ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

Этот перевод стал возможен благодаря энтузиазму и творческому порыву В. Столяра, который уже применяет содержание книги для развития математических наклонностей учащихся. В предисловии к английскому изданию отмечено, что книга не предназначена быть учебником. Тем не менее педагоги-новаторы, наделенные богатым воображением, успешно используют ее идеи на факультативных занятиях, обогащая программу обучения математике.

После выхода книги в свет появился ряд новых работ по репьюнитам. Был найден новый простой репьюнит. Пределы проверенных составных репьюнитов в различных числовых системах значительно расширены. Были опубликованы важные результаты по многим соответствующим теме интересным проблемам, включая числа Смита и другие связанные с суммой цифр функции. Знания, необходимые для исследования таких чисел, а также доказательства их бесконечности опираются на свойства репьюнитов.

Теория репьюнитов представляет собой только часть большого раздела математики, известного как теория чисел, однако соприкосновение с тайной репьюнитов становится приятным подспорьем для более глубокого понимания этого раздела и математики в целом.

| Самюэль Ейтс |

Флорида, США Март 1990 г.

К глубокому сожалению в апреле 1991 г С. Ейтс скончался. Его смерть — большая потеря для всех, кто знал его, а также для тех, кто работал в области теории чисел, которой он посвятил многие годы и в которой достиг больших результатов.

В. Г. Столяр

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта книга привлекла мое внимание своей необычностью. Она посвящена изучению некоторых особых свойств чисел, которые проявляются в процессе обычного деления «уголком». Поскольку эта тема является частью элементарной теории чисел, то можно полагать, что полученные применительно к десятичной системе счисления результаты распространяются и на системы с произвольным основанием, большим единицы. В то же время книга насыщена проблемами, которые после многолетних усилий со стороны видных математиков все еще не нашли своего окончательного решения.

Книга в значительной мере относится к разряду занимательных. Некоторые необходимые теоретические положения, такие, например, как квадратичный закон взаимности, формируются со ссылкой на их авторов. В основном материал книги изложен достаточно хорошим доступным языком, чтобы ее смогли понять и оценить юные студенты-математики, или те, кто неравнодушен к такой тематике.

Автор работает над данной темой уже много лет, и не только сам осуществил значительный вклад в эту область, но и очень хорошо изучил состояние дел по многим аспектам предмета как в современной, так и в более ранней литературе.

Многие приведенные в книге оригинальные таблицы свидетельствуют о высокой компетентности автора как специалиста в области программирования и вычислительной техники. Следует надеяться, что начавшийся в настоящее время процесс приобретения многими любителями персональных компьютеров поможет найти ответ на нерешенные проблемы, которые обозначены в этой книге. Изучение этих проблем сулит программистам и вычислителям многие часы вдохновенной работы.

Д. Г. Ле мер Калифорнийский университет, г. Беркли

Этот трактат не претендует на применение его в качестве краткого руководства по всем аспектам обозначенного заголовком предмета, не является он и учебником. Книга успешно может быть использована как дополнительная литература по вычислительной теории чисел, а также, ввиду наличия специальных таблиц, и как справочник. В книге сделана попытка осторожно предложить, попутно развлечь, по возможности обогатить и многообещающе вдохновить.

Я глубоко признателен профессору Калифорнийского университета (г. Беркли) Д. Г. Лемеру, профессору Флоридского Атлантического университета М. Ж. Де Леону, а также Кеннету Роузу из Брин Афин (Пенсильвания) за их полезную критику по прочтении книги в рукописи. Я благодарен Гершону Дорфману за его конструктивную критику. Я высоко ценю благотворную поддержку, оказанную мне моей женой Мэй Ейтс.

Самюэль Ейтс

ВВЕДЕНИЕ

Символика

В системе счисления с основанием Ь, которая имеет b символов или цифр от 0 до b— 1, позиционное значение п-й справа цифры d равно увеличенной в d раз (п— 1)-й степени числа Ь. Например, число 1022 в троичной системе (с основанием 3) имеет величину 2-3° + 2-31 + 0-32 + ИЗ3. Степень Ьп записывается в виде 1 с последующими п нулями. Например, при основании системы 10 число 103 = 1000 и при основании 8 число 83 = 1000. Число Ьп— 1 в системе с основанием b записывается как ряд из п символов b — 1. Так, в десятичной системе число Ю3 — 1 = 999; в восьмеричной системе 83 — 1 =777. В системе с основанием Ь, большем единицы, частное (Ьп—1)/(Ь— 1) есть число, записываемое строкой из п единиц.

Такое число, записанное одной или более единицами, называется репъюнатом (repunit); этот термин вполне отражает повторение единичных символов в записи числа. Вообще, число, записанное как повторение какой-нибудь цифры, называется репдиджитом (repdigit). Каждый репдиджит , который состоит из более чем одной цифры и не является репьюнитом, есть составное число, так как оно делится нацело на репьюнит и на повторяющееся в его записи однозначное число.

Любое число к, превышающее 2, может быть записано в виде репьюнита, если выбрать подходящее основание системы. Число к равно 11 в системе с основанием к—1. Каждое четное число в системе с четным основанием имеет крайнюю правую цифру четной, поэтому четные числа не могут быть репью- нитами в системе с четным основанием.

Поскольку значение репьюнита зависит от основания системы и от количества единиц, мы обозначим число, записываемое при основании b как строка из п единиц и равное ^Ьп—1)/(Ь—1), символом R^b, п). Так как число 10 наиболее часто встречается в качестве основания системы, мы будем вместо 7?(10, п) для краткости писать Rn, или R^, или еще

чаще Rn. В соответствующей литературе до последнего времени практиковалась запись Rn с буквой п в качестве индекса^ однако по мере расширения использования этого символа в печатных работах авторы сочли более удобным и не менее понятным записывать индекс п на том же уровне, что и R. Мы пользуемся всеми этими формами.

Несмотря на то что свойства репьюнитов представляют интерес и для других математических дисциплин (таких, как теория автоматов и теория информации), они главным образом являются теоретико-числовыми. Поэтому далее последует рассмотрение необходимых определений, обозначений и правил, заимствованных из курса теории чисел.

Некоторые свойства делимости. Простота чисел

Множество натуральных чисел состоит из всех положительных целых чисел, наименьшее из которых есть 1. Если в нашем изложении не будет специальной оговорки или обозначения,, то слово число и обозначающая его буква означают натуральное число. Целое число а делит целое число b тогда и толька тогда, когда существует целое число с, такое, что Ь = а-с. В этом случае говорят, что целое число а есть делитель b, а b делится на а. Это обозначается а\Ь и читается «а делит &» или «Ь кратно а». Если а не делит Ь, мы пишем a *f b. Если b и с кратны а, то их сумма, разность и конкатенация ^ кратны а, а их произведение кратно а2. Если число а не равно 1 или числу b и если а делит Ь, то а есть собственный делитель числа Ь. Если с — наименьшее число, которое делится на целые а и Ь, то с называется наименьшим обидим кратным чисел а и b и обозначается [а, Ь].

Пусть f(x)—функция натуральной переменной х. Мы будем называть число а примитивным делителем f(n) тогда и только тогда, когда a|f(n), но а f (х) для 0 < х < п. Рассмотрим, например, функцию /?(х) = (10х—1)/9. Число 41 есть примитивный делитель числа R (5), так как 41|/?(5) и 41 не делит R^), /?(3), R^), /?(1). Если a|f (х), когда х = п, а также делит f(x) для некоторого положительного значения х < п, то говорят, что а — непримитивный или алгебраический делитель f(x) при х = п.

Число называется простым, если оно больше единицы и не имеет собственных делителей. Составным является число, у ко-

1} Конкатенация чисел М и N есть число, которое получается, если М и N записать без интервала друг за другом. Так, конкатенация чисел 12 и 345 есть 12345. Первое названное число пишется слева, если нет иного указания. — Прим. ред.

торого имеется хотя бы один собственный делитель. Каждое число имеет единственное, присущее только ему одному и отличающее его от других чисел разложение в произведение простых й степеней простых. Проверка числа на простоту есть процесс, с помощью которого устанавливается, является число простым или составным.

Наибольшее положительное целое а, которое делит каждое из двух целых бис, называется наибольшим обидим делителем чисел b и с и обозначается (Ь, с). Поскольку такое обозначение иногда выражает упорядоченную пару или имеет другое применение, его следует использовать только в том случае, когда оно понимается однозначно.

Несколько целых чисел называются взаимно простыми (попарно взаимно простыми), если они (никакие два из них) не кратны одному и тому же простому числу.

Дроби и их десятичное представление

Дробь есть отношение двух целых чисел, из которых первое является числителем, а второе — знаменателем дроби. У правильной дроби числитель и знаменатель положительны и числитель меньше знаменателя.

Дробь является несократимой, если числитель и знаменатель взаимно просты. Действительное число является рациональным, если оно может быть представлено в виде дроби, числитель которой — целое число, а знаменатель — не равное нулю целое. В дальнейшем, если не оговорено противное, мы будем иметь дело с правильными несократимыми дробями.

Десятичное представление правильной дроби есть результат деления числителя на знаменатель, выражаемый десятичной занятой с расположенным за ней определенным рядом цифр. Если процесс деления достигает такого момента, когда в частном появляются одни нули, то говорят, что дробь, как и ее десятичное представление, конечна. Так, конечная десятичная дробь 0,2 есть десятичное представление дроби 1/5. На практике выражения десятичное представление и десятичная запятая используются часто независимо от основания системы, но некоторые авторы присваивают этим понятиям в определенных системах счисления более точные названия.

Простота числа не зависит от основания системы. Однако простое, которое делит это основание, особым образом воздействует на форму представления числа в этой системе. В десятичной системе это числа 2 и 5. Если знаменатель несократимой дроби не делится на другое простое число, то десятичное представление этой дроби конечно.

Классы вычетов

Если с делит а — Ь, то говорят, что а сравнимо с b по модулю с, и пишут а = b(modc). Сравнение является рефлексивным отношением, так как а = a (mod с). Сравнение симметрично, так как если ^ = Z?(modc), то b = a(mod с). Сравнение транзитивно, так как если a = &(modc) и b = d(modc), то а = d(modc). Поскольку сравнению присущи эти три свойства, оно является отношением эквивалентности. Множество целых чисел разбивается по модулю с на с непересекающихся классов эквивалентности, при этом каждое из целых чисел от 0 до с— 1 является членом или вычетом определенного класса и называется представительным числом или просто представителем этого класса. Например, —16, —1, 4 и 39 являются членами одного и того же класса вычетов по модулю 5, но число 4 есть представитель этого класса.

Операции, которые можно выполнять над такими различными отношениями эквивалентности, как сравнение и равенство, аналогичны. Если a = b(modc) и d = e(modc), то (a + d) = = (b + е) (mod с), (а — d) = (&— е) (mod с) и ad = be (mod с). Если а и b оба кратны d, причем d взаимно просто с с, и а = = b(modc), то aid = b/d (mod с). Если а или b не делятся на d, то деление нацело еще можно осуществить в сравнении, если прибавить к а или b или вычесть из одного из них некоторое число, кратное с, так как сп = 0(mod с). Например, чтобы решить относительно х сравнение 3x = 5(modll), прибавим 22 к правой части сравнения, получим 27, кратное числу 3. Тогда Зх = 27(mod 11), и искомое решение есть x = 9(modll).

Чтобы получить пересечение двух классов вычетов по различным модулям, оба класса приводятся к модулю, равному наименьшему общему кратному данных модулей; их общий представитель определяет искомое пересечение. Например, найдем пересечение класса чисел, сравнимых с 2 по модулю 3, и класса чисел, сравнимых с 33 по модулю 40. Числа, сравнимые с 2 по модулю 3, также сравнимы с 2, 5, 8, И, 14, ... , 107, 110, ИЗ, 116 и 119 по модулю 120. Числа, сравнимые с 33 по модулю 40, также сравнимы с числами 33, 73 и ИЗ по модулю 120. Общим представителем, определяющим пересечение двух классов, является число ИЗ по модулю 120.

Одно из многих множеств классов вычетов, которое представляет особый интерес, это множество классов по модулю 9 в десятичной системе счисления. Так как любая степень числа 10 сравнима с 1 по модулю 9, сумма цифр числа принадлежит тому же классу, что и само число. Чтобы найти представитель класса, которому принадлежит целое число по модулю 9, до-

статочно сложить его цифры. Если сумма есть число с более чем одной цифрой, следует сложить их, повторяя этот процесс, пока сумма не станет равной 9 или меньше, при этом 9 эквивалентно 0. В связи с этим представитель этого класса иногда называют его суммой цифр. Свойство суммы цифр применимо к любому классу вычетов по модулю а в системе счисления с основанием Ь, когда а делит b — 1, так как любая степень b сравнима с 1 по модулю а.

Функция Эйлера

Количество представителей класса вычетов по модулю с, взаимно простых с с, обозначают ф(с); эту функцию называют функцией Эйлера. Если с — простое число, то каждое положи^ тельное целое, меньшее с, взаимно просто с с, поэтому ф(с) = = с—1. Если с = рп, степень простого, то среди рп—1 положительных чисел, меньших рп, имеется рп-х — 1 кратных р, т. е. не взаимно простых с ним. Тогда ф(£) = (Р"— 1)— крп~х— — 1) = рп — рп-х = (р — 1)рп-1. Последнее выражение используется наиболее часто. Можно показать, что если с и d взаимно просты, то ^(cd>) = ф(с) -ф(^). Поскольку натуральное число можно представить в виде произведения взаимно простых степеней простых, то мы получаем способ нахождения ф(с) для любого числа с.

Если с — р^ • р% ... р^, где р. — простое число, то ф (с) = = РГ(Ра-^ЧРь-^...РКк-ЧРк-^ или

ф (с) = С ((ра - Х^Ра) ^Рь — 1)/рЬ) . . . ((Pfc — 1)/рЦ.

Если простые множители числа с все в первой степени, то ф(с) = (Ра— 1) (р& — 1).. ЛРЬ— 1).

Замечания и комментарии

А согласен ли ты, что соответствующая пора расцвета — двадцатилетний возраст для женщины, а для мужчины — тридцатилетний?

Платон

В этом сложном мире, который мы все населяем, многие весьма решительно не согласились бы с Платоном. Даже в от

!) Платон. Сочинения в трех томах. Т. 3, ч. 1.—М.: Мысль, 1971, с. 258. В английском переводе этой фразы используются слова «prime» («расцвет», в математике «простое число») и «period» («период», «промежуток времени») . — Прим, перев.

носительно узком кругу математиков, в который некоторые из нас иногда попадают, не всегда достигается соглашение по поводу смысла того или иного термина. Время, великий целитель ран, все же иногда обостряет эти разногласия. К счастью, по мере нашего приближения к общему взаимопониманию его эффект чаще успокаивающий.

Было время, когда понятие простое число, используемое в математике, некоторые распространяли и на число 1. Теперь же принято считать единицу ни простым, ни составным числом. Слово период, которое в дальнейшем будет часто встречаться, используется зачастую и в смысле периода дроби, и в смысле длины периода. Порою оба значения присутствуют в одной и той же работе или даже в одном предложении. Самым верным критерием всякого использования термина является ясность его назначения в изложении автора. Ввиду такого произвольного толкования термина мы в книге используем слово период в качестве периода дроби — это несмотря на то, что получившее широкое распространение понятие полнопериодное простое используется для простого числа с длиной периода, максимальной относительно величины самого числа. Здесь есть и другие определения, которые могут показаться странными и неуместными, однако есть надежда, что их причудливый характер не станет препятствием для правильного восприятия.

Степени чисел отличаются от их показателей, хочя даже в обычной речи мы вольны выбрать любое из этих понятий. Число ак — степень числа а, оно является £-й степенью числа а; к — показатель степени числа а в ак. Термин расположение относится к локализации положения группы цифр в заранее определенном месте. В четырехзначном числечисло 12,

например, расположено справа, если записано12, и слева, если записано 12.

Впервые со словом репъюнит я встретился в работах А. X. Бейлера [8] и М. Гарднера [31]; работы этих знаменитых людей заслуженно славятся тем, что они доставляют своим читателям огромное удовольствие. В июне 1970 г. профессор Бейлер сообщил мне, что этот термин он придумал «много лет назад». Произношения он не приводит. Я произношу приставку «гер» в словах repunits «репьюниты», repdigits «репдиджиты» и repetends «периоды» так же, как и в слове repetition «повторение».

В книге А. А. Френкеля «Целые и теория чисел» [29] автор отмечает, что позиционную систему записи чисел изобрели в Индии. Источником этих сведений является помещенная в «Бюллетене Калькуттского математического общества»

(1933 г.) статья В. Детта, озаглавленная «Письменные свидетельства древних арабов о происхождении наших цифр» [22].

Стандартная процедура получения пересечения классов вычетов опирается на китайскую теорему об остатках, но тот простой метод, что описан в этой главе, адаптирован применительно к нашей теме.

Определение собственного делителя, используемое здесь, аналогично приведенному Френкелем. Это определение исключает единицу. Некоторые авторы применяют термин аликвотный делитель, который включает и 1.

ПЕРИОДИЧНОСТЬ И ДЛИНА ПЕРИОДА

Мы уже отмечали, что если знаменатель дроби не делится на простое число, отличное от 2 и 5, то в процессе преобразования ее в десятичную в частном после некоторого момента образуются только нули, т. е. десятичное представление дроби конечно.

Периодические десятичные дроби

С другой стороны, если знаменатель делится хотя бы на одно простое число, отличное от 2 и 5, то при делении будут все время появляться ненулевые остатки, и десятичная дробь становится бесконечной. Рассмотрим процесс получения десятичного представления дроби 1/7, приводящий к результату, равному 0,142857142857142857... и называемому по понятным причинам периодической десятичной дробью. Для краткости и ясности ее записывают 0,(142857), где в скобках заключена минимальная повторяющаяся группа цифр 1). Эта группа цифр в записанном порядке есть период дроби 1/7. Каждый нуль, будь он в начале, внутри или в конце периода, есть значащая цифра. Приведем деление столбиком 1 на 7:

70,1428572)

"30

28

20

14

60

56

40

35

50

49

1

!> В оригинале автором приведено обозначение .142857, принятое в США. — Прим, перев.

В оригинале процесс деления показан, как это принято писать в США. Мы приводим здесь эту запись:

Получающиеся при делении последовательные остатки 1, 3, 2, 6, 4, 5 подчеркнуты. Повторное появление начального остатка 1 означает образование нового цикла, равным образом обеспечивается та же последовательность остатков и та же последовательность цифр в частном. Поскольку период состоит из 6 цифр, то одновременное перемещение десятичной запятой в делимом и частном вправо на 6 разрядных единиц (иначе, одновременное умножение делимого и частного на единицу с 6 нулями) есть один из способов демонстрации того, что 7 делит 106— 1 и не делит любое меньшее число вида 10п— 1.

Обозначим через L(n) длину периода числа п, т. е. количество цифр в периоде десятичного представления дроби 1/ц. Если а и п взаимно просты, количество цифр в периоде десятичного представления дроби а]п то же самое, что и для дроби 1/п. Поскольку для каждой правильной дроби с простым знаменателем р числитель а взаимно прост с р, количество цифр в периоде дроби alp равно длине периода числа р. Если п — составное и (а, ц)^ 1, тогда количество цифр в периоде дроби а)п равно длине периода числа п только в том случае, если знаменатель, полученный в результате сокращения дроби а!п, имеет такую же длину периода, как и само п. Примером такого случая является число п = 91. Дробь 1/91 =0,(010989) и 7/91 = 1/13 = 0,(076923); L(91) = L(13)= 6. Гораздо чаще, однако, длина периода составного числа отлична от длины периода любого из его простых множителей.

Теорема Ферма и правило множителя

Мы видели, что L(n), т. е. длина периода числа п или количество цифр в периоде десятичного представления дроби 1/п, совпадает с величиной показателя степени числа 10 (в десятичной системе) в наименьшем числе вида 10т— 1, которое делится на п. Это означает, что п есть примитивный делитель числа 10т— 1 тогда и только тогда, когда L(n)=m. При лю-

.142857

7| 1.000000

7

30

28

(ниже запись идентична приведенной в нашем . . . переводе). — Прим, персе.

бом основании b число п есть примитивный делитель числа bm тогда и только тогда, когда длина периода числа п есть т.

В элементарной алгебре имеется соответствующее правило, которое далее мы будем именовать правилом множителя. Оно утверждает, что bm—l\bn—1 тогда и только тогда, когда m | п при условии bm 1 или пг=^ 0.

Если 10™ — 1110” — 1, то ((10т — 1)/9) | ((10п — 1)/9), откуда Rm\Rn. Очевидно, справедливо и обратное утверждение, т. е. если Rm\Rn, то 10т— 1|10п— 1. Отсюда следует, что правило множителя может быть применено к репьюнитам. Rm\Rn тогда и только тогда, когда пг\п.

Поскольку 10п— 1 = 9Rn, то любое простое число, отличное от 3, которое делит 1Ф— 1, также делит и Rn. Следовательно, любой примитивный простой делитель числа 10п— 1, отличный от числа 3, является примитивным простым делителем числа Rn и каждое такое простое число имеет длину периода, равную п. Таким образом, длина периода простого числа, не равного 3, равна числу единиц в наименьшем репъюните, делящемся на ото простое число.

Пусть а — примитивный делитель числа Rm, т. е. а делит число, записываемое строкой из m единиц и не делит строку из меньшего числа единиц. Тогда следующее большее число, записываемое строкой из единиц и делящееся на а, должно состоять из 2m единиц, т. е. являться конкатенацией двух строк из пг единиц. Следующее большее число из единиц, делящееся на а, должно состоять из 3m единиц и т. д. Следовательно, если Rm есть наименьший делящийся на а репьюнит, то каждый репьюнит, делящийся на а, должен иметь вид Rmn — строки из единиц, количество которых кратно числу пг. Если а — примитивный делитель числа Rm, то каждый делящийся на а репьюнит имеет вид Rmn. В частности, полагая а = Rm, можно заключить, что любой репьюнит, делящийся на репьюнит Rm, имеет вид Rmn.

Теорема Ферма утверждает, что простое р делит число Ьр-Х — 1, если р Т Ь. Так как р\ 10р-1 — 1, то простое р, отличное от 2, 3, 5, делит Rp-i. Этот репьюнит должен быть кратен наименьшему репьюниту Rm, делящемуся на р, где пг = L (jd^— длина периода числа р. Тогда в соответствии с правилом множителя р—1 должно быть кратно числу L(p). Так как L(3)=l, то это утверждение справедливо для всех простых, отличных от 2 и 5. Этой кратности присвоено название индекс периода. Индекс периода —Цр) простого числа р есть частное от деления р — 1 на L^p).

По тем же соображениям, вообще, если число jRm есть наименьший репдиджит, записываемый строкой из одинаковых

цифр / и делящийся на а, то на а делится всякий репдиджит, равный jRmm т. е. строка цифр /, количество которых кратно числу т. В частности, когда / = 9, если а — примитивный делитель числа 10т—1, то всякое делящееся на а число той же формы есть 10тл—1, где п— неотрицательное целое.

Предположим, что Rj и R^ делятся на одно и то же число а. Тогда а должно быть делителем числа (RH R^, т. е. наибольшего общего делителя чисел Rj и R^. Возможно, но не обязательно верно, что а является также делителем меньшего общего делителя чисел Rj и Rk. Например, пусть а делит R60 и R72. Тогда а может делить R2, R3, Ra или R6, но должно делить RT2.

Периодичность

Если десятичное представление дроби не конечное, то группа цифр частного, образующихся при делении числителя на знаменатель, начиная с некоторого момента повторяется. Последовательность цифр, в которой после некоторого момента происходит повторение, называется периодической. Если первая цифра последовательности входит в состав периода, то такая последовательность является чисто периодической. Когда знаменатель несократимой дроби не делится на 2 и 5, ее десятичное представление — чисто периодическое.

Если повторяющаяся группа цифр следует за другой группой цифр, то такая последовательность не является чисто периодической. Это происходит, когда знаменатель дроби делится на 2 или 5 и на другое простое. Например, 1/6 = 0,1 (6) и 3/140 = 0,02(142857). Если N = 2а-5ь-М, где М не делится на 2 и 5, а с — наибольшее из двух чисел а и Ь, то количество неповторяющихся цифр в десятичном представлении несократимой правильной дроби со знаменателем N равно с, а количество повторяющихся цифр (заключаемых в скобки) равно L(M). Если b = а, то с = а.

Так, например, десятичная запись несократимой дроби со знаменателем 150 = 2-52-3 содержит две неповторяющиеся цифры и одну цифру в периоде. Число 7/150 = 0,04(6). Также до определения несократимого дробного эквивалента десятичной записи 0,012(34) мы можем утверждать, что разложение на множители знаменателя содержит либо 2, либо 5, либо оба числа в третьей степени; оставшийся множитель, не делящийся на 2 и 5, имеет длину периода, равную двум.

В десятичных скобках заключена геометрическая прогрессия. Рассмотрим чисто периодическое десятичное представление несократимой дроби с периодом S, знаменатель которой

имеет длину периода, равную L. Величина дроби равна 10~LS + 10-2£S + 10~3LS + • • •, причем отношение любого слагаемого к предыдущему равно 10-£. По формуле для суммы членов бесконечной геометрической прогрессии приведенная сумма равна S/(10£—1), где знаменатель — строка из L девяток, т. е. репдиджит, равный удевятеренному репьюниту RL. Наше знакомство с репьюнитами предполагает и разложение их на простые множители, что, между прочим, позволяет упростить сокращение дробей со знаменателем, кратным репьюниту. Например, 0,(17073)= 17073/99999 = 17073/(97?5) = = 17073/(9-4П271) = 7/41, так как 17073 = 7-9-271.

Поскольку десятичные скобки, в которые заключен период из L цифр чисто периодического десятичного числа, обозначают, что дробный эквивалент десятичного представления есть период, деленный на число из L девяток, мы можем расширить запись, чтобы показать, что конечное десятичное представление есть также сумма членов геометрической прогрессии. Например, число 1 может быть записано как 0,(9) или 0,(99), или 0,(999) и т. д., т. е. с любым количеством девяток в десятичных скобках.

Чтобы обратить в дробь десятичное представление, являющееся в конечном счете периодическим и имеющее непериодическую начальную часть длиной в т цифр, следует прежде умножить число на 10т, при этом получится целое плюс чисто периодическое десятичное число; затем обратим десятичную часть в дробь, получим смешанное число; после этого делим результат на 10т. Например, 0,9(82) = 10-(0,9(82) )/10 = (9 + + 0,(82))/10 = (9 + 82/99)/10 = 973/990.

Длина периода составного числа

Рассмотрим два различных простых числа р и q, длины периодов которых соответственно равны г и s. Тогда p\Rr и g|7?s. Пусть [г, s] = т. Согласно правилу множителя р|7?т и q\Rm. Так как р и q взаимно просты, то pq\Rm. Но т есть также наименьшее такое число, что pq\Rm, поскольку р не делит меньший репьюнит, кратный q, a q не делит меньший репьюнит, кратный р. Следовательно, длина периода произведения двух простых чисел есть наименьшее общее кратное их длин периодов.

Рассуждая таким же образом, мы приходим к выводу, что длина периода произведения любого числа попарно взаимно простых чисел есть наименьшее общее кратное их длин периодов.

Как и в случае функции Эйлера, нам необходимо исследовать степени простых для того, чтобы иметь полную ясность в процедуре оценки длины периода как функции натурального аргумента.

Длина периода степени простого числа

При каких условиях квадрат простого числа р2 является делителем репьюнита?

Рассмотрим простое число 7, длина периода которого равна 6. Наименьший репьюнит, который делится на 7, есть R6. Согласно правилу множителя из 7|/?6 следует 7|7?6п, где п— любое неотрицательное целое. Каждый репьюнит, который делится на 72 = 49, должен быть членом подпоследовательности в последовательности репьюнитов, которые делятся на 7. Далее заметим: R^/Re = 1000001, Ris/Rg = 1000001000001 и вообще

RJR^OT"1 + (Ю6Г2 + ... +(Ю6)° = £ (Ю6г-г.

1 = 1

Так как 106 = 97?б+ 1 = l(mod7), то каждый член прогрессии сравним с 1 по модулю 7. Значит, чтобы получить в итоге 7 = 0(mod7), требуется не меньше семи слагаемых (106)fe. 7

Этому требованию отвечает число R42, так как R^Re=Е (106г-. t = l

Поскольку R^IRs кратно семи, a R^ тоже кратно семи, то их произведение ^42 кратно 72. Другой пример. R^— наименьший репьюнит, делящийся на число 13, т. е. L(13)=6 и 106 = = 1 (mod 13); отсюда следует, что наименьший репьюнит, де- 13

лящийся на 132, есть R7^ так как Ri^Re = X (Ю6)13-1 = = 13 (mod 13) = 0 (mod 13). А так как и R78/R& и R6 кратны числу 13, то их произведение R78 кратно 132.

В общем случае, так как 10L(p)= 1 (modp) и RpL^/Rb^^

= ^LU^L^y-1» то наименьший репьюнит Rm, делящийся на t 1

квадрат простого числа р2, соответствует m = pL(p) при условии, что р^З и p2'V Rl<pv Последнее условие существенно, так как если p2\Rt(P^ то р2 делит любой репьюнит, делящийся на р,— случай возможный, хотя и редко встречающийся. В десятичной системе счисления известны два таких примера. Это 487 и 56598313. Когда р = 487, L(p) = L(p2) = 486; когда р = 56598313, L(p) = L(p2) = 56598312.

С помощью рассуждений, аналогичных только что приведенным, мы можем распространить правило на более высокие степени простых; таким образом, наименьший репьюнит Rm, делящийся на степень простого числа рк, соответствует m = = р^ЕДр) при условии, что р^ «X Rlvp> и р^З.

В настоящее время в десятичной системе неизвестны примеры со степенью простого выше второй, для которой длина периода совпадает с длиной периода этого простого, но такие числа известны в других системах счисления. Чтобы учесть такие случаи, мы утверждаем и можем доказать, что если рк есть наивысшая степень простого р, которое имеет длину периода L(p), то L(pk^a>) = paL(py Например: L(4873) = 487-486 и L(73) = 49-6. Наименьший репьюнит, делящийся на 4873, равен /?2збб82, а наименьший репьюнит, делящийся на 73, равен Т?294.

Вычеты степени к

Для дальнейшего нам понадобится понятие дополнения. Число b является с-дополнением для а, если а + b = с. Например, 7 есть 9-дополнение для 2.

Индекс периода Цр^ для простого числа р был определен как частное (р— 1)/L(p), и было показано, что это целое число. Лучшее понимание индекса периода и длины периода достигается при внимательном рассмотрении вычетов степени к.

Если существует такое целое число х, что ^ = r(modp), где г ^O(modp), то г — вычет степени к по модулю р. Если такого х не существует, то г — невычет степени к. Так как г не может быть сравнимо с нулем по модулю р, то и х не может быть сравнимо с 0 по модулю р. В качестве области значений х достаточно (но не необходимо) использовать множество ненулевых представителей.

Пусть г — вычет степени к по модулю р и при этом к\р — 1, т. е. (р—ХДк— целое. Существует ненулевое х, такое, что гл = г(шо6р). Возведем обе части сравнения в степень (р—ХДк. Тогда хР-1 = r^-^^^mod р). Так как x^O(modp), то по теореме Ферма хр~х = 1 (mod р). Поэтому 6р-хЧк = = l(modp). Таким образом, если г — вычет степени к по модулю р и к\р — 1, то Ер-^/к = 1 (mod р).

В частности, для нас представляет интерес случай, когда 10 есть вычет степени к по модулю р и к\р—1. Тогда Ю^-1)/^ = l(modp). Если К есть максимальное значение для тех к, которые удовлетворяют этому условию, то (р— ХДК есть минимальный показатель степени и также по определению длина периода числа р.

Пусть К—максимальное значение к, удовлетворяющих данному условию. Так как (р—ХМК—минимальный показатель, то любой другой показатель (р— Х),к с таким к, который удовлетворяет нашему условию, должен быть кратен числу (р— !)//(, как это было показано в предыдущей главе. То есть число ((р—1)/£)/((р—1) 1К)= К1к должно быть целым. Следовательно, наибольшее значение к, удовлетворяющее нашему условию, должно быть кратно всем другим удовлетворяющим этому условию числам к.

Отсюда следует, что наибольшее значение К есть наименьшее общее кратное всех значений, для которых условие сохраняет силу. Если бы оно не было наименьшим общим кратным, ю оно должно было бы иметь множитель, для которого условие не удовлетворялось бы.

Отсюда также следует, что для всякого такого к, что к\р—1, число 10 является вычетом степени к по модулю простого р тогда и только тогда, когда на к делится индекс периода числа р.

Ну а что же p-дополнение числа г, т. е. р — г? Имеем (—т^п =гп, когда п четно, так что р— г является вычетом степени к, когда г — вычет степени к и (р— X)jk четно. А так как (—г)п =—гп для нечетного п, то р— г есть невычет степени к» если (р— Х^[к нечетно.

Например, 63 = 216 = 8 (mod 13). Тогда 8 — вычет степени 3 по модулю 13. Далее, 5=13 — 8 =—8 (mod 13) и (13 — —1)/3 = 4, четное число. Следовательно, 5 также вычет степени 3 по модулю 13.

Утверждение, что г есть вычет степени к по модулю р, эквивалентно тому, что г сравнимо по модулю р с одним из остатков или вычетов, получаемых, когда последовательность ненулевых представителей возводится в к-ю степень по модулю р.

Можно показать, что количество различных представителей вычетов степени к по модулю р равно (р— 1)/(р— 1, к), т. е. частному от деления р — 1 на наибольший общий делитель чисел р — 1 и к.

В табл. 2-1 даны значения представителей для пк по модулю 13 при всех значениях к от 1 до 12. Горизонтальная линия в середине таблицы, между рядами 6 и 7, есть линия симметрии. Если к четно, то симметричное для г число относительно этой линии, показанное в его p-дополнительному ряду, есть также число г. Если к нечетно, то отражение числа г есть р — г, т. е. его р-дополнение.

Столбцы, для которых к взаимно просто ср— 1, содержат все ненулевые представители. Особый интерес представляют столбцы для к, на которое делится р— 1. Для них с увеличе-

нием к число различных вычетов уменьшается. Отсюда вероятность того, что любое данное число, например 10, встретится в столбце с большим номером, уменьшается. В столбцах, где к является делителем числа 12, десятка появляется в качестве вычета только для к = 1 и к = 2. Тогда 10 является вычетом степени 2 или квадратичным вычетом числа 13, индекс

Таблица 2-1

Вычеты степени к

г = пк (mod 13)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

4

8

3

6

12

11

9

5

10

7

1

3

3

9

1

3

9

1

3

9

1

3

9

1

4

4

3

12

9

10

1

4

3

12

9

10

1

5

5

12

8

1

5

12

8

1

5

12

8

1

6

6

10

8

9

2

12

7

3

5

4

11

1

7

7

10

5

9

11

12

6

3

8

4

2

1

8

8

12

5

1

8

12

5

1

8

12

5

1

9

9

3

1

9

3

1

9

3

1

9

3

1

10

10

9

12

3

4

1

10

9

12

3

4

1

11

11

4

5

3

7

12

2

9

8

10

6

1

12

12

1

12

1

12

1

12

1

12

1

12

1

12

6

4

3

12

2

12

3

4

6

12

1

^ = (р — D/(p — 1, *)

d — число различных вычетов по модулю 13 для каждого к.

периода простого 13 есть 2 и длина периода числа 13 есть 12/2 = 6.

О вычислении длины периода

Чтобы определить длину периода некоторого составного числа, меньшего 109, требуется определить длины периодов его простых делителей и затем подсчитать длину периода наибольшей степени каждого простого числа. Имеется таблица длин периодов для первых 105000 простых чисел [152]. Если р = 3, 487 или 56598313, то L(p”+2) =/?”£(/?). В остальных случаях L(pn^) = pnL(p). Далее, по мере необходимости применяем правило, что если К и М взаимно просты, то 1ДКМ) = [ЦК), ЦМП-

Длина периода в произвольной системе счисления

Пусть р — простое число и пусть b и с — любые два члена одного класса вычетов по модулю р. Тогда для любого т справедливо сравнение bm = ст (mod р). В частности, если L есть наименьшее значение для такого т, что bm = l(modp), то L есть также наименьшее значение такого т, что ст = l(modp). Поэтому длина периода простого числа р в системе счисления с основанием b такая же, как и в системе с любым основанием, сравнимым с b по модулю р.

Предположим, что р — простое число и р = b + с. Тогда 6 = —c(modp) и для любого m bm = (—c)m(modp). Если L нечетно и L — наименьшее значение такого т, что bm == = l(modp), то cL = —l(modp); a 2L — наименьшее значение такого т, что cm = l(modp). Таким образом, если длина периода простого числа р в системе с основанием b нечетна, то длина периода этого числа р в системе с основанием р — be 2 раза больше. Аналогично, если длина периода простого р при основании с равна 2m, где m нечетное число, то длина периода числа р при основании р — с равна т.

Воспользуемся последними утверждениями для примера. Поскольку длина периода числа 7 при основании 10 равна 6, делаем вывод, что длина периода числа 7 при основании 3 также равна 6, а длина периода числа 7 при основании 4 равна 3.

Так как длины периодов простого числа р при основаниях, сравнимых по модулю р, равны, нам потребуется только определить длины периодов при основаниях, соответствующих представителям р — 1 классов вычетов. Длинами периодов являются все делители числа р—1. В «Арифметических исследованиях» Гаусс [38] показал, что число представителей, которые имеют длину периода, равную d, равно qp(d). Так, например^ когда р = 19, имеем

d

Ф (d)

Основания, при которых число 19 имеет длину периода, равную числу d

1

1

1

2

1

18

3

2

7, 11

6

2

8, 12

9

6

4, 5, 6, 9, 16, 17

18

6

2, 3, 10, 13, 14, 15

Замечания и комментарии

Когда Афинодор собирался покинуть Цезаря, он сказал: «Помни, Цезарь, всякий раз, когда ты зол, ты ничего не говори и не делай прежде, чем повторишь про себя 24 буквы».

Плутарх [27]

Период длиной в 24 буквы мог бы помочь Цезарю отсрочить окончательный приговор. На протяжении всей истории повторяющиеся фразы точно определенной длины звучали как печать судьбы в молитвах, мыслях и различных играх со словесными трюками. Даже периодические десятичные дроби получили репутацию имеющих магические и божественные свойства.

Длина периода простого числа р при основании Ь, как известно из теории чисел, равна показателю, которому b принадлежит по модулю р [17]. Если b не оговорено, то длина периода числа р означает показатель, которому 10 принадлежит по модулю р.

Необходимо отличать «последнюю теорему Ферма» и теорему Ферма. Последняя теорема Ферма — сильная гипотеза, которая, как лакомый кусок, «возбуждает аппетит и обостряет вкус». Теорема Ферма — доказуемое утверждение, ссылка на которое уже достаточно существенный факт, чтобы стать «деликатесом за обеденным столом». В некоторых кругах знатоков она воспринимается как некое лакомство, как наиболее важная, основная теорема теории чисел. В обиходе же она, не без доли иронии, приобрела бесславное наименование «малой» теоремы Ферма.

В основу правила множителя положено алгебраическое разложение ап — Ьп = (а — &) (ап-х + ап-2Ь + ... + abn-2 + Ьп-Л^.

*> Перевод В Столяра.

9:8:7

Некоторые свойства чисел и числовых функций легко поддаются изучению, другие — труднее. Мы можем с одного взгляда выяснить, является ли число четным, делится ли оно на 5 или 10. Не так легко установить, разлагается ли число на множители, и если оно не делится на маленькое число, то трудности в определении простоты этого числа и затраченное на это время становятся функцией его величины. Чем больше число, тем труднее доказать, что оно простое (если это так), если оно не принадлежит к такому типу, который поддается изучению при использовании соответствующих теорем. Функция Эйлера легко подсчитывается, если заведомо известны простые делители ее аргумента. Длина периода L(p) простого числа р могла бы быть найдена простым делением уголком, путем подсчета количества цифр в десятичной записи частного до повторного появления остатка, равного единице. Для очень больших чисел такая методика на практике может оказаться затруднительной. К счастью, существуют и более короткие способы, основанные на применении соответствующих теорем и использовании известных данных.

Гипотезы

Гипотеза — это такое утверждение относительно множества объектов, которое заведомо верно для каждого элемента собственного подмножества этого множества Ч но неизвестно, справедливо ли оно для любого элемента множества. Если множество конечно, то вполне возможно определить либо вручную, либо при помощи некой автоматической процедуры обоснованность утверждения для любого элемента множества. Тогда исследуемое множество не является собственным подмножеством и утверждение называется теоремой. Если множество бесконечно, все еще, может быть, возможно определить истинность

Непустое подмножество множества А называется собственным, если оно не совпадает с А —Прим ред

утверждения относительно каждого его члена такими средствами, как математическая индукция, метод от противного или некоторыми другими общепризнанными методами доказательства, которые можно применять так же успешно и к конечным множествам. Во всяком случае, до тех пор, пока утверждение еще является гипотезой, говорят, что оно усиливается, если: 1) по истечении длительного времени никто не находит противоречия; 2) утверждение обосновано достаточно, чтобы иметь силу для дополнительных подмножеств по-прежнему без противоречия; 3) максимально исчерпаны все возможные средства найти противоречие. Все же, как бы ни была сильна гипотеза, это еще не теорема, пока существует хотя бы один случай, для которого она не была бы подтверждена.

Несмотря на такой недостаток, относительная сила гипотезы играет значительную роль. Сильные гипотезы, которые остаются длительное время гипотезами, становятся еще сильнее в течение периода времени, за который большинство примеров, подтверждающих их, исследованы и описаны. Это происходит потому, что гипотеза обладает привлекательностью проблемы, которую никто еще не разрешил, подобно планете, на которую еще не ступала нога человека. В то же время всякое усиление гипотезы для бесконечного множества подобно посадке на Луну на пути освоения космоса.

Тем не менее, чем сильнее становится гипотеза, тем большего уважения она заслуживает и внушает. Она может быть использована для доказательства других утверждений, которые следует считать гипотезами, пока они основаны на гипотезах Если все другие утверждения при их доказательстве имеют силу теорем, то они сами точно так же сильны, как и предшествующие им гипотезы. В философском смысле теоретически возможно, что некоторые сильные гипотезы никогда не будут ни опровергнуты, ни отнесены к разряду теорем.

Мы не затронули в предыдущем абзаце слово «число», так как это не являлось существенным. Однако в теории чисел существуют очень сильные гипотезы, и мы здесь коснемся некоторых из них.

«Последняя теорема Ферма»

Быть может, так называемая «последняя теорема Ферма», которая пока еще остается гипотезой, относится к указанной категории. Она утверждает, что уравнение хп + Уп = ^п не имеет решений в положительных целых числах для п > 2. Это замечательный пример того, как простая, хотя и безуспешная попытка доказать теорему породила огромную массу работ по

данной тематике, которые так подробно описаны Г. М< Эдвардсом [25]. Она также побудила многих людей, пытающихся решить эту загадку, глубже изучить теорию чисел. Порою кажется, что любой удобный метод из арсенала теории чисел, словно некая принадлежность из соседней кухни, был присвоен с целью выведать чужой секрет.

Гипотеза Артина

Существуют гипотезы, на разрешение которых можно рассчитывать, когда построены и проверены на практике соответствующие технические приемы. Четыре яркие проблемы не устояли перед такой атакой. Гипотезы о том, что RX9 и R23 простые, оставались таковыми целое столетие, пока они не были окончательно подтверждены соответствующими расчетами. Существование простых репьюнитов, превышающих Т?2ооо, пока является гипотезой, но было бы неудивительно, если бы по меньшей мере одно такое число было найдено за ближайшее десятилетие.

Гипотезой того же класса, что и последняя теорема Ферма (и так же может стать классической), является гипотеза Артина. Это название ассоциируется с таким положением: в каждой системе счисления с целым основанием, отличным от —1 или от полного квадрата, существует бесконечное число простых, которые имеют индекс периода, равный 1. Эта гипотеза не доказана ни для какого основания.

Мы касались здесь главным образом десятичной системы счисления, т. е. частного случая, о котором Гаусс сделал такое же предположение более чем за 125 лет до того, как появилась гипотеза Артина. Подобно последней теореме Ферма, эта гипотеза, долгое время близкая к разрешению, элементарна в изложении и продолжает накапливать доверие посредством дополнительно получаемых данных; кажется весьма неправдоподобным, что она когда-нибудь будет опровергнута, и всегда кажется, что она вот-вот будет разрешена.

Если индекс периода простого числа р есть 1, то L(p) = = (р— 1)/1 =р— 1. Поскольку р— 1 есть максимально возможная величина длины периода любого простого р, то простое число с такой длиной периода мы будем в дальнейшем называть полнопериодным простым — это название мы будем использовать часто.

Вообще говорят, что b — первообразный корень по модулю р или первообразный корень простого числа р, если р является полнопериодным простым числом в системе счисления с основанием Ь.

Другая часть гипотезы Артина гласит, что приблизительна 0,373956 всех простых чисел — полнопериодные. Обычно, когда не требуется большей точности, используется дробь 3/8 (отклонение — в пределах 0,3 %) .

Рассматривая табл. 2-1, замечаем, что строки, в которых 1 появляется один раз (когда к= 12), соответствуют п = 2, 6, 7 и И. Тогда, так как n12 = 1 (mod 13) и все меньшие степени п не сравнимы с 1 по модулю 13, мы говорим, что 2, 6, 7 и И — первообразные корни числа 13. Мы также замечаем, что только в указанных строках каждая из 12 степеней, от п1 до п12, сравнима с отличными от других представителями.

Вообще, каждый представитель сравним с какой-либо степенью числа п тогда и только тогда, когда п есть первообразный корень числа р.

Квадратичные вычеты

Если 10 есть вычет второй степени (квадратичный) или более высокой, k-й степени по модулю р и к\р— 1, то индекс периода числа р есть 2 или более, откуда р — неполнопериод- ное простое. Мы покажем, что половина всех простых имеет 10 в качестве квадратичного вычета и что эти простые легко выявить. Для этого мы применим подход Бейлера к проблеме.

Мы уже видели, что если г есть квадратичный вычет числа р, то r^-D/2 = l(modp). Когда г — квадратичный невычет, это сравнение не имеет силы, так как по теореме Лагранжа сравнению х(р~1)/2 = 1 (mod р) удовлетворяет не более (р—1) /2 классов вычетов по модулю р, а именно x=l2(modp), . .. .х = Цр—1)/2)2 (mod р). Однако теорема Ферма несомненно действует, так что rp-t = 1 (mod р). Так как р—1 четно, то г^-1^2 — целое число независимо от того, является г квадратичным вычетом или невычетом. Представляя гр-1—1 в виде (r^-D/2-|- 1)(г(р-о/2—1), мы видим, что г^”1^2 сравнимо с 1 или —1 по модулю р. Когда г есть квадратичный невычет, правая часть сравнения не может быть единицей по модулю р, поэтому она должна быть (—1) по модулю р.

Этот результат, удачно обозначаемый символом (”) » называется символом Лежандра, его значение соответствует сравнению по модулю р числа г^-1^2. Он равен +1, если г — квадратичный вычет числа р, и —1, если г — квадратичный невычет. Например, когда р = 11 и г = 2, то 2(11-1)/2 = 25 = —1 (mod 11), поэтому 2 — квадратичный невычет числа 11 и ( ТГ) = — 1 •

Когда г = 3, З5 = 243 = + 1 (mod 11). Поэтому 3 —• квадратичный вычет числа 11 и (-^) = + 1 •

Символы Лежандра можно перемножать: ^--^ ("7") = (-у) . Поэтому произведение двух вычетов или двух невычетов есть вычет по тому же модулю, произведение вычета на невычет есть невычет ^

Определение символа Лежандра для составного числа п обычно связано с рассмотрением символов Лежандра делителей числа п. Пусть р и q— нечетные простые числа (р =А q); применим к ним квадратичный закон взаимности. Он утверждает, что ^^ = ^^, кроме случая, когда р и q сравнимы с 3 по модулю 4. Так, например, чтобы выяснить, является ли 3 квадратичным вычетом по модулю 13, воспользуемся квадратичным законом взаимности, согласно которому = (^") • Но равенство (^*) = 1 предполагает, что существует х, такое, что х2 = 13(mod 3) = 1 (mod 3). Таким образом, (-^)равно (у). Далее, так как 1 является квадратичным вычетом по модулю любого простого числа, то (^) = + 1 и 3—квадратичный вычет числа 13.

Можно показать, что 2 есть квадратичный вычет всех простых, сравнимых с ±1 по модулю 8 и, еще проще, что квадратичные вычеты по модулю 5 определяются представителями 1 и 4. По квадратичному закону взаимности ^^ ~ (у) . Тогда простое р должно быть сравнимо с ±1 по модулю 5, если 5 — квадратичный вычет числа р. Число 10 есть квадратичный вычет числа р, если 2 и 5 — квадратичные вычеты. Пересечение классов вычетов, сравнимых с ±1 по модулю 8 и с ±1 по модулю 5, находится описанным ранее способом и представляет собой классы вычетов, сравнимых с 1, 9, 31 и 39 по модулю 40. 10 есть также квадратичный вычет, тогда как и 2, и 5 — оба квадратичные невычеты. Так как простые, большие двух, нечетны, а 2 — квадратичный вычет только для простых, сравнимых с ±1 по модулю 8, то простые, для которых 2 — квадратичный невычет,— это те, которые сравнимы с +3 по модулю 8. Те простые, для которых 5 является квадратичным невычетом, сравнимы с +3 по модулю 5. Пересечением этих классов

о Имеются в виду квадратичные вычеты и невычеты по модулю р. — Прим. ред.

являются классы вычетов, сравнимых с 3, 13, 27 и 37 по модулю 40.

Все простые числа оканчиваются на цифры 1, 3, 7 или 9. Таким образом, имеются 16 классов вычетов по модулю 40, в которых расположены эти простые. Можно показать, что множество простых среди этих классов вычетов распределено равномерно. Только что мы показали, что 10 является квадратичным вычетом точно для восьми из этих классов. Таким образом, 10 является квадратичным вычетом половины простых и квадратичным невычетом для другой половины.

Связь между индексом периода и длиной периода

В предыдущей главе было показано, что индекс периода простого числа р есть наименьшее общее кратное таких величин к, для которых 10 есть вычет степени к по модулю р и к\р— 1. Тогда если 10 — квадратичный вычет по модулю р, то индекс периода числа р — четное число, кратное двум. Предположим, что это число 2ц, так что длина периода числа р есть (р— 1)/2ц. Если р также сравнимо с 3 по модулю 4 (в то же время р = 3, 27, 31 или 39(mod40)), то (р— 1)/2 должно быть нечетно и длина периода каждого из таких простых нечетна.

Для удобства дальнейшего изложения разобьем целые числа, взаимно простые с 40, на 3 множества. Множество чисел, которые мы только что описали и в котором простые всегда имеют четные индексы периода и нечетные длины периодов, 1. е. множество целых чисел, сравнимых с 3, 27, 31 или 39 по модулю 40, будем называть множеством А.

Пусть р — 1 = 2^, где р и q — нечетные простые и р из множества А. Так как L(p) |2^ и L(p) нечетно, то L(p) должно быть равно 1 или q. Единственное простое, длина периода которого равна 1, это 3. Для всех других простых, для которых подходят эти условия, L(p) = q. Это один из путей сокращения времени вычисления длины периода. Например, 943043 и 471521 — оба простые. Первое сравнимо с 3 по модулю 40 и поэтому принадлежит множеству А. Оно также на 1 больше удвоенного второго числа. Тогда L (943043) = 471521.

Не для всех простых из множества А срабатывает этот способ. Простые, сравнимые с 31 по модулю 40, не могут быть на 1 больше удвоенного простого. Четыре других класса вычетов по модулю 40, в которых, как было показано, простые имеют четные индексы периода, составят множество В. Это числа, сравнимые с 1, 9, 13 или 37 по модулю 40. Они также сравнимы с 1 по модулю 4, так что р — 1 здесь кратно 4. Хотя р—1 и (р—lyt^p)—четны, L(p) может быть четным или нечетным.

Оставшиеся восемь классов вычетов, сравнимых с ±7, ±11, ±17 или ±19 по модулю 40, назовем множеством С. Так как 10 — квадратичный невычет для простых из С, то Ю(р-1)/2 ^ 1 (mod р) и индекс периода любого такого простого не может быть кратен 2. Тогда индекс периода нечетен. Длина периода L(p) должна быть четна, поскольку она есть результат деления четного числа р — 1 на нечетный индекс периода.

Можно сделать уже некоторые непосредственные выводы. Все полнопериодные простые должны принадлежать С, поскольку их индексы периода нечетные. Если р — 1 = 2^, где р и q— простые, р^= И и р из С, то р должно быть полнопе- риодным. Это следует из того, что L(p)|2^ и Цр)—четно. L(p) должно быть в этом случае равно 2 или 2q. Простое число И — единственное, которое делит 7?2 = И, поэтому L(ll)=2. Любое другое простое число в С, которое удовлетворяет этим требованиям, должно иметь длину периода, равную 2q. Такое простое число должно быть сравнимо с 7, 19 или 23 по модулю 40. Если бы это было другое простое число в этом множестве, то оно не могло бы быть на единицу больше, чем удвоенное простое число.

Гипотеза Кришнамурти

Индийский ученый Е. В. Кришнамурти обнаружил, что среди 1226 простых чисел, больших 5 и меньших 10000, отношение числа простых с четной длиной периода к числу простых с нечетной длиной периода равно 2,01 к 1. В статье, опубликованной в 1969 г. [63], он поместил сравнительную таблицу распределений и отношений, разбитых на 10 интервалов. С единственным исключением, вероятно, потому, что выбранный интервал был относительно невелик, примерное отношение 2 : 1 оказалось устойчивым. Кришнамурти сообщает, что его попытки объяснить этот результат оказались безуспешными и он надеется, что этот его труд послужит стимулом для дальнейших поисков.

Это отличный пример того, как возникает важная гипотеза. Исследователь был поражен такой устойчивостью результата, основанного на случайных данных. Если станут доступными дополнительные данные, то независимо от того, будет сохраняться отношение или нет, что-то ценное со временем будет обнаружено.

Усиливаясь, эта гипотеза, безотносительно близости ее к доказательству, требует использования более широкой базы данных. Список длин периодов простых до 30000 был составлен почти столетием раньше У. Шенксом и напечатан в трудах

3 Самюэль Ейтс

Лондонского Королевского общества [107]. В нем было много ошибок, но это был крупный шаг за пределы существующих таблиц. Со временем все ошибки были найдены и исправлены математиками, опубликовавшими свои результаты в различных изданиях в течение последующих десятилетий.

К моменту появления статьи Кришнамурти С. Ейтс подсчитал и составил таблицу длин периодов 16600 простых до 183 000. В статье «Четные и нечетные длины периодов», опубликованной в 1971 г. [140], он подтвердил это соотношение 2 : 1 для более широких пределов и для большего числа интервалов. Он также указал, что если такое предположение справедливо, то отношение числа полнопериодных простых к числу других простых чисел с четной длиной периода должно быть 9 : 7.

Очень скоро в том же журнале Д. Шенке [105] поместил доказательство того, что отношение числа четных периодов к числу нечетных действительно равно 2 : 1. Он показал, что среди простых чисел из множества В половина простых, сравнимых с 13 или 37 по модулю 40, и шестая часть простых, сравнимых с 1 или 9 по модулю 40, имеют нечетную длину периода.

Предположим, что мы имеем 96 простых чисел, которые имеют свойства, точно согласующиеся с приведенными отношениями. Каждый из 16 классов вычетов по модулю 40 содержит 6 простых. Все 24 простых в множестве А имеют нечетные длины периодов. В множестве В половина из 12 простых чисел (т. е. 6), сравнимых с 13 и 37 по модулю 40, имеет нечетную длину периода и 6 других имеют четную длину периода. Из 12 других простых чисел в множестве В, которые сравнимы с 1 и 9 по модулю 40, 2 имеют нечетную длину периода и 10 — четную. Оставшиеся 48 простых принадлежат множеству С, и поэтому они все имеют четную длину периода. Итак, в целом 64 простых имеют четную длину периода и 32 — нечетную, что дает соотношение 2:1.

9:8:7

Чтобы получить интересующее нас соотношение, объединим гипотезу Кришнамурти, которая теперь имеет силу теоремы, с гипотезой Артина, которая сильна уже сама по себе и подтверждается с увеличением данных. Используем те же гипотетические 96 простых чисел предыдущего примера и число 3/8 как хорошо приближенную постоянную Артина. Три восьмых всех простых имеют полный период. Каждое из них должно быть в множестве С, поскольку его индекс периода равен 1, т. е. нечетному числу; 3/8 от 96 есть 36 (заметим, между про-

Номера страниц [152] (интервалы)

а

Общее число простых чисел

b

Число полнопе- риодных простых чисел

С

Число простых с нечетной длиной периода

d

Число не- полнопериод- ных простых чисел с четной длиной период

е

Число простых чисел с четной длиной а периода

отношения

b : а

е : с

b : с : d

25

5000

1902

1666

1432

3334

0.38040

2.0012

9.1333:8:6.8764

50

10000

3755

3334

2911

6666

0.37550

1.9994

9.0102:8:6.9850

75

15000

5605

4989

4406

10011

0.37367

2.0066

8.9878:8:7.0651

100

20000

7433

6700

5807

13300

0.37465

1.9851

8.9469:8:6.9337

125

25000

9361

8307

7332

16693

0.37444

2.0095

9.0150:8:7.0610

150

30000

11240

10004

8756

19996

0.37467

1.9988

8.9884:8:7.0020

175

35000

13140

11626

10234

23374

0.37543

2.0105

9.0418:8.7.0421

200

40000

14971

13312

11717

26688

0.37428

2.0048

8.9970:8:7.0415

225

45000

16884

15005

13111

29995

0.37520

1.9990

9.0018:8:6.9902

250

50000

18781

16659

14560

33341

0.37562

2.0014

9.0190:8:6.9920

275

55000

20645

18329

16026

36671

0.37536

2.0007

9.0109:8:6.9948

300

60000

22482

20031

17487

39969

0.37470

1.9954

8.9789:8:6.9840

325

65000

24410

21692

18898

43308

0.37554

1.9965

9.0024:8:6.9696

350

70000

26291

23333

20376

46667

0.37559

2.0000

9.0142:8:6.9862

375

75000

28174

24999

21827

50001

0.37565

2.0001

9.0160:8:6.9849

400

80000

30086

26677

23237

53323

0.37608

1.9988

9.0223:8:6.9684

425

85000

31933

28366

24695

56634

0.37575

1.9965

9.0077:8:6.9647

450

90000

33806

30011

26183

59989

0.37562

1.9989

9.0116:8:6.9796

475

95000

35667

31666

27667

63334

0.37544

2.0001

9.0108:8:6.9897

500

100000

37524

33351

29125

66649

0.37524

1.9984

9.0010:8:6.9863

525

105000

39447

34386

30567

70014

0.37569

2.0012

9.0201:8:6.9895

Таблица 3-1 9:8:7

9:8:7

чим, высокую плотность полнопериодных простых чисел в множестве С; три четверти всех простых в множестве С имеют полный период). Эти полнопериодные простые имеют четную длину периода; остается 64 — 36 = 28 простых с четной длиной периода, но неполнопериодных.

Тогда соотношение между числами с полным периодом, простыми числами с нечетной длиной периода и простыми не- полнопериодными, но с четной длиной периода равно отношению 36 : 32 : 28, т. е. 9 : 8 : 7.

Ясно, что если дроби 3/8 придать большую точность, т. е. 0,373956, первое из трех чисел будет немного меньше 9, а последнее будет немного больше 7, при этом в целях сравнения среднее число не меняется. Тем не менее мы сохраняем соотношение 9:8:7, чтобы остаться в рамках двух опорных чисел, обеспечивающих наиболее подходящее приближение.

Таблица 3-1 показывает, как удивительно близки эти соотношения к действительной пропорции, определенной подсчетом среди первых 105000 простых до 1 370 471 включительно, для которых подсчитана длина периода. Эти простые и длины их периодов помещены в сборнике «Длины периодов простых» [152]. Первый столбец дает страницы этого сборника. На каждой из 525 страниц помещены 200 простых и длины их периодов.

Замечания и комментарии

Не покажется ли немного парадоксальным приписать огромную важность наблюдениям даже в той части математических наук, которая называется чистой математикой, поскольку обычное мнение таково, что наблюдения относятся преимущественно к физическим объектам, которые воздействуют на чувства. Так как мы должны отнести числа к чисто интеллектуальной области, мы с трудом можем понять, какие наблюдения и псевдоэксперименты могут быть полезными в изучении природы чисел. Тем не менее... известные сегодня свойства чисел главным образом обнаружены методом наблюде-

ния и обнаружены задолго до того, как их истинность была подтверждена строгим доказательством.

Л. Эйлер [26] !)

Многие теоремы в теории чисел были первоначально открыты индуктивно с помощью практических вычислений, и только впоследствии доказаны строго математически... Мы не должны забывать, однако, что результаты, полученные индуктивно, даже если они основаны на большом количестве экспериментов, не могут еще считаться твердо установленными. В теории чисел их законность гораздо слабее, чем в экспериментальных науках.

А. А. Френкель [29]

Важность гипотез, основанных на надежных наблюдениях числовых данных, высоко ценилась Эйлером и другими, внесшими значительный вклад в науку. И хотя большая часть из того, что мы открываем для себя, вероятно, уже была обдумана, систематизирована и описана предшественниками, все же интеллектуальное переживание собственного открытия заметно повышает расположение духа. Если утверждение не было заранее подобающим образом представлено на обсуждение, то уже попытка отдать должное его представлению через укрепление и усиление гипотез есть вознаграждение само по себе.

Д. С. Мадахи, редактор «Журнала занимательной математики, сыграл достойную одобрения роль в деле улучшения доказательства гипотезы Кришнамурти. Он стал тем катализатором, который как бы обслуживал реагенты химической реакции координацией и информацией.

В августе 1981 г. в «Журнале теории чисел» Р. У. К. Одони охарактеризовал доказательство Д. Шенкса как «эвристический аргумент, который по меньшей мере внушает доверие к гипотезе Кришнамурти», и затем он дал «строгое доказательство гипотезы в более общей форме».

В последних главах мы извлечем пользу из постоянной Артина и ее приближенного значения. Каждое упоминание о ней предполагает безусловное понимание, что это сильная гипотеза.

ЦИФРЫ ПЕРИОДА

Часто приходилось замечать, что при первом знакомстве с десятичным представлением дробей особый интерес вызывает структура периода, а не свойства его длины. Возможно, вызовет удивление тот факт, что важные результаты теории чисел в области периодов были получены лишь совсем недавно. Некоторые удивительные свойства цифр периода мы сейчас рассмотрим.

К. Гаусс при разработке арифметики сравнений составил таблицу десятичных периодов для всех простых знаменателей и степеней простых, меньших 1000 (180 знаменателей) [39]. С помощью этой таблицы он доказал теорему Ферма.

Ряд математиков, из работ которых наибольшего внимания заслуживает работа Е. Майди [78], исследуя подобные таблицы, обратили внимание на то, что сумма отдельных частей многих периодов может быть записана в виде строки из девяток (репдиджита из девяток). Так, например, сумма чисал из первых п цифр и вторых п цифр периода с длиной 2п составляет 10п—1. Доказательство этого свойства весьма просто и уже давно известно, но в ряду различных гипотез и наблюдений на эту тему, встречающихся в последние два столетия, не было более исчерпывающего доказательства, чем то, которое опубликовал М. Шредер-Фрэчет в «Математическом журнале» в 1978 г. [110]. Многое из нашего дальнейшего изложения, относящееся к таким же суммам частей периода, основано на его прекрасных исследованиях.

Метод быстрого превращения десятичной дроби в обыкновенную в частном случае

Выше было показано, что периодическое десятичное представление дроби с длиной периода 2п может быть преобразовано в обыкновенную дробь с помощью деления периода на число 102п—1. Более быстрый способ превращения возможен,

когда сумма чисел, составляющих левую и правую половину периода, по п цифр в каждой, равна 10"— 1. В этом случае достаточно производить вычисления с числом в половину длины. Та же самая дробь получится, если увеличенное на 1 число из первых п цифр периода разделить на 10" + 1. Например^ 0,(142857) удовлетворяет этому случаю, поскольку 142 + 857 = = 999. Тогда 0,(142857)= 143/1001 = 1/7. Прежний метод дает 142857/999999 = 1/7.

Покажем, что оба метода дают один и тот же результат. Пусть а есть число из первых п цифр периода. Тогда последние п цифр есть 10"—1 — а и период равен а-10" +(10"—1 — — а) = 10" (а + 1) — (а +1) = (10" — 1) (а + 1). При делении такого периода на число из 2п девяток 102"—1 мы получим выражение (а + 1)/(10" + 1), представляющее собой формулу для более короткого метода.

В любом из этих методов полезно знать или уметь находить множители числа R^n, чтобы получить возможность сократить дробь на какой-нибудь из них 1).

Комплементарность порядка п, г

Посмотрим, что произойдет с суммами частей периодов некоторых дробей, когда разбиение производится на г блоков по п цифр, где п делит длину периода. Возьмем, например, дробь 1/13 = 0,(076923). Беря 2 блока по 3 цифры, мы получаем 076 + 923 = 999. Для 3 блоков из 2 цифр имеем 07 + 69 + + 23 = 99. С 6 блоками по 1 цифре получаем 0 + 7 + 6 + + 9 + 2 + 3 = 27. В отличие от длины блока эта сумма имеет две цифры. Чтобы сумма стала той же длины, что и суммируемые блоки, сложим правую цифру с левой и получим 7 + 2 = = 9. Вообще, всегда, когда в сумме больше цифр, чем количество цифр в каждом из блоков, крайняя справа группа из п цифр прибавляется к оставшейся слева группе. Когда в результате такого сложения г блоков из п цифр мы получим репдид- жит из девяток, говорят, что дробь является комплементарной порядка п, г. Мы говорим, что 1/13 — комплементарная дробь порядка 3, 2, поскольку достаточно сложить 2 трехзначных блока, чтобы получить репдиджит из 3 девяток. Мы также уже показали, что 1/13 — комплементарная дробь порядка 2, 3 и 1, 6.

и Сократить дробь можно также с помощью алгоритма Евклида или с помощью разложения в конечную цепную дробь (см. [17]). — Прим, ред.

Шредер-Фрэчет показал, что все рациональные числа независимо от длины периода обладают свойством комплементар- ности для любой длины блока цифр периода при условии, что взято достаточное количество цифр расширенного периода. Причем необязательно, чтобы количество цифр в блоке являлось делителем длины периода или просто было меньше нее. В наших рассуждениях мы используем только часть рациональных чисел: правильные дроби.

При этом мы используем тот факт, что если Р — период, то справедлива бесконечная цепочка равенств для расширенных периодов О, (Р) = О, (РР) = О, (РРР) = ... .

В качестве примера для случая л^/Др) вновь рассмотрим дробь 0, (076923); для п = 4 и п = 5 имеем:

0769

И

07692

99997

2307

30769

2

6923

23076

—

—

92307

99999

9999

69230

76923

299997

Когда длина блока п равна 4, количество блоков г равно 3, а расширенный период 076923076923 включает 2 периода. Когда п = 5, г=6 и расширенный период содержит 5 периодов.

(Если Р — период, он является первым членом в геометрической прогрессии, такой, как 0,(Р) = 0, (РР) = 0, (РРР) и т. д.). Общее число пг использованных разрядов должно быть кратно длине периода.

Если г — минимальное число блоков, требуемое для достижения комплементарности, то последняя также достигается с помощью любого кратного г числа блоков. Например, для 0,(076923) и п = 4 мы можем взять 6 блоков вместо 3: 0769 + 2307 + 6923 + 0769 + 2307 + 6923 = 19998; 9998 + 1 = = 9999.

Другими словами, если дробь комплементарна порядка п, г, то она также комплементарна порядка n, R для любого R, кратного г.

До сих пор в примерах мы использовали дроби, знаменатели которых — простые числа с четной длиной периода; но могут быть и другие знаменатели. Например, 1/41 = 0,(02439) и £(41)=5.

Для п = 1

2

3

4

0

02

024

0243

2

43

390

9024

4

90

243

3902

3

24

902

4390

9

39

439

2439

18

198

1998

19998

8

98

998

9998

1

1

1

1

9

99

999

9999

В каждом из приведенных четырех случаев минимальное число блоков равно 5.

Замечание. Слова «комплементарность» и «комплементарная» порядка п, г были использованы в этом разделе не случайно. Не следует путать их со словом «дополнение», которое часто используется в этой книге. Напомним определение, данное ранее: число b является с-дополнением числа а, если а + b = с.

Майди-свойство

Говорят, что число М имеет Майди-свойство, если L(M)— четное число и если сумма двух половин периода несократимой дроби со знаменателем М есть репдиджит, состоящий из девяток. Каждое простое с четной длиной периода имеет Майди- свойство, однако составные числа с четной длиной периода не всегда им обладают. Тем не менее, даже если М не имеет Май- ди-свойства, можно показать, что дробь а]М комплементарна некоторого порядка п, г для любого п. Например, 1/21 = = 0(047619) Равенство 047 + 619 = 666 показывает, что число 21 не имеет Майди-свойства. Для г = 6 желаемый репдиджит получается так:

047 + 619 + 047 + 619 + 047 + 619 = 1998; 998 + 1 = 999.

Правила нахождения минимального числа блоков

Пусть М — знаменатель рациональной несократимой дроби^ тогда для любого натурального п в расширенном периоде ее десятичного представления найдется минимальное количество та-

ких блоков длины п, что сумма чисел в этих блоках может быть записана строкой из п девяток. При этом, если конечная сумма имеет больше п цифр, то к крайнему справа блоку из п цифр необходимо прибавить оставшуюся с левого края группу цифр. Минимальное число г блоков есть функция от М и от длины блока п и поэтому обозначается г(Л4, ц).

Существо результатов анализа Шредера-Фрэчета можно выразить следующим рядом правил для нахождения г(Л1, п).

г (2^, п) = 1.

Если р — простое, отличное от 2 и 5, и

L (р) \п, то г (ра, п) = ра;

L (р) ^ п, то г (ра, ri) = [L (ра), n\jn.

Если (К, Л1)= 1, то г (КМ, n) = [r(Kt ri), r(M, n)Y

Если требуется исключить степени чисел 2 и 5, то применяют правила 1 и 3. Для всех других простых применяют правила 2 и 3.

Таблица значений г(М, п)

В табл. 4-1 приведены минимальные значения количества блоков длиной от 1 до 6 цифр для каждого из чисел М, меньших 200, кроме случаев, когда М делится на 2 или 5. Степени чисел 2 и 5 в качестве множителей М просто добавляют неповторяющиеся цифры в десятичное представление после десятичной запятой. Эти цифры можно не учитывать, поэтому г (2a5bM, п) = г (М, п).

Применение комплементарности

Принцип комплементарности можно применить для быстрой проверки делимости на простое число, можно воспользоваться им и для проведения математических фокусов в дружеском кругу. Например, одного из присутствующих Вы просите записать целое число из некоторого числа цифр; к этому числу справа или слева Вы приписываете число из такого же количества цифр. Затем Вы заявляете, что полученное в конечном итоге число делится нацело на такое-то простое. Если первоначальное число имеет п цифр, Вы приписываете его дополнение до репдиджита из п девяток.

Пусть, к примеру, первоначальное число равно 123. Вы дописываете 876, образуя число 123876, делящееся на 37 — заранее подготовленное простое. Это шестизначное число, имеющее Майди-свойство, и поэтому оно кратно любому простому, длина периода которого равна 3.

Таблица 4-1

Значения г (М, п)

г(М,п)

п

м

Простые .множимый, числа М

ЦМ)

1

2

3

4

5

6

1

1

1

1

1

1

1

3

3

1

3

3

3

3

3

3

7

7

6

6

3

2

3

6

7

9

З2

1

9

9

9

9

9

9

11

11

2

2

11

2

11

2

11

13

13

6

6

3

2

3

6

13

17

17

16

16

8

16

4

16

8

19

19

18

18

9

6

9

18

3

21

3 7

6

6

3

6

3

б

21

23

23

22

22

11

22

11

11

27

З3

3

27

27

27

27

' "7

29

29

28

28

14

23

?

28

’31

31

15

15

15

5

15

3

5

33

3*11

2

6

33

6

33

6

3'1

37

37

3

з

3

37

3

3

39

3*13

6

6

3

6

3

6

39

41

41

5

5

5

5

5

41

5

43

43

21

21

21

7

21

21

7

47

47

46

46

23

46

23

46

^

49

72

42

42

21

14

21

42

49

51

3*17

16

48

24

48

12

48

53

53

13

13

13

13

13

13

13

57

3*19

18

18

9

6

9

13

3

59

59

58

с8

29

58

29

58

61

61

60

60

30

20

15

12

10

63

32,7

6

13

9

18

9

18

63

67

67

33

33

33

И

33

33

И

69

3*23

22

би

33

66

33

66

33

71

71

35

35

35

35

35

7

35

73

73

8

8

4

8

2

8

4

77

7*11

6

6

33

2

33

6

77

79

79

13

13

13

13

13

13

13

81

З4

9

81

81

81

81

81

81

83

83

41

41

41

41

41

41

41

87

3*29

28

84

42

84

21

84

42

89

89

44

44

22

44

11

44

22

91

7*13

6

6

3

2

3

6

91

93

3*31

1*5

15

15

15

15

3

В

г(М,п)

Продолжение таблицы 4-1

Простые

12

3

4

5

6

М

^числаТ^14

L(M)

97

97

96

96

48

32

24

96

16

99

ЗМ1

2

18

99

18

99

18

99

101

101

4

4

2

4

101

4

2

103

юз

34

34

17

34

17

34

17

107

107

53

53

53

53

53

53

53

109

109

108

108

54

36

27

108

18

111

3*37

3

3

3

111

3

3

111

113

из

112

112

56

112

28

112

56

117

ЗМЗ

6

18

9

18

9

18

117

119

7*17

48

48

24

16

12

48

56

121

и2

22

22

121

22

121

22

121

123

3*41

5

15

15

15

15

123

15

127

127

42

42

21

14

21

42

7

129

3*43

21

21

21

21

21

21

21

131

131

130

130

65

130

65

26

65

133

7*19

18

18

9

6

9

18

21

137

137

8

8

4

8

2

8

4

139

139

46

46

23

46

23

46

23

141

3*47

46

138

69

138

69

138

69

143

11.13

6

6

33

2

33

6

143

147

3<2

42

42

21

42

21

42

147

149

149

148

148

74

148

37

148

74

151

151

75

75

75

25

75

15

25

153

ЗМ7

16

144

72

144

56

144

72

157

157

78

78

39

26

39

78

13

159

3-53

13

39

39

39

39

39

39

161

7.23

66

66

33

22

33

66

77

163

163

81

81

81

27

81

81

27

167

167

166

166

83

166

83

166

83

169

132

78

78

39

26

39

78

169

171

ЗМ9

18

18

9

18

9

18

9

173

173

43

43

43

43

43

43

43

177

3*59

58

174

87

174

87

174

87

179

179

178

178

89

178

89

178

89

181

181

180

180

90

60

45

36

30

183

3*61

60

60

30

60

15

12

30

187

1Ы7

16

16

88

16

44

16

88

189

33*7

6

54

27

54

54

IS''

191

191

95

95

95

95

95

19

55

193

193

192

192

96

64

48

192

32

197

197

98

98

49

98

49

98

49

199

199

99

99

99

33

99

99

33

Любая круговая' перестановка числа из п цифр с Майди- свойством есть также число с Майди-свойством и делится, на любое простое, имеющее длину периода тг/2. (Более общее утверждение о делимости круговых перестановок доказывается далее.) Продолжая фокус, Вы можете разделить на части приписываемые цифры, сохраняя порядок цикличности, и поместить одну часть справа, а другую слева от данного числа. Например, Вы говорите: «Напишите любое число из 5 или меньше цифр, а я сразу напишу по меньшей мере 5 цифр с обеих сторон так, что результат будет делиться на 271». Предположим, что будет написано число 1234. Вы приписываете любую цифру справа или слева, а затем дописываете дополнение до репдиджита из девяток циклично вокруг этих пяти цифр. Окончательное число может быть, например, 6531234687, где 87653 — дополнение для 12346. Зрители могут убедиться, например, с помощью десятиразрядного калькулятора, что это число действительно делится нацело на число 271.

Вы можете усложнить свой фокус, утверждая, что построите число, делящееся на 271, любой заданной зрителем длины больше 10 цифр, если будет задано 5 или меньше цифр в его записи. Каждое кратное, состоящее из 10 цифр, может содержать 5 выбранных наугад цифр и 5 цифр дополнения до девяток. Это позволяет избежать очевидности. Если требуются три цифры, то можно приписать 271 или трехзначное, кратное числу 271. В случае меньшего числа цифр можно разместить нули между приписываемыми частями.

Предположим, например, что зритель говорит: «Напишите 25-значное число, которое делится на 271 и оканчивается числом 1234». Пользуясь описанным способом, можете без промедления записать справа налево: 7064129358054204876551234.

Все, что требуется знать для исполнения этого фокуса и многих его вариаций,— это длина периода простого числа. Запомнив простые числа, например 37, 101, 41, 271, 239, 73 и 137 и длины их периодов, которые находятся в пределах от 3 до 8, мы получаем более чем достаточный арсенал заготовок для фокусов.

Круговые перестановки

При делении «уголком» 1 на 7, как было показано выше, 6 остатков совпадают с представителями всех ненулевых классов вычетов по модулю 7. Тогда очевидно, что все 6 правильных дробей со знаменателем 7 должны иметь одну и ту же

последовательность из 6 цифр в качестве периода с точностью до ее начала в расширенном периоде. Например,

1/7 = 0, (142857) 3/7 = 0, (428571) 2/7 = 0, (285714) 6/7 = 0, (857142) 4/7 = 0, (571428) 5/7 = 0, (714285)

Числители этих дробей расположены в том порядке, в котором появляются остатки; остатки, которые оказываются в первой половине периода, точно расположены над остатками, появляющимися на полпериода позже. Так как 7 имеет Майди- свойство, сумма каждой пары в одной колонке равна 0,(999999)= 1, т. е., как это и должно быть, равна сумме соответствующих дробей.

Пусть Л — последовательность из п цифр. Запишем конкатенацию Л и Л (т. е. припишем Л к Л). Тогда число В, составленное из любых п последовательных цифр конкатенации, является круговой перестановкой последовательности цифр Л. Например, пусть Л = 714285. Тогда конкатенация Л и Л есть 714285714285, и в ней содержится 6 возможных круговых перестановок числа Л, соответствующих 6 приведенным выше периодам простого числа 7.

Обозначим отношение «В есть круговая перестановка числа А» так: В = кп(Л). Это отношение рефлексивно, так как Л = = кп(Л); симметрично, так как Л = кп(В), если В = кп(Л); транзитивно, так как когда Л=кп(В) и В = кп(С), то Л = = кп(С). Следовательно, это отношение является отношением эквивалентности.

Число 7 — простое. Индекс его периода i(7)= 1, а длина периода L(7)=6. Таким образом, 6 периодов простого числа 7 составляют блок или группу периодов, содержащую все круговые перестановки одного 6-значного периода.

Число 13 — простое, индекс его периода £(13)= 2, а длина периода L(13) =6. Среди 12 периодов, соответствующих 12 правильным дробям со знаменателем 13, имеются 2 различные группы 6-значных круговых перестановок. Запишем эти дроби:

1/13 = 0,(076923)12/13 = 0,(923076)1/13 = 0,(076923)12/13 = 0,(923076)2/13 = 0,(153846)11/13 = 0,(846153)2/13 = 0,(153846)11/13 = 0,(846153)10/13 = 0,(769230)3/13 = 0,(230769)7/13 = 0,(538461)6/13 = 0,(461538)10/13 = 0,(769230)3/13 = 0,(230769)7/13 = 0,(538461)6/13 = 0,(461538)9/13 = 0,(692307)4/13 = 0,(307692)9/13 = 0,(692307)4/13 = 0,(307692)5/13 = 0,(384615)8/13 = 0,(615384)5/13 = 0,(384615)8/13 = 0,(615384)

1/13 = 0,(076923)

12/13 = 0,(923076)

1/13 = 0,(076923)

12/13 = 0,(923076)

2/13 = 0,(153846)

11/13 = 0,(846153)

2/13 = 0,(153846)

11/13 = 0,(846153)

10/13 = 0,(769230)

3/13 = 0,(230769)

7/13 = 0,(538461)

6/13 = 0,(461538)

10/13 = 0,(769230)

3/13 = 0,(230769)

7/13 = 0,(538461)

6/13 = 0,(461538)

9/13 = 0,(692307)

4/13 = 0,(307692)

9/13 = 0,(692307)

4/13 = 0,(307692)

5/13 = 0,(384615)

8/13 = 0,(615384)

5/13 = 0,(384615)

8/13 = 0,(615384)

Как и в предыдущем примере, числители дробей здесь расположены в порядке, в котором появляются остатки; кроме того, остатки, которые имеются в первой половине периода.

точно расположены над остатками, появляющимися на полпериода позже. Так как 13 обладает Майди-свойством, сумма каждой пары в одной колонке равна 0,(999999)=!, как и сумма соответствующих дробей.

Посмотрим, какие периоды образуются от простых, длина периода которых нечетна, а затем сделаем некоторые обобщения.

Простое 41 имеет длину периода 5 и индекс периода г (41) = = 8. Поэтому распределим 40 правильных дробей со знаменателем 41 так, чтобы они соответствовали восьми различным группам периодов, каждая из которых содержит 5 круговых перестановок определенного 5-значного периода (для экономии места записываем только числители и периоды):

1

02439

10

24390

18

43902

16

39024

37

90243

40

97560

31

75609

23

56097

25

60975

4

09756

2

04878

20

48780

36

87804

32

78048

33

80487

39

95121

21

51219

5

12195

9

21951

8

19512

3

07317

30

73170

13

31707

7

17073

29

70731

38

92682

11

26829

28

68292

34

82926

12

29268

6

14634

19

46341

26

63414

14

34146

17

41463

35

85365

22

53658

15

36585

27

65853

24

58536

В каждой строке приведенного примера имеется полная группа. Числители дробей каждой группы расположены в порядке, в котором остатки появляются после того, как произвольный остаток принят за первоначальный. Группы расположены в 4 пары, сумма дробей в столбце каждой пары равна 1, а сумма их соответствующих периодов равна 99999.

Заметим, что в каждой группе сумма числителей оказывается кратной знаменателю. Назовем частное от деления этой суммы на знаменатель суммарной кратностью.

Суммарные кратности

Для простого знаменателя число остатков или числителей в группе равно длине периода этого простого числа. Пусть L — длина периода простого знаменателя р, не равного 2 или 5, в десятичной системе счисления. Каждое слагаемое суммы L — \

£ 10'=^ имеет по модулю р свой представитель (наимень- 1 = 0

ший неотрицательный вычет), равный одному из L различных остатков, получающихся при делении уголком 1 на р. Так как P\Rl, то сумма этих представителей также кратна числу р.

Когда на р делят любое положительное число а, меньшее р, каждый остаток соответствует умноженной на а (по модулю р) одной из степеней от 10° до 10L-1 включительно. Целое частное от деления суммы этих представителей на р есть суммарная кратность. При любом целом основании системы счисления свойства суммарных кратностей подобны тем, что мы рассматриваем здесь для десятичной системы.

Пусть а — остаток в группе, содержащей четное число остатков, тогда его p-дополнение, т. е. р — а, является остатком той же группы. Это происходит потому, что такое простое имеет Майди-свойство, так что образуются пары круговых перестановок периодов, суммы которых равны числу из девяток. Соответствующие пары дробей дополняют друг друга до 1, а их числители должны быть p-дополнениями. Отсюда сумма L(p) числителей в группе равна pL(p)/2, и, следовательно, суммарная кратность группы равна L(p)/2. Когда р— полнопе- риодное простое, такой вывод еще очевиднее, так как числа от 1 до р — 1 образуют простую арифметическую прогрессию и их сумма равна р(р—1)/2, так что суммарная кратность есть (р— 1)/2, где р— 1 =L(p). Так, суммарная кратность в группе для простого числа 7 равна (1 -|- 2 -j- 3 -|- 4 -|- 5 -|- 6)/7 = 3, а для каждой из двух групп простого числа 13 с той же длиной периода, что и для 7, суммарная кратность также равна 3.

Пусть а и b — остатки в группе, содержащей нечетное число остатков, тогда для нее имеется парная группа, которая содержит в качестве остатков р — а и р — Ь. Отсюда следует, что общая сумма остатков в такой паре групп равна pL(p), а сумма суммарных кратностей этих двух групп составляет L(p). Так как L(p) нечетно, а суммарные кратности — целые числа, то суммарные кратности парных групп не равны. Суммарная кратность одной группы является L (р) -дополнением для суммарной кратности парной ей группы.

В приведенном выше примере, где £(41) =5, сумма остатков в первой группе равна 1 + 10 + 18 + 16 + 37 = 82, так что ее суммарная кратность равна 82/41 =2. Суммарная кратность парной группы, которая приведена в следующей строке, должна быть равна 3 — это легко проверить. В каждой из 4 пар групп, образованных простым числом 41, суммарная кратность одной группы равна 2, а суммарная кратность парной ей группы равна 3.

Простое число 37 имеет период длины 3 и поэтому у него 12 групп. 6 из них имеют суммарные кратности, равные 1, а 6 соответствующих парных групп имеют суммарную кратность, равную 2. Простое число 53 имеет период длины 13. Две из 4 групп имеют суммарную кратность, равную 7, а две парные

им — суммарную кратность, равную 6. Такие данные привели некоторых исследователей к ошибочному обобщению, что 2м групп, образованных простым числом с нечетной длиной периода, разбиваются так, что п из них имеют суммарную кратность, на 1 большую, чем в соответствующих им парных группах. Таблица суммарных кратностей в приложении опровергает этот вывод.

Существует интересная последовательность больших простых, которые ярко демонстрируют указанную ошибку. Это последовательность известных сегодня простых репьюнитов, превышающих R^. R^, R^, R^u-^ Длина периода простого репьюнита есть число единиц, входящих в его запись.

Рассмотрим RXg. Длина его периода равна 19, и поэтому индекс периода равен (T?i9— 1)/19, так что это простое число имеет более чем 5-Ю16 групп, каждая со своим собственным комплектом из 19 круговых перестановок различных 19-значных чисел. Возьмем единичную группу простого, т. е. группу периодов, один из которых есть результат деления уголком единицы на это простое. В случае с при этом имеем 19 последовательно получающихся остатков: 1, 10, 102, ..., 1018. Их 19

сумма равна У 10t-1, что является лишь другой записью вы- i 1

ражения T?i9. Поэтому суммарная кратность, которая представляет собой отношение суммы остатков к простому знаменателю, равна 1. Суммарная кратность парной ей группы должна быть равна 19— 1 = 18.

Вообще, суммарная кратность единичной группы каждого простого репьюнита Rq равна 1, а суммарная кратность парной группы равна q— 1. Так, суммарная кратность единичной группы для Т?з17 равна 1, а для парной группы — 316. Однако мы нс можем предсказать заранее, кроме как в этом случае с простыми репьюнитами, относительные величины суммарных кратностей групп для простых с нечетной длиной периода. Они могут быть в пределах от 1 до L(p)— 1. Единичная группа обычно имеет меньшую суммарную кратность, нежели ее парная группа, но не всегда. Группы могут иметь суммарные кратности, близкие друг другу по значению или значительно различающиеся Более того, могут быть значительные расхождения в количестве групп, имеющих две различные суммарные кратности. Например, число 4649 имеет период длины 7, а индекс его периода равен 664. Оно имеет 262 пары групп с суммарными

° В 1985 г появилось сообщение, что простым является и 7?юз1 (см* [80]) — Прим перев

кратностями 3 и 4, 66 пар групп с суммарными кратностями 2 и 5 и 4 пары групп с суммарными кратностями 1 и 6.

Остатки в единичных группах

Одна из проблем, возникающих при изучении суммарных кратностей, заключается в попытке предсказать остаток в группе. Очевидно, что каждая степень десяти, меньшая простого, будет появляться в его единичной группе. Мы можем также показать и сделаем это в дальнейшем, что 2 не может быть элементом единичной группы для любого простого, сравнимого с +3 или + 13 по модулю 40.

Однако 2 всегда является остатком в единичной группе любого простого, сравнимого с + 1 или +9 по модулю 40 и имеющего индекс периода, равный 2, независимо от четности длины периода. Что касается вопроса существования других остатков как элементов единичных групп, то здесь изредка можно делать самые ограниченные обобщения.

Положение цифр в периоде

Так как каждая из круговых перестановок периода для пол- ьопериодного простого соответствует одной из р — 1 правильных дробей со знаменателем р, а величины этих дробей равномерно распределены между 0 и 1 с интервалом в 1/р, то можно предположить, что в записи периода содержится одинаковое количество каждой из десяти десятичных цифр. В частности, не будет ли одинаковым число нулей, единиц, двоек, троек и т. д. в периоде полнопериодного простого, где р—1 кратно 10?

Оказывается, что предположение это верно. Простое число 61 — наименьшее полнопериодное, оканчивающееся на цифру 1; в его периоде, цифры которого кажутся расположенными неупорядоченно, ровно 6 нулей, 6 единиц, 6 двоек и т. д.

Б. Рейнольдс и Д. Шиллер [104] уточнили наблюдения К. Старди, относящиеся к 1869 г. и состоящие в том, что если простое число р имеет вид 10g + г, где г равно 1, 3, 7 или 9 (последняя цифра числа р), то И—г цифр появляется в периоде q раз, а г—1 цифра появляется q + 1 раз, как показано в таблице:

г

Цифры, появляющиеся q разЦифры, появляющиеся q + 1 раз

1

3

7

9

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9Никакая

0,1,2,4,5,7,8,93,6

0,3,6,91,2,4,5,7,8

0,91,2,3,4,5,6,7,8

Согласно этой таблице, например, в периоде числа 19 должен быть только один нуль, одна девятка и по две каждой из других восьми цифр. Проверка периода десятичного представления дроби 1/19 = 0,(052631578947368421) подтверждает этот факт.

Эта таблица применима для всех простых чисел независимо от длины периода. Если простые числа неполнопериодные, таблица описывает р — 1 цифру в совокупности всех различных периодов, взятой как одно целое. В случае р = 73, например, имеется 9 различных групп периодов, каждая с 8 цифрами в периоде. Цифры 3 и 6 появляются по 8 раз, все другие — по 7 раз.

Другой пример: конкатенация восьми различных периодов от восьми групп простого числа 41, рассмотренных ранее, дает 0243997560048789512107317926821463485365, т. е. содержит точно по 4 раза каждую из десяти различных десятичных цифр.

Кратность периодов

Если период правильной дроби а/p, где р— простое число, увеличить в целое число раз, то произведение будет либо периодом правильной дроби с тем же знаменателем, либо числом, превышающим период некоторой дроби b/р, где 0 ^ b ^ р— 1, на какое-то кратное числа 10L(p)—1. Например, 1/41 = = 0,(02439). Произведение 9 X 02439 = 21951, что дает период дроби 9/41=0,(21951). Произведение 41 X 02439 равно 99999. Произведение 50 X 02439 равно 121950, что представляет сумму 99999 + 21951.

Вообще, пусть такое произведение содержит т цифр, где т > L(p). Тогда число из крайних слева т— L(p) цифр представляет собой целую часть получившейся смешанной десятичной дроби. Период этой смешанной дроби равен увеличенному на эту целую часть числу из крайних справа L(p) цифр. Например, 2/41 = 0,(04878). Произведение 102 X 04878 = 497556. Здесь т— L(p) = 1, и поэтому число 4 — целая часть, а сумма 97556 + 4 = 97560 — период смешанной дроби 4,(97560). Иначе 102- (2/41)= 204/41 = 4 + 40/41.

Использование таких действий с полнопериодными простыми заслуживает внимания с точки зрения занимательных курьезов. Поскольку в этом случае все правильные дроби имеют периоды, представляющие собой круговые перестановки друг друга, произведение целого числа на любой период есть либо число из L(p) девяток, либо круговая перестановка первоначального периода, либо круговая перестановка с отмеченной выше поправкой на крайнее слева число из т — L(p) цифр.

В некоторых своих работах Мартин Гарднер использует это свойство для магических фокусов и игр с угадыванием чисел +

При описании свойств чисел Капрекара их автор, Д. Р. Кап- рекар [57], также использует этот принцип. Число Капрекара К—это целое n-значное число, квадрат которого равен числу, для которого сумма числа из его крайних справа п цифр и числа из оставшихся крайних слева цифр равна К. Например, (142857)2 = 20408122449. Сумма 20408+ 122449 = 142857 является, очевидно, числом Капрекара. При рассмотрении числа 142857 Капрекар заметил, что квадрат любой из его круговых перестановок при указанном способе сложения дает в результате также круговую перестановку. Этот факт непосредственно следует из описанного выше принципа. Далее он отмечает, что все числа Капрекара обладают этим интересным круговым свойством, независимо от того, являются они периодами дробей с полнопериодным простым знаменателем или нет.

Задачи Крайчика о периодах

В занимательной литературе часто можно встретить утверждение, что число 142857 — единственное, для которого каждая его круговая перестановка кратна ему. Для каждого простого, большего семи, в периоде его обратной величины вначале появляются нули (один или более), которые остаются значащими в любой круговой перестановке. Без этих нулей число в периоде не обладает свойством кратности его круговых перестановок, что и свидетельствует об уникальности числа 142857. Период каждой правильной дроби, знаменатель которой — полно- периодное простое, является круговой перестановкой и кратен наименьшему из этих периодов.

Приведем некоторые задачи, основанные на этой идее. Они изложены в книге М. Крайчика «Математические развлечения» [62].

Число оканчивается цифрой 2. Если ее переставить с конца в начало, то новое число в два раза больше первоначального. Найти это число.

Число начинается с цифры 3. Если ее переставить с начала в конец, то новое число в 3 раза меньше первоначального. Найти это число.

Число оканчивается цифрой 4 и удваивается, если ее переставить в начало. Что это за число?

1} С этим свойством связаны некоторые необычные алгоритмы деления (см., например, [116]). —-Прим, перев.

Решение всех этих трех задач требует одинакового подхода. Пусть в первой задаче N — это n-значное число, тогда (N — 2)/10+2-Ю'2-1 = 2N; откуда 19АТ = 2(10^ — 1) и 19 должно делить Rn. Поэтому п = 18, а первоначальное число есть период дроби 2/19, т. е. 105263157894736842. Следует отдавать себе отчет в том, что в подобных задачах решение, полученное таким способом,— не единственное. Если за периодом записать один или больше этих же периодов, то это все равно будет дробь 2/19. Так, 105263157894736842105263157894736842 — тоже решение рассмотренной задачи. Поэтому решений здесь бесконечно много.

Палиндромные пары среди периодов

Целые числа М и N считаются палиндромной парой, если они имеют одинаковое количество цифр и их конкатенация есть палиндром V. Говорят, что число М — зеркальное отражение или просто отражение числа N, если М и N — палиндромная пара. При этом конкатенации MN и NM являются палиндромами одновременно.

Число К является генератором палиндромных пар, если периоды всех правильных несократимых дробей со знаменателем К включают и их отражения. Генераторы палиндромных пар могут быть простыми или составными. Например, 91, 101 и все репьюниты.

Rn — 1 n-значных периодов правильных дробей со знаменателем Rn являются Rn—1 последовательными кратными 9 числами, начиная с 9. С учетом нулей в периоде эти числа можно расположить в виде палиндромных пар. Например, 10 периодов для знаменателя 11 следующие: 09, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 и 90. Из них производятся палиндромы 0990, 1881, 2772, 3663, 4554, 5445, 6336, 7227, 8118 и 9009.

90 периодов для знаменателя 91 представляют собой круговые перестановки 15 шестизначных периодов, каждый из которых имеет свое отражение среди остальных. Например, 197802 — период, соответствующий дроби с числителем 18. Его отражение — 208791 — период для дроби с числителем 19.

Период может иметь свое отражение среди своих круговых перестановок. Так, для того же знаменателя 91 период при числителе 24 есть число 263736. Его очередная перестановка 637362, период при числителе 58, есть отражение предыдущего периода.

^ Палиндромом называется натуральное число, которое совпадает со своим отражением (например, 32123). — Прим, перев.

Если период имеет отражение среди своих круговых перестановок, то одна (или более) из круговых перестановок может иметь в качестве своего отражения дополнение до девяток. Например, круговая перестановка упомянутого периода, 373626, имеет в качестве своего отражения 626373.

Расширенные периоды

Расширенным периодом мы называем число, образованное конкатенацией одного или нескольких одинаковых периодов. Так, 1515 и 151515 — примеры расширенных периодов для десятичного периода дроби 0,(15). Если период десятичной дроби расширен таким способом, значение десятичной дроби не меняется. Например, 0,(142857)= 0,(142857142857). Покажем, что это всегда верно. Пусть Р — период десятичной дроби ОДР) и длина периода равна т. Для любого к можем записать:

к раз

_ р-ю^-'^ + Р-Ю^^^^-Ь ...+/>-10m + P _ Р _ , . ~ (lo^-iMio^-^Hao^-^+.-. + io^ + i) (10т-1) —

Если произвести конкатенацию периода с неполной частью периода и соответственно записать десятичную запятую и заключить в скобки получившееся число, то значение дроби уже изменится. Например, 0,(142857) не то же, что 0,(14285714). Первое число эквивалентно 0,142857142857..., а второе эквивалентно 0,1428571414285714... .

Однако если неполную начальную часть периода, состоящего из m цифр, приписать к периоду, а обе скобки передвинуть от j первоначальных т цифр к крайним справа т цифрам, то значение соответствующей дроби не изменится. Например, 0,(142857) = 0,14(285714), так как 0,14(285714) = = 14, (285714)/100 =(14 + 2/7)/100 =(100/7)/100 = 1/7 = = 0,(142857).

Покажем справедливость этого утверждения. Пусть С — период десятичной дроби 0, (С) и длина периода равна т. Пусть Л— первая (слева) цифра периода и В — остальная часть. Тогда значение дроби с периодом С будет (Л-10т-1-|- + В)/(10т—1). Пусть D — число, образованное приписыванием числа Л к С справа и передвижением скобок так, чтобы они заключали последние т цифр. Так как С = 0,(ЛВ), то D = = 0,Л(ВЛ) =Л/10 + (10В + Л)/((10(10т— 1)) = (Л-10^-1 +

+ В)/(10™— 1), т. е. то же, что и С. Таким образом, приписывание первой цифры периода к концу периода и передвижение скобок на одну цифру вправо не меняет величины числа. Повторив эту процедуру т раз, придем к справедливости утверждения в общем случае.

Арифметические операции с периодами

Операции сложения, вычитания, умножения и деления периодов десятичных дробей зачастую невыполнимы. Когда на практике появляется необходимость в этих операциях, то обычно используют соответствующие обыкновенные дроби, либо округляют десятичные дроби до необходимой точности с целью обеспечения требуемых условий. Некоторые авторы, и среди них Плагге, считают, что владение этими операциями с периодами, когда можно избежать промежуточного обращения дробей в обыкновенные, является важным навыком для учащихся. Он описал процессы сложения и умножения в работе «Дроби без частного: арифметика периодических десятичных дробей» [86]. Приводимые ниже рассуждения об операции сложения основаны на этой работе.

0,(3) + 0,(4) = 0,(7), так как 3/9 + 4/9 = 7/9 = 0,(7).

0,(6) + 0,(5)= 1,(2), так как 6/9 + 5/9 = 11/9 = 1 + 2/9 = 1 ,(2).

0,(15) + 0,(16) = 0,(31), так как 15/99+ 16/99 = 31/99 = 0,(31).

Первое сложение проводится просто — в нем не требуется переноса разрядной единицы. Результат второго сложения не очевиден для непосвященных, для его пояснения потребовалось применить обращение дробей в обыкновенные. В третьем примере используется перенос разрядной единицы в пределах скобок, поэтому результат не кажется необычным. Неожиданное происходит, когда перенос разрядной единицы производится за пределы периода. Все же следовало ожидать, что 0,(6) + + 0,(5) должно быть больше, чем 1,(1) = 1,(11), поскольку 0, (6) =0,(66) и 0, (5) = 0, (55). Когда перенос разрядной единицы производится из периода за его пределы, количество разрядных единиц переноса следует также добавить к крайней справа цифре суммарного периода. Например:

2,3(6)+ 2,4 (7) = 4,8 (4).

Если слагаемые имеют периоды неравной длины, то их длины прежде всего приводятся к равным приписыванием необходимого количества полных периодов к каждому из них. В предыдущем разделе было показано, что такое действие не изменяет величину числа. Эквивалентность достигается получением

числа цифр в итоговом периоде, равного наименьшему общему кратному длин периодов слагаемых. Например, для сложения 0,(142857) и 0,(0099) расширим каждый период до длины, равной наименьшему общему кратному длин периодов слагаемых, т. е. до [6,4] = 12: 0,(142857142857)+ 0,(009900990099) = = 0,(152758132956). Подобное приведение длин периодов эквивалентно приведению дробей слагаемых к общему знаменателю в виде репдиджита из девяток. Вычитание требует аналогичного подхода.

Плагге приводит общий метод сложения, иллюстрируемый следующим примером. Чтобы сложить 2,70(584) и 6,917(49), сначала расширяем периоды до длины, равной наименьшему общему кратному длин периодов слагаемых; получаем 2,70(584584) и 6,917(494949). Теперь периоды равны по длине, но дроби еще нельзя подписать одну под другой, так как у одной период начинается с третьей цифры после запятой, у другой — с четвертой. Чтобы выравнять дроби, не меняя величины, поступим, как в предыдущем разделе: припишем одну цифру периода в первом слагаемом и сдвинем скобки вправо. Теперь имеем

.2,705 (845845)^6,917 (494949)

9,623 (340795)

Суммарный период увеличивается на 1, так как проводился перенос разрядной единицы из периода за его пределы.

Процесс умножения по Плагге здесь не приводится. Вместо этого мы рассмотрим только количество цифр в периоде произведения десятичных периодических дробей. Это число зависит от длин периодов репдиджитов из девяток.

Рассмотрим пять нетрудных примеров; обратите внимание на величину D, равную количеству цифр в периоде произведения.

0, (1) • 0, (2) = (1/9) • (2/9) = 2/34. L (З4) = 9. D = 9.

0,(1) • 0,(02) = (1/9) • (2/99) = 2/(34 - И). L (З4) = 9. L (11) = 2. Z) = [9, 2] = 18.

0,(01) • 0,(02) = (1/99) • (2/99) = 2/(34 • II2). L(34) = 9.

L(ll2) = 22. Z) = [9, 22] =198.

0,(01) • 0,(002) = (1/99) • (2/999) = 2/(35 -11- 37). L (З5) = 27.

L (11) = 2. L (37) = 3. D = [27, 2, 3] = 54.

0, (001) • 0, (002) = (1/999) • (2/999) = 2/(36 • 372). L (36) = 8 1.

L(372)=lll. Z) = [81, 111] = 2997.

Неудивительно, что при таких больших периодах в произведениях небольших чисел операция умножения десятичных периодов практически не применяется. С другой стороны, использование таких же чисел в делении приводит к частным, вполне поддающимся оценке. Если две дроби имеют одинаковый знаменатель, их частное равно частному их числителей Далее, частное двух бесконечных чисто периодических десятичных дробей равно частному их расширенных до общей длины периодов. Используя те же числа, что и при умножении, имеем:

0,(1)/0,(2) = 1/2 = 0,5,

0, (1 )/0, (02) = 0, (11 )/0, (02) = 11/2 = 5,5, 0,(01)/0,(02) = 1/2 = 0,5,

0, (01 )/0, (002) = 0, (010101 )/0, (002002) = 10101/2002 = 5,0 (45), 0,(001)/0,(002) = 1/2 = 0,5.

Замечания и комментарии

Когда в речи повторяются одни и те же слова и когда, пытаясь поправить, мы находим их столь уместными, что исправление извратило бы речь, то это служит признаком, что их нужно оставить; тут действует зависть, которая слепа и не видит, что повторение в данном месте не составляет ошибки.

Паскаль !)

Большая часть выводов, а то и все, к которым мы пришли по поводу длины периода, могли бы быть получены из теоремы Ферма. Вероятно, что о многих фактах относительно периодов можно было бы догадаться из нескольких теорем. Тем не менее только изучение отдельных примеров и природы неумолимо однообразных групп цифр позволяет нам лучше понять и глубже проникнуть в их тайны.

Экспериментаторы и ученые пытаются выяснить, случайны ли последовательности цифр периодов и какова вероятность появления в них наугад взятых чисел. Порою кажется, что чем больше мы узнаем о предполагаемых свойствах периодов, тем меньше они становятся необходимыми для практиче-

О Паскаль Б Мысли (о религии) —М, 1905, с 108

ского использования. Интересующихся отсылаем к Стоунхэму [117] и Коробову [60]. Симмонс и другие также рассматривали эту проблему.

Книги и статьи М. Гарднера содержат совсем немного трюков, основанных на природе периодов, хотя ссылка на период не всегда обязательно очевидна. Его работы о циклических числах основаны на таких числах, круговые перестановки которых действительно интересны.

Изучение суммарных кратностей, часто упоминаемых другими авторами, было до некоторой степени заторможено случайностью данных, хотя их основные характеристики были неплохо описаны Грином [42]. Большая таблица суммарных кратностей в приложении к этой книге была бы полезна для соответствующей теории и для корректировки ошибочных представлений Одно неверное замечание, что суммарные кратности для данного простого распределяются среди групп периодов достаточно равномерно, может все испортить. Таблица показывает, что среди их значений возможны значительные диспропорции. В частности, как мы уже заметили, суммарные кратности в некоторых группах простых репьюнитов всегда относительно велики по сравнению с суммарной кратностью единичной группы.

ПРИМИТИВНЫЕ РЕШЕНИЯ

Решением уравнения f(n, х)=0 (или сравнения f(n, х) = = 0(modZ), а также сравнения q(n) = 0 (mod х)) будем называть численное значение х, которое удовлетворяет уравнению (или сравнению). Если это решение х не удовлетворяет уравнению f(m, х)= О (или сравнению f(m, х) = 0 (mod /)) или соответственно сравнению g(m) = 0 (mod х^ для любого m < п, то такое решение будем называть примитивным.

Выражения «первообразные корни», «примитивные делители», «примитивные множители и сомножители» применяются к типу примитивных решений. Решение, которое не является примитивным, может быть названо «непримитивным» или «алгебраическим». Без ущерба для общности можно говорить «примитивное решение f(n, х)», когда из контекста ясно, что речь идет о примитивном решении f(n, х) —О или f(n, х)" 0 (mod /).

Нам потребуется затронуть два важных аспекта примитивных решений специальных функций: 1) существуют ли они для каждого целого п и сколько их имеется для каждого гц 2) к каким подмножествам множества целых чисел принадлежат примитивные решения. С такой точки зрения в этой и следующих главах мы рассмотрим характерные примеры.

Длинные последовательности составных чисел

Классическое доказательство бесконечности числа простых чисел основано на том, что число N = р\ + 1, где р— простое, имеет по крайней мере один примитивный простой делитель для каждого р. Число N на единицу больше, чем число, кратное каждому из простых делителей числа р\, и поэтому не делится нацело на любое из них. Следовательно, число N или большее простое, или кратно простым, каждое из которых больше р.

Следствием сказанного является то, что последовательность целых чисел от /г! + 2 до п\ + п есть последовательность п — 1 составных чисел, делящихся соответственно на числа от 2 до п включительно. Последовательность может быть легко расширена в специальных случаях, если использовать теорему

Вильсона, утверждающую, что если п + 1 простое, то оно делит п!+1. Например, поскольку 101—простое, имеется 101 составное число, начиная с числа 100! и кончая 100! + 100, так как 100! + т делится на т при 2 ^ m ^ 100. В общем случае л! — 1 не обязательно составное. Оказывается, число 100! — 1 составное, поэтому имеется по, меньшей мере 201 идущих подряд составных, начиная с числа 100! — 100.

Продолжая использовать теорему Вильсона, мы можем пойти даже дальше обычных учебных типов последовательностей составных чисел. В результате мы получим методы нахождения также большого числа (но уже меньше описанных) последовательных составных чисел. Мы продемонстрируем это вначале на примере, а затем в общем виде.

Рассмотрим простое число 101, сравнимое с 1 по модулю 4. Среди чисел, сравнимых с +т и —т по модулю 101, где 1 ^ т ^ 50, числа от 1 до 100 распределены поровну. Их можно объединить в пары: (1, 100), (2, 99), ..., (49, 51), (50, 51); эти пары сравнимы соответственно с (1, —1), (2,—2), . .., (49, —49), (50, —50) по модулю 101. Произведение чисел в каждой ларе сравнимо с —т? по модулю 101. Произведение всех положительных целых, меньших 101, равно 100!, следовательно, сравнимо с (—1)50-(50!)2 по модулю 101, т. е. сравнимо с (50!)2 мо модулю 101. Согласно теореме Вильсона, 1011100! + + 1. Отсюда (50!)2+ 1 — составное, так как оно делится на 101. Число (50!)2— 1 также составное, будучи разностью двух квадратов, которую можно разложить на два множителя, больших 1. Тогда именно 101 последовательное составное число, начиная с (50!)2 — 50 и кончая (50!)2 -|- 50, так как (50!)2±т делится на т, если 2 ^ т ^ 50. В отдельных случаях, таких, например, как рассмотренный, последовательность может быть легко расширена после соответствующего испытания. Так как 31 (50!)2 ± 51 и 2| (50!)2 ± 52, то этот ряд легко может быть удлинен до 105 последовательных составных.

Поскольку (50!)2 значительно меньше 100!, эта последовательность по длине почти такая же, как и та, что начинается со 100! и образована значительно меньшими числами. Вообще, последовательность, образующаяся с помощью ((п/2)!)2, когда п делится на 4, п += 4 и п + 1 — простое число, состоит из такого же числа составных, что и последовательность, включающая п\ (которое представляет собой значительно большую величину при большом пУ причем п\— 1 нельзя заранее считать составным, а ((п/2)!)2— 1 всегда составное.

Чтобы убедиться в этом, заметим, что целые от 1 до п поровну распределены среди чисел, сравнимых с +т и —т по модулю п+1, Для каждого положительного целого т, мень-

шего или равного п/2. Таких пар имеется всего п^ так что произведение всех этих чисел сравнимо с (—l)”/2 ((п/2)!)2 по модулю п-V 1. Поскольку 4|п, то п/2 четное, и это число срав- нимо с ((п/2)!)2 по модулю п+1. Теорема Вильсона утверждает, что простое число n + 1 делит число, на единицу большее произведения всех положительных целых, меньших n + 1. Следовательно, ((n/2)!)2 + 1 составное. Число ((n/2)!)2—1 также составное, будучи разностью двух квадратов. Отсюда следует, что имеется п + 1 последовательных составных чисел, начиная с ((п/2)!)2 — п/2, поскольку ((n/2)!)2 + m делится на т при 2 m п/2.

Примитивные решения Сп = 2 • 10" — 1=0 (mod х)

Другим примером для рассмотрения примитивных решений является сравнение а-Ьп— 1 = 0(modx), где а < Ь. Мы обсудим частный случай Сп = 2-\0п—l=0(modx), для которого по определению х— примитивное решение, если л |2 • 10" — 1, но х 2 • 10m —- 1 для всех т < п. Сп — это число, записываемое единицей с последующими девятками.

Вообще, если х — примитивное решение сравнения, такое, что оно может быть записано как делитель выражения (как в данном случае), то говорят, что х— «примитивный делитель» или «примитивный множитель» выражения. Так, например, в случае Сю = 2-1010 — 1 = 7-97-193-152617 последние 3 множителя — простые, которые нс делят никакое число вида 2-10^—1 при п < 10, а 7|2-104—1. Поэтому 7 — алгебраический простой делитель Сю, а 97-193-152617 — примитивный сомножитель С10.

Пока еще не установлено, существует ли хотя бы один примитивный простой делитель выражения Сп для любого целого п. Предполагается, что доказательство гипотезы существование такого делителя будет опираться на тот же способ, который был использован при доказательстве наличия у каждого репь- юнита хотя бы одного примитивного простого делителя.

В только что приведенном примере показано, что Сп может иметь более одного примитивного простого делителя. Когда множители Сп все примитивны, само Сп есть собственный примитивный сомножитель. Вот примеры: С5 = 199999 и С6 = = 17-71-1657, где все числа — простые, не делящие любой меньший Сп. Когда Сп — простое, оно является собственным единственным примитивным делителем и одновременно собственным примитивным сомножителем.

В 1971 г. Ц. Р. Занке и X. К. Уильямс [157] вычислили и составили список всех простых Сп с нечетным п, меньшим 483.

Простые Сп соответствуют п = 1, 2, 3, 5, 7, 27, 53, 147 и 401. Несомненно, этот ряд будет значительно продолжен. Значение открытия того, что 2-10401— 1 простое, может быть оценено, если учесть, что в то время было известно только одно простое, большее C4oi и не являющееся простым числом Мерсенна. После этого была найдена по меньшей мере целая сотня новых больших простых, из них многие — тем же X. К. Уильямсом.

Поскольку Сп не кратно 2 и 5, каждое Сп является делителем бесконечного числа репьюнитов. С другой стороны, нет такого Сп, которое делилось бы на какой-нибудь репьюнит. Чтобы доказать это, предположим, что некоторый репьюнит Rm делит Сг. Тогда т < п. Пусть кт — наибольшее кратное т, такое, что кт ^ п. Тогда Сп = \№тСп-кт + 9Rkm, и при этом Со = 1. Таким образом, Сп— число, записываемое кт девятками, перед которыми стоит 1 или число вида Сп, но меньше него и меньше, чем Rm. Далее, Ю^"1 = 1 + 9Rkm- Тогда Сл = (1 + Н- 97?^ш) *Сп—кт Н- 9Rkm ИЛИ Сп = Cn—km “Ь 9RkmkCn—km "Г" 1), ОТкуда Сп = Cn-fem (mod Rm), так как Rm\Rkm. С учетом того, что 1 ^ Сп-кт < Rm, имеем Rm Т Сп. Поскольку предположение опровергнуто, делаем вывод, что нет такого репьюнита, который делил бы число вида Сп.

Все остатки, образующиеся при делении уголком 1 на пол- нопериодное простое, сравнимы по модулю р со степенями числа 10 от 10° до 10р~2 и представляют собой все целые числа от 1 до р— 1. Если 1 делится на 7, то число 2 — второй появляющийся остаток, поэтому 7|102 — 2. Поскольку в процессе деления к делимому еще требуется приписать 4 нуля, прежде чем появится остаток 1, то 7|2-104—1. Рассмотрим в общем виде порядок рассуждений.

Пусть L — длина периода простого р. Если р — примитивный делитель Сп, то п < L, поскольку 2 появляется в последовательности L остатков, которые сравнимы по модулю р со степенями числа 10 от 10° до 10L-1. Если среди этих остатков нет числа 2, то р не делит Сп.

Теорема. Простое число р является примитивным делителем Сп тогда и только тогда, когда р\ 10L~n — 2.

Доказательство. р \ 10L — 1. Можно записать 10L — 1 = = 10n(10L-ra—2) + (2-10n— 1). Так как рТ 10", но делит все выражение, то р^-Ю”—1 тогда и только тогда, когда р.\0ь-п — 2

Первоначальное появление числа 2 как остатка должно произойти между начальной единицей, т. е. 10°, и следующей еди-

Таблица 5-1

Простые делители чисел 2 • ion+fcL — 1

* — означает, что простое р не делит число этой формы

р

L

п

Р

L

п

Р

L

п

Р

L

п

Р

L

п

2

—

♦

151

75

40

353

32

♦

577

576

316

811

810

483

3

1

*

157

78

*

359

179

78

587

293

*

821

820

213

5

—

*

163

81

*

367

366

44

593

592

460

823

822

122

7

6

4

167

166

80

373

186

*

599

299

17

827

413

11

2

♦

173

43

♦

379

378

305

601

300

24

829

276

13

6

♦

179

178

105

383

382

132

607

202

♦

839

419

305

17

16

6

181

180

47

389

388

283

613

51

*

853

213

19

18

1

191

95

44

397

99

*

617

88

*

857

856

166

23

22

14

193

192

10

401

200

151

619

618

139

859

26

29

28

17

197

98

♦

409

204

107

631

315

98

863

862

720

31

15

9

199

99

2

419

418

369

641

32

♦

877

438

*

37

3

*

211

30

*

421

140

*

643

107

*

881

440

128

41

5

223

222

204

431

215

70

647

646

580

883

441

*

43

21

227

113

*

433

432

174

653

326

*

887

886

834

47

46

16

229

228

201

439

219

69

659

658

509

907

151

53

13

♦

233

232

32

443

221

♦

661

220

*

911

455

.40

59

58

33

239

7

*

449

32

*

673

224

*

919

459

327

61

60

13

241

30

♦

457

152

122

677

338

*

929

464

305

67

33

♦

251

50

11

461

460

291

683

341

*

937

936

784

71

35

6

257

256

176

463

154

♦

691

230

221

941

940

263

73

8

♦

263

262

106

467

233

♦

701

700-

241

947

473

*

79

13

269

268

159

479

239

33

709

708

217

953

952

434

83

41

♦

271

5

487

486

44

719

359

160

967

322

♦

89

44

8

27"

69

*

491

490

477

727

726

300

971

970

285

97

96

10

281

28

*

499

498

495

733

61

♦

977

976

346

101

4

*

283

141

♦

503

502

182

739

246

115

983

982

482

103

34

*

293

146

*

509

508

441

743

742

68

991

495

223

107

53

*

307

153

*

521

52

*

751

125

*

997

166

*

109

108

15

311

155

71

523

261

*

757

27

*

1009

252

*

113

112

60

313

312

38

541

540

427

761

380

349

1013

253

♦

127

42

36

317

79

*

547

91

♦

769

192

♦

1019

1018

185

131

130

47

331

110

557

278

*

773

193

*

1021

1020

687

137

8

♦

337

336

32

563

281

*

787

393

*

1031

103

♦

139

46

*

347

173

*

569

284

79

797

199

*

1033

1032

556

149

148

31

349

116

571

570

415

809

202

♦

1039

519

194

вицей, т. е. 10L. Поэтому р— примитивный делитель некоторого Сп, причем Сп < 10L — 1.

Теорема. Если р — примитивный простой делитель числа Сп, то совокупность чисел этого вида, делящихся на р, имеет вид 2.\Qn+kL — i; где ^ — любое неотрицательное целое число.

Доказательство. Пусть 2-10"—1 — наименьшее число этого вида, делящееся на р. Припишем справа к этому числу такое

Таблица 5-2

Простые делители чисел 2 • 10я — 1, для которых известно полное разложение

п

Простые делители

1 19

2 199

3 1999

4 7, 2857

5 199999

6 17, 71, 1657

7 19999999

8 89, 1447, 1553

9 31, 64516129

10 7, 97, 193, 152617

11 251, 1831, 435179

12 3833, 521784503

13 61, 21031, 15589789

17 29, 599, 31139, 369743471

27 1999999999999999999999999999

53 2* 10м - 1

147 2 НО*47 - 1

401 2е1О401 - 1

минимальное количество девяток, чтобы новое число такого же вида разделилось также на р. Так как L — длина периода простого р, то длина этого дополнения, очевидно, должна быть точно равна L. Тогда р|2-10п+£—1. Следующее такое число, полученное при продолжении процесса приписывания девяток, образуется вновь от конкатенации L девяток и, следовательно, имеет вид 2-10"+2£—1. Продолжением этой процедуры получаются числа с общим видом 2- 10"+S£ — 1.

Так, например, длина периода числа 7 равна 6 и 7|С4. Тогда на 7 также делятся Сю, Сю, С22 и т. д. Другой пример:

длина периода числа 71 равна 35 и 71|С6. Тогда на 71 также делятся С4ь С76, Сщ и т. д.

Список известных простых делителей всех Сп < Сюооо проверен и восстановлен С. Ейтсом. Среди полностью факторизованных Сп не обнаружено противоречия предположению, что каждое Сп имеет по крайней мере один примитивный делитель. Таблицы 5-1 и 5-2 извлечены из больших таблиц.

Как это следует из правила множителя, репьюниты R^b, п), включая числа Мерсенна (т. е. репьюниты при & = 2), не могут быть простыми при п составном. Однако для функции Сп» как уже было показано, аргумент п в этом смысле не является определяющим.

Следствие 1. Если р\Сп> то на р делится бесконечное множество чисел этого вида.

Следствие 2. Если р\Сп, то р\ 10kL-n — 2.

Условия делимости Сп

С целью исследования длин периодов простых чисел из множества целых чисел ранее были выделены в зависимости от классов вычетов по модулю 40 три множества, обозначенные буквами А, В и С. Несколько иная структура классов вычетов используется при изучении простых делителей чисел Сп.

Если а =+11 или + 19 (mod 40), то а принадлежит множеству I.

Если а = +7 или +17 (mod 40),— II.

Если а = + 1 или +9 (mod 40),— III.

Если а = +3 или +13 (mod 40),— IV.

Мы видели уже, что простые из множеств I и II имеют четную длину периода и нечетные индексы периодов. Три четверти простых в этих множествах — полнопериодные простые числа, каждое из которых делит числа Сп. Простые числа из множеств III и IV имеют четные индексы периодов.

Наблюдение и изучение собранных данных позволило нам высказать следующие предположения.

В каждом из множеств I—IV существуют простые, не делящие чисел вида Сп.

Если р принадлежит множеству I и р\Сп» то п нечетно.

Если р принадлежит множеству II и р\Сп» то п четно.

Если р принадлежит множеству III и Цр)=2, то р делит некоторое Сп.

Если р принадлежит множеству IV, то р не делит чисел вида Сп.

Первое предположение можно доказать как теорему, так как нетрудно найти в каждом из этих множеств простые, не делящие некоторое Сп. Кроме того, существование в каждом из первых трех множеств как бесконечного множества делителей, так и бесконечного множества неделителей чисел Сп является сильной гипотезой.

Остальные утверждения, как показал М. Д. Де Леон [89], справедливы и в качестве лемм и теорем приводятся ниже. Символ Лежандра ^^ используется, как и прежде, для указания квадратичности вычетов.

Лемма 1. Если 10” = 2 (mod р) и п — четно, то ^^ = 1.

Доказательство. Если п — четно, то 10”/2 — целое и (10”/2)2 = 10” = 2(mod р). Так как имеется квадрат, сравнимый с 2 по модулю р, то 2 — квадратичный вычет по модулю р.

Лемма 2. Если 10n = 2(modp) и п— нечетно, то 0-) = 1.

Доказательство. Предположим, что 10" = 2 (modp) и п — нечетно. Тогда п = 2&+1 для некоторого целого к и 102й+1 = = 2 (mod р); отсюда 22fe+1 • 52fe+1 = 2 (mod р), ^ • 52fe+l = 1 (mod p), 22^ • 52fe+2 = 5 (mod p) и (2й • 5fe+1)2 = 5 (mod p). Так как имеется квадрат, сравнимый с 5 по модулю р, то 5 — квадратичный вычет по модулю р.

Теорема. Если р принадлежит множеству IV, то р не делит чисел вида Сп.

Доказательство. Предположим, что р\Сп, тогда 10т = = 2 (modp), где m = kL — п. Вспомним (см. предыдущие главы), что если p = +3(mod8), то 2 — квадратичный невычет (modp), а если р =+3(mod 5), то 5 — квадратичный невычет (modp). Простые из множества IV удовлетворяют обоим этим условиям. По леммам 1 и 2 число m не может быть ни четным, ни нечетным. Поэтому 10m^2(modp) и р не делит чисел вида Сп.

Теорема. Если р принадлежит множеству II и р\Сп, то п— четно.

Доказательство. Если р\Сп, то 10m = 2(modp), где пг = — kL — п. Так как р = ±2(mod 5), то ^^ = — 1. По лемме 2

число пг не может быть нечетным. Так как р = + I(mod8), то (—) = 1 и m может быть четным. Поскольку р = ±7 или ±17 (mod 40), то L — четно. Тогда п — четно ввиду п = kL — т.

Теорема. Если р принадлежит множеству I и р\Сп, то п— нечетно.

Доказательство. Если р\Ст то 10™ = 2 (modр\ где пг = = kL — n. Так как р = + 3 (mod 8), то ^~^ = — 1. По лемме 1 число пг не может быть четным. Так как р = + I(mod5), то ^—) = 1 и пг может быть нечетным. Так как р^+11 или ±19 (mod 40), то L четно. Тогда п — нечетно ввиду п = kL— пг.

Теорема. Если р принадлежит множеству III и индекс его периода равен 2, то р делит число вида Сп при некотором п.

Доказательство. Имеется точно (р—1)/2 несравнимых квадратичных вычетов по модулю р. Так как L=(p— 1)/2 в рассматриваемом случае, то все (р—1)/2 степеней 10, от 10 до 10(р~О/2, несравнимы по модулю р. Поскольку г = ±1 или ±9 (mod 40), то 10 — квадратичный вычет по модулю р. Поэтому степени 10 от 10 до Ю^-!)/2 в этом случае все будут несравнимыми квадратичными вычетами по модулю р в количестве (р—1)/2. Так как p = +l(mod8), то 2— квадратичный вычет по модулю р и 2 должно быть сравнимо с одной из степеней 10. Тогда для некоторого целого т, меньшего (р— 1)/2, 10т = 2(modp), и поэтому р делит некоторое число вида Сп.

Составные делители чисел Сп

Условия делимости репьюнитов и чисел вида Сп на составные числа значительно различаются.

Если р — примитивный делитель репьюнита Ra, a q — примитивный делитель другого репьюнита Rb, то множество репьюнитов, делящихся на pq, состоит из всех тех репьюнитов, номера которых кратны \а, Ц.

Необходимым и достаточным условием того, что р — делитель некоторого Сп, является то, что некоторая степень 10, меньшая 10L, сравнима с 2 по модулю р. Мы видели, что этого условия достаточно, чтобы все полнопериодные простые (которые составляют, по предположению Артина, приблизительно

437,5 % всех простых) и все простые из множества III с «половиной периода» (которые составляют приблизительно 14 % всех простых чисел) действительно являлись делителями чисел Сп. Из 25 % всех простых чисел множества IV никакое не делит чисел Сп. Остается 23,5 % всех простых, для которых проверка делимости чисел Сп представляет собой более трудоемкую процедуру.

Все эти числа имеют индексы периодов f(p)^ 3. Хотя имеется много больших простых с малой длиной периода, которые делят некоторые числа Сп, наши предварительные результаты показывают, что простые с большими индексами периодов менее подходящи, чем простые с небольшими индексами периодов, для отыскания степени 10, сравнимой с 2 по модулю р, среди относительно малого числа степеней 10, меньших 10L.

Исходя из этих соображений, мы можем грубо оценить, что И из 20 простых делят некоторые числа Сп. Вероятность того, что составное число разделит некоторое число вида СП1 значительно меньше. Очевидно, что нижеприведенные составные числа не делят чисел вида Сп, даже несмотря на то, что они могут иметь простые множители, которые делят такие числа.

Все числа, делящиеся на 2 или 5 или на простое из множества IV.

Все числа, делящиеся на любое простое, не делящее число Сп. Ясно, например, что если 79 Т Сп, то любое кратное 79 также не делит Сп.

Все числа, кратные pq, если р принадлежит множеству I, a q— И. Например, 17 и 19— простые, каждое из которых делит бесконечно много чисел вида Сп, хотя их произведение не делит ни одного числа вида Сп, так как 17 не может делить Сп с нечетным п, а 19 не делит Сп с четным п.

Все числа, кратные pq, где р — примитивный делитель С^ a q — примитивный делитель Сь и при этом диофантово уравнение & + xL(p) = /+yL(g) не разрешимо относительно х и у. Мы заметили, что k^xL^p) описывает индексы всех Сп, делящихся на р, а / + yL(^)—индексы всех Сп, делящихся на q. Если пересечение множеств, описанных этими двумя выражениями, — пустое множество, то pq не может делить числа вида Сп. Это условие встречается в случаях, охваченных предыдущими параграфами; оно может также встретиться в случаях, не затронутых там. Например, пусть р = 1 и ^ = 31. Тогда к = 4, j = 9, L(p)=6 и L(^)= 15. Не существует решения в целых х и у уравнения 4 + 6х = 9 + 1^у, так как левая его часть всегда сравнима с 4 по модулю 6, а правая часть никогда. Поэтому 7 и 31— делители непересекающихся множеств чисел ъида Сп.

Длина периода простого числа вида Сп

Длина периода простого репьюнита Rn равна п, так как Rn состоит из п цифр и не может делить меньший репьюнит. Поскольку п должно быть также простым и относительно маленьким делителем числа Rn—1, индекс периода этого простого* репьюнита составляет относительно большой собственный делитель числа Rn—1. Напротив, в каждом из случаев, когда длина периода простого числа Сп, где п > 1, уже была определена, индекс периода равнялся 2, т. е. наименьшему собственному делителю числа Сп— 1.

Так как каждое простое число Сп, большее Сь сравнимо с 39 по модулю 40, то 10 является квадратичным вычетом по модулю Сп, и поэтому L^Cn) должно быть делителем числа {Сп—1)/2. Это означает, что длина периода простого, записываемого единицей со следующими за ней двумя или больше девятками, делит то же самое число, но записываемое без начальной единицы. Действительно, длины периодов простых С2, С3, С5 и С7 равны соответственно репдиджитам 97?2, 97?3, 9^5 И 9Т?7.

Замечания и комментарии

Все мысли, которые формируют эпоху, изначально берут начало» глубоко внутри примитивной души.

Дж. Р. Лоуэлл [74]

Зачастую словарные определения слова «примитивный» допускают различную интепретацию, а то и игру слов. Даже в разных разделах математики это слово имеет несколько различных значений. Мы в дальнейшем изложении намерены не отклоняться от определения, данного в начале этой главы.

Существуют функции, которые производят цепочки последовательных составных чисел более продуктивно, чем описанные выше, но с числами меньшей величины. Одна такая функция использует произведение последовательных простых в качестве первоначального члена. Интересующимся вариантами новой гипотезы, связанной с этой функцией, мы рекомендуем прекрасно написанную работу С. У. Голомба «Свидетельства о предсказаниях судьбы» [40].

!> Перевод В. Столяра.

Мы показали, что простые числа, сравнимые с ±3 или + 13 по модулю 40, не могут делить чисел вида а -10" — 1, где а = 2. Это означает, что 2 не может быть вычетом в единичной группе таких простых чисел. Вообще, можно показать, что если а равно удвоенному или упятеренному квадрату любого целого, то а не может быть квадратичным вычетом по модулю простого, сравнимого с +3 или + 13 по модулю 40 (т. е. не может быть в его единичной группе), и поэтому такое простое не может делить чисел вида а -10" — 1.

Автор высоко оценил доказательства своих гипотез относительно чисел Сп, предложенные профессором Де Леоном.

ЕЩЕ О ФУНКЦИЯХ С ПРИМИТИВНЫМИ РЕШЕНИЯМИ

Помимо Сп существует много функций, примитивные делители которых также связаны с репьюнитами и длинами периодов.

Примитивные корни

Утверждение «а есть примитивный корень по модулю t» означает, что а является решением сравнения хп — 1 = = 0 (mod /), где п = ср (/), и что ат — 1^0 (mod /) для любого т <_ п. Доказано, что примитивные корни по модулю t существуют только тогда, когда t = 2, 4, pk или 2pk, где р — нечетное простое. Пока еще остается гипотезой, как говорилось в главе «9 : 8 :7», существование бесконечного числа простых значений t, для которых данная величина а есть примитивный корень. Примитивные корни вот уже третье столетие привлекают внимание исследователей, причем они еще и способствуют исследованию многих захватывающих проблем.

Ранее мы отмечали, что во множествах Л и В среди простых, сравнимых с +1, +3, +9, + 13 по модулю 40, нет простых чисел, которые могли бы иметь 10 в качестве примитивного корня; приблизительно 3/4 остальных простых (которые составляют половину всех простых) имеют 10 примитивным корнем, что обеспечивает им полнопериодность.

а" — 6" = 0 (mod х)

В конце XIX столетия несколько математиков исследовали сравнение ап — &n = 0(modx), a>b. Примитивным решением этого сравнения является целое значение х, которое удовлетворяет этому сравнению, но не удовлетворяет сравнению ат — ьт = 0 (mod х) для любого т < п. Такое решение является примитивным делителем двучлена ап — Ьп. Г. Д. Бирк- хофф и X. С. Вандивер [10] одними из первых установили и доказали, что для двучлена ап — Ьп при п > 2 существует хотя

бы один примитивный делитель, отличный от 1, с единственным исключением 26 — I6.

Таким образом, каждое число вида 10п—1 = 9Rn имеет собственный примитивный делитель. Кроме числа 3 — примитивного делителя репьюнита R3, любой примитивный простой делитель числа 9Rn является примитивным делителем числа Rn. По теореме Ферма каждое отличное от 2 и 5 простое число делит число вида 10п—1 = 9Rn. Таким образом, каждое такое простое число делит хотя бы один репьюнит. Только числа, кратные 2 и 5, не могут быть примитивными делителями репь- юнитов.

Примитивные корни из единицы

Уравнение хп — 1 = 0 имеет п корней, каждый из которых называется корнем п-й степени из 1. Совокупность корней содержит комплексные числа, если п < 2. Общее решение уравнения ищется с помощью теоремы Муавра. При любом п один из корней всегда равен 1, для четных п имеется также корень — 1. Все другие корни — комплексные. Сумма корней п-й степени из единицы равна нулю.

Если а — корень уравнения хп — 1=0 и не является корнем хт — 1=0 для всех 0 < т < п, то а называется примитивным корнем из единицы. Для каждого п имеется хотя бы один примитивный корень из 1. Каждый примитивный корень а для данного п имеет такое свойство, что его первые п степеней образуют все корни п-й степени из единицы. То есть а0 = 1, а\ а2, а3, .. ., ап-1 соответствуют п различным корням. Число примитивных корней равно qp(n). Таким образом, если п— простое число, имеются п—1 примитивных корней из 1; единственный непримитивный корень равен 1.

Пусть а — корень уравнения хп — 1=0, и пусть т — наименьшее положительное целое число, такое, что ат — 1=0. Тогда т п.

Предположим, что ab = 1 для некоторого целого Ь, разделим b на т и обозначим частное — q и остаток — г. Тогда b = mq + г, где 0 ^ г ^ т. Поскольку 1 = ab = amw = = ^ат^аТ = 1 -ат = ат, то при таком m число г = 0, следовательно, m — делитель числа b и, в частности, числа п. Фактически этот результат является другим изложением правила множителя.

Если а — корень из единицы и две различные степени числа -а, ас и ad, равны, то aclad = 1 или ac-d = 1, и поэтому пг делит с — d. Отсюда сразу следует, что первые m степеней а, т. е. 1, а, а2, ..., ат-1, различны, и каждая другая целая степень а

равна одной из них. Ясно, что они также содержат все корни m-й степени из 1. Если m = п, то а — примитивный корень я-й степени из 1.

Круговые многочлены

Обозначим примитивные корни n-й степени из единицы через aVs а2, ..., aw; назовем многочлен Qn^ = ^x— а{) (х— — а2) •... • (х — <MnV) круговым (или циклотомическим). Таким образом, круговой многочлен, соответствующий уравнению хп—1=0, имеет степень ф(я) и его корни — это в точности примитивные корни уравнения хп— 1=0.

Таблица 6-1

Круговые многочлены

п

Ф(п)

Qn

Q« (Ю)

1

1

X — 1

9 = З2

2

1

х+1

11

3

2

X2 + X + 1

111 =3-37

4

2

Х2+ 1

101

5

4

X4 + X3 + X2 + X + 1

11111 =41-271

6

2

X2 — X + 1

91 =7 - 13

7

6

X6 + X5 + X4 + X3 + X2 + X + 1

1111111 = 239-4649

8

4

Х4 + 1

10001 = 73-137

В табл. 6-1 круговой многочлен QnM получен рекуррентно делением хп — 1 на круговые многочлены, соответствующие хт — 1 для всех т | п, т < п.

Когда п — простое число, делители Rn не являются делителями меньших репьюнитов, поэтому репьюнит совпадает со своим собственным примитивным сомножителем, как и соответствующий ему круговой многочлен. Когда же п — составное^ круговые многочлены меньшей степени или меньшие репьюни- ты уже разложены на множители и Qn(10) есть вновь примитивный сомножитель репьюнита Rn. В дальнейшем примитивный сомножитель числа Rn будем обозначать через Рп.

Сомножители. Введение

Прежде чем углубиться в изучение сомножителей, проведем обзор некоторых важных положений, которые были ранее рассмотрены или затронуты. Буква р означает простое число р, а L^p)—длину его периода.

Исключая простое число 3, число р делит 10п—1 тогда и только тогда, когда р делит Rn.

У делит п тогда и только тогда, когда 3^ делит Rn.

Каждое отличное от 2 и 5 простое число является примитивным делителем только одного репьюнита, который однозначно определяет длину периода этого простого числа.

Для всех р > 3 число р является примитивным делителем числа Rn тогда и только тогда, когда L(p) = n. Отсюда число простых чисел с данной длиной периода конечно.

к\п тогда и только тогда, когда Rk\Rn. Поэтому Ап, алгебраический сомножитель репьюнита Rn, содержит все простые делители репьюнитов, номера которых собственным образом делят п.

Если р — простое число, отличное от 3, то Rp делят только те простые числа, длина периода которых равна р.

Число п > 1 простое тогда и только тогда, когда Rn = Рп.

Число р является алгебраическим делителем репьюнита Rn тогда и только тогда, когда Ь(р) собственным образом делит п, за исключением числа 3, которое является алгебраическим делителем Rn всегда, когда 3 есть собственный делитель числа п.

Каждое натуральное число п есть длина периода хотя бы одного простого числа, но не больше, чем для qp(n) простых чисел.

Тенденция, но не правило: с увеличением числа п отношение п к числу простых чисел, которые имеют длиной периода число п, увеличивается.

Кроме р = 487 и р = 56598313, нет таких простых чисел г > 228 = 268435456, которые одновременно со своим квадратом являются примитивными делителями одного и того же репьюнита. Неизвестно, существует ли такое простое число р, что L^p) = L(p3).

Если рк— наибольшая степень р, являющаяся вместе с р примитивным делителем одного и того же репьюнита, то р^+° делит каждый репьюнит, номер которого кратен числу pa-L(p).

Алгебраические сомножители чисел Rn

Разложение репьюнита с составным номером на множители обычно лучше начинать с исключения примитивных делителей меньших репьюнитов, которые все присутствуют в алгебраическом сомножителе. Упорядочим эту рекуррентную процедуру, для чего примем Рх = 1. В соответствии с описываемыми ниже действиями делители примитивного сомножителя содержат только новые простые, ни одно из которых не является делите-

Таблица 6-2

Алгебраические сомножители репьюнитов Rn

И

А.

п

А,

1

1

40

РэРэРэРеРзеРэе

2

1

41

1

3

1

42

7РзРзЫлР14Рэз

4

Рэ

43

1

5

1

44

ИРзРэРцРээ

6

РэРэ

45

ЗРэР^А.

7

1

46

РзРэз

8

РэР,

47

1

9

ЗР,

48

РэРэРэР.Р.Р.эР.эРээ

10

РэР,

49

р»

11

1

50

РэР»Р1оРэз

12

РэРэРдР.

51

Р.Р.,

13

1

52

РэРэРиРм

14

РэР»

53

1

15

РэРэ

54

3’Р,РэР«Р,Р.Л»

16

РэРЛ

55

Р.Р1.

17

1

56

РэРЛРЛэРэ.

18

ЗРэРэРЛ

57

РэР.,

19

1

58

РэР„

20

РэРэРэРю

59

1

21

РэР,

60

Р1РзР<Р,Р.Р,оРиР„РзоР3»

22

ПРэРп

61

1

23

1

62

РэРэ.

24

РэРэР,Р.Р.Р.э

63

ЗР3Р,Р,Р,1

25

Рэ

64

РэРАРиРэз

26

РэР.3

65

Р.Р13

27

З’РэР,

66

UP2P3P6P11P22P33

28

РзРэР.Рм

67

1

29

1

68

Р2Р4Р17Р34

30

РзРэР,Р.Р.оР.,

69

Р3Р23

31

1

70

Р2Р5Р7Р10Р14Р35

32

РзРэРэР..

71

1

33

РзРи

72

ЗР2Р3Р4Р6Р8Р9Р12Р18Р24Р36.

34

РзР1,

73

1

35

Р.Р,

74

Р2Р37

36

ЗРэРзРэРЛРиР,.

75

P3PSP15P2S

37

1

76

Р2Р4Р19Р38

38

РзР1,

77

Р7Р11

39

РэР.3

78

ТЗРзРзРвРпРмРз»

Продолжение таблицы 6-2

п Ая79 180 Р2Р4РзР8Р1о1Р1 ^2(^4081 33РзР9Р2782 Р2Р4183 184 7Р2Р3Р4Р6Р7Р12Р14Р21Р28Р4285 Р3Р1786 Р2Р4387 Р3Р2988 ИР2РЛР11Р22Р4489 1п Ая79 180 Р2Р4РзР8Р1о1Р1 ^2(^4081 33РзР9Р2782 Р2Р4183 184 7Р2Р3Р4Р6Р7Р12Р14Р21Р28Р4285 Р3Р1786 Р2Р4387 Р3Р2988 ИР2РЛР11Р22Р4489 1п А„90 ЗР2Р3Р5Р6Р9Р10Р15Р18Р30Р4591 Р7Р1з92 Р2Р4Р23Р4693 Р3Р3194 Р2Р4795 Р5Р1996 Р2Р3Р4Р6Р8Р12Р16Р24Р32Р4897 198 Р2Р7Р14Р4999 ЗР3Р9Р11Р33100 Р2Р4Р5Р10Р20Р25Р50п А„90 ЗР2Р3Р5Р6Р9Р10Р15Р18Р30Р4591 Р7Р1з92 Р2Р4Р23Р4693 Р3Р3194 Р2Р4795 Р5Р1996 Р2Р3Р4Р6Р8Р12Р16Р24Р32Р4897 198 Р2Р7Р14Р4999 ЗР3Р9Р11Р33100 Р2Р4Р5Р10Р20Р25Р50

п Ая

79 1

80 Р2Р4РзР8Р1о1Р1 ^2(^40

81 33РзР9Р27

82 Р2Р41

83 1

84 7Р2Р3Р4Р6Р7Р12Р14Р21Р28Р42

85 Р3Р17

86 Р2Р43

87 Р3Р29

88 ИР2РЛР11Р22Р44

89 1

п Ая

79 1

80 Р2Р4РзР8Р1о1Р1 ^2(^40

81 33РзР9Р27

82 Р2Р41

83 1

84 7Р2Р3Р4Р6Р7Р12Р14Р21Р28Р42

85 Р3Р17

86 Р2Р43

87 Р3Р29

88 ИР2РЛР11Р22Р44

89 1

п А„

90 ЗР2Р3Р5Р6Р9Р10Р15Р18Р30Р45

91 Р7Р1з

92 Р2Р4Р23Р46

93 Р3Р31

94 Р2Р47

95 Р5Р19

96 Р2Р3Р4Р6Р8Р12Р16Р24Р32Р48

97 1

98 Р2Р7Р14Р49

99 ЗР3Р9Р11Р33

100 Р2Р4Р5Р10Р20Р25Р50

п А„

90 ЗР2Р3Р5Р6Р9Р10Р15Р18Р30Р45

91 Р7Р1з

92 Р2Р4Р23Р46

93 Р3Р31

94 Р2Р47

95 Р5Р19

96 Р2Р3Р4Р6Р8Р12Р16Р24Р32Р48

97 1

98 Р2Р7Р14Р49

99 ЗР3Р9Р11Р33

100 Р2Р4Р5Р10Р20Р25Р50

лем примитивного сомножителя меньшего репьюнита. Например, хотя 9 и примитивный делитель репьюнита Rg, он не является делителем Рд, так как 319 и 3|Р3.

Процесс отыскания Ап, алгебраического сомножителя репьюнита Rn, заключается в следующем:

Если п — простое число, то Ап = 1.

Если п — составное число, то:

Пусть к^ равно произведению всех примитивных сомножителей репьюнитов, которые собственным образом делят репьюнит Rn (или репьюнитов, номера которых собственным образом делят число п).

Если Зт — наивысшая степень числа 3, которая делит п, полагаем к2 = Зт-1. Если 3 ^ п, полагаем к2 = 1.

Если рт— наивысшая степень числа р (р^З), которая делит п, и если L^p) |п, то полагаем кг = рт. Если этим условиям при том же п удовлетворяет больше чем одно простое число, полагаем кг равным произведению всех рт. Если ни один делитель числа п не является длиной периода другого делителя, полагаем &3=1. Для длин периодов 105000 простых чисел до 1 370 471 включительно см. таблицу «Длины периодов простых» [152] Ч

Ап = kx-k2-k3.

Приведенное правило позволяет подсчитать алгебраический сомножитель Ап репьюнита Rn, выражаемый через рекуррентную функцию примитивных сомножителей репьюнитов, собственным образом делящих Rn. В табл. 6-2 приводятся результаты, полученные с помощью этого правила для репьюнитов Rn, п ^ 100. Примитивный сомножитель Рп есть RnIAn. Полное

и Фрагмент таблицы см на с 113 и 114 —Прим, перев.

разложение на простые множители алгебраического сомножителя не всегда удается получить прежде, чем примитивные простые делители репьюнита полностью будут выявлены. Так, например, известно, что примитивные сомножители чисел Т?58б и К597 — простые, но пройдут годы, прежде чем все их алгебраические простые делители будут найдены 1).

Разложение на множители чисел 10т+1

Число М = 10w + 1 является множителем числа 102/п — 1 = = 9R2m,M\R2tn, так как 9 и М взаимно просты. Поскольку 102т—l=VH(10m—1) = 7И.97?т и ^Rm — алгебраический множитель числа 102т—1, то М содержит все примитивные простые делители числа R2m.

Никакое простое число не может делить одновременно два последовательных нечетных числа. Каждое простое, являющееся примитивным делителем числа 10т— 1, где т— нечетно, имеет нечетную длину периода т и не делит число 10m + 1, а также любое число этого вида. Каждое простое, являющееся примитивным делителем числа 10m + 1, имеет четную длину периода 2m, является примитивным делителем числа R2m и делит только те репьюниты, номера которых кратны 2m. Алгебраические делители чисел 10m + 1 являются примитивными делителями меньших чисел этого вида. Следовательно, любое простое число, отличное от 2 и 5, принадлежит одному из этих двух непересе- кающихся множеств; простые делители репьюнитов с нечетными номерами имеют нечетную длину периода, а простые делители чисел вида 10m + 1 имеют четную длину периода.

Если m равно степени двух, то Rm — алгебраический сомножитель числа R2m, поскольку каждый собственный делитель числа 2m является и делителем числа т. Отсюда следует, что М — примитивный сомножитель числа R2m тогда и только тогда, когда т есть степень двух. Для того чтобы 10m + 1 было простым, необходимо, но не достаточно, чтобы m было степенью двойки.

Такого рода анализ может быть проведен и для системы с основанием, отличным от 10, чтобы показать, что при любом основании b число m должно быть степенью двойки.

Необходимым условием простоты числа bm + 1 является требование, чтобы т являлось степенью двойки. Числа Ферма, которые имеют вид 22к + 1, представляют собой пример част-

о В настоящее время R^i разложен на простые множители полностью — Прим, иерее.

ного случая, который уже глубоко изучен и будет рассмотрен нами позже.

Ниже приведена таблица известных простых множителей чисел М для некоторых значений т, равных степени двойки. Эти множители одновременно являются примитивными простыми делителями числа R^m.

Известные простыек т = 2 Велители чисел10” 4- 1

0111

12101

24. 73, 137

3817, 5882353

416353, 449, 641, 1409,69857

53219841, 976193, 6187457,834427406578561

6641265011073

7128257, 15361, 453377

825610753, 8253953

95121514497

Числа вида 10w + 1 полностью факторизованы для т ^ 32. Единственные известные простые числа М — это 11 и 101. X. Ризель [94] расширил эту таблицу и нашел по меньшей мере по одному простому делителю для каждого из многих т > 32.

Из элементарной алгебры мы знаем, что с + d является множителем числа ск + dk при нечетном к. Поэтому любое число, являющееся примитивным делителем числа 10m + 1, делит числа 103w + 1, 105zn + 1 и т. д.

11 [Ю1-]-!. Поэтому 11 делит 103 + 1, 105 4- 1, 107 + 1 и т. д. Вообще, И делит числа М с нечетным т.

101|102+1. Поэтому 101 делит 106 + 1, 1010 + 1, 1014 + 1 и т. д. Вообще, 101 делит М с числом т = 2 (mod 4).

73|104+1. Поэтому 73 делит 1012 + 1, 1020 + 1, 1028 + 1 и т. д. Вообще, 73 и 137 делят М при т = 4 (mod 8).

Для всех т = 2^ (mod 2^) и m > 2^ числа М кратны, но не равны числам 102fe-1 + 1, и поэтому они составные.

Анализ видов

Правила описания алгебраических сомножителей просты и позволяют достаточно последовательно построить табл. 6-2. Можно предположить, что вид примитивных сомножителей РПу получаемых как частное RnlAn, должен быть один и тот же, особенно когда алгебраические сомножители имеют аналогичные компоненты. Предположение в значительной степени заслуживающее внимания.

Рассмотрим, например, репьюнит Rn при и = 6х, где х— натуральное число:

/?п = (Юп — 1)/9 = ((10^2 - l)/9)(10^2 + 1).

Здесь п/2 кратно 3. Тогда

Rn = Rn^ (Ю^6 + l)(10^3 - Ю^/6 + 1).

Крайний справа множитель обозначим Вп и убедимся, что он имеет характерный вид и записывается увеличенной на 1 конкатенацией из п/6 девяток и п/6 нулей, имеющей в целом /г/З = 2х цифр. Например,

когда х=1, В6 = 102 — 10 + 1 = 91, когда х = ^ В12 = 104 - 102 + 1 =9901, когда х = 3, В18= 106 — 103 + 1 =999001 и т. д.

К 1927 г. числа Вп были проанализированы на простоту для х ^ 10. Д. Г. Лемер [66] показал, что Вп— простое число для х = 2, 4, 6 и 8, но составное для х = 10 и х, нечетных в этих пределах. Возникли вопросы: является ли В6о исключением, можно ли ожидать, что числа В6х с четными х станут обильным источником генерирования простых чисел? 660 — число 20-значное, а установить простоту больших чисел тогда было, конечно, значительно труднее, чем теперь. Проблема не кажется достаточно решенной и по прошествии полстолетия.

Поскольку ^п/б|^п/2, то можем записать, что Rn/t = b - Rn/^ где b — целое число.

В^ = (10"/3 - 1)/9 = (10"/6 + 1)(10^6 - 1)/9 = (10^6 + 1) • Rni^

откуда 10п/6 + 1 = Rn/zIRn/^

1Лъ\ показали, что Rn — Rn^ (10п/6 + l)(10n/3 — IO"/6 + 1). Тогда Rn = (6 • Rn^ {Rn^IRni^) • Вп или Rn = b • Rn^ • Вп.

Так как число b-Rn^ состоит только из делителей чисел Rn^ Rn/s или Rn/e, представляющих собой репьюниты, собственным образом делящие число Rn, то оно содержит только алгебраические делители репьюнита Rn. Тогда Вп должно содержать все примитивные делители репьюнита Rn и, следовательно, оно кратно числу Рп — примитивному сомножителю репьюнита Rn. Так как Rn имеет хотя бы один примитивный простой делитель, то Вп не может быть равно 1.

Когда же число Вп обязательно составное и при каких условиях Вп может быть простым? Теперь у нас достаточно сведений, чтобы ответить на этот вопрос.

Вп — заведомо составное, если оно кратно какому-нибудь репьюниту. Это условие срабатывает всегда, когда п (или х)

кратно простому, отличному от 2 и 3. Например, когда х = 10 и п = 60, T?i2 содержит алгебраические делители репьюнита /?бо, которые не делят 7?3о, R20 и Ri0. Вообще, если q > 1 и (q, 6)= 1, то Rn/q содержит алгебраические делители репьюИи- та Rn, которые не делят Rn/2, Rn/з и Rn/6. Тогда Вп не может быть простым, поскольку оно содержит по меньшей мере один алгебраический делитель числа Rn и по меньшей мере один примитивный делитель. Следовательно, Вп— примитивный сомножитель репьюнита Rn только для тех п, которые не делятся на простое, отличное от 2 и 3. Это необходимое условие для Вп, чтобы быть ему примитивным сомножителем репьюнита Rn, но не достаточное для того, чтобы Вп было простым.

Это сразу объясняет, почему Вп— составное число при х = 10, хотя при х = 2, 4, 6 и 8 Вп — простое число.

Это также означает, что Вп кратно каждому простому числу, которое имеет длину периода, равную п. В одном из номеров «Журнала занимательной математики» за 1977—78 г. появилась статья «Анализ видов» [137], в которой сообщается, что первоначальный поиск в таблице PPL (Prime period lengths [152]) простых с длинами периодов, делящимися на 6 и не делящимися на простые, отличные от 2 и 3, позволил обнаружить только 13 репьюнитов, меньших /?юооо, с неизвестными собственными делителями чисел Вп, за исключением четырех с известными простыми Вп. Через небольшой промежуток времени благодаря проведенным вычислениям это число было уменьшено. Затем Г. С. Уильямс [125] установил, что до В6ооо больше не имеется простых Вп. К настоящему моменту числа B69i2 и 83743— единственные до Вюоао, о которых еще не доказано, что они составные.

Виды примитивных сомножителей

В общем случае число, являющееся примитивным сомножителем Рп репьюнита Rn, имеет более простой вид, когда п имеет меньшее число простых делителей. Когда п — простое число, Рп равно Rn, т. е. является строкой из п единиц. Выше мы отметили, что когда п делится на 6 и не делится на простое, отличное от 2 и 3, число Рп на 1 больше, чем конкатенация из п/6 девяток и п/6 нулей. Были придуманы различные системы описания этих видов. Две из них здесь приводятся. Практическое применение этих систем сразу выявляет отличающие их друг от друга преимущества и недостатки.

Система YG (Ейтс — Джернедл) представляет собой комбинацию и модификацию работы, проведенной М. Джернедлом в Австрии (в Вене) и автором. Система Роуза, оригинальная и значительно отличающаяся от предыдущей, разработана К. Роузом

из Брин Афин (шт. Пенсильвания). Конечный результат обеих систем, как это и следовало ожидать, одинаков. Поскольку каждая из этих двух систем имеет свои собственные эстетические достоинства и практические преимущества, мы приводим здесь описание характерных особенностей каждой из них.

Подобно другим образным проявлениям красоты, числовые* примеры представляют собой зрительные и мысленные образы. Поэтому для их описания могут быть использованы различные, но эквивалентные формулы. Простейшее описание не всегда является наиболее очевидным, да и не требуется соглашения о том, что называется «лучшим».

Описание видов чисел Рп всецело зависит от разложимости числа п на простые множители. Количество цифр в Рп не превышает 1+ф(п), где qp(n)—значение функции Эйлера, т. е. количество положительных целых, меньших п и взаимно простых с ним. Уже было отмечено, что если п— простое, то Рп —

Таблица 6-3

Примитивные сомножители Рп репьюнитов Rn = (10п — 1)/9 для составных п

(В каждом блоке таблицы записано 4 числа, размещение и обозначение которых приведено над таблицей.)

п RH (и)

Рп в десятичной системе

Рп в системе YG

4 101 101

10

1210.

9901 9,0,+ 1

6

1-

141-1-

91

909091

91

(90),+1

8

100

151-01-

10001

90090991

1031

.(900X909)91

9

1001/3

1610000

333667

100000001

3,6,+ 1

10,1

10

1-1

18100-

9.091

999001

(90),+ 1

9,0,+ 1

Продолжение таблицы 6-3

20 ।10-01

99009901

(910^,4-1

351-0001-1-0 1-1

9000090900 9090990909 9991 90<90901(90909)19з1

211-01-01

9009009909 91

(901)1(920)1 + 1

36 100000- 9999990000 01 9,0,4-1

221-1-1- /11

826446281

(90)54-1 /11

381-Ы-1-1-

9090909090 90909091

(90), 4-1

241000-

99990001 9,0,4-1

391-01-01-01 -01

9009009009 0099099099 0991

(901)з(920)4 4-1

251000010000 1

1000010000 1000010000 1

(Ю,),!

401000-0001

9999000099 990001

(940«)i4-1

261-1-1-1

9090909090 91 (90), 4-1

42110-01 /7

1569858555 73 1(09890)г 11 /7

271000000001 /3

3333333336 66666667

3,6, 4-1

4410-010-010-

9900990099 0099009901

(9101), 4-1

28 10-010- 9900990099 01 (9101)3 4-1

45100-000001 00-

9990000009 9900099999 9001

9з069з0з9б0з 4-1

30110-

109889011 109889011

461-1-1-1-1- 1-.

9090909090 9090909090'91 (90),.4-1

32100000000

1000000000 0000001

Ю151

4810000000-

9999999900 000001

9,0,4-1

331-01-01-01-

9009009009 0990990991

(900)э(909)з91

491000000100 0000100000 01

1000000100 0000100000 0100000010 0000010000 00

(106)б1

34> 1-1-1-1-1

9090909090 909091 <90), 4-1

5010000-0000 1

9999900000 9999900001

(9з05)з4-1

Продолжение таблицы 6-3 511-01-01-01 -01-01-

9009009009 0090090990 9909909909 91 (900)5(909)591

5210-010-010 -01

9900990099 0099009900 9901 (9202)6 + 1

54100000000-

9999999990 000С0001

9А4-1

51-0001-000 10-0010-00 1

9000090000 9900099000 9990099900 9999099991 (904)2(9203)2(9з02)2(940)2 4-1

61000-00010 GO-

9999000099 9900009999 0001 (9404)з+1

571-01-01-01 -01-01-01

9009009009 0090090099 0990990990 990991 (902)6(920)6 4-1

581-1-1-1-1- 1-1-1

9090909090 9090909090 90909091

(90)14-И

60101000-0-

1009998989 9000101

Ю29з(89)2902(01)2

621-1-1-1-1- 1-1-1-

9090909090 9090909090 9090909091 (90)154-1

3100-000001 00-000001

9990000009 9900000099 9999000999 999001 (9з06)2(9б03)2 4-1

641000000000 0000000

1000000000 0000000000 0000000000 001 10311

651-0001-000 1-01-1-01- 1-01-

9000090000 9009090090 9009099090 9909099099 99099991 (904)2(90290)3(92090)2(92092)2921

Продолжение таблицы 6-3 66110-0110- -

1098901098 8901098901 1 109(8901098)29011

6810-010-010 -010-01

9900990099 0099009900 9900990099 01 (9,0,),+ 1

691-01-01-01 -01-01-01- 01-

9009009009 0090090090 0909909909 9099099099 0991

(902)7(909)791

7011000—-0 111

1099988890 1111098889 00011 109з8з9014098з90э11

721000000000 СО-

9999999999 9900000000 0001 9.20,2+1

741-1-1-1-1- Ы-Ы-1

9090909090 9090909090 9090909090 909091 (90)„+1

7510000-0000 0000010000 -

9999900000 0000099999 0000099999 9999900001 950,095059,003+1

7610-010-010 -010-010-

9900990099 0099009900 9900990099 009901 (9202),+ 1

771-000001-0 01-01-001- 010-01-010 -

9000000900 0900900090 0990090099 0099099009 9099909909* 9909999991

906(90з902)2920290292029209202(9209з0)2960 +1

78110 -0110- -01 /13

8453085376 1614539306 847

(109890)20(989010)2+1 /13

8010000000-0 0000001

9999999900 0000009999 9999000000 01 (9«0«)2+1

811000000000 0000000000 00000001 /з

3333333333 3333333333 3333333666 6666666666 6666666666 6667 32?627 + 1

Продолжение таблицы 6-3

821-1-1-1-1- 1-1-1-1-1- 1

9090909090 9090909090 9090909090 9090909091

(90)2О+1

84101000-0-0 001

1009998990 0009998990 00101

1(029з89202)2(01)2

51-0001-000 1-0001-1-0 1-1-01-1-0 1-1

9000090000 9000090900 9090090900 9090990909 9090990909

9990999909 9991

(904)з(90902)з(90)2(92090)з(940)3 +1

861-1-1-1-1- 1-1-1-1-1- 1-

9090909090 9090909090 9090909090 9090909090 91

(90)21 + 1

871-01-01-01 -01-01-01- 01-01-01-

9009009009 0090090090 0900900909 9099099099 0990990990 990991 (900)9(909)991

881000-00010 00-0001000 -

9999000099 9900009999 0000999900 0099990001

(9404)5 + 1

90100100000- 00-

1000999998 9989990000 01001

1039s(892)29051021

911-000001-0 00010-0000 10-000100- 000100-

9000000900 0009900000 9900009990 0009990009 9990009999

0099999009 9999099999 91

906(9059)2(90492)290(02940)2(0950)29б0 +1

9210-010-010 -010-010-0 10-

9900990099 0099009900 9900990099 0099009900 9901

(^202)„ 4-1

931-01-01-01 -01-01-01- 01-01-01-0 1

9009009009 0090090090 0900900900 9909909909 9099099099 0990990991

(902)|О(920)|О 4-1

941-1-1-1-1- Ы-1-Ы- 1-1-

9090909090 9090909090 9090909090 9090909090 909091

(90)23 +1

Продолжение таблицы 6-3

951-0001-000 1-0001-001 0-0010-001 0-0010-

9000090000 9000090009 9000990009 9000990099 9009990099

9009990999 9099990999 91

(904)з(90з9)490(09э0)4(940)з +1

961000000000 оооооо-

9999999999 9999990000 0000000000 01

9160|6 +1

981000000-00 0000100000 0-

9999999000 0000999999 9000000099 9999900000 01

(9г0т)з + 1

99100-000001 00-0000010 0-00000100

9990000009 9900000099 9000000999 0009999990 0099999900

0999999001

(9э0.)з9з0Д9«0з), +1

1001000000000 -000000000 1

9999999999 0000000000 9999999999 0000000001

(9к>010)2 +1

102110-0110- -ОНО—

1098901098 9010988901 0989010989 011

(109890)2109829010(989010)2 +1

1041000-00010 00-0001000 -0001

9999000099 9900009999 0000999900 0099990000 99990001

(9404)6 +1

10511100-- = - 0011111100 -0-0-

1109988789 0011111099 8989898990 0111110998 878900111

11099887890015099(89)490015099887890013

1061-1-1-1-1- 1-1-1-1-1- 1-1-1-1

9090909090 9090909090 9090909090 9090909090 9090909090 91

(90)26 +1

1081000000000 00000000-

9999999999 9999999900 0000000000 000001

,.0„ +1

ПО 11000-000 10-00-0100 1

1099989000 0989990100 1000989990 0999890001 1

1 09з8904989з0( 100)20989з009з890311

Продолжение таблицы 6-3 1111-01-01-01 -01-01-01- 01-01-01-0 1-01-01 /37

2434867299 7321645970 2946189432 6759191867 5432188945 7024592159 7272948624 3

(902)12(920)|2 +1 /37 11210000000-0 0000001000 0000-

9999999900 0000009999 9999000000 0099999999 00000001 (9вОв)з +1

114110-0110- -0110-01

1098901098 9010989009 8901098901 0989011 (109890/з0(989010)з +1

1151-0001-000 1-0001-000 1-01-1-01- 1-01-1-01- 1-01-

9000090000 9000090000 9009090090.9009090090 9009099090 9909099090 9909099099 9909999099 99099991

(904)4(90290)4902(90920)5(940)4 4-1

11610-010-010 -010-010-0 10-010-01

9900990099 @099009900 9900990099 0099009900 9900990099 009901 <9202)14 + 1

117100-000001 00-0000010 0-00000100 -000001

9990000009 9900000099 9000000999 0000009999 9900099999 9000999999 0009999990 01

(9з06)4(9б0,)4 +1

1-1-1-1-1- 1-1-1-1-1- 1-1-1-1-1- 9090909090 9090909090 9090909090 9090909090 9090909090 90909091

(90)29 4-1 1191-000001-0 00001-01-0 01-01-001- 01-010-01- 010-01-01

9000000900 0000900900 0900900090 0900990090 0990090099 0990099099 0099099099 9099099909 9099999909 999991 (^U^^W^i^^^4-1

1201000100000 00-000-

1000099999 9989998999 9000000010 001 Ю497893894О7Ю4 4-1

1211000000000 0100000000 0010000000 0001000000 0000100000

000001

1000000000 0100000000 ООЮООООСО 0001000000 0000100000 0000010000 0000001000 0000000100 0000000010 0000000001 0000000000 1

О^»о)ю1

Продолжение таблицы 6-3

122 ' 1-1-1-1-1- 1-1-1-1-1- 1-1-1-1-1- 1

9090909090 9090909090 9090909090 9090909090 9090909090

9090909091

(90),о +1

1231-01-01-01 -01-01-01- 01-01-01-0 1-01-01-01 -

9009009009 0090090090 0900900900 9009009009 0990990990

9909909909 9099099099 0990990991

(902)13(909).з91

12410-010-010 -010-010-0 10-010-010 -

9900990099 0099009900 9900990099 0099009900 9900990099

0099009901

(9202),5 +1

1251000000000 0000000000 0000010000 0000000000

0000000000 1

1000000000 0000000000 0000010000 0000000000 0000000000 1000000000 0000000000 0000010000 0000000000 0000000000 1

(1024)«l

126100100000- 00-000001

1000999998 9990000009 9999899900 0001001

1(039589э0з)2(021)2

1281000000000 0000000000 0000000000 000

1000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 00001

106,1

1291-01-01-01 -01-01-01- 01-01-01-0 1-01-01-01 -01

9009009009 0090090090 0900900900 9009009009 0099099099

0990990990 9909909909 9099099099 0991

(901)l<(910)u +1

13011000-000 ПО—-011 110—

1099989000 1098889011 1098890111 0988890109 998900011 109з890э1098(8,901э09)28з90109з890311

132101000-0-0 00101000-0 -

1009998990 0010099989 8990001009 9989900010 1

Ю29з8920зЮ29з(89)290з1029з8920з101

Продолжение таблицы 6-3

1331-000001-0 00001-0001 -1-0001-1- 0001-1-01- 1-1-01-1-1 -01-1

9000000900 0000900009 0900009090 0009090090 9090090909

0090909909 0909909090 9909099990 9099990909 9990999999 09999991

(906)2(90490)3(902(90)2)2902((90)2920)з(90940)з(9б0)2 +1

1341-1-1-1-1- 1-1-1-1-1- 1-1-1-1-1- 1-1-

9090909090 9090909090 9090909090 9090909090 9090909090

9090909090 909091

(90)зз +1

135100000000- 0000000000 0000000100 000000-

9999999990 0000000000 0000000999 9999990000 0000099999

9999999999 9990000000 01

9,0„9,0,91.09 +1

1361000-00010 00-0001000 -0001000-0 001

9999000099 9900009999 0000999900 0099990000 9999000099 9900009999 0001

<9404), +1

138110-0110- -0110-011 0-

1098901098 9010989010 9889010989 0109890109 89011 <109890)зЮ9829010(989010)з +1

1401010000000 -0-0-0-000 10101

1009999999 8989899000 1010101009 9989898990 000000101

Ю29б(98)39202(01 )40292(98)э9207101

1411-01-01-01 -01-01-01- 01-01-01-0 1-01-01-01 -01-01-

9009009009 0090090090 0900900900 9009009009 0090090990 9909909909 9099099099 0990990990 9909909909 91

(900),s(909)is91

1421-1-1-1-1- 1-1-1-1-1- 1-1-1-1-1- 1-1-1-

9090909090 9090909090 9090909090 9090909090 9090909090

9090909090 9090909091

(90)зз +1

143

1-00000000 01-1-00000 001 .-1-00 0001-1-1-1 -0001-1-1- 1-1-01-1-1- 9000000000 0909000000 r v90909000 0009090909 0000909090

9090090909 0909^99090 9090909999 0909090999 9990909099

9999990909 9999^99991

90хо(90)207(90)з05(90)40з(90)5(09)б(90)59з(90)49$(90)з97(90)291о0 +1

Продолжение таблицы 6-3

1441000000000 0000000000 0000-

9999999999 9999999999 9999OOOOOO 0000000000 00000001

924O24 +1

1451-0001-000 1-0001-000 1-0001-001 0-0010-001 0-0010-001

0-0010-

9000090000 9000090000 9000090009 9000990009 9000990009

9000990099 9009990099 9009990099 9009990999 9099990999

9099990999 91

(904)»(90з9)б90(09э0)б(940)5 4- 1

1461-1-1-1-1- 1-1-1-1-1- 1-1-1-1-1- 1-1-1-1

9090909090 9090909090 9090909090 9090909090 9090909090

9090909090 9090909090 91

(90)з« +1

1471000000-00 0000000000 01000000-0 0000000000 001

9999999600 0000000000 0999999900 0000000000 0099999999

9999990000 0009999999 9999999000 0001

(9,0,4)2(9.407)2 +1

14810-010-010 -010-010-0 10-010-010 -010-01

9900990099 0099009900 9900990099 0099009900 9900990099

0099009900 9900990099 01

(9z02)„ 4-1

1501000010000 00000-0000 -

1000009999 9999989999 8999990000 0000010000 1

1059989489s0,104l

это Rn, т. е. число, записываемое п единицами. Поэтому наша таблица содержит только сомножители репьюнитов с составными индексами. Если п — составное число, то Рп — собственный делитель числа Rn, и количество цифр в Рп меньше п. Pt принимаем равным единице.

Буквами q и г, как и буквой р, будем обозначать простые числа. Если они используются одновременно, то р < q < г.

Каждое из приведенных здесь правил применяется для бесконечного множества случаев. Эти правила могут быть использованы для расширения табл. 6-3 за ее верхний предел п = 150, так как они учитывают кратность и используются для чисел п с тремя различными простыми множителями. Если оказывается, что необходимо больше чем одно правило, то следует воспользоваться первым же подходящим правилом.

Общая характеристика чисел Рп

Если п равно степени 3, то Рп — это ряд троек, за которым следует такое же число шестерок, однако последняя шестерка заменена семеркой. Если п равно степени любого другого простого, то Рп — палиндром, цифры которого только единицы и нули.

Если п равно произведению степеней двух различных простых чисел, то Рп записывается равным количеством девяток и нулей, однако последний нуль заменяется единицей.

Если п равно произведению степеней трех различных простых чисел, то цифры Рп включают нули, единицы, восьмерки и девятки.

Однако когда п равно произведению простого числа на длину его периода, то получаемый описываемыми правилами множитель необходимо поделить на простое число, чтобы образовать в итоге примитивный сомножитель. Это происходит, когда п = 22, 42, 78, 111 и т. д.

Система Ейтса — Джернедла

Система обозначений Ейтса — Джернедла позволяет избавиться от длинной записи чисел и легко переводится в число Рп. Числовой или буквенный индекс s после цифры (или после скобок) означает, что цифра (или содержимое скобок) появляется s раз. Отсутствие индекса означает, что цифра появляется один раз. Знаки плюса и минуса имеют свое обычное арифметическое значение. Так, (920)3 + 1 означает 990990991; 1п означает строку из п единиц. Единственное преимущество этой системы в том, что она подобна обозначениям, которые прежде использовались в химии и математике.

ь

л (F) означает конкатенацию в соответствующем порядке выражений, образованных последовательной подстановкой вместо j целых чисел от а до b в (Е). \q]p\ —целая часть дроби q/p. Промежуточные функции множителей числа п определяются до того, как Рп будет установлено.

Рп в пределахРп в пределахПравила для написания Рп в системе YG

Рп в пределах

Рп в пределах

Правила, обеспечивающие получение всех п ^ 150 по табл. 6-3, следующие:

п делится на одно простое число.

п = р; Рп=1р.

п = рк, р#=3; а = рк 1 — 1, Рп = (lOa)p-i 1.

п = Зк; ^>1; а — З6-1, ^n = 3a6o+1.

Только 2 простых числа делят п. n = pkqm-, а = \q/pL b = n]pq.

Р-1

а. 9=l(modp); Рп= ^ ((Э/бО^-^бМ + 1- /-1

b. q = — 1 (modр); если / = р—1, то ^ = 0.

В противном случае к = 1.

р-1

Рп= л ^ib^kP-nb^a^ib^kP-x-hb^i^A-X.

7 = 1

а. q = 2 (mod р); с = (р —1)/2.

Рп= Л (((9б0б)/0(р_2/)б)а) (9б0б)с Л ((9(2/-1)б(9б0б)с + 1-/)а) + 1. 7=17=1

b. q= — 2(modp); с = (р —3)/2.

Если / = 0, то к = 0. В противном случае k=L

Рп = А (9гб0б) В (9(Р-1) ь^ь)а + 1.

А= Л ((9б0(р-1-2/)6 (ЭбО^а + й).

7=0

6= л (((9б0б)с-/(9(/+1)2б0б))^^ 7 = 0

а. 9 = 3(modp), р = 7. Рп = АВ+1.

А = (96066)а (960269^03&)a (96026)2 (92б02б9602б)а.

В = (92б06926026)а (92i,06)2 (9360692606)a (96606)a.

b. ?=-3(modp), p = 7. Pn = AB-Y\.

A = V^b^b^a (9б03696026)а+1 (92602696026)a 926026.

В = (92б06926026)а (9260693606)a+i (96606)a.

Только 3 простых числа делят п. п = р^кгт; a=\r!pqY b = n]pqr.

3.1. р = 2, q = 3; А = 10^926—189^026—i, В = 926-189^026-110^.

а. r=l(mod6); Рп= Aa0Ba-Y\.

3.1b. r = 5(mod6); Рп = Ла10б92б-189б-189б02б-1ЮбВа 4* 1.

3.2. р = 2, 9 = 5; Л = 10б94б-189б04б-1,

В = 94б-189б04б-11 Об.

3.2а. r=l(modlO); Pn = CD + 1.

С~ Аа (0926-189з»026-1 Юзб-1)а.

D = (10з&92&—189з^02&—i)a 0Ва.

3.2b. r = 3(modl0); Pn = CD+L

С = Ла 10^926-189^-1 (89&_ 189^026—1 (Юб-1)210б92б-189б-1)а.

D = (89г>02б-1 (Юб-1)210^,926-1 (89б-1)2)а 89^026- 110бВа.

3.2с. г = 7 (mod 10); Pn = C (D10b-x)aE + 1.

С = ЛаЮб94б-1 (89& _ 1)2 89^026-110^-1.

D = 10^-110^926-1 (89^—1)2 89^026—1.

£ = (Ю6_1О)а+102И06Ва.

3.2d. г = 9 (mod 10); Pn = CD+L

С = ЛаЮ6946-1896-1 (89зб026-110з&926 -1)а + 1.

D = (9 026-110зб92б-189зб-1)а+1 89^0^-1 Ю^Ва.

Упрощенное описание для частных случаев

Хотя приведенные выше правила удобны, для большого числа часто встречаемых случаев вполне достаточно упрощенных правил. Ниже приводятся некоторые примеры. В каждом из них q — нечетное простое число, а число цифр в Рп равно ф(п). Если п равно произведению простого числа р и L(p), то результат делится на р, как показано ниже.

При

п =

= 2^

полагаем а

!=(<?

—

1)/2.

Тогда Рп

= (90)

а + L

п

Р„

п

Р.

п

р„

6

(90).

4- 1

46

(90)..

4-

1

106

(90)26

4-

1

10

(90),

4- 1

58

(90),4

4-

1

118

(90)„

4-

1

14

(90),

4- 1

62

(90).,

4-

1

122

(90)зо

4-

1

22

((90), + !)/11

74

(90).,

4-

1

134

(90)зз

4-

1

26

(90)6

4- 1

82

(90)2о

4-

1

142

(90)„

4-

1

34

(90),

4- 1

86

(90)2.

4-

1

146

(90)з,

4-

1

38

(90),

4- 1

94

(90)23

4-

1

При

п =

= 3^

и q =

1 (mod 3)

полагаем а

= (9-

- 1

.)/з.

Тогда

Вл=(900)а(990)а+ 1.

93

(900).о(990)ю + 1

111

((9ОО).2(99О),2 + 1)/37

129

(900).4(990).4 + 1

п Рпп РппРя

п Рп

п Рп

21(900)2(990)24-1

39(90 0)4(9 9 0)44-1

57(900)6(990)б4-1

При п = 3^ и ^ = 2(mod3) полагаем a=(q — 2)/3. Тогда Рп = (900)Д909)а91.

п

р.

п

Р„

15

(900),(909).91

69

(900)7(909)791

33

(900)3(909)з91

87

(9ОО),(9О9)»91

51

(900)5(909)з91

123

(900)1э(909кз91

141

(900)15(909)1з91

Ранее в этой главе было отмечено, что если п/6 = х, где х не кратно любому простому числу, отличному от 2 и 3, то Рп = 9х0х + 1.

П

Р-

п

Р„

п

р.

6

9.0! 4- 1

36

9«06 4- 1

96

91б01б 4- 1

12

9,0, + 1

48

9.0, 4- 1

108

9ie0i8 4* 1

18

9зОэ + 1

54

9д0» 4" 1

144

924O24 4- 1

24

9.0. 4- 1

72

9и012 4- 1

Система Роуза

В системе обозначений Роуза каждый предварительный примитивный сомножитель Рп записывается как палиндром, содержащий точно 1 + ф(п) символов. Предварительный и окончательный сомножители различны только тогда, когда п равно произведению простого на его длину периода; в этом случае окончательный сомножитель получается делением на простое, как отмечено ранее. Один знак минус (-) означает число —1. Например, так же, как запись 123 в нашей обычной десятичной системе счисления обозначает число 1 • 102 + 2-101 + 3-10°, запись 1-1 обозначает 1-Ю2—1-10+1 = 91. Удвоенный знак минус ( = ) обозначает число —2. Так, число 1 = 1 есть 1-Ю2 — 2-10+1 =81. Такое обозначение распространяется на тройные и большие количества минусов с соответствующими числовыми значениями.

Сложение и умножение этих символов следует проводить по достаточно простым правилам: — плюс — равно =,— умножить на — равно 1.

Для удобства изложения введем запись RH^n) (полупалиндром Роуза)1), обозначающую первые (d—1)/2+1 символов примитивного сомножителя Р^ где d = 1 + ф(п)—количество символов в Рп, когда п > 1. Поскольку d нечетно при

!) Символ RH(n) составлен по первым буквам английских слов Rose half- palindrom. — Прим, перев.

всех составных п, последний символ в RH (п) не повторяется при написании полной палиндромной формы Рп. Например, /?Н (25)= 10000100001, откуда ?2ь записывается так: 100001000010000100001.

Правила для написания Рп

Если п нс составное, то Рп записывается в виде строки из п единиц. Так Л = 1 и Р5 = 11111.

Если п — нечетно и п =pq, пишем 1 —, за ними следует р — 2 нуля. Повторяем эту строку символов несколько раз до полных 1 + (р — 1) (q — 1) /2 символов Строкой ниже переписываем все, кроме последних q символов, так, чтобы крайний справа символ располагался под крайним справа символом предыдущей строки. Продолжаем переписывать, начиная справа, строки символов, каждую на q символов короче расположенной над ней предыдущей строки, до тех пор, пока нечего будет переписывать. Сложим все строки. Последний (крайний справа) символ этой суммы является средним символом Рп, которое имеет нечетное число символов, так что сумма равна RH(n). Переписываем остальные символы в обратном порядке, чтобы получить полный палиндром.

Заметим, что когда р = 3, то 1 + (р—1) (q—1)/2 = ^, так что не получается новой строки для добавления к первоначальной. Вообще, число строк равно (р— 1)/2.

Примеры: Лб = 1-01-10-1.

Образуем Р35: 1-0001-0001-0

1-0001

Р35 = 1-0001-1-01-1-10-1-1000-1

Когда п равно произведению двух различных простых, сумма символов Рп равна 1 .

Если п равно произведению трех различных нечетных простых, р < q < г, записываем р единиц, за ними q — р нулей. Затем пишем р знаков -, затем столько нулей, чтобы в итоге было pq цифр. Повторяем все до достижения 1+(р—1) (q — — 1) (г—1)/2 символов. Начиная сразу под первой единицей, пишем первый символ Ppq\ затем г — 1 нуль, затем второй символ Ppq, затем г — 1 нуль, затем третий символ Ppq, затем г—1 нуль и т. д. до тех пор, пока нижняя строка станет такой

^ Последний раз строка может быть записана неполностью. —Прим,, ред.

же длины, как и верхняя (которая всегда заканчивается прежде, чем Ppq наполовину будет использовано). Перемножаем как числа слева направо эти две строки, прерывая каждую строку произведения под крайними справа цифрами. Произведение равно RH(n).

Пример: Найти RH^n), где п = 3-5-7 = 105.

Выше мы нашли, что Pis = 1-01-10-1.

1110 0000000011100о о

1000000-00000000000001000 1110 00000000111000 0

001110000000 1110 11100--=--00 111 1110 О-0-0-= КН(105)

Если п нечетно, то Р2п записывается как Рп, где на четных местах вместо 1 ставится знак «—» и, наоборот, вместо «—» ставится символ «1». Эти символы представляют нечетные степени основания и, таким образом, исключают первый и последний символы.

Примеры: Р3=Ш, поэтому Р6 = 1-1

Рб = 11111, поэтому Рю = 1-1-1

Рю = 1-01-10-1, поэтому

Р30 = 110-011

Если п имеет один или больше повторяющихся простых множителей, разделим его на два сомножителя, т. е. п = е^ так, чтобы е было произведением всех различных простых в первой степени. Тогда Рп — это Ре с f—1 нулями между последовательными цифрами. Примеры:

РА = р2.2 =Ю1.

рв =р2, = 10001; Р9 = Р3.3 = 1001001.

Р\2 = Р^ =10-01 и

Р45 = Р15 3= 100-00000100-00100000-001.

Приведенные правила обеспечивают написание Рп для всех п < 1155.

Система Роуза по существу является переводом кругового многочлена Qn^Y кроме случаев, когда п равно произведению простого на длину его периода. Например, Q15(x)=x8— я7+ + х5— х4 + х3— х+1, в котором последовательные числовые коэффициенты, в восходящем либо нисходящем порядке, суть

—1, 0, 1, —1, 1, 0, —1 и 1. Соответственно Рю =1-01- -10-1.

Замечания и комментарии

Один студент из коллежда Тринити,

Искал делители всех чисел — репьюнитов, Что возбудило в нем большое беспокойство, Обилье цифр повергло ум его в расстройство.

И математику сменил он на молитвы.

(С извинениями к анонимному автору)1)

Маттиас Джернедл из Вены подсчитал и проверил примитивные сомножители репьюнитов, несомненно, гораздо тщательнее и объемнее, чем кто-либо другой. Он продолжает расширять свои таблицы и ежегодно посылает нам прекрасно оформленные результаты. Он перешагнул рубикон, на котором остановился автор и который определяется числами п, кратными не более трем различным простым, и вывел формулы и системы, значительно расширившие пределы их применения. Они послужили нам для проверки наших соответствующих результатов. Кен Роуз смог легко и быстро записать примитивные сомножители в своей системе. Оба этих человека — специалисты в области производства того, что по существу есть круговые многочлены для больших значений п.

Задача, описанная в «Анализе видов», была предложена Бейлером и до него другими, которые знали, что 9901, 99990001, 999999000001 и 9999999900000001 простые и что все остальные числа этого вида вплоть до двадцатизначных включительно составные. Это достижение оставалось на протяжении многих лет только как любопытный факт, поскольку изучение больших чисел такого типа механическими средствами было скорее вызовом, чем искушением. В начале 60-х годов Бейлер писал: «Выяснение природы этого последнего числа (20-значное составное число) было нелегким делом, и его характер оставался неизвестным до недавнего времени. Приведенная любопытная таблица показывает, что выражения такого типа кажутся отвечающими некоторому правилу для небольших интервалов, но затем они теряют закономерность, как это весьма часто слу-

4) Перевод В. Столяра.

чается в теории чисел, являясь показателем опасности поспешных выводов». Статья С. Ейтса [137] содержит анализ, приведенный в этой главе. Позже в статье X. С. Уильямса [125] были описаны результаты, которые показали, что некоторые более длинные числа этого типа составные.

Слово «сомножитель» используется иногда, чтобы обозначить всякий множитель числа, обычно большой, разложение которого на множители представляет собой отдельную задачу. Определение, применяемое в этой книге, более узкое.

Хотя Биркхофф и Вандивер были среди первых, кто доказал, что ап — Ьп всегда имеет примитивный делитель (кроме 26—I6), Д. Г. Лемер указывает, что первым официальным автором примененного нами аспекта этой теоремы был А. С. Бэнг. В 1886 г. Бэнг показал, что теорема справедлива для всех случаев, когда b = 1 [6].

ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВОЙ ПОДХОД К БОЛЬШИМ ЧИСЛАМ

Большие числа в обычной практике

В вычислениях, которые производятся в физических науках, большинство чисел округляются и по существу могут рассматриваться как приближенные. Число цифр, сохраняемых при измерении тепловых единиц, углов, расстояний, объемов, скоростей и т. д., ограничивается самой природой единицы измерения, измерительным прибором и практическими соображениями. Результат измерения считается большим или маленьким по отношению к результату, предварительно полученному или предвиденному. Однако в практической физике, химии, инженерном деле и даже в коммерции нечасто приходится или появляется потребность подсчитать больше чем 10 или 15 значащих цифр. Даже в такой точной науке, как астрономия, редко появляется необходимость в использовании более 10 или 20 цифр. И хотя мы умеем подсчитывать тригонометрические функции и математические константы до стольких цифр, сколько нам захочется, бессмысленно и бесполезно выполнять эти вычисления дальше, чем это оправдано точностью измерений и согласуется с требованиями имеющегося под рукой задания.

Большие числа в теории чисел

Совершенно иначе обстоит дело с теоретико-числовыми расчетами. Теория чисел обычно имеет дело со свойствами целых чисел. Два числа, различающиеся только на единицу, независимо от их величины имеют свойства, совершенно отличающие их друг от друга, поскольку интерес предсталяют такие общие свойства, как простота, делимость и разложимость на множители. Если число, большее трех, простое, то любое отличающееся от него на единицу число составное. Если число составное, то любой его простой делитель не равен простому делителю числа, отличающегося от первого на единицу. Для теории чисел каждая цифра числа важна независимо от его величины.

Делимость и простота

В математике в общем случае одно число может делиться на другое при условии, что второе не равно нулю. В теории

чисел, однако, мы говорим, что одно число делит другое или что оно является делителем другого только тогда, когда частное является целым числом. Простое число — это натуральное число, не имеющее собственного делителя; собственный делитель — делитель, который больше 1 и меньше самого числа. Составное число имеет хотя бы один собственный делитель. Из этого следует, что если натуральное число N делить последовательно на все целые числа большие 1 и меньшие N и при этом никакое частное не будет целым, то N — простое число. Это, конечно, так, но мы можем показать, что не нужно для этого проводить всю работу деления.

Предположим, что мы поставили себе эту цель и беремся определить, является ли N простым, путем проверки частных, получаемых делением чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и т. д., на целостность. Очень скоро мы выясняем, что нет нужды делить N на какое-нибудь составное число т, поскольку если уже видно, что N не делится на простой множитель числа т, то N не разделится и на т. Для дальнейшего упрощения задачи мы можем наложить ограничение сверху на количество простых делителей числа N с помощью следующей теоремы и ее следствий.

Количество простых делителей

Теорема. Если каждый простой делитель числа N больше, чем, NMm^ то число простых делителей N меньше т.

Доказательство. Пусть а — наименьший простой делитель числа N. Тогда по предположению а > Nx/m\ поэтому am > N. Поскольку произведение m множителей, равных а, больше N, то в разложении N на простые множители должно входить меньше пг простых множителей, больших или равных а.

Специальный случай или следствие к этой теореме обычно используется, чтобы показать, что число N — простое, без деления его на все меньшие простые.

Следствие. Если нет простого числа, делящего N и меньшего или равного л/N", где N > 1, то N — простое число.

Доказательство. Пусть в теореме m = 2. Если N имеет меньше, чем 2 простых делителя, то N должно быть простым.

Этот принцип обычно демонстрируется учащимся таким образом: когда они делят число N на последовательно увеличивающиеся числа, то частное, образованное сразу после того, как пройден квадратный корень, меньше, чем сам квадратный корень. Так как уже было доказано, что все возможные

делители, меньшие чем квадратный корень, не являются таковыми, бесполезно искать целое частное за этим Рубиконом.

Используется также следующее дополнительное следствие. Прежде всего заметим, что если N имеет 3 или более простых делителей, произведение любых двух из них является составным собственным делителем числа N.

Следствие. Если^ нет простого числа, делящего N и меньшего или равного ^N, то каждый собственный делитель числа N — простое число.

Доказательство. Согласно теореме, либо N имеет 2 (различных или равных) простых делителя, и поэтому оно составное, либо N имеет один простой делитель, т. е. само N, и поэтому оно простое. Когда N — простое число, оно не имеет собственного делителя. Когда N — составное число, каждые из его двух простых делителей — собственные, но их произведение равно N, которое не является собственным делителем числа N. Отсюда следует, что каждый собственный делитель числа N — простой.

Приведем приложение этого следствия. Одной из специальных форм чисел, разложение которых на множители было воспринято как очень трудный, но поддающийся решению вопрос, являются репьюниты. Нет такого репьюнита Rn, который может быть простым, если п — не простое. В течение нескольких лет было известно, что R7X — составное число, хотя ни один из его простых делителей не был известен (почему это возможно, будет пояснено немного позже). К моменту написания этой книги /?71 был наименьшим в десятичной системе счисления репьюни- том, у которого неизвестен даже один простой делитель ^ Предположим, что нами обнаружено, что нет такого простого, меньшего чем корень кубический из /?7ь что равно примерно 2,3-1023, которое являлось бы делителем числа R7X. По современным возможностям компьютера такое предположение не безрассудно.

Предположим, что мы посчитали немного дальше и нашли простое число, которое действительно делит Rn. Тогда это число / и также парное ему число k = R7\/j— оба, согласно следствию, простые, поскольку оба — собственные делители числа R7x. Если / имеет 24 цифры, то к должно иметь около 47 цифр. Если / имеет больше чем 24 цифры, то к имеет соответственно меньше цифр. В любом случае очень большое число к, для которого определение простоты иным способом было бы весьма

!) В настоящее время все простые делители R7\ известны, их два (см. табл, приложения 1, присланную автором для настоящего издания). — Прим, перев.

затруднительно, не нуждается в испытании на простоту, ибо мы гарантированы, что это собственный простой делитель репьюни- та, самой постановкой вопроса.

Самые большие известные простые

Таблица 7-1 представляет список известных простых с количеством цифр более 7000. Каждое из этих больших простых

Таблица 7-1 О

Известные простые с количеством цифр, превышающим 7000

А (^, n) = k • 2п + 1 В (£, п) = k • 2п - 1

Простые

Количество цифр

Простые

Количество цифр

1 В (391581,216193)

65 087

23 В (69,39983)

12 038

2 В (1,216091)

65 050

24 А(36983,38573)

11 617

3 В (1,132049)

39 751

25 А(53941,36944)

11 126

4 В(1,110503)

33 265

26 В (27,35942)

10 822

5 В (1,86243)

25 962

27 В (9,35647)

10 732

6 В (235235,70000)

21 078

28 В (189,34233)

10 308

7 В (207,67196)

20 231

29 А(3061,33288)

10 025

8 В (33,67182)

20 226

30 В (189,31965)

9 625

9 В (27,62024)

18 673

31 А(75841,31220)

9 404

10 А (8423,59877)

18 029

32 В (165,30918)

9 310

11 8 (255,58476)

17 606

33 В (87,29588)

8 909

12 В (105,56903)

17 132

34 В (135,29430)

8 862

13 А(8423,55157)

16 608

35 В (87,29306)

8 824

14 А (7,54486)

16 403

36 А(69107,29175)

8 788

15 В (129,45395)

13 668

37 А (71671, 28884)

8 700

16 В (1,44497)

13 395

38 В (87,28581)

8 606

17 В (63,44198)

13 307

39 А(71417,26807)

8 075

18 А(32161,43796)

13 189

40 В (45,26591)

8 007

19 А(77899,43194)

13 008

41 А(39079,26506)

7 984

20 А(16817,42155)

12 695

42 В (3,26459)

7 966

21 В (165,40901)

12315

43 В (171,26237)

7 901

22 А(14027,40639)

12 238

44 А(64007,26015)

7 837

45 А(7651,25368)

7 641

49 А(67193,24297)

7319

46 В (117,24977)

7 521

50 В (213,23814)

7 172

47 В (75,24658)

7 425

51 В (42,23522)

7 083

48 В (189,24404)

7 349

52 А(5,23473)

7 067

^ Здесь учтены изменения, присланные автором для настоящего издания. Изменения оказались настолько значительными, что мы сочли необходимым поместить только те большие простые, которые имеют более 7000 цифр —Прим. ред.

записывается в виде &-2n+l ^ Для подтверждения простоты чисел этой формы существуют сравнительно удобные методы. Применение этих методов поддерживается и усиливается рвением исследователей, которые используют последние достижения в компьютерах высокого класса. Вполне возможно, что, пока книга дойдет до читателя, будут найдены еще простые этого вида.

Составные числа с большими простыми делителями

Поиск делителей большого числа в случае, если сами делители велики, может стать весьма дорогим, поскольку вступает в силу фактор времени. Недавно профессор Рональд Райвест из Массачусетского технологического института оценил, что на поиск простых делителей составного 125- или 126-значного числа на скоростном компьютере потребуется 4-1016 лет, если никакой делитель не имеет меньше 63 цифр [96]. Этот факт был использован им в построении «неразбиваемого» кода, который получил практическое применение в современной компьютерной технике \ Поскольку метод, используемый для поиска простых множителей, подобен описанному выше способу установления простоты числа, то становится ясно, что простые в табл. 7-1 были найдены иным путем. Тот факт, что эти простые числа имеют определенный вид, послужил одной из причин возможности использования специальных методов.

Метод Люка — Лемера для простых чисел Мерсенна

Так например, для отыскания простых чисел Мерсенна был использован вариант I метода Люка — Лемера. Рассмотрим рекуррентную последовательность S2 = 4, S3 = 14, Sn+i = Sn — 2 при п > 1. Пусть числа Мерсенна имеют вид Мп^^—1. Если п > 2, то Мп простое число тогда и только тогда, когда Мп делит Sn. Когда п = 3, М3 = 7 и 7 делит 14, поэтому 7 — простое число. Когда п больше, работа упрощается вычислением Sn по модулю Мп. Когда п = 5, М5 = 31, S2 = 4, S3 = 14 и S4=194, которое дает в остатке 8 при делении на 31, т. е. S4 = 8 (mod 31), a S5 = 82 — 2 (mod 31) ^ 62 (mod 31), т. е. делится на 31. Отсюда 31 — простое число. Этот метод с некоторыми усовершенствованиями оказался весьма продук- тйвен.

о Простые числа иногда называют титанами, если они имеют не менее 1000 цифр, и гигантами, если в них не менее 5000 цифр —Прим перев

Простое число, равное половине уменьшенного на единицу другого простого, как показатель двойки у простого числа Мерсенна

Если простое число р = 3(mod 4) и q = 2р + 1 — простое число, то q\2p— 1 и Мр = 2^— 1 не является простым числом Мерсенна, кроме случая, когда р = 3. Это утверждение следует из более общей теоремы 103 «Введения в теорию чисел» Харди и Райта [44]. Покажем это следующим образом. Если г — квадратичный вычет по модулю q, то = 1 (mod q). Число 2 — квадратичный вычет по модулю любого простого, сравнимого с ±1 по модулю 8. Если p = 3(mod4), то р = 3 или 7(mod 8) и q = 2р + 1 = 7(mod8). Тогда 2 — квадратичный вычет по модулю q и 2^-1)/2 = 2^ = l(mod(/). Поэтому ^ 12р — — 1. Отсюда число Мерсенна Мр = 2р—1 не может быть простым, если р = 3(mod 4), р Ф 3 и если р равно половине уменьшенного на единицу другого простого.

В этом случае р не может быть сравнимо с 1 по модулю 3; иначе число q было бы составным. Поэтому, исключая тривиальный случай, когда р = 3, чтобы р и q были оба простыми, должно быть р ^ 2(mod 3). Пересечение классов вычетов p = 2(mod3) и р = 1 (mod 4) дает р = 5(mod 12). Таким образом, если р, q и Мр — простые числа, то р = 5 (mod 12). Проверка на известных простых числах Мерсенна показывает, что каждое р > 3 в Мр есть половина уменьшенного на 1 составного числа, кроме случаев р = 5,89, 9689 или 21701. В этих случаях р s 5 (mod 12).

Псевдопростые

Такая специальная методика не применима в общем случае для того, чтобы доказать с уверенностью, что число простое; хотя имеются вероятностные методы, которые гарантируют оценку простоты с очень высокой вероятностью. Эти методы опираются на теорему Ферма, гласящую, что если N простое и не делит а, то aN-Y = 1 (mod N). Отсюда следует, что если число N не удовлетворяет этому сравнению, то N — составное. Именно так можно было выявить, что R7i — составное, о чем было сказано ранее, хотя собственные делители этого числа не были известны.

Все простые и некоторые составные числа удовлетворяют этому сравнению. Название «псевдопростое число в системе с основанием а» было применено проф. Дж. Бриллхартом и дру- тими к любому натуральному N, независимо от того, простое оно или нет, если удовлетворяет этому сравнению. В последнее

время, кроме, может быть, чисел Мерсенна, для которых имеются другие методы, первым этапом выявления факта простоты большого числа после испытания на возможные маленькие делители является проверка на псевдопростоту при некотором основании системы. Если нет, то оно составное; если да, то можно попытаться проверить, является ли оно псевдопростым в другой системе. Однако, даже если N — псевдопростое число в нескольких системах, еще нет гарантии, что оно простое. Говорят, что составные псевдопростые числа встречаются редко, так как отношение числа составных псевдопростых к числу простых очень мало. Но множество составных псевдопростых чисел, даже тех, которые являются псевдопростыми во многих системах, бесконечно. Собственно говоря, число составных чисел, являющихся псевдопростыми во всех системах со взаимно простыми основаниями, полагается бесконечным. Такие числа называются числами Кармайкла. Примеры таких чисел: 3-11- •17 = 561 (наименьшее число Кармайкла), 5-29-73 и 7-13-19.

Тем не менее удалось доказать, что простыми являются весьма громоздкие числа, о которых стало в последние годы известно, что они псевдопростые для двух или более систем, и которые затем были достаточно исследованы на простоту. Профессор X. С. Уильямс из Виннипега (Канада), доказавший в 1977 г., что /?(Ю, 317) простое, привел еще два больших псевдопростых, о которых позже возможно будет доказано, что они простые. Это — R (10, 1031)!) и /?(11, 907). В десятичной системе они имеют соответственно 1031 и 944 цифры.

Показав, что большое число псевдопростое, необходимо еще найти доказательство того, что оно простое, если это так. Пути достижения этого становятся более осуществимыми с использованием постоянно совершенствующихся компьютеров и методов. Журнал «Математика вычислений» (см., например, [4, 5]) является превосходным указателем источников, в которых рядом исследователей изложены методы разложения на множители чисел N + 1, N— 1 или других простых функций числа N. Эти методы также требуют настойчивости, воображения и машинного времени, но они зачастую продуктивны.

Полно периодные псевдопростые

Раньше в литературе, когда термин «псевдопростое» еще не появился, писали, что такое число р «удовлетворяет сравнению Ферма Np-Y = l(modp)». Мы ограничимся здесь псевдопростыми в системе с основанием 10. Под термином «псевдопростое»

!> См. примечание на с. 50. — Прим, перев.

подразумевается, что число «ведет себя как простое» относительно этого сравнения. Поскольку ^|10^_1— 1 и L(N)\N—1, то мы можем говорить, что N — псевдопростое тогда и только тогда, когда N = 1 (mod L (N)).

Можно легко показать, что если L(N) = N—1, то N не просто псевдопростое, оно — простое. В этой связи можно рассматривать только числа, принадлежащие множеству С (т. е. сравнимые с ±7, ±11, ±17, ±19 по модулю 40), так как простые числа в этом множестве — единственные простые, которые могут иметь полный период. Если простое число имеет полный период, то оно также имеет и Майди-свойство. Если оно является n-значным числом, то всякий раз, когда имеет место Майди-свойство, достаточно первые п цифр периода добавить к первым п цифрам второй половины периода, чтобы получить репдиджит из девяток. Если п комплементарных цифр появляются до того места, где расположена ^N—1)/2-я цифра, то L(N)<.N—1. Так, например, простое число 3541 принадлежит множеству С, так как сравнимо с 21 по модулю 40. Это четырехзначное число. Первые 4 цифры 1/3541 после десятичной запятой — 0002, 9-дополнение которых — 9997. Выписывая цифры периода дроби 1/3541 до первого появления 9997, мы получим 00028240609997, что дает 10 цифр в половине длины периода. Отсюда £(3541)= 20 и 3541 — неполнопериодное простое.

Между прочим, мы видим, что если для получения периода мы используем тот же способ, что и для определения длины периода простого n-значного числа р из множества С (во многих случаях вполне пригодны и другие методы), то нет необходимости искать больше чем (р—1)/6 цифр. Простое из множества С имеет нечетный индекс периода i^pY Если р имеет полный период, то t(p)= 1; в противном случае t (р) = 3, 5, 7 и т. д. Если £ (р) = 3, то цифры 9-дополнения первых п цифр периода будут первыми, которые появятся сразу после первых (р—1)/6 цифр. Если их там нет и не появились раньше, то они должны появиться сразу после первых (р—1)/2 цифр; в этом случае р имеет полный период. Поэтому, если простое число принадлежит множеству С, то для определения L(p) нет необходимости использовать больше чем (р—1)/6 + /г цифр.

Определение простоты числа с помощью множества С

Теорема 1. Псевдопростое число N является составным, если N принадлежит множеству С и индекс его периода четный, или, если N не принадлежит множеству С и индекс его периода нечетный.

Доказательство. Эта теорема следует из того, что все простые из множества С должны иметь нечетные индексы периода, а все простые не из множества С должны иметь четные индексы периода.

Например, заметим, что L (40903831)= 474. Индекс периода, равный 40903830/474 = 86295, является нечетным числом. Но 40903831 = 31 (mod 40), т. е. оно не из множества С. Отсюда следует, что это псевдопростое число является составным.

Псевдопростое 46657 имеет длину периода 96. Индекс периода, равный 46656/96 = 486, четен. Но 46657 = 17 (mod 40), т. е. оно из множества С. Отсюда 46657 — составное число.

Другой подходящий случай представляют собой числа Ферма ^ = 22^+1, которые являются простыми при к = 0, 1, 2, 3 и 4. На сегодняшний день не найдено простого при к > 4. Если ^>1, то Fk = 17(mod 40), поэтому все числа Ферма, большие 5, принадлежат множеству С Наибольшая степень двойки, которая делит Fk— 1, есть само Fk — 1. Предположим, что Fk, которое мы исследовали, псевдопростое, т. е. ^| Ю^-1 — — 1. Чтобы выяснить, простое оно или нет, нам необходимо только выяснить, делит ли Fk число 10(Ffe~1)/2 — 1. Если да, то индекс его периода четен и Fk есть составное число. Если нет, то это полнопериодное псевдопростое и, следовательно, Fk является простым числом.

Теорема 1 представляет собой пример аналитического подхода к выяснению простоты числа. Этот вопрос трактуется по разному и достаточно широко освещен в указанной в библиографии литературе. Последующие теоремы касаются синтеза псевдопростых.

Исключение кратных 2 или 5

Не существует такого составного числа N, не взаимно простого с а, которое было бы псевдопростым в системе с основанием а Чтобы это показать, предположим, что Ь\а, b > 1 и Ь|^ Тогда bja^1; но N, которое также кратно Ь, не может делить aN~x — 1, которое на единицу меньше числа, кратного Ь. Поэтому мы нс будем пытаться строить какое-либо псевдопростое число, делящееся на 2 или 5 в системе с основанием 10.

Произведения чисел с одинаковой длиной периода

Теорема 2. Если N — произведение степеней различных простых, причем все простые множители и их степени, входящие в него, имеют одинаковую длину периода, то N — псевдопростое число.

Доказательство. Пусть L— общая длина периода. Так как каждое простое число, а следовательно, и каждая степень простого, которая делит число N, сравнимы с 1 по модулю L, то IV г 1 (mod L) или L\N—1. Так как степени различных простых попарно взаимно просты, то L(N)— это наименьшее общее кратное длин периодов всех степеней простых, делящих число N. Поэтому L(N) = L. Отсюда L(N) |W— 1 и N— псевдопростое число.

Несложный пример применения этой теоремы дает число 91, простые делители которого 7 и 13 имеют одну и ту же длину периода, равную 6. Поэтому 91 — псевдопростое число. 91 является также примитивным сомножителем репьюнита R&, так как 7 и 13 — единственные простые числа, делящие R6 и не делящие меньший репьюнит.

Следствие 2А. Примитивный сомножитель репьюнита — псевдопростое число.

Базис*. Примитивный сомножитель репьюнита Rm — это произведение всех его примитивных простых делителей, длина периода каждого из которых равна т.

Следствие 2В. Если пг — простое число и т^^, то Rm — псевдопростое.

Базис: Если пг — простое и m Ф 3, то Rm равно своему примитивному сомножителю.

Поскольку число репьюнитов бесконечно и каждый имеет свой индивидуальный примитивный сомножитель, множество примитивных сомножителей репьюнитов представляет собой бесконечное множество псевдопростых, каждое со своей длиной периода.

Если т —степень числа 3, то и L(m)—степень числа 3 и L(/?^)=m. Тогда, поскольку и т, и Rm не равны уменьшенному на 1 числу, кратному длине их периодов, то m и Rm не являются в этом случае псевдопростыми.

Предположим, что т, взаимно простое с 10, — не псевдопростое и не степень числа 3. Тогда тТЮ^^1 —-1. Поэтому m Т Rm-\, так как Rm-\ = (10m-1 — 1 )/9, и m Т (Rm — 1)/Ю, так как Rm-\ = (Rm — 1)/Ю. Также m Т Rm — 1, так как (пг, 10) = 1. Тогда L(RmH Rm“~ V так как L(Rm) = m,

Отсюда, если т, взаимно простое с 10,— не псевдопростое, то и Rm “ не псевдопростое.

Однако если т — составное пссвдопростое, то Rm может быть псевдопростым. Мы проводим доказательство в общем случае, которое распространяется на любое основание. Лемма дает соотношение между двумя последующими репьюнитами.

Лемма. &•(/?(&, п—1)) = /?(&, п) — 1.

Доказательство. R^b, п— 1) = (&п~1 — 1)/(6 — 1) по определению.

Тогда bAR^b, n-\^-YX=kbn-b^Kb-\^A-X=kbn-~b-V + b - XW -1) = ^- X)/(b - 1) = R (6, n\

Отсюда b • (/? (6, n — 1)) = R (b, n) — 1.

Теорема 3. Если n — псевдопростое в системе с основанием b и (Ь— 1, п)= 1, то R(b, п)—псевдопростое в этой системе.

Доказательство. Мы будем использовать обозначения А-^В, что означает «из А следует В» и psp, что означает «псевдопростое».

п является psp в базе b->n\(bn-x — 1) ->п\(bn-1 — 1)/(6 — 1).

Деление на b — 1 возможно из-за (6—1, п) = 1.

-> {f)n — 1)/(6 — 1) | ^Ь^ ^^^"^ — 1) по правилу множителя.

—> 7? (6, п) | (б^^’п-1) — 1)/(6 — 1) по определению.

^R<b, ^Цб^’^0- 1) используем правило множителя и транзитивность.

->/?(&, п^ | ^bRkb’ п) 1 — 1) по лемме.

->R(b, п) — псевдопростое в системе с основанием b по определению.

Примером к теореме 3 является число /?9ь которое делится как на репьюниты R7 и /?13, так и на собственный примитивный сомножитель и тем не менее является псевдопростым в системе с основанием 10.

Теорема 4. Если N\Rm и m\N—1, то N — псевдопростое.

Доказательство. N\Rm или N\(10m—1)/9. Тогда ^|(10'n— — 1). Но m\N—1, поэтому Д^ЦО^1—1, откуда N псевдопростое.

Пример. N = 1729 = 7-13-19. Длины периодов трех простых множителей равны соответственно 6, 6 и 18. Тогда Л (1729) = = 18 и 1729|/?18. Но 18|1728, поэтому 1729 — псевдопростое.

Псевдопростые со взаимно связанными длинами периодов

Теорема 5. Пусть р > 1 и q > 1 — взаимно простые натуральные числа. Если L(p)=m и L(q) = n и если р= l(modn) и q = 1 (mod m), то pq — псевдопростое число.

Доказательство. Пусть р и q — псевдопростые, такие, что длины их периодов равны соответственно ш и п, причем р = = l(mod«), a q = 1 (modm). Так как L(p)=m, то р = = l(modm), и поэтому pq = l(modm). Так как Е^ = п, то q = l(modn), и поэтому pq = l(modn). Отсюда m и п делят pq — 1 и [m,n]\pq— 1. В соответствии с правилом множителя IO1™’ ^ — 11 Ю^1 — 1. Но pq\ 10[™’ ^ — 1 вследствие того, что L(pq) = [/и, nV Так как делимость транзитивна, то pq\ 10р^-1 — 1, и поэтому pq — псевдопростое число.

Пример. П = 35059441 = 3541 9901. Л(3541)= 20, L(9901) = = 12, 12|3540 и 20|9900. Тогда N — псевдопростое. Мы проверили, что Л (35059441)= [20, 12] = 60, а 60135059440.

Следствие 5А. Если р и q — такие взаимно простые псевдопростые, что L^p^L^q) и L(q)\p—1, то pq — псевдопростое число.

Базис: Поскольку q = 1 (mod L (q)), то можно записать q = 1 (mod Л(р)), как это требуется в теореме 5.

Пример: ^ = 40903831 =6163-6637. Л(6163)=79 и Л(6637) = = 474. По следствию 5А N— псевдопростое, так как 79|474 и 47416162. Чтобы это проверить, заметим, что L (40903831) = = 474 — наименьшее общее кратное чисел 79 и 474 и что 474140903830, откуда N — псевдопростое.

Следствие 5В. Если несколько различных попарно взаимно простых псевдопростых подобраны так, что каждое из них на единицу больше, чем кратное длины периода любого другого, то их произведение — псевдопростое число.

Разложение на множители

Теорема 6. Если число N можно разложить на множители, каждый из которых сравним с 1 по модулю L(N), то число N псевдопростое.

Доказательство. Произведение множителей сравнимо с 1 по модулю L^NV поэтому L(N)\N — 1 и N — псевдопростое.

Эта теорема — достаточно общая, хотя и не видно, что она точно также предписывает действия, как и другие теоремы. Теорема справедлива, например, для 561 =3-11-17, где Л(3)= 1, £(11) = 2 и Л(17)= 16. Здесь Л(561) = [1, 2, 16]= 16, а 561 можно выразить как произведение чисел 33 и 17, каждое из которых сравнимо с 1 по модулю 16. Отсюда 561 — псевдопростое, что подтверждается тем, что 161560.

Таблицы длин периодов и делителей репьюнитов

Выше было представлено несколько теорем, которые являются основными для получения псевдопростых чисел в системе с основанием 10. Как следствие из определения псевдопростых чисел применение теорем зависит от данных по длинам периодов их множителей. В последние годы был достигнут значительный прогресс в составлении таблиц длин периодов простых чисел. Наиболее практичными стали два типа таких таблиц.

В таблицах первого типа в качестве аргументов используются простые числа, а длины их периодов — как табличные величины. Вычисления, проводимые при создании таких таблиц для многих аргументов, в том числе и для некоторых больших чисел, длительны, но ведут прямо к цели. Благодаря использованию известных соотношений, связанных со специальными числовыми данными, и с учетом возможностей имеющихся компьютеров, затраченное время минимизируется.

Примером такого типа служит табл. 7-2, представляющая две из 525 страниц книги «Длины периодов простых чисел» [152], которая на каждой странице содержит по 200 простых и длины их периодов для всех 105000 простых до 1370471 включительно. Таблица позволяет подсчитать длины периодов очень больших составных чисел, простые множители которых имеются среди аргументов.

Если таких таблиц нет под рукой, то в некоторых специальных случаях можно определять длины периодов очень больших простых чисел почти с одного внимательного взгляда. Например, 231-значное простое 63-2759 — 1 равно увеличенному на 1 удвоенному 230-значному простому числу 63-2758 — 1. Мы показали, что если большее простое из такой пары принадлежит множеству С, то оно является полнопериодным простым. В противном случае индекс его периода равен 2. Степени числа 2 выше 22 попадают в 4 класса вычетов по модулю 40. Когда т — положительное целое, 24т ^ 16, 24m+1 = 32, 24w+2 = 24 и 24m+3 = 8 по модулю 40. Тогда 2759 = 24489+3 = 8 (mod 40), а 63• 2759 = 23-8 = 184 = 24(mod 40). Поэтому 63-2759 — 1 = в 23 (mod 40), т. е. принадлежит множеству С, и, следовательно, является полнопериодным простым и имеет длину периода

Таблица 7-2

Длины периодов простых чисел (фрагмент таблицы PPL, р, 1)

Простое число

Длина периода

Простое

число

Длина периода

Простое число

Длина периода

Простое ЧИСЛО

Длина периода

3

f

241

30

563

281

883

441

7

6

251

50

569

284

887

886

11

2

257

256

571

570

907

151

13

6

263

262

577

576

911

455

17

16

269

268

587

293

919

459

19

18

271

5

593

592

929

464

23

22

277

69

599

299

937

936

29

28

281

28

601

300

941

940

31

15

283

141

607

202

947

473

37

3

293

146

613

51

953

9Ь2

41

5

307

153

617

88

967

322

43

21

311

155

619

618

971

970

47

46

313

312

631

315

977

976

53

13

317

79

641

32

983

982

59

58

331

1 10

643

107

991

495

61

60

337

336

647

646

997

166

67

33

347

173

653

326

1009

252

71

35

349

1 16

659

658

1013

253

73

8

353

32

661

220

1019

1018

79

13

359

179

673

224

1021

1020

83

41

367

366

677

338

1031

103

89

44

373

186

683

341

1033

1032

97

96

379

378

691

230

1039

519

101

4

383

382

701

700

1049

524

103

34

389

388

709

708

1051

1050

107

53

397

99

7 19

359

1061

212

109

108

401

209

7 27

726

1063

1062

113

1 12

409

204

733

61

1069

1068

127

42

419

418

739

246

1087

1086

131

130

421

1 40

743

742

1091

1090

137

8

431

215

751

125

1093

273

139

46

433

432

757

27

1097

1096

149

148

439

219

761

380

1103

1102

151

75

443

221

769

192

1109

1108

157

78

449

32

773

193

1 1 17

558

163

81

457

152

787

393

1123

561

167

166

461

460

7 97

199

1129

564

173

43

463

154

809

202

1151

575

179

178

467

233

811

810

1153

1152

181

180

47 9

239

821

820

1163

581

191

95

487

486

823

822

1171

1170

193

192

491

490

827

413

1 181

1180

197

98

499

498

829

276

1187

593

199

99

503

502

839

419

1193

1 192

211

30

509

508

853

213

1201

200

223

222

521

52

857

856

1213

202

227

113

523

261

859

26

1217

1216

229

228

541

540

863

862

1223

1222

233

232

547

91

877

438

1229

1228

239

7

557

278

881

440

1231

41

Продолжение таблицы 7-2

Длины периодов простых (фрагмент таблицы PPL, р. 490)

Простое число

Длина периода

Простое число

Длина периода

Простое число

Длина периода

Простое число

Длина периода

1268621

1268620

1269241

634620

1270033

1270032

1270639

635319

1268623

1268622

1269253

317313

1270051

50802

1270649

635324

1268627

634313

1269263

1269262

1270063

1270062

1270651

1270650

1268633

1268632

1269283

634641

1270067

635033

1270657

423552

1268669

1268668

1269287

1269286

1270079

635039

1270667

635333

1268681

158585

1269299

1269298

1270097

1270096

1270669

1270668

1268713

422904

1269311

90665

1270103

1270102

1270679

635339

1268731

253746

1269337

1269336

1270111

42337

1270747

635373

1268741

1268740

1269343

1269342

1270123

211687

1270757

635378

1268747

634373

1269377

1269376

1^701^1

254028

1270771

423590

1268753

1268752

1269379

1269378

1270147

635073

1270817

1270816

1268759

634379

1269383

1269382

1270151

635075

1270823

181546

1268777

1266776

1269391

11135

1270183

1270182

1270849

52952

1268783

1268782

1269413

317353

1270193

115472

1270859

1270858

1268789

1268788

1269427

634713

1270201

158775

1270861

21540

1268791

634395

1269461

1269460

1270231

48855

1270879

635439

1268797

105733

1269467

33407

1270237

635118

1270897

115536

1266803

634401

1269493

634746

1270249

317562

1270901

1270900

1268807

1268806

1269497

1269496

1270271

635135

1270909

423636

1268843

634421

1269529

105794

1270279

635139

1270933

211822

1268849

79303

1269547

634773

1270301

1270300

1270943

1270942

1268867

634433

1269559

634779

1270309

423436

1270961

31774

1268881

15861

1269563

634781

1270319

635159

1270981

141220

1268899

1268898

1269571

253914

1270327

1270326

1271027

635513

1268921

317230

1269589

1269588

1270333

317583

1271029

1271028

1268929

158616

1269601

158700

1270337

1270336

1271033

181576

1268947

70497

1269641

634820

1270343

74726

1271047

1271046

1268963

634481

1269643

211607

127036.1

158795

1271051

1271050

1269001

31725

1269683

634841

1270391

635195

1271059

1271058

1269007

1269006

1269691

253938

1270417

1270416

1271069

1271068

1269013

317253

1269703

42323*

1270421

1270420

1271087

1271086

1269017

1269016

1269731

1269730

1270429

423476

127Ю89

635544

1269041

31726

1269733

211622

1270433

1270432

1271111

635555

1269043

634521

1269743

1269742

1270441

42348

127Ц17

635558

1269049

634524

1269757

317439

1270471

2'11745

1271129

21916

1269061

253812

1269797

57718

1270483

211747

1271147

635573

1269077

317269

1269847

1269846

1270499

1270499

127Ц61

635580

1269091

423030

1269859

1269858

1270513

1270512

127Ц67

1271166

1269113

1269112

1269869

1269868

1270531

423510

1271173

105931

1269119

634559

1269871

211645

1270537

1270536

1271183

127Ц82

1269131

1269130

1269901

4980

1270541

1270540

127Ц97'

211866

1269167

1269166

12699Q7

634953

1270547

635273

1271201

635600

1269173

634586

12699Ц

126991

1270559

635279

1271203

635601

1269179

1269178

1269923

634961

1270561

158820

1271213

635606

1269187

211531

1269929

634964

1270567

1270566

1271227

6356Ц

1269193

1269192

1269937

1269936

1270571

1270570

1271239

211873

1269197

317299

1269953

1269952

1270573

317643

1271251

50850

1269221

1269220

1269971

1269970

1270579

1270578

1271293

635646

1269223

1269222

1270001

79375

1270609

635304

1271299

1271298

1269239

634619

1270013

317503

1270627

635313

1271317

317829

63-2759— 2. Определение такой длины периода другими методами обошлось бы непозволительно дорого.

Другой способ составления таблиц заключается в том, что аргументом является длина периода простого числа, а табличной величиной — само это число. Это то же самое, что и в случае соотнесения номеру репьюнита, как аргументу, примитивных простых делителей этого репьюнита, кроме случая L(3) = = 1. Процесс составления такой таблицы достаточно трудоемок, поскольку ставится прежде всего задача отыскания делителей очень больших чисел. Серьезные попытки составления таких таблиц встречались еще во времена Гаусса. В 1851 г. Луф представил таблицу, в которой для каждого из 49 репью- нитов до 7?бо включительно был дан хотя бы один простой делитель [73]. В 1874 г. Шэнкс сделал то же самое для каждого ич 87 репьюнитов до /?юо включительно [107].

С самого начала был проявлен интерес к обнаружению какого-нибудь простого репьюнита больше И. В 20-х годах нашего столетия Крайчик и Лемер вели переписку, касающуюся 23-го репьюнита, и доказали, каждый самостоятельно, что Т?2з — простое число. В 1967 г. Бриллхарт и Селфридж обобщили и расширили достигнутые к тому времени результаты, заявив, что R2, R19 и R23 — единственные известные простые репыониты и что не существует других простых репьюнитов меньших Т?з59 [15]. Совершить значительное продвижение вперед и преодолеть в дальнейшем большие интервалы в области составных репьюнитов они сумели, показав, что репыониты, имеющие простые номера и не являющиеся псевдопростыми в некоторой подходящей системе, являются составными. В 1969 г. С. Ейтс опубликовал простые делители для /?359, Rse? и R373, продвинув границы исследования на несколько ступенек к R379. Затем, в 1976 г. независимо друг от друга появляется несколько связанных с этими поисками и почти совпадающих результатов. Мерсон доказал, что все репыониты больше R359 и меньше 7?ю09 являются составными. Уильямс и Сих начали проверку простоты всех репьюнитов с простыми номерами до 7?i999 включительно. Они обнаружили, что Т?317 и /?юз1 — псевдопростые, что подтвердилось проверкой сравнением Ферма в каждой из многих систем, в которых они были проверены. В 1977 г., через полстолетия после последнего предыдущего утверждения о простоте репьюнита, эти ученые доказали, что T?3i7 — простое [129]. Ошибка прежнего вычисления, которая привела к выводу, что T?3i7 — составное число, была устранена и любезно признана Бриллхартом.

В то же время не затихает интерес к поиску примитивных простых делителей небольших репьюнитов, которые еще не

были полностью разложены на множители. Автор хранит и совершенствует список всех таких известных делителей репьюни- тов до /?юооо, основная масса которых взята из PPL и других таблиц с помощью вычислений. Имеется вклад и Е. Макардла в эту коллекцию. Макардл также начал составлять список делителей репьюнитов свыше /?юооо> используя свой программируемый калькулятор для нахождения новых делителей. Благодаря консорциуму знаменитых специалистов в области теории чисел, работающих над проектом Каннингхэма, было вычислено много больших простых делителей репьюнитов до 7?юоо.

Результатом было то, что значительные пробелы исчезли и таблицы расширились. Только к началу 1975 г. были полностью факторизованы 69 примитивных сомножителей репьюнитов, меньших или равных ^юо, но ни один свыше /?юо. Вскоре после этого Мерсон сообщил о первых полных разложениях примитивных сомножителей репьюнитов свыше /?юо. В начале 1980 г. 49 из них стали известны главным образом благодаря Каннинг- хэм-проекту, но еще оставалось 7 репьюнитов, меньших /?юо, которые не были полностью разложены на простые множители. Таблица приложения 1 дает примитивные простые делители репьюнитов до Яюоо, известные к моменту написания этой работы о,

*> В таблице учтены изменения, произошедшие до 1989 г включительно Первую таблицу делителей репьюнитов до п = 30 опубликовал швейцарский математик Иоганн III Бернулли в 1773 г. в «Трудах Берлинской Королевской Академии»

Наиболее живописную картину представляет собой таблица делителей репьюнитов до п = 18, уточненная французским математиком Эдвардом Люка (Занимательная арифметика, Париж, 1895 г) Эта таблица достойна быть приведенной здесь

1 1 1 = 3 • 37

1 1 1 1 э= 11 • 101

1 1 1 1 1 = 41 • 271

111111 =3-7 • 11 • 13-37

1111111 = 239 • 4649

11111111 = 11 -73 -101 • 137

111111111 = З2 - 37 - 333667

1111111111 = 11 • 41 -271-9091

11111111111 =21649 - 513239

111111111111 =3-7-11 -13-37-101-9901

1111111111111 = 53-79-265371653

11111111111111 = 11-239-4649-909091

111111111111111 =3-31-37-41-271-2906161

1111111111111111 = 11-17.73.101-137.5882353

1 1111111111111111 = 2071723 • 5363222357

1 1 1111111111111111 = 3» • 7 • 11 • 13 • 19 • 37 • 52579 • 333667

— Прим, перев.

Таблица 7-3

Количество простых чисел с данной длиной периода N — число простых чисел, длина периода которых равна п

п

N

п

N

п

N

п

N

п

N

1

1

23

1

45

2

67

3

89

5

2

1

24

1

46

4

68

3

90

3

3

1

25

3

47

2

69

3

91

7

4

1

26

2

48

1

70

2

92

3

5

2

27

2

49

2

71

2

93

1

6

2

28

3

50

3

72

3

94

3

7

2

29

5

51

4

73

3

95

5

8

2

30

3

52

2

74

3

96

4

9

1

31

3

53

4

75

3

97

3

10

1

32

5

54

2

76

2

98

2

11

2

33

2

55

4

77

4

99

4

12

1

34

3

56

2

78

4

100

4

13

3

35

3

57

3

79

6

101

3

14

1

36

1

58

2

80

2

102

2

15

2

37

3

59

2

81

5

103

3

16

2

38

1

60

3

82

2

104

2

17

2

39

1

61

7

83

3

105

3

18

2

40

2

62

1

84

2

106

1

19

1

41

4

63

5

85

3

107

8

20

2

42

3

64

4

86

3

108

3

21

3

43

4

65

2

87

3

109

4

22

3

44

3

66

2

88

2

110

4

111

3

139

2

167

195

4

223

112

3

140

5

168

3

196

1

224

4

113

3

141

3

169

197

225

114

2

142

2

170

3

198

2

226

3

115

5

143

4

171

3

199

4

227

116

4

144

2

172

2

200

4

228

7

117

4

145

4

173

201

229

118

3

146

3

174

3

202

5

230

2

119

4

147

5

175

3

203

4

231

120

1

148

6

173

2

204

6

232

5

121

4

149

3

177

205

3

233

122

2

150

1

178

3

206

7

234

3

123

4

151

4

179

5

207

235

124

2

152

4

180

3

208

6

236

2

125

4

153

6

181

6

209

237

126

2

154

6

182

2

210

3

238

3

127

3

155

3

183

211

239

Продолжение табл. 7-3

п

N

п

N

п

N

п

N

п

N

128

3

156

3

184

2

212

4

240

3

129

3

157

185

213

241

130

2

158

3

186

4

214

6

242

5

131

9

159

4

187

215

243

132

3

1W

4

188

3

216

2

244

4

133

3

161

5

189

3

217

245

134

1

162

4

190

3

218

3

246

4

135

5

163

191

219

247

136

2

164

2

192

4

220

6

248

5

137

5

165

3

193

221

249

138

3

166

6

194

3

222

4

250

4

Число простых с данной длиной периода

В табл. 7-3 приведены данные о числе простых делителей примитивных сомножителей репьюнитов. С этой целью таблица дает количество простых чисел, для которых данное натуральное число (номер репьюнита, для которого эти простые числа являются примитивными делителями) являются длиной периода.

Обычно невозможно узнать без полного разложения примитивного сомножителя, сколько простых чисел имеют в качестве длины периода данное целое число. Исключение составляет случай, когда известно, что сомножитель составной, поскольку он не удовлетворяет сравнению Ферма, и когда нет простого числа, меньшего, чем кубический корень из сомножителя, делящего этот сомножитель. В этом случае, согласно приведенной в этой главе теореме, мы знаем, что имеется точно два примитивных простых множителя, хотя мы еще и не знаем, какие они.

Кажется естественным предположить, что по мере увеличения факторизованных репьюнитов будут найдены такие целые числа, которые являются длинами периодов большого числа простых. Из табл. 7-3 мы видим, что 7 простых имеют период длиной 61 и 91, а 8 — длиной в 107 цифр. Мы знаем также, что каждое из чисел 254, 264, 540 и 1620 являются длиной периода по меньшей мере 7 простых и что имеется по меньшей мере 8 простых с длиной периода 380.

Наличие большого количества чисел, являющихся длиной периода только для одного простого числа, само по себе замечательно. 22 из них помещены в таблицу. Все соответствующие им простые обязательно примитивные сомножители, и поэтому предсказание таких случаев представляет большой интерес.

Замечания и комментарии

Потеряв однажды самое лучшее, Вы не сможете уже вернуть его.

Р. Геррик [46]

Простые числа поистине неуловимы. Евклид убедил нас в том, что число простых бесконечно. Дирихле — в том, что бесконечно также их множество в арифметической прогрессии ат + b (где а и b взаимно просты). По отношению к другим функциям, таким, как числа Мерсенна и репьюниты вообще (в системе счисления с основанием, не являющимся степенью выше первой), мы без доказательства предполагаем, что в них нет последнего простого числа; однако по мере увеличения аргумента простые числа встречаются все реже и реже. Достаточно только взглянуть на интервал, разделяющий 26-е и 27-е простые числа Мерсенна.

Ондрейка — выдающийся мастер по отысканию больших простых — к моменту написания этой работы составил список свыше 700 простых с более чем 100 цифрами у каждого.

В PPL обнаружена одна ошибка. Большинство людей, имеющих неисправленный экземпляр, уведомлены об этом. На с. 87 длина периода числа 192 373 должна быть 96186.

Бесплодность человеческих усилий еще не дает права на их недооценку. Когда кто-то обнаруживает новые и большие специальные числа или составляет с их помощью таблицы, вооружившись идеями или возможностями ранее не использованного для этих целей метода, то само творчество становится ему наградой. Не имеет большого значения, что на это ушло несколько лет, а может быть, даже вся отпущенная ему жизнь, которая измеряется напряженными годами; то, на что жизнь потрачена, совершалось в озарении и с вдохновением.

Разработанный Лемеромами механизм разложения на множители с его успешными результатами, вычисление Словинским 27-го простого числа Мерсенна , результаты, достигнутые математиками проекта Каннингхэма,— это только лишь некоторые из многих значительных достижений в области вычислений больших чисел, которые заслуживают нашего восхищения и высокой оценки, даже если они в конечном счете

4) Перевод В. Столяра. В оригинале эпиграфа вновь игра слов. В стихотворении Р. Геррика используется слово «prime», которое переводится и как «простое число» и как «лучшая часть». — Прим, перев.

померкнут из-за более сильных методов и дальнейших усовершенствований. Эти результаты были обусловлены не только наличием сильных методов, они были на самом деле достижением разума и души.

В этой главе предметом обсуждения была особенность простого числа, равного половине уменьшенного на единицу другого простого, как возможный показатель простого числа Мерсенна. В следующей главе мы также будем обращаться к последовательности простых чисел, для которых следующее большее простое на 1 больше удвоенного предыдущего, акцентируя внимание на их классах сравнений и длинах периодов. Простые этого типа имеют и другие интересные свойства. Например, Жермен показала, что если р и q— такие нечетные простые числа, что (/= 2р + 1, то уравнение последней теоремы Ферма хп-V уп = гп не имеет целых решений при условии п — р и р ^ хуг. Ее теорема является основанием для исключения других еще больших множеств чисел как возможных показателей. Для более подробного знакомства см. книгу Эдвардса [25] и обзор по ней, написанный Парри [85].

Статья Бежушки о совершенных числах [9] содержит краткие сведения из истории простых чисел Мерсенна.

Проф. Уагстафф (младший) рекомендовал включить в эту книгу перечень предполагаемых простых делителей примитивных сомножителей репьюнитов, полученных в проекте Каннин- гхэма, поскольку известные делители даны в Приложении, чтобы «какой-нибудь учащийся старших классов, имеющий доступ к компьютеру, не пытался разложить на множители каждое число ... это было бы потерей времени. Ему не следует пытаться разложить на множители Rn, где п равно

п

d(PRP)

п

d (PRP)

п

d (PRP)

121

96

202

83

256

116

127

117

214

82

272

117

164

76

226

102

278

132

172

79

230

86

280

91

176

73

236

108

288

86

184

85

250

81

500

92 и 94

d(PRP)

количество цифр

вероятного

простого

делителя

репьюнита Rn» 2).

о Probably prime (PRP) — число, которое вероятно, является простым. — Прим, перев.

2) В настоящее время все приведенные в таблице данные подтверждены (репьюниты с данными номерами п полностью разложены на простые множители) . — Прим, перев.

ПОПУРРИ НА ТЕМУ «ДЛИНЫ ПЕРИОДОВ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ»

Часто так случается, что после того, как данные табулированы с определенной целью, обнаруживается, что итоговая таблица может быть использована для ответа на попутно возникающие другие вопросы.

Именно такой случай произошел с книгой-таблицей, называемой «Длины периодов простых чисел». Эта глава посвящена некоторым вопросам, в которых названная книга также играет определенную роль.

Возможные длины периодов

Вероятность того, что простое число р будет иметь в качестве длины периода тот или иной делитель числа р— 1, была исследована в великолепной работе «Кто скажет «Эврика»?», написанной Дерриком и Эммой Лемер [69].

Прежде чем уяснить содержание этой статьи, мы выявили, что для небольшого числа простых, приведенных в «Длинах периодов простых», число п встречается в качестве индекса периода простых чисел чаще, когда п кратно каким-либо маленьким делителям, нежели когда п — простое число. Например, числа 18, 30, 48, 60, 120 и 126 являются индексами периодов гораздо чаще, чем другие близкие им по величине.

Отвечая на вопросы по рассматриваемой теме и по связанным с ней явлениям, проф. Д. Г. Лемер писал, что эти наблюдения действительно согласуются с формулой, данной в статье. Думается, что для определенных систем счисления, таких, как двоичная и десятичная, количество простых чисел, имеющих индекс периода, равный п, бесконечно. Однако известно, что в некоторых системах счисления не существует простых чисел, имеющих индекс периода, равный п.

Если А^ = Ит —-^- (где л(х)— количество простых чи- Х->оо Л W

сел, не превосходящих х, а лл(х)— количество простых чисел, не превосходящих х и имеющих индекс периода, равный п), то

предполагается, что

A (n) = -^ JI (q2 — 1)/(<72 - q - 1),q | п

где А — константа Артина, равная приблизительно 0,3739558. Таким образом, видно, что чем больше маленьких простых q, делящих п, тем больше А(п). Этим объясняется тот факт, что вы найдете много примеров с п = 48 и меньше с м = 47. С другой стороны, если т и п— простые, то числа А (/и) и А (/г) находятся в соотношении А (/и) < Л (/г) в случае п < т. Если Вы прочитаете с. 202—210 работы «Исследования в математическом анализе и в связанных с ним темах» (издание Стэнфордского университета, 1962 г.), Вы найдете там многое об индексах периодов. Было бы хорошо иметь еще больше данных, чем имеется на сегодня». Статья, к которой отсылает нас проф. Д. Г. Лемер, и есть «Кто скажет «Эврика»?»

Мы подобрали достаточное количество данных, чтобы убедиться, что они согласуются с формулой. Использовав 10 000 простых и их длины периодов, помещенные в первых 50 с. «Длин периодов простых чисел», мы кропотливо и надежно подсчитали количество простых с индексами периодов от 2 до 6, а также взяли количество простых с индексами периодов, равными 1 (полнопериодные простые) из нашей статьи «9:8: 7» [136], после чего получили следующие интересные результаты:

Количество простых чисел с индексом периода, равным п

п

Количество по формуле

Подсчитанное количество

1

3740

3755

2

2805

2808

3

665

653

4

701

743

5

189

194

6

499

496

Таблица 8-1 была составлена в результате исследования «Длин периодов простых чисел». Она содержит наименьшие простые числа, индексы периодов которых равны п, где1^п^100. За исключением 103, 119, 137 и 139, каждое натуральное число до 150 является значением индекса периода, хотя бы для одного простого, меньшего 1 370 471.

В табл. 8-2 А (/г) определено с использованием формулы Ле- мера для всех п ^ 36. Сумма X А (я) показывает частоту, с которой положительные числа, меньшие или равные п, встречаются в качестве индекса периода. В свою очередь 1 — ^ А (п

Таблица 8-1

Наименьшие простые числа, индексы периода которых равны п

п

Р

п

Р

п

р

п

р

1

7

26

7151

51

46309

76

4637

2

3

27

7669

52

123449

77

192193

3

103

28

757

53

135257

78

6163

4

53

29

38629

54

271

79

26861

5

11

30

1231

55

2531

80

30161

6

79

31

49663

56

4201

81

100927

7

211

32

12289

57

77977

82

6397

8

41

33

859

58

21751

83

176459

9

73

34

239

59

61007

84

12517

10

281

35

27581

60

15361

85

259421

11

353

36

9613

61

27817

86

38959

12

37

37

18131

62

8929

87

83869

13

2393

38

13757

63

168211

88

57641

14

449

39

33931

64

2689

89

54469

15

3061

40

9161

65

53171

90

2791

16

1889

41

118901

66

108769

91

228593

17

137

42

6763

67

6299

92

1933

18

2467

43

18233

68

5237

93

68821

19

16189

44

1409

69

215143

94

65707

20

641

45

88741

70

11831

95

582731

21

3109

46

4003

71

115589

96

101281

22

4973

47

5171

72

2161

97

90017

23

11087

48

19489

73

142789

98

7253

24

1321

49

86143

74

90947

99

251263

25

101

50

23201

75

142501

100

129001

представляет собой частоту, с которой целые числа, большие п, встречаются в качестве индекса периода. Рассматривая два правых столбца таблицы, мы видим, что, когда п — четное, 1/(п+1) является очень хорошим приближением для 1 — У А^п\ Вывод, сделанный из предположения, что отношение между этими двумя числами стремится к единице, состоит в том, что если т нечетно, то примерно 1/т всех простых чисел имеет индекс периода, равный или больший т. Например, заметим, что если п = 24, то ^ А (я)=0,96 и 1 — У А (п) = = 1 (п + 1) = 0.04. Тогда примерно 96 % всех простых чисел имеют индекс периода, меньший 25, и 4 %, т. е. 1/25, имеют индекс периода, больший или равный 25.

Таблица 8-2

Частота различных индексов периода

а

Л

ЕЛ

1 —ЕЛ

1/(п + 1)

1

.3739558

2

.2804669

.6544227

.3456

.3333

3

.0664810

4

.0701167

.7910204

.2090

.2000

5

.0188946

6

.0498608

.8597758

.1402

.1429

7

.0089347

8

.0175292

.8862397

.1138

.1111

9

.0073868

10

.0141710

.9077975

.0922

.0909

11

.0034024

12

.0124652

.9236651

.0763

.0769

13

.0023983

14

.0067010

.9327644

.0672

.0667

15

.0033590

16

.0043823

.9405057

.0595

.0588

17

.0013751

18

.0055401

.9474209

.0526

.0526

19

.0010936

20

.0035427

.9520572

.0479

.0476

21

.0015884

22

.0025518

.9561974

.0438

.0435

23

.0007391

24

.0031163

.9600528

.0399

.0400

25

.0007558

26

.0017988

.9626074

.0374

.0370

27

.0008208

28

.0016753

.9651035

.0349

.0345

29

.0004606

30

.0025193

.9680834

.0319

.0323

31

.0004021

32

.0010956

.9695811

.0304

.0303

33

.0006049

34

.0010314

.9712174

.0288

.0286

35

.0004514

36

.0013850

.9730538

.0269

.0270

Делимость и множители репьюнитов

Некоторые приемы, с помощью которых определяют делимость числа на не кратные 2 или 5 множители, основаны на том, что все такие множители делят увеличенную или уменьшенную на единицу степень десяти, при этом и та и другая тесно связаны с репьюнитами. Быстро увеличивающийся объем списков множителей репьюнитов упрощает в любом конкретном примере решение вопроса о том, какие числа являются подходящими кандидатами для проверки делимости. Удобства и преимущества этого упрощения особенно ярко проявляются в процессе преобразования десятичных дробей с большим периодом в обыкновенные несократимые дроби.

В детстве нам показывали трюк с зачеркиванием девяток в качестве способа ловкой проверки арифметических действий. Этот и другие приемы, которые выявляют делимость на числа, не кратные двум и пяти, могут вытекать из одной или нескольких нижеприведенных теорем и следствий. Здесь используется десятичная система счисления, хотя все положения применимы с необходимыми изменениями к другим системам. Символ 2 в

п

этом и в следующем разделах означает X *

i = 0

Пусть /?^=(10^—1)/9. Каждое целое число N может рассматриваться как сумма произведений /-значных чисел на степень 10 с показателем, кратным I:

N^an- 10n< + an-i • 10(ra-1)/+ ... +at • Ю^ао- 10°= £ 10“-а,.

Например, 21468379 = 21 • 106 + 468-10s + 379-10»; здесь t = 3.

В приводимых теоремах и следствиях Rt и N имеют описанный выше вид. Все положения иллюстрируются примерами, в которых используются числа А и В, где А = 21468379 и В = = 4965030837.

Остатки от деления на множители репьюнитов

Теорема 1. N = У, at (mod Rt).

Доказательство. Имеем 10z — 1=9 Rt. Тогда 10z = 1 (mod Rt). Отсюда для всех k 10ftt = 1 (mod Rt), так что N = У 10z<af в = У at (mod Rt).

Это означает, что мы можем получить остаток от деления числа N на репьюнит, если просто разделим

сумму чисел соответствующей значности на репьюнит. Например, А = 21468379 = 21 + 468 + 379 (mod 111) =868 = = 91 (mod 111). Также 2146 + 8379 (mod 1111) = 10525 = 1 + + 0525 = 526(mod 1111).

Следствие 1A. Если p\Rt, то N = ^ at (mod p\

Доказательство. N — ^ at кратно Rt, a Rt кратно p. Отсюда N — at кратно p.

Простые делители репьюнита 111—3 и 37, а 1111 = 11-101. Тогда А = 91 (mod 3) = 1 (mod 3). Также А = 91 (mod 37) = = 17 (mod 37).

Аналогично А = 526 (mod 11) = 5 + 26 = 31 = 9 (mod 11). Также A = 526(mod 101) = 21 (mod 101).

Теорема 2. N = (Е (- I)1'+) (mod (10# + 1)).

Доказательство. 10z = — 1 (mod (10z + 1)) по определению. Тогда 10п< = — 1 (mod (10f + 1)) для нечетных п и 10"* s = + 1 (mod (104 1)) для четных п. Поэтому N = У, 104 = ^S(-l)4(mod(104D).

Разбивая цифры числа N на группы по t цифр, мы можем получить классы сравнений, к которым число N принадлежит по модулю Rt или по модулю (104 1). Для одной цели группы складывались, для другой цели они попеременно складываются и вычитаются.

Примеры:А = 21468379 = 379 — 468 +21 = —68 +

+ 93(mod 1001). Также А = 8179 — 2146 = 6233(mod 10001). Эти группы — те же, что и в приведенном ранее примере с репьюнитами.

Следствие 2А. Если p|(10z+l), то N = (^,(—1/• az) (mod р).

Доказательство. N — (У (— l)zа^ кратно числу (Ю4 О, а 104 1 кратно числу р. Отсюда N — (У (—1)‘ а^ кратно р.

Простыми делителями числа 1001 являются 7, 11, 13; число 10001=73-137. Тогда А = 933 (mod 7) = 2 (mod 7). Также А = 933 (mod ll) = 9 + 33(mod ll)=9(mod 11) и A = 933 (mod 13) = 10 (mod 13). Аналогично A = 6233 (mod 73) = = 28 (mod 73) и A = 6233 (mod 137) = 68 (mod 137).

Лемма 3. Если p\M и N = kp(modM), то p\N.

Доказательство. N — кр делится на М; а так как делимость транзитивна, то N— кр делится на р. Ho N— кр делится на р только если р|^

Следствие ЗА. Если p\Rt и ^ а^ kp (mod Rt), то p\N.

Доказательство вытекает из теоремы 1 и леммы 3.

Следствие ЗВ. Если р \ (10^ + 1) и У, (— l)Ia, = ^p(mod(10/ + 1)), то р |АА

Доказательство вытекает из теоремы 2 и леммы 3.

Пример. Определить, делится ли В = 4965030837 на 271 и 137. 271|/?5 и 137|(104+1). В = 49650 + 30837 = = 80487 (mod R5)~ 80487 — 77777 = 2710 (mod R5). Поскольку 2710 кратно 271, то 2711 В. 5 = 0837 — 6503 + 49 = = —5617(mod 10001). Поскольку —5617/137 =—41, то 137|5.

Теорема 4. Если р — примитивный делитель репьюнита R2t, то р|(Ю'+1).

Доказательство. R2t = ((10* — 1)/9)(10* + 1) = Rt (10* + 1). Если р — примитивный делитель репьюнита R2b то р ^f Rb откуда р\ (10f + 1).

Эта теорема позволяет выбирать меньшие группы для проверки делимости на число, являющееся примитивным делителем репьюнита с четным номером. Например, 9901 — примитивный делитель числа 512- Если используется следствие 1А для определения остатка от деления N на 9901, то N должно быть разбито на группы по 12 цифр. Однако, поскольку 99011 (106 + 1), можно использовать следствие 2А, и тогда на делимость на 9901 проверяется 6-значное число.

Теорема 5. При обращении периодической десятичной дроби с длиной периода t в несократимую дробь единственными числами, на которые требуется испытать делимость периода, являются 3, 9 и делители репьюнита Rt.

Доказательство. Если периодическая десятичная дробь имеет непериодическую часть, то она может быть после соответствующих операций представлена в виде суммы двух десятичных дробей, одна из которых является чисто периодической, деленной на степень 10. Последняя есть сумма членов геометрической прогрессии S = ar[(\— г), где а — период, г = 10~^, t— длина

периода. Тогда S = а -10~7(1 — 10~9 = ^/(Ю^— 1) = a/9Rt. Подобно любой другой дроби, эта дробь сокращается одновременным делением числителя и знаменателя на общие делители так, что числитель и знаменатель становятся взаимно простыми. И никакое число, не делящее 9Rt, не является кандидатом в делители.

Длина периода t простого числа, большего 5, равна номеру наименьшего репьюнита, который делится на это простое число. Никакая теорема или следствие не требуют, чтобы р или любой другой делитель были простыми. Тем не менее если бы список простых делителей всех репьюнитов был в наличии, то эквивалентная периодической десятичной дроби с какой-либо длиной периода несократимая дробь могла бы быть определена без затруднений в том, какие делители для этого испытывать. А класс вычетов, которому принадлежит число по модулю р, можно было бы определить без деления всего числа на р.

Применение

Часть задачи, предложенной К. Ф. Уайненсом в его «Видоизмененном исчислении» [134], вынуждает находить несократимую дробь, эквивалентную периодической десятичной дроби, равной У Тп • 10~2п, где Тп— последовательность 3, 6, 12, 15, п = 1

21, 24 и т. д., образующаяся со 2-го числа по правилу an+i = = art(mod 9) + ап 1}, которое фактически позволяет получить все положительные числа, делящиеся на 3, но не на 9. Соответствующие сумме слагаемые равны 3-10-2, 6-10-4, 12 • 10-6 и т. д., а сумма 5=0,(03061215212430333942485157606669757884879397) представляет собой периодическую десятичную дробь с длиной периода в 44 цифры. Пусть N — период. Мы приступаем к выяснению вопроса, какие делители числа 9/?44 делят N.

Так как каждая пара цифр, кроме последней, составляет число, делящееся на 3, то 3 Т N и 9 Т N.

/?44 = 11.11.101 •/?ii-P22-f>44, где Рк — примитивный сомножитель числа Rk. Р22 = 826446281, Р44= 99009900990099009901.

Испытывая делимость на число 11, находим, что сумма пар цифр не кратна 11. (В этом случае следствие 1А легче использовать, чем следствие 2А, так как последнее, хотя и оперирует с меньшими числами, требует значительно больше операций.) Поэтому 11 Т N.

Используя следствие 2А, находим, что 101 Т N.

J) a (mod m) — наименьший неотрицательный вычет а по модулю иг (остаток от деления а на /и). — Прим. ред.

Проверяя с помощью теоремы 1 делимость на число Rn> имеем

03061215212

43033394248

51576066697

+57884879397

155555555554 = 1 + 55555555554 = 55555555555 = 0 (mod Rxxy

Поэтому Z?n | W.

Попеременное сложение и вычитание тех же четырех 11значных чисел дает в результате число, кратное Р^. Так как ^22] (Ю11 + 1), то, согласно следствию ЗВ, P22IN.

Наконец, проверяя с помощью следствия ЗВ делимость числа N на Р44, имеем

5157606669757884879397

—0306121521243033304248

4851485148514851485149—число, равное 49 • Р44. Поэтому P44|7V.

Отсюда произведение общих делителей чисел N и 9/?44 равно Rn* ?22- Ры- Нахождение числителя несократимой дроби включает в себя несколько утомительную операцию деления уголком, однако по меньшей мере мы уже заранее знаем, что используемые делители сработают. Знаменатель может быть выявлен по множителям числа 9/?44, которые не делят N. Это 9* 11 • 11 •101 = 109989. Искомая дробь — 3367/109989.

Только что мы продемонстрировали простые методы определения вычетов или остатков. В делимости на простое число р > 5 и в сравнении по модулю р легко удостовериться, если известно L(p). В частности, процесс нахождения несократимых дробей, эквивалентных большим периодическим десятичным числам, значительно облегчается. Никакого деления не требуется для получения знаменателя, так как он просто равен произведению только тех множителей, для которых уже предварительная проверка показала, что они не являются делителями числителя.

Круговые перестановки образуют равные знаменатели

Из рассмотрения делимости можно заключить, что все круговые перестановки одного и того же периода соответствуют несократимым дробям, имеющим один и тот же знаменатель.

Этот вывод был предметом постановки задачи, для которой К. Роуз дал в 1977 г. следующее решение.

Пусть М и IV — строки цифр. М называется круговой перестановкой N, если N можно разбить на 2 строки так, что их конкатенация в противоположном порядке составит М. Если М — круговая перестановка М, то, очевидно, и N — круговая перестановка М. Круговые перестановки М и ^ называются последовательными, если одна из них получается из другой перемещением последней цифры в начало. Пусть М — период длиной t цифр, и его последняя (крайняя справа) цифра есть F. Пусть М и N — такие последовательные круговые перестановки, что F— первая цифра для N. Тогда N = 10i-1-F+ (М— F),10. Отсюда 10// = 1O'-F + M — F = (10' — l)f + M

Если р|(10^ — 1) и р\ М, то р\ 10 7V. Но р Т 10 ввиду р\ (10^ — 1), поэтому р\М. Отсюда каждое простое число, являющееся делителем репдиджита из девяток и одной из пар последовательных круговых перестановок, есть также делитель второй перестановки этой пары, если длины репдиджита и перестановок совпадают. Так как полный комплект круговых перестановок образуется следующими одна за другой последовательными круговыми перестановками, то и все круговые перестановки одного и того же периода имеют это свойство.

Мы видели, что знаменатель несократимой дроби получается для десятичной периодической дроби с длиной периода t делением числа (КУ—l)=97?f на те числа, которые делят и период. Так как каждое число, делящее одновременно и (КУ — — 1), и период, делит также каждый другой период, являющийся круговой перестановкой, то все круговые перестановки одного и того же периода соответствуют дробям, которые в несократимом виде имеют один и тот же знаменатель.

Круговые перестановки, кратные простым числам

Предположим, что простое число р есть d-значное число с длиной периода I. Пусть а = р- 10'-d, т. е. а — это число р с приписанными (/ — d) нулями справа. Покажем на примере, что р делит каждую круговую перестановку числа а. Так, если р = 271, то t = 5 и а = 27100. Тогда 271 делит числа 27100, 02710, 00271, 10027 и 71002.

Мы только что показали, что любое простое число, являющееся общим делителем репдиджита из девяток и одной из пары последовательных круговых перестановок, есть также делитель второй перестановки пары. Мы также указали на то, что полный комплект круговых перестановок образуется следующими одна за другой последовательными круговыми пере-

становками. Так как р\а и р| 10^—1, то р делит каждый из членов этого комплекта круговых перестановок.

С помощью таблицы длин периодов этот результат легко использовать, чтобы составить перечень больших составных чисел, делящихся на какое-либо простое с заданной длиной периода.

Капрекаровские Харшад-числа

Д. Р. Капрекар [57] назвал число, кратное своей сумме цифр, равной d, Харшад-числом (в дальнейшем, //-число) для d. Например, 247 является //-числом для 13, так как 2 + 4 + 7= 13 и 131247. Каждое положительное целое число, меньшее 10, есть //-число для самого себя. Все //-числа большие 7, составные. Большинство чисел не являются //-числами. Капрекар установил, что существует по крайней мере одно //-число для каждого положительного целого. Отсюда в свою очередь следует, что для любого целого d существует бесконечное число //-чисел, поскольку, если N есть //-число для d, то число N, умноженное на 10 в любой степени, есть также //-число для d. Говорят, что N есть ненулевое //-число для d, если N есть //-число для d и если никакая цифра числа N не равна нулю. Нетрудно увидеть, что число ненулевых //-чисел для d конечно и что разность между любыми двумя из этих //-чисел кратно числу d.

Капрекар поставил задачу отыскания наименьшего //-числа и наибольшего ненулевого //-числа для данного d. Решение этой задачи облегчается, если использовать таблицу длин периодов, особенно если d не маленькое. Когда d — большое число, наименьшее //-число для данного d часто содержит много девяток среди его крайних справа цифр. Любой репдиджйт из L^d) цифр, девяток или других, делится, конечно, на d. Подобным образом для построения наибольшего ненулевого //-числа для данного d следовало бы использовать столько строк из t единиц (т. е. репьюнитов), сколько можно (где t— длина периода числа d). Широко используется также тот факт, что конкатенация из чисел, кратных d, составляет число, кратное d.

/7-числа для степеней числа 3

С помощью метода математической индукции покажем, что если т = 3^, то Rm — наибольшее ненулевое //-число для т. Когда / = 0, /?1 = 1 является //-числом для 1. Когда / = 1, R^ = 111 = 3-37 кратно 3. Далее, предположим, что этот результат верен для / = 0, 1, 2, ..., k—1. Таким образом, по предположению Rx/^ где К = 3^, есть //-число для К/3. Имеем алгебраическое тождество Rx = Rx/з (Ю2К/3 + 10к/3 +

+ 1). По предположению RK/s кратно К/3. Множитель (102К/3 + + 10к/3 + 1) кратен 3, так как его ненулевые цифры — это три единицы. Тогда Rk кратно К. Так как сумма его цифр равна также К, то Rk есть //-число для К. Это есть наибольшее ненулевое //-число для К, потому что представляет собой строку из единиц

Когда / > 1 количество единиц в Rm кратно 9. Если каждую строку из 9 единиц заменить цифрой 9, то новое число есть 9Rn, где п = З7-2, a 9Rn — репдиджит, состоящий из З7-2 девяток. Сумма цифр этого числа равна 9-37-2 = 37, что делит число 9Rn, так как 9|9 и 37-2|/?n. Поэтому 9Rn есть //-число для З7 при п = З7-2. Это наименьшее //-число для З7, поскольку оно состоит полностью из девяток

Небольшие /7-числа для простых чисел

Если 1^, индекс периода простого числа d, больше девяти, то зачастую удобно получить небольшое (а иногда и наименьшее) //-число для d, используя L(d), длину периода числа d. Составим такую конкатенацию строк из L(d) девяток, чтобы сумма S всех этих девяток была наибольшим кратным числа 9/ (d), не превосходящим d. Затем составим конкатенацию с наименьшим кратным числа d, сумма цифр которого равна d — S, поместив его слева от строки девяток. В результате имеем небольшое //-число для d

Пример 1. Если d = 37, то L(d) = 3. 9-3 = 27, 37 — 27= 10. 37 есть наименьшее кратное числа 37, сумма цифр которого равна 10. Конкатенация 37999 есть наименьшее //-число для 37.

Пример 2. Если d= 101, то L(d)=4. Сумма цифр строки из четырех девяток есть 4-9 = 36. 36-2 = 72 есть наибольшее кратное числа 36, меньшее 101. 101 —72 = 29. 29189 — небольшое кратное числа 101, сумма цифр которого равна 29. Поэтому 2918999999999 — небольшое //-число для 101

Пример 3. Если d = 271, то L(d)=5. Тогда каждая строка из пяти девяток, имеющая сумму 45, кратна числу 271, а 6-45 = = 270 — число, на единицу меньшее 271 Не существует //-числа для 271 с 30 девятками, поскольку нет числа, кратного 271 и имеющего сумму цифр 1. Сумма цифр пяти строк из 5 девяток равна 225. Наименьшее число, имеющее сумму цифр 271 — —225 = 46 и кратное 271, должно быть больше 99999. Таким числом оказывается 858799; поэтому 858799999999999999999999 9999999 есть небольшое //-число для 271.

Пример 4. Если 1^^. 9, то сумма цифр в цепочке из L(d) девяток слишком велика, чтобы стать частью маленького //-числа для d. Так, например, когда d = 73, L(d)=8 и Z(d)=9. Сумма цифр 99999999 равна 72, она слишком велика, чтобы стать частью //-числа для 73. В таком случае, ввиду того, что сумма цифр числа 73 равна 10, добавление 73-107 к 99999999 заменяет приписывание слева числа 82 к девяткам и образует число 829999999, т. е. небольшое //-число для 73.

Чуть меньше одной девятой всех простых имеет индекс периода больше 9. Однако значительно большая часть известных простых делителей репьюнитов до /?юоо, представляющих общий интерес, обладает этим свойством и хорошо поддается только что показанной методике.

Длины периодов простых чисел, сравнимых с 1 по модулю 10

Если длина периода простого числа оканчивается цифрой 5 или 0, то простое должно быть сравнимо с 1 по модулю 10, так как такое число — нечетное и на единицу превышает число, кратное длине своего периода.

Изучение таблиц длин периодов позволяет выявить, что, во-первых, примитивные простые делители репьюнитов, номера которых оканчиваются цифрой 5, сравнимы с 1 или 31 по модулю 40 и не сравнимы с И или 21 по модулю 40; во-вторых, примитивные простые делители репьюнитов, номера которых оканчиваются цифрой 0, сравнимы с 1, И или 21 по модулю 40 и не сравнимы с 31 по модулю 40.

Эти наблюдения находятся в соответствии с тем фактом, что простые числа, сравнимые с 31 по модулю 40, принадлежат множеству А и должны иметь нечетные длины периодов; простые числа, сравнимые с 1 по модулю 40, принадлежат множеству В и могут иметь нечетные или четные длины периодов; простые числа, сравнимые с И или 21 по модулю 40, принадлежат множеству С и должны иметь четные длины периодов.

Дальнейшее разбиение простых чисел с длинами периода, оканчивающимися цифрой 0, показывает, что

если длина периода простого числа делится на 40, то это простое число сравнимо с 1 по модулю 40;

если длина периода простого числа делится на 20, то простое число сравнимо с 1 или 21 по модулю 40, и

если длина периода простого числа сравнима с 10 или 30 по модулю 40, то простое число сравнимо с 1 или И по модулю 40.

Основание для 1-го и 2-го заключений более очевидно, чем для 3-го. Поскольку простое число, сравнимое с 21 по модулю

40, может быть на единицу больше, чем кратные числа, сравнимого с 10 или 30 по модулю 40, и имеет четную длину периода, то почему его длина периода не может быть сравнима с 10 или 30 по модулю 40? Ответ заключается в том, что этого не может быть, потому что индекс периода этого простого, как и для всех других простых чисел из множества С, нечетен. Когда число, сравнимое с 10 или 30 по модулю 40, умножается на нечетное число, то произведение сравнимо с 10 или 30 по модулю 40. Поскольку p = L(p)-Z(p) + 1, то простое число р с длиной периода, сравнимой с 10 или 30 по модулю 40, не может быть сравнимо с 21 по модулю 40.

Суммируя сказанное, запишем:

если номер репъюнита сравним с0 по модулю 4010 по модулю 2020 по модулю 405 по модулю 10если номер репъюнита сравним с0 по модулю 4010 по модулю 2020 по модулю 405 по модулю 10то примитивные простые делители репъюнита должны быть сравнимы с

если номер репъюнита сравним с

0 по модулю 40

10 по модулю 20

20 по модулю 40

5 по модулю 10

если номер репъюнита сравним с

0 по модулю 40

10 по модулю 20

20 по модулю 40

5 по модулю 10

1 по модулю 40

1 или 11 по модулю 40

1 или 21 по модулю 40

1 или 31 по модулю 40,

Простые числа, индексы периода которых равны 10

Таблица 8-3 представляет простые числа р < 100000, длины периодов которых равны (р—1)/Ю, а индексы периодов, следовательно, равны 10. Они выписаны из первых 48 страниц «Длин периодов простых», и мы видим, что имеется 139 таких чисел среди 9590 простых чисел, меньших 100 000. Их доля 1,45 % почти согласуется с приведенной в табл. 8-2 приближенной величиной 1,42 % Для большого множества последовательных простых.

Пусть t — длина периода простого числа р, индекс периода которого равен 10; t не может быть сравнимо с 2 по модулю 3, так как 10^+1 — простое число, которое не может делиться на 3. Так как индекс периода простого числа р четен, то р не может быть сравнимо с И или 21 по модулю 40. Поэтому р= 1 или 31 (mod 40). Если t четно, то р = 1 (mod 40). Если I нечетно, то р = 31 (mod 40).

Если t — простое число, то оно должно быть сравнимо с 1 по модулю 3, поскольку оно не может быть сравнимо с 0 или 2 по модулю 3. Поэтому, когда /— простое число, p = 2(mod3) и р = 31 (mod 40). Пересечение этих двух классов вычетов дает 71 по модулю 120 Следовательно, простое число, индекс периода которого равен 10, должно быть сравнимым с 71 по модулю 120, чтобы иметь простую длину периода.

Таблица 8-3

Простые числа, меньшие 100 000, индексы периода которых равны 10

281

21191

42391

60271

80231

521

21521

43391

61441

80671

1031

21881

43591

61991

81071

1951

24281

44281

62351

81551

2281

24551

44711

63031

84551

2311

25391

45751

64271

85991

2591

25801

47591

65831

87281

3671

25841

47791

66161

87641

5471

26161

48311

66271

5711

26431

48761

66791

90191

6791

26591

49681

67121

90401

7481

26711

49991

67481

90641

8111

28031

68111

91121

8681

28151

50321

69991

91151

8761

28591

50671

91631

9281

29231

52081

70921

93151

9551

29881

53681

71161

93601

54151

73351

94111

10601

30881

54721

73471

94441

11321

33071

56431

73751

95471

12401

33151

57041

73951

97841

13151

35201

58231

74201

98711

13591

36761

58831

74561

99431

14831

36871

58991

75431

99721

14951

38231

59671

76561

15671

59791

76991

16111

77041

16361

77801

18671

78031

79111

О простых числах, которые на 1 больше удвоенного простого числа

В этом разделе р и q— простые числа и q = 2р + 1. Мы уже отметили выше несколько свойств таких простых чисел. Если q = 3,27 или 39(mod40), то L(q)=p. Если q = 7, 19 или 23 (mod 40), то q полнопериодное простое число. Если рф 5^5(mod 12), то q делит число Мерсенна 2р—1, которое поэтому всегда является составным числом, кроме случая Р = 3.

Первые два множества простых чисел легко поддаются изучению. Если q = ^ 27 или 39 (mod 40), то либо р, либо q делится на 3, кроме случаев q = -83, 107 или 119 (mod 120), представляющих все классы вычетов (mod 120) простых чисел qy для которых L(q) должно быть равно р. Аналогично, если q = 7, 19, 23 (mod 40), то либо р, либо q делится на 3, кроме случаев q = 23, 47 или 59 (mod 120), представляющих все классы вычетов (mod 120) простых чисел q, являющихся полнопе- риодными, исключая тривиальный случай q = 7.

Изучение простых чисел по «Длинам периодов простых чисел» показывает, что имеется много простых чисел, сравнимых с 83, 107 или 119 по модулю 120, которые на 1 больше удвоенного другого простого и, следовательно, имеют длину периода равную меньшему простому из пары. Более того, имеется значительное число полнопериодных простых, сравнимых с 23, 47 или 59 по модулю 120. В некоторых случаях эти полнопериод- ные простые числа на 1 больше удвоенного составного числа; но, конечно, то, что простое число на 1 больше удвоенного другого простого, уже гарантирует его полнопериодность. Из подсчета следует, что 533 из 556 простых чисел, меньших 200 000 и сравнимых с 23 по модулю 120, т. е. около 96 % из них,— полнопериодные простые.

Рассмотрим такие группы из п простых чисел, в которых pk+i = 1 -}- 2pk (&=1, 2, ..., п—1). Примеры таких упорядоченных групп: 2, 5, И, 23, 47 и 89, 179, 359, 719, 1439, 2879. Будем обозначать такие группы через S^n, а), где п— количество простых чисел, а — первое простое число в группе. Приведенные группы — это 5(5, 2) и 5(6, 89). Ясно, что п зависит от а и классов вычетов, которым принадлежит а.

Посмотрим на эти простые числа с точки зрения классов: вычетов по модулю 120. Имеется 32 класса вычетов по модулю 120, которые не делятся на 2, 3, 5 (простые делители числа 120) и которые поэтому уже не обязательно составные. Они соответствуют четырем сериям из восьми соответствующих вычетов по модулю 30. Первая из них: 1, 7, И, 13, 17, 19, 23 и 29 по модулю 30. Чтобы получить другие серии по модулю 120, добавим 30, 60 и 90 к каждому из этих чисел.

Если a=l(mod3) или a = 7(modl0), то 2а + 1 делится на 3 или 5. Этот факт исключает пять из восьми чисел по модулю 30, чтобы и рь и р2 были одновременно простыми; остаются только И, 23 и 29 по модулю 30. Последовательно преобразуя эти первичные элементы по формуле p£+i = 1 + 2р^ получим соответственно для вторичных элементов числа, сравнимые с 23, 17 и 29 по модулю 30, для элементов третьего

порядка — сравнимые с 17, 5 и 29 по модулю 30, а для элементов четвертого порядка — сравнимые с 5, 11 и 29 по модулю 30.

Максимально возможные значения п в S(n, а) основаны на этих данных. Когда а = 23 (mod 30), п не может быть больше двух, так как третий элемент составной. Когда а = И (mod 30), максимальное п равно 3, так как четвертый элемент составной. Когда а = 29 (mod 30), каждый следующий элемент находится в том же классе вычетов, причем составные члены никак не выявляются этим классом. Однако не следует думать, что такая группа может быть бесконечна.

Чтобы показать конечность группы, заметим, что следующие друг за другом элементы группы, начиная с а, есть 2а + 1, 4а + 3, 8а + 7 и т. д. й-й элемент равен 2fe-1-a + (2^-1— 1), в а-й элемент есть 2а~1-а+(2а“1 — 1). По теореме Ферма а| (2а-1— 1), когда простое число а нечетно. Поэтому а делит п-й элемент, который, следовательно, составной, и максимально возможная длина группы, в которой первоначальным простым является нечетное число а, не превосходит а— 1. За исключением группы 5(5, 2), в действительности этих элементов гораздо меньше, так как составные числа проявляются значительно раньше. К. Лэйлот, Дж. Миз и X. Нельсон нашли, что вели первоначальное простое число меньше 20 000 000, то 5 (и, а) достигает длины п = 8 в единственном случае [77].

Заметим, что приведенная выше группа 5(6, 89) представляет собой хороший пример группы а = 29 (mod 30). Другая группа 5 (5, 2) является особым случаем, так как 2 и 5 — единственные простые числа, делящиеся соответственно на 2 и 5. Без них была бы группа 5(3, И).

Рассмотрим теперь группы с максимальным п, большим единицы, в терминах классов по модулю 120. Если а = 23 (mod 30), то а = 23, 53, 83 или ИЗ (mod 20) и 2а + 1 = 47 или 107(modl20). Если a=ll(mod30), то а=11, 41, 71 или 101 (mod 120) и 2а + 1 = 23 или 83 (mod 120). Если а = = 29 (mod 30), то а = 29, 59, >89 или 119 (mod 120) и 2а + 1 = = 59 или 119 (mod 120).

Ранее мы показали, что если q = 83, 107 или 119 (mod 120), то L(q) = р; если q = 23, 47 или 59(mod 120), то L(q) = q — 1. Простые числа в этих шести классах вычетов, которые на 1 больше удвоенного другого простого, числа имеют длины периодов, соответствующие этому условию. Отсюда мы можем сделать вывод, что простое число должно принадлежать одно* му из упомянутых шести классов вычетов для того, чтобы оно было вторым элементом группы 5(п, а), первый элемент которой есть простое число, не равное 2 и 5.

В такой группе, если р\ = 29 или 89 (mod 120), то р2 = 59 (mod 120), а все последующие элементы сравнимы со 119 по модулю 120. Если р[ = 59 или 119 (mod 120), то все последующие элементы сравнимы со 119 по модулю 120.

Простые числа вида Q = 2пр + 1 из множества С

Всякое простое число из множества С, имеющее вид 2пр + 1„ где р — простое, будем обозначать через Q. Покажем, что Qy вероятнее всего,— полнопериодное простое.

Поскольку Q — 1 = 2пр, то единственными нечетными делителями числа Q— 1 являются 1 и р. Так как Q принадлежит множеству С, то индекс его периода f(Q) должен быть нечетным. Тогда его длина периода L(Q), равная (Q—l)/i(Q)> есть либо 2пр, либо 2п. Это означает, что или число Q — полнопериодное простое, или L^Q) равно степени двойки.

Таблица 8-4

Известные простые с длиной периода 2

п

2"

Простые числа

1

2

11

2

4

101

3

8

73, 137

4

- 16

17, 5882353

5

32

353, 449, 641, 1409, 69857

6

64

19841, 976193, 6187457, 834427406578561

7

128

1265011073

8

- 256

257, 15361, 453377

9

512

10753, 8253953

10

1024

1514497

11

2048

12

4096

13

8192

458924033

В 1абл. 8-4 представлены все известные к настоящему моменту простые числа, меньшие 10000 и имеющие длину периода^ равную степени двойки. За исключением 11, 137 и 353, каждое из этих простых чисел либо не является числом вида Q, либо полнопериодное простое. Разложение репьюнитов вплоть до Ret завершено полностью!). Оно показывает, что для всех п < 7 каждое Q, кроме И, 137 и 353, — полнопериодное простое. Поскольку количество чисел Q с длиной периода 2п зачастую равно нулю или относительно очень мало для любого пу

!) К настоящему времени наименьший неполностью разложенный на множители репью нит есть /?157. — Прим, перев.

то отсюда следует гипотетический вывод: если простое принадлежит множеству С и равно 2пр + 1, то вероятность того, что оно имеет полный период, весьма велика.

Замечания и комментарии

Философы этого мира полагали, что не иначе можно и должно решить этот спор, как допустив кругообращение времен, в котором одно и то же постоянно возобновляется и повторяется в природе вещей, и утверждали, что и впоследствии беспрерывно будут совершаться круговращения поступающих и проходящих веков, будут ли это кругообращения в мире постоянно пребывающем, или он, возрождаясь и погибая через известные промежутки, будет всегда представлять в виде нового то, что уже прежде было и что будет опять.

Августин !)

Еще в молодости Гаусс независимо от Ферма открыл теорему, носящую имя последнего, исследуя таблицу длин периодов. Чтобы ознакомиться с ходом его рассуждений, посмотрите с. 203 из книги Шэнкса [106].

В начале 1979 г. мце посчастливилось провести неделю с легендарным Капрекаром в Индийском институте науки в Бангалоре. Его манера представления интересных числовых отношений, многие из которых относятся к репьюнитам и длинам периодов, стала причиной того, что в нем очень нуждались как в рассказчике по всей стране. Возможно он более известен в связи с опубликованием числа 6174, которое является конечным результатом, за некоторыми исключениями, процесса вычитания четырехзначного числа, цифры которого идут в восходящем порядке, от того же числа с нисходящими цифрами (последовательные разности преобразуются тем же способом, чтобы образовать новую пару операндов)2).

1} Августин. О граде божьем. — В кн.: Творения Блаженного Августина.— Киев, 1906, ч. 4, кн. 12, с. 256—257.

Подробнее об этом см. [35]. — Прим, перев.

ЧИСЛА, КРАТНЫЕ РЕПЬЮНИТАМ, СТЕПЕНЯМ И ДОЛЯМ РЕПЬЮНИТОВ

Произведения репьюнитов

RARAПоклонники занимательной математики испытывают определенное очарование, решая задачи-диковинки, связанные с репьюнитами. Рассмотрим, к примеру, произведение двух репьюнитов. Больший репьюнит Rt обычно пишется в первой строке, а меньший, Rb помещается на второй строке. Ниже располагается / строк с числом Rt на каждой, так, что каждая строка после первой сдвинута влево на одну цифру от предыдущей строки. Произведение RtR} получается, если сложить числа этих / строк по столбцам. Всего f + / — 1 столбцов и i + j — 1 цифр в произведении, если количество цифр в каждом столбце достаточно мало, чтобы не получался перенос («в уме») за левый крайний столбец. Если / ^ 9, то переноса в следующий столбец нет, так как в каждом столбце не более 9 единиц

RA

RA

11111

r5

11.

. ... 11

Ri

X 111

Rs

X 11 . . .

.11

R,

11111

11.

. . . . и

11111

3 строки

11 . . . .

. . . 11

j строк

11111

1233321 R5R3

5 + 3—1 = 7 цифр Наибольшая цифра —35 + 3—1 = 7 цифр Наибольшая цифра —31221

5 + 3—1 = 7 цифр Наибольшая цифра —3

5 + 3—1 = 7 цифр Наибольшая цифра —3

i 4- / ~ 1 цифра, наибольшая цифра — /

Вычисления ясно показывают, что если Rt умножается на Rb где / меньше или равно I и 9, то произведение представляет собой палиндром из / 4" / — 1 цифр, первые / цифр которого с любой стороны образуют последовательность от 1 до /. Цифра посредине есть /. Количество цифр /, которые расположены в середине произведения, равно U + j—1) — 2(/—1)=/ —/4-

+ 1 Если рспьюнит возводится в квадрат, то i = /, и в середине результата только одна цифра /. Например:

/?з-Яз= 12321,

R9 • /?8 = 1234567887654321,

/?13 . R3 = 123333333333311,

/?юо * Ra = 123444 .... 444321 с 97 четверками.

Квадраты репьюнитов, превышающих R9, не палиндромы, потому что 10 или более единиц в промежуточном столбце в процессе умножения дают перенос в левый следующий столбец. Тем не менее произведение может быть записано непосредственно с помощью простого алгоритма, наподобие описанного К. Ф. Уайненсом.

Алгоритм основан на том, что (Rn)2 = ((Юп — 1)/9)2 = = ((1/9- 10"- 1/9)2 = (1/81) - 102П-(2/81)- 10"+ 1/81.

Например, в случае (/?и)2 имеем: 1/81 —0,(0123456789) и

(123456790) +(0123456790) —(135802469)(123456790) +(0123456790) —(135802469)(1/81) • 1028-> 12345679012345679012345670,

(123456790) +

(0123456790) —

(135802469)

(123456790) +

(0123456790) —

(135802469)

+ 1/81 -> +0,

—(2/81) • 1014-^-2469135802469,

=123456790123454320987654321.

Этот пример после внимательного изучения дает возможность аналогичным образом получать квадраты больших репьюнитов. Используем запись расширенного периода (см. гл. 4) для обозначения повторяющейся конкатенации периода с самим собой. Пусть А = 012345679, период дроби 1/81, и пусть

Репьюниты, кратные произведениям репьюнитов

Согласно правилу множителя, Rj и Rk являются делителями числа Rm, если / и к — делители т. Если j и к взаимно просты и каждое из них делит т, то их произведение делит Rm. Это замечание может быть расширено применительно к произведению более чем двух чисел. Если несколько чисел взаимно просты и каждое из них делит т, то их произведение делит т; произведение репьюнитов с этими числами как номера делит Rm. Если числа не взаимно простые, но каждое делит т, то т не обязательно кратно произведению этих чисел. Аналогия с репьюни- тами также верна, так что произведение репьюнитов с этими числами как номера не обязательно является делителем числа Rm-

Однако эта аналогия не распространяется неограниченно. Если т — простое, то Rm не обязательно является простым. Также если т — произведение нескольких чисел, то независимо, взаимно просты они или нет, Rm всегда больше, чем произведение репьюнитов, номера которых равны этим числам !).

^qL (q)^L(q))/4

Ранее мы видели, что наименьший репьюнит в десятичной системе счисления, делящийся на квадрат простого q, на равного 2 и 5, — это, как правило, репьюнит с номером qL^qY Известные исключения — 487 и 56598313 — простые числа, квадраты которых делят те же репьюниты, что и их первые степени, и число 3. Характерно, что при (?=#3, если qk— наивысшая степень q, делящая репьюнит, для которого q является примитивным делителем, то наименьший репьюнит, который делится на qkJr(\ есть Rb где j = qaL(q). Такие полноквадратные репьюниты имеют другие интересные особенности.

Пусть m = £(</); тогда, исключая отмеченные необычные случаи, mq — номер наименьшего репьюнита, делящегося на q2. Нашего внимания заслуживает частное (RmqlRm)lq.

R^ деленное на R^, есть 100000100000100000100000100000 7 .

1000001, 37-значное число, равное ^ (106)1-1. Частное от деления этого числа на 7 равно числу 14285728571442857157142871 4285857143, которое можно представить как увеличенную на

^ Это следует из неравенства (10fe| ^2 " к® — 1)/э > ((10*1 — 1 ... • ((10^ — 1)/э), где s > 2, £i = 2, ..ks ^ 2. — Прим. ред.

единицу конкатенацию периодов шести правильных дробей со знаменателем 7 в возрастающем порядке.•

Подобный результат получается, если простое, отличное от 2 и 5, не является полнопериодным. Рассмотрим число 13, длина периода которого равна 6. Наименьший репьюнит, делящийся на 132 есть ^78. Ri^ деленное на R6, дает в результате 7313

значное число, равное У (106/-1. Когда это число разделим на 13, получим следующее частное: 076923153846230769307692384 615461538538461615384692307769230846153923077 — увеличенная на единицу конкатенация в возрастающем порядке двенадцати 6-значных периодов для знаменателя 13.

Покажем, что это свойство, представленное на примерах со знаменателями 7 и 13, сохраняется для всех простых, отличных от 2 и 5.।

Читатель может убедиться сам с помощью элементарного q .

рассуждения, что отношение RmqIRm = У (10т)1-1 представляет собой последовательность из q единиц, каждая из которых отделена от ближайшей соседней цепочкой из пг — 1 нулей. Обозначим эту сумму через S. Заметим, что

(10m)t-a = (10"») (IO"1/-0-1 = ^Rm + 1) (КУ”/-0-1 == ^Rm> (\0т)1~а~х + (10m)i-a-1.

Воспользуемся этим соотношением, чтобы записать S через Rm. Расположим слагаемые в $ по убывающим показателям степеней:

S = (10,м)у-1 ч- (1О'")',_2 + (Ю'")'7-3 + ... +(10m)2 + (10m)+ 1.

Первое слагаемое может быть записано в виде двучлена, как показано выше, с i = q и а = 1, т. е. (9/?m) (IO"1)*7-2 +(10'л)<'-2, где второе слагаемое совпадает со вторым слагаемым в S; поэтому первые два слагаемых в S дают сумму (Э^тОО”1)*7-2 + + 2- (Ю"1)""2.

Далее, гио^^-г^/г^ио^-3^так что пер

вые три слагаемых в$в сумме дают (Wm)U^m)q2 + 2QdRm)X X(10T“3 + 3(10mf“3, где последнее слагаемое, будучи сложенным с 4-м слагаемым в S, дает 3 (дТ^ДЮ^)^4-Н 4 (ICf1)^4.

Результат становится очевиден, r-е слагаемые получающейся суммы есть i^Rm) (10m)^-r-1. Третье с конца или (д— 2)-е слагаемое S после добавления к нему соответствующей части предыдущих слагаемых дает Vq — 2) ^Rm) (10m) + (q— 2)(10m).

Теперь (q — 2) (10m) прибавим к последним двум слагаемым S, получим ^q — 2) (10^) Н- (10w) + 1 = (q — 1) (10m) + 1 = (q — 1) (9R^ + q.

Теперь мы можем записать частное в другом виде:

q -1

Rmq/Rm = ^Rm Z i (IO"1)"—1 + q.

Частное от деления 9Rm на q есть период дроби \,q. Отсюда (RmqlRm)lq — увеличенная на единицу конкатенация периодов q — 1 правильных дробей со знаменателем q в возрастающем порядке

Репьюниты, кратные степеням репьюнитов

Репьюнит, деленный на И, очевидно, дает число вида 10101010 .... Это частное — целое число, оканчивающееся на 1, если репьюнит имеет четный номер, в противном случае появляется остаток. Аналогично, репьюнит, деленный на 111, дает 100100100100,и это частное является целым только тогда,

когда номер репьюнита кратен трем. Вообще, RnJRj = п

= X (Ю7)1-1 —- формула, которую мы использовали ранее.

Частное — целое только тогда, когда номер репьюнита-делимо- го кратен номеру репьюнита-делителя, — факт, вытекающий из правила множителя.

Так как Ю7 = 9R, + 1, каждая степень 107 сравнима с 1 по модулю Rj. Формула показывает, что отношение Rn}/R} представляет собой сумму п степеней числа Ю7 и поэтому оно сравнимо с п по модулю Rj. Минимальное положительное целое значение гц при котором отношение Rn^/Rj было бы кратно R3, оказывается при n = Rj. Тогда наименьший репьюнт, который кратен квадрату Rb есть R^ где к = j-Rj.

Можно показать, что и при любом натуральном t > 2 наименьший репьюнит, кратный Ц^У, есть Rk, где k = j(R]y~1. Необычна скорость, с которой происходит при этом рост величин номеров и показателей. Количество единиц в наименьшем репьюните, делящемся на CR4)4, составляет почти 5,5 миллиардов. Поскольку любое Rk имеет хотя бы один примитивный простой делитель, Rk должно еще делиться на другой значительный по величине множитель, кроме Ц^У, делители которого являются только алгебраическими делителями Rk. Поэтому не существует репьюнита, равного степени другого репьюнита.

Репьюниты, кратные квадратам репьюнитов

Только что мы видели, что наименьший репьюнит Rk, кратный (Rm)2, есть такой репьюнит, для которого k = m-Rm. Запишем последовательность упорядоченных пар репьюнитов в возрастающем порядке левых членов такую, что правые члены этих пар являются наименьшими репьюнитами, делящимися на квадраты левых членов: (R2, R22), (R3, /?ззз), (R4, /?4444), (Rs, R55555) и т. д. Величина правых членов пар так быстро возрастает, что если единицы записать компактно, по 10 в одном дюйме 4), то наименьший репьюнит, делящийся на квадрат числа, записанного только шестью единицами, записался бы строкой из единиц длиной более мили. Наименьший репьюнит, делящийся на квадрат числа, записываемого только десятью единицами, будет иметь протяженность в две трети пути вокруг Земли по экватору.

Определим вид частного от деления правого члена каждой из упорядоченных пар на квадрат левого члена. Сначала разделим Rk на Rm (здесь к = т-Rm), а затем результат вновь разделим на Rm. В предыдущем разделе мы показали, что

RmaIRm = I ^Rm 2 /(Ю^)"7-1-1 ) + (?. Мы тогда нашли результат X1 = 1/

от деления этого частного на q, где q было простым. Однако до сих пор в рассуждениях число q могло быть любым целым, поскольку никакой специальной оговорки для него не было. Пусть q = Rm. Разделив обе стороны равенства на Rm, получим

q-v

kRmJRmMRm = 9 Z I+ L

Отсюда результат деления наименьшего репьюнита, кратного квадрату репьюнита Rm, на этот квадрат представляет собой увеличенную на единицу конкатенацию в возрастающем порядке записанных как m-значные числа произведений 9 на целые числа от 1 до Rm — 1.

Например, (/?22)/(/?2)2 = 9182736455463728191, а (/?ззз)/(Яз)2 = = 9018027036045054063072081090099108 ... 945954963972981991.

Квадраты как примитивные делители репьюнитов

Может ли квадрат простого делить десятичный репьюнит с простым номером?

Квадраты почти всех простых чисел вместе со своими первыми степенями не являются примитивными делителями одних и тех же репьюнитов. В этих случаях номер наименьшего» репьюнита, делящегося на р2, равен p-L(p), т. е. является составным числом.

Три простых числа, не попадающие в это множество,— это 3, 487 и 56598313. Квадрат числа 3, т. е. 9, делит только те репьюниты, номера которых кратны девяти, наименьший из них равен R^. Квадраты других двух простых имеют ту же длину периода, что и сами простые. Эти простые имеют полный период, и поэтому их квадраты не являются делителями репьюнитов с простыми номерами.

Теорема 4 работы Д. Бриллхарта, Д. Тонаскиа и П. Уэйн- бергена «О коэффициенте Ферма» [16] утверждает, что «если а принадлежит показателю е по модулю р и ар-1 = l(modp2), то а принадлежит показателю е по модулю р2». Применительно к десятичной системе счисления эта теорема означает, что если р2 делит Rp-i, то р2 и р имеют одну и ту же длину периода являются примитивными делителями одного и того же репьюнита. Этот факт допускает возможность того, что квадрат простого числа будет иметь простую длину периода. В настоящее время не известен квадрат простого, который делил бы десятичный репьюнит с простым номером.

Репьюниты-степени

Мы видели, что не существует репьюнита, большего 1, который был бы степенью репьюнита. Но мы можем полюбопытствовать, может ли репьюнит быть степенью некоторого числа.

Путеводителем при решении этой задачи может служить тот факт, что степени попадают в ограниченное число классов вычетов с ограниченным количеством членов. Все квадраты, которые оканчиваются на 1, имеют четные цифры в разряде десятков. Каждая пятая степень, которая оканчивается на 1, имеет либо 0, либо 5 в разряде десятков. Следовательно, репьюнит не может быть степенью числа с четным показателем или с цифрой 5 на конце. Анализ усложняется, если рассматривать другие степени.

Другой путь к рассмотрению задачи заключается в допущении того, что Rn действительно равно степени mfe, и в выяснении, какова была бы длина его периода. Если бы длина периода тк была не такая же, как у т, то т — примитивный делитель меньшего репьюнита, a Rn не имело бы примитивного простого делителя. Но поскольку каждый репьюнит должен

иметь хотя бы один примитивный простой делитель, то не найдется репьюнита, который был бы равен степени простого, если это простое делит меньший репьюнит.

Если тк имеет ту же длину периода, что и т, то L(m) либо равно, либо меньше п. Если L(m)< п, то т — примитивный делитель меньшего репьюнита, и Rn опять не имеет примитивного простого делителя.

Если L(m) = n\ то наше допущение может быть и верно, т. е. возможно Rn = тк. В этом случае длина периода числа т и каждой другой степени числа т до тк включительно равна п Предполагается, что длина периода должна быть простым числом>; если бы она была составным числом, то меньшие репьюниты и меньшие простые были бы алгебраическими делителями Rn.

Примером тривиального случая, когда ^=1, служат простые репьюниты. Д. У. Ренч (младший) [135] обратил внимание на то, что имеется квадрат, равный репьюниту в троичной системе счисления: 7?(3, 5)= И2, так как (З5— 1)/2 = 121. Не исключено, что в иных системах существуют и другие степени, равные репьюнитам.

О псевдопростых репьюнитах

Независимо от количества исследуемых простых чисел или, может быть, напротив, по этой причине можно попасть в ловушку, сделав ложное обобщение о них. На конференции по теории чисел в Университете шт. Огайо в Майами в 1977 г. У. Дадли представил интересный доклад, многие формулы которого, уравнения и алгоритмы для получения простых чисел, а некоторые из них появились и в престижных публикациях, оказались недостойными внимания или бесполезными. К тому же порою рассказ может оказаться весьма трудным для понимания и не поддающимся соответствующей интерпретации и оценке. Примерно так было, когда в 1978 г. Рюкер [102] утверждал, что число Мерсенна 2т—1, где т = 789746671977 4591, простое число. Может это и так.

Когда X. Уильямс и Е. Сих [129] нашли, что R^n— псевдопростое в нескольких системах с небольшим основанием, они провели проверку в некоторых системах с большим основанием. И только после этого, воспользовавшись самыми последними известными методами, они доказали, что R317 — простое.

X. Уильямс также обнаружил, что /?юз1 — псевдопростое в каждой из тех многих систем, которые он испытывал. К настоящему моменту еще не доказано, что /?юз1 — простое !).

Ознакомившись с результатами этих поисков, я подумал, что можно уже сделать обобщение. Я спросил профессора X. Уильмса, можно ли утверждать, что если репьюнт имеет в одной системе счисления простой номер и является псевдопро- стым числом в какой-нибудь системе с другим основанием, то этот репьюнит — простое число. Это допущение, конечно, неверно для чисел-нерепьюнитов, но тогда появилась бы возможность что репьюниты составляют исключение. Ответ был отрицательный. Профессор Уильямс в качестве контрпримера привел числа R3 — псевдопростое в системе с основанием 73 и R5 — псевдопростое в системе с основанием 187, поскольку 73110 = = l(mod 1 1 1) и 18711110 = l(mod 1 1 1 1 1). Он нашел еще много таких примеров.

Репьюниты, делящиеся на репьюниты

Формула RndRi = Л (Ю7)^1 была использована уже не- z=i

сколько раз в этой главе. Предположим, что а может быть выражено в виде произведения nj двух целых чисел, больших единицы, т различными способами. Тогда и Ra может быть записано 2m различными способами в виде произведения Rr на Ra/R]. Например, когда а = 18 = 2-9 = 3-6:

/?18= 11 . 10101010101010101 =

= 111 • 1001001001001001 = = 111111 • 1000001000001 = = 111111111 • 1000000001.

Любой примитивный делитель числа Rib не является делителем его множителя — репьюнита, так как по определению наименьший репьюнит, который делится нацело на этот примитивный делитель, есть T?i8. Таким образом, примитивный сомножитель репьюнита Rib должен быть делителем правого сомножителя (с нулями между единицами) в разложении Ris.

С учетом того, что p\Rp_X) этот результат указывает для любого простого р > 5 схему построения чисел такого вида, ко-

торые должны делиться на это простое: разложить р — 1 на два множителя п и / и записать п единиц, каждая из которых отделяется от любой соседней единицы / — 1 нулями. Для тех /, которые не кратны L(p), это число делится на р. Например, чтобы получить кратное 13 число такого вида, мы можем, учитывая, что 12 = 3-4, записать либо 100010001, либо 1001001001. Также, поскольку 12 = 6-2, то на 13 делится 10101010101. Однако, на 13 не делится 1000001, так как в этом случае / равно 6, т. е. длине периода числа 13. В то же время /?12 = 111111 • 1000001, но здесь множитель-репьюнит кратен 13.

Число 9901, единственный примитивный делитель RX2 делит число 1000001 так же, как и другие приведенные нами числа этого вида, кратные 13. Поскольку L(13)=6, мы можем записать меньшие числа такого вида, кратные 13, но не кратные 9901. Так как 6 = 2-3, то 13 делит числа 1001 и 10101.

Формулы, связывающие репьюниты с другими репьюнитами

Здесь приводится несколько формул и примеров для иллюстрации связи репьюнитов с другими репьюнитами:

1.

Rk+1 — Ю/?й + 1 Пусть к = 2.

ЮТ?2

=

по

+ 1

=

+ 1

Ra

=

111

2.

^k?=\tf-4RiHRk+tRk- Пусть к = 5, / = 2.

-/

ю3ш2

=

121000

+ RaR?

=

+ 123333321

W

=

123454321

3.

(/?ft + l)2=10№)2+/?2ft + l Пусть ^ = 3.

10 №з)2

=

123210

+ Ri

=

+ 1111111

=

1234321

№+1)2 = 10°/?26+i + Ю1^*-! + 1027?2ft-3 + ... + Ю67?1

Пусть A = 3.

l/?7=1111111

10/?5=111110

100/?з=11100

+ 1000/?!=1000

(/?4)2=1234321

Репьюниты^как часть в записи простого числа

Возьмем любые два репьюнита Ri и Rk. Существует бесконечно много простых чисел, которые имеют в качестве начальных цифр R, и конечных цифр Rk. Это следует из теоремы, приведенной В. Серпинским в журнале «Acta Arithmetica» [111]. Известные простые репьюниты можно рассматривать как частный случай, при котором промежуточная часть числа отсутствует или является репьюнитом.

В работе X. Уильямса «Некоторые примеры простых чисел с интересными рисунками цифр» [125] приведены найденные им различные группы простых, имеющих в своем написании репью- ниты как значительную часть. Прежде чем опубликовать эти результаты, он провел сравнительный анализ своей работы и исследований других авторов по этому вопросу. Одна группа простых чисел, на которой он концентрирует свое внимание, состоит из палиндромов с репьюнитами по обеим сторонам единственной цифры, не равной 1. Три наибольших простых числа этого вида, которые он нашел,— это /?406/?40, /?4s4/?45, /?4s5/?45. Приведенная запись означает конкатенацию, последние два числа имеют по 91 цифре.

Две другие группы, которые описывает X. Уильямс, представляют собой простые числа, имеющие репьюниты или предшествующие или следующие за единственной цифрой, отличной от 1. Три наименьших простых числа первого типа, найденных им, равны 5/?84, 3/?88, 9/?92. Три наибольших простых второго типа — R2&7, /?397, /?49Э. Пределом, которого достиг Уильямс в этих поисках, было 100-значное число, откуда следует, что не существует больше простых чисел этого типа, имеющих меньше 100 цифр.

Репдиджиты как часть в записи простого числа

Репдиджиты в отличие от репьюнитов всегда, очевидно, составные; однако, аналогично репьюнитам, они могут встретиться в виде длинной цепочки в записи простых чисел. Р. Ондрей-

ка [84] недавно составил следующую серию примеров, послуживших для X. Нельсона меньшими простыми и для X. Уильямса— большими простыми числами:

Основная цифраОсновная цифраПростое числоПростое число

Основная цифра

Основная цифра

Простое число

Простое число

17

22222222222222222222239

33333333333333333333301, 1733333333333333333333

44444444444444444444451

55555555555555555555557

6666666666666666666661

7777777777777777777773, 2477777777777777777777

88888888888888888888867

910506—10253 — 1 (252 девятки,восьмеркаи253 девятки)

92 • 10401 — 1 (за единицей следует 401 девятка)

0 и 910564 + 10282 — 1 (за единицей следуют 282 нуля и 282 девятки)

Замечания и комментарии

Господь Бог создал целые числа, все остальное — дело рук человеческих.

Кронеккер т)

Это часто цитируемое высказывание, что бог создал целые числа, а остальное есть человеческое творчество, нс всегда принимается за чистую монету. Спор о том, имеет ли такая схема хоть какое-то основание или, может быть, какое-нибудь другое либо даже отдаленно похожее, подобен приему текста по клопферу \ Точная интерпретация могла бы показать, что мы подобны детям, играющим в прятки и вечно находящимся в зависимом положении в попытке разыскать, где прячутся взрослые. Изучая репьюниты, мы упорно ищем божественный смысл и магические тайны, которые скупо открываются нам.

Не существует отличного от R2 репьюнита, меньшего /?145оо, являющегося одним из пары простых близнецов.

О репдиджитах-квадратах в различных системах счисления можно прочитать в статье Ч. Тригга «Репдиджиты-квадраты» [И8].

Цитируется по книге М. Клайн. Математика Утрата определенности — М., Мир, 1984, с. 269. — Прим, ред

УПРАЖНЕНИЯ С РЕПЬЮНИТАМИ

В трех выпусках «Журнала занимательной математики» [146, 154, 155] было опубликовано десять задач и упражнений, связанных с репьюнитами. Они были основаны на статьях, напечатанных ранее в журнале. Некоторые из них были использованы позже в «Математическом журнале» [147]. Ниже представлена большая группа упражнений, включающая изданные ранее и проверенные. Решения мы поместили в конце главы в надежде, что это будет как-то стимулировать самостоятельность читателя.

Найти пару репьюнитов, произведение которых равно 100-значному палиндрому.

Если бы вы искали первый простой репьюнит, который будет больше, чем общеизвестное наибольшее простое число, то где бы вы начали свой поиск?

Какое простое р, кроме 3, делит Rp?

Сколько простых делителей числа /?199 имеют длину периода, равную 199? Сколько простых делителей R2oo имеют длину периода, равную 200? Сколько простых чисел делят Т?2оо?

К моменту написания этой книги было известно четыре простых делителя R7g. Оставшийся 63-значный множитель не является псевдопростым в тринадцатеричной системе. Если R79 не имеет делителей меньше 1022, отличных от четырех известных, то сколько простых делят /?79?

Числа 91433, 91631, 182867 и 183263 — простые. Какова длина периода каждого из двух последних чисел?

Какой наименьший репьюнит кратен квадрату числа 183263?

Общая цена новых автомашин в прошлом году доходила до 1111111 долларов. Если каждый автомобиль имел одну и ту же цену, то сколько их было продано?

Если число Мерсенна Мр = 2? — 1 простое, то будет ли так же простым соответствующий репьюнит 7?р=(10р—1)/9?

Если Rp — простое, то какова длина его периода и какой его период?

^ В этом и других упражнениях следует учитывать, что наибольшее известное сегодня простое число р = 39 1 581-2216193 — 1, а простое Мерсенна р = 2216091 — 1 (см. табл. 7-1, а также [166]) —Прим перев

И Какие цифры заменены буквами в умножении:

х rrrrrrr

REPUNITINUPER

Каждое простое, большее 3, делящее Rk и не делящее меньший репьюнит, превышает число, кратное к на единицу. При каких условиях составное число, которое на единицу больше, чем кратное числу к, делит Rk и не делит меньший репьюнит?

Если Rh — наименьший репьюнит, делящийся на составное число п, не равное увеличенному на единицу кратному к числу, то каково соотношение между пик?

Чему равно максимальное число общих простых делителей для каждой пары из чисел R^ Rz, R^ R&, Rio и T?i5?

Дайте рекуррентное определение репьюнита Rn.

Если 10" + 1 простое, то сколько простых имеют длину периода 2п?

Длина периода простого числа 19 равна 18, а длина периода простого числа T?i9 равна 19. В чем отличие произвольного 18-значного числа и периода правильной дроби со знаменателем 19? В чем отличие 19-значного числа и периода дроби со знаменателем Т?19?

Чему равен наименьший репьюнит, делящийся на квадрат числа 11? делящийся на квадрат числа 7?ц?

Дано три числа: 9999993, 9997848 и 123786. Какое из них, если таковое есть, является периодом, соответствующим несократимой дроби с простым знаменателем?

Какими цифрами следует заменить буквы, чтобы сумма девяти одинаковых слагаемых стала равной репьюниту?

РЕПЬЮНИТ РЕПЬЮНИТ РЕПЬЮНИТ РЕПЬЮНИТ РЕПЬЮНИТ РЕПЬЮНИТ РЕПЬЮНИТ РЕПЬЮНИТ 4-РЕПЬЮНИТ

2741 — полнопериодное простое число. Сколько двоек, семерок, четверок и единиц содержится в его периоде?

Как связаны с к наименьшее и наибольшее простые числа, которые могли бы иметь длину периода, равную к, где к не кратно 3?

Являются ли взаимно простыми два репьюнита, номера которых — последовательные числа?

Являются ли взаимно простыми два репьюнита, номера которых — последовательные нечетные числа?

Являются ли взаимно простыми два репьюнита, номера которых — последовательные четные числа?

Пусть р = 2216091 — 1. Что можно сказать особенно существенное о делителях Rp*?

Показать, что 0,(1)= 0,(11) = 0,1 (1).

Если р — простое, то какова длина периода чисел, делящих Rp и равных квадрату простого числа?

Если р — простое, то какова длина периода квадрата простого числа, делящего Rp?

Какая несократимая дробь имеет десятичное представление 0, (1234567890)?

Расположите следующие 4 десятичные периодические дроби в порядке возрастания величин: 0,(137); 0,(1371); 0,(13713); 0,(137137).

Расположите следующие 5 десятичных периодических дробей в возрастающем порядке: 0,(0173); 0,0(173); 0,01(73); 0,017(3); 0,0173.

Пусть А = 0,(0005) и В = 0,(0001). Сколько цифр в периоде имеют А + 6, Л — 6, А • В и А1В^

Произведением каких двух репьюнитов является число 123455554321?

Простое р имеет нечетную длину периода L. Сумма наименьших положительных вычетов по модулю р первых L степеней числа 10, начиная с 10°, равна S. Если 2 не появляется в качестве вычета в этой группе, то какова сумма наименьших положительных вычетов по модулю р, умноженных на 2, тех же L степеней числа 10?

Условия и вопрос те же, что и в упр. 35, только L четно.

Обозначения Роуза для примитивных сомножителей чисел /?ю и R20 суть 1 — 1 — 1 и 10 — 010 — 01 соответственно. Чему равны круговые многочлены QioW и Q2o(*)?

Используя приведенное в упр. 37 обозначение по Роузу, записать примитивные сомножители чисел Rio и R20.

Пусть Сп = 2Л0п—1—число, записываемое единицей с последующей цепочкой из п девяток. Простое число 601, дли-

на периода которого равна 300, делит С324. Чему равны следующее большее и предыдущее меньшее числа вида Сп, делящиеся на 601?

Чему равен индекс периода простого числа р, если для каждого целого числа а, не делящегося на р, число р делит число вида а-10"— 1?

Можно показать хорошо известным способом, что все 61 последовательных чисел, первое из которых есть 60! и последнее 60! + 60, составные. Найдите, не пользуясь таблицей, такой же длины ряд последовательных составных чисел, значительно меньший указанных.

Рассматривая перечень простых чисел с данной длиной периода, мы замечаем, что некоторые очень большие простые числа имеют относительно маленькую длину периода. Какую долю (примерно) всех простых составляют числа, превышающие свою длину периода по меньшей мере в 99 раз?

Какие репьюниты в системе счисления с четным основанием будут нечетными? Какие репьюниты в системе счисления с нечетным основанием будут четными?

Если а и b взаимно просты, то чему равен наименьший репьюнит, делящийся одновременно на Ra и Rb? Если а ^ b и они не взаимно просты, то чему равен наименьший репьюнит, который одновременно кратен Ra и Rt?

Дано число 123. Постройте с помощью конкатенации новые числа, добавив не менее трех цифр справа, чтобы они делились соответственно на 11, 13, 37, 41 и 73.

Пусть cr(jV)—сумма натуральных делителей числа N, включая 1 и N. Покажите, что если b— простое, то о(Ьп) = = R(b, п+ 1).

Число N начинается с цифры 4. Если эту цифру переставить в конец числа, то новое число становится в 4 раза меньше первого. Чему равно N?

Найти 5-значное простое число, которое, будучи повернуто на 180° в плоскости листа, дает другое простое число с той же длиной периода.

Имеется много больших чисел, которые делят хотя бы один из репьюнитов, меньших Rsov Не пользуясь таблицей, назовите наибольшее число, такое, что все меньшие нечетные числа (кроме тех, что оканчиваются на 5) делят хотя бы один репьюнит до Rsoo включительно.

Больше какого числа не может быть простых чисел с длиной периода меньше 500?

Какие репьюниты кратны числу 487, но не кратны 4872?

Если S = Иш (1/9/?! + 1/9/?2 + 1/9/?3 + ... + 1/9/?п) выра- П->оо

жено десятичной дробью, то какая цифра стоит на 37 месте?

Дано десятичное выражение дроби 5/р, где р— простое. Назовите другую дробь, период которой есть круговая перестановка периода дроби 5/р, если длина периода числа р четна. То же, если длина периода нечетна.

Равенство EVE(DID = 0, (ГЛАК) представляет собой выражение обыкновенной дроби через периодическую десятичную дробь. Найти цифры, соответствующие буквам.

В системе счисления с основанием 10 числа 7 и 13 — единственные простые, длина периода которых равна 6. При основании 3 длина периода числа 7 также равна 6. Какие другие простые имеют длину периода, равную 6 в системе счисления при основании 3?

Ответы

Чтобы число RjRk было палиндромом из 100 цифр, сумма j и k должна быть равна 101, а меньший репьюнит должен быть /?9 или менее. Такому требованию удовлетворяет любое из произведений от RrRioo до R9-Rg2.

Наибольшее известное сегодня простое (см. табл. 7-1) — 65087-значное простое число 391581-2216193— 1. Больший по величине простой репьюнит, если таковой существует, должен иметь простой номер. Этот номер, естественно, означает количество цифр, т. е единиц, в записи репьюнита. Первое простое после 65087 — это 65089, поэтому /?65089— первый репьюнит, подлежащий исследованию на простоту.

Простые числа 2 и 5 не могут делить какой-либо репьюнит, так как последняя цифра репьюнита 1. Длина периода каждого простого р, большего пяти, должна делить число р— 1, и каждое такое простое делит Rp-v Поскольку два последовательных репьюнита взаимно просты, то никакое простое р, отличное от 3, не делит Rp.

Все четыре простых делителя числа /?igg имеют длину периода, равную 199, так как 199 — простое. Поскольку 200 делится на 200, 100, 50, 40, 25, 20, 10, 8, 5, 4 и 2, то R200 делится на все примитивные простые делители репьюнитов с этими номерами Из табл. 7-3 видно, что каждый из этих репьюнитов полностью разложен на множители, количество которых в таблице приведено. Сумма этих количеств составляет 25 — общее число различных простых делителей числа /?2оо- Из них четыре примитивных простых делителя числа R2oo имеют длину периода, равную 200

Пусть N — 63-значный множитель. N имеет по меньшей мере два простых делителя, так как не является псевдопростым. N не может иметь 3 простых делителя, поскольку произведение трех чисел, больших 1022, есть число, имеющее больше 63 цифр. Отсюда число R79 делят шесть простых.

Так как 182887 сравнимо с 27 по модулю 40, то индекс его периода должен быть четным, отсюда 182866, деленное на длину периода числа 182867, дает четное число. Единственное возможное такое число — это 2, поскольку 182866 = 2-91433, удвоенное простое. Поэтому длина периода числа 182867 должна быть 91433.

Так как 183263 сравнимо с 23 по модулю 40, то длина его периода должна быть четной; а поскольку это число состоит из более чем 2-х цифр, длина его периода не может быть равна двум. Так как 183262 — удвоенное простое число, то длина периода числа 183263 должна быть равна 183262.

Как только что показано, длина периода числа 183263 равна 183262. Тогда наименьший репьюнит, делящийся на квадрат числа 183263, представляет собой строку из 183263- 183262 = 33585143906 единиц. Печатающему устройству компьютера, которое печатает 1400 строк из 132 цифр в минуту, потребуется не меньше 4 месяцев, чтобы отпечатать это число, даже если не будет остановки из-за поломки, смены ленты или бумаги, отключения электроэнергии или по какой другой причине.

Это упражнение представляет собой вариацию задачи, предложенной Бейлером и другими. Простые делители репьюнита Ri — 239 и 4649. Новые автомобили продаются по цене, значительно большей 239 долларов, поэтому торговец должен был продать 239 автомобилей за 4649 долларов каждый. (Эта задача была записана до инфляции 1980 г.)

Число Мерсенна Мр в двоичной системе выглядит в виде строки из р единиц, соответствующий репьюнит в десятичной системе — также в виде строки из р единиц. Хотя и верно то, что простое число является таковым независимо от того, в какой системе счисления рассматривается, из этого не следует, что если его представление в этой системе простое, то значение числа в такой же записи в другой системе тоже простое. Пока простых чисел Мерсенна известно намного больше, чем простых репьюнитов (31 и 5 соответственно).

Длина периода любого простого числа, большего пяти, равна номеру наименьшего репьюнита, делящегося на него; поэтому длина периода Rp равна р. Период или повторяющаяся группа цифр в десятичной записи их числа, обратного любому

репьюниту Rk, простой он или составной, является цепочкой из к — 1 нулей с последующей девяткой.

Так как квадрат репдиджита есть большой палиндром, то репдиджит есть репьюнит:

1111111

Х 1111111

1234567654321

Составное число, являющееся произведением различных простых, каждое из которых имеет длину периода к, делит Rky не делит меньший репьюнит и сравнимо с 1 по модулю к. Например, 91 является произведением чисел 7 и 13, делит Re, не делит меньший репьюнит и на 1 больше, чем число, кратное 6. Это также означает, что длина периода несократимой дроби со знаменателем 91 равна 6.

Возможно, что произведение простых, для которых наименьшее кратное их длин периодов есть число к, также имеет это свойство. Число 25702601 делит Т?2оо и не делит меньший репьюнит, сравнимо с 1 по модулю 200 и равно произведению 1201 на 21401, длины периодов которых соответственно равны 200 и 25.

Наименьшее общее кратное длин периодов простых делителей числа п равно к. Например, R6 есть наименьший репьюнит, делящийся на 77 — число, не сравнимое с единицей по модулю 6. Число 77 есть произведение чисел 7 и И, длины периодов которых соответственно равны 6 и 2. Наименьшее общее кратное чисел 6 и 2 равно 6. Это также означает, что длина периода несократимых дробей со знаменателем 77 равна 6.

Rk делит Rn только тогда, когда к делит п. Отсюда Rs, равное 11 и имеющее, следовательно, только один простой делитель, имеет этот один делитель общим с R6 и Rio. Число R3y равное произведению чисел 3 и 37, имеет эти два множителя общими с R6 и с Т?15. Число /?5 имеет оба простых своих делителя общими с /?ю и с /?15. Re имеет только делители числа R^> общие с T?i5; но поскольку 6 не делит 15, то Re имеет по крайней мере один присущий только ему простой делитель, который не делит Т?15. Подобным же образом R6 и Rio имеют только R? общим делителем. 7?ю и 7?is имеют общими только два делителя числа R5.

Пусть п— положительное целое число. Репьюнит R(b, п) в системе с основанием b равен (Ьп—1)/(Ь—1). Ре- куррентно, R(b, 1)= 1 и R(J), п + 1) = b- (R(b, n)) + 1- Я(10, я) обычно записывается Rn. Рекуррентно: 7?i = 1 и Rn-v\ = = 107?.+ 1.

Простые числа, имеющие длину периода 2п, только те, что делят число R2n и не делят любой меньший репьюнит. R2n= = (102" — 1)/9 = (10" + 1) (10"— 1)/9 = (10" + 1)-/?п. Поэтому если 10n + 1 — простое число , то это единственное простое, имеющее длину периода 2п. Примерами таких простых являются числа 11 и 101, которые имеют соответственно длины периодов 2 и 4 и, кроме того, являются единственными простыми, имеющими эти длины периодов.

Имеется 1018 различных 18-значных цепочек цифр, из которых только 18 соответствуют несократимым правильным дробям со знаменателем 19. Имеется 1019 различных 19-значных цепочек цифр, из которых 7?i9 — 1 или около 1/9 соответствуют несократимым правильным дробям со знаменателем R^. Поэтому в первом случае соотношение составляет примерно 2 к 1017, а во втором случае — примерно 1 к 8, что значительно больше.

Наименьший репьюнит, делящийся на квадрат числа Rn, равен Rkl где k = n-Rn. Так как 11 =/?2, то наименьшим репьюнитом, делящимся на II2, является R22. Наименьшим репьюнитом, делящимся на квадрат числа Ru, будет репьюнит с номером 11 •/?!!, т. е. число R12 2 2 22222221.

Десятичная периодическая дробь с периодом из п цифр приводится к обыкновенной дроби делением повторяющейся группы цифр на 9Rn. Поэтому если этот период не делится на 9, то знаменатель несократимой дроби составной. Это исключает число 9999993.

Если количество цифр в периоде дроби с простым знаменателем равно 2m, т. е. четному числу, то период должен иметь Майди-свойство (сумма чисел из первых т цифр и следующих т цифр должна равняться репдиджиту из т девяток). Это исключает число 123786, поскольку 123 + 786 =# 999.

Разделив 9997848 на 9 получим 1110872. Способ сокращения дроби 1110872/1111111 не сразу очевиден. Однако, поскольку единственными простыми делителями R7 являются 239 и 4649, мы попытаемся разделить числитель на одно из них и найдем, что 239 подходит. Дробь приводится к 4648/4649, так что 9997848 есть действительно период дроби с простым знаменателем.

РЕПЬЮНИТ = 12345679, а сумма есть Т?9 = 111111111.

2741 как полнопериодное простое имеет длину периода, на единицу меньшую, чем само число, т. е. 2740. Поскольку длина периода кратна 10, период содержит равное количество каждой из десяти цифр. Отсюда в периоде точно 274 двойки, 274 семерки, 274 четверки и 274 единицы.

Каждое простое р, кроме 3, с длиной периода к, должно быть на 1 больше числа, кратного к. Так как эти простые нечетны, то, если к четно, р могло бы быть, как минимум, равным к-\- 1. Такое простое называется полнопериодным простым. Если же к нечетно, то наименьшее простое с длиной периода к может быть равно р = 2к + 1.

Каждое простое с длиной периода к должно быть делителем репьюнита Rk, кроме случая к = 1, и не должно делить меньший репьюнит. Наибольшим таким делителем может быть само Rk. Если у Rk нет собственного делителя, то Rk является единственным простым числом с длиной периода, равной к.

Два репьюнита имеют общий множитель только тогда, когда их номера имеют общий простой делитель. Поскольку два последовательных числа не имеют общего простого делителя, то Rk и Rk+i взаимно просты.

Два последовательных нечетных числа не имеют общего простого делителя, поэтому /?2*+1 и 7?2ан-з взаимно просты.

Два последовательных четных числа имеют общим простым делителем число 2. Тогда Rk и Rk^-2 при к — четном не являются взаимно простыми, их единственным общим простым делителем будет число R2 = И.

Каждый простой делитель числа Rp имеет длину периода р и на единицу больше числа, кратного р четное число раз. Отсюда каждое такое простое число больше, чем наибольшее известное сегодня простое Мерсенна р = 2216091 — I.

0,(1)= 1/9. 0,(11)=1/9. 0,1(1)= 1/10+ 1/90= 10/90 = = 1/9. Отсюда 0,(1) = 0,(11) =0,1(1).

Длина периода любого числа, делящего репьюнит с простым номером р, равна р. Неизвестен квадрат, делящий такой репьюнит. Если он существует, то должен быть равен квадрату простого, которое делит свой период.

Если q— простое число и q\Rp, то L(q) = p. Если q не делит свой период, то L(q2"\ = pq. Если q делит период, то Uq2W

После того как период записан в качестве числителя над знаменателем 9Ri0 и разделен на 9, получается дробь 137174210//?ю. Простыми делителями числа Rio являются 11, 41, 271 и 9091, ни одно из которых не делит числитель. Отсюда несократимая дробь равна 137174210/1111111111.

Сравнение десятичных дробей по величине производится по десятичным цифрам одна за другой слева направо. Если период конкатенируется с периодом и в скобки взяты оба периода, то величина дроби не изменяется. Поскольку наибольший

по длине период в задаче имеет 6 цифр, расширим другие так, чтобы получилось по меньшей мере по 6 цифр. Получим:

Л = 0,(137)=0,(137137),

^ = 0,(1371) =0,(13711371), С —0,(13713) =0,(1371313731), 0 = 0, (137137) = 0, (137137).

Ясно, что А = D. Пятая цифра В меньше пятой цифры А и меньше пятой цифры С. Поэтому В < А и В < С. Шестая цифра С меньше шестой цифры А. Поэтому С < А. Значит числа в возрастающем порядке следуют так: 0,(1371); 0,(13713); 0, (137) = 0, (137137).

Для сравнения чисел с десятичным периодом в скобках преобразуем их таким образом, чтобы скобки начинались с одного и того же положения у каждого числа:

0,(0173) = 0,0173 (0173), 0,0 (173) = 0,0173(173), 0,01 (73) = 0,0173 (73), 0,017(3) = 0,0173(3)'

0,0173 =0,0173(0).

Поскольку первые 4 цифры после запятой совпадают у всех пяти чисел, для сравнения достаточно рассмотреть цифры в скобках. Таким образом, числа в возрастающем порядке будут расположены так: 0,0173; 0,(0173); 0,0(173); 0,017(3); 0,01(73).

А + В = 0, (0005) + 0, (0001) = 0, (0006). Здесь 4 цифры в периоде.

А — В = 0,(0005)— 0,(0001) = 0,(0004). Здесь 4 цифры в периоде.

А[В = 5/1 = 5. Здесь целое число, периода нет.

А-В =(5/97?4) • (1/9/?4). Знаменатель равен 92 (/?4)2; L (92) =9. L ((Т?4)2) = 4444 [9,4444] = 39996 — столько цифр в десятичном периоде произведения.

Поскольку наибольшая цифра палиндрома равна 5, то множителем этого числа является Rs. Количество цифр произведения равно 12. Так как 12+1—5=8, то другим множителем будет R8.

Каждая из этих сумм кратна р меньше, чем L раз. Величину их отношения предсказать нельзя. Она зависит от числа р.

Когда L — четно, сумма наименьших положительных вычетов в каждой группе равна p-Lj^L

Yl. Система обозначений Роуза дает непосредственно коэффициенты круговых многочленов Qi0 (х) = х4 — х3 + х2 — х + 1 и Q2o (х) = х8 — х6 + х4 — х2 + 1.

Р10= 10000 + 100 + 1 —(1000 + 10)= 9091. Р20 = = 100000000 + 10000 + 1 — (1000000 + 100) —99009901.

Поскольку длина периода 601 равна 300, то наименьший репдиджит из девяток, который делится на 601, содержит 300 девяток. Тогда если 300 девяток приписать к С324 или отбросить от С324, то новое число будет также делиться на 601. Поэтому С624 и С24 — следующие большее и меньшее числа вида Сп, которые делятся на 601.

Если р делит число вида а -10" — 1 для всех а с условием (я, р) = 1, то множество всех остатков от деления уголком 1 на р вместе с 0 будет составлять полную систему вычетов (mod р). Это происходит только в случае, когда р — полнопериодное простое и индекс его периода равен 1.

Все 61 чисел, начиная с (30!)2 — 30 и кончая числом (30!)2 + 30, составные. Ряд из 65 меньших последовательных составных чисел задается формулой С — т, где 2 ^ т ^ 66 и С = 2-3-5-7•.. .-53-59-61—произведение всех простых до 61 включительно.

Если т — нечетно, около \[т всех простых имеют индексы периода, равные или большие т. Тогда примерно 1/99 или почти 1 % всех простых чисел по меньшей мере в 99 раз превышают свою длину периода.

Репьюнит 7?(&, п) в системе с основанием b представляет собой сумму первых п степеней числа Ь, начиная с &° и кончая Ьп-Х. Когда b четно, каждое из этих чисел, кроме b° = 1, четно; поэтому все такие репьюниты — нечетные числа. Когда b нечетно, каждая степень числа b нечетна. Тогда если т нечетно, то репьюнит нечетен; если п четно, то репьюнит четен. Поэтому репьюнит при четном основании будет четен только тогда, когда количество единиц в репьюните четно.

Репьюнит с номером а делит каждый репьюнит, номер которого кратен числу а. Если а и b взаимно просты, то наименьший репьюнит, делящийся одновременно на Ra и Rb, равен Rab. Если а и b не взаимно просты, то наименьший репьюнит, делящийся одновременно на Ra и Rb,— это репьюнит, номер которого равен наименьшему общему кратному чисел а и Ь.

Пусть А = 123. Припишем такое достаточное количество цифр (число В), чтобы оно было кратно длине периода данного простого и чтобы число А + В составило репдиджит из девя-

ток. Так как L(ll) = 2, то число В возьмем 4-значным, поэтому 11,1239876. £(13) = 6; отсюда 13,123999876. £(37)=3, поэтому 37,123876. £(41) = 5, поэтому 41,12399876; £(73) = 8, отсюда 73,12399999876.

Это только один из нескольких путей решения. В частном случае более короткая часть делимого может быть по случайному совпадению кратна делителю. Например, 73,12399999.

Решение этой задачи хорошо подготовленным учеником старших классов было описано преподавателем К. Хеджером в декабрьском номере журнала «Преподавание математики» за 1980 г. [48].

Когда b — простое, единственными делителями Ьп являются степени b от &° до Ьп, сумма которых записывается в виде строки из п + 1 единиц в системе с основанием b и поэтому равна R(b, п+ 1).

Это еще одна из задач Крайчика о периодах (см. гл. 4). 10^ — 4-Ю"-1) + 4 = vV/4. Отсюда N =(16/39) • (10rt— 1). Самое короткое решение образуется, когда п = £(39) = 6 и N = 410256.

Эта задача появилась в октябрьском номере «Журнала занимательной математики» за 1970 г.

£(10909) = £(60601) = 1212. '

Наименьший репьюнит, который делится на нечетное число (не оканчивающееся цифрой 5), имеет номером длину его периода. Длина периода числа п не больше п—1. Тогда каждое нечетное число, не делящееся на 5, меньшее или равное 501, делит по меньшей мере один репьюнит, не превышающий Rsoo-

Простое число с длиной периода п является делителем Rn. Тогда, поскольку простое не может делить число, меньшее самого себя, каждое простое, большее /?soo, имеет длину периода больше 500.

Длина периода числа 487 равна 486; поэтому наименьший репьюнит, который делится на 487, есть R^. Но 487 — одно из тех редких простых, которые делят собственный период; поэтому 4872 делит Rm. Поскольку простое число делит только те репьюниты, номера которых кратны длине его периода, то число 487 может делить только такие репьюниты, номера которых кратны 486. Но каждый такой репьюнит кратен /?48б, так что 4872 делит каждый репьюнит, делящийся на 487, и наоборот.

Эта задача появилась в журнале «Пи мю эпсилон» в 1974 г., а решение, приведенное ниже, было опубликовано в

январе 1981 г. в «Двухгодичном журнале математического колледжа» Р. Хонсбергером [51].

Последовательные слагаемые равны 0,(1); 0,(01); 0,(001) и т. д. Так как 37 — простое число, то единица появляется на 37-м месте после запятой только в 1-м и в 37-м слагаемых. Делители числа 38 суть, 1, 2, 19, 38, поэтому на 38-м месте после запятой единица попадается у 4-х слагаемых. Если при сложении перенос («в уме») с 39-го места не превышает пяти, то переноса с 38-го места на 37-е не будет. Как говорит Хонсбергер, рассмотрим «худшую возможность». Предположим, что на каждом &-м месте после 38-го имеется к единиц. Суммарное значение всех чисел, не считая первых 38 мест после запятой, будет тогда равно Т = 39/1039 + 40/1040 + 41/1041 + ... . Для всех к > 1 число к -4- 1 < 2k. Отсюда для к ^ 39 имеем: (& + +1)/10fe+1 <^ 2&/10^+1 = (^/10^)/5. Таким образом, каждое слагаемое суммы для Т меньше, чем 1/5 предыдущего члена. Допустим, что первое слагаемое F = 39/1039. Тогда Т <_ F + + F/5 + F/52 + ... . Суммируя члены бесконечной геометрической прогрессии, получим: Т < F(1 — 5) = (5/4) jF < < (5/4) (40/1039) = 5/1030. Таким образом, Т меньше, чем 5 на 38-м месте; следовательно, нет переноса на 37-е место. Отсюда на 37-м месте суммы S стоит цифра 2.

Когда длина периода числа р четна, период числа (р — а)1р представляет собой круговую перестановку периода числа а[р, причем перемещение происходит точно на (L(p))/2 цифр. Например, 5/7 = 0,(714285) и 2/7 = 0,(285714). Когда L^p) нечетно, числа (р — а^[р и afp имеют различные периоды. Но во всех случаях период числа 10па/р, где п— любое положительное целое, является круговой перестановкой периода числа а]р. Например, 5/41=0,(12195), а 50/41 = 1,(21951).

Это одна из задач книги Бейлера. Используя обычный способ превращения периодической десятичной дроби в обыкновенную, получим: EVEjDID = TALK№R4. Простыми делителями R4 являются числа 11 и 101. Тогда DID, будучи трехзначным делителем числа 97?4, есть 101 или 303, или 909. EVE < <DID, поскольку TALK < 9999. Если DID = 101, единственное трехзначное число, которым может быть EVE, есть 100; но если D= 1, то Е не может быть единицей. Поэтому DID =# 101. Если DID = 909, то 9999/DID = И. Но число TALK не может быть 11-кратным EVE, так как последняя цифра произведения должна быть также Е. Отсюда, если задача поставлена корректно, то DID =303. Так как 9999/303 = 33, число TALK равно 33-EVE. Е не может быть равно 1, так как когда К было бы тоже 3, а мы уже установили, что D = 3. Е не равно 3 по той же причине. Е не может быть больше двух, так как TALK <

< 9999. Отсюда, £ = 2. V не может быть меньше 4, поскольку произведение 33 на EVE имело бы две одинаковые цифры, а буквы в слове TALK разные. Когда V = 4, все сходится. Ответ: 242/303 = 0,(7986).

Длину периода, равную 6, в системе с основанием 3 имеют только те простые числа, которые делят репьюнит £(3, 6) = (З6—1)/2 и не делят меньший репьюнит. 7 является единственным таким числом, поскольку хотя 2 и 13 делят этот репьюнит, они также делят и меньшие репьюниты.

Приложение 1

ТАБЛИЦА ПРИМИТИВНЫХ ПРОСТЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ РЕПЬЮНИТОВ ^„ = (Ю"-1)/9, п <1000.

Знак С означает, что примитивный сомножитель Рп разложен на простые множители полностью.

Знак F означает, что непоказанный примитивный множитель, вероятно, простой.

п

Примитивные простые делители

С 11

С 3, 37

С 101

С 41, 271

С 7, 13

С 239, 4649

С 73, 137

С 333667

С 9091

11 С 21649, 513239

12 С 9901

13 С 53, 79, 265371653

14 С 909091

15 С 31, 2906161

16 С 17, 5882353

17 С 2071723, 5363222357

18 С 19, 52579

19 С 1111111111 111111111

20 С 3541, 27961

21 С 43, 1933, 10838689

22 С 23, 4093, 8779

23 С 1111111111 1111111111 111

24 С 99990001

25 С 21401, 25601, 1825212130 01

26 С 859, 1058313049

27 С 757, 4403346547 77631

28 С 29, 281, 121499449

29 С 3191, 16763, 43037, 62003, 7784383939 7

30 С 211, 241, 2161

31 С 2791, 6943319, 5733641506 3790604359

32 С 353, 449, 641, 1409, 69857

33 С 67, 1344628210 313298373

34 С 103, 4013, 2199383336 9

35С71, 123551,102598800232111471

36С999999000001

37 С 2028119, 247629013, 2212394296 7702033680 13

38С909090909090909091

39С900900900900990990990991

40 С 1676321, 5964848081

41 С 83, 1231, 538987, 2017637099 0032280374 8657942361

42 С 127, 2689, 459691

43 С 173, 1527791, 1963506722 254397, 2140992015 395526641

44 С 89, 1052788969, 1056689261

45 С 238681. 4185502830 133110721

46 С 47, 139, 2531, 5497971844 91917

47 С 35121409, 3163629087 6345852500 1406154038 726382279

48 С 9999999900 000001

49 С 505885997, 1976730144 5981909635 6802301467 9333

50 С 251, 5051, 7887594347 2201

51 С 613, 210631, 52986961, 1316816456 1429877

52 С 521, 1900381976 7773322437 81

53 С 107, 1659431, 1325815267 337711173, 4719885879 9491425660 200071

54 С 70541929, 1417596616 9

55 С 1321, 62921, 83251631, 1300635692 6780583588 30121

56 С 7841, 1275220010 2015050376 I

57 С 21319, 10749631, 3931123022 3051293779 76519

58 С 59, 1540832049 3066255778 1201849

59 С 2559647034 361, 4340876285 6574602121 4453428992 8559826755 746751

60 С 61, 4188901, 39526741

61 С 733, 4637, 329401, 974293, 1360682471, 1060071738 61643, 7061709990 156159479

62 С 9090909090 9090909090 9090909091

63 С 10837, 23311, 45613, 45121231, 1921436048 294281

64 С 19841, 976193, 6187457, 8344274065 78561

65 С 1625035187 11, 5538396997 3640240562 8651064078 0600481

66 С 599144041, 1834118381 71

п

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

С 493121, 7986359577 8924342083, 2821338094 3176667001 2631536609 9917724567 7

С 28559389, 1491383821, 2324557465 671829

С 277, 2038640780 68831, 1595352086 3292246443 48978893

С 4147571, 2652127932 49617641

С 2415731423 9362767357 6957439049, 4599481134 7886846310 2217288952 2303430183 9

С 3169, 98641, 3199044596 370769

С 1217133715 9, 1855193842 151350117, 4920734163 4646326934 0017394825 0213148744 6637

С 7253, 4226500737 34453, 2965573473 13446299

С 151, 4201, 1576398555 3739191709 1641709400 63151

С 7228170363 22379041, 1369778187 490592461

С 5237, 42043, 29920507, 1366146685 7600232937 1496447555 9157409101 81043

С 157, 6397, 216451, 3888478084 93

С 317, 6163, 10271, 307627, 4917219553 6083790769, 3660574762 7255214615 2714056487 5080461079 917

С 5070721, 1972106116 6646717498 359681

С 163, 9397, 2462401, 6764215582 70641, 1306548978 0800777842 5046117

С 2670502781 396266997, 3404193829 8060589973 03

С 3367147378 267, 9512538508 6241543736 82136329, 3468957163 8585780454 4741137394 5054253844 77

С 226549, 4458192223 320340849

С 262533041, 8119594779 271,4222100119 40553017017933119029

1488789678 081

С 57009401, 2182600451, 7306116556 5718177487 55241

С 4003, 72559, 3101702516 5802975904 5157793237 3394983427 63245483

С 617, 1620583484 6012967584 9270826564 02106953

С 497867, 103733951, 1049845057 33, 5078554966 0263156714 44089, 4035133102 2280905328 4932818475 878953159

С 29611, 3762091, 8985695684 401

С 547, 14197, 17837, 4262077, 4344214165 3, 3168773657 66624209, 1107421864 7053005429 1318013

С 1289, 1837152459 4609, 4181003300 0716698679 32658901

С 9009009009 0090090090 0900900900 9909909909 9099099099 0990990991

С 6299, 4855067598 095567, 2972627050 0913900677 1611927

С 191, 59281, 63841, 1289981231 9508495439 85493631, 9651946171 2164079145 6070347951 751

С 97, 206209, 6655410124 9, 7511831308 2913

5537053754 03392668425537053754 0339266842С 12004721, 8460357313 9691923376 7211537899 097169, 1093998468

5537053754 0339266842

5537053754 0339266842

0701191076 6229658034 8039

98 С 197, 5076141624 3655329949 1878172639 5939035533

99 С 199, 397, 34849, 3628537243 4299046932 4766235474 2688697863 1188605388 3

100 С 60101, 7019801, 1410367331 9201, 1680588011 350901

101 С 4531530181 8166132345 55190841,1290632822 3284896195 1985354966 759, 1899808857 2819375252 8420784213 7436860496 9

102 С 2910788444 23, 3775269553 0979911035 7

103 С 1031, 7034077, 1532116208 8701542399 1278431667 8083614392 1729429590 1387715486 4734579255 3485904479 6980526236 853

104 С 1580801, 6325274402 0215074509 0622412245 4439230492 01

105 С 3070373880 1, 6254377430 71, 5780205030 8786191965 409441

106 С 9090909090 9090909090 9090909090 9090909090 9090909090 91

107 С 643, 999809, 9885089, 215257037, 2386760191, 5113995384 27507881, 6468269501 55548399, 1028807946 7222538791 3023115563 10051849

108 С 109, 153469, 5977957715 6334533866 654838281

109 С 1192679, 7127674809 7121300807 9, 5295275348 7672346964 93, 2468297439 8435543596 2408390910 3782185372 8210515008 6881669547

ПО С 331, 5171, 2016349489 1, 3187278411 6566757977 6721

111 С 3055705151 8647307, 8845981170 8656291192 71997, 9007781439 6055017938 257237117

112 С 113, 7376575589 6403138401, 1199683691 4484637022 6083377

113 С 227, 9081914671 91, 5389571231 2217719065 2671034266 8539729849 8705173449 2265550033 4688187852 3705781079 0157497216 46701723

114 С 1458973, 7532018062 7132846254 7977919407

115 С 31511, 1970766592 1, 2041413720 3567631, 5799951513 9413821448 30754391, 1224035694 9178366272 0773144041

116 С 349, 38861, 618049, 1181180637 5201836408 6796357362 5866958318 7541

117 С 2403968411 40769, 5379476981 26879, 3352825314 499987, 2304017384 4840851318 16292573

118 С 1889, 1090805842 0680986778 37, 4411922770 9960741096 4453536285 1087

119 С 923441, 3924966376 871, 7687365594 2140124904 2753476963, 3230129421, 4856275165 0814544437 3504546404 48842187

120 С 1000099999 9989998999 9000000010 001

121 С 15973, 38237, 274187, 5971491762 0953041236 0795391497 6573401599 4342199250 2538230831 4816822329 6964916727 7637825641 074323

122 С 81131, 1120522253 0116836855 3215282578 9043757514 5023592596 037161

123 С 1811791, 6269205946 93, 9425856976.319889649, 8414640003 4651612031 1997890655 8054839526 493

124 С 2049349,4831285495 5451223730 5554588359 0398223973 0714968557 8249

125 С 751, 1797655751, 1761445434 06001, 4205177580 4956304559 8108590083 0581997519 9677041099 2305742734 5170462812 5001

126 С 5274739, 1897724226 7323558587 4485732659

127 С 18797, 90679, 6518718497 8524382095 8119684233 1429821705 3693814734 9501049955 8754235443 7188851963 2103159753 8365198541 4922495122 4466197

128 С 1265011073, 1534316818 8889137818 369, 5152175252 6521326744 7869906815 873

129 С 2107698324 31, 4074297327 6750524847 9163, 1049097499 4611747848 1971728399 5603987072 3832569747

130 С 131, 8396862596 2586939016 1060229855 7167100076 327481

131 С 80173, 109517, 141811693, 446790173, 7370364319 027, 1559484553 8029429933, 7317723970 0310576776 93, 1317583510 6511615120 5213, 1802220622 8783402545 1247081

132 С 5419170769, 7893907980 20221, 2361000305 507449

133 С 1597, 2021015460 335957, 2788482998 6204314375 4907679390 5857765163 9300623520 9786029420 9584165086 6748801861 1321233079

134 С 9090909090 9090909090 9090909090 9090909090 9090909090 9090909090 909091

135 С 1577071, 16357951, 310362841, 2583609893 11, 4834184185 9722067723 8517353915 231961831

136 С 152533657, 6555274617 1882583264 2300708688 8436687780 323722654 400793

137 С 2467, 2535528323, 1029879756 9287621174 55431, 1401758941 6299060984 3314797, 1230438801 3741766748 5877804096 7022681031 9992722055 1731273288 0563389924 5853

138 С 31051, 1435740214 80139, 2464944534 7649059192 745899

139 С 1191248599 25363, 9327281575 0404359428 2003041661 8073853906 1812063838 4597314097 3454310325 7105231510 1287361456 9275960380 7144954130 1873433683 4397

140 С 421, 3471301, 13489841, 6036834412 1, 8486544838 7949756282 1

141 С 283, 7210304981 71501831,44150634648836004848 2114135141

9193135235 6371494810 7161215664 5335006958 67

142 С 290249, 3132106946 4181068355 4152093234 0538954170 ^6979493156 1897167291 15659

143 С 2823679, 180523201, 4742867644 4591775727 9293693464 43, 3722658128 3489953701 4721842676 0657603713 0878873797 3660132834 7331175129 4203

144 С 8929, 1119946242 5803561429 0513943330 7201254339 79169

145 С 9605671, 1558928097 4996818911, 8068437000 1269698853 9961516701 33742711, 7449097311 4573223399 3613931089 0595289771 43716201

146 С 293, 1082668496 4539959837 294043117, 2865788889 7619499799 9922592330 9086021030 11

п

Примитивные простые делители

147 С

63799, 4715467, 2676529662 41599, 2603941883 787374089, 4769337181 4649591479 9770475387 6850429427

148 С

149, 3109, 111149, 7088403737 81, 6690316866 6142784282 9, 4054814051 4062774758 071840361

149-С

12517, 5355967792 00919, 1657369267 9413365195 8901299355 7140069891 3649920823 6553470054 8884452551 7571861376 5588780820 9563554371 2730089383 3450727711 8593589757

150_С

151

152 С

1000009999 9999989999 8999990000 0000010000 1

907, 429360649

457, 1403417, 5240808656 722481737, 2974783307 8636562841 4805305290 3024835550 43017

153 С

307, 18973, 11910133, 2533218527 1529,41331541464123787,

1375372184 4250167674 0539325615 8542325130 5429858083 649

154 С

463, 24179, 590437, 7444361, 4539402627 853030477, 4924630160 3157262078 87

155 С

311, 9294566806 081, 3113560507 7839085351 5194982157 7984575695 4201296974 1683230780 9436556584 7337169736 6138417141 2256237744 16801

156 С

157

158 С

3121, 5339707101 8461, 6060517860 3103980339 8561192172 1 301670477, 5180282664 612031

1423, 9615060929, 6644317454 1490579097 9975101580 2107695839 2938976011 5069490656 46573

159 С

351391, 3852774594 841, 1853282473 8449019748 3, 3590634232 3666081943 2590808852 6698673242 5862329833 9641467853 849067

160 С

1634881, 18453761, 9471472624 01, 3499543960 4012257792 8041596214 187605761

161 С

6763, 472341157, 1127317077 1131750391, 1626777403 1616567970 92007877, 1536289842 9170396757 7178888563 2897414629 2496901433 8911935640 5567181619 1643

162 С

164 С

1459, 2458921051, 4565023825 70032651, 6106003860 8985834993 9139

68389, 1447745997 0185118937 4007660603 1686237538 3453624135 3156064557 3104006506 749609

165 С

471241, 1382677701 2791645762 9034873443 951, 1703548913 8924940750 9766456202 3844278044 121

166 С

167, 997, 3565183, 2097307081 7742098247 001476863, 9431769031

4133006848 2602900960 2942998788 41

167

168 С

169

170 С

18843947, 1068110838 48465643

1118905300 9, 6038124290 55411913, 1480294234 0075050655 3

11831

87211, 787223761, 1602207948 2101445206 6741918303 5809176643 8655593464 1

171 С

2291620711 4001532461 4111, 1104249349 3629951811 4466800364 2191, 3947804137 9867317976 2748590595 0642878832 1971474818 01

172 С

338669, 2923500556 2983033552 2265394854 2706598448 9250858537 0996167320 0056984872 843366529

173

174 С

175 С

347, 2152816934 4472027

6384537097 57, 1350807263 89891, 1274194732 8981484717 6640417965 3 1852584391 8490695886 751, 9914742716 6298695780 0680951,5444226777 8748734853 0789614203 6145041159 4669214709 9445898497 2742495980 1

176 С

10100113, 9900879227 7868584242 5722365680 4730798555 4221027131

0825918482 2982673560 177

177

178 С

3187

179, 1214723730 4901893, 4180967272 6732520322 9119091718 8955510245

8741800011 6483993107 7197586653

179 С

359, 36558961, 4201521652 717, 3525436405 <88653, 5715440478 3754022717 1107263031 0178536071 1965448627 8118381637 4055396029 4999423627 8780111557 7137115746 4062670039 8384915989 4165685035 0544705408 9

180 С

181 С

181, 4999437541 4530121431 21, 1105097795 0029947981 05101

12671, 28865519, 995130761, 1681465528 9, 4144799523 29, 4380216534 6296010499 2408987937 5182267762 0448503569 3500552436 6180003257 7019210790 7236498209 8635375283 8060848576 4810227154 1506789654 68226079

182 С

21705503, 5067838741 1703889101 7591257852 9043989438 9920385627 0965017944 98837

183

184 С

2520277

2393, 4178437150 0167158378 1864187170 9193476807 7726285039 6949440033 0129962348 5206849143 75257

186 С

373,44641,3590254957,183819072622812446331581906777

8696666309 1011

187

188 С

143899867

45121, 2144906157 5094116844 2491377407 8958939881, 1023037643 0932145576 5133312042 2980213172 396059301

189 С

8780751269 0869892792 8483, 3303063603 7992147205 820927521, 3447874011 1713676828 3583902331 7819759168 9889127137 198507

190 С

1812604116 731, 1214505062 96081, 4996731930 4478436761 8584395974

6621491531 100801

191 С

4473297929, 1121030219 4081274335 3521, 2215707086 7225796885 5927635853 2826248956 9972968246 5818712901 9075996613 8800400415 1565018270 0179703274 5294740404 8323733510 3028445939 6524271152 6202652377 84647679

192 С

193, 769, 1253224535 459902849, 5376349118 9967221358 5755461072 7903470969 7

п

Примитивные простые делители

193773, 39373, 561470969, 6397012194 49517, 4274417556 0761134989 47

194 С 1025273613 5461310601 0527, 3233384348 9103408917 3475790125 293, 2742269936 6054621683 2956230794 7106658888 1

195 С 1951, 3508139388 1, 3609245724 24391, 4493327513 9025237741 4421641953 7561437149 7219389368 5481602576 61491391

196 С 9999999999 9999000000 0000000099 9999999999 9900000000 0000009999 9999999999 0000000000 0001

19752009, 7904047980 5615687465 683

198 С 7093127053, 1411225248 7788618228 2233539317 7961449383 0511116871 7

199 С 797, 29453, 2253079, 2100841133 2176290590s-1826091745 8004066212 1810909787 9620047448 7410643182 1734447340 4119911278 5125100688 1567865355 2885849106 0879470509 8365152866 1276354717 8189271187 7278779909 7776945590 02649

200 С 401, 1201, 1601, 1296944190 2905775055 1385771184 5642744990 7570094765 6757821537 2915271968 01

2011609, 2046166739 518832881

202 С 607, 809, 1213, 1327067281, 1150049039 4117824585 4687960035 7516307683 6624586334 7948182717 5607295602 7758946488 969

203 С 1862068047 1, 6861680517 3400502243, 2230723276 4822902087 9, 3157699606 1214127623 0275256743 3818362194 6730595497 5531772393 4675026306 7641221377 1014158357 7297036456 3996243393 68321893

204 С 409, 3061, 5969449, 134703241, 2259740655 03889, 4439800047 9007997569 751764249

205 С 275521, 2115884868 1, 3765444553 4598090531 0616374045 7051669522 5922222356 9099168893 9566187177 9838862063 5508270861 9534148191 9418156260 3853010454 8457663293 7146377914 151

206 С 1237, 44092859, 102860539, 984385009, 6120532563 58933, 1827251148 6652115564 7161, 1471865453993855302660887614137521979

1827251148 6652115564 7161, 1471865453 9938553026 6088761413 7521979

2071099081916 03107

208 С 1249, 49297, 300977, 648961, 2492277878 1867748225 7, 3336327664 3840901127 4705987026 4076396'700 4230553674 3429073

209257489, 1246477, 9269802917

210 С 2997036924 1, 1661378260 814161, 1827616884 6821336356 291

212 С 1061, 5051749, 2453911502 1487524950 2685807421 982149521,7527704835 2808729626 6798758529 0144803454 0173569840 168229

213 F 853, 1594093, 1182534679, 1746922993 3

214 С 1499, 28463, 74687, 392263, 795653, 9140689231 8289725529 2552452203 7823147045 9375713794 9432268622 6282352288 6708019884 51

215431

п

Примитивные простые делители

216

С 1726290008 9915045001 7746330268 8697, 5792769434 9815428212 3686999881 829009033

217

218

3662093

С 3338786746 233023, 1406095968 3864286267 4059330009 27102019, 1936438332 1148719295 1805788533 2574185585 8987848620 134943

219

220

439, 2212293763

С 661, 18041, 148721, 1121407321, 1395900370 9163272455 55441901, 3638054502 9953205956 3774067022 61

221

222

443

С 223, 4663, 2160606449 8691505246 2000580946 81, 4891168911 0891303706

1741934151 15219

223

224

2677, 130975483

С 673, 4373584521 7, 2178606104 5203112159 8489279950 204653537, 1559440092 9621405410 0626916003 7944071573 04353

225

226

2002877551, 2636899200 194401

С 4973, 4426889, 4129431088 13978385999641617982 2426674855

1911970994 0711942693 5537095172 4011428162 9255685010 5538868493 03

227

228

1131366218 86721

С 229, 2281, [4789, 304077901, г5287528600 8709, 7396538933 49540289, 3395073642 0661075851 541

229

230

9161, 43544351

С 691, 1591879884 3849477568 8999839379 3196655587 7132981347 4658306962 5164819261 9376266439 940521

231

232

2311, 22187551, 5352129944 71849

С 233, 355193, 2159141663 3, 1746873984 8498438039 3299356797 94457, 3203269941 6316994338 4295066992 4393166558 4097965489 0345228609

233

234

467, 47533, 1150816549 07, 8941240111 6867

С 461917, 60034573, 3609680015 6828895568 2865782248 1825871981 7914995401 933354161

235

236

5182033579 21, 1908931959 70004711

С 430148941, 2301758566 6937399225 3976277974 6120311824 9662502388 6807386072 5813338710 2794008715 4579555293 8510898228 85094561

237

238

90758677

С 1868879293, 5673320472 6703158591 29, 1037466478 3042155124

2486430622 6369010022 3697154999 0724717454 338463

239

240

479, 142847911

С 1132716961, 2812599852 4843779005 1014401, 3138850643 8433752927 908678241

241

242

1259978202 13

С 4357, 25169, 1485397, 1025029814 3135917159 8893, 5444710013 7257929633 2291652675 6467746442 0826524640 5598834086 2373452924 78

п

Примитивные простые делители

244 С 1587221, 8118381054 1,1014441626 5603715174 5878558385 8927535968 49, 7574338876 8260974116 3278489201 8433752805 9461788181 5393374297 09

245336737801, 2360956563 1

246 С 739, 148339, 16419517, 6105179603 5522969271 1712748765 5417850454 4683763248 9238537255 96423

2471483

248 С 1489, 6405433222 97, 2790813267 0449, 3847054441 8223029110 5649, 9764595466 8018846467 2871808663 5575837426 3120864803 0425368839 90817097

2494483, 1413141919 363039

250 С 21001, 162251, 1089329500 1, 2694097928 7173162766 4586194662 2812338537 0101110890 6726055753 2726810822 8244170925 1

251 F 52371653

252 С 1009, 4326685524 1, 2290624689 6437231227 8995756336 2013976604 4690040039 603689929

2531013, 3037, 72932311

254 С 3557, 857772733, 1094479651, 1125629957, 6168961490 7371972861 3, 1086011081 3777339731 289, 3609953127 3603138218 6993015655 6758170515 1216702113 889-

2557796750876 5681

256 С 257, 15361, 453377, 5587118763 3753621225 7947750090 1613134643 0842253464 0474631571 5878473254 4216230781 1652237021 5522367830 9562822667 655169

2571017721, 4271961427

258 С 3047680368 4707449106 4894608014 6958676329 97, 3605696680 8907913827 2543216791 1038465896 663

2592591, 64638631

260 С 2311921, 1031498834 064949381, 1276385265 2999774041, 1211973050 4567977254 081, 2737820036 6246720310 8948700828 1

261523, 670249, 44974999, 9113995243, 7299238406 959

262 С 263, 1397382241, 3066625017 57259, 5257863730 4191452630 6757, 1125062836 8009816875 2627601991 569, 1363608083 1807960484 1116878319 6497071688 492468691

264 С 2377,16369, 432961, 6796152793, 2438774157 7, 1261970021 7973347048 1, 2838308265 2223227989 3972777

266 С 2470252369 7730602568 1323889, 6182864575 8322140842 6661445199 6269641748 7, 7202140393 3746126426 4916657544 6551001787 7

267 F 9613, 5409139405 17169

268 С 269, 4021, 260587121, 9492722820 8573594069, 2302527353 5653574507 5972512226 2880394277 261, 1607103056 5277594576 9865825525 2179917706 5559188277 159741

2695418307589 425009

270 С 6481, 5776036632 91, 3102383379 0241, 8610583349 2343400555 4790876409 1017276717 091

2711627, 56369

272 С 1335559521 7, 4404410875574787768521718346256386184129

4905937408 4837579531 4256336612 6920380374 1415744566 5251084309 3397538319 4546209

2731093, 32786209, 1397085707 03521

274 С 364393423, 1176514658 89, 4416514802 71681, 6763210064 12903, 2188012421 3685655668 0173235529, 3244569580 6349561010 0964679101 3296826459 8593997179 68478099

2757151, 15401, 59951

276 С 829, 1569889, 5364305310 35337769, 7571085431 29939106221,

1910846617 6791400681 2927091719 9256656502 9

2771016157022 810759

278 С 557, 2503, 6520655709 3133416984 6518762110 8953571040 3595333062 3783530923 3294128977 6570384185 9492780362 6019268146 3816783659 1846272150 9119691265 21

2791898935708 1041

280 С 851761, 1174155661 0363705311 5838715308 6358732085 7611583542 8024998796 6107746175 2756934163 4566503984 1

281563, 2597610354 323, 3804319889 61690791

282 С 344887, 9127213, 1160803383 9344637122 59, 3007356627 0559048948 1425597415 1270879659 0524703892 560552659

2831680936094^5688609

284569, 7669, 3806238494 88714809

286 С 51767, 2214408853 9, 2647523472 89, 1047301011 0727214908 1, 3460752460 9203512562 2136512705 6152886287 9196390936 3204719423 2525486287 9783

2871723, 1336542870 7, 1941851180 301719

288 С 13249, 1067329, 7071614705 5257711374 1235757984 2860859021 9877617672 7522481120 8591282416 0137075376 116481

28942773

290 С 1451, 30104611, 58765601, 2433146345 771, 1799613243 1060961, 9786272766 5480231246 0110089355 6320774114 4491224418 5174226912 28321

291 С 1747, 18043, 1625625533 641, 1953725183 587, 1012047221 926483, 8891818787 2930577399 8340135564 2934276602 2274877448 6009566587 7038324404 9772936087 6783545895 8630407978 5252486698 5105897058 2776014290 9357725998 08911

2925911541, 1669208581 8029, 5774294197 526381

293587

п

Примитивные простые делители

294

С

1428571571 4285714285 6999999985 7142857142 8585714285 7142855714 2855714285 7142857285 7143

295

F

3661112869 51, 2151684315 47401, 6898649252 938113791

296

С

61544617, 1644476584 8115921, 9879587347 7650366073 0847298429 9267446449 2842748785 0380038560 4286380709 0965021048 0224210297 1813600329 0835490752 5523774393

297

55243, 198397, 1981560241, 3160057431 2077

298

2087, 9615683031 4500657148 99

299

F

599, 6467772154 99244129

300

С

601, 261301, 3903901, 1682901192 01, 2507409103 8628125301, 3865465879 5718156456 7299588596 29701

301

8218566096 31, 1340389355 6831

302

181288487, 1536535791 73, 1233194262 4071394811

303

F

2096761, 2722953622 53883

304

С

134369, 3173579575 6961, 2345046820 3945238547 2228601837 3912171012 6330850830 5719138749 9051565408 6653442723 8711769806 5796833209

9763660072 5852987602 204289

305

1831, 2441, 38981441, 2388693144 1

306

С :

2142001, 5364487, 832339891, 2764027476 19, 2405782797 823, 1573934772 5757900009 2993572752 7896834161 2027363936 9

307

526199, 1000666847 13521521

308

С

3951185422 9, 2556194893173839918095986049303563300534

6674997219 8552274123 1411268552 3898853595 3606106831 4916714737

9131162769

309

1677980663 44417387

310

С

11161, 3925963357 681, 5167617497 664851, 4857900688 3651304692 9183154989 0842547443 9173769354 0622505464 6143856579 8929702369 11030721

312

с

313, 1101673, 1358074433 3717197166 41, 2915935630 4664666949 1593, 7323941687 8381056248 4774270146 7683590147 273

313

F

1879, 2099818661 161079

314

С

4397, 3641773, 5677249457 5417679209 1436126139 3637170284 2084190817 2591617111 5977757756 3483338093 8944473350 2890572421 4106839545 1138705476 4301466386 2360146330 362411

315

F 631, 1428097708 81

316

5689

317

С

1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111

п

Примитивные простые делители

318

С

3499, 2784091, 5413783941 5767, 9178132988 7177030846 5539, 2652633397 6234009593 263527, 8558521377 5588851705 6071913552 9

319

723493, 798763879

320

С

9999999999 9999999999 9999999999 9900000000 0000000000 0000000000 0000999999 9999999999 9999999999 9999990000 0000000000 0000000000 00000001

321

F

167805961

322

С

967, 1569936761, -1203881882 {7277126999 67, 2339102820 6417273637 358380573, 7775058388 3192505957 6280040468 9, 3309383964 7758184893 1700265464 6529291847

323

8519081273 28669427

324

С

2925721, 3417960906 0467488184 9636380229 0102166269 4426433689

3367139245 3347397103 1414136891 3850637159 1823007046 81

325

77351, 200201, 4347195468 174001

326

653, 13693, 1428689003 2106357

327

1147117, 1367556183 1

328

С

121553521, 3663759140 7529194237 097, 2245236606 2483971625 5462035353 0247131809 5554391743 3245626204 8578539955 4026316658 3148992537 0072038825 0374892239 7253629192 9859656473

329

1964089881 6698093956 43

330

С

4124507971, 1983563668 2880495867 311241, 1112314101 3112860033 7975261780 7870409611 285281

331

1987

333

96455449

334

63716179, 1160111893 1114999813 9, 2728280687 9121299343 7

335

161471, 5047300615 1, 8480807579 201

336

С

337, 2070270028 9853417666 1600908016 1, 1433319827 1594667898 0696685637 9479179916 1365294247 9283249502 1393

337

427991, 282549563, 2885250993 68866187

338

677, 987001237

339

406123

340

С

26861, 7568346838 961, 2376129935 4179100612 1, 1988731184 9357614429 9682552056 1, 1051361091 5298030744 9731214808 5134194834 7260906323 1389192520 1

341

683, 1309536986 943791, 1214990613 179601809

342

С

2053, 4410785971, 2911579215 499, 3070108520 7038248431 7401373, 6508684267 5338568348 5296558095 0145565983 0637939366 31379

343

1977439591

345

5521, 74521, 487831, 19277911

346

С

9689, 16864733, 5563510205 5543836835 4654570491 4850146980 3488052399 0954597382 5034623283 5862545261 8143028489 8243478457 7390375138 3591396913 8814438028 9619426750 2426145615 6912807554 3

347 F

348 С

27067

997369, 1556583374 7318241, 1570029340 2312733880 1841, 4477350074

1694707529 0554496908 1, 9254732401 5049550277 1483432977 308389

349 F

350 С

127037, 28974679, 6558190177 933

3612546001, 2995473768 01, 9241137585 3084738376 4787530400 9126599764 6354969374 3820952869 6721763344 4509064918 2638712486 115217201

351

352 С

35803

11969, [4913921, -4709093136 01, 3610577595 4009728807 2937247979 7253529720 5518185340 8265699800 4785215593 2659115309 4457376181 7559125400 9251277369 9689532234 7989872248 27675649

353

354 С

1781225293, 1044667255 801249

6024740832 7, 9683850240 74451409, 2676157881 043509853, 3203031926

5323142641 0476906084 7481, 2197349680 1004068086 5912320713 950289

355

356 С

12071, 48630031

38449, 138841, 1854709277 0394661955 0468938664 0395344414 1877738854 8196060288 4383134454 6174591125 3465484730 1545231233 8456023705 5546861306 6960424330 1021812682 7162623652 6315595661 8360389

357

359

360 С

4999, 143556841, 3329808692 827

719, 73237, 799853, 3356950267 7

265183201, 9585380766 4312827399 7943710146 50641, 3934092998

5040037939 8605505115 6601020217 3435808159 761

361

362

364

366

367

370 С

81671197

13757, 1467439874 822650361

6547214856 01

367, 51745081, 4049834037 6691

3671, 129919, 1628747

4917392557 4833481, 2236935504 4392829576 1983639352 6121214605 1995578845 1315266118 0077945343 0519897692 8924538425 7760384041 5445414697 3428926799 68594131

371

372

373 F

374 С

2969, 51199

5209

1493, 125329

192611, 1284680342 573, 6315203673 292075607,1257973994 9267691772 1, 5595739587 2359820769 6584355288 8948227782 6574998014 0185149287 8219734172 6428854387 2366706587 1450309874 9571

375

376

377

21751, 47001751

70313, 79337, 485041, 118710721, 6578404633

11311, 30161, 75401, 4289910234 49

п

Примитивные простые делители

378 С 379, 8642670625 016390971, 6306093694 4326674212 5919956621 02125143, 4841193139 2464166829 1299205594 4726358563 520908223

3793581077009

380 С 761, 1901, 3041, 74861, 417332341, 7805480186 5774794834 2675331841, 4581921817 2074063577 3018630313 9529968338 01,2054722677

8782170120 5394300836 8973039472 7567536361

3819783462102 370544239

382383, 679961,4041943, 955059211, 7808748538 3

383852559

3843457, 12289,418725889

385 F

386 С 1931, 10037, 1430131, 166376423, 1971303592 0864154336 9948601899 7726858813 1479788059 1361841987 2398129052 3755287675 8580360078 4194427026 8888352125 3076425640 4612155186 7519870406 9680024806 2364073483 7409259968 1

388389

3891991681

390 С 15601, 925081,63054129911571801941 63926340576846142599

9152026392 5525315829 2665548127 1974023945 336611

3917039, 15641

39252781463673

393787

39415761, 7187743, 3005674778 87394052365757

395870801991

39679082656489

39715941835894241

3983545105703277, 1076576018 0213, 1227741580 0813

3996316969, 34282879

40024592788001

40116843, 26914319

4027237, 1783007484 1, 8511094985 33797

4031613, 195053

4043679329001,19384130081,12793360409007449,4908990488

7431836036 81

40521871, 61561, 5222071, 40435201

406 С 19489, 243720583, 2563963356 465898129, 1356961256 3320403017 443683179, 6656280510 1766490411 7700666653 3233898159 8238955516 1217687978 3493172755 7023054104 0726903471 6016715927 564139783

40746399, 390721

408 С 2857, 13266937, 1119527384 827710553, 5304301176 5949537815 976769, 4443238479 4221343755 8974417420 3253108661 5578692097 5025094129 9543925623 6377

п

Примитивные простые делители

409

412

413

414

1637, 13907, 77711, 1375877, 2777111, 5371851809, 7061270715 258437

801341, 2928659787 9221

827, 4957, 133813

С 3791680189 3, 1434094369 64525899, 8317596774 2574757083 7717, 1176806330 7262095213 4930832292 859, 1880709802 8569529553 7341330533 7158032187 793270681

416

С 19725473, 4033650275 3, 7546518718 41089, 4919008641 6352961, 3385712628 7532892390 1945446827 5018070505 6727269149 4965947553 2045527287 0740814407 0214357217 3188016639 3643173336 7877452215 2088887895 1616858121 601

417

418

13761001

С 419, 85691, 258743, 1184063086 0401473803 2986880393 9835534836 9873648652 3737091214 3368911110 3721666356 9858459578 0470550269 6506849673 4007753047 7246997846 8738934903 1013172664 1084013831 34457213

419

420

839, 82963

С 1384194841, 4268113416 1, 4244517286 81, 1397909410 1362822771 1346421, 2824480286 1206689425 6984424869 264385801

421

423

424

425

426

430

431

432

433

434

435

436

437

438

440

441

442

443

444

445

446

447

449

450

F 32839, 70729, 5252329483

1693, 16921

18233, 6740629845 7, 1488067111 584049, 8993193372 47551841

F 2551, 1076120401

2107849

1721

3449, 42362129

433

5197, 71879

F 240437, 1142669053, 3133603086 65807383, 5792107074 6023034169 3

80911, 102019681

20929, 143881

23599, 81283

877, 3601237, 2474822727 61

F 881

883

3449541918 76997

6203

2365371330 4547869

2155903319 21

208729, 1697477, 5156432569

2683

14369

F 270001

п

Примитивные простые делители

452

5274398848 1

453

38959, 49831

454 F

36346333, 3861904074 787001

455

911, 175631

456

27817, 376102873, 3612061272 1

457 F

5437387

458

2317091604 5220047239 65449

459

919, 12853, 2735641

460 С

461, 509681, 9374437290 1, 4107757827 661, 8225357978 845859081,

4391206761 6461039448 1, 354969305477178480614478251861,

8706477230 7744342473 0240122490 3949603507 7342414733 0153671641

2666693324 91181

461

7928928580 54693213

462

8317

464

929, 23201, 182353, 4465073

466

552677

470 F

5641, 20681, 21997411

471

4582742243 29

472

395026241, 6218964172 073

473

947, 1116281, 3328650659 093

474 F

6637, 132247

475

433201, 16891951

476

2381, 2758553298 93529, 2008779447 9102305428 621

477

561907

478

5083998383 27574001

480

177601

481

1293243055 1

482

11087, 140263, 1661189702 20264489

483

14461987, 176686231

484

56629, 170369, 29606281

485

14551

486 F

487, 4872, 69499, 67430557

487

11689, 814360427, 3808473124 0799

488

2438537, 1039934540 5377216553

489

15649, 1168711

490

491, 18131

491

3929, 28448545716911, 2135482595 1850095163

493

4950707, 89845307, 728910361, 1327386049 6747

494

38816051, 82266809

495

991, 18679321, 60834511

497

6482999209

498

499, 1442209, 2184727

п

Примитивные простые делители

49920959, 46805203, 5264405489 3

500 С 4001, 76001, 1610501, 3288608250 1657187247 9045571957 8874902068 9459942486 3195787742 70656490822624175142 6460959200 01,

6209247929 6877182938 7253097017 6361270188 5934873686 5112160749 9902204345 1075472787 6604858363 9501

501

21816547

502

503, 5213439677

503

7043, 97262093, 5547632701 9603083567 70717

504

4159329552 1

506

6866927

507

2697325176 1, 6131410474 489

508

509, 3049, 7621, 4736308694 4961

510

102001, 5516286288 241

511

2965823866 7

512

F 10753, 8253953, 9524994049, 7317150361 7

514

30841

515

5905014721, 3263454811 91, 2702394989 404991

517

174182471, 1373000003

519

1039, 14533

521

1230610745 978027

522

155557

523

1109195136 1

524

F 1049, 14149, 33887081, 45401981, 3221853692 74849

525

79801, 35120401, 435288001

526

F 9358757369 87641

527

825283, 4537410122 27

529

1383520823 947

530

538481, 2040723131

531

1228863564 1

532

2129, 1469181254 9

533

3257010103 63, 1368176150 329

534

3154339, 1189414386 55807

535

59921

536

2731650568 1, 1790939469 29

538

F 269539, 2582401

539

6508959689

540

С 541, 329941, 49229101, 68189581, 1302963722 4192121671 301,

1418492295 7153482125 6183437819 9028577989 33927761, 9029573059

3568052666 7861848839 9930760718 9636683858 1

541

93053, 3076272071

542

3253

544

58627969

869 d 669 16861666Z89

16 0606060606060606060606060606060606060606 0606060606

0606060606 0606060606060606060606060606060606060606 0606060606

0606060606 0606060606060606060606060606060606060606 0606060606

0606060606 0606060606060606060606060606060606060606 0606060606

0606060606 0606060606060606060606060606060606060606 0606060606 3 989

89689t ‘89ZIt89

800t9tl ‘lt0819 ‘8886889

6 9166166008 ‘8911189

I 0l969Z9tt8 0689lZ689t t6ZZ68Z99Z 6Z86lZ6t89 8009869811 969899^818 t660t68Z9t 098t99t89t 80tZ066606 ‘it 98Ztl88888 998996Z9ZI089

l606Z68t 086Z890Z89 ‘66088tll98Z9

68 tl9869ZZl8 ‘ZZS J 9Z9 I9Z86 ‘19119Z9

60tZ Zl8l8tl66l d tZ9 88t6t 0160081861 ‘Zl96t9l 8Z9

I9tl 0I6ZZ9Z9ZI 6Z9

IIZ9IZ9

IZ90Z9

II 66Z96t88t6 ‘8t60l699

I98I8Z00 6Zt96l68Z6 ‘Z 660808ZHI ‘Z866Z9t899

ZZ89IZ99

Zlllt6 ‘6691999

1086618198 ‘10096189999

I89Z69 8t686I66Z8 ‘6611t99

869991899

160 l6696t0999699

81919 ‘8611199

186 Z888t689Z9 ‘I6Z8Z8I099

Zill899

lt600t0t 9980066t9l ‘6991999

lt88ZZ89l9 ‘I99t66 ‘188691 ‘l8ttl999

6ZZ6668896 ‘8Z66 ‘6lt6t99

6t88 ‘6118 ‘8166899

6t960t69tl ‘Z99I699

60tt199

lOt Z616891091099

I 8t9666Z80l ‘I8t886t9

6 6t09809l0t ‘6t99098lZ8t9

ZtZ688ll ‘lZt9Zt9

801601 J 9t9

HiraiHtfsV aiqxoodn энняихииийц

п

Примитивные простые делители

593

594

595

596

597 С

1187

7129

9521, 10711

10729, 607921

9009009009 0090090090 0900900900 9009009009 0090090090 0900900900 9009009009 0090090090 0900900900 9009009009 0090090090 0900900900 9009009009 0090090090 0900900900 9009009009 0090090090 0900900900 9009009009 00900900990990990990990990990990990990990990990990

9909909909 90990990990990990990990990990990990990990990990990

9909909909 90990990990990990990990990990990990990990990990990

9909909909 90990990990990990990990991

598

599

600

601

602

603

604

605

606

607

608

609

611

612

614

615

3249432373 3

8387

32401

42071, 12980399, 7856127761

3613

9649

15101, 20481641

9666954991

133321, 329059, 389659

1085753647 1

3031489

41413

7333

54469, 158963941, 2709009355 501, 3626707988 341

3311436805 543

11071, 1364071

618 F 619

619

2477, 221603

620 С 3576409999 6423625764 4576374235 7211830764 2788176388 5411823611

4838525088 5161475626 7658524373 2359357676 7640642359 0000357641, 2824060999 7175910759 6724089240 4687941259 5312053092 3467946907

6729737362 3270262072 8607737927 1406382377 8593617593 9000282406 1

621

622

623

624

626

627

629

630

631

11055043, 1970554717

82727, 2122689869 717, 7966595011 106561

4567771345 07

148068337, 1066217131 3, 3258078014 00017

5009

117877

52837, 654756293

2521, 131041, 5253266138 41

7573, 174157

п

Примитивные простые делители

632 F

633 F

634

635

636

637 F

638

639

641

642

644

646

648

650

651

652

653

654 F

655

656

658 F

659

660 С

259121, 73921249

3516967344 49

3536453, 12361733

77471, 2893184341 398511

3181, 125929

36947

1277, 357281, 4956157344 7

1279, 2557, 1650844704 75013

1283, 49999

7569823, 2366998879 807

2166134301 83025989

647, 108529, 738379, 1644353478 367

68562937

107251, 4271801, 8200932285 1

28154449

4986984700 09

1307, 3919

47161, 57641

6051298241, 4865608605 4529

659

1319, 5283793003 008413

17247781, 1082745841, 1851698092 8601, 5078680129 34701, 9000931379

651641, 6143203800519931376420641, 1257327290 7559818117

0311498949 49981, 8109004681 7672902899 7387654486 9922434872 1

662

664

666

667

668

670 F

672

674

676

677

679

680

682

684

686

687

688 х

38329801, 5943603127 859

1993

9026599977 73, 7116181512 5281059499 33

37598791

4761033569 04941

2011, 248807851, 7261216121

1454209, 9396577

121321, 2251702571, 5502707459 0990508852 961

89909

36559

6791

1361, 787131281

2729, 43649, 204601

126541

1373, 14407, 46649, 209917, 275087

2269849, 1475594356 93

41281

п

Примитивные простые делители

689

690

691

692

693

694

695

696

697

698

699

700

1314613, 213344717

11313931, 1276885710 01, 1946562864 01

2672254745 62601

1936844372 9478869

4159, 392239, 863479

368720813, 805697219, 8970010516 9

14578321

13921, 1109009915 7944399977

16729, 932587

3491

1399, 2797, 65707

701, 422100001, 1125310645 201, 2973385658 3878416600 9019188637 4395419376 5406914039 8897438395 9767974439 4714079784 7188058429 1823101

701

702

703

706

707

708

709

710

711

712

713

714

716

717

718

719

721

722

723

724

725

726

727

728

729

732

733

735

F 674363

592489

291043, 7944761582 82437

1006029527

148471-

F 709

2837, 12763, 220710283

2131, 8521

4470769

158777

1427, 429227, 25793489, 2258122147 769 F 17851 530819489, 7788750761 855821 2577568380 67, 3917358532 09003 25849 1439, 1153277, 6699643 1352597, 1577857580 0437997 43321

8677, 238591, 4115317, 3613938637, 1533199553 0557 4699681724 41 3438562891 801

727, 1453, 3481311540 961

4876476787 7747

574393, 10727809

313471, 2064529

76129, 190321, 390889, 4801921, 3812801341

21991, 11552081

1471

п

Примитивные простые делители

736

737

738

739

740

153089

13267, 33722173, 111474199

F

20693, 42813227, 78978409, 669764569

1481, 15541, 68821, 6336499381, 7461561192 1, 4098464044 501, 1077713456 24719321, 1620617083 7408945509 907221, 6260554616 9278652108 8697527599 4609056323 4246123694 0562171461 942282321

741

742

743

744

745

747

748

749

751

752

753

755

757

758

759

761

762

764

766

767

768

770

771

774

778

779

780

46179121, 3911615534 4319

743

99563

700849, 11110153

141551, 219031

2978058065 9959

7481, 1556231690 21

4107517, 1176482197 4039

4507

84977, 3056129, 801310897, 7130656737 7

4519, 52711

1511, 92111, 62459641, 124254881

40879, 988643, 485379317

10613, 30817249

28843, 16488517

1523, 6089, 1095841, 15286969

2287, 4518976252 87

77929, 106961

11491, 262739, 4685623

305267, 52306333

434689, 859393, 3364944887 2371457

3851, 170873011

13575769

1708219, 10455967

110477

1559

С 19501, 2017216958 49323521, 9160020509 281917601, 2685647186 3307060810 32050321, 7223853560 4609404390 1164020994 3027480858 5163702640 1, 1416299915 7973809346 3308587156 1011683465 0947071716 9271667258 1564351220 3761

782

784

785

786

787

2955961, 2140571729, 3763321824 1

54881

52436431

78447517

26759. 213141637

п

Примитивные простые делители

788

27581

789

711679

790

6295632499 623851

791

123397, 1177009, 142101569

792

761113, 9967754808 1, 4407181099 21

793

12689

794

F 15149521, 1679037623 0301757

795

19081, 90631, 663031

796

5811401785 13809

797

23911, 119551

798

4259913660 45253

800

4801, 43201, 980801

801

352441, 1087283809

802

4813, 1206108552 1

803

40151, 49787, 24732401

804

1963369, 2131723943 49469

805

4831

806

195886211

809

14563, 3889295179 596839

810

811, 2138720670 91

811

8111, 115163

812

11369, 68209

813

97561, 943081, 2115427

815

6521

816

54673

817

5817041

818

53171

819

31123

820

821, 639601, 59090021

822

823

823

12422363, 1242116841 72557

824

669913

825

143551

826

3821903

827

292759, 391999

828

F 4969, 111781

829

34619041

830

116201, 374425451

832

3329, 6314881, 9013889

833

1667

834

12797731

836

41801

п

Примитивные простые делители

83790397

840134401, 575794801

8429353779

8433373

846615771253

847415031, 300219151

84830529

84952639

8502254201

851132757

85216189

8535119, 13649

85455405813

8556841

856857, 17977, 17845889, 4724110777

8586007

85970439

8607741, 1044817620 601

8611823599, 25874773, 182254759

862863, 624089

864196482241

8658101591

866 F 1733, 5578387955 4131

86793101929

8688681, 106300489, 120995729,3639817644 41

86913097569, 105348871

87033931, 1134434761, 2172376081, 7035065688 1

8728640343148 9

87361604119

874711437, 4721276769 1

8768761, 2130715648 9

8791759, 3517

88034540001, 393238561, 743709121

8822647, 6007303

88463649, 1248821288 261

8858729641

886887, 2659

88718068191

88914097763

8904600411, 317384681, 6760092011

89132077

8924388641

п

Примитивные простые делители

893

894

896

897

900

1787, 37507

F 2930436343, 4524212222 59, 2079121605 721

105528193

7643641997

1801, 33301, 139501, 560701, 5030101, 9999999000 0000499999 9899999998 0000001999 9999500000 0000000002 9999999999 9999500000 0199999997 9999999000 0000499999 9900000001

902

903

904

905

906

907

908

909

910

914

916

919

921

924

925

926

927

928

931

932

933

934

935

936

937

938

939

940

941

942

943

944

946

947

948

298693693

123133081

217294481, 5691376081 244351

F 72481, 5780201179 5443, 4738169 46309 3637, 139987 2475034612 051 2804755241 2749

110281

4706311

4621, 6469

27751, 81401, 86951, 15754601

5557, 50839253

46351, 181693, 1405333, 43604227 9281, 90017, 490324577

16759, 83791, 13071241 2651971883 11481 1867, 3733, 339613 11376121, 3200500440 1 1871

937 28111 1877 13147

941, 4741810590 33108701 865721

928813, 8755034758 3, 3869352540 07 11317 26337601

47091881, 2415697087, 3307606414 3 32082467

F 10429, 132721

п

Примитивные простые делители

9493797

950253651

952953, 371281,6514537

9531907, 6318391

954362521

9559551

956208409

95713399

95840237, 2952557, 531896929,1899591271 579

95942197, 51787, 1308077

9633853, 59707,206083, 2024227

96483869, 265555009, 61896232441

9655791, 2090191, 320547911

96620287

9693877

970971, 236681, 5566733971,82489592491

9724861

97329191

9741842809

976977

977781601

97859659, 233743, 199552099

980268330861

981618031

982983, 491983, 129785559623,3012403164 07

9834850123

9842953, 1144393

9861973, 776969, 4025640666 9887, 2184943628 221853

98943517

99014851, 25973641

9921353089, 10935809

99326165551

9981997

9991999

1000 F 24001, 1378001

Приложение 2

ТАБЛИЦА «СУММАРНЫЕ КРАТНОСТИ»

В таблице помещены:

— простые числа q, большие 3 и меньшие 45000, имеющие четный индекс периода и нечетную длину периода;

индексы периодов i^;.

длины периодов L(^);

суммарные кратности групп периодов.

Группа периодов соответствует множеству наименьших положительных вычетов по модулю q, образованных числами 6-101, 6-102, ..., b\0L<q\ где 1 ^ b < q, (b, д)=1; при этом для единичной группы 6=1. Для каждого простого q имеется i^q) различных групп.

Суммарная кратность группы (см. главу 4) есть целое число, получаемое делением суммы наименьших положительных вычетов группы на число q. Когда L(q) нечетно, для каждой группы с суммарной кратностью тх имеется соответствующая группа, для которой суммарная кратность равна т2 = 1(^)— —тх. В таблице число а означает количество групп, суммарная кратность которых равна тх и соответственно т2.

Например, индекс периода /(79) простого числа 79 равен 6 (поэтому 79 имеет 6 групп периодов). Длина его периода £(79) = (79— 1)/6 =13, поэтому тх + т2 = 13 по каждой строке для различных групп числа 79. Первая строка показывает, что имеется две группы с суммарной кратностью, равной 6, т. е. как у единичной группы; поэтому, как показано, имеется также две группы с суммарной кратностью, равной 13 — 6 = 7. Следующая строка показывает, что имеется одна группа, суммарная кратность которой равна 5, и одна группа с суммарной кратностью 13 — 5 = 8. Таким образом мы описали все 6 групп периодов числа 79.

СУММАРНЫЕ КРАТНОСТИ

q

i(q)

L(q)

а

ml

т2

q

i (q)

L(q)

а

э

”1

т^

31

j 2

15

1

6

9

757

28

27

3

10

17

37

12

3

6

1

2

3

11

16

41

8

5

4

2

3

6

12

15

43

2

21

1

10

11

2

13

14

53

4

13

2

7

6

773

4

193

1

98

95

67

2

33

1

16

17

1

93

100

71

2

35

1

14

21

787

2

393

1

194

199

79

6

13

2

6

7

797

4

199

1

97

102

1

5

8

1

96

103

83

2

41

1

19

22

827

2

413

1

203

210

107

2

53

1

25

28

839

2

419

1

193

226

151

2

75

1

34

41

853

4

213

1

Ю5

108

163

2

81

1

40

41

1

104

109

173

4

43

1

23

20

883

2

441

1

219

222

1

21

22

907

6

151

1

70

81

191

2

95

1

41

54

1

72

79

199

2

99

1

^5

54

1

75

76

227

2

ИЗ

1

54

59

911

2

^55

1

212

243

2 39

З1*

7

4

2

5

919

2

459

1

220

239

13

3

4

947

2

473

1

234

239

271

5^

5

24

2

3

991

2

495

1

239

256

3

1

4

1013

4

253

2

129

124

277

4

69

1

33

36

Ю31

10

103

1

46

57

1

32

37

1

47

56

283

2

141

1

69

72

1

48

55

307

2

153

1

75

78

1

49

54

ЗИ

2

155

1

68

87

1

50

53

317

4

79

1

39

40

1039

2

519

1

248

271

1

37

42

1093

4

273

1

127

146

347

2

173

1

84

89

1

135

138

359

2

179

1

80

99

1123

2

561

1

278

283

397

4

99

1

49

50

1151

2

575

1

267

308

1

47

52

1163

2

581

1

287

294

431

2

215

1

97

118

1187

2

593

1

292

301

439

2

219

1

102

117

1231

30

41

6

21

20

443

2

221

1

108

113

2

17

24

467

2

233

1

ИЗ

120

3

18

23

479

2

239

1

107

132

4

19

22

523

2

261

1

123

133

1279

2

639

1

308

331

5^7

6

91

1

47

44

1283

2

641

1

315

326

1

»3

48

1307

2

653

1

321

332

1

45

46

1319

2

659

1

307

352

563

2

281

1

136

145

1321

24

55

1

24

31

587

2

293

1

143

150

1

21

З1*

599

2

299

1

13?

162

1

22

33

613

12

51

2

23

28