Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
МЕТОД ХАРДИ — ЛИТТЛВУДА
М.: Мир, 1985. —184 с.
Книга известного английского математика, излагающая один из основных методов теории чисел — метод Харди — Литтлвуда. На примерах решения ряда конкретных проблем автор демонстрирует возможности этого метода, приводит изящные и краткие доказательства известных теорем. Приведены задачи разной степени трудности, поставлены новые проблемы.
Для математиков разных специальностей, аспирантов и студентов, специализирующихся по теории чисел.
Оглавление
Предисловие редактора перевода5
Предисловие7
Обозначения8
Введение и исторические сведения9
Проблема Варинга9
Метод Харди — Литтлвуда10
Проблемы Гольдбаха13
Другие проблемы14
Упражнения14
Простейшая верхняя оценка G(A)16
Определение больших и малых дуг16
Вспомогательные леммы16
Оценка на малых дугах21
Большие дуги22
Особый интеграл26
Особый ряд27
Заключение31
Упражнения32
Проблемы Гольдбаха34
Тернарная проблема Гольдбаха34
Бинарная проблема Гольдбаха39
Упражнения43
Большие дуги в проблеме Варинга44
Обобщенная функция44
Экспоненциальная сумма S^q, а)51
Особый ряд53
Вклад больших дуг55
Согласование условий58
Упражнения60
Методы Виноградова61
Теорема Виноградова о среднем61
Переход от среднего66
Малые дуги в проблеме Варинга73
Верхняя граница G(k)74
Упражнения78
Методы Дэвенпорта79
Множества сумм к-х степеней79
(7(4)-1689
Оценки Дэвенпорта (7(5) и (7(6)92
Упражнения92
Верхняя оценка G(A) И. М. Виноградова94
Некоторые замечания к теореме Виноградова о среднем94
Предварительные оценки95
Асимптотическая формула для JSQC)Ю1
Верхняя оценка G(k) И. М. Виноградова104
Упражнения108
Тернарная аддитивная проблема109
Общие предположения109
Формулировка теоремыПО
Определение больших и малых дугПО
Рассмотрение п112
Большие дуги N (q, а)117
Особый ряд117
Завершение доказательства теоремы 8.1125
Упражнения126
Однородные уравнения и теорема Бёрча128
Введение128
Аддитивные однородные уравнения128
Теорема Бёрча131
Упражнения135
Теорема Рота136
Введение136
Теорема Рота137
Теорема Фюрстенбурга и Шаркоци141
Определение больших и малых дуг143
Вклад малых дуг144
. Вклад больших дуг146
Завершение доказательства теоремы 10.2146
Упражнения147
Диофантовы неравенства148
Теорема Дэвенпорта и Хельбронна148
Определение больших и малых дуг150
Оценка на малых дугах161
Большая дуга168
Упражнения186
Библиография166
Список работ на русском языке
Именной указатель
173177179173177179Предметный указатель
173
177
179
173
177
179
Именной указательИменной указатель
Именной указатель
Именной указатель
Апостол (Apostol) 29 Баласубраманян (Balasubra-manian) 10
Баше (Bachet) 9
Бёрч (Birch) 128, 131
Бирстедт (Bierstedt) 131
Бомбьери (Bombieri) 62, 64
Боувей (Bovey) 131
Брауэр (Brauer) 128
Бэйкер (Baker) 155
Варден ван дер (Waerden, van der)
136,137
Варинг (Waring) 9
Ватсон (Watson) 13
Вейль (Weyl) 12, 18, 19
Вейль (Weil) 44
Вильсон (Wilson) 67
Виноградов И. М. 12, 14, 29, 34, 59, 75, 94, 104
Вон (Vaughan) 14, 60, 93, 107, 131, 155
Гильберт (Hilbert) 9
Гольдбах (Goldbach) 13, 34
Диксон (Dickson) 9
Диофант (Diophantus) 9
Дирихле (Dirichlet) 11, 17, 21
Додсон (Dodson) 131
Дэвенпорт (Davenport) 7, 13, 30, 44, 79, 80, 82, 84, 87, 88, 92, 93, 107, 118, 122, 128, 131, 148, 155
Зигель (Siegel) 7
Карацуба А. А. 62
Лагранж (Lagrange) 9
Ландау (Landau) 7
Лежандр (Legendre) 107
Линник Ю. В. 13, 62
Литтлвуд (Littlewood) 7, 9,10, 11, 12,
16,31,32, 74, 75, 77, 123
Льюис (Lewis) 7, 128, 131
Малер (Mahler) 10
Мих (Miech) 113
Монтгомери (Montgomery) 14
Морделл (Mordell) 44, 96
Нортон (Norton) 131
Пиллаи (Filial) 9 Полна (Polya) 123
Радемахер (Rademacher) 7 Райт (Wright) 7, 9, 28, 39
Рамануджан (Ramanujan) 11, 15
Ригер (Rieger) 9 Рот (Roth) 107, 136, 137, 138, 155
Семереди (Szemeridi) 136
Стеммлер (Stemmier) 10
Титавайнен (Tietavainen) 131
Томас (Thomas) 10
Туран (Turan) 136, 137
Ферма (Fermat) 9
Фюрстенберг (Furstenberg) 136,137
Хаксли (Huxley) 67
Харди (Hardy) 7, 9, 10, 11, 12, 28, 31, 32, 39, 75, 77, 123
Хассе (Hasse) 122
Хельбронн (Heilbronn) 44, 107, 118, 148
Хуа (Hua, L. — К.) 14, 16, 44, 94, 95, 104
Човла (Chowla) 30, 131
Шаркоци (Sarkozy) 137, 141, 147
Шефилд (Scourfield) 78
Шимура (Shimura) 131
Шмидт (Schmidt) 7, 44
Эйлер (Euler) 9, 13, 29
Эллисон (Ellison) 9
Эрдёш (Erdos) 80, 136, 137
Эстерманн (Estermann) 7
Предметный указательПредметный указатель
Предметный указатель
Предметный указатель
Аддитивное однородное уравнение
128, 129, 131, 132, 148
Алгоритм Евклида 27
Асимптотическая плотность 136
Биквадрат 9, 10, 84, 89
Большие дуги 12, 16, 22, 34, 36, 44, 55, 95, 98, 101, 107, ПО, 117, 143, 144, 145, 150, 153
Большое решето 67, 76, 122
Виноградова символ 8
— теорема о среднем 61, 62, 65, 94
Гипотеза Римана расширенная 14
Диафантово неравенство 148
— приближение 11, 17
Кубическая форма 7, 128
Кубы 9, 13
Лемма Хуа 20, 21, 75, 95, 116, 150
Малые дуги 12, 16, 22, 34, 73, 95, 101, 107, ПО, 112, 143, 144, 145
Метод Харди — Литтлвуда 7, 10, 12, 14, 95, 128, 136, 148, 150
Мультипликативная теория чисел 14, 65
Неравенство Вейля 12, 19, 21, 24, 34, 60, 90, 92, 95, 112, 152
Однородное уравнение 128, 129, 131, 148
Однородная форма 128, 131
Особый интеграл 12, 26
— ряд 12, 27, 40, 53,91, ПО, 117
Первообразный корень 51
Полиномиальное сравнение 95
Баринга 9, 12, 44, 73
для биквадратов 89
— тернарная аддитивная 103
Проблема Гольдбаха бинарная 13, 14, 29
тернарная 13, 14, 34
Произведение Эйлера конечное 117
Разностный оператор 18, 32, 86
Римана дзета-функция 61
Сумма Гаусса 122
— делителей 14
— Рамануджана 15, 39
— степеней 9, 79, 91, 108
— трех квадратов 109
Теорема Коми —Дэвенпорта — Човлы 30
— о четырех квадратах 9
— Семереди 137
Тривиальная область 150
Формула Ньютона 62
— суммирования Пуассона 47
Эйлера — Маклорена 47
Функция вспомогательная 22, 89, 95
— Мангольдта 35
— Мёбиуса 35
— обобщенная 22, 44, 89, 95
— разбиения 11
— Эйлера 29
Характеры 52
Четыре положительных куба 93
Эргодическая теория 136, 137
Эрдёша — Турана предположение 136
Предисловие редактора перевода
Книга Р. Вона посвящена изложению основ кругового метода Харди — Литтлвуда. В нашей литературе этот метод называют круговым методом Харди — Литтлвуда — Рамануджана (X. — Л. — Р.) по причинам, изложенным в § 1.2. Круговой метод имеет своим истоком метод производящих функций Эйлера, которым Эйлер решал линейные аддитивные задачи. Рассмотрим уравнение вида
atxi + ... + апхп — N, аь ..., ап > О,
в целых неотрицательных числах х\, ..., хп. Если 7(М)— число решений этого уравнения, то производящая функция ф(0 определяется так:
ф(0 = ^1^^ =
Следовательно,
J
V ) dtN ta0
Можно вычислить J(Af) по интегральной формуле Коши
=(*)
Pi-«<i
Изложенная идея Эйлера и последняя формула послужили истоком кругового метода. Кроме того, формула (*) дала название методу — «круговой». Круговым методом решаются нелинейные аддитивные задачи, такие, как проблема Варинга, проблема Гольдбаха и многие другие. Слово «решаются» означает следующее. Для числа решений 7^) некоторого нелинейного уравнения выписывается точная формула в виде интеграла типа (*). Этот интеграл / разбивается на два слагаемых h и /2 по определенному правилу, предложенному Харди — Литтлвудом — Рамануджаном,‘
Первое слагаемое h исследуется методом X. — Л. — Р. и оно дает предполагаемый главный член асимптотической формулы для / при N^--\"°°- Если после этого удается доказать, что второе слагаемое /2 есть величина меньшего порядка, чем /1, то для / получается асимптотическая формула. Таким образом, круговой метод X. — Л. — Р. — это метод выделения из / предполагаемого главного члена. Для полного решения задачи остается оценить предполагаемый остаток, т. е. /2. В 1924 г. И. М. Виноградов заменил в круговом методе бесконечные ряды конечными тригонометрическими суммами. Это не только значительно упростило метод, но и открыло путь к решению новых задач аддитивной теории чисел. Создание И. М. Виноградовым в 1934 г. нового метода оценок тригонометрических сумм позволило для широкого круга задач, которые стали называться «тернарными аддитивными проблемами», оценить остаточный член /2. Таким образом, общая схема решения тернарных аддитивных проблем круговым методом выглядит так: число решений J (N) некоторого уравнения записывается в виде интеграла / от тригонометрической суммы; интеграл / разбивается на два слагаемых по правилу, предложенному X. — Л. — Р.; интеграл /1 исследуется методом X. — Л. — Р. в форме тригонометрических сумм И. М. Виноградова; интеграл /2 оценивается с помощью метода оценок тригонометрических сумм И. М. Виноградова. По такой схеме решаются основные задачи, изложенные в книге Р. Вона. Автору книги принадлежит замечательное тождество, которое позволило упростить решение И. М. Виноградова проблемы Гольдбаха (см. теорему 3.1). Отмечу также, что некоторые из теорем книги, в частности теорема о среднем И. М. Виноградова (гл. 5), асимптотическая формула для Js№ (гл. 7) и др., в нашей литературе изложены и точнее, и лучше (см. [1] — [4]). В книге имеется ряд приложений кругового метода к задачам, которые в нашей литературе не были достаточно отражены (см. гл. 9—11). В моих примечаниях, помещенных в конце глав и обозначенных цифрой в квадратных скобках, даны дополнительные ссылки на литературу и некоторые комментарии.
В заключение мы благодарим автора, который проявил большой интерес к русскому изданию и прислал список исправлений и замечаний.
А. А. Карацуба
Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теори чисел.— М.: Наука, 1980.
Виноградов И. М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. — М.: Наука, 1976.
Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Кратные тригонометрические суммы. Труды МИАН, т. 151. — М.: Наука, 1980.
Карацуба А. А, Основы аналитической теории чисел.— М.: Наука, 1983.
Предисловие
Метод Харди — Литтлвуда рассматривался ранее в двух работах Ландау (1937) и Эстермана (1952), изданных в Кембридже. Однако, несмотря на немалый вклад английских ученых в открытие и разработку данного метода, в Великобритании не был опубликован его полный обзор, тогда как за рубежом появилось много монографий.
Цель настоящей монографии состоит в том, чтобы наряду с описанием классических форм этого метода привести некоторые из недавних его усовершенствований. Сделать ударение на это представляется особенно важным, поскольку многие из более поздних приложений широко используют классический материал.
Было бы полезно уделить внимание работе Дэвенпорта о кубических формах, совместной работе Дэвенпорта и Льюиса о системах уравнений, работе Радемахера и Зигеля, в которой этот метод распространяется на алгебраические числа, а также работам различных других авторов, завершившимся недавней статьей Шмидта о границах решений однородных уравнений и неравенств. Однако это сделало бы книгу слишком громоздкой. Читатель, интересующийся этими вопросами, может обратиться к библиографии.
Предполагается, что читатель знаком с элементами теории чисел в объеме книги Харди и Райта. Кроме того, для понимания некоторых тем данной книги желательно, чтобы читатель был в курсе современного состояния дел в теории чисел. Там, где необходимо, дается ссылка на стандартный текст по соответствующей теме.
В основу содержания глав 2, 3, 4, 5, 9, 10 и 11 легли расширенные курсы, предлагаемые в «Империал Колледж» в течение ряда лет, и их можно использовать для работы аспирантов в аналитической теории чисел.
Р. Вон
Обозначения
Буквой k обозначается натуральное число, обычно k ^ 2; формулировки, в которых появляется в, верны для каждого положительного действительного числа 8. Буквой р обозначаются простые числа.
Символы Виноградова <§(, S> имеют свой обычный смысл, именно для функций f и g, где g принимает неотрицательные действительные значения, f <С g означает Ifl^C^, где С — постоянная, а если, кроме того, / также неотрицательна, то f >> g означает g С f.
Неявные постоянные, включаемые в О, С и 3>, обычно зависят от к, s и е. Дополнительная зависимость будет упомянута особо.
Как обычно в теории чисел, функции е(а) и ||а|| означают e2nio и mjn|a — h | соответственно. Иногда встречается вы
ражение min(X, 1/0), и в этом случае надо брать X.
Соотношение рг\\п используется для обозначения того, что рг — наивысшая степень р, делящая п.
Введение и исторические сведения
Проблема Баринга
В 1770 г. Баринг в своих «Алгебраических размышлениях» выдвинул гипотезу о том, что каждое четное натуральное число является суммой не более девяти кубов целых положительных чисел, суммой не более 19 биквадратов и т. д. Считается, что тем самым он предполагал следующее: для любого целого положительного числа 6^2 существует число s, такое, что каждое натуральное число является суммой не более s к-х степеней натуральных чисел, и наименьшее такое s, скажем gW, удовлетворяет соотношениям g(3) = 9, g(4) = 19.
Вероятно, уже Диофанту было известо, хотя и в другой форме, что каждое натуральное число есть сумма не более четырех квадратов. Впервые точно теорему о четырех квадратах сформулировал в 1621 г. Баше, а Ферма объявил, что доказал ее, однако умер, не раскрыв своего доказательства. Доказательство теоремы не было известно до 1770 г., когда Лагранжу удалось получить его на основе более ранней работы Эйлера. Теорема о четырех квадратах рассматривается в гл. 20 книги [Hardy, Wright, 1979]1).
В XIX в. существование g^k) было установлено для многих отдельных значений к, но реального прогресса на пути к решению проблемы удалось достичь только в нынешнем столетии. Гильберт [Hilbert, 1909а,6] сложным комбинаторным методом при помощи алгебраических тождеств (см. [Rieger, 1953а, b, с; Ellison, 1971]) первым доказал существование g(6) для всех к. Метод Гильберта дает очень грубую оценку величины g(k).
В начале 1920-х гг. Харди и Литтлвуд предложили аналитический метод, который послужил основой работ Диксона, Пиллаи и др. и привел к полному решению задачи о gW. Так как целое число
меньше 3й, то оно может быть суммой к-х степеней только 1 и 2. Ясно, что наиболее экономным является представление
*) См. также Венков [1], гл. V — Прим, перев.
посредством [(4)1 — 1 &"х степеней 2 и 2* — 1 й-х степеней 1. Отсюда
g(6)>2* + [(4)1-2.(1.1)
Весьма вероятно, что это неравенство фактически является равенством. Сейчас в этом отношении известно следующее.
Предположим, что к ^ 4. Было показано, что если
{(2),г} + [(±)*] <2Й,
(1.2)
то
g (^ = 24 [(4)1-2.
(1.3)
Если же
то либо
21(4)1 + [(4)1 > 21 ^)=2Ч[(4)1Я(4)1-2.
либо
^)^Я@11Я(4)1-з
в зависимости от того, равно 26 или больше 2* число m
«Ч(4Ш(4)1Я(4т[(4)*].
Информацию о различных вкладах в доказательство этих утверждений можно найти в библиографии.
Стеммлер [Stemmier, 1964] с помощью ЭВМ проверил справедливость (1.2) (а значит, и (1.3)) для всех к ^ 200 000, а Малер [Mahler, 1957] показал, что если существуют к, для которых неравенство (1.2) не имеет места, то количество таких к конечно. Исключения неизвестны, ио, к сожалению, неизвестна и граница, за которой этих исключений нет.
Томас [Thomas, 1974] показал, что ^(4)^22 (значит, согласно (1.1), £(4)= 19, 20, 21 или 22), а Баласубраманиян недавно анонсировал, что £(4)^21. Томас доказал также, что п является суммой не более 19 биквадратов для п < 10310 и п > 101049.
Метод Харди — Литтлвуда
Почти все указанные выше результаты получены на основе аналитического метода Харди и Литтлвуда, который позволяет найти число С^ такое, что каждое натуральное число, большее Ск, есть сумма не более $к к-х степеней натуральных чисел, причем Sk не превышает ожидаемой величины Ц^кУ Затем в некоторой степени громоздкие, но подчас очень остроумные вычисления дают возможность проверить
справедливость этого утверждения для всех чисел, не превосходящих Ск.
Одна из особенностей метода Харди — Литтлвуда заключается в том, что он может применяться для рассмотрения многих других аддитивных проблем. Начало этому методу было положено работой Харди и Рамануджана (1918), касающейся главным образом функции разбиения чисел на слагаемые, но затрагивающей также представление чисел в виде сумм квадратов.
Пусть ^ = (ат)—строго возрастающая последовательность неотрицательных целых чисел. Рассмотрим функцию
F^^^z^ (|г|<1) и ее s-ю степень
mj=l ms"1n=0
где RsW — число представлений n в виде суммы s членов Задача состоит в том, чтобы оценить /?Дп) по крайней мере для больших значений п.
По интегральной формуле Коши
W = 2^ $ F <zYz"n-xdz,
’в
где 48— окружность с центром в 0 радиуса р, 0 < р < 1.
Харди и Рамануджан разработали метод оценки этого интеграла в случае ат = ш2. Пусть р=1 — 1/ц, где п велико, и пусть е^ = e2aia. Тогда функция F имеет «пики» в точках z = ре (а), «близких» к е («/<;), если q «не слишком большое». На самом деле в окрестности таких точек F имеет асимптотическое представление, грубо говоря, справедливое при | а — a/q К \[q л]п и q < У п. По теореме Дирихле о диофантовом приближении, каждое ее? находится в такого рода окрестности.
Упомянутое выше асимптотическое представление имеет вид
^(ре^ + р))--^^ а)(1 -pe(p))-V2,(1.4)
q
гдеS (q, a) = У, e ^am^lqY
m=\
Его можно получить путем распределения квадратов по классам вычетов модуля q в случае р = 0 с последующим применением частичного суммирования. Таким образом, можно
показать, что для s ^ 5
№~®ДаНМ(1.5)
где©Д/г) = £ Е q^S^q.aYe^—an/q)
(а. 9)-1
И
1/2
/5(n) = Cs j (1-ре(Р))-5^^1^-р/г)dp.
-1/2
Интеграл Js(n) нетрудно оценить, а ряд ©Д/г) отражает некоторые интересные теоретико-числовые свойства последовательности квадратов целых чисел.
Разложение (1.4) отвечает особенностям ряда для функции F в рациональных точках a/q круга его сходимости. В связи с этим Харди и Литтлвуд ввели термины особый ряд и особый интеграл для ©Дп) и /Д/г) соответственно.
После первой мировой войны Харди и Литтлвуд (1920, 1921) обратились к проблеме Варинга. К сожалению, в случае ат = mk с к ^ 3 они смогли показать только, что разложение, соответствующее (1.4), справедливо при
а nFk~8 и |а— — I <7~IriI/A—е~ ДI q I v
а это составляет лишь малую часть точек z на ^. Поскольку q~xS(q, а)->0 при q-*oo (для (a,q) = 1), возникла гипотеза, что в остальных точках z функция F во всяком случае мала по сравнению с тривиальной оценкой (1—р)-1Д = = п^к. Эта гипотеза подкреплялась фактом равномерного распределения по модулю 1 чисел атк для иррациональных а. Действительно, на основе метода, берущего начало в фундаментальной работе Вейля [Н. Weyl, 1916] о равномерном распределении последовательностей, Харди и Литтлвуд сумели доказать, что на остатке ^ функция F существенно меньше, чем п>1к. Полученное утверждение о величине F часто называют неравенством Вейля. Для описания частей ^, на которых используются соответственно аналог соотношения (1.4) и неравенство Вейля, Харди и Литтлвуд ввели термины большие дуги и малые дуги.
И. М. Виноградов (1928а) внес в рассматриваемый метод ряд значительных усовершенствований 111 одним из которых явилась замена F^ конечной суммой
f (а) = Е е (ат*),(1.6)
'т-1
гдеN = YnllkV(4-7)
ТеперьТеперь(1.8)(1.9)(1.8)(1.9)
Теперь
Теперь
(1.8)
(1.9)
(1.8)
(1.9)
srt
f (a)s = ^ Rs (т, n) е (am).
т=\
где Rs^m, п)— число представлений т суммой s к-х степеней, каждая из которых не превосходит п. Таким образом,
Rs^m, n) = Rs(m) (т^.п).
Далее, специальный случай интегральной формулы Коши, именно тривиальное соотношение ортогональности
1
с ,.(1, если /г = О
\ е (an) da=<.
J(0, если Л =т= 0.
1
даетдает§ / (a)s е (— an) da = Rs (п).
дает
дает
Из предыдущих рассмотрений ясно, что величина g(k') определяется согласно особым требованиям нескольких исключительных относительно малых натуральных чисел. Таким образом, более интересной проблемой является оценка числа G(k), определяемого при й^2 как наименьшее s, такое, что каждое достаточно большое натуральное число есть сумма не более s к-х степеней натуральных чисел. При этом оказывается, что для больших к G(k) намного меньше, чем g(k), что, естественно, делает его оценку намного более трудной. Фактически величина G(k) известна только для к —2 и к = 4, именно
G(2)=4, G(4)=16.
Последним результатом мы обязаны Дэвенпорту [Davenport, 1939с]. Ю. В. Линник (1943а) показал, что G(3)^7. Позднее Ватсон [Watson, 1951] дал в высшей степени элегантное доказательство этого неравенства. Для к > 3 все лучшие известные в настоящее время оценки G(k) получены по методу Харди и Литтлвуда. Изучению G(k) посвящены главы 2, 4, 5, 6, 7.
Проблемы Гольдбаха
В двух письмах к Эйлеру в 1742 г. Гольдбах высказал предположение, что каждое четное число является суммой двух простых чисел и каждое число, большее 2, есть сумма трех простых. Он включал 1 в простые числа. Современная формулировка гипотез Гольдбаха выглядит так: каждое
четное число, большее 2, есть сумма двух простых, а каждое нечетное число, большее 5, является суммой трех простых.
Харди и Литтлвуд (1923а, 6) обнаружили, что при условии справедливости расширенной гипотезы Римана их метод может быть с успехом применен к этим проблемам. При этом условии они смогли показать, что каждое достаточно большое нечетное число представляется в виде суммы трех простых чисел и что почти все четные числа — суммы двух простых.
В 1937 г. И. М. Виноградов сумел устранить зависимость от расширенной гипотезы Римана, дав тем самым безусловное доказательство утверждений Харди и Литтлвуда. Это направление исследований проблем Гольдбаха изучается в гл. 3. Однако природа простых чисел, и в частности проблема их распределения в арифметических прогрессиях, показывает, что дальнейшие уточнения метода (см. [Montgomery, Vaughan, 1975]) лучше прослеживаются в контексте мультипликативной теории чисел и поэтому опущены в этой книге.
Многие обобщения методов, изложенных в гл. 3, содержатся в монографии Хуа Ло-кена [Ниа, 1965].
Другие проблемы
Последние тридцать лет наблюдается большое распространение и разнообразие применений метода Харди и Литтлвуда, и ряд тем в гл. 8, 9, 10, 11 выбран для иллюстрации его развития. Описанные здесь применения метода, особенно к общим формам и неравенствам в гл. 9 и 11 соответственно, охватывают лишь небольшую часть работ в этих областях и должны рассматриваться как введение к оригинальным статьям, включенным в библиографию.
Упражнения
Покажите, что число р(п) решений уравнения
X] -]- . . . -)- X s — М
в неотрицательных целых xi, ..., xs равно (— !)”(„)■
Покажите, что сумма делителей п, cs(n) — ^m выражается в виде
= q-'zcq^,
q-l■
где Cq^n)) — сумма Рамануджана, т. е.
q
Cq W = £ е ^an[qVa—I(a, q')-l
Пусть Р, Q — действительные числа, Р>1, Q ^ 2Р. Покажите, что интервалы
(а : |а — —
I I q4 )
при q ^ Р и (tz, q) = 1 попарно не пересекаются.
Примечание редактора
*** Э. Ландау (1927) в своей знаменитой книге «Vorlesungen fiber Zahlent- heorie, Band I» посвятил этому главу под названием «Метод Виноградова»; см. также Успехи математических наук, вып. 36:6, 1981, С. 3—20.
2
Простейшая верхняя оценка G(k\
Определение больших и малых дуг
В последующие годы в метод Харди — Литтлвуда вносились различные улучшения, наиболее значительные из которых даны Хуа [Ниа, 19386]. Это позволило получить простое доказательство того, что G(k) ^ У + 1, тем не менее иллюстрирующее замечательные свойства этого метода.
В определении больших и малых дуг много свободы, ч выбор, сделанный здесь, достаточно произволен.
Пусть п велико, N определяется формулой (1.7),
v=c45o* P = N\(2.1)
и пусть б — достаточно малое положительное число, зависящее Только от к. Для 1 ^ а ^ q ^ Р, (a, q) = 1, положим
№(q, а) = {а: |а — a/q^N^(2.2)
2Л(^, а) по указанным выше историческим причинам называются большими дугами, хотя фактически это интервалы. Пусть ЭЛ означает объединение ЗЛ(9, aY Вместо (0,1] удобнее рассматривать единичный интервал
<2/ = ^"\ 1 + №~Ч.(2.3)
Это избавляет от некоторых затруднений, связанных с тем, что в промежуток (0, 1] попадают не все большие дуги, тогда как ЗЛ ед °Ь1. Множество m = ^/ЗЛ составляют малые дуги.
При a/q ^ a' /q' и q, q' <L Ah имеем
|a[q — a'[q' \>\(qq' > (7 + 7-) N',~k-
Следовательно, дуги ЗЛ(9, а) попарно не пересекаются.
Согласно соотношению (1.9) (для краткости индекс s опущен), _
Р (п) = ^ f <аУ в (— an) da + ^ f (а)® в {— па) da, (2.4) SIm
где f(a) определяется равенством (1.6). Прежде чем перейти к оценке этих интегралов, докажем некоторые вспомогательные леммы,— -.
Вспомогательные леммы
Метод оценки /(а) для ает можно описать следующим образом. При к = 1
N
№ = Е в (amk)m =1
оценивается тривиально. В общем случае рассуждения основываются на использовании разностного оператора, позволяющего оценить f(a) в терминах сумм, в которых тк заменяется полиномом степени к—1. Последовательное применение этих рассуждений понижает степень до 1.
Лемма 2.1 (Дирихле). Пусть а — действительное число. Тогда для любого действительного X ^ 1 существует рациональное число ajq, такое, что ^а, у)=1, 1 ^ q ^ X и
\a — a)q\^ \/№Y
Доказательство. Достаточно получить этот результат без условия (a, q) = 1.
Пусть m = [X]. Все m чисел pQ = aq — [а#] (^=1,2, ... ..., m) лежат в интервале (0,1]. Рассмотрим m + 1 интервалов
=(r= 1, 2, .... m+1).
r L m + 1tn + 1 / v
Если в Si или Bm+i есть число Ро, то доказательство окончено. Если нет, то один из m— 1 интервалов В, с 2^r<ffl содержит по крайней мере два р^, скажем ры, р0, и < и. Полагаем q = и — и, а = [ау] — [аи].
Лемма 2.2. Пусть X, У, а — действительные числа, X ^ 1, У 1 и |а — a)q\ ^ ^"2, (a, q) = 1. Тогда
^ min<Х¥х-\ НахГ1) «^У (^ + у + ^ log№\ хСХ
где ||р|| = mini р — у\.
Доказательство. Пусть
S= Е тт(ХУх-', ||ахГ*).
Очевидно,'
X Smin(3FF7' Ца(<7/ + г)1Г').
0</<Х/?г-1-
Для каждого / пусть У/ = [а/у2], и положим 9 = q2a — qa. Тогда
a^j + г) = (у/ + arVq + {«/У2}/^ +. Огу2.
При /= 0 и г < — q
II«Vil + ИII > || arlq || — 1/(2у) > 4II ar!q И-
В противном случае для каждого / имеется не более 0(1) чисел г, для которых неравенство
“ (у/ + И II >4II Vh + ar^q ||
не имеет места и, кроме того, qj + t^qU + 0- Поэтому
s< £ Паг/уЦ-Ч- £ | -д^^+ 2 И (^ + аг)М"' |<
l<r<g/2О^/^Х/Дr=lJ
Xq -Г Uj+ar/
<^-‘ x ^ + №- +1) X Ь
0</<X1<й<?/2
откуда легко следует лемма.
Пусть Д/ означает /-е применение разностного оператора, так что для любой функции ср действительной переменной а
Ai (ф (“); Р) = Ф (“ + Р) — Ф («),
А/+1(ф(“); Рь •P/+i) = Д1 (Д/(ф(«); Рь Р/); P/+t)«
Тогда нетрудно убедиться, что
Д/ (а6; Рь • • •, Р/) = Pi • • • £}pj (а; Рь • • •, Ру), где pj — многочлен от а степени k — / со старшим коэффициентом к\/ (й — /) I.
Следующая лемма является промежуточным звеном в доказательствах обеих нижеследующих лемм 2.4 и 2.5.
Лемма 2.3 (Вейль). Пусть
Q
Т № = Ц е (ф (х)),X =1
где <р — произвольная арифметическая функция. Тогда
ITW'^Q)2'-/-1 У ... У Г/,
|Л1Т<0 где
Tj= £ е(Д/(ф(х); /гь ..., h^.
и интервалы Ij — Ij(hi, .... А/) (^возможно, пустые) удовлетворяют соотношениям-.
Л(А])с:[1, Q], 1,^1, .... hj) cz. Ij—x^hx, .... hM).
Доказательство. Индукция по /. Для краткости вместо Ду (ф (х); hi, ..., hj) пишем Д/ (х). Очевидно,
<2 Q-xQ-1
I Т (ф) |2 = Е Е е(ДДх))= £ Е^ДДх)), х—1 hi=l-xhi=l — Q хе/,
где /г = [1, Q]n[l ~ hi, Q-hx\.
Теперь если лемма верна для какого-либо значения /, то, согласно неравенству Коши,
IT^^^Q)2'41^-2^)'' 2 l^l2 и, очевидно,
IV= Е Е ^(ддх + ^-Д/Н, I Л KQ хе!^,
гдеI1+i = Ijn^x-. x-Vhelj).
Лемма 2.4 (Неравенство Вейля). Предположим, что [a,q)=\, |а — a]q\ < q~2, ф(х) = axk + оцх*-1 + ... + aft_ix+ + <Хк U 'Q
Т (ф) = Е е (ф (х)).
X =1 Тогда
Г (ф) «: Q^^ + Q-i + qQ-h) где К = 2й-1.
Доказательство. По лемме 2.3 при j = k—1 (и упражнению 2.1),
ITfo^^Q/^X
X Е • • • Е Е е № ... hk_ipk_x (х; hi, hk_i)), h\ Р/|<« Ч-\ xe4-i
где pk_x (x; hx, ... hk_x) = &la (x + 4 Ai + • • • + 4 Afe-i) + + (A-1)I a,.
Члены c hx ... hk-i = 0 дают вклад <§(QA-1. Поэтому
И(ф)|к«(2(?)/(-а (q^^Q^'E min(Q, ||а/г|Г‘))«
/felQ6-1x
«Q^-^ Q^V £ rninCQ^-1, HaAir1)).
Согласно лемме 2.2, для q ^ Qk это есть
'«Q*+2=(9-i + Q-i + 9Q-»).
Заметим, что результат тривиален при q > Qk, что и завер-' шает доказательство.
Лемма 2.5 (Лемма Хуа, 19386). Пусть 1 ^ j ^ к. Тогда
1
(2.5)(2.5)^ | / (а) |2' da <^( N2t~1+“. о
(2.5)
(2.5)
Доказательство. Индукция по j. Случай j = 1 непосредственно следует из тождества Парсеваля.
Предположим теперь, что (2.5) справедливо и что 1 ^ <5 j к — 1. По лемме 2.3 с ср (х) = ах*1, 1Ж12/<
<(2^2/-/-‘ £ ... £ ^ е^ ... к}р} (х; кх, ....к^, ft, | ^у | < М hj хе I j
где рДх; кх, ..., А,) — многочлен от х степени к — /с целыми коэффициентами. Следовательно,
\t^f<kW4'X^cheVah\№
где Сн — число решений уравнения
кх ... kjPj (х; кх, ..., А/) = к
с fAz | < N и х е Ij. Очевидно, co^N1, Ch^N8 (6=^0).
Из представления
lf(«) ^-Ц^Ц-а^
следует также, что |/(а)|2/=^6ле(-а6),(2.7)
где Ьн есть число решений уравнения
Xi + ... + %2/—1У\ • • •У^~^ ==
с xt, yi ^ N. Таким образом,
и по предположению индукции
&о= Jlf(a)|2'da«№/-/+8.
Согласно (2.6), тождеству Парсеваля и (2.7),
^(«^^«(гЛГ)2'-'-1^* ои.
Кроме того,
2 chbh « с060 + № У 6Й « n'n^6 + №Г\ hh*0
что дает требуемое заключение.
Лемма 2.6. Пусть ci, с2, ...— произвольная последовательность комплексных чисел и F имеет непрерывную производную на [О, X]. Тогда
х
У cmF(tn) = F(X) У сп — ^F' (у) У cmdy.
m^Xm^X 0m<y
Доказательство. Эта лемма непосредственно получается х
из очевидного тождества F (m) = F (X) — j F' (^ dy переменой tn
порядка суммирования и интегрирования.
Оценка на малых дугах
Теорема 2.1. Если s > 2А, то
j | f (a) |sda <^n$/6-1-6.
Доказательство. Величина п-1-6 представляет собой понижение по сравнению с тривиальной оценкой nsik. Лемма Хуа с / = к понижает ее на величину п8-1, а неравенство Вейля дает остальное.
Очевидно,
If (a)|sda < (sup |f (a) |s'2 ) Ш(«)|2 da. (2.8) J\a eP
m0■
Рассмотрим произвольную точку a на m. По теореме Дирихле (лемма 2.1), существуют a, q, (a,q) = 1 и q ^ Nk^, такие, что |а — d./q\^ q~1N'i~k. Так как а е ш с (Nv~k, 1 — N',-k'), то 1 ^ а ^ q, откуда q > № (в противном случае а принадлежало бы ЗЙ). Поэтому, согласно неравенству Вейля,
f (a) < N1+e (q-1 + N~1 + qN”ky,K « N1^-^.
Это в соединении с (1.7), (2.8) и леммой Хуа доказывает теорему.
Большие дуги
Первый шаг состоит в том, чтобы получить подходящее приближение функции / на 51(д, а) функциями'
(2.9)(2.10)(2.9)(2.10)и (Р) = у т1& ае (^т),т-1
(2.9)
(2.10)
(2.9)
(2.10)
S(q, а) = У е (amklq).
m= 1
Функция и получается из / заменой характеристической функции 6-х степеней вероятностью того, что m есть 6-я степень. Сумма S(q, а) — это дополнительный множитель, который возникает для а, близких к a/q, поскольку 6-е степени в общем случае неравномерно распределены по модулю q.
Лемма 2.7. Пусть 1 ^ а ^ q ^ Nv, (a, q) = 1 и ае е Ш1(^, а). Тогда
/(а) = q~xS (q, а) и (а — a/q) + О (jV2v).
Доказательство. Для У 5? 0
£ e(an^lq) = £ e(arklq) £ \=Yq"xS(q, a) + О (q)
m^Yr = 1m<y
m^r (mod q)
У -p^ = $ la^vfo + OlD^l' + OflL (2.11) m<Yk1
Пусть
'e{amlq) — q~ XS (fl, a) -^ m1!k-x, когда tn — 6-я степень,
q~xS(q, a)q~xS(q, a)ltnxik-x kltnxik-x kв противном случаев противном случае
q~xS(q, a)
q~xS(q, a)
ltnxik-x k
ltnxik-x k
в противном случае
в противном случае
и У = у1/А. Тогда
S ст<^ (у>0).
Следовательно, по лемме 2.6 с ^(7) = е(Р?)> £ cme^mWkV-V\№q. m^X
Полагая X = п, р — a— ajq. получим лемму.
Выбор функции и в лемме 2.7 не является единственно возможным. Обе функции
пМк
(Р) = j е(Ру&МУ О п
и^2(₽) = Z
h-0
подошли бы для этой цели. Есть аргументы за и против каждой из и, щ, и2- Аналитическое выражение щ изучать легче, чем выражения для и или и2, а использование и2 позволило бы избежать некоторых технических трудностей при рассмотрении определяемой ниже величины /(п). Однако и2 отчасти искусственна, а при замене и на щ для изучения J(и) требуется формула преобразования Фурье.
То, что и и ui обладают во многом сходным поведением для достаточно малых р, можно вывести из (2.11) и леммы 2.6. Именно
п
и (р) = е (рп) п*к — 2ш*р е(ру) ^!кйч + О (1 + п \ р |) =
о
п
= $ etpY^Y^-’^ + Otl+HlpD-vJpHOtl-^ о
Пусть
У (a, q, а) = q~xS^q, a^v^a — a/q').(2.12)
Тогда, по лемме 2.7, для а е ЭД (q, а)
f (a)s - V (a, q, af « №-11 f (а) - V (a, q, а) | « Ns”1+2v.
Следовательно,
q
Z Z $ ^(«/-^(a, q- ay\da<Ns"fc-1+54.
aCN^ 0 = 1 ЭД(<Ла)
4(a, q^ = l
Таким образом, существует положительная постоянная 6, зависящая только от к, такая, что
J f (a)se(-ац) da = /?*(и) + О (/г5/6"1"6),(2.13)
где
<7'
/?* («) = ^2 z 5а^еап^ ^а’
q<N') °“1 т(», а)
(а, е)-1
Согласно (2.2) и (2.12), /?*(«) является произведением вида
7?* (ц) = © (ц, Wv)/*(«),(2.14)
где q
®(n, Q)= Е Е <ц-х5^, а^8e<—an!q>
q^Q а—1 (a, qW И
Г^= у (p)se(—р«) t/p.(2.15)
-NN"6
Сумма S(n,Q) и интеграл /*(п) наиболее просто изучаются путем дополнения суммы до ряда и замены интервала интегрирования единичным интервалом.
Пусть q
5^ = Е ^S^, ayse^—an[qY (2.16) а=1
(а, q1 = l
По неравенству Вейля, S(.q, a)<qx+E-x,K при условии, что (а, д)=1. Следовательно, если s ^ 2А + 1 и е достаточно малое, то
S^ « q^"xIW < q-^Л(2.17)
поэтому ряд
S(n)=ES(7)(2.18)
сходится абсолютно и равномерно по п и
© (л, Wv) — © (л) С п-в.
Отсюда вследствие (2.14)
7?*(л) = (® (и) + О(и~6) )/*(«) и ©(«)<§: 1.(2.19)
Для того чтобы расширить интервал интегрирования в 1*(пУ как сказано выше, надо оценить величину изменения у(Р) при возрастании |р| от 0 до 4".
Лемма 2.8. Предположим, что | р |^4"- Тогда
у (Р) <^ ш1п(ц1/6, |р|~1/6).
Такое же заключение имеет место и для вышеупомянутых функций У1 и Ui; доказательства аналогичны; для У1 результат справедлив при всех действительных р.
Доказательство. Доказательство получается использованием суммирования по Абелю. Согласно (2.11), имеем
Г-1
откуда лемма следует сразу для |Р|^1/«.
Предположим теперь, что |Р|> 1/п и Л4 = [|р|-1]. Тогда члены суммы
у (Р) = ^ у mI/&-1 е (pm) m—1
с m^M оцениваются величиной СЛ41/А С |Р|-1/*. Чтобы оценить оставшуюся часть суммы, положим
m
г—1
Тогда пп
2 "к ^^ * ^ (Р^) ^n+l^n ^Af+l^Af “Ь У1, (Cm cm+l) Sm. m=M + \m=M+l
Так как |Sm| ^ 1/(2|р|) и ст — убывающая последовательность, то п
X т тХ!к-х е ^^ ^ с^+11Р Г1 < I ₽ l-1/ft, m —М+1
что и требовалось.
Пусть
1/2
/(«) = J у (P)se (—р«) t/p.(2.20)
-1/2
Тогда, согласно (2.15) и лемме 2.8,
Цп)^, j min(rts/6, p~s/A) d^ <^nslk~x и
Г (n) - J (n)< p -sik d^> « n3'k~ *-6
при условии, что s > k. Отсюда ввиду (2.17)
R» (n) = ©(«)/ (ц) + О (n5^-1-6).(2.21)
Это в соединении с (2.4), теоремой 2.1 и (2.13) дает следующий результат.
Теорема 2.2. Если s > 2*, то.
Я (п) = © (д) J (д) +_ О Vnsik-X-^.
Особый интеграл
Особый интеграл оценивается применением индукции по s. Следующая лемма играет двоякую роль, обеспечивая начало процесса индукции и осуществление шага индукции.
Лемма 2.9. Пусть а, р — действительные числа, а ^ р > О, Р ^ 1. Тогда
2 т6- (а - тГ* -(4^ + О(„-)) .
т-1
где константа, входящая в О, зависит только от а и р.
Доказательство. Рассмотрим функцию
Ф (?) = Т^-1 kn — т)а-1-
На интервале (0, п) ф имеет не более одной стационарной точки. Поэтому (0, ц) можно разбить на два интервала (О, X), (Х,п) (один из которых может быть пустым), такие, что ф возрастает на одном из них и убывает на другом. Следовательно.
п-1п
У ср (т) = ^ ф (у) dy + О (na-1 + «s+a -2) =
m—1О
Теорема 2.3. Для s ^ 2
У(п) = г(1 4-iyr (|)”*/г^-1(1 +O(n-iM)). (2.22)
Доказательство. В силу (2.9) и (2.20)
пп
ЦгЙ = 1$^= X ... Е r(mi...ms)1;M.
m1 = l ml+...+ms—n. mg=l
При 5 = 2 теорема непосредственно следует из леммы 2.9. Предположим, что теорема имеет место для некоторого 5^2. Тогда
Л+1 (n) = ^7 {п — т) =
т-1
= г (1 + ^)sr (|)-1 Г1 ^т^-Цп-тУ^Чт = \
(
п-1\
У тДк~х (и — т)(»-!№-1
т=1'
Справедливость теоремы в случае s+1 следует теперь из леммы 2.9.
Особый ряд
Особый ряд отражает распределение вычетов /г-х степеней целых чисел по модулю q. Прежде чем перейти к изучению свойств ©(л), оценим S{q, а) и S{q).
Лемма 2.10. Если (а, <7) = (6, г) = (^, г) = 1, то
S{qr, ar + bq^ = S{q, a)S{r, b).
Доказательство. Согласно алгоритму Евклида, каждый класс вычетов m по модулю qr единственным образом представляется в виде tr + uq с 1 ^ t ^ q и 1 ^ и ^ г. Следовательно, ввиду (2.10)
9 г
S {qr, ar + bq^^ £ е {atkrk[q + bukqklr).
t = l и —I
Так как числа tr и uq пробегают полные системы вычетов по модулям q и г соответственно, то лемма доказана.
Лемма 2.11. Функция S{q) мультипликативна.
Доказательство. и лемме 2.10,Доказательство. и лемме 2.10,Пусть {q, г)=1. Тогда, согласно (2.16)Пусть {q, г)=1. Тогда, согласно (2.16)S{q,S{q,льг) = Е Е q-sr-sS {qr, ar + bqY e (— {ar + a=lr=l(a. q) = l (r, b) = lльг) = Е Е q-sr-sS {qr, ar + bqY e (— {ar + a=lr=l(a. q) = l (r, b) = l
Доказательство. и лемме 2.10,
Доказательство. и лемме 2.10,
Пусть {q, г)=1. Тогда, согласно (2.16)
Пусть {q, г)=1. Тогда, согласно (2.16)
S{q,
S{q,
ль
г) = Е Е q-sr-sS {qr, ar + bqY e (— {ar + a=lr=l
(a. q) = l (r, b) = l
ль
г) = Е Е q-sr-sS {qr, ar + bqY e (— {ar + a=lr=l
(a. q) = l (r, b) = l
+ bq)n/{qr)) =S{q)S (r).
Для каждого простого р определим формально функцию Т<РУ-ОО-
T^-^S^Y(2.23)
/1 *=« О
Теорема 2.4. Пусть s > 2А. Тогда ряд Т(р) и произведение П Т (р) абсолютно сходятся и,
р'
® (П) = ПТ (р).р
Более того, существует положительная постоянная С, зависящая только от k, такая, что
Т< П/И<4.
С
Доказательство. Утверждения теоремы легко следуют, из (2.17), леммы 2.11 и элементарной теории рядов мультипликативных функций (см. теорему 286, Харди и Райт, 1979). Заметим, что ввиду (2.16) и (2.10) замена а на —а в определении S(q) дает S (^) = 5(q). Таким образом, S(,q) и Т(р)— действительные числа.
Остается рассмотреть Т (р) при р ^ С. Существует тесная связь между Т и Мп^ — числом решений сравнения
mf + ... + m^ = п (mod р) с 1 ms q.
Лемма 2.12. Для любого натурального числа q
TS^ = q^Mn (qY
Заметим, что, если q = р1, сумма слева равна
Zs(/)
и, таким образом, согласно (2.23),
Т (р) = lim pt^-^Mn (р1)1-»оо
всякий раз, когда существует этот предел либо предел в (2.23).
Доказательство. Из соотношения ортогональности
ту^лг/,)»!1' q'h-
следует, что
ч ч ч '
МгМ=^Т, ZZ e(r(m^-V...-Vm^-n^qy
г—1 mi”!zns-=l
Теперь сумма по г разбивается на подсуммы в соответствии с величиной (г, q). Общий член в каждой подсумме является периодической функцией т, с периодом q] ^r, q) = d- Отсюда
Мп (?) = ddd
=?Z Z Ш$ZZе(аН+---+я-»)я
d | q a — 1=1m=\
(a, d)—11s
и лемма следует из (2.10) и (2.16).
Для дальнейшего полезно привести некоторые сведения из мультипликативной теории приведенной системы вычетов по модулю р*. Изложение этой теории см. в гл. 6 работы И. М. Виноградова (1954) или гл. 10 книги Апостола [Apostol, (1976)].
Количество различных вычетов по модулю р* к-х степеней чисел, т. е. вычетов вида х6 с р ^ х, равно ф^)/)^ ф(0), когда р— нечетное, или t — 1, или k— нечетное, и равно 2‘~2/(й, 2(~2), когда (>2и оба числа р и к — четные. (Здесь Ф обозначает функцию Эйлера.) Таким образом, когда р в высокой степени делит к, вычеты к-й степени по модулю р1 сравнительно редки, и поэтому М^Р1А довольно трудно оценить. Удобно, следовательно, определить т = т^ как наивысшую степень р, делящую к,
p^\\k(2.24)
и полагать
. Гт-Н, когда р> 2 или р = 2 ит = 0,V-V<P)-[t + 2, когда р-2 и т > 0.<2'25)
Таким образом, количество вычетов к-х степеней по модулю рч равно ср(рт+1)/(й, ф(рт+1)), а число решений сравнения
хк = a (mod р^
для р ^ а равно 0 или р^-^к, ф(рт+1)). К тому же если а — вычет к-й степени по модулю р\ то он будет также вычетом к-й степени по модулю р* для каждого t.
Пусть М^(^) означает число решений сравнения
х^ + ... + х^ = «(mod q)' (2.26)
С (хь q)= 1.
Лемма 2.13. Предположим, что М*п^р^ > 0 ы/^-г\ Тогда
Мп^^ p<6-W-l\-
Доказательство. Рассмотрим какое-нибудь решение сравнения
х^ = п — х^ — ... — х^ (mod pv)
с р -f х^ Тогда plMXs-i) решений сравнения
У1 = П — yk _ , _ _ _ yk (mOd pt^
могут быть построены выбором уг, ..., ys в виде yt = sAy(modpv). Причем п — у^ — . . . — у^ будет вычетом +й степени по модулю р^, а, значит, также и по модулю р*.
Разрешимость сравнения (2.26) устанавливается при помощи следующей леммы.
Лемма 2.14 (Коши, 1813; Дэвенпорт, 1935; Човла [Chow- la, 1935а]). Пусть ^, Я обозначают соответственно множества из г и s классов вычетов по модулю q. Предположим далее, что 0е^ и что для любого ЬеЗ§ 6^0(mod<7) имеем (b, q) — 1. Пусть si- + ^ означает множество классов вычетов по модулю q вида а + b с aEsHi ЬеЯ Тогда
card (^ + ^) ^ min V4>r "У s — 1) •
Доказательство. Можно предположить, что r + s—1 ^ q, в противном случае достаточно просто удалить s— (^—г+1) элементов из ^. Случай г — q тривиален, так что можно считать в дальнейшем, что г < q. Доказательство теперь проводится индукцией по s. Случай s = 1 тривиален. Предположим, что s > 1 и что утверждение леммы справедливо, если card^<s. Тогда существуют сеД ЬеЗ, такие, что с ДЬ Д з£, так как иначе для каждого b е Д, а + Ь, как и а входило бы в ^, в таком случае
^ (а + Ь) = 2 а (mod q), rb^O (mod q).
Пусть ^ = {6 : b e &, c + b ^ ^}, ^ = ^ U ((c) + ^), Жх = ^X^. Тогда 1 ^card^i < s, card^Z] + card.^ = r + s и
^ + ^ = (^ + ^ (J (({c} + ^,) + ^) e ^ + ^.
Лемма 2.15. Предположим, что s > -p-~ ^> Px (p — !)) для у = т+1; s ^ 2t+2 для у = т + 2 и k > 2, и s ^ 5, когда р = к = 2. Тогда М^^р^ > 0 для любого п..
Доказательство. В случае у = т + 1 лемма получается многократным применением леммы 2.14. Когда р = 2, результат тривиален, когда & > 2, имеем неравенство s ^ 2v, и сравнение может быть удовлетворено, если взять Xj равным 0 или 1, а когда к = 2, сравнение х^ + ... + хк = г=п (mod 8), как легко видеть, разрешимо при 2 ф Лщ
Объединение заключений теоремы 2.3 и лемм 2.12, 2.13 и 2.15 дает следующую теорему.
Теорема 2.5. Пусть s > 2к. Тогда ©(л);» 1.
Заключение
Из (2.19) и теорем 2.2, 2.3 и 2.5 следует
Теорема 2.6. При s > 2к число RW представлений п суммой s к-х степеней натуральных чисел выражается в виде
R^ = V (1 + ^уГ^-^-^М + О^-1-6), (2.27) где ©(«) )$> 1.
Следствие. G{k) ^ 2к + 1.
ее^.х^\6йа<№1г-6.^.х^\6йа<№1г-6.Асимптотическая формула (2.27), вероятно, справедлива при любом s к+ 1- Граница s > 2к понижена для к > 10, о чем см. гл. 5. Однако для 3 ^ к ^ 10 улучшения неизвестны. Было бы действительно большим достижением получить (2.27) при к = 3 и s = 8. Это можно было бы сделать, если бы удалось показать, что -
е
е
^.х^\6йа<№1г-6.
^.х^\6йа<№1г-6.
(2.28)
Существует предположение, что 1'
j|f(a)|2srfa«№min(№, Nls"k\(2.29)
о
вследствие которого (2.27) имело бы место для всех s ^ 2? 2k-V 1.
Пусть к > 2. Харди и Литтлвуд (1922) определили Г (А) как наименьшее s, такое, что для каждого простого р существует положительное число С(р'), такое, что Т (р) ^ С (р)
равномерно по п. В более поздней статье (Харди, Литтлвуд (1925)) они показали, что <5(ц)^,1 для всех з ^ шах(Г(^), 4).
Если определить Го(й) как наименьшее з, такое, что для каждого q и п сравнение
х1^ + ... + х^ ^ п (mod <7)
разрешимо с (xi,<7)=l, то доказательство теоремы 1 из книги Харди и Литтлвуда (1928) показывает, что Го(А) = = Г(й). Они предположили, что Г(£)~>оо при &->оо, но до сих пор не известно даже, справедливо ли неравенство
lim inf Г (й) > 4.,
Упражнения
Покажите, что для 1 ^ /^ k j-e применение А/— разностного оператора — имеет выражение
А/ («6; РР • • • > Р/)52/0! /J ... //! а °Р1‘ • • ■ Р/ —
lohlj
/о>о, H>iZ/>>in+tx + ...+ij=fc
= Pi . . • ^hPj (Щ PiP/)>
где pj — многочлен от а степени к — / с коэффициентом при старшем члене k\/(k— /)!.
Покажите, что при к > 2 0(1?) ^ тах(й + 1, Го(й)).
Покажите, что каждое большое натуральное число есть сумма одного квадрата и семи кубов.
Покажите, что для s ^ 2
^ | f (а) Гб/а»тах(№'\ Nsp\
О
Покажите, что число R решений уравнения ^1 + Ух + иХ = ^2 + #3 + У4
с Xi ^ n!/2, yi ^ п1/4 оценивается в виде R <С nI+s. Получите асимптотическую формулу для количества представлений числа суммой двух квадратов, четырех биквадратов и к-й степени.
Пусть
у1(Р) = $ Ц^НУ, V2(^) = ^ ^-^-e^h). Оh-0
Покажите, что
ОО1
vt (P)se (—pn) dp и и2 (p)se (—pn) dp
— ООО
асимптотически равны Г (1 + у J Г ^) /г*61 при и—>оо.
3.
Проблемы Гольдбаха
Тернарная проблема Гольдбаха
Полученное И. М. Виноградовым решение тернарной проблемы Гольдбаха следует схеме предыдущей главы, но на этот раз с функцией
f (а) = £ (log р) е (ар).(3.1)
р^П
Недостаточность нынешних знаний распределения простых чисел в арифметических прогрессиях диктует, чтобы большие дуги были возможно более редкими. Принципиальная трудность возникает на малых дугах и заключается в получении подходящего аналога неравенства Вейля.
Пусть В — положительная постоянная. Для достаточно большого п положим
Р = (log п)в(3.2)
Когда 1 ^ а ^ q ^ Р и (a, q) = 1, пусть
9l(q, а) = {а: |а — a/q\^.Prt-1)(3.3)
обозначают типичные большие дуги, a ЭД— их объединение. Поскольку п достаточно велико, большие дуги не пересекаются и лежат в промежутке
<U = (Ргг1, l+Pn-1].
Пусть m = °И\^. Тогда ввиду (3.1)
R(fi)=^t (а)3 е (— па) da =it'
= ^ f (а)3 е (— па) da + f (а)3 е (— па) da,(3.4)
i?m
где R(n) =£ (log Pi) (log р2) (log р3).(3.5)
Pi. pi. piPl + p,+ P. — n
Изучение интеграла на малых дугах принципиально основано на следующей теореме.’
Теорема 3.1. Предположим, что (a,q)=\, q^n и [а — — a/q\ ^ q-2. Тогда.
f(a) С (logny^nq-^2 + п№ + nx,2qx,2Y
Доказательство. Пусть
d I хd<X
где р —функция Мёбиуса. Тогда выбор X = п2^ и X (х,у) = = Л.(у)е(аху) в тождестве
£ Х(1, у) ££ тхХ(х, у) =
X <у<nX< х <zi X < у<п'х
= £££ р№х(г?2, у)
d^X X<y^nid z^njyd
дает
/(a) = Si-S2 — S3 +0(^/2), где
51 = £ £ ц (х) (log у) е (аху), х < X у<п!х
s2 = ££ схе (аху), сх= ^ £ Р № Л (у),
х < X2 и < nfxd^X у<.Х
dy=x
53= £ £ тхЛ(у)е(аху).•
х>Ху>Х ху ^п
Здесь Л — функция Мангольдта, а тождество получается переменной порядка суммирования, если учесть, что т^ = 0 для 1 < х X.
Внутренняя сумма в Si равна
р (х) У в (аху') -^-
1 Х<У< п(х
йСхС logx. Следовательно,
Sb S2 < (log/г) £ min(n/x, ||ax|r')-x<X2
Отсюда, по лемме 2.2,
Si, S2 < (logn)2(nq-1 + пМй + q).
Таким образом, остается оценить S3.
Пусть si- = (X, 2Х, 4Х2^: 2fcX2 < п ^ 2^+iX2}. Тогда 53= £ 5(У),
У е л где
s СО = ££ ТХЛ (у) е (аху).
У<х<2У Х<у <п!х
Согласно неравенству Коши,
IS (У) I2 « f W2) S I Z Л (у) е <аху> I2. ' кх<2У 7 Y <х < 2У | Х<у < nixI
Легко показать, что
X d(x)2«Z(log2Z)3.
х <Z Следовательно,
IS (У) |2 <С У (log n)5 2£ min (У, |[а(^ —^)[Г').
у < n/У z < n.fY
Таким образом, по лемме 2.2,
|5(У) Р < nOogn)6^-1 + У + n/Y + q),
откуда,
S3 « у g^ (log nf WXP + nV + nY^2 + nV)
<^ (log nY (nq-^2 + n4''5 + nx^qxl2\
что и требовалось.
Теперь, чтобы оценить интеграл
j / (а)3 е (— па) da,
достаточно обратить внимание на два следующих обстоятельства. Во-первых, тождество Парсеваля и элементарная теория простых чисел дают
1
^ | f (а) |2 da = ^ (log pY < п log п.
Ор ^ п
Во-вторых, согласно теореме 3.1 (ср. с выводом теоремы2.1), sup | f (а) | < п (log n)4-B/2. a g m
Таким образом, справедлива
Теорема 3.2. Если Л — положительная постоянная и В^ ^ 2Л + 10, то
^ | f (а) |3 da <С п2 (log пУА.
Изучение интеграла на больших дугах основано на применении теории распределения простых чисел в арифметических прогрессиях.
Лемма 3.1. Пусть
»(?)= £ е (0m).т = 1»(?)= £ е (0m).т = 1(3.6)(3.6)
»(?)= £ е (0m).т = 1
»(?)= £ е (0m).т = 1
(3.6)
(3.6)
Тогда существует положительная постоянная С, такая, что каковы бы ни были 1 ^ а ^ q ^ Р, {a, q) = 1, аеОД, а), имеем
f^ = ^^v (а ~ 7) + 0 («exp(-C(logra)1/2)>
Доказательство. Пусть
h№ = £ (log р) е (ар).
Тогда
fx^q)= И е(аг/^)^(Х, ^, г) + О ((logX)(log^)), Г=1
(г, <?) = ! где
»(!,?, г)=£ (log р).
р s г (mod <7)
Как известно [теорема 53, Estermann, 1952], для л/п < Х^п имеем
q
fx(y)=^y £ е (-у-) + О (гаехр (—Ct (!og ra)I/2)). (3.7) (г, <?)-!
То же самое тривиально имеет место и для Х^л/п. Кроме того, [см. теорема 271, Харди, Райт, 1979]2)
q
г-1
(г, </)—1
Следовательно, из (3.1), (3.6), (3.7) и леммы 2.6 при X = п, F(m) = е (0m), р = а — a/q,
[ е() log гаг — р (<?)/<? (q), если m — простое число, Г -— SЯ /
I — р (<7)/ф (<?)в противном случае
имеем
^“^ ~+n|a— 7I) «ехр(— С, (log га)1/2)), что вместе с (3.3) и (3.2) доказывает лемму.
Пусть аеУ?(</, а), тогда вследствие леммы 3.1
f (а)3 —Y^ « (а — у)3 < «Зехр(—C(logn)I/2).
Теперь интегрирование по У? дает
£ £$ (^a)3-f(^y (a-f)3)e(-an)rfa<
Я < Р a = l ЭД (q, а)
(а, <7) = 1
С Р3п2ехр (—С (logn)I/2).
Следовательно, ввиду (3.3)
Pin
f (а)3 е (—an) da = & (п, Р) у (0)3е (—0n) dp+
ав-Pin
+ О (Р3/г2ехр (—C(logn)1/2)),(3.8)
где g(n, Р)= ^ £ '7н^е("а*<3'9)
q ^ Р а = 1
(а, у)=1
Согласно (3.6), если р— нецелое число,
v(P)< ИрН-(3.10)
Поэтому отрезок интегрирования [—Р/п, Р/п] можно заменить отрезком [—^> т] с точностью до величины
« Е ^(яГ2пР"\q<P
Следовательно, ввиду (3.2)
/ (a)3 е (— an) da — @ (п, Р) J (п)-\-О (п (Xog п)-2в), (3.11)
1/2
гдеJ(n) = ^ у (р)3е(—р/г)^р.
-1/2
Согласно (3.6), J (п) есть число решений уравнения п =
= «1 + т2 + та в целых числах 1 ^ т, ^ п. Таким образом,
J (п) = 4 (^ -1)(«- 2).(3.12)
Кроме того, в силу (3.9) имеем
® (п, Р) = @ (п) + О f Е Ф (/?) "2Y\q>P )
где®^=£v^ £ e(-an(q\ (3.13)
a—1a—1
■(a, ч)-1
Отсюда ввиду (3.1), (3.11) и теоремы 327 [Харди, Райт (1979)]
f (а)3е (— an) da — ^ (п) J (п) + О (га2 (log га)-в/2).
ап_
Сумма Рамануджана (см. теоремы 67 и 272 [Харди, Райт (1979)]) q
Cq (га) = £ е (— aniq) а = 1 la q>=l является мультипликативной функцией q и выражается в виде
, ц (gRg, п)) ф (?)(3.14)
"ф (<?/(?, «))■
Следовательно, согласно (3.13),
© (га) = П (1 + (р - I)’3) И (1 - (Р - Л"2).(3.15)
■ пр \ п
Мы доказали следующую теорему.
Теорема 3.3. Пусть А— положительная постоянная, В^ 23? 2А. Тогда
/ (а)3е (— па) da = у га2® (га) + О (га2 (log п)-А), ал
где <5(п) определяется равенством (3.15).
Заметим, что <3(п)^ 1 для нечетного числа га и ©(п) = 0, если п—четное. В соединении с теоремой 3.2 и (3.4) теорема 3.3 дает следующий результат.
Теорема 3.4. Пусть А — положительная постоянная, R(n) и ®(п) определяются соответственно формулами (3.5) и (3.15). Тогда
R(n) = -^ п2^ (п) + О (п2 (log п)'А\
Следствие. Каждое достаточно большое нечетное число является суммой трех простых чисел.
Бинарная проблема Гольдбаха
В бинарной проблеме Гольдбаха нельзя изложенным выше способом получить асимптотическую формулу. Однако
может быть получена нетривиальная оценка суммы
п
гдегдеУ kRi кт) — ^\ кт)?,т = \
где
где
RiH= У (iogpi)(iogp2),Рь Р:рхА-р^т
a Si (т) — соответствующий особый ряд. Это выражение соответствует скорее кватернарной проблеме, чем бинарной. Оно приводит к следующему менее сильному заключению: почти все четные числа — суммы двух простых чисел.
Пусть
Ri km) = R; (т, п) = У У (logpi)(logp2).
pl < п р2 < п
Рн\-р2 = т
(3.16)
Тогда
Ri кт) = R2 кт) 4- R3 кт),
(3.17)
где
R2 кт) = ^ f (а)2 е к— am) da
(3.18)
и
R^ (^) “ ^ (a)2 е V™ аМ da.
(3.19)
Здесь f, W, ш такие же, как в § 3.1.
R3(m) является коэффициентом Фурье функции, которая равна f(a)2 на m и 0 для других значений а. Следовательно, по неравенству Бесселя,
п
(3.20)(3.20)£|%(т) Р^Ща) |Ма.
(3.20)
(3.20)
т=1т
Теорема 3.5. Пусть А — положительная постоянная, В ^ 5? А 4- 9. Тогда
У I R3 (m) |2 < п3 (log п) л. т-1
Эта теорема ввиду (3.20) может быть выведена таким же способом, как теорема 3.2.
Пусть
Р)=^ ^ ^we^-am*q^ (3,21)
q < Р а = \
(а. fll-1
Тогда тривиальными видоизменениями рассуждений, дающих оценку (3.8), получаем
Pin
Racin') = ©1 (tn, Р) ^ о(р)2е(—pm)dp +
-Pin
+ О ^п ехр (— С (log /г)1/2)).
Кроме того, согласно (3.10),
1/2
S I У (Р) I2 ^Р ^пр-х.
Pin
Отсюда ввиду (3.21) и элементарной оценки
Е Ф(?) 1 <
q<P
<^ log п имеем
Ri (т) = S, (т, Р) 7, (т) + О (n (log п)' -в),
1/2
где 7](т) = ^ у (р)2е (— pm) d^.
-1/2
Вследствие (3.6) 7i(m) есть число решений уравнения m = = т\ + mi в целых числах 1 ^ т, ^ п. Отсюда при т ^ п имеем I, (т) = т — 1. Поэтому ввиду (3.21)
Ri^m) = m®i (т, Р) + O(n(log«) *-в)(1 ^ т
^«). (3.22)
Согласно (3.14) и элементарной оценке
Е ф(?)-2 « я-1,
q>Z
имеем q
ф (^)2
X<q<Yа-1d | т X!d<q<Y[d
(a, q)=l(q, m)—1
1). (3.23) d | m
Следовательно, ряд
^Н = ^^г £ e(-am[q^ (3.24)q=la=l
(a, q) = 1 сходится,
9i (m, P) — @i (m) <^; log m
и
fie.^.pj-s.W^dog») ^№mln(4, i)« m-1d<n
« n(logn)P~^ £ -^^- «nP-1 (logo)2. d < n
Отсюда в силу (3.2) и (3.22)
^ IR2 (m) ~ т^1 (m) |2 < и3 (log nf-B.(3.25)
m=I
В силу (3.14)
®i(m)= П (1 — (p —I)"2) Ц (1 +(P— I)”1). (3.26) Pimp I tn
Теперь, выбрав подходящую постоянную В, получаем теорему.
Теорема 3.6. Пусть А— положительная постоянная, В^ ^ Л -|- 2. Тогда
У, I Ri (т) — m®1 (m) |2 < п (log nYА, m=l
где ®i(m) определяется равенством (3.26).
Комбинируя равенство (3.17) и теоремы 3.5, 3.6, получаем следующую теорему.
Теорема 3.7. Пусть А— положительная постоянная. Тогда
У 17?i (m) — пг©! (т) |2 < п3 (log пУА, m—1
где Ri и ©1 определяются равенствами (3.16) и (3.26) соответственно.
Заметим, что @i(m)»l, когда пг четно, и @i(m) = 0 для нечетных пг.
Следствие. Число Е(п) четных чисел пг, не превосходящих п, непредставимых в виде суммы двух простых чисел, удовлетворяет неравенству
Е(п) <$: n(logn)-'4.
Доказательство. Согласно (3.16) и (3.26) для каждого пг, входящего в Е (п),
m~2\R2(,m')— пг^Дш) ]2 = ©^m)2 > 1,
Отсюда
Е (п) < У т 21 R2 (т) — tn^ I2-"
т=1
Утверждение теоремы получается теперь из теоремы 37 частичным суммированием.
3.3 Упражнения
Покажите, что каждое большое натуральное число может быть представлено в виде рх + р2 + хк.
Пусть йь ..., Й4— фиксированные отличные от 0 целые числа, причем ах, а2, си не все одного знака. Покажите, что
R^ = Е Е Е (logpi) (log р2) (logр3) р< < п Pl С n Pj < n
aipi+a2P2+a3Pj+a<=0
выражается в виде
R^ = /(«)© + O(n2(logn)--4),
где J (n)— число решений уравнения
axm\ + a2m2 + сипи + Й4 = О
с m, кД n и
E ф(9)"3 11^(0!;).
<7 = 1/-1
Покажите, что если («ь а2, й3) | й4, то 7(n)>>n2 для больших п.
В обозначениях предыдущего упражнения покажите, что достаточным условием того, что ® 3> 1, являются следующие соотношения:
(а,, а3, a4) = (tii, а3, й4) = (й1, й2, й4) = (й1, й2, й3),
Si + йг + аз + й4 = 0( mod 2 (йь й2, а3, й4)).
Покажите, что эти соотношения также необходимы и что в противном случае © = 0.
4
Большие дуги в проблеме Баринга
Обобщенная функция
Теория больших дуг в проблеме Варинга, изложенная в гл. 2, может быть значительно усовершенствована. Наша цель здесь — получить относительно хороший остаточный член приближения V(a, q, а) для обобщенной функции Да) на каждой большой дуге, делая эти дуги как можно более широкими и многочисленными.
Пусть
S (q, а, 6) = У, е ((axk + bx) q-1).(4.1)
Х = 1
Лемма 4.1 (Хуа, 1957 а). Предположим, что (</,а)=1. Тогда
S{q, а,Ь)^ ^1/2+е (^, 6).
Доказательство использует глубокую теорему Вейля (Weil, см. ниже ссылку на Шмидта). Есть более элементарная теорема Дэвенпорта и Хельбронна (19366, 1937a), в которой показатель степени 4" заменен на 4 Для 6 = 3 и на 4 для 6^4. Кроме того, теорема 7.1 вместо 4 Дает 1 — V&- На самом деле рассуждения Морделла, используемые в доказательстве теоремы 7.1 в случае, когда q— простое число, можно изменить так, что вместе с рассуждениями, приведенными ниже, это даст теорему Дэвенпорта — Хельбронна.
Доказательство. Если ^qx,q^=\, имеем (ср. с доказательством леммы 2.10)
5(</,ц2, a, b^ = S^qv aqk-\ b^S(q2, aq^"\ 6).
Таким образом, достаточно показать, что для любой степени простого числа р1 при р -^ а
S{pl, a,b)<^. pl/2{pl,b).(4.2)
При / = 1 оценка (4.2) сразу вытекает из следствия 2/г гл. II книги Шмидта [Schmidt, 1976]. Поэтому можно предполагать, что / > 1.
Если 6 = 0 или 6 =4= 0 и наивысшая степень р, р6, делящая 6, удовлетворяет неравенству 0 ^ 1/2, то оценка (4.2) тривиальна. Аналогично, если наивысшая степень р, рх, которая делит к, удовлетворяет неравенству т ^ //2, оценка (4.2) также тривиальна. Следовательно, можно в дальнейшем считать, что
6=^=0, т<4/, э<4^-
Пустьv = [4(/+l)].
Тогда 3/ — 3v ^ I. В определении S(pl,a,b) (формула (4.1)) каждое х по модулю р1 может быть записано единственным образом в виде zpl~x 4 у с 1 ^ у ^ р1~х, 1 s$ z ^д рх. Следовательно, по биномиальной теореме
р^~х рх
S^.a, b) = X Z е/ауМ-by^р~х-V 1М^^^
У = \ 2 = 1
A^ay^V^Y(4.3)
Предположим сначала, что / четно или р|(з)- Тогда (2)pz-2v — целое число, и отсюда, согласно (4.3),
|S(pz, a, b) \<pxN,
где N — число решений сравнения
kayk~' + b = 0 (mod pv)(4.4)
с 1 ^ у ^ p‘~v- Напомним, что max (9, т) < //2 <Д v. Таким образом, это сравнение неразрешимо, если не имеет места неравенство 0 Ла т и 9 — т кратно к—1. Если (4.4) не имеет решений, то (4.2) следует немедленно. В противном случае пусть X =(9 — т)/(6 — 1). Тогда N есть число решений сравнения .
^кр-х) awk~x + (6р-9) = 0 (mod pv~9)
с 1 ^ w ^ pt-x~\ Заметим, что X еЛ 0 <д I— v. Когда I— v — X ^ v — 9, имеем N<1, так что
\3(_р1, a,b)\«. рх.
Если I — v — X > v — 9, то А-' < pt+e—2v—x, так что
\Si.pl, a,b)\«. р1-хр6.
В обоих случаях
\S(,pl,a,b)\« рЧр1,^.(4.5)
Когда / четное, v = [(/+ 1)/2] =//2, и если р|(г)» то рх ^ pW/2 <^ р‘/2_ Таким образом, (4.2) следует из (4.5).
Остается рассмотреть случай, когда I — нечетное число и Р Т ( 2 )■ Тогда
v=^(/+l), v>2.
Каждое z в (4.3) однозначно по модулю pv и записывается в виде гр + w с 1 ^ г ^ pv-1, а 1 ^ w ^ р. Более того,
(2 ) ау^-^г (2 )apfe“W(mod pY
Поэтому сумма по г равна нулю, если сравнение kayk~x + + b = 0 (mod pv~I) не имеет места. Отсюда
pZ-v
S(_pl, а, b^^p^-^ У в^аук-Vby^p-^X
У = 1
X У, е (((2 ^ayk-2w2 + ую) р-1) (4.6) с у и у, удовлетворяющими соотношениям
kayk~x + b = 0(modpv-1) и v = (каук~х + 6)p1~v (4.7)
Сначала рассмотрим вклад Si членов с р\ук^2. В таком случае й>2 и внутренняя сумма равна нулю, если р -f г Таким образом, по (4.7)
Si < p^N,где N — число решений сравненияfez/p^w*-1 + b = 0 (mod pv)с 1 ^ и ^ pt—v—i, Аналогично предыдущему случаю полу-чается N = 0, если 0 =# fe — 1 + т + (^ — 1) X с X ^ О, а в про-тивном случае N есть число решений сравнения
(&р-т) аук-х + (6р-0) = 0 (mod pv~9)
с 1 57 у ^ pi-v-^. Заметим, что 0 ^ к — 1 > 0. Если / — v — — 1 — X <5 v — 0, то N С 1 и, значит, Si <g pv 57 pv-i+9 <5; ^ Pl/2(pl, by При / — v—1—X>v — 0 имеем N <С ^ pt-v-i-x-^-Q), так чт0 СНова
Si«: pz~'v-I'?i+0^pz/2(pz, ь).
Теперь остается оценить вклад S2 членов в (4.6) с р Т Уь-2. Тогда внутренняя сумма, как легко видеть, есть Ср1/2 (ср. со случаем к = 2 теоремы 4.2). Таким образом,
S2 < p^i^N,где N — число решений сравненияkayk~x + b = 0 (mod pv-1)
с 1 ^ у ^ pt-v. Заметим, что v—^ = ^1,1 — v = v — I =4(Z — — 1)^0 и I Дз 3. Если 6 = 4" (Z — 1), то сразу
s2« р^-ьу
Если 0<4(Z— 1), то, так же как и выше, или N = О, или 0 — т = Х(&—1), где X ^ О и, следовательно, 'V <С ^р(/-1)/2-л-((/-1)/2-е)^ре. Таким образом, в этом случае также
s2 < р1,Чр1> ьу
Следующая лемма часто является исходной для оценки экспоненциальных сумм. Это сокращенная форма формулы суммирования Пуассона.
Лемма 4.2. Предположим, что X < У, F" существует и непрерывна на [X, У], a F' монотонна на [X, У]. Пусть Щ, Н2 — целые числа, такие, что И, ^ F'(а.) ^ И2 для любого аг е[Х, У]. Тогда
Нг Y
У, e^F (х)) = У е (F (а) — аЛ) da + О (log (2 + Я)),
X<x<YН=Щ X
где // = max (| //i |, | Н21).
Доказательство. Для дифференцируемой функции ф(а) с непрерывной производной ф' формула суммирования Эйлера— Маклорена дает
Y
У ф (х) = J ф (a) da — [ф (а) (а — [а] — 4)]^ + Х<х<УX
V
+ 5 ^ (°) (а — [“] — 4") ^(4-8)
Следовательно,
Y
У e<F (х)) — ^ е (Е (а)) da +
Х<х<УX
г
+ ^ 2n,iF' (а) е (F (а)) (а — [а] —^-) da + О (1). х
Напомним теперь разложение Фурье
а-[а]-4= Г
-oo
ft ^ О
Этот ряд ограниченно сходится для всех действительных а. Поэтому второй интеграл записывается в виде
ооУ
^ -у (а) е (F (а) — а/z) da.
А = - ооX
А =/= О
Когда к> Н2 или h-cHx, F'(а) — к монотонна и не обращается в нуль на [X, У]. Поэтому F'(а) /(F'(а)— /г) также монотонна на [X, У]. Таким образом, интегрирование по частям дает
у
$ F' (а.) е (Е (а) - /га) da < | /уулу | + 177^^ х
Следовательно,
^ у ^ F' (а) е (F (а) — /га) da << h=Hz+l X
4 + О
ООH+t
Е ( | Л I f(A — ^2) + ИМ)) 1 + Е Т
Л=Н2+1Л = 1
h Ф О
и аналогично получаем для суммы по к ^ Ну— 1. Интегрирование по частям оставшихся членов дает
ун2 у
^ ЦТ (х)) = ^e^F (a)) da + ^ ^ е (Е (а) — а/г) da +
Х<х < УXh-Hv х
НФ»
у^ е (F (а)) da = ху^ е (F (а)) da = хЕсли Нх ^ 0 ^ //2, то доказательство леммы закончено. Если же 0 < Ну или Нг < 0, то |Е'(а) | ^ 1 и поэтому
у
^ е (F (а)) da = х
у
^ е (F (а)) da = х
da < 1,da < 1,(4.9)(4.10)(4.9)(4.10)' М^(а)) У , f F"(a)e(F(a)), 2jtiF/ (а) У J F' (а)2 2лг
da < 1,
da < 1,
(4.9)
(4.10)
(4.9)
(4.10)
что входит в остаточный член.
Пусть
/(“)== 2 е ^ахк\х < пЧ^
S(q, а) = Е е <amklqYm=l
у (Р) = У, у Д'^-Мрх), Ui(P) =е(Ру6)^у. (4.11)
У (a, q,a) = q-1S (q, a) v (а — a/q).(4.1'2)
Теорема 4.1. Предположим, что ^a,q^ = 1 и а = a/q + р. Тогда
— Е(а, Я, а) < д1/2+Е(1 + »|р|).(4.13)
Если, кроме того, |р| ^ ^t?)-1/!1/*-1, то
f(a)—V(a, q, а) <С q1/2+s.(4.14)
Те же утверждения справедливы при замене у(Р) на щ(Р).
Доказательство использует лемму 4.1. Если вместо нее используются более слабые результаты, упоминавшиеся в замечании после этой леммы, то показатель степени 4- в теореме 4.1 заменяется соответствующим большим показателем.
Доказательство. Для X ^ п1/& положим fx(a) = X е(ах^.,
Согласно (4.1) и (4.9),
fx^ = Е е^х^ £ e(amklq} =
х ^ Xm = 1
m х (mod <7)
= q-v ^ QE* е (рх6 — bx[qY^ S (q, a, 6).
Отсюда
.<7 — 1
fx (“) — q~xS (q, a) F (q) = q-1 X F (6) S <q, a, bp (4.15) »=i
гдеРф^ = X е(Р^ — bx[q\(4.16)
x < X
Если p = 0 и q T b, to Ft^^Wb/qW"1. Отсюда по лемме 4.1 и (4.15)
fx (f) - q-1S ^ a) [X] « q-v £ || ь/q IR1 ^/2+s ^ b} «- qx№. b = l
Теперь (4.13) легко получается при помощи интегрирования по частям (ср. с доказательством леммы 2.7). Эквивалентность и и У] в (4.13) вытекает из замечания после этой леммы.
Остается доказать (4.14). Далее будем предполагать, что X = пх1к, так что в (4.15) /х(а) = /(а). При 1 ^ b ^ q выра-
жение рАу6-1 — b/q— монотонная функция у на [О, X] со значениями между —(6 + 4")/^ и “ (^ — т)/^- Таким образом, может быть применена лемма 4.2 с Нх = —2, Н2 = 0, откуда
о х
F(b) = ^ J е^-буЛг-у/О^у-Н 0(1).(4.17)
Ь—20
При 1 ^ b sC q — 1 и 0 ^ у ^ X имеем | pfey6-1 — bjq — h |^ >|| P&Yfe-1 — b[q\\ ^4’11 b!q\V Таким образом, интегрируяпо частям, получаем х
e(Pyft — b^iq—у/г)^у С ll^/t/lk"1,
и поэтому, согласно (4.17), 7 (b) <g( \\b/q\\”x. Следовательно, по лемме 4.1, правая часть (4.15) есть величина
< q~{ £ II b(q Г1 qV2+e (q, b) « ^'/з+ге. 6=1
Рассмотрим теперь F(q). При 0 ^ у ^ X имеем |Р&уА-1± ± 1 |^4". Отсюда интегрирование по частям дает
х
е(Ру6±у)^у < 1.
Следовательно, в силу (4.11) и (4.17)
F(7)=m(P)+O(l).(4.18)
Это дает (4.14) с ui(P) вместо и(Р).
Пусть
Формула суммирования Эйлера — Маклорена (4.8) дает О(У)= У1/* + Сй + Орт-1).
Следовательно, по лемме 2.6 и (4.11) хк
у (р) = G (Xs) е (pXfc) - 2шр J G (у) е (ру)d^ = 1
==(^ + ^)е(рГ)-2шр ^ (y^ + C6)6(Py)(Zy + O(X1-4IPI^.
1
Интегрирование по частям и замена переменных показывают, что
y(P)=vi(P)+O(^-*+|P|^.
Формула (4.14) следует из этого результата, если в нем заменить и(Р) на ui(P), и это заканчивает доказательство теоремы.
Экспоненциальная сумма S(q, а)
Лемма 4.3. Пусть р ^ а. Тогда
S(p,a) = X х(о)т(х),(4.19)
где зФ обозначает множество неглавных характеров % по модулю р, для которых Д1— главный характер, а т(х) обозначает сумму Гаусса
р
Е xtoe(x/p).
Х = 1
Кроме того, |т(х)| = р1/2 и card^ = (&, р—1)—1.
Доказательство. Пусть g— первообразный корень по модулю р. Тогда ^— множество характеров %^ вида
/к to = е ( ТД™^\^ indff х) (Р ^)
с \^Н<Дк,р—1). Таким образом,
1 + X х to
есть число решений в у сравнения yk @ x(modp). Откуда
р
s{p, <z) = Xе Wp) (i + X хto),х=1\ Х^Л /
что дает (4.19). Остальные утверждения леммы тривиальны.
Пусть т и у такие же, как в (2.24) и (2.25). Заметим, что у ^ й всегда, кроме случая к = р = 2, когда у = 3.(4.20)
S{pl, a^ =S{pl, a^ =Лемма 4.4. Предположим, что р Т а и I > у. Тогда р1~'при К. к,
S{pl, a^ =
S{pl, a^ =
рк~Д (р‘~к, а) при 1>к.
Доказательство. Напомним, что приведенный вычет по модулю р1 является вычетом к-й степени тогда и только тогда, когда он является вычетом к-й степени по модулю р"». Таким оЗразом;
pY p^ — Ypt — 1
S(pl, а) = X Е e^a^zp^ + p^ + P’9 + X е(арк-[ук).
у=\ z-1у=1
0 4 И
Внутренняя сумма в двойной сумме равна 0, а сумма справа равна р1-1 при / ^ А и рк~х S (р1~к, й) при I > к.
Лемма 4.5. Если (q, г) = (qr, й) — 1, то
S(qr, а) = S (q, ark~x)S(r, aqk~xY
Доказательство см. лемму 2.10.
Теорема 4.2. Пусть (q,a) = 1. Тогда
S (q, а) < qx~x/k.
Доказательство. Если к = 2, то
I S (q, а) |2 = ^ Е е (“ (У2 — *W = х = 1 у--1
= Е Е е (а (z + 2л') z!^ = 9 Е (az2lq) < 2q.
Х=1 2=12=1'
q \ 2г
Следовательно, можно предполагать, что к > 2. Запишем / = ик + у с 1 ;С г =С к, и ^ 0 и предположим, что р \ а. Согласно лемме 44 и утверждению (4.20),
S(pi, ax) = p<k-XXuS(p\ а).(4.21)
Рассмотрим сначала случай у > 1. Если р > к, то у = 1, так что по лемме 4.4
S(p”, a) = pv-x.
Если р ^ к, то тривиально выполняется неравенство
|S(pD, й) | ^ крщ-х.
Следовательно, по (4.21)
,(pl~w(р > к\
\S(pl, й)К<, . ...(4.22)
7Vkpi-1,fe(р<:кУ
Рассмотрим теперь случай у = 1. По лемме 4.3 |S(p°, й) | kpx/2 kp-xl6px~xlk.
Таким образом, в соответствии с (4.21)
С pl-h’k ^р -> рб^
(4.23)
Согласно (4.22), (4.23) и лемме 4.5,
|S(<7, aJK^1"17* П к,
откуда следует теорема.'
Лемма 4.6. Предиоложим, что (q,a) = 1. Тогда
V (у + р, q, а) < (.q' min (и, || р Н’1))^.
Доказательство. Лемма непосредственно следует из (4.12), теоремы 4.2 и леммы 2.8.
Особый ряд
Для любого целого К положим
sh^= Е (S(q, a) q~{)s е ah{q). (4.24) . kq, а)=1
Тогда в обозначениях (2.16) и (2.18)
S (q) = Sn (q), © ^ = J Sn (д).(4.25)
4=1
Лемма 4.7. Пусть s ^ 1 и / = uk + у с 1 ^ и ^ к.
Тогда
„ л С р-^Чр^Чр1”^ h) + {pl, h)), если Z=l(mod&), Р h Р | р-з^р!, р^если /^i(mo(j^).
Более того, если Х — 1— шах(й, у) удовлетворяет условиям Х>Ои р'- Т к, то
5ДрЧ = 0.
Доказательство. Пусть сначала р > к, так что у = 1. Положим I = ик + и с 1 ^ v ^ к. Тогда по лемме 4.4
р1
plsSh^ = kPuVk"4sll S(P\ аУе^-акр-1). (4.26) а= 1 рТа
Каждое а может быть записано единственным образом в виде а = хру + у с О еД х < pi-°, 1 sC у ^ pv, р Т у. Сумма по х равна 0, если р1-0 Т h, а в противном случае она равна р1-”. В последнем случае сумма по у при и > 1 по лемме 4.4 равна
ру
ps(v-p ^ e^-yhp-i^
рТи
и по модулю это не превышает р^^Др'’, hp^-1^. Таким образом,
I Sh Vp1') I < р-“s -s (pl, К) <l*\ (mod ку.
С другой стороны, когда и = 1, сумма по у, согласно лемме 4.3, есть
У • • • У т (Xi) . .. т (xs) У Xi • • • Xs (у) е ( — yhp"l\
Когда Xi ••• Xs — неглавный характер, предыдущая сумма по у равна
%1 ••• Xs(V""z)t(xi • •• Xs);
а когда xi “• Xs— главный характер, она равна—1 при р1 ф И и р — 1, если pl\h. Отсюда по лемме 4.3
Sh (р1) < p-“s-s/2 (pl/2 (pZ-1, Д) _|_ (pZ, Д) ) ( что и требовалось доказать.
Предположим теперь, что p^.k. Когда /^шах(у, к^, утверждение получается тривиально. Следовательно, можно считать, что / > max (у, к^. Запишем I = ик + и с шах (у, /г) — — к < и ^ max (у, k). Тогда по лемме 4.4 равенство (4.26) имеет место. Более того, как и раньше, Su(pi>) = 0, если р1"” Т /г; в противном случае
pIsSh (р1) = pus№-^pi-o У S (р°, уУе^ — у1гр~1}<^.ри5(к~1Др1, hY у = 1 рху
так как р ^к. Таким образом,
SuW ^p~us-vs(p‘,h),
что является более сильным результатом, чем требовалось.
Теорема 4.3. Пусть s ^ 4. Тогда ряд
® (п) = У Sn
абсолютно сходится и ®(п)^0. Кроме того, когда s ^ ^2i max(5, к + 2), имеем ©(«)<§; 1, а при max(4, Az) ^ s < < max (5, ^ + 2) имеем ©(п) <$; п6.
Доказательство. Согласно лемме 2.11 и соотношениям (4.25), Sn^—мультипликативная функция q. По лемме 4.7
У I Sn (pz) [ < пр-и-1№ < пр-3!2. z-i
Отсюда
SJ^WKn^(1+с.р-*Г<Ч,
где Ci и С2 зависят только от к и s. Это доказывает абсолютную сходимость ряда ©(п). Неотрицательность ©(«) следует из леммы 2.12.
если /^0 + шах (й, у), если Z>0 + max(&, у),если /^0 + шах (й, у), если Z>0 + max(&, у),(4.27)(4.27)Пусть р9 означает наивысшую степень р, делящую п, и пусть I = ku + у с 1 ^ у ^ к. Тогда, по лемме 4.7,
если /^0 + шах (й, у), если Z>0 + max(&, у),
если /^0 + шах (й, у), если Z>0 + max(&, у),
(4.27)
(4.27)
Sn (р1) « р6', Sn ^ = 0, где.
со + ms — min (Z, 6) =со + ms — min (Z, 6) =s,-т(5-1),— s,s,-т(5-1),— s,еслиеслиеслиеслиеслиеслиZ^0 иZ > 6 иZ^0 иZ > 6 иу = 1, и = 1,у = 1, и = 1,Таким образом, рядТаким образом, ряд(4.28)(4.28)
со + ms — min (Z, 6) =
со + ms — min (Z, 6) =
s,
-т(5-1),
— s,
s,
-т(5-1),
— s,
если
если
если
если
если
если
Z^0 и
Z > 6 и
Z^0 и
Z > 6 и
у = 1, и = 1,
у = 1, и = 1,
Таким образом, ряд
Таким образом, ряд
(4.28)
(4.28)
5Ж (р')|
есть О(р-3/2), если 0 = 0 или 0^1 и s max (5,к + 2), и 0(0), когда 0^ 1 и s^ max (4, k). Следовательно, в первом случае ®(я)<1, ав последнем — S(n) С d(n)c, где С зависит только от s и к. Отсюда следует результат.
Лемма 4.8. Если s ^ max (4, к + 1), то
Е qVife\sa^\«(nQT. q«
Доказательство. Согласно (4.27) и (4.28), (УУ^ЗгДр1') есть 0(0), О^р-') или 0 в зависимости от того, что / ^ 0, 0 < Z ^ 0 + max (к, у) или Z > 0 + max (к, у). Отсюда
Е ^isn(7)i<n <7<QР«Е ^isn(7)i<n <7<QР«i + E(pz)1/6is„ (pz)ii + E(pz)1/6is„ (pz)i
Е ^isn(7)i<n <7<QР«
Е ^isn(7)i<n <7<QР«
i + E(pz)1/6is„ (pz)i
i + E(pz)1/6is„ (pz)i
ФФ)СП (i + <M
P«£Q
где С зависит только от s и к.
Вклад больших дуг
Пусть п — большое натуральное число,
^=[«1/^],(4.29)
P = N/^kV(4.30)
9R(q, а) = (а: |а—-a./q\Pq-'n.-^,(4.31)
объединение ®? (q, а) с 1 ^ а ^ q ^ Р и (а, 9) = 1. Тогда ЭД^.а-) попарно не пересекаются и лежат в промежутке
QZ = (Pn-\ 1 + Рп~}].(4.32)
Пусть
/?м (m) = ^ f (a)se ( — am) da.(4.33)
Лемма 4.9. Предположим, что /^тах(4,#) и что 7 — 0 при t ^ к-\- 1 и к= \/к, когда t = к. Пусть
S^qV-= f \S(q, a)q-'\‘.(4.34)
(a, q)=l
ТогдаE q-^qKQ6.
Доказательство. Действуя так же, как для Sn^qV в обозначениях леммы 4.7, можно показать, что S’t (q) мультипликативна и put""lS*t^p1^ есть О(р-</2) при 1 = l(modfe) и О ^p-t^ при / ^ 1 (mod /г). Таким образом,
к-t/2 | . ^ p-vK-v — tи = 2к-t/2 | . ^ p-vK-v — tи = 2Е p-ws’^p1^ < Е р 1 = 1и=0Е p-ws’^p1^ < Е р 1 = 1и=0uKk-Yuk-utuKk-Yuk-ut««
к
-t/2 | . ^ p-vK-v — t
и = 2
к
-t/2 | . ^ p-vK-v — t
и = 2
Е p-ws’^p1^ < Е р 1 = 1и=0
Е p-ws’^p1^ < Е р 1 = 1и=0
uKk-Yuk-ut
uKk-Yuk-ut
«
«
« р-х
при условии, что Х^ max ((1 + к — f)fk, 2 — 4-/)
Теорема 4.4. При s^ max (5,^+1) существует положительное число 6, такое, что каково бы ни было 1 ^ m ^ п,
Д(И = г[1 +4’)5г(т) ‘ms/fe-1S(m) + О^5/6-1-6).
Доказательство. Пусть а е 951 (q, а). Тогда по теореме 4.1, (4.29), (4.30) и (4.31),
f (а) — V(а, q, а) <С qx/2+8.
Следовательно,
f(a)s — V (а, q, a)s << (71/2^Е).5 + 71/2+е j V (а, q, а) |5-1
Отсюда в обозначениях (4.12), (4.31) и (4.34) q
5j S (f (a)s(a> q> a)s) e ( — am) ^a la. q}=l
'k
<C Pn-X ^q'’^^8-V q4AES*s_x^ |a(p)|3“’dp.
Следовательно, согласно (4.33) и лемме 2.8, q
Рж^^^ У V (a, q, a)s е ( — am) da + Е, q<?а-1ЗЛ(<7. а)
(a, q^ = 1
(4.35) где, принимая во внимание возможность s—&+h
Е « Рт~х (P'!W + рз/4+е £ q-W, (q)
В силу леммы 4.9, (4.29) и (4.30)
Е < п.^11-1-6(4.36)
для подходящего положительного числа 6.
Пусть 41 (q, а) = \а\ Р [(qn) <\а — a[q\<.^y Тогда из равенств (4.12), (4.24) и леммы 2.8
У V (a, q, a)sе ( — am) da < | Sm (q) | J ^-sikd^< а = 19i(q,a)P/(nq)
(a, q) = I
< (ziq/P)^"x | Sm (q) |.
Следовательно, по лемме 4.8 q
У У V (a, q, a)se ( —am) da <C n.8^-"1”6- q^P 0 = 181(<7, a)
(a, (?) = 1
Отсюда no (4.35), (4.36) и (4.24)
Rsi(m.) = <5(m, P) I (m) A-О (nslk~x-ei), (4.37) где
1/2
<5 (m, P) = У Sm (q), I(m)= $ v (p)s e ( — pm) dp.
<KP- 1/2
По лемме 4.8
X \Sm(q)\<n^-x!\
Q<q^2Q
Отсюда, согласно (4.29) и (4.30),
q>P
так что по (4.25)
(4.38)(4.38)S(m, Р) = 0 (т) + О (и-6).
(4.38)
(4.38)
Наконец, из (4.11), (2.20) и теоремы 2.3 для 1 ^ т ^ п
Цт^Цт^Г^ +4)$Г(тГ‘ mslk'4\ 4-СНпг"^.
Теорема следует теперь из теоремы 4.3, (4.37) и (4.38).
Согласование условий
Пусть Мп ^ и M*n (q) такие же, как в § 2.6.
Теорема 4.5. Предположим, что s^ max (4, £+1) и МЦр',)>0 для каждого простого числа р. Тогда <Э(/г)5> 1.
Доказательство. Согласно леммам 2.12 и 2.13, hs^p^pw-^ h-0
причем абсолютная сходимость ряда обеспечивается абсолютной сходимостью ®(п) (ср. с теоремой 4.3).
Теперь достаточно показать, что при р > к
Е 8п (р1) > — Ср-^.(4.39)
Заметим, что у = 1. Рассуждения из леммы 4.7 показывают, что если I — uk -\- v с 2 ^ v ^ k, то
соответственно, если pl\n, pz-1||n, pl-x Т п, (4.40) и что если I = 1 (mod к), то Sn(р1) = 0 для pl-x Т п; в противном случае p-\ifhuk-=>sn (р‘)^ р-1
= P"S Е ••• Е г rzD ... t(Xs) Е %1 ••• ъЖ- апр-1\
XYS^ х4г /?а-1
(4.41;
Выберем 6 так, чтобы ре||«. Тогда, по (4.40), £ sn^>-p\ I 1 (mod К)
где Х = [0/&] (&— s)+ 1 — s. Легко видеть, что Х^—2.
Согласно лемме 4.3, члены в (4.41) с xi ... Xs^Xo оцениваются как ^рС^+о/г, а если р Y прг-1, то члены с xi ... %s = = хо дают <^ps/2. Следовательно,
У 5^= I sn(plH о <p-^Y
1= 1 (mod 6)I (mod
р‘\п
Если s ^ 5, то по лемме 4.3 и (4.41)
SnW< pVl^-s^^ так что
У s„(pz)«p-3/2.
I = l(mod «)
Pl I II'
Таким образом, остается рассмотреть ЗДр1), когда р1\п и s = 4.
Согласно (4.41),
P~№-s4^ = Snpx-M^^
Следовательно, достаточно показать, что 5р(р)^=0.
В силу- (4.24)
SP^ = X. (S (р. а^Р"^-
Мы завершим доказательство, если покажем, что при k = 2 или 3 и р > k S (р, а) является действительным или чисто мнимым числом. Заметим, что при s = 4 имеем & = 2 или 3.
При к = 2 лемма 4.3 дает
S(P, а) = х(й)т(%),
где х — символ Лежандра. Таким образом,
S (р, а) = 5 (р, —а) = х (—а) т (х) = X (— 1) S (р, а), так что S(p, а)— действительное или чисто мнимое число в зависимости от того, х(—1) = 1 или х(—1) = ■—Е
При к = 3 имеем (—х)* = —хЕ Отсюда
S (р, а) = S (р, —а) = S (р, а), так что S(p, а) — действительное.
Теорема 4.6. Предположим, что s ^= 5 при к = 2, s ^ 4к, если к является степенью 2 с k>2, и s^^-k в остальных случаях. Тогда ^{п)^ 1.
Доказательство. Эта теорема сразу следует из леммы 2.15 и теоремы 4.5,
Упражнения
Покажите, что (4.13) имеет место с заменой левой части на 91/2+Е(1 + п|р|)1/2. Выведите частный случай ф(х) = = ах3 леммы 2 4 (неравенство Вейля).
Рассмотрите утверждения:
s 5$ 4 и ®(п) > 1,
Л1ч(^)>0 для любого п и для каждого большого q,
М*п (q) > 0 для любого п и для каждого большого q. Покажите, что если (i) имеет место для любого п, то (ii) справедливо, и что если & =# 2 или 4, тогда из (ii) следует (iii).
Предположим, что $о(&) дается следующей таблицей:
к3456789101112131-41516
s0(fe)4165943213121116641564
Покажите, что для s^so^k) <&(п)^ 1 для любого п.
5
Методы Виноградова
Теорема Виноградова о среднем
Когда к мало, т. е. меньше 11 или 12 или около того, наилучшими известными являются леммы 2.4 и 2.5, дающие основной вклад в оценки малых дуг в гл. 2. Однако для больших к можно получить весьма значительные улучшения при помощи теоремы И. М. Виноградова о среднем. Эта теорема важна также в теории дзета-функции Римана.
Для ее описания надо ввести некоторые обозначения. Пусть °Uk означает ^-мерный единичный гиперкуб (0,1]*,
/(«) = Е е (а,х + а2х2 + ... + а6х6).(5.1)
У<х<г+Х
Для любого ^-мерного вектора h = (йь ..., hk) с целыми компонентами к, пусть /^(Л-, К, h) обозначает число решений системы к уравнений
Х^-^М1^/^) с ¥ < xr, y^Y-VX. (5.2)
Тогда
/№(Х, У, h) = J | f (a) |2S е (а • h) da,(5.3)
где ah— скалярное произведение ai/ii + ,.. Д-аДгй. Очевидно следующее неравенство
JW(X, У, h^JW^X, У, 0).(5.4)
Полагая xr = М + иг, у, = М + и, и применяя биномиальную теорему, легко видеть, что
JW(N, М, Q) = J^(N, 0, 0).(5.5)
Для краткости пишем
Jsm = JW^ = J^4X, 0, 0).(5.6)
Согласно (5.2), Js(,X) есть число решений системы
t^-y^-O (1</< k) с 0<xr, уг<х. (5.7) г-1- ■
Нетривиальная оценка для Л(Х) известна как «теорема Виноградова о среднем» 111
Все известные методы оценки JS(X), когда к велико, основаны на редукции Д(Х) к Д-ДХ/р), где р — подходящее простое число (2L Метод, принятый здесь, является вариантом Бомбьери метода А. А. Карацубы.
Лемма 5.1. (Линник, 1943 с). Предположим, что р— простое число, р > к. Пусть А(р, h) означает число решений системы к сравнений
L «(^ к, (mod pi) (1 < / < к)
c nr ^ pk и nr, несравнимыми по модулю р. Тогда131 А(р, h) ^ к\р^У2.
Доказательство. Пусть B^g)— число решений системы
Дп/ = Я/(тобрй) (!</<£)Дп/ = Я/(тобрй) (!</<£)(5.8)(5.8)
Дп/ = Я/(тобрй) (!</<£)
Дп/ = Я/(тобрй) (!</<£)
(5.8)
(5.8)
с пг ^ рк и несравнимыми по модулю р. Тогда А(р, h) есть сумма всех B(g) с gj = /i;(modpi) и 1 ^ gj ^ рк (1 ^ /^ к). Общее число возможных вариантов g равно pWt-w, Таким образом, достаточно показать, что
B(g)^k\,
а это будет следовать из того, что каждое решение системы (5.8) является перестановкой какого-либо данного решения.
Для заданного g пусть п\Пк— решение сравнения (5.8), п, ^ рк и пг несравнимы по модулю р. Предположим, что mi, ,.., Шк — другое такое решение, и пусть
Р (х) = П (х - пт).Р (х) = П (х - пт).(5.9)(5.9)
Р (х) = П (х - пт).
Р (х) = П (х - пт).
(5.9)
(5.9)
Тогда из формулы Ньютона, связывающей суммы степеней корней многочлена с его коэффициентами, и условия р > к следует, что
Р (х) = П (я — mr) (mod рк).
Таким образом,
(5.10)(5.10)Р (mr) = 0 (mod pfc) (l^r^&).
(5.10)
(5.10)
Таким образом, для каждого г найдется s, такое, что п$ г = mr (mod р). Кроме того, поскольку ns несравнимы по модулю р, ns единственно, Следовательно, ввиду равенств (5.9)
и (5.10) ns = mr (mod рк), откуда ns = тг. Таким образом, тг являются перестановкой пг, что и требовалось.
Пусть р— простое число, пусть 7?i(h)— число решений системы уравнений'
^xir = hj (!</<&),
где 0 < хг ^ X и по крайней мере k из хГ несравнимы по модулю р, и пусть T?2(h)— соответствующее число с не более чем к — 1 из хг несравнимыми по модулю р. Тогда
Л W = У (Rx (h) + R2 (h))2 < 2 2 № (h)2 + R2 (h)2). hh
Отсюда
Л(Х) ^2Л(р) + 2/2(р),(5.11)
где Л(р)— число решений системы (5.7) с по крайней мере к из хг несравнимыми по модулю р и по крайней мере к из у, несравнимыми по модулю р, а 12(р^—число решений (5.7), в которых ни среди хг, ни среди у, нет более чем к — 1 несравнимых по модулю р величин.
Решения системы (5.7), подсчитываемые /Jp), характеризуются тем, что в них xi, ..., хк несравнимы по модулю р и у\, ..., уь несравнимы по модулю р. Поэтому, обозначая /3 число таких решений, немедленно получаем, что
Л(р)<(^2/з.(5.12)
Пусть
/ (а, у) — У е (а,х + а2х2 + . .. + а-кх%0<х<Х
х s= у (mod р)
и пусть si означает множество P-мерных векторов а = (аь ...
..., auV где 0 < а, ^ р и аг несравнимы modp. Тогда
У, / (а, х^Х<рУ, / (а, х^Х<р2з-2&2з-2&У / (а, а,)/ (а, ай)аеДУ / (а, а,)/ (а, ай)аеД2 , аа.2 , аа.
У, / (а, х^
Х<р
У, / (а, х^
Х<р
2з-2&
2з-2&
У / (а, а,)/ (а, ай)
аеД
У / (а, а,)/ (а, ай)
аеД
2 , аа.
2 , аа.
По неравенству Гельдера
/(«, х^М1 <^ р^-2к-х У |/(а, х)р"2\ I Х<рIх<р
Следовательно,■
73<P2s-2fcmax/4(x),.(5.13)
где Л(х) — число решений системы уравнений
У («/ - ^г) = 5 ((руг + ху - (ргг + ху) (1 < / < к)
с 0 <_ tnr, пг^Х, —x]p<Xyf, zr ^{Х—х^/р с ть тк, несравнимыми по модулю р, и с п\, ..., п^, несравнимыми по модулю р. Простое применение биномиальной теоремы показывает, что Л(х) является числом решений системы уравнений
кs- к
У ((mr — Х^ — (щ — Х^ = X Р! (ы!г — 2fr) О < / < &)
с переменными, удовлетворяющими тем же условиям, что и прежде.
Предположим теперь, что
рк Дг X, p>k.(5.14)
Тогда, согласно лемме 5.1 и формулам (5.4), (5.5) и (5.6), 14^<;Хкк\ p^-^YnaxJW^XIp, — х]р, h) ^
^Хкк\рк^Ч5_11(Х+Хр-^
Это вместе с (5.11), (5.12) и (5.13) дает
Js (X) < 2/2 (р) + 2 Q /г! р^к^РХк1в_к (1 + Хр"^. (5.15)
Лемма 5.2. (Бомбьери). Пусть X > 0, и пусть, ^, ..., %s означают s подмножеств конечного множества 9$, card ^ ^ X card ^ (l^r^s).
Тогда для любого t <; X s существуют п, ..., rt, такие, что П < Г2 < . . . < rt и
Доказательство. Пусть Т? обозначает множество элементов Ь из Д которые принадлежат по крайней мере t из %г. Тогда
sX card ^ ^ У, card ^r ^ t card ^ + s card 'У, r=l
откудаcard ^ ^^ X——)card^.
Более того,
card^s^ У card (^Г[П^г2 Г) П^), rirt
■rx<r7<-..<rt
а количество членов в кратной сумме равно (^). Если выбрать ri, ..., rt, чтобы они соответствовали максимальному члену, то получим утверждение леммы.
Теорема 5.1 (теорема Виноградова о среднем). Для любой пары натуральных чисел к, / существует положительное число C{k, I), такое, что для каждого Л' > О
J^kX^Ckk, ЦХ2^-^^!2^,
где р = 4" k2 (1 — 1/&)Z.
Следует отметить, что для применений в мультипликативной теории чисел существенно и поведение С (к, /), когда к и I растут [4L Здесь, однако, это менее важно. Заметим, что при к = 1 теорема тривиальна.
Доказательство. Индукция по /. Рассуждениями, подобными тем, что использовались при оценке B(g) в доказательстве леммы 5.1, можно показать, что когда s = к, все решения (5.7) получаются с уг, являющимися перестановками хг [5]. Таким образом,
1ДХ^к\Хь,
что сразу дает случай / = 1.
Предположим теперь, что / > 1 и теорема справедлива при замене / на /—1. Когда X ^ кк, искомое утверждение тривиально. Таким образом, можно считать, что Х^>кк. Пусть р— простое число, ХХ!к ^ р ^ 25&Х*/&, так что условия (5.14) имеют место. Тогда в силу (5.15) и предположения ин
дукции
1М (X) < 2/2 (р) + Ct кк, Z) р2«+^-5)/2 ^х!рУк1-к^МХХь,
где ^ = 4^20— МкУ-1. Показатель степени р здесь равен к2 — т]', так что
4/W<2/2(p) +С2(Й,
Теперь доказательство разбивается на два случая. Первый случай имеет место, когда существует по крайней мере одно простое число р в интервале Х'/к ^ р ^ 256Х1/А, для которого
Ш<тШ
Тогда теорема следует сразу.
(5.16)(5.17)(5.16)(5.17)Второй случай — противоположность первому, — когда не существует таких простых. Тогда, согласно постулату Бертрана, имеется по крайней мере Ьк простых pi, ,»,, рьь, таких, что
(5.16)
(5.17)
(5.16)
(5.17)
1ДрУ>тк1 ^
ииХ1,к<рг<25к Х^
и
и
Пусть ^ означает множество решений системы (5.7) с s = kl. Тогда
card^ = Ы^Ху■
Пусть ^(р)— подмножество 98, содержащее решения, в которых ни среди хг, ни среди уг нет более чем к— 1 несравнимых по модулю р величин. Тогда
card^(pr) = MprY
Таким образом, ввиду (5.16) и леммы 5.2 с Л = 4-, s = 5^, t = k, имеется к различных простых q^qk, таких, что
jM (X) < 20 (5Й6) card (^ toJ П $ ^ П • • • П ^ № (5.18)
Рассмотрим теперь типичный элемент, принадлежащий ^(<71)П П^(р2)П • • • П^(^г). Поскольку хг ^ X и q\ ... qk 53? X, каждое х, единственным образом определяется своим классом вычетов по модулю q\, модулю q^, ..., модулю qk- Более того, хь ..., х« лежат, самое большее, в к—1 классах вычетов по модулю qt. Таким образом, количество наборов для ^/-мерного вектора (xi, ..., xkt\ по модулю qt не превышает <7,-1(^— 1)ы. Поэтому число наборов по модулю q\ ... qk не больше ^qv ... qk)k~l(k— 1)и. Аналогично для (у), ..., уыУ Следовательно,
card ^ (q^ f| ^ (q^ П • • • П ^ Ы) < (<7i • • • <7ь)26"2 (& — 1)2И.
Отсюда вследствие (5.18)
Ш)^ Ca^k, l^X^-Y
С другой стороны, тривиальных решений системы (5.7) с s — kl при / > 1 в Jki^X) будет по крайней мере [Х]Аг ^ [X]2*. Таким образом, Х^С4(Р,/), что дает утверждение теоремы во втором случае.
Переход от среднего
Пусть
v(x) = vw(x) = (х, х2, ..., х*),(5.19)
и для а е R6 положим
N f («)== 2 e(v(x) -а),(5.20)
Где, как обычно, Для двух элементов а, р из R6, а-p означает скалярное произведение аД + ... + а^. Предположим, что 9Й. — непустое множество целых §исел,
^с[1,А], Al = card(JT).(5.21)
Тогда для те Ж
N+m
/(«) = у e(v(x —т)-а) =
х = 1+т
1 /2NN+mх
= Ц У e(v(x-/n)-a + xp) У е( —z/p)Jdp.
О 'х = 1у=1 + пг
Следовательно, суммированием по элементам Ж получаем
/ (a) С ЛГ1 $ ff У I S' М 0) l) min (N, || р Г1)) ^Р,
2N
гдеg (т, р) = X е (v (х — т) • а + хр). (5.22)
Таким образом,
/(a) « AT*(log2A0 sup X \gVn, р)|,(5.23)
и оценка для f может быть выведена из подходящей теоремы о среднем.
Следующая лемма осуществляет связь между дискретными и соответствующими непрерывными средними величинами. Заметим, что
У I«(п)р= ^ |S(P)|M.
п&Г41^
Для получения таких связей изобретено много методов, но все они основаны на сходных идеях. Приведенный здесь метод основан на неравенстве большого решета и является его обобщением на A-мерный случай, полезный в алгебраической теории чисел (см. [Huxley, 1968] и [Wilson, 1969]).
Лемма 5.3. Предположим, что 6/ > 0 (/= 1, ..., /) и что Г — непустое множество точек у в Rz, таких, что открытые множества
^(V) = {0: ПР/ — Т/П < 6/, 0 0/ < 1} попарно не пересекаются.. Пусть Ni, ..., Ni обозначают / натуральных чисел, a JV — множество целочисленных 1-мерных векторов n = (щ, ..., щ), 1 ^ п/ ^ Nj. Тогда для суммы
S (Р) = X а (°)е (п ‘ Р)>
ПЕЛ"где a(n)— комплексные числа, справедливо неравенство
X iW« X la^pn^ + S;1).
ПЕЛ’f=l 4 '* '
Доказательство. Без ограничения общности можно предполагать, что 0<б/<;1. Достаточно оценить двойственную форму.
Е ir(n)i2,
ne.f
гдеТ (п) = У, b (V) е (п • у).
V^r
Поскольку 1 — | А |/(2^ Для IА | ^ то
^ Е |Г(п)р< £ iT^pna-ift/^)), пеЛ”h/"1
|М<2ЛГ/ что после возведения в квадрат и изменения порядка суммирования принимает вид
ЕЕ ь^ь ^П(w IXе (nbi - Y/))Г уеГ у'еГ/=1 'п = 1'
Внутренняя сумма здесь есть
« min (NP || y; - У / Ц-1) « МД 1 + Л^/1| y; - Yy ||)).
Следовательно,
I I т (n) f « £1 6 M f ,§r П W (1 + "/ II v; - V/ II)- Д (5.24)
Пусть 0 < 6 < 1,
F$,6) = N или ^(l + Я₽||)-2
при ПРИ < 6 и ПРИ ^ 6 соответственно и
/(а,6)= {р: ||а-р|| < б, 0<р< 1}.
Тогда достаточно доказать, что
F (а, б) < б"1 $ F(p, 6)rfp,(5.25)
I (а, 6)
так как тогда из (5.24) следует, что
£ I т (n) I2« £ I ь (у) I2 £ (б,... б/)-* X пеЛ”ve Гу'е=Г
ХДГ J F(P, 6/)dp\.
V(vrv М )
С помощью замены переменных произведение интегралов записывается в виде
.i
$ П^(Р/ — V/, 6/ХЯМ/-!
так что, согласно предположению относительно й(у'), сумма по у' не больше чем
(б, ... б,)-Д(^(р-У/, бу)^).
Здесь /-й интеграл есть
« ^ d^ + J N (1 + ^₽)-2 d^ = N^ + (1 + Wd/)-1.
Обу
Остается, следовательно, установить соотношение (5.25). Если ||а|| ^ 6 и Цех — р|| < б, то
1 + Л^ПрП ^ 1 + W(||a|| + б) ^ 2(1+ jV||a||),
так что Е(р, б) ^ N (1 + Л^Ц р ||)~2 ^4" F (а, б), что дает (5.25) в случае IIаII 5$ 6. В противоположном случае ||а||<б можно предполагать, что |а|<6, и, более того, если необходимо, делая замену переменной, что а ^ 0. Если 0 ^ р < 0, то —6 < а — р < 6, так что каждое такое р лежит в /(а, 6) и F$, б) = N = Ё(а, 6). Отсюда
б"1 J F(p, б) с?р ^ N = F (а, б),
Па, 6)
что снова дает (5.25)..
Технический прием, применяемый здесь для оценки /(а), заключается в сравнении
Е lg(m> Р)|2$
с Js^N) посредством леммы 5.3 и подходящего выбора Ж. Пусть у («) = (?i («)Ya-i (m)). где
Y/(m) = Е — m^-1 ^^i^h — XV (5,26)
Тогда, согласно (5.19),
^к) (х — mV а = v^-D (%). y (/n) + хкак + Е а/ ( “ т^1-
Таким образом, для того чтобы применить лемму к сумме g, заданной (5.22), необходимо выяснить распределение Y/(m) по модулю 1.
Предположим, что 1 ^ х, у ^ N, х^ у, и определим
aM— нТaM— нТй+ 1/й+ 1/У — хУ — х(1</< Л < 6),(5.28) (1^ h < j < &).(1</< Л < 6),(5.28) (1^ h < j < &).
aM— нТ
aM— нТ
й+ 1/
й+ 1/
У — х
У — х
(1</< Л < 6),
(5.28) (1^ h < j < &).
(1</< Л < 6),
(5.28) (1^ h < j < &).
Заметим,, что а^-— целое число и ац = k\. Определим далее
рй = «Л+1(/г + 1) (^ —^)(5.29)
и т/ = ^!(т/И —Т/(у)). Тогда ввиду (5.28)
6-1
(5.30)(5.30)преобразо-преобразо-Т/ = к\ (Y/ (х) - Y/ (z/)) = £ £hahJ.
(5.30)
(5.30)
преобразо-
преобразо-
6-1/-16-1/-1Наша следующая цель — обратить это линейное вание. Положим
6-1
/-1
6-1
/-1
и В = А —&!1, где 1 — единичная матрица порядка (& —1)Х X (^—1). Матрица А является нижней треугольной, а В = = (6й/), где Ьщ = 0 при 1^/г^/<& и Ьщ = ahj, когда 1 ^ j < h <_ к. Таким образом, (5.30) можно записать в виде
т = рА.(5.31)
/-я степень В имеет вид
6-16-1
где Ь^= У ... £ bhixbixk... bit_x!.
Следовательно, 6)^— целое число и 6^ = 0, если h<_j-Vt.
Более того, согласно (5.28), ан/^ Nh~^ при h>j. Отсюда при h.^. j + t
••• X N^^N’''^ ... N’t-1-1',h it-i
j < jt-1 < ... < /2 < /1 < /г'
так чтоb^ <C Nh-i.(5.32)
Очевидно, что В6-1 — нулевая матрица. Таким образом, полагая J = й!1 и
D = Jfc~2 - J6"3B +.••+(- l)k-2Bk~2,
получаем
, AD = (В + J) D = J6"1 + ( - l)k-2Bk-i = (6|)k-4.
Поэтому ввиду (5.31)
tD = (^l)*-^,так что~6-26-1
+ 2 (-DW"2-' Z * ''1-1h=j+<'
Таким образом, согласно (5.32),
IW'P/IK ЕптЛ^Ч
h-i
Следовательно, в соответствии с (5.29) и (5.30) 6-1
||(<а/(х-у)||« £ IlY/M-Y/^ll^"^1 (2 </<£). h-j- 1
(5.33)
Предположим, что для некоторого /, 2 ^ / ^ к, существуют a, q, такие, что (а, ^) = 1, q ^ № и |а;-— a/q\^q~2. Пусть
L = min(<7, N).(5.34)
Тогда для каждого хе [1, Д] число уе[1,Л], для которых
ЦкГ^х-уИ <ЫН, ограничивается числом ye[l,L], для которых II (W) ка (х - у) /q\\ ^ N^i + OV) ьЬяЛ что не превышает R, где
R = ^k^Lq'1 + 1) ^qNx~i + 2 (k^Lq'1 + 1).(5.35)
Поэтому существует множество .X целых чисел №[1,Л], такое, что М = сагйЖ удовлетворяет неравенству М ^ ^L/(/?-|-l) и для любой пары х, у, хе Ж, уеЖ, х^у, \\(k\Y^x-y}\\>N^.
Согласно (5.33), для каждой такой пары х, у существует к, для которого / — 1 h ^ к — 1 и
.1Ых)-7/1(</)|| -»N-\
Теперь можно применить лемму 5.3 с к — 1 вместо к, с Nj = = sNi, с 6/ N'i, с Г = (v(m) = ^ G ^} и с
а(п)= ^ е((х|=++^)«6 + (х1 ++xs)P), Xv Xs
где сумма распространяется на решения xi, ..., xs системы уравнений
х^ + ... + х^ = nh (1 < h < к — 1)
с 1 ^ Хг ^ 2^. Следовательно, в силу (5.22), (5.27) и (5.6)
£ I S kmi Р) l2s ^ ^6-1) (2^0 N^-^i2.
Отсюда, согласно (5.23) и неравенству Гельдера, f (a)2s < №) (log 2МГОк-1> (2M) N^-^2.
Отсюда и из (5.34) и (5.35) вытекает следующая теорема.
Теорема 5.2. Предположим, что существуют числа j, a, q, такие, что 2 ^ j ^ к, |а/— a/^|^<7-2, (a,^)=l, q^N!. Тогда
f («) < ^”ъ (2Л0 N^-W2 (qN-i + W-1 + ^-^‘^log 2N.
Комбинируя эту теорему с теоремой 5.1 получаем следующую теорему.
Теорема 5.3. В предположениях теоремы 5.2
f (a) « N (№ (qTT1' + N"H q-^y№-vw log 2N,
гдет\ = -кк- 1)\-^rrJ •
В частности, если N <§; q <g^ Ni^, to
f^«N1-a\og2N, где
° = max (1 - г (^ - О2 (^r)') •(5.36)
Кроме того, 4ok2 log к ~ 1 при к ->- oo.
Все утверждения, кроме последней части, следуют сразу. Чтобы доказать последнюю часть, заметим, что при к ^ 3 максимум достигается при величине /, удовлетворяющей неравенству |/ — к Qog _2 ) ‘l^^’ где ^ — больший корень трансцендентного уравнения
.^=4(А!-1)2(^+1).
Теперь легко видеть, что к ~ 21ogZ? и
"2F”r+T f1 ^ ° (т)) '.
Несложные вычисления показывают, что при к "^ 12 теорема 5.3 дает более сильные результаты, чем лемма 2.4.
Малые дуги в проблеме Варинга
Пусть f(a) задана формулой (1.6). Тогда
1
О
есть число решений уравнения
X? + • • • + ^ = У? + • • • + ^
с 1 xh yj N. Отсюда
^t^^da^N^11"^1 JS(N\(6.37)
о
Пусть N, Р, ЭЛ, °11 такие, как в § 4.4, и пусть ш = °Ы\^. Пусть a е т. Выберем a, q такими, что (a, ^)=1, q^.n/P и |а — a/q\^ Pq-^rr1 (лемма 2.1). Тогда 1 ^ а ^ q, и поскольку а лежит вне больших дуг ЭЛ(а, q), то q > Р. Отсюда ввиду леммы 2.4 и теоремы 5.3
f (a) < N1"0^
где по = шах (о, 2’-*), а о задается (5.36). Таким образом, в силу теоремы 5.1 и (5.37) с заменой s на hl существует положительное число 6, такое, что каково бы ни было
s > 2^ (1 - Мк? + 2^/, имеем
J|f (a) |2sda« К25-кЛ
Объединяя это с (4.33) и теоремами 4.4 и 4.6, получаем следующую теорему.
Теорема 5.4. Пусть По = шах (о, 21-*), и пусть sq —наименьшее целое число, такое, что
So > min (^ (1 - X)1 + =lhlY(5.38)
Тогда асимптотическая формула (2.27) справедлива для любого s ^ s0. Кроме того, s0 ~ 4&2 log к при k-^-oo.
Несложные вычисления показывают, что so<2A+l, при к 11.
Верхняя граница G(k')
Изучение проблемы Варинга пока было сосредоточено на асимптотической формуле для числа решений уравнения
х* + ... + хк — п.
Однако Харди и Литтлвуд (1925) заметили, что величину s можно уменьшить, ограничив область изменения нескольких из переменных х,. Этот метод был позднее значительно разработан И. М. Виноградовым и Дэвенпортом.
Виноградов показал, что G(k) ^ £(log k) (С + о(1)) при к-*оо, и в течение приблизительно 30 лет было получено снижение допустимого значения С до 2. Достаточно простыми рассуждениями можно показать, что С можно взять равным 3. Дальнейшее уменьшение от 3 до 2 см. в гл. 7.
Пусть Z велико, положим
7,—lz= -Z1-1^
и пусть Qz(/n) —число решений уравнения
■ Х^ + . . . + X, m
с Z; < х, ^ 2Zj, Тогда сумма У, Qz (m)2 равна числу реше- 771
ний уравнения
х^ 4- ... + хк = ук + ... + ук с Z; < х,, У5< 2Zt. (5.39)
Поскольку
\xkv—ykv\>\xx—yx\kZ^-x и
|х26 +-y^<2^Zk+O(Z^<feZk-x,
то (5.39) может иметь решение только при xi = у\. Повторяя это рассуждение, получаем, что хг = Уз, Хз = уз и т. д. Таким образом,
У Qz И1 < ^ • • • Zt « ( У Qz (т)У (Z^.. ZtYx. tnX tn/
Более того, Zx... Zt*> Zk-kxx""vik')t и Qz^m') = 0, когда т>з-кгк4-оик-1\ .
Таким образом,'
у Qz Н1 ^(HQz <mY4-k+kvx-wt (5.40) m\ m/
И.
A?^ = 0 при m>^Zk.(5.41)
Приведенные выше рассуждения, кроме того, показывают, что Qz(m) равно 0 или 1, и дают множество J7 натуральных чисел т, не превосходящих Zk, для которого т есть сумма t к-х степеней и'
card Ж ■>(i-1/б/.
Таким образом, для сравнительно малого t, например Cktogk, мощность Ж можно сделать сравнительно близкой к Zk. Это построение, представляющее собой незначительную модификацию построения Харди и Литтлвуда, используется на малых дугах двумя различными способами. Во-первых, аналогично лемме Хуа (лемма 2.5) для того, чтобы сэкономить почти Мк, а во-вторых (и это является вкладом Виноградова), чтобы сохранить небольшой запас для получения неравенства, подобного неравенству Вейля (лемма 2.4), но более эффективного.
Пусть
Н (а) = X Qn к^е («т),(5.42)
т
Тогда, согласно тождеству Парсеваля и (5.40),
J | Н (а) |2 da « И (О)2 N”k+k (Ьа/6,<.(5.43)
о
Следующий результат в значительной степени принадлежит И. М. Виноградову (1947).
Лемма 5.4. Пусть
У(«) = X X bye(apky),Хр<р<Х у<У
где by — произвольные комплексные числа. Предположим, что а = a/q + 0, | 0 |<4q~xX~k, q ^ 2Xk, (a,q)—i, что Y^> Xk и что если q X, то || 0 || » q-xXx^kY-x. Тогда
У (а) < (XY1+6 X |6у|2У/2.
Заметим, что описанные ниже рассуждения легко могут быть видоизменены, так что интервал суммирования [0, У] для у заменяется произвольным интервалом длины Y.
Доказательство. По неравенству Коши
У(а)2«Х X I У М«Л)Г- (5.44) Х/2<р<Х|у<У *|
При (Л, q^ = 1 число J решений сравнения
xk a h (mod 9)
оценивается в виде 7 С qe. Следовательно, существует L <. q®, такое, что простые числа р, удовлетворяющие условию Х/2 < р ^ X, можно распределить в L классов ^, ... .94 так, что для двух различных простых pi, р2 в данном классе ^j выполнено р^ = р^ (mod р) тогда и только тогда, когда pi = p2(mod qY
Рассмотрим два таких простых числа р\ и р2. По предположению
11“ (Р? - Р^ II > ||« (Р? - РкЖ - 4 ^Х'^ > I q-X
при условии, что pi # p2(mod р). Когда q > X, элементы S3/ несравнимы по модулю q. Поэтому для ре?, арк отличаются по модулю 1 друг от друга по крайней мере на 4 р-1- Следовательно, в силу одномерного случая леммы 5.3 (неравенство большого решета)
Е I Е Ьув^уЙ2 <Y £ ц, р,(5.45)
XP<p^x\y<Y UI у<У U
pe^i
и лемма легко следует из (5.44).
При q ^ X рассуждения могут быть изменены следующим образом. Предположим, что pi = p2(mod qY но pi =# pi- Тогда по предположению
“ (Р? ~ Р2) | = I Р (Pf - Р2 ) || = I Р 11 Pl - Р2 | >
> q'^-^pi — рг\-
Теперь |pi — p-z\^ q, так что в комбинации с предыдущим это показывает, что ар* по модулю 1 находятся на расстоянии ^>У-1. Следовательно, по лемме 5.3 сразу получается (5.45) и лемма 5.4.
Пусть X = Nx<\ У = X* и
(“) = Е Е Qx (У) в WyYXR<p<X у
Примем обозначения § 5.3 и предположим, что а е т. Возьмем a, q такими, что (a, q) = 1, q ^ 2Х*, | а — a/q | ^ 4 ч 'Х X Х-к. Тогда 1 ^ а ^ q, и, поскольку а не лежит на большой дуге, когда q ^ N, сразу имеем | a —a/q | 5> q-XNv~k> ^ q~xXx~kY~l. Таким образом, по лемме 5.4, (5.40) и (5.41),
Г (а) « Г (0)(^*»1-w'-i+«)1/4..
Следовательно, ввиду (5.43) и (1.6)
J / (a)te Н (а)2 IF (а) е (- an) da < Н (О)2 IF (0) n3+s-’,I
где
Таким образом, если t взять таким, что
/>(lOg5^)/(-log(l-l.)),(5.46)
то отсюда следует, что существует положительная постоянная 6, такая, что
j / (а)46 Н (а)2 IF (а) е (- an) da ^ Н (О)2 IF (0) о3-6.(5.47)
Теперь
Н (а)2 IF (а) = Е Q* (т) е (ат),(5.48)
ГП
где
Q* Н = Е Е Е Е Qn W Qn (т2) Qx (у).
Ш' т-1 ХГ2<р^х у mt + m.+o^g—m
Согласно (5.41), Q*(m)=0, когда т > ^п. Поэтому по теореме 4.4 и (4.6)
/ (а)4* И (а)2 W (а) е (— an) da =
= ^ Q* (т) ^ f (а)4& е (— (п — т) а) da > п3 ^ Q* (т). т эдт
Следовательно, ввиду (5.47) и (5.48)
j / (а)4" И (а)2 W (а) е ( - an) da > п3Н (О)2 Г (0) > 0.
С другой стороны, левая часть есть число решений уравнения *?+...+ л:^ + ^ +...+ ^ + z* +...
... + Z^ + Ps (wf + . . . + w^ = n с X], у], Zj, Wi, p при соответствующих ограничениях. Поэтому G (k) < 4A + ЗЛ
Оптимальным вариантом t в (5.46) оказывается / ~ к log к. Таким образом,
G(k) ^ ^(logк) (3 + о(1)) при к-> оо. (5.49)
Упражнения
Покажите, что, если S’— последовательность натуральных
чисел U, такая, что ряд У, 1//6 сходится, тогда для каж- 6-1'
дого е и к0 существует ki, такое, что если А^Х)— число натуральных чисел п с п ^ X, которые могут быть записаны в форме
с неотрицательными целыми хь, то А(х) > Л'-^Х > > Хо (е, ко)).
[Freiman’s hypothesis, 1949; Scouzfield, 1960]. Пусть S’— последовательность из натуральных чисел U. Покажите, что свойство: для каждого ко найдется к\, такое, что любое натуральное число п может быть записано в виде
с неотрицательными Хк, имеет место тогда и только тогда, когда ряд У \jlk сходится.
6=1
Пусть So такое же, как в теореме 5.4. Покажите, что для 2s ^ so
<7
Е 7 Е Н^)Г «WWs"k.
Q<q<R а=1
(a. q)=l
Примечания редактора
1'1 Теоремой Виноградова о среднем называют теорему 5.1, которая дает точную верхнюю границу JS(X) при s > ск2 log к; нетривиальная оценка 1ДХу например ZS(A) ^ k!X2s-k — первый шаг индукции на с. 65.
I2' Неточное замечание, см., например, доказательство И. М. Виноградова [1], с. 54.
® В оригинале формулировка леммы несколько иная.
I4' Доказательство теоремы о среднем с оценкой с(к, Z) ^ £26326и (£Z)26z см. в статье Архипова Г. И. Карацубы. А. А. (1978) с. 762.
Вели решения у, указанной системы сравнений являются перестановками хг, то решения уг системы уравнений тем более являются перестановками х„
6
Методы Дэвенпорта
Множества сумм к-х степеней
В § 5.4 было показано, что верхнюю границу G(k') можно существенно уменьшить прежде всего при помощи построения множества v< натуральных чисел, не превосходящих Zk, являющихся суммами t к-х степеней. Это построение дает card Ж ^ zka, где а=1—(1 — W^Y, и представляет собой незначительное упрощение конструкции Харди и Литтлвуда (1925). В самом деле, они строят Z, так же, как и выше для / = 1, ..., t—1, но полагают Zt = Zt-\. Рассуждения проводятся, как и ранее, до (^— 1)-го шага, когда (5.39) сводится к■
^_i + ^ = ^_ri-^.
Для каждой заданной пары yt-л, yt число вариантов xt—x, xt есть С Z®. Следовательно,
HQzW^Zv ... z^zY6^ т
с ^Qz^4zx ... zt_xzVYyx*
Кроме того,’ '
■ Zx .. . Zt » ^-(fc-axi-W-2. '
Отсюда по неравенству Коши
У j >26-(6-2H1-№<-2-ei т
Qz(m)>0
Пусть NtY) означает число натуральных чисел т, не превосходящих X, которые являются суммами не более t к-х степеней. Тогдад
ад>Хаг‘ (X>X0(G е))(6.1)
с
Заметим, что аг — 2/к.
Имеется ряд усовершенствований этих рассуждений, которые эффективны при таком способе улучшения оценок
сверху для G(&), когда к сравнительно мало. Следующая теорема является обобщением результата Дэвенпорта и Эрдеша (1939).
Теорема 6.1. Пусть / ^ 3, 0 — 1 — \/к,М = 1,
2
. 62 — к — 1 щ-з
и Q^m^ обозначает число решений уравнения
Тогда
%?+... + xt=m с Zxi <Xj<2Zxi.
(6.3)
^Q^nf < zM-"+4+e.
Следствие. Неравенство (6.1) справедливо с at = 1—р, еде
й3 - 3£2 + £ + 2 ;_3 йЗ+А2_А2е(-3О
(6.4)
Это следствие получается использованием неравенства Коши тем же путем, что и выше.
Доказательство теоремы. Пусть Ms — число решений уравнения
4 + ... +^ = yf+ ... + ^(6.5)
с 2Л/ < Xj, у] < 22х/ и х$^ ys. Поскольку Mi = О,
t
yQH^ 2 44sZXs+1+-+X< + Zx'+-"+xC(6.6)
ms=2
Кроме того, Мг — число решений уравнения
— z/f = ^ — у^
с Xi =/= у^ и Zi < х/, yj < 2Z1. Для каждой заданной пары Хч, уч (х2 N= уч) число возможных значений Xi, ух есть <^Ze. Отсюда
Ml < Z^6 « Z^^.(6.7)
ДЛЯ S 5? 3
М$ = М; + 2М",(6.8)
где М' — число решений (6.5) с дополнительным условием Xi = уь а М"— число решений с Xi > yi. Тогда
Ms « ZX,LS,(6.9)
где Ls есть число решений уравнения
X) + , ■ . + Хкд = ук + . . . 4- ук.
(6.10)
Для данных х2, ..., xs число у2, ..., уs есть <1 (ср. с § 5.4). Таким образом,
4 <Z^+-"+^-(6.Н)
Теперь рассмотрим М". Число значений х2, у2 есть <С Z2?-< Для любого такого набора уравнение (6.5) превращается в
х^ - у’- + А + f ^ - у^ = 0,(6.12)
где А фиксировано. Пусть h = хх — ух. Тогда хк — у* > hZk-'. К тому же
^ + S — у,) < гкч/=з 1 и
Отсюда 0 < h С Z^2-^+! и (6.12) можно переписать в виде
А + (ух + hy - ук <Zk4(6.13)
Для заданного К пусть у и у + /— два возможных значения ух, для которых выполняется оценка (6.13). Тогда
(</ + /' + /г)' - (У + if - (У + Kf + yh « Zk\
откуда hjZk~2 <^ZkK\ Таким образом, число возможных значений для у\ есть
« 1(6.14)
Для данных Xi, ух (6.12) принимает вид
^i+S(^-^) = 0,(6.15)
где Ах фиксировано. Число наборов у$, ..., ys_x есть <ZXi+"’+Xs-, и для каждого такого набора число наборов Хз, ..., х$-1 есть <^ 1 (заметим, что х^ + ... + хк <^ Z?-s и что в интервале длины ZKS имеется <^;1 значений х| и т. д.).
Для заданных z/з, ..., ys-x, х3, ..., xs-i (6.15) переписывается в виде
.А2А" хк — ук = О,
где А2 фиксировано, и, так как xs ^ ys, количество наборов xs, ys есть cZe. Следовательно, в силу (6.14)
М" < Z^1^(1 + Z6X,-6+2A-1) zXs+-+xs->+^
0<h ^Z^M-h^- ]
Таким образом, ввиду (6.8), (6.9), (6.11)
Ms <( 2Х1 + '"+>-3 -|_ ZZX2 (^feX2-fc+1 | ^^3-6+2) ^^з+'-' + ^-Н2®,
Теорема следует теперь из (6.6), если заметить, что для S = 3, ..., Z (^ —[— 1) Хг — к <§С Xs и Хг 4~ ХХз — к ~р 1 ^ Х$.
Следующая теорема принадлежит Дэвенпорту (1942а).
Теорема 6.2. Предположим, что 1 ^ / ^ /? — 2, 0 < v < 1, 54 — множество натуральных чисел а, а ^ Zv+6-1, S = = card^Z, Q(m)— число решений уравнения
хк + а = пг
с Z < х < 2Z, а ^ 54 и Т = ^Q (m)2. Тогда пг
Т < zs (i + Zv+e (Z-2 + Z-V"/"*S)2"O.
Доказательство. Пусть А/ такое же, как в § 2.2, и
^i = (h: hj > 0; hx <_ Zv; hi, ..., h, < Z}.
Пусть p/(h, m) обозначает число решений уравнения
А/(х*; h) + а = пг с Z < х < 2Z, иеД (6.16)
иМ,= £ Е P/(h, а).(6.17)
h г ?8j a g Л
Очевидно,
T^ZSA-MX(6.18)
Согласно неравенству Коши,
A4/<Zv+,-1S £ S P/(h, о)2.
h е 3^1 пеД
Двойная сумма является числом решений уравнения
. A, (xf; h) + а, = Ау (х^; h) + а2 = а
с Z <_ х\, Х2 < 2Z, ах е 54, а2е.54, а ^54, Не ^у. Так как элементы s4 различны, эта величина <§;Mj + Л4у+ь Отсюда
М; < ZV+/-1S+ (Zv+/-1SA1/+1),/2.
Таким образом, индукцией по / получаем
М1 « г^1-21'^ + Z^i^ (1-2-/)-/2-/$1-2-/м2-/.(6.19)
По определению (6.17) Л4у+1 есть число решений уравненияД/+1(х6; h)+ai = а
с Z < х < 2Z, he 5^/+i, oie^, a^s4. Из упражнения 2.1 следует, что при / ^ к — 2 для каждой пары ai, а число наборов х, h оценивается как <<Ze. Таким образом, М-1+х <' 5s 52Ze, Теорема следует теперь из (6.18) и (6.19).
Теорема 6.2 обычно применяется повторно для получения понижений границ Nt^ для последовательных значений t. Вообще, пусть ^ означает строго возрастающую последовательность натуральных чисел а, обладающую тем свойством, что
А (X) = card {а: ае^, а ^ X}(6.20)
удовлетворяет неравенству
Д(Х)>Х“-Е(Х>Х0(е)),(6.21)
где 0 < а < 1, и пусть N^, X) обозначает число различных чисел вида хк + а с условиями хк + а ^ X и а G ^. Пусть Z = ^-Х1'*. Тогда в обозначениях теоремы 6.2
х)> £ 1,m
и по неравенству Коши
I m\ m /
\Q(m)>0 /
где S =A(ZV+*-1). Отсюда в силу теоремы 6.2
N ^, X) >ZS (1 + Z^£ (Z~2 + Z^-HVSy-iy\
Таким образом, по (6.21)
N^,X)>X^(X>X1(e)),(6.22)
гдеp =-1(1+a(& — 1) + т)
и
т = max sup. (min (va, 21-/— v (1 — a), !</<6-20<v<l
(/+ l)2-/-(&- l)a2”/-v(l — a) (1 — 2-/)))-
При / + 1 ^ (^—l)a упомянутый выше супремум неположителен, поэтому максимум достигается для значения / с условием /+1 > (^—1)а. Для такого / супремум имеет место, когда v есть наименьшая из двух следующих величин:
va = 21-J — v (1 — а),■
va = (/ + 1) 2-/ — (/г — 1)а2-/ — v(l — а) (1 — 2-/),
т. е.т. е.v = 2'-/, ^ = 1±-^^1»
т. е.
т. е.
2/ — 1 + а
/ + 1 — (6 — 1) а \ 2/-1 + а )/ + 1 — (6 — 1) а \ 2/-1 + а )mini 21’ /mini 21’ /Таким образом, т = а max 1</<6-2
/ + 1 — (6 — 1) а \ 2/-1 + а )
/ + 1 — (6 — 1) а \ 2/-1 + а )
mini 21’ /
mini 21’ /
Рассмотрим неравенство
/ + 1 — (/г — 1) а ^ / — (/г — 1) а.
2Z — 1 + а 2/"1 - 1 + а '
Оно эквивалентно каждому из следующих неравенств:
21 - / > / + 1 — (А — 1) а2/ - 1 + а ’
1 +(&- 1)а>/ + 21-/(1 — а).(6.23)
Правая часть (6.23) является строго возрастающей функцией j. Таким образом, если / — наибольшее значение j, при котором неравенство (6.23) выполняется, то
а если таких значений j нет, т. е. если а< 1Д, то т — а. Мы доказали следующую теорему.
Теорема 6.3. Предположим, что з£- удовлетворяет условиям (6.20) и (6.21). Пусть H — [{k—1)а], a J — Н -^1, когда
2нЦк—1)а — Д) ^ 1— а, и //4-1^ к — 2
и J = Н в остальных случаях. Тогда N(s#-,X) удовлетворяет неравенству (6.22) с
р-Г(1+<,(6-1) + «/ + 1,-<‘-,>”).
когда а \/к, и ₽ = \,к Ц-' а при а < 1Д.
В случае четвертых степеней полезно иметь небольшое улучшение этого результата. Если считать Q(m) числом решений уравнения m = х4 + а с Z < х < 2Z, х = г (mod 16), а е ^, а ^ Zv+3, то предыдущие рассуждения изменятся незначительно. Также в сущности не меняются рассуждения, дающие (6.1) и (6.2) при ограничении каждого х( заданным классом вычетов по модулю 16. Таким образом, справедлива
Теорема 6.4 (Дэвенпорт, 1939с). Пусть N^tX) обозначает число натуральных п, не превосходящих X в классе вычетов h по модулю 16, которые являются суммами t четвертых степеней. Тогда для t ^ 2 и 0 ^h ^ min(/, 16)
nT (X) > Xct-E (X > Ху (8, 0),(6.24)
13 + 13а,
где«>=2-.«/+1 = !2 + 4а' *<6‘25>
5 частности,
193315539,„
28’а4— 412’ “5~ 6268’(6.26)
Дэвенпорт (1942а) усовершенствовал рассуждения из теоремы 6.2, которые, в частности, эффективны при к — 5 или 6. Пусть в предположениях теоремы 6.2 Q(m) означает число решений уравнения
хк-Урка — т(6.27)
с Z < х < 2Z, a ^Z^6-1, 4 Z'~v < р4 < Zl-V, p ф x. Пусть также Q(m,p) обозначает число решений (6.27) для данного р с Z << х <. 2Z, а ^ Zv+t-1, р^х. Тогда, по неравенству Коши, для
' T=T,QM2
справедливо неравенство
2 Q (т, рУ,m р
где Р— число простых р, таких, что 4^1-v < Рк < Z1-v. Для заданного простого р и целого г с р -V г число решений сравнения xk = г (mod р6) равно 0 или (&, ф(р6)). Таким образом, целые х с условием р ^ х можно распределить по р(р) = (^, ф(рй)) классам Й\, ..., ^^ так, что если х и у принадлежат данному классу Slr, то х6 = z/ft(modp6) тогда и только тогда, когда х = у (mod ркУ Пусть Qr^m, р) означает число решений уравнения (6.27) с Z<x<^2Z, a^Zv+ft-1, х g 91г. Тогда по неравенству Коши
Z4W\2
Т<Р% El S Qr^m, р)) <m р хт)—1/
< кР Z 2 X Qr (m, рУ.•
где Qr(m., р) полагается равным 0 при г>р’(р). Тройная сумма ограничена числом решений уравнения
xf + рках = Х2 + ркаъ
где Xi = x2(modpft), и хь х2, ai, a2, р удовлетворяют тем же условиям, что и прежде.
Пусть А/ — такое же, как и раньше,
— (h: hi > 0; hx < 2ZV; /i2, ..., hj< Z}.
Пусть p; (h. m, p) означает число решений уравнения p-к^lVxк; pkhx, hih^-Va = m
ИMj = X S S Р/ (h, a, p).
p h 67 Л^у иг Л
(6.28)(6.28)ч72 t Zj 2 f Zч72 t Zj 2 f ZPl • • • Р/^Pl • • • Р/^Z0!(2/1 + l)!...(2/.+ l)! 1Z0!(2/1 + l)!...(2/.+ l)! 1zo+2 (zi+ ••• +z/) = fe_lzo+2 (zi+ ••• +z/) = fe_l
(6.28)
(6.28)
ч7
2 t Zj 2 f Z
ч7
2 t Zj 2 f Z
Pl • • • Р/^
Pl • • • Р/^
Z0!(2/1 + l)!...(2/.+ l)! 1
Z0!(2/1 + l)!...(2/.+ l)! 1
zo+2 (zi+ ••• +z/) = fe_l
zo+2 (zi+ ••• +z/) = fe_l
Тогда, как в доказательстве теоремы 6.2,
Т <^P(PZS + MV)
Mj < Z'+I-'PS + <Z^+i-xPSMi+xf\
Таким образом, если можно показать, что МУ+1 « S^Z\
Т ^PZS(1 +Zv+s(Z-2 + Z^-,"1P-1S)2 9(6.29)
и дополнительный сомножитель Р-1 во внутренних скобках дает улучшение теоремы 6.2.
Вероятно, оценка (6.28) справедлива при всех j ^ к— 3, но доказать это в общем виде, по-видимому, довольно трудно. Она, однако, может быть получена для некоторых значений /. Рассмотрим центральный разностный оператор V/, который можно определить в терминах А/ как
М(а); Рь .... p/) = A/(f(a-4pI- ... — 4 Р/) pb .... рд
Тогда
VyV; р!р;) =
0|=±10у=±10|=±10у=±1Vj—т1 иу — з:*Vj—т1 иу — з:*= £ ... £ ^ ... б^а+^^р^ ... +±0^4 =
0|=±10у=±1
0|=±10у=±1
Vj—т1 иу — з:*
Vj—т1 иу — з:*
Если к — / нечетно, то /о ^ 1 в каждом члене, так что
гдегдеV/(afe; Pi, •... p/) = apl ... p/рДа; pb . .., рД
где
где
р; (а; рь ..., р;) =
(Z0+l)!(2Z1 + l)!...(2//+l)! •
Если к — / = 2, то
V;(«6: рр ру) = р_ p.-^(12a2+p2 + ... + р2).
Число Mj+x теперь можно снова интерпретировать как число решений уравнения
p-feVy+i(a*; hvpk, hiA/+i)+ «i = «2
c a = x + 4"h\Pk + ••• +-7^/+i’ При нечетном и положительном к — / — 1
р”к^1+х(ак; hxpk, h2A/+i) =
= ahx h^p^a; hxp\ h2, .h^,
что положительно. Для данных й], а2 число наборов для a, hx, .. , hj+x, т. е. для х, hi, h/+i есть <^Ze. Если, кроме того, к — /'—1^3, то pi+x^a; Pi, .,., p;+i)— полином от Pi степени не ниже 2. Таким образом, для заданных йц й2, ct, hxh^x количество значений p есть <^1. Следовательно, в этом случае имеем (6.28).
При к — j — 1 = 2
p-AV/+1(afc; hxp\ h2, ..., /г/+,) =
— hx ... ^+i^(12a2 + « + ^ + •■• +^+l).
Для данных йь й2 число наборов hx, ..., h^x оценивается величиной <£Хе. Тогда при заданных ах, а2, hxh^x количество наборов для а, р, т. е. для х, р, снова <§^Хе, так как число решений уравнения Зи2 4- и2 = m есть <тЕ. Таким образом, для j — k — 3 оценка (6.28) также имеет место.
Теорема 6.5 (Дэвенпорт, 1942й). Предположим, что 1 ^ ^ j ^ к — 4 и к — j четно, или j — k— 3. Предположим далее, что 0 < v < 1 и 54 — множество натуральных чисел а, а ^ Zv+/£-1. Пусть Q(m) обозначает число решений уравнения
хк + Рка = m
с Z < х < 2Z, ае 54, 4-Z1-v < pk < Z1-v, р Т х, пусть Т = = ^m Q (т)2, и пусть S = card s4. Тогда
Т « P2ZS (1 + Zv+e (Z“2 + Z-^-’-tp-'s)24),
где P— число простых р, таких, что -^ Zl~v < pk < Z1-v,
Следствие. Предположим, что неравенство (6.1) выполняется, 1— 4 и к — / четное или что j = к — 3. Тогда
jVm(Z)>Xa,+1~E (Х>Х0(/+1, е))
сa<+i = -^ (1 + а< (к — 1) + Ту)
Это следует из теоремы 6.5 так же, как теорема 6.3 следует из теоремы 6.2.
Предположим, что к = 5. Тогда (6.2) даета2 = -|-> вышеприведенное следствие дает
16 4~ 85с^2з
= 5(16 + 5^) ’ . К0ГДа Т
а теорема 6.3 дает
7 + 33а;3
5 (7+^J ПРИ Отсюда
Теорема 6.6 (Дэвенпорт, 1942a). При к = 5 неравенство (6.1) имеет место с
255696 913 439 ,.
а2— 5 > «39 , а4 845 ’ а8 — 7 576 Ц5 (> 0,91253).
Пусть теперь к = 6. Тогда уравнение (6.12) даета2 = у, следствие из теоремы 6.5 дает
19 + 120Оуj1д
a/ + 16 (19 + 6a,)- ПРИ Т “1 <
43 + 246af192
a/+1 “ 6 (43 + Gay) ПРИ "42" ^ at < Т ’
а теорема 6.3 дает
15 + 81a,2
a/ + l = 6(15 4-a#) ’ 6СЛИ ~^al<l’
Отсюда
Теорема 6.7 (Дэвенпорт, 1942a). При к = 6 неравенство (6.1) справедливо с
5549 575 117а5 8379 ’ а6 787 182 ’5549 575 117а5 8379 ’ а6 787 182 ’(> 0,94891).(> 0,94891).159 1661а2— 3’“з 126’“4— 2886 ’
5549 575 117
а5 8379 ’ а6 787 182 ’
5549 575 117
а5 8379 ’ а6 787 182 ’
(> 0,94891).
(> 0,94891).
_24 040 980 990 984 981
“1325 335 323 032 000 606
G(4) = 16
Здесь полезно ввести обобщенную функцию
А(а) =2е(н^)(6.30)
Х<х С 2Х
и соответствующие вспомогательные функции .
w(a) = У -р x1/6-1e (ах)(6.31)
Х^<х <(2Х)Й
иW (а, q, а) = q~xS (д, a)w(a — a(q\(6.32)
где S(<7, а) определяется формулой (4.10). Следующая лемма является непосредственным следствием теоремы 4.1 при п = [2Х]к и п = [Х]\
Лемма 6.1. Предположим, что {a,q}=\ и a — a/q-\-^>. Тогда
W,q, a)^qW2+p\ +xfep\), (6.33) и если, кроме того, | Р | ^ (2£<7)-’ (2X)x~h, то
А (а)—ИДа, <7, а) <§; </1/2+е.(6.34)
Одна из причин такого выбора А (а) состоит в том, что он больше подходит в контексте § 6.1. Другая причина раскрывается следующей леммой, которая показывает, что h(a/q-V + р) убывает как ||р||-1 при возрастании ||р||, а не как ||р|М1/А, что имело место в случае Pa/q -ф Р) (см. лемма 4.6). Обычно это не существенно, но часто может способствовать уменьшению технических трудностей.
Лемма 6.2. Пусть |р|^у. Тогда
гу(Р)« Х(1 +ХДр|)-‘.
Доказывается тем же способом, что и лемма 2.8. Отсюда и из теоремы 4.2 непосредственно следует
Лемма 6.3. Предположим, что (q,a)={. Тогда
W(,a/q + Р, q, а) « Xq-vpi + Х^НРИ)-1.
Следующая теорема принадлежит Дэвенпорту (1939с) и до сих пор является лучшим известным результатом для четвертых степеней. Упражнение 2.2 дает G(4)^16.
Теорема 6.8. Предположим, что пфО или —1 (mod 16) и п достаточно велико. Тогда п является суммой четырнадцати четвертых степеней.
Следствие. С? (4) = 16.
Доказательство теоремы 6.8. Выберем hi, h2, j такими, что hi + h2 + j = n(mod 16), 0 ^/i! ^ 4, 0^/i2^4, l^/^6 Пусть^"rSf- X = ^nW,(6.35)
и пусть ^(/г) означает множество натуральных чисел а, таких, что а ^ X3+v, а = /i(niod 16) и а есть сумма четырех четвертых степеней. Далее, пусть
Vr(a) =£ е (аа).
а с Л 0Г)
Тогда по теореме 6.4
Иг(0)>^"Е, и=^.(6.36)
Согласно (6.30) (с к = 4), i
J | h (a) Vr (а) |2 da = ^ Q (т)2, 0tn
где Q(m) — число решений уравнения'
х4 + а = иг
с Х<х<2Х и ае^(/гг). Отсюда в силу теоремы 6.2 с к = 4, j = 2
1
J I h (a) Vr (a) I2 da < XV r (0) (1 + Г+б (xX^ + X^X (0))1/4).
0
Следовательно, no (6.36) и неравенству Коши
Jlft^^aH^lda^xV^O)^^^ у = ^. (6.37) о
Определим большие дуги ^l(q, а), полагая Р = (2Х)/(2/г) = = Х/к и
W(q, а) = {а: |а — a/q\<Т Pq-'n-'}.
Пусть ВД— объединение всех ВД(q, а) с 1 ^ а ^ q ^ Р И (a,q)= 1. Тогда ЭД^,а) не пересекаются и лежат в интервале °ll = kPtv-x, 1 + Рп-1].
Пусть ш = °11\ДД. В силу неравенства Вейля (лемма 2.4) и рассуждений, использованных при доказательстве теоремы 2.1,
/i(a)<X7/»+e (оев).
Отсюда ввиду (6.35) и (6.37)
.^(а^УД^УгфМа^п^-бу^уд^^^ (6.38)
где б — подходящая положительная постоянная.
Как и в доказательстве теоремы 4.4, для 1 ^ m ^ п получаем
^ h (a)6e (— am) da — I ^пг) ^ (m) + О (nI/2-6),(6.39)
где
Цт) =£• • • X 4“6(xj ... х6Г3/4,
x*<^ sg w х'<хь ^(гхг
X;+ ... + ХЬ = Ш
a ®(m)— особый ряд, определенный в теореме 4.3. Легко проверить, рассматривая xi, ..., х5 с условием Л4 < х, ^ С 2Х4, что
Цт) ^> п1р при ^п<пг<,п.(6.40)
Согласно лемме 2.15, при $ = 6ир>2 имеем М*1П(р’1) > 0. Кроме того, при s = 6, р = 2 и т = j (mod 16) с 1 ^ / ^ 6 из определения М*т в § 2.6 тривиально следует, что М*т (2Y) > 0. Отсюда в силу теоремы 4.5
©(т))^! при m = /(modl6).
Если т = и — 01 — а2, аг е ^^кг), то т удовлетворяет условиям -^п<т^.п Hm = /(modl6).
Следовательно, ввиду (6.39) и (6.40)
J h (а)6 У1 (а) У2 (а) е (- иа) da = I (п) + О (n^Vi (0) У2 (0)),
где J(n) )$> м1/2У1(0) У2(0). Поэтому, согласно (6.38), для
1
R (д) = ^ h Rif1 У ] (а) У 2 (а) е (— an) da о
имеет место неравенство
R(n)»nl/2Vi (0)У2(0)>0.
Следовательно, п является суммой четырнадцати четвертых степеней, что и требовалось доказать.
. Оценки Дэвенпорта 6(5) и 6(6)
Теорема 6.9 (Дэвенпорт, 19426). 6(5) ^23, 6(6) ^36.
Доказательство этого результата подобно доказательству теоремы 6.8, но несколько проще. В этом случае достаточно применять обозначения § 4.4, так что имеют место формулы (4.29), (4.32).
Пусть г = 7, t = 8 при к = 5 и г = 10, t = 13 при к = 6. Далее, пусть ^ обозначает множество натуральных чисел а, не превосходящих -§- п и являющихся суммами t к-х степеней, и
У(а) = £ е(аа).
В силу теорем 6.6 и 6.7
^|У(а)|2с?а<У(0)2п-ч о
где ц = 0,91253 при 6 = 5 и р = 0,94891, если к = 6.
Пусть m = t?/\9)l. Тогда по неравенству Вейля (лемма 2.4)
J | / (a)r V (а)2 |tZa < пДь-х'ьУ (О)2,(6.41)
где б — подходящее фиксированное положительное число.
По теореме 4.4 при 1 m п
^ f (а)г е (— am) da = Cmr/6-1S (т) + О (/г^-1-6), (6.42)
где С — положительное число, зависящее только от к и г.
Из леммы 2.15 с s = г, к = 5 или бил, замененным на т, имеем MmW > 0. Отсюда по теореме 4.5 <S(m)5> 1. Из соотношений (6.41) и (6.42) теперь легко следует, что
1
f (a)r V (а)2е (— an) da » nTlk-xV (О)2 > О, о
и, следовательно, 6(6) ^ г ^- 2/ при 6 = 5 или 6.
Упражнения
Покажите, что для X > Хо .NlS(X) >Х°.9668 при 6 = 7,
Ns^X) > №8 при 6 = 8,
Выведите, что 6(7) ^ 53') , G (8) ^ 73.'
(Дэвенпорт, 1939а). Пусть Q(m) означает число решений уравнения m = х3 + У3 + 23 с Z < х ^ 2Z, Z4/5 <С у ^ ^ 2Z4/5, Z4/5 < г ^ 2Z4/5. Покажите, что
X Q И2 < 213/5+Е.т
Выведите, что (i) G (3) ^ 8 и (ii) почти каждое натуральное число есть сумма четырех положительных кубов.
(Дэвенпорт, 1950). Покажите, что при & = 3
Na^>X"^ (Х>Х0(е)).
9 Отметим, что в обосновании утверждения 0(7) ^52 [Sambasiva Rao, 1941] допущена арифметическая ошибка,
7
Верхняя оценка ОУ^
И. М. Виноградова
Некоторые замечания к теореме Виноградова о среднем
В этой главе сохраняются обозначения гл. 5.
По определению (5.3) 1^\Х, 0, h) есть число решений системы уравнений
2(^ —^) = /г/^ ^^^ с ^<хг,Уг<;Х.(7.1)
Эта система несовместна при \hj\^sXi для какого-либо /. Следовательно, в силу неравенства (5.4)
£ /(Л (X, 0, h) < Хк (X).(7.2)
С другой стороны, в левой части (7.2) подсчитываются все решения системы (7.1), где h рассматривается как дополнительная переменная. Таким образом,
/$(Х) _» Х^^+О/а.
Напомним, что Л(Х) есть число решений системы
Е (4 — У'г) = 0 (1 </<£) С 0<хг, уг<Х. (7.3)
Очевидно, число TS(X) «тривиальных» решений, получаемых при выборе в качестве у, перестановки хг, удовлетворяет неравенствам
[Х]^ Л(Х)^з!ХТ”
Таким образом,
Js (X) » max (X2s-& (6+1)/2, Xs),(7.4)
что указывает, между прочим, на наличие «нетривиальных» решений системы (7.3), когда s>4^(^+ 1) и X достаточно велико. Дальнейшие комментарии см. в § 29 Хуа (1959).
Можно предположить, что, если к О 3 при Х-^-оо, /ДХ)~С51^пах(Х2з~м™ Xs).(7.5)
Хотя этот результат, вероятно, лежит очень глубоко, его можно получить, во всяком случае, при достаточно большом
s111. Достигается это путем применения метода Харди — Литтлвуда к ^-мерному единичному гиперкубу ^. На малых дугах применяются теоремы 5.1 и 5.3, которые можно считать аналогами леммы Хуа и неравенства Вейля соответственно [2]. Для больших дуг необходимо получить асимптотическое приближение общей функции
/ («) = X е (а1^ + • • • + aAxfe)(7.6)
и оценить соответствующие вспомогательные функции
х
Z(P)= $ e(0lY+ •+ 0aY6)^Y,(7.7)
6
S Vb a) = S (q, ob ..., a J = £ e ((«^ + ... + ak^[qY (7.8) X = 1
Предварительные оценки
Многое из материала этого параграфа принадлежит Хуа (1940а, 1952, 1965).
Здесь удобно напомнить определение: полиномиальное сравнение
Ф (х) = Ьо + Ьхх ф- ... 4- bkxk в= 0 (mod р)
имеет корень хо кратности ш, если ф(х) = (х— хо)тф1(х) + + рф2(х), где фДх) и фг(х)— полиномы, такие, что р ф фДхД
Теорема 7.1. Предположим, что (q, ах, ..., ak) = 1. Тогда
S(q, а) <§1 ^i-1/А+е.
Доказательство. Подобно доказательству леммы 2.1), когда (р, г) = (рг, оь ..., а^ = 1, сразу имеем
S (qr, ах, .. ., a^ = S (q, ах, га2, . . ., rh"xa^ X
XS(G ах, qa2, .... qfe"xakY
Таким образом, достаточно рассмотреть случай, когда q — степень простого числа. Предположим, что р ф (аь ..., а^ и рт является наивысшей степенью р, делящей (аь 2а2, ... ..., kakY Пусть хх, ..., хг означают различные корни сравнения
р-т(ах + 2а2х+ ... -ф kakXk~x) a O(modp),и предположим, что тх, ..., тг их соответствующие крат-ности. Заметим, что г^^—1. Пусть далее m = mt + .,,
... '-V Шг. Тогда достаточно показать, что для /= 1, 2, ...
|S(pz, «ь .а^ | ^ &2max(l, m)pl-‘/k.(7.9)
Поскольку т к— 1, теорема доказана.
Случай /=1. Рассуждения для этого случая принадлежат Морделлу [Mordell, 1932] и дают больше, а именно
|S(p, ах, ..., акН^кр^^-(7.Ю)
Без ограничения общности можно считать, что р^ ак и р> к. Рассмотрим
£ \S(P, Zl, .... 2^.(7.11)
2i=12k=1
Тогда, раскрывая суммируемое произведение, применением (7.8) и переменой порядка суммирования получаем
Т = р^М,(7.12)
где М — число решений системы сравнений
4 + ... +х^ = у1+ ... + ^(modp) (1</<й) (7.13)
с 1 ^ х,^ р, 1 ^ у, ^ р. Подобно доказательству леммы 5.1, получается, что если Xi, ..., хк, ytук удовлетворяют системе (7.13), то для каждого х Д, (х — х^ = Дt (х —- у^ (mod р\ Таким образом, Xi, ..., Хк представляют собой перестановку ух, ..., ук. Отсюда М ^ к\рк, значит, по (7.12)
Т^к\р2к.(7.14)
При р Т и, их + и вместе с х пробегает полную систему вычетов по модулю р. Пусть к
bj = bj {и, у) = ^ «; ( • ) U’yi-I.
i=i
Тогда
|S(p, ах, ak)\ = \S(p, bx, .... Ml- (7.15) Кроме того, bh = akUk и bk-i = ик~Ч,укак + йк-?ь Таким образом, когда и меняется, Ьк принимает (р—\^к,р — I)-1 несравнимых по модулю р значений, а для данного и, когда меняется у, Ьк-х принимает на р несравнимых по модулю р значений. Следовательно, ввиду (7.15) и (7.11)
ахя&)|2^7’.
<к, р — 1) 11
Отсюда, согласно (7.14),
что дает (7.10), как и требовалось.
Случай Z>1. Доказывается индукцией по I. Очевидно, рт ^ к. Таким образом, когда 2 2т + 1, (7.9) тривиально. Следовательно, можно предполагать, что Z ^ 2т + 2.
Для краткости положим ф(х)=О1Х4- ... + аех6. Вспоминая, что Xi, ..., хг — различные решения сравнения р~тф'(х) = 0 (mod р), получаем
S(pl, ах, а^ = Тй^ ±Т„(7.16)
где7’/ =£е(ф(х)р~;)(7.17)
х в xj (mod р)
pZ — T — 1 p^+l
Ито= £е^'-'-'г-^рЛ(7.18)
У = 12 = 1
pt + 1 -f ф' (у>
Поскольку Z ^ 2т + 2, имеем
Ф (р'^-'г + у) = ф (у) + р'-^гф' (у) (mod р1).
Следовательно, внутренняя сумма в (7.18) равна нулю. Таким образом, в (7.16) остается оценить Т/ с ; =/= 0.
При г = 0, т. е. ш = 0, здесь нечего доказывать. Предположим, что m^l. Когда Z ^ к, тривиальная оценка |T/|^Pz-‘b (7.16) дает
| S ^р1, а.\, ..., йб) | ^ kpt-x ^ kpl~l,k.
Таким образом, можно предполагать, что I > к.
Рассмотрим полином от х:
ф(рх-)-х/) —ф(х/) = Z>ix+ ... 9rbfexk,
к
гдеbi = pt^ahVhiV’1rl-
Пусть рр означает наивысшую степень р, делящую ^bi, Ьг, ... .,,, ЬКу Очевидно, р ^ 1. Если р > к, то
к
p|Z^(?)x/" (^i^^)
h—i
(7.19)(7.19)и, следовательно, р|а*, р|пй-ь ..., р\ах в противоречие тому, что (р, <?!, ..., аА) = 1. Таким образом,
(7.19)
(7.19)
р ^ к < I. Пусть Ct = hip-» и
ф (х) = р-Р (ф (рх 4- Х^ — ф (X/) ) = С1Х 4- ,.. 4- скхк.
Тогда, согласно (7.17),
| Tj | = р^11S (р'-Р, сь ..., cft) |.(7.20)
Так как p-Tcp'(х) = 0(mod р) имеет корень X/ кратности тр р^срЦх) можно записать в виде
p-Tq/(x) = (x— Xj)mi q>i (х) -|- рфгМ,
где рТЫх,) и deg<p2< W Пусть теперь р° означает наивысшую степень р, делящую (щ, 2с2, ..., кс^. Тогда
р-’ф' (х) = р^’-Рф' (рХ + X/) =
= р1-°-Р+г (pm/xm/<pi (рХ + X/) + р<р2 (рх + ^/))-
Все коэффициенты этого полинома целые и по крайней мере один взаимно прост с р. Так как degq>2 < тр коэффициент при xmi равен
р^-а-р+х+т^^х^
так что о + р ^ 1 + т + т,. Отсюда если d^ тр то коэффициент при хй делится на р. Поэтому
P-<V (х) ^ pi-°-p+x (pmiXm!(pl ^х^ 4- рф2 ^рх 4- X;)) (mod р).
Следовательно, степень р-^ф'/х) по модулю р не превышает Щ/ и число решений сравнения
р-Д^л/вО (modp)
не больше /и/.
Отсюда, согласно предположению индукции (7.9) с заменой / на I — р, а, на сь т на тр при помощи (7.19) и (7.20) получается, что
IТ/1^ ^niypP^pO-PiU-W ^ k^mjp1-11*1.
Желаемое утверждение, неравенство (7.9), следует теперь из (7.16) суммированием по всем / ^ 1.
Следующая теорема дает асимптотическое представление/ на больших дугах.
Теорема 7.2. Пусть aj = аДр, + р, (/ = 1, ..., /?), и предположим, что q = Vqi. •7*] uA^a^qr1. Тогда
Ha)=q-iS(q, А)/(р) + Д,
edeA«<7(l+|Pi|X+ ... +|р,|Х^).
Доказательство. В силу леммы 2.6 с
сх = e((AiX ++Лех6)ф-*)
иF(y) = e(p1y+ ... +р6у*)
и замечания q
£ Сх = £ е((Л,^+ ... +Л^)^-‘)£1 =
x^vу = 1х<у
х в у (mod q)
= yq~lS(q, А) + О (?) получается
,х\
f (а) = q-^S (q, Л) ( F (X) X - ^F' (yMy ) + А,X/
где
,Xк
А « q М + I Pi + • • • + ^(W-11 ^Y УXо/
Интегрирование по частям сразу дает теорему.
Теорема 7.3. !3] Для вспомогательной функции /(0) справедлива оценка
/(0)«Х(1+|₽1|Х+ ... H-lp^l^)-1^.
Доказательство. Можно предполагать, что X = 1, ибо общий случай следует тогда с помощью замены переменной. Далее, можно предполагать, что
I Pi I + • • ■ + I Рб | ^ 1,так как в противном случае результат тривиален. ПустьЪ = (1Р/1+1 Р& 1)1/А,
А(а) = Р1 +202а+ -+А0Аа6-*
и^ = {а: 0^а<1, IpJ^OKJ.
Тогда л^ можно разбить на <?J1 интервалов, на каждом из которых р( (о) не меняет знак. Пусть ^ — интервал такого типа. Тогда интегрирование по частям дает
je(0!a+ ... + $kak)da < УГ*.
Таким образом, остается показать, что для ' ^ = (a: 0<a^ 1, |/21(а)|<У1} имеет место оценка
meas (^i) С УГ1.(7.21)
Доказательство дальше ведется при помощи повторных построений последовательности следующих множеств: ЗД, ^2, ®2, ^з, • • • . Если ^i пусто, то здесь больше нечего доказы-
вать. Таким образом, можно предположить, что существует аь такое, что 0 ^ at ^ 1 и |pi(ai) | < УТ Теперь \рх (а,) | ^ >|Pt| — kY^, так что если 1р1|>26У^, то 4"| Pi | < (| Pi | + + Y^ < ((1 + 1/(26)) I р, I ^к. Откуда
r^lPjci.
Следовательно, в этом случае (7.21) тривиально. Таким образом, можно предполагать, что для подходящего числа Ci, зависящего самое большее от к, имеют место неравенства iPj^CjT^ и |р1(а)|<С1У2 для каждого a е ^ь Следовательно, достаточно показать, что
meas (2)i) С У?1, где
0i = {a: 0<а<1, [а-аОУТ1, | Рх (а) | < CXY^.
Пусть
р^^.Рх^^Рх^ .
Тогда S>i с ^г, где
^2 = {а: 0<а<1, | р, (а) | < 2С1У2}.
Продолжая таким же способом, на /'-м шаге получаем константу C/_i, полином рДа) степени k — j и рассматриваем множество
^ = {а: 0<а<1, |р, (а) | < 20,.^.
Если ^/ не пусто, то существует а/, такое, что
!/>,(«,)! <2с,.,у-.
Определяя на каждом шаге
убеждаемся, что
к-1
pA^=§oV^%
к-1 гдеY^-E Y^+i’^Z?
КY^==(6+l)Pft+i.
Таким образом,
Y^ = /P/ + O(|p/+1|+ ... +(PJ),
и, следовательно, можно предполагать, что существует число С/, зависящее, возможно, только от к, такое, что
IMIMс/у.с/у.(7-22)(7-22)
IM
IM
с/у.
с/у.
(7-22)
(7-22)
и | Р] (а) | < CiYiiJrX для каждого а е ^д. Пусть
^; = {а: 0<а<1, |а —а/|>У/+1, | pg (а) | < С/У/+1}.
Тогда, согласно (7.22), требуется показать, что meas (0/)<С < YJ^.
Процесс может прекратиться, в случае, если для некоторого j^k— 2 множество ^/ пусто или нарушается неравенство (7.22). В других случаях / ^ k — 2 имеет место включение Фд с ^/+1, и процесс продолжается до Фк-\. Теперь
Таким образом,
Фк-х с {а: | у^^А^рб1 + а | < СА_!| pfe Г'м}, так чтоmeas (^a-i) «С Уа1,
как и требовалось.
Асимптотическая формула для Л(Х) ■
Теорема 7.4. Существуют положительная постоянная Сх и положительные числа 6(A) и С2(А, s), такие, что для s^ ^ A2(31og к + loglog А + Ci) имеем
Js(X') = C2(k, s^ X2s-Hk+X№ + O(X2s-k(k~1№"6^
Доказательство. Пусть X — большое действительное число, пусть
^=^. Qi^^ Qi = XHK ^^j^k), (7.23) и пусть ^а — декартово произведение интервалов (Q/-1, 1 + + Q/1]- Для <71^4^12> Яд^^ (2^/^А) и 1 ^ ад ^ q, с {qg, ag) = 1 пусть ЭД(q, а) означает декартово произведение интервалов
{a: \a-aj/qi\^q;xQ7xy
Большие дуги 2R(q, а) попарно не пересекаются и содержатся в ЧГк- Пусть ЭД означает их объединение. Тогда малые дуги задаются формулой nt = °LTk \ 9%.
Согласно лемме 2.1, для каждого т°Ц\ существуют q, а, такие, что (^, ау) = 1, |ау — а^Д < qJ^QJ1 и q^Qg. Пусть
п означает множество а е ^6, для которых к тому же qi > Xх при некотором j, 2 ^ / ^ А. Тогда по теореме 5.3 с / = [4^ log А] существует положительная константа Сз, такая, что
/(а) < Х1-Р(а е п) с p-1 = C3A3logA. (7.24)
Пусть теперь 91 означает множество а е ОД, для которых существуют q, а, такие, что (qp а^ = 1, |а; — ajlqj | ^q^XQ^X> qi^Qt, qi^Xx V^^i^kY Таким образом, nU9? = c7/l (хотя n 0 91 может не быть пустым) и €Ш с 91. Пусть Р/ = а, — — a^qu q = [^, ..., qk\, А,= qajqj, так что
Yb АхД»)=1.(7.25)
По теореме 7.2 и (7.23)
На)-?"^, А)7(р)«
< q; • • • qk (1 + ^V + Xkq^ + ... + xW) « ХхЛ (7.26) Если «епш, так что а ^ 9%, то q^ qx >-^ X1*2.
Следовательно, согласно теореме 7.1 и (7.7),
q~XS (q, А) I (Р) < Хд6~1,к < Х^х+е.
Следовательно, оценка (7.24) справедлива при замене m на и. Пусть т = [Сз] + 1 и л = 4- А2 (1 — \(кУ. Тогда, по теореме 5.1,.
/ (a) |2<* + 2m62 da <С Jf2^ + 2w62— k (* + 1)/2+Ч-2тА2р
Кроме того, для / ^ ЗА log k + A loglog к имеем
^-^тк^<к^\__1_<01
и, следовательно, при s ^ tk + тк2, существует положительное число 6 = 6(A), такое, что
$ | f(a)\2sda ^.^-^й+и/г-б.
Остается, следовательно, рассмотреть большие дуги 9Й. Для ae9)i(q, а) (7.26) справедливо. Определим Й(а) = = V(a, q, а), если ае9)1(^, а) и У(а) = 0 при аеш. Тогда j I f # - V (a)2s i da < X2~K ^ (| f (a) |2s"2 + | У (a) |2s"2) da. 8R«/*
.(7.27)
По теореме 5.1, если s — 1 ^ kl с / ^ ЗА log к, то $!/(«) fs~2 da « ^^-Мй+щг+т),
где т] = 4 к2 (1 — \[кУ < 1/(2А) = к. Следовательно, существует положительное число 6 = 6(A), такое, что
X2 К j |/(а)|&-2йа <с /^-мй+щг-б.(7.28)
й
Пусть aE$S(q, а). Тогда, по (7.25) и теоремам 7.1 и 7.3, 7(а)<Х^-1/Ч1.+ |₽1|^ ++|₽й|^)-^.
Отсюда
I У (a) |2/ da<X2tWZ,
где"'
r=Z... £
qx-\qk = \
ИИПри /При /Z2 к2 имеемZ2 к2 имеем-2</й«-2</й«d^Pd^P
И
И
При /
При /
Z
2 к2 имеем
Z
2 к2 имеем
-2</й«
-2</й«
d^P
d^P
W « £ ... £ qv ... qk (<7i ... qk) 4 < °° ^-1 qk-V
Z <П^-/ = Х'И™.
^2-X^2-XСледовательно, для s — I > 2A2
^2-X
^2-X
| V (a) |2s^2 da «: X2s-It ^+^,2-K.
Эта оценка в совокупности с (7.27) и (7.28) показывает, что если s удовлетворяет предположению теоремы при подходящем выборе Ci, то
J | f (a) |2s da = J | V (a) |2sda + О (x2s”kU+1№'6\ 801 Ш
\| V(a)|2sda = SJX2s'6l&+1,/2\| V(a)|2sda = SJX2s'6l&+1,/2Непосредственно из теорем 7.1 и 7.3 следует, что ^j^2s—(&+1)/2—6 3)1
\| V(a)|2sda = SJX2s'6l&+1,/2
\| V(a)|2sda = SJX2s'6l&+1,/2
где■
оосю <71^
®=£...Z i^sm, .... Д6)12$
»!=1<?6 = 1а,-1а6 = 1
(аг «i)”1 (а<с «ft)"1
И
12s
J= ^((^аД- ... +06“*)^“ ^Р- R» о
Заметим, что q-'S^q, Дь ..., А^ = (q{ ... q^-'S^q; ... qk. at, ..., а^. К тому же ® < оо, / < оо 141, и поэтому теорема справедлива с С2(&, s) = ©/. Положительность С2(&,s) является следствием (7.4).
Более подробный анализ и различные приложения полученной теоремы см. Хуа (1965).
Верхняя оценка G(fe) И. М. Виноградова
В качестве применения теоремы 7.4 теперь можно показать, что
hm sup , ^2.k-»oov к log &
Во многих отношениях доказательство опирается на идеи § 5.4.
Пусть п означает большое натуральное число и
N = [и1/6].
Пусть К— натуральное число с условием
2К < к и
Ul+1 = VUiY ^[^l- ^Т^2-(7.29)
Теперь пусть Q(m) означает число решений уравнения (^+Х1)^+ ... +(П/ + х/)А = т
с х/^ Vj, где / — параметр, который будет определен подходящим образом в зависимости от к позднее.
Рассмотрим
W (а) = У У Q (т) е (а//т).
ХЙ < р < X т
По неравенству Гёльдера для любого натурального числа г
W (afr <С Х2г-1 У, I У Q (т) е (а/Ли) Рг =
Х,2<р<Х\ тI
= Х2г^ У У Qi (А) е (ар6А), XR<p<X h
гдеQi (А) = У Q (mJ ... Q (т^
mv .m2r
и суммирование ведется по т^ ..., т^г с условием mi + ... +шг — тг+\ — ... — mlr = h.
Следовательно, в обозначениях § 4.4 и 5.3 по лемме 5.4
Г (a)2r < X2r-' ^XU^6 У Q, (А)2)1/2 (a е т).(7.30)
Сумма Ул Qt (А)2 является числом решений уравнения
£Мх/М,(7.31)
где х,е= [1, V/]4r и
А/ (у) = (Uj + У Jft + • • • + (Uj + y2J& —
— (^/ + Угглл^ ~' • • •Уi + УАг)к'(7.32)
Оценка Qi (А) опирается на лемму, в доказательстве которой используется теорема 7.4.
Лемма 7.1. Предположим, что r^ CK2logK, где С — подходящая постоянная. Тогда число Rj различных у в [1, У/]4г для которых Lj{y) лежит в данном интервале длины и^-^-^^ удовлетворяет неравенству
Rj < vYuiK.
Доказательство. Для краткости параметр / будем опускать. По биномиальной теореме
л
L^=T(i)uk'tMM
где М^у^у^Ч- ••• +у12г — у‘2г+х- -У1у
Так как у е [1, У]4г и V = [t/I/2], имеем
2 ( ? )(у) « uk-1K"VK*x < UWI\
Z-2K+1
Следовательно, достаточно показать, что число R* различных у из [1, Wr, для которых
2К
1 = 1
лежит в заданном интервале длины Uk~K, удовлетворяет оценке
R* < v4^1^1-^.(7.33)
Рассмотрим число R** 2/С-мерных векторов с целыми компонентами 21, . . . , Z2K с Zi -< V‘, ДЛЯ которых
2К
У,икХ i-Y
лежат в заданном интервале длины Uk-2K. Этот интервал можно записать в виде
((и - 1) Uh^K + у, uUk-^K + у),
где и и у— целые, 0 ^ у < Uk~2K. Тогда
Z2K 33 «(mod Щ, г2л+1 = (и — z2A IM (mod LT)
и т. д. Таким образом, ггк определяется модулем U, Z2K-1 определяется модулем U по z2r и т. д. до z2. Более того, поскольку 0 ^ у < Uk~2K, Zi единственным образом определяется по ггк, •••» ^2- Следовательно, вспоминая, что V2 ^ U, имеем
R** « (V2^^1) (Р2*-^"1) ... <V2U-^ = ую2д+1)-ц/1-2д (7.34)
Согласно теореме 7.4, для заданных zi, ..., Z2K число решений системы
/ к X
)Mi(y) = zi (l^i^2R) с уе[1, У]4'
есть <g; p^-xiax+i) gT0 совместно с (7.34) дает оценку (7.33), а следовательно, и лемму.
Здесь и далее будем предполагать, что условия леммы выполняются, и пусть Xi, ... -, xi — типичное решение уравнения (7.31). По (7.32) для х/+1 е[1, У/+1]4г имеем
(x/+i)^/+ i^/+i к
Отсюда по (7.29) Li(xi) лежит в интервале длины •С и^к-'1г. Таким образом, в силу леммы 7.1 для Xi имеется <С V^U^ значений. Тогда для данного Xi Z,2(x2) лежит в интервале длины U^K-'I* и т. д. Следовательно, общее число значений xi, х2, ..., х/ есть величина
«(^ ... VtY4Uv ... UtVK-
По определению (7.29) (Uv .. . U^ »Следова
тельно, согласно (7.29) и (7.30), для а е ш
W (а) < XV х ... V^X-'U^-^-'^-^y^ « F(0) Na~9, гдеР = Ч^--^(&-"тК.
Возьмем теперь
Л = [4 log A], l = 3k, r=l +[C№log^.(7.35)
Тогда по (7.29)
t]Z = exp A log fl^ 1 "^ < ехр ( — 3 [4 log А]) < к-312,
где включаемые в <^ постоянные являются абсолютными. Таким образом, если к достаточно велико,
_
Р> С, (log А)3 — °’
скажем, где Ci — подходящая постоянная. Таким образом, в обозначениях § 5.4 (но с U7(a), как выше)
J f (a)46 Н (а)2 Г (a) е ( - an) da < Н (О)2 U7 (0) ^-W"0^.
Оптимальный выбор t, так что (1 — \/ку <.а/к, дает t ~ к log к.
Тогда оценка на малых дугах имеет вид
«Д(0)2Г(0)п8-6,
где 6 = 6(A)— подходящее положительное число.
Большие дуги могут быть рассмотрены так же, как в § 5.4. Следовательно,
G(A)^2/4-4A + Z.
Это вместе с (7.35) показывает, что справедлива
Теорема 7.5. При k-^oo, G(k) ^ A (log А) (2 +о(1)). Для больших А это лучшая из известных верхняя оценка 0(к).
7.5 Упражнения
Покажите, что при s ^ к -IsiX) = s!A? + О (Xs-1).
Покажите, что при к = 2 /з(Х) < X3 log.Y и что (7.5) не-
3.3.верно.Пусть Gi(&)I5l означает наименьшее s, такое, что почти каждое натуральное число является суммой s к-х степеней. Покажите, чтоверно.Пусть Gi(&)I5l означает наименьшее s, такое, что почти каждое натуральное число является суммой s к-х степеней. Покажите, чтоlimsup£ -> доlimsup£ -> доGx (й)й log кGx (й)й log к< 1.< 1.
3.
3.
верно.
Пусть Gi(&)I5l означает наименьшее s, такое, что почти каждое натуральное число является суммой s к-х степеней. Покажите, что
верно.
Пусть Gi(&)I5l означает наименьшее s, такое, что почти каждое натуральное число является суммой s к-х степеней. Покажите, что
limsup£ -> до
limsup£ -> до
Gx (й)й log к
Gx (й)й log к
< 1.
< 1.
Примечания редактора
I1' Оценки Zs(X) при малых s см. в статье Архипова Г. И. и Карацу- бы А. А. (1978).
*21 Доказательство теоремы 7.4 об асимптотической формуле для JS(X) при s ~ Зй2 log к существенно опирается на теорему И. М. Виноградова о среднем.
I3* Эта теорема принадлежит И. М. Виноградову, см., например J1], с. 27. М Сходимость (расходимость) © при 2s > -~~— + 2 (2s ^ А 6 + 2^ доказана Хуа (1952); сходимость (расходимость) I при 2s > >-т- + 1 (2s<-f- +J доказана Архиповым Г. И., Кара- цубой А. А., Чубариковым В. Н. в работе «Тригонометрические интегралы». Изв. АН СССР, сер. матем. 1979, 43:5, с. 971—10СЗ.
^ Д. Гильберт около 1909 г. поставил задачу о представимости к натуральных чисел N\, N2, ..., Nfe суммами соответственно первых, вторых, .. .-, наконец, к-х степеней одних и тех же натуральных слагаемых (проблема Гильберта—Камке); если через Go(й) обозначить максимальное число слагаемых в таком представлении, то Архипов доказал, что 2'—1 ^ 60(й) ^ Зй326; см., Архипов Г. И. О проблеме Гильберта—Камке. Изв. АН СССР, сер. матем., 1984, 48: 1, с. 3—52.
8
Тернарная
аддитивная проблема
Общие предположения
Предположим, что к\, кгks— s целых чисел, таких, что
2 ^ k{ ^ к2 ^ ... ^ ks и2 ^ k{ ^ к2 ^ ... ^ ks и1кГ^>1.1кГ^>1.(8.1)(8.1)
2 ^ k{ ^ к2 ^ ... ^ ks и
2 ^ k{ ^ к2 ^ ... ^ ks и
1кГ^>1.
1кГ^>1.
(8.1)
(8.1)
Тогда предыдущие рассмотрения, в частности в гл. 2 и 4, наводят на мысль, что уравнение
(8.2)(8.2)X// = п
(8.2)
(8.2)
/-1 1
разрешимо в натуральных числах Xi, ..., xs всякий раз, когда: (i) для каждого простого р и большого к уравнение (8.2)
разрешимо по модулю рк с р Т х( для некоторого /;
(И) п достаточно велико.
Вопросы такого рода очень тщательно разрабатывались; эта работа, в сущности, еще не завершена, потому что рассмотрение малых дуг при нынешних знаниях, вообще говоря, требует, чтобы сумма ^ kj' была значительно больше единицы.
Наименьшей величиной $, для которой условия (8.1) выполняются, является s = 3. Причем окончательное решение получено только при ку = кг = к3 = 2 — это классическая теорема Лежандра о суммах трех квадратов. Однако во всех остальных случаях показано, что почти все числа представимы в виде (8.2). Случаи к\ = кг = 2 и к\ = 2, кг = к3 = 3 рассмотрели Дэвенпорт и Хельбронн (1937а, 6), случай Ai = 2, кг ~ 3, к3 = 4 — Рот [Roth, 1949], а случай Ai = 2, кг = 3, Аз = 5 —Вон [Vaughan, 1980а].|i]
Последний случай — самый трудный, и ему посвящена оставшаяся часть этой главы. Изложенный здесь метод можно применять и в других случаях.
Формулировка теоремы
Пусть Е(Х^ означает количество натуральных чисел, не превосходящих X и не являющихся суммой квадрата, куба и пятой степени натуральных чисел.
Теорема 8.1. Существует положительное число 6, такое, что Е^ « х1-6.
В основном рассуждения подобны изложенным в § 3.2. Важная особенность их в том, что большие дуги здесь могут быть взяты более длинными и более многочисленными, чем можно было предполагать из-за присутствия куба и пятой степени. Однако большая часть больших дуг в некотором смысле рассматривается теми же методами, что и малые дуги.
Другая особенность рассуждений — это некоторые трудности, связанные со сходимостью особого ряда. Они преодолеваются заменой особого ряда конечным произведением.
Определение больших и малых дуг
Пусть п означает большое натуральное число и
Далее, пусть R(m) = Rtyn, п) обозначает число представлений пг в виде
m = 4 + х® + х|
с Pk < Xk ^ ^Рк, И пусть
/ И = I I I 4 У г 'W\(8.3)
У2 Уз Уз
где переменные суммирования удовлетворяют условиям
^6 < У к < ^РкУ и У+ У a + Уа = т-
Определим также
Sk = Sh (q, а)=^е ^qrb[qY(8.4)
Л (m, q> = У g-3S2S3S5e ( — amjq) .(8.5)
а = 1
и®(m, Х)= У Л(т, qY(8.6)
Первую часть доказательства теоремы 8.1 составляет
Теорема 8.2. Существует положительная постоянная б, такая, что для каждого достаточно большого п
R(m) = J (^m)^(m, nW2)-V O(n1/30~6)
для всех, за исключением <§;п1-6, значений т, удовлетворяющих неравенству п ■< пг 2п.
Доказательство. Пусть
hk = hh^= 2 eia^),(8.7)
pk<x^2pk
6= КГ5, Р = «13/30+76,^/ = (7D/«, 1+7D/„],(8-8)
Тогда
R (m) = ^ h2 (a) h3 (а) А5 (а) е ( — am) da. (8.9) =и
При 1 ^ а ^ q <+ Р и ^a,q)=\ определим большую дугу ^l(q, а) в виде
3R(q, а) = {а: |а—a/q\^ Pq^n-^,(8.10)
a ЗЯ— как объединение всех больших дуг. Как обычно, легко доказывается, что ЗЯ(q, а) не пересекаются, и малые дуги л берутся как ^ХЗЯ.
Приведем важное в дальнейшем подразделение дуг ЭЭТ. Пусть ЗЯ1 означает подмножество ЗЯ, состоящее из ЗЯ(</, а) с q > п1П2, и пусть
91 (<7, а) = {а: |а—а/(/| ^ «36-14/15}.(8.11)
Определим теперь ЗЯ2 как объединение ЗЯ(</, а)\Э1(<7, а) с Ус" ловиями 1 ^ а ^ q ^ «1/12 и (a, q) = 1. Тогда если положить
n = m U ЭМ] U 9ГО2(8.12)
иRi (m) = h2 (а) h3 (а) h5 (а) в (— am) da,
п
то надо будет доказать неравенство
2 I Ri (т) I2 < «1в/15-звт
и соотношение
S Z S h2 (a) h3 (а) h5 (а) в ( — am) da =
<7<п*/*2 а = 1® (^, а)
(а, <?) - 1
^/(m)S(m, /г‘/‘2) +0(1).(8.13)
Первая из этих оценок будет следовать из тождества Парсе-
валя, если показать, что
(8.14)(8.14)| А2 (а) А3 (а) А5 (а) |2 da < /^вДз-зб, n
(8.14)
(8.14)
Рассмотрение и
Малые дуги и могут быть рассмотрены прямым путем. Интеграл
| А2 (а) Ц (а) | dq
выражает число решений уравнения
и2 — и2 + я5 — У5 + г5 — /5 =0
с Рг-< и, у ^ 2Р2, Рй <. х, у, г, / ^ 2Р5. Эти решения подразделяются на три вида:
и ^ у,
(и) и = у, х =/= у,
(Hi) и = и, х — у, z — t.
Таким образом, общее число решений есть
« № + р р|+е + рр2
Следовательно, по определению (8.3)
1
J | A2Ag| da < п2^(8.15)
о
Аналогично
1
J | A*]da < грР*\(8.16)
о
Из неравенства Вейля (лемма 2.4) следует, что для каждого ТЕМ
А2 (“) <С «1/2+е ф-1 + п-1^)1/2 <с п? (^(Рур-.
Поэтому ввиду (8.16)
'^ | А2 A3 ] </а <§; пУР^Р- *.
Следовательно, по неравенству Шварца, оценке (8.15) и формулам (8.8),
J |1 da < «‘бдз-зб.(8.17)
m
Пусть
w& (Р) = Е (Ш х1^-1 е (рх),(8.18)
где переменная суммирования удовлетворяет неравенствам Рк < х ^ ^Рку, и определим
Wk=Wk(a, q, 0^ = q-xSk^q, a) wk(a — a/q).(8.19)
Для a e SR определим ф^, А* полагая
Фа = Фа (a) = Wk (a, q, а) (аеЖ(?, с)), \k = \k^=hk—ф6.
(8.20)
Первым шагом в рассмотрениях $9110% является замена h2 на ф2. По теореме 4.1, А2(а)<^ P'/s+e, если aeSR. К тому же, так же как в доказательстве (8.16), имеем
|Лз^ | da < n&iX\ о
Следовательно, ввиду (8.8)
J|A^|da<n.(8.21)
Следующий шаг состоит в оценке
mi
Для ее получения сначала надо рассмотреть соответствующие интегралы с подынтегральными выражениями | Фг^ и |ф2йд|.
Согласно соотношениям (8.19) и (8.20),
J | Ф^ | < m qVz
^2 Z ^2lS2l2 $ lw2(p)%(p + a/#Mp (8.22)
(a, q> = 1
и в силу (8.18)
I ^(P) l2= S 6(/?)e( —p/z),
гдеb(h)= X т^хУУщ(8-23)
x, у
с x — y — h, ^-n = P^< х, у^ (2Р2)2 = п. Кроме того, по определению (8.7)
I h5 (а) |4 = ^ с (/г) е (а/г),
гдес (Л) = У 1
X, у, z, t
с х5 — у5 + г5 — t^ = h и Р5 < х, у, z, t ^ 2PS. Следовательно,
‘А
$ | w2 (Р)2 Л5 (Р 4- alqY \dfi = YlbWc W е WqY
-'Ah
Отсюда в силу неравенства (8.22)
q ^(р^^^^Ь^с^^ ^ q-2 |S2|2e(aA/7). mh.q^P 0=1
(o. (?) = 1
Очевидно, что модуль суммы Si, определенной в (8.4), не зависит от й и имеет оценку |S2|2^^. Следовательно, по формуле (3.14) для /г ^= О
У q^ IS212 в (ah/q) «f1 У d. а=1
(a, q) - 1dl(<7, Л)
Таким образом,
^|<р2/г4|б?а<6(0)с(0)Р + £ &(Л)с(Л)£ £ Т_. mй=#0d|/t r^P/d
Непосредственно из (8.23) следует, что 6(/г)<С 1. Кроме того, аналогично доказательству неравенства (8.16) имеем с(0)<§1 <^- ^2/5+8. к тому же У h с (h) <С td^. Следовательно, ввиду (8.8)
J|<p2A4|6?a«n5/6+8e.(8.24)
Для оценки интеграла
J iT^al^ mt
применяются различные формы неравенства Гёльдера, и поэтому требуется оценить интеграл
^ | Ф21 ^а-
Согласно (8.20) и лемме 6.3,
■Л
| ф4| da < У n2(l + np^dp, mqC^P 0
так что| ф4 | da <С /г1+е.(8.25)
Следовательно, в силу неравенства Гёльдера и (8.16)
j | Ф2Д3Л| | da << (п1+е)1/4 ^лг2/з+е^з/4 SUp । ^^ |_
Ввиду лемм 6.1 и 6.3 для ае2Я(<7, а) имеем ф2(а)Д3(а) «С /г1/2<7Е.
Отсюда| Ф2Д3А31 da <^ /г5/4+2е.(8.26)
По неравенству Шварца и неравенствам (8.25) и (8.16) j | ф|ф3Д3/г31 da < (/г1+бу/= (/г2/3+еу/2 sup J Ф3Д31 m®
и, согласно леммам 6.1 и 6.3, для а е €Ш (q, а)
Фз(а)Дз(а) <?С /t’/s^i/g+b <^ л1/зр1/б+
Поэтому ввиду (8.8)
j | ф2ф3Д3/г31 da -С /г5/4.(8.27)
эд
Из лемм 6.1 и 6.3 и (8.8) следует, что
Г15/3
j I фМ2Аз М« < £ (?I/3+s ) (^рр (1 + «₽)2 dp « 7г5/4. эд<?<г°
Следовательно, в силу (8.26) и (8.27)
j | ф:;/г31 da <^/г5/4+е + j [фзФз!^0-(8.28)
ЭЛ]ал!
Рассмотрим интеграл в правой части. Согласно соотношениям (8.20), (8.19), лемме 6.2 и теореме 4.2,
^|ф2ф4|^« 2 X ^6Р25з|5-(п^^«л5/4/’
ЭД,nMto<q<P а=10
(a, q) = 1qг№1=^Р^, F^= 2 ^-4|St|.q^Pa=l1
(s, q) = 1
Вследствие теоремы 4.2 F(q) < q'^3. Таким образом,
У, F (ph) < р-1. Далее по леммам 4.3 и 4.4 |5з(р', а) I <^ р1/2 h-з
2
при / = 1 или 2. Отсюда У F (рн) < р~х. Более того, в силу к-1'
леммы 4.5 F — мультипликативная функция q. Следовательно, существует абсолютная постоянная С, такая, что
/<П(1+Ср-).р<р
Отсюда в силу (8.28) и элементарной теории простых чисел
j | ф^ | da <; «5/4+е.
Следовательно, по неравенству Шварца и неравенству (8.24)j | Ф2А3А51 da <С и16/15-36.
Отсюда ввиду (8.21)"
J |/z^2|61a«n16/15-3e.(8.29)
ЗЯ,
Рассмотрим теперь ИЛг. По лемме 6.3
5 | Ф^ | da < £ q-1 J (TTHpF d^ /г4/5+е~96.
дд2<7^Pn3d —14/15
Согласно лемме Хуа (лемма 2.5), ii
.| А|| da «С п5,3+е, j |h®| da < n1+p.
оо
Поэтому по неравенству Гёльдера
$ I ф^2 | da < ^l^-^'h ^P+yi^nl+ey/i «^ „16/15-36. Wl2
Следовательно, ввиду (8.21)
J |А2А2Л2|„16/15-36 ,
5^2
что в комбинации с (8.29) и (8.17) дает (8.14).
Большие дуги 91(9, а)
Для завершения доказательства теоремы 8.2 остается доказать соотношение (8.13). Простые вычисления показывают, что если к = 2, 3 или 5, q ^ /г1/12 и 1р| ^ ^з»—14/15, т0
<71/2+Е(1 -}- «| р|) <§; (лг/^)1/6(I + /г | р ])—*.
Отсюда по леммам 6.1 и 6.3 для a^3l(q, а) имеем
М«), ^(а)^^)1/^! +n|a-a/<7|)-i и
^ (a) h3 (a) h5 (a) - F2 (a) W3 (a) W5 (a) <
< VijqY16 (1 + n | a — a!q |)-1 <71/2+£. Таким образом,
££ J \h2h3h3-W2W3W3\da^ 1.
q<n*/12 a=l n(<7, a)
(a, <7) - 1
Пусть ^(<7, a) = {a: n36-14/15 < | a — a/<y|^4-j. Тогда по лемме 6.3
q
££$ |^2ГзГ5|</а« 1.
(a, q) = 1
Следовательно, ввиду (8.19), (8.4), (8.5) и (8.6)
X X s h2h3h3 e ( — am) da = Ц (m) ® (m, /г1/12) + О (1), 9<n*/12 a=l sp(a, a>
(a. q) - 1 где
1
Ii(.m)=^w2 (p) w3 (p) w5 (P) e (— pm) dp. о
Согласно (8.18) и (8.3), Л(т) = 7(ш), что дает требуемую формулу (8.13).
Особый ряд
Принципиальная трудность заключается в том, что ряд S I A tn, q) I, очевидно, расходится. Она преодолевается пу- q= 1
тем аппроксимации ©(т, п1/12) конечным Эйлеровым произведением.
Теорема 8.3. Для всех, кроме <<nv_5, значений m, п < < т ^ 2п справедлива формула
© (т, п
1/12) = П f S А <т,+ о (exp ( — log/г)6)),
р^п \/г=0/
(8.30)
Возможно, что при аналогичных условиях, используя метод, сходный с методом Миха [Miech, 1968], можно показать, что конечное произведение заменимо на бесконечное. Однако при этом возникают трудности, которые описываемым здесь методом можно обойти. Дальнейшее обсуждение этого вопроса в случае ki = 2, &2 = &з = 3 см. в статье Дэвенпорта и Хельбронна (1937а). Согласно (8.4), (8.5) и теореме 4.2,
А^т, 1)=1, А(т. q) <С 1/30
(8.31)
Таким образом, каждый ряд в правой части (8.30) абсолютно
сходится.
Для доказательства теоремы 8.3 требуется точная оценка А^т, р11). В основе ее получения лежат формулы для 5Др\ а) при р ф а. Они являются следствиями лемм 4.3 и 4.4.
Если р > 2,
( Р№№),
S^p\ а) = | (^)lS2(p, O^-D/2 (2ФА),(8'32)
если р > 3,
р[2Л/3]
0
S3(p, а)^-1»»
если р > 5, то
р№1
S5(p\ а) = { 0
(/г1 (mod 3)),
(/г = 1 (mod 3), р = 2 (mod 3)),
(/г = р = 1 (mod 3)),
(8.33)
(/г1 (mod 5)),
(/г = 1 (mod 5), р Ф 1 (mod 5)),
. S5 (р, а) р^-1»/5 (/г = р ^ 1 (mod 5)).
(8.34)
Далее, если /г = 3 или 5 и р s 1 (mod й), то
5ft(p, а)= £ Х(а)т(х),
(8.35)
где st- означает множество из k—1 неглавных характеров % по модулю р, таких, что х* = Хо- Более того,
|т(х)| = Р1/2. |S2(p,l)| = p'/2 (р>2).(8.36)
Лемма 8.1. Предположим, что h^ 1 и р > 5. Тогда
Акт, р^} = 0, если h>\ и р11-1-V пг, (8.37) | А <т, р^ | ^ Sp-t^-1 >/30^-!(8.38)
иА(т, р)= ^ с(х)х(т),(8.39)
ХеЛ(р)
где ^-(р) — совокупность неглавных характеров по модулю р, |с(х)|^р-1 и card ^(р)^ 8.(8.40)
Доказательство. Ввиду соотношений (8.5), (8.32), (8.33), (8.34) и (8.35)
A(m, ph} = ^ b^ ILx^eV — ap'M. (8-41)
где s4-VPh^ есть подмножество множества характеров по модулю р, а Ц%) — подходящие комплексные числа. Если h > 1 и ph-x ф т. то внутренняя сумма равна
рр^1
2 Х(*М~ xp-hm) ^ е( — ypx-hm^ = Q. х = 1U - 1
Это дает (8.37).
Доказательство неравенства (8.38) подразделяется на восемь различных случаев.
Предположим, что 21 A, h ^ l(mod3) и h ^ l(mod5). Тогда .Д^ркх) состоит только из одного главного характера и по (8.32), (8.34) и (8.35)
| Д(т, р*^ | ^ р\
где X = 4* h + [2А/3] + [4А/5] — 2 А. Число X — целое и не превосходит —А/30 ^ —[(/г— 1)/30} — 1/30. Отсюда имеем (8.38). Во всех остальных случаях все элементы sHp^ в (8.41) являются неглавными характерами по модулю р. Таким образом, если ph\m, то внутренняя сумма автоматически равна 0, и неравенство (8.38) следует сразу. Кроме того, ввиду (8.37) можно предполагать, что или h = 1, или h > 1, oh-xlm и ph Т т. В любом случае внутренняя сумма в формуле (8.41) имеет вид
£ X (а) е (А=Д^ =^) Р^‘т (х).(8.42)
Предположим, что 2 ф h, A^l(mod3) и h ^ ^l(mod5). Тогда ^(pft) состоит из одного квадратичного характера, и
Следовательно, согласно (8.42),
I A (m, ph) 1 = р^ с X = 4 А + [2/г/З] + [4/г/5] — 2/г4
Показатель X является целым числом, которое не превосхо- дит—д/ЗО—L. Таким образом, справедливо неравенство (8.38).
Предположим, что 2|/г,/г = l(mod3) и /г ^ l(mod5). При p^l(mod3) (8.33) дает А(т, ph) = Q. Следовательно, можно предполагать, что р = 1 (mod 3). Тогда card ^(р*1) = 2 и | А (т, ph) | ^ 2р\ где Х = 4^+2(^ — 0/3 + 4 + [4/г/5] — — 2/г — 4 • Число X— целое, не превосходящее—й/30 —4- Следовательно, (8.38) имеет место.
Предположим, что 21/г, НФ\ (mod 3) и h.= l (mod5). Случай p Ф- 1 (mod 5) снова тривиален, поэтому можно предполагать, что р = 1 (mod 5). Тогда
\А^т, рА)|^4р^ с Л = 4А + [2/г/З] + 4(А — 1)/5 — 2А, и рассуждения заканчиваются, как и выше.
Предположим, что 2|А и h =1 (mod 15). Случай р ф 1 (mod 15) тривиален, а если р = 1 (mod 15), получаем [ А(т, pt) | ^ Зр^+'/г с х = 4 h + 2(А - 1)/3 + 4 (А — 1)/5 - 2А. Это снова целое число, не превосходящее — /г/30— 22/15 < < — [(Л— 1)/30] — 1. Следовательно, показатель X + у удовлетворяет неравенству X + 4 ^ — К^ ~ 0/30] —4
Предположим, что h = 1 (mod 10) и АЙ 1 (mod3). При р Ф 1 (mod 5) неравенство (8.38) немедленно следует из (8.34); поэтому можно предполагать, что p=l(mod5). Тогда | Л(т, ph) | < 4рх+'/2 с X — 4 № — 1) + [2/г/З] + 4 (/г — —1)/5 — 2/г. Как и в предыдущем случае, показатель не превосходит — [(/г —- 1)/30] —4
Предположим, что /г = 1 (mod 6) и А^ 1 (mod 5). В этом случае рассуждаем как в (vi).
Предположим, наконец, что h = 1 (mod 30). Тогда A(m,ph) = 0 для p^l(modl5). Остается возможность p=l(modl5). Тогда | А (пг, ph) | ^ 8рх с X = 4 h + 2 (/? — — 1)/3 +4 + ^(^— 1)/^ + 1— 2/г — 4- Снова X является целым, не превосходящим — /г/30 —^ ^-= — (/г — 1 )/30 — 1.
Доказательство леммы теперь заканчивает оценка (8.39) с (8.40). При /г = 1 (8.32), (8.33), (8.34) и (8.35) дают равенство (8.41) с 6(х) = 0, если p^l (mod 15). Таким образом, если р ^ 1 (mod 15), получается (8.39), из которого тривиально следуют неравенства (8.40).
Когда р = 1 (mod 15), (8.41) справедливо с stkPV состоящим из характеров у 13 ^а X = уауз/д где yt означает неглавный характер порядка к Таким образом, все элементы ^(р) являются негчавными и card ^ (р) = 8. Более того, 6(у) = ^(р, 1)т(хз)т(х5)р""3.
Следовательно, согласно (8.41) и (8.42),
Акт, р^ = У S2(p, 1)т(у3)т(у5)р-3у( — 1)т(у)у (щ).
Если характер у принадлежит ^(р), то то же самое верно ДД я % •
Кроме того, в силу (8.36) имеем
1^2(р, 1)т(хз)т(х5)р-3х(—1)т(х) I = р-1.
Это дает формулу (8.39) с опенками (8.40), как и требовалось.
Пусть множество Ж состоит из 1 и таких натуральных чисел q, что если p\q, то р^п и либо p2\q, либо р ^ 5. Пусть означает множество бесквадратных чисел, все простые делители которых удовлетворяют неравенству 5 < < р ^ п. Наконец, пусть Ф— множество натуральных чисел, не имеющих простых делителей, больших п. Тогда каждое q в Ф может быть единственным образом записано в виде q = rs, где г е %, s и (г, s) = 1.
Следующий этап рассуждений состоит в оценке суммы
У Акт, q),(8.43)
U < q < Vq е ®
гдеU = nw, К = exp((log«)1+2S).(8.44)
Согласно (8.5) и лемме 4.5, Akm.q')— мультипликативная функция q. Следовательно,
I У А {т, q) | < У У |Л(т,г)Л(т,5)| +
U<qslVr>n83®se^
q е 3>г e Й
+ X |Л(т, r)| I X Акт, s)|- (8.45) r < n806U,r<s< Vlr
гей(s, O—l.seV
Первая двойная сумма
< rr26 ( У, г1/40, А(т, г) П f У | Л кт, s) .(8.46)
\г е Й/ хз е %/
Первая сумма здесь равна
/00W . , /00
П 1 + ^Phito\Akm, p^) 11 П 1 + У р^\Акт, р")|
5<р<п Xй=2/ / р<5 Xh=l
и ввиду (8.31), (8.37) и (8.38) это есть величина < П(1 +с(/+ О),
р. t
где произведение берется по всем парам р, t, для которых р111 пг. Это произведение <^иЕ.
Ввиду неравенства (8.38) вторая сумма в (8.46) не превосходит
П (1 + 8/2-*) < nF
Р^П
Следовательно, по (8.31) и (8.45),
(8.47)(8.48)(8.47)(8.48)У, А (пг, q)-С п-6 + F (пг),
(8.47)
(8.48)
(8.47)
(8.48)
U<q<V
где
F (m) = Е Е A (m, s)r<n806 Ulr<sCVIr
(s,r)=l, s=^
Согласно (8.39) и (8.40) и свойству мультипликативности А(пг, s),
A(m, s) = Е* c(x)x(m) (se^),(8.49)
Xmod s
где У* означает сумму по примитивным характерам, Их)!^"1(8.50)
и для X > 0
Е‘ |c(x)|x<8*)s"\(8.51)
X mod s
Лемма 8.2. Пусть / — натуральное число. Тогда для произвольных комплексных чисел b (%)
/ N3/2\2/3/\(2l-l)pi
(EIE Е* Hx)xW| ) Е Е* I ь(х) l2//(2Z-1)),
\jc = 1 | q^Q Xmod q| X^mod qX
где
В = (AX1^ + QUi) д^/б (iOg (Nre)yil"WW и входящая в <§( постоянная абсолютна.
Доказательство. В случае 1= 1 по лемме 5.3 (неравенство большого решета) для произвольных комплексных чисел С\, ..., CnДоказательство. В случае 1= 1 по лемме 5.3 (неравенство большого решета) для произвольных комплексных чисел С\, ..., CnqqNN22NNЕ Е схе (ax/q) «С (N + Q2) Е I сх I2- (a, q) ™ 1Е Е схе (ax/q) «С (N + Q2) Е I сх I2- (a, q) ™ 1(8.52)(8.52)
Доказательство. В случае 1= 1 по лемме 5.3 (неравенство большого решета) для произвольных комплексных чисел С\, ..., Cn
Доказательство. В случае 1= 1 по лемме 5.3 (неравенство большого решета) для произвольных комплексных чисел С\, ..., Cn
q
q
N
N
2
2
N
N
Е Е схе (ax/q) «С (N + Q2) Е I сх I2- (a, q) ™ 1
Е Е схе (ax/q) «С (N + Q2) Е I сх I2- (a, q) ™ 1
(8.52)
(8.52)
Из теории сумм Гаусса (см. § 20 [Hasse, 1964] или § 9 [Дэвенпорт, 1966]) для примитивного характера % по
модулю q.модулю q.ОтсюдаОтсюдаe*^mod qe*^mod qNE CxX^NE CxX^2Cr1 E%mod q2Cr1 E%mod qqNqN22E X GO E cxB Ш .y = l Ж-1E X GO E cxB Ш .y = l Ж-1
модулю q.
модулю q.
Отсюда
Отсюда
e*
^mod q
e*
^mod q
N
E CxX^
N
E CxX^
2
Cr1 E
%mod q
2
Cr1 E
%mod q
qN
qN
2
2
E X GO E cxB Ш .
y = l Ж-1
E X GO E cxB Ш .
y = l Ж-1
q
t^Lit^e (yx/q) = % (x), y-i
где |т|%) ]2 = q. Следовательно,
Л'qN
E ^xW = t(z)'' E %(y) У cxe<yx(qY
x=\Z/ = IX = 1
Е Г<7^Q ^mod qЕ Г<7^Q ^mod qNE Cx7. (*)№1NE Cx7. (*)№1Е Е*q^Q Xmod qЕ Е*q^Q Xmod q
Е Г
<7^Q ^mod q
Е Г
<7^Q ^mod q
N
E Cx7. (*)
№1
N
E Cx7. (*)
№1
Е Е*
q^Q Xmod q
Е Е*
q^Q Xmod q
Поэтому из ортогональности характеров и (8.52)
2N
« (W + Q2) E I cx I2-
N
Применение этой оценки к /-й степени суммы У, схх(х) дает
где •dti= Е' Сх...Сх,
.Xj ... х^ у1
и У означает, что суммирование по X; ограничивается условием Xj ^ N. Предположим, что X > 2. Тогда посредством двойного применения неравенства Гёльдера имеем
\dy\2<dl^2-2i4 Е' 1ч •■•^|Т
/ N1Х1-2/Л / N \2Цк
ЕИу12<(Е d^yy^-^-^Л (Еых)уху = 1z xx=l '
где di{y)— число решений уравнения xi ... Xi = у в xi, ..., xz. Следовательно, по теореме 288 Харди, Литтлвуда, Полна (1951), . . ~
1 N•XRX-1MX-1№
Е Е Е ^(x)xW )<
•JC—l q^Q Xmod q'
у* Ife^i^-ny2/-^)
гдегде.x»<Q %mod q)
где
где
BK=<NHWXBK=<NHWX\(1 - W(2Z)
BK=<NHWX
BK=<NHWX
^z (i/)(^-W-2>)
Пусть X = 3. Тогда лемма следует при условии, что для 1
у^х
На самом деле при помощи индукции по г нетрудно видеть, что dr^xy^ ^ dr(x)dr(y), а посредством индукции по s —что
2 dr(^<X(logXers-*
У^х
Е dAyYy-^^ XeYs.
Пусть Qo — Ur™' и Qt = ni;2, пусть 6(%) = с(%), когда ^-модули % принадлежат S’, (7, г)=1 и U/r<.q^V/r, и пусть Ь^ = 0 в других случаях. Тогда по (8.48) и (8.49)
F(m) =ГF(m) =ГЕ Е* Н№) q %mod qЕ Е* Н№) q %mod q(8.53)
F(m) =
Г
F(m) =
Г
Е Е* Н№) q %mod q
Е Е* Н№) q %mod q
Согласно лемме 8.2, неравенству Гельдера, неравенствам
2пЕ2пЕЕЕ(8.50) и (8.51),.
2п
Е
2п
Е
Е
Е
m=n+l Q^x<q<=Qi Xmod q
< n (/ log (2w))(',-№)Q-J/(2/> П (1 + ^p-^Y21"^ p<n'
Последнее выражение
< n"^ (/ log (2пеЖ-1дап (log W1'^
илиили<C nU 1/2r1/2 (log nV<C nU 1/2r1/2 (log nV
или
или
<C nU 1/2r1/2 (log nV
<C nU 1/2r1/2 (log nV
в зависимости от того /> 1 или 1= 1. Следовательно, суммирование по I, для которых Qz-i ^ V, дает в силу (8.44) и (8.53)
2п
Пусть X = 1 /(logп). Тогда
Е I Л (т, 9)|< 2 (q/V)x\A(m, <7)1 = q>VqeS
= v~x П flp^n X= v~x П flp^n X+ X P^ IЛ (от, pA) |).h=\/+ X P^ IЛ (от, pA) |).h=\/qeS
= v~x П flp^n X
= v~x П flp^n X
+ X P^ IЛ (от, pA) |).h=\/
+ X P^ IЛ (от, pA) |).h=\/
Отсюда в силу (8.31), (8.38) и (8.44)
X I A (tn, q) | < exp (— (log n)26) X q>v qe$
X П fl + 240 £ ^"‘'^--^«exp^log^ 5<_p^n \k=0/
Следовательно, no (8.54), (8.44) и (8.6) для всех, кроме <^n1-6, значений m, удовлетворяющих условию п < т ^ 2п,
(п (Дл(™.хр^п х/Г=о(п (Дл(™.хр^п х/Г=оимеем
(п (Дл(™.
хр^п х/Г=о
(п (Дл(™.
хр^п х/Г=о
ph) — ® (от, n1/12) J С ехр(— (log nf),
что и требовалось.
Завершение доказательства теоремы 8.1
Согласно теоремам 8.2 и 8.3, для всех, кроме <С«1-6, величин т, таких, что п < т 2п, имеем
R (т) = I (т) f f Д (Д Л (от, /)}) +
+ О (exp (— (log м)6))} + О (п1/30~б).
Рассмотрим величину 1(пг), заданную в (8.3), когда п <_ <2 т 2п. Для i/з, уз, удовлетворяющих неравенствам ^т — ^п<у3, у5<^т — ^п, имеем 4 « < Уз, Уз < п и 4 п< < т—уз—уз < п. Следовательно, /(от) 1§> п1/30. То, что /(т) <С ^ ^i/so, тривиально. Таким образом, достаточно показать, что
П f£ А(т, ph)\ р^п \п^0/П f£ А(т, ph)\ р^п \п^0/> (log п) с.> (log п) с.(8.55)(8.55)
П f£ А(т, ph)\ р^п \п^0/
П f£ А(т, ph)\ р^п \п^0/
> (log п) с.
> (log п) с.
(8.55)
(8.55)
Согласно неравенству (8.38), существует константа С, такая, что
^ (У А(т, ph)> У (1—Ср"1) >(logn)"°.
С<р<пхвдС<р^п
Следовательно, надо показать только, что для каждого простого числа р имеет место неравенство
2 Л (m, ph)>p 6.h = 02 Л (m, ph)>p 6.h = 0(8.56)(8.56)
2 Л (m, ph)>p 6.
h = 0
2 Л (m, ph)>p 6.
h = 0
(8.56)
(8.56)
Из (8.5) легко вывести (ср. с леммой 2.12), что
t
p2t £ A (m, ph) = М (т, ph,(8.57)
о
где М^т, ph— число решений сравнения
х2 + У3 + z5 = т (mod ph(8.58)
с 1^х, у, z ^ pf. Пусть у(2)=3, у(р)=1. (р>2). При р С а сравнение х2 = a(modpz) имеет решение для каждого /^у(р) всякий раз, когда оно имеет решение для t — чкрУ
Таким образом, если возможно показать, что (8.58) разрешимо, когда ^ = у(р) с р Т х, то р2<-2"«р) различных решений можно получить в общем случае ^^у(р), взяв любые у', z', такие, что у' = у (mod pv(p)), г'= z(mod pv(p)). Таким образом,
М (т, ph ^ p2t-2y(?)i
что ввиду (8.57) дает неравенство (8.56).
То, что (8.58) разрешимо с 2 Т х, когда р = 2 и / = 1=у(р) = 3, тривиально. Остается установить соответствующий результат для р > 2.
Число кубических или нулевых вычетов по модулю р по меньшей мере равно (р—1)/(3, р—1)+1. Заключение будет следовать отсюда по принципу «ящиков», если показать, что число N вычетов по модулю р вида х2 или х2 ь+ 1 с 1 ^ х ^ р — 1 имеет выражение
Этот результат легко получается из формулыЭтот результат легко получается из формулы
Этот результат легко получается из формулы
Этот результат легко получается из формулы
Упражнения
Покажите, что почти каждое натуральное число имеет вид p-Vxk.
Покажите, что card{«: п#= р ^ хк, п ^ Х^ ^> ХХ!к,
Пусть /?(«) означает число решений уравнения х2 + у3 + г6 = п
с х > 0, у > 0, г > 0. Покажите, что (О ^ R ^ = ЯГ (4) Г (4) Г (4) + О (Я5/6), 00 Г (4) Г (4) Г (4) = 0,73
хг + у3 + г6 = п (mod д') всегда разрешимо с(х, </)=!.
Получите асимптотическую формулу для числа представлений числа в виде суммы двух квадратов, двух кубов и двух пятых степеней.
Примечание редактора
См. также замечательные работы К- Хооли: On Waring’s problem for two squares and three cubes. J. Reine Angew. A4athem., 1981, 328, p. 161—207; On another sieve method and the numbers that are a sum of two /г-th powers. Proc. London Math. Soc. 1981, 43:3, p. 73—109.
9
Однородные уравнения и теорема Бёрча
Введение
Пусть F(xb ..., xs) — однородная форма степени 6^2 с целыми коэффициентами. Естественно возникает вопрос, имеет ли уравнение
F^xtх$) = 0(9.1)
нетривиальное решение, т. е. решение в целых Xj, не все из которых равны нулю. Очевидно, если 6 четное, указанное уравнение может иметь только тривиальное решение. Однако, когда к нечетное, можно надеяться на большее. Льюис Lewis, 19у7], основываясь на ранней работе Брауэра Brauer, 1945], показал, что для достаточно большого $ любая кубическая форма от s переменных с целыми коэффициентами имеет нетривиальный нуль. Вскоре это утверждение было распространено Бёрчем [Birch, 1957] на формы произвольной нечетной степени. В действительности Бёрч доказал даже несколько больше. Целью настоящей главы является рассмотрение теоремы Бёрча. О более поздних ра* ботах в этом направлении и близких темах читатель может узнать из сборника работ Дэвенпорта (1977).
Доказательство теоремы Бёрча основано на частном случае, именно на разрешимости аддитивного однородного уравнения
■ схх^ + ... + с^ = 0,(9.2)
а это может быть установлено при помощи метода Харди —. Литтлвуда. ■
Аддитивные однородные уравнения ;
Для получения следующей теоремы применимы методы гл. 2, 4 и 5, поэтому ее доказательство дано лишь в общих чертах.
Теорема 9.1. Пусть к ^2 и s0, как в теореме 5.4, и пусть s ^ min(so, 2* + 1) и s ^ 4/г2 — k + 1. Предположим также,
что когда к — четное, не все целые числа с\, ,.., cs имеют один знак. Тогда уравнение (9.2) имеет нетривиальное решение в целых числах xi,..., xs.
Всюду в этом параграфе постоянные могут зависеть от С], . . . , Сд.
Если имеется /, такое, что С; = 0, утверждение теоремы тривиально. Таким образом, можно считать, что для любого J Cj =N 0. Для нечетного к также можно считать (если необходимо, заменяя xi на —%i), что не все с/ имеют один знак. Пусть R(N) означает число решений уравнения (9.2) с 1 <3 ^ Xj ^ N. Тогда методы, развитые в гл. 2, 4 и 5, дают
R W = @7 (Л/) + О <Ns-h-b\
гдегде® = Пт гм-Is (А
где
где
рh—0
S(q)= £ IJ (9-1S (9, «С/))a=l /=.1(a, g)-l
JW = £ ... £ к'Цтх ...ms^-x. m,-l ms=l cimi + ... + csms-0
Эти методы показывают далее, что существует число С, зависящее разве что от сх,..., cs, такое, что
Р>С
ииJ (N) > Ns~k.
и
и
Теперь достаточно показать, что Т(р)> 0, и снова это будет следовать, если показать, что Mp^q), число решений сравнения
F (Х[xs) = схх^ + ... + csx* = 0 (mod <?)
t не-(9.3)t не-(9.3)с 1 ^ х, ^ q, удовлетворяет для достаточно большого равенству
t не-
(9.3)
t не-
(9.3)
W> С(р)р^
с некоторым положительным (Др1), зависящим только от С1, ..., cs и р.
Для того чтобы оценить MF, необходимо преобразовать переменные так, чтобы получить новую форму Н, в которой подходящее число коэффициентов взаимно просто с р. Выберем т/ так, что p^lWCj, и hj, Ц так, что т/ = Л/^^// и 0^
^ Ц <. к. Тогда
^ (^ь ..., х$) = G (р^хь ..., p^xs), гдеG (хь ..., xs) = d^'xx + ... + dsp'^Xs
и для t > hMF кр^> откудаФорму G гдеи для t > hMF кр^> откудаФорму G гдеи d; = CjP^i. Пусть теперь h = max Л/. Тогда Р^'Ч,p^x^P^G^. xs)
и для t > h
MF кр^> откуда
Форму G где
и для t > h
MF кр^> откуда
Форму G где
t-hAh. t-hAh.
p1 pss
E E i^Af^p^-^n/^/,
ph^G (X]xs) = 0 (m°d P*)
М,И(9.4)
можно переписать в виде
G = G<0' + pG(l + ... A p^'G^-^G^^G^tx^ = 'Ld^.
Очевидно, существуют l и г, такие, что г ^ s/k и G(p содержит по крайней мере г переменных. Рассмотрим форму
н (хь ..., xs) = ( Е Р^ (РЛ + Е Лп (х^1)) р"1.
\i<ii>i)
Теперь
М6^>МН^(9.5)
и Н имеет вид
Н = Н^ + рНт + ... + p»-i//(»-i),
где //(0) содержит по крайней мере г переменных, r^s/k, и все ее коэффициенты взаимно просты с р. Можно считать, если необходимо, переименовав переменные, что
7/(0) = Н№ (х^ __1Х^ = Д^к + ... + drx^_
Согласно неравенствам (9.5) и (9.4), для доказательства (9.3) теперь достаточно показать, что существует положительное число Ci(p), такое, что для достаточно большого /
MH(ipt)>C1(p)pt^\(9.6)
Пусть т означает наивысшую степень р, делящую к, и положим у = т + 1 при р > 2 или т = 0 и у — т + 2 при р = 2 и т ^ 1. Тогда, как в § 2.6, будем иметь (9.6), если показать, что для каждого m сравнение
dvx^ 4-...+ drx^ = m (mod р^(9.7)
разрешимо в xi, ..., xr с р -f xt.
Пусть К = pv-T-i (д, рт^р—1)) Тогда число к-х степеней вычетов по модулю pv есть ф(pv)//(. Следовательно, по лемме 2.14 множество Л] вычетов т по модулю р^, которые могут быть записаны в виде
d^ + • • • + d^, (р Т х^.
удовлетворяет условию cardЛ^ ^ min(рг, ^(рУ)/^). Таким образом, если г ^ 4к, т. е. s^4k2—к, то (9.7) имеет решение желаемого типа, и это завершает доказательство теоремы 9.1.
Предположим, что Ci, ..., cs— целые, такие, что для каждого q сравнение схх^ + ... + csx* = 0 (mod q) имеет решение с (х/, 7) = 1 для некоторого /. Тогда, следуя Дэвенпорту и Льюису (1963), говорят, что ci, ..., cs удовлетворяют условию конгруэнтности, Р (6) определяют как наименьшее s, такое, что каждая последовательность целых с\cs удовлетворяет условию конгруэнтности, a G*(,k)— как наименьшее число t, такое, что всякий раз, как s ^ t, уравнение
сххх + ... + с^ = О
имеет нетривиальное решение в целых числах, если ci, ..., cs, не все одного знака при четном к и удовлетворяют условию конгруэнтности.
Предыдущие рассуждения дают Р(6)^4^2— к + 1 и С*(й) min(so, 2е + 1). Дэвенпорт и Льюис показали: (i) что Г*(&)^&2+1; (ii) что Г*(й) = &2 + 1, когда fe+1 простое, и (iii) что G*(£) jg: £2 + 1, когда к ^ 18 и к ^ 6. Вон (19766) сократил разрыв в (iii), применив методы гл. 5, 6, 7 при 11^6^17.
Для малых значений к величина Р(6) известна. (См. [Bierstedt, 1963], [Bovey, 1974], [Dodson, 1967], [Norton, 1966].) Также, на основе более ранних работ Нортона i[Norton, 1966] и Човлы, Шимуры [Chowla, Shimura, 1963], Титавайненом [Tietavainen, 1971] было показано, что
,. Г* 2й + 1)2
lim sup —= i—т •
й log ft log 2
Теорема Бёрча
Теорема 9.2 (Бёрч, 1957). Пусть j, I— натуральные числа, и пусть к\, ..., kj — нечетные натуральные числа. Тогда существует число Wj^ki, .... kj, I) со следующим свойством. Пусть F\(x), ..., Fj^ — формы от х = (хь ..., xs) степеней к\, ..., kj соответственно с рациональными коэффициентами.
Тогда, каково бы ни было
s > 47(61кь /),
существует l-мерное векторное пространство V в Qs, такое, что для каждого хе V
^(х)= ... =FM = O.
На первом шаге доказательства устанавливается справедливость теоремы в случае, когда / = 1, Fi аддитивна и 6 ^ 3.
Лемма 9.1. Существует число Ф^к,Г), определенное для натуральных чисел k, I с нечетным к 3, такое, что если s ^ Ф (к, I), то для каждой формы с{х^ + ... + с^ с рациональными Cics существует l-мерное векторное простран* ство V в Qs, такое, что для любого xeV
схх^...фс^=О.(9.8)
Доказательство. По теореме 9.1 найдутся t = Иф?) и z/i, ,., .,., yt, не все равные нулю, такие, что-
сфН ... ^ctykt=0.
Аналогично для
с1+\У(+1 + • • • + с^Уу. = ^
и т. д. Следовательно, при s ^ It точка
(«1Уь ..., Uiyt, u2yt+iu2y2tШуи, 00)
удовлетворяет уравнению (9.8) для всех ихщ.
Доказательство теоремы 9.2. Пусть k = max kt, так что к — нечетное положительное число. Доказательство проводится индукцией по нечетным к. Для к = 1 результат установлен. При к ^ 3 главный шаг состоит в том, чтобы показать: если теорема имеет место для систем форм, таких, что max kt ^ к — 2, то она справедлива для одной формы степени к. Это заключение затем легко обобщается на систему форм степени не выше к.
Для формы
F<x) = F(xxxs) =£ счifcx4...Xib
‘6
(нечетной) степени к рассмотрим
F («оУ10' + «1У;1’ + • • • + Wn+lУln+1,) =
...(и^А-..-^un+vy^^
= Е и и JL с о</г<«+1
Теперь определим е<*) = (1, 0, 0, ,..), е<2) = (0, 1, 0, ,..) и т. д. и возьмем uo = v, у<°> = у, уО) = еО), у<2> = е<2>Тогда перегруппировка членов дает
F (УУ + uvew + ... + ип+1е^п+^ =
=ДуЛ, Е uik-hF(у; а, /1,..., к-^(9.9)
гдеF (у; h, jv}к_,)
— форма степени к от у = (z/i, ..., у$). Общее число таких форм с нечетным h, 1 ^ h ^ к — 2 и 1 ^ jr ^ п + 1, не превосходит ^(п+О*. Следовательно, в силу предположения индукции находим, что при условии
^^^^(й-2,к-2, 1)
соответствующие уравнения
^(У; h, ju ..., jk-н) — О
имеют нетривиальное решение z(0) в Qs.
Если z(0\ eO), ,.,, е^+Ч линейно зависимы в Qs, то исключение одного из е</> дает линейную независимость множества n + 1 точек в Qs. Таким образом, в любом случае, беря в качестве одного из Ы/ в (9.9) нуль и, если необходимо, переименовывая переменные, получаем, что z<°>, zO>zW линейно независимы и таковы, что
F (yz№ + u^z^ + • •. + ипг^ =
= cuk-V- Е y^uHCotu), (9.10)
Л—2h четное
где Gh(и) — форма степени к — h от и = (щ, ..., м„).
Линейная независимость z<°> zw обеспечивает то,
х = uz^> -f- uizW _-)т ,,, -тЕ unzw.х = uz^> -f- uizW _-)т ,,, -тЕ unzw.что, если
х = uz^> -f- uizW _-)т ,,, -тЕ unzw.
х = uz^> -f- uizW _-)т ,,, -тЕ unzw.
нетривиальные наборы (у, wi, ,,., ил) дают нетривиальные значения для х.
Рассмотрим систему форм
Gh (и) = 0, h четное, 2 h <4 к—1.(9.1Ц
Степень k — h нечетна в каждом случае. Следовательно, дальнейшее применение предположения индукции показывает, что, когда п ^ Та (k — 2, ..., к — 2, т), т. е.
s Da sQ^k, m),
система (9.11) разрешима для каждого вектора и т-мерного векторного пространства U в Q". Пусть uw, ..., u(m) m линейно независимых точек в U и
и = ty^^)-{- ... 4- wmu(m).
Линейная независимость снова обеспечивает то, что нетри- виальность w в Qm влечет за собой нетривиальность и в Q”. Следовательно, по формуле (9.10) для нетривиального вектора (у, wy, ..., wm) существует нетривиальный вектор х — = (xi, ..., Xs), такой, что
F(x) = cvk + H(w),
где Н— форма от w = (оч, ..., Wm) степени к, т. е. F представляется в виде су* 4~ H(w).
Повторение этих рассуждений показывает, что если s ^ ^Si(&, Z), то F представляется диагональной формой '
^у*+ ... + с^,
где 1 = Ф(к, I). Лемма 9.1 теперь дает случай j — 1, кг = к теоремы.
Чтобы завершить рассуждения индукции, остается исследовать общий случай системы / уравнений Fi = ... = Fj = 0 с max ki = к. Это делается в свою очередь индукцией по j. Случай / = 1 был только что рассмотрен. Предположим, что j > 1. Не ограничивая общности, можно предполагать, что kj = к. Согласно утверждению в случае / = 1, если для данного m s^T^^/, m), то существует m-мерное векторное пространство U в Qs, такое, что Е/(х) = 0 для любого хе U, Точки U могут быть представлены в виде
у1х<1)4- . . . 4- ymXW,
где х^, .,., х(т) — линейно независимые точки Qs. Для этих точек формы F\Fj-\ становятся формами от у =(yi, ,,, ,,,, ym). Если
‘max k^k — 2,
то используется главное предположение индукции. Если max kt = k.
то используется предположение индукции по /. В любом случае при условии, что m^Vy-if^i, ..., ki_\, I), существует /-мерное векторное пространство V в Qm, на котором каждая форма Ft равна нулю. Это заканчивает доказательство теоремы. 14
Упражнения
Применяя методы гл. 7, покажите, что
Iim sup .-■-
Применяя методы гл. 6, покажите, что G*(3)^8, G*(4)^ 14, G* (5)^23, G*(6)^ 36.
Покажите, что Г*(2) = 5, Г*(3) = 7, Г*(4)=17 и что Г* (А) ^ min(s0, 2к + 1)..
Примечание редактора
и =и =* В связи с теоремой Бёрча см работы Архипова Г. И. и КарацубыА. А. О локальном представлении нуля формой. Изв. АН СССР, сер. матем., 1981, 45:5, с. 948—961, Об одной задаче теории сравнений. УМН, 1982, 37:5, с. 161—162; здесь, в частности доказана теорема: Пусть р— простое число; для любого натурального числа г существует такое щ = и, (г; р), что при п ^ гц существует форма F(xi, ..., х^) степени, не превосходящей п, с целым коэффициентами, число переменных которой К, К ^ рп.
и =
и =
logp П logp logp п ... logp .. . logp п logp ... logp n '
и тривиально представляющая нуль в поле р-адических чисел.
10
Теорема Рота
Введение
В 1927 г. Ван дер Варден [Waerden, В. L. van der, 1927] доказал, что для заданных натуральных чисел /, г существует п0(/, г), такое, что если п пй(1, г) и множество {1, 2, .... п} разбито на г подмножеств, то по крайней мере одно подмножество содержит I членов арифметической прогрессии.
Для произвольного множества натуральных чисел st пусть
Д(п) = Д(п, ^)=^1, D^ = DQi, ^) = 1д(м)
a<n, as Л
(10.1)
и d и 3— соответственно нижняя и верхняя асимптотические плотности st1.
d = d ^) = Игл inf D (п), Я = d (^) = lim sup D {п). (10.2)П-*ооП->ОО
В случае когда d = 3, пусть d = d(j^) означает их общее значение, асимптотическую плотность st. Эрдеш и Туран |[Erdos, Turan, 1936] на основе анализа известных доказательств теоремы ван дер Вардена высказали предположение, что каждое множество st с 3(Х)>0 содержит арифметические прогрессии произвольной длины. Эквивалентное утверждение состоит в том, что если существует /, такое, что st не содержит / членов арифметической прогрессии, то d(^) = 0.
Первый нетривиальный случай: /= 3. Справедливость предположения в этом случае впервые установил Рот [Roth, 1952, 1953, 1954] при помощи остроумного применения метода Харди — Литтлвуда.
Другим методом Семереди [Szemeredi, 1969] доказал предположение для / = 4, а Рот (1972) дал иное доказательство, используя свой предыдущий метод.
В 1975 г. Семереди установил общий случай. К сожалению, доказательство Семереди использует теорему Ван дер Вардена. Позднее Фюрстенбург [Furstenburg, 1977] доказал теорему Семереди, основываясь на идеях эргодической теории. Хотя в доказательстве не применяется теорема Ван дер
Вардена, очевидно, что оно имеет похожую структуру и, таким образом, все еще не дает желаемого результата.
Идеи, возникшие при изучении проблемы, позволили Фюрстенбургу (1977) и Шаркёзи [Sarkozy, 1978а, Z>] установить, что если 5(^)>0, то множество чисел вида а — а' с aesi, а' г st содержит бесконечно много полных квадратов.
В этой главе доказывается теорема Рота с использованием его варианта метода Харди — Литтлвуда и развивается доказательство теоремы Шаркёзи — Фюрстенбурга по Фюрстенбургу, но без эргодической теории.
На протяжении всей главы постоянные являются абсолютными.
Теорема Рота
Пусть М^Дп) означает наибольшее число элементов, которые можно выбрать из множества {1, 2, ..., п} так, чтобы никакие / из них не принадлежали прогрессии. Пусть
риЦп^п-^Чп).
Тогда теорема Семереди формулируется в виде lim p,IZ) («) = (),
что, очевидно, включает в себя предположение Эрдеша — Турана. Как показывает следующая лемма, легко доказать, что такой предел существует. Другое дело — найти его значение.
Лемма 10.1. Для любого целого числа I существует lim рФ (п). Кроме того, для m ^ п справедливо нера
венство p(Z) (т) ^ 2р<б (и).
Доказательство. Из определения М^ тривиально следует, что
MW ^m + п) < М^ {т) + MW (п).
Поэтому
(т) < [-^- ] М«> (и) + М^> ^т — п [-^]) <
<-^-M<Zl(n) + a.'
Следовательно, pw (т) ^ рДЧгЧ 4- п/т, так что lim sup рД (m) ^ p,(i) (и), m->oo
откуда
lim sup !T<Z) (m) ^ Нт inf ul!>(n), m->ooп->оо
Кроме того, при m^n MW (щ) ^ (m/n + l)M<Z)(n) ^ <2 ‘IMW (п) т/п.
Следующая теорема не только показывает, что при / = 3 рассматриваемый предел равен нулю, но и дает оценку величины Л4(3) (и).
Теорема 10.1 (Рот). Пусть п^З. Тогда ц(3)(п)-^ « (loglogп)-1.
С этого момента предполагается, что / = 3, и для удобства верхний индекс (/) опускается.
Выберем / с {1, 2, ..., п}, так что card Ж = М (п) и никакие 3 элемента Ж не принадлежат прогрессии. Пусть
f («) = У е (“т)-
1
ТогдаМ (п) = f (a)2 f (— 2а) da,(10.3)
о
поскольку интеграл справа равен числу решений уравнения mi + m2 — 2т3 с т, е Ж, а по построению Ж такие решения могут быть только при mi = т2 = т3.
Пусть х(х)
означает
характеристическую
функцию мно-
жества Ж, так
что
/(«)
= У, х(х)е(ах).
(Ю.4)
Предположим,
что
т < п,
(10.5)
и рассмотрим
и(а) =
= ц (т) У е (ах) х = 1
(10.6)
и
Е(а) =
= и (а) — f (а).
Тогда
Е(а)--
= У с (х) е (ах), х=\
(Ю.7)
где
с(х)--
= ц(т) — х(х).
(10.8)
Идея доказательства состоит в том, что если М (п) близко к п, то интеграл
1
f (°)21 (— 2а) daо
должен бы быть ближе к М(п)2, чем к М^п) (ср. с (10.3)). Чтобы показать это, прежде всего используется беспорядочность арифметической структуры Ж, чтобы заменить f на у со сравнительно малой погрешностью. Это достаточно общий принцип, возникший из применений метода, изложенного в предыдущих главах; суммы вида
2 е (а^)х < п, х г Л
стремятся иметь «пики» в точках a/q, когда элементы si регулярно распределены в классах вычетов по модулю q, тогда как у (а) имеет «пики» значений в целых точках.
Пусть
F(a)= 52 e(az).(10.9)
z=0
Лемма 10.2. Пусть q— натуральное число, q < n/m, и для у = 1, 2, ..., п — mq пусть
п: -1
<!('/) = "('/; т, »)= Е с(Нч). (10.10) №0
Тогда cr(t/) 0 (у = 1, 2, ..., п — mq) (10.11) и
F (aq) Е (а) = £ ст (у) е (а (у + mq — q)) + R (а),(10.12)
где R (а) удовлетворяет неравенству
[/?(«) | < 2m2q.(10.13)
Доказательство. Объединяя члены произведения FE, для которых х + zq = h + mq — q, получаем
п
F (aq) E (a) =52 e (a (h + mq — q)) X
h = \-Vq-mq
X 52 С (Л + 7 (m — 1 — 2)).
Z = 0
Внутренняя сумма по абсолютной величине не больше т, поэтому общий вклад членов с h ^ 0 и h > п— mq не превышает по модулю m(m^ + (m—1 )</)< 2m2q. Для остальных значений h имеем 1 ^ h + q {т — 1 — z) ^ п для всех z в интервале [0, т—1]. Это дает (10.12) и (10.13).
Согласно (10.8) и (10.10),
о (у) = М (от) — 52 х (z/ + ха).
*-о
Пусть
r = Z x^y-VxqY
Тогда г — число элементов Л среди у, у + q, ..., у + + (т—l)^. Пусть это элементы y-j-^i?, •••> У + xrq. Тогда никакие три из них не принадлежат прогрессии. Следовательно, никакие три из чисел х\, ..., х, не принадлежат прогрессии. Те же рассуждения применимы для 1 + Xi, ..., 1 + + хг. Кроме того, 1 + х/^ т. Отсюда rs^M(m), что дает (10.11).■
Лемма 10.3. Предположим, что 2m2 < п. Тогда для каждого действительного числа а
^(а) | < 2п (ц(т) — p(n)) + 16m2.
Доказательство. По лемме 2.1 существуют a, q, такие, что (a, q)=l, 1 sC q ^ 2m и |а— a/q\^ l/(2^m). Тогда
К(а, q) = F(aq — а) = F^,
где |p|^l/(2m). Следовательно, согласно (10.9),
. п . I sin л/пв I 2mF (aq) = —:—> —-.
4 4 I sin пр | п
Таким образом, в силу леммы 10.2
|m| Е (а) |<|т|£(а)|<|Т («<?)£(«) |<
Е а (У) + 2т2q < mE (0) + 8т3.
Кроме того, согласно (10.7) и (10.8),
Е (0) = Е (и (т) — % (х)) = п (ц (т) — р, (п)). Х = 1
Отсюда следует лемма.
Доказательство теоремы 10.1. Пусть
I = ^ f (а)2 у (- 2а) da.(10.14)
о
Тогда ввиду формул (10.4) и (10.6)
i= Е X
Ъ е=Л1.21а+6
Таким образом, если Afi — число нечетных элементов Л, а Д42— число четных элементов, так что Мх + М2 = М (га), то
I = р И (М\ + Ma) > 4 И М М (га)2.(10.15)
Согласно (10.3) и (10.14),
|М(я)-7||М(я)-7|^(шах|Е(а) |) \ | / (а) |2da.
|М(я)-7|
|М(я)-7|
Следовательно, по лемме 10.3 и равенству Парсеваля, в случае когда 2m2 < п, имеем
| М (п) — / | ^ (2га (р(гаг) — р(га)) + 16т2)Л4 (га).
Отсюда ввиду (10.15)
р (т) р (га) ^4 (р (m) — р(га)) + 34m2ra_| (2m2 < га). (10.16)
Переход к пределу при п->со, а затем при т-*оо показывает, что т= lim р (га) удовлетворяет неравенству т2 ^ 0.
Для того чтобы получить количественное выражение этого, положим
X ^ = р (2ЗХ).
Ввиду леммы 10.1 достаточно показать, что X (2х) <С х-1. Согласно (10.16),
X (у) X {у + 1) < 4 (X (у) - X {у + 1)) + 34 X 2"<
Деление на Х^Х^у + 1), суммирование по у = х, х^-1, .,, ..., 2х — 1 и применение леммы 10.1 дают
x<4A.(2x)-i + 200хА, (2x)~22"34
Если Л(2х)> 1/х, второй член справа < 4 х для достаточно больших х, так что Х(2х)<8Д, что дает желаемое утверждение.
Теорема Фюрстенбурга и Шаркоци
Теорема 10.2. Пусть si- — множество натуральных чисел с Я(^)> 0, и пусть R(n)—число решений уравнения
а — а' = х2
в а, а', х, где а е s^, а' е гФ, а ^п. Тогда
lim sup R (га) га-3/2 > 0.
П->оо
Эта теорема несколько сильнее теоремы 1.2 Фюрстенбурга (1977). У Шаркоци (1978) подход другой. Он применяет ме-
тоды § 10.2, чтобы показать, что если уравнение а — д'= х2 имеет только тривиальные решения, то
А(гг) С/г (loglog/г)2/3 (log д)-1/3.
Пусть Л’о — бесконечное множество натуральных чисел, такое, что
Иш гг-1 А(п) = Я^,П->оо.
n е .fo
пусть 5Ra ^q, а) = {а : | а — a]q |q~'4i~^2},(10.17)
и пусть/ (а) = У е (ад).
а.^па е Л
Необходимо показать, что f имеет довольно обычное поведение на ЗЛД^, а). Для п 4
1
^ I / (а) I2 ^а ^ ^ I / (а) I2 tZa ^ гг.
Жп (q, а)0
Следовательно, интеграл
I / (а) |2д-1 (Zum„ Vq- а)
ограничен равномерно по q, а, п. Поэтому можно выбрать бесконечные множества ^(^, д) натуральных чисел, такие, что
ЛД1. 1) = ^(1, O)c^o, ^(^+ 1, Г) с; A (fl, q — 1),
A (q, a'} cz A (q, а) при 1 ^ a < д' ^ q — 1A (q, a'} cz A (q, а) при 1 ^ a < д' ^ q — 1= (д, g) = 1, и предел= (д, g) = 1, и предели (o', 9) =и (o', 9) =
A (q, a'} cz A (q, а) при 1 ^ a < д' ^ q — 1
A (q, a'} cz A (q, а) при 1 ^ a < д' ^ q — 1
= (д, g) = 1, и предел
= (д, g) = 1, и предел
и (o', 9) =
и (o', 9) =
p(^, д) = iim J | f (a) |2 n-1 da.ne Jf (q, a) ®n ^' al
существует. Таким образом, при заданном Q для всех достаточно больших п п е A ^Q, Q — 1) имеем
q.q
££ P(^,a)<l+ ££ J | f (a) |2n-1 da
qCQ a-1q<Q a=l ®„(q. a)
(a. q)-l(a, q)-l n
и Wn(q, а) с 1 ^ а ^ q ^ Q, (a,q) = 1 попарно не пересекаются. Поэтому
q1
^ У, р(^, а) < 1 + j |/(а) |2«-Ча<2.
q ^Q а — 1О
Следовательно, ряд У У Р (q, а)
q = l а=1
(а, 9) = 1
СХОДИТСЯ.
Определение больших и малых дуг
Предположим, что 0<т]<1, и выберем Q = Qo(h)> так что
У У Р(9, «Хи, Q>^-(10.18)
^saQ+1 а = \ (й, q^l
Теперь определим
Ь=Ц<Ж P = km(10.19)
и, начиная отсюда, будем предполагать, что ne Jf(P, Р— 1).
Затем для заданного X ^ 1 выберем по = п0(,т\, Х')^ X2, так что при п > по и 1 ^ а ^ q ^ Р, (a, q) = 1, большие дуги
ЭДн, x(q, а) = {а: |а—a/q\^ Xq-ln~Y}
попарно не пересекаются,
| / (а) |2 и-1 da < р (q, а) + т]Р-2(10.20)
Жп <9. а'
иA^>^dn.(10.21)
Ввиду (10.17) для п ^ По 2Лл, х (q, а) с: Э1„ {q, а). Поэтому в силу (10.20)
| / (а) |2п-1 da < р(^, а) + т]Р~2.(10.22)
®n, x^q- а1
Обозначим через 2Л объединение больших дуг ЗЛ^,x{q, а) с 1 ^ а ^ q ^ Р и (a, q) = 1 и определим малые дуги го,
полагая
ш = (Хп-‘, 1 + ,Ya-']\9Л.
Далее
g(p)= Е/Ф-с2),(10.23)
где
N^n/kyfz.(10.24)
Тогда, согласно (10.19), 1
R^n)^^, где 31 = g (Ла) | f (a) p da. (10.25)
В силу теоремы 4.1 при (a, <?) = 1
^(у)^-^ (q, a) h (Y — ^ + О (^9/16(l + ^1 Y — ^ | ))•
(10.26)
где
qn,
S (q, a) = ^ e (ax'2/q), h (₽) = ^ у ' (₽a) da. (10.27)
Кроме того, по теореме 4.2 S^q, a) <^.qd2.
Вклад малых дуг
Предположим, что а е ш. Выберем a, q так, что (a,q) = \, q^.N413, ] Ла—a/q\^. q-^N-4/3. Пусть ai = а/(Л, a), q\ = = qk/(k,a). Тогда |a—a\]qx | ^ q-xN~4/3 и (ai, ^i)= 1. Поскольку asm, либо q\>P, либо |a — a\/q\| > Xn-xq^x. В первом случае в силу (10.26)
g(£a) -^q-vzN + qw6 (1 + №|Ла — у |) <
« NkvzP-vv -V N№,
а во втором случае |Ла — a/q| > Xn~xq~x, так что ввиду (10.26), (10.27) и леммы 2.8
g(ka) < q"№\ta- У"''2 -VN3-' <пХВХ'№ -У N3!\
Следовательно, согласно (10.19), в любом случае gkka^Nk^-VnV^-VN^.
Отсюда по равенству Парсеваля
\gW\t ^\z da « (Nk'^-Vn^X-^ + N^n. (10.28)
Вклад больших дуг
Теперь предположим, что а е. 9Яп, х (q, а), где 1 ^ а ^ q ^ Р и (a,g)=l. Пусть q\ = q/(q, k), a\ = ak/^q,kY Тогда ввиду (10.26)
g W = q; ‘S (7P a,) h ^k (a — y)) +
+ O(g9/16(l+^|a--^j)).
Остаточный член этой формулы мажорируется величиной Р + №kXtrx. Поэтому
j g (Aa) | / (a) |2 da = 9tv + О (Pn + №kX\ (10.29) где
£$ q;xS^qv a^h^k^a —^y^ \Ha^\2 da.
q^P й-1 ®n x^< a
la. q>—l
В силу (10.22) и (10.18) сумма членов с q ^ Q + 1 по абсолютной величине не превосходит
Z 2 Nn (p(g, а) + лЛ"2) <2n\Nn. q=Q+l a = l ■ a. q\ = l
При q ^ Q ввиду (10.19) q\k, так что qx = 1. Следовательно,
Я, = Я2 + О (лЛТг),(10.30)
где
^2=^ У h^k ^а — ^y\t ка^ d°-- q<Q a = l sirt х^Ч- “
a. g) = l '
Легко показать, что для любого положительного числа У
У
а-1/2 cos a da > 0.
о
Поэтому в силу (10.27)
№ 151
- ReA(3) = | 3 Г1'2^ 4а-1/2С05 2ла<7а> 0.(10.31)
Следовательно, отбрасывая в ^2 все члены, за исключением одного с а = q = 1, получаем
Re й2 Re A (Aa) | / (а) |2 da.
-Ч4пп
Кроме того, если |а| ^ 1/(4лп), то имеем
f — f (0) = ^ 2лй е фх) d^,*=i о
х ел.
так что
|/(а)|^/(0)(1-2л|а|п)^4/(0) = 1Дф).
Следовательно,Следовательно,Re ^!2 > 4 л КRe ^!2 > 4 л К1/4лпRe h (to) da.о1/4лпRe h (to) da.о(10.32)(10.32)
Следовательно,
Следовательно,
Re ^!2 > 4 л К
Re ^!2 > 4 л К
1/4лп
Re h (to) da.
о
1/4лп
Re h (to) da.
о
(10.32)
(10.32)
Завершение доказательства теоремы 10.2
Согласно соотношениям (10.24) и (10.31), Re h (to) ^ ^N, как только 4лп|а|^ 1. Поэтому в силу неравенств (10.32) и (10.21)'
32л«250 ‘
Таким образом, в силу (10.25), (10.28) и (10.30)
R (п) > Я=Ке ^=Re ^2+<Э((№ 44«1/2T~ ^
> ^ nN - С ^Nk~40 + пмЪг'^цЖ) (10.33)
для подходящей постоянной С ^ 1.
Доказательство завершается подходящим выбором параметров. Пусть
ц = 10~4d2C-1.
Это фиксирует Q = Qo(t]), а следовательно, к и Р. Заметим, что ввиду (10.18) и (10.19) к ^ Q > 1/ц.
Пусть
'X = Т]-2&,
и предположим, что п ^ п0(т], X), neJ^^P, Р—1).
Наконец, пусть N = [ (n/k)1/2], так что (10.24) выполняется. Теперь для п пДц)
С((Nk~to + прХ-хр + N^n + -r\Nn) <
< С ^T\Nn + ‘x\ttpk-Xil + T\Nn + ^Nn) < 5Cr\Nn = -^q d2Nn.
Следовательно, ввиду (10.33)
lim sup R (д') п~3/2 1Д d2k~'12 > 0.
что и требовалось доказать.
Упражнения
Докажите теорему Шаркоци, сформулированную в § 10.3.
Покажите, что если d(^) > 0 и R(n) означает число решений уравнения а— а'= р—1 с а ^ s4-, а'е.з^, а ^ п, р простое, то
lim sup^(/i) (logn)n“2 > 0.
11
Диофантовынеравенства
11.1 Теорема Дэвенпорта и Хельбронна
Все формы метода Харди — Литтлвуда, описанные до сих пор, были связаны с решением уравнений в целых числах. Например, в гл. 9 показано, что если s достаточно большое, то для заданных целых Cics (или, что эквивалентно, для заданных рациональных Ci, ..., с$), не все из которых одного знака при к четном, уравнение
+ ... + csx^ = 0
имеет нетривиальное решение в целых Xi, ..., х5. Теперь возникает вопрос, что происходит, когда не все Cj, ..., cs являются рациональными числами. При этом неразумно требовать, чтобы форма представляла 0, но можно вместо этого потребовать, чтобы она принимала произвольно малые значения.
Для ответа на этот вопрос Дэвенпорт и Хельбронн (1946) ввели своеобразный вариант метода Харди — Литтлвуда. Это позволило им получить следующую теорему.
Теорема 11.1. Предположим, что s ^ 26 + 1 и М, ..., Zs — отличные от нуля действительные числа, не все из которых рациональные и не все одного знака при четном к. Тогда для любого положительного числа ц существуют целые хь ..., xs, не все равные нулю, такие, что
|^+...+^|<n.(ид)
Достаточно доказать теорему для ц = 1, так как затем в ней можно заменить Xj на Х//ц.
Кроме того, если к нечетное, замена при необходимости х^ на (—X])* дает возможность считать и в этом случае также, что не все X/ имеют один знак.
Введя новые обозначения, можно предполагать, что Xi/X2 — иррациональное. Если Xi/Xs > О, рассматриваем любое /, для которого Х1/Х/ < 0. Тогда если X\/Xj рациональное, то X2/Xj — иррациональное и отрицательное. В любом случае,
снова заменив обозначения, можно предполагать, что
Х1/Х2— иррациональное и отрицательное. (Н.2)
Во всех формах метода Харди — Литтлвуда, рассмотренных до сих пор, основным орудием были преобразования Фурье на торе (torus), Т = R\Z. Для решения данной проблемы удобнее работать на R. Очевидным аналогом формулы (1.8) является тождество
Ь(ав)ДД2^а=Л 1 (IPKD-
2 яа I о а р । > о.
Однако существуют некоторые трудности, связанные с этим преобразованием из-за того, что интеграл не сходится абсолютно. Более удобно, следовательно, вместо него использовать интеграл
/(Р) = ^eHW^W,(П-З)
Непосредственное применение интегральной формулы Коши дает
/(Р) = тах(1 —|Р|, 0).(11.4)
Пусть
f (а)=Е е(ахА), f, (а) = f (Л,а).(11.5)
Для успешного применения метода необходимо, чтобы интеграл
w =(ц-6)
-oo\/ = l/
имел положительную нижнюю границу. Согласно (11.4) и (Н.5), этот интеграл равен
^ ... £ max(l-|a1xf+ ... +V)|> °):
xl=11
эта величина может быть положительной, только если существуют XixSl для которых выполняется (11.1) С Т] = 1. Таким образом, теорема 11.1 вытекает из следующей теоремы.
Теорема 11.2. Предположим, что s >2*. Тогда существуют сколь угодно большие N, для которых
Ns-\
Отметим, что всюду в этой главе неявные постоянные могут зависеть от Хь ..., Х$.
Определение больших и малых дуг
Используемая здесь форма метода Харди — Литтлвуда несколько проще тех, которые были описаны ранее. Наиболее важное упрощение вызвано тем, что при подходящем выборе N подынтегральное выражение имеет только один действительно большой пик в начале координат. Поэтому иррациональность Х1/Х2 обеспечивает относительную малость одной из функций fi, /"2, когда а не близко к нулю.
Пусть
’ = F = N'-(Н.7)
Тогда R разбивается на три части: одна большая дуга
ЗЛ={а: \a\^PN"^,(11.8)
пара малых дуг
m = {a: PN-k <|а|^ Р}(11.9)
и «тривиальная» область
t = {а: |а|>Р}.(11.10)
Оценка интеграла по тривиальной области производится быстро. По лемме Хуа (лемма 2.5),
Х+1XХ+1XIf, (a)j2&da < N^-h^If, (a)j2&da < N^-h^
Х+1
X
Х+1
X
If, (a)j2&da < N^-h^
If, (a)j2&da < N^-h^
так что по неравенству Гёльдера
Х+1XХ+1XД^(а) йа. «; №к-ь^е.Д^(а) йа. «; №к-ь^е.(11.11)(11.11)
Х+1
X
Х+1
X
Д^(а) йа. «; №к-ь^е.
Д^(а) йа. «; №к-ь^е.
(11.11)
(11.11)
Таким образом, согласно (11.3),
Следовательно,Следовательно,^r^^Ui-V pf\/1=0^r^^Ui-V pf\/1=0(11.12)(11.12)
Следовательно,
Следовательно,
^r^^Ui-V pf\
/1=0
^r^^Ui-V pf\
/1=0
(11.12)
(11.12)
здесь и ниже б—фиксированное положительное число, зависящее разве что от к, s, Хь .,.,
lim sup (4гN-»oo \Nlim sup (4гN-»oo \N
lim sup (4г
N-»oo \N
lim sup (4г
N-»oo \N
Оценка на малых дугах
Оценка на малых дугах
Именно при оценке на ш используется иррациональность Х\/Х2 и требуется специальный выбор N.
Лемма 11.1. Пусть a, q— произвольная пара чисел с условием (a, q^ = \ и
Пусть далее N = q2. Тогда
sup min (I h («) I, I /2 («) I) < N' ~6.
Существование сколь угодно большого q и, следовательно, N, удовлетворяющего лемме 11.1, обеспечивается леммой 2.1 и иррациональностью Х\/Х2. Такие N встречаются довольно редко, но, во всяком случае, их бесконечно много. Эта лемма неверна, если не производить такой специализации. Например, можно показать, что для подходящего Xi/X2
sup min (| Л (a) I, | f2 (a) |)
Доказательство леммы 11.1. Предположим, что N ^ ^ ^(Хь ..., Xs),aEl и Q — Пя-"2. Выберем q,, а, в соответствии с леммой 2.1 такими, что .
(^, a,)=l, q^Q, \Xia — ailqi\<;\KqiQV
Первый шаг состоит в том, чтобы показать, что по крайней мере одно из q\, q2 сравнительно велико. Если бы а; равнялось 0, тогда мы имели бы
I/^QIX/IX^
и, следовательно, а принадлежало бы Э1, а не ш. Таким образом, а, 0. Кроме этого, имеем
Поэтому
в силу того, что N и, следовательно, Q велико, дает
и, следовательно,
Согласно предположению,
^ = ^ + 6^с|0|<1.
Отсюда<Q 1 + q < N v = q\
так что| a2qxa — q2axq | <С | адх \jq.
Если левая часть здесь не нуль, то | a2qx | 5> q, а если нуль, то a/q — ^сц') /^qi'), что снова дает | a2qx | 1» q. Поскольку а2 = X2a.q2 — 02Q-1 <S q^P, то имеем qxq2 >> qP~\ Следовательно, ввиду (11.7)
max (^i, 72) > №/5.(11.13)
Теперь, по неравенству Вейля (лемма 2.4), для / = 1, 2
Ма> <^>+sQ + ^ + ^ <N^^-k + .V1"6.
Отсюда ввиду (11.13)
mindf^a) |, |/2(a) |)« W1-6,
что и требовалось.
Для завершения доказательства теоремы 11.2 будем предполагать, что N выбрано специальным образом в соответствии с леммой 11.1. Пусть
m, = {a: asm, I f, (а) К |/2 (а) [}, т^шХШ].
Согласно (11.3), ^(cc) <С min(l, а-2). Кроме того, рассуждения, которыми мы получили оценку (11.11), показывают, что
Х+1Х+1da. « N2ii-k+e,da. « N2ii-k+e,так чтотак чтоXX2^+1П6 «г = 12^+1П6 «г = 1К (a) da. < №ft-s+e.К (a) da. < №ft-s+e.
Х+1
Х+1
da. « N2ii-k+e,
da. « N2ii-k+e,
так что
так что
X
X
2^+1
П6 «
г = 1
2^+1
П6 «
г = 1
К (a) da. < №ft-s+e.
К (a) da. < №ft-s+e.
Следовательно, по лемме 11.1, если / = 1 или 2,
2^+1
Таким образом, существует положительное б, такое, что
(11.14)(11.14)JJ f/ (a) К (a) da <С Ns-k~6,
(11.14)
(11.14)
f, (а) | К (а) da » N^.f, (а) | К (а) da » N^.(11.15)(11.15)
f, (а) | К (а) da » N^.
f, (а) | К (а) da » N^.
(11.15)
(11.15)
Большая дуга
Ввиду (11.12) и (11.14) остается только показать, что для достаточно большого N
гдегдеV/ (a) = ^ е (Xja^d^.V/ (a) = ^ е (Xja^d^.(11.16)(11.16)
где
где
V/ (a) = ^ е (Xja^d^.
V/ (a) = ^ е (Xja^d^.
(11.16)
(11.16)
т \/=i
Пусть аеЖ. Ввиду (11.7), (11.8), леммы 2.7 и замечания после доказательства этой леммы имеем
М<х) = М«) + О0И’
Следовательно,
А ... А-и ... ^^-^(ПА^П^
Отсюда ввиду (11.8)
fi^- До, (a) \K^da<Ns-k-\ (11.17)
Заменив переменные в интеграле (11.16), а также заметив, что
-Ау*/£-1е (у) д^
о
есть С 1 равномерно по X ^ 0, находим, что уДа) <^ |a|-1/ft.
Отсюда по (11.7) и (11.8)
У; (a) J К (a) da С \ a~slk da <С №-к^х-',1к\
к\эд х/—1
Таким образом,
У/(а) U(a)da+O (№^в).
В силу (11.16) -оо\/-1/
оо WN
= ^ da ^ (Zp, ... ^ е ((Л,р^ + ... + ASPS&) а) К (а) (Zp$. — оо ОО
Поскольку Л(а) <S min(l, а-2) и подынтегральная функция непрерывна, порядок интегрирования можно изменить. Следовательно, согласно (11.3) и (11.4),
ГД (а)^/< (a) (Za = -оо \/ = 1/
NN
= $<...$ max (1 — | X^f + . . . + ^SP^|, 0)< = оо
= k~ ^ (Zo] .. . ^ (а,. . ,as)I/A-1 max (1— | Л^^. . . +Asas |, O)das. оо
Теперь требуется предположение, что Х1/Х2 < 0. Рассмотрим область
= {(а2, ..., as) : bNk < а2 < 26ZV\ №Nk < а, <
< 262Nk (3 < / < s)}.
Тогда для достаточно малого 6, каков бы ни был элемент (аг, ..., as) е X имеем'
< - (Лгаг + .. . + Asas) АГ* < ^Nk,
и поэтому каждое аь такое, что | Л,^] + . . . + Asas | ^ 4> УД°В‘ летворяет неравенствам ЬгКь <^оц <. Nh. Следовательно,
j f П U/(a)(а) ^Za 5> (ZV1-&)S (Za2 . . . (Za$ j da.x,
-60 \/ = l /^Л (a2a4)
где ^(аг, .... as) означает интервал с концами в точках (— (Л2а2 + .. . + Asa$) ±7) ^Г1. Очевидно, объем ^ есть )§> (Affc)s-1, Поэтому
11.5 Упражнения
(Дэвенпорт, Рот, 1955; Вон, 19746.) Получите теорему 11.1 для любого s^Ck log к, где С — подходящая постоянная.
Пусть М, Х2, Хз, р, ц — действительные числа, X/ =/= 0, т]>0, Х^Х2— иррациональное и Xi/Z2 С 0. Покажите, что существуют простые pi, р2, рз, такие, что
I Xipi + Х2р2 + Хзрз + р | < Л-
(Baker, 1967; Vaughan, 1974а.) Модифицируя рассуждения, использованные в вопросе 2, покажите, что существует бесконечно много троек простых чисел pi, р2, рз, таких, что
I ^\Pi + ^Ps + ХзРз + р | < (log max PiV.
(Бэйкер)1) Пусть /7(М)->0 при N->oo. Докажите, что утверждение «для любого достаточно большого N существуют простые pt, р2, рз, такие, что pj^N и |Xipi + + Х2р2 + Х3рз\ > F(N)», может быть ложным для подходящих %i, Х2, Хз, для которых Xt/X2 > 0 и Xt/X2 иррационально.
*) Сообщено в разговоре в июне 1973 г.
Библиография
Apostol, Т. M. (1976). Introduction to analytic number theory. New York: Springer Verlag. [В].
Arhipov, G. I. & Kar’atsuba, A. A. (1978). A new estimate of an integral of I. M.
Vinogradov. Izv.Akad. Nauk SSSR, ser. mat., 42, 751-62. [5].
Arkhangelskaya, V. M. (1957). Some calculations connected with Goldbach’s
problem. Ukraine Math. J., 9, 20-9. [3]
Ayoub, R. (1953a). On Rademacher’s extension of the Goldbach-Vinogradoff theorem. Trans. Am. Math. Soc., 74, 482-91. [G].
Ayoub, R. (1953b).On the Waring-Siegel theorem. Can. J. Math., 5, 439-50. [G].
Babaev, G. & Subhankulov, M. A. (1963). An asymptotic formula for two additive
' problems. Tadjhik. Gos. Univ. Utsen. Zap., 26, 49-68. [G],.
Baker, A. (1967). Ori some diophantine inequalities involving primes. J. Reine
Angew. Math., 228, 166-81. [11].
Bambah/R. P. (1954). Four squares and a к-th power. Q. J. Math., 5, 191-202.
[Ш"
Batchelder, P, M. (1936). Waring’ problem. Am. Math. Month., 43, 21-7. [1, S].
Behrend, F. A. (1946). On sets of integers which contain no three terms in arithmetical progression. Proc. Natn. Acad. Sci. U.S.A., 32, 331-2. [10].
Bierstedt, R. G. (1963). Some problems on the distribution of kth power residues modulo a prime. Ph.D. thesis. University of Colorado, Boulder. [9].
Birch, B. J. (1957). Homogeneous forms of odd degree in a large number of variables. Mathematika; 4, 102-5. [9].
Birch, B. J. (1962). Forms in many variables. Proc. R. Soc. Land., 265A, 245-63.
Birch, B. J. (1970). Small zeros of diagonal forms of odd degree in many variables. Proc.Lond. Math. Soc., (3), 21, 12-18. [9].
Birch, B. J. & Davenport; H. (1958). On a theorem of Davenport and Heilbronn. Acta Math., 100, 259-79. [11].
Birch, B. J., Davenport, Hi & Lewis, D. J. (1962). The addition of norm forms.
Mathematika, 9, 75-82. [GJ.
Bombieri, E. & Davenport, H. (1966). Small differences between prime numbers.
Proc. R. Soc. bond., 193 A, 1-18. [GJ.
Bovey, J. D. (1974). Г*(8). Acta Arith., 25, 145-50. [9].
Brauer, R. (1945). A note on systems of homogeneous algebraic equations. Bull.
Am. Math. Soc., 51, 749-55. [9].
Cassels, J. W. S. (1960). On the representation of integers as the sums of distinct summands taken from a fixed set. Acta Sci. Math. Szeged, 21, 111-24. [10].
Cauchy, A. L. (1813). Recherches sur les nombres. J. Ec. Polytech., 9, 99-116. [2] Chen, J. -R. (1958). On Waring’s problem for n-th powers. Acta Math. Sinica, 8, 253-7, translated in Chin. Math. Acta, 8 (1966), 849-53. [5].
Chen, J. -R. (1959). On the representation of a natural number as a sum of terms of the form x(x + 1)... (x + к — 1 )/k I. Acta Math. Sinica., 9, 264-70. [GJ.
Chen, J.-R. (1964). Waring's problem for <7(5) = 37. Scientia Sinica, 13, 335 and 1547 68. See also Sci. Rec., 3 (1959), 327-30. [1].
Chen, J. -R. (1965). On large odd numbers as sums of three almost equal primes. Scientia Sinica, 14, 1113-17. [3].
Chowla, 1. (1935u). A theorem on the addition of residue classes. Proc. Indian Acad. Sci., 2, 242-3. [2].
Chowla, I. (19356). A theorem on the addition of residue classes: Application to the number Г(к) in Waring’s problem. Proc. Indian Math. Soc., 2A, 242-3, and Q. J. Math., 8 (1937), 99-102. [4].
Chowla, I. (1937«). On F(k) in Waring's problem and an analogous function. Proc,' Indian Acad. Sci., 5A, 269-76. [4].
Chowla, I. (19376). A new evaluation of the number F(k) in Waring’s problem. Proc. Indian Acad. Sci., 6A, 97-103. [4].
Chowla, S. D. (1934). A theorem on irrational indefinite quadratic forms. J. Land. Math. Soc., 9, 162-3. [11].
Chowla, S. D. (1936). Pillai’s exact formula for the number g(n) in Waring's problem. Proc. Indian Acad. Sci.. ЗА, 339 40 and 4, 261. [1].
Chowla, S. D. (1944). On g(k) in Waring’s problem. Proc. Lahore Philos. Soc., 6, 16-17. [1].
Chowla, S. D. (1960). On a conjecture of J. F. Gray, Norske Vid. Selsk. Forh. (Trondheim), 33, 58-9. [9].
Chowla, S. D. (1961). On the congruence S,„ г а,х* = 0 (mod p), J. Indian Math Soc., 25, 47-8. [9].
Chowla, S. D. (1963). On a conjecture of Artin, I, II. Norske Vid. Selsk. Forh. (TYondheim), 36, 135-41. [9].
Chowla, S. D. & Davenport, H. (1960/1961). On Weyl’s inequality and Waring’s problem for cubes. Acta Arith., 6, 505-21. [9].
Chowla, S. D, & Shimura, G. (1963). On the representation of zero by a linear combination of к-th powers, Norske Vid. Selsk. Forh. (Trondheim), 36, 169-76. [9].
Chudakov, N. O. (1937). On the Goldbach problem. C. R. Acad. Sci. URSS, (2), 17, 335-8.
Chudakov, N. G. (1938). On the density of the set of even numbers which are not representable as a sum of two odd primes. Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Nat., 2, 25 -40. [3].’
Chudakov, bl. G. (1’947). On the Goldbach-Vinogradov's theorem. Ann. Math.,11),4%, 515-45. [3].
Cook, R. J. (1971). Simultaneous quadratic equations. J. Land. Math. Soc., (2), 4, 319-26, [GJ
Cook, R. J. (1972л). A note on a Iemma of Hua. Q. 3. Math., 23, 287-8. [GJ. '
Cook, R. J. (19725). Pairs of additive equations. Michigan Math, J., 19, 325-31.
[GJ.'*
Cook, R. J. (1973л). A note on Waring’s problem. Bull bond. Math. Soc., 5, 11-12.
.
Cook, R. J. (19735). Simultaneous quadratic equations II., Acta’Arith, 25, 1-5. [GJ.
Cook, R. J. (1974). Simultaneous quadratic inequalities. Acta Arith, 25, 337-46. [G], '
Cook, R. J. (1975). Indefinite hermitian forms. J. Bond. Math. Soc., (2), 11,. 107-12.
[G].'. , i
Cook, R. J. (1977, 1979). Diophantine inequalities with mixed powers I, II. J. '
Number Theor., 9, 261-74; 11, 49-68. [GJ.-
Corput, J. G. van der (1937a). Sur le theoreme de Goldbach-Vinogradov, C. R. Acad. Sci, Paris, 205, 479-81. [3].
Corput, J. G. van der (19375). Une nouvelle generalisation du th^or^me de Goldbach-Vinogradov. C. R. Acrid. Sci. Paris, 205, 591-2. [3].
Corput, J. G. van der (1937c). Sur 1’hypothese de Goldbach pour presque tous les nombres pairs. Acta Arith, 2, 266-90. [3].■
Corput, J. G. van der (1937d, 1938a,b,c,d). Sur deux, trois ou quatre nombres . premiers, I, II, III, IV, V. Proc. Akad. Wet. Amsterdam, 40, 846-51; 41, 25-36, 97-107,217-26, 344-49. [GJ... x
Corput, J. G. van'der (1938e). Sur 1’hypothese de Goldbach. Proc. Akad. Wet.
Amsterdam, 41, 76-80. [3].-
Corput, J. G. van der (1938/). Uber Summen von Primzahlen und Primzahlen quadraten. Math. Ann, 116, 1-50. [GJ.
Corput, J. G. van der (1938y,h,i,j, 1939). Contribution a la theorie additive des . nombres I. II, III, IV, V. Proc. Akad. Wet. Amsterdam, 41, 227-37, 350-61, 442-53, 556-67; 42, 336-45. [GJ.
Corput, J. G. van der & Pisot, Ch. (1939). Sur un problems de Waring generalise III, Proc. Akad. Wet. Amsterdam, 42, 566-72. [GJ.
Daniele, I. (1958). The solubility of certain Diophantine inequalities. Proc. Land.
Math. Soc., (3), 8, 161-76. [11J.■
Danicic, I. (1966).. On the integral part of a linear form with prime variables. Can. ' J, Math., 18, 621-28. [11 J.
Davenport, H. (1935). On the addition of residue classes. J. Bond Math. Soc., 10, 30-2. [2].,
Davenport, H. (1938). Sur les sommes de puissances entieres. C. R. Acad. Sci., Paris, 207, 1366-8. [6J.
Davenport, H. (1939a). On Waring’s problem for cubes. Acta Math., 71, 123-43.
C6J.'
Davenport, H. (19395). On sums of positive integral к th .powers. Proc, R. Soc.
Bond., 170A, 293-9. [6].
Davenport; H. (1939c). On Waring’s problem for fourth powers. Ann. Math., 40, 731-47. [6].
Davenport, H. (1942a). On sums of positive integral kth powers. Am. 3, Math., 64, 189-98. [6].’
Davenport, H. (19425). On Waring’s problem forfifth and sixth powers. Am. J.
Math., 64, 199-207. [6J. '
Davenport, H. (1947). A historical note, J. Bond. Math. Soc., 22,100-1. [2J.
Davenport, Н. (1950). Sums of three positive cubes. J. Lond. Math. Soc,, 25, 339-43. [6].
Davenport, H. (1956, 1958). Indefinite quadratic forms in many variables I, II. Mathematika, 3, 81-101; Proc. Lend. Math. Soc., (3), 8, 109-26. [11].
Davenport, H. (1959). Cubic forms in thirty two variables. Philos. Trans. R. Soc.
Lond., 261 A, 193-210. [9].'
Davenport, H. (1960a). liber einige neuere Fortschritte der additiven Zahlentheorie. Jahresbr. der Deutschen Malh. Ver., 63, 163-9. [S].
Davenport, H. (I960/?). Some recent progress in analytic number theory. J. Lond. Math. Soc., 35, 135-42. [8].
Davenport, H. (1962a). Cubic forms in 29 variables. Proc. R. Soc. Lond., 266A, 287-98. [9].
Davenport, H. (19626). Analytic methods for Diophantine equations and Diophantine inequalities. Ann Arbor: Ann Arbor Publishers. [Е].
Davenport, H. (1963). Cubic forms in sixteen variables." Proc. R. Soc. Lond., 272A, 285-303. [9].
Davenport, H. (1966). Multiplicative number theory. 1st edn. Chicago: Markham. 2nd ed. revised by Montgomery, H. L. (1980). Graduate Texts in Mathematics, 74. Berlin: Springer-Verlag. [В].
Davenport, H. (1.977). The collected works of Harold Davenport, vol. Ill, ed. B. J. Birch, H. Halberstram & C. A. Rogers. London: Academic Press'. [GJ.
Davenport, H. & Erdbs, P. (1939). On sums of positive integral kth powers. Ann. Math., 40, 533-6. [6].
Davenport, H. & Heilbronn, H. (1936a). On Waring’s problem for fourth powers. Proc. Lond. Math. Soc., (2), 41, 143-50. [5].
Davenport, H. & Heilbronn, H. (19366). On an exponential sum. Proc. Lond. Math. Soc., (2), 41, 449-53 [4].
Davenport, H. & Heilbronn, H. (1937a). On Waring’s problem! two cubes and one square. Proc. Lond. Math. Soc., (2), 43, 73-104. [8].
Davenport, H. & Heilbronn, H. (1937b). Note on a result in the additive theory of numbers. Proc. Lond. Math. Soc., (2), 43, 142-51. [GJ.
Davenport, H. & Heilbronn, H. (1946). On indefinite quadratic forms in five variables. J. Lond..Math. Soc., 21, 185-93. [11].
Davenport, H. & Lewis, D. J. (1963). Homogeneous additive equations. Proc. R. Soc. Lond., 274A, 443-60. [9].
Davenport, H. & Lewis, D. J. (1966). Cubic equations of additive type. Philos.
Trans. R. Soc. Lond., 261A, 97-136. [G],
Davenport, H. & Lewis, D. J. (1969a). Simultaneous equations of additive type. Philos. Trans. R, Soc. Lond., 264A, 557-95. [G].
Davenport, H. & Lewis, D. J. (1969b). Two additive equations. American Mathematical Society Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 12, 74-98. [GJ..
Davenport, H. & Lewis, D. J. (1972). Gaps between values of positive definite quadratic forms. Acta Arith., 21, 87-105. [G].
Davenport, H. & Ridout, D. (1959). Indefinite quadratic forms. Proc. Lond. Math. Soc., (3), 9, .544-55. [G],
Davenport, H. & Roth, K. F. (1955). The solubility of certain Diophantine inequalities. Mathematika, 2,,81~96. [11].
Dickson, L. E. (1933). Recent progress on Waring’s theorem and its generalizations. Bull. Am. Math. Soc., 39. 701-27. [1].
Dickson, L E.(1936a). Researches on Waring’s problem. Carnegie Inst, of Washington Publ. 464. [1].
Dickson, L. E. (1936b). Proof of the ideal Waring theorem for exponents 7-180.
Am. J. Math., 58, 521-9. [1].'
Dickson, L. E. (1936c). Solution of Waring’s problem. Am. J. Math., 58, 530-5. [1].
Dickson, L. E. (19364). The Waring problem and its generalizations. Bull. Am.
Math. Soc., 42, 833-42. [1].
Dickson, L. E. (1936c). On Waring’s problem and its generalization. Ann. Math., 37. 293-316. [1].
Dickson, L. E. (1936/). The ideal Waring theorem for twelfth powers. Duke Math. J., 2, 192-204. [1].
Dickson, L. E. (1936g). Universal Waring theorems. Monatshefte fur Mathematik und Physik, 43, 391-400. [1].
Dodson, M. M."(1967). Homogeneous additive congruences. Philos. Trans. R. Soc. Lond., 261A, 163-210. [9].
Ehlich, H. (1965). Zur Pillaischen Vermutung. Arch. Math., 16, 223 26. [1].
Ellison, W. J. (1971). Waring’s problem. Am. Math. Mon., 78, 10- 36. [1].
Emel’yanov, G. V. (1950). On a system of Diophantine equations. Leningrad Gos.
Univ. Uch. Zap. 137, Ser. Mat. Nauk, 19, 3-39. [GJ.
Erdos, P. & Turan, P. (1936). On some sequences of integers. J. Lend. Math. Soc., 11, 261-4. [10].'"
Erdos, P. & Vaughan, R. C. (1974). Bounds for the rth coefficients of cyelotomic polynomials. J. Land. Math. Soc., (2), 8, 393-400. [3].
Estermann, T. (1929). On the representation of a number as the sum of three products. Proc. Land. Math. Soc., (2), 29, 453-78. [G].
Estermann, T. (1929). Vereinfachter Beweis eines Satzes von Kloosterman. Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Hamburgischen Universitdt, 7, 82-98. [G], ”
Estermann, T. (1930a,b). On the representation of a number as the sum of two products, I, II. Proc. Lond. Math. Soc., (2), 31, 123-133; J. Land. Math. Soc. 5, 131-7. [G].
Estermann, T. (1936). Proof that every large integer is a sum of seventeen biquadrates. Proc. Lond. Math. Soc., (2), 41, 126-42. [6].
Estermann, T. (1937a). On Waring's problem for fourth and higher powers. Acta ■ Arith., 2, 197-211. [5].
Estermann, T. (1937b). Proof that every large integer is the sum of two primes and a square. Proc. Lond. Math. Soc., (2), 42, 501-16. [GJ.
Estermann, T. (1937c). A new result in the additive prime number theory. Q. J, Math., 8, 32-8. [3].
Estermann, T. (1938). On Goldbach’s problem: Proof that almost all even positive integers are sums of two primes. Proc. Lond. Math. Soc., (2), 44, 307-14. [3].
Estermann, T. (1948). On Waring’s problem: A simple proof of a theorem of Hua. Sci. Rep. Natn. Tsing Hua Univ., 5A, 226-39. [2].
Estermann, T. (1951). On sums of squares of square-free numbers. Proc. Lond.
Math. Soc., (2), 53, 125-37. [G].
Estermann, T. (1952). Introduction to modern prime number theory. Cambridge University Press. [Е].
Estermann, T. (1962). A new application of the Hardy Littlewood- Kloosterman method. Proc. Lond. Math. Soc., (3), 12, 425 -44. [G],
Evelyn, С. J. А. & Linfoot, Е. Н. (1929, 1933). On a problem in the additive theory of numbers I, VI, Math. Z., 30, 433-48; Q. J. Math., 4, 309-14. [GJ.
Eoldes, I. (1952). On the Goldbach hypothesis concerning the prime numbers of an arithmetical progression. C. R. Prem. Cong. Mat. Hongrois, 473-92. [3].
Fowler, J. (1962). A note on cubic equations. Proc. Camb. Philos. Soc., 58, 165-69.
]..
Freiman, G. A. (1949). Solution of Waring's problem in a new form. Uspehi Mat Nauk, 4, 193. [5,8].
Furstenburg, H. (1977). Ergodic behaviour of diagonal measures and a theorem of Szemeredi on arithmetic progressions. J. d’Ana/yse Math., 31, 204-56. [10].
Gallagher, P. X. (1975). Primes and powers of 2. Inventiones Math., 29, 125-42. [G],
Gelbcke, M. (1931). Zum Waringschen Problem. Math. Ann., 105, 637-52. [2].
Gelbcke, M. (1933). A propos de g(kj dans le probleme de Waring. C. R. Acad. Sci.
URSS,^, 631-40. [2].
Ghosh, A. (1981). The distribution of ap2 modulo one. Proc. Lend. Math. Soc.,
[GJ.',
Gray, J. F. (1960). Diagonal forms of odd degree over a finite field. Michigan Math. J., 7, 297-301. [9].'
Grosswald, E. (1968/9). On some conjectures of Hardy and Littlewood. P.ubl.
Ramanujan Inst.,3, 75-89. [8].
Halberstam, H. (1950). Representation of integers as sums of a square, a positive cube, and a fourth power of a prime. J. Lend. Math. Soc., 25, 158-68. [G].
Halberstam, H. (1951a). Representation of integers as sums of a square of,a prime, a cube of a prime, and a cube. Proc. Loud. Math. Soc. (2), 52, 455-66. [G],
Halberstam, H. (1951b). On the representation of large numbers as sums of squares, higher powers, and primes. Proc. bond. Math. Soc., (2), 53, 363-80. [G].
Halberstam, H. (1957). An asymptotic formula in the theory of numbers. Trans.
Am. Math. Soc., 84, 338-51. [GJ.
Hardy, G. H. (1922). Goldbach’s theorem. Math. T.id. B, 1-16. [1].
Hardy, G. H. (1966). Collected papers of G. H.Hardy, including joint papers with
E. Littlewood and others, ed. by a committee appointed by the London Mathematical Society, vol. I. Oxford: Clarendon Press. [Е].
Hardy, G. H. & Littlewood, J. E. (1919). A new solution of Waring’s problem. Q. J. Math., 48, 272-93. [1,2].
Hardy, G. H. & Littlewood, J. E. (1920). Some problems of “Partitio Numerortlm”. I A new solution of Waring’s problem. Gottingen Nachrichten, 33-54, [1, 2].'
Hardy, G. H. & Littlewood, J. E. (1921). Some problems of “Partitio Numerorum”:
II.Proof that every large number is the sum of at most 21 biquadrates. Math. Z., 9, 14-27. [1.6].'
Hardy, G. H. & Littlewood, J. E. (1922). Some problems of “Partitio Numerorum”: IV The singular series in Waring’s problem. Math. Z., 12, 161-88. [4].
Hardy, G. H. & Littlewood, I E. (1923a). Some problems of “Partitio Numerorum": III On the expression of a number as a sum of primes. Acta Math., 44, 1-70. [1,3]..
Hardy, G. H. & Littlewood, J. E- (19236). Some problems of “Partitio Numerorum”: V A further contribution to the study of Goldbach's problem. Proc. Lend. Math. Soc., (2), 22, 46-56. [1,3].
Hardy, G. IJ. & Littlewood, J. E. (1925). Some problems of “Partitio Numerorum”: VI Further researches in Waring’s problem. Math. Z., 23, 1-37. [4, 6].
■Hardy, G. H. & Littlewood, J. E. (1928). Some problems of “Partitio Numerorum”' VIH^ The number Г(к) in Waring’s problem. Proc. bond. Math. Soc., (2), 28, 518-42. [4].
Hardy, G. H., Littlewood, J. E. & Polya, G.' (1951). Inequalities, 2nd edn. Cambridge University Press. [В].
Hardy, G. H. & Ramanujan, S. (1918). Asymptotic formulae in combinatory analysis. Proc. bond. Math. Soc., (2), 17, 75-115. [1].
Hardy, G. H. & Wright, E. M. (1979). An introduction to the theory of numbers, Sth edn. Oxford: Oxford University Press. [В].
Hasse, H. (1964). Vorlesungen uber Zahlentheorie. Zweite aujlage. Berlin: SpringerVerlag. [В]..
Heilbronn, H. (1936). Uber das Waringsche Problem. Acta Arith., 1, 212-21. [5].
Hilbert, D. (1909a,6). Beweis fiir die Darstellbarkeit dtr ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl nter Potenzen (Waringsche Problem). Nachrichten von der Koniglichen Gesellchaft der Wissenschaften zu Gottingen, mathematisch- physikalische Klasse aus den Jahren 1909, 17-36; Math. Annalen, 67, 281-300. [1].
Householder, J. E. (1959). The representation of zero by odd kth power diagonal forms; Ph.D. Thesis. University of Colorado; Boulder. [9].
Hua, L. -K. (1935). On Waring theorems with cubic polynomial summands. Math. Ann., Ill, 622-8. [G].
Hua, L. -K. (1936a,6). On Waring’s problem with polynomial summands. Am. J. Math., 58, 553-62; J. Chin. Math. Soc., 1, 21-61. [GJ.
Hua, L. -K. (1937a). On a generalized Waring problem. Proc. bond. Math. Soc., (2), 43, 161-82.
Hua, L. -K. (1937b). On the representation of integers as the sums of kth powers of primes. C, R. Acad. Sci. URSS, (2), 17, 167-8. [GJ.
Hua, L. -K. (1938a). Some results on Waring’s problem for smaller powers. C. R. Acad. Sci. URSS, (2), 18, 527-8. [6].
Hua, L -K. (1938b). Oh Waring’s problem. Q. J. Math., 9, 199-202. [2].
Hua, L. -K. (1938c,d). Some results in the additive prime number theory. C. R. Acad. Sci. URSS, (2), 18, 3; Q. J. Math., 9, 68-80. [GJ.
Hua, L.-K. (1939). On Waring’s problem for fifth powers. Proc. bond. Math. Soc., (2), 45, [44-60. [6].•
Hua,'L.-K. (1940a). Sur une somme exponentielle. C.' R. Acad. Sci. Paris, 210, 520-3. [7].•
Hua, L. -K. (1940b). Sur le probleme de Waring relatif a un polynofne'du trpisieme degre. C. R. Acad. Sci. Paris, 210, 650-2. [G].
Hua, L.-K. (1940c). On a system of Diophantine equations. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 27, 312-13. [GJ.'
Hua, L. -K. (1940d). On a generalized Waring problem И. J. Chin. Math. Soc., 2,175-91. [GJ. '
Hua, L. -K. (1940c,/). On Waring’s problem with cubic polynomial summands. Sci. Rep. Natn. Tsing Hua Univ., 4A, 55-83; J. Indian Math. Soc., 4, 127-35. [GJ.
Hua, L. -K. (1947). Some results on additive theory of numbers. Proc. Natn. Acad. Sci. U.S.A., 33, 136-7. [GJ.
Hua, L -К. (1949). An improvement of Vinogradov'* mean value theorem and several applications. Q. J. Math., 20, 48-61. [5].
Hua, L. -K. (1952). On the number of solutions of Tarry's problem. Acta Sei. Sinica, 1. 1-76. [7].'
Hua, L. -K. (1957a). On exponential sums. Sci. Rec., 1, 1-4. [4].
Hua, L. -Ki (1957b). On the major arcs in Waring’s problem. Sci. Ree., 1, 17-18.
].'
Hua, L. -K. (1959). Die Abschatzung von Exponentialsummen und ihre anwendung in der Zahlentheorie. Enzyklopadie der Math. Wiss. Band I, 2. Heft 13. Teil 1.
Leipzig: Teubner. [Е].
Hua, L. -K. (1965). Additive theory of prime numbers. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. [Е].
Humphreys, M. G. (1935). On the Waring problem with polynomial summands. Duke Math. J., 1, 361-75. [GJ.
•Huston, R. E. (1935). Asymptotic generalizations of Waring’s theorem. Proc. Land. Math. Soc., (2), 39, 82-115. [GJ.
Huxley, M. N. (1968). The large sieve inequality for algebraic number fields. Mathematika, 15, 178-87. [5].'
Huxley, M. N. (1969). On the differences of primes in arithmetical progressions.
Acta Arith., 15, 367-92. [GJ..
Huxley, M. N. (1973, 1977). Small differences between consecutive primes, I, II. Mathematika, 20,229-32; 24, 142-52. [G], ''"
Iseki, K. (1949). A remark on the Goldbach-Vinogradov theorem. Proc. Jpn, Acad., 25, 185-7. [3]. .'
Iseki, S. (1968). A problem on partitions connected with Waring’s problem. Proc. Am. Math. Soc., 19, 197-204. [2].
James, R. D. (1934a). The value of the number g(k) in Waring’s problem. Trans.
Am. Math. Soc., 36, 395.-444. [2].’,■
James, R. D. (1934b). On Waring’s problem for odd powers. Proc. Lend. Math. Soc., (2), 37, 257-91. [2].
James, R. D. & Weyl, H. (1942). Elementary note on prime number problems of VinogradofTs type. Am. J. Math., 64, 539-52. [3].
Kalinka, V. (1963). Generalization of a lemma of L. -K. Hua for algebraic numbers. Litovsk Mat. Sb:, 3, 149-55. [GJ.
Kamke, E. (1921). .Verallgemeinerungen des Waring-Hilbertschen Satzes. Mat.
Ann., 83‘ 85-112. [GJ.
Kamke, E. (1922). Bemerkung zum allgemein Waringschen Problem. Mat. Z, 15, 188-94. [GJ. ’'
Karatsuba, A. A. (1965). On the estimation of the number of solutions of certain equations. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 165, 31-2, translated in Sov. Math. Dokl., 6, 1402-4. [5]..
Karatsuba, A. A. (1968). A certain system of indeterminate equations. Mat. Z., 4, 125-8. [5]..
Karatsuba, A. A. & Korobov, N. M. (1.963). A mean value theorem. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 149, 245-8. [5].
Kestelman, H. (1937). Ari integral connected with Waring’s problem. J. Land.
Math. Soc., 12, 232-40. [2].'
Khintchine, A. (1952). Three pearls of number theory. Rochester, N.Y.: Grayloek Press. [1],
Kloosterman, Н. D. (1925а). Over het uitdrukken van geheele positieve getallen in den vorm ax1 + by2 + cz2 + di2. Verslag Amsterdam. 34, 1011-15. [G].
Kloosterman, H. D. (1925b). On the representation of numbers in the form ax2 + by2 + cz2 +.dt2. Acta Math., .49, 407-64. [GJ.
Kloosterman, H. D. (1925c), On the representation of numbers in the form ax2 + by2 + cz2 + di2. Proc. Land. Math. Soc., (2), 25, 143-73. [G].
Korner, O. (1960). Ubertragung des Goldbach-Vinogradovschen Satzes auf reell- quadratisch Zahlkorper. Math. Ann., 141, 343-66. [G],
Korner, O. (1961a). Erweiterter Goldbach-Vinogradovscher Satz in beliebigen algebraischen Zahlkorpern. Math. Ann., 143, 344-78. [G].
Korrier, O. (1961b). Zur additiven Primzahltheorie algebraischer Zahlkorper. Math.
' 'Ann., 144, 97-109. [GJ.■
Korner, O. (1961c). Uber das Waringsche Problem in algebraischen Zahlkorper. Math. Ann., 144, 224-38. [G].
Korner, O. (1962). ,Uber Mittelwerte trigonometrischer Summen und ihre Anwendung in algebraischen-Zahlkorpern. Math. Ann., 147, 205-39, corrections, ibid, 149, (1963), 462. [GJ.
Korner, O. (1962/3). Gahze algebraische Zahlen als Summen von PolynoniwSTtafl, Math. Ann., 149, 97-104. [G],
Korner, O. (1964). Darstellung ganzer Grossen durch Primzahlpotenken itr algebraischen Zahlkorpern. Math. Ann., 155, 204-45. [G].
Kovacs, B. (1972). Uber die Losbarkeit diophantischer Gleichungen von additiven Тур. I. Publ. Math., 19, 259-73. [G].
Landau, E,G. H. (1922). Zur additiven Primzahltheorie. Palermo Rend., 46, 349-56.
ГО'
Landau, E. G. H. (1927k Vorlesungen uber Zahlentheorie. Erster Band. Leipzig:
■ Verlag von S. Hirzel. [Е].
Lindau, E. G. H. (1930). Uber die’neue Winogradoffsche Behandlung des Waringschen Problems. Math;Z., 31, 319-38. [2].
Landau, E. G. H. (1937). Uber einige neuere Fortschritte der additiven Zahlentheorie. Cambridge University Press. [Е].
Lau, K. W, & Liu, M.-C. (1978). Linear approximation by primes. Bull. Aust. Math. Soc., 19, 457-66. [11].
Lavrik, A..F. (1959). On a theorem in the additive theory of numbers. Uspehi Mai. Nauk, 14, 197-8. [G],
Lavrik, A. F. (1960a). On the twin prime hypothesis of the theory of primes by the method of I. M. Vinogradov. Doki. Akad. Nauk SSSR, 132, 1013-15, translated in Soviet Math. Dokl, 1 (1960), 700-2. [3].
Lavrik,-A. F. (1960b). On the distribution of к-twin primes. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 132, 1258-60, translated in Soviet Math. Dokl, 1 (1960), 764-6. [3].'
Lavrik, A. F. (1961a). The number of к-twin primes lying in an interval of a given length. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 136, 281-3, translated in Soviet Math. Dokl, 2 (1961), 52-5. [3].'
Lavrik, A. F. (1961b). Binary problems of additive prime number theory connected with the method of trigonometric sums of I. M. Vinogradov. Vestnik Leningrad Univ., 16,11-27. [3].
Lavrik, A. F. (1961c). On the theory of distribution of primes based on
M. Vinogradov's method of trigonometric sums. Trudy Mat. Inst. Steklov, 64, ' 90-125. [3].
Lavrik, A. F. (1961d). On the theory of the distribution of sets of primes with given differences between them. Dokl. Akad. Nauk $SSR, 138, 1287-96, translated in Soviet Math. Dokl., 2 (1961), 827-30. [3].
Lavrik, A. F. (1962). On the.representation of numbers as the sum of primes by Shnirel’man’s method. Izu. Akad. Nauk UzSSR Ser. Fiz.-Mat. Nauk, 3, 5-10. [3]
Lewis, D. J. (1957). Cubic forms over algebraic number fields. Mathemaiika, 4, 97-101. [9].
Lewis, D. J. (1970). Systems of diophantine equations. Symp. Math. IV, INDAM, Rome 1968/1969, 33-43. Academic Press. [G],
Lewis, D. J. (1973). The distribution of the values of real quadratic forms at integer points. American Mathematical Society Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 24, 159-74. [G].
Linnik, Ju. V. (1942, 1943a). On the representation of large numbers as sums of seven cubes. Doklady Akad. Nauk SSSR, 35, 162 and Mat. Sbornik, 12, 218-24.
Linnik, Ju. V. (19436). An elementary solution.of the problem of Waring by Schnirel’man’s method. Mat. Sb., 12, 225-30, [1].
Linnik, Ju. V. (1945). On the possibility of a unique method in certain problems of “additive" and “distributive" prime number theory. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 48, 3-7. [3].'
Linnik, Ju. V. (1946). A new proof of the Goldbach-Vinogradov theorem. Mat.
Sb., 19(61), 3-8. [3].
Linnik, Ju. V. (1951). Prime numbers and powers of two. Trudy Mat. Inst.
Stekloc, 38, 152-169, [GJ.
Linnik, Ju. V. (1951, 1952). Some conditional theorems concerning binary problems with.prime numbers. Doklady. Akad. Nauk SSSR, 77,15-18 and Izu. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 16, 503-20. [3].
Linnik, Ju. V. (1953). Addition of prime numbers with powers of one and the same number. Mat. Sb.; 32(74), 3-60. [G].
Liu, M. -C. (1974). Simultaneous approximation of two additive forms. Proc. Camb. Philos. Soc., 75, 77-82. [GJ.
Liu, M. -C. (1977). Diophantine approximation involving primes. J. Reine Angew. Math., 289, 199-208. [GJ.
Liu, M. -C. (1978). Approximation by a sum of polynomials involving primes. J. Math. Soc. Jpn., 30, 395-412. [G]. •
Liu, M. -C. (1979). Approximation by a sum of polynomials of different degrees involving primes. J. Aust, Math. Soc., 27A, 454-66. [G].
Liu, M, -C, Ng. S. -M. & Tsang, К. -M; (1980). An improved estimate for certain diophantine inequalities. Proc. Am. Math. Soc., 78, 457-63. (GJ.
Lloyd, D. P. (1975). Bounds for solutions of Diophantine equations. Ph.D. thesis. University of Adelaide. [G],.
Lu, M. -G. & Chen, W. -D. (1965). On the solution of systems of linear equations with prime variables. Acta Malh. Sinica, 15, 731-48, translated in Chin. Math.- Acta, 7, 461-79. [GJ. .
Lucke, B. (1926). Zur Hardy-Littlewoodscheh Behandlung des Goldbachschen’ Problems. Dissertation. Math.-naturwiss. Gottingen. [3].
Lursmanashvili, A. P. (1966). Representation of natural numbers by sums of prime numbers. Thbilis. Saheimc. Univ. Shrom. Mekh.-Math. Mecn. Ser., 117, 63-76. [3].
Mahler, К. (1957). On the fractional parts of the powers of a rational number П. Mathematika, 4, 122-4. [1].
Mahler, K. (1968). An unsolved problem on the powers of 3/2. J. Aust. Math. Soc., 8, 313-.2L [1].‘ '
Malyshev, A. V. & Podsypanin, E. V. (1974). Analytic methods in the theory of systems of Diophantine equations and inequalities with a large number of unknowns. Algebra, Topology, Geometry, 12, 5-50. Akad. Nauk SSSR Vsesojuz. Inst. Nauk i Tehn. Informacii. Moscow. [S],
Mardzhanishvili, К. K. (1936, 1937). Ober die simultane Zerfallung ganzer Zahlen in m-te und n-te Potenzen. Dokl: Akad. Nauk SSSR, 2, 263-4 and Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., 609-31, [7].■
Mardzhanishvili, К. K. (1939). Sur un systeme d’equations de Diophante. Doklady Akad. Nauk S.^SR, 22, 467r70. [7]..
Mardzhanishvili, К. K. (1940). Sur un probleme additif de la theorie des nombres. Izv. Akad. Nauk SSSR, 4, 193-214. [7]...
Mardzhanishvili, К. K. (1941). Sur la demonstration du thcoreme de Goldbach- Vinogradoff. Dokl, Akad. Nauk SSSR, 30, 687-9. [3]. •
Mardzhanishvili, К. K. (1947). On an asymptotic formula of the additive theory of prime numbers. Soobscheniya Akad. Nauk Gruzin. SSR, 8, 597-604. [GJ.
Mardzhanishvili, К. K. (1949). On some additive problems with prime numbers.
Uspehi Mat. Nauk, 4, 183-5. [G],
Mardzhanishvili, К. K. (1950a)..On a generalization of Waring’s problem. Soobscheniya Akad. "Nauk Gruzin. SSR, 11, 82-4. [GJ.
Mardzhanishvili, К- K. (1950b). On a system of equations in prime numbers.
Dokl. Akad. Nauk SSSR, 70, 381-3. [GJ."
Mardzhanishvili, К. K. (1950c). Investigations on the application of the method of trigonometric sums to additive problems. Uspehi Mat. Nauk, 5, 236-40. [GJ.
Mardzhanishvili, К. K. (1951a). On the simultaneous representation of pairs of numbers by sums of primes and their squares. Akad. Nauk Gruzin. SSR. Trudy Mat. Inst. Razmaaze, 18, 183-208. [G],'
Mardzhanishvili, К. K. (1951b). On some additive problems of the theory of numbers. Acta Math. Acad, Sci. Hungar., 2, 223-7, [S],
Mardzhanishvili, К. K. (1953). On some nonlinear systems of equations in integers.
Mat. Sb., 33,: (75), 639-75. [7]..''
Miech, R. J. (1968). On the equation n = p + x2. Trans. Am. Math. Soc., 130, '494-512. [G].
Mirsky, L. (1958). Additive prime number theory. Math. Gaz., 42, 7-10. [S],
Mitsui, T. (1960a,b). On the Goldbach problem in an algebraic number field I, П.
.Math. Soc. Jpn., 12, 290-324 and 325-372.
Montgomery, H. L. (1971). A lemma in additive prime number theory. In Topics in multiplicative number theory. Lecture Notes in Mathematics, 227, Chapter 16.
Berlin: Springer-Verlag.{3].
Montgomery, H. L. &. VaUghan, R. C. (1973). Error terms in additive prime number theory. Q.J. Math., (2), 24,207-16. [3].
Montgomery, H. L. & Vaughan, R. C. (1975). The exceptional set in Goldbach’s problem. Acta Arith., 27, 353-70. [3].
Mordell, L. J. (1932). On a sum analogous to a Gauss’s sum. Q. J. Math., 3, 161-7. L71
Narasimhamurti, V. (1941). On Waring's problem for Sth, 9th and 10th powers. J. Indian Math. Soc., 5, 122. [6].
Nechaev, V. I. (1949; 1953). The representation of integers by sums of terms of the form x(x + l)...(x + n — l)/nl. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 64, 159-62 and Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 17, 485-98. [GJ.
Nechaev, V. I. (1951). Waring’s problem for polynomials. Trudy Mat. Inst. Steklov, 38, 190-243. [GJ.
Nechaev, V. I. (1958). Multinomials with small G(/). Uch. Zap. Moscow, gor. ped, in-ta, 71, 291-300. [G].
Nechaev, V. I. & Telesin, Ju. Z. (1962). On the exact value of Gf/^) for sums of multinomials of the second degree. Uch. Zap. Moscow, gor. ped in-ta, 188, 131-8. [GJ.
Newman, D. J. (1960). A simplified proof of Waring’s conjecture. Michigan Math. J., 7,291-5. [1].
Niven, I. (1944). An unsolved case of the Waring problem. Am. J. Math., 66, 137-43. [1].
Norton, К. K. (1966). On homogeneous diagonal congruences of odd degree. Ph. D. thesis. University of Illinois. [9].
Padhy, B. (1936). Pillai’s exact formula for the number g(n) in Waring’s problem. Proc. Indian Acad. Set, ЗА, 341-5. [1].
Pan, С. -T, (1959). Some new results in the additive prime number theory. Acta Math. Sinica, 9, 315-29. [3].
Page, A. (1934a,b). On the representation of a number as a sum of squares and products I, HI. Proc. Land. Math. Soc., (2), 36, 241-56 and 37, 1-16. [G],
Pillai, S. S. (1936a,b,c,d, 1937a,b, 1938a,b,c). On Waring's problem; 1. J.
Indian Math. Soc., 2, 16-44, 131: II. J. Annamalai Univ., 5^145-66: HI. Ibid., 6, 50-3: IV. ibid., 6, 54-64: V. Z Indian Math. Soc., 2, 213-14: VI. J. Annamalai Univ., 6, 171-197: VII. Proc. Indian Acad. Set, 9A, 29-34: VIII. Z Indian Math. Soc., 3, 205-20: IX. Ibid., 221-5. [1].
Pillai, S. S. (1940). On Waring’s problem g(6) = 73. Proc. Indian Acad. Sci., 12A, 30-40. [1].
Pil’tai, G. Z. (1972). On the size of the difference between consecutive primes.
Issled. tear, chisel, 73-9. [G],
Pitman, J. (1968). Cubic inequalities. J. Land. Math. Soc., 43, 119-26. [11].
Pitman, J. (1971a), Bounds for the solutions of diagonal inequalities. Acta Arith., 18, 179-90. [11].
Pitman, J. (19716). Bounds for solutions of diagonal equations. Acta Arith., 19, 223-47. [9, 11].
Pitman, J/& Ridout, D. (1967). Diagonal cubic equations and inequalities. Proc. R. Soc. Lend., 297A, 476-502. [11]..
Pleasants, P. A. B. (1966a). The representation of primes by cubic polynomials.
Acta Arith., 12, 23-45. [G].
Pleasants, P. A. B. (19666). The representation of primes by quadratic and cubic polynomials. Acta Arith., 12,131-63. [G].
Pleasants, P. A. B. (1967). The representation of integers by cubic forms. Proc.
Lond. Math. Soc., (3), 17, 553-76. [G].
Prachar, K, (1953a,6). Uber ein Problem vom Waring-Goldbach’schen Тур. I, П. Monatsk. Math., 57, 66-74; 113-16. [G].
Prachar, К. (1957). Primzahlverteilung. Berlin: Springer-Verlag. [3].
Rademacher, H. (1924a). Uber eine Erweiterung des Goldbachshen Problems. Math. Z., 25, 627-57. [3].
Rademacher, H. (1924b). Zur additiven Primzahltheorie algebraischer Zahlkorper, I Uber die Darstellung totalpositiver Zahlen als Summe von totalpositiven Primzahlen im reell-quadratischen Zahlkorper. Abh. Math. Sem. Hansischen Univ., 3, 109-63. [G],
Rademacher, H. (1924c). Zur additiven Primzahltheorie algebraischer Zahlkorper, Il Uber die Darstellung von Korperzahlen als Summe von Primzahlen im imaginarquadratischen Zahlkorper. Abh, Math. Sem. Hansischen Univ., 3, 331-78. [G],
Rademacher, H. (1926). Zur additiven Primzahltheorie algebraischer Zahlkorper, III Ober die Darstellung totalpositiver Zahlen als Summen von totalpositiven Primzahlen in einem beliebigen Zahlkorper. Math. Z., 27, 321-426. [GJ.
Rademacher, H. (1942). Trends in research: the analytic number theory. Bull. Am. Math. Soc., 48, 379-401. [S],
Rademacher, H. (1950). Additive algebraic number theory, Proc. Intern, Congr. Math., 1, 356-62. [S].
Raghavan, S. (1974). On a Diophantine inequality for forms of additive type. Acte Arith, 24, 499-506. [11].
Ramachandra, K. (1973). On the sums E^i^J/(₽;)■ J. Peine Angew. M-ath., 262/263, 158-65. [11].
Ramanujan, С. P. (1963). Cubic forms over algebraic number fields. Proc. Camb. Philos. Soc., 59, 683-705. [G].
Richert, H. -E. (1953). Aus der additiven Primzahltheorie. J. Reine Angew. Math., 191, 179-98. [3].
Ridout, D. (1958). Indefinite quadratic forms. Mdthematika, 5, 122-4. [11].
Rieger, G. R. (1953a). Uber eine Verallgemeiherung des Waringschen Problems.
Math. Z„ 58, 281-3. [1].'
Rieger, G. R. (1953b,c). Zur Hilbertschen Losung des Waringsehen Problems: Abschatzung von g(n). Mitt. Math. Sem. Giessen, 44, 1-35. and Arch. Math., 4, '275-81. [1].
Rieger, G. R. (1954). Zu Linniks Losung des Waringschen Problems: Abschatzung von g(n). Math. Z„ 60, 213-34. [1].
Roth, K. F. (1949). Proof that almost all positive integers are sums of a square, a positive cube and a fourth power. J. bond. Math. Soc., 24, 4-13. [8].
Roth, K. F. (1951). On Waring’s problem for cubes. Proc. Land. Math. Soc., (2) 53, 268-79.
Roth, K. F. (19s ). A problem in additive number theory. Proc. Lond. Math. Soc., (2), 53, 381-95. [8].’
Roth, K. F. (1952). Sur quelques ensembles d’entiers. C. R^Acad. Sci. Paris, 234, 388-90. [10].■
Roth, K. F. (1953, 1954). On certairf sets of integers I, II. J. Lond. Math. Soc., 28, 104-9 and 29, 20-6. [10].
Roth, K. F. (1967a,b, 1970, 1972). Irregularities of sequences relative to arithmetic progressions I, II, III, IV. Math. Ann., 169, 1-25; ibid., 174, 41-52, J. Number Theor, 2, 125-42; Periodica Math. Hungar., 2, 301-26. [10].
Rubugunday, R. K. (1942). On g(/c) in Waring’s problem, J. Indian Math. Soc., 6, 192-8. [1].'
Ryavec, С. (1969). Cubic forms over algebraic number fields. Proc. Camb. Philos.
Soc., 66, 323-33. [GJ.'
Salem, R. & Spencer, D..C. (1942). On sets of integers which contain no three terms in arithmetical progression. Proc. Natn. Acad. Sci. U.S.A., 28, 561-3. [10].
Salem, R. & Spencer, D. C. (1950). On sets which.do not contain a given number of terms in arithmetical progression. Niew. Arch. Wish., (2), 23, 133-43. [10].
Sambasiva Rao, K. (1941). On Waring's problem for smaller powers. J. Indian Math. Soc., 5, 117-21. [6].
Sarkozy, A. (1978a,6,c). On difference sets of integers I, III, II. Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 31, 125-49; ibid., 355—86; Ann. Univ. Sci. Budapest Rolando Eotvos, Sect. Math., 21, 45-53. [10].
Sastry, S. & Singh, R. (1955/6). A problem in additive number theory. J. Sci. Res. Banaras Hindu Univ., 6, 251-65. [8].
Schmidt, E. (1913). Zum Hilbertschen Beweis des Waringschen Theorems. Math. Ann., 74, 271-4. [1].
Schmidt, W. M. (1976). Equations over finite fields. An elementary approach. Lecture Notes in Mathematics, 536, Berlin: Springer-Verlag. [В].
Schmidt, W. M. (1979a,b}. Small zeros of additive forms in many variables I, II. Trails. Amer. Math. Soc., 248, 121-33; Acta Math., 143, 219-32. [9].
Schmidt, W. M. (1980). Diophantine inequalities for forms of odd degree. Advances in Math., 38, 128-51.
Schwarz, W. (1960/1, 1961). Zur Darstellung Von Dahlen durch Summen von Primzahlpotenzen I, II. J. Reine Angew. Math., 205, 21-47; 206, 78-112. [G].
Schwarz, W. (1963). Uber die Losbarkeit gewisser Ungleichungen durch Primzahlen. J. Reine Angew. Math., 212, 150-7. [8].
Scourfield, E. J. (1960). A generalization of Waring’s problem. J. Land. Math. Soc., 35, 98-116. [5,8].
Siegel, C. L. (1944). Generalization of Waring’s problem to algebraic number fields. Am. J. Math., 66, 122-36. [G],
Siegel, C. L. (1945). Sums of mth powers of algebraic integers. Ann. Math., (2), 46, 313-39. [G].'
Sinnadurai, J. St.-C. L. (1965). Representation of integers as sums of six cubes and one square. Q. J. Math., (2), 16, 289-96. [8].
Stanley, G. K. (1929). On the representation of a number as a sum of squares and primes. Proc. Lond. Math. Soc., (2), 29, 122-44. [G].
Stanley, G. K. (1930). The representation of a number as the sum of one square and a number of к-th powers. Proc. Lond. Math. Soc., (2), 31, 512-53. [G].
Statulevicius, V. (1955). On the representation of odd numbers as the sum of three almost equal prime numbers. Viiniaus Valst. Univ. Mokslo Darbai Mat.
Fiz.-Chem. Mokslu Ser., 3, 5-23. [3].
Stemmier, R. M. (1964). The ideal Waring theorem for exponents 401-200 000.
Math. Comp., 18, 144-6. [1].
Stridsberg, E. (1912). Sur la demonstration de M. Hilbert du theoreme de Waring. Math. Ann., 72, 145-52. [1].
Subhankulov, M. A. (1960). Additive properties of certain sequences of numbers.
Issled. po mat. anal. mech. Uzb., 220-41. [G].
Szekeres, G. (1978). Major arcs in the four cubes problem. J. Aust. Math. Soc., 25A, 423-37. [GJ.
Szerperedi, E. (1969). On sets of integers containing no four elements in arithmetic progression, Acta Math, Acad. Sci. Hungar., 20, 89-104. [16].
Szemeridi, Е. (1975). On sets of integers containing no к elements in arithmetic progression. Acta Arith., 27, 199-245. [10].
Tartakovsky, W. (1935). Uber asymptotische Gesetze der allgemeinen Didphantis'chen. Analyse mil vielen Unbekannten. Bull. Acad. Sci. URSS, 483-524. [9].
Tartakovsky, W. (1958a,6). The number of representations of large numbers by a font) of “general type" with many variables I, II. Vestnik Leningrad Univ., 13, 1.31-54; 14, 5-17. [9].
Tatuzawa, T. (1955). Additive prime number theory in an algebraic number field. J. Math. Soc. Jpn., 7, 409-23. [GJ.
Tatuzawa, T. (1958). On the .Waring problem in an algebraic number field. J.
. Math. Soc. Jpn., 10, 322-41. [G], •
Tatuzawa. T. (1973). On Waring’s problem in algebraic number fields; Acta Arith., 24,37-60. [G].''
Telesin, Yu. Z. (1958). Waring’s problem for polynomials of degree 7, 8, 9, 10. Uch. zap. Moscow, дог. ped. in-ta, 71, 301-11. [G],
Thanigasalam, K. (1966).'A generalization of Waring’s problem for prime powers.
Proc. bond. Math. Soc., (3), 16, 193-212. [GJ.'
Thanigasalam, K. (1967). Asymptotic formula in a generalized Waring’s problem. Proc. Camb. Philos. Soc., 63, 87-98. [8].
Thanigasalam, K. (1967/1968). On additive number theory. Acta Arith., 13, 237-58.
EG].. .■
Thanigasalam, K. (1969). Note on the representation of integers as sums of certain powers.Proc. Camb. Philos. Soc., 65, 445-6. [8].
Thomas, H. E. Jr. (1974). Waring’s problem for twenty two biquadrates. Trans. Am.
Math. Soc., 193, 427-30. [1]..'
Tietavainen, A. (1964). On the non-trivial solvability of some systems of equations . in finite fields. Ann. Univ. Turku. Ser. A. I, No. 71. [9].
Tietavainen, A. (1965). On the non-ttivial solvability of some equations.and- 'systems of equations in finite fields. Ann. Acad. Sci. Pehn. Ser. A. I; No. 360. [9]1
Tietavainen, A. (1971). On a problem of Chowla and Shimura, J. Number Theor., 3, 247-52; [9].■'
Toliver, R. H. (1975). Bounds for solutions of two simultaneous additive equations of odd degree; Ph.D. thesis. University of Michigan. Ann. Arbor. [G].
Tong, К. -C. (1957). On Waring’s problem. Adu. Math., 3, 602-7. [5].'
Trost, E. (1958). Eine Bemerkung zum Waringschen Problem. Elem. Math., 13, 73-5. [1].'
Uchiyama, S. (1961). Three primes in arithmetical progression. Proc. Jpn. Acad., 37< 329-30. [3].''
Vaughan. R. C. (1970). On the representation of numbers as sums of powers of natural numbers. Proc. Land. Math. Soc., (3), 21, 160-80. [8].
Vaughan, R. C. (1971). On sums of mixed powers. J. Land. Math. Soc., (2),3, 677-88. [6].'’
Vaughan, R. C. (1972). On Goldbach’s problem. Acta Arith,, 22, 21-48. ,[3].
Vaughan, R. C. (1973). A hew estimate for the exceptional set in Goldbach’s ’ problem. Am. Math. Soc. Proc. Symp. Pure Math., 24, 315-20. [3].
Vaughan, R. C (1973/1974). A survey of recent work in additive prime number theory. Sem. Theor. Nombres, 19, 1-7. Bordeaux. [SL
Vaughan, R. С. (1974a, 6). Diophantine approximation by prime number* I, II.
Proc. Land. Math. Soc., (3), 28, 373-84; 385-401. [11].
Vaughan, R. C. (1975). Mean value theorems in prime number theory. J. Lend. Math. Soc., (2), 10, 153-62. [3]. .
Vaughan, R. C. (1977a). On pairs of additive cubic equations. Proc. Lend.
Math. Soc., (3), 34, 354-64. [G],
Vaughan, R. C. (19776). Homogeneous additive equations and Waring’s problem. Acta Arith., 33, 231-53. [5, 6, 9].
Vaughan, R. C. (1977c). Sommes trigonometriques sur les nombres premiers, C. R.
Acad. Sci. Paris, Ser. A, 258, 981-3. [3].
Vaughan, R. C. (1979). A survey of some important problems in additive number theory. Soc. Math, de France. Asterisque, 61, 213-22. [S],
Vaughan, R. C. (1980a). A ternary additive problem. Proc. Lond. Math. Soc., 41, 516-32. [8].
Vaughan, R. C. (19806). Recent work in additive prime number theory. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Helsinki, 1978, 389-94. [3]..
Veidinger, L. (1958). On the distribution of the solutions of diophantine equations with many unknowns. Acta Arith., 5, 15-24. [G].
Verdenius, W. (1949). On problems analogous to those of Goldbach and Waring.
Ned. Akad. Wet., 52 = Indag. Math., 11, 255-63. [G}
Vinogradov, A. I. (1955). .On some new theorems of the additive theory of numbers. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 102, 875-76. [GJ.
Vinogradov, A. I. (1956). On an almost binary problem. Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser, Mat., 20, 713-50. [GJ.
Vinogradov, A. I. (1963). On a problem of L. K. Hua. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 151, 255-7. [3].
Vinogradov, I. M. (1928a). Sur le theoreme de Waring. C. R. Acad. Sci. URSS, 393-400. [1].
Vinogradov, I. M. '(19286). Sur la representation d’un nombre entier par un polynom a plusiers variables.. C. R. Acad. Sci. URSS, (7), 1, 401-14. [1].
Vinogradov, I. M. (1934a). A new solution of-Warlng’s problem. C. R. Acad. Sci. URSS, (2), 2, 337-41. [5].
Vinogradov, I. M. (19346). On ihe upper bound G(n) in Waring's problem. C. R. Acad. Sci. URSS, 1455-69. [5].
Vinogradov, I. M. (1935a). Une nouvelle variante de la demonstration du theoreme de Waring.C. R. Acad. Sci. Paris. 200, 182-4. [5].
Vinogradov, I. M. (19356). On Waring’s problem. Ann. Math., 36, 395-405. [5].
Vinogradov, I. M. (1935c). A new variant of Waring’s theory. Trav. Inst. Steklov, 9, 5-15. [5].
Vinogradov, I. M. (1935d). On Weyl’s sums, Rec. Math., 42, 521-30. [5].
Vinogradov, I. M. (1935e). An asymptotic formula for the number of representations in Waring’s problem. Ree. Math., 42, 531-4. [5].
Vinogradov, I. M. (1937a). Representation of an odd number as a sum of three primes. C. R. Acad..Sci. URSS, 15, 6-7. [3].
Vinogradov, I. M. (19376). Some theorems concerning the theory of primes. Rec. Math., 2, (44), 2, 179-9$. [3].
Vinogradov, I. M. (1937c). Some new problems of the theory of primes. C. R. Acad, Sci. URSS, 16,131-2. [О].
Vinogradov, I. M. (1937d). A new method in emalytie number theory. Trap. Inst, Steklov, 16,1-122. [5].
Vinogradov, I. M. (1947). The method of trigonometrical sums in the theory of numbers. Trav. Inst. Steklov, 23, translated from the Russian, revised and annotated by Davenport, A & Roth, K. F. (1954). New York: Interscience: [Е].
Vinogradov, I. M. (1954). Elements of number theory, New York: Dover. Translated from the fifth Russian edition of 1949 by S. Kravetz. [BJ.
Vinogradov, I. M. (1959). On an upper bound for G(n\ Izv. Akad. Nauk SSSR, 23, 637-42. [7].
Waerden, B. L. van der. (1927). Beweis einer Baudetschen Vermutung. Niew Arch. Wsk., 15, 212-16. [10].
Walfisz, A. (1941a,6). Zur additiven Zahlentheorie V1I(1), (2). Soobschenia Akad. Nauk Gruzinskoi SSR, 2, 7-14; 221-6. [3].
Watson, G. L. (1951). A proof of the seven cube theorem. J. Lend. Math. Soc., 26, 153-6. [1].
Watson, G. L. (1953). On indefinite quadratic forms in five variables. Proc. Land. Math. Soc., (3), 3, 170-81. [11].
Watson, G. L. (1969). A cubic Diophantine equation. J. Lend. Math. Soc., (2), 1, ' 163-73. [G].
Weyl, H. (1916). Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod Eins. Math. Ann.
77, 313-52. [2],
Whiteman, A. L. (1940). Additive prime number theory in real quadratic fields. Duke Math. J., 7, 208-32. [G].
Wilson, R. J. (1969). The large sieve in algebraic number fields. Mathematika, 16, 189-204. [5].
Wright, E. M. (1933a,6). The representation of a number as a sum of five or more squares I, II. Q. J. Math., 4, 37-51; 228-32. [G].
Wright, E. M. (1934). Proportionality conditions in Waring’s problem. Math. Z., 38, 730-46. [G],
Zuckerman, H. S. (1936). New results for the number gin) in Waring’s problem. ' Am. J. Math., 58, 545-52. [1].
Zulauf, A. (1952a). Beweis einer Erweiterung des Satzes von Goldbach- Vinogradov. J. Reine Angew. Math., 190, 169-98. [3].
Zulauf, A. (19526). Zur additiven Zerfallung natiirlicher Zahlen in Primzahlen und Quadrate. Arch, Math., 3, 327-33. [G].
Zulauf, A. (1953a). Uber den dritten Hardy-Littlewoodschen Satz zur Goldbachschen Vermutung. J. Reine Angew. Math., 192, 117-28. [3].
Zulauf, A. (19536, 1954a,6). Uber die Darstellung natiirlicher Zahlen als Summen von Primzahlen aus gegebenen Restklassen und Quadraten mit gegebenen Koeffizienten. I, Resultate fur geniigend gross Zahlen; II, Die Singulare Reihe; HI Resultate fur “fast alle” Zahlen. J. Reine Angew. Math., 192, 210-29; 193, 39-53; 193, 54-64. [G].
Zulauf, A. (1961). On the number of representations of an integer as a sum of primes belonging to given arithmetical progressions. Compos. Mat., 15, 64-9. [31
Список работ на русском языке
Архипов Г. И., Карацуба А. А. Новая оценка интеграла И. М. Виноградова. ■—Изв. АН СССР, сер. матем., 42 (1978), 751—762.
Архангельская В. М. Некоторые численные расчеты, связанные с проблемой Гольдбаха. — Укр. матем. журнал, 9 (1957), 20—29.
Бабаев Г., Субханкулов М. А. Асимптотическая формула для двух аддитивных задач. — Уч. зап. Тадж, ун-та, 26, сер. матем. (1963), 49—68.
Вальфиш А. Аддитивная теория чисел VII (1), (2). — Сообщ. АН Груз. ССР, 2 (1941), 7—14; 221—226.
Виноградов А. И. О некоторых новых теоремах аддитивной теории чисел.—ДАН СССР, 102 (1955), 875—876.
Виноградов А. И. Об одной «почти бинарной» задаче. — Изв. АН СССР, сер. матем., 20 (1956), 713—750.
Виноградов А. И. Об одной проблеме Хуа Ло-кена. — ДАН СССР, 151 (1963), 255—257.
Виноградов И. М. О теореме Варинга. — Изв. АН СССР, ОМЕН (1928), 393—400.
Виноградов И. М. О представлении числа целым многочленом от нескольких переменных. — Изв. АН, ОМЕН (1928), 401—414.
Виноградов И. М. Новое решение проблемы Варинга. — ДАН СССР, 2 (1934), 337—341.
Виноградов И. М. О верхней границе G^ в проблеме Варинга. — Изв. АН СССР, ОФМН (1934), 1455—1469.
Виноградов И. М. Новый вариант вывода теоремы Варинга. — Труды Фпз.-матем. ин-та АН СССР, 9 (1935), 5—16
Виноградов И. М. Представление нечетного числа суммой трех простых чисел.— ДАН СССР, 15 (1937), 6—7.
Виноградов И. М. Некоторые новые проблемы теории простых чисел. — ДАН СССР, 16 (1937), 131-132.
Виноградов И. М. Новый метод в аналитической теории чисел. — Труды Физ.-матем. ин-та АН, 10 (1937), 1 —122.
Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. — Труды Матем. ин-та АН, 23 (1947), 1—111.
Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.: ГИТТЛ, 1954.
Виноградов И. М. К вопросу о верхней границе для G(n). — Изв. АН СССР, сер. матем., 23 (1959), 637—642.
Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел.—М.: Наука, 1971.
Емельянов Г. В. Об одной системе диофантовых уравнений. — Л.: Уч. зап. ун-та, сер. матем., 19 (1950), 3—39.
Калинка В. Обобщение леммы Хуа Ло-кена для алгебраических чисел. — Литовский матем. сб., 3 (1963), 149—155..
Карацуба А. А. Об оценке числа решений некоторых уравнений. — ДАН СССР, 165: 1 (1965), 31-32.
Карацуба А. А. О некоторых системах неопределенных уравнений.—Матем. зам., 4 (1968), 125—128.
Карацуба А. А., Коробов Н. М. О теореме о среднем.—ДАН СССР, 149, 2 (1963), 245—248.-
Лаврик А. Ф. Об одном предложении аддитивной теории чисел. — Успехи матем. наук, 14 (1959), 197—198.
Лаврик А. Ф. К бинарным гипотезам теории простых чисел по методу И. М. Виноградова. — ДАН СССР, 132, (1960), 1013—1015.
Лаврик А. Ф. К распределению простых чисел 6-близнецов.— ДАН СССР, 132 (1960), 1258—1260.
Лаврик А. Ф. О числе простых чисел 6-близнецов, лежащих на отрезке заданной длины. — ДАН СССР, 136 (1961), 281—283.
Лаврик А. Ф. К бинарным проблемам аддитивной теории простых чисел в связи с методом тригонометрических сумм И. М. Виноградова. — Л.: Вести, ун-та, 16 (1961), 11—27.
Лаврик А. Ф. К теории распределения простых чисел на основе метода тригонометрических сумм И. М. Виноградова. — Труды Матем. ин-та АН СССР, 64 (1961), 90—125.
Лаврик А. Ф. К теории распределения совокупностей простых чисел с заданными разностями между ними. — ДАН СССР, 138 (1961), 1287— 1290.
Лаврик А. Ф. О представлении чисел в виде суммы простых по методу Л. Г. Шнирельмана. ■—Изв. АН УзССР, сер. физ.-матем. н., 3 (1962), 5—10.
Линник Ю В. О разложении больших чисел на семь кубов. ДАН СССР, 35 (1942), 179—180.
Линник Ю. В. Элементарное решение проблемы Варинга по методу Шнирельмана.— Матем. сб., 12 (1943), 225—230.
Линник Ю. В. О возможности единого метода в некоторых вопросах аддитивной и дистрибутивной теории простых чисел. — ДАН СССР, 48 (1945), 3—7.
Линник Ю. В. Новое доказательство теоремы Гольдбаха — Виноградова.— Матем. сб., 19 (61) (1946), 3—8.
Линник Ю. В. Простые числа и степени двойки. — Труды Матем. ин-та АН СССР, 38 (1951), 152—169.
Линник Ю. В. Некоторые условные теоремы, касающиеся бинарных задач с простыми числами.—ДАН СССР, 77 (1951), 15—18, и Изв. АН СССР, сер. матем. 16 (1952), 503—520.
Линник Ю. В. Складывание простых чисел со степенями одного и того же числа. — Матем. сб., 32(74) (1953), 3—60.'
Лурсманашвили А. П. О представлении натуральных чисел суммами простых чисел. — Тбилиси: Труды ун-та, 117, сер. мех.-матем. 17. 5 (1966), 63—76.‘
Малышев А. В., Подсыпанин Е. В. Аналитические методы в теории систем диофантовых уравнений и неравенств с большим числом неизвестных.— М.: Ин-т науч.-технич. информации АН СССР, 12 (1974), 5—50.
Марджанишвили К. К. Об одновременном представлении двух чисел суммами полных m-х и n-х степеней. — ДАН СССР, 2 (1936), 263—264 и Изв. АН СССР, сер. матем. (1937), 609—631.
Марджанишвили К- К- Об одной системе диофантовых уравнений. — ДАН СССР, 22 (1939) 467—470.
Марджанишвили К- К. Об одной задаче аддитивной теории чисел. — Изв АН СССР, 4 (1940), 193—214.
Марджанишвили К. К- К доказательству теоремы Гольдбаха — Виноградова,—ДАН СССР, 30 (1941), 687—690.
Марджанишвили К. К. Об одной асимптотической формуле аддитивной теории простых чисел. — Сообщение АН ГрузССР, 8 (1947), 597—604.
Марджанишвили К. К. О некоторых аддитивных задачах с простыми числами.—Успехи матем. н., 4 (1949), 183—185.
Марджанишвили К- К- Об одном обобщении прблемы Варинга. — Сообщение АН ГрузССР, 11 (1950), 82—84.
Марджанишвили К. К. Об одной системе уравнений в простых числах. — ДАН СССР, 70 (1950), 381—383.
Марджанишвили К. К. Исследования по применению метода тригонометрических сумм к аддитивным проблемам. — Успехи матем. н., 5 (1950), 236—240.
Марджанишвили К- К. Об одновременном представлении пары чисел суммами простых чисел и их квадратов. — Сообщения АН ГрузССР, Труды Матем. ин-та, 18 (1951), 183—208.
Марджанишвили К- К- О некоторых нелинейных системах уравнений в целых числах. — Матем. сб , 33(75) (1953), 639—675.
Монтгомери Г. Мультипликативная теория чисел. Пер. с англ. — М.: Мир, 1974.
Нечаев В. И. Представление целых чисел суммой слагаемых вида х(х+ 1) ... (х + п— 1)/п!. —ДАН СССР, 64 (1949), 159—162 и Изв- АН СССР, сер. матем., 17 (1953), 485—498.
Нечаев В. И. Проблема Варинга для многочленов. — Труды Матем. ин-та АН СССР, 38 (1951), 190—243.
Нечаев В. И. Многочлены с малым G(f).— Уч. зап. Москов. гор. пед. ин-та, 71 (1958), 291—300.
Нечаев В. И., Телесин Ю. 3. О точном значении G(f,a) для последовательности многочленов второй степени. — Уч. зап. Москов. гор. пед. ин-та, 188 (1962), 131—138.
Прахар К. Распределение простых чисел. Пер. с англ. — М.: Мир, 1967.
Статулявичус В. А. О представлении нечетных чисел суммой трех почти равных простых чисел.— Вильнюс: Ученые труды ун-та, 3 (1955), 5—23.
Субханкулов М. А. Аддитивные свойства некоторых последовательностей.— В сб. «Исследов. по матем. анализу и мех. в Узбекистане», Ташкент (1960), 220—241.
Тартаковский В. А. О количестве представлений больших чисел формами «общего вида» с большим числом переменных I, П.— Л.: Вести, ун-та, 7, сер. матем. 2 (1958), 131—154; 2 (1959), 5—17.
Телесин Ю. 3. Проблема Варинга для многочленов степени 7, 8, 9 и 10.— М.: Уч. зап. гор. пед. ин-та, 71 (1958), 301—311.
Фрейман Г. А. Решение проблемы Варинга в новой постановке. — Успехи матем. н., 4 : 1 (29) (1949), 193.
Хассе Г. Лекции по теории чисел. Пер. с англ. — М.: ИЛ, 1953.
Хуа Ло-кен. О представлении чисел суммами й-х степеней простых чисел. — ДАН СССР (2), 17 (1937), 167—168.
Хуа Ло-кен. Некоторые результаты в проблеме Варинга для малых степеней. — ДАН СССР (2), 18 (1938), 527—528.
Хуа Ло-кен. Некоторые результаты в аддитивной теории простых чисел. — ДАН СССР (2), 18 (1938), 3.
Хуа Ло-кен. О системах диофантовых уравнений.— ДАН СССР, 27 (1940), 312—313.
Хуа Ло-кен. Аддитивная теория простых чисел. — Труды Матем. ин-та АН СССР, XXII, М.-Л., 1947.
Чудаков Н. Г. О проблеме Гольдбаха. — ДАН СССР (2), 17 (1937), 335—338.
Чудаков Н. Г. О плотности совокупности четных чисел, непредставимых как суммы двух нечетных простых. — Изв. АН СССР, сер. матем., 2 (1938), 25—40.
Литература, добавленная переводчиком
1*. Bessel-Hagen Е. (1929) Bemercungen zur Behandlung des major arc bei der Anwendung der Hadry— Littlewood’schen Methode auf das Waringiche Problem. Proc. London Math. Soc. (2), 29, 328—400. [4].
2*. Baker R. C., Hartman G. (1982) Diophantine approximation by prime numbers. J. London Math. Soc. (2), 25, 201—215. [11].
3*. Balasubramanian R. Mozzochi C. J. (1984) An improved upper bound for G^ in Waring’s problem for relatively small k. Acta Arith., 43, 283—285. [5].
4*. Heath-Brown D. R. (1981) Three primes and an almost prime in arit thmetic progression. J. London Math. Soc. (2), 23, 396—414. [3].
5*. Heath-Brown D. R. (1983) Cubic forms in ten variables. Proc. London Math. Soc. (3), 47, 255—257. [9].
6*. Линник Ю. В. (1943) On Weil’s sum. Матем. сб. 12(54), 28—39. [5].
7*. Thanigasalam К. (1980a) On Waring’s problem. Acta Arithm., 38, 141—155. [5].'
8*. Thanigasalam K. (1980b, 1982b) On sums of powers and a related problem. Acta Arith., 36, 125—141. Addendum and Gorrigendum. Acta Arithm., 42, 425. [8].
9*. Thanigasalam K. (1982a) Some new estimates for G(k) in Waring’s problem. Acta Arith; 42, 73—78. [5].
*. Vaughan R. С. (В печати, a) Sums of three positive cubes. Bull. London Some remarks on weil sums, Colloquia Math. Soc. Janos Bolyai, Budapest, 1981. [4].
*. Vaughan R. С. (В печати, b) Sums of three positive cubes. Bull. London Math. Soc. [8].
Виноградов И. M. Метод тригонометрических сумм в теории чисел.— М.: Наука, 1980.
Виноградов И. М. Особые варианты метода тригонометрических сумм.—М.: Наука, 1976.
Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — М.: Наука, 1983.
Венков Б. А. Элементарная теория чисел. ОНТИ — НКТП, СССР 1937.’
Хассе Г. Лекции по теории чисел. — М.: ИЛ, 1953.
Апостол (Apostol) 29
Баласубраманян (Balasubra- manian) 10
Баше (Bachet) 9
Берч (Birch) 128, 131
Бирстедт (Bierstedt) 131
Бомбьери (Bombieri) 62, 64
Боувей (Bovey) 131
Брауэр (Brauer) 128
Бэйкер (Baker) 155
Варден ван дер (Waerden, van der) 136, 137
Варинг (Waring) 9
Ватсон (Watson) 13
Вейль (Weyl) 12, 18, 19
Вейль (Weil) 44
Вильсон (Wilson) 67
Виноградов И. М. 12, 14, 29, 34, 59, 75, 94, 104
Вон (Vaughan) 14,60,93,107, 131, 155
Гильберт (Hilbert) 9
Гольдбах (Goldbach) 13, 34
Дэвенпорт (Davenport) 7, 13, 30, 44, 79, 80, 82, 84, 87, 88, 92, 93, 107, 118, 122, 128, 131, 148, 155
Зигель (Siegel) 7
Карацуба А. А. 62
Лагранж (Lagrange) 9
Ландау (Landau) 7
Лежандр (Legendre) 107
Линник Ю. В. 13, 62
Литтлвуд (Littlewood) 7, 9,
11, 12, 16, 31, 32, 74, 75, 77, 123
Льюис (Lewis) 7, 128, 131
Малер (Mahler) 10
Мих (Miech) 113
Монтгомери (Montgomery) 14
Морделл (Mordell) 44, 96
Нортон (Norton) 131
Диксон (Dickson) 9
Диофант (Diophantus) 9
Дирихле (Dirichlet) 11, 17,21
Додсон (Dodson) 131
Пиллаи (Pillai) 9
Полна (Polya) 123
Радемахер (Rademacher) 7
Райт (Wright) 7, 9, 28, 39
Рамануджан (Ramanujan) 11, 15
Ригер (Rieger) 9
Рот (Roth) 107, 186, 137, 138, 155
Семереди (Szemeridi) 136
Стеммлер (Stemmier) 10
Титавайнен (Tietavainen) 131
Томас (Thomas) 10
Туран (Turan) 136, 137
Ферма (Fermat) 9
Фюрстенберг (Furstenberg) 136, 137
Хаксли (Huxley) 67
Харди (Hardy) 7, 9, 10, 11, 12, 28, 31, 32, 39, 75, 77, 123
Хассе (Hasse) 122
Хельбронн (Heilbronn) 44,
118, 148
Хуа (Hua, L. - К.) 14, 16, 44,
94, 95, 104
Човла (Chowla) 30, 131
Шаркоци (Sarkozy) 137, 141, 147
Шефилд (Scourfield) 78
Шимура (Shimura) 131
Шмидт (Schmidt) 7, 44
Эйлер (Euler) 9, 13, 29
Эллисон (Ellison) 9
Эрдёш (Erdos) 80, 136, 137
Эстерманн (Estermann) 7
Предметный указатель
Аддитивное однородное уравнение 128, 129, 131, 132, 148■
Алгоритм Евклида 27
Асимптотическая плотность 136
Биквадрат 9, 10, 84, 89
Большие дуги 12, 16, 22, 34, 36, 44, 55, 95, 98, 101, 107, ПО, 117, 143, 144, 145, 150, 153
Большое решето 67, 76, 122
Виноградова символ 8
— теорема о среднем 61, 62, 65, 94
Гипотеза Римана расширенная 14
Диафантово неравенство 148
— приближение 11, 17
Кубическая форма 7, 128
Кубы 9, 13
Лемма Хуа 20, 21, 75, 95,116, 150
Малые дуги 12, 16, 22, 34, 73, 95, 101, 107, ПО, 112, 143, 144, 145
Метод Харди — Литтлвуда 7, 10, 12, 14, 95, 128, 136, 148, 150
Мультипликативная теория чисел 14, 65
Неравенство Вейля 12, 19, 21, 24, 34, 60, 90, 92, 95, 112, 152
Однородное уравнение 128,
131, 148
Однородная форма 128, 131
Особый интеграл 12, 26
— ряд 12, 27, 40, 53, 91, ПО,
117
Первообразный корень 51 Полиномиальное сравнение
95
•Баринга 9, 12, 44, 73
— — для биквадратов 89
— тернарная аддитивная 103 Проблема Гольдбаха бинар
ная 13, 14, 29
— — тернарная 13, 14, 34
Произведение Эйлера конечное 117
Разностный оператор 18, 32, 86
Римана дзета-функция 61
Сумма Гаусса 122
— делителей 14
— Рамануджана 15, 39
— степеней 9, 79, 91, 108
— трех квадратов 109
Теорема - Коши — Дэвенпор
та— Човлы 30
— о четырех квадратах 9
— Семереди 137
Тривиальная область 150
Формула Ньютона 62
— суммирования Пуассона
М
— — Эйлера — Маклорена 47
Функция вспомогательная 22, 89, 95
— Мангольдта 35
— Мёбиуса 35
— обобщенная 22, 44, 89, 95
— разбиения 11
— Эйлера 29
Характеры 52
Четыре положительных куба 93
Эргодическая теория 136, 137 Эрдёша — Турана предположение 136
Оглавление
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие 7
Обозначения .. . . 8
Введение и исторические сведения 9
Проблема Варинга 9
Метод Харди — Литтлвуда Ю
Проблемы Гольдбаха 13
Другие проблемы14
Упражнения .. 14
Простейшая верхняя оценка G(fe). . ...16
Определение больших и малых дуг16
Вспомогательные леммы16
Оценка на малых дугах21
Большие дуги . 22
Особый интеграл26
Особый ряд27
Заключение . 31
Упражнения32
Проблемы Гольдбаха . .34
Тернарная проблема Гольдбаха34
Бинарная проблема Гольдбаха39
Упражнения43
Большие дуги в проблеме Варинга ...44
Обобщенная функция44
Экспоненциальная сумма S(q. а)51
Особый ряд . . 53
Вклад больших дуг 55
Согласование условий 58
Упражнения60
Методы Виноградова .61
Теорема Виноградова осреднем 61
Переход от среднего66
Малые дуги в проблемеВаринга73
Верхняя граница G(&)74
Упражнения78
Методы Дэвенпорта . 79
Множества сумм й-хстепеней79
0(4)-1689
92 929494 95101 104108109109 ПО НО 112 117 117 125 12692 929494 95101 104108109109 ПО НО 112 117 117 125 126
92 92
94
94 95
101 104
108
109
109 ПО НО 112 117 117 125 126
92 92
94
94 95
101 104
108
109
109 ПО НО 112 117 117 125 126
Оценки Дэвенпорта 0(5) и 6(6)
Упражнения
Верхняя оценка G(6) И. М. Виноградова
Некоторые замечания к теореме Виноградова о среднем . . . .'
Предварительные оценки
Асимптотическая формула для Л(Х)
Верхняя оценка 0(6) И. М. Виноградова
Упражнения
Тернарная аддитивная проблема . .
Общие предположения
Формулировка теоремы
Определение больших и малых дуг . . . .
Рассмотрение п
Большие дуги $(<7, я)
Особый ряд
Завершение доказательства теоремы 8.1
Упражнения
Однородные уравнения и теорема Бёрча 128
Введение
Аддитивные однородные уравнения■ 128
Теорема Бёрча131
Упражнения135
Теорема Рота •• 136
Введение136
Теорема Рота 137
Теорема Фюрстенбурга и Шаркоци141
Определение больших и малых дуг143
Вклад малых дуг-144
Вклад больших дуг 145
Завершение доказательства теоремы 10.2146
Упражнения 147
Диофантовы неравенства■• 148
Теорема Дэвенпорта и Хельброина •• 148
Определение большихималых дуг150
Оценка на малыхдугах151
Большая дуга158
Упражнения155
Библиография .. . 156
Список работ на русском языке . . . ■ .. 173
Именной указатель . . . .■ 177
Предметный указатель •179
Р.Вон