtj^ — м(^х)|lim sup+ lim sup supt^-oo ^(0 \Ак |t—Foo yEiA^ ^(0. u(tx) Ф(ЛИ ,\uUtj^ — м(^х)|lim sup+ lim sup supt^-oo ^(0 \Ак |t—Foo yEiA^ ^(0Учитывая (24), из последнего неравенства получим, чтоУчитывая (24), из последнего неравенства получим, чтоlim sup< limini u(t) k^-oolim sup< limini u(t) k^-ooФиаW\ФиаW\< (X).< (X).Делая точно такие же оценки снизу, убеждаемся в существовании и равенстве следующих двух пределов:Делая точно такие же оценки снизу, убеждаемся в существовании и равенстве следующих двух пределов:<tx^ Ф(Л^) lim = lim ^оо у(^) к^оо |Л^|<tx^ Ф(Л^) lim = lim ^оо у(^) к^оо |Л^|= ф(х) < (X).= ф(х) < (X).

uYx)

uYx)

^ = №’ \tt-Mdy = wv\

^ = №’ \tt-Mdy = wv\

y(0

y(0

Ay

Ay

U^tAQ

RW

U^tAQ

RW

' u(ty) - uYx)

' u(ty) - uYx)

Ay

Ay

y(0

y(0

dy

dy

_lU(tAk) \u(.ty) - u(.tx)\

1F sup J R(t) уел, у(0

_lU(tAk) \u(.ty) - u(.tx)\

1F sup J R(t) уел, у(0

(28)

(28)

Из (24) и (28) следует, во-первых, что и0х)/и(0 ограничено при достаточно больших t. Во-вторых, из (28) следует, что

Из (24) и (28) следует, во-первых, что и0х)/и(0 ограничено при достаточно больших t. Во-вторых, из (28) следует, что

. u(tx) Ф(ЛИ ,\uUtj^ — м(^х)|

lim sup+ lim sup sup

t^-oo ^(0 \Ак |t—Foo yEiA^ ^(0

. u(tx) Ф(ЛИ ,\uUtj^ — м(^х)|

lim sup+ lim sup sup

t^-oo ^(0 \Ак |t—Foo yEiA^ ^(0

Учитывая (24), из последнего неравенства получим, что

Учитывая (24), из последнего неравенства получим, что

lim sup< limini u(t) k^-oo

lim sup< limini u(t) k^-oo

Фиа

W\

Фиа

W\

< (X).

< (X).

Делая точно такие же оценки снизу, убеждаемся в существовании и равенстве следующих двух пределов:

Делая точно такие же оценки снизу, убеждаемся в существовании и равенстве следующих двух пределов:

<tx^ Ф(Л^) lim = lim

^оо у(^) к^оо |Л^|

<tx^ Ф(Л^) lim = lim

^оо у(^) к^оо |Л^|

= ф(х) < (X).

= ф(х) < (X).

Итак,Итак,

Итак,

Итак,

^ —> ОС.^ —> ОС.(29)(29)u(tx)у(0

^ —> ОС.

^ —> ОС.

(29)

(29)

Покажем, что ^ непрерывна в х. Из (24) следует, что для произвольного £ > 0 найдутся такие 5 > 0 и b > 0, что при \у — х| < 5 и ^ > ^

|мСу) - z/C%)|

Переходя в последнем неравенстве к пределу по ^ —> ос, получим, что 1^0)-<pto| < е.

Далее покажем, что для произвольного компакта KCG (29) выполнено равномерно по х е К. Предположим противное. Тогда найдутся такие х^ 6 К, х^ —> х е К, ^ f ос (к ос), что

—— -^^ >Е0 >0. а(У—— -^^ >Е0 >0. а(У(30)(30)

—— -^^ >Е0 >0. а(У

—— -^^ >Е0 >0. а(У

(30)

(30)

Но в силу (24), (29) и непрерывности <р существует такое т, что при к> т

|ы(^хд) tz(/^x)|.

< Eq 6,

УОН

|<Щ,0-<Щ)| <Е0/3,

лм , х /Q

—— -yw <е0/3, у(^)

что противоречит (30). Таким образом, для каждого множества Д € 21,

^^dy-r v>(y)dy, t^oo.

J y(0 J

AA

Если А таково, что Ф(ЭД) = 0, то из (26) получим, что

'^Су^Ф(Д),'^Су^Ф(Д),t —> ОС.t —> ОС.

'^Су^Ф(Д),

'^Су^Ф(Д),

t —> ОС.

t —> ОС.

Согласно двум последним соотношениям Ф(^х) = yc^dx в G. Учитывая (27), отсюда получаем (13). Теорема доказана.□

Слабо осциллирующие функции

Одним из возможных обобщений правильно меняющихся функций нескольких переменных, рассмотренных в разделе 1.1, являются слабо осциллирующие функции, которые были введены в работе [145]. Они потребуются нам для доказательства многомерной тауберовой теоремы

сравнения в разделе 1.5 и в различных теоретико-вероятностных приложениях в главах 2-5. Для изучения слабо осциллирующих функций нескольких переменных нам понадобится ввести и исследовать свойства последовательностей так называемых асимптотически непрерывных функций.

Пусть D — некоторое сепарабельное локально компактное метрическое пространство. Через г^аД) обозначим расстояние между элементами а и b из D. Везде далее в этом разделе будем считать, что (Нт(хУт Е N) — последовательность комплекснозначных функций, определенных в D.

Определение 1.4.1. Последовательность Qim^x\m Е N^ будем называть асимптотически непрерывной в D, если для произвольного х Е D

hm(y) - hm(x) О (т^ ос,у %). (1)

Лемма 1.4.1. Пусть последовательность (Гт(хУ т Е N) асимптотически непрерывна в D. Тогда для всякого компакта К CD при х,у Е К, г(х,у) —> 0, т —> оо

h-m^x^ — hm^ >• 0.

Доказательство. Предположим противное: пусть существует неограниченное множество L С N и последовательности 5т ^0, хт,ут Е Е К, г(хт,ут) ^6т и е > 0 такие, что для всех тЕГ

| Гт ^Ут ) — Гт ^т ) | Е •

Без ограничения общности будем считать, что хт,ут х Е К (т оо, mEt\ Тогда

\ГтКУт^ ^т^ХтУ \Гт^Ут?) ^т(л) | Т ^^Х^ Гт^Х^ | > 0

при т —> оо, тЕГ, так как последовательность (Гт(хУ асимптотически непрерывна. Полученное противоречие доказывает лемму 1.4.1. □

Теорема 1.4.1. Пусть последовательность (Гт(хУ асимптотически непрерывна в D. Для того чтобы она была предкомпактна в D топологии поточечной сходимости, необходимо и достаточно, чтобы для всякого х Е D

limsup \hm(xy < оо. (2)

Доказательство. Ясно, что условие (2) необходимо. Докажем его достаточность. Пусть выполнено (2) и D’ = {%1,%2^з, • • •} — счетное всюду плотное множество. Методом Кантора выберем такое неограниченное подмножество L С N, чтобы для всех х Е D'

Гт(х) Г(хУ т^оо, тЕГ,Гт(х) Г(хУ т^оо, тЕГ,(3)(3)

Гт(х) Г(хУ т^оо, тЕГ,

Гт(х) Г(хУ т^оо, тЕГ,

(3)

(3)

для некоторой функции 7z(x) на D' с |Л(х)| < ос. Заметим, что для всякого компакта К CD функция 7z(x) равномерно непрерывна на множестве М = КP\D'. В самом деле, по лемме 1.4.1 для всякого £>0 найдутся такие числа / е N и 5 > 0, что для всех х,у е К, г(х,у) < 5, mEN, т> /

\кт^-ктШ<е-(4)

Пусть теперь х,уЕМ. Устремляя в (4) т к бесконечности, получим в силу (3), что \h^ — h^\ г, откуда и следует раномерная непрерывность функции h на М. Далее убедимся в том, что для всякого х Е D\D' существует

lim h(y) = h(x\(5)

yED*

Действительно, пусть для некоторой последовательности хт 6 D’, хт >• X,

и пусть последовательность ут G D' такова, что ут —> х (т ^ оо). Выберем 5 > 0 так, чтобы множество

= \у'У^ D, Нх,У> < Л

было компактом в D. Тогда в силу равномерной непрерывности функции h на множестве K(x,5)C\Df

\НУт) - с| < Мут) - Цхт)\ + |/г(хш) - сЩ О, m н- оо,

откуда и следует (5). Остается показать, что (3) выполнено для всех х е D\D'. Возьмем произвольные х Е D\Df и е > 0. Найдем для них такие / е N и 5 > 0, чтобы для всех т > / и а Е К(х,5)

\hm(x) - hm(a)\ <е/3.

Согласно (5) существует такое а Е D' Г\К(х,6), что

|7г(а) —/г(х)| < е/3.

Для этого а выберем такое k> /, чтобы при всех т> k, mEL, \hm{d)-h{d)\ <е,3.

Тогда для произвольных m^L, т> k,

\Пт(х)-Цх)\ < |/гт(х)-/гт(б/)| + |/гт(б/)-/г(б/)| + |/г(б/)-/г(х)| <е,

что и требовалось доказать. Теорема 1.4.1 доказана.□

Теорема 1.4.2. Предположим, что последовательность Qim^x\ mEN) асимптотически непрерывна в D и для всех х eD при т^ оо

hm(x) —>/г(х) и |/г(х)|<оо.(6)

Тогда функция h^ непрерывана в D и соотношение (6) выполнено равномерно по х еК для произвольного компакта К CD.

Доказательство. Непрерывность h^ следует из соотношений (1) и (6). Допустим, что существуют такой компакт К С D, в > О, последовательность хт Е К и неограниченное множество LCN, что для всякого тЕГ

\h-m^xm^ — h{xm)\ > Е.(7)

Без ограничения общности будем считать, что хт —У х Е К. Поскольку

\hmCiO - Н^т)\ ^ \hmCm^ - Цх)\ + ^„(х) - Л(х)| + \Цх) - Цхт)\,

то в силу асимптотической непрерывности Нт, соотношения (6) и непрерывности 7z(x)

ФДхт^-Цхт^^^, m^oo, т Е L,

что противоречит (7). Теорема доказана.□

Теорема 1.4.3. Пусть D связно и (hm(x^ асимптотически непрерывна. Тогда для произвольного компакта К CD

limsup sup \hm(x) -Лт(у)| < ос.(8)

т^оо х,уЕК

Доказательство. Возьмем произвольные a,b ED. Пусть ^x(f), t Е [0,1]} — непрерывная кривая, соединяющая точки а и Ь, х(0) = а, х(1) = Ь. Положим

Т = ^t; t Е [0,1], limsup \hm(a) - Ит(х(Г))\ = ос}.

Покажем, что Т = 0. В самом деле, пусть Т ^ 0 и положим о = inf Т. Ясно, что v > 0. В силу непрерывности кривой х^ и асимптотической непрерывности (Лт) разность

hm{x{s)) - hm{x{t)) —> 0 при m —> ос, s,t —> v.

Стало быть, найдутся такие k Е N и 5 Е (0,и), что для всех s,t Е Е [u—J,u+J], mEN, m> к

\hm{x^-hm{x^\<\.(9)

Возьмем произвольные t Е [и—5, и) и s е [u,u+J] Г\Т. Тогда в силу (9)

limsup \hm(a)-hm(x(s^\ < 1 + limsup \hm(a) - hm(x(t^\ < oc, m^-oom^-oo

что противоречит нашему выбору s (s еТ).

Итак, Т = 0. Стало быть, для всех афЕВ

limsup \hm(a) - hm(b)\ < ос.(10)

Предположим, что (8) не выполнено, т. е. что для некоторого компакта К С D существует такое неограниченное множество L С N и такие последовательности хт,ут ЕК, что

l^m(-^m) bm(ymY ОС, т > ОС, ИТ Е L.

Без ограничения общности будем считать, что хт —> а Е К, ут b Е К (т —> оо, т Е L\ В силу асимптотической непрерывности Qrm^ отсюда следует, что

l^m(^) — hm(bY —> оо, т —> оо, шеф

что противоречит (10). Теорема доказана.□

Определение 1.4.2. Совокупность функий (ht(xY О ф) асимптотически непрерывна в D при t -^ оо, если для всякого х Е D

ht^ - ht^ —> 0, t —> оо, у —> х.

Замечание 1.4.1. Ясно, что с учетом определения 1.4.2 лемма 1.4.1 и теоремы 1.4.1, 1.4.2, 1.4.3 справедливы с заменой натурального аргумента т Е N на «непрерывный» параметр t t^.

Пусть, как и ранее, Г — конус в Rn с вершиной в нуле, S = Г\{0}, t — неотрицательная переменная.

Определение 1.4.3. Неотрицательную функцию f(x\ определенную при х Е Г, |х| > а ^ 0, мы назовем слабо колеблющейся (на бесконечности в Г), если существует такой вектор е Е S, что f(te} > 0 для всех достаточно больших t и для произвольных х Е S при Xt Е S; Xt х при t —> оо и

/(М-Ж) = °(Ж)).(11)

Если не будет специально оговорено противное, то будем считать в дальнейшем S связным. Для наглядности приведем некоторые примеры слабо колеблющихся функций при п = 1 (Г = 7?^" = {С t^ 0}).

Пусть функция /(%) > 0 определена и дифференцируема при х ^ а ^ 0 и для некоторых действительных чисел а и (3

Тогда / слабо колеблется на бесконечности (такие функции были введены М. В. Келдышем в [60] и использовались в дальнейшем в тау- беровых теоремах; см., например, [269]).

Пусть для всех с > 1 существуют такие константы а,Р и v > 0, что для произвольных X > у > о

с~'(х/у)а < (СЧИЛ < сС/уС-

Тогда / слабо колеблется на бесконечности. Заметим, что для монотонных функций одно из последних неравенств выполнено автоматически (такие условия на монотонные функции / использовались в тауберовых

теоремах, доказанных В.П. Белогрудем, В. И. Мацаевым, Ю.А. Палан- том, Я.Т. Султанаевым в работах [6, 77, 119]; см. также монографию А. Г. Костюченко и И. С. Саргсяна [69]).

Пусть функция /(%) > 0 не убывает и для всех А > 1

11Ш sup = 99(A) < ОС,

>оо f(t)

причем 99(1+) = 1. Тогда / слабо колеблется на бесконечности (такие условия на функцию / использовались в тауберовых теоремах, доказанных У. Стадтмюллером и Р. Траутнером; см. работы [275-277]. Аналогичный пример можно привести и для невозрастающих функций.

Пусть функция / правильно меняется на бесконечности, т. е. положительна, измерима и для всех А > 0 при t —> 00

/(W/(MA)>0, 99(A) < ос.

Тогда / слабо колеблется на бесконечности. Такие функции были введены И. Карамата [226] в связи с доказательством обобщений известной тауберовой теоремы Харди и Литтлвуда [221] в работах [227, 228]. Отметим, что правильно меняющиеся функции сейчас широко применяются в различных областях математики; наиболее подробные сведения о них имеются в книге энциклопедического характера Н.Г. Бингхэма, С.М. Голди и Ж. Л. Тойгельса [181].

Заметим, что слабо колеблющиеся функции могут осциллировать между двумя степенными функциями. Так, например, функция

f(x) = xsin(lnlnx)

осциллирует между х-1 их, но делает это столь медленно, что не выходит из класса слабо колеблющихся функций. Между тем, хорошо известно (см., например, [115] или [181]), что правильно меняющиеся функции осциллируют между хр-£ и хр+£ для произвольного фиксированного е > 0, где р — показатель правильно меняющейся функции. Отметим также, что функции в примерах 1)-3) не являются, вообще говоря, правильно меняющимися. Это показывает общий для них пример функции

1^ = %2+sin(lnlnx)

Для слабо колеблющихся функций справедлива следующая теорема.

Теорема 1.4.4. Пусть функция f слабо колеблется на бесконечности в Г. Тогда для произвольного компакта KCS

limsupsup < оо(12)

^оо ХЕК fU^)

и существует следующий предел*.

|Л^)-/(<х)|lim sup = 0.

5^0, х,уЕК, f(te) t—yoo |х —Z/|^J

Доказательство. Пусть f(te) > 0 при ^ ф. Положим при % е S и ф

пЛх) =

(без ограничения общности считаем, что / определена во всем S). Покажем, что совокупность функций (ht(x\ t ^ t^ асимптотически непрерывна в S при t —> ос (см. определение 1.4.2). В самом деле, допустим противное: а именно, пусть существуют такие последовательности tm —> 00, хт е S, хт —> х е S при т —> оо и е > 0, что для всех mEN

\f(tmXm) — f(tmX) I(14)

Будем считать при этом также,что ф < ф < ф < .... Положим х^ = хт при tE [^Дт+О- Ясно, что x(t) —> х (t —> 00). Согласно (11) должно быть

/(Щ0)-/СЛ = <>№)) (^оо).

Полагая в последнем соотношении t = tm, получим, что

fCm^m) ~НСх) =o(f(tme)) (т^оо),

а это противоречит (14). Итак, совокупность функций kh^x\ t ^ t^ асимптотически непрерывна в S. Поэтому из теоремы 1.4.3 (см. замечание 1.4.1) следует, что для всякого компакта KCS

lim sup L < 00.(15)

^°°х,уек f(te)

При необходимости расширив компакт К на одну точку, без ограничения общности будем считать, что е Е К. Ясно, что

t^ \f(tx)-f(te)\

Сhl.(lb)

Поэтому (12) следует из (15) и (16) с учетом того, что е ЕК. Соотношение (13) является простым следствием леммы 1.4.1 и асимптотической непрерывности совокупности функций (ht(x^), t^ ф). Теорема доказана.

Замечание 1.4.2. Из (11) следует, что для всех А > О, xtsx е S,

xt —> х, при ^ —> ОС

>0 (t —> ос).

Действительно, f(txt)-f(tx) fWXHxtX-'^-fWXKxX"'^ ;0 t<tXe>f(tXe)

при Моев силу (11).

Следствие 1.4.1. Если f слабо колеблется (выполнено (11)), то для всех 0 < а < b < ос

Ochmini mi .

^оо Ае[яУ] ^(te^

В самом деле, при т = ^А

W = /(те) = /^тЩе» \ " ‘ > с f(te) [(тХ^е)\ /(те)/

для некоторого с > 0 и всех достаточно больших t в силу (12).

Отметим, что, если S несвязно и / слабо колеблется в Г, то (12) может быть не выполнено.

Действительно, положим Г = Rx, f(x) = 1, х < — 1; /(х) = Inx, х > 1. Нетрудно заметить, что для / выполнено (11) с е = — 1, т. е. / слабо колеблется, однако при t —> ос

Иными словами, (12) не имеет места.

Дадим определение слабо осциллирующих функций.

Определение 1.4.4. Функцию /(х), определенную и положительную при х е Г, |х| > а ^ 0, мы назовем слабо осциллирующей (на бесконечности в Г), если для всех X/, х е S, xt ^ х при t —> ос,

f(txt}/f(tx} 1 (^ос).f(txt}/f(tx} 1 (^ос).(17)(17)

f(txt}/f(tx} 1 (^ос).

f(txt}/f(tx} 1 (^ос).

(17)

(17)

Замечание 1.4.3. В определении слабо осциллирующей функции достаточно считать, что (17) выполнено для всех х 6 S, |х| = 1.

В самом деле, если |х| = 1 и выполнено (17), то для произвольного положительного о

{(tvxtVf^vx) = /((^)х/)//((^)х) ^1 (t^ ос).

Теорема 1.4.5. Пусть функция f слабо осциллирует на бесконечности. Тогда имеют место следующие утверждения*.

функция f слабо колеблется, причем (11) выполнено для произвольного вектора е Е S;

для всякого компакта KCS выполнены следующие соотношения*.

О < liminf inf l^L lim sup sup(18)

^oo x^EK^ty^ t^oo x,yEKf(ty)

существует следующий предел*.

lim5^0,lim5^0,supx,yEK,k-t/|<5supx,yEK,k-t/|<5/(^)/(^)/(^)/(^)= 0.= 0.(19)(19)

lim

5^0,

lim

5^0,

supx,yEK,k-t/|<5

supx,yEK,k-t/|<5

/(^)

/(^)

/(^)

/(^)

= 0.

= 0.

(19)

(19)

Доказательство. Если (19) не выполнено, то найдутся такие s > 0 и последовательности ^ f ос, х^ —> х, у^ —> х при к —> ос, что

|/(Ш)//(^)- 1| ^£>0.

Если мы теперь положим а(/) = ^ и b(t) = у^ при t € [^,^+1)> то получим, ЧТО при t = t^

\HMtyywy-v\^e>0.

Однако согласно (17)

ЛМО) /(МО) /М)1 Z, X

> 1 U —> ос).

НМ^ f(tx) f(tb(t)) v 7

Полученное противоречие доказывает (19).

Возьмем произвольные векторы x,yES. Согласно (19) существуют такие £ > 0 и to > 0, что

|/(И//(^)-1|<1/2

для всех a,b El, \а — Ь\ < е при t to, где / = {г: г = x(t), t Е [0,1]} — непрерывная кривая, соединяющая точки х и у,х(0) = х, %( 1) = у, I С S. Выберем т EN так, чтобы су^Х/т^ ^ е, и положим

х\=х^т\ %2 = х^!т\ ..., хт_\ = х^т - Х^ т\

где го (б) — модуль непрерывности кривой x(t). Тогда

от >f(txm-l) /1V,9т

' fyxvV"" yty) / W( }

Предположим, что (18) не выполнено. Тогда найдутся такие последовательности t^ ос, Xk,yk Е К, что при к —> оо

/(^)//(^) ОО.

Без ограничения общности будем считать, что хк —> х 6 К, ук у Е К при к —> оо. Согласно (19)

f(tkxk) > 1 НкУк) 1

/(М’/(^у)

при к —> оо. Поэтому

/(Мf^Xk) f(tkx) f{tkyk)

= . .> ос

КШf(tkyk) f(tkXk) f{tky}

при к —> оо, что противоречит (20). Таким образом, (18) доказано.

Пусть xt,x,e ES, xt ^х при t —> оо. Согласно (18) существуют такие с > 0 и to > 0, что при t ^ to

f(tx)/f(te) > с.

Тогда при t to

\f(txd-f(tx)\ < \f(txt)-f(tx)\ = 1 ДМ _ 1f(te)cf(tx) с f(tx)

Из последнего соотношения следует, что (11) выполнено для произвольного вектора е Е S. Теорема доказана.□

Пользуясь теоремой 5, получаем следующий результат.

Следствие 1.4.2. Формулируемые ниже утверждения равносильны*.

функция f слабо осциллирует;

(11) имеет место для всякого ветора е Е S;

(11) имеет место для всякого вектора е Е 8, |е| = 1;

для некоторого вектора е ES выполнено (11) и для всех х Е 8, 14 = 1

lim inf —- > 0.^ОО Д^)

Напомним, что конус Г называется телесным, если intГ ^ 0.

Следствие 1.4.3. Пусть f слабо колеблется на бесконечности в Г {выполнено (11)). Тогда существует такой телесный конус R с вершиной в нуле, что е Eva.tR и f слабо осциллирует на бескончности в ГпТ?.

Доказательство. Пусть для / выполнено (11). Тогда согласно (13) существуют такие б > 0 и to > 0, что при всех t ^ to, х Е 8, |х — е\ < д, lf(tx)/fOe)-U<V2.(21)

Положим R = {у: у = Хх, х Е В, А > 0}, где В = {х: х Е Rn, |х — е| < J}. Ясно, что R — телесный конус, е Е intT?. Возьмем произвольный вектор

у E SCAR, у - Хх для некоторого А > 0 и х е В. Согласно следствию 1.4.1 существует такое t\ > 0, что при всех t^ t\

(22)(22)f(tXe)/f(te)>c>0

(22)

(22)

для некоторой константы с. Из (21) и (22) следует, что

/Су) _ /(/Ах) /САО > с

т ~ /САО ' f^ ' 2

при t ^ шах(ф/А,С). Пользуясь следствием 1.4.2, отсюда получаем

следствие 1.4.3.

Ясно, что в одномерном случае слабо колеблющиеся функции являются слабо осциллирующими. Следующий пример показывает, что при п > 1 это не так. В самом деле, положим

Г = {х = (%1,Х2), О, Х2 > 0},/(%)=%! при Х1 > 0, /(%) = 1п%2 при Х1 = 0,

где х = (%i,%2) С Г. Нетрудно проверить, что для / выполнено (11) с е = = (1,1), т. е. / слабо колеблется. Однако при х = (0,1)

/Cx)//(te) = ln(0A —> 0, t —> оо,

и, значит, / не является слабо осциллирующей.

Следующая теорема обобщает известную интегральную теорему представления для правильно меняющихся функций из [115].

Теорема 1.4.6. Если конус Г замкнут, то

функция f слабо колеблется на бесконечности в Г тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде

(23)(23)f(x) = Л(х)ехр

(23)

(23)

V

х е Г, |х| > b > 0, причем /г(х) слабо колеблется на бесконечности в Г, е^ измерима и

sup 7z(x) < оо, sup |е(01 < оо;sup 7z(x) < оо, sup |е(01 < оо;\х\^ь\х\^ьt^bt^b

sup 7z(x) < оо, sup |е(01 < оо;

sup 7z(x) < оо, sup |е(01 < оо;

\х\^ь

\х\^ь

t^b

t^b

функция f(x) слабо осциллирует на бесконечности в Г тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде

|х| > b > 0, х е Г, причем е^ измерима,

sup |?7(х)| < оо, sup |е(0| < ос

\x\^bЩЬ

и функция ехр(ц(х)) слабо осциллирует на бесконечности в Г.

Доказательство. При п = 1 теорема 1.4.6 следует из соответствующего утверждения для RO-меняющихся функций1) [115, теор. П.1].

Пусть п > 1 и функция / слабо осциллирует на бесконечности в Г. Возьмем некоторый вектор е 6 S. Представим / в виде

№\еУМ 1

В силу замкнутости Г множество В = {%: х Е Г, |х| = 1} является компактом. Отсюда и из теоремы 1.4.5 вытекает, что

О < lim mi< lim sup< осkHoo f(\x\e) |хНоо f(\x\e)

и функция /(x)/f(|х|е) слабо осциллирует как отношение двух слабо осциллирующих функций. Остается, воспользовавшись справедливостью теоремы в случае п = 1, представить /(|х|е) в виде (24). Пункт 2) доказан. Доказательство пункта 1) аналогично. □

Следствие 1.4.4. Пусть конус Г замкнут и функция ^х) слабо осциллирует на бесконечности в Г. Тогда существуют такие действительные числа а,0, Ь>0, с > 0, с^> 0, что для всех t^b и е е Г,

(25)(26)(25)(26)сокГ < ЕР- < c\xf Vxer; И^1,

(25)

(26)

(25)

(26)

со|Щ С ф|« V х е Г: bit < |х| < 1. /Се)

Доказательство. Согласно представлению (24) при t^b, |е| = = 1, |х| > 1 для некоторых констант с и (3

t\x\

ттexp p(tx) — p(te) +exp p(tx) — p(te) +' e(u)au

т

т

exp p(tx) — p(te) +

exp p(tx) — p(te) +

. и

< сехр< сехр( Цх\ 'Р -duJ и( Цх\ 'Р -duJ и= сехр(/31п |х|) = с^х^.= сехр(/31п |х|) = с^х^.

< сехр

< сехр

( Цх\ '

Р -duJ и

( Цх\ '

Р -duJ и

= сехр(/31п |х|) = с^х^.

= сехр(/31п |х|) = с^х^.

Если же b/t ^ |х| ^ 1, то при t^b и |е| = 1 для некоторого действительного а

Ж)тЖ)т^ с exp^ с exp//Цх\Цх\du иdu исехрсехрЙ^1Й^1

Ж)

т

Ж)

т

^ с exp

^ с exp

/

/

Цх\

Цх\

du и

du и

сехр

сехр

Й^1

Й^1

□□Левые части неравенств (25) и (26) доказываются совершенно анало

□

□

гично.

Замечание 1.4.4. Согласно следствию 1.4.4, если конус Г замкнут, то для каждой слабо осциллирующей на бесконечности в Г функции /(%) следующие величины:

sup{oc а е R, 3 Ь,с > 0 | V t b, V % е S,

&/^ М 1, f (t^/f (te) < c|x|Q}, inf{/3: PeR, 3b,c>0^t>b,VxeS, M > 1, f^/Rte) ^ c\x\9Y конечны и не зависят от вектора е Е S. Они будут в дальнейшем обозначаться через ind_ / и ind+/ соответственно.

В заключение настоящего раздела отметим еще один класс функций, который будет использоваться нами в тауберовых теоремах.

Определение 1.4.5. Пусть для всех ^ > ф > О определена некоторая положительная функция r(t\ Комплекснозначную функцию f (%), определенную при х Е Г,|х| > а ^ 0, назовем r-медленно колеблющейся (на бесконечности в Г), если для всех x,xt Е S и xt —> х при t —> оо выполнено

tCxtVt^ = oCWY(27)

Отметим два важных частных случая (27). Во-первых, при г^ = 1 и Г = {^: ^ ^ 0} приходим к широко известному понятию медленно колеблющейся функции (см., например, [96] или [97]). Во-вторых, при /(х) > 0 и г^ = /(^) для некоторого е Е S получаем уже ранее рассмтривавшийся класс слабо колеблющихся функций (см. определение 1.4.3). Справедлив следующий результат.

Теорема 1.4.7. Пусть функция f(x) r-медленно колеблется на бесконечности в Г. Тогда для произвольного компакта К CS

\f(ty)-f(tx)\

limsup sup < оо,(28)

t^-oo х,уЕК rW

существует и равен нулю следующий предел*.

|/Сх)-/Су)| п lim sup 1 = 0.(29)

^ОО Х^уЕК, |x-z/|<Jг(0

Доказательство теоремы 1.4.7 совершенно аналогично доказательству теоремы 1.4.5.□

Близкие классы функций в одномерном случае рассматривали Н.Г. Бингхэм и Ч.М. Голди [179, 180], Л. де Хаан [213], И. Л. Ге- люк и Л. де Хаан [205], Л. де Хаан и У. Стадтмюллер [218]. Так, в книге И.Л. Гелюка и Л. де Хаана [205] измеримая функция f;R+^ -^R называется асимптотически сбалансированной, если существует функция a*. R+ R+ такая, что

р\х) = hmsup< оо V х > 1,

^оо а^

фрЧ = lim inf> —оо V х > 0,

^оо а^

и существует xq > 1 такое, что

фрч = hmini> 0 V х > xq.

^оо

Еще более общие классы функций рассмотрены в статьях Н. Г. Бингхэма и Ч.М. Голди [179, 180]. Здесь предполагается только, что функция р^х\ определенная выше, конечна на множестве х из [1,оо), имеющем положительную меру Лебега.

Различные вероятностные приложения имеют изученные Л. де Хааном [213] так называемые ^-меняющиеся функции — частный случай асимптотически сбалансированных, для которых р^ = ф^ = = In % V х > 0. тг-меняющиеся функции двух переменных изучал Е. Омей [252]. Отметим также, что слабо осциллирующие функции одной переменной в связи с приложениями в теории восстановления недавно изучали В. В. Булдыгин, О. И. Клесов и Ж. Г. Стейнбах в работе [184].

Многомерная тауберова теорема сравнения

Пусть Г — замкнутый выпуклый острый телесный конус в Rn с вершиной в нуле (см. начало раздела 1.1), Г* — сопряженный к Г конус:

Г* = {z/: yeRnSy,x^Q VxeE}.

Сохраним обозначения раздела 1.3: S = E\{0}, G = intE, С = intE*;

записьзапись

запись

запись

г г

х г у с<у)

означает, что х^у—х е Г (х е Г, у,у—х е G); преобразования Лапласа и Лапласа-Стилтьеса функции / и меры F на Г обозначаются соответственно через /(А) и /ДА):

7(A) = g-Mj^dx, FW= e"MF<dx^

Гг

с

(в предположении, что они существуют при А > а для некоторого а е Г*). Поскольку преобразование Лапласа-Стилтьеса сводится к преобразованию Лапласа, а именно:

F(A)=/(A)/T(A), АеС,(1)

г

где f (х) = F^y; у < х}, 1(A) — преобразование Лапласа функции, тождественно равной 1, то мы будем доказывать тауберовы теоремы только для преобразования Лапласа.

Прежде чем формулировать и доказывать многомерные тауберовы теоремы, докажем следующие две теоремы непрерывности.

Теорема 1.5.1. Пусть комплекснозначные функции fm(x),f(x) определены и измеримы в Г, |/т(х)| < ^(х) для всех х е Г и т е N, причем для некоторого а ЕС

р^а) < ос(2)

/mW->/W ^Р^ т ос почти всюду в Г ^отностиельно меры с

Лебега). Тогда для всех А > а и т Е N существуют преобразования Лапласа fmWJW и

fmW^fW ^Р^ т^оо.

Доказательство. Ясно, что fm,f интегрируемы по Лебегу на произвольном множестве А вида А = {х: х Е Г, |х| ^ ^} и существуют --с

преобразования Лапласа fm(X) и /(А) при А > а. Далее, по теореме Лебега

(3)(3)е ^fm(x)dx^ е ^f(x)dx,

(3)

(3)

АА

для всякого АеС. Зафиксируем некоторые А > а и е > 0. Для этих А

и е выберем такое t, чтобы

е ^x^p(x^dx ^е,3, в

где В = Г\Д. Тогда

щ(х)е (Л,х) dx < в/3,щ(х)е (Л,х) dx < в/3,щ(х)е ^ dx в/3.щ(х)е ^ dx в/3./mtoe ^dx

щ(х)е (Л,х) dx < в/3,

щ(х)е (Л,х) dx < в/3,

щ(х)е ^ dx в/3.

щ(х)е ^ dx в/3.

В

tVxy-^ dx

в

Согласно (3) выберем такое к Е N, чтобы при т^к было

^WM^W <в/3.

В силу приведенных неравенств для всех т ^ к будет выполнено неравенство

Теорема доказана.□

Теорема 1.5.2. Пусть последовательность комплекснозначных функций tm^x\ определенных в Г, асимптотически непрерывна в D (D = G или D = S) (см. определение 1.4.1) и |fm(x)| < ^(х) для всех т Е N и х Е D, причем для функции ^(х) и некоторого а е Г* с

выполнено (2) и, кроме того, для всех А > а при т ^ оо

UX^uo(Xy МА)|<оо.

Тогда существует такая определенная в D функция f(x) с конечным с

преобразованием Лапласа |/(А)| < оо при Х> а, что для произвольного компакта К CD равномерно по х еК

fm(x)^f(x) при пг^оо,

-с

причем ш(Х) = /(А) для всех А > а.

с

Доказательство. Возьмем произвольные х Е D и А > а. Тогда для достаточно больших т> к

^ИГ1^ИГ1e^UAdy +И|-‘Аe^UAdy +И|-‘Ае ^UklMy <Ае ^UklMy <Ае-^Ых)-НШДу+\АГ'\Гт\(ХИе-^Ых)-НШДу+\АГ'\Гт\(ХИ

^ИГ1

^ИГ1

e^UAdy +И|-‘

А

e^UAdy +И|-‘

А

е ^UklMy <

А

е ^UklMy <

А

е-^Ых)-НШДу+\АГ'\Гт\(ХИ

е-^Ых)-НШДу+\АГ'\Гт\(ХИ

< sup VmAVA (у) 1 + И1 ЩА)<С<ОО, уЕА

где А = ^у; у Е D, |у — х| < в}, |Д| — мера Лебега А и в > 0 выбрано надлежащим образом. Стало быть, последовательность ^т(х\ т Е N} предкомпактна в D в топологии поточечной сходимости (теорема 1.4.1). Пусть для некоторого неограниченного множества L С N и всех х Е D при т —> оо, т Е L,

(4)

Тогда по теореме 1.5.1 при mEL и т —> оо

7т(А)^7(А) с-

для всех А > а. Стало быть, /(А) = щ(А). Так как f непрерывна (теорема 1.4.2), то она однозначно определяется своим преобразованием Лапласа щ(А). Поскольку предельная функция в (4) не зависит от выбора подпоследовательности L С N, то на самом деле (4) выполнено при т —> оо, т Е N. Причем из той же теоремы 1.4.2 следует, что (4) выполнено равномерно по х Е К для произвольного компакта К С D. □

Сначала мы докажем следующую тауберову теорему типа Литтлвуда (см. [239]).

Теорема 1.5.3. Пусть функция г^ правильно меняется на бесконечности с показателем -у> —п (см. [115]), функция f(x) г-медленно колеблется на бесконечности в Г (см. определение 1.4.5) и для всех ХеС |/(А)| < оо. Тогда справедливы следующие утверждения:

если для всех ХеС при ос

|^(А)|<оо,(5)

то для каждого х Е S при ос

/(/х)/г(0->у(х), |<^(х)| < оо,(6)

причем для всех ХеС существует ^(А) и

W =(7)

если имеет место (6), то для некоторой функции ф(Х) выполнены также соотношения (5) и (7);

в предположениях каждого из пунктов 1), 2) функция р^ непрерывна и однородна в S со степенью однородности у (т. е. p(tx) = Гр^ при t > О и х е S\ а соотношение (6) выполнено равномерно по х еК для произвольного компакта KCS.

Доказательство. Зафиксируем некоторое £>0 так, чтобы выполнялись соотношения у — е> —п. Из интегральной теоремы представления для правильно меняющихся функций следует (см. [27]), что найдется такое ф > 0, что для всех ф и u^t^lt

< r^ut^/r^ < g(u\(8)

где g(u) = и^£ при и > 1 +£, g(u) = ш"£ при и < 1 - е, h^ = и^-е при и > 1 +г, h^ = и^£ при и < 1 — е и функции g(u) и h(u^ принимают некоторые постоянные значения на отрезке [1— в, 1+е].

Докажем сначала пункт 2). Согласно соотношению (4.28) и соотношениям (6) и (8) существуют такие ф > ф и с < ос, что для всех t ^ ф, х е Г, |х| > ф Д при Т = t\x\

\fW\ _ \f(tx)\ r(t\x\) < |/(тх/|х|)|

ДО r(t\x\) r(f) г(т) g

« kI) + ЬЖЖЖ! ,г(И) 5 ^1) (9)

для некоторого e e S. При ^ ф и x e Г положим gt^ = f (tx)/r(f) при |x| > ф/ф gt^ = 0 при |x| < ф/t Заметим, что совокупность функций ^фх\ t ^ ф} асимптотически непрерывна в S при t —> ос (см. определение 1.4.2 и замечание 1.4.1), причем согласно (6) и (9) для всех х е S при t —> ос

gtC)

и при ^ > ф |^(%)| < cg(|x|). Для функции g(|%|) существует, очевидно, преобразование Лапласа в С. Поэтому по теореме 1.5.1 для всех А е С

gt(X^pW, t^oo.(10)

Но при t —> ос

e-Wt^[Mt-ndJ г(0 И \y\^tie-Wt^[Mt-ndJ г(0 И \y\^ti&(А)= [ ^e-^dx

e-Wt^[Mt-nd

J г(0 И \y\^ti

e-Wt^[Mt-nd

J г(0 И \y\^ti

J г<^

ужfr^ужfr^lt/l<hlt/l<htnr^fr^tnr^fr^+ 0(1),+ 0(1),(11)(11)\x\^tx/t

ужfr^

ужfr^

lt/l<h

lt/l<h

tnr^fr^

tnr^fr^

+ 0(1),

+ 0(1),

(11)

(11)

так как tnr^ —у ос при Моо и

е (X,t'y}f(y)dy1Ж<1е (X,t'y}f(y)dy1Ж<1\Ky)\dy = const.1Ж<1\Ky)\dy = const.1Ж<1

е (X,t'y}f(y)dy

1Ж<1

е (X,t'y}f(y)dy

1Ж<1

\Ky)\dy = const.

1Ж<1

\Ky)\dy = const.

1Ж<1

Теперь требуемое вытекает из соотношений (10) и (11). Пункт 2) теоремы доказан.

Докажем теперь пункт 1). Точно так же, как и в пункте 2), устанавливаем, что для всякого ^ > 0 при t —> ос

Ц^ ЕЕЦ^ ЕЕJ г(0J г(0(12)(12)

Ц^ ЕЕ

Ц^ ЕЕ

J г(0

J г(0

(12)

(12)

Зафиксируем некоторый вектор е Е S. Допустим, что существует

неограниченное множество Т С (0,ос), что

miДОmiДО—> +ос,—> +ос,t —> ос, t ЕТ.t —> ос, t ЕТ.

mi

ДО

mi

ДО

—> +ос,

—> +ос,

t —> ос, t ЕТ.

t —> ос, t ЕТ.

Без ограничения общности будем считать, что существует неограниченное множество Т\ СТ такое, что

I Ref (MlДОI Ref (MlДО—> +ос,—> +ос,t —> ос, t ЕТ\,t —> ос, t ЕТ\,

I Ref (MlДО

I Ref (MlДО

—> +ос,

—> +ос,

t —> ос, t ЕТ\,

t —> ос, t ЕТ\,

в противном случае можно перейти к функции f-f). Можно также считать, что найдется такое неограниченное множество Т2СТ\, что

(13)(13)Ref (М/ДО ~+°с, t —> ос, t Е Т2

(13)

(13)

(в противном случае можно перейти к функции —f). Далее, согласно (8), (12) и (4.28) существует ^з > t2 такое, что для любого т^Т

$С\Ме-М(1х =

J r(0

V\^T^

=^Г!2 ■ ^^"^^е^е-^’хЧх^ЦН = 0(1) (14)

.r(0r(Z|x|)

V\^T^

при t H- oo. Согласно (13) каждому M > 0 мы поставим в соответствие некоторое т = т(М), чтобы при t ^ т, t ЕТ^, было

Ж)г(0

Тогда в силу (8) и (15)

Re 1 1УЖеЧХ.х) dx = [ ReM*>.

J ПНJ rRM)

\x\^T/t\x\^T/t

r(0

^Мe-Mh(\x\)dx.

\x\^T/t

Поэтому

M e~ax)/i(M)dx.ГM e~ax)/i(M)dx.Гliminf Redx

M e~ax)/i(M)dx.

Г

M e~ax)/i(M)dx.

Г

t^oo, tEr J r^\х\^тЦ

Положим ^4 = т(0). Мы только ослабим неравенство, если запишем,

чточтоliminf Ret —^ оо, t Е Т^\x\^t4/tliminf Ret —^ оо, t Е Т^\x\^t4/tf(t\x\e)ЧПf(t\x\e)ЧПe-^dx^M e4X'x)h<\x\)dx.Гe-^dx^M e4X'x)h<\x\)dx.Г

что

что

liminf Re

t —^ оо, t Е Т^

\x\^t4/t

liminf Re

t —^ оо, t Е Т^

\x\^t4/t

f(t\x\e)

ЧП

f(t\x\e)

ЧП

e-^dx^M e4X'x)h<\x\)dx.

Г

e-^dx^M e4X'x)h<\x\)dx.

Г

Так как левая часть последнего неравенства не зависит от М, то

Re\х\^4рRe\х\^4рl^Me dx -^ +оо приг(01l^Me dx -^ +оо приг(01ос, t ETs.ос, t ETs.

Re

\х\^4р

Re

\х\^4р

l^Me dx -^ +оо приг(01

l^Me dx -^ +оо приг(01

ос, t ETs.

ос, t ETs.

Последнее противоречит (14). Стало быть,

hmsup< ос.

^оо г(0

Поэтому точно так же, как и в пункте 2), устанавливаем справедливость соотношения (9). Дальнейшее сразу следует из теоремы 1.5.2. Пункт 3) с учетом доказанного также является простым следствием теоремы 1.5.2.□

Для двух конусов Г1 и Г2 будем писать Г1 ^ Г2, если замыкание множества {х: х еГь |х| = 1} содержится в intT2. Основным результатом настоящего раздела является следующая многомерная тауберова теорема сравнения.

Теорема 1.5.4. Пусть для некоторых неотрицательных функций /(х) и g(x\ определенных в Г, существуют их преобразования Лапласа /(А) и g(A) при А Е С, функция f(x) слабо осциллирует на бесконечности в Г (см. определение 1.4.4), ^(х) = r(x^h(x\ где функция г(х) монотонна в G (см. начало раздела 1.2), функция h(x) слабо осциллирует в G и ind_ / > — п (см. замечание 1.4.4). Если для некоторого телесного конуса Cq ^С и всех А е Со

то для произвольного конуса Го X Г g(%)//(%)—> 1 при |х| —> оо, х е Го-(17)

Настоящая тауберова теорема обобщает тауберовы теоремы В. С. Владимирова [25] и У. Стадтмюллера и Р. Траутнера [275-277].

Доказательство. Предположим противное, а именно, что существует последовательность хт е Го такая, что \хт\ —> оо ^т оо)

и для некоторой константы с ^ 1, 0 ^ с ^ оо,

^х^Кх^ ^с, т^оо.^х^Кх^ ^с, т^оо.(18)(18)

^х^Кх^ ^с, т^оо.

^х^Кх^ ^с, т^оо.

(18)

(18)

Положим хт = tmem, где tm = \хт\, ет = хт/\хт\. Без ограничения общности будем считать, что ет —> е е В = {%: х е Г, |х| = 1} при т —> оо. Заметим, что е е G, так как Го Г. Далее, при А е Со

tWQ = еtWQ = еVMU^dx = t^fCm)VMU^dx = t^fCm)гг' №пХ^ f(imCm) Г' №пХ^ f(imCm) Ге ^dx.е ^dx.(19)(19)

tWQ = е

tWQ = е

VMU^dx = t^fCm)

VMU^dx = t^fCm)

г

г

' №пХ^ f(imCm) Г

' №пХ^ f(imCm) Г

е ^dx.

е ^dx.

(19)

(19)

Заметим, что последовательность функций

&т(хЗ = f ^тХ)/f ^Хт)

является асимптотически непрерывной в S (в смысле определения 1.4.1). В самом деле, в силу теоремы 1.4.5 и теоремы 1.4.4

йт(х) - а^ = — = (1 + о(1))— = о(1) (20)

f(tmem)f(tme)

при m^oo,y^x,x,yES. Далее, согласно следствию 1.4.4 существуют такие а, 3,1 ^ 0, с\ > 0, — п < а 3 < что Для всех t I и т Е N

(21)(21)f(tx)/f(tem) < р(х\

(21)

(21)

где

ПоложимПоложимЬщ^х^ —Ьщ^х^ —^(х) =^(х) =при |х| > 1,при |х| > 1,при l/t < |%| < 1.при l/t < |%| < 1.^т(^)Ьщ^Х^ — 0^т(^)Ьщ^Х^ — 0при |%| > Ihm, При |%| < Ihm-при |%| > Ihm, При |%| < Ihm-В силу (20) последовательность функций ^Ьт^х\ т eN^ асимптотически непрерывна в S, причем для всех т Е N согласно (21)В силу (20) последовательность функций ^Ьт^х\ т eN^ асимптотически непрерывна в S, причем для всех т Е N согласно (21)Ьт^ < р<х>Ьт^ < р<х>(22)(22)и, так как а > — п, то ^(А) < оо для всех А Е С. Учитывая теоремы 1.4.1 и 1.4.2, без ограничения общности будем считать, что при т —> оо дляи, так как а > — п, то ^(А) < оо для всех А Е С. Учитывая теоремы 1.4.1 и 1.4.2, без ограничения общности будем считать, что при т —> оо для

Положим

Положим

Ьщ^х^ —

Ьщ^х^ —

^(х) =

^(х) =

при |х| > 1,

при |х| > 1,

при l/t < |%| < 1.

при l/t < |%| < 1.

^т(^)

Ьщ^Х^ — 0

^т(^)

Ьщ^Х^ — 0

при |%| > Ihm, При |%| < Ihm-

при |%| > Ihm, При |%| < Ihm-

В силу (20) последовательность функций ^Ьт^х\ т eN^ асимптотически непрерывна в S, причем для всех т Е N согласно (21)

В силу (20) последовательность функций ^Ьт^х\ т eN^ асимптотически непрерывна в S, причем для всех т Е N согласно (21)

Ьт^ < р<х>

Ьт^ < р<х>

(22)

(22)

и, так как а > — п, то ^(А) < оо для всех А Е С. Учитывая теоремы 1.4.1 и 1.4.2, без ограничения общности будем считать, что при т —> оо для

и, так как а > — п, то ^(А) < оо для всех А Е С. Учитывая теоремы 1.4.1 и 1.4.2, без ограничения общности будем считать, что при т —> оо для

всех % е S и некоторой непрерывной функции а(х)

Ьт(х) а(х\(23)

В таком случае по теореме 1.5.1 с учетом соотношений (22) и (23) получим, что для всех А е С при m —>■ оо

(24)(24)МА) -> а^ < оо.

(24)

(24)

Далее, в силу (24)

v /(^m^m)

Г

= bmW+ [ -i^—e"wwdx = a(XHoW (25)

J ^mf Ц-твт)

при m —> оо, так как при |х| —> оо

И^М ^ +°°

в силу следствия 1.4.4 и того, что ind_ / > — п. Далее,

dx.(26)

Г

Поэтому из (16), (19), (25) и (26) следует, что при т —> оо

^^-e"^dx ^а^(27)

J

Г

для произвольного А е Со- Положим

. . h(tmx) . . r(tmx)h(tme)

^mW = ——, Um^ = ——.

h(tme)tv^m)

Ясно, что функции um(x) монотонны в G, а последовательность функций ^ит(х),т Е N^ асимптотчески непрерывна в G. В силу (27) и теоремы 1.3.2 при т —> оо

иДу^Ду) dya^dy,АиДу^Ду) dya^dy,А(28)(28)

иДу^Ду) dya^dy,

А

иДу^Ду) dya^dy,

А

(28)

(28)

г

где А = {у: у Е Г, у ^ х, \у — х| < в}. Заметим, что для некоторой константы С2 < оо и всех т EN

В самом деле, согласно (28) существует eg < ос такая, что для всех т EN

^т^У^т^У^ dy ^ Cg,

А

откуда в силу монотонности и^у) (считаем для определенности, что г^ не убывает)

ит(х) vm(y)dy^c3,

А

um(x)\A\ inf ym(z/) < с3.УЕА1.4.5 существует константа щ > 0 такая, что дляum(x)\A\ inf ym(z/) < с3.УЕА1.4.5 существует константа щ > 0 такая, что дляОднако по теоремеОднако по теоремеи, стало быть,

um(x)\A\ inf ym(z/) < с3.

УЕА

1.4.5 существует константа щ > 0 такая, что для

um(x)\A\ inf ym(z/) < с3.

УЕА

1.4.5 существует константа щ > 0 такая, что для

Однако по теореме

Однако по теореме

некоторого т\ Е N при всех т> т\

• г / \ .г d^tmy^ miут{у) = inf —— >щ. у^АуеА h(tme)

Из последних двух неравенств и следует (29). Положим

Um^dx^ =U^dx) = a^dx.

f(xm)

Тогда согласно (29)

g(tmX)g(tmX)1 f gUmX) =H| J tCm) У~A1 f gUmX) =H| J tCm) У~AUmW 1 f g(tmx) - g(tmy)UmW 1 f g(tmx) - g(tmy)\А\\А\ JА\А\\А\ JАf Cm)f Cm)dy =dy =1й1йUm^A) ^т^У^т^У^ ^т{^}^т{^}} ^У I ^.А/Um^A) ^т^У^т^У^ ^т{^}^т{^}} ^У I ^.А/1й1йUm(A)- (um(x)vm(y) - um(x)v^.А.Um(A)- (um(x)vm(y) - um(x)v^.А.1Й1ЙUm<A) - UmC) (УтО)-утСЧ)<^/ I <.A)^^+C2SUp|um(z/)-ym(%)|.(30)HI y^AUm<A) - UmC) (УтО)-утСЧ)<^/ I <.A)^^+C2SUp|um(z/)-ym(%)|.(30)HI y^AСтало быть, согласно (28) и (30)g(tmx) U(A)hmsup-——- <- + c2limsupsup|^(y)-^(x)|.m^-oo l\Xm) |^|m^-oo y^AСтало быть, согласно (28) и (30)g(tmx) U(A)hmsup-——- <- + c2limsupsup|^(y)-^(x)|.m^-oo l\Xm) |^|m^-oo y^A

g(tmX)

g(tmX)

1 f gUmX) =

H| J tCm) У~

A

1 f gUmX) =

H| J tCm) У~

A

UmW 1 f g(tmx) - g(tmy)

UmW 1 f g(tmx) - g(tmy)

\А\\А\ J

А

\А\\А\ J

А

f Cm)

f Cm)

dy =

dy =

1й

1й

Um^A) ^т^У^т^У^ ^т{^}^т{^}} ^У I ^

.А/

Um^A) ^т^У^т^У^ ^т{^}^т{^}} ^У I ^

.А/

1й

1й

Um(A)- (um(x)vm(y) - um(x)v^

.А.

Um(A)- (um(x)vm(y) - um(x)v^

.А.

1

Й

1

Й

Um<A) - UmC) (УтО)-утСЧ)<^/ I <

.A)

^^+C2SUp|um(z/)-ym(%)|.(30)

HI y^A

Um<A) - UmC) (УтО)-утСЧ)<^/ I <

.A)

^^+C2SUp|um(z/)-ym(%)|.(30)

HI y^A

Стало быть, согласно (28) и (30)

g(tmx) U(A)

hmsup-——- <- + c2limsupsup|^(y)-^(x)|.

m^-oo l\Xm) |^|m^-oo y^A

Стало быть, согласно (28) и (30)

g(tmx) U(A)

hmsup-——- <- + c2limsupsup|^(y)-^(x)|.

m^-oo l\Xm) |^|m^-oo y^A

Переходя в последнем неравенстве к пределу по о О и учитывая асимптотическую непрерывность последовательности функций {от(уУ т е А^}, получим, что

Рg^rr^

lim sup^аух). т^-оо f(xm)

Используя аналогичные (30) оценки снизу (с соответствующим изменением множества Л), получим, что

g(tmx^/f(tmem^a(x^ т^ос.(31)

Заметим, что в силу (23) и определения функций Ьт(х)

1= lim 1М1 = а(е\(32)

При х = е из (31) с учетом (32) получим, что

g^me^ > 1, т —> оо. f {tm^m)

Но при и > 1 в силу (29) с х = не при достаточно больших т

g (\\\\

~~ — ^тубпи^тубпи ^ WmyVe)Cmyem) =

/ Отвщ)

= um(ve)um(ve') + um(i/e)(um(em) - vm(ve)

< иЛ^Ыт^е) + c2\um(em) - Um(i/e)\.

Отсюда

limsup |^f^ /(^g) + C2 limSUp |um(em) - umCe)l, m^oo lytm^m)m—>oo

или, переходя к пределу по v \. 1 и учитывая асимптотическую непрерывность ^от(х\ meN}, получим, что

lim sup< 1.

т—>оо f {tm.em)

Используя точно такие же оценки снизу, получим, что при т —> оо

g^m^mMt^m^m?) = g^m)/f^m)1,

что противоречит (18). Теорема доказана.□

Справедлива следующая абелева теорема.

Теорема 1.5.5. Пусть для неотрицательных функций f(x) и g{x), определенных в Г, существуют их преобразования Лапласа /(А) и gW пРи Х^С, причем для некоторого с > 0 при х —> оо, х е Г

и °° пРи А О, А е С Тогда при А —> О, А е С

Доказательство. Предположим, что с > 0. Ясно, что можно считать, что с = 1. Пусть при |х| > а

Кх^йС'УЛА-бСУь

где |5(х)| < £ при |х| > а. Тогда при А € С

\HX)/gW-l\=^^

g(A)

J(/U)-gW)e MdxГg(A)J(/U)-gW)e MdxГg(A)j yCHgC^e Mdxj yCHgC^e Mdx"^dx"^dxgWgWgWgW

J(/U)-gW)e Mdx

Г

g(A)

J(/U)-gW)e Mdx

Г

g(A)

j yCHgC^e Mdx

j yCHgC^e Mdx

"^dx

"^dx

gW

gW

gW

gW

Отсюда, так как g(A) —> oo при A —»0 (по условию теоремы), следует, ЧТО

limsup |/(A)g(A)- 1| <£,

а-щ, Лес

откуда в силу произвольности £ следует справедливость теоремы при с > 0. При с = 0 доказательство еще проще.□

Мы будем писать, что а(0 х 6(0 при t —> оо, если

0 < liminf0 < liminf«(06(0«(06(0limsuplimsupg(06(0g(06(0< ОС.< ОС.

0 < liminf

0 < liminf

«(0

6(0

«(0

6(0

limsup

limsup

g(0

6(0

g(0

6(0

< ОС.

< ОС.

Следующая теорема сравнивает асимптотики (в грубом смысле) функции и ее преобразования Лапласа.

Теорема 1.5.6. Пусть функция /(я) слабо осциллирует в Г на бесконечности и ind_ / > — п. Тогда для всех А е С и е е G при t -л ос

/(а/ох^/и/(а/ох^/иt^dx,t^dx,

/(а/ох^/и

/(а/ох^/и

t^dx,

t^dx,

Гре)

г

где Г(х) = {у: у < %}.

Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что |е| = 1 (теорема 1.4.5). Так как ind_/ > — п, то в силу следствия 1.4.4 существуют а,Р > —п, Ь > 0, с > 0, со > 0, для которых при t ^ b справедливы неравенства (4.25) и (4.26). Согласно этим неравенствам при t ^ b и At = {%: х е Г, \х^ b/t}

' Ж) еJ /(^)At' Ж) еJ /(^)At^’^ dx^’^ dxе ^h-C^dxAtе ^h-C^dxAt(33)(33)

' Ж) е

J /(^)

At

' Ж) е

J /(^)

At

^’^ dx

^’^ dx

е ^h-C^dx

At

е ^h-C^dx

At

(33)

(33)

ии' /W)

и

и

е J /(к) А,

(Х,х) дх(Х,х) дхMg^dx,Mg^dx,(34)(34)Two<7 (к)Two<7 (к)№0е/(W№0е/(W(A’x) dx(A’x) dx' №0eJ mAt' №0eJ mAt(A'x) dx^r(A'x) dx^r|yK6|yK6.ЩЩЧАЛд).ЩЩЧАЛд)dy =dy =где И^х) = с|хР> g(x) = сьМ“ при |х| ^ 1 и h(x) = с|х|“, g(x) = со|хр при bit < |х| < 1. Так как ind_ / > —и, то tnf(te) н- оо при ^ н- оо. Поэтому

(Х,х) дх

(Х,х) дх

Mg^dx,

Mg^dx,

(34)

(34)

Two

<7 (к)

Two

<7 (к)

№0

е

/(W

№0

е

/(W

(A’x) dx

(A’x) dx

' №0

e

J m

At

' №0

e

J m

At

(A'x) dx^r

(A'x) dx^r

|yK6

|yK6

.ЩЩЧАЛд)

.ЩЩЧАЛд)

dy =

dy =

^■*7 М(/х+о(1), t —7- oo. (35)

Jt^V ’V ’

At

Из (33), (34) и (35) следует, что f(X/t) х tnf(te) при t —> оо. Точно так же убеждаемся, что

tnf (te) х {(x^dx, t ^ ос.

Теорема доказана.□

Приведем еще одну тауберову теорему для двойных последовательностей, которая будет далее использоваться при изучении некоторых классов случайных подстановок. Другие результаты в этом направлении содержатся в работах Л. Алпара [163, 164], а также Е. Омея и Е. Виллекенса [252-254].

Теорема 1.5.7. Пусть для всех и, и е (0,1) конечна функция

А^о) = У^ та-Ха(т^итг)п

т,п^0

(а > 1, а(т,п) ^ 0), причем для произвольных Х,р>^

A (в^Уе"1^ dr^ A““M“7r(a)r(7)(36)

при t ос, где 7 > 0, г^ — некоторая положительная функция переменной t, Г(-) — гамма-функция Эйлера. Если а(т,п) монотонна по т и при п ^ оо, т^п, 1^ п, 1 — п = о(п)

\^2^a(md)/nV(37)

1=0/

то для призвольных х,у >0 при t ос a(tx,ty) r(t)t~x~ay^~x

(при нецелых и,о полагаем a(u,v) = аЦи], [у])).

Доказательство. Как следует из (36) и теоремы 1.3.3, для произвольных х,у > 0 при t -Л ос

(38)

/=0 /=0

Поэтому для произвольных £ > О, х > О, у >0 при ^ ^ ОО

[Ml+7] VtyAа

— Е EZ"“"1£Z<Z’/W —(С+е)"-1)-<39>

Предположим для определенности, что а(т,р не возрастает по т. Выражение в левой части (39) не превосходит

[^(1 +^)] - И / v n/ .X

где т = [^х]. Стало быть,

liminf(tql+e)) > а(т,/) >

>ЕС(1+£)“-1). (40)

Учитывая то, что при ^ —> ос

([^х(1 + е)] — [£х])(£х(1 + e))Q-1 ~ txe(tx( \ +e))Q-1 ~ £(tt)Q(l +e)Q-1, из (40) получаем, что

limmf> ti(m,/)^/r(0 >

нД1 + О

Устремляя е в правой части полученного неравенства к нулю, убеждаемся в том, что

liminf^6z(m,/)^/r(0 > z/7/7-

/=0

Используя суммирование по i от [^х(1—в)] до \txV точно так же получаем, что

VyA

limsup^6z(m,/)^/r(0 < tpК-

Из последних двух неравенств следует, что

VyA y^6z(m,/)^Q/r(0у^ h при t^cxj,(41)

/=0

откуда для произвольного 5 е (0,1)

£ а(т,П1аМП^-0-0-6П.(42)

j=Vty(\-5^

Возьмем произвольное £ > 0. Пусть 5 и to таковы, что при t "> to и l/-[^]| <^z/+l

п

|6z(m,/) - а(т,п)\ Е^^т^М^=о

где п = \tyY Тогда для всех /: [^/(1 — 5)] < / < \ty\ при t ^ to

п

а(т,п) £z(m,/)+ £^(2(т,&)/^,^=о

откуда при М = VtyA - to(l -5)]

пеМ п

а(т,п)-М^ У^ а(т,])^^^(т,/),j=Vty(\-6)п /=о

или же

Лт.п^— 52 a^mJH-'^a^m.jYМ j=[ty(l-S)]П У=0

Отсюда с использованием (41) и (42) выводим, что

a<m,nYX+a 1 Л и /,п7А,£ Л

hmsup<(1 — (1 —о)'н.

1^00г(0 уб 71/7

В силу произвольности е и 5

^оо T\t)Используя аналогичные оценки снизу, ствует^оо T\t)Используя аналогичные оценки снизу, ствуетa<m,nYx+tY ,ИГЛ 3110 ^У •

^оо T\t)

Используя аналогичные оценки снизу, ствует

^оо T\t)

Используя аналогичные оценки снизу, ствует

убеждаемся в том, что суще-

^оо г(^)

Теорема 1.5.7 доказана.□

Теорема 1.5.8. Пусть функция А^и) та же, что и в теореме 1.5.7, имеет место (36), а(т,п) монотонна по т и при п —> оо, т^п, 1^ п, 1-п = о(п)

(

I\

^2а(т^)/п |

1=0/

Тогда при п^ ос и т^п

а(т,п) = О ^г(п)/пНа).

Теорема 1.5.8 доказывается при помощи дословного повторения предыдущих рассуждений.

При исследовании ветвящихся процессов нами будет еще использоваться следующая тауберова теорема.

Теорема 1.5.9. Пусть функция г^ правильно меняется на бесконечности с показателем у > — п, функция /(х) измерима и неотрицательна в Г и r-медленно колеблется на бесконечности в G (см. определение 1.4.5) и /(А) < оо для всех А е С. Если для некоторого телесного конуса Со цС и всех А е Со при t -л оо

/WWHW)<oo,

то для каждого х EG при t -л оо

f(tx)/r(t) -л р(х) < оо.

При этом существует мера Ф на Г такая, что р является ее плотностью в G и Ф(А) = ^(А) V А е С.

Доказательство теоремы 1.5.9 дословно повторяет доказательство пункта 3) теоремы 1.3.4.□

Одномерные тауберовы теоремы

Пусть функции /(0 и ^(0 заданы и положительны при / ^ а > 0. Мы будем писать, что

(1)

при оо, если для произвольного е можно указать такое 6^ е е (0,1), что для любого 6 е (0, Jo) найдется такое ф > 0, что при t^ t^ выполнены неравенства

(l-s)gWl+J))</(0<(H^^

В случае, когда выполнено (1), мы будем говорить, что функции / и g слабо эквивалентны на бесконечности. Ясно, что если g(t^ слабо осциллирует на бесконечности (см. определение 1.4.4), то из (1)

следует обычная эквивалентность /(£) и g(f) на бесконечности: fW~gW при

т. е. что /(0/^(0 —> 1 ПРИ t х.

Сначала докажем следующую тауберову теорему.

Теорема 1.6.1. Пусть при t > 0 заданы функции а^ > 0, Ь^ > > 0, / = 1,2, причем а\^ и Ь\^ не возрастают, а asW и Ь^^ слабо осциллируют на бесконечности. Положим а^ = одY^a^tY b^ =

tt

A(t) = a^du, B(f) = b^du, ^ > 0.

оо

Если d(t) ~ b(t) при t 0+ и для всех A e (0,1) limsupB(A0/B(0 < 1,(2)

mo

a(t)-wb(tY

Настоящая тауберова теорема, как и следующие две, может быть названа тауберовой теоремой сравнения, поскольку в них сравнивается асимптотическое поведение на бесконечности двух функций, а также их преобразований Лапласа. Тауберовы теоремы такого типа были доказаны также У. Стадтмюллером и Р. Траутнером [275-277], Е. Омеем [251], Г. А. Михалиным [80]. Доказательство теоремы 1.6.1 опирается на следующие две леммы.

Лемма 1.6.1. Пусть функция f(tY определенная при О0, слабо осциллирует на бесконечности и локально интегрируема на [0,оо). Тогда функция t

f(u)du

о

тоже слабо осциллирует на бесконечности.

Лемма 1.6.2. Пусть

t

КЬ = g(u)dh(u),

о

где функция g^ >0 не возрастает, а функция h^ >0 не убывает и слабо осциллирует на бесконечности. Тогда f^ слабо осциллирует на бесконечности.

ПриПри^ ^ А > О справедливы^ ^ А > О справедливыДоказательство леммы 1.6.1. неравенства:

При

При

^ ^ А > О справедливы

^ ^ А > О справедливы

(+д(+д(+д(+д| f (и) du - ^ f (и) du| ^u^du| f (и) du - ^ f (и) du| ^u^duоооооо| f(u)du(/2| f(u)du(/2АФ2АФ2sup /(и)//(0uG [(,2(]inf HO/Mueu/2,trsup /(и)//(0uG [(,2(]inf HO/Mueu/2,tr

(+д

(+д

(+д

(+д

| f (и) du - ^ f (и) du| ^u^du

| f (и) du - ^ f (и) du| ^u^du

о

о

о

о

о

о

| f(u)du

(/2

| f(u)du

(/2

А

Ф2

А

Ф2

sup /(и)//(0

uG [(,2(]

inf HO/M

ueu/2,tr

sup /(и)//(0

uG [(,2(]

inf HO/M

ueu/2,tr

при t -л оо и А = о(ф в силу теоремы 1.4.5. Лемма 1.6.1 доказана. □

Доказательство леммы 1.6.2. Пусть А > 0. Тогда справедлива цепочка неравенств:

(+Д g(u)/,db(u) g^ dh^

/(О/(О0(1)0(1)0 < М+ДИО = J<]= h^t + ^-h^

/(О

/(О

0(1)

0(1)

*,)/?(!)-/г(0)

Ц(и)б//г(и) g(f) dh(u)

о0

при t oo,ZX/t 0. Лемма 1.6.2 доказана.Доказательство теоремы 1.6.1. Согласно леммам 1.6.1 функция В(ф слабо осциллирует на бесконечности. Поэтому теоремы 1.5.4 при оспри t oo,ZX/t 0. Лемма 1.6.2 доказана.Доказательство теоремы 1.6.1. Согласно леммам 1.6.1 функция В(ф слабо осциллирует на бесконечности. Поэтому теоремы 1.5.4 при осививAW-BW.AW-BW.□□1.6.2 силу1.6.2 силу(3)(3)Зафиксируем произвольное ф,со > 0, что при ^ > ФЗафиксируем произвольное ф,со > 0, что при ^ > ФА е (0,1). Согласно (2) существуют такиеА е (0,1). Согласно (2) существуют такиеА(О-А(ХОB(t) - B(Xt)А(О-А(ХОB(t) - B(Xt)A(t)-B(tHB(Xt)-A(Xt)A(t)-B(tHB(Xt)-A(Xt)BWBWBWBWпри Мос в силу (3). Стало быть,при Мос в силу (3). Стало быть,a(u)duxta(u)duxt+ Со+ СоB(tX)B(tX)B(tX)"ЖB(tX)"Ждля произвольногодля произвольногоА е (0,1) приА е (0,1) приb^du.xtb^du.xt(4)(4)

при t oo,ZX/t 0. Лемма 1.6.2 доказана.

Доказательство теоремы 1.6.1. Согласно леммам 1.6.1 функция В(ф слабо осциллирует на бесконечности. Поэтому теоремы 1.5.4 при ос

при t oo,ZX/t 0. Лемма 1.6.2 доказана.

Доказательство теоремы 1.6.1. Согласно леммам 1.6.1 функция В(ф слабо осциллирует на бесконечности. Поэтому теоремы 1.5.4 при ос

и

в

и

в

AW-BW.

AW-BW.

□

□

1.6.2 силу

1.6.2 силу

(3)

(3)

Зафиксируем произвольное ф,со > 0, что при ^ > Ф

Зафиксируем произвольное ф,со > 0, что при ^ > Ф

А е (0,1). Согласно (2) существуют такие

А е (0,1). Согласно (2) существуют такие

А(О-А(ХО

B(t) - B(Xt)

А(О-А(ХО

B(t) - B(Xt)

A(t)-B(tHB(Xt)-A(Xt)

A(t)-B(tHB(Xt)-A(Xt)

BW

BW

BW

BW

при Мос в силу (3). Стало быть,

при Мос в силу (3). Стало быть,

a(u)du

xt

a(u)du

xt

+ Со

+ Со

B(tX)

B(tX)

B(tX)"Ж

B(tX)"Ж

для произвольного

для произвольного

А е (0,1) при

А е (0,1) при

b^du.

xt

b^du.

xt

(4)

(4)

и ^(0 слабои ^(0 слабоВыберем произвольное s > 0. Так как функции ^(О

и ^(0 слабо

и ^(0 слабо

осциллируют на бесконечности, то существуют ф >0 и Ji е (0,1) такие, что для всех ^ > ф, ^ € (0,Ji) и и е [сМ] при с = 1 — д выполнены

3 А. Л. Якымив

неравенстванеравенства

неравенства

неравенства

(5)(5)а^и)) >1 Ь^^иХ

(5)

(5)

(22 (01+si’ Mct>

где £i = (1 +S)1/3 — 1. Возьмем произвольное 5 е (0, Ji). Согласно (4) для него найдется такое О > 0, что при ОО

tt

a(u)du < (1 +si) b^du.

ctct

В силу монотонности (2i(0 и МО отсюда следует, что при ОО

tt

МО М^)6^ Ml+е0 ’ ММ b^U^du.

ctct

Из (5) и последнего неравенства выводим, что при ОО

(21 (0^2 (0/ЛхО А / ХА/ X

^ (1 +£1)261(с()б2(с0, 1 +£1

откуда

а(0<(1+Е)-6((1-5)0(6)

при t ^ t2. Так как Л(0 ~ B(f) при ^ —> ос, то по той же причине для произвольного £2 > 0 существует такое §2 Е (0,1 — (1 + Ji)-1), что Для любого 5з е (0,М найдется такое 0 > 0, что при т > 0

^(t)<(1+s2).6z((1-53)t).(7)

Положим в (7)

£2 = (1-£)-1,53=1-(1+5)-1,т=^_=/(1+(?).

С учетом этих преобразований (7) примет вид

Ж1+^))^(1-е)"‘а(0

ИЛИ

(1-£).^(01+5))<^(0(8)

при t 0(1 — ^з) = 0/(1 +5). Из (6) и (7) следует, что при t ^ тах(0,0/(1 + ^)) имеют место неравенства

(X-eyb(t(X^5^ <6z(0<(l +s).b((X-5W

Теорема доказана.□

Как следствие из теоремы 1.6.1 мы выведем следующую тауберову теорему.

Теорема 1.6.2. Пусть функции f(t) и g^ положительны, не возрастают,

limsupg(0/g(20 < оо(9)

и существует такое М, что для каждого фиксированного М

^-7w = o+ow^gw, а ;о.(ю)

а Аа А

Тогда

Замечание 1.6.1. В силу монотонности q^ из (9) следует, что для всех А > 0

. q(Xt)q(Xt)

0 < limint< hmsup< ос,^оо q^ t^oo qW

т. e. функция q^ 7?О-меняется на бесконечности (см. начало доказательства теоремы 1.4.6). Монотонные функции, обладающие этим свойством, известны в литературе под названием мажорируемо меняющихся на бесконечности [115, П.З].

Доказательство. Согласно (9) и теореме П.2 из [115] существует такое п^ М, для которого

liminf-> 0.(11)

^ОО р

ung(u)du

о

t

Для этого п положим а^ = tn^t\ b^ = tng^t\ В^ = ^b^du. Для о произвольного фиксированного с € (0,1)

\ung(u)du g(t)\undu

\ung(u)du \ung(u)du

оо

Из (11) и последних неравенств выводим, что

B(t)-B(ct)lim mt> 0,

откуда следует (2). Поэтому в силу (10) выполнены все предположения теоремы 1.6.1. По этой теореме

tnKt^tng<tY

□□откуда

□

□

Теорема доказана.

Теорема 1.6.3. Пусть функция g(t) не возрастает и выполнено неравенство (9), а функция f(t) дифференцируема при достаточно больших t, причем

ге^ошну t^.ге^ошну t^.(12)(12)

ге^ошну t^.

ге^ошну t^.

(12)

(12)

Если существует такое М, что для каждого фиксированного п^М

dn - ^W = o алdn - ^W = o алdnd\dnd\А^О,А^О,(13)(13)

dn - ^W = o ал

dn - ^W = o ал

dn

d\

dn

d\

А^О,

А^О,

(13)

(13)

то f(t) = o(g(ty при t —> ос.

Доказательство. Возьмем п> — incLg — 1 (см. замечание 1.4.4). По теореме 1.5.6

TngOlb-t^gUY t^^,

где Tng^ = tng^tY Стало быть, согласно (13) при оо

7V(l/0=o(^+1g(0),

что эквивалентно соотношению

е-ххп^ (tx^dx = o^g^Y о

Так как tn+xg(t) -^ ос при t —> оо, то для произвольного b > 0

h = f е-ххп — Дх = 0^\ t^oo.

b/t

По теореме о среднем согласно (12) можно выбрать b > 0 таким образом, чтобы при t^b были выполнены неравенства:

1/С-Ч-/(01 ОоС*" 0^(0 (х > 1),

|/С%)-/(0| < Со(1 -X>g<tx^/x (b/t <х < 1),

где со — константа. В силу этих неравенств

гдегдее Ххп^х — Y^dx +е Ххп^х — Y^dx +е bitе bit18Mdxе(О18Mdxе(ОС =С =J gwbpJ gwbp

где

где

е Ххп^х — Y^dx +

е Ххп^х — Y^dx +

е bit

е bit

18Mdxе(О

18Mdxе(О

С =

С =

J gw

bp

J gw

bp

Поэтому /2 = 0(1) (^ ^ 00). Стало быть,

t —> ОС,t —> ОС,е-^»М(/х = /1_/2 = 0(1), J gMb

t —> ОС,

t —> ОС,

bp

откуда f(f) = O(g(t)) (t -^ 00). Так как 7? + ind_g > 0, то можно считать, что b > 0 выбрано таким образом, чтобы при t^b

(14)(14)(15)(15)КА ^ cgW

(14)

(14)

(15)

(15)

(М<х<1)

где с и ci — некоторые положительные константы и Р-^-п>0 (см. следствие 1.4.4 и замечание 1.4.4). Рассмотрим совокупность функций ft(x) = xnf (tx)/g(f) (х ^ b/t\ ft(x) = 0 (x < b/t) при t^b. Проверим выполнение условий теоремы непрерывности 1.5.2.

При ^^осих^^х>0

WA -Wb = xiHtxMgkA-xnHtxKgkA =

= ^ ^ - %Э + ^-Atktxb=

gWgW

Okg^Xtb nx.0(\V+ \П( (t\!t\l\\

—— -o(l) + —— Axt - tx)O(g(t)/t) = o(l) gWg(0

согласно (9), (12) и (14). Стало быть, совокупность функций VtbX tA А b} асимптотически непрерывна при / —> оо.

В силу (14) и (15) при t^b

ft(x) < cxng<txAgkb < Wb

где <Wb = c\cxn при x A 1, ^W = c\cxn+l3 при bit < x < 1. Так как n + P > 0, то ^(A) < oo для всякого A > 0.

Так как tn^xg^ -л оо при ^ —> ос, то согласно (13)

TnfWtHOWtn+'gwTnfWtHOWtn+'gw= о(1)+о(1)= о(1)+о(1)TngWt^ rxg<t>TngWt^ rxg<t>= 0(1)= 0(1)

TnfWtHOWtn+'gw

TnfWtHOWtn+'gw

= о(1)+о(1)

= о(1)+о(1)

TngWt^ rxg<t>

TngWt^ rxg<t>

= 0(1)

= 0(1)

□□при ^ ^ оо для произвольного фиксированного А > 0. Условия теоремы

□

□

1.5.2 проверены. Теорема 1.6.3 доказана.

Замечание 1.6.2. Как следует из доказательства, для выполнения утверждения теоремы 1.6.3 достаточно, чтобы имело место (12) и (13) было выполнено для некоторого п > — incLg.

Следующая тауберова теорема обобщает известную тауберову теорему для степенных рядов [135, разд. ХШ.5, теор. 5]. Тауберова теорема для асимптотических разложений производящей функции получена также в [17].

Теорема 1.6.4. Пусть последовательность qn ^ 0 не возрастает и

g<O = ^qkSk.

к=Ь

Если для некоторых meN, а> 0 и медленно меняющейся на бесконечности функции L^

(16) dsу 1 -s ;

то при п —У ос

(17)

Доказательство. Из (16) и теоремы 5 из [135, разд. ХШ.5] следует, что при п —> оо

^k^qk ~п“Л(и)/Г(а+1),(18)

^=0

где = k(k— 1)-“(^ —m+ 1). Отсюда следует, что для произвольного фиксированного А е (0,1) при п —> оо

У2 ^т^к~Ь-Х“КЦпЧГ(а+1).(19)

^=[Л/7] + 1

Из (19) и неравенства

&=[Ап] + 1&=[Ап] + 1

&=[Ап] + 1

&=[Ап] + 1

мы получаем, чтомы получаем, что1 хат+1lim sup<lim sup „^Jn'Eln) Г(а+1) п^оо [Ап],'”[(/г-[Аи])1 хат+1lim sup<lim sup „^Jn'Eln) Г(а+1) п^оо [Ап],'”[(/г-[Аи])1-Аа1>+Т)Г5’1-Аа1>+Т)Г5’где 5 = 1 — А. Заметим, чтогде 5 = 1 — А. Заметим, что

мы получаем, что

мы получаем, что

1 хат+1

lim sup<lim sup „^Jn'Eln) Г(а+1) п^оо [Ап],'”[(/г-[Аи])

1 хат+1

lim sup<lim sup „^Jn'Eln) Г(а+1) п^оо [Ап],'”[(/г-[Аи])

1-Аа

1>+Т)Г5’

1-Аа

1>+Т)Г5’

где 5 = 1 — А. Заметим, что

где 5 = 1 — А. Заметим, что

, 1-Аа lim ад Хтд, 1-Аа lim ад Хтд= lim ад= lim ад1-(1~С61-(1~С6

, 1-Аа lim ад Хтд

, 1-Аа lim ад Хтд

= lim ад

= lim ад

1-(1~С

6

1-(1~С

6

поэтому

(20)(20)пт+Ч / а 1hm sup<=.

(20)

(20)

паЦп)Г(а+1) Г(а)

Из (18) следует, что при фиксированном А > 1 и п —> оо

[Ап]

52 ^ЩАа-Щ“ЦП)/Г(а+1).

к=п+Х

Справедливо неравенство

[Ап]

52

к=п-Х-Х

поэтому

m+1 ха 1т+1ха i

qnn л — 1пл — 1

limini>limini=,

++(„)Г(а+1) п^оо [А+^^Аи]-») Г(а+1)Ага5

где <5=А—1. Переходя в последнем неравенстве к пределу по 5 ф 0, получим, что

liminf^— > —-— =.(21)

^оо паЦп^ Г(а+1) Г(а)

Из (20) и (21) следует, что существует lim =,

п^оо паЦп) Г(а)

что эквивалентно (17). Теорема доказана.□

Теорема 1.6.5. Пусть для измеримых и неотрицательных при t ^ 0 функций а^ и Ь^ существуют при А > 0 преобразования Лапласа а^ и Ь^ и пусть для некоторого s > 0 функция Ь^ не

возрастает при t^su мажорируемо меняется на бесконечности*.

hmsup< ос,(22)

t^oo b(2t)

причем при у^х, у = х + о(х)

llmsup^M^to^o.(23)

х—>оо^СО

Если существует М Е N такое, что для произвольного п^ М при А^О

^а(Л) = (1+о(1))^(Л),(24)

dXdX

то a(t)^wb(t) при t^oo.(25)

Доказательство. Так как функция Ь^ мажорируемо меняется на бесконечности (выполнено (22)), то по теореме П.2 из [115] существует такое ЛД > М, что для произвольного фиксированного п ^ Mi

t

| unb(u)du

Hmsup -—-;< oo.(26)

Отсюда следует, что для таких п и произвольного А е (0,1)

Bn^Xt^,

hmsup< 1,(27)

^оо Вп^

где

t

Вп^ = unb(u)du.

о

В самом деле, (27) эквивалентно соотношению

t

| unb(u)du

lim sup ^> 0,(28)

| unb(u)du

о

а из (26) в силу невозрастания b^ следует (28). Далее, согласно лемме 1.6.2 функция Вп(Г) слабо осциллирует на бесконечности (см. определение 1.4.4). Поэтому из теоремы 1.5.4 и соотношения (24)

следует, что для произвольного фиксированного п^М

Л„(0 = (1 + о(1))В„(0 при t^-oo,(29)

где

t

ААА = una(u)du.

о

Зафиксируем произвольное А е (0,1). Согласно (27) существуют такие to, со > 0, что при t to

AnW -An(tX) 1 \AnW-Bn(tHBn(t\^-An(tX)\ 1 < c0

Bn(t)-Bn(tX)BAA

An^ 1 Tl^A)BAtX)

1 + c01 = o(l)

Bn(t)BAtX)BAA

при Моов силу (29). Стало быть, для произвольного фиксированного А е (0,1) при t <х

(30)(30)una(u)du = (1 + о(1)) unb(u)du.

(30)

(30)

txtx

Зафиксируем произвольные е,5 6 (0,1). Согласно (22) существуют такие хо 2s и с > 0, что при х^ хо

(31)(31)Ь^ < cb^2xY

(31)

(31)

Положим

ei = min■(32)

\ 2 1 + с у

Из (23) следует, что найдутся такие 51 е (0,5) и х\ ^ хо, что для произвольных х^ х\ и z/ е [х,х(1 +51)] выполнено неравенство:

а^ - а^ < eyb^xY(33)

Из (30) следует, что при х ^ ос

x(l+5i)х(1+<51)

una(u)du = (1 +о(1)) unb(u")du.(34)

XX

Согласно (34) найдется такое Х2 %ь что для произвольных х Х2

%(1+51)х(1+51)

Упа(.у) dy ^ (1 - Ei) ynb(y) dy.(35)

XX

Из (33) и (35) следует, что при % > %2

x(l+Ji)%(1+J1)%(1+J1)

<a<xHe\b<x^yndy^ yna(y)dy^ y”b(y)dy,

XXX

или же

(a(x)+si&(x))x>

> (1 -Е\)Х№&(x(l + 51)),

П^гХ

откуда

a^ -\-£Xb(x) ^ b(x(X + 5i))(1 -Si).

Согласно (31) и монотонности b(x) из последнего неравенства следует, что при % > %2

a(x)-\-cEXb(x(X + 5i)) > a(x)-\-EXb(x) ^ (1 - si) • 6(х(1 + 51)),

откуда

а^ > (1 -£i) • 6(х(1 +51)) - с£\Ь^Х +51)),

или же

а^ > (1 - (с + l)£i) -6(x(l +5i)) V х > %2-(36)

Согласно (23) существуют 52 6 (0,5), 52 < 1/2 и xg > Х2 такие, что для

произвольных у ^ хд и х е [z/, z//(l — 52)]

a<xV^y^EXb<y\

или же

а(у) ^ а^ -E\b^ ^ а^ -£i5(x(1 -52)).(37)

В силу (30) существует х< > хз такое, что при х > х<

XX

УпЛуЫуynb(y)dy-(38)

х(1—(^2)^(1—^2)

Из (37) и (38) получаем, что при х > х< XX

уп(а{х)-Е\Ь{(\-^хУ)Уу < yna{y}dy < ^(1— (^2)+1— ^2)

X

<(l+£i) ynb{y)dy,

откуда в силу монотонности Ь^

а(х) -si6((l -б^х) < (1 +51) •&((! -б2)х\

или же

я(х)^(1+2£1И(х(1-52))я(х)^(1+2£1И(х(1-52))(39)(39)

я(х)^(1+2£1И(х(1-52))

я(х)^(1+2£1И(х(1-52))

(39)

(39)

при х ^ хд. Из соотношений (32), (36) и (39) следует, что при х "> хд

(1-е)-Ь(х(1+6^) < а^ < (1 +г) • Ь(х(Д - д2)).(40)

Положим %5 = max(%4,s/(l — J)). В силу монотонности Ь^ из (40) следует, что при х > Х5

(Х-еУЬ(х(\^5^ ^а(х) < (Х^еУЬ(х(\-5)У

Теорема 1.6.5 доказана. □

Теоремы 1.6.1, 1.6.2, 1.6.3, 1.6.5 принято называть тауберовыми теоремами сравнения (см. [26]), поскольку в них сравнивается асимптотическое поведение двух функций. Тауберовы теоремы для мажорируемо меняющихся обычного вида, т. е. теоремы, в которых сравнивается асимптотическое поведение функции с асимптотическим поведением его преобразования Лапласа содержатся в работах П. Эмбрехтса [194], Л. де Хаана [214], Л. де Хаана и У. Стадтмюллера [218], Б. А. Рогозина [98, 99].

Докажем еще одну тауберову теорему для преобразования Стилтьеса. Пусть функция ^х\. R+ /?+ (R+ = {х: xeR1, х > 0}) слабо осциллирует на бесконечности (см. определение 1.4.4). Применительно к случаю одной переменной это значит, что /(?/)//(х) —> 1 при х —> ос, z/ = x + o(x). Согласно пункту 2) теоремы 1.4.6 для функции /(х) при некотором s > 0 справедливо представление:

НА = ехрНА = ехрV х > s,V х > s,(41)(41)

НА = ехр

НА = ехр

V х > s,

V х > s,

(41)

(41)

где функции ту(х) и е^ измеримы и ограничены на [s,oo).

Зафиксируем некоторое / > 0. Преобразование Стилтьеса функции /(х) на 7?+ будем обозначать через /(А):

7(A) =7(A) =' t^dxь (А + х)'о

7(A) =

7(A) =

(в предположении существования интеграла при А > 0). Далее доказывается следующая тауберова теорема.

Теорема 1.6.6. Пусть функция /(х) слабо осциллирует на бесконечности, а функция g(x) = г(х)/г(х), х е R+, где г(х) неотрицательна и монотонна при х Е R+, а функция /г(х) слабо осциллирует на

бесконечности. Предположим, что для некоторого представления f(x) в форме (41) выполнены неравенства*.

(42)(42)— 1 < inf е^ ^ sups(x) < / — 1

(42)

(42)

g(A) = (1+о(1))/(А).g(A) = (1+о(1))/(А).(43)(43)

g(A) = (1+о(1))/(А).

g(A) = (1+о(1))/(А).

(43)

(43)

Тогда при х ^ оо

g(x) = (l+o(l))f(x).g(x) = (l+o(l))f(x).(44)(44)

g(x) = (l+o(l))f(x).

g(x) = (l+o(l))f(x).

(44)

(44)

Теорема 1.6.6 обобщает соответствующие утверждения из статей [60, 77], см. также книгу [69, гл. X]. Основное отличие теоремы 1.6.6 от предыдущих исследований — отказ от предположения о монотонности функций /(х) и g^xY Тауберова теорема 1.6.6 доказывается с помощью некоторых утверждений разделов 1.4 и 1.5. Из других результатов в этом направлении отметим книгу [261] и работы [6, 119, 249, 269, 281].

При доказательстве теоремы 1.6.6 будут использоваться две леммы, которые приводятся ниже.

Лемма 1.6.3. Пусть функция /(х) слабо осциллирует на бесконечности, а функция g(x) = гффЫрсУ х Е R+, где г(х) — неотрицательна и монотонна при х eR+, а функция /г(х) слабо осциллирует на бесконечности. Предположим, что для некоторого представления /(х) в форме (41) выполнено неравенство*.

inf е(х) > — 1

и при А О

^(А) = (И-о(1»/(А)

Тогда при х->оо g(x) = (1 + о(1))/(х).

Лемма 1.6.3 следует из теоремы 1.5.4.

Функцию a^xY определенную в R+, назовем слабо осциллирующей в нуле, если функция бг(1/х) слабо осциллирует на бесконечности.

Если функция а^ слабо осциллирует в нуле, то из соотношения (41) следует, что для некоторого р > 0 при х е (0,р] справедливо представление:

(45)(45)fp'

(45)

(45)

щ(х)+ аии

где функции шфф и ^(х) определены, ограничены и измеримы при х е (О,ру

Лемма 1.6.4. Пусть а^ = хка\^ > О, Ь^ = хкЬ\^ > О (х Е R+), где а\(х) и Ь\(х) — убывающие функции на R+, k> — 1, функция а^ слабо осциллирует в нуле, причем для некоторого представления а^ в форме (45) выполнено неравенство*.

sup ф^ < 1.

0<и<.р

Если при у -л +ос

W> = C+oHWyY

(46)

то при х 0

а(х) = (1 +о(1))6(х).

(47)

Доказательство. Предположим противное, а именно, пусть для некотой последовательности ^хт, т Е N}, хт ^0 (т —> ос)

С€[0,оо).(48)

а(хт)

При А > 0 мы имеем:

а(А/хт^ —

е Ху,Хта(уЫу = хпа(хт)

(49)

с

)с

а(хт) )

Заметим, что последовательность

, г х_ а(хтх)

fmvO —,£ R-H

щхт)

асимптотически непрерывна на 7?+. В самом деле, при т -л ос, у -л х >

>0

а(хтх) -а(хту) а(хтх)а(хтх) -а(хту) а(хтх)а(хт)а(хт)а(хт)а(хт)ФтУ)\ Мх = °(U»а(хтх))ФтУ)\ Мх = °(U»а(хтх))

а(хтх) -а(хту) а(хтх)

а(хтх) -а(хту) а(хтх)

а(хт)

а(хт)

а(хт)

а(хт)

ФтУ)\ Мх = °(U»

а(хтх))

ФтУ)\ Мх = °(U»

а(хтх))

так как

1 _ а(хту)а(хтх)

в силу определения слабо осциллирующей функции, и, как это следует из представления (45),

а^ХтХ^ )

а^Хгф)

при т ос и фиксированом х > 0. Далее, при t < р для некоторой

константы с\ < ос согласно (45)

а0х^[ #о)= ехрк;цх)-цр+ du\txа0х^[ #о)= ехрк;цх)-цр+ du\tx' <и)' <и)VVI Сух", ^х} = 1С1^,I Сух", ^х} = 1С1^,(50)(50)гдегдеа = sup ^—^^Y 0=— sup ^(u).а = sup ^—^^Y 0=— sup ^(u).0<u<p0<u<p0<у<р0<у<рПоложимПоложим/ X _ Пт(х), х^р/х, gmV4 — \ п,0, х > р/хТ/ X _ Пт(х), х^р/х, gmV4 — \ п,0, х > р/хТТак как последовательность Ут^х\ т eN^ асимптотически непрерывна на 7?+, то и последовательность ^gm^Y ^ EN^ тоже асимптотически непрерывна на 7?+. Согласно теореме 1.4.1 без ограничения общности будем считать, что для некоторой непрерывной функции /(х) на 7?+Так как последовательность Ут^х\ т eN^ асимптотически непрерывна на 7?+, то и последовательность ^gm^Y ^ EN^ тоже асимптотически непрерывна на 7?+. Согласно теореме 1.4.1 без ограничения общности будем считать, что для некоторой непрерывной функции /(х) на 7?+gm^^K^Ygm^^K^Y(51)(51)для произвольного х > 0. Из (50) и определения функций gm(x) следует, что при т Е N и х > 0для произвольного х > 0. Из (50) и определения функций gm(x) следует, что при т Е N и х > 0gm(4 < Ч0х\gm(4 < Ч0х\(52)(52)При этом для всех А > ОПри этом для всех А > О^(А) < ос,^(А) < ос,(53)(53)поскольку по условию леммы 1.6.4поскольку по условию леммы 1.6.40 = — sup ^(у) > — 1.0<и<р0 = — sup ^(у) > — 1.0<и<рИз (51), (52) и (53) по теореме Лебега выводим, что для всех А > 0Из (51), (52) и (53) по теореме Лебега выводим, что для всех А > 0(54)(54)Далее, при А > 0Далее, при А > 0akUy-XyltmdUakUy-XyltmdU' a(xmx)' a(xmx). а(х„) о. а(х„) ое Xxdx=gm(X) + -е Xxdx=gm(X) + -(55)(55)

а0х^[ #о)

= ехрк;цх)-цр+ du

\tx

а0х^[ #о)

= ехрк;цх)-цр+ du

\tx

' <и)

' <и)

V

V

I Сух", ^х} = 1С1^,

I Сух", ^х} = 1С1^,

(50)

(50)

где

где

а = sup ^—^^Y 0=— sup ^(u).

а = sup ^—^^Y 0=— sup ^(u).

0<u<p

0<u<p

0<у<р

0<у<р

Положим

Положим

/ X _ Пт(х), х^р/х, gmV4 — \ п,

0, х > р/хТ

/ X _ Пт(х), х^р/х, gmV4 — \ п,

0, х > р/хТ

Так как последовательность Ут^х\ т eN^ асимптотически непрерывна на 7?+, то и последовательность ^gm^Y ^ EN^ тоже асимптотически непрерывна на 7?+. Согласно теореме 1.4.1 без ограничения общности будем считать, что для некоторой непрерывной функции /(х) на 7?+

Так как последовательность Ут^х\ т eN^ асимптотически непрерывна на 7?+, то и последовательность ^gm^Y ^ EN^ тоже асимптотически непрерывна на 7?+. Согласно теореме 1.4.1 без ограничения общности будем считать, что для некоторой непрерывной функции /(х) на 7?+

gm^^K^Y

gm^^K^Y

(51)

(51)

для произвольного х > 0. Из (50) и определения функций gm(x) следует, что при т Е N и х > 0

для произвольного х > 0. Из (50) и определения функций gm(x) следует, что при т Е N и х > 0

gm(4 < Ч0х\

gm(4 < Ч0х\

(52)

(52)

При этом для всех А > О

При этом для всех А > О

^(А) < ос,

^(А) < ос,

(53)

(53)

поскольку по условию леммы 1.6.4

поскольку по условию леммы 1.6.4

0 = — sup ^(у) > — 1.

0<и<р

0 = — sup ^(у) > — 1.

0<и<р

Из (51), (52) и (53) по теореме Лебега выводим, что для всех А > 0

Из (51), (52) и (53) по теореме Лебега выводим, что для всех А > 0

(54)

(54)

Далее, при А > 0

Далее, при А > 0

akUy-XyltmdU

akUy-XyltmdU

' a(xmx)

' a(xmx)

. а(х„) о

. а(х„) о

е Xxdx=gm(X) + -

е Xxdx=gm(X) + -

(55)

(55)

Согласно (45) при х G (0,р] для некоторой постоянной С2 > 0

(56)(56)а^ С2Х^,

(56)

(56)

где

7 = — inf ^(uY

0<y<p

Из (56) следует, что

[ а(у)е XyiXm dy е Хр/^Хт^ [ а(у)е Ху/(2хт) dy

JJ/ -Ap/(2xm) \

<= О ) о( 1) = о(1) хта(хт)хта(хт)\ хта(хт) /

при т^оо. Учитывая (54), из (55) выводим, что

7 а(ХтХ)с_Хх . а(хт) о

dx^^X\

(57)

Заметим, что при А > О

b^X/хт) = хта(хт)

" dx.

. а(хт)

о

(58)

В силу (46), (49), (57) и (58) при т —> ос

Т^АЩ^-ЩА) уЛ>0

а^хА

о

(59)

По теореме непрерывности для преобразования Лапласа (теорема 1.3.2) для произвольного отрезка ACR^

' Ь^ХтХ^[

dx t\x)dx-

v а^хАv

АА

(60)

Зафиксируем произвольное 5 6 (0,1). Покажем, что для некоторой постоянной 6*3 < оо и всех mEN

ЬАхт)

—— <с3.

^l(Xm)

(61)

В самом деле, согласно (60) существует константа щ < оо такая, что для всех т EN

1

' b(xmx) , dx

. а(хт)

1-5

' Ьх(хтх)хк , dx < Сд, .<21 (хт)

1-6

откуда

а\<хт>

1-5

или же выполнено (61) с

6*36*4

1-5

Заметим, что

1

5

(62)

Из (60), (61) и (62) следует, что

Рb(xm) 1hm sup< - т—>оо а(хт) 6Рb(xm) 1hm sup< - т—>оо а(хт) 6f(x)dx-\-C3f(x)dx-\-C31-51-5(£+1)5(£+1)5

Рb(xm) 1

hm sup< - т—>оо а(хт) 6

Рb(xm) 1

hm sup< - т—>оо а(хт) 6

f(x)dx-\-C3

f(x)dx-\-C3

1-5

1-5

(£+1)5

(£+1)5

Устремляя в правой части выписанного неравенства 5 к нулю и пользуясь непрерывностью KXY получаем, что

^Хт)

limsup——— ^/(1).

т—>оо ауХт)

Точно так же, используя интегрирование от 1 до 1+5, получаем, что

. г 5 (хт)

liminf> /(1).

а(хт)

Стало быть, существует

Нт +^=/(1).

д(хт)

Вспоминая (51) и определение функций &(%), убеждаемся в том, что

Итак, мы получили, что

b ^хт)

> 1 при m ос. а(хт)

Последнее соотношение противоречит (48). Лемма 1.6.4 доказана. □

Доказательство теоремы 1.6.6. Покажем, что для некоторого р < 1/s при А е (0,р] функция /(А) представима в виде

/(А) = Схр/(А) = Схр/ 1/А'/ 1/А'(63)(63)где е^ — функция из представления /(%) в форме (41), а £(А) ограничена при А е (0,1/р]. Доопределим е^ и р(х) нулем при х < s. Так какгде е^ — функция из представления /(%) в форме (41), а £(А) ограничена при А е (0,1/р]. Доопределим е^ и р(х) нулем при х < s. Так какinf е^ > — 1, x^sinf е^ > — 1, x^sто /(А) ос (А 0). Поэтому при А 0то /(А) ос (А 0). Поэтому при А 0/(A) = e”Xxо/(A) = e”Xxоexp | //(%) + ^-dt j dx + O(l) =\ о /exp | //(%) + ^-dt j dx + O(l) =\ о /= (l+o(l)) e-Xxо= (l+o(l)) e-Xxоexp I тдх) + dt dx.\0/exp I тдх) + dt dx.\0/Поэтому достаточно получить такое же представление дляПоэтому достаточно получить такое же представление дляе Ххое Ххоexp T)\x)-V- dt dx.\ о /exp T)\x)-V- dt dx.\ о /Заметим, чтоЗаметим, чтоe Axexpоe Axexpоdx =dx =

/(А) = Схр

/(А) = Схр

/ 1/А'

/ 1/А'

(63)

(63)

где е^ — функция из представления /(%) в форме (41), а £(А) ограничена при А е (0,1/р]. Доопределим е^ и р(х) нулем при х < s. Так как

где е^ — функция из представления /(%) в форме (41), а £(А) ограничена при А е (0,1/р]. Доопределим е^ и р(х) нулем при х < s. Так как

inf е^ > — 1, x^s

inf е^ > — 1, x^s

то /(А) ос (А 0). Поэтому при А 0

то /(А) ос (А 0). Поэтому при А 0

/(A) = e”Xx

о

/(A) = e”Xx

о

exp | //(%) + ^-dt j dx + O(l) =

\ о /

exp | //(%) + ^-dt j dx + O(l) =

\ о /

= (l+o(l)) e-Xx

о

= (l+o(l)) e-Xx

о

exp I тдх) + dt dx.

\0/

exp I тдх) + dt dx.

\0/

Поэтому достаточно получить такое же представление для

Поэтому достаточно получить такое же представление для

е Хх

о

е Хх

о

exp T)\x)-V- dt dx.

\ о /

exp T)\x)-V- dt dx.

\ о /

Заметим, что

Заметим, что

e Axexp

о

e Axexp

о

dx =

dx =

гдегде1А1Ае иехрое иехрои/Х 'dtи/Х 'dt, 1du = - exp, 1du = - exp/(A),/(A),J tО.J tО./(A) = e uexpо/(A) = e uexpоu/X— atJ t1/Au/X— atJ t1/Adu.du.

где

где

1

А

1

А

е иехр

о

е иехр

о

и/Х '

dt

и/Х '

dt

, 1

du = - exp

, 1

du = - exp

/(A),

/(A),

J t

О.

J t

О.

/(A) = e uexp

о

/(A) = e uexp

о

u/X

— at

J t

1/A

u/X

— at

J t

1/A

du.

du.

Для доказательства (63) достаточно показать, что для некоторых постоянных ci,C2 при А е (0,1/s]

О < С\ < /(А) < С2 < оо.О < С\ < /(А) < С2 < оо.(64)(64)

О < С\ < /(А) < С2 < оо.

О < С\ < /(А) < С2 < оо.

(64)

(64)

Представим интеграл /(А) в виде суммы интегралов /ДА) и /2(A) по и соответственно от 0 до 1 и от 1 до оо:

(65)(65)/(А) =Л(А)+/2(А).

(65)

(65)

При А е (0,1/s] мы имеем:

Л(А)= еоЛ(А)= еоехрехр/ и/ и1/Аd t1/Аd tdu < еСз ехр(—ск(— In и)) du, оdu < еСз ехр(—ск(— In и)) du, огдегде

Л(А)= е

о

Л(А)= е

о

ехр

ехр

/ и

/ и

1/А

d t

1/А

d t

du < еСз ехр(—ск(— In и)) du, о

du < еСз ехр(—ск(— In и)) du, о

где

где

с3 = зирф),с3 = зирф),а = inf ДО-а = inf ДО-

с3 = зирф),

с3 = зирф),

а = inf ДО-

а = inf ДО-

/1(А) <есз/1(А) <есз(66)(66)/2(A) = е иехр1/2(A) = е иехр1и/ХГ е(0 ,.— atJ t1/Аи/ХГ е(0 ,.— atJ t1/АеСзеСзе и ехрфIn и) du = еСзе и ехрфIn и) du = еСз(67)(67)

/1(А) <есз

/1(А) <есз

(66)

(66)

/2(A) = е иехр

1

/2(A) = е иехр

1

и/Х

Г е(0 ,.

— at

J t

1/А

и/Х

Г е(0 ,.

— at

J t

1/А

еСз

еСз

е и ехрфIn и) du = еСз

е и ехрфIn и) du = еСз

(67)

(67)

Поэтому при A e (0,1/s]

1

fеСз

ua du =,

ex + 1

0

так как согласно неравенствам (42) а > — 1. Далее,

du <

где

Р = SUpe(0.

t^s

Кроме того,

11

Л(А)>еС4 е-ыехр(—3(— ln^))d^ = еС4 е~ии^du>Q (68) оо

и

/2(A) >еС4 е-и exp(a\nu)du = еС4 e-uuadu>Q, (69)

где с^ = inf р(и).

Из соотношений (65)-(69) следует (64). Далее, покажем, что/(А) слабо осциллирует в нуле. Пусть уи, А Д О, ///А —» 1. Тогда

7(A) =7(A) =е Xxf<x^dx = ^ ое Xxf<x^dx = ^ ое ( -и | du =J V )ое ( -и | du =J V )о

7(A) =

7(A) =

е Xxf<x^dx = ^ о

е Xxf<x^dx = ^ о

е ( -и | du =

J V )

о

е ( -и | du =

J V )

о

= (1+0(1))= (1+0(1))е м“/ ( — и ) du =J \А /ое м“/ ( — и ) du =J \А /о= (1+0(1))= (1+0(1))КМ е"Нки> 1-^-J \ Ди) . о\КМ е"Нки> 1-^-J \ Ди) . о\Поэтому достаточно показать, чтоПоэтому достаточно показать, чтое"Н<и>ое"Н<и>оdu = оУы^du = оУы^(70)(70)при A,/z^O, X,pi м 1. Покажем это. Заметим, прежде всего, что для произвольного фиксированного t > Опри A,/z^O, X,pi м 1. Покажем это. Заметим, прежде всего, что для произвольного фиксированного t > Оооtdu = e~^uf{u)duоtdu = e~^uf{u)duое"Н (-u\du =J \A /0е"Н (-u\du =J \A /0= 0(1) = оШ)= 0(1) = оШ)(71)(71)при A,/z^O, X/p^ 1. Зафиксируем произвольное e > 0. Для этого e подберем такие t > 0 и 6 > 0, чтобы при и ^ t и |yz/A — 1| < 6 былопри A,/z^O, X/p^ 1. Зафиксируем произвольное e > 0. Для этого e подберем такие t > 0 и 6 > 0, чтобы при и ^ t и |yz/A — 1| < 6 было

= (1+0(1))

= (1+0(1))

е м“/ ( — и ) du =

J \А /

о

е м“/ ( — и ) du =

J \А /

о

= (1+0(1))

= (1+0(1))

КМ е"Нки> 1-^-

J \ Ди) . о\

КМ е"Нки> 1-^-

J \ Ди) . о\

Поэтому достаточно показать, что

Поэтому достаточно показать, что

е"Н<и>

о

е"Н<и>

о

du = оУы^

du = оУы^

(70)

(70)

при A,/z^O, X,pi м 1. Покажем это. Заметим, прежде всего, что для произвольного фиксированного t > О

при A,/z^O, X,pi м 1. Покажем это. Заметим, прежде всего, что для произвольного фиксированного t > О

о

о

t

du = e~^uf{u)du

о

t

du = e~^uf{u)du

о

е"Н (-u\du =

J \A /

0

е"Н (-u\du =

J \A /

0

= 0(1) = оШ)

= 0(1) = оШ)

(71)

(71)

при A,/z^O, X/p^ 1. Зафиксируем произвольное e > 0. Для этого e подберем такие t > 0 и 6 > 0, чтобы при и ^ t и |yz/A — 1| < 6 было

при A,/z^O, X/p^ 1. Зафиксируем произвольное e > 0. Для этого e подберем такие t > 0 и 6 > 0, чтобы при и ^ t и |yz/A — 1| < 6 было

выполнено неравенствовыполнено неравенство/(«)/(«)(72)(72)

выполнено неравенство

выполнено неравенство

/(«)

/(«)

(72)

(72)

Тогда в силу (71) и (72)

lim sup —

МО, АМ^1 /М

Так как е — произвольное положительное число, то из последнего неравенства следует (70). Как известно [115, теор. 2.5], преобразование Стилтьеса есть двойное преобразование Лапласа, а именно, при А > 0

гдегде/(А) = а(х)е xXdx,о/(А) = а(х)е xXdx,оg(A) = b^e xXdx,g(A) = b^e xXdx,а(х^ = х^/М/Ц/), Ь^ = xl-xgM/T(lYа(х^ = х^/М/Ц/), Ь^ = xl-xgM/T(lY(73)(74)(73)(74)

где

где

/(А) = а(х)е xXdx,о

/(А) = а(х)е xXdx,о

g(A) = b^e xXdx,

g(A) = b^e xXdx,

а(х^ = х^/М/Ц/), Ь^ = xl-xgM/T(lY

а(х^ = х^/М/Ц/), Ь^ = xl-xgM/T(lY

(73)

(74)

(73)

(74)

Как было показано ранее, f(x) слабо осциллирует в нуле, стало быть, слабо осциллирует в нуле и функция а(х\ причем из (63) следует, что при х е (0,1/р]

а^ = х1 2 ехра^ = х1 2 ехр(\/х— Л+йх)-1пГ(<)(\/х— Л+йх)-1пГ(<)Z-2 = х ехрZ-2 = х ехр^ + ^(х)-1пГ(/)^ + ^(х)-1пГ(/)= ехр= ехр. и. и

а^ = х1 2 ехр

а^ = х1 2 ехр

(\/х

— Л+йх)-1пГ(<)

(\/х

— Л+йх)-1пГ(<)

Z-2 = х ехр

Z-2 = х ехр

^ + ^(х)-1пГ(/)

^ + ^(х)-1пГ(/)

= ехр

= ехр

. и

. и

где

<х> = 2 - Hs^xY Цх) = ^(х) - 1пГ(/) + (2 - /) 1пр.

Заметим, что согласно (42)

sup 'ф(х) = 2-/ + sup е(\/х) < 1.

0<х<.р0<х<.р

Применяя лемму 1.6.4, получаем, что при хфО Лх) = (1 +о(1))6(х),

откуда в силу (74) следует, что при % О

Щ) = (1+о(1))5М.

Из последнего соотношения и леммы 1.6.3 следует, что при % ос

/(х) = (1+о(1)Щх).

Теорема 1.6.6 доказана.□

Тауберовы теоремы Дрожжинова-Завьялова

В настоящем разделе на примере zz-гранных конусов сформулируем многомерную абелеву и три многомерные тауберовы теоремы, доказанные Ю. Н. Дрожжиновым и Б. И. Завьяловым. Такое сужение класса конусов делается по двум причинам. Во-первых, zz-гранные конусы, как нам кажется, имеют наибольшие перспективы применения в теории вероятностей, в особенности это касается координатного угла (октанта). В частности, из трех вероятностных применений многомерных тауберовых теорем в этой книге два получены для zz-гранных конусов (см. главы 2 и 3). Только одно из них касается более широкого класса конусов (гл. 4). Во-вторых, не хотелось балластом новой терминологии осложнять читателю, незнакомому с теорией конусов, чтение этого раздела. Впрочем, для желающих далее будет описан широкий класс конусов, для которых остаются справедливыми многомерные тауберовы теоремы Ю. Н. Дрожжинова и Б. И. Завьялова. Также далее помещены две одномерные тауберовы теоремы Ю. Н. Дрожжинова и Б. И. Завьялова для асимптотических разложений преобразований Лапласа и характеристических функций случайных величин. Думаю, эти тауберовы теоремы также представляет несомненный интерес для специалистов по теории вероятностей.

Пусть Г — замкнутый п-гранный конус в Rn с вершиной в нуле, т. е. существует базис в1,в2,... ,еп 6 R\ |еД = 1 V / = 1,... ,п, такой, что

Г = {%: х е R\ (x,ek)^0 V к = 1,... ,м}.

Предположим, что {Т^, к е /} — семейство невырожденных линейных операторов в Rn, которые оставляют конус Г инвариантным:

^Г = Г ^kEL Ik = MUk.

Мы будем считать, что множество / сТ?1 и имеет +ос своей предельной точкой. Оператор Vk = (L^*) 1 оставляет сопряженный конус

Г* = {у: y^R\ (р,х^0 УхеГ}

инвариантным. Для произвольного оператора Uk мы имеем числа

Л(£)= sup|[M Х(к) = inf \Uke\.(1)

|е| = 1Н = 1

Мы будем говорить, что семейство {С^, к 6 /} является семейством:

первого типа, если Л(^) —> +ос и Х(к) +ос при к -^ +ос;

второго типа, если существует b > 0 такое, что Л(^) —> +ос при к -л +ос и Х(к) b > 0;

третьего типа, если Л(^) —> +ос при к -л +ос.

Пусть pi — мера на Г медленного роста, т. е. для некоторого р > 0

' p(dx)' p(dx)< ос.< ос.

' p(dx)

' p(dx)

< ос.

< ос.

г

Положим р(х) = р{Г А (% — Г)} при х е Г. Как и ранее, через pi^ будем обозначать преобразование Лапласа меры ул

р(у) = е ^p(dx), yeG = intF.

Определение 1.7.1. Меру р на Г мы будем называть допустимой мерой первого (второго, третьего) типа для конуса Г, если она удовлетворяет следующим условиям:

р(х) > 0 для х Е G = intr.

Для произвольного семейства U^, к Е I, линейных операторов первого (второго, третьего) типа, оставляющих конус Г инвариантным, существует х° Е G и подпоследовательность ^U^m,km -^ +ос} при т -^ +ос такая, что

1Штх°)1Штх°)—^g(x) > 0, х Е G,—^g(x) > 0, х Е G,

1Штх°)

1Штх°)

—^g(x) > 0, х Е G,

—^g(x) > 0, х Е G,

при т -л +ос равномерно по х из произвольного компакта Q d G, где ^(х) — непрерывная функция при х Е G.

Существует то такое, что

g(Ukmx)g(Ukmx)^<х\^<х\т > mg,т > mg,

g(Ukmx)

g(Ukmx)

^<х\

^<х\

т > mg,

т > mg,

и существует q такое, что

1 + W’1 + W’< ОС.< ОС.(2)(2)

1 + W’

1 + W’

< ОС.

< ОС.

(2)

(2)

Справедливо следующее достаточное условие допустимости меры р,.

Теорема 1.7.1. Пусть р(х) положительна и непрерывно дифференцируема в G и удовлетворяет условию

— \<a^(ei,x)(ei,^p(x))/p(x)^b, xeG, i=\,...,n,

где V = (Э/Эх\,... ,Э/Эхп\ Тогда мера р будет допустимой мерой каждого типа для Г.

При х е Г через Аг(х) обозначим расстояние от вектора х до границы конуса Г.

Определение 1.7.2. Пусть /(х) — локально интегрируемая функция в Г. Мы будем говорить, что /(%) стремится к 1 в смысле конуса Г при х —у оо, если для произвольного е > 0 существует 5 > 0 такое, что

|/(%)— 1|<£ при Ац(%) > 5 (/(х)—И, х -л ос в Г).

Справедлива следующая тауберова теорема сравнения (см. [38] или [26, разд. П.6.2, теор. 2]).

Теорема 1.7.2. Пусть ри и — неотрицательные меры медленного роста на Г.

Если р — допустимая мера первого типа для конуса Г и и(у)/р(у) -л 1 при у —> О, у е С = intr*, то

и(х)/р(х)^\, х -л ос в Г.

Если р — допустимая мера второго типа для конуса Г и для произвольного b > О

пШрЯЛ 1 при ХУ у) -> 0, у € С, \у\ < Ь,

то для произвольного 5 > О

v(x)/p(x) —> 1 при |х|—>+ос, Аг(х)>5.

Если р — допустимая мера третьего типа для конуса Г иv<yMW> 1 при ХЯЛ о, у € С,

и(х)/р(х)^1 при |х|—>+оо, х е G.

Пусть, как и ранее, \U^,k е /} — некоторое семейство невырожденных линейных операторов, оставляющих конус Г инвариантным и числа Л^ и А& определены соотношением (1).

Определение 1.7.3. Мера р на Г называется вполне допустимой для семейства ^U^, k EIY если выполнены следующие условия:

р(х) > 0 для х е G = intr.

Существует вектор х° eG такой, что

—^g(x)>0, к +ос, kElp{Uk^7

равномерно по х из произвольного компакта Q ^ G, где g(x) — некоторая непрерывная функция в G.

Существует ко такое, что

где ^(%) — функция медленного роста на Г, т. е. выполнено соотношение (2).

В книге [26, разд. П.6.1, теор. 3] доказана следующая тауберова теорема сравнения.

Теорема 1.7.3. Пусть puv — неотрицательные меры медленного роста на Г и мера р вполне допустима для семейства {Uk, к е/}. Если выполнены условия*.

Существует открытое множество Q с С = intT* такое, что

444^’ ^оо, йе/, i/eQ (У^^Щ1).

Pvky)

Существуют числа М, [3, ко и вектор еЕС такие, что

ТогдаТогдаv(Vk5e) < 7Иv(Vk5e) < 7И0<5<1, ^>^о, ^е/.0<5<1, ^>^о, ^е/.u(Ukx) p<Ukx>u(Ukx) p<Ukx>—> 1,ос, k Е I,—> 1,ос, k Е I,

Тогда

Тогда

v(Vk5e) < 7И

v(Vk5e) < 7И

0<5<1, ^>^о, ^е/.

0<5<1, ^>^о, ^е/.

u(Ukx) p<Ukx>

u(Ukx) p<Ukx>

—> 1,ос, k Е I,

—> 1,ос, k Е I,

равномерно по х еК для произвольного компакта К с G = intF.

Определение 1.7.4. Мера р на Г называется a-допустимой для конуса Г, если для произвольного семейства невырожденных линейных операторов ^U^, k Е /}, оставляющих конус Г инвариантным, для которых Хк ^ рК^, найдется подпоследовательность \Ukm, т -л +ос, кт Е Е /}, по отношению к которой р является вполне допустимой.

Множество всех ^-допустимых для конуса Г мер обозначим через Da(T\ Ясно, что а < 1.

Теорема 1.7.4. Пусть мера р удовлетворяет условиям теоремы 1.7.1. Тогда pEDa(V} для произвольного а < 1.

В работе [41] доказана следующая тауберова теорема сравнения.

Теорема 1.7.5. Пусть рии — неотрицательные меры медленного роста на Г, причем р ЕВа(Г\ Если для произвольной константы с\ > >0~

44 1 при|у|<С1Лс(Д уеС,

у (у)

тогда для произвольной постоянной С2 > 0

—> 1 при |х|^ос, Аг(.х) > С2Ма, хеС.

Справедливы также соответствующие модификации теорем 1.7.3 и 1.7.5 в случае, когда одна из мер является комплекснозначной (см. работу [42, теоремы 6 и 7]). В работе [41, теор. 4] доказана следующая абелева теорема сравнения.

Теорема 1.7.6. Пусть р uv — неотрицательные меры медленного роста на Г, причем р Е Da(T\ Если для произвольной константы с>0

-л 1 при |%|^оо, Ar(x) > фД, xeG,

тогда для произвольной постоянной с\ > О

^->1 при |г/|<С]ДЦг/), у ЕС.

В той же работе [41, теор. 3] получена абелева теорема сравнения для обобщенных функций. Отметим, что доказательство этой абелевой теоремы натолкнулось на существенные аналитические трудности. Оказалось, что на рассматриваемые функции нужно накладывать дополнительные условия, которые естественно назвать абелевыми условиями. Соответствующий контрпример довольно сложного вида рассмотрен в той же работе (разд. 3).

Далее мы укажем гораздо более широкий класс конусов, для которых справедливы тауберовы теоремы 1.7.2, 1.7.3 и 1.7.5 и абелева теорема 1.7.6.

Определение 1.7.5. Выпуклый конус Г называется однородным, если для произвольных векторов а и b из G = intF существует невырожденный линейный оператор U, оставляющий конус Г инвариантным, такой, что Ua = b.

Пусть Г — замкнутый выпуклый острый телесный конус в Rn с вершиной в нуле (см. начало разд. 1.1). Как и ранее, через Г* мы будем обозначать конус, сопряженный к конусу Г:

Г* = {у: у ЕЕпДу,х^0 УШ},

С = intF*. Пространство обобщенных функций медленного роста с носителями в Г обозначим через 5'(Г); оно двойственно к пространству 5(F) бесконечно дифференцируемых функций ^(х) таких, что

ртХО = max зир(1 + |хГ)ртХО = max зир(1 + |хГ)дх^1 • • • дх„дх^1 • • • дх„р(хх,...,хп)р(хх,...,хп)< ОО,< ОО,

ртХО = max зир(1 + |хГ)

ртХО = max зир(1 + |хГ)

дх^1 • • • дх„

дх^1 • • • дх„

р(хх,...,хп)

р(хх,...,хп)

< ОО,

< ОО,

т = 0,1,2,..., к = (^ь... ,кп\ \к\ = h\ Н\-кп.

Значение обобщенной функции ф^ Е 5'(Г) на основной функции Ди)Е8(Г) мы будем обозначать через (Д(иЦр(иУ). Преобразование Лапласа

/(z) = (f (и),е'^), 2 = х + iy Е Тс = Rn + iC,осуществляет изоморфизм между сверточной алгеброй S'(Г) и алгеб-рой Я(С) функций, голоморфных в Тс, которые удовлетворяют (для

некоторых М, а и Ь) оценке

|7(г)|<Л4(1 + |</[АсО)С

^с^ — расстояние от у до границы конуса С (более подробную информацию см. в книге В. С. Владимирова, Ю.Н. Дрожжинова и Б. И. Завьялова [26]).

Через 7Гс(г) обозначим ядро Коши трубчатой области Тс, т. е.

Кс^ = e^du, г Е Тс.

г

Определение 1.7.6. Конус Г называется регулярным, если 1/7Гс(г) принадлежит алгебре Н(С).

Отметим, что тауберовы теоремы 1.7.2, 1.7.3 и 1.7.5 и абелева теорема 1.7.6 остаются справедливыми для произвольных однородных регулярных конусов.

При п ^ 3 все замкнутые выпуклые острые телесные конусы — регулярные. При п ^ 4 существуют нерегулярные замкнутые выпуклые острые телесные конусы (Л.И. Данилов [36]).

Все 7?-гранные конусы являются регулярными. Если конус Г — самосопряженный (Г* = Г) и однородный, то он является регулярным. В частности, световой конус будущего У+ = {х: х = ^,х\ х = (xi,... • • • ,XnY xq ^ |х|} является регулярным. Более подробную информацию о конусах можно посмотреть в упомянутой ранее книге В. С. Владимирова, Ю.Н. Дрожжинова и Б. И. Завьялова [26].

Сформулируем (в несколько сокращенном виде) одномерную таубе- рову теорему Дрожжинова-Завьялова для асимптотических разложений преобразования Лапласа (см. [44]).

Пусть р — конечная неотрицательная мера на 7?^ с преобразованием Лапласа p^yY-

(Ку) = е уир(Уи), у^О.

о

Теорема 1.7.7. Пусть г^ — правильно меняющаяся функция с показателем —а, где п < а <п-\-\ для некоторого п = 0,1,... . Тогда следующие условия эквивалентны*.

Существуют постоянные с^,...,сп такие, что

п

^У^ТЗчУ1У>0,

/=0

причем

Ку)Ку)KVy)KVy)У 70.У 70.

Ку)

Ку)

KVy)

KVy)

У 70.

У 70.

Для произвольного целого / > 0 при t оо

Н о( 1) (« + /)!».Н о( 1) (« + /)!».ulp(du) = (— ХУПс[ A-tlr^ о

Н о( 1) (« + /)!».

Н о( 1) (« + /)!».

при этом можно считать С[ = 0 для / > п.

Для некоторого целого m > О существует постоянная ст такая, что при t оо

t

Н о( 1) (а + т)Г(а)Н о( 1) (а + т)Г(а)ump(du) = (— X)mrn\cm-\-tmr(t) о

Н о( 1) (а + т)Г(а)

Н о( 1) (а + т)Г(а)

При ос

М(С,оо)) = г(0М(С,оо)) = г(0+о(1) аГ(а) .+о(1) аГ(а) .

М(С,оо)) = г(0

М(С,оо)) = г(0

+о(1) аГ(а) .

+о(1) аГ(а) .

Замечание 1.7.1. Импликация 1 => 4 доказана Клаусом Невельсом в его докторской диссертации [248], см. также задачу 15 гл. XVII книги [135].

Замечание 1.7.2. В работе [43] Ю.Н. Дрожжинов и Б. И. Завьялов доказали также тауберову теорему для асимптотических разложений преобразования Лапласа мер, сосредоточенных в положительном октанте.

Приведем тауберову теорему Дрожжинова-Завьялова для характеристических функций (см. [44]). Пусть /(%) — характеристическая функция некоторой случайной величины с функцией распределения Е^х\.

Цх) = eitxdF(t), xeRx.

Для заданного £ > 0 положим

Ф+О) =Ф+О) =1 f f(u)du1 f f(u)du2ш J u — iy2ш J u — iyФ-0) = ^2кгФ-0) = ^2кг' f(u)duJ u-Viy' f(u)duJ u-Viy

Ф+О) =

Ф+О) =

1 f f(u)du

1 f f(u)du

2ш J u — iy

2ш J u — iy

Ф-0) = ^

2кг

Ф-0) = ^

2кг

' f(u)du

J u-Viy

' f(u)du

J u-Viy

Теорема 1.7.8. Пусть r^ — правильно меняющаяся функция с показателем —а, где п < а <п-\-Х для некоторого п = 0,1,... . Если существуют постоянные с^,с\,...,сп такие, что

^Лу^'ЕДу’ Fh<y\ у>0,j=0

причем

Цу) ~ г(Д/у), у^0+,

то

^-FW2—-Г(О, ^+оо.аГ(а)

Аналогично, если

ФДу> = Т1чУ д-Цу), у>о,

/=0

причем

Цу)~г(1/у),

то

F(-t) ~ -2—r(0, t +оо.оТщ)

Три многомерные тауберовы теоремы

В настоящем разделе мы докажем три многомерные тауберовы теоремы типа Дрожжинова-Завьялова [40] (краткое сообщение в [38], подробные доказательства опубликованы также в [26]), полученные автором книги. Эти теоремы будут применяться в гл. 4 при исследовании асимптотики безгранично делимых распределений, сосредоточенных в конусе. Метод доказательства этих тауберовых теорем является синтезом методов упомянутой работы Ю. Н. Дрожжинова и Б. И. Завьялова [40] и работы автора [142]. Пусть Г — замкнутый выпуклый острый телесный конус в Rn. Как и ранее, положим G = intF, С = intr*.

Пусть задано произвольное семейство U = {G&, к е I С [0, оо)} линейных операторов в Rn, которые оставляют конус Г инвариантным:

икГ = Г VkEl, Jk = MUk.(1)

(2)(2)Мы будем считать, что множество / имеет оо своей предельной точкой. Оператор Vk = (Ц*)-1 оставляет сопряженный конус Г* инвариантным. Для произвольного оператора Uk мы имеем числа

(2)

(2)

Л(^) = sup \Uke\, Х^к) = inf \Uke\.|е| = 1H = 1

Оператору Vk будут соответствовать числа

-2—= sup Щ*е|, -2-=inf|^e|.|е|=1Л(Й) |е|=1

Напомним определение предыдущего раздела.

Определение 1.8.1. Мы будем говорить, что семейство U = {С^, к Е Е 1} является семейством; первого типа, если Л(^) —> оо и Х(к^ —> оо при к —> оо, к Е I; второго типа, если существует b > 0 такое, что Л(^) —> оо при к —> оо, к ЕI и Х(к") b > 0 (к Е /); третьего типа, если Л(^) —> оо при к -е оо, к Е I.

Введем правильно меняющиеся функции в G вдоль семейства U.

Определение 1.8.2. Мы будем говорить, что функция Кх\ определенная, положительная и измеримая в G, правильно меняется в G вдоль семейства U = ^U^, к Е /} и писать, что / Е R^J ,G\ если для некоторого вектора е Е G и для всех х Е G при х^ х (к —> оо, к Е /)

> о(3)

f(Uke)к /

Из (1) и теоремы 1.4.2 следует, что

=4 ^(х)е(0,оо),^^оо, kEl,(4)

НМ

для произвольного компакта К с G, причем р(х) непрерывна в G. Согласно (3) мы будем записывать р = He(U ,G\

Замечание 1.8.1. Множество R(U,G) не зависит от вектора е Е G. При этом, если (3) выполнено для некоторого вектора е Е G, то оно будет выполнено для произвольного вектора щ Е G, при этом функция р умножится на

11Ш.

к^оо, k£l f(Uke\)

Определение 1.8.3. Функцию /(%), определенную в G, мы будем называть вполне допустимой для семейства операторов U = ^U^, к Е Е /}, если / Е R(U,G\ f локально суммируема в G и существует ко такое, что

k>k0, kel, xeG,(5)

Же)

где е — некоторый фиксированный вектор из G, причем ц имеет медленный рост в G;

для некоторого q.

Замечание 1.8.2. Определение 1.8.3 эквивалентно определению 0-вполне допустимой функции для семейства U = ^U^, к Е /} из [26, гл. П, разд. 5.2].

Определение 1.8.4. Функция f^x\ определенная в G, называется допустимой для конуса Г, если для произвольного семейства линей-

ных операторов U = {С^, к Е /}, оставляющих конус Г инвариантным, существует подсемейство V = {L^, к Е J С /} (/ неограниченно), относительно которого /(х) будет вполне допустимой.

Множество всех допустимых функций для конуса Г обозначим через В(Г).

Определение 1.8.5. Функция /(х), определенная в G, называется допустимой т-го типа (т = 1,2,3) для конуса Г, если для произвольного семейства линейных операторов m-го типа U = {С^, к Е /}, оставляющих конус Г инвариантным, существует подсемейство V = = {L^, к Е J С /} (/ неограниченно), относительно которого /(х) будет вполне допустимой.

Множество всех допустимых функций m-го типа для конуса Г обозначим через Вт(Г), т = 1,2,3.

Обозначение 1. Через Кт(Г), т = 1,2,3, обозначим множество всех функций /(х), определенных в G, таких, что для призвольного семейства линейных операторов m-го типа U = {С^, к Е /}, оставляющих конус Г инвариантным, существует подсемейство V = {С^, к Е J С /} (/ неограниченно) такое, что / Е R(V/T) (см. определение 1.8.2).

Обозначение 2. Через К(Г) обозначим множество всех функций /(х), определенных в G, таких, что для призвольного семейства линейных операторов U = {С^, к Е /}, оставляющих конус Г инвариантным, существует подсемейство V = {С^, к eJ С/} (/ неограниченно) такое, что / е/?(У,Г) (см. определение 1.8.2).

Ясно, что

В(Г) СВ3(Г) СВ2(Г) СВ^Г)

и

Н(Г) С Н3(Г) С Н2(Г) С Ri (Г).

Приведем примеры функций из К(Г) и В(Г).

Пусть R^ = {х = (хь... ,хп) Е Rn, xtО V i = 1,... ,п\ — положительный координатный угол (октант), V^" = {х = (xq,xi,... ,xrt) Е Rn+X, Хо > V^HЬх^} — световой конус будущего в Rn+X.

Пример 1 [26, гл. II, разд. 5.3, теор. 1]. Пусть /(х) — положительная, непрерывно дифференцируемая функция в intT?^, удовлетворяющая условию

а < ——< Ь, х, > 0, / = 1,..., п,/(X)1‘

при некоторых а,Ь ^ (—оо,оо). Тогда / G R(/?"). В частности, если а > -1, то f eXR+Y

Пример 2 [26, гл. II, разд. 5.3, теор. 2]. Пусть /(х) — положительная, непрерывно дифференцируемая функция в inti// и

(Z,x)(Z,Vf(x))1

—<6, х€Ц, ZedV+, /=С

при некоторых а,Ь е (—ос,ос), где V = ф^Эх\,... ,Э/Эхп\ Тогда / е R(V+). В частности, если а > — 1, то / е В(1//).

Пусть Г — замкнутый выпуклый острый телесный конус в Rn с вершиной в нуле. Рассморим функцию %, представимую в виде

Х(0 = Ц0<Д0. /€(0,00),(6)

где функции р и р удовлетворяют условиям:

Существуют положительные числа С\ и С2 такие, что

0<77(Z)02, Ze (0,ос).(7)

Отношение tiZAZ) ^е(0,оо)

=4 1, А^1.(8)

Функция р положительна, непрерывно дифференцируема и удовлетворяет неравенствам

а Z^ (Z)(0 < Z < ос)(9)

при некоторых а,Ь е (—ос,ос).

Пример 3 [26, гл. II, разд. 5.4]. Пусть функция % удовлетворяет условиям (6)-(9) и фиксированы векторы ^ е Г*, числа At> 0 и а е Rx. Тогда /(х) = %(щ(х)) е К(Г), где

1=р+1

В частности, если —ера < 1 при Z = 1,... ,р и а^Ь < 1 при i = р + 1,... . .. ,р + ^, то /(х) е В(Г).

Обозначение 3. Через 74^(6) (соответственно через M^G)) обозначим множество всех неубывающих (соответственно невозрастающих) функций в G, непрерывных «сверху», т. е. таких, что для всех xeG выполнено /(х) =/(х+), M+(G) = M^(G) UM^G) (см. начало разд. 1.2).

Как и ранее, преобразования Лапласа меры pi и функции / на Г будем обозначать соответственно через /(z/) и p(yY

р(у) = е-^ p(dxY f(y) = e~^y'^f(x}dx гг

т в предположении, что они существуют при у > а для некоторого zzeT = P.

Пусть Г — произвольный замкнутый выпуклый острый телесный конус, допускающий семейство линейных преобразований U = {L^, к е /}, которые оставляют Г инвариантным (см. (1)). Справедлива следующая тауберова теорема.

Теорема 1.8.1. Пусть f(x) = u(x)v(x) (х е 6), где и(х) е R(U,G) (см. определение 1.8.2), ^(х^ е 7И+(6) (см. обозначение 3), ^(х^ ^ > О (х е GY числа Рк > 0 (к е /) и для всех у ЕС существует f(yY Предположим, что для всех у ЕС

> ф(у) < ос, к —> ос, kEl,(10)

Ерк

(ук = (иоГ Jk = ^wfey

Тогда существует такая определенная в G функция р(х) < ос (х Е Е GY что

f(Ukx) p(xY k^oo,kEl,(11)

Pk

почти всюду в G и мера у на Г, что р является ее плотностью в G и

<у) = ц(у)<оо ^уЕС.(12)

В частности, если р(ЭГ) = 0, то

Ф(^ = р(^ <оо ^УЕС.(13)

Если функция р(х) непрерывна в G, то соотношение (11) выполнено равномерно по х еК для призвольного компакта К cG.

Замечание 1.8.3. Теорема 1.8.1 является аналогом теоремы 1 из [26, гл. II, разд. 4.3]. Основное ее отличие от цитируемой теоремы состоит в ослаблении тауберова условия и в отказе от предположения о регулярности конуса Г.

Доказательство теоремы 1.8.1. Пусть 21 — совокупность всех ограниченных борелевских множеств из Rn. Меры, рассматриваемые далее, будут считаться неотрицательными, сг-конечными и сосредото-

ченными на Г. Зададим семейство мер ^уьк G/} на 21 равенством

Так какТак какрнМ)= dx,J ркАпГрнМ)= dx,J ркАпГЛе 21.Ле 21.Му) = ——> у^ikpkМу) = ——> у^ikpkто из (10) следует, что для произвольного у ЕСто из (10) следует, что для произвольного у ЕСУк(у^ —> Ф(у^ < ос при к —> ос, к Е I.Ук(у^ —> Ф(у^ < ос при к —> ос, к Е I.(14)(15)(16)(14)(15)(16)

Так как

Так как

рнМ)= dx,J ркАпГ

рнМ)= dx,J ркАпГ

Ле 21.

Ле 21.

Му) = ——> у^ikpk

Му) = ——> у^ikpk

то из (10) следует, что для произвольного у ЕС

то из (10) следует, что для произвольного у ЕС

Ук(у^ —> Ф(у^ < ос при к —> ос, к Е I.

Ук(у^ —> Ф(у^ < ос при к —> ос, к Е I.

(14)

(15)

(16)

(14)

(15)

(16)

Согласно теореме 1.3.2 для некоторой меры ^ на Г

(17)

причем выполнено соотношение тор е Е G. Положим при х Е Gu(Ukx)UkW =u(Uke)причем выполнено соотношение тор е Е G. Положим при х Е Gu(Ukx)UkW =u(Uke)(12). Зафиксируем произвольный век-(12). Зафиксируем произвольный век-«kW =u<Uke).Рк«kW =u<Uke).Рк(18)(18)

причем выполнено соотношение тор е Е G. Положим при х Е G

u(Ukx)

UkW =

u(Uke)

причем выполнено соотношение тор е Е G. Положим при х Е G

u(Ukx)

UkW =

u(Uke)

(12). Зафиксируем произвольный век-

(12). Зафиксируем произвольный век-

«kW =u<Uke).

Рк

«kW =u<Uke).

Рк

(18)

(18)

Предположим для определенности, что ueM^G). Заметим, что для произвольного линейного оператора U, сохраняющего конус Г инвариантным (UY = Г),

u(Ux)eM^(GY (19)

В самом деле, так как Ш? = Г, то и(ЭГ) = ЭГ и U(G) = G. Поэтому г

Uх, Uу, U(у — %) Е G при х,у eG и х < у, так как у — х Е G. Стало быть, г

Ux <Uy, значит, u(Ux) ^ v(UyY Далее, согласно лемме 1.2.2

lim v(Uy) = lim v(Uy) = u((Ux)+) = v(Ux) гг

у—>х, у>хUy^Ux, Uy>Ux

(последнее равенство в силу определения M^(GYY Иными словами, выполнено (19). Согласно (19) u^W ЕМ^(С) при каждом г El. Покажем, что для каждого х Е G существуют такие кх Е I и сх < сю, что при к> кх, к El,

(20)(20)ик(х) < сх.

(20)

(20)

В самом деле, для произвольного замкнутого шара А с вершиной в точке х такого, что А с G и у(ЭА) = 0 согласно (17) и (15)

^И) =^И) =limк—Voo, kElАlimк—Voo, kElАик^ик<уЫУ-ик^ик<уЫУ-

^И) =

^И) =

limк—Voo, kEl

А

limк—Voo, kEl

А

ик^ик<уЫУ-

ик^ик<уЫУ-

4 А. Л. Якымив

Стало быть, существует к\х Е I такое, что для всех к > к\х, к Е I,

(21)(21)uk(yH(y)dy < р.(А) + ^-

(21)

(21)

А

Однако

UkWk^dy > ini\ик(у) vk(y)dy^ miuk(y)\B\vk(x), (22) yEA Jу^А

АВ

где В = ^у; у Е А, у < х^ в случае, когда и не возрастает, В = ^у; у еА, г

у > х} в случае, когда у не убывает. Пусть He(U,G) = ф\. Так как и Е Нф,G\ то

уЕА

^(z/) =4 (4i(z/)>0 (к^оо, к El).

Стало быть, существует кх > к\х, кх Е I, такое, что при к> кх, к Е I,

inf ифу) b >0.(23)

уЕА

Из неравенств (21)-(23) следует неравенство (20) с сх = (^(Л) + 1)/ /(|^|&). По теореме 1.2.1 множество функций {^(х), к > kx, к е/} слабо предкомпактно. Пусть для некотрого неограниченного множества J С I

ик^К (к —> оо, к Е /).ик^К (к —> оо, к Е /).(24)(24)

ик^К (к —> оо, к Е /).

ик^К (к —> оо, к Е /).

(24)

(24)

(25)(25)(26)(26)ИФкХ)ИФкХ)ААPkPkdx cpi(x)h(x)dx при к —> оо, кЕГАdx cpi(x)h(x)dx при к —> оо, кЕГА(27)(27)

(25)

(25)

(26)

(26)

ИФкХ)

ИФкХ)

А

А

Pk

Pk

dx cpi(x)h(x)dx при к —> оо, кЕГ

А

dx cpi(x)h(x)dx при к —> оо, кЕГ

А

(27)

(27)

Покажем, что функция ip\(x)h(x) есть плотность меры ^ по мере Лебега в G. Пусть множество Л е 21, Л = ЛидЛ с G. Тогда существуют г г

такие е > 0 и А > 0, что для произвольных х Е А имеем ее < х < Хе. Так как и Е R(U ,G), то найдутся такие ко и с < оо, что при к > ко, к Е I, и х Е А

ифкх)ифке)

Согласно (20) и (25) при к > шах(^о,^е,^Ае), к El, и х еА

t(Ukx) ифкх)

= Ук(х) < CVBax(o£e,C\eY рк ифке)

По теореме Лебега в силу (24) и (26)

Допустим, что (ДЭА) = 0. Тогда наряду с (27) выполнено также соот-

ношениеношение

ношение

ношение

(28)(28)^(Л) =^(Л), к —> оо, к Е I

(28)

(28)

(см. (17)). Из (27) и (28) следует, что

ip\ (%)//(%) dx = ^(Л).(29)

А

Согласно последнему равенству функция h определяется по pi однозначно с точностью до множества Лебеговой меры нуль. Однако в силу (24) h Е M+(G); следовательно, для каждого х Е G должно быть

h^ = lim/z(z/),

так что h определяется по pi однозначно. Поскольку предельная функция в (24) единственна, то на самом деле

Vk^h при к —> оо, kEl.(30)

Стало быть, в каждой точке х непрерывности функции /г мы имеем

/№) u<Ukx>

=^(х) —> (^i(x)n(x), к—> оо, kEl, (31) рк u(Uke)

причем выполнено соотношение (29). Из (31) вытекает, что выполнено соотношение (11) с ^(х) = (^1(х)/г(х). Из (29) следует, что p> = pAh есть плотность меры pi по мере Лебега в G. Наконец, из соотношений (16) и (17) следует (12).

Теперь предположим, что ^(х) непрерывна в G. Остается доказать, что соотношение (11) выполнено равномерно по х Е К для произвольного компактаKcG. Согласно теореме 1.4.2 достаточно показать, что для произвольных х Е G и последовательности хк Е G, хк —ух, имеем

f{UkXk)ПрИ k^oo,kEl.(32)

Рк

Так как ^(х) непрерывна в G и ^i(x) положительна и непрерывна в G, то и функция /г(х) непрерывна в G. Зафиксируем некоторые числа а Е (0,1) и Ье(Д,оо\ Предположим для определенности, что h eM^G). Тогда справедливы следующие неравенства:

и №кхк>u(Ukxk)

limsup = limsup У/Дх/J <

к—>оо, кЕ1 Рк к^-оо, kEl ^кУкв^

< pm U^kXk^ = cpx(x)h(ax) (33) к—>оо, k^i и^ике^)

(последнее равенство следует из (3) и (30) с учетом того, что h непрерывна в ах\ Переходя в (33) к пределу по <2 t 1, получаем с учетом непрерывности h в точке %, что

limsup(x^h(x\(34)

к—^ос, к El Рк

Далее, мы имеем оценку снизу:

р . f f^kXk)f u(Ukxk)

limini = limini ^kw) ^

к—>оо, kEl р^к—>оо, kEl U^U^e^)

. Нт ,^^7«ИМ = ViW^(M- (35) к^оо, kEl и\Уье)

Переходя в (35) к пределу по bV 1, получаем, что

liminfщх(х^к(х\(36)

к—>сю, к El р^

Из (34) и (36) следует (32) с щ(х) = p\(x)h(xY В случае, когда hEM^"(G), (32) доказывается точно так же, только неравенства заменятся на противоположные, a limsup и liminf поменяются местами. Доказательство теоремы завершено.□

Пусть, как и ранее, Г — произвольный замкнутый выпуклый острый телесный конус, допускающий семейство линейных преобразований U = {С^, к Е I}, которые оставляют Г инвариантным. Справедлива следующая тауберова теорема сравнения.

Теорема 1.8.2. Пусть f(x) = u(x)v(x) (х Е G\ где и^ Е R(U,G) (см. определение 1.8.2), d(x^eM^(G^ (см. обозначение 3), и(х) > 0 (х eG^ и для всех у ЕС существует f(y\ Предположим, что функция g(x) вполне допустима для семейства U = ^U^, к Е /} (см. определение 1.8.3). Если для произвольного у ЕС

t^^L 1 При к ос, к Е I(38)

g(Vky)

(Vk = (Ц*)-1), то существует предел

для произвольного компакта К cG.

Доказательство. В силу вполне допустимости функции g для семейства U = ^U^, kEl^ для некоторого фиксированного вектора е eG имеем

=4 ^ > о, к ^ оо, k е I.(40)

gWke^

для произвольного компакта К с G. Положим рк = g(UkeY к El. Покажем, что

(41)(41)хЕК

(41)

(41)

=4 p(xY к^оо, кЕ1.

Рк

для произвольного компакта К с G. В самом деле, при у ЕС

hpk g(Vky) hgChe) ’hpk g(Vky) hgChe) ’(42)(42)

hpk g(Vky) hgChe) ’

hpk g(Vky) hgChe) ’

(42)

(42)

g(Vky)hg(Uke}g(Vky)hg(Uke}причем по теореме Лебега в силу (40) и оценки вида (5) для функции g(x)

g(Vky)hg(Uke}

g(Vky)hg(Uke}

М gx -Л р(у) < ос

J gOhe)

G

при к —> ос, к Е I, для произвольного у Е С. Поэтому из (38) и (42)

следует, что

> р(у) < ос при ос, кЕ1, чу ЕС. hpk

Стало быть, выполнены все предположения теоремы 1.8.1 с ^у^ = = щ(у\ Поскольку функция ^(х^ непрерывна в G, то, пользуясь справедливостью теоремы 1.8.1, убеждаемся в том, что выполнено соотношение (41). Заметим, что

/(ад =№)/g№)y* (43) g(Ukx) рк \g(Uke))

Из соотношений (40), (41) и (43) в силу положительности у (%) следует (39). Теорема 1.8.2 доказана. □

Пусть Дг(^) есть расстояние от точки х Е Г до границы конуса Г (Дт(х) есть расстояние от точки х Е Т до границы конуса Т = Г*).

Определение 1.8.6. Выпуклый конус Г называется однородным, если для произвольных точек х\ и лд из G = int Г существует невырожденное линейное преобразование U (вообще говоря, зависящее от х\ и x^Y оставляющее конус Г инвариантным, такое, что Ux\ = х<2.

Пусть Г — произвольный замкнутый выпуклый острый телесный однородный конус в Rn с вершиной в нуле. Справедлива следующая тауберова теорема.

Теорема 1.8.3. Пусть / (%) = u(x^o(x^ (% Е GY причем у (я) Е M+(G) (см. обозначение 3), v (%) > 0 (х Е G) и для всех у ЕС существует f(yY Справедливы следующие утверждения*.

Если g(x) е ВДГ) (см. определение 1.8.5), и^ е КДГ) (см. обозначение 1) и существует предел

1 при у —> 0, у ЕС,(44)

то

> 1 при х eG, Аг(^) —> оо.(45)

Если g(x) Е В2(Г) (см. определение 1.8.5), и(х^ Е R2(F) (см. обозначение 1) и для произвольного b > 0 существует предел

^1 н- 1 при ^Т^ н- 0, у € С, |z/| < b,(46)

то для произвольного 5 > О

> 1 при х eG, ДгСД > 5.(47)

Если g(x) Е Вз(Г) (см. определение 1.8.5), и(х) Е Из (Г) (см. обозначение 1) и существует предел

1М^Х при МСмО, уеС,(48)

то

1 при xeG, |х|^оо.(49)

g(x)

Доказательство. Докажем сначала пункт 1. Предположим противное, т. е. пусть (44) выполнено, а (45) не имеет места. Тогда существуют е > 0 и последовательность х^ Е G, Дг to) ^ & (к Е N) такие, что

(kENY(kENY(50)(50)/to)gto)

(kENY

(kENY

(50)

(50)

Зафиксируем а Е G, |а| = 1 и рассмотрим семейство линейных операторов U = ^U^, к Е АД, toF = Г, таких, что U^a = х^. Такие операторы существуют в силу однородности Г. Так как |^6z| = |х&| > к, то

к < ДгЫ = Дг№) = 6Л.

р(а^

где Х(к) задаются соотношением (2), а р(а) > 0 (см. лемму 2 из [26, гл. II, разд. 5.1]). Стало быть, X(k) оо (к -л оо, kENY а следовательно, и Л(^) оо (к оо, к Е N) (см. (2)). Таким образом, семейство {to, & Е АД будет семейством первого типа, а так как g(x^ Е ВДГ), то существует подсемейство {to, к Е L С ЛД (L неограниченно), относи-

тельно которого ^(х) будет вполне допустимой. В силу определения Ri(F) (см. обозначение 1) в семействе {L^, к Е А} найдется такое подсемейство [7 = {L^, к Е М С А} (М неограниченно), что и Е R(U,Г). Ясно, что функция g(x) останется вполне допустимой и относительно семейства U. Для произвольного фиксированного вектора у ЕС и kEN получаем V^y ЕС и

\Vky\^ |у| sup Ще| = -^-0 (/? -> оо, к € N\

|е|=1ММ

Поэтому по условию (44)

(к оо, к ему(51)

Стало быть, выполнены все условия теоремы 1.8.2. Согласно этой теореме

f(Uka) f(xk)

=> 1 (к оо, к Е М).

g<Uka^ gfo)

Последнее соотношение противоречит неравенству (50) для к Е М. Пункт 1 теоремы 1.8.3 доказан.

Доказательство пункта 2 (соответственно 3) проводится при помощи дословного повторения предыдущих рассуждений с учетом того, что в указанных случаях семейство опрераторов {L^, к Е АЛ} будет семейством 2-го (соответственно 3-го) типа (см. [26, гл. II, разд. 6.2, теор. 2]). □

Замечания к главе 1

Как известно, правильно меняющиеся функции одной переменной ввел в 1930 г. И. Карамата [226] и доказал для них тауберовы теоремы [227-229]. Обобщениям правильно меняющихся функций на многомерный случай посвящены работы Б. Баяшински и И. Карамата [170], Е. Рвачевой [267], С. Резника [264-266], С. Резника и П. Гринвуда [208], Л. де Хаана [215], Е. Омея [252], Л. де Хаана, Е. Омея и С. Резника [217], К. Клаппелберг, Т. Микоша и А. Шарф [233], М.М. Меершаерта [242-244], М.М. Меершаерта и Г. П. Шеффлера [245], Т. Острогорски [257-260], А. И. Стама [278], Ю.Н. Дрожжи- нова и Б. И. Завьялова [38-43], А. Ю. Заиграева и А. В. Нагаева [48], С.М. Козлова [61], И. С. Молчанова [246], автора [142].

Например, Б. Баяшански и И. Карамата [170] рассматривали непрерывные функции /: G —> R+, где G — произвольная топологическая группа, на которой задан фильтр Я открытых выпуклых множеств из G со счетным базисом. При этом фильтр Я считается G-инвариантным, т. е. для произвольного множества U Е Я и произвольного элемента h Е

Е U выполнено Uh еЯ и hU еЯ. Согласно [170] функция / называется правильно меняющейся по отношению к фильтру Я, если для каждого h EG существует предел

,. Kg О

lim

g->oo /(g)

где g ^ ос обозначает сходимость по отношению к данному фильтру. В [170] была доказана также теорема о равномерной сходимости.

Исследования Б. Баяшански и И. Карамата [170] продолжила Т. Острогорски в работах [257-260]. В качестве группы G она рассматривала различные конусы в Rn\ гипероктант, световой конус будущего,

произвольные однородные конусы, и получила в этом направлении ряд

новых результатов.

Е. Омей [252] изучал измеримые функции /: R^ -^R+ такие, что для некоторых вспомогательных функций r,s; R+ -^ R+, г^ -л ос, s(f) -^ ос при Мею и некоторой положительной функции Х(х,у) и всех х,у > 0

существуетсуществует

существует

существует

= X(x,yY= X(x,yYf(r(tKs(t)y)lim ^OO f(r(t\s(t))

= X(x,yY

= X(x,yY

NV. NV. Меершаерт [242, 243] исследовал функции f(t) одной переменной t, значениями которых являются невырожденные линейные операторы из Rk и распространил понятие правильно меняющихся функций на этот случай.

И. С. Молчанов в [246] ввел и изучил правильно меняющиеся функции /(%), определенные в некотором m-мерном конусе, значениями которых являются замкнутые (компактные) множества из Rd.

Согласно С. И. Резнику [264] случайный вектор X со значениями в Rn называется правильно меняющимся на бесконечности с показателем спектральным (вероятностным) распределением Ps на единичной сфере S"-1 cRn, если существуют положительные числа с и о^ (k Е N) такие, что при к -л ос

^Р^1^ Е A(r,B)} cr-aPs(B)

= щ(х),= щ(х),для всех множеств В с S^-1 непрерывности предельной меры Ps и г > 0, где А(г,В) = {%: х Е Rn, |х| > г, х/\х\ Е В}. В работе [173] Б. Басрак, Р. А. Дэвис и Т. Микош показали, что, если случайный вектор X правильно меняется на бесконечности с показателем а > 0, то для произвольного х Е Rn и некоторой медленно меняющейся на бесконечности функции L^ существует предел

= щ(х),

= щ(х),

Р{(х,А)М}lim ^оо t “L^

причем существует xq ^ 0, для которого щ(%о) > 0. Доказано также, что для нецелых а > 0 справедливо соответствующее обратное

утверждение, причем предельная мера Ps определяется однозначно по функции шфУ Для случая а = 2 приведен контрпример.

Пусть неотрицательная функция А(х) непрерывна на единичной сфере Sn-X cRn. В работе [48] А. Ю. Заиграев и А. В. Нагаев называют функцию [ФУ х ERn, (Д А)-правильно меняющейся, если при |х| —> ос

supвх ЕЕ\supвх ЕЕ\/ИММ)/ИММ)-А(еД-А(еД= о(1),= о(1),

supвх ЕЕ\

supвх ЕЕ\

/И

ММ)

/И

ММ)

-А(еД

-А(еД

= о(1),

= о(1),

где ех=х/\х\, грф правильно меняется при Мос с показателем 3, а Е\ = ф е Sn-X; Хф) > 0}. Это определение близко к определению класса 7?2(Г) из раздела 1.1, где Г = {х е Rn, х = ta, а е Е\, t > 0}. Так, если множество Е\ замкнуто, то множество всех измеримых фАУ правильно меняющихся функций совпадает с множеством функций из Т?2(Г), для которых предельная в соотношении (1.1) однородная функция фф^ имеет вид фф^ = с|х|^А(х/|х|), х е Г, где с — произвольная положительная постоянная (см. теоремы 1.1.1 и 1.1.2).

Многомерная тауберова теория до 70-х годов XX века не имела существенных приложений и развивалась в основном по линии непосредственного обобщения известных одномерных тауберовых теорем на случай нескольких переменных. Отдельные результаты по многомерным тауберовым теоремам этого периода можно найти в работах многих математиков, например, Г. Харди и Дж. Литтлвуда [220], К. Кноппа [234], Т. Ганелиуса [203], X. Деланжа [187, 188], Г. Де- лавалта [189] и др. Однако основная масса работ по многомерным тауберовым теоремам появилась начиная примерно со второй половины 70-х годов прошлого века (см. ссылки во введении) в связи с различными приложениями в теории дифференциальных уравнений, математической физике и теории вероятностей.

Разделы 1.1-1.3 написаны по работе автора [142]. При написании разделов 1.4 и 1.5 использовались статьи [145, 148]. Одномерные тауберовы теоремы раздела 1.6 были взяты из работ [146, 147, 153, 156]. При написании раздела 1.7 были использованы работы Ю.Н. Дрожжинова и Б. И. Завьялова [38-44] и книга В. С. Владимирова, Ю.Н. Дрожжинова и Б. И. Завьялова [26]. Раздел 1.8 написан по работе автора [158].

Глава 2

ПРИЛОЖЕНИЯ К ВЕТВЯЩИМСЯ ПРОЦЕССАМ

Ограниченные снизу ветвящиеся процессы

В этом разделе мы будем рассматривать одномерные однородные во времени марковские ветвящиеся процессы с непрерывным временем. Напомним, что марковские ветвящиеся процессы выделяются среди всех марковских процессов с фазовым пространством N = {0,1,2,...} свойством ветвления переходных вероятностей ^Pq(f), i,j eN, tER+}:

р^) = р^) =^ РМЛПРМЛП...РМЛП.

/1+/2H—vp=i

Последнее условие, в частности, при I = 0 означает, что

Р^ = Р^^ = Ц,

где 6q — символы Кронекера:

Г _ J 1 при I = /,ч‘ ^0 при i j.

Как это принято в ветвящихся процессах, состояние, в котором находится процесс, будем называть числом частиц. Пусть имеется марковский ветвящийся процесс p.(tY Положим

PnW = P^W=n | ^(0)=!} = Р^Ни>п | p(u)=\Y

Как обычно, предполагается, что

limACO^ 1 t—

и

Р1(0 = 1+Р1^ + о(0, Pn(t) = Pnt + o(f), П^\, при ^ —> 0, причем

= 0.

Положим

fO = ^pns\ se[0,1].

п=0

Предположим, что /'(1) =0 (процесс — критический) и & = /"(!) < ос. Как известно (см. книгу Б. А. Севастьянова [НО, разд. 2.2], в этом случае вероятность продолжения процесса

Q(0 = Р{Щ0 >0| /z(0) = 1}

имеет асимптотику на бесконечности

2

Q(0 ~ — при ос.bt

В работе [111] Б. А. Севастьянов изучает асимптотику на бесконечности вероятностей

Qmr(t) = P< inf p(u)>r\p(O) = mV т>г^0.(1)

Ясно, что Qw(0 = Q(t), Qmo(t) = 1 — (1 - Q(t))m ~ mQ(t) при t —> oo. Поэтому

_. . 2m

QmOv) "77^ ^ 00 •

bt

В упомянутой работе Б. А. Севастьянова [НО] доказывается следующая теорема.

Теорема 2.1.1. Пусть /'(1) = 0, t"W = b Е (0,оо). Тогда для произвольных целых т> ОО

(2) bt

Приведем здесь оригинальное доказательство этой теоремы, принадлежащее ее автору.

Для доказательства теоремы используется следующее равенство:

ЛиО ~ Тпг "Б ТЩ,(3)

где тто (тго) — случайный момент вырождения процесса, начавшегося с т^г) частиц, ттг — случайный момент первого достижения значения г для процесса, начавшегося с т частиц, ттг и тго независимы. Через PmrW обозначим преобразование Лапласа ттг;

VmrW = Me-XTmr, А 0.

ИмеемИмееме хМОтг(Г)=Х-ХФтг(Х^е хМОтг(Г)=Х-ХФтг(Х^гдегдеФтг(Х) — е XtQmr^dt.оФтг(Х) — е XtQmr^dt.о

Имеем

Имеем

е хМОтг(Г)=Х-ХФтг(Х^

е хМОтг(Г)=Х-ХФтг(Х^

где

где

Фтг(Х) — е XtQmr^dt.

о

Фтг(Х) — е XtQmr^dt.

о

Из (3) следует, что

Гтг^Х^) —Гтг^Х^) —Г’тО^Х) ^го(А)Г’тО^Х) ^го(А)или, в других обозначениях,или, в других обозначениях,ф (А) = Фто(А) Фго(А) ’1—АФг0(А)ф (А) = Фто(А) Фго(А) ’1—АФг0(А)(4)(5)(4)(5)

Гтг^Х^) —

Гтг^Х^) —

Г’тО^Х) ^го(А)

Г’тО^Х) ^го(А)

или, в других обозначениях,

или, в других обозначениях,

ф (А) = Фто(А) Фго(А) ’1—АФг0(А)

ф (А) = Фто(А) Фго(А) ’1—АФг0(А)

(4)

(5)

(4)

(5)

Далее мы несколько раз будем применять тауберову теорему, явля- ющуся обобщением таберовой теоремы 4 из книги В. Феллера [135, разд. ХШ.5]. Сформулируем ее в виде леммы.

Лемма 2.1.1. Пусть

щ(А) = е Xtu^dt,ощ(А) = е Xtu^dt,ои^ = t1o^ 0,и^ = t1o^ 0,

щ(А) = е Xtu^dt,о

щ(А) = е Xtu^dt,о

и^ = t1o^ 0,

и^ = t1o^ 0,

где о^ — некоторая монотонная функция; пусть р > 0 и L^ — медленно меняющаяся функция. В этом случае

и(А)~ — l( Г ।, а;о,А" W

тогда и только тогда, когда

и^ _^tp-XL^t\ t оо.

Г(р) v 7

Лемма 2.1.1 является следствием тауберовой теоремы 1.3.4, она может быть доказана и аналогично вышеупомянутой тауберовой теореме из [135].

Доказательство теоремы 2.1.1. Поскольку Qmo(O = 1 — Фто(А) = тФ(А)+ 0(1), где

Ф(Д)= e-XtQ^dt.(6)

о

Мы не можем применить лемму 2.1.1 к (6), поэтому проинтегрируем (6) по частям:

Ф(А) = А e"XtQCW,о

где

Q(0 = Q^du.

о

Поскольку

Q(0~^lnt

мы получаем по лемме 2.1.1, что

(7)(7)21

(7)

(7)

Ф(А)~-1п-b А

Из этой асимптотики следует с учетом (5), что

Фтг(^) " П Т’ ^ ^ 0.b АФтг(^) " П Т’ ^ ^ 0.b А(8)(8)Мы не можем применить лемму 2.1.1 к асимптотике (8), поэтому продифференцируем равенство (5):Мы не можем применить лемму 2.1.1 к асимптотике (8), поэтому продифференцируем равенство (5):^г(А)^г(А)f^o(A)^J^ + (fWAbJ^1—АФг0(Л)(1—ЛФг0(Л))2f^o(A)^J^ + (fWAbJ^1—АФг0(Л)(1—ЛФг0(Л))2(9)(9)гдегдеФтгО) = - е XttQmr<Hd.t.ФтгО) = - е XttQmr<Hd.t.Заметим, чтоЗаметим, чтоФ^А) = ~т е Xt^QWdt + С^ е ^tQ^^dt + O^Y ооСогласно лемме 2.1.1e-XttQ^dt ~ -^- ЬХФ^А) = ~т е Xt^QWdt + С^ е ^tQ^^dt + O^Y ооСогласно лемме 2.1.1e-XttQ^dt ~ -^- ЬХоо

Фтг(^) " П Т’ ^ ^ 0.b А

Фтг(^) " П Т’ ^ ^ 0.b А

(8)

(8)

Мы не можем применить лемму 2.1.1 к асимптотике (8), поэтому продифференцируем равенство (5):

Мы не можем применить лемму 2.1.1 к асимптотике (8), поэтому продифференцируем равенство (5):

^г(А)

^г(А)

f^o(A)^J^ + (fWAbJ^

1—АФг0(Л)(1—ЛФг0(Л))2

f^o(A)^J^ + (fWAbJ^

1—АФг0(Л)(1—ЛФг0(Л))2

(9)

(9)

где

где

ФтгО) = - е XttQmr<Hd.t.

ФтгО) = - е XttQmr<Hd.t.

Заметим, что

Заметим, что

Ф^А) = ~т е Xt^QWdt + С^ е ^tQ^^dt + O^Y оо

Согласно лемме 2.1.1

e-XttQ^dt ~ -^- ЬХ

Ф^А) = ~т е Xt^QWdt + С^ е ^tQ^^dt + O^Y оо

Согласно лемме 2.1.1

e-XttQ^dt ~ -^- ЬХ

о

о

и

e-XttQ2(t)dt ^1п -^о

при А^О. Поэтому имеем

фща)~-— (л;о).

Ьл

Стало быть, из (9) с учетом асимптотики (8) получаем, что

фЩА)~-^^ (а;о).(Ю)

Ьл

Доказательство теоремы завершает применение леммы 2.1.1 к (10). □

Замечание 2.1.1. В случае дискретного времени в ветвящемся процессе возможны прыжки вниз на несколько единиц, поэтому уравнение (3) не выполнено и вопрос точной асимптотики остается открытым.

Следующий пример показывает, что в случае дискретного времени возможна асимптотика, отличающаяся от (2). Пусть производящая функция числа потомков одной частицы имеет вид

F(s) = P0 + Pr+1sr+4..., Р0>0, Pr+v>0.

В этом случае

Qmr(0 ~ Qmo(O ^Q(0’

Рассмотренная в настоящем разделе тематика нашла свое продолжение в работах Б. А. Севастьянова [112, 113], причем изучен как случай дискретного времени, так и докритические ветвящиеся процессы с несколькими типами частиц. Еще более общая проблема поставлена в работе Б. А. Севастьянова [114], где рассмотрены ветвящиеся процессы, которые останавливаются после попадания в некоторое заранее фиксированное множество состояний. При этом наиболее интересный результат получен для случая докритических ветвящихся процессов с дискретным временем. Первоначальный многотипный ветвящийся процесс Гальтона-Ватсона

^(0 = (/и(0,...,М0)> ^ = 0,1,2...,

порождает остановленный ветвящийся процесс ^t\ если при попадании pi^ в некоторое конечное множество S процесс останавливается. Предполагается, что pi^ докритичен и неразложим (см. [111, гл. IV]). Доказано, что

lim PR(0 = d€(0) = ^}

для произвольного г е S при п i S, п = п\АИ пт —> ос, njn -^ at асимптотически сближается с периодической с периодом 1 функцией от log^Tz, R — перронов корень матрицы {Az/ = M^z(l) | ^(0) = еД (см. [111, гл. IV, парагр. 5]).

Ветвящиеся процессы Беллмана-Харриса

В этом разделе и в двух следующих будет рассматриваться более общая модель ветвящихся процессов — так называемых процессов Беллмана-Харриса. В этих процессах каждая частица является независимой вероятностной копией первоначальной частицы, имеющей функцию распределения длительности жизни G(t), ^ > 0 и производящую функцию числа потомков, порождаемых частицей в конце жизни, h(s\ se [0,1]. Как и ранее, рассматриваются критические ветвящиеся процессы. Критичность процесса означает, что Л'(1) = 1 (в среднем одна частица порождает одну). Более подробные сведения о ветвящихся процессах Беллмана-Харриса можно почерпнуть в книге Т.Н. Харриса [136, гл. 4] и в книге Б. А. Севастьянова [НО, гл. 8 и 9, модель 3].

Здесь будет рассмотрено новое явление в этих процессах, которое не имеет места для марковских ветвящихся процессов. Это явление было обнаружено В. А. Ватутиным в работе [16]. Эта работа лишь с несущественными изменениями приводится далее.

Пусть p(t) — число частиц в момент t в ветвящемся процессе Беллмана-Харриса, если в начальный момент времени ^ = 0 в процессе была одна частица нулевого возраста. Везде далее в этом разделе обозначения L(t), L^t\ L\(t) будут употребляться только для функций, медленно меняющихся на бесконечности. В [16] получена следующая предельная теорема.

Теорема 2.2.1. Пусть G(0+) = 0,

A(s) = s + (l-s)1+“7(l/(l-s)), se(0,l), (1) 7(0 ее 1 - G(0 = Г%(0, t > 0, (2)

где q e (0,1], (3 > 0, hn(s) — п-я итерация производящей функции h(s). Тогда

> 0} - Г^На^Ц^ при t —> ос.

Для произвольного s е [0,1)

lim М Is^ |/ДО > о] = 1 — (1 - s)1/(1+“>.(4)

(напомним, что в силу нашего соглашения функции L,Lq,L\ медленно меняются на бесконечности).

Обсудим условия теоремы. Условие вида (1) для производящей функции h^s) было впервые использовано В. М. Золотарёвым в [49] для марковских ветвящихся процессов (т. е. когда либо G^ сосредоточена в 1, либо G^ = 1 — ехр(—pt), t^O, для некоторого р > 0). В этой работе было показано, что для марковских ветвящихся процессов, удовлетворяющих соотношению (1), условное распределение p(t)P^p(t) > 0} при условии p(t) > 0 и при t -л оо слабо сходится к устойчивому распределению с параметром а. Р. С. Слэк в работах [273, 274] показал, что выполнение соотношения (1) является необходимым и достаточным для существования этого слабого предела для марковских ветвящихся процессов с дискретным временем. Кроме того, он нашел асимптотику Р{7 = t^ при Моо и связал ее с асимптотикой вероятности продолжения процесса Р{^(0 > 0} = Р{7 > Q (t ос). Аналогичные предельные теоремы справедливы и для ветвящихся процессов Беллмана-Харриса, если отношение в (3) стремится к нулю (В. А. Ватутин [15]). Случай, когда отношение в (3) стремится к положительной постоянной, разобран в работе В. А. Ватутина [19]. Отметим, что в (4) нет никакой нормировки на p(t) несмотря на то, что М{д^) | p(t) > 0} = 1/Р{^(0 > > 0} ос (t ^ ос). По этой причине теорема 2.2.1 вызвала в свое время удивление среди специалистов по ветвящимся процессам.

Как отмечено в статье Р. Боянича и Е. Сенеты [182], из (1) вытекает, что

\ — hn(0) п-^аЕ2(п), п^оо.(5)

Из (5) и (2) следует, что (7) выполнено тогда и только тогда, когда либо Р < 1 + 1/сц либо /3=1 + 1/(Д и

lim Е^п)/Е2^п) = ос.

Для доказательства теоремы 1.2.1 нам понадобятся несколько лемм.

Лемма 2.2.1 (С. В. Нагаев [81]). Пусть p\(t) и ^(0 — ветвящиеся процессы Беллмана-Харриса, G\(t) и G2(t) — функции распределения времени жизни частиц первого и второго процессов, а производящая функция h^s) числа потомков частиц первого и второго процессов одна и та же, причем //'(I) = 1. Если для всех t > 0

Gx(t)^G2(t),

то для всех s е [0,1] и t 0

=Fx(t,s) ^F2(t,s) = Ms^.

Лемма 2.2.2 (М.И. Голдштейн [207]). Если в ветвящемся процессе Беллмана-Харриса h\\) = 1, то для всех t ^ 0, s е [0,1] и на-

туральных п

W + (1 - s)G*n(O > Ms"* 2? A„(s) - (1 -S)( 1 -G*"(0).(6)

Здесь G*n^ — п-кратная свертка функции G^ с собой.

Лемма 2.2.3. Пусть выполнено (2) с 3 > L Если плх и х так, что п = o^t\ то

Доказательство этой леммы дословно повторяет доказательство теоремы 27 из гл. IX книги В. В. Петрова [95] и здесь не приводится.□

Лемма 2.2.4. Пусть Е\^ и L^^t) медленно меняются на бесконечности. Если при t оо

1МЬ = о(Ь2(Ж(7)

то найдется такая неотрицательная целочисленная функция n^t\ что при ^ ^ ос

nO^oo, Ht)=o(tY —— = 0 —- .(8)

nV) \ t /

Доказательство. Из (7) и определения медленно меняющейся функции следует, что при любом с > О

r Lx(VctY) t hm= 0.

^оо ct L2W

Пусть ak(t) = ^1([^])/Л2(0, Е = 1, 4+1 = l+min{O^: M*) < 1/^ V x ^ Q. Для функции n^t\ равной 1, если t < 1, и равной \t/k\, если tk < t < ^+i, выполняются соотношения (8).□

Доказательство теоремы 2.2.1. Как известно (см. книгу

Т.Н. Харриса [136, гл. VI, теор. 7.1]), функция

F(t,s) = Ms^w

удовлетворяет интегральному уравнению

t

F(t,s) = s(\-G(t)H h(F(t-u,s^dG(u),

окоторое можно переписать в видеtt

R(t,s) = (1 -s)T(t)X R(t - u,s)dG{u) - g(R(t - u,s))dG(u),(9)

о0

где

R(t,s) = \-F(tA T(t)=i—G(t), g(s)=h(\-s)-^-sY

Применяя преобразование Лапласа к уравнению (9), получаем, что

е XtR(t,s)dtXоое XtR(t,s)dtXооe-XtT<tW =e-XtT<tW =

е XtR(t,s)dtX

оо

е XtR(t,s)dtX

оо

e-XtT<tW =

e-XtT<tW =

ОООООО

= (l-s) е"х‘ТЛ)Л- e~Xtg(R(t,s))dt e"Xt dG(t\ (10)

00о

Так как R(t, s) ^ 0 при М оо и каждом фиксированном s, то при А ^ 0

А е XtR(t,s)dt = o(l).А е XtR(t,s)dt = o(l).(И)(И)

А е XtR(t,s)dt = o(l).

А е XtR(t,s)dt = o(l).

(И)

(И)

о

Пусть 3 e (0,1). Тогда согласно лемме 2.1.1 при А ^ 0

(12)(12)(13)(13)(1-ДГ(1-Ял

(12)

(12)

(13)

(13)

(1 s) е T^dt-_ рTq(1/A).

о

Из (10) и (11) вытекает, что при А^0

(1— s) е XtT^dt^ е Xtg(R(t,s))dt.оо

Поскольку /г'( 1) = 1, то при каждом фиксированном s функция R(t,s") монотонно убывает, а следовательно, функция g(R(t,s)) тоже монотонно убывает. Применяя лемму 2.1.1, из (12) и (13) получаем, что

§№)М1-$)Г^0(1 + о(М ^оо. (14)

Полагая в (14) s = 0 и учитывая (1), имеем

/?(00)1+-'Л(1//?(00)) =t^oo. (15)

Отсюда R(t,O) = fddv+a^^f), что доказывает п. 1 для 9 Е (0,1). Далее, в силу выпуклости вниз функции F(t,s")

R(t^^ R(t,s)^ (1 - s)R(t,O\

Поэтому при каждом s Е [0,1)

lim L(\/R(t,s^/L(\/R(t,O) = 1.

Вспоминая (1) и (14), получаем

^Нш^НшЖДАR<t^ /ЖДАR<t^ /1+q1+q= ^lim= ^lim= 1 — s,= 1 — s,

^Нш

^Нш

ЖДА

R<t^ /

ЖДА

R<t^ /

1+q

1+q

= ^lim

= ^lim

= 1 — s,

= 1 — s,

что эквивалентно (4).

Дальше доказательство проводится по индукции. Пусть

и(п) = 52^ + ^)^,= 0,1,... .

^=о

Предположим, что мы доказали (14) для всех /Зе (0,u(n)Y Докажем, что (14) верно для /Зе [u(n),Цп + 1)). Прежде всего, из леммы 2.2.1 и предположения индукции вытекает, что для произвольного е > 0 и всех /3 > и^ при t —> оо

R(t,s) _0(г^-£^н^R(t,s) _0(г^-£^н^g^RC.s^^oQ-^^yg^RC.s^^oQ-^^y(16)(17)(16)(17)

R(t,s) _0(г^-£^н^

R(t,s) _0(г^-£^н^

g^RC.s^^oQ-^^y

g^RC.s^^oQ-^^y

(16)

(17)

(16)

(17)

В самом деле, выберем такую функцию распределения G\(t\ чтобы 1 —G\(t) ~ ^-<пНе ПрИ ^ ^ QQ. Тогда, очевидно, найдется такое 7И, что 1 —G^ ^ 1 —G\^ при всех t^M. Ясно, что можно переопределить G\^ на отрезке [0,7И] так, чтобы 1— G(t) < 1—бДД при всех ^ > 0. Применяя лемму 2.2.1 и используя предположение индукции, получаем (16) И (17).

Продифференцируем и = [/3] раз по А равенство (10):

НГоНГое XtfR(t,s)dt А еое XtfR(t,s)dt А ео"XtT(dW +"XtT(dW +^=о^=оЛЛооe-XttkR(t,s)dt (-l)^e-XttkR(t,s)dt (-l)^A e-Xtf-kTC>dt^ оA e-Xtf-kTC>dt^ о+ (^-&)(-! Г"6"1+ (^-&)(-! Г"6"1e-^f-^'T^dtо.e-^f-^'T^dtо.(18)(18)

НГ

о

НГ

о

е XtfR(t,s)dt А е

о

е XtfR(t,s)dt А е

о

"XtT(dW +

"XtT(dW +

^=о

^=о

Л

Л

о

о

e-XttkR(t,s)dt (-l)^

e-XttkR(t,s)dt (-l)^

A e-Xtf-kTC>dt^ о

A e-Xtf-kTC>dt^ о

+ (^-&)(-! Г"6"1

+ (^-&)(-! Г"6"1

e-^f-^'T^dt

о.

e-^f-^'T^dt

о.

(18)

(18)

= (—1)^(1—s) e-XttkTC>dt-<-\Y e-XtfgU?(d,sYdt e~XtdG(t)-

000

e-AZ^(7?(^s))(_l)^оe-AZ^(7?(^s))(_l)^оe-Xtf-kdGO,оe-Xtf-kdGO,о

e-AZ^(7?(^s))(_l)^

о

e-AZ^(7?(^s))(_l)^

о

e-Xtf-kdGO,

о

e-Xtf-kdGO,

о

или, в упрощенных обозначениях,

A(s, А) = (- ХУВ^(s, А) - (-хув^г А) + B^s, А).(19)

Оценим отдельно левую и правую части (19). Пусть 3 нецелое. Тогда при 0 < к < и — 1

CT^dt < оо, tk+v dG^ < оо,(20)

Оо

а при А О

e^CI^dt ~ ТУУУ1Ь00/Х\(21)

О

Далее, ввиду (16)

e-XttkR^t,s^dt < ос при к < U^-—- — 1(22)

1 +Q

О и

e"XttkR<t,s^dt = о(23)

О

при ^OIzlJl _ 1 < р v _ 1 Кроме того, при А О

+q

e-XttvR<t,s^dt = о (д(№)-^)/(1+0)^^(24)

о

Собирая вместе оценки (20)-(24) и вспоминая (11), получаем, что при АфО

Л(5, Л) = о (д(М«)-О/(1+а))-^ +О(1).(25)

Точно такие же рассуждения показывают, что при А ^ О

B3(s, А) = о (а^-17-5)+0(1).(26)

Заметим теперь, что для нецелых значений 3 £ [u(n),u(n + 1))

V— (и(п)-ЕУ(Х +ск) < V — За- 1, V— и(п) +£ < V — За- 1при достаточно малом е. Отсюда и из (18), (19) и (21) вытекает, что

при А } Опри А } О(1-s)О(1-s)Оe^T^dte^T^dtе ^f^RYt.s^dt.ое ^f^RYt.s^dt.о

при А } О

при А } О

(1-s)

О

(1-s)

О

e^T^dt

e^T^dt

е ^f^RYt.s^dt.

о

е ^f^RYt.s^dt.

о

Применяя к последнему соотношению лемму 2.1.1, получаем (14) для нецелых значений Р 6 \upTY ирг + 1)). Для целых значений Р 6 6 VpnYupr А-Тр доказательство проводится точно так же с учетом того, что при А О

e-Xttv-xT^dt-L^\fXYоe-Xttv-xT^dt-L^\fXYоe"xtfdG<p-U<\/XYe"xtfdG<p-U<\/XYоо

e-Xttv-xT^dt-L^\fXY

о

e-Xttv-xT^dt-L^\fXY

о

e"xtfdG<p-U<\/XY

e"xtfdG<p-U<\/XY

о

о

Из (14) так же, как это делалось в случае Р Е (0,1), выводим утверждение теоремы. Поскольку

Нш и^ = 1 + а-1,

то приведенные выше рассуждения применимы ко всем Р Е [1,1 + 1/q). Если Р > 1 + 1/сц то, как уже отмечалось, (3) не выполняется. Итак, осталось разобрать случай /3=1 + \/а. Если /3=1 + 1/сц то из (2), (3) и (5) следует, что L^p /L^p -л 0 при ^ ^ ос. Согласно лемме 2.2.4 выберем п = прр так, чтобы

пР) ос, пР) = о(0, = о I .

п(р \ t )

Вспоминая (5) и лемму 2.2.3, имеем при t -л ос

0 < /?(/,s) < 7?Ц, 0) ^ 1 - й„(0) + 1 -G*n^ = О (г1/аЛ2(0) .

Используя последнюю оценку вместо (16), из (19) точно так же, как это делалось для Р Е (1,1 + AJaY получаем (14). Доказательство теоремы закончено.□

Сходимость конечномерных распределений

Как и в разделе 2.2, будем считать, что ррр — число частиц в критическом ветвящемся процессе Беллмана-Харриса с функцией распределения времени жизни частицы Gpp и производящей функцией числа непосредственных потомков частицы h^sY В предположениях теоремы 2.2.1 получим предельную теорему для условных конечномерных распределений процесса. А именно, справедлива следующая теорема.

Теорема 2.3.1. Пусть выполнены предположения теоремы 2.2.1. Тогда конечномерные распределения процесса {p(rtY те (0,1)} при

условии, что у(Г) > 0, сходятся при t -л- оо к конечномерным распределениям некоторого случайного процесса {//(т), те (0,1)}, причем для всех si,..., sn е [0,1], 0 < ту < • • • < тп < 1

z=l\z=l \/=1/ z=l /

y/=i у/=1 / у

где = 1/(1 +q).

Заметим, что при s е (0,1) и т е (0,1)

Ms^ = (тЩ! - s) + s)7 - (тЩ! - s))7 -> О (th- 0), стало быть,

т/(т) Д оо при т 0.

Это указывает на то, что в рассматриваемом классе ветвящихся процессов Беллмана-Харриса при т оо, г = о^ частиц в момент т при условии невырождения процесса в момент t должно быть «много». И в самом деле, здесь справедлива соответствующая предельная теорема (В. А. Ватутин, С.М. Сагитов [23]). В [22] В. А. Ватутин и С. М. Сагитов исследовали также критические разложимые процессы Беллмана-Харриса с несколькими типами частиц, «далекие» от марковских. Теорема 2.3.1 доказана в статье автора [144].

Для доказательства теоремы 2.3.1 нам понадобятся следующие четыре леммы.

Лемма 2.3.1. Пусть для некоторого 3>0 и медленно меняющейся на бесконечности функции Lq^

T(t)=X-GC) = r0LoCY t>0

(т. е. выполнено предположение (2.2) теоремы 2.2.1) и функция /(0 правильно меняется на бесконечности с показателем р > 0 и интегрируема по G на любом конечном интервале из [0,оо). Тогда при t —> оо

t

Jр-3

о

Лемма 2.3.2. Пусть функция г^ определена при О0, не возрастает и правильно меняется на бесконечности, причем г^ -л 0 при оо. Тогда существует такая медленно меняющаяся на

бесконечности функция l^tY /(0^0 (^ ^ ос), что для всех t > 0

r^du < tl<tY

о

Лемма 2.3.3. Пусть функция Т^ = \ —G^ слабо осциллирует на бесконечности, т.е. при t^oo, T=tA-o^ ТЦЦТ^ 1, функция ЦТ) > 0 определена при t ^ О, не возрастает и ЦТ) -л 0 при t ос. Тогда для всякого с е (0,1)

t

ЦЦ = r(t-u)dG(u) = o(T(t)) (t ocY ct

Положим q^ = P{^(0 > 0}Д > 0.

Лемма 2.3.4. Пусть выполнены предположения теоремы 2.2.1. Тогда при t ос

q^ = o{tT^Y

Доказательство леммы 2.3.1. Без ограничения общности (теорема 1.1.3) будем считать, что /(О дифференцируема, причем

/'(0-Щ0Л С^оо).

В таком случае, интегрируя по частям, пользуясь (1) и известным свойством интеграла от правильно меняющейся функции (см. книгу Е. Сенеты [115, теор. 2.1], получим, что

K^dG^ = - f (и)dT(Л = - f (и)Т(Л\о + T^fWdu =

00о

= -no/W + O+о(0)^ W(0+o(D =р-Р

= -7'(0/(0 + (1+о(1))^-7(0/(0 =

р-Р

= (1+о(1)) — Т(Ы(Ь (^оо), р-Р

что и требовалось доказать.□

Доказательство леммы 2.3.2. Справедливы соотношения:

t1п(Ш)t

r(x)dx = r^dxA- r^dx^

о0ln(l+0

< г(0)ln( 1 + 0 + ММ1 + 0) = t< г(0)ln( 1 + 0 + ММ1 + 0) = tr(0)ln(l+Qtr(0)ln(l+Qt+ r(ln(l+0)+ r(ln(l+0)

< г(0)ln( 1 + 0 + ММ1 + 0) = t

< г(0)ln( 1 + 0 + ММ1 + 0) = t

r(0)ln(l+Qt

r(0)ln(l+Qt

+ r(ln(l+0)

+ r(ln(l+0)

Заметим, что функция Щ\ определяемая последним равенством, удовлетворяет всем требованиям леммы 2.3.2. Лемма доказана.□

Доказательство леммы 2.3.3. Зафиксируем некоторое ее е (0,1 — с). Тогда

Д1-€)t

1^ = r(t-u)dG(u)-V- r^t-u^dG^ = Л (0+0(0-

CtЦ1-£)

Для Ix(f) имеем простую оценку:

/1(0 < r(tE)T(ct) = о(Т(0) (t -> ос).

Далее,

ш = -ш = -r(t — u^dT^ =Ц1-г)r(t — u^dT^ =Ц1-г)= - r(^-u)7(u)|z(1_£= - r(^-u)7(u)|z(1_£T(u)dr(t — и) =T(u)dr(t — и) =Ц1-г)tE= T(t( 1 - eYWO ~ T^Y^ ~ TC-0 drO) =оtE= t^O - №) - t^WO - ac -v)- TC^drOY0Ц1-г)tE= T(t( 1 - eYWO ~ T^Y^ ~ TC-0 drO) =оtE= t^O - №) - t^WO - ac -v)- TC^drOY0ПоэтомуПоэтомуг 0(0 гlim sup= hm supг 0(0 гlim sup= hm suptsf (TY-^ Л , , . , 1 dr(u) <J V T(t) ) v ’tsf (TY-^ Л , , . , 1 dr(u) <J V T(t) ) v ’0< hmsup1 r(0).t—>OO \T(0/0< hmsup1 r(0).t—>OO \T(0/Стало быть,hm sup< hm hm sup1 r(0) = 0.t^oo T(t) S^OT(0)Стало быть,hm sup< hm hm sup1 r(0) = 0.t^oo T(t) S^OT(0)Лемма доказана.Лемма доказана.□□

ш = -

ш = -

r(t — u^dT^ =

Ц1-г)

r(t — u^dT^ =

Ц1-г)

= - r(^-u)7(u)|z(1_£

= - r(^-u)7(u)|z(1_£

T(u)dr(t — и) =

T(u)dr(t — и) =

Ц1-г)

tE

= T(t( 1 - eYWO ~ T^Y^ ~ TC-0 drO) =

о

tE

= t^O - №) - t^WO - ac -v)- TC^drOY

0

Ц1-г)

tE

= T(t( 1 - eYWO ~ T^Y^ ~ TC-0 drO) =

о

tE

= t^O - №) - t^WO - ac -v)- TC^drOY

0

Поэтому

Поэтому

г 0(0 г

lim sup= hm sup

г 0(0 г

lim sup= hm sup

ts

f (TY-^ Л , , . , 1 dr(u) <

J V T(t) ) v ’

ts

f (TY-^ Л , , . , 1 dr(u) <

J V T(t) ) v ’

0

< hmsup1 r(0).

t—>OO \T(0/

0

< hmsup1 r(0).

t—>OO \T(0/

Стало быть,

hm sup< hm hm sup1 r(0) = 0.

t^oo T(t) S^OT(0)

Стало быть,

hm sup< hm hm sup1 r(0) = 0.

t^oo T(t) S^OT(0)

Лемма доказана.

Лемма доказана.

□

□

Доказательство леммы 2.3.4. Положим при t ^ 1 а^ = 1 — — И^(0\ Тогда согласно соотношению (3) из [15] и соотношению (2.15) при t —> оо

gW^AA, g(qW)

at

Учитывая (2.3), получаем, что при t —У оо

g(q(t)) T^ta

~У оо.

g(a(tY а^

Значит, q^ = o^aXtY ПРИ t —> оо, так что

limmi> hm = oo,

^oo q^ t^oo a^

откуда и следует утверждение леммы. Лемма 2.3.4 доказана. □

Доказательство теоремы 2.3.1. Зафиксируем произвольное е е (0,1). Положим

Гп = {х: х = (хь ... ,xnY 0 < ехп < х\ < хрПРИ ^>2,

Г1 = {^: О 0}, R1^ = {х: х = (хь...,%«), xt> 0 V i = 1,... ,nb

п раз

(1,1,..., 1), △„ = {$: s = (si,... ,s„), Si e [0,1] V Z = 1,... ,n^

an = intrn, Cn = intr*, где Г* — конус, сопряженный к конусу Vn (см. начало раздела 1.3),

п

Fn(x,s) = 1 -RXx.s) = Mf[s^fe), q^R^.O),k=\

где x = (xi,... ,xn) e Vn, s e Art, ^ > 0. Преобразование Лапласа функции f (x) ^ 0, заданной в Ги, и меры U в Rn по конусу Vn будем обозначать соответственно через Ln^^ и lnQJ^X\ А е Сп;

e4X^U<dxYe4X^U<dxYe ^X’x^f(x)dx, ln(u)(X) =

e4X^U<dxY

e4X^U<dxY

Г,Г,r,

Г,

Г,

Зафиксируем некоторое п > (ЗА-1 и s = (si,...,sn\ s e An \ {en}. Вычисляя математическое ожидание

при фиксированных моменте превращения первоначальной частицы процесса и числе ее непосредственных потомков, а затем осредняя,

получим следующее интегральное уравнение для Fn^x,s\.

ат

Fn(x,s) = h(Fn(x — uen,s)dG(u)-\- o

+S1 A(F„_] ((x2 - u,... ,xn - uY (s2,.. .sn)))dG(u)+

+ ...+S1/i(Fi(xn -u,sn))</G(u) + si •••sn7'(xn),

Как известно (см. работу В. В. Эсти [198]), Fn(x,s) монотонна по каждой переменной х^, k= 1,..., п. Полагая /(0 = 1 — А(1 — О, из последнего уравнения получаем

Xi

(2)(2)/?„(%, s) = ^п(л:,5)+ /(7?„(x-«e„,s»dG(u)-l-5i(x,s),о

(2)

(2)

где

Щ^,$) = (1 -S])7(%i) + ...+Si • • • S„-1(1 -Sn)TCnY

<51 (%, s) =si /(/?n_i((%2-u,...,%n-u),(s2,...,sn)))<iG(u) +

%1

HRAxn-u,sny)dG(uY

Так как /?„(%,s) =§(/?„(%,s))+/(/?„(%,s)), где, как и ранее, g(0 = = hC — t) — 1 + t, то из (2) следует, что

g(Rn(x,s)) = ^n(^,s) + -5i(x,s) + <52(x,s),(3)

где

<52(x,s) = HRnVx-uen.sY^dGVu^-f^RnC'S^Y о

Из (3) выводим, что при А е Cn

(4)(4)LMRnYW = LMn)W + T„(<51)(A) +G„(<52)(A)

(4)

(4)

(преобразования Лапласа берутся по xY Заметим, что

■^1

f(Rn(x -uen,s4dG(u) о

ХпХп

х е-А2Х2 dx^ • • • e~Xn~'Xn~'f^Rn^ — uen,s)dxn_\ =

(5)

Une~X№du2---Une~X№du2---e-x"-'u"-4<RnO,s^dun_x =e-x"-'u"-4<RnO,s^dun_x =

Un

e~X№du2---

Un

e~X№du2---

e-x"-'u"-4<RnO,s^dun_x =

e-x"-'u"-4<RnO,s^dun_x =

= h(G»Ln4(RnMXHIW,

где c = 1/e, b = с — 1, v = A] +... + Xn, у = (yj,... ,yn),

cvi+bu

/(A) = e~vudG^оо/(A) = e~vudG^ооe XxUx duxe XxUx duxe XnUn dvn xe XnUn dvn xCUxCUxe X2V2dv2-'e X2V2dv2-'eexf(Rn(u,s^dun_x (6)xf(Rn(u,s^dun_x (6)

/(A) = e~vudG^

оо

/(A) = e~vudG^

оо

e XxUx dux

e XxUx dux

e XnUn dvn x

e XnUn dvn x

CUx

CUx

e X2V2dv2-'

e X2V2dv2-'

e

e

xf(Rn(u,s^dun_x (6)

xf(Rn(u,s^dun_x (6)

(мы сделали замену переменных о^ = х^ — и, k = \,...,nY Везде далее

будем считать, что А е R^. В силу (6)

ООООCUx+bu

/(А) < e-vudG^ e-XxUx dux (un — vxY^r^vx^dVn,

00GXJx

где r(f) =f(q(t)) (так как Rn(u,s) < Rn(u,0) = q(ux)Y Поскольку в нашей области интегрирования (^ —^i) < b^ux-VuY то

/(А)<С/(А)<Сe-^udG^e-^udG^е ^г^х^и^хУ ^ dxе ^г^х^и^хУ ^ dx

/(А)<С

/(А)<С

e-^udG^

e-^udG^

е ^г^х^и^хУ ^ dx

е ^г^х^и^хУ ^ dx

ооо

о

о

где С = Ьп \ ^ = Аь Разбивая в последнем интеграле область интегри-

рования на две части, соответствующие неравенствам х ^ и и х > и, получим, что

(7)(7)/(А)^Ш)+/2(А),

(7)

(7)

где

ООи

Л(А) = С e~yuudG(u) е-^хг(х)(и-\-хУ-2 dx, оо

/2(A) = С e-vuudG^ e-^r^x^urxy-^dx.

Ои

Оценим теперь отдельно 1\ и /2:

осиОО

Л(А)<С2"-2dG(u) r(x)dx ^ С2п~2 e^Vl^dCM,

ООО

где функция 1(и) выбрана согласно лемме 2.3.2. В силу леммы 2.3.1 и нашего выбора п при t —> 00

(8)(8)h(X/t^O(tnT(ty(ty = o(tnT(ty.

(8)

(8)

Далее,

/2(А) = С e-vuudG^о/2(А) = С e-vuudG^ое ^хг^хУиА-хУ 2 dxе ^хг^хУиА-хУ 2 dx

/2(А) = С e-vuudG^о

/2(А) = С e-vuudG^о

е ^хг^хУиА-хУ 2 dx

е ^хг^хУиА-хУ 2 dx

С2п”2оС2п”2оe-^udG^e-^udG^е ^Хг(х)хп 2 dxе ^Хг(х)хп 2 dxС2п”2оС2п”2оe"VLludG(u)e"VLludG(u)е ^Xr^xn 2dx. ое ^Xr^xn 2dx. о

С2п”2

о

С2п”2

о

e-^udG^

e-^udG^

е ^Хг(х)хп 2 dx

е ^Хг(х)хп 2 dx

С2п”2

о

С2п”2

о

e"VLludG(u)

e"VLludG(u)

е ^Xr^xn 2dx. о

е ^Xr^xn 2dx. о

Так как п > /3 + 1 и согласно лемме 2.3.4

q(t) = o(tT(ty при t —> 00,

то при J^ udG(u) < 00 и t —> 00

1Ахгп = оЩ1мпщ = оипт^.1Ахгп = оЩ1мпщ = оипт^.(10)(10)

1Ахгп = оЩ1мпщ = оипт^.

1Ахгп = оЩ1мпщ = оипт^.

(10)

(10)

Если же J^udG^ = оо, то для некоторой функции UppY медленно меняющейся на бесконечности,

t

udG^ = tTpplpIp

о

и

udG(u) I О(/"-^(0) =

о /

= етчЖчЧУ^Ч = оСпТкЬ\= етчЖчЧУ^Ч = оСпТкЬ\t^oo, (11)t^oo, (11)

= етчЖчЧУ^Ч = оСпТкЬ\

= етчЖчЧУ^Ч = оСпТкЬ\

t^oo, (11)

t^oo, (11)

так как q(t) в исследуемом случае правильно меняется с отрицательным показателем (теорема 2.2.1). Из неравенств (8), (10) и (11) следует, что

/(АД) = о^ЩО) С^оо)./(АД) = о^ЩО) С^оо).(12)(12)

/(АД) = о^ЩО) С^оо).

/(АД) = о^ЩО) С^оо).

(12)

(12)

Из (5) и (12) теперь выводим, что при t —> оо

Ln^xm = LMRn>^=

= 0Нп№хшх/1»/1Ыт>/1Н0(ет^ =

= O4n-AW)LvaHv/t)+o4nT4)) = o^^^(13)

(при Р > 1 последнее равенство в (13) сразу следует из (9), при Р < 1 оно очевидно). Заметим, что при х eVп

^2Хп

Spx,s)^ q^ — и?) dG^ А-... A- q(xn — и) dG(u) <

ХуХп_у

х2хп

< q(x2 — u)dG(u) +... + q(xn — u)dG(uY

SX2EXn

Поэтому в силу леммы 2.3.3 при х е Гп, |%| —> оо, ^(x.s) =о(7'(|х|».

Отсюда и из теорем 1.5.5 и 1.5.6 следует, что

(14)

при t —> оо. Согласно теореме 1.5.6 Ln(Y)n)(X/t) имеет при t н- оо тот же порядок, что и tnTCY Поэтому из (4), (13) и (14) следует, что

Лп(§(/?п))(А/0 = (1+о(1))ЛпШ(А/0 при ^оо.

Отсюда при помощи тауберовой теоремы 1.5.4 устанавливаем, что для всякого х е ап при t —> ос

g(Rn(tx,s^ = (1 +o(l))^(^,s).(15)

Учитывая произвольность £ > О, убеждаемся, что тем самым (15) выполнено для всех х = (%i,...,%«) с 0 < Xi < Х2 < • - < хп. Из (15) следует,

g(Rn(tx,s^ = (1 -\-o(\))pn(x,s)T(t), t ос, где

/=1 у /=1 у

Стало быть,

Rn(tx,s) = (1 + о(1))Щ(х,д))7</(0 при ^оо. (16)

Заметим, что для произвольных s € Д„\{еп}, 0 < xi < хг < ••• < хп < 1, t >0

МЩ^М 1м(О>о| =

6=1J

= (й„+1(/(Х1,...,х„, l),(si,...,s„,0))-7?n(to,s))/^(0.

В силу (16) при t —у ос последнее выражение стремится к

(</?„(%,s) + S] •••S„)7s))7-

Теорема доказана.□

Число частиц-долгожителей

Как и в разделах 2.2 и 2.3, в разделе 2.4 будут рассматриваться критические ветвящиеся процессы Беллмана-Харриса. Здесь мы сохраним все обозначения раздела 2.3 за одним исключением. А именно, пусть при О^т^^ величина p(T,t) есть число частиц в процессе, существующих в момент т и которые будут существовать в момент t,

F2(x,s) = 1 -Mx,s) = Ms^1'^,

где x = (%i,... ,xn) e an, s e (0,1]. Для p(r,t) докажем следующую предельную теорему.

Теорема 2.4.1. Пусть выполнены все предположения теоремы 2.2.1 и с е (0,1]. Тогда для всех s е [0,1] при t -л- ос

М I ^(0 > о} 1 - (1 - s)7.

Заметим, что предельное распределение для pJ(ct,t) при условии, что ^(0 > 0 и t —> оо, не зависит от с е (0,1], и оно такое же, как и предельное распределение для р^ при том же условии. Это говорит о том, что для произвольного фиксированного £ > 0 при больших t с вероятностью, близкой к 1, все существующие в момент t частицы имеют возраст, больший Д1 — г). Таким образом, процесс продолжается за счет существования частиц-«долгожителей».

Настоящая теорема, как и предыдущая, доказана в статье автора [144]. Дальнейшими исследованиями в этом направлении занимались В. А. Топчий [124-133, 283] и С.М. Сагитов [100-104]. В упомянутых работах В. А. Топчий изучал асимптотическое поведение критических ветвящихся процессов Крампа-Мода-Ягерса Z(0- В частности, он получил ряд предельных теорем для процессов с долго живущими частицами (т. е. когда P{Z(0 > 0} ~ Р{2ф) > 0} (t —> оо), где Х^ — число частиц в процессе, продолжительность жизни которых не меньше t\ Кроме этого, он изучал асимптотику вероятности продолжения процесов Z(0 при t —> оо. С.М. Сагитов в своих работах большое внимание уделил исследованию асимптотического поведения редуцированных ветвящихся процессов (один из его результатов приводится в конце раздела).

Основное отличие доказательства теоремы 2.4.1 от теоремы 2.3.1 состоит в том, что функция R^x,s^ не является, вообще говоря, монотонной по х. Вместо монотонности R^x,s^ мы установим, что она ^-медленно колеблется на бесконечности в ап. А именно, имеет место следующая лемма.

Лемма 2.4.1. Пусть выполнены предположения теоремы 2.2.1. Тогда для всех xt,x Е ап и s е [0,1] при t ос и xt х

R2(txt,s) — R2(tx,s) = o(q(t)Y

Доказательство. Покажем, что при т, t, t\ —> оо, t\!tT,t

^се(0,1)

Нт,Ш = о<цЧЧ.(1)

Пусть t\ ^ t и d\,... Д^ — частицы, существующие в момент т, 9\,... ,9^ — их возрасты в момент т, ^1,...,^(т) — моменты их превращений, А — наименьшая сг-алгебра, относительно которой измеримы ^(т), 9\,..., 9^. Тогда

Р{м(т, о ^ Нт, М} = м Р{3 / = 1,...,НП: 6 е ч,М IД} =

= 1-MP{V t= \,...,HtY №ЧН] I Д} = i-Mf[Pte t (Ml] IД} = /=1

= 1 - M [p 1 - (J 4 + 9t - t) - TH + 9{ - тЧ/Т(9И ^ R1 (7,1 - a), /=1

гдегдеа = а\Мх^ = sup вЕ[О,т]а = а\Мх^ = sup вЕ[О,т]T(t - т + у) - T(tx - т + у)ПОT(t - т + у) - T(tx - т + у)ПО

где

где

а = а\Мх^ = sup вЕ[О,т]

а = а\Мх^ = sup вЕ[О,т]

T(t - т + у) - T(tx - т + у)

ПО

T(t - т + у) - T(tx - т + у)

ПО

Поэтому в силу проведенных оценок для доказательства (1) осталось заметить, что a(t, ^,т) —)► О при t —> ос, t\/t —> 1, т/t —> с. В самом деле,

T/t — т + у) — T(tx — т + у) T(t — т + у) ^ T(tx— т + у) Т(у)” Т(у) T(t-TEu)

< 1 _ Т(й -т + у) > 0T^t — т + у)

при t —> оо, tx/t —> 1, т/^ —> с е (0,1) равномерно по и е [0,т], так как Т^Й правильно меняется на бесконечности. Покажем теперь, что при t —> ОО, Т1Д Т2(0 -+ С Е (0, 1)

(2)(2)Р{м(п. О ^ РМ-ь 0} = o<q<f)Y

(2)

(2)

Без ограничения общности будем считать, что ti < Т2. Пусть Ьх,.. .Д — частицы, существующие в момент т+ которые родились на полуинтервале (ti,T2], щ,...,^ — их возрасты в момент Т2, их^.^и^ — времена их жизни, В — наименьшая сг-алгебра, относительно которой измеримы р, vx,...,^. Тогда

Р{д(т1,0 ^ p,<T2,tXX = МР{3 i = \ ,...,Т]: и, ^ t-r^ + u, | В} =

ТД)

где

6 = 6(ti,T2,0 = SLlP6 = 6(ti,T2,0 = SLlPG(t — Т2 + у) — G(y)G(t — Т2 + у) — G(y)0^В^Т2— Т10^В^Т2— Т1Пу)Пу)

6 = 6(ti,T2,0 = SLlP

6 = 6(ti,T2,0 = SLlP

G(t — Т2 + у) — G(y)

G(t — Т2 + у) — G(y)

0^В^Т2— Т1

0^В^Т2— Т1

Пу)

Пу)

так как р ^ ДТ2). Однако

G(t — т2 Е и) — G(u) _ T(t-T2Eu) < T(t-T2)

Т(^~ Т^ ^Г(т2-Т1)

при t —> ОО, Т1/^,Т2(0 -+ с е (0,1), поскольку

(^-т2)/(т2-Т])н>оо.

Поэтому соотношение (2) выполнено. Из (1) и (2) следует, что при t —> оо, T,t -+ с е (0,1), txlt -+ 1, тх,т -+ 1

(3)(3)Р{м(п^1) 7^ ц(т, 0} = оХяСУ).

(3)

(3)

Утверждение леммы 2.4.1 следует из (3) и определения функции R2(x,sY□

Доказательство теоремы 2.4.1. Пусть т — момент превращения первоначальной частицы и v — число частиц, которые возникли при этом превращении. Вычисляя

М ^s^XXlX^midT,v^,

а затем осредняя, получаем при х Е Гп и s е [0,1]

F2(x,s) = ИУЧх — uen,sY)dG(u) +

о

+ (s(l —Л(1 — q(x2 — и^4-Ц\ —q(x2 — u)Y)dG(u) -VsT^Y

откуда

g(T?2(x,s)) = (1 -s)T(x2) + Si(x,s) + S2(x,s),

где

Ji(x,s) = (1 -s) f{q{x2 -u^dG^uY

52(x,s) = f{R2^x- uemsY)dGYA -f(R2(x,s)Y

о

Дословно повторяя доказательство теоремы 2.3.1, получаем при A eR^,

Ug^X/t^L^+о(1)).

Согласно пункту 2) теоремы 1.5.3 при t —> оо MWXA/O . >Ln(x9 )(Л).

Поэтому

ЦЦ№>+Д ис^ххс -S),

откуда по теореме 1.5.9

g^tx.s^/T^ (1 -s)V Ч оо), или же при х2 = 1 и ос

g(R2CtxtAsWl-syr(tY

5 А. Л. Якымив

Учитывая, что функция g ^s), обратная к g(s), правильно меняется с показателем 7 = 1/(1 + а), отсюда получаем, что при t —у ос

R^txv,tYs^g"40-s>T^ ~ (1 -sPg-4T(m ~ (1 -sVq^

(последнее согласно соотношению (2.15)). Поэтому при с е (0,1)

г) мЦЦИрО})

М р^’0 | м(0 > о} = —-=

Ms"0*0 - М= 0})

9(0

F2((cZ,0,8)- 1+9(0. /?2((cl,0,s), n

== 1> 1 — (1 — s)

qWq^

при t —> ос. Теорема доказана.□

В заключение отметим любопытный результат, полученный в предположениях теоремы 2.2.1 С.М. Сагитовым в работе [103]. Пусть при 0<т<^ величина ^(т, 0 — число частиц, которые существуют в момент т, до момента t не доживают, но имеют непустое потомство в момент t. Положим U = y^L^G*k ^t\ t 0. Так как выполнено соотношение (2.2), то U^ правильно меняется на бесконечности с показателем а = min(l,/?). Определим функцию 9 = 9^ равенством

9^ = тах{0: (1 +ceW) = 1/^(0)},

где р(х) = (/г(1 — х) — 1 +%)/%, х е (0,1]. Грубо говоря, результат С. М. Сагитова состоит в том, что упомянутые частицы-«долгожители» появляются на отрезке времени [вУ,£-1У]. Более точно, рассмотрим еще один ветвящийся процесс, на этот раз с двумя типами частиц Т\ и Т^. Пусть р^ — число частиц в момент t при условии, что в момент ^ = 0 не было других частиц, кроме одной частицы типа Т\ нулевого возраста. Относительно частиц типа Т\ предполагается, что они образуют ветвящийся процесс Беллмана-Харриса в производящей функцией числа непосредственных потомков s + y(l — s)1+Q и функцией распределения времени жизни частиц Н^ такой, что

e"XtdH<n= (1 + оe"XtdH<n= (1 + оГ(а+1)Г(а+1)>0.>0.

e"XtdH<n= (1 + о

e"XtdH<n= (1 + о

Г(а+1)

Г(а+1)

>0.

>0.

Если в момент гибели частица типа Т\ не производит ни одной частицы типа Т\, то она превращается в частицу типа Т^. Частицы типа Т^ после своего появления не претерпевают никаких изменений. Таким образом, процесс ^p\^t\р^У} является критическим ветвящимся процессом Беллмана-Харриса с финальным типом (при а = 1 он — марковский).

Положим при фиксированных r^st Е [0,1)

В статье [103] доказана следующая теорема.

Теорема 2.4.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.2.1. Тогда при Т=<Т\,...,тО

। р^>0\=[п(Л +£пЧ,т),

где еп(Тт) -^ 0 при t -л оо равномерно по всем 0 < т\ < ... < тп < t.

Кроме упомянутых работ, тауберовы теоремы при исследовании ветвящихся процессов применяли Н. Г. Бингхэм, Р. А. Доней [176, 178], Р.В. Бойко [9, 10], Г. И. Вейнер [285], Е. Сенета [270-272].

5*

Глава 3

СЛУЧАЙНЫЕ Л-ПОДСТАНОВКИ

Число Л-подстановок

Как известно, каждая подстановка распадается на циклы. Так, подстановка

_ /1 2 3^s 2 1J

имеет один цикл длины 1 (2 переходит в 2) и один цикл длины 2 (1 переходит в 3, а 3 переходит в 1).

Зафиксируем некоторое множество А С N = {1,2,3,...}. Подстановка степени п

/1 2 п\ ст =...

^2 • • • Ч J

называется A-подстановкой (см. [107, разд. V.2]), если длины циклов а принадлежат множеству А. Через Тп = ТП(Д) мы обозначим множество всех Д-подстановок степени п. В нашем примере s е Т^А\ если 1,2 е Д. Пусть (пт — число циклов случайной подстановки, равномерно распределенной в Тп, имеющих длину m Е А, (п — общее число ее циклов:

Сп ~ 2•

шеА

Через |Х| будем в главе 3 обозначать число элементов конечного и меру Лебега бесконечного множества X.

В этой главе для тех или иных множеств А решаются задачи нахождения асимптотики |7^| при и ^ ос, а также асимптотического поведения (в слабом смысле) (пт и (п при п -л ос и фиксированном т е А.

Решая эти задачи, мы будем двигаться по принципу от более простого к более сложному. Так, в настоящем разделе мы будем находить асимптотику \Тп\ при п -л ос в предположении, что множество А имеет единичную асимптотическую плотность:

\т: т е Д, т ^ п\!п\ при п -л ос.(1)

В разделе 3.2 мы изучим предельное поведение (в слабом смысле) (пт и (п при я—>ос и фиксированном т еА при том же предположении (1).

В разделе 3.3 будут изучаться те же задачи, но для множеств А, имеющих положительную асимптотическую плотность. Разделы 3.4 и 3.5 носят вспомогательный характер. В них будут разобраны примеры множеств А, для которых справедливы соответствующие предельные теоремы. В разделе 3.6 рассмотрена ситуация случайного множества А.

Положим

А(п) = {т: т е А, т ^ п}, В = N\A,

В(п) = {т: т е В, т п}, 1{п) = ^Д 1/т, тЕВ^пЙ

1^ = /(И), L^ = ехр(—/(0) для произвольных > В

gO = ^zn/n, Z€[O,1], пЕВ

Как и ранее, мы будем писать, что /(х) ~ ^(х) при х -л а, если /(x)/g(x) —> 1 при х —> а. В настоящем разделе мы докажем следущую теорему.

Теорема 3.1.1. Пусть выполнено (1). Тогда

\Тп\п\L{n), п^оо.(2)

Отметим, что в работах Э. А. Бендера [7] и А. И. Павлова [88] рассмотрены соответственно случаи конечного В и сходимости ряда Етев Vm.

Следствие 3.1.1. Последовательность Ь^ = |Д|/м! медленно меняется на бесконечности, т. е.

b(V^n^/b(n)\ (п^оо)(3)

для произвольного А > 0 тогда и только тогда, когда выполнено (1).

Стало быть (см. [115, разд. 1.5]), если имеет место (1), то \Тп\ стремится к бесконечности быстрее, чем п-£-п\, для произвольного фиксированного е > 0.

Для доказательства теоремы 3.1.1 нам понадобятся следующие пять лемм.

Лемма 3.1.1. Пусть выполнено (1). Тогда функция Цп) медленно меняется на бесконечности.

Лемма 3.1.2. Пусть выполнено (1) и b(n) = \Тп\/п\, b(0) = 1. Тогда при X t 1

VbWn-^-LCK\-z>Y(4)

Лемма 3.1.3. Пусть при г ф 1 для некоторого а> 0 и медленно меняющейся на бесконечности функции L^t)

^ЬШ^-ф^АЧО-ЛУ(5)

(Ь(п) — некоторые неотрицательные числа) и при п^ оо и k = о(п)

Ь^пА-к) — Ь^п) = о f^2&(0/^ .(6)

\ i=0/

Тогда при п ^ оо

Ь(п)~па-Ч(п)/Г(а).

Лемма 3.1.4. Пусть справедливо (5) и при п ^ оо и k = о(п)

Ь^пА-к) — Ь^п) = О f^2&(0/^ .\ 1=0/

Тогда при п^ оо

Ь^п) = О {na~xL{n\).

Лемма 3.1.5. Пусть заданы некоторые неотрицательные числа Ь(п), медленно меняющаяся на бесконечности функция L^t) и сх> 0. Соотношение (5) выполненено тогда и только тогда, когда при п ос

фьИ^СЦп)^

1=0

Доказательство леммы 3.1.1. Поскольку функция L^n) монотонна, то достаточно показать, что

Г^п)

> 1 при п —> оо.

Цп) р

Последнее эквивалентно тому, что

/(2м)-/(м)^0, м^оо.(7)

Заметим, что

т>п, тЕВт>п, тЕВ

в силу (1), откуда следует (7). Лемма доказана.□

Доказательство леммы 3.1.2. Согласно соотношению 6.3 из работы Э. А. Бендера [7]

£ b(n)zn = exp (-^"/nJ/Cl-z), ze [0,1).(8)

/7=0\ nEB /

Поэтому для доказательства леммы достаточно показать, что при z f 1

g(z) = ^zm/m = /(l/(l-z)) + o(l).(9)

тЕВ

Положим п = [ 1/( 1 — г)]. Заметим, что

5(2)-/(1/(1-2)) = Д1-Д2,(10)

где

Д1= £ zm/m, Д2= £ (l-zm)M тЕВ, т>птЕВ(п)

Согласно (1) и определению п

0 < А2 < У^ (—m\nz^/m = — |B(zz)| In г = тЕВ(п)

= — nlnz-o(l) = о(1) (гф1). (11)

Зафиксируем произвольное М Е N. При е = — In г справедливы соотношения:

ооппт=пМ-\-Хт=пМ-\-Х\В(пМ)\\В(пМ)\пппМпМе у Д(/г7И)|dx = хпе у Д(/г7И)|dx = хпе ydy,е ydy,1п(гпМ)1п(гпМ)\В(пМ)\

о

о

п

п

т=пМ-\-Х

т=пМ-\-Х

\В(пМ)\

\В(пМ)\

п

п

пМ

пМ

е у Д(/г7И)|

dx = хп

е у Д(/г7И)|

dx = хп

е ydy,

е ydy,

1п(гпМ)

1п(гпМ)

(в первом интеграле сделана замена у = 1п(г%)). Отсюда

lim supAiztllim supAiztlе ydy.е ydy.1пЛ11пЛ1

lim supAiztl

lim supAiztl

е ydy.

е ydy.

1пЛ1

1пЛ1

Поэтому в силу произвольности М

Д1=о(1) (2tl).(12)

Из соотношений (10)-(12) следует (9). Лемма доказана.□

Леммы 3.1.3 и 3.1.4 следуют из теорем 1.5.7 и 1.5.8 соответственно (достаточно в этих теоремах положить а(т,п") = b^n\ а = 1, г^ = = С+7А(0/Г(у)). Лемма 3.1.5 есть не что иное, как известная тауберова

теорема Карамата. Отметим, что различные обобщения этой теоремы представлены в разделе 1.3.

Доказательство теоремы 3.1.1. Положим Ь(п) = \Тп\/п\, n^N, b^ = 1, Ц— 1) = 0, А(п) = Ь(п) — Ь(п — 1) (п^О). Из (8) следует, что

^△(n)z" = exp(-g(z)).(13)

п=0

Продифференцируем (13) по z:

п=0пЕВ

Отсюда для произвольного п ^ О

iEB^ или же

b(n) — b{n — 1) = V Д(/),(14)

где М(п) = {/: 0 < / < щ n — j Е В}. Из (14) следует, что для всех & > О при I = n + k

Цп + k) — Цп — 1) = ~Е” Е Л0') =

/=0 П + 1 jEM(n+d

= -Е— Е (нп-цм» =

1=0 П 1 jEM(n+i)

= -^0/=0= -^0/=0кЕ1ЕВ(кЕ1ЕВ(1nA- i1nA- i

= -^0

/=0

= -^0

/=0

к

Е

1ЕВ(

к

Е

1ЕВ(

1

nA- i

1

nA- i

= -Ей0')

/=0

1ХвО + к-р _ ХвО^Ш (n + i)(n + i+l)п^гкп

где XbW = 1 при % е В и хв(^) = 0 при х ^ В. Отсюда следует, что для

всех целых I, п, 0 ^ п ^ /, найдется такое 9 Е [—1,1], что

О 1

6(0 - 1М = У(/ + 2 - И)4 - - £НМхвС -П -Хвкп-П\(15)

п п j=0

где

S/ = 5>(/).

/=0

Стало быть, при п -л оо, / — п = о(п) Ь(Г) — b(n) = O^St/nY Поэтому из леммы 3.1.2 и леммы 3.1.4 следует, что при п -л оо

Ь(п) = О(Цп)У(16)

Заметим, что для произвольной последовательности множеств U^n)) С {0,1,2,..., м} асимптотической плотности ноль (т. е. когда \и(п)\/п —> О (п -^ оо))

^U0 = o<nUnW(17)

jEU(n)

В самом деле, для произвольного е > О

£ A(/) = SHS£2,

где суммирование в Sf происходит по / G U^nY / < tie, а в Е| — по / С U^nY / пе. Так как

Е| < |^(^)| sup L^ ~ \U^nYL^ = o(nL(nY

при П ОС, то

limsup V L(j)/(nL(nY ^ Hm L(j)/(nL(nY = s,

/=0

откуда в силу произвольности е следует (17). Из (15), (16) и (17) следует, что Ь^ — Ь^п)) = o(L(nY при п оо и l — n = o^nY По тауберовой теореме Карамата (лемма 3.1.5) получаем, что Sn ^ nL(n) (п ^ оо). Иными словами, при п оо и / — п = о(п)

b^-bW-o<Sn,nY(18)

Воспользовавшись леммой 3.1.3, из (18) получаем, что Ь(п") Е(п") (п^

—^оо). Теорема доказана.□

Доказательство следствия 3.1.1. Если выполнено (1), то по теореме 3.1.1 b(n") ^ L(n") (n^x)Y Согласно лемме 3.1.1 Е(п") медленно меняется на бесконечности. Стало быть, медленно меняется на беско-

нечности и функция Ь(п\ Обратно, пусть функция Ь(п) медленно меняется на бесконечности. Как было отмечено ранее (соотношение (8)), производящая функция для b^ равна

£ b(n)zn = ехр

/7=0\ пеВ /

Стало быть, по теореме Карамата (лемма 3.1.5), должна медленно меняться в 1 и функция

ехр ( -•

\ пев /

Таким образом, при А^О

пев

Отсюда следует, что

у^ е-Хп^-е~Хп^п^ при А^О.(19)

пеВ,п^ 1/А

Но в силу неравенства 1 — ехр(—%) > х/е (хе [0,1])

52 е"ХпО-е-ХпЧп^ - 52 e"An> А|В([1/А])|/е2.

пев, п^х/хе /7ев([1/Л])

Поэтому соотношение (19) влечет

А|В([1/А])Н0, а;о,

откуда следует (1). Следствие доказано.□

Первоначальные предельные теоремы

Как и в разделе 3.1, в настоящем разделе будем считать, что множество А имеет единичную асимптотическую плотность:

\т; т Е Л, т < п\/п —> 1 (п^оо).(1)

Пусть (пт — число циклов случайной подстановки, равномерно распределенной в Тп, имеющих длину т Е А, (п — общее число ее циклов:

теА

Здесь мы докажем следующие две предельные теоремы.

Теорема 3.2.1. Пусть выполнено (1). Тогда распределение случайной величины

слабо сходится при п^ оо к стандартному номалъному закону, где 1(п) = \пп — У^ 1/т тЕВ(п)

(как и ранее, В = N \ А, В(п) = ^т: те В, т^ п}).

Теорема 3.2.2. Пусть выполнено (1). Тогда для произвольного фиксированного т еА распределение случайной величины (пт слабо сходится при п -л оо к пуассоновскому распределению с параметром \]т.

Доказательство этих двух теорем впервые опубликовано в работе [148]. Частные случаи конечного В и сходимости ряда ^2mEBUm рассмотрены соответственно в работах Э.А. Бендера [7] и А. И. Павлова [88]. Теоремы 3.2.1 и 3.2.2 обобщают также известные результаты В. Л. Гончарова [34]. Отметим, что в случае А = N сейчас известно гораздо большее. Так, в работах Л.М. Волынец [30-32], А. И. Павлова [89], Ю.Л. Павлова [93, 94] и книге В.Ф. Колчина [66] содержится полный спектр предельных теорем для вероятностей Р^Сп = ^} при п -л оо и различном характере поведения т = т(п\ В статьях А. Н. Тимашёва [121, 123] содержится асимптотическое разложение этих вероятностей по степеням \/т в области 1 < do ^ п/т оц < < оо при /7^00. Кроме того, в работе [123] А. Н. Тимашёв получил оценки вероятностей Р^(п = ^}, Р^Сп ^}, Р^Сп > ^} в области 0 < < 70 ^ m/Xwn ^ 71 < оо с остаточным членом порядка О ((In;?)-2).

Следствие 3.2.1. Предположим, что при п оо

У2 ^/т = o(Vln^).

тЕВУЙ

Тогда теорема 3.2.1 останется справедливой, когда в ней 1(п) заменить на In п.

Рассмотрим пример, когда центрирующая функция в теореме 3.2.1 не может быть заменена на 1п^. Положим

B = 4:jeN, j=[ilnB] для некоторого I е АД,

где Р е (0,1/2]. Тогда при п -л оо

У2 1М-(1 -/5)-11п1-/3(^) с, тЕВ(п)

где с — некоторая постоянная, зависящая от р. Поэтому теорема 3.2.1 остается верной, если в ней заменить 1(п) на Inzz — (1 — р)-х 1п1-^(тг),

(но не на 1пгг). Согласно теореме 3.1.1 в этом случае

\Тп\ ~ пДехр (-(1 -/З)-11п1-^(/г) -с) (п —> ос).

Замечание 3.2.1. Если выполнено (1), то

1(п)^\пп (п^оо).

Это следует из того, что логарифмическая плотность множества А в исследуемом случае существует и равна 1 (см. [96, разд. 3.1]).

Схема доказательства теорем 3.2.1 и 3.2.2 такова.

При помощи теорем 1.5.7 и 1.5.8 устанавливается асимптотика (т,п ос, х фиксировано) чисел

а(тл) =а(тл) =\TnU—expn\\TnU—expn\^nxjVUw^^nxjVUw^(2)(2)

а(тл) =

а(тл) =

\TnU

—exp

n\

\TnU

—exp

n\

^nxjVUw^

^nxjVUw^

(2)

(2)

(при /(m) < 0 полагаем l/^//(m) = 0), для которых согласно формуле (0.13) из книги В. Н. Сачкова [107, разд. 5.2] при у е [0,1)

Из полученной асимптотики а(т,п) выводится теорема 3.2.1.

Из равенства

(4)(4)I т I

(4)

(4)

5252 । Р^"т = ^Xkzn = exp n=0 k=0 n'

x,z e (0,1] (см. формулу (0.14) из книги В. Н. Сачкова [107, разд. 5.2]) и теоремы 3.1.1 выводится теорема 3.2.2.

Зафиксируем некоторые действительные х и а. Положим

/(O = 52~ gW = V,—, ^(0 = ехр(Д0) (0<^<1), тт

тЕАтЕВ

h(n) = exp(x/\//W),h(n) = exp(x/\//W),Цп?) = h(n)expЦп?) = h(n)exp

h(n) = exp(x/\//W),

h(n) = exp(x/\//W),

Цп?) = h(n)exp

Цп?) = h(n)exp

r(n) = пНаЦп") = naEx^ Q(n) + x2/2^ Цп\ neN.

Отметим, что здесь функции l(n) и L(n) отличаются от тех, которые были определены в разделе 3.1.

Лемма 3.2.1. Существует а > 1 такое, что для произвольного А > 0 при п ос

S+p<—Хт/п)та 1 exp(l(n)h(m)) ~

~ A-Qr(cE)zzQexp ^(п) +хл/Ц^) +^2/2^ . (5)

Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что /(я) > 1 для всех nEN. Разобъем сумму, стоящую в верхней части соотношения (5), на суммы Si, S2 и S3 по т е [1,n/V\n\ т Е [п/[пп, zzlnzz] и т Е (nlnn,oo) соответственно. Заметим, что при т ^ п для некоторой константы С < ос, зависящей от %,

Z(n)(h(m) — 1) — х+=

= Х (1(п) — 1(т))-ЕС^- < |x|ln(zz/m) + Cln(zz/m) + C, последнее в силу неравенства

Цп) < Цт) + ln(n/m), т^п.(6)

Стало быть, полагая (3 = |х| + С и а = /3 + 1, мы получим, что

l(n)(h(m) — 1) < х V/(m) + С -A- p\n(n/m?).

Поэтому при п —> ос

Si=O^n^^ У2 ехР ^\//(т)^ = о(п“ехр ^/(п)+х\//Д)^ . (7) Заметим, что при т^ п

l(n)h(m) < /(m)exp ^хл/1(т?)^ = 1(т) +х\//(т) + 0(1)(8)

при п -л ос. Положим s = ехр(—А/2). Согласно (8) для некоторой константы Ci < ос

S3<Cie Л1п^^2 у^ smm^xp^m^x^Д^^ ггЩпЛпп

^С\п x^'s^smm^xp^{m}d-x\/Hj^^

т^-1

п -л (X).п -л (X).(9)(9)= о ^па exp Q(n) +%\/^))) ’

п -л (X).

п -л (X).

(9)

(9)

Пусть т е [n/lnn,nlnn]. Для некоторого 0 из этого же отрезка в силу (6) и замечания 3.2.1

|У?(Л-Vw||У?(Л-Vw|1 \1(п) - Цт^2 х/Ж '< 1 \\п(п/т)\ vW)1 \1(п) - Цт^2 х/Ж '< 1 \\п(п/т)\ vW)= 0= 0In In /2 АУкйОIn In /2 АУкйО= 0(1).= 0(1).п -л ОС.п -л ОС.

|У?(Л-Vw|

|У?(Л-Vw|

1 \1(п) - Цт^

2 х/Ж '

< 1 \\п(п/т)\ vW)

1 \1(п) - Цт^

2 х/Ж '

< 1 \\п(п/т)\ vW)

= 0

= 0

In In /2 А

УкйО

In In /2 А

УкйО

= 0(1).

= 0(1).

п -л ОС.

п -л ОС.

Поэтому

= Цп) Гх\Д\пХ А-6^п,т\

где 5(п,т)0 при п —> ос равномерно по т. Отсюда следует, что

^2 ~ ехр (/(тг) +хх/Ж)+x2/2j^ т?г^ехр(А7?г/7г)

те \пАпп,пЛпп\

/2^ ^^ ^х^Хт/п\

Иными словами,

^2 - (я/А^ГПехр (z^+xv^ + x2^)(10)

при п^оо. Соотношение (5) следует из (7), (9) и (10). Лемма доказана.

Доказательство теорем 3.2.1 и 3.2.2.

Согласно (3) при уе [0,1)

£а(тл>п = exp(f(u)h(m)Y(11)

п=0

Поэтому для всех и,и € [0,1)

Л(и,у)= у^ m“-1a(m,n)umyn = У^итт“-1 ехр(/г(т)/(у))(12)

m,/7^0m=Q

(а выбрано согласно лемме 3.2.1). Заметим, что для произвольного фиксированного ц > 0 при п —> оо и у = ехр(—ц/п)

В самом деле, при п —> оо

/(у) = ln( 1 — у) 1 — ^ym/m = 1п(я/д0 — ^ут/т + о(1) =

тЕВ

тЕВ

= /(м)-1п^+| У^ Х/т- ^^т,т I +о(1) =

\тЕВ(п)тЕВ )

= /(zz)-ln^ + Ai-A2+o(l), (14)

где

Ai = У2 (1 — ехр(—ymln^lm, А2 = У^ Ехр{—рьт/п)/т. тЕВ^тЕВ, т>п

Для Ai справедлива следующая оценка:

о<д,< У '^/,„,„^ = „(1)

X в,п

(15)

при п —> оо. Зафиксируем произвольное М Е N. Справедливы неравенства:

О

\В{пМ)\

И > expv-ym/n)

и

т>пМ

\В(пМ)\(

И ехр^—ух/п)ах/х =

п J

пМ

ЖпМ^п

exp(—exp(y))dy

1пЩ7И)

(в первом интеграле сделана замена у = 1п(^х/м)), откуда

HmsupA2 <

П °°1п(^)

Поэтому в силу произвольности М

А2 = о(1),

ехр(-ехр(#))б/#.

(16)

Далее, (13) следует из (14), (15) и (16). Из (12) с учетом (13) и леммы 3.2.1 получаем, что для произвольных фиксированных А,^ >0

,е

у 1 ^^ехр(—Хт/п)та х ехр(1(п)И(тУ) m=Q

Г(а)у хпаexp Q(n) + xV^0) = ^ ^ ХГ(а)г(п\ (17)

Иными словами, для функции Л(^,у) выполнено условие (1.5.36) теоремы 1.5.7 с 7 = 1. Заметим, что функция /(т) не убывает. Действительно, при т> п

1(т) — l(n) = ln(m/zz) —52 Ui^O

1ЕВ(тУ i>n

в силу неравенства

тт

У^ 1// < \/xdx = ln(m/n).

i=n^Xп

Зафиксируем т е N и положим t = /г(т), ап = а^т,п\ ^п = ^ — ^«-1 (п ^ 0), где 6z_i = 0. Согласно (11) при z Е [0,1)

^anzn = F(zy = (1 -z)-zexp(-/-g(z)).(18)

п=0

Поэтому для каждого z Е [0,1)

52Anz" = (1-z)1-<exp(-^-g(z)).(19)

п=0

Продифференцируем (19) по z:

^nLnz" 1 =

/7=0

= 41 -0(1 -z)"Zexp(-^(z))-/-g'(z)(l -zV^expH-gtz)) =

п=0п=0anzn -t-g4z)'^ZXnzn.n=0anzn -t-g4z)'^ZXnzn.n=0Отсюда для произвольного целого п ^ 0Отсюда для произвольного целого п ^ 0иД„ = С - 1)а„-1иД„ = С - 1)а„-1iEB(n)iEB(n)или жеили же1-1О-п О-п—Х^п— 1П1-1О-п О-п—Х^п— 1П(20)(20)jEM(n')jEM(n')где M(n) = {/: 0 ^ j < n, n—jE В}. Из (20) следует, что для каждого целого ^ > 0где M(n) = {/: 0 ^ j < n, n—jE В}. Из (20) следует, что для каждого целого ^ > 0^п+k ^п-Х^п+k ^п-Х(21)(21)

п=0

п=0

anzn -t-g4z)'^ZXnzn.

n=0

anzn -t-g4z)'^ZXnzn.

n=0

Отсюда для произвольного целого п ^ 0

Отсюда для произвольного целого п ^ 0

иД„ = С - 1)а„-1

иД„ = С - 1)а„-1

iEB(n)

iEB(n)

или же

или же

1-1

О-п О-п—Х^п— 1

П

1-1

О-п О-п—Х^п— 1

П

(20)

(20)

jEM(n')

jEM(n')

где M(n) = {/: 0 ^ j < n, n—jE В}. Из (20) следует, что для каждого целого ^ > 0

где M(n) = {/: 0 ^ j < n, n—jE В}. Из (20) следует, что для каждого целого ^ > 0

^п+k ^п-Х

^п+k ^п-Х

(21)

(21)

Точно так же, как и при доказательстве соотношения (1.15) предыдущего раздела, убеждаемся в том, что при I = n + k

хвЕ =хвЕ =//

хвЕ =

хвЕ =

/

/

(22)(22)1Хв(1-р ХвО-У-р (пЕ Г)(пЕ i +1)/п

(22)

(22)

где 1, если хЕ В, О, если х ^ В.

Из (21) и (22) следует, что для произвольных целых 1,п, где 0 < п < I, найдутся такие т,0 Е [—1,1], что

Щ-ап = т\1- 1| — + 9(1-пД - -Va^XfiU-jEXB^-jP, (23) пп п

/=0 где

si = ^ai-i=oСтало быть, существует такая положительная константа Ci, что длявсех /, п, где т, / > п > О,

Поэтому в силу теоремы 1.5.8 при т —> ос и 1>;т а^тД^ = О(Л(т)). Отсюда следует, что для произвольного фиксированного е Е (0,1) и произвольной последовательности множеств (/(п) С {0,1,2,..., п} асимптотической плотности ноль (т. е. когда \U(n)\/n eO Де ос)) при п -е ос, т^п

У^ а\тД^ = оДНДпД.(24)

iEUn, ms^i^n

Пусть х < 0. Тогда а(т,п) не убывает по т. В силу (1.5.38)

\ms\2m\гпе\

ILa^m’iE-5 52 '22,ia"xa(i,jE

/=0i=m+\/=0

~ 4_r(m) (2“ ~ 1Щ/ск7 (т—> оо\ (25)

Иными словами, справедливо неравенство

limsup У^ с1^т,Г)КпЦп^ < ес^(26)

и^-оо, тхп х

(в нашем случае 7 = 1), где константа С2 зависит только от а. В силу произвольности е из (24) и (26) следует, что при п -л оо и m х п

У^ a^nj^ = о^гЕ^нУ).(27)

Согласно (1.5.38) и монотонности а(пг,п) по т

п

пЕ(п) ^^^(^D (п^оо^т^пУ(28)

/=о

Докажем это более подробно. Согласно (1.5.38) для произвольных фиксированных а > 0 и b > а при п -л оо и т х п

[Ьт\ п

i=[am\ /=0

Стало быть, так как 1а 1 хта 1 хпй \ то

[6m] п

У^ ^2a(cj) х nr(n)/na = n^L^ i=[am] j=0

при п —> оо и т х п. Отсюда в силу монотонности a(m,j) следует, что

п2т п2 т / \

Е a(m,j) < гЕЕ^"’-^ ~—-~пЦп)(29)

Н т+1^мт

при п^ооитхп. С другой стороны, по той же причине

пт пj=oтj=oпт пj=oтj=o(30)(30)

пт п

j=oтj=o

пт п

j=oтj=o

(30)

(30)

при п оо и т х п. Из (29) и (30) следует (28). Соотношения (23), (27) и (28) влекут (1.5.37). Докажем (1.5.37) в случае х > 0. Тогда а(т,п) не возрастает по т, и в силу (1.5.38) при т -л оо и фиксированном Е > О

V^V^ ia ^(Z,/) 2Q(1-2 а^—тЦтУ

/=0X 7 z = [m/2] + l /=0

Поэтому в исследуемом случае тоже справедливо соотношение (27). Имеет место также и (28), поскольку при % > О неравенства в (29) и (30) лишь заменятся на противоположные. Таким образом, (1.5.37) справедливо и при х > 0. Поэтому нами проверены условия теоремы 1.5.6. По этой теореме при п -л ос для произвольных фиксированных y,z > 0

a{ny,nz) ~ г^п))п-х-а = L^nY

Полагая в последнем соотношении z/= г = 1, получаем, что при п —> ОО

a(n,ri) ~ Цп) = exp I х^Йл) — У2 1/^ + ^2/2].(31)

XтЕВ(п)/

Из (2) с учетом (31) следует, что при п -л ос

откуда при х = 0 мы еще раз выводим теорему 3.1.1. С учетом теоремы 3.1.1 (32) можно переписать в виде

ехрехрп -л ос.п -л ос.

ехр

ехр

п -л ос.

п -л ос.

Стало быть, для всякого фиксированного действительного х при п -л ос

Мехр (%С«) ехР ^2/2^ ,

где ^ = ^п — 1^п^1 VW^- Применяя теорему Куртисса, убеждаемся в справедливости теоремы 3.2.1 (см. замечание 3.2.1).

Из (4) следует, что для всех к еЛШ{0}, т е А и z е [0,1)

(33)(33)

(33)

(33)

Из (33) вытекает, что

гдегдепр{п)Р{От = й} = ^qkyW - О,17=0пр{п)Р{От = й} = ^qkyW - О,17=0Р^ =Р^ =(zm\k 1<?(0 = coef — —ехр zv \т) к\(zm\k 1<?(0 = coef — —ехр zv \т) к\(34)(35)(34)(35)

где

где

п

р{п)Р{От = й} = ^qkyW - О,17=0

п

р{п)Р{От = й} = ^qkyW - О,17=0

Р^ =

Р^ =

(zm\k 1

<?(0 = coef — —ехр zv \т) к\

(zm\k 1

<?(0 = coef — —ехр zv \т) к\

(34)

(35)

(34)

(35)

Из (35) следует простая оценка для q^vy.Из (35) следует простая оценка для q^vy.1о(О = —— coefV'4 тЧ\ ^1о(О = —— coefV'4 тЧ\ ^zm4-xml<zm4-xml<= Oyi-v,ml\vlm-k\y= Oyi-v,ml\vlm-k\yV^OO. (36)V^OO. (36)

Из (35) следует простая оценка для q^vy.

Из (35) следует простая оценка для q^vy.

1

о(О = —— coefV'

4 тЧ\ ^

1

о(О = —— coefV'

4 тЧ\ ^

zm4-xml<

zm4-xml<

= Oyi-v,ml\vlm-k\y

= Oyi-v,ml\vlm-k\y

V^OO. (36)

V^OO. (36)

Согласно следствию 3.1.1 последовательность р(п) медленно меняется на бесконечности. Поэтому

[и/2][п/2]

У2^(0р(«-0 ~р(«)52<?(0 ^p{n)e~ilmm~k/k\ (37) z/=0z/=0

Далее, с учетом (36)

V q^p<n-v>^ Vp44‘ max |^(p)| =

v>n\L z/=[n/2] + l/1=0

= О^пр^пУ) max |^(z/)| = o(p(zz)), n —> oo. (38)

Из (34), (37) и (38) следует, что при п —> оо

РКпт = Ц = е-1/тт-^! + о(1).

Теорема 3.2.2 доказана.□

Основные предельные теоремы

Сохраним все обозначения предыдущего раздела (за небольшими исключениями, которые будут оговорены особо). Целью этого раздела является доказательство следующих трех теорем.

Теорема 3.3.1. Пусть при п оо

\к\ к < п, к е А\/п -л а > 0,(1)

т. е. асимптотическая плотность множества А существует и равна а (см. [96, разд. 3.1]);

для произвольной константы 1 < С < оо

\к: к < п, к е Д, т-кЕ А\/п -^ а2(2)

равномерно по т е \п,Сп\.

Тогда

где функция Цп) медленно меняется не бесконечности, причем

А(м) = ехр| У^ 1М — сг1пп] (А(п) = {т: т Е А, т п}), \т€Л(п)/

7 — постоянная Эйлера, Г(-) — гамма-функция.

Теорема 3.3.2. Пусть выполнены соотношения (1) и (2). Тогда распределение случайной величины ('п = ((п — Kn^/VoAnn слабо сходится при п —у оо к стандартному нормальному закону, где

lW= ^ Нт.

тЕА(п)

Теорема 3.3.3. Пусть выполнены соотношения (1) и (2). Тогда для произвольного фиксированного т Е А распределение случайной величины (пт слабо сходится при п —> оо к пуассоновскому распределению с параметром \]т.

Теоремы 3.3.1-3.3.3 доказаны в работе [149]. Отметим, что аналогичные задачи для других классов множеств А рассматривались в работах Ю. В. Болотникова, В. Н. Сачкова и В. Е. Тараканова [12], Э.А. Бендера [7], Л.М. Волынец [28, 29, 33], А.А. Грушо [212], Г. И. Ивченко и Ю. И. Медведева [55], А. В. Колчина [62], В. Ф. Колчина [65, 235], Э. Манставичюса [241], М.П. Минеева и А. И. Павлова [78, 79], А. И. Павлова [86-92]. Более общие комбинаторные объекты — случайные отображения с ограничениями на длины циклов были рассмотрены В. Н. Сачковым в работах [105, 106] и книге [107]. Пусть S^ и Sn2) — множества подстановок степени п с нечетными и четными длинами циклов, соответственно. Цикловая структура случайных подстановок с равномерным распределением на некоторых фактормножествах этих множеств изучалась в работах Ю. В. Болотникова, В.Н. Сачкова, В.Е. Тараканова и В.П. Чистякова [11, 13, 120]. Аддитивные и мультипликативные функции на подстановках исследовал Э. Манставичюс [76, 240]. Отметим также, что множество решений уравнения xd = е в симметрической группе Sn (е — тождественная подстановка) представляет собой множество A-подстановок при А = = \сф... ,drY где 1 = do < d\ < ... < dr = d — различные делители числа d. Этим, может быть, в частности, объясняется интерес, проявленный со стороны ряда авторов к изучению А-подстановок. В книге В. Ф. Колчина [66] имеется специальная глава, в которой изучаются асимптотические свойства решений уравнений, содержащих неизвестную подстановку. Сейчас довольно популярной является схема, в которой рассматриваются все подстановки, но вероятность появления каждой конкретной подстановки зависит от числа ее циклов — так называемая схема Эвенса [199] — см., например, работы Р. А. Арратиа, А.Д. Барбура, С. Таваре [166], П. Донли, Т. Г. Куртца, С. Тава-

ре [191], Б. Дж. Бабу, Э. Манставичюса [4, 168, 169], Г. И. Ивченко, Ю.И. Медведева [54-56], И. С. Хансен [219]. В этой схеме вероятность появления каждой подстановки степени п с к циклами равна 6к ,6(п), где 6(п^ = 6(6 + 1) • • • (6 + п — 1) и 6 — некоторое действительное положительное число. Пусть Sn^ — множество подстановок степени п с к циклами. В некоторых работах на множестве Sn^ задается равномерное распределение и изучается цикловая структура случайных подстановок из Sn^. К этому циклу работ можно отнести статьи В.Ф. Колчина [67], Н.И. Казимирова [57, 58], А. Н. Тимашева [122], Е. В. Черепановой [138]. Отметим, что мы здесь коснулись лишь некоторых вопросов обширной (и практически необозримой) теории случайных подстановок. Обзоры по случайным подстановкам разных периодов имеются в статье В.Ф. Колчина и В.П. Чистякова [68], книгах В.Ф. Колчина [64, 66], статьях В. Е. Степанова [116, 117], лекции А.М. Вершика [284].

Замечание 3.3.1. Пункт 2 теоремы 3.3.1 равносилен тому, что (2) выполнено для произвольной последовательности т = т(п) такой, что т ^ п и т = О(п) при п -л оо.

Примеры множеств А, удовлетворяющих условиям (1) и (2) будут разобраны в следующем разделе. Зафиксируем некоторые действительные х и а > 1. Положим при > 0

L\(t^ = exp ^%vW)+^2/2 — cry) /Г(сг),

r(0 = exp(/(0)^Ai(0 = ^+аф)М0 = f^UdY

где Lo(f) = L(f)L\(f) (при нецелых t все выписанные здесь и далее функции доопределяются своими значениями в [£]).

Для дальнейшего нам понадобятся следующие две леммы.

Лемма 3.3.1. Пусть выполнено условие (1). Тогда для всякого фиксированного // > 0 при п оо

/ ^е-^) = l(n) -сг1п^-сгу + о(1).(3)

Лемма 3.3.2. Пусть выполнены условия (1) и (2). Тогда для чисел a(m,nY определяемых соотношением (2.2), справедливо (1.5.37).

Докажем теоремы 3.3.1 и 3.3.2, исходя из справедливости лемм 3.3.1 и 3.3.2.

Доказательство теорем 3.3.1 и 3.3.2. Отметим, что лемма 3.2.1 остается справедливой и в нашем случае. Доказательство ее полностью сохраняется. Согласно лемме 3.2.1, выберем а > 1, для которого имеет место (2.5). В силу (2.12) для всех и,о е [0,1)

А(щу) = 'S^urnnn-X exp(h(m)f(o)Y(4)

Будем полагать в (4) и = ехр(—X/t) и и = ехр(—p/t\ где А,^Д > 0.

Согласно (3) и (4) при t —> оо

А(и,о) р °е ^^итта 1 ехр(/г(т)/(0).т^О

Воспользовавшись леммой 3.2.1, отсюда получаем, что при t —> оо

Д^,и) ~ А-"м“'Т(а)е-<тт7"ехр Q<tHxVKf)+x2/2^ =

Из леммы 3.3.2 и последнего соотношения следует, что выполнены все предположения теоремы 1.5.7. По этой теореме при п —у оо

а(п,п) ~ г(п)п~[~а = n^-^L^Lx^n) =

= п^^Цп^ехр QcVlW + х2/2 — cry) /Г(а).(5)

При х = 0 из (5) и (2.2) получаем, что

рХпХ = АА<п^оо\(6)

п\

Тем самым теорема 3.3.1 доказана. Далее, из (2.2), (5) и (6) следует, что при п —> оо

Мехр ^х/з/Д^г))Мехр ^х/з/Д^г))expexp(х V^) А-х2^ ,(х V^) А-х2^ ,

Мехр ^х/з/Д^г))

Мехр ^х/з/Д^г))

exp

exp

(х V^) А-х2^ ,

(х V^) А-х2^ ,

или

(п —> оо).(п —> оо).Мехр (х(,С - /(и))/У/(п)) -> ехр(х2/2)

(п —> оо).

(п —> оо).

Для доказательства теоремы 3.3.2 остается заметить, что в предположении (1)

1(п) = ^ V^^^^n (п —> оо),

тЕАрр

т. е. в исследуемом случае логарифмическая плотность множества А,

Нт —п^оо \ххпНт —п^оо \ххп£тЕА^т^п£тЕА^т^п\!т,\!т,

Нт —

п^оо \ххп

Нт —

п^оо \ххп

£

тЕА^т^п

£

тЕА^т^п

\!т,

\!т,

существует и равна а (см. [96, разд. 3.1]).□

Доказательство теоремы 3.3.3. Согласно соотношениям (2.34), (2.35) и (2.36) при фиксированных к еЛШ{0} и т е А

п

PWXCm = Ц = ^q<vMn - V\(7)

17=0

гдегде= qM = coef I — I -exp(--v\\ m / k\ \= 0(m-v/m/Vv/m-kV))= qM = coef I — I -exp(--v\\ m / k\ \= 0(m-v/m/Vv/m-kV))22тт(8)(8)

где

где

= qM = coef I — I -exp(--v\\ m / k\ \

= 0(m-v/m/Vv/m-kV))

= qM = coef I — I -exp(--v\\ m / k\ \

= 0(m-v/m/Vv/m-kV))

2

2

т

т

(8)

(8)

В силу теоремы 3.3.1, последовательность р(п) правильно меняется на бесконечности. Поэтому

[mV^J[mV^J\mVn\\mVn\52 чШп-Ч~р№ У q^-pW vlmm Ук\52 чШп-Ч~р№ У q^-pW vlmm Ук\(9)(9)Далее, сДалее, сучетом (8) и теоремы 3.3.1учетом (8) и теоремы 3.3.1v=\mVn\-\-\v=\mVn\-\-\qW<n-v^Vp<py max |^(O| = n v^mVn p,=\3qW<n-v^Vp<py max |^(O| = n v^mVn p,=\3= O(np(n))O I-^-|=o(p(n)) (n^oo). (10)= O(np(n))O I-^-|=o(p(n)) (n^oo). (10)Из (7), (9) и (10) следует, что при п —> ооРКПт = Ц = е-1/тт-^! + о(1).Из (7), (9) и (10) следует, что при п —> ооРКПт = Ц = е-1/тт-^! + о(1).Теорема 3.3.3 доказана.Теорема 3.3.3 доказана.□□Доказательство леммы 3.3.1. Покажем сначала, что при А ^ ОДоказательство леммы 3.3.1. Покажем сначала, что при А ^ ОЦе х)= 52 i/n-^+oti)-пеД(1/А)Це х)= 52 i/n-^+oti)-пеД(1/А)(11)(11)ПоложимПоложимА\п) = |J [т,т+1].тЕД(и)А\п) = |J [т,т+1].тЕД(и)При нецелых 2 полагаем А^ =Д([г]) и Д'(г) =Д'([г]). Заметим, что при А ОПри нецелых 2 полагаем А^ =Д([г]) и Д'(г) =Д'([г]). Заметим, что при А О1 — ехр(—Хп)1 — ехр(—Хп)neA(l/A) nneA(l/A) nl-exp(-Ax) dx + о( 1).l-exp(-Ax) dx + о( 1).(12)(12)Л'(1/А)Л'(1/А)

[mV^J

[mV^J

\mVn\

\mVn\

52 чШп-Ч~р№ У q^-pW vlmm Ук\

52 чШп-Ч~р№ У q^-pW vlmm Ук\

(9)

(9)

Далее, с

Далее, с

учетом (8) и теоремы 3.3.1

учетом (8) и теоремы 3.3.1

v=\mVn\-\-\

v=\mVn\-\-\

qW<n-v^Vp<py max |^(O| = n v^mVn p,=\3

qW<n-v^Vp<py max |^(O| = n v^mVn p,=\3

= O(np(n))O I-^-|=o(p(n)) (n^oo). (10)

= O(np(n))O I-^-|=o(p(n)) (n^oo). (10)

Из (7), (9) и (10) следует, что при п —> оо

РКПт = Ц = е-1/тт-^! + о(1).

Из (7), (9) и (10) следует, что при п —> оо

РКПт = Ц = е-1/тт-^! + о(1).

Теорема 3.3.3 доказана.

Теорема 3.3.3 доказана.

□

□

Доказательство леммы 3.3.1. Покажем сначала, что при А ^ О

Доказательство леммы 3.3.1. Покажем сначала, что при А ^ О

Це х)= 52 i/n-^+oti)-пеД(1/А)

Це х)= 52 i/n-^+oti)-пеД(1/А)

(11)

(11)

Положим

Положим

А\п) = |J [т,т+1].тЕД(и)

А\п) = |J [т,т+1].тЕД(и)

При нецелых 2 полагаем А^ =Д([г]) и Д'(г) =Д'([г]). Заметим, что при А О

При нецелых 2 полагаем А^ =Д([г]) и Д'(г) =Д'([г]). Заметим, что при А О

1 — ехр(—Хп)

1 — ехр(—Хп)

neA(l/A) n

neA(l/A) n

l-exp(-Ax) dx + о( 1).

l-exp(-Ax) dx + о( 1).

(12)

(12)

Л'(1/А)

Л'(1/А)

В самом деле,

/ 1 — exp(—Ax) A 7exp(—Ax)1—exp(—Ax)

.2

При этом

л 52 ^^^<А 52 1/п = О(А1п(1/Д» = 0(1) (А^О),

п^\/Х Пп^.\/Х

а также

/7<1/А Пп^\/Х

Далее,

[ ‘-Х'1^'^,- [(13)

JXJу

Л'(1/А)АЛ'(1/А)О

где

f (,Л = Й1 _ ехР(“Л)/У при у е АД'(1/А),

МУ) [Опри y^XA'C/XY

Положим ф^ = (1 — ехр(—у))/у. Функция ^(у) монотонно убывает при у > 0. Действительно,

, ехр(-у) l-exp(-y) (у + l)exp(-y) -1 W =2 = 2 < 0’

УУУ

так как 1 + у < еу (у > 0). Поэтому для произвольных а,Ь, где 0 < а < <Ь^ 1,

ь

ЛЬ)\ХАЧ1/Х) П [а,6]| < Wy)dy ^ Ла) |АЯ'(1/А) П М] |.

Таким образом,

ь

limsup tx^^y < (у(б/)Нш |M'(1/A) П [a, fo] |,

А^О

(14)(14)откуда

(14)

(14)

lim sup fx(y) dy < <p(a)a(b — a\

A^O

Аналогично

b

(p(b)a(b — a)^ limmf fx{y)dy.

Поделим отрезок [0,1] на т равных частей числами 0 = а^,а\,а^,... . . . ,ат= 1. Используя соотношение (14), получаем

lim supАЦ) .0lim supАЦ) .0!х<уЫу < о^Ла^ам - atV

lim sup

АЦ) .

0

lim sup

АЦ) .

0

1=0

или, устремляя т в бесконечность и учитывая, что справа стоит верхняя сумма Дарбу для интеграла от функции r^xY получаем, что

lim sup ^хкуЫу^оlim sup ^хкуЫу^оА^О J0А^О J0Г<У>^у.Г<У>^у.

lim sup ^хкуЫу^о

lim sup ^хкуЫу^о

А^О J

0

А^О J

0

Г<У>^у.

Г<У>^у.

Точно так же устанавливаем, что

Hmmf W>dy^<r АуЫу.

ооо

о

о

Таким образом, существует

11

Пт fx(y)dy = <j y>(y)dy.оо

Из (12), (13) и последнего равенства следует, что

1

E

l-exp(-An) М-ехр(-у) у а ау при А 0.(15)

иедд/А)q

Положим

ДДг) = |J [m,m+l], г > 0.m>W гпеА

Заметим, что у £*^= [ *^<„ + „(1)(16)

и>1/А, пЕАдиПт

при А^О. В самом деле,

ехр(-уА)у2ехр(-уА)у2ехр(-уА)У = ^ехр(-уА)

ехр(-уА)у2

ехр(-уА)у2

У 7У

При этом

л^ехр( пА)^л^ехр( nA) = дь(1 _ехр(_д))-1 = q(1) (д^0)>

«>1/А ПП

а также

2<Х^ = 0(!) ПРИ Л^°-

п>\/Хп>\/Х

Далее,

-dy = gx(y)dy,(17) J у J

A"(l/A)1

где

(,.\ = /ехР(-у)/1/. у€АЛ"(1/А),

§AW 10,y£XA"VUXY

Как и ранее, для произвольных чисел а,Ь, где \ ^ а < Ь < оо,

ь

limsup gx(.y)dy С а(Ь - аШа\ <у^ = ех^-у")/у.

А^О .

Таким образом, для всякого фиксированного М > 1

м

limsupА^ОlimsupА^Оgxky^dy1gxky^dy1<y^dy < а<y^dy < а<уЫу-1<уЫу-1

limsup

А^О

limsup

А^О

gxky^dy

1

gxky^dy

1

<y^dy < а

<y^dy < а

<уЫу-

1

<уЫу-

1

Поскольку

gx^dyC ^dy,

мм

то

limsup gx<y^dy^a <y^dy+ <y^dy.

MMA 4-0

M

M

В силу произвольности M.

limsupА 4-0limsupА 4-0gxky^dy < оgxky^dy < о<уЫу-<уЫу-(18)(18)

limsup

А 4-0

limsup

А 4-0

gxky^dy < о

gxky^dy < о

<уЫу-

<уЫу-

(18)

(18)

Для произвольных а и Ь, где 1 ^ а < b < ос,

lirninf gx(y)dy^<j^(b)(b-a).

Поэтому для каждого М > 1

мм

lirninf gx<y)dy^cr <УЫУ-

11

Стало быть,

lirninfА^ОlirninfА^Оgxky^dy^a ЩЫуgxky^dy^a ЩЫу

lirninfА^О

lirninfА^О

gxky^dy^a ЩЫу

gxky^dy^a ЩЫу

или в силу произвольности М > 1

lirninfА^ОlirninfА^Оgx(y)dy>cr <y)dy.gx(y)dy>cr <y)dy.(19)(19)Объединяя вместе оценки (18) и (19), получаем, чтоОбъединяя вместе оценки (18) и (19), получаем, чтоgx(y)dy-><r ^{y)dy при АфО.11gx(y)dy-><r ^{y)dy при АфО.11(20)(20)Из (16), (17) и (20) следует, чтоИз (16), (17) и (20) следует, чтоЕехр(-лА) С ехр(-у) >а dy при А^О., м „ пип>\/\1 пЕА1Еехр(-лА) С ехр(-у) >а dy при А^О., м „ пип>\/\1 пЕА1(21)(21)Из (15) и (21) вытекает (11) с величинойИз (15) и (21) вытекает (11) с величиной1 -ехр(-у)dy-У1 -ехр(-у)dy-Уехр(-у) , dy.Уехр(-у) , dy.УЗаметим, что у есть постоянная Эйлера. В самом деле, полагая в (11) А = N, приходим к соотношениюЗаметим, что у есть постоянная Эйлера. В самом деле, полагая в (11) А = N, приходим к соотношениюln(l — ехр(—А))У^ Х/п — у + о(1),1/Аоткуда следует, что у есть постоянная Эйлера. Из (11) вытекает, чтоln(l — ехр(—А))У^ Х/п — у + о(1),1/Аоткуда следует, что у есть постоянная Эйлера. Из (11) вытекает, что

lirninfА^О

lirninfА^О

gx(y)dy>cr <y)dy.

gx(y)dy>cr <y)dy.

(19)

(19)

Объединяя вместе оценки (18) и (19), получаем, что

Объединяя вместе оценки (18) и (19), получаем, что

gx(y)dy-><r ^{y)dy при АфО.

11

gx(y)dy-><r ^{y)dy при АфО.

11

(20)

(20)

Из (16), (17) и (20) следует, что

Из (16), (17) и (20) следует, что

Еехр(-лА) С ехр(-у) >а dy при А^О.

, м „ пи

п>\/\1 пЕА1

Еехр(-лА) С ехр(-у) >а dy при А^О.

, м „ пи

п>\/\1 пЕА1

(21)

(21)

Из (15) и (21) вытекает (11) с величиной

Из (15) и (21) вытекает (11) с величиной

1 -ехр(-у)

dy-

У

1 -ехр(-у)

dy-

У

ехр(-у) , dy.

У

ехр(-у) , dy.

У

Заметим, что у есть постоянная Эйлера. В самом деле, полагая в (11) А = N, приходим к соотношению

Заметим, что у есть постоянная Эйлера. В самом деле, полагая в (11) А = N, приходим к соотношению

ln(l — ехр(—А))У^ Х/п — у + о(1),

1/А

откуда следует, что у есть постоянная Эйлера. Из (11) вытекает, что

ln(l — ехр(—А))У^ Х/п — у + о(1),

1/А

откуда следует, что у есть постоянная Эйлера. Из (11) вытекает, что

для произвольного фиксированного ^ > О

f (exp(-/z/n)) = ^1/m-о"7 + о(1) =

тЕАХп/ р)

= У2 1/^ — сг1н^ — сг7 + о(1), п^ос.

пгЕА^п)

В самом деле, при ^ > 1

2 ,1/т =m>\n/pV тЕА(пХ2 ,1/т =m>\n/pV тЕА(пХhn^)dy+oO) =1/мhn^)dy+oO) =1/м

2 ,1/т =

m>\n/pV тЕА(пХ

2 ,1/т =

m>\n/pV тЕА(пХ

hn^)dy+oO) =

1/м

hn^)dy+oO) =

1/м

— +о(1) = сг1п^ + о(1), . У

Х/р

где

и \ J ^У' У Е У > VUp\K ^пХУ) А п

I 0 в остальных случаях.

При ^ < 1

У^ 1/т = а т>п, тЕА^п/рХУ^ 1/т = а т>п, тЕА^п/рХп —> ОС.п —> ОС.Х/р

У^ 1/т = а т>п, тЕА^п/рХ

У^ 1/т = а т>п, тЕА^п/рХ

п —> ОС.

п —> ОС.

— +о(1) = — crln^ + o(l), У

Лемма 3.3.1 доказана.

Доказательство леммы 3.3.2. Зафиксируем т Е N и положим

t = Цт\ ап = а^т,п\ М(п) = {/: I е N U {0}, п — i е В}.

При / > п и к = / — п

I

'^ajXXBC-D-XB(n-jP= ^ а;- ^ ai =

j=0jeM(l) jEMW

= 52 °/ + 52 Xctj+k-ap.

]EMdY i<k jEM(n)

Поэтому из (2.23) следует, что для некоторого рЕ [—1,1]

T(t-1)е(1-п)рt

^ - ^ =2—+ -Sk~- У (aj+k - а0.(22)

пппп . х

]ЕМ(п)

Далее при доказательстве леммы при п —> ос будем считать автоматически выполненным соотношение т^п. Из (22) и теоремы 1.5.7 следует,

чточтоап = O(R(n^Y п^оо,ап = O(R(n^Y п^оо,(23)(23)

что

что

ап = O(R(n^Y п^оо,

ап = O(R(n^Y п^оо,

(23)

(23)

где R(n) = r(n)n 1 а = п° xL^nY Согласно (22) и (23) при / —> оо и к = = о(/)

а^к-а^-- ^ (ai+k-aiHo(R(JYT(24)

Зафиксируем е е (0,1) и положим М(п,Д = {/: / > ne, n—jE В}. Подставляя (24) в (22) при п —> оо и к = о(п\ получаем, что

(

Q \/ с \

— +0 — +

п )\ п J

+ - Е ~ I Е (al+k-atHo(R(m ) =(25)

= о( — )+о(й(п)) + - 52 " Е (ai+k-at).

Х 'iEM^n^ j iEM^y

Так как t —у 1 при т —у оо, то из (23) и (25) следует, что для некоторой константы С < оо

lim sup ——Нт sup l^h^ifl!,

п^-оо, к=о(п) R(n)п^-оо, к=о(п) пВ^ТЙ

где

G<n,k,e>= 52 " Е <а1+к-а1УjEM<n^ ! 1ЕМ(П

Иными словами,

(26)(26)р \at-an\,v р \C(n,k,eY

(26)

(26)

Нт sup < Нт sup Нт sup .

п^оо, к=о(п) R(^£^0 п^оо, к=о(п) nR{n)

Меняя в G(n,k,e) порядок суммирования, приходим к равенству

пп

G(n,k,e) = ^^^к^СтС) — 'У^аД1,п\

/=0z=0

где

1(1,521^'-

j^ne, j—i,n—jEB

Таким образом,

/п

G(n,k,£) = У^б/г7(/ — ^’^) — У^6^^’^ =

1=к/=0

пIк

i=ki=n+\1=0

Заметим, что l(i,n) ^ п1(пе} = 1/е. Стало быть, при п —> ос и к = о(п)

G(n,k,s) = У^^О' - к,п) - l(i,n))d-o(nR(n)Y (27) i=k

При i = 0,1,..., п справедливы неравенства:

п

1(1,п)^ У^ 1//= lnft-lnfZ£ + o(l) = ln(l/s)+o(l), П^ОС.

Поэтому в силу (23) для некоторой константы Ci < ос

/(n/?(n)) </(n/?(n)) <k+[ns]

/(n/?(n)) <

/(n/?(n)) <

lim supп^-оо, k=o(n)lim supп^-оо, k=o(n)У^ ai(l(i — k,n) - l(i,ri)

lim supп^-оо, k=o(n)

lim supп^-оо, k=o(n)

i=k

< limsup ^^(21п(1/е) + о(1)) <C]ECTln(l/£). (28) n^-oo, k=o(n) klR(n)

Далее, при n —> ос и к = о(п")

^ al(l(i-k,n)-lC,n)) = o(Sn),(29)

г=^+[п£] + 1

так как

1(т-\-к,п) — 1(т,п^ —> 0 (п —> ос, к = о(п\ пЕ<т^п\ (30)

Заметим, что при т> пе

Положим

Цт.п^ V .

Соотношение (30) в терминах L(m,n) примет вид

L(m + k,n — к) — L(m,n)) —> 0 (т —> ос, к = о(т\ n^m(\—E)Y (31)

Положим Z(n) = {/: i Е В, n — iE В}. Из (1) и (2) следует, что асимптотическая плотность последовательности множеств Z(n) есть 3 = (1 — ст)2, а именно, для произвольной постоянной с Е (0,1]

\и: и < сп, и Е Z^ny/cn —> (3, п^ос. (32)

Без ограничения общности будем считать, что в (31) п = ^m + o(m) при т —> оо, где уЕ [0,1 — е] (из произвольной последовательности п = п^т?) такой, что п^т^\—е\ извлекаем подпоследовательность, для которой п = утЕо(т)У Рассмотрим сначала случай ^ = 0. Тогда

0 < Путуи) < — = о(1)т

ии0 < Цт+Уп-^ ^0 < Цт+Уп-^ ^птЕкптЕк= о(1)= о(1)

и

и

0 < Цт+Уп-^ ^

0 < Цт+Уп-^ ^

птЕк

птЕк

= о(1)

= о(1)

при т —> оо и, стало быть, (31) в этом случае имеет место. Далее, предположим, что ^ > 0. Тогда

L{m,ii) =L{m,ii) =dx х+ о(1) =dx х+ о(1) =Z'VEInZ'VEIn-^-+о(1) = уЕт/п-^-+о(1) = уЕт/п

L{m,ii) =

L{m,ii) =

dx х

+ о(1) =

dx х

+ о(1) =

Z'VEIn

Z'VEIn

-^-+о(1) = уЕт/п

-^-+о(1) = уЕт/п

-^^+od)

iEZ(n)iEZ(n)J м +у

iEZ(n)

iEZ(n)

zynMn

Точно так же, как и в (15), при помощи (32) устанавливаем, что

1dydy о 1 /1\

—щ>3= /3ln(l+^).

J у + у зу + уZ^n^nО

Иными словами, при т —> оо, п ут

L(m,n) —> /31п( I Е уУ

Так как к = о(тУ то в этих условиях п — к^ у^тЕкУ Стало быть, L(mEk,n — k) —> /31п( 1 ЕуУ

Из последних двух соотношений следует (31) для выбранной подпоследовательности п = п^тУ Поскольку предел в (31) не зависит от выбора подпоследовательности п = п(тУ то на самом деле (31) выполнено при т —> оо, к = о(т) равномерно по п < т(1 — в). Стало быть, (29) доказано. Из (26), (27), (28) и (29) вытекает, что при п —> оо, k = о(п) и I = nEk

ai-an = o(R(ny = o(Sn/nY

так как Sn х nR(n) при п —> оо (последнее доказывается точно так же, как и соотношение (2.28)). Доказательство леммы завершено. □

Равномерно распределенные последовательности

Настоящий раздел носит технический характер. В нем мы рассмотрим некоторый новый класс равномерно распределенных последовательностей. Этот класс последовательностей понадобится для построения примеров множеств А, для которых справедливы предельные теоремы 3.3.1, 3.3.2 и 3.3.3.

Пусть заданы некоторая последовательность действительных чисел (х^) при п е N и конечное объединение А отрезков из [0,1]. Число т € N мы будем включать в множество А тогда и только тогда, когда {xm} е А, где {я} — дробная часть числа а. Конечно, при соответствующем подборе (хп) и А таким образом мы можем получить любое множество А. Основной задачей этого и следующего раздела является выделение тех последовательностей ^хп\ для которых при любом А соответствующее множество А удовлетворяет соотношениям (3.1) и (3.2), т. е. для него справедливы предельные теоремы 3.3.1, 3.3.2 и 3.3.3.

Приведем известное определение равномерно распределенной последовательности (см. [59, разд. 1.1]).

Определение 3.4.1. Последовательность (хп) называется равномерно распределенной (р.р.) по модулю 1, если для произвольного отрезка Ас [0,1] при п —> оо

\к\ к < п,^х^ Е А|/м —> |А|,

где |А| — мера Лебега А.

Для исследования множеств А нам понадобится ввести следующий класс равномерно распределенных по модулю 1 последовательностей (см.[152]).

Определение 3.4.2. Последовательность ^хп^ равномерно распределена сильно (р.р.с.) по модулю 1, если для произвольных отрезков Ai, А2 С [0,1] и любой постоянной 1 < С < оо

|fe:ДьЩЩб Д2|/п-ЧД1||Д2|(1)

при п —> оо равномерно по т Е [п,Сп\.

Далее слова «по модулю 1» для краткости будут опускаться.

Замечание 3.4.1. Как и в замечании 3.3.1, достаточно считать, что соотношение (1) выполнено для произвольной последовательности т = т(п) такой, что т п и т = О(м) при п —> оо.

Замечание 3.4.2. Если последовательность (хп) р.р.с., то для соответствующего множества А выполнены соотношения (3.1) и (3.2) с а = | А |.

Поэтому в дальнейшем мы займемся поиском р.р.с. последовательностей. Нетрудно заметить, что всякая р.р.с. последовательность

6 А. Л. Якымив

будет р.р. (достаточно в определении 3.4.2 положить Ai = А, А2 = = [0,1]). Обратное, вообще говоря, неверно. Опровергающий пример: хп = 9п где 9 — иррациональное число.

Для р.р.с. последовательностей справедлив также следующий аналог известного критерия Вейля для р.р. последовательностей ([59, разд. 1.2]).

Теорема 3.4.1. Последовательность (хп) р.р.с. тогда и только тогда, когда для произвольных целых а,Ь, ^а,Ь^ ^ 0, ^ произвольной константы 1 < С < ос при п^ ос

п

(2)(2)У^ехр(2т(а^ + 6л:т_^))/п -> 0

(2)

(2)

4=1

равномерно по т е \n,CnY

(В опровергающем примере (2) не выполнено при а = 1Г). При доказательстве теоремы 3.4.1 мы будем следовать схеме, которая намечена в [59, разд. 1.6] при доказательстве критерия Вейля для многомерных равномерно распределенных последовательностей.

Положим / = ^(х,у) € R^, 0 < х < 1, 0 < у < 1}. Для произвольного множества J с R^ положим

Xi^,y> =Xi^,y> =при (x,y)EJ,при (х,у) £ /.

Xi^,y> =

Xi^,y> =

Теорема 3.4.2. Последовательность (хп) р.р.с. тогда и только тогда, когда для произвольной действительной непрерывной функции f(x,y) на I и для произвольной постоянной 1 < С < ос при п^ ос

пп1 УСf(x,y)dxdy.1 УСf(x,y)dxdy.(3)(3)^=1^=1

п

п

1 УС

f(x,y)dxdy.

1 УС

f(x,y)dxdy.

(3)

(3)

^=1

^=1

равномерно по т е \n,CnY

Доказательство. Пусть последовательность (хп) р.р.с. Тогда для произвольного прямоугольника / = Ai х А2 (Ai,A2 — отрезки из [0,1]) и для произвольной постоянной 1 < С < ос при п —> ОС

1 пг

-У^Х/Ч-Щ-Щ-б}) \Ax,y)dxdy

^=1

равномерно по т € (n,CnY Поэтому для произвольной ступенчатой функции

м

к=\

(1^ — произвольные прямоугольники из /) при п —У оо

п к=хп к=хf(x,y)dx dy

п к=х

п к=х

равномерно по т е \п,СпУ Далее, пусть f(x,y) непрерывна на /. Из определения двумерного интеграла Римана следует, что для произвольного £ > 0 существуют ступенчатые функции /1 и /2 такие, что

Мх,у^Кх,у^Мх^

при ^х,у^ е / и

<Mx,yVfx (x,y^dx^s.

Возьмем произвольную последовательность т = т^ такую, что т ^ п, т = СДп) (п —> оо). Тогда

к=Хк=Хf(x,y)dxdy-e^ hk.x.y^dxdy = lim -УУ(Щ},Цт-Л) < п—^оо fl

к=Х

к=Х

< liminf-УЩЩГЩЩ) < Нтзир-УЩЩГЩ-Д)

п—¥<Х) fl ‘И ‘

к=Хк=Х

пп< lim -УЗМЩЩт-Ц) = hC.yWdy П—^ОО fl< lim -УЗМЩЩт-Ц) = hC.yWdy П—^ОО flf{x,y)dx dyA-E.f{x,y)dx dyA-E.к=Хк=Х

п

п

< lim -УЗМЩЩт-Ц) = hC.yWdy П—^ОО fl

< lim -УЗМЩЩт-Ц) = hC.yWdy П—^ОО fl

f{x,y)dx dyA-E.

f{x,y)dx dyA-E.

к=Х

к=Х

В силу произвольности е существует

1 ж Лf

Нт -У'/(Щ},Щ-й}) = fC,y)dxdy.

к=Хк=ХП^-ОО fl

к=Х

к=Х

Поскольку последнее соотношение выполнено для произвольной последовательности т = т^п\ обладающей указанными свойствами, то тем самым (3) выполнено равномерно по т е \п,Сп\ для произвольной фиксированной постоянной 1 < С < оо.

Обратно, пусть выполнено (3) и / = Ai х Д2, где АцАг — произвольные отрезки из [0,1]. Для произвольного £>0 существуют две такие непрерывные функции gi и ^2, что

£1См) <Х/См) <§2См) ^(Х,у)е1

и

teU,!/) -giU.y^dxdy < е.

Возьмем произвольную последовательность т = т(п) такую, что т^ п, т = 0^ (п —> ос). Тогда

g2(x, y^dxdy — е <Ig2(x, y^dxdy — е <Igt (x,y)dxdy =gt (x,y)dxdy =

g2(x, y^dxdy — е <

I

g2(x, y^dxdy — е <

I

gt (x,y)dxdy =

gt (x,y)dxdy =

1 Ж Л1

= lim - Vgi ({%*}, {xm-*}) < lim -|^:^<«, (Щ},Щ-б}) €/|<

< lim -\k;k<,n, ЦхЛАхт-кЬ €/|< lim -VgMxkWm-kY) = in-oo nn-»oo П^

= g2(x,y)dxdy < g!(x,y)dxdy + e

В силу произвольности e существует

lim -\k:k^ n, OxfcY Щ-*}) € /| = |/|. n^oo n

Поскольку последнее соотношение выполнено для произвольной последовательности т = т^п\ обладающей указанными свойствами, то тем самым (1) выполнено равномерно по т е \п,Сп\ для произвольной фиксированной постоянной 1 < С < ос. Теорема доказана. □

Следствие 3.4.1. Последовательность (хп) р.р.с. тогда и только тогда, когда для произвольной комплекснозначной непрерывной функции f{x,y) на I выполнено (3).

Следствие 3.4.2. Последовательность (хп) р.р.с. тогда и только тогда, когда для произвольной комплекснозначной непрерывной функции f(x,y) на R2 периодической по х и у с периодом 1

1 XГ

(4)(4)-'VtCk1xm-0 f(x,y)dxdy

(4)

(4)

^=1

равномерно по т Е [п,Сп\ для произвольной постоянной С е [1,оо).

Доказательство следствия 3.4.2. Необходимость следует из следствия 3.4.1. Доказательство достаточности практически дословно повторяет доказательство достаточности в теореме 3.4.2 за тем исключением, что на функции g\ и ^2 налагаются дополнительные условия:

&С^=&СЛ\ &(0.У) =s(l.y) v(%,y)e/, г =1,2;

так что (4) можно применять к периодическим продолжениям функций g\ и g2 на R2.□

Доказательство теоремы 3.4.1. Необходимость следует из следствия 3.4.2. Докажем достаточность. Множество всех конечных

линейных комбинаций функций вида ехр(2тп(а% + by)) (a,b — целые) с комплексными коэффициентами плотно (по отношению к равномерной норме) в пространстве всех непрерывных комплекснозначных функций t^x,y) с периодом 1 по каждой переменной (см. [59, с. 59]). Возьмем произвольную комплекснозначную непрерывную функцию /(х,^) в R2 и периодическую с преиодом 1 по х и у. В силу только что сказанного для произвольного о > О существуют М G N, комплексные числа С1,...,см и целые числа ai,... ,ам,Ь1,... ,Ьм такие, что

|/(х,у)-^>Л1 <- V (х,у) е/?2,(5)

где

м

ф{х,у) = У^с/ ^xp(27vi(xai + уф)), (х,у) е R2.

1=\

Возьмем произвольную последовательность т = т^п) такую, что т^ п, т = О(п) (п —> ос). Справедливо неравенство:

1 п f(x,y)dxdy

п к=\

(f(x,y)—^X,y))dxdy + ^(x,y)dxdy2 Ф^кЛт-к) +

к=\к=\JJп

к=\

к=\

Первое и третье слагаемые в последнем неравенстве меньше е в силу неравенства (5), а второе меньше е при достаточно больших п согласно соотношению (1). Остается воспользоваться следствием 3.4.2. Теорема доказана. □

В заключение этого раздела сформулируем некоторые необходимые сведения из книги Л. Кейперса и Г. Нидеррейтера «Равномерно распределенные последовательности» [59].

Лемма 3.4.1 (лемма 2.1 из [59, разд. 1.2]). Предположим, что действительная функция f имеет монотонную производную /' на [а,Ь], причем f\x) > А > О или f'(x) < - А < О при х е [а,Ь]. Тогда, если J = ^ехр(2тг//(х))б/х, то |/| < 1/А.

Лемма 3.4.2 (лемма 2.2 из [59, разд. 1.2]). Пусть f дважды дифференцируема на [а,Ь] и f"(x) ^ р > 0 или /"(х) < — р < 0 при х Е [а,Ь}. Тогда интеграл J из леммы 3.4.1 удовлетворяет неравенству V\ < MVP-

Теорема 3.4.3 (теорема 2.7 из [59, разд. 1.2]). Пусть а и Ь — целые, и пусть f дважды дифференцируема на [а,Ь], причем /"(х) > р > 0 или t”^ — Р < 0 при х е \а, Ь\ Тогда

(i/'(zo-m+2)(4+3 \Vp .(i/'(zo-m+2)(4+3 \Vp .ь

(i/'(zo-m+2)(4+3 \Vp .

(i/'(zo-m+2)(4+3 \Vp .

У^ехр(2т/(п))

п=а

Лемма 3.4.3 (основное неравенство ван дер Корпута — см. лемму 3.1 из [59, разд. 1.3]). Пусть и\,...,ип — комплексные числа, а Н — целое, \ ^Н ^п. Тогда

Я2Я2^Ut С HU + H -¥С£>Л ^Лп^Н -У'Л^Н-h^^t=\t=\h=\t=\

Я2

Я2

Примеры множеств A

Пусть заданы некоторая действительная функция g(f) при t > О и конечное объединение А отрезков из [0,1]. Число meN мы будем включать во множество А тогда и только тогда, когда {g(m)} е А. Как было отмечено в предыдущем разделе, если последовательность (g(n)) равномерно распределена сильно, то при любом А соответствующее множество А удовлетворяет соотношениям (3.1) и (3.2), т. е. для него справедливы предельные теоремы 3.3.1, 3.3.2 и 3.3.3. Поэтому мы займемся поиском равномерно распределенных сильно (р.р.с.) последовательностей.

Наиболее простой класс р.р.с. последовательностей (g(n^ дает следующая теорема.

Теорема 3.5.1. Пусть g\t) ^ 0, g'^ выпукла и g\t) монотонно стремится к нулю при t ос. Если tg\t) и tz\g,,^\ стремятся к бесконечности при t —> ос, то (g(n)) р.р.с.

Доказательство. Положим

п

J = ехр(2ш(^(х) + bg^m - %))) dx, о

где а и b — произвольные целые числа, (а, Ь^ ^ 0. Так как g1^ —> 0 при t —> ос, то

п

^exv^TU<ag4Hbg<m-tY4=J(1)

при п ^ ос для произвольной последовательности т = т(п) такой, что т ^ п, т = СДп) (п —> ос). Пусть а ^ 0. Положим 0 = |&/а|. Пусть

Ь,а < 0. Тогда согласно лемме 3.4.1

|^|тт(/(0 + ^'(^-0) WW

Заметим, что т = т(п) — произвольная последовательность со свойством т ^ п, т = О^п)) (п —> ос). Поэтому из (1), (2) и того, что ^'(0 —^ °° (^ —^ 00) следует соотношение (4.2) для последовательности xn=g(nY Пусть Ь/а>0. В этом случае утверждение леммы 3.4.2 влечет неравенство

^tzl min \gn (ф) 0gn (т - 01 V\a\g"W

Из (1), (3) и условия t2\gM(tY —> оо (t —> ос) следует (4.2). Наконец, в случае, когда а = 0, согласно лемме 3.4.1 мы имеем неравенство:

|/|<2/|e>).

Из последнего неравенства и соотношения (1) точно так же, как и ранее, мы устанавливаем справедливость соотношения (4.2). Таким образом, для последовательности хп = g(n) мы проверили выполнение условия (4.2) теоремы 3.4.1. Из теоремы 3.4.1 следует, что последовательность (g(nY сильно равномерно распределена. Теорема 3.5.1

доказана.□

Следствие 3.5.1. Пусть

g^ = tal(tY t>0,(4)

где а е (0,1) и функция 1^ медленно меняется на бесконечности, причем для п= 1,2,3 при t оо

^(0 = о(Г"<(5)

Тогда последовательность (g(n)) р.р.с.

В самом деле, из (4) и (5) следует, что

g\4 = а1а"х1<П + tQl4b ~ аР~'КД(6)

g"4) = a(a- Ы“"2/(0 + 2ata-'l'4) + /“/"(0 ~ «(a- Ы“-2/(0, (7) g"4b = a(a - l)(a -2)Г“3/(0 + 3a(a - Ы“"2/'(0 +

+ 3a/“-1/"(0 + ^/"'(0 - «(a- l)(a -2)/“"3/(0(8)

при t—> оо. Из (6), (7) и (8) следуют все предположения теоремы 3.5.1.

Замечание 3.5.1. Для произвольной медленно меняющейся на бесконечности функции существует эквивалентная ей на бесконечности функция l(tY для которой справедливо (5) для всех п е N

(см. теорему 1.1.3). В качестве конкретных примеров функций /(£), удовлетворяющих (5), можно привести функции In £, In In С exp(ln^) ф < 1), их различные степени и произведения.

Далее мы будем рассматривать случаи, когда для некоторой медленно меняющейся на бесконечности функции 1ф и 1 выполнено равенство (4), причем разберем отдельно случаи целого и нецелого а.

Теорема 3.5.2. Пусть для некоторого нецелого а> 1 и медленно меняющейся на бесконечности функции 1ф имеет место равенство (4) и соотношение (5) выполнено для всех п = 1,2,..., [а] + 2 ([а] — целая часть а). Тогда последовательность фф^ р.р.с.

При т Е N, h\,... фт Е N положим

g(h\,x) = g(x + hi) -g(x),

g(h\,...,hm,^=g(h\,...,hm-\^ + hm)-g(h\,...,hm-\^Y

Сформулируем несколько вспомогательных утверждений.

Лемма 3.5.1. Если для некоторого kEN и произвольных h\,... . . . M^N последовательность фф\,... ЛкЛ^ р.р.с., то и последовательность ффф р.р.с.

Лемма 3.5.2. Пусть выполнены все предположения теоремы 3.5.2. Тогда для произвольных т= 1,2,..., [а] + 2 при t ос

—g4')~aWt“-ml4Y(9)

at

где Фт^ = аф — 1) • • • (а — т + 1).

Лемма 3.5.3. Зафиксируем h\,...,hm ЕМ, где т = [а] — 1 и положим §тф = ЕФ\^ • • • ФтД\ Если выполнены все предположения теоремы 3.5.2, то при t ос

(Ю)

(11)

(12)

где Р = {оф, h = h\ --hm.

Лемма 3.5.4. Пусть для некоторой функции ^ф и медленно меняющейся на бесконечности функции 1ф при Р Е (0,1) и t ос

g44~Ci(tY(13)

гчп~рс-ччч(и)

ё"ЧЧ~ЗЫ-Ы0-2ЫУ(15)

Тогда последовательность фф^ р.р.с.

Прежде чем перейти к доказательству теоремы 3.5.2, докажем леммы 3.5.1-3.5.4.

Доказательство леммы 3.5.1. Докажем лемму сначала при к = 1. Пусть последовательность (g(h,nY р.р.с. для произвольного h ЕМ. Согласно основному неравенству ван дер Корпута (лемма 3.4.3) для произвольных п,Н,т е N, т^ п и целых а, b (а,Ь ^ 0)

П2

я2 ^exp(27nXag(o+Mm-o)) <

t=\

н-\

<Я(п + Я- 1)и + 2(п + Я- 1)х ^(Я-й)х

н=\

n—h

х Ие^2ехр(2тг/(^(О A-bg^m — f) — ag(tA-h) — bg^m — t — h^Y

Отсюда, разделив обе части неравенства на п^Н^, получаем, что

- V exP(2m"(ag(0 + bg(m - 0)) < O+H A + n ИнН

(n^H -Y)(H-h) n2H2(n^H -Y)(H-h) n2H2n—h

(n^H -Y)(H-h) n2H2

(n^H -Y)(H-h) n2H2

У^ exp(2Tu(ag(h, t) + bg(h, m - 0)) t=\

Таким образом, для произвольной последовательности т = т(п) такой, что т ^ п, т = О(п) (п —> ос)

2

1 X Л

Н-ПН-Пlim sup -У^ехр(2т(а^(0 + ^(т-0)) п—^оо П

Н-П

Н-П

Нт -У^ехр(2тг/(№(/гД) + bg(h,m — 0)) = — •

^°° пн

по теореме 3.4.1. Из последнего неравенства в силу произвольности Н и согласно теореме 3.4.1 последовательность (g(nY р.р.с. Пусть теперь к > 1 и лемма справедлива для к — 1. Если для произвольных h\,...,hk^N последовательность (g(h\,... ,hk^Y р.р.с., то по только что доказанному последовательность {g(h\,... ,hk-\^Y р.р.с., откуда в силу индуктивного предположения следует, что последовательность te(^)) р.р.с. Лемма доказана.□

Доказательство леммы 3.5.2. Согласно (4) и (5) при t —у ос

^g(o = Ya“1^ = at“-4(tHtai4h = dt dt

= а^-‘/(0 + taoXr44XX ~ at"-x4tY

Если т > 1, т < [а] + 2 и лемма справедлива для l,...,m—1, то в силу (5) при t —> оо

imт

^^4 = ^c™aWt“"niVm"^W =

п=0

= aimha-n<t)+^c^n4a-noirm^^^

п=0

Лемма доказана.□

Доказательство леммы 3.5.3. Заметим, что для произвольного k= 1,..., т

hxgkk) =оhxgkk) =оНи

hx

gkk) =

о

hx

gkk) =

о

(16)(16)gw(t + xi + ... + xk)dx\ ■■■dxk.

(16)

(16)

о

В самом деле,

hx

gi (0 = g(hi, 0 = g4 + hx) -gC) = g'(t + xi) dxv.

0

hxgk-\4) =оhxgk-\4) =оЕсли же при к > 1, к ^т

hx

gk-\4) =

о

hx

gk-\4) =

о

^-1

^"‘Д+Х! + ...^rXk-vWv "ЛХк-Ь

0

ТО

g*(0 = gk-i(t + hk) -gk-\W =

^k X\t "Vh^ +%i + . . . +%^-i) —

°°- g^Ht^xx + ...+^-1)^ dxx--dxk-x =

hx hk

^^^гХх^...^Хк^Х\-^Хк,

00

hx hngmW=00hx hngmW=00откуда следует (16). Стало быть,

hx hn

gmW=

00

hx hn

gmW=

00

^m4t^xxAVxm>)dxx--dxm = h^m4t + h)

для некоторого t\ Е [0,Ai + ... +Лт]. Поэтому из леммы 3.5.2 вытекает, что при ^ —> ос

§Д О ~ Wm+1l (t + txA Kt + tx) ~ haVm+xH9KtY

Точно так же для некоторых ^Дз С \^,h\A-.. .A-hm\

g'^t) ~ ha^2\t AH^-4yt ^ ^ ~ ha^^t^^l^tY

и

g'^W ~ Ьа:^+3^(^А-У)д-2Ц^А-У) ~ hc^m+3V-2Z(f).

при ос. Лемма доказана.□

Доказательство леммы 3.5.4. Воспользовавшись теоремой 3.4.1, проверим выполнение соотношения (4.2) для последовательности хп = §(пУ Предположим, что а ^ 0. Положим 0 = \b/a\, f(t) = cig^ + + bg^m — t\ Пусть m = m(n) E N — произвольная последовательность с условием т^ п, т = О(п) (п -^ ос). Рассмотрим сначала случай b/а ^ ^ 0. Согласно (13) при п —> ос, t < п, t п

?ЧП = a(g4H - eg4m -t^ = O VM3 .(17)

В силу (14) и (15) существует натуральное М такое, что при t^M функция g"^ положительна и монотонно убывает. Тогда при п ^ УМ и t Е[М,п-М}

1Л01 = |a|(g"(0 + ^"(m-0) > W^-xn^KnY(18)

Из соотношений (17) и (18), а также теоремы 3.4.3 следует, что при п —> ос, т = т(п) ^ п, т = О(п)

п—М/ л \

52 ехр(2т7(0) ^ <\i\n-MVi4MY^ (——) =

W + З/

= о QCitnY) о (1) = о (nu+m/2VAnA = o(nY

где

inf г<аtEVM,n-MV

так как 3 < X. Заметим, что при п -л ос

Мп

^А^(2т1О)+ 52 ехр(2т7(/)) = 0(1).

t=\t=n—M

Поэтому в случае b/а ^ 0 справедливо соотношение (4.2) для последовательности хп = g(ny Предположим теперь, что b/а < 0. Будем считать для определенности, что а > 0. В силу (15) существует М\

такое, что при т ^ 2Af i и t е [Afi, т — Mi ]

Г ЧУ a =g"'ltHeg'4m-tl < 0.(19)

Согласно (14) мы можем считать также, что для некоторого натурального Af2 > 2Af i при т М2

Г> У а = ^(А41) - 9§Чт - М) > 0,

Г(™ - Mi )/а = gM(m - Mi) - 9gM(Mx) < 0.

Так как при t е [Afi, т — Afi] {"(tya убывает (см. (19)), то при т ^ М2 на отрезке [Afi,m— Afi] существует единственный корень т уравнения /"(г) = 0. Ясно, что для числа т справедливо равенство

№ = е§"Чп-т\(20)

Заметим, что т х т, т — т^т при т -л ос, в противном случае зто противоречило бы (20) и свойству правильного изменения ^"(t^ при ^ ^ ос. Из (20) с учетом (14) следует, что при т -л ос

^-^(т) ~ 9(т — т^-х1(т-тУ

Так как т х т, т — т^т при т -л ос и функция 1(f) медленно меняется на бесконечности, то при т -л ос

~ 0(т — тУ-Х

или же

откуда при т —> ос

(т — тУт —у 9\ m/т—у У7 + 1,

где 7 = (1 — РУХ. Таким образом, т т/(1 + У7) при m -л ос. Выберем произвольное 5 е (0,1), 5 < У7. Положим

f - (1 -зжх ^е^\ t2 = (\^3>/(\^e^v

Пусть для некоторого Afg > М2 при m > Afg

Afi < ti <т < t2 < m — Mi.

Тогда при m^M^ и tE [AfiJi] для некоторого v e [фт] по теореме о среднем

V’(tMa ^ V’ktiMa = (Г’^-Г’^Ма = -(т"Шт(^Ma.

При m ^ ос

-H-ti M'4vMa ~ ^^(g"'(v) + 9g'"{m

-^-рС-Жт-Av13 2+9(m-M Л.

1 + О1v7

Поэтому существует АД > АД такое, что при т ^ М^, t е [АД Ji], с = = Л1 Л)/2(1+У7)

f4t^a cl(m) ^у13 2 A-9^m — v^ 2^т^ с1{т)^ 2т = с\т0 Ч(т),

(21)

гдегдесх = ссх = с1+5 у-21+0V1+5 у-21+0V

где

где

сх = с

сх = с

1+5 у-2

1+0V

1+5 у-2

1+0V

Далее, при te [Д,т—АД] и для некоторого ^е [т, Д] по теореме о среднем

rw/a < №/а = (Л ^ - ГОШ = (Д - <ШШ -

Последнее выражение при m -л ос есть

-(1+о(1))УУ/(т)/3(1 -РХ (ц^^еХт-^Л-

Отсюда следует, что для некоторых постоянных eg > 0 и АД > АД при t E\t2,m— Мх\ и пО Ms

f\t^a < — eg ^^“2 + 9^т — ^)^-2^ ml{m) <

< —сзт^~21(т) < — czmt3~2l(m) = —(22)

где

По теореме 3.4.3 согласно соотношениям (21) и (22) при т ^ М5 и п^т справедливо неравенство

п—Mi

У2 exp(2mf(/))

t=Mx

(

4\

^==+3 ,

где С5 = min(ci,C4). Из (13) следует, что при п -л ос для произвольной последовательности т = т^п\ т = О^п\

|/'№)| + \t\n -moi + |f 001 + \f'(M\ = cViCnp.

Поэтому при п -л ос, т^ п, т = O(nY

У^ ехр(2ш/(0) = О (m^/(m)) О (т^1-^2/^/^^)) =

= O(m(1+^/2 д/ф^)) = о(т).

Далее,

52exp(2m/(/)т щ[м2]п[М52exp(2m/(/)т щ[м2]п[М2511 +#7 т2511 +#7 т

52exp(2m/(/)

т щ[м2]п[М

52exp(2m/(/)

т щ[м2]п[М

251

1 +#7 т

251

1 +#7 т

Из последних двух соотношений вытекает, что при т^ п, т = О(п),

1 х а25

limsup - Vexp(2?n/(0) < -—-п—^оо ТП1 + О

В силу произвольности 5 и произвольности последовательности т = т(п) такой, что т^ п, т = О(п\ отсюда следует соотношение (4.2) для последовательности хп = g(n) в случае b/а < 0.

Наконец, в случае а = 0 соотношения (17) и (18) заменятся соответственно соотношениями

/'(0 = -bgr(m - 0 = О(п^1(п))

и

|f"(0| = W\m-t^ ^ \Ь\ё'\т)^п^~Ч(п),

и дальше доказательство идет точно так же, как и в случае bja ^ 0.

Доказательство леммы завершено.□

Доказательство теоремы 3.5.2. Пусть [а] = 1. Тогда для функции g(f) в силу леммы 3.5.2 справедливы соотношения (13), (14) и (15), где в качестве 1(f) надо взять al(f). Согласно лемме 3.5.4 последовательность (g(n)) р.р.с. Положим т = [а] — 1 и при фиксированных h\s...shm^N gmW = g(h\,... ЛтЛУ В силу леммы 3.5.3 выполнены все предположения леммы 3.5.4, где в качестве функции g(f) взята функция gm(tY а в качестве функции 1(f) — функция ha^m^l(tY Поэтому последовательность (g(h\,... ,hm, п)) р.р.с. Из леммы 3.5.1 следует, что тем самым и последовательность (g(n)) р.р.с. Теорема доказана.□

Далее рассмотрим случай, когда а Е N в соотношении (5). Через 1т (т е N) обозначим множество всех медленно меняющихся на бесконечности функций l(t), для которых (5) имеет место при всех п = 1,...,т. Положим

Теорема 3.5.3. Пусть для некоторого а е N и медленно меняющейся на бесконечности функции 1^ выполнено (4). Если для произвольного t >0

Г(/) = 6г'ЫЬ,(23)

где 5 = 1 или 3 = —1, /i(0 е /Q+i и

Ш = (t^ooY(24)

то последовательность (g(n)) р.р.с.

Сформулируем некоторые следствия этой теоремы.

Следствие 3.5.2. Последовательность (п°А^ п) р.р.с. для произвольного а е N и Р 0.

Следствие 3.5.3. Последовательность (zzQln7lnzz) р.р.с. для произвольного а е N и -у ^ 0.

Следствие 3.5.4. Последовательность (zz^ln^zzln7Inzz) р.р.с. для произвольных a^N и Д у 0.

Следствие 3.5.5. Последовательность (па ехр ^с\п^п^) р.р.с. для произвольных с + 0, Р < 1 и а Е N.

Далее мы будем считать для определенности, что 5 = 1 (случай 5 = = — 1 рассматривается точно так же). Теорему 3.5.3 и ее следствия мы докажем при помощи следующих десяти лемм.

Лемма 3.5.5. Пусть имеет место (4), где a ^7VU{0}. Если 1^ е е 1т для некоторого т Е N, то

(t^oo).(25)

Лемма 3.5.6. Пусть выполнены предположения теоремы 3.5.3. Тогда 1^ Е 1а+2-

Лемма 3.5.7. Пусть выполнены предположения теоремы 3.5.3. Тогда

(26)

g^Xb-a'.rMAfh(27)

g^Xt^-aU^hW(28)

при t -е сю.

Лемма 3.5.8. Пусть т = а—\, h\,... ,hm е N, gm^ = g(h\,.. .,hm, t) и выполнены все предположения теоремы 3.5.3. Тогда при t сю

g'mW~haUm,g"(t)~ha'.rvh4V

при t сю, где h = h\-- hm.

Лемма 3.5.9. Пусть 1(f) медленно меняется на бесконечности. Тогда существуют функции r(f) и s(f) такие, что r(f) -э ос, s(f) -у 0 и

l(Xf)/l(f) 1(29)

при t -е оо равномерно по Хе [s(O,^(OL

Лемма 3.5.10. Пусть (26), (27) и (28) выполнены для некоторой функции g(f), а = 1 и функции l(t),f(t) медленно меняются на бесконечности. Тогда последовательность (g(n)) р.р.с.

Лемма 3.5.11. Функция 1(f) е 1т для некоторого mEN тогда и только тогда, когда для всех п = 1,... ,т

(t) = о(\) (^оо),(30)

где p(t) = In Z (eiy

Лемма 3.5.12. Пусть 1(f) Е 1т, где т Е N. Тогда l^(f) Е 1т для каждого Р ER.

Лемма 3.5.13. Пусть /1(0>Ы0 С 1т, где т Е N. Тогда 1(f) = = kWhW принадлежит 1т.

Лемма 3.5.14. Функции ln^, In^lnZ принадлежат I для всех действительных Р и %

Доказательство леммы 3.5.5 дословно повторяет доказательство леммы 3.5.2, поэтому здесь не приводится.□

Доказательство леммы 3.5.6. Из (23) и (24) следует, что

V(f) = t-Xf(t) = o(t-4(t)) при t —> оо.

Согласно лемме 3.5.5, для т = 2,..., а + 2, п = т — 1 im

—КП = -—(Z, (0/0 ~ (.-хупи^-'ып = оЩтКЬ)(31)

at at

при t —> оо. Поэтому 1(f) Е la^- Лемма доказана.□

Доказательство леммы 3.5.7. Продифференцируем равенство (4) т раз, т^а\

^^ЧП = ^ckaVm-k4a4m-k4(k4tY

^=0

При т = а получаем:

= ^2,CkaVa"kYkl(k4tY(32)

^=0

Из леммы 6 следует, что при k= 1,... ,а

Pk\t) = О (t~kl(tp) , t оо.

Поэтому из (32) получаем, что

g(a)(0 ~ а^’ф^Д) = а\КЯ t оо.

Соотношение (26) доказано. Продифференцируем (32):

g(«+D(/) = ^cb+\ala-kWk+14tY(33)

^=0

Из (31) и (33) следует, что

Ф+1)(0 ~ 1Д^(_ЦсД|а>-*1/г! =

1 4=0

= ^a!E(-l№]=/1(0r1a!A, (34)

1к=0

где

^=0

Вычислим А. Заметим, что

а+13

А = -£(-1)‘С‘+1 = -£(-1уф

/=1/=1

где (3 = ск + 1. Для произвольного действительного s

3

1=0

Поэтому

3 £ф-1у = (i-i)'3 = о. 1=0

Отсюда мы получаем, что 1 — Л = 0 или А= 1. Поэтому (27) следует из (34). Продифференцируем (34):

k=0

Учитывая (31), отсюда получаем:

5<“+2)(0~^СД2а[“-уГ^,г+2(-1),г+1(й+1)!/1(0 =

к=0

=(35)

^=0

где

^ЕО-^ШЬ—ЕЧ^УО-а 7 = а + 2. ^=0/=2

Заметим, что

7

ЕЦ7+1 =s(s+i)+

Продифференцируем это равенство:

7

Е Сун 1)7 = (s++ (1 +7)7,

/==0

откуда

/=0/=0

= (s + If^l + (1 +7)s)-2(1 + s)T

Поэтому

-E(/-i)(-iy=o

/=0

и

^-£(/-1)(-1У--1+0 = -1.(36)

/=2

Соотношения (35) и (36) влекут (28). Лемма 3.5.7 доказана.□

Доказательство леммы 3.5.8 дословно повторяет доказательство леммы 3.5.3.□

Доказательство леммы 3.5.9. Согласно теореме об интегральном представлении медленно меняющихся функций [115, разд. 1.2], существуют число b > 0 и функции Т](Г) и е^1\ определенные при t^b, что для некоторой константы с ту^ -л с, е^ -л 0 при t -л оо и

/(0 = ехр/(0 = ехр7?(0 +7?(0 +V t^b.V t^b.

/(0 = ехр

/(0 = ехр

7?(0 +

7?(0 +

V t^b.

V t^b.

Без ограничения общности мы можем предположить, что А ^ 1. Тогда при t^b

= exp= exp(37)(37)

= exp

= exp

(37)

(37)

xtdu. иxtdu. иВозьмем r^ = exp (1/^5(0), рДе ^(0 = supu^ H^)|. Тогда

xt

du

. и

xt

du

. и

< 5(0 In A < V^(0 —> 0, ^ —> oc,

равномерно по A e [1,г(0]. Соотношение (29) следует из (37) и последнего неравенства. Лемма 3.5.9 доказана.□

Доказательство леммы 3.5.10. Согласно теореме 3.4.1 мы будем проверять соотношение (4.2) для последовательности хп = g(n\ Предположим, что а ^ 0. Как и раньше, положим 6 = \b/a\, f(t) = = agW-Е bg^m — t\ Рассмотрим сначала случай bl а ^ 0. Согласно лемме 3.5.9 выберем последовательность s(rz) -л 0 при п -л оо так, чтобы было выполнено (29) и ns(n) eN. Используя (26) при а = 1, мы получим по лемме 3.5.9 при t Е [ns(n) ,п — ns(ri)}

[Ч0 = а^ЧП-9еЧт-П) =

= О(/(0) + О(/(т-0) = О№)) О^оо) (38)

для произвольной последовательности т = т(п) такой, что т ^ п, т = 0(п) (п —> ос). Как следует из (27) и (28), существует постоянная М такая, что при т^ М и t Е [ns(n), п — ns(n^

|/"(0| = |a|(g"(0 + ^"(m-0) №"(0 ^g"W ^п~'Ып)(39)

при /т ос. Из (38), (39) и теоремы 3.4.3 следует, что

п—s(n)У2 ехр(2т/(0)п—s(n)У2 ехр(2т/(0)<(|/'(И5(и))| + |/'(и-И5(и))|+2)<(|/'(И5(и))| + |/'(и-И5(и))|+2)t=ns(n)t=ns(n)

п—s(n)

У2 ехр(2т/(0)

п—s(n)

У2 ехр(2т/(0)

<(|/'(И5(и))| + |/'(и-И5(и))|+2)

<(|/'(И5(и))| + |/'(и-И5(и))|+2)

t=ns(n)

t=ns(n)

= О(/(и))О (=^ = О f = о(п) (и —> сю)

для произвольной последовательности т = т(п) такой, что т^ п, т = = О^п)) (п -^ оо), где

inf Г(а

ns (п) ^t^n—ns (n)

Поэтому для произвольной последовательности т = т(п) такой, что п, т = О(п) (п -л оо)

п

У^ехр(2ш7(0) = о(м) + O(ms(zz)) = о(п) (п ос). ^=1

Условие (4.2) теоремы 3.4.1 проверено в этом случае. При b/а < < 0 доказательство полностью повторяет доказательство леммы 3.5.4. Если же а = 0, то соотношения (38) и (39) заменятся при п -л оо соответственно на соотношения

t'W = -Ь^(т - 0 = O(/(m - 0) = О№))

и

|Л0| = Ш\т- o \b\g"(m) x n"xlv(ny

из которых точно так же, как и ранее, следует (4.2) для последовательности хп = g(n\ Доказательство леммы завершено.□

Доказательство леммы 3.5.11. Пусть 1(f) Е 1т и ф(Г) =

= /(ехр(О). Согласно формуле (0.430) из [35] для п-й производной от сложной функции при п = X,... ,п

TL Л(ехр(0)С(г1,...Л)П(ехР(0Л

где суммирование происходит по всем упорядоченным наборам целых неотрицательных чисел 0,..., 1п таких, что

пп

^Щ = п, k = ^ib/=1/=1

С(1\,...Дп) — некоторые постоянные. Отсюда следует, что

ф^Х^ = У^ о (e~tkl (e^etk = o(l (е^)) = о(^(0)(40)

при ос. Применяя ту же формулу (0.430) из [35] для функции ip(f) = Iny^O, мы получим, что при п = 1,..., т

п

VXn4n= £ ^кЧ<П)С(ц,...ЛО№иЧПУ-.

Используя (40), отсюда получаем:

дпчп = Е (- i)ft+1 (^ - хштгкс(.ц,..., юо «до)*)=o(i)

при / —> ос. (30) доказано. В обратную сторону доказательство полностью повторяет доказательство леммы 1.1.1.□

Доказательство леммы 3.5.12. Положим ^p(t) = 1п/(ехр(0), Ф(0 = In (/^(ехр(0)). Согласно лемме 3.5.11, соотношение (30) выполнено для произвольного п = 1,...,т. Поэтому для всех п = 1,...,т Ф^(0 = о(1) при t —> ос. Следовательно, по лемме 3.5.11, l^t^ е 1т. Лемма 3.5.12 доказана.□

Доказательство леммы 3.5.13. Пусть п = 1,...,т. Продифференцируем 1^ п раз:

dt

откуда

п— 1

1^Ч^ = ^°<гкШШг(п-кЧ^Но<ЫЫ"пШ^ =

-о<Гп1х<Ш^ (t^ooY

Поэтому /(0 е 1т. Лемма доказана.□

Доказательство леммы 3.5.14. Заметим, что для произвольного ri Е N

^ In/ = (— V)n-\n — \ Yt-n = o(t-nint) (t —> ос).

Поэтому In t Е I. В силу леммы 3.5.12 ln^ t El. Для In In t имеем:

— Inin/ == o(t-X Inin/) (t —> oo)(41)

dttint

и при m > 1, n = m — 1 согласно формуле (31)

Inin/ = — (/-1 In-1 /) dtm dtn

- <-\Уп\Гп-х In"11 = o(rmWnt) (t oo). (42)

Из (41) и (42) следует, что Inln^e/. Из леммы 3.5.12 следует, что 1п71п^ е /. Лемма 3.5.14 доказана.□

Доказательство теоремы 3.5.3. Если а = 1, то, согласно лемме 3.5.10, теорема 3.5.3 в этом случае справедлива. Пусть а> 1. Положим

l(t)=haU(tY /ДО = ha\lx(tY т = а-\, g(t) = gm(t\

Из леммы 3.5.8 и леммы 3.5.10 следует, что для произвольных h\,... . .. ,hm^N последовательность ^h\,... ЛтЛ^ р.р.с. Из леммы 3.5.1 мы теперь получаем, что и последовательность (^(м)) р.р.с. Теорема 3.5.3 доказана. □

Доказательство следствия 3.5.2. Для 1(f) = 1п^(0

i4t) = pV"4t)/t.

Согласно лемме 3.5.14 функция /](/) = |/?| 1п^ *(/) е /. Кроме того, ясно, что f(f) = о(/(0) при / —> ос. Следствие 3.5.2 доказано.□

Доказательство следствия 3.5.3. Положим L(f) = In Int. Тогда 1(f) = In7 In/ = LptY Заметим, что

m = ^AtW = ^ifpL.

Поэтому

Ш = №"ЧпкгУ\

Из леммы 3.5.12 следует, что 1п-1(0 е/. Лемма 3.5.14 влечет Ь^^ЧЧ € е/. Поэтому согласно лемме 3.5.13 f(f) El. Следствие 3.5.3 доказано. □

Доказательство следствия 3.5.4. Рассмотрим случай а > 0, (3 > 0 (остальные случаи рассматриваются точно так же). Мы имеем

Поэтому

/ДО =/Лп^ 1/InHnZ + yln^/ln7 Чп/~/Лп^ Ч1п71п/ (t —>оо).

Ясно, что /Д/) медленно меняется на бесконечности и /Д/) = о(/(/)) при / —> ос. Заметим, что f(f) = f(f) + f(tY где

0(0 = /Лп^-1 /1п71п/, f(f) = yln^/ln7”1 In/.

Согласно леммам 3.5.13 и 3.5.14 функции f(f) и f(f) принадлежат /.

Поэтому для произвольного п Е N

1^ = ^Ч^ГЧ> = оЧ~п1^

при /—)► оо. Стало быть, /Д/) El. Следствие 3.5.4 доказано.□

Доказательство следствия 3.5.5. Заметим, что

V^ = cpl№fj"4t4t

И

Zi(0 = |^|Z(Oin/3-1(O-

При 3 < 1

^ = ^^-‘(0^0 G^oo).

Поэтому 1(f) медленно меняется на бесконечности. Проверим, что 1(f) 6 е/. Действительно,

ip(f) = 1п/(ехр(0) = ct^3

и для произвольного n^N

^n4b = c(W-n = oW

Поэтому согласно лемме 3.5.11 /(0 е/. Функция /ДО е/ как произведение функций из / (лемма 3.5.13). Следствие 3.5.5 доказано. □

Случайные множества А

В этом разделе мы рассмотрим ситуацию, когда само множество А является случайным. А именно, пусть задана последовательность ((п, п е N) независимых бернуллиевых случайных величин. По этой последовательности построим случайное множество А следующим образом: элемент п е N будем включать в множество А тогда и только тогда, когда ^rt = 1. Для каждой реализации множества А, как и в начале раздела 3.1, введем множество Тп = Тп(А) и случайные величины (пт и (п» п,т е N. Напомним, что Тп есть множество подстановок степени п, длины циклов которых принадлежат множеству А, (пт — число циклов случайной подстановки, равномерно распределенной в Тп, имеющих длину т е А, (п — общее число ее циклов (если Тп оказалось пустым, то полагаем (пт и (п равными нулю).

Положим рп =РЩ = 1},«Е N, pQ = 0. Мы будем предполагать, что при п —> ос

-'Vpt^cr>Q(1)

п <=1

и для каждого фиксированного с > 1

равномерно по т Е [n,cn]. Справедливы следующие аналоги теорем 3.3.1-3.3.3.

Теорема 3.6.1. Пусть выполнены соотношения (1) и (2). Тогда при П —У (X)

n\L(n)Г(сг)

почти наверное ^п.н.\ где

1 п

Цп) = exp(/(n) — a In п\ 1(п) = - У^,

— постоянная Эйлера, Г(-) — гамма-функция.

Теорема 3.6.2. Пусть выполнены соотношения (1) и (2). Тогда для произвольного фиксированного х eR при п^ оо

P{(Gz — Кп^fVoAnn < X | А} —> Ф(х) п. н.,

где Ф(х) — функция распределения стандартного нормального закона.

Теорема 3.6.3. Пусть выполнены соотношения (1) и (2). Тогда для произвольных фиксированных т Е N и k Е N при п оо

т к\ и

Р{Сит ~ 0 | А^ >• 1 Ст 4“ Ст СХр( 1/т^ П. Н.

Теоремы 3.6.1-3.6.3 подтверждают гипотезу, высказанную В.Ф. Колчиным в 1989 г. на семинаре в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН. Гипотеза состояла в том, что в случае одинаково распределенных случайных величин Си, nEN справедливы аналоги теорем 3.3.1-3.3.3. Теоремы 3.6.1-3.6.3 опубликованы в 2000 г. в работе автора [154]. Сформулируем два следствия.

Следствие 3.6.1. Пусть при п^ оо

Рп -л а > 0.(3)

Тогда выполнены соотношения (1) и (2).

При рп = а для всех п Е N отсюда следует справедливость упомянутой выше гипотезы.

Следствие 3.6.2. Пусть В — некоторое фиксированное подмножество множества N асимптотической плотности нуль, т. е. при п —> оо

-\к:к^п, к^В\^0. п

Тогда, если

рп^а>0 при п ею, п Е N\B,(4)

то выполнены соотношения (1) и (2).

Следствие 3.6.1 показывает, что для справедливости теорем 3.6.13.6.3 совсем неважно, как ведут себя числа рп на любом конечном

фиксированном интервале изменения п, достаточно лишь выполнения соотношения (3). Перейдем к доказательству теорем 3.6.1-3.6.3.

Доказательство теорем 3.6.1-3.6.3. В силу теорем 3.3.1-3.3.3 для доказательства настоящих теорем достаточно показать, что при п —> ос

п. н.п. н.(5)(5)

п. н.

п. н.

(5)

(5)

и для произвольного фиксированного с > 1

П.Н.к=П.Н.к=(6)(6)

П.Н.

к=

П.Н.

к=

(6)

(6)

равномерно по т е [п,сп].

Соотношение (5) является непосредственным следствием соотношения (1) и усиленного закона больших чисел для последовательности ^п, n^N. Соотношение же (6), которое не следует из (2) и усиленного закона больших чисел, будет доказано ниже.

Заметим, что в силу (2) соотношение (6) равносильно соотношению

- т) —> 0 п.н.- т) —> 0 п.н.(7)(7)равномерно по т е \п,сп\, гдеХ(&,ш) = ^к^т—к — р^рт_^.равномерно по т е \п,сп\, гдеХ(&,ш) = ^к^т—к — р^рт_^.Далее мы покажем, что для всех п 6 N и т^ п выполнено неравенствоДалее мы покажем, что для всех п 6 N и т^ п выполнено неравенство/ п\6\^=1// п\6\^=1/(8)(8)где с\ = 111-6!. Сначала, пользуясь справедливостью (8), выведем отсюда соотношение (7). Зафиксируем некоторое ее (0,1]. Положимгде с\ = 111-6!. Сначала, пользуясь справедливостью (8), выведем отсюда соотношение (7). Зафиксируем некоторое ее (0,1]. ПоложимА-тд^^А-тд^^оо ос \сп\sc) = riUк=\ п=кт=поо ос \сп\sc) = riUк=\ п=кт=пЗаметим, что для произвольного к е N в силу (8) и неравенства ЧебышеваОО ОООО ОО 3п=кт=пп=кт=п 'Заметим, что для произвольного к е N в силу (8) и неравенства ЧебышеваОО ОООО ОО 3п=кт=пп=кт=п 'и правая часть неравенства стремится к нулю при к —у ос. Отсюда следует, чтои правая часть неравенства стремится к нулю при к —у ос. Отсюда следует, чтоР(Ж>) = о,Р(Ж>) = о,(9)(9)

- т) —> 0 п.н.

- т) —> 0 п.н.

(7)

(7)

равномерно по т е \п,сп\, где

Х(&,ш) = ^к^т—к — р^рт_^.

равномерно по т е \п,сп\, где

Х(&,ш) = ^к^т—к — р^рт_^.

Далее мы покажем, что для всех п 6 N и т^ п выполнено неравенство

Далее мы покажем, что для всех п 6 N и т^ п выполнено неравенство

/ п\6

\^=1/

/ п\6

\^=1/

(8)

(8)

где с\ = 111-6!. Сначала, пользуясь справедливостью (8), выведем отсюда соотношение (7). Зафиксируем некоторое ее (0,1]. Положим

где с\ = 111-6!. Сначала, пользуясь справедливостью (8), выведем отсюда соотношение (7). Зафиксируем некоторое ее (0,1]. Положим

А-тд^^

А-тд^^

оо ос \сп\

sc) = riU

к=\ п=кт=п

оо ос \сп\

sc) = riU

к=\ п=кт=п

Заметим, что для произвольного к е N в силу (8) и неравенства Чебышева

ОО ОООО ОО 3

п=кт=пп=кт=п '

Заметим, что для произвольного к е N в силу (8) и неравенства Чебышева

ОО ОООО ОО 3

п=кт=пп=кт=п '

и правая часть неравенства стремится к нулю при к —у ос. Отсюда следует, что

и правая часть неравенства стремится к нулю при к —у ос. Отсюда следует, что

Р(Ж>) = о,

Р(Ж>) = о,

(9)

(9)

т. е. с вероятностью единица имеет место лишь конечное число событий Атп^Е\ Положим

b = Us(£)-

Через В’ обозначим множество тех элементарных исходов ш, для которых

не стремится к нулю при п —у ос равномерно по т 6 [п,сп]. Покажем, что В = В'.

Пусть а; Е В. Тогда существует £ е (0,1] такое, что щ Е В(е\ иными словами, для произвольного k Е N найдутся такие п^ к и т Е [п,сп], что

> £,> £,

> £,

> £,

стало быть,

-УД1,т)

П л

не стремится к нулю при п —> ос равномерно по т Е [п,сп].

> Е,> Е,Пусть теперь шеВ'. Тогда для произвольного к Е N и произвольного £ Е (0,1] существуют такие п к и т Е [п,сп], что

> Е,

> Е,

П л

т. е. uj Е В. Таким образом, В = В’.

При 0 < £i < £2 ^ 1 справедливо включение В(е^ С B^Y поэтому

B=UB(l/fe)

к=\

и согласно (9) Р(В') = Р(В) = 0, откуда следует (7).

Для доказательства теорем 3.6.1-3.6.3 остается показать, что справедливо неравенство (8). Для этого прежде всего заметим, что

(10)(10)/ п \ ^

(10)

(10)

\4=1/

(для краткости здесь и далее вместо Х(к,т^ пишем Х^\ где

(во второй сумме суммирование проводится по всем I и / от 1 до п таким, что I ^ /),

Х3 = £|М^4^|

(суммирование проводится по всем i,j,k от 1 до п таким, что I ^ /, I ^k, j <к\

Е4 = ^|муу

(как и для S2, суммирование проводится по всем I и / от 1 до п таким, что I ^ /),

s5=e|m%^^|

(суммирование проводится по всем 1,],к от 1 до п таким, что I ^ /, i /k, j/ к\

(суммирование проводится по всем /,/ от 1 до п таким, что I ^ /),

27 = £|мууу|

(суммирование проводится по всем i,j,k от 1 до п таким, что I ^ /, i /k, j/ к\

£8 = 52|м^вд|

(суммирование проводится по всем 1,],кД от 1 до п таким, что I ^ /, i^k, i т^ /, / < к < /),

Х9 = 52|м^2ад|

(суммирование проводится по всем i,j,k,l от 1 до и таким, что i ^ j, i^k, i^l, j^k, j^l, к<1\

х1О = 52|м^ад^ы|

(суммирование проводится по всем i,j,k,l,u от 1 до п таким, что I ^/, i^k, l^l, i^u, j<k<l< и),

^w = ^Wlxixkxlxux0\

(суммирование проводится по всем i,j,k,l,u,v от 1 до п таким, что I < < j < к < I < и).

В силу тривиального неравенства

№KL £=1,...,Щ(Н)

легко получаем, что

S^n3, £=1,...,7.(12)

Оценим Zg. Положим

х811=52|м^ад|,

где суммирование проводится по 1Д,кД тем же, что и в Zg, но дополнительно удовлетворяющим условиям / ^ т — i, / ^ т — ], / ^ т — 1. Нетрудно видеть, что Zgj = 0, так как при указанных условиях случайная величина X/ не зависит от Х3Х3Х^ и МХ/ = 0. Поэтому

^8 ^ ^8,2 + Zg?3 + Zg?4 + Zg?5,

где в суммах Zg^,..., Zg?5 суммирование проводится при тех же условиях, что и в Zg, но при дополнительном условии, что l = m — i, / = т—Д I = т — к, I = т — 1 соответственно. Нетрудно видеть, что

^8,2 ^ Zg < И3, Zg,g < Z5 < Л3, Zg?4 < Z5 < Л3.

Наконец, в силу (11)

п

Е8,5< 52 |м^^т/2|</г3,

(при нецелых а мы полагаем Ха = 0). В результате получаем неравенство

S8^4n3.(13)

Далее оценим Zg. Для этого заметим, что

х9,1=52|щ2^м|’

где суммирование проводится по 1Д,кД тем же, что и в сумме Zg, но при дополнительных условиях, что I ^m — i, / 7^ т — j, I Д^т — к, / ^ т — — I, равна нулю, так как при этих условиях Х[ не зависит от Х^Х^Х^ и МХ/ = 0. Поэтому

Zg < Zg?2 + Zg?3 + Zg?4 + Zg?5,

где в суммах Zg?2,..., Zg g суммирование проводится по тем же 1Д,кД^ что и в Zg, но при дополнительном условии, что l = m — i, l = m—j,

I = т — к, I = m — l соответственно. Нетрудно видеть, что

Eg,2 Eg < ^3, ^9,3 ^ 5g < ^Ё ^9,4 Еу ^3,

S9,5< Ё |мЛ2^Л/2|<«3-

0/Л=1

Объединяя эти оценки вместе, получаем

S9<4»3.(14)

Как и выше, сумма

х10,1 = У2|м^ад^|,

где суммирование проводится по i,j,k,l,u тем же, что и в сумме Ею, но при дополнительных условиях, что и ^ т — I, и ^ т — j, и ^ т — к, т — Ц и^ т — и, равна нулю. Поэтому

^ю ^10,2 + ^10,3 + ^10,4 + ^10,5 + ^10,6,

где в суммах Ею,2, • • • Ею,6 суммирование проводится по i,j,k,l,u тем же, что и в Ею, но при дополнительном условии, что и = т — I, и = т— j, и = т — к, и = m — l, и = т — и соответственно. Ясно, что

53 ю,2 ^ Eg < 4м3

и при t = 3,4,5

Ею,t ^ 5д < 4м3.

Заметим, что

Хю,б = 52|м^уад^т/2|=о,

так как в условиях суммирования j < к < I < mil, i ^ m/2 и поэтому

MX^XjXfeXiX^ = МХ?Х1ХкХ(МХт/2

и

мх3 = МХк = MXZ = 0.

Из трех индексов j,k,l только один может равняться I и один равняться m — i, а случайная величина с третьим из этих индексов будет независима от всех остальных и ^ЛХ^Х3ХД будет равно нулю. Объединяя эти оценки, получаем, что

S10 4и3+ 3-4и3 = 16и3.(15)

Остается оценить Еп. Прежде всего заметим, что сумма

Ец,1=52|МХ;ХуЗДад|,

где сумирование проводится по всем i,j,k,l,u,v от 1 до п таким, что I < j <к <I< и <и и и ^m — i, v ^m—j, v Д т — к, v/m-l, v/m-u, и m — u, равна нулю. Стало быть,

7

Su < ^Sn.,

t=2

где в суммах Нид,..., Нид суммирование проводится по тем же i,j,k,l,u,v, что и в сумме Иц, но при дополнительном условии, что v = т — I, v = т — j, v = m — k, и = т — I, и = т — и, и = т — и соответственно. Ясно, что

ИцИю 16/7^, t = 2,...,6.

Заметим также, что

S11,7 = 521I = о

(суммирование проводится по всем i,j,k,l,u от 1 до п таким, что i < j < <к <I< и < mil}, поскольку

MXt = МХу = МХк = MX/ = МХи = 0,

и случайные величины ХьХрХкДыХи,Хт^ независимы в совокупности, так как сумма любой пары индексов из \1ДЛД,и\ меньше т. В результате получаем оценку

Sn<80n3.(16)

Объединяя оценки (10) и (12)-(16), получаем, что

М НХЧ ^6!n3(7 + 4 + 4+16 + 80) = 6!-llln3.

\^=1 /

Теоремы 3.6.1-3.6.3 доказаны.□

Глава 4

БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

4.1. Вероятности больших уклонений

В этом и следующем разделе мы будем предполагать, что случайная величина (с.в.) имеет безгранично делимое распределение*.

Me = exp I i^t— +

eltx - 1 - G<dx^ .1 + х /

где G(dx) — ее спектральная мера Леви [95, разд. 2.2, соотн. (2.12)] на (—ос,0) U (0, ос) (возможно, неограниченная в окрестности нуля), причем конечны интегралы

x2G(dxYx2G(dxYG<dx\G<dx\G(dxYG(dxY

x2G(dxY

x2G(dxY

G<dx\

G<dx\

G(dxY

G(dxY

а ^ 0, у — некоторое действительное число, переменная t Е (—ос,ос). Здесь изучается асимптотика вероятности Р{^ > ^} при t -л ос, выраженная в терминах спектральных функций

G(dxY ^>0.

Нижеследующие три теоремы и их следствия являются основными результатами этого раздела. Сформулируем их.

Теорема 4.1.1. Пусть

т. е. q^ мажорируемо меняется на бесконечности 9. Тогда ) при t —> ос

P^>t^q(tY

5 См. замечание 1.6.1.

Следствие 4.1.1. Пусть q(f) слабо осциллирует на бесконечности, т. е. при t оо, r/t -л 1 отношение q(T)/q(t) -л 1. Тогда

Р{£ > 0 = (i+°(i)MO пРи t^oo.

Теорема 4.1.2. Пусть М|^| < оо, выполнено (1) и при некотором а > 0 у функции q^ существует непрерывная производная q\t\ вогнутая на множестве [а,оо). Тогда при t оо

PU>0 = qW-WCHo(qW/tY

Следствие 4.1.2. В условиях теоремы 4.1.2

Р{^ > 0 = ^(0+ ^(^(0/0 ^ри t^oo.

Следствие 4.1.3. Пусть М|^| < оо, q^ правильно меняется на бесконечности с показателем -а Е (-оо,-1) и qM^ не возрастает при t ^ а. Тогда при t -л оо

Р^ > Л = 7(0 + « ^ЫШ + о^ЛУ

Теорема 4.1.3. Пусть q^ правильно меняется на бесконечности с показателем —а Е (—1,0] и при некотором а > 0 у функции q^ существует непрерывная производная ф^1\ вогнутая на множестве [я,оо). Тогда при t -л оо

+ о(72(0),+ о(72(0),4(0 Г / х ,

+ о(72(0),

+ о(72(0),

рщ)аи

о

где Г(-) — гамма-функция Эйлера.

Следствие 4.1.4. Пусть выполнены предположения теоремы 4.1.3 и р^ интегрируема по Лебегу на множестве [1,оо). Тогда при оо

Отметим, что при а = 1/2 второй член в последних двух асимптотических формулах равен нулю.

Изучению асимптотики безгранично делимых распределений на бесконечности посвящено большое количество работ: [1-3, 5, 53, 50, 52, 70-74, 134, 108, 109, 147, 150, 156, 160, 161, 165, 195, 196, 209211, 223, 232, 263, 268, 290]. Отметим некоторые, наиболее характерные результаты. В 1961 г. В.М. Золотарёв показал, что, если ^>0 и q^ правильно меняется на бесконечности, то Р{^ > ^} ^ q^ (t —> оо). В статье И. Эмбрехтса, Ч.М. Голди и Н. Веравербеке [195] найдено необходимое и достаточное условие для того, чтобы Р{^ > ^} ^ qW (^^оо). Оно состоит в су б экспоненциальности распределения с.в. ^. Субэкспоненциальные распределения были введены в 1964 г.

В. П. Чистяковым [139] и в дальнейшем получили приложения в теории ветвящихся процессов, теориии массового обслуживания, теории восстановления, теории безгранично делимых распределений. Напомним, что распределение с.в. ^ называется субэкспоненциальным, если

\-F*F^

>2, t —> ос,1-^(0

где F^ — функция распределения с.в. (более подробные сведения о субэкспоненциальных распределениях см. в книге энциклопедического характера [181]). В работе М.С. Сгибнева [109] рассмотрен случай, когда последнее отношение стремится к произвольной постоянной (так называемые распределения экспоненциального типа — введены в 1973 г. Ж. Човером, П. Неем и С. Вэйнджером в работах [185, 186]). Отметим, кстати, что из (1) не следует субэкспоненциальности распределения с.в. ^.

Пусть положительная убывающая функция т^ такова, что

t

— т^1 — s)dr(s) = О(т^\ t —> oc;

о

в работе P. Грубеля [209] показано, что

PR > R = 0(7(0) q(H = 0(7(0), t oo,

при этом знак «О» можно заменить на «о».

Оценка для интеграла разности между Р{^ > ^} и q^ получена В.М. Золотарёвым [53]. Оценки для разности между Р{^ > О и q^ содержатся также в статьях Р. Грубеля [210, 211], А. Балтрунаса и Е. Омея [172], А. Балтрунаса и А.Л. Якымива [5], А.Л. Якыми- ва [155]. В книге В.М. Круглова [75, теор. 6.3] показано, что, если Р — безгранично делимое распределение в гильбертовом пространстве с мерой Леви G, то следующие соотношения равносильны:

inf{^: t > 0, G(^x; ||х|| > 0) = 0} = у

И_ Ит 1пР({х: ||х|М}) = £

^оо ПпС+1) у

Случай, когда мера Леви безгранично делимого распределения сосредоточена на конечном множестве, рассмотрен в литературе достаточно подробно. Наиболее общие результаты здесь получены В. М. Кругловым и С. Н. Антоновым ([2, 3]). В настоящем кратком описании мы не претендуем на полноту обзора по данной тематике. Некоторые вопросы асимптотики безгранично делимых распределений на бесконечности затронуты в книге Кен-Ити Сато 1999 г. [232, гл. 5, разд. 25 и 26]. Теоремы 4.1.4-4.1.3 доказаны в работе автора [147].

7 А. Л. Якымив

Перейдем к доказательству теорем 4.1.1-4.1.3 и их следствий. Введем некоторые обозначения:

7(0 = РЦ<Д 7(0 =1-7(0,

q\(H = "ЯСУ Q(H = q(0Vq(Hat

(если g(0) < ос), r^ = q^ при t > 0 и r^ = 0 при t = 0,

In = tnq^dt, п = 0Д,2,...,

о

h^ = q^/t2, если /о < ос и h^ = q^W/t в противоположном случае; п- ю производную функции {^ будем обозначать f^O полагая f^\t) = = f(t\, Гп^ есть п-я свертка функции г^ с собой: r\^ = r(t) и при п > 1

t

rnW = rn_\(t — u)dr(u\ ОО.

о

Преобразования Лапласа и Лапласа-Стилтьеса функции /

e~tXf{t)dt и e~tXdf(t)оо

будем обозначать /(А) и /(А) соответственно.

Перед доказательством теорем 4.1.1-4.1.3 сформулируем и докажем несколько лемм.

Лемма 4.1.1. Пусть существует такое а > 0, что q^ = q^aY (t е [0, а\) и q^ е С1 \а,ос). Тогда для всех n^N

г„^ = ШУ Се(0,Л), r„(0 € С* [а,оо),

причем при t Е \а, ос)

t

гю = q(^K~ 1 (0 - q\ ЧУп-1 (0 - г-1У - uKqv («) - q\(0) du.

о

Лемма 4.1.2. Пусть выполнено (1) и ^(0) < ос. Тогда существует такая константа с < оо, что для всех О0 и п Е N

\rn{t)\^cnq(t).(2)

Лемма 4.1.3. Пусть выполнено (1) и qH(t) не возрастает при достаточно больших t. Тогда величины t2qn(t) и tq’^ суть O^t^ (t ос).

Лемма 4.1.4. Пусть для некоторого а > 0 выполнено равенство q^ = q^aY t е (O,6z], q^ 6 Сх\а,ос\ q’^ вогнута на множестве \а, ос) и выполнено одно из следующих предположений:

Д) /0 = ос и q^ правильно меняется на бесконечности;

) /0 < ос и справедливо (1).

Тогда найдется такая константа b < оо, что для всех £ > О, п> 1

\г'п<ь\^ьпкс\(3)

Лемма 4.1.5. Пусть выполнено (1). Тогда для всех i,j ^0 при А^О

^(А^А) = О (|^+/+1)(A)|) ,

причем символ «О» в последнем выражении можно заменить на «о», если //+/+1 = оо.

Лемма 4.1.6. Пусть выполнено (1) и набор неотрицательных целых чисел /ь ..., 1п таков, что

п

Yj4 = п./=1

Тогда при А О

П ((A^(Л))(/>)г, =0 (|^<и-1>(А)|) .

причем символ «О» в последнем выражении можно заменить на «о», если 1п = 0 и 1п_\ = оо.

Лемма 4.1.7. Пусть выполнено (1) и Iq < оо. Тогда для всех ij Е N

^(А)^(А) = о(|^(А)|) (А;о),

причем символ «О» в последнем выражении можно заменить на «о», если Ii+j = оо.

Доказательство леммы 4.1.1. При п = 1 утверждение леммы справедливо. Допустим, что оно верно и для п — 1, где п > 1. Так как

nltWOY rn_v^ = (qW'

при t Е (0,6z], то

t

rXb = rn_v(t-uWv(ib = r„_i(O^(O) = 0(0))"

о

при t е (0, а]. Далее, при t > а получаем

гЛН = — I qWn-\4V r„_vy-uyv(u)du dt \

\0.

= qWn-1 (О - q\ Wn-1 («) - г'п_] У - иУ\(и) du,

откуда

^(0 = q(9K_! (О - qx <tyn_ 1 (0 + Сп-1 (0 - Гп-1 У)У[ (О -

- ^_i(^ - u^q^u^du =

= q(OK-1 (О - Q\ Wn-1 (0 - г'п_!У - uyqx (u) - qx (0) du.

Лемма 4.1.1 доказана.

Доказательство леммы 4.1.2. Заметим, что

□

q(t — u^dQ^ = q(t — u^dQ^ + q(t — u^dQ^ <

ооУ2

qC^WHq^yqC/^ - q(t4 < 2q(0y(t/2).

Положим c = max(l,g(0)+ ci), где

ci = sup q(t — u)dQ(u)/q(tY

0

Согласно проведенным выше оценкам с < оо. Докажем по индукции, что выполнено соотношение (2). При п = 1 оно справедливо. Если п > 1 и (2) выполнено для п— 1, то

kJOI =

t

q<0yn_\4V rn_v(t-u)dQ(u')

о

t

у q(yyn~{q(t) + cn~{ q(t - u)dQ(u) У cn~l(q(O) + ci)q(t) = cnqO

o

для всех t У 0. Лемма доказана.

□

Доказательство леммы 4.1.3. Утверждение леммы следует из цепочки неравенств

2^

3^

q^ qx{u)du tqx(2t) t q"(u)du t2q"(3t)

2t

и того, что q(f) х q(2f) х q(3f) при t -л ос.

□

Доказательство леммы 4.1.4. Заметим, что константы, определяемые выражениями

(t— а\

h(t — u)(qx(u) — qx(t)) du/h(t) I , о/

c3 = sup(|r2(0|/A(0), Q = sup(<7(O9i(O/A(O),

t^at^a

конечны. Действительно, при t > 2a

t/2

t/2

0 < h(t - u^qx^ - q\^du < Л(^/2) qx^du = O(Xt\) (t —> oo).

о

Далее, согласно лемме 4.1.3

t/2

:t/2

h^t — u^qx^ — qx(d)^du < ^"(^/2) uh^u^du =

о

= O(q(t)/t2) uh(u)du = O(h(t)), (5)

поскольку в случае В

ЦВ) = uh^du = q2(u)du <. q(0) q(u)du = O(tq(t)) (^^oo),

а в случае А величина J(t) = 0(1) при t oo. Из соотношений (4) и (5) следует конечность С2. Далее, при t > 2а

r2^ = ~ I- u^du

dt \J

t

= -2^(0)^i(0+ qxkt-u^qx^du,

о

откудаоткуда^(0 = 2^(0 = 2У 2qx(u)qx(t — и) du — qx(t)оУ 2qx(u)qx(t — и) du — qx(t)о(У241 (uKqx (t-u)- qx (0) du - qx (t)q(t/2) о.(У241 (uKqx (t-u)- qx (0) du - qx (t)q(t/2) о.Из полученного выражения и леммы 4.1.3 следует, чтог2'(0 > -q\ (t}q{t/2} - O(q4n/4 = O(h(t))Из полученного выражения и леммы 4.1.3 следует, чтог2'(0 > -q\ (t}q{t/2} - O(q4n/4 = O(h(t))при ^ —> ос, а также, чтопри ^ —> ос, а также, чтоr^2q'W)r^2q'W)42uqx(u)du = О о42uqx(u)du = О оq^duо .q^duо .= O(A(0)= O(A(0)(6)(7)(6)(7)при ^ ^ оо. Соотношения (6) и (7) влекут конечность с^. Далее, по лемме 4.1.3q<4q\(0 = о(<?2(0/0 Ч оо),откуда следует, что С4 < оо. Положимb = max(c,g(o) + c2 + 0, VcD-Докажем, что неравенство (3) справедливо для всех п > 1. При п = 2 оно следует из конечности eg и неравенства с^ Ь. Если п > 2 и для п— 1 (3) имеет место, то согласно лемме 4.1.1 и лемме 4.1.2при ^ ^ оо. Соотношения (6) и (7) влекут конечность с^. Далее, по лемме 4.1.3q<4q\(0 = о(<?2(0/0 Ч оо),откуда следует, что С4 < оо. Положимb = max(c,g(o) + c2 + 0, VcD-Докажем, что неравенство (3) справедливо для всех п > 1. При п = 2 оно следует из конечности eg и неравенства с^ Ь. Если п > 2 и для п— 1 (3) имеет место, то согласно лемме 4.1.1 и лемме 4.1.2№1 =№1 =tq(0K-1 (0 - q\УК-1 (0 - г_] (t - u)(qi (u) - qx C»du0tq(0K-1 (0 - q\УК-1 (0 - г_] (t - u)(qi (u) - qx C»du0tCqlOXV^M^+c^qMMtH \rn-4t-u)\(qi(u)-qi(t))du.0tCqlOXV^M^+c^qMMtH \rn-4t-u)\(qi(u)-qi(t))du.0Отсюда, учитывая индуктивное предположение, получаем:Отсюда, учитывая индуктивное предположение, получаем:tК(0|q(O)bn-X h(t) -\- сп-х C4h(t) -\- bn-x h(t - u)(qx(u) - qx^du,0tК(0|q(O)bn-X h(t) -\- сп-х C4h(t) -\- bn-x h(t - u)(qx(u) - qx^du,0

откуда

откуда

^(0 = 2

^(0 = 2

У 2

qx(u)qx(t — и) du — qx(t)

о

У 2

qx(u)qx(t — и) du — qx(t)

о

(У2

41 (uKqx (t-u)- qx (0) du - qx (t)q(t/2) о.

(У2

41 (uKqx (t-u)- qx (0) du - qx (t)q(t/2) о.

Из полученного выражения и леммы 4.1.3 следует, что

г2'(0 > -q\ (t}q{t/2} - O(q4n/4 = O(h(t))

Из полученного выражения и леммы 4.1.3 следует, что

г2'(0 > -q\ (t}q{t/2} - O(q4n/4 = O(h(t))

при ^ —> ос, а также, что

при ^ —> ос, а также, что

r^2q'W)

r^2q'W)

42

uqx(u)du = О о

42

uqx(u)du = О о

q^du

о .

q^du

о .

= O(A(0)

= O(A(0)

(6)

(7)

(6)

(7)

при ^ ^ оо. Соотношения (6) и (7) влекут конечность с^. Далее, по лемме 4.1.3

q<4q\(0 = о(<?2(0/0 Ч оо),

откуда следует, что С4 < оо. Положим

b = max(c,g(o) + c2 + 0, VcD-

Докажем, что неравенство (3) справедливо для всех п > 1. При п = 2 оно следует из конечности eg и неравенства с^ Ь. Если п > 2 и для п— 1 (3) имеет место, то согласно лемме 4.1.1 и лемме 4.1.2

при ^ ^ оо. Соотношения (6) и (7) влекут конечность с^. Далее, по лемме 4.1.3

q<4q\(0 = о(<?2(0/0 Ч оо),

откуда следует, что С4 < оо. Положим

b = max(c,g(o) + c2 + 0, VcD-

Докажем, что неравенство (3) справедливо для всех п > 1. При п = 2 оно следует из конечности eg и неравенства с^ Ь. Если п > 2 и для п— 1 (3) имеет место, то согласно лемме 4.1.1 и лемме 4.1.2

№1 =

№1 =

t

q(0K-1 (0 - q\УК-1 (0 - г_] (t - u)(qi (u) - qx C»du

0

t

q(0K-1 (0 - q\УК-1 (0 - г_] (t - u)(qi (u) - qx C»du

0

t

CqlOXV^M^+c^qMMtH \rn-4t-u)\(qi(u)-qi(t))du.

0

t

CqlOXV^M^+c^qMMtH \rn-4t-u)\(qi(u)-qi(t))du.

0

Отсюда, учитывая индуктивное предположение, получаем:

Отсюда, учитывая индуктивное предположение, получаем:

t

К(0|q(O)bn-X h(t) -\- сп-х C4h(t) -\- bn-x h(t - u)(qx(u) - qx^du,

0

t

К(0|q(O)bn-X h(t) -\- сп-х C4h(t) -\- bn-x h(t - u)(qx(u) - qx^du,

0

или же

< /1(0 ^(О)^-1 +С4С"”1 +С2&"-1)

□□< /г(/)6”-1(<7(О) + с4 + с2) < bnh.CY

□

□

Лемма доказана.

Доказательство леммы 4.1.5. Заметим, что

где

X

/(х) = ulq(u)(x — иУ q(x — u)du, х > 0.

о

В силу (1) справедлива следующая цепочка неравенств:

У2t

и1 q(u)(t — и)3q(t — и)du < dq^t^ ulq{u)du =

оо

\

ulq(u)du/tl+x | = tl^^xq^o^

о/

при t -л ос. Используя точно такие же оценки для интеграла по промежутку от ^/2 до У убеждаемся в том, что

I<tVo<tl^xq^ (t^ooy

откуда следует утверждение леммы.□

Доказательство леммы 4.1.6. Заметим, что для произвольного / е N

(Xq(X^n = ^'"'ЧХНX^W = О ^"'ЧХ^ при А^О.

Дальнейшее следует из леммы 4.1.5.□

Доказательство леммы 4.1.7. Справедлива следующая оценка:

ulqy^du/tl.0ulqy^du/tl.0(8)(8)У2

ulqy^du/tl

.0

ulqy^du/tl

.0

(8)

(8)

ulq(u)(t — uyq(t — u^du^ tl+jq(t/2) о

Заметим, что в предположениях настоящей леммы

t

(9)(9)ulq{u)du = o(tly t -л ос.

(9)

(9)

о

В самом деле, для произвольного £ Е (0,1)

q^duq^duq^du ^q^du ^

q^du

q^du

q^du ^

q^du ^

q^duA- q^du.

0te

Так как /о < ^^ то отсюда следует, что

limsuplimsup- ) qiu^du ^ е1 t )- ) qiu^du ^ е1 t )q^du.оq^du.о

limsup

limsup

- ) qiu^du ^ е1 t )

- ) qiu^du ^ е1 t )

q^du.

о

q^du.

о

Стало быть, в силу произвольности е, справедливо соотношение (9). Из (1), (8) и (9) следует, что

ulq(u)(t — u^q^t -u)du = o (tl+3q(t^, t —> oo.

о

Используя точно такие же оценки для интеграла по промежутку от ^/2 до С убеждаемся в том, что

t

ulq(u)(t — u^q^t — u)du = о q^t^ , t -л ос. о

Утверждение леммы 4.1.7 следует из последнего асимптотического соотношения.□

Доказательство теоремы 4.1.1. Положим

Ф(0 = (1 — ехр(—0)А t > 0,Ф(А) = Ф(А^(А)), А > 0.

Без ограничения общности [135, разд. XVII.4] будем считать, что ^>0 и ^(0) < ос. В этом случае, считая, что сдвиговая постоянная равна нулю, получим

Ме-Л^ = ехр|- (1 -е-Хх) G(dx) J V А > 0,\ о/

откуда

7(A) = (1 - ехр(-А^(А)))/А = Ф(А?(А))?(А) = Ф(А)^(А).(10)

Из определения функции Ф(х) вытекает, что для каждого натурального т

при ио.(II)

Далее, при т Е N

т

TW = ^cyfe4xWm-k4xY(12)

^=0

Пользуясь формулой (0.430) из [35] для m-й производной от сложной функции, получаем, что

фИ(А)= £ ф№(А1?(А))С(^...^]^(13)

где суммирование ведется по всем упорядоченным наборам целых неотрицательных чисел о,..., im, удовлетворяющих условию

т

причем т

а С(0,... Д^ — некоторые постоянные. Отсюда с учетом (11) и леммы 4.1.6 получаем, что

Ф(т)(А) = о(|^т-1)(А)|) при А;о(14)

для каждого т е N. Возьмем М Е N такое, что 1м = оо. Зафиксируем произвольное п^М. Из (12) и (14) следует, что

r<n)(A) = Ф(АЦ(П)(А) + О ( ^ |^А-°(A)^<"-6)(А) |

при А^О. Поэтому согласно лемме 4.1.5 и соотношению (11)

7Ща) = ф(А))?Ща)+о(|4Ща)|) ^1+<Ч1)ЦЩа) при а;о.

Воспользовавшись тауберовой теоремой 1.6.2, получаем требуемое.

Теорема доказана.□

Доказательство теоремы 4.1.2. Предположим сначала, что для некоторого а > 0 G((—оо,а]) = 0. Тогда справедливо (10). Положив р(А) = 7(A) — q(X) и ^(А) = (1 — ехр(—А) — А)/А, перепишем (10) в виде

(15)(15)ЦА) = ^(АЦ(А),

(15)

(15)

где

<А) = ^(А£(А), А > 0.(16)

Для cp(t) верны следующие соотношения:

pW = -t/2 + oW, ^тЧЧ = ^^ + оО), t^O (17) пт + 1

при фиксированном mEN. Поэтому в силу (16) и (17) при А^О

Ш) = -у(1+о(1)),(18)

/(А) = ^АШ)МАШ))' = -|(1+о(1))-(19)

где Д = М^. Пользуясь формулой (0.430) из [35] для m-й производной от сложной функции, получаем, что

^тЧХ)= Еу^Ж-.^Щ^(20)

где константы С^ц,... Jm^ и условия суммирования те же, что и в формуле (13). Учитывая (17) и лемму 4.1.6, отсюда получаем, что для каждого т eN

^"ЦА^О^-ДА)]) при д;о.(21)

Пусть М Е N таково, что 1м-\ = оо. Зафиксируем произвольное п ^ ^ М. Полагая в (20) т = п, воспользовавшись (17) и леммой 4.1.6, заключаем, что при А^0

W = у'(А^А)) ■ (A5(A))W +0 (^"-ДА)!)(22)

(так как С(0,... ,0,1) = 1). В силу (21) и леммы 4.1.7 при А О р^Чх^^с^Чх^Чх^ ^=0

= ^(Х)^(А) + +п^(XWn"°(А) + Ф№(А)^( А) + о (|q(n"1)(А) |, откуда с учетом соотношений (18), (19) и (22) следует, что

^(А) = _^W(A)(1 +о(1)) - ^"ДА) - |(A?(A))W +

+ о(|^-1)(А)|) =

= -Л(А^(А))(п)+о(|7("-1)(А)|) при АфО.(23)

Положим

fm = TW-q(b-Wm, g(t) = q(t)/(t+V), t^O.

Из (23) вытекает, что

?(А) = 0(|^(А)|) при АфО.(24)

Из цепочки равенств

F(A) = ехр(-А^(А)) = ^-Xq^/k'. =

= £(-ЦА))> = £(-1)^0)/*!

^>0^>0

следует, что

TW-qW = '£r-^-(-l)k+X.(25)

Поэтому согласно лемме 4.1.3 и лемме 4.1.4

f4b = O(g(tW t^oo.(26)

Исходя из соотношений (24) и (25) и пользуясь теоремой 1.6.3, убеждаемся в справедливости теоремы 4.1.2 в рассмотренном частном случае. В общем случае распределение ^ можно представить [135, разд. XVII.4, пункт г)] в виде распределения суммы трех таких независимых случайных величин т, —Ti и т2, что для произвольного т > 0

Р{|т2|>^ = о(Г^), ^оо,(27)

а случайные величины г > 0 и п 0 имеют спектральные функции ^(max(^,6z)) и р(шах(^,(2)) соответственно. Положим и = Т2~ тц Так как Ti > 0, то из (26) следует, что для произвольного т Е N

P{z/>^} = о(Гту t^oo.(28)

В силу только что доказанного при t —> оо

Р{т > ^ = q(t) + Мт^1 (0 + O^HY(29)

Положим R^ = Р{т > ^} и Н^ = P{zv < Q. Заметим, что

Р{т + v > ^ - Р{т > ^ + MR(t -vV R(t) =

= (R(t -и)- R(t)) clH^ -Ty^T^T^

где 71, 72 и 73 - интегралы по множествам (—оо,— Vt\ \—Vt,Vf\ и (V^oo) соответственно. Согласно (29)

-Vi-Vi

7i = (R(t - и) — R(t)) dH (и) =(q(t -и)- q(t))dH(u)4o(q(t)/t)

при t —> ос. Так как при и < 0 разность q^ — q^t — и) положительна и не превосходит |^|^i(0> то из полученной оценки следует, что 71 = о(д(0/0 при t —> оо. Далее,

(R(t-u)-WNH(u)

< dH^u) = P{z/ > Q = o(q(f)/f) при t —> oo

V?

согласно (28). С учетом (29) для 72 можно выписать следующую оценку:

72 = (q(t -и^- q(t\)dH(u) + Мт (q\(t -и)- ^i(O) dH (и) + o(q(f)/f)

при t —>► оо. Заметим, что

\qx(t - и) - qx(f)\dH(u) < qr\t-Vi^ \u\dH^u\

—Vi

Последнее выражение по лемме 4.1.3 есть o(q(f)/f) при t —>ос. Поэтому по теореме о среднем для некоторого 6 е [—1,1], зависящего от t,

Vi

Тч = q\^tA-9Vt^ udH(u)A-o(q(f)/f) = q\(t-\-OVi)VAv-\-o(q(t)/tY t —> oo.

-Vi

Стало быть, при t —> oo

T2 = 7i(0Mz/ + o(<7(0/0.

так как согласно лемме 4.1.3

\q\C-V9VtX -<?i(0l ^ Vtq'\t-VtX = O(VF</(0/^2) = °(<?(0/0, t "^ °°-

Из (29) и (30) с учетом оценок для Тх, Т^ и 7g получаем, что

Р{т + 1/ > ^} = ^(0 + M(t + z/)^i(0 + o(^(0/0» оо-

Теорема доказана.□

Доказательство теоремы 4.1.3. Воспользуемся обозначениями, принятыми при доказательстве теоремы 4.1.2. В случае, когда G((—ос,а]) = 0, из соотношений (15)—(17) и (19) находим, что

p'W = 9Р'(А?(А))(А?(А))'?(А) + 7(А?(А))?'(А) =

= -^((A1^)№)(1 +о(1)) - А1ЮГОЮ =

= XqWq'W- ^2О)+о(^2(А» при л 4.0.

Отсюда следует, что при t = 1/А

/(А) = -Г(1 - ск)Г(2 - a^fq2^ + “Г2(1 - a^fq2^ + о Q2q2(t^ =

= ^Г2(1 -о^О -2o^V(0 + o^ =

= Tf'(A) + o(|f'(A)|) при А^О,

где

Г(1—а)(1—2а)2Г(2 —2а)‘

Стало быть, для функции /(О = Т ^t) — q(t) — ^g^t) имеем

?(A) = o(|g'(A)|) при А 4,0.

Из представления (25), леммы 4.1.3 и леммы 4.1.4 следует, что

f4n = o<g<tw t^oo.

Отсюда с учетом теоремы 1.6.3 и замечания 1.6.1 следует справедливость теоремы в рассмотренном частном случае. Далее, разделим интеграл в (30) на интегралы JxJsJs по промежуткам (—ос,0), [О, V^] и (V^oo) соответственно. /3 оценивается точно так же, как и 7g. В силу неравенства

О < q2(t - и) - ^2(0 < q(t - VtKq(t -и)- ^(0),

справедливого при 1 и и < Vt,

xft

h= (<?(^-u)-^(0)^(u) + o(^2(0) = о

Далее,Далее,= 0 ^i(0\ о= 0 ^i(0\ оudH(u) + оudH(u) + о

Далее,

Далее,

= 0 ^i(0

\ о

= 0 ^i(0

\ о

udH(u) + о

udH(u) + о

о

Л =Л =^1 — и) — q(tV) dH(и) А- о

Л =

Л =

= - qx(t А- и)Н (-u)du А- о yqp

о

Положим Qi(0 = P{ti > Q. Так как при t —> оо

H(-t) = Qi(tHo

то

Л = -Л = -qx^t A- u^Qx^du А-оqx^t A- u^Qx^du А-о

Л = -

Л = -

qx^t A- u^Qx^du А-о

qx^t A- u^Qx^du А-о

о

Последнее выражение есть о (д2(0) ПРИ ^ ^ ^^ если Mri < ос. Рассмотрим случай Mti = ос. Во-первых,

qx^t A-u^Qx^ du ^ qx^ Qx(u)du = qx(t) p(u)du(\ + o(l)),

ооооо

о

о

о

о

Во-вторых,

qx(t A-u)Qx(u)du < Qi(0 qx(tA-u)du =

= Qx^q^tnqAriО= Qx^q^tnqAriОQx^du.Qx^du.

= Qx^q^tnqAri

О

= Qx^q^tnqAri

О

Qx^du.

Qx^du.

Поэтому при ^ —> ос

□□/1 = О I ^^ p(u)du j +о ^2(0^ •\ о /

□

□

Полученные оценки завершают доказательство теоремы.

Приведем пример, когда /(f) = Р{^ > ^} ^ q^t\ но /(f) ^ q(f) при t —> ос. Положим q^ = 1Д при t е (0,1), q^ = 2-п при t е [2rt,2rt+1),

п 0. Ясно, что q^t^q^t^ ^ 2 при ^ 1, так что выполнено условие (1). Поэтому /(0 ~ q^ (t —> ос). Предположим, что f(t) q^ при t —> ос. Тогда существует b ^ 1 такое, что при t^b

q^KtH-qW.(31)

44

Выберем п так, чтобы 2rt-1 ^ b и положим т = 2п. Мы имеем согласно (31):

-2-^КтИ-^п.(32)

44

При е е (0,2/?) в силу (31)

^-(„-d52_(„_])(33)

44

Из (32) и (33) следует, что

444

Последнее соотношение противоречит непрерывности функции / в точке т. Иными словами, f(f) q(f) при > ос.

Тауберовы теоремы при исследовании асимптотических свойств устойчивых и, в частности, гауссовских процессов и сходимости к ним применяли Й. Касахара, Н. Коно, Н. Косуги, Т. Огава [230, 231, 236], И. Л. Гелук, Л. Пенг [206], П.Д. Фейгин, Э. Ящин [200], В. В. Ли, К.-М. Шао [238], М. Брониатовски, А. Фукс [183], А. Янссен [225].

Асимптотика плотности на бесконечности

Пусть с.в. ^ имеет безгранично делимое распределение со спектральной мерой Леви G^dx\ т. е. справедливо представление характеристической функции ^, данное в начале раздела 4.1. В данном разделе мы занимаемся поиском асимптотики на бесконечности функции

a t

(в предположении, что последняя производная существует при t > 0). Здесь получены следующие две предельные теоремы.

(1)(1)Теорема 4.2.1. Пусть мера G(dx) ограничена и обладает непрерывной на [0, ос) плотностью g^x\ существует а > 0 такое, что функция b^ = tg(f) не возрастает при t а,

(1)

(1)

limsup< ос,^оо g(20

т. е. g(t) мажорируемо меняется на бесконечности 9 и для произвольного А > 1т. е. g(t) мажорируемо меняется на бесконечности 9 и для произвольного А > 1hmsup< 1,t—>00 ^(0hmsup< 1,t—>00 ^(0(2)(2)где г^ = бф,оо)), t > 0. Тогда 2) при t сюгде г^ = бф,оо)), t > 0. Тогда 2) при t сюKt^g(t\Kt^g(t\(3)(3)Теорема 4.2.2. Представим меру G в виде G = Сд4-Св, где Сд — ее абсолютно непрерывная часть, и пусть g^ — плотность меры Од. Предположим, что для всех n^NТеорема 4.2.2. Представим меру G в виде G = Сд4-Св, где Сд — ее абсолютно непрерывная часть, и пусть g^ — плотность меры Од. Предположим, что для всех n^NHGbV^ < сю,HGbV^ < сю,(4)(4)существуют в > 0 и а> в такие, чтосуществуют в > 0 и а> в такие, чтоgW^rv vze(0,E],gW^rv vze(0,E],(5)(5)

т. е. g(t) мажорируемо меняется на бесконечности 9 и для произвольного А > 1

т. е. g(t) мажорируемо меняется на бесконечности 9 и для произвольного А > 1

hmsup< 1,t—>00 ^(0

hmsup< 1,t—>00 ^(0

(2)

(2)

где г^ = бф,оо)), t > 0. Тогда 2) при t сю

где г^ = бф,оо)), t > 0. Тогда 2) при t сю

Kt^g(t\

Kt^g(t\

(3)

(3)

Теорема 4.2.2. Представим меру G в виде G = Сд4-Св, где Сд — ее абсолютно непрерывная часть, и пусть g^ — плотность меры Од. Предположим, что для всех n^N

Теорема 4.2.2. Представим меру G в виде G = Сд4-Св, где Сд — ее абсолютно непрерывная часть, и пусть g^ — плотность меры Од. Предположим, что для всех n^N

HGbV^ < сю,

HGbV^ < сю,

(4)

(4)

существуют в > 0 и а> в такие, что

существуют в > 0 и а> в такие, что

gW^rv vze(0,E],

gW^rv vze(0,E],

(5)

(5)

функция b^ = tg(f) монотонна и непрерывна при t^ а, выполнены соотношения (1) и (2). Тогда справедливо (3).

Теоремы 4.2.1 и 4.2.2 в настоящем виде получены в работе [156]. Первый результат в этом направлении содержится в статье [150].

Прокомментируем условие (2) теоремы 4.2.1. Как хорошо известно из теории мажорируемо меняющихся функций [115, разд. П.3, теор. П.5], (1) выполнено тогда и только тогда, когда найдутся такие положительные с, х^ и действительное Р, что при у ^ х ^ %о выполнено

неравенство

(6)(6)

(6)

(6)

Поэтому для того, чтобы было выполнено (2), достаточно, чтобы в (6) Р < — 1. В самом деле, (2) имеет место тогда и только тогда, когда

xt

jg(x)dxlim inf -^

| g(x)dx

что равносильно соотношению

gCW

lim sup -^< оо.(7)

|gW dx

Поскольку ^(x) мажорируемо меняется, то (7) выполнено тогда и только тогда, когда

g(x)dx

lim sup < ос.

^ОО tg^

Делая в последнем интеграле замену х = ut, приходим к соотношению

lim supdu < оо.(8)

^OO J g(t)

1

Остается заметить, что (8), а, стало быть, и (2), выполнено, если неравенство (6) справедливо при некотором 3 < — X.

Отметим еще одно достаточное условие выполнения (2). Поскольку g(x) мажорируемо меняется, то для некоторого а > 0 и измеримых и ограниченных функций тДх) и е(х) на [а, ос) для всех х > а справедливо представление

dttdttg(x) = expg(x) = exp(9)(9)Xа

dtt

dtt

g(x) = exp

g(x) = exp

(9)

(9)

(см. [115, разд. П.1, теор. П.1]). Для выполнения (6) достаточно, чтобы в соотношении (9)

sups(x) = р.

х^а

Поэтому (2) имеет место, если

sups(x) = 3 < — V х^а

Положим F(f) = Р{^ < Q. Преобразование Лапласа-Стилтьеса функции Я(^)

e-tXdH(t), А^О,

о

будем, как и ранее, обозначать Н^Х\ Сформулируем четыре вспомогательных утверждения.

Лемма 4.2.1. Пусть ^ > 0, при А > 0

F^ = expF^ = exp(10)(10)

F^ = exp

F^ = exp

(10)

(10)

и функция L^ = J^ G(dy) непрерывна на множестве (0, Ь\, тогда F^ непрерывна на (0,6).

Лемма 4.2.2. Пусть в (10) мера G абсолютно непрерывна, а ее плотность g(t) непрерывна при t > а, непрерывна справа в точке t = а и g^ = 0 при 0 О <а. Тогда F^ дифференцируема при t> а, причем для производной Ff(t) = f(t) при t> а выполнено соотношение

t

tRt>=Vt-y^g<t-yW^(Н)

о

Лемма 4.2.3. Пусть в (10) мера G абсолютно непрерывна, а ее плотность g^ непрерывна на [0, оо). Тогда F^ дифференцируема при t >0, причем для производной F\t) = f(t) выполнено соотношение (11) при t > 0.

Лемма 4.2.4. Пусть ^^ 0 и имеют место соотношения (4), (5) и (10). Если для некоторого а > 0 g^ = 0 при t > а, то для плотности f(t) распределения и произвольного фиксированного heN

44 = o(t~n)(12)

Сначала выведем теоремы 4.2.1 и 4.2.2 из лемм 4.2.1-4.2.4, а затем докажем леммы.

Доказательство теоремы 4.2.1. Из леммы 4.2.3 и соотношения (10) следует, что при А > 0

F(A) = ехр(-г(0))+/(А) = ехр | - (1 -e-Xt)g(t)dt | .(13)

\ о/

Дифференцируя (13) п раз как сложную функцию, получаем, что

п.

(14)

/=1

где суммирование ведется по всем упорядоченным наборам неотрица-

тельных целых чисел l\,...Jn, удовлетворяющих условию

п

a С^1\,...Дп^ — некоторые константы. Пусть k е N таково, что

к = CgOdt = оо.

о

Возьмем произвольное п^ к. Тогда согласно лемме 4.1.7 для всех i\,...Jn таких, что 1п = 0, имеем

n(g(/)O)}' =0^|g(,!)(A)^ при Л;о.(15)

Так как С(0,0,... ,0,1) = 1, то из (14) с учетом (15) получаем, что

7М(А) = (1+о(1))^(А) при А го.(16)

Положим а^ = tKtY b^ = tg(t\ t > 0. Из (16) следует, что для всех п^к — 1 выполнено соотношение (24) теоремы 1.6.5. Далее, соотношение (22) этой теоремы следует из (1). Для того чтобы воспользоваться теоремой 1.6.5, остается доказать, что выполнено соотношение (23) этой теоремы. Займемся этим. Согласно лемме 4.2.3, при t > 0 справедливо равенство (11). В терминах функций а^ и Ь^ это равенство перепишется в виде

t

b(t-uW(uY(17)

о

Из (17) следует, что при х

ху

а^ -а(х) = (Ь(у -и)- Ь(х — и)) dF^ + b^y - и) dF^

0х

у

(Ь(у — и) — b(x — u))dF(u) + b^y — u)dF(uY

так как по условию теоремы функция Ь^ не возрастает при t ^ а. Поэтому

а(у)-а(х)а(у)-а(х)Цу — u)dF(u) < sup^(y) • (Т(х — а) — 7(у)),Цу — u)dF(u) < sup^(y) • (Т(х — а) — 7(у)),(18)(18)

а(у)-а(х)

а(у)-а(х)

Цу — u)dF(u) < sup^(y) • (Т(х — а) — 7(у)),

Цу — u)dF(u) < sup^(y) • (Т(х — а) — 7(у)),

(18)

(18)

где Т(и) = 1 — F^uY ^ > 0. Заметим, что при у ^ х а

УУ

\g(u)du\g(u)du

0 < г(х)-г(у) = j< j< g(x)(y-x) = А _ Л gWxg(2x) \х / g(2x)\g^du \g(u)du

в силу мнотонности g^x\ Последнее выражение есть о(1)-О(1) = о(1) при х —> оо, у=х4о^ согласно (1). Стало быть, г^ слабо осциллирует на бесконечности. Поэтому, воспользовавшись следствием 4.1.1, отсюда получаем, что

Т(х) = (1 + о(1))г(х) при х—>оо.(19)

Заметим, что условие (2) равносильно соотношению

tx

Hminl^>0.(20)

j g(x)dxt

В свою очередь, (20) равносильно неравенству

limsup tX Г^—< ос.(21)

jg(x)dx

К соотношение (21) в силу мажорируемой изменчивости g^ выполнено тогда и только тогда, когда

lim sup -^- < ос.(22)

Из (19) следует, что при у х, х —> оо, у = х + о(х)

Т(х-а)-Т(^)Н1+о(1))г(х-^^

= г(х - а) - г^ + о(г(х)) = о(г(х))

в силу слабой осцилляции г^х\ которая доказана ранее. Учитывая (22), отсюда получаем, что при у > х, х —> оо, у = х + о(х)

T<x-aVT<y^o<xg<xY.(23)

Из соотношений (18) и (23) следует соотношение (23) теоремы 1.6.5. По этой теореме получаем, что a(f) ^ b^ (t —> оо), откуда следует, что

tW^gW (t ^ сю). Таким образом, в рассмотренном частном случае теорема доказана.

Заметим, кстати, что /(%) ограничена при х > 0. В самом деле, согласно лемме 4.2.3, при х > 0

/00 = -X/00 = -X(% - u^g^x - и) dF(u)о(% - u^g^x - и) dF(u)о

/00 = -

X

/00 = -

X

(% - u^g^x - и) dF(u)

о

(% - u^g^x - и) dF(u)

о

< g(x — u)dF(u) ^ supg(y) -F^ ^ supg(y).

y>0y>0ооy>0

y>0

y>0

о

о

Иными словами, по условию теоремы

sup/(x) < supg(x) < ос.

х>0х>0

В общем случае распределение с.в. ^ можно представить [135, разд. XVII.4, пункт г)] в виде суммы £i + ^+€з трех независимых безгранично делимых с.в. ^ь ^2 и €з таких,что ^i > 0 имеет спектральную меру %{(0, oc)}(x)G(Jx), ^3 < 0 и распределение ^3 имеет все моменты. Положим

Я00 = Р{£г+£з ^Щ xeRv, р(х) = j-PRi ^ -х}. х^о.dt

(24)(24)Заметим, что для всякого п 6 N при t —У ос

(24)

(24)

1 - W) = Р{6 + 6 > О < Р{€з > А = о^гпу

Представим

p(t - и) dH(и)p(t - и) dH(и)

p(t - и) dH(и)

p(t - и) dH(и)

в виде суммы трех интеграловв виде суммы трех интегралов/(0 =/(0 =p(t — u^dH^ + p(t — u^dH^ +p(t — u^dH^ + p(t — u^dH^ +p(t - и)dH<u> = /1 (0 +/2(0 + /3(0-p(t - и)dH<u> = /1 (0 +/2(0 + /3(0-(25)(25)В силу только что доказанногоВ силу только что доказанного

в виде суммы трех интегралов

в виде суммы трех интегралов

/(0 =

/(0 =

p(t — u^dH^ + p(t — u^dH^ +

p(t — u^dH^ + p(t — u^dH^ +

p(t - и)dH<u> = /1 (0 +/2(0 + /3(0-

p(t - и)dH<u> = /1 (0 +/2(0 + /3(0-

(25)

(25)

В силу только что доказанного

В силу только что доказанного

p(0~g(0 (^00).p(0~g(0 (^00).(26)(26)

p(0~g(0 (^00).

p(0~g(0 (^00).

(26)

(26)

Зафиксируем произвольные е,5 Е (0,1). Положим Ji = 1 — (1 — 5)2. Согласно (26) существует хо > О такое, что при х > хо

pW ^ (l+£)g(x(l -51)).pW ^ (l+£)g(x(l -51)).(27)(27)

pW ^ (l+£)g(x(l -51)).

pW ^ (l+£)g(x(l -51)).

(27)

(27)

Пусть ф — корень уравнения t — Vi = тах(хо,<V(1 — Ji)). Тогда при ^ > Ф в силу (27)

Л(0 =Л(0 =pit — u)dH(u) < sup р^\t—%|< V"t

Л(0 =

Л(0 =

(28)(28)Щ1+е) sup g(x(l-5i))^(l+£)g(O-VO(l-5i)), \t—x|< Vi

(28)

(28)

так как по условию теоремы g(u) не возрастает при и ^ а. Заметим, что при 1^8^ справедливо неравенство t — Vt^t^\—6\Y Поэтому из (28) следует, что при t ^ t\ = max^o,^2,^! — Ji)-2)

/1(0 < (1 +£)g(01 -<M2) = (1 + £)g(01 -5))(29)

в силу определения 5ь Далее, положим J2 = V1 +5 — 1. Согласно (26) существует xi > 0 такое, что при х > Xi

Щ)>(1-£)^(1+52)).(30)

Пусть ^ — корень уравнения t — Vi = max(xi,а/(1 + ^)). Тогда при ^ > 0 согласно (30)

Л(0 =Л(0 =pkt-u^dH^ > (Н(уЧ)-Н(-ЕЬ) inf рО

Л(0 =

Л(0 =

(31)(31)> (1 -еШЧ + VF)(i + 52)) (я (VF)-н (-VF))

(31)

(31)

в силу монотонности gCY Заметим, что при t ^ 52 2 справедливо

неравенство ^ + Д >/(1 + 52). Поэтому из (31) следует, что при t^ ^h = max(0,5^"2)

Л(0 > (1 -OgW +52)2) (я (VF) - Я (-VF)) =

= (1-е)^(01+5))(я(^)-я(-^))(32)

в силу определения 6^. Так как

я(^)-я(-^?)1 (1 —У ос),

то из (29) и (32) следует, что

Л(0~£(0Л(0~£(0(^ —> ос).(^ —> ос).(33)(33)

Л(0~£(0

Л(0~£(0

(^ —> ос).

(^ —> ос).

(33)

(33)

Согласно (24) при t —> ос

/2(0 =/2(0 =p(t - и)dH(и) < supp(x)(l -Я(дЛ)) = o(g(0),(34)

/2(0 =

/2(0 =

%>о7

так как мажорируемо меняющаяся функция ^(х) ограничена снизу некоторой степенной [115, теор. П.5]. Для некоторой постоянной С при t ^ а

UW =UW =p(t - u^dH^ < Сp(t - u^dH^ < Сg(t - u^dH^ <g(t - u^dH^ <

UW =

UW =

p(t - u^dH^ < С

p(t - u^dH^ < С

g(t - u^dH^ <

g(t - u^dH^ <

(35)(35)<c^(O//(-VF) = o(g(0) C^ooY

(35)

(35)

Из соотношений (33)-(35) и того, что для произвольного фиксированного 6 е (0,1)

g((l -5)0 xg(0 Xg(( 1+5)0 4^00)

следует (3). Теорема доказана. □

Доказательство теоремы 4.2.2. В случае, когда G(dx) = = ^(x)x{[q,oc)}(x)Jx, доказательство точно такое же, как и ранее, только воспользоваться нужно леммой 4.2.2 вместо леммы 4.2.3. Далее предположим, что ^ — неотрицательная с.в., для которой выполнено (10). Пусть Р^ — функция распределения безгранично делимой с.в. со спектральной мерой ^(x)x{[q,oc)}(x)Jx, р^ — ее производная при t^ а (см. лемму 4.2.2), Н^ — функция распределения безгранично делимой с.в. со спектральной мерой g(x)x{[0, a^^dx + A-Gb^xY h^ — ее плотность. Тогда при t > а

tt—a

/(0 = h^dP^t-u^ = h(u)p(t — и) du A- h(t)P(O) = оо

= plt-uWlWtWV

о

Представим f(f) в виде суммы трех слагаемых:

f(0 = p(t — u^dH^A-оf(0 = p(t — u^dH^A-оp(t - и) dH^Hh^P^ = Л (0 +/2(0 +/3(0.

f(0 = p(t — u^dH^A-

о

f(0 = p(t — u^dH^A-

о

Точно так же, как и в теореме 4.2.1, показывается, что

Ш”р<4 С^ОО).

Для 0(0 мы имеем оценку:

/2(0 =/2(0 =p(t - u^dH^ < supp(x) Л\-Н (ViV\ = o(g(0) \/ /

/2(0 =

/2(0 =

при t ос. Согласно лемме 4.2.4

Ы0 = hC)P(0) = o(g(t)) при is-oo.

Из полученных асимптотических соотношений для I1J2 и 0 мы выводим, что

f(O-g(O (^00).

Дальнейшие рассуждения дословно повторяют доказательство теоремы 4.2.1.□

Перейдем к доказательству лемм 4.2.1-4.2.4. Положим

tt

F\^ = udF^uY G\(t} = uG^duY t^O.

о0

Продифференцировав (10) по А, получим:

FxW=F(XyGx(XY

откуда при ^ > 0

t

Fx{t) = Gx(t-uW(uY(36)

0

Доказательство леммы 4.2.1. Из равенства

Gi(^ + /z)-G,(O=иС(</и) = С + 0А)ДС + /О-ЦО),(37)

справедливого для всех t,h ^ 0, где 9 e [0,1], следует, что функция 61(0 непрерывна на [0,6]. Возьмем произвольное tE (0,6). Тогда при

h > 0 согласно (36)

Fi (Z + 6) - Fi (0 =61 (t + h - и) dF(u) +

t

t

+ (Gi(Z + 6— и)— G\G— w)MF(w) =6+/2-

0

Для /i справедливы неравенства

О^Д ^Gi(6)F(Z + 6) ^СД6) = о(1) при 6^0.

В силу равномерной непрерывности G\^ на отрезке [0,6] Д = о(1) при 6^0. Поэтому F\^ непрерывна на интервале (0,6). Но при t,h >0 для некоторого У е [0,1]

t+h

Fv (t + h)- Fv (0 =и dF(u) = ((+Oh)(F(t + /г) - F^Y

t

откуда следует непрерывность F^ на множестве (0,6). Лемма дока

зана.

Доказательство леммы 4.2.2. Пусть t > 0. Тогда для некоторого У е [0,1]

1616tudF(u)оtudF(u)о= G + uh).h= G + uh).h

1

6

1

6

t

udF(u)

о

t

udF(u)

о

= G + uh).

h

= G + uh).

h

Таким образом, у FG) существует производная в точке t > 0 тогда и только тогда, когда существует производная Fi(Z) в точке t. При этом

F^tF'G^ttGY

Проверим существование производной у F\GY Пусть 0 < h < а < t. Тогда

t+ht

G\(t F h — и) dF (и) — G\G — u)dF^u) =

о0

t+ht

= G\(tFh — u)dF(u) + (G\(tFh — u) — G\G~ u))dF(u).

t

Но

t+h

G\^tFh — u)dF(u) = 0.

t

Пэтому согласно (36)

t

Fx^t Fh?) — Fx^ = (Gx(tFh — u) — Gx(t — u))dF(u) = о t — a+ht — a

= GxYtFh — u)dF(u) + (Gx(tFh — a) — Gx(t — u^dF^uY t—a0

Первый из интегралов обозначим через 1Х, второй — через 1^. Во-первых, для некоторых #i,#2 Е [0,1] при b^ = tg(t)

t — a+h

/1 = Gx(t Fh- u)dF(u) = Gx(a + Oxh)(F(t - a + h) - F(t - a)) =

t — a

= 9xhb(aF62h)(F(t - a + h) -F(t - a)) = h • o(l) (Л^О),

так как по лемме 4.2.1 F непрерывна в точке t — a. Во-вторых, для некоторого Уд е [0,1]

t— а

/2 = (Gx(t Fh - и) - Gx(t - uYdF(и) =

о

t — а /t+h—и\t—а

=| b(v)dv | dF^ = h b(t — uF03h)dF(u) =

(

t — a\

b^t — u)dF(u) +o(l) J (Л^О) о/

в силу равномерной непрерывности b(x) на множестве [а,^]. Дословно рассматривается случай h < 0. Таким образом, в точке t у функции Fx существует производная f\(tY причем

А(0 = tfW = W — u^dF^uY

□□о

□

□

Лемма 4.2.2 доказана.

Доказательство леммы 4.2.3 проводится при помощи тех же рассуждений, что и доказательство леммы 4.2.2, поэтому оно здесь не приводится.□

Доказательство леммы 4.2.4. Предположим сначала, что G = Сд и

g(0 =g(0 =1Д при tE(O,s\ О при t > е.

g(0 =

g(0 =

Тогда при t > 0 согласно (36) tt

F\^ = F(t— u)dG\(u) = F(t — u)du, t^E,

оо

и t F\^= F^du, t>£. t — E

Отсюда следует, что F^ дифференцируема при ^ > О, причем для /(О =F’^ справедливы равенства

tKOF<t\ tO,(38)

и tf(t)=F(t)-F(t-EY t>E.(39)

Так как у функции распределения F^ существуют все моменты, то для произвольного п eN при t —> ОО

t^ = r4F^-F<t-A ^ гЧ\-РС-е^ = о^Гп^.(40)

В общем случае {^ можно представить в виде свертки

t

f(t) = p(t — u^dH^u\о

где р^ — плотность безгранично делимого распределения со спектральной мерой ^-1x{(0,s)}(0^^ Н^ — функция безгранично делимого распределения со спектральной мерой (g(0 — ^-1у{(О,£)}(0)^Л Имеем

/(0 = p(t - и) dH(u) + p(t - и) dH(u) = /1 +/2.(41)

0t/2

В силу (40) (при f = р)

/1 < НЧ/^ sup р^ = о (Г") (^оо).(42)

Заметим, что

e = sup^(0<oo.(43)

Действительно, из (38) с f = р следует, что p(t) = со пРи ^ £ [0,е], где со — некоторая постоянная, зависящая от е. Из (35) вытекает, что

supp(0 < ос.t>E

Поэтому неравенство (43) влечет за собой неравенство

/2 < е(Я(^/2) - Я(0) < е( 1 - Я(^/2)) = о (Ги) (^ оо), (44) поскольку у функции распределения H(t) существуют все моменты. (12) следует из (41), (42) и (44). Лемма доказана.□

Замечание 4.2.1. Из неравенства (43) следует, что условие (5) является достаточным не только для существования, но и для ограниченности плотности безгранично делимого распределения.

Многомерный случай

Пусть Г — произвольный замкнутый выпуклый острый телесный однородный конус в Rn с вершиной в нуле (см. начало раздела 1.1 и определение 1.8.6). При х е Г положим

г

Г(Ч = {у: z/еГ, х — у €Г} = {г/: у^х^,

Г(х) = Г\Г(х).(1)

Начнем со следующей леммы (см. [290, лемма 3]).

Лемма 4.3.1. Пусть и — а-конечная мера на Г (возможно, неограниченная в окрестности нуля), для которой выполнены соотношения

|%| v(dx) < оо,|%| v(dx) < оо,v(dx) < ооМ>1v(dx) < ооМ>1

|%| v(dx) < оо,

|%| v(dx) < оо,

v(dx) < оо

М>1

v(dx) < оо

М>1

Тогда существует случайный вектор ^ е Rn со значениями из Г, причем его преобразование Лапласа имеет вид

Me = ехрMe = ехргг(1-е ^X,x^v(dx)(1-е ^X,x^v(dx)(АеГ*),(АеГ*),(2)(2)

Me = ехр

Me = ехр

г

г

(1-е ^X,x^v(dx)

(1-е ^X,x^v(dx)

(АеГ*),

(АеГ*),

(2)

(2)

Мера v называется спектральной мерой Леви распределения случайного ветора £. Положим при х 6 G

/(х) = РЦ е Г(х)}, gto = v(T(xW(3)

Справедлива следующая предельная теорема.

Теорема 4.3.1. Пусть функция g(x) является допустимой функцией первого типа для конуса Г (^(х) е £>1(Г)) (см. определение 1.8.5). Тогда

fW = (1 +o(l))g(x) (х е G, Аг(х) ос),(4)

т. е. при х е G = intГ, Аг(х) —> ос

Р{^еГ(х)} = (1+0(1)МГ(х)),

где Аг(х) есть расстояние от точки х до границы конуса Г.

Теорема 4.3.1 доказана в статье [158].

Замечание 4.3.1. Теорема 4.3.1 обобщает соответствующие утверждения из работ [250, 290]. Отметим, что в цитируемых работах Ац(х) имела порядок |х| при |х| —> ос; здесь же допускается сколь угодно медленное стремление Аг(х) к бесконечности.

Теорема 4.3.1 будет доказана как следствие пункта 1 тауберовой теоремы 1.8.3. Заманчиво было бы, воспользовавшись пунктом 2 (соответственно 3) этой теоремы, доказать, что (4) имеет место при |х| —> ос и Аг(х) > 5 > 0 (соответственно |х| —> ос и х е G\ Однако следующие простые соображения показывают, что (4), вообще говоря, не выполнено уже при |х| —> ос и Аг(х) > 5 > 0. В самом деле, пусть Г = R^ = {х = (хь... ,хп\ х^^\/ i= 1,... ,п^ и пусть |х| —> ос так, что Xi = 5 > 0, min(x2,... ,х„) —> ос. Тогда

gW -> v(A\

где А = ^у; у = (у\,... ,уп) £ &+, У\ > ^} и> если v(A) > 1, то не может иметь места (4), так как /(х) = Р{^ е Г(х)} < 1.

В качестве примеров g(x) мы можем привести примеры 1-3 раздела 1.8 в дополнительном предположении, что g(x) не возрастает в Г.

Как и ранее, преобразование Лапласа функции / на Г будем обозначать f(y\.

7^) = e~(y’x)f(x)dx

Г

в предположении, что оно существует при у е С = intГ*. Положим fl, X еГ,

КС(Х) = 0Г(А) = ечм dx (Хе С),

ГгНЛ = v^y. у < х}.

Теорему 4.3.1 мы докажем при помощи следующей леммы.

Лемма 4.3.2. Для произвольного Хе С выполнено соотношение

KcW (l-e"(M) v(dx) =ГKcW (l-e"(M) v(dx) =Ге ^Ag^dx < ос. ге ^Ag^dx < ос. г(5)(5)

KcW (l-e"(M) v(dx) =

Г

KcW (l-e"(M) v(dx) =

Г

е ^Ag^dx < ос. г

е ^Ag^dx < ос. г

(5)

(5)

Доказательство. Предположим сначала, что ?/(Г) < ос. Мы имеем при А е С

е ^'^u^dx = е а'х\и*9тДх^х = е v^dxyKcW. ггг

Но g^ = ИГ) — и(х\ поэтому

е Mv(x(dx = v(r>Kc(X>-g(XY г

Стало быть,

i(A) = ИГ)/<с(А) - е"м Hdx)Kc(X) =

Г

= (1 _ е-(Ал)^ v^KcW V Хе С,

г

откуда следует (5) в случае, когда ИГ) < ос. В общем случае положим

Г^ = {м: и Е Г, \и\ > 1/^}, иДА^ = и(АПГД gk^ = МП*))

для произвольных А Е 21, х Е Г, k Е N, где 21 — совокупность всех ограниченных борелевских множеств из Rn. Так как для мер ик лемма уже доказана, то для каждого А Е С

gfe(X)=Kc(X) (1-еgfe(X)=Kc(X) (1-е(А,х)) v^dxY(А,х)) v^dxY

gfe(X)=Kc(X) (1-е

gfe(X)=Kc(X) (1-е

(А,х)) v^dxY

(А,х)) v^dxY

(6)(6)

(6)

(6)

Поэтому для всех А е С при к —> ос

gk(X)^Kc(X) (l-e"M)i/(dx),

Г

так кактак как

так как

так как

е

г

при А е С. Но, поскольку для произвольных х Е G и А Е С при к —> оо Те~|А' ДЛ.г),

то по теореме Б. Леви при к —> оо

gkW= е (MgkC)dx^ еггgkW= е (MgkC)dx^ егг^g^dx < °°^g^dx < °°(7)(7)для всех Хе С. Сравнивая (6) и (7), получаем (5). Лемма доказана. □Доказательство теоремы 4.3.1. Из (2) и (5) следует, чтодля всех Хе С. Сравнивая (6) и (7), получаем (5). Лемма доказана. □Доказательство теоремы 4.3.1. Из (2) и (5) следует, чтоМе-М =exp(-g(A)//fc(A)) V А е С.Пусть Р — распределение случайного вектора £. Точно так же, и в (5), мы устанавливаем, чтоМе-М =exp(-g(A)//fc(A)) V А е С.Пусть Р — распределение случайного вектора £. Точно так же, и в (5), мы устанавливаем, что(8)(8)каккак1 -е"*^)) P(dx) = /(A)//fc(A) V А е С.1 -е"*^)) P(dx) = /(A)//fc(A) V А е С.(9)(9)ГИз (8) и (9) следует, что7(A)1/ g(A) А= 1 - ехрV А е С.KcWV MXjПри А е С положим <Д = (А,^). Мы имеем:ГИз (8) и (9) следует, что7(A)1/ g(A) А= 1 - ехрV А е С.KcWV MXjПри А е С положим <Д = (А,^). Мы имеем:(Ю)(Ю)Так как функция ехр(—7) при 7 > 0 непрерывна и ограничена, то= Ме-^ -И (А 0, А е С).Из (8) и (11) следует, что при А —> 0, ХеСТак как функция ехр(—7) при 7 > 0 непрерывна и ограничена, то= Ме-^ -И (А 0, А е С).Из (8) и (11) следует, что при А —> 0, ХеС(П)(П)5(A) KcW " из (10) и (12) получаем, что7(A)Яс (А)5(A) KcW " из (10) и (12) получаем, что7(A)Яс (А)-1пМеЧА’О —>0;-1пМеЧА’О —>0;(1+о(1))^- КсМ(1+о(1))^- КсМ(12)(12)

gkW= е (MgkC)dx^ е

гг

gkW= е (MgkC)dx^ е

гг

^g^dx < °°

^g^dx < °°

(7)

(7)

для всех Хе С. Сравнивая (6) и (7), получаем (5). Лемма доказана. □Доказательство теоремы 4.3.1. Из (2) и (5) следует, что

для всех Хе С. Сравнивая (6) и (7), получаем (5). Лемма доказана. □Доказательство теоремы 4.3.1. Из (2) и (5) следует, что

Ме-М =exp(-g(A)//fc(A)) V А е С.

Пусть Р — распределение случайного вектора £. Точно так же, и в (5), мы устанавливаем, что

Ме-М =exp(-g(A)//fc(A)) V А е С.

Пусть Р — распределение случайного вектора £. Точно так же, и в (5), мы устанавливаем, что

(8)

(8)

как

как

1 -е"*^)) P(dx) = /(A)//fc(A) V А е С.

1 -е"*^)) P(dx) = /(A)//fc(A) V А е С.

(9)

(9)

Г

Из (8) и (9) следует, что

7(A)1/ g(A) А

= 1 - ехрV А е С.

KcWV MXj

При А е С положим <Д = (А,^). Мы имеем:

Г

Из (8) и (9) следует, что

7(A)1/ g(A) А

= 1 - ехрV А е С.

KcWV MXj

При А е С положим <Д = (А,^). Мы имеем:

(Ю)

(Ю)

Так как функция ехр(—7) при 7 > 0 непрерывна и ограничена, то

= Ме-^ -И (А 0, А е С).

Из (8) и (11) следует, что при А —> 0, ХеС

Так как функция ехр(—7) при 7 > 0 непрерывна и ограничена, то

= Ме-^ -И (А 0, А е С).

Из (8) и (11) следует, что при А —> 0, ХеС

(П)

(П)

5(A) KcW " из (10) и (12) получаем, что

7(A)Яс (А)

5(A) KcW " из (10) и (12) получаем, что

7(A)Яс (А)

-1пМеЧА’О —>0;

-1пМеЧА’О —>0;

(1+о(1))^- КсМ

(1+о(1))^- КсМ

(12)

(12)

или же

f (А) = (1+o(l))g(A).

Мы видим, что выполнены все предположения пункта 1 теоремы 1.8.3. Воспользовавшись этой теоремой, убеждаемся в справедливости соотношения (4). Теорема доказана.□

В заключение этого раздела докажем лемму 4.3.1.

Доказательство леммы 4.3.1. Положим

<ДА) = ехр<ДА) = ехр(1-е ^^ИДх^ г.(1-е ^^ИДх^ г.(Ле Г*).(Ле Г*).

<ДА) = ехр

<ДА) = ехр

(1-е ^^ИДх^ г.

(1-е ^^ИДх^ г.

(Ле Г*).

(Ле Г*).

Ясно, что достаточно считать, что 1/(Г\{0}) > 0. Тогда v(Tm) > 0 для некоторого т Е N, где Г^ = {%: % е Г, |х| > \^к^, к е N. Положим при кЕ N, к^ т

Нк(А) = и(АгГк)МГк) (Дей),

Ясно, что Нк — распределение вероятностей в Rn, сосредоточенное в Г^. Положим 6^ = 1/г/(Г^), kEN, к^т. Пусть АЗ,^,... — независимые случайные векторы из Rn с распределением Нк, а У — независмая от них пуассоновская случайная величина с параметром 9к. Тогда при А Е еГ*

(

IY\ \

- I А,^А^ I I = ехр ^-9к (1 - Ме-(ЛХ1)^ =

\ и/ 7

(1-е (М) v^x^ I = ^(Д) г6/

есть преобразование Лапласа некоторой безгранично делимой меры Рк на Г. Так как ^(А) —> ^(А) при к —> ос, то ^(А) есть преобразование Лапласа некоторой безгранично делимой меры Р на Г. Лемма доказана.

Глава 5

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ В СХЕМЕ РЕКОРДОВ

Межрекордные времена

Пусть заданы две последовательности независимых в совокупности случайных величин £1,£2,£з, • • • и т/сь^ь^ • • • > причем Р{^ < х} = F(xY п е N, и Р{^ < х} = G^ при п е Z+ = N U {0}. Будем предполагать, что F(0) = 0 и 6(х) непрерывна. Положим

К = {п; п е N, т]п > T]m V т < п, т е Z+} U {0},

S„ = ^^, neN, So = O,

а=1

N(f) = max{zz: n e Z+, Sn < ^}, NI^ = max{zz: n E K, n < N(t)Y

t

T(t)=l—F(tY V(t) = T(u)du (O0Y

о

Случайным процессом рекордов назовем процесс VlMpy ^ > 0}. Рекордными моментами назовем случайные величины ^vn, п Е Z+} — моменты м-го скачка в случайном процессе рекордов ^Пмуу ^ ^ 0}, где vq = 0. В этом разделе изучаются асимптотические свойства «хвостов» распределний межрекордных времен тп = ип — vn_\, пеМ . Справедливы следующие три предельные теоремы.

Теорема 5.1.1. Пусть для всех А Е (0,1)

limsup V(A0/V(0 < 1.(1)

Тогда для каждого фиксированного п eN при t -^ оо

Р^тп>^^Т№^,п\,(2)

где L^ — неубывающая, медленно меняющаяся на бесконечности функция (м.м.ф?), равная ln(^/V(^)) (определение слабой эквивалентности функций дано в начале раздела 1.6).

Теорема 5.1.2. Пусть M^i < ос и T(t) = о((Нп0-1) при t -л- ос. Тогда для произвольного фиксированного nEN при t -^ ос

РЩ^}-^"1 In"-*(0/0-1)!.

8 А. Л. Якымив

Теорема 5.1.3. Пусть для всех А е (0,1) и некоторого п Е N limsup^AO/W)< 1,

где

t

WXb= uMu)du, fn(t) = Ln(t)(T(t) + nt-'V(t)/L(t)).

О

Тогда при t -л ос

Р{тп>Г^ШМ.

Теорема 5.1.1 охватывает случаи, когда M^i = ос и функция g(f) = = ^Р{^ > Д не является м.м.ф. Теорема 5.1.2 справедлива при M^i < ос и g(f) = о( 1 /In f), t —у ос. Теорема 5.1.3 справедлива в «промежуточном» случае, когда g(f) есть м.м.ф. Отметим, что точно такие же утверждения справедливы и относительно случайных величин ^vn, п Е АД, доказательства этих фактов полностью сохраняются.

Следствие 5.1.1. Пусть Т^ правильно меняется на бесконечности с показателем —а, где oi Е (0,1). Тогда для произвольного фиксированного nEN при ^ —)► ос

РК>0~ат0М0М

Следствие 5.1.2. Пусть Т^ — м.м.ф. Тогда для произвольного фиксированного nEN при ^ —)► ос

PVn>t^T(n\nn(WT(tw..

Действительно, если T(f) правильно меняется на бесконечности с показателем —сц где а Е (0,1), то тогда при t —> ос

T^duоT^duоmo1 — аmo1 — а

T^du

о

T^du

о

mo

1 — а

mo

1 — а

откуда мы убеждаемся в справедливости этих следствий.

Заметим, что в теореме 5.1.3 содержатся случаи, не входящие в теоремы 5.1.1 и 5.1.2. В самом деле, если T^^b/t при t —> ос, то из теоремы 5.1.3 следует, что

Р^Тп > t} ~ b^n-Vl)m XN^JnX.

Если же 7(0 ~ 6/(^0 при t —> ос, то

P^Jn > Д ~ bt-i 1пп-1 (фпШД72 — 1)! •

Теоремы 5.1.1-5.1.3 опубликованы в работе автора [146]. Они продолжают исследования, проводившиеся ранее Д.П. Рейвером [204],

М. Весткоттом [286, 287], П. Эмбрехтсом и Е. Омеем [197]. Обзоры по рекордам имеются в журнальных статьях В. Б. Невзорова [82], Г. Н. Нагараджа [247], Н. Балакришнана и В. Б. Невзорова [171]. Широкий спектр вопросов теории рекордов затронут в книге В. Б. Невзорова «Рекорды. Математическая теория» [84]. В следующем разделе мы познакомимся с еще одним понятием теории рекордов — так называемыми fe-ми рекордными моментами, введенными В. Дзюбдзиела и Б. Копоциньски в работах [192, 193].

Перейдем к доказательствам теорем 5.1.1-5.1.5. Как и ранее, преобразования Лапласа и Лапласа-Стилтьеса функции / будем обобзначать соответственно

ДА) = L-'W)^ и /(А) =ОДА) = L-'W)^ и /(А) =Ое tx dt^.ое tx dt^.о

ДА) = L-'W)^ и /(А) =

О

ДА) = L-'W)^ и /(А) =

О

е tx dt^.

о

е tx dt^.

о

Для доказательства теорем 5.1.1-5.1.3 нам понадобятся следующие пять лемм.

Лемма 5.1.1. При А ;0 7(A) х У(1/А).

Лемма 5.1.2. 7(0 = 1п(£/У(0) — неубывающая м.м.ф.

Лемма 5.1.3. Пусть 1^ — произвольная неубывающая м.м.ф. и выполнено (1). Тогда при А^О

П(А)~Т(А)/(1/А).

Лемма 5.1.4. Пусть функция и^ >0 не возрастает, функция 1^ не убывает и медленно меняется на бесконечности. Если при t —> оо, r/t —> 0

Тt

o^dx o(x)dx^0,(3)

оо

где у(х) = хи^х\ то

у(А)/(1/А)-^/(А) при А^О.(4)

Лемма 5.1.5. При А^О

У(А)/7(1/А)^Ш(А).(5)

Выведем сначала теоремы 5.1.1-5.1.3 из лемм 5.1.1-5.1.5, а затем докажем леммы.

Доказательство теоремы 5.1.1. Положим Q^m = Х/т,

т

(6)(6)Qr,m = y^Qr-щ, г>1, m^N.

(6)

(6)

/=1

Определим при г Е N, s Е (0,1) функции

Gr(S) = ^Qr.mSm, gr{s) = (1 -S)Gr(S)/S.

Так как Мехр(-Ат„) = gn(F(X)), neN

(см. [197, с. 340]), то

aW = (1 -gnWW/X = ((1 -F(A))/AF(A))Gn(F(A)) =

= (7(A)/F(A))Gn(l - А7(А)),(7)

где a(t) = Р{т„ > 0- Из (6) следует, что

Gr(s)=Gr(s)=' Gr-^OO J м(1 — и) о' Gr-^OO J м(1 — и) оdu,du,8Е(0Л\8Е(0Л\(8)(8)

Gr(s)=

Gr(s)=

' Gr-^OO J м(1 — и) о

' Gr-^OO J м(1 — и) о

du,

du,

8Е(0Л\

8Е(0Л\

(8)

(8)

для всех г > 1. Из (8) с учетом равенства Gi(s) = — ln(l — s) вытекает, что при s t 1

(9)(9)Gr(s) = (l+0(l))V(l/(l-s))/r!

(9)

(9)

для всех г Е N. Из (7) и (9) заключаем, что для произвольного фиксированного п Е N при А 0

2(A) ~ 7(A)In^l/ATOW,

откуда по лемме 5.1.1 при А^О

а^-Т^Гп<\,Х^п\.

Поэтому согласно лемме 5.1.2 и лемме 5.1.3 при А^О dw-b<XY

где Ь^ = T^LT^/nX. Положим

B(t) = b^du,оB(t) = b^du,оОО.ОО.

B(t) = b^du,о

B(t) = b^du,о

ОО.

ОО.

Из (1) и соотношениий

1-В(А0/В(0 =1-В(А0/В(0 =Т<иЛпЛЫи) T(u)Ln(u)du

1-В(А0/В(0 =

1-В(А0/В(0 =

Xtо

ML4XtW4WV(b-V(Xtb/W)

следует (1.6.2), где А е (0,1). Применяя теорему 1.6.1, находим

при >оо. Теорема 5.1.1 доказана.□

Доказательство теоремы 5.1.2. Продифференцировав (7) по А, получим:

я'(А) = ШСп(Р(Х^ + Mg'^f^F'W -

7(A)7(A)

-S^Gn(FW)F4XY (10) (7(A))

В силу конечности pi = M^i последнее равенство может быть переписано в виде:

аЧХ) = ахТЧХу;п(Р(ХУ)-а211Х^(11)

(12)(13)(12)(13)где a, —> 1 при А 4- 0, j = 1,2,3. Из соотношений (8) и (9) следует, что для каждого фиксированного п € N при s ф 1 ,иСл($)

(12)

(13)

(12)

(13)

G'(s) ~.

(1-S)ln(l/(1-S)) Так как T(f) = о((Нп/)-1) при t —> оо, то Т'(А) = о ((А1п(1/А))-1) (АфО). Согласно (11), (12) и (13) при АфО

аЧ^ ~ -^Gn(F(Xy>(XiMl/Xyrx, или же, с учетом соотношения (9),

а'(А) ~ -/zA"1 In""1 (1/А)/(п-1)! (Аф0), откуда следует утверждение теоремы 5.1.2.

Доказательство теоремы 5.1.3. Далее тр = тр(Х), 1,2,..., 7, будут некоторыми функциями А, обладающими свойством тр(Х) —> 1 (А ф 0). Согласно формуле (10) и равенству 7'(А) = — А7'(А) — 7(A), имеем

а'(Х) = G^FWppvТЧХ) + ^TW(ХТЧХ) + Т(Х^) -

-лзсжхжм^хтчхнт^у

Поскольку ХТ(Х) —>0 (АфО), то

аЧХ) = СМрХУ)^ТЧХ) + ^^(А)) - ЧзСЖХУТ№P^W + Т^.

Поэтому согласно формуле (12)

Отсюда

a'W=G,№ (^T'W + mT2W-^—^^—\ .

Заметим, что 72(А) = о(7(А)/А) при А^О. Стало быть,

a'W = Gn<F^ Ut'W - wХ •

\А1п(1/АТ(А)) У

Отсюда при А 0

Га^ ~ GXFW) (tT(X) +,

\1п(1/АТ(А))/

или, с учетом формулы (9) при А^О,

НА) ~ ln”(l/A7(A)) fe(A) +•

\1п(1/АГ(А))/

Поэтому согласно лемме 5.1.1 при АфО

Га^ ~Л"(1/А) (ЩА) + иУ(А)/Ц1/А))м

Отсюда в силу леммы 5.1.5 при А^О

ta(A) ~ /Л (1 / А) (ЩА) + пуТЦХ^ /п!.

Стало быть, при = T^A-nV^/^tL^

По лемме 5.1.2 функция и^ не возрастает. Применяя к последнему

соотношению лемму 5.1.4, получаем, что при А^О

^(А) Lntu^/n\.

Отсюда по тауберовой теореме 1.6.1 следует, что при t —> оо

ta(t^tu(t)Ln^/n\,

откуда Р{ти > ^} ^ fn(t}/ri\ при t —> оо. Теорема 5.1.3 доказана. □

Доказательство леммы 5.1.1. Прежде всего заметим, что при

е-1И(1/А) < Ле-1И(1/А) < Лe-XuV(u)du^XVM = T(\Y

е-1И(1/А) < Л

е-1И(1/А) < Л

1/А

Из леммы 1.6.1 следует, что функция V(f) = ^0Т (и) du слабо осциллирует на бесконечности. Поэтому согласно следствию 1.4.4 существуют положительные постоянные с,Ь,Р такие, что при х ^ 1, t^ b выполнено неравенство

V(tx) С cV(t)x^.

Стало быть, при А € (0,1/6)

Т(Х) = АУ(А) =Т(Х) = АУ(А) =e"xV<x/X')dx<;VO/X') оe"xV<x/X')dx<;VO/X') о(1ОО'e-xdx^c e~xx3dxо1.(1ОО'e-xdx^c e~xx3dxо1.

Т(Х) = АУ(А) =

Т(Х) = АУ(А) =

e"xV<x/X')dx<;VO/X') о

e"xV<x/X')dx<;VO/X') о

(1ОО'

e-xdx^c e~xx3dx

о1.

(1ОО'

e-xdx^c e~xx3dx

о1.

Лемма доказана.

Доказательство леммы 5.1.2. Из леммы 1.6.1 следует, что V^ слабо осциллирует на бесконечности, стало быть, \n(t/V(t)) — м.м.ф. Из неравенств

Ди(0/0 = г2dtДи(0/0 = г2dtT^duT^du^>0.^>0.

Ди(0/0 = г2

dt

Ди(0/0 = г2

dt

T^du

T^du

^>0.

^>0.

следует монотонность L(t\ Лемма 5.1.2 доказана.

//Qt/A^AV(l/A) )//Qt/A^AV(l/A) )Доказательство леммы 5.1.3. Утверждение леммы 5.1.3 выполнено тогда и только тогда, когда

//Qt/A^A

V(l/A) )

//Qt/A^A

V(l/A) )

/(А) = е-^(у/А)опри А 0, где

R(X) = e~yT{y/X)dy.о

Зафиксируем 5 и М, 0<5<1<7И<ос, и разобъем интеграл /(А) на интегралы /ДА), /2(A) и /з(А) по промежуткам [0,5), [5,7И] и (7И,оо) соответственно:

/(А)=/ДА)+/2(А)+/3(А)./(А)=/ДА)+/2(А)+/3(А).(15)(15)

/(А)=/ДА)+/2(А)+/3(А).

/(А)=/ДА)+/2(А)+/3(А).

(15)

(15)

В силу теоремы о равномерной сходимости для м.м.ф. [115, разд. 1.2, теор. 1.1]

/2(А) = О(Я(А» (А^О)./2(А) = О(Я(А» (А^О).(16)(16)

/2(А) = О(Я(А» (А^О).

/2(А) = О(Я(А» (А^О).

(16)

(16)

Далее,

WA) /(1/А)WA) /(1/А)5

WA) /(1/А)

WA) /(1/А)

О^Л(А)= [e'^^/A) о 5/А е"«Т<у/ХЫу = -Х e"XxT(x)dx^-XV(5/XY (17)

Оо

Из интегральной теоремы представления для м.м.ф. [115, разд. 1.2, теор. 1.2] следует, что для некоторых е,Ь,с > 0 1(х)/1(у) ^ с(х/у)£ для всех х ^ у ^ Ь. Поэтому для произвольных А е (О, Х/Ь)

Ш)RWШ)RW. ЛШ)м. ЛШ)м/(1/А)/(1/А). ЛШ) о. ЛШ) оС с е Уу£мС с е Уу£м(18)(18)

Ш)

RW

Ш)

RW

. ЛШ)

м

. ЛШ)

м

/(1/А)

/(1/А)

. ЛШ) о

. ЛШ) о

С с е Уу£

м

С с е Уу£

м

(18)

(18)

Из соотношений (15)-(18) и леммы 5.1.1 следует, что для некоторой константы с\ > О

О < limsupО < limsupА^ОА^О/(А) RW/(А) RW< с\< с\е уу£dy + limsup.А^Ое уу£dy + limsup.А^ОW/X)К(1/А)W/X)К(1/А)(19)(19)

О < limsup

О < limsup

А^О

А^О

/(А) RW

/(А) RW

< с\

< с\

е уу£dy + limsup

.А^О

е уу£dy + limsup

.А^О

W/X)

К(1/А)

W/X)

К(1/А)

(19)

(19)

Устремляя в правой части (19) /И к бесконечности, а 5 к нулю и пользуясь соотношением (1), получаем, что

limsupА^ОlimsupА^О/(А)R(X)/(А)R(X)= 0,= 0,

limsup

А^О

limsup

А^О

/(А)

R(X)

/(А)

R(X)

= 0,

= 0,

откуда следует (14). Лемма 5.1.3 доказана.□

Доказательство леммы 5.1.4. Соотношение (4) выполнено тогда и только тогда, когда при А О

dy = o<RWYdy = o<RWY(20)(20)/(Л)

dy = o<RWY

dy = o<RWY

(20)

(20)

О

где

7?(А) = ye~yu(y/X)dy.

о

Представим интеграл /(А) в виде суммы /1+/2+/3 интегралов по множествам [0,5), [5,7И] и (7И,ос). В силу леммы 3.5.9 существуют такие д = 5(A) -^ 0 и М = М(А) —> оо при А 0, что

(1Мд_ -1 ) dy = o<R^Y (21) \/(1/А))(1Мд_ -1 ) dy = o<R^Y (21) \/(1/А))м

(1Мд_ -1 ) dy = o<R^Y (21) \/(1/А))

(1Мд_ -1 ) dy = o<R^Y (21) \/(1/А))

h = z/e"yu(z//A)

6

Оценим интеграл 1\;

50>/i = уе~уи{у/Х)о50>/i = уе~уи{у/Х)о5 l~^P^~^dy^~ ye"tiu<yjX>dy = о

5

0>/i = уе~уи{у/Х)о

5

0>/i = уе~уи{у/Х)о

б/ххи^е-Хх dxоб/ххи^е-Хх dxо6/Xxu(x)dx (22)06/Xxu(x)dx (22)0

б/х

хи^е-Хх dx

о

б/х

хи^е-Хх dx

о

6/X

xu(x)dx (22)

0

6/X

xu(x)dx (22)

0

при А^О. Заметим, чтопри А^О. Заметим, чтоR(X) = ye yu(y/X) dy = X20R(X) = ye yu(y/X) dy = X20хи^е Хх dxохи^е Хх dxо

при А^О. Заметим, что

при А^О. Заметим, что

R(X) = ye yu(y/X) dy = X2

0

R(X) = ye yu(y/X) dy = X2

0

хи^е Хх dx

о

хи^е Хх dx

о

i/A> A2 xu^e-Xx dx ^ A2e-10Поэтому в силу (22) и условия (3) при А О h-o<RWYДалее, при достаточно малых Аi/A> A2 xu^e-Xx dx ^ A2e-10Поэтому в силу (22) и условия (3) при А О h-o<RWYДалее, при достаточно малых А1/Аxu^dx.1/Аxu^dx.оо(23)(23)

i/A

> A2 xu^e-Xx dx ^ A2e-1

0

Поэтому в силу (22) и условия (3) при А О h-o<RWY

Далее, при достаточно малых А

i/A

> A2 xu^e-Xx dx ^ A2e-1

0

Поэтому в силу (22) и условия (3) при А О h-o<RWY

Далее, при достаточно малых А

1/А

xu^dx.

1/А

xu^dx.

о

о

(23)

(23)

0<RW0<RWf _ и(у/Х) (1(у/Х) А J zz(l/A) V(l/A) ) мf _ и(у/Х) (1(у/Х) А J zz(l/A) V(l/A) ) мJ к(1/А) У о.J к(1/А) У о.

0<

RW

0<

RW

f _ и(у/Х) (1(у/Х) А J zz(l/A) V(l/A) ) м

f _ и(у/Х) (1(у/Х) А J zz(l/A) V(l/A) ) м

J к(1/А) У о.

J к(1/А) У о.

ееye Mdy.ye Mdy.(24)(24)

е

е

ye Mdy.

ye Mdy.

(24)

(24)

□□

□

□

м1

Из соотношений (22)-(24) следует (20). Лемма 5.1.4 доказана.

Доказательство леммы 5.1.5. Соотношение (5) выполнено тогда и только тогда, когда

ЛА) =ЛА) =e~yV(y/X) (дд!21J ха ’\Цу/Х) оe~yV(y/X) (дд!21J ха ’\Цу/Х) оdy = o(R<Mdy = o(R<M(25)(25)

ЛА) =

ЛА) =

e~yV(y/X) (дд!21

J ха ’\Цу/Х) о

e~yV(y/X) (дд!21

J ха ’\Цу/Х) о

dy = o(R<M

dy = o(R<M

(25)

(25)

ГДеОО

R(X) = e-yV(y/X)dy.

о

Как и ранее, разобъем / на три интеграла: С, С и /3 по промежуткам [0,5), [5,7И] и (7И,ос) соответственно. В силу леммы 3.5.9 существуют такие 5 = 5(A) и М = М(А) при А 0, что

i2=o№ (ИО).i2=o№ (ИО).(26)(26)

i2=o№ (ИО).

i2=o№ (ИО).

(26)

(26)

Далее,5J ха \Цу/Х)оДалее,5J ха \Цу/Х)обб/Хe-yV^yJX^dy ^ -A V(x)dx.ообб/Хe-yV^yJX^dy ^ -A V(x)dx.оо

Далее,

5

J ха \Цу/Х)

о

Далее,

5

J ха \Цу/Х)

о

бб/Х

e-yV^yJX^dy ^ -A V(x)dx.

оо

бб/Х

e-yV^yJX^dy ^ -A V(x)dx.

оо

Кроме того, ос11/А

R(X) = е-уУ(у/Х^у e-yV^y/X^dy^e-X V^dx.

00о

Заметим, что при t —> оо, г = о^

ttV{u)du^ V(u)du^ V(u)du

t

t

000

ПоэтомуПоэтомуh=o(R(X^ (А^О).h=o(R(X^ (А^О).(27)(27)

Поэтому

Поэтому

h=o(R(X^ (А^О).

h=o(R(X^ (А^О).

(27)

(27)

Так как У(Г) слабо осциллирует, то согласно следствию 1.4.4 для некоторых констант с и а при достаточно малых А будут выполнены неравенства:

0<0<СRWСRW.К(1/А)м.К(1/А)мЩ/Х)Цу/Х)Щ/Х)Цу/Х)dydy.К(1/А)о.К(1/А)о

0<

0<

СRW

СRW

.К(1/А)

м

.К(1/А)

м

Щ/Х)

Цу/Х)

Щ/Х)

Цу/Х)

dy

dy

.К(1/А)

о

.К(1/А)

о

(28)(28)е

(28)

(28)

м

Из соотношений (26)-(28) следует (25). Лемма 5.1.5 доказана. □

Асимптотика k-х рекордных моментов

В настоящем разделе рассматривается частная схема по сравнению с предыдущей, когда ^п = 1 при n^N, однако изучаются более общие объекты, так называемые к-е рекордные моменты. Итак, пусть задана последовательность т/о^ь^» • • • независмых случайных величин с одной и той же непрерывной функцией распределения. Для каждого heZ^ по случайным величинам ро,рх,... ,рп построим вариационный ряд

Ло л ^ ЛХ,п ^ • • • ^ Лп,п-

к-е (к eN) рекордные моменты \v^k\nY п GZ+} определяются следующим образом: z/^(0) = k— 1 и

v^Hn^r 1) = min{/ > v^\nY р3- > Л]—к, y-i}, n EZ^.

Обычные рекордные моменты \иДД n E Z+} получаются из k-x при к = 1. к-е рекордные моменты введены в работах В. Дзюбдзиела и Б. Копоциньски [192, 193]. Производящие функции для них получены в работе Б. В. Невзорова [83].

В настоящем разделе изучается асимптотика вероятности того, что v^(п) > t (к и п фиксированы, t -^ ос). Здесь доказывается следующий результат.

Теорема 5.2.1. Для всех k,nEN при t -л ос

(1)

(л- 1)!

Теорема 5.2.1 доказана в статье автора [153].

Доказательство теоремы 5.2.1. Введем случайные величины

p^k4n> = v^k4n-\>^\ <k,nENY

(2)(2)В статье [83] показано, что при k,nEN и s Е [0,1) M/,M=rte(-ln(l-s)).

(2)

(2)

где

/\ к-Хл—Х^—кх М _ 0 — Л—х) ]/\ к-Хл—Х^—кх М _ 0 — Л—х) ](3)(3)кп

/\ к-Х

л—Х^—кх М _ 0 — Л—х) ]

/\ к-Х

л—Х^—кх М _ 0 — Л—х) ]

(3)

(3)

rknW = "~7

(л- 1)!

О

Положим с^п = кпДн — 1)!, m = k— 1. Вычислим r^tY Так как

,х\*-!,х\*-!1т1т

,х\*-!

,х\*-!

1

т

1

т

то согласно (3)то согласно (3)Положим / = k — i, у = (k — i^x. Заметим, чтоПоложим / = k — i, у = (k — i^x. Заметим, чтоИз (4) и (5) следует, чтот/ • \/1ГкАП = ^n ^(-iH „у-'ГЧп- 1)! I/=0\Z=0Из (4) и (5) следует, чтот/ • \/1ГкАП = ^n ^(-iH „у-'ГЧп- 1)! I/=0\Z=0

то согласно (3)

то согласно (3)

Положим / = k — i, у = (k — i^x. Заметим, что

Положим / = k — i, у = (k — i^x. Заметим, что

Из (4) и (5) следует, что

т/ • \/1

ГкАП = ^n ^(-iH „у-'ГЧп- 1)! I

/=0\Z=0

Из (4) и (5) следует, что

т/ • \/1

ГкАП = ^n ^(-iH „у-'ГЧп- 1)! I

/=0\Z=0

откуда

где

'=°<7>

При s Е [0,1) положим

^kn^^ —f>{/Rn)>!}?.(8)

Z=1

В силу соотношений (2) и (8) при s € [0,1)

,, А 1 — гл„(—1П(1 -8»

hknC") =;■(9)

(1 -s)

Из (6) и (9) получаем, что

^(S) = ^f-y(-l)ifZ\l-Sr1^-0’n + (l-s)m£a/(-ln(l-8))/\ \ VmV)

Продифференцируем последнее соотношение т раз по s:

п— 1 т МHm~i/ i \

/=0 /=0 ClS\ /

Полагая т^ = т^т — 1) • • • (т — / + 1), т^ = 1, получаем, что

— (l-s)m = m[/1(l-s)m-/(-l)/.(11)

ds3

Заметим, что при г eN

^(-Ind -s))z =(12)

ds(1~5)

где производящая функция

gr^ = Ybl-rsi

чисел bi)r, i = l,...,r, имеет вид

&(S) = s(s + l)---d + r-l).(13)

В самом деле, при г = 1 (12) и (13) справедливы, так как

ds(1-s)

Ь\д = 1 и gi(s) = s. Если же (12) и (13) имеют место для некоторого г Е N, то

^+1 / 1Л l\U (-ln(l~S))Z 1 ,

Заметим, что S2 можно представить в виде

vMl ~S))Z 1

Поэтому

Si +S2 = ^rbt,r + bt_{,M[

где bor = b\if = 0. Стало быть,

где b^vi = гЬцГ -\- Ь{_\)Г, /= 1,...,г+1. Из последних двух равенств следует, что

&+i (s) = ^гЬи + bi-\,rV = r^ bi.rS1 + Е bi.rs'+X =! = 1! = 1/=0

= rgr(s) + sgr(s) = (r + s)gr(s).

Поэтому, с учетом (13), мы приходим к равеству gr+\(s) = s(s+ 1) • • • (s + + r). Таким образом, соотношения (12) и (13) доказаны. Из (10)-(12) следует, что

п —1 т/ • \

/=0 /=0'

X (+ (-ln(l -S^Xr ) ,

М=1/

где г = т — j, Xr = 1 ПРИ ^ = О, \Л = О при г ^ 0. Поэтому

п — 1 т/ * \\

1=Q н\i=o/

где Bi r = b[ir при I e N и Bqz = Xr- Продифференцируем последнее равенство no s:

Es-.r/[i+11./=0Es-.r/[i+11./=0НПО-5))ДУ(1-S)НПО-5))ДУ(1-S)

Es-.r/[i+11

./=0

Es-.r/[i+11

./=0

НПО-5))ДУ(1-S)

НПО-5))ДУ(1-S)

В последнем выражении наивысшая степень логарифма достигается при / = п — 1, / = 0 и j = т, и равна она п — 2. Стало быть, при п >

> 1 И S t 1

(14)(14)--^^„(s) ~fe"(-l)ma„_im!(n- 1)

(14)

(14)

dsk(1-s)

(далее будет показано, что ап_\ у^О). Вычислим ап_\. Согласно (7)

Полагая в последней сумме j = m — i и учитывая, что (^) = (^) и к = = m-V 1, получаем, что

ап_х = -LJ_V(-iy( 1 )(/+1Г1 =(15)

(«-1)1^ Wv 7

где

л=Ем' </+1г' = -Е(-1)' ; У'. ив)

Введем производящую функцию

(17)

Заметим, что

В'^У^-Ч) = У4 7 ) =(l+s)m.

^=147/=о 4 7

Поэтому

\j (1+^)(1+s) —1, .

B(s)= (l+^)m^=- .(18)

Jк q к

Согласно (16), (17) и (18) А = — В(— 1) = \!к. Отсюда с учетом (15) следует, что i = (—l)m/((zz— 1)!^). Поэтому (14) можно переписать

в видев виде^hkn(X) ds^hkn(X) dsО-2У?'(1-s)О-2У?'(1-s)(19)(19)

в виде

в виде

^hkn(X) ds

^hkn(X) ds

О-2У?'(1-s)

О-2У?'(1-s)

(19)

(19)

при st 1. Теперь из (19) и теоремы 1.6.4 выводим, что

Р{р^(п) > гщ ^Ц Л!г*(1п0»-2

при ^ ^ оо и фиксированных k.rtEN, п> 1. Теорема 5.2.1 доказана. □

Список литературы

Антонов С.Н. К асимптотическому поведению безгранично делимых законов // Мат. заметки.— 1980.— Т. 28, №6.— С. 939-946.

Антонов С.Н., Круглов В.М. Об асимптотическом поведении безгранично делимых распределений в банаховом пространстве // Теор. вероятн. и ее примен.— 1982.— Т. 27, №4.— С. 625-642.

Антонов С.Н., Круглов В.М. Еще раз об асимптотическом поведении безгранично делимых распределений в банаховом пространстве // Теор. вероятн. и ее примен.— 1984.— Т. 29, №4.— С. 735-742.

Бабу Г.Дж., Манставичюс Э. Безгранично делимые предельные процессы для формулы выборок Эвенса // Liet. matem. rink.— 2002.— V. 42, №3.- Р. 294-307.

Балтрунас А., Якымив А.Л. Асимптотика второго порядка субэкспоненциальных безгранично делимых распределений // Теор. вероятн. и ее примен.— 2003.— Т. 48, №4.— С. 793-800.

Белогрудь В.П. Об одной тауберовой теореме // Матем. заметки.— 1974.- Т. 15, №2.- С. 187-190.

Бендер Э.А. Асимптотические методы в теории перечислений // В кн.: Перечислительные задачи комбинаторного анализа.— М.: Мир, 1979.— С. 266-310.

Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер.— М.: Наука, 1977.

Бойко Р.В. Периоды жизни ветвящегося процесса с переменным режимом // Некоторые вопросы теории случайных процессов. Сборник научных трудов.— Киев.— 1982.— С. 3-10.

Бойко Р.В. Периоды жизни ветвящегося процесса в лимитирующей среде // Укр. матем. ж.— 1983.— Т. 35, №3.— С. 283-289.

Болотников Ю.В., Сачков В.Н., Тараканов В.Е. Асимптотическая нормальность некоторых величин, связанных с цикловой структурой случайных подстановок // Матем. сб.— 1976.— Т. 99, № 1.— С. 121-133.

Болотников Ю.В., Сачков В.Н., Тараканов В.Е. О некоторых классах случайных величин на циклах случайных подстановок // Матем. сб.— 1979.- Т. 108, № 1.- С. 91-104.

Болотников Ю.В., Тараканов В.Е. Предельные распределения в задачах о циклах случайных подстановок // Комбинаторный и асимптотический анализ.— Красноярск.— 1977.— С. 62-68.

Варадарайн В.С. Меры на топологических пространствах // Матем. сб.- 1961.- Т. 55(97), № 1.- С. 35-100.

Ватутин В.А. Предельные теоремы для критического ветвящегося процесса Беллмана-Харриса с бесконечной дисперсией // Теор. вероятн. и ее примен.— 1976.— Т. 25, №4.— С. 861-863.

Ватутин В.А. Дискретные предельные распределения числа частиц в критических ветвящихся процессах Беллмана-Харриса // Теор. ве- роятн. и ее примен.— 1977.— Т. 26, № 1.— С. 150-155.

Ватутин В.А. Критический ветвящийся процесс Гальтона-Ватсона с эмиграцией // Теор. вероятн. и ее примен.— 1977.— Т. 22, №3.— С. 482-497.

Ватутин В.А. Дискретные предельные распределения числа частиц в ветвящихся процессах Беллмана-Харриса с несколькими типами частиц // Теор. вероятн. и ее примен.— 1979.— Т. 28, №3.— С. 503-514.

Ватутин В.А. Новая предельная теорема для критического ветвящегося процесса Беллмана-Харриса // Матем. сб.— 1979.— Т. 109, №3.— С. 440-452.

Ватутин В.А., Зубков А.М. Ветвящиеся процессы // Итоги науки и техники. Серия: «Теор. вероятн., матем. статистика, теор. киберн.» - ВИНИТИ.- 1985.- Т. 23.- С. 3-67.

Ватутин В.А., Сагитов С.М. Разложимый критический ветвящийся процесс с двумя типами частиц I // Теор. вероятн. и ее примен.— 1988.— Т. 33, №3.- С. 495-508.

Ватутин В.А., Сагитов С.М. Критические разложимые процессы Беллмана-Харриса с несколькими типами частиц, «далекие» от марковских // Матем. заметки.— 1988.— Т. 43, №2.— С. 276-282.

Ватутин В.А., Сагитов С.М. Критический ветвящийся процесс: далекое прошлое при благоприятном настоящем // Теор. вероятн. и ее примен.— 1991.— Т. 36, № 1.— С. 3-15.

Владимиров В.С. Методы теории функций многих комплексных переменных.— М.: Наука, 1964.

Владимиров В.С. Многомерное обобщение тауберовой теоремы Харди и Литтлвуда // Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1976.— Т. 40.— С. 1084— 1101.

Владимиров В.С., Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Многомерные тау- беровы теоремы для обобщенных функций.— М.: Наука, 1986.

Владимиров В.С., Завьялов Б.И. Тауберовы теоремы в квантовой теории поля // Итоги науки и техники: Современные проблемы математики.— ВИНИТИ.- 1980.- Т. 15.- С. 95-130.

Волынец Л.М. Число решений уравнения в симметрической группе // Вероятн. процессы и их приложения.— М.: МИЭМ, 1985.— С. 104-109.

Волынец Л.М. Число решений уравнения Xs = е в симметрической группе // Матем. заметки.— 1986.— Т. 40, №2.— С. 586-589.

Волынец Л.М. Оценка скорости сходимости к предельному распределению для числа циклов в случайной подстановке // Вероятн. задачи дискретной матем.— М.: МИЭМ.— 1987.— С. 40-46.

Волынец Л.М. Обобщенная схема размещения и распределение числа циклов в случайной подстановке // Тез. докл. 2-й Всес. конф, по вероятн. методам в дискр. мат.— Петрозаводск, 1988.— С. 27-28.

Волынец Л.М. Обобщенная схема размещения и распределение числа циклов в случайной подстановке // Вероятн. задачи дискретной матем.— М.: МИЭМ, 1988.- С. 131-136.

Волынец Л.М. Пример нестандартной асимптотики числа подстановок с ограничениями на длины циклов // Вероятн. процессы и их приложения.— М.: МИЭМ, 1989.— С. 85-90.

Гончаров В.Л. Из области комбинаторики // Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1944.- Т. 8.- С. 3-48.

Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.— М.: Физматгиз, 1962.

Данилов Л.И. О регулярности острого конуса в Rn // СМЖ.— Т. 26, №2.- С. 198-201.

Дрожжинов Ю.Н. Многомерная тауберова теорема для голоморфных функций ограниченного аргумента и квазиасимптотика пассивных систем // Матем. сб.— 1982.— № 1.— С. 45-61.

Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Теоремы сравнения тауберова типа // ДАН СССР.- 1984.- №3.- С. 680-682.

Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Асимптотические свойства некоторых классов обобщенных функций // Изв. АН СССР. Сер. матем.— 1985.— №1.- С. 77-131.

Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Многомерные тауберовы теоремы сравнения для обобщенных функций в конусах // Матем. сб.— 1985.— №4.- С. 499-524.

Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Многомерные абелевы и тауберовы теоремы сравнения // Матем. сб.— 1989.— Т. 180, №9.— С. 85—110.

Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Многомерные тауберовы теоремы сравнения для голоморфных функций ограниченного аргумента // Изв. АН СССР.- 1991.- №6.- С. 1097-1112.

Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Тауберовы теоремы для квазиасимп- тотических разложений мер с носителем в положительном октанте // Матем. сб.- 1994.- №2.- С. 185-209.

Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Квазиасимптотическое разложение меры // Publications de ITnstitut Mathematique, N. velle serie.— 1995.— V. 58.- P. 153-161.

Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Тауберова теорема типа Винера для обобщенных функций медленного роста // Матем. сб.— 1998.— Т. 189, №7.- С. 91-130.

Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Тауберовы теоремы для обобщенной мультипликативной свертки // Изв. РАН. Сер. матем.— 2000.— Т. 64, №1.- С. 37-94.

Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Тауберовы теоремы для обобщенных функций со значениями в банаховых пространствах // Изв. РАН. Сер. матем.- 2002.- Т. 66, №4.- С. 47-118.

Заиграев А.Ю., Нагаев А.В. Абелевы теоремы, граничные свойства сопряженных распределений и большие уклонения сумм независимых

случайных векторов // Теор. вероятн. и ее примен.— 2003.— Т. 48, №4.- С. 701-719.

Золотарев В.М. Уточнение ряда предельных теорем теории ветвящихся случайных процессов // Теор. вероятн. и ее примен.— 1957.— Т. 2, №2.- С. 256-266.

Золотарев В.М. Об асимптотическом поведении одного класса безгранично делимых законов распределения // Теор. вероятн. и ее примен.— 1961.- Т. 6, №3.- С. 330-334.

Золотарев В.М. Аналитическое строение безгранично делимых законов класса L // Лит. матем. сб.— 1963.— Т. 3, № 1.— С. 123-140.

Золотарев В.М. Асимптотическое поведение распределений процессов с независимыми приращениями // Теор. вероятн. и ее примен.— 1965.— Т. 10, №1.- С. 33-50.

Золотарев В.М., Шиганов И.С. Дополнения // В кн.: Правильно меняющиеся функции.— М.: Наука, 1985.

Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. О случайных подстановках // Труды по дискретной математике. Т. 4.— М.: Физматлит, 2001.— С. 71-82.

Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. О случайных подстановках // Труды по дискретной математике. Т. 5.— М.: Физматлит, 2002.— С. 73-92.

Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Метод В. Л. Гончарова и его развитие в анализе различных моделей случайных подстановок // Теор. вероятн. и ее примен.— 2002.— Т. 47, №3.— С. 558-566.

Казимиров И.И. О некоторых условиях отсутствия гигантской компоненты в обобщенной схеме размещения частиц // Дискр. матем.— 2002.— Т. 14, №2.- С. 107-118.

Казимиров И.И. Возникновение гигантской компоненты в случайной подстановке с известным числом циклов // Дискр. матем.— 2003.— Т. 15, №3.- С. 145-159.

Кейперс Л., Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей.— М.: Наука, 1985.

Келдыш М.В. Об одной тауберовой теореме // Труды МИАН СССР.— 1951.- Т. 38.- С. 77-86.

Козлов С.М. Многомерные спектральные асимптотики для эллиптических операторов // ДАН СССР.— 1983.— №4.— С. 789-793.

Колчин А.В. Уравнения, содержащие неизвестную подстановку // Дискр. матем.- 1994.- Т. 12, №1.- С. 100-115.

Колчин В.Ф. Одна задача о размещении частиц по ячейкам и циклы случайной подстановки // Теор. вероятн. и ее примен.— 1971.— Т. 16, №1.- С. 67-82.

Колчин В.Ф. Случайные отображения.— М.: Наука, 1984.

Колчин В.Ф. О числе циклов подстановок с ограничениями на длины циклов // Дискр. матем.— 1991.— Т. 3, №2.— С. 97-109.

Колчин В.Ф. Случайные графы.— М.: Физматлит, 2000.

Колчин В.Ф. О существовании гигантской компоненты в схемах размещения частиц // Обозрение прикл. и промышл. матем.— 2000.— Т. 7, №1.- С. 112-113.

Колчин В.Ф., Чистяков В.П. Комбинаторные задачи теории вероятностей // ВИНИТИ. Итоги науки и техники. Сер. «Теор. вероятн. Матем. стат. Теор. киберн.» — 1974.— Т. 11.— С. 5-45.

Костюченко А.Г., Саргсян И.С. Распределение собственных значений.— М.: Наука, 1979.

Круглов В.М. Замечание к теории безгранично делимых законов // Теор. вероятн. и ее примен.— 1970.— Т. 15, №2.— С. 330-336.

Круглов В.М. Интегралы по безгранично делимым распределениям в гильбертовом пространстве // Матем. заметки.— 1972.— Т. 11, №6.— С. 669-676.

Круглов В.М. Сходимость числовых характеристик сумм независимых случайных величин со значениями в гильбертовом пространстве // Теор. вероятн. и ее примен.— 1973.— Т. 18, №4.— С. 734-752.

Круглов В.М. О безгранично делимых распределениях в гильбертовом пространстве // Матем. заметки.— 1974.— Т. 16, №4.— С. 585-594.

Круглов В.М. Характеризация одного класса распределений в гильбертовом пространстве // Матем. заметки.— 1974.— Т. 16, №5.— С. 777-782.

Круглов В.М. Дополнительные главы теории вероятностей / Учеб, пособие.— М.: Высшая школа, 1984.

Манставичюс Э. Аддитивные и мультипликативные функции на случайных подстановках // Lith. Math. J.— 1996.— V. 36, N.4.— Р. 400-408.

Мацаев В.И., Палант Ю.А. О распределении спектра полиномиального операторного пучка // ДАН АрмССР.— 1966.— Т. 42, №5.— С. 836845.

Минеев М.П., Павлов А.И. О числе подстановок специального вида // Матем. сб.— 1976.- Т. 99, №3.- С. 468-476.

Минеев М.П., Павлов А.И. Об уравнении в подстановках // Труды МИАН СССР.- 1976.- Т. 142.- С. 182-194.

Михалин Г.А. Обобщение одной теоремы Харди-Литтлвуда // Изв. вузов. Сер. матем.— 1985.— №4.— С. 83-85.

Нагаев С.В. Переходные явления для зависящих от возраста ветвящихся процессов с дискретным временем // Сиб. матем. ж.— 1974.— Т. 15, №3.- С. 570-579.

Невзоров В.Б. Рекорды // Теор. вероятн. и ее примен.— 1987.— Т. 32, №2.- С. 219-251.

Невзоров В.Б. Производящие функции для k-x рекордных моментов — мартингальный подход // Записки научных семинаров ЛОМИ.— 1990.— Т. 184.- С. 208-214.

Невзоров В.Б. Рекорды. Математическая теория.— М.: Фазис, 2000.

Новиков А.А. Мартингальные тождества, неравенства и их применение в нелинейных граничных задачах для случайных процессов // Докт. дис.— М.: МИАН СССР, 1982.

Павлов А.И. О числе циклов и цикловой структуре подстановок некоторых классов // Матем. сб.— 1984.— Т. 124, №4.— С. 536-556.

Павлов А.И. О некоторых классах подстановок с теоретико-числовыми ограничениями на длины циклов // Матем. сб.— 1986.— Т. 129, №2- С. 252-263.

Павлов А.И. О подстановках с длинами циклов из заданного множества // Теор. вероятн. и ее примен.— 1986.— Т. 31, №3.— С. 618-619.

Павлов А.И. Локальные теоремы для числа компонент в случайных подстановках и отображениях // Теор. вероятн. и ее примен.— 1988.— Т. 33, №1.- С. 196-200.

Павлов А.И. О числе подстановок с длинами циклов из заданного множества // Дискр. матем.— 1991.— Т. 3, №3.— С. 109-123.

Павлов А.И. О числе подстановок с конечным множеством длин циклов И Труды МИРАН.- 1994.- Т. 207.- С. 256-267.

Павлов А.И. О двух классах подстановок с теоретико-числовыми ограничениями на длины циклов // Матем. заметки.— 1997.— Т. 62, №6.— С. 881-891.

Павлов Ю.Л. Предельные распределения одной характеристики случайного отображения // Теор. вероятн. и ее примен.— 1981.— Т. 27, №4- С. 841-846.

Павлов Ю.Л. О случайных отображениях с ограничениями на число циклов и Труды МИАН СССР.- 1986.- Т. 187.- С. 122-132.

Петров В.В. Суммы независимых случайных величин.— М.: Наука, 1985.

Постников А.Г. Введение в аналитическую теорию чисел.— М.: Наука, 1971.

Постников А.Г. Тауберова теория и ее применения.— М.: Наука, 1979.

Рогозин Б.А. Тауберовы теоремы для мажорируемо меняющихся убывающих функций Ц Теор. вероятн. и ее примен.— 2002.— Т. 47, №2- С. 357-363.

Рогозин Б.А. Тауберова теорема для мажорируемо меняющихся возрастающих функций // Сиб. мат. ж.— 2002.— Т. 43, №2.— С. 442-445.

Сагитов С.М. Предельная теорема для критического ветвящегося процесса общего вида // Матем. заметки.— 1983.— Т. 34, №3.— С. 453461.

Сагитов С.М. Предельное поведение общих ветвящихся процессов II Матем. заметки.— 1986.— Т. 39, №1.— С. 144-154.

Сагитов С.М. Ветвящийся процесс при условии невырождения в далеком будущем // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат.— 1986.— №3.— С. 3738.

Сагитов С.М. Новая предельная теорема для редуцированных критических ветвящихся процессов // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат.— 1989.— №3.- С. 33-36.

Сагитов С.М. Три предельные теоремы для редуцированных критических ветвящихся процессов // УМН.— 1955, №5.— С. 183-202.

Сачков В.Н. Отображения конечного множества с ограничениями на контур и высоту // Теор. вероятн. и ее примен.— 1972.— Т. 17, №4- С. 679-694.

Сачков В.Н. Случайные отображения ограниченной высоты // Теор. вероятн. и ее примен.— 1973.— Т. 18, №1.— С. 122-132.

Сачков В.Н. Вероятностные методы в комбинаторном анализе.— М.: Наука, 1978.

Сгибнев М.С. Асимптотика безгранично делимых распределений в Rn // Труды МИ СО АН СССР.- 1989.- Т. 13.- С. 100-116.

Сгибнев М.С. Асимптотика безгранично делимых распределений в R // Сиб. матем. ж.— 1990.— Т. 31, № 1.— С. 135-140.

НО. Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы.— М.: Наука, 1971.

Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы, ограниченные снизу // ДАН СССР.- 1978.- Т. 238, №4.- С. 811-813.

Севастьянов Б.А. Вероятности вырождения ограниченных снизу ветвящихся процессов // Теор. вероятн. и ее примен.— 1995.— Т. 40, №3.— С. 556-564.

Севастьянов Б.А. Вероятности вырождения ограниченных снизу докри- тических многотипных ветвящихся процессов // Дискр. матем.— 1997.— Т. 9, №1.- С. 3-11.

Севастьянов Б.А. Асимптотическое поведение вероятностей вырождения остановленных ветвящихся процессов // Теор. вероятн. и ее примен.- 1998.- Т. 43, №2.- С. 390-397.

Сенета Е. Правильно меняющиеся функции.— М.: Наука, 1985.

Степанов В.Е. Предельные распределения некоторых характеристик случайных отображений // Теор. вероятн. и ее примен.— 1969.— Т. 14, №4.- С. 639-653.

Степанов В.Е. Случайные графы // Вопросы кибернетики. Труды сем. по комб. матем.— М.: Сов. радио, 1973.— С. 164-185.

Субханкулов М.А. Тауберовы теоремы с остатком.— М.: Наука, 1966.

Султанаев Я.Т. О спектре неполуограниченных обыкновенных дифференциальных операторов // Канд, дис.— М.: МГУ, 1974.

Тараканов В.Е., Чистяков В.Н. О цикловой структуре случайных подстановок // Матем. сб.— 1975.— Т. 96, №4.— С. 594-600.

Тимашев А.Н. Об асимптотических разложениях для чисел Стирлинга 1-го и 2-го рода // Дискр. матем.— 1998.— Т. 10, №3.— С. 148-159.

Тимашев А.Н. О распределении числа циклов заданной длины в классе подстановок с известным числом циклов // Дискр. матем.— 2001.— Т. 13, №4.- С. 60-72.

Тимашев А.Н. Об асимптотических разложениях для чила циклов в случайной подстановке // Дискр. матем.— 2003.- Т. 15, №3.— С. 117-127.

Топчий В.А. Об асимптотике вероятности продолжения критических общих ветвящихся процессов // ДАН СССР.— 1980.— Т. 252.— С. 55-77.

Топчий В.А. Асимптотика вероятности продолжения критических общих ветвящихся процессов // Теор. вероятн. и ее примен.— 1982.— Т. 27, №4.- С. 667-683.

Топчий В.А. Асимптотика вероятности продолжения критических общих ветвящихся процессов без второго момента у численности потомства // Труды ИМ СО АН СССР.- 1984.- Т. 3.- С. 181-197.

Топчий В.А. Свойства вероятности продолжения общих критических ветвящихся процессов при слабых ограничениях // Сиб. матем. ж.— 1987.- Т. 28, №5.- С. 178-192.

Топчий В.А. Обобщение результатов о вероятности продолжения общих критических ветвящихся процессов // Стохастические модели и информационные системы: Сб. тр.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1987.— С. 143-179.

Топчий В.А. Предельные теоремы для критических общих ветвящихся процессов с долгоживущими частицами // Стохастические и детерминированные модели сложных систем.— Новосибирск, 1988.— С. 114-154.

Топчий В.А. Умеренные уклонения для общей численности частиц в критических ветвящихся процессах // Теор. вероятн. и ее примен.- 1988.— Т. 33, №2.- С. 406-409.

Топчий В.А. Свойства общей численности частиц на вырождающихся траекториях ветвящихся процессов // Сибир. мат. журн.— 1988.— Т. 29, №6.- С. 135-143.

Топчий В.А. Асимптотика вероятностей уклонений общей численности частиц в общих критических ветвящихся процессах // Сб. тр.: Стохастические модели сложных систем.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1990.- С. 88-94.

Топчий В.А. Совместные распределения для критических общих ветвящихся процессов с одним типом долгоживущих частиц // Сиб. матем. ж.- 1991.- Т. 32, №4.- С. 153-164.

Улановский А.М. Об асимптотическом поведении безгранично делимых распределений на бесконечности // Теор. функций, функц. анализ и их прил.— Харьков, 1981.— №35.— С. 100-147.

Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2.— М.: Мир, 1984.

Харрис Т.Е. Теория ветвящихся процессов.— М.: Мир, 1966.

Челидзе Е. Абелева теорема для двойного преобразования Лапласа // Сообщения АН ГрузССР.- 1977.- Т. 85, № 1.- С. 25-28.

Черепанова Е.В. Предельные распределения числа циклов заданной длины в случайной подстановке с известным числом циклов // Дискр. матем.- 2003.- Т. 15, №3.- С. 128-144.

Чистяков В.П. Теорема о суммах независимых положительных случайных величин и ее приложения к ветвящимся случайным процессам // Теор. вероятн. и ее примен.— 1964.— Т. 9, №4.— С. 710-718.

Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Т. 2.— М.: Наука, 1976.

Якымив А.Л. Предельные теоремы для ветвящихся процессов // Канд, дис.— М.: МГУ, 1981.

Якымив А.Л. Многомерные тауберовы теоремы и их применение к ветвящимся процессам Беллмана-Харриса // Матем. сб.— 1981.— Т. 115, №3.- С. 463-477.

Якымив А.Л. Многомерные тауберовы теоремы типа Карамата, Келдыша и Литтлвуда // ДАН СССР.- Т. 270, №3.- С. 558-561.

Якымив А.Л. Две предельные теоремы для критических ветвящихся процессов Беллмана-Харриса // Матем. заметки.— 1984.— Т. 36, № 1.— С. 109-116.

Якымив А.Л. Асимптотика вероятности продолжения критических ветвящихся процессов Беллмана-Харриса // Труды МИАН СССР.— 1986.— Т. 177.- С. 177-205.

Якымив А.Л. Асимптотические свойства моментов изменения состояний в случайном процессе рекордов // Теор. вероятн. и ее примен.— 1986.— Т. 31, №3.- С. 577-581.

Якымив А.Л. Асимптотическое поведение одного класса безгранично делимых распределений // Теор. вероятн. и ее примен.— 1987.— Т. 32, №4.- С. 691-702.

Якымив А.Л. О числе А-подстановок // Матем. сб.— 1989.— Т. 180, №2.- С. 294-303.

Якымив А.Л. О подстановках с длинами циклов из заданного множества // Дискр. матем.— 1989.— Т. 1, № 1.— С. 125-134.

Якымив А.Л. Асимптотика плотности безгранично делимого распределения на бесконечности // Проблемы устойчивости стохастических моделей: Тр. сем.- М.: ВНИИСИ, 1990.- С. 123-131.

Якымив А.Л. О случайных подстановках с длинами циклов из заданного множества // Вероятностные процессы и их приложения: Межвуз. сб.— М.: МИЭМ, 1991.- С. 24-27.

Якымив А.Л. О некоторых классах подстановок с длинами циклов из заданного множества // Дискр. матем.— 1992.— Т. 4, №3.— С. 128— 134.

Якымив А.Л. Асимптотика k-x рекордных моментов // Теор. вероятн. и ее примен.— 1995.— Т. 40, №4 - С. 925-928.

Якымив А.Л. О числе подстановок с длинами циклов из случайного множества // Дискр. матем.— 2000.— Т. 12, №4.— С. 53-62.

Якымив А.Л. Явные неравенства для асимптотики субэкспоненциальных безгранично делимых распределений // Матем. зам.— 2000.— Т. 67, №2.- С. 295-301.

Якымив А.Л. Об асимптотике плотности безгранично делимых распределений на бесконечности // Теор. вероятн. и ее примен.— 2002.— Т. 47, №1.- С. 80-89.

Якымив А.Л. Тауберова теорема для преобразования Стилтьеса // Математические заметки, 2003.— Т. 73, №2.— С. 305-314.

Якымив А.Л. Тауберовы теоремы и асимптотика безгранично делимых распределений в конусе // Теор. вероятн. и ее примен.— 2003.— Т. 48, №3.- С. 487-502.

Abel N.H. Untersuchungen fiber die Reihe 1 + mx/\ + m^m — 1)x2/1 • 2 + ... // J. ffir Math.- 1826.- V. 1.- P. 311-339.

de Acosta A. Exponential moments of vector valued random series and triangular arrays // Ann. Probab.— 1980.— V. 8, N. 2.— P. 381-389.

de Acosta A., Cine E. Convergence of moments and the central limit theorem in Banach spaces // Z. Wahrsch. verw. Geb.— 1979.— B. 48.— S. 213-231.

Aljancic S., Bojanic R., Tomic M. Slowly Varying Functions with Remainder Term and their Applications in Analysis.— 1974, Serb. Arts Monografs CDLXVIII Sect. Nat. Math. Sci.- 41.

Alpdr L. Tauberian theorems for power series of several variables // Colloqia Math. Soc. Janos Balyai 19, Fourier Analysis and Approximation Theory.— Budapest, Hungary, 1976.— P. 51-87.

Alpdr L. Tauberian theorems for power series of two variables // Studia Scien. Math. Hungarica.— 1984.— V. 19.— P. 165-176.

Araujo A., Cine E. The Central Limit Theorem for Real and Banach Valued Random Variables.— New York: Wiley, 1980.

Arratia R.A., Barbour A.D., Tavare S. Poisson process approximations for the Ewens Sampling Formula // Ann. Appl. Probab.— 1992.— V. 2.— P. 519-535.

Athreya K.B., Ney P.E. Branching Processes.— Berlin: Springer-Verlag, 1972.

Babu G.J., Manstavicius E. Random permutations and the Ewens sampling formula in genetics / Grigelionis B. et al. (ed.) // Probability theory and mathematical statistics. Proceedings of the 7th international Vilnius conference, Vilnius, Lithuania, August 12-18, 1998.— Vilnius: TEV, 1999.— P. 33-42.

Babu G.J., Manstavicius E. Brownian motion for random permutations // Sankhya, Ser. A.- 1999.- V. 61, N. 3.- P. 312-327.

Bajasanski В., К ar am at a J. Regularly varying functions and the principle of equicontinuity // Publ. Ramanujan Inst.— 1968/69.— V. 1.— P. 235246.

Balakrishnan N, Nevzorov V.B. Record of records // Handbook of statistic.- 1998.- V. 16.- P. 515-570.

Baltrunas A., Omey E. The rate of convergence for subexponential distribution // Liet. Matem. Rink.- 1998.- V. 38, N. 1.- P. 1-18.

Basrak B., Davis R.A., Mikosh T. A characterization of multivariate regular variation // The Annals of Applied Probab.— 2002.— V. 12, N. 3.— P. 908920.

Bingham N.H. On Valiron and circle convergence // Math. Z.— 1984.— V. 186.- P. 273-286.

Bingham N.H. On a theorem of Klosowska about generalised convolutions // Colloq. Math.- 1984.- V. 48.- P. 117-125.

Bingham N.H. On the limit of a supercritical branching process. A celebration of applied probability // J. Appl. Probab.— 1988, Spec.— V. 25A.— P. 215-228.

Bingham N.H. Tauberian theorems in probability rheory // Leet. Notes in Math.- 1989.- V. 1379.- P. 6-20.

Bingham N.H., Doney R.A. Asymptotic properties of supercritical branching processes. I: The Galton-Watson process // Adv. Appl. Probab.— 1974.— V. 6.- P. 711-731.

Bingham N.H., Goldie Ch.M. Extentions of regular variation, I: Uniformity and quantifiers // Proc. London Math. Soc., Ill series.— 1982.— V. 44.— P. 473-496.

Bingham N.H., Goldie Ch.M. Extentions of regular variation, II: Representations and indices // Proc. London Math. Soc., Ill series.— 1982.— V. 44.- P. 497-534.

Bingham N.H., Goldie Ch.M., Teugels J.L. Regular variation, Cambridge University Press.— 1987.

Bojanic R., Seneta E. Slowly varying functions and asymptotic relations // J. Math. Anal. Appl.- 1971.- V. 34, N. 2.- P. 302-315.

Broniatowski M., Fuchs A. Tauberian theorems, Chernoff inequality and the tail behavior of finite convolutions of distribution functions // Adv. Math.— 1995.- V. 116, N. 1.- P. 12-33.

Buldygin V.V., Klesov O.I., Steinebach J.G. Properties of a subclass of Avakumovic functions and their generalized inverses // Ukrainian Math. J.- 2002.- V. 54, N. 2.- P. 179-206.

Choc er J., Ney P., Wainger S. Functions of probability measures // J. Anal. Math.- 1973.- V. 26.- P. 255-302.

Chocer J., Ney P., Wainger S. Degeneracy properties of subcritical branching processes // Ann. Probab.— 1973.— V. 1.— P. 663-673.

Delange H. Theorems tauberiens relatifs a I’integrale de Laplace // J. Math. Pures Appl. IX Ser.- 1963.- V. 42.- P. 253-309.

Delange H. Theorems tauberiens pour les series multiples de Dirihlet et les integrales multiples de Laplace // Ann. Scient. Ecole no. rm. super, ser. 3.— 1963, XLII-Fasc.

Delacault H. Les transformations integrales a plusiers variables et leurs applications // Memorial des sciences math., Fasc. CXLVIII, Paris.— 1961.

Diamond Ph. Slowly varying functions of two varibles and a Tauberian theorem for the double Laplace transform // Appl. Anal.— 1987.— V. 23.— P. 301-318.

Donnelly P., Kurtz T.G., Tacare S. On the functional central limit theorem for the Ewens Sampling Formula // Ann. Appl. Probab.— 1991.— V. 1.— P. 539-545.

Dziubdziela W. Rozklady graniezne ekstremalnych statistyk pozycyjnuch // Roczniki Polsk. Tow. Mat.— 1977, ser. 3.— V. 9.— P. 45-71.

Dziubdziela W., Kopocinski B. Limiting properties of the &th record values // Zastosow. Mat.- 1976.- V. 15, N. 2.- P. 187-190.

Embrechts Р. A second-order theorem for Laplace transforms // J. London Math. Soc.- 1978.- V. 17.- P. 102-106.

Embrechts P., Goldie Ch. M., Ver acerb eke N. Subexponentiality and infinite divisibility // Z. Wahrsch. verw. Gebiete.— 1979.— B. 49.— S. 335-347.

Embrechts P., Goldie Ch.M. On convolution tails // Stoch. Proc, and AppL- 1982.- V. 13.- P. 263-278.

Embrechts P., Omey E. On subordinated distribution and random record processes // Math. Proc. Camb. Phil. Soc.— 1983.— V. 93.— P. 339-353.

Esty W. W. Critical age-dependent branching processes // Ann. of Probab.— 1975.- V. 23, N. 1.- P. 49-60.

Ewens W.J. The sampling theory of selectively neutral alleles // Theor. Popul. Biol.- 1972.- V. 3.- P. 87-112.

Feigin P.D., Yashchin E. On a strong Tauberian result // Z. Wahrschein- lichkeitstheor. Verw. Geb.— 1983.— V. 65.— P. 35-48.

Frennemo L. On general Tauberian remainder theorems // Math. Scand.— 1965.- V. 17.- P. 77-80.

Frennemo L. Tauberian problems for the /г-dimentional Laplace transform H Math. Scand.- 1966.- V. 19.- P. 41-53; 1967.- V. 20.- P. 225-239.

Ganelius Т.Н. Tauberian remainder theorems // Leet. Notes Math.— 1971.- V. 232.

Gacer D.P. Random record models // J.AppL Prob.— 1976.— V. 13, N. 3.— P. 538-547.

Geluk J.L., de Haan L. Regular vatiation, extensions and Tauberian theorems // CWI tract 40, Centre for Mathematics and Computer Science.— M.C., Amsterdam, 1987.

Geluk J.L., Peng, L. Second-order regular variation and the domain of attraction of stable distributions // Analysis, 2000.— V. 20, N. 4.— P. 359371.

Goldstein MJ. Critical age-dependent branching processes: single and multitype // Z. Wahr. verw. Geb.— 1971.— B. 17, N. 1.— S. 74-83.

Greenwood P., Resnick S. k bivariate stable characterization and domains of attraction // J. Multivar. An.— 1979.— V. 9.— P. 206-221.

Grilbel R. Uber unbegrenzt teilbare Verteilungen // Arch. Math.— 1983.— V. 41, N. 1.- P. 80-88.

Grilbel R. Functions of discrete probability mesures: rates of convergence in the renewal theory // Z. Wahr. verw Geb.— 1983.— B. 64.— S. 341-357.

Grilbel R. On subordinate distributions and generalised renewal mesures // Ann. Probab.- 1987.- V. 15, N. 1.- P. 394-415.

Grusho A.A. Properties of random permutations with constrains on the maximum cycle length // Pros. 3rd Intern. Petrozavodsk Conf, on Probab. Methods in Discrete Math.— 1993.— P. 459-469.

de Haan L. On regular variation and its applications to weak convergence of sample extrems.— Amsterdam: Math. Centre Tracts 32, 1970.

de Haan L. An Abel-Tauber theorem for Laplace transform // J. London Math. Soc.- 1976.- V. 13.- P. 537-542.

de Haan L. Multivariate regular variation and application in probability theory // Multivariate Analysis VI, Elselvier Sc. Publ. B.V.— 1985.

de Haan L., Omey E. Integrals and derivatives of regularly varying functions in Rd and domains of attraction of stable distributions II // Stoch. Proc, and Appl.- 1983.- V. 16.- P. 157-170.

de Haan L., Omey E., Resnick S. Domains of attraction and regular variation in Rd 11 J. Multiv. An.- 1984.- V. 14.- P. 17-33.

de Haan L., Stadtmilller U. Dominated variation and related concepts and Tauberian theorems for Laplace transforms // J. Math. Anal. Appl.— 1985.- V. 108.- P. 344-365.

Hansen J.S. X functional central limit theorem for the Ewens Sampling Formula Ц J. Appl. Probab.- 1990.- V. 27.- P. 28-43.

Hardy G.H., Littlewood J.E. Contributions to the arithmetic theory of series // Proc. London Math. Soc.- 1913.- V. 2, N. 11.- P. 411-478.

Hardy G.H., Littlewood J.E. Tauberian theorems conserning power series and Dirichlet’s series whose coefficients are positive // Proc. London Math. Soc.- 1914.- V. 13.- P. 174-191.

Heinrich L. On the asymptotic behaviour of the integral J^°^^%(^ - - j^q—^)dx (t —^ 0) and rates of convergence to а-stable limit laws // Z. Anal. Anwend.— 2001.- V. 20, N. 2.- P. 379-394.

Hikaru O. On the asymptotic tail behaviours of infinitely divisible distribu- tons // Yokohama Math. J.- 1989.- V. 27, N. 2.- P. 77-89.

Jagers P. Branching processes with biological applications.— London.: Wiley? 1975.

Janssen A. One-sided stable distributions and the local approximation of exponential families // 16th Eur. Meet. Statisticians, Marburg, Ger.— 1984, Suppl. Issues Stat. Decis.— 1985.— V. 2.— P. 39-45.

Karamata J. Sur un mode croissanse reguliere des fonctions // Mathematica (Cluj.).- 1930.- V. 4.- P. 38-53.

Karamata J. Uber die Hardy-Littelwoodsche Umkehrungen des Abelschen Steitigkeitssatzes // Math. Z.— 1930.— V. 32.— P. 319-320.

Karamata J. Neuer Beweis und Verallgemeinerung einiger Tauberian-Satze // Math. Z.- 1931, Bd. 33, N. 2.- S. 294-299.

Karamata J. Sur la rapport entre la convergence d’une suite des fonctions // Studia Mathematica.— 1931.— V. 3.— P. 67-76.

Kasahara Y., Kosugi N. Remarks on Tauberian theorem of exponential type and Fenchel-Legendre transform // Osaka J. Math.— 2002.— V. 39, N. 3.— P. 613-619.

Kasahara Y., Kono N., Ogawa T. On tail probability of local times of Gaussian processes // Stoch. Proc. Appl.— 1999.— V. 82, N. 1.— P. 1521.

Ken-Iti Sato. Levy Processes and Infinitely Divisible Distributions.— Cambridge: University Press, 1999.

Klilppelberg С., Mikosh Т., Scharf Л. Regular variation in the mean and stable limits for Poisson shot no. ise // Bernoulli, 2003.— V. 9, N. 3.— P. 467-496.

Knopp K. Limitrungs Umkehratze fur Doppelfolgen // Math. Z.— 1939.— Bd. 45, N. 4.- S. 15-28.

Kolchin V.F. The number of permutations with cycle lengths from a fixed set // Random Grafs’89.— New York: Wiley, 1992.— P. 139-149.

Kono N, Ogawa T. On tail probability of local times of Gaussian processes П Stochastic Processes Appl.— 1999.— V. 82, N. 1.— P. 15-21.

Korevaar J. X very general form of Littlewood’s theorem // Proc. Kon. Ned. Akad. Wetensch. Ser. A.- 1954.- V. 57.- P. 36-45.

Li W. V., Shao Q.-M. Gaussian processes: Inequalities, small ball probabilities and applications / Shanbhag D.N. et al. (ed.) // Stochastic processes: Theory and methods. Amsterdam: North-Holland, Elsevier. Handb. Stat.— 2001.- V. 19.- P. 533-597.

Littlewood LE. The converse of Abel’s theorems for power series // Proc. London Math. Soc.- 1910.- V. 9.- P. 434-448.

Manstavicius E. Value concentration of additive functions on random permutations // Acta Appl. Math.— 2003.— V. 79, N. 1-2.— P. 1-8.

Manstavicius E. On random permutations without cycles of some lengths H Period. Math. Hung.- 2001.- V. 42, N. 1-2.- P. 37-44.

Meerschaert M.M. Regular variation and domains of attraction in Rk // Stat, and Prob. Letters.— 1986.— V. 4.— P. 43-45.

Meerschaert M.M. Regular variation in Rk 11 Proc. Am. Math. Soc.— 1988.- V. 102, N. 2.- P. 341-348.

Meerschaert M.M. Regular variation and generalized domains of attraction in Rk Ц Stat. Probab. Lett.- 1993.- V. 18.- P. 233-239.

Meerschaert M.M., Scheffler H.P. Multivariable regular variation of functions and measures // J. Appl. Anal.— 1999.— V. 5, N. 1.— P. 125-146.

Molchanov I.S. On regularly varying multivalued functions // Stability problems for stochastic models (Suzdal, 1991), Leet. Notes in Math.— 1993.- V. 1546.- P. 121-129.

Nagaraja H.N. Record values and related statistics. A review // Comm. Statist. Theory Meth., ser. A.- 1988.- V. 17, N. 7.- P. 2223-2238.

Nevels K. On stable attraction and Tauberian theorems, Ph.D., University of Groningen.— 1974.— P. 1-143.

Nicolic-Despotovic, Pilipovic S. Tauberian theorems for the distributional Stieltjes transformation // Internal. J. Math. Sci.— 1986.— V. 9, N. 3.— P. 521-524.

Omey E. Infinite divisibility and random sums of random vectors // Yokohama Math. J.- 1985.- V. 33, N. 1-2.- P. 39-48.

Omey E. Tauberian theorems with remainder // J. London Math. Soc.— V. 32, part 1.- P. 116-132.

Omey E. Multivariate regular variation and application in probability theory.— Brussel, 1989.

Отеу Е., Willekens Е. Abelian and Tauberian theorems for Laplace transform of functions in several variables // Technical Report, T.U. Eindhoven.— 1988.

Отеу E., Willekens E. Abelian and Tauberian theorems for Laplace transform of functions in several variables // J. Multivar. Anal.— 1989.— V. 30, N. 2.- P. 292-306.

Ostrogorski T. Abelian type theorems for some integral transforms in Rn // Publ. Inst. Math.- 1984.- V. 35.- P. 93-103.

Ostrogorski T. Asymptotic behaviour of Fourier transforms in Rn 11 Publ. Inst. Math.- 1984.- V. 35.- P. 103-117.

Ostrogorski T. Regular variation on homogeneous cones // Slobodan Al- jancic memorial volume. Publ. Inst. Math.— 1995.— V. 58(72).— P. 51-70.

Ostrogorski T. Regular variation in R^ 11 Mathematica.— 1997.— V. 39(62), N. 2.- P. 265-276.

Ostrogorski T. Regular variation on the light cone // Mathematica Moravica (Proceedings of the International Workshop in Analisys and its Applications).— 1977.— P. 71-84.

Ostrogorski T. Regular variation and Banach-Steinhaus theorem // Nieuw Arch. Wisk.- 1998.- V. 4(16), N. 1-2.- P. 27-36.

Pilipovic S., Stancovic B., Takaci A. Asymptotic behaviour and Stieltjes transformation of distributions // Teubner-Texte our Mathematik, Band 116.- 1990.

Pilipovic S. On the quasiasymptotic behaviour of the Stieltjes transformation of distributions // Publ. Inst. Math.— 1987.— V. 40.— P. 143-152.

Ramachandran B. On characteristic functions and moments // Sankhya.— 1969.- V. A31, N. 4.- P. 1-12.

Resnick S. Point processes, regular variation and weak convergence // J. Adv. Appl. Prob.- 1986.- V. 18, N. 1.- P. 66-138.

Resnick S. Extreme Values, Regular Variation and Point Processes.— New York: Springer, 1987.

Resnick S. Point processes and Tauberian theory // Math. Sci.— 1991.— V. 16, N. 2.- P. 83-106.

Rvaceva E. On the domains of attraction of multidimensional distributions H Select. Translat. Math. Stat. Prob.- 1962.- V. 2.- P. 183-207.

Ruegg A.F. A necessary condition on the infinitely divisibility of probability distributions // Ann. Math. Stat.— 1971.— V. 42.— P. 1681-1685.

Selander T. Bilateral Tauberian theorems of Keldysh type // Ark. Mat— 1963.- V. 5, N. 6.- P. 85-96.

Seneta E. Functional equations and Galton-Watson process // Adv. Appl. Prob.- 1969.- N. 1.- P. 1-42.

Seneta E. A Tauberian theorem of E. Landau and W. Feller // Ann. Probab.— 1973.- V. 1.- P. 1057-1058.

Seneta E. Regularly varying functions in the simple branching processes // Adv. Appl. Prob.- 1974.- V. 6, N. 3.- P. 408-420.

Slack R.S. A branching process with mean one and possibly infinite variance // Z. Wahrsch. verw. Geb.— 1968.— B. 9.— P. 139-145.

Slack R.S. Futher no. tes on branching process with mean one // Z. Wahrsch. verw. Geb.- 1972.- V. 25.- P. 31-38.

Stadtmiiller U., Trautner R. Tauberian theorems for Laplace transforms // J. reine angew. Math.- 1979.- B. 311/312.- P. 283-290.

Stadtmiiller U., Trautner R. Tauberian theorems for Laplace transform in dimension d > 1 //J. reine angew. Math.— 1981.— B. 323.— S. 127-138.

Stadtmiiller U. A refined Tauberian theorem for Laplace transform in dimension d > 1 //J. reine angew. Math.— 1983.— B. 328.— S. 72-83.

Stam A.J. Regular variation in R^ and Abel-Tauber theorem // Report T.W.— 189. Groningen: Math. Inst. Rijksuniversiteit— 1977.

Stancovic B. Theorems of the generalized type for mesures // Review of Research Faculty of Science University of Novy Sad.— 1983.— V. 13.

Stancovic B. Theorems of Tauberian type for mesures // Glasnik Mathematiki.— 1985.— V. 20(40).

Stancovic B. Abelian and Tauberian theorems for the Stieltjes transform of distributions // Russian Math. Surveys.— 1985.— V. 40, N. 4.— P. 99-113.

Tauber A. Ein Satz aus der Theorie der unendichen Reihen // Monatsch. Math.- 1987.- V. 8.- P. 273-277.

Topchii V.A. Critical general branching processes with long-living particles // Branching Processes: Proceedings of the First World Congress. Lecture Notes in Statistics. V. 99.— New York: Springer, 1995.— P. 28-35.

Vershik A.M. Asymptotic combinatorics and algebraic analysis // Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Zurich, 1994.— Birkhauser, Basel, 1995.— P. 1384-1394.

Weiner H.J. A multi-type critical emigration branching process // J. Inf. Optimization Sci.— 1990.— V. 11, N. 3.— P. 413-424.

Westcott M. The random record model // Proc. Roy. Soc. London.— 1977.— V. A356, N. 1687.- P. 529-547.

Westcott M. On the tail behaviour of record-time distribution in a random record processes // Ann. Prob.— 1979.— V. 7, N. 5.— P. 868-873.

Wiener N. Tauberian theorems // Ann. of Math.— 1932.— V. 33, N. 1.— P. 1-100.

Yakymiv A.L. Limit theorems for random A-permutations // Proc. 3-rd Petrozavodsk Conf, on Prob. Methods in Discr. Math.— 1993.— P. 459469.

Yakymiv A.L. The asymptotics of multidimesional infinite divisible distributions // Journal of Mathematical Sciences.— 1997.— V. 84, N. 3.— P. 1197— 1207.

Yakymiv A.L. Probabilistic applications of Tauberian theorems // J. of Math. Sciences.- 2002.- V. 112, N. 2.- P. 4235-4245.

Предметный указатель

А-подстановка, 132

— число циклов

— — фиксированной длины, 132

— — общее, 132

Конус, 7

— однородный, 89

— острый, 7

— отношение порядка, 16

— регулярный, 90

— сопряженный, 23

— световой будущего, 90

— телесный, 7

— ц-гранный, 85

Межрекордные времена, 225

Мера, 22

— вполне допустимая, 87

— допустимая т-го типа, 86

— медленного роста, 86

— сужение, 25

— ц-допустимая, 88

Плотность множества

— асимптотическая, 148

— логарифмическая, 151

Последовательность

— равномерно распределенная (р.р.), 161

— равномерно распределенная сильно (р.р.с.), 161

Последовательность функций

асимптотически непрерывная, 36

Преобразование

— Лапласа, 23

— Лапласа-Стилтьеса, 23

— Стилтьеса, 75

Процессы

— Беллмана-Харриса, 111

— — критические, 111

— марковские ветвящиеся

— — критические, 107

— марковские ветвящиеся, 106

— рекордов, 225

Распределение

— безгранично делимое, 191

Распределение

— субэкспоненциальное, 193

— экспоненциального типа, 193

Рекордные моменты, 225

- ^-е, 235

Семейство операторов, сохраняющих конус инвариантным, 85 — т-го типа, 86

Слабая предкомпактность

— семейства мер, 22

— семейства функций, 18

Слабая сходимость

— последовательности мер, 22 — последовательности функций, 18

Функции — слабо эквивалентные, 63

Функция

— асимптотически сбалансированная, 48

— вполне допустимая для семейства операторов, 93

— допустимая т-го типа для конуса, 94

— допустимая для конуса, 93

— мажорируемо меняющаяся, 67

— медленно меняющаяся, 7

— медленно колеблющаяся, 47

— монотонная, 16

— обобщенная медленного роста, 89

— однородная, 8

— правильно меняющаяся

— — вдоль семейства операторов, 93

— правильно меняющаяся, 7

— производящая, 111

— распределения, 91

— слабо колеблющаяся, 39

— слабо осциллирующая, 42

— характеристическая, 91

— r-медленно колеблющаяся, 47

— /?О-меняющаяся, 46

— тг-меняющаяся, 48

5 Напомним, что положительная и измеримая при х ^ а ^ 0 функция одной

переменной /(х) называется /?О-меняющейся на бесконечности, если для произвольного А > О

5 См. замечание 1.6.1.

2) Определение слабой эквивалентности функций дано в разделе 1.6.

А. Л. Якымив

ВЕРОЯТНОСТНЫЕПРИЛОЖЕНИЯТАУБЕРОВЫХТЕОРЕМ

МОСКВАФИЗМАТЛИТ2005

УДК 519.2; 517.5ББК 22.171Я 50УДК 519.2; 517.5ББК 22.171Я 50т»т»Издание осуществлено при поддержке и Российского фонда фундаментальных исследований по проекту 05-01-14027д

УДК 519.2; 517.5

ББК 22.171

Я 50

УДК 519.2; 517.5

ББК 22.171

Я 50

т»

т»

Якымив А. Л. Вероятностные приложения тауберовых теорем. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 256 с. - ISBN 5-9221-0647-3.

В книге приводится ряд утвержений абелева и тауберова типов и примеры их применения в асимптотических задачах теории вероятностей. В частности, доказаны предельные теоремы для ветвящихся процессов, некоторых классов случайных подстановок, безгранично делимых случайных величин и случайных процессов рекордов. Для понимания книги достаточно знания стандартного университетского курса теории функций действительного переменного и теории вероятностей.

Для студентов старших курсов, аспирантов и научных работников, специализирующихся в области теории вероятностей или в области теории функций действительного переменного.

Библиогр. 291 назв.

Научное издание

ЯКЫМИВ Арсен Любомирович