Глава 1. Обобщенная схема размещения и компоненты СЛУЧАЙНЫХ ГРАФОВ

Вероятностный подход к перечислительным задачам комбинаторики 9

Обобщенная схема размещения 24

Связность графов и обобщенная схема размещения . .33

Леса из некорневых деревьев 42

Размеры деревьев в случайном лесе 54

Максимальный размер деревьев в случайном лесе . . .62

Графы с одноцикловыми компонентами 73

Графы с компонентами двух типов 85

Замечания и литературные ссылки 103

Глава 2. Эволюция случайных графов

Докритические графы 109

Критические графы 115

Случайные графы с независимыми ребрами 120

Неравновероятные графы 130

Замечания и литературные ссылки 141

Глава 3. Системы случайных линейных уравнений в GF(2)

Ранг матрицы и критические наборы 144

Матрицы с независимыми элементами 149

Ранг матрицы с малым числом единиц 157

Циклы и совместность систем случайных уравнений . . 167

Гиперциклы и совместность систем случайных уравнений 179

Замечания и литературные ссылки 188

Глава 4. Случайные подстановки

Случайные подстановки и обобщенная схема размещения 196

Число циклов 198

Подстановки с ограничениями на длины циклов . . . . 208

Оглавление

Замечания и литературные ссылки 212

Глава 5. Уравнения, содержащие неизвестную подстановку

Уравнения второй степени 221

Уравнения простой степени 228

Уравнения составной степени 238

Замечания и литературные ссылки 243

Список литературы245

Предметный указатель254

Предисловие

Комбинаторика сыграла важную роль в начале развития теории вероятностей, и эти два раздела математики продолжают развиваться в тесном взаимодействии. В настоящее время теория вероятностей, предлагая новые подходы к решению задач дискретной математики, как бы отдает долги комбинаторике. Среди этих новых подходов отметим хорошо развитые в теории вероятностей методы асимптотического анализа, которые успешно используются при решении сложных комбинаторных задач.

Если равномерное распределение вероятностей задано на множестве рассматриваемых комбинаторных структур, то числовые характеристики этих структур можно рассматривать как случайные величины и анализировать их вероятностными методами. При таком вероятностном подходе мы автоматически ограничиваемся рассмотрением типичных структур, которые составляют основную массу рассматриваемого множества, и исключаем из рассмотрения небольшую долю структур с нестандартными свойствами.

Вероятностный подход, получивший в настоящее время широкое распространение в комбинаторике, впервые был использован в почти современном виде В. Л. Гончаровым, применившим его к изучению множества Sn всех подстановок степени п и серий в случайных (0,^-последовательностях. Среди тех, трудами которых развивалась вероятностная комбинаторика в России, были С. Н. Бернштейн, Н. В. Смирнов, В. Е. Степанов, ее успехи тесно связаны с блестящей Российской вероятностной школой, школой А. А. Маркова, П. Л. Че- бышёва, А. М. Ляпунова, А. Я. Хинчина, А. Н. Колмогорова.

Автор надеется, что эта книга также лежит в русле Российской вероятностной школы. В книге представлены результаты о случайных графах, системах случайных линейных уравнений в GF(2), случайных подстановках и некоторых простых уравнениях, содержащих подстановки.

Было непросто отобрать материал для включения в книгу. Ясно, что эта книга не содержит исчерпывающего изложения упомянутой выше тематики, некоторые результаты (и их доказательства) кажутся автору не готовыми для включения в книгу, другие вообще могли не попасть в поле зрения автора.

Имеется огромное число работ по теории графов и нет никакой возможности дать здесь их обзор. При анализе случайных структур использовались разнообразные вероятностные методы, в том числе метод моментов, пуассоновская и гауссовская аппроксимации, производящие функции и их анализ методом перевала, теоремы тауберова типа, теория мартингалов. В последние три десятилетия в вероятностной комбинаторике широкое распространение получил подход, основанный на применении так называемой обобщенной схемы размещения, который сводит ряд комбинаторных задач к задачам о суммах независимых случайных величин, классическому объекту изучения в теории вероятностей. Свое название эта схема получила в связи с тем, что она является обобщением задачи о случайном размещении п частиц в N ячеек. Пусть щ,... ^n — неотрицательные случайные величины, рассматриваемые, например, как объемы N упорядоченных компонент случайного графа с п вершинами. Если существуют независимые случайные величины ^i,... , фу такие, что совместное распределение щ,... , щу может быть записано в виде

Р{т?1 = ki,... ,1]N = kN^

= P{€1 = ki,... ,f.N = kN | €1 + • • • += и},

где Ад,... . k^ произвольные целые числа, то говорят, что щ,... ,t]n образуют обобщенную схему размещения с параметрами п и N и независимыми случайными величинами ^i,... , фу.

Эволюция графа — это случайный процесс последовательного присоединения к графу новых ребер. Для многих классов случайных графов с п занумерованными вершинами и Т ребрами параметр 9 = 2Т/п играет в эволюции графа роль времени, при этом многие свойства случайного графа изменяются скачкообразно в точке 9 = 1. Эволюция графа — один из интереснейших разделов теории случайных графов. Оказалось, что этот процесс можно исследовать с помощью обобщенной схемы размещения. В книге показано, что применение обобщенной схемы позволяет анализировать случайные графы на разных этапах их эволюции и получать предельные распределения в тех случаях, когда ранее были получены лишь утверждения, типа закона больших чисел, справедливые с вероятностью, стремящейся к единице.

В теории случайных уравнений в конечных полях переплетаются вероятность, комбинаторика, алгебра. В книге рассматриваются системы линейных уравнений в GF^ со случайными коэффициентами. Матрице такой системы соответствует случайный граф или гиперграф. Поэтому результаты о случайных графах помогают изучению таких систем. Несомненно, что только одного этого применения случайных графов было бы достаточно для оправдания интереса к теории случайных графов.

Теория случайных подстановок является хорошо развитым разделом вероятностной комбинаторики. Хотя В. Л. Гончаров уже в сороковых годах достаточно полно исследовал цикловую структуру случайных подстановок, интерес к этой области исследований не пропал. В

книге дается полное описание асимптотического поведения распределения общего числа vn циклов в случайной подстановке степени п, то есть вероятностей Р{фп = к^ при всех соотношениях между параметрами п и к = к(п) при п оо. Приводятся также асимптотические результаты для числа решений уравнения Xd = е, где неизвестная подстановка X принадлежит Sn. d фиксированное целое положительное число и е — единица симметрической группы Sn.

Мы не видим возможности применения обобщенной схемы размещения в исследованиях неравновероятных графов, в книге приводятся некоторые результаты для таких графов, полученные с использованием метода моментов. Статистические приложения случайных графов, отклоняющихся от равновероятных, вызывают необходимость развития регулярных методов исследования таких случайных структур.

Книга состоит из пяти глав. В главе 1 описана обобщенная схема размещения и приведены ее применения к случайному лесу из некорневых деревьев, к случайному графу, состоящему из компонент, содержащих ровно один цикл, и к случайному графу, представляющему собой смесь деревьев и компонент с одним циклом. В главе 2 эти результаты применяются при изучении эволюции случайного графа. Глава 3 посвящена случайным системам линейных уравнений в GF(2\ Случайные подстановки рассматриваются в главе 4, а глава 5 содержит некоторые сведения об уравнениях вида Xd = е, где X и е — неизвестная и тождественная подстановки, d — целое неотрицательное число.

Большую часть представленных в книге результатов составляют результаты, полученные в последние два десятилетия. Ссылки приводятся в последнем параграфе каждой главы. Ясно, что невозможно дать исчерпывающий список статей по каждому из затронутых в книге разделов. В дополнение к статьям, результаты которых используются в тексте, в заключительном параграфе каждой главы даются ссылки на статьи по близкой тематике особенно в тех случаях, когда аналогичные результаты получены другими методами.

Предполагается, что читатель знаком с основами комбинаторики и стандартными курсами математического анализа и теории вероятностей. Раздел 1.1 включает формулировки ряда результатов теории вероятностей, используемых в книге.

В книге используется следующая нумерация утверждений и формул: а.Ь.с. обозначает главу а, параграф b и номер с объекта в этом параграфе.

Книга продолжает традиции книги «Случайные отображения» [55] и отличается от других исследований случайных графов систематическим использованием обобщенной схемы размещений, при котором многие комбинаторные задачи сводятся к задачам о суммах независимых случайных величин. Автор надеется, что глава, посвященная системам случайных линейных уравнений в GF(2), заинтересует широкий круг читателей.

Это первая книга на русском языке, целиком посвященная теории

случайных графов. Она представляет собой переработку моей книги, опубликованной на английском языке в издательстве Кембриджского университета в 1999 году. На английском языке имеется несколько хороших монографий по теории случайных графов, я хочу выразить мою искреннюю признательность Ж.-К. Рота за предложение опубликовать книгу по этой тематике в редактируемой им известной серии «Энциклопедия математики и ее приложений».

Я благодарен Российскому фонду фундаментальных исследований, поддержка которого позволила издать книгу на русском языке. Я также высоко ценю поддержку моих коллег по Математическому институту им. В. А. Стеклова, оказанную мне во время написания книги.

Глава 1

Обобщенная схема размещения икомпоненты случайных графов

Вероятностный подход к перечислительным задачам комбинаторики

Перечислительные задачи комбинаторики состоят в нахождении точного или приближенного выражения для числа комбинаторных объектов, обладающих требуемым свойством. В этой книге применяется вероятностный подход к перечислительным задачам.

Основным понятием теории вероятностей является вероятностное пространство (Q,s£, Р), где Q — множество произвольных элементов, si — некоторое множество подмножеств Q, образующих а-алгебру событий с операциями объединения и пересечения множеств, и Р — неотрицательная счетно аддитивная функция, определенная для каждого события А 6 з4, такая, что P(Q) = 1. Множество Q называется пространством элементарных событий и Р вероятностью. Случайной величиной называется действительная измеримая функция ^ = £(w), определенная для всех ш Е Q.

Предположим, что Q содержит конечное число элементов. Тогда вероятность Р определена на всех подмножествах множества Q, если она определена для каждого элементарного события и Е Q. В этом случае любая действительная функция £ = £(w), определенная на таком пространстве элементарных событий, есть случайная величина.

Вместо действительной функции можно рассматривать функцию /(щ), принимающую значения из некоторого множества У произвольных элементов. Такую функцию /(w) можно рассматривать как обобщение случайной величины и называть случайным элементом множества У.

При изучении комбинаторных объектов обычно рассматривается вероятностное пространство, имеющее естественную комбинаторную интерпретацию: в качестве пространства элементарных событий Q выбирается множество изучаемых комбинаторных объектов и каждому

объекту приписывается одинаковая вероятность. В этом случае числовые характеристики комбинаторных объектов из Q становятся случайными величинами. Термин случайный элемент множества Q обычно используется для тождественной функции /(w) = ш^ и Е Q, отображающей каждый элемент множества комбинаторных объектов в себя. Так как на Q задано равномерное распределение, вероятность того, что тождественная функция / принимает любое фиксированное значение и одинакова для всех и Е Q. Поэтому понятие случайного комбинаторного объекта из множества Q, введенное с помощью тождественной функции /(w) = w, согласуется с обычным определением случайного объекта из множества Q как элемента, выбранного из этого множества с равными вероятностями.

Заметим, что случайный комбинаторный объект с тем же самым распределением можно определить и на более широком вероятностном пространстве. Однако для целей комбинаторики приведенного здесь естественного построения достаточно в большинстве случаев. Исключение составляют те немногие случаи, когда рассматривается несколько независимых случайных комбинаторных объектов, в таких случаях приходится использовать более богатое вероятностное пространство, например, прямое произведение естественных вероятностных пространств.

В случае вероятностного пространства с равномерным распределением, рассматриваемые задачи, несмотря на вероятностную терминологию, по существу представляют собой перечислительные задачи комбинаторного анализа. Вероятностный подход в этих случаях обеспечивает удобную форму представления и помогает привлекать методы асимптотического анализа, хорошо развитые в теории вероятностей.

Итак, при вероятностном подходе, числовые характеристики случайного комбинаторного объекта суть случайные величины. Основной характеристикой случайной величины £ является ее функция распределения F(x), определяемая для любого действительного числа х как вероятность события {£ < ж}, то есть

F^ = Р{< < ж}.

Функция распределения F(x) определяет на действительной прямой распределение вероятностей, которое называется распределением случайной величины ф Относительно этого распределения для заданной функции д(х) можно определить интеграл Лебега-Стилтьеса

j g^dF^.

Вероятностный подход удобен при асимптотическом анализе комбинаторных задач. Обычно имеется последовательность случайных величин £п, п = 1, 2,... , описывающих некоторую характеристику рассматриваемых комбинаторных объектов с растущим параметром п,

и нас интересует асимптотическое поведение функций распределения = РЩ < х} при п оо.

Последовательность распределений с функциями распределения Fn(x) слабо сходится к распределению с функцией распределения F(x), если для любой непрерывной ограниченной функции д^ при п ОО

j g(x)dFn(x)^ j g(x)dF(x\

Слабая сходимость распределений прямо связана с поточечной сходимостью функций распределения.

Теорема 1.1.1. Последовательность функций распределения Fn(x) сходится к функции распределения F(x) во всех точках ее непрерывности тогда и только тогда, когда соответствующая последовательность распределений слабо сходится к распределению с функцией распределения F(x).

Распределение, или функция распределения F(x), в некотором смысле полностью характеризует случайную величину ф Более простыми характеристиками случайной величины £ являются ее моменты. Если интеграл

j |х| dF(x) существует, то

Е€ = У xdF^

называется математическим ожиданием или средним значением случайной величины ф Величина

mr = E<f = / xTdF^

называется r-м моментом или моментом r-го порядка (если этот интеграл от модуля |х|г существует).

В вероятностной комбинаторике обычно рассматриваются неотрицательные целочисленные случайные величины. Для таких случайных величин естественной характеристикой служат факториальные моменты. Величина

m(r) =Е^(С-1)...(С-г + 1)

называется r-м факториальным моментом случайной величины ^ (если это математическое ожидание существует).

Если функция распределения Е(х) может быть представлена в ви

дех

F(x) = р(и) du,

где р(и) ^ 0, то говорят, что распределение имеет плотность р(и\ Вместо функции распределения, распределение целочисленной случайной величины £ удобно представлять вероятностями ее отдельных значений. Для целочисленной неотрицательной случайной величины будут использоваться обозначения

Рк = Р{€ = Ч, к = 0,1,... ,а для целочисленный неотрицательных случайных величин ^

Р(Р = ^{^ = к}, к = 0Д,...

Ясно, что

Eg = 5?крк’

п=0

если этот ряд сходится.

Нетрудно видеть, что верно следующее утверждение.

Теорема 1.1.2. Последовательность распределений {р^Ъ п = 1,2,... , слабо сходится к распределению {р/Д тогда и только тогда, когда при п сю для каждого фиксированного к = 1,2,...

(п)

Рк' ^Рк.

Для оценки вероятности Р{<( > 0} неотрицательной целочисленной случайной величины ^ может оказаться полезным простое неравенство

Р^>^ = ^Р^ = кЛ5^крк = Ее). (1.1.1) к=1к=1

В частности, если для последовательности <fn, n = 1, 2,... , таких случайных величин Е<^п 0 при п сю, то

РЦп > ощ о.

Поскольку обычно нахождение моментов случайной величины осуществляется проще, чем нахождение ее распределения, полезно иметь критерий, по которому можно было бы судить о сходимости распределений по поведению соответствующих моментов. В этой связи следует сразу заметить, что даже если случайная величина £ имеет моменты всех порядков, ее распределение не всегда может быть восстановлено по последовательности моментов, так как существуют различные

распределения вероятностей, которым соответствуют одинаковые последовательности моментов. Например, нетрудно убедиться в том, что при любом n = 1, 2,...

[ хпе 1 sin ж1/4 dx = О,

Jo

и поэтому при — 1 < Q < 1 функция

рЩ) = ^еж 1/4(1 +asinx1/4)

есть плотность распределения вероятностей на [0, сю) и ее моменты не зависят от а.

Таким образом, функции распределения, имеющие все моменты, разбиваются на два класса, класс функций, которые однозначно определяются своими моментами, и класс функций, которые не могут быть однозначно восстановлены по своим моментам. Известно несколько достаточных условий того, что проблема моментов (проблема восстановления функции распределения по ее моментам) имеет единственное решение. Пусть

Mn = j \x\ndF(x)-

Функция распределения F(x) однозначно восстанавливается по последовательности своих моментов шг, г = 1, 2,... , если существует такое А, что

^м^/п < А.(1.1.2)

Следующая теорема описывает так называемый метод моментов, эффективно применимый только к функциям распределения из первого класса, то есть к функциям распределения, которые однозначно определяются своими моментами.

Теорема 1.1.3. Если функции распределения Fn(x), п = 1,2,... , имеют моменты всех порядков и для любого фиксированного г = 1,2,... при п сю

= / xr dFn(x) тТ^ \тт\ < сю,

то существует такая функция распределения F(x), что для любого фиксированного г = 1, 2,...

и из последовательности Fn(x), п = 1,2,... , можно выделить подпоследовательность Fnk(x), к = 1,2,... , сходящуюся к F(x) при п оо в каждой точке непрерывности F(x).

Если последовательность тг, г = 1,2,... , однозначно определяет функцию распределения F(x), то Fn(x) F(x) при п^х 6 каждой точке непрерывности F(x).

Заметим, что нормальное распределение и распределения Пуассона однозначно определяются своими моментами.

Один из полезных приемов вычисления моментов целочисленных случайных величин состоит в представлении этих величин в виде сумм индикаторов, случайных величин, принимающих только значения 0 и 1. Тогда для вычисления факториальных моментов можно использовать следующее утверждение.

Теорема 1.1.4. Если

^п = Ф + • • • + <^п

и случайные величины £i,... , £п принимают только значения 0 и 1, то для любого т = 1,2,... , п

S„(S„-l)...(S„-m + l) =

где суммирование проводится по всем различным упорядоченным поборам различных индексов {й,... , гш} (число которых равно (^)т\).

Производящие функции также являются эффективным средством решения многих задач, связанных с целочисленными неотрицательными случайными величинами. Функция комплексного переменного

Фб) = ФЩ) = ^2pkZk = Ez5(1.1.3)

k=0

называется производящей функцией распределения случайной величины ф Она определена по крайней мере при |г| < 1. Например, для распределения Пуассона с параметром А, определяемого вероятностями

Рк = ~тте"\ к = Q, 1,...,к\

производящая функция равна еЛ^-1\

Соотношение (1.1.3) определяет взаимно однозначное соответствие между производящими функциями и распределениями неотрицательных целочисленных случайных величин, так как распределение может быть восстановлено по производящей функции с помощью формулы

Рк = ^Ф*Ч^\ к = 0Д,...(1.1.4)

Производящие функции особенно полезны при изучении сумм независимых случайных величин. Если £i,... ^п — независимые неотрицательные целочисленные случайные величины и Sn = £1 + ... + ^^ то

Соотношение между производящими функциями и распределениями непрерывно в следующем смысле.

Теорема 1.1.5. Пусть {р^Д п = 1,2,... , — последовательность распределений. Если при п сю для любого фиксированного к = 0,1,...

(п)

Рк

то последовательность соответствующих производящих функций фп(^? и = 1,2,... , сходится к производящей функции последовательности {ра?} равномерно в любом круге |г| < г < 1.

В частности, если {ра?} — распределение вероятностей, то последовательность соответствующих производящих функций сходится к производящей функции ф^ распределения {ра?} равномерно в любом круге |г| < г < 1.

Теорема 1.1.6. Если последовательность производящих функций фп^), п = 1,2,..., распределений {р^} сходится к производящей функции ф^ некоторого распределения {рк} на множестве М, которое имеет предельную точку внутри круга |г| < 1, то распределения {р^} слабо сходятся к распределению {ра?}.

Так как производящая функция ф^ = ^^оРк^ аналитична, ее коэффициенты можно вычислять по формуле Коши

Рп = -,ФМ о = — /п = 0,1,... ,

п\2тп Jc

где интеграл берется по контуру С, лежащему внутри области аналитичности функции ф^ и содержащему точку г = 0.

Таким образом, чтобы изучать поведение рп при п сю, достаточно уметь оценивать контурные интегралы вида

где g^ и /(г) аналитичны в окрестности контура интегрирования С и А — действительный параметр, стремящийся к бесконечности.

Для оценки таких интегралов используется метод перевала. Контур интегрирования С может быть выбран различными способами. В методе перевала требуется выбирать контур С так, чтобы он проходил через точку го, которая является корнем уравнения f'(z) = 0. Эта

точка называется точкой перевала, или седловой точкой, поскольку функция Ж/(г) в окрестности го имеет график, похожий на седло или горный перевал. В методе перевала требуется, чтобы контур интегрирования выбирался так, чтобы он проходил через точку перевала го в направлении наискорейшего подъема и спуска функции 3^/(г). Однако нахождение такого контура и его использование часто оказывается трудной задачей, поэтому обычно выбирают более простой (но не наилучший) контур, несколько отклоняющийся от направления наискорейшего подъема и спуска, что может привести к потере точности остаточного члена в оценке интеграла.

Параметрическое представление контура интегрирования переводит контурный интеграл в интеграл с действительной переменной интегрирования. Поэтому следующая теорема об оценке интегралов с растущим параметром, идейно восходящая к Лапласу, иногда может помочь при оценивании исходных контурных интегралов.

Теорема 1.1.7. Если интеграл

G^X) = I д(ЩХ№ *

абсолютно сходится при некотором А = До, то есть

I \g(0\eXof^ dt < М,

если функция f(t) достигает максимума в точке to и в окрестности этой точки

/№ = f (М + ^2^ — ^о)2 + «з(^ — to)3 + . . . ,

где 02 < О,

если для любого сколь угодно малого 5 > 0 существует такое h = h(5) > 0, что

/(to) - /№ > к,

при |£ — /д| >5,

и если при t to

g(t) = c(t-t0)2m0+O(\t-t0\^,

где с — некоторая ненулевая постоянная и т — неотрицательное целое число, то при А оо

G(A) = eA/(to)A-m-1/2cc^m+T(m + 1/2)(1 + O(1/Va))

где Г(х) — гамма-функция и

1

щ = , = —/=•

V-«2У-/'До)/2

В частности, если т = О, то с = р(7о) ^ тгри А ос

G(A) = ех№^ 5^°\ ДТ/Щ + 0(1/VX)).(1.1.5)

Чтобы показать, что эта довольно сложно формулируемая теорема может быть реально использована, оценим с ее помощью интеграл

Г(А + 1) = / ххе-х dx

Jo

при А ос и получим формулу Стирлинга. Замена переменных х = Xt приводит интеграл к виду

Г(А + 1) = АЛ+1е-Л / e-A(t-i-int) dt

Jo

В этом случае

5Д = 1, f(o = -(t-i-M, Щ) = о, /'(!) = О, Г(1) = -1.

Условия теоремы выполняются, поэтому в силу (1.1.5)

G(A) = [ eXf^ dt = ДУД! + O(1/VX)),

Jo

и для гамма-функции при п ос мы получаем представление

Г(А + 1) = AA+1/2e"AV27(l + О(1/а/А)),

совпадающее с формулой Стирлинга с точностью до остаточного члена, который в действительности есть О(1/А).

Производящие функции могут использоваться только для неотрицательных целочисленных случайных величин. Более универсальные методы доказательства теорем о сходимости распределений последовательностей случайных величин основаны на использовании характеристических функций. Характеристической функцией случайной величины ^ или характеристической функцией ее распределения называется функция

y(t) == Еей« = I eitxdF(x)(1.1.6)

где — оо < t < ею и F(x) - функция распределения случайной величины ф

2 В. Ф. Колчин

Если существует r-й момент шг, то характеристическая функция ip(t) дифференцируема г раз и

^(г)(0) = irmr.

Характеристические функции можно использовать при изучении сумм независимых случайных величин, так как если Sn = 6,1 + •• - + 6,71, где ^1,... , 6п — независимые случайные величины, то

1s Д) =

Характеристическая функция нормального распределения с параметрами (т,а2) и плотностью

р(ж) = —^е"(ж-т)2/(2<т2)

у2жт

равна е^7^-^2/2.

Равенство (1.1.6) определяет взаимно однозначное соответствие между характеристическими функциями и распределениями. Существуют различные функции обращения, предоставляющие формальную возможность восстановить распределение по его характеристической функции, но они имеют ограниченное применение на практике. Приведем простейшую версию формулы обращения.

Теорема 1.1.8. Если характеристическая функция ip(t) абсолютно интегрируема, то соответствующее распределение имеет ограниченную плотность

dt.

J — ОО

Соотношение, задаваемое равенством (1.1.6), непрерывно в следующем смысле.

Теорема 1.1.9. Последовательность распределений слабо сходится к предельному распределению тогда и только тогда, когда соответствующая последовательность характеристических функций y?n(t) сходится к непрерывной функции ip(t) при п ос в каждой фиксированной точке t, —сю < t < сю. В этом случае ip(t) — характеристическая функция предельного распределения и сходимость ^n^t) —> ^М равномерна в любом конечном интервале.

Для последовательности ^ характеристик случайных комбинаторных объектов применение теоремы 1.1.9 дает возможность получить предельную функцию распределения. Однако для целочисленных характеристик более точное описание предельного поведения ее распределения давало бы указание локального поведения этого распределения, то есть поведения вероятностей отдельных значений этой характеристики. Поэтому для целочисленных случайных величин особое значение имеют так называемые локальные предельные теоремы.

Пусть ^ — целочисленная случайная величина и рп = Р{<( = п}. Ясно, что P{<f Е Г1} = 1, где Г1 — решетка всех целых чисел. Если существует решетка Г^ с шагом d такая, что Р{^ 6 Г^} = 1 и нет решетки Г с шагом, большим d. такой, что P{<f Е Г}, тогда d называется максимальным шагом распределения £. Характеристическая функция p(t) случайной величины £ периодична с периодом 2тг/б/ и |^(£)| < 1 при 0 < t < 2тгjd.

Для целочисленных случайных величин формула обращения имеет вид

Рп = 2- / е"г*”(/Д) dt.

J— тг

Рассмотрим сумму Sn = £i + • • • + Cn независимых одинаково распределенных целочисленных случайных величин ^i,... , ^. В случае, когда распределения слагаемых одинаковы и не зависят от N, задача оценки вероятностей Р{5Д = п} при N сю полностью решена. Если существует такая последовательность центрирующих и нормирующих постоянных An и Bn, что распределения случайных величин (Sn — An)/Bn слабо сходятся к некоторому невырожденному распределению, то предельное распределение имеет плотность. Более того, на решетке с шагом, равным максимальному шагу распределения слагаемого, справедлива локальная предельная теорема. Если максимальный шаг распределения слагаемого равен единице, то локальная теорема справедлива на решетке целых чисел.

Теорема 1.1.10. Пусть <ДД2,... — последовательность независимых одинаково распределенных целочисленных случайных величин и существуют такие An и Bn, что при N сю для любого фиксированного х

р Г Sn — Anр Г Sn — Andu.du.

р Г Sn — An

р Г Sn — An

du.

du.

Тогда, если максимальный шаг распределения £i равен единице, то

Bn^^Sn = п} — р((п — An)/Bn)0

равномерно по п.

Локальные предельные теоремы играют важную роль в последующем изложении. Поэтому мы приведем доказательство локальной предельной теоремы о сходимости к нормальному распределению с тем, чтобы это доказательство служило моделью для аналогичных доказательств, проводимых далее в более сложных случаях.

Теорема 1.1.11. Пусть независимые одинаково распределенные целочисленные случайные величины £i, £2, • • • имеют математическое ожидание а и положительную дисперсию а2. Тогда если максимальный шаг распределения £1 равен единице, то при N со

.1 Г (п — аПуЛ

<tV7VP{5i + ... + ^N = n} - -/= exp I^N I 0 равномерно no n.

Доказательство. Пусть

fl ]\T

=—7=г,рмп) = р{6+...+^ = д.

Если ДТ) — характеристическая функция случайной величины £1, то характеристическая функция суммы Sn = £1 + • • • + ^ равна <pN (t) и

По формуле обращения

= ^ Г e-ttlVltW(1-1-7)

Пусть Д(Д обозначает характеристическую функцию центрированной случайной величины £1 — а, равную ДТ) ехр{—гМ}. Поскольку п = aN + ctzVN, из (1.1.7) следует, что

Pn^ Д Г e^^^^dt.

После подстановки х = taVN, это равенство принимает вид

CTVNPN(n) = — [ e-^^ip^x^aVN^ dx. (1.1.8) 2тг J-^Vn

По формуле обращения

^^е-г2/2 = — [dx.(1.1.9)

Из (1.1.8) и (1.1.9) следует, что разность

Rn = 2тг (ay/NPN(n) - -Де"22/2 )(1.1.10)

\у2тг /

может быть записана в виде суммы четырех интегралов

h =e^^^/^VN)))14-e'^^dx,

J-А

h = - [е-“^-^/2 d$)

J|x|

1з= [e^NAlA^VN^f dx,

J A^ |x| ^ecta/N

Ц = Ie-^^TA^Av)))^^,

V ecta/N Д | | ^тгсг VN

где постоянные А и e будут выбраны ниже.

Для того чтобы доказать, что Rn 0 при N сю, возьмем произвольное 5 > 0 и покажем, что Rn может быть сделано меньше 6 при достаточно большом N.

Для 1-2 справедлива оценка

1Ы < I e^^dx,V А ^ | ж |

и величина |^21 может быть сделана сколь угодно малой выбором достаточно большого А.

Так как E^i = а и Оф = а2, для характеристической функции <p*(t) при t 0 справедливо соотношение

= — + О-(1.1.11)

Пусть ^N(t) обозначает характеристическую функцию случайной величины (Sn — aN)/(aVN), равную (ср* (х / (aVN)))N. Для любого фиксированного х и N сю из (1.1.11) следует соотношение

1п9?у(х) = N\nip*(x/(aVN)) ( х2\

= ЛПп

х2

= -у+°а)

из которого в свою очередь следует, что для любого фиксированного х при N сю

^Pn(x) е-^2.(1.1.12)

Кроме того, как следует из (1.1.11), существует г > О такое, что при

2 4.2

Г Wl < 1 - — <.(1.1.13)

Используя при оценке /3 это неравенство, находим, что

|Ш/V^x^oVn^ dx < /e^^dx,

J A^\x\^eoVNJ A^\x\^eoVN

и выбором достаточно большого А величина |7з | может быть сделана сколь угодно малой.

Пусть s выбрано так, что выполняется (1.1.13) и А таково, что 1^21 ^ 5/4 и |7з | < 5/4. Оценим теперь интегралы R и Ц при фиксированных г и А. Из (1.1.12) следует, что распределение случайной величины (Sn — aN)/(aVN) слабо сходится при N сю к нормальному распределению с параметрами (0,1). Сходимость характеристических функций ^n^ к характеристической функции нормального закона равномерна в любом конечном интервале, и следовательно, интеграл 71 стремится к нулю при N сю.

Интеграл I4 равен

IAk/Vp4x/(<jVn4\ndx = crVN [\<p(t)\Ndt.

J eo"VN^\x\^7TO"VN/e^|t|^7r

Поскольку максимальный шаг распределения £i равен единице, справедлива оценка

max |y(t)| = q < 1.

Отсюда следует, что

|/41,

и I4 —> 0 при N сю.

Оценки интегралов R и Ц показывают, что существует такое N^ что 17115/4 и 1141 ^5/4 при N No.

Таким образом, Rn стремится к нулю при N сю равномерно относительно целых п.

В большинстве применений локальных теорем, возникающих в настоящей книге, распределение слагаемых суммы Sn = £1 + • • • + Cn

зависит от числа слагаемых N. В таких случаях нет полного ответа на вопрос, когда для Sn справедлива локальная предельная теорема. Даже в случае сходимости к нормальному закону известные достаточные условия справедливости локальной предельной теоремы нельзя считать вполне удовлетворительными. Поэтому для каждого конкретного распределения, параметры которого зависят от числа слагаемых, приходится проводить отдельное доказательство локальной теоремы по схеме, описанной выше. В надежде, что будут найдены простые достаточные условия справедливости локальной теоремы для независимых целочисленных слагаемых, аналогичные условиям теорем 1.1.10 и 1.1.11, мы иногда будем опускать сложные выкладки, возникающие в оценках характеристических функций в доказательствах локальных теорем.

Если £i,... Л х независимые одинаково распределенные случайные величины такие, что

PK1 = 1}=P, PRi=0} = 9 = l-p, 0<р<1,

то Sn = £1 + • • • + Cn имеет биномиальное распределение с параметрами (N^p), то есть для любого к = 0,1,... , N

P{SN = ^=U

Если Npq —> оо, то биномиальное распределение аппроксимируется нормальным распределением. Следующая теорема, известная как теорема Муавра-Лапласа, может быть доказана прямым анализом явной формулы.

Теорема 1.1.12. Если N ос и (1 + и6)/(Npq) 0, где

к — Np

Из теоремы 1.1.12 вытекает известная интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Теорема 1.1.13. Если N ос и (1 + и6)/(Npq) 0, где

к - Npу/Npq '

P{SN <:к} = -=P{SN <:к} = -=е ж /2 б/т(1 + о(1)).е ж /2 б/т(1 + о(1)).то

P{SN <:к} = -=

P{SN <:к} = -=

е ж /2 б/т(1 + о(1)).

е ж /2 б/т(1 + о(1)).

Если р 0, то биномиальное распределение аппроксимируется распределением Пуассона. Хорошо известно, что если N сю и Np А, 0 < А < сю, то

'N к'N кхк

'N к

'N к

к\е

для любого фиксированного к = 0,1,... Пуассоновское приближение справедливо и в случае, когда Np стремится к бесконечности не слишком быстро.

Теорема 1.1.14. Если N сю, Np сю, (1 + и2)р 0, где

тотоpkqpkqN—kN—kи =и =к - Npк - Np^e-^(l+o(l)).^e-^(l+o(l)).

то

то

pkq

pkq

N—k

N—k

и =

и =

к - Np

к - Np

^e-^(l+o(l)).

^e-^(l+o(l)).

Распределение Пуассона сходится к нормальному распределению, когда его параметр стремится к бесконечности.

Теорема 1.1.15. Если (1 + п6)/А0, где и = (к - А)/а/А, то

к'. \/ТЛ \к'. \/ТЛ \и3 — Зи 6\Аи3 — Зи 6\А

к'. \/ТЛ \

к'. \/ТЛ \

и3 — Зи 6\А

и3 — Зи 6\А

Ниже нам потребуются оценки хвостов биномиального распределения в виде неравенств с явной постоянной.

Теорема 1.1.16. Для любого х > 0

P{Sjv - ESjv > Na^ < e"2N<

Обобщенная схема размещения

В прошедшие два десятилетия для решения ряда вероятностных задач комбинаторики использовалась так называемая обобщенная схема размещения частиц. Многие результаты, приводимые в книге, получены путем сведения комбинаторных задач к соответствующей обобщенной схеме размещения.

Рассмотрим последовательность п независимых испытаний с N равновероятными исходами 1,2,... , N. Пусть щ — число появлений исхода г в этой последовательности, г = 1,2,... Д. Случайные величины имеют полиномиальное распределение: если

ki,... ,к^ — неотрицательные целые числа такие, что ki-\-.. .-\-кн = tl, то

(1.2.1)

Полиномиальное распределение появляется в равновероятной схеме размещения частиц. Если п частиц последовательно независимо одна от другой размещаются с равными вероятностями в N ячеек, занумерованных числами 1,2,... ,7V, то заполнения ячеек щ,... , ц^ имеют полиномиальное распределение (1.2.1).

В схеме размещения частиц, приводящей к полиномиальному распределению, заполнения ячеек получаются путем независимых последовательных размещений частиц. Если отказаться от требования, чтобы заполнения получались путем некоторого последовательного размещения частиц, управляемого каким-либо простым вероятностным правилом, то любой набор неотрицательных целочисленных случайных величин щ,... , t]n таких, что щ + ... + т/n = п, можно рассматривать как размещение п частиц в N ячейках и интерпретировать щ как число частиц а ячейке с номером г, г = 1,2,... , N.

Некоторые задачи комбинаторики можно изучать, используя обобщенные схемы размещения, в которых совместное распределение заполнений ячеек ту i,... ,t]n может быть представлено в виде

Р{% =ki,... ,1]N = kN}

= P{£i = ki,... ,E.n = kN Цх + ■ ■ ■ + ^n = n}, (1.2.2)

где £i,... , ^ — независимые одинаково распределенные целочисленные случайные величины.

Итак, обобщенная схема размещения частиц по ячейкам задается параметрами п и N и распределением независимых случайных величин ^i,... ,^, которое в силу соотношения (1.2.2) определяет совместное распределение заполнений ячеек щ,... , t]n • Положим

Рк = ?Ш = ^ к = 0,1,...(1.2.3)

Для случайных величин щ,... , t]n с полиномиальным распределением (1.2.1), соотношение (1.2.2) выполняется, если £i имеют распределение Пуассона с произвольным параметром А:

^к^—х

Рк = РШ=^ = -^-, к = 0,1,...(1.2.4)

Поэтому на распределение случайных величин тух,... , ту^, удовлетворяющее соотношению (1.2.2) при некотором распределении (1.2.3), можно смотреть как на обобщение полиномиального распределения.

За равновероятной схемой размещения частиц, приводящей к полиномиальному распределению (1.2.1), утвердилось название классическая схема размещения. Терминология классической схемы размещения оказалась удобной для описания многих задач, в которых появляется полиномиальное распределение. Многие результаты в классической схеме размещения могут быть получены с использованием соотношения (1.2.2), связывающего полиномиальное распределение с распределением Пуассона (1.2.4). Введение обобщенной схемы размещения частиц не только расширяет область использования удобного языка для описания комбинаторных структур, но также дает возможность применять те методы, которые опираются на соотношение (1.2.2) и были развиты при анализе классической схемы.

Обозначим рДпД) число ячеек, содержащих ровно т частиц в обобщенной схеме размещения п частиц в N ячеек с распределениями (1.2.2) и (1.2.3). Покажем, что соотношение (1.2.2) можно использовать при изучении этой случайной величины.

Пусть \ -1 eV — независимые одинаково распределенные слу

чайные величины, распределение которых следующим образом связано с распределением случайных величин ^i,... , ^:

Р{4Г) = Ц = Р{£1 = к Ц1 г}, к = 0,1,...

Введем обозначения

Sn= 6. + • • • + £w, S^ = ^ + ... +

Следующая лемма выражает распределение цг(п, N) через вероятности сумм независимых одинаково распределенных случайных величин.

Лемма 1.2.1. Для любого к = 0,1,... ,7V

Доказательство. Обозначим А^ событие, состоящее в том, что ровно к случайных величин ^i,... Дк принимают значение т. В силу соотношения (1.2.2)

РДМ) = Ц = Р{4Г) \Sn = ^= ДДДД

Утверждение леммы получается путем простых преобразований числителя. Событие А^ может осуществиться при (^) различных выбо-

рах случайных величин, которые принимают значение г, поэтому

Р{4Д SN = n^

= Q)pr(l -Pr)N~k

х P^Sn = П \ ^i ^ T, . . . , (N-k + P ^N-k+1 = T, . . . ,(n = ^}

В обобщенной схеме размещения частиц существует довольно простой подход к изучению вариационного ряда т^р < тц^ < ... < ^(n^ полученного расположением случайных величин щ,... ,цк в неубывающем порядке.

Пусть ^Л^,... , ^^^ — независимые одинаково распределенные случайные величины с распределением

Р{^Л} = Р{£1Л|М к = 0,1,...,

где А — подмножество множества натуральных чисел такое, что Р{£1 ^ Л} > 0. В частности, если А состоит из одной точки г, то ДА) Аг) Аг)„

si — si > где si — случайная величина, определенная перед леммой 1.2.1. Положим

сА) _ ДА) ,। ДА)

Следующая лемма сводит изучение распределений членов вариационного ряда к изучению вероятностей, связанных с последовательностями независимых случайных величин.

Лемма 1.2.2. Для любого m, т = 1,... ,N,

Р{Д(т)Р{Д(т)ргл(Аг) ДАД _ л

Р{Д(т)

Р{Д(т)

IpN-l rWl +

T P^SN = n}

(1.2.6)

P{Д(^ — m+l)P{Д(^ — m+l)1=01=0P{spr + S^t = TV}P{spr + S^t = TV}P{Sjv = n}P{Sjv = n}(1.2.7)(1.2.7)

P{Д(^ — m+l)

P{Д(^ — m+l)

1=0

1=0

P{spr + S^t = TV}

P{spr + S^t = TV}

P{Sjv = n}

P{Sjv = n}

(1.2.7)

(1.2.7)

где Ar — множество неотрицателъних целих чисел, не превосходящих г, Аг — его дополнение в множестве всех неотрицательных целых чисел и РТ = P{^i > Д.

Доказательство. Мы докажем (1.2.7) для т = 1. Для максимального члена вариационного ряда ц^) = max(?yi,... , цД) в силу (1.2.2) и независимости случайных величин £i,... Дк справедливы равенства

р{^7(^) < г} = Р{г?1 < г,... , w < г}

= Р{6 < г,... , ^ < г I SN = п}

= (Р{€1 < гЩР^ = n I 6 < г,... , ^ < г} P{Sjv = п}"

Используя случайные величины £р' \ ... , £^'\ окончательно получаем, что

Для произвольного т соотношения (1.2.6) и (1.2.7) доказываются аналогично.

Для совместного распределения случайных величин /zn (n, N),... , цГз (п, N) следующее утверждение может быть доказано аналогично тому, как это сделано при доказательстве леммы 1.2.1.

Лемма 1.2.3. Для любых различных целых неотрицательных чисел Д... ,ks,ri,... , rs

P{/zn(n,JV) = ki,... ,firg(n,N) = A;s}

_ N'.p^ ...рД1 -P^ - ...-p^N-kx — .-k,

p Д^лД.-к, = n - fcin -... - кД

XP{^ = n}•

Леммы 1.2.1, 1.2.2 и 1.2.3 выражают распределения случайных величин цг(п, N) и членов вариационного ряда Цд), Цдд • • • Дд) в обобщенной схеме размещения частиц через вероятности, связанные с суммами независимых случайных величин. Таким образом, получение предельных распределений для случайных величин рДгцТД и Ц(1),Ц(2)? • • • ^(N) сводится к применению локальных предельных теорем для сумм независимых одинаково распределенных целочисленных случайных величин.

Приведем теперь несколько примеров комбинаторных задач, изучение которых сводится к изучению обобщенной схемы размещения частиц.

Пример 1.2.1. Рассмотрим однозначные отображения конечного множества Хп = {1,2,... , п} в себя. Однозначное отображение s множества Хп в себя можно представить в виде таблицы

2... п

Si S2 • • • 8п

где sк есть образ к, к = 1,2,... , п, при отображении s. С отображением s естественным образом связан ориентированный граф Г™ = Г(ХП,И/П) с множеством вершин Хп и дугами Wn = ^к,8к\к = 1,2,... , п}, где дуга (к, Зк) направлена из к в Зк, к = 1, 2,... , п. Число дуг, входящих в вершину к в графе Г™\ равное числу прообразов элемента к в отображении s, называется кратностью вершины к.

Пусть Еп — множество всех однозначных отображений множества Хп в себя и Гп - множество всех графов этих отображений. Число элементов множества Еп очевидно равно пп. Зададим на множестве Еп равномерное распределение, тогда мы получим вероятностное пространство с множеством элементарных событий Q = Еп, вероятность любого множества из Еп равна числу его элементов, деленному на пп. Случайное отображение а равно любому из пп различных отображений с вероятностью Р{(7 = s} = п-п, s Е ^п. Если

2... п

(71(Т2... ап

где а г — случайный образ элемента г, г = 1,2,... , п, то для любого s

Р{<7 = в} = Р{<71 = 81, . . . , <ТП = «„} =

Таким образом, случайные величины (71,... ,ап независимы и принимают значения 1,2,... , п с равными вероятностями.

Обозначим цг кратность вершины т в случайном отображении а, г = 1,... , п. Величина % равна числу случайных величин (71,... , ап, принимающих значение г. Таким образом, для неотрицательных целых чисел ку,... , кп таких, что ку + ... + кп = п, вероятность Р{щ = ку,... ,т/п = кп^ равна сумме вероятностей Р{(71 = Si,... ,(7n = Sn} = 1Гп ПО всем S1,... , sn, среди которых ровно кт величин равны т, г = 1,2,... , п. Число слагаемых в этой сумме, очевидно, равно п\/(ку\... кп\), поэтому

Р{т/1 = кт,... , г/п = кп^ =”'■

ку \... пп

Таким образом, совместным распределением кратностей вершин щ,... ,т]п в случайном отображении является полиномиальное распределение. Рассматривая вершины как ячейки, а дуги входящие в

эти вершины как частицы, мы получаем классическую схему размещения п частиц в п ячеек с полиномиальным распределением заполнений ячеек щ,... , туп • Для этих случайных величин справедливо соотношение (1.2.2)

Р{% =. ,т?п = Щ = P{£i = ki,... ,^„ = кп Цх + ... +5п = Д,

где £i,... Дп — независимые одинаково распределенные случайные величины, распределенные по закону Пуассона с произвольным параметром.

Число вершин дг(п) кратности т в случайном отображении соответствует числу ячеек, содержащих ровно г частиц в классической схеме размещения п частиц в п ячейках. Для изучение этих случайных величин, так же как и других статистик, зависящих от кратностей вершин, можно использовать леммы 1.2.1, 1.2.2 и 1.2.3.

Пример 1.2.2. Рассмотрим все различные разбиения целого положительного числа п на N упорядоченных слагаемых, не превосходящих г > 0. Число таких разбиений равно Q1-^^-1^* Зададим равномерное распределение на множестве этих разбиений, приписав вероятность (n ^^v-^1) каждому разбиению n = ni + ... + W, ni,... ,tin ^ т. Тогда п можно записать в виде

п = щ + ... + щу,

где слагаемые щ,... ^n являются случайными величинами. Если П1, . . .> г и n = ni ++ пу, то

- (г - 1)7V - 1\-1

Р{щ = Пх,... , W = I1 .

Обобщенная схема размещения, соответствующая этой комбинаторной задаче, получается, если взять случайные величины ^i,... Д^, распределенные по геометрическому закону

Р{£х = /с} = рк-т(1 — р), к = г, г + 1,... , 0 < р < 1.

п — (г — 1)N — 1N - 1п — (г — 1)N — 1N - 1Действительно, как нетрудно проверить,

п — (г — 1)N — 1

N - 1

п — (г — 1)N — 1

N - 1

Р{£х = ni,... Дат = tin | £х + • • • + £w = ?Д =

поскольку для геометрически распределенных независимых слагаемых

PR1 + . . . + = п} = (^ " ДДД "- pf-

Пример 1.2.3. Заметим, что в обобщенной схеме размещения случайные величины ^ ... ,^n не обязательно должны быть одинаково распределенными. Рассмотрим следующий пример. Из урны, содержащей т^ шаров г-го цвета, г = 1,... ,7V, с помощью случайной выборки без возвращения извлекается п шаров. Обозначим тр число извлеченных шаров г-го цвета, г = 1,... ,7V. Легко видеть, что для неотрицательных целых чисел ni,... , tin таких, что ni + ... + n^=n,

Р{т?1 = П1, . . . ,T]N = nN} =

где m = mi + ... + ш^.

Если в обобщенной схеме размещения случайные величины £1,... ^n распределены по биномиальным законам, то есть

р{& = 4 = П)ркбр{& = 4 = П)ркбрГ'ЛрГ'Л

р{& = 4 = П)ркб

р{& = 4 = П)ркб

рГ'Л

рГ'Л

где 0 < р < 1, к = 1,2,... , mi, г = 1,... ,7V, то

Р{т?1 = Щ, . . . , T]N = nN Ц1 + . . . + ^N = п} =

и распределение случайных величин щ,... , щу совпадает с условным распределением независимых случайных величин £i,... , ^n при условии, что £i + ... + ^n = п. Таким образом, щ,... , щу можно рассматривать как заполнения ячеек в обобщенной схеме размещения, в которой независимые случайные величины £1,... , ^n имеют, вообще говоря, различные биномиальные распределения.

Пример 1.2.4. В определенном смысле граф Гп случайного отображения состоит из деревьев. Действительно, граф Гп естественным образом разбивается на связные компоненты, причем каждая компонента содержит ровно один цикл. Вершины, образующие цикл, называются циклическими. Если убрать все дуги, соединяющие циклические вершины, то граф обращается в лес, то есть в граф, состоящий из корневых деревьев.

Напомним, что корневое дерево с n + 1 вершинами — это связный неориентированный граф, не содержащий циклов, с одной выделенной вершиной, называемой корнем, и с п некорневыми вершинами. Корневое дерево с n + 1 вершинами имеет п ребер. В дальнейшем все ребра дерева считаются направленными от корня и кратность вершины равна числу выходящих из нее ребер.

Обозначим Тп множество всех корневых деревьев с n + 1 вершиной, корню которого приписан нуль, а тг некорневых вершины занумерованы числами 1,2,... , п. Число элементов множества Тп равно (п + 1)п-1.

Лес с N корнями и тг некорневыми вершинами — это граф, все компоненты которого являются деревьями. Корни деревьев и сами эти деревья занумерованы числами 1,... , N, а некорневым вершинам приписаны номера 1,... , п. Обозначим Tn,N множество всех таких лесов. Число элементов в множестве Tn,N равно N(n + N)n-1. Число лесов, в которых дерево с номером к содержит п^ некорневых вершин, к = 1, 2,... , п, равно

—:(Щ + I)"1"1 . . . (nN + 1П-1,

пр... tin'-

где множитель п!/(пр.. .tin^ есть число разбиений тг вершин на N упорядоченных групп, а (п^ + l)nfc-1 есть число деревьев, которые можно построить из к-й группы вершин этого разбиения, к = 1,... , N. Поэтому

n! V (П1 + 1)П1 1 ■ ■ ■ (w + l)”w 1 = ^(n + TV)"-1, (1.2.9)

Hi T • • • Xti n —ti

где суммирование проводится по неотрицательным целым числам ni,... , tin таким, что ni + ... + п^ = п.

Зададим равномерное распределение на Тп^- Пусть rjk обозначает число некорневых вершин в к-м дереве случайного леса из Tn,N, к = 1,... , N. Совместное распределение случайных величин тд,... , t]n задается равенствами

nr, n! (ni + 1)П1 ... (njy + l)njv

(1.2.10)

где ni,... , tin — неотрицательные целые числа такие, что ni + ...+ tin = тг.

Рассмотрим независимые одинаково распределенные случайные величины ^i,... , для которых

Р{6 = Чк = 0,1,...,(1.2.11)

делена рядомделена рядомгде параметр х лежит в интервале 0 < х < е х, а функция 0(х) опре

делена рядом

делена рядом

кк-1 кк\ Х

Используя (1.2.9), легко находим, что

Р{Ф + • • • + ^ = п} =Р{Ф + • • • + ^ = п} =N9^N9^(Ш + 1)^ ... (nN + PN п

Р{Ф + • • • + ^ = п} =

Р{Ф + • • • + ^ = п} =

N9^

N9^

„ (n1 + l)!...(n^ + l)! Х 6

W±W±xne-N9^п\

откуда следует, что для любого ж, 0 < х < е х, и любых неотрицательных целых ni,... , tin таких, что ni + ... + п^ = п,

Р{Ф = П1, . . . , ^N = TIN | <1 + . . . + Р = P

=T1\ (m ip ... (tin ipN z x

Правые части равенств (1.2.10) и (1.2.12) одинаковы, так что совместное распределение случайных величин щ,... , t/n совпадает с условным распределением £i,... , фу при условии, что £i + ... + ^ = п. Таким образом, для случайных величин щ,... , t]n и ^i,... ^n выполняется соотношение (1.2.2) и для изучения размеров деревьев в случайном лесе можно использовать обобщенную схему размещения, в которой случайные величины £i,... ^n имеют распределение (1.2.11).

Связность графов и обобщенная схема размещения

Не претендуя на исчерпывающее решение задач, возникающих при изучении связности случайных графов, в этом параграфе мы изложим достаточно общую модель случайного графа, в которой естественным образом возникает обобщенная схема размещения. Рассмотрим множество всех графов Tn(R) с тг занумерованными вершинами, обладающих некоторым свойством R. Будем предполагать, что понятие связности определено для графов этого множества и что каждый граф представляет собой набор связных компонент. В дальнейшем полезно представлять, как приводимое далее формальное изложение реализуется, например, для графов случайных отображений или подстановок. Первые из этих графов состоят из компонент, представляющих собой ориентированные графы с одним циклом, а вторые состоят только из ориентированных циклов.

Пусть ап — число графов в множестве ГП(Д), а Ьп — число связных графов в rn(R\ Обозначим ГП,^(Д) подмножество графов из Vn(R) ровно с N связными компонентами. Заметим, что компоненты графа, принадлежащего ГП^(Д), не упорядочены, поэтому мы будем рассматривать только такие характеристики графа, которые не зависят от порядка компонент. Для того чтобы обойти эту трудность в применении обобщенной схемы размещения, вместо исходного множества

3 В. Ф. Колчин

мы будем рассматривать множество ГП^(Д) комбинаторных объектов, которые получаются, если упорядочить всеми возможными способами компоненты каждого исходного графа из Гп^(Н\ Элементы этого множества представляют собой упорядоченный набор N компонент, а общее число вершин во всех компонентах равно п. Вершины графа из ГП^(Д) занумерованы и, следовательно, все компоненты графа различны, поэтому число элементов в ГП^(Д) равно №ап^ где an,N — число элементов в множестве ГП^(Д), состоящем из неупорядоченного набора N компонент.

Наложим ограничение на свойство R. Пусть граф обладает свойством R тогда и только тогда, когда это свойство выполняется для каждой его связной компоненты. В таком случае свойство R будем называть разложимым.

Положим ао = 1, ^о = 0 и введем производящие функции

л(ж) = £п=0л(ж) = £п=0п!п!

л(ж) = £

п=0

л(ж) = £

п=0

п!

п!

Лемма 1.3.1. Если свойство R разложимо, то

ni+...+njv=nni+...+njv=n^П1 nJ^П1 nJ..nNV..nNV(1.3.1)(1.3.1)

ni+...+njv=n

ni+...+njv=n

^П1 nJ

^П1 nJ

..nNV

..nNV

(1.3.1)

(1.3.1)

где суммирование проводится по неотрицательным целым числам ni,... ,hn таким, что ni + ... + п^ = п.

Доказательство. Для ni,... , hn ^ 1 таких, что п± + ... + hn = тг пусть аДп^,... ,пД обозначает число графов из VHin^R\ компоненты которых имеют размеры п^,... ,п^. Построим все an(ni,... ,пм) таких графов. Разобьем п занумерованных вершин на N групп так, что группа с номером г содержит п^ вершин, г = 1,... ,7V. Это можно сделать п\Дп1\...пД^ способами. Из п^ вершин построим связный граф, обладающий свойством R. Это можно сделать ЬПг способами. Таким образом, число упорядоченных наборов связных компонент размеров ni,... , tin равно

- /. п\ ЬП1 ... bnN

... , пД = ;г-•

по ... по

Так как N компонент можно упорядочить 7V! способами, число an(ni,... ,п^ неупорядоченных наборов, или число графов из Гп^(^)5 имеющих ровно N компонент размеров ni,... , nN, равно

a„(ni,... , nN) = Д(пь... ,nN) = ДщД^ (1.3.2) Tv !\ по ... пД

Остается просуммировать эти числа по всем целым положительным ni,... , hn таким, что п^ + ... + nN = тг.

Лемма 1.3.2. Если свойство R разложимо, то

А(х) =ев( А.

Доказательство. Как следует из (1.3.1), число ап графов в Vn(R) равно

Еnl+...+n^=nЕnl+...+n^=n^П1 • • • ^nN nJ... п^!^П1 • • • ^nN nJ... п^!(1.3.3)(1.3.3)

Е

nl+...+n^=n

Е

nl+...+n^=n

^П1 • • • ^nN nJ... п^!

^П1 • • • ^nN nJ... п^!

(1.3.3)

(1.3.3)

Деля обе части этого равенства на п!, умножая на хп и суммируя по п, получаем цепочку равенств

А^) - 1 = ЕА^) - 1 = Е

А^) - 1 = Е

А^) - 1 = Е

что и доказывает лемму.

Зададим равномерное распределение на множестве ГП(Д) и рассмотрим случайные величины ат, равные числам компонент размера т в случайном графе из Vn(R\ Общее число компонент vn в случайном графе из Tn(R) равно vn = од + .. . + <тп. Расположим компоненты в порядке неубывания их размеров и обозначим 0т размер т-й компоненты в этом ряду, причем если т > v^ то положим рт = 0.

Будем рассматривать также случайные величины, определенные на множестве ГП^(Д) упорядоченных наборов N компонент с равномерным распределением. Упорядоченные компоненты с номерами от 1 до N будут играть роль ячеек в обобщенной схеме размещения частиц. Обозначим щ,.^. ^Pn размеры упорядоченных компонент в случайном элементе из ГП^(Д). Ясно, что

Ma„(ni,... ,njv) а„(п1,...,

Р{т?1 = Щ,... ,T]N = nN} = — =

(1.3.4)

Теорема 1.3.1. Если ряд

В^ = ЕЬ<(1-3.5)

п=0

имеет ненулевой радиус сходимости, то случайные величины щ,... , W могут рассматриваться как заполнения ячеек в обобщенной схеме размещения, в которой распределение независимых одинаково распределенных случайных величин £i,... Дк задается формулами

РЦ1 = к} =РЦ1 = к} =bk$kк'.ВДУbk$kк'.ВДУк = 1,2,...,(1.3.6)к = 1,2,...,(1.3.6)

РЦ1 = к} =

РЦ1 = к} =

bk$k

к'.ВДУ

bk$k

к'.ВДУ

к = 1,2,...,(1.3.6)

к = 1,2,...,(1.3.6)

где положительное значение х из области сходимости ряда (1.3.5) может быть выбрано произвольно.

Доказательство. Найдем условное распределение независимых случайных величин £i,... Дк с распределением (1.3.6) при условии, что £i + ... + ^n = п. Для таких случайных величин

PR1 + • • • + ^ = п} =PR1 + • • • + ^ = п} =(В(х)Дni\...nNV(В(х)Дni\...nNV(1.3.7)(1.3.7)

PR1 + • • • + ^ = п} =

PR1 + • • • + ^ = п} =

(В(х)Дni\...nNV

(В(х)Дni\...nNV

(1.3.7)

(1.3.7)

и в силу (1.3.1)

Р{£1 + . . . + ^ = п} =Р{£1 + . . . + ^ = п} =xnN\xnN\(1.3.8)(1.3.8)

Р{£1 + . . . + ^ = п} =

Р{£1 + . . . + ^ = п} =

xnN\

xnN\

(1.3.8)

(1.3.8)

Отсюда следует, что если ni,... , n^ > 1 и ni + ... + п^ = п, то

Р{£1 = ni,... Ды = nN | <Д + • • • += ?Д

^ni • • • bnNX

пУ... пД (В (хУДР^.1 + ... + <N = Д

_ bni . ..bnNn\

п±\ .. .nN\N\an,N’

и в силу (1.3.2)

Р{£1 = П1, . . . Ды = nN | £1 + • • • + £w = ?Д =Р{£1 = П1, . . . Ды = nN | £1 + • • • + £w = ?Д =Д11 • • • 1 ^N )Д11 • • • 1 ^N )^n,N(1.3.9)^n,N(1.3.9)

Р{£1 = П1, . . . Ды = nN | £1 + • • • + £w = ?Д =

Р{£1 = П1, . . . Ды = nN | £1 + • • • + £w = ?Д =

Д11 • • • 1 ^N )

Д11 • • • 1 ^N )

^n,N

(1.3.9)

^n,N

(1.3.9)

Из (1.3.4) и (1.3.9) следует соотношение (1.2.2) между распределениями случайных величин щ,... , г/n и Д,... Дк в обобщенной схеме размещения частиц по ячейкам.

В обобщенной схеме размещения обычно изучаются случайные величины рДп, N), равные числу ячеек, содержащих ровно г частиц, а также элементы вариационного ряда р^, р^ • • • ^(n^ получаемые

расположением заполнений ячеек в неубывающем порядке. В рассматриваемом случае дг(п,7У) есть число компонент размера г, а дд), ^(2)? • • • ^(N) — размеры компонент в случайном элементе из Гп,ту(2?), расположенные в неубывающем порядке. Эти случайные величины играют важную роль в изучении случайных величин Qi,... , сщ и связанных с ними величин, определенных на множестве ГП(Д) всех графов, обладающих свойством R.

Лемма 1.3.3. Для любого положительного х из области сходимости ряда (1.3.5) и N = 1,... , п

РЬ = л-> = "д^Д Pte += ">■(1-3.10)

Доказательство. Равенство (1.3.10) следует из (1.3.8), так как по определению P{ivn = N^ = an?NДп-

Число an также можно выразить через вероятности, связанные с случайными величинами ^i,... Дк- Из (1.3.3) следует, что

Лемма 1.3.4. Для любых неотрицательных целых чисел N, mi,... ,тп

P{qi = mi,... , ап = тп | vn = N^

= Р{д1(п, N) = mi,... , цДп, N) = тД.

Доказательство. Условное распределение на ГП(Д) при условии, что vn = N, сосредоточено на множестве ГП^(Д) графов, имеющих ровно N компонент, и равномерно на этом множестве. Отсюда следует, что

P{ai = mi,... ,ап = тп \ vn = N} = ,(1.3.12)

Hn,N

где an,N — число элементов в ГП^(Д) и сДт!,... ,тД — число графов в ГП^(Д), в которых число компонент размера г равно тТ, г = 1, 2,... , п._

Рассмотрим множество ГП,^(Д), состоящее из упорядоченных наборов N компонент. Пусть CN^mi,... ,тД обозначает число элементов в УДДД, в которых число компонент размера г равно тТ, г = 1,2,... , п, Ясно, что

РЩ(п, N) = mi,... , Щп, N) = mn} = (<Д(Д111_1Дф (1.3.13)

где (Дк — число элементов в ТДДК)- Утверждение леммы следует теперь из (1.3.12) и (1.3.13) так как (Дк = У! cin,N и c^(mi,... , mn) = N\cN(mu ... ,mn\

Таким образом, если ряд (1.3.5) имеет ненулевой радиус сходимости, то случайные величины, являющиеся функциями от од,... , сщ, можно изучать с использованием обобщенной схемы размещения, в которой случайные величины ^i,... Ддг имеют распределение (1.3.6). Другими словами, при условии, что число vn связных компонент графа ГП(Д) равно N^ размеры этих компонент (при случайном упорядочении) имеют то же совместное распределение, что и случайные величины щ,... ^рк в обобщенной схеме размещения частиц, определяемой независимыми случайными величинами £i,... ^n с распределением (1.3.6).

Таким образом, при vn = N случайные величины Д,... , On выражаются через случайные величины од,... , сщ таким же образом, как и члены вариационного ряда тудд... ^ц^ в обобщенной схеме размещения выражаются через дДп, ОД... , дп(п,7У). Поэтому из леммы 1.3.4 вытекает следующее утверждение.

Лемма 1.3.5. Для любых неотрицательных целых чисел N,

Р{А = ki,... ,Pn = км \ vn = N^ = p{??(i) = ki,... ,??(дг) = kNY

(1.3.14)

Рассмотрим теперь совместное распределение случайных величин N),... ,p,n(n,N).

Лемма 1.3.6. Для неотрицательных целых чисел т^... , тп таких, что mi + ... + mn = N и mi + 2ш2 + ... + нтп = п,

Р{ц1(п, N) = mi,... , цДтц N) = тД

= /1 о 1 к\

mi!...mn!(l!)^ ...(n!)^anP{^n = NY v }

Доказательство. Для получения (1.3.15) достаточно найти выражение для с^(ш1,... , тД в (1.3.13). Ясно, что

cN(mi,... ,= ^ «п(пь ■ ■ ■ , ПО,

где суммирование проводится по всем наборам (тд,... , п^), в которые элемент г входит ровно тТ раз, т = 1,... , п. Число таких наборов равно N\/(mp.... mn!), и для каждого из них согласно (1.3.2)

- /х п\ЪД...ЪД

ап(пъ ... , nN) -■

Отсюда,Отсюда,

Отсюда,

Отсюда,

zч ^! п! ЪД ... ЪД

с^(тх,... , тД =:-д-

тс ... тД. (1!)Ш1 ... (п!)

Чтобы получить формулу (1.3.15), остается заметить, что

РД» = TV} = ^РД» = TV} = ^dn,NN\ апdn,NN\ ап

РД» = TV} = ^

РД» = TV} = ^

dn,N

N\ ап

dn,N

N\ ап

Леммы 1.3.4 и 1.3.6 дают возможность найти формулу для совместного распределения случайных величин од,... , сщ в случайном графе из ГП(Д).

Лемма 1.3.7. Для неотрицательных целых чисел т^ ... тп

РД1 = тъ...,а„ = m„}

= < an mT\ ^гД1

Ов остальных случаях.

Доказательство. По формуле полной вероятности

P{ai = mi,... ,ад = тД

N

= 52 P^Vn = ^}р{а1 = ть ,an=mn\vn = Ц к=1

= РД» = ^}P{аl = mi,... ,ап = тп | vn = TV},

где N = mi + ... + тп. Используя лемму 1.3.4, находим, что

РД1 = mi,... ,ап = тп}

= Р Д„ = TV}P Д1(п, TV) = mi,... , д„(п, TV) = m„}. (1.3.16)

Остается заметить, что P{/zi(n, TV) = mi,... , /zn Д, TV) = mn} = 0, ec- ли mi+2m2 + .. Антп 7^ n. Если же mi + .. .+mn = N и mi+2m2+...+ птп = n, то для вероятности РДДтцТД) = mi,... ^^(n^N) = тД справедливо равенство (1.3.15) из леммы 1.3.6. Подставляя (1.3.15) в (1.3.16), получаем утверждение леммы 1.3.7.

Рассмотрим теперь несколько примеров.

Пример 1.3.1. Множеству Sn подстановок степени п, или взаимно однозначных отображений множества из п элементов в себя, соответствует множество ГП(Д) графов с п вершинами, обладающих следующим свойством R: графы ориентированы, и ровно одна дуга выходит

из каждой вершины и ровно одна дуга входит в каждую вершину графа. Это свойство очевидно является разложимым. Связные компоненты такого графа — это (ориентированные) циклы. В этом случае ап = п!, Ьп = (п — 1)! и производящие функции

А(х) = —-—,В(х) = — 1п(1 — ж)

1 — х

удовлетворяют равенству

(1.3.17)(1.3.17)Л(ж) = ев^

(1.3.17)

(1.3.17)

леммы 1.3.2.

Для изучения длин циклов случайной подстановки и связанных с ними величин можно использовать обобщенную схему размещения, в которой случайные величины <Д,... , ^ имеют распределение

Р{£1 = А:} = -Р{£1 = А:} = -к 1п(1 — ж) ’к 1п(1 — ж) ’А: = 1,2,..., 0 < ж < 1.А: = 1,2,..., 0 < ж < 1.

Р{£1 = А:} = -

Р{£1 = А:} = -

к 1п(1 — ж) ’

к 1п(1 — ж) ’

А: = 1,2,..., 0 < ж < 1.

А: = 1,2,..., 0 < ж < 1.

Пример 1.3.2. Множеству Еп всех однозначных отображений множества из п элементов в себя соответствует множество Гп(7?) графов с п вершинами, обладающих следующим свойством R: графы ориентированы, и ровно одна дуга выходит из каждой вершины графа. Это свойство очевидно является разложимым. Поскольку число элементов в Еп равно пп, из соотношения (1.3.17) для производящих функций находим, что

Е

Н X —-

п=0

откуда,

= (п-г! Ед-

к=0

Радиус сходимости рядов А(х) и В(х) равен е-1, и в точке х = е-1 ряды расходятся.

Для изучения характеристик случайного отображения можно использовать обобщенную схему размещения, в которой определяющие ее случайные величины £i,... ^n имеют распределение

Р^=^ = -^Г^^ к = 1^--^ 0 < ж < е-1к\ В^х)

Пример 1.3.3. Рассмотрим множество всех неупорядоченных разбиений множества Хп = {1,2,... , п} на непересекающиеся подмножества, объединение которых равно Хп. Разбиению Хп на неупорядоченные подмножества Ух,... , Yn соответствует гиперграф с п вершинами и N непересекающимися гиперребрами Ух,... , Yn- Обозначим ГП^(Д) множество всех таких гиперграфов. Так как все 7V! упорядочиваний гиперребер Ух,... , Yn различны, каждый гиперграф из ГП^(Д) порождает 7V! различных объектов множества Гп^(К^ которые представляют собой гиперграфы с п вершинами и N упорядоченными непересекающимися гиперребрами Ах,--- , An, причем эти гиперребра являются перестановками гиперребер Ух,... , Yn- Свойство R^ выделяющее этот класс графов, состоит в том, что графы являются гиперграфами, гиперребра которых не имеют общих вершин. Каждая связная компонента такого графа является гиперребром. Ясно, что число связных графов с п вершинами, обладающих свойством R равно 1, то есть bn = 1, так что

п=1

Свойство R разложимо, поэтому

А^ =ееХ~\

Из этого равенства или из (1.3.3) следует, что

_ A n!1

апУ!ni\...TiNV

где второе суммирование ведется по положительным целым числам пх,... ,tin таким, что гщ + ... + tin = ii-

Таким образом, для изучения случайных разбиений можно использовать обобщенную схему размещения, в которой определяющие ее случайные величины ф,... , фу имеют урезанное распределение Пуассона

рК1 = ^}=тД—п’ к = 1,2,..., О < ж < оо.— 1)

Пример 1.3.4. Дерево — это связный граф, не имеющий циклов. В качестве множества ГП^(Д) возьмем множество ^n,7V всех лесов, состоящих из N деревьев, с общим числом занумерованных вершин, равным п. Деревья леса неупорядочены. Свойство R. выделяющее этот класс графов, состоит в том, что граф неориентирован и не содержит циклов. Свойство R разложимо. Число Ьп связных графов с

п вершинами, обладающих свойством R. равно числу некорневых деревьев с п вершинами и Ьп = пп-2, так что производящая функция В(х) имеет вид

в^ = £П=1в^ = £П=1Пп 2жпп!Пп 2жпп!О < х < е х.О < х < е х.

в^ = £

П=1

в^ = £

П=1

Пп 2жпп!

Пп 2жпп!

О < х < е х.

О < х < е х.

Таким образом, для изучения случайных лесов из множества ^п^ можно использовать обобщенную схему размещения, в которой определяющие ее случайные величины £х, • • • ^n имеют распределение

uk-2Tk

РЙ = ^ = ПЛГЗ’ к = ^..., О < ж < е-1.к\ В^х)

Леса из некорневых деревьев

Графы, состоящие из некорневых деревьев и компонент ровно с одним циклом, играют такую же роль в исследовании случайных графов как и леса из корневых деревьев в исследовании графов случайных отображений. Поэтому в последующих разделах внимание сосредоточено на таких графах, причем для их изучения используется обобщенная схема размещения частиц.

Как в примере 1.3.4, пусть ^n^N ~ множество всех лесов из N некорневых деревьев с п вершинами. Известно, что число лесов из N упорядоченных корневых деревьев с общим числом п некорневых вершин равно N(N + п)п-1. Для числа Fn,w = |^n,;v| лесов из некорневых деревьев простой формулы не существует. Поэтому первым шагом является изучение асимптотического поведения чисел Fn,N.

Обозначим Т число ребер в лесе из ^n,N- Легко видеть, что Т = п — N. Следуя общему подходу, используемому при применении обобщенной схемы размещения, рассмотрим множество ^N) состоящее из наборов N упорядоченных деревьев, и зададим на нем равномерное распределение. Обозначим щ,^ .. , т/n размеры упорядоченных деревьев в случайном элементе из ^n,N- По формуле Келли для числа деревьев число Ьп некорневых деревьев с п вершинами равно п1^-^. Обозначим an(ni,... , п^) число элементов в ^^^^ для которых {щ = Hi,... , t]n = t^nY Легко видеть, что для положительных целых чисел ni,... ^пн таких, что ni + ... + п^ = п,

«Цтц,... ,nN) = —Д(1-4.1)

ПО . . . Пм-

и число элементов в множестве ^n,7V равно

Fn,N =an(nx,... ,=7:—.

ni-\-...-\-HN=nП1+...+пдг=П

Таким образом, для числа лесов Fn,N справедлива формула

* П1+...+Пдг=П* П1+...+Пдг=П2— 2^1 ...И^2— 2^1 ...И^nJ... п^!nJ... п^!(1-4.2)(1-4.2)

* П1+...+Пдг=П

* П1+...+Пдг=П

2— 2

^1 ...И^

2— 2

^1 ...И^

nJ... п^!

nJ... п^!

(1-4.2)

(1-4.2)

где суммирование проводится по всем положительным целым числам ni,... ^tin таким, что ni + ... + п^ = п.

Введем независимые одинаково распределенные случайные величины ^i,... , ^, для которых

гдегдеРК1 = ц =РК1 = ц =bk$kk\B(x)bk$kk\B(x)кк 2хк к'.В^хУкк 2хк к'.В^хУ/с = 1,2,,/с = 1,2,,О < х < е х.О < х < е х.(1.4.3)(1-4.4)(1.4.3)(1-4.4)

где

где

РК1 = ц =

РК1 = ц =

bk$kk\B(x)

bk$kk\B(x)

кк 2хк к'.В^хУ

кк 2хк к'.В^хУ

/с = 1,2,,

/с = 1,2,,

О < х < е х.

О < х < е х.

(1.4.3)

(1-4.4)

(1.4.3)

(1-4.4)

В соответствии с результатами предыдущего параграфа и примером 1.3.4 при таком выборе случайных величин £1,... ^n для изучения случайных лесов из некорневых деревьев можно применить обобщенную схему размещения частиц, то есть справедливо соотношение (1.2.2). Именно, для целых ni,... , tin

Р{щ = щ, . . . ,T]N = w} = РЦ1 = П1, . . . ,^N = nN I C1 + - ■ -+€n = ^}.

Для числа лесов Fn,N верна общая формула (1.3.8), которая, конечно, следует прямо из (1.4.2) и (1.4.3):

Fn,N —Fn,N —пХ^В^х^N\xnпХ^В^х^N\xnP{<1 + • • • + ^ = ^},P{<1 + • • • + ^ = ^},(1.4.5)(1.4.5)

Fn,N —

Fn,N —

пХ^В^х^

N\xn

пХ^В^х^

N\xn

P{<1 + • • • + ^ = ^},

P{<1 + • • • + ^ = ^},

(1.4.5)

(1.4.5)

где функция В(х) задается формулой (1.4.4), а значение параметра х в распределении (1.4.3) случайных величин Д,... ^n можно выбрать произвольно из области сходимости ряда В(х).

Таким образом, чтобы найти асимптотику F^n, достаточно выбрать подходящее значение параметра х,0<х<е-1и найти асимптотику вероятности P{^i + ... + ^ = п} для суммы случайных величин £i,... , ^ с выбранным значением параметра х в распределением (1.4.3).

Первые два момента случайной величины £i имеют следующий вид:

_ 1 ^ кк~Чк

Поэтому наряду с функцией В (ж) мы рассмотрим функции

ккхк

к=1к=1к=1

к=1

к=1

Функция 0(х) является решением уравнения

ве"6 =ве"6 =(1.4.6)

ве"6 =

ве"6 =

которое не превосходит единицы.

Функции а (ж) и В (х) можно выразить через функцию 0(х\ Дифференцируя (1.4.6), находим, что

б^е'^ - WiK*^ = 1,

откуда

(1-4.7)(1-4.7)0(х)

(1-4.7)

(1-4.7)

х(1 - 0(х)) *

С другой стороны,

ьк™к

ж9'б) = у^ -гр = «(ж).

к=1

Таким образом,

а(х) =а(х) =<Д)1 — 0(х)<Д)1 — 0(х)(1.4.8)(1.4.8)

а(х) =

а(х) =

<Д)

1 — 0(х)

<Д)

1 — 0(х)

(1.4.8)

(1.4.8)

Несколько более сложные выкладки требуются для получения формулы

В(Ж) = |(1-(1-У(Ж))2).В(Ж) = |(1-(1-У(Ж))2).(1.4.9)(1.4.9)

В(Ж) = |(1-(1-У(Ж))2).

В(Ж) = |(1-(1-У(Ж))2).

(1.4.9)

(1.4.9)

Рассмотрим функцию

Цх) = (1 - ^(х))2.

Используя (1.4.7), находим, что

«И = -2(1 -<>М№) = -Д^ = -2Ё ДД

Интегрируя обе части этого равенства, получаем, что

kk-1/ h! (t) dt = h(x) — 1 = —271/ tk-1dt

Jok=1 Jo

00 uk — 2^k

k=l *

Отсюда следует равенство (1.4.9).

Соотношения (1.4.8) и (1.4.9) позволяют найти выражения для математического ожидания E£i и дисперсии D<f i. Для 0 < 9 < 1 положим

х = 9е~в.

При таком выборе параметра х

е^ = 9,= ДЕ в^ = ДД1

поэтому

2 _ De _ СМ _ (2 =26

В(Ц \В00 )(1 -6^-9^"

Если параметр 9 фиксирован, то для суммы

Cn = €1 + • • • + Cn

применима локальная теорема 1.1.11. В действительности для распределения этой суммы теорема о локальной сходимости к нормальному закону справедлива в более широких условиях.

Теорема 1.4.1. Если N сю и 9 = 9(N) изменяется так, что 9N оо и (1 - 9)3N —► сю, то

Р^К = Ц = —^e-"2/2(i + o(i))

равномерно относительно целых к, для которых и = (k—Nm)/(aVN) лежит в любом конечном фиксированном интервале.

Доказательство. Прежде всего докажем, что в условиях теоремы распределение случайной величины (^ — mN)/(aVN) слабо сходится к нормальному распределению с параметрами (0,1). Согласно теореме 1.1.9 достаточно показать, что соответствующая характеристическая функция ^n(J) сходится к характеристической функции стандартного нормального распределения e-t ^.

Характеристическая функция случайной величины £i равна

В силу (1.4.7), (1.4.8) и (1.4.9)

В(Ж) = 1(1-(1-0(Ж))2),

хВ\х) = 0(х^

х2В" (ж) = #2(х)(1 — ^(х))-1,х3В,м^ = ^3(х)(1 - 2^(х))(1 - О^У3.

Поэтому

г0(хеУ

вк^ ’

(1.4.10)(1.4.10)0(хег^

(1.4.10)

(1.4.10)

В(х)(1 — ^(те^)) ’гО^хеУ

В(х)(1 - 0(хе^))3 *

При х = 0е 6При х = 0е 6еИ = 9, в^ = УУеИ = 9, в^ = УУ

При х = 0е 6

При х = 0е 6

еИ = 9, в^ = УУ

еИ = 9, в^ = УУ

Обозначим ф^ характеристическую функцию центрированной случайной величины £i — 0<Х)(Вфсф Легко видеть, что

^'(0) = о,^'(0) = о,ф"фХ) = —о-2ф"фХ) = —о-220(1 -У)(2-У)2'20(1 -У)(2-У)2'(1.4.11)(1.4.11)

^'(0) = о,

^'(0) = о,

ф"фХ) = —о-2

ф"фХ) = —о-2

20

(1 -У)(2-У)2'

20

(1 -У)(2-У)2'

(1.4.11)

(1.4.11)

Положим

Нетрудно проверить, что

т 2г0(хеи )(202(хег1) — 0(хеи) — 2)9 W= (1 - 0(хе«^3(2 - 0(хе«)У

Поэтому при х = 0е 6 существует такая постоянная с, что

С0

и

Ш = е9^ = exp j— + О ( Д ) [ .(1.4.12)

Для характеристической функции фк^ случайной величины (Ду — mN)/(crVN) справедливо равенство ^)n^ = фн(t/(crVN)\ Поэтому для любого фиксированного t при N сю

( t2 /1\ 1

= exp <h О —,= > .(1.4.13)

[2J

В условиях теоремы NO сю, ^(l — 9)3 сю, поэтому, если t фиксировано и N сю, то

Vn^ е"(2/2,

и распределение ((n — mN)/(aVN) слабо сходится к стандартному нормальному распределению.

Для доказательства локального сближения этих распределений нам потребуются дополнительные оценки характеристической функции ^tY Естественно предположить, что локальная теорема справедлива в той же области изменения параметров, что и интегральная теорема, но поскольку получение соответствующих оценок характеристической функции достаточно громоздко, мы ограничимся их получением в случае, когда 9 < 9 о < 1 и 9N сю.

Из (1.4.12) следует, что существуют такие положительные постоянные С И 6, ЧТО ДЛЯ |7|ДвИ#Д#о<1

|^№! < е-С(тЧ\(1.4.14)

Докажем теперь, что для произвольного в, 0 < в < тг, существует такая положительная постоянная с, что для г Д \t\ Д тг и 0 < 9 Д 1

И£)|<е-се.(1.4.15)

Если 90, то

х = 0е"9 = е -о2 + о(е3),

_ В(жей) _ xett + x2e2it 1*2 + O(03)

= В^ =0(1 - 0/2)

= e«t + (e2»t_eit)0/2 + o(02).

Ясно, что при 9 О

|еа + (е2й - ей)0/2|2 = 1-20 sin2(Z/2) + О(02),

так что

|^(£)| = 1 — 6sm2(t/2) + О(02^

равномерно по t, и для г С \t\ < тг существуют такие 6 > 0 и щ > О, что

|^)| < е”С16(1.4.16)

при 0 < 5.

При любом 0^ 0 < 0 ^ 1, распределение £i имеет максимальный шаг, равный единице, и <p(t) непрерывна по t и 0 в области

В = {(^, 0): s < \t\ < тг, 0 < 6 < 0 < 1}.

Поэтому

9 = supH£)l < 1,

В

и существует такая положительная постоянная С2, что для (t, 0) Е В

\Щ)\^е~С2в.(1.4.17)

Из этой оценки и оценки (1.4.16) следует (1.4.15)

При доказательстве локальной теоремы мы следуем доказательству теоремы 1.1.11. Положим

к — mNг 7.

и ==-,?N(k) = P{Gv = А

и представим разность

Rn = 2tt(oVNPN(k) - ^е-“2/2 )

\х/2тг )

в виде суммы четырех интегралов

1Х = / e-itu(^(tl(<rVN)))N - е"1 dt,

J-A

Ь = - [e-»tu-t2/2 dt;

JA^\t\

R= [е-ии(Щ/(аЕ^))А dt,

J|t| ^ectVN

I4= [e-»tu(^(t/(<rVN)))N dt,

JecrVN|t| ^tvctVN

в которых постоянные А и e будут выбраны позднее.

Для того чтобы доказать, что Rn 0 при N сю, покажем, что Rn можно сделать сколь угодно малым выбором в, А и N.

Ясно, что

\h\ R [ е ^/2 dR

JARt\

и |/21 можно сделать сколь угодно малым выбором достаточно большого А.

Выберем s > 0 так, чтобы выполнялась оценка (1.4.14). Тогда для 9 < #о < 1, |^| < £

откуда,

|Ь|^ /\^t(<aVN^\N dt^ [ e^dx

и |Д| можно сделать сколь угодно малым выбором достаточно большого А.

Для фиксированного А интеграл Д стремится к нулю, так как

Д/;) e-t /2 равномерно по t в любом конечном интервале.

J ecrVNД |t| ДтгaVNJ ecrVNД |t| ДтгaVNНаконец, используя оценку (1.4.17), получаем, что

J ecrVNД |t| ДтгaVN

J ecrVNД |t| ДтгaVN

ctvN [\^t)\N dt^<7VNe~ceN,

где правая часть стремится к нулю при N сю.

Обозначим р(щ с\. р) плотность устойчивого закона с параметрами а и р в параметризации Золотарева (см. [39]). Если a R 1, то характеристическая функция /(t) этого распределения может быть записана в виде

f(t) = ехр/д|аехр/-у/С(аД-|

где К (а) = 1 — |1 — оф По формуле обращения

Если N ^ оо и 0 = R то распределение случайной величины (Rn — 2N)/(bN3^2p где Ь = 2(2/З)2/3, аппроксимируется устойчивым законом с параметрами а = 3/2, Р = — 1.

4 В. Ф. Колчин

Теорема 1.4.2. Если N dg. 9 = 1. b = 2(2/3)2/3, то

^2/3Р{^ = п} = р(и* 3/2, -1)(1 + о(1))

равномерно относительно целых п, для которых и = (n—27V)/(WV2/3) лежит в любом конченом фиксированном интервале.

Доказательство. Сумма (n = €1 + • • • + Cn образована независимыми одинаково распределенными случайными величинами, при 0 = 1

-1

Р{<1 = ^ =к\’ к = \Д.._(1.4.19)

и Е<^1 = 2, так как ^(е-1) = 1 и В(е-1) = 1/2. Максимальный шаг распределения слагаемого равен единице, поэтому в силу теоремы 1.1.10 достаточно показать, что распределение случайной величины (On - 2N)/(bN2^3) слабо сходится к устойчивому закону, указанному в теореме 1.4.2.

В дополнение к ранее введенным функциям 9(х^ а(х) и В (ж), рассмотрим функцию

00 ик — 3

к=1‘

Она также выражается через функцию 9(Д Положим

д^ = 0-6«.

Используя равенства и

ВД = |(1-(!-£«), находим, что

гд'(^ = —30(z) + 302(z) = 39(Д — 6B(z).

Интегрирование приводит к равенству

д'(и) du = д(Д - 1

_ 3 р ВИЛ, _ 6 г- Btod. __

Jo и Jo ^

Выражая В (г) через ^(г), находим, что при |г| < 1

ДД = ---(1-Щ))2--(1-Щ))3.

Поскольку ^(е-1) = 1, получаем, что С(е-1) = 5/12.

Положим

п(г) = 1 — 9^Y v{z) = С^ - С(е х).

Мы нашли, что

Обращая это выражение, получаем два формальных решения

Щ) = ±2гДД) + |v(-z) + О(Н-?)|3/2)-

Поскольку и(х) > 0 и и(х) < 0 при 0 < х < е х, мы выбираем решение

и^ = —2ги^ = —2г\/ф) + l^co + О(|у (^) 13/2) ■\/ф) + l^co + О(|у (^) 13/2) ■(1.4.20)(1.4.20)

и^ = —2г

и^ = —2г

\/ф) + l^co + О(|у (^) 13/2) ■

\/ф) + l^co + О(|у (^) 13/2) ■

(1.4.20)

(1.4.20)

Таким образом,

(1 - 9^^ = гг2(г) = —4v^ - ^^^v^z^3^ + О(ф(г)|2).(1.4.21)

Первые две производные C(z) равны

сй = Ёк=1сй = Ёк=1^к—2^к—1^к—2^к—1B(z)B(z)С'И = Ёк=1С'И = Ёк=1^к-1^к-2к\^к-1^к-2к\Щ)г2Щ)г2

сй = Ё

к=1

сй = Ё

к=1

^к—2^к—1

^к—2^к—1

B(z)

B(z)

С'И = Ё

к=1

С'И = Ё

к=1

^к-1^к-2к\

^к-1^к-2к\

Щ)г2

Щ)г2

Поэтому для действительного t

(1.4.22)(1.4.22)C^-wt) - ^(е-1) = it/2 + O(t2).

(1.4.22)

(1.4.22)

Найдем теперь выражение для характеристической функции cp(t) случайной величины ^i с распределением (1.4.19). Ясно, что

Д^) = В(е“1+Й)/В(е“1).

Из (1.4.20), (1.4.21) и (1.4.22), находим, что при z = е^ 1

^) = 1-(1-У«

= 1 + Щг) + //СФ))3/2 + О(| v(^) |2)

= l+2it+|2V2|t|3/2 Q^-= l+2it+|2V2|t|3/2 Q^-3/2

= l+2it+|2V2|t|3/2 Q^-

= l+2it+|2V2|t|3/2 Q^-

+ O(t2)

Z X 3/2

= 1 + 2г£ + |^|3/2г ()+ O(t2p

где b = 2(2/3)2/3. В силу равенства

последнее соотношение можно записать в виде

= """нфг/ = 1 + 2^ - Д|3/2 ехр (^} + °(^2)-

Поскольку при t О

е"2Й = т _2^ + оД),

находим, что

Ш = е"2г</Д) = 1 - \bt|3/2 ехр | ^ | + ОЩ\

Характеристическая функция случайной величины (фу — 2N)/(bN2/3) равна

YN(t/(bN2^ = (1-1^ехр{^} + O(^_4/3))

и при любом фиксированном t сходится к

/Д = ехр <^ -|£| 7 exp j —,

характеристической функции устойчивого закона p(n; а^ Р) с параметрами а = 3/2, Р = — 1. Поэтому согласно теореме 1.1.10 при N сю равномерно относительно к

6/у2/3р^^ = п} _ р(м. 3//2, -1) о,

где и = (k — 2N)/(bN2^3y Функция р(т;3/2,—1) положительна при всех х, поэтому из предыдущего соотношение следует, что

bN2/3PVX = к} = р(и; 3/2, -1)(1 + о(1))

равномерно относительно целых к, для которых и = (к — 2^)/(&№/3) лежит в любом конечном фиксированном интервале.

Теорема доказана.

Обратимся теперь к оценке числа лесов Fn,w с п вершинами, N деревьями и Т = п — N ребрами. Теоремы 1.4.1 и 1.4.2 позволяют нам получить эту оценку.

Теорема 1.4.3. Если п^х и 0 = 2Т/п меняется так, что

ON ос и N(1 - О)3 —► ос, то

— 9 77 XXFn,N = —ДДч— 1 + °(1))- Доказательство. Положим6 = 2Т/п, х = бе”9.— 9 77 XXFn,N = —ДДч— 1 + °(1))- Доказательство. Положим6 = 2Т/п, х = бе”9.Согласно (1.4.5)Согласно (1.4.5)Fn,N —Fn,N —N\xnN\xnP{Ov = 4,P{Ov = 4,где в силу выбора параметровгде в силу выбора параметровПоскольку т = Eei = 2/(2 — 0) = n/N, по теореме 1.4.1Поскольку т = Eei = 2/(2 — 0) = n/N, по теореме 1.4.1P{Ov = п}P{Ov = п},(1 сгХХХ,(1 сгХХХ+ 0(1)),+ 0(1)),(1.4.23)(1.4.24)(1.4.25)(1.4.26)(1.4.27)(1.4.23)(1.4.24)(1.4.25)(1.4.26)(1.4.27)гдегдео2 = D^i =о2 = D^i =20пТ20пТ(1 — 0)(2 — 0)2(1-0)^’(1 — 0)(2 — 0)2(1-0)^’

— 9 77 XX

Fn,N = —ДДч— 1 + °(1))- Доказательство. Положим

6 = 2Т/п, х = бе”9.

— 9 77 XX

Fn,N = —ДДч— 1 + °(1))- Доказательство. Положим

6 = 2Т/п, х = бе”9.

Согласно (1.4.5)

Согласно (1.4.5)

Fn,N —

Fn,N —

N\xn

N\xn

P{Ov = 4,

P{Ov = 4,

где в силу выбора параметров

где в силу выбора параметров

Поскольку т = Eei = 2/(2 — 0) = n/N, по теореме 1.4.1

Поскольку т = Eei = 2/(2 — 0) = n/N, по теореме 1.4.1

P{Ov = п}

P{Ov = п}

,(1 сгХХХ

,(1 сгХХХ

+ 0(1)),

+ 0(1)),

(1.4.23)

(1.4.24)

(1.4.25)

(1.4.26)

(1.4.27)

(1.4.23)

(1.4.24)

(1.4.25)

(1.4.26)

(1.4.27)

где

где

о2 = D^i =

о2 = D^i =

20пТ

20пТ

(1 — 0)(2 — 0)2(1-0)^’

(1 — 0)(2 — 0)2(1-0)^’

Подставляя (1.4.24), (1.4.25) и (1.4.27) в (1.4.25), находим, что в условиях теоремы

Fn,N =Fn,N =*WQ(1 +о(1))N\xn V^irnT*WQ(1 +о(1))N\xn V^irnTn2TVl — 9 /^ 2^6-7^/^(n2TVl — 9 /^ 2^6-7^/^(+ o(l)).+ o(l)).(1.4.28)(1.4.28)

Fn,N =

Fn,N =

*WQ(1 +о(1))

N\xn V^irnT

*WQ(1 +о(1))

N\xn V^irnT

n2TVl — 9 /^ 2^6-7^/^(

n2TVl — 9 /^ 2^6-7^/^(

+ o(l)).

+ o(l)).

(1.4.28)

(1.4.28)

Теорема 1.4.4. Если п сю и 2Т/п 1 так, что

(1 — 2T/ti)N1^3Ь2^3и/2, —сю < v < сю,

то

Fn,N —2N N1/6^/^2/3^-^ ^^+ °(1))-(1.4.29)

Доказательство. При выполнении условий теоремы

поэтому в силу теоремы 1.4.2, непрерывности и положительности плотности рД, 3/2, —1)

^2/3Р{^ = п} = рДи- 3/2, -1)(1 + о(1)).(1.4.30)

В теореме 1.4.2 мы положили 9 = 1, поэтому х = е-1 и В(х) = В(е-1) = 1/2. Подставляя эти значения, а также (1.4.30) в (1.4.25), находим, что в условиях теоремы 1.4.4

721

Fn’N = №2ме-"Ь№/зР^-У’ 3,/2’

72 п л/тГ

= №2м№/6(.2/зу/зР^У’ 3,/2’+

Теорема доказана.

Хотя плотность р(ас; 3/2, — 1) не выражается с помощью простых функций, для ее подсчета можно использовать соотношение р(х; а, 3) = р(—х; а, —3) и справедливое при х>0и1<а<2 разложение в ряд

/ т 1Г((п + 1)/а) „ тт Л Л 1\2-а \

р(х* а,рА = -> (-ЕД —cos — 1 + 1 + - р .

v 7 7г 7 ап\2 \\ п ) а )

п=0\\//

Размеры деревьев в случайном лесе

Пусть дг = pr(n, N) — число деревьев с г вершинами в случайном лесе с п занумерованными вершинами и N некорневыми деревьями, г = 1, 2 .... Напомним, что число ребер в таком лесе равно Т = п — N. В этом параграфе мы рассмотрим асимптотическое поведение случайных величин pr(n, N\ Так же, как и в предыдущем параграфе,

мы используем обобщенную схему размещения п частиц в N ячейках, задаваемую независимыми одинаково распределенными случайными величинами £i,... Д^, для которых

слкк — 2пк—1р — к0

^{^ = k}=Pk=Pk{0) = -—-—, к = 1,2,..., О < У < 2.

Как было подсчитано ранее,

М = мР) = E£i =

и для 0 < 9 < 1

Далее будут также использоваться обозначения

8^ = 8^0) = рт (1 - рт -, Г = 1, 2 . . .

Случайные величины дг похожи на соответствующие случайные величины для лесов из корневых деревьев. Мы приведем лишь некоторые результаты для случайных величин дг, отсылая читателей к статье [18], где дано полное описание асимптотического поведения распределений этих величин. Как и ранее, пусть 9 = ЪТ/п. Для т = 1,2,... положим

О<0<1,г - А - Щ(1), 1 < 0 < 2,.2=^ = /^’О<0<1,

гг тА ’ Щ(1)(1 -pr(l)), 1 < 6* < 2.

Введенные обозначения тгг(0) и (7^(6) с урезанными в точке 9 = 1 значениями позволяют в следующих двух теоремах единообразно описать довольно сложное поведение случайных величин дг, т ^ 3.

Теорема 1.5.1. Если п. N хит = г(п) "> 3 и 9 = 2Т/п меняются так, что Ктгг(9) сю, то

равномерно относительно целых к, для которых

_к- Nitr^

Ur - <Trr(0)7VV2

лежит в любом конечном фиксированном интервале.

Теорема 1.5.2. Если п. N хит = г(п) ^ 3 и 6 = 2Т/п меняются так, что NivT^ А при некотором X, 0 < А < сю, то для любого фиксированного к = 0,1,...

—А

РЩ = Ц = ^-(1 + 0(1)).

Поведение случайных величин дх и Д2, так же, как их аналогов для лесов из корневых деревьев, обладает некоторыми особенностями. Здесь мы не будем рассматривать эти случайные величины.

Теоремы 1.5.1 и 1.5.2 показывают, что в процессе последовательного увеличения числа ребер случайного леса асимптотическое поведение дг перестает зависеть от 9 при 0 ^ 1. Если NpT(l) сю, то предельным распределением дг является стандартное нормальное распределение при всех 9. 1 < 9 < 2, и одной и той же центрировке и нормировке.

Аналогичная ситуация наблюдается в случае 9 ^ 1 и при NpT(l) А для некоторого А, 0 < А < сю, когда предельным распределением для дг при всех 9, 1 < 9 < 2, является распределение Пуассона с параметром А. Таким образом, точку 9 = 1 можно интерпретировать как критическую точку в эволюции случайного леса при росте параметра 9.

Докажем теоремы 1.5.1 и 1.5.2.

Доказательство теорем 1.5.1 и 1.5.2. Согласно примеру 1.3.4 и лемме 1.2.1

Л/VA , м ь ь = п — кД

р<- -рС=„} •

где (n = £1 + • • • + Ui Cn^ = €^ + • • • + ^ ^ случайные величины в каждой из последовательностей £i,... Дк и ^,... , ^ независимы и одинаково распределены,

ик-2 к

х ик-2 к

В^’0 < ж е-1,

к=1

Р{^г) = Ч = Р{5 = к Ц1 Ц(1.5.2)

и положительный параметр ж распределения случайных величин £1,... Ды может быть выбран произвольно из области сходимости ряда В (ж).

Для доказательства локальных теорем удобно выбрать х = Ое-6, полагая 0 = 2Т/п при 0<2Т/п<1и6> = 1 при 1 < 2Т/п < 2. При таком выборе из (1.5.1) следует, что

— ку — I Нтг^#)) (1, (1.5.3)

\к у= пу

где

P{<i = ^=^W, к = 1,2,..., а распределение случайной величины <f^ определяется равенствами (1.5.2).

Рассуждая от противного, нетрудно показать, что теоремы 1.5.1 и 1.5.2 достаточно доказать в следующих трех случаях поведения параметра 0: когда NO сю и (1 — 0)3N сю, когда величина (1 —О)3N ограничена произвольной постоянной, и наконец, когда (1 — 0)3N — сю. Отрицание любой из теорем означает существование подпоследовательностей последовательностей параметров п и N таких, что поведение параметра 0 относится к одному из трех указанных выше случаев, при этом остальные условия теоремы остаются справедливыми, а утверждения теорем не выполняются. Поэтому мы будем предполагать, что n, N сю так, что 0 лежит в одной из указанных областей и докажем утверждения теорем 1.5.1 и 1.5.2 в каждом из трех случаев.

Рассмотрим теорему 1.5.1 в первой области изменения параметра 0. По теореме Муавра-Лапласа биномиальное распределение аппроксимируется нормальным распределением и распределением Пуассона. Более точно, если NivT^ сю, то

О (М<'(1 -(1Ы)

\ К /у2тГШГг(#)(1 - 7ГГ(0))

равномерно по целым к, для которых

~ (k-N^W

Z - 2Л^тгг(У)(1 -тгг(У))

лежит в любом конечном фиксированном интервале.

Вероятность Р{^ = п}, стоящая в знаменателе в (1.5.3) была оценена в предыдущем параграфе. Применяя теорему 1.4.1, получаем, что в первой области изменения О

P{<N=n} = —=(1+0(1)),(1.5.5)

где

Чтобы найти асимптотику числителя в (1.5.3), начнем с вычисления первого и второго моментов слагаемых. Нетрудно видеть, что

/л\

тт = тДО) =7 = ,

1тт р

(1 — 7ГГ)(72(1 — 7ГГ)(72dT аТ\р) ОсдI 1

(1 — 7ГГ)(72

(1 — 7ГГ)(72

1 — тгг у

где д = E<i = 2/(2 - 0\

Проводя доказательство, аналогичное доказательству теоремы 1.4.1, убеждаемся, что для суммы (^ = <С^ + ... + ^^ справедлива локальная теорема о сходимости к нормальному распределению. Более точно, если n, N сю так, что ON — х и (1 - 0)3N -х сю, то

Р{^) = s} = +оЩ)Р{^) = s} = +оЩ)(1.5.6)(1.5.6)

Р{^) = s} = +оЩ)

Р{^) = s} = +оЩ)

(1.5.6)

(1.5.6)

равномерно относительно целых т ^ 3 и s, для которых величина (s — NmT^l(aVN) лежит в любом конечном фиксированном интервале.

Теперь для получения асимптотики Р{^1^ = п — кг} можно использовать (1.5.6), где s = п — кт и число слагаемых равно N — к. Поскольку

гдегдек = NirT + urarr Vn,

где

где

Д = CTrrW = Pr(l ~ Pr - (p - Дрг/Д,

UpCTpp \(i -p^Vn ) (1.5.7)UpCTpp \(i -p^Vn ) (1.5.7)находим, что

UpCTpp \

(i -p^Vn ) (1.5.7)

UpCTpp \

(i -p^Vn ) (1.5.7)

N — к = ^(l — pr) — urarr^N = ^(l — pr) [ 1 —

Легко видеть, что величина агг/(1 —рг) ограничена и при иТ1 лежащем в любом фиксированном конечном интервале

N - к = ^(l - рг)(1 + О^"1/2)).(1.5.8)

Показатель экспоненты в (1.5.6) можно теперь записать в виде

2 (п — кг — Nmryи = 2cr2(W - к) ■

Принимая во внимание соотношения (1.5.7), (1.5.8) и равенства

мрЛр-г)ц-т

п = Np,, mr — р =, mr —г=,

1 - Рг1 - Рг

справедливые в первой области изменения 0, получаем, что

k(mr — г) — N(mr — р) рУ*2^ — r)(k — Npr)

aT(N — к)1/2aarr(N — ку/2

- ^-.^-^ + о(ц) = Д^„г(1 + „(1„.

сг(1 - pry/2aTTVNу(1 - Рг) '

Применяя (1.5.7), находим, что

р{<д = п - щ = ,+ ^

N"kД^жПДД

(1.5.9)

Подставляя (1.5.4), (1.5.5) и (1.5.9) в (1.5.3), находим, что при выполнении условий 1.5.1 и при 0, изменяющемся в первой области, это выражение преобразуется в произведение экспоненты с некоторым показателем и коэффициента перед экспонентой. Коэффициент перед экспонентой равен

aV^irN

_1_ 1

Собирая вместе показатели экспонент в (1.5.4) и (1.5.9), находим, что результирующий показатель равен

(k - Np^2 _ рт^ - rp^k - Npr) = (к - Npr)2 2Npr(l — pr) 2а2(1 — pr)arrN °arrN °

Таким образом, теорема 1.5.1 доказана, когда 0 меняется в первой области.

В условиях теоремы 1.5.2 параметр к фиксирован, и применяя соотношения (1.5.5) и (1.5.6) с соответствующими параметрами, находим, что в первой области изменения параметра 0

P{CN-k = Т1-кт^

Р{< = п}'

Поэтому утверждение теоремы 1.5.2 вытекает из справедливости пуассоновской аппроксимации для биномиального множителя в (1.5.3).

Во второй области изменения параметра 9 выберем параметр распределения ^1,... ^n равным единице. Если ^pr(l) сю, то

,1e~g2/2(l + о(1))

М ” V V ”V2Tr2Vpr(l)(l-Pr(l))

(1.5.10)

равномерно относительно к, для которых

_/с-1Ург(1)

V7VPr(l)(l -Pr(l))

лежит в любом конечном фиксированном интервале.

Применяя теорему 1.4.2, находим, что

^2/3р{^ = п} = рЩ 3/2, -1)(1 + о(1))(1.5.11)

равномерно относительно целых п, для которых и = (п — 2A0/(WV2/3) лежит в любом конечном фиксированном интервале.

Запрещение случайным величинам <f^,... , ^^ принимать значение г не изменяет их максимального шага и сохраняет сходимость распределения их суммы с соответствующей центрировкой и нормировкой к устойчивому закону с плотностью р(п;3/2, — 1). Единственное существенное отличие состоит в том, что теперь среднее значение слагаемого этой суммы равно Е<(^ = шг(1) = 2/(1 — рг(1)). Поэтому при j сю

(1-рг(1))2/зГ^

_ bp/3

= (l-pr(l))2/3

f - x(i))(i - pr(i))2/3 i -- r(i))2/3

|foy2/3^j2/3

= р(щЗ/2,-1)(1 + о(1))

равномерно относительно целых I, для которых

bj2^3

лежит в любом конечном фиксированном интервале.

Подставляя N — к вместо j и п — кт вместо I и вспоминая, что

к = WPr(l) +-Pr(l)),

где z ограничено, получаем, что

МУ2/3Р{<ДД = П - И = Р^ 3/2, -1)(1 + о(1))(1.5.12)

равномерно относительно г ^ 3, где, как и в (1.5.11), величина и = (n — 2N)/(57V2/3), поскольку

_ G - jmr(l))(l - Рг(1))2/3 _n-2N

"Ьр/3+0U-

Таким образом, асимптотические значения Р{^= п} и

Р{^ = п — кг} совпадают и их отношение в (1.5.3) стремится к единице. Поэтому асимптотика вероятности Р{дг = к} определяется первым множителем и совпадает с асимптотикой соответствующей биномиальной вероятности. Таким образом, теоремы 1.5.1 и 1.5.2 доказаны в случае, когда 0 меняется во второй области.

Остается доказать эти теоремы в третьей области, где (1 - 2T/nfN —сю. Положим 0 = 1 в распределении случайных величин ^i,... и докажем, что в (1.5.3)

Р{<#Ц = П - Щ/РЩ = n} 1(1.5.13)

равномерно относительно г и к = NpT(l) + z^ NpT(l)(l — рг(1)), где z лежит в любом конечном фиксированном интервале.

В этом случае (1 — PTpnpN —сю, поэтому значения п для сумм (n и значения п — кг для сумм (^-к лежат в так называемой области больших уклонений. Поэтому нам потребуется соответствующая теорема о больших уклонениях. Мы не будем приводить ее доказательства, но его основная идея довольно прозрачна. Если распределение суммы независимых одинаково распределенных целочисленных случайных величин с нулевым математическим ожиданием сходится к устойчивому закону с параметром q, 1 < q < 2, то основной вклад в большое уклонение суммы происходит за счет только одного слагаемого (см. [100]). Применение этой теоремы к сумме (n приводит к следующему результату в случае, когда 0 меняется в третьей области.

Если п, N сю так, что 7V(1 — 2Т/п)3— сю, то

PRtv = тг} = Р{фу - 2N = п - 2N}

= 7VP{<i - 2 = п- 2N}(1 + о(1))/2\1/2 N

=(п-2^5/2^ +

Теорему, приведенную в [100], нельзя прямо применить к сумме так как ее слагаемые перестают быть целочисленными после центрирования математическими ожиданиями тт. Бритиков в [18], используя метод доказательства из [100] вместе с некоторыми идеями

из [140] и [78], доказал, что вероятности P{^Lfc = п — кг} имеют ту же асимптотику, что и Р{^ = п}. Более точно, если гц N со так, что 7V(1 — 2Т/п)3 —> —сю, то

Р{С^1/с = тг — кг} = PK^l^ — (N — к)тг = п — кг — (N — к)тг} = (N — к^Р}^'^ — тТ = п — кт — (N — k)mr} = (N - к^Р}^ = n - 2N + O(VN)}

равномерно относительно целых г > 1 и ^ таких, что

(fc-^pr(l))/(JVpr(l)(l-pr(l)))1/2

лежит в любом конечном фиксированном интервале.

Поэтому отношение в (1.5.3) стремится к единице и асимптотика вероятности Р{дг = к} определяется первым множителем и совпадает с асимптотикой соответствующей биномиальной вероятности. Это доказывает теоремы 1.5.1 и 1.5.2 в третьей области изменения параметра 9.

Таким образом, доказательство теорем 1.5.1 и 1.5.2 завершено.

Максимальный размер деревьев в случайном лесе

Результаты предыдущего параграфа содержат некоторую информацию о поведении максимального размера Ц(^) деревьев в случайном лесе из ^n,7V с Т = п — N ребрами. Действительно, если 9 = 2Т/п 0 и существует такое т = r(n, N), что Npr(9) сю и NpT+1W - А, 0 < А < сю, то распределение числа рГ деревьев размера г сближается с нормальным распределением, а распределение дг+1 сходится к распределению Пуассона с параметром А. Отсюда следует, что предельное распределение случайной величины р^ концентрируется в точках г и г + 1.

Если 9 = 2Т/п у, у > 0, то имеется бесконечно много т = г(п, N) таких, что распределение рГ стремится к распределению Пуассона, и распределение все более и более расплывается с ростом 7. Если 0 < 7 < 1, то предельное распределение сосредоточено на счетном множестве целых чисел, в то время как при 7^1 случайная величина т]^ имеет предельное распределение при некоторой нормировке, причем нормирующие величины стремятся к бесконечности с различной скоростью в зависимости от области изменения параметра 9.

Таким образом, можно было бы доказать предельные теоремы для Д(^) при Т/n 0, используя результаты о предельном поведении дг, полученные в предыдущем параграфе. Однако если 2Т/п 7, где 7 > 0, этот подход, по-видимому, неприменим и даже если бы он привел к результату, доказательства не были бы простыми.

Поэтому мы будем использовать подход, основанный на обобщенной схеме размещения. Пусть ^1,... Ддг — независимые одинаково распределенные случайные величины с распределением

2гг-2пг-1 -гО

Рг^ = PR1 = fc} =,0 < У < 2,(1.6.1)

и)

где k = 1, 2,... Положим 0 = 2Тjn. Тогда в силу леммы 1.2.2,

где

(n = €1 + • • • ++ • • • +

Ат) Дг)„

£1 ,... an — независимые одинаково распределенные случайные величины, для которых

Р{Д) = к^ = РК1 = к I С1 < г}, к = 1,...,т,(1.6.3)

И

рг = рг^ = р^т> = ^РР1Л)\(1.6.4)

к=1

Сформулируем теперь теоремы, полностью описывающие асимптотическое поведение г/^р откладывая на некоторое время их доказательства. Дальнейшее изложение следует статье [16].

Теорема 1.6.1. Если n,N ос, 0 = 2Т/п 0 и целые числа г = r(n,N) > 1 меняются так, что NpT^ ос и Npr+i(0) А, где О < А < оо, то

РДлг) = г} = е"Л + о(1),P{^(^) = г + 1} = 1 - е"л + о(1).

Заметим, что если в условиях теоремы А ^ 0, то Npr(0) ос без каких-либо дополнительных условий. В частности, условия теоремы выполняются, если

^(г-П/го < р < ОО.

При этом условии теорема 1.6.1 была доказана Эрдешем и Реньи в известной статье [127], которая, по-видимому, является единственной статьей, содержащей результаты о предельном поведении Д(^), опубликованной до статьи В. Е. Бритикова [16].

Теорема 1.6.2. Если п, N ос, 9 = 2Т/п —> у, 0 < у < 1, то для любого фиксированного целого к

РЩ(ЛО - Ы < ^ = exp (- /LyLlE2pe(^})(7-i^^ (1+о(1)), I (е^-1—у)у2тг)

где

In п — | In In п

и [а], {а} обозначают, соответственно, целую и дробную части а.

Теорема 1.6.3. Если n,N ос, 9 = 2Т/п 1 и N(1 — 9)3 ос, то для любого фиксированного z

p{^(7V) - и

где (3 = — ^(^е1-6*) и и — корень уравнения

\ V2

[-)Np3/2=u3/2E\

утг /

Теорема 1.6.4. Если п, N ос так, что NT/3(1 — 2Т/п) и, — oq<u<oq, то для любого фиксированного положительного z

р /1 х +у' 1 L

U№/3/ p(v; 3/2, —1) ^ s! \ 4Д

где b = 2(2/3)2Д

, / х Г р{у-хх - ... -xs;3/2, -1)

s^ = {(xi,... , xs): Xj ^ иц j = 1,... , s}

и p(y; 3/2, —1) — плотность устойчивого закона с параметрами а = 3/2, р =

Теорема 1.6.5. Если п, N ос, 7V(1 — 2Т/п)3 —ос, то для любого фиксированного z

P {—i,nZ4

где р(р;3/2, —1) — -плотность -устойчивого закона с параметрами а = 3/2, (3 = -1.

Мы будем доказывать теоремы 1.6.1-1.6.5 с помощью соотношения (1.6.2). При выполнении условий теорем 1.6.1-1.6.3

РК2' = п}/Р{^ = n} 1РК2' = п}/Р{^ = n} 1(1.6.5)(1.6.5)

РК2' = п}/Р{^ = n} 1

РК2' = п}/Р{^ = n} 1

(1.6.5)

(1.6.5)

и предельное распределение у^ совпадает с предельным распределением максимума независимых случайных величин £i,... , ^. Поэтому прежде всего мы получим несколько вспомогательных результатов о поведении величины

рг = рг^ = 52 p^yk=r-Vl

Лемма 1.6.1. Если п, N оо, 0 = 2Т/п -л 0 и целые числа г = r(n, N) > 1 меняются так, что NpT(0) оо, NpT_^i(0) А, О С А < оо, то

NPr_i -л оо, NPT -л A, NPT^i -л 0.

Доказательство. В условиях леммы х = 0е 6 -л 0. Из (1.6.3) следует, что

л = 52^+^)=р^ы#) (1 + 528=1\8 = 2л = 52^+^)=р^ы#) (1 + 528=1\8 = 2Рг+з(^)АРг+1(^) )Рг+з(^)АРг+1(^) )Л+iЛ+i=pr+i(6*)528 = 2=pr+i(6*)528 = 2Pr + s(^) Pr+l^)'Pr + s(^) Pr+l^)'(1.6.6)(1.6.7)(1.6.6)(1.6.7)

л = 52^+^)=р^ы#) (1 + 52

8=1\8 = 2

л = 52^+^)=р^ы#) (1 + 52

8=1\8 = 2

Рг+з(^)А

Рг+1(^) )

Рг+з(^)А

Рг+1(^) )

Л+i

Л+i

=pr+i(6*)52

8 = 2

=pr+i(6*)52

8 = 2

Pr + s(^) Pr+l^)'

Pr + s(^) Pr+l^)'

(1.6.6)

(1.6.7)

(1.6.6)

(1.6.7)

Принимая во внимание известные оценки для факториала

гг Дтегг Дте< т\< т\< \/2тггт Дте Д1^12^< \/2тггт Дте Д1^12^

гг Дте

гг Дте

< т\

< т\

< \/2тггт Дте Д1^12^

< \/2тггт Дте Д1^12^

находим, что из (1.6.1) следует оценка

Рг+з (д) Pr+i(d)Рг+з (д) Pr+i(d)< ci(xe)s х,< ci(xe)s х,

Рг+з (д) Pr+i(d)

Рг+з (д) Pr+i(d)

< ci(xe)s х,

< ci(xe)s х,

где ci — некоторая постоянная. Отсюда,

у^Рг+з^) сгхе = ^Pr+iW " 1-хе

при ^ ^ 0. Теперь с учетом (1.6.6) и (1.6.7) получаем, что NPr =Np^!(0) = А + о(1), NPr_i > Npr(0) -л оо, NPr_^_i -л 0.

5 В. Ф. Колчин

Как уже отмечалось, если А ^ 0, то Npr(0) сю без каких-либо дополнительных условий, так что это требование можно исключить из условий леммы, если А 7^ 0. Действительно,

Ж(0) = NPr+1(9)-^L.

Так как х 0 и

/ г у-21 = л _ 1 у-21рг+1(^) у г + 1/х у г + 1)х’

существует такая постоянная С2, что Npr(0) > czNprЩО^/х и NpT(9) сю.

Лемма 1.6.2. Если n,N сю, 9 = 2Т/п -^7, 0<7<1, ur = r(n, TV) —> сю, mo

NPr = NpT(9)c(l -с)"1,

где с = 7с1-7.

Доказательство. Ясно, что

И

х 5/2

^£±1X2 = ( Г(xeHl +О(1/г))

р^б) V + s) ^eMi+^Vr^.

Кроме того, существуют постоянные сз > 0 и q < 1 такие, что

Pt-vsWpA^ < сз(Щ8 < c3qs.

Поэтому ряд J2X1 Pr+sW/PrW сходится равномерно и можно иерей- ти к пределу под знаком суммы, так что

3=13=11 С

Лемма 1.6.3. Если n,N^oo,0 = 2T/n^l и N(1 — 9)3 сю, то для любого фиксированного z

NPr

где г — такое целое число, что Д = и + z + о(1), (3 = — ^(^е1-6*), и и — корень уравнения

/9 \ V2

Np3/2 = и3/2еи.

У?г)

Доказательство. Ясно, что в условиях леммы 3 = — In^e1 ^) ^ О и и сю, так как N З3^ 2 ею в силу условия 7V(1 — О)3 сю. Применяя формулу Стирлинга, получаем, что

оо ик-2 к /ЭХ1/2, ж/ /1ХХ

NPT = N V( - ) Np3/2VJi ( 1 + 0 ( - ) ) .

ДЩ к'-ВИ VI PV^ Р VII

Сумма ^к>ТДкД^^е-^1^ 3 представляет собой интегральную сумму функции ДД = y~3l2e~v с шагом 3 и приближается соответствующим интегралом:

У (^-^е-^/З = Г<Ш + о(1))

к>т

= (г/3)"5/2е-г/3(1+о(1)).

Поэтому

/2 \ V2

NPr = ( - )^3/2(r/3)“5/2e“r/3(l + о(1)).(1.6.8)

По определению rj3 = и + z + о(1) и

/9\ V2

(-)TV^/2 = мб/2еи.

\7Г /

Подставляя эти выражения в (1.6.8), получаем, что

NPT = e”2(l +о(1)).

Теперь мы готовы доказать теоремы, сформулированные в начале этого параграфа.

Доказательство теорем 1.6.1-1.6.3. Применяя лемму 1.6.1, находим, что при выполнении условий теоремы 1.6.1 при N сю

(1 -О, (1 - Pr)N е"\ (1 - Рг+1Д 1.

Эти соотношения вместе с соотношением (1.6.5), доказательство которого будет дано ниже, доказывают теорему 1.6.1.

Пусть

O-1-IiyOO-1-IiyOIn п — | In In па =

O-1-IiyO

O-1-IiyO

выберем г = [а] + к, где к — фиксированное целое число. В условиях теоремы 1.6.2 г = + -и в силу леммы 1.6.2выберем г = [а] + к, где к — фиксированное целое число. В условиях теоремы 1.6.2 г = + -и в силу леммы 1.6.2NPr = Npr(9W - сЦД + о(1)),NPr = Npr(9W - сЦД + о(1)),где с = 7g1 7. Легко видеть, чтогде с = 7g1 7. Легко видеть, что,пх 4Nrr-20r-1ereN1"W =r!(2-»):(у - 1 - In у)5/2,пх 4Nrr-20r-1ereN1"W =r!(2-»):(у - 1 - In у)5/2пег(1-9+1п9)пег(1-9+1п9)e-(fe-{a})(7-l-ln7)(1 +о(1)).e-(fe-{a})(7-l-ln7)(1 +о(1)).Таким образом,Таким образом,NPT =NPT =(7 1 1п7)+2с _ (к _ । а jj п 7) 7(1 — с) V^(7 1 1п7)+2с _ (к _ । а jj п 7) 7(1 — с) V^(1 + ^(1)),(1 + ^(1)),и следовательно,и следовательно,(1 — Pr)N = exp(1 — Pr)N = exp*!22^!e-№-{a})(7-l-ln7)'l (1 +о(1))_(е^ 1 — 7) V2tt/*!22^!e-№-{a})(7-l-ln7)'l (1 +о(1))_(е^ 1 — 7) V2tt/При выполнении условий теоремы 1.6.3 из леммы 1.6.3 следует, что NPr е-2 и(1 - Pr)N e”e"\Таким образом, для завершения доказательства теорем 1.6.1-1.6.3 остается проверить выполнение соотношения (1.6.5) при каждом из трех наборов условий.Поскольку ON —> 00 и N(l — 0)3сю, согласно теореме 1.4.1 сумма(n асимптотически нормальна иПри выполнении условий теоремы 1.6.3 из леммы 1.6.3 следует, что NPr е-2 и(1 - Pr)N e”e"\Таким образом, для завершения доказательства теорем 1.6.1-1.6.3 остается проверить выполнение соотношения (1.6.5) при каждом из трех наборов условий.Поскольку ON —> 00 и N(l — 0)3сю, согласно теореме 1.4.1 сумма(n асимптотически нормальна игдегдеa2(0) = D£i =a2(0) = D£i =29(1 - 0)(2 - 0)'29(1 - 0)(2 - 0)'

выберем г = [а] + к, где к — фиксированное целое число. В условиях теоремы 1.6.2 г = + -и в силу леммы 1.6.2

выберем г = [а] + к, где к — фиксированное целое число. В условиях теоремы 1.6.2 г = + -и в силу леммы 1.6.2

NPr = Npr(9W - сЦД + о(1)),

NPr = Npr(9W - сЦД + о(1)),

где с = 7g1 7. Легко видеть, что

где с = 7g1 7. Легко видеть, что

,пх 4Nrr-20r-1ere

N1"W =r!(2-»):

(у - 1 - In у)5/2

,пх 4Nrr-20r-1ere

N1"W =r!(2-»):

(у - 1 - In у)5/2

пег(1-9+1п9)

пег(1-9+1п9)

e-(fe-{a})(7-l-ln7)(1 +о(1)).

e-(fe-{a})(7-l-ln7)(1 +о(1)).

Таким образом,

Таким образом,

NPT =

NPT =

(7 1 1п7)+2с _ (к _ । а jj п 7) 7(1 — с) V^

(7 1 1п7)+2с _ (к _ । а jj п 7) 7(1 — с) V^

(1 + ^(1)),

(1 + ^(1)),

и следовательно,

и следовательно,

(1 — Pr)N = exp

(1 — Pr)N = exp

*!22^!e-№-{a})(7-l-ln7)'l (1 +о(1))_

(е^ 1 — 7) V2tt/

*!22^!e-№-{a})(7-l-ln7)'l (1 +о(1))_

(е^ 1 — 7) V2tt/

При выполнении условий теоремы 1.6.3 из леммы 1.6.3 следует, что NPr е-2 и

(1 - Pr)N e”e"\

Таким образом, для завершения доказательства теорем 1.6.1-1.6.3 остается проверить выполнение соотношения (1.6.5) при каждом из трех наборов условий.

Поскольку ON —> 00 и N(l — 0)3сю, согласно теореме 1.4.1 сумма

(n асимптотически нормальна и

При выполнении условий теоремы 1.6.3 из леммы 1.6.3 следует, что NPr е-2 и

(1 - Pr)N e”e"\

Таким образом, для завершения доказательства теорем 1.6.1-1.6.3 остается проверить выполнение соотношения (1.6.5) при каждом из трех наборов условий.

Поскольку ON —> 00 и N(l — 0)3сю, согласно теореме 1.4.1 сумма

(n асимптотически нормальна и

где

где

a2(0) = D£i =

a2(0) = D£i =

29

(1 - 0)(2 - 0)'

29

(1 - 0)(2 - 0)'

Выясняя асимптотическое поведение (1 — Pr)N в леммах 1.6.1-1.6.3, мы рассматривали различные случаи поведения т. Теперь мы докажем центральную предельную теорему для суммы при этих выборах параметра т. Положим Bn = a^N1/*2.

Характеристическая функция случайной величины <f^ — т^О^ где т(0) = E£i, равна

p — itm(0)1-ргp — itm(0)1-ргYMeytk = k=lYMeytk = k=lp — itm(0)1 -prp — itm(0)1 -pr

p — itm(0)

1-рг

p — itm(0)

1-рг

YMeytk = k=l

YMeytk = k=l

p — itm(0)

1 -pr

p — itm(0)

1 -pr

где ip(t) — характеристическая функция £i. Отсюда для характеристической функции ipT(yO) случайной величины (£^ — Nm(0))/BN получаем выражение

p-itNm(9)/BN f t \/

VrM = (Л PW VN ъ- 1 - ^РкуОу^’^^П +0(1))

В силу теоремы 1.4.1 распределение (^N — Nm(0))/BN сходится к стандартному нормальному распределению, следовательно,

е-^т(0)/Ви^^/в^^/2.е-^т(0)/Ви^^/в^^/2.(1.6.9)(1.6.9)

е-^т(0)/Ви^^/в^^/2.

е-^т(0)/Ви^^/в^^/2.

(1.6.9)

(1.6.9)

Ясно, что

^pTyytk,BN = рТ + ^Pr(6)ytk/BN -1)

k>rk>r

Нетрудно показать, что в каждом из трех рассматриваемых случаев

^£^Д = o(W).(1.6.Ю)

Из оценок (1.6.9) и (1.6.10) следует, что для любого фиксированного tу>т(У 0) e-t /2

и распределение случайной величины (£^ — Nm(0))/Bn сходится к стандартному нормальному распределению. Локальная сходимость

требуемая для доказательства (1.6.5), может быть доказана стандартным путем.

Таким образом, отношение в (1.6.5) стремится к единице, что вместе с оценками множителя (1 — Pr)N завершает доказательство теорем 1.6.1-1.6.3.

Для доказательства теоремы 1.6.4 нам потребуется следующая лемма.

Лемма 1.6.4. Если N ос, параметр 9 распределения (1.6.1) равен единице, N1^3(l — 2T/n) и иг = zN2^3, где z — положительная постоянная, то

где

f(z,y) = expf(z,y) = exp

f(z,y) = exp

f(z,y) = exp

и функции Is(z,y) определены в теореме 1.6.4.

Доказательство. При N ос

Рк =РкЩ =Рк =РкЩ =2/cr"2e-fc к'.2/cr"2e-fc к'.1/2/с-5/2(1 + о(1))1/2/с-5/2(1 + о(1))(1.6.11)(1.6.11)

Рк =РкЩ =

Рк =РкЩ =

2/cr"2e-fc к'.

2/cr"2e-fc к'.

1/2

/с-5/2(1 + о(1))

1/2

/с-5/2(1 + о(1))

(1.6.11)

(1.6.11)

равномерно по к > г. Ясно, что

itk ^1b№/3 J = b3/2Nitk ^1b№/3 J = b3/2N“5/2{ itk \1

itk ^1

b№/3 J = b3/2N

itk ^1

b№/3 J = b3/2N

expt^W5/ b№Z'

Последняя сумма представляет собой интегральную сумму функции ^-b^^ty с шагом 1/(^7V2/3), поэтому

itk ^1b№/3 J = b3/2Nitk ^1b№/3 J = b3/2Nу-^е^ ay + o(i)у-^е^ ay + o(i)(1.6.12)(1.6.12)

itk ^1

b№/3 J = b3/2N

itk ^1

b№/3 J = b3/2N

у-^е^ ay + o(i)

у-^е^ ay + o(i)

(1.6.12)

(1.6.12)

Положим

H(t,z) = Д= Г у"5/2е“У dy.

Нетрудно видеть, что

о />оо-3/2

(1.6.13)(1.6.13)\H(t, z) I < Щ0, Z) = -^у"5/2 dy = -^

(1.6.13)

(1.6.13)

4-\/7Г J2

Принимая во внимание, что b = 2(2/3)2/3, из (1.6.12) и (1.6.13) получаем, что

^ехр^ехрitk Ь№/зitk Ь№/з

^ехр

^ехр

itk Ь№/з

itk Ь№/з

В частности,В частности,H(t,z)+o(l/N)NH(t,z)+o(l/N)N(1.6.14)(1.6.14)

В частности,

В частности,

H(t,z)+o(l/N)N

H(t,z)+o(l/N)N

(1.6.14)

(1.6.14)

NPr = H(0, z)(l + o(l)).NPr = H(0, z)(l + o(l)).(1.6.15)(1.6.15)

NPr = H(0, z)(l + o(l)).

NPr = H(0, z)(l + o(l)).

(1.6.15)

(1.6.15)

Характеристическую функцию ^r(t, 1) случайной величины (^г) - 2Я/(б№/3) можно записать в виде

(

х N

ft A ( 2it 1f itk 1 \

p-expV"^$^kex4b№/4)

x (l-PrrN,

где ^(t, 1) — характеристическая функция £i — E£i. Заметим, что в этом случае E<fi = 2. Из (1.6.13), (1.6.14) и теоремы 1.4.2 следует, что

w(M) = ^ (^7зw(M) = ^ (^7з(1 - PrVN(1 - PrVN1 -1 -+ о+ оНМNНМN+ о+ оЯ(0,г) NЯ(0,г) N

w(M) = ^ (^7з

w(M) = ^ (^7з

(1 - PrVN

(1 - PrVN

1 -

1 -

+ о

+ о

НМ

N

НМ

N

+ о

+ о

Я(0,г) N

Я(0,г) N

где f;(t) — характеристическая функция устойчивого закона с плотностью pfy;3/2, — 1). Таким образом, для любого фиксированного t при N сю

pr(t, 1) —> g(t, г) = ехр{—^(t) — Hfk г) + Я(0, г)}.

Функция g(t, г) непрерывна, поэтому по теореме 1.1.9 это характеристическая функция. Так как \g(t,z)\ интегрируема, ей соответствует плотность

/(^, у) = 7Г e'^g^t^ ^ ^-

Максимальный шаг распределения <f^ равен единице, поэтому по теореме 1.1.10 имеет место локальная сходимость.

Таким образом, остается показать, что f(z,y) имеет вид, указанный в теореме 1.6.4. Разлагая е-Н^^ в ряд Тейлора, получаем, что

00 (_i V

(1.6.16)

8 = 0

где

= d e~^t)Hs(t,z)dt.J — ОО

Легко видеть, что 2^/ttz3^2H(t, г) — характеристическая функция распределения с плотностью

Q

рЩ) = ^M-572, у(1.6.17)

Поэтому

— характеристическая функция суммы р + Д + ... + ps независимых случайных величин, где Р имеет устойчивый закон распределения с плотностью р(у; 3/2, —1), a Pi,... , ps — независимые одинаково распределенные случайные величины с плотностью распределения pzQyY Плотность распределения суммы р + Pi + ... + ps равна

/ Q \ 5

Му) = ММ),

где функция Is(t, у} определена в теореме 1.6.4. Таким образом,

\5

— / е"^П, y)dt=(—=\ ЩС У\

2~J_,X\4V7T/

Подставляя это выражение в (1.6.16), находим, что

ОО 1/х 8

У (L6/1S)

8 = 0V /

Используя (1.6.15), теорему 1.4.2 и (1.6.18), из (1.6.2) получаем утверждение теоремы 1.6.4.

Чтобы доказать теорему 1.6.5 с помощью соотношения (1.6.2), требуется знать асимптотическое поведение вероятности Р{С^ = п} в области больших уклонений. Ниже приводится соответствующий результат без доказательства (доказательство см. в [16]).

р{67 = л =р{67 = л =N(п - Wy5/2N(п - Wy5/2Лемма 1.6.5. Если п, N со, параметр 9 в распределении (1.6.1) равен единице, N(1 — 2Т/п)3 —сю и г = п — 2N — bzN2^3, где z — некоторая постоянная, то

р{67 = л =

р{67 = л =

N

(п - Wy5/2

N

(п - Wy5/2

[ р(у;з/2,-1Ду(1+ 0(1)).

2(1.6.19)

Утверждение теоремы 1.6.5 следует из (1.6.19), теоремы 1.4.2 и того, что NPr 0 при выполнении условий теоремы 1.6.5.

Графы с одноцикловыми компонентами

Связный граф, содержащий ровно один цикл, назовем одноцикловым. Число ребер одноциклового графа совпадает с числом его вершин. Обозначим °ltn множество всех графов с п вершинами, каждая связная компонента которых одноцикловая. Каждый граф из °Un имеет п ребер. В этом параграфе изучается структура случайного графа из °Un, при этом используется общий подход к изучению графов, описанный в параграфе 1.2.

Обозначим ип число графов в °Ип и изучим поведение ип при п сю. Пусть Ьп — число одноцикловых графов с п вершинами, а Ьп^ — число одноцикловых графов с п вершинами, цикл которых содержит r вершин. Цикл одноциклового графа неориентирован, во всем остальном этот граф аналогичен связному графу отображения конечного множества в себя. Пусть dn — число связных графов отображения конечного множества из п занумерованных элементов в себя и dn"5 — число таких графов с циклом размера г. Нетрудно видеть, что

d^ =d^ = 2^^пп-3 = п”"1 - пп-2,

bW=dW, b^=d^\ b^=d^/2, г^З.

Введем производящие функции

вм = еД *'> = еД

п=1п=1п=1

Эти функции выражаются через функцию

= 52= 52

= 52

= 52

являющуюся корнем уравнения 0е~е = х в интервале [0,1]. Эта функция встречалась в параграфе 1.4. Используя введенные здесь обозначения и результаты параграфа 1.4, находим, что

- ln(l -с(х) = 1(1 - (1 - Щ))2).

Поскольку bn = Ь^ + ... + Ь^\ справедливы равенства

\ bnxn 1 dnxn 1 dn^хп 1 d^x™

X+ 2 ^T + 2

n=ln=ln=ln=l

= ^(Ц + 9(x) - |с(ж)

= -1 ln(l - 9(x)) + 9(x) - 1(1 - (1 - 9(x))4(1.7.1)

В соответствии с общей моделью, описанной в параграфе 1.4, введем независимые одинаково распределенные случайные величины £1,... , ^, для которых

Число ип^ графов в °Un с N компонентами можно представить в виде

n!П1 +...+пд^ =Пn!П1 +...+пд^ =П^П1 • • • ^nNП1!... п^!^П1 • • • ^nNП1!... п^!n! (B(x))NNl хпn! (B(x))NNl хпР{<1 + • • • + ^ = п}.Р{<1 + • • • + ^ = п}.(1.7.3)(1.7.3)

n!

П1 +...+пд^ =П

n!

П1 +...+пд^ =П

^П1 • • • ^nN

П1!... п^!

^П1 • • • ^nN

П1!... п^!

n! (B(x))NNl хп

n! (B(x))NNl хп

Р{<1 + • • • + ^ = п}.

Р{<1 + • • • + ^ = п}.

(1.7.3)

(1.7.3)

Далее мы полагаем

х = (1 - 1/Дп)е1

Теорема 1.7.1. При п сю

^п^пх/2тге3/42V4r(l/4)х/2тге3/42V4r(l/4)„"-V^l+oT)),„"-V^l+oT)),

^п

^п

х/2тге3/42V4r(l/4)

х/2тге3/42V4r(l/4)

„"-V^l+oT)),

„"-V^l+oT)),

dxdx

dx

dx

где

— гамма-функция.

Прежде чем доказывать эту теорему, приведем несколько вспомогательных утверждений.

Лемма 1.7.1. При х = (1 — 1/л/п)е1

(1 —= — — 2г£ +

п

где Ei(t)/t 0 при 7^0 равномерно по п и |s(7, n)| < 2\t\/^n.

Доказательство. В параграфе 1.4 показано, что

иДо) = (1 - ОД))2 = 1-2 У^ ^ ^ = 1 — 2d Ди),\w\ < е-1.

k=i '

Запишем и Ди) в виде

и(хег1) = n(e-1+zt) + — +(1-7.4)

Ясно, что ОД) = 1 — 1/Дп и ^(е-1) = 1, поэтому иД-1) — иД) = — 1/п.

Учитывая это равенство и замечая, что х < е-1, получаем оценки

|s2^, Д\ = \иДегД — n(e-1+zt) — 1/п|

kk-2(e-k — хк^ег1к — 1)

= 2 =к\

к=1

кк-1(е-к — 37^)171

к=1

= 2|7|^(е-1) - ОД)) = 2|7|/V^.(1.7.5)

Функция n(e-1+zt) имеет первую производную, равную —2г в точке t = 0, поэтому при

u(e-Hit) = -2it + оД).(1.7.6)

Теперь утверждение леммы следует из (1.7.4), (1.7.5) и (1.7.6).

Лемма 1.7.2. Если п оо, N = a Inn + o(lnn), где а — положительная постоянная, то

пРЦ1 + ... + ^ = ft} = ^-Z«-Vz/41 + 0(1))

равномерно относительно целых к, для которых z = к/п лежит в любом фиксированном интервале вида 0<zq^z^zi<oo.

Доказательство. Характеристическая функция суммы (^1 + • • • + Cn)/ti равна <pn^ = ^(t/n), где ip(t) — характеристическая функция ^1. Ясно, что

ip(t) = B(xelt) / В(х).

Из леммы 1.7.1 и равенства (1.7.1) следует, что

4В(х^'пА = - In -—— + 3 + о(1).п

Поэтому

/ 7 АВ(хеи/п)Inn — 1п(1 — 2г£) + 3 + о(1)

\п/ В(х)1нп + 3 + о(1)

ln(l - 2it) + о(1)

Inn

Если N = сЛпп + о(1), то для любого фиксированного t

М) = ipN(t/n) = ( 1 -М) = ipN(t/n) = ( 1 -ln(l — 2zt) + o(l)\ N1 + o(l)

М) = ipN(t/n) = ( 1 -

М) = ipN(t/n) = ( 1 -

Inn /(1 — 2it)a '

и распределение (£i + ... + ^)/n слабо сходится к распределению с плотностью

а-1 -г/2

2«Г(Д’

то есть к распределению хи-квадрат с двумя степенями свободы, которое соответствует характеристической функции (1 — 2ИДа.

с N компонентами.с N компонентами.Локальную сходимость можно доказать обычным путем с использованием лемм 1.12.3-1.12.7 из [55].

с N компонентами.

с N компонентами.

Рассмотрим теперь число ип^ графов из °Un Пусть

Ап = д Inn,4Ап = д Inn,4

Ап = д Inn,4

Ап = д Inn,4

Лемма 1.7.3. Если п сю, то

V2^e3/4V2^e3/4U«’N 2W(l/4)U«’N 2W(l/4)п""1/4^-Ь + оЩ)п""1/4^-Ь + оЩ)

V2^e3/4

V2^e3/4

U«’N 2W(l/4)

U«’N 2W(l/4)

п""1/4^-Ь + оЩ)

п""1/4^-Ь + оЩ)

равномерно относительно N таких, что \и\ < (Inn)1/4.

Доказательство. Ясно, что

— n*^П1 • • - bnN

пД.-пД 771 T... Т?2 jy —п

Полагая а = 1/4 в лемме 1.7.2, получаем, что

пР{6 + - - - + €v = л = 21/4/(1/4) е"1/2(1 + 0(1))(1.7.8)

равномерно по N таким, что |n| ^ (Inn)1/4.

Утверждение леммы следует из (1.7.7) и (1.7.8), так как

5Ш = ^1пп + | + о(1),

ж" = е-"-1/2(1 +о(1)),

(вл^дд^а+оа)).(1.7.9)

Утверждение теоремы 1.7.1 мы получим, суммируя ип^ по всем N. В лемме 1.7.3 получены оценки ип,ы для Д близких Хп. В следующих леммах ип^ оценивается для других значений N.

Лемма 1.7.4. Для любых фиксированных ао, од, 0 < а^ < од < ос, существует постоянная щ такая, что для а^ Inn < N < од Inn

\Np-Xn

Un,N < Cin”"1/4^^.

Доказательство. Из леммы 1.7.2 следует, что существует постоянная А такая, что

пР{<1 + ... + <N = п} < А(1.7.10)

для сщ Inn ^ N ^ Qi Inn. Действительно, если бы неравенство (1.7.10) не выполнялось, то существовала бы последовательность параметров п сю, N = cilnn + o(lnn), для которой утверждение леммы 1.7.2 было бы неверно. Поэтому утверждение леммы 1.7.4 следует из (1.7.7), (1.7.9) и (1.7.10).

Лемма 1.7.5. Если N < Inn, то существует постоянная с2 такая, что

пР{<1 + ... + Д = п} < с2 Inn.

Доказательство. Известно, что

Действительно, число лесов с п некорневыми вершинами и N корневыми деревьями, занумерованными числами 1,...,N равно N(n + ^ПД ЧИСЛО d^m связных графов отображений множества из т элементов в себя с циклом размера г можно представить в виде

(r-iy.rm^-1(r-iy.rm^-1

(r-iy.rm^-1

(r-iy.rm^-1

Здесь (™) — число возможных выборов г вершин, образующих цикл, (г — 1)! — число циклов, которые можно построить из этих г вершин, и гтт-т-1 — число лесов с г циклическими вершинами в качестве корней. Отсюда следует, что

^ = 52^=^^ = 52^=^= (т- 1)! 52к=0= (т- 1)! 52к=0тк"кГ"тк"кГ"

^ = 52^=^

^ = 52^=^

= (т- 1)! 52

к=0

= (т- 1)! 52

к=0

тк

"кГ"

тк

"кГ"

При т сю

dm = |(m-l)!em(l+0(l))

и существует постоянная сз такая, что

bm ^dm с3(т - 1)!ет.

Кроме того, В(х) = 1пп(1 + о(1))/4 и хт < е-т для всех ш > 0. Существует постоянная С2 такая, что

Р{£1=т}<М^.(1.7.11)

Ясно, что

{£1 + ■ +6v = п} = IJ U {€1 = к, & + ... + ^N = П - к^.

2=1 /сД [n/^]

Поскольку P{£i = /с} убывает с ростом к, справедливы оценки

PKi + ...+^ = n}<7V 52 РК1=ЦРК2 + ...+^=п-Ц

^р{б=[дм} 52 р{ы...+^=п-ц [n/^]

< ^PK1 = [п/М}.

Утверждение леммы следует теперь из (1.7.11).

Лемма 1.7.6. При N < Inn

Wn,N<C4n" 1/4 1ПП-^,

где С4 — некоторая постоянная.

Это утверждение следует из (1.7.7), (1.7.9) и леммы 1.7.5.

Доказательство теоремы 1.7.1. Грубо говоря, величина ип,ы = сА^е-Хтг /ХД где с — некоторая постоянная, и для получения ип нужно просуммировать вероятности распределения Пуассона, сумма которых равна единице. Чтобы строго провести это суммирование, разобьем сумму

= 46ПЛ

на четыре части. Напомним, что и = (N — ХД/ДХп- Положим

AiА2A3А4

где

Ai = ^: Н < (1пп)1/4},

Л2 = {TV: |м| > (Inn)1/4, «о Inn < N < ал Inn},

A3 = ^N: N < q0 In n},

Л4 = ^N: N > Qi Inn}.

При n oo

A^e A-TV!A^e A-TV!= l + o(l),= l + o(l),(1.7.12)(1.7.12)

A^e A-TV!

A^e A-TV!

= l + o(l),

= l + o(l),

(1.7.12)

(1.7.12)

поэтому, как следует из леммы 1.7.3,

SiSiх/2тге3/42W(174)х/2тге3/42W(174)nn-V4(l + o(l)).nn-V4(l + o(l)).

Si

Si

х/2тге3/42W(174)

х/2тге3/42W(174)

nn-V4(l + o(l)).

nn-V4(l + o(l)).

Остается показать, что суммы S2, S3 и S4 есть о(п4 Г4). Из леммы 1.7.4 следует, что

S2 < сщ""1/4 1-^2S2 < сщ""1/4 1-^2А(Уе-А'А(Уе-А'№.№.

S2 < сщ""1/4 1-^2

S2 < сщ""1/4 1-^2

А(Уе-А'

А(Уе-А'

№.

№.

и в силу (1.7.12) Sv = о(п” 1/4).

Чтобы получить оценку S3, используем неравенство

ул XNe"x Хте"х

справедливое при т < А. Выберем о^ < 1/4 так, что

do — cio In qq — cio In 4 < 1/8.

Тогда при m = do In n

^ne~X" / c5mi— ^ -ITS’

mA

где Сб — некоторая постоянная. Используя оценку из леммы 1.7.6, находим, что S3 < С4С5Пп-1/4-1/3 Inn.

Для получения оценки S4, используем неравенство

< Ч» п ^,(1.7.13)

где со — некоторая постоянная. Это неравенство следует из (1.7.7), если P{£i + ... + ^ = п} оценить единицей. При т > А

Выберем од > 1/4 так, что

ОД — ОД In Cti — ОД In 4 < —2.

Тогда при т = од Inn и Ап = |1пп получаем оценку А^/т! < п-2. Теперь из (1.7.13) следует, что S4 < СбПп-5/4.

Утверждение теоремы следует из полученных оценок для Si, S2, S3 и S4.

Обозначим xn число компонент в случайном графе из °ltn. Следующая теорема является прямым следствием леммы 1.7.3 и теоремы 1.7.1.

Теорема 1.7.2. При п сю

Р{х„ = Я = /—^е"" /2(1 + о(1))

у2тг Inn

равномерно относительно целых N, для которых (JNT — | In п)

лежит в любом конечном фиксированном интервале.

Действительно, из леммы 1.7.3 и теоремы 1.7.1 следует, что

РЩ = N^ = ^ =1 + 0(1))

равномерно по \и\ < (Inn)1/4, где An = | Inn.

Рассмотрим теперь максимальный размер рп компонент в случайном графе Чп.

Теорема 1.7.3. Если п ос, то для любого фиксированного у, О < у < 1,

Р{/?п<7п}= £ Ь^Ж(1,7)+Щ,

0^s<l/7

где НДж, у) = 1, « для s = 1,2,...

\ Гдху... dxs

Ws(z,p =7ТзМ'

У{Ж1^7,,s, Ж1+...+ж^2} Х1 ... xs(z - Xi - ... - Ж8)3/4

Доказательство. При изучении [Зп мы используем общий подход, описанный в параграфе 1.2. Пусть щ,... , щу — случайные величины с распределением

Р{т?1 = П1, . . . ,T}N = пдг}

= Р{£1 = «1, • • • , $N = TIN | 51 + . . . + ^N = п},(1.7.14)

где случайные величины ^i,... Дк имеют распределение (1.7.2). Из (1.7.7) следует, что эти случайные величины можно интерпретировать как размеры упорядоченных компонент случайного графа из ^Ип (см. параграф 1.2), в котором общее число компонент zn равно N. Поэтому

Р{А, < 7й) = 52 Р^Хп = N^ P^W < 7™},(1.7.15)

где 0 < 7 < 1 и= maxi^^w щ. В силу леммы 1.2.2

< ^"Д7::7Д1 ,L7-16>

6 В. Ф. Колчин

где £i,... Д^ — независимые одинаково распределенные случайные величины, для которых

Рй = к^ = Р^ = к | ^ < 7п},

а случайные величины £i,... , ^ имеют распределение (1.7.2). Оценим

= Е

к>^тг

при х = (1 — Х/убДе-1^/^. Поскольку bk = dk + о(1) при к сю, для любого фиксированного у, 0 < 7 < 1, при п сю

нЩк = | £ ^ewn+o(1).

к>^п

Докажем, чтоДокажем, чтоЯ7„Д =Я(7,£)+о(1),Я7„Д =Я(7,£)+о(1),

Докажем, что

Докажем, что

Я7„Д =Я(7,£)+о(1),

Я7„Д =Я(7,£)+о(1),

ГДвОО

Я(7,^) = ^У u^e^1-2^"/2 du.

Нетрудно видеть, что

(1 - "VlV^M^ = e-fe/(2")(l + о(1/ДД,kme"k 1 ,л . „E^r = i + “</"»)

t2 kme"km\t2 kme"km\равномерно по к ^ уп. Используя теперь явную формулу для dk, находим, что при п сю

t2 kme"km\

t2 kme"km\

\1 А 1 (к йкА

Н^ЛЧ = / Т 1exp — Н>

k>^n-

= | Е le-^1-2rt)fe^2n\l + о(1/Дг)).

к>^п

Эта сумма является интегральной суммой функции и А^1 2zt)n/2 с шагом 1/п. Поэтому

В частности, для хвоста распределения (1.7.2) получена асимптотическая оценка

р{<1>7п} = ад

= 4H^W+o(l) = 4Я(ЪОН£(1)(К7Л7)

In nIn п

при п сю.__

Найдем теперь предельное распределение суммы (£i + ... + £у)/^- Характеристическая функция случайной величины ^(тг равна

= <t/n) - Н-Д^/В^х)1-Я7П(0)№)•

Используя оценки

^tfri^ = 1 — ln(l — 2it)/Inn + о(1/ Inn), 4ВД = Inn + 0(1), из (1.7.16) и (1.7.17) получаем, что при п сю,

_ / _ 1п(1-2^-4Д7Л + о(1)А л _ 4Д7,0) + о(1)У1

U VInn/ \Inn )’

и для любого фиксированного t и N = (1/4) Inn + o(lnn)

У Д уД) = (1 - 2Д-1/4е-Я(7,4)+Я(7,0)_

Разлагая е-н^’^ в ряд Тейлора, так же, как в доказательстве леммы 1.6.4, находим, что характеристическая функция ip(t) соответствует распределению с плотностью

H(7,0)-z/2f-lV

= 21/4Г(1/4) X

Таким образом, при любом 7, 0 < 7 < 1, распределение случайной величины (^i + ... + Д)/п слабо сходится к распределению с плотностью f^z) при п сю и N = |1пп + о(1пп). Можно показать, что справедлива и локальная сходимость, то есть если п сю, N = | Inn + o(lnn) и 0 < 7 < 1, то

nPfe + ... (N = ^} = f^z) + о(1)(1.7.18)

равномерно относительно к, для которых z = к/п лежит в любом фиксированном интервале вида 0<2д<^<2ц<сю.

Используя (1.7.17), находим, что при п сю и N = | Inn + o(lnn)

(Р{7 7»4Д = fl -= е-я(7,0) + о(1) (L7.19)

\Inn /

Подставляя оценки (1.7.19), (1.7.18) и (1.7.8) в (1.7.16), получаем, что

РШ<7П}= £ Нр^(1,7)+о(1).(1.7.20)

0^s<l/7

Чтобы получить распределение рп, нужно усреднить распределение Ц(^) по распределению числа компонент! zn (см. 1.7.15). В силу теоремы 1.7.2 число компонент ин асимптотически нормально с параметрами (| In п, | In п), а для N = | In п + о(1п п) вероятность Р{ц(^) ^ дп} асимптотически постоянна. Поэтому утверждение теоремы следует из (1.7.15).

Обозначим °11пд и °11пд множества всех графов с п занумерованными вершинами, состоящих из одноцикловых компонент, длина цикла которых не меньше двойки и не меньше тройки соответственно. Нетрудно видеть, что тот подход, который был применен к изучению множества °Un (которое в соответствии с введенными выше обозначениями следовало бы обозначить °11пд), может быть применен и к множествам ^п^ г = 2, 3. Роль В (ж) для °ltn^, г = 2, 3, играют производящие функции

Г . грн

=г = 2,3,

п!

П=1

где Ьп^ — число одноцикловых графов с п вершинами и циклом длины, не меньшей г.

Ясно, что

В^х) = -|ф) + d^ = -1(1 - (1 - 9^ - 11п(1 - 9^,

и при х = (1 — l/y/n)e 1+1/V»

В-2^ = |1пп- 1 + о(1),(B2(x))N = АД-1Д1 + о(1)).

Аналогично получаем, что

ип,3 — / v %— 2 / v i

r=3r=3

Вз{х) = ^d(x) - 9(x) + с(ж)

= -| ln(l - 9^ - 9^ - 1(1 - (1 - 9^(1.7.21)

и при x = (1 — l/y^e-1^/^

Вз^ = Inn — 3 + о(1),(адД = л;хз/4(1 + щ)-

Поэтому, если п оо, то для числа и^ графов в °lln^ и для числа u^N таких графов с N компонентами справедливы соотношения

4> = Ап^а+оШ),

равномерно относительно целых N, для которых |7V — An|/VX^ лежит в любом конечном фиксированном интервале, где

,17221

2'/Jr(i/4)’22'/»г(1/4)"32,/4Г(1/4)'3'

Для случайных величин ип и (Зп в °11пд и °11пд справедливы теоремы 1.7.2 и 1.7.3.

Графы с компонентами двух типов

Обобщенная схема размещения может быть использована и при изучении случайных графов неоднородной структуры. Рассмотрим множество з^п^т всех графов с п вершинами и Т ребрами, каждая компонента которых содержит не более одного цикла. Как обычно, припишем одинаковые вероятности элементам этого множества и рассмотрим случайный граф со значениями из з^п^т- Каждый граф из з^п^т состоит из деревьев и компонент с одним циклом, поэтому для изучения характеристик случайного графа из з^п,т можно использовать результаты, полученные в предыдущих параграфах.

Рассмотрим сначала число элементов множества з^п,т- Как и в предыдущих параграфах, мы будем использовать символ а в обозначении

числа рассматриваемых графов и b в обозначении числа рассматриваемых связных графов. Вместо з^п,т мы будем использовать, при необходимости, обозначение з^т, если в графах допускаются циклы длины единица и два, обозначение з^т, если циклы единичной длины не допускаются, и обозначение ^3^ если запрещены циклы длины один и два. Число графов в множестве s^T будем обозначать а^т и сохраним обозначение апщ, если соответствующее утверждение относится к любому из этих множеств. В соответствии с предыдущими параграфами число лесов с п вершинами, Т ребрами и N = п — Т деревьями обозначается Fn^. Мы будем использовать обозначение и^ для числа тех графов с п вершинами и одноцикловыми компонентами, которые входят в s^T, г = 1,2,3, и сохраним обозначение ип для числа таких графов, если ограничения на длины циклов их компонент несущественны.

Ясно, что

(1.8.1)

Теорема 1.8.1. Если п.Т эс так, что Т/п 0, то

п2Т

ащТ = FniN(l + о(1)) = ^т^Х +

Доказательство. Из теоремы 1.7.1 следует, что существует такая постоянная щ, что

Um С Щт^1/4.(1.8.2)

Из теоремы 1.4.3 следует, что при выполнении условий теоремы 1.8.1

Fn,N = ^(1 + ^(1)).(1.8.3)

Из условия Т/п 0 следует, что (Т — т) / (п — т) —> О равномерно по т, 0 ^ т ^ Т. Поэтому в условиях теоремы 1.8.1 существует такая ПОСТОЯННаЯ С2, что

при всех т, 0 < т < Т.

Из (1.8.1), (1.8.2), (1.8.3) и (1.8.4) получаем, что

— Xn,N— Xn,NV(n^T)2 JV(n^T)2 J(1.8.5)(1.8.5)

— Xn,N

— Xn,N

V(n^T)2 J

V(n^T)2 J

(1.8.5)

(1.8.5)

Отсюда следует утверждение теоремы, поскольку 2Tn/(n — Т)20.

Обозначим шП1т число вершин, содержащихся в одноцикловых компонентах случайного графа из sinj. Легко видеть, что в силу теоремы 1.8.1, если n, Т -^сюиТ/n^O, то

РЬд = 0} 1,

и предельные распределения числа деревьев фиксированного размера в случайном графе из з^п,т совпадают с соответствующими предельными распределениями в случайном лесе, представленными в теоремах 1.5.1 и 1.5.2 (заметим, что таким способом только интегральный вариант теоремы 1.5.1 прямо переносится на случайный граф Лпщ). Предельное распределение максимального размера дерева в случайном графе из ^п^т совпадает с предельным распределением, приведенным в теореме 1.6.1.

Пусть теперь n, Т ею так, что 9 = 2Т/п А, 0 < А < 1. При этих условиях в соответствии с теоремой 1.4.3

^ = ^+4(1+ «(!)).^ = ^+4(1+ «(!)).(1.8.6)(1.8.6)

^ = ^+4(1+ «(!)).

^ = ^+4(1+ «(!)).

(1.8.6)

(1.8.6)

Если n, Т сю, 2Т/п —> А, 0 < А < 1, и ш = о(п), то в силу теоремы 1.4.3

Fn — m,N —Fn — m,N —(n - m^T m^"Y — X2т-тУ? -ту(n - m^T m^"Y — X2т-тУ? -ту(1+о(1)).(1+о(1)).(1.8.7)(1.8.7)

Fn — m,N —

Fn — m,N —

(n - m^T m^"Y — X2т-тУ? -ту

(n - m^T m^"Y — X2т-тУ? -ту

(1+о(1)).

(1+о(1)).

(1.8.7)

(1.8.7)

Из условия # = 2Т/п^А, 0<А< 1, следует, что 2(Т—т)/(п—т) < 6, поэтому существует постоянная с такая, что

Fn — m,N +Fn — m,N +с(п — ш)2(т2Т-т^Т _ту *с(п — ш)2(т2Т-т^Т _ту *(1.8.8)(1.8.8)

Fn — m,N +

Fn — m,N +

с(п — ш)2(т

2Т-т^Т _ту *

с(п — ш)2(т

2Т-т^Т _ту *

(1.8.8)

(1.8.8)

В следующей лемме приведена громоздкая оценка технического характера, которая используется в последующих доказательствах.

Лемма 1.8.1. Пусть п.Т ж и существуют такие постоянные

До и Ai, что 0 < До < 0 = 2Т/п < Ai < 1. Тогда

сп,т<т) = е 1сп,т<т) = е 1Л_^Ък (1.8.9) у п )Л_^Ък (1.8.9) у п )

сп,т<т) = е 1

сп,т<т) = е 1

Л_^Ък (1.8.9) у п )

Л_^Ък (1.8.9) у п )

где то < т < Т и то достаточно велико.

Доказательство. Запишем логарифм сп,т(ш) в виде

In сп, т (т) =In сп, т (т) =2Ттп2Ттп+In f 1 — УIn f 1 — —)+In f 1 — УIn f 1 — —)

In сп, т (т) =

In сп, т (т) =

2Тт

п

2Тт

п

+In f 1 — УIn f 1 — —)

+In f 1 — УIn f 1 — —)

Используя неравенство

Е2=1Е2=1гкгк(m — l)fe+1к + 1(m — l)fe+1к + 1

Е

2=1

Е

2=1

гк

гк

(m — l)fe+1к + 1

(m — l)fe+1к + 1

получаем оценку

Чтобы доказать утверждение леммы, заметим, что для достаточно больших т

/1\&+19^/1\

ck = 2(к + 1) - 6к -1---^-1--<О

\т /0К\т )

для всех к. Действительно, поскольку О<Ао^а^А1<1, для достаточно больших т

2^2^к ^к ^

2^

2^

к ^

к ^

и поэтому

ск < 2(к + 1) - 2к,

откуда следует, что щ ^ О для всех к ^ 3 и достаточно больших т. Кроме того,

а=4-0-а=4-0-002 4О От2 4О От2тп/2тп/

а=4-0-

а=4-0-

0

0

2 4

О От

2 4

О От

2тп/

2тп/

с2 = 6 — 20 —с2 = 6 — 20 —у т J О2у т J О21 V444

с2 = 6 — 20 —

с2 = 6 — 20 —

у т J О2

у т J О2

1С 5 - 20 - — + —1,

т0z02тт

и щ < О, С2 < 0 для достаточно больших т, поскольку при 0 < Ао ^ О ^ Ai < 1 справедливы оценки

24

3-0--<О,5 — 2У — — < 0.

Обозначим Ьп^ число связных одноцикловых графов с п вершинами, принадлежащих s4^T, г = 1, 2, 3. В тех случаях, когда ограничения на длины циклов несущественны, для числа связных одноцикловых графов будет использоваться обозначение Ьп. Пусть ап,т(к) — число графов в s4n;p ровно с к циклами. Ясно, что

а.пд1к) =а.пд1к) =(1.8.10)(1.8.10)

а.пд1к) =

а.пд1к) =

(1.8.10)

(1.8.10)

Как и в параграфе 1.7, положим

В^ = £п=1В^ = £п=1в» ($) = £п=1в» ($) = £п=1п!п!г = 1,2,3,г = 1,2,3,(1.8.11)(1.8.11)

В^ = £

п=1

В^ = £

п=1

в» ($) = £

п=1

в» ($) = £

п=1

п!

п!

г = 1,2,3,

г = 1,2,3,

(1.8.11)

(1.8.11)

и пусть

х = бе-6.

Для таких х согласно (1.7.1) и (1.7.2)

В1(ж) = -|1п(1-0)+0 Д(1-(1-0)2)

= -|1п(1-У) + |у + ^2,

В2(Ж) = -|1п(1-У)-|(1-(1-0)2)

= Д1п(1-0)-|0 +

В3(Ж) = -|1п(1-0)-0 Д(1-(1-0)2)

= Д1п(1-0) - 1^- Д.2 v 724

Теорема 1.8.2. Если пД сю так, что 6 = 2Т/п —> А, 0 < А < 1, то при г = 1, 2, 3 для любого фиксированного к = ОД,...

(0 (И _ n2TVl - АЛ^

ап,т№ 2TT\kl 0 + °(D>где а^т(к) — число графов в &^т ровно с к циклами и

. Г и А А2

Л1 = - - 1п(1 - А) + - + —,

. Г и А А2

Л2 = - - 1п(1 - А) - - + —,лА А2

Л3 = --1п(1-А)---т.

т^М mi + ...+mfc=mт^М mi + ...+mfc=mГ ,рТП17-. грГП^Ш1\ . . . ТПк\Г ,рТП17-. грГП^Ш1\ . . . ТПк\Доказательство. Разобьем первую сумму в (1.8.10) на две части, 51 и бД Выберем М = Т1^4 и включим в Si слагаемые с т < М. Для любого х из области сходимости ряда (1.8.11) справедлива оценка

т^М mi + ...+mfc=m

т^М mi + ...+mfc=m

Г ,рТП17-. грГП^

Ш1\ . . . ТПк\

Г ,рТП17-. грГП^

Ш1\ . . . ТПк\

‘ЛИГ' £

rn^-Mlk

(1.8.12)

Как и в параграфе 1.7, dn — число связных графов однозначных отображений множества из п элементов в себя и

ПосколькуПоскольку

Поскольку

Поскольку

bm < dm = (m - 1)! V ^ < (m - l)!em

k=0

(см. доказательство леммы 1.7.5), справедлива оценка

т^М/кт^М/к< £ (ехГт^М/к< £ (ехГт^М/к

т^М/к

т^М/к

< £ (ехГт^М/к

< £ (ехГт^М/к

т^М/кт^М/к1 дМ/к1 -д1 дМ/к1 -дНапомним, что х = Ое 6. В теореме предполагается, что 9 = 2Т/п А, 0 < А < 1, и следовательно, существует такое q < 1, что ех = 9е1-6 ^ q < 1, начиная с некоторого п. Поэтому

т^М/к

т^М/к

1 дМ/к

1 -д

1 дМ/к

1 -д

(1.8.13)

Принимая во внимание (1.8.8), (1.8.9) и лемму 1.8.1, находим, что

С у^ у^ n!(n-m)2(T m)bmi ...bmkС у^ у^ n!(n-m)2(T m)bmi ...bmkк'. ^^ (n — т)! 2r-m(T — т)! mi!... т/;!т^М mi + ...+mt=m vу'у iкк'. ^^ (n — т)! 2r-m(T — т)! mi!... т/;!т^М mi + ...+mt=m vу'у iксп2Т у^у^(аг-9\т ^mi ■ ■ - Ьткк\^тТ\ 2-^2^^’ m2...тк\т^М mi-\-...-\-mk=mсп2Т у^у^(аг-9\т ^mi ■ ■ - Ьткк\^тТ\ 2-^2^^’ m2...тк\т^М mi-\-...-\-mk=m

С у^ у^ n!(n-m)2(T m)bmi ...bmk

С у^ у^ n!(n-m)2(T m)bmi ...bmk

к'. ^^ (n — т)! 2r-m(T — т)! mi!... т/;!

т^М mi + ...+mt=m vу'у iк

к'. ^^ (n — т)! 2r-m(T — т)! mi!... т/;!

т^М mi + ...+mt=m vу'у iк

сп2Т у^у^(аг-9\т ^mi ■ ■ - Ьтк

к\^тТ\ 2-^2^^’ m2...тк\

т^М mi-\-...-\-mk=m

сп2Т у^у^(аг-9\т ^mi ■ ■ - Ьтк

к\^тТ\ 2-^2^^’ m2...тк\

т^М mi-\-...-\-mk=m

112—V ^2— <птх'4/к

к'лтт1 v n 2^ т! - у. 2тт\ (1 - д) 4

т^М/к

где ci, С2 — некоторые постоянные. Таким образом, при выполнении

условий теоремы

s2 = о(п2Т/(2тГ!)).

Оценим теперь сумму Si. Согласно (1.8.8)

Т. Fn_m,N -2T-m(T-m)'.9 +cl1))

П2ТЖтх/Т^Т=d + 'W)

равномерно по m М = Т1/4.

К ^ТПуК ГуТТЪкmiom X +К ^ТПуК ГуТТЪкmiom X +Поэтому для любого фиксированного к = 1,2,...

К ^ТПуК ГуТТЪк

miom X +

К ^ТПуК ГуТТЪк

miom X +

п2Тдт^ v

mo ... тоmo ... тоО2ТТ\

mo ... то

mo ... то

m=k mi-\-...-\-mk=m

Принимая во внимание оценку, полученную для 82, находим, что

к qpITLyК ,рТПк\

S1 = Ш’Т! 2-2.,„1L..„,t!(1+«(1»+»(1)|

\т=к mi-\-...-\-mk=m/

/1 _ \

= 2ТТ\к\ №))fe(l+c(l)).

Объединяя оценки для Si и 82, получаем, что при выполнении условий теоремы

а"Як) = ^^rP^^^i+ca)).

Поскольку х = Ое-6 Ае-Л, справедливы также соотношения

Bi^ К1, В2(т)^Л2, Вз(х) К3.

Теорема 1.8.3. Если п,Т сю так, что 9 = 2Т/п А, 0 < А < 1, то

ап1т = 2ТГ\ 6 г’ г = 1’2,3,

где Кг, г = 1,2,3, такие, как и в теореме 1.8.2.

Доказательство. Для получения асимптотики а^^^ нужно оценить сумму

^П,т = ^Дп.т^кук=0

Умножая на нормирующий множитель, получаем, что

П2Т \2тТ! /П2Т \2тТ! /-1-1(1.8.15)(1.8.15)

П2Т \

2тТ! /

П2Т \

2тТ! /

-1

-1

(1.8.15)

(1.8.15)

где для любого фиксированного к = 0,1,...

2Т2ТВ^Хе^ТГ^к\В^Хе^ТГ^к\

2Т

2Т

В^Хе^ТГ^к\

В^Хе^ТГ^к\

при n, Т сю, 2Т/п А, 0 < А < 1. Перейти к пределу под знаком суммы в (1.8.15) можно, если ряд сходится равномерно по отношению к параметрам n, Т. Чтобы убедиться в этом, достаточно найти оценку

2Т2Т2тТ\2тТ\-1»п,т(к) < Ак-1»п,т(к) < Ак(1.8.16)(1.8.16)

2Т

2Т

2тТ\

2тТ\

-1

»п,т(к) < Ак

-1

»п,т(к) < Ак

(1.8.16)

(1.8.16)

такую, что ряд J2^o А^ сходится. Используя (1.8.8), (1.8.9) и рассуждая так же, как при выводе оценки 82, находим, что

сп2Тхр xmbmi ...bmk _ сп2Т(В(к))к

к\2тТ\mx\...mk\ ~ 2тТ\к\

m=k mi + ...+mfc=m

Таким образом, требуемая оценка (1.8.16) получена и, переходя к пределу под знаком суммы в (1.8.15), находим, что

ап,т = —^j— ехр{В(Ле“А)}(1 + о(1)).

Теперь, заменяя В(х) в зависимости от множества графов на Si (ж), В2^х) или Вз(х), получаем утверждение теоремы 1.8.3.

Случайный граф из з^п,т имеет ровно N = п — Т деревьев и случайное число одноцикловых компонент. Обозначим х^т число одноцикловых компонент в случайном графе из s^T, i = 1, 2, 3.

Теорема 1.8.4. Если п,Т сю так, что 9 = 2Т/п А, 0 < А < 1, то при г = 1, 2, 3 для любого фиксированного к = 0,1,...

/А к р — Хг

Р{4т = Ч = ^—(1 + Щ),

где Ki такие снсе, как в теореме 1.8.2.

Доказательство. Утверждение теоремы следует из теорем 1.8.2 и 1.8.3, так как

= &} = а^Т^1а^щТ*

Рассмотрим теперь случай, когда 0 = 2Т/п 1. Обозначим ш^т число вершин в одноцикловых компонентах случайного графа из з^т , г = 1,2,3. Ясно, что если известно распределение какой-то характеристики случайного графа при условии, что ^Щ^т = ш}, то ее распределение в случайном графе можно получить усреднением по распределению случайной величины

Теорема 1.8.5. Если пД сю так, что 8 = 1 — 2Т/п — Ом о3п —> сю, то при г = 1, 2, 3

= ,„} = ^y-a/V^ + о(1))

равномерно относительно целых т, для которых у = Дт]2 лежит в любом фиксированном интервале вида 0 < уо < у < у± < сю, и существует такая постоянная А, что при всех т

^P{^E = т} Лу-3/4е-у.

Доказательство. Пусть а^Т — число графов в s^T, а а^т m — число графов, для которых ш^т = т. Ясно, что

«2т = Е Д(1-8.17)

т=0

ащТ,т = (^^^т(1.8.18)

Разобьем суммы в (1.8.17) на две части. Пусть 0 < уо < у± < сю, у = Дт)2 и

= У? ащТЖ ^ = 52 ащТ,т ~ ^1- т: т/е[т/о,т/1]т=0

В силу теоремы 1.7.1 и неравенств (1.7.21)

и^ = Лгтш-1/4(1 + о(1))(1.8.19)

равномерно по целым т в области уо ^ у ^ yi, где А^ г = 1,2,3, определены равенствами (1.7.22). Существует постоянная щ такая, что для всех т

(1.8.20)(1.8.20)и^ < С1тт х/4

(1.8.20)

(1.8.20)

Чтобы оценить Fn_mjN, удобно воспользоваться формулой (1.4.25).

Из (1.4.26) и равенства

0(2 - 0) = 1 - е2

следует, что

F-m,N = ^f^r^Ov = ^ -(1.8.21)

где согласно теореме 1.4.1

р{^ = ц = ^=е-«2/2(1+0(1))

равномерно по целым к, для которых и = (к — Np)/(aVN) лежит в любом конечном фиксированном интервале,

2 п 22(1 — е)

Если е 0, е3п —> оо и т^/е/п 0, то при к = п — т

(к - Np)aVN(к - Np)aVN(1 + о(1)).(1 + о(1)).

(к - Np)aVN

(к - Np)aVN

(1 + о(1)).

(1 + о(1)).

Следовательно,

Р{^ = п — ш} =Р{^ = п — ш} =1(1+о(1)).oVTn1(1+о(1)).oVTn(1.8.22)(1.8.22)

Р{^ = п — ш} =

Р{^ = п — ш} =

1(1+о(1)).

oVTn

1(1+о(1)).

oVTn

(1.8.22)

(1.8.22)

Из (1.8.21) и (1.8.22) следует, что

e-m(i-e)(1 +о(!)).

(1.8.23)

Существует такая постоянная с, что

<т^/27г^P{^^ = к^ < с,

поэтомупоэтому(1.8.24)(1.8.24)при всех т, 0 < т < Т. Заметим, что при е Опри всех т, 0 < т < Т. Заметим, что при е О

поэтому

поэтому

(1.8.24)

(1.8.24)

при всех т, 0 < т < Т. Заметим, что при е О

при всех т, 0 < т < Т. Заметим, что при е О

(1 -s)me£m = е"у(1 +о(1))

равномерно по т, для которых уо С У < ух, и для всех т

(1 — s)me£m < е"у.

Ясно, что соотношение (1.8.23) выполняется равномерно относительно т, для которых у = Е2т/2 лежит в интервале [уо,ух]. Поэтому, если п оо, е = 1 — 2Т/п 0 и е3п оо, то

Fn_m,N = № - т)! е"т "Д + о(1))(1.8.25)

равномерно по т, для которых уо С У С У1, где

/п =/п =(1 -Е^е^-^д/ё(1 -Е^е^-^д/ё2^^! (1 -e^V^im2^^! (1 -e^V^im

/п =

/п =

(1 -Е^е^-^д/ё

(1 -Е^е^-^д/ё

2^^! (1 -e^V^im

2^^! (1 -e^V^im

и существует такая постоянная Ло, что для всех т

Гп_т,м^А0Щп-т)'.е-т-У.Гп_т,м^А0Щп-т)'.е-т-У.(1.8.26)(1.8.26)

Гп_т,м^А0Щп-т)'.е-т-У.

Гп_т,м^А0Щп-т)'.е-т-У.

(1.8.26)

(1.8.26)

Поэтому, в силу (1.8.18), (1.8.19) и (1.8.25), справедливо соотношение

,.хт-1/4 -т-у

«А,т = ™’ АЛ(1 + «(I))(1-8-27)

= п!+ о(1)),

которое выполняется равномерно относительно т, для которых у о ^ у < у\^ а вне этой области, в силу (1.8.18), (1.8.20) и (1.8.26),

Лп!^ДГ(1/4)У62’Лп!^ДГ(1/4)У62’(1.8.28)(1.8.28)

Лп!^

ДГ(1/4)У62’

Лп!^

ДГ(1/4)У62’

(1.8.28)

(1.8.28)

где А — некоторая постоянная. Суммагде А — некоторая постоянная. Сумма

где А — некоторая постоянная. Сумма

где А — некоторая постоянная. Сумма

1

VУ"3/4е"У-

Г(1/4)У2

т: 7/е[т/о,т/1]

представляет собой интегральную сумму функции (Г(1/4)) 'о 3/4е 2 с шагом s2/2. Поэтому выбором достаточно малого ?/о и достаточно больших ?/i и п эта сумма может быть сделана сколь угодно близкой к единице, а сумма по остальным значениям т сколь угодно малой. Таким образом,

Ат = п! Ad?^'^ + о(1)).

Теперь из (1.8.27) и (1.8.28) следует, что

,2

= ^=^Г = ^)У~3/4е~^ + °(1))

ап,Тv 5

равномерно по ш, для которых уо < у < yi, и что вне этой области P{^T = m} < ^у-з/4е-У.

Этим завершается доказательство теоремы.

Подставляя явные выражения для А^ и /п в асимптотическое выражение для а^т, получаем, что для г = 1, 2, 3

елrd — А^ЛГГрп(1 — с)

Ат = сАт,(1 + о(1)),(1.8.29)

п’т2^! (1 -

где Ci = е3/4, С-2 = е-1/4, Сз = е-3/4. Легко проверить, что если s = 1 — 2Т/п 0, то

n! (1 — s2)^7^1-^ п2Т Т^аДГ^ёДТ^ - +о '

Таким образом, в условиях теоремы 1.8.5 верны асимптотические формулы

Ат = ^Г+оОГ г = 1,2,3.

Рассмотрим теперь число кпа' одноцикловых компонент в случайном графе из А1п,т и число рп,т вершин в максимальной одноцикловой компоненте.

Теорема 1.8.6. Если п^Т ос так, что г = 1 — 2Т/п 0 и s3n оо, то для любого фиксированного х

Р \ гп^т + - Ins С х\ -- 1ns > Ф(х) = -^= / в и /2 du.2 V 2\/2тг

Доказательство. Для любого фиксированного х

где ит — число компонент в случайном графе из °ltm, рассматривавшемся в параграфе 1.7. Согласно теореме 1.7.2, случайная величина

— - In mJ / у - In m

асимптотически нормальна с параметрами (0,1).

Пусть ?/ = Дт^ и 0 < уо < у < ?/i < сю. Тогда Inm = ln(2t/) —21ns. Далее, поскольку s О,

Р \+ ” InS < Xd-- InS > Ф(Д)

равномерно по т, для которых у Е [i/o^i], и, следовательно, асимптотически не зависит от т. В силу теоремы 1.8.5 выбором достаточно малого уо и достаточно больших у^ и п сумму

52 Р{^п,Т =

т: т/е[т/о,?/1]

можно сделать произвольно близкой к единице. Поэтому для любого фиксированного х

Р + | 1ns <Ins j*ФД).

Рассмотрим теперь максимальный размер одноцикловой компоненты. Напомним, что в параграфе 1.7 мы ввели функции Wg^z^Y полагая Ио(г,7) = 1 и

WM 7) = / ^...^

Jxs(z,^ хг...х8^ -хг-

где

ХДг, у) = {^ > у, г = 1,... , s, х^ + ... + х8 < г}, s = 1, 2 ...

Теорема 1.8.7. Если пД сю так, что 6 = 1 — 2Т/п 0 и б3п сю, то для любого фиксированного 7 > О

00/_1 \8

р{£2Л^«7}-£=/.Ы.

8 = 0

где

28м = Д—Г у-з/4 -yW Г 2L ) dy s = o,i,...

Г(1/4) /0 у\ 2у) у’’ ’

Доказательство. Для любого фиксированного 7 > 0

Р{е2Рп,Т < 7} = 52= m}P{£2/3m < 7},

т=0

где Зт — максимальный размер компоненты в случайном графе из ^т, рассматривавшемся в параграфе 1.7. Если у = б2ш/2 и у Е [У0,У1], ТО

Р{е2Рт < 7} = Р (/Зги < ^т

По теореме 1.7.3

(7 1l)s / 7 \

кУ )s=0\ у /

Ясно, что это соотношение выполняется равномерно по т, для которых у Е [?/о^1] • Выбирая достаточно малое у о и достаточно большое У1 и усредняя по распределению шП)т, приходим к утверждению теоремы 1.8.7.

Число деревьев в каждом графе из з^П)т равно N = п — Т. Пусть Лп^ обозначает максимальный размер дерева в случайном графе из S^n,T-

Теорема 1.8.8. Если пД сю так, что 6 = 1 — 2Т/п 0 и е3п оо, то

Р{/3^п,т - и < Д е"е ",где (3 = — 1п(Уе-е), 0 = 2Т/п ни— корень уравнения

- )NP3'1 = иь^еи.(1.8.30)

7Г /

Доказательство. Ясно, что

Р{/Мг,т - и < Д = ^ p{^n,T = тЩЩПп-тД’-т -u^z}. т=0

(1.8.31)

Положим и = е3п. Легко видеть, что при выполнении условий теоремы 1.8.8, корень уравнения (1.8.30) можно представить в виде

5

и = In г - - Inin г - 1п4^ + о(1).(1.8.32)

Пусть у = Е2т/2 лежит в конечном интервале 0 < уо ^ у ^ yi < сю. Положим

_ 2(Т - т)2(Т - т)

—111

п — тп — т

Ут = £3п,/?(т) = - ln(6*mes"‘).

Поскольку ет = е(1 +о(1)), из (1.8.32) следует, что корень уравнения

/9 \ V2

(-)7V(/3(m))3/2 = к5/2е"

удовлетворяет соотношению

5

ит = In vm - - In In- In Ал/tv + o(1) = и + o(l)

равномерно по у в произвольном фиксированном интервале [?/о^1]- Поэтому, применяя теорему 1.6.3, получаем, что

^^РУп-т.Т-т 16 ^ ^} > в(1.8.33)

равномерно по у Е [?/о^1]-

В главной части суммы в (1.8.31) эта вероятность асимптотически не зависит от т. Поэтому, усредняя (1.8.33) по распределению Шпд^ приходим к утверждению теоремы 1.8.8.

Из сравнения теорем 1.8.7 и 1.8.8 видно, что в случайном графе из з^п^т максимальный размер деревьев больше, чем максимальный размер одноцикловых компонент, так как /3 = е2/2(1 + о(1)) и и сю. Обозначим ащ;г максимальный размер компонент в случайном графе из з^п,т, то есть

ап,т = max(Pn,T,T]n,T)-

Из сравнения теорем 1.8.7 и 1.8.8 вытекает следующее утверждение.

Теорема 1.8.9. Если пД со так, что 6 = 1 — 2Т/п 0 и с3п со, то для любого фиксированного z

P{f3otn,T — и ^ z} е~е ,

где Р = — ^(б^е-6*), 6 = 2Т/п и и — корень 'уравнения

| - ) NP^3 = uTV.

\7Г /

В заключение этого параграфа рассмотрим случай, когда пД со так, что е3п стремится к некоторой постоянной.

Теорема 1.8.10. Если пД со так, что бп1/32 • 3-2/3г, где

6 = 1 — 2Т/п и и — некоторая постоянная, то для г = 1, 2, 3

,Т 2NN\VN

где

_ УЗе3/4 _ УЗе-Г4 _ УЗе"3/4

С1 ” 2У2Г(1/4)’ С2 ” 2У2Г(1/4)’ С3 ” 2У2Г(1/4)’

pW = [ y"3/4p(-v-y;3/2,-l)cty(l + o(l)), Jo

и р(п;3/2,—1) — плотность устойчивого закона, определенная в (1.4.18).

Доказательство. Снова используем равенство

Согласно теореме 1.7.1 при т со

Um = Amm"1/4(1+о(1)),(1.8.35)

где значение коэффициента А зависит от типа одноцикловых компонент в з^П)т^ и для множеств з^т, з^^т, з^^т соответственно

л/2тге3/4л/2тге-1/4л/2тге-3/4

= 2V4r(l/4)’2 = 2V4r(l/4)’3 = гУчДТД-

Для оценки Еп_тЛ воспользуемся формулой (1.4.25) при 0 = 1. Тогда

= йу|7^р|<Л' = ”~fL8-36)

где (n = €i + - • -+^ ~ сумма независимых одинаково распределенных случайных величин с распределением (1.4.19):

О L»k 2 р 1

РЦ1=Ц= ^ , к = 1,2,...

По теореме 1.4.2

bN2/3?^ = к} = рЩ 3/2, -1)(1 + о(1))

равномерно по к, для которых и = (к — 2N)/(bN2^3) лежит в любом конечном фиксированном интервале.

При выполнении условий теоремы

(п-2^/(&№/3)-у.

Пусть у = m/(bN2/3) и 0 < уо < у < yi < оа. Тогда при выполнении условий теоремы

(п - т - 2NA

Поэтому из (1.8.36) получаем, что

п-тЛ2NN\ e~n+mbN2/3°-8-37)

равномерно по ш, для которых у 6 [i/o^i]- Поскольку b = 2(2/3)2/3, из (1.8.35) и (1.8.37) следует, что

^п,Т,т = () ^тЕ-п — m,N

= Ап\ mm"1/4p(-v - у; 3/2, -1)

” т\ 2N№ e-^bN2/3+ °UJ

= Лп! ^(-"-УЛ/З,-!)^

2NN'.V5Km3/4b№/3

= —.у-3/4р(—у — у, 3/2, — 1)-—7/^(1 + о(1))

23/42^7У! V2tt7V VbN2/3V v

равномерно по т, для которых у Е [i/o^i]- Чтобы получить апду нужно провести суммирование в (1.8.35). Выбирая достаточно малое уо и достаточно большое у-^ подставляя полученное асимптотическое выражение для аП)т,т в (1.8.34), замечая, что полученная сумма представляет собой интегральную сумму функции г-3Чр(—и -у-3/2,-1) с шагом 6-1п-2/3 и опуская необходимую оценку хвостов этой суммы, получаем, что

а"’Т = 2MV1V7V / y"3/4p^-V - у; ^ч -1) <Ш + Щ),

где

_ аУз

Напомним, что в соответствии с нашим соглашением, в случае, когда в качестве множества у^п,т рассматривается множество ^^Т1 постоянная А заменяется постоянной А^ г = 1, 2, 3.

Из доказательства теоремы 1.8.10 видно, что число шП1т вершин, входящих в одноцикловые компоненты случайного графа из ^п,т, имеет следующее предельное распределение. Если n, Т сю так, что 6 = 1 — 2Т/п 0 и е3п —> г, то

WV2/3P-|w т = т} = -1-у"3/4р(-и - у; 3/2, -1)(1 + о(1)) p(v)

равномерно по ш, для которых у = ш/(5Л^2/3) лежит в любом фиксированном интервале вида О<?/о^^^^1<сюи функция р^ определена в теореме 1.8.10.

Замечания и литературные ссылки

В книге используется вероятностный подход к задачам комбинаторики. В параграфе 1.1 приводятся основные факты из теории вероятностей, используемые в книге при рассмотрении комбинаторных задач. Все результаты, вошедшие в параграф 1.1, можно найти в стандартных руководствах по теории вероятностей, мы придерживаемся книги [53], где эти результаты изложены с полными доказательствами (см. также [104]).

Детальное обсуждение метода перевала можно найти в [101]. Теорема 1.1.7 представляет собой упрощенный вариант соответствующей теоремы, в которой приводится полное асимптотическое разложение функции G^Xy

Доказательство локальной предельной теоремы (теорема 1.1.11) было предложено Б. В. Гнеденко и содержится в книге [33], которая до сих пор остается одним из лучших учебников по предельным теоремам теории вероятностей (см. также [102, 88, 39]). Исследование приближения биномиального распределения нормальным распределением и распределением Пуассона было проведено Ю. В. Прохоровым [90] (см. также [63]). Неравенство для вероятностей сумм ограниченных случайных величин, приведенное в теореме 1.1.16, принадлежит Хефдингу [141] (см. также [88]).

Параграф 1.2 посвящен описанию обобщенной схемы размещения частиц, которую можно рассматривать как обобщение полиномиальных испытаний. Обобщенная схема размещения была введена в [46] и заняла заметное место в исследованиях по вероятностной комбинаторике (см. [55]). Успешные применения обобщенной схемы ограничиваются в основном равновероятными случаями, известно лишь несколько случаев, где неравновероятная схема имеет естественную комбинаторную интерпретацию. В дополнение к случаю неравновероятного полиномиального распределения, еще один случай, где возникает неравновероятная обобщенная схема дает пример 1.2.3.

Пример 1.2.4 относится к случайным лесам из корневых деревьев и связан с ветвящимися процессами. Действительно, распределение (1.2.11) — это распределение общего числа частиц, существовавших в начинающемся с одной частицы ветвящемся процессе Гальтона- Ватсона д(£, G) до его вырождения, в котором число прямых потомков одной частицы имеет распределение Пуассона. Поэтому случайный лес с N деревьями и п некорневыми вершинами можно представить таким процессом, начинающимся с N частиц при условии, что общее число потомков в этом процессе до его вырождения равно п + N. Опишем более подробно связь между случайными деревьями и ветвящимся процессом //(£, G^ для которого число потомков одной частицы имеет распределение Пуассона с параметром А.

Пусть ^(t^G) — число частиц в момент t в ветвящемся процесса, имеющих ровно г прямых потомков, и пусть v(G) — общее число частиц, существовавших в процессе за все время его эволюции.

Рассмотрим множество Тп всех корневых деревьев, некорневые вершины которых занумерованы числами 1,2,... , п, а корню приписано число 0. Зададим равномерное распределение на множестве Тп, приписав каждому его элементу вероятность (n + l)-n+1.

Каждая вершина дерева соединяется с корнем единственным путем, число ребер в котором называется высотой этой вершины. Мы будем предполагать, что все ребра дерева ориентированы в направлении от корня, и назовем степенью вершины число выходящих из нее ребер.

Пусть дг(/;, Tn), r^t = 0,1,... , п, — число вершин высоты t, имеющих степень г. Рассмотрим матрицы ||цг(^ Тп)\\ и ||цг(^ ^)IL ^ г = 0,1,... , п, и матрицу М = ||mr(£)|| такого же размера с неотрицатель-

ними целыми элементами. В [50] было показано, что

Р{||^Ц,Тп)\\ = М} = Р{||ЩЛG)|| = М I ^G) = n + 1}.

Это соотношение означает, что распределение любой характеристики случайного дерева, выражающейся через случайные величины дг(£, Тп), г, t = 0,1,... , п, совпадает с условным распределением соответствующей характеристики ветвящегося процесса при условии, что v(G) = n + 1.

Эта схема широко использовалась для получения полного описания свойств случайных деревьев и лесов [50, 51, 52, 76, 77, 78, 79, 81]. Позднее Ю. Л. Павлов [83, 84] нашел, что ветвящиеся процессы, в которых число потомков одной частицы имеют геометрическое распределение, соответствуют, в том же смысле, что и выше, случайным плоским деревьям с висячим корнем и случайным лесам, состоящим из таких деревьев. Эта связь ветвящегося процесса с плоскими деревьями с висячим корнем отмечается также в [109, 162, 163]. Заметим, что известны лишь эти два ветвящихся процесса, процессы, в которых число потомков одной частицы имеет распределение Пуассона и геометрическое распределение, которые порождают равномерное распределение на соответствующих множествах деревьев. Результаты для более общих классов случайных лесов с неравномерным распределением, описываемых с помощью ветвящихся процессов, содержатся в [85, 86].

Соответствие между случайными плоскими деревьями с висячим корнем и ветвящимся процессом с геометрическим распределением числа потомков одной частицы оказалось более глубоким, можно указать взаимно однозначное соответствие между множеством таких деревьев с п вершинами и реализациями соответствующего ветвящегося процесса, общее число частиц в котором до его вырождения равно п. Эта связь в строгой форме была впервые указана В. А. Ватутиным [163].

В параграфе 1.3 излагается общий подход к изучению связности и размеров компонент случайных графов различных типов. Впервые этот общий подход был описан в [55], но частные случаи его применения использовались и ранее при изучении случайных подстановок, случайных отображений и случайных лесов из корневых деревьев с занумерованными вершинами [48, 49, 50, 51, 52].

В параграфах 1.4-1.6 изучаются случайные леса из некорневых деревьев. В параграфе 1.4 рассматривается число таких лесов. Число лесов с N занумерованными корневыми деревьями и п занумерованными некорневыми вершинами равно N(N + п)п-1. Однако для числа ЕпЛ из N некорневых деревьев с п занумерованными вершинами нет простой формулы. Полный анализ случайных лесов из некорневых деревьев был проведен В. Е. Бритиковым, использовавшим в своих исследованиях обобщенную схему размещения. Возможность такого подхода к изучению лесов из некорневых деревьев была отмечена в [55, 54]. К началу изучения В. Е. Бритиковым числа таких лесов Fn,w

было известно лишь, что при фиксированном N и п сю

= о + °(О)- (1.9.1)

Полное описание асимптотического поведения Fn n было получено в [17]. В частности, формула (1.9.1) оказалась верной и при N сю, было показано, что если п сю и (1 — 2Т/п)3п —сю, то

Fu’n = отделу (v -

Случаи, когда (1 — 2Т/п)3п стремится к постоянной и (1 — 2Т/п)3п сю описаны соответственно в теоремах 1.4.4 и 1.4.3.

В параграфе 1.5 рассматриваются числа дг деревьев размера г, т = 3,4,..., в случайном лесе. Полное описание предельных распределений этих случайных величин получено В. Е. Бритиковым [18]. Теоремы 1.5.1 и 1.5.2 суммируют результаты, полученные в [18], где, кроме того, изучено предельное поведение дх и Д2-

Общий подход к изучению членов вариационного ряда в обобщенной схеме был предложен в [47], он описан также в лемме 1.2.2 из [55]. В параграфе 1.6 этот подход применяется к изучению максимального размера дерева в случайном лесе из некорневых деревьев. Результаты этого параграфа получены В. Е. Бритиковым в [16]. Теоремы 1.6.1-1.6.5 полностью описывают поведение этого максимума при всех возможных случаях регулярного изменения параметров п и N, за исключением случая фиксированного N. Ясно, что для любого фиксированного к размер к-го по величине дерева в случайном лесе может быть также изучен с помощью использованного подхода. Эта возможность была реализована Лучаком и Питтелем в [156], результаты этой статьи интерпретируются как эволюция случайного леса, при этом отмечается возникновение так называемой гигантской компоненты-дерева в конце процесса эволюции. Для широкого класса случайных лесов из корневых деревьев возникновение гигантской компоненты обнаружено И. А. Чеплюковой [103].

Здесь уместно упомянуть результаты, касающиеся вариационного ряда, составленного из размеров компонент, для широкого круга случайных графов [126, 109, 111, 113, 114, 125, 131, 138]. Есть два пути упорядочения компонент. Один из них — естественное расположение компонент в порядке убывания их размеров, другой связан с использованием специальной нумерации компонент, лишь косвенно связанной с их размерами. Для первого способа упорядочения, пусть, Mi > М2 > ... — последовательность размеров компонент случайного графа с п вершинами, расположенных в невозрастающем порядке. Пусть Ci — размер компоненты, которая содержит вершину с номером 1, С2 — размер компоненты, содержащей вершину с наименьшим

номером среди вершин, не вошедших в первую компоненту, и так далее.

Ясно, что совместное распределение случайных величин C^n^C^n,... представляет собой распределение единичной массы на множестве А бесконечных последовательностей неотрицательных чисел таком, что

А = {Д1,Т2, . . . ), Т1 + Ж2 + ... = 1},

а совместное распределение случайных величин М^/п, М2/п,... сосредоточено на множестве последовательностей

V = {Д1,ж2,...) е A, Xi х2 ...}.

Для ряда классов случайных графов предельные распределения последовательностей Ci, С2,... и Mi, М2,... удается найти. Опишем один класс этих предельных распределений.

Пусть Zi,Z2,... — независимые одинаково распределенные случайные величины с плотностью распределения

^(Т-г)6-1, 0 < г < 1, 6 > 0.

Пусть

Yi = Zi, y2 = Z2(l-Z1), y3 = Z3(l-Z1)(l-Z2),...

и Уд),У(2),... — вариационный ряд, построенный по случайным величинам Ух, У2,... Распределение случайных величин У1, У2,... на множестве А получило название (ЖМ-распределения с параметром 9^ а распределение случайных величин Уд),У(2),... на V называется распределением Пуассона-Дирихле с параметром 9.

Известно, что распределение случайных величин М^/п, М2/п,... для длин циклов случайной подстановки степени п сходится при п оо к распределению Пуассона-Дирихле с параметром 9 = 1, а случайная величина Ci равномерно распределена на множестве {1,... , п} (см., например, [55]). Для случайных отображений конечного множества из п элементов распределения случайных величин Ci/n, С2/п,... и МДп, М2/п,... сходятся, соответственно, к GEM- распределению и к распределению Пуассона-Дирихле с параметрами 9 = 1/2 (см. [108]).

Пусть, как обычно, аТ обозначает число компонент размера т в случайном графе с п вершинами. Совместное распределение величин од,... , ап вида

Я + П-Ц"1+

п у pi2^2 ... na™ai\... ап\'

где ai,... , ап — неотрицательные целые числа такие, что ai + 2а2 + ... + тшп = п, аналогично совместному распределению случайных величин од,... , Qn в случайной подстановке (см. лемму 1.3.7). Это распределение появляется в задачах популяционной генетики и известно как распределение Эванса [130, 147].

Если случайные величины Ci, С2,... и Mi, М2,... соответствуют случайному графу, для которого величины од,... , Qn имеют распределение Эванса с параметром 9^ то при п сю их совместные распределения сходятся соответственно к СЕМ-распределению и распределению Пуассона-Дирихле с тем же параметром 9 [147], см. также [22, 23, 24].

Параграф 1.7 содержит результаты об одноцикловых графах, полученные в [54]. Анализ случайных графов с компонентами двух типов, представленный в параграфе 1.8, также содержится в [54]. Идея рассматривать граф как комбинацию связных компонент различных типов была высказана и реализована Ш. М. Агаджаняном в [1, 2]. Результаты параграфа 1.8 содержатся в [54].

Глава 2

Эволюция случайных графов

Докритические графы

В этой главе рассматривается несколько моделей случайных графов с п занумерованными вершинами и Т ребрами при n, Г сю. Решающую роль в поведении случайных графов играет параметр 9 = 2Тju^ его мы будем интерпретировать как время в эволюции графов. Оказывается, что многие характеристики случайного графа резко меняют свое поведение вблизи точки 9 = 1. Удобно различать три области изменения параметра 9. Мы будем называть случайный граф докри- тическим если n, Т сю так, что (1 — 9)3п сю. Другими словами, в докритическом случае, 9 если и стремится к единице, то не слишком быстро. Критический граф характеризуется тем, что п, Г — хи (1 — 9)3п стремится к некоторой постоянной. Наконец, граф является надкритическим, если n, Т —> сю и (1 — 9)3п —сю. Подчеркнем, что в этой терминологии речь идет об областях изменения параметра 9 и, следовательно, не о самих графах, а о их последовательностях.

В этом параграфе рассматриваются три множества графов. Обозначим ^^множество всех графов с п занумерованными вершинами и Т ребрами, возможно содержащих петли и кратные ребра, таких, что каждая вершина такого графа может иметь не более одной петли, а каждая пара вершин может быть связана не более чем двумя ребрами. Пусть ^/р — множество всех графов с п занумерованными вершинами и Т ребрами, не содержащих петель, таких, что каждая пара может быть связана не более чем двумя ребрами. Наконец, обозначим ^^ множество всех графов с п занумерованными вершинами и Т ребрами, которые не содержат петель и кратных ребер.

Обозначим д^т число графов в ^^ г = 1,2,3. Зададим на ^^ г = 1, 2, 3, равномерное распределение, приписав графам соответствующего множества одинаковые вероятности, и обозначим G^T случай-

ный граф, для которого

P{G& = G} = (g^)"1

для любого G Е ^/р, г = 1, 2, 3.

Напомним, что в параграфе 1.8 рассматривались множества з^т, г = 1, 2, 3, всех графов с п занумерованными вершинами и Т ребрами с компонентами двух типов, деревьями и одноцикловыми компонентами. В зл^ JT одноцикловые компоненты не содержат петель и кратных ребер, в з^т одноцикловые компоненты не содержат петель, но могут содержать цикл длины два, а в т одноцикловые компоненты могут содержать петли и циклы длины два. Таким образом,

Дтс<62т »= 1,2,3.

Результаты параграфа 1.8 дают возможность описать предельные распределения различных характеристик докритических случайных графов G^, г = 1,2,3.

Теорема 2.1.1. Если пД со так, что (1 — 2Т/п)3п со, то для г = 1, 2, 3

Р{<т е - 1.

Доказательство. Ясно, что

P{Gn,T е ^п,т} = йп.тДп.Т'

Найдем асимптотику чисел д^Т, г = 1, 2, 3, и в условиях теоремы 2.1.1 сравним ее с асимптотикой чисел а^т, полученной в параграфе 1.8.

Напомним, что если 0 = 2Т/п^Х, O^X^l, то согласно теоремам 1.8.1, 1.8.2 и соотношению (1.8.29) для г = 1,2,3

(2.L1)

где

Ci (А) = eV2+A2/4;С2(Л) = е-А/2+А2/4; Сз(Д) = е-А/2-А2/4

Если п, Т + ос и Т3/п40, то

(3) _ (п(п- 1)/2\

9тг,Т ( гр у

= Hn-l)f / _2\ / _4\ Л _ 2(Т-1)\

2тТ! \ п(п — 1) / у п(п - 1)/ “ у п(п - 1) /

Д2Т -Т/п-Т2/п2

=^(1 + 0(1)),(2.1.2)

и теорема 2.1.1 доказана при г = 3.

Ясно, что каждый граф из ^^ можно получить выбором Т ребер, эквивалентным размещению Т частиц по Q) ячейкам, при условии, что каждая ячейка содержит не более двух частиц. Поэтому

(2)(2)

(2)

(2)

где S = (2)^1 ячеек содержат ровно одну частицу и ^2 ячеек содержат две частицы. Отсюда,

t,++-T-ti- t2)!

1T!S!

74t'.(T-2ty.(S-T + tW

O^t^T/2 v7 v'

Для любого фиксированного t

= T2t5T-te- + /(2S)(i + o(i))= T2t5T-te- + /(2S)(i + o(i))T'.S'.

= T2t5T-te- + /(2S)(i + o(i))

= T2t5T-te- + /(2S)(i + o(i))

(T - 2t)\(S - T + ty.

/ cxm2 \

= STW1 e"T2/"2 (1+0(1)).

Поэтому в условиях теоремы 2.1.1

STe-T"l^^1/2ТД,

п’тТ\52( п2 )+

t=oх z

2Т Т/п-Т2/п2

= %тт,+<,(!))

(2.1.3)(2.1.3)= Д«-г;'-+г2,"2(1+«(1».

(2.1.3)

(2.1.3)

Аналогично, каждый граф из ^^т можно получить выбором Т ребер, эквивалентным размещению Т частиц в п+ Q) ячеек при условии, что не более двух частиц размещается в каждой из Q) ячеек и только одна частица может быть размещена в каждой из остальных п ячеек. Поэтому, полагая S = Q), получаем, что

Д)Д)

Д)

Д)

Проводя оценки так же, как и выше, находим, что в условиях теоремы 2.1.1

Й +о(1)). (2.1.4)

Сравнивая теперь (2.1.1) с (2.1.2), (2.1.3) и (2.1.4), приходим к утверждению теоремы.

Согласно теореме 2.1.1 каждый из докритических графов G^Tl г = 1,2,3, состоит из деревьев, одноцикловых компонент и с вероятностью, стремящейся к единице, не содержит более сложных компонент.

Для случайного графа G пусть //r(G) — число деревьев размера г, 77(G) — максимальный размер дерева, w(G) — общее число вершин в одноцикловых компонентах, x(G) — число одноцикловых компонент, 3(G) — максимальный размер одноцикловой компоненты и a(G) — максимальный размер компоненты.

Пусть 7(СА) — некоторая характеристика случайного графа G^T и 7^ — соответствующая характеристика случайного графа из з^т. По формуле полной вероятности для любого х

< Л = P{G& е ДДрЦД < л

По теореме 2.1.1

P{G^ е - 1

если G^T — докритический граф. Поэтому для любой характеристики

7(С^Т) докритического графа

РЦДД) < Л = Р{?Д < ЛГ + 0(1)) + 0(1),(2.1.5)

и если Р{7^т < ж} имеет предел, то вероятность P{y(G^T) < ж} имеет тот же предел. Таким образом, многие результаты параграфа 1.8 переносятся на соответствующие характеристики случайных ^пТ) = 1,2,3. Если ДС^Д) — целочисленная характеристика, то для любого целого к

Р^ДД = к} = Р^Д = ^0 +(2.1.6)

и если Р{7п т = ^} имеет положительный предел, то из этого соотношения следует, что такой же предел имеет и вероятность Р<7(О =

Теорема 2.1.2. Если п,Т со так, что Т/п О, то при г = 1,2,3

Р{ДО = 0} 1.

Если п,Т со так, что 8 = 1 — 2ТIn0 и е3п -^ со, то для любого

фиксированного х > 0 и г = 1, 2, 3

РМсДУ/2 < Л -1— Г y-^e^dy.

1Jo

Доказательство. Утверждения теоремы следуют из (2.1.5), (2.1.6) и теорем 1.8.1 и 1.8.5.

Теорема 2.1.3. Пусть G^T — докритический граф, г = 1,2,3. Если г = т(п,Т) Д 3 и 6 = 2Т/п меняются так, что Npr(0) со, то для любого фиксированного х

РРarr(9)VNarr(9)VN

Р

Р

arr(9)VN

arr(9)VN

где

N = n — T,

0 = 2Т/п,

Рг^ =Рг^ =2^-2^-^-^fc!(2 - У)2^-2^-^-^fc!(2 - У)к = 1,2,...к = 1,2,...

Рг^ =

Рг^ =

2^-2^-^-^

fc!(2 - У)

2^-2^-^-^

fc!(2 - У)

к = 1,2,...

к = 1,2,...

(лх Рг(0)(1 - РтЛ) -(р- Wpr^

аТт\У) = 3

_2

8 В. Ф. Колчин

Если г = г(п, Г) > 3 и 9 = 2Т/п меняются так, что Npr(9) -^ X, О < А < оо, то для любого фиксированного к = 0,1,...

Р{^О = к^ = ^2(1 + о(1)).

Доказательство. В силу (2.1.5) и (2.1.6) утверждения теоремы следуют из теорем 1.5.1 и 1.5.2, так как в силу теоремы 2.1.2, число ^пт) веРшин в одноцикловых компонентах в докритическом графе мало по сравнению с общим числом вершин, более точно, < п2/3} - 1.

Теорема 2.1.4. Если пД ос так, что Т/п 0, г = т(пД) > 1 и Npr(9) оо, Npr(9) X, О С А < оо, то для г = 1, 2, 3

РЩсА) = 4 = РЫ^т) = 4 =+ 0(1),

Р{<*(О = г + 1} = Р^ДТ) = г + 1} = 1 - е"л + о(1).

Доказательство. В силу (2.1.5) и (2.1.6) утверждения теоремы следуют из теоремы 1.6.1.

Теорема 2.1.5. Пусть г = 1,2,3 и пД сю так, что 9 = 2ТД А, 0 < А < 1. Тогда для любого фиксированного к = 0,1,...

рщ<т) = д = а+«а», где

.1, и А А2

Л1 = -- 1п(1 - А) + - + — ,

.1,хх АА2

Л2 = -- 1п(1 - А) - - + —,

л1,XX АА2

Л3 = --1п(1-А)---т,

и для любого фиксированного к = 0, ±1,...

рмО - и < ц = ршД - и < ца+«(Г)

= ехр{_^дщгЩ)“е(А:+{а})(А”1~1пА)} 4 + °(1))’ где

In п — | In In п

а 9 — 1 — \п 9 1

[а] и {а} — соответственно, целая и дробная части числа а.

Доказательство. Утверждения теоремы следуют из (2.1.5), (2.1.6) и теорем 1.8.4 и 1.6.2.

Теорема 2.1.6. Пусть г = 1,2,3 и пД сю так, что £ = 1 — 2Т/п О и е3п оо. Тогда для любого фиксированного х

Р <+ - 1ns С х\ -- 1ns >/ е и du*,

[’2 V 2 j V^J-oo

и для любого фиксированного х > О

8 = 0'

где 28Д определены в теореме 1.8.7; наконец, для любого фиксированного 2

РКИхД - и < л = ршсД - и < 4(1 + 0(1))

=(1+о(1)),

где (3 = — 1п(6*е-9), 9 = *21 (п и и — корень уравнения

/9\ V2

( - )Np3/"2 = и5^2еи.(2.1.7)

\7Г /

Доказательство. Результаты теоремы следуют из (2.1.5), (2.1.6) и теорем 1.8.6, 1.8.7, 1.8.8 и 1.8.9.

Критические графы

Напомним, что граф с п вершинами и Т ребрами называется критическим, если п, Т сю так, что £ = 1 — 2Т/п 0 и е3п стремится к некоторой постоянной. Мы уже видели, что многие характеристики случайных графов G^T, г = 1,2,3, меняют свое поведение, когда значения параметра 9 = 2Т/п приближаются к единице. Например, число циклов, или число одноцикловых компонент хД^Д, стремится к нулю по вероятности, если 9 0, имеет в пределе распределение Пуассона с параметром Л^, г = 1,2,3, соответственно, если 9 А, 8*

О < А < 1, где

лА А2

Лх - -- 1п(1 - А) + - + —,

лXXА А2

Л2 = -- 1п(1 - А) - - + —,

лXXА А2

Л3 = --1п(1-А)---т,

и асимптотически нормально с параметрами (—^ Ins,—^ 1ns) если s 0, s3n сю. Таким образом, 0 = 1 — особая точка, и можно полагать, что представляющее интерес поведение графов вблизи этой точки сложно и трудно поддается исследованию. Действительно, не очень много известно о свойствах критических графов. Здесь приводится только одно утверждение о предельном поведении таких графов.

Напомним, что з^т — множество графов с п занумерованными вершинами и Т ребрами, состоящих из деревьев и одноцикловых компонент, причем одноцикловые компоненты графов из s^T при г = 3 не содержат ни петель, ни кратных ребер, при г = 2 не содержат петель, а при % = 1 одноцикловые компоненты могут содержать циклы длины единица и два.

Теорема 2.2.1. Если пД сю так, что sn1/3 ^2-3 2/3щ где и — постоянная, то для случайного графа G^T, г = 1,2,3,

где

v) = [ y"3/4p(-v-у;3/2,-Jo

и рД 3/2, — 1) — приведенная в теореме 1.4.2 плотность устойчивого закона с характеристической функцией

f(0 = expf(0 = exp|^3/2e27rt/(4|t|)|^3/2e27rt/(4|t|)

f(0 = exp

f(0 = exp

|^3/2e27rt/(4|t|)

|^3/2e27rt/(4|t|)

Доказательство. Ясно, что

где а^Т — число графов в з^т, и д^т — число графов в ^^ г = 1,2,3. В соответствии с теоремой 1.8.10

а,а,сД. еп2nN\VNсД. еп2nN\VNр(Д(1 +о(1)),р(Д(1 +о(1)),

а,

а,

сД. еп

2nN\VN

сД. еп

2nN\VN

р(Д(1 +о(1)),

р(Д(1 +о(1)),

где N = п — Т^где N = п — Т^ci =ci =УЗе3/42У2Г(1/4)’УЗе3/42У2Г(1/4)’УЗе"1/4 с2 = ,2У2Г(1/4)УЗе"1/4 с2 = ,2У2Г(1/4)УЗе"3/4С1 = —.2У2Г(1/4)УЗе"3/4С1 = —.2У2Г(1/4)

где N = п — Т^

где N = п — Т^

ci =

ci =

УЗе3/42У2Г(1/4)’

УЗе3/42У2Г(1/4)’

УЗе"1/4 с2 = ,

2У2Г(1/4)

УЗе"1/4 с2 = ,

2У2Г(1/4)

УЗе"3/4

С1 = —.

2У2Г(1/4)

УЗе"3/4

С1 = —.

2У2Г(1/4)

В предыдущем параграфе доказано, что

п2Т<д(1)

-^г^+оа))’

где ci(l) = е3/4, С2(1) = е х/4, сз(1) = е 3/4.

Так как Т = п(1 — s)/2 и s3n8г3/9, легко находим, что

_Ji!£ZTL = 2 V^e4"3/27 (1 + о(1)), 2NN'.VNn2T

а,а,и, следовательно,

а,

а,

_ ^^—е4у /27p(v)(l +о(1)).

У2Г(1/4) V Л V П

Функция р(г) может быть представлена в виде сходящегося ряда. Функцию

g(v)=p(-v) = / у 3/4p(v-у;3/2,-1ДуJo

можно рассматривать как свертку функции

3/4, у > О,, У < О,

и функции д^(у) = р(у; 3/2, —1), так что

дМ = I gi^g^v-y)dy.

Поэтому преобразование Фурье д^ функции д^ равно произведению преобразований Фурье функций gi(y) и g^QuY Преобразование Фурье gi(t) функции дг(у) равно

27гег7Г*/<81‘1)

91W = V2r(3/4)|t|V4’

а преобразование Фурье 92(f) функции 92(9) = р(у; 3/2, — 1) представляет собой характеристическую функцию этой плотности, то естьа преобразование Фурье 92(f) функции 92(9) = р(у; 3/2, — 1) представляет собой характеристическую функцию этой плотности, то есть92Д = exp l-lt^^e”*^4^^!.92Д = exp l-lt^^e”*^4^^!.Таким образом,Таким образом,£(0£(027rei7rt/(8|t|)а/ЩЗДЩ1/427rei7rt/(8|t|)а/ЩЗДЩ1/4exp { — |^|3/2ег7Г^/(41^1)exp { — |^|3/2ег7Г^/(41^1)По формуле обращенияПо формуле обращенияgW =gW =1 г°°- / е'^д^Л2 J — 001 г°°- / е'^д^Л2 J — 001721X3/4)1721X3/4)е-й^|-1/4еиг</(8|*|) exp f _|£|3/2e^е-й^|-1/4еиг</(8|*|) exp f _|£|3/2e^dt,dt,и поэтому в условиях теоремы 2.2.1и поэтому в условиях теоремы 2.2.1р{<и<цр{<и<ц-=С-Д^(^(i + o(i)) а/2Г(1/4)а/2Г(3/4)-=С-Д^(^(i + o(i)) а/2Г(1/4)а/2Г(3/4)гдегде/!(«)= e^CW^/^^expj ^|3/2e“*/(4|‘D^/!(«)= e^CW^/^^expj ^|3/2e“*/(4|‘D^Поскольку Г(1/4)Г(3/4) = Дтг. отсюда получаем, чтоПоскольку Г(1/4)Г(3/4) = Дтг. отсюда получаем, чтоР^те^т}Р^те^т}Д2ДтгД2Дтг/^ма+щ)./^ма+щ).(2.2.1)(2.2.1)Функция h(и) может быть представлена в виде сходящегося ряда.

а преобразование Фурье 92(f) функции 92(9) = р(у; 3/2, — 1) представляет собой характеристическую функцию этой плотности, то есть

а преобразование Фурье 92(f) функции 92(9) = р(у; 3/2, — 1) представляет собой характеристическую функцию этой плотности, то есть

92Д = exp l-lt^^e”*^4^^!.

92Д = exp l-lt^^e”*^4^^!.

Таким образом,

Таким образом,

£(0

£(0

27rei7rt/(8|t|)а/ЩЗДЩ1/4

27rei7rt/(8|t|)а/ЩЗДЩ1/4

exp { — |^|3/2ег7Г^/(41^1)

exp { — |^|3/2ег7Г^/(41^1)

По формуле обращения

По формуле обращения

gW =

gW =

1 г°°

- / е'^д^Л

2 J — 00

1 г°°

- / е'^д^Л

2 J — 00

1721X3/4)

1721X3/4)

е-й^|-1/4еиг</(8|*|) exp f _|£|3/2e^

е-й^|-1/4еиг</(8|*|) exp f _|£|3/2e^

dt,

dt,

и поэтому в условиях теоремы 2.2.1

и поэтому в условиях теоремы 2.2.1

р{<и<ц

р{<и<ц

-=С-Д^(^(i + o(i)) а/2Г(1/4)а/2Г(3/4)

-=С-Д^(^(i + o(i)) а/2Г(1/4)а/2Г(3/4)

где

где

/!(«)= e^CW^/^^expj ^|3/2e“*/(4|‘D^

/!(«)= e^CW^/^^expj ^|3/2e“*/(4|‘D^

Поскольку Г(1/4)Г(3/4) = Дтг. отсюда получаем, что

Поскольку Г(1/4)Г(3/4) = Дтг. отсюда получаем, что

Р^те^т}

Р^те^т}

Д2Дтг

Д2Дтг

/^ма+щ).

/^ма+щ).

(2.2.1)

(2.2.1)

Теорема 2.2.2. Если п,Т сю так, что sn1/32 • 3-2/3щ где и

— постоянная, то для случайного графа G^T, г = 1,2,3,

Р{<т€<т} = ^)(1+о(1)),Р{<т€<т} = ^)(1+о(1)),где

Р{<т€<т} = ^)(1+о(1)),

Р{<т€<т} = ^)(1+о(1)),

Доказательство. Представим h(u) в виде сходящегося ряда по и. Так как левая часть соотношения (2.2.1) действительна,

Цу) =^le^|/|-V4e»rt/(8|t|) ехр {_ ^13/2^4/(41*1)} dt

Рассмотрим сначала интеграл

ИДД = { ег1г)1-1/4ег7Г/в expdt.

Разлагая в ряд ег1Д находим, что

ЬДД = ег7Г^в У^ / ^-1/4 ехр |-^3/2ег7г/4| dt. k=o *

После замены переменных ^^е^/4 = z получаем, что

, , х 2 ьк (гтгк 1/ 2к 1 \

к=0х у \/

Поэтому

х 2 vk тгк^ Дк 1\,_

^1Д = У ttcos vr V+9 1(2-2-2)

к=0х7

Аналогично для

к2(Д =ег^|^|_1/4е-г7Г/8 ехр |-|^|3/2ег7Г^^41^у dt

= I е-г1гЧ"1^4е-г“^в ехр ^-к^2е-г7Т^4^ dt находим, что

х2 vk ттк^Дк1\,

^2^) =о52 ту cosV +о*(2-2*3)

к=0х7

Утверждение теоремы следует из (2.2.1), (2.2.2) и (2.2.3).

Теорема 2.2.2 позволяет находить предельные значения вероятностей Р{^2г Е ^г}- Например, Р(0) = \/2/3. Некоторые значения Р(Д приведены в таблице 2.2.1.

Таблица 2.2.1. Значения Р(р)

F(v)

рм

г

pw

-3.0

0.0053

-1.0

0.4919

1.2

0.9563

-2.8

0.0118

-0.8

0.5727

1.4

0.9653

-2.6

0.0239

-0.6

0.6470

1.6

0.9722

—2.4

0.0443

-0.4

0.7128

1.8

0.9776

-2.2

0.0755

-0.2

0.7693

2.0

0.9819

-2.0

0.1196

0.2

0.8551

2.2

0.9852

-1.8

0.1768

0.4

0.8860

2.4

0.9878

-1.6

0.2461

0.6

0.9105

2.6

0.9899

-1.4

0.3244

0.8

0.9297

2.8

0.9915

-1.2

0.4078

1.0

0.9447

3.0

0.9929

Случайные графы с независимыми ребрами

При нахождении чисел графов в классах ^у, г = 1,2,3, в параграфе 2.1, мы ставили в соответствие каждому из классов некоторую равновероятную схему размещения частиц по ячейкам. Из этих соответствий нетрудно видеть, что реализации каждого из случайных графов ^пТ’ = 1,2,3, могут быть получены с помощью последовательного размещения частиц, но эти размещения оказываются зависимыми. Например, если в случайном графе из G^T некоторая пара вершин оказалась связанной ребром после размещения некоторого числа ребер, то ребра, размещаемые при всех последующих размещениях, не могут оказаться на месте ребра, связывающего эти две вершины.

По-видимому, случайные графы, в которых ребра независимы, более удобны для применений вероятностных методов анализа. Наиболее известным случайным графом с таким свойством является граф Gn,p с п вершинами, в котором каждое из Q) возможных ребер входит в множество ребер графа Gn,p с вероятностью р независимо от поведения остальных ребер. Этот граф имеет случайное число ребер, распределенное по биномиальному закону с п испытаниями и вероятностью успеха р.

В этом параграфе рассматривается случайный граф Gn;r с п вершинами, занумерованными числами 1,... , п и Т ребрами, которые получают с помощью Т независимых испытаний, в каждом из которых петля в вершине г, г = 1,... ,п, появляется с вероятностью п-2, а ребро, соединяющее вершины г и ;Д ^ j, i^j = 1,... ,n, появляется с вероятностью 2п-2. Другими словами, если множество ребер графа Gn;p состоит из Т ребер ((г(1), Д1)),... , (ДТДДТ)), то г(1), Д1),... , ДТДДТ) — независимые одинаково распределенные случайные величины, принимающие значения 1,2,... , п с равными вероятностями. Ясно, что реализации случайного графа Gn^ не яв-

ляются равновероятными. Например, при п = 2 и Т = 1 каждый из двух графов, состоящих из петли и изолированной вершины, появляется с вероятностью 1/4, а связный граф имеет вероятность 1/2. С другой стороны, эта модель имеет ряд преимуществ при использовании методов теории вероятностей.

Поскольку г(1), jf(l),... , г(Т), jf(T) суть независимые одинаково распределенные случайные величины, случайному графу Gn^ можно сопоставить классическую схему размещения частиц по ячейкам, в которой 2Т частиц размещаются в п ячеек так, что каждая частица независимо от остальных попадает в любую из п ячеек с вероятностью 1/п. Используя эту связь, можно, например, легко найти распределение числа петель в графе Спщ. Действительно, имеется Т испытаний, соответствующих Т ребрам, и в любом из этих испытаний петля появляется с вероятностью 1/п. Таким образом, число петель од в Gn^ имеет биномиальное распределение с параметрами (Т,1/п\ Среднее число петель равно Бац = Т/п. Если 2Т/п А, 0 < А < сю, то предельным распределением для од является распределение Пуассона с параметром А/2.

При условии, что од = ш, размещение остальных ребер можно рассматривать как результат Т — m независимых размещений ребер в Q) ячейках, соответствующих Q) возможным местам ребер в полном графе с п вершинами. Поэтому, если од = ш, то число гщ циклов длины два в случайном графе Gn^ имеет то же распределение, что и число ячеек, содержащих ровно две частицы в классической (равновероятной) схеме размещения Т — m частиц в Q) ячеек. Эта схема размещения хорошо изучена. В частности, если п, Г сю так, что 2Т/п А, 0 < А < сю, то распределение числа ячеек, содержащих ровно две частицы, сходится к распределению Пуассона с параметром А2/4. Так как предельное распределение не зависит от m для m = о(п), усредняя по распределению ад, видим, что ад и а^ асимптотически независимы и их распределения сходятся к соответствующим распределениям Пуассона.

Теорема 2.3.1. Если п .Т эс так, что 2Т/п ^ X, ^ < X < эс, то для любых фиксированных неотрицательных целых чисел к^ и к2

P{«i = ki,a2 = Щ = (-) (у) е"А/2"л2/4(1 + о(1)).

В силу независимости ребер случайного графа Gn;r для изучения его строения можно использовать прямые вероятностные методы.

Теорема 2.3.2. Если пД сю так, что Т/п 0, то в случайном графе Gn;p с вероятностью, стремяицейся к единице, нет циклов и все компоненты являются деревьями.

Доказательство. Обозначим аТ число циклов длины г с г различными вершинами и пусть п(СпД = ад + ... + сщ — общее число

циклов, рассматриваемых как порожденные подграфы графа Gn;p. Представим ат как сумму индикаторов. Ребра графа Gn^ появляются последовательно в Т испытаниях. Припишем номера 1, 2,... , Т этим испытаниям и занумеруем каким-либо способом все ^ возможных подмножеств г номеров испытаний. Определим теперь случайную величину ^, полагая ее равной единице, если подмножество ребер с номерами из г-го подмножества номеров образует цикл в Gnj^ и пусть ^ = 0, если это не так. Ясно, что

= ^i + ... + ^ту

В свою очередь, каждую случайную величину ^i,... , у^ можно представить в виде суммы индикаторов. Цикл из т различных ребер г-го подмножества номеров будем строить из т различных вершин графа. Эти вершины можно выбрать (™) различными способами из п вершин графа и (г - 1)!/2 способами из них можно построить цикл при г > 3. Каждая такая конструкция состоит из т фиксированных ребер и может реализоваться на т фиксированных местах г-го набора номеров. Имеется т\ возможных размещений этих т ребер на эти т мест. Таким образом, событие {^ = 1} может быть реализовано одним из (™) (г — 1)! г!/2 способов.

При г ^ 3 каждый из этих вариантов реализуется с вероятностью (2/т12у. Поэтому

ЕгщЕгщ(г — 1)! г!2(г — 1)! г!2(2.3.1)(2.3.1)

Егщ

Егщ

(г — 1)! г!

2

(г — 1)! г!

2

(2.3.1)

(2.3.1)

Нетрудно проверить, что эта формула верна и при г = 1 и г = 2. Из (2.3.1) следует, что

Тгпг(г - 1)!г! / 2 V _ /2Т\Г 1г! г! 2 уп2 )\ п Мт

Поэтому для математического ожидания

Е^Щт) = f^ Ear

r=l

справедлива оценка сверху

12?12?

1

2?

1

2?

При условиях теоремы Ev(Gn^) стремится к нулю и число циклов в случайном графе Gn^ стремится по вероятности к нулю.

Обозначим з^п,т множество графов с п занумерованными вершинами и Т ребрами, компонентами которых являются деревья и одноцикловые графы. Заметим, что петли и циклы длины два допускаются. Как и ранее, пусть О = 2Т/п, е = 1 — ЪТ/п.

Теорема 2.3.3. Если пД ос так, что е3п ос, то

4

Доказательство. Докажем, что при выполнении условий теоремы вероятность того, что граф Gn^ содержит компоненту с более, чем одним, циклом, не превосходит 4/(s3n). Если в GnjT имеется такая компонента, то, как нетрудно видеть, граф Gn;r содержит порожденный подграф, состоящий из двух циклов, связанных цепочкой (пенсне), или из цикла, две вершины которого, связаны цепочкой (цикл с перемычкой). Пусть ^8 — число подграфов графа Спщ, состоящих из циклов длин г и s, связанных цепочкой из t ребер, и ^ — число подграфов графа Спщ, состоящих из цикла длины г, две вершины которого связаны цепочкой из t ребер. Для доказательства утверждения теоремы достаточно показать, что среднее число таких подграфов не превосходит 4/(е3п). Ясно, что

Рассуждая так же, как при доказательстве формулы (2.3.1), получаем оценки

ппr+t 2г Г2Т\г+1

п

п

, , .../ r!s! (t — 1)!

r!s!(Z —1)! v '

/ 2 \ r+s+t 2

Таким образом, для математического ожидания общего числа подграфов-пенсне и циклов с перемычкой справедливы неравенства

Е Е^) + £ Е^)

r.t=Or,s,t=0

что и доказывает теорему.

Теорема 2.3.4. Если п .Т эс так, что 0 = 2Т/п X, 0 < А < 1, то распределение числа циклов v(Gn^) в случайном графе Gn^ сходится к распределению Пуассона с параметром

Л = -|1п(1-А).

Доказательство. В силу теорем 2.3.1 и 2.3.3 доказательство сводится к применению теоремы 2.1.5, относящейся к случайному графу G^T ^ез петель и кратных ребер. Действительно, по формуле полной вероятности

РД(Щт) = Ц = Е Ptai = fcl’ “2 = fc2’ GnX 6

ki -\-k2^k

X Р{ДСпщ) = k I ОД = ki, «2 = ^2, Gn,T Е ^п,Т^

+ У^ Р{сц = ki, &2 = к2, Gn,T ф ^п,т} ki-Vk2^k

х Р{ДСпщ) = к | од = к±, 012 = к2, Gn,T ^ ^п,т}-

По теореме 2.3.3, P^Gnj1 ^ ^п,т} —> 0, и нетрудно видеть, что

P^Gn^ Е s^ \ ai = ki, а2 = кД = P^G^T_ki_k2 Е з^п;]Д

P^(Gn^) = к | Qi = ку, а2 = к2, Gn;r Е з^п^}

= РЫсДк1_к2) = к-к1-м.

Таким образом,

Р-МЩт) = ft} = ^2 p{Qi = kt, Ct2 = ^2}

ki -\-k2^k

x P{x(G® _ki_k2) = k-kx- fc2}(l + 0(1)) + 0(1). (2.3.2)

В силу теоремы 2.1.5 при выполнении условий теоремы 2.3.4 для любых фиксированных ki,k^ = 0,1,..., к ^ ki + к?,

хк-кг-к2 -Л3

где

32 1124"

Теперь из (2.3.2) и теоремы 2.3.1 следует, что

РМ^) = Д = £ ± | С-Д у

ki^k2^k 14 7\/

д к — ki — к2

е-Лк'.

=к^.к^Лк-кх-к^.

/ а \ кт / \ 2\к2

Х\2) W+°(!))+°(!)

= _е-л(1+.(!)), где

Л = Лз+2+Т = ~ 2 1П^ ” Л)"

Таким же путем можно использовать теоремы, доказанные для графа G^T, при анализе докритических и критических графов графов Gn^- В качестве примера приведем аналог теоремы 2.1.6 о числе одноцикловых компонент х(СП)т) и о максимальных размерах Л^п.тУ P(Gn;r) и cx(Gn;r) соответственного деревьев, одноцикловых компонент и всех компонент в случайном графе GniT-

Теорема 2.3.5. Если п,Т сю так, что s = l — 2Т(и0 и s3n -ч

оо, то для любого фиксированного х

Р < х(Сп,т) + Ins < х\ -^- Ins > ^ ( е~и /2 du;

для любого фиксированного x > О

Z/ 4s s

8 = 0

где Zs(x) определены в теореме 1.8.7, и

Р{/За(С„,т)-и < ж} = Р{/Зт?(Сп>т)-и < ж}(1+о(1)) = е"е " (1+о(1)), где (3 = — 1п(6*е-9), 9 = 2Т/п, а и — корень

/9 \ V2

(-) (п - Т)Д/2 = иб/2е“.

\7Г )

Аналогичным образом теорема 2.2.2 переносится на критические графы Gn,T.

Теорема 2.3.6. Если пД ос так, что еп1^32 • 3-2/3г, где и

— постоянная, то

Р{Gn,T Е зДД = \У^ Т]"Г I —- + - j COS — (1 + о(1)).

V Зтг z' к\ \ о 26

/с=047

Для надкритического случая, когда п, Т ^ сю так, что е3п —сю, приведем лишь простейшие результаты. В заключительном параграфе этой главы дан краткий обзор того, что известно для надкритических графов.

Известно, что если 9 = 2Т/п X, X > 1, то в случайном графе Gn т имеется гигантская компонента и с вероятностью, стремящейся к единице, граф G^T состоит из деревьев, одноцикловых компонент и этой гигантской компоненты, образованной всеми вершинами, не вошедшими в деревья и одноцикловые компоненты. С ростом 2Т/п размер гигантской компоненты возрастает, а число одноцикловых компонент убывает.

Если 9 = 2Т fn А, 1 < А < ею, то число одноцикловых компонент имеет распределение Пуассона. При 9 сю справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.3.7. Если пД сю так, что 9 = 2Т/п сю, то с вероятностью, стремящейся к единице, граф Gn;p не содержит одноцикловых компонент.

Доказательство. Число одноцикловых компонент с r вершинами не превосходит crT-xGгде с — некоторая постоянная (см., например, [115]). Обозначим хт(ОпД число одноцикловых компонент размера т в случайном графе Gn,T- Рассуждая так же, как при доказательстве равенства (2.3.1), находим, что

/1 \ \ Т—т

Ж-1/2г| П V Л М^-т)Ж-1/2г| П V Л М^-т)Дт — 1) \ п2 )’

Ж-1/2г| П V Л М^-т)

Ж-1/2г| П V Л М^-т)

(2.3.3)

где последний множитель есть вероятность того, что Т — r ребер, которые не были использованы для построения одноцикловых компонент, не связывают вершины компоненты с вершинами вне ее и не связывают никакую пару вершин компоненты.

Достаточно доказать, что

ЕДЩт) = 52 Ехг(Щт) о.

Используя оценку (2.3.3), находим, что

52< 52 (МТ“2г(”“(г+1)/2)(т“г)/”2.

l^r^nl^r^n

Для достаточно больших п и 1 ^ г ^ п

е-2т(п-(т-\-1)/2)(Т-г)/п2 < е-т0/4

и q = Ое1-6^4 < 1. Поэтому

52 ЕЦС^тК^Рд^Д- l^r^nг=1

Так как q = Ое1-6^40 при 9 сю, отсюда заключаем, что с ве

роятностью, стремящейся к единице, в графе Gn^ нет одноцикловых компонент.

Наконец, рассмотрим поведение случайного графа Gn;r вблизи того момента эволюции, когда граф становится связным. Обозначим иП)т число компонент в случайном графе Спщ.

Теорема 2.3.8. Если п оо и 2Т = nlnn + хп + oQn\ где х — постоянная, то с вероятностью, стремящейся к единице, случайный граф Gn,T состоит из гигантской компоненты и изолированных вершин, причем для любого фиксированного к = 0,1,...

Р{^п,т - 1 = /с} -тте”е 7

Доказательство. Докажем, что с вероятностью, стремящейся к единице, случайный граф Спщ состоит из гигантской компоненты и изолированных вершин и распределение числа изолированных вершин стремится к распределению Пуассона с параметром е-х.

Ребра графа Gn;r образуются в результате Т независимых испытаний, и эти Т испытаний можно рассматривать как размещение 2Т частиц в п ячеек, причем каждая частица размещается независимо от

остальных и с равными вероятностями попадает в любую из п ячеек. Поэтому число изолированных вершин в Gn^ имеет то же распределение, что и число до(2Т, п) пустых ячеек в хорошо изученной классической схеме размещения частиц. В условиях теоремы распределение до(2Т, п) сходится к распределению Пуассона с параметром е-х.

Для завершения доказательства остается показать, что с вероятностью, стремящейся к единице, остальные вершины образуют одну компоненту. Начнем с того, что покажем, что в случайном графе Gn^ с вероятностью, стремящейся к единице, нет изолированных петель. Представим число изолированных петель £i в виде сумм п индикаторов. Ясно, что £i = ^^ + ... + ^п\ где £^ = 1, если в вершине с номером г в графе Gn,T есть изолированная петля и £^ = 0 в противном случае. Нетрудно видеть, что

гр /1 \ 2Т+2 гр

Е^) - _ О - - )< _р-(2Т-2)/п

П2 \П)П2

Отсюда следует, что

Е^ < Le-^T-^/n,п

В условиях теоремы правая часть этого неравенства стремится к нулю, поэтому в графе Gn^ с вероятностью, стремящейся к единице, нет изолированных петель.

Теперь, если бы в дополнение к изолированным вершинам в графе существовали две другие компоненты, то в графе нашлось бы дерево размера г, 2 ^ г ^ п/2, такое, что его вершины не связны ни с одной вершиной, не принадлежащей этому дереву. Таким деревом было бы остовное дерево одной из компонент.

Пусть ^ — число деревьев размера г, которые являются остов- ными деревьями компонент графа Gn^- Покажем, что в условиях теоремы

Е Е^^°

2<г<п/2

и, следовательно, с вероятностью, стремящейся к единице, таких деревьев размеров т^ 2 ^ г ^ п/2^ в графе Gn;p нет. Представляя £г в виде суммы индикаторов, находим, что

Е<г =Е<г =2т(п — г)2т(п — г)(2.3.4)(2.3.4)

Е<г =

Е<г =

2т(п — г)

2т(п — г)

(2.3.4)

(2.3.4)

Эта формула аналогична формуле (2.3.1): мы выбираем г вершин и г —1 ребер, которые формируют дерево, а последний множитель равен вероятности того, что ни одно из оставшихся Т — г + 1 ребер не связывает вершины из множества г вершин, выбранных для построения дерева, с вершиной из остальных п — г вершин.

Используя формулу (2.3.4), проверим, например, что с вероятностью, стремящейся к единице, в графе Gn^ нет изолированных ребер. Действительно, при г = 2

Е^2 < 2Т (1 - 12ЦД)2Те-4(п-2)(Т-1)/п2(2.3.5)

у)

и правая часть неравенства (2.3.5) стремится к нулю при п ею и 2Т = п In п + хп + о(п).

Из (2.3.4) следует, что

ре </ ПТ Г. 22r(n —r)(T—г+1)/п2

Г (г — 1)! т\ П^т—^’

и для достаточно больших п

ДТМ”1 гГ2rT18

E€r С — Tie exp ^- • -

у п /(п29

тf2Т4г

е ехр <—-

(п9

Поэтому, полагая 9 = ^Т/п^ находим, что

Е Е<-3<r<n/2г=3

_ п2^1"4^)3- 2ТСП^Д^

Если п сю и 2Т = п In п + хп + о(п), то ^е!-46>/9 = 2 щпе-41пп/9+1-4х/9+о(1), и для достаточно больших п

пЛ-40/9 . ДНП ве

где с — некоторая постоянная.

Таким образом, в условиях теоремы

Е ЕС-О.3<г<п/2

Принимая во внимание, что E<fi 0 и Е^ 0, заключаем, что с вероятностью, стремящейся к единице, случайный граф Спщ, кроме изолированных вершин, содержит лишь одну компоненту.

Неравновероятные графы

Модель случайного графа Спдц рассмотренная в предыдущем параграфе, легко переносится на неравновероятный случай. Однако подход, основанный на применении обобщенной схемы размещения, при котором некоторые задачи для равновероятных графов сводятся к задачам о суммах независимых одинаково распределенных величин, неприменим к неравновероятным графам. Для таких графов известно не много результатов, поскольку пока нет эффективных методов их исследования.

В этом параграфе изучается обобщение модели случайного графа Спдц рассмотренного в предыдущем параграфе. Мы сохраним обозначение Gn/r для неравновероятного графа с п вершинами, занумерованными числами 1,2,... , п, и Т ребрами, которые получаются с помощью следующей процедуры. Рассмотрим Т независимых испытаний, в каждом из которых выбирается одно ребро графа. Это ребро может связать две различные вершины или образовать петлю. Вершины с номерами г и j связываются с вероятностью 2р^-, а петля в вершине г образуется с вероятностью p23d = 1, • • • тц Ръ • • • ^Рп 0, Р1 + .. .+рп = 1- Таким образом, после Т независимых испытаний получается реализация случайного графа G^t, которая может содержать петли и кратные ребра.

Основной результат этого параграфа составляет следующее утверждение.

Теорема 2.4.1. Пусть pt = а^п, где at = щ(п), 0 < s < щ < Е<ооД = 1,...,п,еиЁ — некоторые постоянные, и пусть существует предел

а2 = lim — V а2.

Тогда, если п,Т сю так, что 2Т/п А, 0 < Ла2 < 1, то распределение числа циклов v(Gn^) в графе Gn^ сходится к распределению Пуассона с параметром Л = — 11п(1 — Ла2) .

При доказательстве этой теоремы будут получены предельные распределения случайных величин аТ, равных числу циклов длины т в графе Спщ, более того, будет получено предельное совместное распределение случайных величин аТ1,... , aTs.

Теорема 2.4.2. Если выполнены условия теоремы 2.4.1, за исключением, быть моэюет, требования Ха2 < 1, то распределение случайной величины аТ при любом фиксированном г сходится к распределению Пуассона с параметром ХТ = Хта2т/(2т).

Теорема 2.4.3. Если выполнены условия теоремы 2.4.1, за исключением, быть моэюет, требования Ха2 < 1, то совместное распределение случайных величин аГ1,... , аг_ для любых фиксированных

1 ^ П < • • • < т8 сходится к распределению s независимых случайных величин, имеюгцих распределение Пуассона с параметрами АГ1,... , XTs соответственно.

Доказательства проводятся методом моментов.

Цикл длины г не имеет самопересечений, если он состоит из г вершин и г ребер графа ОП)т- Пусть ат — число циклов без самопересечений длины г, г > 3, в случайном графе Gn;p. Для г различных вершин Д,... , Д положим Дт ^r = 1, если в Gn^ имеется цикл, состоящий из этих г вершин и содержащий ровно г ребер графа Спщ, в противном случае полагаем «^...щ = 0. Тогда

=(2.4.1)

где суммирование ведется по всем ^) различным неупорядоченным наборам г различных вершин. В полном графе с вершинамиз Д,... , Д существует (г — 1)!/2 различных циклов с ровно т ребрами. Занумеруем эти циклы в произвольном порядке числами j = 1,... , (г — 1)!/2 и представим случайную величину Дь...^г в виде суммы

(г-1)!/2

Е(2-L2)

J=1

где £^ д = 1? если в графе Gn;r имеется j-й цикл, и ^ ^ = 0 в противном случае.’ ’

Рассмотрим случайную величину

^(Gn^T) = од + ... +

где случайные величины ат определены соотношением (2.4.1) при г ^ 3, од — число петель и ^ _ число пар параллельных ребер в графе G^t-

Каждый цикл в графе Gn^ можно рассматривать как набор ребер, которые образуют этот цикл. Поэтому для оценки таких вероятностей, как P{<f^= 1}, нам потребуется следующее утверждение.

Пусть Ц = {(Н, jib • • • AgHt)^ — множество г различных пар вершин графа G^t таких, что Д ^ jk, k = 1,... , г. Обозначим P(VT) вероятность события, состоящего в том, что все ребра из Ц появятся в случайном графе Gn,T.

Лемма 2.4.1. Если п,Т ос, ^Tfn А. О < А < х. О < с < аД Е < ос, % = 1,... , п, то для произвольных фиксированных Е и г

Р(ул =(Ц (1 + 0(1))(2.4.3)

равномерно относительно «1,... , ап и всех мноэюеств Vr .

Кроме того, для любого 5 > 0 найдется такая постоянная с, что для всех run

Р^ < c^^a^aj.Р^ < c^^a^aj.Ct^ a3r *Ct^ a3r *(2.4.4)(2.4.4)

Р^ < c^^a^aj.

Р^ < c^^a^aj.

Ct^ a3r *

Ct^ a3r *

(2.4.4)

(2.4.4)

Доказательство. Положим q^ = 2pikpjk, k = 1,... , г. Тогда

T[mi+.„+mr]mp... mT\

X (1 - 91 - ... - gr)

= 7^..= 7^..- 91 - ... - 9r)- 91 - ... - 9r)my\.my\.Цу . . . ЦТЦу . . . ЦТ

= 7^..

= 7^..

- 91 - ... - 9r)

- 91 - ... - 9r)

my\.

my\.

Цу . . . ЦТ

Цу . . . ЦТ

(2.4.5)(2.4.5)x (1 - 9i - ... - 9r)

(2.4.5)

(2.4.5)

Здесь x^ = хД — 1)... (ж — m +1), суммирование в ^' проводится по всем наборам {mi,... , тД, в которых ту,... , тТ > 1 и существует такое г, 1 ^ г ^ г, что mi > 1. Ясно, что

(1 -91 - ... -9Г)Т r < 1, и для произвольного фиксированного т

(2.4.6)(2.4.6)(l-9i-...-9r)T"r = l+O(l/n).

(2.4.6)

(2.4.6)

Кроме того,

(г _ r)[m1 + ...+m,.-r]mi!...mr!<^1(г _ r)[m1 + ...+m,.-r]mi!...mr!<^1...9Д-1(1-91-...-9г)т-™1...9Д-1(1-91-...-9г)т-™1

(г _ r)[m1 + ...+m,.-r]

mi!...mr!<^1

(г _ r)[m1 + ...+m,.-r]

mi!...mr!<^1

...9Д-1(1-91-...-9г)т-™1

...9Д-1(1-91-...-9г)т-™1

<^9»Д-г)5., (2.4.7)

2=1

где

Еmi,mr^lтг>1Еmi,mr^lтг>1(Т-г- 1)1" mi!.(Т-г- 1)1" mi!.9Д Г.^^"19Д Г.^^"1(1 - 91 - • • ■ - qrf-^--^(1 - 91 - • • ■ - qrf-^--^

Е

mi,mr^lтг>1

Е

mi,mr^lтг>1

(Т-г- 1)1" mi!.

(Т-г- 1)1" mi!.

9Д Г.^^"1

9Д Г.^^"1

(1 - 91 - • • ■ - qrf-^--^

(1 - 91 - • • ■ - qrf-^--^

Положим Ц = mi — 2, Ц = mj — 1, j ^ г (напомним, что m^ > 1). Тогда

(Т - Г - 1)1г1+-.+М

Д + 1)!..Д + 2)!...(гг + 1)!

х Д . ..дД1 -91 - ... - qr)T~r~1~h

1.(2.4.8)1.(2.4.8)х qli ■ --дН1 - gi -... - gj

1.(2.4.8)

1.(2.4.8)

Теперь утверждение (2.4.3) следует из (2.4.5)-(2.4.8), а утверждение (2.4.4) из (2.4.5), (2.4.7) и (2.4.8), так как

Й № ТТгЁ2

/ (22Т

. ,qT < ^ а^а^ .. .airajr.

Следствие 2.4.1. Если п^Т оо, 2Т/п А, 0 < А < оо, 0 < в < at < Е < ос, % = 1,... , п, то для произвольных фиксированных г, Е, Хит

не,.-1} =(1+оД)

равномерно относительно j, 1 < j < (г — 1)!/2, всех наборов {й,... , zr} и «1,... , ап.

Кроме того, для любого 5 > 0 найдется такая постоянная с, что для всех run

Доказательство. Равенство ^ ^ = 1 выполняется тогда и только тогда, когда в Gn;r существует г фиксированных ребер {(&1,л), • • • Д&гДг)}, кр Й jp^ v = 1,... Е которые образуют J-й цикл, состоящий из вершин й,... , гТ. Для этих ребер множества {А)1,... , кД и {Д,... ДД совпадают с множеством {Д,... , гД. Поэтому следствие вытекает из леммы 2.4.1.

Будем использовать обозначение {Д,... , гД для наборов неупорядоченных различных индексов й,... , гг, число таких наборов равно (^). Для наборов упорядоченных различных индексов й, • • • Зт будет

использоваться обозначение (Д,. п^. Символыиспользоваться обозначение (Д,. п^. Символы. , ir), число таких наборов равно. , ir), число таких наборов равноЕЕ{и,... ,гЛ{и,... ,гЛЕЕ

использоваться обозначение (Д,. п^. Символы

использоваться обозначение (Д,. п^. Символы

. , ir), число таких наборов равно

. , ir), число таких наборов равно

Е

Е

{и,... ,гЛ

{и,... ,гЛ

Е

Е

будут обозначать суммирование по всем наборам г различных неупорядоченных и упорядоченных индексов соответственно. Ясно, что суммирование по всем неупорядоченным наборам {zi,... , zr} подходит для слагаемых /^...д, значения которых инвариантны относительно перестановок индексов. Для таких слагаемых

Е Е(2-4-9)

и, кроме того,

Е= Е(2-4.10)

если суммирование в левой части проводится по всем различным упорядоченным наборам к различных /’-мерных индексов.

Лемма 2.4.2. Если 0<e^ai^E< сю, z = 1,... ,п, то для любого фиксированного г при п ос

(2.4.11)(2.4.11)

(2.4.11)

(2.4.11)

Доказательство. Справедливо представление

где в правой части этого равенства суммирование в первой сумме проводится по всем различным наборам различных упорядоченных индексов, а в сумме со звездочкой по всем различным наборам упорядоченных индексов, в каждом из которых имеется по крайней мере два одинаковых индекса. Число слагаемых в первой сумме равно п^Т\ а во второй сумме число слагаемых равно пг — п^ и не превосходит сгпг-1, где постоянная сг зависит только от г. Поэтому

Е й ■ ■ ■ °t > ^ие2г, у^ й ■ ■ ■ °t < сгпГ 1е2г>

и доказательство завершено.

Следствие 2.4.2. При выполнении условий теоремы 2.4.2 для любого фиксированного г ^ 3

ЕаТЕаТХта2т2гХта2т2г

ЕаТ

ЕаТ

Хта2т

2г

Хта2т

2г

Кроме того, для любого 5 > 0 найдется такая постоянная с, что

ЕаТ с

Доказательство. Используя представления (2.4.1) и (2.4.2), с учетом (2.4.9), следствия 2.4.1 и леммы 2.4.2 получаем, что

(г - 1)! А(г - 1)! А2 пг2 пг(г - 1)!АГ 2пГ т\(г - 1)!АГ 2пГ т\

(г - 1)! А

(г - 1)! А

2 пг

2 пг

(г - 1)!АГ 2пГ т\

(г - 1)!АГ 2пГ т\

Хг2тХг2т(1+0(1)) =(1+0(1)) =2г

Хг

2т

Хг

2т

(1+0(1)) =

(1+0(1)) =

-(1 + 0(1)).

Второе утверждение следует непосредственно из неравенства следствия 2.4.1.

Оценим теперь факториальные моменты случайной величины ат. Если Sn = £i + ... + ^^ где ^i,... Дп принимают только значения 0 и 1, то согласно теореме 1.1.4

Sn(S„-l)...(S„-m + l) =52&i...&„,(2-4.12)

где суммирование проводится по всем различным упорядоченным множествам m различных индексов.

В рассматриваемом случае индексы являются составными, так как

(г-1)!/2

Е Е

j=i

Для факториальной степени случайной величины ат справедливо аналогичное (2.4.12) представление

с* - 1)... (ar - m + 1) = 52 Д.^ ■ • ■ ^Д..^) ’(2'4ЛЗ)

где суммирование проводится по всем различным упорядоченным наборам

различных индексов вида ({Д, • • • ^^ з\ набор {Д,... , Д} в индексе рассматривается как неупорядоченное множество различных индексов, а 3 указывает номер цикла, образованного вершинами Д,... , гг.

Покажем, что в условиях теоремы 2.4.2 для любого фиксированного т и любого фиксированного ш + 1

/ \ гn2r \ m

.(2.4.14)

Для m = 1 это утверждение вытекает из следствия 2.4.2.

Чтобы привыкнуть к сложным обозначениям, рассмотрим сначала случай m = 2. В силу (2.4.13)

Е+= Е pfe ги) Д^ ^ = 4-

Разобьем сумму из правой части этого равенства на две суммы. Пусть первая сумма Ei состоит из слагаемых с непересекающимися множествами {г^, • • • > и {^2^ • • • ^2^}- Замечая, что для выполнения равенств ^(^ (1) = ^.^ ,(2) = 1, необходимо 2г ребер, и используя лемму 2.4.1, находим, что

2+ ^2)2+ ^2)1 + 01 + 0

2

+ ^2)

2

+ ^2)

1 + 0

1 + 0

Поэтому

2 а^2)2 а^2)

2 а^2)

2 а^2)

В силу (2.4.9) и (2.4.10)В силу (2.4.9) и (2.4.10)Поэтому согласно лемме 2.4.2Поэтому согласно лемме 2.4.21 \ 2 7 И21 \ 2 7 И2Е«М (1+о(1))2=1/Е«М (1+о(1))2=1/(1+0(1)).(1+0(1)).С nL-MС nL-MПоэтому при п —> ооПоэтому при п —> оо£2^0.£2^0.(2.4.16)(2.4.17)(2.4.16)(2.4.17)

В силу (2.4.9) и (2.4.10)

В силу (2.4.9) и (2.4.10)

Поэтому согласно лемме 2.4.2

Поэтому согласно лемме 2.4.2

1 \ 2 7 И2

1 \ 2 7 И2

Е«М (1+о(1))

2=1/

Е«М (1+о(1))

2=1/

(1+0(1)).

(1+0(1)).

С nL-M

С nL-M

Поэтому при п —> оо

Поэтому при п —> оо

£2^0.

£2^0.

(2.4.16)

(2.4.17)

(2.4.16)

(2.4.17)

(2.4.15)

Покажем, что оставшаяся сумма У2 стремится к нулю. Суммирование в У проводится по парам составных индексов, в которых мно- г.(1).(1)л Г. (2).(2) л„„

жества ,... Дг } и {г^ ,... Дг } имеют по крайней мере один общий элемент.

Каждый составной индекс ({Д,... Зг^з) соответствует циклу в полном графе с г вершинами, этот цикл состоит из г ребер и вершин И,... Зг- Два цикла, соответствующих индексам ({г^,... , г^ДД) и ({г^2\ ... , i^^j2^ в сумме У2 могут иметь М < 2г различных вершин и L различных ребер. Разобьем сумму У 2 на суммы Ем,щ содержащие слагаемые с параметрами М и L. Число таких сумм не превосходит (2г)2, поэтому достаточно доказать, что каждая из сумм Ум,ь стремится к нулю. Легко видеть, что в случае М < 2г справедливо неравенство L ^ М + 1. Число слагаемых в сумме ^м,L не превосходит пм, а вероятность появления L фиксированных ребер в случайном графе Gn;p в силу (2.4.4) не превосходит cn-L. Отсюда следует, что

Утверждение (2.4.14) при т = 2 следует из (2.4.15) и (2.4.17).

Рассмотрим теперь факториальный момент произвольного порядка т. Согласно (2.4.13)

ЕаМ = Si + S2,

где сумма Si состоит из тех слагаемых, для которых среди наборов г-(1)-(1)1Г '(т) -(Hl

Ц^ ,..., 21Ц^ ,...,21 } нет двух наборов с хотя бы одним

общим элементом. В таком случае, в графе Gnj' должны существовать тт фиксированных ребер для того, чтобы соответствующие случайные величины приняли значение единица. Отсюда и из леммы 2.4.1 следует, что

D J 1Ajm) 1 I

'| + (1)^(1) ~ + • • • ) S^(m)^(m) ” J

/ \ \ ТПГ

I \2222 I \\

— I — ICl.(l) • • • Cl.(l)•• • ^.(m)• • • ^.(m) (1 + Щ1)))

уП ; ЧгтЧгт

и в силу (2.4.9) и леммы 2.4.2

/ vy 2г \

Si=(^) (1+0(1)).(2.4.18)

Остается доказать, что сумма S2, взятая по всем остальным наборам индексов, стремится к нулю. Суммирование в +2 проводится по т наборам составных индексов, которые имеют по крайней мере один общий элемент хотя бы в одной из пар множеств {2^, • • • > ^^ {2^,... ,2^}, р ^ д. Напомним, что каждый составной индекс соответствует циклу в полном графе с r вершинами. Циклы соответствующие т индексам в слагаемом суммы У 2 содержит М различных вершин и L различных ребер. Разобьем сумму У 2 на суммы 1^, содержащие слагаемые с параметрами М и L. Число таких сумм не превосходит (rm)2. Поэтому достаточно доказать, что каждая из сумм Sm,l стремится к нулю. Ясно, что М < тт и в этом случае L ^ М + 1. Число слагаемых в сумме Ум,ь не превосходит пм и в силу (2.4.3) вероятность появления L фиксированных ребер в Спщ не превосходит cn-L, поэтому

Следовательно, при п оо

S2 0.(2.4.19)

Утверждение (2.4.14) следует из (2.4.18) и (2.4.19).

Итак, в силу (2.4.14) распределение случайной величины аГ при г > 3 сходится к распределению Пуассона с параметром Аг = Ага2г/(2г). Легко видеть, что в случайном графе Gn;p в условиях теоремы распределения числа петель од и числа пар параллельных ребер

а 2 сходятся к распределениям Пуассона с параметрам Ai = Ла2/2 и А2 = А2а4/4 соответственно.

Таким образом, доказательство теоремы 2.4.2 завершено.

Более общее утверждение теоремы 2.4.3 может быть доказано аналогичным образом. Достаточно показать, что в условиях теоремы

ЕДД ...ДУА™1 ...АД

для произвольных фиксированных целых положительных mi,... , ms, где

_ Ага2гг “ 2г '

В силу (2.4.13)

a[mt] =

/(тМ -(кА ( (к)(к) А 1

где

у = {ДДДад), 1 = 1,k = l,...,s,

суть неупорядоченные наборы тк вершин, a jp\ I = 1,... ,mk, к = 1,... , s, суть номера циклов длин т^ при выбранной их нумерации.

Поэтому

еду ...ду

= Е р К> = 1, • ■ •= 1, • ■ •, ^ = 1, • ■ •= 1},

где

Разобьем сумму в правой части этого представления на две части. В первую сумму Ei включим все слагаемые с различными элементами во всех наборах I^k\ I = 1,... , к = 1,... , s, а во вторую сумму Е2 все оставшиеся слагаемые. Для слагаемого первой суммы соответствующие случайные величины равны единице, если граф Сп^т содержит тхщ +... + msrs фиксированных ребер. Поэтому согласно лемме 2.4.1

рУу)=1,...,ДУ =1|

/ \ \ miri+...+msrs

/12222।\\

= -°,.(ci) ■ • ■ «.од) • ■ •«.(»»,») ■ • ■ а-Л"^ Г + °С))>

Х^а2^ 2тчХ^а2^ 2тчи в силу (2.4.9), (2.4.10) и леммы 2.4.2

Х^а2^ 2тч

Х^а2^ 2тч

Si =

Остается показать, что сумма 1Д стремится к нулю. Суммирование в Д берется по наборам составных индексов, в которых по меньшей мере один из элементов 1,2,... , п появляется хотя бы дважды. Каждому из составных индексов соответствует цикл. Существование общего элемента в этом цикле означает, что число М различных вершин и число различных ребер L в цикле удовлетворяют неравенству L ^ М + 1. Разобьем сумму S2 на конечное число сумм ^м,щ содержащих слагаемые с параметрами М и L. Согласно (2.4.3) для каждой из этих сумм справедлива оценка

СnL-MСnL-M

СnL-M

СnL-M

так как число слагаемых не превосходит пм, а вероятность существования L фиксированных ребер в случайном графе ОП)т не превосходит cn-L.

Таким образом, теорема 2.4.3 доказана.

Для доказательства теоремы 2.4.1 потребуется следующее утверждение.

Лемма 2.4.3. Пусть ^п\ ... , ^n — неотрицательные целочисленные случайные величины такие, что для любого фиксированного целого положительного s и любых целых неотрицательных к^,... ,к8 при п ос

. Ks!

где «1, П2,... — набор фиксированных неотрицательных чисел. Кроме того, пусть при s ос

Е (^ + ■ • ■ + Д’)0(2.4.20)

равномерно по п и

У^ ak = А < ос.

к=1

Тогда при псо распределение случайной величины

(^ = £1^ + ... + ^ сходится к распределению Пуассона с параметром А.

Доказательство. Покажем, что для любого £ > 0 и любого фиксированного т

/ XДт -А

£

для достаточно большого п. Для фиксированных е и т существует такое s, что

£3’£3’Ате

£

3’

£

3’

где As = ai + ... + as.

Нетрудно видеть, что

0}.

Поэтому в силу (2.4.20)

для достаточно больших s. Наконец, в силу условий леммы распреде-

Д при фиксированномД при фиксированномление случайной величины Q

Д при фиксированном

Д при фиксированном

s сходится к распределению Пуассона с параметром As = ai + ... + а Поэтому

£3£3/ хдт -As

£

3

£

3

p{dn) = щ - -^-г-

для достаточно больших s.

Теорема 2.4.1 следует из 2.4.3 и леммы 2.4.3, условия которых выполняются при Ла2 < 1.

Замечания и литературные ссылки

Исследования эволюции случайных графов начались с известной статьи Эрдеша и Реньи [127], опубликованной в 1960 году. Наряду с основными свойствами случайного графа G^T в этой статье был отмечен эффект, который естественно трактовать как фазовый переход. Примерно в это же время В. Е. Степанов провел исследования случайного графа GHiP, результаты которых были опубликованы позднее в статьях [97, 98, 99]. До последнего времени за рубежом эти результаты В. Е. Степанова не получили достаточной известности. В частности, В. Е. Степанов доказал, что если р = с/n, где с — постоянная, большая единицы, то размер гигантской компоненты асимптотически нормален со средним пи (с) и дисперсией п/3(с), где

= 1 — —, с= 1 — —, с7(1 - 7/с)7(1 - 7/с)с(1 -Д2 ’с(1 -Д2 ’

= 1 — —, с

= 1 — —, с

7(1 - 7/с)

7(1 - 7/с)

с(1 -Д2 ’

с(1 -Д2 ’

и 7, 7 < 1, — корень уравнения

7е-7 = се-с.

Аналогичные результаты для графа G^T были получены Питтелем [160] почти через двадцать лет после публикаций В. Е. Степанова. Питтель доказал, что при n, Г оо и 2Т/п —> с > 1 размер гигантской компоненты графа G^T распределен асимптотически нормально с параметрами па(с) и п/3(с)(1 — 27 + 2д2/с).

Остается много открытых вопросов, касающихся эволюции случайных графов. Основная цель этой главы состояла в том, чтобы показать возможности подхода, использующего обобщенную схему размещения при изучении эволюции случайных графов. Результаты параграфа 2.1 показывают, что тонкие свойства докритических графов можно изучать простым и естественным путем, в том числе, и некоторые свойства таких графов вблизи критической точки. Переходные явления для графа G^T были впервые рассмотрены Боллобашем в [119]. Результаты, представленные в параграфе 2.1 опубликованы в [54]. Подход, основанный на использовании обобщенной схемы размещения, позволил доказать асимптотическую нормальность числа одноцикловых компонент и найти предельное распределение максимального размера деревьев и одноцикловых компонент.

Параграф 2.2 посвящен критическим графам. Поведение случайного графа вблизи критической точки и особенно в области, где формируется гигантская компонента, сложно и его изучение вызывает большие трудности. Исследования этого поведения далеки от завершения, но даже изложение их современного состояния могло бы составить отдельную монографию. Много результатов о случайных графах можно найти в фундаментальном исследовании Боллобаша [120] и в монографии [159], целиком посвященной эволюции случайных графов. Детальный анализ процесса формирования гигантской компоненты содержится в статье [144]. Надкритические графы рассматривались Лучаком в статье [154], где, в частности, доказано, что правая граница критической области определяется условиями п.Т сю, (1 - 2Т/п)3п -оо.

Следуя подходу, использованному в первых двух главах, случайные графы в надкритической области можно было бы изучать, используя представление почти всех из них как комбинацию компонент трех типов: одной гигантской компоненты, деревьев и одноцикловых компонент. Однако реализации такого подхода мешает отсутствие простых формул для числа связных графов с п вершинами и Т ребрами, для которых к = Т — п > 0. Заметим, что к = Т — п равно числу независимых циклов в таком графе и называется цикломатическим числом графа. Обозначим с(п, к) число связных графов с п занумерованными вершинами, имеющих цикломатическое число к. Ясно, что с(п, — 1) — число деревьев и по формуле Келли с(п, — 1) = пп-2, а

с(п, 0) — число ип одноцикловых графов, рассмотренных в параграфе 1.7. Числа с(п, к) изучались В. Е. Степановым (см. [7, 25, 26]) и Райтом [165, 166] и получили название чисел Степанова-Райта (см. [26]). При п сю и к3/п 0

^7)П"+(к^7)П"+(кс(п, к) = б/(3тг)х^2 (

^7)П"+(к

^7)П"+(к

где, как доказано Меертенсом, d = 1/(2тг) (см. [115]).

Можно надеяться, что результаты статьи [116], где получена асимптотика чисел с(п, к) при всех регулярных изменениях параметров п и к, могут помочь реализовать отмеченный выше подход, использующий обобщенную схему, для изучения надкритических графов и довести уровень их изучения до уровня, достигнутого для докритичес- ких графов. Заметим, что если бы было известно предельное совместное распределение размера гигантской компоненты и числа ее ребер, то получение предельных распределений для характеристик надкритического графа сводилось бы к простому усреднению по этому распределению предельных распределений этих характеристик, полученных при фиксированных параметрах гигантской компоненты.

Параметр 0 = 2Т/п играет роль времени в эволюции случайных графов. Поэтому числовые характеристики случайного графа можно рассматривать не только как случайные величины, но и как случайные процессы с временным параметром 0. Особый интерес представляет изучение сходимости таких процессов (см. [124, 143, 161]). Заметим, что в задачах комбинаторики изучение сходимости таких процессов было начато в работах Б. А. Севастьянова [96] и Ю. В. Болотникова [11, 12, 13].

Случайный граф Спщ, рассматриваемый в параграфе 2.3, изучен в [56, 58]. Этот граф представляет собой модель графов, возникающих при изучении систем случайных сравнений по модулю 2, рассматриваемых в следующем параграфе. Аналог теоремы 2.3.8 для двудольных графов доказан в [95].

Неравновероятный вариант графа Gn^ рассматривается в параграфе 2.4, где приведены результаты статей [64, 146, 145]. При этом используется метод моментов. Отсутствие других методов анализа неравновероятных случайных графов не позволяет довести их исследования до желаемой полноты. Нам кажется, что разработка методов анализа неравновероятных графов является одной из важных задач теории графов.

Глава 3

Системы случайных линейныхуравнений в GF(2)

Ранг матрицы и критические наборы

В этом разделе рассматриваются системы линейных уравнений в GF(2), в поле из двух элементов, 0 и 1. Приведем два примера, описывающих ситуации, в которых появляются такие системы уравнений.

Вначале рассмотрим простую задачу классификации. Предположим, что имеется множество п предметов двух сортов, например, предметов, имеющих веса, принимающие два разных значения. Мы можем последовательно с помощью некоторого случайного механизма выбирать пары предметов этого множества и определять, совпадают веса этих предметов или они различны. Задача состоит в том, чтобы разделить все предметы на два множества, в каждом из которых предметы имеют одинаковый вес, точнее, оценить вероятность того, что такое решение будет найдено. Для формального описания ситуации предположим, что предметы занумерованы числами 1,2,... , п и Xj обозначает неизвестный сорт предмета с номером Д j = 1,... , п. Будем считать, что Xi,... , хп принимают значения 0 и 1 в зависимости от того, к какому из двух множеств принадлежат предметы. Проведем Т испытаний, в каждом из которых для сравнения выбирается пара предметов, пусть в испытании с номером t выбраны предметы с номерами i(t) и j(t^ t = 1,... , Т, и пусть bt — результат их сравнения, то есть bt = 0, если сорта (веса) предметов оказались одинаковыми, и bt = 1, если они различны. Таким образом, результаты этих испытаний можно записать в виде следующей системы уравнений в GF(2):

^i(t) + ^j^t) = ^t-> t = 1, . . . , T.(3.1.1)

Эту систему можно переписать в матричном виде

АХ = В,

где X = (яд,... , хп) и В = Дх,... , Ьт) — векторы-столбцы, а элементы atj матрицы А = H^tjH, t = 1,... , Т, j = 1,... , n, — случайные величины, распределение которых зависит от случайного механизма выбора пар предметов. Удобно связать с этой системой, точнее с матрицей Л, случайный граф Gn^ с п вершинами, соответствующими переменным яд,... , хп. Граф содержит Т ребер ^1\з^\ t = 1,... , Т. Вообще говоря, такой граф может иметь петли и параллельные ребра, что зависит от механизма выбора пар предметов для сравнения.

В этой главе рассматриваются те характеристики случайного графа Gnj^ которые как-то связаны со свойствами системы (3.1.1). Ясно, что одной из таких характеристик является связность графа. Действительно, в случае, когда граф связен, определяются все значения величин яд,... ^ если одной из этих величин приписать одно из возможных значений, 0 или 1. В обоих случаях разбиение множества номеров предметов оказывается одним и тем же, так что система имеет два различных решения. В случае, когда граф Спщ несвязен, система имеет более двух решений и полная классификация невозможна.

Пусть вектор В состоит из независимых случайных величин, принимающих значения 0 и 1. Если прибор, осуществляющий сравнения предметов (весы) неисправен, сравнение иногда может приводить к ложному результату, так что величины bi,... Дт могут отличаться от истинных значений. В этом случае мы получаем систему с искаженными правыми частями, которая может не иметь решения. Если прибор для сравнения вовсе не дает информации о соотношении между сортами сравниваемых предметов, то естественно предположить, что случайные величины ^i... Ду не зависят от левой части системы и принимают значения 0 и 1 с равными вероятностями. В описанной ситуации возникают естественные вопросы: зависят или не зависят правые части системы bi,... Дт от левой части, и если зависят, то можно ли восстановить истинные значения величин яд,... ^хп с помощью системы с искаженными правыми частями?

Обратимся ко второму примеру. Пусть (щ,... , сп) — вектор с элементами из GF(2). По начальному вектору яд,... , хп можно построить рекуррентную последовательность хп^ t = 1,2,... , используя рекуррентное соотношение

^n+t — c^Xt "Г • • • "Г Cn^n-\-t—i 1 ^ — 1,2,... (3.1.2)

Это рекуррентное соотношение можно реализовать с помощью устройства, называемого регистром сдвига, схема которого представлена на рисунке 3.1.1. Регистр сдвига состоит из п последовательно расположенных ячеек, занумерованных числами 1,2,... , п. Состоянием регистра называется п-мерный (0,1)-вектор заполнений этих ячеек. В начальный момент состоянием регистра является вектор (яд,... , хп\ Вектор (щ,... , сп) описывает конструкцию регистра и означает, что в регистре выбираются ячейки с номерами, которым соответствуют единицы последовательности щ,... , сп, и формирует- 10 В. Ф. Колчин

Рис. 3.1.1. Регистр сдвига

ся сумма xn+i = cixi + ... + спхп по модулю 2. В следующий момент содержимое ячеек регистра сдвигается на единицу влево, так что хп переходит в ячейку с номером п — 1, xn~i переходит в ячейку с номером п — 2 и так далее, яд покидает регистр сдвига, а сумма xn+i = cixi + ... + спхп занимает освободившуюся ячейку с номером п. Таким образом, регистр из состояния (яд,... , хп) переходит в состояние (яд,... ,xn+i). Далее процесс повторяется. Таким образом, если заданы щ,... , сп, то для любого начального состояния яд,... , хп рекуррентная последовательность (3.1.2) в GF(2) удовлетворяет соотношениям

^п+1 — cixi Т ... Т спхП1

ТД+2 = С1Х2 + • • • + CnXn-^-Xi

ХпХТ = С1Хт + . . . + СпХп^Т-1-

Сделав замену bt = хп^ t = 1,2,... , Т, и положив ац = щ,... , ain = сп, находим, что первое соотношение принимает вид

а,цХ\ + ... + а\пхп = bi.

Ясно, что вместо яд+i во втором равенстве можно подставить cixi + ... + спхп и получить соотношение

&21ЯД + . . . + а^п^тъ = ^2-

Преобразуя аналогичным образом остальные соотношения, получаем равенства

ПцЯД т . . . т Hln^n — ^1?

(3.1.3)

ciTiXi + ... + атпХп = Ьт-

Если начальное состояние (яд,... , хп) неизвестно и в нашем распоряжении имеется последовательность Ь1,...,Ьт, то соотношения

можно рассматривать как систему линейных уравнений относительно неизвестных xi,... , тп, решение которой приводит к нахождению начального заполнения регистра сдвига и к восстановлению всей последовательности bt, t = Т + 1,...

Несколько другая ситуация возникает, когда неизвестен вектор щ,... , сп, определяющий обратную связь в регистре сдвига. Предположим, что наблюдается последовательность bi,... , Ьт- Например, если известно, что число единиц в векторе (щ,... , сп) равно к, то имеется (^) различных возможных вариантов этого вектора. Если использовать полный перебор для нахождения истинного вектора, который соответствует последовательности bi,... , Ьт, то возникает следующая ситуация. Если проверяемый вектор истинный, то система (3.1.3) совместна при любом числе уравнений Г, но если проверяемый вектор (щ,... , сп) не является истинным, то система может стать несовместной при некотором Т. Поэтому совместность системы (3.1.3) может служить критерием при нахождении истинного вектора (щ,... , сп).

Для изучения систем линейных уравнений в GF(2) введем вспомогательные понятия критического набора и гиперцикла. Заметим, что такие понятия линейной алгебры, как линейная независимость векторов, ранг матрицы, правило Крамера для нахождения решений линейных систем уравнений и другие, очевидным образом переносятся на n-мерное векторное пространство над GF(2\ Например, если ранг Т х п матрицы А = ||а^* || в GF(2) равен г, то однородная система уравнений

АХ = О,где X = (xi,... , хп) — вектор-столбец неизвестных, имеет ровно п — тлинейно независимых решений.

Обозначим

&t = (^ti Фп),7 = 1,... ,F,

строки матрицы А. Если покоординатная сумма

щт + ... + Фт = О,

то множество С = {П,... ,7m} номеров строк называется критическим набором.

Если Ci и С-1 — различные критические наборы, то

CY Л С2 = (Cl U С2) \ (С1 П С2)

— также критический набор.

Пусть Si,... , ss принимают значения 0 и 1. Критические наборы Ci,... , Cs называются независимыми, если

ЕлСу /X E2G2 /X . . . ZX esCs = 0

тогда и только тогда, когда Si = ... = es = 0.

Обозначим s(A) максимальное число независимых критических наборов и г (А) ранг матрицы А.

10*

Теорема 3.1.1. Для любой Т хп матрицы А в СЕД

зД) + ДА) = Т.

Доказательство. Рассмотрим однородную систему уравнений

A'Y = 0 (3.1.4)

в СЕД^ где А' — матрица, транспонированная к А. Существует взаимно однозначное соответствие между решениями системы (3.1.4) и критическими наборами матрицы А. Решение Y^...^™ = (^/i, • • • ^ Ут)^ компоненты ytx1 . . . y-t™ которого равны единице, а остальные равны нулю, соответствует критическому набору С = Дд,... AmV Линейно независимые решения соответствуют независимым критическим наборам. Поэтому максимальное число критических наборов s(A) равно максимальному числу линейно независимых решений системы (3.1.4), которое равно Т — г (А).

Наряду с критическими наборами Т х п матрицы А = Ца^Ц рассмотрим гиперграф Сд, определяемый матрицей А следующим образом. Множеством вершин гиперграфа Сд служит множество {!,... , п} номеров столбцов, а множеством занумерованных гиперребер является множество {ei,... , е^}, где

et = {Г atj = 1}, t = 1,... ,Т-

Таким образом, строке at = (<м,... , аД соответствует гиперребро et, t = 1,... , Т. Заметим, что строке, состоящей из нулей, соответствует пустое множество.

Кратностью вершины j в множестве С = {е^,... , в1Д гиперребер назовем число гиперребер в С, содержащих эту вершину.

Множество гиперребер С = {е^,... . Щ,/} назовем гиперциклом, если каждая вершина гиперграфа Сд имеет четную кратность в С, другими словами, если покоординатная сумма строк а^ + ... + a-t^ в СЕД равна нулевому вектору.

Если каждая строка матрицы А содержит ровно две единицы, то гиперграф Сд представляет собой обычный граф, возможно с кратными ребрами, и гиперцикл — это обычный цикл или объединение нескольких циклов.

Множество номеров гиперребер, входящих в гиперцикл, образует критический набор матрицы А. Пусть Si,... , ss принимают значения О и 1. Гиперциклы Ci,... , Cs называются независимыми, если

EiCi А Е2С2 А ... A esCs = 0,

тогда и только тогда, когда Si = ... = es = 0. Поэтому максимальное число s (А) независимых критических наборов в матрице А равно максимальному числу независимых гиперциклов в гиперграфе Сд.

Матрицы с независимыми элементами

В этом разделе рассматриваются случайные матрицы с независимыми элементами. Пусть А = Ц^-Ц — матрица размера Т х п, элементы которой независимы и принимают значения 0 и 1 с равными вероятностями, и пусть рДТ) — ранг матрицы А в GF(2). Следующая теорема составляет главный результат этого раздела.

Теорема 3.2.1. Пусть s "> 0 и т — фиксированные целые числа, т + s > 0. Если п ос и Т = п^ т, то

ОО/1 х m+s /1 х

Р^рЛТ) = п- s}Р^рЛТ) = п- s}2-s(m+s) ттЛ

Р^рЛТ) = п- s}

Р^рЛТ) = п- s}

И \2г ) 11 \2г /

2 = sTl 472=147

где последнее произведение полагается равным единице при m-\-s = 0.

Доказательство. Докажем теорему, используя явную формулу для вероятности P{pn(T) = п — s}. Обозначим рДД ранг подматрицы А, состоящей из первых t строк матрицы А. Будем интерпретировать параметр t как время и рассмотрим процесс последовательного роста числа строк. Положим ^ = 1, если ранг рД1 — 1) возрастает после добавления t-й строки, и ^ = 0, если ранг сохраняет при этом свое значение. Ясно, что

Pn(t) = £1 + . . . +

Нетрудно описать вероятностные свойства случайных величин £1,... Дт- Событие {^ = 1} означает, что t-я строка линейно независима от множества строк с номерами 1,... , t — 1, а событие {^ = 0} означает, что строка с номером t есть некоторая линейная комбинация предшествующих строк. Если среди t — 1 предшествующих строк имеется ровно к линейно независимых n-мерных векторов, то рп (t—1) = к. Линейная оболочка этих к векторов содержит 2^ векторов (все линейные комбинации этих к векторов). Матрица А устроена так, что каждая строка получается с помощью простого случайного выбора с возвращением из ящика, содержащего все 2П различных двоичных n-мерных векторов. Другими словами, каждая строка матрицы А не зависит от всех остальных строк и равна любому п-мерному двоичному вектору с вероятностью 2-п. Поэтому

3.2.13.2.1Р&=0\РтЛ-1)=Ц = ^;,PUt = l\Pn(t-l)=k^ = l-^.

3.2.1

3.2.1

Таким образом, процесс pn(t) — это цепь Маркова со стационарными вероятностями перехода, задаваемыми равенствами (3.2.1). Чтобы найти P{pn(T) = n —s}, достаточно просуммировать вероятности всех

Рис. 3.2.1. График траектории с £Д = ... = Д„ _ = 0Рис. 3.2.1. График траектории с £Д = ... = Д„ _ = 0

Рис. 3.2.1. График траектории с £Д = ... = Д„ _ = 0

Рис. 3.2.1. График траектории с £Д = ... = Д„ _ = 0

траекторий этой цепи Маркова, ведущих из начала координат в точку (п + т,п — s), то есть, таких траекторий, для которых рп(0) = 0, рп(п-\-т) = n — s. Если представить траекторию как ломаную линию с интервалами роста и горизонтальными интервалами между соседними временными точками, то нетрудно видеть, что каждая такая ломаная содержит ровно п + т — (n — s) = т + s горизонтальных участков, соответствующих т + s нулевым значениям среди случайных величин <1,... , Сп+т- График траектории, для которой <^ = 0,... , (t^ = 0, приведен на рисунке 3.2.1.

Используя (3.2.1) и рисунок 3.2.1, нетрудно найти явную формулу для вероятности отдельной траектории и для суммарной вероятности. Особенно просто это делается в случае, когда т + s = 0. Действительно, в этом случае только для одной траектории рп(0) = 0 и рп(п-\-т) = п + ш, эта траектория не имеет горизонтальных участков и на каждом шаге ломаная возрастает. Поэтому в случае т + s = 0

Р^рДп + т) = п — s} =Р^рДп + т) = п — s} =2п+т— 12п2п+т— 12п

Р^рДп + т) = п — s} =

Р^рДп + т) = п — s} =

2п+т— 1

2п

2п+т— 1

2п

и при П ОО

W += П — s}W += П — s}

W += П — s}

W += П — s}

что совпадает с утверждением теоремы, поскольку в этом случае последнее произведение в формуле, приведенной в теореме, полагается равным единице.

В общем случае, при т + s ^ О,

P^pn(jl + 771) = 72 — s}

= Z p^i = i’--- ’^i-i = i’^i =0’^+1 = 1,...}

1^11 <...<1^+8 <n+m

2n(m+s)2n(m+s)2^1 1 + ^2 2 + . . . T1777,—|— s — т — 82^1 1 + ^2 2 + . . . T1777,—|— s — т — 8

2n(m+s)

2n(m+s)

2^1 1 + ^2 2 + . . . T1777,—|— s — т — 8

2^1 1 + ^2 2 + . . . T1777,—|— s — т — 8

(п— s)(m+s)+ti(п— s)(m+s)+tiВынося из под знака суммы множитель 2^” s)(m+s); получаем, что

(п— s)(m+s)+ti

(п— s)(m+s)+ti

P{p„(n + m) = п - s} = 2"s(m+s)

Как можно усмотреть из последующих оценок, моменты времени ^1,... ,tm^_s, в которых заканчиваются горизонтальные участки ломаной, расположены в заключительной части траектории. Поэтому в сумме, входящей в формулу, удобно перейти к новым переменным

Й = —(ti — I + s — 72), I = 1,... , т + 8.

Из неравенств 1 ^ ^ <Из неравенств 1 ^ ^ << tm+s < п + т следует, что

Из неравенств 1 ^ ^ <

Из неравенств 1 ^ ^ <

0 ^ Н — 1 ^ ^2 — 2 ^0 ^ Н — 1 ^ ^2 — 2 ^^^ tm+s TFt 8 ^^ 728.^^ tm+s TFt 8 ^^ 728.

0 ^ Н — 1 ^ ^2 — 2 ^

0 ^ Н — 1 ^ ^2 — 2 ^

^^ tm+s TFt 8 ^^ 728.

^^ tm+s TFt 8 ^^ 728.

Вычитая п — 8 из каждого члена этого соотношения, находим, что

— 72 + S < ^1 — 1 — 72 + S <— 72 + S < ^1 — 1 — 72 + S << tm+s — т — s — п + s С 0.< tm+s — т — s — п + s С 0.

— 72 + S < ^1 — 1 — 72 + S <

— 72 + S < ^1 — 1 — 72 + S <

< tm+s — т — s — п + s С 0.

< tm+s — т — s — п + s С 0.

Меняя знак, видим, что область суммирования 1 ^ Н < • • • < tm+s ^ 72 + 772 в новых переменных принимает вид

0 ^ ^m+s ^0 ^ ^m+s ^С Й С 72 — 8.С Й С 72 — 8.

0 ^ ^m+s ^

0 ^ ^m+s ^

С Й С 72 — 8.

С Й С 72 — 8.

Таким образом,

РШ™ + т) = п — s}

Нетрудно видеть, что при п сю

У^ 2"®™+=---^У2 2-im+s-...-ii.(3.2.4)

О У ^тп-+ s ^ • • • ^ ^ 1 ^ П SО Д &гп-|- д Д ... Д i 4

Для завершения доказательства остается преобразовать правую часть (3.2.4). Нетрудно видеть, что

Переходя в (3.2.2) к пределу и учитывая (3.2.3), (3.2.4) и (3.2.5), получаем утверждение теоремы.

Как и ранее, предположим, что элементы Г х п матрицы А = \\atj || независимы и принимают значения 0 и 1 с равными вероятностями. Рассмотрим систему уравнений

АХ = 0 (3.2.6)

относительно неизвестных X = (яд,... , тп) в GF(2). Обозначим рпт число линейно независимых решений этой системы уравнений. Если ранг рп(Т) матрицы А равен г, то vn^ = п — г. Поэтому из теоремы 3.2.1 получаем следующее утверждение.

Теорема 3.2.2. Пусть s "> 0 и т — фиксированные целые числа, т + s А 0. Если п оо, то

Р {^n,n+mР {^n,n+m

Р {^n,n+m

Р {^n,n+m

где последнее произведение полагается равным единице при m+s = 0.

В частности, при т = s = 0

РК,„ = 0} П fl - 1) = 0.28878816...

Важность результатов, содержащихся в теоремах 3.2.1 и 3.2.2, возрастает в связи с тем, что они устойчивы по отношению к отклонениям распределений элементов матрицы от равномерного.

Теорема 3.2.3. Пусть элементы Т х п матрицы А = Цс^-Ц независимы, и пусть существует такая положительная постоянная 5, что для вероятностей р^ = Р{^- = 1} справедливы неравенства

t = l,...,T, j =

Пусть s А 0 и т — фиксированные целые числа и т + s ^ 0.

Тогда при п оо

оо /1 х m+s /\ —1

P^p4n + m) = n-S^2-s^ [J h )рЦ1 ),

2 = s+l' 2=1'

где последнее произведение полагается равным единице при m+s = 0.

Поскольку этот результат лежит в стороне от комбинаторной направленности этой книги, здесь не приводится довольно сложное доказательство этой теоремы (см., например, [44]). Мы ограничимся тем, что покажем, что при выполнении условий теоремы 3.2.3, среднее значение числа нетривиальных решений (3.2.6) инвариантно относительно отклонений распределений элементов матрицы А от равномерного.

Пусть цп^т — число нетривиальных (то есть ненулевых) решений системы (3.2.6). С каждым вектором X свяжем индикатор, равный единице, если X удовлетворяет системе уравнений, и равный нулю в противном случае. Тогда

Е^„,Т = 52 рм^ = °}-

При оценке Едпщ будет использоваться следующая лемма о суммировании независимых случайных величин в GF(2\

Лемма 3.2.1. Пусть £i,... Дп — независимые случайные величины, принимающие значения 0 и 1 с вероятностями

Pte = l} = ^5 РЙ=О} = Ц^, г =

Тогда в GF^)

Доказательство. Ясно, что достаточно доказать утверждение леммы при п = 2. В этом случае

Р{6 + €2 = 1} = P{€i = 1, & = о} + P{€i = о, €2 = 1} (1-А1)(1+А2) (l + A^l-Aa) 4+4

_ 1 — Д1Д2

“2’

Если элементы матрицы А независимы и принимают значения 0 и 1 с равными вероятностями, то согласно лемме 3.2.1 для любого X ^ 0

Р{ЛХ = 0} = (Рфлцяц + ... + ainxn = 0})т = 2"т.

Поэтому EjjLn T = (2П —1)2-Т и при Т = п + ш, где т — фиксированное целое число,

Р _ 1 1

при п сю

При некоторых условиях на неравновероятные распределения элементов матрицы А последний результат остается в силе. Пусть

Д = р{“у = о,

и, как и ранее, пусть щ^т — число нетривиальных решений системы (3.2.6).’

Теорема 3.2.4. В условиях теоремы 3.2.3

М"п,Т ^

Доказательство. Используя индикаторы, точно так же, как при вычислении среднего числа решений в равновероятном случае, находим, что

(3.2.7)(3.2.7)E/w = £ Р{ЛХ = 0} = ££р^,... dk

(3.2.7)

(3.2.7)

Х^Ок=1 1^31<...<3к^п

где для любого фиксированного множества {л,... ,зД из области суммирования слагаемое Pjlv.. ^к = Р{ЛХ = 0} соответствует вектору X = (яд,... ,хп), в котором элементы с индексами л,... Дк равны единице, а остальные элементы равны нулю.

Представим вероятности р^ в виде

(п) _ 1 Xtj Ptj(п) _ 1 Xtj Ptj22

(п) _ 1 Xtj Ptj

(п) _ 1 Xtj Ptj

2

2

По условиям теоремы существует такое А < 1, что | А^-1 < А для всех t и j. Строки матрицы А независимы, поэтому

31 V Лк £ Pjlv Лк ’

где

Pjj.. dk = р{“<л + • ■ • + «Ш = о}.

Согласно лемме 3.2.1

Р^зг + ... + atjk — 0} —Р^зг + ... + atjk — 0} —‘tji • • • Xtjk2‘tji • • • Xtjk2и для всех t и 1 < ли для всех t и 1 < лЗкЗк

Р^зг + ... + atjk — 0} —

Р^зг + ... + atjk — 0} —

‘tji • • • Xtjk

2

‘tji • • • Xtjk

2

и для всех t и 1 < л

и для всех t и 1 < л

Зк

Зк

1 - х . (t), I + -

2 ^оь-jfc^ 2

Отсюда, для Pjlv„ jk справедливы оценки

1Л^У <Р№2)jiv,jk1Л^У <Р№2)jiv,jk22

1Л^У <Р№

2)jiv,jk

1Л^У <Р№

2)jiv,jk

2

2

Используя эти неравенства и (3.2.7), находим, что

(3.2.8)

Пусть теперь Т = п + ш, где т — фиксированное целое число. Левая и правая части неравенства (3.2.8) оцениваются аналогично. Оценим, например, правую часть. Положим

и сравним 5(A) си сравним 5(A) с1^пД-т *1^пД-т *5101 = Ё ©к=1 Х 75101 = Ё ©к=1 Х 7

и сравним 5(A) с

и сравним 5(A) с

1

^пД-т *

1

^пД-т *

5101 = Ё ©

к=1 Х 7

5101 = Ё ©

к=1 Х 7

Было показано, что 5(0) 2-ш при п сю. Докажем, что для любого фиксированного А, 0 < А < 1, разность 5(A) —5(0) стремится к нулю. Разобьем 5(A) на две части

51(A) =51(A) =52 (А) =52 (А) =

51(A) =

51(A) =

52 (А) =

52 (А) =

где 6, 0 < £ < 1/2, будет выбрано позднее. Ради простоты, предположим, что е таково, что еп — целое число, тогда для любого £ и А,

0<A<l,0<s< 1/2,

51(A) =51(A) =/ 1। А \ ЬFT)1 + АЕПП£Тг/ 1। А \ ЬFT)1 + АЕПП£ТгV 2 у ^ETxYnVme-£n'V 2 у ^ETxYnVme-£n'

51(A) =

51(A) =

/ 1। А \ ЬFT)

1 + АЕПП£Тг

/ 1। А \ ЬFT)

1 + АЕПП£Тг

V 2 у ^ETxYnVme-£n'

V 2 у ^ETxYnVme-£n'

где была использована оценка n! > пп Дпе п. Полученная оценка для 51 (А) может быть записана в виде

51(A) ^V^(l^)51(A) ^V^(l^)1 +А\2£ев-еу1 +А\2£ев-еу

51(A) ^V^(l^)

51(A) ^V^(l^)

1 +А\

2£ев-еу

1 +А\

2£ев-еу

Выбором достаточно малого £ сделаем величину (1+А)/(2в£е-£) меньшей единицы. Для такого £ эта оценка при п сю стремится к нулю. Таким образом, существует фиксированное е, 0<е<1/2, такое, что 51(A), а следовательно, и 5Д0), стремятся к нулю. Отсюда, 5ДА)-5Д0) ^0.

Оценим теперь разность 52(А) — 52(0). Ясно, что

О 5 $2(Д) - S2(0) = £

г<к^п х 7

/ v ) 2n+m

£<к^П х '

= ((1 + деп)п+т -1) V Гз^—

")' Z_v \АЩ2п+т

гп<к^п х 7

((1 + Де”)"+т-1).2т хх//

Так как (1 + Деп)п+т 1 При п оо, из полученной оценки следует,

что 52(А) - 52(0)0.

Итак, показано, что 5(A) — 5(0) — 0 и 5(0)2-ш, поэтому

5(A)2-ш и теорема 3.2.4 доказана.

У = 1,... ,пУ = 1,... ,пIn п + хппIn п + хппВ действительности предположения теоремы 3.2.4 могут быть ослаблены. Результат остается справедливым, если для всех t = 1,... , Т,

У = 1,... ,п

У = 1,... ,п

In п + хп

п

In п + хп

п

1ПП Д

Pti <

Jп

где хп стремится к бесконечности как угодно медленно (см. [44]). Эти границы точны в том смысле, что, как будет показано в следующем разделе, ранг матрицы А имеет другое предельное распределение, если в приведенном выше условии величина хп постоянна.

Ранг матрицы с малым числом единиц

В разделе 3.1 введено понятие критического набора матрицы. Напомним, что множество {Н,... Ат^ номеров строк матрицы в GF(2) называется критическим набором, если покоординатная сумма строк с номерами Н, • • • , tm равна нулевому вектору. Было также введено понятие независимости критических наборов и максимальное число независимых критических наборов матрицы А было обозначено s(A). Согласно теореме 3.1.1 ранг г (А) матрицы А связан с s(A) соотношением s(A) + r(A) = Т. Поэтому вместо ранга матрицы можно изучать максимальное число независимых критических наборов s(A).

В этом разделе критические наборы используются для изучения ранга матриц с небольшим числом единиц. Предполагается, что элементы Т х п матрицы А = Ц^-Ц независимы и принимают значения 0 и 1 с вероятностями

где х — постоянная, t = 1,... , Т, j = 1,... , п. Найдем предельное распределение s(A) для таких матриц.

Теорема 3.3.1. Если пД сю так, что Т/п а, 0 < а < 1, и выполняется 'условие (3.3.1), то распределение максимального числа независимых критических наборов s(A) сходится к распределению Пуассона с параметром А = ае-х.

Вначале покажем, что распределение числа критических наборов, соответствующих нулевым строкам матрицы, сходится к распределению Пуассона. Обозначим Дт число нулевых строк матрицы А.

Лемма 3.3.1. Если пД оо так, что Т/п аД < а < ос, и выполнено условие (3.3.1), то для любого фиксированного к = 0,1,...

—А

Р^п,т = к^—,

где А = ае-х.

Доказательство. Вероятность рп того, что фиксированная строка состоит сплошь из нулей, равна

А 1пп + хАп

Рп = (1) ’

\ П j

и в условиях леммы

Рп = 1е"ж(1 + о(1)).

п

Случайная величина А,г имеет биномиальное распределение с параметрами Д,рД, где Т — число испытаний и рп — вероятность успеха. В условиях леммы среднее число успехов Трп стремится к ае-х, поэтому биномиальное распределение числа нулевых строк сходится к распределению Пуассона с параметром ае-х.

Докажем теперь, что если а < 1, то с вероятностью, стремящейся к единице, все критические наборы исчерпываются критическими наборами, соответствующими нулевым строкам.

Лемма 3.3.2. Если пД сю так, что ТД а, а < \, и выполняется условие (3.3.1), то с вероятностью, стремящейся к единице, критические наборы матрицы А состоят только из критических наборов, соответствующих нулевым строкам.

Доказательство. Рассмотрим общее число критических наборов, каждый из которых содержит хотя бы одну ненулевую строку и докажем, что математическое ожидание этого числа стремится к нулю

в условиях леммы. Хотя доказательство этого факта достаточно прямолинейно, оно содержит ряд громоздких оценок сумм, содержащих биномиальные коэффициенты.

Заметим, что вероятность того, что число успехов в к независимых испытаниях с вероятностью успеха р четно, равна (1 + (q — р)^)/2.

Найдем вероятность того, что к фиксированных строк соответствуют критическому набору, содержащему ненулевую строку. Индексы этих строк образуют критический набор, если каждый столбец подматрицы, составленной из этих строк, содержит четное число единиц. В соответствии с приведенным выше замечанием, для каждого столбца эта вероятность равна

ЛА2(1пп + я;)\/Л

\\ п / /

Поэтому вероятность того, что эти к строк образуют критический набор, равна

А 2(1пп + х)\ \1+1 .

у п j /

Заметим, что вероятность того, что в этих к строках нет ни одной единицы, равна

У п /

Используя представление общего числа нетривиальных критических наборов и числа критических наборов, соответствующих нулевым строкам, в виде суммы индикаторов, получаем, что математическое ожидание числа критических наборов, каждый из которых содержит хотя бы одну единицу, равно

где

г к = 1 +г к = 1 +2(1пп + ж)2(1пп + ж)

г к = 1 +

г к = 1 +

2(1пп + ж)

2(1пп + ж)

Слагаемые с индексом к = 0, дополнительно включенные в эти суммы, уничтожают друг друга. Прежде всего заметим, что

In п + х \ кп

In п + XпIn п + Xпп /

In п + X

п

In п + X

п

и в условиях леммы

Л Л 1пп + т\ \ Л 1

1+1= 1 + -е ж + о -= еае (1 + о(1)).

\\ П / /\71\п / /

Рассмотрим теперь сумму

а = 1 - 2(1пп + х)/п, ?к = 1 + ак.а = 1 - 2(1пп + х)/п, ?к = 1 + ак.Положим

а = 1 - 2(1пп + х)/п, ?к = 1 + ак.

а = 1 - 2(1пп + х)/п, ?к = 1 + ак.

Тогда

Введем обозначение

ак = 7 —(1,

и разобьем сумму

к=0'

на пять частей так, что

S(n,T) = S1 + s2 + s3 + s4 + s5,

^1 —^k-)O^k^ki^1 —^k-)O^k^kiгде

^1 —^k-)

O^k^ki

^1 —^k-)

O^k^ki

^2 = У^ cik, S3 = У2 aki ki<k^.k2к2<к^.кз

S4 —CLk)кз<к^-к4S4 —CLk)кз<к^-к4S5 —cikik4<k^.nS5 —cikik4<k^.n

S4 —CLk)

кз<к^-к4

S4 —CLk)

кз<к^-к4

S5 —ciki

k4<k^.n

S5 —ciki

k4<k^.n

ki = en, k2 = ^(1 - e), k3 = ^ - ln1/2+1/1°, k4 = ^ + |n1/2+1/10,

Рис. 3.3.1. Графики функций (™)2 п и т^

и величина в будет выбрана позднее.

Для удобства на рисунке 3.3.1 приведены графики Q)2-n и т^ = (1 + (1 — 2(1пп + х)/п)к)т как функций от к.

Основной вклад в 8(тцТ) дает сумма 84. Ясно, что

/х _ 2(1ПП±Х) \ = e2fc(lnn+$)/n(1 + о(1)) = 1е-а:(1 + о(1))

равномерно относительно целых к = п/2 + иДп/2, для которых |п| < п1/10. эти значения к образуют область суммирования суммы S4, равную ^к: Д| < п1/10}. Поэтому

Г»_б + Л 2(lnn + a;)yV

Гк~ ГЧ п )

= е“^ (1+о(1))

равномерно относительно к из области суммирования 84. Таким образом,

s4= уГ (Д)Ч“еЧ1Ч1))

\к)2п к\к)2п v v

к: l^l^n1/10к; l^l^n1/10

= е“е‘^ Е (^ 6 + °(!)) = е“е’ж 6 +

к: lul^n1/10

11 В. Ф. Колчин

так как по теореме Муавра-Лапласа

Остается показать, что остальные четыре суммы стремятся к нулю. Начнем с суммы

Так как г^ монотонно убывает, находим, что

S5

к: u^n1/10

и в условиях леммы S3 0, поскольку, как было доказано, г^ ст ж , и согласно теореме Муавра-Лапласа

0.0.

0.

0.

1 т1 тОценим

1 т

1 т

Используя монотонность г^, находим, что для достаточно малого £ такого, что еп — целое число,

Sa <rT V (ПА— — 2т~п V ('Л < С1 + аЛП^2т

'0 /^ lfc ) 2» “2_v Д) (-1+ ^ук)

(1 + sn)ne2T/ 2Т/П \п

< 7—Г=—- < (1 + Етг) .

(ЕтгУп7ётге-£П2п v 7 \2s£e-£ j

Ясно, что 2T/n(2s£e е) 1 < q < 1 для достаточно малого 6, поэтому 510 при п оо.

Осталось рассмотреть S2 и S3. Начнем с суммы

^2 = X а^

еп<к^п(1 — е')/2

Покажем вначале, что а к — монотонно возрастающая функция к в области sn < к < п(1 — s)/2. Действительно,

«fe+i _ (кРУк+1_ _ п — к /1 + (1 - 2(lnn + x/n)fc+1\T

ак (^Vk к-\-1 у 1 + (1 - 2(1нп + 3;)/n)fc /

п — п(1 — s)/2

n(l - s)/2 - 1

(1 - 2(1пп + х)/п)к - (1 - 2(1пп + х)/п)к+1 \Т

у1 + (1 — 2(1пп + х)/п)к)

1 + s

— s + 2/п

/(1 - 2(1пп + х)/п)к - (1 - 2(1пп + х)/п)к+1 \Т

Х у1 + (1 - 2(1пп + х)/п)к/ '

Поскольку1 + (1 —2(1пп + х)/п)к >1,получаем,что

акх1>1+^ЛA 2(lnn+T)V/^2(1пп + т)\\

ак1 — s + ^2/re I у п ) уп ))

1+sЛ2(1нп + т)/2(1нп +х)\/Л

— s + 2/пупупJ j

Для достаточно больших п

(1 + s)/(l — s + 2/п) ^ 1 + s.

Кроме того, для к из отрезка sn < к < п(1 — s/2)

Л _ 2(1п п + ж) \ е-2к(1ппХх)/п стг-2еуп /’

где с — постоянная, равная е-2ех.

Таким образом, для достаточно больших п

г (1 -? (1 + .-№ - .72) 7 1.

Теперь при оценке 52, воспользовавшись монотонностью ак^ получаем неравенство

52 < тгак2.

ОценимОценим

Оценим

Оценим

n\ 1 ЛА2(1пп + т)\

А/ 2n I\ п /

Здесь достаточно грубой оценки

e-n2/2dn(l + o(l))e-n2/2dn(l + o(l))1 л/Зтгп1/101 л/Зтгп1/10е-«1/5/2(1 + о(1))_е-«1/5/2(1 + о(1))_

e-n2/2dn(l + o(l))

e-n2/2dn(l + o(l))

1 л/Зтгп1/10

1 л/Зтгп1/10

е-«1/5/2(1 + о(1))_

е-«1/5/2(1 + о(1))_

где в последнем равенстве использована известная асимптотика:

е “2/2du=-e z2/2(l+o(l))

при г со.

Таким образом, существует постоянная а такая, что

Оценим теперь второй множитель в а^. Ясно, что

— 11 । р-(1-£)(1пп+х)\Т < ТпГ^е"3^"^ / W

где Ь — некоторая положительная постоянная.

Объединяя оценки двух множителей а^2 приходим к неравенствам

^2 < тгак2 < тгае-п ' /2е^

откуда следует, что S2 0, если е < 1/5.

Остается оценить

Ясно, ЧТО

< e^ae”^75/2,

и S3 0, если г < 1/5.

Доказательство теоремы 3.3.1. Утверждение теоремы 3.3.1 следует из лемм 3.3.1 и 3.3.2, так как согласно лемме 3.3.2 в условиях теоремы

Следующая теорема является прямым следствием теоремы 3.3.1. Предположим, что

Pbj = 1} = ДД(3.3.2)

где х — постоянная, t = 1,... ДД = 1,... , п.

Теорема 3.3.2. Если пД ос так, что Т/п а, 1 < а < ос, и выполняется условие (3.3.2), то распределение s(A) сходится к распределению Пуассона с параметром А = е~х Д.

Доказательство. Так как ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк или столбцов, применяя теорему 3.3.1 к транспонированной матрице, получаем утверждение теоремы 3.3.2.

Зная предельное распределение ранга матрицы А, можно рассмотреть поведение числа решений систем линейных уравнений с матрицей А

АХ = В,(3.3.3)

где элементы Т х п матрицы А = Цсц? || независимы и для t = 1,... , Т, 3 = Д- -

_ In п + х

Р{«У = 1} = —,

где х — постоянная, вектор-столбец В = (bi,... , ЬД не зависит от А и случайные величины bi,... Дт независимы и принимают значения О и 1 с равными вероятностями.

Обозначим р^т число решений системы (3.3.3). Примеры, приведенные в разделе 3.1, показывают, что совместность систем играет важную роль в некоторых задачах, связанных с такими системами

уравнений. Вероятность совместности Рп^ системы (3.3.3) — это вероятность того, что система имеет хотя бы одно решение, то есть

Рп,т = Р^Т > 0}.

Используя теорему 3.3.1, получаем следующее утверждение.

Теорема 3.3.3. Если пД со так, что Т/п а, 0 < а < 1, и выполняется 'условие (3.3.1), то

Доказательство. Если ранг г(Л) матрицы А равен г, то

Р{Д^ > О I г(Л) = г} =Р{Д^ > О I г(Л) = г} =(3.3.4)(3.3.4)

Р{Д^ > О I г(Л) = г} =

Р{Д^ > О I г(Л) = г} =

(3.3.4)

(3.3.4)

Действительно, пусть линейно независимыми являются строки с номерами 1,2,... , г. Тогда каждая из строк с номерами г +1,... , Т есть линейная комбинация первых т строк, и для того чтобы система была совместна, правые части 6r+i,... Дт должны удовлетворять соотношениям вида

(3.3.5)(3.3.5)£1Д1 + . . . + £тДт — bt, t — Г + 1, . . . , Т,

(3.3.5)

(3.3.5)

где s^,... , srt — некоторые постоянные, принимающие значения 0 и 1. Вероятность справедливости одного из соотношений (3.3.5) равна 1/2, так что соотношение (3.3.4) справедливо.

Поскольку {г(А) = г} = {s(A) = Т — г}, по формуле полной вероятности

8 = 08 = 0Рп,т = £ Р{г(Л) = г}^Д = £ РЦ(Л) = S}1(3.3.6)

8 = 0

8 = 0

г=0

Последний ряд в (3.3.6) мажорируется сходящимся рядом 52^0 2-5’ так чт0 сходимость равномерна и можно перейти к пределу в (3.3.6) под знаком суммы. Используя теорему 3.3.1, получаем, что

где А = ае

3.4. Циклы и совместность систем случайныхуравнений

В этом разделе рассматривается система Т уравнений в GF(2)

£i(t)p£j(t)=Pt,t=\,...,T,(3.4.1)

где i(f), j(t^ t = 1,... , T, — независимые случайные величины, принимающие значения 1,... , п с равными вероятностями, случайные величины /81,... , Рт принимают значения 0 и 1. Обозначим АП)т матрицу этой системы. Как в разделе 3.1, свяжем с матрицей АП)т граф Gn^ с п занумерованными вершинами, которые соответствуют переменным яд,... , хп. Граф имеет Т ребер ДЕцДкД t = 1,... , Т. Ребра графа Gn,T можно рассматривать как результат Т независимых испытаний, в каждом из которых ребро соединяет вершины % и j с вероятностью 2п-2 и образует петлю в вершине г с вероятностью п-2, г, j = 1,... , Т. Таким образом, граф Gn^ — это граф, рассматривавшийся в разделе 2.3.

Обозначим Цп,т число решений системы (3.4.1) и рассмотрим вероятность совместности

Рп,т = Р{Мп,т > 0}.

Наша ближайшая цель — выразить Рп^ в терминах характеристик графа Gn^T- Обозначим хП)т число компонент графа Gn,T-

Теорема 3.4.1. Если Pi... , рт — независимые случайные величины, принимающее значения 0 и 1 с равными вероятностями и не зависящее от АП)т, то

г 1Р"Т =^ РЩ,Т = к^.

к=1

Доказательство. Предположим вначале, что граф Gn^ связен. Тогда выберем дерево, являющееся остовом этого графа. Это дерево содержит п — 1 ребер, которые соответствуют некоторой подсистеме из п — 1 уравнений исходной системы. Если одному из неизвестных придать некоторое значение, то с помощью уравнений этой подсистемы каждое из остальных переменных получает определенное значение. Для того чтобы исходная система была совместной, правые части всех Т — п + 1 уравнений, не вошедших в выбранную подсистему, должны принимать фиксированные значения. Так как Pi,... , Рт независимы и принимают значения 0 и 1 с равными вероятностями, вероятность совместности при условии, что Gn,T связен, равна (l/2)T-n+1.

Предположим теперь, что граф Спщ состоит из к компонент с тд,... , Пк вершинами и Ti,... Дк ребрами соответственно. Исходная система совместна тогда и только тогда, когда совместна каждая из

подсистем, соответствующих к компонентам. При условии, что число компонент иП)т = &, система распадается на к подсистем с непе- ресекающимися наборами неизвестных и, следовательно, вероятность совместности равна

111 _ 1

2Т1-П1+1 2^2-п2+12тк-пк-\-12Т—п+к'

Применяя формулу полной вероятности, приходим к утверждению теоремы.

В соответствии с теоремой 3.4.1 при изучении системы (3.4.1) можно использовать число компонент случайного графа Gn;p. Можно использовать также и максимальное число независимых критических наборов $(Лпщ), введенное в разделе 3.1. В соответствии с теоремой 3.1.1 максимальное число независимых критических наборов s(An;p) и ранг г(Лпщ) матрицы АП)т связаны равенством

s(An;r) + г(Лпщ) = Т.

Нетрудно доказать, что

Хп,т = п-Т + s(An^T)

и ранг г(Лпщ) = п — ип?т- Таким образом, утверждение теоремы 3.4.1 эквивалентно соотношению (3.3.6).

В разделе 3.1 было отмечено, что критический набор матрицы Ап,т соответствует циклу или объединению циклов в графе Gn^ и максимальное число независимых критических наборов s(An^) равно максимальному числу независимых циклов.

Граф Gn/r рассматривался в разделе 2.3. Было показано, что если n, Т сю так, что 2Т/п ^А, 0<А<1, тос вероятностью, стремящейся к единице, в графе нет компонент, содержащих более одного цикла. Поэтому при этих условиях все циклы в графе Спщ находятся в разных компонентах и, следовательно, независимы. Как и в разделе 3.1, обозначим v(Gn;r) число циклов в Gn;p.

Было доказано (см. теоремы 2.3.3 и 2.3.4), что если 2Т/п А, О < А < 1, то

РД(Щт) = «(АЩ}1,(3.4.2)

и для любого фиксированного к = 0,1...

РИЩт) = Ц,(3.4.3)

где

Л=-|1п(1-А).

Эти результаты позволяют получить асимптотику вероятности совместности Рп т системы уравнений (3.4.1).

Теорема 3.4.2. Если п,Т со так, что 2Т/п А , 0 < А <1, и правые части Pi... , Рт системы (3.4.1) независимы, принимают значения 0 и 1 с вероятностями 1/2 и не зависят от Ап;г, то

Р„.т (1 - А)1/4.

Доказательство. Используя теорему 3.4.1 или, что эквивалентно, формулу (3.3.6), находим, что

1

Р"-Т = 52 Р^Х"-Т = Г} ^Т-п+кк=1

п

= £р{г(Лп,т)=г}^ г=0

т1

= £р{5(Л„>т) = 4-.

8 = 0

Принимая во внимание (3.4.2) и (3.4.3) и переходя к пределу под знаком суммы, получаем, что

Е^^М1-^74.

8 = 0

Аналогичный подход можно использовать и в неравновероятном случае, когда индексы (гррДрД, t = 1,... ,Т, неизвестных в системе (3.4.1) — независимые одинаково распределенные случайные величины, принимающие значение г с вероятностью pt, г = 1,... ,п, pi + ... + рп = 1. Как и ранее, будем предполагать, что Pi,... , Рт в правой части системы независимы, принимают значения 0 и 1 с равными вероятностями и не зависят от Апщ. Для вероятности совместности такой системы сохраняется обозначение Рп;т.

Теорема 3.4.3. Пусть pt = a^jn, где at = щ(п), 0 < So ^ ^ < 61 < со, г = 1,... ,п, во ^ £1 — постоянные, и пусть существует предел

1 па2 = lim — V а2.

п

Если п,Т со так, что 2Т/п А и а2Х < 1, то

Рп,т (1 - ЛА)1/4.

Доказательство. Неравновероятный граф Спщ, соответствующий описанной выше матрице Апщ, был рассмотрен в разделе 2.4. Этот граф содержит п занумерованных вершин и Т ребер, которые могут быть получены с помощью Т независимых испытаний следующего вида. На каждом испытании проводится одно ребро. Ребро соединяет две различные вершины г и j с вероятностью Sp^Pj и образует петлю в вершине г с вероятностью р^ %Д = 1,... , n, pi + ... + pn = 1.

В силу теоремы 2.4.1 при выполнении условий теоремы 3.4.3 для любого фиксированного к = 0,1,...

где v(Gnjp — число циклов в графе Gn^ и

Л = — | 1п(1 - о?ХУ

Рассуждая далее так же, как при доказательстве теоремы 3.4.2, получаем утверждение теоремы 3.4.3.

Доказательства теорем 3.4.2 и 3.4.3 использовали (3.3.4)

РСи,т > о I г(Ап>г) = г} = 2"т+г.(3.4.4)

Доказательство этого утверждения в разделе 3.3 основано на том, что если т строк линейно независимы и г(Лпщ) = г, то каждая из остальных строк есть линейная комбинация этих т строк и система совместна только, если соответствующие правые части удовлетворяют некоторым линейным соотношениям. Если правые части Зс • • • ,3т независимы и принимают значения 0 и 1 с вероятностями 1/2, то каждое такое соотношение выполняется с вероятностью 1/2 и события, соответствующие различным соотношениям, независимы. Другими словами, каждый цикл в Спщ накладывает ограничение на правые части 31 ... , Зт, эти ограничения независимы, и каждое из них удовлетворяется с вероятностью 1/2.

Если правые части /31,... , Зт принимают значения 0 и 1 с неравными вероятностями, то равенство (3.4.4) не выполняется и соответствующая формула для вероятности Рп^ совместности системы уравнений становится более сложной. В этом разделе будут доказаны следующие утверждения.

Пусть

Pn/r(k) = Р{дп,т > 0, р(ОпдЗ = к^ Рп,т = ^^рП1т > 0}.

Теорема 3.4.4. Пусть правые части Зс • • • , Зт системы (3.4.1) — независимые одинаково распределенные случайные величины, принимающие значения 0 и 1 с вероятностями 1 — р и р соответственно, 0<р<1,Д = 1 — 2р.

Если п,Т сю так, что 2Т/п А , 0 < А <1, то для любого фиксированного к = 0,1,...

Рп,т№ - ^(- ln(l - А)(1 - ДАДДАХ

1 - А А1 - ДА /1 - А А1 - ДА /1/41/4

1 - А А

1 - ДА /

1 - А А

1 - ДА /

1/4

1/4

Теорема 3.4.5. Пусть правые части Pi,... , Рт системы (3.4.1) принимают значения 0 и 1, и пусть т = ш(Т) — число единиц среди Ph- • • , Рт-

Если п,Т оо так, что 2Т/п X, 0 < А < 1, и т/Т р, О < р < 1, то для любого фиксированного к = 0,1,...

Рп,т^ " i("ln(1" Л)(1" AAlv^T.

1 - А А1/4

1-ДА/

где Д = 1 — 2р.

Прежде чем приступить к доказательству этих теорем, приведем несколько вспомогательных результатов. Пусть Pi,... , Рт — независимые одинаково распределенные случайные величины, принимающие значения 0 и 1 с вероятностями 1 — р и р соответственно, пусть Д = 1 — 2р 1з Е — множество четных чисел. Пусть тц = 0 и ri,... , г^ — положительные целые числа. Рассмотрим случайные величины

Лг — /Зг0 + ...+гг-1 + 1 + • • • + /3Го + ---+Гг,% — 1, . . . , к.

Лемма 3.4.1. Справедливо равенство

г = Щ = 1(1+ ДЩ..(1 + ДЩ

Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что случайные величины r/i,... ,r]k независимы и вероятность того, что сумма Pi + ... + рг четна, равна (1 + Дг)/2.

Когда Pi,... , Рт не случайны, потребуется аналогичное утверждение в следующей схеме размещения т частиц в Т ячейках. Ячейки разбиты на к +1 группу с гр ... , т^, Т — ri — ... — т^ ячейками в группе соответственно. Предполагается, что каждая ячейка может содержать не более одной частицы, m ^ Т и (^) возможных размещений частиц равновероятны. Введем случайные величины ^i,... Дт полагая ^ = 0, если ячейка с номером г пуста, и ^ = 1, если она занята,

г = 1,... , Т. По аналогии со случайными величинами Цх,... , ?7а? положим

G = ^г0+...+гг-1+1 + ... + <^Го+...+Гг, г = 1,... , к.

Нетрудно проверить, что справедливы следующие утверждения.

Лемма 3.4.2. Если щ,... , г^ фиксированы, Тос и т/Т 0, то

Р{ф е Е, г = 1,... ,к}^ 1.

Лемма 3.4.3. Если тд,... , г& фиксированы, Тсю и т/Т ^1, то

P{G ЕЕ, г =,к^1,

если ri,... , г к четны; и

Р{ф Е Е, г = 1,... ,к^0,

если хотя бы одна из величин ri,... ,г^ нечетна.

Лемма 3.4.4. Если ri,... ,г^ фиксированы, Т сю um/Т р, 0 < р < 1, то

Р^еЕ, г = 1,... Щ^ + ДЧЛ + Д'Ч

где А = 1 - 2р.

Рассмотрим теперь граф Gn;r и пометим циклы графа следующим образом. Напомним, что з^п,т — это множество всех графов с п занумерованными вершинами и Т ребрами, компонентами которых являются деревья и компоненты с одним циклом, причем допускаются циклы длины единица и два. Если реализация графа Gn^ принадлежит множеству з^п^т^ то каждый цикл длины т получает метку с вероятностью рг независимо от остальных циклов. Если граф содержит компоненту с более, чем одним, циклом, то ни один из циклов графа не получает метки. Обозначим рп,т(Е) вероятность того, что число циклов ^(Спщ) в графе Спщ равно к и все циклы помечены. Ясно, что вероятность рпт того, что все циклы получили метки, равна

к=0

Как и в разделе 1.7, обозначим dm число отображений множества {1,... , ш} в себя, граф которых связен, и dm^ число отображений множества {1,... , ш} в себя, граф которых связен и содержит цикл длины г. Пусть ЕпЛ — число лесов с п занумерованными вершинами и N деревьями, Т = п — N.

Известны явные выражения для dm и dm^ • Используя формулу для числа корневых деревьев, находим, что

откуда, тт — 1 д.

^.-Е^м."-1)^^-

г=1/с=0

Лемма 3.4.5. Для любого целого k, 1 < к < min (n, Г),

где

= ^2 ^гпРт)

г=1

и при к = О

( 2 V

Рп,т(0) = Fn NT\ I — j .

Доказательство. При к = 0 утверждение очевидно. Как в разделе 1.7, обозначим Ьп^ число связных графов с п занумерованными вершинами и одним циклом длины г. Ясно, что

b^ = <’, b^ = 41 Ь^ = 4г) А г > 3.(3.4.5)

Обозначим СДт событие, состоящее в том, что граф Gn^ не содержит непомеченных циклов. Представим событие

М^Хт) = к, Gn;r Е б4пщ,

как объединение следующих непересекающихся событий: в определенном порядке Т испытаний дают Т фиксированных ребер, которые образуют граф, состоящий из деревьев и к одноцикловых компонент, содержащих помеченные циклы. Из этого представления следует, что

Рп,т(к) = Р{^(Спщ) = к, Gn,T Е Dn^T, Сп^т}

где si = «1(г1,... ^Тк) — число единиц и S2 = «2(^1,... , г к) — число двоек среди чисел щ,... ^Тк- Множитель 2-S1 появляется, потому что в si случаях вероятность 2п-2 заменяется на п-2. Множитель 2-52 отражает тот факт, что встречающаяся S2 раз перестановка пар испытаний, в которых появляются одинаковые ребра, приводит к одному и тому же графу. Лемма следует теперь из соотношений (3.4.5).

Теорема 3.4.6. Если п .Тэс так, что 2Т/п А, 0 < А < 1, то

для любого фиксированного к = 0,1,...

Рп,т(к^ ~ ^j (! + °(1))>

где

D(x) = V ———,а = Ае-Л.

Доказательство. Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.8.2. Разобьем сумму в лемме 3.4.5 на две части. Выберем

М = Т1/4.

Ясно, что для любого х из области сходимости ряда

ад = £

справедлива оценка

£££mi + ...+mfc=m£mi + ...+mfc=mТЛ ,рТП1 ТЛ ™.ТПкТЛ ,рТП1 ТЛ ™.ТПкЦК’1 £m^M/kЦК’1 £m^M/kП TmmX(3.4.6)П TmmX(3.4.6)

£

£

£

mi + ...+mfc=m

£

mi + ...+mfc=m

ТЛ ,рТП1 ТЛ ™.ТПк

ТЛ ,рТП1 ТЛ ™.ТПк

ЦК’1 £

m^M/k

ЦК’1 £

m^M/k

П TmmX

(3.4.6)

П TmmX

(3.4.6)

Наряду с функцией D(x) рассмотрим производящую функцию числа связных графов

d^ = £d^ = £dm^m\dm^m\

d^ = £

d^ = £

dm^m\

dm^m\

Для положительных х справедливо неравенство

(3.4.7)(3.4.7)D(x) < 6Д\

(3.4.7)

(3.4.7)

так кактак как°т = ^СЪт^<^ =а.°т = ^СЪт^<^ =а.

так как

так как

°т = ^СЪт^<^ =а.

°т = ^СЪт^<^ =а.

Кроме того,

dm = (т - 1)! У ~ТГ < (m - 1)!

откуда следует, что

ПустьПустьт^М/кт^М/к(3.4.8)(3.4.8)=Уn=l=Уn=l< У (е$Г т^М/к< У (е$Г т^М/к

Пусть

Пусть

т^М/к

т^М/к

(3.4.8)

(3.4.8)

=У

n=l

=У

n=l

< У (е$Г т^М/к

< У (е$Г т^М/к

т^М/кт^М/к1 дМ/к1 -д1 дМ/к1 -дИспользуя оценки (1.8.8), (1.8.9), из (3.4.6)-(3.4.9) получаем, чтоИспользуя оценки (1.8.8), (1.8.9), из (3.4.6)-(3.4.9) получаем, что/ 2 A7nn!(n — тХ2^ тМтл ...dm,< гр IlI XX'b 1‘1 bkJ z_vZ_v(n _ mM^T-mOp - mVmi\ . . . m \/ 2 A7nn!(n — тХ2^ тМтл ...dm,< гр IlI XX'b 1‘1 bkJ z_vZ_v(n _ mM^T-mOp - mVmi\ . . . m \

т^М/к

т^М/к

1 дМ/к

1 -д

1 дМ/к

1 -д

Используя оценки (1.8.8), (1.8.9), из (3.4.6)-(3.4.9) получаем, что

Используя оценки (1.8.8), (1.8.9), из (3.4.6)-(3.4.9) получаем, что

/ 2 A7nn!(n — тХ2^ тМтл ...dm,

< гр IlI XX'b 1‘1 bk

J z_vZ_v(n _ mM^T-mOp - mVmi\ . . . m \

/ 2 A7nn!(n — тХ2^ тМтл ...dm,

< гр IlI XX'b 1‘1 bk

J z_vZ_v(n _ mM^T-mOp - mVmi\ . . . m \

Как показано в примере 1.3.2 и (1.4.8),

d(x) = 1па(ж), а^ = (1 - О^х^ 1

Положим а = 2Т(п и х = ае а при а < 1. Тогда

6(х) = a, d(x) = — In (1 — а).

Согласно условиям теоремы а = 2Т/п ^ А, 0 < А < 1, и для х = ае а существует q < 1 такое, что ех = ае^-а ^ q < \ для достаточно больших п. Поэтому

(3.4.9)

<C! У У Цае^Г^У^Д

m^M mi + ...+mk—m

/ /гл/dmxm Суть

< cm D Ж у У —rn < 79< С2Т^

т^М/к

где ci, С2 — постоянные. Таким образом, в условиях теоремы S2 0.

Если п, Т оо, 2Т/п А, 0 < А < 1, то в силу (1.8.7)

T\Fu_m,N =T\Fu_m,N =Т\2т"™(Т-т)!Т\2т"™(Т-т)!(1+о(1))(1+о(1))п2Тжт^^ _ д+7+п2Тжт^^ _ д+7+(1 + ДВ)(1 + ДВ)

T\Fu_m,N =

T\Fu_m,N =

Т\

2т"™(Т-т)!

Т\

2т"™(Т-т)!

(1+о(1))

(1+о(1))

п2Тжт^^ _ д+7+

п2Тжт^^ _ д+7+

(1 + ДВ)

(1 + ДВ)

М = Т1/4. Поэтому для любого фиксированногоМ = Т1/4. Поэтому для любого фиксированного

М = Т1/4. Поэтому для любого фиксированного

М = Т1/4. Поэтому для любого фиксированного

равномерно по т ^ к = 1,2,...

Используя оценку для бф находим, что

А/1 _ \ ++.,Г)г) „тк

sY = cL^y V mi ---^ (i + o(i)) + o(i)

т=к mi+...+mfc=m

= Д+от^а+оа)).

Объединяя оценки сумм Si и S2, получаем, что при выполнении условий теоремы

Рп,т(к) = P{^(Gn,r) = к, Gn;r Е Dn,T, Спу}

(3.4.10)

Отсюда следует утверждение теоремы 3.4.6 для к ^ 1, так как ж = ае"а = (2Т/п) =Ае"Л = а

и D(x) В^а\

Используя (1.8.6) и представление, приведенное в лемме 3.4.5, находим, что

р„,т(О) = Vl^A(l+o(l)).

Теорема доказана.

Следствие 3.4.1. Если п^Т со так, что 2Т/п А, 0 < А < 1, то для вероятности рп^т того, что граф Gn;p не содержит непоме- ченних циклов, справедливо соотношение

Рп,т = e£>(a)/2Vl - А(1 +о(1)).

Доказательство. Обозначим р^Т (к) вероятность того, что все циклы помечены и граф имеет к одноцикловых компонент, в случае, когда все вероятности рт равны единице, т = 1,2,... В этом случае ВД^ = До?) = 2Л = — In (1 — А) и согласно теореме 3.4.6

Кке~ККке~Кк'.к'.к = 0,1,...к = 0,1,...

Кке~К

Кке~К

к'.

к'.

к = 0,1,...

к = 0,1,...

Для доказательства следствия достаточно показать, что в сумме

Рп,Т = Урп,т(к),к=0Рп,Т = Урп,т(к),к=0(3.4.11)(3.4.11)

Рп,Т = Урп,т(к),к=0

Рп,Т = Урп,т(к),к=0

(3.4.11)

(3.4.11)

можно перейти к пределу под знаком суммы. Покажем, что для любого s > 0 существует такое К. что

52 РпдЛ-) < е- к=К+152 РпдЛ-) < е- к=К+1(3.4.12)(3.4.12)

52 РпдЛ-) < е- к=К+1

52 РпдЛ-) < е- к=К+1

(3.4.12)

(3.4.12)

Выберем К так, что

Ек=К-ЦЕк=К-ЦХке~Ак'.Хке~Ак'.£2’£2’

Е

к=К-Ц

Е

к=К-Ц

Хке~Ак'.

Хке~Ак'.

£

2’

£

2’

и для фиксированного К выберем по так, что для п ^ по

Е^тЮ-Ек=0к=0Е^тЮ-Ек=0к=0Кке"кк\Кке"кк\

Е^тЮ-Е

к=0к=0

Е^тЮ-Е

к=0к=0

Кке"кк\

Кке"кк\

Тогда для п^ по

Е РпЦО" Ек=К^1к=К^1Е РпЦО" Ек=К^1к=К^1Хке Кк\Хке Кк\Ур?ао - ук=0к=0Ур?ао - ук=0к=0Хке лк\Хке лк\£2£2

Е РпЦО" Ек=К^1к=К^1

Е РпЦО" Ек=К^1к=К^1

Хке Кк\

Хке Кк\

Ур?ао - у

к=0к=0

Ур?ао - у

к=0к=0

Хке лк\

Хке лк\

£

2

£

2

и поэтому

Е Рп Д> е-к=К^1

Поскольку рПутД) ^ Рг?тД\ оценка (3.4.12), а значит, и возможность перейти к пределу под знаком суммы доказаны.

12 В. Ф. Колчин

Доказательство теорем 3.4.4 и 3.4.5. Наличие цикла приводит к несовместности системы (3.4.1), если сумма правых частей подсистемы, соответствующей этому циклу, нечетна. Пусть рТ — вероятность того, что эта сумма для цикла длины т четна. Тогда Рп,т(к) = рп,т(к) для любого к = 0,1,... Поэтому теоремы 3.4.4 и 3.4.5 являются прямыми следствиями теоремы 3.4.6 и того факта, что можно перейти к пределу под знаком суммы (3.4.11). Для доказательства теоремы 3.4.4 заметим, что в этом случае согласно лемме 3.4.1

Pr = (1 + А^Д

где А = 1 — 2р. Поэтомугде А = 1 — 2р. ПоэтомуПри х = ае \ 0 < а < 1,При х = ае \ 0 < а < 1,

где А = 1 — 2р. Поэтому

где А = 1 — 2р. Поэтому

При х = ае \ 0 < а < 1,

При х = ае \ 0 < а < 1,

d(x) = — In (1 — а), и

Дх. А) = - In (1 - аА). Действительно, т=1 г=1г=1 т=1

Используя известное равенство

(t +1Дt=o(t +1Дt=o

(t +1Д

t=o

(t +1Д

t=o

(см. [89], глава 2, задача 210, и [91]), получаем, что

^д) = 52^д) = 52ДгжгеагГДгжгеагГгг= - In (1 - аА).= - In (1 - аА).

^д) = 52

^д) = 52

Дгжгеаг

Г

Дгжгеаг

Г

г

г

= - In (1 - аА).

= - In (1 - аА).

Для завершения доказательства заметим, что при а = 2Т/п А, О < А < 1,

d(x) - In (1 - A), d^x, А) = - In (1 - нА) In (1 - АА).

Перейдем к доказательству теоремы 3.4.5. Если т/Т 0, то для любого фиксированного к все циклы получают метки с вероятностью, стремящейся к единице. Поэтому

РпЯк) = Р*ГкШ + о (1)) = ^-(1 + о (1)).

В случае, когда т/Т 1, в силу 3.4.3 вероятность рТ 0 при нечетном г и pr 1 при четном г, так что в этом случае

D D^ — V d^

1^г^т/2

т=1т=1

Нетрудно видеть, что

\ 2 г1

Г=1

В случае, когда т/Т р. О < р <1. в силу леммы 3.4.4

Pr (1 + АД/2

и, так же, как в (3.4.13),

D^ D^ = ^а^ + d(a, А))/2 = -| In (1 - А)(1 - АА).

Гиперциклы и совместность системслучайных уравнений

В разделе 3.2 изучался ранг случайных матриц и, в частности, было установлено, что если элементы случайной Т х п матрицы А = |Д^|| независимы и принимают значения 0 и 1 с равными вероятностями, то ранг г (А) матрицы А обладает пороговым свойством: если Т/па и а < 1, то Р{г(Л) = Т} 1, а если T/n^QHQ>l, то Р{г(Л) = n} 1. Другими словами, в первом случае максимальное 12*

число независимых критических наборов s(A) стремится по вероятности к нулю, а во втором случае это число стремится к бесконечности. Аналогичное свойство по-видимому справедливо и для матриц с малым числом единиц, рассмотренных в разделе 3.3. Мы доказали лишь, что если а < 1, то s(A) имеет в пределе распределение Пуассона и Еб(Л) —> сю при а > 1.

В разделе 3.4 рассматривались системы, в каждом уравнении которых не более двух неизвестных. Было показано, что если Т/п а, 0 < q < 1/2, то распределение максимального числа независимых критических наборов s(A), или независимых циклов в соответствующем графе, сходится к распределению Пуассона с параметром А = — |ln(l — 2а), а если а > 1/2, то s(A) стремится по вероятности к бесконечности.

С случай матриц с независимыми одинаково распределенными элементами, принимающими значения 0 и 1 с вероятностями 1/2, и случай матриц с не более чем двумя единицами в каждой строке, изучавшихся в разделе 3.4, можно рассматривать как крайние случаи в поведении ранга и максимального числа независимых критических наборов. В этих случаях пороговый эффект появляется соответственно в точках T/n = 1 и Т/п = 1/2.

В этом разделе рассматриваются промежуточные случаи, в которых удается доказать существование ослабленной версии порогового свойства. Рассмотрим систему случайных уравнений в GF(2)

^(t) + • • • + ядгц) = bt^ t = 1,... , T, (3.5.1)

где %M... , %T^t\t = 1,... , T, — независимые одинаково распределение случайные величины, принимающие значения 1,... , п с равными вероятностями, а независимые случайные величины 51,... ^Ьт не зависят от левой части системы и принимают значения 0 и 1 с равными вероятностями. При г = 2 получается система, рассмотренная в разделе 3.4.

В разделе 3.1 введено понятие критических наборов в матрице и гиперциклов в гиперграфе, соответствующем этой матрице. Обозначим АТ)П)т матрицу системы (3.5.1) и пусть ОТ)П)т — граф с п занумерованными вершинами и Т гиперребрами ei,... , еу, соответствующий этой матрице. Таким образом, рассматривается случайный регулярный гиперграф 6щпщ, матрица которого А = Аг,пщ = На^Н имеет следующее строение. Элементы матрицы atj, t = 1,... , Т, j = 1,... , n, — случайные величины и строки матрицы независимы. С каждой строкой связаны г единиц: каждая единица, независимо от остальных, располагается в любой из п возможных позиций с вероятностью 1/п, а случайная величина ац равна единице, если в позиции 3 в строке с номером t располагается нечетное число единиц. Таким образом, в каждой строке содержится не более г единиц.

Такой регулярный гиперграф обладает следующим пороговым свойством: если n, Т сю так, что Т/п а, то резкий скачок в поведении ранга матрицы ATin T происходит, когда параметр а проходит

некоторое критическое значение аТ. Это свойство можно выразить в терминах общего числа гиперциклов в Сг,п,т- Пусть 8(Лг,пщ) — максимальное число независимых критических наборов в матрице Лг,пщ или независимых гиперциклов в гиперграфе Сг,п,т- Тогда

S(Ar,n,T) =- 1

есть общее число критических наборов или гиперциклов.

В этом разделе доказывается, что для 8(АТ)П)т) справедливо следующее пороговое свойство.

Теорема 3.5.1. Пусть г > 3 фиксировано, Т,п ос так, что Т/па. Тогда существует постоянная аг такая, что

ES^ATiп,т) —> 0 при а < ат и ES{Ar^n^ ос при а> ат.

Постоянная ат равна первой компоненте вектора, являющегося единственным решением системы уравнений

A tanh А = х

относительно неизвестных а, х, А.

Численное решение этой системы дает следующие значения критических постоянных:

ад = 0.8894... , а4 = 0.9671... , а5 = 0.9891... , а6 = 0.9969 ... , а7 = 0.9986 ... , а8 = 0.9995 ...

Как заметил Г. В. Балакин, разлагая решение системы по степеням е-Т, можно получить приближенную формулу

е г е 2r / r2 г|\

1п2 ” 1п2" Щ + 1л2-Г_27’

которая дает близкие к точным значения уже при г > 4.

Приведем несколько вспомогательных результатов, которые потребуются при доказательстве теоремы 3.5.1.

Общее число гиперциклов 8(АТ)П)т) в гиперграфе 6щпщ, соответствующем матрице Лг,пщ, можно представить в виде суммы индикаторов. Положим £,ti,... Зтп, = 1, если гиперцикл С = {щ,.... , cim^ содержится в гиперграфе 6щпщ, и ^lr..,tm = 0 в противном случае. Ясно, что P{£ti,... ,tm = 1} не зависит от индексов ti,... ,tm. Действительно, из определения случайного гиперграфа СГ,п,т следует, что

^ti,...,tm = 1 тогда и только тогда, когда в каждом столбце подматрицы, состоящей из строк с номерами Ч, • • • Дт, содержится четное число единиц. Числа единиц в п столбцах любых т строк, до приведения этих чисел по модулю 2, имеют полиномиальное распределение с гт испытаниями и п равновероятными исходами.

Обозначим 7/i(s,n),... ,цп(а,п) заполнения ячеек в равновероятной схеме размещения s частиц в п ячейках. В этих обозначениях числа единиц в столбцах любых т строк, до приведения этих чисел по модулю 2, имеют распределение, совпадающее с распределением случайных величин ^(гт^ п),... ,Т]п(гт, п\ Поэтому

p{€ti,... ,t„ = 1} = P{??i (rm, n) e E,... , 7?n (rm, n) € E^,

где E — множество четных чисел, и среднее число гиперциклов в Gr,n,T можно записать в виде

Т / X

ES(Arnj) = У2 (ТАРЕ(.гт,п),(3.5.3)

где

Ре^гтп, п) = P{?7i(rm, n) Е Е,... , Т]п(гт, n) Е Е}.

Таким образом, чтобы оценить Е8(АТ)П)т\ нужно знать асимптотику вероятности РЕ^гт^п).

Рассмотрим более общий случай и найдем асимптотику вероятностей

Pr^, п) = P{m(s, п) Е R, . . . , Цп(8, п) Е R},

где R — подмножество множества неотрицательных целых чисел.

Совместное распределение случайных величин t/i(s, п),... , цп(а, п) можно следующим образом представить как условное распределение независимых случайных величин £i,... ^n) распределенных по закону Пуассона с произвольным параметром А (см. раздел 1.2). Для неотрицательных целых чисел si,... , sn таких, что si + ... + sn = s,

Р{щ(8, n) = Si, ... , T]n(s, ri) = sn}

= P{6 = Si,... Дп = sn | £i + ... + ^n = s}.

Поэтому

Pr^S, n) = P{m(s, ri) E R,... , 7/n(s, n) E R^

_ P{<(i E R,... , £,n E R, <Д + ... + <^n = s}P{€1 + • • • + Cn = s}

=(Pto 6 л” pfc+ ...+& = •}

Введем независимые одинаково распределенные случайные вели- ДК) ДК)

чиныДп с распределением

Р{^й) = Ч = PRi = k I ^ е ку к = 0,1,...

Нетрудно видеть, что

Р{6 + - - - + У, = s | 6 е К,... Цп е Я} = Р{^д) + ... + ^Д = Д поэтому

PR^ п) = № е ЛД^-Д^Д^—Д.(3.5.4)

Г tsi + • • • + sn — SJ

Положим х = s/n и выберем параметр А распределения Пуассона так, что

X = Е^к’ = £ ДгДрЦу е кукек '

Пусть Гд — решетка с максимальным шагом с/, которая содержит множество R.

Теорема 3.5.2. Если s,n ос так, что tieTr, то

ул^е^ у а

равномерно относительно х = s/n в любом интервале вида 0 < Ху Д ж < Т1 < ос, где Ху, х\ — полоэюительные постоянные, параметр А распределения Пуассона случайной величины £i есть корень уравнения х = Е^Д\ а а2 = 0^Д\

Доказательство. Для суммы Е^ +... -Дп^ справедлива локальная предельная теорема о сходимости к нормальному закону, а именно, следуя классическому доказательству локальных теорем, предложенному Б. В. Гнеденко [33], можно показать, что если s,n ос так, что П Е Гд, то

Р{^Д) + ■ ■ ■ + ЕД = Л = ДД (1 + 0(1)),

равномерно по х = s/n в любом конечном интервале вида 0 < то Д ж < яд < сю, где ст2 = 0^Д^ и d — шаг решетки Гд.

Подставляя это выражение в (3.5.4) и учитывая, что сумма £1 + ... + ^п распределена по закону Пуассона с параметром Ап, получаем утверждение теоремы.

Заметим, что из (3.5.4) следует оценка

PR(s,n^ (Р{С1 е Я})"PR(s,n^ (Р{С1 е Я})"s! еХпs! еХп

PR(s,n^ (Р{С1 е Я})"

PR(s,n^ (Р{С1 е Я})"

s! еХп

s! еХп

где Pr(s, п) не зависит от А, так что в правой части этому параметру можно придать любое положительное значение.

Пусть R = Е = {0, 2,... }. В этом случае

Р{£1 е Е} = e-AcoshA,

а указанная оценка принимает вид

(3.5.5)(3.5.5)с!

(3.5.5)

(3.5.5)

Pe(s,h) < (cosh А)"-—,ASHS

где А > 0 можно выбрать произвольно. Оценим теперь сумму

Е5(АЛ„Г) = У' (Т\рв(гт,п).

\т /

Лемма 3.5.1. Если г ^ 3 фиксировано и Т^п —> сю так, что Т/п ^ а, то для любого в > О найдется 5 > 0 такое, что

Е.Е.

Е.

Е.

Доказательство. Заметим, что

РК™ = 2t> = Рй =2t । е‘ ь ■

Е^Е^ = A tanh А.

Положим х = rm/п и выберем параметр А распределения Пуассона так, что

х = A tanh А.

Из (3.5.5) следует, что

Ре(гтп,п) < (coshA)nРе(гтп,п) < (coshA)n(тт)\^гт^гт *(тт)\^гт^гт *

Ре(гтп,п) < (coshA)n

Ре(гтп,п) < (coshA)n

(тт)\

^гт^гт *

(тт)\

^гт^гт *

Величина х мала при малом 5, поэтому можно считать, что в области суммирования А ^ 1. Для таких А

А2/4 С х = AtanhA < А2,

поэтомупоэтомуcosh А < ед2 < е4х.cosh А < ед2 < е4х.Перейдем теперь к оценке суммы. Нетрудно видеть, чтоПерейдем теперь к оценке суммы. Нетрудно видеть, что

поэтому

поэтому

cosh А < ед2 < е4х.

cosh А < ед2 < е4х.

Перейдем теперь к оценке суммы. Нетрудно видеть, что

Перейдем теперь к оценке суммы. Нетрудно видеть, что

Так как Т/п стремится к постоянной, последняя сумма может быть сделана сколь угодно малой выбором достаточно малого 5.

Лемма доказана.

< 6.< 6.Лемма 3.5.2. Если г фиксировано и Т,п со так, что Т/п а, О < а < 1, то для любого г > О найдется 5 > 0 такое, что

< 6.

< 6.

У I ^РЕ^т^пА(1-5)Т<т<Т 4 7

Доказательство. Положим А = rm/п, и пусть целое т^ выбрано так, что т^/Т < 5. При таком выборе А в силу (3.5.5)

(cosh А)п(cosh А)п(тт)\ rmVm(тт)\ rmVm

(cosh А)п

(cosh А)п

(тт)\ rmVm

(тт)\ rmVm

В области суммирования А больше некоторой положительной постоянной, поэтому найдется такое q < 1, что

е-Х cosh А = (1 + е-2А)/2 < q.

Используя неравенство

Н < фт^е-^ЦТ)1/2,

где с — постоянная, получаем, что

Рв^гт, п) < с(гТ)1^2Рв^гт, п) < с(гТ)1^2(е Л cosh А)"(е Л cosh А)"

Рв^гт, п) < с(гТ)1^2

Рв^гт, п) < с(гТ)1^2

(е Л cosh А)"

(е Л cosh А)"

qm^_qy-mqT(^ — q)m°qm^_qy-mqT(^ — q)m°т

qm^_qy-mqT(^ — q)m°

qm^_qy-mqT(^ — q)m°

< с(гТ)1/29”

т=Т—то

q

(1 _ q^m0/(n-T)

Поскольку q, a < 1, величина m^/Qn — T) может быть сделана произвольно малой выбором достаточно малого 5, поэтому ^/(1 — ^)Ш°/(П-Т) можно сделать меньше некоторого Q < 1. Таким образом, в условиях леммы для достаточно малого 6 правая часть полученной оценки стремится к нулю.

Лемма доказана.

Доказательство теоремы 3.5.1. Оценим теперь среднюю часть суммы. Когда Т/п а и 5 ^ т/Т < 1 — 5, величина х = rm/п лежит в интервале вида 0 < xq ^ х ^ яд < оо. Применяя теорему 3.5.2, получаем, что для четных гт

(

гр \ гт х 9 л Гт

—)еЛ”^(1+о(1))

Хе /о

равномерно по ж, х^ < х < яд, где

х = Е^Р^ = Atanh А, а2 = D^P^ = А2 + х - х2.

Поскольку P{<^i Е Е} = e-AcoshA, окончательно получаем, что при Т, п сю, Т/п а

PE^rm.n) = (coshA)n^^(1+о(1))(3.5.6)

\Хе/ а

равномерно относительно целых ш, для которых 5 ^ т/Т ^ 1 — 5.

Полагая р = т/Т ^ = 1 — ри используя нормальное приближение для биномиального распределения, находим, что при Т сю

/ТА = ГТ\т^т_тТ-ту1 = 1(1 +о(П)

\т)\т)pmqT mVTirTpq

равномерно относительно целых т, для которых 5 ^ т/Т ^ 1 — 5.

rm/n и а.rm/n и а.Положим а = Т/тг и выразим р = m/Т в терминах х = Тогда

rm/n и а.

rm/n и а.

т хт аг — х

Р —— ах" 9 — - Т — ах ’

и оценка биномиального коэффициента принимает следующий вид. При Т сю

ТАатт) у/2хх{аг —ТАатт) у/2хх{аг —^ar^^ar — х)^ar^^ar — х)(1 + 0(1))(3.5.7)(1 + 0(1))(3.5.7)

ТАат

т) у/2хх{аг —

ТАат

т) у/2хх{аг —

^ar^^ar — х)

^ar^^ar — х)

(1 + 0(1))(3.5.7)

(1 + 0(1))(3.5.7)

равномерно относительно целых m таких, что 5 ^ m/T ^ 1 — 5. Собирая оценки (3.5.6) и (3.5.7), получаем, что

РЕ(тт,п) = (/(а,х))пРЕ(тт,п) = (/(а,х))п2аг^ха д/2тгх(аг — х)ап2аг^ха д/2тгх(аг — х)ап(1 + о(1))>(1 + о(1))>

РЕ(тт,п) = (/(а,х))п

РЕ(тт,п) = (/(а,х))п

2аг^ха д/2тгх(аг — х)ап

2аг^ха д/2тгх(аг — х)ап

(1 + о(1))>

(1 + о(1))>

где

/(а, ж) = cosh А/(а, ж) = cosh А

/(а, ж) = cosh А

/(а, ж) = cosh А

х = Atanh А.

Функция /(а, ж) возрастает с ростом а, при х ^ О

/Уа,ж) = /(а, ж) In/Уа,ж) = /(а, ж) In—> —ОО,—> —ОО,

/Уа,ж) = /(а, ж) In

/Уа,ж) = /(а, ж) In

—> —ОО,

—> —ОО,

и производная /^(а,т) имеет не более двух нулей. Поэтому система уравнений

(3.5.8)(3.5.8)/(а, ж) = 1,/^(а,ж) = О,A tanh А = х

(3.5.8)

(3.5.8)

имеет единственное решение (<тг,тг,Аг). В этой точке функция f(ar,x) как функция от х достигает максимума, равного единице. Поэтому при всех ж, 0 < х < ат,

/(<аг,ж) < /(аг,жг) = 1.

Кроме того,

/(а,ж) < /(аг,ж) < 1,/(а,ж) < /(аг,ж) < 1,а < аг,а < аг,

/(а,ж) < /(аг,ж) < 1,

/(а,ж) < /(аг,ж) < 1,

а < аг,

а < аг,

f(a,xr) > f(aT,xT) = 1, а > ат.

Отсюда следует, что средняя часть суммы стремится к нулю при а < аг и стремится к бесконечности при а > аг.

Учитывая оценки хвостов суммы, содержащиеся в леммах 3.5.1 и

получаем утверждение теоремы 3.5.1, так как система уравнений (3.5.8) легко преобразуется к виду приведенному в формулировке теоремы.

Было бы интересно найти предельное распределение числа гиперциклов. До сих пор неизвестно даже, стремится ли S(ATin^) по вероятности к бесконечности, когда Г, п сю, Т/п а > ат.

Замечания и литературные ссылки

Теория систем случайных уравнений в конечных полях развивалась в работах В. Е. Степанова, Г. В. Балакина, И. Н. Коваленко, А. А. Ле- витской и других. Связь между системами уравнений в GF^ и графов впервые была отмечена В. Е. Степановым. Понятие критического набора было введено в [56] (см. также [10] и [150]).

С теорией рекуррентных последовательностей и регистров сдвига, которые упоминаются в разделе 3.1, можно ознакомиться в [137] и [167].

Теоремы 3.2.1 и 3.2.2 доказаны И. Н. Коваленко в [43]. Эти замечательные результаты инициировали целый ряд исследований, выполненных И. Н. Коваленко и его учениками. Эти исследования развивались в двух направлениях. Первое направление относится к обобщениям теорем 3.2.1 и 3.2.2 на матрицы над более общими алгебраическими структурами. Нетрудно видеть, что в связи с марковским характером процесса рп^ можно вывести рекуррентные соотношения для рп,т(к) = Р{рп(Т) = к^ которые можно использовать для доказательства теоремы 3.2.1. На этом пути легко получается обобщение результата о предельном распределении ранга на конечные поля [44]. Пусть элементы Т х п матрицы А = ||сцд|| в GF(q), где q — простое число, принимают значения 0,1,... , q — 1 с равными вероятностями, тогда рп,т(к) для к = 0,1,... удовлетворяют соотношениям

Рп,т(к) = znp^T-i(k) + (1 - zn>n-i;r-i(k^ (3.6.1)

где z = 1/q. Действительно, если первая строка матрицы А — нулевой вектор, то рп(Т} = рп(Т — 1), а если эта строка содержит хотя бы один ненулевой элемент, то рп(Т) = Рп-АТ — 1) + 1. Из (3.6.1) следует, что если s ^ 0 и m — фиксированные целые числа, ш + 8^0,п^оои Т = п + ш, то

W) = n-S}^ q~s^ П (1 - - ) П (1 - - ) (3.6.2)

2 = sTl ’ 2=1 ^ '

Исследования второго направления относились к выяснению границ инвариантности результатов теорем 3.2.1 и 3.2.2 по отношению к отклонениям распределений элементов матрицы А от равновероятного распределения. Обсуждение проблемы инвариантности и доказательство теоремы 3.2.3 содержатся в [42, 43]. Более простое доказательство теоремы 3.2.3 приведено в [44].

Теорема 3.2.4 может быть легко перенесена на моменты любого фиксированного порядка, однако до последнего времени этого не было достаточно для доказательства свойства инвариантности, так как предельное распределение (3.6.2) не удовлетворяет стандартным достаточным условиям однозначности проблемы моментов и метод моментов (теорема 1.1.3) не мог быть использован. В работах А. Н. Алек- сейчука [3, 4] рассмотрен класс распределений, включающий распределение (3.6.2), и показано что распределения этого класса однозначно восстанавливаются по своим моментам, так что стало возможным использовать метод моментов для доказательства свойства инвариантности в ряде задач, связанных с системами случайных линейных уравнений, что должно значительно упростить известные сложные доказательства.

В статьях А. А. Левитской [66, 67] содержатся результаты о числе решений систем случайных линейных уравнений в произвольных кольцах и доказано свойство инвариантности моментов и предельных распределений. Эти результаты суммированы в [44], где, в частности, указаны точные границы инвариантности предельного распределения числа решений системы случайных линейных уравнений в конечных кольцах. Для системы, рассмотренной в теореме 3.2.3, эти точные гра- (п) ницы для р^ имеют вид

Л <_ А

где 5п = (In п + Хп^/п и хп сю произвольно медленно при п сю.

Матрицы, удовлетворяющие условию (3.3.1), рассматривались Г. В. Балакиным [9], им, в частности, доказаны теоремы 3.3.1 и 3.3.2. Более аккуратное проведение оценок, использованных в приведенном в книге доказательстве теорем 3.3.1 и 3.3.2, позволяет доказать следующие утверждения.

Теорема 3.6.1. Если п сю,

Т = п + pn Inn,

Рп —оо, рп = o(n/lnn), и выполняется условие (3.3.1), то распределение s (А) сходится к распределению Пуассона с параметром

Теорема 3.6.2. Если п сю,

Т = п + /Ли п + о(1п п),

3 — постоянная и выполняется 'условие (3.3.1), то распределение s(A) сходится к распределению Пуассона с параметром е-х, если 3 < 0, и с параметром е~х~@, если 3 > 0.

Теоремы 3.3.1, 3.3.2, 3.6.1 и 3.6.2 дают полное описание предельного поведения ранга рассматриваемых матриц, за исключением случая 3 = 0, в котором поведение ранга остается неизвестным. Заметим, что в [9] доказаны аналоги теорем 3.3.1, 3.6.1 и 3.6.2 для систем в GF(q\ q ^ 2 (см. также [151]), а также рассмотрены связи ранга матрицы в GF(q) с другими характеристиками такими, как перманентный ранг и ранг линий. Первые результаты о ранге случайных матриц представлены в [128] и [8].

Изучение систем случайных линейных уравнений вида (3.4.1) с использованием их связи с случайными графами было начато В. Е. Степановым. В частности, им доказаны теоремы 3.4.1 и 3.4.2. В настоящее время теория графов обеспечивает базу для получения результатов о системах случайных линейных уравнений с коэффициентами, принимающими свои значения с равными вероятностями. Если коэффициенты системы существенно неравновероятны, то для изучения их свойств нет общих методов, и для таких систем получено мало результатов. В частности, теория графов пока не может в полной мере обслуживать неравновероятный случай. Для решения задач о системах случайных уравнений в неравновероятном случае привлекается метод моментов (теорема 1.1.3) и так называемые прямые методы. Теорема 3.4.3 есть следствие теоремы 2.4.1, доказанной в [64] методом моментов.

Теоремы 3.4.4 и 3.4.5 доказаны в [58]. Асимптотика вероятности совместности систем случайных линейных уравнений в GF(2) (и в более общих алгебраических структурах) с независимыми коэффициентами, принимающими значения 0 и 1 с равными вероятностями, получена А. А. Левитской [68] (см. также [44]). Предельная вероятность принимает только два значения и оказывается одинаковой для всех векторов правых частей системы, не равных нулевому вектору. Как следует из теорем 3.4.4 и 3.4.5, вероятность совместности системы (3.4.1) зависит от числа единиц в векторе правых частей (см. также [58])-

Результаты раздела 3.5 о предельном поведении вероятности совместности системы (3.5.1) содержатся в [10] (см. также [150]). Теорема 3.5.1 доказана автором, критические значения аТ были впервые получены Г. В. Балакиным при несколько других условиях на матрицу Аг,пщ. Эти результаты перенесены на случай GF(q) в [65]. Доказательство теоремы 3.5.2 приведено в [60].

Вероятность совместности случайной системы можно рассматривать с точки зрения математической статистики. Рассмотрим, например, систему (3.4.1) и предположим, что справедливы две следующие гипотезы о распределении ее правых частей. Пусть гипотеза Hq состоит в том, что существует вектор X* = (х^,... , х^, интерпретируемый

как истинное решение, и ^ = х*^ + F^p t = 1,... ,Т. При справедливости гипотезы Но система (3.4.1) всегда совместна. При альтернативной гипотезе Hi правые части bi,... , Ьт суть независимые случайные величины, не зависящие от левой части системы и принимающие значения 0 и 1 с равными вероятностями. Для различения гипотез Но и Hi в качестве критерия можно использовать совместность системы и в случае совместности системы принимать гипотезу Но и принимать Hi в случае несовместности. Поэтому гипотеза Но никогда не отвергается, если она верна, то есть вероятность ошибки первого рода, вероятность отвергнуть Но, если она верна, равна нулю. Ошибка второго рода, то есть вероятность принять Но, если она неверна, равна вероятности совместности системы (3.4.1). Таким образом, вероятность совместности является основной характеристикой статистической задачи различения гипотез Но и Hi.

Другая статистическая задача, задача восстановления истинного решения системы двучленных линейных уравнений, рассматривается в [59]. Пусть в GF(2) имеется система уравнений

= bt, t=l,...,T,(3.6.3)

где пары индексов (i(t),j(t)), t = 1,... ,Т, независимы, одинаково распределены и принимают значения (г,Д, г < j, i,j = 1,... ,n, с равными вероятностями Q) •

В разделе 3.1 аналогичная система (3.6.3) интерпретировалась как результат Т испытаний, проводимых с целью классифицировать п предметов путем случайных парных сравнений, и мы полагали bt = О, если сравнение х^ и х^ показывало, что предметы принадлежат одному классу, и bt = 1 в противном случае, t = 1,... , Т. Если сравнения не вполне точны, то результаты могут отклоняться от истинных. Обозначим X* = (х^,... , ж*) вектор истинных значений неизвестных, и пусть вектор-столбец В* = (Ь^,... , Ыр) есть результат подстановки X* в левую часть системы (3.6.3), то есть

АХ*=В\(3.6.4)

где А — матрица системы (3.6.3).

Если измерения неточны, то естественно предположить, что

bt = b^ + Ef) t = 1, . . . , Т,

где Si,... ,Ет — независимые одинаково распределенные случайные величины, которые не зависят от Л и принимают значения 0 и 1. Эти случайные величины интерпретируются как ошибки. Пусть

Р=Ц^ = РЫ = Ц, д=1^ = РЦ1=0},(3.6.5)

где величина А называется преобладанием распределения (3.6.5).

Задача состоит в оценке или восстановлении вектора X* = (#1,... , ж*) по матрице А и правым частям В = (51,... , Ьт) системы (3.6.3).

В аналогичной ситуации в поле действительных чисел оценка истинного решения системы линейных уравнений с искаженными правыми частями может быть найдена, например, с помощью метода наименьших квадратов. При некоторых условиях на матрицу и на ошибки в правых частях системы метод наименьших квадратов приводит к оценкам, сходящимся к истинному решению с ростом числа уравнений. В отличие от ситуации в поле действительных чисел в GF(2) можно ожидать, что хорошая оценка X = (Si,... , Sn) совпадает с истинным решением X* = (х^,... , X*) с вероятностью, стремящейся к единице при Т сю.

Как обычно, с левой частью системы (3.6.3) свяжем граф Гпщ. Граф Гпщ имеет п занумерованных вершин, соответствующих неизвестным Xi,... , тп, и Т ребер et = (i(t),j (£)), t = 1,... ,Т. Ребра ei,... ,ет независимы и принимают п(п — 1)/2 возможных значений с равными вероятностями. Поэтому граф Гпщ может иметь кратные ребра.

Ясно, что наряду с вектором X* вектор X* = (^,... , ж*) с элементами х* = х* +1, £ = 1,... , п, удовлетворяет системе (3.6.4). Пара X*, X* однозначно определяется по системе (3.6.4), если граф Гпщ связен, другими словами, если система (3.6.4) содержит все неизвестные и не разлагается на подсистемы с непересекающимися множествами неизвестных.

Обозначим рп?т вероятность того, что граф Гпщ связен. Согласно теореме 2.3.8, если n, Т сю так, что 2Т = nlnn + ап + о(п^ где а — постоянная, то

Рп,т е .

Таким образом, если n, Т сю и пара X*, X* однозначно определяется по системе (3.6.4) с вероятностью, стремящейся к единице, то

2Т wn

п In п In п ’ где wn -^ сю.

В [59] предложены три алгоритма для восстановления истинного решения системы (3.6.3) с искаженной правой частью. Опишем вначале метод восстановления, который можно назвать методом голосования. Алгоритм состоит в исправлении правых частей 51,... , Ьг системы (3.6.3) по правилу большинства. Предположим, что система

содержит подсистему с т^, г < j, уравнениями

।(!)

xt + Xj =

...(3.6.6)

Xi + Xj = а^гз\

причем в подсистему включены все уравнения, содержащие пару неизвестных Xi, Xj. Истинные значения правых частей а^,... ,a^P'J^ равны a*j = х* + х*.

Положим aij = 1, если

> ту/2,

и а^ = 0 в противном случае.

При некоторых условиях система (3.6.3) неразложима и а^ = a*j для всех г, j = 1,... , п, так что истинное решение восстанавливается.

Обозначим Р(п, Т) вероятность восстановления истинного решения системы (3.6.3) методом голосования, то есть

Р(п,Т) = p{av = atr М = 1, • • •

В [59] доказана следующая теорема.

Теорема 3.6.3. Если 7L Г х м Д X) так, что

Х2Т

rt2 Inn

то Р(п, Т) 1.

Второй алгоритм восстановления истинного решения системы (3.6.3), предложенный в [59], можно назвать методом проверки координат.

Случайно с равными вероятностями выберем из множества всех п- мерных векторов над GF(2) вектор Х^0) = (х^\ ... ,Хп^\ Обозначим В^ = (Ь^\ ... ,5^) вектор-столбец, полученный подстановкой ХО) вместо X в левую часть системы (3.6.3). Пусть Р(Х^) — число координат В^°\ совпадающих с соответствующими координатами вектора В = (51,... ,Ьт) в правой части системы (3.6.3). Построим вектор Х^ = (т^,... ,Хп^) с помощью вектора ХО) и системы (3.6.3) и покажем, что с вероятностью, стремящейся к единице, вектор Х^1) совпадает с истинным решением X*.

13 В. Ф. Колчин

Рассмотрим векторы

и вычислим значения /З(Х^о) и /З(Х^д), определяемые для векторов Х^о и Хщ так же, как величина Р(Х^) была определена для Х^°\ Для г = 1,... , п положим

щ) Го, дм>0) > дхд,4 Д, /3(М,о) < ДАД

Справедливо следующее утверждение об алгоритме сравнения координат [59].

Теорема 3.6.4. Если п,Т сю и А 0 так, что

Х2Т

п2 Inn

то

Р{Х(1) = X*}1.

С помощью предварительного опробования n-мерных векторов можно найти начальный вектор Х^0) с большим числом ^(Х^0^) координат, совпадающих с соответствующими координатами истинного решения X*. Если алгоритм проверки координат начать с такого ве- киора, то потребуется значительно меньшее число уравнений для восстановления истинного решения. Это число сравнимо с числом ребер, необходимых для того, чтобы граф Гпщ был связен. В [59] доказано следующее утверждение.

Теорема 3.6.5. Если п, Г хм А О так, что

Х2Т

—;> оо,

nlnn

то существует алгоритм восстановления с вероятностью, стремящейся к единице, истинного решения системы (3.6.3).

Алгоритм, приводящий к восстановлению истинного решения в условиях теоремы, начинается с предварительного выбора начального вектора Х^0) с большим числом совпадений с истинным вектором X*, который осуществляется путем опробования всех n-мерных векторов.

Таким образом, если можно использовать полный перебор п-мер- ных двоичных векторов, то истинное решение восстанавливается при условии, что A2T/(nlnn) сю. Если число уравнений Т таково, что

A2T/(n2 Inn) оо, то восстановление истинного решения можно реализовать алгоритмом голосования, более экономным по числу требуемы операций. Ясно, что было бы интересно найти алгоритмы, которые приводят к восстановлению истинного решения с вероятностью, стремящейся к единице, при промежуточных требованиях к числу уравнений и не требуют полного перебора всех 2П двоичных векторов.

Опишем один такой алгоритм, который в [59] назван алгоритмом А2. Рассмотрим все (^ уравнений, получаемых попарным объединением уравнений исходной системы (3.6.3). Среди уравнений, полученных в результате этой операции, имеются уравнения, содержащие четыре, два или ни одного неизвестного. Обозначим S2 подсистему, которая включает в себя все уравнения с двумя неизвестными в каждом из них. Алгоритм А2 заканчивается применением алгоритма голосования к подсистеме 82- В следующей теореме указаны условия, при которых алгоритм А2 восстанавливает истинное решение. В [59] доказано следующее утверждение.

Теорема 3.6.6. Если п, Т^оопА^О так, что

А4Т2' °0’nd Inn

то алгоритм А2 восстанавливает истинное решение с вероятностью, стремящейся к единице.

Глава 4

Случайные подстановки

Случайные подстановки и обобщенная схема размещения

Обозначим Sn множество всех взаимно однозначных отображений множества Хп = {1,2,... , п} на себя. Это множество состоит из п! элементов. Рассмотрим случайную подстановку а, совпадающую с любой подстановкой из Sn с вероятностью (п!)-1.

Подстановку s Е Sn можно записать в виде таблицы

А 2 ... nA

S =I .

S2 • • • Snу

где Sk — образ к при отображении з, к = 1,... , п. Отображение з можно также представить графом Г™ = Г(Хп, Wn), вершинами которого являются элементы множества Хп, а ребрами — элементы множества Wn, состоящего из дуг (к, 8к\ направленных из к в Зк, к = 1,... , п. Поскольку ровно одна дуга входит в каждую вершину и ровно одна дуга выходит из каждой вершины, граф Г™ состоит из компонент, являющихся циклами и называемых также циклами подстановки з.

Обозначим Гп случайный граф, соответствующий случайной подстановке а, принимающей значения з с равными вероятностями. Ясно, что

Р{Г„ = Щ} = (п!)-1.

В разделе 1.3 было показано, что обобщенная схема размещения, введенная в разделе 1.2, может быть использована при изучении широкого круга задач, связанных с компонентами случайных графов. В примере 1.3.1 было показано, что обобщенная схема размещения применима и при изучении случайных подстановок. Напомним, что для применения обобщенной схемы выделяется подмножество графов ровно с N компонентами, эти компоненты упорядочиваются одним из 7V!

возможных способов и размеры этих упорядоченных компонент обозначаются щ,... , Щу. Если существуют независимые одинаково распределенные неотрицательные случайные величины £i,... Ддг такие, что для любых целых чисел ki,... , k^

РД =ki,... ,1]N = kN}

= P{£i = ki,... ,E.n = kN | £1 + • • ■ + Д = Д (4.1.1)

то говорят, что случайному графу соответствует обобщенная схема размещения, задаваемая случайными величинами £i,... , ^.

Как было показано в примере 1.3.1, случайному графу Гп случайной подстановки из Sn соответствует обобщенная схема, задаваемая независимыми одинаково распределенными случайными величинами £1,... с распределением

z < 1,(4.1.2)

так как число элементов в Sn равно ап = п! и число связных реализаций случайного графа Гп равно bn = (п — 1)!.

Для случайных подстановок соответствующие производящие функции имеют вид

п=0

в^=ib^r = -д1п=0'

Итак, при изучении различных характеристик случайных подстановок можно использовать обобщенную схему размещения. Эта возможность была широко использована в [55].

Напомним некоторые комбинаторные тождества, которые следуют из общих результатов раздела 1.3.

Пусть vn — число циклов в случайной подстановке из Sn. Согласно лемме 1.3.3

РД = т= ЧСС^^ + ■ ■ ■ + Д = Д (4-1-3)

Обозначим аТ число циклов длины т в случайной подстановке из Sn, г = 1,... , п. Согласно лемме 1.3.7 для любых неотрицательных целых чисел mi,... , тп

P{ai = mi,... ,а„ = т„} = ГТ —г,(4.1.4)

гтгт |

если mi + 2ш2 +... + тгтп = п, и эта вероятность равна нулю в остальных случаях.

Введем производящую функцию

^„(ti,... ,t„) = 52 Р{«1 = mi,... ,а„ = m-n}^1 ■ •-С mi,... ^т^

1/ з. \ mi / . х т2

ml... тп\ у 1 / у 2 у

где суммирование проводится по множеству целых чисел

Мп = {тщ > 0, г = 1,... , n, mi + 2т2 + ... + птп = п}.

Положим фо = 0. Нетрудно видеть, что ^nVi> • • • Лп) есть коэффициент при ип в выражении ехр{п/д + и1^^ + ...}, то есть

tb t2,...) = У ^(Н?... , tn>n = exp < У .(4.1.5)

n=07

Производящая функция (4.1.5) была получена В. Л. Гончаровым и послужила основным аппаратом в его исследованиях случайных подстановок [36]. В [55] при изучении случайных подстановок была использована обобщенная схема размещения. В следующем разделе будет приведено несколько примеров применения обобщенной схемы и для случайных подстановок будут получены результаты, дополняющие исследования, представленные в [55].

Число циклов

Хорошо известно, что при п ^ ею число циклов vn в случайной подстановке из Sn асимптотически нормально с параметрами (Inn, Inn). Более точно, при п сю

PK = TV} = ^=l=e-“2/2(l + O(l))(4.2.1)

у2тг Inn

равномерно относительно целых N, для которых n = (N — Inn)/Vinn лежит в любом фиксированном конечном интервале.

Подход, основанный на обобщенной схеме размещения, дает возможность получить асимптотику вероятности P{nn = N^ при п ею для всех значений N = N(n). Согласно (4.1.3) для любого целого положительного N

(4.2.2)(4.2.2)

(4.2.2)

(4.2.2)

где параметр х может быть выбран произвольно из интервала (0,1) и <i,... , ^ — независимые одинаково распределенные случайные величины с распределением (4.1.2).

Таким образом, для изучения асимптотического поведения распределения случайной величины vn достаточно получить соответствующие локальные теоремы для суммы

Cn = <1 + . . . + Cn,

где параметр х в распределении слагаемых может выбираться так, чтобы доказательство локальных теоремы оказалось наиболее прос

тым.

Начнем с выбора ж = 1 — 1/п и докажем несколько локальных теорем, которые позволят описать асимптотику вероятности P{nn = N^ при значениях N, не слишком далеко отстоящих от Inn.

Теорема 4.2.1. Если п сю, N = ylnn + oQnn), где ^ — постоянная, 0 < у < сю, то

равномерно относительно целых к, для которых z = k/п лежит в любом фиксированном интервале вида 0 < го ^ z < z\, где го и z\ —

постоянные.

Прежде, чем доказывать эту теорему, приведем несколько вспомогательных утверждений. Напомним, что мы выбрали х = 1 — 1/п. При таком х

к =1,2,...,(4.2.3)

и характеристическая функция случайной величины £i равна

фЛЬ = -/-1п (1 - ей + 1еа) .

1п п уП /

Представим ipn(t) в виде

(1п ( - - it ) + 1п(1 + ^i(^) + ^2^)) ) ,(4.2.4)

Inn у уп //

где

+ it — ег1 . , . ezt — 1

М^ =^2^ =vV

1/п — itn(l/n — it)

Для ф1(ф) и ^(^ справедливы оценки

.WI <

1М)1 <(4.2.6)

Используя явное выражение для <pn(t), представление (4.2.4) и оценки (4.2.5), (4.2.6), получаем следующие оценки для ^Рп^У

Лемма 4.2.1. Если п ос, N = 7Inn + o(lnn), где ^ — постоянная, 0 < у < оо, то для любого фиксированного t

(1

Лемма 4.2.2. Если п ос, N = 7Inn + o(lnn), где ^ — постоянная, 0 < у < ос, то существуют положительные постоянные е и с такие, что при \t/n\ < е

\^^tl^\^c\tr.

Лемма 4.2.3. Если п оо, то для 0 < е < \t\ < тг, где £ — положительная постоянная, существует постоянная с такая, что для достаточно больших п

|^пО < с/Inn.

Лемма 4.2.4. Если п оо, то существует положительная постоянная £ такая, что при \t/n\ < е

1 '< 2

(1 + \t\) In n

Как следует из леммы 4.2.1, при п^ооиА^ = у1пп + о(1пп), где у — постоянная, 0 < у < оо, распределение нормированной суммы (к (^ сходится к гамма распределению с характеристической функцией (1 — it)-^ и плотностью г7-1е-г/Г(у), z > 0. В действительности, как указано в теореме 4.2.1, эти распределения сближаются и локально.

ностьP{<N = fc} = P{0v/nможно представить в виде= лностьP{<N = fc} = P{0v/nможно представить в виде= лДоказательство теоремы 4.2.1. По формуле обращения вероят-Доказательство теоремы 4.2.1. По формуле обращения вероят-

ность

P{<N = fc} = P{0v/n

можно представить в виде

= л

ность

P{<N = fc} = P{0v/n

можно представить в виде

= л

Доказательство теоремы 4.2.1. По формуле обращения вероят-

Доказательство теоремы 4.2.1. По формуле обращения вероят-

кроме того,

1p-itz

——— г7-1е-г = /— dt.

ГЦ)У-оо О " гФ

Отсюда,

2тгпР{^/п = г} - 2ле-2 = Д + ^ + ^з + Д, где

21= /Ле"йТ^№-(1-Д-7)^,

Ь= /(t/n) dt,

J A< |t|<£П

Is = [ e~ttzcp^(t/n) dt,

Jen^ |t| ^тгп

h = ~ [ ^("V-itV dt, J A<\t\

и постоянные e и А будут выбраны позднее.

Согласно лемме 4.2.1, ср^(t/n)(1 — it)-4 для любого фиксиро

ванного t. В силу теоремы 1.1.9 эта сходимость равномерна в любом конечном интервале. Поэтому Д О при п оо для любого фиксированного А.

Согласно лемме 4.2.3 для достаточно больших п

\13\ < 2тт(с/1пп)7У < 2тгпе 2N^^

и при N = 7Inn + o(lnn) правая часть стремится к нулю при п со.

Чтобы оценить интегралы I2 и I4, проведем интегрирование по частям. Для I4 получаем, что

p-itz 00/»оо

е^Д! - %tV dt =; + - / е-г^(1 - %tV dt.

V 7- %t^ A zJA V '

Поэтому

227dt

Z(1 +Л2)7/2 + T Ja (1 +t2)(7+l)/2

2 2д Г°° dt < C4zAz + z JA tz+x Az ’

где C4 — постоянная, и I4 может быть сделан сколь угодно малым выбором достаточно большого А.

Аналогично,

Используя оценки лемм 4.2.2, 4.2.3 и 4.2.4, получаем, что

где с, С2 и eg — постоянные.

Выбором достаточно больших А и п интеграл |Z21 может быть сделан сколь угодно малым.

Теперь можно доказать следующую теорему об асимптотическом поведении вероятности P{nn = ЁД.

Теорема 4.2.2. Если п сю и N = 7Inn + o(lnn), где ^ — постоянная, 0 < у < сю, то

finрЬ = -''} = ДД(1 + «(1».

Доказательство. При х = 1 — 1/п представление (4.2.2) принимает вид

fin

= =(4-2-7)

где (n = <fi + • • • + ^ есть сумма независимых одинаково распределенных случайных величин с распределением (4.2.3). По теореме 4.2.1

Подставляя это выражение в (4.2.7), получаем утверждение теоремы 4.2.2.

Случай, когда у = N/ Inn 0, рассматривается в следующей теореме.

Теорема 4.2.3. Если п сю и ^ = N/ Inn 0, то

в

Р{^ = п} = ATRi = п}(1 + о(1)) = —-(1 + о(1)).

Доказательство. Принимая во внимание, что 7 < 1/2, начиная с некоторого п, выберем уровень п(1 — 7) и представим вероятность P{Ov = п} в виде

Р{^ = п} = Р{фу = n, ^ < п(1 - 7), г = 1,... , п}

+ NP^n = n.^N> n(l - 7)}. (4.2.8)

Поскольку

1

PRi=m} = -—(1 + о(1))

п Inn

равномерно относительно т, п < т < п(1 — 7), получаем, что

P{Ov = n, ^N > Щ - 7)} =52 p{€w = w, ^-i = п - т}

m>n(l —7)

е-1

=< 7п}(1 + о(1)). (4.2.9)

n Inn

Докажем теперь, что

P{Cv-i < 7'01-P{Cv-i < 7'01-(4.2.10)(4.2.10)

P{Cv-i < 7'01-

P{Cv-i < 7'01-

(4.2.10)

(4.2.10)

Покажем, что случайная величина Ск/Оч™) стремится по вероятности к нулю. В силу представления (4.2.4) и оценок (4.2.5) и (4.2.6)

фифи^1п(7 — г£) — In 7Inn^1п(7 — г£) — In 7Inn17П Inn17П Inn

фи

фи

^1п(7 — г£) — In 7

Inn

^1п(7 — г£) — In 7

Inn

1

7П Inn

1

7П Inn

и если 7 = N/ Inn 0, то

ФФ1 -1 -ln(7 — it) — In 7Innln(7 — it) — In 7Inn1.1.

Ф

Ф

1 -

1 -

ln(7 — it) — In 7

Inn

ln(7 — it) — In 7

Inn

1.

1.

Таким образом, характеристическая функция случайной величины Cn / (7П) стремится к характеристической функции вырожденной случайной величины, принимающей значение нуль с вероятностью единица, откуда следует (4.2.10).

Можно показать также, что в условиях теоремы

P{Cn = ^, & ^ Ц1 — у), г = 1,... , n} = o(l/(nlnn)).

Утверждение теоремы следует теперь из этого соотношения и соотношений (4.2.8), (4.2.9) и (4.2.10).

Теорема 4.2.4. Если п сю п у = N/ Inn 0, то

у(4п

Ph=jV} = ^(l + o(S

Доказательство. Утверждение этой теоремы прямо следует из теоремы 4.2.3 и представления (4.2.7), если учесть, что при у 0 гамма- функция Г(у) = 1/у(1 + о(1)).

Рассмотрим теперь случай, когда N/lnn сю. Выделим четыре подслучая: а = n/N —>oo;q—>c>1;q—>1, когда т = п — N сю; а ^ 1, когда т фиксировано.

Пусть а сю. Выберем параметр х так, чтобы Ефу было близко к п. Поскольку для £i с распределением (4.1.2)

(1-хДД1-хУ

параметр ж, 0 < х < 1, следовало бы выбрать так, что

—7Г = <%

1 — X) 1п(1 — X)

где а = n/N. Это уравнение приближенно удовлетворяется, если положить

cdnc/

Если N/Wn сю, то х = 1 — l/(cdn<a) отстоит от особой точки х = 1 дальше, чем х = 1 — 1/п, поэтому для распределения суммы (n справедливо нормальное приближение.

Теорема 4.2.5. Если n,N оо так, что N/ Innоо, а =

n/N оо и параметр х = 1 — 1/(а1па) и аа = тДпа, то

Р{^ = к^ =L=e-2/2(1 + о(1))

од у2тпУ

равномерно относительно целых к, для которых z = (к — n)/(aVN) лежит в любом фиксированном конечном интервале.

Доказательство. Характеристическая функция случайной величины £i равна

Легко видеть, что для любого фиксированного t при 7V/lnn — хи а = n/N ос

Обозначим ^(^ характеристическую функцию случайной величины ^ = (X - пШ^^). При выполнении условий теоремы для любого фиксированного t

и распределение случайной величины ^ слабо сходится к нормальному распределению с параметрами (0,1).

Локальную сходимость можно доказать стандартными методами и мы опускаем эту техническую часть доказательства теоремы 4.2.5.

Из теоремы 4.2.5 и представления (4.2.2) получаем следующее утверждение.

Теорема 4.2.6. Если п, N ос так, что N/ Innсю, а =

n/N ос, то

РК = N^ =РК = N^ =(- 1п(1 - x))N(- 1п(1 - x))N(1 + 0(1))(1 + 0(1))

РК = N^ =

РК = N^ =

(- 1п(1 - x))N

(- 1п(1 - x))N

(1 + 0(1))

(1 + 0(1))

где х = 1 — l/^lna) и аа = а Vinci.

Следующая теорема, относящаяся к случаю, когда а стремится к постоянной, большей единицы, может быть доказана так же, как теорема 4.2.5.

Теорема 4.2.7. Если п, N сю и существуют постоянные а^ и од такие, что 1 < а^ < а < а\, параметр х = ха, где ха — единственный корень уравнения (4.2.11) из интервала (0,1) и

ха ln(l - xQ + ж2

(1 - жа)21п2(1 - ха)’

Р{Х = Ц =Р{Х = Ц =е г2/2(1+о(1))е г2/2(1+о(1))

Р{Х = Ц =

Р{Х = Ц =

е г2/2(1+о(1))

е г2/2(1+о(1))

равномерно относительно целых чисел к, для которых z = (А: — п)/(сгж V^N^ лежит в любом фиксированном конечном интервале.

Доказательство. Доказательство этого утверждения аналогично доказательству теоремы 4.2.5, и мы опускаем его детали. Заметим только, что а = E£i и <7^ = 0<Д при х = ха.

Используя теорему 4.2.7 и представление (4.2.2), получаем следующее утверждение о предельном распределении vn.

Теорема 4.2.8. Если и.Х х и существуют постоянные о^ и од такие, что 1 < а^ < а < сц, то

p{z/n = tv} =(1))

где ха — единственный корень уравнения (4.2.11) из интервала (0,1) и

1 = Жа 1п(1 - xQ +

ж (1 - Жа)21п2(1 - жа)

Асимптотическая нормальность (n сохраняется, если а = n/N 1 не слишком быстро, как это указано в следующей теореме.

Теорема 4.2.9. Если п, N ос так, что а = n/N 1 и т = п — N ос, и параметр х = ха, где ха — единственное решение уравнения (4.2.11) из интервала (0,1), то

РЩаг = &} = —!=е~^/2(1 + о(1))

у2тгш

равномерно относительно целых к, для которых z = (к — пД Дт лежит в любом фиксированном конечном интервале.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 4.2.5, и мы его опускаем.

Из теоремы 4.2.9 и представления (4.2.2) получаем следующее утверждение об асимптотическом поведении вероятности Р{пп = NY

Теорема 4.2.10. Если n,N^oc так, что а = n/N 1 и т = п - N ос, то

РК = АД =РК = АД =(-1п(1 -X^C(-1п(1 -X^CV^TUrnV^TUrn(1 + Щ),(1 + Щ),

РК = АД =

РК = АД =

(-1п(1 -X^C

(-1п(1 -X^C

V^TUrn

V^TUrn

(1 + Щ),

(1 + Щ),

где ха — единственный корень уравнения (4.2.11).

Нетрудно видеть, что если тп?(N0, то

От

Жа = —(1+O(m/7V)),

и, следовательно,

(- ln(l - xa))N = (ж^(1 + жа/2 + O(x^N = ж^ет(1 + O(m2/TV)), 9т т

C = ^Hi + o(™W.

Поэтому из теоремы 4.2.9 следует, что если n, N сю, а = n/N 1, ш ею и тп2 /N0, то

Nm

P{^n = 7V} = ~г(1 + о(1)).

Наконец, рассмотрим случай, когда т фиксировано.

Теорема 4.2.11. Если N ос и параметр х = 1/N, то для любого фиксированного к = 0,1,...

Доказательство. Разлагая характеристическую функцию ДЕ) случайной величины £1, имеющей распределение (4.1.2) с параметром х = 1/Д получаем, что для любого фиксированного t

ln(l-xe2t) / х ,

Если x = 1/N и N сю, то характеристическая функция случайной величины (n — N равна (1 + (еи — 1)/(27V) + O(N-2))n и стремится к е^ -1)/2. Это значит, что распределение фу — 7V сходится к распределению Пуассона с параметром 1/2.

Из этой теоремы и представления (4.2.2) получаем следующее утверждение, завершающее полное описание предельного поведения распределения случайной величины ип.

Теорема 4.2.12. Если п сю, n/N ^1 и т = п — N фиксировано, то

Р{^п = Ж = —Г(1 + о(1)).

Нетрудно видеть, что теоремы 4.2.2, 4.2.4, 4.2.6, 4.2.8, 4.2.10 и 4.2.12 содержат полное описание предельного поведения распределения числа циклов vn случайной подстановки степени п при п сю.

Подстановки с ограничениями на длины циклов

В этом разделе приводятся результаты о подстановках с ограничениями на длины их циклов. Пусть R — подмножество натуральных чисел. Мы будем рассматривать множество Sn^R всех подстановок степени п, длины циклов которых принимают значения из множества R. Одной из первых задач, возникающих в этой ситуации, является задача об асимптотическом поведении числа апщ элементов в множестве Sn,R. Эта задача далека от своего полного решения. В этом разделе будут приведены некоторые результаты, полученные с помощью привлечения обобщенной схемы размещения.

Как обычно, предполагается, что на множестве Sn,R задано равномерное распределение. Пусть vHir — общее число циклов в случайной подстановке из этого множества. Положим bn^ = (п — 1)!, если rt Е R, и Ь^^ = 0 для остальных значений п. Легко видеть, что

Р{М = М =Р{М = М =п!W! Cln,Rп!W! Cln,Rni-\-...-\-TlN=nni-\-...-\-TlN=nЬщ ,RnJЬщ ,RnJ• • bnN ,R..nN\• • bnN ,R..nN\(4.3.1)(4.3.1)Введем независимые одинаково распределенные случайные величинысгдеBr^Введем независимые одинаково распределенные случайные величинысгдеBr^распределениемраспределениемbk,R^k\BR^bk,R^k\BR^.к.кkBR^ ’kBR^ ’к е R,к е R,(4.3.2)(4.3.2)к=1к=1bk,RXkк'.bk,RXkк'.0.0.

Р{М = М =

Р{М = М =

п!

W! Cln,R

п!

W! Cln,R

ni-\-...-\-TlN=n

ni-\-...-\-TlN=n

Ьщ ,R

nJ

Ьщ ,R

nJ

• • bnN ,R

..nN\

• • bnN ,R

..nN\

(4.3.1)

(4.3.1)

Введем независимые одинаково распределенные случайные величиныс

где

Br^

Введем независимые одинаково распределенные случайные величиныс

где

Br^

распределением

распределением

bk,R^k\BR^

bk,R^k\BR^

.к

.к

kBR^ ’

kBR^ ’

к е R,

к е R,

(4.3.2)

(4.3.2)

к=1

к=1

bk,RXkк'.

bk,RXkк'.

0.

0.

Используя эти случайные величины, перепишем равенство (4.3.1) в виде

рК,д = м = 4^д^р^Л) + ■ ■ • + 6Л) = пу (4.3.3)

Отсюда, суммируя по Nполучаем, что

(4.3.4)

Ясно, что выше мы повторили для множества Sn,R подход, описанный в общем случае в разделе 1.3, и равенства (4.3.1), (4.3.3) и

4.3.4) — это реализация общих равенств (1.3.1), (1.3.10) и (1.3.11) в рассматриваемом случае.

Для нахождения асимптотики чисел an^R, нужно выбрать подходящее значение параметра ж, подставить его в выражение для распределения (4.3.2) и доказать локальную теоремы для суммы независимых слагаемых с этим распределением.

Получить результаты об асимптотическом поведении апщ удается только в тех случаях, когда структура множества R обладает достаточной регулярностью. В общем случае асимптотика an^R неизвестна.

Подход, основанный на привлечении обобщенной схемы размещения, опишем вначале в простом случае, когда R — множество Е четных чисел.

Теорема 4.3.1. Если п со, то

ап,Е — 2ап,Е — 20" (1+0(1))0" (1+0(1))(4.3.5)(4.3.5)

ап,Е — 2

ап,Е — 2

0" (1+0(1))

0" (1+0(1))

(4.3.5)

(4.3.5)

при четных п и ап,Е = 0 при нечетных п.

Доказательство. Для доказательства теоремы используем представление (4.3.4). Рассмотрим случайные величины ^S\... Д^ с распределением (4.3.2), где R = Е = {2, 4,... } и

BR(x) = ВЕ(х) = ^ ^ = -|b(lkER

Случайные величины ^ = ^Е^/2, г = 1,... , N, независимы, одинаково распределены и

(4.3.6)

Если выбрать х = ^1 — 1/п, то это распределение совпадает с распределением (4.2.3) из предыдущего раздела, и согласно теореме 4.2.1, если п сю и N = 7Inn + o(lnn), где у — постоянная, 0 < у < сю, то

PRi + ... + ^ = Ц = -А_^-ч-Ц1 + О(1))

равномерно относительно целых к, для которых z = к/п лежит в любом фиксированном интервале вида 0 < сд ^ г < су, где го и z\ — постоянные.

Поскольку

ys) = ^у) +... + ^ = 2(^ + ■ ■ ■ + СО,

В. Ф. Колчин

получаем, что если п сю, N = (Inn)/2 + o(lnn) и п четно, то

Р{С^ = Л = PR1 + ■ • ■ + ^ = Д2} = 2^-1/^ + о(1)). (4.3.7)

Пу

Для нечетных п эта вероятность равна нулю.

Чтобы получить ап^Е с использованием (4.3.4), нужно просуммировать вероятности Р{С^ = п} с пуассоновскими коэффициентами. Для этого нужно оценить эти вероятности при всех N. Покажем, что при всех N

рСС = Л ^ ^-(4.3.8)

nlnn

Эта оценка получается как следствие следующей цепочки оценок. Из (4.3.2) следует, что

рК.Е = Л =рК.Е = Л =Хп ул 1

рК.Е = Л =

рК.Е = Л =

(BEU^N

vK(n,N)

где

К(п^ N) = {/д,... ^kN- ki + ... + kE = n, kE... , kN E R^.

Отсюда,

Nr(Be(x))n \ki...kN-ik2...kN

N ул xkl xkN~r

<<be^n к2-^ kN" kN-i

ул xk \N

k iпВе(х)

Оценка (4.3.8) доказана, так как В = Ве(х) = (Inn)/2. Разобьем сумму

п/2п/2N=1N=1BNe~BN\BNe~BN\= n}= n}

п/2

п/2

N=1

N=1

BNe~B

N\

BNe~B

N\

= n}

= n}

на четыре слагаемых, разбив область суммирования на частина четыре слагаемых, разбив область суммирования на частиAi = ^NА2 = {WЛ3 = {^А4 = {АГAi = ^NА2 = {WЛ3 = {^А4 = {АГ1 < N < В - В3/Ц,В - В3/4 < N < В + В3/4}, В + В3/4 < N < В + ВЦ, В + В2 <N < п/Д-1 < N < В - В3/Ц,В - В3/4 < N < В + В3/4}, В + В3/4 < N < В + ВЦ, В + В2 <N < п/Д-Нетрудно видеть, что соотношение (4.3.7) выполняется равномерно относительно N Е А^. ПоэтомуНетрудно видеть, что соотношение (4.3.7) выполняется равномерно относительно N Е А^. Поэтому^= Е ^Р^В) = Дnea2 ‘= \-е"^- Е дп (! +0(1)) = ^=(1 + 0(1)),V 7Г n ^ M v v ” пСтгё v "nea2v^= Е ^Р^В) = Дnea2 ‘= \-е"^- Е дп (! +0(1)) = ^=(1 + 0(1)),V 7Г n ^ M v v ” пСтгё v "nea2vтак как В = (In n)/2 и при N сютак как В = (In n)/2 и при N сюЕnea2Еnea2BNe~BN\BNe~BN\1.1.

на четыре слагаемых, разбив область суммирования на части

на четыре слагаемых, разбив область суммирования на части

Ai = ^N

А2 = {W

Л3 = {^

А4 = {АГ

Ai = ^N

А2 = {W

Л3 = {^

А4 = {АГ

1 < N < В - В3/Ц,

В - В3/4 < N < В + В3/4}, В + В3/4 < N < В + ВЦ, В + В2 <N < п/Д-

1 < N < В - В3/Ц,

В - В3/4 < N < В + В3/4}, В + В3/4 < N < В + ВЦ, В + В2 <N < п/Д-

Нетрудно видеть, что соотношение (4.3.7) выполняется равномерно относительно N Е А^. Поэтому

Нетрудно видеть, что соотношение (4.3.7) выполняется равномерно относительно N Е А^. Поэтому

^= Е ^Р^В) = Д

nea2 ‘

= \-е"^- Е дп (! +0(1)) = ^=(1 + 0(1)),

V 7Г n ^ M v v ” пСтгё v "nea2v

^= Е ^Р^В) = Д

nea2 ‘

= \-е"^- Е дп (! +0(1)) = ^=(1 + 0(1)),

V 7Г n ^ M v v ” пСтгё v "nea2v

так как В = (In n)/2 и при N сю

так как В = (In n)/2 и при N сю

Е

nea2

Е

nea2

BNe~B

N\

BNe~B

N\

1.

1.

Оставшаяся часть суммы есть о(1/п). Действительно, применяя оценку (4.3.8), находим, что

2В BNe-B 1 BNe-B

nlnn N\ n N\NEAiNEAi

и Si = o(l/n), так как

EEBNe"BNlBNe"BNl00

E

E

BNe"B

Nl

BNe"B

Nl

0

0

при n сю.

Из (4.3.8) следует, что

Inn ул BNe в

NEA3

Используя нормальную аппроксимацию для распределения Пуассона, получаем, что

nea3nea3BNe~BN\BNe~BN\v BNe"BN^BEB3/4v BNe"BN^BEB3/4Cl e ^^du^cieJb1/4Cl e ^^du^cieJb1/4

nea3

nea3

BNe~B

N\

BNe~B

N\

v BNe"B

N^BEB3/4

v BNe"B

N^BEB3/4

Cl e ^^du^cie

Jb1/4

Cl e ^^du^cie

Jb1/4

NеNегде щ и С2 — постоянные. Отсюда следует, что S3 = о(1/п). Аналогично, используя (4.3.8), находим, что

N

е

N

е

s‘ < А £Inn^eA4ЕInn оN^B2s‘ < А £Inn^eA4ЕInn оN^B2BNe~B < 1^

s‘ < А £

Inn

^eA4

Е

Inn о

N^B2

s‘ < А £

Inn

^eA4

Е

Inn о

N^B2

е"ве"вTV! Inn N^B2

е"в

е"в

Отсюда, S4 = о(1/п), так как е/В < е 1 при достаточно больших п.

Собирая оценки Si, S2, S3 и S4, получаем, что

s =- (1 + о(1)\

V п

Подставляя это выражение в (4.3.4) и разлагая п! по формуле Стирлинга, получаем утверждение теоремы.

Аналогичный результат справедлив для числа подстановок, когда R — множество нечетных чисел.

Замечания и литературные ссылки

Вероятностный подход, который сейчас широко используется в комбинаторике, впервые был строго сформулирован и применен при изучении симметрической группы Sn В. Л. Гончаровым в [34, 35, 36]. Им были найдены совместное распределение (4.1.4) случайных величин од,... , сщ и производящая функция (4.1.5). В. Л. Гончаров доказал, что для общего числа циклов vn = оц + ... + ап при п сю

Enn = Inn + 7 + о(1),

V^n = Vlnn — (7г2/2 — 7/2)/Vlnn + o(Vlnn).

В. Л. Гончаров доказал также, что распределение (nn — Inn)/Vlnn слабо сходится к стандартному нормальному распределению, а распределение аТ для любого фиксированного т = 1,2,... сходится к распределению Пуассона с параметром 1/г.

Обозначим 3Vn длину максимального цикла в случайной подстановке из Sn. В. Л. Гончаровым в [34, 36] было показано, что

Р{^Р{^h=Q *h=Q *

Р{^

Р{^

h=Q *

h=Q *

где

S^m^ n) = 1,S^m^ n) = 1,5^(771,71)5^(771,71)/vl+...+/v^<n,k^- ,kh^m/vl+...+/v^<n,k^- ,kh^m1&1 • • • ky1&1 • • • kyhh> 1.> 1.

S^m^ n) = 1,

S^m^ n) = 1,

5^(771,71)

5^(771,71)

/vl+...+/v^<n,k^- ,kh^m

/vl+...+/v^<n,k^- ,kh^m

1

&1 • • • ky

1

&1 • • • ky

h

h

> 1.

> 1.

Положим

Т ( 1\ Л т ( 1 А Гdxi...dxh

/о(ж, 1-ж) = 1,1н(хД-х)= /,0 < х < 1.

Х\...Ху

Х1 ,Хк>Х

В. Л. Гончаровым было доказано, что при п ^ ос случайная величина /3Уп/п имеет предельное распределение с плотностью

1 J i \h

h=Q ‘

которая, как видно из приведенной выше формулы, задается различными аналитическими выражениями на последовательных интервалах вида [1/(1 + А), 1/А], где А — целые числа. Например,

1 /1 —

ф^ = - 1 - Ы

X \X

Хотя В. Л. Гончаров детально исследовал цикловую структуру случайных подстановок, интерес к этому кругу задач сохраняется. В [48] для изучения характеристик случайных подстановок был предложен подход, использующий их связь с обобщенной схемой размещения. Результаты об асимптотических свойствах случайных подстановок, полученные с помощь этого подхода, представлены в [55]. Заметим, что асимптотическая логарифмическая нормальность средних членов вариационного ряда длин циклов случайной подстановки и локальная предельная теорема о сходимости распределения общего числа циклов ^ к нормальному распределению впервые были доказаны этим методом (см. [55]). Было ясно, что этот подход позволяет исследовать локальное поведение вероятностей Р^фп = N^ при всех значениях N = N(n) при тг —> ос. Эти исследования были осуществлены в [80, 82, 73, 29, 31, 30], они представлены в разделе 4.2. Теоремы 4.2.1 и 4.2.2 доказаны Ю. Л. Павловым в [80, 82]. Теоремы 4.2.5, 4.2.6, 4.2.9, 4.2.10 и 4.2.12 доказаны Л. М. Волынец в [29, 31, 30].

В теории вероятностей хорошо развиты методы оценки скорости сходимости в предельных теоремах для сумм независимых слагаемых. Поэтому сведение изучения ряда характеристик случайных подстановок к задачам о суммах независимых случайных величин открывает

естественный путь для оценки скорости сходимости распределений этих характеристик к предельным распределениям. Такие оценки в условиях теоремы 4.2.1 были получены Ю. Л. Павловым [82] и при 7 = 1 А. И. Павловым [73]. Следующая теорема, доказанная Л. М. Волынец в [29], дает более точную оценку остаточного члена по сравнению с данной в [73].

Теорема 4.4.1. Если п сю, N = Inn + xV^R, x/VAnri 0, то

Эта теорема доказана в [29] с использованием подхода, опирающегося на обобщенную схему размещения.

Пусть Хп — множество всех однозначных отображений множества {1,... , п} в себя. В частности, Sn С Еп. Случайное отображения из Еп впервые начали изучаться Крускалом [152] и Б. Харрисом [139]. В ряде статей рассматривались подмножества множества Еп, выделяемые определенными ограничениями на отображения. Упомянем лишь статьи В. Н. Сачкова [92, 93, 94], где рассматриваются отображения, высота которых ограничена постоянной и циклы имеют длины из заданного множества, статьи А. А. Грушо [37, 38], где рассматривается множество Хп,г отображений из Еп, каждая точка которых имеет не более г образов, статьи Ю. Л. Павлова [79, 80], где рассматриваются характеристики случайных отображений, граф которых состоит ровно из т компонент, случай т = 1 рассматривался Г. Н. Багаевым в [5, 6], и статью Арни и Бендера [110] об отображениях с ограничениями на кратности вершин. Исследования в этих областях начались в начале семидесятых и продолжаются до сих пор. По нашему мнению, одним из наиболее удивительных результатов о случайных отображениях с ограничениями является результат И. Б. Калугина [40], краткое изложение которого приводится ниже.

Пусть Хпщ — подмножество множества отображений Еп, в графе которых кратности вершин принимают значения из некоторого множества R. содержащего нуль и не совпадающего с множеством {0,1}.

Пусть ДА) — случайная величина с распределением

где А — положительная постоянная и

жа) = Е^.

kER

Существует ад такое, что ЕДад) = 1. Обозначим Br дисперсию случайной величины ^urY Для числа циклических вершин А^ и

высоты Tnj< графа случайного отображения из Епщ справедливы известные утверждения [40, 55].

Теорема 4.4.2. Если п сю, то

V^/B^PV^ = Ц = ^"^(l +о(1))

равномерно относительно целых к, для которых z = ky/BpJn лежит в любом фиксированном интервале вида 0<^o<^<^i<oo.

Теорема 4.4.3. Если п ос, то для любого фиксированного х > 0

Р{УВдДтп,-й <£ (-l)fee-fe2^2.

Неожиданный результат появляется, если рассмотреть множество Е* д отображений из Еп, определяемое следующим образом. Если в графе отображения из Еп убрать ребра, соединяющие циклические вершины, то получается граф, состоящий из деревьев. Множество Е* R содержит отображения из Еп, для которых кратность любой вершины таких деревьев принимает значение из R. Таким образом, различие в ограничениях на кратности вершин в Е* R и Епщ кажется несущественным, поскольку только ограничения на кратности циклических вершин отличаются на единицу. Однако строение случайных графов из множеств Епщ и Е* R существенно различается.

Пусть Лд и т* R — соответственно число циклических вершин и высота случайного графа с равномерным распределением на Е* R. Для введенной ранее случайной величины ДА) положим

aR = Е£(1),^ = D£(l).

Если R не совпадает с множеством всех неотрицательных целых чисел, ТО Or < 1.

Теорема 4.4.4. Если п со, то

= Ц = ^^е-3/2(1 + 0(1))

равномерно относительно целых к, для которых z = (к — (1 — aR)n)/(5дДп) лежит в любом фиксированном конечном интервале.

Теорема 4.4.5. Если п ос и t = t(n) меняется так, что па^ Р? г^е Р — постоянная, то для любого фиксированного целого ТП

PR^r < t + ™} = ехЛ-кзЗа^ + о(1), где постоянная кр зависит только от (3 и множества R.

Так как порядок t = t(n) равен Inn, случайное отображение из У* R имеет много циклических вершин и, как следствие, имеет высоту порядка Inn, а не Дп, как у случайного отображения из Уп,д- Удовлетворительное объяснение этого эффекта неизвестно.

В разделе 4.3 рассматривается множество 8П)к всех подстановок степени п, длины циклов которых принадлежат фиксированному множеству R. Интерес к таким множествам может быть частично объяснен их связью с системами уравнений, содержащими подстановку, которые рассматриваются в следующей главе. Другая возможная причина интереса к множествам Sn,R и аналогичным множествам отображений с различными ограничениями может быть связана с возможностью (см. [ПО]) приближения более сложных комбинаторных объектов объектами из этих множеств с более обозримыми ограничениями. По-видимому, исследования [14, 105, 106, 57, 69, 32] асимптотического поведения чисел ап^к элементов в Snj< проводились в последние годы частично по этим причинам.

Производящая функция /(г) чисел апщ элементов в 8П)к равна

K^) = X I = exP r •n!r

n —0VrER )

Поэтому естественно для получения асимптотики апщ применить метод перевала. Этот подход успешно применялся в [14, 71] в случае, когда элементы множества R образуют произвольную арифметическую последовательность (см. также [94]).

В этой ситуации использовался также подход, основанный на доказательстве и применении теорем тауберова типа [105, 106, 107]. Приведем две теоремы, доказанные в этих статьях А. Л. Якымивым. Пусть Д(п) — число элементов множества R, не превосходящих п, и |А| обозначает число элементов множества А.

Теорема 4.4.6. Пусть п со,

R(n)/n р, 0 < р < 1,(4.4.1)

и при т п, т = О(п)

— \к: к ^п, к Е R, т — к Е R\ р2.(4.4.2)

п

Тогда

an,R = (п - 1)! ехр{/пщ - др}/Г(р)(1 + о(1)),(4.4.3)

где

rER, r^n

^ — постоянная Эйлера и Г — гамма-функция.

Условия (4.4.1) и (4.4.2) показывают, что множество R аналогично типичной реализации случайного множества, содержащего каждое целое число с вероятностью р независимо от остальных чисел.

Примеры множеств R. удовлетворяющих условиям (4.4.1) и (4.4.2), можно искать среди множеств вида

(4.4.4)

где g(t) — действительная функция £ > 0, {ж} — дробная часть числа х и А — некоторый интервал или объединение конечного числа интервалов из [0,1] с мерой Лебега р.

В [106, 107] доказано, что множество R вида (4.4.4) удовлетворяет условиям (4.4.1) и (4.4.2), если

д^ = taWt\

где а — неотрицательное целое число, /(7) — медленно меняющаяся функция и при t сю

— l(t) =n =!,...>]+2.

Пусть aTiR — число циклов длины г в случайной подстановке из Sn,R и ^r = <И,д + • • • + с^п,д ~ общее число ее циклов. А. Л. Якымив в [106, 107] доказал следующее утверждение.

Теорема 4.4.7. Пусть выполнены условия (4.4.1) и (4.4.2) и п оо. Тогда распределение случайной величины (vn,R — 1Hir^/VpRvrt слабо сходится к стандартному нормальному распределению и для любого фиксированного г Е R распределение aTiR сходится к распределению Пуассона с параметром \1т.

Случай нерегулярного поведения an^R рассмотрен Л. М. Волынец в [32].’

Теорема 4.4.8. Если n^oouR = EU М, где Е — мноснсество четных полоэюительных чисел и М — множество нечетных чисел такое, что ряд

сходится, то

(е + е )(1 + о(1)) для четных п и

^n,R = ( — ) (е — е )(1+о(1))V е /

для нечетных п.

Эта теорема доказана в [32] с использованием представления (4.3.4) и равенства

Р{^д) +. ..+ ^)=n} = ^Р{1/ = т,т? = 5}Р{^р)-+^2m = П-s}.

Здесь случайные величины ^Д... , ^Д имеют параметр х, равный д/1 — 1/n, v — число тех случайных величин, которые приняли значения из 114, // — сумма этих случайных величин и щ ,... ,^ — независимые одинаково распределенные случайные величины с распределением

р{^) = k^ = kLzlCFl, кЕЕ.к Inn

Заметим, что при 5^0 результат теоремы 4.4.8 непрерывно переходит в (4.3.5).

В статье [149] найдена асимптотика ап^ в случае, когда R удовлетворяет следующим условиям. Обозначим R(k) — число элементов множества R. не превосходящих к, и будем предполагать, что существует предел

Jim RQ^jk = р, О С р < 1,

называемый плотностью множества R в множестве натуральных чисел.

Кроме того, будем предполагать, что выполнены следующие два условия, налагаемые на множество R.

Существует положительное целое число г такое, что для любого неотрицательного целого s множество R П {s + 1,... , s + г} не может быть вложено ни в какую решетку целых чисел с шагом, большим единицы.

Производящая функция F(z) множества R имеет конечное число т полюсов в точках zi = е27^/™, / = о, 1,... , т — 1, на единичной окружности \z\ = 1, другими словами, она имеет вид

F^ = ^zk = р^!^_гту(4.4.5)

кек

где P(z) — некоторый многочлен.

Заметим, что в этом случае коэффициенты ряда F(z), за исключением, быть может, нескольких начальных коэффициентов, образуют периодическую последовательность с периодом т и поэтому множество R имеет плотность р = Z/тп, где I — число единиц на периоде.

Рассмотрим независимые одинаково распределенные случайные величины £i,... с распределением

РК, = ч = Др 1Е Л.(4.4.6)

Для сумм таких величин в [149] доказана следующая теорема.

Теорема 4.4.9. Предположим, что R имеет плотность р > 0 и удовлетворяет условиям 1 и 2, п эс. N = plnn + o(lnn) и х = 1 - 1/п. Тогда

nPRi + ... + ^N = k} = уР-^-У/Г^Ь + о(1))

равномерно относительно целых к, для которых у = k/п лежит в любом фиксированном интервале вида 0 < у о < у < у^ < ос.

С использованием теоремы 4.4.9 и равенства (4.4.5) в [149] доказаны следующие два утверждения.

Теорема 4.4.10. Предположим, что R имеет плотность р > 0 и удовлетворяет условиям 1 и 2. Тогда при п сю

а„,н = (п- 1)! ев"к/Г(рШ + о(1)),(4.4.7)

где

Поскольку 52^!(1 — l/n^k/k = Inn, соотношение (4.4.7) можно переписать в виде

an,R = n! e-L^R/Г(р)(1 + о(1)),

ккгде

к

к

Ln,R —

Теорема 4.4.11. Предположим, что R имеет плотность р > 0 и удовлетворяет условиям 1 и 2. Тогда при п сю

Р Д»,д = Д =1 ехрР Д»,д = Д =1 ехр(N - Bn,Ry2ВП)к(N - Bn,Ry2ВП)к} (1+^(1))} (1+^(1))

Р Д»,д = Д =1 ехр

Р Д»,д = Д =1 ехр

(N - Bn,Ry2ВП)к

(N - Bn,Ry2ВП)к

} (1+^(1))

} (1+^(1))

равномерно относительно целых N, для которых (N — Вп^)/ y/B^R лежит в любом фиксированном конечном интервале.

Можно легко показать, что асимптотики (4.4.7) и (4.4.3) совпадают. Таким образом, различные множества условий приводят к одинаковым результатам. Это совпадение показывает, что, по-видимому, существуют более слабые условия, достаточные для справедливости асимптотики (4.4.7). Громоздкое доказательство теоремы 4.4.10 не включено в основной текст книги, так как есть основания предполагать, что условия 1 этой теоремы и существования положительной плотности множества R достаточно для справедливости (4.4.7) и доказательство можно существенно упростить.

Исследования множеств Sn,R подстановок с ограничениями на длины циклов дают пример плодотворной конкуренции различных аналитических методов асимптотического анализа таких, как метод перевала, применение теорем тауберова типа, подход, использующий обобщенную схему размещения.

Заметим, что было бы интересно рассмотреть случаи, когда плотность р = 0.

Глава 5

Уравнения, содержащиенеизвестную подстановку

Уравнения второй степени

Если д и / — подстановки степени п, то подстановка h = fg степени п, являющаяся результатом их последовательного применения, называется произведением подстановок д и /. Множество Sn всех подстановок степени п с этой операцией образует симметрическую группу степени п. Поэтому можно рассматривать уравнения вида

Xй = а,(5.1.1)

где d — положительное целое число, а Е Sn и X — неизвестная подстановка из Sn. В предыдущей главе рассматривалось множество Sn,R всех подстановок степени п, длины циклов которых лежат в заданном множестве R, и была установлена асимптотика числа элементов в Sn,R для некоторых регулярных множеств R. Интерес к множествам подстановок Sn,R частично объясняется их связью с некоторыми уравнениями, содержащими неизвестную подстановку. Например, множество решений уравнения

Хр = е(5.1.2)

в симметрической группе Sn, где е — тождественная подстановка и р — простое число, равно множеству Sn,R с R = {1,р}. Действительно, подстановка X удовлетворяет уравнению (5.1.2) тогда и только тогда, когда ее циклы имеют длины, равные либо единице, либо р. Обозначим Т^р) число решений уравнения (5.1.2).

Теорема 5.1.1. Если р — простое число, то

= V 1

п, (п — ркУ. к\рк '

СЩ/с^п/р

Доказательство. Пусть а — случайная подстановка из Sn. Ясно, что

Р{^ = е} = Т^М

поэтому изучение чисел 1У эквивалентно изучению вероятности Р{<тр = е}. Как уже отмечалось, Т^ = аП)к, где R = {1,р}, поэтому

{сгр = е} = {<тг = 0, г ^ 1, г ^ р} = {^1 + Р^р = ^}, где ат — число циклов длины т в случайной подстановке из Sn. Согласно (4.1.4)

Р{а1= n-pk, ар = к, ar = 0, г 1, г =

Суммируя эти вероятности по всем допустимым значениям к, получаем утверждение теоремы.

Положим по,я = 0 и рассмотрим производящую функцию последовательности аП)н

к=0

Теорема 5.1.2. Справедливо равенство

= exp <~ I •

г )

Доказательство. Согласно (4.1.5)

Ди^у,^, • • •) = У . Rn>n = exp J У Г 1(5.1.3)

z—'I z—' n I

n=0^n=l )

где

p„(ti,... ,tn) = ^2 P{<ai = mi,... ,a„ = m-n}^1 ■ ■-C", mi

и ar — число циклов длины г в случайной подстановке из Sn.

Полагая tr = 1 при г Е R и tr = 0 при г ^ R, находим, что производящая функция pn(ti,... ^Д равна

У^ Р{аг = тТ1 г Е R, аг = 0, г ^ R},

MR

где

Mr = < mx,... , тп : ^2 Ттт = Д / •IrER J

Легко видеть, что

У2 Р{<^г = тпт. г Е R, аг = 0, г ^ R^ = Р < У2 гаг = п MRIreE

Таким образом, подставляя tr = 1, если г Е R, и tr = 0, если г ^ R, в (5.1.3), находим, что производящая функция вероятностей

РРгоггог

Р

Р

гог

гог

равна

an,RUn п\an,RUn п\(5.1.4)(5.1.4)

an,RUn п\

an,RUn п\

(5.1.4)

(5.1.4)

Из теоремы 5.1.2 следует, что для нахождения асимптотики чисел Т^ можно применить метод перевала. В следующем разделе для этого будет использован другой подход, основанный на применении обобщенной схемы размещения, однако в этом разделе для сравнения приводится вывод асимптотической формулы для Tr^ методом перевала.

Теорема 5.1.3. При п сю

п eV4V2

Доказательство. Поскольку

00 т^п

1 + у = е^2/2, п=1

по формуле Коши

.Д2)1/-6^/2

FuM = Г" =

п\ 2тп J гп^г

где интегрирование проводится по контуру, охватывающему точку г = 0. Перепишем эту формулу в виде

Fin) = — / е^+^/2-п1пг^v v 2тп Jz

и выберем контур интегрирования в виде окружности, проходящей через седловую точку £, в которой производная функции

г2

/(г) = z + — — п1пг

обращается в нуль. Из уравнения

/'(д) = 1 + г - n/z = 0

находим, что

5 = 0г + 1/4 - 1/2.

Таким образом, полагая z = gewтг < ip < тг, находим, что

V 7 27гД z 2тгУ_т

_^ср+р2/2 I e0cos^-l) + (cos2^-l)/2+^sin^+02 sir^^^-m^^v

Для краткости положим а = ^siny; + (е2 sin20)/2 — пр) и перепишем интеграл в виде

ге^+^ /22тг£пге^+^ /22тг£п

ге^+^ /22тг£п

ге^+^ /22тг£п

Поскольку F(n) — действительное число, отсюда следует, что

F(n) = ^^ уТ cosaee^-cos^-e^Y-co^^

Выберем s = £-3/4 и оценим интеграл вне s-окрестности нуля, принимая во внимание, что q = д/п + 1/4 —1/2 сю при п сю. Подынтегральная функция четна, поэтому будем оценивать только интеграл по ср, 0 < ср < тг. Для удобства на рисунке 5.1.1 приведены

Рис. 5.1.1. Графики cos 9? и cos2(/;

графики функций cos 9? и cos 2(/;, входящих в показатели экспонент. С помощью этих графиков легко видеть, что

/•тг/2

У cos ае"^1"008 v)-e2(i-cos 2V)/2^

е"^1-0082^/2^ << -e”6^2 = 2е"^/2’

так как 1 — cos 2s ^ в2 при достаточно малом в.

Аналогично получаем, что

/ /2%cosQe-e(1-cos^2(1-c^^< / е"^1"008^

V 7ГVtt/2

С / e~6dcp = — e~Q.

Л/22

Таким образом,

( [ coscie-^1-008^-^^-0082^/2^ + O(e-Ve/^\ ?

2тг^п \J_£)

где s = £-3/4. Поскольку ^ + ^2 — п = 0, в окрестности нуля

а = q sin ф + — sin 2ср — пер

= gip + q2^ - ny> + O(g>2|^|3) = О(£»2|^|3),

15 В. Ф. Колчин

и, следовательно,

COS Cl = 1 + О((Х2) = 1 + O(q4(£6\

Показатель экспоненты подынтегральной функции в области интегрирования можно представить в виде

о21

5(1 - созД + у(1 - соз2Д = -Д + 2р2)Д + О(52Д).

Поэтому при |(/;| ^ s

cosaee(1-cos v)-e2(1-cos2v)/2 = e-y2(e+2e2)/2(i + ^(ДД + ДД)) = e-v2(e+2e2)/2(i + O(g2e4 + р4е6)) = e"^+2e2)/2(l + O(£>-1/2)).

Таким образом,

f cosae-e(1-cosv)-e2(1-cos2v)/2#

= Г e^^+^^d^l + О^"1^.

Проведя замену переменных по формуле 6 = Др + 2Ду>, получаем, ЧТО

J-eх/^Аб + 2<Д J-eVe+^e2

V 6 + 2 g2

поскольку при X сю

1^ е~и2/2du = |е"ж2/2(1 + о(1)).

Собирая полученные оценки, находим, что

pQXQ2/^ /1,,\

ЕИ = ^=-^, о 2(1 + О(5"1/2)) + O^e-V»/^

у2тг^п \v^ + 2^2у

= -7=/ об + °(^"1/2))-

х/Тгр” + 2р2

Остается подставить в эту формулу д = у/п + 1/4 — 1/2.

Так как F(n) = Т^/п\^ находим, что

1

InT^^ = Inn! + д + —— п1п£ - - 1п(^ + 2^2) - 1па/2тг + О(^-1^2).

(5.1.5)

Заменим Inn! по формуле Стирлинга

(5.1.6)(5.1.6)In n! = n In n — n + - In n

(5.1.6)

(5.1.6)

Нетрудно видеть, что

1/4- i = Vn(8п \п211/1/4- i = Vn(8п \п211/П1/2_1 + 4п)2\ 1/ ” 21 \П1/2_1 + 4п)2\ 1/ ” 21 \

1/4- i = Vn(

8п \п2

11/

1/4- i = Vn(

8п \п2

11/

П1/2_1 + 4п)2

\ 1

/ ” 2

1 \

П1/2_1 + 4п)2

\ 1

/ ” 2

1 \

n | 1=n | 1=111п21п2(5.1.7)(5.1.7)р2 = п —р2 = п —1212(5.1.8)(5.1.8)

n | 1=

n | 1=

1

1

1п2

1п2

(5.1.7)

(5.1.7)

р2 = п —

р2 = п —

1

2

1

2

(5.1.8)

(5.1.8)

1 ,1= -п Inn1 ,1= -п Inn112222(5.1.9)(5.1.9)

1 ,1

= -п Inn

1 ,1

= -п Inn

1

1

2

2

2

2

(5.1.9)

(5.1.9)

Используя (5.1.7), получаем, что

11 11 Л 1 i / i

П In Q = -n In П + П In П 1= Нh О —

Наконец,

ln(g + 2^2) = ln2 + 21n^ + lnfl + — У

(5.1.10)(5.1.10)= lnn + ln2 + O[ | .

(5.1.10)

(5.1.10)

Подставляя оценки (5.1.6)-(5.1.10) в (5.1.5), получаем окончательную формулу

1пТД = -1пп--”221пТД = -1пп--”224411

1пТД = -1пп--

”22

1пТД = -1пп--

”22

4

4

1

1

из которой следует утверждение теоремы. 15*

Уравнения простой степени

Согласно (4.3.4) число ап^ подстановок в Sn,R можно представить в виде

(5.2.1) где

brr = Y,^(5-2-2)

kER

RR) RR)„

и щ ? • • • ? sat — независимые одинаково распределенные случайные величины с распределением

р«™ = 4 = uR k е R- (И-3’

и положительный параметр х можно выбрать произвольно из области сходимости ряда (5.2.2).

Если р — простое число, то число Т^ решений уравнения (5.1.2) равно аП)к, где R = {1,р}. Поэтому

rpBR(x) = х Н

Р

и согласно (5.2.1)

TR = ^еж+жР/р £ ^±^^е-ж-^Р{<А = п},(5.2.4)

ХN=1'

где (к = €1 + • • • + ^n, случайные величины £i,... , ^ независимы и одинаково распределены и

PR1 = 1} =PR1 = Р} =(5.2.5)

рх R хррх + хр

Таким образом, чтобы найти асимптотику 7™ , нужно выбрать подходящее значение х и доказать локальную предельную теорему для суммы (ду = £i + ... + ^n- Суммирование независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих два значения, охватывается теоремой Муавра-Лапласа. Поэтому подход, основанный на представлении (5.2.4), кажется нам более простым по сравнению с методом перевала.

Начнем с применения этого подхода к доказательству теоремы 5.1.3.

Доказательство теоремы 5.1.3. Если R = {1,2}, то, очевидно,

т 2т 2РЙ = 2} =РЙ = 2} =^В^2 + х'^В^2 + х'

т 2

т 2

РЙ = 2} =

РЙ = 2} =

^В^2 + х'

^В^2 + х'

где В(х) = ВДх) = х + т2/2 и Е^ = 7VE<fi = N(x + х2)/В(х).

В главной части суммы в (5.2.4) параметр N принимает значения, близкие к ВД^ поэтому выберем х так, что

х + х2 = п.

Отсюда

14’14’/1хх2 n 1 /——

1

4’

1

4’

X = Дп + 1/4— -,В(х) = х + у = - + -Vn + 1/4

X + X2 ПX3

= В(х) = В(хУ 51 = 2В^)’

Положим_ ^N -В^хУПоложим_ ^N -В^хУА = V2 Inn,А = V2 Inn,на две части так, чтона две части так, чтои D£i = 2п ГД + о(1)) при п со.

Положим

_ ^N -В^хУ

Положим

_ ^N -В^хУ

А = V2 Inn,

А = V2 Inn,

на две части так, что

на две части так, что

и разобьем сумму в (5.2.4)

рв^

т^ = -^№+S2),(5.2.6)

где

TV: |u|<A*

52=£ ^Де"в^Р^=пЬ

N: |u| >A

В первой сумме

\N-B^\ < АУРДуад " 2\N-B^\ < АУРДуад " 2(1 + о(1)),(1 + о(1)),

\N-B^\ < АУРДуад " 2

\N-B^\ < АУРДуад " 2

(1 + о(1)),

(1 + о(1)),

и используя нормальное приближение для распределения Пуассона, находим, что при п сю

BN(x)TV! 6BN(x)TV! 6В(Ж)В(Ж)1Д2тгВД)1Д2тгВД)(1+о(1))(1+о(1))

BN(x)

TV! 6

BN(x)

TV! 6

В(Ж)

В(Ж)

1

Д2тгВД)

1

Д2тгВД)

(1+о(1))

(1+о(1))

Рис. 5.2.1. Графики ^i(N) и ^(^V)Рис. 5.2.1. Графики ^i(N) и ^(^V)

Рис. 5.2.1. Графики ^i(N) и ^(^V)

Рис. 5.2.1. Графики ^i(N) и ^(^V)

равномерно по целым N таким, что |и| < А.

Сумма (n — N имеет биномиальное распределение с N испытаниями и вероятностью успеха р(х) = ж/(2 + х). Если |п| ^ Л, то N = В(х)(1 + о(1)) и при п оо

Np(x^l -р(ж)) = ^”^7 = ЛД+ о(1))-

Поэтому для биномиального распределения справедливо нормальное приближение. При |п| < А = V2 In п

п - NE^VN^п - NE^VN^n(B(x) - TV) B^VND^n(B(x) - TV) B^VND^= —u(l + O(n x/2)).= —u(l + O(n x/2)).

п - NE^

VN^

п - NE^

VN^

n(B(x) - TV) B^VND^

n(B(x) - TV) B^VND^

= —u(l + O(n x/2)).

= —u(l + O(n x/2)).

Поэтому по теореме Муавра-Лапласа

P{Cn = n} =P{Cn = n} =1V2ttTVD£i1V2ttTVD£ie "2/2(l + o(l))e "2/2(l + o(l))

P{Cn = n} =

P{Cn = n} =

1

V2ttTVD£i

1

V2ttTVD£i

e "2/2(l + o(l))

e "2/2(l + o(l))

равномерно относительно целых TV, для которых |zt| ^ А.

Характер поведения функций yi(TV) = BN^е-в^)N\ и <^2(TV) = P{Cw = ?г} представлен на рисунке 5.2.1.

Сумма 51 оценивается следующим образом:

N: |u|<A

= У у 1^^=e""2/2(l+o(l))

N;V^b^VMdTy

=,1= У , 2-е-“2/2(1+о(1)).

Последняя сумма представляет собой интегральную сумму функции е-и /2 с шагом 2(B(t)D£i)-1/2, так что при п оо

Sy = у 1-2= Г e"u2^d<\ + о(1)) =£ z (1 + о(1)).

г^тт-ВЦ) х/2тг 7-002У27ГВЩ

В силу монотонности при |п| > А

и существует постоянная с такая, что

Р{Х = и} ^ сп-1^4е-Л /2 < сп-5/4.

Поэтому

s2 = У ^A^e-^WN = п} < СП"6/4.

N: |и| >А

Таким образом,

и подставляя эту оценку в (5.2.6), получаем, что

у(2)у(2)п\ев^ .

у(2)

у(2)

/= (^ Т ^(^-)) 2хп Х2тгВ(т)

Остается подставить в эту формулу

X = V^ + l/4 - |, В^ = ^ + |\/и + 1/4- ^.

Легко видеть, что

евм =+ ^^^

ж" =nn/2e"v"/2(l + o(l)).

Поэтому

= ^^-"v/^re^+v^/2-1^

"пп/2е-х^/22^уД2 1

и теорема 5.1.3 с остаточным членом вида (1 + о(1) доказана.

Обратимся теперь к случаю, где р — простое число, р ^ 3, и оценим число Т^ решений уравнения (5.1.2).

Теорема 5.2.1. Если п сю up — простое число, р ^ 3, то

Доказательство. Доказательство по существу повторяет приведенное выше доказательство теоремы 5.1.3 и также основано на использовании соотношения (5.2.4). При R = {1,р}

В(х) = ВДх) = х + хр /р,

и независимые одинаково распределенные случайные величины £1,... Дат в (5.2.4) имеют распределение

рй = 1} =-^-= ^^, РК1=р} = -^ = ^^.

ВД) рх У хрВД) рх У хр

Выберем параметр х так, что

х + хр = п.(5.2.7)

Тогда

х = пДр - -n~w^p + О(п-2+2/р),

Р

В^ = ж + хр/р = - + ^4п1/р + О(п"1+2/р),р р

р(х) = — = 1 - рп-1+1^р + О(п-2+2/р),

рх + хр

Е<1 = п;вд\ D<1 = (р - 1)2рп-1+1/р(1 + о(1Д

ПоложимПоложимp(N — В(х))VB№^ ’p(N — В(х))VB№^ ’А = V2 Inn,А = V2 Inn,и разобьем сумму в (5.2.4)и разобьем сумму в (5.2.4)на две части так, чтона две части так, чтоj4p)j4p)п! ев^п! ев^№ + s2),№ + s2),

Положим

Положим

p(N — В(х))

VB№^ ’

p(N — В(х))

VB№^ ’

А = V2 Inn,

А = V2 Inn,

и разобьем сумму в (5.2.4)

и разобьем сумму в (5.2.4)

на две части так, что

на две части так, что

j4p)

j4p)

п! ев^

п! ев^

№ + s2),

№ + s2),

где

5i=£ ^^e-B^PKw = n},

TV: |u|<A'

52 = Е

N: |u|>A'

В первой сумме N = В(х)(1 + о(л/В(х))) и

1^М -в^N\1^М -в^N\V27tB(t)V27tB(t)

1^М -в^

N\

1^М -в^

N\

V27tB(t)

V27tB(t)

равномерно относительно целых N, для которых |п| < А.

Положим £* = (^ — 1)/(р — 1), г = 1,... ,7V. Сумма

G = <i + ... + G

имеет биномиальное распределение с N испытаниями и вероятностью успеха р(х) = хр ) ^рх + хр\ равной при п ею

р(х) = хр / (рх + хр) = 1 — рп-1+1^р + О(пГ2^2^р).

Ясно, что

P{G = n} = P{G = (n - N)/(p -1)}

и если (n — N)/(p — 1) — не целое число, тоР{^=п} = 0. Поскольку

E£i = п/В(х\ В(х) = п/р(1 + о(1)) и

п - NE^ _ <В<Х) ~ N) VXD6 - B(x)VND^,= -и(1 + о(1))pJB^Nп - NE^ _ <В<Х) ~ N) VXD6 - B(x)VND^,= -и(1 + о(1))pJB^N(п-7У)/(р-1)-7УЕе*

п - NE^ _ <В<Х) ~ N) VXD6 - B(x)VND^

,= -и(1 + о(1))

pJB^N

п - NE^ _ <В<Х) ~ N) VXD6 - B(x)VND^

,= -и(1 + о(1))

pJB^N

УХОД

при п сю и |п| < А, применяя теорему Муавра-Лапласа, находим, что при п —> сю

P{<N = n} = P{G = (n - NMp -1)} = vGB^e"“2/2(1 + о(1))

равномерно относительно целых N, для которых (n — N)/(p — 1) — целое число и |п| < А.

Поэтому

5i= Е ^^e"B<xWN = ^

N: |и|<Л’

N.^A V^Wy^ND^77

= -У== A= E / P e"“2/2(l + o(l)),

где суммирование проводится по целым N, для которых (n — N)/{р— 1) — целые числа.

А= / е = 1-А= / е = 1-Последняя сумма представляет собой интегральную сумму функции е-и /2 с шагом p(B(t)D<^i)-1/2. Так как суммирование проводится по тем N, для которых (n — N) /(р — 1) — целые числа, то есть только каждое (р — 1)-е слагаемое входит в сумму, получаем, что

А= / е = 1-

А= / е = 1-

у _ р

У2^ N; |и|^Л V^^MD^l

Поэтому при П ОО

S1 = —. 1(1+о(1)).

р^/2тгВ(х)

При |п| > А

pK-v =») =; ,л‘f + '-на

V27rB(T)D<i и существует постоянная с такая, что

Р{^ = ^} ^ сп-1-1^2р\

и S2 < сп-1-1/^. Таким образом,

и подставляя эту оценку в (5.2.6), получаем, что

^(р) =^(р) =п! ев(ж)

^(р) =

^(р) =

/ — (1 + (1)) рхп у/2ттВ(х)

Легко видеть, что

еВ^ = еп/р+(р-1)п1/р/р^ ^0^)^

= п”/ре-"1/р/р(1 + о(1)).

Подставляя эти выражения в (5.2.8), получаем утверждение теоремы 5.2.1.

Небольшое усиление оценок, использованных в доказательстве теоремы 5.2.1, позволяет доказать, что утверждение сохраняется, если р стремится к бесконечности не слишком быстро, как это уточняется ниже, где доказывается более общий результат.

Теорема 5.2.2. Если р — простое число и п,р ос так, что р/п 0, то

П\п(1-1/р)П\п(1-1/р)к=0к=0(„Л/рХт+кр(т + кр)\(„Л/рХт+кр(т + кр)\(5.2.9)(5.2.9)

П\п(1-1/р)

П\п(1-1/р)

к=0

к=0

(„Л/рХт+кр(т + кр)\

(„Л/рХт+кр(т + кр)\

(5.2.9)

(5.2.9)

в частности, если р ^Д^ ос, то

(5.2.10)(5.2.10)

(5.2.10)

(5.2.10)

а если р Ч^р —> 0, то

Т^ = /Чп(1"1/Р)Т^ = /Чп(1"1/Р)^т/р 1/2П Р 1 г^т/р 1/2П Р 1 г(1+0(1)),(1+0(1)),(5.2.11)(5.2.11)

Т^ = /Чп(1"1/Р)

Т^ = /Чп(1"1/Р)

^т/р 1/2П Р 1 г

^т/р 1/2П Р 1 г

(1+0(1)),

(1+0(1)),

(5.2.11)

(5.2.11)

где т = п — р\п/р\ и [с] — целая часть числа с.

Доказательство. Доказательство аналогично доказательству теоремы 5.2.1, но теперь приходится прослеживать зависимость остаточных членов в асимптотических формулах от параметра р и несколько преобразовать представление (5.2.4).

Из уравнения х + хр = п следует, что при условиях теоремы

/ тД/р/ _3/р

(5.2.12)(5.2.13)(5.2.12)(5.2.13)/р+ ° I

(5.2.12)

(5.2.13)

(5.2.12)

(5.2.13)

пр у п2р2

п (р — 1W/P / П2/р\

В = В х = - + —-+ О р р\ пр /

Поэтому нетрудно проверить, что

р(Ц = P{£i = р} = —= 1 - рп"1+1/р + О(п"2+2/р).рх + хр

Случайная величина ((n — N)/(p — 1) может быть представлена в

видевидеCn-Nр -1Cn-Nр -1= N -T]N,= N -T]N,

виде

виде

Cn-Nр -1

Cn-Nр -1

= N -T]N,

= N -T]N,

где t]n имеет биномиальное распределение с N испытаниями и вероятностью успеха

= д(т) = 1 — р(т) = рп 1+1/р(1 + О(п 1+1/р)).(5.2.14)

Поэтому нетрудно видеть, что при п = т + р\п/р\ вероятность P{Cv = п} не равна нулю, если

N = \п/р\ + m + k(p — 1),0 < k < \n/pY

и для таких N

Р{Сп = п} = P^Pn = /},

где I = т + кр. Таким образом, представление (5.2.4) принимает вид

Отсюда следует, что

* у 2-. ,|(Л- -1)!* у 2-. ,|(Л- -1)!(5.2.15)(5.2.15)

* у 2-. ,|(Л- -1)!

* у 2-. ,|(Л- -1)!

(5.2.15)

(5.2.15)

а = (^^Vp/ti)1^3,а = (^^Vp/ti)1^3,(BqT^e-B^(m-\-pk)\1(BqT^e-B^(m-\-pk)\1

а = (^^Vp/ti)1^3,

а = (^^Vp/ti)1^3,

(BqT^e-B^

(m-\-pk)\1

(BqT^e-B^

(m-\-pk)\1

где I = т+рк, N = [n/p]+m+/c(p—1), т = тг—р\тг)р\1 и чтобы получить основное утверждение теоремы, нужно просуммировать произведения вероятностей двух распределений Пуассона. Положим

g = [±] (ВдГ+Ркс_Ва“^ (m + pW-

и разобьем сумму s на части

si =2^

к: |(ЛГ-В)Ь"1/2|^|

»-Е W4>B’

к: \(N-B)b"1/2\>a V7

Заметим, что в условиях теоремы а 0 и для второго сомножителя справедливо нормальное приближение, то есть

(N-iy.(N-iy.1V2^B1V2^B(1+о(1))(1+о(1))(5.2.16)(5.2.16)

(N-iy.

(N-iy.

1

V2^B

1

V2^B

(1+о(1))

(1+о(1))

(5.2.16)

(5.2.16)

для всех I, N таких, что |(7V — I — В)В х/2| ^ а. Вне этой области

сс(5.2.17)(5.2.17)

с

с

(5.2.17)

(5.2.17)

где с — некоторая постоянная.

Остается показать, что S2 = o($i) и

sisi^^ (т-\-рк)\^^ (т-\-рк)\(5.2.18)(5.2.18)

si

si

^^ (т-\-рк)\

^^ (т-\-рк)\

(5.2.18)

(5.2.18)

Для краткости введем обозначение b = Bq. Из (5.2.13) и (5.2.14) следует, что в условиях теоремы

6 = ^/^(1 + O^n-i+VP)).(5.2.19)

Ясно, чтоЯсно, что^м+рS1 > (W+>e^м+рS1 > (W+>e

Ясно, что

Ясно, что

^м+р

S1 > (W+>e

^м+р

S1 > (W+>e

так как по крайней мере одно слагаемое с I внутри интервала ([5], \Ь\ +р) входит в сумму si.

С другой стороны, суммирование по N ^ В + aVB — это суммирование по Z, I = т + рк. таким, что Z > 6 + aVB + o^VB\ Положим Zo = b + aVB + o(VB\ Тогда

bl° l / b b2 \ bl°e % cbl°

Zo! k ^oV Zo!(Zo-5) " Zo! ’

поскольку 5/Zq 0. Поэтому

S2cbl° ^ p

si Zq(Zq — 1)... ([5] + p + 1) c

(1 + (г0-б)Д)...(1 + (И-б + Р + 1)Д)cib3 < c^b3 < сзп3/рр3/2

(Zo - b)3 ^aVBY a3n3/2 '

где щ, С2, eg — постоянные. В силу выбора а, последняя граница стремится к нулю.

Из этой оценки и соотношений (5.2.16), (5.2.17) и (5.2.19) следует равенство (5.2.18). Равенство (5.2.9) следует из (5.2.15), (5.2.16), (5.2.17) и (5.2.18).

(nl/p)m+pfe _п1/р (т + рк)\(nl/p)m+pfe _п1/р (т + рк)\Если р-2!!1^ оо, то, используя нормальное приближение, получаем соотношение

(nl/p)m+pfe _п1/р (т + рк)\

(nl/p)m+pfe _п1/р (т + рк)\

= -(1+о(1)), р

из которого следует утверждение (5.2.10).

Утверждение (5.2.11) следует из того, что если р-1пх/р 0, то

^/р^Рк(трк)\^/р^Рк(трк)\пт/рт\пт/рт\(1+0(1)).(1+0(1)).

^/р^Рк(трк)\

^/р^Рк(трк)\

пт/рт\

пт/рт\

(1+0(1)).

(1+0(1)).

Уравнения составной степени

В этом разделе рассматривается число Т^ решений уравнения

Xd = е,Xd = е,(5.3.1)

Xd = е,

Xd = е,

где d — натуральное число, е — тождественная подстановка и X — неизвестная подстановка из симметрической группы Sn. Случай, где d — простое число, рассмотрен в предыдущем разделе. Пусть d — составное число и 1 = do < di < ... < dr = d — различные делители числа d. Подстановка X является решением уравнения (5.3.1) тогда и только тогда, когда длины циклов подстановки X принадлежат множеству {do,... ^rY Поэтому Т^ равно числу апщ подстановок из Sn^R, где R = {do,... , dr}. Следующая теорема является обобщением теорем 5.1.3 и 5.2.1.

Теорема 5.3.1. Если х и d фиксированное целое число, d ^ 2, то

пп>(1 + 0(1)),>(1 + 0(1)),

п

п

>(1 + 0(1)),

>(1 + 0(1)),

если d нечетно, и

л!д

е /

если d четно.

Заметим, что суммирование в приведенных выше формулах ведется по делителям j числа d и если положить d = 2 и d = р, то получим соответственно теоремы 5.1.3 и 5.2.1.

Доказательство. Пусть 1 = do < di < ... < dr = d — делители числа d, R = ^do,... , dr^

keR

и пусть £i,... ^n — независимые одинаково распределенные случайные величины с распределением

Р{€. = Ч -^у1 е(5-3-2>

где положительный параметр х может быть выбран произвольно. Число d составное, поэтому г > 2.

Положим (Д = €1 + • • • + Cn- Ясно, что

Е<^ = ^E^1 = (а: + ^ + ... ++ x^BlxY

Параметр х выберем так, что

х + xdr + ... ++ xd = п,(5.3.3)

и далее будем рассматривать случайные величины £i,... Дк с распределением (5.3.2), где х — решение этого уравнения.

С помощью итераций нетрудно найти, что

xd = п —. — п1^ + о(1),(5.3.4)

если d нечетно, и

xd = п -n1/d + 1/2 + о(1),(5.3.5)

если d четно.

Поскольку Т^ = аП)к, где R = {1, (/1,... , dr_i, d}, представление (5.3.1) в рассматриваемом случае принимает вид

ТУ = ^^ Е ^^"^Wn = П}.(5.3.6)

Поэтому для доказательства утверждений теоремы 5.3.1, нужно найти асимптотику вероятности Р{фу = ^}-

Нетрудно видеть, что

Е6Е6D51D51В(Ц’В(ж)(ж + dixdl + ... + dxd) — п2В(Ц’В(ж)(ж + dixdl + ... + dxd) — п2В (ж)В (ж)didiВ2(х)XdЗ\дВ2(х)XdЗ\д

Е6

Е6

D51

D51

В(Ц’

В(ж)(ж + dixdl + ... + dxd) — п2

В(Ц’

В(ж)(ж + dixdl + ... + dxd) — п2

В (ж)

В (ж)

di

di

В2(х)

Xd

З\д

В2(х)

Xd

З\д

где суммирование проводится по целым j, являющимся делителями d. В силу (5.3.4) и (5.3.5) при п сю

В(ж)=£—(1 + 0(1)).3\d JВ(ж)=£—(1 + 0(1)).3\d J(5.3.7)(5.3.7)

В(ж)=£—(1 + 0(1)).3\d J

В(ж)=£—(1 + 0(1)).3\d J

(5.3.7)

(5.3.7)

Оценивая второй и третий центральные моменты случайной величины £i и используя характеристическую функцию суммы фу, можно доказать, что распределение случайной величины (^n—NE^ ( ^ ND^i слабо сходится к нормальному распределению с параметрами (0,1) при Л^Оф сю. Если h — максимальный шаг решетки, содержащей множество R, то справедлива локальная теорема для (n на этой решетке. Мы опускаем доказательство этой локальной теоремы.

_п- NE^и разобьем сумму в (5.3.6)_п- NE^и разобьем сумму в (5.3.6)d(N-B(xAл —и = —vА = 2а/2Inn,на части так, чтоd(N-B(xAл —и = —vА = 2а/2Inn,на части так, чтоОстальная часть доказательства теоремы 5.3.1 повторяет соответствующую часть доказательства теоремы 5.1.3 из раздела 5.2. Положим

_п- NE^

и разобьем сумму в (5.3.6)

_п- NE^

и разобьем сумму в (5.3.6)

d(N-B(xAл —

и = —vА = 2а/2Inn,

на части так, что

d(N-B(xAл —

и = —vА = 2а/2Inn,

на части так, что

ТД = ^eB^(Si + S2),

где

N: |u|<A'

N: |u| >A

Легко видеть, что N = В(ж)(1 + o(l)) при |u| < Л = 2\/2Inn,

п(В(ж) - TV)п(В(ж) - TV)= —u(l + O(n x/2))= —u(l + O(n x/2))(5.3.8)(5.3.8)

п(В(ж) - TV)

п(В(ж) - TV)

= —u(l + O(n x/2))

= —u(l + O(n x/2))

(5.3.8)

(5.3.8)

и согласно локальной предельной теореме

Р{^ = n} = , h е""2/2(1 + о(1))

равномерно относительно целых N таких, что |n| < Ли (n — N)/h — целые числа. Напомним, что h — максимальный шаг распределения £i.

Так же, как в доказательстве теоремы 5.1.3 из раздела 5.2, получаем, что

, 14= V , аП е-“2/2(1 + о(1))

Последняя сумма представляет собой интегральную сумму функции е-и /2 с шагом d(B (x)D^i)-1^2 и суммирование проводится по N таким, что (n — N)/h — целые числа, то есть только каждое h-e слагаемое включается в сумму. Поскольку h и d взаимно просты, получаем, что

1 у' hd „-u2/21 у' hd „-u2/24= I е = 1,V^J-oo4= I е = 1,V^J-oo

1 у' hd „-u2/2

1 у' hd „-u2/2

4= I е = 1,

V^J-oo

4= I е = 1,

V^J-oo

и

Si = —z(l + o(l)).

dy/^rB^r)

При оценке S2 в этом случае нельзя воспользоваться монотонностью хвостов функции ^^(N) = Р{^ = п}, как это делалось в доказательстве теоремы 5.1.3 в разделе 5.2 (см. рисунок 5.2.1). В силу (5.3.8) в первой сумме ф| < V2 Inn для достаточно больших п. Поэтому во второй сумме

Р{^ = п} <Р{^ = п} <Р{^ = ™YР{^ = ™Yп: | v | > V2 In пп: | v | > V2 In п

Р{^ = п} <

Р{^ = п} <

Р{^ = ™Y

Р{^ = ™Y

п: | v | > V2 In п

п: | v | > V2 In п

По интегральной предельной теореме

е 2 ^2dz(l + о(1)),е 2 ^2dz(l + о(1)),У Р{^ = п} =

е 2 ^2dz(l + о(1)),

е 2 ^2dz(l + о(1)),

п : | г> | > V2 In п

и существует постоянная с такая, что во второй сумме

Р{^ = п} < сп х.

16 В. Ф. Колчин

Таким образом, Si + S2 = Si(l + о(1)) и

^(d) _^(d) _п\ев^ ./= (1 + о (1)) xndy/27vB(x)п\ев^ ./= (1 + о (1)) xndy/27vB(x)(5.3.9)(5.3.9)

^(d) _

^(d) _

п\ев^ .

/= (1 + о (1)) xndy/27vB(x)

п\ев^ .

/= (1 + о (1)) xndy/27vB(x)

(5.3.9)

(5.3.9)

= ехр <= ехр <Отсюда следует утверждение теоремы, так как

= ехр <

= ехр <

еВ(х)

а хп в случае нечетного и четного d может быть представлен следующим образом.

Пусть d нечетно, тогда согласно (5.3.4)

При 1 < j < d.

х3 _ nd/d 0(1) 5

и при j = d

Xd = П — n^-1^ — ... — Tl1^ + o(l).

Таким образом,

ев^ев^= exp <= exp <L^dr-i/d + , , , + n1^) + o(l) > ,L^dr-i/d + , , , + n1^) + o(l) > ,x”neB^x”neB^= n= nexp <exp <Ml + 0(1)).Ml + 0(1)).

ев^

ев^

= exp <

= exp <

L^dr-i/d + , , , + n1^) + o(l) > ,

L^dr-i/d + , , , + n1^) + o(l) > ,

x”neB^

x”neB^

= n

= n

exp <

exp <

Ml + 0(1)).

Ml + 0(1)).

Подставляя последнее выражение в (5.3.9), получаем первое утверждение теоремы.

Если d четно, то, замечая, что 2dr~i = d и используя (5.3.5), находим, что

Х" = пп/аеЧп^Ч...+п^-1/^-1№а^г

При 1 < j < dr-i

хз _ из(а _|_ 0(]^1

при j = d

•d = п- nd’-1/d

_ ni/a + ^2 + o(l),

и при j = dT_iи при j = dT_i

и при j = dT_i

и при j = dT_i

хат-г = n^-i/d - dr-x/d + о(1).

Таким образом,

= ехр <= ехр <

= ехр <

= ехр <

1/2)/^ + о(1) ,

(1)).

Подставляя последнее выражение в (5.3.9), получаем второе утверждение теоремы.

Замечания и литературные ссылки

Изучение уравнений вида Xй = е в симметрической группе Sn прямо связано с одной из важных характеристик элементов группы Sn, с порядком подстановок. Порядком On(s) подстановки s Е Sn называется наименьшее целое положительное число к такое, что sk — тождественная подстановка. Порядок подстановок в Sn может принимать значения от 1 до максимального значения G(n) по всем s Е Sn. В [153] показано, что

InG(n)hm= 1.

п^оо ^nlnn

Несмотря на такой широкий спектр значений In On(s), типичные значения величины In On(s) существенно меньше InG(n) и концентрируются вблизи 2-11пп. Пусть Оп — порядок случайной подстановки из Sn с равномерным распределением. Хорошо известно следующее утверждение.

Теорема 5.4.1. Для любого фиксированного х

lim Р{(1пОп — 2-1 In2 п)/д/з-1 1п3 п} =du.

у2тг J-OQ

Асимптотическая нормальность In Оп впервые была доказана Эрдешем и Тураном [129]. Другие доказательства теоремы 5.4.1 содержатся в [70, 117, 121]. Все эти доказательства довольно сложны. По нашему мнению, простейшее доказательство, но все еще не достаточно простое, предложено в [55], где используется подход с привлечением обобщенной схемы размещения.

16*

Можно предполагать, что результаты изучения чисел решений уравнений вида Xd = е могут составить основу для изучения локального поведения порядка Оп. Действительно, если р — простое число, то Т^р) равно числу подстановок s Е Sni порядок которых On(s) = р. Поскольку главный член асимптотики чисел Т^ для составного d равен (п/е)п^1-1/^\ почти все подстановки, входящие в число Т^\ вероятно имеют порядок d. Было бы интересно найти асимптотику вероятностей Р{О„ = 4, для которых d лежит вблизи ехр{2 1 In2 п} и проверить, нельзя ли получить из этих результатов интегральную теорему, несмотря на то, что локальное поведение вероятностей P{On = d^ сложно. По причине нерегулярности поведения вероятностей P{On = d^ эта задача совсем не тривиальна по сравнению с обычным получением интегральной теоремы из локальной, поскольку в этом случае удается получать локальные теоремы для значений d специального вида и требуется оценить, какие значения d вносят вклад в интегральную вероятность.

Теоремы 5.1.1 и 5.1.2 для R = {1,2} и теорема 5.1.3 доказаны в [122]. Теорема 5.1.2 для R = {1,р}, р > 2, доказана в [142], а для произвольного R в [123].

Теорема 5.1.3 доказана в [157], здесь также была приведена формулировка теоремы 5.2.1. Утверждение (5.2.9) теоремы 5.2.2 методом перевала доказано в [27].

Теорема 5.3.1 доказана в [28, 72, 164] независимо и почти одновременно.

Подход, основанный на применении обобщенной схемы размещения, изложенный в главе 5, впервые был предложен в [149], где с помощью этого подхода было проведено доказательство теоремы 5.1.3. Доказательство теоремы 5.3.1 следует доказательству, приведенному в статье [45], где утверждение этой теоремы распространено на случай, когда d сю так, что dIn Innj Inn 0.

Общие условия существования решения уравнения Xd = а, где а — фиксированная и X — неизвестная подстановки из Sn, приведены в [69].

В [74] рассмотрены системы уравнений вида

где к ^ 2, mi,... , т^ — фиксированные натуральные числа, Xi,... ,Х^ Е Sn. е тождественная подстановка из Sn, найдена асимптотика числа решений X = (Xi,... , ХД таких, что X^Xj = XjX^ для всех г ^ j.

Список литературы

Агаджтнлн Ш. М. Об общем методе оценки числа графов из заданных классов. — Автоматика, 1981, 1, 10-21.

Агадснеанян Ш. М. Асимптотические формулы для числа т-компонентных графов. — Автоматика, 1986, 4, 27-33.

Алекеейчук А. Н. Об однозначности проблемы моментов в классе д-распре- делений. — Дискретная матем., 1998, 10, №1, 95-110.

Алекеейчук А. Н. Условия однозначности проблемы моментов в классе q- распределений. — Дискретная матем., 1999, 11, №4, 48-57.

Багаев Г. Н. Распределение числа циклических вершин в компоненте неразложимого отображения. — Докл. АН БССР, 1977, 21, №12, 1061-1063.

Багаев Б. Н. Предельные распределения метрических характеристик случайного неразложимого отображения. — Комбинаторный и асимптотический анализ, Красноярск: Красноярск, ун-т, 1977, 55-61.

Багаев Б. Н., Дмитриев Е. Ф. Перечисление связных помеченных двудольных графов. — Докл. АН БССР, 1984, 28, №12, 1061-1063, 1984.

Балакин Б. В. О случайных матрицах. — Теория вероятн. и ее примен., 1967, 12, №2, 346-353.

Балакин Б. В. Распределение случайных матриц над конечным полем. — Теория вероятн. и ее примен., 1968, 13, №4, 631-641.

Балакин Г. В., Хохлов В. И., Колчин В. Ф. Гиперциклы в случайном гиперграфе. — Дискретная матем., 1992, 3, №3, 563-570.

Болотников Ю. В. Сходимость к гауссовскому и пуассоновскому процессам величин рДп., п) в классической задаче о дробинках. — Теория вероятн. и ее примен., 1968, 13, №1, 39-50.

Болотников Ю. В. Сходимость к гауссовскому процессу числа пустых ячеек в классической задаче размещения частиц по ячейкам. — Матем. заметки, 1968, 4, №1, 97-103.

Болотников Ю. В. Предельные процессы в неравновероятной схеме размещения частиц по ячейкам. — Теория вероятн. и ее примен., 1968, 13, №3, 534-542.

Болотников Ю. В., Сачков В. Н., Тараканов В. Е. О некоторых классах случайных величин на циклах подстановок. — Матем. сб., 1979, 108, №1, 91-104.

Болотников Ю. В., Сачков В. Н., Тараканов В. Е. Асимптотическая нормальность некоторых величин, связанных с цикловой структурой случайных подстановок. — Матем. сб., 1976, 99, №1, 121-133.

Бритиков В. Е. Предельные теоремы для максимального объема дерева в случайном лесе из некорневых деревьев. — Вероятностные задачи дискретной математики, М.: МИЭМ, 1987, 84-91.

Бритиков В. Е. Асимптотика числа лесов из некорневых деревьев. — Матем. заметки, 1988, 43, №5, 672-684.

Бритиков В. Е. Предельное поведение числа деревьев заданного объема в случайном лесе из некорневых деревьев. — Вероятностные задачи дискретной матем., М.:, МИЭМ, 1988, 7-12.

Бритиков В. Е. О распределении максимального объема дерева в случайном графе. — Вероятностные процессы и их приложения, М.: МИЭМ, 1989, 3641.

Бритиков В. Е. О структуре случайного графа вблизи критической точки. — Дискретная матем., 1989, 1, №3, 121-126.

Ватутин В. А. Ветвящиеся процессы с финальными типами частиц и случайные деревья. — Теория вероятн. и ее примен., 1994, 39, №4, 699-716.

Вершик А. М., Шмидт А. А. Симметрические группы высокой степени. — Докл. АН СССР, 1972, 2, №2, 269-272.

Вершик А. М., Шмидт А. А. Предельные меры, возникающие в асимптотической теории симметрических групп. I. — Теория вероятн. и ее примен., 1977, 22, №1, 72-87.

Вершик А. М., Шмидт А. А. Предельные меры, возникающие в асимптотической теории симметрических групп. II. — Теория вероятн. и ее примен., 1978, 23, №1, 42-54.

Воблый В. А. Асимптотическое перечисление помеченных связных разреженных графов с заданным числом висячих вершин. — Дискретный анализ, 1985, 42, 3-14.

Воблый В. А. Числа Райта и Степанова-Райта. — Матем. заметки, 1987, 42, 969-974.

Волынец Л. М. Число решений одного уравнения в симметрической группе. — Вероятн. процессы и их приложения, М.: МИЭМ, 1985, 104-109.

Волынец Л. М. О числе решений уравнения ж8 = ев симметрической группе. — Матем. заметки, 1986, 40, 155-160.

Волынец Л. М. Оценка скорости сходимости к предельному распределению для числа циклов в случайной подстановке. — Вероятн. задачи дискретной матем., М.: МИЭМ, 1987, 40-46.

Волынец Л. М. Обобщенная схема размещения и распределение числа циклов в случайной подстановке. — Тезисы докл. II Всесоюзной конференции “Вероятностные методы в дискретной математике”, Петрозаводск: Карельский научн. центр АН СССР, 1988, 27-28.

Волынец Л. М. Обобщенная схема размещения и распределение числа циклов в случайной подстановке. — Вероятн. задачи дискретной матем., М.: МИЭМ, 1988, 131-136.

Волынец Л. М. Пример нестандартной асимптотики числа подстановок с ограничениями на длины циклов. — Вероятн. процессы и их приложения, М.: МИЭМ, 1989, 85-90.

Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. М.: Наука, 1949.

Гончаров В. Л. О распределении циклов в перестановках. — Докл. АН СССР, 1942, 35, №9, 299-301.

Гончаров В. Л. О чередовании событий в последовательности испытаний Бернулли. — Докл. АН СССР, 1943, 36, №9, 295-297.

Гончаров В. Л. Из области комбинаторики. — Изв. АН СССР, сер. матем., 1944, 8, №1, 3-48.

Грушо А. А. Случайные отображения ограниченной кратности. — Теория вероятн. и ее примен., 1972, 17, №3, 440-449.

Грушо А. А. Распределение высоты отображений ограниченной кратности. Асимптотические и перечислительные задачи комбинаторного анализа, Красноярск: Красноярский ун-т, 1976, 7-18.

Ибрагимов И. А., Линник Ю. В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965.

Калугин И. Б. Число циклических точек и высота случайного отображения с ограничениями на кратности вершин. — Тезисы докладов Всесоюзной конференции “Вероятностные методы в дискретной матем.”, Петрозаводск: Карельский научн. центр АН СССР, 1983, 35-36.

Керов С. В., Вершик А. М. Асимптотика меры Планшереля на симметрической группе и предельные формы таблиц Юнга. — Докл. АН СССР, 1977, 233, №6, 1024-1027.

Коваленко И. Н. Об одной предельной теореме для определителей в классе булевых функций. — Докл. АН СССР., 1965, 161, №3, 517-519.

Коваленко И. Н. О предельном распределении числа решений системы случайных линейных уравнений в классе булевых функций. — Теория вероятн. и ее примен., 1967, 12, №1, 51-61.

Коваленко И. Н., Левитская А. А., Савчук М. Н. Избранные задачи вероятностной комбинаторики. Киев: Наукова думка, 1986.

Колчин А. В. Уравнения, содержащие неизвестную подстановку. — Дискретная матем., 1994, 6, №1, 100-115.

Колчин В. Ф. Один класс предельных теорем для условных распределений. — Литовск. матем. сб., 1968, 8, №1, 53-63.

Колчин В. Ф. О предельном поведении крайних членов вариационного ряда в полиномиальной схеме. — Теория вероятн. и ее примен., 1969, 14, №3, 476487.

Колчин В. Ф. Одна задача о размещении частиц по ячейкам и циклы случайной подстановки. — Теория вероятн. и ее примен., 1971, 16, №1, 67-82.

Колчин В. Ф. Задача о размещении частиц по ячейкам и случайные отображения. — Теория вероятн. и ее примен., 1976, 21, №1, 48-62.

Колчин В. Ф. Ветвящиеся процессы, случайные деревья и обобщенная схема размещения частиц. — Матем. заметки, 1977, 21, №5, 691-705.

Колчин В. Ф. Момент вырождения ветвящегося процесса и высота случайного дерева. — Матем. заметки, 1978, 24, №6, 859-870.

Колчин В. Ф. Ветвящиеся процессы и случайные деревья. — Вопросы кибернетики. Комбинаторный анализ и теория графов, М.: Наука, 1980, 85-97.

Колчин В. Ф. Асимптотические методы теории вероятностей. М.: МИЭМ, 1984.

Колчин В. Ф. О поведении случайного графа вблизи критической точки. — Теория вероятн. и ее примен., 1986, 31, №3, 503-515.

Колчин В. Ф. Случайные отображения. М.: Наука, 1984.

Колчин В. Ф. Системы случайных уравнений. М.: МИЭМ, 1988.

Колчин В. Ф. О числе подстановок с ограничениями на длины циклов. — Дискретная матем., 1989, 1, №2, 97-109.

Колчин В. Ф. О совместности системы случайных сравнений. — Дискретная матем., 1992, 4, №3, 75-85.

Колчин В. Ф. Одна задача классификации при наличии ошибок в измерениях. — Дискретная матем., 1994, 6, №1, 53-66.

Колчин В. Ф., Хохлов В. И. Одна задача о размещении и моменты биномиального распределения. — Вероятностные задачи дискретной матем., М.: МИЭМ, 1987, 16-21.

Колчин В. Ф. Ветвящиеся процессы и случайные гипердеревья. — Дискретная матем., 1999, 11, №1, 8-23.

Колчин В. Ф. Пороговое свойство для систем уравнений в конечных полях. — Дискретная матем. 1999, 11, №3, 15- 23.

Колчин В. Ф., Севастъянов Б. А., Чистяков В. П. Случайные размещения. — М.:, Наука, 1976.

Колчин В. Ф., Хохлов В. И. О числе циклов в случайном неравновероятном графе. — Дискретная матем., 1990, 2, №3, 137-145.

Колчин В. Ф., Хохлов В. И. Пороговый эффект для систем случайных ура- вений специального вида. — Дискретная матем., 1995, 7, №4, 29-39.

Л свитская А. А. Теоремы инвариантности для предельного поведения числа решений системы случайных линейных уравнений над конечным кольцом. — Кибернетика, 1978, №2, 140-141.

Левитская А. А. Теоремы инвариантности для систем случайных линейных уравнений над произвольным конечным кольцом. — Докл. АН СССР, 1982, 263, №2, 289-291.

Левитская А. А. Вероятность совместности системы случайных линеных уравнений над конечным кольцом. — Теория вероятн. и ее примен., 1985, 30, №2, 339-350.

Минеев М. П., Павлов А. И. О числе подстановок специального вида. — Матем. сб., 1976, 99, №3, 468-476.

Павлов А. И. О предельном распределении числа циклов и логарифма порядка одного класса подстановок. — Матем. сб., 1981, 114, №4, 611-642.

Павлов А. И. О числе циклов и цикловой структуре подстановок некоторых классов. — Матем. сб., 1984, 124, 536-556.

Павлов А. И. О подстановках с длинами циклов из заданного множества. — Теория вероятн. и ее примен., 1986, 31, №3, 618-619.

Павлов А. И. Локальные теоремы для числа компонент в случайных подстановках и отображениях. — Теория вероятн. и ее примен., 1988, 33, №1, 196-200.

Павлов А. И. О числе и цикловой структуре решений одной системы уравнений в подстановках. — Дискретная матем., 1989, 1, №1, 94-104.

Павлов А. И. О числе подстановок с длинами циклов из заданного множества. — Дискретная матем., 1991, 3, №3, 109-123.

Павлов Ю. Л. Асимптотическое распределение максимального объема дерева в случайном лесе. — Теория вероятн. и ее примен., 1977, 22, №3, 523-533.

Павлов Ю. Л. Предельные теоремы для числа деревьев заданного объема в случайном лесе. — Матем. сб., 1977, 103, №3, 392-403.

Павлов Ю. Л. Один случай предельного распределения максимального объема дерева в случайном лесе. — Матем. заметки, 1979, 25, №5, 751-760.

Павлов Ю. Л. Предельные распределения некоторых характеристик случайных отображений с одним циклом. — Матем. вопросы моделирования сложных объектов, Петрозаводск: Карельский научн. центр АН СССР, 1979, 48-55.

Павлов Ю. Л. Предельные распределения одной характеристики случайного отображения. — Теория вероятн. и ее примен., 1981, 27, №4, 841-846.

Павлов Ю. Л. Предельные распределения высоты случайного леса. — Теория вероятн. и ее примен., 1983, 28, №3, 449-457.

Павлов Ю. Л. О случайных отображениях с ограничениями на число циклов. — Труды Матем. ин-та им В. А. Стеклова, М.: Наука, 1986, 131-142.

Павлов Ю. Л. Некоторые свойства плоских деревьев с висячим корнем. — Тез. докл. Всесоюзной конференции “Дискретная матем. и ее применения при моделировании сложных систем”, Иркутск: Иркутск, ун-т, 1991, 14.

Павлов Ю. Л. Некоторые свойства плоских деревьев с висячим корнем. — Дискретная матем., 1992, 4, №2, 61-65.

Павлов Ю. Л. Предельные распределения максимального объема дерева в случайном лесе. — Дискретная матем., 1995, 7, №3, 19-32.

Павлов Ю. Л. Предельные распределения числа деревьев заданного объема в случайном лесе. — Дискретная матем., 1996, 8, №2, 31-47.

Павлов Ю. Л. Случайные леса. — Петрозаводск: Карельский научн. центр, 1996.

Петров В. В. Суммы независимых случайных величин. М.: Наука, 1972.

Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа, т. 1, 2. М.: ИЛ, 1937, 1938.

Прохоров Ю. В. Асимптотическое поведение биномиального распределения. — Успехи матем. наук, 1953, 8, №3, 135-142.

Риордан Дж. Комбинаторные тождества. М.: Наука, 1982.

Сачков В. Н. Отображения конечного множества с ограничениями на контуры и высоту. — Теория вероятн. и ее примен., 1972, 17, №4, 679-694.

Сачков В. Н. Случайные отображения ограниченной высоты. — Теория вероятн. и ее примен., 1973, 18, №1, 122-132.

Сачков В. Н. Вероятностные методы в комбинаторном анализе. — М.: Наука, 1978.

Салтыков А. И. Число компонент в случайном двудольном графе. — Дискретная матем., 1995, 7, №4, 86-94.

Севаетъянов Б. А. Сходимость к гауссовскому и пуассоновскому процессам числа пустых ящиков в классической задаче о дробинках. — Теория вероятн. и ее примен., 1967, 12, №1, 144-154.

Степанов В. Е. О вероятности связности случайного графа gm^Y — Теория вероятн. и ее примен., 1970, 15, №1, 55-67.

Степанов В. Е. Фазовый переход в случайных графах. — Теория вероятн. и ее примен., 1970, 15, №2, 187-203.

Степанов В. Е. Структура случайных графов gn(x | h). — Теория вероятн. и ее примен., 1972, 17, №3, 227-242.

Ткачук С. Г. Локальные предельные теоремы, учитывающие большие уклонения, в случае предельных устойчивых законов. — Изв. АН Узб. ССР. Сер. физ.-матем. наук, 1973, 2, 30-33.

Федорюк М. В. Метод перевала. М.: Наука, 1977.

Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 2. М.: Мир, 1967.

Чеплюкова И. А. Возникновение гигантского дерева в случайном лесе. — Дискретная матем., 1998, 10, №1, 111-126.

Ширяев А. Н. Вероятность. М.: Наука, 1980.

Якымив А. Л. О распределении числа циклов случайной А-подстановки. — Тезисы II Всесоюзной конф. “Вероятностные методы в дискретной матем.”, Петрозаводск: Карельский научн. центр АН СССР, 1988, 111.

Якымив А. Л. О подстановках с длинами циклов из заданного множества. — Дискретная матем., 1989, 1, №1, 125-134.

Якымив А. Л. О некоторых классах подстановок с длинами циклов из заданного множества. — Дискретная матем., 1992, 4, №3, 128-134.

Aldous D. J. Exchangability and related topics. — Lecture Notes in Math., 1985, 1117, 1-198.

Aldous D. J. Brownian bridge asymptotics for random mappings. — Adv. Appl. Probab., 1992, 24, 763-764.

Arney J., Bender E. A. Random mappings with constraints on coalescence. — Pacific J. Math., 1982, 103, 269-294.

Arratia R, Tavare S. Limit theorems for combinatorial structures via discrete process approximations. — Random Structures and Algorithms, 1992, 3, 321345.

Arratia R. A. Independent process approximation for random combinatorial structures. — Adv. Appl. Probab., 1992, 24, 764-765.

Barbour A. D. Refined approximations for the Ewens sampling formula. — Adv. Appl. Probab., 1992, 24, 765.

Barbour A. D. Refined approximations for the Ewens sampling formula. — Random Structures and Algorithms, 1992, 3, 267-276.

Bender E. A., Canfield E. R., McKay B. D. The asymptotic number of labeled connected graphs with a given number of vertices and edges. — Random Structures and Algorithms, 1990, 1, 127-170.

Bender E. A., Canfield E. R., McKay B. D. Asymptotic properties of labeled connected graphs. — Random Structures and Algorithms, 1992, 3, 183-202.

Best M. R. The distribution of some variables on a symmetric group. — Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math. Proc., 1970, 73, 385-402.

Bieberbach L. Analytische Forsetzung. — Berlin: Springer, 1955.

Bollobas B. The evolution of random graphs. — Trans. Amer. Math. Soc., 1984, 286, 257-274.

Bollobas B. Random graphs. — London: Academic Press, 1985.

Bovey J. D. An approximate probability distribution for the order of elements of the symmetric group. — Bull. London Math. Soc., 1980, 12, 41-46.

Chow la S., Berstein I. N., Moore K. On recursions connected with symmetric groups. — Canad. J. Math., 1951, 3, 328-334.

Chowla S., Berstein I. N., Scott W. R. The solution of xd = 1 in symmetric groups. — Norske Vid. Selsk., 1952, 25, 29-31.

DeLaurentis J. M., Pittel B. G. Random permutations and Brownian motion. — Pacific J. Math., 1985, 119, 287-301.

Donnelly P. J. Labellings, size-biased permutations and the GEM distribution. — Adv. Appl. Probab., 1992, 24, 766.

Donnelly P. J., Ewens W. J., Padmadisastra S. Functionals of random mappings: Exact and asymptotic results. —Adv. Appl. Probab., 1991, 23, 437-455.

Erdos P., Renyi A. On the evolution of random graphs. — Publ. Math. Inst. Hungarian Acad. Sci., Ser. A, 1960, 5, 17-61.

Erdos P., Renyi A. On random matrices. — Magyar Tud. Akad. Mat. Kutato Int. KozL, 1963, 8, 455-461.

Erdos Р., Turan Р. On some problems of statistical group theory. 3. — Acta Math. Acad. Hungar., 1967, 18, 309-320.

Ewens W. J. The sampling theory of selectively neutral alleles. — Theoret. Pop. Biol., 1972, 3, 87-112.

Ewens W. J. Sampling properties of random mappings. — Adv. Appl. Probab., 1992, 24, 773.

Flajolet P. The average height of binary trees and other simple trees. — J. Computer and System Sci., 1982, 25, 171-213.

Flajolet P. Random tree models in the analysis of algorithms. Performance’87, — Amsterdam: Elsevier Sci. PubL, 1988, 171-187.

Flajolet P., Knuth D. E., Pittel B. The first cycles in an evolving graph. — Discrete Math., 1989, 75, 167-215.

Flajolet P., Odlyzko A. M. Random mapping statistics. Advances in Cryptology. — Berlin: Springer, 1990, 329-354.

Flajolet P., Soria M. Gaussian limiting distributions for the number of components in combinatorial structures. — J. Combinatorial Theory, Series A, 1990, 53, 165-182, 1990.

Golomb W. Shift register sequences. — Laguna Hills, Cal.: Aegean Park Press, 1982.

Hansen J. C. Order statistics for random combinatorial structures. — Adv. Appl. Probab., 1992, 24, 774.

Harris B. Probability distributions related to random mappings. — Ann. Math. Statist., 1960, 31, 1045-1062.

Heyde С. C. A contribution to the theory of large deviations for sums of independent random variables. — Z. Wahrscheinlickeits Theorie und Verw. Gebiete, 1967, 7, 303-308.

Hoejjfding W. Probability inequalities for sums of bounded random variables. — J. Amer. Statist. Assoc., 1963, 58, 13-30.

Jacobstal E. Sur le nombre d’elements du group symmetric Sn dont 1’ordre est un nombre premier. — Norske Vid. Selsk., 1949, 21, 49-51.

Janson S. Multicyclic components in a random graph process. — Random Structures and Algorithms, 1993, 4, 71-84.

Janson S., Knuth D. E., Buczak T., Pittel B. The birth of the giant component. — Random Structures and Algorithms, 1993, 4, 233-358.

Khokhlo-u V. L On the structure of a non-uniformly distributed random graph. — Adv. Appl. Probab., 1992, 24, 775.

Khokhlo-u V. L, Kolchin V. F. On the structure of a random graph with nonuniform distribution. — New Trends in Probab. and Statist., Vilnius: VSP/Mokslas, 1991, 445-456.

Kingman J. F. C. The population structure associated with the Ewens sampling formula. — Theoret. Pop. Biol., 1977, 11, 274-284.

Kolchin V. F. Cycles in random graphs and hypergraphs. — Adv. Appl. Probab., 1992, 24, 768.

Kolchin V. F. The number of permutations with cycle lengths from a fixed set. — Random Graphs’89, New York: Wiley, 1992, 139-149.

Kolchin V. F. Random graphs and systems of linear equations in finite fields. — Random Structures and Algorithms, 1994, 5, 135-146.

Kolchin V. F. Systems of random linear equations with small number of non-zero coefficients in finite fields. — Probabilistic Methods in Discrete Mathematics, Utrecht: VSP, 1997, 295-304.

Kruskal J. B. The expected number of components under random mapping function. — Amer. Math. Monthly, 1954, 61, 392-397.

Landau E. Handbuch der Lehrer von der Verteilung der Primzahlen, В. 1. — Berlin: Teubner, 1909.

Luczak T. Component behaviour near the critical point of the random graph process. — Random Structures and Algorithms, 1990, 1, 287-310.

Luczak T. Cycles in a random graph near the critical point. — Random Structures and Algorithms, 1991, 2, 421-439.

Luczak T., Pittel B. Components of random forests. — Combinatorics, Probability and Computing, 1992, 1, 35-52.

Moser L., Wyman M. On the solution of xd = 1 in symmetric groups. — Canad. J. Math., 1955, 7, 159-168.

Mutafchiev L. R. Local limit theorems for sums of power series distributed random variables and for the number of components in labelled relational structures. — Random Structures and Algorithms, 1992, 3, 403-426.

Palmer E. Graphical evolution. — New York: Wiley, 1985.

Pittel B. On tree census and the giant component in sparse random graphs. — Random Structures and Algorithms, 1990, 1, 311-342.

Rucinski A., Wormaid N. C. Random graph processes with degree restrictions. — Combinatorics, Probability and Computing, 1992, 1,169-180.

Takacs L. On the height and widths of random rooted trees. — Adv. Appl. Probab., 1992, 24, 771.

Vatutin V. A. Branching processes with final types of particles and random trees. — Adv. Appl. Probab., 1992, 24, 771.

Wilf H. The asymptotics of ep^ and the number of elements of each order in Sn. — Bull. Amer. Math. Soc., 1986, 15, 228-232.

Wright E. M. The number of connected sparsely edged graphs. 3. — J. Graph Theory, 1980, 4, 393-407.

Wright E. M. The number of connected sparsely edged graphs. 4. — J. Graph Theory, 1983, 7, 219-229.

Zierler N. Linear recurring sequences. — J. Soc. Ind. Appl. Math., 1959, 7, 31-48.

Предметный указатель

алгоритм А2, 195

вариационный ряд, 27

вероятностное пространство, 9

вероятность, 9

вероятность совместности, 167

вероятность восстановления истинного решения, 193

восстановление истинного решения, 192

гиперцикл, 148

графы с компонентами двух типов, 85

длина максимального цикла, 212

докритический граф, 109

характеристическая функция, 17

классическая схема размещения, 26

корневое дерево, 31

кратность вершины в множестве гиперребер, 148

критический граф, 109

критический набор, 147

лес, 32

лес из некорневых деревьев, 42

линейно независимые решения, 147

локальная предельная теорема, 19 максимальный размер дерева в случайном графе, 99

максимальный размер дерева в слу

чайном графе из б4пщ, 87

максимальный размер дерева в случайном лесе, 62

максимальный размер компонент, 81

максимальный размер компонент в случайном графе, 100

максимальный шаг, 19

максимальное число независимых критических наборов, 147, 158

математическое ожидание, 11

метод голосования, 192

метод перевала, 15, 223

метод проверки координат, 193

множество корневых деревьев, 32

надкритический граф, 109

неравновероятный граф, 130

независимые критические наборы, 147

нормальное распределение, 18

обобщенная схема размещения, 24

обратная связь, 147

общее число циклов, 122, 212

общее число гиперциклов, 181

общее число компонент, 35

общее число критических наборов, 181

одноцикловой граф, 73

однородная система уравнений, 147

однозначное отображение, 29

подстановки с ограничениями на длины циклов, 208

полиномиальное распределение, 24

полное описание предельного пове

дения числа циклов, 207

пороговое свойство, 179

порядок случайной подстановки, 243

предельное распределение числа гиперциклов, 188

проблема моментов, 13

процесс последовательного роста числа строк, 149

производящая функция, 14

простая задача классификации, 144

ранг матрицы, 147

ранг матрицы с небольшим числом единиц, 157

распределение Пуассона, 14

распределение вероятностей, 10

разбиение, 30

разложимое свойство, 34

регистр сдвига, 145

рекуррентная последовательность, 145

система линейных уравнений в GF(2), 144

слабая сходимость, 11

случайная подстановка, 40, 41

случайная величина, 9

случайные графы с независимыми ребрами, 120

случайные матрицы с независимыми элементами, 149

случайные парные сравнения, 191

случайный элемент, 9

случайный граф случайной подстановки, 197

случайный граф, соответствующий случайной подстановке, 196

случайный лес, 32, 42

случайное отображение, 40

среднее число решений в равновероятном случае, 155

среднее значение, 11

статистическая задача различения гипотез, 191

суммирование независимых случайных величин в GF(2), 153

связная компонента, 33

уравнение простой степени, 228

уравнение составной степени, 238

уравнение, содержащее подстановку, 221

факториальный момент, 11

формула обращения, 19

функция распределения, 10

число циклов длины т в случайной подстановке, 197

число циклов в случайной подстановке, 197, 198

число деревьев фиксированного размера в случайном графе из ^п,т, 87

число деревьев с г вершинами, 54

число компонент, 127, 167

число компонент в °ИП, 80

число лесов, 43

число линейно независимых решений, 152

число нетривиальных решений, 153 число одноцикловых графов, 73 число одноцикловых компонент, 97 число одноцикловых компонент в случайном графе из ^пщ, 93

число вершин в максимальной одноцикловой компоненте, 97

число вершин в одноцикловых ком-понентах, 87, 94

Научное издание

КОЛЧИН Валентин Федорович

СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ

Серия «Теория вероятностей и математическая статистика»

Оригинал-макет автора

ЛР № 071930 от 06.07.99. Подписано в печать 29.01.04.

Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 16. Уч.-изд. л. 16,5. Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»

117997 Москва, Профсоюзная ул., 90

E-mail: fizmat@maik.ru, http://www.fml.ru

Отпечатано с готовых диапозитивовв ППП «Типография «Наука»121099, Москва, Шубинский пер., 6

ISBN 5-9221-0486-1

2 =1 ккхк

В^^ к\ '

УДК 519.1

ББК 22.176

К60

Колчин В. Ф. Случайные графы. — 2-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 256 с. — (Теория вероятностей и математическая статистика.) — ISBN 5-9221-0486-1.

Книга посвящена случайным графам, случайным подстановкам, системам случайных линейных уравнений в конечных полях и уравнениям, содержащим неизвестную подстановку. Изложение отличается систематическим использованием обобщенной схемы размещения, при котором многие комбинаторные задачи сводятся к задачам о суммах независимых случайных величин.

Первое издание — 2000 г.

Для специалистов в области вероятностной комбинаторики и ее применений, инженеров и студентов старших курсов вузов.

Библ. 167 назв.

ISBN 5-9221-0486-1ISBN 5-9221-0486-1© ФИЗМАТЛИТ, 2000, 2004

ISBN 5-9221-0486-1

ISBN 5-9221-0486-1

© В.Ф. Колчин, 2000, 2004

Оглавление

Предисловие5