От переводчика

Это издание заполняет пробел в вероятностной литературе на русском языке. У нас нет книги небольшого объема, после изучения которой можно было бы читать монографическую и журнальную литературу по теории вероятностей. Со времени выхода в свет совершившей переворот в науке о вероятностях монографии А. Н. Колмогорова „Основные понятия теории вероятностей" прошло уже более тридцати лет. Назрела потребность в книге, отвечающей современному состоянию теории вероятностей (даже если оставить в стороне вопрос об усовершенствовании аксиоматики Колмогорова).

Благодаря тщательному отбору и продуманному изложению материала книга профессора Ж. Невё содержит все основные сведения из теории меры и интегрирования, нужные в теории вероятностей, а также важнейшие вероятностные результаты, которые, будучи интересны и сами по себе, служат также инструментом при изучении других вероятностных проблем или лежат в основе более тонких и глубоких вопросов (сепарабельность и измеримость случайных функций, мартингалы, марковские процессы и т. д). Автор включил в книгу такой нетрадиционный в вероятностном курсе материал, как компактные вероятностные меры и интегрирование на топологических пространствах. Правда, в книге не изложен один из' самых мощных методов теории вероятностей— метод характеристических функций, однако достаточно полное его изложение имеется во многих учебных пособиях и монографиях.

Удачно подобранные дополнения и упражнения помогают более глубоко усвоить основной текст. Кроме того, в них намечены важные обобщения и применения излагаемых результатов. При всей лаконичности стиля

От переводчика

книга написана очень ясно. Тем не менее для чтения ее требуется достаточно высокая математическая культура и желательно некоторое предварительное знакомство с элементами теории вероятностей.

Перевод сделан с французского издания 1964 г. с учетом всех изменений и добавлений, внесенных автором в английское издание 1965 г.

9 июня 1968 Москва9 июня 1968 МоскваВ. Сазонов

9 июня 1968 Москва

9 июня 1968 Москва

Предисловие

Теория вероятностей и, в частности, теория случайных процессов и векторнозначных случайных величии в их современном состоянии не могут быть поняты без глубокого понимания теории меры. Для того, кто хочет принять участие в дальнейшем развитии теории вероятностей, недостаточно простого знакомства с фундаментальными понятиями и результатами теории меры; необходимо также овладеть ее техническим аппаратом и научиться использовать его в новых ситуациях.

С другой стороны, часто приходится слышать—и в некотором смысле это вполне оправдано — что теория вероятностей есть просто раздел теории меры; однако в пределах теории меры теория вероятностей выделяется природой тех вопросов, которые она старается разрешить, природа же эта определяется не самой теорией меры, а философским и практическим содержанием понятия вероятности.

С 1959 года профессор Невё читал этот курс на факультете наук в Париже. Нет необходимости представлять профессора Невё специалистам по теории вероятностей. Всего за несколько лет он привлек их Ьни- мание своими блестящими исследованиями; однако не всем так хорошо известно, как мне, насколько высоко ценят наши студенты и молодые ученые его живой и ясный метод преподавания. Читавшийся им курс, обогащенный его педагогическим опытом, лежит в основе настоящей книги.

Книг по теории меры немало, часть из них богаче по материалу, и некоторые прекрасно написаны. Я уже указывал, однако, почему вероятностникам нужен курс, написанный специально для них; кроме того, для начинающих предпочтительна книга небольших размеров.

При таком положении вещей естественно, что целью профессора Невё было написать книгу, объединяющую

результаты различных исследований, а вовсе не оригинальную монографию; автор не претендует на введение новых концепций нли установление новых теорем. Тот факт, что каждая глава снабжена весьма полезными дополнениями и упражнениями, подчеркивает существенно учебный характер книги. В этом отношении я хочу отметить два ее достоинства: во-первых, автор избегает громоздких обозначений, во-вторых, в изложение предмета, по существу своему абстрактного, он без колебаний вводит пояснения, содержащие ту или иную интерпретацию, устанавливающие причинные связи и привлекающие внимание к возможным ошибкам.

Тем не менее книга отличается подлинной оригинальностью. Прежде всего, по содержанию —к традиционному материалу по теории меры и интегрирования добавлены различные теоремы о построении вероятности посредством продолжения с алгебры на о-алгебру, с компактных подклассов на полуалгебры, с конечных произведений пространств на бесконечные произведения пространств (теоремы Колмогорова и Тулчи) и т. д. Включены такие темы, как измеримость, сепарабельность, построение случайных функций, условные ожидания, мартингалы. Результаты общего характера иллюстрируются применениями к моментам остановки, эргодической теории, марковским процессам, а также к ряду других областей. Все эти применения редко включаются в курсы теории меры — некоторые из них потому, что соответствующие результаты лишь недавно были получены, другие — потому, что, будучи весьма важными для теории вероятностей, они не представляют, возможно, большого интереса с точки зрения общей теории меры.

Оригинальность проявляется также в последовательности изложения. Особенно мне нравится то, что профессор Неве систематически выдвигает на первый план алгебраические структуры семейств событий (булевы алгебры, ст-алгебры и т. д.) и избегает преждевременного введения топологических понятий; в результате еще отчетливее выясняется значение последних.

На протяжении всего изложения автору удалось подобрать весьма короткие и изящные доказательства,

так что, несмотря на небольшой объем книги, в ней содержится удивительно много материала. Изучаются, например, хотя и кратко, пространства Lp и даже — с помощью умелого использования дополнений и упражнений—теория статистических решений и достаточные статистики.

Нисколько не рискуя, я могу предсказать этой книге долгую жизнь и большой успех — и как учебнику для подготовленных студентов, и как справочнику для специалистов.

Р. Форте Август 1965 Женева

Предметом теории вероятностей является математический анализ понятия случайности. Строгое построение теории вероятностей, как и всякой математической дисциплины, возможно лишь на основе некоторой системы точных определений и аксиом. Формулировка таких математических основ и математическая разработка теории исторически относятся к тридцатым годам нашего века. Именно к этому периоду теория меры и интегрирования на пространствах' общей природы оказалась достаточно развитой, чтобы обеспечить теорию вероятностей фундаментальными определениями и снабдить ее весьма мощным аппаратом исследования.

С тех пор многочисленные вероятностные исследования, предпринятые как в чисто теоретическом, так и в практическом плане (в том числе и те, в которых использовались функциональные пространства), лишь подтвердили существование глубоких связей между теорией вероятностей и теорией меры. Эти связи настолько близки, что некоторые авторы склонны считать теорию вероятностей не более как ветвью (хотя и исключительно важной!) теории меры.

Во всяком случае, если не ограничиваться изучением весьма элементарных вероятностных моделей и, в частности, не отказываться от рассмотрения случайных функций, глубокое изучение теории вероятностей и математической статистики в настоящее время невозможно без постоянного обращения к теории меры. Следует отметить, что предпринимались попытки трактовать вопросы сходимости в теории вероятностей в узких рамках изучения функций распределения, однако этот подход приводит лишь к обманчивым упрощениям и еще более затемняет интуитивные основы этих вопросов.

Настоящая книга содержит основной материал курса лекций, рассчитанного на студентов, уже владеющих некоторыми элементарными понятиями теории вероятностей. Назначение ее —дать солидную математическую базу для изучения теории вероятностей. Эта книга может служить введением в теорию вероятностей

лишь для читателей с достаточно высокой математической культурой.

Главная цель этого курса, следовательно,— научить читателя пользоваться мощным аппаратом теории меры, что даст ему возможность впоследствии разобраться в любом вопросе теории вероятностей. Основной текст дополняется многочисленными упражнениями. Поскольку излагаемый предмет имеет довольно „технический" характер, мы настоятельно советуем прочитать и попытаться решить большинство упражнений (для облегчения этой работы многие упражнения сопровождаются набросками решения). Следуя прочно установившейся к настоящему времени французской традиции для вводных курсов, мы не даем библиографических справок в тексте и, за редкими исключениями, не указываем принадлежности излагаемых результатов их авторам. В конце книги читатель найдет краткую библиографию как к основному тексту книги, так и к дополнениям; в частности, большинство упражнений основано на работах, указанных в этой библиографии.

Мы не хотели бы скрывать от читателя того факта, что теория меры —не единственный (хотя и основной) инструмент теории вероятностей; мы не могли бы настаивать на том, чтобы читатель изучил, если он еще этого не сделал, основные понятия топологии, теорию метрических пространств и теорию гильбертовых и банаховых пространств. В ограниченных рамках этой книги, невозможно было поместить какие-либо введения в эти теории. Некоторые упражнения, и даже отдельные части основного текста1), используют понятия, заимствованные из этих теорий; однако начинающий читатель может пропустить их без боязни потерять нить изложения; в то же время более подготовленного читателя, возможно, заинтересуют указанные там связи с другими областями математики.

Я хотел бы воспользоваться случаем поблагодарить профессоров Р. Форте, М. Лоэва и А. Тортра за их советы и поддержку. На окончательной форме изложения сказалась также реакция студентов, слушавших мой курс.

ж. Невеж. Неве’) Мы пометили их звездочкой.

ж. Неве

ж. Неве

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИИ И СОКРАЩЕНИИ

■ — конец доказательства

(*) —трудная часть текста или трудное упражнение, требующие иногда знакомства с понятиями, не определяемыми в этой книге

-* —знак сходимости

=ф —знак импликации („влечет")

(д.) с. в. — (действительная) случайная величина

(д.) с. ф. — (действительная) случайная функция

п. н. — почти наверное

Глава I

Вероятностные пространства

Фундаментальными понятиями теории вероятностей являются понятия события и вероятности. С аксиоматической точки зрения события представляют собой математические объекты, которые можно комбинировать с помощью логических операций „нет", „и“, „или" (в соответствии с правилами, описанными в п. 1 настоящей главы), а вероятность есть числовая характеристика класса событий, свойства которой по определению аналогичны свойствам частоты (см. п. 3).

Другим важным понятием, которое нередко вводится как первичное понятие теории вероятностей, является понятие элементарного события или, иными словами, результата случайного эксперимента. Если ограничиться естественным соглашением рассматривать лишь те события и элементарные события, которые относятся к изучаемому эксперименту, то каждое элементарное событие по самому его определению необходимо определяет либо реализацию, либо нереализацию каждого из событий. Введем множество Я всех элементарных событий (возможных результатов рассматриваемого эксперимента) и идентифицируем каждое событие с подмножеством тех элементарных событий, которые реализуют это событие. Вероятность при этом становится функцией множества аналогичной объему, определенному на некоторых подмножествах евклидова пространства. Описанный подход представляет собой подход с точки зрения теории меры и будет развит в первой главе.

Что касается вероятностей, то их мы определяем сначала на булевых алгебрах (или, как в п. 6, на булевых полуалгебрах), затем продолжаем на а-алге- бры и, таким образом, конструируем вероятностные

пространства. Этот подход имеет то преимущество, что он явно выделяет весьма важную теорему теории меры о продолжении. Кроме того, при построении вероятностей в евклидовых пространствах, . равно как и в произведениях пространств (см. гл. III), вероятности оказываются естественно определенными сначала на алгебрах и полуалгебрах.

События

Первичным понятием теории вероятностей является понятие события. Мы будем рассматривать события лишь с точки зрения их осуществления или неосуществления. Анализ этого понятия приведет нас к тому, что мы наделим множество событий, которые мы рассматриваем в связи с некоторой определенной задачей, структурой булевой алгебры.

Рассмотрим сначала два специальных события: невозможное событие, обозначаемое 0, и достоверное событие, обозначаемое И.

Каждому событию /1 поставим в соответствие дополнительное событие., обозначаемое А1. По определению событие Ас реализуется тогда и только тогда, когда событие А не реализуется. Введем как аксиомы следующие свойства этой операции (они представляются „интуитивно" очевидными):

(ЛГ)С = Л; 0С = &; 0е =0.

Каждой паре событий А, В поставим в соответствие следующие два события: объединение А и В, понимаемое как „А или В“ и обозначаемое АЦВ или sup (Л, В"), и пересечение А и В, понимаемое как „А и В" и обозначаемое ЛПВ, АВ или inf (Л, В). По определению событие A U В происходит тогда и только тогда, когда происходит ио крайней мере одно из событий А, В, а событие АП В происходит тогда и только тогда, когда происходят оба события А и В. Операции объединения и пересечения коммутативны и ассоциативны:

A UB = В U А, ЛПВ = ВПА,

(Л U В) U С = Л U (В U С), (Л П В) П С = А П (В П С),

так что всякое конечное непустое семейство событий (Д,, is/} имеет объединение (jAz = supAz и пересече

ние QA/ = inf Д/. Следующие формулы вводятся опять

АП А =А,Л и Q = Q, АП Q = А.АПАе= 0,АП А =А,Л и Q = Q, АП Q = А.АПАе= 0,как аксиомы дил = А,

АП А =А,

Л и Q = Q, АП Q = А.

АПАе= 0,

АП А =А,

Л и Q = Q, АП Q = А.

АПАе= 0,

AU0 = 0, АП0 = 0, A U Ас = Й,

Как аксиомы вводятся также следующие соотношения для произвольного конечного непустого семейства событий {A,, z е /}:

\ / / / Д z / /

Наконец, операции объединения и пересечения дистрибутивны по отношению друг к другу:

BnfU^'bU^nAj; sufn^bD^u^a.

Структура, которая образуется на множестве событий введенными определениями и аксиомами, называется структурой булевой алгебры. Весьма важны также следующие вспомогательные понятия, которые определяются на булевой алгебре событий.

Два события А, В, такие, что А П В = 0, называются взаимно исялючакнцими или непересекаюи^имися. Объединение непересекающихся событий мы называем суммой и обозначаем А + В вместо AUB. Аналогично, если {А/, z е/} —заданное конечное непустое семейство попарно непересекающихся событий, то их объединение называется „суммой событий Ai ({ е /)“ и обозначается 2 At вместо (JA;.

Разностью двух событий А, В называют событие АВС и обозначают его А —В. Симметрической разностью двух событий А, В называют событие (А — В) + (В — А) и обозначают его А А В. Событие А — В происходит тогда и только тогда, когда событие А происходит, а событие В не происходит. Событие ДАВ происходит

2 Зак. 1368

тогда и только тогда, когда происходит лишь одно из событий Л, В.

Обозначения Ул,, ^Л/, 2Л/ удобно распространить II1

на тот случай, когда семейство событий / пусто. Полагают

U^/ = 0-2^ = 0, Пл< = й (/пусто).

I1/

В силу этого естественного соглашения все выписанные выше формулы, относящиеся к конечному семейству событий, справедливы также и для пустого семейства событий. Кроме того, это соглашение позволяет, например, записать в простом виде формулу, составляющую содержание следующей элементарной леммы.

Лемма 1.1.1. Для всякого семейства {А,, 1=0=00, состоящего из п (п^1) событий, справедлива формула

пп / i —I \

/-1> = |\/ = 1 /

Для доказательства леммы воспользуемся индукцией по п. При п = 1 утверждение леммы очевидно.

п'

Далее, положив A=UAb В = А^, мы видим, что 1

лемма будет доказана, если установить, что A U В = = А + (В — Л), каковы бы ни были события А, В, Но это соотношение является простым следствием определений. |

Отметим, что предыдущая лемма утверждает попросту, что одно из событий последовательности Лц ..., Л„ происходит тогда и только тогда, когда существует первое происходящее событие в этой после- /-1

довательности. (Событие At — Ул, происходит тогда и

только тогда, когда Л/ является первым происходящим событием последовательности.)

Говорят, что. событие Л влечет событие В (символически это обозначается АсВ или В гэ Л), если

Л = ЛПВ, или, что равносильно, если В = ДиВ. Два события А, В, для которых А с В и В с А, называются эквивалентными (Л = В). Эквивалентные события мы различать не будем. Отношение „влечет" является отношением порядка в множестве событий. Это означает, что

АсА;

АсВ, ВсА=^А=В;

АсВ, ВсС=^АсС.

Более того, объединение A U В (пересечение А П В) двух событий Л и В является верхней (нижней) гранью этих событий относительно рассматриваемого порядка:

АсС, В cz С ^ Л11В сС;

АсС, Во С ^ Л П В пэ С.

Отметим, наконец, что

А с В Вс с Ас.

Дополнения и упражнения

Пользуясь введенными определениями и аксиомами, показать, что для любых событий А, В, С, D справедливы следующие равенства:

А - В = А - (Л Л В) = (Л U В) - В; Л А В = (Л U В) - (Л П 5);

(Л - В) Л (С - Л) = (Л Л С)-(BUS);

(Л л В)Д(Л л С) = Л л (ВАС);

(Л А.В) + (Л ДВ^-Й.

Показать, что относительно операций А и Л всякая булева алгебра является (в алгебраическом смысле) коммутативным кольцом с единицей (равной Й), для которого А ПЛ = Л при всех А. По этой причине операцию взятия симметрической разности А называют также булевой суммой, а операцию взятия пересечения Л называют булевым произведением. Обратно, если Л — коммутативное кольцо с единицей, скажем й, такое, что А ■ А = А при всех А, то операции

ЛЛВ-Л-В, Л U В = Л 4-В 4-Л ■ В, ЛС = Л + П

определяют структуру булевой алгебры на Л. (Символы 4- и • обозначают здесь соответственно операцию сложения и умножения в кольце Л?)

Испытания и элементарные события

Вторым понятием, которое обычно с самого начала вводят в теории вероятностей, является понятие испытания. Под испытанием понимают эксперимент с элементом случайности. Результат испытания называют элементарным событием. Каждое относящееся к рассматриваемой модели элементарное событие влечет либо наступление, либо ненаступление каждого данного события, связанного с рассматриваемой моделью. Выразим это соотношение между понятиями элементарного события и события в точных математических терминах.

Рассмотрим сначала множество всех элементарных событий, связанных с рассматриваемой моделью. Вместо изучения самой модели мы будем рассматривать это отвечающее ей множество элементарных событии. Каждому событию А поставим в соответствие подмножество А' множества элементарных событий, состоящее в точности из тех элементов, которые реализуют А. Естественно попытаться „идентифицировать" А и А'. С этой целью предположим, прежде всего, что соответствие А -> Л' взаимно однозначно, т. е. что пространство элементарных событий достаточно велико, а именно для каждых двух различных событий существует ко крайней мере одно элементарное событие, реализующее одно из этих событий и не реализующее другое.

Обратимся теперь к определениям п. 1.1. Достоверному событию Я соответствует множество Я', состоящее из всех элементарных событий, в то время как невозможному событию 0 соответствует множество 0', не содержащее ни одного элементарного события. Иными словами, Я' есть пространство элементарных событий, а 0' есть пустое подмножество Я". Если событию Л соответствует подмножество А' в Я', то событию .4е, которое реализуется тогда и только тогда, когда А не реализуется, соответствует множество (Л')", дополнительное к множеству А’ в Я', т. е. множество, состоящее из тех точек О' (элементарных событий), которые не принадлежат А'. Аналогично, если А, В —два события и А', В'— множества в Я', реализующие

Л и В соответственно, то множество (ЛЛВ/ [соотв. (Л Л В)'] состоит из тех алементарных событий, которые принадлежат либо Л', либо В' [соотв. и Л, и В'].

Короче говоря, если обозначить операции дополнения, объединения и пересечения .в смысле теории множеств символами с, U и Л соответственно, то сказанное выше можно записать в виде

= (лт, (л и ву = л'и в', (л л в/= л'л в'.

Читатель может теперь убедиться, что при соответствии Л —> Л' введенные в п. I. 1 аксиомы переходят в соответствующие аксиомы теории множеств. Соответствие Л -> Л' устанавливает изоморфизм булевой алгебры событий в булеву алгебру ^° (й'), состоящую из всех подмножеств пространства элементарных событий й'. (В общем случае существуют подмножества й', не отвечающие никакому событию.)

Мы можем, таким образом, идентифицировать событие Л и соответствующее ему множество элементарных событий А'. (Знак ' в дальнейшем отбрасывается.) Различным понятиям п. I. 1, касающимся событий, соответствуют классические понятия теории множеств. Это обстоятельство объясняет, в частности, двойственную терминологию § 1.1, а именно:

Л или ВА и ВА и В взаимно исключаютдруг друга,достоверное событие йневрзможное событие 0Л или ВА и ВА и В взаимно исключаютдруг друга,достоверное событие йневрзможное событие 0объединение Л и Впересечение Л и ВЛ и В не пересекаютсяпространство йпустое множество 0объединение Л и Впересечение Л и ВЛ и В не пересекаютсяпространство йпустое множество 0

Л или В

А и В

А и В взаимно исключаютдруг друга,достоверное событие йневрзможное событие 0

Л или В

А и В

А и В взаимно исключаютдруг друга,достоверное событие йневрзможное событие 0

объединение Л и Впересечение Л и В

Л и В не пересекаются

пространство й

пустое множество 0

объединение Л и Впересечение Л и В

Л и В не пересекаются

пространство й

пустое множество 0

Из всего изложенного выше в дальнейшем будет использоваться по существу лишь следующее;

множество й (пространство элементарных событий)',

булева алгебра подмножеств й (событий). По определению булева алгебра подмножеств й есть класс подмножеств Й, содержащий 0, й и замкнутый

относительно операций образования дополнений, конечных объединений и конечных пересечений.

(Класс 8" подмножеств- множества й называется замкнутым относительно некоторой операции 'над множествами, если при применении этой операции к любым подмножествам й, принадлежащим 8", в результате получается подмножество й, тоже принадлежащее 8".) Отметим, что в силу соотношений

Л.П пл = (^и ... и^Г.л,и ... ил = (л?п ... плсХ

для того чтобы класс о£ был булевой алгеброй, достаточно, чтобы он содержал 0, й и был замкнут относительно образования дополнений и конечных объединений (или дополнений и конечных пересечений). .

Для всякого класса 8” подмножеств множества О существует наименьшая булева алгебра Л подмножеств й, содержащая <6. Такой булевой алгеброй является класс всех подмножеств й, принадлежащих всем булевым алгебрам (подмножеств й), содержащим 8" (последние существуют, например, еТДЙ)). Эта наименьшая булева алгебра называется булевой алгеброй, порожденной классом ^. Конструкция, доказывающая ее существование, применима и в более общей ситуации; то же соображение показывает, что если имеется некоторое количество операций над множествами (выше это были дополнение, конечное объединение п конечное пересечение), то для всякого класса 8” подмножеств й существует наименьший класс подмножеств й, содержащий ^ и замкнутый относительно рассматриваемых операций.

Доказываемое ниже предложение 2 дает более конкретную конструкцию булевой алгебры, порожденной классом 8’. Рассмотрим сначала простейший случай конечных булевых алгебр.

, Определение 1.2.1. Конечным разбиением SP = {Лг, iel} множества й называется конечное семейство непустых попарно непересекающихся подмножеств Й, в объединении дакпцих все й.

Конечное разбиение У' множества й называют продолжением. конечного разбиения У, если всякое подмножество й из ^ есть объединение некоторых подмножеств й из ^', или (что, как легко видеть, эквивалентно) если каждое подмножество й из У' содержится в не- дртором подмножестве й из У. Отметим, что для всяких двух конечных разбиений Ух и У2 множества й существует конечное разбиение У, являющееся продолжением обоих разбиений Ух и Уг. В самом деле, если УХ = [АЬ i^I} и У2 = [Ву, 5еЛ, то в качестве такого разбиения У можно взять семейство всех непустых подмножеств й вида At П Bj (ie I, j g 7).

Предложение 1.2.1. Булева алгебра Л, порожденная конечным разбиением У множества й, состоит из объединений всевозможных подсемейств семейства У (если У имеет п элементов, то Л состоит из 2" элементов^. Обратно, если Л — конечная булева алгебра подмножеств й, то множество ее атомов (непустых подмножеств А множества й, для которых 0=#ВсА, В еЛ^ В = А) образует конечное разбиение й, порождающее Л.

Краткое доказательство. Проверка первого из утверждений предложения несложна и предоставляется читателю. Для доказательства второго утверждения заметим, что если Л = (АЬ i g /} — конечная булева алгебра подмножеств й, то каждое подмножество В вида В = 0 В[, где Bi есть At или Л; (i G 7), либо j

пусто, либо представляет собой атом алгебры Л. Поскольку всякие два непустые множества В не пересекаются и поскольку всякое множество АеЛ (в частности, й) является объединением тех непустых множеств В, которые оно содержит, семейство непустых множеств В действительно образует конечное разбиение й, порождающее Л. Ясно, наконец, что всякий атом из Л совпадает с некоторым множеством В. 1

Предложение 1.2.2. Пусть ^ — произвольный класс подмножеств множества й. Образуем последовательно

класс ^lt состоящий из 0, й и из Лс(1 таких, что либо А, либо Ас е%?;

класс ^6г конечных пересечений подмножеств Й из"

класс ^3 конечных объединений попарно непере- секающихся подмножеств й из ^2.

Так построенный класс ^3 совпадает с булевой алгеброй, порожденной классом ^.

Доказательство. Прежде всего очевидно, что

^ с ^ । ст ^21— ^з! 0 > й G ^ ^;

класс ^ замкнут относительно образования дополнений;

класс ^2 замкнут относительно образования пересечений.

Покажем, что Be^^B'g^. Для этого заметим, что если В = С1ПС2П . . . П С„, где СхСпе^х (n> 1), то

Вс=5с'П . •• ПС', где C'i = Ct или 0° (l^z^n), причем сумма берется по всем возможным комбинациям значений Сг, за исключением Ci — Ct (1^г^н). Поскольку Сг e^i (1 ^z'O), постольку С, П ••• ПС„е?, и, следовательно, Bce^3.

Чтобы установить замкнутость^ относительно операции пересечения, т. е. тот факт, что А, П П^п^^з всякий раз, когда Ль ..., Апе^3, представим подмножества At в виде

At= S B't.

где (Bf, jeJt\ при каждом i есть семейство попарно пепересекающихся подмножеств Й из *^2. Тогда

Пл =2 В{‘П ... ПВ^е^3,

поскольку класс ^ замкнут относительно пересечений.

Чтобы доказать замкнутость ^3 относительно образования дополнений, заметим, что если А = 2 В ,Gcf.,, где В, —попарно непересекающиеся множества из ^?.г> то ДС = ^В/, причем в силу предыдущего B/G^ (/'г 7).

Следовательно, Л'е^. Тем самым доказано, что класс ^3 есть булева алгебра, содержащая ^. С другой стороны, легко видеть, что всякая булева алгебра, содержащая ^', содержит также ^^ ^2 и ^3. Предложение, таким образом, доказано. |

Дополнения и упражнения

Для выполнения упражнений 1.2.1 и 1.2.2 нужна следующая дистрибутивная формула:

и А^П и^.

/е / lelj {i/^K i^I •

где К — JJ Ij (множество всех последовательностей (Zy, /е/}). /е/

I. 2.1. Обозначим через 3" s, 3" а, 3" д, 3" ь соответственно классы конечных объединений, счетных объединений, конечных пересечений и счетвых пересечений подмножеств Q, принадлежащих некоторому заданному классу 3" е 5* (Q). Каждый из этих классов представляет собой также класс, порожденный 3", относительно соответствующей операции. Показать, что классы 3" $д = (З-^д и 3й (.3*д5 и 3"да) замкнуты относительно конечных объединений (конечных пересечений). Вывести отсюда, что классы 3" 5д и 3" д$ совпадают и представляют собой наименьший класс, содержащий 3" и замкнутый относительно образования конечных объединений и пересечений. Показать на примерах, что нв один из классов 3"ад, 3"а6 (3*6j, 3"sa) не замкнут относительно счетных объединений (счетных пересечений).

*1.2.2. Операция Суслина есть операция, ставящая в соответствие семейству {Т7^ „^jJ подмножеств Q, индексы которых пробегают все конечные последовательности ^пх, .,,, п^ натуральных чисел, подмножество ^“(JFvi где индексы V —(vH Vj, ...) v

пробегают все бесконечные последовательности натуральных чисел и Fv— Р| F,v v .. Обозначим через 3"$ класс всех множеств/7, получаемых применением суслинской операции к семействам {^(^ .... пй)} подмножеств, содержащихся в заданном классе 3" подмножеств Q. Если класс 3" замкнут относительно конечных пересечений, то класс 3's не уменьшится, если ограничиться лишь такими семействами {Т7^для которых

^"г nfc "i+J^^e •••■ лй)-

Показать, что операции счетного объединения и счетного пересечения являются частными случаями суслпнской операции. Показать, что класс 3"s замкнут относительно суслпнской операции (воспользоваться приведенной выше дистрибутивной формулой). Вывести отсюда, что если Fg-T ^FcgS's, в частности, если дополнение Fc каждого множества Fe S' есть счетное объединение множеств из S', то класс S"s содержит а-алгебру, порожденную 9".

*1.2.3. Стоуновское представление. Пусть ^ — произвольная абстрактная булева алгебра (см. и. 1. 1). Непустое подмножество 9" алгебры Л называют фильтром, если (а) 0 ^ 5"; (б) AgS, ка1>^Ве9\ (в) A, Be S' ^АВеЗ". Фильтр максимален, т. е. не содержится (строго) ни в каком другом фильтре, тогда и только тогда, когда для каждого А е с.4 либо А, либо Ас принадлежит S'. (Для доказательства этого утверждения воспользоваться следующим фактом: если ^—фильтр в Ji и Aeui, то множество (С: С лэ АВ для некоторого В е S'} либо является фильтром, либо совпадает с ui.) Всякий фильтр есть пересечение содержащих его максимальных фильтров. (С помощью леммы Цорна покачать, что если S' — некоторый фильтр п А ^ S', то существует максимальный фильтр, содержащий 9, ио не содержащий Я.)

Будем называть максимальные фильтры элементарными событиями и обозначать их буквой g. Обозначим через Е множество всех элементарных событий. Показать, что отображение А—> А'— = {g: Я eg} есть изоморфизм булевой алгебры сД на булеву алгебру ЗЕ подмножеств Е. Для того чтобы элемент А был атомом в с4, необходимо и достаточно, чтобы множество А’ состояло из одного элементарного события. Если булева алгебра <4 изоморфна некоторой булевой алгебре подмножеств некоторого множества Q, то отображение О в Е, ставящее в соответствие элементу со элементарное событие ф(со) = {Д: со е Я), обладает следующим свойством: (со: ср (со) е А'} = А для любого А е Л1; однако, вообще говоря, Ф (Д) =# Д' и, в частности, ф (Q) Е,

Каждому конечному разбиению {Д^, ‘ G^j множества Е на подмножества из еА.' поставим в соответствие подмножество 2 А, X А\ произведения EXE. Такие подмножества множества / и Е X Е образуют фундаментальную систему окружений равномерной структуры на Е, относительно которой Е (пространство стоуновского представления} компактно п вполне несвязно. При этом А' состоит из тех подмножеств Е, которые одновременно открыты и замкнуты. (Показать, что Е полно и предкомпактно.)

Вероятности

Определение 1.3.1. Вероятность Р на булевой алгебре Л подмножеств .множества й есть отображение булевой алгебры Л в множество действа-

тельных чисел, удовлетворяющее следующим трем аксиомам:

0 < Р (Л) ^ 1 при всех А е Л, Р (й) = 1;

(аддитивность) Р (2 ЛЛ *= 2 Р И,) для любого \ ///

конечного семейства (Аи i е /} попарно непересекаю- щихся событий1,

(непрерывность в 0 относительно монотонных последовательностей) для любой последовательности событий {Л„, п^ 1}, монотонно стремящейся к 0, т. е. такой, что Л] гэ Л2 гэ Л3 гэ ... и ПА„=0, предел 11m |Р(Л„) равен нулю. п4°°

Следующие свойства вероятности являются простыми следствиями аксиом (а) и (б). Ими обладают, разумеется, также те функции множеств, которые не удовлетворяют аксиоме (в).

Р(0) = О;

(монотонность) если А,, А2еЛ и Л, с Л2 то Р(Л,)<Р(Л2);

(сильная аддитивность) для любых Лц Л2е^ справедливо равенство

Р (Л,) + Р (Л2) = Р (Л, и л2) + Р (Л, п л2);

(полуаддитивность) Р ((J А^ ^^Р^) для любого конечного семейства событий {Лt, ie/}.

Более общим образом, если (А^ 1^1} и (Ви is!) — Два конечных семейства событий, таких, что At id Bl при всех то

р (У а^ - р (у в^ < 2 [р ма - р (sai и

р (Q л<) - Р (Л в^ < 2 ip U-) - р (вд].

Свойство (1) следует из аддитивности Р и равенства 0 + 0 = 0. Свойство (2) вытекает из равенства Л2= = Л, + (Л2 — Ла, справедливого при Л1 с Л2. Свойство (3) следует из разложений Л, = Л(Л2 + Л^з, Аг = А1АгЛ- + А°А2, Л1 U Л2 = Л1Л2 + А1А2 + Л]Л2. Полуаддитивность Р вытекает из монотонности Р и леммы 1.1.1. Наконец,

оставшиеся свойства пункта (4) являются следствием полу аддитивности Р и формул

ид, - и в( с и (Д, — в,),

ПД,- ns, cUMi-S,).

справедливых при Д, =)S,').

Следующие три леммы являются основополагающими. Они представляют собой по существу следствия аксиомы (в). Напомним, что запись Ап А (Дп t Д) при

и | оо означает, что An=>An+1 (п^1) и QAn = A п

(AncAn+l (п^1) и иДп = ДУ \п/

Лемма 1.3.1 (непрерывность относительно монотонных последовательностей).

Ап | А (п * оо) В Я =ф Р (Д„) ; Р (Д),

Ant A М°=) е Я^Р(АпИ Р(А).

Доказательство. Утверждения леммы вытекают из аксиом (б) и (в) и следующих соотношений:

если Ап | А в Д, то ДП = (Д„ — Д) + А н (Д„ —Д) | 0 в^,

если Ant А в Я, то Ап = (А — А,,) + Ап и (Д —Дга)^. 0 в^.

Лемма I. 3.2 (a-а д д и т и в н о с т ь). Для того чтобы отображение Р булевой алгебры Я в множество действительных чисел было вероятностью, необходимо и достаточно, чтобы

(а) 0^ Р(Д) ^ 1 для любого Л е Я, Р(12)=1,

(б7) Р (2 Д/^ = 2s (Д,) для всякого счетного семейства (.конечного или бесконечного) (Д,, I е /} попарно непе- ресекающихся событий, такого, что ^А^Я.

1

Доказательство. ПустьР — вероятность на (^, Я) и {Дп, п ^ 1} — бесконечное счетное семейство попарно

’) Эти формулы спраиедлнвы пр:: произвольных Д, и В/, — Прим, персе.

непересекающихся событий, такое, что 2 Лпе<т£. Так как 2 Лт t 2 Дщ в Л при п | оо, то в силу аксиомы (б) и предыдущей леммы имеем (п \п

2Л„ - Нт 2 Р(Д™)= 2 Р<Ат\ .I J л^оо 11

Обратно, чтобы показать, что из справедливости аксиом (а) и (б') вытекает справедливость аксиомы (в), рассмотрим произвольную убывающую к 0 последовательность событий {Л„, п>1}. Используя равенства Л„= 2 (Л„ - Лт+1), имеем

1>Р(Ап) = 2 Р(Лт-Лт+1Н0 И-»). т>п

Лемма 1.3.3 (о-полуаддитивность). Для любого счетного семейства событий {Лг, I е Z}, такого, что (J At еЛ, справедливо неравенство ‘p(LMz)<2PMa.

Более общим образом, если счетные семейства событий {Дь ZeZ} и {Bt, ieh таковы, что AiTdBl (ie/) и UAte^, ^Jb^^, то '

Iт

р fU Д^ - р fU В<1 <2 tp на - р (ва).

(Доказательство предоставляется читателю.)

Дополнения и упражнения

Метрическая булева алгебра. Пусть Л — булева алгебра и Р — определенная на Л функция множеств, удовлетворяющая аксиомам (а) и (б). Формула d (Дь Д2) = Р (Д,ДД2) (Дц Д2Ес4) определяет функцию d, отображающую Л X Л в [О, I] и удовлетворяющую неравенству треугольника. С другой стороны, определим следующее отношение между событиями: Д1=Д2, еслиР (Д[ △ Д2)=0. Это отношение является отношением эквивалентности ^А1 = Д1 для всех Л,; Д1=Д2 равносильно отношению Д2 = Дь если Д1 = Д2 и

^2=^3, то Д1 = Л3у Кроме того, структура булевой алгебры па с4 индуцирует структуру булевой алгебры на множестве Л/Р классов Д, = {Л ". Д = Д J P-эквивалентных событий. (Для операции дополнения г, например, из соотношения

Д, = Дфф д? = д;

. 1 И 21 Р 2

о ,. о .о с о

следует, что Л, = [Д: А еА^. Поэтому определение (Д^ = А” корректно: оно не зависит от выбранного представителя из класса Д].) Так как Р (ДО = Р (Д3) при Ai=-A2, то на Л/Р мы можем определить аддитивную функцию Р, положив Р (Д) = Р (Д]) (Д, g Д). Булева алгебра Л/Р классов P-эквивалентных событий с помощью функции Р наделяется метрикой d. Булеву алгебру Л/Р с метрикой d называют метрической булевой алгеброй, ассоциированной с Л и Р. Многие понятия теории вероятностей относятся не столько к событиям, сколько к классам P-эквивалентных событий. Обычно мы не делаем различия в обозначениях между Л и Л/Р, Р и Р. Показать, что функция множеств Р (■) равномерно непрерывна па Л (заметить, что | Р(Д0 — Р(Д2) | ^Р(Д, А Д2)). Показать также, что Р тогда и только тогда удовлетворяет аксиоме (в), когда из Дпф0 в Л следует, что Дя->0 в смысле метрики d. Если аксиома (в) выполняется, то каждое из условий Ап^А и Д^Д в Л (п * оо) влечет Дп ~5-* А.

4. Вероятностные пространства

Одни из основных результатов этой главы состоит в том, что всякую вероятность, определенную на булевой алгебре Л подмножеств множества й, можно единственным образом продолжить до вероятности, определенной на а-алгебре, порожденной Л. В настоящем пункте вводятся некоторые важные понятия, необходимые для получения этого результата.

Определение 1.4.1, Б у л е в о й а-а л г е б р о й (или борелевским полем) подмножеств множества й называется класс Л подмножеств множества й, содержащий 0, О и замкнутый относительно операций дополнения, счетного объединения и счетного пересечения. Пара (П, Л), состоящая из множества О и (булевой) а-алгебры Л подмножеств О, называется и з м ери м ы м пространством.

Отметим, что для того чтобы класс Л подмножеств множества £2 был а-алгеброй, достаточно, чтобы он

содержал 0, й и был замкнут относительно операций дополнения и счетного объединения.

Для всякой монотонно возрастающей (убывающей) последовательности {Лп, п^= 1} подмножеств £2 положим lim t Ап = Ап Aim Ап АЛ\. лп \ пп /

Определение 1.4.2. Класс ^ подмножеств множества £2 называется монотонным, если он замкнут относительно операций lim f и Нт | ^имеются в виду пределы по последовательностям).

Предложение 1.4.1. Для того чтобы булева алгебра Л была а-алгеброй, необходимо и достаточно, чтобы она была монотонным классом.

Доказательство. Ясно, что всякая булева а-алгебра есть монотонный класс. С другой стороны, покажем, что замкнутый относительно конечных объединений класс ^ подмножеств £2 замкнут относительно счетных объединений тогда и только тогда, когда он замкнут относительно операции lim f. Для этого достаточно лишь заметить, что если {А„, п ^ 1} — произвольная последовательность подмножеств £2, то

(J^ = lim t ( (J ЛЛ ■лт \л<т /

Пусть 8* — произвольный класс подмножеств £2. Наименьшая содержащая этот класс а-алгебра (равная пересечению всех а-алгебр, содержащих 8*), называется а-алгеброй, порожденной ^. Аналогично, -наименьший содержащий в монотонный класс называется монотонным классом, порожденным ^.

Предложение!. 4.2. Булева а-алгебра, порожденная булевой алгеброй Л, совпадает с монотонным классом, порожденным Л.

Доказательство. Пусть ^ — булева а-алгебра, порожденная алгеброй Л. Монотонный класс, порожденный Л, обозначим через oAt. Согласно предложению 1.4.1, ® является монотонным классом. Следовательно, о^с.^. Достаточно, стало быть, доказать, что oAt есть

булева алгебра: из предложения 1.4.1 тогда будет следовать, что есть булева а-алгебра и поэтому fc<< Чтобы установить замкнутость о^ относительно образования дополнений, нужно показать, что класс о^'= {В: В и В' g о#-} совпадает с о^. Совпадение же и о#' непосредственно вытекает из очевидных включений Лас/И'аа/И. и монотонности класса о^', являющейся следствием формул

(lim * B^f = lim | В„, (Нт | ВпУ = lim f Всп-

Введем теперь для каждого АгоА1 подкласс

о^д = {В: В е= o4t, АВ g о^}

класса о^. Из равенства lim АВп = A lim В,„ справедливого для всякой монотонной последовательности {B,i, /г^1}, следует, что о^л есть монотонный класс. Но при Ле^ имеем, очевидно, А с э#л с Л1, так что о^л = о^. Отсюда в силу эквивалентности

А е <Л1В ^ в ^ о/Цд

вытекает, что А^аЛ1в при всех Ле^и B^rAt. Следовательно, -^сз^лСз^ при всех В^М, и поэтому aAtB = o/H при всех В^Л1. Таким образом, класс о# замкнут относительно пересечений и, следовательно, является булевой алгеброй. 1

Определение 1.4.3. Булеву а-алгебру Л подмножеств множества Ч называют булевой а-а л зеброй счетного типа (или сепарабельной), если существует счетное семейство подмножеств Q, порождающее Л.

Большинство встречающихся в приложениях а-алгебр являются а-алгебрами счетного типа. Таковой является, например, а-алгебра, порожденная счетным разбиением {Д/, i е/} и состоящая из объединений всевозможных подклассов этого разбиения. Предостережем читателя от предположения, что всякая а-алгебра счетного типа может быть порождена некоторым счетным разбиением пространства.

Для всякой последовательности {Дп, п^1} подмножеств £2 определим множества ПтзирДп и Нт!п(Дп

Л -> соЛ -> оо

формулами

limsup Д„ = Нт И sup ДШ') = П U Л"»п->ооп \т>п / п т>п

lim inf Д„ = Нт | ( inf Дт\ = У f) Ат.

П \т>п / fl т>п

Подмножество Нт sup Д„(Нт inf Д„) множества £2 состоит из тех со G £2, которые содержатся в бесконечно многих (во всех за исключением конечного числа") подмножествах Ап (п^1). Ясно, что всегда HminM„c:

Л

cz Нт sup Д„. Когда эти множества совпадают, их обоЛ

значают НтД„. В частности, если последовательность

Л'

{Д J .монотонно возрастает (убывает), то Hm f Д„ = Пт Ап пП ■

(Нт | Дп = Нт Д„у

Всякая булева о-алгебра, очевидно, замкнута относительно операций limsup и Hminf. Отметим также, что событие НтзирДп (lim inf Дп) происходит тогда и только тогда, когда происходит бесконечное число событий Ап (происходят все события Д„, за исключением самое большее конечного их числа).

Определение 1.4.4. Вероятностное пространство (£2, о£, Р) есть совокупность непустого множества £2 (пространства элементарных событий), булевой а-алгебры подмножеств £2 (событий) и вероятности Р, определенной на Л.

Предложение 1.4.3 (непрерывность вероятности относительно сходимости п о- следовательностей). Для всякой последовательности событий {Ап,п"^ 1} из вероятностного пространства (£2, Л, Р) справедливы неравенства

Р (liminf Д„\< Нт inf Р(Ап)^ limsup Р(Ап)^

<P(limsup Д„).

3 Зак. I36S

В частности, если существует ИтЛл, то ИтР (Л„) су'пп

ществует и равен Р(НтЛлу

Доказательство. Это предложение обобщает лемму 1.3.1 и является ее следствием. В самом деле, согласно этой лемме имеем

' Р Him inf Лл\ = lim Pf inf Л„\^ lim inf Р (Лт), \ n / m \n > tn j tn

P Him sup ЛД = lim P ( sup Лл\> lim sup Р(Л,„). В \ n J m \n>m j m

Следующий результат весьма часто используется в теории вероятностей..

Предложение 1.4.4. Если (Лл, п ^ 1) — последовательность событий в (Q, i^, Р), такая, что2Р(Л„)<оо,

Л

то Р (lim sup Лл) = 0.

Доказательство. Для доказательства достаточно устремить п к бесконечности в неравенстве Р ( sup Лт\^ 2 ^(Лш), являющемся следствием леммы 1.3.3. В

Определение 1.4.5. Множество N в вероятностном пространстве (Q, d, Р) называется нулевым (относительно вероятности Р), если существует множество Лев Jt, такое, что Nez. А, Р (Л) = 0. Вероятностное пространство (Q, о£, Р) называется полным, если Л содержит все P-нулевые подмножества И.

Ясно, что всякое подмножество нулевого множества есть нулевое множество. Из леммы 1.3.3 следует также, что объединение любого счетного семейства нулевых множеств есть нулевое множество.

Предложение 1.4.5. Пусть оДГ — класс всех нулевых множеств вероятностного пространства (Q, d, Р). Тогда класс Л множеств вида A U N, где АеЛ и N €=(#*, совпадает с а-алгеброй, порожденной классами Л и сЛ", и формула Р(Ли N) = Р (Л) корректно

определяет единственную вероятность Р на lA, продолжающую Р. Вероятностное пространство (й, d, Р) является полным.

Пространство (й, d, Р) называется пополнением пространства (Q, d, р). (Рассматриваемая здесь операция пополнения ничего общего не имеет с операцией пополнения в теории метрических и равномерных пространств.)

■ Доказательство. Класс А (как и классы d и еДО замкнут относительно операции счетного объединения. Он замкнут также относительно образования дополнений, поскольку если Nez. В, где Р(В) = 0, то

(Д и NY = (Д и BY + В п (Д и NY.

Следовательно, d совпадает с о-алгеброй, порожденной d И G/f .

Поскольку из Д[ U Ni — Д2 U N2 вытекает, что Д[ Д Д2 с cz^1U^2 и, следовательноЛ что Р(Д1ДД2) = 0, откуда Р (Д1)_= Р (Д2), то формула Р (Д U N) = Р (Д) определяет Р на и£ корректно. Непосредственно проверяется также, что Р есть, вероятность и что вероятностное пространство (Q, ut, Р) полно. 1

Интересно связать полученный простой результат со свойствами внешней и внутренней вероятностей, определенных на вероятностном пространстве (Q, JI, Р).

Определение 1.4.6. Внешняя вероятность Р* и внутренняя вероятность Р„ на вероятностном пространстве (Q, Л, Р) суть функции множеств на 5й (й), задаваемые формулами

Р* (й0) = inf (Р(Д), ЛосДеД

Р,(й0) = sup {Р(Д), й0=>Де^}.

Функции Р* и Р, обладают следующими очевидными свойствами:

Р»(^о)^ Р*(^о) для любого й0,

РЛА) = Р(Д) = Р*(Д) ПРИ Де^,Р.(й0) = 1 — Р*(^о) для любого Qo.

Предложение 1.4.6. Для любого вероятностного пространства (Я, Л, Р) введенная в предложении 1.4.5 а-алгебра Л (пополнение Л относительно вероятности Р) совпадает с классом тех подмножеств Я, на которых функции Р* и Р* принимают одинаковые значения и, следовательно, с классом подмножеств Я вида

[ Яо: Р (Яо) + Р (Яр) = 1}.

Более того, Р = Р* = Р* на Л.

Доказательство. Докажем сначала следующую лемму, существенно использующую замкнутость Л относительно операций счетного объединения и счетного пересечения.

Л е м м а. Существуют измеримые множества, на которых достигаются верхняя и нижняя грань в формулах, определяющих Р„ и Р*.

Чтобы доказать лемму в случае, скажем, внешней вероятности Р*, достаточно заметить, что если Яо— произвольное подмножество Я и {Дп} — последовательность множеств из Л, для которой Яо с Дп и Р (Дп) ~* Р* (Яо), то множество А = ПАп принадлежит Л, содержит Яо и удовлетворяет условию Р(А) = Р*(Я0). ■

В силу этой леммы для. каждого подмножества Яо множества Я существуют два множества А и А'еЛ, такие, что 4 сЯ0с4' и

Р(Д) = Р,(Я0), Р(АП = РЧ^-

Следовательно, если Р,(Я0) = Р*(Я0), то А'— А есть нулевое множество и ЯоеЛ. Ясно, что при этом Р*(Я0) = = рД^ = рЧ^\ _ _

Обратно, для всякого множества А = A U N из Л и множества В^Л, для которого Nez. В, Р(В) = 0, имеем Р (.4) С РДА) С Р*(АУС P(AU В1). Следовательно, Р* (Д) = = РДА^ и предложение доказано. 1

Предыдущие рассуждения показывают также, что внешняя (внутренняя) вероятность, определенная в (Я, Л, Р), совпадает с внешнси_ (внутренней) вероятностью, определенной в (Я, Л, Р).

Пусть (й, ^ — измеримое пространство. Те подмножества множества й, которые принадлежат пополнению Л, какова бы ни была вероятность на (й, Л), называются абсолютно измеримыми. Ясно, что абсолютно измеримые множества образуют о-алгебру, на которую может быть продолжена любая вероятность на (Й, Л).

Дополнения и упражнения

Чему равны lim sup Ля и lim inf Ля в случае, когда О есть действительная прямая и АП суть интервалы (—оо, ая) (л^1)?

Доказать и проинтерпретировать в терминах событий следующие равенства:

(lim inf А^с = lim sup (л'),

lim sup (Ля U Вя) - lim sup Л„ U lim sup В„, ппп'

lim inf А„ П lim sup Вя cz lim sup (Ля П Вл) cz lim sup А„ f] lim sup Вя. плппп

Множество (класс P-эквивалентных множеств) А е Л в вероятностном пространстве (Q, Л, Р) называется атомом, если Р (Л) > 0 и если A =э В е Л =ф Р (В) = 0 или Р (Л — В) = 0 [сравнить с понятием атома в булевой алгебре (предложение 1.2.1); убедиться в том, что понятие атома есть понятие, относящееся к метрической булевой алгебре Л^Р (упражнение 1.3.2)]. Так как два различных (т. е. не P-эквивалентных) атома имеют в пересечении пустое множество (класс Р-эквивалентности, содержащий пустое множество), то вероятностное пространство содержит самое большее п атомов, вероятность которых ^ п-1, и, следовательно, самое большее счетное число атомов. Всякое вероятностное про; странство можно разложить на счетное объединение атомов и на „неатомическую" часть. Если неатомическая часть имеет вероятность нуль, то пространство называют атомическим.

Если (Q, Л, Р) — вероятностное пространство без атомов, то для каждого ае[0, 1} существует по меньшей мере одно множество А е Л с вероятностью Р (Л) = а. [Подмножество ^ множества Л]Р, состоящее яз тех классов В, для которых Р (В) ^ а, индуктивно относительно включения с *). Пусть Вв — максимальный элемент в ^. Показать, что если Р (Во) < а, то подмножество У множества Л/Р, состоящее из тех классов С, для которых Р ((?) > О

') То есть каждое линейно упорядоченное подмножество частично упорядоченного множества (^, с) имеет мажоранту. — Прим, перев.

и С Л 5 = 0, индуктивно относительно аз. Но всякий максимальный элемент в Ч> необходимо есть атом.]

Показать, что, каковы бы пи были вероятностное пространство (Q, Л, Р) и е > 0, существует конечное разбиение множества £2 па множества из Л, такое, что каждое множество, являющееся элементом разбиения, либо имеет вероятность ^ е, либо является атомом с вероятностью > е.

Следовая и условная вероятности относительно множества. Пусть (£2, Л) — измеримое пространство и £2, — непустое подмножество £2. Показан,, что класс £2t р Л = (£2,Л, АеЛ) есть а-алгебра подмножеств £2, (ее называют следом Л на Q,). Показать, что если 3" — класс подмножеств множества £2, порождающий <т-алгебру Л, то класс £2[П^ порождает <т-алгебру ^[Л^.

Показать далее, что если Р*(£21) = 1, то формула 5, (£2,Л) = = Р* (£2]Л) однозначно определяет вероятность Pt на (£2,, £2j П ^) (называемую следом Р на £2,). Убедиться, что метрические булевы алгебры Л/Р и £2t П Л]Р^ изоморфны (использовать лемму предложения 1.4.6).

Для любого множества В е Л положительной Р-вероятностн формула Рв (Л) = Р (АВ)IP (В) определяет вероятность как на (£2, Л), так и на (В, В(]Л). Показать, что этот результат верен и для множества В, не принадлежащего Л, если положить Р„(А) = - Р* (Л8)/Р* (В). ■ в

о-аддитивные классы множеств. Класс 3" подмножеств £2 назовем п-аддитивным, если (а) £2 е£Г; (б) F ь F2e3, FXF2=

Ft + F2t=3'; F^ F2g 3", F^ F2=^. Ft — F2 е 3"; (в) 3" э э Fn ^ lira Fn e 3".

Для всякого класса If подмножеств £2 существует наименьший содержащий его <т-адднтивпый класс (ff-адднтивиый класс, „порожденный ^“). Показать, что если класс У подмножеств £2 замкнут относительно образования пересечений, то порожденный им <т-адди- тивный класс 3 совпадает с порожденной им булевой сг-алгеброй. [Установить, что класс 3" замкнут относительно образования пересечений, убедившись сначала, что множество {Л: /1еД АВ ее 3" для всех Be") есть о-аддитивный класс, содержащий К, и, следовательно, совпадающий с 3", и затем выведя отсюда с помощью аналогичных рассуждений, что класс {Л: АВ ее 3" при всех ДеК) совпадает с сТ-.]

Пусть Р, и Р2 — Две вероятности на измеримом пространстве (£2, Л). Класс (F; Pt(F)=P2(F)) есть сг-адднтнвиый класс измеримых подмножеств £2. Вывести отсюда, что если вероятности Рх и Р2 совпадают па замкнутом относительно пересечений классе If измеримых множеств, то они совпадают па сг-алгебре, порожденной У.

1.5. Продолжение вероятности

Целью настоящего параграфа является доказательство фундаментальной теоремы о продолжении вероят- достн с булевом алгебры на порожденную ею о-алгебру.

При этом мы постараемся выделить и максимально прояснить отдельные этапы этого доказательства.

Пусть Л — булева алгебра подмножеств Q. Обозначим через 9 класс, образованный всевозможными счетными объединениями подмножеств Q из Л, или, что эквивалентно, класс объединений возрастающих последовательностей множеств из Л. В силу доказываемой ниже леммы для каждой вероятности Р на (й, Л) можно определить функцию множеств П на <^, положив

11(G) = lim f P(An\ если Ац t G (/г->оо), А^^Л.

(Лемма эта показывает, что значение предела lim t Р^Ап") п

не зависит от выбора последовательности {Д„}, а целиком определяется множеством G.)

' Лемма 1.5.1. Для всяких двух возрастающих последовательностей (Дт, m^lj и (Д^, п^1) множеств из Л, таких, что иДтсг^Дп, имеет место неравенство шп

lim f Р (Дт)^ Нт t РМ. Если при этом иДт = и^"> тпшп

ТО

Нт f Р (Am) = Нт f Р (Д^)- тп

Доказательство. Поскольку для любого т последовательность tAmAn, n^l} возрастает и иДтДп =

= Дш, то в силу непрерывности Р относительно сходимости последовательностей

lim f Р (а'„) ^ Нт f Р UmAn) = Р (Ат). пп

Утверждение леммы получается из этого соотношения при m -> оо. g

В следующем предложении устанавливаются различные свойства определенных выше класса 9 и функции П. В нем утверждается, в частности, что 9 есть наименьший класс среди классов подмножеств й,

содержащих Л и замкнутых относительно операций ко ночного пересечения и счетного объединения.

П р е дл о ж е н и е I. 5.1. Определенные выше класс S и функция П обладают следующими свойствами'.

0е# и Г1(0) = О; Не^ и П(П)= 1; 0<П(С)<1 (G е ^);

G„ С2ео9==ф

[ GlUG2, G^G.e^;

^( n(G1 + G2) + n(GiAG2) = n(G1) + n(G2);

GxczG2, Gb 62е^^П(С,)<П(С2);

бИб(п->*),.6яЕ^(;е^ П(6) = НтП(6„).

Более того, а? есть наименьший среди классов подмножеств Q, содержащих Л и обладающих перечисленными выше свойствами {касающимися ^. Наконец, П(Д) = Р(Д) при А^Л.

Доказательство. Наличие у $ и П свойств, указанных в пункте (а), очевидно. Рассмотрим далее две возрастающие последовательности {Дп, ь ^^1} и Ил.г! п^1} множеств из JL с пределами G1 и С2 соответственно. Чтобы убедиться в свойствах (б), достаточно заметить, что Дп, ^ А„,2 f G^ G2 (/г->оо) и перейти к пределу при и—>оо в равенстве

Р (Дп,.) + Р (Дп. з) = Р <Ап,, и Ап, 2) + Р {Ап,, п Д„. 2).

Свойство (в) вытекает из доказанной выше леммы. Для доказательства (г) предположим, что

Ат.п^С„ (mt«>,n>l), Ая,п^Л (т,п>1)

и что G^G (/г|оо). Положим Dm = sup Ат,п g Л. Последовательность {D,n, nz^sl} возрастает, поскольку

Gm sup AfRi п с sup Д,п+1,п ^ ^т*\•

Имеем Ат,п cz Dm cz Gm и, следовательно, Р(Дт,л)^ <С Р (Dm)^ П(Gm) при всех п^т. Устремляя т и п

в этих соотношениях к + оо, получаем

Gm f G е Э, П (G) = lim t П(Dm) = lim f П (Gm). tntn

Остальные утверждения предложения очевидны, fl

Предложение 1.5.2. Пусть 9 —класс подмножеств множества й ц П — определенная на 9 функция множеств, удовлетворяющая условиям (а) — (г) предложения 1.5.1. Функция множеств П*, определенная на 9" (й) формулой

П*(й,) = inf{П(G); йхаСе^

обладает следующими свойствами:

n*(G) = n(G) при GeS; О^П^^Х!;

П*(Й(и Й2)4-П,(Й1ЛЙ2)<П,(Й1)4-П,(Й2), в частности, п^йл + п^йО^ 1;

Й.сЙ^П’^ХП’Я);

^tfi^^f^^n-^tn-^J.

Доказательство. Наличие у П* свойств (а) очевидно. Чтобы доказать (б), возьмем произвольное в>0 и выберем Gx, G2g9 так, чтобы й, cz Gt и П*(й;) 4- 4-8/2^11(0^, t=l, 2. Тогда

П-(Й,)4-П-(Й2) + 8>П(С,)4-П(С2) =

= n(G1UG2)4-n(G,f]G2)>>п*(й1ий2)4-п*(й1пй2),

и остается лишь положить в этом соотношении в->0. Свойство (в) вытекает из монотонности П. Для доказательства (г) возьмем произвольное в>0 и выберем последовательность чисел е„>0 (га^1) и последовательность множеств Gn е 9 так, чтобы У е„ = в, й„ cz G„ пГГ(й„) + е„>П(С„). Положим G# = U Gm. Последова- тельность [Gn, n^l) есть возрастающая последовательность множеств из 9 и Й„ с G« при всех и^1. Покажем, пользуясь индукцией по п, что

ПЧй№)+ 2 em>n(GO (и>1).

При и = 1 это соотношение выполняется в силу выбора множества Gx. Предположим, что оно верно для некоторого п. Тогда, поскольку П„ с Gn П G,1+i s S, имеем II(G,14i) = 11(С,; U G,14I) = n(G,J + П(Д,1+1) — П(G„ Q G,tn)^

<pm) + 2 Е,„1 + [ПЧ(Л+1) + с„+1]-пЧ^) =

= 1W) + 2 en- m n +1.

Тем самым паше соотношение доказано. Устремляя в нем и к оо и принимая во внимание, что й„ с с. lim * G„ g S, получаем

lim ^П*(QJ + 8^ П [lim t G4 >if (QJ. n \ Zl /

Так как e было произвольным и так как в силу свойства (в) ПДЙ„)^ ПЧ^ооК»^ 1), свойство (г) доказано, fl

Следствие. При выполнении условий предложения. 1.5.2 класс У подмножеств D .множества Й, для которых П*(Д) + П*(ДГ)= 1, есть булева а-алгебра и ограничение П* на D представляет собой полную вероятность на (О, D\

Д о к а з а т с л ь е т в о. Из определения 7 следует, что

Де 7^Dce Ч.

Далее, поскольку согласно (а) ТГ (0) + TP (О) = 1, то 0, й е ..

Для любых Д,, Д2е.7 сумма правых частей нс- раиенств■

ИДО, и о.) + [Г(Д1 п д,)< пдд,) + 1Г(Д2),

11’ ((ДI и D.^ + гГ [(D{ п /7)1 < П* (д9 + п’ (дг2)

равна 2. С другой стороны, согласно свойству (б) функции 1Г

1Г(д,иа2) + пЧ(О1ио2Г]>1,

л*(д,пд2) + гг [(д,пад>1.

Четыре выписанных неравенства могут иметь место одновременно лишь в том случае, когда все они суть равенства. Следовательно, DiuD2e35, так что класс 36 замкнут относительно образования конечных объединений и пересечений и функция П* аддитивна (в сильном смысле) на 36.

Если {Dm и ^ 1} — возрастающая последовательность множеств из 35, то из свойств (в) и (г) функции П* вытекает, что

n'rfU^yicn*^) приn'rfU^yicn*^) приm^ 1m^ 1

n'rfU^yicn*^) при

n'rfU^yicn*^) при

m^ 1

m^ 1

Отсюда ГТ Г^и Ол]1 + П* [/'(J О nV] ^ 1 и, следовательно, L\ n /J 1\ л / J

(согласно свойству (б)) (JDne35. Тем самым показано, п

что 36 есть or-алгебра подмножеств Q и что ограничение ГГ на 36 представляет собой вероятность. Для завершения доказательства следствия остается лишь заметить, что если

Q.gBg^, П*(О) = 0, то

If (Q,) + n*(Gf)< 0+1 = 1

и, следовательно, Ц е 36. б

Теорема о продолжении вероятности, заданной на булевой алгебре, легко вытекает из двух предыдущих предложений и только что доказанного следствия.

Теорема (о продолжении вероятности). Всякая вероятность Р, определенная на булевой алгебре Л подмножеств Q, имеет единственное продолжение до вероятности на булевой а-алгебре, порожденной Л.

Доказательство. Пусть Р — вероятность на (й,uty Применим результаты следствия предложения 1.5.2 к классу Р и функции множеств П, определенным

в начале настоящего параграфа. Отметим, что функции П и П* совпадают с Р на Л, так что ^с^>. Следовательно, ограничение Р' функции П* на а-алгебру Л', порожденную Л (тоже содержащуюся в ^7), есть продолжение Р до вероятности на этой а-алгебре.

Для доказательства единственности продолжения Р на Л' рассмотрим вероятность Q на Л', ограничение которой на Л совпадает с Р. Легко видеть, что Q = II на о? и, следовательно, Q^P' на Л'. Отсюда вытекает, что Q = Р', поскольку предположение Q (Л) < Р' (Л) для некоторого АеЛ' приводит к противоречию: Q(Q)=Q^)+QMe)<P'M) + P'He)= 1. Теорема доказана. |

Поскольку класс 9, очевидно, содержится в Л', то построенная по Р' внешняя вероятность Р* совпадает на SP (й) с функцией множеств П*. Отсюда и из предложения 1.4.6 вытекает, что (й, (1Г)а) совпадает с пополнением (Й, Л', Р').

Дополнения и упражнения

Пусть (П, <Л, Р)— вероятностное пространство. Показать, что метрическое пространство Л'Р (определенное в упражнении 1.3.1) полно. Показать, что если ^ — булева алгебра подмножеств £2, порождающая Л, то ^!Р изометрично плотному подпространству пространства Л[Р. Пространство Л[Р изометрично, следовательно, метрическому пополнению пространства ^jP. [Доказать, что для любой последовательности {Лл, п^ 1} множеств из Л

У р (Л„ А Лл+1) < оо^ Пт Лл = Пт Ая =^ lim Р (Л,л А Л„) = 0 пппт. п->оо

Коши (Лл, п>1} {Ллу, />1}, для вывести теоремуКоши (Лл, п>1} {Ллу, />1}, для вывести теоремуи заметить, что из любой последовательности в v4 P можно выбрать подпоследовательность которой УРМ, ДИн \ < со.1 Как можно

Коши (Лл, п>1} {Ллу, />1}, для вывести теорему

Коши (Лл, п>1} {Ллу, />1}, для вывести теорему

о продолжешш вероятности из теоремы о пополнении метрического пространства?

Пусть (Q, Л, Р^ — вероятностное пространство п ^ — булева алюбрз подмножеств Q, порождающая а-алгеиру Л (возможно, с точностью до нулевых множеств). Показать, что множества ®сь!Р, ^baiP и Л/Р совпадают. (Используются обозначения упражнения 1.2.1.)

Пусть (й, сД, Р) — вероятностное пространство, и пусть 5* есть а-фнльтр подмножеств й (т. е. такой фильтр, что если Fne 5" (n ^ 1), то ^ F„ g jTl имеющих внешнюю вероятность Р* (Р) = 1.

Показать, что существует вероятность Р' на а-алгебре, порожденной классами Л и ,Г, совпадающая с Р иа <Д и равная 1 на всех множествах из <У [применить предложение 1.5.2 к функции множеств П (й0) = inf(Р (Д}; Д g сД, й0 g Д U Fc для некоторого F g 53 L

. Теорема о емкостях. Пусть 5" — класс подмножеств й, содержащий 0 и замкнутый относительно конечных объединений и счетных пересечений. Емкостью ф называется отображение класса <#° (й) в R, такое, что

й, с й2=Ьф (й1) < ф (й2);

й„| йм=4ф(й„)1 ЛСЙ^);

F„^F в ^^фЛиф^).

Показать, что для всякого множества А из суслинского класса S"s

ф (Д) = sup(ф (Р); Ре ^, Р g Д).

Для доказательства представить А в виде

Д = ир^ гДе ^ИшфР^.Д = ир^ гДе ^ИшфР^.-vp)-vp)

Д = ир^ гДе ^ИшфР^.

Д = ир^ гДе ^ИшфР^.

-vp)

-vp)

и определить последовательность положительных целых чисел пи л2 так, чтобы

ф (Ср) > ф (Д) - е, где Gp = (J Pv. v: *,<»,. ^Пр

„ х. Заметить, что Р>„ х. Заметить, что Р>Положить, далее, Hp = и • и V|<"| ЧрСПр "'

„ х. Заметить, что Р>

„ х. Заметить, что Р>

GpaHp и что последовательность Яр убывает, откуда ф ^lim фЯр) ^ ^ ф (Д) — е (так как Нре5"\ Убедитьси, наконец, в том, что

непустые множестванепустые множестваПтфЯрСД, используя следующий факт: для любого оеПтфЯр рР

непустые множества

непустые множества

{v: vt<.nt при всех I, ш g Р^х, v ^j образуют убывающую последовательность замкнутых множеств в компактном пространстве JJ [1, л;[.

Пусть (й, сД, Р) — произвольное вероятностное пространство. Применяя предыдущий результат к случаю 5" = Л и ф = Р*, показать, что суслинский класс <zts содержится в а-алгебре абсолютно измеримых подмножеств (й, <Д) и что, в частности, если ' пространство (й, Л, Р) полно, то Л = Л$.

Булевы полуалгебры, компактные классы и функции распределения на действительной прямой

Вводимое ниже понятие булевой полуалгебры является вспомогательным понятием, которое оказывается особенно полезным при изучении вероятностей на действительной прямой (настоящий параграф) и в произведениях пространств (гл. III).

Определение 1.6.1. Класс S подмножеств множества й называется булевой п о л у а л г е б р ой, если он удовлетворяет следующим условиям-,

0, йе^;

S замкнут относительно конечных пересечений-,

дополнение Sc каждого множества S eS есть объединение конечного семейст'ва попарно непересекаю- щихся подмножеств й из S.

Предложение!.6.1. Булева алгебра Л, порожденная булевой полуалгеброй S подмножеств й, состоит из сумм / = 2s,- конечных семейств {S;, zg/} попарно 1

непсресекающихся подмножеств й, принадлежащих S’.

Для каждой аддитивной функции множеств Р, отображающей S в отрезок [0,1], и такой, что Р(й)=1, формула Р'(А) = 2 Р (8,) (корректно) определяет един-

I

ст венное аддитивное продолжение Р' функции Р на алгебру Л, Если функция Р является о-аддитивной на S, то Р' есть вероятность на Л’, в этом случае существует единственная продолжающая Р вероятность на а-алгебре, порожденной S’ (совпадающей с а-алгеброй, порожденной Л).■

Доказательство. Класс Л сумм 2Bi есть булева

алгебра подмножеств й. В самом деле, он (1) содержит 0 и й; (2) замкнут относительно конечных пересечений: (2 S,) П (5 S/) = 2 SiS/; (3) замкнут относи

/J1X1

телыю образования дополнений; (2Si/= A Si и 5)еЛ ii

в силу аксиомы (в) определения булевой полуалгебры. Ясно, что ^ порождает Л.

Для доказательства корректности определения Р' на ^ нужно показать, что если 2 Sz = 2 5/, то / у

2 Р (S/) = 2 Р (S/). Используя формулы уу

sz-ssiHs;, s^ssins;

и аддитивность Р на с^, имеем

2 р(s't) = ^p(stns'^ = '2lp(s',),leiixljel

что и требовалось. Аддитивность (<т-аддитивность) Р' на су£ доказывается аналогично. Именно, если конечное (счетное) семейство множеств А1 = 2 S{ из Л (s|g^,

1ЕЧ

множество Ij конечно), пронумерованных индексами jej, есть разбиение множества A = 2Sft из Л, то ис

пользуя разложения

sft = 2 2sinsft, к^к,

и

S? = 2 Sy П S^.t'eZ/JeZ,кеК

и пользуясь аддитивностью (ст-аддитивностью) Р на с^, получаем

p'H)=2p(sO=2 2 2р(5{л54) = кеКksK tel ie/j

= 2 2 2p(sins6) = S 2p(s{)=2p'№ /еу ie/y k^RtG] i^ljjel

Наконец, единственность продолжения P' очевидна, а последнее утверждение теоремы есть следствие теоремы о продолжении из п. 1.5.1

В теории вероятностей нередко бывает трудно, а иногда и невозможно доказать, что некоторым образом ■ построенная функция множеств «’-аддитивна, даже

если она по построению аддитивна. Тем не менее, в довольно широком классе случаев можно установить а-адди- тивность аддитивной функции множеств, доказав, что рассматриваемое пространство удовлетворяет некоторому дополнительному условию компактности. Ниже мы вводим это условие в наипростейшей возможной форме.

Определение 1.6.2. Класс^ подмножеств множества^ называется компактным, если для всякой последовательности {С,„ п>1) множеств из % ,длякоторой П Сп = 0, существует целое число N, такое, что Р)СП = 0.

n<,V

Здесь мы имеем дело с компактностью в смысле последовательностей. Всякий класс компактных подмножеств топологического пространства О является, очевидно, компактным в смысле данного выше определения. В дальнейшем нам встретятся другие важные компактные классы.

Ле м м а 1.6.1. Если класс^ подмножеств В компактен, то компактен также и наименьший класс %', содержащий ^ и замкнутый относительно операций конечного объединения и счетного пересечения.

Доказательство. Докажем сначала, что класс ^ s объединений конечных семейств множеств из ^ компактен. Рассмотрим последовательность множеств Dn =

= (J С" из ^s, такую, что Q Dn=^0 при всех р.

tn = Iп^р

Нужно показать, что Q Dn=A0. Пусть/ = Ц{1, 2, .. . пп

. .., Л1П} — пространство всех последовательностей {m/t, n^l} натуральных чисел, таких, что \^шп^.Мп. Обозначим через 1 р подмножество I, состоящее из тех последовательностей, для которых Q Спп=^0, Из фор- п<р

МУЛЫ

'П°„-и(Пс-")

п^р J п^р

вытекает, что/,,=/= 0 при всех р>0. Множества Jp, как легко видеть, убывают. Нам достаточно показать,

что существует последовательность [mJ, принадлежащая Иш | Jp. В. самом деле, тогда Q£)„ zdQC„n^0, пп

поскольку класс ^ компактен и Q Спл#=0.

п<р

Выберем в каждом множестве Jq по последовательности [т^1]. Пользуясь индукцией, можно построить последовательность [т*], такую, что для каждого р найдется бесконечно много q, для которых — (l^n^p). Для заданного р возьмем наименьшее из таких q, больших р. Тогда последовательность {т^*}, а вместе с ней и последовательность [т‘] принадлежит JP1 поскольку тот факт, принадлежит или не принадлежит Jp данная последовательность, зависит от значений лишь первых р ее членов. Тем самым показано, что {ш*} принадлежит Iр при всех р. (Предыдущее рассуждение можно заменить ссылкой на теорему Тихонова: если пространство / наделить произведением дискретных топологий сомножителей, то множества Jp образуют убывающую последовательность непустых замкнутых множеств. По теореме Тихонова / компактно, и поэтому Иш | /р#=0.)

Из компактности ^ следует, очевидно, компактность класса ^^ состоящего из счетных пересечений множеств из ^s. Поскольку ^' = ^$ь, лемма доказана, fl

Предложение 1.6.2. Пусть Л — булева алгебра или полуалгебра подмножеств множества Q, и пусть ^ — компактный подкласс Л. Всякая аддитивная функция Р, отображающая Л в [0,1], и такая, что Р (Q) = 1 и

PU) = sup(P(C); СсЛ, Се^}

при всех АгЛ, является вероятностью.

Доказательство. Докажем предложение сначала для случая булевой алгебры. Для этого покажем, что если Ап | 0, Ап^и1, то Р(Л„)|0. Возьмем произвольное е>0 и для каждого п выберем множество C„e^ так, чтобы С„сЛ„ и Р (Л„) ^ Р (С„) + з2~". Поскольку

4 Зак. 1368

QCnc QAn= 0, существует натуральное число N, пп

такое, что f) Сп=0. Используя формулу Ду =

= Q Апс (J Ип — С„) и конечную аддитивность и полу* пСК п < Л'

аддитивность Р, получаем

ри.^<2 р(А,-CJ^[Р(Л„)-Р(Сп)]8.

n^Nп

Отсюда в силу произвольности е имеем lim | Р(Д„) = 0.

Покажем теперь, что справедливость нашего предложения для алгебры Л влечет его справедливость для полуалгебры SP. Для этого воспользуемся леммой 1.6.1 и предложением 1.6.1. Согласно лемме, класса,, содержащийся, очевидно, в порожденной с^ алгебре Л, компактен. С другой стороны, пусть А = ^51еЛ. Выбирая множества С; из 8” так, чтобы Cz с St, Pt-Sii^Pt-C^-V^N (г = 1, .... М), получаем

^С^А и Р'(Л)<Р' 2С, +е.

Так как2 Cze^$, то тем самым показано, что алгебра^, класс ^ и функция Р' удовлетворяют условиям настоящего предложения. Следовательно, функция Р' является а-аддитивной на Л. 0

Вероятности на прямой обычно вводятся с помощью функций распределения [действительная функция F действительного переменного называется функцией распределения, если сна не убывает, непрерывна слева ц удовлетворяет условиям lim F^ = ^, Иш F (х)=1[.

*Х-> - »Х-> + Г»

Функции распределения имеют весьма незначительную практическую ценность (исключая некоторые вопросы, в которых основную роль играет порядковая структура действительной прямей) и должны были бы давно уже исчезнуть, уступив место вероятностным функциям множеств. Мы покажем, что между функциями рас-

пределения и вероятностями на действительной прямой существует взаимно однозначное соответствие.

Класс S всех интервалов (открытых, полуоткрытых и замкнутых) на действительной прямой образует, очевидно, булеву полуалгебру и порождает булеву алгебру конечных объединений непересекающихся интервалов. Обозначим через 91 булеву о-алгебру, порожденную S. Так как всякий интервал на 7? есть счетное пересечение и всякое открытое множество на R есть счетное объединение открытых интервалов, то Si является также наименьшей о-алгеброй, содержащей все открытые множества. Подмножества R, принадлежащие Si, называют борелевскими множествами.■

П р едложение 1.6.3. Формула P(Ix)~F(x), где xeR и 1Х— открытый интервал (—оо, х\ устанавливает взаимно однозначное соответствие между вероятностями Р на (R, 9?) и функциями распределения F на R.

Доказательство. ПустьР—вероятность на (7?, ^). Из соотношений

с Ig при х < у,1^ 11Х при хп | х;

7, | 0 при х | —оо; I f R при X,Л + 00

следует, что F (х) = Р(1Х) есть функция распределения. Обратно, пусть F — функция распределения. Определим функцию Р на S, положив

Р{[о, b)} = F(b)-F(a)-, Р^а, 6)} = F (b) - F (а + 0);

Р {[а, »]} = F (Ь + 0) - F (а)-, Р {(а, 6]} = F (Ь + 0) - F (а + 0).

Читатель легко может проверить, что Р есть аддитивная функция множеств, отображающая S в интервал [0, 1] и удовлетворяющая условию Р(R) = 1. Обозначим через ^ класс всех компактных интервалов на прямой 7?. Класс ^ компактен, и из свойств непрерывности F вытекает, что Р и ^ удовлетворяют условиям предложения 1.6.2. Следовательно, функция Р является а-ад- дитивной и поэтому имеет единственное продолжение до вероятности на (7?, й1). 1

Дополнения и упражнения

Показать, что предложение 1.6.2 останется справедливым, если отказаться от предположения, что У содержится в <Л и заменить в формулировке этого предложения Р (С) на Р' (С). Показать далее, что если выполнено указанное ослабленное условие и Р' есть продолжающая Р вероятность на а-алгебре йР, порожденной Л, то подкласс ^' = ^j П <Д'а-алгебры JV компактен и

Р’ (Д') = 8ир{Р' (CQ; С'сД', C'g^'}

при всех Д'ссД'.

Показать, что если alt и ut2 — булевы полуалгебры подмножеств й, то класс 98 = {Д,Д2;ДiG^i, Д2е<^2} тоже является булевой полуалгеброй подмножеств £2. Булева алгебра (ст-алгебра), порожденная 98, совпадает с булевой алгеброй (ст-алгеброй), порожденной Лх U с42.

Распространить предложение 1.6.3 па пространства Rn, заменяя при этом интервалы 1Х на „многомерные интервалы" 1Х= =А8 : Ml < xt (е= 1, ..., n)}.

Г л а в a II

Интегрирование случайных величин

ILL Измеримые отображения

Каждому отображению X множества й в множество й' соответствует обратное отображение X-1, которое переводит класс ^(й') в подкласс класса ^(й) н определяется формулой X'1 (Д') = {со: Х(м)еЛ'}. Это обратное отображение является гомоморфизмом относительно объединений, пересечений (бесконечных) и дополнения. Иными словами, оно обладает следующими свойствами:

Х~Ц0) = 0, Х’ЧЙ'НЙ;

у-1 (А,с\ = (\с-

X чи да=и 1x-Yn =A

где [Ар z g Zj — произвольное семейство подмножеств й'.

Обозначим через Х-1^') класс всех подмножеств множества й вида X-1 {С'), где С' принадлежит классу ^ подмножеств множества й'. Из выписанных выше формул непосредственно вытекает, что если Л' есть а-ал- гебра (алгебра) подмножеств й', то X-1 kJV^ естьо-алгебра (алгебра) подмножеств й. Аналогично, имеет место следующий результат.

Лемма 11.1.1. Каков бы ни был класс К' подмножеств й', прообраз X-1 (Л') а-алгебры Л'^подмножеств^, порожденной классом ь', совпадает с a-алгеброй Л ^подмножеств й), порожденной классом Х-1^')-

Доказательство. Так как X-1 (^') есть о-алгебра, содержащая X'1 ^'\ то X"’ (с^') =э Л. С другой стороны, класс ®' = {В': X-1 (В') гЛ"\ является, как легко проверить, о-алгеброй подмножеств й', содержащей о'.

Следовательно, этот класс содержит Л', так что

A"1 W с A"1 W с: ^. Э

Пусть А — отображение И в £У, и пусть Л есть а-алгебра подмножеств Й. Класс Л' = {А': А-1 (А') е Л} представляет собой а-алгебру подмножеств й', называемую а-алгеброй, индуцированной отображением А из Л. Для всякой вероятности Р на (й, Л^ формула Р'(А') = Р [А-1 (А')1 определяет вероятность на (й', Л'). Говорят, что вероятностное пространство (й\ Л', Р') индуцировано отобраоюением X из (й, Л, Р).

Пусть (й[, Л^ и (й2, Л^ — два измеримых пространства. Отображение А множества й, в множество й2 называется измеримым, если А-1 (Л2) е Л^, или, что равносильно, если а-алгебра подмножеств й2, индуцированная отображением А из Ль содержит Х>. Из доказанной выше леммы легко вытекает следующий важный результат.

Предложение II. 1.1. Для того чтобы отображение X измеримого пространства (fin AJ в(й2, Д2) было измеримым, достаточно, чтобы существовал класс ^ подмножеств А2, порождающий Л2 и такой, что А"1 ^сЛ^

Для всякого семейства {А/, Ze/} измеримых отображений (й, Л) в измеримые пространства (Йг, Л^ (не обязательно различные) через .^(Aj, Z е/) обозначим а-подалгебру а-алгебры Л, порожденную семействами Ат! (Л.у В частности, ^ (А,) = Ау1 (Лту Легко видеть, что а-алгебра ® (X/, ie7) совпадает с наименьшей а-подалгеброй ^ а-алгебры Л, обладающей тем свойством, что АД/е/) являются измеримыми отображениями (й, ^) в соответствующее пространство (й,, Л^.

Дополнения и упражнения

Если отображения X пространства (й, J?) в пространство (Я', ^Ц и X' пространства (й', ^') в пространство (Q", £Д"^ Измеримы, то измерима также композиция Х'°Х этих отображений, отображающая (й, ®) в (й", ®"Y

Отображение X множества й в множество й' называется инъективным, если X(e)t) т^ X (вг) прн <Bt т^<в2, ©ь а2ей, сюръективным, если X (й) = й', и биективным, если оно одновременно инъективно и сюръективно. Обозначим той же буквой X отображение 9* (й) в 9 (й'), определяемое формулой X (Л) = {X (ш); веЛ). Показать

что

(Л.)\ У / I

для любого семейства {Л/, i g /};

что

^Л^П^

для любого семейства {Л/, i g /} тогда и только тогда, когда X инъективно;

что х[х-1 (Л)] = Л для любого Л тогда н только тогда, когда X сюръективно;

что [X (Л)]с = X (Лс) для любого Л тогда и только тогда, когда X биективно.

*11.1.3. Операция Суслина (продолжение упражнения 1.2.2)'. Пусть X — отображение множества й в множество й' и 9" — произвольный класс подмножеств Й'. Показать, что X-1 {9s) = [х-1 (^)ls-

II.2. Действительные случайные величины

Пусть (й, Л) — измеримое пространство. На протяжении всего настоящего пункта мы будем считать его фиксированным. (Первые результаты этого пункта используют лишь структуру булевой алгебры класса uZ.)

Определение II.2.1. Действительной ступенчатой случайной величиной {ступенчатой д. с. в?) на пространстве (й, l^) называется отображение X множества Й в действительную прямую R вида

X(со) — Xi при ш £ Л/ (is /), где (Л,, i s /} — конечное разбиение пространства (П, Л^ и действительные числа xt (i е /) попарно различны.

Предложение П.2.1. Для того чтобы отображение X множества й в R было ступенчатой д. с, в., необходимо и достаточно, чтобы класс ХГх (S?) был конечной

□-подалгеброй а-алгебры Л (9? обозначает а-алгебру борелевских множеств в R).

Доказательство. Условие необходимо, поскольку Л’1 (Й?) совпадает, очевидно, с булевой а-алгеброй, порожденной семейством Л; (г е /). Для доказательства его достаточности рассмотрим конечное разбиение {/1/, :'е/} множества Й на множества из Л, порождающее X-1 (^?) (см. предложение 1.2.1) Отображение X постоянно на каждом из множеств Аг. В самом деле, если бы существовали две точки со и со' в некотором из множеств Аь для которых X (со) 7^= X (со'), то можно было бы выбрать борелевское множество S в 9?, содержащее X (со) и не содержащее Х(сУ). При этом пересечение X-1 (S) П Аг было бы непустым множеством, принадлежащим X'1 (^) и строго содержащимся в At, что невозможно. Наконец, значения X на множествах At попарно различны, поскольку в противном случае множества At не' могли бы все принадлежать X"1 (<5?). |

Каждому множеству Аг Л поставим в соответствие ступенчатую д. с. в. 1Д, называемую индикатором А и определяемую формулой

{

1 при аеД

О при и ^ Л.

Д. с. в., всюду равную единице, будем обозначать 1 (вместо 1е). Очевидно, имеют место следующие формулы:

1дс=1~1д; 1д+в = 1д + Is! 1д'1в=1дв;

Uup (д, в) = sup (1.4, 1Д); linf i/i, в = inf (1д, la).

Предложение II.2.2. Множество W ступенчатых д. с. в. на (й, Л) имеет структуру структурной алгебры (см. ниже), продолжающую структуру булевой алгебры класса Л.

Доказательство. Утверждение предложения состоит в следующем,■

еГ является линейным пространством. Более точно, 8” является подпространством линейного пространства всех действительных функций на й, порожденным индикаторными д. с. в. 1Л (Ле^), В самом деле, очевидно, что 1дЕ§° при всех Ле^ и что всякая функция Хек может быть записана в форме линейной комбинации индикаторных функций: Х = ^1хД. . Поскольку, конечно, сХе^ при всех X е ^ и ceR, то остается лишь показать, что X, Ye&=^X+Ye&. Пусть в соответствии с определением X = xt на А£ (iel) и У = У] на В, (j е J). Имеем, очевидно,

Х+ У = 2-^1д, + 2 уДв; = ^^xi + хй ^аДв^

Непустые множества AtBj образуют конечное разбиение пространства (й, of). Объединяя те из них, которые соответствуют одним и тем же значениям x£ + xj, получаем представление величины X + У в нужном нам виде: Х + У-22Й1С1, где ze попарно различны и С6 образуют конечное разбиение Й.

^ является алгеброй. Это означает, что линейное пространство ^ обладает следующим свойством: произведение ХУ двух функций X, У её* принадлежит ^. В самом деле, имеем

XY = ^2 xj д^ (2 УДв^ = (^( х1УДа£в,

и остается лишь объединить соответствующие непустые множества AtBi аналогично тому, как мы это сделали в (1).

^ является структурой относительно естественного упорядочения, определенного в пространстве всех действительных функций на й; Х^У, если Х(ш)^У (со) при всех со ЕЙ. Иными словами, если X, У её*, то sup (X, У) и inf(X, У)е^. Действительно,

sup(X, y) = sup(x,. уД, inf (X, y) = inf(xn уД

на AtBj (tel, i е J).

Структура ^ является продолжением структуры А. Это утверждение выражается формулами, выписанными перед формулировкой предложения. |

Следующие формулы справедливы для всех действительных функций на Я и, в частности, для ступенчатых д. с. в.:

sup(— X, У) = — inf(X, У),sup (У, У) + inf (У, У) = У+У.

Обозначим sup (У, 0) через Х+ и sup( — У, 0) = — inf (У, 0) через X". Очевидно, оба отображения У+ и У- множества Я в R положительны и

У = У+ - У".

Определение II. 2.2. Д сй ствител ьной случайной величиной (д. с. в.) на Я называется отображение X множества Я в расширенную действительную прямую R = \—oo, со], являющееся поточечным пределом последовательности ступенчатых д. с. в. Д. с. в. X называют конечной (положительной), если X(&)<=R (У(Я)сЯ+ = [0, +оо]).

Предложение II. 2.3. Для того чтобы отображение множества Я в R было д. с. в. на (Я, А), необходимо и достаточно, чтобы оно было измеримым по отношению к А и а-алгебре S? борелевских подмножеств R. Для выполнения этого условия в свою очередь достаточно, чтобы {го: У(и))<л-}е^ при всех х е. R (или при всех х из множества, плотного в R).

Определение а-алгебры §Х борелевских подмножеств R аналогично определению а-алгебры А (стр. 51). Отметим, что ^ является следом А на R (упражнение 1.4.4).

Доказательство. Пусть У — д. с. в. и {У„, и ^ 1} — последовательность ступенчатых д. с. в., такая, что У„ (со) -> У (со) (соеЯ, п --> со) в R. Так как sup Inn inf-{и; у„(со) <л--4} = {“: У(ш)<х} (xeR),

то {co: X(со)<х} GЛ. Следовательно, X измерима, поскольку интервалы [ — оо, х) порождают St (см. предложение II. 1.1).

Обратно, пусть X — измеримое отображение (Й, Л) в (/?, S^Y Поскольку X есть разность X* — Х~ двух положительных измеримых отображений (этот факт доказывается совсем просто), то достаточно показать, что всякое положительное измеримое отображение (Й, Л) в (/?, ^ является поточечным пределом последовательности ступенчатых д. с. в. Но если для такого отображения Y положить■

. ”2П

^л = ^"^й-" Ift-l^y-i"^^ П1{У>п}(«>0.

<7 = 1'

то функции У„ (п>1) образуют возрастающую последовательность положительных ступенчатых д. с. в., такую, что

У„<УнаЙ; Ya>Y-2-n на (У<и);

Yn = n на {У>п}.

Отсюда очевидно, что У (со) = lira | Уп (со) при всех ■Л"> ”

СО G Й. В'

Тем самым мы доказали предложение II.2.3 и одновременно следующий результат.

Предложение II. 2.4. Всякая положительная д. с. в., определенная на (й, Л), есть предел по крайней мере одной возрастающей последовательности положительных ступенчатых д. с. в. Более того, эту последовательность можно выбрать так, чтобы сходимость была равномерной на каждом подмножестве Й, на котором Y ограничена сверху.,

Из самого определения д. с. в. и из критерия, содержащегося в предложении II. 2.3, вытекает, что совокупность случайных величин замкнута относительно арифметических операций и переходов к пределу (по последовательностям), если только эти операции не

приводят к неопределенным выражениям типа оо — оо, 0 • оо и т. д. Более точно, если X и Y — д. с. в. и ceR, то д. с. в. являются также

сХ;

X + Y, если X (со) + У (со) ^ оо — оо ни при каком со;

XY, если X (со) X (У) ^ 0 • оо ни при каком со;

XjY, если X (со)/У(со) ^ оо/оо ни при каком со.

В частности, конечные д. с. в. образуют алгебру. Далее, если (X,, ie/} —счетное семейство д. с. в., то оба отображения sup Xt и inf Y, тоже являются д. с. в.

77

Это обстоятельство позволяет определить для всякой последовательности ^Хп, п^1} д. с. в. две, д. с. в. lim sup Хп и lim inf Х„. Множество сходимости последо- Л -> соП -> оо

вательности {Хп, п^1} определяется как (измеримое) множество {lim sup Хп = lim inf ХпУ Если, в частности, пя

lim sup Хп = lim inf Хп всюду на О, то последовательность п •п.

{Хп, п^ 1} называют сходящейся всюду и общее значение верхнего и нижнего пределов обозначают limX,t. Из сказанного следует, что предел всякой сходящейся последовательности д. с. в. есть д. с. в.

В соответствии с определениями п. II. 1 д. с. в. У на (В, <Л, Р) называется измеримой относительно а-подалгебры 98 а-алгебры <Л (коротко, 98-изме- римой), если а-алгебра 98 (У) = [У1 (S), SeS’l содержится в ,^. Следующее предложение характеризует все 98 (Х)-измеримые д. с. в., т. е. д. с. в., измеримые относительно а-алгебры 98, порожденной д. с. в. X.

Предложение II. 2.5. Пусть .^(Х) есть о-под- алгебра а-алгебры <Л, порожденная д. с. в. X. Для того чтобы д. с. в. У на (£2, и£) была .^ (.ХУизмеримой, необходимо и достаточно, чтобы У можно было представить в виде Y = t^X\ где f —измеримое отображение (Р, 9?) в себя.

Доказательство. Достаточность условия очевидна. Для доказательства необходимости рассмотрим сначала случай, когда У есть ^ (Х)-нзмеримая ступеи-

чатая д. с. в. В этом случае существует такое конечное разбиение

{В;, 1^1 ^П}

пространства Я на множества из ^(Х) и такие попарно различные действительные числа yt (l^z^n), что Y = yt на Bt. Поскольку множества Bt принадлежат ^(Х), существует такое семейство, борелевских множеств St (l^z^n) на R, что Bl = ^X^StY Борелевские множества

S^Si-US, (!</<«) и (US,)c = (2s9c / < *

образуют конечное разбиение R и из соотношений {X eS2S;} = ВВ,= 0 (С^П вытекает, что Bi = (XeS^). Определим теперь функцию / на R, положив f равной yt на S\ и равной нулю_на_(2 З^У- Ясно, что f есть измеримое отображение (R, Sf} в (R, S?^ и ¥ = ^Х\

Пусть . теперь К — произвольная (не ступенчатая) 98 (Х)-измеримая д. с. в. и {У„, п^ 1} — последовательность 98 (Х)-измеримых ступенчатых д. с. в., такая, что У = Нт У„. Пусть, далее, У„ = f„ (X) — полученное выше представление Уп. Положим f = limsupf„. Функция f

п

является измеримым отображением (.R, <%) в себя и У (<о) = lim fn [X (ш)] = f [X (со)] при всех шей. |

п

Дополнения а упражнения

Пусть Е — линейное пространство определенных на измеримом пространстве (Q, сД) ограниченных измеримых функций, такое, что

I е£;

f, geE^ sup (f, g) e E;

(a) {/„, n> 1}-ограниченная константой возрастающая последовательность функций из Е=^ Hm fn е Е. Показать, что существует а-подалгебра 98 cr-алгебры Л, такая, что Е является пространством всех ограниченных ^-измеримых функций. [Положить 98 = {S: 1Д е EY Д.М доказательства того, что

У>а¥е^ при feE, воспользоваться тем фактом, что

4f > а} = Iim t inf П. «(/ — а)+11

11.2.2. Случайные величины со значениями в метрическом пространстве. Пусть (£2, сД) — измеримое пространство и Е — метрическое пространство с метрикой d. Ступенчатые случайные величины и случайные величины со значениями в Е определяются аналогично_д. с. в.: в определениях П.2.1 и II.2.2 нужно лишь заменить Е и R на Е. Показать, что если Х[ (1=1, .,., м) — определенные на (£2, <Л) случайные величины со значениями в метрических пространствах Е, (1=1, ..., п) соответственно и если и — непрерывное отображение П£г в метрическое пространство Е, то отображение zz(X1, ..., Х^ является с. в. на (£2, ut) со значениями в Е. В частности, если Xlf Х2 —две с. в. со значениями в Е, то d (Хь Х2) есть д. с. в. Показать далее, что отображение X пространства (£2, <Л) в метрическое пространство Е является с. в. тогда и только тогда, когда

X (£2) содержит плотную последовательность;

X-1 (В) е Л для всякого открытого шара В в Е.

3. Математическое ожидание действительных случайных величин

Пусть Р — вероятность на булевой алгебре (в частности, на булевой о-алгебре) Л подмножеств Q. Каждой ступенчатой д. с. в. X, определенной на (Q, Л), поставим в соответствие действительное число S XtP(A^ /

J XdP, или просто j X.J XdP, или просто j X.(используются обозначения определения II. 2.1). Это число называется математическим ожиданием величины X пли интегралом от X и обозначается Е(Х), ЕХ, j X (со) Р (da),

J XdP, или просто j X.

J XdP, или просто j X.

Предложение II. 3.1. Математическое ожидание Е(-), определенное на линейной структуре ^ ступенчатых д. с. в. на (П, Л.) посредством вероятности Р, является единственным положительным линейным функционалом на с?, удовлетворяющим условию Е (^аУ^Р^У- Кроме того, оно обладает свойством непрерывности относительно монотонных последовательностей; Xn^JC (соответственно j ) в ^ =ф Е (Xп) j Е (X) (соответственно |).

Обратно, всякий положительный линейный функционал Е на cf, удовлетворяющий условиям £(1)=1 и Хп 10 в <? ^ Е (Х^) ^0, является математическим

ожиданием относительно вероятности Р, определяемой формулой Р^А^ = £(1Л)(А г Л).

Доказательство. Из определения £(■) непосредственно вытекает, что

ем-р^, £(1) = 1;

Е^Х^О при Х>0,

Е (сХ^сЕ (X) для любой действительной постоянной с. Аддитивность Е вытекает из следующей цепочки равенств (используются обозначения предложения II. 2.2. (1)):

Е (X + У) - 2 гкР (Ск) = 2 2 (xz + х,) Р kAjB^ = = 2х,р(ал-2^р(ву)= ew + ew.

Отметим, что в силу аддитивности £(•) свойства положительности и монотонности £(•) эквивалентны. В самом деле, если Л"^ У в ^, то

5 (У) = £ (X) + £ (У - Х)> £ (X).

поскольку У —Х^О.

Пусть {Хп, п^ 1}—сходящаяся к нулю убывающая последовательность в ^ - и k — наибольшее значение, Которое принимает Xv, а, следовательно, и любая из величин последовательности {Хп}. Поскольку, очевидно, 0^^п^^1{^„>е} + в («>1, в > 0), постольку 0<£(X„)<AP([Xn>e]) + e.

Замечая, что {Хп>е] ^ 0, выводим из этого неравенства и аксиомы (в) определения вероятности, что lim | Е (Х„) = 0 (сначала нужно положить п -> оо и затем е | 0). Отсюда вытекает непрерывность £(•) относительно монотонных последовательностей: при п^оо имеем

ИX„U=^(Xn-X)|0

а такжеЕ^ = Е(Х) +Е(Хп-X) ^ Е(X),

хлх=^а-х„но

и Еап^Е^-Еа-ХпИЕау

Доказательство обратного утверждения труда не представляет. |

Отвечающее вероятностному пространству (й, Л, Р) математическое ожидание £(•) на пространстве cf ступенчатых д. с. в. можно продолжить, используя, в частности, результат предложения II. 2.4, на множество всех положительных д. с. в. на (й, Л, Р) с сохранением свойств линейности, монотонности и монотонной непрерывности. С этой целью для всякой положительной д. с. в. X возьмем сходящуюся к X возрастающую последовательность д. с. в. {Хп, п^1| из ^ и положим £(Х) = lim f Е(Хп). Такое определение ока- п

зывается корректным, т. е. не зависящим от выбора последовательности {%„!■ Затем устанавливаются нужные свойства так продолженного математического ожидания. Мы осуществим эту программу в несколько более общей ситуации, подсказываемой предыдущим предложением. Читатель заметит, что нижеследующее доказательство является обобщением на функции рассуждения, примененного в лемме 1.5.1 и предложении 1.5.1 к множествам.

Предложение II. 3.2. Пусть ^ — замкнутое относительно структурных операций линейное пространство действительных функций, определенных на множестве й (пространство Рисе а). Пусть Е(-)~ положительный линейный функционал на ^, такой, что Хп ^ 0 в ^ =ф Е (Х„) | 0. Предположим, кроме того, что 1е? и £(!) = 1.

На множестве ^+ пределов X = lim f Хп возрастаю- п

щих последовательностей положительных функций из ^ формула Е (X) = lim f £(£) корректно определяет про

должение Е (■) с tf+ на ^+, обладающее следующими свойствами:

0<£(Х)< ос (X е7+);

Х^Л, с>0^сХе^+ и Е(сХ) = сЕ(ХУ Х„ X9e7+=^sup(X„ Х2У inf(X„ Х,)еЛ+ и £(Х,)"+£(Х2) == £ [sup (Xj, X2)] -Ь £ [inf (Xj, Х2)];

Х,<Х2 в ^ +-^ Е (Xt)^ Е (Х2У,

Xh t в £+=> lim t Хп е /+ и

£ (Игл f Xfi) = lim'f £ (Х„).

. Замечание. Усилим сделанное выше предположение о непрерывности Ей допустим, что lim^,E(Xa) = 0 для всякой обобщенной последовательности (XJ элементов из ^+, сходящейся, убывая, к нулю. Тогда класс У*; пределов возрастающих обобщенных последовательностей положительных функций из S’ и продолжение Е на ^*. корректно определяемое формулой

E(limt Xa) = limfE(Xa),

по-прежнему обладают перечисленными выше свойствами (а) —(г) (свойство (г) справедливо при этом для всякой возрастающей обобщенной последовательности элементов из ^'). Чтобы в этом убедиться, достаточно лишь в нижеследующем доказательстве заменить последовательности на обобщенные последовательности.

Доказательство. Распространим сначала лемму 1.5.1 на функции.

Лемма Если (Х^, т ^ 1} и [X", п ^ 1} — две возрастающие последовательности элементов из ^+, такие, что lim f Х^^ limin’ T0 ^т t I™ t (^n)-

m n m n

Поскольку, согласно предположениям нащего предложения, линейный функционал Е непрерывен относительно монотонных последовательностей, т. е. Хп | 0=ф =фЕ(Хп)].О, и поскольку по условию леммы

lim t inf (X', X") = X' (m ^ 1)

в ^, постольку

1МЕГО>Ип1!Е[1п1(Х;, X„")]-E(Xm) <m > 1). nn

Полагая теперь m-»oo, убеждаемся в справедливости леммы.

Из доказанной леммы вытекает, что если X = lim * Х„ (X„E?tl Хе^Д то выражение lim t Е (Хп) зависит лишь от X и не зависит от последовательности [Хл, п-^ 1).

5 Зак. 1368

Поэтому данное выше определение £ (X) для X е Л+ корректно и из положительности Е следует очевидным образом, что полученное продолжение Е с ^+ на ^ v положительно. Следствием леммы является также свойство (в).

Для доказательства свойств (б) достаточно заметить, что если

X1 = limAX,,il и Х2 = Игл f Хп,,(Х„,, е ^+, Xt G Z+), пп

ТО

сХх = lim | сХп, t при с > О,

Хх + Х2 = Нт А (Хп, [ + Х„12), п

sup (Хр Х2) = lim * sup (Х„,,, ХП|2)

и

inf (Х„. „ Хп, 2) = Пт t inf (Хп, „ Хп, 2),

и затем использовать определение Е (■). Осталось доказать свойство (г). Пусть функции Хп = lim ^ Ym-n

"т

(Ym,ne^+1 п^ 1) принадлежат ^+ и возрастают с ростом п. Полагая

Хт = SUp Ym n G + (ill ^ 1), П < TH

имеем

Ищ, n ^ Xm ^ X,n (ill ^ л), Zm ^ Zw+[,

E(Ym,n^E(Zm^E(Xm^ (m^ny EZm^EZrn+x, откуда, устремляя in п затем и к бесконечности, получаем

lim t Xm= Hm t Zfne^+ и

lim t EX,n = lim t £Zm = £ Him A Z, \ . |niV ”1/

В случае когда пространство У в предыдущем предложении есть пространство ступенчатых д. с. в, на вероятностном пространстве (П, ^/Z, Р), из предложения II. 2.4 вытекает, что класс ?t совпадает с классом

всех положительных д. с. в. (конечных или бесконечных) на (й, Л, Р). Предыдущее предложение описывает в этом случае свойства математического ожидания положительных д. с. в.

Д. с. в. X называется интегрируемой, если Е VX)< °о и £(%”)< сю. Все ограниченные и все ступенчатые д. с. в., очевидно, интегрируемы. Положительная д. с. в. X интегрируема тогда и только тогда, когда £(Х)<оо. Для любой интегрируемой д. с. в. X положим Е^Х) = = Е{Х+}~Е{Х~\ Эта формула определяет продолжение Е (•) на все интегрируемые д. с. в. с сохранением свойств линейности, положительности и монотонной непрерывности (см. предложение ниже).

Д. с. в. называется квазиинтегрируемой, если по меньшей мере одно из чисел Е^Х^ и £(/') конечно; это условие является самым общим условием, позволяющим определить математическое ожидание формулой

Е (X) = Е(х+) -Е(х-).

Предложение 11.3.3. Математическое ожидание £ (•) на множестве квазиинтегрируемых д. с. в., определенных на вероятностном пространстве (Q, Л, Р), обладает Следующими свойствами:

Е (X) eR; Е (X) е R тогда и только тогда, когда X интегрируема, и в этом случае Р(\Х = ± оо]) = 0; £(Х)^0, если Х^О или если £({Х<0}) = 0;

Е (сХ) = сЕ (X) для любой конечной константы с;

Е (X + У) = £ (%) + Е (У), если сумма X + У определена') и если X" и У~ (или X* и У+) интегрируемы;

Х<У=>£(Х)<£(У);

Хп j X =ф Е (Хп) t Е (X), если Хп интегрируема хотя бы для одного п;

Х„ Х^Е(ХП) j Е(Х), если Х„ интегрируема хотя бы для одного и.

Доказательство. Свойства (а) и первое из свойств (б) непосредственно вытекают из определений. Для доказательства аддитивности £(■) заметим сначала, что если X; и Х2 — две положительные д. с. в. и по крайней мере одна из них интегрируема и если XY — Х'^°о — сю в каждой точке пространства И, то д. с. в. Хх —Х2 квазиинтегрируема и £(/) = = £(/,) — £№). В самом деле, имеем Х+С^ь Х"^Л'2, следовательно, X квазиинтегрируема и X* + Х2 = Х~ + Л'], откуда Е(Х) = Е{Х+) — £(Х~) = E(Xt) — £ (Х2). Аддитивность £ (•) при выполнении указанных в (б) условий является теперь простым следствием разложения

X+Y = (X++Y^-(Х" + Г).

Монотонность £(■) следует из уже доказанных свойств линейности и положительности.

Пусть {/„, п ^ 1} — возрастающая последовательность д. с. в., такая, что при некотором фиксированном по величина Хп, интегрируема. Положим X= lim f Хп- п

Тогда Хп^Х^„ (п^щ}, Х~^Хп.3 и поэтому д. с. в. Хп (п^ л0) и X квазиинтегрируемы. Далее, 0^Хп + Х"с?

* X + Хп, при по^п^оо, так что, согласно свойству (в) и предложению II. 3.2, Е (Хп) + Е (/„„) t Е (X) + + £(/;,). Тем самым показано, что Е (Хп) f Е (X). Случай убывающей последовательности разбирается аналогично посредством рассмотрения д. с. в. — Хп + Хп« (и>п0\ ■

Следствие (лемма Фат у—Л еб е г а). Для всякой последовательности д. с. в. {/,„ л^1} и интегрируемых д. с. в. Y и Z

lim sup X,, ^ lim sup Е (Хп), ПАПlim inf Z,J ^ lim inf E (X^,lim sup X,, ^ lim sup Е (Хп), ПАПlim inf Z,J ^ lim inf E (X^,* X^Y^E

lim sup X,, ^ lim sup Е (Хп), ПАП

lim inf Z,J ^ lim inf E (X^,

lim sup X,, ^ lim sup Е (Хп), ПАП

lim inf Z,J ^ lim inf E (X^,

X„>Z=^E

В частности, если последовательность {Хя, /z^l} сходится и если существует интегрируемая д. с. в. U, такая, что | Хп I ^ U (п>1), то

Е Him Хп\ = lim Е (Хп\\ п ] п

Доказательство. Заметим сначала, что если X, У — две д. с. в., причем Y интегрируема и X ^ Y, то X* интегрируема, а X квазиинтегрируема. Из предположения Хп ^ Y вытекает, следовательно, что величина ^supX„y интегрируема. Далее, поскольку sup Х1П 4 lim sup Хп, имеем согласно пункту (г) преды- m > пп

дущего предложения

sup E^J^E [sup X„,UE [limsupX„l при п-»оо.

Второе утверждение следствия доказывается аналогично. Наконец, если — С/^ХП^С/, где [/ — интегрируемая д. с. в., то в силу доказанного

Е [lim inf Хп 1 ^ lim inf Е (.X^ ^

Ln J n

^ lim sup E (X^ ^ E [lim sup X J - nL Л J

Отсюда следует, что если последовательность^, n^ 1}, кроме того, сходится, то предел lim Е ^Хп^ существует п

и равен Е pirn Х„] . |

Каждой положительной д. с. в. X поставим в соответствие определенную на c/Z функцию множеств | X, А

задаваемую формулой [ Х = Е[Х1Л]. Эта функция мно- д

жеств (называемая неопределенным интегралом от X) обладает, очевидно, следующими свойствами:

0< j X^EUy, J Х = 0^Р(Д{Х>0}) = 0; АА

[ X = ^ | X для любого счетного семейства

^Аь 1еП попарно непересекающихся множеств;

Д, с: А^ [ Ж f X;

Ai А,

(гМЛ^/я! J X, А

Ап ^ А => J X ^ J X, за исключением, возможно, дя А

случая, когда j X = °° при всех п^1.

Функцию множеств J X можно также определить А

для любой квазиинтегрируемой д. с. в. X. И в этом более общем случае она обладает свойствами, аналогичными свойствам (а) —(г).

Дополнения и упражнения

11.34. Продолжение вероятности. Пусть (Й, сЛ, Р) — полное вероятностное пространство, {В;, i е I] — счетное разбиение й, и пусть ^ есть а-алгебра, порожденная о! и семейством {В/, i е /}. По лемме к предложению 1.4.6 существуют множества В^ (f е/) в о4, такие, что Bt с В{, Р (В^ — Р ^В'^.

Показать, что всякое множество В из ^ можно записать в виде В = У, AtB[, где Л, — принадлежащие <А подмножества мно-

жеста В(, причем At определяются по В с точностью до эквивалентности. Дать аналогичное представление для ^-измеримых д. с. в. Показать, что общин вид вероятности Р на (й, .^У ограничение которой на dl совпадает с Р, задается формулой

Р (В) = ^ J X, dP,

1 At

где Х( — положительные д. с. в. па (й, Л, Р), обращающиеся в нуль вне соответствующих множеств В; и удовлетворяющие условию ^Xi= 1, причем эти д. с. в. определяются по Р с точностью до эквивалентности. Вывести отсюда, что за исключением тривиального случая, когда В/ принадлежат at, существует бесконечно много вероятностей Р на (й, ^”), продолжающих Р.

4. Сходимость почти наверное и сходимость по вероятности

Две д. с. в. X и X' называют равными почти наверное (или почти всюду), если Р (X =/= X') = 0. Это отношение равенства, которое является, очевидно, отношением эквивалентности, обозначают X = X'. Легко показать, что если X = X' и Y = Y', то сХ = сХ', Х + Y = = X'+Y' и XY = X'Y' (предполагается, конечно, что входящие в эти соотношения суммы и произведения определены вне некоторых множеств P-вероятности нуль). Аналогично, если Xt = X't при всех I из некоторого счетного множества индексов I, то sup Xt = sup X't и inf Xt = inf X^

Далее, если д. с. в. X имеет математическое ожидание и X* = X, то математическое ожидание Е(Х') существует и равно Е(Х). В частности, X' интегрируема тогда и только тогда, когда интегрируема X.

Класс эквивалентных случайных величин, содержащий заданную случайную величину X, обозначим через X; X = \Х'; X'^ Ху Очевидно, класс X определяется любым из своих элементов. Как мы увидим впоследствии, большинство задач теории вероятностей имеет дело с классами эквивалентных д. с. в., а не с самими д. с. в. Описанные выше элементарные свойства классов эквивалентных д. с. в. весьма важны, поскольку они позволяют оперировать с классами точно так же, как с самими д. с. в., при условии, однако, что одновременно рассматривается лишь счетное семейство д. с. в. Обычно идентифицируют (допуская вольность речи) класс эквивалентных случайных величин с произвольно выбранным его представителем. Предостережем читателя: эта идентификация законна лишь в том случае, когда рассматриваются счетные семейства д. с. в. '

Пусть ^Х£, t е/} —счетное семейство д. с. в. и Х£ (t el) — соответствующие им классы эквивалентности. Как уже было отмечено, класс эквивалентности, содер-

жащий sup Хь зависит .лишь от X, (ze/) и является, i_

следовательно, верхней гранью для X; (z е /). Ниже показывается, что всякое семейство (Х^ z е /} классов эквивалентных д. с. в., даже несчетное, имеет верхнюю грань, которая обозначается ess sup Х£. Следует отметить, что в несчетном случае функция sup X, (со) аргумента со (где X, е Х^ не обязательно является д. с. в., и даже если она измерима, то содержащий ее класс эквивалентности не обязательно равен ess.sup Xi (ниже приводится соответствующий пример).

Предложение II.4.1. Множество классов эквивалентных д. с. в., определенных на (И, Л, Р), является полной структурой. Иными словами, для любого семейства VXb is /} (счетного или несчетного) д. с. в., определенных на (П, Л, Р), существуют две с точностью до эквивалентности однозначно определенные д. с. в. ess sup Xt и ess inf X,, такие, что для любой д. с. в. Y

I1

X£^Y п. н. (i е /)Oess sup X^Y п. н.,

Y^Yn. h. (z e /)Oess inf Xt ^ Yn. h. i

В частности, для любого семейства {Дг, i е /} событий из Л существуют два с точностью до эквивалентности однозначно определенных события ess infДг и ess sup Аь такие, что для любого А е Л

At с A (z е /)Oess sup А£ ст А,п. н./п. и.

А£ zd A (J е I) О ess inf Дг тз А.п. н./п. и.

Доказательство. В том случае, когда семейство {Х£, ie!) счетно, положим

ess sup Хг = sup Xi и ess inf Xt = inf Xb '

iii

Пусть / — произвольное непрерывное строго возрастающее отображение расширенной прямой [ — оо, оо] в ограниченный интервал прямой (— оо, оо), например arctg. Когда J пробегает счетные подмножества /, величина £^supX/j остается ограниченной и Достигает своего наибольшего значения, скажем ст, на некотором счетном подмножестве /0. [Таким подмножеством является подмножество /0 = U^n' где Ai-счетные под- 1

множества /, для которых Е [7 ^sup Ху^ + Ijn ст, /1 = 1; 2, ...]. Положим U = sup Xj.

Если д. с. в. У удовлетворяет условию Х^^Уп. н. (z е /), то, очевидно, U ^ У п. н. Для завершения доказательства существования ess sup X/ достаточно теперь показать, что X£^.U п. н. для всех 1^1. Из определения /0 вытекает, что при всех 1е[ £(/[sup(X/, (/)]) = = £[/([/)] = ст н, следовательно, f[sup(X;, У)[ = / (У), откуда sup(X£, U) ~ U при всех iel. Тем самым доказано существование ess sup Х£. Единственность (с точ- ' 1

ностью До эквивалентности) величины ess sup Х£ непосредственно вытекает из ее определения. Существование и единственность ess inf Х£ доказывается аналогично. |

Пример. Возьмем в качестве (й, Л, Р} отрезок [0, 1] с лебеговой мерой. Пусть / = [0, 1]. Определим семейство {Хг}, положив Хг(со)=1 при со = г и Хг(со) = О при со =f= г. В этом случае Хг = О п.н. и, следовательно, esssupXr = 0 п.н. С другой стороны, верхняя грань множества функций {Хг, г е [О, 1]} есть функция на [0, 1], тождественно равная 1. Читателю следует обратить внимание на ту роль, которую играют подмножества И нулевой вероятности в этом примере и в доказательстве предложения II. 4.1.

Если множество Ле^ имеет вероятность нуль, то две д. с. в. X и X', совпадающие на Ас, совпадают

почти всюду. Иными словами, ограничение X на ,4е вполне определяет класс эквивалентности X величины X. Измеримое отображение множества .4е в R (например, ограничение X на Д‘) называется д. с. в., определенной почти всюду. Д. с. в., определенную почти всюду, всегда можно продолжить до д. с. в. на (Q, <^) (например, положив ее равной нулю па том множестве, где она не определена).

Важность свойства полноты вероятностных пространств (см. п. 1.4) объясняется тем обстоятельством, что на полном вероятностном пространстве д. с. в. X можно, не нарушая ее измеримости, произвольно изменить на пулевом множестве (при этом измененная д. с. в. принадлежит Х\ Отметим, что пополнение вероятностного пространства увеличивает число д. с. в., по не приводит ни к каким новым классам эквивалентности.

Определение II. 4.1. Последовательность д. с. в. {Хп, /z^l} называется сход я и< е й с я почти павер- ное (п. н.), если lim sup Хп = lim inf Хп.

Если последовательность jX,J сходится почти наверное, то пределом ее по определению считается любая из д. с. в., принадлежащая (однозначно определенному) классу эквивалентности д. с. в. lim sup Хп. Этот класс эквивалентности, равно как и любой из его элементов, мы будем обозначать 1йп п.н.АД.

п -> ^

Критерий Ко ши. Для того чтобы последовательность {Хп, п ^ 1} п. н. конечных д. с. в. сходилась п. н. к п. н. конечной д. с. в., необходимо и достаточно, чтобы она была последовательностью Коши в смысле сходимости п. н., т. е. чтобы последовательность

{Хт-Хп- ш, ,/>1}

сходилась п. н. к 0 при m, п—><».

Сформулированный критерий немедленно вытекает из критерия Коши для последовательностей действительных чисел, если заметить, что последовательность^}

({X,„ —Xn; m, п^1}) сходится п. н. к п. н. конечной д. с. в. тогда и только тогда, когда последовательность {Х„ (со)} ({Хт(со) — Хп(со); т, и>1}) сходится в R при всех со, не принадлежащих некоторому множеству нулевой вероятности.

Предложение II.4.2, Для сходимости п. н. последовательности {Хп, и^1} п. н. конечных д. с. в. достаточно, чтобы для некоторой суммируемой последовательности {en, п^1} положительных чисел

SjP(|Xn+1-Xn|>e„)<oo; П = !

при выполнении этого условия предел последовательности {%„} п. н. конечен.

Доказательство. Для каждого п^1 положим Ап = {!^n+i — Хп |>еп}. В силу предположения и предложения 1.4.4 имеем HmsupAn = 0. Рассмотрим „п. и.

д. с. в. N, принимающую неотрицательные целые значения и определяемую вне нулевого множества Нт sup условиями

N^ = n на (J Am- (J Ат, /V (со) = О на / (J ДтУ. т > иm > п\ш > 1 /

При со 5^ lim sup Лп последовательность {Хп+1 (со) — ХП(со)} мажорируется по абсолютному значению, начиная с GV(co) + 1)-го члена, последовательностью {еп}. Отсюда вытекает существование предела

X (со) = lim Хп(со) + S [Хп+1 (со) - Х,Дсо)] )

И->ООП

при всех со ^ Нт sup Л^. 1

Фактически из доказательства можно извлечь также информацию о скорости сходимости Хп к X: при N (со) < пг

имеемимеем|Х(со)-Хт(со)|<2е„. п>т|Х(со)-Хт(со)|<2е„. п>т

имеем

имеем

|Х(со)-Хт(со)|<2е„. п>т

|Х(со)-Хт(со)|<2е„. п>т

(Отметим, что P^N<tn^^ 1 при т*оо.)

Определение 11.4.2. Последовательность {/„, п "> 1} п. н. конечных д. с. в. сходится по еер о я 't- но ст и к п. н. конечной д. с. в., если при любом е>0

Р(Х,1-Х!>0)->0 (п-»оо).

Сходимость по вероятности обозначается Ха->X. р

Критерий Коши. Последовательность ^Хп, п^ 1} п. н. конечных д. с. в. сходится по вероятности тогда и только тогда, когда она является последовательностью Коши в смысле сходимости по вероятности, т. е. когда Х,п — Хп- >0 (ш, и->оо).

р

Мы докажем этот критерий одновременно со следующим результатом, характеризующим связь сходимости п. н. со сходимостью по вероятности.

Предложение II. 4.3. Всякая последовательность ^Х„, /г^1} п. н. конечных д. с. в., сходящаяся п. н. к п. н. конечной д. с. в., сходится по вероятности к тому же самому пределу. Обратно, из всякой последовательности {ЙД, /1^1} п. н. конечных д. с. в., сходящейся по вероятности, можно выбрать подпоследовательность, и. н. сходящуюся к тому же самому пределу.

Доказательство. Пусть {Л'п, и ^ 1} — последовательность и. и. конечных д. с. в. и X — п. н. конечная д. с. в. Тогда

Хп—> X =ф Хл-> X, поскольку для любого е>0 ». и.Р

Jim sup Р({ 1 X,t — X i >е}) *Д Р [iim sup {[ Хп — X [ > е}] *С пп

^ Р ({— е + Iim sup Х„ < X < е + lim inf Х„}с) = 0. пп

X,t-> X =^(Х,п —ХП)->0 (т, /? ->оо), поскольку рр

для любого е>0

{!А\„ - Хп |>е} с { !Л,„- X Г |}(J{ 1^- X i>y}

и, следовательно,

P(|X„1-X„|>e)<p(|Xm-X|>|) + p(| Хп-Х|>|)->0

при т, /г —> оо.

Х,п — Хп—>0 ^п, п -» оо)=фхп1-> X и Х„-»Х для Р'п. и.р

некоторой д. с. в. X и некоторой подпоследовательности {пу}. В самом деле, определим п5 последовательно, положив П] = 1 и взяв в качестве n.j наименьшее целое число _V>ny_], для которого

Хг — Xs |>~т) <~т ПРИ r> s^N.г я 2; I Зу г >/

Замечая далее, чтоSr(|x -x„|>i/2')<3i/з'<ОО, • \ I '*/+1 у ’ / j

и используя предложение II. 4.2, приходим к выводу, что последовательность {Л^., /^ 1} сходится п. н. Пусть X — предел этой последовательности. Тогда

P(|X„-X|>e)<p(|Xn-X,J>|) + p(^^

Устремляя в этом соотношении п и j к бесконечности и используя сделанное предположение и (1), получаем хп->х. р

Тем самым как критерий Коши, так и предложение доказаны. 1

Дополнения и упражнения

4.1. Для того чтобы для вероятностного пространства (£2, А, Р) понятия сходимости п. н. и сходимости по вероятности совпадали, необходимо и достаточно, чтобы это пространство было атомическим.

4.2. Возьмем в качестве вероятностного пространства (£2, dt,P) интервал [0, 1] с о-алгеброн борелевскнх множеств и лебеговой мерой. Для каждого целого п ^ 1 положим

<7+1 “2^"

где р и г/ - целые числа, однозначно определяемые условиями 2Pjt-q = n, р>0, 0 «7 </< 2". Показать, что 1< ->0, но lim sup 1. = 1,

Рп

lim inf 1 , = О, п ' «

4.3. Функционал

на множестве V (классов эквивалентности) п. н. конечных д,- с. в. обладает следующими свойствами: е (X + К) ^ е (Д') + е (Г) и е (c.Y) ^ [шах (1, с)] е (Л"). Показать, что функция d (X, К) = е (X — Г) является метрикой на Й; что топология метрического пространства (V, d) совпадает с топологией сходимости по вероятности (т. е. d (Х,г, Л) -> 0 4=^ Хп -> X), и что метрическое пространство (V, d)

Р

полно.

Показать далее, что подмножество Н пространства V относительно компактно тогда и только тогда, когда для любого е > О существует действительная постоянная С и конечное семейство {/1;, / е/[ измеримых множеств, такие, что (а) Р (^J ДА ^ 1 — е;

\ / /

|Х|^С на (|Д( при всех Хе И; (в) ess sup X — ess inf X ^ e n.H.уA^A;

при всех X e H.

4.4. Теорема Егорова. Нс ли Х„ -> X п. и. на (й, <4, Р) и X п. н. конечна, то для всякого в > 0 существует множество ДЕ, такое, что Р (Де) > 1 — е, и Хц-> X равномерно на Ле. [Выбрать подходящую подпоследовательность (п*} и положить

Л, = sup sup ] | Х„ - XI > у k 1к п> п к VJ

4.5. Пусть (й, <А, Р) — вероятностное пространство и (й, <А„ Р) — его пополнение. Показать, что следующие два множества совпадают:

множество д. с. в., определенных иа (й, <4, Р);

множество отображений пространства Й в Р, каждое из которых всюду, за исключением нулевого множества (своего для каждого отображения), равно некоторой д. с. в., определенной на (й, dt, Р).

4.6. Пусть [Х^, n> 1) — последовательность д. с. в. Показать что существует наименьший (наибольший) класс эквивалентности д. с. в. У' (К") такой, что для любого е > О

lim Р (У' - Х„ С - е) = 0 (lim Р (Г" - Х„ > е) = 0).

Показать далее, что У" <1 У’ п. и. и что У” = У п. н. тогда и только тогда, когда последовательность {Хн} сходится по вероятности.

4.7. Пусть X и Хп (п ^ I) — конечные п. н. д. с. в. и пусть {е„, n ^ I)—стремящаяся к нулю убывающая последовательность положительных чисел. Показать, что если

^Р 11 Х„> е„1 < =»,

то X = Пт п. и. Хп.

5. Равномерная интегрируемость и сходимость в среднем

Определение II. 5.1. Семейство {Xz, ie/} интегрируемых д. с. в., определенных на (О, Л, Р\ называется равномерно интегрируемым, если при a f оо

sup J | Xz Ц 0.

' |Xz|>a

Предложение II. 5.1. Для абсолютной интегрируемости семейства {Xz, I е /} д. с. в. достаточно, чтобы оно мажорировалось по абсолютному значению интегрируемой д, с. в. X, т. е. чтобы

I < X (i е /).

Л.

В частности, всякое конечное семейство интегрируемых д. с. в. равномерно интегрируемо.

Доказательство. Из непрерывности математического ожидания относительно монотонной сходимости вытекает, что

lim j, [ X =[ Х = 0.

<Х>а)и-™)

Отсюда и из неравенства

J |xz|< J X,{I ^/1 > °}(Х>П).

имеющего место при | Xz j^ X, следует справедливость первой части предложения. Вторая часть предложения вытекает из первой, поскольку всякое конечное семей-

ство {Хг, i е/} интегрируемых д. с. в. мажорируется интегрируемой д. с. в. X = S|X,|. ■

Предложение. II.5.2. Семейство {X,, i е 7} интегрируемых д. с. в. равномерно интегрируемо тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим двум условиям-.

(а) (равномерная абсолютная непрерывность) для любого е>0 существует Ле>0> такое, что

sup f|X,|^e, если P(^)^qe (A Eat)-,

А

sup j |Xj | < ОО.

Q

Доказательство. Из неравенства

Jx = J Х+ J Х<оР(Л) + J X,

АА {х'< а).4 (X > а)(.V > а}

справедливого для любой положительной д. с. в. X при всех а^О и АеЛ, вытекает, что для любого семейства {Xz, I е 7} д. с. в.

sup f jXj < aP(/l) + sup [ |XZ[.

.4{|А/|>“}

Необходимость первого условия предложения следует из последнего неравенства, если в нем положить а * оо, Р(А)—*0. Полагая в этом неравенстве А = Й, получаем необходимость второго условия предложения.

Обратно, из элементарного неравенства

Jx> J Х>аР(Х>а),

U{X > а)

справедливого для любой положительной д. с. в. X, вытекает, что если семейство (Xh z е 7} д. с. в. удовлетворяет условию (б) предложения, то supP(|X,|^aX^-sup f |Х, | ;0

при a t оо. Если семейство (Xt, I е /}, кроме того, равномерно абсолютно непрерывно, то возьмем я<оо, такое, что Р(|Х, |>а)^т]е (г е/). Тогда j |Х2|^е {RJ>“}

.для всех z" G / и, следовательно, семейство {X,, z е/} равномерно интегрируемо. |

Следствие. Всякое семейство (Xb z g/} д. с. в., мажорируемое по абсолютной величине некоторой интегрируемой д. с. в, равномерно абсолютно непрерывно. В частности, всякое конечное семейство интегрируемых д. с. в. равномерно абсолютно непрерывно.

Определение II. 5.2. Последовательность {Х„, 1} (классов эквивалентности) интегрируемых д. с. в. называется сходящейся в среднем (порядка 1) к (классу эквивалентности) интегрируемой д. с. в X, если

||ХП —Х|->0 при п->оо.

Сходимость в среднем обозначается Хп—^Х.

Важность понятия сходимости в среднем объясняется тем фактом, что она определяет возможность перехода к пределу под знаком интеграла. Именно, имеет место следующее

Предложение II.5.3. Для того чтобы последовательность {Хл, п^ 1} интегрируемых д. с. в. сходилась в среднем к интегрируемой д. с. в. X, необходимо и достаточно, чтобы |^-»J% равномерно по А^Л А А

при п-*оо. В частности, если Хп—->Х и Р (ЛлДЛ)->0, то | Хл->| X при п-*оо.

Ап А

Доказательство. Необходимость условия выте

кает из неравенств

6 Зак. 1368

< / |x„-x|<J|xn-x|АА .

(Л G С??),

а достаточность — из равенства

^^

где .4,1 = {.¥„>/¥}. Далее, если Хп—->Х и Р(/1ПА,4)->0, то оба члена праной части неравенства

стремятся к 0 при п->оо. |

Следующие два результата мы докажем одновременно.

Критерии Коши. Для любой последовательности {А„, п~^ 1} интегрируемых д. с. в. следующие два утверждения равносильны;'

{/„} сходится в среднем порядка 1 при /?->оо;

{/„} является последовательностью Коши в смысле сходимости в среднем, т. е. Е\Хп — Xm\—>Q при ш, п ■> оо.

Предложение II. 5.4. Для любой последовательности {Ап, п^1} интегрируемых д. с. в. и любой д. с. в. X следующие два утверждения равносильны;

последовательность {Хч, н^1} равномерно интегрируема и Хп-^->Х при п—> со;

А’ интегрируема и Хп—>Х при п-*оо.

Доказательство. Для доказательства импликации (а)=^(б) заметим, что если последовательность интегрируемых д. с. в. {АД, л^1) сходится в среднем к интегрируемой д. с. в. X, то

Е\X,. — A„J^ FIX’, — А| + Е\Хт — Х|—>0 при т, и -х».

Покажем, далее, что всякая последовательность (А,,, /1^1} интегрируемых д. с. в., являющаяся последовательностью Коши в смысле сходимости в среднем, равномерно интегрируема. Воспользуемся для этого предложением II. 5.2. Во-первых, для любого е>0 вы-

берем номер Ne так, чтобыjХ,п — Хп|^ е при т,

n^NE. Из неравенстваn^NE. Из неравенстваJl^K Jl^l+ /|Х„-Хт| тогда

n^NE. Из неравенства

n^NE. Из неравенства

ААА

вытекает, что

ее

е

е

при всех А е Л. Отсюда и из равномерной интегрируемости последовательности {%,„, m^N^ (см. предложение II.5.1) следует, что sup I |Хл|<оо и что п J

sup I |Х„|^2е при достаточно малой Р(ЛУ Заметим

теперь, что поскольку

то всякая последовательность Коши в смысле сходимости в среднем является последовательностью Коши в смысле сходимости по вероятности. Так как всякая последовательность Коши в смысле сходимости по вероятности сходится по вероятности, то мы показали, что при выполнении (б) последовательность {X„, л^1} равномерно интегрируема и сходится по вероятности.

При выполнении (в) д. с. в. X необходимо интегрируема. В самом деле, согласно предложению II. 4.3 мы можем выбрать подпоследовательность {«Д, для которой ХП]~. н* X. При этом | ХП) | п н > |Х |. Применяя лемму Фату —Лебега, получаем Е\Х | ^ lim inf ЕI Хп .1^

/ п

^ sup £|X„| < оо (предложение II. 5.2). Далее, для лю- п.

бого е > 0 имеем

J|X„-X|< j |Х„-Х|+ J |Х„-Х|<{|Х„-Х|<е}.{|Х„-Х]>е}

<е+/|Х„|+/ И.

{|х„-И>=}{|Х„-Х|>Е}

При выполнении условия (в) оба интеграла в последнем выражении стремятся к нулю при п->оо, так как тогда Р [|Х„ — Х| > е]->0 при п —> оо и последовательность {Х„} равномерно абсолютно непрерывна. Тем самым доказано, что (в)=Ф(г).

Для завершения доказательства достаточно теперь заметить, что Хп-->Х влечет Хп—р>Х в силу неравенства Р [IX,t — Х|> е] -^-Д|Х„ — X |. |

Дополнения и упражнения

5.1. Пели А', У — две положительные интегрируемые д. с. в. и Z = sup (X, У), то

|’ Z< [ А+ J Y (а>0).

{Z > а} {X > а} {У > а}

Используя этот факт, показать, что для любой равномерно интегрируемой последовательности д. с. в. {Х„, п ^ 1}

£ Г— sup | ХП1 П -> 0 (п -> оо).

5.2. Для равномерной интегрируемости семейства {X;, I е/} д. с. в. достаточно, чтобы для некоторой определенной на [0, оо] действительной положительной измеримой функции ), удовлетворяющей условию lim (1/х) f (х) = оо, выполнялось неравенство

'Х"> ТОО

sup Е V (| Xi I ] < оо./

Примерами таких функций f являются / (л) = хр, р> I, и f(x) = = -V (log х)+.

5.3. Если два семейства {X;, i е. Р и [Уj, / е /} интегрируемых д. с. в. равномерно абсолютно непрерывны (равномерно интегрируемы), то семейство {X/ + Уд i el, [g J] тоже равномерно абсолютно непрерывно (равномерно интегрируемо).

5.4. Для всякой интегрируемой д. с. в. X функция множеств | X равномерно непрерывна на булевой метрической алгебре <Л.

Семейство {X;, i г /} интегрируемых д. с. в. равномерно абсолютно непрерывно тогда и только тогда, когда семейство функций множеств |Х(, i г 11 равностепенно равномерно непрерывно на <Х.

1л J

5.5. Показать, что на всяком вероятностном пространстве (П, Л, Р) без атомов свойства равномерной интегрируемости и равномерной абсолютной непрерывности семейства д. с. в. равносильны (воспользоваться тем обстоятельством, что в рассматриваемом случае для любого е > О существует конечное разбиение пространства на множества вероятности < е). Вывести отсюда, что в общем случае условие (б) предложения II. 5.2 можно заменить следующим условием:

для каждого атома А множество (.постоянных') значений, принимаемых на нем величинами Xi (i е /), ограничено, и, следовательно, равномерную интегрируемость в условии (в) предложения II. 5.4 можно заменить на равномерную абсолютную непрерывность.

5.6. Распространить определения н результаты последних двух пунктов иа обобщенные последовательности д. с. в.

Обобщенная последовательность {Ха} интегрируемых д. с. в. называется равномерно интегрируемой на бесконечности, если для любого е > 0 существуют индекс ае и действительное число а6 такие, что

J I Ха | ^ е при а^аЕ.

{Иа1>°е)

Показать, что последовательность д. с. в. равномерно интегрируема па бесконечности тогда и только тогда, когда она равномерно интегрируема. Доказать аналог предложения II. 5.2 для равномерной интегрируемости на бесконечности. Показать, что предложение II. 5.4 распространяется на обобщенные последовательности д. с. в., если в условии (в) равномерную интегрируемость заменить на равномерную интегрируемость на бесконечности.

6. Пространства Lp

Лемма II. 6.1. Если ц> — действительная непрерывная вогнутая функция, определенная на выпуклой области D в Rn, то "

£[№Шф№ .... ВД

для любых интегрируемых д.с. в. X,, ..., Хп, удовлетворяющих условию

{X,X^gD п.н.

Нетрудно показать, что (,ЕХх ЕХп) е D при (X,X^gD п. н.

Доказательство. Пусть X,, . .., Х„ —направляющие косинусы гиперплоскости в Rn+', проходящей через

точку (ЕХи .... ЕХп, q(EX{, ..., ЕХп)) и лежащей над поверхностью ф. При всех (.V[, ..., x^eD имеем, очевидно,

Ф (v,хп) < ф (EXVЕХп) + 2 X; [х,- - ВД.

Заменяя г, в правой части этого неравенства на X,, получаем интегрируемую д. с. в. с интегралом, равным фЛДА^ ..., ЕХц\ Отсюда следует, что д. с. в.

ф(^х^

кназиинтегрнруема и что £[ф(А'1, . .., А^)] ^ ф (EXlt ... . . -, EX,tY |

Следствие. Пусть ф„ (0<а<1) и ф;, (1^р<°°) — две действительные функции, определенные на множестве {О^п, у<оо} и задаваемые формулами

фи (и, у) = паг1"а; ^тАи, v) = {и{!р + v' ру.

Тогда для любых положительных д. с. в. U, Г справедливы неравенства

Ew.AU, V)\<^a(EU, EVY E\^PVU, V^^^.AEU, EV).

Доказательство. Достаточно показать, что функции ф„ и ф;, непрерывны и вогнуты. Так как

ЧхДси, сс) = с^а(и, и), ф/;(си, си) = сф/; (и, у) (с^О).

для этого в свою очередь достаточно показать, что функции от одной переменной w е [0, 1]

фи(^- 1 -“') и ф/Дш, 1 -Ы')

непрерывны и вогнуты. Производя элементарные вычисления, получаем

-^ ф„ (Л', 1 - Ц') = - а (1 - а) и«-- (1 - »)-“-' ^ О,

^7ф.„(^, 1-Ы’) =

= - ^i к р1 - у лр'2 м 1 - ^л1 < о. ■

Поставим в соответствие каждой д. с. в. X действительные числа

Р tP = E(Ax Г)|,р (1<р<4

H|!K, = sup{x:P(|X|>x)>0}

и покажем, что эти числа обладают следующими свойствами:'■

OCHXII.CIIX^CIIX^CHILC'» O<p<q<~y. Pl\X\^ = 0^\X\V = 0 ^<Р<^У

|| XY |lr <||Х |1Р!|Х ||? при всех р, q, г, таких, что l^p, q, г^оо и г"1 = р-1 + q-1; в частности ^неравенство ГёльдераУ

j |ХУ|<||.¥ЦХ|17 при 1^/7, q^oo и \=р^ + q'x

(при р = q = 2 это неравенство есть неравенство ШварцаУ,

|| сХ ||р = с||Х ||р (се/?, 1<р<~),

Н+ У||Р<||Х||Р + ||У|!Р (1^р<оо)

(последнее неравенство называется неравенством Мин- ковского\

Доказательство. Начнем с доказательства (б). Не ограничивая общности, мы можем предположить, что ||Х||р<оо и ||Х|1р<оо. При q = ею утверждение непосредственно вытекает из неравенства |ХУ|^|Х||| У !„, справедливого почти всюду на й. Аналогично в случае р = со. Если же p,.q<oo, то достаточно применить доказанное выше следствие к функции фл.р и д. с. в. ^7 = | X 1^ и V = | У |’. '

Неравенства (а) следуют из (б), если в (б) положить У=1 п заметить, что ||1||?=1 при всех де[1, оо].

Первое из соотношений (в) очевидно. Второе соотношение (в) тривиально, если либо j|Xi|p, либо |:У||р равно оо. В случае, когда || X 1|р|| У |1Р < °о и /? = °о, оно вытекает из неравенства Р(|Х+У|>х + т/)^Р(|Х|> > х) + Р (|У|>у); если же р<оо, то достаточно

применить доказанное выше следствие к функции ф^ и д. с. в. П = ШР, V = | У |р. ■

Свойство (а) показывает, что действительное число ЦХЦд зависит лишь от класса эквивалентности д. с. в. X. Для каждого ре[1, оо] обозначим через Lp(&, Л, Р) множество классов эквивалентности д. с. в. X, для которых ||Х||р<оо. В силу сказанного в п. II.4 в каждой ситуации, имеющей дело с более чем счетным семейством д. с. в. одновременно, важно делать различие между пространством Lp классов эквивалентности д. с. в., p-я степень модулей которых интегрируема (или в случае р = оо классов эквивалентности существенно ограниченных д. с, в.), и пространством J?p д. с, в. X, p-я степень модулей которых интегрируема (или в случае р = оо существенно ограниченных д. с. в. X).

Из свойства (в) и соотношения ]| X ||р = 0ОА'=.~-0 вытекает, что пространство Lp есть линейное нормированное пространство. Как известно, сходимость в таких пространствах определяется следующим образом: Хп —^Х, если || Хп — X ||р—>0 при п -> оо; в случае р < оо это равносильно следующему условию:"

При р < оо эта сходимость называется сходимостью в среднем порядка р, а при р = ос — существенно равномерной сходимостью. Она обладает по крайней мере при р < оо свойствами, аналогичными свойствам, установленным в предыдущем пункте для случая р = 1.

Критерий Коши. Пусть р е [1, оо]. Для всякой последовательности (классов эквивалентности') д. с. в. {^„} из Lp следующие два утверждения эквивалентны:

;%„} есть сходящаяся последовательность в Lp\

{Хп} есть последовательность Коши в Lp, т. е. II Хт - Хп ||„ -> 0 при т, п->ео.

Предложение II.6.1. Пусть р е [1, оо). Для любой последовательности (классов эквивалентности)

д. с. в. {Х„} из Lp и для (.класса эквивалентности) лю. бой д. с. в. X следующие два утверждения равносильны;

последовательность {(Х„ |₽} равномерно интегрируема и Хп—р*Х при п-><х>;

X е Lp и Х„ —-* X при п->оо.

Доказательство. При р<<» доказательство вполне аналогично доказательству, проведенному в п. II.5 для частного случая р = 1. Достаточно лишь всюду в этом доказательстве заменить абсолютные значения |Х | на | Х^ и вместо неравенства треугольника [X + У | ^ ^|Х| + |У| использовать его обобщение

]Х + У |р ^ 2Р-1 (| ХГч-1 УГ),справедливое при всех ре[1, оо).

Критерий Коши в случае р = оо устанавливается непосредственно, подобно тому, как это делается в случае сходимости п. н. Отметим еще, что если Х„—-->Х, то (а) последовательность {Х„} существенно равномерно ограниченна, скажем sup| Хп(ш)|^С для некоторой

постоянной С и почти всех со, (б) ХПц я ->Х. |

Следствие. Пусть р г [1, оо), и пусть (Х„, п^ 1} — последовательность элементов Lp, мажорируемая по абсолютному значению д. с. в. YeLp; |Х„|<У. Для любой д. с. в. X следующие утверждения эквивалентны;

Хп—р>Х при /г->оо;

XeLpU Х„—>Х при п-*оо.

Некоторые из установленных выше результатов можно объединить в виде следующего предложения:

Предложение II.6.2. Для любого ре[1, оо] пространство Lp(&, Л, р) является полной структурой и полным нормированным линейным пространством (банаховым' пространством).

Доказательство. Мы установили выше, что Lp есть нормированное линейное пространство. Из спра-

ведливости критерия Коши в Lp следует, что Lp является полным линейным нормированным пространством, т. е. пространством Банаха.

Частично упорядоченное линейное пространство L называется полной структурой, если каждое конечное семейство и каждое ограниченное сверху (снизу) бесконечное семейство имеет в нем верхнюю (нижнюю) грань. В силу предложения II.4.1 для завершения доказательства настоящего предложения достаточно теперь показать, что (а) %,, Х2 g L^^sup (Xb Х^ е Lp; (б) для всяких двух положительных с. в. X и У из неравенства Х^У, У g Lp, следует XeLp. Но (б) очевидно, а (а) является его следствием, поскольку

| sup (А1Т А2) | ^ | А, | + | А2| е Л,„. |"

Следствие. Пространство Ln(Q, ot, р) есть полная структура и относительно скалярного произведения

(X, Y) = E(XY)

является гильбертовым пространством.

Утверждение следствия вытекает из предыдущего предложения и неравенства Гёльдера, в силу которого i\X, У>|^[| А"||2II УiJs» где по определению

IIА |12 = V<xTy>.

Дополнения и упражнения

.G.1. Для любой д. с. в. А' отображение р —> j| X ||р. переводящее [1, оо] в [0, оо], непрерывно всюду за исключением, возможно, одной точки р0. Если такая точка р0 существует, то || X II,, < оо при р < р0, НАЦ,, = оо при р > ра и рассматриваемое отображение непрерывно в р0 слева. Показать, что на том интервале, где || X ||р < оо> функция log || X ||р непрерывна и выпукла (по р).

П.6.2. Пусть и — непрерывное возрастающее отображение множества [0, оо] на себя и и—обратное отображение. Показать, что ху < U (х) + V (у) при всех х, у е [0, оо], где U (х) = J и (2) dz и

■ о

V (p) — J v (г) dz. Вывести отсюда интегрируемость произведения XY о

двух д, с. в. X, Y на (й, Л, Р), для которых д. с. в. U [ I X I ] и V| I К [ ] интегрируемы. (Пример: и = хр-1, где р > 1.)■

.6.3. Пусть Е — линейное пространство классов эквивалентности ступенчатых д. с. в., определенных на вероятностном пространстве (Q, Л, Р). Показать, что

Е с L.» с Цс Lpc L, (1<р<9<оо)

и что Е и Lr плотны в Ls (I^s^r^oo). Сходимость Хп -Ь1> X влечет сходимость Хп —X, q > р\ показать, что обратное утверждение верно лить, когда с/ЦР конечно.

П.6.4. Всякое положительное линейное отображение Т пространства Lp (Q, ut, Р) в пространство Lp, (й', Л, Р'^ непрерывно [пользуясь рассуждением от противного, установить существование постоянной С, такой, что' ЦТ (X) |[р, ^ С || X ||р для любой положительной Д. с. В. X Е Lp\.

Пусть 7 — положительное линейное преобразование пространства L] (й, Л, Р) в пространство L{ (й', Л', Р% для которого 7(1)" Г. Показать, что для любого ps[l,oo] ограничение Т на Lp (й, Л, Р) есть положительное линейное преобразование L,, (й, Л, Р) в Lp (Qz, Л', Р') с нормой равной 1.

П.6.5. Пусть {Х„, п ^ 1} — последовательность положительных интегрируемых д. с. в., сходящаяся по вероятности к положительной д. с. в. X. Показать, что' если, кроме того,

J Хп -> / X (»-=),

то X, —'*х.

[Установить, что (X — Хп)+ 0 прн п -> °о.]

П.6.6. Пространство L^ (й, Л,Р') является банаховой алгеброй •). Показать, что между характерами этой алгебры (.характерами называют линейные непрерывные функционалы и на L^, удовлетворяющие условию и (ХУ) — и (X) и (У) при всех X, Y е L^ н максимальными фильтрами в Л)? (упражнение 1.2.3) имеется взаимно однозначное соответствие, задаваемое формулой

^ = VA‘- “(]л) = ч-

П.6.7. Интегрирование с. в. со значениями в банаховом пространстве. Пусть (й, ci, Р) — вероятностное пространство и Е —

банахово пространство. В упражнении II.2.2 нами были определены случайные величины со значениями в Е (коротко — с. в. в Е). Показать, что если X — с. в. в Е, то || X (■) || есть положительная Д. с. в;

Для любой ступенчатой с. в. X = V лу 1 . в Е положим

j X dP = 5] х(Р (Я,).

Продолжить по непрерывности это определение интеграла па все с. в. в Е, для которых || X (■) 1| е Лт, н показать, что | j Лг«/р|^ ^J || X || dP. Показать, далее, что пространство Ц (Е) классов эквивалентности с. в. в Е с интегрируемой нормой является банаховым пространством относительно нормы |||А"||| = | || X || dP и что определенный выше интеграл задает линейный непрерывный оператор, отображающий ЕДЕ) в Е, Определить пространства Lp(E).

П.6.8. Используя предложение 11.6.1 и упражнение П.4.3, найти необходимые н достаточные условия для того, чтобы подмножество Н пространства Е„ было относительно компактным (1 ^р < ”).

*11.7. Интегрирование на топологических пространствах

Настоящий пункт посвящен изучению отношений между измеримой и топологической структурой данного пространства й. Используя материал п. 1.5 и Н.З, ,мы докажем сначала следующий фундаментальный результат, восходящий к Даниэлю.

Предложение II.7.1. Пусть ^— пространство Рисса (линейная структура) определенных на .множестве О действительных функций, содержащее функцию, тождественно равную 1. Пусть, далее, Е— определенный на & положительный линейный функционал, удовлетворяющий условию £(!)=! и непрерывный относительно монотонно сходящихся последовательностей: lim Е(Хп) = 0 для любой последовательности {/„} функции из <?, стремящейся, убывая, к 0 на П. Обозначим через Л наименьшую а-алгебру подмножеств О, относительно которой измеримы все функции из У.

Существует единственная вероятность Р на (Я, ^), такая, что всякая функция X из 8” интегрируема и Е^= J XdP.

Доказательство. Воспользуемся обозначениями, введенными в предложении II. 33. Обозначим через 3 класс {G: loe/J подмножеств ^ и положим 11(G) = = £(1С) для всех Ge 9. Из предложения II. 3.2 следует, что класс <^ и функция П удовлетворяют условиям предложения 1.5.2. Введем функцию 1Г на (Q), положив

n*(Q1) = inf{n(G); Ge 9, G =э QJ.

Согласно предложению 1.5.2 и его следствию, класс 35 = {D: П* (Ь) 4-И* (Dc) = 1} является а-алгеброй, а ограничение ГГ на З1 представляет собой вероятность.

Для любой функции 2е<^+ множества вида {Z>a} принадлежат^, поскольку l{z>a} = Игл f min [1, n (Z—a)*). Отсюда и из определения класса 9 следует, что а-ал- гебра, порожденная 9, совпадает с наименьшей а-алгеброй, относительно которой все функции из ^ измеримы. Более того, поскольку каждая функция из очевидным образом ^-измерима (где Л есть а-алгебра, введенная в формулировке предложения), то обе эти а-алгебры совпадают с Л.

Покажем, далее, что 35 содержит класс 9, а следовательно, и порождаемую им а-алгебру Л. Для этого докажем сначала, что

П (й^ inf {11(G); Ge 9, G^SJ =

= inf (£(Z); Ze^^, Z> l0}

для любого подмножества £2, множества Я. Очевидно, достаточно установить, что ITfQJ^ffZ) при всех Ze^, удовлетворяющих условию Z^lg. Поскольку для такой функции Z и любого а е (0, 1) множество {Z>a} содержит fij и принадлежит 9, то

^^jnazxj^ln*^).

Устремляя в этом неравенстве а к 1, получаем нужный результат.

Пусть теперь Go — произвольное множество из S и {АД — последовательность функций из ^, сходящаяся, возрастая, к Имеем

n(G0)=lin4£(A„)

и

1Г (Gli) = inf 1E(Z; Ze^, Z^ 1 Д ^ liin ; E (1 - .YJ.

Отсюда вытекает, что 1Г(Go) + П (Go) 4 1 и, следовательно (поскольку строгое неравенство здесь невозможно), что GQe D. Тем самым показано, что У содержится в iZ, откуда cIclD. Обозначим через Р ограничение на «Л функции множеств 1Г (Р является вероятностью).

Согласно предыдущему, каждая функция Ze/+ измерима относительно а-алгебры с??, порожденной о>. Покажем, что E(Z) = | ZdP при всех Z е <Z+. Text самым будет доказано, что интеграл no Р от положительной функции Z из <f равен Е (Z) и потому конечен. Поскольку для любой функции А'е^ обе функции Х+ и X" принадлежат Д то мы получаем далее, что всякая функция X из У интегрируема ио Р, причем [ X dP = Е (А-). Для всякой функции из Z+ вида Z = ^ai\G, где Gte6> и дг е Р+ (is/, множество I конечно) нужный результат непосредственно вытекает из аддитивности Е па ^+. Но всякая функция Z из Z+ может быть представлена как предел возрастающей последовательности ступенчатых функций указанного выше вида:

Z=lim* V JL i"g-0Z=lim* V JL i"g-0<2<25211 + "V^;2* i5211 + "V^;2* i„л= lim^^ 1,„л= lim^^ 1,

Z=lim* V JL i

"g-0

Z=lim* V JL i

"g-0

<2

<2

5211 + "V^;

2* i

5211 + "V^;

2* i

„л

= lim^^ 1,

„л

= lim^^ 1,

Теперь остается лишь заметить, что как функционал Е (Z), так и интеграл | ZdP непрерывны относительно возрастающих последовательностей функций из Л+.

Для доказательства единственности Р рассмотрим две вероятности Р и Р' на Л, интегралы по которым от функций из ^ совпадают. Рассматривая интегралы по Р и Р' от функции из Л+, видим, что Р и Р' должны совпадать на 9. Отсюда следует, поскольку класс ('Л: Р(А) = Р'(Л)} о-аддитивен (см. упражнение 1.4.5), а класс 9 замкнут относительно пересечений и порождает Л, что Р и Р' совпадают на всей о-алгебре Л. 1

Проведенное доказательство содержит явную конструкцию вероятности Р. Эта конструкция, как. мы сейчас покажем, позволяет доказать некоторые интересные свойства вероятности Р. Ниже мы введем предположение, что пространство ^ замкнуто в топологии равномерной сходимости на множестве й. По существу это предположение не ограничивает общности, так как пространство ^ всегда можно пополнить и продолжить Е на пополнение ^ по непрерывности.

Следствие. Предположим, что выполнены условия предыдущего предложения и что, кроме того, пространство S’ замкнуто в топологии равномерной сходимости на й. Обозначим через 9 класс множеств вида G = {/>0}, f е ^+. При этих предположениях класс 9 порождает а-алгебру Л, причем для любого G g9

P(G) = sup {£(%), Х<10, Ze^J,

и для любого А е Л

Р(А^ = тЦР(СУ, G^A, G^9} (последнее равенство выражает „аппроксимационное свойство11 Р).

Доказательство. Достаточно доказать, что класс 9, определенный в формулировке следствия, совпадает с классом 9, введенным в доказательстве предложения. Как явствует из этого доказательства, для любой функции Хе^+ множество {Х>0} принад-

лежит классу 9, введенному в предложении. С другой стороны, пусть множество G принадлежит. классу 9 из предложения, и пусть {Xn} — последовательность функций из ^ сходящаяся, возрастая, к 1О. Если положить X = 2 ТпХп (этот ряд сходится равномерно),

то X е и G = {/ > 0). |

Применим теперь предыдущие результаты к тому случаю, когда ^ является пространством ограниченных непрерывных функций, определенных на топологическом пространстве П.

Определение II. 7.1. Б эр вескими подмножествами топологического пространства О называются подмножества, принадлежащие наименьшей а-алгебре подмножеств О, относительно которой измеримы все непрерывные (или все непрерывные и ограниченные') функции на Q. Подмножества Q, принадлежащие а-алгебре, порожденной замкнутыми подмножествами Q, называются бор еле веками подмножествами й.

Поскольку всякая . непрерывная функция на О является пределом непрерывных и ограниченных функций на О, два данных определения бэровских множеств согласуются друг с другом. Далее,. всякое бэровское множество является борелевским, так как множества вида (X а} замкнуты для любой непрерывной функции на й.

Предложение II. 7.2. Пусть О — нормальное топологическое пространство (в частности, метризуемое или компактное) и ^ — класс всех замкнутых подмножеств Q типа G^ (т. е. подмножеств, являющихся пересечениями счетного числа открытых множеств). Класс ^ порождает а-алгебру Л бэровских подмно- жествй. Формула Е(Х) = JXdP устанавливает взаимно однозначное соответствие между вероятностями Р на (О, Л) и положительными линейными функционалами Е на пространстве 0^(0) ограниченных непрерывных функций, удовлетворяющими условиям £(!)=! и

lim | Е (Хп) = 0 при Хи j 0 на О.

Всякая вероятность Р на (й, ^) обладает следующим аппроксимационным свойством:

P^) = sup{P(F); FcA, Fe^TY

Отметим, что в случае, когда пространство й мет- ризуемо, всякое замкнутое множество в й есть множество типа Ga, так что в этом случае а-алгебры бэ- ровских и борелевских множеств совпадают.

Доказательство. Из развитой в предыдущих пунктах теории интегрирования следует, что всякая вероятность на (й, dt) определяет на пространстве соизмеримых интегрируемых функций и a fortiori иа Соо(й) функционал Е, обладающий нужными свойствами.

С другой стороны, если Е — функционал иа С„(й) со свойствами, указанными в формулировке предложения, то к нему можно применить предложение II. 7.1 и его следствие. Класс G в рассматриваемом случае совпадает с классом открытых множеств типа Fa. В самом деле, для любой функции ХеСДЙ), где й — произвольное топологическое пространство, множество.

{*>о} = U^^^1}п> 1

является открытым множеством типа Fo. Далее, если G = (JFn — открытое объединение счетного числа замк- п

нутых множеств в нормальном топологическом пространстве, то по теореме Урысона для любого п^1 существует непрерывная функция Хп, равная нулю на G® и единице на Fn, все значения которой лежат между О и 1. Образуем функцию X = 2 2”"Хп. Ясно, что

ЯебДДЙ) и G = {X>0}.

Для завершения доказательства остается заметить, что класс с?” состоит из дополнений к множествам из 9 и что утверждаемое в предложении аппроксимационное свойство Р равносильно аппроксимационному свойству Р, установленному в следствии к предложению

7 Зак. 1368

II. 7.1 (чтобы установить равносильность, нужно перейти к дополнениям). 1

Предложение II. 7.3. Пусть Q —польское пространство {полное сепарабельное метрическое пространство'), и пусть Л есть в-алгебра его борелевских ( = бэ- ровских) подмножеств. Всякая вероятность Р на (И, Л) обладает по отношению к классу <vf компактных подмножеств Q следующим аппроксимационным свойстбом;

Р(Д)-зир{Р(К); К с А, KgA

Доказательство. Так как, согласно предыдущему предложению, этот результат справедлив, если заменить на более богатый класс замкнутых подмножеств П, то достаточно показать, что для любого е>0 существует компактное множество Ке с вероятностью Р(КЕ)^1—е. В самом деле, тогда для любого замкнутого множества F компактное множество FKe имеет вероятность Р {FKE)^ Р {F) — е и, следовательно, supfP^); FcA, F G^ = sup{P{Ky, К с А, Ке^ для любого А Е Л.

Пусть ыь t е/, —плотная последовательность в Q. Обозначим через Bto,r замкнутый шар с центром'в го pa.Viyca г. Для любого г>0 имеем, очевидно, (J Bai г = О. Фиксируем е>0. Каждому целому числу

и >0 сопоставим конечное подмножество 1п множества /, такое, что Р /(J Вш.. ^ 1 — еТп. Замкнутое множс- ство " ^ = n№zi*

имеет тогда вероятность Р{Кг)^ 1 — е. Мы утверждаем, что это множество компактно. В самом деле, из всякой последовательности точек КЕ можно выбрать подпоследовательность, такую, что для любого и все ее члены, начиная с некоторого, принадлежат одному и тому же шару Bto.. ип (i е /„). Эта подпоследовательность является последовательностью Коши в полном пространстве Й и, следовательно, сходится. 1

В заключение настоящего пункта остановимся кратко на вопросе о том, как можно усилить предыдущие результаты, ограничиваясь рассмотрением положительных линейных функционалов на пространстве Рисса, обладающих следующим более сильным свойством непрерывности: lim | Е (Ха) = 0 для любой обобщенной последовательности {Ха}, стремящейся убывая к нулю в ^.

Согласно замечанию, сделанному после формулировки предложения II. 3.2, такие функционалы Е можно продолжить на конус К^ пределов монотонно возрастающих обобщенных последовательностей функций из ^+ с сохранением свойств линейности и непрерывности относительно монотонно возрастающих обобщенных последовательностей. Это продолжение осуществляется по формуле Е (lim f ХД = lim f Е {Ха). Рассуждая как в доказательстве предложения II.7.1, можно показать, что на наименьшей о-алгебре Ж, относительно которой все функции из Л* измеримы, формулы

Р(С) = Е(1с)(10е^),

Р (В)-= inf (P(G); G=)B, 10е^*} (йеЯ)

определяют вероятность Р, удовлетворяющую условию Е(Х)= j X dP при всех Хе^'. Каждая функция X из ^+ (а следовательно, и каждая функция из ^ интегрируема по Р, и интеграл от нее равен Е^Х\ В общем случае определенная выше а-алгебра Ж строго содержит в себе наименьшую а-алгебру Л, относительно которой все функции из ^ измеримы (поскольку, вообще говоря, существуют ^-неизмеримые функции из X*). С другой стороны, вероятность Р однозначно определяется условием Е(Х)= J X dP (X е КД- Тем не менее могут существовать отличные от Р вероятности Р' на (£2, Ж"), удовлетворяющие условию Е(Х)= J XdP' при всех Хе?. Это последнее условие обеспечивает совпадение Р и Р’ лишь на а-алгебре Л.

Наиболее интересным случаем применения преды» дущих результатов является, несомненно, случай, когда ^

есть пространство С„(й) ограниченных непрерывных функций, определенных на вполне регулярном (в частности, нормальном, метризуемом или компактном) топологическом пространстве Я. В таких пространствах класс o? = [G: loeZ*j совпадает с классом открытых множеств, а а-алгебра 38 с а-алгеброй борелевских множеств. В самом деле, если Хе^*, т. е. есл,н Х = = lim t Ха, где ХаеС^(й), то множества {.Y>a} = = (J{vYa>a} открыты. Следовательно, каждая функция

а

X е X* измерима относительно a-алгебры борелевских множеств и каждое множество G е 9 открыто. Обратно, если G — открытое множество во вполне регулярном топологическом пространстве О, то для любого gieG существует непрерывная функция Хш, равная нулю на Gc, единице вши принимающая значения лишь из интервала [0, 1], Функция supXM совпадает с 10, веС принадлежит Л* и поэтому G е^,

Предложение II. 7.4. Пусть ^* и 38 — соответственно класс замкнутых подмножеств и а-алгебра борелевских подмножеств вполне регулярного топологического пространства О. Формула Е (X) = j XdP устанавливает взаимно однозначное соответствие между вероятностями Р на (й; 38\ „регулярными" в том смысле, что lim j Р (Ea) = P(lim | Ea) для любой убывающей обобщенной последовательности множеств из ^, и положительными линейными функционалами Е на пространстве С^й) ограниченных непрерывных функций, удовлетворяющими условию Е(1)=1 и обладающими следующим свойством непрерывности:

lim | Е (Л'а) = 0

для любой обобщенной последовательности {%„} функций из С^(й), сходящейся, убывая, к нулю.

Для всякой регулярной вероятности Р на (й, В)

В (В) = sup {В (Е); Ес В, Fs^}.

Доказательство. Выше было показано, что каждому функционалу Е рассматриваемого типа соответствует вероятность Р на о-алгебре ^ борелевских множеств в Q. Из непрерывности продолжения Е на ^* следует, что P(lim f G^ = lim f P(Ga) для любой возрастающей обобщенной последовательности открытых множеств Ga. Переходя к дополнениям Ga, убеждаемся в регулярности Р в указанном в формулировке предложения смысле. Аналогично, Р обладает нужным аппроксимационным свойством, поскольку Р (В) = inf (P(G): G zd В, G открыто} для любого борелевского множества В.

Обратно, пусть Р' — вероятность на (й, ^) и £(Х) = = J X dP' — положительный линейный функционал, который эта вероятность определяет на С^^. Рассмотрим обобщенную последовательность {Ха} - функций из C^Q), стремящуюся, убывая, к нулю. Будем считать (это не уменьшит общности), что все функции Ха ограничены постоянной С. Поскольку для любого е>0 множества {Ха^е} образуют убывающую к 0 обобщенную последовательность множеств из <^> из неравенства

EUa^ + CP4Xa>^

следует, что lim ф Е (Ха) = 0, если

Нт;Р'(Ра) = 0

для любой убывающей к 0 обобщенной последовательности множеств из ^". Предположим, что Р' обладает этим свойством и обозначим через Р регулярную вероятность на (И, ^), которую мы сопоставили функционалу Е в начале доказательства. Ясно, что для завершения доказательства достаточно теперь показать, что Р = Р' на ^.

Для этого в свою очередь достаточно показать, что если вероятность Р' регулярна, то

[ X dP'= lim f [ XadP'a

при X = lim t Ха (X е У Ха Е С^). В самом деле, тогда интегралы по Р и Р' совпадают на У*+ и, следовательно, Р = Р' на ®. Но если X = lim f Ха в ^*, то для а

любого а>0 множества {Х>а}, {Ха>а} открыты и {X > а} — lim | {Ха > а}. Следовательно, если вероят- а

ность Р' регулярна, то

Р'(Х>а) = lim f Р' U«>aYа

Отсюда в силу формулы

Г-Нт12-3

п^=д~1

справедливой для любой положительной функции У, вытекает, что

limf [х^Р'-Ит^У Р'(ха>^) =

П-= lim f 2~л УП-= lim f 2~л У^г) = J XdP'. й^г) = J XdP'. й

П-

= lim f 2~л У

П-

= lim f 2~л У

^г) = J XdP'. й

^г) = J XdP'. й

В том случае, когда fi — компактное топологическое пространство, всякий положительный линейный функционал Е на С (В), удовлетворяющий условию £(!)=!, обладает свойством непрерывности, приведенным в предыдущем предложении. В самом деле, с одной стороны, всякая обобщенная последовательность непрерывных функций на Q, сходящаяся, убывая, к нулю, сходится к нулю равномерно (лемма Дини), а с другой стороны, Е (X) ^ sup | X |. Для компактных пространств результаты настоящего пункта принимают следующую простую форму.

Предложение II. 7.5. Пусть И — компактное топологическое пространство и nF, Л и Я — соответственно класс замкнутых множеств, о-алгебра бэров- ских множеств и о-алгебра борелевских множеств в Q.

Скажем, что вероятность Р на (й, J?) регулярна, если она обладает одним из следующих равносильных свойств:

Р (S) = sup {Р (F); Fe^, F с В} для любого В е .#;

для всякого F е ^ и всякого е > 0 существует такое открытое множество G, содержащее F, что Р(С)<Р(Р) + е;

для любой обобщенной последовательности замкнутых множеств Fa, сходящейся, убывая, к F,

lim ^ Р (Fa) = Р (F).

Формула E(X)=\XdP, где X е С (Й), устанавливает взаимно однозначное соответствие между

положительными линейными функционалами Е на С(Q), удовлетворяющими условию £(1) = 1;

вероятностями на (Й,

регулярными вероятностями на (Q, ^).

Доказательство. В силу доказанного выше достаточно лишь показать, что для всякой вероятности Р на (Q, ^) условия (а) — (в) равносильны. Переходя к дополнениям, видим, что свойство (а) равносильно следующему свойству:

Р (В) = inf {Р (G); G открыто, G тз В}.

Беря в этой формуле замкнутые множества В, получаем (б). Пусть, далее, Р удовлетворяет условию (б) и {PJ — обобщенная последовательность в ^", сходящаяся, убывая, к F. Для любого заданного е>0 возьмем открытое множество G гз F, такое, что Р (G) ^ Р (F) + е. Поскольку (lim Fa) П Gc = 0, постольку Ра,П Gc = 0 для некоторого Од в силу компактности П. Следовательно,

lim 1 Р (Fa) < Р (Fa) ^P(G)^P (F) + е,

и поэтому вероятность Р удовлетворяет условию (в). Наконец, согласно предложению II. 7.4 всякая вероятность Р, удовлетворяющая условию (в), удовлетворяет также условию (а). 1

Дополнения и упражнения

7.1. Показать, что всякий положительный линейный функционал Е на пространстве Рисса С (Q) всех непрерывных функций (ограниченных или неограниченных), определенных на топологическом пространстве Й, обладает следующим свойством:

Ншф Е(Ал)-=0

при АлфО в С (й). Вывести отсюда, что если такой функционал Е не равен тождественно нулю, то Е (1) > 0. [Показать, что если Х„фО, то Е [(Х„ — в)+] фО для любого в > 0, заметив для этого, что ряд 2(А'л — е)+ определяет функцию, которая, будучи непрерывна

на каждом из открытых множеств ^Х,П < е}, непрерывна на й. Воспользоваться, далее, тем, что если £(1) = 0, то Е (X) = Е (X — а)+ при всех а > 0 и X е С (Й)[.

7.2. Пусть Q —вполне регулярное топологическое пространство, являющееся объединением счетного числа своих компактных подмножеств (или. более общо, являющееся пространством Линде- лёфа). Показать, что всякий положительный линейный функционал на С„ (й), удовлетворяющий условию Ит^£(Хл)=0 для любой п

последовательности (Ад) функций из С„ (Й), сходящейся, убывая, к нулю, обладает также более сильным свойством непрерывности: 11m ф Е (Ха) = 0 для любой обобщенной последовательности {Ха} функа

ппй из Соо (й), сходящейся, убывая, к нулю. Вывести отсюда, что на таком пространстве всякая вероятность на и-алгебре бэровских множеств может быть единственным образом продолжена до регулярной вероятности на а-алгебре борелевских множеств. Распространить этот результат на случай произвольного вполне регулярного пространства и вероятности с носителем, являющимся объединением счетного числа компактных множеств С}.

7.3. Теорема Лузина. Пусть Q —польское пространство, и пусть <А есть а-алгебра борелевских подмножеств й и Р — вероятность на Л. Показать, что для любой д. с. в. А- на (й, Л. Р) и любого е > 0 существует компактное множество КЕ с Р (КЕ)^ 1 —е, такое, что ограничение X на КЕ является непрерывным отображением КЕ в R. [Воспользоваться предложением 11.7.3 для доказательства этого результата в случае ступенчатой д. с. в. и упражнением II. 4.4 для перехода к случаю, когда д. с. в. X п. н. конечна.]

Глава Ш

Произведения пространств и случайные функции

HI. 1. Произведение двух измеримых пространств

Пусть Qj, Q2 —два произвольных множества. Множество всех пар со = (со,, со2), соj е Qh со2 е й2 называется произведением Q, и Й2 и обозначается Q, X й2- Отображение Ц X П2 в П, (/= 1, 2), переводящее ш = (ш1, со2) в со/, называется i-й координатой.

Для любого подмножества А произведения Q, х Я2 его сечение в точке со, eQ, определяется как подмножество Ли, тех точек со2 из й2 для которых (со,, со2)еЛ:

Лш, = {со2: (со,, со2) Е Л}.

При фиксированном со, отображение Л->ЛШ, класса ^°(Q, Х^2) в класс ^°(Q2) является гомоморфизмом относительно операций объединения, пересечения и взятия дополнения. Иными словами, для любого семейства (ла) множеств из ^(fi, ХЙ2)

(ГК) -ПС. 1МЧ -ис, U1-(W-

\ “/ш,“\ а /ш,°

Сечением в точке со, отображения X произведения fi, X й2 в произвольное множество назовем отображение Хш,, определенное на й2 и задаваемое формулой Xm, (со2) = X (со,, со2). В порядке оправдания терминологии заметим, что (1д)Ш1 = 1дШ1- Преобразование Х^Хш^со, фиксировано) сохраняет, конечно, обычные операции над функциями, включая поточечную сходимость.

Прямоугольником в Q, X Й2 называется подмножество вида'

Л, X Л2 = {(со,, со2): со, Е Л,, со2 Е Л2}.

Прямоугольник Л, X Л2 не содержит точек тогда и только тогда, когда одна из его сторон Л, или Л2 пуста.

Дам всякого прямоугольника Л, X Л2 его сечение (Л । X . L)(0 в точке со, равно либо Л2, либо 0, смотря по тому, со, е Л, паи со, ^ Л,.

Пусть Лх и сЛ2 суть а-алгебры подмножеств й, и Й2 соответственно. Прямоугольник Л, X Л2 называют измеримым (по отношению к Лх и c/Z2), если Л, е^, и АгеЛг.

Предложение III. 1.1. Измеримые прямоугольники в произведении множеств й, и й2 с и-алгебрами Лх и Л^ соответственно образуют булеву полуалгебру в й, X й2.

Доказательство. Очевидно, что как пустое множество, так и само произведение О, хД- измеримые прямоугольники. Пересечение двух измеримых прямоугольников тоже представляет собой измеримый прямоугольник, поскольку

(л, х л2) л (л Г х л0 = (л, л .10 л (л2 л лО.

Наконец, выполнение третьей аксиомы булевых полуалгебр вытекает из равенства

(Л, X Л2)с = АхХ Ло + Й, X Ло. |

Из предложений III. 1.1 и II. 6.1 следует, что булева алгебра, порожденная измеримыми прямоугольниками, состоит из всевозможных конечных сумм непересекаю- шихся измеримых прямоугольников. Порожденная этой алгеброй (или полуалгеброй измеримых прямоугольников) ст-алгебра обозначается ЛХ&Л1 и называется произведением а-алгебр Лх и Л,, а измеримое пространство

(й, X Й2, ЛХ^Л^

называют произведением измеримых пространств (й„ ла и (й2, л.\

Предложение III. 1.2. Для любого фиксированного со, сечение Лш, в со, произвольного измеримого множества из (й, х й?, Лг 0 ЛД является измеримым

множеством в (й2, ^2). Более того, сечение Х^, любой д. с. в. X на

(Qj X ^2» ^1 ® ^?)

есть д. с. в. на (й2, ^2).

Доказательство. Пусть ^ш, —класс подмножеств А произведения Q|XQ2, для которых ЛИ[е<у£2. Легко видеть, что все измеримые прямоугольники принадлежат ^ и что ^И1 замкнут относительно операций образования, дополнения и счетного пересечения. Следовательно, ^m, => u£i ® Лч и первая часть предложения доказана. Вторая часть предложения вытекает теперь из соотношения (Ха,)-1 (В) = [Г1 (S)]^. |

Следствие 1. Для того чтобы непустой прямоугольник ВхХ В2 в &х X И2 принадлежал Лх ® Л2, необходимо и достаточно, чтобы ВХ^ЛХ и В2^Л2. ДЛЯ того чтобы действительная не равная тождественно нулю функция Хх (ш1)Х2(ш2) на ^|X^2 была Лх ® Л2- измерима, необходимо и достаточно, чтобы функции Хх и Х2 были Лх- и Л2-измеримы соответственно. (Это следствие оправдывает введенный выше термин „измеримый прямоугольник**.)

Доказательство. Если прямоугольник Вх X В2 непуст, то множество Вх тоже непусто. Следовательно, существует со, е Вх и согласно предыдущему предложению множество S2=(S1XS2)(B принадлежит о-алгебре Л2, Тем же способом показывается, что ВХ^ЛХ. В случае функций применимо аналогичное доказательство. |

Семейство подмножеств произведения Qr X П2 вида fi, X А2, где А2еЛ2, образует о-подалгебру ст-алгебры ЛХ®Л2, изоморфную о-алгебре о^2 измеримых множеств в Q2. Эту о-подалгебру мы тоже будем обозначать символом Л2. Предложение III. 1.2 позволяет охарактеризовать эту о-алгебру иначе.

Следствие 2. о-подалгебра Л2 а-алгебры ЛХ®Л2 совпадает с а-алгеброй тех измеримых множеств в (^Х^, ЛХ<8>Л2\ которые не зависят от координаты W; (г. е. тех В, для которых сечения В^ не зависят от coj.

Доказательство. Отметим сначала, что сечения Вш. подмножества В множества fi, X й2 не зависят от o)i тогда и только тогда, когда В имеет вид Й,ХС, причем сечение Вх = йхС в coj равно, конечно, С. Согласно следствию 1 для измеримости множества й. х С в Л^Ла необходимо и достаточно, чтобы СеЛ2. |"

Заметим в заключение, что Jit ® Л2 есть наименьшая ст-алгебра, содержащая or-алгебры Лх и Л2 подмножеств й, X й2. Иными словами, Лх^Л^ есть наименьшая ст-алгебра подмножеств Qj X й2> относительно которой измеримы координатные отображения.

Дополнения и упражнения

1.1. Пусть й —несчетное бесконечное множество и Л — наименьшая а-алгебра подмножеств й, содержащая все одноточечные множества. Диагональ А = {(со, о): сое й) множества й X й не принадлежит Л 8 Л, хотя все ее сечения принадлежат Л. Утверждение, обратное предложению III. 1.2, следовательно, неверно.

*111.1.2. Пусть й и й'— непустые множества. Отображение класса <5° (й х й') на класс 3* (й), определяемое формулой

projo (£) = {со е й: Ещ^ 0}, называется проекцией на й. Понятие проекции есть обобщение понятия координатного отображения. Показать, что для любого семейства ^Е,, ie I] множеств из 3 (Й х Q')

projQ (J £8 = (J рго]й (Ei^

probfWHprojo (£1)

и что во втором ссотпошсппп включение, вообще говоря, строгое даже для убывающих последовательностей множеств. [Тем не менее, ■jT-т включение является равенством, если множества Ei (с е /) суть в; : '. оугольникп в й X. й' н если |^ Е; + 0.^

Пусть Л — подкласс класса еР (й), содержащий 0, 3" — некоторый подкласс класса 3 (й'). Показать, что (в обозначениях упраж- 1И1ч;я 1.2.1) pro jo ('.Л X уг)(1) с Л„ для всех операций р = s, d, а, б, sd—ds, бх н da, а также для операций 16, об и суслинской операции в том случае, когда класс 3" компактен. [Например,

в случае суслинской операции показать, что если множество В е (Л X <У )s представлено в виде

5 = U Л(^ ... V X Fv ...V )•

V рр

то

projQ(B) =Л^ .

V Р

где Л' ,.,v =Л v , когда F v ф 0, и Л' =0, когда £v,...vp=0-]

Пусть (Q, «Д, P) — полное вероятностное пространство. Пусть, далее, сЛ' есть а-алгебра, порожденная компактным классом ^ подмножеств множества й'. Предположим, кроме того, что для любого Fe-7 существует последовательность {F„} множеств из -Г, для которой Fc = ^ Fn. Показать, что при этих условиях

п

projg (сЛ 8 сЛ') С сЛ.

(Использовать упражнение 1.5.4.)

2. Переходные вероятности и произведения вероятностей

Определение III.2.1. Пусть (Qb u£J, (й2, ^г) ~ измеримые пространства. Переходной вероятностью для этих пространств называется отображение Р\ произведения Ц X Л^ в [0, 1], удовлетворяющее следующим условиям-.

для любого ш^й, функция Рг^ь ■) является вероятностью на (Q2, ^2);

для любого X2e^2 функция Р^-. Л г) измерима на (Qb ut).

Отметим сразу же два частных случая:

переходная вероятность, не зависящая от со,, сводится к вероятности на (й2, ь^2);

если для каждого ш,ей1 вероятность Рг(со|, •) сосредоточена в одной точке, скажем р (mJ, пространства Й2> то Рз является переходной вероятностью тогда и только тогда, когда р есть измеримое отображение (^ь и£{) В (^2, t/Z2).

Отметим также, что в случае, когда условие (а) выполнено, для выполнения условия (б) при всех Л2 е ^ достаточно, чтобы оно выполнялось для каждого множества из какой-либо полуалгебры, порождающей Л^.

Предложение III. 2.1. Пусть (О,, ^J, (fi2, ^J — измеримые пространства, Р^ — вероятность на (И,, Л^ и Р\ — переходная вероятность на О, X Л2. Существует единственная вероятность Р на

(о, х а2, л, ® л.^, такая, что

PUt X А)= j РДдаьЗР^шь Л2) МеЛ A2e^.

Для любой положительной (квазиинтегрируемой^ д. с. в. X на

(Ql х О2, Л’® л^ функция

У (coj = j Р\(со,, дсйДХ^ДшДи,

всюду (Р^-н. в.) определена, Л^измерима и положительна (квазиинтегрируема по Р^. Более того,

J XdP= \ РДДсй^ [ ^(tiH, дшД X.,, (ю2).

а. х <j2о*ц2

Доказательство. В силу предложения 1.6.1 и теоремы о продолжении из п. 1.5 для доказательства существования и единственности Р на произведении пространств (Q, X И,, ,7, фЛп) достаточно показать, что Р является о-аддитивной на булевой полуалгебре измеримых прямоугольников в Q, X П2- Во-первых, очевидно, что Р (Л1 X Ло) е [О, I]. Далее, если

Л1 X Л2 = 2 А\ X Л2 Д счетно)

в йг X Й2, или, что то же,

1Д1(“!)1Д2(“2) = 21Д'(“!)1Л>(“2)

на Й, X Й2, то> интегрируя по Й2 относительно рИ^ь •) и меняя порядок интегрирования и суммирования, находим

•^М^К».. Л2)-?>Л((“,)РИ“.. ЛЭ-

Интегрируя теперь по Й, относительно Р,, получаем

Р (Л, X Д2) = 2р(Д{ X Да).

Тем самым о-аддитивность Р доказана.

Для любой положительной д. с. в. X на (й, X й2, ^^(З^з) и любого со, ей, сечение Х^ является положительной д. с. в. на (Й2, и£2) (предложение III. 1.2). Следовательно, функция Y определена на й,. Более того, соответствие X-»Y линейно, монотонно и непрерывно в том смысле, что xhx^y^y (nt оо).

Отсюда вытекает, что для доказательства ^-измеримости Y для любой д. с.д. Х^О достаточно показать, что Y является ^,-измеримой, когда X есть индикатор, скажем, 1Л, где А е Л, ® <^2. Но класс подмножеств А произведения й, X Й2, для.которых функция P2(mi, ДИ]) является Лх-измеримой, с одной стороны, содержит все измеримые прямоугольники и, следовательно, порожденную ими булеву алгебру, а с другой стороны — замкнут относительно монотонных пределов. Отсюда вытекает (предложение I. 4.2), что этот класс содержит Лх 0 Лг.

Выражение [ P,(dm,) J Р2(со,, dco2) Xm, (со2), таким образом, имеет смысл для любой положительной д. с. в. на й, х й2 и определяет линейный функционал, монотонный и непрерывный относительно монотонно возрастающей сходимости. С другой стороны, это выражение совпадаете ^XdP для д. с. в. вида 1Л[ х д2 Mi ^ Лг, Аг^Лг\ Отсюда с помощью рассуждения, аналогичного проведенному выше, получаем, что рассматриваемое выражение равно J XdP для любой д. с. в. Х^О. Заметим теперь, что если д. с. в. Х^О интегрируема

no Р, то д. с. в. У^О интегрируема по Рх и поэтому п. н. конечна на ЙР Следовательно, сечение Хш, является ^^(Ш), • )-интегрируемым при почти всех со,.

В случае когда д. с. в. X незнакопостоянна", но квази- интегрируема (для определенности, скажем, ЕХ+<оо\ из сказанного выше следует, что величина (Х+) = (Хш,)+ является Рг(ар -^интегрируемой при почти всех т,, и поэтому Xto. интегрируема при почти всех тР Таким образом, функция У определена п. н. Более того, У+ является Реинтегрируемой, так что У квазиинтегрп- руема по Рх. Последняя утверждаемая в предложении формула имеет смысл и справедлива, поскольку она имеет смысл и справедлива для Х+ и Х~ в отдельности. |

В ходе этого доказательства мы получили также следующие результаты;

Следствие 1. При выполнении условий предыдущего предложения для любой д. с. в. Х^О справедливы следующие соотношения

J xdP = 0^ J X^dP^, - ) = 0 п. н. на (Q„ Лх, Рх),J XdP<oo =ф J Хю, dP^to!, • )< оо п. н. на (Йр ^ ру

Следствие 2. При выполнении условий предложения III. 2.1 существует единственная вероятность Р2 на (й2, \Л2у такая, что

Рг ^ = _[ Pi (dan) Pl (со,, Л2) (Л2 е ^,).

Для любой положительной (квазиинтегрируемои) д. с. в. Z HatP2,dt2, Р2) функция Y(mJ = J Р^ии, Gfm2)Z(mJ определена п. н., Лу-измерима на £2, и положительна ^квазиинтегрируема по Рх\ Более того,

/ ZdP2= j PAdt^YH.

Частный случай предыдущего предложения, соответствующий не зависящей от со, переходной функции, носит название теоремы Фубцни.

Предложение III.2.2. Пусть (Я,, ^,, р,) и (Й2, ^2> Р2) ~~ два вероятностных пространства. Существует единственная вероятность Р на (Я, х П2> ^i ® =^2) (обозначаемая также Р} X Р2), такая, что

Р(АХ X Д2) = Р(Д,)Р(Д2) (Д,е^„ Д2еЛ)-

Для любой положительной или квазиинтегрируемой д. с. в. X, определенной на (□', х Й2, Лх ® Л^, Р, X Р2), следующая формула имеет смысл и справедлива-.

J XdP= JPx(dtov^Piid^X^i^)^

Qj X Qa^i^з

=|P2(^to2) jPi (rfCDl) JCco: (CDi).

Q,Q,

Вероятностное пространство (Q, X П2, Лх ® ^2> P\ X P2 называется произведением пространств (Йь Лх, Р,) и (Й2, uf2, ^2); его обозначают также

(Qp Лх, Pj) X (Й2, Л<^, Р2).

Доказательство. Достаточно применить предложение III. 2.1 как к вероятности Р, и переходной вероятности {р2(^ь Дг) = РгСЛг)}, так и к вероятности Р2 и переходной вероятности

(Р1(<02, ЛО^Р^)}.’

и заметить, что определяемые при этом вероятности Р на (Q, х Й2, ЛХ^Л^ совпадают. |

Следствие 1. Д.с.в.Х на (Й, Х^, Лх^Лг, Рх X Р2) п. н. равна нулю тогда и только тогда, когда почти все ее сечения Хи, п. н. равны нулю на (й2, Лг, Р^. Если определенная на произведении пространств д. с. в. X интегрируема, то почти все ее сечения Хи,, интегрируемы.

8 Зак. 1365

Следствие 2. Пусть X — д. с. в. на (Q, X Q2), измеримая относительно а-алгебры Лх<8) Лг — пополнения ЛХ®Л2 относительно РхХР5. Тогда почти все сечения Х„ измеримы относительно пополнения Л2 а-алгебры Л) по Р2. Более того, если X квазиинтегрируема (в частности, положительна), то формула предложения Ш.2.2 по-прежнему справедлива.

Доказательство. Пусть X' — д. с. в. на Лх 0 ^2, такая, что множество ^Х' ^ X) является нулевым. Тогда сечения Ха, являются ^-измеримыми при всех о, и множества (х',, #= Ха,] являются нулевыми в (П2, Л2, Р2) при почти всех со,. Утверждение следствия непосредственно вытекает из этого замечания. |

Дополнения и упражнения

HI. 2.1. Каждой д. с. в. X, определенной на (Q, Л, Р) и принимающей значения из [0, 1], сопоставим подмножество

Gx = {(to, х): О С х ^ X (to)}

произведения пространств £2 X [0, 1]. Показать, что все множества Ох измеримы. [Рассмотреть для этого свойства соответствия Х->С^.] Показать, далее, что если X — мера Лебега на [0, 1], то ^ XdP = VPXX)(Gx).

Ш. 2.2. Последняя формула предложения Ш. 2.2, вообще говоря, неверна, если вместо существования J X dP предполагать существование

f dPx J dP2X.

Чтобы в этом убедиться, возьмем, например, положительную нс- иптегрируемую д. с. в. Z па пространстве (£2,, Лх, Рд и на произведении этого пространства с дискретным пространством (0, 1}, обе точки которого равновероятны, определим величину X формулами

X (со, 0) = Z (to), X (со, 1) = - Z (to).

HI. 2.3. Формализм теории статистических решений. Пусть (£2, и£), (0, Д') и (Д, Од — три измеримых пространства, представляющих соответственно пространство наблюдений, пространство параметров и пространство решений. Пусть Р = [Р (9, Л)} — переходная вероятность относительно (0, Д') и (£2, о<). Вероятность Р (9, ■)

управляет наблюдением со в Я, когда 6 является значением параметра (неизвестным наблюдателю). Пусть W =Ц№ (6, 6)} — определенная на (6, Д') X (A, 3) действительная измеримая функция, которая представляет собой потерю, или убыток, вызванный принятием решения б, в случае когда параметр имеет значение 6.

стратегии S соответствуют средняя потеря Jстратегии S соответствуют средняя потеря JСтратегией (или правилом принятия решения) называется измеримое отображение s пространства (Я, Ji) в пространство (А, з). Стратегия состоит в принятии решения б (со) по наблюдению со. Случайной стратегией (с. с.) называют переходную вероятность на (Я, (Л) и (А, 30, скажем, S = [S (со, Д)}. С. с. состоит в принятии решения из пространства решений А с вероятностью S (со, ■) по наблюдению со [стратегия есть частный случай случайной стратегии с вероятностью S (со, •), сосредоточенной в s (со)]. .Случайной

стратегии S соответствуют средняя потеря J

стратегии S соответствуют средняя потеря J

W (0, б) S (со, J6),

д являющаяся измеримой функцией от (6, со), и риск

Rs (0) = J Р (0, с/со) [ W (0, б) S (У, d^. QД

представляющий собой измеримую функцию от 0.

На множестве с. с. вводится частичное упорядочение, называемое предпочтением (р-предпочтением); именно, пишут S cz S' и говорят, что S предпочтительнее (р-предпочтительнее), чем S', если /?5 (•) Rs, (■) [/?s (■) ^ Rs> (■) почти всюду относительно вероятности р, определенной на (6 (Д')]. С. с. S называется допустимой (p-допустимой), если никакая другая с. с. не строго предпочтительнее'(строго р-предпочтительнее), чем S (т. е., если из S'cS следует, что S cz S'), или. иными словами, если не существует с. с. S', такой, что Rs, C^s на 9 и Rs, V= Rs [такой, что p-почти всюду Rs, ^ Rs и Р {/Js, 5^ /?s} + 0]. С. с. S называется байесовской (относительно вероятности р), если на ней достигается минимум интеграла J р (с/0) Rs (0) по всем с. с. Показать, что всякая байесовская стратегия р-донустима. Класс S’ случайных стратегий называется (р-)пол- ным, если для любой стратегии S 96 tS* существует стратегия S' g <У, которая (р-)предпочтительнее, чем S. Если введенное отношение порядка индуктивно, то из леммы Цорна следует, что класс допустимых с. с. полон. [Показать, что это так, если (а) для любой последовательности ... S,,+1 cz 5Я с ... S, случайных стратегий существует с. с. S, которая предпочтительнее всех S,„ (б) существует счетное подмножество 60 множества 6, такое, что Rs (6) с R (6Q) при всех S.] Можно показать, что при выполиеиии некоторых условий класс байесовских стратегий полон.

Частные случаи. I. Пусть нас интересует проверка гипотезы 0 g Т при альтернативе 0 Т (Г —заданное подмножество из Д'). Пространство решений сводится здесь к двум решениям ба и б,- принять или отвергнуть гипотезу 0 g Т, — а функция потерь W равна

нулю, если решение правильно, и положительна в противном случае. Выбор стратегии s (с. с. S) в рассматриваемом случае равносилен указанию критической области {з = бг} в fi ^критической функции q, являющейся измеримым отображением (П, <л) в [0, 1], таким, что S (•, бЛ) = ?(■])■

. Пусть пас интересует оценка значения f (8) действительной измеримой функции f от нашего параметра. Пространством решений А здесь является действительная прямая R [или борелевское множество, содержащее [(О)]. В качестве функции потерь нередко берется функция

W (9, 6) = w (9) [f (9) - б]2.

Стратегия з, т. е. д. с. в. на (й, <Л), называется в рассматриваемом случае оценкой [она состоит в оценке f (9) по з (со)]. Показать, что для указанной выше функции потерь (и вообще для всякой выпуклой по 6 функции потерь) класс неслучайных стратегий полон

стратегия s (со) = 6S (со, с/б) предпочтительнее стратегии S .

I1L3. Бесконечные произведения измеримых пространств и канонические вероятностные пространства, связанные со случайными функциями

Произведением произвольного семейства {R(, IeF} непустых множеств называют совокупность всех семейств вида

со = {со(, t ЕЕ Г},

где co(eQ, при каждом t^T. Это произведение обозначают П В частном случае, когда множества Q, совпадают, скажем, Q, = Q при каждом t, произведение Ц Q, обозначается также Qr и может быть иден- т

тифицпровано с пространством всех отображений Т в И. Произведение пространств играет важную роль при изучении случайных функций: если „функция" в каждый момент / (/е Г) представляется точкой (или состоянием^) со, в пространстве И,, то пространство Цй, т

идентифицируется с пространством всех возможных траекторий за время Т. Подчеркнем, что в настоящем пункте мы не делаем никаких специальных предполо-

Ш.З. Бесконечные произведения измеримых пространств П7 жений относительно множества Т (такие предположения приходится делать лишь при изучении „регуляр- ности“ случайной функции). Несмотря на это, удобно интерпретировать Т как время, поскольку именно этот случай встречается в большинстве приложений (но не во всех!). Аналогично, пространство Qz как правило идентифицируется в приложениях с дискретным или евклидовым пространством и нередко не зависит от /; тем не менее, и в этом последнем случае обычно предпочтительно не отбрасывать индекс / в Qn тем самым подчеркивая, что рассматривается момент t.

Отображение со-хо., произведения Ц П< 8 ^» назы- т

вается s-й координатой. Его часто обозначают Х„ так что со5= ХДсо). Значение ХДш) есть состояние траектории со в момент s. Для любого подмножества S множества Т сечение в <os = {cos, seS} подмножества Л произведения Ц Й, (соответственно функции Z, определенной на II Й^ определяется как подмножество Aas = = {{со„, ые5с}:{й(, /е^еЛ} произведения Ц Йя s'

/соответственно как функция 7Ю , определенная на Ц йя \ 's'

равенством Ztos [соsc] = Z [<os, соsc]j. Подмножество Л = = В X Ц Йи произведения Ц Й,, где В сП Й$, называет- s'ГS

ся цилиндром с основанием В. Для того чтобы множество Л было цилиндром с основанием в Ц QJf необходимо и достаточно, чтобы все его сечения Лю не зависели s'

от co-с; при этом В = Лш . Прямоугольником в Ц Й, *sт

называется подмножество вида

ПЛ( = {И: ш<еА<(/е7')}, т

причем предполагается, что подмножества А( множеств Й, отличаются от Й, лишь для конечного

множества значений t^T. Всякое сечение прямоугольника тоже является прямоугольником.

Предложение III.3.1. Пусть {(И,, jltY, t е Г} — произвольное семейство измеримых пространств. Семейство измеримых прямоугольников Ц At (/lz Е Л,, т

А, = Й(, за исключением самое большее конечного числа значений f) образует булеву полуалгебру.

Доказательство этого предложения аналогично доказательству предложения III. 1.1, обобщением которого оно является; отметим, что ограничение „Л( = О,, за исключением самое большее конечного числа значе

ний V* в определении измеримого прямоугольника существенно используется в доказательстве. Согласно предложению 1.6.1 конечные суммы непересекающихся измеримых прямоугольников образуют булеву алгебру. Порожденная этой булевой алгеброй о-алгебра обозначается <8>ТЛ, и называется произведением о-алгебр ЛД1^Т\ Она является также наименьшей, о-алгеброй подмножеств П Hz, по отношению к которой измеримы твсе координатные отображения. Наконец, измеримоений V* в определении измеримого прямоугольника существенно используется в доказательстве. Согласно предложению 1.6.1 конечные суммы непересекающихся измеримых прямоугольников образуют булеву алгебру. Порожденная этой булевой алгеброй о-алгебра обозначается <8>ТЛ, и называется произведением о-алгебр ЛД1^Т\ Она является также наименьшей, о-алгеброй подмножеств П Hz, по отношению к которой измеримы твсе координатные отображения. Наконец, измеримоепространствопространство№=-•№=-•®тс/М называется®тс/М называетсяпроизведениемпроизведениемизмеримых пространств (Hz, ,At\ Легко видеть, что если {S,, t е/} есть разбиение множества ScT", тоизмеримых пространств (Hz, ,At\ Легко видеть, что если {S,, t е/} есть разбиение множества ScT", топроизведение измеримыхпроизведение измеримыхпространствпространств(У(УН5, ®SZ ^iН5, ®SZ ^i

ний V* в определении измеримого прямоугольника существенно используется в доказательстве. Согласно предложению 1.6.1 конечные суммы непересекающихся измеримых прямоугольников образуют булеву алгебру. Порожденная этой булевой алгеброй о-алгебра обозначается <8>ТЛ, и называется произведением о-алгебр ЛД1^Т\ Она является также наименьшей, о-алгеброй подмножеств П Hz, по отношению к которой измеримы т

все координатные отображения. Наконец, измеримое

ний V* в определении измеримого прямоугольника существенно используется в доказательстве. Согласно предложению 1.6.1 конечные суммы непересекающихся измеримых прямоугольников образуют булеву алгебру. Порожденная этой булевой алгеброй о-алгебра обозначается <8>ТЛ, и называется произведением о-алгебр ЛД1^Т\ Она является также наименьшей, о-алгеброй подмножеств П Hz, по отношению к которой измеримы т

все координатные отображения. Наконец, измеримое

пространство

пространство

№=-•

№=-•

®тс/М называется

®тс/М называется

произведением

произведением

измеримых пространств (Hz, ,At\ Легко видеть, что если {S,, t е/} есть разбиение множества ScT", то

измеримых пространств (Hz, ,At\ Легко видеть, что если {S,, t е/} есть разбиение множества ScT", то

произведение измеримых

произведение измеримых

пространств

пространств

(У

(У

Н5, ®SZ ^i

Н5, ®SZ ^i

может быть отождествлено с пространством (ЦП» ®5и^).

Применение предложения III. 1.2 к измеримым пространствам (Ц^- и ^П йи> ®sc а<цу произведение которых есть (ЦПО ®r^z), позволяет утверждать, что всякое сечение /1И5 множества А из <8T^t ^или всякое сечение Zms д. с. в. Z на П И,) измеримо в /П ^, ®sc^aL В частности, если Л —цилиндр

в П Oz с основанием В в Ц й5, то /1 тогда и только Т S

тогда измерим, т. е. принадлежит 8>г^<, когда его основание Визмеримо, т. е. принадлежит ®sul$. Отождествляя цилиндры с основаниями в ®5ots с самими этими основаниями, мы будем, допуская вольность, обозначать через 8)5^5 cr-подалгебру о-алгебры 8>г^ь состоящую из измеримых цилиндров с основаниями в Л ^я т. е. измеримых подмножеств произведения

Ц Й(, не зависящих от координат шДнеУ), т

Предложение III,3.2, Пусть {(Qz, Л^; / е Г} — произвольное семейство измеримых пространств. Объединение 9В а-алгебр <&suts, где S пробегает всевозможные конечные подмножества Т, есть булева алгебра, порождающая <8т^с Объединение а-алгебр 8s^s. где S пробегает всевозможные счетные подмножества Т, совпадает с <&TJlt. Оба эти утверждения останутся справедливыми, если в них фразу „всевозможные конечные (счетные) подмножества Т“ заменить на „семейство <9* конечных (счетных) подмножеств Т, такое, что всякое конечное (счетное) подмножество Т содержится в одном из множеств из

Доказательство. Класс 98 замкнут относительно образования дополнений, поскольку таковой является каждая из а-алгебр ®suls. Он замкнут также отиоси- тельно пересечений, так как если Ate ^iSijts при iel, где / — конечное множество, то 4,6®$^, где S = Usf —

тоже конечное множество, и Q At е ®sЛ5а 98. Сле- . I

довательно, ^ — булева алгебра. Поскольку Jlsc^g8c. cL^)TlAt для любого sei, то 98 порождает ^Т<Д4. Вторая часть предложения доказывается аналогично и использует тот факт, что счетное объединение счетиых множеств счетно. ■

Следствие. Любая а-подалгебра 98 счетного типа с-алгебры &т At содержится в некоторой а-алгебре

®suts, где множество S с Т счетно. В частности, любое измеримое подмножество Ц И, и любая д. с. в. на т■

(Ц й/, ®г зависят лишь от счетного множества координат.

Чтобы сделать „функцию", определенную на семействе {(Qn dj; te'F\ измеримых пространств состояний, случайной функцией, чаще всего используют следующий метод. Каждому набору (/,, ..., /п) моментов времени сопоставляется некоторый вероятностный закон, скажем

(<%сй^-^Х^сй)^<„(<о))

считается распределенным по закону Рр. t у Затем стараются определить такую вероятность Р на измеримом пространстве (Ц О,, <&ТЛ^ траекторией, ограничения которой на о-алгебры ®? At. событий, зависящих лишь от координат tx, ..., tn, совпадали бы с заданными вероятностями Рр .... t у Очевидна важность определения такого продолжения Р вероятностей Рр ,^ для задач, связанных со свойствами процесса, зависящими от бесконечного множества моментов времени, например предельными его свойствами или свойствами непрерывности.

Чтобы математически строго сформулировать задачу, приведем следующий предварительный результат, проверка которого предоставляется читателю.

Предложение III. 3.3. Пусть задано семейство вероятностей Рр ...tny определенных на конечных произведениях П П/., ®"<^;. измеримых пространств из \ I ‘/

семейства [Q,, Д(\ t^T}. Для существования функции множеств Р на (Q, ^), где ® = U [®" <^г,]> ограничения которой на о-алгебры <8? Ау совпадают с вероятностями Pp^.-.M^i ^обходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие согласованности.

Для всяких двух конечных подмножеств Тх с Г» множества Т ограничение Рт- на ®г,^< совпадает с Рт,.

(Замечание. Иногда к условию предыдущего предложения добавляют еще следующее условие: если Gi,.... /„) —некоторая перестановка множества (/р..., /„). то Pq, 4'^ получается из Р^р.... <л) той же самой перестановкой координат. Это условие появляется лишь тогда, когда вероятности Р^..., t^ задаются для упорядоченных наборов п моментов времени, мы же их определили для произвольных конечных подмножеств {/н .... /J множества Т.)

Важно отдавать себе отчет в том, что указанное выше условие согласованности не обеспечивает, вообще говоря, а-аддитивности Р на 38 (см. упражнение III. 3.1), оно гарантирует лишь аддитивность Р. Чтобы функция множеств Р была а-аддитивной на ^, требуется выполнение дополнительных условий. Если Р является а-адди- тивной на 38, то по теореме о продолжении из п. 1.6 ее можно единственным образом продолжить до вероятности на (Q, ^).

Теорема. Пусть \P(tv .... у] — семейство вероятностей, определенных на конечных произведениях измеримых пространств из семейства {й(, ^J; (еТ^ и удовлетворяющих условию согласованности из предложения III. 3.3. Если для каждого t^T существует компактный подкласс ^t ' о-алгебры tAt, такой, что Pw (Л) = sup {Р(() (С): Се^(, СсА} для любого A^J[t, то существует вероятность Р на произведении пространств ^Цйь <8ТА^, продолжающая каждую из вероятностей Р^{tny

Доказательство. Пусть Р — аддитивная функция множеств, определяемая семейством {^(<р---, <„)} (см. предложение III. 3.3). Согласно предложению 1.6.2 для того, чтобы Р была а-аддитивной на полуалгебре ^ измеримых прямоугольников и, следовательно, была продолжимой до вероятности на а-алгебре Фрс^,

достаточно, чтобы существовал компактный подкласс 8” полуалгебры с^, такой, что Р (Л) = sup {Р (С); СсА, Се^ для любого Ае<У.

Но класс .91 измеримых прямоугольников вида СХ Ц И5, где Се8”z, teT, есть компактный класс.

S =# I

В самом деле, пересечение всякого счетного семейства (Cj X Ц ^i> , GM таких множеств имеет вид Ц В(, (5 ^ ' i/7

где В( = Q С,-. Если это пересечение пусто, то одно из множеств Вь скажем Ви, пусто. Из компактности класса ^и теперь вытекает существование конечного подмножества / множества V*.ti = uL для которого f)^i= 0 и> следовательно, QFC/X П ^» I = 0- Таким

.1] LS =# U А

образом, класс 3 компактен, а вместе с ним компактен и класс 8” счетных пересечений множеств из -^.

Пусть, далее, е>0 произвольно и А — измеримый прямоугольник с основанием П До в Ц Йо. Выберем 11

множества С^^, так, чтобы

c-c^. PvM^p^h^

Множество С = ПГС,Х Ц Ц] принадлежит 8” и со- i L 1 *'i J

держится в А, а из полуаддитивностн Р и формулы a-ccUUa^-с^х п

вытекает, что

Р и) - Р (С) < 5 [Р«. ^ - PVi^C^ < г.

Устремляя е к нулю, получаем Р (Д) = sup {Р (С); Се^1, С с Л}, что и завершает доказательство теоремы. 1

Из предложения II. 7.3 и только что доказанной теоремы вытекает следующий результат.

Следствие. Пусть {Яо и^); / е Г} — семейство польских пространств с с-алгебрами борелевских множеств. Для всякого согласованного семейства вероятностей {^(/р..../„)}• определенных на конечных произведениях пространств {(Ям jt(y, 1е?У существует единственная вероятность Р на (Ц Я(, ®г^<У продолжающая каждую из вероятностей P(t,...,tny

Этот результат применим, в частности, к случаю, когда пространства^ (Sf, d,) изоморфны расширенной числовой прямой (R, ^. В этом случае пространство (1[Я„ ®го£ь Р^ называется каноническим вероятностным пространством действительной случайной функции X = {X,, te?y „закон по времени" которой задается семейством {^(f,....,/„)}•

Дополнения и упражнения

* III. 3.1. Пусть (й0, и40, Ро) — вероятностное пространство, в котором существует последовательность (йл, п ^ 1} подмножеств Qj, такая, что Йпф0, ^о (й„) = 1. Предположим, кроме того, что диагональ в (й0)" измерима в (й0, <Я0)". Обозначим через Рп след Ро на (Йл, •/£„ = l/Z0 Р йл) (упражнение 1.4.4); пусть

/ п\

— вероятность, индуцированная на JJ йт, ®" dlm вероят- \ 1/

костью Рп и отображением фл (х) = (хх) множества йл л

в произведение JJ Йт. Показать, что семейство вероятностей I

{^(1пу " ^ Ч

является согласованным для последовательности измеримых пространств (йя, Л^, и в то же время измеримые множества Дл = {ш: ш, — ... = шл) в пространстве ( JJ йт, ®m^|utm^ имеют \т>1"/

единичные вероятности и образуют последовательность, стремящуюся, убывая, к 0. Таким образом, на произведении пространств ( II ®mr ^zn^i^m^ не может существовать вероятности, продол- \т>1/

жающей согласованные вероятности Р(1 п). Предположение о существовании аппроксимирующих компактных классов в теореме настоящего пункта является, следовательно, существенным для справедливости этой теоремы.

.3.2. Гауссовы семейства, (а) Пусть Г—произвольное непустое множество и Г = (Г (s, z); s, / е Г) — симметрическое неотрицательно определенное ядро на Т X Т. (Определение: Г (s, t) = = Г (/, s) для всех s, teT; ^ctcjV Уь ^j ^ О при любых п, tx,...,tn из Т и сх,...,сп из R?) Существует единственная вероятность Р на (£J, <Л) = (/?, й)г, такая, что индуцированный ею вероятностный закон каждого вектора ^Х^, ..,, X, ) является центрированным гауссовым законом с ковариациями {Г (7;, /у)}.

Обозначим через Н линейное пространство функций на Т, порожденное семейством функций Г (s, ■), s е Т. Показать, что определяемое формулой

cir (si’ ‘ )• S С/Г Vp " = 2 2 cic/r Op sb ' i i ' i j

скалярное произведение наделяет H структурой отделимого пред- гильбертового пространства. Это скалярное произведение характеризуется саморепродуцнрующнм свойством

(Г($, .), Г (/, . )> = Г (s, 0.

Убедиться, что гильбертово пространство Н, полученное пополнением Н, тоже является пространством функций на Т; показать для этого, что (Г (s, •), A)=A(s) при всех h^H и всех $еГ. Показать, далее, что соответствие

Г(5, .)*->Х,

(однозначно) продолжается до изометрии Н в пространство L^ (Q, Л, Р) и что образ X (А) элемента /г е Н тоже является центрированной гауссовой д. с. в.; таким образом, Е [X (А) X (А')] = = (А, А').

*. Если 7" — компактный интервал на прямой R с лебеговой мерой, обозначаемой в дальнейшем dt, и если ядро Г непрерывно па Т X Т, то существует (по крайней мере одна) полная ортопор- мированиая последовательность (fn, « ^ 1}, состоящая нз собственных функций интегрального оператора Г в пространстве Z.2 (Г, z/z) (так что j Г (s, t) In (0 dt = КП1п (s), где Л^^Ог, более того, функ- \ т /

цпи fn непрерывны на Т (при ХП У= 0) н ряд 2 ^rihi (s) hi h) равномерно сходится к Г (s, t) на Г X Т (теоремы Гильберта—_Шмндта и Мерсера). Показать, что в этом случае пространство Н может

быть идентифицировано с пространством непрерывных функций h на Т, для которых

। J А w w < °°;п \Т/

показать также, что

(А, А') - 2 V I h W fn (О dt J h' W fn (0 dt.

n TT

[Убедиться сначала, что для всякой меры р иа Г функция

Гц-/ г(.,0р№)

принадлежит Н, причем (Гц, А) = J р (dZ) А ((); показать, далее, что г_

(fnl ^п > 0} есть полная ортогональная последовательность в Н; заметить, наконец, что sup [ fn I ^ СХ^1, где С —константа, ие зависящая от пД Последовательность

{^„-Х^); Х„>0}

является последовательностью независимых центрированных гауссовских д. с. в. с дисперсиями Е^Х^ = К^\ выразить X (А) и, в частности, Xt (< е Г) как функцию от Х„.

Если Т = R, то ядро Г тогда и только тогда имеет вид

Г (s, t) = у (s — /) = J ехр[2л/ (s — Z) u]F (du),

где F — положительная ограниченная симметричная мера на R, когда оно непрерывно и зависит лишь от (s — Z) (теорема Бохнера). Доказать, что существует единственное нзометричное отображение, скажем Ф, пространства L^ (R, F) (пространства классов эквивалентности комплексных измеримых функций с интегрируемым квадратом модуля относительно F) на пространство Н, такое, что Ф[ехр (2л/( ■)] = у (■ — /).

Пусть 3"* — множество классов эквивалентности множеств конечной меры в пространстве с мерой (Е, ^’, р) (см. п. IV. 1). Показать, что существует семейство гауссовых центрированных д. с. в. ЩЕ),Ре/') с ковариациями Г (Fb Fz) = Ц № Г) Fz). Показать, далее, что для любого счетного семейства (Fb i е /} попарно иепе- ресекающихся классов величины

(X(FZ), Ze/}

независимы и У Л" (/Д — Д' У, T/j в смысле L2 (Р) всякий раз, когда ц | У Р;^ < оа (гацссоиа „мери"). Показать, наконец, что в рассматриваемом случае отображение пространства L2 (Е, ц) на введенное выше пространство //, переводящее / G L2 (Е, ц) в определенную на аГ' функцию множеств / • р, есть изометрия,

4. Сепарабельность и измеримость случайных функций

Определение III.4.1. Пусть (й, at, Р) — вероятностное пространство и Т — интервал расширенной числовой прямой (интерпретируемой обычно как время). Действительной с луч айн oft функцией (д.с.ф.) на Т называют отображение X произведения Т X й в расширенную числовую прямую /? = [— оо, оо], такое, что для любого teT сечение Xt есть д. с. в. на (й, of, Р). Каждая из определенных на Т функций Х( - , со), являющаяся сечением в со д. с. ф. X (со е Й), называется реализацией или траекторией X.

Данное определение естественным образом обобщает понятие последовательности д. с. в., которое соответствует тому случаю, когда 'Г является множеством N натуральных чисел. (Последовательность д. с. в. мы называем д. с. ф. на N.) Тем не менее это определение недостаточно, поскольку без наложения каких-либо априорных ограничений на иррегулярность реализацией X ( • , с») оно не позволяет определять или рассматривать такие важные объекты, как

{%( е В (/G Г)) = Q X?1 (В) (множества такого типа le т

не обязательно измеримы, так как Т нечетно);

J dtX (t, со) (траектории д.с.ф. не обязательно т

измеримы по времени);

НшЛ(/, со) (эти пределы не обязательно суще- I -> S

ствуют для всех со (а если и существуют, могут быть неизмеримыми)).

Настоящий пункт (а также и следующий) посвящен изучению трех типов условий, при выполнении которых приобретает смысл соответственно каждое из трех выписанных выше выражений (и некоторые другие аналогичные им).

Определение III.4.2. Д.с.ф. X = {Х.ь t <^ t} называется сепарабельной, если существуют счетное подмножество S множества Т (называемое сепарантой') и нулевое множество N такие, что при афК для любого иеТ имеем

х»е П XUS, ю).

7 э и '

Здесь / пробегает класс с/ относительно открытых подинтервалов Т и X(IS, с») обозначает замыкание в R множества значений, принимаемых траекторией Х( •, ш), когда / пробегает множество IS. Очевидно, свойство множества S быть сепарантой не нарушается от добавления к нему счетного множества точек, так что сепаранта не единственна.

Наглядно говоря, д. с. ф. X сепарабельна, если почти все ее траектории в той же степени „регулярны", как их ограничения на подходящим образом выбранное счетное множество S; в самом деле, наше определение можно переформулировать так: для любого й ^ N и любого u^S существует сходящаяся к и последовательность {Sy} точек из S, такая, что Х(и,й) = limX(sy, ю).

Следующее предложение показывает пользу понятия сепарабельности.

Предложение III. 4.1. Пусть X = {^, / е Г} — сепарабельная д. с. ф., и пусть S — счетное подмножество Т, являющееся сепарантой для X. Существует нулевое множество N, такое, что для любого компактного множества К с R и любого относительно открытого интервала 1с.Т

{Х( г R (I г /)} А {X, е /( (/ е 7S)} с N. .

Множества ^Х,еК (tel$, следовательно, измеримы^ и Р^е К Vel))= PUt^K VeIS^ =

= inf P GY, eK(te U)), u^i

где U пробегает все счетные подмножества интервала 1 с Т. Более того, для любого аф N имеют место формулы

sup X; (с») = sup Xt (to);inf Xt (to) = inf Xt (to)

IISIIS

lim sup X, (to) = lim sup Xt (to), lim inf Xt (to) = lim inf X, (co), i ->иteSt->uIgS

t->ut-> и

а также аналогичные формулы c t ] и и t [ и. Во всех этих формулах левые части определяют, следовательно, д. с. в.).

Доказательство. При выполнении условий определения III. 4.2 имеем X (и, со)еХ ЦБ, со) при всех ug 1^3 и всех co^/V и, следовательно, X(/, а) = Х(1Б, со) при всех 1^3 и всех со ф N. Первое утверждение предложения вытекает теперь из соотношения

со е VXt е КV е Т^^Х^, со) с К,

справедливого для любого замкнутого множества К cP, каждого соей и всякого подмножества Го множества Т. Вторая часть предложения следует, в свою очередь, из того факта, что sup Х( (со) (inf Xt (со) \ есть

Го\ Го/

самая правая (самая левая) точка множества X^TQ, со). 1

Из вышеизложенного ясно, насколько важдую роль играет сепаранта S д. с. ф. X. Сепаранта всегда является плотным множеством в Т (лишь при выполнении этого условия множество Qx(/S, со) непусто при всех со ^ N 1эи

и всех не Г). Следующее предложение утверждает, что в одном весьма важном частном случае верно и обратное.

]) Для справедливости этого утверждения нужно дополнительно предположить, что пространство (£2, <Л, Р) полно. — Прим, перев.

Предложение III. 4.2. Если д. с.ф. X = ^Xt, I е 7} сепарабельна и непрерывна по вероятности {см. определение III. 5.1), то всякое счетное плотное подмножество S множества Т является сепарантой для X.

Для доказательства этого предложения мы воспользуемся следующей леммой.

Лемма. Для любой непрерывной по вероятности д. с. ф. X = {Xt, t^T} и любого счетного плотного подмножества S множества Т существует семейство {.Vм, и е Г} нулевых множеств, такое, что

X.^EflXt/S, to)

при всех ueT и со ^ N“.

Доказательство. Для любого ueT и любой сходящейся к и последовательности {Sy} точек из S имеем XSj—p*Xu. Далее, согласно предложению II. 4.3, существует подпоследовательность [${} последовательности {Sy}, такая, что если с» не принадлежит некоторому нулевому множеству Ми, то Xs- {а)■-> Хи (со) и, следова

тельно, ,YM(to) е QX(/S, с»). 1

/эи

Доказательство предложении. Пусть So —счетное подмножество Т, являющееся сепарантой для X, и пусть N — нулевое множество, такое, что

Хи(ю) eXUS0, ю)

при heJ и и 0/V. Далее, если S — счетное плотное подмножество Т, то согласно лемме X {ISQ, со) с X{/S, со) при всех w0(j№. Отсюда следует, что Хи{а) се X{iS, со) s,

для любого и ^ I ^ & и всех со, за исключением, возможно, тех, которые принадлежат нулевому множеству ^U UH'- Тем самым доказано, что S есть сепаранта

\ So /

ДЛЯ X. 1

9 Зак. 1368

Следующее предложение, принадлежащее Дж. Л. Дубу, является основополагающим результатом в теории сепарабельных случайных функций. Помимо нижеследующего доказательства, справедливого в общем случае, в заключение раздела будет дано другое, более простое доказательство этого результата для случая д.с. ф., непрерывных по вероятности.

Определение III. 4.3. Две д. с. ф. X и X', определенные на одном и том же вероятностном пространстве и на одном и том же интервале Т расширенной прямой R, называются эквивалентными, если Xt = X' п. н. при всех t е Т.

Из эквивалентности X и X1 следует, в частности, что для любых tx, ..., tn вероятностные законы векторов (Х(р Xt2, . . . , Х(^ и (Xtp Xt2, . . . , Xt^ одинаковы. С другой стороны, следует иметь в виду, что две эквивалентные д. с. ф. могут не иметь ни одной общей траектории: из предположения, что множества

(со: ХДса) =^= ^(а)}

при всех teT являются нулевыми, вовсе не следует, что множество {со: Х( (а) =# Х( (а) хотя бы для одного / е Г} тоже нулевое и, более того, что оно вообще отлично от Я!

Предложение III. 4.3. Для любой д. с. ф. Х = {Xp I е Г}, определенной на вероятностном пространстве (Я, Л, РУ), существует определенная на том же самом вероятностном пространстве эквивалентная X сепарабельная д. с. ф. X = {Xt, teTY ■

Для доказательства этого предложения мы воспользуемся следующей леммой, которую читатель может сравнить с леммой, следующей за предложением III. 4.2.

*) Для справедливости приводимого ниже доказательства этого предложения нужно дополнительно предположить, что пространство (й, tA, Р) полно. Аналогичное замечание относится к предложению III, 4.4, — Прим, перев.

Лемма, Для любой д.с.ф. X = {Xt,t^T} существует счетное подмножество S множества Т и семейство {Nu, и^Т} нулевых множеств, такие, что Хн(со)е efl^VS. а>) при всех ие Т и всех to ^ Na.

/ э и

Доказательство. Соотношения, справедливость которых утверждается в лемме, можно записать в виде

Хи(ш)еХУЗ, а>) при ш^№ и ueIeJ, или в виде

vxt гк^г IS)} с {Ха гк} и Na

IugIg#, К — компактное множество).

В этой последней форме мы и будем их доказывать.

Для любого интервала Ig9 и любого множества К^еХС (где eXf — класс компактных подмножеств R) пусть S,. к — счетное подмножество /, на котором достигается нижняя грань

infP^e^^e U))и

по всем счетным подмножествам /. Ясно, что для любого не! множество

Nt. K = {Xt^ К (/ е S/, к)} П № ^ Ю является нулевым.

Пусть Зп~ счетный подкласс класса 3, такой, что каждый интервал 1^.3 есть объединение тех интервалов из класса 30, которые в нем содержатся. В качестве Зй можно взять, например, класс всех открытых подинтервалов Т с рациональными концами. Пусть, далее, q^q —счетный подкласс класса е^Г, такой, что каждое множество К^еХГ есть пересечение всех тех множеств из а^о> которые его содержат. Положим S = US/0iJ<0 и N“ = UNa6,n„ где первое объединение берется по 30Х^Г0, а второе —по всем /0, содержащим и, и всем Ко, так что S тоже является счетным

подмножеством Т, а множества М“ (и е Т) — пулевые. Из формул

{.Y. СЕ к и G /S)} ед f) f) ^gXAieSl.kJL/,с/ Kt~K

л, к

и определения множеств Хц.к» и .-V" теперь следует, что (Xt E.KiiG /S)} С {.¥„ Е ^} j Х" (11^1 GE д, К Е s/Л. ■

Доказательство предложения III, 4.3. Используя множества S и А'" из предыдущей л£ммы, построим отображение X произведения ГХЙ в R следующим образом: если и е S или т^Хи, то полагаем Х(и, to) = X(n, а>), если же tt^S и сое Д’", то выбираем значение Х(и, го) так, чтобы Х(и, ш) Е |") X(IS, го) (та- коп выбор всегда возможен, поскольку при всех и^Т и всех шей множества Р) X(IS, го) непусты — они являются пересечениями убывающих обобщенных последовательностей непустых компактных множеств). Ясно, что Xt = Xt и. п. при всех / е 7’, и поэтому X есть д. с. ф. Так как А^ = Х4 для всех го е Q при s Е S, то Л' (7S, to) = = X(IS, to), каковы бы ни были leg и соеЕ2. Более того, Хи (<о)е X (IS, го) при всех uel: это очевидно, если neS, и следует из выбора №(Х), если tt^S и to<£.V(u^S и coe.V'J. Тем самым доказано, что X есть сепарабельная д. с. ф. и что множество S является сепарантой для X. |

В том частном случае, когда д. с. ф. Л' построена с иомошыо произведения пространств (см. и. III. 3), можно дать следующий вариант предыдущей теоремы, который имеет то преимущество, что он изменяет д. с. ф. А' лишь ограничением области ее определения и, следовательно, сохраняет интерпретацию Х( как координат пространства 5-3.

Предложение III. 4.4, Пусть Р — вероятность, определенная на

(П, utWR. ^У\

и Х — д.с.ф, на Т, сечение которой в t(t^T) еаь координатное отображение (Q, </Z). Существует подмножество О множества Q с внешней вероятностью P*(Q) = 1 такое, что ограничение X на следовое вероятное пространство

(Q, ПП^, Р(.) = ^(йп .)) является сепарабельной д. с. ф.

(Точное определение следового вероятностного пространства было дано в упражнении 1.4.4.)

Доказательство. Пусть X — определенная на (Q, at, Р) д. с. ф., построенная по X тем же способом, что п при доказательстве предыдущего предложения. Предположим, кроме того, что множества Nu выбраны в точности равными дополнениям к множествам, на которых Х^и, jG f| XUS, ■ ). Это, очевидно, воз/ з и

можно. Положим теперь Q = {ш: X ( ■ , го) = X ( • , ы) на ТУ Для доказательства того, что внешняя вероятность И равна 1, нам нужно показать, что всякое содержащее 62 измеримое подмножество Д пространства (62, dV) имеет вероятность, равную 1.

Всякое измеримое подмножество .4 пространства (62, Л) зависит лишь от счетного семейства координат (предложение III. 3), скажем лишь от ТЛ. Из включения ПсдД следует включение (ы: X ( • , ы) = А'(-, го) на Г^сД. В самом деле, по построению траектория й = {X (■ , го)} пространства 62 не принадлежит ни одному из множеств N“. Следовательно, она принадлежит множеству 62 и, тем более, множеству Д. Если, кроме того, X ( •, со) = X ( • , со) иа ТА, т. е. если ш и й совпадают па Тл, то со е /1. Но X^t, • ) = X (t, ■ ) п. н. при каждом z, а множество Т А счетно, так что действительно мы имеем Р(Д)=1.

Наконец, д. с. ф. X сепарабельна на й, поскольку опа совпадает на й с д. с. ф. X, а X сепарабельна на всем пространстве й. |

Определение III.4.4. Пусть ^Т, ^ — интервал расширенной прямой R с а-алгеброй ^=Т(]^ его борелевских подмножеств, и пусть (Q, jt, Р) — вероятностное пространство. Измеримое отображение X произведения пространств (Т1 X й, ^ ® </£) в (/?, й1) называется измеримой д. с. ф.

Согласно предложению III. 1.2 такое отображение является (обычной) д. с. ф. в смысле определения III 4.1, что оправдывает нашу терминологию. Кроме того, из предложения III. 2.2 следует, что, какова бы ни была вероятность X на (7', <7), если измеримая д. с. ф. X квазнинтегрнруема (в частности, положительна) на (Г ХЙ,XX Р^, то следующая формула имеет

точный смысл:

е( J x(dnxt\= J Х^ПЕ^ХА. \т/ т

Этот результат постоянно используется в теории вероятностей.

Теорема. Пусть X = {Xit t^E} — д. с. ф., определенная и непрерывная по вероятности на интервале Т действительной прямой. Существует определенная на том же самом вероятностном пространстве эквивалентная X сепарабельная измеримая д. с. ф.

Доказательство. Предположим сначала, что интервал Т компактен, скажем Т = [Z(, 7Г], и воспользуемся предположением о непрерывности X по вероятности в следующей форме (см. предложение III. 5.1):

sup Р (| Xt — Xs | > е) у 0 при h ; 0. I<-s|< к

Для каждого целого п>0 выберем конечную возрастающую последовательность точек из 7', скажем

/Я 4 / <п // 4п 4

10 =4<Ji < » , , < 'А;,, =

такую, что Р (| Хи — Хщ | > л-1)< 2~", когда и и а принадлежат одному и тому же интервалу [t"_i, t"]. Не ограничивая общности, можно предположить, что {^7} с {^/+1} при всех п и что счетное множество S, образованное всеми точками fi, плотно в Т. Определим последовательность {Хп, /г > 0} отображений произведения Г X й в R, положив

Хп (t, ш) = X (t?, ш) при tl<t<tm. -

Эти отображения являются, очевидно, измеримыми д. с. ф. Поскольку 2 Р( I Xt — X? | >«“')< У 2~n < оо при пп

всех 1г.Т, постольку lim sup {I Xt — Xt I > n4} = 0, и поэтому lim п, н. Xt существует и равен Xt п. н. для каждого (еТ. Отсюда следует, что определяемое равенством

У (/, а>) = lim sup Xn(t, ш)

П->оо

отображение У произведения T X И в R является эквивалентной X измеримой д. с, ф.

Для завершения доказательства теоремы в случае компактного Т остается показать, что д. с. ф. У сепарабельна. По определению Хп и У имеем Yt = Xt при всех *eS. С другой стороны, для любого t Yt есть верхний предел на всем пространстве й величин {^(л)}. где {/tn) =/"J — стремящаяся, возрастая, к t последовательность точек из S. Отсюда вытекает, что У удовлетворяет соотношениям определения сепарабельности с N = 0 (определение III. 4.2).

Наконец, нетрудно обобщить предыдущее рассуждение на случай некомпактного интервала Т. В этом случае выберем возрастающую последовательность {Гп} компактных интервалов, стремящуюся к Т, и определим, как сделано выше, д. с. ф. Хп на ТпХ&. Положим y=limsupXn. Д. с. ф. У определена на всем простран- П->оо

стве Г X Я и обладает нужными свойствами. ■

Дополнения и упражнения

1.1. Показать, что д. с, ф. Л" = (Л'/, / G 7} па потном вероятностном пространстве сепарабельна тогда и только тогда, когда для -поиого относите льио открытого иптерзала I из Т и любого компактного множества KcR множество

{ХгнК^е/)}

измеримо и имеет вероятность, равную inf Р [Л'( е К V s L')], где U ' и

пробегает все счетные подмножества Л [Для доказательства достаточности этого условия воспользоваться рассуждением леммы к пред- ложепию III. 1.3, выбирая множества Vj к независимыми от к.[

Непрерывность действительных случайных функций ')

Определение Ш.5.1. Д, с, ф. X=\Xt, teT\ называется непрерывной но вероятности в точке se Т, если д. с. в. Х? п. н. конечна и

Hm PdA^-Xj >е) = 0 I -> ч

при всех с > 0; X называется непрерывной по вероятности ни Т, если она непрерывна по вероятности в каждой точке Т.

Сепарабельная 0. с. ф. X = {.У,. / Е 7} называется непрерывной п. н, в точке $еТ, если множество траекторий .V1 = 1Л\ = Нт Xt Iе, имеющих разрыв в к,— । г -> I

нулевое; X называется непрерывной п, н. на Т, если она непрерывна п. н. в каждой точке Т.

Говорят, что траектории д. с. ф. X — {Xt, t^T} п. н. непрерывны, если множество .V разрывных на Т траекторий является нулевым.

Ясно, что каждая непрерывная п. н. в точке к (соответственно на 7) сепарабельная д. с. ф. непрерывна в я (соответственно на 7) п по вероятности, но обратное утверждение неверно. Если сепарабельная д. с. ф. Л" не непрерывна и. и. в точке s, т. е, если Р (А”)> 0, то точку 5 называют фиксированной точкой разрыва

■| Чтобы рассуждения этого раздела были вполне корректны, нужно предположить, что рассматриваемое вероятностное пространство полно, — Прим, персе.

д. с. ф. X. Поскольку, в обозначениях определения, A^U^'1, д. с. ф., почти все траектории которой иепре- т

рывны, непрерывна п. н. на Т. Обратное утверждение, однако, неверно, так как множество N может не быть нулевым, даже если все множества Ns (s е Т) — нулевые. Вот простой п типичный пример такой ситуации.

Пусть Р — лебегова вероятность на интервале й = (0, 1), и пусть Л' —д. с. ф., определенная на произведении 7 = (0, 1) и Q следующим образом:

[ 0 при t < со, Z(/, ш) = { .

I 1 при t^to.

Каждая траектория X(■ , со) этой д. с. ф. непрерывна всюду, за исключением точки t = со, и поэтому множества N1 = {0 — нулевые, но N = Q. Разрыв в точке t (со) = <в этой д. с. ф. называется подвижным разрывом.

Критерий непрерывности п. н. Для того чтобы сепарабельная д. с. ф. X = №, /е Г} была непрерывна п. н. в точке seT, необходимо и достаточно, чтобы

lim ;. Р Г sup | Xt — Xs | >el = 0 при всех e>0.

/i^O |t: 11— s| < kJ

Доказательство. Для того чтобы Хг-^-*Х„ необходимо и достаточно, чтобы

Z,t= sup |yY(-Xs|—->0

I (- s | < li

при h j 0. Но семейство {Z/J положительных д. с. в. убывает вместе с h, и поэтому Пт|7Л = 0 тогда и

только тогда, когда

Р ^Zh > е) ^ 0 при /1*0

для любого е>0. 1

Предложение III.5.1. Пусть X = \Xt, t^T} — д. с. ф., определенная на компактном интервале Т действительной прямой R, Имеют место следующие критерии

различных типов непрерывности X на Т (в критериях (б) и (в) X предполагается сепарабельной)-.

для непрерывности по вероятности на Т;

sup Р[|Л,-ЛД>е] i 0;

| < Il

для непрерывности n. н. на T:

sup Р Г sup | Xt — Xs | >el ^ 0;

s L t : | t - s | < liJ

для непрерывности траекторий n. н. на Т;

Р\ sup [X,-XJ>e] JO.

Во всех этих критериях е>0 произвольно мало, хи t принимают значения из Т в соответствии с указанным ограничением и сходимость к нулю имеет место при /г J 0.

Доказательство. Читатель легко сможет проверить достаточность этих условий. Необходимость их доказывается с помощью следующих рассуждений, использующих равномерную непрерывность.

Если д. с. ф. X непрерывна по вероятности на Т, то для любых фиксированных е, г) > 0 и любого неТ существует открытый интервал /„ на R с центром в и, для которого sup Р(| Xt — Х:11>е) <я- Пусть /ц ) —

конечное семейство таких интервалов, покрывающее Т, и пусть /г — положительное число, такое, что каждый интервал (х — h, s + h), seT; содержится в одном из интервалов /„., Из включения

{| Xt - Xs | > 2е} cz {| Xt - X„ | > e} U {I Xs -Xa\> e},

очевидно, следует, что если \t — s\<h, то

Р[|Л(-Л5|>2е]<2П.

Для завершения доказательства критерия (а) остается устремить 1] к нулю.

Если д. с. ф. X непрерывна п. н. на Т, то для любых е, т] > 0 и любого и Е Т существует открытый интервал 1и на Т с центром в и, такой, что

РГзир^ —Ли|>е1РГзир^ —Ли|>е1ч-ч-

РГзир^ —Ли|>е1

РГзир^ —Ли|>е1

ч-

ч-

Пусть {/Ц1, ,.., /ил] — конечное семейство таких интервалов, покрывающее Т, и пусть h — положительное число, такое, что каждый интервал (s — A, s + A), s е Г, содержится в одном из интервалов 1и. Из неравенства l^-Xj^l^-Xj + l^-Xul,

очевидно, следует, что

sup 1^ —XsK2sup|X(-X„| при (s — A, s + A)e/u, t:l f-s 1 <htelu

откуда P Г sup | Xt — Xs |> 2e] < ц при всех s E T. Уст- It :H-si< лJ

ремляя теперь т] к нулю, убеждаемся в справедливости критерия (б).

Поскольку всякая непрерывная на Т функция равномерно непрерывна на Т, для всякой д. с. ф. X, почти все траектории которой непрерывны на Т, имеем

Zh = sup | Xt — XJ 1 0 п. н. при A 1 0,

It-s| < h

и, следовательно, P ^Zh> e) 0 для любого e>0 при a ; 0. |

Предложение III. 5.2. Каждое из следующих двух условий достаточно для того, чтобы почти все траектории сепарабельной д. с. ф. X, определенной на компактном интервале Tc.R, были непрерывны на Т;

для любого е>0

4-supPI sup | X, — Л", | > в] —>0

при А | 0;

существуют две положительные неубывающие функции, скажем е(-) и "П (-), определенные на интервале (0, д) и такие, что

»6

Je(A)^.<0o, _[ц(А)^<°°, оо

для которых

Р 11XWl — X, | ^ е (А)] ^ т] (А) при всех teT,

Доказательство. Чтобы упростить обозначения, предположим, что 7' = [0, 1], Для любых целых п и т, »^1, 0^пг<н, положим

У,7 =sup | Xs - Хтп |-

т.'п <^ s *£ kniv2)/ri

При выполнении условия (а) имеем

Р (sup Y',i > е\2 Р (У"’ > е) С и sup Р (У,7 > е) -> 0

\ //4;т/л

(/I -> оо, е > 0).

С другой стороны, если и и с —две точки из Т, такие, что | и — у | < 1 *п, то существует по крайней мере одно т, для которого при ^ п ^ (т + 2).'н, m/n^u^ ^Z(/л 4-2),Vz, и следовательно, | Хи — Х\ i ^ 2^7- Таким образом,

sup |х<- х. к 2 sup у;г,

I и—У | < 1 "itnt

и поэтому Р(. sup ! Хц — ,Yy |>е) - >0 при /1->оо, ка- jц-v | < т'м

ново бы ии было е>0.

Для любого целого ш ^ 0 положим sup |.Y(tlli,,„-.Y^i|^O.

О С 4 < 3

При выполнении условия (б) имеем, во-первых,

Р [Z,„>e(2-”1)]<2/)[!А'^112-п-.¥а2-:и|^

0 < к < 2'’1

Из предложения II. 4.2 и неравенств

которые получаются разбиением интервала (0, 2 ') на интервалы (2“("i+l1, 2~';‘), вытекает, далее, что 2 Zm<co

п. н. Более точно, существует определенная п. и. и принимающая лишь целые положительные значения д. с. в. N, такая, что

2 Zm(ш)< S е(2-"1) при п > .V(е). т > птп > п

С другой стороны, из условия (б) следует непрерывность X по вероятности (поскольку е(/?)-* О, т] (/г) —> О при й->0). Множество S действительных чисел t вида t = kTn (k, п — целые неотрицательные, &<2") плотно в интервале [0, 1] и, следовательно, является сепарантой для X. Отсюда вытекает, что величина

sup l^-XJ

I t-s К h

не меняется (с точностью до нулевого множества), если область значений s и t ограничить множеством S. Если IeS, п задано и к таково, что [ t — кТп | < 2-", то г/

I = к2"п ± 2 тт2-т, где п'^п и тт = 0 или 1. Приме- п+1

няя повторно неравенство треугольника, имеем, следовательно, ■п'

\x-xK_n^^z,n^ 2 zm. н+1m > п

Если х и / принадлежат S и |/ —s|<2-", то существует целое к, для которого |s — к2~п | < 2-"- 1t — к2~п ] < 2~” и, следовательно,

I X, - xs | ^ | Xt - хк2_п | I Xs - хкг-п | ^ 2 2 Zra.

Мы показали, таким образом, что

sup \Xt-X$\<2 2 Zm— >0 (н->оо), It-sKlT""*>«' '

а это и означает непрерывность почти всех траекторий X. 1

Можно получить более точный результат. Именно, если й>0 и целое число п таковы, что h(2^.2""n <h.

то для каждого со, удовлетворяющего условию Л^2 ЛЧш)' имеем

sup |Х,-ХД< sup |Х, -ХД<2 У Zm<

<-s|<-’/2H-jI<2-«

Поскольку sup | X, — X5|^2 sup | Xt — X51, постольку, I t-s I < Л] f-s | < /1/2

полагая H (co) = 2~ ‘(1>, получаем такое

Следствие. При выполнении условия (б) предыдущего предложения существует п. н. строго положительная д. с. в. Н, такая, что

к

sup |Х,(со)-Х5(о)Ж-ь^т f е(“)^" «ри h^H^Y H-51<k10S2 ■'11

В качестве применения полученных результатов докажем следующее предложение, принадлежащее Колмогорову.

Предложение III. 5.3. Если сепарабельная д. с. ф. X, определенная на компактном интервале TaR, удовлетворяет условию

E\Xi+h-Xt^chl+\

где а, р, С строго положительны, то

sup |X,-XJ—>0 (/цо)

ю |/ —s| <h:L

при всех у таких, что у<р/а. В частности, почти все траектории X непрерывны.

Доказательство. Для любых постоянных с и у, таких, что с>0, 0<у<р.'а, функции е (Л) = c/zY, т] (А) = = Сс“а/г1+'р*ау1 удовлетворяют условию (б) предложения III. 5.5, поскольку

XI Xz+/1-X, |> c/zY)^(C/iTa£(| Xuh-Xt ^{Cc^h'^-^-

Так какТак какh

Так как

Так как

Г , s du с , у

8 (и)= —А, J ' ' и у ’ о

sup |^-ШсА' |(-$|<Лsup |^-ШсА' |(-$|<Л4У log 24У log 2имеем по доказанному выше следствию

sup |^-Шс

А' |(-$|<Л

sup |^-Шс

А' |(-$|<Л

4

У log 2

4

У log 2

при достаточно малых Л. Полученное неравенство доказывает предложение, поскольку с может быть взято сколь угодно малым. |

Дополнения и упражнения

5.1. Случайная функция X = (X,, < е Г} называется непрерывной в среднем порядка р в точке s (на Г), если Iim||X/ — Xs|]p = О t ■> 3

(при всех s е Ту Доказать результат, аналогичный III. 5.1, для непрерывности в этом смысле. Показать, что если интервал Г компактен, то д. с. ф. X непрерывна в среднем порядка р на Г тогда и только тогда, когда она непрерывна по вероятности на Г и семейство функций {| X/ |р, / е Г) равномерно интегрируемо (р е[1, оо)).

5.2. Гауссовы случайные функции. Пусть Х = = (X,, < е Г) — центрированная гауссова сепарабельная д. с. ф., определенная на произведении пространства (й, <yl, Р) и интервала Т с R, с ковариационной функцией Г = {Г (s, /); s, t е Г) ("каждый вектор (Х(Xt ) имеет центрированный гауссов закон распределения с ковариациями

{Г(/6 tj\ 1 <1, /<л}.]

Показать, что следующие условия эквивалентны:

д. с. ф. X непрерывна по вероятности на Т;

д. с. ф. X непрерывна в среднем порядка р на Г (1 <р < оо);

функция Г (s, /) непрерывна на Г X Т;

функция Г (s, /) непрерывна в каждой точке диагонали произведения TXT.

Показать, далее, что если интервал Т компактен и если существуют две постоянные С > 0 н 6 > 0, такие, что

£[(X(-X,)8J<C|/-s|6

при всех s, t е Т, то почти все траектории д. с. ф. X непрерывны, н, более того, lim п. н. h^ sup | Xt — Xs I = 0 для любой постоян-

ной у <6/2. (Воспользоваться предложением III. 5.3, приняв при

'атом но внимание, что для всякой центрированной гауссовой д. с. в. }' справедливо равенство Е (I К I7') = К (р) [£" (Г2)],’ ~, тле К (р) не .зависит от К.]

Случайной функцией броуновского Овикенп-Ч называют сепарабельную гауссовскую центрированную д. е. ф. .V - {Az, / е= R ,} с ковариационной функцией Г Is,/) — min (х, О- Используя предыдущие результаты, показать, что

lim h4‘-'v6 sup j.Vz —0 и. и,

?Z у0i t-S I It

S, t (4

при всех e > 0 и и < -xi.

Моменты остановки

Пусть (Q, l^, P) — вероятностное пространство, которое на протяжении этого раздела мы будем считать фиксированным, и пусть I — интервал расширенной последовательности целых чисел Z (дискретный случай) или расширенной прямой (непрерывный случаи), являющийся областью изменения „времени".

О и р е л е л е и п е III. 6.1. Определенная на I д. с. ф. A = {A'Z, i г'П и возрастающая последовательность ^Д,. t е= 7} а-подалгебр п-алгебры Л называются адаптированными, если при каждом teT д. с. в. Xt является ^-измеримой (события из ctt называют при этом предыдущими по отношению к /).

Если Л'— определенная на 7" д. с. ф., то семейство (7?t = .2ЧА„ №С/); /сд 7),

очевидно, адаптировано к А'. Если {А'(} и {.!,) адаптированы, то (/ДА,)} и (al^ тоже, очевидно, адаптированы. Этот допускающий обобщение результат говорит в пользу данного определения: всякое свойство, которое может быть определено в терминах семейства {c-Z,}, а не только в терминах {.А,}, будет автоматически независимым относительно любых преобразований величии Х(.

Оиредслеппе III. 6.2. Пусть {, ?,, 1 = П — возра- стиющсе семейство а-подалгебр о-алгебры Л. Отображение т ненулевого подмножества Иг множества И в Г

называется моментом остановки, если оно удовлетворяет условию (т^ Д g At при всех t G Т. Каждому моменту остановки т сопоставляется а-алгебра Лх подмножеств А множества От, удовлетворяющих условию АГ1{т<0^^ при всех teT (события из Лх называются предыдущими по отношению к т).

В случае, когда т принимает лишь счетное множество значении, в частности в дискретном случае, определению III. 6.2 можно придать следующую эквивалентную форму: т есть момент остановки относительно семейства \ЛЬ teT^ тогда и только тогда, когда (т = 0еЛ( при всех t, являющихся значениями т, а-алгебра Лх состоит из подмножеств А множества йт, таких, что А П [т = /} g Л( при всех /, являющихся значениями т (а-алгебра в этом случае может, следовательно, быть охарактеризована тем своим свойством, что на каждом множестве [т = /} она имеет тот же след, что и ЛД.

Для доказательства эквивалентности обоих определений заметим сначала, что имеют место равенства

{т = 0 = [т^О — U [т^/- Д; {т</} = (J Ь sb

Если теперь т—момент остановки в смысле определения III.6.2, то множества {т^Д, {т^/—1/п}, а потому также и множество {т =/}, принадлежат Ль Аналогично АЛ{т = 4е^ при АеЛх. Обратно, если отображение т принимает лишь счетное число значений и если {t = s}g^s при всех возможных s, то множество [т^/} есть объединение счетного числа множеств из At (именно, непустых множеств {т = s}, s^/). Аналогично, если множество т(йт) счетно н А Л [т = s} G As при всех возможных s, то АеЛ.

Сделаем еще несколько замечаний по поводу определения III. 6.2. Во-первых, всякий постоянный момент, скажем т = /0 на QT = Q, является моментом остановки с Лх = Л^ (этот пример оправдывает используемую терминологию). Легко проверить, что Лх есть а-под- алгебра а-алгебры ЙТЛ<^ и что Ит принадлежит Л\ для этого нужно представить Qt как объединение множеств

10 Зак. 1368

(т^О- Кроме того, нетрудно убедиться, что отображение т пространства (От, Л^ в Т с о-алгеброй борелевских подмножеств Т измеримо.

В случае когда точка + °о является предельной для интервала Т из Z или R, но не принадлежит ему, часто бывает удобно (и согласуется с интуицией) продолжить область определения момента остановки т до всего пространства £1, положив т = + оо на 0^. Продолженная величина т является при этом моментом остановки со значениями в Т + {°о}, если в качестве ut^ взять любую о-подалгебру о-алгебры ut, содержащую все о-алгебры t^z (Ze Г). Затем можно определить о-алгебру ^т как о-алгебру подмножеств Д пространства О, таких, что Д Л fr ^ Z} с ^z при всех ZeT + foo}; при этом автоматически будет Д П {т = оо} е Л^.

Если т—момент остановки относительно \Jtt> i^TL то таковым является также момент t + Z0 при Zg^O и, более общо, 6(т), где 6(•) —измеримое отображение Т (или подмножества Г) в Т, удовлетворяющее условию fl(Z)^Z при всех teT. Легко также показать, что Пе(г) Л «^т сы^0(т).

Введем следующее отношение порядка в множество моментов остановки относительно фиксированного возрастающего семейства о-алгебр {u^J: т^т», если ОГ1 =dQT1 и Ti (м)^т2((о) при всех ш^ПГг Верхняя и нижняя грани (относительно введенного отношения порядка) двух моментов остановки тит' определяются формулами

т V V (со) = max [т (со), т' (со)]

на

QTVX- = QTnOt

т(со)

на

Or Л Or,

т А V (со) =

min [т (со), т'(со)]

на

ОгЛОп

. т' (со)

на

о^ л Ог,

QT д т- — QT (J QT-,

В частности, часто приходится рассматривать момент остановки т A Zo; этот момент определен всюду, равен т

на множестве {т^/0} и равен /0 на дополнительном множестве. Отметим, что если Г = | • , оо) и если принять соглашение продолжать каждый момент остановки, полагая т= + <х> на йт, то моменты остановки т V т7 и т Л т' равны на й соответственно максимуму и минимуму функций т и т'; при этом rVt'= + M, когда т = + оо или т' = + оо, и т Л т/ = + оо, когда т = + оо И т' = + оо.

Пусть {тп} — возрастающая последовательность моментов остановки, определенных относительно фиксированного семейства {<v£z, teT);

(со) на й^.

Предел т: т(со) = lim | тп(со), определенный на йт = = {ПтГпЕГ}, тоже является моментом остановки. В самом деле, {т^/} = lim | {тп^/} g^z при всех / g Г.

п

Однако в общем случае предел убывающей последовательности моментов остановки, определенных относительно семейства ^Л(, t^T), не является моментом остановки относительно того же самого семейства (см. упражнение III. 6.1).

Предложение III. 6.1. Пусть (й, Л, Р) — вероятностное пространство, х — момент остановки, определенный на йт относительно возрастающего семейства \ЛЬ t^T} а-подалгебр а-алгебры Л и Х = {Xz, t^T)- определенная на Т д. с. ф., адаптированная к семейству {jtt, is Т\ Каждое из следующих условий достаточно, чтобы определяемое равенством Хх (со) = Хх (т) (со) отображение Хх множества Qx в R было Лх-измеримым'.

момент остановки х принимает лишь счетное множество различных значений (это условие всегда выполняется в дискретном случае)',

(в непрерывном случае) траектории д. с. ф. X непрерывны справа на Т;

для любого игТ ограничение отображения X произведения Т X й в R на множество TaxQ является Ju® Лц-измеримым, где ?’„ = {/: teT, t^u) и ^ц — след 5$ на Ти.

(Отметим, что всякое отображение X произведения 7' X Q в R, удовлетворяющее условию (в), является в силу предложения III, 1,2 д. с. ф., адаптированной К (vf (, t ЕЕ 7 }.)

Доказательство. В случае когда момент остановки т принимает лишь счетное число различных значений, в объединение в правой части соотношения

{Хт е В} [т ^ /} = (J (Х5 G В} [т = s} г ^„s<t

справедливого для любого 1еТ и любого борелевского множества BeR, входит лишь счетное число непустых множеств и поэтому величина Хх является <^т-измеримой.

Покажем, далее, что в непрерывном случае условие (б) влечет условие (в). Для упрощения обозначений будем считать, что

7’„ = (0, 1] или [0, 1].

Положим Хп (t, to) = А' (^2“", со), где q — наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству q2~n^t. Из непрерывности траектории X справа следует, что

А' (/, со) = lim X" (/, со)

при всех 1еТ„ и сое О. Поскольку отображения Х,И очевидно, Тп ® ^„-измеримы, то же справедливо и для X.

Предположим теперь, что условие (в) выполнено, и покажем, что ограничение Хх на множество .4„ = {т^»} является ^„-измеримым для любого иеТ. Предложение тем самым будет, очевидно, доказано. Поскольку отображение т пространства (,4„, /1иП^„) в (Г,„ JUY как легко убедиться, измеримо, постольку отображение пространства (/1„, .1,, ЛЛ A n (?« X Q. Ju^^uY переводящее со в (т((о), со), тоже измеримо. Но отображение Хг множества Ац в R есть композиция предыдущего отображения и отображения X пространства VTuxQ, Ju <8>utu)

в R, которое измеримо по предположению. Таким образом, доказано, что Хх является с/£и-измеримой на Л„ и, следовательно, ^-измеримой на Qt. |

Замечание. В случае когда о-алгеб’ры ^ содержат все нулевые подмножества пространства (Й, РУ предложение III. 6.1 остается справедливым, если предполагать, что условие (а) или (б) выполняется лишь п. и.

Дополнения и упражнения

6.1. Пусть Т — интервал расширенной прямой R п {<Л/, teT} — возрастающее семейство о-алгебр в вероятностном пространстве (й, dl, Р). Показать, что для всякого отображения т подмножества йг множества й в Г следующие условия эквивалентны:

{т</}ес4< при всех teT;

(г^ОеД^ при всех 1еТ;

{t</}gl4/_0 прн всех IgT, где с4/+0 есть <г-алгебра, являющаяся пересечением сг-алгебр dls (s > /), и di(_Q есть о-алгебра, порожденная сг-алгебрами и4$ (s < /). Показать, далее, что предел любой возрастающей или убывающей последовательности моментов остановки, определенных относительно Mt+0, ?еЛ, тоже есть момент остановки.

6.2. Пусть Х = {Х/, I е Г} — непрерывная по вероятности д. с. ф., адаптированная к возрастающему семейству а-алгебр

I g Г} в (й, <У1, РУ Показать, что существует эквивалентная X измеримая д. с. ф„ удовлетворяющая условию (в) предложения III. 6.1. [Использовать доказательство теоремы п. III. 4J

6.3. Время ожидания. Пусть X — определенная на (й, <4, Р) д. с. ф., удовлетворяющая условию (в) предложения III. 6.1 относительно семейства {dlf, t е TY Предположим, кроме того, что интервал Т замкнут слева. Для любого множества В cR определим на множестве

г

функцию тд (со) = inf [/: Х( (со) е В) со значениями в Т. Если траекторий X непрерывны справа, а множество В замкнуто, то тд есть первый момент t, для которого Xt^B. Пользуясь упражнением III. 1.2 и равенством

{тдО} = Q projy((/, со); 1<« + е, X (/, со) еВ),

е> о

показать, что тд является моментом остановки относительно {<^/ю, teT\ по крайней мере для всех борелевских множеств BeR. Что можно сказать относительно Хх ?

в

Распространить предыдущие результаты па величины Тд, определяемые равенством

тл (со) = inf {/: (/, X (I, со)) s Д},

где Л — измеримое в (Г X R, ^®й) множество.

Глава IV

Условные май. ематические ожидания и мартингалы

1. Меры

Определение IV. 1.1. Мерой р на о-алгебре Л подмножеств множества Q называется отображение JI в (~ °°i + °°]> такое, что р(0) = О и

Р (S Л;) = 2 р(Л;) (о-аддитивность),

каково бы ни было счетное семейство {At, 1^П попарно непересекающихся подмножеств й из Л.

Значение — оо исключается из множества значений меры с целью избежать появления выражений вида оо — оо [в случае р(Л)= + оо, р(В)= —оо невозможно было бы придать смысл соотношению

Р (Л) + р№) = уДВ) + ц (ВСЛ) = р (Л U В)].

Мера р называется положительной, если р(Л)^=О (ЛеЛ); р называется ограниченной, если

sup {|р(Л) |; Ле^оо.

Положительная мера, удовлетворяющая условию р(й)= 1 (и, следовательно, ограниченная), является вероятностью.

Предложение IV. 1.1 (Ж орд а и — X а н). Для всякой меры р на (й, Л) формулы

р+(Л) = 5ир{р(В), Все Л}, p“M) = sup{—р(В), ВсЛ} определяют две положительные меры на (й, Л\ При этом мера р- ограничена и р = р+ —р- на Л.

Существует по крайней мере одно множество D из Л, для которого

А сВ=^р(Л)>0, ЛсОс=^цМ)СО

и, следовательно, р+ (Л) = р(ЛВ), р-(Л) = р(Л//)-

Д о к а з а т е л ь с. т в о. Начнем с доказательства существования множества О, обладающего указанными в формулировке предложения свойствами. Справедливость остальных утверждений предложения будет затем следовать почти непосредственно. Пусть ,^ = {В: Вг«1, Р+(В) = О}. Класс 35 замкнут относительно счетных объединений. В самом деле, если Д c:JJb„( где Вп е ,^, ю

иМ) = 2нр^п- U МК^н+(Вп) = о." I. \ т <п/ J"

Отсюда вытекает, что нижняя грань р = inf {u(B), В е ^} достигается и, следовательно, конечна. Действительно, если {В,., п ^ 1} — последовательность множеств из ^. для которой ц(ВЛ)—>р, то (J Вп е % и для любого р п

р < и JU В,^ = ц (В,,) + Ц ^U Вп - В„) < р (Вр) - р (р->оо), откуда n((jB,,] = p. Положим D = f(JВЛ. Нами уста- \ п /\ »/

ноилепо, таким образом, существование множества Ое Я, удовлетворяющего условиям Dc G 38, р.(Ог) = р, и, следовательно, такого, что (1) Д с:/У =^р.(.4)^ О, (2) AcD, р(Л) < 0=ф 0 < р.+ (Д), (В самом деле, если бы ц+(Д) было равно нулю, то множество А + Dc принадлежало бы и мы имели бы р,(Д + Ос)<р.(Ог) = р.) Покажем теперь, рассуждая от противного, что /1 с: О =5ц(4)^0. Если бы существовало подмножество ,4 множества D, для которого р.(Д)<0, то для некоторого А'сА было бы .иМ'ХО, |1+(Л')<оо. В самом деле, в противном случае р(.4(б)^1 для некоторого /V1' <— Л, н (.4,2)) > 1 для некоторого Л(2) с: Д — Д111 и

т. д.. и мы имели бы и 2j-V,;) = + оо, ^^^’сдД, в то \А’ = 1//г -1

время как р(.1)<0. Будем считать далее, что A cz D. 0<иЧД)<оо. Возьмем подмножество 4t множества А, такое, что

и(д1)^4-иЧЛ)>0.

Подмножество Л —Л, множества D имеет отрицательную меру: ц(Л — Л1) = р(Л) — р(Л!)<0и0<р+ (Л —Л[)<оо. Пользуясь индукцией, построим последовательность {Л,„ 1} подмножеств множества О, такую, что

Лп+1 Л ^ Л ,л, ц (Л,,+1) ^ -^ Н+ ^Л ^^ Л,п^ > О,1 \ 1 /

Возможность построения такой последовательности мно- л — 2 л„г)<о, О <ц+ (Л — 2 Лт) < оо, которые легко устанавливаются последовательно на каждом шаге индукции, Из равенства |1(Л) = ц^Л-2 Лт) + 2ц(Лт), где ц(Л)<0 и В(-^т)>0, вытекает, с одной стороны, что

ц(л - 2 Л,Л<0,

X I /

а с другой стороны, что 2ц(Л,л)<°о; поэтому

Пт ц(Л,л) = 0, откуда ц+ Л - 2 Лт < р.+ Л - 2 Ал~*0 т\1/\ I /

(/t->oo). Отмеченные свойства множества Л — 2 Л,„ не-

1 совместимы со свойством (2) множества D. Тем самым доказано существование множества De^, обладающего первыми двумя из свойств, указанных в формулировке предложения.

Если В с Л, то р(В) = ц (ЛО) + ц(ВОс) —ц [(Л—В) О] ^ <ц(ЛО) и, следовательно, р+(Л) = ц(ЛО), так что ц+ есть положительная мера на JL Аналогично, ц~(Л) = = — ц(ЛОс) и поэтому ц~ тоже является положительной мерой. Мера |Г конечна, поскольку

' sup {р-(Л), Л G с^} = Ц~(й) = - р(ос) < + ОО. Наконец, в силу равенства ц(Л) = ц(ЛО) + ц(ЛОс), справедливого для всех Ле^, имеем

|л = ц+-р-. |

Отметим, что меры р+ и р" можно также охарактеризовать как наименьшие положительные меры, мажорирующие р и — р соответственно.

Следствие. Для того чтобы мера р на (Q, Д) была ограниченной, (необходимо и) достаточно, чтобы выполнялось неравенство р(0)<оо.

Доказательство. Из доказанного предложения вытекает, что для любого АеД

— оо < — p'(Q) ^ — р (Л) Др(Л)«^ Р+(Л)^р+(П) = р(Z))^oo.

Следовательно, мера р ограничена тогда и только тогда, когда p+(Q)<oo. Поскольку

р(П) = и+ (Q) — р" (Q),

это условие равносильно условию следствия. В-

Полной вариацией |р| меры р на (И, Д) называют положительную меру |р| = р+ + р-. Полная вариация меры р ограничена тогда и только тогда, когда ограничена сама мора р. (Название „полная вариация" объясняется имеющим место для любого Л е Д равенством

|р!(Л) = sup J^lp (Л2)|1,

где верхняя грань берется по всем счетным разбиениям {Л;, i е /} множества Л.)

Если рц р2 —две ограниченные меры на (О, Д), то меры р, Vp2~Pi + (pj — р,)+ и р, Ap2 = P! —(р2 —pj являются сосгнетегвенно верхней п нижней гранью мер Р[ и р2, т. е. наименьшей (наибольшей) мерой, мажорирующей (мпиорпрующеп) меры pj и р2. Пусть D — множество, входящее в разложение Жордана —Хана меры (р2 — pj. Используя предложение IV. 1.1, нетрудно убедиться в том, что для любого ЛеЛ

(Pt V р2) (Л) = sup {pt (В) + р2 (Л — В); В е Л} =

= Р[ (ADC) + Рз (AD),

(р, А р2)(Л) = inf {р, (В) + р2(Л - В); В е Л} =^p^/lOJ + p.H^).

Две положительные ограниченные меры р, и рз на (й, ^называются взаимно сингулярными, если р1Др2 = 0. Согласно предыдущему, для того чтобы меры pt и рз были взаимно сингулярными, необходимо и достаточно, чтобы существовало множество D из Л, такое, что pt (О) = 0 = рД/У).

Предложение IV. 1.2. Линейное пространство о#(й, Л) ограниченных мер на (Я, Л) является полной структурой. Пространство сЛЦЙ, Л) является банаховым пространством с нормой || р Ц, = | р |(й).

Доказательство. Выше уже было показано, что ыК^й, Л) есть структура. Для доказательства того, что эта структура полна, достаточно показать, что если {Ра} — произвольная возрастающая обобщенная последовательность положительных мер, мажорированная положительной ограниченной мерой v, то формула р(Л) = lim f ра(Л) определяет положительную ограниченную меру (являющуюся верхней гранью мер ра). Пусть {Л,-, 1еП — счетное семейство попарно непересекаю- щихся подмножеств й из Л. Ясно, что для любого е>0 найдется такой индекс а, что

Отсюда, поскольку ра^ А^ = 2ра(Л)^ SpMz)i получаем

р(^ЛЛ^^р (Л/).\ z //

С другой стороны, так как ^pC^iJ^Sv^j) = 'Ii

= у^Л;)<оо и так как {рц} — обобщенная последовательность, существуют конечное подмножество /0 множества / и индекс а, такие, что

ЦрИ.ХЕ + ^РаИа.

Отсюда, поскольку

SpaMzXpa^S Л^<р(2 Л,) ,

имеемимеем5ц(л,^)1(2/Ь).5ц(л,^)1(2/Ь).

имеем

имеем

5ц(л,^)1(2/Ь).

5ц(л,^)1(2/Ь).

Тем самым доказана о-аддптивпость ц. Легко проверить, что Лц!!, является нормой на о^(й, Л). Полнота пространства о^(Й, ^) относительно этой нормы будет доказана ниже — после следствия 2 к нижеследующему предложению. |

Предложение IV. 1.3 (Лебе г). Пусть (й, Л, Р)— вероятностное пространство и ^ — ограниченная {и положительная^ мера на (й, ^). Существуют интегрируемая (и положительная) д. с. в. X на (Й, Л, Р) и нулевое, подмножество N пространства (й, Л, Р), такие, что

р(Л) = [ XdP + p(/LV) (ЛеЛ). я

Это разложение ,и в сумму неопределенного интеграла но Р и сингулярной относительно Р меры единственно.

В случае, когда мера ц положительна, X есть наибольшая с точностью до эквивалентности д. с. в., для которой j XdPs^p-M при всех А г Л. л

Доказательство. В силу предложения IV. 1.1 достаточно ограничиться случаем, когда мера р положительна и ограничена. Пусть ^ — семейство всех (классов эквивалентности) положительных д. с. в. У, таких, что | У dP s^ р (.-1) при всех АеЛ. Покажем, л

что семейство -2s обладает следующими свойствами:

0 е ^;"

У^ У, е ^=фзир (У,, У,) ед A2A

Y4l ее 22" (н 29 1) и У„ t У =ф У GE ^.

Свойство (а) очевидно. Свойство (б) следует из соот- !ЮШСИИЙ

jsnp(y„ У,)= Jy^- jy2^p(.4«)-p(/lBf) = Fl(.4)(.lG.?/), AAB дзс

где В = {У] ^ У2}. Наконец, свойство (в) вытекает из непрерывности интеграла относительно монотонной сходимости.

Из сказанного выше, рассуждая так же, как при доказательстве предложения II. 4.1, выводим, что S содержит максимальный элемент X. Определим теперь положительную ограниченную меру р', положив р'(Л) = = р(Л) — J X ИР. Пусть Dn — множество, входящее в разА

ложение Жордана —Хана меры р' — гГгР; для любого А е Л имеем

р' (Л0„) > п'Р (ADn), р' UD^ С п^Р WnY

Поскольку

[(Х-НГЧд^Р^ [ Хс1Р + р'(Л0„)<р(Л) (Ле Л),

Л.А

д. с. в. Х + /г-11дд принадлежит S’ и из максимальности X вытекает, что P(D„) = 0. Следовательно, множество А7 = (J Dn является нулевым в пространстве а

(И, Л, Р). С другой стороны, для любого п имеем р'Gvc)^ рЧ^п)^n~'p(Dcn)^ п7х и, следовательно,

p'(.Vc) = 0, р,(Л) = р,(ЛА,) = р(Л^) при всех Л е Л.

Мы доказали, таким образом, существование лебегова разложения р относительно Р. Покажем теперь, что это разложение единственно. Пусть

р(Л)= J ZdP + з-(Л) (Ле Л) л

— разложение р рассматриваемого типа. Поскольку | ZdP^v1^ на ^, то Z<X п. н., где X' — определен- л

ная выше д. с. в. С другой стороны, так как мера v сингулярна относительно Р, существует множество

De Л, такое, что Р (О') = 0, v(O) = 0. Имеем, очевидно,

J’ (X-Z)dP= J (X-Z)dP<v(O) = 0,

D

откуда Z = Хп. „. Я

Следствие 1. Пусть (О, ы/, Р) — вероятностное пространство и у. —ограниченная мера на (О, Лу Следующие условия равносильны;

ц (.V) = 0 для всякого нулевого множества И пространства (О, Л, Р);

для любого е>0 существует д > 0, такое, чтоР(Л)^б=^[и(И)|^е ^А^Лу

|i (Д) = j XdP для некоторой интегрируемой л

д. с, в. X, определенной на (О, Л, Р).

Доказательство. Из предыдущего предложения вытекает, что (а)=ф(в). Соотношение (в)=^(б) было доказано в разделе II. 5. Наконец, соотношение (б)=ф(а) очевидно. В

Отметим, что мера ц удовлетворяет условию (б) [(в)] на Л, если она удовлетворяет ему на алгебре [на полуалгебре], порождающем Л. В самом деле, класс множеств, на котором это условие выполнено, является монотонным [монотонным и аддитивным] классом.

Ограниченная мера ц, удовлетворяющая условию (б) следствия 1, называется абсолютно непрерывной относительно Р. Абсолютная непрерывность ц относительно Р обозначается так: ц <С Р. Для того чтобы ^ ^ Р* не* обходимо и достаточно, чтобы ц+, ц- <§: Р или чтобы Ы <£ Р. Если ц <S Р, то класс эквивалентных д. с. в. X, о которых говорится в пункте (в) следствия 1, называется производной _ц относительно Р и обозначается d[pdP. Эта терминология оправдывается тем фактом, что мера |х есть интеграл (относительно Р) от ее производной. (Терминология эта распространяется также на случай, когда мера ц не является абсолютно непрерывной по Р. Предостережем читателя, что в этом случае ц

не является интегралом от своей производной.) Наконец, часто удобно записывать условие (в) следствия 1 в следующей краткой форме: р = Х*Р на (й, и£).

Следствие 2, Отображение Х->Х-Р, сопоставляющее классу интегрируемых д. с. в. на (й, Л, Р) ограниченную меру X ■ Р, есть изометрия пространства АДЙ, ^, Р) на подпространство пространства о^(й, с^), образованное абсолютно непрерывными по Р мерами k<wl наделяется при этом нормой || • Цц введенной в предложении IV. 1.2).

Доказательство. Утверждение этого следствия непосредственно вытекает из следствия 1 и того обстоятельства, что полная вариация меры X • Р равна | X | • Р, так что

H-PIH J|X|dP. I

Следствие 2 позволяет завершить доказательство предложения IV. 1.2, т. е. показать, что пространство

Л) полно. В самом деле, пусть {p,n, п^1} —последовательность Коши в Л£. Положим

Р = S

Очевидно, меры ц„ абсолютно непрерывны относительно вероятности Р. Согласно следствию 2, производные dpn/dP образуют последовательность Коши в пространстве Ly (й, <^, Р), так что существует предел X = lim dp,n/dP п-*оо

в смысле нормы пространства ЩО, Л, Р), поскольку это пространство полно; ясно, что при этом

X • Р = Нт цп в ^1 (й, Л\

Следующий результат, являющийся небольшим обобщением следствия 1, полезен в теории вероятностей.

Предложение IV. 1.4 (Р а дон — Н и к оди м). Пусть (й, Л, Р) — вероятностное пространство up.— мера на (й, Л), такая, что р(УУ) = О для всякого нулевого

.множества из (Q, Л, Р). Тогда существует единственная с точностью до эквивалентности д. с. в. X, такая, что д. с. в. X" интегрируема на (О, ^, Р) и

y.(A)=^XdP (АеЛ).А

Для того чтобы д. с, в. X была положительной (интегрируемой), необходимо и достаточно, чтобы .мера р была положительной (ограниченной). Для того чтобы д. с. в. X была конечной, необходимо и достаточно, чтобы существовала возрастающая последовательность {С,г, п^1} подмножеств И, в объединении дающих 12, такая, что р(СД<оо (/г ^= 1) (т. е. чтобы мера р была а-конечной).

Доказательство. В случае когда мера р поло

жительна и ограничена, утверждение предложения сводится к следствию 1. Пусть р — положительная мера с р((2)=оо; положим o’— (С: р(С)<оо}. Поскольку класс У замкнут относительно объединений, мы можем выбрать возрастающую последовательность {С,., н^1} множеств из Sf, такую, что lim * Р (C„) = sup {Р (С), СеУ). Пусть р„ (п ^ 1) — положительная ограниченная мера, определяемая формулой рл(Л) = р [Л (С,. — C^-J], Л е Л (С„ = С). Легко видеть, что

р (А) = S рл (Л), еслир (А) = S рл (Л), если

р (А) = S рл (Л), если

р (А) = S рл (Л), если

и что ii(.'l)—оо в противном случае. По следствью 1, примененному к р.;, существует положительная интегрируемая д. с. в. .¥,., такая, что

рД.1) = | X„dP, ^„ = 0 и. и. па (С

Определим д. с. в. X, положив А" = А',. па Сл — Cf,_. (n^l) и X = + оо па ((J C,iV. Ясно, что р(Л) = [ XdP при всех \ п /д

Аг^Т. Более того, X интегрируема тогда и только тогда, когда мера р ограничена, и X п. и. конечна тогда и только тогда, когда

Случаи, когда мера р. не является положительной, с помощью предложения IV. 1.1. сводится к случаю, когда р^О. Отметим, что если р(Л)= | XdP на ^, л

то р+(Л) = J Х+dP на <А. 1 л

Дополнения я упражнения

IV. 1.1. Пусть р — ограниченная мера па (Q, Л). Доказать непосредственно, не используя результатов настоящего пункта, что

ц+ и ц-— положительные ограниченные меры н р = р+ — р-;

существует множество D, для которого р+ (Л) = р (ЛУ), р" (Л) = — р (ЛУС). [Показать, что если {У,,} — последовательность множеств нз с4, такая, что У, [ц+ (12) — ц (У,,)] < оо, то множество y = limsupy„ удовлетворяет этому требованию.]

1.2. Пусть Р, Q = X • Р — две вероятности на (12, u<Y Пог строить лебегово разложение Р по отношению к Q в терминах X. Показать, что отображение up(f)~f-Xl‘p есть изометрия пространства Lp (12, at, Q) в пространство Lp (12, d, Р) для любого р, Кр<« (X1'” определяется как l^^o))-

Две вероятности называются эквивалентными, если отвечающие им семейства нулевых множеств совпадают. (Так определенная эквивалентность совпадает с эквивалентностью задаваемой отношением частичной упорядоченности <61.) Для того чтобы вероятности Р и Q были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы Q <81 Р и чтобы множество {dQ/dP = 0} было P-нулевым. Показать также, что ир есть изометрия Lp (Q) на Lp (Р) тогда и только тогда когда Р и Q эквивалентны.

1.3. Пусть (Р0, бе 0}- произвольное семейство вероятностей на (12, dLY Показать, что если существует вероятность, относительно которой все вероятности Рд абсолютно непрерывны, то существует обладающая этим свойством вероятность, имеющая вид

Р-^аеРо, где а0>О и 2а0=1.о о

[При Рд «С. Q выбрать п0 так, чтобы для счетного множества Но = {6; а0 =# 0} было ess suo (dPgpiQ > 0} = ess sup {dPg/dQ >0 }.]

Если множество 0 счетно, то всегда существует вероятность Р, по отношению к которой все вероятности Рд абсолютно непрерывны. Для существования такой вероятности Р достаточно также, чтобы существовало счетное подмножество 0О множества 0, такое, что

11 Зак. 1368

семейство ^Pq, 6 е 60) плотно в семействе (Рц, 6 е 0} в топологии, порожденной нормой банахова пространства ^ (й, ыГ).

1/1. Пусть (й, oi) — измеримое пространство. Рассмотрим пары (А", Р), состоящие из вероятности Р и д. с. в. X, для которых [ X1 dP < оо. Две пары (А', Р) и (X', Р') назовем эквивалентными, если для некоторой (а тогда и для всякой) вероятности Q, такой, иго Р <g Q н Р' <g Q, множество

является Q-нулевым. Поскольку нары (X, Y-P) и (ХУ'\ р) при 1 >0 эквивалентны, мы предпочтем для пары (X, Р) более выразительное обозначение X VР . Показать, что пространство классов эквивалентности пар X Кр есть гильбертово пространство II относительно скалярного произведения

(л Кр". л- 1-» - / XX- y^y^dQ.

не зависящего от выбора вероятности Q, для которой Р -^ Q, Р’ «С. Q. Показать далее, что для всякой вероятности Р отображение X -* X У Р есть изометрия пространства L2 (Q, .Л, Р1) в Н. Для каждого р =# - аналогичным образом определить банахово прост- р

ранство ХУ?" так, чтобы оно изометрически продолжало пространство Lp (й, Л, Р).

1.5. Пусть yt — булева алгебра подмножеств Q и m — аддитивное отображение <4 в R+. Формула

М (.4) = inf 2J; «(.4,),

где нижняя грань берется по всем счетным разбиениям {.4/, ; е /} множества А на подмножества из <Л, определяет положительную меру на (П, Л), которая может быть охарактеризована как наибольшая положительная мера на (Q, и<), мажорируемая т. Показать также, что если ut есть а-алгебра им — положительная мера на ul, сингулярная относительно р, то для любого е > 0 существует множество Лк е <-4, для которого /п(Лг)<е и v(H^) = 0.

LG. Линейное пространство В (й, ь4) определенных на (Q, ы?) ограниченных д. с. в. с нормой || X Ц = sup | X (©) | является банаховым пространством (вообще говоря, отличным от пространств Ь,, (Q, 1Л, Р)), Показать, что интеграл J X dp. является билинейным

функционалом на банаховых пространствах В (62, ut) и «i (S2, и4), причем

IIЦ 11 - sup х*оIIЦ 11 - sup х*о, || X Н — sup, || X Н — sup

IIЦ 11 - sup х*о

IIЦ 11 - sup х*о

, || X Н — sup

, || X Н — sup

Вывести отсюда, что пространство о* (й, сД) [В (Q, ui)] изометрично замкнутому линейному подпространству (вообще говоря, собственному подпространству) сильного сопряженного к пространству В (й, Л) [о* (й, ^)].

2. Двойственность пространств Lp и ослабленная топология в пространстве Lx

Следующее предложение, являющееся следствием теоремы Радона — Никодима, утверждает, что сопряженным к банахову пространству Ьр^, Л, Р) классов эквивалентности д. с. в., р-е степени модулей которых интегрируемы (1^р<°°), является пространство Ьр-(й, Л, р), где р' определяется уравнением 1/р + 1/р'= 1. Сопряженное к L^O, Л, Р) пространство содержит пространство L^, Л, Р), но, вообще говоря, с ним не совпадает. (Lx является сопряженным к L„ лишь в том случае, когда булева метрическая алгебра Л^Р конечна; в этом случае все пространства Lp изоморфны некоторому евклидову пространству.)

Предложение IV. 2.1. Пусть 1 ^р^о°, и пустьр' удовлетворяет уравнению ijp + Мр' = 1. Всякая д. с. в. (класс эквивалентных д. с. в.)

Уе^(В, Л, Р)

определяет непрерывный линейный функционал F на Lp по формуле.

F(X)=^XYdP (X^Lp).

Более того, норма функционала F, || F || = sup (| F(X) |, Hllp^l}. равна II У |1р,.

Обратно, при 1 ^ р < оо всякий непрерывный линейный функционал на Lp может быть представлен в таком виде.

Доказательство. Согласно неравенству Гёль- дера. если YgU, то д. с. в. XY интегрируема при всех Y ед Lp и | | XY |^i! X Ц, Унр,. Отсюда, очевидно, вытекает, что указанная в формулировке предложения формула определяет непрерывный линейный функционал па I.,,, причем i! F J 5$ ■■ Y :'р,. Покажем, что обратное неравенство справедливо при У + 0. Если р>1, то, как нетрудно убедиться, Z = е(У)| Y ip-1 (где е(У)= + 1 при У>0 и е(У) = — 1 при У < 0) есть д. с. в. из Lp, такая, z „ НУ’1 и

F Z,,> F^ = \ Y?'^Y /;

следовательно, । F ii > h У пр,. Проведенное рассуждение справедливо и в случае р = оо, при этом Z полагается равной е(У) и п/рос=1. При р=1 для любого т]>0 положим 7ч = е(У) 1{|у|>,у|| -П}. Имеем

! V; = Р( Y > Yx-^>0

п F ■<Z^1>\ F(,Z4y= j |У|, откуда ijP|i>

^нУ — n при всех i]>0.

Обратно, если р < оо и /-' — непрерывный линейный функционал на кр, то формула ф(Л) = Г(1J (4е^) определяет аддитивную функцию множеств на -Л, удовлетворяющую условию | ф (Л) | ^-i F ii [Р (/I)]1 р. В силу этого условия функция ср есть ограниченная абсолютно непрерывная относительно Р мера (она непрерывна в 0). По теореме Радона — Никодима существует интегрируемая д. с. в. У, такая, что ф(Л) = j У dP, т. е. такая, л

что /•' (X) = j YX, какова бы ни была ступенчатая д. с. в. X.

Покажем, далее, что У gLp>. Предположим сначала, что р > 1, т. е. что р' <оо.

Пусть {Хп, п ^ 1} — возрастающая последовательность положительных ступенчатых д. с. в., такая, что

|У|=11т f Хп. Поскольку е (У) (Хп)р "'— ступенчатая д. с. в., то как и выше имеем

J Unf С F [е (У) хГ'] с li F i!(|| Хп у1'-',откуда H^ilp-^iifii и> следовательно, У Е Lp-, так как

НЧ- = Иш ^'п- =

При р' = оо имеем аналогично || y'^^ji F ||. В самом деле, в противном случае ступенчатая д. с. в. X = e(Y) 1ц п>н^ц> была бы отлична от нуля и мы имели бы

FW =/ |У|>||НН1 У|>|Ш1) = 1!Н/|Х!,

{IУI >I1FW

в противоречие с определением ||F||. Таким образом, Г(Х)и j YX (X е Lp) — два непрерывных линейных функционала па Lp, совпадающие на плотном подпространстве пространства Lp, состоящем из ступенчатых д. с. в., и потому совпадающие всюду на Lp, 1

Из доказательства предложения IV. 2.1 вытекает также такое

Следствие. Для того чтобы непрерывный линейный функционал F на L^lti, Л, Р) был представим в виде F(X)=^ YX, где YeLu необходимо и достаточно, чтобы аддитивная функция множеств F(1A) была а-аддитивна на Л.

Дальнейшая часть настоящего пункта1) посвящена изучению ослабленной топологии a(Z.j, L^ в пространстве Lx, индуцированной сильным сопряженным к Lx пространством L^. В частности, будет получен критерий компактности в Lx относительно этой топологии. В связи с этим напомним, что в пространстве Lp (р>1) мно-

жество И относительно компактно в ослабленной топологии o^Lp, Бр^ тогда и только тогда, когда оно ограничено (этот результат является следствием одном общей теоремы из теории банаховых пространств и того факта, что Lp есть сильное сопряженное к БР'\

Предложение IV. 2.2. Всякая последовательность (Х„, »^1} интегрируемых д. с. в., такая, что пределы Пт Хп существуют и конечны для любого мно

жества АеЛ, равномерно интегрируема. Более того, последовательность {Хп, п^ 1} сходится в смысле топологии a(Lt, L^ к некоторой интегрируемой д. с. в. X,

(Для обобщенной последовательности д. с. в. соответствующее предложение неверно, если обобщенная последовательность не имеет счетной базы.)

Доказательство. Утверждение предложения является весьма глубоким результатом и доказывается с помощью теоремы Бэра о категориях в применении к булевой метрической алгебре Л.-Р, являющейся полным метрическим пространством. Напомним, что элементы этого метрического пространства суть классы Р-эквивалентности множеств Аей1 и что расстояние в нем задается метрикой Р(/1А.4'). Отметим еще, что для любой интегрируемой д. с. в. X отображение Л-> | X пространства Л.'Р в R (равномерно) непре-

.1

рывно, поскольку

el замкнутоel замкнуто| I X - J X < J [Х|->0 при Р(А/\А'У->0,

el замкнуто

el замкнуто

следовательно, множество | Л: j X

в -Л Р для любого е>0.

Фиксируем е>0. В силу сделанного предположения объединение замкнутых множеств

р«- п И=р«- п И=АА

р«- п И=

р«- п И=

А

А

в ЛАР совпадает со всем пространством Л'Р. По теореме Бэра о категориях существует целое число, скажем NQ, такое, что множество Fn, имеет внутреннюю точку. Иными словами, существуют целое число Мо, элемент АйеЛ;Р и действительное число г>0, такие, что

J №„-%„)АJ №„-%„)А^е при т, n^N0 и^е при т, n^N0 иРкА А40Кг.РкА А40Кг.

J №„-%„)

А

J №„-%„)

А

^е при т, n^N0 и

^е при т, n^N0 и

РкА А40Кг.

РкА А40Кг.

Отсюда вытекает, что

J|Xm —Х„|^4е при т,п~^Мй и Р(В)^г. в

В самом деле, в силу соотношений

(X0UB) А ДосВ, (ЛоПВ")АДосВ,

J кх,п-х^ вJ кх,п-х^ ви условия Р(В)^г имееми условия Р(В)^г имеем^2е при пг.^2е при пг.I Х = J X- J Xв л°иа л„пв‘'

J кх,п-х^ в

J кх,п-х^ в

и условия Р(В)^г имеем

и условия Р(В)^г имеем

^2е при пг.

^2е при пг.

п^ No. Применяя это неравенство к множествам В{Хт>Хп} и BkXm<Xn\, получаем нужный результат.

Поскольку конечная последовательность {Xm, 1 ^ ^ih^A'q} равномерно интегрируема, для достаточно малого г'>0 имеем

j|Xm|<e при m^NQ и Р^В^^г'. в

Сопоставляя этот факт с полученным выше результатом и используя неравенство треугольника, находим, что для всех пг ^ 1

I I Хт ВI I Хт В^5е при Р (В) s^ min (г, г').

I I Хт В

I I Хт В

В силу произвольности е>0 мы показали тем самым, что последовательность {Х,„, т Д 1} равномерно абсолютно непрерывна.

Для доказательства равномерной интегрируемости последовательности {.У,„, тД 1} осталось установить, что sup | ',У„:<оо (см. предложение II. 5.2). Рассмотрим конечное разбиение пространства (Q, L4, Р), состоящее из множеств Л/, t Е /, вероятности которых не превосходят min (г, г'), и из атомов Aj, jej (см. упражнение I. 4.5). Поскольку величины Х„ суть константы на А] и поскольку пределы lim [ Хп существуют, постольку

sup | i Х„ | < оо при j е J,

Суммируя теперь по элементам разбиения, получаем нужный результат. ,

Наконец, положим Q(.4) = lim I Хп, АеЛ. Функция

множеств Q, очевидно, аддитивна. Из равномерной абсолютной непрерывности последовательности {Хп, нД1} вытекает, что Q есть мера, абсолютно непрерывная по отношению к Р. По теореме Радона — Никодима существует интегрируемая д. с. в. X, для которой Q(.l) = I X, Имеем, таким образом, lim XnY = XY

для любой индикаторной д. с. в. У= 1Л и, следовательно, для любой ступенчатой д. с. в. Y. Так как всякая ограниченная д. с. в. Z есть предел по норме пространства кдо некоторой последовательности {УД <7^1} ступенчатых д. с. в., то, принимая во внимание ограниченность последовательности {/„} в пространстве Lb 11МС(?М | | XnZ - ^ XZ | <

< [ Х„У;- f ХГ, + И/Л2-У;|+J|.YHZ-^ < [ .УД’,,- f XY„ + [sup I ; х„! + JI x |h z- у; i^-*0, когда n — > оо и затем q->oo, |

Переформулируем теперь полученные результаты в терминах мер.

Следствие 1 (теорема Витали — Хана- Сакса). Если последовательность вероятностей {Рп, /г 1}, определенных на измеримом пространстве (й, А), такова, что предел Q (Л) = Нт Рп(Л) существует при гг^оо

всех А Е JL, то Q есть вероятность на (О, Л\ Более того, sup Р„(Я)у0 при А^0, АгЛ.

Доказательство. Положим

Р= ^ -^"Рп.п>!

Очевидно, Р есть вероятность на (Q, Л) и по теореме Радона — Никодима существуют интегрируемые д. с. в. Хп(п>1), такие, что Рп = Хп-Р. Для завершения доказательства остается лишь применить предыдущее предложение к последовательности {Хп, n^l}. 1

Следствие 2. Для того чтобы последовательность ^Хп, п^1} интегрируемых д. с. в. сходилась в топологии ^(L^ LJ к интегрируемой д. с. в. X, необходимо

и достаточно, чтобы lim | Хп = [ X при всех АгЛ, ->оо *J

А

Доказательство. Необходимость этого условия очевидна, а достаточность его вытекает из предложения IV. 2.2. |

Следствие 3 (критерий Коши для последовательностей в топологии o(L}, L^)). Для того чтобы последовательность ^Хп, п^ 1} интегрируемых д, с. в. сходилась в топологии c(Llt L^), необходимо и достаточно, чтобы она была последовательностью Коши в этой топологии.

(Таким образом, пространство Lt с топологией сДБъ L^, полно в смысле сходимости последовательностей.)

Доказательство. Необходимость условия очевидна. С другой стороны, если {Хп, п ^ 1} — последова-

телыюсть Коши в топологии a(L1, L^, то Пт Хп¥ П-^ао J

существует при всех Y е L^, так что достаточность условия вытекает из предложения IV. 2.2. I

Предложение IV. 2.3. Подмножество Н пространства L,^, Л, Р) относительно компактно в ослабленной топологии o(Lx, L^ тогда и только тогда, когда оно равномерно интегрируемо.

Доказательство. Для доказательства необходимости рассмотрим подмножество // пространства Lx, не являющееся равномерно интегрируемым. Мы можем выбрать из множества Н последовательность {/,,, п Ум 1}, такую, что для некоторого т] > 0

(I <!>'’}

при всех п^\. Ясно, что никакая подпоследовательность последовательности {Х„, п^ 1} не является равномерно интегрируемой и поэтому, согласно предложению IV. 2.2, не сходится в топологию aU-v, LXY Следовательно, по теореме Эберленна множество Н не может быть относительно компактным в Lv

Для доказательства достаточности вложим пространство Lx в пространство, сопряженное к L^. /Множество Н, будучи равномерно интегрируемым, ограничено в Lx, а следовательно, и в пространстве, сопряженном к L^. Отсюда вытекает, что замыкание Н множества Н в топологии ст ((/.„)', L^ в сопряженном к L^ пространстве компактно в этой топологии. Поскольку эта топология индуцирует ослабленную топологию а(Д, L^ на Lx (с (Е^У), для завершения доказательства достаточно показать, что HczLx. Всякий элемент F е И есть непрерывный линейный функционал на L^ и является пределом (обобщенной последовательности) функционалов

ДДУ) = j АдУ (YeL^, ХаеНУ,

поэтому в силу равномерной абсолютной непрерывности Н имеем

Р(Д)^б=ф sup [ ХеНР(Д)^б=ф sup [ ХеН| Х|^е=фД(1л)<е.| Х|^е=фД(1л)<е.

Р(Д)^б=ф sup [ ХеН

Р(Д)^б=ф sup [ ХеН

| Х|^е=фД(1л)<е.

| Х|^е=фД(1л)<е.

Применяя теперь следствие предложения IV. 2.1, получаем FeLp так что //cLP |

Следствие. Для того чтобы ограниченное под .множество Н пространства а#Ц&, Л) было относительно компактно в ослабленной топологии а(о^, &%'), необходимо и достаточно, чтобы существовала вероятность Р на (Q, Л\ такая, что при любом е>0 и достаточно малом б(е)>0

Р (Д)^ б(е)=ф| Х(Д) |<е для всех X е Д.

\М ноже ст во Н при этом необходимо содержится в подпространстве АДЙ, Л, Р) пространства о/ЯД

Доказательство. Достаточность этого условия очевидна, так как из него вытекает, что Н содержится в АДЙ, Л, Р) и относительно компактно в топологии a(Lx, L^. [Топология а(Дх, L^ совпадает с топологией, индуцированной на Lx топологией аКр^, о#')-]

Для доказательства необходимости покажем сначала, что для любого е>0 существуют б>0 и конечное семейство мер Хр ..., Хт из Н, такие, что

|ХД(Д)^б (1 ^/^т)=^| Х(Д) |^е при всех ХеД.

В самом деле, если бы такого б и таких мер не существовало, то по индукции можно было бы построить последовательность {Хр} мер из Н и последовательность множеств {ДД, таких, что

(^1(ДР)<2-₽ ^tnCpY |Хр+1(Др)|>е.

Положив Р = 5(1/2р|] Хр||)| Хр |, мы получили бы последовательность {Хр} элементов пространства АДЙ, Л, Р), содержащуюся в Н и поэтому относительно компактную в топологии a(Lp L^. Последовательность {dXp/dP}

должна поэтому быть равномерно интегрируемой в ЬДП, ul, р), что невозможно, поскольку ^(Л^-аО и | ?-,,+, (Л„) | ^ е.

Пусть для каждого e=l//z числа д„ > 0 и меры Z/1, . .., Z^1’ удовлетворяют указанному выше условию. Выберем постоянные a™' U^j^ni,t; /z^l) так, чтобы формула Р = У о/"11 Z^1 определяла вероятность. Для любого заданного п, беря б достаточно малым, имеем

Р (.1) ^6 =ф | Zf11(/1)< 6,. (1 < / < т„) =ф: Z(A) j< 1 .Vi

при всех Ze//, что и завершает доказательство необходимости. |

Дополнения и упражнения

*IV. 2.1. Векторные меры. Пусть (Q, с^ — измеримое пространство и £ —банахово пространство. Отображение ц о-алгебры d в пространство Е называется векторной .мерой, если для любого V е Е' (Е' — сопряженное к Е пространство) функция множеств (.г'. цМ) является ограниченной мерой на (Q. cl). Показать, что существует по меньшей мере одна вероятность Р на (Q, еГ), такая, что Р (Л) =0=ф ц (Л) = 6 (здесь 6 — нулевой элемент пространства Е; и что р (2^ = 2 ц (Л,) в смысле сильной сходимости в Е для X ///

любого счетного семейства {Л,-, ! е/} попарно нсиерссекающпхея множеств из tri. [Используя теорему Эбер.тейна и предложение IV. 2.2, показать, что семейство мер {(д', р (■ j); л ' ед С), где U — единичный шар в /:"', компактно в -.11 (£2, СД.)

IV. 2.2. Показать, что пространство непрерывных линейных отображений пространства L., (Q, ol, Р) в пространство Еч (й'.оР.Р') является банаховым пространством и полной структурой относительно естественного отношения порядка; верхняя грань Г, V /’а двух таких отображений 1\ и Т$ может быть определена на (/-,.,)+ формулой

Л V Т, (/) = sup {Г,5 + Та U — gY, О^Е^П U Е (Е,АА.

Пусть р, q < оо н Г —отображение рассматриваемого типа. Обозначим через Т* сопряженное к Т отображение, действующее из Lql UV, el', Р') в Lp, (£2, и4, Р), Показать, что (Тх V Г2) = ^ V Ти.

IV.3. Условные математические ожидания

На протяжении этого пункта вероятностное пространство (й, Л, Р) будет фиксированным, а ^ будет обозначать некоторую о-подалгебру cr-алгебры Л.

Если р — положительная мера на (Й, ^), абсолютно непрерывная относительно Р, то ограничение р^ меры р на (й, ^) абсолютно непрерывно относительно ограничения Ра вероятности Р. Пусть X — единственная с точностью до эквивалентности положительная д. с.в., такая, что у. = Х>Р. Определим д. с. в. Е®Х условием рл = Е®Х • Р на (й, ^). Это определение Е®Х (иногда вместо Е®Х используют обозначение Е(Х|^)), равно как н приводимое ниже эквивалентное определение, обосновывается теоремой Радона — Никодима.

Определение IV. 3.1. Пусть X — положительная д. с. в. {класс эквивалентности положительной д. с. в.) на (й, Л, Р). Условным математическим ожиданием Е®Х величины {класса) X по отношению к а-подалгебре 55 а-алгебры Л называется единственная с точностью до эквивалентности д. с. в. {единственный класс эквивалентности д. с. в.) на (й, ^, Pg), такая {такой), что

$ XdP = f Е*Х dPa {В е ^), В в

или, что равносильно, такая {такой), что J XZ dP =• = | (Е®Х) Z dPa для любой положительной и ^-измеримой д. с. в. Z.

(Первое равенство определения IV. 3.1 влечет второе для любой индикаторной д. с. в. 2=1Я {В ^ 55), следовательно, в силу линейности, для любой положительной .^-измеримой ступенчатой д. с. в., и потому, в силу монотонной непрерывности, для любой положительной ^-измеримой д. с. в.)

Так как Е (Е®Х) = Е{Х), то положительная д. с; в. Е®Х интегрируема тогда и только тогда, когда инте-

грируема величина X. Это замечание позволяет распространить данное выше определение на квазиинте- грируемые д. с. в. посредством формулы Е®Х = Е®^Х*^ — - Е® U"Y

Пусть В — атом пространства (Я, .^, Рд) (если таковой существует). Поскольку всякая ^-измеримая д. с. в. п. н. постоянна на В, то

«а в.

в

В частном случае, когда ст-алгебра .^ порождается счетным разбиением {В;, 1еП пространства (П, и^), эта формула полностью определяет Е®Х па И. Посредством этой формулы и определяется условное математическое ожидание в элементарной теории вероятностей.

Условное математическое ожидание д. с. в, (класса эквивалентности д. с. в.) есть д. с. в. (класс эквивалентности д. с. в.), в то время как математическое ожидание д. с. в. (класса эквивалентности д. с. в.) есть действительное число. За исключением этого единственного отличия, свойства условного математического ожидания вполне аналогичны свойствам математического ожидания [заметим, между прочим, что Е®?Х = ЕХ для ^п={0> ^Л- Мы просто перечислим их, оставляя проверку читателю.

Е®Х^0 п. и., если Х^О п. н/, Е®Х = 0, если X = 0;' '

Е(Е®х) = EX; Е®Х интегрируемо тогда и только тогда, когда X интегрируема;

Е® № = сЕ® ^ при всех с е R;

ЕЯ(Хх + Х2) = Е® (Xi) + Е® (Х2), если XI и Ха или если X? и Ха интегрируемы;

Х^Х2 п.и.^Е®Х^Е®Х2 п. и.;

ХЛХ п. н.^Е®ХЛЕ®Х п. н., если Е(Х^)<оо хотя бы для одного п;

Х„|Х п. н.^Е®Х,ЛЕ®Х п. н„ если £(хЗ<оо хотя бы для одного п.

(Формулировка этих свойств несколько упрощается, если рассматривать лишь интегрируемые д. с. в.). Из свойств (в) и (г) вытекает обобщенная лемма Лебега — Фату:

Если {Хп, п ^ 1} — последовательность д. с. в., а Y, Z — интегрируемые д. с. в., то

Y^ Хп п. н. (п~^ \^^Е8 Him inf X„^^liminf E8 (A"n) п. и., \ n / n

Xn<;Zn. h. ^n-^ ^^limsupf^ (A^Xf^flimsup ^ п. и.

Если последовательность {X„, n^ 1} д. с. в. сходится и мажорирована по абсолютной величине интегрируемой д. с. в. 17, т. е. | Хп | ^ U (п ^ 1), то

£дГПтХ„) = Ит^^.

\ n Т ■ ■ п

Следующие свойства специфичны для условных математических ожиданий1):

Если д. с. в. X является ^-измеримой, то Е8Х^ X; более того, Е8 (.XY) = XE8Y для любой д. с. в. Y на (Q, Л, Р).

58х с= 38^ Е8' (Е8^ = Е8Х = Е8- {Е8^Х).

Непосредственное обобщение леммы II. 6.1 показывает, что Е8 [ф^^^ф^5^) для любой д. с. в. Х^О и любой действительной непрерывной выпуклой функции ф на [0, оо]. Следовательно, условные моменты £Д(|Л'|Р) д. с. в. обладают свойствами, аналогичными свойствам обычных моментов. В частности, мы имеем £^ (1% Г)^ (£^ ] X 1)₽ при всех р (1<р<оо) и Е8\Х\> ~^\Е8Х\. Из этих неравенств вытекает, что £(|Х|Р) = = Е (Е8 (| X П) > Е (| Е8X f), т. е. что || X ||,> || Е8X ||, для любой д. с. в. (класса эквивалентности д. с. в.) Хе еКр^.Л.Ру Вышесказанное вместе со свойствами (б) и (2) условного математического ожидания Е8 приводит к следующему результату.

Предложение 1V. 3.1. Ограничение условного математического ожидании Ея на пространство ЕР(&,Л, Р) (р^1) есть линейное идемпотентное преобразование с нормой 1 (проекция) пространства ЕР((^,Л, Р) на его подпространство Lp(^, %, P7t). В частности, условное математическое ожидание ЕА на гильбертовом пространстве Е^(^, Л, Р) есть ортогональная проекция пространства Л2(И, Л, Р) на его подпространство Le^, .0, P»Y

Это последнее свойство иногда берется в качестве определения условного математического ожидания Е4 на Е2(^, Л, Р), которое затем продолжается на все д. с. в., интеграл от которых имеет смысл, после чего без труда получаются различные свойства условного математического ожидания, установленные в настоящем пункте.

В случае когда о-алгебра .g, по отношению к которой рассматривается условное математическое ожидание, порождается д. с. в. Z на (£2, Л, Р), т. е. .^ = ^(Z), д. с. в. ЕЯХ обозначают также Z:(.Y|Z). Согласно предложению II. 2.5 Е (X | 7.) есть действительная измеримая функция от Z. Эту функцию иногда называют, выражаясь пестрого, условным математическим ожиданием X относительно Z (она определена, между прочим, лить с точностью до эквивалентности относительно индуцированной вероятности P-Z‘).

Дополнения и упражнения

IV. 3,1. Показать, что для всякого замкнутого линейного подпространства II пространства L2 (О, ul, Р), содержащего функции», тождественно равную 1, следующие условия эквивалентны:

существует а-подалгебра ® о-алгебры cri, такая, что И = /,2 (И, 35, РЙ) [в этом случае автоматически 1еЯ[;

проекция Р(1 пространства 1.^ на // есть положительный оператор;

// есть структура;

И f) 1.^ (й, ст?, р) есть / г-плотная в If алгебра. [Показать сначала, что (1)=^(2), (3) и (4); для доказательства импликации (2) => (3) заметить, что для всякой фуикппн f е// имеем Рн (f+) ^s ХРН?У = Р и, следовательно, Ря/+ = /+, поскольку ||РЛ||<1;

для доказательства импликаций (3)=>(1) и (!)=>(!) показать, что ^ = {5: 1деН^ есть а-алгебра н что Н = Ц (Й, ^, £^)].

Показать, что эндоморфизм Т пространства /,2 (й, <Я, Р) является условным математическим ожиданием тогда н только тогда, когда он удовлетворяет следующим трем условиям:

^[^(й, 3, Р)] с L^ (Q, Л Р);

Т [/ • Pg] =Tf-Tg при f е Ц (Q, c-i, P) и g e L^ (Q, 3, Py в) E tJi) = Ef при всех / s L2.

[Показать, что из первых двух условий вытекает, что tg'.geL^, TUg^Tr-g при всех fet2) есть замкнутая относительно монотонных переходов к пределу алгебра и поэтому имеет вид Рсо (й, ^, Рй), где ^ — некоторая а-подалгебра а-алгебры 3. Вывести отсюда, что ЦЕ^ (с4)] с La0(^i)] и что Т; = Ей (f ■ 7 1); наконец, воспользоваться условием (в).]

Показать, что всякое положительное идемпотентное сжатие Т пространства £2 (Q, сД, Р), такое, что Л = I, есть условное математическое ожидание. [Вывести из первой части упражнения, что подпространство {f;Tf = f} имеет вид Р2(й, ^, Р#), где ^—некоторая а-подалгебра а-алгебры с4. Показать, далее, что если Е®^ = 0. то Г/ и / ортогональны н, следовательно, "И = 0.]

3.2. Сальная сходимость условных математических ожиданий на Lp. Показать, что для любых ре[1, °°) и X е Lp (Й, at, Р) семейство

{ IЕЙ (X) \р, ® с л}, '

где ^ — всевозможные а-подалгебры а-алгебры 3, равномерно интегрируемо. Пусть {^п} — (обобщенная) последовательность а-под- ялгебр а-алгебры 3, такая, что предел lim Е "(1Д) существует для всех ДеИ (или для всех Л из полуалгебры, порождающей 3^ в смысле сходимости по вероятности. Показать, что при всех ре[1, со) и X е Lp предел lim£ " (X) существует в смысле сходимости в Lp. Далее, используя упражнение IV. 3.1, показать, что существует а-подалгебра $8 а-алгебры aZ, такая, что эти пределы равны Е* (1^) и Е^ (X) соответственно.

Показать, что для всякой монотонной (обобщенной) последовательности {^„} а-нодалгебр а-алгебры 3 имеет место равенство lim£ "(Х) = £ (X) при всех X g Lp и всех ps[l, с»), где в случае убывающей последовательности есть пересечение а-алгебр ^?,„ а в случае возрастающей последовательности 55 есть а-алгебра, порожденная \.®nY [Свести к случаю р = 2; в случае, например, возрастающей последовательности заметить, что указанная сходимость

очевидна, когда X принадлежит одному из пространств £,^Я, 99 „ ?s ) или ортогонально к £2(Я, 99, Р#)]

3.3. Показать, что для всякой положительной д. с. в. X, определенной на вероятностном пространстве (Я, Л, Р), и для всякой о-подалгебры 39 о-алгебры сД, содержащей все нулевые множества из Л, множество ^Е® (X) > О} принадлежит наименьшему классу эквивалентности множеств из .^, содержащему носитель {Х> 0} д. с. в. X. Для справедливости этого результата предположение о том, что ,^ содержит нулевые множества из Л, существенно (рассмотреть случай, когда ^ = {0,0} и д. с. в. X п. п., по не тождественно, равна нулю).

3.4, Пусть (Я, Л, Р) — вероятностное пространство и Q = X • Р — вероятность на (Я, Л*). Выразить определенное на (Я, Л, Q) условное математическое ожидание Eq в терминах определенного на (Я, Л, Р) условного математического ожидания Ер. При выполнении каких условий для любой положительной д. с. в. Z имеет место равенство £q (Z) = Е® (Z) п. и. по Q?

3.5. Достаточные с-алгебры. Пусть (Р (9, ■), 0 е 0} — семейство вероятностей на (Я, Л*), абсолютно непрерывных относительно некоторой вспомогательной вероятности. Мы можем считать (см. упражнение IV. 1.3), что эта вспомогательная вероятность имеет вид

Р-^а^ <9- ' >•в

где о0^О и 2°о='' Положим p0 = d£(9, -),!dP. Показать, что о-алгебра 39 (Рд, 6 е 0) есть наименьшая о-подалгебра о-алгебры Л, обладающая следующим свойством: для любой положительной д. с. в. У на (Я, Л) существует положительная ^-измеримая д. с. в. У', такая, что Е® (6 в) (У) = У' п. н. по Р (0, ■) при всех 0. [Выполнить упражнение IV. 3.4 и заметить, что -если ^ обладает указанным выше свойством, то Е® [У (ра — f^py)] = О п. н. по Р для всякой д. с. в. У; взять

У=р0-£др0.]

Для любой функции / от 0 п любой интегрируемой д. с. в. У при всех 0 имеем

J V® (У) - 1 (0)]2 dPg < J [У - / (0)]2 dPg.

Па языке теории статистических решений (упражнение III. 2.3) это означает, что класс ^-измеримых оценок полон относительно квадратической функции убытков. Аналогичный результат справедлив, если ограничиться лишь несмещенными оценками, т, е. такими

д. с. в. У, что J У dP^ = f (0), поскольку если У — несмещенная оценка, то таковой является и Е® (F).

Приложение. Пусть U life суть к д. с. в. на (£2, Л, Р). Показать, что подмножество 6 пространства Rb, на котором функция Ф (0) — J exp/^0;(7/jdP принимает конечные значения, выпукло.

\ I /

Мы предположим, что это подмножество содержит по крайней мере одну внутреннюю точку. Это допущение не ограничивает общности, поскольку в случае необходимости мы можем редуцировать число параметров. Показать, что „достаточная" о-алгебра ^, отвечающая семейству вероятностей {Pg, 0 g 8} с Р-плотностями на (£2, Л), равными

Ре=[ф(0)Г’ ехр^б^,

совпадает с ^ (£7<, 1 </<£). Пусть П — вероятность на Rh, индуцированная величинами Щ, т. е. П (S) = Р [((7 Uд) е SJ. Пока

зать, что функция f от 0 имеет несмещенную оценку тогда и только тогда, когда существует определенная на R11 измеримая функция g, такая, что f (0) — J exp (0u) g (u) П (du). Функция g, если она существует, единственна с точностью до П-эквивалентности. Более того, можно показать, что g (U U^) есть несмещенная оценка для / (0), которая предпочтительнее всякой другой несмещенной оценки для f (0).

IV. 3.6. Показать, что если Х„ | X п. н., то Е®Хп ^ Е®Х п. и. на множестве U {р^^ < ос}. Используя этот результат, обобщить п

лемму Фату — Лебега, доказанную в настоящем пункте.

IV. 4. Независимость

На протяжении этого пункта вероятностное пространство (й, ^, Р) считается фиксированным.

Определение IV. 4.1. Конечное семейство {^;, z е/} о-подалгебр о-алгебры Л называется независимым (относительно Р), если

^Пв<)=Пт).

каковы бы ни были B^&i (i^P), или, что эквивалентно, если

^(П ^-П^та

каковы бы ни были положительные ®^измеримые д. с. в. Yj Ц ^ 1^. Бесконечное се мей ст во {.^,, i ее /} а-п одалгебр а-алгебры Л называется н е- зав и самым, если каждое конечное его подсемейство независимо,

Читателю предлагается проверить эквивалентность обоих данных определений независимости, используя линейность и непрерывность (относительно монотонной сходимости) математического ожидания.

Предложение IV, 4.1 (критерий независимости). Пусть ^i, i е I) — произвольное семейство непустых подклассов а-алгебры Л, обладающее следующими свойствами;

каждый из классов ^i замкнут относительно образования пересечений;

семейство ^ t (/е/) независимо в том смысле, что дл.ч любых С j j (j J с. Г, J конечно)

р (ПсД = Цр^).

Тогда семейство {.^^1^1} а-алгебр, порожденных классами ^, (г ее/), независимо. Всякое семейство а-алгебр \.5?о is 1V такое, что .^' отличается от 58 £ лишь на нулевые множества, тоже независимо.

Доказательство. Достаточно, очевидно, рассмотреть случай, когда множество / конечно. Фиксируем какое-либо 1^.1 и обозначим через 2В подкласс а-алгебры Л, состоящий из множеств D, таких, что Р j D П П С,,^^J] P(Cj), каковы бы ни были С,. еУ у (/ =8 i)- Легко видеть, что класс 28 содержит ^ v и является а-аддитивным классом в смысле упражнения 1.4.5. Следовательно, 28 содержит ®t, и поэтому семейство t^b ^j U ¥= 0) обладает свойствами (а) и (б), указанными в формулировке предложения. Повторяя это рассуждение для каждого из остальных jel, j i, убеждаемся в независимости класса (^/, /е/}. Наконец, очевидно, что семейство {.^t, ie/) независимо,

если каждое множество из ^ имеет вид В U N, где В е 591 и N — некоторое нулевое множество. 1

Следствие. Если {991, ie П — независимое семейство о-подалгебр о-алгебры JL и {/у, j е 7} — семейство попарно непересекающихся подмножеств I, то семейство {98 fj; j G А- где 581у есть а-алгебра, порожденная а-алгебрами .981 (I G /у), тоже независимо.

Доказательство. Пусть ^^ — подкласс о-алгебры ut, состоящий из множества вида Q В, (В.е.й?,),

i G К

где К — конечное подмножество множества /у. Семейство ^8j.,jeJ^ удовлетворяет, очевидно, условиям предыдущего предложения. С другой стороны, каждый из классов ^ij (являющихся полуалгебрами) порождает соответствующую а-алгебру 59^. Остается лишь применить предыдущее предложение. 8

Предложение IV. 4.2. Для того чтобы две а-под- алгебры 58 х и 59г о-алгебры Л были независимы, необходимо и достаточно, чтобы

E®'(Y') = E(Y) п. н„ какова бы ни была ^-измеримая положительная д. с. в. Y.

Доказательство. Согласно определению условного математического ожидания, для любой фиксированной положительной д. с. в. Y равенство ЕЙ‘(У) = Е(У) равносильно выполнению соотношения Е(Х)Е (У) = В(ХУ) для всех положительных ^[-измеримых д. с. в. X. Утверждение предложения теперь непосредственно вытекает из определения независимости (во второй форме). 8

Определение IV.4.2. Семейство д. с. в. (Xt, z е /} называется независимы м (относительно Р), если независимо семейство {59 (X,), i е /} а-подалгебр о-алгебры «Л.. Семейство событий {Л <, i е /} называется независимым, если независимо семейство д- с- в- (Li,., 1 е /).

Беря в доказанном выше критерии независимости в качестве ?щ (г е 7) класс множеств вида (Х^а) (а ^ R) или полагая ^^{Д,}, получаем следующий результат.

Семейство д. с. в. {/,, / е 7} независимо тогда и только тогда, когда

Р ^П^<ау}] = П Р<Х5<а\

каковы бы ни были действительные числа а} (j е 7) и конечное подмножество J множества 7. Семейство событий {Дь I е /} независимо тогда и только тогда, когда Р /ПЛу\ = Ц Р (Л;) для любого конечного подмноже- \ у /7

ства J множества 7.

Следующее определение не связано с независимостью и вводится здесь для формулировки приводимых далее результатов. Определяемые ниже понятия без труда обобщаются на обобщенные последовательности о-алгебр или д. с. в.

Определение IV. 4.3. Пусть {^п, /2^1} — последовательность а-подалгебр а-алгебры Л. События, принадлежащее а-алгебре 39«,, образованной пересечением (по N) а-алгебр, порожденных а-алгебрами 39 п (п^ N), называются асимптотическими (или остаток- н ы м и) событиями.

В частности, если 39 п = ^ (Хп), где Х„ —д. с. в., то ^ = П^г.’ n>N\

N

Предложение IV.4.3 (закон нуля —единицы). Вероятность всякого асимптотического относительно последовательности {^n, п^1} независимых а-алгебр события равна либо 0, либо 1. (Иными словами, ®то = (®, П} с точностью до нулевых множеств.)

Доказательство. Для доказательства достаточно дважды применить следствие к предложению IV. 4.1. В самом деле, из независимости семейства {^п, «^1}

вытекает независимость семейства {^m(m ^ Л4), ^д,} при N>M, где Лн есть о-алгебра, порожденная о-ал- гебрами ®п (n^N). Так как ^^cut^, семейство {^т (т ^ Л4), ^^ тоже независимо, откуда вытекает независимость семейства {^п, 1^/г^оо}. Таким образом, семейства uf, и .^ независимы и, в частности, семейство ^^ независимо от самого себя, так что

Р(ВПВ) = Р(В)Р(В)

при всех йе^, но это и означает, что либо Р(В) = 0, либо Р(В)= 1 (8e^J. |

Следствие 1. Асимптотическая относительно последовательности {.^п, /г^1} независимых а-алгебр (т. е. S? «.-измеримая) д. с. в. X п. н. равна константе.

Следствие 2. Если ^Хп, п ^ 1} — конечные независимые д.с.в. и {ф„} — стремящаяся к нулю последовательность действительных чисел, то ряд ^Хп и последовательности {/„}, ( ф„ 2 Хт И либо п. н. сходятся, .( \ 1 /J

либо и. н. расходятся.

В заключение настоящего раздела приведем следующий результат, который настолько же важен, насколько просто и непосредственно его доказательство.

Предложение IV. 4.4 (Борель —Кантелли). Для всякой последовательности событий

М„, П>1}

имеем

2 Р (Л„)<оо =^ lim sup Ап= 0, Пп* "

Гп-1’

5 Р А„ Q Am = оо =^ sup Л„ = Q.

п L IJп ‘ *

В частности, если события {Лга, п^1} независимы, то limsup Л,,= 0 или Й в зависимости от того, сходится

или расходится ряд У Р (Лп).

Доказательство. Утверждаемые следуют соответственно из неравенства

Pfsup/l.x 2 PUmY

V ,и > п / т ^ п

импликации

если в нем положить п~>оо, и из цепочки равенств

Р 'sup /1/. = 1 — Р [inf Лс„) = 1V п /\ Л /

г / д \ I

-II Р\ПАЧ

n L \ i //

/п-1р П А«

= 1 -ll{l-p[/ln

п-11]

А ^ J*

Так как в случае

имеем Р( Л„

n-1\

А Я

независимости событий {Лл-н>1}

= Р(ЛЛ), вторая часть предложи

пин вытекает из первой. ■

Дополнения и упражнения

1.1. Если V®i, /<=/}—произвольное независимое семейство а-алгебр в пространстве (G, vi, р) и ®t суть а-алгебры, такие, что 58\е99 ( U = I), то семейство [.^р I s / j тоже независимо. Вынести отсюда, что если {А'р < е/}—независимые д. с. в. и /й (i g/| — измеримые функции, то семейство У£ (X/), i е/} тоже независимо. Для того чтобы семейство д. с. в. {Хр z е/} было независимо, необходимо и достаточно, чтобы

Е [П /1 <-y7)] - П Еь ^

для любого конечного семейства {/р j е /} ограниченных измеримых функций.

1.2. Условная независимость. Семейство V®i. i^O а-нодалгебр а-алгебры о*1 вероятностного пространства (Й, ol, Р) называется условно независимым относительно а-алгебры ^ с и£. если и у" ^J^ любого конечного множества /с / н любого семейства {A';, jep .^-измеримых положительных д. с. в. Xj Обобщить результаты настоящего раздела, в частности закон их ля — единицы, на случай условной независимости.

1.3. Марковская зависимость. Пусть Г—интервал действительной прямой R или множества целых чисел Z. Говорят, что семейство (Я/, t е Г} а-подалгебр а-алгебры с>4 подчинено марковской

зависимости, или является марковским в пространстве (й, Л, Р), если для любого / е Г а-алгебры a V® s", s ^ 0 и a (,5^s; s"^t) условно независимы относительно а-алгебры ®f Для того чтобы семейство к®ь < Е ^) было марковским,

необходимо, чтобы Е (У | ®^ = Е [У | a [3$s, sCO] для любого t и любой квазиинтегрируемой д. с. в. У, измеримой относительно а-алгебры

о(^; s>ty,

достаточно, чтобы

^(1д| ^/) = ^ [»я| ®(^S1. •••• ®sn. ^)]

для любого t, любого события Л, принадлежащего одной из а-алгебр 9§и (и > t) и любого конечного множества чисел sj, меньших L Показать, что если семейство ^t. Is Л — марковское и и < и, и, и е Т, то а-алгебры а ^®ь К^и) и а ^9§ь ^^о) условно независимы относительно а (^б и ^ / ^ о). [Здесь а(-) означает «а-алгебра, порожденная ■».]

4.4. Гауссовы пространства. Замкнутое подпространство Н пространства Ьг (й, Л, Р) называется гауссовым, если любая д. с. в. ХеН индуцирует на R (возможно, вырожденный) гауссов закон, или, что равносильно, если для любой д. с. в. ХеН

log Е (exp (М)) = itE (X) - (1/2) Р {£ (Х=) - [£ (А')]2}.

Показать, что для того, чтобы замкнутое подпространство И было гауссовым, (!) необходимо, чтобы всякий вектор (Х[Хп} с координатами Хт е Н имел гауссов закон в R", (2) достаточно, чтобы существовало подмножество G подпространства Н, линейная оболочка которого плотна в Н, такое, что всякий вектор (Х[Хл) с координатами Хт е G имел гауссов закон в R”.

Пусть // — некоторое гауссово пространство, состоящее из центрированных (т. е. ортогональных к 1) д. с. в., и пусть 56 — наименьшая а-подалгебра c-алгебры Л, относительно которой все д. с. в. из Н измеримы. Показать, что если ^Xt, i е/} — полная ортонормированная система в Н, то произведения полиномов Эрмита JJ y\^nt! ] Нп (V,), где nt пробегают целые иеотрица- 11

тельные значения, такие, что ^ zt; < оо, образуют полную орто/

нормированную систему в Ьг (й, 56, Р). [Воспользоваться формулой, определяющей полиномы Эрмита:

ехр (их - у и^ = У} («”/« !) Нп (х).]п >0

Пусть //[—замкнутое подпространство некоторого гауссова пространства Н, состоящего из центрированных д. с. в., и пусть 561 есть c-алгебра, порожденная Нj. Показать что ограничения

на Н операторов proj^ и Е36' совпадают. [Свести к случаю д. с. в., ортогональных к Я^] Вывести отсюда, что два ортогональных к I гауссовых пространства Нх и Нг взаимно ортогональны тогда и только тогда, когда порождаемые ими а-алгебры 3£х и 5бг не- зависнмы.

4.5. Пусть dlx, t42, <Я3 — три а-подалгебры а-алгебры с4 вероятностного пространства (й, dl, Р), удовлетворяющие следующим двум условиям: (!) dlx содержится в а-алгебре, порожденной dt2 и dl3, (2) а-алгебра, порожденная uix и dl2, не зависит ст dl3. Показать, что ефс^ с точностью до нулевых множеств, т. е. что для любого Де^! существует Ве<Я2, такое, что Р(АДВ) = 0. [Вывести из (2), что

Ел- (X) = Ел- v Лз (А')

для любой сД^измеримой интегрируемой д. с. в. А'.]

5. Теория мартингалов

Всюду на протяжении настоящего пункта (Я, Л Я)— некоторое фиксированное вероятностное пространству Т — интервал расширенного множества целых чисел Z (дискретный случай) пли расширенной действительной прямой Я (непрерывный случай), левый и правый концы которого (не обязательно принадлежащие Г) обозначаются соответственно t( и tr, и \dtb t е 7} — возрастающее семейство о-подалгебр о-алгебры ut. Фундаментальную роль в нижеследующем будет играть понятие момента остановки, введенное в п. Ш.6.

Определение IV. 5.1. Д. с. ф. {А\, t е Г}, адаптированная к семейству (u£z, tG?\ называется I) субмартингалом (относительно [Д,, I е Г}), если E(Xt)<oo при всех teT и Х^Е’"'*^) для любой пары s < t, s, t е Т; 2) .мартингалом, если /?|А<|<оо при всех tel и Х$ = ЕЛ$(Х^ для любой пары s<t, s, teT; 3) с у п е р м а р т и н г а л о лц если д. с. ф. {— Х(; t g 7} является субмартингалом.

(N. В. Всюду в дальнейшем в непрерывном случае мы будем рассматривать, не оговаривая это специально, лишь сепарабельные мартингалы и субмартингалы. Согласно предложению III. 4.3, это не ограничивает общности.)

Таким образом, субмартингал — это д. с. ф., которая «растет в смысле условного среднего». Входящие в определение субмартингала неравенства нередко записывают в следующей эквивалентной форме: для любой пары s<t, s,tGT,fl любого множества Aejt3

I *.< J t,. А А

Из этих неравенств следует, что Е (XSY)<LE (XtY) при s<t, s, teT, для любой положительной ^-измеримой д. с. в.

Следующий технический результат часто будет использоваться в дальнейшем (в более общем виде этот результат содержится в упражнении IV. 5.4).

Предложение IV. 5.1. Если {X, t е Г} — субмартингал, то д. с. ф. {max(Xz, a), t е 7} тоже является субмартингалом, каково бы ни было ае R. Кроме того, для любого замкнутого справа подинтервала Т{ интервала Т семейство

{max (Xt, а), / е Fj

равномерно интегрируемо.

Если {Xt, t е Г} — мартингал, образованный д. с. в. из LP(Q, Л, Р), рЕ[1, оо), то д. с. ф. {| Xt |р, teT^ является положительным субмартингалом. Кроме того, для любого замкнутого справа подинтервала Тх интервала Т{ семейство {| Х( |р, < G 7} равномерно интегрируемо.

Доказательство. Если {Xz, t е 7} — субмартингал, то № — а, / е 7} — тоже субмартингал. Поэтому достаточно доказать первую часть предложения в случае, когда а = 0. Для доказательства же того факта, что если {Xt, t^T} субмартингал, то и {Х^, /еГ) — тоже субмартингал, достаточно заметить, что Е^^хТ)^ > [е^ №)Г>Xt при всех s<t, s,t^T. Пусть, далее, <1 — правый конец замкнутого справа подинтервала Tv

интервала Т. Из справедливой для любого с>0 цепочки неравенств

с.РОС^сХ / Х}< / Х^Е^С оа (Ze/J {.YZ>C}(Y,>C)

следует, что sup Р (Xt > с) * 0 при с*оо, откуда в силу

интегрируемости д. с. в. Х^ вытекает, что sup I XT ; О

Нг с) при С|оо, Равномерная интегрируемость семейства {«У?-, teT^ является теперь следствием второго неравенства из выписанной выше цепочки неравенств.

Пусть {Х(, / е 7} — мартингал. Для любых s</, s, teT, имеем E^s (| Xt jp)> |£^ (Л,)|₽ = | X., Г- Следовательно, если положительные д. с. в. | Xt |₽, t е Т, интегрируемы, то они образуют субмартингал. Послед

нее утверждение предложения является простым следствием доказанного выше. I

При выполнении весьма широких условий входящие в определение субмартингала неравенства

ХХЕ^ЦХ.) при s<7

остаются справедливыми, если s и t заменить моментами остановки а в т, такими, что о^т. Это фундаментальное свойство субмартннгалов будет точно сформулировано в предложении IV. 5.5, а сейчас мы докажем его частный случай, па котором основывается дальнейшая часть настоящего пункта.

Лемм а. Пусть ^Х£, Л. у, ieT} — субмартпнгал. Если т,, т2 — определенные на всем пространстве Й относительно t е Т} моменты остановки, принимающие лишь конечное число различных значений из Т и такие, что Т|^т2, то Хт, ^ Е*х‘ (АД). В частности, для любого определенного всюду момента остановки т, принимающего лишь конечное число различных значений, лежащих между tQ и /,, tQ, tx е Т, справедливы неравенства

Х^Е^Х,). Хх^Е^ЦХ,;).

Если {X/, d(; / е Г} — мартингал, то при выполнении тех же условий высказанные выше утверждения справедливы с заменой неравенств на равенства.

Доказательство. Пусть

^о < Л < • ■ • < ^р

— возможные значения rt и т2. Поскольку д. с. в. ХТ1 является и4х,-измеримой, то неравенство ХТ1 ^ ЕЛх' (ХТ1) равносильно выполнению неравенств J Хт,^ J Х-т для ЛА

всех A eutT., т. е. для всех А, таких, что A^^i^G.ji]^ при m = 0, ..., р. В силу равенства А = 2 А {т, = /т} пг

и аддитивности интеграла для доказательства этих неравенств достаточно показать, что J Xtm^ J Хт2 для .в в

всех множеств В, содержащихся в множестве {т, = /т}

и принадлежащих <Atm.

Так как т2 /\tm — tm на В и т2 Л ^ = т2, для этого в свою очередь достаточно показать, что интеграл J Ххгмп как функция от п, т,<~п<~р, не убывает. Но в

при zn^n^p имеем В {т2 > /„} е Л<п и, следовательно,

В«{т2<у Й{Т2>У

< J Хт2+ J Ч+. = Jfi{T2<U вг2>У в

Первая часть леммы тем самым доказана. Частный случай, о котором говорится в лемме, получается из общего при т, = ?0, т2 = т и т, = т, т2 = ^. Наконец, тривиальные изменения в проведенном выше рассуждении показывают, что в случае мартингала доказанные неравенства превращаются в равенства. 1

Предложение IV. 5.2, Если {X,, и£(; /еГ} — суб.мартингал, то для любой положительной постоянной с

cP (sup Xt > с)^ sup E(Xt) (=E(xt^<oa при 1,еТу

Следовательно, su^Xt<<x> п. н., когда sup Е(х^ < °° и тт 4 '

в частности, когда интервал Т замкнут справа.

Если {Xt, dtn t ^ Т\ — мартингал, то для любой положительной постоянной с

cP <sup| Х( | > с\< sup Е\Xt | (= £ I X, I при £ G Л, \ г) т' г 1'

так что sup|X, 1<оо п, н., когда правая часть этого т

неравенства конечна.

Доказательство, Рассмотрим сначала мартингал X лишь в конечном числе моментов времени /0<^< •■• <^л и обозначим .через т первый из тех моментов (если таковые существуют), для которых Х(>с. Величина т принимает значения из множества {£, ^, ■ ••. А1 и является определенным на множестве

Й =Й =I mI m

Й =

Й =

I m

I m

моментом остановки, поскольку {т = /т} = (Х,6 ^ с при k < in, Xtm > с) е uttrn. Применяя доказанную выше лемму к моментам остановки т A tp и tp и принимая во внимание, что Хх>с на йг, получаем следующие нера' венства:

гРМ< J X. - J х,,.,^ J X,r<E (X,*,).

Тем самым первая часть предложения доказана в случае конечного субмартингала (Xjo, .. ,,Х< }. В общем случае пусть s0, sb .,. — само Т (дискретный случай) или сепаранта в Т (непрерывный случай). Принимая во внимание, что

S“P xt гтS“P xt гтlim V sup X$mn \m < nlim V sup X$mn \m < n

S“P xt гт

S“P xt гт

lim V sup X$mn \m < n

lim V sup X$mn \m < n

и переходя к пределу, получаем

cP (sup X, > с) = dim j P(s^) XSin> с^<, ^ lim t sup Е (xL) = sup Е (X*).

п т^пТ

имеемsup Е (х?) = гимеемsup Е (х?) = гДалее, поскольку E^Xt) как функция от t не убывает,

имеем

sup Е (х?) = г

имеем

sup Е (х?) = г

Е (Х^) при tr G Т,Нт £(Х<) при 1гфТ.t * tr

Устремляя теперь с к бесконечности, видим, что supX,<oo п. н., если sup £(Х*)< °о. Наконец, если тт

{Х(, f е Г} — мартингал, то, применяя сказанное выше к субмартингалу {|XJ, teTV убеждаемся в справедливости второй части предложения. |

Доказываемое в следующем предложении неравенство ограничивает сверху среднее число колебаний субмартингала. С помощью этого неравенства будут получены важные результаты о сходимости и непрерывности субмартингалов, излагаемые в дальнейшей части настоящего пункта. Напомним сначала некоторые результаты из теории функций действительного переменного.

Пусть J — функция, отображающая интервал Гс2 или Т с R в R. Число уо,ь(П пересечений сверху вниз функцией f интервала (я, 6) с R определяется как верхняя грань целых чисел т^О, таких, что для некоторой последовательно s, < s2 < ... <s2m точек из Т длины 2пг имеют место неравенства

f($i)>6, К$2)<я, /(s3)> 6Hs2m)<a.

Для того_чтобы функция / не имела разрывов второго рода на Т, необходимо и достаточно, чтобы у0,6(/)<со для любой пары а<Ь из R (или лишь для любой пары а<Ь из некоторого плотного подмножества прямой R).

_Напомним еще, что определенная на интервале Т с с: Z или Т с R функция / не имеет разрывов второго

рода па 7', если она имеет предел слева (справа) в каждой точке t из Z пли R, являющейся пределом слева (справа) точек из Т, т. е. (1) в дискретном случае, если при tr = + оо существует Игл /(^ и при tL =— оо существует lim /(s), 2) в непрерывном случае, если при 5 ^ — 00,

всех fe(/z, fr] существует / (/— 0) = lim/(s) и при всех s A i

teVi, tr) существует / (7 — 0) = limf (s).

S у t

[Достаточность указанного выше условия можно доказать, заметив, что если, например, lim inf ^(.s) <

S A t

< limsup/(s) для некоторого /, то число уОтЬ бесконечно для всякой пары а<Ь, лежащей между этими верхним и нижним пределами. Чтобы доказать его необходимость, сопоставим каждому IgT открытый интервал /(, такой, что колебание / как па /,П(—00, П, так и на /, П(/, + оо) меньше заданного е. Конечное число таких интервалов покрывает 7’, и можно показать, что это число мажорирует Ya,»(Z) при Ь — и>2е.]

Предложение IV.5.3, Пусть {Xt) Jlt\ i е Г) — губ.мартингал. Обозначим через \"п,ь^ число пересечении сверху вниз интервала (а, Ь) траекторией X Ц>) на Т. Функция \'а Ь является д. с. в. и удовлетворяет неравенству

М> - а) Е ^а, „) < sup Е [(Л", - ЬД].

Доказательство. Рассмотрим сначала еубмар- типгал X, лишь в конечном числе моментов времени /п</,< ... </„ из Т. Определим индукцией по tn моменты остановки т,„ со значениями в (Д, .... 1^, полагая т. равным первому моменту ttj (0^^^/?) (если та- копой существует), для которого Xt >Ь, и приш> 1 считая т„ равным первому моменту /, >тт_, (если таковой существует), для которого Xt. <а в случае четного т, и Xi > Ь, в случае нечетного иг. Последовательность подмножеств □,„ = Ur^ множества И, па которых эти

моменты остановки определены, является, очевидно, убывающей последовательностью, и /0^т1<т2< ... ... <Тт^1р на Йт. Ясно также, что если

Ya. гАtp\ to)

— число пересечений сверху вниз интервала (а, 6) последовательностью (Х/о (со), ..., Х/р(ш)}, то

^2m = (Ya, Ь (^Qi • ■ • । У ^ ^0*

Из этого равенства вытекает прежде всего, что Ya.bUoip) есть случайная величина.

Принимая во внимание, что

^г2т_,>6 на й2т-ь ^t2m<a на fi2m,

и применяя доказанную выше лемму к моментам остановки' т2т_! Л tp и т2т Л tp, получаем

°< J (^„.,-е)< J (*<„,.,-»)< QQ

2ГЛ-12ГЛ-1

<(а-ЬШЙ2т)+/ (Xtp-b)

Q—Q

2гл-1 2т

и, следовательно, (6-а)Р[уа.б(<0y>w]< J (Xtp-by.

Q - Q 2m-i зт

Складывая эти неравенства и учитывая, что множества ^2«-1 — ^гш не пересекаются, находим

(6-a)E[ya,6(/0у] =

ЧЬ- а) 2 ] Р [Yo. 6 &tp^> mA СЕ [(Х(д - 6)+].

Тем самым утверждаемое неравенство доказано для ограничения субмартингала X на множество {/0, ..., t,}. Поскольку, как легко убедиться,

Ya, t(ш) = Um ^ Ya.6(lsa> s„}; со)

для любого (почти любого) со, где (s0, sh ...} —само Т в дискретном случае (некоторая сепаранта в Г в непре-

13 Зак. 1363

рывном случае), постольку утверждение предложения получается теперь предельным переходом. |

Следствие. Пусть {X/, t г Г} — субмартингал и

sup Е (xt)< оо.т

Тогда для любого фиксированного s имеем inf Xt > > — оо и. н. на множестве {%5> — сю} и, в частности, inf Xt> — оо и. н. на й, если E(XS)>— оо.

t S

Доказательство. В силу сделанного предположения и неравенства

(Xt - Ь)+ < Xt + b"

имеем sup £(.¥,— b)+ < оо при всех b е R. Поскольку т ■"

величины уа-6 убывают при а ^ — оо и Р(уа,6>0)^ ^£ (Ya.fr), чз предыдущего предложения вытекает, что множества {у01 ь > 0} убывают к нулевому множеству при а — оо.

Отметим, с другой стороны, что для всякой траектории суб мартингала Xt, удовлетворяющей условию ХДш)>Ь, равенство Ya, й(м) = 0 влечет неравенство inf Х^а. Отсюда согласно сказанному выше вытекает, t >s что inf Xi > — оо п. н. на множестве {%$>Ь}. Для за- t > s вершения доказательства остается теперь только устремить b к —оо. |

Теорема. Почти все траектории субмартингала

{Х(, At\ t г ТУ

удовлетворяющего условию sup Е (xt)< °°, не имеют "_ т

разрывов второго рода на Т. (Если интервал Т замкнут справа, то условие sup£(A?)<oo автоматически выполнено.)

Доказательство. В силу сделанного предположения и неравенства

№ - 6)+ ^ Xt + b"

имеем sup £ [(Х( — Ь)+] < + оо при всех b е R. Следова- т

тельно, согласно предложению IV.5.3, все д. с. в. уо-6 интегрируемы (а <6, a, b ^ R\ Отсюда вытекает, что существует нулевое множество N, такое, что уй, j<«> при всех со ^ N и всех a<b. (N можно определить как счетное объединение множеств вида {уа, »=°°}, где а < b —. рациональные числа. Поскольку каждой паре а<Ь действительных чисел можно сопоставить пару а', Ь' рациональных чисел, такую, что а^а' < Ь' ^ Ь, п, следовательно, такую, что уа ь^^а-ь" постольку уа 6<оо на № при всех a<b, a,b^R.) Принимая теперь во внимание сделанное перед предложением IV.5.3 замечание, убеждаемся, что при о N траектории субмартингала X не имеют разрывов второго рода. |

В дискретном случае доказанная теорема равносильна следующим двум результатам, которые получаются при рассмотрении пределов траекторий в точках + оо и —оо соответственно.

Если {Хп, Лп\ п=\, 2, ...} —субмартингал, то для существования предела

Пт п. н. Х„

П-> + оо достаточно, чтобы sup Е(Х„)< оо.

Если {Хп, Лп\ п = .... —2, — 1} — субмартингал, то существует предел

Пт п. н. Хп.П -> — ОО

В терминах обращенной последовательности (Zn = X_„ ^п = А-п} («=1, 2, ...) последний результат принимает следующий вид.

(2а) Если {^„, п ^ 1} — убывающая последовательность s-алгебр и {Zn, п ^ 1} — последовательность ^„.-измеримых д. с. в. Zn, такая, что Е (Z„) < оо и Znu ^ ^£^n+'(Zn) при всех п, то существует предел

lim п. и. Za. .п -> + ОО

В непрерывном случае, применяя доказанную выше теорему к ограничениям определенного на открытом справа интервале Т субмартннгала {Zn t е 7} на замкнутые справа подинтервалы интервала Т, получаем следующий результат: почти все траектории субмар- тиигала не имеют разрывов второго рода на Т, исключая, возможно, момент /г. Мы видим, таким образом, что основной эффект сделанного в теореме предположения sup £ (.Yt") < оо состоит в том, что оно устраняет т

возможность разрыва траекторий в момент tr.

Предложение IV. 5.4, Пусть {Zn Лр, teT)— субмартингал, такой, что семейство [zA t е 7} равномерно интегрируемо (это условие, в частности, выполнено, если интервал Т замкнут справа). За исключением нулевого множества траекторий, пределы Xt^(a) = = lim Zs(co) существуют в каждой точке t, являющейся

S t

предельной слева точкой интервала Т. Эти пределы Хе_ измеримы относительно 6-алгебр At_, порожденных 6-алгебрами Л5 (s<t), и удовлетворяют неравенствам

Xs^E'*s(Xt_) при s<t; Х(_<Ел‘-(Х5) при t^s.

Аналогично, за исключением нулевого множества траекторий, пределы Z^ = limZd(co) существуют в каждой

S у t

точке t, являющейся предельной справа точкой интер1 вала Т. Эти пределы Хи измеримы относительно 6-алгебр Л1л., являющихся пересечениями 6-алгебр Л5 (s > /), и удовлетворяют неравенствам

Xs^ ЕЛ$ (Xt+) при s^t; Xt+^ E^t+(XS) при t<s.

Доказательство. Мы проведем доказательство для случая пределов слева. Существование Xt_ вытекает

из доказанной выше теоремы; измеримость Xt- относительно c^z_ очевидна, поскольку все д. с. в. X, (s<t) измеримы относительно c£z_. Для доказательства утверждаемых предложением неравенств заметим сначала, что для любого qeR д. с. ф. {max(Xz, а), 1еТ^ есть субмартингал (предложение IV. 5.1) и что образующие его д. с. в. равномерно интегрируемы, поскольку таковыми, согласно предположению, являются д. с. в. (Xf, tsTY Следовательно, если s<t и АгЛ5, то

| max(X5, a)^lim | max(Xn, а) = | max(Xz_, а).

АТ АА

Полагая в этом неравенстве а-> —оо, получаем, что для любого Ае.А,

А А

так как величины Xs и лТ- интегрируемы (xt- пр лемме Фату), или, что равносильно, Xs^ Е^8 (Xt-Y Аналогично при Z^s для всех A^U^ имеем

л < /

J max (Xz_, а) = lim J max(Xn, a)Cj тах(Х„ a);

A"*' AA

Последнее неравенство справедливо при всех А из о-алгебры c£z_, порожденной классом (Juf„, поскольку п<<

д. с. в. max(Xz_, а) и тах(Х„ а) интегрируемы. Устремляя а к — оо, получаем, что

АА

при всех Ае<у1н т. е. что Xt- С E^f-iXs), если ^s. 1

В том случае, когда субмартингал {Xz, teT^ определен на открытом справа интервале Т и семейство {xz, I е 71} не равномерно интегрируемо, предыдущее предложение можно все же применить к ограничениям субмартингала X на замкнутые справа подинтервалы

интервала Т. При этом все утверждения предложения остаются справедливыми и без предположения о равномерной интегрируемости, за исключением тех, которые касаются пределов в tr справа. Существо этого предположения еще более проясняется следующим следствием.

Следствие 1. Пусть {Xt, utt; t еТ}- су б мартингал. Для того чтобы предел Нт Хп существовал п. н. и удо- nttr

влетворял неравенству XS^.E<S (Vim Хи\ при всех s<tn

)

необходимо и достаточно, чтобы семейство {^f, t г 7'} было равномерно интегрируемо ’).

Доказательство. Достаточность этого условия вытекает из предыдущего предложения. Необходимость его следует из предложения IV. 5.1, примененного к субмартингалу, образованному д. с. в. Xt (t < tr) и limXu. 1

В дискретном случае полученные выше результаты можно сформулировать также в следующем виде.

Если {Х„, c/Z„; п=1, 2, ...} — субмартингал, то предел

Хх = Нт п. н. Хп

П-> оо

существует и удовлетворяет условию Х^ Е *» (Х^ тогда и только тогда, когда семейство (%„} равномерно интегрируемо.

Если V®п-> п^ 1} — убывающая последовательность о-алгебр и (Z„, п 1} — последовательность .^„.-измеримых д. с. в. Zn, такая, что £(Z„)<oo и Z^^. ^ E*rm (ZJ при всех п, то предел HmZn = Zoo существует п. н. и удовлетворяет условию Z^^. Е®» (Zn) при всех п, где 38 „, — пересечение а-алгебр 38 п.

') Для справедливости следствия нужно еще потребовать, чтобы Е И iim Л'„' + | < оо. Аналогичное замечание относится к соответ- \\иМг ; J

ствующему результату в дискретном случае (см. ниже). — Прим, перее.

Следствие 2 (регуляризация суб мартингал а справа). Пусть (Х#, d,; t е Т) — субмартингал, определенный на интервале Т е R. Определенная почти всюду д. с. ф. •

Л/+; /еО^}} (подразумевается, что Xtr+ — Xtr в случае, когда tr^T) есть субмартингал с непрерывными справа траекториями. Более того, почти все траектории этого субмартингала имеют пределы слева во всех точках из Т. Если точка teT такова, что функция Е(Хе) от / непрерывна в ней справа, конечна и Л{ = Л1М>, то Х/+ = Xt п. н.

Доказательство. Первая часть этого следствия непосредственно вытекает из предыдущего предложения. Для доказательства второй его части заметим, что

Xt^E44X^<E4i(X^

при всех t<s. Из этих неравенств следует, что если £(Х,) = Пт£(Х5)^= оо.тоХ, = £^(Х<+). Но если ^, = ^/t, то Х^-Д^Х^). |.

Аналогичный результат справедлив для регуляризации субмартингала слева (Xt_, utts, t е Т). Следует, однако, отметить, что регуляризация слева в точке tr может быть определена лишь в случае, когда семейство (х^, / е Т] равномерно интегрируемо.

Следующий результат представляет собой упоминавшееся выше обобщение фундаментальной леммы настоящего пункта.

Предложение IV. 5.5. Пусть {X,, ^; / е Г} — субмартингал, все траектории которого в непрерывном случае мы предполагаем непрерывными справа. Пусть, далее, т,, т2 — два определенных на всем пространстве Я относительно (Jlt, t ^Т} момента остановки, причем Т|^т2. Каждое из нижеследующих двух условий достаточно для выполнения неравенства Хт, ^ Д^1 (ХТ;):

существует точка tQeT, такая, что т,^/0 п. н. (это условие выполнено, если интервал Т замкнут справа).

семейство [х*, ^ е г] равномерно интегрируемо.

ХД1 ge Г), ИтХ5ХД1 ge Г), ИтХ5Доказательство, Достаточно рассмотреть случай, когда интервал Т замкнут справа. В самом деле, если выполнено условие (а), то можно ограничиться рассмотрением субмартингала (X,, dtt; t^t0}, а если выполнено условие (б) и интервал Т не замкнут справа, то д. с. ф.

ХД1 ge Г), ИтХ5

ХД1 ge Г), ИтХ5

есть субмартингал (предложение IV. 5.4) на замкнутом справа интервале Г + {Ц.

Согласно доказанной в начале настоящего пункта лемме, неравенство

Ххх^ЕАЧХт}

справедливо для всяких двух моментов остановки т^ т2, принимающих лишь конечное множество различных значений и удовлетворяющих условию Т[^т2. Поскольку интервал Т замкнут справа, то для любого момента остановки с конечным множеством возможных значении Хх ^ Елт (Х^. Рассуждая далее, как в доказательстве предложения IV. 5.1, можно показать, что для любого aeR семейство д. с. в. [тах(Хт, а)}, где т пробегает всевозможные моменты остановки с конечными множествами значений, равномерно интегрируемо.

Пусть {т'^, [т”}—две последовательности моментов остановки с конечными множествами значений, сходящиеся, убывая, к заданным моментам остановки Tj и т2 соответственно (явная конструкция таких последовательностей содержится в доказательстве предложения III. 6.1). Не ограничивая общности, можно считать, что т"^т'г (заменим в противном случае т" на шт(т", т")). Так как Лх с;Лхги то для любого ЛеЛт, имеем

В силу непрерывности траекторий справа равномерно интегрируемые последовательности 1 тах(ХтП, а)I

сходятся п. н. при п-*оо к [тах(Хт., а)} и поэтому J тахСХт,, а)^ J тах(ХТг, а)<оо. Полагая теперь А А

а |. — оо, получаем J Хг,^ [ Хт, при всехЛеЛт,, причем,

А А

согласно предложению III. 6.1, д. с. в. Хх, измерима относительно Лхх. I

Из справедливого для любого момента остановки т неравенства Хт^ЕЛт(Х<), рассуждая так же, как при доказательстве предложения IV. 5.1, можно ввести следующее

Следствие 1. Пусть {Xt, Ль t ^ Т}—.субмартингал, все траектории которого в непрерывном случае мы предполагаем непрерывными справа. Если семейство {/*, (е Г) равномерно интегрируемо, в частности если интервал Т замкнут справа, то семейство {тах(Хт, а)}, где а е R фиксировано, а т пробегает всевозможные определенные на Q моменты остановки, равномерно интегрируемо.

Пусть {Xt\ f е Г} — субмартингал и (ts, № S} — возрастающее семейство определенных на □ моментов остановки. Предыдущее предложение содержит условия, при выполнении которых д. с. ф. {-Yrs, Лх5\ s е Sj тоже является субмартингалом. Особенно интересный случай указан в приводимом ниже следствии.

Следствие 2. Пусть {Х(, Ль t^T} — субмартингал, все траектории котооого в непрерывном случае непрерывны справа. Для всякого определенного на Q относительно {Ль t^T] момента остановки т д. с. ф. {Хтл/, Лхм", t е Г} тоже является субмартингалом. .

(Говорят, что д. с. ф. (XtaJ получена из д. с. ф. остановкой в момент т.)

В заключение настоящего пункта применим полученные выше результаты к мартингалам. Отметим, что, согласно определению, д. с. ф. {Х(, Л(; ie Г} —мартингал тогда и только тогда, когда обе д. с. ф. {Xb t ^ Т} и

{— Xb t г 7} — субмартингалы. Заметим еще, что если {Х„ 7 е Г) — мартингал, то в формуле

£(|XJ) = 2£(X?)-£(XJ

член £ (XJ конечен и не зависит от L Из теоремы настоящего пункта вытекает, следовательно, что если sup £([ Xt |)< оо и, в частности, если интервал Т замкнут т

справа, то почти все траектории мартингала {Х(> / е П не имеют разрывов второго рода на Т. Ясно, далее, что для мартингала утверждения предложения IV. 5.4 справедливы с заменой неравенств на равенства, если только мартингал равномерно интегрируем (в частности, если интервал Т замкнут справа).

В случае когда интервал Т не замкнут справа, предыдущие результаты можно применить к ограничениям мартингала на замкнутые справа подиитервалы интервала Т. Высказанные выше утверждения, за исключением, возможно, относящихся к точке t„ справедливы, следовательно, для любого мартингала на Т. Что касается поведения мартингала в точке t„ имеет место следующий результат.

Предложение IV. 5.6. Для любого определенного на открытом справа интервале Т мартингала {.¥п Jtt\ t е 13 следующие три условия равносильны:

предел ПтЛ, существует в смысле сходимости

в Lf,

существует по крайней мере одна интегрируемая д. с. в, X, такая, что Xs = E’*s (X) при всех sei;

семейство {X,, t е Т} равномерно интегрируемо.

Если эти условия выполнены, то предел limX, су- ществует п. н. (и в смысле сходимости в L}) и Xs = = Ел$ (Vim ХД при всех seL

Кроме того, если рассматриваемый мартингал таков, что sup Е (1 Xt |р) < оо при некотором р>Х, то указан- т

ные условия выполнены и предел Пт Х( существует в смысле сходимости в Lp.

Доказательство. Так как условные математические ожидания являются непрерывными операторами на пространстве Ег, импликация (а)=ф(б) непосредственно вытекает из справедливого при s</, s, Ze7, равенства Х$ = Е^ЦХ^ — можно взять Х = ПтХг При

выполнении (б) вторая часть предложения IV. 5.1 в применении к мартингалу

№(/еП, X}

показывает, что (б)=ф(в). Наконец,' как мы знаем, если sup £| Xf\< оо, то п. н. существует предел Ит^. Если, тt^tr

кроме того, семейство {Хр t е 7} равномерно интегрируемо, то предел этот существует в смысле сходимости в Lx (предложение II. 5.4).

Для доказательства второй части предложения заметим сначала, что если sup £(| Х( |₽) < °° при некото- т

ром р> 1, то семейство \Xt, t е 7} равномерно интегрируемо (упражнение II. 5.2). Следовательно, предел Х = = lim Xt существует и {X, (/ е 7), Х\ — мартингал. С дру-

tMr■

гой стороны, по лемме Фату £(| X |р) ^ sup Е (| Xf |р) < оо.

т

Применяя теперь предложение IV. 5.1, видим, что семейство {I Xt |р (/ е 7), | X |р} равномерно интегрируемо и, следовательно, Х( сходится к X при 1f tr в смысле сходимости в Lp (предложение II. 6.1). |

Дополнения и упражнения

5.1. Пусть {X/, /е 7} — субмартингал, образованный интегрируемыми центрированными д. с. в., и пусть S = sup Е (Х,). Показать, что для любой постоянной с > 0 справедливо неравенство

Р (sup Xt > с) > S/(S + с2).

[Рассмотреть сначала случай, когда множество Т конечно. Пусть т — первый момент f, для которого Xt > с; воспользоваться неравенством (а + ХТ)2^ (а + с)2, выбирая положительную постоянную а наилучшнм возможным способом.]

Показать, что если (А-/, / е Г) — мартингал или положительный субмартипгал, такой, что при некотором р > I

sup Е (1 Xt Р) < оо,

т

неравен-—перемеп-неравен-—перемеп-то sup | X/1^ kpikp — 1)) sup ||Xzi|„. [Проинтегрировать

неравен-—

перемеп-

неравен-—

перемеп-

i т Upт

ство сР(Лс)^ |" Xs, где zlr= { sup Xt > cj, относительно

ной с по мере ср-2 de и применить неравенство Гёльдера.]

5.2. Усиленный закон больших чисел для последовательностей симметрично зависимых д. с. в. Последовательность д. с. в. {А';1, п ^ 1) называется симметрично зависимой, если вероятностный закон каждого вектора

(Х„ , А' Х„ )к "\’ «2 nh)

инвариантен осиоснтельно перестановок индексов пь п2л* (индексы Htrih предполагаются попарно различными). Всякая последовательность независимых одинаково распределенных случайных величии симметрично зависима. Пусть $п есть а-алгебра, порожденная событиями, симметрично зависящими от Х;Хп и произвольно зависящими от Хя+|Обозначим через gg^ пересечение убывающей последовательности а-алгебр gg п.

Пусть р^1. Используя соображения симметрии, показать, что если / — действительная измеримая функция, такая, что ЦХ^ ее Lp, 11 III п, то

Е ЧЦХ,„)] = (!/«) ^HXjY .

1

Вывести отсюда усиленный закон больших чисел: п. и. и в смысле сходимости в Lp

п

Пш Т X w = Е®” [/ (ХО].

fl -> ОО п

1

Показать, что д. иаково распределеныПоказать, что д. иаково распределеныс. в. Хп условно независимы н условно оди- относительно ^^ (убедиться, что

Показать, что д. иаково распределены

Показать, что д. иаково распределены

Е®”Е®”* кП ь ^хл* кП ь ^хлП£ ”[№)],/-1П£ ”[№)],/-1

Е®”

Е®”

* к

П ь ^хл

* к

П ь ^хл

П£ ”[№)],

/-1

П£ ”[№)],

/-1

где fj (1 $^ / ^ к) — произвольные ограниченные измеримые функ

ции; для этого вычислить, пользуясь соображениями симметрии,

П'-^,)П'-^,)прн 1 ^ Hjп^ ^ ппрн 1 ^ Hjп^ ^ п

П'-^,)

П'-^,)

прн 1 ^ Hjп^ ^ п

прн 1 ^ Hjп^ ^ п

Установить, что и обратно, последовательность условно независимых и условно одинаково распределенных относительно некоторой о-алгебры д. с. в. симметрично зависима.

Показать, что о-алгебра ^*„ отличается от о-алгебры асимптотических событий

А06-П^(ХП1п>^

N

п

лишь иа нулевые множества. [Заметить, что предел lim (1/n) ^f (ХА

^„-измерим.] В случае последовательности независимых д. с. в {Хл} оператор Е ” совпадает, таким образом, с обычным математическим ожиданием Е.

5.3. Пусть (Лп, п ^ 1} — возрастающая последовательность о-алгебр в пространстве (й, Л, Р). Обозначим через gg алгебру 1)<Лл, и пусть <ЛМ есть о-алгебра, порожденная gg. Пусть, далее, Q — отображение алгебры gg в [0, 1], ограничение Qn которого на Лп есть вероятность при всех п. Обозначим через Хп производную Qn относительно ограничения Р на Лп (см. предложение IV. 1.3).

■ Показать, что {Xn, Лп; п ^ 1} — положительный супермартингал, сходящийся п. и. к положительной д. с. в. Х^ — наибольшей ^„-измеримой д. с. в., для которой J XMdP^Q (В) при всех В g gg.

в

В частности, если отображение Q ст-аддитивио иа gg, то Хм есть производная o’-аддитивного продолжения Q на Л^ относительно Р„ (ограничения Р на Л^. Если Qn <К Рп на Лп при всех п, то последовательность {Xn} является мартингалом. Показать, что в этом случае функцию множеств Q можно продолжить, до абсолютно непрерывной относительно Р„ вероятности иа Л^ тогда и только тогда, когда мартингал {Xn} равномерно интегрируем. Вывести отсюда, что такое продолжение Q возможно, если sup Е'(ХП log Хл)<оо.

" В том случае, когда Л есть о-алгебра счетного типа и {<4Л} — возрастающая последовательность конечных алгебр, порождающая Л, приведенные выше результаты можно сформулировать, давая явные выражения для Х„. В частности, это можно сделать в случае, когда (й, Л, Р) есть интервал [0,1) с мерой Лебега, а алгебры Лп порождаются диадическими разбиениями

= {[и-", (к + 1) 2-"); 0 < к < 2"}

интервала [0, 1).

IV. 5.4. Если №, Л^ t g Г) — субмартангал, / —непрерывная возрастающая выпуклая функция и Е [f+ (X/)] < «> при всех / g Т, то д. с. ф. {№). teT)- тоже субмартингал. То же самое заклю-

чепие верно, сели {X,} — мартингал, а / — непрерывная и выпуклая (не обязательно возрастающая) функция. В частности, если {Л,} — положительный мартингал и Е [Х( log Х(] < оо, то д. с. ф.

{X, togXbtEn

является субмартингалом.

Пусть Р, Q — две вероятности на (Q, ut). Ограничения Р и Q на произвольную а-подалгебру ® а-алгебры Л обозначим Р^ и Q^, Положим

Н^) = J Хл1ог(Х^Р<оо,

если вероятность Q^ абсолютно непрерывна относительно Р^ с плотностью Х^ и

Н (38) = + оо

в противном случае. Показать, что Н (^) — положительная возрастающая функция от ^, причем Н(38) = 0 тогда и только тогда, когда Q$ = Pj5. Показать, далее, что если {.^^ — возрастающая последовательность а-алгебр, порождающая а-алгебру 58а» то

Н С.^.») = Пт ф Н (38^).

и

Наконец, если {^„l — убывающая последовательность а-алгебр с пересечением ^^ и lim*// (^„J < оо, то Н (38^) = lim^W (38п).

пп

[Использовать предыдущее упражнение.]

*1V. 5.5. Пусть Г — абстрактное направленное вправо относительно отношения ^ множество, и пусть {X/, tAf, /е7} —мартингал, образованный д. с. в. из Lp (I ^р < оо). Показать, что следующие условия эквивалентны:

lim Xf существует в смысле сходимости в Lp, г

семейство д. с. в. {X,, 1 е Г) относительно компактно в ослабленной топологии в Lp (т. е. равномерно интегрируемо при р = 1 и ограничено при р > 1),

существует д. с. в. X из Lp, такая, что Xt = Е ' (X).

Показать, далее, что если эти условия выполнены, то Xt = Е^* (Нт Х^.

IV. 5.6. Пусть {X,, Jit; *е 7} — субмартипгал, определенный на открытом интервале 7 = (0, 1), такой, что sup Е < оо. Показать, что почти все траектории этого субмартингала непрерывны

тогда и только тогда, когда для любых действительных а < b i~h

11m (I/Л) f dtP (Xt <a, Xuh > 6) = 0.

l-h

Um (1/Л) f dtP (Xt > 6, Xuh < a) = 0.

Ato ■ j

0

1-/1

[Заметить, что интегралы (1/Л) J ^^х(<а,Х(* >6} являются о

д. с. в., мажорированными величиной Ya. *• и что верхний предел при ЛфО этих д. с. в. ограничен сверху д. с. в.

2 1{Х(_<8.Х/+>6)-

а нижний их предел при А ф 0 ограничен снизу д. с. в.

Вывести отсюда, что первое условие необходимо и достаточно для того, чтобы Xt- ^ Xt* при всех t для почти всех траекторий субмартингала.)

Таким образом, для того чтобы почти все траектории конечного субмартингала {Л/, 0</<1) были непрерывными на (0, I), достаточно, чтобы sup (1/А) Р [ I Xt+ь — Xt I > в] ->0 при АфОдля любого е > 0.

IV. 6. Центрированные последовательности случай

ных величин

В этом пункте теория мартингалов применяется к изучению центрированных последовательностей случайных величин.

Определение IV. 6.1. Пусть \Jlm n ^ 1} — возрастающая последовательность а-алгебр в пространстве (й, Л, ру Адаптированная к последовательности (Лп\ последовательность {У„, п^1} интегрируемых д. с. в. называется центрированной, если Е'*"*1 (У„) = 0 при всех п>1. (Подразумевается, что ы£о = {0, Й}.)

Обычно в качестве a-алгебр Лп берутся a-алгебр ы. Порожденные величинами Ут(ш^п). Легко видеть, что

частичные суммы Хп = 2 У,л (^о = 0) центрированной ।

последовательности д. с. в. образуют мартингал. Верно, между прочим, и обратное —всякий мартингал {Х„, /г^О}, для которого Хо = О, может быть получен таким образом; достаточно положить

Y^X.-X^.

Отметим, далее, что всякую адаптированную к {и£„, /2^1} последовательность интегрируемых д. с. в. {Z„, п 1} можно центрировать, положив

y„ = Z„-E^-(Z„),

так что любой результат относительно центрированных последовательностей д. с. в. может быть преобразован в некоторый результат относительно произвольных последовательностей интегрируемых д. с. в.. Заметим, наконец, что последовательность {Yn, п^1} независимых д. с. в. центрирована тогда и только тогда, когда E(Yn) = 0 при всех п^1.

Предложение IV.6.1, Если (Уп, п^ 1} — центрированная последовательность д. с. в., то

из сходимости ряда ^E{Yn)2 вытекает сущест-

п 1п

вдвание предела lim У Y,n п. н. и в смысле сходимо-

п->оо 1

ста в пространстве L^,

для всякой неубывающей стремящейся к оо последовательности действительных чисел {и„, п^1} из сходимости ряда У и^Е (У^) вытекает, что

п

lim п;1 5 Ym = 0 п. н.

Доказательство. Последовательность {У„, п^1), будучи центрированной, ортогональна, поскольку ^(YmYn) = Е(,УтЕл"1 (У„)) = 0 при tn < п\ следовательно,

Применяя теперь предложение IV. 5.6 к мартингалу Хп = У У„Л, убеждаемся в справедливости пер

вого утверждения предложения.

Далее, если {Уп} — центрированная последовательность и un=/=0, то [u-'У^ —тоже центрированная последовательность; поэтому из сходимости ряда ^u”2E(Y2^ п п

следует, что предел Нт 2 Нт^т существует и коне- П->ОО I

чен п. н. Второе утверждение предложения вытекает из этого факта и следующей леммы, принадлежащей Кронекеру.

Лемма. Если {и„, п ^ 1} — неубывающая последовательность- положительных действительных чисел, стремящаяся к + оо, и если последовательность действительных чисел ^уп, и^1} такова, что предел п'

Нт 2 и~тУт существует и конечен, то

п

lim и;1 2 Ут = 0.л>= " I Jm

Доказательство. Последовательность {и„ = ия — — Mn-J состоит из неотрицательных чисел и 2 у™ = = «п t <х> при п f оо. С другой стороны, числа гп = = 5 ипУт образуют сходящуюся последовательность. Так как

2 Ут 2 Нт ^т ^m-l) = 2 У/п (^n^m-i)>

I1I

имеем при р<п

р•2 Vm^n -Z^)р•2 Vm^n -Z^)п \

р•

2 Vm^n -Z^)

р•

2 Vm^n -Z^)

2 ут SUp |2„-2„|.

1+1/ р^т^п

14 Зак. 1368

Деля обе части этого неравенства на ип и устремляя к бесконечности сначала п, а затем р, получаем требуемый результат. 1

С помощью техники моментов остановки предыдущее предложение можно значительно усилить. Отметим, однако, что чтение дальнейшей части настоящего пункта не обязательно для понимания следующих.

Предложение IV.6.2, Если {У „, /г ^ 1} — центрированная последовательность д. с. в., то предел lim 2 У,„ существует н. н. и п. н. конечен на множестве О0 = ^ ^ £л"-‘(у^) < оо 1 . Более того, если sup(ynieZ,2, то множества й0 совпадает’п. н. с множеством, на котором сходится ряд X У,„.

С другой стороны, если [Un, п^ 1} — возрастающая последовательность положительных д. с. в., такая, что д.с.в. U„ измерима относительно ut^ (и ^ 1), то limn, н U7? 2 Ут — 0 на множестве

Й, = |Нт t и„ = оо, 2 и^Ел»^ (уЭ < оо|.

Это предложение действительно является обобщением результатов предложения IV. 6.1, касающихся сходимости п. и. В самом деле, из сходимости ряда

^Е^

вытекает интегрируемость и, следовательно, и. н. ко- ценность д. с. в. 2 Ел'1-'- (У^)2, так что Ц, = Q п. н. Аналогично, из сходимости ряда

вытекает, что 2 и^Е^^-1 (У„) < оо п. н. Доказательство предложения IV. 6.2 основывается на следующей лемме:

Лемма. Если {Zn, п^О} — произвольная последовательность интегрируемых д. с. в., адаптированная к последовательности {и£„, и^О}, и v — определенный всюду и ограниченный сверху некоторым целым числом N момент остановки, то '

Е (Zv) - Е (Zo) = Е Г 2 <ЕЛ" (Z„+1) - Z„) 1.

L n < vJ

Доказательство леммы. Так как д. с. в. Z„ и l{v>n) являются Л,^измеримыми,

Е U. д п+1) — Е (Zv Дп) = Е [ 1 {V_> п} (Z^^н)] =

= E[l{v>n)(f^(Z„+1)-Zn)L

Суммируя эти равенства по п от 0 до N — 1 и замечая, что vA 0 = 0, v Д У = v, получаем требуемую формулу. |

Доказательство предложения. Пусть {/„, Лп; п ^ 1} — центрированная последовательность и vo — момент остановки, равный наименьшему целому числу ш (если оно существует), для которого 2 £"*л(Уи+1)> а п^т

(а — положительная постоянная). Положим Хп = 2 Ym.

Последовательность (Zvoa.v, ^^I} является мартингалом, и из леммы и определения ма следует, что

£(Аа^) = 4 2 (^"(ti-Xn2)!»

' °' ln<vflAWJ

= Е\ 2 EMYW\<a. ln<vaKNJ

Согласно предложению IV. 5.6, предел lim п. н. Xv ми N-> = а существует и конечен п. н. на всем пространстве, так что предел lim Xn существует п. н. на множестве N -> ОО

(QvJ = |2^(^+i)<a}-

Устремляя теперь а к оо, убеждаемся в существовании предела lim Ху на Qo.

Пусть теперь {У„, <^„; п ^ 1} — центрированная последовательность, такая, что sup|Kn|eZ2, и пусть

Xn = ^Ym. Обозначим через va момент остановки, равный наименьшему целому числу in (если оно существует), для которого |Xm|>a (a — положительная постоянная). Из равенства

Чм = ^(v'a.v) - 1 +

и определения v' вытекает, что || XvzAV||^« + ||sup|yj||,,. Применяя теперь лемму, получаем

£[ 2 E'WUiY£[ 2 E'WUiYаа= lim * ЕN= lim * ЕN2 e^^Y = n<VaM<_2 e^^Y = n<VaM<_

£[ 2 E'WUiY

£[ 2 E'WUiY

а

а

= lim * ЕN

= lim * ЕN

2 e^^Y = n<VaM<_

2 e^^Y = n<VaM<_

Следовательно, 2 Е *п (У„ +i) < оо п. н. на множестве (йх/)с = {sup|X„|^a}. Отсюда, устремляя а к оо, получаем, что множество йу п. н. содержит множество (sup | Хп | < оо). Тем самым первая часть предложения доказана.

Из допущения второй части предложения вытекает, что (Уп'Уп) — центрированная последовательность. В самом деле, в силу ^„.^измеримости Un имеем E^^^U^Yn^ и^Е^'^^Уп^О. По доказанному выше ряд ^lUmYm сходится п. н. к конечному пределу на множестве

{2№Мг;)<=4

Для завершения доказательства предложения теперь остается лишь применить лемму Кронекера. |

Следствие. Пусть {У„, Лп\ п^\^ — центрирован- пая последовательность и Dn = ^E'*m-i^Y"n^. Для лю- 1 бого е > О

2■ lim= 0 и. н." OX'410gDny^

на множестве J 2 Е^т-^ (Km) = 00 L кН а дополнительном ImJ

п

множестве ряд 2 Ут сходится.)

Доказательство. Положим Un = f(Dn), где f = = <1/2(log 0(1/2,*е- Ясно, что limft/n=oo на множестве g^-C^= ОО^. С другой стороны, поскольку

Un Е(Уп)р (/)д) с J р (/) ,

°л-1

постольку из имеющей, очевидно, место сходимости на бесконечности интеграла J f-2(/)d< вытекает сходимость всюду ряда 2 UnE*"-' кУпХ Остается применить предыдущее предложение. ■

Следующее предложение показывает, что при выЛ

полнении определенных условий суммы 2 Ут бесконечно осциллируют на множестве, где расходится ряд 2 Ут-

Предложение IV. 6.3. Для всякой удовлетворяющей условию supIKnleZ,! центрированной последа-

Л

вателъности [Г„, п>1}

liminf(2 Гт) = —оо и lim’sup(2 Гт)=+оо

на дополнении к множеству, где ряд 2 Ут сходится к конечному пределу.

Доказательство. Пусть va —момент остановки, равный наименьшему целому числу пг (если оно су-

шествует), для которого Хт = 2 Ук > я* Поскольку

X* AV^^v / V-t + ^v t v ^ «+SUp }'", ПОСТОЛЬКУ В СИЛУ сделанного предположения математическое ожидание £(|XV л vI) = 2f (^ ла-) остается ограниченным при Л'->оо. Согласно предложению IV7.5.6, мартингал {X'^aw} Должен сходиться к конечному пределу и, следовательно, предел Нт п. н. Хп существует и конечен п. и. на множестве (^v )с = [sup Хп^ «}. Устремляя а к бесконечности, получаем, что предел lim zV,t существует и конечен п. н. па множестве

(sup X,, < ool = Jlim sup Хп < ool, I н 1 \ п I

так что lim sup Х„ =; + ос на множестве расходимости последовательности {X,,}. По симметрии на этом множестве имеем также lim inf Х„ = — оо. |

Следствие. Для. всякой последовательности {Z,„, л>1| д. с. в., таких, что O^Z„^1, имеет место равенство .Щ Zn < ool = .Г^ Е^'1-' (Z,,) < ool. В частности, I « J I /IJ

если {/ln, n > 1} — произвольная последовательность событий и <Ап суть а-алгебры, порожденные событиями И™, т<п}, то

lim sup Дм — J 2 Ел"~х) = оо

а >=" "I» V ",

Доказательство. Д. с. в. ¥д=^п—ЕЛп-х (.Z^ образуют центрированную последовательность, такую, что | У„|< 1 и — Е'*"-' {Z„) ^ Yn ^ Zn. Так как из сходимости ряда У Z,„ следует, что

lim suplim sup

lim sup

lim sup

п \ 2ттI /и по-п \ 2ттI /и по-то по предыдущему предложению предел lim “п -> № \

п \ 2тт

I /

и по-

п \ 2тт

I /

и по-

существует и конечен на множестве i^Zn<oo]

этому на этом множестве ряд

(

« \

2 Ут

1/

сходится. Симметричное рассуждение показывает, что

2^„<о° на множестве {5 Елч-\ (Z„) < оо}, |

Дополнения и упражнения

6.1. Пусть {Кп, п ^ 1} — последовательность независимых д. с. в. Показать, что sup | Кп | г Lp при некотором ре[1, сю) тогда и только тогда, когда ^ J | УП |р < оЗ для некоторого " (ГлР0}

действительного положительного а. [Показать сначала, что положительная д. с. в. У интегрируемая тогда и только тогда, когда сходится бесконечное произведение

Ц Р (Г < и),т>1л0

где т пробегает все целые числа ^ т0 и т0 — целое число, такое что Р (К ^tn^ > 0.] Вывести отсюда, что если д. с. в. Кп (n ^ 1) независимы и одинаково распределены, то для выполнения условия sup|Kn|eLp необходимо и достаточно, чтобы Y^L^» что, следовательно, это условие не зависит от р.

Переформулировать результаты настоящего пункта для последовательностей независимых д. с. в., принимая во внимание, что для таких последовательностей

Е^-^-Е(У^.

6.2. Пусть {Хп, п ^ 1} — субмартингал. Показать, что предел limn. н. Хп существует и <со п. н. на множестве сходимости ряда ^(^-'(^-Х^,). Более того, если sup(X„ —Хп-1)+г £,, то это множество совпадает п. н. с. множеством, на котором последовательность {Х„} сходится к пределу < оо.

Пусть (Хп, п ^ 1} — мартингал или положительный субмартингал. Показать, что при р ^ 1 предел lim п. н. Х„ существует и конечен п. н. на множестве

^ - {S( e^r-^ । х« ip -1 ip) < °°у

Более того, если sup | Xn — Xn_t [ е Lp, то Qp совпадает п. и. с множеством сходимости последовательности {Хл} к конечному пределу.

Показать также, что подмножества Пр убывают с ростом р. [Ис- ьользовать доказательство предложения IV. 6.2.]

6.3. Дать новое доказательство предложения IV. 4.4, основывающееся на следствии предложения IV. 6.3. [Заметить, что

^"-'(^J-^nMiO^n ... П^ч) п. и. на f^Л^_)

7 Последовательности независимых случайных величин

В настоящем пункте мы докажем две классические теоремы теории суммирования независимых д. с. в., используя теорию мартингалов и полученное с ее помощью предложение IV. 6.1. Несколько других результатов о сложении независимых д. с. в. включены в предыдущий пункт (см. упражнение IV. 6.1).

Предложение IV. 7.1 (закон больших чисел). Пусть [У„, п^ 1} — последовательность независимых одинаково распределенных д. с. в. с £( | У, |) < оо. Тогда

lim п. н4Уу„ = £(У,).

П -> СО,l

Более общим образом, если Е (| У, |р) < оо для некоторого р е (0,2), то

lim п. и. п*^ У (У,л — я) = 0,

И -> =о1

где a = E(Y^ при p^Y; при р< \ в качестве а можно очевидно, взять любое действительное число. Обратно, если £ (I У, |р) = со, то

limsup n-^iP ^(Ym-a) = + оо

при всех а е R.

Доказательство. Пусть {У„, л ^ 1} — последовательность независимых одинаково распределенных д. с. в. с £( | У, |р) < оо. В случае р ^ 1 мы предположим, кроме

того, что £(У1) = 0. Это допущение имеет смысл и не ограничивает общности, поскольку общий случай сводится к этому вычитанием постоянной E(YV) из Y„. Определим теперь новую последовательность (Z„, п^ 1} независимых ограниченных д. с. в., положив Zn = = УЛ1||К |<ni/p}- С помощью несложных вычислений мы покажем, что

2 ^(^^/„Хоо;

ряд 2 п-ЧРE(Zn) абсолютно сходится при р=^\ п "> 1

и lim Е(Z„) = 0 при р = 1;

2/г^^соо. п> I

Так как Е [(Z„ - EZ^\ = Е (Z^) - [£ <Zn)Y < Е (Z^), из свойства (в) и из второй части предложения IV. 6.1 в применении к центрированной последовательности {Z„ —£(Zn), n^l} и к последовательности действи

тельных чисел и„ = п'1? вытекает, что lim п. ц. п~Чр 2 [Zm — П -> оо|

— Е (Zm)] = 0. Из свойства (б) и, при р#=1, из леммы Кро

некера (стр. 209) следует, далее, что lim n-I/p2 Е (Zm) = 0 Л -> оо(

и поэтому

lim п. н. п-!'24 = 0.П ■> ооI

Наконец, согласно свойству (а), при почти всех со имеем Ул(со)= Zn(co), если п достаточно велико. Следовательно, п,

lim п. н. «-■"’2^ = 0, поскольку ггЧр | 0 при п | оо. Л -> оо(

Для доказательства свойств (а) —(в) заметим сначала, что при любых у^О и q е [0,1) имеем

УР" 2 n-q4H>n.MP\ = ypq 2 1Г51^р>^<1 п>1п >I

^ ypq J х-’ dx = (1 — qVyP- о

(Здесь 1{у >„!/?} равно 1 при y>nVp и равно 0 в противном случае.)

Свойство (а) является следствием этого неравенства при <7 = 0, поскольку

2 P(r„^z„)= 2 ffidY.i^'^l^f (I^rxoo. » ^ 1n I

Свойство (б) при р>1 тоже следует из этого неравенства. В самом деле, так как £(/)) = 0, имеем

I Е (^n) । “ | ^(^J{ |У, к п1/*’}) | I £ [^{iTi 1 > п1^}] I ^ <E(IW(!r., и, применяя наше неравенство с q = (1/р)<1, получаем

^ «-''^(ZjXEh У[ I ^п4 р 1{)у1>п1/р} ч > 1L л > I.

^(l-A^fdy, Н<оо.

С другой стороны, для любых </^0 и <7>1

/^п-Ч^^У^^п-^р^/^п-Ч^^У^^п-^р^<УРЧ<УРЧ(ypyq + f X"4 dx(ypyq + f X"4 dx

/^п-Ч^^У^^п-^р^

/^п-Ч^^У^^п-^р^

<УРЧ

<УРЧ

(ypyq + f X"4 dx

(ypyq + f X"4 dx

Это второе неравенство влечет, во-первых, справедливость (б) при р<\. Действительно, полагая q=\;p, имеем .

^n-‘/₽|f(Zn)|< Vn-I/p£(|ZJ) =

- 1)'£(|УГ П<оо.- 1)'£(|УГ П<оо.n > In ^ 1

- 1)'£(|УГ П<оо.

- 1)'£(|УГ П<оо.

П 1/Р1{| У.Кп1^}П 1/Р1{| У.Кп1^}

П 1/Р1{| У.Кп1^}

П 1/Р1{| У.Кп1^}

Из второго неравенства вытекает также (в): полагая в нем ^ = (2/р)>1, находим

2Е (Я) - Е [| У, р V п-2^1 г 1Г;, < ,р}1 <

1>1. п>1.

<1+(" iffCli^rxoo.

Наконец, справедливость (б) при р =1 очевидна:

при П->ОО,при П->ОО,£ (Zn) = £ [У11{| у, |<п}]-> Д (TJ = О

при П->ОО,

при П->ОО,

Таким образом, прямое утверждение полностью доказано. Докажем обратное.

Для всякой последовательности [Уп, п^1} не

зависимыхlim sup n~xlpзависимыхlim sup n~xlpд. с. в.и потомуд. с. в.и потомуодинаково распределенных

зависимых

lim sup n~xlp

зависимых

lim sup n~xlp

д. с. в.

и потому

д. с. в.

и потому

2 (У,„ — а) — асимптотическая

н. равная константе д. с. в. Предположим, что для некоторого р s (0, 2) и некоторого действительного а эта константа конечна. Из равенства

тогда вытекает, что асимптотическая и, следовательно,

н. постоянная д. с. в. lim sup п-1/р| Уп | п. н. равна П->оо

конечной константе, скажем с. Так как при этом верхний предел независимых событий (|Уп| > и,/р(1 + с)} п. н. пуст, имеем

2 P(|y„i>(i + c)/il/p)<oo.

Л> 1

Применяя теперь элементарное неравенство

п$1 1{у > п‘/р} = п"§1 ^^ > "} ^ ^^ — 1^^^

к д. с. в. | У[|/(1 + с), находим

pdyj'xa + c)p[i + 2 Pdyjxi + с)п'"’)1< оо.

L п> 1J

Тем самым последнее утверждение предложения доказано. |

Предложение IV. 7.2. Пусть [У„, п^ 1} — последовательность независимых д. с. в. и фп(/) = E(eiiY") (n^ 1) — их характеристические функции. Для сходимости

н. ряда 2 Yn достаточно, чтобы бесконечное произ- п

ведение Цфп(0 сходилось к отличному от нуля п

пределу на некотором множестве положительной лебеговой меры.

п

Доказательство. Пусть Хп = 2Хт (п^О), и пусть^ есть а-алгебра, порожденная д. с. в. Хт (гп^.п'). В силу независимости величин Ym имеем £(elLY«) = (n X п.

=пфт(/). Напомним также, что 1фп(/)|^

^£(1^1)= 1 при всех IeR и п^1. Для любого действительного t, такого, что П|фп(01>0, последо- п вательность

Veux-Wl4 Лп-, п^О}

является ограниченным мартингалом со значениями в комплексной плоскости. В самом деле, с одной стороны, согласно предложению IV. 4.2, £Лп (е£<Уп+1)=фп+1 (О и, следовательно,

Е^ (eltx^) = eltxnE (е™„^ = е"^Ф,1+1 (/), £ ^хп^ = Е ^„ ^ихп^ = Е ^ фп+1 ^ Деля первое из этих равенств на второе, убеждаемся, что рассматриваемая последовательность — мартингал. С другой стороны, образующие этот мартингал д. с. в. ограничены по абсолютной величине сверху постоянной (H^itOl) ‘. поскольку

|£(е“х")1 = П|Ф,ЛШП1Ф^ 1т

при nfoo. Применение предложения IV. 5.6 к действительной и мнимой частям рассматриваемого мартингала показывает, что мартингал этот п. н. сходится при п-*ос..

Обозначим теперь через Т борелевское множество тех точек t е R, в которых произведения E(etiX™) = = Цфт(0 сходятся к ненулевому пределу при п-*оо. 1

Ясно, ЧТО П|фт(01>0 ПРН teT. Принимая во внимание вышесказанное и сходимость Е^е111^ при teT, видим, что последовательность UitX”. «^П сходится и. н. при всех t е Т. По предположению множество Т имеет положительную лебегову меру; ниже мы покажем, что при этом lim sup | Х„ |< оо п. н. Отсюда следует, что п->оо•

последовательность {Хя, п^О} сходится п. н. В самом деле, так как множество Т имеет положительную лебегову меру, оно содержит по крайней мере одну пару t, V с иррациональным отношением /'//, а всякая ограниченная последовательность действительных чисел {х„, п^1} сходится, если сходятся две последовательности (е‘/х”, и О} и {е11*"! п^О}, отвечающие действительным /, Г с иррациональным отношением

Каждому борелевскому множеству S cz R с конечной и строго положительной лебеговой мерой A(S) сопоставим комплексную функцию действительного переменного х: fsW” J еихкУЩ. Хорошо известно, что нез

прерывная ограниченная функция fs(x) стремится-к нулю на бесконечности. [Действительно, в случае когда S есть конечное объединение непересекающихся ограниченных интервалов, это проверяется простым подсчетом; общий случай получается с помощью аппроксимации S по мере конечными объединениями непересекающихся интервалов с учетом формулы-

sup|^(x)-fs,(x)|^X(S AS').]

Покажем, что если такое множество S содержится в Т, то последовательность Vs^X^, п^О} сходится п. н. Пусть D — измеримое подмножество произведения SX^, состоящее из тех пар (t, со), в которых последователь, ность {е1<л”<т!) не сходится при п-*оо. Согласно уже

доказанному, все сечения D,(<g 3) множества D имеют нулевую вероятность. Применяя теорему Фубини, получаем

J л (DJ Р <d^ = [а X РА (О) = / А УП Р (D.A = О,

откуда /.(£)„) = О и. и. Но для всякого со, такого, что .<.(Do) = 0, последовательность {е"^1'”’} сходится при почти всех <eS, а следовательно, в силу теоремы Лебега сходится и последовательность fs (Л., (ы)) = - |' Z^e'7^""’.

Событие 1 lim sup | Xn |< сю 1 является асимптотиче- l n I

ским, и поэтому вероятность его равна либо 0, либо 1. Предположим, что эта вероятность равна 0. Тогда lim sup | XJ = oo п. в. и предел последовательности {Ls(^n)> »^0), который, как мы видели, существует и. и. для всякого борелевского множества 3 конечной лебеговой меры, равен п. и. нулю, поскольку функции fs обращаются в нуль на бесконечности. Полагая /г->оо в соотношении

Е [fs (Л'Л = I VAdtA Е (eil4 - J Z (г//) Д Ф,„ (/),

принимая во внимание неравенства

п

<1

и- дважды используя теорему Лебега, получаем

0 = lim Е [/S(A\)] = lim flп0 = lim Е [/S(A\)] = lim flпJ А№) Дф/nG) = J MdlA Дф-^О.

0 = lim Е [/S(A\)] = lim flп

0 = lim Е [/S(A\)] = lim flп

.S'I.S’' m

каково бы ни было борелевскос множество 3 с: Т конечной лебеговой меры. Отсюда Пф-ЛО — 0 п-н- на Л что противоречит определению Т. Тем самым мы показали, что lim sup | Хп |< оо п. н. | л

Следствие I. Пусть Yn —независимые д. с. в. с характеристическими функциями фп, п^1. Следующие условия равносильны;

ряд % Yn сходится п. н.;

ряд 2 Yn сходится по вероятности; п

произведения Ц фт (/) сходятся при п-»оо рав- 1

номерно на каждом компактном подмножестве R;

произведения Цф,л(0 сходятся при п->оо к не-

1

нулевому пределу на некотором множестве положительной лебеговой меры.

Доказательство. Ясно, что из (а)-'вытекает (б). Из сходимости по вероятности д. с. в. Хп = 2 Ym к д. с. в. X п из неравенства | ei<x'— ei<,c|^|t|| х — х'| следует, что для любого е>0 и любого фиксированного и>0

Р[|е‘^-^| >е]<р[|хл-х|>А]^о (И<н).

Отсюда в силу ограниченности с. в. eltXn вытекает, что . . п

Е (e1ZA") = П ф,„ (/) сходится к Е (eitx) равномерно на каждом интервале |/|^и.

п

Так как Пфт(О) — 1» то из условия (в) следует схо-

п

димость произведений Цфш(0 к ненулевому пределу 1

по крайней мере на некоторой окрестности нуля, и поэтому (в) влечет (г). Наконец, согласно предыдущему предложению, из (г) вытекает (а). |

Следствие 2. Пусть Yn —независимые д. с. в. с характеристическими функциями ф„, п ^ 1. Если бесконечное произведение Ц ] Ф„(01 строго положительно на п

множестве положительной лебеговой меры, то существует

последовательность действительных чисел {аП,п^1}, такая, что ряд ^(Y^ — a^ сходится п, н. (при этом

говорят, что ряд 2 Уд квазисходится и. н.).

Доказательство. Пусть (й', Л', Р') и (Y'„ п^ 1} — вероятностное пространство и последовательность определенных на нем независимых д. с. в., изоморфные (й, Л, Р) и (У„, n^I} соответственно. Определим на произведении (Й, Л, Р) X (й', Л\ Р') д. с. в. Zn) положив Zn (со, со') = Yn (со) — Уя (со'). В силу следствия предложения IV. 4.1. д. с. в. Zn независимы и характеристические функции их равны

J e"z« d (Р X Н = J em’n dP J e~itYn dP' = Q X Q'UU'

= фл W ф« (—0=1 Фл (0 P-

Следовательно, согласно сделанному предложению, произведения характеристических функций величин Z„ сходятся к ненулевому пределу на множестве положительной лебеговой меры. Применение предложения IV. 7.2 показывает теперь, что множество сходимости ряда S^n совпадает п. н. со всем пространством й х й'. В силу теоремы Фубини при почти всех со' множество сходимости (подмножество й) ряда ^Zn(*, со') совпадает п

п. н. с Й. Беря одно из таких со' и полагая ап = У'(со'), получаем ряд ^(Y^ — a^, сходящийся п. и. на (й,^4, Р). 1

Дополнения и упражнения

УЧЛА. Пусть {ея, п Л 1} — последовательность независимых д. с. в. с одним и тем же законом распределения Р (ея = ±1) = 1/2. Показать, что ряд 2 сяея, где (ся, п ^ 1) — последовательность л > I

комплексных чисел, сходится п. и. тогда и только тогда, когда 5 1Сп I2 < °0, То же самое условие необходимо и достаточно для п

сходимости п. н. ряда У; сае п, где (Фф ч 1} — последователь-

ность независимых д. с. в., равномерно распределенных на [0, 1). (Отметим, что более сильное условие 21 Сд I < °° необходимо и

п2 2л<ф,.

сле л при любом выборе фл п

из [0, 1), а также, по крайней мере в случае действительных сл, для сходимости ряда 2 слел при любом выборе ,ел= ± 1.)

п

Пусть (Ул, п > 1} — последовательность независимых д. с. в. с симметричными вероятностными законами (т. е. таких, что Ул н — Ул имеют один и тот же вероятностный закон). Будем считать Ул координатами пространства ^R, X)N. Показать, что ряд 2 ^п сходится л. н. в R тогда и только тогда, когда сходится п. н. в R ряд 2 Иг №я любой последовательности {дл} действительных чисел, принимающих значения ± 1, определим преобразование 9 пространства (R, «)N иа себя, положив 9 ({у„}) = {д„ул}. Преобразование 9 измеримо и сохраняет вероятности. Следовательно, длн сходимости п. н. ряда 2 У» достаточно, чтобы сходился п. н. один из рядов 2 Дд^д> и необходимо, чтобы все такие ряды сходились п. н. С другой стороны, если {е„, п ^ 1} — определенная иа вероятностном пространстве (Я', Л', Р') последовательность независныых д. с. в. с одним и тем же законом Р (ел™ ± 1) “ 1/2, то и» яре- дыдущего можно вывести, что ряд 2 И» сходится п. н. на RN тогда и только тогда, когда ряд 2 еп^л сходится п. и. на RN X Я'-]

7.2. Пусть {Ул, л> 1} — последовательность иезависнмых одинаково распределенных д. с. в. и v —момент остановки относительно возрастающей последовательности о-алгебр {Лп = $ (Ут, m ^ л)}. Показать, что последовательвость {Уу+п. л ^ 1} не зависит от Л^ и что образующие ее д. с. в. независимы и имеют тот же вероят-- постный закон, что и У„. [Здесь не предполагается, что Яу = Я, и поэтому нужно сначала дать точную формулировку утверждаемого результата.]

7.3. Рассмотрим топологическое линейное пространство (классов эквивалентности) конечных д. с. в., определенных на вероятностном пространстие (Я.-сД, Р), с топологией сходимости по вероятности. Пусть L — линейное подпространство этого пространства, порожденное элементами последовательности {Ул, л > 1) независимых (не_равных константам п. в.) д. с. в. Ндша цель — описать замыкание L подпространства L.■

Показать, что для всякого л существует единственный непрерывный линейный функционал сл на L, такой, что сл(Ут) = 1 при

15 Зак. 1368

т = п и сп(Ут) = О при ni^fi. [Функционал сп однозначно определен н непрерывен на L, поскольку

lim Уа^У™ = 0 по вероятности =ф Пт <Р„= 1 (<ЕЮ

р-» = “р-»=°

=^ Пт а^ = 0.1 р->ооJ

Показать, далее, что дли венкой д. с. в. Z е L существует последовательность действительных чисел {Ь„; п> 1), такай, что

Z- lim п. н. 2 с,n(Z) У,n-6„;

п->оо \ 1/

кроме того, если постонннан 1 не принадлежит L (это так, в частности, когда д. с. в. Ул имеют симметричные законы распределения), то числа Ьп можно взять равными нулю. п

[Показать, что д. с. в. Z - 2 ст (^) Ут не зависит от У,, .,,, Уп, 1

и поэтому JJ I Ф,п [cm (Z) /] | > | £ (eizz) |. Вывести отсюда суще- 1

ствование действительных чисел оп (п^1), таких, что д. с. в.

2 ст (г) Ут — а« сходится п. и. к пределу, отличающемуся от Z лишь на асимптотическую д. с. в. Наконец, если дли стремищейси к бесконечности последовательности {га/} предел limbn^ существует в /? и не равен нулю, то

1 =^lim Ь*1/ ^1 =^lim Ь*1/ ^"/L 1."/L 1.еЬДеЬД

1 =^lim Ь*1

/ ^

1 =^lim Ь*1

/ ^

"/

L 1.

"/

L 1.

еЬД

еЬД

Глава V

Эргодическая теория и марковские процессы

1. Теорема Ионеску Тулчи и теорема о произведении пространств

Настоящий пункт посвящен обобщению предложения III. 2.1. Это обобщение интересно в том отношении, что оно дает конструкцию вероятностных пространств, связанных со случайными процессами с дискретным временем. Особенно естественна эта конструкция в случае марковских процессов.

При осуществлении этой конструкции случайность вводится в пространство траекторий способом, отличным от того, каким она вводилась в п. III. 3. При рассмотрении процесса мы считаем, что в каждый момент t он представляется точкой (пли состоянием) xt измеримого пространства (f,, с^). Всюду на протяжении настоящей главы предполагается, что область значений индекса I есть множество целых неотрицательных чисел N (т. е. рассматриваются процессы с дискретным временем). Чтобы „сделать процесс случайным", мы предположим, что в каждый момент / нам задан в форме некоторой переходной вероятности вероятностный закон процесса в момент /+ 1 (т. е. вероятностный закон величины х/+1) при условии, что известна эволюция процесса вплоть до момента / (т. е. при условии [х0xj). Для того чтобы иметь возможность построить вероятность на пространстве траекторий

(«. ^) = (П^, ®^).

необходимо еще задать вероятностный закон процесса в начальный момент t = 0. В следующем предложении конструируются вероятности РХо на (й, <^), отвечающие различным возможным начальным состояниям хоеЕо. Затем будет показано, что эти вероятности можно

проинтегрировать по произвольной начальной вероятности Ро на (Eq, с^о); устанавливаемая при этом формула (см. следствие 2) лежит в основе всего дальнейшего изложения в настоящей главе.

Отметим еще, что результаты данного пункта являются наиболее общими известными результатами, позволяющими строить вероятности па произведении пространств без использования каких-либо условий топологического характера (как это делалось, например, в теореме п. III. 3).

Предложение V. I. I (Ионеску Ту лча). Пусть {(Е„ ГА, t g N^—бесконечная последовательность измеримых пространств, и для каждого Is Т пусть Р°1+;‘‘ —

/ /\

переходная вероятность для пространств Ц Еs, ®<^J '\ оо/

и (Ем, Г^А- Тогда каждому xQeEQ соответствует единственная вероятность Рх„ на

(О, ^) = П№, ГА.

t •

значение которой на произвольном измеримом прямоугольнике Ц Ft дается формулой

t

Р.Р.xr dx2Y ..xr dx2Y ..J Рт" Г ' (Хо • • • YT-l’ dxi\Xje FfJ Рт" Г ' (Хо • • • YT-l’ dxi\Xje Ff

Р.

Р.

xr dx2Y ..

xr dx2Y ..

J Рт" Г ' (Хо • • • YT-l’ dxi\

Xje Ff

J Рт" Г ' (Хо • • • YT-l’ dxi\

Xje Ff

где Т настолько велико, что Е( = Е( при 1>Т (.правая часть при этом не зависит от выбора Т). Для любой положительной д. с. в. на (О, ^), зависящей лишь от координат с индексами, не превосходящими Т, имеем

J pXa W У W = / pUxo- dx^ / р3‘ (-vo- xv d^ • • •

ВЕ,Е,

Кроме того, для всякой положительной д. с. в. У на (О, интеграл

J Рх, U^ У^')

есть ^а-измеримая функция от х0.

Определяющая Рх, формула (правую ее часть следует читать справа налево), несмотря на кажущуюся ее сложность, интуитивно проста: с „дифференциальной1* точки зрения она означает, что вероятность последовательного попадания в множества состояний dx,dxT, исходя из начального состояния xQ, равна произведению условных вероятностей попадания в dxt после пребывания в состояниях х0, .... xt_, ^<t<T\ Последнее утверждение предложения означает, что (Р*, [Д]; хое Ей1 Ле^} есть переходная вероятность для пространств (fo. Л И (й, Л)..

Доказательство. Докажем предложение сначала в случае конечной последовательности пространств {(£,, 5"(Y Q^t^T} и переходных вероятностей [P?+Y’r, 0^<<Г}. Определим последовательно для убывающих значений t вероятности РХа...Х( на произведении пространств Ц (£5, <9" X положив

РxQ ... ХГ [Л] — 1 д (х0 . . . Хг),

И- J P?.-,--(*0...vti,.1)P,,...v,„№ £t+l

Это определение оправдано результатами п. III. 2, согласно которым на каждом шаге функция множеств Рх ...х, есть вероятность на, ® оГ s и ПРИ любом фиксиро- 0 rs^T.

ванном Де ^функция £*„ ...х,[Д] является 8) ^5-изме- римой функцией от (х0, .... х^ и ^'t-измеримой функцией от xt (при фиксированных xQ*/-i)- Очевидно,

далее, что для любой положительной д. с. в. У на 11 (£s> <SQ ПРИ всех

S<< Т

J 1\ ... х, W Г (“') = f Р^\Л (Х0 • • • ^Р йХ^ • ■ •

... j Р° т 1 (ха ... хг_р dx^ Y(xQ .,. хг).

Ет

Перейдем теперь к случаю бесконечной последовательности пространств. Как и выше, наряду с РХ1 мы определим также вероятности Px0...xt. Предыдущее рассуждение показывает, что при каждом конечном Т существуют вероятности Р?...*, на ® ^^ обла- 01

дающие на этих о-подалгебрах о-алгебры cd некоторыми из требуемых свойств. Далее, нетрудно убедиться, что эти определенные для различных Т вероятности согласованы. Следовательно, существуют функции множеств Рха...Х(, определенные на объединении ^ = U ® ^j, ограничения которых на 0 <У5 совпадают с вероят- Т

костями Р^...х(- Более того, ^ есть булева алгебра подмножеств Q, порождающая Л, и функции множеств Pxa...xt аддитивны на ^. Для доказательства продолжимости функций PXq...x( до вероятностей на ^ достаточно, таким образом, показать, что они непрерывны в 0 на ^ (см. теорему п. 1.5).

Пусть ^Вп, п ^ 1} — убывающая к 0 последовательность множеств из ^; предположим, что существуют / >0 и х’, . .., х*. такие, что Пт ^ Рх», *(В^ > 0. В силу непрерывности интеграла относительно монотонной сходимости имеем

Поскольку левая часть этого равенства строго положительна, постольку для некоторого х*+1

Пользуясь индукцией, построим теперь последовательность ш*=[х* ...], такую, что lim^.P *«(В_)>0 при

Jп х0‘ иХ '

всех u>t. С другой стороны, для любого фиксиро- и

ванного п при и настолько большом, что В„е ® о

имеем.

Рх0 ...ха (Вп) = 1вп(х0, ..., х^.

Таким образом, мы должны иметь сй*еВп при всех п, что невозможно. Тем самым показано, что все функции Рх „х являются вероятностями на ^.

Наконец, поскольку, как доказано выше, ^...хДВ] суть измеримые функции от (х0, ..., xt) при Be#, постольку интеграл | РХй... xt (de/) У(со') есть измеримая функция от (х0, ..., х,) для любой положительной д. с. в. У на (й, с^). |

Смысл формул приводимого ниже следствия становится особенно ясным, если Px6...xt интерпретировать как вероятностный закон процесса при условии, что в моменты 0, .... / процесс находится в состояниях *0х(.

Следствие 1. Для определенных выше вероятностей РХо...Х( на (й, d) имеют место следующие соотношения:

j P,0„.,5W) У((»') = о' ^ Q

= j Рх,...,,^') j Px,iiiX,(d«>") ¥(«/'), ©' е£2в"е£2'

каковы бы ни были s<.t и положительная д. с. в. К;

J ^...х/г/со') y(co')Z(a)') =

Ю' Е Q

= Z (х0 . .. х,) | Рхй... xt W^ к (“Э, b>'G Q

каковы бы ни были t, положительная д. с. в. Yu положительная ® &s-измеримая (г. е. зависящая лишь

от координат с индексом, не большим /) д. с. в. Z.

Отметим, что в правой части формулы (а) интеграл f Рх, ,,WW)

определяет функцию от (х', ..., х') и, следовательно, ОТ со'= (л'ц, ..., х', . .

Доказательство. Достаточно проверить указанные соотношения в случае, когда Y и Z суть индикаторные д. с. в. В этом случае их можно записать в виде

Рх ...х Ml=f ^ ....

OS*0 s0/

(s< t, ДЕ^)

Р.о...хДДй]=1в(Хо, ^)Рх„...х,[Л]

Ме^, ЙЕ ® eTs\.

Более того, достаточно проверить эти соотношения для случая, когда Д и В суть измеримые прямоугольники; но в этом случае их справедливость непосредственно вытекает из определений. 1

Следствие 2. Пусть {(В/, ^J; /sN} — последовательность измеримых пространств, и для каждого teN пусть Pm* — переходная вероятность для про-

странствстранств1[В5, и (Et+l, ^~t+l). Пусть, далее, б о /

странств

странств

Ро —вероятность на (Ео> ^о)- Тогда существует един-

■ственная вероятность Р на пространстве (Q, ^) = = П (^, ^), значение которой на каждом измеримом прямоугольнике дается формулой

L <

... | р°г-т '(хохг-ь dxT), Гт

где Т настолько велико, что Ft = Et при t>T. Для всякого множества А^Л

Р(А) = J Р0(б/х0)Р„(Д).

Е,

Для любой положительной (Р-квазиинтегрируемой д. с. в. Y на (2, еД) определенная всюду (Р0-почти всюду функция J Рх, (dco') У (со') от х0 есть вариант условного математического ожидания Е^ЦУ) на (й, d, Р).

Доказательство. Ясно, что функция множеств J P0(dx0)PXa(A)

является вероятностью (см. п. III. 2), принимающей требуемые значения на полуалгебре 5й измеримых прямоугольников. Но 5° порождает Л, тем самым первые два утверждения предложения доказаны. Согласно следствию 1, ^д-измеримая д. с. в. U (х0) = = J РХй (da') У (со') удовлетворяет соотношению

j P(da') Y(a')Z(a') = J PQ(dx0) j PXi (da') Y (a') Z (a') =

ОE,Q

= J Po (dxQ) Z (xQ) U (xa) = J P (da') Z (a') U (a^, E«fi

где Z — произвольная положительная е^о-измеримая д. с. в. (отметим, что Ро совпадает с ограничением Р на о, поскольку РХо(Д)= 1д(х0) при Де^д).

В силу самого определения условного математического ожидания отсюда следует, что U (св) = Е^’ (У). 1

Аналогично, интеграл J PXq ,..Xf(d(o') У (св') является ва-

8 ^s рпантом условного математического ожидания Е8’^1(У)

на (й, Л, Р). Установленные в следствии 1 свойства вероятностей PxQ...xt представляют собой, таким образом, два основных свойства условных вероятностей

E8<t . Отметим, однако, что соотношения (а) и (б) выполняются всюду на □, в то время как соотношения между условными математическими ожиданиями являются соотношениями между классами эквивалентности (которые, согласно определению, выполняются лишь почти всюду).

Следующий частный случай предыдущих результатов приводит к понятиям произведения вероятностей и произведения вероятностных пространств.

Пре дл о ж еп не V. 1.2. Пусть {(Et, ь Р^ 1^Л — произвольное непустое семейство вероятностных пространств. Существует единственная вероятность Р на (П, Л^ = (И Et, igi^A, такая, что для всякого измери- \ t/

мого прямоугольника

р(П 4j = nw

Эта вероятность является единственной вероятностью на (И, Л), относительно которой семейство ^^t, t^T} о-подалгебр о-алгебры Л независимо и ограничения которой на 3"t совпадают с Pt (/ г Т).

Доказательство. В случае когда множество Т счетно, можно идентифицировать Т с .V и воспользоваться следствием 2 предложения V. 1.1 с PHi"1 = Рил (независимо от а0, ..., aj. Таким образом, когда Т счетно, вероятность Р с требуемыми свойствами существует и единственна. В общем случае аналогично существует произведение вероятностей Р5 на всяком про-

изведении ст-алгебр ® ^"^ где S — счетное подмноже- s

ство Т. Эти вероятности Ps взаимно согласованы и поэтому задают вероятность Р на о-алгебре ut = ® eFt = г

= U^^^ (объединение берется по всем счетным подмножествам множества Г). Так определенная вероятность Р обладает всеми требуемыми свойствами. |

Дополнения и упражнения

V.1.L Пусть (й, о<) — измеримое пространство и \SSb ig/}- счетное семейство о-подалгебр а-алгебры Л, порождающее Л и обладающее следующим свойством: f^ Bi + 0 каковы бы ни были /

В< N= 0, Bie ggi . V e /), Показать, что существует единственная вероятность Р на (й, о4), ограничения которой на g§i совпадают с произвольными заданными вероятностями Pi (iг/) и для которой Р(П5^ = П pi ^BlV \ 1 / 1

каковы бы ни были Btejgi (ie/). [Показать, что если ф —отображение Q в й7, определяемое формулой ф (ш) = (со, о,...), то отображение ф-1 есть изоморфизм произведения ® на <4. Положить Роф-i = Д Рг1 Распространить этот результат на случай

несчетного семейства ^^tY

V. 1.2. Пусть {(Йл, <4п, РП\ п"^ 1} — последовательность вероятностных пространств. Пусть, далее, Qn = }„ ■ Рп — абсолютно непрерывная относительно Рл вероятность на (йл, JZn), я^1. Положим рл = I Vfn dP„. Показать, что вероятность Q =■ Д Qn на произведении пространств Д (йл, и4л) абсолютно непрерывна или сингулярна относительно Р = Д Рл, смотря по тому, положительно п

или равно нулю произведение Д р„. ГВ случае когда Д рл > О, n Lп

показать сначала, что функции gN =■ Д )'/7я образуют последо- n<N

вательиость Коши в L2 (Р). В случае когда Дрл = 0, показать, п

что существуют множества Д„е ® «Лп, такие, что РМ,,)->0 и 9 (лw) "*■1 ПРИ N "*■ °0-]

V,2. Построение канонических марковских процессов (дискретное время)

Определенный в предложении V. 1.1 случайный процесс, задаваемый последовательностью переходных вероятностей, называется марковским, если для каждого момента 4 зависимость вероятностного закона процесса в следующий момент t + 1 от эволюции системы вплоть до момента 4 сводится лишь к зависимости от состояния процесса в момент I. Иными словами, случайный процесс является марковским, если можно положить РнГЧхо, ..., хй F) = p‘t+i(xt, F). Согласно результатам п. V. 1, для каждых момента t и состояния х( можно построить вероятностный закон Pt,X( эволюции такого процесса, начиная с момента 4. Вероятность Р1-Х( определена на о-алгебре

L^oo — <8 е^~4

S>t

событий, задаваемых моментами времени ^t (мы предпочитаем рассматривать u#L кака-алгебру подмножеств произведения й=Ц£у, а не произведения Ц £/, под- 4S^t

множества из dL не зависят, очевидно, от координат с индексами, меньшими 4). Всюду в дальнейшем Xt обозначает координатное отображение пространства Я в Е„ так что со = {Хо(со), Xj (со), ...}. При выполнении указанного выше предположения определенную на (П, с^) с. ф. {Х(, 4^0} мы будем называть марковской.

Предложение V. 2.1. Пусть V^t. ^ t). 4 е ЕД — последовательности измеримых пространств. Далее, для каждого t пусть Р*м — переходная вероятность для пространств (Et, ЕТ" д и (Emi eiTwY Каковы бы ни были 4 и XjGE;, существует единственная вероятность Pt.Xj на (й, uZL), значения которой на произвольном Измеримом прямоугольнике Ц Fs (FS = E3 при s<f) даются

S

формулой

• • • J ^Г ‘ (Vr-P ^г)’

FT

где Т настолько велико, что FS = ES при s>T. Для всякой Л\ю-из меримой положительной д. с. в. У интеграл J Pt, х, (do/) У (а') есть 3е"{-измеримая функция от х,.

Семейство вероятностей Pt,X( обладает следующим свойством.

Марковское свойство. Для любых O^s^/ и любых 'положительных д. с. в. У и Z, измеримых относительно Лt= ® 5"а и Л^ — ® 3е" п соответственно,

S^U^tu^t

имеет место равенство

j Ps,x$(da')Y(a')Z(a') =

CD'S Я

= J Р5Х$(йа')У(а') J Pt.x.wWZ^"). co' g Qto" G Q

Если Po — вероятность на (f 0, 5"0), то формула

PW- J Po(dXo)Px„M]

Es

определяет вероятность на (й, Л) = П (Et, ^(). Для

любой определенной на (Я, Л, Р) положительной Л»- измеримой д. с. в. У условные математические ожидания Е ЧИ « Е ЧИ совпадают и один из вариантов этих условных математических ожиданий дается интегралом J Pt.x, 'в» (da') У (со') как функцией от а.

Доказательство. Для доказательства утверждений первой части предложения достаточно применить

предложение V. 1.1 к последовательности пространств {(£s, ^J; s^Z} и переходным вероятностям s>t}.

Рассмотрим, далее, определенные в доказательстве предложения V. 1.1 вероятности Рх ...xt. построенные для последовательности пространств ^ESI ^~s), s^O} и переходных вероятностен

(PsV$ = Ps+i; s>0}.

Из определения вероятностей РХо...х непосредственно следует, что PXq ... xt (/1) = Pt,xt (Л) для любого измеримого прямоугольника А из (3 ^"^ Это равенство рас-

S^ t'

пространяется на все множества из о-алгебры Л1>, и поэтому вероятность Pt,xt является просто ограничением вероятности PXq, ...,х на а-алгебру <^L событий, зависящих от моментов времени, не меньших t. Этот результат является основным моментом доказательства. Марковское свойство вытекает теперь из следствия 1 предложения V. 1.1. В самом деле, если Y и / — положительные д. с. в., измеримые относительно Л® и -^» соответственно, то, согласно этому следствию с Хд = = /„(о/)х' = Х4(ш'), имеем

J P81...X^WW3=

G)‘ tn □

при s^/; остается заменить в этой формуле Рх ...х8 на Р и Р ’- та Р, , ( >

s, xs xQ...xt t,xt\a)

Существование вероятности Р вытекает из следствия 2 предложения V. 1.1. Более того, нам известно, что для всякой положительной д. с. в. Y на (й, Л. Р) функция j Рхо... Х{ (da') Y (м') от (x0, ..., х^ является

вариантом условного математического ожидания Е ЧИ- Следовательно, если д. с. в. У c^L-измерима, то функция

J Pt^d^YW

от xz = X((co) есть вариант условного математического ожидания Е ЧИ: поскольку эта функция также с^^из- мерима, равенство Е '[У] = Е *\Е ' [Ур сводится к Е^ЧУНЕ'^ЧУ]. ■

Следствие. При выполнении условий предыдущего предложения существует единственное семейство переходных вероятностей Р( для пространств (Es, с^$) и (Et, nFtY O^s<t, совпадающих с заданными переходными вероятностями при t = s + 1 и удовлетворяющих (обобщенным полугрупповым) соотношениям PstPu = Pu при s<t <и, т. е.

J Pt(xs, dx^P^Xt, F) = Psu(xs,F)

* 1(xse Е5, F е^и, s<t<u\

Для всякой вероятности Р = ^ ^о^х^Р^ на ^*^» построенной по произвольной начальной вероятности ц0, и для всякой положительной измеримой функции h на (Ett, Еи) условные математические ожидания

Е^№Л и Е^ЧЧУ

совпадают при t <и. Более того, один из вариантов этих условных математических ожиданий равен Е^[Л(Х/)], где P‘tth — положительная измеримая функция на (Et, <Ft\ определяемая формулой

Puh^xt^ J Pu(xt, dx^h(x^ (t<u).

Fu

Вероятностные законы р, величин Хь индуцируемые вероятностью Р на (Et, ^t), выражаются через р0 по формуле

^ = J Но №) P°t (^о- 1) V> °)-

которую записывают также в виде р( = р0Р°. Более общим образом, вероятности р( удовлетворяют соотношениям р^ = psP, (0 s < /).

Доказательство. Для каждого s ^ 0 определим переходные вероятности Pss+h индукцией по й > 0, полагая Ps+h+i = Ps+hPs+n+i- Так построенные вероятности Pt (O^s<f) удовлетворяют, очевидно, обобщенным полу- групповым соотношениям. С другой стороны, из определяющей вероятность Pt, *t формулы легко следует, что ограничение Р<-х на сг-алгебру еГцсХ V<u^ совпадает с Р„ (х;, •). Следовательно,

Pluh(Xt} = J Pi, хг (<*«»') Л [Х« («»')].

Применяя теперь предыдущее предложение, получаем, что Р^й(Х() есть вариант условных математических ожи- данин tl [й (Хц)] = Е ([й(Хи)]. Наконец, для любых $</ н любой положительной измеримой функции h на (£(, имеем

= Е <Е^ [А №)]) = £ [й (%,)] = р, (й),

откуда psP, = pt на (Et, 9"^. I

Пусть мы имеем марковский процесс. Определим а-алгебру Jt^ асимптотических событий, положив Jt^ = = lim | <^L. Случайная величина Z называется асимпто- f ^оо

тической, если она ^„-измерима (пример: Z = lim sup Zt t

в предположении, что Zt ^«-измеримы). Две асимптотические случайные величины Z и Z' назовем эквива-

лентными, если множество {Z У= Z'} является нулевым относительно всех вероятностей Pt;*t (^^0, Xt е Et). В частности, два асимптотических события F и F' называются эквивалентными, если Pt, Xj (F Д F') = 0 при всех / ^ 0 и xte Et.

Предложение V.2.2. Формула

gt (*t) = J Pt, xt (da') Z (a')e

устанавливает взаимно однозначное соответствие между классами эквивалентности ограниченных (положительных) асимптотических случайных величин Z и семействами (gt, i^O} (положительных) измеримых функций на (Et,.&~t), такими, что

gi = pUw sup sup |^(хг)|<оо.' xt

Кроме того,

Цшп. н. g{(Xt) = Zt-> оо

относительно каждой вероятности Ps,x$«

Доказательство. Пусть Z — ограниченная■ асимптотическая случайная величина. Тогда определенные по Z в формулировке предложения функции gt(xt) являются е/ (-измеримыми и удовлетворяют условию I gt (*<) IС sup | Z (а) |. Очевидно также, что. функции gt(xt) зависят лишь от класса эквивалентности, к которому принадлежит Z. В силу марковского свойства и ^^-измеримости Z при всех t имеем gs=*Pstgt при s<t. Ясно, наконец, что функции gt положительны, если положителен класс эквивалентности, к которому принадлежит Z. ■

Обратно, пусть {g(, / ^ 0} — семейство функций, обладающее указанными в формулировке предложения свойствами. Положим Z (а) — lim inf gt (Xt (ш)). Случай-

Z->oo

ная величина Z определена всюду на И и ^оо-измернма. Кроме того, на каждом из вероятностных пространств

16 Зак. 1368

(Й, ^, Ps tj последовательность [g,^), Jlst\ /^sj является ограниченным мартингалом, поскольку

^[Кн, №.,)]-М-8,И-

Следовательно (см. п. IV. 5), последовательность £,(%,) при t-*oo сходится п. н. к Z. Более того, величины Z и g((%z) при t>s имеют одинаковые математические ожидания, так что

/ Ps. x’s U«>) Z(<»)= J Ps ^ U®)g, [*s(“)] = §ЛХ3-

Предложение полностью доказано. 1

В дальнейшем G будет обозначать линейное пространство семейств функций! {go /^0}, определенных в предыдущем предложении.

Следствие. Для всякого марковского процесса следующие два условия равносильны;

а-алгебра классов эквивалентности асимптотических событии конечна;

определенное выше пространство G конечномерно.

Если эти условия выполнены, то существует N положительных элементов пространства G, скажем g^n> = = {^ra)i ^^0} (1^/1^^), таких, что всякий (положительный) элемент g пространства G единственным обра-

N

зом представляется в виде £=2 с,^"’, где с^-дей- п= I

ствительные (положительные) числа. Более того, эле-

N

менты gto можно выбрать так, чтобы I = 2 g№. и в этом случае они однозначно определены (с точностью до перестановки).

Доказательство. Эквивалентность условий (а) и (б) непосредственно следует из предыдущего предложения. Предположим, что эти условия выполнены, и пусть {Лп, 1 п ^ N} — разбиение й, состоящее из атомов ог-ал- гебры ui^ (см. п. I. 2). Обозначим через gw = (g|n), ^0)

элемент пространства G, сопоставляемый предыдущим предложением классу эквивалентности величины 1Лд, Утверждение второй части следствия теперь вытекает непосредственно из того факта, что всякая (положительная) асимптотическая д. с. в. Z имеет единственное с точностью до эквивалентности представление вида

N '

Z = 2 Сп^а . где сп — действительные (положительные) 1 л

однозначно определенные числа. 1

Определение V. 2.1. Говорят, что определенный в начале настоящего пункта марковский процесс имеет стационарные переходные вероятности, если все пространства (Et, S'J изоморфны одному и тому же пространству (Е, S-') и все переходные вероятности P?+i совпадают с одной и той же переходной вероятностью Р, определенной на (Е, S\

В дальнейшей части этой главы будут рассматриваться лишь стационарные марковские процессы. Ниже мы переформулируем предложения V. 2.1 и V. 2.2 для таких марковских процессов, введя сначала следующее вспомогательное понятие.

Оператором сдвига (координат) 6 на пространстве O = En элементов ш = {хь /^0} называется оператор, задаваемый формулой

е({х„ />0}) = {хЖ1 ^о}.

Целые положительные степени 6S (s^ 1) этого оператора определяются аналогично формулами 8s({xh <^0})= = {хж, ^0}- Преобразования 6S измеримы на (й, ^ = ^2=). Более точно, преобразование (9J*1 взаимно однозначно отображает ^^ на с^». Следовательно, преобразование Z-*Z6S взаимно однозначно отображает семейство Л~-измеримых случайных величин Z на семейство Л^-измеримых случайных величин. Обратное преобразование, отображающее множество Л~-измеримых случайных величин Z на множество Л^-измерймых случайных величин, мы будем обозначать Z-> Z9_5. (Отметим, что значение обратного преобразования 9_Цсо)

может быть „определено" нашеИ при s>0 лишь как (Os)~l(to), т. е. как цилиндр в Q, первые s координат которого произвольны и (s + /)-h координата которого равна /-й координате to (f^O). Тем не менее, если случайная величина Z о^^-нзмерима и, следовательно, не зависит от первых s координат, то Z0_s((d) есть вполне определенное действительное число.)

Если переходные вероятности Р\+\ совпадают, то, как нетрудно убедиться, при любом фиксированном х построенные в предложении V. 2.1 вероятности Р1-х изоморфны. Более точно, для любой L^L-измеримой случайной величины Z

/ ри xwzotw = / p^WM, йо

или, что эквивалентно, для любой c^L-измеримой случайной величины Z

/ ри х ^ z (o') = / р0,, w z^.t w 2Q

В следующем предложении вместо POiX мы пишем Рх.

Предложение V.2.3. Пусть (Е, S') — измеримое пространство и

Р = {Р(х, F)}

— определенная на этом пространстве переходная вероятность. Для любого х^Е существует единственная вероятность Рх на (й, tjt') = (f, S")N, значение которой на каждом измеримом прямоугольнике Ц Fs дается

S формулой

= 1дс(х) | Р^х. dxj J Р(х„ dx2) ... [ PtXp.!, dx^, FlF2FT

где T настолько велико, что FS = ES при s>T. Для всякой положительной д. с. в. X на (Я, Л) функция | Рх (айв) X (и) от х является S'-измеримой.

Марковское свойство. Для любого s>0 и любых положительной ^-измеримой д. с. в. Yu положительной Л-измеримой д. с. в. Z

| PA^WW^ / Рх (<*“') W)J Р/ (dco")Z(e>"). а а а 5

Если Ро — вероятность на (Е, З'), то формула

PW- J Po(d«o)P„U)Е

определяет вероятность на (й, Л\ Для всякой положительной д. с. в. Z на (й, Л) условные математические ожидания Е * {ZQt) и Е Ч^й^ совпадают, и функция J Pxt (ш) (^ш') Z (ш') является одним из вариантов этих условных математических ожиданий, '

Это предложение является просто переформулировкой предложения V. 2.1 для случая марковских процессов со стационарными переходными вероятностями и поэтому не требует специального доказательства.

Следствие 1. При выполнении условий предыдущего предложения итерации Р1 переходной вероятности Р удовлетворяют полугрупповому соотношению p‘ps = pm (s, t> 1), т. е.

J РЧх, йу^РЧу, F^-^Чх, Е) (xgE,Fg3; s, t> 1). £

Для всякой вероятности Р = J Цо(dx) Рх, построенной по произвольной начальной вероятности р0, и для всякой положительной измеримой функции h на (Е, 3~) д. с. в. Pu~*h (Xt) является вариантом совпадающих между собой условных математических ожиданий £4^(ZUH и f^'l^^a)] U < и). Вероятностные законы р, величин Xh индуцированные вероятностью Р на (Е, <34, связаны соотношениями pt = psPt-s (s < f), позволяющими определить их, исходя из Pq. '

Пусть т —момент остановки, определенный на всем пространстве (И, Л1) относительно возрастающего семейства а-алгебр {^, /^0}. Напомним, что а-алгеброй событий, предшествующих моменту т, при этом будет а-алгебра <,4? = [Л; /1 {т = (} е -J^Y Определим оператор 9Т на П, положив

Ог(со) = {Х;+т((Д), />0}.

Преобразование 9Т измеримо, поскольку

е;1 (Л) = 2е;'(Л)П{т = /}.

Следствие 2. Строго марковское свойство. Пусть выполнены условия предыдущего предложения. Если т —момент остановки, определенный на всем пространстве Q относительно возрастающего семейства а-алгебр (Л?, /^0}, то для любого хеЕ

JP,td<»')YMZM= / PxU^YW^ Рх, №•"№"), QПО Т

каковы бы ни были положительная ^-измеримая д. с. в. Yu положительная д. с. в. Z на (Q, Л).

Доказательство. Используя марковское свойство применительно к о<?-измеримой величине Y ■ 1{Т-^ и к величине Z, имеем

/ p^'V^zu^-

р (а')-0

= / PA^W^V.'^'WY

{т (a'w)о ‘

Для завершения доказательства остается лишь просуммировать эти равенства по t. |

Определение V. 2.2. Событие Л из пространства (Q, Л) называется стационарным, если 9-1(Л) = Л.

Более общим образом, с. в. Z на (Я, Л) называется стационарной, если Z^ = Z.

Очевидно, класс 9 стационарных событий является а-алгеброй. С. в, Z стационарна тогда и только тогда, когда она ^-измерима (это следует из равенства {Z0 g S} = 0-1 [ZG S), справедливого для любой д. с. в. Z и всякого борелевского множества S на действительной прямой). Две стационарные случайные величины Z н Z' называются эквивалентными, если множество {Z ^= Z'} является нулевым относительно каждой вероятности Рх Vx^E\ В частности, два стационарных события F и F* эквивалентны, если Рх (F ^F') = 0 при всех хеЕ,

Заметим, что а-алгебра 9 есть а-подалгебра а-ал- гебры асимптотических событий Jt^ (в самом деле, если событие F стационарно, то F = 0$* (Е) сеЛ» при всех s^O). Отметим также, что только что определенное отношение эквивалентности для стационарных событий (случайных величин) совпадает с отношением эквивалентности, индуцируемым введенным выше отношением эквивалентности для асимптотических событий (случайных величин). Следующее предложение является поэтому следствием предложения V. 2.2.

Предложение V. 2.4. При выполнении условий предложения V. 2.3 формула

£(*)=/ Px(d.to')Z(to')

устанавливает взаимно однозначное соответствие между классами эквивалентности (положительных) стационарных ограниченных случайных величин Z и (положительными) измеримыми ограниченными функциями g на (Е, аТ"), такими, что Pg = g на Е. Кроме того,

lim п. н. g (Xt) = Zt-> ОО

относительно каждой вероятности Рх, хеЕ,

Доказательство. Если Z — стационарная и, следовательно, асимптотическая случайная величина,

то сопоставляемые ей предложением V. 2.2 функции gt совпадают друг с другом, поскольку

gt (х) = J Р,., W Z (со') = J Р, (с/со') ze_( (со') =

= J Px(dco')Z(co') = go(.r).

Обратно, если g — инвариантная относительно Р ограниченная измеримая функция на (£, t^), то случайная величина Z(со) = lim inf g [АГ,(со)] стационарна и мы можем / -> ОО

воспользоваться второй частью доказательства предложения V. 2.2. |

В случае марковских процессов со стационарными переходными вероятностями следствие предложения V. 2.2 может быть значительно усилено.

Предложение V.2.5. Для всякого марковского процесса со стационарными переходными вероятностями следующие два условия равносильны-.

а-алгебра классов эквивалентности асимптотических событий конечна-,

пространство G конечномерно.

Если эти условия выполнены, то существует конеч

ное число 2 dp положительных измеримых функций tip,^

где б —целое число mod dp (dp — целое число "^ 1) и р принимает целые значения между 1 и г, таких, что

всякий (положительный) элемент g — {gt, f^O} пространства G однозначно представляется в виде

gt= S ср, б^р, б+<>р-t й=1

где Ср. 6 — (положительные) действительные числа,

всякая ограниченная (положительная) инвариантная относительно Р функция g имеет единственное представление в виде

g bpUp,

где Ьр — действительные (положительные) числа иdP

Up " ^ Up, 6-

Более того, функции ир-6 можно выбрать так, чтобы

и в этом случае семейство функций ир-6 однозначно определено.

Доказательство. Согласно сделанному после определения операторов сдвига замечанию, каждой асимптотической (т. е. ^„„-измеримой) д. с. в. Z мы можем сопоставить также асимптотические д. с. в. Z9, (где s —целое число, положительное или отрицательное). Операторы 9S образуют, очевидно, группу преобразований на пространстве асимптотических д. с. в. Если (gt, f^O} —элемент пространства G, сопоставляемый предложением V. 2.2 классу эквивалентности величины Z, то из стационарности процесса вытекает, что

J Z9S dPUs. X = gt(x) (t> 0, t + s > 0).

Следовательно, классу эквивалентности величины Z9, сопоставляется элемент (Psgt, ^^0} пространства G при s^O и элемент fe_s, /^0} пространства G при s^ 0, поскольку

J Z9S dPt, * = J dPt, * J Z9s dPus. xt+s =

= J dPt. xgt (Xt+S) = P, gt (x) (s > 0) и

J Z9SdPt,,= {Z9SdP(t_$)+s,, = gt_s(-x)(s< 0).

Отсюда мы заключаем, что если Z и Z' — эквивалентные асимптотические д. с. в., то д. с. в. Z9S и Z'9S — тоже асимптотические и эквивалентные (s—любое целое число). Иными словами, оператор 6, действует на классы

эквивалентности асимптотических д. с. в. Отметим также, что классы эквивалентности стационарных д. с. в. являются просто классами эквивалентности асимптотических д. с. в., инвариантными относительно операторов сдвига 05.

Предположим теперь, что условия (а) и (б) выполнены (эквивалентность их следует из следствия предложения V. 2.2) и рассмотрим конечное разбиение^ пространства й, состоящее из атомов а-алгебры Л^. Для каждого атома А индикатор 1Л05 является индикатором некоторого атома (в противном случае функция 1д = (1л05)0-, не могла бы быть индикатором атома!), т. е. с точностью до эквивалентности индикатором некоторого элемента из ^. Следовательно, группа {0J индуцирует группу взаимно однозначных преобразований (группу перестановок) конечного множества ^°. Отсюда вытекает, что мы можем записать элементы множества ^ в виде Лр, 6 (где р = 1, 2, .... г; б —целое число rnodd,,) таким образом, чтобы 1д .05 = 1Л , .

Пусть (g^ 6, /^ 0} — положительные элементы пространства G, отвечающие классам эквивалентности индикаторов Up 8. В силу указанного свойства нумерации У1 имеем ^-6-5 = ^_s6, поскольку

г?'ьЧч-Р,.Длм.,)-р,,(е;'л,,,)-

Положим теперь up6 = ^'S- Ясно, что ^'Л = Црл+/. Согласно следствию предложения V. 2.2 всякий элемент пространства G допускает представление, указанное в формулировке предложения. Далее, стационарные случайные величины —это (с точностью до эквивалентности) те случайные величины, которые постоянны на множествах (JAP, 6. Аналогично, постоянные по t последовательности {^, f^eG могут быть выражены в терминах функций ыр=2ыр, в- 1

Дополнения а упражнения

. 2.1. Пусть Р — переходная вероятность на (,Е,3"^, и пусть выполнены условия предложения V. 2.5. Если положить

Хр, к — exp J и /р, й =(Хр, й) Up, j,

где к — целое число mod dp и р = 1, ..., г, то Plp,k = Xp,kfp,ii. Показать, что для всякого комплексного числа X с модулем 1 пространство ограниченных измеримых функций /, являющихся решениями уравнения Pf = Xf, конечномерно, причем функции/р, д, отвечающие тем числам Хр, ^, которые равны X, образуют базис этого пространства. [Воспользоваться тем фактом, что если Pf — Xf и I X | = 1, то gt = Х~7 принадлежит G.]

. 2,2. Рассмотрим марковский случайный процесс со стационарными переходными вероятностями, определенными на пространстве (Е, 5"Y Множество Ре 9" называется почти замкнутым, если предел lim {X/SF} существует п. н. относительно каждой вероят- t -> оо

ности Рх. Показать, что почти замкнутые множества образуют подалгебру сг-алгебры S'. (Очевидно, что если F — замкнутое множество в том смысле, что Xt е F =ф Xs е F (s < /) п. н. Рх (х е £), то оно также почти замкнуто.) Два почти замкнутых множества F и F' называются эквивалентными, если

lim (Хп е F ДЕ'} = 0 п. н. Рх (хеЕ). п

Показать, что булева алгебра классов эквивалентности почти замкнутых множеств изоморфна булевой алгебре классов эквивалентности стационарных событий. [Каждому почти замкнутому множеству F сопоставить стационарное событие lim {Xn Е Е}; показать,

что если Л — стационарное событие и g (х) = Рх М), то множество F = {g>a) почти замкнуто и А = Ит{ХлЕЕ} при 0<а<1.1 п. н. п

Почти замкнутые множества, вообще говоря, не образуют сг-подал- гебры а-алгебры S'.

.3. Равномерная эргодическая теорема

Пусть Р — переходная вероятность на измеримом пространстве (£, ^"). В этом пункте будет доказана теорема о сходимости итераций Р по норме и описан класс асимптотических событий соответствующего марковского процесса в случае, когда переходная

вероятность Р удовлетворяет условию квазикомпакт- пости, точное определение которого дается ниже.

Для всякой переходной вероятности Р на (£, ^") формула

PfW= $ Р(х, дуШ^

определяет положительный эндоморфизм банахова пространства В(Е, ограниченных измеримых функций на VE, 5"^ с нормой Ц/П = sup|/(х)|. Норма ||Р|| этого

Е

положительного эндоморфизма равна 1, поскольку, очевидно, £1 = 1. С другой стороны, формула

ц£(£) = J )i(dx)P(x, F)

определяет положительный эндоморфизм банахова пространства а41(Е, ^~) ограниченных мер на (£, t^"). Кроме того, относительно отношения двойственности между пространствами В и о#, устанавливаемого билинейной формой ц (f) = J ц (dx) f (х), эти операторы Р являются транспонированными по отношению друг к другу: u(Pf) = ЦРСЛ при всех f^B н ц е о#.

Определение V.3.1 Эндоморфизм Q банахова пространства В называется компактным, если он переводит единичный шар Вх пространства В в относительно компактное множество. Эндоморфизм Р называется квазикомпактным, если существует по- следователъность {Qu ОО компактных эндоморфизмов пространства В, такая, что

НтЦР'- Q, П = 0, t*>oo

где Р1 —итерации Р.

С помощью следующей леммы определению квазикомпактности можно придать другую, на первый взгляд более слабую форму.

Лемма V. 3.1. Для того чтобы эндоморфизм Р пространства В был квазикомпактным (необходимо м) достаточно, чтобы существовали целое число tQ ^ 1 и компактный эндоморфизм Q, такие, что ||Р<0 — Q||< 1.

Доказательство. Та часть леммы, которая касается необходимости, очевидна. Прежде чем переходить к доказательству достаточности, напомним следующий элементарный факт относительно компактных операторов: если Q] и Q2—компактные, а Р{ и Р2—произвольные эндоморфизмы пространства В, то эндоморфизмы Qt + Q2 и PxQxP2 компактны.

Предположим теперь, что при некотором целом /0^1 итерацию Pt{ эндоморфизма Р можно представить в виде Pt° = Q + U, где Q — компактный эндоморфизм и ||£/||<1. Положим Q, = О при /</0 и Qt = Р* — PlUm при /0К^> гДе Целые числа I и т определяются из условий t = mtQA-l, 0^l<tQ. При ^/Q эндоморфизм Qt можно записать в виде Pl [(Q + £/)" — UmY Отсюда, разлагая (Q + (/)т по формуле бинома, получаем, что при />/0 эндоморфизмы Q, являются суммами произведений эндоморфизмов, каждое из которых содержит в качестве множителя Q. Следовательно, все Qt компактны. С другой стороны, полагая С = sup|IPZ|| < оо, имеем

|| Р'— Qt|| = || PzC/m||^ С|| С/IP-^O, когда t, а следовательно, и т стремится к бесконечности. ■

Пусть на измеримом пространстве (£, в?') задана переходная вероятность Р, и пусть, как и выше, G—пространство последовательностей g = Vgt> f^O) элементов пространства В(Е, ^Y таких, что

Ilk III -= sup 11 g, ||< оо и gt = Pgwt

при всех t^O. Ясно, что линейное пространство G является банаховым относительно нормы Щ g |||. Кроме того, так как || Р 1=1, функция HgJI от t не убывает и, следовательно, || g ||j = lim f ||g( ||. С другой стороны, ^00

предложение V..2.2 показывает, что изучение пространства G равносильно изучению пространства ограниченных асимптотических случайных величин.

Предложение V. 3.1. Пусть Р —переходная вероятность на измеримом пространстве (Е, ^\ Если отвечающий Р эндоморфизм пространства В (Е, ^) квазикомпактен, то определенное выше банахово пространство G конечномерно.

Доказательство. Согласно хорошо известной классической теореме из теории банаховых пространств, достаточно доказать, что единичный шар G, пространства G предкомпактен, т. е. для любого е>0 может быть покрыт конечным числом шаров радиуса меньше е. Отметим, что свойство предкомпактности Gt можно также сформулировать в следующем виде: каково бы ин было е > 0, нельзя указать более чем конечного числа г6 элементов Gv с попарными расстояниями больше е.

Пусть е>0 фиксировано и / — целое число, такое, что ;■ Р‘ — фД^ е/4. Так как оператор Qf компактен, ю существует конечное число, скажем N, шаров радиуса в'4 с центрами /„ (п=1, ..., N), которые покрывают образ Qt (В;) единичного шара Bv пространства В. Ясно, что N шаров радиуса е'2 с центрами /„ (//= 1Л/)покрывают РЦВ^ и поэтому множе

ство Р1 (В^ не может содержать более N точек е попарными расстояниями большими е. Отсюда вытекает, что не существует более N точек множества G, с попарными расстояниями превышающими е. В самом деле, если бы существовало N + 1 таких точек, скажем gtOi, ЕИ!, • ■•, gm> то для достаточно большого s мы имели бы !:g"^'— дг(/1>I'>е ПРИ п #= п', что невозможно, поскольку р*"* = РЩ е *DI ^i\ ■

Эргодическая теорема. Пусть Р — переходная вероятность на измеримом пространстве (Е, еГ\ такая, что отеечаюищй ей оператор на В(Е, ^) квази- компактен. Тогда существуют такие целые числа d^l (р=1, ..., г) и такие "^dp ограниченных положитель- р

ных измеримых функций и ^dp вероятностей на ^Е, &~),

которые мы обозначим через ир, 6 и Пр- 6 соответственно {б —целое число moddp), что

ииj Пу, У (dx) Up. О (х) = Еj Пу, У (dx) Up. О (х) = Е^р. О = ^“р. 6+11 Ир. 6^^р. 6—1-^1| 1, если р' = р и д'= d (mod dp), [ 0 в противном случае, SSa,6 = iр 6^р. О = ^“р. 6+11 Ир. 6^^р. 6—1-^1| 1, если р' = р и д'= d (mod dp), [ 0 в противном случае, SSa,6 = iр 6lim Ip"^ - 2П -> ОО Iр« Ilim Ip"^ - 2П -> ОО Iр« Idpц2 “р. в-г®п б| = о,6-1ifdpц2 “р. в-г®п б| = о,6-1if

и

и

j Пу, У (dx) Up. О (х) = Е

j Пу, У (dx) Up. О (х) = Е

^р. О = ^“р. 6+11 Ир. 6^^р. 6—1-^1

| 1, если р' = р и д'= d (mod dp), [ 0 в противном случае, SSa,6 = i

р 6

^р. О = ^“р. 6+11 Ир. 6^^р. 6—1-^1

| 1, если р' = р и д'= d (mod dp), [ 0 в противном случае, SSa,6 = i

р 6

lim Ip"^ - 2

П -> ОО Iр« I

lim Ip"^ - 2

П -> ОО Iр« I

dpц

2 “р. в-г®п б| = о,

6-1if

dpц

2 “р. в-г®п б| = о,

6-1if

где d — наименьшее общее кратное чисел dp. Из указанной сходимости следует также, что

где положено

■ dpdp

^р ^р. 8 “ Пр =Пр, j.

6-1Р д-1

Доказательство. Покажем сначала, что для всякой функции /еВ последовательность {P‘f, /^1} относительно компактна в В(Е, ^). Достаточно, очевидно, доказать это для функций с нормой, не превосходящей единицы. Пусть задано е>0. Возьмем целое s>0 и компактный эндоморфизм Q, такие, что || Р^ — Q|j < е/2.

Образ Q(BJ единичного шара В, пространства В можно покрыть конечным числом шаров радиуса е/2. Шары радиуса е с теми же центрами покроют при этом множество {Р/Д <>s}, поскольку

II р7 - Q (р'"7) II=8 (ps - Q) р‘"Ч II < 8/2

и Pt-sf GBY (t^s). Таким образом, мы показали, что для любого е>0 последовательность ^Р1}, /^1} можно покрыть конечным числом шаров радиуса е.

В силу предложения V. 3.1 осуществимо представление элементов пространства G, указанное в предложении V. 2.5. Пусть d — наименьшее общее кратное чисел dp (р=1, ■.., /")• Поскольку для любой функции f^B последовательность ^P*f, /^1} условно компактна, с помощью перехода к диагональной последовательности легко показать, что существует возрастающая последовательность целых чисел {п;}, для которой предел gt = \im РпРч1 существует в смысле сходимости по норме в В для любого /^0. Нетрудно видеть, что последовательность {gj принадлежит G. Так как из указанного в предложении V. 2.5 представления {gj вытекает, что gumd = gt ПРИ всех Целых ш>0, то P^'g^ P"ld igmd = gt ПРП md^/^О. Следовательно, если nd ^ n'jd + t, то

I Р^ - gt II = IP^ ^Pn,df - STo)II < I Pn,df - go I Полагая теперь n->oo, а затем /г'—>oo, получаем gt= = lim pnd~ f в смысле нормы пространства В при всех П-> ОО

/>0.

В силу сказанного выше формула Sf = lim Pnd[, IeB, определяет эндоморфизм S пространства В с нормой 1, для которого SP"td = PmdS = S при всех целых //г ^ 0. Покажем теперь, что последовательность Pnd сходится к S в смысле нормы алгебры операторов или, что равносильно, P,ldt сходится к S/ по норме ■равномерно на единичном шаре Вх пространства В. Фиксируем произвольное е>0 и выберем целое т>0 и компактный оператор Q, такие, что || Pmd — Q ]|<е. Для любой функции ^еВх имеем

Ц р^ df _ s/ ij = |; <Pnd - S) P,ndf || < 2e + б (Pnd - S) Qj fl. Полагая в этом соотношении сначала п->оо, а затем sjO н замечая, что поскольку множество {Qf, jeB^ относительно компактно в Вх,

lim [KP^-SJQ/IHO П->оо

равномерно по f^Bx, получаем UmP^f^Sf равно.П->00

мерно по f е Вх. '

Для всякой функции f G В существуют однозначно определенные коэффициенты ср, e (f), такие, что Sf = г ^р

= 2 2Ср.б(/)ыр 6- Отображения /~>ср 6(f) являются p=iнр

линейными функционалами, определяемыми мерами на (Е, ^). В самом деле, так как эндоморфизмы Р"4 пространства В(Е, ^~) сходятся по норме к эндоморфизму S, то при любом х меры Р^х, •) сходятся по норме пространства М (Е, ^), поскольку

II Pnd (х, .) - Pn'd (х, . ) L (£, ^ < II Pnd - Pn'd II

(см. упражнение IV. 1.6). Далее, обозначая предельную меру через S(x, ■), для любой функции f^B(E, еТ) имеем '

г ^р

J s (х, dy) f (у) = S/ (х) = 2 2 “р, о to ср, 8 (f)-

р-1 6-1

Так как функции ир,6 линейно независимы, отсюда следует, что отображения ср,а(-) являются линейными комбинациями мер

S(x, •)(Sxn, ■)

при подходящем выборе хх, .... хп, где п = 2 dp.

р-1

Обозначим эти линейные комбинации Пр й. Меры Пр,6 суть вероятности, поскольку интеграл J f <Шрр6 = ср a(f) положителен, если функция / положительна, и равен единице при /=1. Таким образом, нами получено следующее представление эндоморфизма S:

г ^р

s=2 2 мр. о®пр,ар=]

(смысл символа ® ясен из предыдущего). Так как Pdup, б = иР1 б, то SuPi6 = uPi6 и, следовательно, Пр-,а-(«р, 6)

равно 1, если р = р' и 6 = 6'(moddp) и разно 0 в противном случае. Из перестановочности Р и S вытекает, что

2 2 «Р. а £ ПР. ьР‘ = SP* = P‘s = 2 2 Р‘ир, а ® Пр, 6 = р бр 6

^р, й-t & Пр, д =

Р 6

2 2 Мр, а Пр д+;, р 6

откуда ПР| 6Р' = Пр, й+/ при всех /^0. Наконец, сходимость Pnd к S влечет сходимость pnd+t к SP1 и первая часть теоремы полностью доказана.

Для доказательства второй части теоремы отметим сначала, что в силу доказанного выше при всех /^0

п=ор а

Следовательно, поскольку при s = Nd + s', 0<s'^d,

2 ри = 2 2 рпМ + 2 2 рпМ,

If = I и=0Z=s' + I п = 0

постольку при S->OO

sd

~ 5 PU—> V ^ ^ ^4 UP‘ a~' ® ПР‘ 6-

I/“I р б

Для завершения доказательства теоремы остается лишь заметить, что

а

~д" ^ ^ “р, а-/ Пр, а =/^ ир, ® /^^ Пр- ир ® Пр. 8

z=i ар \ а /\ а /

Следствие. При выполнении условий эргодической теоремы множества Ер, Л = {ир, 6 = 1} попарно не пересекаются и являются носителями соответствующих мер Пр а. Более того, Р^х, Др,6+1)=1 тогда и только тогда, когда хеЕр,ь и, следовательно,

Р, [X, е Ер, 6Н (/ е W)] = 1 при х е Ер, 6.

Обозначая через Лр-а попарно непересекающиеся асимптотические события

^р, б ^^ {X/ G Ед, б+Д,t

имеем

^Ир.б) = “Р.бМ (^^£)

и Лр, 6 = lim п. н. №е£р16и} относительно каждой вероятности Рх. Всякое асимптотическое событие эквивалентно некоторой сумме событий Лр,а; в частности, 2 2 Лр.а = й п. н. Рх(х^Е).

р

Доказательство. Так как 0^ир, а^ 1, меры Пр а являются вероятностями и J Прб(йх) «р, б(х) = 1, то Пр а (£р, s) = 1. Далее, поскольку

1 - “р. а (*) = f ^ Iх, dy)[l — ир, а+1 (у)],

постольку £р,а = {х: Р(х, Ер, а+1)=1}, так что P^^g g £р, 6+11 = 1 при х g £р б. Повторяя это рассуждение, получаем

^№е£р.а+/(/е^)] = 1

при X G Ер,ь.

Из предыдущих результатов вытекает также, что при всех хеЕ

Р, [Xt G Ер. 6+/ (/ > s)] = Рх Us е Ер, b+s) = Р5 (х, Ер, b+s\

Правый член в этой цепочке равенств равен 1 при хеЕр,ь и при всех х G Е мажорируется функцией

Р “р. 6+5 U^ = Up, б (Я),

а левый член стремится к ДДЛр, б] при s f оо в силу самого определения события Лр, а. Так как Лр,а —асимптотическое событие, то Рх (Лр, а) как функция от х является выпуклой комбинацией функций иР', у. Но Рл-(Лр, а)=1 на непустом множестве £р,а, и мы получаем

Рх [^р. б!Up, а (х)

при всех хеЕ. Наконец, из предложения V. 2.5 вытекает, что всякое асимптотическое событие эквивалентно некоторой сумме событий Лр, 6. |

Дополнения и упражнения

3.1. Показать, что отвечающий переходной вероятности на ^Е, З1) оператор Р на В (Е, З1) квазнкомпактен тогда и только тогда, когда для некоторого целого числа d^ 1 предел lim Pld t->oo существует в смысле сходимости по норме и является оператором конечного ранга.

3.2. Условие Дёблина. Говорят, что переходная вероятность Р на (Е, 3) удовлетворяет условию (Д), если существуют такое целое число IeN, такие два действительных числа 0 < 1 и т] > 0 и такая вероятность ц на (Е, 3"), что

(Е^б^Р1 (• ,Е)>п на Е Ц^еЗ^.

Используя эргодическую теорему, показать, что если оператор Р на В (Е, 3) квазнкомпактен, то выполнено условие (Д). [Взять в качестве ц выпуклую комбинацию мер Пр, j.] Обратно, Дёблин показал, что если выполнено условие (Д), то справедлива равномерная эргодическая теорема и поэтому оператор Р квазнкомпактен (см. предыдущее упражнение); этот последний результат можно доказать и непосредственно. Показать, что если выполнено условие (Д), то 2 dp < 1/(1—6). [Заметить, что если p(F)^0, то Пр, в (F) л (Fs^)].

3.3. Пусть Р — оператор на В (Е, 3), отвечающий переходной вероятности на (Е, 3). Показать,- что итерации Рп оператора Р сходятся по норме к оператору вида 1 ® П, где П — вероятность на (Е, 3), тогда и только тогда, когда существуют / g jV, постоянная с > 0 и вероятность ц на (Е, 3), такие, что

Р^х, F) ^ сц (F) (х G Е; F G 3).

[Этот факт можно доказать, не опираясь на результаты настоящей главы. Именно, показать сначала, что все меры ^Р* (х, ■)—Р1 (у, •)]+ (х, у g Е) имеют полную массу, не превосходящую 1 — с. Далее, используя соотношение

ptw (х, •) - pt+u (у, ■) = \р‘ (х, ■) - р‘ ив ■)] f“,

установить, что sup || Р5 (х, •)— Ps (у, •) II-> 0 при sfoo,] х. У

4. Субмарковские операторы

Дальнейшая часть настоящей главы посвящена изучению индивидуальной эргодической теоремы в рамках теории марковских процессов.

Выше было отмечено, что всякой переходной вероятности, Р на пространстве ^Е, S') отвечают два обозначаемые той же самой буквой Р оператора, первый из которых действует на пространстве В (Е, S') ограниченных измеримых функций, а второй —на пространстве М (Е, S) ограниченных мер на (Е, S')'.

РЦх^ J Р^х, йуШу).

Е

yPAF) = j p(dx)P(x, F).

Е

В своей полной общности индивидуальная эргодическая теорема формулируется в терминах оператора Р, действующего на пространстве oAl (Е, S'), или, более точно, в терминах ограничений Р на инвариантные относительно Р подпространства L1^, S, П)1) пространства oAt (Е, S'). [В том случае, когда существует инвариантная относительно Р мера ц, с помощью элементарных преобразований из этой общей эргодической теоремы можно получить также эргодическую теорему в терминах оператора Р, действующего на пространстве функций.]

В этом пункте излагаются нужные для дальнейшего предварительные сведения. Рассмотрим два измеримых пространства (Ег, S'^i-x.g с определенными, на них положительными мерами П;, которые далее считаются фиксированными. Отметим, что для дальнейшего существенны не сами меры Пг, а лишь классы нулевых множеств, определяемых мерами П, (в самом деле, мы будем изучать операторы на пространствах ZJ(£, S', П), но, как легко показать (см. упражнение IV. 1.2), для изометрии двух пространств ЕЦЕ, S', П) и 1?\Е, S', П')

*) По соображениям удобства здесь и в дальнейшем вместо Lp мы пишем Lp

достаточно (и необходимо), чтобы отвечающие мерам П и П' классы нулевых множеств в пространстве (£, ^) совпадали). Не ограничивая общности, мы можем, следовательно, считать, что меры П, являются вероятностями.

Линейный оператор, отображающий пространство L1^, 5 П[) в пространство Lx к,Е2, ^ 2, П2), называется субмарковским, если он положителен и по норме не превосходит 1. Принадлежащее £*(£2, еГ2, П2) значение субмарковского оператора Т на элементе /е £'(£,, ^l Щ) мы будем обозначать /7' (т. е. условимся считать, что оператор Т действует влево). Сопряженный к Т оператор, отображающий L°°(E2, ^" 2, П2) в L”kEx, ^1, П,), мы тоже обозначим через Т, но будем считать, что он действует вправо. Образ Tg элемента g-e. L°° (,Е2, ^2, П2) относительно сопряженного оператора Т есть единственный элемент пространства L”^EX, S"x, nj, удовлетворяющий условию

[ f • Tg сШ, = [ /У ■ g dll.

при всех t г Lx VEX, ^h П,) *). Сопряженный оператор Т тоже положителен, и норма его, равная норме оператора Т на L\ не превосходит 1. Отметим, между прочим, что поскольку оператор Т положителен, условие IITIL^l равносильно условию 74^1.

') Отметим, что принятые нами обозначения для оператора Т и его сопряженного согласуются с обычным обозначением для произведения двух операторов. В самом деле, произведение двух операторов Т и Т', отображающих соответственно L1 (£ь еУь П,) в £* (£2, S'2, П2) и £’ (£2, S'2, П2) в £‘ (£3, 3"3, П3), определяется как оператор, переводящий элемент / ей £' (£ь 3ь П,) в элемент (/Г) Ге У1 (£3, 3"3, П3). Сопряженный к этому произведению оператор отображает £ п (£3, 33, П3) в 13 (£h 3н 11^ и переводит элемент /; е V” (£3, 33, 113) в элемент Г t.T'h'i е £°° (£ь 3ь Щ), поскольку

(/, K.T'h'iWfT, T'h) = <UT)r, hY

Если произведение рассматриваемых операторов обозначить ТТ', то мы получаем „естественные формулы"

f (ГГ) = (/Г) Г, (ГГ) h. = T(T'h).

Субмарковский оператор Т называется марковским, если Г1 = 1, или, что равносильно, если при всех с?”р IIJ

[ fl dIY2 = [ fdnj

(в случае субмарковского оператора мы имеем лишьj f?dn2^ J fd^

при всех f^OY

Предложение V. 4.1. Если Т — положительный линейный оператор, отображающий пространство

L1 (£п с?"р Щ)

в пространство Ьг(Е<2, еГ2, П2), то (Ит|/п)Г = Ит|(/„Т) пп

для всякой возрастающей последовательности функций Vn. n^l} из L+(Elt <^v П,), такой, что

limVne£+,

U

Т ( lim ^hn\ = lim ^ Thn\/ n

для всякой возрастающей последовательности функций ^hn, n^I} из L” (£2, еТ"2, П2), такой, что

п

Доказательство. Из положительности оператора Г следует, что если {/„, п ^ 1} — возрастающая последовательность в lVEi, ^ь П|), то {/пТ, /1^1} — тоже возрастающая последовательность в L+^Eo,^2, П2). Кроме того, если предел / = lim^„ интегрируем, то поп

следовательность {^} сходится к f в пространстве L1, так как тогда

\\Hfn\\=Sti-f-W

Из непрерывности оператора Т вытекает, далее, что последовательность {fnT} сходится к fT в 1? и, следовательно, lim ^fnT = fT. п

Если {А„, п^ 1} — возрастающая последовательность в L+ (£2, S'2, П2), то (Thn, n^l} —тоже возрастающая последовательность в L” (Ei, S'i, Hi). Переходя к пределу под знаком интеграла в равенстве

j /г • hn (Ш2 = [ г • ti*

где ^eZ,I(£i, S'|, П]), получаем

J fT • lim hndH2 = j f ■ lim Th„dnt.

Таким образом, если Ит^ЛгееА+, то TYlimfhn\ =

= Пт|ТЛ„. ■

Следствие. Всякий положительный линейный оператор, отображающий пространство /.'(£,, S\, nj в пространство Ll(E2, S^2, П2), можно однозначно продолжить до линейного положительного отображения конуса положительных измеримых функций (конечных или бесконечных) на пространстве (Ех, S^,) в конус положительных измеримых функций (конечных или бесконечных) на пространстве (Е2, S'2), такого, что pim^/n'\T=lim^/nT. Аналогичный результат справедлив для сопряженного оператора. Более того, продолженные операторы связаны соотношением

/ fT-gdn2= ^ f.Tgdnv

Доказательство. Это следствие можно доказать непосредственно с помощью рассуждения, аналогичного примененному в п. II. 3. Можно также поступить следующим образом: сначала определить fT для всех положительных измеримых функций (конечных или бесконечных) на (Ех, S"х, П,) с помощью формулы J fT = j f ■ Л^, используя теорему Радона — Никодима,

а затем показать (это нетрудно), что так определенное продолжение обладает всеми нужными свойствами. Аналогично продолжается оператор, сопряженный к Т. |

Предложение V. 4.2. Пусть Р = {Р(хп ^2)}— переходная вероятность для пространств (Др ^J и (Еъ яГ2). Если П[ и Щ — две вероятности на (Др и (Е2, ^~2) соответственно, такие,- что Р(-, Д2) = 0 П[ = п. н. при П2(^2) = 0 (т. е. такие, что вероятность П^ абсолютно непрерывна относительно П2), то существует единственный марковский оператор Т, отображающий пространство ^(Е^П,) в пространство L^E^, ^2, П2),

такой, что меры (f ■ П,) Р и (fT) ■ П2 совпадают между собой при всех fe!?^Ev ^^ П,). Кроме того, если h — ограниченная-измеримая функция на (Е2, ^2, П2) и Н — ее класс эквивалентности в L”(E2,2, П2), то

Ph=T(h), где Т — сопряженный к Т оператор.

Доказательство. Так как согласно определению значение меры (f -П^Р на множестве Е2е<9'2 равно

J ЦхШх, Wtdx),

то в силу сделанного предположения мера (/ ■ nj Р абсолютно непрерывна относительно меры П2 на (Д, ^”2) и поэтому имеет вид (f Г) • П2, где ^Т^ — некоторый элемент пространства LX^E2, ^~2, П2). Легко видеть, что соответствие f—^fT есть положительный линейный оператор, отображающий пространство LX(EV ^^ Ц) в пространство LX(E2, ^2, П2). Кроме того, из формул

/ У ■ HJ рШ h^=if М . Ph(х). пх(dx)

и

j fT ■ И • dH2— J f . Т(,Н^ d^

вытекает, что Ph = T(H) и, в частности, что Г1 = 1. |

В случае когда (Др ^'1) = (Д2. ^г), предыдущее предложение показывает, что переходная вероятность Р на ^Е, <9") индуцирует марковский эндоморфизм

пространства L'(E, 5", П), если выполнено условие ПР«П. Отметим, что существует много вероятностей на (£, ^), удовлетворяющих этому условию. Более точно, для каждой вероятности ц на (£, ^) существует по крайней мере одна вероятность 11 на (£, ^Y такая, что ц < II и ПР <С II. В самом деле, достаточно положить II = 2 ЯпЦР", гДе пп > 0 и 2 ц„= 1.

п ^ 0 н > О

В п. V.2 каждой переходной вероятности Р на измеримом пространстве (£, ^") мы сопоставили марковский процесс (со стационарными вероятностями перехода), определенный на произведении пространств (О, </) = (£, c?”)w. Вероятностный закон этого процесса в момент п (т. е. вероятностный закон величины Х,^ есть рР", где р — вероятностный закон процесса в начальный момент (т. е. вероятностный закон величины Хо), а Р" есть п-я итерация переходной вероятности Р. Пусть П — вероятность на (£, ^Y такая, что ПР <С П, и пусть Г — эндоморфизм пространства L'(E, ^, П), индуцированный переходной вероятностью Р. Легко видеть, что ПР'! <С П при всех л>0 и что Р" индуцируют итерации Тп оператора Т, т. е. что (/■ П) Р” = (/Г") . П. Отсюда следует, что если р — начальный вероятностный закон процесса, абсолютно непрерывный относительно П, т. е. такой, что р = / • П, где /^ 0 и | / сШ = 1, то fTn есть плотность вероятности (относительно П) величины Хп (n^OY

Индивидуальная эргодическая теорема формулируется в терминах субмарковского эндоморфизма пространства L'(E, 3", П). Для справедливости ее вовсе не требуется, чтобы этот эндоморфизм порождался переходной вероятностью на пространстве (£, 3^ и, следовательно, чтобы ему можно было сопоставить марковский процесс. Тем не менее результаты, которые будут получены в ходе доказательства этой теоремы, представляют большой интерес для теории марковских процессов. Кроме того, то доказательство, которое будет дано ниже, частично основывается на фундаментальном в теории марковских процессов понятии времени ожидания.

С другой стороны, при выполнении некоторых не очень ограничительных условий на вероятностное пространство (Е, сТ”, П) (эти условия выполнены, например, если (Е, с^) — польское пространство с ст-ал- геброй борелевских множеств) всякий марковский эндоморфизм пространства L^E, S^, П) индуцируется некоторой переходной вероятностью. Дальнейшая часть настоящего пункта (результаты ее в дальнейшем использоваться не будут) посвящена доказательству этого факта в несколько, более общей форме.

Предложение V. 4.3. Формула

рТгШ^ р. Ц-, Е^П, (Ее^2), .FЕх

где f —произвольный элемент пространства LY(E., S'., П^, устанавливает взаимно однозначное соответствие между субмарковскими операторами Т, отображающими пространство L^E., S^р П;) в пространство Е1 (Е2, <^2, П2), и „су б марковскими ядрами11, определенными на пространствах (Ер S'i, П,) и {Е2, S'2, П2), т. е. семействами {Т(-, Е), Ее<^"2} элементов пространства

L”lE., S'., nj,

удовлетворяющими (в смысле пространства L^^E., S'., IIJ) следующим условиям;

0 ^ Т (■, Е) ^ 1 при всех F е S' г!

TV. Е) = 0, если П2(Е) = 0;

для всякого счетного семейства ^ь i^H попарно непересекающихся измеримых множеств из (Е2, S"^ ряд 2е(-, Е;) сходится п. н. к Гр 2Е^.

(Отметим, что в силу свойств (б) и (в) Г(-, Е) и TV. Р') совпадают, если F и F' эквивалентны.)

Доказательство. Пусть Т — субмарковский оператор и Fe-S-i. Положим TV.F^ равным T1F — образу индикатора I/, относительно сопряженного к Т оператора. Поскольку этот сопряженный оператор положителен и не превосходит по норме 1, постольку

O^TV, F)^ 1 в Е°°(Ер S'., па.

Ясно, что значение ?(■, F) одно и то же для всех эквивалентных F и что, в частности, Г(-, F) = О при H2(F) = 0. Для доказательства того факта, что семейство {Г(-, F)} обладает свойством (в), заметим, что для любой функции }еЬЦЕь ], П,)

SfT(’’ dni= f/r dn2 = ^ J fT dn2 =

x '/5^* Pi

I

и поэтому T (•, У F^^TV, F^ в Z,°°(£'1, h nj. .

\ i - //

Обратно, если T(-, F) — субмарковское ядро и

1еЩЕ,, ^х» П,).

то функция множеств фД£)=|/Г(-, F)dIII будет а-аддитивна на (Е2, <^'2) и абсолютно непрерывна относительно П2. Обозначим через fT производную Радона — Никодима функции множеств ф^ по вероятности П2 (fT е I? (Е2, <^~2, П2)). Легко проверить, что отображение f—^fT является субмарковским оператором Т, для которого T\F=T(-, F). 1

Пусть Т — субмарковский оператор и {Г(-, F^, F е <^2} — отвечающее ему ядро. В каждом классе эквивалентности Т (•, F') выберем измеримую функцию на (Ех, еТ*!) п обозначим ее Р(-, F). Из определения субмарковского ядра вытекает, что семейство функций (Р(-, F)} обладает следующими свойствами:

0^ Р(х, F)^ I для Д-почти всех х; если Т — марковский оператор, то Р(х, Е2) = 1 для П^почти всех х;

Р(х, F) = 0 для П^почти всех х при П2(/?) = 0;

если {Fz, ie/} —счетное семейство попарно не- пересекающихся измеримых множеств из пространства (Е2, е^г), то Р ^х, У F/j = У Р (х, Ft) для Пгпочтп всех х.

Отличие семейства функций {Р(-, F)} от переходной вероятности состоит (в случае марковского Г) в том,

что соотношения в свойствах (а) и (в) выполняются лишь почти всюду. Нахождение индуцирующей Т переходной вероятности сводится, следовательно, к такому выбору представителей Р(-, F) (FeqTj) из классов Эквивалентности ТД-, F), при котором свойства (а) и (в) выполняются уже всюду. Такой выбор не всегда возможен (трудности возникают в связи со свойством (в))'. Тем не менее, имеет место следующий результат.

Предложение V. 4.4. Пусть (Et, S't, П,).=1 2— два вероятностных пространства. Предположим, ’ что о-алгебра S^2 есть о-алгебра счетного типа и что в S^2 содержится компактный подкласс ^, такой, что

П2 (F) = sup (П2 (С); Се^, С с F} (FeS\).

Тогда каждому (суб) марковскому оператору Т, отображающему ВЦЕ^, S'ь IIJ в I? (Е2, S\, П2), отвечает по крайней мере одна (суб) переходная, вероятность Р = (Р(Хх, F2)}, такая, что

J ^<Ш2= / fP(-, F)dH} F Е,

при всех feU(E{, S'Х1 П,) и Fe S'2 (т. е. такая, что индуцируемый ею в смысле предложения V. 4.2 оператор совпадает с Т).

По определению субвероятность отличается от вероятности лишь тем, что относительно нее масса всего пространства может быть меньше I. Аналогично отличие субпереходной вероятности от переходной вероятности.

Если (Е^, сУ'з) — польское пространство с ст-алгеброй борелевских множеств, то сделанное предположение относительно (Е2, S'2, П2) выполняется для всякой вероятности П2 на (Е2, S'2) (см. предложение II. 7.3).

Доказательство. Пусть Ж = (Вп, п^ 1} — счетная булева алгебра, порождающая S'2, и пусть класс ^ замкнут относительно конечных объединений (согласно лемме 1.6.1, это не ограничивает общности). Тогда при всех/г ^ 1 существует возрастающая последовательность

принадлежащих^ подмножеств Вп, скажем {С*, £^ l], такая, что П2 (Bn) = Ит * П2 (С*). Булева алгебра 57,

порожденная множествами Вп и С„ (n^ 1, ^^1), есть счетная подалгебра а-алгебры о7~2-

Согласно сказанному выше, всякое семейство {Р(-, F), Fe^"J измеримых функций, выбранных из соответствующих классов эквивалентности T\F = Т(-, F), обладает следующими свойствами:

0^Р(-, D) ^ I вне некоторого нулевого множества из для любого D е %; кроме того, если оператор Т — марковский, то В(-, Е^ = 1 вне некоторого нулевого множества из ^,;

для всякой пары D, D' непересекающихся множеств из 28

PV. D + D^PV. Z)) + B(-, D')

вне некоторого нулевого множества из ^р

для любого п ^ I существует нулевое множество из ^^ вне которого последовательность функций (р(-, С„), ^^l} возрастает и сходится к Р^-> В^ (в самом деле, так как I ь^1в П2-почти всюду, то

Т(., С^Т(-,Вп)

П1-почти всюдуХ

В эти свойства входит лишь счетное число исключительных нулевых множеств из <^v и поэтому существует нулевое множество Nx из ^"2, годное как исключительное для всех этих свойств.

Если x^Nx> то в силу (I) и (2) ограничение функции множеств Р(.х, ■) на алгебру 3^ (и тем более на меньшую алгебру ^) положительно и аддитивно. Далее, принимая во внимание свойство (3) и используя рассуждение из первой части доказательства предложения 1.6.2, получаем, что Р(.х, В^^О для всякой убывающей к 0 последовательности множеств {В„у, /^1) из Ж. Следовательно, ограничение Р(х,-) на ® есть вероятность в марковском случае и

субвероятность в субмарковском случае. Обозначим через Р^х, ■) единственное а-аддитивное продолжение функции множеств {Р(х, В), В g ^} на а-алгебру ^"g (теорема I. 5).

При xeN; положим Р(х, •) = П2( ). Нетрудно проверить, что так построенная функция Р = ^Р(х, F)} есть (суб)переходная вероятность для пространств (В;, S^) и (В2, ^2)' индуцирующая оператор Т. В самом деле, с одной стороны, Р (х, ■) есть (суб)вероятность на (В2, ^2) при всех xeEv С другой стороны, для любого Feg функция Р(-, Р) по построению является ^[-измеримой функцией, принадлежащей классу эквивалентности Г(-, F). Следовательно, в силу замечания к определению III. 2.1 функция PV, Р) измерима также при всех FeS2. Наконец, функция Р(-, Р) принадлежит к классу эквивалентности Т VJYFeS2, и, значит, HjP <^( П2. Ясно также, что Р индуцирует Т. |

В случае когда эндоморфизм Т есть условное математическое ожидание, предыдущему предложению можно придать следующую форму.

Следствие. Пусть (Е, S', Р) — вероятностное пространство. Предположим, что а-алгебра S^ есть а-ал- гебра счетного типа и что в S' содержится компактный подкласс ^, такой, что

П(В) = sup {П(С); С^\ Сс.?А <Рг^\

Тогда для каждой а-подалгебры 9 о-алгебры S' существует по крайней мере одна „регулярная условная вероятность", т. е. семейство {В(х, F), хеЕ, Ре S'), такое, что

при всех хеЕ функция множеств Р(х, •) есть вероятность на (Е, S');'

при всех ре S' функция Р{-, F) ^-измерима и эквивалентна Е^ (1/.-). Для всякой положительной д. с. в. X на (Е, S') функция J Р (• , dy) X (у) ^-измерима и

Е является вариантом условного математического ожидания Е^ЦС).

Д о к а з ательство. Условное математическое ожидание Е* является марковским эндоморфизмом пространства £*(£, S', П). Сопряженным к нему является эндоморфизм £^ пространства L^^E, 5", П). Из предыдущего предложения вытекает, что существует переходная вероятность Р на (£, <^'), такая, что функция Р( • , £) есть вариант условного математического ожидания ЕУ(\Р'), а функция [Д(-, dll') X (д') есть вариант условного математического ожидания Еу (Х), какова бы ни была д. с. в. Х^О. Отсюда, однако, еще не следует ^-измеримость £(-, £); можно утверждать только, что Р( ■ , £) отличается от некоторой ^-измеримой функции лишь на нулевом множестве из S'. Тем не менее, если в доказательстве предыдущего предложения с самого начала функции £(•,£) выбрать ^-измеримыми, то для построенной по ним переходной вероятности функции £(■,£) будут тоже ^-измеримыми. |

V.5. Эргодическое разложение

Следующий результат известен под названием максимальной эргодической теоремы. В приводимой ниже общей форме он прннадтежит Э. Хопфу. Во всем дальнейшем изложении этот результат будет играть весьма важную роль. Приводимое нами весьма короткое доказательство его принадлежит А. Гарсиа.

Предложение V. 5.1. Пусть Т — субмарковскш эндоморфизм пространства Ll (Е, S', П). Для любых f, g^L‘+(E, S'. П) имеет место неравенство

гдегдеBbg = U | ^ №> 5 8тЧ-Bbg = U | ^ №> 5 8тЧ-

где

где

Bbg = U | ^ №> 5 8тЧ-

Bbg = U | ^ №> 5 8тЧ-

В этом пункте интегрирование всюду производится по вероятности П.

Доказательство. Мы докажем, что для любого элемента йе/.1 справедливо неравенство J й^О, где Лл

Ah- и hTfe>0\.п>0henJ

Из этого результата вытекает утверждение. В самом деле, если положить h = f — g (f, g е L*\ то Bf,g = Ah и, следовательно,

Jf- J g> J (f-g)-J/.>o.

E Bf.g Bf.gAh

(Отметим, что верно и обратное: полагая f = h+, g = h , имеем В;, g = Ah и / = 0 на Bfig.^ '

Пусть h^D. Положим hn = sup ( 2 hTfeV где п = 0, 1, . .. . Ясно, что й = й0 ^ й; ^ . .. и что множества {й„>0} сходятся, возрастая, к Ah при n f оо. С другой стороны, поскольку й^й + йЦг и 2 hTk = й +

_ АС т+1

+ ( 2 ЙГ^ Г С й + tir при 0^/п^и, постольку \АС т /

йп+^й + й^Г, так что й„^ йп+1 ^й + йпГ. Принимая теперь во внимание, что Г —сжимающий оператор,

имеем

J й> j й„- J tir> J й^-J й+Г>0. {/.„>0}(Л„>0)(Лл>0)

Для завершения доказательства остается положить в этом неравенстве nf оо. |

Следующий результат, имеющий технический характер, будет полезен нам в дальнейших доказательствах.

Следствие. Пусть Т — субмарковский эндоморфизм пространства Ll(E, ^~, П) и f — элемент пространства L+, такой, что {/>0} = £. Если последовательность

lim suplim supУ gpTk к С пУ п.кУ gpTk к С пУ п.кUp. Р> 1} в 1-Х стремится т нулю и либо убывает, либо удовлетворяет условию 2llgpll<°o, то р

lim sup

lim sup

У gpTk к С п

У п.к

У gpTk к С п

У п.к

= 0.

Доказательство. Так как У | gpTk |С У I gp I Тк и II gp^Mil gp IIL достаточно доказать утверждение в случае положительных gp. В этом случае в свою очередь достаточно показать, что limsupBPiE=0 и. н. при всех б > 0, где

Sp.E = sup f 2 8рТк>г У пл. n {k^nk^n )

Согласно предыдущему предложению, имеем е j f^ ^gp-

ВР. Е

Если {g,,} — убывающая последовательность, то последовательность {Вр, Е, р^1} тоже убывает, каково бы ни было е>0. Применяя предыдущее неравенство, получаем, следовательно, что если gp стремятся, убывая, к нулю в I?, то

lim sup Вр- Е = lim | Bp, E = 0 п. h. p ' p '

по мере f ■ П, а также по мере П при [f>O) = E. Если последовательность (gj в L^ удовлетворяет условию 2||gp||<°o, то из полученного выше неравенства вытер

кает сходимость ряда ^ | Л Но если этот ряд

Р D Р- Е

сходится, то, согласно предложению 1.4.4, имеем lim sup Bp, Е= 0 п. н. по мере f-П и, следовательно, р ’

по мере П при {f>O} = E. |

Предложение V. 5.2. Для любого субмарковского эндоморфизма Т пространства ЕДЕ, 5Г, П) существует единственное с точностью до эквивалентности подмно-

жество С множества Е (С g ^"), такое, что при всех f^L\(E, SVH)

2fTfc = O или оо на С, к

^tfTh< + оо на дополнении к С. к

Класс^ подмножеств множества С вида Q=-|5^* = °°}> f ^ L+, является а-алгеброй подмножеств С.

Для всякой конечной положительной измеримой функции h на (Е, S', П) справедливы соотношения

Th^h на C^Th = h на C^h "^-измерима на С.

В частности, для того чтобы подмножество В множества С принадлежало а-алгебре ^, необходимо, чтобы Т\в = \в на С, и достаточно, чтобы Т\в = 1Я на В.

Подмножества С и D = CC множества Е называются соответственно консервативной и диссипативной частями Е, отвечающими эндоморфизму Т. Множества из а-алгебры ^ называются (при С #= 0) инвариантными множествами.

В случае когда эндоморфизм Т индуцируется переходной вероятностью Р, сумма 2 fTk является „плот- к>0

EIN^= Jf^HdH,EIN^= Jf^HdH,FF„к >9„к >9ностью среднего числа попаданий" для марковской случайной функции (Ад, /г ^ 0} с начальным законом f-H и стационарной переходной вероятностью Р. В самом деле, если N (Д') —число попаданий процесса {Хь /г^О} в измеримое множество F, т. е. N(F) = У ^(Х*), то k>Q

EIN^= Jf^HdH,

EIN^= Jf^HdH,

F

F

„к >9

„к >9

поскольку E[ 1 p (XJ] = J fTkdU. Читатель легко убедится ■ F

также, что подмножество В множества С принадлежит ст-алгебре ^ тогда и только тогда, когда

P,VXk^B при всех А^0]=1 п.н. при хе В.

Доказательство, (а) Покажем сначала, что если /, ge^+, то '2igTk = 0 на множестве к

А = J У fTb = оо, S^^^C00!- I ккJ

Для этого заметим прежде, всего, что А сВ; ag при любом а>0, где

BbQS= U / 2 fTk>a 2 gT4. п > О 1* ^пk^n '

Применяя предложение V.5.1, получаем a j g^ [ f,

А

откуда, полагая п->оо, выводим, что g = 0 на А. Имеем, далее,

J У gTk < °° I = J У (gTm) Тк < °° I при всех т"^0,

I кJ I кJ

поскольку ряды "SgT11 и 2(^Tm) Тк отличаются лишь кк

на У gTb<co. Используя еще раз предыдущее рассуждение, получаем gTm = 0 на А при всех т^Ои потому У gTm = 0 на А.

m > О

Пусть р — элемент пространства L\, для которого {р > 0} = £, и пусть

С = J^pT^ ool.

I кJ

Полагая теперь g = p, находим, что 5/7'6<°° на мно- к

жестве D = Сс при всех / г L+, поскольку 5рТ6 ^р > 0 к

всюду на Е. Беря, далее, f = p, получаем, что S^7'ft = 0

или оо на С при всех g г L+.

Из предыдущего вытекает, в частности, что если geU и (g>0} = £, то У gTk = оо на С и Sg7'6<oo кк

на D. Следовательно, множество С не зависит, с точностью до эквивалентности, от выбора определяющей его строго положительной функции р. Тем самым дока-

зана единственность множества С, а вместе с этим и первое утверждение предложения.

Покажем, что г(- , Cf) = O на множестве Cf при всех f г L+. В самом деле, полагая Аа=»)^д1Тк^.а\, имеем Г(-,Ла) = 0 на множестве С г = [^4fTk = оо 1 поскольку

Аа^= J ^^апшсоо.

V ft /Аа й>1

Замечая теперь, что Аа f Cf при a t оо, получаем нужный результат.

Отсюда следует, в частности, что для любой функции g g L+, обращающейся в нуль на D,

SgTk = 0 на D.к

Действительно,

J^+‘ = $^ТкП- , D) о '

и Т(•,£>) = О на С; применяя индукцию по к, полу чаем gTk = 0 на D при всех к.

Покажем теперь, что если h — конечная положи тельная измеримая функция, такая, что Th<.h на С, то Th = h на С. Положим g = (1 + h)~l 1С. Очевидно. O^g^ 1, и поэтому g g L+; ясно также, что (g>0} = C Используя результаты, полученные в пунктах (а) и (б) находим, что ^gTk=oo на С и ^gTk = 0 на D. С друкк

гой стороны,

g^yh-Th)^ ^ glh-Th^ JgrA^l;

С \к <tl /

полагая здесь n^-оо и принимая во внимание, чп h — Th^O на С, получаем

/ (^g^Vh-ThKl.

С \ к /

Следовательно, h — Th = 0 на С.

Из только что установленного результата вытекает, в частности, что И = 1 и Т1 с = 1 с на С; действительно, cf cf

Т1 ^ 1 на Е по определению Т, и Т1 с^ 1 с в силу (б).

Gf Ч

Вычитая второе из этих равенств из первого, получаем также, что Tlcf = lcf на С и, в частности, Г1с= 1 на С.

Пусть, наконец, Н — выпуклый конус конечных положительных измеримых функций, обращающихся в нуль на D и удовлетворяющих условию Th = h на С. Конус Н содержит функцию 1С (согласно (в)) и замкнут, очевидно, относительно монотонных переходов к пределу. Кроме того, Н является структурой. В самом деле, если h, h'^H, то

У [inf (Л, hf^ ^ inf (Th, УА') = inf (7г, А') на С

и, следовательно, согласно (в), inf (h, h'^ е Н. Далее, поскольку"

inf (h, h'^ + sup (h, Az) = A + h',

имеем также sup (Л., h'] ^ И. Из отмеченных свойств конуса Н вытекает, что класс множеств о% = (В : ВсС, Т1В=1В на С} является а-алгеброй подмножеств С.

Покажем, что положительная и конечная измеримая функция к, обращающаяся в нуль на D, принадлежит Н тогда и только тогда, когда она ^-измерима. В самом деле, если функция h е%?-измерима, то она есть предел возрастающей последовательности взвешенных сумм индикаторов множеств из S6 и потому принадлежит И. Обратно, если heH, то из формулы

1{й > а} = Нт ? inf [ 1, n(h — а)+]

П^оо

вытекает, что 1^>а^Н при всех а>0, т. е., что h ^-измерима (ср. с упражнением II. 2.1).

Покажем, далее, что ст-алгебра ей? и класс ^ совпадают. Включение ^ с ей? непосредственно следует из (в). Обратно, если В g S6 и если функция f е L+

выбрана так, что {/>0} = В, то 2/Т* = 0 на С —В, к

так как С — В е S8 и

I fr'- f f-0.c-s c-s

С другой стороны, поскольку B^C и 2fTk^f>0 на В, постольку '£fTk= оо на В. Таким образом, В = 5У;1Тк=ос\е^.

Для завершения доказательства предложения остается лишь заметить, что для любой конечной положительной измеримой функции h

ТН = Н на С^Н1сгН.

Действительно, из установленного в пункте (б) равенства Т( *, В) = 0 на С вытекает, что для любой такой функции h имеем Th = T(hlc) на С. |

Следствие 1. Пусть Т — субмарковский эндоморфизм пространства

L4E, ^, П)

и С' — ненулевое инвариантное множество (подмножество множества С из ъ). Формула

.I V на С',

ГГ-iT, гае /-j0 на Е_с,_

определяет эндоморфизм Т' пространства L'tC', С'П^", П(С'П • )]> для степеней которого справедлива аналогичная формула; f'T'11 = fTk. Транспонированный к Т' оператор определен на пространстве /.“[С'], и его степени обладают следующим свойством;

T,kh' = Tkh на С', если h = h' на С'.

Отсюда, в частности, следует, что Tkh=0 на С', если h = 0 на С'. Эндоморфизм Т' является марковским и

Консервативным, и отвечающая ел1у а-алгебра инвариантных множеств равна С'Л^”-

В случае когда С' = С, эндоморфизм Т' называется консервативной частью эндоморфизма Т.

Доказательство. Утверждения следствия вытекают из двух установленных в предыдущем предложении равенств Т1с- = 1 на С' и Пе-с, = 0 на С'. В самом деле, в силу второго из этих равенств /Г = 0 на Е — С', если / = 0 на Е — С!. Отсюда непосредственно следует утверждение о степенях эндоморфизма Т'. Из формул

j }'Гк . h'= р' • T,kh', ^Tk.h= J f • Tkk,

C'C'EE

левые части которых, согласно предыдущему, совпадают, если f = f' на С', f = 0 на Е — С' и к = к' на С' (функция к произвольна на Е — С'), вытекает, что Tkk = T'kh' на С', если к = к'. на С'.

Так как Пс'=1 на С', то эндоморфизм Г'—марковский. Наконец, из равенства 2 ?Т'к = 2 fTk сле-

Е к

дует, что отвечающая Т' консервативная часть равна С* и что о-алгебра инвариантных множеств для Т' совпадает со следом С' Л ^ а-алгебры ^ на С'. |

Следствие 2. Если Т — субмарковский эндоморфизм пространства L'(E, qF , П), то для всякой положительной функции к

на Н,на С — Н,на Н,на С — Н,

на Н,

на С — Н,

на Н,

на С — Н,

где Н — наименьшее принадлежащее ^ подмножество множества С, содержащее множество СЛ{А>0}.

Доказательство. Так как к = 0 на С — Н, то в силу предыдущего следствия 2 Т'7г = 0 па С — Н.

Для любого положительного а и любой функции feL^E, S', П), такой, что {/>0} = С ЛI 2 T^h^a L

I < I

имеем при всех п^О

J (^тЛТк- Ы^Т^Х^а J/<оо.\t>0/\4>п/

Отсюда следует, что 2 Tnh = 0 на множестве Н'а = п

= J 2 fТк = оо L которое, согласно предыдущему пред- I кJ

ложению, является подмножеством множества С из о-алгебры ^ содержащим множество {/>0}. Имеем, таким образом.

С Л (2 Tnh = 0} zd Н'а zd С Л (2 Tkh <а},

что возможно лишь в том случае, когда включения в этом соотношении являются равенствами. Следовательно, множество СЛ (2Т'*А==0} принадлежит ^ и совпадает с множеством СЛ(2^АА<оо] (чтобы в этом убедиться, нужно положить a f оо). С другой стороны, это множество не имеет, очевидно, общих точек с множеством

С Л {^>0},

с множе- 2 т^л^оо кс множе- 2 т^л^оо ка также, поскольку оно принадлежит ^ ством Н. Тем самым мы доказали, что

с множе- 2 т^л^оо к

с множе- 2 т^л^оо к

на Н. ■

Дополнения а упражнения

V. 5.1. Пусть Т — идемпотентный (Г2=Г) субмарковский эндоморфизм пространства L1 (Е, 3, П). Показать, что отвечающая Т диссипативная часть D есть наибольшее подмножество (более точно, класс эквивалентности множеств) пространства (Е, 3, П), для которого Г1о = 0, и что а-алгебра Y есть наименьшая а-алгебра подмножеств С = DC, относительно которой функции Т\р (ЕеЗ) измеримы на С.

19 Зак. 1368

V. 5.2. Пусть (Е, <7") — счетное пространство с о-алгсброй всех его подмножеств, и пусть П — вероятность на (Е, аГ), такая, что П (х) > 0 при всех хе Е. Формула

гг (у). п (у) = 211 w / w р (*• у)X

устанавливает взаимно однозначное соответствие между (суб)мар- ковекими эндоморфизмами 7’ пространства l* (Е, 3", П) и (суб\иар- ковскими матрицами Р на Е (матрица с элементами Р (х, у), х, уеЕ, называется (суб)марковской матрицей на Е, если Р (х, у)^0 и 2 р I*, z) — 1 « 1) при всех х, ys Е).

Показать, что если [С], С2, >..} —счетное разбиение консервативной части С пространства Е, порождающее о-алгебру ^, то

2 Р” (х> У) < 00 (” °)> если У ^ ci ПРИ всех хе Е (х е С)! к

2 Рк кх, У) = 00 и-п-и 0 пр» хеСц уеС;, смотря по тому, к

I - / или i ^ /".

Свойства (1) и (2) полностью характеризуют С и Ср Показать, что идемпотентные субмарковские матрицы Р являются матрицами следующего вида: существует такая конечная или бесконечная последовательность вероятностей 11л, носители которых Сп не пересекаются, и такое отображение р множества D =(2 С „У в [0,1], что

Р (х. у) -Р (х. у) -11, (у), если хеСп, yeCR при некотором п, р U) 1^(1'), если xeD, уеСп при некотором п.

Р (х. у) -

Р (х. у) -

О в остальных случаях

[Использовать упражнение V. 5.1.]

V.5.3. Разложение Рисса. Положительная конечная измеримая функция h на пространстве (Е, 3", Л) называется (cynep)pcei/~ лярной относительно субмарковского эндоморфизма Т, если (Tii ^h) Th == h- такая функция h называется потенциалом положительной функции g, если /1 => 2 ^ftE-

к > О

Показать, что всякую суперрегулярную функцию h можно единственным образом представить в виде суммы конечного потенциала ^ T!ig п регулярной функции h', причем g = h — Th и h' = lim ^ T'‘h. к ;-■ йn + «

Показать, кроме того, что если суперрегулярпая функция h мажорируется конечным потенциалом, скажем,

/^ 2 ?А/<”.к > О

то сама функция Ь тоже является потенциалом (а рменно, потенциалом функции I; = h— 7/г) Вывести отсюда, что выпуклый конус регулярных функций есть полная структура.

Если оператор Т консервативен, то не существует отличных от нуля конечных потенциалов. Показать, что если оператор Т диссипативен, то всякая суперрегулярная функция А является пределом возрастающей последовательности потенциалов. [Рассмотреть функции

где Dn - J Л f что {/ > 0} = Е.]где Dn - J Л f что {/ > 0} = Е.]и / — функция, принадлежащая L^, такая,

где Dn - J Л f что {/ > 0} = Е.]

где Dn - J Л f что {/ > 0} = Е.]

V. 6. Индивидуальная эргодическая теорема

В этом пункте будет доказана весьма общая эргодическая теорема для субмарковского эндоморфизма Т пространства Л1^, ^", П). Приводимое доказательство основывается на исследовании определяемых ниже операторов НТ, имеющем и самостоятельный интерес.

Пусть Т — субмарковский эндоморфизм пространства £,(£, S', П). Каждому множеству FeS" поставим в соответствие субмарковский эндоморфизм fT=*TIfc1 где 1рс — оператор умножения на lfc. Согласно определению, имеем, таким образом,

„ ( П на Fc,

* | о на F,

FTh=TQd14

Рассмотрим также положительные эндоморфизмы

ГНМ- 2 №1, (и>0).

0</г < п

Все эти эндоморфизмы являются субмарковскими, поскольку из неравенства Т\р=* 74 — FT\1 — РП вытекает, что

WH- 2 П^ПрС 2 ^П^Х -РТ^=- 0<6<п0<А<п

= 1 -('Tyi^!.

Предел FH = S ^T^TIp возрастающей последователь- к>0"

ности {^Т/^} субмарковских эндоморфизмов тоже есть субмаркойский эндоморфизм.

В случае когда эндоморфизм Т индуцируется переходной вероятностью Р, эндоморфизмы FT, FHW и FH индуцируются субпереходными вероятностями

FP = ^P^x, G) = P(x, FCG)},

2 VW Pip и ^ VP? PI, й^к^пк>»

соответственно. Если обозначить через р^ первый момент времени п>0, в который марковская случайная функция {Хп, п^О} со стационарной переходной вероятностью Р попадает в множество F (в случае когда Xn^F при всех п>0, мы полагаем ^=со), то

PJ^eG, ^v>/i] = (^Р3)"^, G).

Для доказательства этой формулы можно воспользоваться индукцией по п; действительно, в силу марковского свойства и того обстоятельства, что Fv есть мо- "мент остановки ((Fv>n) е^°),

P,[X„+1eG, ^>п+1] = РДХ„+1еРсС, ^>п) =

- J PAXn^dy, F^>nWky, fcgy уев

Используя доказанную формулу, получаем

Px\Xk^G, FM-k\ = PxkXkeFG, ^>^- 1) =

= (^Р)6"1 Р (х, FC}

и, складывая эти равенства, находим ^[^v)gG. Fv<n] = FH™(x, G),

Px [^(FV) G G, pv < oo] = FH (x, G).

Отсюда вытекает, что

FIlh^ = J с1РхЦХ^,{^<=}

и в частности РН\ (х) = Рх [Fv< со]. Ясно также, что если ц0 = /• П — вероятностный закон величины XQ, то положительная мера fFH -П есть закон распределения величины Х^р^ на множестве {Fv<co}.

Предложение V.6.I. Пусть Т — субмарковский эндоморфизм пространства ZJ (£, а7", П), С —отвечающая Т консервативная часть Е, и пусть ^ есть а-под- алгебра а-алгебры СГ\<^. состоящая из инвариантных относительно Т подмножеств в С. Пусть, далее, F—принадлежащее 3? подмножество в С и F — наименьший класс эквивалентности множеств из ^ содержащих F. Тогда

FHh = h\? на С

для любой ^-измеримой на С положительной функции h.

Доказательство. Если функция h положительна и ^-измерима, то из разложения h= Th = T(h\P) + FTh вытекает, что при всех п^О

FHwh = 2 ^ffTkhY^- 2 ^ffkh-^hVh-^TYh. k < пk < n

Следовательно, функция

■ h — FHh = lim | (ft - FHW^ = lim 1 (FlYh n 4 00n 4 00

положительна" и инвариантна относительно ГТ. Отсюда, используя разложение Т = FT + TIР, получаем

T{h-FHh)^{h-FHh) + T\\pkh-FHE^

и, поскольку ft = Th,

FHh=T^FHh) + T\\P(h-FHh)]^T(FHh).

Согласно предложению V. 5.2, функция FHh, следовательно, ^-измерима на С и T\\P^h — FHh^ = 0 на С. Так как, очевидно,

0=T\\F(1h-FHh^<\F(h-FHh’) на С,

то, применяя еще раз предложение V. 5.2, получаем, 1Р (Л — FHh) = 0. Но функция h — pHh является ^-измеримой, и поэтому из равенства ее нулю на F следует, что она равна нулю также_на F. Таким образом, мы показали, что FHh — h на F."

Поскольку C-Fg#, постольку 7(Л1^) = 0 на C — F для любой функции Л ^ 0. Отсюда легко вытекает, что FHh = 0 на С - F. 1

Следствие. При выполнении условий предыдущего предложения консервативная часть, отвечающая эндоморфизму FT, равна С — F,a а-алгебра инвариантных относительно FT подмножеств множества С — F совпадает со следом ^ на C — F.

Доказательство. Согласно предыдущему предложению, FH1 = 1^. С другой стороны, согласно следствию 2 предложения V. 5.2, примененному к оператору FT, функция

FH\ = 2 № Tip

к>й

на консервативной части, отвечающей оператору FT, равна либо 0, либо со. Следовательно, консервативная часть FC, отвечающая FT, и множество F не пересекаются. Далее, из неравенства FT^ Г непосредственно вытекает, что FC с С. Резюмируя сказанное, получаем

FC с С - F.

Заметим теперь, что ограничения операторов Т и ГТ на инвариантное относительно Т множество C — F совпадают. Применяя следствие 1 предложения V. 5.2, убеждаемся, что FC = C — F и что следы на C — F ог-алгебр множеств, инвариантных относительно Т и РТ соответственно, совпадают. В

Следующий результат (в случае счетного пространства Е принадлежащий Дсблину) является частным случаем эргодической теоремы (см. ниже).

Предложение V. G.2. Пусть Т— субмарковский эндоморфизм пространства L’ (£, ФГ, П), и пусть ^ есть а-алгебра инвариантных относительно Т подмножеств консервативной части С. Если F — принадлежащее ФГ подмножество в С и F —наименьший класс эквивалентности множеств из ^, содержащих F, то

2 Мт6

lim п. н. —"г— = 1р на С

2 /Т61

k^n

для всякой функции f е L+^E, е^-, П), удовлетворяющей условию V>0} = E.

Доказательство, (а) Так как при любом fe^O

J ^Н) Тк = ^ ^Н = О,

с-7с-7

функции (РН')Тк (^>0) равны нулю на C — F. Следовательно, утверждение предложения справедливо на C-F.

Дальнейшая часть доказательства основана на следующей формуле:

2 тк = 2 (/,т)4+2 2kFTfTiFTl- ^п>оу k^n к < пк* Кп

' Для доказательства этой формулы заметим, что она, очевидно, верна при /1 = 0, и что если она верна при некотором п, то она верна также при п + 1, поскольку

2 !" = ?+( 2 Тк\Т = ?М 2 FTk\ ^t + TIf) + к<п*1\к<п /\t<n /

+ 2 2 FTkTiFT1^ = 2 FTk + 2 2 FikTiFTl.

к + I < nк ^ a + Iк + I < a + 1

Из установленной в пункте (б) формулы непосредственно следует, что для любой функции / е еЬ'ЛЕ. 3^ П)

2 /^с 2 lFik-v 2 (Гн^т1. k<n ■ к>йКп

С другой стороны, из следствия к предложению V. 6.1 и из предложения V.5.2 вытекает, что

2 fFTk<oo на Fк>0

и что ^ jTk = оо по крайней мере на множестве к>0

{/>0} ПС. Деля правую часть предыдущего неравенства на левую его часть и полагая п-»оо, получаем,

следовательно, что для любой функции f^L+, удовлетворяющей условию {/>0} = £,

2 (Гн^ Тк _

1 sC lim inf т— на F.

п->=2 fTk

k^n

Из формулы пункта (б) легко вытекает также, что

2 /Тк + 2 ?Tn+t = 2 fTk> .

k-^ji1=1к < m f n

>22 гткирт1 = 2 \/н,тУ\ f. к <m l^nt^ n

Деля обе части этого неравенства на 2 ГТ\ убе

ждаемся, что для любой функции f е L* с {/>0} = £

2 (/F//Im)) тк

1 > 1 im su р -^ ft (щ > 0) п оо7л [ /

к < п

при условии, что для любой такой функции / и всех />0

frn+t

lim п. и, —г- = 0.

п>=£ fT

к<п

Выполнение этого условия будет доказано, если мы покажем, что для всех е>0

Iimsuppr+/>e 2 /7'4 = 0.

п -> оо (к п J

Полагая gn. = fTnv! — E 2 fTk и замечая, что gn = к<^п

= gn_1T — Ef, имеем

j§:= J gn-J-E J /<

(ел>о}{ел>о)

^/(^-iT'/'-e J /</^-6 J f.

(en > °)(гл > 0}

Отсюда вытекает, что

X I ^4S I (gVi-g^T^<°° ° (е„ >о)"

и, следовательно (согласно предложению 1.4.4), что limsup {^„>0} = 0 п. н. по мере f • П; последнее соот- п

ношение справедливо также и по мере П, если (f>0} = £. Наконец, устремляя т к бесконечности в очевидном неравенстве

. 2 №

2 VfFH-fFHOn4 Тк+ sup„2 iT2 VfFH-fFHOn4 Тк+ sup„2 iTlim sup^- <

2 VfFH-fFHOn4 Тк

+ sup

„2 iT

2 VfFH-fFHOn4 Тк

+ sup

„2 iT

^ lim sup г—

и применяя следствие предложения V. 5.1 к убывающей к нулю в L+ последовательности функций gm=afFH— —fH^, находим

2 №

lim sup п -> оо •lim sup п -> оо •к^п

lim sup п -> оо •

lim sup п -> оо •

2 пкк^п

Сопоставление этого неравенства с неравенством, полученным в пункте (в), завершает доказательство предложения. | ■

Эргодическая теорема (Чакон — Орн- стейн). Пусть Т — консервативный марковский эндоморфизм пространства 1?(Е, ^", П), и пусть ^ есть а-подалгебра а-алгебры ^, образованная инвариантными множествами. Для любой функции geL' и любой функции f е L+, удовлетворяющей условию

2 е^ lim п. н. -^г—z-2 е^ lim п. н. -^г—z-k^nk^nе¥^ EVy^ *е¥^ EVy^ *

2 е^ lim п. н. -^г—z-

2 е^ lim п. н. -^г—z-

k^n

k^n

е¥^ EVy^ *

е¥^ EVy^ *

Доказательство. Если функция g имеет вид g = ЁH1 Fe^T, то, согласно предложению V. 6.2, указанный в формулировке теоремы предел существует и равен 1у. Для доказательства теоремы в этом частном случае достаточно, таким образом, показать, что Е6 {ЁН} = Ё6 (/) 1р для любых f е 1Д и Fe^. Но поскольку С = Е, это последнее равенство равносильно утверждению предложения V. 6.1. В самом деле, для любой ^-измеримой функции /г^О имеем

j Е* {fH} .h= ^ fH-1г= ^ ЁНЬ

и

j Е^ГЁ?-Ь = S ПА

Пусть Af —линейное подпространство пространства L1, порожденное функциями вида ЁН, F^^. В силу предыдущего утверждение теоремы, очевидно, справедливо при всех g е Ар Покажем, что оно справедливо также и для всех g, принадлежащих замыканию Aj подпространства Af в Ех. Возьмем последовательность {§„, ^>1} в Ар для которой Silg-gpiK00.

Имеем, очевидно.

Полагая в этом неравенстве сначала п->оо, а затем р->оо, получаем нужный результат. В самом деле, первый член справа стремится к нулю, поскольку gp^Ap* второй член стремится к нулю согласно след-

ствию предложения V. 5.1, а стремление третьего члена к нулю вытекает из неравенства

У J l^(g-^P)l<S J ig-gPi<°°. рр

Для завершения доказательства теоремы Достаточно теперь показать, что A^L1. Для этого в свою очередь достаточно (в силу теоремы Хана —Банаха) установить, что не существует элемента к 0 пространства L”, для которого J gh = 0 при всех geA;, Пусть heL”, и пусть JgA = O при всех g eAf. Тогда, в частности, |/Р°Я*Л = 0, где /^о = {/z > 0}. Так как f^H^O и Л > 0 на Fo, отсюда следует, что f^H = 0 на Fo. Поскольку, кроме того, fFoH = 0 на Fo, постольку fF”H = 0 на всем пространстве Е. Принимая теперь во внимание равенства JfF77=" J f и {f>0} — Е, получаем Fa= 0

F,

и, следовательно, FQ=0. Аналогичное рассуждение показывает, что {Л < 0} = 0. Таким образом, функция к должна быть равна нулю. |

Предложение V.6.3 (Э. Xопф). Всякий субмарковский эндоморфизм Т пространства I? (Е, 5", П), обладающим левоинвариантным элементом f — fT из L1, таким, что У>О\ = Е, является марковским консервативным эндоморфизмом. Если Т — такой эндоморфизм и ^ есть а-подалгебра а-алаебры 5", состоящая из правоинвариантных относительно Т множеств, то

^Л^^Х^-^^*^) nPtt S^L\

И^ЛН' vir 2 Tks="ёпп Е*^ при fs s LX*

Более того, эти пределы существуют также в смысле сходимости в пространствах L1 {Е, П) и I? (Е, <^", f -П) соответственно.

Доказательство. Так как 2 /7й = 00 • / = 00 на Е, к

то эндоморфизм 7 консервативен и, следовательно, является марковским (см. предложение V. 5.2). Поскольку У fTk = (n + l)f, первое из утверждаемых пред- №<п

ложением эргодических соотношений есть следствие эргодической теоремы.

Формула

gT'-bT^

определяет марковский эндоморфизм пространства L4E, 5", П). В самом деле, если функция g положительна, то функция gT' тоже положительна и

Транспонированный к Т' оператор можно определить непосредственно формулой

г(т)="т (/г^0)'

Действительно, из соотношений

M-fM7-)-f-.f(fP7'’

где g, А^О, вытекает, что справедливое при всех g равенство 7(g'/) • f = gT' равносильно равенству hTif = •^T'(hjf) при всех h.

Так как, очевидно, fT' = f, оператор Т' консервативен. Легко также проверить, что gT'k = / • Тк (gjf) при всех gELl. В силу следствия 2 предложения V.5.2 о-алгебра ^' множеств вида

j 2 gT'k = ОО I = J 2 7* (gj) - ОО I ,

I кi I a)

где gEU, является ст-подалгеорой о-алгебры ^. Поскольку gT = f • T'(glf), то, меняя в предыдущем

рассуждении ролями Т и V, получаем обратное включение с^', так что 8*=8*'. Для доказательства второго утверждаемого предложением эргодического соотношения достаточно теперь применить уже установленное первое соотношение к оператору Т'.

Осталось доказать последнее утверждение предложения о сходимости в норме Lv Достаточно доказать, например, что последовательность gn = 1Цп + 1) У, gTh k С п сходится в /J к g^ = lim п. н. gn при всех положитель-

П •> 00 ных gel?. Легко видеть, что функции g^n^V) и g^ положительны и что

J g„ - J g» - J 8-

Далее, с одной стороны, последовательность положительных функций {(goo — gn) } сходится п.н. к нулю и мажорируется функцией g^eL1, а с другой стороны,

J |goo-g„l”2 j(goo-g„)+,

поэтому согласно теореме о сходимости мажорируемой последовательности gn-*goo в Ц при л->оо. |

Следствие (теорема Биркгофа). Пусть 6 — измеримое отображение вероятностного пространства (Е, ^", П) в себя, относительно которого вероятность П инвариантна, т. е. П (б-1/7) = П (F) при всех F е^~. Обозначим через 3 а-подалгебру а-алгебры 5", состоящую из множеств, инвариантных относительно 6, т. е.

Тогда при всех Irei?

lim п. н. ■ V Й96 = Eff (h).

Более того, этот предел существует также в смысле сходимости в пространстве Lv

Доказательство. Формула

F Q^F

определяет марковский эндоморфизм Т пространства I?. В самом деле, при всех f^L1 правая часть этого равенства представляет собой ограниченную меру, абсолютно непрерывную относительно П, и поэтому, согласно теореме Радона — Никодима, имеет вид j fT, где

F

/Г — некоторый элемент пространства I?. Более того, соответствие /->/7 линейно, положительно и удовлетворяет условию | fT = [ f. Отметим также, что 1Г=1.

Далее, легко проверить, что Th = h - Q и что вообще Tkh = /i-6k. Утверждение следствия непосредственно вытекает теперь из предыдущего предложения. |

В следующем предложении устанавливается, что эргодическая теорема справедлива для произвольного (не обязательно консервативного) субмарковского эндоморфизма.

Предложение V. 6.4. Пусть Т— субмарковский эндоморфизм пространства L1 (Е, 3", П). Для любого элемента gei? и любого элемента f е lA, удовлетворяющего условию {/‘ >0} = £, существует предел

2 Йткlim п. н. ^^11-> СОV jjk

на Е. На диссипативной части D этот предел равен отношению сумм п. н. сходящихся рядов 2 gTk и 2 fTk; на консервативной части С он равен Ev(g')lЕ^(}'), где дА — условное математическое ожидание на пространстве (С, СП^-, ЩСП*)), а и g' —функции, определяемые на С формулами g' = gGH, f' = jGH.

Доказательство. Ясно, что на диссипативной части D рассматриваемый предел существует и равен указанному отношению. Далее, применяя к консервативной части Т эндоморфизма Т следствие 1 предложения V.5.2 и эргодическую теорему, имеем

limn. н.П->ооlimn. н.П->ооk^n _ £y(g)^I'T* Е*(Пk^n _ £y(g)^I'T* Е*(П

limn. н.

П->оо

limn. н.

П->оо

k^n _ £y(g)^I'T* Е*(П

k^n _ £y(g)^I'T* Е*(П

на С. Для завершения доказательства остается заметить, что определенное на С отношение

2^» ” . 2/7»

равно как и аналогичное отношение для g и g', схо

дится п. н. к 1 на С при и -> оо (предложение V. 6.2). *) ■

Дополнения и упражнения

V. 6.1. Усилить предложение V. 5.1; именно, показать, что привыполнении тех же условий J ^ J £• [Применить это предло-Bf- g Bb g

жение к функциям (/ —g)* и (g — /)+.] Положим

Доказать, что при всех р > 1 выполняется неравенство

(в смысле нормы пространства Lp (Е, 3, } • П)). [Проинтегрировать неравенство J g ^ J а/ по мере рар-1 da в пределах от 0 до оо (Л > а) {Л > а}

и воспользоваться неравенством Гёльдера.] Вывести отсюда, что если эндоморфизм 7 консервативен и если / е L\, {/>0} — Е,

g/f eLPy- Л), то

Нтп->= ^fT» E*fк^п

в смысле сходимости в LP У ■ П).

V.6.2. Если Г—консервативный марковский эндоморфизм, то (gA) Т = (gT) ■ h для любой ^-измеримой функции А ^ О и любой функции g^O. Вывести отсюда, что эргодическая теорема остается справедливой, если условие Д g е L1 ослабить, предположив лишь, что E^j < оо, E^g < сю. Показать также, что условие {f > 0) = Е можно ослабить до условия {E^f > о} = Е, заметив для этого, что {E^>0} = ^/rfe = °o

V.6.3. Обобщение предложения. V. 6.3. Пусть Т — субмарковский эндоморфизм пространства Lx (Е, 3", П), для которого существует инвариантная у = (Т) функция f, удовлетворяющая условию {/ > 0} = Е, но не обязательно интегрируемая. Показать, что формула gT' = f ■ Т (g/f) определяет марковский эндоморфизм пространства L1 (Е, 3, П), имеющий ту же консервативную часть С и ту же а-алгебру ^ инвариантных множеств, что и Т (диссипативная часть D не обязательно пуста, когда / не принадлежит L1). Вывести отсюда, что (1) Г1с“ 1С; (2) gT = g на С тогда и только тогда, когда функция g/f является ^-измеримой на С.

Показать, что если g, h g L\. у -Щ и {Л > 0} — Е, то предел Ит п. и. / ^ ^В / ^ Tkh\ существует на С н равен Е*6 (fg)iE^ (fh) п^=° \k^n I к'^.П/

(в соответствии с упражнением V. 6.2 этот результат справедлив и при б^>лее слабых условиях: E^g < <ю, E^h < °°, (А > 0} = Е). Вывести отсюда, что предел

Ит п. и. !■ .- V T^g

П->оо п + 1

fc<n

существует и равен Ev (fg)/E^ (f) на С, если geL^y-TV) (более общим образом, если Е^ ((g) < оо); в частности, этот предел равен нулю на множестве {E^f = оо}. Показать также, что предел этот существует в смысле сходимости в L1 тогда и только тогда, когда g — 0 на {Е^/=оо}.

V.G.4. Если Г—пснссрватпвный эндоморфизм пространства L' (Е, 3, II), то всякая инвариантная относительно Т положительная функция А определяется на множестве F ее значениями па множестве F (предложение V.6.1). Показать, что, обрагпи, если А — но-

ложительная конечная функция, определенная на множестве F и удовлетворяющая на F условию h"FHh, то продолжающая h на Е функция h' = FHh инвариантна относительно Т\ показать также, что функция h* конечна (заметить, что \h* = <»} е If).

V.6.5, Предложение V. 6.3 можно доказать непосредственно, используя лишь максимальную эргодическую теорему п. V. 5. Для доказательства того, что при выполнении условий этого предложения

Игл п. и. —г V Tbg = , если 0 < g 1,

применить следующую схему (с помощью следствия предложения V. 5.1 этот результат можно распростраинть на функции g, для которых J \ g \ j <

Показать, что функция

Л = lim inf —V.

П->оо п + 1

к<е.П

удовлетворяет условию Th^h и, следовательно, ^-измерима (0<g<l). Используя лемму Фату, показать, далее, что ^^(fgl/f^t/). Для всякого в > 0 положимC.^h+fKE^lE^nV Применяя максимальную эргодическую теорему к оператору 7* (определение Г* см. в доказательстве предложения V. 6.3) и к функциям

показать, чтопоказать, чтоЕ*6 (fg)еЧоЕ*6 (fg)еЧоVcLVcL(8 + 8) 1с h 8(8 + 8) 1с h 8EY (fg)еЧпEY (fg)еЧпf>J (g + e)fсвf>J (g + e)fсв

показать, что

показать, что

Е*6 (fg)

еЧо

Е*6 (fg)

еЧо

VcL

VcL

(8 + 8) 1с h 8

(8 + 8) 1с h 8

EY (fg)

еЧп

EY (fg)

еЧп

f>J (g + e)fсв

f>J (g + e)fсв

и, следовательно, П(СВ)»О, Вывести отсюда, что h = E^ (fg)/E^(f). Применение предыдущего рассуждения к функции 1 — g завершает доказательство.

V.6.6. Обращение предложения V. 6.3. Показать, что для всякого субмарковского эндоморфизма Т пространства L1 (Е, 3", П) следующие два условия равносильны:

существует функция f е L\., такая, что fT — f и {/>0} = С;

для любой функции h е L” последовательность

I 4<n|

сходится п. н.

20 Зак. 1368

Вывести из предложения V. G.3, что (а) ^> (б). Для доказательства импликации (б) ^ (а) воспользоваться результатами п. IV. 2; показать, что сходимость последовательности

[!V1 т*] I ср е

I 4 С /I J

по вероятности влечет сходимость последовательности

f-L-V 17-1

[ ft С п )

в смысле ослабленной топология в пространстве L1, индуцированной па нем пространством L”, и что предел этой второй последовательности может быть взят в качестве функции / в (а).

V. 6.7. Стационарные последовательности 8. с. в. Пусть О — оператор сдвига, определенный на произведении пространств (й, и!) = (Е, 5"^ формулой

° (К- «>°})“« ”>°}.

где х'п = xn+v я > 0, и пусть (Уя, п ^ 0) — последовательность координатных отображений пространства (12, с4). Вероятность Р на (£2, с4) называется стационарной, если Р ■ 0 1 = Р на Л. Показать, что вероятность Р на (£2, о-7) стационарна тогда и только тогда, когда вероятностный закон, индуцированный „вектором" (А'п +д, ..., Xn^+Il^ на (.Е, ёГУ*, не зависит от Л при любых £ ^ 1 и п,n^eN.

Обозначим через S' а-подалгебру а-алгебры Л, состоящую из событий, инвариантных относительно 0 (стационарных событий). Показать, что для всякой действительной измеримой функции f на (.Е, 5"), удовлетворяющей условию J | f (А'о) | dP < °°,

п

И -> ОО л + I *=* о

в смысле сходимости п. н. и в смысле сходимости п пространстве Lx (Е).

Показать, что дарковская случайная функция на (12, Л^ со стационарными переходными вероятностями Р, построенная по способу, указанному в п. V. 2, стационарна в смысле данного выше определения тогда и только тогда, когда начальная вероятность цэ (вероятностный закон величины Хо) инвариантна относительно Р (т. е. р.»Р =• На).

ЛИТЕРАТУРА

Приводимый ниже краткий список литературы содержит некоторые важные книги и статьи, имеющие отношение к материалу, излагаемому в настоящей книге (как в основном тексте, так и в дополнениях) .

Андерсен н Йессен (Andersen Е. S., Jessen В.), Оп the introduction of measures in infinite product sets, Danske Vid. Selsk Mat. Fys. Medd., 25 (1946), № 4.

Ароншайн (Aronszain N.), Theory of reproducing kernels, Trans. Amer. Math. Soc., 68 (1950), 337—404. [Русский перевод: сб. Математика, 712 (1963), 67^—130.]

Белл (Bell С. В.), On the structure of stochastic independence, Illinois J. Math., 2 (1958), 415—424.

Биркгоф (Birkhoff G.), Теория структур, M., ИЛ, 1952.

Блан-Лапьер и Форте (Blanc-Lapierre A., Forte t RJ, Thfiorie des fonctions aleatoires, Masson et Cie, Ed., Paris, 1953.

Блекуэлл (Blackwell D.), Idempotent Markov chains, Ann. of Math., 43 (1942), 560—567.

— On a class of probability spaces, Proc, of the Third Berkeley Symp. on Math., Stat, and Prob., Vol. II, Univ, of Calif. Press, Berkeley and Los Angeies, 1956, 1—6.

Бохнер (Bochner S.), Harmonic Analysis and the theory of Probability, Univ, of Calif. Press, Berkeley and Los Angeles, 1955.

Брюнель (Brunel AJ, Sur un lemme ergodique voisin du lemme de E. Hopf, C. R., 256 (1963), 5481—5484.

Бурбаки (Bourbaki N,), Elements de Mathematique, Hermann et Cie, Paris. [Частично переведено на русский язык.]

Буркхолдер (Burkholder D.), Sufficiency in the undominated case, Ann. Math. Stat., 32 (1961), 1191—1200.

Варадарайан (Varadarajan V. S.), Weak convergence of measures on separable metric spaces, Sankhya, 19 (1958), 15—22. Гарсиа (Garsia A. M.), A simple proof of E. Hopf’s maximal ergodic theorem, /. Math. Meeh., 14 (1965), 381—382.

Г ельфанд И. М., Обобщенные случайные процессы, ДАН СССР, 100 (1955), 853-856.

Гельфанд И. М. и Виленкин Н. Я., Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства. (Обобщенные функции, вып. 4), М., Фнзматгиз, 1961.

Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, М., изд-во «Наука», 1965,

Гнеденко Б. В. и Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, М.—Л., Гос- техиздат, 1949.

Гротендик (G г о t h е п d i с с k A.), Snr les applications lineaires faiblement compactes d’espaces "du type C(/(), Canad. J. Math,, 5 (1953), 129—173.

Гуревич (Hurewicz W.), Ergodic theorem without invariant measure, Ann. of Math., 45 (1944), 192—206.

Давенпорт и Рут (Davenport W. В., Root W. L), Введение в теорию случайных сигналов и шумов, М., ПЛ, 1960.

Данфорд и Ш в ар ц (D unf о г d N„ Sc h w а г t z J. Т.), Линейные операторы, т. 1, ИЛ, 1962; т. 2, изд-во «Мир*, 1966.

Дуб (D о о b J. L.), Вероятностные процессы, М., ИЛ, 1956.

Дубине (Dubins L. Ё.), Rises and upcrossings of nonnegative martingales, Illinois J. Math., 6 (1962), 226—241.

Д ы и к и н E. Б., Основания теории марковских процессов, М., Физматгиз, 1959.

— Марковские процессы, М., Фпзматгиз, 1963.

Дьедонне (D i е u d о п п ё J.), Sur Ie theoreme de Radon—Nikodym (III), Ann. Unto. Grenoble, 23 (1948), 25—53.

— Sur le theoreme de Jessen, Fund. Math., 37 (1950), 242—248. — Sur les espaces de Kothe, J. Analyse Math., 1 (1951), 81-115.

И о с ида и Какутани (YosldaK., Kakutani SJ, Operator* theoretical treatment of Markov’s process and mean ergodic theorem, Ann. of Math., 42 (1941), 188—228.

И p ж и н a (J i г i n a M.), On regular conditional probabilities, Czech. Math. L. 84 (1959), 445—451.

Uto (Ito K.), Multiple Wiener Integral, J. Math. Soc. Japan, 3 (1951), 157—169.

— Stationary Random Distributions, Kyoto Sc. Rep., 28A (1954^, 209—223.

Ито и M а к к и н (I t о К., М с К е a n Н. Р.), Диффузионные процессы и их траектории, М„ изд-во «Мир*, 1968.

Какутани (Kakutani SJ, Concrete representation of abstract (M)-spaces, Ann. of Math., 42 (1941), 944—1024.

On the equivalence of infinite product measures, Ann. of Math., 49 (1948), 214—224.

Kannoc (Kappos D. A.), Strukturtheorie der Wahrscheinliclr- keitsfelder uno Ratime, Ergebnisse der Mathematik and Hirer Grenz- gebiete, vol. 24, Springer Verlag, Berlin, 1960.

Карунен (Karhunen K), Uber lineare Methoden in der Wahr* scheinlichkeitsrechnung, Ann. Acad. Set. Fenn., 37 (1947).

Колмогоров A. H., Основные понятия теории вероятностей, М,—Л., 1936.

Стационарные последовательности в гильбертовом пространстве, Бюлл. МГУ. 2 (1941), 6..1—40.

Algebrcs de Boole metriques completes, VI Zjazd Mat. Pols. Warsaw, 1948, 21—30.

Крамер (Сгашёг H.), Математические методы статистики, М^ ИЛ, 1948.

Крикеберг (Krickeberg К.), Stochastische Konvergenz von Semi-martingales, Math. Zeit., 66 (1957), 470—486.

Леви (Levy P.), Theorie de l'Addition des Variables Aleatoires, Gauthier-Villars, Paris, 1937.

— Processus Stochastiques et Mouvement Brownien, Gauthier- Villars, Paris, 1948.

— Wiener's random function and other Laplacian random functions, Proc, ot the 2nd Berkeley Symp. on Math. Stat, and Prob., Univ, ot Calif. Press, Berkeley and Los Angeles, 1951, 171 —187. Ле Кам (Le Cam L.), Convergence in distribution of sto

chastic processes, Univ. Calif. Publ. Stat., 2 (1957), № 11, 207—236.

Леман (Lehmann E. L.), Проверка статистических гипотез, Мч изд-во «Наука», 1964.

Лоэв (Loeve М.), Fonctions aleatoires du second ordre, Rev. Sclent., 84 (1946), 195—206.

— Теория вероятностей, M„ ИЛ, 1962.

Марчевский (Marczewski Е.), On compact measures. Fund. Math., 40 (1953), 113—124.

Марчевский и Рылл-Нарджевский (Ry 11- Nard- zewski C.), Projections in abstract sets, Fund. Math., 40 (1953), 160—164.

Махарам (M a h a r a m D.), On a theorem of von Neumann, Proc. Amer. Math. Soc., 9 (1958), 987—994.

Мейе (Meyer P. A.), Theoremes fondamentaux du calcul des probabilites, Seminaire de Theorie du Potentiel, 1960—1961, Paris. — A decomposition theorem for supermartingales, Illinois I. Math., 6 (1962), 193—205.

Мой (Moy S.), Characterizations of conditional expectation as a transformation on function spaces, Pacific 1. Math., 4 (1954), 47—63.

Мурье (Mourier E), Elements aleatoires й valeurs dans un espace de Banach, These de doctorat, Paris, 1952; Ann. Inst. H. Poincare, 13 (1953), 161—244.

Неве (N e v e u J.), Th6orie des semi-groupes de Markov, Univ. Calif.

Publ. Stat., 2 (1958), 14, 319—394.

— Sur le theoreme ergodique ponctuel, C. R., 252 (1961), 1554— 1556."

О рей (Orey S ), Recurrent Markov chains. Pacific J. Math., 9 (1959), 805-827.

Парзен (P a r z e n E.), Stochastic Processes, Holden-Day, San Francisco, 1962.

Прохоров Ю. В., Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей, Теория вероятн. и ее примем., 1 (1956). 177—238.

Райс (RiceS.), Mathematical analysis of random noise. Bell System Tech. J., 23 (1944), 282—332; 24 (1945), 46—156.

Реньи (Renyi A.), A new axiomatic construction of probability, Mag. Tud. Akad. Mat. Fiz. Oszt. Kozl., 4 (1954), 369—427.

— On mixing sequences of sets, Acta Math. Acad. Set. Hungary 9 (1958), 215—228.

Рисе и Надь (R i е s z F., Nagy В. Sz.), Лекции по функциональному анализу. М.. ИЛ, 1954.

Сакс (Saks S), Теория интеграла, М.. ИЛ, 1949.

Серегин Л. В., Условия непрерывности вероятностных процессов, Теория вгроягн. и ее примен., 6 (1961), 3—30.

Сикорский (Sikorski R), Булевы алгебры, изд-во «Мир», 1968.

Снелл (Snell J. L.). Applications of martingale system theorems, Trans. Amer. Math. Soo., 73 (1952), 293—312.

Спицер (Spitzer F.), Принципы случайного блуждания, изд-во «Мир», 1903.

Стоун (Stone М. И.), Linear Transformations in Hilbert Space, Amer. Math. Soc. Coll. Publ., Vol. 15, Providence, R. 1., 1932. — The theory of representations for Boolean algebras, Trans. Amer. Math. Soc., 40 (1936), 37—111.

Тортра (T о r t r a t A.), Calcul des Probabilites, Masson et Cie, Ed. Paris, 1963,

Тулча Ч. И. (T u 1 с e a C. 1.), Mesures dans Ies espaces produits, Atii Acad. Naz. Lincei Rend., 7 (1949), 208—211.

Тулча А. И. и Тулча Ч. И. (Т u 1 с е a A. I., Т u 1 с е а С. 1.), Оп the lifting property, I, J. Math. Anal. Appl., 3 (1961), 537—546, 11, J. Math. Meeh., II (1962), 773—795.

— Abstract ergodic theorems, Trans. Amer. Math. Soc., 107 (1963), 107—124.

Фелдман (Feldman J.), Equivalence and perpendicularity of Gauss’an processes, Pacific J. Math., 8 (1958), 699—708.

On the measurability of stochastic processes in product spaces, Pacific I. Math., 14 (1962), 113—120.

Integral kernels and invariant measures for Markoff transition functions, Ann. Math. Stat.. 36 (1965), 517—523.

Феллер (Feller W.), Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1,2, М.. изд-во «Мир». 1967.

Форте и Мурье (F о г t е t R„ Mottrier Е.), Les fonctions aleatoires comme elements aleatoires dans les espaces de Banach, Stud. Math., 15 (1955), 62—79.

Халмою (Halmos P. R.), Теория меры, M., ИЛ, 1953.

X а л мош и Сэвидж (Halmos Р. R.. Savage L. J.), Application of the Radon-Nikodym theorem to the theory of sufficient statistics, Ann. Math. Stat., 20 (1949), 225—241.

Хант (Hunt G. A.), Theorie des Martingales, Cours multigrapliie, Fuculte des Sciences d'Orsay, 1963.

Харрис (Harris T. E.), The existence of stationary measures for certain Markov Processes, Third Berkeley Symp. on Math. Stat, and Prob., Vol. 11, Univ, of Calif. Press, Berkeley and Los Arige- les, 1956, 113-124.

Хелмс (Helms L. L), Mean convergence of martingales, Trans. Anter. Math. Soc., 87 (1958), 439—446.

Хида (Hida TJ, Canonical representations of Gaussian processes and their applications, Mem. Coll. Sci. Kyoto, 23 (I960), 109- 155, Хилле и Филлипс (Hille E., Phillips R. S.)', Функциональный анализ и полугруппы, М., ИЛ, 1962.

Хопф (Hopf Е.), The general temporally discrete Markov process, J. Rat. Meeh. and. Anal.. 3 (1954), 13—45.

Хьюит и Сэвидж (Hewitt E., Savage L. J.), Symmetric measures on Cartesian products, Trans. Amer. Math. Soc., 80 <1955), 470—501.

Чакон (Chacon R. V.), On the ergodic theorem without assumption of positivity, Bull. Amer. Math. Soc., 67 (1961) 186—190.

Чакон и Орнстейн (Chacon R. V., Ornstein D.), A gene» ral ergodic theorem, Illinois J. Math., 4 (1960), 153—160.

Чжун (Chung K. L.), Однородные цепи Маркова, M., изд-во «Мир», 1964.

Чжоу (Chow Y. S.), A martingale inequality and the law of large numbers, Proc. Amer. Math. Soc., 11 (1960), 107—111.

Шерман (Sherman S.), On denumerably independent families of Borel fields, Amer. J. Math., 72 (1950), 612—614.

Ill ид а к (S i d a k Z.), On relations between strict-sense and wide- sense conditional expectations, Теория вероятностей и ее применение, 2 (1957), 283—288.

Шоке (Choquet G.), Theory of capacities, Ann. Inst. Fourier, 5 ' (1953), 131—295.

— Forme abstraite du theoreme de capacitabilite, Ann. Inst.

Fourier, 9 (1959), 83—89.

— Topology, Academic Press, New York, 1966.

Эберле йн- (Eberl ein W. F.), Abstract ergodic theorems and weak almost periodic functions, Trans. Amer. Math. Soc., 67 (1949), 217—240.

Якобс (Jacobs K.), Neuere Methoden und Ergebnisse der Ergo- dentheorie, Ergebnisse der Mathematik und Hirer Grenzgebiete, Vol. 29, Springer Verlag, Berlin, 1960.

— Lecture Notes on Ergodic Theory, Matematisk Institut, Aarhus Universitet, 1963.

УКАЗАТЕЛЬ

Абсолютная непрерывность 158

Абсолютно измеримое множество 37

Адаптироваиность 144

Аддитивность 27

— сильная 27

Аппроксимационное свойство 95, 97, 98

Атом 37

Банахова алгебра 91

Борелевское множество 51, 96

— поле 30

Броуновское движение 144

Булева алгебра 17

метрическая 29

— а-алгебра 30

порожденная 22

сепарабельная 32

— — счетного типа 32

— полуалгебра 48

— сумма 19

Булево произведение 19

Бэровское множество 96

Вероятности эквивалентные 161

Вероятностное пространство 33

атомическое 37

индуцированное отображением 54

— — каноническое 123

полное 34

Вероятность 26

— внешняя 35

— внутренняя 35

— переходная 109

— регулярная 100, 103

— следовая 38

— стационарная 298

— условная относительно множества 38

Время ожидания 149

Гауссова мера 126

Гауссово пространство 185

Д. с. в. 55, 58

измеримая 60

интегрируемая67

— ——квазиинтегрнруемая67

—конечная 58

— положительная 58

— определеннаяпочти

всюду74

Д. с. ф. 126

сепарабельная127

— полученная остановкой 201

— эквивалентные 130

Емкость 45

Закон больших чисел 216

усиленный 204

для последовательностей симметрично зависи

мых д. с. в. 204

— нуля — единицы 182

Измеримое отображение 54

— пространство 30

Инвариантные множества 275

Индивидуальная эргодическая

теорема 261, 283

Индикатор 56

Интеграл 62

Испытание 20

Класс эквивалентных д. с. в. 72

Компактный класс 48

Консервативная часть 275

Координата 105

Критическая область 116

функция 116

Лемма Бореля — Кантелли 183

— Фату—Лебега 68 обобщенная 175

Макснмальнан эргодическая теорема 272

Марковская зависимость 184

— матрица 282'

Марковский оператор 263

— процесс 236

со стационарными переходными вероятностями 243

Марковское свойство 237, 245 — семейство 185

Мартингал 186

Математическое ожидание 62

Мера 51

— векторная 172

—- гауссова 126

— ограниченная 151

— положительная 151

Меры взаимно сингулярные 155

Множество сходимости 60

Момент остановки 144

Монотонность 27

Монотонный класс 31

порожденный 31

Независимость 179, 181

Неопределенный интеграл 69

Непрерывность в среднем порядка р 143

— в 0 относительно монотонных последовательностей 27 — относительно монотонных последовательностей 28

— — сходимости последовательностей 33

—- по вероятности 136

— п. н. 136

Неравенство Гёльдера 87

— Минковского 87

— Шварца 87

Нулевое множество 34

Объединение 16

Оператор сдвига 243

Операция Суслина 25, 55

Отображение биективное 55

— инъективное 55

— сюръективное 55

Оценка 116

Пересечение 16

П.н. 71

Подвижный разрыв 137

Полная вариация 154

— структура 90

Полный класс случайных стратегий 115

Польское пространство 98

Полуаддитивность 27

Пополнение вероятностного про

странства 35

Потенциал функции 282

Потеря 115-

— средняя 115

Почти всюду 71

— замкнутость 251

— наверное 71

Предпочтение 115

Предпочтительнее 115

Проверка гипотезы 115

Продолжение вероятности 70

— разбиения 23

Произведение 105, 116

— вероятностных пространств

— измеримых пространств 106

— а-алгебр 106

Пространство Рисса 92

— стоуновского представления 26

— элементарных событий 33

Прямоугольник 105, 117

—■ измеримый 105

Равномерная абсолютная непрерывность 80

— интегрируемость 79

на бесконечности 85

Разбиение 22

Разложение Жордана — Хана 151

— Рнсса 282

Разность 17

— симметрическая 17

Реализация 126

Регуляризация субмартингала 199

Риск I! 5

С. в. 55, 62

— — со значениями в банаховом пространстве 91

метрическом про

странстве 62

Сепаранта 127

Сечение 105, 117

Симметрично зависимые д. с. в. 204

Симметричный вероятностный закон 225

След 38

Случайная величина асимптотическая 240

действительная 58

ступенчатая 55

стацпоняпная 247

— стратегия 115

— функция гауссова 143

действительная 126

Событие 16

— асимптотическое 182

— дополнительное 16

— достоверное 16

— невозможное 16

— остаточное 182

— предыдущее 144. 145

— стационарное 246

— элементарное 20

События взаимно исключающие

17

— пепересекающиеся 17

— эквивалентные 19

С. с. 115

байесовская 115

допустимая 115

Стационарность 246, 247

Стоуновское представление 26

Стратегия 115

Строго марковское свойство 246

Структура 57

— линейная 92

— полная 90

Субмарковская матрица 282

Субмарковский оператор 262

Субмарковское ядро 267

Субмартингал 186

Сумма 17

Супермартнигал 186

Суслинская операция 25

Сходимость в среднем 81

порядка р 88

— всюду 60

— по вероятности 76

— почти наверное 74

— существенно равномерная 88

Теорема Бпркгофа 293

— Витали — Хана—Сакса 169

— Дёблина 286

— Егорова 78

— ?Кордана— Хана 151

— Попеску Тулчи 228

— Лебега 156

— Лузина 104

— о емкостях 45

продолжении вероятности 43

— Радона — Никодима 159

— Фубнии 113

— Хопфа 291

— Чакона — Орнстейна 289

— эргодическая 254

индивидуальная 261, 283

максимальная 272

Точка разрыва фиксированная 136

Траектория 126

Убыток 115

Условие Дёблина 260

Условная независимость 184

Условное математическое ожидание 173

Фильтр 26

— максимальный 26

Функция распределения 50

— регулярная относительно эндоморфизма 282

— суперрегулярная относительно эндоморфизма 282

— характеристическая 221

Характеристическая функция 221

Центрированность 207

Цилиндр 117

Число пересечений сверху вниз 191

Эндоморфизм квазикомпактный 252

— компактный 252

Эргодическая теорема 254, 286, 289

о-аддитивный класс множеств 38

а-алгебра достаточная 178

— индуцированная отображением 54

— порожденная 31 о-полуаддитивность 29

ОГЛАВЛЕНИЕ

От переводчика 5

Предисловие 7

Введение 11

Список обозначений и сокращений 13

Глава I.Вероятностные пространства 15

События 16

Испытания и элементарные события 20

Вероятности 26

Вероятностные простран.г вл 30

Продолжение вероятности 38

Булевы полуалгебры, компактные классы и функции распределения на действительнойпрямой! 46

Глава II.Интегрированиеслучайных величин 53

1.Измеримые отображения 53

2.Действительныеслучайные величины 55

3. Математическое ожидание действительных случайных величин 62

4. Сходимость почти наверное и сходимость по вероятности . , , 71

5. Равномерная интегрируемость и сходимость в среднем 79

6. ПространстваLn 85

*11.7. Интегрирование на топологических пространствах92

Глава III. Произведения пространств н случайные функции 105

1. Произведение двух измеримых пространств . . . . 105

2. Переходные вероятности и произведения вероятностей 109

3. Бесконечные произведения измеримых пространств и канонические вероятностные пространства, связанные со случайными функциями116

Ш.4. Сепарабельность н измеримость случайных функций 126

5. Непрерывность действительных случайных функций 136

III.6. Моменты остановки144

Глава IV. Условные математические ожидания и мартингалы 151

IV. 1. Меры151

IV. 2. Двойственность пространств Lp и ослабленная топология в пространстве Lx 163

IV. 3. Условные математические ожидания173

IV. 4. Независимость 179

IV. 5. Теория мартингалов186

IV. 6. Центрированные последовательности случайных величин 207

7. Последовательности независимых случайных величин 215

Глава V. Эргодическая теория и марковские процессы . . . . 227

1. Теорема Ионеску Тулчи и теорема о произведении пространств227

2. Построение канонических марковских процессов (дискретное время) .236

3. Равномерная эргодическаятеорема251

4. Субмарковские операторы261

5. Эргодическое разложение272

6. Индивидуальная эргодическаятеорема283

Литература299

Указатель304

Оглавление308

Ж. Неве

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Редактор В. И. АвербухХудожник В. М. НовоселоваХудожественный редактор В. И. ШаповаловТехнический редактор Н. А. ТурсуковаКорректор Л. А. Брычкова

Сдано в производство 25/VII 1968 г.Подписано к печати 16/1 1969 г.Бумага тип. № 3 84Х 1081/з2“4,88 бум. л.16,38 усл. печ. л.

Уч. изд. л. 13,87. Изд. Д'? 1/4752Цена 1 р. 14 к. Зак. 1368Темплан 1968 г. изд-ва «Мир», пор. Vя 1*

ИЗДАТЕЛЬСТВО иМИР“

Москва, Ьй Рижский пер., 2

Ленинградская типография № 2имени Евгении СоколовойГлавполиграфпрома

Комитета по печатипри-Совете Министров СССРИзмайловский проспект, 29

ИЗДАТЕЛЬСТВО

«М И Р»

BASES MATH^MATIQUES

DU CALCUL DES PROBABILLTES

par

JACQUES NE FEU

MASSON ET CIE, PARIS

1964

1986

Ж. Неве

Математическиеосновытеориивероятностей

Перевод с французского

В. В. САЗОНОВА

ИЗДАТЕЛЬСТВО'«МИР»«МОСКВА 1969

УДК 519.2

Автор книги известен своими работами по применению методов функционального анализа и теории меры к вопросам теории вероятиостей.

Мастерски написанная книга содержит компактное н в то же время полное изложение оснований теории вероятностей. Включено много полезных дополнений и упражнений.

Книга может служить хорошим учебником для студентов н аспирантов, желающих серьезно изучить теорию случайных процессов, и отличным справочником для специалистов.

Редакция литературы по вопросам математических наук

Инд. 2-2-3