Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ГЛАВА 1
СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕРИ КЛАССЫ РАВНОМЕРНОСТИ
Пусть Q — вероятностная мера на сепарабельном метрическом пространстве S, каждый открытый шар которого связен (например, S = Rk). В этой главе будет дана характеризация классов eF ограниченных измеримых по Борелю функций таких, что
sup/еуsup/еу\fdQn-\fdQ -*0SS\fdQn-\fdQ -*0SS(п-*-оо)(п-*-оо)(1)(1)
sup/еу
sup/еу
\fdQn-\fdQ -*0
SS
\fdQn-\fdQ -*0
SS
(п-*-оо)
(п-*-оо)
(1)
(1)
для любой последовательности {Q„: п^1} вероятностных мер, слабо сходящейся к Q. Такие классы называются Q-равномерными классами. Показано, что «У есть Q-равномерный класс тогда и только тогда, когда
sup со/(S)<со, liml sup ?(oz(x:e)Q(dx)l = 0, (2) fej- в1о[/е^5 J
где to, (S) — (полное) колебание функции / на S и oz(x:e) —ее колебание на открытом шаре радиуса в с центром в х. Это наводит на мысль, что скорость сходимости \fdQn-*-^fdQ зависит от таких характеристик функции f, как (1) co/(S) и (2) функция среднего колебания е -> J to, (х: е) Q (dx). В случае индикаторов боре- левских множеств А это означает, что скорость сходимости Q„(A)->-Q(A) зависит от функции e->-Q((dA)E), где дА — граница множества А и (М)Е — множество всех точек, расстояние от которых до дА меньше е. Приведенные соображения развиты в главах 3 и 4 с целью получения соответствующих оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме.
§ 1 содержит краткий обзор тех разделов теории слабой сходимости, которые будут использованы в § 2 для
получения результатов о характеризации классов равномерности. Результаты этих двух параграфов не используются в дальнейшем, если оставить в стороне общее обоснование излагаемых в книге результатов В § 3 получены оценки вида
sup Ф ((бС)е) d (А) г (г >0),(3)
СеК
где Ф — стандартное нормальное распределение на Rk, — класс всех (измеримых по Борелю) выпуклых подмножеств R и d (А) — положительное число, зависящее только от А. В ряде случаев в §§ 3 и 4 эти оценки применяются для вывода оценок скорости сходимости Qn (С) -► ->-Ф(С), Се^, где Q„ — распределение нормированной суммы п независимых случайных векторов.
Слабая сходимость
В этом параграфе дан краткий обзор основных результатов теории слабой сходимости вероятностных мер.
Всюду в этом параграфе S обозначает метрическое пространство с метрикой р. Борелевское о-поле ^ на пространстве S — это наименьшее о-поле, содержащее класс всех открытых подмножеств S. Говорят, что р есть (обоб- и^енная) мера на S, если р — (обобщенная) мера, определенная на с®. Класс всех конечных обобщенных мер на S обозначим через о< и подкласс <^, состоящий из всех вероятностных мер, —через 3". Любая конечная обобщенная мера р на S определяет три функции множеств р+, р_, | р |, называемые соответственно положительной, отрицательной и полной вариациями меры р:
р+(В) = sup (р(Л) :ЛсВ, Ае^,
р-(В) = — inf {р(Л): Л с: В, Ле^), (В е ^), (1.1) |р|=р+ + р-
Из так называемого разложения Жордана — Хана *) вытекает, что р+ и р_ (а следовательно, и ' р [) являются конечными мерами на S, удовлетворяющими равенству
(1.2)(1.2)р = р+ — р~.
(1.2)
(1.2)
Для произвольной конечной обобщенной меры р на сепарабельном метрическом пространстве S носитель р определим как наименьшее замкнутое подмножество S, дополнение к которому имеет р|-меру нуль, т. е.
носитель р= р ^У7: У —замкнутое, Ip1 (5\У) = 0}, (1.3) где для произвольных двух множеств Л, В принято обозначение
Л\В = {х: хеЛ, х^В\. (1.4)
Заметим, что из сепарабельности метрического пространства S следует, что дополнение правой части (1.3) имеет нулевую | у (-меру.
Класс о* функций (множеств) на <95 со значениями в А?1 есть действительное линейное пространство относительно поточечного сложения и умножения на действительные числа. Это пространство, наделенное вариационной нормой
|р| = |р (S) (РЕс^), (1.5)
становится банаховым.
Пусть С (S) обозначает класс всех комплекснозначных, ограниченных, непрерывных функций на S. Слабая топология на о* есть наименьшая топология (на е^), относительно которой все отображения . ,
P^S/du (feC(S)l (L6)
<91 в комплексное поле С непрерывны. Под интегралом в правой части (1.6) всегда подразумевается интеграл Лебега от (р-интегрируемой комплекснозначной измеримой по Борелю функции) f по S. Интеграл Лебега ат f по берелевскому множеству В обозначается
V^- (1-7) в
Когда необходимо указать переменную интегрирования, будем также писать
$f(x)p(dx) (1.8) вместо $fdp.
В этой книге нас особенно интересует топология слабой сходимости на классе 5s всех вероятностных мер на S. В этой топологии сходимость последовательности {Qn} вероятностных мер к вероятностной мере Q означает,
ЧТО/
Vim\fdQ„ = \fdQ(1.9)
для любой функции / из С (S). Следующая теорема дает несколько характеризаций слабой сходимости последова тельности вероятностных мер.
Теорема 1.1. Пусть S — метрическое пространство и Qn (п=1, 2, ...), Q —вероятностные меры на S. Сле- дующие утверждения эквивалентны-.
Qn сходится слабо к Q.
lim ^fdQn = \fdQ для любой равномерно непрерывной функции f из C(S).
limQ« (F)^Q(F) для каждого замкнутого подмножества F czS.
lim Qn (G)^Q(G) для каждого открытого подмно
жества Gc:S.
Доказательство этой теоремы можно найти у Биллингсли [1] (теорема 2.1, с. 21—25) или Партасарати [1] (теорема 6.1, с. 40—42).
Пусть В (х: е) обозначает открытый шар < центром в х радиуса е:
B(xie) = {y: yeS, р(х, у)<е} (xeS, е>0). (1.10) Для произвольной действительной функции f на S при каждом положительном е определим функцию колебания шД • :е): ®/(x!e) = sup{|/(z)-f(y)| :у, z^B(x:e)} (xeS). (1.11) Для комплекснозначной функции / = g-\-ih (g, h — действительные) положим
а/ (х: е) = б>е (х: е) + оА (х: е) (xeS, е>0). (1.12) Функция колебания является измеримой по Борелю на (измеримом по Борелю) множестве, на котором она конечна ). Множество точек разрыва функции / измеримо по Ворелю и может быть выражено в виде
{х: tof (х: 1/п) -н- 0 при п-*со\.(1-13)
Пусть теперь Q — вероятностная мера на S. Комплекснозначная функция / на S называется (^-непрерывной, если
ее точки разрыва образую! множество Q-меры нуль. В частности, если индикатор 1А множества А, принимающий значения единица на Л и нуль на дополнении к А, является Q-непрерывным, будем говорить, что А есть Q-непрерывное множество. Поскольку множество точек разрыва функции 1А есть в точности граница дА множества А, А будет Q-непрерывным множеством тогда и только тогда, когда
(1.14)(1.14)(?(дЛ) = О.
(1.14)
(1.14)
Напомним, что (топологическая) граница дА множества А определяется равенством
дЛ =С1 (Л)\1п( (Л),(1.15)
где О (Л), Int (Л) суть соответственно замыкание и внутренность А
Лемма 1.2. Пусть Q — вероятностная мера и f — комплекснозначная ограниченная измеримая по Борелю функция на метрическом пространстве S. Следующие утверждения эквивалентны:
f является Q-непрерывной.
limQ({x: ш^х: е)>6}) = 0 для каждого положи- е 10 тельного 6.
Нт^оДх : e)Q(dx) = 0. ejO
Доказательство. Пусть D — множество точек разрыва функции /. При е | 0 множества {х : о/ (х: е)> 6}, убывая, сходятся к некоторому множеству Об- Далее, (1) означает, что Q(D) = 0, а (2) перепишется в виде Q(D«)= = 0 для всех 6>0. Утверждения (1) и (2) эквивалентны, так как D= |J Du„. Утверждение (3) эквивалентно Л 5=1
равенству Q(D) = 0, так как при е|0 функции юД^е) равномерно ограничены и, убывая, стремятся к некоторой функции, которая строго положительна на D и равно нулю вне D. ▲
Следующая теорема дает еще две характеризации слабой сходимости последовательности вероятностных мер.
Теорема 1.3. Пусть Qn (и=1, 2, ...), Q —вероятностные меры на метрическом пространстве S. Следую щие утверждения эквивалентны:
нишниш№! сходится слабо к Q.
ниш
ниш
lim Qn (Д) = 6(Д) для каждого Q-непрерывного боре- левского множества А.
Um\fdQn = ^fdQ для любой комплекснозначной ограниченной измеримой по Борелю Q-непрерывной функции f.
Хотя непосредственное доказательство этой теоремы несложно, отметим, что она есть лишь очень частный случай теоремы 2.5.
В заключение этого параграфа напомним, что если метрическое пространство S сепарабельно, то топология слабой сходимости на S5 метризуема и сепарабельна и метризация осуществляется расстоянием Прохорова dP между двумя вероятностными мерами Qt и Q2, которое определяется равенством
dP(Qb Q2) = inf{e: е>0, Qi (Д) ^Q2 (Де) + в, (1.16) и У2(Д)^61(Де) + е для всех борелевских множеств Д}, где
ДЕ = {х- xeS, р (х, Д)<е} (1.17) и
р(х, Д) = 1п1{р(х, у): у^А}. (1.18)
Более подробно о метрике Прохорова и соответствующих вопросах читатель может узнать из книги Биллингсли [1] (добавление III, с 320 — 334) или Партасарати [1] (гл. 11, с. 39 — 55).
§ 2. Классы равномерности
Всюду в этом параграфе, пока не будет оговорено нечто иное, S обозначает сепарабельное метрическое пространство.
Пусть Q — произвольная фиксированная вероятностная мера на S. Основной целью этого параграфа является характеризация тех классов 5" комплекснозначных ограниченных измеримых по Борелю функций на S, для которых
lim sup |UdQn-(/dQ| = 0 (2.1)
для любой последовательности вероятностных мер {Q„}, слабо сходящейся к Q. Такие классы <У называются Q- равномерными классами функций. Класс е^ борелевских
подмножеств пространства S называется Q-равномерным классом множеств, если
lim sup | Qn (Л) — QM) I =0(2.2)
п Аел
для каждой последовательности вероятностных мер {Qn}, слабо сходящейся к Q. Таким образом, @^ является Q- равномерным классом множеств тогда и только тогда, когда 3" = \1 А; А е@^\ есть Q-равномерный класс функций. Прежде чем перейти к характеризации классов равномерности, получим несколько предварительных результатов.
В следующей лемме рассматриваются (обобщенные) меры на о-поле Е подмножеств абстрактного пространства Q Для произвольной конечной обобщенной меры р на этом пространстве вариационная норма |р|, как и раньше, определяется равенством (1.5) с заменой S на Й (и <33 на 8).
Лемма 2.1 (теорема Шеффе). Пусть (Q, ^, X) —пространство с мерой и Qn (п = 1, 2, ...), Q — вероятностные меры на (Q, Е), абсолютно непрерывные относительно X, с плотностями ^т. е. производными Радона — Никодима) соответственно qn (и = 1, 2, ...), q относительно К. Если {?„} сходится к q почти всюду (X), то
nm|Q„-Q| = 0.
Доказательство. Пусть hn = q — qn- Ясно, что
^/i„dX = O (и = 1, 2, ...);
поэтому
|Qn-QI = $ h„dK — J hndK =
{лл>0}{лл<°1
= 2 hndX^^hnl^ ^dX. (2.3) {hn>°l
Последнее подынтегральное выражение в (2.3) неотрицательно и ограничено сверху q. Поскольку оно сходится к нулю почти всюду, интеграл также сходится к нулю. ▲ Лемма 2.2. Пусть S — сепарабельное метрическое пространство и Q —вероятностная мера на S. Для всякого положительного е найдется счетное семейство {Л»: А = 1, 2,...} попарно непересекающихся борелевских подмножеств в S таких, что (1) |J {ЛА : k = 1, 2,...} =5, (2) диаметр Л*
для всех k меньше е, (3) каждое Л» есть Q-непрерывное множество.
Доказательство. Для каждого х в S существует более чем счетное число шаров \В (х : 6): 0 < 6 <е/2} (возможно, не все из них различны). Поскольку
дВ (х : 6) с {у: р (х, у) = б},(2.4)
элементы семейства \дВ (х : 6): 0 < 6 < е/2} попарно не пересекаются. Но для любого фиксированного семейства попарно непересекающихся борелевских множеств множества с положительной Q-вероятностью образуют счетное подсемейство. Следовательно, в {В(х:6): 0<б<е/2} существует шар В (х), граница которого имеет нулевую Q-вероятность. Семейство (В(х): хе5| образует открытое покрытие S, и в силу сепарабельности S из него можно выделить счетное подпокрытие, например, {В (хД: А=1, 2, ...}. Определим теперь
Л1^В(Х1), Л2 = В(х2)\В(xi), ...
(
к — Iх
U В(хА ...(2.5)
Z= I/
Ясно, что диаметр каждого множества Л* меньше е. Поскольку
дЛ=д(5\Л), д (Л П В) с (5Л) (J (5В)(2.6)
для произвольных подмножеств Л, В в S, все множества Ак Q-непрерывны. ▲
Для формулировки следующей леммы в дополнение к О/ (•: е) определим колебание уу (Л) комплекснозначной функции / на множестве Л равенством
(оДЛ) = зир {|/(х) —/(у) |: х, уеА\ (Лс5). (2.7)
Легко видеть, что
о/ (х: е) = оу (В (х: е)) (х е S, е > 0).(2.8)
Лемма 2.3. Пусть f — комплекснозначная ограниченная измеримая по Борелю функция на сепарабельном метрическом пространстве S. Для каждой пары положительных чисел е и б существует счетное семейство попарно непересекающихся борелевских множеств fN-..-k=\, 2, ...} таких, что
U \NM: 6=1, 2, ...}^{х: <oz(x:e)>6},
диаметр Nk для каждого к меньше бе,
со/ (Л^е) > 6 для всех к.
Доказательство. Пусть 6 = |х : со, (х: в)> 6} и {у„:п=1, 2, ...} плотно в G, так что GczU I5 (У: «): п=\, 2, ...}. Пусть Xi = yi, положим х2 равным первому из уп, расстояние от которого до хг не меньше 2в; положим хэ равным первому из уп, кроме х2, расстояние от которого до (Xi, х2} не меньше 2в. Продолжая этот процесс, получим счетное множество {х„: п=1, 2, ...}, для которого семейство {В(хл: в):п=1, 2, ...} состоит из попарно непересекающихся элементов. Поскольку каждое уп находится на расстоянии, не большем 2в, от некоторого X/, также имеем
Gcz и {В(х„: Зв): п = 1, 2, ...}.
Пусть В = U {В (х„ . в): п = 1, 2, ...}, и определим
Мк = В (х^ : Зв)\ (В (J U {5 <№ : Зе) 1 ^ к' <6}), Nk = B(xk : в) (J Мк.
Заметим, что множества Мк попарно не пересекаются, U \Мк: 6=1, 2, .,.}^)G\B, и Мк не пересекаются с В. Следовательно, \Nk: 6=1, 2, ...} есть семейство попарно непересекающихся множеств, объединение которых содержит G. Поскольку хк е 6 и В (хк : в) cz Nk, имеем tof (Nk) ^(of(xk:e)>6. Наконец, Nk cz В (xk : Зв), так что диаметр Nk не больше 6в. А
Теперь все готово для доказательства основной теоремы этого параграфа.
Теорема 2.4. Пусть S — сепарабельное метрическое пространство и Q — вероятностная мера на S. Семейство комплекснозначных ограниченных измеримых по Борелю функций на 8 является Q-равномерным классом тогда и и только тогда, когда
sup to/(S)<:oo,
lim sup {Q«x: to/(x : в)>6})} =0' ’
e|0 te^
для каждого положительного 6.
Доказательство. Не теряя общности, будем доказывать теорему для класса ^ действительных ограниченных измеримых по Борелю функций.
Достаточность. Предположим, что соотношения (2.9) выполнены. Пусть с, е —два положительных числа и {Л*: А = 1, 2, ...} — разбиение S измеримыми по Борелю Q-непрерывными множествами, диаметр каждого из которых меньше в. В силу леммы 2.2 такое разбиение возможно. Определим Класс фуНКЦИЙ e^c.g, положив
= ^5jC6^6: Cfel^6 ПРИ всех ^
Класс е^с.е является Q-равномерным. Для доказательства этого утверждения предположим, что {Q„} — произвольная последовательность вероятностных мер, слабо сходящаяся к Q. Определим функции qn (n= 1, 2, ...), q на множестве всех положительных целых чисел равенствами
Чп № = Qn (Л6), q ^ = Q (Аь) (k = 1, 2, ...). (2.11)
Функции qn, q являются плотностями (т. е. производными Радона — Никодима) вероятностных мер на множестве всех положительных целых чисел (с о-полем всех своих подмножеств) относительно считающей меры с единичной массой в каждом числе. Поскольку все множества Ле являются Q-непрерывными, {^„(А)} сходится к q^ при каждом к. Следовательно, по теореме Шеффе (лемма 2.1) имеем
lim 2 \qn(k)-q(k)\ = 0. n 6lim 2 \qn(k)-q(k)\ = 0. n 6(2-12)(2-12)Поэтомуsup{|^dQ„-$fdQ|: fs=Fc.e} =Поэтомуsup{|^dQ„-$fdQ|: fs=Fc.e} == sup= sup'(I ^ckqn(k)-£^(6)1: |са|^с для всех к\^ «^.S l?"^)- ?(A)|->0 при n->co. (2.13)'(I ^ckqn(k)-£^(6)1: |са|^с для всех к\^ «^.S l?"^)- ?(A)|->0 при n->co. (2.13)
lim 2 \qn(k)-q(k)\ = 0. n 6
lim 2 \qn(k)-q(k)\ = 0. n 6
(2-12)
(2-12)
Поэтому
sup{|^dQ„-$fdQ|: fs=Fc.e} =
Поэтому
sup{|^dQ„-$fdQ|: fs=Fc.e} =
= sup
= sup
'(I ^ckqn(k)-£^(6)1: |са|^с для всех к\^ «^.S l?"^)- ?(A)|->0 при n->co. (2.13)
'(I ^ckqn(k)-£^(6)1: |са|^с для всех к\^ «^.S l?"^)- ?(A)|->0 при n->co. (2.13)
Таким образом, показано, что <УС,В есть Q-равномерный класс. Предположим теперь, не ограничивая общности, что каждая функция f в =У центрирована, т. е.
inf f (х) = — sup f (х).(2.14)
tEStES
Функция f центрируется путем вычитания из / числа, соотретствующего средней точке с, множества ее значений.
I 2. КЛАССЫ РАВНОМЕРНОСТИ23
Так делать можно, потому что
su^ | yd (Qn - Q) | = sup \\G-cAd (Q„ - Q) | (2.15)
для любой вероятностной меры Q„ Для каждой функции f^^ определим
gM = inf tW при хеАк(к=\, 2,...),
teA^
hf(x^ = sup f(x)при xsAk(fc=l, 2,...).^-16)
геЛ6
Заметим, что g, fiGeFc.e,
gj^t^hf,
hf(x)-gf(x) = a/(Ak) при xe Ak (A=l, 2,...),(2.17)
Отсюда следует, что
$ gfd (Qn -Q)-yh,- gf) dQ=\g, dQ„ -\hfdQ^
^ ydQn - $ f dQ^ J h, dQn - j gf dQ=
= yfd(Qn-Q)-t-yhf-gf)dQ; (2.18) поэтому
sup. 1$ fd (Qn — Q) I
=^ sup l$/'d(Q„-Q)|+ su^yhf-g^dQ. (2.19) f'^c.B.fey
Поскольку e^c.g является Q- равномерным классом,
Hm sup | $ fd (Qn - Q) | ^ su^ J (hf - g^ dQ =
= sup v tof(iAfe)Q(Afe)^ sup Гс У Q(^fe) + 6W
fey" &fG.^1 {<oy(Afe)>6}J
^c sup Q({x: toj (x : e)> 6})+ 6,(2.20)
так как диаметр каждого множества Ак меньше е. Устремим сначала е к 0, а затем 6 к 0. Достаточность доказана.
Необходимость. Предположим, что соотношение (1) в (2.9) не выполнено. Тогда найдется последовательность {/„} CZ еГ, ДЛЯ которой
<0/„(S)>n(п=1, 2, ...).(2.21)
Таким образом, если положим
а„ = inf {/„ (х): xeS), ₽л = sup j/„ (х): х е S}, (2.22)
то 0„ — а„>п при всех п. Разобьем замкнутый интервал [а„, Рл] на п непересекающихся подынтервалов одинаковой длины. Существует подынтервал 1п такой, что
(2.23)(2.23)Q(/n'(U)^lM (л =1,2,...).
(2.23)
(2.23)
Далее, поскольку рл —ал>л, найдется в S точка хп, для которой
(2-24)(2-24)IM*„)-/|SMn-l)/2при всех f е С1 (/„) (л = 1, 2, ...).
(2-24)
(2-24)
Определим теперь вероятностную меру Q„, добавляя в х„ точечную массу 1/л и вычитая пропорционально эту массу из подмножеств f„l(In), т. е.
Qn (Л) = Q (A\fn- (/„)) + 6Х„ (Л)/л +
+ [1 ~ ^(/^(/J)]^^^^^ l^- (2.25)
где 6Хп — вероятностная мера, вырожденная в хп (т. е. 6*„({хл})= 1). Заметим, что
(2.26)(2.26)IQ» —С1 = 2/л;
(2.26)
(2.26)
поэтому Qn сходится по вариационной норме и, следовательно, слабо к Q. Нов
\yndQ„-y„dQ\ =
= ™ fn (^л) ор-цт^у ^ ^” ^ = тг^” ^х"^'
при некотором t из О (/„). Таким образом, в силу (2.26)
(2.28)
при всех л; поэтому <9" не является Q-равномерным классом.
Теперь предположим, что не выполнено соотношение (2) в (2.9). Это означает, что существуют положительные числа бит], последовательность {е„| положительных действительных чисел, сходящаяся к нулю, и последователь-
ность {/„} с <5" такие, что
Q({x: (о/л(х:еп)>б})>Л>0(и=1, 2,...). (2.29)
Пусть \Nfc.n- ^=1, 2, ...} есть счетное семейство попарно непересекающихся борелевских множеств, удовлетворяющее условиям:
(О U \Nk.n: к = 1, 2, ...} тэ |х: ш/л (х : е„)> б},
диаметр множества Nk-n^6en при каждом к,
(D/n(W6.n)>6 при каждом k(n=l, 2,...).
Согласно лемме 2.3 такое семейство (при каждом п) существует. При фиксированном п для любого к выберем две точки хк.„, ук-п в Nk n такие, что
Myk.„)-Mxk.n):>&1к=\, 2, ...).(2.30)
Следовательно,
^QkNk.n)fn кУк ^-^.QkNk ^tn (х*.л)>бг],
откуда вытекает, что либо
£ S 1п^-^^к.„Ппкхк.^->ЬлМ2(п=1, 2,...),
(2.31) либо
^Q(Nk.„)fn{yk.n)— У $ f„dQ>6r)/2(п=1, 2,...).
*к N к. п
(2.32)
Если справедливо неравенство (2.31), то определим Qn, положив
(?„(Д) = 6(Л\и \NkV к= 1, 2, ...}) +
+ £<№_,.)6,6 „(Л) (Ле^); (2.33) к
если справедливо (2.32), то Qn определим равенством
<?„(Л) = <2(Л\и kNk„: к=1, 2, ...}) +
-V^QkNk.n^yk ДА^ VAeSSY (2.34) к
Предположим, что выполнено неравенство (2 31). Пусть f — равномерно непрерывная комплекснозначная функция
на S. Тогда
\\fdQ,-\fdQ\-\\fdQ,-\fdQ\-У $ (ДхА,„) — ndQк N*. „
\\fdQ,-\fdQ\-
\\fdQ,-\fdQ\-
S (О/ (#»,„) Q (N6.„)^sup {co, ^Nk.„y. k = 1, 2, .. 4 (2.35)
Правая часть (2.35) сходится к нулю, когда п стремится к бесконечности, так как диаметры множеств Nk,n при всех к не превосходят 6е„ (что сходится к нулю). Следовательно, по теореме 1.1 {Qn} сходится слабо к Q. С другой стороны, в силу (2.31)
\fndQ-VndQn =\fndQ-VndQn =fndQ — Q (Nb.n) к kXk.nW>fndQ — Q (Nb.n) к kXk.nW>6ч26ч2(n=l, 2,...),(n=l, 2,...),
\fndQ-VndQn =
\fndQ-VndQn =
fndQ — Q (Nb.n) к kXk.nW>
fndQ — Q (Nb.n) к kXk.nW>
6ч2
6ч2
(n=l, 2,...),
(n=l, 2,...),
поэтому ef не является Q-равномерным классом. Если справедливо неравенство (2.32), то рассуждения аналогичны. ▲
Замечание. Пусть S — сепарабельное метрическое пространство и Qlt Q,—две вероятностные меры на S такие, что Qa абсолютно непрерывна относительно Qv Из теоремы А. 3.1 (см. добавление), дающей характеризацию абсолютной непрерывности, вытекает, что всякий ^-равномерный класс функций является Qg-равномерным.
Полезен также следующий вариант теоремы 2.4.
Теорема 2.5. Пусть S — сепарабельное метрическое пространство uQ — вероятностная мера на S. Семейство <У комплекснозначных ограниченных измеримых по Борелю функций на S Q-равномерно тогда и только тогда, когда
(2.36)(2.36)sup И/(S) < оо, fey
(2.36)
(2.36)
lim sup ( tof (х : е) Q (dx) = 0.
8|0/еУ
^ 2c^ 2c(2.37)(2.37)Доказательство. Предположим, что <У есть Q-равномерный класс. По теореме 2.4 справедливы соотношения (2.9) Пусть c = sup{w/(S): Для фиксированного положительного числа 6 найдется положительное число во (6) такое, что
^ 2c
^ 2c
(2.37)
(2.37)
sup Q(<x. u), (х ; в) > fe^ и
при каждом е, меньшем е0(6). Следовательно, для всех / из имеем
$ и, (х : в) Q (dx) ^$ to, (х : e)Q(dx)+<6/(2c)^6,
{х: ш^(х:е)<6/2|
как только е меньше в0(6). Необходимость (2.36) доказана.
Обратно, предположим, что соотношения (2.36) выполнены. Фиксируем произвольное положительное число 6. При данном положительном ц найдется положительное число е1(г]) такое, что
sup ( to/ (х : в) Q (dx) < 6r) fe^
для всех е, меньших в, (tj). Следовательно, для каждой функции / из а?" имеем
Q({x: ы, (х: в) >6)) < ^ ^ ю, (х; e)Q(dx)^t)
при всех е, меньших В!^). Итак, (2.9) выполнено. ▲
Чтобы рассмотреть предыдущую теорему в случае Q-равномерных классов множеств, определим
Ае= {х: р (х, Л) <в{ = U ’^(х : в): i е Л}, Л~® = {х: В(х:е)сЛ|--8\(8\Л)® (Лс$, е>0). (2'38)
Множество Л® уже было определено выше в (1.16). Отметим, что множество Л® открыто и Л® замкнуто.
Следствие 2.6. Класс е^ борелевских подмножеств сепарабельного метрического пространства S является Q-равномерным тогда и только тогда, когда
lim sup Q(Л®\Л ®) = 0.(2.39)
t pi Аел
Если каждый открытый шар в S сьязен, то
Л®\Л-® = (дЛ)®(Лс5, в>0),(2.40)
так что в этом случае erf есть Q-равномерный класс тогда и только тогда, когда
lim sup Q((M)®) = 0.(2.41)
rjO Аел
Доказательство Для произвольного множества Л функция ш/л(х:8) равна единице, если и только если
шар В(х:в) пересекается как с Л, так и с 5\Л; в противном случае она принимает нулевое значение. Следовательно,
со/л(х:в) = Iде^д-е^ (xeS, в>0).(2.42)
Поэтому
\toiA^x-.e^Q<dx^ = Q^AeXA-^ (Л <= S, в>0). (2.43)
Поскольку to/yi(S)^l для всех множеств А, по теореме 2.5 равенство (2.39) дает необходимое и достаточное условие для того, чтобы е^ являлся Q-равномерным классом.
Теперь докажем справедливость равенства (2.40) при условии, что каждый открытый шар в метрическом пространстве S (сепарабельность S не требуется для справедливости (2.40)) связен. Сначала покажем, что в любом метрическом пространстве S имеет место соотношение
(5Л)Е с Л^Л"8 (Лс5, в>0)(2 44)
Предположим, что х е (0Л)е. Тогда существуют положи тельное число в', меньшее в, и точка у в ЭА такие, что р(х, у) Св'. Поскольку у является граничной точкой множества А, существуют две точки гх и г2, где г, е Л и г2Е5\Л, для которых р (у, г,)<в —в' при 1=1, 2. Таким образом, р (х, г,) ^ р (х, у) + р (у, г,) < в для i = 1, 2. Это означает, что хеЛЕ и х^А-Е, тем самым (2.44) доказано. Далее предположим, что всякий открытый шар в S связен. Если хеЛЕ\Л'с, то
ЛП5(х:е)^ф, (5\Л) ПВ (х: в) #= ф. (2.45)
Предположим теперь, что х ^ (дЛ)Е (и придем к противоречию). Тогда имеем
В(х:в)ПдЛ = 0,(2.46)
так что
В (х: в) = ((S\C1 (Л)) П В (х: в)) U (Int (Л) П В (х : в)), (2.47)
потому что S = (S\C1 (Л))и Int (Л) идЛ. Правая часть (2.47) представляет собой объединение двух открытых взаимно непересекающихся множеств. В силу (2.45), (2.46) оба эти множества непусты и справедливы (в любом топологическом пространстве) соотношения
(5 ХС1(Л)) (J дА =>S ХЛ, Int (Л) (J ^Л з А.
Но отсюда вытекает, что шар В (х: в) несвязен. Пришли к противоречию. Итак, хе(дЛ)е, и (2.40) доказано. Следовательно, соотношения (2.41) и (2.39) эквивалентны. ▲
Следствие 2.7. Пусть S — сепарабельное метрическое пространство. Класс ^ ограниченных функций является Q-равномерным классом для произвольной вероятностной меры Q на S, если и только если (1) sup (to, (S): f е eF} < со и (2) семейство ^ равностепенно непрерывно в каждой точке пространства S, т. е.
lim sup af(x: е) = 0 при всех xeS. (2.48) еЮ
Доказательство. Без ограничения общности предположим, что функции в =F действительны. Пусть условия (1) и (2) выполнены. Предположим, что Q — вероятностная мера на S. Для произвольных положительных чисел 6 и в справедливо неравенство
sup Q({x: to, (х : в) >6}) ^Q fx: sup ш,(х : в) > 6L).
fsj^\| fey)/
(2.49)
При каждом положительном 6 правая часть (2.49) стремится к нулю, когда в | 0. Следовательно, по теореме 2.4 е7 является Q-равномерным классом. Необходимость (1) немедленно вытекает так же из теоремы 2.4 Для доказательства необходимости (2) предположим, что существуют положительное число 6 и точка х0 в S, для которых
sup ю/(х0 :е)>6 при всех е>0.
Из этого неравенства вытекает существование последовательности {хп( точек в S, сходящейся к х0, и последовательности функций ^„(Сз^ такой, что
1М-гл) —fn(x0)i>6/2(и=1, 2,...).
Пусть Q = 6x0 и Qn = Kxn (п= 1, 2, ...). Ясно, что |Q„} сходится слабо к Q, но
^r.dQn-^L.dQ^Ux^-Ux^d/S (п=1, 2,...).
Поэтому sF не является Q-равномерным классом, а
Ранее было отмечено, что топология слабой сходимости на множестве У5 всех вероятностных мер на сепарабельном метрическом пространстве метризуема и метризация осуществляется с помощью метрики Прохорова dP. Другая интересная метризация предлагается в приведенном ниже следствии. Для произвольной пары положительных чисел с, d определим класс L (с, d) функций на S, удовлетворяющих условию Липшица, но формуле L (с, d) = {f: ш( (S) с,
\f(x) — f(y)'^dp(x, у> при всех х, y^S}.(2.50)
Определим теперь ограниченное расстояние Липшица dBL равенством
det (Qi, Q2)— sup I \f dQi — (fdQ2| (Ci> Qi^^Y (2.51) feLO. d 11
Следствие 2.8. Если S — сепарабельное метрическое пространство, то dBl метризует топологию слабой сходимости на
Доказательство. По следствию 2.7 7,(1, 1) является Q-равномерным классом для произвольной вероятностной меры Q на S. Следовательно, если {Q„} если последовательность вероятностных мер, слабо сходящаяся к Q, то
lim dBL(Q„, Q) = 0.(2.52)
Обратно, предположим, что равенство (2.52) справедливо. Покажем, что {Q„} сходится слабо к Q. Из (2.52) вытекает, что
Hm|^dQ„-$fdQ| = 0
для любой ограниченной функции f, удовлетворяющей условию Липшица. Это следует из того, что если | f (х) — f (у) | ^ dp (х, у) при всех х, yeS, то
VdQn- VdQ=<\ Г dQ" - S Г dQ\
где c = max |<o/(S), d} и f =f/c^ L(l, 1). Пусть F — произвольное непустое замкнутое подмножество в S. Докажем, что
nSQH^^QCO-(2-54)
п
Для е > 0 введем действительную функцию fe на S равенством
^(■>с) = Ф(е-1Р(х, F?) (xeS), (2.55)
где ф определена на [0, со) соотношением
( 1 -(' ^ = { 0.( 1 -(' ^ = { 0.еслиесли0^/^ 1,0^/^ 1,если /> 1.если /> 1.(2.56)(2.56)
( 1 -(' ^ = { 0.
( 1 -(' ^ = { 0.
если
если
0^/^ 1,
0^/^ 1,
если /> 1.
если /> 1.
(2.56)
(2.56)
Заметим, что к для любого положительного в есть ограниченная функция, удовлетворяющая условию Липшица и неравенствам
«/e(S)^l, kW-kUM^
^| g pU. F) - ^ Р(У. Л|^Ё Р(^. У) U. yeSy так что в силу (2.53) имеем
Vim\kdQ„ = \kdQ (в>0).(2.57)
Поскольку lF^k Для каждого положительного е,
firn Q„ (Г) ^ Um SfedQ„ = $/edQ (е>0).(2.58)
Далее, lim к (*) = кW при всех х в S. Поэтому е!0
Um\kdQ = Q(Fy(2.59)
ejO J
По теореме 1.1 {Q„} сходится слабо к Q. Наконец, легко проверить, что dBL является метрикой на 5s. А
Замечание. Расстояние dBL можно ввести на классе «Л1 всех конечных обобщенных мер на S по формуле (2.51), где Qj Q$— уже конечные обобщенные меры. Функция р -»■ dBL (р, 0) задает норму на векторном пространстве «^. Топология, индуцируемая этой нормой вообще говоря, слабее топологии, индуцируемой вариационной нормой (1.5). Следует также отметить, что в доказательстве следстаия 2.8 предполагается метризуемость топологии слабой сходимости на У5 н лишь дается подходящая метрика [как альтернатива метрике Прохорова dp, введенной в (1.16)]. Это и оправдывает использование в доказательстве последовательностей а не направленностей.
Можно построить много интересных примеров классов равномерности в дополнение к описанным в следствиях 2.7 и 2.8. Сейчас приведем один пример. А остальная часть
этого параграфа будет посвящена другому примеру (теорема 2.11), который, с нашей точки зрения, представляет значительный интерес.
Пример. Пусть S = R2 и ^ (/) есть класс всех измеримых по Борелю подмножеств в R2 таких, что граница каждого содержится в некоторой спрямляемой кривой ), длина которой не превосходит заданного положительного числа /. Покажем, что S? (/) является Q-равномерным классом для произвольной вероятностной меры Q, абсолютно непрерывной относительно меры Лебега Х2 на R1. Пусть ЛеО(/) и dAdJ, где J — спрямляемая кривая длины /. Найдется А точек z0, zu ..., гк_т на J таких, что (1) z0 и z^ есть крайние точки кривой J (возможно, совпадающие), (2) А^//е-|-2 и (3) >г,-—г^К^ьдля 1 = 1,2,... ..., к — 1 (здесь f • II обозначает евклидову норму). Следовательно,
12 ((дА)е) ^ ^ (Je) ^ (//в + 2) л (2е)2 =
= 4л/еф-8лг2 |Де^(/)]. (2.60)
Пусть Q— вероятностная мера, абсолютно непрерывная относительно Х2. Тогда из (2.60) вытекает (в силу теоремы А.3.1), что
lim (sup (Q((M)E): А е ^ (/)}) = 0. (2.61) в|о
Согласно следствию 2.6 ® (/) является Q-равномерным классом.
Прежде чем доказывать следующую теорему, получим некоторые предварительные результаты. Пусть S — метрическое пространство. Определим расстояние Хаусдорфа А между двумя замкнутыми ограниченными подмножествами А, В в S по формуле
А (Д, в) = inf {в г>0, Лс5р, 8сЛ6|, (2.62)
Класс е^ всех замкнутых ограниченных подмножеств в S является метрическим пространством с метрикой А.
Лемма 2.9. Путь ^ — компактное подмножество в о^. Тогда для любой вероятностной меры Q на S
справедливо равенство
lim sup {Q(Ale): М е е^} = sup {<2 (М): М^=<\.(2.63)
е|0
Доказательство. Фиксируем произвольное положительное число т]. Для каждого М е»« существует положительное число -м такое, что
Q(Me^)<Q(M) + t],
так как МЕ | М при е | 0. В силу компактности класса с^ найдется конечное семейство множеств {ЛД, .., МД в <^ такое, что всякое множество в <^ находится на А-рас- стоянии, не превосходящем ем /2, отА1; при некотором i, 1 ^ i ^г. Пусть
е0 = min |ем./2: l^i^r|.
Тогда
sup{Q(Afe"): М е о^| sgsup {с(л1/ М‘ ): I $5 i $5 г} $5 s^sup ^(ЛД ^1): l^i^r}^ s£ sup {Q (Al,) + тр l^i^r}^ =^sup [Q(A1): /Ие^Дц. A
Подмножество С в Rb называется выпуклым, если ax^ + (1 — а) х2 е С при всех xlt х2 е С и всех а е [0, 1J. Гиперплоскостью Н в R* называется множество вида
Н =Дх". и, х) = с}.Н =Дх". и, х) = с}.(2.64)(2.64)
Н =Дх". и, х) = с}.
Н =Дх". и, х) = с}.
(2.64)
(2.64)
где с —действительное число и и—единичный вектор в Rk, т. е. и, = 1 и \,) обозначает евклидово скалярное произведение
*/ *11/2
(и, х/ = У UiXj, и =1 У(2.65)
;=|\;=| /
[iz = (ub .... иД, х = (Х!хк)е/?к].
Замкнутое полупространство Е — это множество вида
Е = \х-. xeRk, (и, х)^с} [се/?1, u^Rk, u|= 1]. (2.66)
Гиперплоскость Н = {у: (и, у)=с} называется опорной гиперплоскостью для множества А в точке х е А, если
(2.67)
т. е. если гиперплоскость Н проходит через точку х в А и множество А лежит по одну сторону от Н. Отметим, что знак в (2.66) и (2.67) можно заменить на 5$ (изменяя лишь и на — и). Хорошо известно, что если А — компактное выпуклое множество, то существует опорная гиперплоскость для А в каждой точке хедА ).
Лемма 2.10 Пусть А, В —два замкнутых ограниченных выпуклых подмножества в Rh. Тогда
А (А, В) = Л(дА, дВ). (2.68)
Доказательство. Предположим, что А (дА, дВ)=е. Пусть е'— произвольное число, большее е, и хе А. Существуют Xi, х2 е дА и ае[0, 1] такие, что х = ах1-р +(1 — а)х2, так как пересечением множества А с любой прямой, проходящей через х, является замкнутый отрезок, крайние точки которого (например, хъ х2) принадлежат дА. Пусть точки Ух, у2едВ — такие, что х,— yi<_e для i=l,2. Тогда, полагая у = а.у1-Ц \ — а)у2, имеем уеВ и
U — y^a-Ui-iJi +(1—«) х2 — у2 <е'.
Таким образом, A cl Ве'. Аналогично доказывается, что В cl Ае'. Поскольку эти включения справедливы для всех s' >8, имеем
А (А, В)^А(М, дВ). (2.69)
Для доказательства противоположного неравенства предположим, что t>A(A, В) и q — произвольное положительное число Пусть хедА и {г: (I, z) — c} есть опорная гиперплоскость для А в точке х. Тогда полупространство Н = {г: (/, г)^с-Р е} содержит АЕ. Если zeA и / -г <е, то
</, г'> = </, г) + (/, г' —г)^</, г)-Ц1г'— г|^с + г.
Следовательно, Н ld Ае ld В. Шар В (х: г -р q) имеет непустое пересечение с Rb\H, так как точка х+(« + ч/2)/ шара удовлетворяет соотношению
(/, х-К*" + *|/2)/‘= (/, х) + (е + q/2) = с-ре-pq/2
и поэтому принадлежит дополнению к Н. Отсюда вытекает, что пересекаются и множества В (х : 8 -Р т|) и Rk\B. Но тогда B(x:e+q) обязательно имеет непустое пересечение с В, так как А с Вв и хе А. Отсюда вытекает.
Что В(х:е + т]) и дВ пересекаются; поэтому (дВ)®4 дэ дЛ. Аналогично доказывается, что (М)61 =) дВ. Следовательно, А(дА, дв)^е + 1] для любого е>А(А, В) и произвольного положительного тр Итак.
А(дА, дВ)^ А (Я, В).(2.70)
Объединяя (2.69) и (2.70), получаем (2.68). ▲
Теорема 2.11. Пуешь й — класс всех из меримых по Борелю выпуклых подмножеств в R"' и Q — произвольная вероятностная мера на Ra. Класс г6 является Q-равномерным классом, если и только если он Q-непрерывный класс, т. е. если и только если
Q(dC^ = 0 для всех Се^.(2.71)
Доказательство. Если ^ есть Q-равномерный класс, из соотношения (2.41) в следствии 2.6 вытекает, что й является Q-непрерывным классом. Обратно, предположим, что имеет место (2.71). Поскольку (2.41) дает характеризацию Q-равномерности в терминах границ и 5С = д(С1(С)) для любого выпуклого множества (заметим, что Cl (С) = Ini (С) [J дС и сС имеет пустую внутренность для выпуклого множества С], получаем, что С есть Q-равномерный класс, если и только если й = [Cl (С): Се^;. При фиксированном г)>0 выберем г так, что
№: !х,>г()<ту2.(2.72)
Положим
й, = {С: Сей, СсС1(В(0:г))}.
По известной теореме Бляшке *) ^г есть компакт в хаусдорфовой метрике А, определенной равенством (2.62). Из леммы 2.10 вытекает, что компактность г6, эквивалентна компактности {дС: С е йг}. В силу леммы 2.9 и предположения (2.71) справедливо равенство
limsup{Q((dC)e): Се^ = 0.(2.73)
ejO
По следствию 2.6 Й, является Q-равномерным классом. Пусть {Q„} — последовательность вероятностных мер, слабо
сходящаяся к Q. Тогда
Tim (sup {| Q„ (С) - Q (С) |; С е Я)
<Th^(sup{|Q„(Q-Q(C)|: Се^ДН
+ lim(?„({x: ,|xil>r}) + Q({x: ,х||>г}) =
= 2Q({x: Сх^НХт). (2.74)
Заметим, что последнее равенство вытекает из Q-непре- рывности множества {х: ||х >г}. Это множество Q-непрерывно, так как таковым является его дополнение [для произвольной вероятностной меры Q и положительного т) всегда найдется г, при котором {х: 1'х|>г} есть Q-непре- рывное множество и справедливо неравенство (2.72)]. Поскольку rj — произвольное положительное число, из (2.74) вытекает Q-равномерность класса ё”. Следовательно, ^ также является Q-равномерным классом. ▲
Замечание. Из предыдущей георемы вытекает, что если мера Q абсолютно непрерывна относительно меры Лебега на Rk, то $ является Q-равномерным классом. В частности, имеем Ф-равномер- ность класса ^, где Ф — стандартное нормальное распределение на R*. Последнее утверждение будет уточнено в следующем параграфе.
Из доказательства теоремы 2.11 легко видеть, что класс ^ в ее формулировке можно заменить на любой класс д^ измеримых по Борелю выпуклых множеств, обладающий тем свойством, что множество
е^, = {С1 (Д) ПС1 (В (0 : г)): Ае^1
при исех положительных г компактно в метрике Хаусдорфа. В частности, положив
О7^= {(—со Xj]x(—со, х2]х...Х(—со, xft]: х=(ххxt)e^l, получим результат Полна: пусть Р—вероятностная мера на Rk. функция распределения F которой, определяемая равенством
F^ = P ((— со, xj х... X (— со. х^]) [х = (хг xft) е R^, (2.75) непрерывна на Rk. Если последовательность вероятностных мер {Р„}. имеющих функции распределения {Fn}, сходится слабо к Р. то
sup {I F„(x) —F(x) I: хе/^0(2.76)
при п-*со, Левую часть соотношения (2.76) иногда называют расстоянием Колмогорова между Рп и Р. Обратный результат также справедлив: если имеет место (2.76), то (Рп) сходится слабо к Р. Действительно, если (Р„) сходится к F во всех точках непрерывности функции F. то {РП} сходится слабо к Р*).
§ 3. Неравенства для интеграловпо слоям выпуклых множеств
Нетрудно проверить, что если множество С выпукло, то выпуклыми являются Int (С) и Cl (С). Выпуклая оболочка с (В) подмножества В в Rk — это пересечение всех выпуклых множеств, содержащих В. Ясно, что множество с (в) выпукло. Если С есть замкнутое и ограниченное выпуклое подмножество в Rk, то оно является выпуклой оболочкой своей границы, т. е. с (дС) = С. Легко видеть, что c(dC)cC. С другой стороны, если хе С, х ^ дС, то всякая прямая, проходящая через х, пересекает дС в двух точках и х есть выпуклая комбинация двух этих точек. Таким образом, с(дС) = С. Если множество С выпукло и е> 0, то Се выпукло и открыто и С-е выпукло и замкнуто. Сформулируем основную теорему этого параграфа.
Теорема 3.1. Пусть g — неотрицательная дифференцируемая функция на [0, ос) такая, что
b = $’|g,(/)|/»-!(«< оо, о
limg(/) = 0.
Rk и нера-(3.1)(3.2)Rk и нера-(3.1)(3.2)Тогда для каждого выпуклого подмножества С в любой пары полозки тельных чисел е, р справедливо венство
Rk и нера-
(3.1)
(3.2)
Rk и нера-
(3.1)
(3.2)
$ g(|x )dx^baft(e + p), СЕ\С-Р
где
knk№ 2nk'a
ak- ГЦкД-^т - Г(6/2)
есть плои^адь поверхности единичной сферы в Rk. Следствие 3.2. Пусть s^O, 6>1 и
/(x) = (2n)_ft/2 jx|if ехр {— ,х||2/2} (хе RkY
Тогда для всех выпуклых подмножеств С в Rk и произ вольной пары положительных чисел е, р справедливо неравенство
У Kx^x^s-xmk^h-1)£1^±^!2а_(е+р). (3.3)
СЕ\С-Р
Доказательство. В качестве функции g(t) (в теореме 3.1) возьмем
g (/) = ^л)-*72^ ехр {—£2/2),/е[0, оо).
Тогда
g' (0 = (2л)-672 (s/^1 - ^+1) exp {— Р/^,
b (2л)-*72 (s^-2 + tb^ exp {— /2/2} dt = о
= (2л)~6/2 (s ■ 2(6+$-3,/2Г ((& + $- l)/2) +
+ 2'* ^-* ,/2Г ((/? + s + 1 )/2) =
= (2л)-*722(*+*-3>72 (2s + к - 1) Г ((k + s— 1 )/2) =
= 2^-3’72 (2s + к - 1) л-б72Г ((/г + s - 1 )/2), (3.4)
что при подстановке в (3.1) дает (3.3). а
Остальная часть этого параграфа посвящена получению результатов, необходимых для доказательства теоремы 3.1.
При к—\ множество СЕ\С-е принадлежит объединению двух непересекающихся интервалов, каждый из которых имеет длину к + р. Поэтому
5g(i-t;)dx^2(E + p)^supog(x)^
^ 2 (8 + Р) $ I g' (О dt = 2 (8 + р) b = Ьаг (8 + р).(3.5)
При k> 1 необходимы более сложные рассуждения Всюду ниже предполагается, что k> 1. Многогранником назы вается замкнутое ограниченное выпуклое множество с не пустой внутренностью, являющееся пересечением конечного числа замкнутых полупространств. Если Р — многогранник, то грань Р — это множество вида Hf\dP, где Н есть гиперплоскость такая, что Н Р\дР имеет непустую внутренность в Н.
Лемма 3.3. Предположим, что многогранник Р задан равенством
Р = \х*. {uh x^^dj, 1^/^m},(3.6)
где и, —различные единичные векторы. Пусть
L, = \x. хеР, i^Uj, ху = -А6\ {\^}-^т).(3.7)
Тогда дР = U L, Если ! — грань многогранника Р, то F = L, при некотором / Кроме того,
Р= {х: ,uf, х ^ dj
при всех I, для которых Lj есть грань Р\.(3.8)
Доказательство. Первое утверждение очевидно. Если F = H(\dP = 0(ДП^/) есть грань Р, то Н = = {х: (и}, x') = dj\ = Hj, например, в точности для одного /, так как пересечение Н с произвольной гиперплоскостью, отличной от Н, имеет пустую внутренность в Н. Это доказывает второе утверждение. Для доказательства третьего заметим, что Lj = HjV\dP. Ясно, что внутренностью Lj в Hj является множество
{х: (ur, x)<dr для r^j, (и,, x) = d^, так что если Lf не есть грань Р, то Lj с (J Дг. Отсюда вытекает, что дР cz dQ, где Q определяется равенством Q=\x; (и,, x^^dj
при всех /, для которых Lj есть грань Р}.
Ясно, что Р cz Q. Достаточно показать, что из включения dP adQ вытекает равенство P = Q. Пусть Xj е Int (Р). Предположим, что найдется х2 е dQ\dP. Рассмотрим отрезок [хъ х2], соединяющий Xj и х2. Этот отрезок пересекает dP, например, в точке х3. Легко видеть, что [xn х2) cz Int (Q) и х3=^х2; поэтому х3 е Int (Q) f] dP, что противоречит включению дР cz dQ. а
Лемма 3.4. Многогранник Р имеет конечное число граней. Если Ft, .... Fm —грани Р, то дР= (JP/. Далее, найдутся единственные единичные векторы Uj и постоянные dj, для которых F, = {х: хеР, (Uj, x) = dz} и Ра а {х: (аг, x)^djV Кроме того, Р представимо в виде
Р = {х: (пм x^^dj, \^j^m\.(3.9)
Доказательство. Эту лемму нетрудно получить из леммы 3.3. Отметим, что представление (3.9) единственно с точностью до переобозначения единичных векторов и, и соответствующих постоянных d(. а
Замечание. Многогранник есть выпуклая . бо ючка конечного числа точек. Действительно, поскольку каждая грань много-
гранника лежит в аффинном пространстве меньшей размерности, это утверждение доказывается индукцией по к. Обратно, известно, что выпуклую оболочку конечного множества точек можно представит в виде пересечения конечного числа замкнутых полупространств.)
В доказательстве теоремы 3.1 выделяются два основных этапа. На первом этапе (лемма 3.9) интеграл по поверхности многогранника выражается через производную интегралов по многогранникам. На втором этапе (лемма 3.10) доказывается равномерная оценка для поверхностного интеграла от фиксированной функции по границе произвольного многогранника. Идеи, здесь используемые, естественно заимствованы из теории поверхностных интегралов и площадей поверхностей. В следующих абзацах будут получены результаты, необходимые для доказательств. Все они полностью доказаны, за исключением формулы Коши, которая приводится без доказательств.
Начнем с некоторых обозначений. Пусть Хь обозначает меру Лебега Rk, т. е. если уи ..., yh есть произвольный ортонормированный базис и Л — куб в этом базисе или A = \vtiyj-. a.^ti^bi при всех /}, то 1*(Л) = = (bi — aV) ... ^Ьь — ahY Будем называть 1* также А-мер- ной мерой Лебега на Rk. На каждой гиперплоскости в Rk существует {k— 1)-мерная мера Лебега. Обозначим эту меру через Xfe-i и назовем ее (А — 1)-мерной мерой Лебега. Например, если Н — гиперплоскость, то ее можно представить в виде /7 = х0 + ^У1 + ... + ^У/г-1, где х0, Уъ ... .... Уь-геН и у^, .... у^ — это (k — 1) ортонормирован- ных векторов в Rk. Если / есть функция с компактным носителем в Rk, то
/ ^*-1= ^ / (*о + 11У1 + • • • + thiyh-i) dh ... dth-v (3.10) н
Далее, aft_T обозначает площадь поверхности единичной сферы Sfe-p Используя эйлеровы углы для параметризации точек сферы S^, можно выписать точную формулу для Gh-i- А именно, o^-i (S^i) = «*, где ак определяется в (3.2).
Пусть Р — многогранник с гранями Ft (X^i^m). Тогда площадь поверхности Р определяется равенством
т
£Хи(Еа.(3.11)
1=1
Для ограниченной измеримой по Борелю функции / на Rfc введем поверхностный интеграл от функции f по дР по формуле
J/dV^V^j^,(3.12)
api=i р.
и если А есть борелевское подмножество дР, то плацадь поверхности А определяется равенством
V1M)= ^^(ДПЛ).(3.13)
Замечание. Предположим, что многогранник Р задан в виде Р = {х: (и,, x^^dj, 1^/^m). Тогда
J tdkh_x= J] j fdkb_t,(3.14)
dPt^i ^ m L^
где Lj=\x-. xeP, (tu, x'> = dj\. Равенство (3.R) справедливо потому, что Х^-1(1/) = 0, если L, ие является гранью Р.
Формула "Коши. Пусть С — многогранник. Для каждого единичного вектора ие Рк через X6-i(С: и) обозначим Хк-гмеру ортогональной проекции С на гиперплоскость {х: (и, х) = 0}. Тогда
^(дСу^^ $ Xk-^C-.u^o^du),(3.15)
Sfc-i
где pfc-1 = aft-1/(&— 1) есть объем (мера Дебега в R6-1) единичного шара в R11-1.
Следствие 1. Пусть Р и Q — многогранники такие, что Р eQ. Тогда
K-i(dP)^k-i(dQ).(3.16)
Доказательство. Неравенство вытекает из формулы Коши, если заметить, что Xb_1(P:u)^Xk-i(Q:u) для любого и. ▲
Следствие 2. Если Р — многогранник и Р аг В (0:/), то
Кк-АдР^а^-1.(3.17)
Доказательство. Проекция шара В (0: t) на гиперплоскость \у. (и, z/) = 0} также является шаром радиуса t в этой гиперплоскости, поэтому Xk-i(B(0: f): и) = = ^-1₽л-1- Оценка (3.17) теперь вытекает из формулы Коши. ▲
Эти два следствия из формулы Коши существенно используются при доказательстве леммы 3.10.
Пусть многогранник Р задается в виде
Р = {х: (uh x)^d,, \^j^m\,(3 18)
где единичные векторы ну предполагаются различными. Всюду ниже пользуемся представлением (3.18). Для каждого действительного а определим выпуклое множество Ро по формуле
Ра = \х- (иь x)^d,4-a, \^j^m\.(3.19)
Тогда Ра имеет непустую внутренность при а^О, так как Р с Ра при о^О. На самом деле существует оп<0, при котором Р„ имеет непустую внутренность тогда и только тогда, когда я>Оп. Итак, множество Ро есть многогранник при й>а0, если показать, что оно ограничено. Более точный результат дает следующая
Лемма 3.5. Пусть xoe!nt(P) и PcS(хп:р0). Тогда Раа В^хс^ для о 3=0, где c—\-\-atd, d = min{d/ — — <u.j, х0>! l^j^mV
Доказательство. Используем понятие калибровочной функции (или носителя) выпуклого множества. Пусть С—замкнутое выпуклое множество с непустой внутренностью, и пусть х0 е Int (С). Тогда
Fc(x) = inf {а: а>0, хо + (х — х0)/а е С}
называется калибровочной функцией множества С относительно точки х0. Легко видеть, что если х0 есть внутренняя точка каждого из двух замкнутых выпуклых множеств Съ С2, то Сг с С2 тогда и только тогда, когда Fct (х) $5 Fct (я) при всех х, где обе калибровочные функции определены относительно х0.
Возвращаясь к Р и определяя РР относительно х0, после несложных вычислений получим (так как хь + + (х — х0)/а е дР, если а = РР(х)), что
FP (х) = max
l< i <т
<Uj, Х — Хр)
<Д—<иь ^> ’
(a^O).(a^O).
(a^O).
(a^O).
Fp (х) = max
<Ub X — Хр)
d/ + a—<Н/, ^>
Легко видеть, что Fp^ (х) 51 cxFP^ при всех х, где
d/—(ил *о>
калибровочная функция множества О (В (х0 : Ро)) относительно х0, имеет вид *х — xolVpo; поэтому из включения Р с В (х0 : ро) вытекает, что FP (х) ^ Ц х — х0 Г/Ро- Таким образом, В₽о (х) ^ Ci || х — хо||/ро, откуда следует, что Ра^ <= В (х0: Po/Ci). Далее,
d/J-G—(и/, Хо>
Ci * = max 3;; =
= max < 1 -)K/^m I= max < 1 -)K/^m Idj— <Uj, x0)dj— <Uj, x0)
= max < 1 -)K/^m I
= max < 1 -)K/^m I
dj— <Uj, x0)
dj— <Uj, x0)
Лемма 3.6. Пусть P — многогранник, определяемый соотношением (3.18), и множество Ра определено равенством (3.19) при всех aeR1. Тогда
Рат)Рп, если а>0, РаеРа, если а<0.
Доказательство. Предположим, что а>0 и хе еР". Тогда найдется точка уеР такая, что |х— z/|j< <а Поэтому
(и/, х> = (нл у + ub x-y)^di + {Uj, х-у)^
^df + Uj 'X-y^df + a (l^j^m).
следовательно, x г Po. Если a =—6<0, xePa и \y-x.<b, to
<uh y) = {uh x) + (u}, y-x)^
^dj + a + ly-x^dj<\^j^mY
Таким образом, yeP. Поэтому xeP“ = P'b. ▲
Лемма 3.7. Пусть и —единичный вектор в Rk и А = = В(х0:р)П {х: а^(с, х)^« + /г| при некоторых р>0, Л^:0, aeR1- Тогда
л(»- D/2л(»- D/2KW^h Г(^+1)/2) Р* 1KW^h Г(^+1)/2) Р* 1(3-21)(3-21)
л(»- D/2
л(»- D/2
KW^h Г(^+1)/2) Р* 1
KW^h Г(^+1)/2) Р* 1
(3-21)
(3-21)
Док азательство. Выберем ортонормированный базис Vi, ..., vh в Рк, где Ci = и. Пусть U обозначает ортогональное преобразование, переводящее о, в еь 1 ^ i ^ 6, где (cj, ..., ек) есть стандартный евклидов базис.
44 гл. 1. СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР
Тогда
UA = B^6: р)П{х=(хъ .... XkY a^x^a+h}^6 = Uxti\
X» И) = Xb (UA) кХк_г ({и е R1^: " ы । ^ р[) =
л(6- D/2
= h —о6-1 ▲
Г ((fe+D/2) р А
Лемма 3.8. Пусть с^, o^-dea линейно независимых единичных вектора, Н^д и с^, a^eR1. Предположим, что
А = В(у0: р) Г1 {х: az^(y,-, х)^а,Ц-А для 4=1, 2}. Тогда
Xft М) ^"Е~
’Г(к12Ц\-<У1, «^
Доказательство. Выберем ортонормированные векторы ри рй, ..., рк так, что Р1 = иъ
Р2 = (1-(У1, ^Т'^-С^, U1>U1 + V2).
Полагая yt = (j)i, х), \^1^к, имеем
Хк (Л) = Хк (В (у'о: р) П \у = (t/i, .., УкУ «.у^ух^ау^Н, ^з^УУх + 6f/a ^“2 +А}),(3.22)
где yi = (t/oi, .... Уок) есть образ вектора у0 при отображении х= (хъ ..., х^)—>«р, х)(рк, х)) = (уъ ...,ук) = = у. Таким образом,
Хк (А) ^Хк({ y = (yiук):
(Уз — Уоз)2 4- . . • + (Ук — Уок)1 =е Р2,«! ^ ух ^ «! + А,
6'1 («2 — ТУ1) ^ Уз ^ 6-1 («2 + h — Yt/!)}) =.
„(к—2)/2
= 6-^^ ({u е Rk-4 iu II ^ р}) = 6-W ^^Г Pft-2. ▲
Лемма 3.9. Пусть f — непрерывная функция на Rk, и положим
М(а)= J f (х) dx (ае R1),(3.23)
Ра
еде Р — многогранник, определяемый соотношением (3.18), и множество Ра определено равенством (3.19). Тогда функ«
ция М непрерывно дифференцируема на R1 и ее производная задается формулой
М'(а) = $ fd^ (aeR1).(3.24)
Доказательство. Поскольку Ра при каждом а есть ограниченное множество, предположим (не теряя общности), что функция f ограничена на Rk. Всюду ниже считаем, что
O^/i^l.(3.25)
Если существуют и(„ и,„ где 1 ^/1, к^т, такие, что “/. + “/, = 0, то, для того чтобы множество Р не было пустым или имело пустую внутренность (что имеет место, когда dj, + dj, = 0), предполагаем, что
d/,4-d„>0.(3.26)
Аналогично, если сумма d/14-a4-d,,4-a отрицательна, то множество Po+h пусто при достаточно малых h и функция М тождественно равна нулю, скажем, на (—оо, a+h0\ Таким образом, равенство (3.24) очевидно, поскольку обе его части тождественно равны нулю. Следовательно, предположим, что
а^-^/2,(3.27)
где
Р = min (dh + df,: Uj, 4- uf, = 0,1 ^ к. к ^ mh (3.28)
если существуют к* к такие, что и,, 4- и,, = 0 и р = оо в противном случае.
Пусть b — произвольное положительное число. По лемме 3.5 найдется положительное число clt при котором
РасВ(0:сг) при всех а ^ b 4-1.(3.29)
Из определения Ро вытекает, что
Pa+AXP^UQ/iк»(3‘30)
где объединение берется по всем г, l^r^m, и при фиксированном г по всем r-кратным наборам индексов (А, •••> к) таким, что 1 ^/1 </«<...</,^т и
Qi./г = {*: <“/. *>} <4 4- а при всех/^'{/1. -..,/,}и dj-Va«,Uj, x)<dy4-a4-/i для /g{/i/,}}. (3,31)
Тогда
М (a-\-h) —М (а) =$ fdx^V $ fdx, (3.32)
РП+к\РО<>'"1'г
где сумма берется по всем наборам из г чисел (/i,..., /г) (l^r^m), описанным выше. Положим
Li (а) = Vх" х^Р.м Ui, ^) = 4+а}.(3.33)
Докажем следующие неравенства:
"Lh^^j^^^h2, если /"5=2,(3.34)
и
J / (х) dx — h J f dL^ I ^ c3h? + c4V (/i) /i (1 ^ i ^ m),
Q{Lj(a)|
(3.35)
где c2. сэ есть постоянные, зависящие только от к, Р и Ь, и
V (Л) = sup {|/(х) — /(х')|: х, х'еВ^:^),
<х — x'i^h}.(3.36)
Для доказательства (3.34) заметим, что если два каких- либо вектора из семейства и^, .... и, линейно независимы, то (3.34) вытекает из леммы 3.8 и (3.29). Остается рассмотреть случай, когда г = 2 и и;, + Uj, = 0. В этом случае
Qlu ,, с {х: тах[—dy — a — h, dj, + a]^(u!t, х)
s^minf—dy — a, d/. + a + Ji]}.
Таким образом, Х6 (Qy, !г) = 0, если не выполнено соотношение
d}, + и < — dj, — а, или a<Z — ^ (dy + dj,). (3.37)
Но в силу (3.27) неравенства (3.37) невозможны. Итак, (3.34) доказано. Определим теперь
ац = <иь uj), Yi/ = (l-a?/),/2,
у = min \^у : ^у ^= 0, 1 ^ I, / ^ т},(3.38)
О,— max {i ay |: 1 ^ i, / ^ т}.
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ47
Если Ui; + Uj = 0, т. е. если у./= О, то согласно (3.27) имеем {х: (и,, х > d;4-a} = (х: (и,, х)< — d, — a} cz
с {х: xUj, х) sc df + а},
поэтому можем записать
Qt = (х: (и/, x)^d, +a при всех / таких, что Ту^О, di + a< и,, х) ^di + a + h}.(3.39)
L, (а) = (х: <Uj, х) ^
^d,+a при всех /" таких, что у^-^О,
(ut, х) - di + а( (1 ^ i ^ /и).
Зафиксируем целое i. Пусть иь .... ик — ортонормирован- ный базис такой, что th = и,. Отображение х = (хь ..., хА) ->у = (ух, •••• У^» задаваемое равенством yj = (Vj, х) (1^/^&), позволяет записать x = yxvx-\-y‘, где у* = к
= ^ У;уг При i^i предположим, что и, есгь единич- / = 2
ный вектор, определяемый соотношением
и, = (и,, Uj) Ui + (1 - (и#, и.уу'2 и, = a„-th + ^иь
Тогда, поскольку u'j и uf ортогональны, имеем (и,, х) = ацух-\-уц~.и), у').
В новых координатах множества Qi, Li(a) запишутся соответственно в виде Qi, Lx (а), где
Q: = \y = k,yiУкУ- <и. У>^с/—
при всех / таких, что у^-^О, и d. + aCp^ ^dz + a + ftj,(3.40)
Li(a) = l(di + a, у2, .... ук): (и), y')^Cj для всех / таких, что Y/z^O}, где
Ci = (d, + а — a,, (di + а))/у„-.
Через Qj (ух) обозначим ^-сечение множества Q,. Заметим,
ЧТО
\f(x)dx =$ dyx J f<lhvxA- y')dy2...dyk,
(3-41)(3-41)Q,di+a Q;^
(3-41)
(3-41)
J fdKb_1 = J f((di + a)y1 + y,)dy1...dyfe. L (a)Q; (df + a)
Поскольку Qt(yi) есть сечение Qb т. e. образ (при ортогональном отображении) множества Qi с Pa+h с с В (0 : ct), получаем, что
S 7(f/if 1 + У')- f ^i + а) Уг +1/')\dye...dy„^ W
< V (h) X^ (Qi (У1)) < cbV (A),(3.42)
скажем, при всех уъ удовлетворяющих неравенствам di + а ^ у^ =g d, + а+h. Далее, симметрическая разность Qi (у^ &Qt (di 4- а) принадлежит объединению
U {(Уа, ... УкУ |(Уа, .... №)Ц^С1}П
П{(№. .... УкУ W;, у'^-сЛ^а^Н^лУ
Из леммы 3.7 вытекает, что Хк-1 (^ (у,) kQi (di + а)) ^ Ceh при соответствующей постоянной св и поэтому
$ fCuiyi+y^dye-.-dyn —
^Ceiffh.^Ceiffh.(3.43)(3.43)5i(Vi)
^Ceiffh.
^Ceiffh.
(3.43)
(3.43)
—$ f(Viyi + y')dy2...dyft
Qi(di+°)
Неравенство (3.35) теперь следует из (3.41), (3.42) и (3.43). Таким образом, имеем
M(a + h)-M(a)-h \ fdL^ ^с,([П + l)h^ + ceV (h)h. 8Ра
Поскольку V(h)->0 при h->0, соотношение (3.24) доказано. Непрерывность производной М' (а) вытекает из непрерывности функции a-*- J fdkk l, что в свою очередь
является непосредственным следствием неравенств (3.42) и (3.43). ▲
Лемма 3.10. Пусть g — дифференцируемая функция на [0, со) такая, что
limg(A = 0, Ъ = $ |g' (t) | Р-1 dt <co. (3.44) <->coо
Тогда для любого многогранника Р справедливо неравенство
5 g G х I) dX^ ^ak-b.(3.45)
dP
Доказательство. Определим функцию F на [0, co) равенством
F(0 = Vi(dPACl(B(O:0)).(3.46)
Тогда F есть функция распределения меры Хк^ -h-1, индуцированной на [0, со) отображением x-Jx", определенным на границе дР (на которой введена мера Хк „ являющаяся площадью поверхности). Заметим, что
Р(0) = 0,
F (1) = Хк_г(дР)(347)
при достаточно больших t. Производя замену переменных и интегрируя по частям ), из (3.47) получаем
\g (II х ||) X^i (dx) = \g(t) Xki • h1 (di) = аро
= \gWdF(f) = 0
= lim (F (t)g(t)) — F(0)g (0) -\gl (0 F (t) dt - <-c°0
(3.48) о
Фиксируем />0. Пусть Q — многогранник такой, что Q с Cl (В (0: t)). Тогда QA^P cd(PAQ). Поскольку P A Q есть многогранник и Хк_г является мерой на границе многогранника, справедливо неравенство X^i (Q А 5Р) =^ $5 Xk-! (д (Р A Q))- С другой стороны, из (3.16) вытекает, что Xfc-i (д (Р A Q)) ^ Хк-!. (dQ). Таким образом, в силу (3.17)
имеем Хк_! (Qf] дР) ^Хк ! (dQ) <.a-htk R Выберем счетное всюду плотное подмножество {хь х2, ...} в 56(0:/) и обозначим через Q„ выпуклую оболочку точек хь .... х„. Тогда Qn | Cl (6 (0 : /)) и из (3.49) имеем
F (0 = lim Х^ (дР П Q„) a„tkl (3.50)
Подставляя это неравенство в (3.48), получаем утверждение леммы. ▲
Теперь все готово для доказательства теоремы 3.1.
Доказательство теоремы 3.1. Сначала предположим, что множество С ограничено, Int(C)#=^' При фиксированном 6>0 выберем хи .... хпедС так, чтобы дС с {х,х„}6. Пусть В —выпуклая оболочка множе
ства {х1т .... хл}. Взяв 6 меньше, чем радиус шара, лежащего в С, мы тем самым обеспечим существование непустой внутренности у Р. Далее, легко видеть, что РсСсР6, поэтому С^сР"6 По лемме 3.6 имеем (Ро)р с Рп+р при всех р>0 и о е Rv Таким образом, (Р р)р с Р сС, или Р р с С ", так что Се х С р с с (Р6)е\ В р с Ре+в\ Р р (Р>0), и по лемме 3.9 получаем
5 g(kli)^^ $ g(kf)dx=
Се\С-»Ре+6^Р-р
= Va\ я(1^1)Vi(dx) (p>0).
-P dPQ
Из леммы 3.10 следует, что
$ Я (il х fl) cfx (е J-+ р) бос*. (3.51) се ^ с-р
В силу произвольности выбора 6 доказательство в рассматриваемом случае завершено. Если С ограничено и 1п1(С) = 0, то С~р = 0 при р>0 и для всех 6>0 имеем
$ ^(ЦхЦ) Jx= J g("x||) Jx^ t S(kll)dx =
СВ\С-рсе(Г6)е
=55(||хЦ)5х^(Е + 6)5а6,(3.52)
(с6)е\(с6)-6
так как С6 имеет непустую внутренность. В силу произвольности выбора 6 неравенство (3.1) доказано для всех
ограниченных выпуклых множеств. Если С неограничен», то рассмотрим Сг = С П В (0 : г) и устремим г к бесконечности. Поскольку С7Р | С~Р и С? ] С8 при г f оо и правая часть неравенства (3.1) не зависит от конкретного вида выпуклого множества, доказательство завершено, к
ПРИМЕЧАНИЯ
Подробное изложение теории слабой сходимости вероятностных мер можно найти в книгах Биллингсли II] и Партаса- рати [1].
Систематическое изучение классов равномерности было инициировано Рао [3], который, в частности, доказал следствие 2.7 и теорему 2.11. Дальнейшее развитие и завершение эта теория получила в работе Биллингсли и Топсё [1], где доказаны основная теорема 2.4, следствие 2.6, леммы 2.2, 2.3, 2.9, 2.10 и дан пример, приведенный после следствия 2.8. Эти две статьи содержат также многие результаты и их применения, которые здесь не помешены. Одним важным применением данной теории является обобщение и усиление классической теоремы Гливенко— Кантелли. Об этом см. у Рао (3) и Топсё [1]. Шеффе |1| была доказана полезная лемма 2.1. Ограниченное расстояние Липшица изучалось Дадли [1], и следствие 2.8 принадлежит ему. Теорема 2.5, которая является удобным вариантом теоремы 2.4, доказана Бхаттачарией [3].
Рао [1] первым доказал существование постоянной с (А), зависящей только от к, такой, что Ф ((6С)В) ^ с (*) е для всех выпуклых подмножеств С в Rk. Оценка, приведенная в теореме 3.1, по существу принадлежит фон Бару [3]. Легко проверить, что при к=\ и невозрастающей функции g [на [0, со)] эта оценка неулуч- шаема. Доказательство, приведенное здесь является, видимо, первым подробным формальным выводом этой оценки. Другие новые результаты (в частности, лемма 3.9) представляют некоторый независимый интерес.
ГЛАВА 2
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И РАЗЛОЖЕНИЯХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
В этой книге будет широко использоваться преобразование Фурье и его обобщение — преобразование Фурье — Стилтьеса. В вероятностной литературе преобразование Фурье — Стилтьеса вероятностной меры на R6 больше известно под названием характеристической функции соответствующей меры. В §§ 4 и 5 приведены некоторые основные свойства этих преобразований. В § 6 введены понятия моментов и кумулянтов вероятностных мер на Rh и содержится несколько неравенств, касающихся этих понятий. В § 7 изучаются многочлены Крамера — Эджеворта, соответствующие некоторому множеству кумулянтов. Основными результатами главы 2 являются асимптотические разложения (производных) характеристических функций нормированных сумм независимых случайных векторов. Эти разложения, в терминах многочленов Крамера—Эджеворта, подробно исследованы в §§ 8 и 9. В § 10 введены некоторые классы вероятностных мер, которые используются как сглаживающие ядра в главах 3 и 4.
Преобразование Фурье
В этом параграфе приводятся без доказательств некоторые стандартные результаты о преобразованиях Фурье.
Пусть Lp (Rk), 1 ^ р < оо, обозначает банахово пространство классов эквивалентности комплекснозначных измеримых по Лебегу функций / на Rk, удовлетворяющих неравенству §lflpdx<Zоо, с нормой
1/1=Ш^Л’ ИО
где \gdx обозначает интеграл от функции g по Rfe относительно меры Лебега на Rh. Как обычно, две функции / и g на Rk называются эквивалентными, если они эквивалентны почти всюду относительно меры Лебега. Пространство I? (Rk) является гильбертовым пространством со скалярным произведением (■, ■ )2:
<Л g\ = \fgdx.(4.2)
Здесь g обозначает функцию, комплексно сопряженную к g. Для неотрицательных целочисленных векторов а = = (а!, ..., аД т. е. векторов с целочисленными неотрицательными координатами, положим
ха = х^...х“» [х = (хь .... Х6)е/?6],
О, = ^. D^D^-.D^(4.3)
[ItiS/^A, « = («!, .... cq)e(Z-)*1
и будем говорить, что О“/ есть производная порядка a функции f. Для каждой комплекснозначной функции f на Rfe определим также функцию f равенством
f(x) = /(—х) (хеЩ(4.4)
Функция называется симметричной, если f = f.
Для f е L1 (Rk) преобразование Фурье f функции / — это комплекснозначная функция на Rk, определяемая соотношением
fW = \ е‘ «■ *>/ (х) dx (t е RhY (4.5)
где (-, -) есть обычное скалярное произведение в (?:
к
<Л -0 = 2 lA P = (G» -•. 4), * = (Xi, .... х^еС*] /=|
(4-6) (где с — комплексно сопряженное к комплексному числу с), порождающее норму | -1:
/ *Х1^
14= 2 Wi1 (^(?).(4.7)
Здесь с "' = сс для комплексных чисел с. Иногда будет использоваться другая норма | -1 в С*:
И = £ |xz| (хеС*).(4.8)
/=|
Теорема 4.1. Пусть f е L1 (Rk).
П реобразование f равномерно непрерывно на Rk.
|/ (О I ^|Л1 при всех t<=Rk.
(Лемма Римана — Лебега.) / (/) ->-0 при |/[->оо.
(Теорема Фурье об обращении.) Если (класс эквивалентности) ieR (Rk), то по f можно восстановить (непрерывную) функцию f по формуле
f (х) = (2л) 6 § е~ ‘ У- *> / (t) d/ (х е Rk).
Таким образом,
f = (2^f, f=(2n)~kl
Пусть « = («!, .... ah) есть неотрицательный целочисленный вектор. Определим g равенством
g(x)=x»f(x)(x^Rk).
Если gel1 (Rk), то Daf существует и
g = (—i)'a D4.
Если f е L1 (Rk) A L2 (Rk), mof^L2 (Rk) и
Из последнего утверждения (6) вытекает, что отображение f—>(2л) */2Д рассматриваемое как отображение подмножества L1 (Rk) A L2 (Rk) пространства L2 (Rk) в L2 (Rk), является изометрией. Поскольку l?(Rk) A L2(Rk) есть всюду плотное подмножество в L2(Rk), отмеченную выше изометрию можно продолжить на все пространство L2(Rk) и, таким образом, продолженное / называется также преобразованием Фурье функции f [е L2 (7?6)J. И утверждение следующей теоремы тем самым очевидно.
Теорема 4.2 (теорема Планшереля). Отображение 1т*(2л.)"к/2 f есть линейная изометрия на L2(Rk), и
(J, g/% = (2л) 6 Ф 8)г [A get2 (Rk)].
Для f, eeL1 (Rk) определим (класс эквивалентности) функцию (функций) f*g, называемую сверткой f и g, равенством
U*g')W = \Hx~y'>§^dy (х ^ Rk).(4.9)
Из теоремы Фубини вытекает, что f*g^L1(R11') и
l^li^lHilgb V.?eL4RkW(4.Ю)
Легко видеть что операция свертки коммутативна и ассоциативна. Реккурсивно определяется п-кратная свертка f*n:
1*1=1, F"=pu-n»f [Л>1, feLHR^Y (4.11)
Преобразование Фурье — Стилтьеса
Обобщим теперь понятие преобразования Фурье на множество е< всех конечных обобщенных мер на боре- левском a-поле а®* на R6. Пусть р — конечная обобщенная мера. Определим конечную обобщенную меру р формулой
р(5) = р(—В) (Ве^).(5.1)
Конечная обобщенная мера р называется симметричной, если р = р.
Преобразование Фурье —Стилтьеса р конечной обобщенной меры р —это комплекснозначная функция на Rk, задаваемая равенством
р (/) = J е1'<л ж'р (dx) (/ е Rk, р е о<),(5.2)
где, как обычно, интеграл берется по всему пространству Rk. Если р — вероятностная мера, то р также называется характеристической функцией меры р. Заметим, что если р есть абсолютно непрерывная (конечная обобщенная) мера относительно меры Лебега, имеющая плотность (т. е. производную Радона — Никодима) /, то
(5-3)(5-3)р=/.
(5-3)
(5-3)
Сверткой р * v двух конечных обобщенных мер называется конечная обобщенная мера, определенная соотношением
(p*v)(B) = $p(B —x)v(dx) (Ве^6), (5.4)
56 гл. 2. РАЗЛОЖЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
где для A е Rk, у е Rk сдвиг А + у задается равенством
A + y = {z = u + y:ueA}(55)
Легко видеть, что операция свертки коммутативна и ассоциативна. Определим п-кратную свертку р*я по формуле
p*!=p, р*я = р*1Я~1)*р (п> 1, Цес#). (5.6)
Пусть р — обобщенная мера на Rk. Для произвольного измеримого отображения Т пространства (Rk, Sik, р) в (R$, ^s) индуцированная обобщенная мера р-Т1 определяется равенством
(p.T’)(B) = p(T-i(B))(Ве^).(5.7)
Теорема 5.1.
(Теорема единственности.) Отображение р-»-р взаимно однозначно на о#
Для р е e/ft преобразование р равномерно непрерывно и
|1(0) = р(/?е),||i(0l^^l (t^RkY
Для р, v е е# справедливо равенство
p*v = р • v.
Если у ее#, то р = р, так что мера р симметрична тогда и только тогда, когда преобразование р действительно. Симметризация р*р меры р всегда симметрична, так как
Ц^=| р|*.
Если Т — аффинное отображение Rk в Rs\ Тх = *= а -|- Вх, х е Rk, то
^^T-3(t) = e‘d-^y(B't)(teRs, у ее#),
где В' есть матрица, сопряженная (или транспонированная) с В.
Если р е е# и J | х“ 11 р | (dx) < оо для неотрицательного целочисленного вектора а = (аг, ... , ak), то Day существует и задается равенством
(D^ y)(t) = (i)a \ зС-е1 «• х> р (dx)(t е Rk).
Если р е L? ^Rk), то р абсолютно непрерывна относительно меры Лебега и имеет равномерно непрерывную и ограниченную плотность.
(Равенство Парсеваля.) Пусть р, v — две конечные обобщенные меры на Rk. Тогда
§ р dv = J v dp.
Следующая теорема (принадлежащая Крамеру и Леви) дает полезную характеризацию слабой сходимости вероятностных мер на Rk.
Теорема 5.2. Пусть (G„: п^ 1} есть последовательность вероятностных мер на Rk. Если эта последовательность сходится слабо к вероятностной мере G, то {С„} сходится поточечно к G. Обратно, если {С„| сходится поточечно к непрерывной предельной функции h, то существует вероятностная мера Н такая, что {G„} сходится слабо к Н и Н = h.
Следует отметить, что если {Gn} сходится слабо к G, то {G„} сходится к G не только поточечно, но и равномерно на компактных подмножествах в Rk. Это следует из того, что класс функций {е1^- >: t е К}, где К есть компактное подмножество в Rk, равностепенно непрерывен и равномерно ограничен; таким образом, по следствию 2.7 он является равномерным классом для любой вероятностной меры G.
Моменты, кумулянты и нормальное распределение
Пусть G — вероятностная мера на Rk. Если v = (vb v2,... ... , vt) есть неотрицательный целочисленный вектор такой, что функция | xv| интегрируема относительно G, то определим момент pv порядка v меры G равенством
pv = \xvG(dx). (6.1)
Для каждого неотрицательного действительного числа s введем абсолютный момент р, порядка s меры G по формуле
ps = $ 3 х f G (dx) (s 5а 0). (6.2)
Заметим, что если момент рх конечен при некотором неотрицательном целочисленном векторе v, то по теореме
(6) имеем
г ' pv = (DvG)(O)(6.3)
и, следовательно, получаем разложение Тейлора )
6(0=1+ V ^т^^*) (^-*0).>6.4)
если момент р5 конечен при некотором положительном целом s. Здесь
v! = vjvj ... vfc! [v = (vxvfc)J. (6.5)
Если k = 1, то
ц, = ^6(dx)(/=1, 2, ...).(6.6)
Для произвольного положительного действительного числа х через log х обозначим натуральный логарифм х. Другими словами, функция x-*logx на (0, оо) определяется как обратная к функции
х-> exp (х| = 1 +х + х2/2! + х8/3! + ...
на У?1. Для каждою комплексного числа z = rexp{i6}
(/■>0, —л<6^л), отличного от нуля, положим
logz = logr + ie (г>0, —л <6^ л).(6.7)
Итак, мы всегда выбираем так называемую главную ветвь логарифма. Характеристическая функция G вероятностной меры G на Rk непрерывна и в 0 принимает значение 1. Поэтому в некоторой окрестности нуля имеет место разложение Тейлора
log6(Z)= ^ b^ + o(i№ (^0),(6.8)
V ^s
если момент р5 конечен при некотором положительном целом s. Суммирование здесь происходит по неотрицательным целочисленным векторам v, и (см. следствие 8.3)
i v Xv = (7MogG)(0).i v Xv = (7MogG)(0).(6.9)(6.9)
i v Xv = (7MogG)(0).
i v Xv = (7MogG)(0).
(6.9)
(6.9)
Коэффициент ул называется кумулянтом меры G порядка у. После простых вычислений получим
Хо = О, Xv = Hv, если v| = l.(6.10)
Приведенное ниже формальное равенство дает возможность выразить кумулянт Xv через моменты путем приравнивания коэффициентов при tv в обеих частях равенства:
2 х.^-2(-о"4(2 ^У- <6 >» ' V | 3: 1< = IxVS:1/
Равенство (6.11) получено с помощью разложения
log (1 ф-z) = V (—l)^+i J-z^ (zeC, |z<l).(6.12)
s = l
Например, в одномерном случае
Хг = р2 — Рь Хз = Из — ЗщЦ1 + 2р1,
Х4 = Щ — 4.и3Щ — Зр! + 12р2р? — 6ц*,(6.13)
Xs = Цб — 5ц4Ц! — ЮцяЦг + 20р3и? + ЗОцзц, — 60ц2и’ + 24ць
В общем случае в Rk можем записать
Xv = s С (V!v5;/!, ..., /J ц;>... Ц^,(6.14)
где суммирование происходит по s=l, 2, .... |v| и при каждом s по всем s-кратным неотрицательным целочисленным векторам (vlt ... , v,) и наборам из s неотрицательных целых (/У, .... /J, удовлетворяющих равенству
У kVi = v,(6.15)
I
и c(vlf ..., v5; }ъ .... js) есть постоянная, зависящая только от (vxvj и (/ь ... , js\
Для данной вероятностной меры G на Rk с кумулянтами {xv^ I v | ^ s} определим многочлен x^ (z), где z = (Zi, ... ..., zfc) е Сл, по формуле
^^ = 2 ^v (z^ck's==1*2* --^ (616) V I ='
Отметим, что для t e R6 многочлен x$(0 является кумулянтом порядка s вероятностной меры на R1, индуциро-
ванной отображением х-*х1, X) вероятностного пространства (Rk, ёйк, G) в (R1, е®1). Это вытекает из гого, что функция u-> log G(u/) [u е ( — а, а) при некотором а> >0] есть логарифм характеристической функции этой индуцированной вероятностной меры на R1, и [согласно (6-8)]
log G («/) i = si ^ Xv^p-dus to ' ' = о ^ v!
Часто бывает удобно формулировать результаты в терминах случайных величин и случайных векторов (хотя для целей, преследуемых в настоящей монографии, можно было бы не придерживаться этого правила). Будем называть моментом pv(X) порядка v, кумулянтом ХхА^ по" рядка у, абсолютным моментом рДХ) порядка s случайного вектора X в Rk соответствующие числовые характеристики распределения Рх вектора X. Заметим, что для случайного вектора X с конечной ковариационной матрицей имеем
Cov (ТХ + а) = Cov (ТХ) = Т Cov (X) Т',(6.17)
где Т есть mxA-матрица (1^т^Л), Т'— ее транспонированная и a^Rm. Далее, если {Хь ... , Х„} — это п независимых случайных векторов в Rk и р2(Х,)<оо для 1 ^1 "^п, то
Cov(X14-... +X„) = Cov(XI)+ ... +Cov(X„). (6.18)
Если X есть случайный вектор в Rk с конечным моментом (и кумулянтом) порядка v, то для каждого t е Д’ справедливы равенства
pv(cX) = c' v щ,(Х),
(iv ^1)(6.19)
Xv(cX)=^vlxv(X)
и для всех се /?*, b е Rk имеем
Xv(<?Х4-fe) = xv№ = с v Xv(X), если |v|^2,
Xv (сХ + 6) = pv (сХ + 6) = ф¥ (X) + (b, v> =(6.20)
= cXv(X) + <fe, v;, если |v|=l.
Можно также показать либо непосредственным вычислением, как в (6.13), либо с помощью (6.14) и (6.15), что
Xv(X) = pv(X) для |V| = 2, 3, если Д(Х) = 0. (6.21)
Соотношения (6.19) и (6.20) легко выводятся из определений; заметим, что в окрестности / = 0 имеем
logPcX+6(0 = ‘<^ b> + 10gPx(d).(6.22)
Поскольку кумулянты Xv инвариантны относительно изменения начала координат при 'v|^2, их иногда называют семиинвариантами. Из (6.19) понятно также, как влияет на xv (и pv) изменение масштаба. Однако наиболее важным, с нашей точки зрения, является следующее свойство кумулянтов: если {Хт, ... , Х„} есть независимые случайные векторы в R6, каждый из которых имеет конечный кумулянт порядка v, то
Xv(XT+ ... +X„) = Xv(Xi)+ ... +Xv(X„).(6.23)
Это вытекает из разложения
log Р х, + . + хп (П = ^ log Р Х( (0.(6-24)
/ = |
которое справедливо в некоторой окрестности точки / = 0.
Теперь приведем несколько неравенств для моментов и кумулянтов случайного вектора X. Всюду далее, если исключены недоразумения, будем просто писать щ., р5, Xv соответственно вместо pv (X), ps (X), xv (X) и так далее.
Следующее неравенство, которое используется в этой книге довольно часто, приводится без доказательства ).
Лемма 6.1 (обобщенное неравенство Гёльдера). Пусть ft, Y^i^m, есть измеримые функции, определенные на измеримом пространстве с мерой (Q, е^, р), со значениями в (R1, с®1) такие, что IAi₽f, Y^i^m, интегрируемы при некотором наборе из т положительных действительных чисел (ръ ..., рт), удовлетворяющих равенству рГ*+ ... 4-Рт = 1- Тогда
5 I /1 • - - /т | dp |/1 |₽j • • • 1/т |рт.
Лемма 6.2. Пусть X —случайный вектор в Rk, имеющий конечный абсолютный момент р, порядка s при некотором положительном s. Если X не вырождается в 0 ), то
/ ->logp, есть выпуклая функция на [0, s],
функция r-^pY' не убывает на (0, s],
функция г -^рг/р'^унг-т не убывает на (2, s], если s> 2.
Доказательство. Можно предполагать, что X невырожден в 0, так что logp, определен при O^r^s.
Пусть 0<а<1, 0^лг, r2^s Тогда
Рал. + Н-а.г, = £ ( X ^,+П-а.г,) = £(YZ),
где Y = ‘X|iar>, Z = | X ||(|—“"х Поскольку обе величины £(Yl/a) и £(ZI/(I—а)) конечны, по лемме 6.1 (с т = 2) имеем
£ (YZ) ^ (£ (Yl/a))a (£ (Z^t-»'))1^ = p^p'T",
так что
logраг,+(|_а)г, ^ a log р,, + (1 - a) log р„.
Поскольку log Ро = 0 и угловой коэффициент прямой, соединяющей точки (л, logp,) и (0, logpo), равен (1/г) logpr, из выпуклости отображения r->logpr вытекает, что функция
г-> logpO' = * log pr
не убывает.
Если р2 = 1, то функция
г -*■ log pyv-2) = (г — 2)-1 log pr =
= (г — 2)-1 (log pr — log p2)(6.25)
возрастает на (2, s], так как выражение в правой части соотношения (6.25) равно угловому коэффициенту прямой, соединяющей (2, logp2) и (л, logpr), и согласно (1) отображение г -> log рг выпукло на [0, s). В общем случае применяем эти рассуждения к случайному вектору Y = = х/ру2. ▲
Из леммы 6.2 (2) нетрудно получить, что
у, а,- ^mr-1 У Iа,-|'(а,- ^R1; l^i=^m) (6.26)
i=li=l
при каждом г ^ 1 и любом положительном целом т. Неравенство (6.26) при г = 0 очевидно. ▲
Лемма 6.3. Пусть X — случайный вектор в Rk, имею щий конечный абсолютный момент р$ порядка s при некотором целом положительном s. Тогда для неотрицательного целочисленного вектора v, удов отворяющего неравенству । v | <; s, справедливы соотношения
IPvI^f'X' ^pv(6.27)
и существует постоянная С] (v), зависящая только от v, такая, что
|Xv|^Q(v)p v -(6.28)
Доказательство. Соотношения (6.27) вытекают из простого неравенства
|x’-|^Mv'.(6-29)
Замечая, что
kv-'^I^P'l, -'-РХ ^РГ =Р v , (6.30)
из (6.14) и (6.15) получаем неравенство (6.2f). Первое неравенство в (6.30) следует из (6.27), второе —из леммы 6.2 (2). ▲
В заключение этого параграфа напомним некоторые свойства одной из важнейших вероятностных мер на Rk— нормального распределения Фт у, плотность которого <Рт. с (относительно меры Лебега) задается по формуле фт. v (-"О = (2л)-*'2 (Det V)-1 2 exp {— ^ (х, V^x'j
(хе^»)(6.31)
и зависит от двух параметров meRk и V, где V — симметрическая положительно определенная ЛхЛ-матрица. Через Det V обозначен определитель матрицы V, и V-1, как обычно, есть матрица, обратная к V Хорошо известно *), что
Фт. у (/) = exp {/ </, т)-^ (t, VO} (' е R"Y (6.32)
Отсюда следует, что т есть среднее и V — ковариационная матрица распределения Фт у Для вычисления кумулянтов Xv ПР“ v ^ 2 удобно взять т = 0 (при v|^2 изменение начала координат не влияет на величину
кумулянтов Xv)- Получим
10g Фо. V (0 = -|<t Vt),(6.33)
откуда следует, что
Xv = (z, /)-элемент V, если v = e, + ey, (6.34) где е, есть вектор с нулевыми координатами, за исключением 1-й, равной 1, l^i^ft. Далее,
Х\ = 0, если |v|>2.(6.35)
Другим важным свойством нормального распределения является следующее:
Фт, V, * Фт2 У2 * ... * Фтп V„ = Фт. У, (6.36) где
т = m.t-\-т^А-• • •-V т„, V = Vi4-V24-...-|-Vn. (6.37)
Это свойство вытекает из (6.32) и теоремы 5.1 (1), (3). Нормальное распределение Фо. л где 1 есть единичная ft Уft-матрица, называется стандартным нормальным распределением на Rk и обозначается через Ф; плотность Ф обозначим гр. Наконец, если Х = (ХП .... Хк) есть случайный вектор с распределением Фт, у, то для каждого aeRk, а^О случайная величина (а, X) имеет одномерное нормальное распределение со средним ха, т) и л
дисперсией (a, Va} = У, ща^н, где «. ,= 1
o;/ = (i, /)-элемент V = cov(Xz, Ху) (i, /= 1, .... ft).
§ 7. Многочлены Ps и обобщенные меры Ps
Всюду в этом параграфе v = (vt, ..., vk) есть неотрицательный целочисленный вектор в R6. Рассмотрим многочлены
&(z) = s! 2 ^pzV (г^г?...#)(7-1)
V I =s
относительно ft переменных Zu .... zk (действительных или комплексных) для данного множества действительных постоянных Xv- Определим формальные многочлены Р, к2: lXv)) относительно гь ..., гк с помощью следующего
равенства между двумя формальными степенными рядами (относительно действительной переменной иу
1 + ^ P,(z: {Xv}) us = exp I ^ ^^-«J =
co/ co\m
= 1 4- V _L I V XsT2 (z) Д g 2) _ mil „($ + 2)!I "''
m=l4=1•
Другими словами, Ps(z:{Xv}) есть коэффициент при us в ряде, стоящем в правой части (7.2). Таким образом, РД2\ {Xvl) =
Ху^^> Ч + 2.<z)х/т+2(^
(/1 + 2)! (/2 + 2)!Gm + 2)!J
где суммирование X* происходит по всем наборам из т положительных целых Ц^ • • • • /т). удовлетворяющих равенству
5 A = s* G=1- 2s (l^t^m),(7.4)
1 = 1
и ^** обозначает суммирование по всем m-кратным неотрицательным целочисленным векторам (vb ..., vm) таким, что
v, =/, + 2(l^i^m).(7.5)
В частности,
A(2:{Xv})=^= ^ v^’
v =3
Л(г:(Хл4) = ^ + 2^.(7-6)
р П-ХИ9.1 Х1(г)Хз (г) , х| (г) ^3(z.jXvU 51 т 3|4| -Г (31у -
Лемма 7.1. Степень многочлена Px(z: |Xv?) равна 3s, и наименьший порядок одночленов в этом многочлене равен
3 Р. Н. Бхапачария, Р. ранга Рао-
«4-2. Коэффициенты в f*s(z:{Xv}) содержат только те Xv, у которых | v | ^ s + 2.
Доказательство. Утверждение леммы немедленно вытекает из (7.3). ▲
Обозначения, принятые выше, выбраны такими потому, что в конце концов в выражении для Ps(z: {xv}) в качестве Xv будут использоваться кумулянты некоторой вероятностной меры. Многочлен Р, можно определять таким образом только тогда, когда момент р$+2 порядка s-|-2 конечен. Кратко остановимся на той роли, которую играют многочлены Ps в теории нормального приближения. Более точные результаты содержатся в § 9.
Пусть G — вероятностная мера на Rfe с нулевым средним, положительно определенной ковариационной матрицей V и конечным абсолютным моментом р, порядка s при некотором целом s^3. Тогда [см. (6.8), (6.16) и (6.23)] имеем
log G" (G«l/2) = л logG(//n1/2) = — ^</, И> +
. V Хг+гОО.^('+2)!. V Хг+гОО.^('+2)!+ и ■ о+ и ■ о
. V Хг+гОО.^('+2)!
. V Хг+гОО.^('+2)!
+ и ■ о
+ и ■ о
Таким образом, при любом фиксированном t е R6 получим
Gn(//«J/2) = ехр|— ? (t, Vo|
= ехр= ехрхехр< ^ р+ ^? п~Г'20 (л~и~2>/2)[ =
= ехр
= ехр
л-/«Рг(«:Ы X
х(1 +о(п-15 2|/2))х(1 +о(п-15 2|/2))(7-8)(7-8)
х(1 +о(п-15 2|/2))
х(1 +о(п-15 2|/2))
(7-8)
(7-8)
где коэффициенты Xv многочлена Pr (it: [Xv}) являются соответствующими кумулянтами распределения G. Итак, при каждом t е Rk имеем асимптотическое разложение функции С"(//л1/2) по степеням л~1/2 в том смысле, что порядок убывания остаточного члена больше, чем у последнего члена в этом разложении. Первый член в асимптотическом разложении есть характеристическая функция нормального распределения Фо, v Функция (от I), кото-
рая появляется как коэффициент при n^2 в асимптотическом разложении, представляет собой преобразование Фурье функции, обозначенной через Рг(— фо, v:{Xv})- Причина такого обозначения становится понятной из следующей леммы.
Лемма 7.2 Функция
t Р, (it. f/v}) exp {- 2 (t, Vt } (t e Rk) (7.9)
есть преобразование Фурье функции Pr (— ф0, v: {Xv}). формально получаемой подстановкой
(—1) v Dv<p0 v вместо (ity(7.10)
при каждом v в многочлене Pr(it: {x.v})- Здесь ф0. v есть нормальная плотность в Rs с нулевым средним и ковариационной матрицей V. Таким образом, справед шво следующее формальное равенство:
Рг (- фо. V: {Xv}) = Pr (- D : {Xv}) Фо, v, (7.11)
где — D — (— Du ..., — Dk).
Доказательство. Преобразование Фурье функции фо v задается равенством [см. (6.32)]
Чо 1(0 = ехр{-у(/, И)} (teR^. .(7.12) Далее,
D^.vW = (-ityVo.vW (1еП (7.13)
что получается путем взятия v-x производных по х от обеих частей (формулы обратного преобразования Фурье) Фо. vW = (2n)-fc Jexp {—i{t, хД ^o.v(t)dt (xeR^ (7.14) [или по теореме 4.1 (4), (5)]. ▲
Определим РГ(—Фо. vHXv}) как конечную обобщенную меру на Rk, плотность которой равна Рг(—фо. к •'{XvD- Для любой фиксированной конечной обобщенной меры р на Rk определим р(-), функцию распределения меры р, равенством
р(х) = р((—со, х]) ^xeR^, (7.15) где
(—CXJ, х] = (—со, х1]х...х(—ОО, Xfc]
[х = (Хь ..., xh) е Rk\.
68 ГЛ 2. РАЗЛОЖЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
Заметим, что
Dt... DhPr V- Фо. у: Uv}) W = P, (- Фо. v: {Xv}) (x) =
=Pr (— D : {Xv}) фо. v (x) = P, (— D : {Xv}) (D,... ОкФ0. v) (x) = = D1...Dk (Pr (- D : {XvD Фо. у) (x).(7.17)
Таким образом, функция распределения меры РД—Фо,у: |Xv}) получается в результате применения оператора Рг (— D : {Xv}) к нормальной функции распределения Ф0.у(). Последнее равенство в (7.17) вытекает из коммутативности дифференциальных операторов РД-D.M и DtD^...Dk.
Выпишем ниже точное выражение для Pi(—Фо. y:(Xv})- Из (7.6) имеем
A(« {xvB= 2 ^(l7)V (<G/?k)-(7 18>
так что (по лемме 7.2) получим
Pi(— Фо. v: {Xv})(x) = — У ^О'фо. у(х) =
IV =3
Х(3. оо)Х(3. оо)
Х(3. оо)
Х(3. оо)
+ u12 V 03% + у13 У, и2'Х, +у23 У yVX/l+...(=1(=1/ = 1'
— ( У ^-^'Xyjx
» м к \
х1 У у*-'-'xyll У и*/х,) +
*к
^.yk-S.k-l у ик»х# + ик-2,к У ик-'-1Х).-^i=x/ = 1
+ и*-'-* У uk-2-ffca)ф0. v(x) /=! ш
[V-1 = ((«")), х = (X!хк)е Rk]. (7.19)
Если взять V = l, то (7.19) перепишется короче:
^i( Ф: [Xv!)(x) = | — glXo-o. . . о) (—хЛ-ЭхЛ-... ■ • • + Х«>, о.. и. з) (— Хь + 3xt)| —
— 2" ЕХ<2, I. о, . о) (— XjXg + Ха).
• • • + Х(0, ... О. 1. 2) (— ХкХк-1 + Xfc-1)] —— [Хо. 1.1. о. . о> (— XiX2x3 +...
• •• + Х(о. .о, i. ы, (—Хех^х»-,)]* ф(х) ^xeR^, (7.20)
где ф = фо. / есть стандартная нормальная плотность в Rk. При к= 1, считая, что %, есть кумулянт порядка / вероятностной меры G на R1 (/=1, 2, 3) с нулевым средним [используя (6.13)], получим
Л(— Ч>: {Xv})(*) = 4-Mx3-3xH(x) (хе/?1), (7.21)
где р3 —третий момент меры G.
Наконец, заметим, что, каковы бы ни были числа {%v} и положительно определенная симметрическая матрица V, имеем
$ Рз (- фо. v: (Xvl) (X) dx = Ps (- Фо. v: {XvD U^ = 0(7.22)
при всех s^ 1. Это вытекает из равенства
J (ОРфо. Н (х) dx = 0 для 1Р|^1.(7.23)
Соотношение (7.23) есть в свою очередь следствие того, что плотность фо. у и все ее производные интегрируемы и стремятся к нулю на бесконечности.
Аппроксимация характеристических функцийнормированных суммнезависимых случайных векторов
Пусть Xi, .... Х„ есть л независимых случайных векторов в Rk, каждый из которых имеет нулевое среднее и конечный третий (или четвертый) абсолютный момент. В этом параграфе изучается скорость сходимости Р^ + ... + хп)/п|/2 к Ф». v, где V есть среднее арифметическое ковариационных матриц векторов Хг,.... Х„. Нам потребуется разложение Тейлора в следующем виде.
Лемма 8.1 ). Пусть f — комплекснозначная функция, определенная на открытом интервале J действительной прямой и имеющая непрерывные производные ^ порядка г=1, .... $. Если х, x+heJ, то
/(х+Л) = /(х)+2 77^’^) +
Г = 1
+ 7^71)Г f (1 ~ «У'Ч^ (X + vh) do. (8.1) о
Следствие 8.2. Для всех действительных чисел и и положительных целых s справедливо неравенство
|ехр{Н-1-ш-...—^j-|^-^.<8-2>
Следовательно, если G — вероятностная мера на R6 с конечным абсолютным моментом р5 порядка s при некотором целом s, то
|G(O-l-iM! (O-...-(-^rp,-1(f)|^
('^).С8-3)
§ 8. АППРОКСИМАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 71
где при г = 1, .... 8
М0=( «.-r>'(W = 2 5^v’ ivi-г(8.4)
МО^К*’ x>l*G(^).
Доказательство. Неравенство (8.2) немедленно следует из леммы 8.1, если взять f (и) = exp {tu} (ue7?fc) и х = 0, h = и. Неравенство (8.3) получается путем замены и на (t, х) в (8.2) и интегрирования относительно G(dx). Заметим, что
MO = J|<C x>rG(dx)^|/pp,. ▲
Следствие 8.3. Пусть f — комплекснозначная функция, определенная на открытом подмножестве й в Rh и имеющая непрерывные производные D^t при |v|^s (на £2). Если замкнутый отрезок прямой, соединяющий х, x-\-h (е/?), лежит в £2, то
1 ^ I v C s—I11 ^ I v C s—I1+$ 2 ^г У(1 - и^-1 ^v^ ^+uh^du+$ 2 ^г У(1 - и^-1 ^v^ ^+uh^du(8-5)(8-5)V|=8V|=8f(x+h) = f(x) +2 VxlDV№ +
1 ^ I v C s—I
1
1 ^ I v C s—I
1
+$ 2 ^г У(1 - и^-1 ^v^ ^+uh^du
+$ 2 ^г У(1 - и^-1 ^v^ ^+uh^du
(8-5)
(8-5)
V|=8
V|=8
и поэтому
fVc+h)-^-fVc+h)-^-
fVc+h)-^-
fVc+h)-^-
^ 2 ^maxIKD^^ + uA)!: O^u^l}.(8.6)
Доказательство. Определим функцию g на (—e, 1+e) равенством
g(u) = f(x + u/l).g(u) = f(x + u/l).(8-7)(8-7)
g(u) = f(x + u/l).
g(u) = f(x + u/l).
(8-7)
(8-7)
где e —такое положительное число, что отрезок прямой, соединяющий х — eh, х + (1+е)й, лежит в £2. Используя формулу дифференцирования сложных функций, индукцией по г находим
g'r4u)= 2 J h" ^Ь (Л + uh) (r=l, .... s).(8.8)
ivi=r
Следовательно, по лемме 8.1 имеем
$— 11
g(l) = g(0)+ 2 ^ + ^^ J (1 -uy-^(u)du, г = 1О
откуда, используя (8.7) и (8.8), получим (8.5). Неравенство (8.6) немедленно вытекает из (8.5). А
Пусть XjХп есть п независимых случайных векторов в Rh, каждый из которых имеет нулевое среднее и конечный абсолютный момент порядка s при некотором s^2. Предположим, что средняя ковариационная матрица V, определяемая равенством
V = 1 У Cov(X,) = 1 V Vb(8.9)
1=1,=1
невырождена. Далее введем ляпуновскую дробь lsn по формуле
п-1 5 E(|(f, Х/>|*)
/,.„= sup 0П1 = ‘/,.„= sup 0П1 = ‘(8.10)(8.10):^^« ^ ^ (S^2).
/,.„= sup 0П1 = ‘
/,.„= sup 0П1 = ‘
(8.10)
(8.10)
п-1 2 ERt, xz>« J
Легко проверить, что 1$>п не зависит от масштаба. Если В — невырожденная АхА-матрица, то ВХЬ ..., ВХ„ имеют ту же ляпуновскую дробь, что и Хх,..., Хп. Если запишем
рм = Е()Х,Г)Р^П-1 2 Рг./рм = Е()Х,Г)Р^П-1 2 Рг./(1 ^i^n).(1 ^i^n).(Г^О),(Г^О),(8-11)(8-11)
рм = Е()Х,Г)
Р^П-1 2 Рг./
рм = Е()Х,Г)
Р^П-1 2 Рг./
(1 ^i^n).
(1 ^i^n).
(Г^О),
(Г^О),
(8-11)
(8-11)
то, как легко видеть, из (8.10) имеем
1$ п^ «-^-2*/2 sup М= 11$ п^ «-^-2*/2 sup М= 1(8.12)(8.12)Дк![Д1_ _ Pj „-(s-e)/e
1$ п^ «-^-2*/2 sup М= 1
1$ п^ «-^-2*/2 sup М= 1
(8.12)
(8.12)
<t, vtyR ^/2
где X — наименьшее собственное значение матрицы V. В одномерном случае (т. е. k= 1)
л-(»-2)/2(5^2).л-(»-2)/2(5^2).(8.13)
л-(»-2)/2(5^2).
л-(»-2)/2(5^2).
В доказательствах приведенных ниже теорем будем использовать также следующие простые неравенства. Если V=l,
то
E\(t, Х,->|^ V E\(t, W^n^kn ty. (8.14) /=i
Обозначения (8.9) —(8.11) используются ниже в этом параграфе, часто без повторных пояснений.
Теорема 8.4 Пусть Хх, ..., Хп есть п независимых случайных векторов (со значениями) в Rh соответственно с распределениями Gx, ..., Gn. Предположим, что каждый вектор X,- имеет нулевое среднее и конечный третий абсолютный момент. Предположим также, что средняя ковариационная матрица V невырождена. Пусть В — симметрическая положительно определенная матрица, удовлетворяющая равенству
B» = V~4(8.15)
Определим
(8.16) bn (d) = ^ - d(da (d) + -’-) (к г,)2'3 -
(8-17)(8-17)Тогда для каждого de (О, 21'2) и при всех I таких, что
(8-17)
(8-17)
справедливо неравенствосправедливо неравенство
справедливо неравенство
справедливо неравенство
(8.18)(8.18)(da (d) +4) kn И3 exp {— bn (ch t "=}.
(8.18)
(8.18)
Доказательство. Предположим сначала, что V=I и, следовательно, В = 1, где / — единичная матрица. Для интервала, определяемого неравенством (8.17), имеем [см. (8.14)],
| Gy (//п*'2) - 11 (Sn^E (t, Х^
^n)"4E\<t, Ху.>Р)2/з^(2п)-^2 Д|(<. Х/л^
^ (2л)-1 (n^k„ 11 |i3)2/3 = .1 /2/3 || / ,2 ^ ^^(8 19)
так что логарифм logG;(//п‘/2) определен при l^j^n,
и [используя (8.14)] получим
п
г=2
d^V-^d^V-^
d^V-^
d^V-^
г =2
i^EKt, X,->p]
^ a (d) л-2
(
п\4/Л
^E\(t, Х/>рV + * /=1'
a (d) /V3 1t ц» +± /8 „ || 11,3 < (da (d) -
(8.20)
Следовательно, замечая, что |e* — 1 |^|л|е|Х| при всех комплексных числах х, имеем
П^Ш-^-т''!8}
/=>
= ехр(-4|1Л2}= ехр(-4|1Л2}exp Мр/Ш + ^К»2 -1
= ехр(-4|1Л2}
= ехр(-4|1Л2}
I /=1 х 7 J
(da (d) +-1) /э.„ В113 exp {- ^II t J2 +
+ d(da(d) + 4) ^Hll^
= (da (d) + |) U.„ J t i3 exp {- bn (d) 11 i3}. (8.21)
Это доказывает теорему при V = L В общем случае следует рассмотреть случайные векторы ВХ1е..., ВХ„, средняя ковариационная матрица которых есть I, и вспомнить, что ляпуновская дробь не зависит от масштаба. А
Из приведенного доказательства легко видеть, что если Ху в теореме 8.4 независимы и одинаково распределены с общим распределением G, то
[б"^//^'2) —ехр{— fl<F}|=^
^da№ + ^ 1а.п | h3 exp { - (1 - (Pa (d) - d/6)| t|2} (8.22)
при всех de (0, d,/2) и всех t, удовлетворяющих неравенству
(8.23)(8.23)j t J ^^ d/g.V
(8.23)
(8.23)
Следующие две теоремы уточняют оценки (8.22) и (8.18) при дополнительном предположении о конечности четвертых моментов.
Теорема 8.5. Пусть X —случайный вектор в Rh с распределением G. Предположим, что X имеет нулевое среднее, положительно определенную ковариационную матрицу V и конечный четвертый момент р4. При всех t таких, что
U^W2 (">D.U^W2 (">D.(8.24)(8.24)
U^W2 (">D.
U^W2 (">D.
(8.24)
(8.24)
справедливо неравенство
|G"(Bf/n'/2)-exp{- IhP^l + б ^-"М))^
^ [(0,1325) н-1 + ^- /,.„] И Г ехр {- 1| /12} +
+ (0,0272) й. п НГ ехр{—(0,3835) IM3} (n^ 1),(8.25)
где pg(t) = £ (jt, X)3 и В определяется по (8.15).
Доказательство. Предположим, что V = i. Для рассматриваемых значений t имеем
|G (//п1'2) - 1 (^ (2п) 11Ц2^ 1/8.(8.26)
Следовательно,
| lOg 6" (//^/2) + 11 ^ - |- ^„-1/2^ (f) | =
= п I log [ 1 - (1 - G V/n^)A + (2л)-1 II / II2 -
— g-i3n-3/2u3 (О I = л— g-i3n-3/2u3 (О I = л- 2 r-4\-GU/n^Y +г = 2- 2 r-4\-GU/n^Y +г = 2
— g-i3n-3/2u3 (О I = л
— g-i3n-3/2u3 (О I = л
- 2 r-4\-GU/n^Y +
г = 2
- 2 r-4\-GU/n^Y +
г = 2
+ G Щп^ - 1 + (2л)-11tII2 - 1 i3/!-8^ (/) | ^
«С (4л)"18 Л4 2 r"lg2"' + ^ z4. п I И4 ^
г=2
^ [(0,1325)Л-1+ ^ /4.п]и«4-(8.27)
Аналогично,
| л log6 (</л*/2) +1|| /1|21 ^ (0,1325) л-1 J11|4 +118,п И в»
^ (0,0663 + 0,1667) /3,„ 1 Л3 = (0,233) t3.ny II3 ^
^(0,1165)||/1|2.(8.28)
Тогда получим
| G" ^п^ - exp {- 1| t82} (1 + 1 i3n-^ (t^ | =
= exp | — у J t [2| | exp |logGn (</л1/2) + ^ 111|2} —
-(1+|л-1/2|
^ exp{— ^ 811|2| 1 exp /log(
уП-1/2НзЮ|
+ exp { - 1111|3| [(0,1325) л-1 + ^- /4. „] П ||4^ (0,0272) ll n J t j6 exp {—0,3835111|2} +
В (8.29) использованы неравенство еЛ — 1 — х, ^ х |2е х /2, а также оценки (8.27), (8.28). Это доказывает теорему при V = I. В общем случае рассматриваются случайные векторы BXlt .... ВХ„. А
Теорема 8.6. Пусть Хь .... Х„ есть п независимых векторов в Rk, распределения которых соответственно Git ..., Gn. Предположим, что случайный вектор X,-имеет нулевое среднее и конечный четвертый абсолютный момент. Предположим также, что средняя ковариационная матрица V невырождена и
/4,„^1. (8.30)
Тогда при всех t таких, что
- Н'4.2 4. и •- Н'4.2 4. и •(8.31)
- Н'4.2 4. и •
- Н'4.2 4. и •
справедливо неравенство
^(0,175)/4 П И »4 ехр {-|Н li4}+
+ [(0,018) Ц. п || t1|8 + ~ II „ 11 Iе ] exp {— (0,383) Иt||2}, (8.32)
где В — положительно определенная симметрическая матрица, определяемая из (8.15), и
из (0=^ £я<<, х/>’/=|
Доказательство. Как и ранее, можем взять V=I. Заметим, что [в силу (8.14) и (8.31)] имеем
j6/^)-1!^^"15^Х/>2^
<2пГ (£ (/, Xy/)V2 ^ (2л)-1 ( 5 Е (t, X,)*]1/2
^^ W^i (8-33)
для рассматриваемых значений I. Действуя так же, как в (8.28), получим
logfldya/n^+lifp < /= 1
< (0,1325) /г2 ^ № (t, Ху)2)2 + | /3 , Н Is ^ /=1
<(0,1325)/4.п|Щ4Ч-/3.им3/6<(0,117)Ш^(8.34)
используя на последнем шаге (8.30) и (8.31). Аналогично (8.27) имеем
l°g [J 6' (^ + I ^ I2 * Т п"1/2Нз ^
i=i хп '
(8.35)(8.35)<[(0,1325) + (1/24)] /4. „ || t Г ^ (0,175) /4. „ | ^.
(8.35)
(8.35)
Следовательно, как и в (8.30), получимСледовательно, как и в (8.30), получимI»I»
Следовательно, как и в (8.30), получим
Следовательно, как и в (8.30), получим
I»
I»
у n-v«p3(/) <
•^ (0,176) /4. „ IП4 ехр {-1| гр}+[(0,1325)’ /?,„]< р +
+ ^-/1ЛН|16]ехр|-|н||2 + (0,117)||/Н.А (8.36)
Заметим, что [см. (7.6)] если Xv./ есть кумулянт порядка v случайного вектора X, и Xv = n-1 ^l-vj, то (=1
WfcW 2 ^f/V==
VI =3
V I V -Ч ^V,/ nJ 1 V / V i3 „х\ 21 2 1 гп _ \ 2 3i )= >=l 'lv =3//=1 \|v =3/
-^Zf Z S-^.,(o)=is^(o/6,
равенство Хз./(0 = M»j (О справедливо, так как Хз.ДО» р3 У (() есть соответственно третий кумулянт и третий момент случайной величины (/, X,), имеющей нулевое среднее [см. (6.21)].
Теорема 8.7. Пусть G — вероятностная мера на Rh с нулевым средним, невырожденной ковариационной матрицей V и конечным третьим абсолютным моментом. При всех t таких, что
Щ<^Ч1'п,(8.37)
справедливо неравенство
I а / R4 \ IГ / I 9*/^\
<8-38)
где В = В', B^V'1.
Доказательство. Сначала рассмотрим случай V = I. Если X имеет распределение G, то, используя разложение Тейлора, получим
G (= 1 - (2л)-1, П3 + - п-^Е |<<, Х> Is, (8.39) \п'16
где 16 | ^ 1. Следовательно, замечая, что 1 — (2л)-1 ]([2^0 при рассматриваемых значениях t, находим
16 tf/n1'2) |^1- (2 л)-11 f Р + ^ n-4a. л U р
^ ехр|— (2л)*1 U Р + 4 n'Al»-" М J8} ^
f / 12*^ \ г 2 1
««prU-VJ-s-}- (8л°)
что доказывает (8.38), когда V = l. В общем случае рассматривается распределение случайного вектора ВХ, где X имеет распределение G. а
Для доказательства аналогичного результата для независимых разнораспределенных случайных векторов нам потребуется следующая лемма
Лемма 8.8. Пусть X u Y — две независимые случайные величины (в R1), имеющие одинаковое распределение. Если у этого общего распределения нулевое среднее и конечный третий момент, то
Е]Х — Y |»^4Е|Хр.(8.41)
Доказательство. Поскольку
|Х —Y |э = (X — Y)2|X —Y|^
^(X2 — 2XY + Y2)(!X| + |Y|) = |X!3 + |Y|34-X2,Y|4-
+ Y21 X [ —2Х | X | Y — 2Y / Y | X, (8.42)
и E(X|X| Y) = (E(X|X|))EY = 0 = E(Y|Y|X|), имеем £|X-Y|3^2£|X 34-2(ДХ2)Д| Y | =
= 2E|X|3 + 2(EX2)E|X|^-4E|X|3. a (8.43)
• Теорема 8.9. Пусть Xlf .... Xn есть n независимых случайных векторов в R*1, распределения которых соответственно Gi, .... Gn. Предположим, что каждый вектор Х; имеет нулевое среднее и конечный третий абсолютный момент. Предположим также, что матрица V =
= п-1 2 Cov(Xy) невырождена. Тогда для каждого 6 е (0, 3/2) i=\
(8.44)(8.45)(8.44)(8.45)справедливо неравенство
(8.44)
(8.45)
(8.44)
(8.45)
при всех t таких, что
'. ПII (3/2 — S)/з,*п.
Здесь В = В', B^V1.
Доказательство. Можно считать, что V = 1. В этом случае при всех j, 1 ^ / ^ п, имеем'
| G, ^п1'^ ! а< 1 - П^Е (t, Х^ +1 п^^Е I (t, X,) I3 = ■ -■ ^ ехр [- н'Е V, Ху/ + * п"^Е । (Z, X,) pj,(8.46)
так как G^ut^ 2 есть значение в и характеристической функции случайной величины /, X) — (/, Y,-', где X,- и Y, — независимые одинаково распределенные случайные векторы. Далее, по лемме 8.8 получим
(8-47)(8-47)EV.t, ЪУ-У, \f)]2 = 2E(t, X-)2, E\(t, ХД- t, Y/)3^4f|</, X/>|8.
(8-47)
(8-47)
Перемножая обе части (8.46) при /=!,..., п, находим
^ехр|— Н2 + /З.л1/||3|^
^ехр{-^12+|(|-б)П[2} = ехр|-2б /|2/3}(8.48)
для рассматриваемого интервала (8.45). ▲
Асимптотические разложения производныххарактеристических функций
Сначала сформулируем и докажем несколько подготовительных лемм.
Лемма 9.1. Пусть g — комплекснозначная функция, определенная на открытом подмножестве й в Rk и имеющая непрерывные производные Dxg при | v | ^ т, где т — положительное целое. Если g не принимает нулевого значения на Q *), то на Q справедливо равенство
Dvlogg=yc({Piр^ W.^W
где суммирование происходит по всем семействам неотрицательных целочисленных векторов {р1, .... Р7} таким, что
P1 + ... + P7 = v, l^/^|v| [l^|v|^m].
и постоянная с({Р\ ...» Р7}) зависит только от семейства {Р\ .... Р7}.
Доказательство. Результат очевиден при |v| = l. Предположим, что он справедлив для всех v, удовлетворяющих неравенствам 1 | v | т, где т — положительное целое. Непосредственные вычисления показывают, что
теорема верна для всех векторов v + e,, V^i=^k, где е{ — вектор, у которого t-я координата равна единице, а остальные нулевые. Итак, результат справедлив при всех v, удовлетворяющих неравенствам 1 ^ | v' ^ m + 1. а
Лемма 9.2 (оценка Коши). Пусть / — комплекснозначная функция на
{
к1
г = (zb ..., z^eC6: 2 zi— °i12 ^ Я2
[где а = (oi, ..., а^ е С* и R> 0],_ задаваемая степенным рядом [абсолютно сходящимся на В (а: /?)]
f(z) = Sc(v)(z-a)v fz —a = (z1-a1, .... zk- a6)],
V
где суммирование происходит no всем неотрицательным целочисленным векторам ve(Z+)6. Тогда
| [Dvh (a) I
при каждом г е (0, k1,2R\, где Мг определяется равенством
Af,. = sup {[/ (z) |: \zi-ai\ = r, l^i^A}.
Доказательство. Поскольку куб [z: г, —a,|^r, 1 ^ i <5 к\ содержится в В [a: R), можно определить на [—л, л)* функцию gr по формуле
gr(61, -6») = /(«1 + гею\ .... ак-\-ге№к)
(—л^6,-<л, l^i^K).
Ясно, что при всех v имеем fl vlc(v) =
= (2л)~* ^ ехр {—i<v, G)}^^et) d6,... dek. f—Л, Л)*
Замечая, что подынтегральная функция ограничена сверху числом Мг, получим
[ [D'F) (о) I = v! | с (у) | ^ г~1 v ;v! Mr. а
Для х, у из Rk считаем, что
х^у, если Xj^yj для i=\, .... к. (9.1)
Будем писать также х<_у, если х^у, но у^х.
Лемма 9.3. Пусть f — комплекснозначная функция на открытом подмножестве Й в Р\ имеющая непрерывную х-ю производную, где v — произвольный неотрицательный целочисленный вектор, отличный от нуля. Тогда ехр {Д также имеет непрерывную м-ю производную на Q, задаваемую по формуле
Dv(exp {Д) =
= ехр {Д 2* с ({/р: 0 < р ^ v}) • П *.0.2)
где суммирование £* происходит по всем семействам не отрицательных целых {/р: 0<p^v}, удовлетворяющим равенству (здесь $ —целочисленный вектор)
S /pP=v,(P:O<B«v)
и с({/р: 0<P^v}) зависит только от семейства {/р: 0<P^v}. Через Ц обозначено произведение по всем Р, 0<Р ^v.
Доказательство. Пусть ei = (l, 00),...
..., eft = (0, 0О, 1). Тогда
D’ (ехр {Д) = ехр {Д (De'7)(1 ^ i ^ А).
Итак, утверждение справедливо при всех v таких, что |v[ = 1. Предположим, что оно справедливо для всех v таких, что |v|^m. Для фиксированного v, у которого |v| = m, при всех i (l^i^£) имеем
D^* (ехр {Д) = ехр {Д v* с ({/р: 0 < р ^ v}) хD^* (ехр {Д) = ехр {Д v* с ({/р: 0 < р ^ v}) хX 2J _{Р': /р->0}X 2J _{Р': /р->0}/р- (W»'”' • (Ор'+е»7) Ц (Wej+/р- (W»'”' • (Ор'+е»7) Ц (Wej+
D^* (ехр {Д) = ехр {Д v* с ({/р: 0 < р ^ v}) х
D^* (ехр {Д) = ехр {Д v* с ({/р: 0 < р ^ v}) х
X 2J _{Р': /р->0}
X 2J _{Р': /р->0}
/р- (W»'”' • (Ор'+е»7) Ц (Wej+
/р- (W»'”' • (Ор'+е»7) Ц (Wej+
+ ехр {Д (ПЧ) 2* с({/р: 0 < р ^ v}) П (ПРД'р,
где р[ то же, что и выше, а Л ~ произведение по всем р таким, что 0<p^v, р^=р'. Полученное выражение имеет вид (9.2) с v, замененным на v4-ef (1 ^i^A). Это доказывает (9.2) для всех v, удовлетворяющих неравенству | v | т + 1. ▲
Лемма 9.4. Пусть X—случайный вектор в Rk с распределением G. Предположим, что X имеет нулевое среднее, ковариационную матрицу V и конечный абсолютный моменщ р, порядкц s при некотором подоэкителбцом
целом s^3. Тогда существует постоянная с%(з), зависящая только от s, такая, что
K^logQW^c^^p,(9.3)
при всех t из R6, удовлетворяющих неравенству
10(0—11^1/2,(9.4)
и для всех неотрицательных целочисленных векторов v таких, что | v | = s.
Доказательство. Заметим, что logG определен на открытом множестве, содержащем семейство (, удовлетворяющих (9.4). Далее, если 0Ь ..., РУ — неотрицательные целочисленные векторы такие, что р1+-.- + Р/ = = v, то в силу (6.29) и леммы 6.2 (2) имеем
|(dM)(0|...|(^G)(0M£^^^
^PlM-PlP/I^Pr1 + "+'₽'»'s = P,.(9.5)
Применение леммы 9.1 завершает доказательство. ▲
В остальной части этого параграфа будем рассматривать п независимых случайных векторов Хъ ..., Хл с соответствующими распределениями Gu .... G„. Предположим, что Xj имеет нулевое среднее, ковариационную матрицу V) и конечный абсолютный момент порядка s при некотором целом з^З. Считаем, что
рг,/ = Д#Х/8г, р^1^ Рм (г^°).
f=i
п
Xv,) = кумулянт Xf порядка v, ^ап-1^ x^j (9.6) 7-1
[V ЕЕ (Z+)ft, 0 ^ I V | ^ s],
V-n^g Vh
если не оговорено что-либо иное, В случае, когда матрица V невырождена, через В обозначим симметрическую положительно определенную матрицу, удовлетворяющую равенству
^=V\(9.7)
и положимп
Чг = п 'V E*BXfY (г>0).(9.8)
Постоянные с, появляющиеся ниже, зависят только от своих аргументов.
Лемма 9.5. При каждом неотрицательном целочисленном векторе а таком, что 0^|а|^Зг и для г = 0, 1, ..., s —2 справедливо неравенство
! D^P, (г : {xv}) | сэ (а, г) х,
X (1 4-prts—3)/(s—е)^ (1 +[г|^- ° >p7(s~4’(геС*).(9.9)
Доказательство. Из (7.3) имеем
D“A(2:(%V|) = 2 х
т= 1
vt!...vm! (v,+...+.vm — а)!'
'1*т
где 5* обозначает суммирование по всем наборам из т положительных целых (й, .... /т), удовлетворяющим равенству
^h-r,(9.11)
<=i
и 2** обозначает суммирование по всем m-кратным неотрицательным целочисленным векторам (vi, ..., vm), удовлетворяющим (7.5). В силу леммы 6.3 и усреднения получим
] Xvt ■ • • Xvm | ^ Сх ^ ...Ox (v„) Р/1+2 ... р,т+а =
= СЛ (V1) СЛ (Ут) р«'1+8) + - + Ут* ^ _P/1 +i .Р/т+*
1" 1' т)р91+»V* pVm+»У»
< Сх (Vx) ...Cl (Vm) р^ + '/З (pyps/a)^!4- - +,m)/(s-a) =
= 01 (V1) ... Сх (vm) pm-r/(s-a)pr/(s-,)(9 12)
Использовалась лемма 6.2 (3) и то, что рг- есть абсолютный момент порядка г’ распределения п-1(61+;.. + 6л), где G, — распределение X,-. Если заметить, что
p/"^l|Z||"’4-l|zl|m"(0 ^/71'z is Ck), (9.13)
то, подставляя (9.12) в (9.10), получим доказываемое неравенство (9.9). а
Лемма 9.6. Пусть g — абсолютно сходящийся степенной ряд относительно z^CF на В (0: г)= {рЦСг} такой, что
|£(?)1^МИ) [2еВ(0:г)],(9.14)
где h — неубывающая функция на [0, оо). Тогда при любом с>» 0 неравенство
\(Dvg)(z)]^v!c-'v4zt v й((1-Ьб^Цг'!) (9.15)
справедливо для всех неотрицательных целочисленных векторов v и для всех г, удовлетворяющих соотношению
IzKr/d+JP'M (zeCe-{0}).(9.16)
Доказательство. Согласно оценке Коши (лемма 9.2) имеем
l(D^)(z)|^
^v!(cjz||)-iv sup{|g(z')|: |^ — гг] = с$гЦ, l^i^fe^ ^v! (cBz|])-'vl sup{|g(z')[: [z' — z[ ^ ^^c ] z [} ^ ^v!(c[zj)-'visup{|^(z,)|: |z'|^(l -ЬА^И}^
v! (cl zГ1 v 1 h ((1 + A1/2c) 1 z||)(9.17)
при всех z#=0, удовлетворяющих (9.16), если (в лемме 9.2) взять a = z, r = c|zg и заметить, что [для г, удовлетворяющих (9.16)] справедливы включения {z': \z'i — Z/=c[z|, 1^1=^ А} с
c{z': [z'Kd+WHz^cnz'KH.A (9.18)
Лемма 9.7. Пусть s — целое не меньше 3 и {Xw" v е е№ н^s] есть действительные числа. Определим
0, = (тах {| Xv lv<|vi-2): з^| v| <s}),_2.
(9.19)
(9.20)(9.20)Тогда для каждого и е R1 — {0} и всех z, удовлетворяющих неравенству
(9.20)
(9.20)
р[^^1к(б, It)^ p^(,-t,)-,l
в обозначениях § 7 справедливо соотношение
,s —3
DaDaexpexp1 V Хг+^М
Da
Da
exp
exp
(' + 2)1 z=i
^C'(s, «'иГМгГ “ +|zi3U-2,-'“)exp{||z|2}.(9-21)
где c* (s, А) зависит только от s и k и Da означает производную порядка а по z = (zi, ..., zfe), а — произвольный неотрицательный целочисленный вектор такой, что |a|^s.
Доказательство. Запишем [см. (7.1)]
gku..z^Jx и. у Xv v(г + 2)!v! *
f(u.z) = exp {g (u: z)[,(9.22)
h(u :z) = f(u :z) — V и'РДг: {y,v})r=0tu eR1, ze (?).
Из определения многочленов Pr вытекает, что
Зй^я ^ ^ : z)= Зй+« ^ы : z^ ^-й(и : z) |и о = О
при m = 0, 1, .... s —3, если h и / рассматривать как функции лишь первого аргумента и. В силу следствия 8.3 имеем
IMu:z)|^(L_L_Sup{|—_ W°:z)|: 0^|a[^|« }. (9.23)
Далее, по лемме 9.3 (d1-1/dus-a')/ (u: z) есть линейная комбинация членов вида
Ku-z^^g^u-.z^ ...^^^gtu-.z^,(9.24)
где /1,где /1,/s-а — неотрицательные целые такие, что
где /1,
где /1,
5—2
(9.25)(9.25)У, mjm = s-2.
(9.25)
(9.25)
m=l
Если г удовлетворяет неравенству
II z 1^ (8с (s, *) и РУ^-21)1,(9.26)
(9.27)(9.27)то, поскольку [в силу (9.17)]
(9.27)
(9.27)
IXv|^P^'v■-a,Лs-3,, имеем
£^(“:г)|=
s —3
= 2 r(r-i)-- (r-m+i)f
r = mVlv^r + V/
s—3
^ 2 С! (Г* т* ^) РУ1®-21 1 U \г~т || 2 У+а ^
- S—3
^ 2 <\(r, т, А)(РУ^"2) iz|||z||y-mPy/($-2,llzp4-2^ г=т
^c2(s, tn, k^ pp^-2)||г,"14"2 (l^m^s — 2),(9.28)
поэтому
k
d ..\Л ( ds~2 .4V«-®|
dHg<U;Z^) •••\du-2^U‘Z4
(9.29)(9.29)^Ca(S, A)P,(iZ||" + l|z|is^-2>).
(9.29)
(9.29)
Далее, если z удовлетворяет (9.26), то
|^(u:z)|^2 2 ^Psr/(I-2,h/+2 uf^
' r«L|V| = r + 2 s—3
^mi2! 2 viO"!^^*^ 2))r^
r = l |v:=r + 2' s—3
<izii22 2 v!^^^-^
r=l|vj=r+S
, . .’Ad!— V V Д-=Лг
^(8 (s, k))1 vl ~
,=1 V =r+2
|f(u:z),^exp{^zl2|.(9.30)
§ 9 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ 89 Следовательно, из (9.23), (9.24), (9.29) и (9.30) вытекает, что
j h (u : z), ^ с4 (s, к); и |J~2 0^ (j г = +" г)3,^2*) ехр {[ гц2/8}
(9.31)
при всех м^:0 и всех г, удовлетворяющих (9.26). Теперь, воспользовавшись леммой 9.6 с г, равным правой части неравенства (9.26), и с^Зб1'2)1, получим
| D'h (ы : г) | ^ а! (|| г /(З^1/2))" “ с4 (s, А)1 и |'~2 хх 0S[(4 z|i/3)s +(41|z|i/3)3U-2,jехр {2[гц2/9} ^^c6(s. к, а) и|$~20, X
х (||г|,_“ + | г‘зи-г>-а )еХр {2||гГ2/9}(9.32)
при всех г, удовлетворяющих (9.20), так как правая часть соотношения (9.20) меньше, чем r/(l +fcll2c) = 3r/4. ▲
Если V = l, то из лемм 6.3, 6.2 (3) имеем (поскольку Рг = А)
,Xv0/Cv -2>^(C1(V) р, v ,)!/« V-2)^
^c;(v, A)pV<s-2>(3^|v|^s).(9.33)
Из леммы 9.7 с этими xv и u = n-1/2 получим следующую лемму.
Лемма 9.8. Пусть s —целое не меньше 3. Определим ce(s, &)=(lk(s, A)max{ci(v, ку. 3^|v|^s})-1.(9.34)
Тогда существует постоянная c7^s, k) такая, что при всех t в ^/удовлетворяющих неравенству1
|H^Ce(s, А)л1/2р71/(«-51)1(9.35)
для произвольного неотрицательного целочисленного вектора а, 0 ^ | а1 ^ s, справедливо соотношение
D^
еХр J — 1^14. V Уг+гйО.. г/a2 т (г + 2)!
- —3
— ехр<2—Г ' пг,2Р
г=0
" ^c^s, k)psn^s ^(J^
+ „ / II® ^-2,+i “ ) ехр ^ -
' 21
4 )
Доказательство. Утверждение следует из леммы 9.7, неравенства (9.34) и следующего:
ехр <2™У • h (n~1/2 : if) j
может быть представлено в виде линейной комбинации членов вида
(№h (п ^ : if)) (D^ exp {— | f ||е/2})(0 ^ р ^ а);
справедливо неравенство
Юа ₽ехр{— [f 2/2} | ^
^с^ (а— р, £)(1 -4-1|^|1“—в )ехр {—|f |2/2}.
Здесь h есть функция, определенная в (9.22). ▲
Теперь все готово для доказательства основной теоремы этого параграфа. Прежде чем сформулировать ее, определим
d„ = sup{a>0: (f, Vf)^a? влечет
за собой неравенство | G, ^Bt/n1^ — 11 ^ 1/2
при 1 ^ / ^ п}.(9.36)
Теорема 9.9. Существуют постоянные с8 (s, Л), c9(s, Л) такие, что для всех f в Rk, удовлетворяющих неравенству
|#К<1Л, |Ж€%(8, ^^-./(s-s),(9.37)
для произвольного неотрицательного целочисленного вектора а, 0 ^ | а | ^ s, справедливо соотношение
I
ns—3
П Gy kBtm^ -exp {-II f р/2) 2 гг^Р, (iBti fov}) ^
/=1г=0
^ce(s, ^)Tl$/2-<1-1vt[||fp-i='-|-[f[5(^)+|«i] х
хехр {—|f |2/4}.(9.38)
Доказательство. Сначала предположим, что V = = В = I. Для рассматриваемых значений f логарифм функции G,- (//п1/») определен. Запишем
h/ (Z) — log Gy ^д/ёуh/ (Z) — log Gy ^д/ёу— л* 1/21 X1 7г+2. / (‘02п 1 1 "Г"(/-4-2)1— л* 1/21 X1 7г+2. / (‘02п 1 1 "Г"(/-4-2)1п-(г+е)/еп-(г+е)/е
h/ (Z) — log Gy ^д/ёу
h/ (Z) — log Gy ^д/ёу
— л
* 1/21 X1 7г+2. / (‘02п 1 1 "Г"(/-4-2)1
— л
* 1/21 X1 7г+2. / (‘02п 1 1 "Г"(/-4-2)1
п-(г+е)/е
п-(г+е)/е
h V) =S '^0.i=ih V) =S '^0.i=i(9.39)(9.39)
h V) =S '^0.i=i
h V) =S '^0.i=i
(9.39)
(9.39)
(О = - 2 U Г + ^ п'г,г^.. WIV + 2)! =
Г=1
= Z ^/(^-МП-
Мы хотим оценить
'= D“[(exp {й(/)}—1)ехр {зр(/)}] =
= 5 Сю(“, Р)(ОРехр{гр(0})[О“ Р(ехр{й(/)}—!)]. (9.40) 0<₽<а
В силу соотношения (9.30) имеем
|гр(О <М 2/2 + |^2/8 = 5|/р/8,(9.41)
если t удовлетворяет (9.37) [см. (9.27)]. Далее, используя (9.33), полечим
|(О₽гр)(Л =|(О₽гр)(Л =DP [ V ц-т V Xv /vIvl
|(О₽гр)(Л =
|(О₽гр)(Л =
V=(IV = , +?,
V>₽
s—3
У (n"1/2ce(s, Й) n1/2p~,/(s—”У p^u_,) f^-P r=max {0, 10 —2)
^cI2(s, k, ₽)Ui2-P(p>o, /e/?»-{0}).(9.42)
Пусть /i, ..., j, есть неотрицательные целые числа и Pi, • • •, Pr — неотрицательные целочисленные векторы такие, что
Z/д-р d^i^o. i—1
92 гл. 2. РАЗЛОЖЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Из (9.42) [используя (9.13)] находим, что
S '<(2~ ₽«1)
I(dS(O),i-.-(d^(om^c13(s, л)ш<=*^
CdaMMI^'+ltR (^0).(9.43)
Теперь из леммы 9.3 и неравенства (9.30) вытекает, что
I D₽ exp {ip (0} | ^ с14 (s, к) (11 Г1 ₽' + Ш1 ₽') I ехр {4 (0} | ^
^<u(s, WR'15 +Ш1Р)ехр{- *-||/,2+ *|<|2} =
= Си (S, к) (II t II2- в + п |i РI) ехр {- | 11L2}(/ ^ 0), (9.44)
если t удовлетворяет (9.37).
Далее заметим, что для произвольного неотрицательного целочисленного вектора Р такого, что 0 ^ | р | ^ s, имеем ,
ДР'(№,)№) = 0 [O^ip'l^s-'pl- 1].
Следовательно, применяя следствие 8.3 к g = D^hh находим, что
\D»hj^\^
^2"^j-SUP Г (^'5) (“0 : O^u^l}.(9.45)
IP' =s— P
Если же IP'| = s —'P|, то по лемме 9.4 [заметим, что неравенство (9.4) справедливо при ||/||=^d„J имеем
.(ДВ^ИиПЫ^^НиО^
= I (DP+P' log G,)| л-^2 л ^2с2 (s) ps, h
поэтому, суммируя неравенства (9.45) по /=1, ..., л, получим
^й(01^^М1ЬГР'( V ^у (9.46) ■VP' =<-,р/ь
В частности, при Р=0 из (9.46) вытекает, что
lAW^'-M. X<9'47’
\|P'1 = SP /
при соответствующем выборе постоянной с8(5, k\ Если а—Р = 0, то [используя оба неравенства в (9.47)] находим, что
iD^Cexp {/г(0} - 1) =
= |ехр {й(0} — 1 I ^ > ft(0 1 ехр {'ft (01} ^
dB (S, ft) ^^ 11Г exp J^-2 }.(9.48)
Если а> Р, то
D^fexp {Л (0} - !) = £>*₽ (exp {ft(0}).(9.49)
что является линейной комбинацией членов вида
(Dpift (О/1 ■ • • (D^h (ОУ' exp {ft (0},
где У /,р|- = а—р. Из (9.46) [и (9.13)] следует
|(DS-/i(0)'-...(D4^(0yd^
(s —2) (V /.— О s — 2+2 у /; —la—р
/rie(s. A)pv| t 1л$_2)]\1/1/1I^
n(^"2)/2 | „1/2|
"7&# P-О'Г M + M Г1 “^ ~2)-(9.50)
Поэтому, если а> P, то
DM (exp {ft (01 — 1)|^
^ C18 (s, ft) n-<*-2»'2Pi (J t^- M 4- ■ / «+1 =-p +2) exp Щ / |]2/8J
(9.51)
Используя (9.44), (9.48) и (9.51) в (9.40), находим
D“ ГТ G,- exp j- ^ + $ V n-/2 ^W
■ I ,\n№)2 •(r + 2)f
.7 = 1,- = 1
(9.52)(9.52)<^fe^(ll<r “ +^r|a'+2)exp{--^}.
(9.52)
(9.52)
Теперь, применив лемму 9.8, завершаем доказательство в случае V = B = I. Если V^I, то рассмотрим случайные векторы ВХЬ ... , ВХ„ и заметим, что Q С/(В//л1/2) Г — 1
есть харакюрпстическая функция вектора Z„ = л-1/2¥„,
где Yn = B(Xj+...+Х„). Кроме того, если кумулянт порядка г + 2 случайной величины (Z, Ху) обозначить через Хг+2,у(0« то Хг+г.Д^О будет соответствующим кумулянтом величины (/, В\) = (Bt, Ху). А
Следующие теоремы являются простыми следствиями теоремы 9.9.
Теорема 9.10. Пусть G — вероятностная мера на Rh с нулевым средним, положительно определенной ковариационной матрицей V и конечным абсолютным моментом порядка s при некотором целом s, которое не меньше 3. Тогда существуют две положительные постоянные с20 (s, k), c2i (s, Л) такие, что при всех t е Rh, удовлетворяющих неравенству
1П^с2о(8. ^) nI/2V,/(s-21,
для любого неотрицательного целочисленного вектора а, 0 ^ | а1 ^ s, справедливо соотношение
-— з °“рпЙ)-ехр{- i IН2} 2 n^PrVBt'.M 1 Х 'г=0
^ С21 (S, A) T)s/i-<»-8>/8 [IIГ Г а + Г PJ-2,+l а '] exp { - П Г/4[.
Здесь В означает симметрическую положительно определенную матрицу, удовлетворяющую (9.7),
Ъ = $||Bx|fG(dx),
и Xv есть кумулянт порядка v распределения G.
Доказательство. Заметим, что если / удовлетворяет неравенству ||/||^ ^i/z^—1/<$—2), т0 | G (BZ/n1/2) — 1 ^ ^(Bt, VBt)/(2n) = || t ^/(2п) ^ | ЛГ2^"2’ ^ 1 ^/<-2^ * , так как справедливы соотношения
$|Bx||2G(dx) = ^^[5|Bx||»G(dx)|2/s. а
Теорема 9.11. Пусть Xi, .... Х„ есть п независимых случайных векторов в Rk с нулевыми средними, ковариационными матрицами Уь .... У„ (по крайней мере одна из которых невырождена) и конечными абсолютными моментами порядка s, где s — некоторое целое не меньше 3. Тогда существуют две положительные постоянные cm(s, к), С2з(з, к) такие, что при всех / в Rb, удовлетворяющих
неравенству
111 «С с22 ($, ^ (л178Т]Г l/U-^U-Z)/^
для любого а, 0 ^ | а । ^ $, справедливо соотношение
‘’'[[РН^ X,)})
— exp j — ^j У rrr'2Pr(iBt: {xv})
^ с23 (S, £) T]sn-l$-2)/2 0 * Г1 ° + ^ ||3($-2,+! “ q ехр { - К Г/4} -
Используемые обозначения те же, что и в теореме 9.9.
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 9.9 (см. заключительные значения), достаточно рассмотреть случай V = B = I. В этом случае при всех t, удовлетворяющих неравенству IЛ ^[л1/2^71’—2)р*-2>/у, имеем
' ^п172;2n2n
t,2tE Xj s)2/s2nt,2tE Xj s)2/s2nt 21t 21
t,2tE Xj s)2/s2n
t,2tE Xj s)2/s2n
t 21
t 21
Завершая этот параграф, сформулируем еще одну теорему, которую легко можно доказать аналогично теореме 9.9, рассмотреЕ в разложении Тейлора на один член больше, чем в теореме 9.9.
Теорема 9.12. Если выполнены предположения теоремы 9.10, то
S—2-
^l6" (^) —ехР{— -У^} 2 п-^РД1В1-.\1^
^6 (л) л-14-2»72[II tГ' а +1 < b3(s-2’+ “']exp {— 11|2/4}, (9.53)
где 6(л)-*0 при л->оо. На самом деле неравенство (9.53) справедливо даже при s ^ 2, I a I ^ s.
Замечание. В предположениях теоремы 9.11 можно также доказать, что если
(9.54(9.54м„С82 (S. А) А-172(л*'2V -Д^-гу»-2)/^
(9.54
(9.54
Где Л есть наибольшее собственное значение матрицы V го
рараП' Hw* х#~
ра
ра
-ехр{- J- <t- W>} - V n^Prtit {Xv})r = 0
^e24(s, А)Л а /2n^'(J'2)/2[<t VO1^ а )/2 +
'9.55)'9.55)+ (/, vz><3<^—2,+' “ l)/2] exp /— ^ <t, 1/<>L
'9.55)
'9.55)
Для а = 0 это неравенство следует из теоремы 9.11 при замене Bt на t. Общий случай доказывается индукцией по а . Отметим, что производная О° берется по L Совершенно аналогичные замечания справедливы и в отношении теорем 9.10 и 9.12.
§ 10. Класс ядер
При а> 0 через U\_a. oj обозначим вероятностную меру на R1 с плотностью
U|-o, а'(х) = 1/(2а) для — а^х^а,= 0 для х >а.
Мера и^-п. ai называется равномерным распределением на [ — о, а]. Имеем
Ц-а. al (О = iQ $ cos tx dx = ^ (te R^. (Ю.2)
Вероятностная мера
Т^^/г.^(10.3)
называется треугольным распределением на [ — а, а]. Легко видеть, что его плотность есть
М*)=(1 — И/а)/° для |х|^а,10
= 0для х >а
и
Т^1^^^^ VeR^. (10.5) Положим
c(m)= aI-^ ^xl кт = 2, .„Y(10.6)
в*I
5 10. КЛАСС ЯДЕР97
Для а > 0 и целого m ^ 2 через Go, т обозначим вероятностную меру на R1 с плотностью
^.m(x) = ac(m)|^|m(хе/?1)(10.7)
Из (10.2) вытекает, что для четных целых т^2 Кмеем
ItT^Sv') <tGR^<10-8)
следовательно, по теореме Фурье об обращении [теорема 4.1 (4)] получим
6О, m (0 = 2лос (m) u*.^, а1 (0 VeR^, 10g) = 0, если | /1 та.
Пусть Zlf ... , Z* есть независимые случайные величины, каждая из которых имеет распределение G1№r. Sr, и положим Z = (Zn .... Z*). Тогда для каждого d>0
Prob (| Z I! ^ d) ^ k Prob (| Zi । ^ d/Vк).(10.10)
Таким образом, при произвольном а из (0, 1) существует постоянная d, зависящая только от к, для которой
Prob(|)Z||^d)^ 1-а.(10.11)
Заметим, что характеристическая функция вектора Z равна нулю вне I-L 1Г- Далее, пусть Ki обозначает распределение Z/d. Тогда
(10.12)(10.12)Ki<\x: 8х|^ 1[)^ 1 —а, Ai(/) = 0, если /е[ — d, d]*.
(10.12)
(10.12)
Таким образом, справедлива
Теорема 10.1. Пусть г — произвольное положительное целое и а е (0, 1). Существует вероятностная мера К\ на Rk такая, что
(1)(1)Кх (|х: |х||^ 1})^ 1 — а;
(1)
(1)
для всех неотрицательных целочисленных векторов Р, удовлетворяющих неравенствам 0 ^ ' р, ^ 2г — 2, и меем
^ I хр | Ki (dx) < эо;
4 Р. Н- Ь^аттачария, Р, Ранга Рао
Л1 (0 = 0 при t ^ [ — d, d)6, где d есть некоторая постоянная, зависящая только от а и г.
В качестве ядер нам потребуются также некоторые вероятностные меры, имеющие компактный носитель и быстро убывающие характеристические функции. В связи с этим докажем следующую теорему.
Теорема 10.2. Пусть и — действительная неотрицательная невозрастающая функция на [1, со) такая, что
(10.13)
Тогда для каждого />0 существует вероятностная мера К на R1, удовлетворяющая условиям-.
(2) |К(0|=О(ехр{-|ЛМ!'1)}) (|/|-^оо).(2) |К(0|=О(ехр{-|ЛМ!'1)}) (|/|-^оо).(1) носитель меры К содержится в I — I, /],
(2) |К(0|=О(ехр{-|ЛМ!'1)}) (|/|-^оо).
(2) |К(0|=О(ехр{-|ЛМ!'1)}) (|/|-^оо).
Доказательство. Определим невозрастающую последовательность неотрицательных чисел {а,: г^1} равенствами
а, = ей (го)/го, 1 ^ г =С г0,
= ей (г)/г.
где Го — положительное целое, выбранное так, что
а, = т(г0)+е
Пусть вероятностная мера К определяется как бесконечная свертка
К =U^—Д|> О|] * UV—П11 д,] *.. .
Ясно, что носителем К является отрезок
~ S а» 5 °J <= I —1* Л-~ S а» 5 °J <= I —1* Л-г=1 г = 1г=1 г = 1
~ S а» 5 °J <= I —1* Л-
~ S а» 5 °J <= I —1* Л-
г=1 г = 1
г=1 г = 1
Далее,
лю= П Sr ^1^.
г=1
Следовательно, для любого положительного целого s^ro имеем
'^^^П^^та5 = (м^ТГ|)
Г = 1
Зыберем теперь s = [| /1 и (| /[)], т. е. целой части числа /|и(|/|). Не ограничивая общности, предположим, что t1 и (| /1) -> оо при | /1 -> оо. Действительно, в противном случае можно заменить и^ на tii$= и (0 + (< + 1)-1/2 и заметить, что условие (10.13) выполнено для и тогда и только тогда, когда оно имеет место для щ. Отметим также, что (2) справедливо для и, если оно справедливо для щ (так как щ>иУ Таким образом, при достаточно большом | /1 имеем r0 ^ s ^ | (|, поэтому
I V / Iеи (s) | / | у—-
(|#|) +
Замечание. Приведенный выше результат принадлежит Ин- гэму [1], который также показал, что предыдущая теорема дает наилучшую возможную оценку скорости роста характеристической функции вероятностной меры с компактным носителем. Точнее, он доказал, что если и—действительная неотрицательная невозрастаюшая
ОО
функция на (1, со) такая, что J [u (0/1] dt=oo, то не существует ни одной вероятностной меры с компактным носителем, характеристическая функция которой имеет порядок О (ехр { — К и ( /,)) при |/|-»со. Заметим, что это также вытекает из следующего результата Винера и Пэли *).
Если f ^ L2 (а, со), то
Л <оо.Л <оо.(10.14)(10.14)С I log1 ? (0 11
Л <оо.
Л <оо.
(10.14)
(10.14)
3 i+<a
—ОО
Теорема 10.3. Для произвольной неотрицательной невозрастающей функции и но [1, оо), удовлетворяющей (10.13), и любого неотрицательного целого s существует вероятностная мера К на Rk с носителем, содержащимся в единичном шаре .S={x: |xj^ 1}, такая, что
|D“^(/)|^e(s, h, u)exp/—^ 1^10(16)1 (10.15)
при всех неотрицательных целочисленных векторах а = = (ах, ... , а*), удовлетворяющих неравенствам 0 ^ | а | ^ ^s. Здесь c(s, к, и) означает положительную постоянную, зависящую только от s, к и и.
Доказательство. По теореме 10.2 найдется мера
М на R1, для которой
М ({х: xeR1, |x|^^-1/4(s+ 1)-1})= 1,
'^(Ol^als, к, u)exp{— t\u< /,)} (/е/?1).
Положим Mi = M* |J+1’. Тогда
Mj(|x: xeR1, |x|^^-v^)= 1,М1^=(мт>+1 (t^R1);
поэтому при 0 ^ r ^ s имеем
| ^M^t) |^($+1Г£|ХГ M(0H<
(s+ l)r k-^ ($4- 1)-' | M (0' ^
^c2(s, к, у) exp { — J 1 w (| / !)}„
где X обозначает случайную величину с распределением М. Теперь определим К на R6 как произведение мер Mi х ЛДх ... х Mi- Тогда
К^х: x^R", Цх||^1})^
^А({х: х = (хь ..., Хк), Jx/I^Zr1'2 для l^i^^}) =
= [ЛМ{х: xeR\ \x\^k-v^)y=l
dtkkdtkk|DW)| =
dtkk
dtkk
^c^s, к, и)exp{~S I^1«C ^-1)> K = (^i. •••• tkteR^
при 0^|a|^s. ▲
Следствие 10.4. Для любого положительного целого числа s существует вероятностная мера К на Rk, удовлетворяющая условиям;
Кк\х: к«^1}) = 1.
для всех неотрицательных целочисленных векторов а, 0^ | а| ^s,
| D"A (0 j ^ с (s, k) exp {-11 |Va} (t E RkY
Доказательство. Возьмем в теореме 10.3 и(0 = к
= ^-чз на [1, оо) и заметим, что У, | ^-,1'а^1П1/2 ПРИ i = L
всех t = (/lt ..., tk) е Rk. ▲
ПРИМЕЧАНИЯ
§ 4 и 5. Материал этих параграфов о преобразованиях Фурье и Фурье—Стилтьеса достаточно стандартен и может быть найден в работах Крамера [3, 4], Чжуна [1] Феллера [3J, Кацнельсона [1] и Стейна и Вейса (1].
6. Лучшей ссылкой по неравенствам, приведенным в этом параграфе, является книга Харди, Литтлвуда и Полна [1].
§ 7 — 9. Идея о разложении функции распределения Fn нормированной суммы л независимых случайных величин в ряд У t(“r^Pr (—Ф: {yv}) впервые появилась и статье Чебышева [I];
позднее эти разложения независимо изучались Эджевортом (1J. Однако первый, строго доказанный результат об асимптотическом разложении функции распределения Fn при выполнении так называемого условия Крамера (20.1) (см. гл. 4) был получен Крамером с использованием асимптотического разложения характеристической функции Fn, которое также принадлежит ему (см. Крамер |1, 3], гл. VII). Теоремы 8.4— 8.6 уточняют (и обобщают на Rk^ результаты Крамера [3], гл. VII; аналоги теорем 8.7 и 8.9 при к=1 были получены Ляпуновым [2]. Существует много различных усилений классических результатов, с которыми можно, например, ознакомиться в работах Эссе- ена (1|, Гнеденко и Колмогорова (1J и Петрова (1J в одномерном случае; Рао [1], Бикялиса [3, 6] и Бхаттачарий [3] —в многомерном. Теоремы 9.9 — 9.12 обобщают аналогичные результаты Бикялнса [6].
10. Ядра типа К] (теорема 10.1) в одномерном случае использовались Берри [1] и Эссееном [IJ. Теорема 10.2 принадлежит Ингэму [1J.
ГЛАВА 3
ГРАНИЦЫ ПОГРЕШНОСТЕЙНОРМАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
Целью настоящей главы является оценка разности | $ fdQn — $ МФ | для широкого класса функций / на /?*; здесь Qn есть распределение нормированной суммы п независимых случайных векторов и Ф — стандартное нормальное распределение на Rk. Для ограниченной функции f оценка получается в терминах среднего модуля колебания / относительно Ф или супремума этого среднего по всем сдвигам функции f. Использование этих величин оправдано ввиду характеризации Ф-равномерных классов, данной в главе I. Кроме того, в большинстве случаев, представляющих практический интерес, эти модули можно эффективно оценивать. Для вывода оценок используются разложения характеристической функции Qn и ее производных, полученные в главе 1, а также некоторые неравенства сглаживания, доказанные в § 11. В § 12 получена классическая теорема Берри — Эссеена и указаны оценки для входящих в нее постоянных. § 13 посвящен оценкам разности [ $ fdQn — $ fd® | для ограниченных функций при условии, что конечны четвертые моменты. Доказательства в этом случае не только проще, чем доказательства общих результатов в §§ 15 — 17, но они дают также числовые значения постоянных, входящих в оценки. В § 14 получены оценки для усеченных случайных величин, которые позволяют доказать основные результаты § 15 о скорости сходимости для неограниченных функций f при условии, что конечны третьи моменты. После короткого параграфа, в котором показано, как изменяются результаты при различных нормировках суммы п независимых случайных векторов, в §17 рассматриваются некоторые важные применения теорем из § 15. В заклю-
чительном параграфе доказываются оценки скорости сходимости при условии конечности лишь вторых моментов.
Для облегчения понимания изложим кратко те основные идеи, которые лежат в основе достаточно длинных рассуждений, приводящих к основным результатам. Предположим для простоты, что {Х„: п^1} есть последовательность независимых одинаково распределенных (н.о.р.) случайных векторов с общим распределением Qv Пусть Qt имеет нулевое среднее, ковариационную матрицу 7 (единичная матрица) и конечный третий абсолютный момент р3. Через Qn обозначим распределение нормированной суммы п-‘/2(Х1+... + Х„). Если характеристическая функция (х.ф.) Qi распределения Qt интегрируема, то при всех л интегрируема и х.ф. Q„ распределения Q„. Поэтому, воспользовавшись формулой обратного преобразования Фурье, можно следующим образом оценить плотность hn обобщенной меры Qn — Ф:
|й„ k = sup | hn (у) | ^ (2л)-» |Q„ - Ф L (1) ueRk
Достаточно точные оценки разности Q„ —Ф в главе 2 (например, в теореме 8.4) дают |й„| = О(л-1/2). Поскольку равномерную оценку для hn нельзя интегрировать по неограниченному пространству Rb, для оценки вариационной нормы 1&-Ф1НМ1 оцениваем интеграл от |й„| по сфере S радиуса O(log1/2n) сверху величиной |йл|ооХ XVol(S), а интеграл по дополнению к S с помощью классической теоремы Берри — Эссеена и неравенства типа неравенства Чебышева. Чтобы оценка не получилась грубой из-за появления множителя vol (S) = О (log»/2n), предположим, что Qt имеет конечный четвертый момент, и используем теорему 8.5, прибавляя к Ф член [n^^Pit—Ф:{Х\})] и затем вычитая появившийся излишек, который имеет порядок п~1/2. В общем случае (т. е. когда х. ф. Qi может быть неинтегрируема) сглаживаем распределение Qlt свертывая его с гладким ядром Ке (вероятностной мерой с интегрируемой х. ф., у которой при малых е почти вся масса сосредоточена около нуля), и применяем приведенные выше рассуждения к (Q„ — Ф)*КВ» соответствующим образом выбирая величину е (зависящую от п). Неравенства сглаживания из § 11 позволяют оценивать возмущения, появляющиеся из-за свертки с Кв, и мы приходим к теоремам 13.2 и 13.3, в которых содер-
жатся оценки для |J/d(Q4 —Ф)| в терминах среднего модуля колебания со, или со* и и, (R6) — колебания на Rb функции Д Чтобы оценить [ $ /d (Q„ — Ф) | Для неограниченных функций f и в то же время ослабить предположение о конечности четвертых моментов (в случае ограниченных f), будем сравнивать меры || х t Qn (dx) и (х^Ф^х) при неотрицательных целых г точно так же, как выше сравнивали Qn и Ф. Поскольку при нечетных г преобразование Фурье — Стилтьеса меры Ц х f Qn (dx) не обладает такими же хорошими свойствами, как при четных г, заменим г на г0, где r0 = г + 1, если г нечетно, и г0 = г, если г четно. Как и выше, от vro = | х ||r« (Q„ — Ф) (dx) перейдем к сглаженной мере хГв * Ке и, применяя к плотности g меры v„*K6 лемму 11.6, получим
Iv^e^eHl^ii^^W max l^illi, (2) lp|=0, 6+ I
где g — преобразование Фурье g. По теоремам 9.9 — 9.12 оцениваем преобразование Фурье — Стилтьеса меры vr„ и получаем точную оценку для ||vru*/(e|| при условии, что интеграл ^ | х ||г« + 6 + 'Qi (dx) конечен (это условие обеспечивает существование производных D^g при |р| = &+1)- Чтобы ослабить последнее предположение, которое является достаточно сильным, переходят к усечениям случайных векторов (Х„: n^lj и применяют описанный выше метод уже к этим усеченным векторам. Различные леммы из § 14 дают возможность оценивать возмущения, появляющиеся в результате усечения. Как и в случае /"о = 0, на заключительном этапе (т. е. при оценке эффекта сглаживания с помощью КЕ) используются неравенства сглаживания из § 11. Таким путем доказаны основные теоремы § 15. Повторное использование метода усечения позволяет получить соответствующие аналоги, когда предполагается конечность абсолютных моментов лишь порядка 2 + 6 при некотором 6, 0^6<1; тем самым мы приходим к обобщениям и уточнениям классических одномерных теорем Ляпунова и Линдеберга.
§ И. Неравенства сглаживания
Леммы 11.1 и 11.4 показывают, как изменяется разность р — v между некоторой конечной мерой и и конечной обобщенной мерой v при свертке с вероятностной
мерой Ке, почти вся масса которой (при Малых в) сосредоточена около нуля.
Пусть / — действительная измеримая по Борелю функция на Rk. Напомним, что в главе 1 были введены следующие функции:
to/(Л) = sup {;/(*)-/(у) |: х, уе Л} (Лей6), Wf (х: в) = tof (В (х : в))(х е Rk, в> 0).
Определим также
Mf(x:e) = sup{/(y): уеВ(х:е)},
mf (х: в) = inf {/(у): уеВ(х:е)} (хе/?\ е>0).
Заметим, что
tof (х: в) = Mj (х: в) — т( (х: е) (xeRk,e>0). (11.3)
Функции МД- : в), тД • : в) полунепрерывны соответственно снизу и сверху для всякой действительной функции f, которая ограничена на каждом компактном подмножестве в Rk. Далее, соД • : в) полунепрерывна снизу. Это вытекает из следующих равенств:
{х: Mf (х : в) >с} = М {В(х: в): /(х)>с} (се R1),
х(11.4)
mf (х: в) = — М_$(х: в) (хе Rk, в>0).
Из указанных свойств функций МД-:е), т, (-:е), о>Д- : в) вытекает, в частности, их измеримость по Борелю для каждой действительной функции / на Rk, ограниченной на компактах. Напомним, что сдвиг fy функции / на y(eRk) определяется равенством
fyto = Hx-VW (x^Rk).(11.5)
Лемма 11.1. Пусть р — конечная мера их — конечная обобщенная мера на Rk. Предположим, что в —положительное число и К е —вероятностная мера на Rk, удовлетворяющая равенству
КЕ(В(0:в))=\.(Ц.6)
Тогда для произвольной действительной измеримой по Борелю функции / на Rk, ограниченной на компактах, справедливо неравенство
\\Гд^-х)\^и:6) + -си-2е),(11.7)
106гл. з. границы погрешностей
где
у (/ : е) = max ДО М( (• : е) d (р — v) * Кв,
-\т,(- : е) d (р - v) * Яв},g
т (f: 2е) = max ДО (Mf (• : 2е) — /) dv+,
S(f-m/(" :2e))dv+}
три условии, что | Mt (• : 2е) | и | пц (• : 2е) | интегрируемы относительно р и | v |.
Доказательство. Имеем lU-e^^Mf (• : е) d(p — v)*KB =
= $ [5Aff (у + х:е)(р —v)(dy)] ^(dx) =
= S \\M{ (yA-x: e.)p(dy)—^f(y)v(dy) —
- $ (Mf (y + x: e) - f (y)) v (dy)] KB (dx) За
^ 5 [V^^^-y^*^-
-$(Mf(yA-x:e)-f(y))v+ (dy)] KB(dx)^
^^^-^-\(МЛ- :2e)-f)dv*.(11.9)
Аналогично,
— Y(/: e)^\mf(- : e)d(p.-v)* KB =
= $[$№, (y + x:e)p(dy)-5/(y)v(dy) +
B (0: e)
+ $ (f (y) - mf (y + x: в)) V (dy)] KB (dx) ^
^td^-^A-^-m^- :2e))dv+.(11.10)
Из (11-9), (11.10) получим
— т(/:е) — т(/: 2е)^-у(/: е)-^ — mt(- :2s))dv+^^J/d(p —v)^y(/: eJ + ^Af/f- :2e)-f)dv+^
^у(/:е) + т(/:2е). a
Следствие 11.2. В предположениях леммы 11.1 справедливо неравенство
|$/d(p-v)|^y(/:e) + jto/(- :2e)dv+.(11.11)
Если дополнительно потребовать, чтобы f была ограничена и выполнялось равенство
(1112) то
|^fd(p-v)|=c
^2 (о,(/?*)|(^ — v)*/(e|+ ^ ю,(- :2e)dv\(11.13)
Доказательство. Неравенство (11.11) вытекает из (Н.7) и соотношения (11.3). Для доказательства (11.13) отметим, что в силу (11.12) имеем
\U-c)d(p-v) = $fd(p-v),
<й)-с (• : 2е) = wf (• : 2е),у (/— с: в) = max ^ Alz-c (• : е) d (р — v) */(„— \тм(- :e)d(p —v)*7(e}<
<sup{|f(x) — c|: xe/?*}|(P —v)*^el
при всех с в R1. Положив
с-1 (sup {/(*): хе/?6} + inf {/(х): xeR^ (11.14)
и заметив, что при этом значении с справедливы равенства
<йн (Rk) = му Ц^ = sup |f (х) — с: х е /?"| -
— inf {/(*)— с: xeRk\ = 2sup (|f(x) — с|: xs/?6},
получим (11.13). А
Следствие 11.3. Для любого борелевского подмножества А в Rk имеет место неравенство
р(Л)-*(Д)<4|(р-у)*Д,| + ?*(Д“\Л),
если р, v, Кв те же, что и в лемме 11.1, и если выполнено (11.12).
Доказательство. Неравенство (11.15) вытекает из (11.9) с / = /д, если заметить, что
У Л!,-,^- : 2e)d(p — v^KgS^Hp — v)*/(e|, как и в доказательстве следствия 11.2. А
Лемма 11.4. Пусть у — конечная мера и х —конечная обобщенная мера на Rk. Предположим, что е — положительное число и КЕ — вероятностная мера на Rk, для которой
а=КЕ(В(0:е))>1/2.(11.16)
Тогда при любой действительной измеримой по Борелю ограниченной функции / на Rk справедливо неравенство
|$fd(H-v)|^
(2а -1 Н [у* (/: е) + аг» (f: 2e) + (1 - а) т* (/: в)], (11.17) где
у*(/:8)-$ир{у(/,:е): yER"\, .
т* (f: 2е) = sup |т (fy: 2е): у е В6}.1'
Доказательство. Пусть
в = sup{|$^(р.-у)|:уе Rky
Сначала предположим, что
6 = sup{Jf/(p-v): ye /?fc}.(11.19)
Тогда для произвольного фиксированного числа г] найдется у0 в Rk такое, что
J^d^-vj^e-t].(11.20)
В этом случае
У* (/: е)^^^- : e)d(p.-v)*KE =
= S b^(y+x:e)(H-v)(d!/)]/<E(dx) +
+5[jA^(F+*:e)(R-v)(dy)]KE(dx)>
Rk\B <0: в)
^ \ [$fHy)i^№/)-$A/"(y)v(dy)-
5 (M<y. ky+x: ®) - ^ (y))v kdy)\ ^ v^+
+$ Wfu-to + x^v.^-^fyo^y-Vx^vCdy^ —
Rk\B (0 : в)
S (Mfif ku -I- X : 8) - fyu (у + A-)) V (dy)] Ke tdx) ^
^bJ J6-T1-S№<-(y + x:e)-
и (у)) v+ (d^)] Ke (dx) +$[- 6 -
Я*\В(0:е)
- $ ^hj- to + x: ®) - ^“ to + x) v+ (dy)] Ke (dx) 5=
5= J [б — T] — ^ (Al^, (y : 2e) — fyo (y)) v+(dy)]/(E (dx) +
B (0: e)
+$[—6 — t* (f: e)]/<E (dx) ^
Я*\В(0:е>
^ J [6-T]-T*(f:28)]^(dx) +
B (0 : e)
+ [— 6 — t* (f: e)J (1 — a) =
= [6 - 4 - T* (f: 2e)] a - [6 + t* (f : e)] (1 - a) =
= (2a — 1)6 —ат* (f: 2e) —(1 — а)т* (/ : e) — ат]. (1121) Поскольку т] можно взять сколь угодно близким к нулю, имеем
Y* (/: е) ^ (2а —1)6 — ат* (/: 2е) — (1 — а) т* (/: е).
Отсюда следует (11.17). Если вместо (11.19) имеем
6 = — inf {$ fyd (р — v): у е Я6},
то для произвольного фиксированного т]>0 найдем у” такое, что
-$f^d(p-v)^6-T].
Рассмотрим теперь —fy« (вместо fyc) и заметим, что ^-/„(^е)^ —т/у(-:е),
J^-^/J-8))^^(1122)
= $(7И_/у(.:е)-(-/у))^ (yeR^.
Проведя в точности те же выкладки, что и в (11.21), получим
Y*(f :e)^-$m/y0(:e)d(p-v)*/(e^
^ (2a—1)6 —ат* (f: 2е) —(1 — а) т* (/: е) —arj. д
Определим средний модуль колебания со. (е: р) функции } по конечной мере р, положив
± Bj (е : р) = J tof (х: e)p(dx) (е>0).(11.23)
Здесь функция / на R6 действительна и измерима по Борелю. Определим также ю* (в: р) как супремум введенных выше средних модулей по всем сдвигам функции f, т. е.
го* (в : р) = sup |Qfe (в! р): yeR^ (в>0). (11.24)
Следствие 11.5. В предположениях леммы 11.4 справедливы неравенства
|$/d(p-v)|^
^(2а — I)1 [у* (f: e)-|-cttof (2в, v*) + (l — а) ю*(в: v+)]^ < (2а - I)-1 [Y* (f: в) + ©f (2в: v»)].(11.25)
Если дополнительно потребовать, чтобы р (/?*) = v ^RN\ то
| [fd (р - v) | < (2а - l)-i [1 ю, (/?»)Ц(р - V) * /<в | +
+ ссю^ (2в I v+) -К1 — а) ©f (в i v+) j ^
< (2а - I)-1 [1 со, (R») Цр - v) * Ке |+©f(2e : v+)]. (11.26)
Доказательство. Это следствие выводится из леммы 11.4 в точности так же, как следствие 11.2 было получено из леммы 11.1. ▲
В заключительном результате этого параграфа получено соотношение между Li-нормой произвольной интегрируемой функции g и ^-нормами некоторых производных ее преобразования Фурьер.
Лемма 11.6. Пусть g —действительная функция в L1 (/?*), для которой
^xri|gr(x)|dx<oo.(11.27)
Тогда существует положительная постоянная с(£), зависящая только от k (и не зависящая от g), такая, что
lgli<c(A) max ^D^tOld/. (11.28)
I3l = o. fe+ i
Доказательство. Предположим, что производная D^g интегрируема относительно меры Лебега для 0^|Р|^А4-1 [иначе правая часть (11.28) равна +оо]. Определим множество
Д = (х: хе Rfe, g(x)^0}
и 2* квадрантов Еа, по одному для каждого вектора a = (alf ..., ак) (в Rk), имеющего в качестве координат
единицы и нули, положив
Е<х = {х = (Х1. •••• XkY Xj^O,
если j-я координата вектора а нулевая; х7<0, если j-я координата а равна единице, 1^/^Л}.
Поскольку преобразование Фурье функции
+(-П^х/Г1]g(х) (хе R*)
IV = i/ 1
имеет вид
Е с (а, 0, k^D»g, IP I =0. *4-1
где с (а, 0, ^) зависит только от своих аргументов (и не зависит от g), имеем
i5li = 5[ $ g^dx- J g(x)dxl =
“ [Д^а(А*\А)ПЕа ]
= Xl S - S \(l + |xi*+1)-41 + |xri)g(x)dx =
а \дПЕа (А*\А)ПЕа/
-SI S - S yi+ixi^Hx
“ \дПЕа (А*\А)ПЕа/
v-i / J
= SM - S \(1+|х|^)-1(2л)-»х
“ \ДПЕа (Кк\А)ПЕа/
xRexp{— i(t, x)}^ У c(a, 0, k) D^g^X dtl dx ^
L\IPI=O, *4-1/J
^ (1 + | x |*+1)-1 dx) c* (^) max | D^g (t) | dt. ▲
'*IP = 0, fc 4-1 J
§ 12. Теорема Берри — Эссеена
Пусть Р — конечная мера и Q — конечная обобщенная мера на Р1 с функциями распределения соответственно F и G:
F(x) = P ((— оо, х]), G (х) = Q ((— оо, х]) (х е R1).
(12-1)
Предположим, что Ке — вероятностная мера на R1, для которой
а=Кв«—е, е))>1/2(12.2)
при заданном е>0. Из леммы 11.4 легко получить неравенство
sup IF (х) — G (х) | teR1
^(2a-l)-4sup{|(P-Q)*Ke((—сю, х]);: хг^^Ч- + sup {'6+(х) —G+(у)х — у ^2е}], где G+ есть функция распределения меры Q+.
Однако при большем ограничении на выбор Q и ядра Ке это неравенство можно уточнить.
Лемма 12.1. Пусть Р — конечная мера и Q — конечная обобщенная мера на П1 с функциями распределения соответственно F и G. Если Q имеет плотность, ограниченную сверху числом т, и если Ке есть симметричная вероятностная мера на R1, удовлетворяющая неравенству (12.2), то
sup | F (х) — G (х), sS tsR1
^:(2а—1)~Ч sup |(Р —Q)*Ke((—°°. Аф' + атеЪ |xeR>1
Доказательство. Сначала предположим, что
6= sup |F(х) — G(х)[ = — inf (F (х) — G (х))(12.3)
xeR1reR1
При фиксированном т)>0 найдется х0 такое, что
F (х0) — G (хь) < — 6 +1].
Тогда
(Р — Q)* Ке((— сю, х0 —е]) =
= ^[F(xn —f —у) —G(xn —е —z/)] КЕ (dy) =
= $ [F(xo — в — у) — G (х0 - е - у)] Fe (dy) + В (0: е)
+$[F(x0 —е — с/) —G(xn —е —у)] АЕ(Л/)^
Ri\B(0:B)
^ $ [^to-GtXo-e-^JKB^ + fitl-а)^ в (0 : в)
^ 5[^(-Ко) —6(х0) + т(Е + у)1 Яв(^/) + 6(1 — ос)^
5 [— б + п + МЕ + г/ЯКв^ + би— а) = В (0: в)
= (—64-i]4-me)a4-m $ уКе ^dy) + 6 (1 - а) =
В (0 : е:
-= — 6 (2а — 1) + moa + т]а.
Следовательно,
6(2а—1)^ sup (Р — Q)» Ке^—оо, х]) + тое, (12.4) teR1
что доказывает лемму, если выполнено (12.3). С другой стороны, если
6= sup (F (х) — G (х)),xeR*
то при фиксированном q > О существует х0 такое, что
Р (х0) — G (х0) > 6 — тр
Тогда
(Р —Q)*Pe((—оо, хо + е]) =
= J [Р(Хо + е — у) — G(x0 + e-f/)]Ke(df/) + В (0 : в)
+$ [Р(Хо + е— у) — G(x0 + e-!/)]Ke(d!/)^=
2s $ И(*о) — GM — (е — y)m}RB(dy)~ 6(1— а)^ в (0 : В)
^(6 —т])а —ате —6(1 — а) = 6 (2а — 1)—ате —т]а; поэтому
(2а—1)6^ sup (Р—Q)*Ke((—оо, х]) + ате. ▲ xefi*
Лемма 12.2. Пусть Р —конечная мера и Q — конечная обобщенная мера на R1 с функциями распределения соответственно F и G Предположим, что
J|x|P(dx)<oo, J | х 11Q j (dx) < оо, P(P1) = Q(P1).
Если Q имеет плотность, ограниченную сверху числом т, и если КЕ есть симметричная вероятностная мера на R1, удовлетворяющая неравенства и
" а= Ке((— 8, е))> 1/2, ^|^e(0,d/<oo
при некотором е>0, то
sup jF(x)-G(x) ^(2а—1)*х хеВ*
X [(2л)-1 J 7 Г . (Р (0 - Q (0) Кв (0 1 di + ате]. (12.5)
Доказательство. По теореме Фурье об обращении, плотность обобщенной меры (Р — Q)*Ke выражается
в виде
(2л) ^ехр{— itx](P(t) — Q^Ke^dt (хе/?1). (12.6)
Легко проверить, что функция (12.6) есть производная функции
(2л)-1 $ ехр {- «х} (-1/)-1 (Р (0 —0(0) Кг ^dt 2(хе/?1).
Заметим, что
111-1. Р (0 - Q (01 = 15 Г1 (ехр [i/x] - 1) (Р - Q) (dx) | ^
^ J | х 11Р — Q | (dx) < оо.
По лемме Римана — Лебега [теорема 4.1 (3)], функция (12.7) стремится к нулю при |х|^-оо. Таким образом,
(Р - Q) * Ке ((— оо, х]) =
= (2л)1 $ ехр {- t7x} (- i^ (Р (0 - Q (0) Ке (t) dt, так как постоянная интегрирования равна нулю. Неравенство (12.5) теперь следует из леммы 12.1.x
Замечание. Если дополнительно к предположениям о Р и Q в лемме 12.2 потребовать интегрируемость их преобразований Фурье — Стилтьеса и выполнение неравенства
$1<Г1!^(0 —Q(0|»<co,(12.8)
то приведенные выше рассуждения дадут оценку
sup |F(x)-G(x)|^(2n)-if|/|-i|P (0-5(01». (12.9)
Лемма 12.2 будет использована ниже при доказательстве теоремы Берри — Эссеена. Ядро Ке есть распределение величины eZ/3,25, где Z —случайная величина, распределение которой имеет плотность gnMl задаваемую по формуле
gi/2.2 (х) = (2л)-1 [(у)-1 sin ^ (х е I?1). (12.10)
Напомним [см. (10.9)], что
Кв (0 = £1/2,2 (е^/3,25) = 1 - е I /1/3,25,
если |/|^3,25/е,(12.11)
■= 0, если | /1 > 3,25/е.
Непосредственное числовое интегрирование, проведенное достаточно точно, дает
а = КЕ^—е, е))=$gue, я (*)<&> 0,79. (12.12)
(|x K3.26J
Следующая лемма будет полезна при оценивании постоянных в теореме Берри—Эссеена.
Лемма 12.3. Пусть Р — вероятностная мера на R1 с нулевым средним и единичной дисперсией. Предположим, что F означает функцию распределения Р, а Ф—стандартное нормальное распределение на Rx. Тогда
sug |Г(х) — Ф(х) |^0,5416.
Доказательство. Сначала докажем так называемое одностороннее неравенство Чебышева
F^— xXOl^-1, l-ft^^l+x1)-1 (х2$0). (12.13)
Фиксируем х>0. Для каждого Ь^О имеем
\-Vb' = V.y-byPW^
^$ (y-byPldy^xA-bm-xy
(—00. — х]
поэтому
g (6) - (1 + ft*) (X+by* ^ F (- хУ
Функция g достигает минимума на [0, оо) при Ь = х~х и ^(х~1) = (1 + х2)-1, что дает первое неравенство в (12.13) [отметим, что при х = 0 соотношения в (12.13) тривиальны]. Второе неравенство получается аналогично (при рассмотрении РУ Итак, справедливо соотношение
F (—х) - Ф (—х) ^ (1 + х»)'1 - Ф (—х) ■■ Л (х)
для х^О, например. Супремум функции h на [0, оо) достигается в точке х0, для которой А'(Хо) = 0, или 2х0(1 + х®)-1 = (2л)—1/2е— ^/2. Вычисления приведут к значениям х0 = 0,2135 и h (хо) =0,5416, тем самым доказано неравенство
|Г(х)-Ф(х)=с 0,5416(12.14)
при всех х<0 [заметим, что Ф (х) — F (х) 0,5 при всех х^сО]. Неравенство (12.14) для х^О получается аналогично (при рассмотрении Р). а
Теорема 12.4 (теорема Берри — Эссеена). Пусть X!Х„ есть п независимых случайных величин, каждая из которых с нулевым средним и конечным третьим абсолютным моментом. Если
р^п^ ЕХ1>0,
1 = 1 то
sup | £„ (х) — Ф (х) | < (2,75) Z3 „,(12.15)
хе R1
где Fn — функция распределения суммы (пр2)-1/2(Х1+... . ..-|-Х„), а Ф — стандартная нормальная функция распределения и Ц.п есть ляпуновская дробь
к п = (рз/Р^) Я"^, Рз = П-1 2 £ I Х7 |»./ = 1
Если дополнительно к предыдущим предположениям потребовать одинаковую распределенность величин Хн..., Хп, то
sup | Fn (х) -Ф(х)|< (1,6) /З.п.(12.16)
хе^1
Доказательство. Для доказательства (12.15) сначала предположим, что р2=1. Для удобства обозначим
In = kn.(12.17)
По лемме 12.3 имеем
sup |£„(х) —Ф(х) | <0,5416,(12.18)
xeR1
поэтому можно считать, что
/„<0,5416/2,75 <0,196.(12.19)
Так как если (12.19) не выполняется, то (12.15) вытекает из (12.18). Пусть Рп обозначает распределение суммы n-1,a (X!+... + Х„). Возьмем
9
(12.20)(12.20)в = |(3,25)/„,
(12.20)
(12.20)
и пусть Ке есть распределение, описанное перед утверждением леммы 12.3.
Из леммы 12.2 и неравенства (12.12) вытекает, что sup |^„(х)-Ф(х)|^ хе Я1
^(О.бв)-1^(О.бв)-1(2л)-1 J{l/KO/ZJZn1}(2л)-1 J{l/KO/ZJZn1}х(1 -{/л|/|)л + (2л)-1/»(3,25)(0,79){/п .(12.21)х(1 -{/л|/|)л + (2л)-1/»(3,25)(0,79){/п .(12.21)Применяя теорему 8.4 с d = 1 и используя Н2.19), находимПрименяя теорему 8.4 с d = 1 и используя Н2.19), находим
^(О.бв)-1
^(О.бв)-1
(2л)-1 J
{l/KO/ZJZn1}
(2л)-1 J
{l/KO/ZJZn1}
х(1 -{/л|/|)л + (2л)-1/»(3,25)(0,79){/п .(12.21)
х(1 -{/л|/|)л + (2л)-1/»(3,25)(0,79){/п .(12.21)
Применяя теорему 8.4 с d = 1 и используя Н2.19), находим
Применяя теорему 8.4 с d = 1 и используя Н2.19), находим
Ii^(0,36)ln р«ехр{—0,3779/2}d/^(l,3118)/„.(12.24)
я*
По теореме 8.9 (с 6=1)
U^W3 J e-^dt^lT J We-f^dt-
{|,|>Z7,/3}h'>^,/3}
=3^exp{-|(-to}_
-3Z„(/-'»exp {- ' /-=л))<(1,9320)1„.(12.25)
118гл. 3. ГРАНИЦЫ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Опять применив теорему 8.9, на этот раз с 6 = 1/2, получим
/3= У l^-K1 —Ь»н|)л<
<|-2/яJe-^dt^
{ltl>(l/2)Z„*}
^WУ\t\e-**Mt =
{|/|>(1/2)£*}
= 16/2 exp |-yy-j ^(1,06)/„.(12.26)
Замечая теперь, что теорема 8.9 была доказана с помощью неравенства [см. (8.48)]
|Рл(0|^еХр{-4 + ||/|Чп},
которое справедливо при | /1 ^ у /я*, имеем
А^у^ У ехР {“ 4 +УI* |*ЧЛ-
{G1'>l<l«3/2)Z-*}
-^UУехр{-|/лр(|/П*-|1|)}Л^
{«S^i^KO/azs*}
<у/"уexpf-^Jd^-PI^-S
{z„‘<l»K(3/«G*} 2Г / Z—1X 1
<у In У ехр {- ^j и) du = 2/2 ^ (0,3920) /„.(12.27)
Наконец,
{|*1>^|/3}{|,|><71/8}
= 2^з ехр {- у /-=/»} ^ (0,8096) /„.(12.28)
Использование, далее, оценок (12.24) —(12.28) в (12.22) дает
/< (5,6064)/„.(12.29)
Объединив это неравенство с (12.21), получим
sup | Fn (х) — Ф (х) |(0.58)-1 р2л)-1 (5,5054) /„ +
+ (2л)-^2 (3,25) (0,79) | /„] < (2,676) /„,(12.30)
что доказывает (12.15) в предположении, что рг=1. В общем случае следует рассмотреть случайные величины Y/ = X//p^, X^j^n.
Теперь докажем (12.16). Опять предположим, что ЕХ1=1 и
1п^ 0,5416/1,6 = 0,3385.(12.31)
Как и раньше, нужно оценить /. Запишем
/</; + /;+/з,(12.32)
где
{|« К 2‘/2Z-»|
г4=$I А. (0/И (1 — 2/„ ] / !/3),(12.33)
{г1^,-*^,, ^0/2)/'*}
Г» =$|e-'V2/( (1-2/л,(|/3).
{г1^1 < । / к (3/2) /„*}
Полагая
a = £(exp|i/Xi/«1/2}), & = ехр{—(2/(2п)},(12.34)
имеем
Р„^-е-‘*^\ = 1ап-Ь"\ =
= | а - b П а""1 + ап-»Ь+...+6”-11.(12.35)
Далее, обозначив р3 = £ | X, |а, при всех ( получим
|а - Ь | ^ | а - 1 + (г/(2н) | +1 е-'*/2" - 1 + (’/(2п) | ^
^^Pз|(|■n-s/я^-^t4n-,,(12.36)
и для |t|^21/a/n* величина 1—(а/(2п) неотрицательна, поэтому
| а | ^ 1 - (а/(2п) + р31t \^п^) ^
^ 1 - (2/(2п) + 0,2358/8/п = 1 - 0,2642/a/n <
^, ехр {—0,2642(а//1}.(12.37)
120гл. з. границы погрешностей
Следовательно, полагая
с = 0,2642(12.38)
и используя (12.36), (12.37) и (12.35), имеем
|рп(0-^^2|^
+5 ехр/-^1=^2--М.(12.39)
\6п3/28п2/I п2n J'
Далее,
и — I
У, ехр {—(n—1 — г)с/2/п—г^/(2и)} = г = о
= ехр {(1/(2м) — с) t2} У ехр {— (1/2 — с) t2r/ri\ ^
^пехр {(^ — с)/2} ^ е c)txdx =о
= п ехр- с) /2}(12.40)
Применение оценки (12.40) в (12.39) дает
| On (0 - e-^/t I < (1/2 - с)-1 (Рз/(6п1/2) +1 / У(8п)) х х(ехр{—(с — 1/(2м))/2} — ехр {—(м— 1)/2/(2н)().(12.41)
Заметим, что в силу (12.31) справедливо неравенство p3n-V2^ 0,3385, поэтому п^9. Отсюда вытекает, что
R1
-еХР{-^^Л =
С1 Z"L 6 К2с "п")/ +
+ 24 UC 2п /( 2n ) J J ^
"^^2 С) Ч 6 1\2С 9) Ч +
+ 24 {?- /в)" -2}]^(1,465)/„.(12.42)
Действуя так же, как выше при оценке 14, получим
(
пЗ/2 \л(*>
j expj-f^x^•/^-‘clf <(3/2)^*}
х(| W - Н l)}dt ^ (0,0404) /„.(12.43)
Наконец,
Г, ^ (2-V2/n)2 (1 _7 ■ ^*/2 dt ^
{21/2/-* < 1t <(3/2)^'}
^ (0,00002)/„.(12.44)
Таким образом,
/^ (1,506) 1„(12.45)
и использование (12.45) в (12.21) дает
sup |F„ (х)-Ф(х)|^ xeR*
«С(0,58)-1[(2л)-1(1,506) + 0,6829]/п^(1,6)/„. ▲(12.46)
Вычисления, более аккуратные чем приведенные выше, позволяют уменьшить постоянные в правых частях (12.15), (12.16). В главе 5 будет показано, что в слх чае о. р. с. в. при выполнении предположений теоремы Берри — Эссеена существует конечный предел
d(P, Ф) = Нт Уп sup F„ (х) — Ф (х) |,(12.47)
п — оо хе ri
где Р есть распределение Xlt и что
sup-d(P, Ф) = -^±Я^ 0,409,(12.48)
Р Рз6 ) 2л
где о2 = EX' и супремум берется по всем Р с нулевым средним, положительной дисперсией и конечным третьим абсолютным моментом. Таким образом, (У10+3)/(б У2л) есть асимптотически наилучшая постоянная в теореме Берри — Эссеена. Известно также, что в общем случае н. р. с. в.•) справедлива оценка (см. замечания в конце этой главы)
sup | Fn (х)-Ф(х)'^ (0,7975) /3 „. (12.49) xeR1
♦) То есть в случае независимых разнораспределенных случайных величин. (Прим. перев.)
§ 13. Оценки скорости сходимости при условиисуществования конечных четвертых моментов
Начнем с леммы, которая будет использоваться для оценки ошибок аппроксимации.
Лемма 13.1. Пусть Х1е ..., Х„ есть п независимых случайных векторов со значениями в Rh, имеющих конечные третьи абсолютные моменты Рз,у (1 ^/^ л) и таких, что
ЕХ. = 0, п-1 5 Cov (X/) = /,(13.1)
z = i
где I—единичная матрица размера kxk. Как обычно.
положим
(Н-З).(Н-З).(13.2)(13.2)Xv./ = кумулянт X, порядка v (1^/^л),
(Н-З).
(Н-З).
(13.2)
(13.2)
Xv = n-* 5 Xv./ /=1
Ps = n-1 5 Р«.Л /=1
Тогда вариационная норма обобщенной меры Рг (—Ф: {Xv})» введенной в § 7, удовлетворяет неравенству
II Pi (~ Ф: {Xv}) II ^
«С [у (2л)-*/2 (4^8/2 + !) + (ле1/2)-1 ^1/2 ( 1 - 1) + + (КТ (^ - 3/21/2 + 2)] Р-<13-3)
В частном случае k = 1 имеем*
| Pi (- Ф: {Xv})l = | (2«)-v2 (4^/з + 1) | Из | «С
^ 1 (2л)-1/» (4е-з/2 + 1) р3,(13.4)
где рз = п~1 У, ЕХ/.
/-1
«-’ 5 EW.i^h^ i-i«-’ 5 EW.i^h^ i-i
«-’ 5 EW.i^h^ i-i
«-’ 5 EW.i^h^ i-i
Доказательство Докажем сначала (13.4). Из (7.21) вытекает, что
|/М—Ф: Ы1 = 41мз1 ( '^-Зх.'фДО^-
R*
-ylns’f ^ (Зх — х8) ф (х) dx+
Цо.з*/2]
+$ (Xs - Зх) ф (х) dxl = 5 (2л)-1-2 {[(х2 - 1) «г^з*/2 +
(З*/2, со)
+ [(1 - х2) е-'/2]^/2} I Нз I = | (2л)-^2 (4е з/2 + 1) | Из | ^
^ 3 (2л)1'2 (4^ 3^+ 1) ра, (13.5)
где ф — стандартная нормальная плотность на R1. Для произвольного к, используя (7.20), получим
l^i(-O:{Xv})l^
^6 [1Х(з.оo)l+---+ iX(oо.з)|] J |xs-3x,^(x)dx +
R*
+ у [I Х(з. 1. оО) I + I Хсз. о. 1. оо) I +• • •
•••+|Х(00.1,2)Ц $ 1*2 О -*DI Ф (*i) Ф (*2) dx! dxs+
R*
+ [I X(i. 1.1. оо) !+••• +1 Х<оо, 1.1.1) IXX 5 IХ1Х2Х31 ф (х^ Ф (х2) ф (х3) dx! dx2 dx3 ^
R*
I/9'38
У (2л)-1/2 (4^/2 +1) e„,! + (ле1/*)-1 e„.g + ^ 6„. 3. (13.6)
Отсюда, обозначая X/ = (XA1, .... ХЛ*) и применяя (6.21), находим
6„, i = I Х(з. о,.... о) I+• • • +1 Хюо, s) | —
= 5 П-1 S £X?_. ^n-1 5 2 £|ХЛ,|3^рз^р8, i = i i=i,=ii=i
бд, 2бд, 2X(2. 1. 0. ... . 0) I+•••+) X|0. ... . 0, 1. 1) | —
бд, 2
бд, 2
ккллR
к
к
л
л
^- У Iх/.-'!- У |Х,I'=li=l
£CXzpAV»lX/D- V
^ 6«»р8 - Л-^р8 = 6^2 (1 - 1/6) р„,(13.7)
6л. 8 — I Х(1. 1. 1. ОО) |+-• •+ | Х(0. ... 0. 1. 1. 1) I =
nI / А\зк/ к\
У £ S iX/.d -зу ХЦ у .Хм'1-|хЛн -
/ = 1L < = 1/i=l'i' = l'
- У I X/. i I8] ^ ^2р3 - Зб^Рз + 203 ^
^ (68/2 — ЗА1/2 + 2) р8. ▲
Введем теперь сглаживающую вероятностную меру К на Rk, плотность ф которой задается по формуле
к
^ W = п £« * (х«) Iх = (хь • • • • х») G ^1» (13-8) i=i
где а>0 и ga. 4 есть вероятностная плотность на R1, определяемая соотношением (10.7). На самом деле в этом случае можно вычислить значение постоянной в выражении для gOi4 и получить
^•-а^У te®R”>.(13.9)
Возьмем
а = j (-^-)1/8^/в = 2л-1/3А8/".(13.10)
Из (10.9) следует, что
К (/) = Р[ га 4 (6) = 0, если /’ —4а, 4а]6 =
= {/: |/,|^4а для l^i^6} [/ = уъ ..., tk) е/?"]. (13.11)
Заметим, что
(13.12)(13.13)(13.12)(13.13)/<({х:М^1})^ J ^^d»^ [ft 1/2, со)
(13.12)
(13.13)
(13.12)
(13.13)
[я* '^. со)
Поэтому
КЦх: |xi<l})^7/8.
В доказательствах приводимых ниже теорем будут использованы некоторые теоремы из § 8 с заменой 1$,п Ь>2) на n-^-^pg. В силу (8.12) такая замена возможна.
Теорема 13.2. Пусть Хг, ... ,Хп есть п независимых и одинаково распределенных случайных векторов со значениями в R* таких, что
ЕХх = 0, Cov(X1) = /, р4 = Е|Х1|«<оо. (13.14) Пусть Qn обозначает распределение суммы п 1/2(Хт4-... ... + Х„) и Ф — стандартное нормальное распределение на Rk. Тогда для произвольной действительной ограниченной измеримой по Борелю функции f на Rk справедливо неравенство
J fd(Qn - Ф) | ^ W/ Ц^ [(I co+fli (&)) p3n-1/2 + +oa(6, Рз, Pl) n-1(logn)*/2 + ^ n-^n-niogn)-1/8^- + ^ л ^^ (n log nY™ + ^ №*-«»» (f (|))'S 6„] + + 4 wZ ^^-^^Pan-1'4 : Ф),(13.15)
где юр определено в (11.24), с0 — универсальная постоянная в оценке Берри — Эссеена (12.49) и d (*) = д (2л)-1/2 (4с-8/2 + 1) + 4 (ле*/2)-1 ум» (1 - /Н) +
+ з (2/л)8/« (68/2 - 361/2 + 2), ^(А, рз, р4) = 4^(6 + 2)2*+1(Г(6/2))~Ч0,14 + р^
+ (0,19) (2,3)* A*/2 (k + 2) (6 + 4) (Г (6/2))"1PJ, (13.16) б„ = (log л)*/2$[ г*- V-o-264'" + rk-V^1 +
+ Pan-W^e-^dr.
Доказательство. Пусть Z обозначает случайный вектор с распределением К [см. (13.8) —(13.13)]. В силу следствия 11.5 (точнее, неравенства (11.26)] имеем
|$№-Ф)|^•
< 4 [4 ®/ (Я*) I №. - Ф) * Ке! + ®Г (2е :Ф)](13.17)
при всех е>0. Выберем
е = 4а&1/2р3(2п)-1/1.(13.18)
Тогда
Ле(П = О, если KI^(2n)Va/p8.(13.19)
Для каждого борелевского множества В и г^О положим
Вх^ВПВ^-г), Ва = В\Вх. (13.20)
Имеем*
|№,-Ф)*Кв(В1)'<
^ I нп * Ке (Bl) | + n-w | Рх (- Ф: {Xv}) * кй (Вх) I, (13.21)
где Hn = Qn — Ф — tr^Pv (— Ф: {xv}) и Xv есть кумулянт порядка v величины Xi (в выражение для Рх входят кумулянты только с | v = 3). Используя обратное преобразование Фурье и (13.19), получим
\Нп*К6 (Bi) | ^(2л)~* ^ (В,) $ | Нп (П Ке (t)\dt^
<(2л)-Ч*(Ва(Л + /2).(13.22)
где X* —мера Лебега на RN и (по теореме 8.5)
h =$l//„(0|d^
{Ut|Kn*/2/(2p*/2)}
<(°.14/» + ^-) ^ #1<ехр{-1|/||«}^ +
+ ^S- J |Пвехр{—0,383 ;^a]d/^
("^ + ^г)А (6 + 2) (2л)*/2 +
+ £?1(-та-Г2А1А+2)^+4) <13-23)
$ 13. ОЦЕНКИ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ127
и (по теореме 8.7)
$’.НЛП dt^
{л */2/(2р*/2) < || t II < (2n>!/2/ps}
^$ [exp {-0,264 /,2}4-
{lUII>n'/2/(2pl/2)|
+ (1 + 4 ”'1/2Рз II t ,8) exp {- |f t j8}] di =
-гл^Г^))"1 J p-le-0.264r- +
nl/2/(2pl/2)
4_/*-ie-U/2)r* _|_ ^ p^-i^fc+a^-ti^r*] ^ _
= гл*'2 {г (i))-1 6A. (13.24)
Таким образом,
{//„•^(B^K
^ 2"<*-2)/2 (Г (&/2))-1 (A + 2) (0,14/n + p4/(24n)) rk + + (0,14) (1,532)-*/2 (Г (&/2))-1 (A + 2) (A + 4) ^r6 4-
4- 2-1»"2*^1 (Г (A/2))-2 б^г*.(13.25)
Из леммы 13.1 вытекает, что
п-/2|Р1(-Ф:{Ху}),Кв(В1)|^
^ ^п-^2. Р1(-Ф:{Ху}) ^
^ | [ ^-(2л)- '/2 (4^- '/2 + 1) + (ле'/2)-16'/2 (1 _ Н) +
+ (2/л)3/2 (^3,2 _ 3^1/2 + 2)] Рзп-1/2 = а; (^) РзП-1/2, (iз,26)
где а{ (А) введено для сокращения записи. Далее,
I (& — Ф) * Яе (52) I ^ max {<?„ * Ке (5а), Ф* Ке (5а)} =5 ^ max {Prob (J п-1/2 (Х> 4-.. •+ Хп) || ^ г/2),
(•<р (х) dxl 4- Prob f I eZ |: ^ rA. (13.27)
(ll*ll>r/2)J'*
По теореме Берри — Эссеена имеем
Prob(ln-l/2(X1+... + X„) ^г/2)^
V Prob (IП-*/= (XLI. + ... + X„.,.)1
^ 2соРзП“1/2 + 4А3/2 (2л)~ '^г-1^г,/8*,
$ф(х)</х^4А3/2(2л)-|/2г-1^-^8'г, (13.28)
{||х||>г/2}
Prob (I1 eZ 8 2s г/2) ^ 512А4рЛ/(23/2лг3и3/2),
где Х, = (ХМ, .... X/-t), 1^/^п. Итак,
| (Оп - Ф) • Ке (В2) I ^ 2бор3п-'/2 + t^^ny^r'e-'1^ +
4-512^/(23/2лг8пЗ/2).(13.29)
Возьмем теперь
г = (8А log пУ'2.(13.30)
Тогда из (13.25), (13.26) и (13.29) следует, что
1«&,-Ф)*Кв(В1)|^
^ 2(*+i> (г(4 ^ k№ (А+ 2) (^ + -^) (iogпур + + (0,14) (2,3)*{Г (I))'1 №2 (А + 2) (k + 4) р^-1 (log пу<2 + + 2<ft+4)^(*-2>/2 (Г (У)-2 6; (log пУ'2 + а\ (k) рзп-'/2, (13.31) I (Qn — ф) * Кв (В2) I ^ гсоРзП-'/2 + Ал-1/2 (п log1 ^л)-1 +
+ 8л-1А5/2Рз (п log п)-3/2.
Поскольку
|((?я-Ф)*Кв' = 25ир{|(0,-Ф)*Кв(В)|: Ве^*\, (13.32)
используя (13.31) в (13.17), получим доказываемое неравенство (13.15). А
Из (13.15) нетрудно вывести существование постоянной Оз (А) (зависящей только от А), для которой
| $ / d (Q„ - Ф) | ^ ш, (/?») а3 (А) р4п-1'2 +
+ | ю* (г^л-'/ЗА^/ЗрзП-'/2 : Ф).(13.33)
Докажем обобщение неравенства (13.33), на случаи н. р, С. Д.
Теорема 13.3. Пусть Х1, .... Х„ есть п независимых случайных векторов со значениями в Rh таких, что
Е\ = 0 (1 ^ / ^ п),п-1 2 Cov (X,) = /,
,=1(13.34)
Р4 = л-1 У £ |1 X/1|» < ОО.
Г=1
Через Qn обозначим распределение суммы п~ш (X!+...+Х„). Тогда существует постоянная Оз(Е), зависящая только от k, для которой при любой действительной ограниченной измеримой по Борелю функции f на Rk справедлива оценка
| $ / d (Q„ - Ф) | ^ tof (Rk) а3 (k) р4п~^ +
+ 4 “* (27'2n-l'3A4'3p3n-1'2; ф).(13.35)
Доказательство. Будем использовать те же обозначения, что и в предыдущем доказательстве. Вместо соотношений (13.22)— (13.24) имеем
I нп * Ke (Bi) | < (2лГ* X* (Bi) (Ji + J,).(13.36)
Из теоремы 8.6 вытекает, что
Ji= J НДГ)^^а4Мр4п-\ (13.37) {«tiKyn'^/p]/4}
если [см. (8.30)]
РдП"1^!,(13.38)
и применение теоремы 8.9 с 6 = 3/2 —21/2 дает оценку
J^$\H„W\dt^
{j п,/4/р’/4<||<||< (2n)1/2/p3|
^|ехр{-=Д|<||21 +
{litII> i <«/р1,1/4|
+ (1 + 4 РзП',/2 II t li8) ехр{- 4 II t j2}] di < 06^ p4n-V {13.39)
Заметим, что на последнем шаге в (13.39) использовалос! неравенство (13.38). Возьмем теперь г = (8/г logn)1'2 и
5 Р. Н. Бхаттачария, Р. Ранга Рао -
получим
'Hn*Kt (Вг) I ^а8(k)^П-1 (log п^2 ^а7 (&) р4п"1/2 (13.40) и
I н„ * КЕ (В2) I ^ а8 (&) р3п-1/2 + &л~1/2 (и log1 /2 И)-1 +
Ч-влг^^р^л log п)-3/2 ^ ав (&) р4п-|/2.(13.41)
Заключительные рассуждения в точности те же, что и в предыдущем доказательстве. Легко проверить, что (13.35) имеет место с а3(&) = 2, если не выполнено (13.38). Таким образом, оценка (13.35) доказана для всех случаев. ▲
Точно так же, как и в случае н. о. р. с. в. (теорема (13.2), в теореме 13.3 можно вычислить числовые значения постоянных, содержащихся в правой части оценки (13.35).
Важным приложением доказанных теорем является их применение к классу '.’ всех измеримых по Борелю выпуклых подмножеств в Rfc. По следствию 3.2 (с s = 0) имеем
sup юЦс (2е : Ф) = supO((o’C)2e> ^-—(13-42)
CeVСе*1
Использовав это неравенство в теореме 13.3, получим
sup | Qn (С) - Ф (С) | ^ а10 (&) ^п-*»(13.43)
се*
В случае н. о. р. с. в. справедливо соотношение
lim sup V п I Qn (С) — Ф (С) | п-»оо Се*
^[ai № + -^ n-'W'3 £^±1р_]Рз1(13.44)
где Я1(&) определено в (13.16). Это вытекает из теоремы 13.2 и оценки (13.42), если заменить первую оценку в (13.28) на соотношение
QnQx: ||x||Ssy (8А logn)1^^»^-1/2) (n->oo), (13.45)
которое справедливо (см. следствие 17.12), если р3<оо.
$ 14. УСЕЧЕНИЯ131
§ 14. Усечения
Для доказательства оценок скорости сходимости для интегралов от неограниченных функций и для получения точных асимптотических разложений (в гл. 4 и 5) при ослаблении условия на моменты (а именно, требования конечности четвертых моментов) нам потребуются некоторые оценки для усеченных случайных векторов.
Всюду в этом параграфе Хг, ..., Х„ обозначают п независимых случайных векторов со значениями в Rk с нулевыми средними. Как обычно, запишем
Ра.у = ДХ“, Ха.у = кумулянт X/ порядка а,
ps.j = E X/f (i^i^n),
Ра — П-1^^.#, Ца =^ Xaj,(14 О
/=1/=1
Pi = п-г 5 р,., [а е (Z^k, s ^ 0].
/=■
Определим усеченные случайные векторы
Г Хь если X, ^п'/2,
7 ( 0, если IX/j^n'/2,(14-2)
Z^Yy-fY, (1^/^n)
и обозначим
Раа = Е7^, Ха./= кумулянт Z, порядка а,
р6“Л27г.
Ps = п-1 5 Е |I Z, 1», Ха = п-1 У Ха.у-/=■/->
Введем также
hn.,.$=$)Х,|'. Д„., = п-1 ^ Д„.Л,. (14.4)
Наконец, положим
V = и-1 У Cov (Ху) = ((и/у)), '='(14.5)
D = n-* У Cov (7,) = ((d,.,)).
Постоянные с зависят только от своих аргументов. б*
Лемма 14.1. Пусть р$<оо при некотором s^2.
(14.6)(14.6)Имеем
(14.6)
(14.6)
Р»,/— ЕI ^/ М“Ь^n.i.st Ап-$^^р$.
Если а—неотрицательный целочисленный вектор, для которого l^|a|^s, то
(14.7)(14.7)\ЕХ“ — ЕЧ^^п-^- “1>/2А„.л„
(14.7)
(14.7)
|£Y?-£Z?'^|a|(2i“ + l)n-‘s“ “i>'2A„.M.
Справедливо неравенство \ди-оа\^2п-^-^Ъп,я(l^i, l^k\ (14.8)
Если 2 ^ s' ^ s, то
£| Y/F^Ps'./, pi-. , = Е Zz s'^2s'ps-, „ p;^2s'ps,. (14.9)
Если s'^s, то
{i \ ^"l/2}+ n(s'-s)/2^jX/p^|en*^< X- ^n*^)^ n($' —sH2p$ ((0 ^ e ^ 1),p;.., = £ Zy^^^'EI YZF.{i \ ^"l/2}+ n(s'-s)/2^jX/p^|en*^< X- ^n*^)^ n($' —sH2p$ ((0 ^ e ^ 1),p;.., = £ Zy^^^'EI YZF.(14.10)(14.10)E\4,f ^^пчу-^$|X,f+
{i \ ^"l/2}
+ n(s'-s)/2^jX/p^
|en*^< X- ^n*^)
^ n($' —sH2p$ ((0 ^ e ^ 1),
p;.., = £ Zy^^^'EI YZF.
{i \ ^"l/2}
+ n(s'-s)/2^jX/p^
|en*^< X- ^n*^)
^ n($' —sH2p$ ((0 ^ e ^ 1),
p;.., = £ Zy^^^'EI YZF.
(14.10)
(14.10)
Доказательство. Соотношения (14.6) вытекают из определения. Для доказательства первого неравенства в (14.7) используем оценку (6.29) и находим
|£X“-£Y“ =1 J Х71^$(X,,pi^
|{х,. >п1/2| I {.х. >п|/2|
^n_ls_.al)/2Хд$ = п-У-а1>',2Дп)$.(14.11)
{Л/>",/2}
Для получения второго неравенства в (14.7) сначала отметим, что
|x“-z£, = |x“- ...х>-^'._. у“*| = = К' ---^У №-!/“») +
+<' - <У № - Уа^Й 1ЛЬ+---
< <’••■ <ЧК -^l^maxO^r*"', |1/к|ак-') + ...
max^x,"--', г/, р -') ] г/“2... У^^х,-^)!^
^|а|(||хр-'+|у| а|-')тах ||х, — i/J: l^i^A} (14.12) [x = (Xjxfc), 1/ = (1/1y^eR^.
Поскольку [в силу (14.11)]
|Y,J-Zyi| = |£Y/J^n-<s-|,/2An.,., (l^i^A), (14.13)
из (14.12) вытекает, что
|£Y“-£Z?|^
^laln-^-'^.^flYJ'"-'+£|lZ,p -'). (14.14)
Теперь
£цУур|-' = J ЦХ/р'-'^п*1"-W2, I \ <л''2}
IlfYJ^^IIY/H'/z,(14.15)
£||Z/pi-,^2“'-,(£| Y/p -Ч-^Уур -1)^
^2ia'n( «'—'V2. Следовательно,
| £Y7 - £Z? I ^ I a I (2 “ + 1) n-‘s- “ №/Vll$.
Далее имеем
Idjz-v/zl^n-1 5 c°v(X,.,-, X,.z) —cov(Y,j, Y,.z)| =
= n-15|£(X/J, Xy^-Y,-,-, Y,.J + £(Y,,t)£(YM)|^ /=i
^M-1 5 (п-1$-2>/2Д„.у.. + п'/2п->«-'>/2Дп.,..а = i=i
= 2п-‘$-2>/2Дп.,.(14.16)
Для доказательства (4) заметим, что [в силу (6.26)]
I Zz Г (I Y, | + (£ Y, О'2»'-' (| Y, Г + (£ I Yy |Т'2) -с
^2»'-‘(( У/Г+^П/П-
Утверждение (4) очевидно, а
Напомним, что норма матрицы Т размера кхк, обозначаемая [ТЦ, определяется по формуле
1Л = sup |7х|.(14.17)
■Е«*. Ilxll^l
Следствие 14.2. В предположениях леммы 14.1 справедливы неравенства
|(Л D/> —</, W>|^2ftn-(s-2>/2A„.s|/||«^
^ 2Z?n-‘'-2)/2p, [1f (/ e R^,(14.18)
так что
ID - V || ^ 2kn- ^-2>/2Д„ , ^ *Zkn-^-2,/2p,. (14.19)
В частности, если V = I и IS-HR
^.^~бк—-(14.20)
то матрица D невырождена и
3/4 ^[D ||^5/4, ID-11 ^4/3.(14.21)
Доказательство. Из (14.8) вытекает, что
Kt Dt)-(t, И>1 = S Ь1,№,-ииу^ (.1=1
( h 2
(14.22)(14.22)^2п-<$-2)/2Дп ,( У] /, |1 ^2^п-<'-2>/2дп J/[2
(14.22)
(14.22)
[на последнем шаге использовалось неравенство (6.26)]. Поскольку матрицы D, V симметрические, имеем |D-V|= sup |</, (П-У)О1^2Ап-<$-2)/2дп,. (14.23)
11<У«1
Далее, если V = I и (14.20) выполнено, то
|D-7|^l/4, 3/4^ D^S/4(14.24)
и
{t, D/)^HI2-4 m2= 4 И2-(14.25)
Из последнего неравенства следует, что D невырождена и |! О11| 4/3. а
В следующей лемме оценивается рост производных характеристической функции суммы ^'^(Zj-J-.-.+Zn).
Лемма 14.3. Предположим, что pf<оо при некотором s^3 и V = I. Пусть gf обозначает характеристическую функцию величины Z, (ls£/s£n). Тогда, если
Ш^л,/2/(16рз),Ш^л,/2/(16рз),(14.26)(14.26)
Ш^л,/2/(16рз),
Ш^л,/2/(16рз),
(14.26)
(14.26)
то для произвольного неотрицательного целочисленного вектора а справедливо
^(а, /’)(1+И«“)ехр{-1</, D/> + l|/p}. (14.27)
Доказательство. Из неравенства (8.46) вытекает, что
\gjktln'i2W<=
^ехр {— п'Е {t, Z^ +1 n^E | <t, Zj) |3}. (14.28)
Отметим, что
expjn^E^, Z,)2- у n^E\<t, Z,>|3}^
^ exp {ri-1 (E | </, Z,) |3)2/з _ | n-^E । </f Z/> |s| ^
(14.29)(14.29)(2)
(14.29)
(14.29)
^ sup exp <a8 —5 o3> = e'/3.
a>01 d )
Далее, пусть Nr есть произвольное подмножество в N = = {1, 2, .... п}, содержащее г элементов. Тогда в рассматриваемых границах (14.26) имеем
2
ieN\Nr 1'' 1
^ II expj-n-^^, Z,>»+ ^n^E\(t, Z/)!»}- ieN\Nr
= ехр -V. °0+ з= ехр -V. °0+ зn 3/2 V El y, zy)|s>xn 3/2 V El y, zy)|s>x
= ехр -V. °0+ з
= ехр -V. °0+ з
n 3/2 V El y, zy)|s>x
n 3/2 V El y, zy)|s>x
х | [ ехр{ п^Е (t, Z^ - f гг^^Е | </, Z;> Is! ^ i^Nr
{
91
- (t, Dt) + у n-V2p' || t |jS| en^
(14.30)(14.30)^exp{—(/, Df> + y^||aj-e^3;
(14.30)
(14.30)
на последнем шаге мы воспользовались (14.9) (с s'= 3) и (14.26). Отсюда следует неравенство
ПD<>+^/d* (14-31)
ieN\N, Х П
которое доказывает лемму при а = 0. Для доказательства леммы при ненулевом а заметим, что
I (Dmgj) (t/n^ | = n-*/2| E <Lhm exp {i <n-M4, Z,)}) | = = /г'/21 E [Z,,m (exp {/ (n-^t, Zy)} - 1)] | ^ ^п-^Е\Т,.т<п^Ч, Z^l^n •||/||£||Zyp^ ^4«-*p2.,^ || [Z, = (ZZ1Z,,»)];(14.32)
на последнем шаге использовали (14.9) (с s'= 2). Из (6.29) и (14.10) для любого неотрицательного целочисленного вектора 0 такого, что 10 | ^ 2, имеем
1№7)ам,/2)1^л-,₽/2^ |z?|^
^n-'S /2pfpi,/«216.1/1-^2у. (14.33) Таким образом,
| (D₽gy) (//п1/2)| ^ с2 (а, Л) и 1 р2., ПН (1^|0|^|а|), (14.34)
где
с2(а, A) = max|4, 2а|}, 11 [ = max {1, ПН}. (14.35)
каждое из которых имеет видкаждое из которых имеет видD^gilD^gilУ]"-[°В^(П1/2У|’У]"-[°В^(П1/2У|’(14.36)(14.36)По правилу Лейбница дифференцирования произведения п функций ID“ JJ gJ (//л1/2) есть сумма nlal слагаемых, \ / = 1 /
каждое из которых имеет вид
каждое из которых имеет вид
D^gil
D^gil
У]"-[°В^(П1/2У|’
У]"-[°В^(П1/2У|’
(14.36)
(14.36)
где Nr ={/,,..., jr\, 1 -■ г _ sc , к 0|, ..., 0г есть неотрицательные целочисленные векторы, удовлетворяющие
условиям
IP,-1^1 (l^i^r), V pf = a. (14.37)
Выражение (14.36) повторяется среди п “ слагаемых
ai!...a»!/ П И М (14-38) раз, где
a = («i«„),Р,-= (Рп, ..., Р,е) (l^Z^r). (14.39)
В силу (14.31) и (14.34) выражение (14.36) ограничено величиной
ехр{£ - 1 (t, Dt, + 4| t p} J | bh (14.40) ieN r где
bj = n~lc2 (a, k) p2,y-111(1^/ ^n).(14.41)
Следовательно,
^ 2 ^(^ r)exp{4“ 2 ^ №X + ||/P}x
I <r <|a|
x£*f 5 M, (14.42) MeN, /
где при каждом г символ S* обозначает суммирование по всем наборам г индексов из W = {1, .... л}. Поэтому
\leNr /\/=i/
= (с2(а, к) МНУ- (14.43)
Использовав (14.43) в (14.42), получим неравенство (14.27). ▲
138гл. з. границы Погрешностей
Следствие 14.4 Если кроме предположении чеммы 14.3 выполняется неравенство (14.20), то
s£c,(ct, A)(l+|/pi)exp{—5ЦП724}(14.44)
при всех t, удовлетворяющих (14.26).
Доказательство. Подставим (14.25) в (14.27). а
Нам потребуется также оценка разности между многочленом относительно кумулянтов суммы п 1/2(Х14-...4-Х„) и соответствующим выражением относительно кумулянтов H-V2(Z1+... + Z„).
Лемма 14.5. Предположим, что V=1 и при некотором s3^3 выполнено (14.20). Пусть vn .... vm есть неотрицательные целочисленные векторы, удовлетворяющие при некотором положительном целом г, \^r^s — 2, условиям
|v,-|^3 (l^i^m), П (|v,-|-2) = r. (14.45) i= ।
Тогда
| Xvx • • • Xvm - Ул, • • • xCm | ^ Q (s. й) n- ^s^ ^c4(s, ft) п-^-2>/2р^(14.46)
Доказательство. Сначала напомним [см. (6.14), (6.15)], что yvj при любом неотрицательном целочисленном векторе v есть линейная комбинация величин вида
^.Г-^р(14-47)
где ап .... ар есть неотрицательные целочисленные векторы и rlt ..., гр — положительные целые такие, что
р
^ r;a, = v(a,>0, l^i^p).(14.48)
< = ।
Следовательно, для оценки разности Xv./ —Xv., достаточно оценить
^а,. Г" ^аРр. / - ^ Г~ ^ j(14 49)
при выполнении (14.48) и 3^|v|^s. По лемме 14.1 (2) имеем
|Haj-Ha.ji^t&(a)n-'>-'av2^n,j.s (l^iaj^s). (14.50)
Используя (14.50) и (14.12), находим uri ,...игр . — р
S га («а гг <* ~ 4i d/2 д„.,., (| ^-. *|+| ^ -11) х
«£ с^—^^.Д'1.(14.51)
f = 1
где с? зависит от /, а и /-, и в силу (14.48) имеем
т,= У, г,-|а,'|— а,- = v| — 'aj. (14.52) i' = I
Ha последнем шаге в (14.51) использовались неравенства [см. (6.27), лемму 6.2 (2) и (14.9)]
Из (14.20) следует, что .
р,,у= J 1Х/|, + Д„.л,^л,/14-Дл./.,=с {1Х/М",/2}
^ п$№ + n^.s^ л511 + л$/2/(8А),(14.54)
поэтому
п- (s -' “/ D/Sp^f/" = п- о -1)/2р(1 v' - ai )/s ^
^n-(s-|“t-|)/2n(l''l-,“i|)/2(i + 1/(8^))<’ V' — “<I)/S^
^сДаь Jfe)n-(s-ivi>/2. (14.55) Из (14.51) вытекает, что
IXv./-X^./l^^(v, ^л-‘$-1у1>/2Дл.л„(14.56)
и, следовательно, усредняя по /=1, .... п, имеем IXv-x;i-Cc9(v, А)Д„,,п-<—I’D" (3^|v|^s). (14.57) Пусть теперь vn ..., v„ есть неотрицательные целочисленные векторы, удовлетворяющие (14.45). В силу (14.57)
справедливо неравенство
|xv1...xvm-x;,..-x^1^
^S се^”(14.58)
Из леммы 6.3 (и усреднения), леммы 6.2 (3) и леммы 14.1 (4) получим (напомним, что р2 = *)
1х^...х^_1хЦ...х;т'^
^ Ф, V, .. • р v.^ P'v.+1 . .. Р| vm | ^
^ С10 (s, Л) pt V, I • • • Pl vi x iP| V/+I |... Р| vm | <
^c„(s, fe)pf- '•.- +2)/u-2).(14.59)
Но из (14.20) вытекает, что
р,= ^ v Р,_, = «-* у; $iX/p+A,./., ^
1=''-' ipx^^ni/z}
^n-i^ n^v» J 1Х/Р+Д,.,.,
I-'1рХ,^^}
^М^+д„$5:(1 + 1/(8*)) п^1».(14.60)
Используя (14.60) в (14.59), находим
I Xv, • • • Xv;_,Xv,.+1 • • • XvJ ^ C12 (s, *) n ^~ I vi I+ 2V2. (14.61)
Подставив это в (14.58), получим (14.46). ▲
Предыдущие опенки приводят также к следующей лемме.
Лемма 14.6. Предположим, что V=1 и при неко
тором s^3 выполнено (14.20). Тогда для любого целого г, 0 ^ г ^ s — 2, справедливы неравенства
п-Нй | Р, (— <р : {Xv}) (х) - Р, (— Фо. d : {Xv} (х) | ^
^сю(г, k, s)A„.^-(i-2'/2(l+hir+2)x
х exp {—И х ||2/6+| х fl}(хе/?*)(14.62)
и
п-п» । pr (_ <р: |Xv|) (Х+а„) - Pr (— <р: {Zv}) (х) | ^
<cu(r. к, С)А, сл-и-®,/вН -li.v Яг ^х
^expj—Jx^-t-ixi,/^*12)j ЦсеК"), (14.63)
гдегдеап = п-^ 2 EY,./=)ап = п-^ 2 EY,./=)(14.64)(14.64)
где
где
ап = п-^ 2 EY,./=)
ап = п-^ 2 EY,./=)
(14.64)
(14.64)
Доказательство. Сначала получим одну вспомогательную оценку. При ге С6 положим
g (z) = 1 - (Det D)-l'2 exp U J *1 -1^ d^zA
' 1 = 1l^i. i'^fc‘
[z=(z1, .... z»)J.(14.65)
Тогда
15(2)1 =
2 2 4 i =12 2 4 i =1
2 2 4 i =1
2 2 4 i =1
^ | (Det D)-1^ - Г exp {J D 1 - /1 (| z p)} +
+ ’ || D"1 - 11 (| z p) exp {|| D* -11| (| z ||2)}
[z = (Ziz^gC],(14.66)
где Det обозначает определитель и du' есть (i, Г)-элемент матрицы D т. Из следствия 14.2 [с заменой ( на Bt в (14.18), где В2 = О-1] вытекает, что
<|^п-^2Дя.аЛа.(14.67)<|^п-^2Дя.аЛа.(14.67)| (t, D4) -1 / Р | ^ 2кп-^й Д„, J D-М (И Р) ^
<|^п-^2Дя.аЛа.(14.67)
<|^п-^2Дя.аЛа.(14.67)
что влечет за собой неравенства
| D-i -I1| кп- <-2>'« Д„.,1.(14.68)
Раскладывая далее определитель DetD и используя (14.8) и (14.20), получаем
| (Det D)-1/2 - 11 = (Det DYY/a | 1 - (Det DWa |
^ (Det Dy-w | 1 - (Det D)W | (1 + (Det D)1™) =
= (Det D/1/211 - Det D | ^ I' D1 p/2 1 - Pet D | ^
^^(S, ^) Дл,^-^-8^2,(14.69)
142гл. 3. ГРАНИЦЫ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Подставив теперь оценки (14.68), (14.69) в (14.66), находим
|g(z) | ^с1в (s, Л) Дп.^-и-2)'2 (1 +|Z||8) exp {-^} (И(zeC*).
Следовательно,
max | g (z) I ^
{z'eC6. Hz' — ?Kl|
cM (s, ^) Д„. sn- ^-Wa (2 +1 z Da exp^2^1^! ^
^q7(s, ^A^^-'^U+rzHexp^+lzl}. (14.71)
В силу оценки Коши (лемма 9.2) получаем
|£>v-°g(z) IsSc^s, к, V — а)Дя.^-^-2>/2(1+[г||2)х
х ехр {^ 4-2 2г ||}.(14.72)
Отсюда следует, что
!П'(<Р-Фо.о) W =| 5 Ci9(a)(O^)(x)(Dv~“g)(x)|sS
SC С20 (s, к) Д„. sn-^'a (1 -Н х Г +2) х
хехр{—~ + 'xl|(хе/?6).(14.73)
Л (— ф: {Xv}) =Л (— ф: {Xv}) =Напомним теперь из § 7 следующее равенство [оно получается путем объединения (7.3) и леммы 7.2]:
Л (— ф: {Xv}) =
Л (— ф: {Xv}) =
у * » Х^^т (— 1 /+»" DV1 + - + vmm\| — .vm/)
(14.74)
где 2* обозначает суммирование по всем наборам из т положительных целых чисел (/i, ..., /т), для которых
(14.75)
где £** обозначает суммирование [при фиксированных (/1. •••> /m)J по всем m-кратным неотрицательным цело-
численным векторам (vn ..., vm), удовлетворяющим равенству
1^1 = /« + 2(l^i^m).(14.76)
Функция Рг(—фо. o^lXv}) определяется аналогично путем замены Xv на Xv и ф на ф0.р в (14.74). Отметим далее, что |Xv, • • • XvmDV] + - +''"•Ф (х) - Xv, • • • XvmDv* + - +',,лФо. о (х) | <
I Xv, • • • ^^ + + Vm (<Р М - Фо. D (х)) | 4- 4|(Xv,.-.Xvm-x;,-..X;m)£V'^(хе/?*). (14.77)
По лемме 14.5 имеем
| Xv, -. - Xvm - Xv,.. - Xvm 1 ^ Q (S, 6) n- (^-2>/2 дл ,.(14.78)
Как и в (14.61), получаем
|x;,-.-Xvml^c21(S, k^rf»(14.79)
Используя (14.78), (14.79) и (14.73) в (14.77), находим | Xv, - • • XvmDvi + - + vm(J) ^ _ у^XvmDV1 + + VmTo. о (х) | ^
^ с22 (s, к^ kn, sn~ ^-'■-2 vz (1 +1 х t3^2) x
xexp{—|xj2/6 + |x|}(xeP*).(14.80)
Отсюда и из выражения для Рг, даваемого формулой (14.74), вытекает неравенство (14.62).
Для доказательства (14.63) сначала заметим, что по лемме 14.1 (2) справедливы соотношения
[ ал || ^н-1/2 2 | ENj |^к1^ Д„.$п-^г1 ^ (8^V2)-i. (14.81) » = |
Из выражения (14.74) и неравенства (14.79), которое остается справедливым, если убрать штрихи, получим
IР, (— ф : {Xv}) (х + ал) - Рг (— ф: М (х) | < ^^(s, &) и'72 max {| Р'ф (х-|-ал) — D^ (х) | :0^|v|^3r}.
(14.82)
Далее, Dv<p = qvtp, где qv есть многочлен степени |v| с коэффициентами, зависящими только от v и к, так что I Dvtp (х+ал) — О'ф (х) |
^1 q^ (х + ал) - qv (х), ф (х) 4-, qv (х-|-«л) 11 ф (х + нл) - ф (х)|.
*(14.83)
Но из (14.12) и (14.81) вытекает, что
| (х+ал)" - х“ | ^1 а I0 х+а„ Л1 “'-1 + Л хЛ1"'"1) Л <Ь I ^
^с24(а, фЛ^п-^/’ф+ЛхГ'-1) IxgR^ (14.84)
и
|(х+ал)“[ф(х+ал)-ф(х)] =
= |(х+ал)аф(х)| |ехр {—|х+алЦ2/2 + ^х||2/2}— 1|< =£5 (х+ал)“ф(х) у(|х+ал|2-Цх||2)х
хехр^— 4k+oJI2 + 4nxll2}
=51 (х+а„)“ । ф (х) Г ап I (1 + Л х D exp {| ап (1 + Л х |)} ^
хехр{- 1лхЛ2+^}-хехр{- 1лхЛ2+^}-(14.85)(14.85)^ с25 (а. 6) А„. sn-^-W2 (1 + Л х Л'а l+I) х
хехр{- 1лхЛ2+^}-
хехр{- 1лхЛ2+^}-
(14.85)
(14.85)
Используя соотношения (14.84), (14.85) в (14.83), получаем
Dv ф (х + ал) — О^ (х) =5 см (v, ^ kn. sn-^-^'2 х
х (1+1х Л'v '+1) exp { - 4 IIX li2 + л X ||/(8^* ^l^.(14.86)
Наконец, подстановка (14.86) в (14.82) дает (14.62). ▲
Оценка для абсолютных моментов сумм независимых случайных величин потребуется при доказательстве важной леммы 14.8. Эта оценка доказана в следующей лемме.
Лемма 14.7. Предположим, что V = I и при некотором целом s^2 выполнено (14.20). Тогда существует постоянная с^Дг, s, Л) такая, что
Е|Х,+ ... +Х„Г ^с27(г, s, Л) и"2(14.87)
для l^r^s.
Доказательство. В силу леммы 6.2 (2) достаточно провести доказательство при r = s. Для r = s = 2 неравенство (14.87) очевидно. Поэтому предположим, что s ^ 3. Из (6.26) вытекает, что
ik i п\2\S/2
ЕЛХ1+...+Хл||^ = ЕЕЛХ1+...+Хл||^ = Ек^^-2)/а 2 Ек^^-2)/а 2 Еtetex,.,. ^4=1 .< = 1/ /
ЕЛХ1+...+Хл||^ = Е
ЕЛХ1+...+Хл||^ = Е
к
^^-2)/а 2 Е
к
^^-2)/а 2 Е
[Х, = (ХЛь .... Ху.й)], (14.88)
следовательно, лемму достаточно доказать при k— 1. Если s — четное целое число и & = 1, то по теореме 9.11 имеем
гг^Е^гг^Е^+х„у+х„уs —32 n-m!»D=gm (0) m=0s —32 n-m!»D=gm (0) m=0+ c2s (s) n-^-^^ps.+ c2s (s) n-^-^^ps.(14.89)(14.89)
гг^Е^
гг^Е^
+х„у
+х„у
s —3
2 n-m!»D=gm (0) m=0
s —3
2 n-m!»D=gm (0) m=0
+ c2s (s) n-^-^^ps.
+ c2s (s) n-^-^^ps.
(14.89)
(14.89)
где
gm (0 = Pm (it: IXv}) exp { -1^ (t s R1). (14.90)
Из леммы 9.5 (с Л=1, a = s, z = 0) и неравенства (14.60) следует, что
|^gm(0)|^c29(m, s)p^/<s-2> ^Сзо(т, s)nm,a,Ps ^ у nts-2)/2 (0 ag zn =с s — 3).
Итак, лемма доказана при целых четных s.
Далее предположим, что s —нечетное целое, s^3 и ^=1. Ясно, что
£|Х1+...+Х„ |»^£|Z1+...+Zn|J +
+ £|(X1+...+X„r-(Z1+...+Z„)%(14.92)
По лемме 14.3 [неравенство (14.27) с ^=1, а = $4-1, 1 = 0] имеем
Е | Zi + ... + Z„ |s ^ (Е (Zi + ... + Zn)s+i)^(^« ^
^c31(s)/i^a.(14.93)
Далее,
е । (х, +... + х„у - (zx +... + г„у । ^
=^ 2 ■£ I №i + • • • + X/+Z/+1 +... -1- 1пу— /=1
— (Xi +... + Ху--1 + Z,- +... + Z„)s | ^
<2 2 C)£|W-Z")(X-+- ;=1 т=1
... +X,-1+Z,„+... +&)»-";-
-ss/:)^ xr-zr|X
X £ I Хт + ... + ХЛ1 + Zy+1 + ... + Z, I»-”.(14.94)
146146гл. з. границы погрешностей
146
146
Из (6.26) и (14J.4) вытекает, что
Е | Xj + ... + Xy-i + Z/+1 + ... + Z„ Is m ^
2s-"1-1 (Е | Хг + ... + X,- + Zy+1 +... + Z„ Is-"1 + Е | X,-Г”)^ ^ ^-ie | Xt + -. - + X,- + Z,+1 + • • • + z„ rm +
_|_ 2$-m-l ^ n(s-m)/2._|_ 2$-m-l ^ n(s-m)/2.(14.95)(14.95)
_|_ 2$-m-l ^ n(s-m)/2.
_|_ 2$-m-l ^ n(s-m)/2.
(14.95)
(14.95)
Положим
Vj =
= n-1 (E I X, r + ... + E | X,. Г 4- E | Z,41 Г +...+E I Z„ n. (14.96)
Используя лемму 14.1 и неравенство (14.20), получаем
T^a^n-ty, ЕХ-=\, EZi+.^E^+i^EXl+i, (14.97) i=i
т2,у = и-1[Е(Х)+ ... + X“)-E(X/+I-EZJ+1)- ...
...-№ - EZ^l-rr^n-E(X)+,-Y?+i)-...
... - E (X^ - Y=) - (E Y,+1)= - ... - (E Y„)2] 3=
> 1 - r* J п-и-2)/2дп у. s - n-1 ^ n-^-^A^. b s ^ i=l/=i
^ 1 - 2A„. 5и-^-2>/2 ^ 3/4,
тг.у^л-1[£|Х1Г+...+Е|Х/Г +
+ 2" (E| Xm Г + ... + E | X„ JO] ^ 2'<pr.
Рассмотрим случайные величины
Применение теоремы 9.11 (с ^= 1, a = s— 1, ( = 0) к этим случайным величинам дает
пs — m., п . S— К <s — mwy — 1)
Sw,<£Sw,.
<—1v = l //
^ (c32 (s) п'$-1>/2)(5-т)/<»-1) =
(14.99)(14.99)= сзз (s, m) n’ s-m>/4 (1 ^m^s).
(14.99)
(14.99)
При получении этих неравенств мы действовали точно так же, как при доказательстве для четных целых s. Точнее, использовались леммы 9.5, неравенства (14.89), (14.91) с заменой X на W, ps на тЛ ,/т^., также использовались неравенство (14.97) и видоизмененные многочлены Рт, соответствующие кумулянтам векторов W, 1 -с 1s~ п. Следовательно,
(14.100)(14.100)£|X1+.„+X/ + Z,+1+... + Z„p-™ =
(14.100)
(14.100)
= T^-mV2E у W,-1 = 1
^С34(х, ГП)Пи-т'га (
Подставив это неравенство в (14.95), получим
£|Х1+... +X/_1 + Z/+1+...+ZnM"'"^£|Х1+... +X/_1 + Z/+1+...+ZnM"'"^^с35(s, т) п^~т,>,а (1 ^m^sY^с35(s, т) п^~т,>,а (1 ^m^sY(14.101)(14.101)
£|Х1+... +X/_1 + Z/+1+...+ZnM"'"^
£|Х1+... +X/_1 + Z/+1+...+ZnM"'"^
^с35(s, т) п^~т,>,а (1 ^m^sY
^с35(s, т) п^~т,>,а (1 ^m^sY
(14.101)
(14.101)
Далее, из леммы 14.1 и неравенства (14.60) вытекает, что
У £|X,--Z,|^y (£]Х,-¥, + £¥,|) = /=|/=1
= у/ 5|XZ+|EY,.|\<
У (п ^ЕХ^ + п-1^) = 2п^а, /=1
У £|X;-Z;|^2V ЕХ;=2п, /=|/=1
У ^Xy-Zy^y (£|Х,|"Ч-2"-£|Х,Г) = /=|/=1
= (1 + 2т) прт ^ (1 + 2m) пр^*-2W-21 ^
^\ + 2т)П^П^т-№21 =
^Caets, m)nmJt CS^m^sY (14.102)
Использование (14.101), (14.102) в (14.94) дает
£ | (Xi + • • • + Х„У - (Z! + ... + Z„)-1 ^ св1 (s) п?!'. (14.103) 10*
Объединив это неравенство с (14.93), получим
PIX^...+Xn|^C3S(s)^/2,(14.104)
что завершает доказательство леммы. ▲
Прежде чем формулировать следующую лемму, определим
Д„.,(8) = п-1£$|Х, Г (е>0).(14.105)
{ЦХ/^"''2}
В этих обозначениях
АП,5 = Д„.Д1).(14.106)
Пусть Qn есть распределение суммы п-1/2 (Хг + ... + Хл) и Qn — распределение п 1/2(Y,-)-..• + Y„).
Лемма 14.8. Пусть V = L Если р^<оо при некотором s^O, то существует положительная постоянная cM^s, £) такая, что
lQn-Qn|^c39(s, й)Дл.^-<-2>/2.(14.107)
Кроме того, найдутся две положительные постоянные ci0(s, k), c«(s, й), при которых, если
A„.s(2/3)^c40(s, Е^1-1^(14.108)
для некоторого целого s^2, то
$II х Г | Qn - Q„ I (dx) ^ c41 (s, 6) Д„, ,„-(—*)/= (14. Ю9) при всех г e (0, s].
Доказательство. Пусть G, обозначает распределение вектора n^Xj и G' — распределение n-1/2Y,, X^j^n. Тогда
Qn = G1*Ga*...*Gn, Qn = Gi *Ga *...*Gn (14.110)
iQn Qn | =
= У Gi *... * GM * (G, — G^ * Gj+1 *... * G„ |
^5 |g,-g;ii=2 2 P(ix,n>ni/2)^ /—ii=i
в2 2„"’ J 1Х,|>-=?Д„,,«»-=«»,(14.111)
что доказывает (14.107). Предположим теперь, что s— целое, s^2. Поскольку k If ^ * + k IIs при O^r^s, оценку (14.109) достаточно доказать при г = 0 и r = s. В случае г = 0 неравенство (14.109) совпадает с (14.107). Следовательно, (14.109) нужно доказать только при г = = s. Имеем
$кГ !&-<%!
^ S J kF i Gj *... * G/-i * (G, — G') * G'+ 1 *... * Од | (dx) ^ 1=1
<S $($к + ^ G,-G,"|(dv))x /=1
х Gi *... * G/-i * Gk । *... * G,” (du) ^
s^S^1 2 (ll G, — G' Ц $lk if Gi *...* G,_! * Gki /=i
...*G:(dи)4-$kl, 6,-G; (du)).(14.112)
Далее,
J к If g,-g; (dv) =
$ k-wXzF = n-^.,^(14.113)
{I'kl^1'2}
Итак,
J||wII1 Gi *..• *G/-i*Gk। *...* Gn (du) =
= E|/i-^(Xk... +X/_1+Ym+...+Y„)r^
^ 2-1 (E || ir^ (Xi + ... + Xy + Y/+1 + ... + Y„) |p +
E || n-^Xj |p) ^ 2®”-» (E | п-ч» (Xx + ... + X, + Z/+1 + • • •... 4- Z„ |p +1| n^*» (EMm + ... 4- Е\п) П 4-
ч-г^к-^Х/Г.(14.114)
По лемме 14.1 имеем
k-1/a(£Y/+1 + ...+EY„)|p^
^[n-^va^is-D/a^ Дл.,,^ =^in-^i»An,,y. (14.115)
\l=i ' I
Из неравенства (14.54) вытекает, что
f [n-^Xj js sc n $/2 (n^24- Дл. i
^1 + л-^-8^ДЛ|#.(14.116)
150ГЛ. 3. ГРАНИЦЫ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Оценим теперь Е [ Хт + ... + Ху + Zy+1 + ... + Z„ |f, используя предыдущую лемму. Для этого сначала предположим, что ^=1, и определим тгу и случайные величины W, так же, как в (14.96), (14.98). Заметим, что
S IW.P-t^ $|Х,-|»(l^i^/),
{|w,..>n«/2}{x<i>4.,2,n'/2}
’(14.117)
{^,|>„1/2}||Zi|>Il/2„l/2|
S1^1' +
[{|У,|>Т1/2„1/2_ EY, |
+ I ENi I» P (I Y, I > T«/2nV2 _ | E Y. |)j(/ + 1 ^ i ^ ny
Выбрав c40(s, Л)^1/(8Л) [в силу (14.97) и леммы 14.1], получим
Т^2 ^^ (3/4)*^2*
IЕ Yi I ^ n-^^A,,. ь , ^ п-^/^п,, < nV2/8i т^.п^ -1 £Y, | ^ 2n>/2/3,(14.118)
| EY, Г Р (| Yf | > т'/2и>/2 - | ENt |)
(п >/2/8)» Р (I Yi I > 2п'/2/3)
^ (n1/2^)» Р (| X, | > 2п*/2/3) ^
SC ^/ву ^п^^/зу1$| X,. I» ^
{[ Ху|>2л1/2/з^
^(3/16Г$ •|Х< Г.
{| Х,| >2п>/2/3}
$lY,!^$IX,!-
{' V,^1^”^2-IEYil} Il х<|>2л*/2'3}
Следовательно, взяв c40(s, &) = (3/4),/2(16&)-1, получим
„_! V|W,r^T-722An ^_^t
#-.t|W<l>-,,8}
(14.119)
поэтому, применив лемму 14.7, находим, что
Е, Xi + .,. + Ху + Zy+i + ... + Z„ |5 =
= t^E|W1 + ... +W„ |'^
^ E | W, + ... + W„ |^ c^ (s) n$№.(14.120)
Покоординатное использование этой оценки при произвольном к дает
EU ^ЧХа+... + Xy + Z/+1+... +Z„)l^C43(s, к).
(14.121)
Из неравенств (14.115), (14.116) и (14.121) вытекает, что левая часть (14.114) ограничена некоторой постоянной (зависящей только от s и ку Объединяя этот факт с (14.113) и (14.111) и используя (14.112), получаем
$ix^|Q„-Q„|(dx)^c44(s, Е)Ьп,$п-^<». а (14.122)
§15. Основные теоремы
Наконец, все готово для доказательства двух основных теорем этой главы, которые дают оценки для |§MQ„ —$/^Ф| лля (по существу) всех Ф-непрерывных функций f, которые интегрируемы относительно Qn при данных моментных условиях. Оценка, доказанная в первой теореме, которая намного полезнее второй, в общем случае неулучшаема, и предположения первой теоремы не могут быть ослаблены (по крайней мере до тех пор, пока нам нужны оценки, содержащие одни моменты). Полезность второй теоремы объясняется позднее.
Будем использовать те же обозначения, что и в предыдущем параграфе. Для удобства ссылок повторим некоторые из них. Напомним, что Хь ... , Хл есть п независимых случайных векторов со значениями в Rh, для которых
ЕХу=и (1^/^/z), n-1 VCov(Xy) = /, (15.1) /=1
(15-2)(15-2)на Rfe(15-4)введем(15.5)(15.6)на Rfe(15-4)введем(15.5)(15.6)
(15-2)
(15-2)
на Rfe
(15-4)
введем
(15.5)
(15.6)
на Rfe
(15-4)
введем
(15.5)
(15.6)
/ - единичная матрица размера кх k. Моменты и кумулянты векторов Ху обозначаются, как и в (14.1). В частности.
Р^п^У f II Ху |Р (s>0), /=i
Xv = П'1 s Xv./ [v е (Z+)»], /=i
где Xv.y есть кумулянт Ху порядка v. Соответствующие величины для центрированных усеченных случайных векторов Z, (1^/^п) определены в (14.2) и обозначаются через р', %v Напомним также обозначение
О = п-1 5 Cov (Zz).(15.3)
/=i
Пусть Q„, Q„, Qn означают соответственно распределения сумм п-1/2 2 Ху, п-1/2 У, Zy, п-1/г У, Yy. Как обычно, Ф /=i/=i/=1
есть стандартное нормальное распределение на R” и Фо.у— нормальное распределение со средним а и ковариационной матрицей V.
Для произвольной действительной функции / определим
Mr<h= sup (l+kD'M/'WI, если r>0, xeR6
Мо(Ь= sup |/(x)-/(j/)| = toy(/?ft). x,yeRk
Если v есть конечная (обобщенная) мера на Rk, то новую (обобщенную) меру vr по формуле
v,(dr) = (l-HxOv^), если г>0, v0 = v.
Как и в предыдущем параграфе, обозначаем
△n,i(8) = n-1J[Xyh ДП>1 = А„,$(1).
!=• {|x/1>M]/2j
Далее определим
A^s = infО^е^Заметим, чтоA^s = infО^е^Заметим, что(15.8)(15.8)Дя.Д^ + еп-1 V ^|Х/Н. (15.7)
A^s = inf
О^е^
Заметим, что
A^s = inf
О^е^
Заметим, что
(15.8)
(15.8)
Ал.я^^Рл Алл ^H.S ( 1) ^^ Ал. S-
Взяв Е = п-1/4 в выражении внутри скобок в (15.7), получим
Д^5^Ал.Дп-*/4)4-п ^.(15.9)
Таким образом, если Хь .... Х„ есть п первых членов последовательности независимых одинаково распределенных случайных векторов, то
п-(5-2)/2Д* 5 = 0(п-и-2,/2)(п-^оо).(15.10)
Наконец, напомним, что средние модули колебания Of и. го, определены в (11.23), (11.24).
Теорема 15.1. Существуют положительные постоянные Cj (i — 1, 2, 3, 4), зависящие только от к и s, такие, что если неравенство
А„., (2/3) ^^л^'2»/2А„., (2/3) ^^л^'2»/2(15.11)(15.11)
А„., (2/3) ^^л^'2»/2
А„., (2/3) ^^л^'2»/2
(15.11)
(15.11)
выполнено при некотором целом s ^ 3, то для всякой действительной измеримой по Борелю функции f, удовлетворяющей соотношению
М,(/)<оо(15.12)
при некотором целом г, 0 ^ г ^ s, справедливо неравенство
1$ fd (Q„ - Ц)) | ^ с2М, Ш n-^^*,s + 2(о^ (c^n-1'2: (W,
(15.13) где
^=5 п-т,2Рт^—Ф: (ь|)
| г, если г четно,
Г° | г 4- 1, если г нечетно, J(l+rxh)-V(x), есш г>0,(1514)
g И — | ^ ^е(.лц r= Q
Доказательс г в о Постоянные с, которые будут появляться в доказательстве, зависят только от г, k, s. Положим
ip' = 5 п-"!^ (- Фо. п : Ю,,, _ ,
т=0(15.15)
ф" (В) = ф (В 4- а„) (В е Ж), где
Ол = п-1/2 ji £yz.(15.16)
;=1
Итак, ф” есть обобщенная мера, индуцированная мерой ф при отображении х-^х — ап. Далее,
|$fd(Q„^)^|^d(Q„-Q;)|4-|$fd(Q;^(15.17)
Если г>0, то
|/(х)|^Мг(/)(1 + |хП (xeRk),(15.18)
так что, используя лемму 14.8, получаем
IS rd №„ - Q^) I ^ СВМГ (Г) ^.sn-^l\(15.19)
Поскольку левая часть этого неравенства не изменяется, если вместо Г взять f — c, где с принадлежит области значений функции Г» соотношение (15.19) выполнено и при г = 0.
Далее,
|5/ад-Ф)Н$М(а-Ф")|^
I $ tand (Q; - Ф') I + I fand (ф' - Ф) I + 15 М (Ф - Ф”) |, (15.20) где fy обозначает сдвиг функции f на у, т. е.
ГуМ = Цх-\-у) (x^Rk).(15.21)
По лемме 14.6 имеем
| $ /а^(ф' - Ф) | < АМ/) $ (1 4-1! xA-Qn К) IФ' -Ф1 W ^
^ МДП $ (1 + 2r II Оп Г 4- 2Г II х п Ф' - ФI (dx) ^
^ Мг (Л(||Ф' - Ф1! 4- 2f f а„ Щф' - ф[| 4-2^ ^||х||'"|ф' - ф|(dx))^
^с5Мгф^,$п-^>1\(15.22)
4 16. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ151
Здесь на последнем шаге использовалось неравенство (14.81). Аналогично,
|5М(ф-ф")|^
М, (Л [[ ф — ф" I+2q an ,r । ф — ф" I + 2' $ | x'V ф — ф' | (dx)]^
^c,Mr (/) Д„.Лл--'-2,/2.(15.23)
Следовательно, (15.17) сводится [в силу (15.19), (15.20) (15.22) и (15.23)] к неравенству
$ fd (Q„ - ф) | ^ c8Mr (/)△„., п-'-а>/а + | $ f«d (& - Ф') |-
(15.24)
Для оценки второго члена в правой части (15.24) введем сглаживающую вероятностную меру К на Rk, удовлетворяющую соотношениям
КЦх: Цх"< 1))5= 3/4, $|x|ftwa/((dx)<oo,
К (0 = 0, если ,/Ц^Се (t е RkY (15.25)
Построение такой вероятностной меры согласно теореме 10.1 возможно. Для е;>0 определим вероятностную меру Ке по формуле
Кв (В) = К (е-*В) (В е= J96, е^В = {е^х: х е ^}). (15.26)
Тогда имеем
Ке({х: |х[<е))^3/4, Кв^ = 0, если |/|^Св/8.
(15.27)
Далее,
| $ fa„d (& - Ф') | = | $ (1 +1 х + ап ЬГУ (х+а„) х
X (1 +1 х + ап Г») ^Qn - ф') (dx) |
^ | $ (1 +1 х+ап H~V (х 4- а„) (1 +1 х |f«) (Q„ - ф') (dx) [ + + А1Ге(/)$||х + а„Ь-|хМ<2' + |ф' |)(dx),
и из лемм 14.3, 14.6 и неравенств (14.12), (14.81) выте-
кает, что
$П*4-ал b-khl №»4-1Ф' l)(d*)^
^ Го I! а„ I! $ о х |Г- ’ +11 а„ Г-') № +' if I) (^) ^
^ г ок1'2 b^rr'^'^EX п-чг (Zj +... + Z„) Г»-1 +
-KS^12)—'""+1+$ ((8&1''2)-'04 1 + хГ»-1) T]:l(dx) +
+ $ ((8Л1 /2)-го+1 ^_ || х [г.- 1) ^г _ ^ | (^)| ^
^с1ПЛл,^-»^2'/2.(15.28)
Следовательно [см. (15.24), (15.28)],
$ fd (Qn -») | ^сххМг (Л А„sn-^2'/2 +
4-|$^„(*)(14-ll*M(Q»-^)(^)|,(15.29)
если заметить, что
Mr.^= sup (14-|!*М-1 /(*)1^
ХЕ Л*
^МДЛ sup (l+'ixuOtl+jxH-^S/W, (Л- (15.30) xeRk
В силу следствия 11.5 при любом е>0 имеем
$ gan (X) (1 4" II * Ь) № - ф') Их) | ^
(15.31)(15.32)(15.33)(15.34)(15.31)(15.32)(15.33)(15.34)^ 2Mrn т IIQ; - »')r,*/<e 14- 2®: (28 : №'+),.),
(15.31)
(15.32)
(15.33)
(15.34)
(15.31)
(15.32)
(15.33)
(15.34)
где
№ - Ф'к Их) = (1 + " х Г») ((?; -1]/) (dx), Сф'+к (dx; = (1 + х Г») ip'+ (dx).
Выберем теперь
е= 16с8р3п-1/2.
По лемме 11.6 находим
I № — гр'М^е II ^с12 max $ D-1^ — Ч>') ■ №Ке |,
где максимум берется по всем парам неотрицательных целочисленных векторов а, р, удовлетворяющих соотношениям
0^,а + Р]^^ + го+1,(15.35)
и интегрирование происходит относительно меры Лебега на Rh. Поскольку /?,(/) = О при |/|>св/8 = п1/2(16р3) и
| (iM^ (О | ^ $8i PI I х» I К (dx) ^ с13,(15.36)
имеем
$|В“(й-ф')-О0Кв|^
<5 С13<5 С13ПЧСГн-^УД.ПЧСГн-^УД.(15.37)(15.37)
<5 С13
<5 С13
ПЧСГн-^УД.
ПЧСГн-^УД.
(15.37)
(15.37)
{|Л1^"|/2/(1бр.)}
а,а,Заметим, что [см. (14.60) с s = 3] величина е в силу (15.11) ограничена сверху некоторой постоянной [при любом выборе постоянной с-] в (15.11)]. Этот факт использовался в (15.36). Далее,
а,
а,
{(PIKn^/uep,)}
2 n-"M»Pm (it: {XA}) exp {- 1 <0 DO} dt + m=0
i»Pm (it: {хА}) ехр {- 1 (t, Do} dt +
A'A'+ $ | (D^ (01 dt + $ (D-ф') (0 | dt =
A'
A'
An
где через А обозначено наибольшее собственное матрицы D,где через А обозначено наибольшее собственное матрицы D,(15.38)значение(15.38)значение/ nkh + s)/2 \l/(fc+S+2)Cj4 i)^Кл16р3/хл"’/ nkh + s)/2 \l/(fc+S+2)Cj4 i)^Кл16р3/хл"’(15.39)(15.39)
где через А обозначено наибольшее собственное матрицы D,
где через А обозначено наибольшее собственное матрицы D,
(15.38)
значение
(15.38)
значение
/ nkh + s)/2 \l/(fc+S+2)
Cj4 i)
^Кл
16р3/хл"’
/ nkh + s)/2 \l/(fc+S+2)
Cj4 i)
^Кл
16р3/хл"’
(15.39)
(15.39)
^^П-1^ B|BZ;r
В— симметрическая положительно определенная матрица такая, что B2 = D-1. Из леммы (14.1) (5) (с s'=/и) и неравенства (14.21) (следствие 14.2) вытекает, что
] ВII (4/3)V2, д 5/41 l)m 2т (4/3)m/2ni"-$>/2A*.s,
(15.40)
n-i"-2>/2T]m ^ 2™ (4/3)m/2n-i»-2)/2Д* . (т ^ s + 1).
Следовательно, полагая m = k-Vs-V*2, находим (/„(S —2)/2\1/(6 + « + 2П
Ae=>{jq<c1B ^ к (15.41)
Если в качестве Си взять постоянную c22(& + s + 2, А) из теоремы 9.11, то [используя (15.40)] получаем
А ^ СиПе-иегЛ-*6"1^2 ^ с17п-^-2,/2А^,.(15.42)
При этом использовались теорема 9.11 и замечание после теоремы 9.12. Далее, по лемме 9.5 (с r = m, s = m + 2) и следствию 14.2 [опять применяя (15.40)] имеем $ | D» ^п^Рт lit: М) ехр{- 1 (t, D/>}] | dt
^ с^8-5™8^., (s - 1 < т -С к + s - 1),(15.43)
так как из (14.10) вытекает, что
п-т/2р'т+2< 2т+2р2 = ^^к(1 ^ т ^s — 2).(15.44)
Неравенство (15.43) немедленно приводит к соотношению /2 < clgn-t$-2)/2 А*.«.(15.45)
Применим теперь следствие 14.4 и получим [см. (15.39), (15.41)]
/3= J id»q;i^
А, л
^С20JО+В^МХ
(/ „(«-2)/2\l/(fe + s + 2H
p|f||>Cl6 A*I
xexp/--^-P||2}d/^
^ c21n-'-a>/2A:. s J ] 11|6^2 (1 +11 S' “ i) exp |- ^g 112} dt =
= c22n-<,-2>/2A^,.(15.46)
Аналогичные рассуждения с использованием (15.44) дают /4 = ^ | D^-' | ^ с23п-^-2’/2А*. ,.(15.47)
Оценивание правой части (15.34) закончено Имеем 8«?л — Ф'к*лв | ^4n-ls_2)/2A^,s.(15.48)
Наконец, по лемме 14.6
|о^ (28 : (ip'+)J - ю: (2е : (ф+)с) | <5
^ sup $ tog (х : 2е); (i]/+)c - (1р+)Ло | (dx) ^yeRR У
^ 2Mre (f) | (т|Л)„ - (W. I < с25ЛД (Л Д„.,и-1-2’/2. (15.49)
Используем теперь (15.48), (15.49), чтобы получить оценку для правой части (15.31) и потом, подставив эту оценку в (15.29), завершить доказательство, заметив, что МГДП^2МДП, Дп.^Д^. ▲
Замечание. Из соотношения (7.22) вытекает, что j id (Qn-^ = 5 U-c) d (Q„-4>)
при всех ce R1. Следовательно, Mr(f) в (15.13) (и во всех последующих теоремах, содержащих эту величину) можно заменить на
М*(/) = inf МД1—с).геРМ*(/) = inf МД1—с).геР(15.50)(15.50)
М*(/) = inf МД1—с).геР
М*(/) = inf МД1—с).геР
(15.50)
(15.50)
Следствие 15.2. Если р3<оо, то для всех ограниченных измеримых по Борелю функций f справедливо неравенство
$ fd (Qn - Ф) I ^ с2бЮ, ^ p3n-V’ + 2<Д (с^р^ : Ф), (15.51)
где см зависит только от к.
Доказательство. Следствие вытекает из предыдущей теоремы, если взять r = ro = 0, s = 3 и заметить, что в этом случае не нужно, чтобы выполнялось условие (15.11). Действительно, если
Рз ^ Дп. з (2/3) > схп1№,
| ^fd (Qn - Ф) | ^ 2ю/ (Я») ^ -1 ю, ^ р3п-т.
Из (15.13) |используя (15.8)] получаем
| $ fd №„ - Ф - ПГ^ (- Ф : {Ь})) |to, (Я6) И'^Д* з +
+ 2и? (^зи-1^ : Ф +1 п-^Рг (- ф : |ь}) |) ^< <о, (Я6) и-1 2р3 + 2(0/ IR1 п-ч*, Рг (— Ф : {Xv}) |+
+ 2m* ^.рзл-1'2 : Ф).(15.52)
Применение леммы 13.1 завершает доказательство. *
Следствие 15.3. Если р3<оо, то для всех борелев- ских множеств А справедлива оценка
| Qn (А) - Ф (А) | ^ с2вр3п-1/а + 2 sup Ф ((дА)’1 + у),(15.53)
ЧЕЙ6
где
q = c4p3n-1/2.(15.54)
Доказательство. Это утверждение немедленно вытекает из предыдущего следствия, если взять f= 1а (индикатор множества А) и заметить |см. (2.40)— (2.43)], что
и/ А (х: q) = I дпх л-я (*) = ItdA^ (х)
(х е Rk,A cz Rk, q >■ 0),
о*л (q : Ф) = sup $го,л (х-|-у: q^(tZx) =(15.55)
чей6
= sup Ф^дА^ + у). ▲
yeR6
Замечание. Предположим, что А есть борелевское множество, для которого Ф(Л) = 0. Тогда из (15.13) с г = гп = 0 вытекает, что
|Q„(4) —Ф(Л)|=йс2п'|$"'2 ?Д* ,4-2 sup ф+((дДр'+у),(15.56)
yeRh
где q = c4p3n 1/2. Если дополнительно потребовать, чтобы диаметр множества А был мал, то, используя вместо неравенств (11.26), как это делалось в (15.31), неравенства (11.25) следствия 11.5, можно получить вместо величины M0(lA)i(Qn—^Э’^ей 1В (15.31)| выражение
?*(7.£:е)^Х6(Ле) sup | hn [у) |,V А 'yeRk
где X* обозначает меру Лебега на Rk и hn—плотность (Q'n—^eKg. Из (15.38), (15.42), (15.45) — (15.47) с а=0 находим
I ^ (у) « смл"(,_,,/аД* , (У eR1^
и, следовательно,
|Рп(Л)-Ф(Л)'^с27л-и-*>/2Д* ,Х6(Ле)4-2 sup ф+КдЛ^-Ц/), ’yeR”
15.57)
где е=ГйР3п-1/2, q = r4p3n-1/2. Неравенства (15.56/ и (15.57/ буду» Использованы в $ 17 ^теоремы 17.4, 17.5).
Теорема 15.1 дает точные оценки для широкого класса функций /. Это видно, например, из сравнения этих оценок с более специальными асимптотическими разложениями в главах 4 и 5 или с общими разложениями для тригонометрических многочленов f, полученными в теоремах 9.10—9.12. В § 17 приведены некоторые приложения теоремы 15.1. Однако заметим, что правая часть неравенства (15.50) (следствие 15.2) не стремится к нулю (при п->оо) для произвольной ограниченной Ф-непрерывной функции f, если Qn — распределение нормированной суммы n-1/2(Xi + ... + X„) и (Хя: п^ 1} есть последовательность независимых одинаково распределенных случайных векторов с нулевыми средними, ковариационными матрицами I и конечными третьими абсолютными моментами р3. Причиной такого утверждения является то, что оценка в следствии 15.2 дается в терминах величин iof [и <0/(/?*)], а не Юр Напомним [см. лемму 1.2 (3), теорему 1.3 (3)], что ^fdQn-^^f dO для всех ограниченных Ф-непрерывных функций / и что ограниченная функция / Ф-непре- рывна тогда и только тогда, когда
Иш О/ (е: Ф) = 0 [of (в : Ф) = J ю, (х: в) Ф (dx)].
С другой стороны, нетрудно построить ограниченные Ф-непрерывные функции / такие, что со* (в : Ф) не стремится к нулю при в->0. Например, пусть/=7Д —индикатор следующего борелевского подмножества А в R4
* [(г-1)/2]
A-U U ,е№г+^<.<г+е±Д. г ^2<—I
где [(г—1)/2] обозначает целую часть числа (г—1)/2. Легко видеть, что
<и*А (в z Ф) = sup Ф ЦдАТ + у) = 1,
®1А (е ! Ф) = Ф ((М )е)(2л)-1/»®1А (е ! Ф) = Ф ((М )е)(2л)-1/»(в>0).(в>0).
®1А (е ! Ф) = Ф ((М )е)(2л)-1/»
®1А (е ! Ф) = Ф ((М )е)(2л)-1/»
(в>0).
(в>0).
Было бы идеально, если бы можно было заменить <о* в оценке (15.51) на Юр К сожалению, мы неспособны
6 Р. Н. Бхаттачария, Р, Ранга Ра»-
сделать это в настоящий момент ). В некотором смысле спасает положение следующая теорема, которая дает эффективную оценку для любой ограниченной Ф-непрерыв- ной функции /. Однако за большую общность приходится платить. Для «хороших» функций и множеств оценка менее точна. С другой стороны, если не принимать во внимание большую общность, то эта теорема более полезна при оценке вероятностей «хвостов» (см. § 17), чем теорема 15.1.
Теорема 15.4. Существуют положительные постоянные Ci (t = 1, 2, 3), зависящие только от k и s, такие, что если
Кп. s сщ^!'(15.58)
при некотором целом s^3, то для произвольной измеримой по Борелю функции f, удовлетворяющей неравенству
Mr(h<oo(15.59)
при некотором целом г, O^r^s, справедлива оценка |$ЖО.-ф)|^
^c2Mr (/) (1 + т]6*'’*1) n-<s ^flkn. s + tof (т]: ф+),(15.60)
где s—2
Ф= S /г^^РпД-Ф:^}) m=0
U
n = ^p3([logn]+l)n^2,(15.61)
где [logn] есть целая часть log и. Величины ^n-s^i3Y An s определяются соответственно соотношениями (15.6) и (15.7).
Доказательство. Будем использовать те же обозначения, что и в доказательстве теоремы 15.1. Определим ф', ф" так же, как и в (15.15). Как и в (15.24), имеем
|5^(Сл-ф)|^
^ с28М, (П К$п"<$^ +15 fad № - ф') |.(15.62)
Выберем вероятностною меру К' на Rk, для которой
К'({х: |х|<1})=1,
| D'K' (t)|с29 ехр {-1 / „V2}(15.63)
ktGRk, |a|^^ + s+l).
Согласно следствию 10.4 такой выбор возможен. Для е>0 и любого положительного целого р определим
КЕ (В) = К* (е^В) (ВеА КЕ,Р = К'Е*Р (15.64) и заметим, что
Ке.р({^ М<Ре})=1, K^HW (15.65) (/ е RkY
В силу следствия 11.2 с p = Q«, v = i]/, КЕ=КЕ-Р и f = = fan имеем
I S fad (Qn - ^') I ^ V (f% : pe) + ®fan № : W).(15.66)
где из определения у [см. (11.8)] и МГ(П [см- (15.4)] вытекает, что
Т(/«я:ре)^
^ Л1Г (/) (1 + и х Н И Ол 1 +ре)Ч (<2л - И’') * ВГе. р I (d*) ^ ^Мгф\ (с30 + 2' Ц х 1' + р'е') | (Q' -тр') * КЕ. р I (dx) ^ ^с31Мг(/)[ шах | Da(Q'„ -^О^р ^ + Lla+p.<»+r + l
+ prer шах[^(Qn — тр') - D^Ke.p |1].(15.67)
la+₽K*+l1
Если г = 0, то первое неравенство в (15.67) выполнено, так как тр' (/?6) = Ф' (Rk) = 1 [см. (7.22) и (11.13)]. Последнее неравенство следует из леммы 11.6.
В силу (15.63) имеем
l^(Q;-^)-B»PKe,PBi^
^CaHpeys^lZ^to'-^HO exp{-pk^1/2}dt (15.68)
Возьмем теперь
8 = СззРз«-1/2, р = [log п] + 1(15.69)
и запишем
$ I £>a (Q; - ф') (01 ехр {— р || et i1/2} dt
^/1 + /з + /з + ^4+^в>(15.70)
164гл. 3. ГРАНИЦЫ ПОГРЕШНОСТЕЙ
где, как и в (15.38) — (15.47),
л ^с^-^^д:. „
£ d^rn-^^nxqjx
m=S— 1^
х exp {- ^ (/, Z)/)^ | di ^ с36л-(^8)/8Д* „
7я^с36п-^8,/2Д* s,(15.71)
/; = J | (DV) (o dt„
Ц= $l(7)^)(0|exp{-phq1/2}d/^
{lltOnVs/pep,)}
^ Сзв S exp {-pH ll1/2} dt.
{«tll>n*/2/(16p,)}
Последнее неравенство вытекает из следствия 14.4, если заметим, что
|D“^ (П | ^ Е |tr^ (Zt+.. - + Z„) р1 ^
^(E||n(15.72)
для каждого четного целого числа т'^[а[ и что для произвольного четного целого т* величина Е | п1/2 (Zt +... ... + Z„) ||m') может быть выражена в терминах обычных (а не абсолютных) моментов, которые оцениваются в следствии 14.4 при / = 0. Далее,
J ехр{—p||e/|p}d/ =
IltixiVVuep,)}
■=8_* J exp {—рЦ/ |jV2} dt =
co
■=^88_* J uN1exp {—pu1/a\du =
c„/16
= 2cse (ep2)~* Jt>2t-1 exp {— o} du =
P(c../16)’/«
= cto(epV J exp {^ du. (15.73)
P(C../16)V8
Выберем теперь
см = 64 (k + (s - 2)/2)»(15.74)
и получим
Ц ^ <41 (П1/2 log2 пук п-<$-^'' ^ с42п-<'-2)/2Д* $.(15.75)
Последнее неравенство в (15.75) вытекает из соотношений [см. (14.7), (14.10) и (15.58)]
(
л1U+D/2
1=1/
^ /г-v» /п-1 £ $ I V, Г1^ < ДХ V (15.76)
Следовательно,
[£“(&- ^) • D»Kt.р^си (ре)'₽I п-<'-’»/’Д* „(15.77)
что приводит к оценке
Т(/вя:ре)<С4Б<(П(1+(^)*~’^^^ s. (15.78)
Наконец, по лемме 14.6 имеем
BUn ^Р* : (^Ч= °'" ^Р6 : ^+) +
+ S юга (х 12Р®) М')* ~ ^+) W +
+ $ ^tofOn (*: 2рв) — to/ (х I 2ре)) i])+ (dx) ^ a, (2рв: 1р+) +
+ M,(fl$(l + (|xWo„l + 2p8H|ip'-i])|(dx)^
+1 $ ю/ (х: 2ре) ((^')+ -1))) (dx) | ^
< to, (2ре.: i])+) Л-с«Мгф (1 + Ц)^ п-<»"2>/2Д* ,.(15.79)
На последнем шаге использовалось неравенство
<0, (X: 2рв) ^ 2МГ (Л (1 + (в XI + 2ре/)(15.80)
(г^:0, xeRk).
Доказательство завершается теперь с помощью соотношений (15.78), (15.79), (15.66) и (15.62), если взять т] = = 2ре. ▲
Следствие 15.5. В предположениях теоремы 15.4 справедлива оценка
1 $ fd (Qn - Ф) | < с4? (s, k) М, (Г) (1 + n^i) (p3n-V2 +
+ РзП-($-2)/2) + о/(т]:Ф),(15.81)
еде, как и в (15.61), т] = <’зРз([logn]+ I)/!-1/1.
Доказательство. Из выражения (14.74) вытекает, что
I Рт (— ф : Ы U) I ^ С48 (s, Л) рт+2 (1 + 1 х ||3т) ф (х) 1-S/W-2).,15'82)
р
Действительно, если | V,-1 ^ 3, у (Iv* I " 2) = т, то (на- i = i
ПОМНИМ, ЧТО Р2 = &)
I Ьч • •. Xvp ISSC49 (/и, 6) р VJ... p|Vp 1
p
V (|v.-2)/m
ssc5o(/n, &)pfm=^8=c50(m, &)pm+2(15.83)
(1 ^/n^s —2).
Далее,
n-m/2pm+2 = n-12 n-m'2/$+ S Ш/ir2^
/=' \{jxz <nv«} {x/'>n,/2}/
^ И 1 У (n-"</2+(m-l)/2 J || X. ||3 + n-m/2-(S-m-2)/2 J || X/ |p) =
= p3n1/2 + psn-(s-2,/2(1^/n^s —2).(15.84)
Следовательно,
n ™Pml- Ф: {xv» sS C51 (s, ^)(p3« V2 + Pin-(-2)/2)
(15.85) (l^/n<s — 2).
Используя (15.80), (15.82) и (15.84), находим
®/ (i]: n m/2Pm (— Ф : {Xv}) i) =6
^ ^52 (s, ^) (1 + nr) Mr m (Рз»-1/2 + psn (»-2>/2)(15.86)
(1 ^m^s — 2).
Применяя теперь (15.85) и (15.86), а также первое неравенство в (15.8), из (15.60) получаем (15.81). ▲
Замечание. Условие (15.58) [и совпадающее с ним (15.11)] в 1еореме 15.4 или следствии 15.5 излишне, если г = 0. Доказательство этого утверждения для следствия 15.5 по существу содержится в доказательстве следствия 15.2. Для теоремы 15.4 необходим следующий дополнительный факт [см. (7.22)|:
Рт (- ® •■ {Xv}) (^=0 (1 ^ т « s-2).(15.87)
§ 16. Нормировка
Основные теоремы предыдущего параграфа устанавливались для независимых случайных векторов Хп .. , Х„, удовлетворяющих условиям (стандартной нормировки}
EXf = 0(l^j^n), /г12 Cov(Xy) = /,(16.1)
7=1
где / есть единичная матрица размера k X к. Это делалось из соображений простоты. Сравнительно несложно распространить все результаты последнего параграфа на независимые случайные векторы Xi, ..., Х„, для которых
EXf = 0(1^/^n), n-iyiCov(X,) = V, (16.2)
7=1
где V — произвольная симметрическая положительно определенная матрица. Можно также считать произвольными векторы средних в (16.2). Но поскольку это соответствует лишь сдвигу подынтегральной функции /, будем предполагать, что всюду в этом параграфе выполнено (16.2).
Пусть Qn обозначает распределение нормированной суммы п ^(Х!^-.. , + Х„). Если f интегрируема относительно Qn и Фо, у, то, производя замену переменных х -> -*Тх, получаем
$ fd (Qn - Фо. v) = $ /• ТЧ (Gn-Ф),(16.3)
где Т — симметрическая положительно определенная матрица такая, что
(16.4)
и Сп — распределение «"^(ТХ, + ...-4-ТХ„). Заметим, что случайные векторы ТХЪ ..., ТХп удовлетворяют условию стандартной нормировки, т. е.
Е(ТХ^ = 0 (X^j^n), п1 2 Cov(TX,-) = /.(16.5)
= 1
Следовательно, можно использовать результаты последнего параграфа для оценки правой части равенства(16.3) в терминах моментов
V Е\\ТХДГ (г>0)(16.6)
и Mr(J»T r) и togг или <й(„т-ч где
, . / (i+M'O-^-t w если г>0, gT М = I (/ • Г1) (х),если г = 0.(16 7)
Поскольку матрицу Т найти нетрудно, можно остановиться уже здесь. Если же пожелать, чтобы в оценку входили моменты векторов Ху, а не ТХу, то можно воспользоваться следующим простым неравенством:
Здесь X есть наименьшее собственное значение матрицы V. Заметим, что
jtj = i-v*. дт-ч-л1'8,(16.9)
где Л — наибольшее собственное значение V. Перепишем (или обобщим) теперь результаты § 15 в ряде теорем и следствий, предполагая, что п независимых случайных векторов Хь .... Х„ удовлетворяют (16.2).
Теорема 16.1. Существуют положительные постоянные Ci (е = 1, 2, 3, 4), зависящие только от к и s, такие, что если
п"^$|ТХ, Г «?!«<*-»)/*(16.10)
,= * {,ГХ/|Х2/3)п1Л}
при некотором целом s^3, то для произвольной действительной измеримой по Борелю функции f, для которой
МДЬ<оо(16.11)
при некотором целом г, 0 ^ г < s, справедливы соотношения
| $ /d (Q„ - Фо. у) | < Мг (/ • Т-Ч (с2х3п~^+с3т$п-^Ч +
^ max {1, Лг/*} Мг (/) (c2X'8/ap3n"'1/2 +
+с8Х-д/ар,п-^-8>/8) + 2ш|г (сД^рзП-ч» I Ф,о).(16.12)
Доказательство. Первое неравенство в (16.12) вытекает из (16.3) и теоремы 15.1, а также соотношений
(15.82), (15.84) и (15.86). Далее имеем
Mr0 • Т-1) = sup^(1 +1 хST11/(T’-M |
^ / sup (1 +1 T-Ч Г)-11 f (T^x) |\ xVeR6/
x / sup О-НТ^хП(1+|хГ)-Ц =
XxeR6)
= МГШ( sup (l+IT-^ntl+lxr)"1^ XxeR6/
^ Л4, (/) max {1, | T-1 ft = Mr (J) max {1, Лг/7}.(16.13)
Второе неравенство в (16.12) следует из (16.9) и (16.13).
Ниже постоянные с зависят только от s и к.
Следствие 16.2. Если р3<оо, то для всех ограниченных измеримых по Борелю функций f справедливы соотношения
J fd (Qn - Фо. v) | < Csto/ (R^ т3п-1/2 + 2m* r- (с4т3п~1/2 : Ф) ^ c5tof (R^ т3п-1/2 + 2wf (с4Л1/2т3п-1/2 : Фо. v) ^
«5 c6tof (/?") X-s/2p3r1-V2 + 2<o* (сЛ^’Х-’^РзП-1/2 : Фо. v). (16.14)
Доказательство. Первое неравенство вытекает из теоремы 16.1 с r = ro = 0, s = 3 и равенств
мо V-T-Ъ = tot„T- (Rk) = о, (/?»).(16.15)
Чтобы получить второе неравенство в (16.14), заметим, что
о,, г- (х : е) = sup {] / (Т^у) - / (T^z) I: у, геВ(х; е)} ^ ^sup{|/O/')-f(z')|: у', г' е В (Т^х : И"1, е)} =
= <о/ (T-txrlT-Me), (16.16) поэтому
(Of* г-1 (е : Ф) ^ sup t to/ (Т-1 (х + у) : [ Т*11 е) Ф (dx) = VG Rk
= sup ^tof^T^x-Vy': I т-’I В) ф (dx) = «•eR6
= sup \ (0/ (г + у' : | T"1, в) Фо v (dz) = у'с= Rk
= tot (IIТ-Ч в : Фо. v) = to,* (Л12е : Фо t ).(16.17)
Последнее неравенство в (16.14) вытекает теперь из (16.8). Наконец, отметим, что условие (16.10) можно заменить неравенством р3<оо, как в доказательстве следствия 15.2. А
Следствие 16.3. Если Va^^i т0 дая всех боре- лееских .множеств А справедливы соотношения
1СПИ)-ФО.Г(Д)|^
^с6т3п-1/2 + 2 sup Фо. v((dAp'+y) ^
ye Rk
^ оЛ^раЛ-1'2 + 2 sup Фо. V kkdA)* + у),(16.18)
yeRk
где
Я = QW*-172 ^ с4Х"3/2р3п-1/2,
т]' = ЦТ-1||т] = Л1'2я.(16.19)
Доказательство вытекает из следствия 16.2 и соотношений (15.55). Заметим также, что 1 д-Т 1 = 1ТД. ▲
Прежде чем установить аналог теоремы 15.4, отметим, что если сначала рассмотреть конечную обобщенную меру ?т (— Фо. v: {Xv}). где Xv — среднее арифметическое кумулянтов порядка v векторов X,, то индуцированной обобщенной мерой при отображении х->Тх на R6 будет Рт^—Ф: {Xv}). где Xv есть среднее кумулянтов ТХ5, 1^/^п, порядка V. Для обоснования этого утверждения заметим, что преобразование Фурье — Стилтьеса меры Рт(— Фо. v: {Xv}) имеет вид
Рт(-Фо.к:{Хх})(О =
=Рт(» :{xv})exp {--*-</, V/>} (teR^, (16.20)
а индуцированной обобщенной меры [см. теорему 5.1 (5)]— соответственно
t-*Pm(iTt, {Xv})exp{—4-Ц/Р} kteRk\ (16.21)
Используя теперь выражение (7.3), заключаем, что
Pm kiTt, {Xv}) = Pm kit: {Xv}) kt E Rk\ (16.22)
Теорема 16.4. Существуют положительные постоянные Ci, c't ki= 2, 3), зависящие только от h и s, такие, что в предположениях теоремы 16.1 справедлива оценка
. /s^2
1 Ч Q„ - 2 п-^Рт (-Фо. V : {Xv}))
\т =0/
^ Са max {1, Д'72} М, (/)(!+ я*ьг4 *) X-5/2рЛн~(s — 21/2 ф-
,s —2
+ toy (Л|/2я:+ toy (Л|/2я:(16.23)(16.23)v п-т^Рт (— Фо. V:
+ toy (Л|/2я:
+ toy (Л|/2я:
(16.23)
(16.23)
im = 0
где
т] = с^-3'2р3 ([log и] + 1) п-х(16.24)
Доказательство. Утверждение теоремы есть немедленное следствие теоремы 15.4 и соотношения
/s — 2>
2 и-"-2Рт(-Фо.у:{Ху}) =
\т = 0
/s —2
= ^f-T-^dGn — 2 n-"-/2Pm(-O:{ZvD'.(16.25)
\т = 0/
справедливость которого вытекает из рассуждений, предшествующих формулировке настоящей теоремы. Как и в доказательстве теоремы 16.1, конечно, используются (16.8), (16.9), (16.13) и (16.6). ▲
Следствие 16.5. Если выполнены предположения теоремы 16.4, то
| $ Id VQ„ - Фо. и) | ^ Q max {1, Ло2} Мг (/) (1 + rj^+i) х
X (Х-3'2р3п—1/2 + Х~s 2psn~('—2) 2) 4- йу (Л1'-2т]: Фо, р), (16.26)
где т] определяется равенством (16.24).
Доказательство. Оценка (16.26) вытекает из следствия 15.5, если воспользоваться соотношениями (16.3), (16.8), (16.9), (16.13) и (16.16). ▲
Замечание. Уже отмечалось (см. следствия 16.2, 16.3), что в случае г = 0 условие (16.10) в теореме 16.1 излишне. Это также справедливо для теоремы 16.4 и следствия 16.5, и доказательство по существу то же самое. Заметим, что (16.10) можно заменить на несколько более ограничительное, но более простое условие
Ts^cxn(s-2)2(16.27)
или на условие
ps<C1Xs2n<s-2’2.(16.28)
§ 17. Некоторые применения
Настоящий параграф посвящен некоторым важным применениям основных теорем §§ 15 и 16. Продолжаем использовать те же обозначения, что и в § 16. Итак, X!, ..., Х„ есть п независимых случайных векторов со значениями в Rb, для которых
ЕХ,=0(Y^j^n), n^V Cov(X7) = V, (17.1)
где V — симметрическая положительно определенная матрица, удовлетворяющая (16.4), и запишем
р^п-1^ Е|Х/Г, tr-n^ E\TXfV (r>0). (17.2) /-1/=1
Напомним, что X, Л есть соответственно наименьшее и наибольшее собственные значения матрицы V и Q„ —распределение нормированной суммы n~xri (Xt+••• + Х„).
Определим класс е^а (d: р) как класс всех борелевских подмножеств А в Rk, для которых
sup p^r + yl^de™(е>0)(17.3)
VER6
при фиксированной паре положительных чисел a, d и мере р.
Теорема 17.1. Существуют положительные постоянные сг и с2, зависящие только от к, такие, что если Рз<2оо, то
sup |6„(Д)-Фо, у(Л)|^
А е^ (d : Фо. у)
^ c^str-1/2 + 2d (с2Л|/2т3п—1/2)™ ^
«С ^Х-з^рз/г-'/2 + 2d (^Л^Х-э^рзП-*/2)».(17.4)
Доказательство. Это немедленно вытекает из следствия 16.3. А
Следствие 17.2. Существует постоянная с3, зависящая только от к, такая, что если p3<oo, то
sup | Qn (С) — Фо. v (Q | ^ с3т3п-,/2 =^ СзХ-з^рз/г-1'2,(17.5)
СеК
где ^ —класс всех измеримых по Борелю выпуклых подмножеств в Rk.
Доказательство. Пусть Gn — распределение нормированной суммы п-^ТХу-^-...+ТХп). Применяя к случайным векторам ТХг, .... ТХп теорему 17.1 и используя следствие 3.2 [или неравенство (13.42)], получаем
sup | Q„ (С) - Фо, у (С) | = sup | С„ (С) — Ф (С) | =с СеКСеК
^ схтдц—U2-]-2d (с^п-*/2),(17.6)
где
d = 25«Г ((А + 1)/2)/Г (А/2).(17.7)
Заметим, что класс ^ инвариантен относительно сдвигов, а также относительно невырожденных линейных преобразований. А
Следствие 17.3. Пусть А = 2. Обозначим через ^ (Г) класс всех борелевских подмножеств в R2, каждое из которых имеет границу, содержащуюся в некоторой спрямляемой кривой длины не более I. Существуют абсолютные постоянные с4, сь такие, что если рз<оо, то
sup |Q„(D)-a>o. v(D)|«C
DeSW
^ с4Х—3/2р3п—1/2 + с6 (Х-Ч + X-*/2) Л^Х-^РзП-1".(17.8)
Доказательство. Оценка (2.60) дает
Фе. v «дОу') === (2л)-1 (Det У)-1" (4л/ + 8лея) <
< X-1 (2/е 4- 4е2) < (2Х~Ч + 2Х~ ^(е ^ Х^/2),(17.9)
так как Det V Xя. Достаточно рассмотреть е^Х1^; 1 противном случае величина X-1 (2/е + 4ея) больше единицы. Замечая, что класс ^(/) инвариантен относительно сдвигов, применяем второе неравенство из (17.4). а
Существуют борелевские подмножества Л в Rk, для которых
sup Ф ((дЛ)е + у} ^ с,ее(в>0)(17.10)
ieR*
при некоторых положительных постоянных св и а, а> 1. Примерами таких множеств являются подпространства размерности к* < к — 1 (и их подмножества и дополнения к ним) и многие другие многообразия размерности к' <_к — 1, для которых а = к — к*. Ниже лишь для простоты записи предполагается, что У = 1.
Теорема 17.4. Пусть V = L Предположим, что р*<оо при некотором целом s^3. Если А — борелевское множество, удовлетворяющее (17.10) при некотором а>1, то
| Q„ (Л) - Ф (Л) | ^ с^-^Х,+
+с, (РзП-1/*)0(1+5 n-^p^t log3"1/2/:),(17.11)
\ «■!/
где с1 зависит только от s и к и с, зависит лишь
от s, к, а и с6. В частности, если Хъ ..., Х„ одинаково распределены, то
| Q„ (Л) — Ф (Л) | = О (п-“/2)(17.12)
при условии, что s^a + 2.
Доказательство. Сначала предположим, что Ф(Л) = О или Ф(Л)=1. В этом случае в силу (7.22) Рт^—Ф : {Xv})(Л) = 0 при всех т, l<m<s-2. Следовательно, (15.56) выполнено и остается показать, что
п- т/2$| рт (_ ф .. {Zv}) (Х) | dx
(аА^ + у
=С с'8 (р3и-,/2)“ (1 + п~ т/2Рт+г log3m/2n) (1 <т <s - 2).
Это вытекает из (15.82) и оценки
5| х |j8m ф (х) dx ^$(2a log nYmR ф (х) dx 4-
(дЛ^+у(дЛ^+у
4-5 |х||зтф(х)с?х^
{||*||>(2a log л)1/2}
=С св (2a log n)3m/2 (p3n~1 /2)a 4* n~a/2.
Покажем теперь, что Ф(Л) = 0 или 1. Для этого сначала отметим, что при всех у, zeRk (y^z) имеем
Л 4- </\Л 4- г с С1 (Л1у~ гИ) 4-У,
так что в силу (17.10)
|ф(Л4-^)-Ф(Л4-2)1^Св1^-2Г.
Другими словами, функция / (у) = Ф (Л 4-У) является функцией, удовлетворяющей условию Липшица, порядка a> 1. Отсюда вытекает, что / дифференцируема и ее дифференциал равен нулю всюду на Rk. Следовательно, f есть постоянная на Rk, т. е.
Ф(Л4-У) = Ф(Л) ИУ (17.13)
Определим меру р на Rk по формуле
р (В) = $ 1Д (х) dx = Xfc (В f] Л) (В е <?%кУ в
где /л —индикатор множества Л и Xfc —мера Лебега на Rk. Покажем, что если (17.13) выполнено, то р инвариантна относительно сдвигов. Отсюда будет следовать, что р = сКк
при некотором с, 0<с<оо, что возможно только тогда, когда /д = 0 (почти всюду) или /д=1 (почти всюду), и доказательство теоремы будет закончено. Если В — ограниченное борелевское множество, то при каждом е>0 существуют, скажем, с,- е R\ у, е Rk, 1 < i < т, такие, что /в — У, II с,ф (х + t/,) < е/2, где <р — стандартная нор- 11i = 1111
мальная плотность на Rk. Это следует из того, что линейные комбинации сдвигов произвольной функции, преобразование Фурье которой не равно нулю нигде на Rk, всюду плотны в L1 (Rk) ). Тогда, используя на последнем шаге (17.13), получаем
111 (6 — У} - И (6) I = р в-у (х) dx — Р В (X) dxj =
\ IB (х) dx — ( I в (х) dx А + Ул
5 lB^dx— 2 $ ^(x + y^dx
А + уi=lA + v
тт
2 $ Ci<p (х + у.) dx — V S сеЧ> (х + У.) dx < = 1 Л + У1 = 1 А
<E/2 + 04-E/2 = e<E/2 + 04-E/2 = e5 Sc,<p(x+y,)dx— $ IB^dx i = l АЛ
<E/2 + 04-E/2 = e
<E/2 + 04-E/2 = e
при всех y^Rk. Таким образом, р. (В — у) = р (В) при всех у е Rk. ▲
В частном случае (теоремы 17.4), когда Л—аффинное подпространство размерности k'<Zk — 1, предположение р.е<со можно ослабить. Действительно, справедлива следующая теорема.
Теорема 17.5. Существует положительное число с10, зависящее только от к, такое, что если выполнено предположение теоремы 17.4 с s = 3, то для каждого аффинного подпространства Л (в Rk) размерности к' ^к—\ справедлива оценка
Qn (Л^оф^'У-^. (17.14)
Доказательство. Аффинное подпространство Л размерности к’ <_к можно представить в виде
Л = {х е Rk: (t,, х) = с,, 1 < t <— Л'}»
где tT, .... tk_k. есть взаимно ортогональные векторы в /?*, каждый с единичной нормой и Ct^R\ X^i^k — k’. Пусть Т обозначает матрицу размера (к — к’^хк, у которой i-я строка есть вектор tt ^\^i^k — k'\ Тогда ТТ'=1 — единичная матрица размера (k — к'^ х (k — k’). Определим (k — Л^-мсрныс случайные векторы Uy по формуле
V/ = TX, (i^j^n) и заметим, что
£U/ = 0 (1^/^и), tr1 2 Cov Uy = I, i=i
n*1 ^EXU^n1 £Е\Х^-Р* /"1/=i
Пусть Qn обозначает распределение нормированной суммы
nrw ^ Uy и Ф — стандартное нормальное распределение /=1
на Rk—k'. Пусть с —вектор в Rk~k\ у которого i-я координата есть с, (1 ^1^.к — к'у Тогда
Q,M)=Q„({4). Ф(Л) = Ф({с}) = 0
и, применяя (15.57) к Q„, Ф и {с} (вместо соответственно Qn, Ф и Л) при 8 = 3, получаем
Qn (Л) = | Qn (Л) - Ф (Л) | = | Qn ({с}) - Ф ({г}) |
^cyjn-^pstpsn"-l/2)ft—ft' + 2 sup ip + Ud^ + t/})*!)^ yeRk~ h‘
<Сю (п~1/2рз)*++ ci0 (psH-172)6-*',
где ф = Ф + п-tnPi(—Ф:{хх-}) и xv обозначает среднее арифметическое кумулянтов порядка v векторов Uy. А
Замечание. Утверждение (17.12) можно непосредственно распространить на последовательность {Хл: п^1} независимых случайных векторов, для которых
lim inf Хл > О, supn'-^E Х/$<со.(17.16)
пл /=1
Здесь Хл есть наименьшее собственное значение матрицы Vn =
= п-1 У Cov (Х^. Заметим, что для Тп = У~1 2 имеем /=1
л4 f] Е | Г„Ху f ^ ^ (п-1 f] Е | X, Д (17.16) i—1\/-*1/
поэтому, применяя (17.11) к случайным векторам TnXf, i^f^n, приходим к (17.12) при условии, что s^a + 2 и выполнено (17.15). Аиалогичио. в следствиях 17.2 и 17.3 оценки имеют порядок О (л"1/2), если (17.15) выполнено с s=3. Точно таким же образом из приведенных ниже в этом параграфе теорем и следствий можно получить порядки убывания оценок для последовательности {Х„: л^ 1}, удовлетворяющей (17.15).
Чтобы рассмотреть приложения иной природы, возьмем произвольное борелевское множество А и определим функцию f равенством
гдегдеА,Rk\A,А,Rk\A,если Ое^\Л, если ОеЛ,если Ое^\Л, если ОеЛ,f(x) = (l+d4O, М))/Л'(х)(хе/?6), (17.17)
где
где
А,
Rk\A,
А,
Rk\A,
если Ое^\Л, если ОеЛ,
если Ое^\Л, если ОеЛ,
и d(0, дА) есть евклидово расстояние от границы дА до начала координат 0. Заметим, что
МДП^^ (s>0).МДП^^ (s>0).(17.19)(17.19)
МДП^^ (s>0).
МДП^^ (s>0).
(17.19)
(17.19)
Определяя g по формуле (15.14) с r = s для |z|<2e<:
<cu(fe, s)<.d(O, дА), имеем
|g(x + // + 2)-g(x + f/)K
^(14d^ + yp0)"1|f(^ + t/ + z)-f(x+y)| +
+ |/(х + у + 2)Н1+|а: + уМ ^(l+lx+y + zN-i]^^(l+llx+yN^ftx + y + zHftx + ^l+c^ s)e<< (1 + II x + у IIs»)-1 (1 + ds (0, дА)) /(дЛ)2е (х + у)+с12 (А, s) е << (1 + (d (0, дА) - г^»)-1 (1 + ds (0, М)) /(дЛ)2е (х+У) +4-^(6, s)e^cto^k, s) lvdA^ (х + у) +с12 (A, s)e, (17.20)
где
с13(Л, s) = sup (1+(Ь+сн(А, ^(l+b51)1. (17-21) b>0
Таким образом, в этом случае o>g (2е: Ф5о)
^с13(/г, s) sup Ф$,((дЛ)2£ + у) + с14(/г, s)e, (17.22) ye Rk где
Си (A, s) = с12 (A, S) Ф,„ ^).(17.23)
Ограничиваясь лишь выпуклыми множествами, можно доказать следующую теорему.
Теорема 17.6. Существуют полом, ительные постоянные с15, с1в, с^, зависящие лишь от к и s, такие, что если V = I и
Р$^с15п^/»(17.24)
при некотором целом s^3, то
sup (1 +^ (0, дС}} | Qn (Q - Ф (С) | ^
Се*6
с1вр3и-1/а + Ci7psn- <^2)/2(17.25)
Доказательство. Пусть С — измеримое по Борелю выпуклое множество. Заменяя Л на С в (17.17) и применяя (17.22) в теореме 15.1 (с r = s), получаем
(1 + ^(0, dC))|Q„(C)-O(C)| = |$fd(Q„-O)|^
^ Ci8psn-(5-2)/2+С19<в* (2е : (4+)s0) + s —2
+ £ » т/2|$МРт(-Ф:М|,(17.26)
т — 1
где е = с10р3п~1/2. Далее, из (15.82) и (15.84) вытекает, что
П1 + Их МI ^ (~ Ф : IXv}) I dx ^ c21pm+2, (j7 27) «“m/aPm+2 ^ П"1/2Рз + П-^'^р,.
Поэтому (17.26) сводится к неравенству
(i+^(o, аспша-Фо^
сю (Рз»'1/2 + PsH" (,-2,/2) + ci9to$ (2е : Ф5„).(17.28)
Воспользовавшись (17.22) и следствием 3.2 в (17.28), закончим доказательство, а
Теорема 17.6 приводит к так называемым глобальным центральным предельным теоремам (или центральным предельным теоремам в среднем} в Р1.
Следствие 17.7. Если выполнено предположение теоремы 17.6 с k= 1, то
sup (1 +|x|J)\ЕДх} — Ф(х)1 xeR1
^ctopan 1,2-|-r24Psn-,s-2'/2,(17.29)
где Fa( ) есть функция распределения нормированной суммы
/г1/2(Х1+... + Х„) и Ф — стандартная нормальная функция распределения. Отсюда вытекает, что
I Fn - Ф |р = И | Fn (х) - Ф (х) |р dxV/p хя*/
<с25(р, s)(c23p3n ^^^«рл ^ 2)/2)(17.30)
при всех p>l/s.
Доказательство. Неравенство (17.29) следует из теоремы 17.6, если взять fe=l, С = (—оо, х], хе/?1. Неравенство (17.29) немедленно влечет за собой (17.30). ▲
Замечание. Справедливость (17.30) при р > 1 '2 можно доказать без предположения (17.24). Пусть р3<со. Тогда
17л (х) — Ф (х) ^ (1 + х з)-1 с26р3п-1 2 г£
2 (1 +ХТ1 с2бРз"1/2(х е R^,(17.31)
если выполнено (17.24), т. е. если
Рз<С27"1/2(17.32)
для соответствующего положительного числа ся. Далее,
х21 Fn (х)- Ф (х) х= (Fn (х) + Ф (х))<
J y*-Q„(dy)+(y^(dy)^2 (х < 0),
(IS > X }»У'> X 1
Х2^Л(Х)-Ф(Х) = X2 (|-f„(x))-(l-®(x))|^
^ J y2Qn№)+ j y=®(dy)<2 (x^O),(17.33)
{Iwl^x}{'y'^x}
|Е„(х)-Ф(х) ^1 (xeRT),
так что справедлива оценка
(l+x2)if„(x)-®(x) ^3 (хе Ri’),(17.34)
если р2=1. Теперь неравенство
|/?л(х)-Ф(х) ^СгвО+х^РдП"1'2 (xeR1)(17.35)
выполнено всякий раз, когда р3<со, если с28 = тах (2с26, 3/с27). Справедливость этого утверждения вытекает из того, что в силу (17.31) выполнено (17.35) при условии, что имеет место (17.32). Если (17.32) не выполнено, то справедливость (17.35) следует из (17.34).
Заключительное приложение теоремы 15.1 относится к функциям, удовлетворяющим условию Липшица.
Теорема 17.8. Пусть (17.1) выполняется с V = L Существуют положительные постоянные с»», с30, с31, зависящие только от г, к и s, акие, что если
р4 <с29/?^2^2(17.36)
при некотором целом s^3, то для всех f, удовлетворяющих соотношениям
МДЬ<.оо, \f(x)-f(y)\^d\x-yr (x.yeR^ (17.37)
при некотором целом г, O^r^s, и для любой пары положительных чисел d, а (0<а^ 1) справедливо неравенство
| J fd (Q„ - Ф) | ^ сюМг (f) (рз/i-v» + р,п- <—»>/«=) +
+ c3od(c3iP3«'1/s)“-(17.38)
Если г = 0, то (17.36) можно заменить на условие р3<оо.
Доказательство. По теореме 16.1 (с V = I = T^ имеем
| $ fd (Qn - ф) | ^ с^Мг (/) (p3n-v«+Р1п- W) +
+ 2wg (сззРзП-1/1: Ф J-(17.39)
Далее, если г = 0, то г0 = 0, g = f и ^ (е: Ф)<<1 (2е)“ и в силу следствия 15.2 доказательство закончено. Если г>0, то
Igto-stiOHUHJxrrVtoH^y^^(1+|хП-1|/(х)-^)| ++ lf(t/)[(i+^n-1-(i+|yn-1JK<=т-7(9)|+|/(9)(1+ы')-11(1+
4-lxr)1 kir-^^l<IMx)-M!/)i + Air(f)rk-yl(l ++ Цх||'')”1тах{||х|Г1. 11/1М}^
^ d (2е)“ + г М Ah (1 +1X г1) (IIX1 + 2еу-12в <
^ d (2е)« + ^rM, ф (1 +1 х ГГ1 (| х Г1 + (2вГ-1) в ^^d(2e)“ + 2^Mr(/)[l+(2er-i]e(|х-у|^2е). (17.40)
Полагая е = с33р3л-1/2, из (14.60) имеем е^с34. Следовательно, из (17.39) и (17.40) вытекает (17.38). ▲
Обратимся теперь к некоторым применениям теоремы 15.4. Рассмотрим теорему 15.4 в случае, когда г = 0, s = 3, f — I а> где А — борелевское подмножество в R*. Если V = 1 и рз < оо, то можно показать, что
Qn(Л)-Ф(Л) ^с36(1 +т]*+1) п-Ч'Д^ + ФИ^ХЛ), (17.41) где, как и в (15.61),
(17.42)(17.42)ч “ ^;рз ([log n] + 1) цК*,
(17.42)
(17.42)
Одностороннее неравенство (17.41) получается, если в доказательстве теоремы 15.4 вместо следствия 11.2 [см. (15.66)] использовать следствие 11.3. Остальная часть доказательства в изменениях не нуждается.
Пусть
6Л = шах {т], с35 (1 + r^) п ^ д* з}.(17.43)
Теорема 17.9. Пусть V = I, р3<оо. Тогда расстояние Прохорова dP и ограниченное расстояние Липшица dBL между Qn и Ф оцениваются следующим образом;
dp (Qn, Ф) ^ 6Л, dBL (Qn, Ф) ^ Сзврзп-™, (17.44)
где с8в зависит только от к.
Доказательство. Утверждение относительно dBL немедленно вытекает из теоремы 17.8 с г = 0 [определение этого расстояния см. в (2.51)]. Что касается dp, заметим, что для произвольных вероятностных мер Glt Ga на Rk имеем
dP(Gt, G2) = inf{e>0: Gi (Л)G2 (ЛЕ) + s,
G2 (Л) -<; Gi (ЛЕ) + е для всех Л е ^9*} == inf{e>0: Gi(F')^G2(F8')-V-e,
G2 (F) ^ Gi (FE) + е для всех замкнутых F},(17.45)
поскольку ЛЕ = (замыкание множества Л)Е при всех Л c.Rk и всех е>0. Далее,
dp (Gt, G^ = inf {8 > 0: Gt (F)
G2 (F8) + e для всех замкнутых F},(17.46)
так как если Gi (F) G2 (FE) + e для всех замкнутых F и при некотором е > О, то
1 - Gt (Fe) = Gt (R^ F8) -<: G2 ((Rk\F8)8) + 8 ^
^G2(/?*\F) + e=l-G2(F) + 8(17.47)
для всех замкнутых множеств F; использовалось включение
/?*\F zd (Rk\F8)8.(17.48)
Теперь из (17.41) и (17.43) вытекает, что
Qn (Л) -С Ф (Л) + 6„ + Ф (Л6"\Л) =
= Ф (Л6")+6„ (Ле «56»).(17.49)
Объединение этого соотношения с (17.46) дает первое неравенство в (17.44). ▲
Напомним, что Л*, з^Рз [см. (15.8)]; поэтому в выражении (17.43) для 6„ можно заменить Д*. 3 на р3. Далее отметим, что обычно используемое расстояние Колмогорова [см. (2.72)] оценивается сверху расстоянием
do (Съ G2) = sup | Gt (С) - G2 (С) к (17.50) СеУ
где ^ — класс всех измеримых по Борелю выпуклых подмножеств в Rk и G^ G-г есть вероятностные меры на Rk. В силу следствия 17.2 имеем
MQn, Ф)^с37рзп-1'2,(17.51)
если выполнено предположение теоремы 17.9.
Для двух положительных чисел d, а, где 0<а^1, через е^а (d: Фо. у) обозначим класс всех борелевских подмножеств А в Rk, для которых
(®o.v^)e)^dE»(е>0).(17.52)
Теорема 17.10. Если р3<оо, то существуют постоянные с38, с39, зависящие только от к, такие, что
sup (Q„(A) — Фо. у(А)|^
Ae^a(d :Ф0, у)
^t'ssO +if Д 7 3/2p3fr1/2 + d^^(17.53)
где
т] = c39A-3/2p3 ([log n] + 1) п1^(17.54)
и X, Л есть соответственно наименьшее и наибольшее собственные значения средней ковариационной матрицы V векторов Хп ..., Х„.
Доказательство. Это немедленно вытекает из следствия 16.5 с s = 3, г = 0, 1 = 1д. А
Можно показать, что для произвольной пары положительных чисел d, а, где 0<а^1, класс е^а (d: Фо-у) шире, чем класс e^a(d: Фо. у), определенный неравенством (17.3) (см., например, рассуждения, предшествующие формулировке теоремы 15.4). Последний является наибольшим инвариантным относительно сдвигов подклассом первого.
Заключительное применение теоремы 15.4 дает оценку для вероятностей «хвостов» распределения Qn.
Теорема 17.11. Пусть [Хл: пйг!} есть последовательность ш зависимых случайных векторов со значениями в Rk, имеющих нулевые средние и конечные абсо-
лютные моменты порядка s при некотором целом s ^ 3. Пусть
Vn = п-1 5 Cov (X,-), рг. „ = п^ 5 Е | X,- Г,
1=1;=1
(17.55)(17.55)Х„ = наименьшее собственное значение матрицы Vn, Л, = наибольшее собственное значение Vn,
(17.55)
(17.55)
A*,s= infО <е <A*,s= infО <е <‘" I —s/2„
A*,s= inf
О <е <
A*,s= inf
О <е <
^У!ЦХ,Т +
•'=1{ Х/ <лу2епЫ2|
A-n-^^5 |Хур
,=*{х,-з>Ч/2еп,/2}
Предположим, что
lim infX„>0, lim n 1/2p3.„ log1/2n = 0, 1 —♦ СОп -*°°
lim n-<'v-2,/2p$. „ = 0.
Тогда справедлива оценка
sup (asProb (||n ^(Х^ ... + X„)||2s
о >((s—2-f- 6) logn) */2
Л-^а)} < c40 (s, k^ 1 + ^ (1 +
+ (n-1/2^-3/2 log n)^1) n-^-^k*. s + 0„ (6) n-($-2>/2,
(17.57)
где O„ (6) -► 0 при n -»• oo для каждого 6 > 0.
Доказательство. He ограничивая общности, предполагаем, что Х,„>0 при всех п. Пусть Qn обозначает распределение нормированной суммы п-1/2 (Тп^ +... ••• А-ТпХп^, где Тп — симметрическая положительно определенная матрица, для которой
П=Уй* (п^1).(17.58)
Положим
^2. п = п-1 2 ЕII Т„Х] Iim+2 (O^m^s —2),
Г1(17.59)
Xv. п = п 1 У] (кумулянт порядка v вектора ТпХ,) ' 1(|v|^s).
Определим функцию / соотношением
/И ={/И ={О, если |х|<а.О, если |х|<а.as, если fl х |^а.as, если fl х |^а.(17.60)(17.60)и, воспользовавшись теоремой 15.4 с этой функцией f, получими, воспользовавшись теоремой 15.4 с этой функцией f, получимаа1 п-т/2Рт(-Ф:{Ху.л}) ({*: М^о}) ^ о/1 п-т/2Рт(-Ф:{Ху.л}) ({*: М^о}) ^ о/< cu (s, k) Ms (Л [ 1 + (п 1/2тз, „ log п)^1] А* $ п-^'« ++ а» 2 п-т/’^т(-Ф:{^.в»1< cu (s, k) Ms (Л [ 1 + (п 1/2тз, „ log п)^1] А* $ п-^'« ++ а» 2 п-т/’^т(-Ф:{^.в»1т =0({х: | х | 3s а — Сип-1^, „ log п}).т =0({х: | х | 3s а — Сип-1^, „ log п}).(17.61)(17.61)гдеAl,^ infгдеAl,^ infеп"1 5еп"1 51ПХ/И +1/2}1ПХ/И +1/2}|7„ХуГ <А^|7„ХуГ <А^(17.62)(17.62)
/И ={
/И ={
О, если |х|<а.
О, если |х|<а.
as, если fl х |^а.
as, если fl х |^а.
(17.60)
(17.60)
и, воспользовавшись теоремой 15.4 с этой функцией f, получим
и, воспользовавшись теоремой 15.4 с этой функцией f, получим
а
а
1 п-т/2Рт(-Ф:{Ху.л}) ({*: М^о}) ^ о/
1 п-т/2Рт(-Ф:{Ху.л}) ({*: М^о}) ^ о/
< cu (s, k) Ms (Л [ 1 + (п 1/2тз, „ log п)^1] А* $ п-^'« +
+ а» 2 п-т/’^т(-Ф:{^.в»1
< cu (s, k) Ms (Л [ 1 + (п 1/2тз, „ log п)^1] А* $ п-^'« +
+ а» 2 п-т/’^т(-Ф:{^.в»1
т =0
({х: | х | 3s а — Сип-1^, „ log п}).
т =0
({х: | х | 3s а — Сип-1^, „ log п}).
(17.61)
(17.61)
где
Al,^ inf
где
Al,^ inf
еп"1 5
еп"1 5
1ПХ/И +
1/2}
1ПХ/И +
1/2}
|7„ХуГ <А^
|7„ХуГ <А^
(17.62)
(17.62)
поскольку несложные вычисления дают
л->/= ц ху к । т„ху к х--/= ц ху ।kx^i^ny
^.п^К^^^т^п(P^m^s-2y
Из предположения (17.56) [в силу (17.63), (15.84)] вытекает, что
n-m/2Tm+2.„->0 при n->oo (l^m^s — 2)(17.64)
и
а — с42/г1/2т3 л log n 3s а/2,
"(17.65)
а — с42п 1/2т3- п log п ^ ((s — 2 + 6/2) log n)1/2
при всех достаточно больших п, если а ^ ((s — 2 + 4- 6) log п)1/2. Поэтому
asn-m/2 I Pm (— Ф : {Xv, „}) I ({x: II x II31 a/2}) ^ c4an-m/2Tm+2i лIX i3m exp | — Ц-^ | dx =
(llx||3:(S—2+6/2) logn}
- 0» (6) n -<*-«/»(0 m ^s - 2).(17.66)
Заметим также, что
M.tfl-aVtU-a'Xl-(17.67)
Подставляя теперь оценки (17.62), (17.66) в (17.61), находим
a$Qn^x: |хЦ^а})^
^ cti (S, ^ 11 + (и-1/2^3/2Рз. л log n)*wl] A£ $п-^/« +
+ е„(6 п-^\(17.68)
Наконец, отметим, что
&({*: |x|^a}) =
= Prob (| n-^ (T^ + ... + T„X„) | ^ a)>
2s Prob (hl-1/2 (Xi4-... 4-Xn)|^aAV2,(17.69)
так как 17’лх|з= A~i/2|x|. ▲
Следствие 17.12. Пусть {Хл: п^ 1} есть последовательность независимых одинаково распределенных случайных векторов, имеющих нулевые средние и общую ковариационную матрицу V. Если момент pJ = £|Xi|]'* конечен при некотором целом s^3, то
Р(| Х,+ ... +Х„ |>аЛ1 ^ = 6лп и-^п^, (17.70)
где X —наибольшее собственное значение матрицы V, 6л-»-0 при п-^-оо равномерно относительно всякой последовательности {ап: п^ 1} чисел, удовлетворяющих неравенству
an^(s-2 +fi^log^n(17.71)
при любом заданном 6>0.
Доказательство. Заметим, что в этом случае
А^. ^п^Х^-^ + Х^2^JX^'-^O (17.72)
{«Х1||>Х>/2л1/4}
при п-*оо. Здесь X, А есть соответственно наименьшее и наибольшее собственные значения матрицы V. ▲
Следствие 17.13. Пусть {Х„: п^ 1} есть последовательность независимых случайных векторов, имеющих нулевые средние и конечные абсолютные моменты порядка s при некотором целом s^3. Предположим, что
liminfX„>0, sup р,, „Соо, (17.73)
где обозначения те же, что и в теореме 17.11. Тогда
Р (|| Xi + ... + X,. |> а^-п1^ = Ь’„п-А$^а-\ (17.74)
где {6„: п^ 1} равномерно ограничено для всякой последовательности чисел \ап" п^1}, удовлетворяющей (17.71) при любом фиксированном 6>0.
Доказательство. В силу (17.73) последовательность {Л„: пЗ:1} ограничена, поскольку, записав Vn = = ((Vi/)), имеем
к
Х„= sup (х, Vnx) = sup У UijXiXj^
1|лсП=1Uu=li , = |
к, кх2к
^ У ^iiUjjY№ I XjXj I = ( У I Xi и»Л < У ии = р2. „, i, j=l'i = I/1=1
Pm. n ^(Ps. nFs (l^m^s).(17.75)
Далее [полагая е=0 в выражении внутри квадратных скобок в (17.55)1 получаем
А*., ^ Х^т1 ^ Е (1 х. n = ^-s/2ps „,(17.76)
/=1
следовательно, последовательность {Д„, s: п^ 1} ограничена. Соотношение (17.74) вытекает теперь из (17.57). а Заметим, что если
limn-1 у J|Х/||, = 0.(17.77)
/=1 { X.^A^n'^J
то можно показать, что последовательность [6„: п^ 1} в следствии 17 13 стремится к нулю точно так же, как [6„: п^ 1} в следствии 17.12.
§ 18. Оценки скорости сходимости при условиисуществования конечных вторых моментов
Большая часть основных результатов §§ 15, 16 и 17 имеет соответствующие аналоги, если предполагать конечность лишь вторых моментов. Здесь будет доказан ана- дог теоремы 15.1 и получены некоторые следствия.
Как и раньше, Хь ... , Х„ есть независимые случайные векторы со значениями в Rk, и
£Х,- = 0(1^/^п),п"1 V Cov(X7) = V, (18.1)
z=i
(18.2)(18.2)где V — симметрическая положительно определенная матрица. Положим
(18.2)
(18.2)
P^n-1 5 Е |Х, Г (г>0) 1=1
и через Т обозначим симметрическую положительно определенную матрицу, для которой
72 = V Ч72 = V ЧОпределим такжеОпределим также(18.3)(18.3)
72 = V Ч
72 = V Ч
Определим также
Определим также
(18.3)
(18.3)
Дл.,(е)=п-1 V J |Х/Г (е^О, s>0), ' = • { х;. >вп>/2}
ДП.. = ДЛ.Д1),(18.4)
6*. s= inf0<е<16*. s= inf0<е<1^‘>«-4$ [Х/Г + Д^Де)
6*. s= inf
0<е<1
6*. s= inf
0<е<1
> = 1 { Х/|<ел1/2}
Используя определение (15.7) величины Д*. м получаем бь=ди дл.2(1)^.>^р2.(18.5)
Далее, как и раньше, для произвольной функции / на Rk определим
(18.6)(18.6)Mr U) = supjl4-1 л; Г) 11МI (г > 0),
(18.6)
(18.6)
Mo(h= sup \Hx')-f(y')\ = w1(Rky х. yeRk
Наконец, пусть Qn обозначает распределение нормированной суммы n~1/2 (Xj + ... + Хл) и Фо, к обозначает нормальное распределение на Rk со средним а и ковариационной матрицей V. Будем писать Ф = Ф0, ь где / — единичная матрица.
Теорема 18.1. Пусть V = I и р5<оо при некотором s, 2^s^3. Существуют положительные постоянные Ci, с2, с3, зависящие толе ко от к и s, такие, что для любой измеримой по Борелю функции [ на Rk,
-. удовлетворяющей неравенству
ЛМ/)<оо(18.7)
при целом г, O^r ^s, справедлива оценка |$Zd(Q«— Ф)|<
<=схМг (Г) п-^ ^^п., + с^ (can-^l»^. s: Фг,),(18.8)
где г0 = г, если г четно, г0 = ^+1. если г нечетно, g^^tl+UxMVW, если г>0, 5 (-х) = / to»если г = 0,1
и Ф„ есть мера
ФГ0(г1х) = (1+|хГ)Ф(^)-(18.10)
Доказательство. Пусть усеченные случайные векторы Yy, Zy (1^/^п) определяются соотношениями (14.2). Пусть Qn, Q'n есть соответственно распределения нормированных сумм n-1/2 (Yi+...+¥„), n~1/2 (Z, + ... ...+zn).
Положим
On-n^^EN,, D-n1 У} Cov(Yy) (18.11) /=1HI
И Ф" = Ф-а„/. Ф' = Фо. о- Как и при доказательстве теоремы 15.1, имеем
|^ю„-ф)|^|^№„-у;;)|+|№,,^^ +|SM^-^')|+ISM(q;-»')|^
^ c4Mr (/) К sn-(^ +1S /о„ d ((?; - Ф') |.(18.12)
Заметим, что
P*rft,«fc)^p;'’ = ^,
JlxKOfdx)^*"1 (0<r«2);1 ' 1
поэтому можно показать, что если условие (15.11) нарушено, то оценка (17.8) тривиальна, и, следовательно, можно предполагать, не ограничивая общности, что (15.11) выполнено. Далее применим теорему 16.1 к случайным величинам Zlt..., Zn, положив s = 3 в (16.12), и получим
+ 2^. (с^/Узп-1'8: ф„),+ 2^. (с^/Узп-1'8: ф„),(18.14)(18.14)IJ ta, d (Qn - ф') | < Mir (fa^ (1 + Л"Ч k-^р'зп-^ +
+ 2^. (с^/Узп-1'8: ф„),
+ 2^. (с^/Узп-1'8: ф„),
(18.14)
(18.14)
где X, Л есть соответственно наименьшее и наибольшее собственные значения матрицы D и
й-п-1£ Е\г,;\
х ( О+иЬГЧк-В”1)^ если г>0, (18-*5)
W 1(\-в №• ” если г=0-
Здесь В—симметрическая положительно определенная
матрица, для которой B2 = D Ч В силу (14.10) имеем
p^-i/2 < 23п 5,2 2 В | Yy Is ^ 236* $п-<'-2>/2. (18.16)
Записав теперь<Р
g" (х) = (1 +iB-ix-Van^•)-1 (JOn • 6 i) (х)
при г>0, легко проверить [см. (14.12), (14.19), (14.81)
и (18.5)] справедливость неравенств
<Мг.(Л||В-1х+а„Г-|хМ(1+|хН-1<
^г0Мг.(/)(|В 1 —/||х|-Ь|а« D С'х|4-
+ |6-1-/||х| + |ап|)г*-,(1+|хГ)-1^
<с7Мг(/)5* ,п-<'-8)л
И как следствие получим
о£ (е : Фг.) ^ о#- (е : Фг.)+с8Мг (f) 6*. ,п-<^2'”. (18.17)
Замена переменных х-*-В 1х+ап и использование леммы
14.6 дают
tog- (в : фг,) = sup t tog- (х+у: е) Фг, (dx) ^
yeRk
sS sup $to,(B-l(x + z/)+o„ :|В-1|8)Фг„(({х)^ ye Rk
^уеДй ^ ^ ^ + У : ^l1 +1 6 ^~an) Г'] Фа,. D №) =5$
^ Cioto^ (CU8: Фг.) CuMr (/) 6». $n-vs-i№(18 18)
Доказательство завершается с помощью неравенств
(18.14), (18.16), (18.17) и (18.18). ▲
Следствие 18.2. Для каждого n5= 1 пусть X|n>t ...
, Х^"’ есть независимые случайные векторы со значения-
ми в Rk, имеющие нулевые средние и положительно опре- .деленную среднюю ковариационную матрицу Vn = kn
= ^Пусть Gn обозначает распределе-
i=i
ние нормированной суммы £~|/27л (Х1"1^-...-(-Х^.”1) еде Тп—симметрическая положительно определенная матрица, для которой Т„ = Vn1, п^ 1. Предположим, что кп->оо при п-*оо. Если
кп
0„ (е) ^ кп1 V ^| ТпХ^ С2 0 при п->оо
'^•{ц^Х^ре^
(18.19)
для каждого е>0, то {Gn: п^ 1} слабо сходится к стандартному нормальному распределению Ф.
Доказательство. Применим теорему 18.1 (с г = = Го = О) к случайным векторам ТпХ’"’, ..., ТпХ*-кп\ Для всякой функции f, удовлетворяющей условию Липшица и ограниченной единицей (или для индикатора f произвольного измеримого по Борелю выпуклого множества), имеем
| $ fd (Gn - Ф) | ^ (С1 + c13d) 62,(18.20)
где
62 = inf WS J^лХ^ + ОДв).
0<е<,1 /=,{Г„х^>и<=*А/2}
(18.21) и d зависит от f. Заметим, что
кп
62 ^ 8^* 5 $ || ТпХ^ ||2 + ©л (8) = *8 + ©и (8)(0^8^ 1).
/=1
При фиксированном 1]>0 выберем e = i]/2«, и пусть По 01) есть целое такое, что для п^ПоСп) выполнено 0Л (ц/2£) ^ т}/2. Тогда 62 ^т) для всех п^ПоСп)- А
Доказанное следствие представляет собой обобщение центральной предельной теоремы Линдеберга на многомерный случай.
Следствие 18.3. Если в следствии 18.2 заменить (18.19) на неравенство
E[X<n>|s<oo (1^/^Ал, п^1)(18.22)
при некотором s, 2sgs$g3, то
sup |6„(С)-Ф(С)|^ се?
ь.
|ТПХ<")^ +|ТПХ<")^ +кп4-^л* Укп4-^л* Уkk
|ТПХ<")^ +
|ТПХ<")^ +
кп
4-^л* У
кп
4-^л* У
k
k
(18.23)
где ^ — класс всех измеримых по Борелю выпуклых подмножеств в Rh и си зависит только от к.
Доказательство. Первое неравенство в (18.23) вытекает из теоремы 18.1 (с г = го = О), примененной к случайным векторам T„X)n>, 1 ^ / sg кп, и из следствия 3.2 (с s = 0). Второе неравенство получается из первого, если положить г = О в выражении внутри квадратных скобок, а
^*2 Д|Т„Х/Н = 0(18.24)^*2 Д|Т„Х/Н = 0(18.24)Доказанное следствие представляет собой многомерное обобщение центральной предельной теоремы Ляпунова-. {Gn: п^ 1} слабо сходится к Ф, если
^*2 Д|Т„Х/Н = 0(18.24)
^*2 Д|Т„Х/Н = 0(18.24)
lira 2>/2
при некотором s, 2 <_ s sg 3. Однако первое неравенство в (18.23) является более сильным утверждением. Например, если {Х„: п^1| есть последовательность независимых одинаково распределенных случайных векторов с нулевыми средними, общей положительно определенной ковариационной матрицей V и конечными s-ми абсолютными моментами при некотором s, 2 $g s < 3, то [полагая кп = п, е, = п-1м в (18.23)] имеем
sup | Prob к.п-^ (Хх+... + Х„) е С) - Фо, v (С) | =
= о {п~^ - 2>'2) (п -> оо).(18.25)
Точно таким же образом можно получить аналоги теоремы 17.6 и центральной предельной теоремы в среднем
(следствие 17.7). Например* если ^=1, то существует постоянная с16, зависящая только от р, такая, что при выполнении предположения теоремы 18.1 (с к= 1) имеем
l^-OII^Qefi*,^-2^ (р>1/2), (18.26)
где ЕД-^ есть функция распределения n-*/2 (Xi+--- + X„) и Ф (■) — стандартная нормальная функция распределения на Р^. Если (Х„: п^ 1} есть последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, то правая часть имеет порядок о^п-^-2^2^ при п-*оэ.
ПРИМЕЧАНИЯ
Первая центральная предельная теорема была доказана де Муав- ром [1] для н. о. р. случайных величин Бернулли; Лаплас [1] усовершенствовал ее и сделал более прозрачной, а также дал утверждение (и некоторые обоснования его справедливости) более общей центральной предельной теоремы. У Чебышева [1] есть (с дополнениями, принадлежащими Маркову [1]) доказательство его знаменитым методом моментов первой общей центральной предельной теоремы, однако условия Чебышева на моменты были очень сильными. Затем появились основополагающие работы Ляпунова [1, 2], в которых он ввел в теорию вероятностей понятие характеристической функции и использовал его при доказательстве сходимости к нормальному распределению при очень слабом предположении (18.24) (для 6=1). Наконец, Линдеберг |1] доказал следствие 18.2 (для 6=1). В случае н. о. р. случайных величин оно сводится к так называемой классической центральной предельной теореме; если {Х„: п>1} есть последовательность н. о. р. случайных величин, каждая из которых с нулевым средним и единичной дисперсией, то распределение нормированной суммы гГ1*2 (Х1 + --- + Хп) сходится к стандартному нормальному распределению Ф. Эта классическая центральная предельная теорема была доказана также Леви [1] (с. 233). Феллер [1] доказал, что условие Линдеберга (18.19) является необходимым для того, чтобы (1) распределение k~l/2s~‘ ^Х^”1 -(-...+ Xj,"^ сходилось слабо к Ф и (2) m®/kns^-»-0 при л-*оо; здесь 6=1 и вместо Vn и Тп соответственно пишем s® н s“‘, и m® =тах (var (х'п)): 1</<6„J.
Многие авторы получали многомерные продолжения центральной предельной теоремы, например Бернштейн [1], Хинчин [1, 2]; теорему Линдеберга — Феллера распространил на Rfc Такано [1].
Лемма 11.1—следствие 11.5 принадлежат Бхаттачарий [1—5]. Их легко можно продолжить на метрические группы, и Бхат- тачария [6] использовал эти продолжения для получения оценок скорости сходимости п-кратных сверток вероятностной меры на компактной группе к нормированной мере Хаара при л->оо. Возможно, лемма 11.6 хорошо известна аналитикам.
Первый результат о скорости сходимости принадлежит Ляпунову [2], который доказал, что
sup )F„(x) — Ф(х)|^ ср^Ги2 log п (л^2), р4.1),
где Fn—функция распределения нормированной суммы п независимых случайных величин с нулевым средним, единичной средней дисперсией (нормировка) и средним третьим абсолютным моментом р3. При дополнительном предположении [условие Крамера (20.1)] Крамеру [1, 3] (гл. VII) удалось убрать множитель logn в (N.1). Наилучший результат был независимо получен Берри [1] и Эссееном [1], которые избавились от логарифмического множителя в (N.1) при условии, что выполнено предположение Ляпунова. Постоянные, приведенные в теореме 12.4 (теорема Берри—Эссеена), не являются наилучшими из известных. После первых в этом направлении работ Золотарева [1, 2] постоянная 0,7975 в (12.49) была получена ван Беком [1]. Леммы 12.1 и 12.2, принадлежащие Золотареву [1], уточняют некоторые неравенства Берри [1] и Эссеена [1]. Многомерное продолжение теоремы Берри—Эссеена получено Бергстрёмом [1], который использовал остроумные рассуждения по индукции. Подход Берг- стрёма не требует применения аналитической техники преобразований Фурье и в последние годы развивался Бергстрёмом [2], Сазоновым [1, 2] и Паулаускасом [1].
—18. Если не принимать во внимание один частный (но глубокий) результат Эссеена [1] [см. замечания к гл. 5], то первая оценка близости не функций распределения, а распределений на некотором классе множеств, принадлежит Рао [1, 2], доказавшему, что
sup | Q„ (С) — Ф (С) | === СеУ
=5 С (А) Р^/2л"|/2 (log п^к-'>/(2(6+1)» („ ^ 2), (N.2)
где У — класс всех измеримых по Борелю выпуклых подмножеств в Р* и Qn есть распределение нормированной суммы п н. о. р. случайных векторов. Фон Бар [3] и Бхаттачария [1, 2] независимо распространили этот результат на более общие классы множеств [например, класс q^X (d : Ф), определенный в (17.3)], а также уточнили оценку, убрав логарифмический множитель в правой части (N.2). Условие на моменты у Бхаттачарий [1, 2] было таким: p3te с^оо при некотором 6 >• 0, а у фон Бара [3] существенно использовалось то, что случайные векторы н. о. р. и р3 < со, р*+1 <. со. Наконец, для класса 4? Сазонов [1] ослабил условие на моменты до следующего: р3<со и доказал следствие 17.2 для н. о. р. случайных векторов (позднее Бергстрём [3] независимо от Сазонова получил этот результат), а Ротарь [1] ослабил условие на моменты в общем случае независимых разнораспределенных случайных векторов. Для более общих классов множеств ослабление условия на моменты принадлежит Бхаттачарий [7]. У Паулаускаса [1] также есть результат с более широким классом, чем ^.
Результаты § 13 доказаны Бхаттачарией в [3], но точное вычисление постоянных, приведенное здесь, является новым.
Бикялис [4] первый эффективно использовал метод усечений в настоящем контексте; лемма 14.1 и следствие 14.2 по существу доказаны им. Лемма 14.3 принадлежит Ротарю [1]. Леммы 14.6 и 14.8 получены Бхаттачарией [7]; результат, аналогичный неравенству (14.107), был ранее доказан Бикялисом [4]. Аналоги леммы 14.7 получены ранее Дубом [1] (с. 226 —828) для стационарной марковской цепи, Бриллинджером [1] для н. о. р. случайных величин и фон Баром
7 Р. Н. Бхаттачария, Р. Ранга Рао -
для случая, рассматриваемого у нас; однако нам не удалось вывести из их результатов в точности утверждение леммы 14.7.
Теоремы 15.1, 15.4 и следствие 15.2 доказаны Бхаттачарией [7], как и настоящий вид следствия 15.3; ранее, иная форма следствия 15.3 была независимо получена фои Баром [3] и Бхаттачарией [1, 2].
Теоремы 17.1, 17.4, 17.8—17.10 и следствие 17.3 принадлежат Бхаттачарий [4, 5, 7]. Следствия 17.5 и 17.12 доказаны фои Баром [2, 3] для н. о. р. случайных величии; соответствующие результаты (теоремы 17.4, 17.11 и следствие 17.13) для независимых разнорас- пределеииых случайных величин являются новыми. Первые глобальные центральные предельные теоремы (или центральные предельные теоремы в среднем) получены Эссееиом [1,3] и Эгнью [1]. Очень точный результат следствия 17.7 при s=3 доказан Нагаевым [1] для н. о. р. случайных величии (немного более слабая оценка ранее была получена Эссееном [1]) и позднее Бикялисом [2] для независимых разиораспределенных случайных величии; затем значительно более мощная теорема 17.6 доказана Ротарем [1] при s=3. Ротарь [1] сформулировал также результат, из которого вытекает теорема 17.6 при всех 8^3; однако мы ие можем его проверить.
Теорема 18.3, как, возможно, и следствие 18.3, являются новыми, однако у Осипова и Петрова [1] и Феллера [2] есть весьма общие неравенства для разности между функциями распределения Fn и Ф для независимых разиораспределенных случайных величин в одномерном случае. В одномерном случае известны более точные результаты, чем (18.25) и (18.26). Ибрагимов [1] доказал следующее утверждение: пред положим,что {Х„: л > 1} есть последовательность н. о. р. случайных величин, каждая ив которых имеет нулевое среднее и единичную дисперсию1, пусть 0<6<1, 1<р<оо; тогда Fn—Фчр=0^гГ№\ если и только если
( Х= = О(х-«)(х^-со),(N.3)
(|Х,Т>*>
а также ХРп-Ф^р-Окп-41^. если и только если выполнено (N.3) с 6— 1 и
( Х? = О(1)(х^-со);(N.4)
(|Х,Т<х)
едесь |Е„—Ф fo означает расстояние Колмогорова [см. (2.72)]. При тех же самых предположениях Хейде [1] показал, что если 0-<6<1, то
5п-,+»/2|Г„-Ф|О0<оо(N.5)
Л = 1
тогда и только тогда, когда Е | X, |2+6 < оо. Далее, (N.5) выполнено с 3=0 тогда и только тогда, когда
E(X?log(l+ Х,|))<оо.
Недавно Бикялис [6] обобщил результат Ибрагимова на Rk.
ГЛАВА 4
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ.НЕРЕШЕТЧАТЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Как мы видели в главе 2, характеристическая функция, соответствующая Qn (распределения n-й нормированной частичной суммы по последовательности {Хл:1}
независимых одинаково распределенных векторов), допускает асимптотическое разложение по степеням л_|/2, в котором остаточный член является бесконечно малой величиной относительно последнего члена разложения. Если для некоторого целого s^3 абсолютный s-й момент случайного вектора Хг конечен, то существуют функции Р,(—<р: {Xv}). O^r^s — 2, имеющие вид полиномов, умноженных на стандартную нормальную плотность ф, таких, что Ро = <Р.
$exp{i</, x>}Q„(dx) = s— 2
= 2 """S exp (t (/, x>} Pr (— Ф: {Xv}) M dx-V- r=0
+ o(n_(s_2>/2) (teRk, n-^oo).(1)
На самом деле, как следует из теоремы 9.12, функция х—>-exp{i(/, х)} может быть заменена полиномом, степень которого не превосходит s. Если не делать некоторых дополнительных предположений относительно распределения Хь такое разложение, к сожалению, не имеет места для \J dQ„, когда / принадлежит достаточно широкому классу функций (например, даже в том случае, когда рассматривается класс индикаторов множеств, имеющих достаточно «гладкие» границы). В § 19, предполагая, что распределение вектора Xj имеет ограниченную плотность (или по крайней мере его r-кратная композиция имеет такую плотность при некотором г), мы получаем асимп-
7*
тотические разложения для плотности распределения Qn, а также для ^fdQn при любой ограниченной измеримой функции /. В § 20 условия, приведенные в § 1, ослабляются до «распределение вектора X удовлетворяет условию Крамера (20.1)» и получено разложение величины ^fdQn для достаточно широкого класса функций /, хотя и не для любой ограниченной измеримой функции f. В частности, доказано, что для борелевских множеств, удовлетворяющих условию
ф ((5Л)е) = о ((— log е)-^'2) (е ; 0), (2)
остаточный член в разложении ф„(Л) будет иметь порядок малости о (n-u-2)/2) равномерно по классу е^ множеств Л, удовлетворяющих условию (2).
§ 19. Локальные предельные теоремыи асимптотические разложения для плотностей
(19.1)(19.1)Предположим, что {Х„: га ^ 1} —последовательность независимых случайных векторов таких, что распределения {Qn; n^sl} нормированных частичных сумм имеют плотности {^„; га^ 1} при достаточно больших значениях га, удовлетворяющие условию
(19.1)
(19.1)
lim qn (х) = ф (х) (х е R6), П-*ОО•
где ф (х) — плотность предельного распределения Т (например, стандартного нормального распределения в Rfc\ Соотношение (19.1) называют локальной предельной теоремой (для плотностей распределения {Q„: n^l}).
Если существуют плотности qn, мы всегда будем считать их непрерывными. Напомним, что в силу теоремы Шеффе (лемма 2.1) из (19.1) следует, что
lim|Q,-¥| = 0.lim|Q,-¥| = 0.(19.2)(19.2)
lim|Q,-¥| = 0.
lim|Q,-¥| = 0.
(19.2)
(19.2)
В дальнейшем в основном рассматриваем равномерные локальные предельные теоремы, состоящие в том, что
lim sup lqn(x) — ф(х)|=0.(19.3)
Л-»СО хеДЙ
Поскольку все утверждения этого параграфа, содержащие плотности, сформулированы при условиях, обеспечиваю-
щих существование непрерывной плотности qn для всех больших п, не будет двусмысленности интерпретаций соотношения (19.3) и аналогичных утверждений.
Теорема 19.1. Пусть {Х„: п^ 1} — последовательность независимых одинаково распределенных случайных векторов со значениями из Rk и
ЕХА = 0, Cov(Xx) = K,(19.4)
где V — симметрическая положительно определенная матрица. Пусть Qn является распределением суммы тт (X! + +•.. + Х„) (n = 1, 2, ...). Тогда следующие утверждения эквивалентны-.
Q^eL^VR^ при некотором р^ 1.
При всех достаточно больших п Qn имеет плотность qn и
lim sup 19„ (х) — фо. р (х) | = 0.(19.5)
"-™ieR*
Существует целое число т такое, что Q*m (или, то же самое, что Qm) имеет ограниченную (почти всюдуУ плотность.
Доказательство. Сначала докажем, что (1)=>(2).. Если |Qj |₽ интегрируема, то таковой является и |Q„| для каждого п^р. Поэтому из формулы обращения Фурье (теорема 4.1 (4)) следует, что Qn при п^р имеет ограниченную непрерывную плотность qn и
sup |<7„(х)-фо.у(*)1^ xeRk
^ (2л)~й J | ^„ (0 — фо.у(01^ (п^р).(19.6)
В силу классической центральной предельной теоремы (см., например, следствие 18.2 для случая н. о. р. векторов)
lim $Ю)-фо.г(О1^ = О (19.7)
при любом а>0. Кроме того, так как
^(0=1-4<«, VO + o(nn (<-0),(19.8)
то существует положительное число b такое, что lQi(0 ^l-j(<, W)^exp{-1(/, К/)} (10^6). (19.9)
Отсюда следует, что
l&tOI^I^-jyi" ^ехрl&tOI^I^-jyi" ^ехр™>) (Ш 14)™>) (Ш 14)ПустьПусть«сЬ"|/"п).(19.10)«сЬ"|/"п).(19.10)
l&tOI^I^-jyi" ^ехр
l&tOI^I^-jyi" ^ехр
™>) (Ш 14)
™>) (Ш 14)
Пусть
Пусть
«сЬ"|/"п).
(19.10)
«сЬ"|/"п).
(19.10)
6 = 8ир{|(51(/)|:|И>Ь}.(19-11)
Тогда 6< 1. В самом деле, если S= 1, то sup{jQ!^)^:||/||2> >6} = 1 для всех т^ 1. Но для т^р применима лемма Римана — Лебега (теорема 4.1 (3)), из которой следует существование точки toeRk такой, что | Qi (/о) I = 1 • Последнее для Хх означает, что его значения образуют счетные множества на параллельных гиперплоскостях (см. §21). Отсюда следует сингулярность Qm относительно лебеговой меры для т^ 1. Последнее утверждение противоречит абсолютной непрерывности Qm для всех т^р. Далее, при ^| ^bV п
ж=Ьп~Рж=Ьп~Р(19.12)
ж=Ьп~Р
ж=Ьп~Р
Теперь, HH$l<M0-Kv(0l^ нН $ IM-tMOId^ "-*”"-‘°0 Ш11«»
4-2 \ ехр{—Ш1Г>а}
fl/fl/4- Tim Ьп-р (
fl/
fl/
{|1#11>ьл1/2}
(19.13)
<Ш>а)
при любом а>0. Устремляя а-»-оо, получим
firn sup |9« to —Vo.vtol^
"-«xeRk
(19.14)(19.14)^ (2л)й lim JI qn (/) — ф0, v (01 d/ = 0.
(19.14)
(19.14)
Чп дляЧп дляЗаметим, что из (19.5) следует ограниченность
Чп для
Чп для
всех достаточно больших п. Следовательно, (2) =} (3). Для
завершения доказательства покажем, что (3)г^(1). Если qm ограничена сверху константой С, то qm^Cqmi т. е. qm е I? <RkY Отсюда следует, что qm е L2 (R^ (теорема 4.1 (4)) или, то же самое, что Qi е L2"1 (Rk). ▲
Каждое из трех утверждений (1), (2), (3) эквивалентно (4): существуют л> 1 и целое число т такие, что Qm имеет плотность, принадлежащую LrV<kY Очевидно, что (3) => (4) с г = 2. Наоборот, в силу так называемой теоремы Хаусдорфа —Янга (см. Кацнельсон [1], с. 142), если/е Е L1 (Rk) П La (Rk) ПРИ некотором г е (1, 2), то ) е Lr' ^RkY где г'=у^д и
||/^^(2л)^1/Р,. (19.15)
Следовательно, если (4) справедливо с ге(1, 2), то Q” е Lr (Rk) и тогда Qi е L^" ^Rk\ Если (4) справедливо при некотором г ^ 2, то qm е L2 (Rk) (так как qm^Qm-t + qm\ и кроме того, qm Е L? (RkY следовательно, Qe е е L2m (,Rk\
В качестве примера абсолютно непрерывной вероятностной меры на R1, имеющей компактный носитель (и нулевое среднее) и плотность qx такую, что q*m (следовательно, qm^ является неограниченной для любого т, можно взять *)
qi=h»h.qi=h»h.h^ =h^ =log 2 • (х log2 х)-1,
qi=h»h.
qi=h»h.
h^ =
h^ =
(19.16)(19.16)если х е (0, 1/2),
(19.16)
(19.16)
О, если хе (О, 1/2),
h (х) = h (—х),х е R*.
Следующий результат, касающийся асимптотического разложения плотности, является, на наш взгляд, более важным по сравнению с теоремой 19.1.
Теорема 19.2. Пусть {Х„ : n^ 1} — последовательность н. о. р. случайных векторов со значениями из Rk, имеющая (общее) нулевое среднее и положительно определенную ковариационную матрицу V. Предположим, что ps = £||XjJJ<оо для некоторого целого s^3 и характеристическая функция Qx вектора Хх принадлежит Lp(Rk) для некоторого р^ 1. Тогда существует ограниченная
непрерывная плотность qn распределения Qn суммы п~1/а'х. X^i + Xg+'-' + ^n) при любом п^ р и имеет место асимптотическое разложение
s —2
sup (1 +1| х Н Чп (х) - 2 п-ийР( (— ф0. v: {Xv}) (х) xeR*1=0
= o(n~^/a)(п-*оо),(19.17)
где Xv обозначает кумулянт х-го порядка вектора Xj (3<|v|<s).
Доказательство. Не ограничивая общности, р будем считать целым (в противном случае возьмем [р] + 1 вместо р). Для n^p-\-s DaQn является интегрируемой функцией при 0 ^ | а | ^ s. Для /г ^ р + s, | а | ^ s положим
hn (х) = х“ L (х) — У п-^Р, (— фо. v : {Xv}) (х)) (х е R^,\ i=o/
$ — 2
kteRkykteRky(19.18)(19.18)- 2 n-l№Pi ^ i {xv}) exp { - ^ (jt, V/>} f = 0
kteRky
kteRky
(19.18)
(19.18)
По формуле обращения Фурье
Лп(х) = (2л)"*$ехр {—i (t, х>} hn (t) di (xeR^. (19.19)
Пусть В — положительно определенная симметрическая матрица такая, что Ba = V-1. Положим
ru-EJBXii*(19.20)
В силу теоремы 9.12 (и замечания после нее)
I h„ (/)! ^ б (га) п-^!а [«/, W»<s -1« D/2+
+ «/, V/»<8^8>+i“ |>^ exp {- j </, Vr>}](19-21)
для любых /, удовлетворяющих неравенству
ft I^A-v»CM(s, к) п^ч?*^-2' = <1^(19.22)
где А —наибольшее србственное число V. В силу соотцо-
тений (19.19), (19.21) и (19.22) достаточно показать, что
{|<||>аУп}{|<||>аУп}$|D“Q„(/)|d/ = o(n-<^a>/a){|t||>aKn}$|D“Q„(/)|d/ = o(n-<^a>/a){|t||>aKn}хехр {— (1, Vt>хехр {— (1, Vt>dt = o^n-^i^dt = o^n-^i^(fl -► oo),(fl -► oo),(n-»-oo).(n-»-oo).(19.23)(19.23)
{|<||>аУп}
{|<||>аУп}
$|D“Q„(/)|d/ = o(n-<^a>/a)
{|t||>aKn}
$|D“Q„(/)|d/ = o(n-<^a>/a)
{|t||>aKn}
хехр {— (1, Vt>
хехр {— (1, Vt>
dt = o^n-^i^
dt = o^n-^i^
(fl -► oo),
(fl -► oo),
(n-»-oo).
(n-»-oo).
(19.23)
(19.23)
Второе соотношение в (19.23) справедливо благодаря присутствию экспоненциального члена. А первое легко вытекает из следующей оценки (получающейся применением формулы Лейбница для дифференцирования произведения функций):
^^„(П^С^, ^) Рщ п» ^- «'-pp^-J^y (19.24) при It^ap^n, n^p + s, |a|^s. Здесь следует учесть, что
S^upd^)): Щ>п}<1. А (19.25)
Замечание. Можно показать, что теорема 19.2 справедлива также при s=2. Это следует из того, что теорема 9.12 верна при s=2. Поэтому имеет место более сильное утверждение, чем (19.5), а именно:
lim sup (1+ х a)|9„to— Фо vW|=°- О9-26) "-^XER*1
Следующая теорема относится к разнораспределенным случайным векторам.
Теорема 19.3. Пусть {Х„: п^ 1} — последовательность независимых случайных векторов со значениями из Rk, имеющая нулевые средние и среднюю положительно определенную ковариационную матрицу Vn при больших п. Предположим, что
Ши и-1 5 Е| ВпХ, м<оо (19.27) п —оо / = 1
при некотором целом s^3, где матрица Вп положительно определена для всех достаточно больших п, симметрична и удовлетворяет равенству
Bk = УД Vn = п1 2 Cov (Ху). (19.28) 1=1
Также предположим, что существует положительное целое р такое, что функции
gm.n^ = п l^(exp{i<t ВпХ/>})|/ = т + 1
(O^m^n — р, п^р+1)
удовлетворяют условию
7 = sup \gm.n^dt<oo (19.29) 0 т л — р
п^ Р+ 1
и для любого положительного числа b
6(b)=sup{gm.„(0: Ш>Ь,
О^т^п — р, л^р4-1}<1.(19.30)
Тогда распределение Qn суммы zr^Bn^+.-. + X,,) имеет плотность qn для всех достаточно больших п и
sup (1 +1 х П qn (х) - 5 п-'КРг (— ф: ftv „}) (х) =
xeRkг=0
= 0(n-U-3)/2)(п^оо),(19.31)
где Xv, п — средние кумулянты v-го порядка (3 ^ | v | ^ s) векторов ВпХ5 (1 ^ / ^п).
Доказательство. Для заданного неотрицательного целочисленного вектора a, |a|^s, положим (при всех больших и)
А„(х) = ха(<7„(х)- 5 п-^РД— v:{Xv.„})(x))(xe^\
„(19.32)
.Ч,.п = п-1 5 Е^ВпМ @<r^sy i = t
Все утверждения, формулируемые ниже, справедливы для всех достаточно больших п. Согласно формуле обращения Фурье имеем
sup |йл(х)|<(2л)-*ЛЙя(0|Л.(19.33)
xeRk
По теореме 9.11 и условию (19.27) неравенство
IК (0 | ^ Ьхп"^1г (Ц f [s - । “■ + | / j3U-a)+ia j еХр J_ Jl|
имеет место для всех t из Rk таких, что
ИКМ")/»»,(19-35)
где bi и Ь2 —некоторые положительные числа, не зависящие от п.
Кроме того, повторяя рассуждения доказательства леммы 14.3 (однако в этом случае неравенство |a|^s необходимо) при приведенных предположениях, можно показать, что
(19.36)(19.87)(19.36)(19.87)I ОЧк ^ | ^ Ь8 ехр {— ^—} для всех t, удовлетворяющих неравенству
(19.36)
(19.87)
(19.36)
(19.87)
Здесь Ь3 и Ь4, так же как и все Ь, встречающиеся ниже, — положительные числа, не зависящие от и. Теперь в силу (19.33)
sup |Л„(х) |< (2л)-* (71+ /, + /,).(19.38)
XER*-
где-
71-$IftnWldf^bjn-^)/!,
{|t|<M<*-*>/to}
7,- J IM)I#, (19.39)
{б«и(в "^М^^О/ЦО» Ул)
'7,=$|Ая(0|Л-
{ЦЦ>64Уй}
Оценка для 7г следует из (19.34), (19.35). Положим
т=п»т=п»^п-^РДИ: {Xv,n})exp{(7 е R»).^п-^РДИ: {Xv,n})exp{(7 е R»).(19.40)(19.40)
т=п»
т=п»
^п-^РДИ: {Xv,n})exp{(7 е R»).
^п-^РДИ: {Xv,n})exp{(7 е R»).
(19.40)
(19.40)
Применяя лемму 9.5 к случайным векторам BnXu.... ВпХпс учетом (19.27) получим•'*
IZWl^be(l + Unexp{-^} kt^. (19.41)
Таким образом, из (19.36), (19.37) и (19.41) имеем
/з + 'з^т J (1+Г/Лехр{-44Л + {0<0>»in(,—2>/2»}
+ J |^(0'<й.(19.42)
{ll<fl>b«Vn}
Как в (19.24), при дифференцировании D°-Qn применим формулу Лейбница и увидим, что DaQ„ выражается как сумма из и™1 членов, типичный из которых имеет вид
a(t) = l П (£(ехр{/<Кп<, BnXy>})\x
\1ё(1г...1т)/
X (О™- Е (exp (i <Уп t, BnXh >}))Г1 х...
... x(Dam£(exp {/(Vnt, В^}])^,(19.43)
где /i, ..., /m — различные индексы из {1, 2, .... m}, rlt ..., rm — положительные целые числа и «!ат — неотрицательные (ненулевые) целочисленные векторы, т удовлетворяющие равенству У, г^ = а. /—i Теперь,
[ Da*E (exp W“t, ВЛ.Ж’--
... (D^E (exp {i <Уи t, BnXln^rm | ^
n-1" ^ (E j BnXk ^ “i iy....(Eg BnXim Ц «m Vym ^
^ n-1«1/2 (E j Bnxix j«у.I“11/I«I... (E | BnXim [I “ iym ,»rn 1/1“I ^
^n-iai/2 2 (EHEnX/zHi“i)^n-i“'/2m/if]lal.„. (19.44) i = i
Далее, так как m^|a|, то существует по крайней мере (и — | a |)/(| a | р) — 1 множеств р последовательных индексов в {1, 2,..., »}\{/ь •••, jmV Следовательно,
$|a(t),dt^
{И/^б.п1/*}
^ n- < “ 1/2+ 1/7111! a I, n (6 (МУ"-1 “ >/<l “ 1 P> - 2 X
X f pm-,nf4-^/^M‘|a|/2+'i/,+1n|a|.n(6(b4))ln-‘“l,/(i“l₽M
для некоторого т',0^т'^п — р, и, следовательно, $\D^Q„^,dt^
{||t||>b.lM
^ b8nV a 1+Л+2>/2Л1 „, „ (5 (Ь4))(«-1 “.)/(! а I Р>-2 =
= 0 (и-(^)/’) (л -> ОО). (19.46) Теперь доказываемое утверждение (19.31) легко следует из соотношений (19.33), (19.39), (19.42), (19.46), если выбрать а = 0, а = (s, 0,.... 0), ..., а = (0, 0,.... 0, s). ▲
Следующий вариант теоремы 19.3 является более удобным в приложениях.
Следствие 19.4. Пусть {Х„: л ^ 1} — последовательность независимых случайных векторов, имеющих нулевые средние и конечные абсолютные моменты s-го порядка {р,.„=Е|Х„Г;п^1} при некотором целом s ^ 1. Пусть Vn=^ ^ Cov (X;), и пусть \п обозначает минимальное i=\”
собственное значение Vn (п^ 1). Положим p, = n-12 psj.
i=i
Предположим, что
Игл Хп > 0, sup р., < оо.(19.47)
л-»оо”
Также предположим, что существует целое число р такое, что функции gm (m^0), определенные равенствами
т + р
gm(t)= П l^(exp{i<<, Ху>})|/ = т+ 1
(т = 0, 1, 2, ...),(19.48)
удовлетворяют условиям
sup $£т(0^<°°, m>0 J
suP{gm (/): Ш>&, т^0}<1 для всех b">0.(19.49)
Тогда имеет место (19.31).
Доказательство. Заметим, что для матрицы Вп, определенной в (19.28), имеем
lim Х„^ s/a lim (и-1 ^ рдУ ] -< оо (19.50) "/ о \ /=.1 ' /
в силу (19.47), поскольку |В„| = ^7*/2- Далее, для gm.n, определенных в теореме 19.3,
sup Xgm.nWdt^ sup (det Vnyrt\gm(f)dt. (19.51)
O^m^n— pm^O
n ^ p+ 1n^ p-J- 1
Но, обозначив через A„ наибольшее собственное значение матрицы Vn, имеем
Det(V„)^At Лл^р2^рГ’.Det(V„)^At Лл^р2^рГ’.(19.52)(19.52)
Det(V„)^At Лл^р2^рГ’.
Det(V„)^At Лл^р2^рГ’.
(19.52)
(19.52)
(19.53)(19.53)Следовательно, (19.29) справедливо. Наконец, gm,n kf) = gm (Bnt), SUPgm.nkt^ SUpgm(/)<l
(19.53)
(19.53)
O^m^n — pm^Q
л^р+lH^p+l
«<«>»пл^б^1^
для достаточно большого р. ▲
=«окп-^'аУ (19.54)=«окп-^'аУ (19.54)Если целое число s в теореме 19.2 (не менее 3) больше чем k, то из (19.17) немедленно следует, что
=«окп-^'аУ (19.54)
=«окп-^'аУ (19.54)
/= 0
Аналогично, если $^^+1, то при условиях теоремы 19.3 имеем
|& - £гг^Р, (- Ф : {Xv.4 I) I = о (П-^-^ кп -> сю).
Следующая теорема для н. о. р. случайных векторов является более общей.
Теорема 19.5. Пусть {Х„: и ^ 1} — последовательность независимых одинаково распределенных случайных векторов с нулевыми средними, невырожденной ковариационной матрицей V и ненулевой абсолютно непрерывной компонентой. Если p$=E||X1js<co при некотором целом 8^3, то, обозначив через Qn распределение суммы n-I/e(X14-.„4-Xn), имеем
$a+i*n
= о (л-<$-2)/2)(и-»-со),(19.55)
где Xv~ кумулянт v-го порядка Xv
Доказательство. Переходя от величины х к Тх, где Т' — Т и 72 = V"1, можно убедиться в том, что доказательство теоремы достаточно проводить для случая, когда - V = L Поэтому мы предположим, что V = I Определим усеченные случайные векторы ¥/.„, Z/,„ равенствами
YM =YM =X/,о.X/,о.еслиеслиеслиесли, 'ZA„ =¥,.„-£¥,.„, (19.56)|ХуЦ>] и, (1/ ^п, п> 1)., 'ZA„ =¥,.„-£¥,.„, (19.56)|ХуЦ>] и, (1/ ^п, п> 1).
YM =
YM =
X/,о.
X/,о.
если
если
если
если
, 'ZA„ =¥,.„-£¥,.„, (19.56)
|ХуЦ>] и, (1/ ^п, п> 1).
, 'ZA„ =¥,.„-£¥,.„, (19.56)
|ХуЦ>] и, (1/ ^п, п> 1).
Эти векторы те же самые, что и Yx, Zy, определенные в (14.12); дополнительный индекс п введен, чтобы подчеркнуть тот факт, что уровень усечения зависит от п. Пусть Q’ni Qn обозначают распределения векторов Лп
n-i/a у^ X/."» n~1/a 5j Z/.n соответственно. Положим
/=i’i=i
s'—2
Y„.^= ^ ^/2Pr(-O:{Xv», ^(19.57)
^.s-= 2 ^/а^(-Фо.0л:{Хх.л}),
r=0
где
D„ = Cov(YI.„) = Cov(ZI.„), riI 19eUOj
Xv.n — кумулянт v-го порядка ZLn.v 1
Далее, пусть 4^-s> обозначает обобщенную меру, плотность которой в точке х равна плотности меры V в точке х — ап, где
ап = п"1/а £ Е^м = «^Yi...(19.59)
f=i
Теперь в силу лемм 14.6 и 14.8
Sa+^niQn-v^Kdx)^
^S(i+ixn:&-Q№)++$(i+ixr)Q;-v;.,i(dx)++ S(l+lxHl1Ir;.s-V„.J(dx) =
“^(l + lxHIQn-^.sK^ + o^-3)/2) (n-^OQ). (19.60)
Кроме того, проведя замену переменных (х->х + ал), имеем
Sti + kn.^-^.sKdx)^
= $ (1+IIX+а„ н I q; - y;.s I (dx) =
=J (i+ii хн: q; - ч^ i (dx)+о (п-^*).(i9.6i)
Здесь учтены соотношение (14.81) и тот факт, что Т/., имеет ограниченную (равномерно по п) вариационную норму (так как согласно лемме 14.6 ЦУп,,— Vn.sJ^O при п->сс).
Пусть Qi обозначает плотность абсолютно непрерывной компоненты Qv Тогда существует положительное число С такое, что. .
0 <J 9!(x)dx = 6< 1, В с {хе/?6: 9i(x)^C|.(19.62)
в
Положим
В„ = {хе В: [хЦ^Уй}, 6n=$9i(x)dx. (19.63) Вп
Тогда существует п0 такое, что
0/2^0„<0(п^Ло).(19.64)
Распределение Qf, „ вектора YL„ можно представить в виде
Qx,n = QhG; + (1 - ©„) Н;),(19.65)
где Gn, Н„ — вероятностные меры и G„ абсолютно непрерывна с плотностью
J-91(x)/sn(x) (хе/?6).(19.66)
Определим функцию рп на У?6 равенством
р„(х) =-^-9i(x+an)/B„(x + an).(19.67)
Тогда распределение Qi.n вектора ZLn можно представить В ВИДе<21.п = 6пОп + (1-6„)Я„,(19.68)
где Gn, Нп — вероятностные меры на /?6, Gn абсолютно непрерывна с плотностью рп. Будем обозначать через G
вероятностную меру на Rk с плотностью qi-I^/B. Тогда
sup |G^ (#) — G(0l= sup ^ t exp(i(0 x>}9i(x)dx — teRktenk " g
у ^ exp{i(0 x)}9i(x)dx в
<6„(^-— y) + y 5 ftW^-*0 (n-*-co). (19.69) b\b„
Легко видеть, что Gn имеет ограниченную и, следовательно, интегрируемую в квадрате плотность рп, так что G„ е е L2 (/?"). Очевидно, что
6Л (0 = & (0 exp {i (t, - ал>}, J d„ (0 J I c; (01,(19.70)
(t e R").
Применяя представление (19.68), имеем
(QU)*"= 2 (■)еИ1-ел)л_'б^/*^(л-л,(19.71)
z=ow
где G*° = H*” и эти вероятностные меры полностью сосредоточены в нуле. Положим
{/:0 ^/^п, / — п6п^ —Vn log л} п(19.72)
{/:/ —п6п<—Vnlogn) f—0
Воспользовавшись теоремой 17.11 или следствием 17 13 для треугольной схемы серий, где n-я схема содержит п независимых центрированных бернуллиевых случайных величин с параметром 6„ (заметим, что такое расширение результатов, на которые делается ссылка, очевидно в силу того факта, что в них оцениваются вероятности хвостов распределений {Q„:n^l}, и нужно лишь представить каждое Qn как распределение нормированной суммы п независимых случайных векторов, средние моменты и средние ковариационные матрицы которых удовлетворяют приведенным там условиям), с учетом (19.64) имеет равенство
V ^ 0^(1 — е„)"-/=О (п^ (п -► ОО) (19.73)
для любого положительного целого т.
210ГЛ. 4. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Определим меры G„, Н„, Mnj равенствами
СДА) = СДУпА), Н,АА^ = НДУпА\(Л G В», УпА = {Упх: х е Л}),(19.74)
M«J = (?) °" (1 ~ Mn-iG$! * Н*^.
Тогда
е;=5л1п.у.(19.75)
/=о
Имеем
^и+кШа-^Ы (<**) =
= $ (1 + W$) | S' М../ -Т;_,| (dx) + О (/г-<^)/=), (19.76)
так как согласно (19.73)
Х(?)е" П - ^I1 +(" +^1 £Yi" 1)1= = о(л-($-»>/2) (п-*оо).(19.77)
Из очевидного неравенства
IZ^J^/H+JBYrJ(19.78)
следует, что g„ Gk 1 ^ 1 ч-п-1^ |EYL„ |}) =2 -
^„({W^I + ^JBYkJ}), М„./({Ы>п + ГИ|ЕУ1.„|}) = 0,(19.79)
Мп_, ({| х | ^ п + УпХ Е Yl „ [}) = f) 6'„ (1 - 6„)"->.
В силу леммы 11.6 имеем
И1+^п|5'^./-^.«|(^)^
^b„ max(19.80)
Используя лемму 9.5 и тот факт, что ||О„ —/|| стремится к нулю при п-»-оо, а также соотношение (см. лемму 14.1 (5))
п^Е J 71-л Г+а - о (п-($-а,/2),(19.81)
получаем
!lDP(Y„.^ll-4r;,<?|# = o(M-^>/=).(19.82)
1’1
Положим (постоянная С20, встречающаяся ниже, та же, что в теореме 9.10)
Tn = DV\ ^r = E\TnZlnY^[TnYE\ZlnYt
Д„ = {/ е /?*: | П ^ Л-*/2Сго <к+s + 2) zz'/2 т]^+V1 }>
(1(19.83)
Д^Ц/еЯ*:(Рз = Е|ХН3),
где Ад — наибольшее собственное число матрицы Dn.
Введя обозначения
/1= $ |Р₽(&-^и+.+ 1)(0|^.
Ап
/.= $ |DP(M|df,
л»\ля
7.- S I^S'K/OT,».(19.84)
7< = $ I^S'tMOI», Rfe\*'n
ib= J |о₽^,*+.+ 1(0|Л.
имеем
IDP (£'Mn. j - К t+,+,) | - 1г 4- 7, + 73 + Ц 4- 75. (19.85) По теореме 9.10 и соотношению (19.81) (с г = & + $) имеем 71^ЬвЛ1.р1Ч^г-,6+5,/г^
^ М тл М+1Е j ZL„ jfc+^n-t^vi = о (n-u-D/e),(19.86)
поскольку в силу следствия 14.2
|T„-7| = |D7,/2-7i->0, «(1987)
l^l-7| = |Di/2-7^0(п->сю).
Согласно лемме 14.1 (5) существует положительное число Ьм такое, что
„l^-Wfe + s) _. nl/2(| Тп |ft+5+*F| Zi n ^+5+2^1/,ft+s) ^
^ п1/2 (|| тп p+s+e2(»+«-2>nf<i+i'/2p^-i/(»+s) ^. 1,1оП(5-а)/г(*+«) для всех достаточно больших п. Отсюда и из (19.87)
следует существование положительной константы Ьи такой, что
A„^>V^Rb- 1И^6цП($”2,/2,,,+$)}.
Л„'\Л„ с {|/|> Ь11п(5-а,/2(6+$). t е Л'}. (19188)
В силу (19.88) и леммы 14.3 имеем
/a = o(n-($-1)/t) (п->оо).(19.89)
Так как в выражении Уп. <•+$+! участвует экспоненциальный член ехр{—у(/, £М)}, из (19.88) следует, что
/6 = о(п-($-2>/1)(п->оо).(19.90)
Следующее неравенство следует из (19.79) (и из (19.74)):
I D»MnJ (о | ^ е£ (1 - е„у-' (и+п^ е\1-п цуеи (1д д1) (0 < / < п, te Rk\
и, таким образом, ввиду (19.73)
Ia = oVr^liy(19.92)
Осталось оценить /4. Согласно (19.64) существует целое число пг такое, что для всех индексов /, входящих в 2'.
}>пЧ2 (п^П1)-(19.93)
Следовательно, для всех таких /, применив (19.79) и формулу Лейбница для дифференцирования произведения п функций, имеем
I о»мП11 щ | ^(у) е' (1 — e)"-/ni pi/2 х
X (и"2+1 EYL„ 11)1011 д„ид l^-10!.
I \
Из последнего следует, что
/4^w₽l J gJ-^-^-'P'^)-
{ll<ll>nl/2/l6pJn
^bun№+k» $|d„(/)|^"-l0ld/<
{"'^ieir}
«CWPl+*/2(^'’-|e|-2)$ |Gn(0l2^.(19.94)
$ 19. ЛОКАЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ218
где 6ц — положительная постоянная и
6„= sup ,6„(0|.(19.95)
(И<11>(1бр»)-Ч
С учетом абсолютной непрерывности G из (19.69) и (19.70) имеем
lim 6„= lim 6„ = sup 'G(/);<1,(19.96)
п-м» n-*co 1Н>(16р,)->
и, таким образом, 6П^6<1 для всех больших л и некоторого 6< 1.
Далее, по теореме Планшереля (теорема 4.2)
J|G„(/)|’d/ = (2n)*Jp^(x)dx^
п
q^x')dx<oo.
Таким образом.
I а = о (гг($-а^(п->-оо).
(19.97)
(19.98)
Из приведенных выше оценок /1, ..., /5 с последовательным учетом соотношений (19.85), (19.82), (19.60), (19.76) получаем требуемое доказательство. ▲
Из доказанной теоремы непосредственно следует Следствие 19.6. В условиях теоремы 19.5
IQn-Tn.,l = o(/r<$-a>/«) (Л-XXD), (19.99)
где | -1 обозначает вариационную норму.
Методом доказательства, примененным выше, можно получить аналог теоремы 19.5 (и вышеприведенного следствия 19.6) для последовательности {Хп: п^ 1} неодинаково распределенных случайных векторов. Например, нетрудно показать, что в условиях теоремы 19.3 или следствия 19.4 справедливо соотношение
s —з
(^) =
= о (п~ <,а>/«) (п оо).= о (п~ <,а>/«) (п оо).(19.100)(19.100)
= о (п~ <,а>/«) (п оо).
= о (п~ <,а>/«) (п оо).
(19.100)
(19.100)
Здесь обозначения — такие же, как в теореме 19.3. В самом деле, легко доказать, что сумма р векторов из последовательности {Хп: л За 1} имеет равномерно ограниченную плотность.
Наконец, очевидно, что условия теоремы 19.5 (когда предполагается, что Qi абсолютно непрерывна) не являются
достаточными для доказательства равномерного локального разложения, полученного в теореме 19.2. В этом нас убеждают рассуждения, аналогичные доказательству теоремы 19.1 (можно указать контрпример, приведенный в (19.16)).'
Замечание. Иногда полезно ослабить в теореме 19.5 условие <Qt имеет ненулевую абсолютно непрерывную компоненту», заменив его на условие <Q^m имеет ненулевую абсолютно непрерывную компоненту при векотором положительном целом т». Доказательство справедливости (19.55) при этом условии аналогично приведенному выше. Заметим, что теорема 19.2 имеет место при аналогичном ослабленном условии по сравнению с тем, что Qj имеет ограниченную плотность.
Асимптотические разложенияпри выполнении условия Крамера
Вероятностная мера Q на /?* удовлетворяет условию Крамера, если
11m |0(01<1-(20.1)
Как следует из леммы Римана — Лебега (теорема 4.1 (3)), вероятностная мера, имеющая ненулевую абсолютно непрерывную компоненту (по отношению к лебеговой мере), удовлетворяет (20.1). Существует много сингулярных вероятностных мер, удовлетворяющих (20.1). Всякое распределение Q, имеющее ненулевую, сингулярную компоненту этого типа, также удовлетворяет условию Крамера. Неравенство (20.1) означает, что Q недискретно; если Q чисто дискретно, то $ —почти периодическая функция (см. Кацнельсон [1|, гл. VI.5) и верхний предел в (20.1) равен единице. Кроме того, всякое Q, удовлетворяющее (20.1), невырождено, т. е. это распределение не сосредоточено полностью на какой-нибудь гиперплоскости. Фактически (20.1) означает, что Q является строго нерешетчатым в том смысле, что не существует такой точки 4^=0 из Rfe, чтобы
|0(М1 = 1-(20.2)
Из (20.2) следует, что | ^ (zif0) I = 1 для всех целых а; таким образом, нарушается условие (20.1). Равенство (20.2) показывает решетчатость соответствующего распределения. Такие распределения более детально будут рассмотрены в следующей главе. Однако здесь же укажем, что рас-
пределение, удовлетворяющее (20.2), полностью сосредо- точиваезся на последовательности гиперплоскостей, ортогональных к точке t0. Из предыдущих рассуждений следует, что (20.1) эквивалентно неравенству
sup 1^(0 <1 (20-3)
для всех положительных b (или, эквивалентно, при некотором положительном Ь).
Теорема 20.1. Пусть {Xn: и 2= 1} — последовательность н. о. р. случайных векторов со значениями из Rk, имеющих общее распределение Qi, удовлетворяющее условию Крамера (20.1). Предположим, что Qx имеет нулевое среднее и конечный абсолютный момент s-го порядка для некоторого целого s^3. Пусть V обозначает ковариационную матрицу распределения Qi и Хм — его кумулянт v-го порядка (3^| vl ^s). Тогда для любой действительной измеримой по Борелю функции f, определенной на Rk, удовлетворяющей условию
(20.4)(20.4)Ms.(J)<co
(20.4)
(20.4)
при некотором s', Osgs'sgs, имеет место неравенство
(
е—2
Qn- S н-^Д-Фо.у:^})
г = 0
^MsAb^W + C^s, А?)й,(2^":Ф0.у),(20.5)
где Qn означает распределение п-№ (Xi+... + Х„), d — определенная ниже положительная константа и
(20.6)(20.6)61 (и) = о (п~ (»^<)/») (п -► оо).
(20.6)
(20.6)
Кроме того, С (s, Л) зависит только omsuku величины d, 6х (л) не зависят от f.
Доказательство. Без существенной потери общности предположим, что V = I. Как в (19.56), введем урезанные случайные векторы Y/.n, Zln. Вспомним, что
sup (l+lxH’il/WI, s'>0,
ЧЮ- sup UW-IW, .-0. ^
x.yeRb
Пусть Q„ обозначает распределение вектора л-1/,(Yi.„-)-...
••• + Y„.„), a Qn - вектора л 1/2(ZL„4bZ„,„). По
216ГЛ. 4. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
лемме 14.8 для всех больших п имеем
| S М (Qn—ОД | ^ м,. (Л$(1+kf) I Qn-Q'n I (<И с
гдеПоложивгдеПоложив^Ms-tfyC'ts\ s) п-^-^ Д„,„Ап,.=$ ЕХ1р = о(1).{||Х,||>/й}^Ms-tfyC'ts\ s) п-^-^ Д„,„Ап,.=$ ЕХ1р = о(1).{||Х,||>/й}^Л У^^ Е\lt п* из (14.81) имеемIIа„ i^Ук п-^-^^п$ = о(п~4»-=>/=) Далее,^Л У^^ Е\lt п* из (14.81) имеемIIа„ i^Ук п-^-^^п$ = о(п~4»-=>/=) Далее,(и -► оо).(и -► оо).(20.8)(20.9)(20.10)(20.11)(20.8)(20.9)(20.10)(20.11)
где
Положив
где
Положив
^Ms-tfyC'ts\ s) п-^-^ Д„,„
Ап,.=$ ЕХ1р = о(1).
{||Х,||>/й}
^Ms-tfyC'ts\ s) п-^-^ Д„,„
Ап,.=$ ЕХ1р = о(1).
{||Х,||>/й}
^Л У^^ Е\lt п* из (14.81) имеем
IIа„ i^Ук п-^-^^п$ = о(п~4»-=>/=) Далее,
^Л У^^ Е\lt п* из (14.81) имеем
IIа„ i^Ук п-^-^^п$ = о(п~4»-=>/=) Далее,
(и -► оо).
(и -► оо).
(20.8)
(20.9)
(20.10)
(20.11)
(20.8)
(20.9)
(20.10)
(20.11)
ydQ; = \LndQ'n,
^^-П^^Рг^-Ф-.М^
s — 2г
= S f (х) £ п-» (Рг (- ф: {Xv}) (X) -
г = 0
- Рг (— Ф: {Xv}) (х - а„)) dx <
^Cys', s, ^М^Пп-^-^Ьп.з.(20.12)
Последнее неравенство следует из второго неравенства леммы 14.6. Теперь, используя первое неравенство леммы 14.6, имеем
/s — 2
SMS "-^(-oaxvD-
V=o s—2
-5 n-^(-®0.Dn:{Xv.„}) ^г=0/
(20.13)(20.14)(20.13)(20.14)^C2(s', s, fyMAhn-^^Ks,
(20.13)
(20.14)
(20.13)
(20.14)
где
D = Cov (Zj, „), Xv „ — v-й кумулянт Z^ „.
Принимая во внимание (20.8), (20.11) — (20.13), достаточно оценить
/5-2\
W.Q'-5 » г/2^(-Фо,ол: {Xv.n})L (20.15)
\r=0/
Положим
Hn = Q;-^ n^P^-^D/A^n^. (20.16) г = 0
Сначала оценим ^fOndHn. Из следствия 11.2 имеем |$мЯ"1^мн/)$[1+(ы+жч|яп*яе|^^
(е>0), (20.17)(е>0), (20.17)$+*—2\
(е>0), (20.17)
(е>0), (20.17)
+о, 2е:+о, 2е:^ п-/«Рг(-Ф0.о„:{Хх.п}) I
+о, 2е:
+о, 2е:
г=0/
где вероятностную меру К6 выберем таким образом, чтобы
^.({х |ж|<в})=1,(20.18)
I D“Re (О | ^ е' “ С3 (s, Л) ехр {— (в | / |)V»}VeR\ |a|^s + ^4-l).
Это возможно в силу следствия 10.4 (с заменой s на $+^4-1), положив
/<е(В) = /<(е-1В)
для всех борелевских множеств В. к
Так как ||х|^2 |х4| и е выбрано меньшим единицы, применение леммы 11.6 позволяет получить оценку
$ [ 1 + (II х || +1| а„ || + еИ \Hn*Ke4dx^
С4 (s, s', Л) шах (| D^ IJIJC^ (01 dt. (20.19) 0<l₽ <fe + s+ 1 J
Можно написать, что
О»кЙпКв)= S с»(“. ₽)(О₽-“Яи)(О“Кв).(20.20)
о < а < р
По теореме 9.10
$ цвр^ядОК^вЮЦЛ^
{11МКА„}
=5$ D^Hn^tydK,
{Ш<А„}
^ С6(S, к) ц-(^-1)/»£ || тпгх „ ||s+*+*,(20.21)
где Тп — симметрическая, положительно определенная матрица такая, что для всех л^Ло Tn = D„l,
(20.22)(20.22)а =С, (s, 1г)Уп
(20.22)
(20.22)
" (£ j тпгх. „ s+6+i)v(»+t+i) д№ >
Л„ — наибольшее собственное значение матрицы Dn. Согласно следствию 14.2 последовательность {Ц Т*„ ||: л^л0} ограничена, и по лемме 14.1 (5)
е I zL „ г1*11 < 2$+fc+1E । Yi, „ ^+*+1=о (п^+ч/2).
(Л^Ло),(Л^Ло),(20.23)(20.23)C,(s, *) (Кл)^’^*-1’
(Л^Ло),
(Л^Ло),
(20.23)
(20.23)
—'pi/(»+fc-i)
где С8 —положительная константа. Используя первую оценку из (20.23) в (20.21), получаем
$| VD»-°Hn (0] \РаКе (/)] Л = О (л-1*-2^8).(20.24)
("‘«<дп}
Положим
С— Й-(20.25)
В силу леммы 14.3
{11<11>Л„}
^$| [D₽^(0] [We (01'^4-
{H<ll>c„}
+ J Ce(s, ^)(1+|/|IP — i)exp{-^[Ga}^ + {Ш>лп}
+ J D₽ “ 2 п^РДИ: {Xv,„})x {11,1>Л„}r-0
Xexp {-!(/, D„0} | Л = 7Х +/, + /,.(20.26)
Из второго неравенства в (20.23) имеем
/, = о (л-1»-8>/2) (л со).(20.27)
Благодаря присутствию экспоненциального выражения такая оценка верна и для /8. Остается оценить 7j. Здесь
воспользуемся условием Крамера (20.1). Легко видеть, что
iDp-^aoKn16""^iDp-^aoKn16""^^|P'",|gn(0l"-|p-"1, (20.28) где
iDp-^aoKn16""^
iDp-^aoKn16""^
^n(0 = F(exp{/<n-^, Zln)}),
|®.(/)| —|S-(exp{/</t-v»/, Yb я>})|<(20.29)
^ | Е (exp {i <n «4, XO}) | + 2P ( X J > J^),
так что в силу условия Крамера (см. (20.3))
sup 1^л(П1<е<1(20.30)
nt и >сп
для всех достаточно больших п. Здесь 6 — число, не зависящее от п. Следовательно из (20.28), (20.30) и (20.18) получаем
/i^C108'“i(V^)l₽““ в" — IB—" х
х J exp {—(в 111)1/»} dt ^
{ntli>V^/i6p,}
^С10(Кй)|₽“а|е"-1₽-“'е'®|-*5ехр{—|/р}Л<
< Си (i^n)$+6+1 en8-»(20.31)
при всех больших п. Теперь, выбирая
e = <rdn,(20.32)
где положительное число d удовлетворяет неравенству
(20.33)(20.34)(20.33)(20.34)d < — у log е, получаем
(20.33)
(20.34)
(20.33)
(20.34)
1г =о(пи-1)/1)(п-*-оо).
Таким образом, мы показали, что
|$fo„ <1Нп\Теперь,G, (2^п ’«п \|$fo„ <1Нп\Теперь,G, (2^п ’«п \s + fc — 2г=0+ Ms.(f)o(n-'S-’)/1).s + fc — 2г=0+ Ms.(f)o(n-'S-’)/1).:{Xv.n})j 4- (20.35):{Xv.n})j 4- (20.35)s +ft —22 «-"-p,(-a>..D„ r =0s +ft —22 «-"-p,(-a>..D„ r =0
|$fo„ <1Нп\
Теперь,
G, (2^п ’«п \
|$fo„ <1Нп\
Теперь,
G, (2^п ’«п \
s + fc — 2
г=0
+ Ms.(f)o(n-'S-’)/1).
s + fc — 2
г=0
+ Ms.(f)o(n-'S-’)/1).
:{Xv.n})j 4- (20.35)
:{Xv.n})j 4- (20.35)
s +ft —2
2 «-"-p,(-a>..D„ r =0
s +ft —2
2 «-"-p,(-a>..D„ r =0
+S °/«n (2e d" ; " л/а J ^г (- Фо, D„ : {Xv. n}) I).(20.36)
При O^r^s —2, воспользовавшись (14.74), (9.12) на первом шаге, имеем
®/«„ (2^" : я"'8 | рг (- Фо. D„ : {Xv. „}) И
^ n-^/a $ Ю/ (х: 2е^п) CtoE 1Z, „ f+a (1 +1 х Н Ф„п. Dn (х) dx < е=С13Рз[ $ юДх :2г'/п)|Фвп,Пп(х)-Ф(х)^ + Мв*1Кп1/6}
+$tof(x:2e-dn)Ф(x)dxl +
{lIxlKn1/6}1
+ C14n-/ap3$ ю, (х : 2c"d") (1 +1 х Г) Фо„, Dn (х) dx ^
{||*||>n>/6}
^ С13р3 [C15MS. (/) 5 (1 + U Н | Фо„. Dn (X) - Ф (х) | dx +
+ ®, (2e-dn: Ф)] + С16п"гр3$(1 +| х Г”') х
{||*||>П1/6}
хф«„.Dn (X)dx^M,-Ш -о (П-^-^) + С13р$®/ (2е ^: Ф).
(20.37)
Эти неравенства основываются на лемме 14.6 и на том, ЧТ° Ю/ (х : в) ^ 2/И$. (/) (1 + (| х Н ву 'у (20.38) При s—1^г^$ + ^ —2
®tan ^п: ^r,a | 'Ч- Фо. Dn : {Xv. 4) I)
«^CnV, s, ^«-^^^„M^^StH-+ЛхГ+ПФ«„.опМ^=
= Ms- (/) • о (П-(»-»)/») (П -* OO), (20.39)
так как по лемме 14.1 (5) (или соотношению (19.81))
п-г'йЕ || ZL „ pz = о (n- (»-а>/а)(г ^ s - 1).(20.40)
Таким образом, окончательно имеем
$ fa„ dHn\^o(п-($-а>/а) • М$- (/) +
(20.41)(20.41)+ С1в(г, s, Л) ®z (26"^" : Ф) (n-»-oo).
(20.41)
(20.41)
Поскольку в (20.39)
(s + fc— 2
2 n-^₽,(-®0.D, r = s— 1
= Ms- (/) • о (П- v»-»^,(20.42)
имеем
/1 — 2
V-„d\^- 2 п-^р^-ф6.П1 ' г = 0
^Mv^-o^n-^-w^ + CteV. S, tyM^":®).(20.43)
Доказательство теоремы следует из соотношений (20.43), (20.13), (20.12), (20.9) и (20.8). ▲
Доказанная теорема 20.1 непосредственно имеет следующие следствия.
Следствие 20.2. Пусть / — ограниченная измеримая по Борелю функция. Тогда в условиях теоремы 20.1
/1—2'
$ fd Q„ - 2 n-^Pr (- Фо. v: {Xv}) 'г =0■
= со/(/?")61(лг) + С($, k) wf ^e^n : Фо. v).(20.44)
Пусть eF —класс всех действительных измеримых по Борелю функций на Rk, удовлетворяющих условиям
sup /ИД/Хсо,
,(20.45)
sup to, (е : Фо. у) = о ((— log в)- v=-^i^ (е | 0).
г=0г=0= o(n_(i-2)/2)(п->-оо).= o(n_(i-2)/2)(п->-оо).Следствие 20.3. В условиях теоремы 20.1
г=0
г=0
= o(n_(i-2)/2)(п->-оо).
= o(n_(i-2)/2)(п->-оо).
(20.46)
Теорема 20.1 содержит асимптотическое разложение (с остаточным членом, имеющим больший порядок малости по сравнению с каждым членом разложения) для экстремально большого класса функций. В частности, для класса множеств
е^а (с: Фо, у) = {А е о®*: Фо. у ((дА)в) с • еа при любом в>0}(0<а^1)(20.47)
имеем
Сл едет в и е 20.4. В предположениях теоремы 20.1
1 — 2
sup Q„ (Л) - 2 п-г‘йРг (- Фо, V: {Xv}) И) = Л е (с : ф°. ^)^О
= 0(n-u-2)/2)(п-э-оо).(20.48)
222ГЛ. 4. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Простым следствием (20.48) являются равенства
1 — 2
supGetsupGetQ„ (С) - 2 n-^Pr (- ф0. v; {Xv}) (С) г *0
supGet
supGet
(20.49)(20.49)= o(n_(i-,,/s),(«->-СО),
(20.49)
(20.49)
где ^ — класс всех измеримых по Борелю выпуклых подмножеств Rk. Соотношение (20.49) может быть улучшено в следующем виде.
Следствие 20.5. В предположениях теоремы 20.1
sup (1+^(0, сС)) се?sup (1+^(0, сС)) се?1—2
sup (1+^(0, сС)) се?
sup (1+^(0, сС)) се?
Qn (С) - 5 п-^Рг (-Фо. V: {XvD (С) г = 0
= о(/г‘*-8>/2),(20.50)
где d(0, дС) — расстояние от начала координат до границы множества С.
Доказательство. Положим
f (х) = (1 + ^ (0, дС)) 1с- (х) (х г Rk\ (20.51)
где С ^Rk\C, или С при ОеС, или О^С соответственно. Для доказательства следствия достаточно проверить справедливость соотношения
(1+^(0, дС))Фо.У((дС)еЕ)^
< $ [l + ax| + 2eHФo.v(dx) = o(8)(е|0)(20.52)
(dC)2e
равномерно для С г^. Справедливость неравенства (20.52)
нетрудно проверить, воспользовавшись следствием 3.2.
Пусть Л = 1, Р„ обозначает функцию распределения и обозначение обобщенной меры Рг (—Фо v: {Xv}) сохраняется и для соответствующей ей функции распределения. Тогда
1 — 2
sup (l + lxH F„(x)-2 п^РД— Фо. и: {Xv})(x) = xeR'r_0
= o (n~ t*-8)/8) (n ->- co). (20.53)
Можно обобщить теорему 20.1 на случай неодинаково распределенных независимых случайных векторов.
Теорема 20.6. Пусть {Х„: «^1} — последовательность независимых случайных векторов со значениями из Rk, имеющих нулевые средние, положительно определенную ковариационную матрицу и абсолютные моменты s-го порядка
при некотором целом s, s^3. Предположим, что (1) наименьшее собственное значение Хп матрицы У„ =
— л 1 2 Cov (Х;) больше нуля, (2) средние абсолютные z=i
моменты л-1 2 В|Х/р меньше бесконечности и /=1
limn-12$[Хур = 0(20.54)
™ /=-{Р/|> = ^}
(20.55)(20.55)для любого положительного е и (3) характеристическая функция gn вектора Хп удовлетворяет условию
(20.55)
(20.55)
lim sup |g„(0|<lп-»со||/||>Ь
при любом положительном Ь.
Тогда для любой действительной измеримой по Борелю функции f, определенной на Rk, удовлетворяющей условию (20.4) при некотором s', O^s' ^s, имеет место неравенство
/s—21
Sfd Q„-2 ,г-^рл(_ф.{Ь п}) \г=0।
(20.56)(20.56)^ М$- (/) 6i (n) + С (s, A) toj (2^л: Ф),
(20.56)
(20.56)
где Qn — распределение п'1/2Вл(Х1 + ... + Хл), B„ = Vhv.
Величины 61 (п) и а имеют тот же смысл, что и в теореме 20.1, Xv, л — средний кумулянт v-го порядка случайных векторов ВпХ}п\
Доказательство теоремы 20.6 вполне аналогично доказательству теоремы 20.1, его мы не приводим.
Как было упомянуто во введении к настоящей главе, существуют специальные функции Д например тригонометрические полиномы, для которых можно установить асимптотическое разложение величины \fdQn независимо от принадлежности распределения вектора Хх к определенному типу. На это обстоятельство указывают теоремы 9.10 — 9.12. Следующая теорема дает представление о функциях такого типа, и ради простоты сформулируем ее для последовательности н. о. р. случайных векторов.
Теорема 20.7. Пусть {Хл: п 55= 1} — последовательность н. о. р. случайных векторов со значениями из Rk.
Предположим, что общее распределение имеет нулевое среднее, положительно определенную матрицу / и конечный абсолютный момент s-го порядка при некотором целом $5=3. Пусть f {действительная или комплекснозначная) — измеримая по Борелю функция, определенная на Rk, которая является преобразованием Фурье — Стилтьеса конечной обобщенной меры р, удовлетворяющей условию
ТогдаТогда$kMIP-l(dx)<co.$kMIP-l(dx)<co./s—21$fd Q„-S п-г№Р,{-Ф :М \г = 0/s—21$fd Q„-S п-г№Р,{-Ф :М \г = 0= о (п~^2>/2),= о (п~^2>/2),(20.57)(20.58)(20.57)(20.58)
Тогда
Тогда
$kMIP-l(dx)<co.
$kMIP-l(dx)<co.
/s—21
$fd Q„-S п-г№Р,{-Ф :М \г = 0
/s—21
$fd Q„-S п-г№Р,{-Ф :М \г = 0
= о (п~^2>/2),
= о (п~^2>/2),
(20.57)
(20.58)
(20.57)
(20.58)
где Qn —распределение вектора n-1/2(X1 + ...+ X„), Xv— кумулянт м-го порядка Xi.
Доказательство. По формуле Парсеваля (теорема 5.1 (8)) и теореме 9.12
S—2
S — 2
p(dt) ^
г = 0
$6 (п) п-^-«<2 [^ II2 + ^ Is (5"2)] X
{II11| < Сао (s, ft) Vn р-М(* - « }
S —2
{ц#ц>с20 («• м/йр71/(’-«}{ц#ц>с20 («• м/йр71/(’-«}1 + 2 «“^iM^MIX г=0
{ц#ц>с20 («• м/йр71/(’-«}
{ц#ц>с20 («• м/йр71/(’-«}
х ехр {- 1^}] Iр {dt) ^ С'6 {п) П-^21 р I +
+ Cn-^f2$HHlpKdO, (20.69)
{l|i||>C20(s. б)/йр-1/(»-а>|
где С зависит только от распределения Xi и
Использование неравенства типа Чебышева дает оценку
J in (^)^
{lU«>cao(s. »V»p-M<’-e>}
^(C20(s, h^Vn p-i/<»-«))-(»-«x x $ РНт A
{|Щ1>СМ(5. fc)Vnp-VU-9)|
Как было упомянуто ранее, если мера р дискретна и вся ее масса сосредоточена в конечном числе точек Rk, то приведенная выше теорема применима и в качестве функции / можно взять произвольный тригонометрический полином. Однако этот результат справедлив для широкого класса функций /, включая класс всех функций Шварца (определение этого класса приведено в добавлении А.2).
Наконец, для строго нерешетчатых распределений мы докажем следующий результат.
Теорема 20.8. Пусть {Х„: n ^ 1} — последовательность н. о. р. строго нерешетчатых случайных векторов со значениями из Rk. Если ЕХг = 0, Cov (Х^ = / и р3 = = £||Х1||3<оо, то для любой действительной ограниченной измеримой по Борелю функции f, определенной на Rk,
= to, (Rk) • о (n-V2) + О (tot (6„ : Ф)), (20.60)
где Qn — распределение пг1'1^-]-... + Xn), Xv — кумулянт х-го порядка вектора X! и 6n = o(trYllY дп не зависит от функции f.
Доказательство. Покажем, что для любого г]>0 существует п(ц) такое, что при п^п(г]) левая часть (20.60) не превосходит
tof (Rk) • о (п-1^ + С (k) tof (цп-ч»: Ф). (20.61)
Введем усеченные случайные векторы Y/,„ (1^/^п), как в доказательстве теоремы 20.6, и вспомним, что Q„ и Q"n обозначают соответственно распределения нормированной суммы этих случайных векторов с последующим центрированием и без центрирования. Тогда из (20.8),
8 Р, Н. Бхаттачария, Р. Ранга Рао-
225гл. 4. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
(20.11) —(20.13) следует, что (s = 2, s'= 0)
| $ fd «?„ - <K) | = <», (R^ • о (n~^)(n co),
VdQ'n = \MQ'"*
= ©,(₽*). о (zr1'8), (20.62)= ©,(₽*). о (zr1'8), (20.62)\\^"^№Н ^Pi (- Ф: {Xv})) | =
= ©,(₽*). о (zr1'8), (20.62)
= ©,(₽*). о (zr1'8), (20.62)
I $ tad (Ф+п-^Рг (- Ф: {Xv}) - Фо. on -
- п-ШР1 (_ ф0 Dn ; {Xv})) | = tof (/?») . О («-I/»)
(n -► oo).
Далее, согласно (20.42)
$MS «~'/2^(-®o.d„:{Xv}) -
V=2/
= e,(l?)-o(n^.(20.63)
Положим
Hn = Qi - S n^P, (- Фо. cn: {Xv. „})•(20.64)
Ввиду (20.62), (20.63) достаточно оценить ^tandHn. Согласно следствию 11.5
| J fa„ dH„|<(2a- l)-i 1 tof (R^^H„*Ke\ +
+ <„ 2»: 5^/а^(-Фо.о„:{х^л}) ,(20.65)
где вероятностная мера К удовлетворяет условиям
а = К({х: И<1})>1, J |xr*K(dx)<oo,К (t) = О при IИ > С1 (А).
Такой выбор возможен в силу теоремы 10.1. Также
К6(В) = К(е-1В) фг^, е = 1г]п-^.(20.67)
По лемме 11.6
\н„*ка^с%уг)х
х max$| D» (Me) (Old/. (20.68)
lPK* + l {|t|^2Ci(fc)n—>л—>Л}
Полагая C„ = ]/rn/(16p3), из (20.24), (20.26) и (20.27) при s = 3 имеем
$ \D4Hn, Ke)(t)ldZ = o(n-v») (n —со). (20.69) {|Л1<с„}
lDP(^„, КЕ)(0|^С3(А!,р3) ^ 1^М)1- О^а^р
Если не обращать внимания на Qn, то остаточный член Я„ (и его производные) содержит экспоненциальный множитель. Поэтому достаточно оценить
/=$'.D^Q^OIdt (20.70)
{Ул/(16р,> < IKKeC, (*) п-' /^}
Согласно (20.28)
IDP^tOl^»'^01 |&(01"-'р-в|,(20.71)
где [см. (20.29) и (14.111)]
gn (t) = Е (exp {I- (jr^t, YL „ - Е Yl „>}),I gn (01 Е (exp Ц (гг^Ч, X,)}) + о (гг1^).
Поскольку Xi является строго нерешетчатым,
sup (| gn (t) |; £1<|И ^ 2G (Л) т]-1 Уп\ <6 (т]) < 1
I 16р3J
(20.73)
при всех и^п(т]). Используя оценки (20.71), (20.73) в (20.70), мы имеем
1 = о (и-1/2) (п оо).(20.74)
Таким образом,
|Я„ */<,| = о (п1/2) (п^со).(20.75)
Наконец, как в (20.36) —(20.41),
го? 12е :'апХго? 12е :'апХS—2
го? 12е :'апХ
го? 12е :'апХ
5 ^Рг(-Ф0.Сп:Ь.п}) = г=0
= ю? (2е:Ф) + Ю/ (/?*). о (п-1^) (п-хю). а (20.76)
Теоремы 20.7, 20.8 остаются справедливыми с заменой / на произвольную симметрическую, положительно определенную матрицу V Предположение V = / делается только для упрощения записи.
Как следует непосредственно из (20.60), когда X, имеет строго нерешетчатое распределение с нулевым средним и ковариационной матрицей /,
lim sup Уп | Fn (х) — Ф (х) | =
”—°°xeR*
= sup I ?! (— ф : {Xv}) (X) I, (20.77)
где Fn — функция распределения, соответствующая Qn.
При h=\ (20.77) имеет вид
lim sup Уп IFn (x) — Фо. „. (x) | =,(20.78)
п-»оохеД16 угла»
где а2 и уз —дисперсия и третий момент случайной величины Xi соответственно. Следует заметить, что при ^=1 условие «строго нерешетчатости» можно заменить на «не- решетчатость» распределения случайной величины Хг Также легко можно написать аналог равенства (20.77) для более общих классов множеств (чем прямоугольники), например для класса всех измеримых по Борелю выпуклых множеств из Rh или для класса е^Х (d: Ф), введенного в (17.3).
ПРИМЕЧАНИЯ
Хотя Чебышевым [1] и Эджевортом [1] были введены формальные разложения, рассмотренные в этой главе, вопросы об асимптотических разложениях берут начало от фундаментальных работ Крамера [1—3] (гл. VII), где получены первые важные результаты.
§ 19. Для ознакомления с первой локальной предельной теоремой, когда рассматриваемые случайные величины неодинаково распределены, читателю можно рекомендовать монографию Хннчина [3], где имеются важные приложения этой теоремы к статистической механике.
Теорема 19.1 фактически доказана в монографии Гнеденко и Колмогорова [1] (с. 224—227). В этой же книге имеется следующий результат Гнеденко: в одномерном случае в условиях теоремы 19.2 имеет место равенство
sup*gR*sup*gR*s — 29л W — 5 п"//2Р/ (— Ф ' {Xv}) to1 = 0s — 29л W — 5 п"//2Р/ (— Ф ' {Xv}) to1 = 0=0^-^.=0^-^.(N.I)(N.I)
sup*gR*
sup*gR*
s — 2
9л W — 5 п"//2Р/ (— Ф ' {Xv}) to
1 = 0
s — 2
9л W — 5 п"//2Р/ (— Ф ' {Xv}) to
1 = 0
=0^-^.
=0^-^.
(N.I)
(N.I)
При k=l и s^3 соотношение (19.17) в теореме 19.2 доказано Петровым |1] в предположении ограниченности qn при некотором п. Однако это предположение эквивалентно условиям, приведенным в теореме 19.1. Теоремы 19.2, 19.3 и следствие 19.4 в приведенной форме публикуются впервые. Предположения (19.47), (19.49), возможно, покажутся слишком жесткими в случае неодинаково распределенных независимых с. в., однако нетрудно ослабить их и получить несколько более слабые результаты. Мы уклоняемся от этого на основании того, что эти ослабленные условия выглядят несколько неупорядоченными. Теорема 19.5 принадлежит Бхаттачарий [7], и она усиливает следствие 19.6, которое ранее было доказано Бикя- лисом [4] при s 3.
s—зs—з§ 20. Крамер [1—3] (гл. VII) в одномерном случае в условиях теоремы 20.1 доказал, что
s—з
s—з
(N.2)(N.2)sup F„ (х) — У п ,№Pj V- Фо „, : {xv}) (х) = О (n*u 2 ,/2), teR1/=0
(N.2)
(N.2)
где Fn— функция распределения с. в. п ^2 (X! +... + Хп) и аа = = var (Xi). Этот результат уточнен Эссееном [1], который показал, что остаточный член имеет порядок • (п-1'*-2^2), если в разложение добавить еще один член. Результат Эссеена эквивалентен равенству (20.49), когда Л=1. Рао [1, 2] впервые получил многомерные разложения при выполнении условия Крамера (20.1). Он показал, что если выполнены условия теоремы 20.1, то можно получить асимптотические разложения для вероятностей измеримых по Борелю выпуклых множеств и остаточный член имеет порядок O(n-U-2)/2 (Iogn)(6-l)/2) равномерно по классу f. Этот результат был обобщен для более широкого класса множеств независимо Баром [3] и Бхаттачарией [1, 2]. Результат Эссеена о разложении функции распределения (приведенный выше) был распространен на Rk независимо Бикялисом [4] и Баром [3]. Следствия 20.4, 20.5, а также соотношение (20.49), которые уточняют ранее известные результаты Бхаттачарий [1, 2] и Бара [3], получены Бхаттачарией [4, 5]. Более общая теорема 20.1 новая, она обобщает следствия 20.2 и 20.3, ранее полученные Бхаттачарией [5]. Теоремы 20.6 и 20.7 принадлежат Бхаттачарий [4, 5]. Они позволяют уточнить результат Осипова [1], заменив 0^пГ^$-2^2) на Ъ (n"(i_2,/2) в правой части соотношения (20.53). Некоторые аналоги теоремы 20.8 получены независимо Бикялисом [6]. Раньше Эссеен [1] доказал спра ведливость соотношения (20.60) для функции распределения Qn (т. е. Для класса функций {/=/^_оо. лр х е Р1}) в одномерном случае из которого следует равенство (20.78),
ГЛАВА 5
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ.РЕШЕТЧАТЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Разложения Крамера — Эджеворта, приведенные в главе 4, не имеют места для чисто дискретных распределений. Например, если {Xn: п^1} есть последовательность решетчатых случайных величин (6=1), то тогда распределение Qn нормированных частичных сумм, как нетрудно видеть, состоит из вероятностей, имеющих порядок пт1!1 (если var(Xx) конечна и не равна нулю). Таким образом, функцию распределения, соответствующую Qn, невозможно разложить при помощи абсолютно непрерывных функций Рг(—Ф), O^r^s —2, с оценкой остаточного члена о (п-^-2*/2), когда случайная величина X, имеет конечный момент s-ro порядка при некотором целом s^3. Однако это затруднение может быть обойдено следующим образом. Вероятности отдельных значений (точечные массы) распределения Qn могут быть легко найдены путем обращения кратного ряда Фурье Qn. Используя близость Qn s —2
к ехр {- ^ (/, И)} У trrilPrVit\ доказанную в главе 2, г = 0
$ 9, мы получим асимптотическое разложение для отдель- s —2
ных вероятностей распределения Qn в виде 2 п~г'2Рг (—<?)• г = О
Далее, разложение Qn(S) для борелевского множества В может быть получено суммированием вероятностей, соответствующих точкам, принадлежащим множеству В, и когда В = (— со, х], х е Rfc, эти суммы имеют простой законченный вид. При этом широко используется многомерное обобщение классической формулы суммирования Эйлера — Маклорена.
§21. Решетчатые распределения
Пространство Rk представляет собой аддитивную группу векторов. Подгруппа LcP? называется дискретной подгруппой, если существует шар В (0, d), d>0, с центром в начале координат такой, что L П В (0, d) = {0}. Подгруппа L является дискретной тогда и только тогда, когда любой шар из 7?* содержит внутри себя только конечное число точек из L. В частности, дискретная подгруппа является замкнутым подмножеством в Rk. Следующая теорема описывает структуру дискретных подгрупп.
Теорема 21.1. Пусть L — дискретная подгруппа в Rk, и пусть г — число элементов максимального множества линейно независимых векторов в L. Тогда в L существуют г линейно независимых векторов 5ь ..., 5г таких, что
L = Z.^ + ... + Z.^ =
= {^151 + • • • + тг5/ пц, ..., тг — целые числа] (21.1) (Z = {0, ±1, ±2, ...}).
Доказательство. Сначала рассмотрим случай 6=1. Если L — дискретная подгруппа и 7.=^={0}, то = = min {/: t^L, 7>0} положительно. Для любого teL пусть п — такое целое число, что nt0 ^ t < (n + 1) /0- Тогда O^t — nt0-<.t0 и t —nt0^L и из минимальности /0 следует, что t = nt0 или L = Z/0-
Теперь рассмотрим случай 6> 1. Из определения целого числа г следует, что L cz R • 51+... + R -5г и поэтому теорема доказана, если мы сможем построить в L линейно независимые векторы 51» ..., 5г такие, что L f) (R • 51+ +... + Я|г) — Z^ + .-. + Z^. Здесь R — поле действительных чисел Мы строим эти векторы индуктивно. Предположим, что линейно независимые векторы gj, ... ..., 5. найдены для некоторого s, s<r, так, что (1) Ij^L, i=\, 2 s, и (2) ВП(7? ^ + --- + /? U =
=z-5i+...+z-5,.
Теперь опишем метод выбора 5$+i- Пусть ае е L \ (R • gj -|-... + R ^). Тогда а является линейно независимым от 51» •••» 5s- Пусть М = {/оа: (oa + /i5i+-.. • • • + ^s5s ^ L для некоторого набора действительных чисел 4, ..., 7s}- Так как 51, .... 5s ^L, то М = {/0«: <о« + + ai5i + • • - + as^,s е L для некоторого набора aj с 0^ ^а, <1, 1^/^s}. Ясно, что число точек в М П В (0, d) меньше или равно числу точек в LpB(0, d'), где d' = = 4 + ISxB +---+IM Таким образом, множество
М П В (0, d) конечно для любого d и М является дискретной подгруппой на Ra. Следовательно, существует такое ад > 0, что М = Z • суа. Выберем константы аь 0 ^ п7 <1, 1^/^s, таким образом, чтобы ^+1= o0a + Gi^1 + ... ...+я$£$ е £. Если г] = /о« + ^ili +• • • + L^s ^L, то to = = под для некоторого целого п и это показывает, что п —«^s+1 ^^П(^-В1 + - • + R L) = Z^i+... + Z^. Таким образом, Si. .... ^+i линейно независимы и £(] (Z?£i + ... ..• + ^Ь+1)“2-£1+... + г.^1. Так как проведенные рассуждения справедливы при s = 0, то теорема 21.1 доказана. А
Множество векторов {|i, .... £г} в представлении (21.1) является базисом L, и число г называется рангом подгруппы L. Дискретная подгруппа в Rfe, имеющая ранг к, называется решеткой. Следующая теорема описывает структуру замкнутых подгрупп в Rk.
Теорема 21.2. Пусть L — замкнутая подгруппа в Rk. Пусть г — максимальная размерность линейных подпространств в L и г + $ — число элементов максимального множества линейно независимых векторов в L. Тогда существуют такие линейно независимые векторы гц, ..., т]г, Si, ..., Ь из L, что
£ = /?•!)!+...+/?.Tlr + Z^1+... + Z^. (21.2)
Доказательство. Пусть r(d) обозначает число элементов в максимальном множестве линейно независимых векторов в £ П В (0, d). Ясно, что г (d) убывает при d | 0. Пусть r0 = limr(d). Очевидно, что гЙ^г. Мы покажем, d —0
что г0 = г. Так как г (d) принимает целые значения, то существует такое do>O, что r(d) = r0 при (Kd^do. Пусть т]1, ..., т]Го — линейно независимые векторы в £ f] ПВ(0, do). Тогда
£ПВ(0, й)с/?.г11+..- + Я-Чго. (21-3)
Покажем, что
R тц+•.. + /?• rir.cz£.(21.4)
Для любого положительного числа е положим d = = min(e/&, do). Тогда r(d1)=d0 и существуют линейно независимые векторы Pi, ..., рг„ в £()В(0, d^. Из этого следует, что Р/ е R- т]1 +... + /?• т]Го и, следовательно, /?р1+...-|-1?-Ргос:Я-т]1+... + Я-т],е. Последнее соотно-
шение показывает, что
^-pi+.-. + ^P^^Z^^+.-.+Z?^..(21.5)
Теперь пусть £ е R- гц+... + /?-11^ — произвольный вектор. Тогда ^ = /1₽1+-..+ ^гоРге- Представим /;. = т7 + т,-, где т,— целые числа и |т,|^1, 1^/^г0. Таким образом, существует вектор Р такой, что Ре£, P = miPi + -.. ... + ^оРго и 8Е — Pl^Adi^e. Поскольку в произвольно, то это означает, что £ принадлежит замыканию множества L, совпадающему с L. Следовательно, 7?-гц-}-... .., + ^ ПгпС U т. е. г = г0. Пусть L' = /? ii1+... + /?-T]r. Тогда U cL Дополним щ, .... т]л до базиса т]ъ ..., щ пространства Rk. Пусть L"=L f) (R • t]r+i + ... + /?• т]*). Тогда L = L'-VL" Множество L" является дискретной подгруппой пространства R1; так как L П В (О, d^a L', то £"ПВ(0, do) = {O}. Применив теорему 21.1 к L", можно убедиться в справедливости теоремы 21.2. а
Следствие 21.3. Следующие два утверждения эквивалентны*.
L является решеткой.
Фактор-группа Rk/L компактна.
Доказательство. Пусть {£i, .... £*} является базисом для L. Тогда Rk = U -\-L, где
П = № + ... + /^: O^ty^l, X^j^kV (21.6)
Далее, Rk/L = {xsx + £, хе/?1} с групповой операцией х + у = (х + у) и (фактор) топологией, определяемой как самая сильная топология на Rk(L, в которой отображение х->х (R6 в Rk/L) непрерывно. Сужение этого отображения на U (в Rk/L) непрерывно, и его образом является Rk/L. Так как U — компакт, то его непрерывный образ Rk,L будет компактом. Обратно, предположим, что Rk/L является компактом. Допустим, что r = rang,L-<k. Тогда существует ueRk, и=£0, такой, что (и, £) = 0 для всех ^gL. Очевидно, что функция х->(и, х), определенная на Rk(L, непрерывна и ограничена, так как R^JL является компактом. Следовательно, функция х -»• (и, х) ограничена на Rk. Это невозможно, поскольку и 0. а
Случайный вектор X, отображающий (Q, ^9, Р") в Rk, называется решетчатым случайным вектором, если существуют хо е Rk и решетка L такие, что
Р (X G х® -|- £,) = 1.Р (X G х® -|- £,) = 1.(21.7)(21.7)
Р (X G х® -|- £,) = 1.
Р (X G х® -|- £,) = 1.
(21.7)
(21.7)
Распределение вектора X называется решетчатым распределением. Случайный вектор X (или его распределение) называется вырожденным, если существует гиперплоскость Н (т. е. множество вида [х: (а, х) = с}, где а —ненулевой вектор и с—некоторое действительное число) такая, что
Р (Хе Н) = 1.(21.8)
Лемма 21.4. Пусть X — решетчатый случайный вектор. Тогда существует единственная дискретная подгруппа Lo со следующими двумя свойствами-. (1) Р(Хе е х + £о) = 1 для всякого х такого, что Р (X = х) > 0; (2) если М — любая замкнутая подгруппа такая, что Р (X е t/0-|-VU) = 1 при некотором у6еР\ moLocM. Эта дискретная подгруппа Lo порождается множеством {^ Р(Х= Хо + ?) > 0}, где х0 — произвольный фиксированный вектор, удовлетворяющий условию Р (Х = х0) >• 0.
Доказательство. Так как X — решетчатый случайный вектор, то существуют х0еР6 и решетка L такие, что Р(Х ex0 + L) = 1, Р (Х = х0)>0. Пусть Lo — подгруппа, порожденная множеством (входящим в £) {Г-£(Х= Хо + 1)>0}. Тогда L6cL, так что Lo является дискретной подгруппой и Р (X е х0 + £0) = 1. Если Р(Х = Х!)>0, то Xiexo + Lo, так что хг + £0 = х0 + Ц и Р(Х exi + £o)= 1- Это доказывает свойство (1). Для того чтобы доказать (2), предположим, что Р (X е </<> +М) = 1. Поскольку Р (X = х0) > 0, то х0 е уй + М, х0 + М = у0 + М, так что Р (X ех0-|-М)= 1. Из определения множества То следует, что LocM. Таким образом, £0 удовлетворяет всем свойствам, приведенным в лемме, и единственность £0 очевидна в силу свойства (2). А
Для решетчатого случайного вектора X единственная дискретная подгруппа £0 со свойствами (1) и (2) из леммы 21.4 называется минимальной группой, связанной с X. Ранг г пространства Lo называется рангом вектора X. £0 называется минимальной решеткой для X, если Lo имеет ранг к.
Лемма 21.5. Пусть X —решетчатый случайный вектор. Тогда следующие утверждения эквивалентны-.
X является невырожденным.
Минимальная подгруппа, связанная с X, является решеткой.
Доказательство. Фиксируем вектор х0Е/?\ для которого Р (Х = Хо)>О. Предположим, что X является
невырожденным. Если минимальная подгруппа Lq, связанная с X, не является решеткой, то существует базис 61, 1л) из R6 такой, что г<£ и L0 = Z-g1 + ... + Z-gr. В частности, это означает, что Р(ХеЩ=1, где Н = = Хо + R |1+ -.. + Р |*-i. Последнее противоречит (1). Для того чтобы показать, что (2) влечет (1), предположим, что X является вырожденным. Тогда существует линейное подпространство размерности к— 1, например М, такое, что Р (X е х0 +Af) = 1. Из минимальности подгруппы Lo, связанной с X, следует, что Eg с AL Последнее означает, что L не является решеткой, а
Пусть /—характеристическая функция случайного вектора X. Вектор toeRk называется периодом |/|, если |/а + М1 = 1МП1 Для всех t^Rk.
Лемма 21.6. Пусть X —решетчатый случайный вектор и L — минимальная подгруппа, связанная с X. Пусть f — характеристическая функция вектора X и ^ — множество периодов функции |/|. Тогда
L* = t; |/(0l = 1},
£* = {/: (0 g)e2nZ при всех geL}, (21.9)
L = ^,: (t, £)e2nZ при всех te L*}.
В частности, L* — замкнутая подгруппа пространства Rk.
Доказательство. Пусть toeL*. Тогда |/(/0)| = = |/(0)|=1. Обратно, предположим, что |/(/0)| = 1. Тогда существует действительное число а такое, что /(/0) = ехр {ia}.
Следовательно,
£(l-cos«/o, X)-a)) = 0,(21.10)
или P(cos((4, X) —a)=l) = l. Таким образом, Р«4, Х> ea+2nZ) = l; (21.11)
из последнего равенства следует, что
/(/ + ^) = ^(exp{i<# + 4, Х)}) = ^/(0(21.12)
и |/(^ + 4) I = 1/(0 I Для всех что доказывает справедливость (1). Для доказательства (2) выберем х0 таким образом, чтобы Р(х = х0)>0, и пусть toe.L*. Тогда из (21.11) следует, что (4. x0)ea+2nZ. Таким образом.
Р ((/о, X -Хо> г 2nZ)= 1.(21.13)
Если S = {£: Р(Х = х0 + £)>-0}, то (21.13) эквивалентно тому, что
(/о. 6)e2nZ для любого ^eS.(21.14)
Так как S порождает L, (21.13) эквивалентно тому, что
(4£)e2nZ для любого ^g£.(21.15)
Таким образом, 70 принадлежит множеству, определенному правой частью соотношения (2). Обратно, если соотношение (21.15) справедливо при некотором t0, то справедливо (21.13) и (ieR^
\fU + to)\ = \E(exp {i (74-4, Х>})| =
= |£(exp{i</4-/0, Х>-7<4, X—x0>})| =
= | E (exp V (t, X> + i (t0, x0>}) | = | / (01.(21.16)
Таким образом, t#GL* и (2) доказано. Осталось доказать (3). Согласно теореме 21.1 существует базис (£г, .... |fc) в Rb такой, что £ = Z ^i+-.. + Z-^-, где г —ранг подпространства L. Пусть {гц, .... rpj — двойственный базис, т. е. для него выполнено равенство (|,, *]/-) = 6/,', l^bf^k, где б,/»—символ Кронекера Тогда из (2) следует, что
L* = 2л (Z • гц+• • - + Z • т]г) 4-7? ■ г)1+•. .4-7? ■ т]*. (21.17)
Соотношение (3) непосредственно вытекает из (21.17). Последнее утверждение леммы 21.6 является непосредственным следствием (1) и (2) (или 21.17). а
Следствие 21.7. Пусть X — решетчатый случайный вектор с характеристической функцией f. Множество периодов | /1 будет решеткой тогда и только тогда, когда X является невырожденным.
Доказательство. Это следует сразу из представления (21.17) и леммы 21.5. а
Пусть L образует решетку и (£ь ..., ^) — базис для L, т. е.
L = Z-Ei4-..- + Z-^.(21.18)
Пусть {т}1, ..., rpj —двойственный базис, т. е. (£/, т],') = = 6//', и L* — решетка, определенная равенством
L*=2n(Z-rJ14-.-+Z^).(21.19)
Обозначим через Det (^, ..., ^ определитель матрицы, /-я строка которой состоит из вектора ^/ = (^ъ ..., ^^.
Таким образом, Det(£lt ..., ^) = Det (|„-) Если {^, ... - • •. 5л) — другой базис для L, то существуют матрицы Д = (а/Г) и В = (М такие, что ^f = vQi.& и & = £ Ь^.
Тогда DetA=±l, так что
Det &Ы = ±0е1(^;10-
Таким образом, величина, определенная равенством
detL^Detfo^)1.(21-20)
не зависит от базиса и зависит только от решетки L. Кроме того, согласно этому определению
detL* = (2n)\Det(T]1Пл)1 = §?-(21-21)
Рассмотрим область
<^* = {<ГП1+... + *л11л:|М<л Для всех /}; (21.22)
eF* обладает следующими свойствами:
«р*пв* = {0}.
Для любых двух I], t]'g£*, т] =^ т/, множества eF* + ri и e7’* + т], не пересекаются.
Для любого xgR6 существует -qeL* такое, что х —T]eC/eF*; таким образом,
Rk = (J С1(=Г* + т]).(21.23)
пе£*
Ввиду этих свойств еГ* также называется фундаментальной областью для L*.
Заметим, что еГ* = {х: | ^, х) | < л для всех /}. Поэтому
^dy =Уд 4_(2л)»1 Det (^ЫГ^dy =Уд 4_(2л)»1 Det (^ЫГ(21.24)(21.24)vol еГ* = t dx =
^dy =
Уд 4
_(2л)»
1 Det (^ЫГ
^dy =
Уд 4
_(2л)»
1 Det (^ЫГ
(21.24)
(21.24)
J J д(Уь ...
У»С (л)
где У) = (^ь х) и У^ “"' ^) ~ якобиан для у относительно х, равный IDetgb .... |fc)i, и С(л) = {(й, ... •••» УьУ- |У/|<л для всех /}. Из (21.21) получим
(21.25)(21.25)vol «Г* = det L* = №.det L
(21.25)
(21.25)
Аналогичные (21.24) вычисления показывают, что
J е*<^ х>dx = 0 для всех ^eL, £=/=0. (21.26) У
Теперь пусть X — невырожденный решетчатый случайный вектор, имеющий характеристическую функцию f. Пусть L — решетка и xtieRk такой, что Р(Х ехо + £) = 1- Тогда характеристическая функция
/(/) = 5 РОС-хь+Е)^»^».(21.27)
Ееь
Умножив (21.27) на ехр {—1(1, х0+Е)} и интегрируя по вГ*, с учетом (21.25) и (21.26) для всех ^eL имеем
Р(Х = х0 + Е) = ^ $ <-‘<*-*+4 (1) di. (21.28) У
Это равенство называется формулой обращения в решетчатом случае. Если момент Е || Xs || конечен для некоторого положительного целого s, то, продифференцировав обе части (21.27), умножив полученное равенство на ехр{—1(1, хь + Е)}. затем интегрируя по е7"*, при |v|^s имеем (Ее А)
(хо+E)v Р (X = хь + Е) = (2л)-* det L (— О^ х
X $ ехр{— 1(1, х^^А^НМ!.(21.29)
У»
§ 22. Локальные разложения
Всюду в этом параграфе ^Xf. /^ 1} является последовательностью независимых и одинаково распределенных решетчатых случайных векторов, определенных на вероятностном пространстве (П,Р), со значениями из Rk;
предполагается, что общее распределение невырождено и имеет минимальную решетку L, а также
ЕХ1 = и, Cov(X1) = /, P(Xt<=E)=L (22.1)
Заметим, что для всякого невырожденного решетчатого случайного вектора X, имеющего конечный второй момент, существуют х0 е Rk и невырожденная матрица Т такие, что Хт =а Т (X — хь) удовлетворяет приведенным выше условиям.
Введем последовательность усеченных случайных векторов {¥/,„: /^1}, {Zy,„: /5=1} равенствами
У ( Х„ если | X; — р || ^ п|/2,
71"( °, если | Х7 -р || >п№,(22.2)
Xbn-Xb»-EXj.n (/>1, п^1),
Предположим, что ps = £|Xi —рр конечно для некоторого целого s ^ 2, и введем следующие обозначения
D„ = Cov(ZL„), Xv = v-h кумулянт Xi, / = det£,
Xv. л = v-й кумулянт Zi, „ (| v | < s),
Уа.п = п-^1а — n^Y t/a,„ = n-1<2(a — nEN1.„') (a^L), Pn кУа. л) = p (Xi + •.. + Xn=a) =
= р1лг^ ^(Xy-p)^,),\/-1/
р’п(Уа. n) — P (Yi. л+••• + Yn,„ = a) =
= pU"^ ^гь„=&. Д
„-,',"1' (22.3)
qn. m - In-*/» S rr-^P, (- Ф: fXv})
(2^m^s),
qk. rn - in-*/2n-^P, (- <p0. Dn: {Xv. л})
r=0
(2<zn<oo.)
Следующая теорема является основным результатом этого параграфа.
Теорема 22.1. Если р, = £|Хт —рр конечно для некоторого целого s^2, то при п-»-оо
SUp^ (1 -}-1 уа, „р ) | рп [уа, п) Ул. * (f/a, л) | =
“=o(n-<*+s-2)/2).(22.4)
Кроме того,
S I Рп tea, n)-qn,t(ya. п) \ = о<пг<-»^.(22.5)
aeL
Доказательство. Пусть gt и fn обозначают характеристическую функцию векторов Xi и п—’^(Xi+... ...4-Х„ —пр) соответственно. Тогда
fn(n = (gi(n-1/20exp{-i<n-'^, р>})"<1ерь\ (22.6)
Формулы обращения (21.28), (21.29) позволяют написать
Рп^Уа-п^1^'6 $ £,"(Oexpf— i(t, a>}d/ =
-l^nY^R $ /л(0ехр{-1-(/,уа.„>}Л,(22.7)
< пРп(Уа.п) =
= / (2л)-‘п-№ (_;у Pl J exp {- i (t, y^ „)} D4n ^ di.
где p — неотрицательный целочисленный вектор, удовлетворяющий неравенству | Р | ^ s, и
(22.8)(22.8)У~п А = \\/~п х*. хеЛ} ^A^R^.
(22.8)
(22.8)
Далее легко видеть, что^A^W^H^ 5 ехр{-|(Л Уа^Х„RbДалее легко видеть, что^A^W^H^ 5 ехр{-|(Л Уа^Х„Rbг$ — 2 xD» V г=0г$ — 2 xD» V г=0n-r^pr ^t; (Xv|) exp |-jn-r^pr ^t; (Xv|) exp |-jdt.dt.(22.9)(22.9)
Далее легко видеть, что
^A^W^H^ 5 ехр{-|(Л Уа^Х„Rb
Далее легко видеть, что
^A^W^H^ 5 ехр{-|(Л Уа^Х„Rb
г$ — 2 xD» V г=0
г$ — 2 xD» V г=0
n-r^pr ^t; (Xv|) exp |-j
n-r^pr ^t; (Xv|) exp |-j
dt.
dt.
(22.9)
(22.9)
-s —2У n-rl^h {Xv})x-s —2У n-rl^h {Xv})x(22.12)(22.12)xexpxexpd/ = o(n-<s-2>/2)d/ = o(n-<s-2>/2)(n->oo).(n->oo).
-s —2
У n-rl^h {Xv})x
-s —2
У n-rl^h {Xv})x
(22.12)
(22.12)
xexp
xexp
d/ = o(n-<s-2>/2)
d/ = o(n-<s-2>/2)
(n->oo).
(n->oo).
Следовательно,
Нл(Рл(^.л)-“<7л.Жл)|^
^/(2n)-»n-»/2(Z14-Z2 + Zs), (22.10)
где, если положить (константа Сго — такая же, как и в теореме 9.10)
(22.11)
то согласно теореме 9.12
Z1=6(n)n-‘s-2>/2(hls-|₽l+UP<s-2)-|pi)x
VnE,
xexpj— ^-}d/ = o(n— (s — 2)/2)(n->oo),
Z2=$№(№
Vn y*\Vn Ei
Для того чтобы оценить Z2, заметим, что
6 = sup{1^(01: Ze^XfjKl, (22.13)
поскольку замыкание множества ^XEi не содержит период l^]. В силу (22.13) и (22.6) имеем (используя формулу Лейбница для дифференцирования произведения)
/з^Р.бД^б"- В CPI^s). (22.14)
Таким образом, при п->-оо
SUP I < п <J>n (Уа. л) - Уп. S (Уа. л))' = ° ^ ^'^(22‘15)
откуда легко следует (22.4).
Если s^A-pi, то (22.5) следует из (22.4). В общем случае воспользуемся усечением.
Во-первых, заметим, что [см. (14.111)]
Л |Рл(Уа.п)-р;(у;.„)|^2 vp(xy^yA„)= aeL/=1
= 2nP(|X1-u|^n'/2) = o(n-<s-2№) (n-»oo).(22.16)
Далее, по лемме 14.6
I Чп. $ (Уа, „) - Чп. S (у;, л) I ^ П- ^ (п) У (1 +1 уа, „ р + 2) X
хехр{- «^ + ^} (ае£),(22.17)
I Уа. п Г I F Уд. п П68 /А /I Уа. п Г I F Уд. п П68 /А /где 61 (п) = о (п~(s—2)/2). Теперь
I Уа. п Г I F Уд. п П
68 /А /
I Уа. п Г I F Уд. п П
68 /А /
„-^2 у (1 +|уа „|3'- + 2)ехр aeL
= n—ki2V (14-[п—'/^р + ^х
16/.—пц-
( |л—'^ар , In—'^h
хехр{
^n-fc/2 sup у ^(п-'/^ + х),(22.18)
| х | ^ Дл—*/2 a G L
где Д —диаметр множеств еУ*,
Л(У) = (1+|уГ + 2)ехр{-^ + ^} (уе^). (22.19)
Пусть Т — невырожденное линейное преобразование на Rh
такое, что TL = Z*. Тогда
пгкГ2 sup У, /Цд-^а+х)™
| * Q <: Дл—*/2 a g L
= п-»/1 sup 5 hkn-^T ^a* -Vx^-* I* К Дл—^ Of G z*
J h(T-1y')dy-<oo (n^-oo).(22.20)
Rk
Таким образом, из (22.17) получаем, что
S I Чп. , (Уа. „) - <Гп. S кУа. пН-О (п-^-^.(22.21)
aeL
п
Пусть f'n—характеристическая функция суммы п~1/2 yZ/.n.
Тогда, положив
$о = шах (s, Л) + 1,(22.22)
для любого aeL имеем (так как PtY^nе£)= 1)
№ л. /)•' рА № л) = I №кп-№ (_ iy х
х J exp {— i <t, Уа. „)} (^У /А (0dt, v^y
кУа. л. fY <fn. s, — 1 (.Уа. n) =^2 J
= I k2n)-kn-kl2 k—iy' S exp {— i kt, Уа. «>} x
Rk
(
H—з•,
2 n-rnprkik (Xv, »})exp {-^<t, О„о})л.
где s'= 0, 1, .... уа.л./ —/-я координата y^n. Для всех достаточно больших л пусть Bn = D7U2,
р _ff. ^20^s* ^п 1 zoo
&* Г 1 1 (£|ВА,Г),П—ял1»р(22М)
где Лл — наибольшее собственное значение матрицы £>„.
Согласно леммам 14.1, 14.2
Е1.„Е1.„т>Ег.п = и: |/|^т>Ег.п = и: |/|^Са0 (S, А) „<»—2)/<2<s.—2»'pl/C-2)Са0 (S, А) „<»—2)/<2<s.—2»'pl/C-2)(22.25)(22.25)
Е1.„
Е1.„
т>Ег.п = и: |/|^
т>Ег.п = и: |/|^
Са0 (S, А) „<»—2)/<2<s.—2»'pl/C-2)
Са0 (S, А) „<»—2)/<2<s.—2»'pl/C-2)
(22.25)
(22.25)
при некоторой положительной константе CJ0(s, ку Из теоремы 9.10 при s'= 0, 1, .... s0 имеем
J exp {—i<<, Уа.я)}^)1 х
Еа,п
S.-3
XXdt^dt^(22.26)(22.26)Г» (0 - 2 п"'2р'' (И: fr* «»exp {- у <L ад} г —0
X
X
dt^
dt^
(22.26)
(22.26)
^с;, (So, &)B|B„Z1.„rra-<s.-2)/2 = o(ra-(s_2)/2)-
Последнее неравенство получили, используя лемму 14.1 (5).
В силу леммы 14.3
5 К^г) ^^)|^^
{ll<H<V^/(16p8)}\Ea-„
^5C'(s', S, Л)(1+иНехр{--^-Кр}л»
R^Vn
= 0^-^(s'= 0, 1, 2, ...).(22.27)
Далее, за счет присутствия экспоненциального множителя, пользуясь леммой 14.2, имеем
(
s,-3
v „-«Ml:Wx
« Х=,.п' = ”
х ехр }— у (t, D„^ | dt = о (n-<$-2)/2) (s' = 0, 1,...).
(22.28)
Наконец,
S 1(^7) ^w|<tt<
^^•xto <11 > V^!( 16P8)}
^ n^EIZlnГ(6' + 2psn-<s-2)/2)"—' = о(л-<’-2)/2), (22.29)
где s' — 0, 1, ...,
O'-sup{[^(Щ: ieJ*^': |f |<(16pg) ^}< 1. (22.30)
Заметим, что при выводе (22.29) учтено неравенство
|£(exp{i</, ZL,.)})H£ (exp {£<*, Yl„>})|^ ^l^(0l + 2psn-<s-2^.(22.31)
Пользуясь соотношениями (22.23) и (22.26) — (22.29), имеем (к\
+ У I У“- л./|к+1) I Рп (У“> л) 9л, So— 1 (Уа. п) I = /=1/
= 0(n-<fc+s-2>/2)(п^.оо),(22.32)
откуда следует (для суммирования может быть использована лемма А. 4.6)
У | Рп (Уа, л) - q*n. So - 1 (Уа. л) I = о (n~<s - 2>'2). (22.33) aeL
Применяя леммы 9.5 и 14.1 (5) (также лемму А.4.6), убедимся в том, что
У I Уп. $о— 1 (Уа. л) Чп, s (Уа, л) | — asL
So—3
= п-^ У У ПГ^РГ (- ф0, Dn : {Ь л}) ^, „) = aeL r=s—i
= о (n-<s - 2№)(п ^ со), (22.34)
и объединив (22.16), (22.21), (22.23) и (22.34), имеем желаемый результат (22.5). ▲
Из (22.5) немедленно вытекает следующее
Следствие 22.2. В условиях теоремы 22.1
sup |Q„ (В) - У qn.s (ya.„) I = о (n-‘s -2М2), (22.35) aeB,nz.|
n
где Qn — распределение суммы пг'Р У (X, — р). z=i
Как будет показано в следующем параграфе, воспользовавшись обобщенной формулой суммирования Эйлера — Маклорена, выражение У уп,$^а.п^ можно предста-
ае В п с
вить в более удобной интегральной форме.
Для упрощения записи в дальнейшем положим L = Zfc. Это допущение не ведет ни к какой существенной потере общности, поскольку в последнем случае придется иметь дело с невырожденной ковариационной матрицей V вместо еди-
ничной матрицы I. Например, если Ху удовлетворяет условиям (22.1) и имеет минимальную решетку L и Т — невырожденное линейное преобразование такое, что TL = = Z?, то случайный вектор Yt = ТХх имеет минимальную решетку Z* и удовлетворяет условиям
Cov (YO = ТТ* = V, P(Y1eZfe)=l. (22.36)
Таким образом, мы имеем следующее
Следствие 22.3. Пусть {Yy-: j5s 1} — последовательность н. о. р. решетчатых случайных векторов со значениями из Rk. Предположим, что £Yi = p и Yi удовлетворяет условиям (22.36) и имеет минимальную решетку 7?. Если р, = Е | Yi — р р < со при некотором целом s ^ 2, то
SU? (1+| Уа. п К) I Рп (Уа, л) Яп. s (Уа. л) I = aeZ6
= о(/г<’+*-2’/2), (22.37)
У, \Рп(Уа.п)~Яп.з{Уа..п) НО^’-2)'2) (п^-оо), aeZ6
где
Уа,п = п-1Р^а — пр.^ pn(z/a.n) = P(Y1 + ...+ Y„ = a)=-
= р(д-|/2 у (Y/-p) = t/a.«)(aeZ‘),
Яп. , = п-к« 5 п"2Рг (- фо, v: Ы, (22.38) г=0
Xv — кумулянт v-го порядка вектора Yi-
§ 23. Асимптотические разложенияфункций распределения
В настоящем параграфе мы применим обобщенную формулу суммирования Эйлера— Маклорена, полученную в добавлении А.4 к локальным разложениям, приведенным в § 22.
Согласно замечаниям, сделанным в конце § 22, не ограничивая общности, мы можем предположить, что последовательность н. о. р. решетчатых случайных векторов {Х„: п^Ц удовлетворяет условиям
ЕХх=^, Cov(X1) = V, PQlxeZ.^=\, flX^pl'^c» " (23-1)
и минимальная решетка, соответствующая Xi, совпадает с Zfc. Здесь р — произвольный вектор из Rk, V — произвольная симметрическая, положительно определенная матрица и s —целое число, не меньшее 2. Также введем следующие обозначения:
ха. п = п~|/2 (а — пр) = — п-|/2р + п-' /2а(а е Z6),
Рп (ха. „) = Prob (X!+... + Х„ = а) =
= Prob (п-'/2 (Хх 4-... + Х„ — пр) = Ха, „),(23.2)
Яп., = тк^ п-трг (- ^ v: {Xv}),г—О
где Xv. как и раньше, обозначает кумулянт порядка v для Хх.
Теорема 23.1. Пусть последовательность н. о. р. решетчатых векторов {X,: п^1} удовлетворяет условиям (23.1). Пусть Fn обозначает функцию распределения суммы п-'Р (Хх+... + Х„ - пр). Тогда
sup |Г„(х) —
xeRk
-5п-1 а 1/2 (_ 1)1“ ^ScJnp + n'^x) (О“Ф0> v)(x) —
I а I С« — 2
-П-'^5 п~'а'Р(— l)i“Sa(np + n'/2x)x
la ICs — 3
хфорн-Фо.^МЮ-...
... _ пг^^Р^-Фо v: {Xv}) W | _
= o(n-‘s-2»/2)(n->oo),(23.3)
где функция Sa определена в (A.4.14) и (А.4.2).
Доказательство. Во-первых, согласно следствию 22.3
^ 1Рп(^х.п)-<7п.ДХа.п)1=о(п-‘’-2>/2) (п-*сю). (23.4) aeZfc
Следовательно, достаточно доказать (23.3) с заменой ^(х) на
On. s (х) =^,Яп, »(Xa,n).(23.5)
{“=^,4^'}
8 23. ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ247
Но согласно теореме А.4.3 (положим r = s — 1)
sup I Q„, 5 (x) — Уn- “1/2 (— I)1 “ Sa (np + n'/2x) x
<e/?*|/(a)<s—2
x D“ f^ rr^P, (- ф0- v: {Xv})k) =4=o/
= 0(n-‘s-'>/2)(n^-oo).(23.6)
Теперь соотношение (23.3) следует из (23.6) объединением всех членов порядка ггИ2, /^s—1, в одно выражение О(_П~^~ 2)/2) ^
Следствие 23.2. Если s = 3, /по в условиях теоремы 23.1
к
sup Fn (х) — Фо, к(х) + п-’^ 51 (^ + nM2xh Ф/^®. ^ <х) — xeRk)=\
-п-'^РН-Ф».^{XvDW =о(п-'/2).(23.7)
Кроме того, если s ^ 4, то правая часть равенства (23.7) есть О (/г1).
Вспомним определение целого числа /(а), приведенное в (А.4.21) для любого целочисленного вектора а = = («1, ..., а»). Для формулировки следующего результата через Ar, „(F) обозначим конечную обобщенную меру с функцией распределения, определяемой равенством
A,.„(F)(x)= 5 (-!)'“ п-'»72$Дпи + /пХ)(п«/^ / (а) < г
(23.8)
Теорема 23.2. В условиях теоремы 23.1
1
,-2Л
Qn - 2 П^Л,-,-^ п {Р) (- Фо. V : {Xv})) = О (п-<«-2)/2), /-0|
(23.9)
где Qn — распределение суммы П'^^+.е. + Хл — пр).
Доказательство. Эта теорема немедленно следует из теоремы А.4.3 и соотношения (23.4), если все члены, имеющие вариационную норму порядка 0(п-'/2), j^s— 1, объединим в одно выражение ©(п-4’-2^2). ▲
248ГЛ. 5. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
В частности, из следствия 23.2 при &=1 имеем
Vп sup ^„(х) —Фо,а=(х)| = sup |51(пр1 + /пх)фо. а«(х) — xeR’xeR' |
-W^('-Я'—''"’l+^f1»-(23J0>
где pi = £X1, p3 = £,X] и o2 = var(Xi). Так как функция х->-Si (npx + Vих) является периодической с периодом п-'/2, то при достаточно больших значениях п функция х -► Si (npi + Vп х) Фо. п= (х) в окрестности нуля принимает сколько угодно близкие к у фо. ст*(0) и — у Фо. а* (0) значения. Кроме того, супремум
supxeR'supxeR'(23.11)(23.11)^з/ j ^\ е-х»/2а» I _ I Из I
supxeR'
supxeR'
(23.11)
(23.11)
б/2ло®\а2/|б/ 2л а®
достигается в нуле. Из этих рассуждений следует, что предел (при n^-оо) левой части соотношения (23.10) существует и равен
lim Vn sup | Fn (х) — Фо, а= (х) | =
л-к» xeR'
- Н^+1Ы. (23.12)
2 у 2л а6 У2ла®б/2ла®
Эссеен [2] показал, что (если Хт имеет решетчатое распределение)
3<т2 + Ы<=(/10 + 3)Рз,(23.13)
где р3 = Б|Х1|8. Следовательно,
lim Vn sup | Fn (x) - Фо. с (x) |- ^. (23.14)
Л—COxeR'6 У 2л a®
Эта граница достигается для случайной величины Бернулли Хх с вероятностями
р(Хг
/10-3) 2/
/10-22
(23.15)
р(хт=
/ю—3\ 4-/10
2/—2
Также вспомним [см. (20.78)], что если Хх имеет нерешетчатое распределение, то
lim Vn sup | Fn (x) - Фо. o' (x) | =(23-16)
к> xeR’6 у 2лоЗ
Следовательно, наилучшей асимптотической константой в теореме Берри — Эссеена (теорема 12.4) является 1(КТб + 3)/К^.
Проследив доказательство теоремы 22.1, мы можем получить некоторые достаточные условия справедливости аналогов теорем 22.1, 23.1 и 23.3 для последовательности неодинаково распределенных решетчатых случайных векторов.
Например, предполагая, что эти векторы имеют общую минимальную решетку, совпадающую с Zfc, средние ковариационные матрицы и средние s-e абсолютные моменты которых удовлетворяют условиям (19.47), а характеристические функции удовлетворяют (22.13) равномерно, можно доказать справедливость приведенных выше теорем для неодинаково распределенных случайных векторов с заменой о на О в остаточных членах. Эти условия могут быть в некоторой степени ослаблены.
ПРИМЕЧАНИЯ
Структура решетчатых случайных векторов исследована Эссееном [1]; наши рассмотрения имеют более детальный характер.
Первая локальная предельная теорема (для решетчатых случайных величин) доказана Муавром [1] н Лапласом [1] для случайных величин Бернулли. В более изящной форме она приведена в книге Успенского |1]. Первое обобщение этой локальной предельной теоремы для общих решетчатых случайных величин принадлежит Эссеену [1] и Гнеденко [1]. Далее, Эссеен [1] получил разложение
sup P„(t/a,n)—4n.s('/a,n).=o(n-(ft+s-2,/2)(N.I)
aeL
в одномерном случае, когда выполнены условия теоремы 22.1; Рао [1, 2J обобщил этот результат на /?* и доказал справедливость утверждения теоремы 22.1 с оценкой остаточного члена o^logn^2^6-*"5-2/2). При 6=1 и s>3 теорема 22.1 доказана Петровым [1J. Результаты Рао в многомерном случае уточнены Бнкялисом [5]. Как следует из результата Гнеденко (см. Гнеденко и Колмогоров [1], с. 233—235), при s = 2 условия теоремы 22.1 также являются необходимыми.
В своей фундаментальной работе [1] Эссеен применил формулу суммирования Эйлера—Маклорена для доказательства тео-
ремы 23.1 в одномерном случае. Теорема А.4.2, в которой приво- дитси многомерная формула суммирования Эйлера—Маклорена, принадлежит Рао [1, 2]. Применяя ее, Рао доказал справедливость утверждений теорем 23.1 и 23.3 с оценкой остаточного члена о ((log л)6/2 л-^-2)/2). Бикялис [51 убрал логарифмический множитель в остаточных членах и доказал справедливость теорем 23.1 и 23.3 (с учетом значительно большего числа членов в разложении, чем приводим мы). Здесь нам бы хотелось заметить, что теорема 4 из работы Рао [2] содержит ошибку в первом утверждении. Сравнивая это утверждение с нашей теоремой 23.3 при s=4, получаем (предполагая, что р4<оо) равенство
^„-Лз.ДФо.^-л-^^Р^-Ф^^ {Zv^M^"1). (N-2) которое показывает, что в разложении теоремы 4 нз упомянутой работы Рао пропущен член, приведенный выше. Такой пропуск допустим в разложении для Fn (см., например, следствие 23.2), так как функции S/ являются ограниченными, но недопустим, когда рассматривается вариационная норма. Достаточно сложная природа обобщенных мер, соответствующих функциям Fr и Кг [см. (А.4.19) и (А.4.20)], заставила нас довольно много внимания уделить этим мерам. Например, даже доказательство того, что Fr имеет ограниченную вариацию, оказывается далеко не тривиальным (см. теорему А.2.3 в добавлении). Кроме того, нахождение вычислимых выражений для
Лг.п(Р/(-Ф0.У:М^)
для достаточно большого класса «хороших* множеств А (а ие только для многоугольников, должным образом соответств^ощих решетке) остается важной проблемой. Некоторые результаты в этом направлении можно найти у Ярнольда [1].
Одна из важных теорем Эссеена [1J, которые мы не привели в настоящей монографии, заключается в следующем: если [Х„: л^1}— последовательность к. о. р. случайных векторов с нулевым средним, невырожденной ковариационной матрицей V и конечным абсолютным моментом четвертого порядка, то
sup I 0„(Л)—Фо VM) |=O(nfc/fc+'),(N.3)
Леви. к ।
где 8—класс всех эллипсоидов вида
/! = {хе№ (х, V-^^c}(с>0)(N.4)
и Qn—распределения суммы п~}^(Xi+.-. + XJ.
Как следует из следствия 20.4, если общее распределение для [Х„: л^ 1} удовлетворяет условию Крамера (20.1), то оценка аппроксимации в (N.3) будет более точной, а именно, она имеет порядок О (л-1), поскольку
Р1(— фо.у: {^})(^-0 для Лев.
Сильная сторона результата Эссеена заключается в том, что этот результат справедлив для дискретных распределений. Действительно,
он показал, что в случае решетчатых случайных векторов (N.3) эквивалентно следующему глубокому результату из области аналитической теории чисел, принадлежащему Ландау: число В (с) решетчатых точек эллипсоида (N.4), т. е. точек с целочисленными координатами, имеет порядок
В (с) —(объем множества Л)+О (с2 fc+I) (с->-оо). (N.5)
Существенное обобщение (N.3) для класса гладких выпуклых множеств недавно получено Маттесом [1]. Поскольку в этом случае вклад от Рх (— Фо vj • {Xv}) не Равен нулю, то его следует включить в (N.3).
Добавление АЛ
Случайные векторы и независимость
Пространство с мерой —это тройка (Й, 6%, р), где Й — непустое множество, е® есть о-поле подмножеств в Й и р —мера, определенная на е®. Пространство с мерой (Й, ей, Р) называется вероятностным пространством, если мера Р есть вероятностная мера, т. е. если Р(й) = 1.
Пусть (Й, ей, Р) — вероятностное пространство. Случайный вектор X со значениями в Rk есть отображение й в Rk, для которого
Х-*(Л)в{®: X^gA^gS (АЛЛ)
при всех А е ейк, где 53е — борелевское о-поле на Rk. При ^=1 такое отображение X называется также случайной величиной. Если случайная величина X интегрируема, то среднее (или математическое ожидание) X, обозначаемое через ЕХ [или Е (X)], определяется формулой
EX=\XdP.(АЛ .2)
Q
Если Х=(ХЬ ..., ХА) есть случайный вектор (со значениями в Rk), каждая координата которого интегрируема, то среднее (или математическое ожидание) ЕХ вектора X определяется соотношением
ЕХ = (ЕХи ..., EXk).(А. 1.3)
Если случайная величина X интегрируема, то дисперсия X, обозначаемая через varX [или var(X)], вводится по формуле
var X = Е (X - ЕХ)».(А. 1.4)
Пусть X, Y есть две случайные величины, определенные на (й, е®, Р). Если каждая из случайных величин X, Y и XY интегрируема, то ковариация между X u Y,
обозначаемая cov (X, Y), определяется следующим образом: cov(X, Y)^E(X-EX)(Y-£Y) =
= £XY-(£X)(£Y).'
Для случайного вектора X = (Xlt ..., X*) (со значениями в Rk^, у которого cov(X,, Ху) определена для каждой пары координат (X,-, X,), ковариационная матрица Cov (X) вектора X вводится как k х 6-матрица, элемент (/, /) которой есть cov (X,-, Ху). Распределением Рх случайного вектора X (со значениями в Rk) называется индуцированная вероятностная мера Р«Х-1 на Rk, т. е.
Рх^ = Р(Х"ЧА^ (А^^к).(А. 1.6)
Поскольку среднее и ковариационная матрица случайного вектора X полностью определяются его распределением, среднее и ковариационная матрица вероятностной меры Q на Rk вводятся как соответствующие характеристики (произвольного) случайного вектора, имеющего распределение Q.
Случайные векторы Хь ..., Хт (со значениями в Rk), определенные на (Й, е®, Р), независимы, если
£(Х1еЛ1, Х8 е Л2, .... Хт е Ат) =
= Р (X, е ЛО Р (Х2 е Л8)... Р (Хт е А^ (А. 1.7)
для каждого т-кратного вектора (Ль ..., Лт) из боре- левских подмножеств в Rk. Иными словами, Хь .... Хт независимы, если индуцированная мера Р • (Хь ..., Хт)-1 есть продакт-мера. Последовательность [Х„: п^1} случайных векторов [определенных на (Й, е®, Р)] независима, если любое ее конечное подсемейство состоит из независимых векторов.
Добавление А.2
Функции ограниченной вариациии функции распределения
Пусть ц —конечная обобщенная мера на Rk. Функция распределения F^ меры р есть действительная функция на Rk, определяемая равенством
^(х)=р((-оо, лф (xeR^, (А.2.1)
где
( — ОО, х] = ( — ОО, Х1] X ( — ОО, Х2] X ... X ( — оо, X]
(А.2.2) [* = (*iх*)е«*].
Нетрудно проверить, что функция Fu непрерывна справа. Для случайного вектора X, определенного на некотором вероятностном пространстве (Q, <53, Р), функция распределения вектора X есть функция распределения его распределения Рх. Функция распределения Fu полностью определяет (конечную) обобщенную меру р. Для понимания этого рассмотрим класс «^ всех прямоугольников вида
(а, 6] = (alt bj х ... х (ае, b J (А.2.3) (а,- <. bj для всех i; a, be Rky
Определим разностные операторы Д*1, ..., Д^ равенствами
^F ^ = F ^Xx-\-hx, х2, .... x^-F(xx — hx, х2, .... х^, ^F(x) = F(xu x24-/i2, х8х*) —
— F^Xx, Xi — hz, х3, .... хе), (А.2.4)
^Р^ — Р^Хх, х2хе-!, х^Н^ —
— F^Xx, х2, .... хе-ь xfc —Л») [х = (хтх»)еЯ*],
где hx, Нг, .... hk есть положительные числа и F — произвольная действительная функция на R6. Разностные операторы коммутативны и ассоциативны и можно определить оператор ДЛ по формуле
ДЛ = Д\...Д^(А.2.5)
[/i = (Ab .... Л*), ht>0 для i=l, .... Л].
При к = 1 такой разностный оператор будем обозначать Д'*. Можно показать *), что для каждого прямоугольника (а, ЬЗее^ справедливо равенство
И((п, Ь]) = Д^ц(х),(А.2.6)
где
h = (b — a)/2, x = (a4-b)/2.(А.2.7)
Класс е# всех конечных непересекающихся объединений множеств из ^ образует кольцо, на котором р определяется соотношением (А.2.6). Поскольку о-кольцом, порожденным е$?, является е®, из единственности продолжения Каратеодори *) вытекает, что р на &№ определяется заданием р на е# (и, следовательно, функцией распределения F^. По индукции можно показать) что
bhF (х) = £ ± F (Xi + e^t, х2 + е-Дxk + еА). (А.2.8) где суммирование происходит по всем ^-кратным векторам (Bi, B2, ..., еА), у которых каждая координата е, есть либо 4-1, либо —1. Знак слагаемого в (А.2.8) плюс или минус зависит от того, четно или нечетно число отрицательных С;.
Пусть теперь F — произвольная действительная функция, заданная на открытом множестве U. Определим функцию множеств pf на классе <Уи всех множеств из <У, содержащихся в U, по формуле
И* 6]) = A^(x),(А.2.9)
где х и h заданы (А.2.7). Можно проверить, что р^ конечно аддитивна на е^. Будем говорить, что F является функцией ограниченной вариации на открытом множестве U, если величина
supSlPf(ly)|(А.2.10)
I
конечна, где супремум берется по всем конечным семействам {Zlt Z2, ...} попарно непересекающихся множеств в ^ таких, что Ij^U при всех /. Выражение (А.2.10) называется вариацией F на U. Следующая теорема доказана у Сакса [1] (теорема 6.2, см. 68).
Теорема А.2.1. Пусть F — непрерывная справа функция ограниченной вариации на непустом открытом множестве U. Существует единственная конечная обобщенная мера на U, согласованная с^рна классе <5"и всех множеств из <5", содержащихся в U.
Можно проверить, что вариация на U непрерывной справа функции F ограниченной вариации (на U) совпадает с вариационной нормой обобщенной меры, существование которой утверждается в теореме А.2.1.
Функция F называется абсолютно непрерывной на открытом множестве U, если для заданного е>0 существует 6>0 такое, что
Sl^(//)|<e(А.2.11)
i
для всех конечных семейств {Л,...} попарно непересекаю- щихся прямоугольников IjG^ui удовлетворяющих неравенству
£МЛ)<6,(А.2.12)
где 1* обозначает меру Лебега на Rk. Если F абсолютно непрерывна на ограниченном открытом множестве U, то можно показать, что F имеет ограниченную вариацию на U.
Теорема А.2.2. Пусть F— непрерывная справа функция ограниченной вариации на открытом множестве U cR" и рр—мера на Rk, определяемая соотношением (А.2.6) (и теоремой А.2.1). Предположим, что на U существуют и непрерывны производные DkF, Dk-iDkF, ..., Dx... DkF. Тогда F абсолютно непрерывна на U и справедливо представление
uF (А) = (Dx... D^) (л) dx(А.2.13)
А
для любого борелевского подмножества AeU. Кроме того, на U имеем
Вт (2*/г!... hkYv 6AF - ПхОй... DkF.(А.2.14)
М°йа*о
Доказательство. Предположим, что замкнутый прямоугольник [а, 6] содержится в U. Пусть h и х определены (А.2.7). Тогда по фундаментальной теореме интегрального исчисления имеем
MF ((а, 6]) = ^F (х) = Д";... t^ W =
= Д*1... Д^» (F (ххxk_x, хк + А») -
— F(xx, .... xk—x, xk — hk)) = xh + hk
= Д> .. - Д^ $ (PkF) (хххА^, yk) dyk. (А.2.15) xk~ kk
Поскольку подынтегральное выражение непрерывно диф-
ференцируемо относительно хк-х, получим
^((а. 6]) =
xk^hk
= Д*1 - • • Д^^ J [(DkF)(xi, ..., Xfe_i + ft»-!, ук) — xk~hk
— (DhF)(xi, .... Xk-t — hk-!, yk)]dyk =
Xk+Hk ’‘к-Х^к-Л
= Д*1...Д^-22 J J фкгО^х
xk~hk xk-l—hk-l
(A.2.16)(A.2.16)X(xb .... Ук-ъ Ук^Ук-х dyk.
(A.2.16)
(A.2.16)
Продолжая таким образом и замечая, что по теореме Фубини повторный интеграл, который мы получим, равен интегралу по (а, 6] относительно меры Лебега на Rfe, приходим к (А 2.13) для Л=(а, Ь]. Покажем далее, что функция Dx... DkF интегрируема на U. Если предполо
жить, что она неинтегрируема, то для каждого целого п^1 найдутся целое тп и попарно непересекающиеся прямоугольники (а1, 61),..., (ат", bm"] такие, что [а*, 6'] cz
(Dt ... DkF) (х)dx(Dt ... DkF) (х)dx> n.> n.c^U, i = 1, ..., тп и
(Dt ... DkF) (х)dx
(Dt ... DkF) (х)dx
> n.
> n.
которое уже доказанокоторое уже доказаноТогда из соотношения
которое уже доказано
которое уже доказано
тп
для множеств вида (а1, 6'] следует, что У |рН(аь 6,])|>п
1 = 1
для всех гц а это противоречит предположению о том, что F имеет ограниченную вариацию на U. Таким образом, есть две конечные обобщенные меры на U, опреде
ляемые соотношениями
Л-*МЛ),Л-*МЛ),Л -> J (Dx -. - DkF) (х) dx,л
Л-*МЛ),
Л-*МЛ),
и совпадающие на классе всех прямоугольников (а, 6] таких, что [а, 6] cz U. Следовательно, эти две обобщенные меры на U эквивалентны и равенство (А.2.13) установлено. Для доказательства (А.2.14) возьмем xeU. Выберем h — (hx, ..., hk) так, чтобы й,>0 для всех i и [х — h, xFh\cU Тогда из (А.2.13) имеем
Д^Е (х) = pF ((х — h, х + /2]) =(Dx... ОкР) (у) dy.
х — h, х + hj
9 P. H. Бхаттачария, P. Ранга Pao^
Отсюда и из непрерывности Ог ... DkF на (/ вытекает соотношение (А.2.14). ▲
Из определений следует, что сумма конечного числа функций ограниченной вариации или абсолютно непре рывных на открытом множестве U также имеет ограниченную вариацию или будет абсолютно непрерывной на U. В следующей теореме устанавливается, что произведение функций ограниченной вариации, принадлежащих некоторому специальному множеству, имеет ограниченную вариацию. Будем говорить, что функция g на Rk (со зна чениями в R1) есть функция Шварца, если она бесконечно дифференцируема и для каждого неотрицательного целочисленного вектора а и любого положительного целого т имеем
sup ||лс |.m i (D'^) (х) | <оо.(А.2.17)
<eRk
Теорема А.2.3 Пусть действительные функции Fx, . • •, Fp на R1 непрерывны справа и периодичны с периодом единица-, каждая функция F, (l^i-^p) дифференцируема на (0, 1) и имеет ограниченную производную. Предположим, что ф — действительная, ограниченная измеримая функция на Rkp и g —функция Шварца на Rk, k^ р. Положим
Хр+1 "а
G(x) = J ... $ ф(Ур+1ук)х
Xg(xx, ...» хр, ур+х, .... y^dyh ... dy^x (А.2.18)
{x = (xtхА) «=/?*],
если k> р, и G = g, если k = p. Тогда функция
F(x) = Fv(xx) ... Fp(xp)G(x) (x^Rk) (А.2.19)
имеет ограниченную вариацию на Rk.
Доказательство Рассмотрим произвольную функцию Но на Rp. Сначала покажем, что
Д"1 ... kpPFx (хх) ... Fp(хр) Но (хх, ..., хр) =
-2JT, (л, -Ч)- ^.-^[^-^«.tolx
X V'-F,, (x,J ... [AV.f ^ (Vj)],(A.2.20)
где х' = (х1,..., Хр), х^ = х^,..., х^ = xi$, х^ = х^ +hj1« • • • ..., x'ip_s = xip_s + hj s и суммирование происходит по всем разбиениям множества {1, 2, .... р} на два непере- секающихся подмножества {tj, .... is|, {Д, .jp_s\, O^s^p; когда одно из этих подмножеств пусто, соответствующий множитель исчезает. Если р = 1, то
khFx (х) UuW^ Fi (х + Л) Но (х + h) — Fx (х — h) Но ^x — h) = = Fi (х — ft) [/70 (х + ft) — Но (х — ft)] +
+ Но (х + ft) [Е, (х + Л) — Л (х — ft)] =
= F, (х — ft) AhHti (х) + Ну (х + ft) khFx (х),
что доказывает (А.2.20) при р=1. Допустим, как индук тивное предположение, что (А.2.20) выполнено при некотором р. Тогда
Д,1 ... A^p+i/i (Xi).../>, (хр<i? Н„ (XiXp+j) =
= Д,1 - - - Д% [ft, (х,)... Fp ^хр) х
X Д^’ (Fp+i (хр+1) Но (Xiх^ 0)] =
= Д^ ... Д% | FT (хО ... Fp (х,,) {Ep+i (Хр+! —
- йр+1) Д^;* Но (Xi, ..., Хр, О +
+ До(Х1, .... хр, хр+1 + йр-и) A p+lFp-n (Xp+i)}] =
= Д*' ... Zfyp! (xi) ... Fp (X,,) И’, (X!хр+1)+
+ Д> - • • Д>Л (xi) - - - Fp (хр) Щ (х„ ..., Хр+1),(А.2.21)
где
Но (xi, ••-, Xp+i) = Ep+i(Xp+i ftp+i) Др^|До(xi, •••, Xp+i), Но (xi, ..., Xp+i) =
= До(Х1, .... Хр, Xp+i-f-ftp+i) Д ₽+1/?р+1 (Xp+i).(А.2.22)
Применяя теперь индуктивное предположение к каждому из двух слагаемых в последнем выражении в (А.2.21) и затем используя (А.2.22), видим, что (А.2.20) остается справедливым при замене р на р +1. Тем самым завершено доказательство (А.2.20) при всех р.
Q*
Обратимся к функции F, задаваемой (А.2.19). Видим, что
А,1 ... ^х+
= А?1 • • • A^Fx (хт) ... Fp (хр) Но (xlt .... хк), (А.2.23) где
Нй(хъ .... х6) = Д^1 ... A^G(xb .... хк). (А.2.24)
Из (А.2.20) вытекает:
л;. ... ^‘Fto-VF,, („ -F.J ...
х|д“'*... Д^ДХ”, it'fiwlx
х^'^М]--^^.**',-.)]- <А2-25)
где x' = (xi, .... хк), х^ = х^, .... x^ = x,s, х^^х^ц, ... .... хк = хь, х^х^+й,,, .... x'ip_s=xip_s-Fhlp_s и сумма берется повеем разбиениям множества (1,2,. ...р} на два непересекающихся подмножества (ii,...,i,), {Д, ...,jp_s), O^s^p. Рассмотрим для простоты слагаемое в правой части (А.2.25), соответствующее ii=l, .... is = s. Тогда из определения (А.2.18) функции G находим
А? ... А>А>Й-.. А>С(х') =
р+1 1р+1к к
=5... 5 Ф(Ур+1Ук)А?‘ ...
...Д^(хгх„ xs^ + hs^Xp + hp,
tl + hjS + /,I Vi + ftp+i
Ур+Ъ • • • > У») ^Ук • • ■ ^Ур+1 = $ • • • $5
xl-hl ^-^ хр+1-%+1
Kk+hh
...$ Ф(.Ур+1» •••, Ук) (^1 ... Dsgjlyxу„ Х5+1 +
хк~ hh
Ч~^$+1» •••» Xp + hp, Ур+i, •••, ур) ^Уь ••• ^УрУк^-Ух • • • ^У1-
(А.2.26)
Предположим, что производная функции Ft на (0, 1) ограничена сверху числом bit и пусть с, обозначает величину
скачка F, в 0 (с, может равняться нулю), 1 i р. Предположим, что ^hj^^/bi, $4- I ^t^y и каждый из интервалов (х$+1 — hs+1, xs+1 + /is+1J (х9 — hq, xq 4- /г,] содержит ровно одну целую точку, а интервалы (х, —п,-, Ху + йу], q 4- 1 ^ / ^ р, не содержат целых точек Здесь q — целое, s 4- 1 q р. Тогда
| Fx (X! -h^.-F, (xs - h^ [ А\.. А> A^j ... А^ (х')] х
XI А^+’^+1 (х$+1)] ... IA Vp (Хр)| | ^
^HtL -1^ (t + ^x)...(+£#) ^^+1 • ■ • ^p^qW • • • ^р
х2Р-«1ф[ооl(OiО^Ху!, у5,
hi<Vi^xt + hi;
i— i,....,. р+ i, . .ft}
Xs+l + ^s+x, •••» Хр + hp, Ур+1, .... у*)|х
xdyk ... dy^ dys ... dyx. ^-^-^
Здесь f ю обозначает супремум J '. Следовательно, сумма левых частей (А.2.27) по произвольному разбиению (xi, ..., х$, Хр+х Хр) — пространства на прямоугольники вида xi — hi < yt Xi 4- hi для i = 1, ..., s, p + 1, ... ..., к ограничена сверху величиной
Fl loo • • • ^s 11 (e4- ^s+l) • ■ • (e + ^ bq+i ... bpX
X hq^ ... hp^-9 ф ^ J (DT ... Dsg) (ylt ...
• •■» У$» ^s+l + ^s+l> •••, Xp +
+ bp, Ур+1, .... УьУЛуь ... dyp+1dys ... dy!^
^c bq+1 ... hp (14-1xj+11*+14-...4-1xpi*+1)-1 (e^ 1), так как g есть функция Шварца. Далее, суммируя последнее выражение по всем попарно непересекающимся интервалам (Xi — hi, х,4"М» описанным перед неравенством (А.2.27), по каждой из переменных с индексом ( = л4-1.--- .... р, находим, что limsup (при ht |0) полученной суммы равен
с- 2 - S S (1+1 ^ы^14--.
ns+l'1q=-coRp-4
.. .+1 Пд |t+1 +1 Xq+1 ,ft+1+l Xp,^1,-1 dxQ+1... dxp <00, (A.2.2S' где каждая сумма берется по множеству всех целых чи сел. Вариация F на Rk дается выражением (А.2.1(1 (с U = Rk') и получается также как предел таких сум.\.
при все более мелком разбиении {// /^ 1} пространства Rk на прямоугольники из «У. Для типичного прямоугольника / значение ри(Л определяется соотношениями (А.2.23) и (А.2.25). В правой части (А.2.25) содержится конечное (ограниченное) число членов и выше показано, что предел суммы абсолютных значений типичного члена при последовательном уменьшении разбиения конечен. При доказательстве мы переходили от исходного разбиения к более мелкому, в котором интервал (х, —ft,, xf +М содержит одну целочисленную точку для определенного множества индексов i и не содержит целочисленных точек для множества индексов, не пересекающегося с первым. Такой вид разбиения был необходим, чтобы учесть возможные скачки функций Ft в целочисленных точках, а
Добавление А.З
Абсолютно непрерывные, сингулярныеи дискретные вероятностные меры
Напомним, что конечная обобщенная мера р на о-поле а® подмножеств множества Q называется абсолютно непрерывной относительно о-конечной меры х (также определенной на &@), если каждое v-нулевое множество является также p-нулевым. Теорема Радона—Никодима утверждает, что в этом случае существует v-интегрируе- мая функция f, называемая производной Радона — Никодима меры р относительно v, такая, что
p(B)=^fdv (Ве^).(А.З. I)
в
Хорошо известна следующая характеризация абсолютной непрерывности.
Теорема А.З. I. Конечная обобщенная мера р (на ^8) абсолютно непрерывна относительно о-конечной меры v (на ^8) тогда и только тогда, когда для каждого положительного е найдется 6 > 0 такое, что | р (В) | < * для любого В (из ^, при котором v(B)<6.
Доказательство см. у Халмоша [I], теорема В
Противоположностью абсолютной непрерывности является сингулярность. Конечная обобщенная мера р сингулярна относительно о-конечной меры х, если существует множество Во е S3 такое, что I р | (Во) = 0, v (Q\B0) = 0. Так называемая теорема Дебега о разложении утверждает.
что если р, — конечная обобщенная мера и v есть о-ко- нечная мера (на а®), то имеет место следующее единственное представление
Р = Р1 + Ц2,(А.3.2)
где мера рх абсолютно непрерывна и р2 сингулярна (обе относительно v).
Обратимся теперь к (обобщенным) мерам на Rk. Пусть р — конечная (обобщенная) мера на Rk. Пусть (А.3.2) соответствует разложению Лебега меры р относительно меры Лебега. Легко видеть, что р2 может быть единственным образом представлена в виде
P-г = Из + Р-4»(А.3.3)
где р4 есть (чисто) дискретная мера и р3 не имеет точечных масс, т. е. существует счетное множество А = {хъ х2, ...} такое, что
IР41 (А) = | Pl I (^*). Рэ ({*}) = ° для всех xeRk.
Меры (обобщенные) р3 и р4 называются соответственно сингулярной и дискретной компонентами р Следовательно, р может быть единственным образом разложена как
р = Р1 + рз + Р4,(А.3.4)
сумма ее абсолютно непрерывной, сингулярной и дискретной компонент Мера (обобщенная) р называется просто абсолютно непрерывной или сингулярной или дискретной, если другие компоненты нулевые. Если р абсолютно непрерывна, то о ее производной Радона — Никодима (относительно меры Лебега) говорят просто, как о ее плотности. Теорема А.З. I и определение абсолютной непрерывности функции на Rk приводят к следующему утверждению: конечная обобщенная мера р на Rk абсолютно непрерывна тогда и только тогда, когда ее функция распределения Fu абсолютно непрерывна.
Пусть Р — вероятностная мера на Rk. Если Р абсолютно непрерывна, то из леммы Римана — Лебега [теорема 4.1 (3)] вытекает, что ее характеристическая функция Р удовлетворяет равенству
lim |P(0l = 0.(А.3.5)
t —
Отсюда следует, что если Р имеет ненулевую абсолютно
непрерывную компоненту, то
Пт Р /) < 1.(А.3.6)
И —со
Если Р дискретна, то Р представляет собой равномерно сходящийся тригонометрический ряд. По фундаментальной теореме Бора (см. Бор [1], с 96) в этом случае
Нт Р.П =1(А.3.7)
t —» со
Для сингулярных вероятностных мер положение немного сложнее. Известно (см Эссеен [1], с 28, 29), что существуют такие сингулярные вероятностные меры Pi, Р2, что
lim Рг(П =0, Пт Р2(/) =1.(А.3.8)
t [| —» оо| i —* оо
Беря выпуклую комбинацию Pi, Р2, можно показать, что для каждого ае[0, 1] найдется сингулярная вероятностная мера Р, для которой
lim PJ), = a.(А.3.9)
|< II—* оо
Добавление АЛ
Формула суммирования Эйлера — Маклоренадля функций нескольких переменных
Пусть / — функция действительного переменного х, заданная на интервале O^x^/i (п —целое) и имеющая непрерывную производную /' Тогда сумма У, / (/) может /=о
быть представлена в виде
2 но-
1=0
- ^Hx)dx+ 2 (f(0) + f(n))+ (х — [х]- *}f'(x)dx, оо
где [х] означает наибольшее целое, не превосходящее х. Это есть простейшая форма формулы суммирования. В этом разделе будет получена общая формула суммирования для функций нескольких переменных. Результаты
этого раздела использовались в § 23 при нахождении асимптотических разложений для функции распределения нормированных сумм независимых решетчатых случайных векторов.
Функции 5/ (/2=0)
Пусть Sj (j = 0, 1, 2, ...) есть последовательность действительных периодических функций на R1 с периодом один, обладающих следующими свойствами:
Для j^O функция Sj дифференцируема во всех нецелочисленных точках и 5,'+i(x) =
= 5/(х) (при всех нецелочисленных х).(А.4.1)
50(х)=1, функция Si непрерывна справа, и 5,- непрерывны при /2=2.
Такая последовательность однозначно определяется указанными выше свойствами и играет фундаментальную роль в формуле суммирования. Для понимания этого запишем 5,(0) = В,//| и отметим, что (1) приводит к соотношениям
Si(x)=x+Bi S2(x) = ха4-В1х4-В2/2!, ...
...,s/(x)=-Lv+^^ + ...+^ = /
= 11Щ^хН (0<х<1, /^1).(А.4.2)
г = 0
Постоянные В/ определяются из свойства (А.4.1). Действительно, 5/(0) = 5,(1) при /2=2, откуда следует, что 1 +(т)61+(4) в«+••• +(т~т)6/-1=0
и = 2, 3, ...).(А.4.3)
Последовательность постоянных Bj рекурсивно определяется из соотношения (А.4.3), тем самым полностью восстанавливается последовательность функций 5/ на интервале 0<х<1. Используя предположение о непрерывности, определяются значения этих функций в целочисленных точках. Числа Bj, получаемые из (А.4.3), называются числами Бернулли и многочлен
*Ш = ^ Br^x-(А.4.4)
г = 0
называется многочленом Бернулли порядка /. Ясно, что Sj(ix) = Bj(x')/i'. для 0^х<1. Поскольку последовательность {(— 1У Sy ( — х):/^ 0} обладает свойствами (А.4.1), заметим, что отсутствует непрерывность справа у (—l)Si( —х), из единственности вытекает, что
S/(-x) = (-iyS,-(x)(А.4.5)
(при всех х, если /^ 1; для нецелых х, если / = I). Таким образом, функции S, либо четны, либо нечетны, в зависимости от того, четно / или нет. В частности,
S/(0) = S///! = 0 для нечетных /, /^3.(А.4.6)
Первые несколько чисел Бернулли следующие:
6о=1, В1= — 1/2,S2=l/6,,. . „.
В3 = 0, В4=—1/30, в6=о.v ’
Таким образом.
Si (х) = х — 1 /2, Se (х) = (х$ — х 4-1 /6)/2,
5зМ = |(х8-|х^ + 4 4 ... (0^х<1) (А'4'8)
S/W =S/W =2 cos (2ллх) (^гту2 cos (2ллх) (^гту( _ l)U-D/i( _ l)U-D/iООV! 2 sin (2ллх)L (^пл)^ n = lООV! 2 sin (2ллх)L (^пл)^ n = lи так далее. Разложение периодических функций S, для нецелых х в ряды Фурье имеют вид
S/W =
S/W =
2 cos (2ллх) (^гту
2 cos (2ллх) (^гту
( _ l)U-D/i
( _ l)U-D/i
ОО
V! 2 sin (2ллх)
L (^пл)^ n = l
ОО
V! 2 sin (2ллх)
L (^пл)^ n = l
/ четно, />0, (А.4.9) / нечетно.
Это можно пояснить следующим образом. Пусть Uj обозначает функцию, представленную рядом Фурье (/^ 1) Непосредственно проверяется, что и4 есть ряд Фурье функции Si и что Uj+y = Uj при /^ 1. Следовательно, Sj — Uj при всех /^2 и Вг (х) = иг (х) для всех нецелочисленных х.
Теорема А. 4.1. Пусть / — действительная функция на R1, имекяцая г непрерывных производных, г 5= 1, и пусть
$ \D’f\dx<_oo R‘$ \D’f\dx<_oo R‘(АЛЛО)(АЛЛО)
$ \D’f\dx<_oo R‘
$ \D’f\dx<_oo R‘
(АЛЛО)
(АЛЛО)
ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА — МАКЛОРЕНА 267 при j^r. Тогда для каждого борелевского множества А
^Hn^dF,,(A.4.1I)
не АА
где
F^ = $ f^dt,
”7(А.4.12)
Fr (х) = £ (- 1У Sy (x) (№ (x) + /=0
H-lp1 J S^ntD^n^dt.
Доказательство. Из определения Fr ясно, что Fr есть функция ограниченной вариации. Далее, поскольку каждая из функций S,- (х) абсолютно непрерывна и имеет непрерывные производные на интервале п<_х<1 Сн+1 при каждом целом п, функция Fr абсолютно непрерывна на /?X\Z. Используя свойство (А.4.1 (1)), легко проверить, что (d/dx) Fr (х) = 0, xeR^XZ, т. е. у обобщенной меры dFr нет массы на /?*\Z. В силу наличия члена — S^F = — SJ, единственного из слагаемых в выражении для Fr, который не является непрерывным, функция Fr имеет скачок величины —S1(n)f(n)4- + Si (п — O)f(n) = f (и) в целочисленной точке п. Это и доказывает (А.4.11). ▲
Переход к функциям на Rk
Пусть S обозначает пространство Шварца на Rk, т. е. feS тогда и только тогда, когда f бесконечно дифференцируема и
sup | хр (D^f) (х)' < оо(А.4.13)
хе Rk
для всех пар неотрицательных целочисленных векторов а, р.
Сначала построим функции на Rk, аналогичные определенным в (А.4.12). Положим
So (х) = SOl (Xj) Sa, (Ха)... Sak IXih(A.4.14)
[a=(ai, ..., a6) есть неотрицательныйцелочисленный вектор, х=(хх, ..., х*)]
и для интегрируемой функции f запишем
F(x) = $ ... $ f(y)dyF(x) = $ ... $ f(y)dy(А.4.15)(А.4.15)V^S. х = (хг,V^S. х = (хг,х„) е Я»].х„) е Я»].
F(x) = $ ... $ f(y)dy
F(x) = $ ... $ f(y)dy
(А.4.15)
(А.4.15)
V^S. х = (хг,
V^S. х = (хг,
х„) е Я»].
х„) е Я»].
Для функции /, которая является функцией Шварца относительно /-й координаты Xj, определим оператор lrj(F) следующим образом:
1г.ДРИх^= $ 8г^фгД'^^ ...
... , х,-1, у/, х1+ъ ..., x^dy =
*i Ч
=5 SAyA^^dy (x^R^,(А.4.16)
где В, = (d/dxi). По теореме Фубини операторы 1Г,, , ... ..., I,., коммутативны, если / есть функция Шварца относительно X; , ... , X: И
ir.il...I,.lp(FHx) =
=Х-ХЛ№"'Srw^■ ■ ■ D'^(у)^’ (А,4‘17)
Из леммы КАА вытекает, что если f есть функция Шварца относительно х$1, ... , х^, х^, ... , xip, то ^...DesAr, Ч...1Г. ip(JW =
= V--LSr^‘"Sr^ip')X
X (oj... D^... D^ (у) dy,(A.4.18)
где множества {sj, ... , s9} и {Д, ... , /р) не пересекаются.
Основными результатами этого добавления являются теоремы А.4.2 и А.4.3.
Теорема А.4.2. Пусть f —функция Шварца на R6 и
-Н-Ц^М^Ю,(A.4.19)-Н-Ц^М^Ю,(A.4.19)Рг^=П {1-Si(x/)D.+ ... +(- irS^x,) Dr + /=»
-Н-Ц^М^Ю,(A.4.19)
-Н-Ц^М^Ю,(A.4.19)
где F определена в (А.4.15). Тогда F, есть корректно определенная функция ограниченной вариации и для произвольного борелевского множества А справедливо равенство
V fW = ^dFr.пеАП26а
В следующей теореме получена оценка ошибки, которая возникает, если разложение функции F, заменяется его частичной суммой.
Теорема А.4.3. Пусть f^S, veRk, h>0 и г — положительное число. Положим
Ar(x)= V ^x^h^S^^yD^xY (А.4.20) ;(«)</
где F определена в (А.4.15), и для произвольного неотрицательного целочисленного вектора a = (at, .... а) введем
/(«)= У («/— 1), /"(«) = 0, если а, <2 для всех /.
а#>2
(А.4.21)
Для каждого m>kfl существует постоянная с {г, т, k) такая, что для всех борелевских множеств А справедлива оценка
5 Ци + ИпХ-^дЦ^
I о + ЛпеАА I
^c-V, rn, k) 5 h'v vm (DV),(A.4.22)
где vm определяется равенством
vm(<p) = sup{(l+||x|l2)m/2|<p(x)|: xeP?V (A.4.23) Остальная часть этого добавления посвящена доказательству двух сформулированных выше теорем.
Доказательство теоремы А.4.2. Сначала покажем, что различные операции, использованные при определении Fr, коммутативны и что Fr есть корректно определенная функция ограниченной вариации. Это мы сделаем с помощью леммы А.4.4. Доказательство теоремы будет продолжено по индукции по к.
Следующая лемма о дифференцировании под знаком интеграла хорошо известна *) и ее доказательство не приводится.
Лемма А.4.4. Пусть ^ — функция на R6, имеющая непрерывные частные произзоднь е всех порядков а = (аь ... ..., ар, 0, ..., 0) при a ^s. Предположим, что существует интегрируемая функция Н на Rk~p, для которой
| (Оаф) (%!xh^\^H ^х№, .... х6)
[х = (хъ .... х^е/?6].
Тогда функция
<р = ^dXpM.-.dx*
имеет непрерывные производные всех порядков а, Ja|^s, относительно переменных х1Л ..., хр и
Da<p = ^Da^dxpVi---dxil ‘
для всех (х>, ..., хр) е Rp.
Запишем
Tr,j= l-S1D,.-V-... + (.-WSrD'i-^-\Y+1Ir.,.(А.4.24)
Тогда Tr-i можно рассматривать как оператор, действующий на функции G,
G^ = $$ g^dy*
где g—интегрируемая функция Шварца относительно переменной Xj. Заметим, что если g е 8, то Tr-j (G) как функция остальных переменных есть неопределенный интеграл от функции Шварца относительно этих переменных. Таким образом, если g е f, то последовательное применение операторов Тг.ц, .... Тг-1 к G имеет смысл.
*₽
Тогда ясно, что Fr = р[ Tr-j (F) есть корректно опре- r=i
деленная функция, не зависящая от порядка применения операторов Тг). По теореме А.2.3 из добавления А.2 она является функцией ограниченной вариации. Кроме того, если s^ {/1, ..., /„}, то
D$Tr.1Tr.,i...Tr.,p<P) = Tr.,Tr.i8...Tr.,DsF.
Доказательство теоремы А.4.2 завершим с помощью индукции по Л. Если х = (хь .... х- 1), то положим #' = (xjxfe), так что х=Цх\ *»+1)- Тогда по индуц-
тивному предположению имеем
2 Г^\ у) = СДх1, у),(А.4.25)
п'<х'
где
G, кх‘, У) = П Тм {G) кх', у} i=i и
G(x', y) = G(x!хк, у) = . J fkz',y)dz*.
—co<z'^*'
Далее,
У, fkni, .... Hjhi)= У У fkn‘. nm) =
- У, h kx\ ne+i),
"jlH-l^'A+l где
W, У) — У, fkn\ y) = Grkx', y) n'^x'
в силу (А.4.25). При каждом х* функция Л(х', у) есть функция Шварца относительно у. Следовательно, по теореме А.4.1 имеем
У hk^t п^^Тг.ц^кНИх', хк+1),
" »+1 ^*6+1 где
*6+1хА+1
Щх', x*+1) = J hkx', y)dy = J Grkx',y^dy =
(
a\ x6+i*
П Tr.A 5 G^x', y)dy=n Tr.,kF)kx).
f= I/-001-1
Таким образом,
S fkn^T^kHHx^FAx),
что доказывает теорему для к +1. Поскольку справедливость теоремы А.4.2 при к=\ вытекает из теоремы А.4.1, доказательство завершено. ▲
Доказательство теоремы А.4.3. Начнем с некоторых приготовлений. Основная проблема заключается в оценке массы ^д dFr — ^д dA.r на различных плоскостях, определяемых тем условием, что некоторые из координат есть целые числа.
Лемма А.4.5. Пусть h>0, и е /?*- Тогда для пг> 1/2 справедливо неравенство
2 [1+(йп + ц)2+а2]-^
^ Cmh-V (1 + а2)-«+1/2 4-2(1+ а2)-"-, где
Ст= ^(1 + x2)-mdx = B^, т-^у.
здесь В (т, и) обозначает стандартную бета-функцию.
Доказательство. Приведенная в формулировке сумма может быть представлена, скажем, в виде
•нп—l)4-v^0^(л+О + и^О iftn + niCh
= S + S + S (А-4-26) I 23 •
Тогда
2^2$ Г1 + (hx + v)2 + a2)-'” dx^
I(л— I)> — o/h п —I
^ $ [1+(йх+У)2 + а2]-”’^х=
—vjh
= /г1 $ (1 + х2 +aaYm dxt
„+.°(А.4.27)
2^ У j [1+ (Ax+y)2+a2]-mdx^
2 Mn+D+o^O п
—v/h
^ $ [1 +(Ax+r)2+a2]-“dx = о
= h^ J (1+x2 + a2)~mdx.
Далее, существует не более двух целых, удовлетворяющих неравенству —1 — v/h < и < 1 — u/h, поэтому
V^2(l+a2)-m.(А.4.28)
з
Лемма А.4.5 вытекает из (А.4.27) и (А.4.28). а
Лемма А.4.6 Предположим, что 0<й<1, ogRp и т>р/2. Тогда
Пр У [1 + II hn + и I2+azYm ^ (ст + 2)р (1 + aV1*1"4,
где сумма берется по -сем целочисленным, векторам п = (щ, ..., пр) в Rp.
Доказательство. Фиксируем а и h. Положим
ipp(u:m)= У [1 +||/in + a||2+a2]-m.
Тогда по лемме А.4.5 имеем
ф1 (и : т) ^ (ст + 2) А—1 (1 + ааУт+1№.
Итак, записывая и = (иТ, .... и^ и и'= (щ, ..., Ур-i), находим
Фр (и : т) ^ (ст + 2) й'^р-т (и': т — 1/2)
и утверждение леммы доказывается индукцией по р. ▲ Лемма А.4.7. Пусть Н (x) = Sl(x^ ... Sl(xs)G(x), где G —функция ограниченной вариации на Rk, непрерывная относительно переменных Xi, ..., xs. Через Н обозначим обобщенную меру с функцией распределения Н. Если Е(пх, .... ns) = {х = (хь ..., хкУ-Х1 = П1, ..., х$ = п$\, то обобщенная мера Н |L (щ, ..., п^ [т. е. сужение обобщенной меры Н на L [(nlf ..., п^)] имеет функцию распределения (—\yG(nu .... ns, Х^х, ..., xfe).
Доказательство. Ограничимся рассмотрением случая s=l. Общий случай доказывается индукцией по s. Предположим, что разностный оператор Д^ определен следующим образом Д^ср (х) = <р (x-\-he^ — <р (х — he/), где е— вектор с нулевыми координатами, кроме /-й, равной 1, й>0. Тогда, если h = (hT, .... /гй), й;>0 для всех i, то
$ dH = ^v ...^(Н^
x—h<y<x
= A>(S1A^... ^G>(А.4.29)
Положив хг = П1 и переходя к пределу при Нх | 0, получим доказываемое утверждение. ▲
Лемма А.4.8. Пусть
Н (X) = St (Xi) ... Si (Хр) Чр! (Хр+1, ..., xq^G (х),
где
*9+1хк
GW= $5 'Му<,+1, ■ • ■» Уь)X
Xg(xixq, yqVb .... yk)dyg^ ... dyk (A.4.30)
и g^S. Предположим, что ipi абсолютно непрерывна no своим переменным и
sup|D^i £>^1^6(1])), supjip2|^c(ip), (A.4.31)
где постоянная c (ip) зависит только от ip = (ipi, ф2) и первый супремум берется по всем р, = 0 или 1, р 4-1 ^/^у и всем хр+х, .... xq. Если Х^. . п ) обозначает абсолютно непрерывную компоненту меры Н\ Ц,пх,..., ns^, то для s^p справедлива оценка
| Ч"4II^ ЬР) S ^ |. D°^ Цгх, ...
..., п$, xs+1х»)|^+1 ... dxk, (А.4.32)
где сумма берется по всем а = (ат, .... ад> таким, что а, = 0 или 1, s + 1 ^ /"^ у.
Доказательство. Если Н^, ... „^ есть функция распределения ЩЬ(Пг, .... ns) для некоторых целых «1,.... ns, то по лемме А.4.7 имеем Н^П1, „j (хт,..., х*)= = (— iy Si (xt+i) ... S, (xp) ip, (xp,i x?) G (Hins, Xs+i, ..., xfe\ Поскольку плотность Х,(П1. .. n ) равна Ds+1... ...DkH^nj, используя (A.4.31), получаем оценку (A.4.32).'A
Пусть vm — полунорма, определяемая (A.4.23) Справедлив следующий результат.
Лемма А.4.9. Предположим, что выполнены предположения леммы А.4.8, и используем те же обозначения, что и в лемме А.4.8. Пусть £(х) = ф(х + Ах), где ugR\ й>0 и ср Е S. Тогда для всех m>k/2 справедлива оценка
hk\H^c(m, к, ф)2Л'“ ут(Оаф), (А.4.33) а
где с(т, к, ip) есть постоянная, зависящая только от своих аргументов, и сумма берется по всем а таким, что ау = 0 или 1 и ау = 0 для j>-q.
Доказательство. Пусть {ДД) с {1, 2, ..., р} и L (Д, .... Д : щп^ = {х е Rk : х^ = nvxi$ = пД при некоторых целых пь ..., п$. Через X (Д,..., Д: щ, ... ..., п$) обозначим абсолютно непрерывную компоненту И | L (ДД: щ, .... п$) относительно меры Лебега на (ft — $)-мерной «плоскости» L. Тогда из определения функции Н вытекает, что
Д = Хо + 55 X(йh-пу..... п,). (А.4.34)
(А- - А) ("1"$)
где Хо —абсолютно непрерывная компонента обобщенной меры Н. Оценим У,ЯX(Д, .... Д:пь .... щ)Ц пред-
("1^)
полагая, что Д = 1,..., Д = s. По лемме А.4.8 эта величина не больше, чем
с(Ф)5 S Ь1»^^ $ 1+2 (йщ + щ)а +
а п^л^pk-» I i=i
+ У (йхг + щ)2| dx^ ... dxk^ i = S-HI
^с(ф)[у А'а ут(Оаф)1 Г $ [1 +
I ОСJ
-Н hx+u ||2]-m+J/2 dxj с' (tn, s) h-® ^
^c(ip)^2^la'vm (Da<p)jc(m, K)h""k;(A.4.35)
здесь использовалась лемма A.4.6. Отсюда следует утверждение леммы А. 4.9. ▲
Теперь все готово для доказательства теоремы А.4.3. Пусть
w(x) = f(u-\-hx\(А.4.36)
Тогда
W (х) = J оу (у) dy = h^F (и + йх). (А.4.37) — со<у <*
По теореме А.4.2 имеем
V f^u+hn)= $d«7,(x),(А.4.38)
р + бд^АV-J-AX&4
где
Wr = П Тм^\(А. 4.39)
/ = |
Если теперь формально разложить это произведение, то Wr представляется как сумма членов вида
± ST1 (хО1)... ST,(xoJ ^... D^lr ,... Ir jp (U7),(А.4.40)
где {otо,, /!, .... /р} есть перестановка {1, 2,.... ft} и у, = 0, I или больше, чем I. Получим оценку вариационной нормы обобщенной меры, функция распределения которой задается (А.4.40). С этой целью перепишем функцию (А.4.40) в виде
±Si(хку.. Si (xfto) SBi (xmJ...S^ (xmJ G (x), (A.4.41) где
p,^2, 1^/^s, и
xh хч xh X/P G(x)= $ ... $ $ ... $ SAX,,).,.
— 00— 00 —oo —oo
...S^Xj^g^dx^ ...dx'lp,(A.4.42)
где
(x')o = Ха для всех a e {ib ..., iz, h, ..., /p}
и
(x')„=xa для всех остальных индексов a.
Обозначая
lPI = Pi+...+ P„
определяем функцию g следующим образом:
= hP^\РI-(оу1 ... D^-'D\v.. D'^ (и + hx^ (хеR^.
1*(А.4.43)
Здесь {1Ъ .... it, ку, .... kq, mv ..., ms, ]\, ..., jp} есть перестановка {1, 2, ... к^. Поскольку S, (/^2) и ее производная ограничены, применяем лемму А.4.9 к функции (А.4.41) и получаем, что вариация этой функции не превосходит
с (г, т, к) h~k+pr+6-s ^ha vm (jPDm™1 ...Dj^, (A.4.44)
где сумма берется по всем а таким, что а, = 0 или 1 и «,- = 0, если j ^ \къ ..., kq, mYт^}. Имеем
I al ^p + s, и если
^ = 0^1-' ... D^-'D'i ... Dr, ,ms*P
TO
1т1 = 1а' + 1₽1 —s+pr^|₽|+?+pr^^r.
Если p > 0, to | Y | ^ г.
(A. 4.45)(A. 4.45)Пусть w^wi+wz+w;", где
(A. 4.45)
(A. 4.45)
(A.4.46)(A.4.46)^;w= 2 (-l)i“'Sa(x)(D“U7)(x), lto<r
(A.4.46)
(A.4.46)
w;^= 2 (-i)“isa(x)(D»u7)(x)
>«x»r
и W'r" определяется из равенства (A.4.45). Тогда W7’ есть сумма членов вида (А.4.41), где р>0. Таким образом, вариация W7’ не превосходит
h~kc(r, т, к) У h'^'Vm (D^f).(А.4.47)
Г < | V I < кг
Теперь рассмотрим W”. Если общий член суммы W, записать в виде (А.4.41), то имеем
р^О, /(a) = lp|-s^r.
Тогда из (А.4.44) вытекает, что
hkl W,\^cV, tn, k) 2 h-v'vm^h, (A.4.48) f^IVKAr
где || W' Ц есть вариационная мера обобщенной меры с функцией распределения Wr. Наконец, легко проверить, что h-kKAx^ = W'r^^-y(А.4.49)
поэтому
5 dw^h-6 \d\„(А.4.50)
о + ЛхЕ АА
Утверждение теоремы вытекает из (А.4.45) — (А.4.50). ▲
Бар (Bahr В. von)
On the convergence of moments in the central limit theorem.—Ann. Math. Stat., 1965, 36, p. 808—818.
On the central limit theorem in Rk.— Ark. Mat., 1967, 7, p. 61 —69.
Multi-dimensional integral limit theorems. — Ark. Mat., 1967, 7, p. 71—88.
Бхаттачария (Bhattacharya R. N.)
Berry —Esseen bounds for the multi-dimensional central limit theorem.—Ph. D. Dissertation, University of Chicago, 1967.
Berry —Essen bounds for the multi-dimensional central limit theorem.—Bull. Am. Math. Soc., 1968, 75, p. 285 — 287.
Rates of weak convergence for the multi-dimensional central limit theorems.—Theory Probab. Appl., 1970, 15, p. 68—86.
Rates of weak convergence and asymptotic expansions for classicai central limit theorems. — Ann. Math. Stat., 1971, 42, p. 241—259.
Recent resuits on refinements of the central limit theorem. — Proceedings of the Sixth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. Vol. II, University of California Press, 1972, p. 453 — 484.
Speed of convergence of the n-fold convolution of a probability measure on a compact group.— Z. Wahrscheinlichkeitstheor. Verw. Geb., 1972, 23, p. 1 — 10.
On errors of normal approximation. — Ann. Probab., 1975, 3, p. 815 — 828.
Бек (Beek P. Van)
An application of the Fourier method to the problem of sharpening the Berry—Esseen inequality. —Z. Wahrscheinlichkeitstheor, Verw. Geb., 1972, 23, p. 187 — 197.
Бергстрём (Bergstrom H.)
On the central limit theorem in the space Rfe, /?> 1, —Skand. Ak- tuaritidskr., 1949, 33, p. 37 — 62.
On the central limit theorem in the case of not equally distributed random variables.— Skand. Aktuarietidskr., 1949,33, p. 37 — 62.
On the central limit theorem in Rk. — Z. Wahrscheinlichkeitstheor. Verw. Geb , 1969, 14, p. 113-126.
Бернштейн С. H. (Bernstein S.)
Sur 1’extension du theoreme limite du calcul des probabilit6s aux sommes de quantit6s d6pendantes. — Math. Ann., 1927, 97, p. 1—52.
Берри (Berry A. C.)
The accuracy of the Gaussian approximation to the sum of independent variates.—Trans. Am. Math. Soc., 1941, 48, p. 122—136.
Бикель (Bickel Р. J.)
Edgeworth expansions in nonparametric statistics.—Ann. Stat 1974, 2, p. 1-20
Б и к я л и с А.
Об уточнении остаточного члена в многомерной центральной, предельной теореме.—Лит. матем. сб., 1964, 4, № 2, с. 153—158.
Оценки остаточного члена в центральной предельной теореме. — Лит. матем. сб., 1966, 6, № 3, с. 323 — 346.
О многомерных характеристических функциях.—Лит. матем. сб. 1968, 8, № 1, с. 21-39.
Асимптотические разложения для плотностей и распределений сумм независимых одинаково распределенных случайных векторов.—Лит. матем. сб., 1968, 8, № 3, с. 405 — 421.
Асимптотические разложеиня для распределений сумм независи мых одинаково распределенных решетчатых случайных векто ров.—Теория вероятн. и ее прим., 1969, 14, № 3, с. 499 — 507.
О центральной предельной теореме в Rfe; I, II.—Лит матем. сб. 1971, 11, № 1, с. 27 — 58; 1972, 12, № 1, с. 53 — 84.
Биллингсли (Billingsley Р.)
Сходимость вероятностных мер. — М., Наука, 1977.
Биллингсли, Т оп сё (Billingsley Р., Topse F.)
Uniformity in weak convergence. — Z. Wahrscheinlichkeitstheor. Verw. Geb., 1967, 7, p. 1 —16.
Бор (Bohr H.)
Почти периодические функции. — M.—Л.: ОНТИ, 1934.
Бриллинджер (Brillinger D.)
A note on the rate of convergence of a mean. — Biometrika, 1962, 49, p. 574 — 576.
Винер (Wiener N.)
Интеграл Фурье и некоторые его приложения.—М.: Физматгиз, 1963.
Гнеденко Б. В.
О локальной предельной теореме для предельных устойчивых распределений.—У кр. матем. ж., 1949, 1, № 4, с. 3—15.
Гнеденко Б В., Колмогоров А. Н.
Предельные распределения для сумм независимых случайных величин.— М.—Л.: Гостехиздат. 1949.
Дадли (Dudley R. М.)
Convergence of Baire measure.—Stud. Math., 1966, 27, p. 251 — 268.
Distances of probability measures and random variables.—Ann. Math. Stat., 1968, 39. p. 1563—1572.
Дуб (Doob J. L.)
Вероятностные процессы. —M.: ИЛ, 1956.
Дьедонне (Dieudonne J.)
Основы современного анализа. — М.: ИЛ, 1964.
Золотарев В. М.
О близости распределений двух сумм независимых случайных величин.—Теория верояти. и ее прим., 1965, 10, № 3, с. 519—526.
A sharpening of the inequality of Berry —Essen.—Z. Wahrscheinlichkeitstheor. und Verw. Geb. 1967, 8, p. 32 — 42.
Ибрагимов И. A.
О точности аппроксимации функций распределения сумм независимых величин нормальным распределением. — Теория вероятн. и ее прим., 1966, 11, № 4, с. 632 — 655
Ибрагимов И. А., Линник Ю. В.
Независимые и стационарно связанные величины. —М.: Наука, 1965. Иглстон (Eggleston Н. G.)
Convexity.—Cambridge- Cambridge University Press, 1958.
4 н г э м (Ingham A. E.)
A note on Fourier transforms.—J. Lond. Math. Soc.. 1934, 9, p. 29 — 32.
Кацнельсон (Katznelson Y.)
An Introduction to Harmonic Analysis. — New York: Wiley, 1968.
< p а м e p (Cramer H.)
On the composition ol elementary errors.—Skand. Aktuarietidskr., 1928, 11 p. 13 — 74, 141-180.
|2] Sur un nouveau theoreme-limite de la theorie des probabilites. — Act. Sci. Ind., 1938 736
Случайные величины и распределения вероятностей. — М.: ИЛ, 1947.
] Математические методы статистики. — М.: Мир, 1975.
Лаплас (Laplace Р. S.),
Theorie Analytique de-- Probabilites, 1st ed. 1812.
Лев и (Levy P.)
[1J Calcu del Probabilites.—Paris, 1925.
Линдеберг (Lindeberg J. W.)
Eine neue herleitung des exponential gesetzes in der Wahrschein- lichkeitsrechnung. — Math. Z., 1922, 15, S. 211—225.
Л о э в (Loeve M.)
Теория вероятностей.—M.: ИЛ, 1962.
Ляпунов А. М.
Sur une proposition de la theorie des probabilities.—Bull. Acad. Imp. Sci St. Petersb., 1900, 13 (5), p. 359— 386.
Nouvelle forme du th6oreme sur la limite de ргоЬаЬПИё. — Mem. Acad. Sci St. Petersb., 1901, 12 (8).
Марков A. A.
Закон больших чисел и метод наименьших квадратов. Изв. физ. мат. общества Казан, унив. 1898, 8, № 2, с. ПО—128.
Маттес (Mathes Т. К.)
The multivariate central limit theorem for regular convex sets. — Ann. Probab., 1975, 3, p 503 — 515
M у а в p ( Moivre A.)
Miscellana Analytica Suppiementum.—London, 1730.
Нагаев С B.
[1| Некоторые предельные георемы для больших уклонений. — Теория вероятн. и ее прим.. 1965, 10, № 2, с. 231—254.
Осипов Л. В.
[ 1 ] Об асимптотических разложениях функции распределения сумм случайных величин с неравномерными оценками остаточного члена. — Вестник Ленинград, унив., 1972, № 1, с. 51—59.
Осипов Л. В., Петров В. В.
Об оценке остаточного члена в центральной предельной теореме.— Теория вероятн. и ее прим., 1967, 12, № 2, с. 322—329.
Партасарати (Parthasarathy К. R.)
Probability measures on metric spaces.—New York Academic Press, 1967.
Паулаускас В.
Л] О многомерной центральной предельной теореме.—Лит. магем. сб„ 1970, |0, J* 4, с. 783 -789.
Петров В. В.
|1] О локальных предельных теоремах для сумм независимых случайных величии. — Теория вероятн. и ее прим.. 1964, 9, № 2. с. 343—352.
Суммы независимых случайных величин. — М.: Наука, 1972.
Пэли, Винер (Paley R. Е А. С., Wiener N.)
Преобразование Фурье в комплексной области. — М.: Наука, 1964. Рао (Rao Ranga R.)
Some problems in probability theory.—D. Phil., Thesis, Calcutta University, 1960.
On the central limit theorem in Rk.— Bull. Am. Math. Soc., 1961 67, p. 359—361.
Relations between weak and uniform convergence of measures with applications.— Ann. Math. Stat., 1962, 33, p. 659— 680.
Pao, Варадарайан (Rao R. Ranga, Varadarajan V. S.)
A limit theorem for densities. — Sankhya, 1960, 22, p. 261 — 266.
P ота p ь В- И.
Неравномерная оценка скорости сходимости в многомерной цент ральной предельной теореме. — Теория вероятн. и ее прим., 1970, 15, № 4, с. 647 — 665.
Сазонов В. В.
On the multi-dimensional central limit theorem.—Sankhya. 1968, Ser. A 30, p. 181—204.
On a bound for the rate of convergence in the multidimensional central limit theorem. — Proceedings of the Sixth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability; Vol. 11. University of California Press, 1972, p. 563—581.
Стейн, Вейс (Stein E. M., Weiss G.)
Введение в гармонический аиалнз на евклидовых пространствах. — М.: Мир, 1974.
Такано (Takano К.)
Multidimensional central limit criterion in the case of bounded variances.—Ann. Inst. Stat. Math., Tokyo 1956, 7, p. 81—93.
T о п с ё (Topse F.)
On the Gilvenko—Cantelli theorem.—Z. Wahrscheinlichkeitstheor. Verw. Geb., 1969, 14, p. 239—250
Уоллес (Wallace D. L.)
fl] Asymptotic approximations to distributions. — Ann. Math. Stat. 1958, 29, p 635 — 654.
Успенский Я. В. (Uspensky J. V.)
Introduction to Mathematical Probability. — New York: McGraw- Hill, 1937.
Федерер (Federer H.)
Geometric Measure Theory.—Die Grundlehren der Mathematischen Wissenshaften, Vol. 153. — New York: Springer, 1969.
Феллер (Feller W.)
Ober den zentralen grenzweHsatz der wahrscheinlichkeitsrechnung.— Math. Z„ 1935, 40, S. 521—559.
On the Berry—Essen theorem.—Z. Wahrscheinlichkeitstheor. Verw. Geb., 1968, 10, p. 261—268.
Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 2.—М.: Мир, 1967.
X а л м о iu (Halmos Р.)
Теория меры.—М,: ИЛ, 1953,.
Харди (Hardy G. Н.)
[1| Курс чистой математики.—М.. ИЛ, 1949.
Харди, Литтлвуд, Полна (Hardy G. Н.. Littlewood J. Е., Polya G.)
[1J Неравенства —М.: ИЛ. 1948.
Хей де (Heyde С. С.)
On the influence of moments on the rate cl convergence to the normal distribution.—Z Wahrscheinl ichkeitstheor Verw. Geb., 1967 , 8, p. 12- 18.
X и н ч и н А Я.
Begrundung det normal korrelat ion nach der Lindebergschen methode.— Izv As«oc. Inst. Mosk. Univ. 1928, 1, p. 37 — 45.
Асимптотические законы теории вероятностен.—М.: ОНТИ, 1936.
Математические основания статистической механики. — М.: Гос- техиздат, 1943
Ц а л ь (Zahl S.)
[1| Bounds for the central unit theorem error.—SIAM Appl. Math., 1966. 14. p. 1225—1246.
Чебышев П Л.
[1] Sur deux theoremes relatifs aux probabilities. — Acta Math., 1890, 14, p. 305 — 315.
Чжун (Chung K. L.)
[1] A Course in Probability Theory, 2nd ed. — New York: Academic Press, 1974.
Шеф-" e (Scheffe H.)
[1] A useful convergence theorem for probability distributions. — Ann. Math. S.at., 1947, 18, p 434 — 438.
Эгнью (Agnew R. P.)
[1| Global versions of the central limit theorem. — Proc. Natl. Acad. Sci., 1954, 40, p. 800 — 804.
Эджеворт (Edgeworth F. Y.)
[1] The law of error.—Proc. Camb. Philos. Soc., 1905, 20, p. 36 — 65. Эссеен (Esseen C. G.)
[1] Fourier analysis of distribution functions. A mathematical study of the Laplace—Gaussian law. — Acta Math.. 1945, 77 p. 1 —125.
[2] A moment inequality with an application to the central limit theorem.— Skand. Aktuarietidskr., 1956 3, 4 p. 160—170.
[3| On mean central theorems.—Trans. R. Inst. Technol. Stockh.. 1958, 121, p. 1—30.
Я p н о л ь д (Yarnold J. K.)
[1] Asymptotic approximations foi the probability that a sum of lattice randori vectors lies in a convex set. — Ann. Math. Stat., 1972, 43, p. 1566- 1580,
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Асимптотически наилучшая постоянная в теореме Берри — Эссеена 121
Асимптотические разложения в решетчатом случае 239
— — для плотностей 200, 202
Замкнутое полупространство 33
Индикатор множества 17
Индуцированная обобщенная мера 56
Базис подгрупп 232
Бернулли многочлены 265
— числа 264
Берри — Эссеена |еорема 116
Борелевское о-поле на метрическом пространстве 14
Вариация конечной обобщенной меры, положительная, отрицательная, полная 14
— функции на множестве 254
Вектор единичный 33
— случайный 251
, усеченный 131
Выпуклая оболочка множества 37
Гёльдера неравенство, обобщенное 61
Гиперплоскость 33
— опорная 33
Граница множества 17
Грань многогранника 38
Дискретная подгруппа 231
Дисперсия 251
Жордана — Хана разложение 14
Ковариационная матрица 252
— —, средняя 72
Ковариация 251
Колебание функции на множестве 20
Колмогорова расстояние 36
Коши оценка 82
— формула 41
Крамера условие 214
Крамера — Леви теорема 57
Крамера — Эджеворта многочлены 65
Кумулянт порядка v 59, 60
Лебега мера 40
Линдеберга центральная предельная теорема, многомерное обобщение 190
Липшица ограниченное расстояние 30
Логарифм, главная ветвь 58
Локальная предельная теорема для плотностей 196
, равномерная 196
Ляпунова центральная предельная теорема, многомерное обобщение 191
Ляпуновская дробь 72
Математическое ожидание 251
Мера абсолютно непрерывная 261 262
— вырожденная 24
— дискретная 262
— Лебега 40
— симметричная 55
— сингулярная 261, 262
Многогранник 38
Множество выпуклое 33
— Q-непрерывное 17
Момент абсолютный порядка v 57, 60
— порядка v 57, 60
Независимость случайных векторов 252
Норма в С* 53
— в Lp (R^ 52
— вариационная конечной обобщенной меры 15
— матрицы 134
Нормальная плотность 63
Нормальное распределение 63
— —, стандартное 64
Носитель меры 15
Парсеваля равенство 57
Период 235
Планшереля теорема 54
Плотность меры 55, 262
Площадь поверхности 40, 41
Поверхностный интеграл 41
Полна теорема 36
Пространство вероятностей 251
— с мерой 251
Прохорова расстояние 18
Равномерный класс множеств 19
функций 18
Радона — Никодима производная 261
Разностные операторы 253
Ранг подгруппы 232
Распределение вырожденное 234
— нормальное 63
— равномерное 96
— решетчатое 234
— случайного вектора 252
— строго нерешетчатое 214
— треугольное 96
Решетка 232
— минимальная 234
— периодов 236
Решетчатая точечная проблема 250
Решетчатый случайный вектор 233
Римана — Лебега лемма 54
Свертка (композиция) конечных обобщенных мер 55, 56
функций 55
Семиинвариант 61
Скалярное произведение в С* 53
в I? (Rk) 53
Слабая сходимость 15
— топология 15
Случайная величина 251
Среднее случайного вектора 251
Средний модуль колебания функции 109
Стандартная нормировка 167
Теорема единственности для преобразования Фурье — Стилтьеса 56
Формула обращения в решетчатом случае 238
Фундаментальная область решетки 237
Функция абсолютно непрерывная 255
— калибровочная 42
— колебания 16
— ограниченной вариации 254
— распределения меры 67 , 252
случайного вектора 253
— симметричная 53
— ^-непрерывная 16
Фурье преобразование 53
Фурье теорема об обращении 54
Фурье — Стилтьеса преобразование 55
Характеристическая функция меры 55
Хаусдорфа расстояние 32
Центральная предельная теорема в среднем 178
глобальная 178
классическая 192
многомерная 189—191
Чебышева неравенство одностороннее 115
Шварца пространство 266
— функция 257
Шеффе теорема 19
Эйлера — Маклорена формула суммирования в многомерном случае 267
— — — — в одномерном случае 266
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
ГОТОВИТСЯ К ПЕЧАТИ:
Скороход А. В.
Стохастические уравнения для сложных систем.
В книге исследуются стохастические системы, описываемые марковскими процессами в сложных фазовых пространствах: пространствах неограниченно возрастающей размерности или бесконечномерных, пространствах, не обладающих локальной евклидовостью. В частности, рассматриваются квазндиф- фузионные процессы в локально компактных пространствах, диффузия в многообразиях с краем, с ветвлением, со стыком компонент различной размерности. Кроме того, изучается предельное поведение системы случайно взаимодействующих частиц при нео|раниченном возрастании их числа, устанавливается существование предельного распределения для нормирования числа частиц в областях, а также строится диффузионная аппроксимация для движения отдельных частиц.
Для специалистов в области теории вероятностей и ее приложений Она может представлять интерес для лиц, использующих вероятностные методы в механике, статистической механике, физике и технике.
Р. Н. Бхаттачария
Р. Ранга Рао
Аппроксимация нормальным распределениеми асимптотические разложения
428G289
Редактор В. В. АбгарянТехнический редактор Л. В. ЛихачеваКорректоры Г. В. Подволъская, А. Л. Ипатова
ИБ № 11319
Сдано в набор 17.04.82. Подписано к печати 25.08.82. Формат 84Х1081/з2. Бумага тип. № 1. Литературная гарнитура. Высокая печать. Условн. печ, л. 15,12. Уч.-изд. л 17,03. Тираж 4800 экз. Заказ № 397. Цена 2 руб.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы117071. Москва. В-71. Ленинский проспект. 15.
Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское производственнотехническое объединение «Печатный Двор» имени А. М. Горького Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 197136, Ленинград, П-136, Чкаловский пр., 15.
Отпечатано в тип. № 2 изд-во «Наука». Москва, Шубииский пер., 10 Зак. 2101.
2*
Р. Н. БХАТТАЧАРИЯР. РАНГА РАОР. Н. БХАТТАЧАРИЯР. РАНГА РАОL3
Р. Н. БХАТТАЧАРИЯ
Р. РАНГА РАО
Р. Н. БХАТТАЧАРИЯ
Р. РАНГА РАО
5FS0
АППРОКСИМАЦИЯНОРМАЛЬНЫМ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕМИ
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ
РАЗЛОЖЕНИЯ
Перевод с английского В. В. УЛЬЯНОВА, Ill. К. ФОРМАНОВА
Под редакцией В. В. САЗОНОВА
МОСКВА«НАУКА»ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ1982
22. 171Б. 94УДК 519.222. 171Б. 94УДК 519.2TO GOURI AND SHANTHATO GOURI AND SHANTHANormal Approximationand Asymptotic Expansions
22. 171
Б. 94
УДК 519.2
22. 171
Б. 94
УДК 519.2
TO GOURI AND SHANTHA
TO GOURI AND SHANTHA
R. N. Bhattacharya,R. Ranga Rao
John Wiley 8 Sons,New York. London,Sydney, Toronto
Бхаттачария P. H., P. Ранга Pao Аппроксимация нормальным распределением и асимптотические разложения. Пер. с англ. /Под ред. В. В. Сазонова — М.: Наука, Главная редакция фишко-математической литературы, 1982.
Монография посвящена построению оценок скорости сходимости < центральной предельной теореме в R* Большинство приводимых результатов получены в последние годы главным образом в СССР, США и Швеции.
Л9 о Ail- 6G
Copyright © 1976 by John Wiley & Sons, Inc. All Rights Reserved. Authorized translation fium English language edition published by John Wiley & Suns. Inc.
ББ1702060000—127053(02)-821702060000—127053(02)-8225 8225 82£ Перевод на русский язык Издательство «Наукв», Главная редакция физико-математической Литературы, t98^£ Перевод на русский язык Издательство «Наукв», Главная редакция физико-математической Литературы, t98^
Б
Б
1702060000—127
053(02)-82
1702060000—127
053(02)-82
25 82
25 82
£ Перевод на русский язык Издательство «Наукв», Главная редакция физико-математической Литературы, t98^
£ Перевод на русский язык Издательство «Наукв», Главная редакция физико-математической Литературы, t98^
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие титульного редактора 5
Предисловие. 7
Список обозначений ... .9
Глава I Слабая сходимость вероятностных мер и классы
равномерности 13
Слабая сходимость 14
Классы равномерности 18
Неравенства для интегралов по слоям выпуклых множеств 37
Примечания 51
5252Глава 2. Преобразования Фурье и разложения характеристических функций
52
52
Преобразование Фурье 52
Преобразование Фурье—Стилтьеса 55
Моменты, кумулянты и нормальное распределение 57
Многочлены Р$ и обобщенные меры Р$ 64
Аппроксимация характеристических функций норми
рованных суммнезависимых случайных векторов . .70
Асимптотические разложения производных характеристическихфункций 81
Класс ядер 96
Примечания 101
Глава 3. Границы погрешностей нормальной аппроксимации 102
Неравенства сглаживания . .Теорема Берри—ЭссеенаОценки скорости сходимости,лриг.условии существования конечных четвертых Моментов ^Усечения -^Основные теоремы .. . — ....'<Нормировка.Некоторые примененияОценки скорости сходимости при условии существования конечных вторых моментов .Примечания .. .... . .Неравенства сглаживания . .Теорема Берри—ЭссеенаОценки скорости сходимости,лриг.условии существования конечных четвертых Моментов ^Усечения -^Основные теоремы .. . — ....'<Нормировка.Некоторые примененияОценки скорости сходимости при условии существования конечных вторых моментов .Примечания .. .... . .104III104III122131151167171122131151167171186192186192
Неравенства сглаживания . .
Теорема Берри—Эссеена
Оценки скорости сходимости,лриг.условии существования конечных четвертых Моментов ^
Усечения -^
Основные теоремы .. . — ....'<
Нормировка.
Некоторые применения
Оценки скорости сходимости при условии существования конечных вторых моментов .
Примечания .. .... . .
Неравенства сглаживания . .
Теорема Берри—Эссеена
Оценки скорости сходимости,лриг.условии существования конечных четвертых Моментов ^
Усечения -^
Основные теоремы .. . — ....'<
Нормировка.
Некоторые применения
Оценки скорости сходимости при условии существования конечных вторых моментов .
Примечания .. .... . .
104
III
104
III
122
131
151
167
171
122
131
151
167
171
186
192
186
192
Глава 4. Асимптотические разложения. Нерешетчатые рас пределения . . .
195195196196§ 19. Локальные предельные теоремы и асимптотические разложения для плотностей
195
195
196
196
Асимптотические разложения при выполнении условия Крамера 214
Примечания 228
Глава 5. Асимптотические разложения. Решетчатые распределения 230
Решетчатые распределения 231
Локальные разложения 238
Асимптотические разложения функций распределения 245
Примечания 249
Добавление АЛ. Случайные векторы и независимость 252
Добавление А.2. Функции ограниченной вариации и функции распределения 253
Добавление А.З. Абсолютно непрерывные, сингулярные и дискретные вероятностные меры 262
Добавление А.4. Формула суммирования Эйлера — Маклорена для функций нескольких переменных 264
Литература 279
Настоящая монография посвящена уточнению центральной предельной теоремы в конечномерном евклидовом пространстве Rfe. Именно, пусть Рп — распределение нормированной суммы п-ш ^(Xj — a} независимых и (для [1
простоты) одинаково распределенных /?*-значных случайных величин Xf с математическим ожиданием ЕХ} = а, a Q — нормальное распределение в Rk с нулевым средним и теми же вторыми моментами, что у X!. Тогда, согласно центральной предельной теореме, при выполнении условия Е | Xt |2 <оо для широкого класса функций / величина
\Kx^Pn-QHdx^Rk\Kx^Pn-QHdx^Rk(*)(*)
\Kx^Pn-QHdx^
Rk
\Kx^Pn-QHdx^
Rk
(*)
(*)
стремится к нулю при л-»-оо. В монографии строятся оценки сверху абсолютного значения величины (*). Кроме этого, изучается многомерный аналог асимптотического разложения Чебышева
Pn = Q+Qin
(и его локальные и интегральные варианты), где Qr, г ^ 1, —обобщенные меры с плотностями q„ представляющими собой произведения плотности q распределения Q на некоторые полиномы с коэффициентами, зависящими лишь от конечного числа п(г) кумулянтов величины Х^ Соответствующие одномерные результаты (по крайней мере, когда /(х)=1 при х^у и /(х) = 0 при х>у для некоторого у) известны довольно давно — несколько десятилетий. Излагаемые в монографии многомерные результаты — продукт исследований последних примерно пятнадцати-двадцати лет, в которых сами авторы принимали активное участие. Следует отметить, что техника доказа-
тельств в многомерном и одномерном случае существенно различна и потребовалось немало лет, чтобы получить правильные многомерные обобщения одномерных результатов. Кроме того, оценки величины (*) с произвольной ограниченной (или не слишком быстро растущей на бесконечности неограниченной) борелевской функцией / даже в одномерном случае существенно общее классических. Для доказательств авторы используют исключительно метод характеристических функций, и другие, применяемые в этой области методы (более предпочтительные в ряде отношений), такие как метод композиций и операторный метод, остались за рамками книги.
Это —первая монография по данному предмету, основной ее материал раньше публиковался лишь в журнальных статьях, часто —без подробных доказательств.
Книга представляет большой интерес для научных работников, аспирантов и студентов старших курсов, занимающихся теорией вероятностей, математической статистикой или применяющих в своей работе методы этих наук.
В. Сазонов
Настоящая монография содержит унифицированное изложение различных уточнений классической центральной предельной теоремы для независимых случайных векторов с учетом результатов новейших исследований. Большинство относящихся сюда многомерных результатов получены лишь недавно, и существенный прогресс, имевший здесь место за последние 15 лет, позволил по-новому обозреть эту область. Все возрастающие запросы приложений (например, теории больших выборок в статистике) оправдывают достигнутую нами степень общности. К счастью, нам удается параллельно добиваться как точности, так и общности излагаемых результатов.
За исключением некоторого материала, который большинство аспирантов, специализирующихся в теории вероятностей и математической статистики, изучают в течение первого года, настоящая книга содержит все предварительные сведения, необходимые для ее понимания. Нам не удалось избежать включения в книгу довольно многих длинных выкладок. Мы надеемся, что эти выкладки, с одной стороны, облегчат читателю проверку справедливости того или иного результата, а с другой стороны, будут полезны при оценках постоянных, входящих в различные, приводимые в книге границы погрешностей..Для облегчения понимания каждая глава начинается с краткого описания природы рассматриваемой проблемы и наметки пути ее решения. В конце каждой главы помещены замечания, содержащие исторические сведения, ссылки и, иногда, дополнительные факты. Завершается книга добавлениями, посвященными, частично, некоторым элементарным вероятностным понятиям и, частично, некоторым, используемым нами вспомогательным фактам.
При написании книги нам пришлось оставить в стороне многие темы, тесно связанные с ее основным содержанием (не говоря уже о приложениях). Такими темами
являются, например, «большие уклонения», распространение излагаемых результатов на зависимый случай, скорость сходимости в принципе инвариантности. Для достаточно подробного освещения указанных тем потребовалась бы еще одна книга такого же объема.
Пользуясь случаем, мы хотим поблагодарить профессоров Рагху Рай Бахадур и Патрика Биллингсли за поддержку в написании угой книги и за их советы. Особенно мы в долгу у профессора Биллингсли за многие его критические замечания, предложения и прочую помощь. Мы признательны профессору Джону Л. Денни за благожелательное рецензирование рукописи и указание ряда ошибок в ней Мы с благодарностью хотим отметить частичную поддержку National Science Foundation (Grant. No. MPS. 75—07549).
Наконец, мы искренне признательны мисс Канде Кунзе и миссис Саре Оордт за прекрасную перепечатку рукописи.
Тусон, АризонаУрбана Иллинойс август 1975Тусон, АризонаУрбана Иллинойс август 1975Р Н Бхаттачария Р. Ранга Рао
Тусон, Аризона
Урбана Иллинойс август 1975
Тусон, Аризона
Урбана Иллинойс август 1975
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
Д\В множество всех элементов Д, не принадлежащих 5: (1.4)
А+у {х+У- хе Д): (5.5)
Де множество всех точек, расстояние от которых до А меньше е: (I 17)
Д-е множество всех х таких, что открытый шар радиуса в с центром в х содержится в Д: (2.38)
ет? класс борелевскнх множеств
<2^* (d : ц) специальные классы борелевскнх множеств:
^a(d:®0 v) (17-3). (17.52)
«п (14.64)
а, Р как правило, неотрицательные векторы с целочисленными координатами; иногда положительные числа
I а1 сумма координат неотрицательного Целочисленного вектора
В борелевское множество
В, Вп положительные квадратные корни из матриц, обратных к V, Vn: (9.7), (19.28)
В(х:е) открытый шар радиуса е с центром в х: (1.10)
с®* борелевское о-поле на R6
С) (Д) замыкание множества А
5g класс всех выпуклых борелевскнх подмножеств на R*
с (В) выпуклая оболочка множества В: § 3
cov(X, Y) ковариация случайных величин X, V: (А. 1.5)
Cov (X) матрица коварнацнй координат случайного вектора X: добавление А. 1
D среднее арифметическое ковариационных матриц центрированных усеченных случайных векторов ZtZ„: (14.5)
Da производная порядка а: (4.3)
Д (0, дД) евклидово расстояние между началом координат и ЗД: § 17
do(Gb G2) (17.50)
dp метрика Прохорова: (1.16)
dBL ограниченная метрика Лнпшнца: (2.51)
d (Р, Ф) (12.47)
Det V, Det D определитель матрицы V или D
det L абсолютное значение определителя матрицы, составленной из базисных векторов решетки L: (21.20)
Д (Д, В) расстояние Хаусдорфа между множествами Д и В: (2.62)
^ru/,s> ^п, s (14-4)
△л. Де) (14.105), (14.106)
Ч , (15.7)
Д» s (17.55)
6*. , (18.4)
5Д топологическая граница множества Д: (1.15)
EX, Е (X) математическое ожидание, или среднее, случайной величины или случайного вектора X: (А.1.2), (А.1.3)
е число, близкое к нулю
G знак принадлежности
f преобразование Фурье функции /: (4.5)
f (4.4)
fy И Н*+у): (П -5)
f*g свертка (композиция) функций / и g; (4.9)
f*n n-кратная свертка функции /: (4.11)
^ класс измеримых по Борелю функций
3:* фундаментальная область для двойственной решетки L*: (21.22)
Ф нормальное распределение на Rk с нулевым средним и единичной ковариационной матрицей
Ф плотность Ф
Фт v нормальное распределение со средним т и ковариационной матрицей V
Ф„ 1/ плотность Ф„ (6.31)
ФГо (15.5), (18.10)
Ga т> gi. т специальная вероятностная мера и ее плотность: (Ю.7)
gT (Ю.7)
у(/:е), у*(/:в) (11.8), (11.18)
По Йг.л <9-8>’ (|9-32)
/ единичная матрица размера кхк
/д индикатор множества А
Int (Д) внутренность А
Ке сглаживающая вероятностная мера, у которой либо вся, либо большая часть массы сосредоточена в шаре В (х: е): (11.6), (11.16), (15.26)
Xv кумулянт порядка v, среднее арифметическое кумулянтов порядка v величин Хь .... Xn: i6.9), (9.6), (14.1)
Xv среднее арифметическое кумулянтов порядка v центрированных усеченных случайных векторов Zr, .... Zn: (14.3)
Xv,/> Xv, п кумулянт порядка v величины X/, 1</<п, и их среднее арифметическое: (9.6), §§ 19, 20
X,(z) (6.16)
L решетка: § 21
L* решетка периодов функции |/f, где )—характеристическая функция решетчатого случайного вектора: (21.9), (21.19)
L (с, d) класс функций удовлетворяющих условию Липшица: (2.50)
tS1 п ляпуновская дробь: (8.10)
X* А наименьшее и наибольшее собственные значения средней ковариационной матрицы V: § 16
Xfe мера Лебега на Rk
Лпп(П (23.8)
Мгф. Моф (15.4)
Mf (х : е). т( (х : е) супремум и инфимум функции / на В (х : е): (И.2)
еМ множество всех конечных обобщенных мер на метрическом пространстве
р+, рг, |р| положительная, отрицательная и полная вариации конечной обобщенной меры р: (1.1)
”р| вариационная норма обобщенной меры р: (1.5)
р преобразование Фурь?— Стилтьеса меры р: (5.2)
p*v свертка (композиция) двух конечных обобщенных мер р, v: (5.4)
р*л л-кратная свертка р: (5.6)
р-Т-1 обобщенная мера, индуцированная отображением 7: (5.7)
Ра момент порядка а, среднее арифметическое моментов порядка а величин Х1г .... Х„: (6.1), (14.1)
Рц среднее арифметическое моментов порядка а центрированных усеченных случайных векторов Z, .... Z„: (14.3)
Иг (0. Р, (0 (8.4)
v! Vjlvg!... vtl, где v=(vlt .... v6) есть неотрицательный целочисленный вектор
vr, v0 специальные обобщенные меры: (15.5)
Р вероятностная мера, многогранник
5s множество всех вероятностных мер на метрическом пространстве
Р характеристическая функция вероятностной меры Р: (5.2)
^s (z : <XvB специальный многочлен по г; (7.3)
Р,(—ф0 v: {Xv}) многочлен, кратный ф0 у: (7.1!)
РД-фо.Г:{Xv}) обобщенная мера с плотностью ^(“4. {%v})
Ро специальный многогранник: (3.19)
Рп (Уа. п) точечные массы нормированных решетчатых случайнйх векторов X,. .... Хп: (22.3)
Рп (Уа л) точечные массы нормированных усеченных решетчатых случайных векторов: (22.3)
Qn распределение n-V2 (Xj + ...+ Xn), где XtХп есть независимые случайные векторы с нулевыми средними и средней ковариационной матрицей V (или /)
Q' распределение п-1'2 (Y14-...+ Y„), где V,- есть усечение X/: (14.2)
Q'n распределение п 1/2 (Z1 + ... + Zn), где T.j=yf—EM/: (14.2) qn т’ Чп т локальные разложения точечных масс Qn, Q'n в решетчатом случае: (22.3), (22.38), (23.2)
р(х, Л) расстояние между точкой х и множеством А: (1.18)
р$ абсолютный момент порядка s, среднее арифметическое абсолютных моментов порядка $ величин Xi, .... Х„: (6.2), (9.6), (14.1) р' среднее арифметическое абсолютных моментов порядка s центрированных усеченных случайных векторов Zi, .... Z„: (14.3)
Ps, /• Ps, n абсолютный момент порядка s векторов X,-, ! ^ / ^ n, И их среднее арифметическое: (14.1), (17.55)
Sj, Sa специальные периодические функции: (Л.4.2), (А.4.14)
$ пространство Шварца: (А.4.13)
о^ площадь поверхности единичной сферы в R6". § 3
|7|| норма матрицы 7: (14.17)
тг (16.6)
т(/: 2е), т* (/: 2е) (11.8), (11.18)
V среднее арифметическое ковариационных матриц случайных векторов XiХл: (9.6), (14.5)
<0/(Л) колебание функции / иа Л: (2.7), (11.1)
<о/(х:е) колебание функции f на В (х : е): (2.7), (11.3,
й/ (е: р) средний модуль колебания функции / относительно Меры р: (11.23)
(е: р) supw/„ (е : р): (11.24) у 9
И |^il + ---+I^L где х=(х„ ... х*): (4.8)
Уа. т Уа, п (^2-3)
Z множество всех целых чисел
Z+ множество всех неотрицательных целых чисел
(Z+)6 множество всех наборов из к неотрицательных целых чисел
|| • ||, (, ) евклидовы норма и скалярное произведение
| • j|p LP-норма
▲ знак окончания доказательства