Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ГЛАВА V. РАЦИОНАЛЬНОСТЬ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ СИСТЕМЫ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
НАД КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ 159
Гиперповерхности и их дзета-функции 159
Упражнения 167
Характеры и их поднятие 169
Линейные отображения на векторном пространстве степенных рядов 173
р-адическое аналитическое выражение для дзета- функции 179
Упражнения 182
Конец доказательства .. .184
Литература 189
н. Коблиц
р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
р-АДИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
Ст. научный редактор Н. И. Плужннкова
Мл. научный редактор Л. А. Королева
Художник А. В. Шнпов
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технические редакторы Н. Д. Толстякова, Н. И. Борисова
Корректор Е. К. Монякова
ИБ № 2217
Сдано в набор 18.05.81. Подписано к печати 07.01.82. Формат 84x1087л, Бумага типографская № 1. Объем 3,00 бум. л. Усл. печ. л. 10,08. Усл. кр.-отт. 10,28, Уч.-изд. л. 8,43. Изд. № 1/0787. Тираж 7900 экз. Заказ 1153. Цена 65 коп.
Издательство «Мир»
129820, Москва, И-110, ГСП 1-й Рижский пер., 2.
Набрано я сматряцвроваио в ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного Знамени Ленинградском производственно-техническом объединении «Печатный Двор» нменн А. М. Горького Союзполиграфпрома пря Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии я книжной торговли. 197136, Ленинград, П-136, Чкаловский пр., 15. Отпечатано в Ленявградской -типографии № 2 головном предпряитни ордена Трудового Красного Знаменя Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгения Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговля, 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29,
ББК 22.132
К 55
УДК 517.1
Коблиц Н.
р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции. Пер. с англ. В. В. Шокурова / Под ред. и с предисловием Ю. И. Манина. — М.: Мир, 1981, 192 с., ил.
Вводный курс по р-адическому анализу — объекту многочисленных исследований в теории чисел, теории представлений групп, алгебраической геометрии, который служит связующим звеном между непрерывной и дискретной математикой, написанный с большим педагогическим мастерством молодым американским математиком.
Для студентов-математиков младших курсов университетов и пединститутов.
17020300001702030000ББК 22.132517.1ББК 22.132517.1„ 20203—012
1702030000
1702030000
ББК 22.132
517.1
ББК 22.132
517.1
К12—81. ч 1
041(01)—81’
Редакция литературы по математическим наукам
?'977SPr^nSer-Verlag, New York Inc AU rights reserved. Authorised translation SnHn^v15^ an|Ua,?e edition Published by уР^п§ег Verlag Berlin — Heidelberg — New
©Перевод на русский язык, «Мир», 1981
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Вещественные числа — это пополнение поля рациональных чисел в обычной топологии. Давно известно, что у поля рациональных чисел есть еще много топологий, согласованных с операциями. Эти топологии нумеруются простыми числами; пополнения по ним суть поля р-адических чисел, р-адический анализ создавался медленно. Перенос обычных определений в неархимедову ситуацию кажется обманчиво простым делом, но глубокие теоремы требуют деликатных изменений в структуре основных понятий.
Книга молодого американского математика Нила Коблица— одно из немногих в мировой литературе введений в этот быстро развивающийся предмет. В ней живо, с вниманием к читателю и на содержательном материале представлены первые идеи, проблемы и методы р-адического анализа. Очевидно, что некоторые основные задачи ставит теория чисел. Два круга вопросов, относящихся к дзета-функциям алгебраических многообразий над конечными полями и к классической дзета-функции Римана, изложены в книге подробно. Ознакомившись с этим материалом, читатель сможет работать с обширной журнальной литературой последних лет, посвященной увлекательным свойствам р-адических дзета-функций.
Рисунок д-ра физ.-мат. наук А. Т. Фоменко на следующей странице (деталь — на обложке) символизирует 2-адический соленоид. Как и все графические листы Фоменко, он отличается скрупулезной деталировкой, и стоящий за ним математический образ поддается точному анализу. Читателю, который склонен к целостному восприятию, глубокая работа Фоменко напомнит о почти всегда скрытой визионерской компоненте математического творчества.
Ю. Манин
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эти записи лекций задуманы как элементарный вводный курс р-адического анализа. По этой причине требования к подготовке читателя минимальны. Помимо трех- семестрового курса математического анализа предполагается знакомство с некоторыми более абстрактными математическими понятиями — в такой степени, чтобы читателя не испугали матрицы с элементами не обязательно из вещественного поля, расширения поля рациональных чисел или непрерывные отображения топологических пространств.
Книга преследует двоякую цель: изложить некоторые основные понятия р-адического анализа и продемонстрировать два его замечательных применения. Исторически они серьезно стимулировали интерес к предмету; я надеюсь, что они могут быть столь же эффективны с педагогической точки зрения. Первый из этих результатов использует лишь самые элементарные свойства поля (Qp и поэтому помещен в гл. II. Это — предложенная Мазуром конструкция (с помощью р-адического интегрирования) р-адической дзета-функции Куботы — Леопольдта, которая «р-адически интерполирует» значения дзета-функции Римана в нечетных отрицательных целых числах. При изложении я пользовался (неопубликованными) записями Мазура,, сделанными для Бурбаки. Затем я возвращаюсь к осно- ваниям: устанавливается возможность продолжения р-адической нормы на алгебраические расширения поля (Е)р, строится р-адический аналог поля комплексных чисел и развивается теория р-адических степенных рядов. При этом специально подчеркнуты аналогии и раз-: личия с привычными понятиями и примерами из математического анализа. В гл. V содержится второй основной результат: данное Дворком доказательство части знаменитых гипотез А. Вейля о рациональности дзета-функции системы уравнений над конечным полем. В этой главе я следовал изложению Серра, помещенному в одном из выпусков Seriiinaire Bourbaki.
Эта книга не претендует на полноту. В ней не отражены такие темы, как теорема Хассе — Минковского (которую можно найти в гл. 1 книги 3. И. Боревича и И. Р. Шафаревича [(b) 1]) и результаты диссертации Тэйта (которая воспроизведена также в учебнике Ленга [(Ь)2]). Кроме того, автор не пытался представить результаты в самой общей форме. Например, р-адические L-функции, соответствующие характерам Дирихле, лишь мимоходом упомянуты в гл. II. Целью автора был отбор материала для полугодового курса по р-адическому анализу, доступного второкурсникам.
Упражнения по большей части легкие, но они важны для активного овладения материалом. Кроме того, обилие упражнений позволит многим изучающим книгу овладеть предметом самостоятельно или при минимальном руководстве, проверяя и закрепляя свое понимание материала проработкой задач.
Интерес к р-адическому анализу объясняется несколькими причинами. Прежде всего р-адической технике отводится важнее место во многих областях математических исследований — например, в теории чисел и теории представлений. Но немаловажно и то, что студенту, недавно познакомившемуся с рядами и интегралами, «прекрасный новый мир» неархимедова анализа представит классический анализ в неожиданном свете. Уходя корнями в классический анализ.и в тоже время в алгебру и теорию чисел, р-адический анализ открывает важные перспективы читателю, интересующемуся любой из этих областей.
Я хотел бы поблагодарить профессоров Марка Каца и Ю. И. Манина за их многолетнюю помощь и поддержку, а также за образцы педагогической проницательности в преподавании и изложении, образцы, которым их ученики могут ревностно подражать.
Схема зависимости глав
г з
Глава I
^-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Пусть X—непустое множество. Функция d, определенная на множестве всех упорядоченных пар (я, у) элементов X и принимающая неотрицательные вещественные значения d (х, у), называется расстоянием или метрикой в X, если она обладает следующими свойствами:
d(x, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у;
d(x, y) — d(y, х);
d(x, y)^d(x, z) + d(z, у) для всех zeX. Множество X вместе с заданной в нем метрикой d называется метрическим пространством. Как мы вскоре увидим, одно и то же множество X может допускать много различных структур метрического пространства (X, d).
Чаще всего в качестве множеств X мы будем рассматривать поля. Напомним, что поле F есть множество с двумя бинарными операциями + и •, такими,, что F является коммутативной группой относительно операции +, a F — {0} относительно операции • , и выполнен закон дистрибутивности. Примеры полей, которые следует пока иметь в виду, — это поле рациональных чисел (Q и поле вещественных чисел R.
Мы будем иметь дело с метриками d, соответствующими нормам на поле F. Нормой называется отображение, обозначаемое через j |1, поля F в множество неотрицательных вещественных чисел, такое, что:
|| х || = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;
fix-уН = |]х||-|!уГ,
|x+y|^Jx|+||y||.
Эта книга не претендует на полноту. В ней не отражены такие темы, как теорема Хассе — Минковского (которую можно найти в гл. 1 книги 3. И. Боревича и И. Р. Шафаревича [(b) 1 ]) и результаты диссертации Тэйта (которая воспроизведена также в учебнике Ленга [(Ь)2]). Кроме того, автор не пытался представить результаты в самой общей форме. Например, р-адические L-функции, соответствующие характерам Дирихле, лишь мимоходом упомянуты в гл. II. Целью автора был отбор материала для полугодового курса по р-адическому анализу, доступного второкурсникам.
Упражнения по большей части легкие, но они важны для активного овладения материалом. Кроме того, обилие упражнений позволит многим изучающим книгу овладеть предметом самостоятельно или при минимальном руководстве, проверяя и закрепляя свое понимание материала проработкой задач.
Интерес к р-адическому анализу объясняется несколькими причинами. Прежде всего р-адической технике отводится важнее место во многих областях математических исследований — например, в теории чисел и теории представлений. Но немаловажно и то, что студенту, недавно познакомившемуся с рядами и интегралами, «прекрасный новый мир» неархимедова анализа представит классический анализ в неожиданном свете. Уходя корнями в классический анализ и в то же время в алгебру и теорию чисел, р-адический анализ открывает важные перспективы читателю, интересующемуся любой из этих областей.
Я хотел бы поблагодарить профессоров Марка Каца и Ю. И. Манина за их многолетнюю помощь и поддержку, а также за образцы педагогической проницательности в преподавании и изложении, образцы, которым их ученики могут ревностно подражать.
Схема зависимости глав
г з
Глава I
^-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Пусть X — непустое множество. Функция d, определенная на множестве всех упорядоченных пар (х, у) элементов X и принимающая неотрицательные вещественные значения d (х, у), называется расстоянием или метрикой в X, если она обладает следующими свойствами:
d(x, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у;
d(x, y) = d(y, х);
d (х, y)^d (х, г) + d (г, у) для всех г е X. Множество X вместе с заданной в нем метрикой d называется метрическим пространством. Как мы вскоре увидим, одно и то же множество X может допускать много различных структур метрического пространства (X, d).
Чаще всего в качестве множеств X мы будем рассматривать поля. Напомним, что поле F есть множество с двумя бинарными операциями + и •, такими,, что F является коммутативной группой относительно операции +, a F — {0} относительно операции • , и выполнен закон дистрибутивности. Примеры полей, которые следует пока иметь в виду, — это поле рациональных чисел (Q и поле вещественных чисел |R.
Мы будем иметь дело с метриками d, соответствующими нормам на поле F. Нормой называется отображение, обозначаемое через | |1, поля F в множество неотрицательных вещественных чисел, такое, что:
I х || = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;
к-уНИ-Ш;
«х + уЦ^ЦхШ^А-
Когда мы говорим, что метрика d «соответствует» норме (или «индуцирована» нормой) || Ц, то под этим мы понимаем, что метрика d определяется соотношением d(x, у) = = ||х — yt Легко проверить, что функция d, заданная таким образом по произвольной норме $ [, будет действительно метрикой.
Основной пример нормы на поле рациональных чисел (Q дает абсолютная величина | х |. Индуцированная ею метрика d (х, у) = | х — у | совпадает с обычным расстоянием на числовой прямой.
Я начал с абстрактного определения расстояния потому, что отправным понятием для всего дальнейшего будет метрика нового типа. Она удовлетворяет условиям (1) — (3), но ее свойства существенно отличаются от привычных интуитивных представлений. Кроме того, я напомнил абстрактное определение поля, так как вскоре нам придется работать не только с полем Q, но и с его различными расширениями.
МЕТРИКИ ПОЛЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Одну метрику с поля (Q мы знаем: она индуцирована обычной абсолютной величиной. Есть ли еще какие-нибудь метрики? Следующее определение является основой для всего дальнейшего.
Определение. Пусть ps {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} — некоторое простое число. Для произвольного ненулевого целого числа а положим ordpa равным кратности вхождения р в разложение а на простые сомножители, т. е. наибольшему целому неотрицательному числу т, для которого а = 0 (mod рт). (Запись а = b (mod с) означает, что с делита — Ь.) Например: ord5 35 = 1 ,ord5 250 = = 3, ord296 = 5, ord297 = 0. (Если a = 0, то условимся писать ordp 0 = со.) Отметим, что функция ordp немножко похожа на логарифм: ordp (a1a2) = ordp (ax) + ordp (a^).
Теперь для произвольного рационального числа х = = ajb положим ordpX равным ordpa — ordpb. Так определенная величина зависит только от х, т. е. из представления х — ac/bc мы получим то же самое значение для ordp х = ordp ас — ordp be.
- Кроме ние | |р:
того, определим на (Q следующее отображе-
1
0,если х = 0.
Предложение. Функция | |р является нормой на поле d).
Доказательство. Проверку свойств (1) и (2) оставим читателю в качестве легкого упражнения. Установим (3).
Если х = 0 или г/= О, или если х + у = 0, то свойство (3) очевидно. Поэтому предположим, что числа х, у, х-\-у отличны от нуля. Пусть х = а/Ь и у =с]Д — несократимые представления. Тогда x + y = (ad + bc)/bd и or dp (х + у) = ordp (ad + be) — ordp b — ordp d. Заметим теперь, что наибольшая степень р, делящая сумму двух целых чисел, не меньше любой степени р, которая делит одновременно каждое слагаемое. Поэтому ordp (х + у)min (ordp ad, ordp be) — ordp b — ordp d =
= min(ordpfl + ordpd, ordp b + ordp c) —
— ordp b — ordp d = = min (ordp a — ordp b, ordp c — ordp d) = = min (ordp x, ordpy).
Следовательно, |x + y\p = p~ordp(x+y>^max (p~0Idpx» p-0Td pH') = max (\x\p, \y |p), а последнее ^|x|p+|y|p. □
В действительности мы установили более сильное неравенство, чем требуется в условии (3), и именно это усиленное неравенство приводит нас к одному из основных понятий р-адического анализа.
Определение. Норма называется неархимедовой, если всегда выполнено неравенство ||х + у || ^ max (|х ||, |у|1). Соответственно метрика называется неархимедовой, если d(x, y)^max(d(x, z), d(z, у)); в частности, метрика, индуцированная неархимедовой нормой, неархимедова, так как в этом случае d(x, у) = || х — у || = ||(х — z) + + (z - у) II ^ max (I х - г j, || г - у ||) = max (d(x, z), d(z, у)).
Таким образом, | |р является неархимедовой нормой на поле (Q.
Норму (или метрику), не являющуюся неархимедовой, называют архимедовой. Обычная абсолютная величина на поле Qj дает пример архимедовой нормы.
Для каждого метрического пространства X определено понятие последовательности Коши. Последовательность {ах, си, а3,...} элементов X называется последовательностью Коши, если для всякого положительного числа е найдется такой номер N, что d (ат, а„) < <8 при любых m>»N и п>»М.
По определению, две метрики d3 и d^ на множестве X эквизагентчьи если отвечающие им классы последователзнэстея Коши совладают. Соответственно две нормы эквивалентны, если они индуцируют эквивалентные метрики.
Фиксируем вещественное число ps(0, 1), а затем в определении | |р подставим pordp* вместо (l/p^p”. Тогда мы получим неархимедову норму, эквивалентную | |р (см. упр. 4 и 5). Причину, по которой удобно выбирать р=1/р, объясняет упр. 17 в конце параграфа.
Обычной абсолютной величине | | также соответствует семейство эквивалентных ей архимедовых норм, а именно | |“, где 0<а^1 (см. упр. 7).
Обычную абсолютную величину мы иногда будем обозначать через | |оо. При этом никакой прямой связи, между | |со и | |р не подразумевается, это всего лишь удобное обозначение.
Под «тривиальной» нормой понимается такая норма || ||, что || 01| = 0 и || х || = 1 для всех х ^ 0.
Теорема 1 (Островский). Каждая нетривиальная норма || || на поле эквивалентна | |р для некоторого простого р или р = оа.
Доказательство. Случай (t). Предположим, что существует натуральное число п, для которого ||п|> >1. Пусть п0 — наименьшее среди таких п. Так как j Ло || > 1, то | п01| = л" для некоторого положительного вещественного а. Запишем теперь произвольное целое положительное п в По-ичной системе:
п = а0 -|- агп0 + а4Пд +... + apiQ,
где О^а,<по и as^0. Тогда
I п 8 ^ | До II + ^«о II +1 #2^0 j +... +1 а5п^ I’ =
= II ао II + II <21 II • ^0 + || °2 II • Л о” + . • • + I aS I • Ло®.
Так как a,<n0, то 8а;|^1 по выбору п0. Следовательно,
l«i^l + ^+^a+... + ^ =
со
Lf=O J
потому что п^п®. Выражение в квадратных скобках является константой, которую мы обозначим через С.
Таким образом,
jnj^Cn® для всех п=1, 2, 3
Рассмотрим теперь достаточно большое натуральное N. Затем подставим nN вместо п в полученное неравенство и извлечем корень степени N из обеих частей.
Получим
Переход к пределу при N-*co и фиксированном и дает неравенство jn||^'na.
Обратное неравенство можно доказать следующим образом. Как и выше, представим п в п0-ичной записи. Тогда п’ + ^п^п®. Кроме того, поскольку 8^ + 4 = [|л + п= + ,-п||^||п|| + ||п= + 1 -nJ, то
InH^Mo+MI-ll^+'-n^n^ + Da-^ + l-n)01, что следует из соотношения ||п* + * | = Jn0P + 1 и уже установленного неравенства (т. е. ЦпЦ^п") для вычитаемого члена. Значит,
ЦпЦ^ л^1^ —(п^+1 —n^)a = (так как п^п^
= n<s + Ml -fl --Vl^C'n" 0 L \«о/ J
для некоторой константы С*, зависящей только от п0 и а, но не от п. Затем, как и выше, подставим в
последнее неравенство nN, извлечем корень степени N и перейдем к пределу при N -> оо. В результате получаем ЦпЦ^п®.
Таким образом, Цп|| = на. Далее, из свойства нормы (2) легко вывести, что gx|| = |x|a для всякого хей). Тогда из упр. 7 следует эквивалентность норм } j и | |, что и заканчивает доказательство теоремы в случае (i).
Случай Щу Предположим теперь, что ||п|^1 для всех натуральных чисел п. Пусть л0 —наименьшее натуральное п, для которого ||h||<<1. Такое п0 существует, потому что рассматриваемая норма j [ нетривиальна.
Число л0 должно быть простым. Действительно, если n0 = nvn2 и П1, п2 < п0, то | пг J = | и2 || = 1, а поэтому || По || = || пг || || п21| = 1. Обозначим простое число п0 через р.
Покажем теперь, что 5р||=1 для каждого простого q, отличного от р. Предположим противное. Тогда || q || < 1 и для достаточно большого натурального N имеем || qN || = | q ||w < 1 /2. Аналогично, | рм | < < 1/2 для достаточно большого М. Числа рм и qN взаимно просты, т. е. не имеют общих делителей, отличных от 1. Поэтому можно найти (см. упр. 9). два целых числа пит, таких, что трм + nqN = 1. Тогда, согласно свойствам нормы (2) и (3),
1=11 Ц = 11 трм+ ^1^11^ 8 + 1^1 =
-ИЦЦр^М-Нп^И
Так как JmJ, |л|^ 1, то
KlP^I + I^K^ + l-l,
и мы пришли к противоречию. Следовательно, |( q || = 1.
Теорема практически доказана, поскольку каждое положительное целое число а можно разложить на
простые сомножители. Пусть a = pb^pb^ ... рь/. Тогда I а || = | Pi ||bi • | р.г ||62 ... || рг Ц6'. В последнем произведении отличен от 1 лишь тот сомножитель || ргЦ, для которого pi = p (если такой найдется), причем соответствующее bi
совпадает с ord^a. Поэтому
где р = | р | < 1. На основании свойства нормы (2) легко установить, что последняя формула выполняется не только для натуральных а, но также для любого отличного от нуля рационального числа х. Из упр. 4 ниже следует эквивалентность такой нормы и нормы | |р. Это заканчивает доказательство теоремы Островского. □
Конечно, наши интуитивные представления о расстоянии основаны на примере архимедовой метрики) )«,. Некоторые свойства неархимедовых метрик | |р поначалу кажутся довольно странными, и к ним нужно привыкать. Рассмотрим следующие два примера.
Свойство метрики (3): d(x, y)^d(x, z) + d(z, у) — известно как «неравенство треугольника», поскольку в случае поля комплексных чисел © (с метрикой d (а + + Ы, с4-di) = ]^(а — с)2 + (Ь — d)2) оно означает, что сумма длин двух сторон треугольника на комплексной плоскости больше длины третьей стороны.
Посмотрим, что происходит в случае поля F с неархимедовой нормой. Для простоты положим 2 = 0. Тогда неархимедово неравенство треугольника утверждает, что jx — у)Ктах(}х||, ||у||). Предположим сначала, что «стороны» х и у имеют разную «длину», например II <||yV Третья сторона х — у имеет длину ||х—уI<||у|. Но
|у| = |х-(х-у)Ктах(|х|, ||х-у||),
и, значит, i|t/U<||x — у|1, так как неравенство ||у|К9х|| не выполнено. Поэтому |у|| = |х — у|. Итак, если две
«стороны» х и у не равны, то наибольшая из них должна совпадать по длине с третьей стороной. Все «треугольники» равнобедренные!
Это не слишком удивительно, если понять, что означает подобное свойство для поля (Q с нормой | |р. Оно просто утверждает, что кратность вхождения р в разность двух рациональных чисел с неодинаковыми кратностями вхождения р совпадает с наименьшей из этих кратностей (это и значит равняться наибольшей из двух «сторон»).
Итак, для неархимедова поля ||x±y||s^max (||х||, lyj) и при || х|| ^ ||у|| достигается равенство. Это важное свойство впредь мы будем называть «принципом равнобедренного треугольника».
В качестве второго примера рассмотрим (открытый) диск радиуса г (г —■ положительное вещественное число) с центром в а (а — некоторый элемент поля Е\.
D(a, r~)={x^F\ ||х — a||<r}.
Предположим, что норма || j неархимедова. Пусть Ь — произвольный элемент D(a, г~У Тогда
D (a, r~) = D(b, /-),
т. е. каждая точка диска является его центром! Действительно,
х е D (а, г-) => I х — а || < г =>
=> |х-b || = || (х-а) + (а —Ь) | ^
^max (|| х — а ||, ||а — Ь||)<г=>
=)xeD(b, г-),
и точно так же доказывается обратная импликация. Определим замкнутый диск радиуса г с центром в а как
D (а, г) - {х е F | || х — а || ^ г};
тогда, как и выше, можно установить, что в случае неархимедовой нормы Ц || "каждая точка диска D (а, г) двляется его центром,
Упражнения
Для произвольной нормы !| || на поле F докажите непрерыв ность операций сложения, умножения и нахождения обратного элемента относительно сложения и умножения, г. е. установите, что: (1) для любых х, у s F и лоээго е>3 судэсгвуег такое 6>0, что ||(х'+у') —(х + у)||<е при ||х' — х||<8 и Цу' —у||<5; (2) то же с заменой ||(х' + y'j — (х + у) 1 на Цх'у' — су]; (31 для любого ненулевого х е F и любого е >• 9 существует такое 8 > 0, что || (1/х') — (1/х) ||<8 при ||х'—х||<6; (4) для любого х е F и любого е>0 существует такое 6>0, что ||(—х') —(—х) j <8 при
Докажите, что] — 11| = ]1] = 1 для произвольной нормы || || на поле F. Докажите, что если Ц || неархимедова, то || л || ^ 1 для любого целого п. (Здесь «п» обозначает 1 -|-1 -|-1 -]-...+ 1 — результат л-кратного сложения IeF при п^О и результат (— п)-кратного сложения — 1 е f при п < 0.)
Докажите обратное: если норма Ц Ц такова, что J п j ^ 1 для любого целого п, то эта норма неархимедова. (Указание. Рассмотрите тождество lix-j-y^^ (x-f-y)^ Ц. Затем, используя бином Ньютона и свойство нормы (3), оцените ||x + y||w сверху через max(||'x!l, I у в). При этом нужно помнить, что N можно выбрать сколь угодно большим.)
Пусть Hi и II Иг— Две нормы на поле F. Докажите, что II Hi — II На тогда и только тогда, когда существует такое положительное вещественное число а, что J х |1 = ||х||“ для всех xeF.
Докажите, что если 0<р<1, то функция, определенная _ ord х „ _ _
для х е (Q как р Р при х=#0 и 0 при х = 0, является неархимедовой нормой. Отметим, что по предыдущему упражнению эта норма эквивалентна | |р. Что произойдет при р=1? А при р > 1?
Докажите неэквивалентность норм I 1Р1 и | | для различных простых чисел рх и рг.
Для фиксированного вещественного а > 0 и х е (Q положим Цх|| = |х|а, где | |— обычная абсолютная величина. Докажите, что || | является нормой тогда и только тогда, когда а^1, и что в этом случае она эквивалентна норме | |.
Докажите, что две эквивалентные нормы на поле F либо обе архимедовы, либо обе неархимедовы.
Пусть N и М — Два взаимно простых целых числа. Докажите, что существуют целые п и /п, для которых nN -(-mM = V (Указание. Покажите, что наименьшее положительное число вида пУ-^гпМ должно быть общим делителем N и М.)
Вычислите:(i) ord3 54,(iv) ord7 (—700/197),(vii) ord8 (0,0625),(x) ord7 (— 13,23), (xiii) ord13 (—26/169),Докажите, чтоПусть O^a:Вычислите:(i) ord3 54,(iv) ord7 (—700/197),(vii) ord8 (0,0625),(x) ord7 (— 13,23), (xiii) ord13 (—26/169),Докажите, чтоПусть O^a:(ii)ord2 128,(v)ord2 (128/7), (viii)ord3 (109), (xi)ord5 (— 13,23), (xiv) ord1O3 (— J/309),(ii)ord2 128,(v)ord2 (128/7), (viii)ord3 (109), (xi)ord5 (— 13,23), (xiv) ord1O3 (— J/309),(iii) ord3 57, (vi) ord3 (7/9), (ix)ord3(—13,23), (xii)ordn(—13,23), (xv) ord3 (91).(iii) ord3 57, (vi) ord3 (7/9), (ix)ord3(—13,23), (xii)ordn(—13,23), (xv) ord3 (91).ordp((pjV)l) = l+p + p2 + ... + pjV-1ordp((pjV)l) = l+p + p2 + ... + pjV-1,N —,N —Докажите, что ordp ((apN)'j =Докажите, что ordp ((apN)'j =
Вычислите:
(i) ord3 54,
(iv) ord7 (—700/197),
(vii) ord8 (0,0625),
(x) ord7 (— 13,23), (xiii) ord13 (—26/169),
Докажите, что
Пусть O^a:
Вычислите:
(i) ord3 54,
(iv) ord7 (—700/197),
(vii) ord8 (0,0625),
(x) ord7 (— 13,23), (xiii) ord13 (—26/169),
Докажите, что
Пусть O^a:
(ii)ord2 128,
(v)ord2 (128/7), (viii)ord3 (109), (xi)ord5 (— 13,23), (xiv) ord1O3 (— J/309),
(ii)ord2 128,
(v)ord2 (128/7), (viii)ord3 (109), (xi)ord5 (— 13,23), (xiv) ord1O3 (— J/309),
(iii) ord3 57, (vi) ord3 (7/9), (ix)ord3(—13,23), (xii)ordn(—13,23), (xv) ord3 (91).
(iii) ord3 57, (vi) ord3 (7/9), (ix)ord3(—13,23), (xii)ordn(—13,23), (xv) ord3 (91).
ordp((pjV)l) = l+p + p2 + ... + pjV-1
ordp((pjV)l) = l+p + p2 + ... + pjV-1
,N —
,N —
Докажите, что ordp ((apN)'j =
Докажите, что ordp ((apN)'j =
жение натурального числа п, где 0^а;^р—1.жение натурального числа п, где 0^а;^р—1.Пусть n — ао + ^р + я^+^.-Ч-а^р5 есть р-ичное разло-
жение натурального числа п, где 0^а;^р—1.
жение натурального числа п, где 0^а;^р—1.
777Положим S„ =
= ^ai (сумма коэффициентов р-ичного разложения). Докажите,
что
ordp(nl) = ^.
14. Вычислите | а— 6|, т. где:(1)а= 1, 6 = 26, р = 5;(iii)a=l, 6 = 26, р = 3;(v)a=l, 6 = 244, р = 3;(vii)a=l, 6 = 1/243, р = 3;(1х)а=1, 6=183, р = 7;(xi)a=l, 6=183, р = со;(xiii) а= (9!)я/39, 6 = (Г, р = 3;(xv) д = 22^/(2^)|, 6 = 0, р =14. Вычислите | а— 6|, т. где:(1)а= 1, 6 = 26, р = 5;(iii)a=l, 6 = 26, р = 3;(v)a=l, 6 = 244, р = 3;(vii)a=l, 6 = 1/243, р = 3;(1х)а=1, 6=183, р = 7;(xi)a=l, 6=183, р = со;(xiii) а= (9!)я/39, 6 = (Г, р = 3;(xv) д = 22^/(2^)|, 6 = 0, р =:. р-адическое расстояние от а до 6,(ii)a=l, 6 = 26, р=со;(iv)a = l/9, 6=—1/16, р = 5;(vi)a=l, 6=1/244, р = 3;(viii)a=l, 6=183, р=13;(х)а=1, 6=183, р = 2;(xii)a = 91, 6 = 0, р=3;(xiv)a=22jV/2^, 6 = 0, р = 2;:. р-адическое расстояние от а до 6,(ii)a=l, 6 = 26, р=со;(iv)a = l/9, 6=—1/16, р = 5;(vi)a=l, 6=1/244, р = 3;(viii)a=l, 6=183, р=13;(х)а=1, 6=183, р = 2;(xii)a = 91, 6 = 0, р=3;(xiv)a=22jV/2^, 6 = 0, р = 2;
14. Вычислите | а— 6|, т. где:
(1)а= 1, 6 = 26, р = 5;
(iii)a=l, 6 = 26, р = 3;
(v)a=l, 6 = 244, р = 3;
(vii)a=l, 6 = 1/243, р = 3;
(1х)а=1, 6=183, р = 7;
(xi)a=l, 6=183, р = со;
(xiii) а= (9!)я/39, 6 = (Г, р = 3;
(xv) д = 22^/(2^)|, 6 = 0, р =
14. Вычислите | а— 6|, т. где:
(1)а= 1, 6 = 26, р = 5;
(iii)a=l, 6 = 26, р = 3;
(v)a=l, 6 = 244, р = 3;
(vii)a=l, 6 = 1/243, р = 3;
(1х)а=1, 6=183, р = 7;
(xi)a=l, 6=183, р = со;
(xiii) а= (9!)я/39, 6 = (Г, р = 3;
(xv) д = 22^/(2^)|, 6 = 0, р =
:. р-адическое расстояние от а до 6,
(ii)a=l, 6 = 26, р=со;
(iv)a = l/9, 6=—1/16, р = 5;
(vi)a=l, 6=1/244, р = 3;
(viii)a=l, 6=183, р=13;
(х)а=1, 6=183, р = 2;
(xii)a = 91, 6 = 0, р=3;
(xiv)a=22jV/2^, 6 = 0, р = 2;
:. р-адическое расстояние от а до 6,
(ii)a=l, 6 = 26, р=со;
(iv)a = l/9, 6=—1/16, р = 5;
(vi)a=l, 6=1/244, р = 3;
(viii)a=l, 6=183, р=13;
(х)а=1, 6=183, р = 2;
(xii)a = 91, 6 = 0, р=3;
(xiv)a=22jV/2^, 6 = 0, р = 2;
Объясните словами, в чем смысл неравенства I х | ^ 1 для рационального числа х?р
Пусть х s (Q. Докажите, что lim | х'Д! |р = 0 тогда и только
i -*оо тогда, когда ordp^^:l для р^2 и ord2x^2.
Пусть х —ненулевое рациональное число. Докажите, что произведение чисел | х |р по всем, простым р и р = со равно Ц|я 1р = 1- (Отметим, что у этого «бесконечного произведения» р
в действительности лишь конечное число сомножителей, отличных от 1.)
Пусть р —простое число. Докажите, что каждая последовательность целых чисел содержит подпоследовательность Коши относительно нормы i \р.
чтр *9‘ ^СТЬ Х G ^ И i^lp^ * Аля всех простых р. Докажите,
КАК СТРОИТСЯ ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Теперь у нас есть новое понятие расстояния между рациональными числами: два рациональных числа в такой метрике тем ближе, чем на большую степень некоторого фиксированного простого р делится их разность. Чтобы работать с такими «р-адическими метриками», нам придется увеличить поле рациональных чисел (Q, подобно тому как в случае классической архимедовой метрики | | оно пополняется до поля вещественных чисел R и затем расширяется до поля комплексных чисел С. Поэтому прежде всего вспомним, как это делается.
Начнем с еще более ранней ступени, которая логически и исторически предшествовала определению поля (Q. Будем исходить из множества натуральных чисел N={1, 2, 3, ...}. Каждый шаг на пути от IN к С можно мотивировать желанием делать без каких-либо ограничений следующие две операции:
решать полиномиальные уравнения;
находить пределы последовательностей Коши, т. е. так «заполнить пробелы» в числовой системе, чтобы в новой числовой системе каждая последовательность Коши имела предел.
Прежде всего на этом пути можно ввести множество всех целых чисел Z (включающее 0, —1, —2, ...) как множество решений уравнений вида
a + x = b, a, & еН
После этого можно определить рациональные числа как решения уравнений вида
ax = b, a, bet.
Пока что метрика не использовалась.
Один из возможных способов точного определения вещественных чисел заключается в рассмотрении множества S, состоящего из последовательностей Коши рациональных чисел. Назовем две последовательности St = {а;} е S и s2 = ^Д G ^ эквивалентными и будем писать Si~s2, если |Оу— &у| —>0 при /'->со. Очевидно,
^-, есть отношение эквивалентности, так как: (1) каждая последовательность s эквивалентна сама себе; (2) если S!~s2, то s2~Si; (3) если s1^s2 и s2^s3, то Si^Sg. Определим теперь R как множество классов эквивалентности последовательностей Коши рациональных чисел. На этом множестве нетрудно определить операции сложения, умножения и нахождения обратного относительно сложения и умножения, а затем показать, что R является полем. Хотя на первый взгляд это определение кажется громоздким и чересчур абстрактным, тем не менее оно приводит в точности к старинному образу вещественной числовой прямой, которая допускает простое наглядное представление.
Нечто подобное произойдет, когда мы станем работать с | |р вместо | |. Начав с абстрактного определения р-адического пополнения поля $), мы придем к числовой системе с очень прозрачной структурой, которую обозначим (Qp.
Вернемся к нашему историческому экскурсу, где мы добрались до R. Обратившись снова к первому методу расширения числовой системы — добавлению корней уравнений, математики сочли, что неплохо иметь в запасе числа, которые позволяли бы решать такие уравнения, как №+1 — 0. (Здесь мы излагаем логический ход событий; исторически введение комплексных чисел предшествовало строгому определению вещее г венных чисел в терминах последовательностей Коши.) Тут произошло нечто удивительное! Как только бы то введено число i = y — 1 и определено поле комплексных чисел вида a-Rbi, a, beR, оказалось, что:
все полиномиальные уравнения с коэффициентами в С разрешимы в С —это знаменитая основная теорема алгебры (короче можно сказать так: поле (D алгебраически за мкнуто);
поле С полно относительно (единственной) нормы, продолжающей норму | | с R (эта норма задается формулой | а+Ы | = у-^гууг), т- е. каждая последовательность Коши у^ + ЬД имеет предел вида а-\-Ы (так как \а.Д и {Ь/) — также последовательности Коши в R, то в качестве а и b берутся их пределы).
Итак, в данном случае процесс оканчивается на ©, которое есть всего лишь «квадратичное расширение» поля R (т. е. оно получается присоединением корня квадратного уравнения х2 +1 = 0). Поле © алгебраически замкнуто и полно относительно архимедовой метрики.
Но увы! В случае нормы | |р все не так просто. Построив ©р, пополнение (Ц относительно ( |р, нам придется затем образовать бесконечную последовательность расширений, задаваемых присоединением корней уравнений старших степеней (не только квадратных). Хуже того, построенное в результате алгебраически замкнутое поле, которое обозначается через ©р, не полно. Поэтому нужно будет «заткнуть дыры» в этом и так уже громадном поле, что приведет к еще большему полю й.
А что потом? Не придется ли еще увеличивать й, для того чтобы стали разрешимы все полиномиальные уравнения с коэффициентами в Й? Не будет ли этот процесс продолжаться все дальше и дальше, как развертывающаяся спираль все более искусственных абстракций? К счастью, тут вмешивается ангел-хранитель р-адического анализа, и уже поле й оказывается алгебраически замкнутым и полным. На этом наш поиск неархимедова аналога поля © заканчивается.
Но это поле й, удобная числовая система, на которой можно было бы изучать р-адический вариант классического анализа, к сожалению, понято гораздо хуже, чем ©. Как заметил И. М. Гельфанд, даже некоторые из простейших вопросов, например описание всех ©р-линейных автоморфизмов поля й, остаются пека открытыми.
Итак, начнем наше путешествие к Й.
§ 4. ПОЛЕ р-АДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
До конца этой главы р обозначает фиксированное простое число.
Пусть S —множество таких последовательностей {а,} рациональных чисел, что при любом е>0 существует такое N, что | at — а^ ]р < е при i, i'>N. Две такие последовательности {о,} и {й,}, называемые после-
довательностями Коши, считаются эквивалентными, если I ai — bj |р ->0 при i ->• со. Множество (Qp, по определению, есть множество классов эквивалентности этих последовательностей Коши.
Пусть xe(Q. Обозначим через {%} «постоянную» последовательность Коши, все члены которой равны х. Очевидно, {х}~{х'} тогда и только тогда, когда х = х'. Класс {0} обозначим просто через 0.
Определим норму | |р класса эквивалентности а как предел Пт|аг|р, где {aj — некоторый представитель класса а. Этот предел существует, так как:
если а = 0, то Ит|аг|р = 0 по определению;
если а 5^ 0, то для некоторого е > 0 и любого N существует iN>N с [а^ ]р>е.
Действительно, если N выбрано настолько большим, что \а{ — а,,\р<е при I, i’>N, то
|Oi"OijvL<8 Для всех i>N-
Так как [^^>8, то | at |р = | aiN |р по принципу равнобедренного треугольника. Поэтому | at |р имеет постоянное значение [^[р при всех i>N. А тогда предел lim|a;|p равен этому постоянному значению.
I—► со
Следует отметить одно существенное отличие рассматриваемого сейчас процесса пополнения от пополнения (Q до R. Когда мы переходим от (Q к R, область возможных значений функции | | = | |ю увеличивается до множества всех неотрицательных вещественных чисел. С другой стороны, при переходе от (Q к (Qp множество возможных значений | |р, а именно {рл}ле2 U {0}, остается одним и тем же.
Пусть а и Ь — два класса эквивалентности рассматриваемых последовательностей Коши, а {а/} еа и \ЬДеЬ — их произвольные представители. Определим а • b как класс эквивалентности последовательности Коши {п, ЬД. Если 'дцеа, {6/} е b — другие представители, то
I O-ibi O-ibi Ip = i Q, (bi b^ 4“ b{ (Qi — Qi) Ip ^ ^ max (I a'i (b- - b^ |p, | b, (a- - a,) \p).
Первое выражение в последней строке при 1-^со стремится к |a]p-lim |^ —bz|p = 0, а второе —к |Ь|РХ X lim \а’1 — а1\р = 0. Следовательно, ^Ь'Д ~ {аД}.
Подобным же образом можно определить сумму двух классов эквивалентности последовательностей Коши, выбрав по последовательности в каждом из этих классов, сложив их почленно, а затем показав, что класс суммы зависит только от классов слагаемых. Аналогично определяется обратный класс относительно сложения.
Определяя обратный класс относительно умножения, нужно соблюдать осторожность, ибо в последовательности Коши могут встретиться нулевые члены. Однако легко увидеть, что каждая последовательность Коши эквивалентна некоторой последовательности Коши без нулевых членов (заменим, например, все az = 0 на а< = р'). Рассмотрим после этого последовательность {1/а/}. Она будет последовательностью Коши, за исключением случая |af|p->0, т. е. {а,} {0}. Более того, если {аг} ~ {az} и среди а,-, а', нет нулей, то, как легко доказать, {l/af}~ {1/оД.
После этого нетрудно установить, что множество (Qp классов эквивалентности последовательностей Коши вместе с введенными на нем операциями сложения, умножения и нахождения обратных элементов является полем. Проверим, например, дистрибутивность. Пусть \аД, {&»}> {М — представители классов а, Ь, се^. Тогда а(& + с) есть класс эквивалентности последовательности
{az (&f + cl)} = {aA + alci},
но аЬ-^ас также совпадает с классом эквивалентности этой последовательности.
Поле (Q можно отождествить с подполем в (Qp, которое состоит из классов, содержащих постоянные последовательности Коши.
И, наконец, легко доказать полноту поля (Qp. Действительно, пусть {о/}/-1,2,... — последовательность классов эквивалентности, являющаяся последовательностью Коши в (Qp. Выберем в каждом члене а, этой последовательности по представителю, т. е. по последовательности Коши рациональных чисел {^(Д-1,2,...- Тогда,
как легко показать, предел последовательности aj равен классу эквивалентности последовательности {a//}/-i, 2, • Проведение доказательства мы оставляем читателю.
Вероятно, в каждом курсе или семинаре полезно проделать один раз все хлопотные проверки такого рода, чтобы не забыть полностью об аксиоматическом основании, на котором покоится все остальное. В этом частном случае абстрактный подход позволяет, кроме того, сравнить р-адическую конструкцию с конструкцией вещественных чисел и убедиться в логическом совпадении этих процедур. Однако после доказательства следующей теоремы благоразумно как можно быстрее забыть все, что связано с классами эквивалентности последовательностей Коши, и начать мыслить более конкретными понятиями.
Теорема 2. Каждый класс эквивалентности а из (Qp с | а |р^ 1 содержит ровно одну последовательность Коши целых чисел {а,}, для которой:
0^а,<рг при г = 1, 2, 3, ...;
а{ = tzi+1 (mod р‘) при г = 1, 2, 3, ... .
Доказательство. Докажем прежде всего единственность. Если (а',} — другая последовательность, удовлетворяющая (1) и (2), то aio5^a'io для некоторого /0. Отсюда ai0^di0 (modp'"), так как оба эти числа расположены между б и р‘«. Но тогда для каждого г^г0 имеем d = ai0 ^dt^a'i (mod рг»), т. е. a^dL (modp‘«). Следовательно,
\al-di\p>\[pi»
для всех г^г0 и {az} (а<}_
Теперь предположим, что задана некоторая последовательность Коши {6Z} ей и мы хотим найти эквивалентную ей последовательность {az}, удовлетворяющую (1) и (2). Используем для этого одну простую лемму.
Лемма. Пусть х е (Q и |х|р^1. Тогда для любого натурального i существует целое «е Z, для которого |а —х|р^р~‘. Более того, такое а можно выбрать из множества {0, 1, 2, 3, ..., р‘—1}.
Доказательство леммы. Пусть х = а/b — несократимая дробь. Тогда р не делит Ь, так как |х|р^1. Следовательно, Ь и р1 взаимно просты. Поэтому можно найти два целых числа тип., для которых mb-\-npl=\. Положим а = ат. Идея дальнейшего вычисления заключается в том, что число mb отличается от 1 на р-ади- чески малую величину и, значит, т хорошо приближает \jb, а потому ат хорошо приближает х = а/Ь. Точнее, имеет место оценка
| а — х |р = | ат — (а/^) |р = | a/b \р | mb — 1 |р ^
mb - 1 iP = | пр11р = | n \Дрг ^ X/p4.
Наконец, для того чтобы число а принадлежало указанному в лемме интервалу целых чисел между 0 и р1, достаточно добавить к нему подходящее кратное р‘; при этом неравенство |а —х|р^р-‘сохранится. Лемма доказана. □
Вернемся к доказательству теоремы. Пусть {6,-} — наша последовательность Коши. Сопоставим каждому /=1, 2, 3, ... такое натуральное число N (/), что I bi — bi- |р ^ р”1" при любых i, i'^N(j). (Мы можем считать, что последовательность чисел N (j) строго возрастает с увеличением /; в частности, N(j)^j.) Тогда | bi |р ^ 1 при i sa N (1), потому что для любого V ^ N (1)
IbJp^maxflMp, |^-Ыр)=^тах(!Мр, 1/р), а | bi-\p->\a\p^ 1 при t"->oo.
По предыдущей лемме мы можем найти теперь последовательность целых чисел а^ для которой й^а5<_р' и
dj — Ьу (П Ip ^ UPj-
Утверждается, что последовательность {о,} удовлетворяет всем необходимым требованиям. Очевидно, для этого достаточно проверить сравнения а7+1 = ау-(mod р7) и эквивалентность {&г}~{аД. Первое следует из неравенств
|«/+1—cij |—!°;+i—by ^j+v^by (у+1)—by (/)—(aj — by (у)) |р^ ^ max (I O/+i — by (7-+1) |р, | by (/+i) —
— by (/) Ip, I a-j — by ^) |p) ^max (1/p7-1, 1/p7, l/p7) = l/p/.
Для доказательства второго утверждения возьмем произвольное /. Тогда для любого i ^ N (/)
1^- - bi |р = \а(-а^ а, - bN ^ - (Ь{ - bN ^ |Р ^
^= шах (| а, Ду |р, | cij Ьм ц^ |р, | bi Ьы (j) |р) ^ ^ max (1/р/, 1//V, 1/р') = lIpL
Поэтому | а{ — Ь, (р-+0 при г -> со, и теорема доказана. □
Что делать, если наше р-адическое число а не удовлетворяет неравенству | а |р ^ 1? В этом случае умножим а на подходящую степень рт числа р (например, на степень числа р, равную |ajp) так, чтобы новое р-адическое число а' = арт уже удовлетворяло неравенству j a' |р ^ 1. Выберем затем в соответствии с теоремой 2 последовательность {д,:}, представляющую а'. Тогда число д = д'р-т представляется последовательностью {д^ с ai = aiP'm.
Для удобства запишем теперь все числа а'{ последовательности, соответствующей д', в р-ичной системе счисления, т. е. положим
a'i = b0 + Ьгр + b2p3 +... + bi-yp1-1, где коэффициенты by обозначают «р-ичные знаки», т. е. целые числа из множества {0, 1, ..., р—1}. Сравнение д^д'+1(тос1 р‘) из теоремы 2 эквивалентно тому, что все знаки числа
«м = Ьо + Ьгр + Ь^ +... + Ь^р1-1 -f- bip1, от bo до Ь£_г включительно, совпадают с соответствующими знаками числа a't. Поэтому д' можно представлять себе интуитивно как число, имеющее бесконечную вправо р-ичную запись: всякий раз, переходя от a't к Д;+1, мы добавляем в этой записи новый знак.
Теперь и наше исходное число а можно представлять себе как р-ичное число с конечным числом знаков «направо от запятой» (т. е. знаков, соответствующих отрицательным степеням р; в нашей записи они начинаются слева), но с бесконечным числом знаков при положительных степенях р:
° = ^ + ^РТ + • • • + ~^ + bm + bmvxp + Ьтл-аР2 + ... .
Пока что правую часть этого равенства следует понимать как сокращенную запись последовательности^}, где ai = bt)p-,n-V...-Vbi-ipi*Vm, т. е. как удобный способ изображения сразу всей последовательности ^аД. Вскоре мы убедимся, что в некотором точном смысле это равенство есть «настоящее равенство». Оно называется «р-адическим разложением» числа а.
Пусть Zp = {а е (Е)р | | g |р ^ 1}. Это множество всех чисел из (Qp, р-адическое разложение которых не содержит отрицательных степеней р. Элементы Zp называются целыми р-адическими числами. (Чтобы избежать путаницы, начиная с этого места обычные целые из Z мы называем целыми рациональными.') Сумма, разность и произведение двух элементов из Zp снова принадлежат ZP. Поэтому ZP~ подкольцо поля (Qp.
Пусть а, Ье^р. Мы пишем as=b (modp"), если \а — Ь\р^р-п, или, эквивалентно, (a — b)lpn е Zp, т. е. если первый отличный от нуля знак в р-адическом разложении числа а — b встречается не ранее, чем на р"-м месте. В случае когда а и b лежат не только в (Qp, но также и в Z (т. е. они целые рациональные), это определение согласуется с данным выше определением сравнения a = b(modc) для с = рп.
В дальнейшем через Zp будем обозначать множество {х g Zp i 1/х е Zp}, или, эквивалентно, {х е ZP| x^O(modp)}, или, эквивалентно, {xeZp| |х|р=1}. Целые р-адические числа из Zp, т. е. числа, имеющие ненулевой первый знак, называют иногда р-адическими единицами.
Пусть теперь {bz}”=_m— произвольная последовательность целых р-адических чисел. Рассмотрим частичные суммы
$N = ^ + ^т + - ' - + ^о + Ь1Р + б2Р2 + . . .-V*bNpN.
Последовательность, состоящая из этих сумм, является последовательностью Коши: если M^>N, то |S;v — Sm|p-< < \{pN. Следовательно, она сходится к некоторому элементу из (Qp. Как и в случае бесконечных рядов вещест-
ОО
венных чисел, определим У Ь,р; как предел после- t = — т
довательности частичных сумм в (Qp.
Более общо, если {с,} — произвольная последовательность р-адических чисел и |сг|р->0 при i->co, то последовательность частичных сумм Sv = ct 4-с2 +... ...-\-cN сходится к пределу, который обозначается через СО
У ^- В самом деле, | S^ S^ |р = | c^+i 4- c^+a 4~ • - • 1 = 1
■ •• + c^|p^max(;cw+i|p, |c^+2|p, ..., jc^Jp), а потому —*■ О при ^-4-oo. Отсюда видно, что проверять сходимость бесконечных р-адических рядов проще, чем бесконечных рядов вещественных чисел. Ряд сходится в поле (Е)р тогда и только тогда, когда последовательность его членов стремится к нулю. В р-адическом случае нет ничего подобного гармоническому ряду 1 +"2 + у + -4 +• ■ • вещественных чисел, который расходится, несмотря на то, что его члены стремятся к 0. Напомним, почему это так: норма | |р суммы двух чисел не превосходит максимума (а не суммы) норм слагаемых, если р =7^оо, т. е. если норма | |р неархимедова.
Вернемся к р-адическим разложениям. Бесконечный ряд
^ + -^ + ...4-^ + 6m + lWP + ^^^
(здесь Ь; е {О, 1, 2, ..., р —1}) в определении р-адиче- ского разложения сходится к а. Значит, это выражение можно истолковать содержательно как сумму бесконечного ряда.
Отметим, что утверждаемая в теореме 2 единственность не имеет места в архимедовом случае. Так, всякая конечная десятичная дробь может быть записана и в виде десятичной дроби с бесконечно повторяющейся цифрой 9 на конце, например 1=0,9999.... В противоположность этому два р-адических разложения, сходящихся к одному и тому же числу из Qp, совпадают, т. е. имеют все одинаковые знаки.
В заключение сделаем еще одно замечание. В качестве множества р-ичных знаков мы могли бы выбрать не только {0, 1, 2, ..., р — 1}, но также и любое другое множество S = {а0, аь а2,..., а^} целых р-ади- ческих чисел, для которых а£ = г(тоар) при г = О, 1, 2, ..., р—1. Тогда р-адическое разложение можно
СО
определить как сумму вида ^ = biP*, где теперь роль I = — пг
«знаков» bt играют элементы множества S, а не множества {0, 1,..., р — 1}. Множество {0, 1,..., р— 1} подходит для почти всех надобностей. Тем не менее существует другое множество S, в некоторых отношениях более естественное. Это множество так называемых представителей Тейхмюллера (см. ниже упр. 12).
§ б. АРИФМЕТИКА В (Qp
Техника выполнения операций сложения, вычитания, умножения и деления р-адическпх чисел во многом напоминает соответствующие операции с десятичными дробями, изучаемые в начальной школе. Единственное отличие в том, что «занимание», «перенос в другой разряд», «умножение столбиком» и т. д. делаются слева направо, а не справа налево. Вот несколько примеров вычислений в (Е)7:
+ 6х7 + 2х72 + ...
х4 + 5х7 + 1х72 + ...
+ 4х7 + 4х72 + ...
1х7 + 4х72 + ...
Зх72 + ...
5Н-5х7 + 4х72 + ...
1+2х7 + 4х72 + ...
2х7-1 + 0х7° + Зх71 + ... 4х7-1 + 6х7°+5х71 + ... 5х7-1 + 0х7° + 4х71+...
В качестве еще одного примера попробуем извлечь корень ]/б в Q5. Мы хотим найти последовательность целых чисел <20> Дь #2, Для которой 0^а;^4 и
(a0 + aiX5 + а2х52 + .. ,)2 = 1 + 1 х5.
Сравнивая коэффициенты при 1=5° в обеих частях равенства, получаем а2 = 1 (mod 5), откуда а0 = 1 или 4. Возьмем а0=1. Тогда, сравнивая коэффициенты при 5 в обеих частях, получаем 2^x5 = 1 х52 (mod 52). Следовательно, 2ai=l(mod5) и аг = 3. На следующем шаге мы должны решить сравнение
1 + 1x5s(1+3x5 + <22x 52)2 г= 1 + 1 х 5 + 2а2 х 52 (mod 5).
Следовательно, 2n2 = 0(mod5) и а2 = 0. Продолжая этот процесс далее, получаем ряд
а=1+Зх5 + 0х52+4х53 + а4х 54 4-а5х55 + ..., в котором каждый коэффициент а,- определяется однозначно после выбора а0.
Напомним, однако, что при выборе Oq мы имели две возможности, а именно 1 или 4. А если бы мы выбрали 4, а не 1? В этом случае мы получили бы
— а = 4 + 1х5 + 4х52 + 0х53 + +(4-а4)х54 + (4-а5)х55 + ... .
Тот факт, что для а^ имеется два возможных выбора и что, когда выбор сделан, последующие числа аь а2, а3,... определены однозначно, просто отражает то обстоятельство, что в таких полях, как (Ц, R или (Е)р, если у ненулевого элемента есть хоть один квадратный корень, то их ровно два.
Всякое ли число из (Q5 имеет квадратный корень? Мы видели, что 6 имеет. А 7? Из равенства
(До с4 х 5 +.. .)2 = 2 +1 X 5
следовало бы сравнение я;; = 2 (mod 5). Но оно неразрешимо—это легко установить перебором всех значений Оо = 0, 1, 2, 3, 4. Поэтому 7 не имеет квадратного корня в (Цз- Более систематическое представление о квадратных корнях в фр можно получить из у пр. 5—11,
Как показывает следующая важная «лемма», изложенный выше метод решения уравнения х2 —6 = 0 в (Е)5 — решение сравнения ag — 6 = 0(mod 5) и затем последовательное нахождение остальных аг —является весьма общим.
Теорема 3 (лемма Гензеля). Пусть F (х) = с0 + cix+... ... + спхп — многочлен с целыми р-адическими коэффициентами, a F' (х) = ^ + 2с2х + Зс3х2+... + пСпХ^ — его производная. Предположим, что а0 — целое р-адическое число, для которого F(a0)=0(modp), a F' (ао)^0 (modp). Тогда существует единственное целое р-адическое число а, такое, что.
F(a) = 0 и a = ao(modp).
(Замечание. В нашем примере F (х) =х2 — 6, F’ (х) = = 2х, Оо = 1.)
Доказательство леммы Гензеля. Прежде всего утверждается существование и единственность последовательности целых рациональных чисел щ, а2, а3, ..., для которой при любом n 1:
F (ап) = 0 (mod pn+1);
a„ = a„_i (mod рл);
0^a„<p"+1.
Докажем это индукцией по п.
Пусть n = 1. Обозначим через й0 единственное целое число из множества {0, 1, ..., р — 1}, сравнимое с щ по модулю р. Тогда всякое аъ удовлетворяющее (2) и (3), можно представить в виде ao4-6ip, где 0^Ьг^ ^р —1. Рассмотрим выражение F(ati-yb1p) и раскроем в нем скобки, помня, что нас интересует результат только по модулю р2, так что все члены, делящиеся на р2, можно опускать:
F (ах) = F (а0 + b^ = 2 с,- (а» + Ь^У =
= 2 (с4а® + icial~1b1p + члены, делящиеся на р2) =
= 2 сД + (2 ща»-*) bxp (mod р2) =
= F (do) + F* (а^ Ь^.
(Обратите внимание на сходство с формулой из анализа для приближения первого порядка функции рядом Тейлора: F (х-\-К) = F (х)-\-F* (х) Я + члены более высокого порядка.) По предположению, F («о) = 0 (mod р), откуда F <Д0) = ар (mod р2) для некоторого а е |0, 1,..., р — 1}. Поэтому сравнение F (а^ = 0 (mod р2) эквивалентно сравнению ар-t-F'До) Ьгр=О (mod р2), или«+F'(а0)Ьх^ = 0(modp). Так как, по предположению, F'(oq)^ ^O(modp), последнее сравнение разрешимо относительно неизвестного Ьг. Действительно, пользуясь леммой из доказательства теоремы 2, выберем таксе 61 е {О, 1, ... ..., р — 1}, что Ьг = — a/F’ До) (mod р). Очевидно, Ьх е е (0, 1, ..., р—1}, удовлетворяющее данному условию, единственно.
Теперь, переходя к общему шагу индукции, предположим, что мы уже отыскали аъ а2, ... , ап-г. Требуется найти ап. По условиям (2) и (3) это число вида ап = a„-i + Ьпрп, где 6Л е {0, 1 р— 1}.
Раскроем скобки и приведем выражение F Дп-Х + Ьпр") к подходящему виду, как и выше в случае п=1, только на этот раз не будем учитывать члены, делящиеся на рл+1. Получим
F Дп) = F (а„-! + bnpn) = F (an-i) 4- F' Дп_х) bnpn (mod p"+1).
Так как по индуктивному предположению Р(ап_г) = = 0(modp"), то А (а^) = а'р" (mod рл+1). Нужное нам условие F Дп) = 0 (mod рл+1) принимает вид
a'pn-VF* (an-i) bпр" = 0 (mod р"*1), т. е.
а' + F' Дп-з) bn^G(modр).
Из сравнения а^ = а» (mod р) легко вывести, что F'Дп-^ = Р'До) (mod р). Тогда требуемое Ьпе е {0, 1, ..., р —1} находится точно так же, как и Ьх в рассмотренном выше случае, т. е. из сравнения Ьп = —ДIF' (ап_А) (mod р). На этом индукция заканчивается, и наше утверждение доказано.
Теорема следует теперь непосредственно из этого утверждения. Действительно, возьмем a = ao-Vbip-V + 62рг + .... Тогда р-адическое число F (а) равно О, так как F (a)=F (ап) = 0 (modp'I+1) для всех п. Обратно,
если а удовлетворяет требованиям теоремы и а = а0 + + Ьгр + b^-V- • • — его р-адическое разложение, то последовательность {п„} удовлетворяет требованиям доказанного утверждения. Отсюда получаем единственность такой последовательности, а значит, и единственность искомого а. Лемма Гензеля доказана. □
Лемму Гензеля часто называют р-адической леммой Ньютона, потому что метод последовательного приближения, использованный в ее доказательстве, по существу
Рис. 1.1. Метод Ньютона в вещественном случае.
совпадает с методом Ньютона нахождения вещественного корня вещественного многочлена. Если f (a„-i) #= 0, то в вещественном случае по методу Ньютона в качестве следующего приближения берется
а -а Нап-1\ ап-ап_х
(см. рис. 1.1). Поправочный член — f (ап-М'^а-?) ватой формуле очень похож на «поправочный член» в дока-
2 Н. Коблиц
зательстве леммы Гензеля:
hon = _ а'Рп- = _!М(mod
Но в одном отношении р-адический метод Ньютона (лемма Гензеля) лучше, чем метод Ньютона в вещественном случае. В р-адическом варианте гарантирована сходимость к некоторому корню многочлена. В вещественном же случае метод Ньютона обычно сходится,
Рис. 1.2. Неудачное применение метода Ньютона в вещественном случае.
но — не всегда. Например, если мы рассмотрим / (х) = = х3 — х и сделаем неудачный выбор а0=1/]/5, то получим
аг = 1//5 - [1/5 К - 1/К5 ]/(3/5 -1) =
= (1 /]/5) [ 1 - (1/5 - 1 )/(3/5 — 1)] = — 1 /Кб;
«2= 1/1^5; «з= — 1/Кб
и т. д. (см. рис. 1.2). В (Qp такая несуразица невозможна.
Упражнения
Пусть а е (Qp имеет р-адическое разложение a-mp-m-V + a_rnJrlp-m*i + ... + а0+«1Р ••• • Как выглядит р-адическое разложение — а)
Найдите р-адическое разложение для:
(6 + 4 x 7 + 2 X 72+1x734-...) (3+0 x 7+0 x 72+6 x 73+...) в ф7 с четырьмя знаками;
1/(3 + 2х5 + Зх52+1х53+...) в ф5 с четырьмя знаками;
9x112—(Зх 11-1+2+1 х 11Х+Зх 112+-..) в фп с четырьмя знаками;
(iv) 2/3 в ф2;(v)-1/6 в ф7;(vi)1/10в фп;
(vii) —9/16 в ф13;(viii)1/1000 в ф5;(ix)6! вф3;
(x) 1/3! в ф3;(xi)1/4! в ф2;(xii)1/5!в ф5.
Докажите, что р-адическое разложение числа а е фр обрывается (т. е. а, = 0 для всех i, больших некоторого N) тогда и только тогда, когда а является положительным рациональным числом со знаменателем, равным степени р.
Докажите, что р-адическое разложение числа а е ф„ начиная с некоторого места периодично (т. е. щ+г=а{ при некотором г и всех I, больших некоторого №) тогда и только тогда, когда оещ.
Докажите следующее обобщение леммы Гензеля. Пусть F (х) — многочлен с коэффициентами в 1р. Если для некоторого aoeZp мы имеем F (а0) = 0 (mod paM+1), F' (a0) = 0 (mod pM), но F' (a0)0 (mod pM*1), то существует и притом единственное
aelp, для которого F (а) = 0 и а = а0 (mod pM+1).
Воспользовавшись своим доказательством упр. 5, найдите квадратный корень из — 7 в ф2 с пятью знаками.
Какие из следующих 11-адических чисел имеют квадратные корни в фц?
(i)5;(ii)7; (ill) -7;
(iv) 5 + Зх И+ 9х П2+1X П3;
(v) Зх11-2+6х11-1 + 3 + 0х11 + 7хН2;
(vi) Зх11-1 + 6 + ЗхП+0х112 + 7хПЗ;
оо
(vii) 1хП7; (viii) 7 —6хН2; (1х) 5х11-2+ 2 пХ11п.
л = 0
Вычислите + К —1 в ф13 с четырьмя знаками.
Для каких р = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 можно извлечь квадратный корень из — 1 в фр?
Пусть р— произвольное нечетное простое число. Предположим, что а е фр и а|р=1. Опишите способ узнать, существует или нет квадратный корень из а в фр. Как действовать, если I a \р * 1? Докажите существование такой четверки чисел at, a2, «з, a4 е фр, что для любсго отличного от нуля а е фр среди чисел a4a, o^a, Oga, a4a ровно одно имеет квадратный корень в фр. (Если заменить р на со, а фр на R, то существуют два числа, например + 1, таких, что для любого ненулевого a е R ровно одно из чисел 1 • а и — la имеет квадратный корень в R.)
Решите ту же задачу, что и в упр. 10, для р = 2. В этом случае требуется найти восемь чисел ах, ..., а8 е (Е)2. таких, что для любого ненулевого ae(Q8 ровно одно из чисел а.ха., ..., а8а имеет квадратный корень в (Q2. (Конечно, выбор такой восьмерки ар ..., а8 не однозначен?)
Найдите первые четыре знака р-адических разложений всех четырех корней степени 4 из 1 в (Q6. Докажите, что уравнение хР — х = 0 всегда имеет р решений а0, аъ ...ар_х в (Qp, для которых af=i(modp). Эти р чисел называются представителями Тейхмюллера для {0, 1, 2р — 1} и используются иногда в качестве р-ичных знаков вместо {0, 1, 2, .... р—1}.
Докажите следующий «признак неприводимости Эйзенштейна». Пусть f (х) = а0 4~ ахх-(-...-(-апхЛ— многочлен с коэффициентами at е Хр- Если a(- = 0(mod р) при i = 0, 1, 2, ..., п — 1, a„^0(mod р) и a0^0(modp2), то f (х) неприводим над фр, т. е. не представим в виде произведения двух многочленов меньшей степени с коэффициентами в (Qp.
Используя упр. 13, покажите, что 1 не имеет других корней степени р, кроме 1, в (Qp при р > 2. (Указание: подставьте у = х — 1 в (хР—1)/(х—1).) Докажите это также другим способом: представьте любой такой корень х в виде 1+рг^'. где 1х' |р=1, а г > 0 — некоторое целое (объясните, почему х = 1 (mod р)), затем это выражение для х возведите в степень р, раскройте скобки и сравните коэффициенты при степенях р.
Докажите, что ряд 1+р + р2+р34-... сходится к 1/(1—р) в (Q„. К чему сходятся 1 —р + р2 —р3-|-р4 —р^... и 1 + (р — 1)р + + р2+(р_1)рЗ + р4+(р_1)р5 + ...?
Предположим, что п —целое (положительное или отрицательное) число, не делящееся на р, и a = 1 (mod р). Покажите, что а имеет корень степени п в (Qp. Приведите пример, показывающий, что при р=п это неверно. Покажите, что а имеет корень степени р, если a = 1 (modр2) ир^2.
Пусть а е Хр- Докажите сравнения «рМ^ aTM-v (mod рм) для М=1, 2, 3, 4Докажите, что последовательность {аР^} стремится к некоторому пределу в (Qp и что этот предел равен представителю Тейхмюллера, сравнимому с а по модулю р.
Докажите, что Хр секвенциально компактно, т. е. что каждая последовательность целых р-адических чисел содержит сходящуюся подпоследовательность.
Рассмотрим матрицы с элементами в (Qp. Суммы, произведения и определители этих матриц задаются точно так же, как и в вещественном случае. Пусть М = {гХг-матрицы с элементами в Zp}, Мх = {ЛеМ | Л обратима в М} (легко видеть, что это равносильно условию det Л е Zp ), и пусть рМ = {Л е М | Л = рВ, где ВеМ}. Докажите, что если Л е Мх и Вер.М, то существует единственная матрица X еМх, для которой Xй — АХ-\-В=0.
Глава II
уО-АДИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА
Эта глава логически не связана с последующими и помещена здесь как плато (по уровню абстракции) на середине нашего восхождения к й. Все происходящее в этой главе еще не выходит за рамки полей (Q, (Е)Р и R.
Дзета-функция Римана £ определяется на множестве вещественных чисел > 1 формулой
€0
£ (s) dFf 2 П$*
Л = I
00
Легко установить (сравнивая с интегралом $ (dx/x5) = '1
= l/(s — 1) при фиксированном s>lj сходимость этой суммы при S> 1.
Пусть р — произвольное простое число. Цель этой главы заключается в доказательстве некоторой «р-ади- ческой непрерывности» последовательности чисел £ (2^) для £=1, 2, 3, .... Точнее, пусть 2£ пробегает все четные положительные целые числа из фиксированного класса вычетов по модулю р — 1. Сопоставим каждому из них значение
f (26) = (!-/>«*--) ^£(26),
где с* = (—l)*(2fe—1) !/22*-1. Оказывается, число П2&) всегда рационально. Кроме того, если два числа вида 2& из рассматриваемого класса вычетов р-адически близки (т. е. их разность делится на большую степень р), то, как мы увидим в дальнейшем, соответствующие им
Решите ту же задачу, что и в упр. 10, для р = 2. В этом случае требуется найти восемь чисел ах, ..., а8 е (Q2, таких, что для любого ненулевого а е (Q2 ровно одно из чисел с^аа8а имеет квадратный корень в (Q2. (Конечно, выбор такой восьмерки «!, ..., а8 не однозначен.)
Найдите первые четыре знака р-адических разложений всех четырех корней степени 4 из 1 в (QB. Докажите, что уравнение х? — х=0 всегда имеет р решений а0, а1( . ..а^ в (Qp, для которых а, = i (mod р). Эти р чисел называются представителями Тейхмюллера для {0, 1, 2, ..., р—1} и используются иногда в качестве р-ичных знаков вместо {0, 1, 2р— 1}.
Докажите следующий «признак неприводимости Эйзенштейна». Пусть f (х) = а0+а1х+-.. 4- апхп — многочлен с коэффициентами a; е Zp- Если aj = 0(modр) при г = 0, 1, 2, ... , п — 1, ал 5=0 (mod р) и a0^0(modp2), то f(x) неприводим над (Qp, т. е. не представим в виде произведения двух многочленов меньшей степени с коэффициентами в (Qp.
Используя упр. 13, покажите, что 1 не имеет других корней степени р, кроме 1, в (Qp при р > 2. (Указание: подставьте у — х—1 в (хр — 1)/(х—1).) Докажите это также другим способом: представьте любой такой корень х в виде 1+ргх', где I х' |р—1, а г > 0 — некоторое целое (объясните, почему х = 1 (mod р)), затем это выражение для х возведите в степень р, раскройте скобки и сравните коэффициенты при степенях р.
Докажите, что ряд 1+р + р2 + р34-... сходится к 1/(1—р) В (Qp. К чему сходятся 1 — р-фр2 — р^Д-р4—р§+...и 1+(р—1)р-4- + р2 + (р-1)рЗ+р4 + (р-1)р5 + ...?
Предположим, что /г —целое (положительное или отрицательное) число, не делящееся на р, и a=l(modp). Покажите, что а имеет корень степени п в (Qp. Приведите пример, показывающий, что при р=п это неверно. Покажите, что а имеет корень степени р, если a = 1 (mod р2) и р 2.
Пусть а г Zp- Докажите сравнения а.Рм= аРМ-1 (mod рм^ для /И=1, 2, 3, 4Докажите, что последовательность {аРм} стремится к некоторому пределу в (Qp и что этот предел равен представителю Тейхмюллера, сравнимому с а по модулю р.
Докажите, что Zp секвенциально компактно, т. е. что каждая последовательность целых р-адических чисел содержит сходящуюся подпоследовательность.
Рассмотрим матрицы с элементами в (Qp. Суммы, произведения и определители этих матриц задаются точно так же, как и в вещественном случае. Пусть М = {гхг-матрицы с элементами в Zp}, МХ=(А еМ( А обратима в М) (легко видеть, что это равносильно условию det A е Zp ), и пусть рМ = {А е М | А = рВ, где В е Л1}. Докажите, что если А е Мх и В е рМ, то существует единственная матрица ХеМх, для которой Ха — АХ-\-В=0.
Глава 11
уО-АДИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА
Эта глава логически не связана с последующими и помещена здесь как плато (по уровню абстракции) на середине нашего восхождения к й. Все происходящее в этой главе еще не выходит за рамки полей (Q, (QP и R.
Дзета-функция Римана С определяется на множестве вещественных чисел >> 1 формулой
СО
СИ за 2/1 = 1
ОО
Легко установить (сравнивая с интегралом $ (dx/x?) = '1
= l/(s— 1) при фиксированном S>1) сходимость этой суммы при s> 1.
Пусть р — произвольное простое число. Цель этой главы заключается в доказательстве некоторой «р-ади- ческой непрерывности» последовательности чисел С (2^) для ^=1, 2, 3Точнее, пусть 26 пробегает все четные положительные целые числа из фиксированного класса вычетов по модулю р — 1. Сопоставим каждому из них значение
Г№ = (3--р,‘-1)да№1=).
где ск — (—I)6(2^—1) !/226-1. Оказывается, число f(2&) всегда рационально. Кроме того, если два числа вида 2^ из рассматриваемого класса вычетов р-адически близки (т. е. их разность делится на большую степень р), то, как мы увидим в дальнейшем, соответствующие им
значения / (2^) также р-адически близки. (При этом нам понадобится еще одно предположение: 26 не делится на р — 1.) По существу это означает, что функцию / можно однозначно продолжить до непрерывной функции f, определенной на множестве целых р-адических чисел и принимающей значения в (Qp. (Непрерывность понимается здесь, как в классическом анализе: если {хга} р-адически сходится к х, то {/(хл)} р-адически сходится к f(x).)
Эту процедуру мы называем р-адической интерполяцией. Она аналогична классическому методу, скажем, определения функции f(x)—ax (где а— фиксированное вещественное положительное число): сначала определяем значения / (х) для рациональных х, затем доказываем близость значений ах при близких рациональных х и в заключение определяем ах для иррационального х как предел ах« по рациональным хп, стремящимся к х.
Отметим, что любую функцию f на множестве S, например, четных положительных чисел можно продолжить до непрерывной функции на Zp не более чем одним способом (при р ^ 2). Это следует из плотности подмножества S в Zp: любое х е Zp представимо в виде предела последовательности целых четных положительных чисел хп. Действительно, если / — непрерывная функция, то f (х) = lim f(xn). В вещественном же случае /I -*оо
множество рациональных чисел плотно в R, a S—нет. Поэтому условие непрерывности не определяет еще вещественную интерполяцию функции, заданной на множестве четных положительных чисел. Таких интерполяций всегда бесконечно много. (Однако при некоторых дополнительных требованиях на вещественную интерполирующую функцию, помимо непрерывности, она может оказаться единственной. Например, гамма-функция Г (х+ 1) интерполирует 6! для целых неотрицательных x — k. Кроме того, она удовлетворяет функциональному уравнению Г (х+ 1) = хГ (х) при всех вещественных х, а ее логарифм является выпуклой функцией при х>0. Этими условиями гамма-функция характеризуется однозначно.)
ФОРМУЛА ДЛЯ ЗНАЧЕНИЙ g (2А)
Рассмотрим следующее разложение Тейлора:
t 1
е'—1 — 1 + </2!+^/3!+/з/4| + ... + ;л/(п + 1) |+--- =
33 S В№.
А = О
Произведение ^-го коэффициента этого степенного ряда на Л! называется к-м числом Бернулли и обозначается через Вл. Вот несколько первых В»:
Во=1, Bj = —1/2, Ва= 1/6, В3 = 0,В4 = —1/30, В6 = 0, Вв=1/42
В этом параграфе мы установим формулу
=для к=\, 2, 3
Напомним определение гиперболического синуса, обозначаемого через sh:
Для него мы имеем следующее разложение Тейлора: shx = x + gr+^4-... + ^^ [+..., которое получается усреднением соответствующих рядов для ех и — е~х. Отметим, что он отличается от ряда Тейлора для sinx отсутствием чередования знаков.
Предложение. Бесконечное произведение
сходится при любом вещественном х и равно sh (ях).
Доказательство. Сходимость следует непосредственно из логарифмического признака:
ООсо
2 log(l+^)|^ ^ §<°° при любом X. л=1л=1
Доказательству равенства мы предпошлем вывод разложения в бесконечное произведение для sinx.
Лемма. Пусть п = 2k-\-\—целое нечетное положительное число. Тогда существуют многочлены Рп и Qn-i с целыми коэффициентами степени, не превосходящей п и п— 1 соответственно, такие, что
sin (пх) = Рп (sin х), cos (nx) = cos х Qn-x (sin х).
Доказательство леммы. Воспользуемся индукцией по k. Для Дг = О (т. е. n=V) лемма очевидна. Предположим, что она уже доказана для k — 1. Тогда sin[(2&+ 1) х] = sin[(2&— 1) х4-2х] =
= sin(2& — l)xcos2x+cos(2/s— l)xsin2x=
= Рги-i (sin x) (1 — 2 sin2 x) +
+ cos xQto-г (sin x) 2 sin x cos x, откуда легко получить нужное представление вида ^26+1 (sin х). Проверка соответствующего утверждения для cos(2&+l)x аналогична, и мы оставляем ее читателю. □
Продолжим теперь доказательство предложения. Прежде всего, подставив х = 0 в тождество sinnx = = Р„ (sin х), мы устанавливаем, что постоянный член у Рп равен нулю. Затем, продифференцировав sin пх — = ДЯ(5ШХ) по х, получим
п COS пх= Р'п (sin х) COS X.
Подставим в это тождество х = 0; мы увидим, что /1 = ^(0), т. е. первый коэффициент многочлена Рп равен п. Следовательно,
= Ргь (sinx)= l+a1sinx + a2sin2x4-...
...4-02» sin 26х (п = 2^4-1),
где аг —некоторые рациональные числа. Отметим теперь, что левая часть обращается в нуль при х = ±л/п, ...
..., ±knln. Кроме того, все 2k значений i/ = ±sinn/n, ± sin 2л/п,..., sin kn/n, в которых обращается в нуль многочлен Р^ (у), различны; степень Р^ равна 2k,
а постоянный член равен 1. Поэтомуа постоянный член равен 1. ПоэтомуСледовательно,Следовательно,sin пхп sin хsin пхп sin х=Л2Й (sinx) = Ц(1г = 1=Л2Й (sinx) = Ц(1г = 1sin2 х ' sin2 mlnsin2 х ' sin2 mln
а постоянный член равен 1. Поэтому
а постоянный член равен 1. Поэтому
Следовательно,
Следовательно,
sin пхп sin х
sin пхп sin х
=Л2Й (sinx) = Ц(1г = 1
=Л2Й (sinx) = Ц(1г = 1
sin2 х ' sin2 mln
sin2 х ' sin2 mln
Подставив я,х1п вместо х, получаем
sin тх п sin пх/пsin тх п sin пх/пsin2 п.х/п\sin2 г л/п/'sin2 п.х/п\sin2 г л/п/'
sin тх п sin пх/п
sin тх п sin пх/п
sin2 п.х/п\
sin2 г л/п/'
sin2 п.х/п\
sin2 г л/п/'
Перейдем теперь к пределу при п = 2^+1->оо в обеих частях последнего тождества. Левая часть стремится к (sin лх)/лх. При г, достаточно малом по сравнению с п, r-й член произведения близок к 1 — ((лх//г)/(лг//г))2 = = 1— х1!^. Отсюда следует, что произведение сходится
ОО
к Д (1 — x^Y (Строгую проверку мы оставляем чита- г = 1
телю в качестве одного из приведенных ниже упражнений.)
Таким образом,
со
П
/ ,Х2\ sin ЛХ ,Л2Х2 , Л4Х* ЛвХ® , Л8Х®
~ 1зГ + 7Г + "91
п=1
Правая часть —это разложение синуса в ряд Тейлора. С другой стороны,
$Ьлх . . Л2Х2 , Л4Х» , Лвх6 , Л8Х8 .
1 т зГ ~5Г *тГ ~9Г ‘*
^-M5S3SS1^^
этогоэтогоЕсли мы раскроем скобки в бесконечном произведении для sin (лх)/лх, то знак минус будет только у тех членов, которые содержат нечетное число сомножителей вида x^jn?, т. е. в точности у тех членов, которые подобны членам со знаком минус в ряде Тейлора для sin (лх)/лх. Следовательно, изменение знака внутри сомножителей полученного разложения вызовет изменение в ряде справа всех минусов на плюсы, что и доказывает требуемое равенство. (Для «лучшего» понимания завершающего шага см. упр. 3.) □
этого
этого
вышевышетож-тож-Теперь мы готовы доказать обещанную формулу.
выше
выше
тож-
тож-
Теорема 4.
и 31 (2&_ I)! (26 Г
Доказательство. Прологарифмируем обе части дества
ОО
П
/у2\
1 + -^)
\
п = 1
(при х>0). Слева мы получим
logsh лх = log [(е^-* — е~Лх)/2] = log [(еЯх/2) (1 — <г2Лх)] = ^= log (1 — е~2Лх) 4- лх — log 2.
Справа, пользуясь разложением Тейлора функции log (14-х), получим
Iog3t4-logx 4- У log(l 4-х2/п2) =
п = 1
ОО ОО
=iogn+iogx+ 2 2 <-1)6+1^-п = 16 = 1
Последний двойной ряд сходится абсолютно при 0<х< < 1. Поэтому можно изменить в нем порядок суммиро-
взния и получить тождество
log(l-e-2^) + nx-log2 =
v1х26 V *
= logn+logx+ У ( U6+
fe=tl”=‘
”2ft
= logn + logx+ 2 (—1)*+1 V ^2^’
Продифференцируем теперь обе части этого тождества по х. Ряд справа можно дифференцировать почленно, так как ряд из производных сходится равномерно на каждом интервале 0 < х < 1 — е при е > 0.
Следовательно,
Зле-251*1—e-!MWЗле-251*1—e-!MWА-}.2 ^ (—1)А+1 х26-Ч (2^)- х fe=i
Зле-251*
1—e-!MW
Зле-251*
1—e-!MW
Умножив на X, а затем подставив х/2 вместо х, получим
лхлхлх , , V (-^Ч (ЭД x3ft. "2 = 12^-1
лх
лх
ft= 1
ОО
Левая часть разлагается в ряд лх/2 + У, ^(лх)*/^!.
6 = 0
Сравнивая коэффициенты при четных степенях х, полу* чаем равенство л2бВг6/(2&)! = ((—l^+^^^S^), что и завершает доказательство теоремы. □
Вот несколько примеров:Вот несколько примеров:№)-^- CW-£. ^6>=Й-№)-^- CW-£. ^6>=Й-
Вот несколько примеров:
Вот несколько примеров:
№)-^- CW-£. ^6>=Й-
№)-^- CW-£. ^6>=Й-
Формула для С (2&) из теоремы 4 предусмотрительно записана в таком виде, в котором выделены «интересная» часть — B2k]2k и нежелательный множитель (—1)*л“х х226-1/(2А—1) L Именно эту интересную часть мы и будем р-адически интерполировать. Позднее (в § 7) мы представим некоторые мотивы для выделения — В^Дк
«из общего котла». Пока отметим лишь, что от л26 обязательно следует избавиться при р-адической интерполяции значений дзета-функции, поскольку нет разумной р-адической интерпретации вещественных трансцендентных чисел. (Как определить, например, их р-ади- ческий порядок?)
р-АДИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИИ f^ = as
Этот параграф сыграет свою роль в дальнейшем изложении. Сюда же он помещен в учебных целях: как на- макете, мы ознакомимся с некоторыми чертами р-адической интерполяции, которые могли бы иначе вызвать недоумение.
Пусть а —некоторое фиксированное положительное вещественное число. Мы уже отмечали выше, что функцию f (s) = as можно определить как непрерывную функцию вещественного аргумента, задав ее сначала на множестве рациональных чисел, а затем «интерполируя» или «продолжая по непрерывности» на все вещественные числа, каждое из которых представимо в виде предела последовательности рациональных чисел.
Предположим теперь, что а = п — некоторое фиксированное целое положительное число. Будем рассматривать п как элемент Qp. Тогда для каждого целого неотрицательного s целое число п$ принадлежит Zp. Множество всех целых неотрицательных чисел плотно в Zp, как и множество Q в R. Действительно, каждое целое р-адическое число представимо как предел последовательности целых неотрицательных чисел (например, последовательности частичных сумм его р-адического разложения). Поэтому функцию f(s) — ns можно попытаться продолжить по непрерывности с множества целых неотрицательных s на все целые р-адические s.
Для этого необходимо выяснить, близки ли два значения п$ и п8' для близких целых положительных s и s', например для s' = s-\-pN при достаточно большом N. Как показывают следующие два примера, это верно не всегда:
п = р, s = 0; тогда |л5 — п8' |р = | 1 -ppN |р= 1 независимо от N;
1 < га < р; тогда по малой теореме Ферма (см. первый абзац в доказательстве теоремы 9 из § III. 1) п = пр (mod р), поэтому n = np = np2snPa = ... ... = npN (mod р)', отсюда пх — nXJrpN = ns(1 — npN) = nx (1 — n)(modp), а значит, In5 — ns'|p=l независимо от N.
Но наше положение не столь безнадежно, как может показаться после двух таких примеров. Рассмотрим такое п, что n=l(modp), т. е. n=l+mp. Пусть | s'— s|p^ l/p^, иными словами, s' = s-\-s"pN для некоторого s" eZ- Тогда (если, скажем, s' >s)
I пх — ns' Ip = I ns Ip i 1 — Пх-х Ip = 1 — nx'-s Ip == |l-(l + mp/^p.
Но из разложения
(1 + mpy p = 1 + («"p") mp + -p 2~ ^mp^ + •1 *
,..-Vvmpy"pN
видно, что слагаемые в 1 — (1 -утру"рМ делятся на рМлХ. Следовательно,
\пх-п8' |р^|Р"+1|р=^1.
Иначе говоря, если s'—s делится на pN, то п8 — п8' делится на pNJrl.
Итак, если п=1 (modp), то мы можем определить значение функции / (s) = пх для любого целого р-адиче- ского s как целое р-адическое число, равное пределу значений nSi по любой последовательности целых неотрицательных чисел з,, стремящейся к s (например, по последовательности частичных сумм р-адического разложения s). Тогда f (s) — непрерывная функция на Zp со значениями в Zp.
Можно добиться чуть большего и определить пх для любого п, не делящегося на р. С этой целью потребуем, кроме сравнимости чисел s и s' по модулю большой степени р, их сравнимости по модулю р—I. Точнее, фиксируем некоторое s0 е {О, I, 2, 3, ..., р — 2} и вместо того, чтобы рассматривать значения пх для всех
целых неотрицательных s, рассмотрим значения п? только для s, сравнимых с фиксированным s0 по модулю р — 1. Пусть s = s0+(p— 1)$1, где Sj — произвольное неотрицательное целое число. Тогда выделенные значения приводят к числам rtso+(p-Dsi, После этого мы можем провести р-адическую интерполяцию, так как
ns = п?» (п^-1)^
и пР-1 = 1 (mod р) для любого п, не делящегося на р. Действительно, здесь пР-1 играет ту же роль, что и п в предыдущем абзаце, a sx — роль s (постоянный множитель ns° несуществен).
В результате мы получили интерполирующую функцию f, которую можно ввести еще так. Пусть SSo — множество целых неотрицательных чисел, сравнимых с s0 по модулю р — 1. Множество SS|) плотно в" Zp (см. ниже упр. 7). Тогда функцию /: SSo->-Zp, заданную формулой / (s) = ns, можно однозначно продолжить по непрерывности до функции Zp->-Zp. Заметим, что так определенная функция f зависит от s0, а не только от п.
В случае когда n = 0(modp), мы сталкиваемся с действительной трудностью. Это происходит потому, что nSi-*0 р-адически для любой возрастающей последовательности целых неотрицательных чисел. В самом деле, любая последовательность целых неотрицательных чисел, стремящихся к числу s е Zp, которое не является целым неотрицательным числом, содержит бесконечно возрастающую подпоследовательность. Поэтому единственным кандидатом на роль интерполирующей функции в этом случае будет нулевая функция, что нелепо.
В заключение отметим, что предыдущие рассуждения дословно переносятся на случай функции \]ns (см. ниже упр. 8).
Вернемся снова к дзета-функции Римана
ОО
u«)=2s <s>1)
/1 = 1
Можно попытаться наивно проинтерполировать каждый член ряда £ (s) и затем сложить результаты. Но из
этого ничего не выйдет, потому что уже сумма одних только поддающихся интерполяции членов, для которых р ф п, расходится в Хр- Тем не менее давайте временно забудем про это и рассмотрим ряд почленно.
Прежде всего желательно избавиться от всех членов l/ns, для которых а делится на р. Сделаем это следующим образом:
ОООО
ОО
ОО
£ (8) " \ — \)р$2П®'
/1 = 1, Р-^ п
В дальнейшем мы будем работать именно с этой последней суммой
V — = f 1£ (s).
n = 1, P \ "
Эта процедура известна как жителя. Название связаноЭта процедура известна как жителя. Название связановыделение эйлерова р-мно- со знаменитой формулой1l-Wвыделение эйлерова р-мно- со знаменитой формулой1l-W
Эта процедура известна как жителя. Название связано
Эта процедура известна как жителя. Название связано
выделение эйлерова р-мно- со знаменитой формулой
1
l-W
выделение эйлерова р-мно- со знаменитой формулой
1
l-W
простые q
и получаеми получаемC(s)- П Pi?-простые цфрC(s)- П Pi?-простые цфр(см. ниже упр. 1). Множитель 1/(1 —1/^) в этом произведении, соответствующий простому числу q, называется эйлеровым q-множителем. Таким образом, умножая £(s) на (1 —l/ps), мы уничтожаем эйлеров р-множитель
и получаем
и получаем
C(s)- П Pi?-
простые цфр
C(s)- П Pi?-
простые цфр
Теперь мы намерены выбрать s0 е {0, 1,2,..., Р 2} и ограничить область изменения аргумента до множества всех s^SSo = {s[ s = so(modp I)}.
В дальнейшем окажется, что введенные в § 1 числа — B^bl2k после умножения на 1 — р2^1 могут быть проинтерполированы для 26 е S2So (2s0 е {0, 2, 4, ... .р — 3}). Отметим здесь, что умножение происходит не на [1 — (1/р2*)], как можно было бы ожидать, а на эйлеров множитель с аргументом 1 — 26 вместо 26: 1 — (1/р1-2А) = 1 — р2А-1. Причина довольно естественной замены 26 «-> 1 — 26 будет объяснена в § 7. (Мы увидим, что «интересующий нас множитель» —В^^к в £(26) равен в действительности £(1—26); значения £(х) и £(1 — х) связаны между собой некоторым «функциональным уравнением».)
Точнее, мы установим следующий факт: если 26, 26'eS26o (где 260е{2, 4, .... р — 3}; в случае 6о = О формулировка немного сложнее) и k = к' (mod pN), то (см. § 6)
(1 _^-1)(_в2,/2А)^(1 -p^-4(_B^2k'Hmodp^ Эти сравнения впервые были открыты Куммером около ста лет назад. Но их интерпретация в связи с р-ади- ческой интерполяцией £-функции Римана была получена только в 1964 г. Куботой и Леопольдтом.
Упражнения
Докажите, что для s > 1
£(s)= Дпростые q
Докажите, что при п=264-1-*оо к
П
3.3.1 — sin2 (лх/л)/ sin2 (лг/п)
3.
3.
Используя формулу 6^ = 008x4-1 sinx, покажите, что shx =—isinix. Затем другим способом выведите бесконечное произведение для sh х из произведения для sin х.
Докажите, что 5^ = 0 для нечетных к^>\.
Используя формулу для £ (2А) в сочетании с асимптотической формулой Стирлинга nt ~ V2лп п"е-п (где знак ~ означает, что отношение обеих частей стремится к 1 при л-»-со), вычислите асимптотику обычной архимедовой абсолютной величины для В^.
Вычислите с четырьмя знаками р-адическую функцию из § 2 в следующих случаях:
(i) II1/601 в (QB; (И) /1710 в (Qs;
(iii) (_б)3+*-7+3-7’+7’+-- в (Q7.
Пусть Sq e {0, 1, ..., p— 2}. Докажите, что множество целых неотрицательных чисел, сравнимых с з0 по модулю р — 1, плотно в Zo. т. е. каждое число из Zp приближается этими числами с любой степенью точности.
Что произойдет, если в рассуждениях § 2 целое положительное число л заменить на л е Zp? А если вместо функции f(s) = ns рассмотреть /(s) = l/ns? Заметим, что последнее эквивалентно выбору в качестве плотного подмножества в Zp множества неположительных целых чисел вместо неотрицательных при той же интерполируемой функции /.
Рассмотрим функцию х, заданную на множестве целых положительных чисел следующим образом:
1, Х(п) = < —1.о,1, Х(п) = < —1.о,если если еслиесли если еслип = 1 (mod 4); л = 3 (mod 4);
1, Х(п) = < —1.
о,
1, Х(п) = < —1.
о,
если если если
если если если
2 | п.
Положим Lx(s)aa 5 (х («)/«*)= 1-(1/3*) + (1/5*)-(1/7*)+-.
п = 1
Докажите, что Lx(s) сходится при s>0, а при s>l сходится абсолютно. Найдите Z-x (1). Найдите также эйлеровы произведения для L (s) и Ax(sjg^f 2(Х(л)/п5)- (Оказывается, для зиа-
1, р ^ п
чений LX(2A4-1) (т. е. здесь для нечетных аргументов вместо четных) существует формула, аналогичная формуле теоремы 4: число
Вх, „ ^ л! -1 коэффициент при 1» в — -( = ^—^
заменяет Вл.)
Замечание. Упражнение 9 относится к частному случаю следующей ситуации. Пусть N — целое положительное число, а (Z/(VZ)X —мультипликативная группа классов вычетов по модулю N целых чисел, взаимно простых с N. Пусть у: (Z/(VZ)X->-Сх— гомоморфизм группы (Z/A^Z)y в мультипликативную группу ненулевых элементов поля комплексных чисел. (Легко установить, что образу х 8 С принадлежат только корни из 1.) Гомоморфизм % называется характером группы (Z/^Z)X- Предположим, что X — примитивный характер, т. е. не существует целого Л4, делящего N, для которого 1 ^ М < N и значения х на элементах из (ZINZV зависят только от их класса по модулю М. Обозначим через х также функцию на множестве всех целых чисел п, равную X (п mod N) для п, взаимно простых c-N, и 0 в остальных случаях. Такая функция % называется характером Дирихле с кондуктором N.
Определим теперь
ОО
4(5) d3 2п = 1
Для этой функции можно найти явную формулу, подобную формуле из теоремы 4: число
Iy to)
Вх, zi defл-" коэффициент при tn в >I
\а=1 е —1/
заменит Вп. Эта формула задает значения Lx для четных целых, если %(—1)=1, и для нечетных, если х(—1) = —1. (См. книгу Ивасавы [(c) 1].)
Кроме того, имеет место явная формула
СО
чо)-^-
П = 1
N — 1
^2 X (a) log sin-^, если х(-1) = Ъ
।а = 1
|N — 1
I шт (х) V ,
I —^Г" X (“)•“»если х(-1) = -1,
Iа= 1
где чертанад х обозначает комплексное сопряжение характера: Х(“) ЙЗХ(а), а числа
N — 1
T<X)dS 5 X^e2Itia/N
а = 1
известны как гауссовы суммы. (Доказательство этого факта можно найти, например, в книге Боревича и Шафаревича [(b) 1], стр. 442 — 444.)
Используя предыдущую формулу для Lx(l), проверьте полученное вами значение Lx (1) в упр. 9. Докажите также, что:
1,1 1,1 1,1 1 / , 1
U 12 + 45 + 78 + 10++ зд + 1
3^+23/3 ’
I 35 + 7 + 91113 + 15 + 17 19 21 "*"
_log(l+K2)
+Й +УГ--
§ 3. р-АДИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
В качестве «базиса открытых множеств» метрического пространства Qp можно взять систему множеств а + + Р^2р={хе1)р| |х — а|р^1/р^}, где ае(Е}р, a N eZ. Это означает, что любое открытое подмножество в Qp представимо в виде объединения открытых множеств такого вида. Множества a-VpNXp в этой главе называются интервалами (в других местах мы часто будем называть их дисками) и обозначаются также через a~V(pN). Отметим, что все интервалы одновременно открыты и замкнуты. Они замкнуты, так как дополнение к a-\-(pN) равно объединению открытых множеств a'-\-(pN) по всем a' e(Qp, для которых а* ф а-\- (pN).
Напомним, что пространство Zp секвенциально компактно, т. е. каждая последовательность целых р-ади- ческих чисел содержит сходящуюся подпоследовательность (см. упр. 18 к § 1.5). Очевидно, то же самое справедливо для любого интервала или их конечного объединения. Для любого метрического пространства X секвенциальная компактность некоторого подмножества S с X эквивалентна следующему свойству, называемому просто компактностью; если S содержится в объединении открытых множеств, то оно содержится в некотором объединении конечного числа этих множеств (каждое открытое покрытие обладает конечным подпокрытием). (См. Симмонс [(а) 1], § 24; эта книга является хорошей сводкой понятий из общей топологии ^J Отсюда следует, что открытое подмножество в Qp компактно тогда и только тогда, когда оно есть объединение конечного числа интервалов (см. ниже упр. 1). Такие подмножества, называемые «компактнооткрытыми», все время появляются в этом параграфе.
Определение. Пусть X и У — два топологических пространства. Отображение f; X -> У называется локально постоянным, если каждая точка х е X обладает такой окрестностью U, что f (U) — одноэлементное подмножество У.
г) См. также Куратовский [(а) 6], т, 1, § 41, —Прим. перев.
Очевидно, любая локально постоянная функция непрерывна.
В классическом анализе понятие локально постоянной функции малоупотребительно, потому что обычно все такие функции постоянны. Последнее верно для всякого связного X, например для R и (D-'
Но у нас X будет компактно-открытым подмножеством в $р (как правило, Zp или ZP = {хе Zp| |х|р= 1}). На таких пространствах существует много нетривиальных локально постоянных функций. Точнее, f: X^-(QP локально постоянна тогда и только тогда, когда f представима в виде конечной линейной комбинации характеристических функций компактно-открытых подмножеств (см. ниже у пр. 4).
Локально постоянные функции играют для р-адических подпространств X ту же роль, что ступенчатые функции при определении интеграла Римана в случае X = R.
Пусть теперь X — компактно-открытое подпространство в (Qp, такое, как Zp или ZP.
Определение. Линейный над Qp гомоморфизм р Qp-векторного пространства локально постоянных функций на X в Ер называется р-адическим распределением на X. Пусть /: X->(QP —некоторая локально постоянная функция. Вместо р(/) мы обычно пишем ^fp.
Эквивалентное определение (см. ниже упр. 4). Аддитивное отображение р множества компактно-открытых подмножеств в X со значениями в (Qp называется р-адическим распределением на X. Аддитивность означает, что для всякого разбиения множества U а X на компактно-открытые подмножества Ui, U^Un
р^р^ + р^ + .-.+р^).
Эквивалентность определений означает, что всякое р во втором смысле однозначно «продолжается» до единственного р в первом смысле, и наоборот, всякое р в первом смысле «ограничивается» до некоторого р во втором смысле. Точнее, пусть р — распределение
в смысле первого определения. Тогда,. положив р([/) =
= J (характеристическая функция подмножества (/) р для каждого компактно-открытого подмножества U, мы получим распределение (также обозначаемое через р) в смысле второго определения. Обратно, если мы имеем распределение р в смысле второго определения, то соответствующее распределение в первом смысле задается (Qp-линейным продолжением с множества характеристических функций, для которых полагаем
$ (характеристическая функция подмножества (/) Р = = И(^).
Итак, значение ^/р для локально постоянной / легко вычислить, зная разложение f в линейную комбинацию характеристических функций.
Предложение. Каждое отображение р множества интервалов, содержащихся в X, в (Qp, для которого
р—Т
р (а + (pN)) = 5 И(а + ^ + (Р" + 1))
6 = 0
при любом а^(ры) с X, однозначно продолжается до р- адического распределения на X.
Доказательство. Каждое компактно-открытое подмножество UcX можно представить в виде конечного объединения непересекающихся интервалов: U = [J It (см. упр. 1). Положим тогда Н (^0 зй Jj Р (Л)- (В силу аддитивности искомого р, это значение р (U) единственно возможное.) Проверим теперь независимость р((/) от выбора разбиения множества U на интервалы. Для этого заметим прежде всего, что любые два разбиения U = = (J Ц и U = (J Г[ на непересекающиеся интервалы имеют общее подразбиение (более мелкое, чем каждое из исходных) /i=(J/y, причем если Ii = a-V(pN), то
1у пробегает все интервалы вида а'-У(рм'У где N* — некоторое фиксированное натуральное число > N, а а* = а (mod pNy Тогда, применяя несколько раз формулу из условий предложения, мы получаем
pN'-N^
\Ц11) = У-(.а-V (,РМУ) =5р(а + /^ + (р"')) =
/ = 0
Следовательно, У, p (Л) = У р Ццу Отсюда У р (/,-) =
= 2 И №)» потому что обе части равны сумме по общему i
подразбиению. Теперь аддитивность р очевидна. А именно, пусть U—объединение непересекающихся Ui. Разобьем каждое Ui в объединение непересекающихся интервалов 1ц. Тогда U = \jli# и
н (V) = S i1 №/>=S S и (М= S и w °Л ji ii
Приведем теперь несколько простых примеров р- адических распределений.
Распределение Хаара рнааг- Положим
PHaar (а + (РМУ^ ~^n .
По предыдущему предложению, эта функция продолжается до распределения на Zp, так как
р—1р—1
2 PHaar^ + ^+^ + ^J^ 2^Н=^ =
б=об = оР Р
= рнааг (a+(pNy.
Это единственное (с точностью до постоянного множителя) распределение, инвариантное относительно сдвигов, т. е. такое, что рнааг (а + ^) = рнааг (U) для всех aeZp, где а + U ^ {х е ZP | x — aeUy
Распределение Дирака ра> сосредоточенное в точке aeZp (а фиксировано). Положим
( 1, если а г U,^“^Децо в противном случае.
Аддитивность ца очевидна. Отметим, что § fp.a =/(«) для локально постоянных функций f,
Распределение Мазура рмагиг- Прежде всего без ограничения общности запишем каждый интервал из Zp в виде а + (р^), где а — целое рациональное число между О и pN — 1. Предполагая это, зададим
PMazur ОЖ^)) 33 4 ~ 4р
Проверку аддитивности ДЛЯ pMazur отложим до следующего параграфа, в котором она окажется частным случаем некоторого более общего утверждения.
В заключение укажем на одно существенное отличие распределений рнааг и цмагиг от классических мер. В этих двух примерах р-адических распределений мера «стягивающегося» интервала (т. е. при 2V->-oo) увеличивается в р-адической метрике, а именно:
||*нааг(а+(Ру))|р= 4 = PNр р
и для р ф а (и N > 1 в случае р = 2)
|ЦМа2иг(а + (р"))|р ==PN-
Р 2 р
С этой особенностью мы еще столкнемся ниже.
Упражнения
Дайте прямое доказательство компактности Zp (т. е. существования конечного подпокрытия для каждого открытого покрытия Zp). Затем докажите, что открытое подмножество в Zp компактно тогда и только тогда, когда оно представимо в виде конечного объединения непер ссекающихся интервалов. Заметим, что каждый интервал представим в виде конечного объединения
+ (?”) = (J а ++ (?”) = (J а +непересекающихся интервалов «равной длины»: а
+ (?”) = (J а +
+ (?”) = (J а +
ь = о
+ 6рл + (рл+1). Докажите, что конечное повторное применение последней процедуры позволяет получить любое разбиение интервала в объединение непересекающихся подынтервалов.
Приведите пример открытого некомпактного подмножества в Zp.
Пусть U — открытое подмножество топологического пространства X, a f: X-*Z—его характеристическая функция, т. е.
1, О1, Оесли х е X, в противном случае.
1, О
1, О
Покажите, что f локально постоянна для X = ZP и любого компактно-открытого подмножества U, но не локально постоянна, если X = R и U — непустое открытое подмножество, отличное от R.
Пусть X— компактно-открытое подмножество в (Qp. Покажите, что функция f: X -* (Qp локально постоянна тогда и только тогда, когда она равна конечной линейной комбинации с коэффициентами в (Qp характеристических функций компактно-открытых подмножеств в X. Затем докажите эквивалентность двух определений распределения на X.
Пусть asQp и |а|р = 1. Покажите, что Ннааг (а^) = = ^Haar (^ для каждого открытого компактного подмножества U, где all обозначает множество {ах | х е Щ.
Пусть f: Zp-> (Qp — локально постоянная функция, заданная следующим способом: /(х) = первый знак р-адического разложения х. Найдите J/ц, когда: (1) р = распределение Дирака Fa’ (2) F = FHaar’ ^ F = FMazur-
Пусть ц—функция на множестве интервалов a4-(pN'), заданная формулой
p-KW + D/a],
если первые [^/2] знаков при нечетных степенях р
F(n+(PW)) =
в р-адическом разложении
а равны 0,
0
в противном случае,
где [ ]—целая часть. Докажите, что р, продолжается до распределения на Zp-
+ CpN)^ Ip при возрастании W.+ CpN)^ Ip при возрастании W.Обдумайте, как можно было бы построить примеры р- адических распределений с разной степенью роста шах | р(а + 0 ^a<pN
+ CpN)^ Ip при возрастании W.
+ CpN)^ Ip при возрастании W.
§ 4. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ БЕРНУЛЛИ
Прежде всего определим многочлены Бернулли Вк (х). Рассмотрим следующую функцию от двух переменных t и х:
(
ООX / СОч
L Dk A! Z AI *
А = 0/ \А = О/
Собирая коэффициенты этого произведения при tk, мы получим для каждого к многочлен от х. Произведение этого многочлена на к', называется к-м многочленом Бернулли и обозначается через Вк (х). Таким образом,
text V о \
А= о
Вот несколько первых многочленов Бернулли:
В0(х) = 1, Bi(x) = x —^2, В2(х) = х2 —x+Ve,В3 = х3 — 1/2х2 + 3/г*
В этом параграфе, употребляя обозначение a+ (pw), мы подразумеваем, что 0^a^pw — 1. Фиксируем некоторое целое неотрицательное число к и определим отображение Цв.й на множестве интервалов а-Кр^) формулой
^в, к {a+(pN)) = pN^-^Bk (alp^.
Предложение. Функция рв, к продолжается до распределения на Zp (называемого к-м распределением Бернулли).
Доказательство. По предложению из § 3 достаточно показать, что
р —1
^B,kla^<pN))= У, Рв, hka^bpN-V^^^YЬ = О
Правая часть равна
ptW + OtA-l) У В
рЫ \ nN д'1 Г
6=0’
Умножим доказываемое соотношение на р— n^—о и положим a = alpN + l. Тогда мы увидим, что необходимо доказать соотношение
р—i
Bk^ = pk-^ вЛа^Х
б = о7
Правая часть, деленная на /г!, равна по определению многочленов Вк(х) коэффициенту при tu в разложении Тейлора функции
6=06=0
Последний сомножитель получается суммированием гео- р —1
метрической прогрессии У ebt;P. Далее находим
6 =о
/ = 0
снова по определению ВДху Следовательно, к\ раз взятый коэффициент этого ряда при tk совпадает с
РьВк^^ = Вк^ра^,
что и требовалось доказать. □
Несколько первых многочленов Вк(х) дают следующие распределения:
P-в, o(a+(pN)) = p~N,т.е.Цв.о■= ИнааГ;
Р-В, 1 (# “Ь (.PNY) — Bi ^n^ ~ ^”, т- ^- Рв, 1 — P-Mazur»
PB,-Aa+(pNy> = PN (-^j+ и т' Д1 pN 6 /
Можно показать, что среди всех многочленов многочлены Бернулли единственные (с точностью до постоянного множителя), для которых можно задать распределения указанным выше способом. Этот факт нам не понадобится, поэтому мы его не доказываем. Однако
следует отметить важную и уникальную роль многочленов Бернулли Вк (х) в р-адическом интегрировании. Это окажется связанным с появлением чисел Бернулли Вк (которые являются постоянными членами Вк(х); см. ниже упр. 1) в доказанной выше формуле для С(2&).
МЕРЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Определение. Мерой называется р-адическое распределение р на X, значения которого на открытых компактных подмножествах UqX ограничены некоторой константой В е R, т. е.
|р(1/)|р^В для всех компактно-открытых JqX.
Распределение Дирака ра для любого фиксированного а е Z, является мерой, но ни одно из распределений Бернулли не обладает этим свойством. Для превращения распределений Бернулли в меры существует стандартная процедура, называемая регуляризацией. Прежде всего введем некоторые обозначения. Для каждого aeZp обозначим через {а^ целое рациональное число между 0 и pN — 1, сравнимое с a(modpw). Для a е (Qp и распределения р обозначим через ар произведение этого распределения на а, т. е. (ар) ([/) = = а-(р([/)) для каждого компактно-открытого подмножества U. И, наконец, если U с^р — компактно-открытое подмножество, ae(Qp и а^О, то положим aU 5з {х е d)p | х/«е(/}. Легко проверить, что сумма двух распределений (или мер) является распределением (соответственно мерой), произведение ар распределения (или меры) р на скаляр является распределением (соответственно мерой), а кроме того, если а г ZP, ар — распределение (или мера) на Zp, то функция р': р'([/) = р (at/) задает распределение (соответственно меру) на Zp.
Рассмотрим целое рациональное а, отличное от 1 и не делящееся на р. Регуляризованное распределение Бернулли рв. а. а на Z, или, короче, р6, о, определяется формулой
Р*. a (V) 45 Нв, * W) - crh^B. к (at/),
Вскоре мы установим, что щ, а — мера. Во всяком случае, как следует из замечаний в конце предыдущего абзаца, это заведомо распределение.
1 \2/1Г_1 \2/1Г_(1/а) —12(1/а) —12Его легко вычислить явно при 6 = 0 или 1. Если 6 = 0, то Цв. о = Цнааг и, очевидно, ц0 а ([/) = 0 для любого U (см. упр. 5 к § 3). При 6=1 получаем
1 \
2/
1Г_
1 \
2/
1Г_
(1/а) —1
2
(1/а) —1
2
, , ,_ы.х а 11 Лаа^
Р1,а(а+(Р )) — "jv 2( -N
_ (1/а —1) ■ а1_ /аа _ Гаа"
2pNa \pN l_PW
(где [ ] обозначает целую часть).
Предложение. Для всех компактно-открытых UaZp
Доказательство. Отметим, что (a-1 — 1)/2 s Zp, так как 1/aeZp и 1/2 eZp, если р^2. В случае р = 2 верно то же самое, потому что от1—1=0 (mod 2). Так как [aa/pw]eZ, то по предыдущей формуле Pi. a (a + (р^)) s Zp. С другой стороны, любое компактнооткрытое множество U представимо в виде конечного объединения непересекающихся интервалов Д. Поэтому IPLat^lp^maxIpLatZOIp^l. О
Итак, р1а — мера. Это первый встретившийся нам интересный пример р-адической меры. Вскоре мы увидим, что мера ц2, 0 играет почти такую же фундаментальную роль в р-адическом интегрировании, как «dx» в случае вещественного интегрирования.
Ниже мы докажем основное сравнение, связывающее распределения ц6-а и ц1-а. Его доказательство на первый взгляд кажется просто непривлекательным вычислением, но оно становится понятнее, если рассмотреть аналогичную ситуацию из вещественного анализа. Предположим, что мы вычисляем интеграл вида ^f^x^dx и хотим сделать замену переменных х<—*хь, т. е. перейти к вычислению интеграла ^f(x)d(xfe). Далее используется простое правило: d (x^/dx^ kxfe-1. На самом деле d(x*) можно рассматривать как «меру» ц*
на вещественной прямой, для которой pft ([a, d]) = Ьк — а*. Тогда рг является обычной длиной. Соотношение d(xk^dx = kxfe-1 в сущности означает, что
limp,*([a, 6])/Pi([a, Ь^) = как-1. Ь-^а
Следовательно, заменяя pft(7,) на кх^-1^!^ в интегральных суммах Римана У, f (х^ pft (Ц), мы получим при уменьшении длин всех 7, в пределе ^f^kxh-^dx.
В доказательстве этого предельного соотношения используется биномиальное разложение для (д^КУ* (где h = b — aY В действительности важны только первые два члена этого разложения: ак -\-khak-1, Подобно этому в р-адическом случае при доказательстве асимптотической формулы рА, а (7) ~ как-1рх, 0 (7) для малых интервалов 7, содержащих а, также используется биномиальное разложение. Таким образом, теорему 5 следует рассматривать как аналог теоремы из анализа, утверждающей, что d (^/dx^ кхк-1. (При этом можно не обращать внимания на множители dk в обеих частях сравнения из теоремы 5. Они означают лишь, что если разделить обе части на dk, то pN заменится на pN~or<Vft, где ordp dk — константа, не существенная при больших N.^
Теорема 5. Пусть dk — наименьшее общее кратное знаменателей всех коэффициентов многочлена Вк (х): di=2, d2 = 6, d3 = 2 и т. д. Тогда
dkpk, а (а+ (р*)) = dk ка^ру, о (а+ (pw)) (modp*).
Доказательство. Из у пр. 1 ниже следует, что многочлен Вк (х) начинается с
ВоХк-\- кВхХ6-1^.. , = хк — -^-хк-1+ ... .
По определению,
dfWk. а (а + (р^)) = dkpN(вк- сгкВк.
Многочлен dkBk(x) имеет целые, коэффициенты и степень к. Поэтому в дальнейших рассмотрениях можно
62 Гл. П. р-адическая интерполяция дзета-функции Римана учитывать только два его старших члена d^ — — dh (^/2) xk~x, ибо, так как х имеет знаменатель pN, все остальные члены после умножения на р^^-^ становятся целыми, делящимися на pN. Кроме того, отметим, что аа = {ац}^ (mod pN) и
Y^n „^ _ № ([ ] — целая часть). nN nN J
/а» Maa^N\kdk^, а (а + <PNY = V(ft '- а I—)/а» Maa^N\kdk^, а (а + <PNY = V(ft '- а I—)аа" _PN,аа" _PN,iah и /ahak,= d^ ~ а"6- kaW"1iah и /ahak,= d^ ~ а"6- kaW"1Следовательно,
/а» Maa^N\k
dk^, а (а + <PNY = V(ft '- а I—)
/а» Maa^N\k
dk^, а (а + <PNY = V(ft '- а I—)
аа" _PN,
аа" _PN,
iah и /ahak,
= d^ ~ а"6- kaW"1
iah и /ahak,
= d^ ~ а"6- kaW"1
— ^ ^ah-i — агк (а?-1^-1))) (mod p^) =
. , 61 r«ai 1/а-Ь
=dkkakl —-4— =
\ a'2 /
= dfeka11-^, a (a-VW). □
Следствие. Распределение piiX является мерой для любого k=\, 2, 3,... и любого aeZ, a^pZ, а=^1.
Доказательство. Мы должны установить ограниченность чисел р*.alaA"kPNiY По теореме 5
I Рй, a (a + (PNY Ipmax ^ р> l^i^pi, а (а + W |Р)
, |pi,a(a+(pw))lp)-
\| “Л IP/
Но |Р1.а(а+(РЛ/))1₽< Ь 3 dk фиксировано. Q
Для чего же мы суетились и превратили (регуляризовали) распределения Бернулли в меры? Дело в том, что если р — неограниченное распределение, то интеграл J/p определен лишь для локально постоянных функций f, и при попытках распространить интегрирование на непрерывные функции, рассматривая пределы римановых сумм, возникают трудности.
Возьмем, например, р = рнааг и простейшую функцию f: Zp-*Zp, f(x^ = x. Построим римановы суммы. Для заданной функции / и каждого N разобьем Zn
pN-1
в объединение [J (а + (р^)), выберем в а-м интервале а = 0
произвольную точку xa,N и определим N-ю риманову сумму функции f, соответствующую выбору точек {ха, 4v}, как
pN-\
pN — 1।
В нашем примере этаВ нашем примере этапример, при простейшем выборе xa>N = a получимпример, при простейшем выборе xa>N = a получимсумма равна ^ xa>N^- На- а = 0
В нашем примере эта
В нашем примере эта
пример, при простейшем выборе xa>N = a получим
пример, при простейшем выборе xa>N = a получим
При ^->oo эта сумма имеет предел в (Qp, равный —1/2. Но если одно из выбранных значений ха- N = а еa-V- (pN) заменить на а + aopN е а + (pN) для каждого N, где а0 —некоторое фиксированное целое р-адическое число, то мы получим
P~N\ 2 a^a»PNP~N\ 2 a^a»PNpN-\2pN-\2+ do.+ do.
P~N\ 2 a^a»PN
P~N\ 2 a^a»PN
pN-\2
pN-\2
+ do.
+ do.
что стремится к а0 —1/2. Следовательно, в этом случае римановы суммы не имеют предела, который бы не зависел от выбора точек в интервалах.
От «меры» р мало толку, и она даже не заслуживает названия меры, если по ней нельзя проинтегрировать непрерывную функцию. (Здесь мы слегка преувеличиваем, см. ниже упр. 8—10.) Покажем теперь, что с этой точки зрения ограниченные распределения имеют право называться «мерами».
Напомним, что через X обозначается компактнооткрытое подмножество в (Qp, такое, например, как ZP или Zp. (Для простоты предположим, что X с Zp.)
Теорема 6. Пусть р —некоторая р-адическая мера на X, a f: X-^р —непрерывная функция. Тогда существует предел при N-*oa римановых сумм
def 0<n<pNn+ (p^)clX
(где суммирование ведется по всем а, для которых а + 4-(р^)сХ, a xa.N —точки, выбранные в a-\-(pN^, и этот предел не зависит от выбора \ха_ w}.
с ним. Это конечного тивностьюс ним. Это конечного тивностьюДоказательство. Предположим, что |р(Д)|р^б для всех компактно-открытых подмножеств U сел. Оценим вначале | SN, — 8М, му |р при М>М. Выберем настолько большое натуральное N, что каждый интервал a-^-(pN>) либо содержится в X, либо не пересекается возможно в силу представимости X в виде объединения интервалов. Пользуясь адди- р, запишем SN. (ха ^). следующим образом:
с ним. Это конечного тивностью
с ним. Это конечного тивностью
5f(x^.^p(a-V(pM^
0 < а < РМа + (рМ)сХ
(где а обозначает приведенный вычет числа а по модулю р^ х)). Кроме того, будем считать N настолько большим, что |f (х) — f(у) !„<е, когда x = y(mod р^). (Отметим, что, поскольку X компактно, из непрерывности следует равномерная непрерывность; доказательство легко провести самостоятельно или можно обратиться к книге
Симмонса [(а)!]1).) Тогда
| ^iV■ {ха> ^\^М, ^ха, ^} |р
= S ^^а, N^-HXa, M))p(a+(p^)) <
О ^ а < рХ1
а + (рм)сХр
еВ,еВ,так как x- N^xa,так как x- N^xa,м (mod pN\ Поскольку В фиксиро-м (mod pN\ Поскольку В фиксиро-^ max (| / (х-_ N) -f Ua. м) |p ■ | p (a+(PM)) lP)
еВ,
еВ,
так как x- N^xa,
так как x- N^xa,
м (mod pN\ Поскольку В фиксиро-
м (mod pN\ Поскольку В фиксиро-
ствует,3 * пронзвольно- предел римановых сумм суще-
Независимость от выбора {ха, w} доказывается аналогично. А именно
|SjV, ^ха, N^ — Sn, {^ у}|р =
=2(/ ^а, N) - f (-< n)) Р (б + (pW)) | ^
п —- АГ
I a-J-(pW) с х
^ max (| / (ха, w) - / (х;, „) |р. | и (а _|_ ^н^ |р) ^гВ Q
Определение. Пусть f: X -* (Qp — непрерывная функция, а р —некоторая мера на X. Определим ^fp как предел римановых сумм, существование которого было только что установлено. (Отметим, что так определен-
ный интеграл совпадает с введенным ранее ^fp для локально постоянных функций /.)
Следующие простые, но важные утверждения получаются непосредственно из этого определения.
Предложение. Если f- Х^(ЦР —такая непрерывная функция, что \ f (х) )р ^ А для всех x е X, а | р ((/) |р $С В для всех компактно-открытых подмножеств UcX, то
Следствие. Если f,g: X -^^р — две такие непрерывные функции, что \f (х) — g (х) |р ^е для всех хеХ, а IИ (^) 1р ^ ^ для всех компактно-открытых подмножеств U с: X, то
х) См. также3 Н. Коблицх) См. также3 Н. Коблиц[(а) 5]. — Прим. перев.[(а) 5]. — Прим. перев.
х) См. также
3 Н. Коблиц
х) См. также
3 Н. Коблиц
[(а) 5]. — Прим. перев.
[(а) 5]. — Прим. перев.
Упражнения
к
Покажите, что Вк(х^=.S(?)В,хк-‘ и, в частности, 1=0
5^(0) =Вд. Кроме того, покажите, что
Вк (х) dx = ^’Вк (х) dx = ^’если 6=0, д
Вк (х) dx = ^’
Вк (х) dx = ^’
если й ^ 0,“ dx Вк ^ ^ *5fe-‘ W"
Докажите, что не существует распределения р (кроме тождественно равного нулю), которое обладало бы следующим свойством:
max |р(а + (рЛ'))|р-»0 при N->со.
0^a<pN
Чему равно рв 6 (Zp)? Рв, * (Р2р)? рд к (2р )?
Докажите, что р-адическое распределение р является мерой тогда и только тогда, когда при некотором а е Zp распределение а • р принимает значения в Zp. Докажите, что меры на X образуют векторное пространство над j)p.
Выразите pft, а (Zp) и pft, а (2Р ) через а и к. Вычислите п
j /Нъа Для t^- 2 а^.
7х1=0
Пусть р —нечетное простое число. Для а=0, 1,...,р” —1 обозначим через Sa сумму р-адических знаков числа а. Докажите, что функция р (а -(- (рп)) = (—1)5ч определяет меру Ha .Zp и что (fp=O для любой нечетной функции / (т.' е. такой, что /(—х) = = -fW).
Пусть р>2, f(x) = l/x и а=1+р. Докажите, что j fpb а = —l(modp). (Указание. Воспользуйтесь следствием в конце § 5 с g (х) = 1/(первый знак х), так что , (х) =g (х) (mod р), a g(x) локально постоянна.)
Распределение р на X называется распределением ограниченного роста, если max | Р^ (я + (р^)) |р0 при М-*со, О ^ a <pN
т. е. р «возрастает строго медленнее, чем Рнааг»- Докажите справедливость теоремы 6 для таких р и функций f: X ^>- (Е)„, удовлетворяющих условию Липшица: существует А е Р со свойством
l/W— t^ 1р^ Л | х—у |рпри любых х, уеХ.
(Это понятие ввел Ю. И. Манин и применил его к р-адической интерполяции рядов Гекке.)
Пусть р — распределение из упр. 7 к § 3. Проверьте, что р имеет ограниченный рост. Пусть ф. Zp-*Tp — функция f (х) = х. Вычислите интеграл j fp,, который определен в силу предыдущего упражнения.
Пусть г —некоторое вещественное положительное число. Функцию f: Zp -* (Qp Мазур называет функцией «типа п>, если существует такое А г R, что
| f (х) — f (х') |р^ Л I х — х' |' для всех х, х'е Zp. Отметим, что каждая такая функция непрерывна. Если г 5:1, то } удовлетворяет условию Липшица (см. упр. 8). Рассмотрим р-адическое распределение р на Zp, такое, что
p~Ns max ln(a+(pN)) |р->0 при N ->со
0 ^а< р^
для некоторого положительного s s R. Докажите аналог теоремы 6 для такого р и функций типа г, когда г ^ s.
р-АДИЧЕСКАЯ ^-ФУНКЦИЯ
КАК ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА-МАЗУРА
Пусть X — компактно-открытое подмножество в Zp- Каждую заданную на Zp меру р можно ограничить на л. Это ограничение р* на X определяется как мера с р*((/) = р((/) для любого компактно-открытого подмножества UaX. В применении к интегрированию это означает, что
fp* = $ f • (характеристическая функция X) р. Интеграл $ fp* будет обозначаться через ^ fp.
Как уже было сказано, мы хотим проинтерполиро- вать значения —Bkjk. Имеет место следующее простое соотношение:
$ 1 ‘ Рв, А = Рв, A (Zp) = Bfe
(см. упр. 3 к § 5). Следовательно, нужно проинтер- полировать числа — j 1 ■ рв, *.
Имеется ли непосредственная связь между распределениями рв, а при различных &? По-видимому, нет, 3*
однако регуляризованные меры pft] а и plt а связаны между собой по теореме 5. Точнее, из теорем 5 и 6 вытекает следующее
Предложение. Пусть f: ZP-*ZP — функция f (%) = = xh-1 (для фиксированного целого положительного k), а X — компактно-открытое подмножество в Zp. Тогда
§ 1 1 На, а = 5 ^Н1. а" XX
Доказательство. По теореме 5
На, а («+ (р^)) = каГ- Vi, а (а + (pN)) (mod pN~ OTdPdk).
Рассмотрим теперь настолько большое N, что X равно объединению интервалов вида a-^-(pN). Тогда
$1-^.0= У, Ца, a^ + fX))^
хo^a<pN
a + (pN)c2X
=2kah-^.а (a-HPN)^ (mod pN-oT%d^ =
o^a<pN
a + (pN) <= X
= k ^ ^aVva^A-VP^Y tt^a<pN
Переходя к пределу при ^-*■oo, мы получаем требуемое соотношение $ 1 • ц*. a = к $ fpi, a. □ хх
Если мы заменим в наших обозначениях / на хк~\ считая х «переменной интегрирования», то результат предложения примет вид
5 1 ' Н*. а ~ ^ § ^ ^^ °" хх
Выражение справа гораздо приятнее левого с точки зрения р-адической интерполяции, потому что вместо загадочного индекса переменная интерполирования к превратилась в показатель степени.
В § 2 мы уже выяснили, когда и как можно проинтер полировать функцию xh-1 при фиксированном х
(см. также упр. 8 к § 2). А именно, для интерполяции пригодны только x^O(modp). Чтобы область интегрирования состояла только из таких чисел х, нужно взять X = Zp.
Итак, утверждается, что значения j х*-1^ а можно 7х
проинтерполировать. Чтобы добиться этого, скомбинируем результаты § 2 и следствия в конце § 5. Согласно следствию, если |/(х) — х*-1 |р ^е для всех xeZp, то
fWl. а 5 ^ ^l. °ZpZpfWl. а 5 ^ ^l. °ZpZp^8^8РР
fWl. а 5 ^ ^l. °
ZpZp
fWl. а 5 ^ ^l. °
ZpZp
^8
^8
Р
Р
(напомним, что | pilw 0 (t/) |р ^ 1 для каждого компактнооткрытого подмножества U\ Подставим вместо / функцию х*'-1, для которой k' = 6(modp — 1) и к* = = к (mod ру) (это равносильно выполнению одного сравнения к' = k (mod (р— 1) pN)). Из рассуждений § 2 следует неравенство
I Х6' —1 —-х6-1 \р l/pw+*
1p^ + f1p^ + fдля всех х г Zp- Поэтому
1
p^ + f
1
p^ + f
J Х*'-1^!. а— j Х6"1^. а 7х7х
-РДР
Итак, фиксируем s0 е {0, 1, 2, ..., р —2}. Пусть Зз0дд {целые положительные числа, сравнимые с s0 по модулю р — 1} — область изменения переменной к. Тогда из предыдущего мы заключаем, что функция х*-1Ц1, а от к продолжается до непрерывной функции zp
xs«4-s(p—D—1р,1 а от целого р-адического s.
7 х
Однако мы ушли немного в сторону от исходных чисел ^ 1 • цв, и- Выше было установлено, что значения
j X pi, а — ], J ■ Цд, а
<уХ7Х
можно проинтерполировать. Сравним эти числа с исходными:
(см. упр. 5 к § 5)
=1) (1 - р6"1)/- j f Ь Ив.й
\ zp
Множитель 1 — р*-1 появился в силу того, что интегрировать пришлось по Zp, а не По Zp. Этот эффект уже был предсказан в конце § 2: перед интерполяцией ^-функции следует убрать эйлеров р-множитель, так как функция ns при р\п не интерполируется. Поэтому ниже мы будем интерполировать числа (1—р*-1)х X k-Bk(ky
7 о
Как мы предупреждали в § 2, читателя не должен смущать вид эйлерова множителя 1 — р6-1, хотя по эвристическим соображениям из § 2 следовало как будто ожидать множитель 1 — р~6. Дело обстоит так, как если бы на самом деле интерполировались не значения £(&), а значения «С(1 — к^ (правда, мы их пока не определили при положительных ку Поэтому мы определим ниже р-адическую ^-функцию так, чтобы она принимала значение (1 — pb-1^ (— Вк/к) для целого числа 1— к, а не для самого к.
Определение. Для целого положительного к пусть
W - ^ ^ -Р^Н-В^ку
так что, по предыдущему,
^р (1 к) = &_k। J xb ^i, a.zp
Заметим, что правая часть последнего выражения не зависит от а. Действительно, если 0 е Z, Р X 0,
Р^1. то (Р~*—I)-1 $ х^-^.р^а-*—I)-1 $ j^-^a, Zpz*
так как оба эти числа равны (1 — pft-1) ( — Вк[к\ Это равенство, т. е. независимость от а, также можно доказать непосредственно (см. упр. 1). Независимость от a будет использована ниже при определении ^(s) для р-адических s.
Прежде всего выведем несколько классических теоретикочисловых результатов о числах Бернулли. Эти результаты всегда считались очень изящными, но загадочными, пока не была открыта их связь с дзета-функцией Куботы —Леопольдта £р и мерой Мазура р,1а, которая показала, что они возникают естественным образом из «аналитических» соображений (а именно, из следствия в конце § 5, которое, грубо говоря, утверждает, что две функции, близкие на некотором интервале, имеют близкие интегралы).
Теорема 7 ((1) и (2) —Куммер, (3) —Клаузен и фон Штаудт).
Если (р — X^k, то \Вк/к\р^Х.
Если (р — 1) ф к и к = к* (mod (р — 1) pN), то
(1 _ рк -1) ^ в (1 _ рк- -1) ^ (mod pN +1).
Если (р—1)|^ и к четно (или к=1, p = 2Y то pBfe = -l (mod р).
Доказательство. Предположим, что р>2. Доказательство утверждения (3) при р = 2 мы оставляем читателю в качестве упражнения (см. ниже упр. 6).
Сейчас нам понадобится один факт, доказательство которого будет дано ниже, в начале следующей главы (см. конец § III. 1): существует такое а г {2, 3, ... ... , р—1}, что сс^-1 есть степень числа а с наименьшим положительным показателем, сравнимая с 1 по модулю р. Иначе говоря, мультипликативная группа ненулевых классов вычетов кольца Z по модулю р является циклической группой порядка р — 1, т. е. существует образующая ае{2, 3, ... , р —1}, для
которой наименьшие положительные вычеты элементов а, а2, а3, ... , аД-1 исчерпывают все множество {1, 2, 3, ... , р- 1}.
При доказательстве утверждений (1) и (2) в качестве «регуляризатора меры» а берется такая образующая из {2, 3,... , р — I}. Поэтому, так как (р — 1)ф(—к), то а-6 =£ 1 (mod р) и (а-* — I)-1 е Zp.
Докажем теперь (1) (предполагая, чю ^>1; если к = 1 и р>2, то |Bi/l |р = | —1/2 |р= 1). Имеем
\Вк!к а-А_1 р\Вк!к а-А_1 р111-р*-Чр1-р*-ЧрХ^-^аХ^-^а^1,^1,
\Вк!к а-А_1 р
\Вк!к а-А_1 р
1
1
1-р*-Чр
1-р*-Чр
Х^-^а
Х^-^а
^1,
^1,
|р|р7х
|р
|р
по предложению в конце §5 (с Л = В=1), так как |pi, a W |Р ^ 1 для любого компактно-открытого подмножества U с: Zp и |хй_1|р^1 для всех xsZp.
Чтобы доказать (2), запишем требуемое сравнение
в виде
-J—. f ^-1Ц1, а = -zp7 f X*' - ‘Pi. а (mod pN + 1).
а —1 Jа -1 J
7х7х
Заметим, что если для некоторых a, b, с, de Zp выполнены сравнения а = с (mod р”) и b = d(modp"), то ab = cb = cd (modp"). Таким образом, поскольку а = = (сгй—1)~\ Ь = $ x*'lpla, с = (а~к' — 1)'*, d =
= ^ Xй' ~ ‘pi, а принадлежат Zp, достаточно установить
сравнения (а-й—1)-1 = (а-6'— I)-1 (mod pv + 1) и J .^-‘pi,as ^'--‘pi. а(тоЗр^ + 1). Первое из них
сводится к ссА = ccfc'(mod р^ + Ч, а второе (согласно следствию в конце § 5 с 3 = 1 и г = р~N-^ — к xft-1 = ^х^'-1 (modpvv + 1) для любых хеХр. Оба эти факта нетрудно получить из рассуждений § 2.
В заключение докажем сравнение Клаузена —фон Штаудта. Для этого рассмотрим а=1-Рр. Напомним,
^Pa.i.^Pa.i.что мы ограничились случаем р > 2. Итак, pBb = ~kp(~ Bk/k) = ^2_ _J.^ у х
^Pa.i.
^Pa.i.
7х
Вначале возьмем первый из трех сомножителей справа. Если d = ordpk, то ^-*—1 = (1+р)-6—1 = = — kp (mod pd+2), откуда
! — ^~T<mod PY
Далее, так как fe^2, имеем (1 — рк-1УЛ = 1 (modр). Следовательно,
рВк = ^ хк ^ а (mod р).
Используя снова следствие в конпр к к
Для функций f^-x^ и пМ-T/r ЭТОТ раз хИ й vX) — 1/х, мы получаем
рВк= J X-V1. a (mod р).
Последний интеграл сравним с —1 по модулю р в силу упр. 7 к § 5. □
Вернемся теперь к р-адической интерполяции.
Определение. Фиксируем некоторое s0 е {0, 1, 2, ... ... , р —2}. Для seZp (s^O, если so = O) положим
^' s°(S)def ^+7^ТП)—f J .^o+^-ds-!^ aСмысл этого определения сейчас должен быть ясен
(%—(so + (p —l)s) _ q,—s„ |Q^p-l)-# у j^So4-(p —l)s—1 —. j^so'-l ^х^-^^
для любого хеХр и целого р-адического $ определяются как пределы соответствующих значений для последовательности целых положительных чисел {А,}, р-адически стремящейся к s. Значение £р, 5о($) можно
также определить как предел
-ИтО-р50^-1^-1^
Теперь очевидно, что для каждого целого положительного к, сравнимого с s0 по модулю р—1, т. е. к = = so + (р — 1) kQ, мы имеем Ср (1 — &) = Ср, s. V?oV Поэтому функции Ср. s0 можно рассматривать как р-адические «ветви» функции Ср — одна ветвь для каждого класса вычетов по модулю р—1. (Отметим, что нечетным классам вычетов s0 = 1, 3р — 2 отвечает нулевая функция, так как В5о+(р_1)й. = 0 для таких s0; по этой причине интересны только четные s0.)
В определении Ср, з0 значение $ = 0 при so = O исключено. Причина этого в том, что при s = 0 было бы a—<so+(p-i)s)_ i( так что знаменатель в определении функции обратился бы в нуль. Как видно из записи Ср(1 — &) = Cp,so(^o), где 6 = s0 + (p—1)^о, исключенный случай соответствует значению Ср (1)- Таким образом, р-адическая дзета-функция, подобно архимедовой дзета- функции Римана, обладает «полюсом» в 1.
Теорема 8. Фиксируем простое р и некоторый вычет s0. Тогда функция ^р, So (s) (s ^ 0 при s0 = 0) является непрерывной функцией р-адического аргумента s и ее определение не зависит от выбора а г Z, р Ф а, а =т& 1.
Доказательство. Непрерывность по s интеграла в определении функции получается непосредственно из рассуждений § 2 и следствия в конце § 5. Множитель l/(a-(s«+(p-i)s) _ J) непрерывен, если при so = O исключить значение s = 0, потому что непрерывна функция a-(so+(p-i)s) (согласно § 2). Поэтому Ср, s0(s) также непрерывна.
Остается установить независимость Ср, s0 (s) от a. Пусть р г Z, р Ф Р, Р =# 1 ■ Две функции
x-(So + (p-l)s)_l Jг*Т> 01
7 х
а— (s« + (p — i)s)_i JР
совпадают для любых целых s0 + (p — 1) s = k, больших О, т, е. для любых целых неотрицательных s (s>0 при s0 = 0), поскольку в этом случае обе данные функции принимают одно и то же значение (1 — р6-1) х х ^ — Вк!к\ Но множество целых неотрицательных чисел плотно в Zp, поэтому любые две непрерывные функции, совпадающие на этом множестве, равны. Следовательно, замена а на 0 не влияет на определение Ср. So- □
Теорема 8 дает р-адическую интерполяцию «интересной части» — В^Чк значений £ (2^). Осталось только объяснить несколько вещей: (1) термин «преобразование Меллина— Мазура» в названии этого параграфа и (2) таинственную замену к на 1— к. Кроме того, следует сказать кое-что о (3) более глубокой аналогии с классическими С-функциями и L-функциями, а также о (4) связи с модулярными формами. Так как эти четыре темы вывели бы нас далеко за рамки материала, отобранного для изложения с доказательствами в этой книге, то ниже мы лишь вкратце расскажем о самых основных фактах, сюда относящихся. Доказательства и дальнейшие сведения по темам (1) —(4) можно найти в следующих работах: (1) Манин [(c) 6], § 8; (2) Ива- сава [(c) 1], § 1 и приложение; (3) Ивасава [(c) 1], особенно § 5, Боревич и Шафаревич [(b) 11, стр. 439—444; (4) Серр [(c) 5].
КРАТКИМ ОБЗОР (БЕЗ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ)
Функция £($) при s>l представима в виде интеграла
ОО
1 С х 1 dx
Г (s) } Х ' е*—!’о
где Г (s) — гамма-функция, которая удовлетворяет функциональному уравнению Г (s-}-1) = sF (s), а Г(1)=1, откуда Г (&) = (к — 1)! для всех целых положительных к. (Случай s = к см. ниже в упр. 4.) Этот интеграл известен как преобразование Меллина. Вообще, если
f(х) — некоторая функция, определенная на множестве положительных вещественных чисел, то функция
g(s) = § xS-4 (х) dxо
всякий раз, когда она определена, называется преобразованием Меллина функции / (х) (или дифференциальной формы f(x)dx). Таким образом, Г (s)C ($) есть преобразование Меллина дифференциала dx!(ex ~ 1), определенное при s>l (см. ниже упр. 4).
В § 6 было показано, что функция, р-адически интерполирующая (1—pfe-1)(—Bk/k), совпадает по существу (с точностью до множителя l/(a-s —1) и некоторого изменения аргумента в соответствии с выбором s0) с интегралом
S ^"Vl.a,
где p.La —регуляризованная мера Мазура. Следовательно, подобно классической дзета-функции, р-адиче- скую ^-функцию можно рассматривать как «р-адическое преобразование Меллина — Мазура» регуляризованной меры Мазура pi>a.
Рассмотрим ряд
для комплексных значений s с вещественной частью > 1. Этот ряд сходится и определяет в этой области значений s комплексно аналитическую функцию. Эта функция £ (s) допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость, за исключением точки s=l (в окрестности которой она ведет себя как l/(s—1)). Фундаментальное свойство С (s) заключается в том, что она удовлетворяет функциональному уравнению, связывающему ее значения в точках s и 1 — s, а именно:
£(1_s)= гс^уаги,^^
Пусть $ = 2^ — целое четное положительное число. Тогда £ (1 _ 2/?) = ^^Z^IL £ (2^) =
= 2 ("О6 (2А— 1)1 (~1)6 ^2^ / ВуД _ _ В^ (2л.)М(2А—1)!\ 2А / 2А
(по теореме 4). С другой стороны, если s — нечетное целое число >1, то правая часть функционального уравнения обращается в нуль, так как со5(лз/2) = 0 (предположение s > 1 необходимо для конечности С (s)). Следовательно, £(1—s) равно нулю, что также согласуется с формулой С(1 — £)=—BiJk. Иначе говоря, функциональное уравнение в этом случае утверждает, что 0 = 0.
Вот несколько первых значений £(1—fe) =—Bkjk’.
1 — к
—1
—3
-5
—7
—9
—II
— 13
—15
—17
—19
—21
С(1—А)
_ 1 12
1
120
1_
252
1
240
132
691 ~ 32760
1
3617
43 867
174 611
77683
12
8160
14364
6600
276
Поэтому «в действительности» мы интерполировали ^-функцию Римана, заданную на множестве целых отрицательных нечетных чисел. Следующее соотношение устанавливает простую связь между Ср и С:
^дХ-кХ^Д-р^Ч^-к), k = 2, 3, 4, ... .
Пренебрегая всеми расходимостями, можно написать £(1 — к) =1/(1—р6-1)» откуда
простые q
£*(!-£) =П l/tl-^Htl-p^W-ti).
простые q, о фр
Появление множителя 1 — р*-1 становится эвристически понятным с этой «беззаботной» точки зрения.
В том же стиле можно непосредственно вывести формулу £ (1 - 6) = — Ви!к\
п —1П=1
\d,t) \ п ] (п—1)! <_о к
Существуют и более глубокие связи между £р и ^ Один важный пример такой связи требует введения функций следующего вида:
М5)^У^. s>0,* х / det п,51
п = 1
обобщающих ^-функцию; здесь % —некоторый характер Дирихле (см. упр. 9—10 к § 2). Если характер % не тривиален (т. е. отличен от 1 для некоторого п), то функция Lx(s) сходится при s=l. Более того, имеет место явная формула
N— 1
i-xO)--^ 2 Х(‘01°8(1-^2"а"').
а = 1
^—1
где N — кондуктор характера х, а т (х) = У, х ka>) e2nia!N а= 1
(эта формула легко приводится к виду, указанному в упр. 9—10 к § 2).
Функция £х(1—&) допускает р-адическую интерполяцию; конструкция, аналогичная конструкции £р, позволяет построить р-адическую L-функцию Lx,p. Неожиданно оказывается, что значение £х-р(1) равно следующему выражению:
N— 1
2 x^log.tl-e-2^),а= 1
§ 7. Краткий обзор (без доказательств) T9 в котором logp обозначает «.р-адический логарифма, являющийся р-адической функцией от р-адического аргумента (см. § IVЛ и упр. 5 к § IV.2), и все встречающиеся в данном выражении корни из единицы, а именно giniafN и значения характера %, рассматриваются как элементы алгебраического расширения поля (Qp (см. § III. 2—3). Множитель 1—х(р)/р нужно представлять себе как р-множитель Эйлера (для обычной ^-функции Х=1 и множитель Эйлера для £(1), будь это значение конечным, был бы равен 1—1/р; см. также часть упр. 9 к § 2, касающуюся эйлеровых произведений для L^. В остальном выражение для Lx,p(l) совпадает с явной формулой для Ах(1), за тем исключением, что в этой формуле классический log заменен его р-адическим аналогом logp.
Важную роль при изучении эллиптических кривых и модулярных форм (см. Серр [(b) 3], гл. VII) играют ряды Эйзенштейна £2*, 6^2, которые представляют собой функции, определенные для всех комплексных чисел г с положительной мнимой частью следующим образом:
ОО
£2Д2) = -1-^+ 2 О^-Дп)^,zi —1
где om (п) ад 5 dm-
d I п
Каждый такой ряд есть ряд Фурье, т. е. некоторый степенной ряд относительно г2я‘г, с постоянным членом W -26).
Оказывается, ряды Эйзенштейна допускают р-ади- ческую интерполяцию. На это указывает, в частности, р-адическая интерполируемость n-го коэффициента, если только р \ п. Действительно, каждый такой коэффициент o2*-i (л) равен, конечной сумме значений функций d?k-A, которые интерполируются согласно результатам § 2 при p-yd. Тогда интерполяцию С (1 — 26) можно рассматривать как «вычисление нулевого коэффициента». Как бы туманно это ни выглядело, в действительности все результаты этой главы можно извлечь из теории
/?-адических модулярных форм. Подробности см. в упомянутой выше статье Серра, а также в' серии статей Н. Катца по р-адическим мерам Эйзенштейна и р-ади- ческой интерполяции рядов Эйзенштейна (см. литературу).
Упражнения
Используя соотношения между р^ , цА и цв ft, докажите непосредственно (без упоминания чисел Бернулли) независимость от а выражения
Пользуясь таблицей значений £(!—£), проверьте сравнения Куммера для р = 5, ft = 2, k' =22, Л1=1. Также по этой таблице проверьте, что эти сравнения неверны, если (р— 1)! k. Используя сравнения Куммера и несколько первых чисел В^, вычислите следующие числа по модулю р2:
б) Bios в tjei (И) ^298 в (Q7; (iii) В593 в Щ7.
Применяя теорему 7 и упр. 19 к § 1.2, докажите следующий вариант теоремы Клаузена—фон Штаудта: (Bft4-^ 1/р) е Z, где суммирование производится по всем р, для которых (р — I) | k.
СО
Установите существование интеграла j xs-1 dx/(ex—1) при
СО
s>l, Записав l/(e^—1) =е~д/(1 — е--*) = У е”пх, покажите, что П=1
СО
JL—^dx = th-V)\t;^ * = 2, 3, 4, ... 0
(представьте обоснования ваших вычислений).
Докажите, что
со
Р yh—1
\(l^'W)
0
для k = 2, 3, 4, .... Покажите, что функция
СО
1 С х5-1
Г (s)(l -2!-$) J
о
которая, как вы только что доказали, совпадает с £ (s) при s = = & = 2, 3, 4, ..., определена и непрерывна на множестве чисел s>0, s=# 1.
Докажите теорему Клаузена—фон Штаудта для р = 2. (Указание. Возьмите а = 1+р2 = 5 и g(x) = (a0 + 2y1)-1, где Oq, аг — два первых 2-адических знака х.) Скажите словами, что утверждает эта теорема о числителе и знаменателе числа Bh при четном к и р=2.
Глава III
КОНСТРУКЦИЯ ПОЛЯ □
§ 1. КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ
В дальнейшем нам придется предполагать, что читатель знаком с основными понятиями, касающимися алгебраических расширений полей. Повторение всех необходимых доказательств увело бы нас далеко в сторону. Достаточно полное и доступное изложение можно найти в книге Ленга [(а) 3] или Херстейна [(а) 2]. Нам понадобятся следующие понятия и факты.
Абстрактное определение поля F; под расширением К поля F понимается произвольное поле К, содержащее F в качестве подполя; расширение К называется алгебраическим, если любой элемент а е К является корнем некоторого многочлена с коэффициентами в F: я0 + а1а + й^а2 + .. .4-япал = О, где at^F. Например, множество чисел вида 0 4-6^2 с a, b е (Q представляет собой алгебраическое расширение поля (Q.
Пусть Л —некоторое поле. Наименьшее целое положительное число п, для которого 1, будучи сложена сама с собой п раз, дает в результате 0, называется характеристикой поля F и обозначается через char фу Если 14-1 4-... 4-1 всегда #=0, то по определению char (F) = 0. (Логичнее было бы полагать char(F) = = 00, однако принято считать характеристику поля в этом случае равной 0.) Поля (Q, (Qp, R и С имеют характеристику 0, тогда как множество классов вычетов кольца Z по простому модулю р является полем характеристики р. (Вскоре нам встретятся другие примеры полей характеристики р.)
Определение векторного пространства V над полем F; понятие базиса V над F; свойство конечномерности векторного пространства V; если У конечно-
мерно, то его размерность равна числу элементов любого базиса.
Любое расширение К поля F можно рассматривать как векторное пространство над F; если это пространство конечномерно, то соответствующее расширение будет алгебраическим; размерность этого векторного пространства называется степенью расширения и обозначается [^:F]. Если ct^K обладает тем свойством, что каждый элемент поля К представим в виде рационального выражения от а над F, то говорят, что расширение К получено присоединением элемента а к полю F, и записывают это в виде K=F(a). Пусть К* — конечное расширение поля К. Тогда легко установить конечность К' как расширения поля F и соотношение [^,: F] = L^': КУ\К "• ^1-
Пусть а —элемент алгебраического расширения К поля F. Тогда существует единственный неприводимый многочлен со старшим коэффициентом 1 (неприводимость означает, что его нельзя разложить в произведение многочленов меньшей степени с коэффициентами в F), такой, что
а" + ап-ха"-1 +... + ага + аЙ = 0, a, е F.
Этот многочлен называется минимальным многочленом элемента а, а число п —степенью данного элемента а. Расширение F(a) имеет степень п над F (действительно, в качестве базиса векторного пространства F (а) над F можно взять набор элементов {1, а, а2, .... а"-1}).
Если поле F имеет характеристику 0 (например, (Q или (Qp) или является конечным (подробное изложение теории конечных полей следует за данным обзором), то можно доказать, что каждое конечное расширение К поля F имеет вид К = F(a) для некоторого а г К. Такой элемент а называется примитивным. (На самом деле это верно, если поле F совершенное, т. е. либо char (F) = 0, либо char (F) = p и каждый элемент поля F обладает корнем степени р в F.) Знание примитивного элемента а расширения К упрощает изучение этого К, так как в этом случае каждый эле-
мент из К представим в виде многочлена от а сте- (п—*1
пени < п, т. е. К = < 2 aiai I
Ч=о'
Рассмотрим некоторый неприводимый многочлен f степени п с коэффициентами в F. Можно построить расширение KtdF степени п, в котором f имеет корень аеК. Последовательно присоединяя корни всех многочленов с коэффициентами в Л,мы получаем алгебраическое замыкание (обозначаемое FaX’ C1 или F) поля F, т. е., по определению, наименьшее алгебраически замкнутое поле, содержащее F (напомним, что поле К называется алгебраически замкнутым, если всякий многочлен с коэффициентами в К имеет корень в К). Всякое алгебраическое расширение поля F содержится в некотором его алгебраическом замыкании (т. е. .его можно расширить до алгебраического замыкания поля F). Любые два алгебраических замыкания поля F изоморфны. Поэтому мы обычно пишем «алгебраическое замыкание» вместо «любое алгебраическое замыкание». Как правило, алгебраическое замыкание поля F является объединением бесконечного множества конечных алгебраических расширений поля F. Так, например, алгебраическое замыкание поля (Q состоит из всех комплексных чисел, являющихся корнями многочленов с рациональными коэффициентами. Однако алгебраическое замыкание поля вещественных чисел R равно С = К(У=Л). Т. е. это конечное расширение степени 2 поля R. Но этот пример — скорее исключение, чем правило.
Пусть K = F(a}, К'—другое расширение поля F, а о: К -> К* — изоморфное вложение поля К в К' (где а — некоторый F-гомоморфизм, т. е. это отображение сохраняет все операции поля и о(а) = а для любого а е F). Тогда элемент а и его образ а(а) в К' обладают одним и тем же минимальным многочленом. Обратно, пусть K = F(a), К'—другое расширение поля F и а' е е К'— корень минимального многочлена для а. Тогда существует единственный изоморфизм о поля К на подполе F (а') с К', для которого а (а) = а при любом aeF и о («)=«'.
Все корни минимального многочлена над F элемента а е F, лежащие в поле F = Fale =1, называются элементами, сопряженными с а. Существует взаимно однозначное соответствие между изоморфными вложениями F (а) в F и элементами а', сопряженными с а (см. предыдущий пункт (8)). Если char (F) = 0 или F — конечное поле (или F — совершенное поле), то каждый неприводимый многочлен с коэффициентами в F не имеет кратных корней. В этом случае число элементов, сопряженных с а, равно [F(a): F].
Расширение К = Г (а) поля F называется расширением Галуа, если все элементы, сопряженные с а, лежат в К. В этом случае все сопряженные любого
п— 1
элемента х= У aiai G ^ также лежат в К, поскольку 1=0
п — 1
такие сопряженные имеют вид У, а^л4, где а' —эле-
1 = 0
мент, сопряженный с а. Приведем несколько примеров расширений Галуа поля (Q: (Q(]/2) (так как a = ]/2 обладает единственным сопряженным, равным другому корню а' = — У 2 уравнения х2 — 2 = О, и — V2 е е^СУ?)); (Q (г); Q (У d) для любого d е (Q; Q (У, где ?т = ^gSniim —примитивный корень из 1 степени т, лежащий в (D (так как все сопряженные с £т — это другие примитивные корни степени т, а они имеют вид Vm, где i взаимно просто с т). Поле Qfv^) дает пример расширения поля Q, которое не есть расширение Галуа. Действительно, сопряженные с ^2 — это 4 корня уравнения х4 — 2 = 0, а именно: ±V^2, ±1 У2. Но i V2^ (Q (У?) (так как (^ (V 2) содержится в поле вещественных чисел).
Пусть К— некоторое расширение Галуа поля F. Тогда образ каждого изоморфизма из пункта (8) совпадает с К, т. е. все эти изоморфизмы являются F- изоморфизмами поля К в себя, или F-автоморфизмами поля К. Эти автоморфизмы образуют группу, которая называется группой Галуа поля К над F. Каждый автоморфизм а из этой группы определяет множество
«6 Гл. Ш. Конструкция поля Q элементов х g К, для которых о (х) = х. Оно называется полем о-инвариантов (легко проверить, что это действительно подполе в К, содержащее F). Рассмотрим следующий пример: поле /< = (Q (У^З + УЗ)— расширение Галуа поля (Q степени 4; возьмем автоморфизм о, переводящий У 2 4-3^3 в У2 — У 3; тогда поле о-инвариантов совпадает с (^(У2). Нетрудно установить, что если К — расширение Галуа поля F, а К' ^ К — некоторое промежуточное поле между К и F: Fa К'а К, то существует нетривиальный автоморфизм поля К, оставляющий неподвижными все элементы из К'. Более того, существует взаимно однозначное соответствие между подгруппами S группы Галуа поля К над F и промежуточными полями F а К’ а К, такое, что
S ^> K’s = {х s ^ | ох = х для любого о е S}. Однако в дальнейшем теория Галуа не понадобится нам во всей своей силе; мы будем опираться лишь на некоторые частные случаи сформулированных здесь результатов.
Перейдем теперь к изучению конечных полей. Простейший пример такого поля есть поле классов вычетов целых чисел по простому модулю р. Элементами этого поля являются классы эквивалентности целых чисел по отношению эквивалентности х^у, определяемому как x = y(modp). Существует ровно р таких классов эквивалентности, а именно классы элементов 0, 1, 2, 3,... ..., р — 2, р — 1. На множестве этих классов легко ввести операции сложения и умножения, а затем проверить, что при этом получится поле (в частности, каждый ненулевой класс эквивалентности обратим по умножению; иначе говоря, если х —целое, не делящееся на р, то существует целое у, для которого ху = = 1 (modp)). Это поле обозначается рр, а иногда Z/pZ (факторкольцо кольца целых чисел по идеалу целых чисел, делящихся на р). С таким же успехом можно построить это поле, исходя из множества целых р-адических чисел ZP и отношения эквивалентности х — у (х, у е Zp), определяемого как х = у (modp) (т. е. эквивалентные х и у
имеют один и тот же первый знак в р-адическом разложении). Поэтому поле Fp можно записывать также в виде Zp/р Zp (факторкольцо кольца целых р-адических чисел по идеалу р-адических целых, делящихся на р.) Факторкольцо XpfpXp называется полем вычетов кольца Zp. Причина нашего интереса к общим конечным полям заключается в том, что ниже, при исследовании алгебраических расширений поля (Qp, мы столкнемся с их полями вычетов, которые строятся аналогично полю вычетов для Zpc(Qp. однако оказываются уже совсем не такими простыми, как Fp. Они представляют собой алгебраические расширения поля Fp. Поэтому сейчас нам необходимо получить некоторое представление о том, как же выглядят конечные поля вообще.
Пусть F—конечное поле. Тогда характеристика F+0, так как все элементы 0, 1, 1 + 1, 1 + 14 1, ... из F не могут быть различными. Пусть n = char(F). Заметим, что число п должно быть простым. Действительно, если п = и0^1 Для п0 и Иг < п, то п0 +0 и после умножения на n„' мы получаем противоречие: пг = п^1 п = 0. Обозначим это простое число char(F) через р.
Очевидно, любое поле F характеристики р содержит в качестве подполя описанное выше поле из р элементов (оно состоит из элементов вида 1 + 1+.. .+ 1). Это подполе называется простым падполем в F.
Заметим теперь, что для каждого поля F характеристики р определено отображение х>—>хр, сохраняющее операции сложения и умножения:
ху V-* (хуУ = хРур,р
х + у*->(х + у)Р= 5 (?)х‘ур-*' = хр + уР,i=0
потому что целое число (7) =/Я/Л (р — i)! делится на р при 1 ^ i ^ р — 1, а поэтому соответствующий элемент в F равен 0.
Теорема 9. Пусть F — конечное поле, состоящее из q элементов, a f = [F:Fp] (размерность F как векторного пространства над своим простым подполем Рр). Обозначим через К некоторое алгебраическое замыкание поля Fp, содержащее F. Тогда q = pl\ F—единственное под-
поле в К, состояние из q элементов; при этом F есть множество всех элементов из К, удовлетворяющих уравнению хч—х=й. Обратно, для каждой степени q — p5 простого р корни уравнения хч — х = 0 задают подполе из q элементов в К-
Доказательство. Так как F является f-мерным векторным пространством над Fp, число элементов этого пространства равно числу всевозможных выборов зна чений для / компонент вектора (т. е. координат в некотором базисе, состоящем из / элементов) в рр, а поэтому равно pL Далее, каждое поле F из q элементов содержит q — 1 ненулевых элементов. Эти ненулевые элементы из F образуют мультипликативную группу порядка </—1. Степени любого элемента х^О составляют подгруппу этой группы. Порядок ее равен -показателю наименьшей степени х, равной 1 (этот показатель называется также порядком элемента х). Легко доказать, что порядок любой подгруппы конечной группы делит порядок всей группы. Следовательно, порядок х делит q—Y, откуда х»-г=1 для любого ненулевого х из F. Поэтому хч — х = 0 для любого х (включая 0) из F. Последнее справедливо для каждого подполя из q элементов в К. Кроме того, всякий многочлен степени q имеет в любом поле не более чем q различных корней. Из этого следует, что каждое поле из q элементов в К должно состоять из корней многочлена хч — xt а такое множество единственно.
Обратно, пусть q—p5. Тогда множество элементов поля К, для которых хч = х, замкнуто относительно сложения и умножения (это доказывается так же, как и утверждение, предшествующее формулировке теоремы). Итак, это подполе поля К. Многочлен хч — х не имеет кратных корней. Действительно, в противном случае из упр. 10 ниже следовало бы, что кратный корень является также корнем формальной производной этого многочлена qxq-x — 1 = — 1 (так как q=0 в К). Но многочлен —1 не имеет корней. □
Замечание. Поскольку любые два алгебраических замыкания поля IF? изоморфны, изоморфны также любые два поля, состоящие из q — p5 элементов.
Обозначим через F9 единственное (с точностью до изоморфизма) поле из q = p! элементов.
Если F— некоторое поле, то через Fx обозначается группа его ненулевых элементов.
Предложение. Группа F» является циклической группой порядка q— 1.
Доказательство. Пусть о (х) обозначает порядок элемента х (наименьший показатель степени х, равной 1). Нам уже известно, что о (х) делит q — 1 при любом xeF3- Однако если d — делитель q — 1, то уравнение Xй =1 имеет не более чем d решений, потому что всякий полином степени d имеет в любом поле не более чем d корней. Следовательно, если d = o(x), то d различных элементов х, х2, ..., х^-1, xd = 1 удовлетворяют уравнению х^ = 1, и это все корни данного уравнения. Сколько из этих d элементов имеют порядок, равный в точности d? Ответ очевиден: число таких элементов равно количеству целых чисел из {1, 2, ..., d — 1, d}, взаимно простых с d (т. е. не имеющих общих делителей с d, кроме 1). Это количество обозначается ф(d). Итак, порядок d имеют не более чем ф(d) элементов из F». Утверждается, что для любого d — делителя q — 1 число элементов изр?, имеющих порядок d, равно ср (d). Этот факт будет выведен из следующей леммы.
Лемма. ^ Ф (d) = п. d \п
Доказательство леммы. Пусть Uni, обозначает аддитивную группу {0, 1, ..., п— 1} целых чисел по модулю п. Каждому делителю d числа п соответствует ее подгруппа Sd, состоящая из элементов Цп!, кратных n/d. Очевидно, любая подгруппа в Цп! получается таким способом.
Подгруппа Sd состоит из d элементов, ф (d) из которых порождают ее (потому что множество элементов, кратных mn/d в Uni, совпадает с множеством элементов, кратных n]d, тогда и только тогда, когда т и d взаимно просты). С другой стороны, каждое из чисел 0, 1, ..., п — 1 порождает одну из таких под-
групп Sa. Следовательно,
{0, 1, ..., п — 1 }= [J {элементы, порождающие Sd}.
d | п
Множества этого объединения не пересекаются, поэтому п = ^ ср (d). Лемма доказана.
d | п
Из нее немедленно вытекает предложение, ибо если число элементов порядка d для некоторого d\n( = q — 1) меньше q> (d), то п=^ (число элементов d ■ п
порядка d) < ^ ср (d) = п. Следовательно, в частности,
d | п
существует q> (q — 1) элементов порядка q — 1. Так как ф(?— 1)^1 (например, 1 взаимно проста с q — 1), то найдется элемент а порядка точно q — 1. Тогда F# = = {а, а2, ..., а»-1}. □
Упражнения
Пусть F — поле, состоящее из q=pf элементов. Докажите, что F содержит (единственное) подполе из q' =рГ элементов тогда и только тогда, когда f делит /.
Для р = 2, 3, 5, 7, 11 и 13 найдите некоторый элемент аЕ{1, 2, ..., р — 1}, порождающий р*. т. е. такой,, что f| = = {а, а2, ..., а?-1}. В каждом из этих случаев определите число всевозможных выборов таких а.
Пусть F — множество выражений вида a + bj, где a, be ер3={0, 1, 2}. На этом множестве определим сложение покомпонентно, а умножение —по формуле (a-^bj) (c-^dj) = (ac4-2bd) + + (ad+bc)/. Покажите, что F = F9, а 1 -(-/ — образующая в р§. Найдите все образующие для Fg.
Опишите явно F4 и р8 способом, аналогичным использованному в предыдущем упражнении для F9- Объясните, почему любой элемент из F4 или Fg является образующей.
Пусть q = pf, а а—элемент, порождающий F^. Обозначим через Р(Х^ минимальный многочлен элемента а над Fo- Докажите, что degP=/.
Пусть q = p*. Докажите, что все / автоморфизмов поля р над рр исчерпываются автоморфизмами о{, i = 0, 1, ...,/—1,сле- дующеге вида: ai(x)=xp для хер^.
Пусть аерр, а Р(Х)=ХР— X — а. Покажите, что если а—корень многочлена Р (X), то элементы а+1, а + 2 и т. д. также являются его корнями. Кроме того, покажите, что поле, полученное присоединением а к р , имеет степень р над рр, т. е. изоморфно Fpp-
Докажите, что f содержит квадратный корень из —1 тогда и только тогда, когда (?^3(mod4).
Пусть £ —некоторое алгебраическое число степени п над (Qp> т. е. является корнем многочлена степени п с коэффициентами в (Qp и не является корнем никакого такого многочлена меньшей степени. Докажите существование целого числа N, для которого £ не удовлетворяет ни одному из сравнений вида
^-i^"'1 + а^”"2 +... + ^ + о» = О (mod pN^
где а._целые рациональные числа, не все из которых делятся на р. (Указание. Предположите противное, а затем воспользуйтесь тем же подходом, что и в упр. 18 к § 1.2 или в упр. 18 к § I. 5.)
Пусть F —произвольное поле, а / (X) = Хл-f-а^^"-1 +... ...Ч-а^ + по—многочлен с коэффициентами в F, распадающийся а
на линейные множители над F, т. е. f (Х) = П«— а,), где аг g i = i
г F. Покажите, что всякий кратный корень а,- этого многочлена является также корнем для пХп-1 + ап_х (п—1) Хл-8+ал_2 X Х(п—2) Х^-Ь-Н-
§ 2. ПРОДОЛЖЕНИЕ НОРМ
Метрическое пространство X называется (секвенциально) компактным, если каждая последовательность его элементов имеет сходящуюся подпоследовательность (см. начало § II.3). Например, Zp — компактное метрическое пространство (см. упр. 18 к § 1.5). Пространство X называется локально компактным, если каждая точка хеХ обладает некоторой компактной окрестностью (т. е. компактным подмножеством в X, содержащим диск ^y\d(x, у)<е} для некоторого е > 0). Множество вещественных чисел R с обычной архимедовой метрикой, индуцированной абсолютной величиной, локально компактно, но не компактно. Другой пример
локально компактного метрического пространства дает поле Qp с /7-адической метрикой. В самом деле, для любой точки х окрестность x + Zp^ \у\\у — х\р^ 1} компактна (ибо она изоморфна Zp как метрическое пространство). Эти примеры можно включить в следующую более общую картину. Пусть X — метрическое пространство, обладающее структурой аддитивной группы, такой, что d (х, y) = d(x — y, 0) для любых х, у (например, X— векторное пространство с метрикой, индуцированной нормой на X; определение см. ниже). Тогда X локально компактно всякий раз, когда 0. имеет компактную окрестность U. Действительно, для любой точки х окрестность .г-4-17^ {г/| у — хе U} (сдвиг U на х) компактна. Для ([к в качестве компактной окрестности 0 можно взять и = Zp. Нетрудно установить (см. ниже упр, 6) полноту каждой такой локально компактной группы.
Пусть F — некоторое поле с неархимедовой нормой Ц ||. До конца данного параграфа будем предполагать F локально компактным.
Пусть V — конечномерное векторное пространство над F. Норму на векторном пространстве V можно определить по аналогии с нормой в поле. А именно, отображение ] |v из V в множество неотрицательных вещественных чисел называется нормой на V, если: (1) ЦхЦу = О тогда и только тогда, когда х = 0; (2) |!ахjlv = IIаIIIIхЦу для всех хеУ и qgF (где ||а|| есть норма в F); (3) || х + у ||у ^ || х 1'у-Н # 11ю Например, если К — конечное расширение поля F, то всякая норма на поле К, ограничение которой совпадает с I || на F, есть норма на К, рассматриваемом как векторное пространство над F. Сразу же предупредим, что обратное, вообще говоря, не верно, так как свойство (2) нормы векторного пространства слабее соответствующего свойства нормы поля (см. ниже упр. 3 — 4).
Как и в случае полей, две нормы || ^ и 112 на V считаются эквивалентными, если отвечающие им множества последовательностей Коши совпадают. Это свойство выполнено в том и только том случае, когда существуют две положительные константы Ci и с2, для
которых || х $2 ^ сг |1 х ^ и Цх^^СзЦхЦз при любых xeV (см ниже упр. 1).
Теорема 10. Пусть V —конечномерное векторное пространство над локально компактным полем F. Тогда все нормы на V эквивалентны.
Доказательство. Пусть {щ, ..., у„} — некоторый базис в V. Определим па V функцию } ||sup формулой ll^ + .-.+^Msup^j max (||аг||).
^i
Эта функция || Hsup является нормой (см. ниже упр. 2). Мы будем называть ее sup-нормой. Пусть теперь || Цу— некоторая другая норма на V. Прежде всего для любого х = а1и1 +... 4- апип выполнены неравенства
|| х ру eg; || at || [I ох |у +... + (an j | on fv ^
^n (max |l at ||) max J u, ||y.
Поэтому J Цу^^Ц ||sup, где cv — n max (|IVi||y). Таким l^i^n
образом, если мы найдем константу с», для которой будет выполнено братное неравенство, то тем самым установим эквивалентность любой нормы на V sup- норме. Пусть
U= (х^ V | 8xgSup = 1}.
Тогда утверждается, что существует положительное в, для которого ЦхЦу^е при любом xeU. Предположим противное. В этом случае можно найти такую последовательность {х,} элементов U, что ||х, ||у->0. В силу компактности U относительно j Цзир (см. ниже упр. 2, 8) существует подпоследовательность {-^Д, сходящаяся относительно sup-нормы к некоторому х е U. Но по доказанному выше неравенству
IIхЬ^|]x-xZ/ )|иЧ-|)^ Ц^^Цх-х;. ||5Up +j|xZ/[^
для любого /. Оба последних члена стремятся к 0 при /'-*оо, так как xt стремится к х относительно || ikup, а |1х;||у->0. Следовательно, Цх||у = О, откуда х = 0 ^ U—противоречие.
Используя это утверждение, теперь нетрудно доказать второе неравенство, а с ним и теорему. Идея рассуждения такова. Как было установлено, норма j fly на единичной сфере U относительно || ||sup принимает значения 5а 8 > 0. Следовательно, fl flsup ^ с2 8 Ци на U, где с2= 1/е (левая часть по определению равна 1 на U). С другой стороны, все векторы из V можно получить, умножая векторы, лежащие в U, на элементы поля F. Поэтому такое же неравенство справедливо на всем К.
Точнее, пусть х = п^щ-}-... 4-апоп — произвольный ненулевой элемент из V. Выберем такое /, что |1о, ||~ = тах||аЛ==||*ЪиР- Тогда, очевидно, (x/a^sU и \\хЩДу^ ^е = i/c4. Поэтому
|И|5ир = : ^^^'хЦу. Q
Следствие. Пусть V — К — некоторое поле. Тогда существует не более одного продолжения нормы } ||, заданной на F, до нормы || к на К (т. е. такой, что Ик = 1!а1' для aeFY
Доказательство следствия. Любые две такие нормы 5 111 и || f2 эквивалентны по теореме 10. Следовательно, II h^^iil Hi- Рассмотрим хе К, для которого jx#!#: ^цх||2, скажем IIлсЙ1 <3Й ^ 1?2- Тогда при достаточно большом N получается противоречие: cv J xN ^ < Lr^ j|2. □
Это следствие, однако, оставляет открытым вопрос о существовании хотя бы одного продолжения | | с F на К-
Напомним теперь одно из основных понятий, относящихся к расширениям полей: понятие «нормы» элемента. Новое словоупотребление не следует путать с прежним, относившимся к метрическим пространствам. «Норма» в новом смысле будет всегда в кавычках, и для нее мы введем специальное обозначение N-
Пусть K = F (а) — конечное расширение поля F, порожденное некоторым элементом а с минимальным многочленом
хл + йгхл-14-...-|-лп_1х4-ал, aisF,
5 2. Продолжение норм 95 Тогда «норма элемента а из К в F», обозначаемая через Мк/д(а), определяется одним из трех эквивалентных способов.
Если К рассматривать как векторное пространство над F, то умножение на а задает F-линейное отображение с матрицей Аа в некотором базисе. Полагаем Nk/f (a)d^ det (Ла).
NK/F(a)ra (—l)"^-
ri
Nk/f (a) d^ JJ аь где через аг обозначены все i = i
элементы, сопряженные с а = а3 над F.
Эквивалентность (2) <=> (3) следует из соотношения
п
х"4-а1хл'1+. - - + ап = fj (х — а,). Для доказательства
/=1
эквивалентности (1) <=> (2) возьмем в К над F базис {1, a, а2, ..., а"-1}. Тогда матрица оператора умножения на а примет вид
/О 0—а„ \
10 0—ап_х
1 0
0 — a2 /
!1 — ах /
(поскольку ал =—aja"-1 —... —а^а —ал). Из разложения определителя этой матрицы по первой строке видно, что он равен (—1У*ап.
Пусть Pe^ = F(a). Тогда Мд/HP) определяется одним из двух способов: (1) как определитель матрицы линейного оператора умножения на £ в К или (эквивалентно) (2) как (Nf<P)/f (£))1Х ^Н. Для доказательства эквивалентности выберем базис в F(£) как векторном пространстве над F, а также в К как векторном пространстве над F (£). Тогда в качестве базиса К над F можно взять все попарные произведения элементов первого и второго базисов. В этом базисе
(при подходящем порядке элементов) матрица умножения на 0 «распадается на блоки»
0\
/ о Лр
\’
где Лр —матрица умножения на 0 в F (0). Определитель этой матрицы равен [X : F (0)]-й степени ([X : F (0)] — это число блоков) det Лр, т. е. [X: F (0)]-й степени элемента Nf(P)/f(0)- Итак, два определения действительно эквивалентны.
Из первого определения Nk/f(cc) для любого аеК как определителя оператора умножения на а в X следует мультипликативность отображения Nk/f " из X в F, т. е. Nk/f («0) = Nk/f («) Nk/f (0). (В самом деле, матрица умножения на сф равна произведению матриц умножения на а и на 0, а определитель произведения матриц равен произведению определителей сомножителей.)
Теперь можно догадаться,, каким должно быть выражение для продолженной нормы | |р алгебраического числа as^cl, если такая норма существует. Предположим, что а имеет степень п, т. е. минимальный многочлен этого элемента над (Qp имеет степень п. Пусть X — конечное расширение Галуа поля (Qp, содержащее а (см. пункт (10) в § 1). В качестве К можно взять, например, поле, полученное присоединением а и всех его сопряженных к (Qp (как легко проверить, это конечное расширение Галуа над (Qp). Предположим, что найдено некоторое продолжение I|| нормы | |р на X. Эта норма } || на X единственна в силу следствия из теоремы 10. Пусть теперь а'—элемент, сопряженный с а, а о —некоторый автоморфизм поля X, переводящий а в а' (см. пункты (8), (9) и (11) в § 1). Очевидно, отображение || f: X ->• R, заданное соотношением |l х f = =Ц о (х) ||, является также продолжением нормы | |р на X. Следовательно, | Ц'= I 1. откуда Н = ||с^'= ||o(a)j =||^ Значит, норма элемента а равна норме каждого сопряженного с ним элемента, С другой стороны, норма
элемента NQp(a)/Qp (а), лежащего в (Qp, равна
I Nqp (a)/Qp (a) [р = | Nqp (aWQp (a) | =
=| П «z ||=Пя “'u^s^s"- сопряженные a' c a
Поэтому
|a|| = |NQp«x)/Qp(«)|y".
Итак, для того чтобы найти р-адическую норму числа а, следует посмотреть на его минимальный многочлен. Если он имеет степень п и постоянный член ап, то р-адическая норма а равна корню степени п из |а„|р. (Конечно, мы еще не доказали, что это правило определяет функцию, обладающую всеми необходимыми свойствами нормы; это будет доказано ниже в теореме И.)
Отметим следующее эквивалентное определение ||а||:
|N«/Qp(a)|i/£K:Qp],
конечное расширение, содержа-конечное расширение, содержа-где Л" — произвольное щее а. Действительно,
конечное расширение, содержа-
конечное расширение, содержа-
Nk/qp (a) = (Nop (a)/Qp)[к • qp <a)i
и « — №p (a) • $pl — "[^Tq^J]" •
Докажем теперь, что указанное правило вычисления | | действительно задает норму. Ниже мы будем писать | |р вместо Ц Ц, указывая тем самым, что Ц || продолжает | |р. Это не должно приводить к путанице. Следует предупредить читателя, что теорему 11 доказать нелегко. Доказательство, изложенное ниже, которое я узнал от Д. Каждана, гораздо эффективнее других известных мне доказательств. Однако и его следует внимательно прочесть и перечесть, пока читатель не продумает рассуждения со всей основательностью.
Теорема 11. Пусть К —конечное расширение поля (Qp. Тогда на К существует некоторая, норма, продолжающая норму | |р с (Qp.
4 Н. Коблиц
Доказательство. Пусть п = [К : (QPJ. Сначала мы определим | |р на К, а затем докажем, что эта функция в самом деле является нормой на К, продолжающей норму | |р с (Е)р. Для произвольного о.еК положим
I « Ip -f I Nk/qp (а) |УЯ,
где справа стоит определенная ранее норма на (Е)р. Легко проверить, что: (1) новое значение |а|р совпадает с определенным ранее | а |р для всех а е (Qp; (2) |а|р мультипликативна и (3) |а|р = 0<=>сс=0. Трудная часть— доказательство свойства |а + Р|р^ <шах(|а|р, |Р |р).
Предположим, что IР |р = шах (| а |р, | р |р). Тогда, положив у = а/Р, мы видим, что достаточно доказать неравенство
H+yIp^I Для всех у с |у|р^1.
Допустим сначала, что у — «примитивный элемент» поля, т. е. K^^fy). Возьмем в качестве базиса векторного пространства К над (Е)р набор {1, у, у2,..., у”-1}. Пусть А — матрица умножения на у. Тогда А* — матрица умножения на у. Кроме того, |у|р = | det Л |р/л, а Н +у Ip = I det (1 + Л) 1р". Пусть || Ц обозначает sup- норму на п2-мерном ltjp-векторном пространстве пхп- матриц с элементами в (Qp. Утверждается, что последовательность значений {| Л' [} ограничена.
Предположим противное. Тогда существует такая последовательность индексов ih что| Л'/| = Ь;> /. Пусть Р, — «максимальный» элемент матрицы Лг/, т. е. | РДр = = max Р |р = | Л'^, где максимум берется по всем элементам Р матрицы А(к Рассмотрим последовательность
матриц
6/ га AW
Очевидно, |1 В, J = 1. Единичная сфера в sup-норме компактна (см. ниже упр. 2 и 8), поэтому можно найти подпоследовательность {SjA}, сходящуюся в этой норме
к некоторой матрице В. Так как det В, = det А11^, то| det В, |,< | det A" \,!f = | V !"„"//* « Min.
Но В^—^В, т. е. максимум | |р от элементов матрицы Bjk — В стремится к 0, поэтому det В;к стремится к det В. Следовательно, detB = O.
Таким образом, существует ненулевой элемент I е К, для которого В (Z) = 0. Покажем, что из этого следует тождественное обращение в нуль матрицы В, что противоречит равенству |1В||=1.
Достаточно установить соотношение В (уЧ) = 0 для любого i, так как {-/Z}^1— базис в К- Но
В(уЧ) = Пт В,.(уЧ) = Ит^В/ (/)6—оо66 —оо
(потому что Bjk~матрица умножения на степень у, деленная на элемент Р/ из (Qp). Последний предел равен
у* Пт В; (Z) = у В (Z) = 0.
6—00*
Следовательно, {||Д^|} ограничена некоторой константой С.
Отметим, что для любой пх «-матрицы А = {ау} выполнено неравенство | det А |р^ (max | ау |р)" = | А |".
/
В этом легко убедиться, если разложить определитель и воспользоваться аддитивными и мультипликативными свойствами неархимедовой нормы.
Теперь возьмем достаточно большое N и рассмотрим разложение
Ц + Д^^+^Д+^. + ^ОД^' + Д".
Тогда
|1 + у |^-| det (1 + Д)Л/|У”^К1 + Л)Л/!|^
^ maxmax ЦД'Ц^С.
O^i^N 4 '' O^i^W
N»—
Следовательно, 11 + у|р^у С. Переходя к пределу при ZV-^-oo, мы получаем требуемое неравенство. Д+у^^!,
(Отметим сходство этого доказательства с доказательством теоремы Островского в § 1.2.)
Если у—не примитивный элемент, то, заменяя К на Фр(т), мы получим 1 ^| Nqp(V)/qp(1 + 7)J^/[Qp<v):Q^-j = = |Nv</q (1 + 7) |р/л = | 1 + Y |p- Это неравенство завершает доказательство теоремы 11. □
Пусть R — (коммутативное) кольцо, т. е. множество е двумя операциями + и •, удовлетворяющими всем требованиям, предъявляемым к полю1), кроме, возможно, существования мультипликативно обратных элементов. Иначе говоря, это аддитивная группа относительно +; выполнены ассоциативность, коммутативность и существует единица относительно •; кроме того, имеет место дистрибутивность. Кольцо R называется областью целостности, если из ху = 0 всегда следует, что х = 0 или у = 0. Примеры областей целостности — кольца Z и ZP.
Собственное подмножество / кольца R называется идеалом, если оно является подгруппой в R относительно сложения и для всех хе R и а е I справедливо включение хае I. В кольце Z множество всех чисел, кратных некоторому фиксированному целому числу, задает идеал. В Zp для любого г^1 множество {xsZp| |я|р<г} есть идеал. Если, например, г = р~п, то это множество всех целых р-адических чисел, первые п +1 знаков которых в р-адическом разложении равны нулю.
Пусть 1Т и /2 —два идеала из R. Тогда легко проверить, что множество
{jcefi х представимо в виде х = xxxi + •. • + хтх'т
с х£ г h и x't е /2}
также является идеалом. Этот идеал обозначается через 1YU и называется произведением двух данных идеалов. Идеал / называется простым, если из включения ххх2 г / следует, что хх г / или х2г /2).
0 В частности, 1 =/=0. — Прим, перев.
а) Заметим, что в этой книге все идеалы предполагаются собственными.—Прим, перев.
Легко проверить, что кольцо Zp имеет единственный простой идеал (^ {0}) (см. ниже упр. 5), а именно:
Р^р ай ^ ^р I I ^ 1р "^ ^ }•
Кроме того, все идеалы (#= {0}) кольца Zp имеют вид ^"Zp^JxsZpl |х|р^р-”}.
Пусть /—некоторый идеал кольца R. Тогда легко установить, что аддитивные классы смежности хД-1 образуют кольцо. Это кольцо обозначается R/I и называется факторкольцом кольца R по идеалу /. (Другой способ описать это кольцо заключается в рассмотрении классов эквивалентности элементов из R по такому отношению: х^у, если х — уе!Д Например, если R = Z (или R = ZPY ю, как было установлено выше, кольцо R/pR совпадает с полем Гр из р элементов.
Идеал М из R называется максимальным, если не существует такого идеала /, что MclcR (оба включения строгие). Оставим в качестве легкого упражнения проверку следующих фактов.
Идеал Р прост тогда и только тогда, когда R/P — область целостности.
Идеал М максимален тогда и только тогда, когда R/M — поле.
Предположим теперь, что К — некоторое конечное расширение поля (Ejp. (Или, более общо, пусть К — алгебраическое расширение поля частных F некоторой области целостности R, например: F = (E) —поле частных для R = Z, F = ^p — поле частных для R = ZP и т. д.) Пусть А — множество всех элементов хе К, удовлетворяющих уравнению вида хл + ахХ""1 +... + ап-1х + ап = 0 с a^eZp. (Конечно, каждый хе К удовлетворяет такому уравнению с коэффициентами at из (Qp, но они не обязаны лежать в Zp.) Множество А называется целым замыканием кольца Zp в К.
Нетрудно показать, что минимальный многочлен любого элемента х е А имеет указанный вид. Кроме того, целое замыкание всегда является кольцом. (Общее доказательство см. у Ленга [(а)3], стр. 268 — 275.
Случай, который нам необходим в дальнейшем,—целое замыкание Zp в К — рассмотрен в следующем предложении.)
Предложение. Пусть К —конечное расширение степени П ПОЛЯ (Рр и
АЦхеК\ ИР^1}, Л^ = {xe^| |х|р<1}.
Тогда А — кольцо, совпадающее с целым замыканием кольца Хр в К, М — единственный максимальный идеал этого кольца, а А/М. — конечное расширение поля рр степени, не превосходящей п.
Доказательство. Используя мультипликативное и аддитивное свойства неархимедовой нормы, легко проверить, что А — кольцо, а М — его идеал. Пусть теперь а е К — некоторый элемент степени т над (Qp. Предположим, что а цел над Хр: а.т+ахат~х +... + ат = 0, щгХр. Предположив, что |а|р>1, мы придем к противоречию:
l“lp+ + L^ max |аа'"-‘’|р<
^ max=la|m—Ч
Обратно, пусть |а|р^1. Тогда для всех сопряженных с а = ах над $р также |а;|р= fj|a/|ym= |a|p^ 1. Так как все коэффициенты минимального многочлена для a равны суммам произведений а,- (симметрическим многочленам от at), для этих коэффициентов также | |р^1. Следовательно, они должны лежать в Хр, поскольку они лежат в (Qp.
Докажем теперь, что М содержит каждый идеал из А. Предположим, что аеА и a ^ М. Тогда | а |р= 1, откуда |1/а|р=1 и 1/аеЛ. Поэтому любой идеал, содержащий а, должен содержать (l/a)-a=l, что невозможно.
Отметим, что MftZp = pZp по определению М.
Рассмотрим поле А(М. Напомним, что элементы этого поля суть классы смежности аА-М. Заметим, что
если а и b окажутся в Zp, то класс а-\-М совпадет с 6 + Л4 в том и только том случае, когда а-6е eMf\Zp = pZp. Отсюда получается естественное вложение XpIpZp в AIM, задаваемое отображением (класс а + pZp) I—* (класс а + ЛД для aelp. Так как Zp/pZp есть поле Гр, состоящее из р элементов, то AIM — расширение этого поля Гр.
Утверждается, что AjM имеет конечную степень над Fp. Точнее, установим неравенство [А/М: Гр] ^ ^[/C^pji Для этого покажем, что любая система из п+1 элементов +, а^ ..., an^xeAlM линейно зависима над Гр, где п = [К: (Ejp]- Для (=1, 2, ..., п+1 выберем элемент а; в 4, который переходит в класс at при отображении A-*AlM (т. е. сц — некоторый элемент класса смежности аь или, другими словами, аг = аг + Л4). Так как [K:(Ejp] —п, то аъ а^,..., п„+1 линейно зависимы над (Qp:
сцЬг + <Zy^2 + • • •+ ttn^ibn^i = 0, bi e (Qp.
После умножения на подходящую степень р можно предполагать, что все Ь^Хр и по крайней мере одно Ь, не лежит в pZp. После факторизации это выражение превращается в равенство
Й1Ь1 + Й2$2 + • • • + ^n-vlbn^.1 — О
в А,М, где bt — образ bt в Хр!рХр (т. е. bt определяется первым знаком р-адического разложения Ь^. Поскольку по крайней мере одно bt не принадлежит рХр, то одно из bt не равно 0. Поэтому, как и утверждалось, аг, а^, ... , «л+1 линейно зависимы. □
Поле AIM называется полем вычетов для К- Это расширение поля Гр некоторой конечной степени /. Кольцо А называется кольцом нормирования, соответствующим I |р» В
Упражнения
Докажите, что две нормы || Hi и II На на конечномерном векторном пространстве эквивалентны в том и только том случае, когда существуют такие константы сг > 0 и с2 > 0, что при всех х £ ^
J^h^Qplli и || * lb. ^а 1-^ На*
Пусть F — поле с нормой || Ц, а V — конечномерное векторное пространство над F с базисом {охол}. Покажите, что функция ||aiVi+...+anp„||= max (Ца, ||) является нормой
р def 1 ^ i < л
на V. Докажите, что из локальной компактности F следует локальная компактность V.
Пусть 1/=®^(У<Л?)> Oi = 1. O2 = VР • Докажите, что sup-норма не будет нормой на поле Щр(Кр)-
Пусть V — К— некоторое поле. Может ли вообще sup-норма быть нормой на этом поле (хоть для какого-нибудь базиса (О],... ... , у„}) при n = dimK>l? Для каких конечных расширений К поля (Qp sup-норма никогда не является нормой на этом поле?
Докажите, что Zp имеет единственный максимальный идеал pZD и что все идеалы (=/= {0}) из ZD имеют вид pnZD, пе е]!, 2, 3,...}.
Докажите, что всякое локально компактное векторное пространство V с нормой || ||р полно.
Докажите, что векторное пространство с нормой || Цу локально компактно тогда и только тогда, когда компактен шар {*! kiiy^i}.
Докажите компактность сферы |х| JxJy=l| для локально компактного векторного пространства с нормой | Цу.
§ 3. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ЗАМЫКАНИЕ ПОЛЯ ®р
Сопоставляя две теоремы из § 2, мы видим, что | |р имеет единственное продолжение (которое также обозначается через | |р) на любое конечное расширение поля (EJp- Поскольку алгебраическое замыкание (Qp поля (Qp является объединением таких расширений, норма | |р однозначно продолжается на (Qp. Точнее, если ae(Qp имеет минимальный многочлен x”4-a1x”~1+...
то |а|р = |а„|ул.
Пусть К — расширение степени п поля $р. Для аг К положим
ordp а = — logp | а |р = — logp | Nk/qp (а) № = def
= —logp | Nk/qp (а) |р.
При ae(Ejp значение ordpa совпадает с определенным ранее. Кроме того, очевидно свойство ordp сер = ordp се +
+ ordpp. Образ К при отображении ordp попадает в множество (l/n) Z = {х s (Е) | пх е Z}. Этот образ есть def
аддитивная подгруппа в (l/n)Z- Поэтому он представим в виде (1/е) Z для некоторого целого положительного е, делящего п. Это целое число е называется индексом ветвления поля К над (Qp. Если е= 1, то говорят, что К — неразветвленное расширение поля (Qp. Пусть л еК — элемент, для которого огбрл=1/е. Тогда, очевидно, любой хе К однозначно записывается в виде
л^и, где |u|p=l, a meZ (при этом m = e-ordpx).
Можно доказать (см. ниже упр. 12), что n = e-f, где n = YK "■ (Qp], е — индекс ветвления, а / — степень расширения поля вычетов AjM над Гр. Во всяком случае, мы уже знаем, что f^n и е^п. Если /( — неразветвленное расширение, т. е. е=1, то в качестве л из предыдущего абзаца можно взять р, потому что ordpp = 1 = 1/е. В другом крайнем случае, когда е = п, расширение К называется вполне разветвленным.
Предложение. Пусть К —вполне разветвленное расширение, а пе К —такой элемент, что огбрл = 1/е. Тогда л удовлетворяет некоторому уравнению Эйзенштейна (см. упр. 13 к § 1.5)
Xе + ае^1Хе-1 +... + п0 = 0,
где аг = 0 (mod р) при всех i, a a0^0(modpa). Обратно, если а — корень некоторого такого уравнения Эйзенштейна над (Qp, то (Qp (а) — вполне разветвленное расширение степени е над (Е)р.
Доказательство. Прежде всего | а, |р < 1, так как а, —значения симметрических полиномов от элементов, сопряженных ели имеющих норму | |р = р—Vе. Что касается я0, то |а0|Р = 1 л |р = Up.
Обратно, как видно из упр. 13 к § 1.5, многочлен Эйзенштейна неприводим. Поэтому, присоединив его корень а, мы получим расширение степени е. Из равенства ordpn0=l следует, что ordp.a = (1/е) ordpao= 1/е. Значит, Qp (а) вполне разветвлено над $р. □
Более точное описание корней многочленов, присоединение которых задает вполне разветвленные расширения степени е, можно дать, если е не делится на р (в этом случае ветвление называется ручным', если р I е, ветвление называется диким). А именно, ручные вполне разветвленные расширения получаются присоединением решений уравнения Xе — ри = 0, где ueZp, т. е. все такие расширения получаются добавлением корня степени е из произведения р на некоторую р-адическую единицу (см. ниже упр. 13 и 14).
Пусть теперь К — произвольное конечное расширение поля Щр. Следующее предложение утверждает, что если К не разветвлено, т. е. е=1, то К имеет очень специальный вид: получается присоединением некоторого корня из 1. В случае же, когда К разветвлено, вначале следует построить его максимальное неразветв- ленное подполе, присоединяя некоторый подходящий корень из 1, а затем исходное расширение получается присоединением корня некоторого многочлена Эйзенштейна. Предупреждение: доказательство следующего предложения несколько утомительно, и читатель, который спешит перейти к менее сухим материям из следующей главы, может пропустить его (а также часть более трудных упражнений к § 4) при первом чтении.
Предложение. Существует ровно одно неразвет- вленное расширение к^пТат поля (Qp степени h и оно может быть получено присоединением примитивного корня степени pf — 1 из 1. Пусть К — некоторое расширение поля (Qp степени п с индексом ветвления е и степенью поля вычетов / (так что n — ef, как это будет доказано ниже в упр. 12). Тогда К = К"™ат (п), где л — корень некоторого многочлена Эйзенштейна с коэффициентами в Kfmam-
Доказательство. Пусть а —образующая мультипликативной группы Fpf (см. предложение в конце § 1), а Р (х) = х^ + ^i-^-14~ • • • + <Д — ее минимальный многочлен над Гр (см. упр. 5 к § 1), где я^рр. Для каждого i выберем произвольный элемент а^ е Zp из класса a, (mod р). Положим Р (х) = х/ + axxfл +... + а^. Оче-
видно, Р (х) неприводим над (Qp, так как иначе его можно было бы записать в виде произведения двух многочленов с коэффициентами в Zp, что при редукции по модулю р дало бы разложение в произведение для Р (ху Пусть a s Q^'ci — некоторый корень многочлена Р(ху К = ^р(а), Д = {хе7<||х|р^ 1}, М = ^е s/C| |х jp< 1}- Тогда [^:(Eip] = f, в то время как класс смежности аД-Л! является корнем неприводимого над Гр многочлена Р ^ степени /. Следовательно, [Д/Л4 : Гр] = / и К — неразветвленное расширение степени f. (Его единственность еще не доказана.)
Предположим теперь, что К — некоторое расширение из второй части данного предложения. Пусть А = = {х е /С | | х |р ^ 1} — кольцо нормирования для | |р в К, а М = {х е К | | х |р< 1} — максимальный идеал в А, так что А,М = Fpf. Рассмотрим аеГ/, образующую мультипликативной группы р^. Пусть а0 е Д — элемент, редуцирующийся в класс a(modM). И, наконец, пусть л е К. — произвольный элемент с ordp л = 1/6. Таким образом, М = пА.
Утверждается, что существует элемент a=a0(mod л), для которого а^-1 —1=0. Доказывается это аналогично лемме Гензеля. А именно, пусть ccsag+c^n (mod л2). Тогда выполнено сравнение О = (ао + +«1Л)^-‘ — 1 = а^-’ — 1 + (р'— l/a^a^-2^^ — 1 — о^ла^ ~2 (mod л2). Но а^ —1 = 1 (mod л), поэтому а, = (of-1 — 1У(ла0^-2) (mod л) удовлетворяет нужному сравнению по модулю л2. Продолжая этот процесс вычисления далее, как и в лемме Гензеля, мы находим a = ao + ain + a2:n;2 + -.., решение уравнения aPf-' = 1.
Отметим, что a, а2а^ —1 — различные элементы, потому что различны их редукции а, а2,..., а^-1 по модулю М. Иначе говоря, а—примитивный корень степени р/ — 1 из 1. Кроме того, [$р (а): $р] ^ f, так как / — степень расширения поля вычетов. (Вскоре мы увидим, что [(Ejp (a): ^ = f.)
Предыдущее рассуждение применимо, в частности, к полю К, построенному в первом абзаце доказательства. Следовательно, Ктз^р(а), где а — примитивный корень степени pf —1 из 1. В силу неравенств / = = [К:ад^№Р(сс) :$p]$£f получаем, что К = (РР(а)- Значит, неразветв ленное расширение степени f единст* венно. Обозначим его через /<funram-
Вернемся к нашему полю К степени n = ef над (Qp. Пусть Е (х) — минимальный многочлен элемента л над К = /С“пГат. Обозначим через {л,} множество всех элементов, сопряженных с л над ^пгат, так что Е (х) = -|J>-лг). Пусть d — степень, а с —постоянный член Е(х). Тогда ordpC = dordpn, = d/e. Но поскольку е/= = п = \К: ^Р] = К: КГram] [КГат : (lU = [^ : К/”1] ■ К то d^e. С другой стороны, порядок ordpc цел, так как ce^nram. Отсюда мы заключаем, что d = e и ordpc = = 1. Таким образом, Е (х) — многочлен Эйзенштейна и К=К"^ D
Следствие. Пусть К —конечное расширение поля (Qp степени п с индексом ветвления е й полем вычетов степени f, а л — такой элемент, что огдрл=1/е. Тогда каждый элемент осе К однозначно представим в виде
ОО
У, 0.^,i = m
где m — eordpcc, а каждое а{ удовлетворяет уравнению af — at (т. е. at — представители Тейхмюллера).
Доказательство этого следствия несложно, и мы оставляем его читателю.
Для всякого целого положительного т, не делящегося на р, можно найти степень р/ числа р, сравнимую с 1 по модулю т (действительно, пусть, например, f — порядок мультипликативной группы вычетов (XlmXY по модулю т целых чисел, взаимно простых с ту Тогда р^ — 1 = тт*, и если к полю (Ejp присоединить примитивный корень а из 1 степени pt — 1, то в полученном поле элемент ат' будет примитивным
корнем из 1 степени т. Из этого можно заключить, что конечные неразветвленные расширения поля (Qp— это в точности все расширения, полученные присоединением. корней из 1 степени, взаимно простой с р.
Объединение всех конечных неразветвленных расширений поля (Ejp обозначается (Qpnram и называется максимальным неразветвленным расширением поля (Qp. Кольцо целых Zp'ram поля (Qpnram (также называемое кольцом нормирования) есть
Z"nram = {XG№nrami|-V!p^l}.р def 1J
Оно имеет (единственный) максимальный идеал Munram = —Рьр =(xe(Qp I |-Чр< 4 = VtE (Qp I |x|p^ ^ I/p}. Очевидно, поле вычетов Zpnram/pZpnram есть алгебраическое замыкание Рр поля рр. Каждый х s рр обладает единственным представителем Тейхмюллера х е Z™™ который является корнем из 1 с образом х в гГап7рХ7ат По этой причине Zpnram часто называют «поднятием Рр в характеристику нуль» (а также кольцом векторов Витта поля рр).
Поле (Qpnram, гораздо меньшее, чем (EjpScl. во многих ситуациях может использоваться вместо (E)plgcl.
«Противоположный» к неразветвленным расширениям класс образуют вполне разветвленные расширения. Такое расширение можно построить, например, присоединением примитивного корня из 1 степени рг; при этом получается вполне разветвленное расширение степени n = e = pr-1 (р — 1) (см. ниже упр. 7). Однако, к сожалению, далеко не все вполне разветвленные расширения задаются присоединением корня из 1. Например, присоединяя корень многочлена хт — р, мы, очевидно, получаем вполне разветвленное расширение К степени т, и если бы К содержалось в поле, заданном присоединением примитивного корня из 1 степени рг, то число т должно было бы делить pr~x{p — 1), что невозможно, скажем, при т> р и р^т. Почти все, что мы можем сказать о вполне разветвленных расши-
рениях, содержится в первом предложении данного параграфа и в упр. 14 ниже.
Повторим: расширение К поля (Qp степени п с индексом ветвления е и степенью поля вычетов / задается присоединением примитивного корня из 1 степени pf — 1 и последующим присоединением к полученному полю ^unram КОрНЯ некоторого многочлена Эйзенштейна с коэффициентами в К“пгат.
Закончим этот параграф двумя полезными предложениями.
Предложение (лемма Краснера). Пусть a, be е (Qp (= (QplgcI). Предположим, что элемент b расположен к а ближе, чем любой из сопряженных аДа^а) для этого а, т. е.
\Ь-а\р<\а(-а\р.
Тогда фр (а) с= фр (£>).
Доказательство. Пусть К = ^Р(Ь\ Предположим, что афК. Тогда имеется [Д (а): Д']> 1 элементов, сопряженных с а над К. Следовательно, существует по крайней мере одно а, ф К, а-^а, а также изоморфизм о поля фр («) в фр(а£), оставляющий на месте все элементы К и переводящий а в av Мы уже знаем, что | ох |р = | х|р для любого хе К(а) в силу единственности продолжения нормы. В частности, \ Ь — аДр — = | ab — аа |р = | b — а |р, откуда следует неравенство
|^-а|р^тах(|о,--Ь|р, |Ь-а|р) = |&-а|р<|аг-а|р, противоречащее предположению. □
Отметим, что точно таким же методом лемму Краснера можно доказать в более общей формулировке: если а, b г фр, К — конечное расширение поля (Qp и | b — а |р С | ai — а |р для всех а^ сопряженных с а над К (а, =£а), то Д (а) с Д (6).
Рассмотрим теперь произвольное поле К с нормой || ||. Пусть f, g е Д[Х], т. е. f = ^ а^ и g=^ biX1 — два многочлена с коэффициентами в К. Определим рас-
стояние V — g| от / до g как U-g^max^ai-M.
Предложение. Пусть К — конечное расширение поля (Qp, а / (X) е К [X] — многочлен степени п,
f (X) = апХп 4- ^n-iX"-14-... 4- щХ 4~ а»- Предположим, что все корни f в ^р различны. Тогда для любого (достаточно малого) е >0 существует та-
^^biX'eXlX] имеет^^biX'eXlX] имеетп
^^biX'eXlX] имеет
^^biX'eXlX] имеет
с=ос=окое 6, что если, многочлен g
с=о
с=о
VVстепень п и |/—g |р< 6, то для каждого корня о^ многочлена ЦХ) существует в точности один корень р, многочлена g(X), для которого |а, — Мр<б.
V
V
Доказательство. Если Р — корень ^(Х), то
п
\р\рП 1П 1для некоторой константы Сг (см. ниже упр. 3).Пусть С2 = min |а,—az|p. Очевидно, С2=^0, !</</<«так как все ос, различны. Тогда неравенство |Р —сс,|р< <С2 имеет место не более чем для одного аг (так как если бы оно выполнялось для другого ос/^сс,-, то мы имели бы | аг — az |р ^max (| а,-— Р |р, |£ — а/|р)<02). Поскольку" "' 11 I ГТ|Н_т;|_для некоторой константы Сг (см. ниже упр. 3).Пусть С2 = min |а,—az|p. Очевидно, С2=^0, !</</<«так как все ос, различны. Тогда неравенство |Р —сс,|р< <С2 имеет место не более чем для одного аг (так как если бы оно выполнялось для другого ос/^сс,-, то мы имели бы | аг — az |р ^max (| а,-— Р |р, |£ — а/|р)<02). Поскольку" "' 11 I ГТ|Н_т;|_1/№|p = |f№)-g№l,-^, ^тахЩ-Ш^)^-^™^*’^0^
\р
\р
П 1
П 1
для некоторой константы Сг (см. ниже упр. 3).
Пусть С2 = min |а,—az|p. Очевидно, С2=^0, !</</<«
так как все ос, различны. Тогда неравенство |Р —сс,|р< <С2 имеет место не более чем для одного аг (так как если бы оно выполнялось для другого ос/^сс,-, то мы имели бы | аг — az |р ^max (| а,-— Р |р, |£ — а/|р)<02). Поскольку
" "' 11 I ГТ|Н_т;|_
для некоторой константы Сг (см. ниже упр. 3).
Пусть С2 = min |а,—az|p. Очевидно, С2=^0, !</</<«
так как все ос, различны. Тогда неравенство |Р —сс,|р< <С2 имеет место не более чем для одного аг (так как если бы оно выполнялось для другого ос/^сс,-, то мы имели бы | аг — az |р ^max (| а,-— Р |р, |£ — а/|р)<02). Поскольку
" "' 11 I ГТ|Н_т;|_
Ci6>j/(P)|p — |йлЦ(Р ai) |р — I ы» Ip Hie —up (так как f (Х) = аП ^[ (X — а,4^, то при достаточно малом 6 такое «ь для которого | р — ос, ]/> < С2, существует. Более того, для этого «г
С"6С”6
а последнюю величину можно сделать <е при подходящем выборе 6. □
§ 4. ПОЛЕ Q
До сих пор мы имели дело исключительно с алгебраическими расширениями поля $р. Но, как отмечалось выше, для конструкции р-адического аналога поля комплексных чисел этого недостаточно.
Теорема 12. Поле (Qp не полно.
Доказательство. Нужно построить пример последовательности Коши {nJ в (Ejp, которая не сходится ни к какому аеЩр.
Пусть bt — примитивный корень из 1 степени р2‘—1 в (Е)р, т. е. ЬГ"Х = 1 и ^=/=1 для 0</п<р2'—1. Заметим, что Ь[ =1, если iv >t, так как 2; I 2е влечет за собой (р2‘—1)|(р3‘' —1). (На самом деле 2' можно заменить любой возрастающей последовательностью натуральных чисел, i-й член которой делит (1‘+1)-й, например: 3', i! и т. д.) Таким образом, bi есть степень bt- при i'>-i. Пусть
/=о
где 0 = No < N\ < N2 <... — возрастающая последовательность целых положительных чисел, которая будет выбрана позже. Отметим, что Ь, при /=0, Г, .... i являются знаками р-адического разложения числа а, в неразветвленном расширении (Е)р(^), так как Ь}-— представители Тейхмюллера. Последовательность {а,}, очевидно, будет последовательностью Коши.
Выберем теперь по индукции подходящие Nj для />0. Предположим, что Nj уже определены для / ^ i;
<
тогда определено также щ = У, bjpNi. Пусть к = (Ejp 0i\ /=о
В § 3 было доказано, что К есть неразветвленное расширение Галуа степени 2'. Отметим прежде всего совпадение ^р(а£) с К. В противном случае существовал бы нетривиальный автоморфизм ст поля К, оставляющий а, на месте (см. пункт (11) § 1). Но о (а,) имеет
р-адическое разложение У, а(6/) pNi и a^b^^bt. Поэ- /=о
тому о(а,)^аг, ибо различны их р-адические разложения.
Из упр. 9 к § 1 следует существование такого Ni+i>Ni, что при п<,21 и a/eZp, не делящихся одновременно на р, сц не удовлетворяет ни одному из сравнений
ап$ 4- ап_хаГх + • • • + «А + «о = 0 (mod pN^.
Итак, мы построили требуемую последовательность
Действительно, предположим, что a s (Qp является пределом этой последовательности. Тогда а удовлетворяет уравнению
а„дл 4-а„_1ал~1+... + а^ + ар = О,причем можно считать, что ^е!р и не делятся одно-временно на р. Выберем I, для которого 2'>н. Таккак а = tz,- (mod р^'+1)» эт0 приводит к противоречию:
a„a • 4- an-xaTx 4- • • • + ад 4- «о 5 0 (mod р^1).
Теорема доказана. □
Заметим, что мы установили неполноту, используя последовательность из (Qpnram, а не из всего замыкания
(Eip = (Qpgcl.
Перейдем теперь к «залатыванию дыр» и определим новое поле Q как пополнение поля (Е^. Строго говоря, следует рассмотреть классы эквивалентности последовательностей Коши в Qp, а затем определить все необходимые структуры на полученном множестве, поступая при этом точно так же, как и при конструкции (Qp по (Q (или R по (Q, или как при конструкции пополнения произвольного метрического пространства). Интуитивный смысл построения Q заключается в добавлении всех тех чисел, которые должны быть пределами
сходящихся) бесконечных сумм чисел из (Qp, например сумм вида, рассмотренного в доказательстве теоремы 12.
Точно та{£ же, как и при переходе от (Q к (Qp, при переходе от (Qp к й можно продолжить норму | L с ^р до нормы на й, положив |х|р = lim|x,|p, где [х,-}— i—*oo
некоторая последовательность Коши элементов из (Qp, лежащая в классе эквивалентности х (см. § 1.4). Как и в случае перехода от $] к (£}р, нетрудно показать, что на самом деле при х^О этот предел |х|р равен ) xt\p для достаточно больших i.
Продолжим также функцию ordp на й: ordp х = — logp | х |р.
Следующая теорема утверждает, что на этом работа окончена: й может служить р-адическим аналогом поля комплексных чисел.
Теорема 13. Поле й алгебраически замкнуто.
Доказательство. Пусть / (X) = X” + ап_хХп-х +... .. .-j-cixX + ao, at е й. Мы должны установить существование корня у /(X) в Й. Для каждого l = 0, 1, ... .n—1 выберем последовательность |ai;}; элементов поля (Qp, сходящуюся к сц. Пусть gj (X) = X” 4- + ал-1, /X"-1 -j-... + Qi, )Х + Оо, ь a rtj — корни многочлена gj (X) (t = l, 2, ...,п). Утверждается, что можно | найти такую последовательность индексов ij (l^ij^n),;
/=1, 2, 3, ..., для которой {г( /} — последовательность j Коши. Действительно, предположим, что мы уже имеем ’ rt j и хотим указать следующее r{ J+1. Пусть 6; = = I gj-gj+i \Р = max (|af.7-ai./+i|p) (это число стремится к 0 при /->-оо). Положим А/ = тах(1, 1^.,;)"). Очевидно, существует некоторая константа А, такая, что Aj^A для всех j (см. ниже упр. 3). Тогдай
ПI гн< - rt/+1I»= Igj+1 V^ A Ip =
Следовательно, по крайней мере одно из чисел \Пг1-гиЦр слева ^Уб,А. Пусть rJ/+r Л1 - соответствующее /у>+1- Построенная последовательность {Лу,/}, очевидно, является последовательностью Коши.
Пусть теперь r = Пт/р./ЕЙ. Тогда
/ -.ОО 1
f(r) = lim ^ y) = lim g/(rz /) = 0. □
/ —♦ ОО'1
Резюмируя результаты глав I и III, можно сказать, что мы построили наименьшее алгебраически замкнутое поле й, содержащее Q и полное относительно | |р. (Строго говоря, это видно из следующего рассуждения: пусть й' — другое такое поле; так как Й' полно, оно должно содержать поле, изоморфное р-адическому пополнению поля (Q, которое можно обозначить (Qp; далее, поскольку й' содержит (Qp и алгебраически замкнуто, оно должно содержать поле, изоморфное алгебраическому замыканию поля (Qp; это замыкание можно обозначить (Qp; и, наконец, так как й' содержит (Е)р и полно, оно должно содержать поле, изоморфное пополнению (Qp, которое можно обозначить й. Таким образом, любое поле, обладающее указанными выше свойствами, должно содержать поле, изоморфное й. Это объясняется тем, что и пополнение, и алгебраическое замыкание определены однозначно с точностью до изоморфизма.)
Поле й следовало бы обозначать через йр, напоминая о простом числе р, от которого зависят все конструкции. Но для краткости индекс р мы опускаем.
Построенное поле й —это обширная и прекрасная область, место обитания р-адического анализа.
Упражнения
Докажите, что множество всевозможных значений | |р на (Qp состоит из всех рациональных степеней р (лежащих в множестве положительных вещественных чисел). Каково это множество для й? Напомним, что функция ordp продолжается на й следующим способом: ordpx =—logp|x|p (т. е. чтобы получить |х|р, нужно возвести 1/р в эту степень). Каково множество всевозможных значений ordp на й? Докажите, что Щр и й не яв-
ляются локально компактными- Это одно из существенных отличий Q от 0, которое локально компактно в архимедовой метрике (обычное расстояние на комплексной плоскости).
Что получится, если на Q определить «эллипс» как множество точек, сумма расстояний которых от двух заданных точек а, b г Q постоянна и равна некоторому фиксированному вещественному числу г? Покажите, что этот «эллипс» является либо объединением двух непересекающихся окружностей, либо пересечением двух окружностей, либо пустым множеством в зависимости от выбора а, b и т. Что будет, если определить «гиперболу» как {х е Q | |х—а\р—|х—b\p = rV
Пусть g (X) = Хп 4- bn-1Xn-1-V-.. -+ bxX + bQ) Со— | g |р "g^f = max | Ь^ \p. Докажите существование такой константы Cv зави- сящей только от Со, что любой корень £ многочлена g^X) удовлетворяет неравенству |Р |р<С1.
Пусть а—корень многочлена f(X)eK[X] со старшим коэффициентом 1, где К — конечное расширение поля Dp* Докажите существование такого е>0, что всякий полином g(X) такой же степени, как и/, удовлетворяющий неравенству |/ — g\p< <8, имеет корень g, для которого К(а) = К(£).
Докажите, что всякое конечное расширение К поля Dp содержит конечное расширение F поля рациональных чисел (ц, для которого [F : (QJ = [К : Dpi и F плотно в К, т. е. для каждого элемента х е К и любого 8 > 0 существует у (= F с I х—у |р < 8.
Пусть р— такое простое число, что —1 не имеет квадратного корня в Dp (см. упр. 8 к § 1). Используя лемму Краснера, найдите s, для которого Dp (У— a) = Dp (г—1) при любом а с ! а— 1|р<8. Для какого s из неравенства |а— plp<8 следует совпадение Dp(^a) с Dp(^p)^ (Отдельно исследуйте случай р = 2.)
Пусть а —примитивный корень из 1 степени рп в Dp> т. е. аР71"1^!. Найдите | а— 1 1р- (Указание: а имеет минимальный многочлен \хрп — l)/^*"1 — 1); при л=1 см. упр. 14 к § 1.5.) Пусть л = 1. Докажите, что (Qp (a) = (Qp ((— р)17^-1*). Докажите, что если а—примитивный корень из 1 степени т и т не равно степени числа р, то |а— 1 |р—1.
Пусть К —конечное расширение поля Dp> т — некоторое целое положительное число, а (Кх)т обозначает множество т-х степеней элементов из Кх- Предположим, что: (1) |/и|р = 1 и (2) К не содержит корней степени т из 1, отличных от 1. (Например, для К — Dp легко проверить, что эти два условия выполнены тогда и только тогда, когда т взаимно просто с р и р — 1.) Докажите, что индекс мультипликативной подгруппы (Кх)т в Кх (т, е. число различных классов смежности) равен т.
Опустим оба предположения предыдущего упражнения. Докажите, что индекс (Лх)т в Кх равен mw[\ т L, где w — число корней из 1 степени т, содержащихся в поле К.
Пусть Л —вполне разветвленное расширение поля (Qp. Покажите, что каждый корень степени т из 1 в поле К лежит на самом деле в (Qp, если р не делит т.
Определите мощность множеств (Qp, (Qp и Q.
Докажите, что ef = n, где п = [7< : (Qp], е— индекс ветвления, а / — степень поля вычетов. {Указание. Пусть yv ..., у^— элементы поля К, для которых | ^ [р=1, а их образы в поле вычетов составляют базис этого поля над рр. Покажите, что у^л/, l^t^/, 0^/^е—1, составляют базис в К над ©«, где огбрл=1/е.) р
Пусть К — вполне разветвленное расширение степени е поля (Qp. Установите существование такого Р е К, что | ре — ccL-< < 1/р для некоторого aeZp с ordp а= 1
Предположим, что К—ручное вполне разветвленное расширение. Используя метод леммы Гензеля, покажите, что найденное выше р можно подправить так, чтобы для него было справедливо включение ре е (Qp, т. е. р удовлетворяло уравнению Xе — а = 0, где а е Zp и ordpa=l. Заметим, что тогда К = = (Qp(P) (объясните почему).
Докажите для любого натурального п конечность числа расширений поля (Qp степени, не превосходящей п.
Комплексных чисел гораздо больше, чем рациональных и даже алгебраических, потому что два последних множества счетны, а © имеет мощность континуума. Поле Q также много больше, чем (Qalgcl, хотя и в другом смысле (см. выше упр. 11). Докажите, что Q нельзя представить в виде алгебраического расширения поля, полученного присоединением счетного числа элементов поля Q к (Qp (т. е. поля, состоящего из всех рациональных выражений от этих элементов и элементов поля (Qp), Можно сказать, что £2 имеет несчетную степень трансцендентности над (Qp. {Предупреждение. Это упражнение и следующее — трудные!
Будет ли счетной степень трансцендентности Q над р-ади- ческим пополнением поля (D^nram?
Глава IV
^-АДИЧЕСКИЕ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
§ 1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
Напомним, что в метрическом пространстве, метрика которого индуцирована некоторой неархимедовой нормой I ||, последовательность удовлетворяет условию Коши в том и только том случае, когда разность между ее соседними членами стремится к нулю. Более того, если это метрическое пространство полно, бесконечная сумма в нем сходится тогда и только тогда, когда ее общий член стремится к нулю. Поэтому выражения вида
ОО
ЦХ)=^апХ\ «„ей,п = о
со
позволяют задать значение функции f (х) как У апхп л = 0
для всех тех значений хе й переменной X, для которых |«лхл|р->0.
Следуя архимедову случаю (степенных рядов над R или С), определим радиус сходимости соотношением
1
г =Г7-
limsup |а„ |^л» где выражение l/r = limsup |«„|р” обозначает наименьшее вещественное число 1/г, для которого при любом C">Ylr существует лишь конечное число величин l^nlp”, больших С. Иначе говоря, 1/г есть наибольшая точка накопления, т. е. наибольшее вещественное число, представимое в виде предела некоторой подпоследовательности из (|а„И- Так, например, 1/г равно Пт | ап fp", если последний предел существует.
л—юо
Чтобы обосновать употребление термина «радиус сходимости», покажем, что соответствующий ряд сходится при |х|р<г и расходится при |х|р>л Пусть сначала |х|р<г. Тогда, положив | х |р = (1 — е) г, получим | CZ„X" |р = (г I <з„ |p/")/I (1 — е)”. Так как \ап^п> > 1/(г — ^ег) только для конечного числа значений п, то
1™ 1^-1,= I™ -0.
Если |х|р>г, то подобным же образом легко установить, что апх" не стремится к 0 при п->оо.
Что происходит при | х |р = г? В архимедовом случае ряды могут вести себя довольно сложно на границе интервала или круга сходимости. Например, log (1 + х) =
ОО
= 2 ( —О^^/л имеет радиус сходимости 1. При л = 1
]х| = I этот ряд расходится для х = —1 и сходится (условно, не абсолютно) для всех остальных значений х (т. е. для х = 1 в вещественном случае и во всех точках единичной окружности, исключая х =—1, в комплексном).
В неархимедовом же случае ответ не зависит от точки границы |х|р = г. Это происходит по той причине, что в данной ситуации ряд сходится тогда и только тогда, когда его члены стремятся к нулю, т. е. тогда и только тогда, когда |ал |р | х/р->0. Но это условие зависит только от нормы | х |р, а не от конкретного значения х с заданной нормой. Такого явления, как условная сходимость, здесь просто не существует (ряд ^ — а« сходится или расходится независимо от выбора знаков
“ х«
Если мы рассмотрим тот же пример У
Л —1
то найдем, что |ап |р = р°тАрп и lira | ап |р" = 1.
л—*со
Поэтому этот ряд сходится при | х|р С 1 и расходится при |х|р>1. Когда |х|р=1, I алхл |р = Р^р" ^ 1 и ряд расходится для всех таких х.
Введем теперь некоторые обозначения. Пусть R— кольцо. Обозначим через /?[[Х]] кольцо формальных степенных рядов от X с коэффициентами в R, т. ё.
СО
множество выражений 2 апХп, ап е R, которые склады- п = 0
ваются и умножаются по обычным правилам. Обычно в дальнейшем R будет одним из следующих колец: Z, (Q, Zp, (Qp или й. Это обозначение часто используется для компактной записи других множеств, например:
1 + Х/? [[X]] g^ {/ е R [[X]] | постоянный член а0 ряда f равен 1}.
Множество
Da (г) ад {х г Й | |х-а|р^г}
называется замкнутым диском радиуса г е R с центром в точке а ей, а
Da(r-)^{xeQ\ |х-а|р<г}
— открытым диском радиуса г с центром в а. Кроме того, положим D (г) дд Do (г) и D (rj дд Do (/-). (Замечание: сразу оговоримся, что ниже, говоря о замкнутом диске D (г) из й, мы всегда подразумеваем, что г —одно из возможных значений | |р, т. е. рациональная степень числа р; в противном случае, когда не существует хеЙ с |х|р = г, мы всегда пишем D (/-).) (Предостережение. Термины «открытый» и «замкнутый» введены лишь по аналогии с архимедовым случаем. С топологической точки зрения такая терминология неудачна. А именно, множество Сс = {х е й | | х — — а |р = с} открыто в топологическом смысле, так как каждая точка х г Сс обладает открытой окрестностью, например Dv(c^), все точки которой лежат в Сс. Поэтому любое объединение этих множеств Сс открыто. Оба диска Da(r) и Da(r-), так же как и их дополнения, являются такими объединениями, например Da (r~) = U Сс. Следовательно, диски Da (г) и Da (/-)
с<;а
одновременно открыты и замкнуты. Топологическое
пространство, подобное Q, с такими странными свойствами называется вполне несвязным.)
Чтобы привыкнуть к обозначениям, докажем следующую тривиальную лемму.
Лемма 1. Каждый ряд f (X) (= Zp [[ХД сходится на D(l~).
ОО
Доказательство. Пусть f (X) = У ап.Хп, ап е Zp
Л = 0
и xeD(b). Тогда | х |р < 1. Кроме того, |о„|р^1 для всех п. Следовательно, | апхп |р^ | х |р->0 при п->-сс. □
Установим еще один простой результат.
Лемма 2. Каждый ряд ЦХ) = У апХп е Q [[X]],
л —О
сходящийся на некотором (открытом или замкнутом) диске D — D(r) или D(r~), непрерывен на D.
Доказательство. Пусть х —точка в D. Предположим, что | х* — х |р < 6, где 6 < | х |р будет выбрано позже. Тогда |х'|р = |х|р. (Ниже предполагаем, что х^=0; случай х = 0 очень легко проверить отдельно.) Имеем
IfW-f(^) 1р =IfW-f(^) 1р =ООУ, (апхп — апх*п)/1 = 0ООУ, (апхп — апх*п)/1 = 0рр
IfW-f(^) 1р =
IfW-f(^) 1р =
ОО
У, (апхп — апх*п)
/1 = 0
ОО
У, (апхп — апх*п)
/1 = 0
р
р
< шах (| апхп - апх п |р) = max (| ап |р | (х - х') (х"-1 + п"
+ х”-2х'+ ...+^',,-а + х,"-1|р).
Но\хп-х^гХп-Ч' А-+хх'”-а + х',,-1|рХ
^ max Ix”-^''-11р = |х|р-1. Следовательно, l^i^/i
\f(x)-f(x') Ip^max(|х-х' |р|а„ |р|х|р-1)<
< max (1 ап\р\х |р).
Так как |л„|р|х|р ограничено при п->оо, то \f(x) — — Кх')\р<е для подходящего 6. □
СО
Вернемся к ряду S (-D"+ xXnjn, который, как л = 1
мы уже выяснили, имеет диск сходимости D(l~); Таким образом, этот ряд задает функцию на D(l-)t принимающую значения в й. Обозначим эту функцию logp(l+X), где индекс р напомнит нам о простом числе, определяющем норму на (Q, по которой строится й, а также не даст перепутать эту функцию с классическим логарифмом log"(14-X), имеющим другую область определения (подмножество в R или С) и область значений (R или (D). К сожалению, обозначение р-адического логарифма logp совпадает с классическим обозначением для логарифма по основанию р. Начиная с этого места, под logp всегда понимается р-адический логарифм
ООlogp(l+X): Р(1-)->Й, logp(l+x) = 2 (-^п/п,Л=1
если противное не оговорено явно.
Ловушки, подстерегающие тех, кто путает архимедовы и р-адические функции, будут проиллюстрированы ниже, а также в упр. 8—10 к § 2.
Все когда-либо изучавшие дифференциальные уравнения (и многие не изучавшие) понимают, что функция
ОО
ехр (х) = ех = 2 хп/п\ является, может быть, самой л = о
важной в классической математике. Поэтому взглянем
ОО
на этот ряд 2 Хп!п\ р-адически. Классический экспо-
Л — 0
ненциальный ряд сходится всюду благодаря стремительному росту величины п\ в знаменателе. Но если в классическом случае большой знаменатель способствует сходимости, в р-адической ситуации он может играть обратную роль. Действительно, нетрудно вычислить (см. упр. 13 к § 1.2), что
(S„ = сумма знаков р-ичной записи числа п);
|l/n!
Из формулы г = l/(limsup [ ап )р") для радиуса сходимости получаем
ordpг = lim inf ^ ordp ал)
(где liminf некоторой последовательности обозначает наименьшую точку накопления). Тогда в случае ал = = 1/п! имеем
ordp г = lim inf fn~,p\ n(p —1)7’
но lim (—(n —S„)/(n(p —1))) = —l/(p—1). Следова- 4—*00
co
тельно, ^ x”/n! сходится при |x|p<p-1/(P_1> и рас- 4 = 0
ХОДИТСЯ При IX |р>р-1/(Р —1). Что происходит при |^1Р = р—v<p—п, т. е. когда ordp х= 1/(р —1)? В этом случае
ordp («^ = -^ + ^=^7.
Если, например, п = рт — степень р, то 5Л=1. Поэтому ordp(apmxPm)= I/(p—1), \артхРт \р = p-W-n и апхп со
не стремится к 0 при п->оо. Итак, ^ Хп(п\ имеет п =0
диск сходимости D (р—i/(p—о-) (последний минус, как обычно, обозначает открытый диск). Положим
expp (X) 33 2 Х”/п1 е (Qp [[X]].Отметим, что
Л = 0
D (р~^р-D—) az D (I-). Поэтому ехрр сходится в меньшем диске, чем logp!
Несмотря на важные различия между log (exp) и logp (ехрр), о которых никогда не следует забывать, некоторые из основных свойств log и ехр переносятся на р-адический случай. Установим, например, основное свойство логарифма: логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей. Прежде всего заме-
тим, что если хе D (]-), у eD (]-), то (1 4-х) (1 -Vy) = = 1 -\-(х-\-у-Vху) е 1 4-D(l"). Таким образом,
ОО
logpK1+Х)(1+^)]= s (- \yvlkxA-y-Vxyyin.п = 1
Но в кольце формальных степенных рядов от двух переменных над Q (оно обозначается Q[[X, У]]) выполнено соотношение
У, (- ly+^/n-y S (- \Y*xY4n =
= У (- 1)я+1 (X 4- У 4- ХУущ.
Оно вытекает из соотношения log(l 4-х) (1 4*//) = = log (1 4-х) 4-log (1 4-//), верного для R и С. Тогда разность между двумя частями доказываемого равенства, скажем F(X, Y), обращается в нуль для всех вещественных значений X и У из интервала (— 1, 1). Поэтому коэффициенты при XmYn в F (X, Y) равны нулю для всех тип.
Этот способ доказательства обращения в нуль формального степенного ряда F(X, У) типичен для многих последующих рассуждений. Предположим, что некоторое выражение, содержащее формальные степенные ряды от X и У, например log(14~X), log (14-У) или log (1 4- X 4- V 4- ХУ), тождественно обращается в нуль после подстановки в него вместо переменных вещественных чисел из некоторого интервала. Тогда ряд, полученный приведением подобных членов по ХтУ”, будет иметь лишь нулевые коэффициенты. Мы опускаем детали, так как это общий факт, не связанный непосредственно с р-адическими числами. Если вы не уверены, что смогли бы доказать его самостоятельно, посмотрите упр. 25 к § 2, где даны разъяснения и указания.
Возвращаясь к р-адической ситуации, отметим, что члены любого ряда, сходящегося в й, можно поставить в любом порядке и полученный ряд будет сходиться к тому же пределу. (Это легко проверить: ведь условной сходимости в этом случае не бывает.) Итак,
logp[(l+^)(l+Z/)]= 2 ^-^^Л-у + ху^/П МОЖНО л = 1
ОО
переписать как У, ст,пхпуп. Но по «формальному т, л—О
тождеству» в (Q[[X, У]] все рациональные числа ст>п равны 0, кроме чисел с п = 0 или т = 0, а для них Со, п = сл,о = (—1)”+1/и (с0, о = О). Отсюда можно заключить, что
ОО
logp[(l+x)(14-y)]= £ (- VTMn-V
Л = 1
+ S (— 1 ^ifln = logp (1 + х) + logp (1 + у). л=1
В качестве следствия этой формулы рассмотрим случай, когда 14- х есть корень степени рт из 1. Тогда |х|р<1 (см. упр. 7 к§ III.4) и рт logp(l +х) = = logp (14- х)^ = logp 1 = 0. Следовательно, logp (I + +х) = 0.
Точно так же доказывается следующий р-адический вариант известного свойства экспоненты: если х, у е е D (p-vtp—п-), то x-Vy^-D^pr- ^р—D-) иехрр(х-|- + z/) = exPp(x)-expp (у).
Более того, как и в архимедовом случае, функции logp и ехрр взаимно обратны. Точнее, предположим, ОО
что х е D (р~1^р—). Тогда ехррх = 1 + У хп]п\ и л = 1
ordp (x'Vnl) > п/(р — 1) — (п — S„)/(p - 1) = Sj^p — 1)> 0. Отсюда ехррХ—1 еD(I-). Рассмотрим
ОО
logp(l4-ехррХ— 1)= 2 (—I)”+1(exppX-1)”/п =
П = 1
ОО/ оо\л I
= У (—У Хт[пг\\ / п.
Л = 1'Л1=1/ I
ОО
Этот ряд приводится к виду У слх". Но по тем же
Л = г
соображениям, что и выше, в (Q [[X]] имеет место
формальное тождество
СОIе0\П !
У, (—l)^1 5 XmimB п = Х, п=\\т = 1/ /
вытекающее из того, что log (exp х) = х для поля R или С. Следовательно, ^=1 и с„ = 0 при п>1, откуда
logp(l+ехррХ—1) = х для всех х е D (p-U№—D-),
Вычисляя выражение ехрр (logp (1 +х)), нужно быть немного осторожнее. Дело в том, что даже если х принадлежит области сходимости £>(1-) .ряда logp(l + X), то совсем необязательно, чтобы logp(l+x) принадлежал области сходимости D (р—V(p—о—) ряда ехрр(Х). Это верно, если х е D (p-vtp-n-), ибо тогда при п^1 (ord, У/л) - ^ > ^ - ord, п - ^ = ^ - ord, п, а последнее выражение достигает минимума, равного нулю, при п=1 и п = р. Поэтому ordplogp(1 +х)5з ^minordpX7n> 1/(р—1). Затем, как и выше, получаем
expp(logp(l+х))= 1+х для всех х е D (p->/<p-D-).
Все установленные нами факты о logp и ехрр можно. кратко резюмировать в следующем утверждении.
Предложение. Функции logp и ехрр задают взаимно обратные изоморфизмы между мультипликативной группой точек открытого диска радиуса р-^р-о с центром в 1 и аддитивной группой точек открытого диска радиуса р-^р-ь с центром в 0.
(Это означает в точности следующее: logp задает взаимно однозначное соответствие между двумя указанными множествами, при котором образ произведения двух чисел равен сумме образов сомножителей, а ехрр— обратное отображение.)
Этот изоморфизм подобен изоморфизму в вещественном случае между мультипликативной группой положительных вещественных чисел и аддитивной группой
вещественных чисел, который задается взаимно обратными функциями log и ехр.
В частности, в силу этого предложения log„ инъективен на D^p- *>-), т. е. в Dv (р~^р-п-) не существует двух чисел с одним и тем же значением logp. Легко показать, что ^(р-’^-1’-) —наибольший диск, для которого это справедливо. В самом деле, | £ — 1 |р— — р-хкр—1) для примитивного корня С степени р из 1 (см. упр. 7 к § III.4), a logpC = 0 = logp 1.
Аналогично определяются функции
sinp: D (р—хкр—хх—)->й,
sinpX = f] (—1)”Х2л+1/(2п+1)1;
л=0
cosp: D^p-^P-^-^
cospX = 5 (—I)”X2”/(2n)l.
л = 0
Другой тип функций, важных для классической математики, представляют биномиальные разложения
ОО
Во(х)=(1 +^)а= 2х”. Если asR
п=0
или (D, этот ряд сходится в R или (D При IXI < 1 и расходится при |х|>1 (кроме случая, когда а —целое неотрицательное число); при | х | = 1 этот ряд имеет достаточно сложное поведение, зависящее от конкретного значения а.
Определим теперь для каждого а г й ряд
и проанализируем его сходимость. Предположим вначале, что |а|р>1. Тогда \а — 1\р = \а\р и норма | |р n-го члена этого ряда равна | ах 1”/| п! |р. Поэтому при |а|р>1 ряд Ва,р(Х) имеет, область сходимости D(p-WtP-xx/\a\p).
Предположим теперь, что | о |р ^ 1. В этом случае картина становится более сложной и зависит от а. Мы не будем приводить здесь ее полное описание. Во всяком случае, j а — i |р ^ 1 для любого такого а, откуда | а (а — 1)... (а — п + 1) хпЩ\ |р^ | хп[п\|р. Поэтому 5а,р(Х^ сходится по крайней мере на D (p-W—о-).
непре- Такимнепре- ТакимВскоре нам понадобится более точный результат о сходимости ВО.Р(Х) для аЕ1р. Утверждается, что тогда Ва-р(Х) е ZP[[X]] (и, в частности, этот ряд сходится на D(l-) по лемме 1). Итак, надо показать, что а(а—1)... (а —пЦ-l)/n! G Zp. Пусть ай —целое положительное число, большее п, для которого ordp (а — а0)> >N (подходящее N будет выбрано позже). Тогда «о (а0 — 1)... (я0 — п +1 )/п! = (^ е Z с Zp. Поэтому достаточно установить, что разность между а0(а0—1),.. .. .(а0 — п+ 1)/п! и а (а— I).. .(а — n+ 1)/и! для некоторого N имеет | |р^1. А это следует прямо из рывности многочлена X (X — 1)... (X — и + 1). образом,
непре- Таким
непре- Таким
Ва, р (X) е Тр [[X]], если a s Zp.
Возьмем, например, а=\}т, где теХ и р^т. Это один из важных случаев, когда а е ZP. Пусть xeD^V). Тогда, используя те же соображения, что и при доказательстве тождества logp(l +х) (1 -Vy) = = logp (14- х) 4- logp (1 4- у), получаем
[Bi/m,p (x)]m= 1 4-х.
Таким образом, 5i/m, р(х) есть корень степени т из 14-х в й. (При р\т последнее также имеет место, но только для тех значений х, которые лежат в D (| т|рР-1/(Р_1)_)-) Поэтому для обычных рациональных чисел а можно пользоваться сокращенной записью Ва,р(Х) = (1+Х)а.
Но при этом необходима осмотрительность! Как быть, например, со следующим «парадоксом»? Рассмотрим 4/з = (1 + 7/9)1/2i ord77/s=l в Z7- Поэтому для х = 7/ и и 1
7-”7 I «1 I?7-”7 I «1 I?УаС/а—1) ••• (Уз—п4-1) яп!х
7-”
7 I «1 I?
7-”
7 I «1 I?
Следовательно,
1 >1(1 +7/9),/2-1|7 = |4/з- 1,7 = 1 1/3|7=1.
Что стряслось?
Мы чересчур опрометчиво написали 4/3 = (1 -}-7/э)1/2 Как известно, в R и в $7 число 16/9 имеет два квадратных корня ±4/3. В R ряд для (1+7/э)1/2 сходится к 4/3, и мы отдаем предпочтение положительному корню. А в ^ предпочтение отдается другому корню —4/з = 1 — 7з, поскольку он сравним с 1 по модулю 7. Значит, один и mom. же ряд рациональных чисел
Arint\ 9 /
л = 0
сходится к некоторому рациональному числу как в 7-адической, так и в архимедовой метрике; но те числа, к которым он сходится, различны! Это контрпример к следующей неверной «теореме».
ОО
Не-теорема 1. Пусть У, ап —сумма рациональных п = 1
чисел, сходящаяся к некоторому рациональному числу относительно | |р, а также к некоторому рациональному числу относительно | ,ю- Тогда рациональные значения этой суммы для двух метрик совпадают.
Другие «парадоксы» можно найти ниже в упр. 8—10.
ЭКСПОНЕНТА АРТИНА-ХАССЕ
Введем теперь одну «элементарную функцию», которая несколько «лучше», чем ехрр, так как имеет больший диск сходимости, и которая часто используется вместо ехр, особенно в тех случаях, когда нужна лучшая сходимость, чем только на D (р—1/<р—п—у Для этого прежде всего разложим в бесконечное произведение обычную экспоненциальную функцию. Это разложение использует функцию Мёбиуса р.(и), часто встречающуюся в теории чисел. Для пе{1, 2, 3, ...}
б H. Коблнц
положимположим
положим
положим
и, если п делится на полный квадрат натурального числа, большего 1;
Таким образом, 0 = р (9) = р (98),Таким образом, 0 = р (9) = р (98),(—l)fe, если п равно произведению к различных простых чисел.
Таким образом, 0 = р (9) = р (98),
Таким образом, 0 = р (9) = р (98),
1 = р(1) = р(6) = р(221) = р(1155), —1 = р(2) = р(97) = р(30) = р(105). Основное свойство функции р заключается в том, что сумма ее значений по всем делителям некоторого целого положительного числа п равна 1, если п=1, и 0
в остальных случаях. Действительно, если п=р“^. ..pass- разложение на простые множители и s^l, то
2 вад- s
I явсевозможные
SSet = 0 или 1, 1 = 1,
S
S
= 5(—1)28' = (1-1Д = 0.
Теперь утверждается, что в (Q [[X]] имеет место формальное тождествог
WОО
ехр(Х) = [J (1-X")-W"= П ^(Ю/И-ХД. n=ldef п = 1
(Сразу отметим, что это бесконечное произведение бесконечных рядов корректно определено (формально), так как n-й ряд в этом произведении начинается с 1 — р (л)/пХп, т. е. не имеет членов со степенью X, меньшей п, кроме постоянного члена 1; поэтому для того, чтобы найти коэффициент для каждой заданной степени X, достаточно перемножить лишь конечное число рядов.) Для доказательства прологарифмируем правую часть. После приведения подобных членов с одинаковой степенью X получим
ООсо
log Ц (1 - Х”)-^)/” = - 2 ^ log (1 - X”) =
Л=1Л = 1
(/ — прежнее тп\ По доказанному выше основному свойству р последний ряд равен X. Взяв экспоненту от обеих частей, получаем требуемое формальное тождество.
(В этом доказательстве несколько раз неявно использовался принцип, упоминавшийся при обсуждении logp. Его подробное изложение дано ниже в упр. 25. Согласно этому принципу, манипуляции с формальными степенными рядами как с функциями вещественных переменных законны, если все получающиеся ряды сходятся в некотором интервале около нуля.)
В /?-адическом случае, рассматривая произведение СО
Л (1 — XnY"V-win, можно выделить все «нежелатель- п = 1
ные» сомножители. Под «нежелательными» подразумеваются сомножители, сходящиеся только на D(p-1№-1>~), а не на D(p). А именно, пусть р\п и п не содержит полного квадрата >1. В этом случае (1 — Х'1')—^'^'1 сходится только для тех значений х, для которых
\xn\p=\x\pSD(sr-'j, где
* =р-|/(р —1) ] п г
Например, если п = р, сходимость имеет место в точности тогда, когда
lx]> —V/p = p-i/(p —О.
До тех пор пока р ф п, все в порядке, т. е. (1 — Х^-^^!п е ZP[[X]], так как -p«neZp. (Напомним, что здесь и ниже (1 — Хп)а — всего лишь краткое обозначение для Ва, р (— X") — У, а (а — 1)...
1=0
...(a-t+lH-^WL)
Поэтому определим новую функцию Ер, которую называют экспонентой Артина — Хассе, опуская все «плохие» сомножители в рассматриваемом бесконечном произведении (это похоже на отбрасывание эйлерова
в*
множителя при определении р-адической дзета-функции в гл. II):
ОО
ЕР w ^ П о - XV№W/n е (Q [[X]].
л = 1
Р^ п
Так как каждый ряд B_i4nwn,p(—Xя) принадлежит 1+X"ZP[[*]]- их бесконечное произведение определено (для того чтобы получить коэффициент при заданной степени X, необходимо перемножить лишь конечное число сомножителей) и лежит в 1+XZP[[X]].
Легко найти более простое выражение для £Р(Х). Для этого воспользуемся следующим свойством функции ц:
2 ^^ = d | п, p-^d2 ^^ = d | п, p-^d1, О1, Оесли п равно степени р, в противном случае.
2 ^^ = d | п, p-^d
2 ^^ = d | п, p-^d
1, О
1, О
Это свойство выводится непосредственно из ранее доказанного свойства ц для nlp0^11 вместо п. Рассмотрим Ер (X) над R (или над ©). Логарифмируя, мы получим, как и выше:
ООCD
log£p(X) = -^ ^ V ^1 Л = 1гп=\
Р-^п
Отсюда следует равенство формальных рядов в (Q[[X)]:
Ер (Х) = ехр (хф~Ер (Х) = ехр (хф~
Ер (Х) = ехр (хф~
Ер (Х) = ехр (хф~
Важнейшее отличие что £p(X)eZp[[XU.Важнейшее отличие что £p(X)eZp[[XU.Ер (X) от expp (X)Поэтому Ер (X)Ер (X) от expp (X)Поэтому Ер (X)состоит в том,сходится насостоит в том,сходится на
Важнейшее отличие что £p(X)eZp[[XU.
Важнейшее отличие что £p(X)eZp[[XU.
Ер (X) от expp (X)
Поэтому Ер (X)
Ер (X) от expp (X)
Поэтому Ер (X)
состоит в том,сходится на
состоит в том,сходится на
О(1~). Можно показать (см. упр. 11 к § IV.4), что это в точности диск сходимости, т. е. ряд не сходится на 0(1).
В заключение этого параграфа докажем одну полезную общую лемму, принадлежащую Дворку.
Лемма 3. Пусть F (X^^aiX1 е 1 4-X(Qp[[X]]. Тогда F (X) s 1 + XZp [[X]] в том и только том случае, когда F(XP)/(F(X))P&l+pXZP[lX]].
Доказательство. Пусть F (X) s 1 4- XZP [[X]]. Тогда из сравнений (а 4- Ь)р = аР 4- b? (mod р) и ap^a(modp) для aeZP следует, что (F (Х))р = F (Хр) 4- pG (X) при некотором G (X) s XZP [[X]]. Поэтому
F ^Р) ! _ pG №_ е 1 + pXZP [[X]],
так как (F (Х))р s 14-XZP[[X]], а значит, и обратный к нему ряд лежит в этом же множестве (см. упр. 3).
В Другую сторону, пусть
F (Хр) = (F (Х))р G(X), G (X) е 14- pXZP [[X]], G(X) = 2№ Р(Х) = ^а1Х1.
Докажем по индукции включение at е Zp. По предположению а0=1. Допустим, что а, е Zp при 1<_п. Тогда, приравнивая коэффициенты при Хп в обеих частях равенства, получим соотношение anjp, если р делит п 1 О в противном случае/
/ "\Р /п\
= коэффициент при X” в \ ^ агХП 14- S ЬМ
Xi о/ \i = i/
Разложим произведение справа по степеням X, а затем вычтем из него ап/рХп, если р | п (напомним, что ап/р = ^аРп!р (mod р)). У полученного многочлена коэффициент при Х" обращается в нуль. С другой стороны, он равен сумме, одно из слагаемых которой есть рап,
а остальные принадлежат pZp. Отсюда можно заключить, что рап е pZp, т. е. ап г Хр. □
Леммой Дворка можно воспользоваться для прямого доказательства (не опирающегося на разложение в бесконечное произведение) того, что все коэффициенты формального степенного ряда Е pQC^=ex^xPIp^-'X^ Ip^F- лежат в Zp (см. ниже упр. 17).
Лемма Дворка, которая на первый взгляд кажется странноватой, в действительности представляет собой образец одного глубокого явления, свойственного р-адическому анализу. Она утверждает, что если известно нечто о F (Xpl)/(.F (Х)У, то известно нечто и о У7. Отношение F (Xpy(F (Х)У измеряет разницу между возведением X в степень р с последующим применением F и между применением F с последующим возведением в степень р, т. е. измеряет, насколько F коммутирует с возведением в р-ю степень. Отображение возведения в степень р играет фундаментальную роль, как мы уже видели в другой р-адической ситуации (ср. с параграфом о конечных полях). Итак, лемма Дворка утверждает, что если F «коммутирует по модулю р» с возведением в степень р, т. е. F (X»)KF (Х^у = 1 + + р-У^р-адическое целое)Х1‘, то F имеет целые р-адические коэффициенты.
Продемонстрируем одно приложение этой леммы к функции, которая нам встретится в доказательстве теоремы Дворка о рациональности дзета-функции. Отметим прежде всего следующее обобщение леммы 3. Пусть F (X, У) = £ am, nXnYm — формальный степенной ряд от двух переменных X и У с постоянным членом 1, т. е.
F(X, У) г 1 4-ХО^ЦХ, УП + УО^ДХ, У]].
Тогда все ат,п принадлежат Zp в том и только том слчуае, когда
F(XP, YpWVX, Y^ye
el+pXZp[[X, ПЦ-^2Р[[Х, У]].
Доказывается это в точности так же, как лемма 3.
Определим теперь ряд F^X, К) из Q[[X, К]] следующим образом:
F(X, У) = Вх.,(У)В^,.^, „(YO„ (УН...
^(14.ур(14-УР)(Ар-л)^(] ^ур^(хР-хр)/Р2
... (1 + Yp^ хрА - ^"W ... =
v X(X-l)...(X-i+l)
2"
i = 0
р” n = l xi=oр” n = l xi=oxpp-xp^1 / хрп-хрп'л _ Л ..
р” n = l xi=o
р” n = l xi=o
yip”~/Гyip”~/Г\ РЯ
yip”~/Г
yip”~/Г
XP”-XP”-1р”
Этот ряд определен корректно, поскольку для того, чтобы найти его коэффициент при любом X"Ym, достаточно перемножить лишь конечное число сомножителей. Кроме того, ряд F(X, Y^=’Lam,nXnYm лежит в 14- 4-А^р[[Х, ^]] + ^р[[^, К]]. Используя отмеченное выше обобщение леммы 3, докажем, что ат-пе1р.
А именно,
F (ХР, Гр) _
(F (X, /))р
(1 +гр)х'сщз2^1г^Щ±Т^/^=
_ (1 + YP)X .
Поэтому достаточно показать, что (14- Yp)xl(\ -j- Yyx содержится в 1 +pXZp[[X, Y]] + pYZp[[X, Y]]. Применив лемму 3 в другом направлении к ряду 14-Y s е 1 -b^Zp^Kj], получим
(1 4- Yp^\ 4- Г/ = 1 -VpYG(Г), G (К) е ZP[[К]].
Отсюда
^±^- = (Ц-Р’/б(У^ =
со
= У АИ^У_И^+» р, (Ye (У))-
= 0
и последний ряд, очевидно, лежит в 1 + pXZp[[X, У]]+ +pVZP[[X, У]]. Из этого мы заключаем, что F(X, У) е eZp[[X, У]].
Упражнения
Найдите точный диск сходимости (указывая при этом, замкнут он или открыт) для следующих рядов. (В пунктах (v) и (vi) logp обозначает классический логарифм по основанию р; а £ в (vii) — примитивный корень степени р из 1. Скобки [ ] означают взятие целой части.)
2 «I X";(Hi) 2 РпХ";(v) 2 Р V^lX";
SPntg»]xn;(iv) 2р”ХР"; (vi) 2 р^Р^Хп/П}
(vii) 2(Е-1)"Х”/л1.
Докажите, что если 2 ^„ и 2^я сходятся соответственно к а и b (где а^ Ь^ а, 6 е й), то 2сп сходится к ab, где с„ = = ^ <нЬп_ь
= 0
Пусть {а„} с: Я—некоторая последовательность ир" |ая|р->
п=оп=о-*0. Докажите, что
п=о
п=о
п!
х (*+1) (*+2) ... (х-|-л)
сходится при всех хе Я, не лежащих в ^р. Что можно сказать о случае, когда х е Zp?
Докажите существование, единственность и непрерывность функции f: Я—{0}->Я, для которой
/(x) = logpx, если |x-l |р< 1; f(p) = O;
f (xt/)=f (x) + f (у)для всех х, уе Я — {0}.
Эта функция называется логарифмической функцией Ивасавы и также обозначается через logp. Покажите, что / нельзя доопределить по непрерывности в 0. (Именно эта функция logp уже встречалась нам ранее в формуле для Lx, р (1) из § II.7.)
Пусть i —квадратный корень из —1 в Qp (на самом деле i лежит в Щр, если р 3 (mod 4) и р Ф 2). Докажите, что ехрр (ix) = = cosp x-V-i sinp x для xe D (р~^р~|)—).
Покажите, что 2-адический порядок рационального числа
2 + 23/2 + 2з/3 + 2*/4 + 25/5 +... + 2"/п
стремится к бесконечности с ростом п. Постарайтесь дать хорошую оценку этому 2-адическому порядку в зависимости от п. Можете ли вы придумать полностью элементарное доказательство (без использования р-адического анализа) этого факта, который формулируется совершенно элементарно?
Найдите ошибку в следующем «доказательстве» иррациональности числа л, которое слишком прекрасно, чтобы быть верным. Пусть л=а/6, а р =/= 2 —простое число, не делящее а. Тогда
0 = sin (рбл) = sin (ра) = 5 (—"0” (ра)2л+1/(2л+ 1)! = ра (mod р2), п = 0
что невозможно.
9. Найдите ошибку в следующем «доказательстве» трансцендентности е. Предположим, что е алгебраично. Тогда е—1 также алгебраично. Возьмем простое число р ^ 2, не делящее ни числитель, ни знаменатель никакого коэффициента минимальных мно- ~ ~,। - 1 |₽_। Поэтому9. Найдите ошибку в следующем «доказательстве» трансцендентности е. Предположим, что е алгебраично. Тогда е—1 также алгебраично. Возьмем простое число р ^ 2, не делящее ни числитель, ни знаменатель никакого коэффициента минимальных мно- ~ ~,। - 1 |₽_। Поэтомугочленов для е и егочленов для е и е— 1 над ®. Тогда | е | I Р-'— 1 над ®. Тогда | е | I Р-'рр= |е—1= |е—11 = | е-1 |Р = |(е-1)Р|р= еР-1 = | е-1 |Р = |(е-1)Р|р= еР-. В последней. В последней
9. Найдите ошибку в следующем «доказательстве» трансцендентности е. Предположим, что е алгебраично. Тогда е—1 также алгебраично. Возьмем простое число р ^ 2, не делящее ни числитель, ни знаменатель никакого коэффициента минимальных мно- ~ ~,। - 1 |₽_। Поэтому
9. Найдите ошибку в следующем «доказательстве» трансцендентности е. Предположим, что е алгебраично. Тогда е—1 также алгебраично. Возьмем простое число р ^ 2, не делящее ни числитель, ни знаменатель никакого коэффициента минимальных мно- ~ ~,। - 1 |₽_। Поэтому
гочленов для е и е
гочленов для е и е
— 1 над ®. Тогда | е | I Р-'
— 1 над ®. Тогда | е | I Р-'
р
р
= |е—1
= |е—1
1 = | е-1 |Р = |(е-1)Р|р= еР-
1 = | е-1 |Р = |(е-1)Р|р= еР-
. В последней
. В последней
сумме все биномиальные коэффициенты делятся на р, а |— е\р— 1.
ОО
Следовательно, 1 = |еР —1|р = как каждое слагаемое в данной
2 Р"/п\
что невозможно,
сумме имеет | |р<1.
так
(а) Покажите, что биномиальные ряды для (1 — р/(р + I))-” (где л — целое положительное рациональное число) и для (14- + (/?2 + 2/пр)//тг2)1/2 (где т — целое рациональное > (К2 + 1) р и р ^ т) сходятся к одному и тому же рациональному числу независимо от того, рассматриваем ли мы эту сумму как сумму вещественных или как сумму р-адических чисел.
(Ь) Пусть р^7, а п = (р —1)/2. Покажите, что (1+р/л2)1/2 дает контрпример к не-теореме 1.
Докажите, что для любого целого неотрицательного А ОО
р-адическое число ^ пкРп лежит в (Q.
л = 0
Докажите следующее равенство в (Q3: СОсо
уУ 3“
4=14 = 1
Покажите, что диск сходимости степенного ряда f (X) = = 2алХ” содержится в диске сходимости формальной производной этого ряда Г (Х) — ^па/1Хп*1. Постройте пример, в котором эти области сходимости не совпадают.
Докажите, что ехррХ, sinpX/X и cospX не имеют нулей в своей области сходимости, а Ер(Х) не имеет нулей на D (1").
Найдите коэффициенты ряда Ер (X) при X1 для 4^4 и
Найдите коэффициенты всех членов ряда Ер (X) вплоть до ХР-1. ^Найдите также коэффициент прн ХР. Какой теореме элементарной теории чисел соответствует тот факт, что коэффициент при ХР лежит в Zp?
Используя лемму Дворка, докажите другим способом, что все коэффициенты ряда Ер (X) принадлежат Zp.
/ со ' \
Пусть f (X) = exppl ^ ^Х^Ч, ^ е Qp. Используя лемму \4 = 0/
Дворка, докажите, что ЦХ) е 1+XZP[[X]] тогда и только тогда, когда Ьг_г — pbi^pZp Для всех i = 0, 1, 2, (где 6-х J^O),
(а) Приведите пример бесконечной суммы ненулевых рациональных чисел, которая сходится по норме | |р при всех простых р, а также как сумма вещественных чисел (т. е по норме | |оо=| |).
(Ь) Может ли такая сумма сходиться к некоторому рациональному числу по какой-нибудь из норм | ;р или | 1^,?
Возьмем теперь вместо степенного ряда некоторую функцию f; Q-*Q. Копируя известное определение йз классического анализа, скажем, что эта функция дифференцируема в точке а е Q, если существует предел ^Цх) — f(a))/(x — а) при |х — а|р^0.
со
Пусть ЦХ^ ^ апХп — некоторый степенной ряд. Докажите п=0
прежде всего его дифференцируемость в каждой точке диска сходимости. Кроме того, покажите, что это дифференцирование можно производить почленно, т. е. его производная в каждой точке а со
диска сходимости равна У папап-Ч Иначе говоря, ряд, соответ-
Л = 1
ствующий производной, совпадает с формальной производной степенного ряда.
Используя определение дифференцируемости из предыдущего упражнения, постройте пример всюду дифференцируемой функции /: Q^-Q, производная которой тождественно равна 0, а сама эта функция не локально постоянна (подробности о локально постоянных функциях см. в начале § II.3). Более того, эту функцию можно выбрать так, чтобы она обращалась в нуль вместе со всеми производными при х=0, но не была постоянной ни в какой окрестности 0. Такая функция подобна замечательной функции е—1/х2 из классического анализа, которая не равна своему ряду Тейлора (тождественно равному нулю) в окрестности начала координат.
Теорема о среднем значении из математического анализа в применении к функции /: R->R, f(x) = xP —х, на интервале {х е R | | х | ^ 1} утверждает, что
/' (а) = 0 для некоторого а е R, | а | ^ 1,
так как f(l) = f(—1) = 0. (На самом деле а = ± (l/p)1^""^ при рф2 и а=1/2 при р = 2.) Останется ли это верным, если R заменить на Q, а | j на | |р?
Определим функцию /: Qp^t)p сопоставлением х = = ^anpni—> ^g(un) рп. где ^апрп есть р-адическое разложение числа х, a g\ {0, 1,р — 1}-^фр—произвольная функция.
Докажите непрерывность Д Пусть теперь g(a) = a2, ар^2. Докажите, что / не дифференцируема.
Докажите включение
(14-%)^-1 е piX [X]+XPN~^lX [X]
для любого натурального N и любого j=l, 2, ..., AL Предположим, что а/Ь— некоторое рациональное число с | a(b |р^ 1 и мы хотим найти первые М коэффициентов (для достаточного большого Л4) степенного ряда (1+^)д^ с определенной р-адической точностью. Для решения этой задачи предложите какой-нибудь простой алгоритм (например, программу для ЭВМ). (Все операции
при этом должны выполняться в Х1РпХ1 а не в (Q, так как машинные вычисления обычно гораздо проще производить в первом случае*)
Пусть R — некоторое кольцо. Определим кольцо ^[[Xj, ...
Хд]] (или, короче, R [[X]]) формальных степенных рядов от п переменных как множество «последовательностей» /г,. I эле-
ментов кольца R, занумерованных наборами п целых неотрицательных чисел 4, ..., 4 (каждая такая последовательность интерпретируется как ряд S^^i1" ^ (илн» коРоче, 2^^ с операциями сложения и умножения, заданными обычным способом. Точнее, Jr,- { l + Js- , l =| где
ч«.+ч• (г-■■«}■ h<.l- - (Чг«е \1,=^^,Дч, причем сум-
мирование производится по всем парам наборов jv ..., /л и &lf ... ... , kn с /i + ^i = 4» /2 + &2 — 4» , 1пА~ ^п — ^п-
Для каждого ненулевого степенного ряда f определена минимальная степень ненулевых членов degf: это наименьшее d, для которого существует не равное нулю г. . с 4 + 4 + -•• ,..-\-in=d. Фиксируя некоторое положительное вещественное р<1, можно определить на R [[X]] так называемую Х-адическую топологию, индуцированную Х-адической нормой
| f lx = pde^f(| о[х = о по определению),
Покажите, что | |х превращает R [[X]] в неархимедово метрическое пространство (см. самое первое определение в § I.I; под «неархимедовостью» здесь, конечно, понимается выполнение неравенства d (х, у) ^ max (d (х, z), d(z, у)), соответствующего третьему свойству нормы). Что означает неравенство | f\x < 1?
Покажите, что R [[X]] полно относительно | |х,
Установите, что бесконечное произведение рядов /у^ЖРП] сходится тогда и только тогда, когда | /7—1 Г^—>-0 (где 1 обозначает постоянный степенной ряд (г., | с г 00 —I и осталь-
ными г, . =0). Поэтому, например, имеет смысл тот ужас- ный степенной ряд, который определен в конце § 2.
Пусть ;е7?[[Х]]. Обозначим через fd ряд, полученный из f заменой всех коэффициентов г^ . . i с 4 +••• + 4 > d на 0. Таким образом, fd можно считать многочленом от п переменных. Пусть gv .... g„ е R [[X]]. Заметим, что fd^giW, g2(X), ...
gnC^) определено при любом d, так как это всего лишь конечная сумма произведений степенных рядов. Докажите, что {frf(^i№> ■••• gnl^))^d = o 1 2 является последовательностью Коши в R [[X]], если | g3- \х < 1 для /= 1, ..., п. Ее предел в этом случае обозначается через f»g.
Рассмотрим теперь в качестве R поле вещественных чисел R. Пусть Д fdi gv gn — такие же ряды, как и в (4), с I Sj‘ 'х < ^ Кроме того, предположим, что / и все gj сходятся абсолютно для всех значений X/ = xf из интервала [—в, е] с= R при некотором в 2> 0. Докажите, что тогда ряд f°g сходится абсолютно Для всех значений X^xi из (возможно, меньшего) интервала [—е', е'] при некотором е' > 0.
В предположениях пункта (5) докажите, что f°g — нулевой степенной ряд из R [[X]], если f »g(xTl ..., хл) = 0 при любых хъ ..., хп е [—е', в']. (Указание: прежде всего покажите, что при данных предположениях о сходимости можно переставлять члены встречающихся рядов; затем сведите все к доказательству совпадения с нулевым степенным рядом всякого ряда из R [[X]], равного нулю при всех значениях переменных из [—в', е']; последнее докажите индукцией по п.)
Пусть п — 3. Будем писать X, К, Z вместо Хъ Х2, Х3. Тогда примером к предыдущему могут служить ряды:
f(X, У, Z) =
^(Х, У, Z)=X, g2(X, У, Z) = y, g3(X, У, Z)=x+/+xr# Приведем еще один пример для п = 2:
g^X, П=^^-. g^X.Y^X.
Объясните, как можно воспользоваться результатами пункта (6) при доказательстве основных свойств элементарных р-адических степенных рядов. (Постройте соответствующие f и gj в одной или двух конкретных ситуациях.)
§ 3. МНОГОУГОЛЬНИКИ НЬЮТОНА В СЛУЧАЕ МНОГОЧЛЕНОВ
Пусть f (X) = 1 + 5 ai X1 г 1 + XQ [X] — многочлен
i=i
степени п с коэффициентами в Q и постоянным членом 1. Рассмотрим на вещественной координатной плоскости последовательность точек
(0, 0), (1, ordp а,), (2, ordpa2),...
..., (t, ordp^)(n, ordpa„.)
(Если а, = 0, то соответствующая точка пропускается либо считается лежащей «бесконечно» высоко над горизонтальной осью.) Многоугольником Ньютона многочлена /(X) называется «выпуклая оболочка» этого множества точек, а именно самая высокая из выпуклых вниз ломаных, соединяющих точки (0,0) и (n,ordpan) и проходящих ниже всех точек (г, ordp<zz) или через них. «Механически» эта выпуклая оболочка строится
так. Возьмем вертикальную прямую, проходящую через точку (0, 0), и начнем вращать ее вокруг (0, 0) против часовой стрелки до тех пор, пока она не пройдет через одну из точек (i, ordp а^ с i > 0. Выберем среди таких точек последнюю1) (ib ordpofl) и соединим ее отрезком с (0, 0). Так находится первая сторона многоугольника Ньютона. Затем продолжим вращение этой линии вокруг точки (ib ordpatl) до тех пор, пока она снова не пройдет через одну из последующих точек (i, ordpaz-) (i >>11), выберем последнюю из этих точек (t2, ordpazj и соединим ее отрезком с (h, ordp, а^. Это вторая сторона искомого многоугольника. Далее продолжим вращение вокруг (z2, ordpaZi) и т. д., пока не дойдем до (и, ordpa„).
На рис. 1 изображен пример многоугольника Ньютона для f (X) = 1 + X2 + V3 X3 + ЗХ4 в (Q3 [X].
х) В смысле порядка индексов. —Прим, перев.
Вершинами многоугольника Ньютона называются точки (ij, ordp at^, в которых изменяется наклон. По определению наклон отрезка, соединяющего вершины (г, иг) и (/', т'), равен отношению (т* — m))^V — I). Под ^длиной наклона» понимается разность г' — z, т. е. длина проекции соответствующей стороны многоугольника на горизонтальную ось.
Лемма 4. В тех же обозначениях, что и выше, пусть /(X) = (1 — Kja.^... (1 — Х/а„) — разложение многочлена /(X) на множители, где а, е Q —его корни. Положим Xt = ordpl/a<. Пусть X — некоторый наклон соответствующего многоугольника Ньютона, имеющий длину I. Тогда среди всех чисел Xt имеется в точности I равных X.
Иначе говоря, наклоны (длины наклонов) многоугольника Ньютона многочлена /(X) равны р-адиче- ским порядкам (кратностям) обратных корней для /(X).
Доказательство. После подходящей нумерации корней можно считать, что Xi ^ Х2 ^...^ Хп. Пусть Х^ — Х^ =... . ,. = Xr<Xr+1. Тогда прежде всего утверждается, что первая сторона многоугольника Ньютона совпадает с отрезком, соединяющим (0, 0) и (г, гХ^). Как известно, каждое at представимо в виде умноженного на (—1)' i-ro симметрического многочлена от l/alf l/a2,..., l/a„, т. е. суммы всевозможных произведений по i элементов из множеств чисел 1/а,. Так как любое такое произведение имеет р-адический порядок не меньше 1ХЬ то это верно и для at. Значит, каждая точка (z, Qrdpai) находится либо выше точки (z, IXi), либо совпадает с ней, т. е. лежит или выше, или на прямой, соединяющей точки (0, 0) и (г, г Хх).
Рассмотрим теперь аг. Существует единственное произведение из г чисел 1/аг с р-адическим порядком гХх, а именно 1/(«! а^...аг\ Все остальные произведения из г элементов имеют р-адический порядок >гХ1, так как в эти произведения входит по крайней мере один из элементов Хг+1, Хг+2,.... Х„. Таким образом, а, равно сумме числа с порядком rXv и чисел с порядком >гХх. Поэтому ordp аг = гХг по «принципу равнобедренного треугольника».
Пусть теперь 1">г. Как и выше, мы устанавливаем, что все произведения по I чисел из 1/аг имеют порядок >^х. Следовательно, огдраг > iXv Если вспомнить теперь, как строится многоугольник Ньютона, то сразу станет ясно, что его первая сторона совпадает с отрезком, соединяющим точки (0, 0) и (г, гХ,).
Если Xs <^ ^,5+1 = ^5+2=== • • •= Х$+г <^ ^я-г+1> то совпадение отрезка, соединяющего (s, Хх -]- ^2 + •••+ Xs) и (s + r, Лх + ^ + .. . + ^s + rAsH), с одной из сторон многоугольника Ньютона, доказывается точно так же, и мы оставляем доказательство читателю. □
МНОГОУГОЛЬНИКИ НЬЮТОНА В СЛУЧАЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
Пусть теперь f (X) = 1 + У аг X'■ г 1 + Хй [[X]] — i=i
некоторый степенной ряд). Многочлен /Л(Х) = 14- а
+ У, at X1 s 1 + Хй [X] называется n-й частичной сум-
мой ряда f(X). Многоугольник Ньютона для /(X) определяется как «предел» многоугольников Ньютона для fn (X). Точнее, этот многоугольник строится по тому же рецепту, что и в случае многочленов: наносим на плоскость точки (0,0), (1, ordP Ci),..., (t, ordp а;)„ ...; вращаем вертикальную прямую вокруг (0, 0), пока она не пройдет через некоторую точку (г, оМРпг), затем продолжаем вращение вокруг последней из этих точек и т. д. При этом возможны следующие три случая).
Получается многоугольник с бесконечным числом сторон конечной длины. Таков, например, многоуголь-
СО
ник Ньютона ряда / (X) = 1 + У р12 X1; он представ- i=i
ляет собой ломаную, вписанную в правую половину параболы у = х2 (рис. 2).
Вращаемая прямая попадает в такое положение, при котором на ней оказывается сразу бесконечно много точек (t, огбрщ). В этом случае многоугольник Ньютона имеет конечное число сторон конечной длины и одну, а именно последнюю, — бесконечной длины. Например, многоугольник Ньютона ряда f (X) = 1 +
+ 2 ^‘ состоит из одного бес- i=i
конечно длинного горизонтального луча из точки (0, 0).
Сама прямая, вращаемая вокруг некоторой точки, в какой-то момент еще не содержит ни одной из после-
Рис. IV.3.Рис. IV.3.дующих точек (i, ordpaz), но при сколь угодно малом дальнейшем повороте она уже пройдет над некоторой из этих точек (i, ordp щ). Один из простейших при-
Рис. IV.3.
Рис. IV.3.
ОО
меров такого сорта дает ряд / (X) =1 + 2 рХ1. В этом г=1
случае вертикаль, проходящую через (0, 0), можно повернуть до горизонтального положения, но при любом дальнейшем вращении она пройдет над некоторыми точками (t, 1). В подобных ситуациях в качестве последнего наклона многоугольника Ньютона берется точная верхняя грань всех наклонов, для которых соответствующая прямая проходит ниже всех последующих (i, ordpaz). В рассмотренном примере этот наклон равен 0 и многоугольник Ньютона состоит из одного горизонтального луча (рис. 3).
Многоугольник Ньютона в случае многочленов позволяет быстро определить, на каких радиусах расположены обратные корни. Ниже будет показано, что аналогично по многоугольнику Ньютона степенного ряда f (X) можно судить о расположении нулей f (X). Но вначале рассмотрим один особенно яркий пример.
Пусть
f W = 1 + 4 +4 + .. • + у^у + •••=- у logp (1 - X).
Многоугольник Ньютона для f (X) (см. рис. 4 в случае р — 3) — это ломаная, последовательно соединяющая вершины (0, 0), (р — 1, — 1), (р2—1, — 2),... • • •, (Р7 — 1, — П,.... (На нем реализуется возможность (1)
из приведенного выше списка.) Предположим, что для степенных рядов верен аналог леммы 4 из § 3. Тогда по виду этого многоугольника Ньютона следовало бы ожидать, что f (X) имеет ровно pi*1 —pi нулей с р-ади- ческим порядком 1/(р/+1—р/).
Но посмотрим, каковы же в действительности нули — logp(l—Х)/Х? Прежде всего, если х=1—£, где С — примитивный корень из 1 степени pi*1, то, как мы знаем из упр. 7 к § III. 4, ordpx= 1/(р/+1—р/). Отсюда logp(l — x) = logpC = 0 (см. обсуждение logp в § 1). Тем самым найдены все предсказанные нули, так как существует pi*1—pi примитивных корней" степени pi*1 из 1. Имеет ли f (X) нули еще где-нибудь на 0(1-)?
Пусть хг 0(1")—один из таких нулей. Тогда для любого / точка х} = 1 — (1 -зсу1 eD^?) также будет нулем, поскольку logp (1 - х,) = pi logp (1 - х)=0. Но при достаточно большом / справедливо включение xv- г е D {р-1^-1^), откуда 1 - ху= ехрр (logp (1 - х^) -
= ехрр0=1. Следовательно, (1—х)Р;=1 и х совпадает с одним из рассмотренных выше нулей. Таким образом, форма многоугольника Ньютона полностью соответствует нашей информации о нулях ряда logp (1 — X).
Перейдем теперь к доказательству того, что многоугольник Ньютона играет для степенных рядов такую же роль, как и для многочленов. Но вначале установим один гораздо более простой результат, согласно которому по виду многоугольника Ньютона можно сразу узнать радиус сходимости соответствующего степенного ряда.
Лемма 5. Пусть Ь — точная верхняя грань множества всех наклонов многоугольника Ньютона ряда f (X) =
= 1 + 2 а‘^‘ 1 + ^ ^ИОД- Тогда его радиус сходи- i = l
мости равен рь (Ь может быть бесконечным, и в этом случае f(X) сходится на всем Q).
Доказательство. Пусть вначале |х|р<р6, т. е. ordpx> — b. Положим ordpx =— b'. Тогда Ь' «<Ь и ordp (at х1) = orйр а—ib'. Но, очевидно (см. рис. 5), для достаточно больших i точка (Z, ordp а^ лежит сколь угодно выше точки (z, b'i). Иначе говоря, ordp (а, х£)оо и ДХ) сходится для таких Х = х.
Пусть теперь \х\р>>рь, т. е. ordpx = — b' < — Ь. Тогда по тем же соображениям имеется бесконечно
много значений I, для которых ordp ^щ Xе) = ordp а, — b'i отрицательно. Поэтому f(x) не сходится. Отсюда мы заключаем, что радиус сходимости ряда f(X) равен в точности рь. □
Замечание. Эта лемма ничего не утверждает о сходимости или расходимости в точках, где |х|р = /?6. Легко понять, что сходимость для таких х (т. е. «на граничной окружности») возможна лишь тогда, когда реализуется третий из перечисленных выше случаев, причем сходимость имеет место тогда и только тогда, когда расстояние по вертикали от (i, ordpOi) до последней (бесконечной) стороны стремится к оо при i со. Пример такого поведения дает ряд f (X) = 1 4-
СО
У pfXpf, многоугольник Ньютона которого совпадает i=l
с горизонтальным лучом из точки (0, 0). Этот ряд сходится, если ordpx = 0.
Прежде чем приступить к доказательству аналога леммы 4 для степенных рядов, сделаем одно заключительное замечание. Пусть ceQ, ordpc = X и^(Х) = = ЦХ/с). Тогда многоугольник Ньютона для g получается из соответствующего многоугольника для f поточечным вычитанием графика линейной функции у = Хх, т. е. прямой, проходящей через точку (0, 0) с наклоном X. Действительно, если f (X) = 1 4- У, at Хг, a g (X) = = 1 + У bj, X1, то ordp bi — ordp (а^<?) = ordp at — Xi.
Лемма 6. Предположим, что Xx —первый наклон
СО
многоугольника Ньютона ряда f (X) = 1 + У az- X1' г 1 +
Г=1
+ X й [[X]]. Пусть сей, ordpC^X^Xi. Предположим также, что ЦХ) сходится на замкнутом диске D (рХ) (по лемме 5 это выполнено автоматически, если Х<Дх или многоугольник Ньютона для f (X) имеет более одной стороны). Пусть
g (X) = (1 - сХ) f (X) е 1 + X Й [[X]].
Тогда многоугольник Ньютона для g(X) получается добавлением к отрезку, соединяющему точки (0, 0) и
(1, X), многоугольника Ньютона для ЦХ), сдвинутого на 1 по горизонтали и на % по вертикали. Иначе говоря, многоугольник Ньютона ряда g (X) получается присоединением-» многоугольника Ньютона степенного ряда ЦХ) к многоугольнику Ньютона многочлена (1 — сХ). Кроме того, если f (X) имеет последний наклон Xf и сходится на D (р’чХ то g также сходится на lXj)4y
Доказательство. Прежде всего сведем доказательство к разбору специального случая с — 1, Х = 0. Предположим, что для этого случая лемма уже установлена и мы имеем f (X) и g(X), удовлетворяющие условиям. Тогда для К (X) = / (Х/G) и gl (X) = (1 - X) Л (X) выполнены все те же условия, но с 1, 0, Хг—-X вместо с, X, Xi (см. замечание, непосредственно предшествующее формулировке леммы). По предположению, для К и gt лемма верна, откуда мы находим форму многоугольника Ньютона для gx (X) (и устанавливаем сходимость gx на D (/Л/—^ если / сходится на D^pM)). Так как g (Х)= = gx(cX), то можно еще раз воспользоваться упомянутым замечанием, получить требуемое утверждение о многоугольнике Ньютона для g(X) (см. рис. 6).
Итак, лемму 6 достаточно доказать при с= 1, Х = 0.
СО
Пусть g (X) = 1 + У btXl. Тогда в силу равенства i = 1
g(X) = (l — ХЩХ) имеем bivl = ai+1—at для t^O (а0=1). Поэтому
ordpbi+1 2s min (ordpат, ordp а^,причем имеет место равенство, если ordpai+1#= ordpa;(по принципу равнобедренного треугольника). Так какобе точки (i, ordpaj) и (i, ordpal+1) лежат на или надстороной многоугольника Ньютона для f(X), то жесамое справедливо и для (/, ordpdi+1). Если (i, ordpn,)—вершина, то ordpai+1>ordpnz, а потому ordp6,+i == ordpaf. Отсюда следует, что многоугольник Ньютонаимеет требуемый вид вплоть до своей последней вер-шины. Таким образом, остается разобрать случай, когдамногоугольник Ньютона для / (X) содержит последнююбесконечно длинную сторону наклона X;, и показать,что в этом случае то же самое верно для g'(X); более
того, если f (X) сходится на D(pxf\ то g(X) сходится там же. В силу неравенства ordpb,+1^ min (ordp а{+1, ord^a,) из сходимости f (X) немедленно следует сходимость g (X) в той же области. Итак, необходимо исключить возможность, что многоугольник Ньютона ряда g (X) имеет
больший наклон Х^, чем Xf. Если бы это выполнялось, то при некотором достаточно большом I точка (t'+h ordp а^ лежала бы ниже соответствующей точки многоугольника Ньютона для g(X). Поэтому мы имели бы ordp bj"> ordp щ для всех j^i-V 1. Из этого, во-первых, следует равенство ordpa:1+1 —ordptiz-, потому что «1+1 = = Ь^-^ар, затем по тем же соображениям or йрат = — ordpai+i и т. д., ordpа, = ordpа{ для всех j">i. Но это противоречит предполагаемой сходимости f(X) на пт п
Лемма 7. Пусть Хх — первый наклон многоугольника
Ньютона ряда f (X) = 1 + 2 а^1 е1 + ХЙ[[Х]]. Пред- i=i
положим, что / (X) сходится на замкнутом диске D (р^1), а, кроме того, линия, проходящая через (0, 0) с наклоном Х1( содержит некоторую точку (i, ordpOj). (Оба эти условия автоматически выполнены, если многоугольник Ньютона имеет более одного наклона.) Тогда существует число хей, для которого ordp х = — Х^ a f(x) = O.
Доказательство. Для простоты рассмотрим вначале случай + = О, а затем сведем доказательство леммы к этому случаю. Итак, пусть Хт = 0. Тогда ordp^^G для всех I и ordp at -> со при t-> оо. Пусть N 5а 1 равно наибольшему I, для которого о+ра, = 0. (Очевидно, N есть длина первой стороны многоугольника Ньютона ряда f(X), за исключением случая, когда этот многоугольник совпадает с горизонтальным лучом.) Пусть п
fn (X) =1+2 сцХ‘. По лемме 4 многочлен /„ (X) при i = i
n^N имеет в точности N корней хп-1, .... x„,N с ordpx„,( = 0. Пусть xn = Xn3, а хп+1 при п^ N — любой из элементов хл+1. ъ ..., хл+1] N с минимальной нормой разности | xnV1, i — xn |р. Утверждается, что {хл} — последовательность Коши и ее предел х обладает нужными свойствами.
Для n^N обозначим через Sn множество корней многочлена fn(X) (с учетом их кратностей). Тогда при n^N имеем
| /п+1 (хл)tn (Хп) |р = | Д+1 (Хл)|р =
(так как /„(х„) = 0)
N
(так как | 1 — хп)х |р = 1, если х г S„+1 и ordp х < 0) N
= £ £ i Xnvi, i — Хл |p
i=l
(так как | х„+г, < |р = 1)
I Хя+1 Хп |р
в силу выбора хя+1. Поэтому
I Хя+1 Хп |д ^ | fя+1 (Хя) fn (Хя) |р = | ап+уХп |р = | Оп+1 Ip- ПОСКОЛЬКУ «л+11р->0 при п->со, (хя} является последовательностью Коши. Пусть хя->хей. Тогда/(х) = = lim /я(х). Но
л —*■ со
|/л(х)|р-|/я(х)-/я(Хя) |р =
потому что |а;|р^1 и (х‘-хя)/(х-хя) (р= [х1"-1 + + х^х^ + х^^х^ +... + х^~1 р 1 • Следовательно, / (х) = = 11т/я(х) = 0. Это доказывает лемму при Ах = 0.
л —-со
Теперь легко вывести общий случай. Пусть лей— произвольное число с ordpn = Z1. Заметим, что такое л существует: можно взять, например, корень степени i из at, для которого (i, ordpa,) лежит на прямой с наклоном Ах, проходящей через (0,0). Пусть теперь g(X) = = f(X/n). Тогда g(X) удовлетворяет условиям леммы с Ах —0. Таким образом, по только что доказанному существует х0 с ordp х0 = 0, и g (х0) = 0. Пусть х = х0/л. Тогда ordpx = —Ах и / (х) = f (х0/л) = g (х0) = 0. □
Лемма 8. Пусть ряд f (X)=l + ^ atX1^ 1+№[[%]] t= 1
сходится к нулю при некотором а. Тогда ряд g(X) = ОО
= 1 + ^ Ь(Х‘, полученный делением ряда f(X) на t=i
(1—Х/а), или, что то же самое, умножением на ряд 1 + Х/а + Х2/а2 + • • • + Х'/а' +..., сходится на D (| а |р).
Доказательство. Пусть f„ (X) = 1 + ^ а^1. Оче- i = 1
ВИДНО,
= 1 jai 4- ^i/a'-14- Ог/а'"-2 +... 4- а^/а 4- а^
откуда
Ь^ = ft (а).
Следовательно, | Ь^сё |р = | А (а) |р -> 0 при I -*■ оо, потому что / (а) = 0. □
Теорема 14 (р-адическая подготовительная теорема Вейерштрасса). Предположим, что ряд /(Х)=14~
^ а^Х1 е 1 +XQ [[X]] сходится на D(px). Пусть i = 1
N — общая длина, если она конечна (т. е. если многоугольник Ньютона ряда f (X) не имеет последней бесконечнодлинной стороны наклона X), проекции на горизонтальную ось всех сторон с наклоном ^Х. Если же многоугольник Ньютона для f(X) имеет последний наклон X, то положим N равным наибольшему i, для которого (I, огдрад лежит на последней стороне (существование такого i следует из сходимости f (X) на Dlp^. Тогда найдутся такой многочлен h(X)^ s 1 + XQ [X] степени N и такой степенной ряд g (X) =
ОО
= 1 4- ^ btXl, сходящийся и не обращающийся в нуль i = l
на D(px), что
h(X^ = f(XYg(X\
Многочлен h(X) определен однозначно этими свойствами, а его многоугольник Ньютона совпадает с многоугольником Ньютона рядаЦХ^ вплоть до точки (N, or dpaNy
Доказательство. Применим индукцию по N. Пусть вначале N = 0. Тогда нужно установить существование ряда g(Xy обратного к f(X), его сходимость и не- обращение в нуль на D (/Л). Это утверждение было частью упр. 3 к § 2, но в силу его важности мы приведем здесь его доказательство для тех, кто пропустил это упражнение. Как обычно (см. доказательства лемм 6 и 7,' а также замечание, предшествующее формулировке леммы 6), доказательство можно свести к случаю X — 0.
Итак, пусть f (X) = Х-УЦщХ1, ordpat>0, огбрп;->- оо, g (X) = 1 + S biX1. Из соотношения f (X) g (X) = 1 получается рекуррентная формула
Ь} = — (bi-iUx 4" b,--2^2 + • - • 4~ Ь^а^4" щУ < 1,
из которой индукцией по i легко вывести неравенства ordpZ>z>0. Поэтому осталось показать, что ordpbi-> со при 1->оо. Возьмем достаточно большое М. Выберем затем такое пг, что огйрщ>М при С>т. Пусть
8 = min (ordpOi, ordpa2, ..., ordpam)>0.
Тогда утверждается, что ordp&!->min(M, ne) при i">nm. Отсюда, конечно, получается требуемое соотношение ordpbi-*oo. Утверждение докажем индукцией по п. Для п = 0 оно очевидно. Предположим, что n^ i, 1>>пт. По рекуррентной формуле
^<(^i—1^1 Н~ • • • ~Ь bi—mClm -ф bi— (m+l)^m+l “Ь • • • ~Ь ^i).
Для членов bt-jUj с />ш имеет место неравенство ordp (Ьна#) ^ ordp а, > М, в то время как ordp (bi-j-a/) за 5= ordp 6,-; + е > min (М, (n—1) е)-|-е при /^т по индуктивному предположению (так как i — / > (п — 1) пг) и по определению 8. Поэтому все слагаемые в формуле для bi имеют ordp > min (М, ne). Это доказывает утверждение, а следовательно, и теорему при N = 0.
Предположим теперь, что /V ^ 1 и теорема уже доказана для N — L Пусть Х7^Х —первый наклон многоугольника Ньютона ряда f(X). Применяя лемму 7, найдем а, для которого /(а) = 0 и ordpa = — Xv Положим лго-/т(1+А+^+...+^+...) =
= l+Sa;Xze Ц-Хй[[Х]].
По лемме 8 ряд fx (X) сходится на D (рх'). Пусть с= 1/а, так что / (X) = (1 — сХ) fx (X). Если бы первый наклон Xi многоугольника Ньютона для ^ (X) был меньше Х|, то по лемме 7 ряд fx(X) обладал бы корнем с р-адиче- ским порядком —Xi, а тогда то же самое выполнялось бы и для f (X), но, как легко проверить, это невозможно. Следовательно, Х\ ^ Xj и мы находимся в условиях леммы 6 (с fx, f, Х{ и Хг вместо f, g, Хх и X соответственно). Тогда по этой лемме fx (X) имеет тот же многоугольник Ньютона, что и /(X), если только исключить у последнего сторону, соединяющую (0, 0) и (1, Xj). В частности, f и fx имеют одинаковые радиусы сходимости. Кроме того, даже в том случае, когда X
§ 4, Многоугольники Ньютона в случае степенных рядов 155 совпадает с последним наклоном многоугольника Ньютона ряда / (а поэтому и ft), ряд fx сходится на D(px), поскольку f сходится на D (рх) по предположению г).
Итак, К (X) удовлетворяет требованиям теоремы с N — 1 вместо N. По индуктивному предположению можно найти такой многочлен Аг(Х) е 1 + ХЙ[Х] степени N — 1 и такой ряд g (X) s 1 + XQ[[X]], сходящийся и не обращающийся в нуль на D (р^, что
Н1(Х) = МХ).§(Х\
Умножим обе части последнего равенства на (1 — сХ) и положим h (X) = (1 — сХ) Ь,г (X), Тогда
Hxwixyg(X)
и Д (X) и g (X) обладают нужными свойствами.
Наконец, так как / имеет в точности N нулей в О(рЛ), из этого немедленно следует, что й(Х) единствен. Действительно, этот многочлен имеет степень N, постоянный член 1 и все N нулей ряда f (X) являются также его нулями). □
Следствие. Если сторона многоугольника Ньютона ряда /(X) е 1+XQ[[X]] имеет конечную длину N и наклон X, то существует в точности N значений х), для которых / (х) = О и ordp х = — X.
В качестве другого следствия теоремы 14 можно установить, что любой всюду сходящийся степенной ряд разлагается в бесконечное произведение линейных множителей (1—Х/r) по всем своим нулям г. В частности, всюду сходящийся и нигде не обращающийся в нуль ряд должен быть постоянным (см. ниже упр. 13). В отличие от этого в вещественном и комплексном случае существуют непостоянные ряды без нулей, напри-
мер ряд функции ех (или более общий ряд ehW, где А — любой всюду сходящийся степенной ряд). В комплексном анализе разложение в бесконечное произведение всюду сходящегося степенного ряда по его нулям сложнее, чем в р-адическом случае; при этом для получения «произведения Вейерштрасса» «целой» функции комплексного переменного необходимо вводить дополнительные экспоненциальные множители.
Таким образом, простой вид разложения в бесконечное произведение в р-адическом случае, существование которого следует из теоремы 14, возможен благодаря отсутствию всюду сходящихся экспоненциальных функций. Значит, тут нам с плохой сходимостью ехрр крупно повезло. Но в других обстоятельствах, скажем в теории р-адических дифференциальных уравнений, отсутствие хорошо сходящейся экспоненты очень усложняет жизнь.
Упражнения
Найдите многоугольник Ньютона для следующих многочленов:
(1) \-Х + РХй-, (ii) 1-Х/р2; (ill) 1 + ХН рХ + Р3Хе; р
(iv) У iX-'1;(v) (1 -X) (1 -рХ) (1 -рзх)
i = l(двумя способами);
р2
(vi) Пс1-1'^-
1=1
(а) Пусть f (X) е 1+XZP[X] —многочлен, многоугольник Ньютона которого состоит из одного отрезка, соединяющего точки (О, 0) и (п, ту Покажите, что f (X) неразложим в произведение двух многочленов положительной степени с коэффициентами в Zp, если пит взаимно просты.
Используя пункт (а), дайте другое доказательство критерия неприводимости Эйзенштейна (см. упр. 13 к § 1.5).
Верно ли обратное к (а), т. е. всякий ли неприводимый многочлен имеет многоугольник Ньютона указанного типа (докажите или постройте контрпример)?
Нарисуйте все возможные виды многоугольников Ньютона для таких / (X) при л—1, 2, 3, 4.
Найдите многоугольники Ньютона следующих степенных рядов:
СО
00 5 (W+x^Y, i = 0(iv) 2 Xi/iV, 1=0(vi) (1 — p2X)/(l — pX);(viii) ^ P[iV2^.i = o00 5 (W+x^Y, i = 0(iv) 2 Xi/iV, 1=0(vi) (1 — p2X)/(l — pX);(viii) ^ P[iV2^.i = o(О 5 xp‘-V;
00 5 (W+x^Y, i = 0
(iv) 2 Xi/iV, 1=0
(vi) (1 — p2X)/(l — pX);
(viii) ^ P[iV2^.
i = o
00 5 (W+x^Y, i = 0
(iv) 2 Xi/iV, 1=0
(vi) (1 — p2X)/(l — pX);
(viii) ^ P[iV2^.
i = o
i = о
2 ^
i = 0
(v) (l-pX^l-p^X^);
(vii) П (] —PixY.
1 = 0
Покажите, что все наклоны сторон конечной длины многоугольника Ньютона для степенного ряда являются рациональными числами, но что наклон последней бесконечной стороны (если она существует) не обязательно таков (постройте пример).
Покажите, построив контрпример, что лемма 7 не верна, если опустить условие существования точки (t, ordp а,) с i > 0 на прямой, проходящей через (0, 0) с наклоном Xv
Покажите, построив контрпример, что лемма 6 не верна, если опустить условие сходимости / (X) на D (р^).
Пусть /(Х) = 1+2 а;Х«'е 1 + ХЙ [[Х]]-ряд, сходя-
1 = 1
щийся на D (р^). Докажите, что max | / (х) |р достигается на xeD(p^)
множестве точек х с |х|р = рЛ, т. е. на «граничной окружности», и что р-адический порядок этого максимума равен
min (ordpa, — tX),i = o, i, ...
т. e. минимальному «расстоянию» по вертикали (которое может быть отрицательным) от прямой, проходящей через (0, 0) с наклоном X, до точки (i, ordpat).
Пусть /(Х) = У aiX‘ е Zp [[ХЦ. Предположим, что /(X) 1 = 0
сходится в замкнутом единичном диске D (1). Кроме того, предположим, что по крайней мере два коэффициента а^ не делятся на р. Докажите, что /(X) имеет нуль на 0(1).
Пусть f (X) — степенной ряд сходящийся и имеющий бесконечно много нулей на О (г). Покажите, что тогда / (X) тождественно равен нулю.
Докажите, что Ер (X) сходится только на D (1 ) (т. е. не на всем D (1)). (Указание: воспользуйтесь упр. 9 и 10 и покажите, что если Ер имеет хотя бы один нуль, то их бесконечно много.)
Пусть g(X')=h(X)/f(X'), где g (X) е 1 + XQ [[X]] и все коэффициенты этого ряда 'лежат в D (1), a h (X) и f (X) е е 1 4-XQ [X] — два многочлена, не имеющие общих корней. Докажите, что все коэффициенты /i(X) и /(X) также лежат в 0(1).
Пусть /(X) g 1+XQ [[X]] сходится всюду на Q. Для любого вещественного X обозначим через /ix(X) многочлен А(Х) из теоремы 14. Докажите, что h^-* f при Х->со (т. е. каждый коэффициент многочлена h^ стремится к соответствующему коэффициенту ряда f). Докажите, что если / не многочлен, То он имеет бесконечное число нулей (но не более чем счетное: гх, г2, ...) и
ОО
/ (X) — JJ (1—^/ri)- в частности, не существует всюду сходя- i=v
щихся и нигде не обращающихся в нуль степенных рядов, кроме констант (в противоположность комплексному и вещественному случаям, где степенной ряд ehW всюду сходится и не имеет нулей для любого всюду сходящегося степенного ряда h(X)).
РАЦИОНАЛЬНОСТЬ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ СИСТЕМЫ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НАД КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ
§ 1. ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ И ИХ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
Пусть F — некоторое поле. Через /Вр обозначим п-мерное аффинное пространство над F, т. е. множество упорядоченных наборов (хп ..., хп) по п элементов Xi из F. Пусть f(Xb Х„)еЕ[Хь .... Х„] — некоторый многочлен от п переменных Xlf ..., Хп. Под аффинной гиперповерхностью, заданной уравнением / = 0, понимается множество
Hf^^, .... x„)e/Up| Цхх, ..., х„) = 0}.
Число п — 1 называется размерностью гиперповерхности Н,. Если Hf одномерна, т. е. п = 2, она называется аффинной кривой.
Сопутствующим к понятию аффинного пространства является проективное пространство. Проективное пространство над F размерности п обозначается Рр и определяется как множество классов эквивалентности элементов из ^f+1 —{(0, 0, ..., 0)} по отношению эквивалентности (х0, X], ..., х„) ~ (х„, х'ъ ..., х^) сэ ЭХ е Fx, для которого x'i = Xxi, 1 = 0, ..., п. Иначе говоря, множество Рр есть множество всех прямых в ZDp+1, проходящих через начало координат.
Пространство /Up можно вложить в Рр при помощи отображения (хп ..., х„)>—*(1, хъ ..., хп\ Образ /Up при этом отображении состоит из всех точек Рр, лежащих вне «бесконечно удаленной гиперплоскости», которая есть множество классов эквивалентности упорядоченных наборов по п+1 элементов с нулевой х0-коор- динатой.
Эту гиперплоскость можно рассматривать как копию пространства Рр-1 в силу взаимно однозначного соот-
Докажите, что Ер(Х^ сходится только на О (1Д (т. е. не на всем D (1)). (Указание: воспользуйтесь упр. 9 и 10 и покажите, что если Ер имеет хотя бы один нуль, то их бесконечно много.)
Пусть g(X)=h(X)/f (X), где g (X) е 1 +XQ [[X]] и все коэффициенты этого ряда 'лежат в D (1), а /г(Х) и у (X) е е 1 -ф-XQ [X]—два многочлена, не имеющие общих корней. Докажите, что все коэффициенты h(X) и /(X) также лежат в D (1).
Пусть /(X) (= 1+XQ [[X]] сходится всюду на Q. Для любого вещественного X обозначим через Л;ДХ) многочлен Л(Х) из теоремы 14. Докажите, что hx-*t ПРИ Х->со (т. е. каждый коэффициент многочлена hK стремится к соответствующему коэффициенту ряда f). Докажите, что если / не многочлен, то он имеет бесконечное число нулей (но не более чем счетное: q, г2, ...) и
ОО
/(Х) = Д (1—X/rt). В частности, не существует всюду сходя- щихся и нигде не обращающихся в нуль степенных рядов, кроме констант (в противоположность комплексному и вещественному случаям, где степенной ряд eh(.x) всюду сходится и не имеет нулей для любого всюду сходящегося степенного ряда Л(Х)).
РАЦИОНАЛЬНОСТЬ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ СИСТЕМЫ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НАД КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ
§ 1. ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ И ИХ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
Пусть F — некоторое поле. Через Яр обозначим п-мерное аффинное пространство над F, т. е. множество упорядоченных наборов (хп ..., х„) по п элементов xt из F. Пусть ЦХх» Хп> eF^Xx, ..., Х„] — некоторый многочлен от п переменных Хх, .... Хп. Под аффинной гиперповерхностью, заданной уравнением / = 0, понимается множество
Hf ай {(^1, .х„) е Яр | f (ххх„) = 0}.
Число п — 1 называется размерностью гиперповерхности Н$. Если Hf одномерна, т. е. п = 2, она называется аффинной кривой.
Сопутствующим к понятию аффинного пространства является проективное пространство. Проективное пространство над F размерности п обозначается Рр и определяется как множество классов эквивалентности элементов из ^+‘ —{(0, 0, ..., 0)} по отношению эквивалентности (х0, X], ..., х„)~(хо, х'х, ..., х'п) ЭХе Fx, для которого х^Хх,, i = 0, ..., п. Иначе говоря, множество Р? есть множество всех прямых в /$+1, проходящих через начало координат.
Пространство Др можно вложить в Р£ при помощи отображения (хь ..., х„)>—*(1, хгхп\ Образ # при этом отображении состоит из всех точек Р?» лежащих вне «бесконечно удаленной гиперплоскости», которая есть множество классов эквивалентности упорядоченных наборов по п+1 элементов с нулевой хо-коор- динатой.
Эту гиперплоскость можно рассматривать как копию пространства Рг-1 в силу взаимно однозначного соот-
ветствия
класс (0, хи .... хл) >—* класс (хь ..., х„).
(Например, если п = 2, то проективная плоскость Pf представляется в виде объединения аффинной плоскости и «бесконечно удаленной проективной прямой».) Продолжая этот процесс, можно разложить Pf в несвязное объединение
<U^-1U^_2U...U/Dk и точка.
Однородным многочленом f (Хо, ..., Хл) е F [Хо,... ..., Хл] степени d называется линейная комбинация мономов одной и той же полной степени d. Например, Xg + XIXY — ЗХ1Х2Х3+Х| — однородный многочлен степени 3. Под однородным пополнением f (Хо^Х^ ..., Хп) заданного многочлена f(Xlt ..., Хп) е F [Хп ..., Х„] степени d понимается многочлен
Хо^(Хг/Х0, ..., Х„/Хо),который, очевидно, однороден и имеет степень d. На-пример, однородное пополнение для Х| — ЗХ1Х2Х3-|-Х1++ 1 совпадает с приведенным выше примером однород-ного многочлена степени 3.
Если f(X0Х„) однороден и Цх0, ..., хл) = 0, то f(Xx0, ..., Ххл) = 0 для любого keF. Поэтому можно говорить о множестве точек (классов эквивалентности упорядоченных наборов из n + 1 элементов) пространства Pf, в которых f обращается в нуль. Это множество точек Ну называется проективной гиперповерхностью, заданной однородным уравнением f = 0 в Pf.
Пусть f(X0, ..., Хл) — однородное пополнение многочлена f(Xlt ..., Хл). Тогда Ну называется проективным замыканием гиперповерхности Н{. С интуитивной точки зрения Ну получается из Н( «присоединением точек, к которым Hf стремится на бесконечности». Например, если /// — гипербола (Е = Р)
XI _1
а? № ~
то f (Xq, Xi, Xa) = Xi/a? — XX(№— Xg и H^ отождествляется c
{(1, Xx, X2)| ХХ1а?-ХХ1№ = \Ш^ 1. ^2)| Хг = ^Ыа\, т. e. это Hf плюс точки бесконечно удаленной прямой, соответствующие наклонам асимптот кривой Hf.
Пусть теперь К — произвольное поле, содержащее F. Если коэффициенты некоторого многочлена лежат в F, то они лежат и в К. Поэтому можно рассмотреть «Х-точки» гиперповерхности Hf, т. е. множество
#f W 33 {(xi>^п)е/0к| f(xb х„) = 0}.
Аналогично определяется Hj (X) для однородного многочлена ЦХ0, ..., Х„).
Далее мы работаем с конечными полями F = F? и их конечными расширениями K = ?qs. В этой ситуации множества Hf (К) и Hj (X) конечны, так как /$ (и Р£) состоят лишь из конечного числа точек. Для /$ это число наборов по п элементов из К, и оно равно qsn. Фиксируем Н; (или Н^. В этом случае определена последовательность натуральных чисел Nx, N2, N3, .... равных числу F9-точек, F^-точек, р?’-точек, ... гиперповерхности Hf (или Н^, т. е.
».а*№М.
По любой заданной последовательности целых чисел, которая, как {X,}, имеет геометрический или теоретикочисловой смысл, можно построить «производящую функцию», а именно некоторый степенной ряд, кодирующий всю информацию о данной последовательности {Х^}. Это так называемая «дзета-функция», определяемая как формальный степенной ряд
exp(f X^stEWT]].'s= I/
Будем обозначать ее через Z (Hf№g; Т), где F? указывает на основное поле определения. Очевидно, постоянный член степенного ряда Z(X//F9; Т) равен 1.
6 Н. Коблиц
Прежде чем перейти к примерам, докажем две элементарные леммы.
Лемма 1. Коэффициенты ряда ТаН^; Г) лежат вХ.
Доказательство. Сопоставим каждой /(-точке Р = = (хъ ..., х„) из Н, (К — конечное расширение поля F9) наименьший показатель s = s0, при котором все х; е eF,S1. Пусть Р# = ^ь ..., хп1\ /=1s0,-все
«сопряженные» с Р точки, т. е. хпxi$0 сопряжены с х, = хп над F9 Тогда точки Pj различны. Действительно, если все х, остаются неподвижными при некотором нетривиальном автоморфизме о поля р^0надр9, то они принадлежат меньшему полю (а именно полю о-инвар и антов {х се F^. | о (х) = х})_
Вычислим теперь вклад точек Р^ ..., Р^ вТДН^д; Т). Каждая из них является F^s-точкой в Н( тогда и только тогда, когда F^ о F^,, т. е. когда s01 s (см. упр. 1 к § III. 1). Итак, они вносят вклад, равный s0, в NSe, N2s6, Nas,, .... Поэтому общий вклад этих точек в Z(//f/F9; Г) равен
ехр ( 5 SoT^/iSo^ = exp (— log (1 - Т5»)) =
= -L- - У Т!:.
1 — Ts"/ = 0
Полная же дзета-функция представима в виде произведения рядов такого вида (причем лишь конечное число из них имеет нетривиальный Т-член степени ^s0), а поэтому ее коэффициенты — целые числа. □
Замечание. Из доказательства видно, что эти коэффициенты, кроме того, неотрицательны.
Лемма 2. Коэффициент при V в Х(Нф?,; Т) не превосходит q^’.
Доказательство. Максимальное значение Ns равно qM = # fflTgs- Очевидно, все коэффициенты ряда Z(//z/F?; Т) не превосходят соответствующих коэффициентов ряда,
полученного подстановкой в него qns вместо Ns. Но
ехр qnsTsjs j = exp (— log (1 — qnT)) = 1 /(1 — q^T) = 1/
= 5 q"^. □
;"=o
В качестве простого примера рассмотрим вычисле
ние дзета-функции аффинной прямой Очевидно, Ns = qs, поэтому
Z (Л/р/, Т) = ехр (2 qf'P/s) = exp (— log (1 — qT^ =
_ 1
— \—qT
Аналогично определяется дзета-функция проективной гиперповерхности, только при этом используется последовательность чисел
^зй#(яг(^)).
Так, например, для проективной прямой L мы имеем ^5=^+1, поэтому
Z (L^q; п = exp (2 (^TVs+TVs)) =
— exp (— log(1 -^T)-log(l — Т)) =
1-(\-TH\-qTy
Оказывается, гораздо естественнее работать с проективными гиперповерхностями, чем с аффинными.
Возьмем, например, единичную окружность А?+ -|- Х| = 1, проективное замыкание которой Н^ задается уравнением ^ = Х^ + Х| —Хо = О. В этом случае проще вычислить Z(H^q; Т), чем Z(Z/f/P5; Т), где f = X^ + + Х2—1. (Будем предполагать, что p = charf?=#2.) Почему же это проще? А потому, что существует взаимно однозначное соответствие между Ну (К) и L (К) (L обозначает проективную прямую). Для конструкции такого отображения рассмотрим проектирование из «южного полюса» на прямую Х2=1, как показано на рис. 1.
После несложных вычислений получается: хг = 4//(4 + ^2), х2 = (4 — Н/(4 + Н> а ^ = 2х1/(х2+1). При переходе от t к х это отображение имеет неопределенность для /2 = — 4, т. е. для двух значений t в случае ^sl(mod 4), а если ^ = 3 (mod 4), то таких значений t нет (см. упр. 8 к § III. 1). Для обратного отображения тоже
возникает точка неопределенности с х2 =—I и хг=0. Однако при переходе к проективным замыканиям окружности и прямой получается всюду определенное взаимно однозначное соответствие, задаваемое в однородных координатах (Хо, Хг, Х^ и (Хд, XI) следующим образом:
(х^, х1)—>(4х^ + х12, 4х^Хь 4х^3 —х^);
(х0, гь х2)(х0, гь х2)(х2-|-Хо, 2xi),(0, 1),(х2-|-Хо, 2xi),(0, 1),если (х2 + х0, 2xi)=#(0, 0), если (х2 + х0, 2х^ = (0,0).
(х0, гь х2)
(х0, гь х2)
(х2-|-Хо, 2xi),
(0, 1),
(х2-|-Хо, 2xi),
(0, 1),
Читателю рекомендуется аккуратно проверить, что это действительно взаимно однозначное соответствие между проективной прямой и множеством классов эквивалентности упорядоченных троек (х0, хх, х2), удовлетворяю-
щих уравнению x^ + xl — х? = 0. Итак, поскольку Ns одно и то же для Hi и L, имеем
Z(^/Fg; T) = Z(L/Fg; Г) = 1/[(1 — Г) (1 — ^Т)].
Если же мы хотим найти Z (H^q, Т), f = Xi + X| — — 1, следует вычесть из Ns все точки «на бесконечности» для Нр т. е. те, для которых Xi + x| = Xo и х0 —0. Таких точек ровно две, если —1 имеет квадратный корень в Г^, и ни одной в противном случае.
Случай (1). Пусть ^=l(mod4). Тогда —1 всегда имеет квадратный корень в Г/ (см. упр. 8 к § III. 1), и Ns — Ns — 2,
- 1/1(1-Т)(1-^)] Х-Т
exp I 2 TTs/s I\s= 1 I
Случай (2). Пусть ^ = 3(mod4). Тогда, как легко показать, NS = NS при нечетных s и Ns = Ns — 2 при четных s. Поэтому
z^f^T) -VKI-DII—7Л11+Т
Ь vnf№q, 1 ) —.. —1/(1 _72)—y — qT*
exp У 2T2sj2s
\s = l/
Заметим, что во всех примерах, как ниже в примерах из упражнений, дзета-функция оказывается рациональной функцией, т. е. отношением двух многочленов. Это важный общий факт. Его впервые доказал Дворк в 1960 г., остроумно применив методы р-ади- ческого анализа.
Теорема (Дворк). Дзета-функция любой аффинной (или проективной, см. ниже упр. 5) гиперповерхности является отношением двух многочленов с коэффициентами в (Q (и даже в Z и постоянным членом 1, см. ниже упр. 13).
Оставшаяся часть главы посвящена доказательству этой теоремы, принадлежащему Дворку.
Отметим, что определение дзета-функции, данное выше для гиперповерхностей, допускает обобщение на более широкий класс объектов, включающий аффинные и проективные «алгебраические многообразия», которые определяются подобно гиперповерхностям, только уже не одним, а несколькими полиномиальными уравнениями. Теорема Дворка верна также и для алгебраических многообразий (см. ниже упр. 4).
Теорема Дворка имеет глубокие конкретные следствия в теории систем полиномиальных уравнений над конечными полями. Из нее следует существование такого конечного набора комплексных чисел а^, ...
t и
.... Ч, Pi, • - -, Ра, что Nt = 2 ой — У Р| для любого 1=1 1 = 1
s=l, 2, 3, ... (см. ниже упр. 6). Иначе говоря, зная конечный набор данных (аг и р,), а эти данные определяются уже конечным набором чисел N$, мы получаем простую формулу, предсказывающую все остальные Ns. Правда, для практического применения этой формулы необходимо знать верхнюю границу степени числителя и знаменателя нашей рациональной функции Z (Я/Г9; Т) (подробности см. ниже в упр. 7 — 9). На самом деле во всех важных случаях степень числителя и знаменателя дзета-функции известна, как и многое другое. Эта информация содержится в знаменитых гипотезах А. Вейля1) (недавно доказанных, но доказательство которых даже в простейших случаях выходит далеко за рамки этой книги).
Рациональность дзета-функции была частью серии гипотез, сформулированных Вейлем в 1949 г. Данное Дворком доказательство рациональности представляло собой первый важный шаг на пути к доказательству этих гипотез. Последний шаг в этом направлении — полученное в 1973 г. Делинем доказательство так называемой «гипотезы Римана» для алгебраических многообразий над конечным полем — явился кульминацией четвертьвековых напряженных исследований в этой области.
!) В настоящей книге речь идет исключительно о гипотезах Вейля, относящихся к случаю многообразий над конечным полем, — Прим, перев.
В случае гладкой проективной гиперповерхности Н^ (т. е. когда все частные производные f по всем переменным не обращаются в нуль одновременно) гипотезы Вейля утверждают следующее:
Z(Hf^g; T) = P(T^/((Y-T)(l-qT)(l-qm... ... (1 — q^T)), где P (T) e 1 + TZ [T] имеет степень 0, a p — число, определяемое «топологией» данной гиперповерхности (оно называется ее числом Бетти; если Н^— кривая, то это удвоенный род («число ручек») соответствующей римановой поверхности). Здесь ± 1 означает, что мы берем Р (Т) для четного п и 1/Р(Т) для нечетного п.
Если а —обратный корень многочлена Р (Т), то тем же свойством обладает q^/a.
Абсолютная величина каждого из обратных корней многочлена Р(Т) равна ^("—0/2. (Это утверждение называется «гипотезой Римана» по аналогии с классической гипотезой Римана о нулях дзета-функции Римана; см. по этому поводу ниже упр. 15.)
Упражнения
Какова дзета-функция точки? Какова Z ^/Dp /р?; Tj?
Вычислите Z ^Рр /р?; Т^.
Пусть /(Хг, ..., Хл) = Хп -}-£ (Хг, .... Хп_д, где ge е f9 [Хр ..., Xn_J. Докажите, что
ТЛН^, Т) = Z^"-'/p?; Т).
Пусть k(Xv .... Х„), )^ХЪ .... Х„), .... fr(Xv ... ••• > Хп) g f? [Xj, ..., Х„], а Н ^ ^^j (f^O с ^f s —множе" ство наборов по п элементов из р s, которые удовлетворяют всем уравнениям /,- = 0, i=l, 2, ..., г:
HVr f2М aS) def {^ X"^S ^р^ Р1^1’х"^ == "
.•• = /r(*l, ••• > л-л)==0|. Такое Н называется (аффинным) алгебраическим многообразием. Пусть N$ = ^ Н(^ Л (где И—сокращенное обозначение для
Ну I |). Определим дзета-функцию, как и выше: /со\
Z (Л/|р?; Т) = ехр ^ NsTs/s\. Докажите, что из теоремы Дво- е \s = l/
рка для аффинных гиперповерхностей следует теорема Дворка для аффинных алгебраических многообразий. (Указание. Пусть, скажем, г —2. Покажите, что тогда ^Я^ ^ (f ^=4^//j^f 5)+ + #^/2 (F^) —fr^f^F^), № Hkh— гиперповерхность, задан
ная уравнением Д./2=0.)
Докажите, что если теорема Дворка верна для аффинных гиперповерхностей, то она верна и для проективных гиперповерхностей.
Докажите, что теорема Дворка эквивалентна следующему утверждению: существует набор алгебраических комплексных чисел alf а/, pv ..., р„, для которого каждое из а,- при сопряжении переходит в некоторое а,-, а каждое из р,-— в некоторое pft и
tи
Ns= У о^— У Pj для всех s = l, 2, 3, ....
i=ii=i
Известно, что дзета-функция гладкой проективной кубической кривой £ = ^(dim£=l, degf=3; Ё называется эллиптической кривой) всегда представима в виде (14-аТ + + ^^/[(^ — Т) (1 — <7^)] для некоторого а е Z. Покажите, что если известно число точек в В([Рг), то можно найти: (1) а и (2) #£(f^ при всех s.
Используя факт, сформулированный в предыдущем упражнении, найдите Z^H^q; Т} для f(Xv Х2), равного:
XI —Xf — 1 и q = 2 (mod 3);
X|—Xf + Xi и 7 = 3 (mod 4), а также для q = 5, 13 и 9.
Предположим, что рациональность функции Z (H/f?; Т) уже известна. Пусть m и п — степени ее числителя и знаменателя соответственно. Докажите, что числа Ns = ^- н^ для s = l, 2, 3, ..., m-Vn однозначно определяют все остальные Ns. ({ со\
То есть две такие рациональные функции exp I ^ A^T^/sj и \s=l / (0°\
У N'sTs/s , для которых NS = N'S при l^s^m-\-n, совпа- 3=1/
дают, а значит, и Хд = Х' для всех s.
Вычислите Z(Hf^q; Т) для трехмерной гиперповерхности Н;, заданной уравнением
Вычислите Z(//z/F?; Г) и Z (H^q\ Т) (/—однородное пополнение /) для кривой Hf, заданной уравнением:
(i) ХД=0;(и) Х1Х2(Х1+Ха+1)=0; (iii) Xi~X? = l;
(iv)X| = Xf;(v)Xj=X?+Xf.
Прямые в Р3 получаются как пересечение двух различных гиперповерхностей, т. е. прямая состоит из классов эквивалентности четверок, удовлетворяющих одновременно двум заданным однородным линейным уравнениям. Пусть Л^ —число прямых в Рр 5. Используя данное выше определение дзета-функции по последовательности чисел NS1 вычислите дзета-функцию семейства прямых на трехмерном проективном пространстве.
Используя упр. 12 к § IV.4, докажите, что из приведенной выше леммы 1 и теоремы Дворка «с коэффициентами в Q» следует теорема Дворка «с коэффициентами в Z и постоянным членом Ь.
Пусть Hi — кривая, заданная уравнением Х| = Х^ + Ь а р = 3 или 7 (mod 10). Докажите, что
Z (wJFP; П =Z (wJFP; П =1 + рЧ^ (1-Т) (1—рту1 + рЧ^ (1-Т) (1—рту
Z (wJFP; П =
Z (wJFP; П =
1 + рЧ^ (1-Т) (1—рту
1 + рЧ^ (1-Т) (1—рту
Пусть Н-— гладкая проективная кривая. Предполагая справедливость гипотез Вейля для Z (H^g; Г) (которые для
кривых были доказаны гораздо раньше, чем в общем случае), покажите, что все нули аналитической функции
f за z (V»;
комплексного переменного s лежат на прямой Res =1/2. Этот факт объясняет, почему гипотезу Вейля (iii) называют «гипотезой Римана».
ХАРАКТЕРЫ И ИХ ПОДНЯТИЕ
й-значным характером на конечной группе G называется гомоморфизм группы G в мультипликативную группу Qx ненулевых чисел из Q. Так как ^•порядок элемента g _. j для любого geG, характер отображает G в множество корней из 1 поля Q. Пусть, например, G —аддитивная группа поля Fp, е —корень степени р из 1 в Q, и пусть а — приведенный вычет
для аеГр. Тогда отображение а•—*е° является характером на рр. В дальнейшем будем писать ая—* е°, опуская тильду. Если 85^1, этот характер нетривиален, т. е. его образ состоит не только из 1.
Если F? — конечное поле из q = ps элементов, то известно, что существует s = [Г9 : Fp] автоморфизмов о0, ..., о^_1 поля F?, для которых 0^=0^, aeF? (см. упр. 6 к § III. 1). Пусть й£р?. След элемента а, обозначаемый Тга, определяется формулой
S — I
Tr а ® S °-" (а) = я + ар + а"! +... + ар8'\ 1=0
Очевидно, (Тг а)р = Тг(а), т. е. TraeFp. Кроме того, Тг (а + &) = Тга + ТгЬ. Поэтому отображение
щ—» еУта
есть й-значный характер аддитивной группы поля F9.
Напомним, что каждому элементу а е F? соответствует единственный представитель Тейхмюллера t е Q, который лежит в неразветвленном расширении К поля (Qp, порожденном примитивным корнем из 1 степени Д — 1), причем t9 = 1, а редукция I по модулю р равна а. Цель этого параграфа— найти р-адический степенной ряд 0(Т), значение которого при Т = 1 совпадало бы с 8Тга. (Точнее, ряд 0 (Г) 0 (Тр) 0 (Г"1)... 0 (Т^*-1), где q = ps, будет принимать значение еТго при T=t.)
Фиксируем а е F*. Пусть te.K — соответствующий представитель Тейхмюллера. Обозначим через Тг# отображение следа для элементов из К в (Qp, переводящее элемент К в сумму сопряженных с ним над (Qp. Тогда для представителя Тейхмюллера t (см. упр. 1 к § 4 ниже)
Тгк t = t + tP + tp" +... + tP8-1 e Zp,
а редукция Tr^t по модулю p равна
a-}-a? 4-ap’+.. •+a^8-1 = Тг a e Fp.
Следовательно, eTra = eT'K<, поскольку возведение 8 в некоторую степень из Zp зависит только от класса вычетов по модулю р.
Пусть X —е—1. Нам уже известно, что ordpX = = 1/(р—1) (см. упр. 7 к § III.4). Хотим же мы найти р-адическое выражение, зависящее от t, для
(1 4-Х)< + ^ + 'р2 + - + ^pS—^ = gTra_
Действуя наивно, можно было бы положить
ОО
g(T)=(i+^=2
i=0
а затем построить ряд ^Т)^^)^^2)..^^5-1). Но тогда возникает следующая трудность: как придать смысл бесконечному ряду g(T) Для интересующих нас значений T = f? X именно, если t ^ Zp, т. е. вычет а не лежит в рр, то, очевидно, {t — i |р = 1 для всех i е Z, откуда
ord /(/-1)-</-t'+1h/-ford Х--^-^-
ОГОр.,Л — ЮГОрА— р_].
так что этот порядок не стремится к бесконечности.
Выход из положения заключается в использовании ряда F(X, У) с лучшей сходимостью, который был введен в конце § IV.2:
F (X, У)=(1+У)^ (l+yp)Up- х)/р (I + ^(хр’-хР)/,2..
...(1 + Ур^хр"- хР^/р"
Напомним, что сомножители справа обозначают соответствующие биномиальные ряды из (Q [[X, У]]. Рассмотрим теперь F (X, У) как степенной ряд от X при фиксированном У:
f (X, У) = 2 IX" 2 ^„уч ^,„EZP;
л = 0 \ m =п/
при этом использован тот факт, что ^„^О только для ш^п. Действительно, каждое слагаемое ряда BUpn-xPn-^lpn. p^YP ^’ Т' е'
ХРп — ХРп~1 (хрП—хр”-1^ (хр" — ХрП-1. । Л У‘Р"
р” \ р"1У * ■ ■ \р"1 +1 р
после перемножения и приведения подобных членов
дает лишь члены, степень которых по X меньше или равна степени Y'p" по Y.
Напомним, что Х=е — 1, a ordpX=l/(p — 1). Положим
0(T) = F(r, Х)= ^ апТ\
/2 = 0
ОО
где ял= 2 ^.л^” Очевидно, ordpa„^n/(p—1), так т = п
как каждый член в выражении для а„ делится на X". В силу полноты поля (Qp (е) = (Qp (X) имеет место включение ап s (Qp (е), а 0 (71) е (Qp(e) ЦТ']]. Более того, 0 (Т) сходится для всех значений / е D(р'Ар-п—), потому что ordp а„ ^ п/(р — 1).
Рассмотрим теперь для фиксированного t ряд
(^у^ч-....^-1 в
def t + fP+...-^Р^-1, р V X
Ле™° Д°казать слеДУюЩее формальное тождество в ы 1м Л:
(l + y)t+tp+... + fp$ ^Fy, Y)F(tp, Y)..^^'1, Y). В самом деле, после тривиальных сокращений правая часть приводится к виду
(1 4. Yy +tP + - + fpS-1(l + YP)^pS- tMpx
x(1yp1^^-tp^p\i 4-yp«)(tp^2-t^/p3....
Ho tpS = t, и мы получаем требуемое.
Итак, при подстановке t вместо Т в 0 (71) 0 (Тр) ... ... 0 (TpS-r) получается
Fit, ^Fltp, l)...F(tpS'\ Х) =
= (1 +X)t + #P + ... Ч-^”* = gTra
В результате мы нашли хороший р-адический степенной ряд 0(T) = SanT"<=(Qp(e)[[r]] с ordpC^ ^n/(p —1), такой, что значения характера a*—>eTra на |р5 вычисляются подстановкой поднятия Тейхмюл- лера для а в 0 (Т) 0 (Гр) ... 0 ^Тр5-1^. Ряд ©можно рассматривать как «поднятие» этого характера аддитивной группы поля F@ до функции на й (точнее, на некото-
ром диске в й, включающем замкнутый единичный диск, а следовательно, и все представители Тейхмюл- лера).
Такие поднятия, как 0, важны потому, что многие понятия анализа приложимы непосредственно только к р-адическим, а не к конечным полям. Если некоторый объект, связанный с конечным полем, например дзета-функция гиперповерхности над этим полем, допускает поднятие в поле р-адических чисел, то к нему уже можно применять анализ. В заключение отметим, как важно, что наше поднятие 0 сходится по крайней мере на замкнутом единичном диске (а, скажем, не просто открытом единичном диске): ведь точки, которые нас больше всего интересуют, — представители Тейхмюллера — лежат как раз на единичной окружности.
ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ НА ВЕКТОРНОМ
ПРОСТРАНСТВЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
Обозначим через R кольцо формальных степенных рядов над й от п независимых переменных:
л^йИХь х2, .... х„]].
Моном Х“1Х“2... Х“” будем обозначать через №, где u = (ui, ..., u„) — упорядоченный набор из п целых неотрицательных чисел. Тогда каждый элемент из R можно записать в виде £аиХ“, где и пробегает множество I) всех упорядоченных наборов из п целых неотрицательных чисел и аи е й.
Отметим, что R — бесконечномерное векторное пространство над й. Для каждого GeR определим линейное отображение из R в R, обозначаемое также через G, сопоставлением
rt—*Gr,
т. е. это отображение умножения степенных рядов из R на некоторый фиксированный степенной ряд G.
Кроме того, для каждого целого положительного р> 1 (в приложениях q будет степенью простого числа р) определим линейное отображение Tq: R->-R, полагая
г = ^ ацХ“ ।—► Tq (г) = £ aquX “,
где qu обозначает набор (qult qu^, ..., qun). Например, при л = I это отображение степенных рядов, при котором стираются все ХМлены для /, не делящихся на q, а во всех Х'-членах, где q\j, Xs заменяется на X'/».
Положим теперь ^одд T^G: R->R. Пусть G = = 2 g^X™. Тогда Т?, q — линейное отображение, зада- шеи
ваемое на мономах Х“ формулой
^q,0№ = TJ s g„x^A= 5 gq_ax^
\w^U/ о e и
(При этом если набор qu — и не лежит в (7, т. е. имеет отрицательную компоненту, то считается, что соответствующее gqil-tt равно нулю.)
Обозначим через G?(X) степенной ряд G(X?) = = ^ gwX9TU. Легко проверить следующее соотношениё шеи
(см. ниже упр. 7):
G-T, = T,.G,-V,.Qg.
п Определим на U функцию | | формулой | и | = ^ щ.
i = 1 Пусть
tfo^/G^ У- g®^we/?| существует такое М>0, что
I weU
^^pgw ^ М | ш | для всех гу г U^. Нетрудно проверить замкнутость Ro относительно умножения и инвариантность при отображении G>—*Gq. Отметим, что каждый степенной ряд из Ro сходится для всех значений переменных, лежащих в некотором диске, строго большем чем 0(1). Один из важных примеров ряда, принадлежащего Ro, дает 0 (aXw), где а берется из 0(1), а Хт обозначает моном от переменных Хь ..., Х„ (см. ниже упр. 2).
Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем F, а {«у}—матрица линейного отображения A: V—> V в некотором базисе. Тогда след отображения А определяется как
^г ^ ЗЯ ^ ^“*
т. е. как сумма элементов главной диагонали (эта сумма не зависит от выбора базиса; по поводу этого факта и других основных понятий и результатов линейной алгебры см. [(а) 2], гл. 61). (Использование того же символа Тг, что и для следа элемента поля Г?, не должно приводить к путанице, поскольку из контекста всегда будет ясно, о чем идет речь.) Если поле F обладает некоторой метрикой, можно ввести след бесконеч-
СО
ной матрицы Д, при условии что сумма ^ ац сходится. i = i
Лемма 3. Пусть G е R», Ф = Ч^ 0. Тогда Тг (Ч^) определен для s = 1, 2, 3, ... и
(^-1)”Тг(^)= 5 g(x).g(x»).g^...g^1), xGQ",
где x — (xrхп), x9‘ = (xf, ..., х^, ax9S~l=l означает, что х?5-1 = 1 для j=l, 2п.
Доказательство. Разберем прежде всего случай s = 1, а затем сведем к нему общий случай. Так как ЧГ(Х“)= = 5 gq^«X\ т0
ТгФ- ^ gVq-Du
-:eU
и ряд сходится по определению R6.
Рассмотрим теперь правую часть равенства в лемме.
Для i = 1, 2, ..., п имеем
ю | q — 1, если q — 1 делит tyz,
* sL %i ~ I О в остальных случаях
(см. ниже упр. 6). Следовательно,
у z-=n У х«, = ( (‘г-О’.мли^-иелит;.,,
I 0 в остальных случаях.
хей", ' «?-' = !vJ
*) См. также книгу И. М. Гельфанда [(а) 4], гл. II. — Прии, ререв,
Отсюда
^tf-l — lWEU х9-1_1
= (?-1Г £ g№ = (<7-l)"Tr4', и е U
что и доказывает лемму для s=l.
Предположим теперь, что s>l. Тогда
= Tq^GGq- ^-Tq^Tq^G'G^G* ^ = -T^G-G, Gq^-® = ... = Tqs.GGq.Gq»...Gq^ = = ^qS. G-Gq-G^...GqS-1.
Итак, заменив q на qs и G на G ■ Gq • Gq»...GqS-i, мы установим лемму в общем виде. □
Пусть Л —некоторая rxr-матрица с элементами в поле F, а Т — независимая переменная. Тогда (I — АТ) (где 1 обозначает г X r-матрицу тождественного преобра- зования) является rxr-матрицей с элементами в кольце ^[Т]. Эта матрица играет существенную роль при изучении линейного отображения на Р, соответствующего А, потому что ее определитель, равный det (1 — At). для любого конкретного значения / е Е переменной Т, обращается в нуль тогда и только тогда, когда существует нетривиальный вектор и г Р, для которого 0 = (1 — At) и = и — tAu, т. е. Ао = (!//) и. Иначе говоря, это происходит тогда и только тогда, когда lit есть собственное значение матрицы А. Если А = \ац\, то
det (1—АТ) = S b-nTm,
m = 0 где
bm~ ( О'”5j sSn (°) °U1, a(«t) X
’^“1um^ra—перестановкаэтих и.
(Функция sgn (о) принимает значение +1 или — 1 в соответствии с тем, является ли данная перестановка о
произведением четного или нечетного числа транспозиций.)
Предположим теперь, что А = (az/}“/=i —бесконечная «квадратная» матрица, a F=Q. Тогда выражение для det (1 — АТ) будет иметь смысл как формальный степенной ряд в Q [[Г]], если только выражения для bm, которые теперь являются бесконечными рядами (условие «^г» на иг отбрасывается), сходятся.
Применим это понятие к случаю, когда А = = Шдтг-Ди, veu — «матрица» отображения Т = Tq•G, где G eR0, т. е. ordpgw^ М |zyi. Тогда р-адические порядки членов в выражении для bm допускают следующую оценку:
ordp [gga ^-Ux • gqa (“а)—«2 •••gw (u^ -%J 25
^MOga^) —Ui|-|-[po(u2) —u2|4-...4-|ga(um) —um|] = = M[Mo(Ui)bSI«in = Mto-i)SI“i|.
(Отметим, что если G — степенной ряд от п переменных, то каждое и,- есть набор п целых неотрицательных чисел: иг = (wzi, ..., и1п) и i zzz | = 2 им-) Из этого
видно, что ordp6OT->oo при пг->оо,
-^ or dp &,„->-оо при tn-* со.
Последнее верно, так как существует лишь конечное число n-наборов и с заданным значением | и |, а среднее для |м| по конечному множеству различных Ui, т. е.
m
(l/m) S i иг I, стремится к со.
Это доказывает, что
СО
det (1—АТ) = £ b-nTm
т = 0
корректно определен (т. е. ряд, задающий каждое Ьт1 сходится) и его радиус сходимости бесконечен.
Докажем теперь еще один важный вспомогательный результат, сначала для конечных матриц, а затем для
\gq-o-uV k именно, в ^[[7"]] имеет место следующее тождество для формальных степенных рядов:
det (1 - ДТ) = ехр7- jp Тг (Д5) T^/sY\S = 1/
Чтобы доказать это, напомним прежде всего два факта из теории матриц (см. [(а) 2], гл. 61)). Определитель и след матрицы не меняются при сопряжении Д>—*САС-1 посредством обратимой матрицы С, т. е. они инвариантны относительно замены базиса. Кроме того, если основное поле алгебраически замкнуто, что верно, например, для Q, то после подходящей замены базиса любая матрица может быть приведена к верхней треугольной матрице А (например, к канонической жордановой форме). Иначе говоря, последняя матрица' не имеет ненулевых элементов ниже главной диагонали. Поэтому при доказательстве тождества без потери общности можно предполагать, что А = {ау^, /=1 верхняя треугольная. Тогда левая часть требуемого равен-
Г
ства принимает вид JJ (1 — аиТ\ Справа же стоит
Z = 1
/ со г\ Г/ООх
ехРр - 5 S ^/s = П ехРР - 5 kanTy(S j =\ s = H = l/l=\\ s = l/
= П ехРр (^gp (1 - <1цТУ = П (1 - аит\ i == 1f =- 1
поскольку Тг (Д5) = ^ asu. i = 1
Разбор обобщения этого тождества на случай бесконечных матриц А мы оставим читателю в качестве упражнения (см. ниже упр. 8).
Резюмируем все это в следующей лемме.
Лемма 4. Пусть G(X') = У gwX™ г Ro, а Т = Tq-G,шеи
так что матрица отображения V есть А = {g,,-^, „е и-
х) А также [(а) 4], гл. II и III,— Прим, перев.
Тогда ряд det (1 — ИТ) из Й[[Т]] корректно определен, имеет бесконечный радиус сходимости и равен
ехрЛ- ^Tr(Hs)T$/s
§ 4. р-АДИЧЕСКОЕ АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
В этом параграфе будет доказано, что дзета-функция Z(^/F?; T)eZ[[T]]cQ[[T]]
любой гиперповерхности Hf, заданной уравнением f = 0 с ЦХЪ ..., Х^ e^q\Xi, .... Х„], является отношением двух степенных рядов из Q [[Г]] с бесконечными радиусами сходимости. (В другой терминологии: является р-адической мероморфной функцией, или является отношением двух целых р-адических функций.)
Докажем это индукцией по числу переменных п (т. е. по размерности п—\ гиперповерхности HiY При п = 0 (т. е. когда Hs пусто) утверждение тривиально. Предположим, что оно справедливо для 1, 2, ..., п — 1 переменных. Вместо того чтобы доказывать наше утверждение для
T) = exp(S№/s), достаточно доказать его для
7-'№ П^ехр^№/$ \s = 1
где
Ns ^ число n-наборов (хъ ..., xR)e^s, для которых / (хь ..., х„) = О и все Xt отличны от нуля =
= число n-наборов (хъ ..., х„) е F^s, для которых f(хъ ..., х„) = О, a x?J-1 = 1, 1=1, ...» п.
Действительно, чем отличается Z' (Hf/?Y Т) от Z(/Yz/F?; Т^ Очевидно,
Ъ^Н^,; Т^ЖН^ TYexp^(Ns-N's)Ts/s),
причем экспоненциальный множитель в правой части есть дзета-функция объединения п гиперповерхностей Hi (i=l, ..., п) меньшей) размерности (п —2), заданных уравнениями f (Хг, ..., zX„) = 0 и Хг = 0. Дзета- функция такого многообразия есть произведение дзета- функций для каждой Нь деленное на произведение дзета-функций попарных пересечений Hi и Н, (i =^ П (т. е. (п —3)-мерных гиперповерхностей, заданных системой уравнений Xi = Xj = Q и ЦХЪ .... Хп) = 0), умноженное на произведение дзета-функций тройных пересечений, деленное на произведение дзета-функций четверных пересечений, и т. д. Все эти дзета-функции р-адически мероморфны по предположению индукции). Поэтому достаточно установить р-адическую мероморфность для Z', а отсюда уже будет следовать р-адическая мероморфность Z.
Фиксируем некоторое целое s^l. Пусть q = pr. Напомним, что если t обозначает представитель Тейх- мюллера элемента aeF^, то корень степени р из 1, равный еТга, можно выразить через t при помощи р-адически аналитической функции
gTr а — 0 ^ 0 ^р) 0 (/Р2) , , ,©^tPrS-1\
Одно из основных и просто доказываемых свойств характеров (см. ниже упр. 3 — 5) заключается в следующем:
у gTr^^f0' еслииеГХ
1 <Л если и —0,
или, после вычитания члена с хо = О, х Г 1 , еСЛИ u е F( У gTr (XoU) _ )‘
х(^—1, если и = 0.
Применим это к функции u=f(xt,..., хп) и просуммируем результат по всем хг, .... хпе Г/. Получим
^ еТг (^ <Ж1х"»= qsN's - (^ - 1)".
ху хр ... > *лер^
Заменим теперь все коэффициенты в Xof (Хь • •., Х„)е е ГДХо, Хь ..., ХД их представителями Тейхмюллера; при этом получится многочлен F (Хо, Xi, .... ХД =
= ^ aiX^i е Q [Хо, Хи ..., ХД, где ХШ1 обозначает i=i
моном Х^оХ®и...Х®1”, Wi = (Wi0, Wnю1пу в этом случае
qsN's = (qs - 1)" +5 ®ТГ (X°f (X1X^ =
Xo-*1*»eF?
N
= (g$-i)”+ J] П^И*
xo'xixnGQ- i-1
х^-1= ..=х^-’ = 1
Заметим, что поскольку все коэффициенты многочлена f(XiХп) лежат в F?, a q = pr, то аЧг = аь Положим теперь
G(Xo, ..., X„)d^
= П 0^aiX^ 0№p,Ui)• • • @ (аГ'х^^). i = l
Тогда
qsN's = (iqs-lTA-
+2G(x)-G(x’)-G(x^)---G(x^ х).
*0* xv • *nG Q
x?s —1 = ...=х^ —’=1 0n
Так как каждый ряд ©(а^Х^) принадлежит RQ (см. ниже упр. 2), то это же справедливо для G:
G (Хо, ..., Xi) г К» с: Q [[Хд, ..., Хл]].
Следовательно, по лемме 3
qsN's = (^ - 1)" + (q-= - 1 )"+i Тг (^), т. е.
= 5(— 1)'(")q^^-V 5 (— П^'^-'-’Тг^). 1=о(=0
Пусть (напомним, что Л—матрица отображения Т)
/ООл
А (Г) ^=f det (1 - ЛТ) = ехрр - £ Тг (^) P/s .
I S = 1J
Тогда из предыдущего видно, что
2'(Я//1Р?; T) = expJ ^АДП/з (s= 1
п
= П ехр^
i = 0
n-V 1 ■
X П ехрр
i = 0
\s=lJ
/ CO. (_i)irn + l\
ls= lj
Каждый член последнего «альтернированного произведения» является целой р-адической функцией по лемме 4.
На этом завершается доказательство р-адической мероморфности дзета-функции — центральный результат в доказательстве теоремы Дворка. В следующем параграфе будет установлена представимость дзета-функции в виде отношения двух многочленов.
Упражнения
Пусть f е й — примитивный корень степени (ps—1) из 1. Докажите, что t, tp, tP2,..., tP^1 исчерпывают все элементы, сопряженные с ( над Qp. Другими словами, сопряженные с представителем Тейхмюллера элемента a eF? совпадают с представителями Тейхмюллера сопряженных с а элементов над Fp.
Пусть oeD(l), a Х®—Х^1... Х^п. Докажите, что О (аХи) е Ro.
Пусть ov.... с5 —различные автоморфизмы поля К. Докажите, что не существует нетривиальных комбинаций 2 а^, для которых 2 aiai W =0 ПРИ любом х е К. (Указание-, воспользуйтесь индукцией по числу ненулевых af, в случае затруднений см. книгу Ленга [(а) 3], стр. 238.) Выведите отсюда, что отображение следа Тг из F, в Fp ненулевое.
Пусть ееЙ — примитивный корень степени р из 1. Докажите, что ^ еТг* = 0. (Указание-, произведите замену xi—»-х + reF^
+ Хо, где Го е Гр имеет ненулевой след.)
5. Докажите, что5. Докажите, чтоgTr (xu) _gTr (xu) _—1,Qs—1>—1,Qs—1>еслиеслиеслиеслии е F*s, и = 0.и е F*s, и = 0.
5. Докажите, что
5. Докажите, что
gTr (xu) _
gTr (xu) _
—1,
Qs—1>
—1,
Qs—1>
если
если
если
если
и е F*s, и = 0.
и е F*s, и = 0.
Докажите, что для любых целых положительных п и а „( п,если п делит а,
^а“л ( I 0в противном случае.
В обозначениях § 3 докажите, что G«Tq = Tq-Gq.
Распространите тождество
(
03
— 5 Тг ns) T$is5=1
на бесконечные матрицы А при подходящих предположениях о сходимости следов.
Задача на повторение. Пусть / (X) = 2 ^ef?№-
i = 0
многочлен от одной переменной с коэффициентами в F?, q = pr, и ненулевым постоянным членом. Предположим, что нам надо найти число N различных корней многочлена / (X) в ^q. Обозначим через А{ представитель Тейхмюллера элемента а^ t = 0,... ... , п. Пусть 8=1+^—фиксированный примитивный корень из 1 степени р в Q, а 0 (Г) — р яд из § 2. Положим
п г — 1.
G (X, Г)= П Де X^Y^y
1=0j=0
^ + 1у G(x, у),qq4-1^ + 1у G(x, у),qq4-1Докажите что
^ + 1у G(x, у),
qq4-1
^ + 1у G(x, у),
qq4-1
§ 5. КОНЕЦ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
Теорема Дворка теперь легко выводится из следующего критерия представимости степенного ряда в виде рациональной функции.
ОО
Лемма 5. Пусть F(T) = £ аД*е К [[7]], где К —
1=0
произвольное поле. Целым числам m, s ^ 0 сопоставим матрицу As т = {Oj+i+ylo ^ /, / ^ т-
Пусть Ns,m ^ deU As.m). Тогда ряд F (Т) равен отношению двух многочленов
р^=^ду р^> Q^eKvn
в том и только том случае, когда существуют целые т^О и S, для которых Ns-m = 0 при всяком s^S.
Доказательство. Предположим вначале, что F Д) есть такое отношение. Пусть РД^ = ^ЬД1, a Q(7) =
Ni = 0.
= ^сД1. Тогда, приравнивая коэффициенты при Т1 1 = 0
в соотношении F (Т) • Q (7) = Р (Т) для i>max(M, N), получим
N
S al~N^flN-j = 0.7=0
Пусть S = max(M-JV+l, 1), a m = N. Возьмем s^S и запишем эти уравнения для i = s4-N, s + N 4-1 ...» SA-2N:'
asPN + a«+i^-i+...+as+jvCo = 0,amcN+cis^n_x +... + с$+лг+1Со = 0,
a-SA-N^N + a$*N+^cH-X + • • • ■}“ as*2NcQ — 0,
Следовательно, матрица коэффициентов при су, равная ASi N, имеет нулевой определитель:
Ns.m = Ns,n = 0 для s^S.
Обратно, предположим, что Ns-m = 0 при s^S, где пг выбрано минимальным с данным свойством: ^$,т = 0 при всех s^S. Утверждается, что NSiin_x=^Q для всех s^ 8.
Предположим противное. Тогда некоторая нетривиальная линейная комбинация первых пг строк г0, ги..., rm_x матрицы Д^, m обращается в нуль везде, кроме, может быть, последнего столбца. Пусть rZo— первая строка с ненулевым коэффициентом в этой линейной комбинации, т. е. /0-я строка Гц равна
®1^+1 + ®2f Z0+2 + • • • + am-i.-lrtn-h
кроме, может быть, элемента последнего столбца. Заменим Гц в As-m. на Гц — (®1^0+1+. • •+®m-z0-i/"«-i) и рассмотрим следующие две возможности:
t0>0. Тогда мы получаем матрицу вида
^s + m^s + m + 10^s + 2m^s + m^s + m + 10^s + 2m
^s + m
^s + m + 1
0
^s + 2m
^s + m
^s + m + 1
0
^s + 2m
и определитель выделенной матрицы равен Ns+lt m_x = 0.
io = O. Тогда мы получаем
В этом случае М$+1.т-1 совпадает с определителем каждой из двух выделенных матриц. Поскольку определитель Ns-m всей матрицы равен 0, то либо определитель нижней выделенной матрицы равен 0, либо р = 0
и определитель верхней выделенной матрицы равен 0. Поэтому Ns+1,m-i = 0.
Итак, в любом случае Ns+km_1 = 0. Далее по индукции легко получить, что Ns\m_1 = 0 при всех s'^s. Это противоречит минимальности выбранного т.
Но тогда при любом s^S мы имеем Nsm = 0 и Ns, m-i 7^0. Следовательно, существует линейная комбинация строк матрицы Asm, равная строке из нулей. Более того, у этой комбинации коэффициент последней строки отличен от нуля. Таким образом, последняя строка матрицы As, т при любом s^S представима в виде линейной комбинации предыдущих т строк. Поэтому всякое решение линейной системы
asum + as+1Um-i + - • • + Os+mu0 = 0,
^S+>n-lllm 4* as+mUm_Y 4”... 4" ^S+2m-l^o = 0
является решением уравнения
Os+m^m 4" ^S+m+lUm-i 4" • ■ • 4" ^S+^m^O = 0, а по индукции— любого линейного уравнения dsUm-\-Cts+iUm-i 4" • • • 4" as+mu0 = 0 при s^S. Из этого, очевидно, следует, что
— многочлен (степени <.SA-m). □
Закончим теперь доказательство теоремы, используя лемму 5. Нам понадобится «р-адическая подготовительная теорема Вейерштрасса» (теорема 14, § IV.4) в следующей форме: если F (Т) — целая р-адическая функция, то для любого положительного вещественного R (равного рациональной степени р) существует многочлен Р(Т) и р-адический степенной ряд FQ (Т) е 14- Тй ЦТ]], который сходится на диске D (R) радиуса R вместе со своим обратным G(T), & F (Г) —Р (T)-F0(T). Действительно, положите в теореме 14 px = R; так как F целая, она сходится на D(pk).
Для краткости будем писать Z(T) вместо Z^/F,; У). В § 4 мы выяснили, что Z (t) = А (Т)/В (Т), где А (Т) и В (У) —две целые р-адические функции. Выберем некоторое R>>qn\ для простоты возьмем, например, R = q2n. Применим теперь утверждение предыдущего абзаца к В^Т\ Получим, что В (Т) = Р (T^G (Т), где G (У) сходится на D (R). Пусть F (Т) = А (Т) • G (Т). Этот ряд также сходится на D(R\ Итак,
F (Т) = Р (Т) • Z <ГУ
Пусть F (Т) = f] ЬРГ"1 е 1 + TQ [[У]], Р (Т) = £ CiТ1 е е = 0Z = 0
s 1 4* Тй [7*], Z (У) = У, ад11 е= 14~ ТХ [[У]]- По лем- z=o
ме 2 из § 1
lailoo^^-
Поскольку F (Г) сходится на D(R), то для достаточно большого i
\bi\p^R-i = q-2ni.
Фиксируем некоторое т>>2е. Пусть А$-т — = Vas+i^0<i, 1<т, как и выше, a N$, т = det (Д5, т\ Утверждается, что для данного т мы имеем Nsm = 0 при всех достаточно больших s. По лемме 5 отсюда будет следовать рациональность функции Z(y).
Приравнивая коэффициенты в соотношении F (Т) = = Р (У) Z (У), находим
Ьц-е = СЦ+е + Claj+e-l + С^+е-й + • • • 4" ceaj- Добавим в матрице As-m к каждому (/+5)-му столбцу, начиная с последнего и двигаясь влево до е-го столбца, линейную комбинацию е предыдущих с коэффициентом сь при (/4-5 —й)-м столбце. Тогда получится матрица, е первых столбцов которой те же, что и у As-m, а в остальных столбцах элементы а заменены соответствующими Ь. Определитель этой матрицы по-прежнему равен N^m Используя ее вид, оценим |jV,,т\р.
Так как at £ Z, имеем | а4Р ^ 1. Поэтому | Ns, т |р ^ ^( max |6/4p\m+1-e<:/?-'r(,,,+1-e) для достаточно боль- ших s. Но R = q4n1 а т'>2е, откуда \Ns,m\p<.q~,u'‘m*2'.
С другой стороны, грубая оценка прямо для матрицы As, m дает неравенство | Ns, m |оо (т. 4- 4- 1)! q”- ^^ ^^ = (т+1)! q4nm ('я+1) q™ t”^. Перемножая две указанные оценки, мы видим, что произведение р-адической нормы и обычной абсолютной величины для NS] m ограничено сверху выражением, которое меньше 1 при достаточно больших s:
| Ns, m |р • | Ns, m |oo<q~M ^^ • (Ш + 1)! q^ ^^q^ wi) =
_ (m 4-1)1 q^mirnw q^s~~1
при достаточно больших s. Однако Ns, m г Z, а единственное целое число n с этим свойством: | п | • | п |р -< 1, есть число п = 0. Следовательно, Ns-m = Q для всех достаточно больших s.
Таким образом, Z (7) — рациональная функция и теорема Дворка доказана. □
Порядок работ внутри каждого из следующих пунктов приблизительно соответствует возрастанию нх трудности. Для книг и больших статей это весьма грубая оценка, основанная главным образом на уровне подготовки, необходимой для понимания тех разделов, которые тесно связаны с материалом одной из наших глав 1 —V. [Работы, отмеченные звездочкой, добавлены при переводе. —Перее.]
Подготовительная
Симмонс (Simmons G.) Introduction to topology and modem analysis.—McGraw-Hill, 1963.
Херстейн (Herstein I.) Topics in algebra. — John Wiley and Sons, 1975.
Ленг С. Алгебра. Пер. с англ. —M.: Мир, 1968.
. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — М.: Наука, 1966.
. Рудин У. Основы математического анализа. Пер. с англ. — М.: Мир, 1966.
. Куратовский К. Топология. Пер. с англ.—М.: Мир, т. 1, 1966; т. 2, 1969.
Общая
Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел.—М.: Наука, 1964.
Ленг С. Алгебраическая теория чисел. Пер. с англ.—М.: Мир, 1966.
Серр Ж.-П. Курс арифметики. Пер. с франц.—М.: Мир, 1972.
Айрленд и Розен (Ireland К- and Rosen М.) Elements of number theory, including an introduction to equations over finite fields.—Bogden and Quigley, 1972.
Дынкин E. Б., Успенский В. А. Математические беседы. — M.: Гостехиздат, 1952.
Малер (Mahler К.) Introduction to p-adic numbers and their functions.—Cambridge University Press, 1973.
Бахман (Bachman G.) Introduction to p-adic numbers and valuation theory.— Academic Press, 1964.
Монна (Monna A. F.) Analyse non-archimedienne.—Springer- Verlag, 1970.
К главе II
Ивасава (Iwasawa K-) Lectures on p-adic L-functions.—Princeton University Press, 1972.
Кубота и Леопольдт (Kubota T., Leopoldt H. W.) Eine p-adische Theorie der Zetawerte I. — J. Reine Angew. Math., 214/215 (1964), 328—339.
Катц (Katz N.) p-adic L-functions via moduli of elliptic curves.—Proceedings A. M. S. Summer Institute of Alg. Geom. at Arcata, Calif., 1974.
Ленг С. Введение в теорию модулярных форм. Пер. с англ.—М.: Мир, 1979.
Серр (Serre J.-P.) Formes modulaires et fonctions zeta p-adiques.
С другой стороны, грубая оценка прямо для матрицы Д,, m дает неравенство | Ns, m loo (m 4- + 1)! р"(^2т) (т+1) = (гиД-1)1 ^nmtm+i) qns (m+i). Перемножая две указанные оценки, мы видим, что произведение р-адической нормы и обычной абсолютной величины для NSi m ограничено сверху выражением, которое меньше 1 при достаточно больших s:
| Ns, m |р • | N,. m |oo<<T™km^ (№4-1)1 q^”1 ^m^qns ^d =
_ (m4-1)! g2""1 "”+11.
—qns~~ *
при достаточно больших s. Однако Ns-meZ, а единственное целое число п с этим свойством: | п | Д п(р < 1, есть число п = 0. Следовательно, Ns-m=Q для всех достаточно больших s.
Таким образом, Z(7)—рациональная функция и теорема Дворка доказана. □
Порядок работ внутри каждого из следующих пунктов приблизительно соответствует возрастанию нх трудности. Для книг и больших статей это весьма грубая оценка, основанная главным образом на уровне подготовки, необходимой для понимания тех разделов, которые тесно связаны с материалом одной из наших глав I —V- [Работы, отмеченные звездочкой, добавлены при переводе. — Перее.]
Подготовительная
Снммонс (Simmons G.) Introduction to topology and modern analysis.-McGraw-Hill, 1963.
Херстейн (Herstein I.) Topics in algebra. — John Wiley and Sons, 1975.
Ленг С. Алгебра. Пер. с англ. —M.: Мир, 1968.
. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. —М.: Наука, 1966.
. Рудин У. Основы математического анализа. Пер. с англ.— М.: Мир, 1966.
. Куратовский К- Топология. Пер. с англ.—М.: Мир, т. 1, 1966; т. 2, 1969.
Общая
Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. —М.: Наука, 1964.
Ленг С. Алгебраическая теория чисел. Пер. с англ.—М.: Мир, 1966.
Серр Ж--П. Курс арифметики. Пер. с франц. —М.: Мир, 1972.
Айрленд и Розен (Ireland К- and Rosen М.) Elements of number theory, including an introduction to equations over finite fields. —Bogden and Quigley, 1972.
Дынкин E. Б., Успенский В. А. Математические беседы. — M.: Гостехиздат, 1952.
Малер (Mahler К.) Introduction to p-adic numbers and their functions.—Cambridge University Press, 1973.
Бахман (Bachman G.) Introduction to p-adic numbers and valuation theory. — Academic Press, 1964.
Монна (Monna A. F.) Analyse non-archimedienne. — Springer- VeHag, 1970.
К главе II
Ивасава (Iwasawa К.) Lectures on p-adic L-functions. — Princeton University Press, 1972.
Кубота и Леопольдт (Kubota T., Leopoldt H. W.) Eine p-adische Theorie der Zetawerte I. — J. Reine Angew. Math., 214/215 (1964), 328—339.
Катц (Katz N.) p-adic /.-functions via moduli of elliptic curves.—Proceedings A. M. S. Summer Institute of Alg. Geom. at Arcata, Calif., 1974.
Ленг С. Введение в теорию модулярных форм. Пер. с англ.—М.: Мир, 1979.
Серр (Serre J.-P.) Formes modulaires et fonctions zeta p-adiques.
In: Modular functions of one variable III (Lecture Notes in Math. 350).—Springer-Verlag, 1973.
Манин Ю. И. Периоды параболических форм и р-адическне ряды Гекке. — Машем, сб., 92 (1973), № 3, 378 — 400. (Особо отметим §8.)
Вишик М. М. Неархимедовы меры, связанные с рядами Дирихле.— Машем, сб., 99 (141) (1976), № 2, 248—266.
Амис и Велю (Amice Y., Velu J.) Distributions p-adiques associees aux series de Hecke. — Journees arithmetiques, 1974.
Катц (Katz N.) p-adic properties of modular schemes and modular forms. In: Modular functions of one variable III (Lecture Notes in Math. 350).-Springer-Verlag, 1973.
Катц (Katz N.) The Eisenstein measure and p-adic interpolation.— Amer. J. Math., 99 (1977), 238—311.
Ката (Katz N.) p-adic inlerpolation of real analytic Eisenstein series. — Ann. of Math., 104 (1976), 459—571.
Мазур и Суинертон-Дайер (Mazur В., Swinnerton-Dyer S.) Arithmetic of Weil curves. — Invent. Math., 25 (1974), 1—61.
К главе IV
Дворк- (Dwork В.) § 1 нэ: On zeta function of a hypersurface.— Publ. Math. I. H. E. S., 12 (1962), 7—17.
Амис (Amice Y.) Les nombres p-adiques.—Presses Universi- taires de France, 1975.
К главе V
Вейль (Weil A.) Number of solutions of equations in finite fields. —BuZZ. Amer. Math. Soc., 55 (1949), 497—508.
Cepp (Serre J.-P.) Rationalite des fonctions £ des varietes algebriques (d’apres Bernard Dwork). —Seminaire Bourbaki, No. 198, February 1960.
Дворк Б. О рациональности дзета-функции алгебраического многообразия. Пер. с англ.—Сб. Математика, 5:6 (1961), 55—72.
Монски (Monsky Р.) p-adic analysis and zeta functions. Lectures at Kyoto University. — Kinokuniya Book Store, Tokyo, or Brandeis Univ. Math. Dept., 1970.
Катц (Katz N.) Une formule de congruence pour la fonction g.—S. G. A. 7 II (Lecture Notes in Math. 340), Springer-Verlag, 1973.
Дворк (Dwork B.) On the zeta function of a hypersurface.— Publ. Math. I. H. E. S., 12 (1962), 5—68.
Дворк (Dwork B.) On the zeta function of a hypersurface IL —Ann. of Math., 80 (1964), 227—299.
Дворк (Dwork B.) A deformation theory for the zeta function of a hypersurface.—Proc. Int. Cong. Math. 1962 Stockholm, 247—259.
Катц H. Работы Дворка. Пер. с франц.—Сб. Математика, 18;6 (1974), 3—19.
orj
гл.
г
'= |/) - gj /) L <
группу по умножению. Пусть D—некоторый открытый или замкну
тый диск в Q с центром в 0. Докажите, что множество |/еЦ 4-ХЙ [[X]] | f сходится на D} замкнуто относительно умножения, но не является группой. Покажите, что при фиксированном X мно-
СО
жество рядов f (X) = 1 + У, а,-Хг, для которых ordpa,- — Xi больше 0i= 1
при всех i = l, 2, ... и стремится к оо при i -► со, есть мультипликативная группа. Далее, пусть f/e 1 +XZP [[X]], /= 1, 2, 3, ..., ОО
а /(Х)= Ц [/(ХР). Проверьте включение ЦХ) г 1+XZP [[X]]. / = 1
Н.КОБЛИИр-АДИЧЕСНИЕ ЧИСЛА, р-АДИЧЕСНИЙ АНАЛИЗ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИН.КОБЛИИр-АДИЧЕСНИЕ ЧИСЛА, р-АДИЧЕСНИЙ АНАЛИЗ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
Н.КОБЛИИ
р-АДИЧЕСНИЕ ЧИСЛА, р-АДИЧЕСНИЙ АНАЛИЗ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
Н.КОБЛИИ
р-АДИЧЕСНИЕ ЧИСЛА, р-АДИЧЕСНИЙ АНАЛИЗ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
Graduate Texts in Mathematics
68
NEAL KOBLITZ
/D-ADIC NUMBERS, yD-ADIC ANALYSIS, AND ZETA-FUNCTIONS
«Современная математика»
Вводные курсы
Перевод с английского
В. В. Шокурова
под редакцией Ю. И. Манина
Springer-Verlag
New York Heidelberg Berlin 1977
Издательство «Мир» Москва 1982
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА I. р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА 9
Основные понятия 9
Метрики поля рациональных чисел Ю
Упражнения 17
Как строится поле комплексныхчисел 19
Поле р-адических чисел 21
Арифметика в (Qp 29
Упражнения 34
ГЛАВА И. р-АДИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА 37
Формула для значений £ (2А) 39
р-адическая интерполяция функции / (s) = as . .44
Упражнения 48
р-адические распределения 51
Упражнения 55
Распределения Бернулли 57
Меры и интегрирование 59
Упражнения 66
р-адическая ^-функция как преобразование Мел- лина — Мазура 67
Краткий обзор (без доказательств) 75
Упражнения 80
ГЛАВА 111. КОНСТРУКЦИЯ ПОЛЯ Q 82
Конечные поля 82
Упражнения 90
Продолжение норм 91
Упражнения ЮЗ
Алгебраическое замыкание поля(D„ 104
Поле Q Н2
Упражнения И5
ГЛАВА IV. р-АДИЧЕСКИЕ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ118
Элементарные функции Н8
Экспонента Артина —Хассе 129
Упражнения 136
Многоугольники Ньютона в случае многочленов 141
Многоугольники Ньютона в случае степенных
дов 144
Упражнения 156