ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА

Многолетняя деятельность знаменитого французского математика Никола Бурбаки') складывается из двух существенных компонент: написания капитального труда «Элементы математики», большинство томов которого уже опубликовано на русском языке, и организации семинара, известного во всем мире как «семинар Бурбаки».

Вот уже почти сорок лет, начиная с осени 1948 г., три раза в год, в феврале, июне и ноябре, собирается шумная толпа французских математиков в амфитеатре Института Анри Пуанкаре на улице Пьера и Марии Кюри в Париже. Появляется первый докладчик, но все ждут того момента, когда будут вынесены картонные коробки с тонкими белыми тетрадками, содержащими тексты докладов. Их обычно на каждой сессии шесть. Темы докладов охватывают почти все разделы современной математики, в них рассказывается о самых последних, зачастую еще неопубликованных результатах.

К сожалению, эта сторона деятельности Бурбаки почти никак не была отражена на русском языке. Издательство «Мир» проявило ценную инициативу по изданию сборников избранных докладов семинара Бурбаки. Вслед за настоящим сборником,' посвященным алгебре и теории чисел, ожидается появление сборника докладов по геометрии и топологии.

Отбор докладов для настоящего сборника вызвал известные трудности. Впрочем, одно решение представлялось бесспорным— исключить доклады, посвященные работам советских математиков, хорошо знакомым нашему читателю. Составители старались выбрать наиболее интересные доклады последних десятилетий. К сожалению, объем издания не позволил включить все, что хотелось. Среди докладов, включенных в сборник, — доклады Жака Титса о росте конечно порожденных групп и о монстре — самой большой спорадической конеч-

*> Посвященные уже давно знают, что за этим именем скрываются многие выдающиеся представители французского математического мира.

6 Предисловие редакторов перевода

ной простой группе, доклад Мишеля Демазюра о тождествах Макдональда, доклад Пьера Картье о циклических гомологиях, доклады Жозефа Остерле о числах классов мнимых квадратичных полей и точках кручения на подмногообразиях абелевых многообразий. Мы включили также доклады, дающие представление о самых ярких достижениях теории чисел последнего времени — гипотезе Морделла, доказанной Фаль- тингсом, работе Гросса и Загира об L-функциях эллиптических кривых, последних сдвигах в теореме Ферма.

Мы надеемся, что эта книга будет с интересом встречена советскими читателями и послужит началом для регулярного перевода трудов семинара Бурбаки на русский язык.

Февраль 1987 г.Февраль 1987 г.А. И. Кострикин

Февраль 1987 г.

Февраль 1987 г.

А. Н. Паршин

ТОЖДЕСТВА МАКДОНАЛЬДА)

Мишель ДемазюрПолитехническая школа, Лимур, Франция

Обозначим через г|(Х) формальный ряд

л (^о=^1/24 Л о - г").

Заметим, что т) (e”te)J есть классическая функция Дедекинда2)

. МАКДОНАЛЬД: ТОЖДЕСТВА ДЛЯ ФУНКЦИИ ц (ПЕРВАЯ ФОРМА) [б]

Пусть G — компактная, полупростая, односвязная группа Ли, Г — максимальный тор в G; положим g = Lie(G)(^)C,

= Lie (Г) <^) С. Каждый непрерывный гомоморфизм тора Т в мультипликативную группу 'С/ может быть записан в виде еЧ ехр(х)>-^ех(ехр(х)) = ё^, хе Lie (Г), где Хе ^ — некоторая линейная комплекснозначная форма на ^; в часности, корни группы G относительно максимального тора Т имеют вид е“, где а пробегает систему корней R алгебры Ли g относительно подалгебры ^; непрерывные гомоморфизмы тора Т со значениями в С? имеют вид еЧ где X пробегает решетку Р с ^*, которая называется решеткой весов.

Выберем некоторую систему положительных корней и обозначим через р их полусумму; для каждого корня ае R обозначим через Ha^V двойственный корень. Пусть Р++ — множество доминантных весов, т. е. множество таких Хе Р, что <Х, На) > 0 для всех а > 0. Для каждого X е Р++ через (14, тх) будем обозначать неприводимое представление груп-

Предисловие редакторов перевода

ной простой группе, доклад Мишеля Демазюра о тождествах Макдональда, доклад Пьера Картье о циклических гомологиях, доклады Жозефа Остерле о числах классов мнимых квадратичных полей и точках кручения на подмногообразиях абелевых многообразий. Мы включили также доклады, дающие представление о самых ярких достижениях теории чисел последнего времени — гипотезе Морделла, доказанной Фаль- тингсом, работе Гросса и Загира об L-функциях эллиптических кривых, последних сдвигах в теореме Ферма.

Мы надеемся, что эта книга будет с интересом встречена еоветскими читателями и послужит началом для регулярного перевода трудов семинара Бурбаки на русский язык.

Февраль 1987 г.Февраль 1987 г.А. И. Кострикин

Февраль 1987 г.

Февраль 1987 г.

А. Н. Паршин

ТОЖДЕСТВА МАКДОНАЛЬДА1)

Мишель ДемазюрПолитехническая школа, Лимур, Франция

Обозначим через г)(Х) формальный ряд г)(Х) = Х1/24П (1 -Г").

Заметим, что я ^е2яиУ есть классическая функция Дедекинда2)

МАКДОНАЛЬД: ТОЖДЕСТВА ДЛЯ ФУНКЦИИ ц (ПЕРВАЯ ФОРМА) [б]

Пусть О — компактная, полупростая, односвязная группа Ли, Г — максимальный тор в G; положим g = Lie (G) ® С,

5 = Lie (Г) <^) С. Каждый непрерывный гомоморфизм тора Т в мультипликативную группу 'С/ может быть записан в виде еЧ ехр(х)>-^ех(ехр(х)) = еЧх\ хе Lie (Г), где Хе У —некоторая линейная комплекснозначная форма на 5; в часности, корни группы G относительно максимального тора Т имеют вид еа, где а пробегает систему корней R алгебры Ли g относительно подалгебры У непрерывные гомоморфизмы тора Т со значениями в С? имеют вид ех, где X пробегает решетку Р с У, которая называется решеткой весов.

Выберем некоторую систему положительных корней и обозначим через р их полусумму; для каждого корня aeR обозначим через ЯаеУ двойственный корень. Пусть Р-н- — множество доминантных весов, т. е. множество таких Хе Р, что <Х, На) > 0 для всех а > 0. Для каждого X е Р-н- через (Ух,т,) будем обозначать неприводимое представление груп-

пы G со старшим весом ех . Как показал Герман Вейль,

(I)

V — П <Х + Р’ Н^ dim Ух(р,.

а>0

£ det (s») е1® ^+р^

(2)

%х = (Тгтх) 1г = ^^^„у-

X det (су)

где W— группа Вейля системы корней R. Для произвольного веса Хе Р через dim Ух и %х будем обозначать правые части равенств (1) и (2).

Далее, пусть <р —форма Киллинга и ин->Tr(adg (и))2 на §, а || |[2 — соответствующая двойственная форма на Ij*. Используя указанные обозначения, приведем формулировку первого тождества Макдональда ([5], 8.9):

(3)(3)^(^dimG^ £ dimyx-^^P,Хе mV

(3)

(3)

где Mv — подрешетка в Р, порожденная весами Е <а, Я.) а, а>0 р

Р s R [Mv — это образ решетки кокорней £ ZHa с 5 относительно отображения Нь-* £ (а, Д)а]. Отметим мимоходом, а>0

что из тождества (3) следует «странная формула» Фрей- денталя

(4)(4)|| р ||2 = dim G/24.

(4)

(4)

С учетом (4) тождество (3) можно записать также в виде

П (1 - ^m)d'm ° = Е dim Ух • А-11^9112-^"1.

™>1ХеМУ

Очевидно, что формула (3) мультипликативна относительно G, и, следовательно, можно считать, что группа G является «почти простой» (т. е. система корней R является неприводимой), что и будет в дальнейшем предполагаться. Приведем три примера.

a) G = SU(2, С); тогда решетка весов Р отождествляется с Z, множество доминантных весов Р++— с N, корнями будут а = 2, а = —2; имеем Мv = 4Z, и для любого пеР выполняется равенство dim У„ = n+1. Далее, Цп + р||2 = = ||n+ 1II2 —4"(л+ I)2- Следовательно,

1ТХ)3 = £ пХпЧ\

дев! (4)

Это тождество принадлежит Якоби. Оно более известно в следующей эквивалентной форме:

п(п+1)

и (1-^)3= Z (-1)"(2п+1)^ 2 .

b) G — SU (5, С); тогда р (X)dlm ° — р (X)24 совпадает с функцией А (X) = У, т (п) Хп. Из тождества Макдональда 1

вытекает следующее выражение для функции Рамануджана т(и), впервые найденное Дайсоном:

т (») = 1 [213| 4| X П (“z ~ “^

Ki

суммирование ведется по всевозможным наборам целых чисел (иь ..., и5), таким что и, = I (5), У щ = О, У и3 = 10п.

с) G = Е&; в этом случае мы получаем формулу для р(Х)248, которую, ввиду громоздкости, не будем здесь приводить (см. [5], с. 140).

Прежде чем переходить к дальнейшим рассмотрениям, отметим, что имеется «прямое» доказательство тождества (3), принадлежащее Ван Эшу [7].

Обозначим через h число Хекстера системы корней R, и пусть В — множество простых корней. Второе тождество Макдональда (см. [5], 8.13) имеет следующий вид:

ПZ dim 1/х • Xl|x+P'|,,

0 е 5ХеМ

где М — подрешетка в Р, порожденная векторами ha, aeR.

Если все корни из R имеют одинаковую длину (в этом случае Костант говорит, что группа G является однострочной (simply-laced)), тогда ||а||2 = у для всех корней aeR, М = М^, dim 6 = (Л + l)rgG, и, следовательно, тождества (3) и (9) совпадают. Первый случай, когда эти тождества различны, это случай группы G = Spin(5). Тождество (3) дает разложение для р(Х)10, в то время как (9) дает разложение для (р (X) р (X2))5.

МАКДОНАЛЬД: ТОЖДЕСТВА ДЛЯ ХАРАКТЕРОВ

(ПЕРВАЯ ФОРМА) [б]

На самом деле тождества (3) и (9) получаются специализацией соответствующих тождеств для характеров, к рассмотрению которых мы и переходим.

Обозначим через р(Х) характеристический полином автоморфизма Adg(0. teT:

р^ = det (1 - ^Ada (/)) = (1 - ЛУ8 ° П (1 — Хе»). aeR

Тогда ([5], 8.7) справедливо следующее тождество:

П р(Хт)= £ Хх.^л+рМр«\

m^ IкеМ^

Тождество (5), а следовательно, и (3), получаются из (10) после специализации /=1.

Далее, положим

q(X) = Л (1 - Xh »»П П (1 - Хк и**»2 • е»). &еВaeR

Тогда ([5], 8.11)

(И)П qOH = £ Xx.XU+p«’-iipH3.

m > 1КеМ

Тождество (9) следует из (И) после специализации /=1 с учетом второй «странной формулы» ([5], 8.12):

llplM-^r^ £ W

6еВ

Приведем пример тождества (10). Пусть G = St/(2, С). Тогда pkX) = (l-XHl-ZX)(l-Z-vX\ где Z = ea, и Хл = = 2^71—• После небольших вычислений приходим к известному тождеству Якоби для тета-функции:

П (1 — ХГО-ZXm)<X-Z"vXm-v) = l п (л—1)

= 2 (-l)nZ-"X 2 . л s Z

Отметим, что из тождества (10) следует равенство

(и) И Пdet (1 -хт AddS = L

О Хт>1/

Это равенство принадлежит Макдональду (не опубликовано)'.

КОСТАНТ: ВТОРАЯ ФОРМА ТОЖДЕСТВ [4]

Пусть av (соответственно а) — точка тора Т такая, что е» ^) — еш 11 °12 (соответственно е» (а) = е^1*11)

для ае В. Тогда для любого веса X е Mv имеем (T4J, 3.5.2 и 3.6):

если Хх (aV) = О, то Хх = О (т. е. вес X + Р сингулярный); если Xx(aV) = ±l, то существует такой единственный элемент w г W, что X + р е да (Р+++ р); кроме того det(®) = Xx(av)-

Аналогичное утверждение справедливо для М и а. [Отметим, между прочим, что элемент а является главным в смысле Костанта, т. е. это такой регулярный элемент g, что автоморфизм Ad(g) имеет минимальный порядок (известно, что этот порядок совпадает с числом Кокстера й).] Из этих утверждений, а также очевидного свойства антисимметричности отображений Xf—>dim7x-p и хх^Хх-р, выводится новая форма для предыдущих тождеств:

t|WdlmG=2 xx(av)-dim Ух-^и+р“2.

П ц^Ш’)^^ ^хх^-^тГл-Х"^*’1’,

Цр(Г) = S Xx(av)-Xv^u+p,|2-“pll\

m > 1Хе

П?(П = У Хх(а)-Хх-*Н+р“2-,|р“2- m 1X s Р^ _|_

Например, для G = SU(2, ;С.) (15) совпадает с тождеством Якоби (7).

МАКДОНАЛЬД: АФФИННЫЕ СИСТЕМЫ КОРНЕЙ [б]

Мы не будем в данной статье давать точное определение приведенной аффинной системы корней ([5], п. 2). Скажем только, что речь идет о множестве S аффинных линейных форм на аффинном пространстве, причем каждой форме 6 е S соответствует отражение г у, множество неподвижных точек которого есть Кег 0, и гу (5) = 5. Отражения г у, 0 е S, порождают группу Вейля IF(S) аффинной системы корней <$. Приведем два примера.

Сохраним прежние обозначения: G, Т и т. д.; рассмотрим постоянную аффинную функцию 0о со значением 2га на I). Тогда векторы а + п0о, aeR, ne Z, образуют приведенную аффинную систему корней S; она состоит из таких аффинных линейных форм 0 на I), что e9W = е“(ехрх) для некоторого aeR и для xeLie(T). Группа IF(S) есть аффинная группа Вейля WQ группы G, порожденная группой W

и сдвигами на элементы из ядра экспоненциального отображения Lie (Т)->-Г,

Аналогично, векторы -^р- + пбд, аеR, mZ, образуют приведенную аффинную систему корней S' (6' — произвольная, отличная от нуля постоянная функция на ф). В действительности любая приведенная аффинная система корней изоморфна прямой сумме систем корней вида 5, систем корней вида S' и так называемых исключительных систем корней типа BCi, которые получаются модификацией предыдущих конструкций, примененных к группе G типа С;. В данном параграфе ради простоты мы ограничимся рассмотрением случая а).

Рассмотрим максимальный корень а е R и аффинный корень Ро = 60 — й е S. Пусть А — «альков» в Ь, задаваемый неравенствами 1т(Р/)^0, 4 = 0, 1, ..., /, Рь ..., 0;— множество простых корней. Назовем аффинную линейную форму 6 (строго) положительной (6>0), если 1т(6|д)>0; каждый аффинный корень является либо положительным, либо отрицательным. Для каждого »gH7(S) обозначим через э(да) конечную сумму элементов множества (6eS|6>0, да-1(0)<О}. Рассмотрим далее группу P®Z8o и в ней под- моноид (Р Ф Z6o)-, состоящий из отрицательных элементов. Определим алгебру Z [[(РФ Z90)-ll, состоящую из формальных рядов от е~“, u s Р Ф Z0o, и > 0.

В этой алгебре выполняется следующее формальное тождество ([5], 8.1):

Q-П (1-е~9)= Е det (оу) е-» (”»>,

6eSweVtS)

9>0

где Q — П (I — е-т9«/. л1>0

Эта формула с точностью до корректирующего множителя Q является прямым аналогом формулы Г. Вейля

П(1— е-°) = Е det^e^-P

а е Д® е V

а>0

(заметим, что р — да(р) есть сумма таких корней а > 0, что да-1 (а) < 0).

Покажем кратко, как из тождества (19) следует (10)’. Левую часть (19) можно представить в виде

П (1 - е-"10»/ п И (1 - е-"-"10”) П (1 - е~“).

откуда, используя формулу Г. Вейля (20) и полагая X = е~9" получаем’

П Р (Х"1) • £ det (да) е® w-o.

Это выражение очень близко к левой части (10); для вычисления правой части (19) представим группу Вейля IF(S) в виде полупрямого произведения конечной группы Вейля W и группы сдвигов, а также используем формулу для характеров (2) (детали можно найти в [5]).

Для аффинной системы корней типа Ь) корректирующий множитель Q слегка отличается от того, который входит в формулу (19), и может быть найден из (11).

Доказательство тождества (19), данное в работе [5], является достаточно сложным, хотя, как говорит Макдональд, является «чисто формальным упражнением». Аналогия между формулами (19) и (20) не объясняет наличия корректирующего множителя Q. Муди [6] первым заметил, что формула (19) будет совпадать с формулой Г. Вейля (20), если предположить существование «дополнительных» корней у евклидовых алгебр Ли. Однако Муди не смог строго обосновать это предположение. В. Кац первым придал точный смысл понятию дополнительный корень и доказал аналог формул (2) и (20) для алгебр Ли, соответствующих обобщенным матрицам Картана.

МУДИ-КАЦ: АЛГЕБРЫ ЛИ, ПОСТРОЕННЫЕ ПО МАТРИЦЕ КАРТАНА

Эта конструкция по существу содержится у Муди [6], однако впервые во всей общности была дана Кацем, а затем Гарландом и Леповским (см. [2]). Мы ограничимся рассмотрением лишь симметризуемых матриц Картана.

Пусть (ai/)i<i,/</ — квадратная матрица, удовлетворяющая следующим условиям:

aij е Z, а» = 2,

а,! ^ 0, если i j,

существуют такие qi, ..., qie N*, что qiat) = qjaju Примеры, а) Матрицы Картана полупростых алгебр Ли удовлетворяют этим условиям.

Ь) Матрицы Картана, соответствующие аффинным системам корней, также удовлетворяют этим условиям.

Обозначим через g Q-алгебру Ли, заданную образующими xi, yt, hi, i= 1,...,/, и соотношениями

[hi, h^ — 0, i =0= /;

[xz, у J = 6ijht;

[hh xj = аихь [ht, y,} = — atfyf;

(adxJ-^+'x^O, [adyir°4+1y} = 0, i^j.

Если матрица (а,/) соответствует примеру а), то, как показали Хариш-Чандра, Шевалле и Серр, алгебра g изоморфна расщепимой полупростой алгебре Ли.

Обозначим через 1> коммутативную подалгебру в д, порожденную образующими ht; алгебра g имеет градуировку типа Zz (где deg (xz) = — deg (z/z) = (О, ..., 0,1,0, ...,0)gZ', deg ht = 0).

Обозначим через g полупрямое произведение gXQ\ где для элемента geg степени (n,и() его действие на Qz

определяется так: ad(/ь ...,/z)= £/znz;_ обозначим также через 1) (прямое) произведение ^ X Qz с д. Определим как обычно корни алгебры g относительно I) и собственные подпространства д“. Имеем I простых корней рь ..., pz, для которых gp?=Qxz, ^~&i~Qyi _и которые порождают подпространство размерности / в Д. Группа Вейля IF есть группа автоморфизмов ^, порожденная фундаментальными отражениями, которые задаются формулой Sz (ф)=ф — Ф (ht) 0Z. В частности, SZ(0/) = 0; —-aZ;P/.

Действие элементов группы Вейля на Д сохраняет множество корней. Корни вида w(P<), weW, называются главными корнями; вообще говоря, могут существовать и другие корни, которые будем называть дополнительными *). Если корень а является главным, то весовое пространство д“ имеет размерность 1; для дополнительного корня а пространство д“ может иметь размерность >1.

Определим доминантные веса как элементы Хе^*, такие, что X[hi)e. N для i = 1, ..., L Можно теперь дать обобщение классической теории старшего веса.

Назовем g-модуль Е стандартным, если:

Е обладает старшим весом X и dimE^ = 1.

Е порождается Ех.

Существует meN такое, что f"^1 = 0для всех i.

Такой g-модуль является неприводимым, его старший вес — доминантный; обратно, любому доминантному весу отвечает стандартный g-модуль, для которого этот доминантный вес является старшим. (Эти результаты Кац получил как итог всей теории, основываясь на формуле для характеров (22), см. [2].)

6. КАЦ: ФОРМУЛА ХАРАКТЕРОВ [3]

Мы приведем только формулировку результатов, отсылая к )2] за доказательствами.

Обозначим через р такой элемент из У, что р (/$<) = 1 для i=l, ...,/.

Тогда

для любого фе^ каждый положительный корень а > 0, для которого w-1 (а) < 0, является главным, и сумма всех таких корней равна р — бу (р).

Имеем формальное тождество

(21) П (1£ det(®)eK’(p)-p, а>0we V

Пусть Е— стандартный g-модуль со старшим весом Л; тогда определен его характер ch(.E) и имеет место формула

У, det (в») е®(Л+р)

ch(£) = ^———^.

det (су) е

ave 1F

Покажем, как из формулы (21) следует (19).

Возьмем в качестве матрицы (а,,) матрицу Картана рассматриваемой аффинной системы корней. Тогда, согласно а), правая часть равенства (21) совпадает с правой частью (19). Левую часть (21) запишем в следующем виде:

К (1 — е-“)^^а • П (1 — е-“), а дополнительныйа главный

а>0а>0

и остается лишь отождествить корректирующий множитель

<2 = П (1 — e'“)dlma“, а дополнительный а>0

как это сделано в [6].

Что касается формулы (22) и ее следствий, в частности формулы типа Костанта для функции разбиения, то это

увело бы нас слишком далеко от предмета нашего исследования, и мы отсылаем интересующегося читателя к работе [2].

7. ЭЙЛЕР: СУММА ПУСТОГО МНОЖЕСТВА

Теория В. Каца хорошо объясняет происхождение формул типа (19), а также ее вариантов (10) и (И), однако появление 11-функции Дедекинда в этих формулах остается совершенно загадочным. Рассмотрим, например классическое тождество Эйлера

Зп24-п

П (1-Г")= £ (-1)"Х 2

т>1neZ

(его можно получить из (13), полагая Z = Х1/3), которое также можно записать в следующем виде:

nW= Е (-l)"/72^)2.

Эта формула целиком укладывается в рамки формулы (15): надо взять группу G = (/(I); все ее неприводимые представления Ух имеют размерность 1, параметризуются целыми числами KeZ, а элемент а =—1 е G можно назвать главным: он отличен от нуля и имеет минимальный порядок. Следовательно, формулу (24) можно записать в виде

nU)= I 101(a). dim yx-X3/2^+W

Хе 8

в полном соответствии с (15). Таким образом, мы приходим к следующим двум выводам:

каноническая форма на Z = G задается

полусумма пустого множества корней равна 1/6.

Если (26) еще как-то терпимо, то (27), по-видимому, будет иметь неожиданные следствия (в частности, для преподавания математики в детских садах).

Добавление: Я недавно получил «препринт» Лойенги под названием «Системы корней и эллиптические кривые», в котором тождество (19), а потом и (10) трактуется в духе доказательства тождества (3), данного Ван Эшем (см. [7]).

ЛИТЕРАТУРА )

К работам, процитированным в тексте, добавлены работы [1] и [8], чтение которых представляется важным. Объединение работ [2], [4] н [5] охватывает содержание статьи.

Dyson F. J. Missed oportunities, Bull. Amer. Math. Soc., 78(972), 635— 652. [Имеется русский перевод: Дайсон Ф Успехи матем. наук, 35, № 1, 1980, 171—191.]

Garland Н., Lepowsky J. Lie algebras homology and the Macdonald — Kac formulas. Invent. Math., 34, 976, 37—76.

Кац В. Г. Бесконечномерные алгебры Ли и г)-функция Дедекинда, Функц. анализ и его прнлож., 8, № 1, 1974, 77—78

Kostant В. On Macdonald's r]-function formula, the laplacian, and generalized exponents. Advances in Math., 20, 1976, 79—212.

Macdonald I. G. Affine root systems and Dedekind’s r)-function. Invent. Math., 5(1972), 91—143. [Имеется русский перевод: Макдональд И. Г. Аффинные системы корней и q-функция Дедекинда. Сб. пер. «Математика», т. 16, № 4, 1972, 3—49.

Moody R. V. Macdonald identities and euclidean Lie algebras, Proc. Amer. Math. Soc., 48(975), 43—52.

Van Asch B. Des identites pour certaines puissances de ц, C. R. Acad. Sc. Paris, t. 277 (5 dec. 1973), p. 1087—1090.

Verma D. N. Revue de [5], Math. Reviews, Vol. 50, n° 5, Revue 9996, nov. 1975.

] Кас V. G. Infinite-dimensional Lie algebras., Boston ed., Birkhauser, 1973, p. 1—245.

] Кас V. G. In finite-dimensional algebras, Dedekind’s rj-funktion classical Mobious function and the strange formula, Advances in Math., 30, 1978, 85—136.

] Lepowsky J. Generalized Verma modules, loop space cohomology and Macdonald-type identities, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 12, 1979, 169— 234.

] Lepowsky J., Milne S. Lie algebraic approaches to classical partition identities, Advances in Math,, 29, 1978, 15—59.

] Lepowsky J., Wilson R. L. A Lie theoretic interpretation and proof of the Rogers — Ramanujan identities. Advances in Math., 45, 1982, 21— 72.

] Looijenga E. Root systems and elliptic curves. Invent. Math., 38, 1976, 17—32.

АЛГЕБРЫ ЛИ, ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫИ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ[по М. Адлеру и П. ван Мербеке]1)

Жан-Луи Вердье

Высшая Нормальная школа, Париж, Франция

В последние годы физики [3], [8] и математики [5], [6], [9] исследовали механические системы, связанные с полу- простыми алгебрами Ли. Речь идет о системах материальных точек на прямой с потенциалами весьма частного вида. Систематически используя некоторые бесконечномерные алгебры Ли, Адлер и ван Мербеке [2] предложили другой подход к этим системам, позволяющий применять к ним не только технику алгебр Ли, но и описание гамильтоновых потоков при помощи якобианов алгебраических кривых, введенных в [4]. Этот подход позволил им рассмотреть также некоторые классические задачи, такие, как задача фон Неймана, проблема геодезического потока на эллипсоиде и задача о вращении волчка в случае Эйлера — Пуансо и в случае Лагранжа. Напомним, что именно с помощью бесконечномерной алгебры Ли Адлер [1] интерпретировал функционалы, возникающие при изучении уравнения Кортевега -— де Фриза.

В качестве введения в эти работы и их иллюстрации покажем, как применяются эти исследования в классическом и сравнительно простом случае вращения волчка. Полное и последовательное изложение читатель найдет в указанных выше работах.

УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА

Пусть S — тело, вращающееся вокруг закрепленной точки О, G — его центр тяжести, р — полная масса. Пусть тело расположено в поле тяготения с единичным вектором у и ускорением g. Обозначим через / матрицу инерции тела S. Она задает невырожденный положительный симметрический автоморфизм связанного с этим телом пространства V по-

*) Verdier Jean-Louis. Algebres de Lie, systemes Hamiltoniens, courbes algebriques (d’apres M. Adler et P. van Moerbeke). Seminaire Bourbaki, 33-e annee, 1980/81, № 566, 1—10.

© Revue Astferisque, 1980.

движной системы координат. Положим / = p.g.OG. Это неподвижный вектор пространства V. Вектор I и автоморфизм I— это данные, позволяющие написать уравнения движения тела S.

Чтобы написать эти уравнения, введем вектор Q мгновенного вращения тела S и момент количества движения М. Рассмотрим й и М как переменные векторы пространства V подвижной системы координат. Имеем

м = цед.

Уравнения Ньютона для материальных точек тела S, записанные с учетом момента относительно точки 0, и последующее интегрирование по элементу массы dp дадут нам первое из уравнений Эйлера

.. ( М — M^Q = ^^l,

■ } I у —улй = 0.

Второе уравнение выражает обращение в нуль абсолютной производной вектора у. Чтобы описать движение тела S, нужно решить систему уравнений (1.1), (1.2).

Обозначим через g алгебру Ли размерности 6 — полупря- мое произведение VIX so (У). Сопоставляя вектору у его мгновенное вращение, которое мы обозначим тоже через у, можно интерпретировать пару (М, у) как элемент алгебры д, который мы обозначим у + еМ (е2 = 0). Тогда уравнения (1.1) и (1.2) примут вид

ЦЗ) I У + еМ = [у + 8/И, Q + e/], 1м = /(Й).

Из (1.3) следует, что вектор скорости у-|-еМ есть касательный вектор к орбите элемента у + еМ при присоединенном действии д, так что траектории уравнений (1.3) содержатся в орбитах g при присоединенном действии.

Поскольку у =# 0, орбиты элемента у + еМ под действием g являются подмногообразиями размерности 4, которые задаются уравнениями

0 . f (У. У>= 1,

° ( (у, М) = с = const.

Отображение (у + eM^i—>(у, М — су) отождествляет орбиту С с с тотальным пространством Т (S2) касательного расслоения к S2 cz V, снабженным каноническим действием д.

Как мы видели, функции (у + еМ)ь-> <у, у> и (у + еМ)>—> ►—>(у,.М> постоянны на траекториях. Это первые интегралы.

Легко проверить, что функция

Я, (у, M^1(Q, М№ 0

постоянна на траекториях. В следующем параграфе мы дадим интерпретацию этого первого интеграла.

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА КОСТАНТА - КИРИЛЛОВА

Пусть g — вещественная алгебра Ли, f, g — две функции класса С1, определенные в области U двойственного к g линейного пространства д*; обозначим через д^дх, dg/dx-. (У—>-д их производные. Далее положим

(f, g)(x) = (x, \df/dx, dg/dx^Y x^U.

Можно показать, что отображение (f, g)^ {f, g} удовлетворяет тождеству Якоби и что образование скобки перестановочно с операциями на д.

Пусть О — орбита д при коприсоединенном представлении, хеб, 7Х — касательное пространство к О в х, П*: д-*7,— каноническая сюръекция. На О существует дифференциальная 2-форма (Оу, невырожденная в каждой точке, замкнутая, устойчивая относительно g и такая, что при всех хе У и всех X, У е g

®о (Пх (X), Пх (У)) = (х, [X, У]).

Симплектическая структура <оу на О называется сим- плектической структурой Костанта — Кириллова. Она связана со скобкой (f, g)i-* {Д g) следующим образом.„ Сначала определим гамильтонов поток, задаваемый функцией f на U:

Ham (f) W = — Со Ad (df/dx) (х), х е О.

Тогда для всякого ие Тх

d (f |у) (и) = <оу (Ham (f), и),

{A g} |у = coy (Ham (f), Ham (g)).

Иначе говоря, ограничение скобки {/, g} на каждую орбиту С? есть скобка Пуассона от f |у = g |у относительно симплекти- ческой структуры Костанта — Кириллова.

Далее, пусть Н — функция класса С1 на U. Дифференциальное уравнение

Х = Нат(Д)

называется ассоциированным с Н уравнением Гамильтона. В силу (2.3) это уравнение можно записать еще в виде

X = — Со Ad (дЯ/дх) (X).

Поскольку поток Ham (77) касателен к пространствам Н = = const, функция Н постоянна на траекториях уравнения (2.6). Это первый интеграл.

В случае волчка билинейная форма на g

(u + ev, u'+ so') н-* (и, у^ + ^и', о)

невырожденна и инвариантна относительно д. Следовательно, она отождествляет д* с д. При таком отождествлении df/dx есть градиент функции f относительно (2.8). Имеем (см. (1.4))

dHJdx = Q + еу,

и, таким образом, записывая дифференциальное уравнение (2.7) в виде X = [X, дН\(дх\, мы приходим к уравнению (1.3). В частности, показано, что Н\— первый интеграл.

ПОЛНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ

Пусть W— симплектическое многообразие размерности 2п. Вполне интегрируемая гамильтонова система определяется п функциями Hi, 1 ^ I ^п, находящимися в «инволюции», т. е. такими, что

.1) №,Hj) = О V/,/

и вдобавок ассоциированные гамильтоновы потоки линейно независимы во всех точках некоторого всюду плотного открытого множества. В нашем случае это система п дифференциальных уравнений

.2) Х< = Нат(Я/), 1<7<п.

Функции Hi, 1 ^ i ^ п, являются первыми интегралами каждого из этих дифференциальных уравнений.

Гамильтоново уравнение называется вполне интегрируемым, если оно составляет часть вполне интегрируемой системы.

Из классической теории известно, что уравнение волчка (1.3) вполне интегрируемо на орбитах Ос в следующих трех случаях:

когда центр вращения совпадает с центром тяжести (Эйлер— Пуансо, 1750). В этом случае можно взять 77г (у, 7И) = = <7И,М> (тривиальный случай Z = XIdv отбрасывается).

Тело обладает осью поворотной симметрии, проходящей через центр вращения (Лагранж, 1788). В этом случае можно взять Нг = <7И, />.

Случай С. В. Ковалевской (1881) [7]. Это случай, когда в V существует ортонормированный репер, относительно ко-

торого / = diag (2X, 2X, X), I = (х0, 0, 0). В этом случае можно взять Н2 (у, М) = | (/«] + 1т2У — 4Лх0 (у, + zy2) I2-

Показано, что если существует полином Н^М;^ Для которого {Нг,Н2} = 0 и Нат(Я]), Нат(Л2) линейно независимы хотя бы в одной точке, то имеет место один из перечисленных трех случаев.

ТЕОРЕМА АДЛЕРА - НОСТАНТА - СИМСА

Речь идет об общей теореме, позволяющей строить вполне интегрируемые системы на коприсоединенных орбитах алгебры Ли.

Пусть L — вещественная алгебра Ли (конечной размерности), прямая сумма двух подалгебр К и N, снабженная Adi-инвариантной невырожденной симметричной билинейной формой (X, У)>—>(Х, У). Пусть К1 и NL — ортогональные дополнения соответственно к К и N. Поскольку М1 устойчиво относительно Adb(Af), проекция L-*KA наделяет KL структурой ЛА-модуля, которая есть не что иное, как копри- соединенная структура для N. Пусть Г cz К1 — орбита под действием N, снабженная своей структурой Костанта — Кириллова. Обозначим через з^(Г) множество ростков Ml-uh- вараантных числовых функций класса С1 в окрестности TczL. Для всякой функции f класса С1, определенной в окрестности Г, можно записать df (и, у) для (u, yfe^1®^1 в виде (df/d/?1, «) + (df/dn-1-, у). Частные градиенты х ►—> dfldk1 и Xi-^df/dn1 принимают значения соответственно в N и К.

Теорема. 1) Пусть fe^(P) и х е Г. Тогда

Ham (f |г) (х) = [х, д^дк^Х = — [х, df/dn^.

Пусть f, gs^ (Г). Тогда

{fln £lr} = °-

Сначала проверяем (простыми выкладками со скобками) что если /е^(Г), то при всяком хе Г

[х, dffdk^X = — [х, df/dn^,

причем эти два вектора принадлежат К1. В силу (2.3), Ham (f |г) (х) = [х, dtfdkX,

откуда следует 1). Согласно (2.1),

{/ 1Г, 51г} = <^> (W1- dg/дкЧ).

Используя (4.3) и инвариантность спаривания, заключаем, что {fir- 5lr} = <^. Vd№nL, dg/dn^X

Так какд^дпА, dg/dnA принадлежат К, имеем \d№nA,dgldnA\e еК, откуда вытекает 2), поскольку хе^1.

АЛГЕБРЫ КАЦА —МУДИ

Идея, систематически проведенная Адлером и ван Мербеке, состояла в том, чтобы, приняв некотррые меры предосторожности, применить теорему Адлера — Костанта — Симса к некоторым алгебрам Ли бесконечной размерности. Вернемся к уравнению для волчка (1.3)

т+еМ = [у + еМ, Q + е/],

дифференциальному уравнению в алгебре so(V)®R(e), е2 = 0. Можно задаться вопросом, не является ли это уравнение редукцией по модулю h2 некоторого дифференциального уравнения в so^)® R[А], где h— формальная переменная. Например, можно спросить, допускает ли всякое решение уравнения (5.1) продолжение до решения некоторой системы вида

у + hM + № У. а^1 = Гу + НМ + А2 У <чН‘, Q + hlоLо

Тем самым, кроме уравнения (5.1), мы получаем систему

( «. Л=о,

< «< = («б Q] + [«<-ь ^1» г 0»

( а0 = [оо, Й] + [М, /]

и констатируем, что, коль скоро I =# 0, эта система имеет решение при всяком М лишь в том случае, если проекции Q и М на плоскость, ортогональную к I, коллинеарны, т. е. если прямая, порожденная /, является осью поворотной симметрии рассматриваемого тела. В этом случае система (5.1) эквивалентна системе

у + АМ + А2а = [у + АМ + А2а, Q + AZ],

откуда a = const = M, где X — гомотетия, индуцированная / на плоскости, ортогональной к I.

Предположим, что отныне речь идет о случае Лангранжа, и введем алгебру Ли

L = so (У) [[А-1, й]] = | Е А^1 \Ateso (У), т произвольно ^, снабженную скобкой

Алгебра L называется алгеброй Каца — Муди, ассоциированной с so (У) ')•

Положим

( т

^ = 5о(У)[Л] — } Е Athl | Л, eso(D, т произвольно г» (5.5)

N = ] 2 А^ [A^so (V) f •

Положим

< E A^, ^8^1 = E <Ab 8^.

\ —oo—oo/i+/« —1

Таким образом, мы получили Абь-инвариантную невырожденную симметричную билинейную форму. Для этой формы K = KL, N — N1 и двойственная к К подалгебра отождествляется с N. Обозначим через X t—> Х+ проекцию на К параллельно N. Подалгебра N действует на KL = K следующим образом:

(п, Х)^[п, Х]+, mN, ХеК^ = К.

Г 2

Подпространство Е = < Е Ath'? размерности 9 в КХ = К I о )

устойчиво относительно этого действия. Подалгебра N3 = /• -з 4

= Ч Е Athl / тривиально действует на Е. Следовательно, действие N на К пропускается через нильпотентную алгебру Ли N/N3 размерности 6. Пусть Г — орбита N/N3 в К- Отметим, что А3 есть орбитальный инвариант. Мы предполагаем, что он отличен от нуля. Тогда Г — четырехмерное подмногообразие в Е. Чтобы найти функции fe^(F), поступим

*) Точнее, профакторизованной по одномерному центру аффинной алгеброй Ли типа 1, отвечающей алгебре зо(У), — Прим. ред.

так. Вложим Г, = эо(У)[[й ’, й]] в End (У) [[й ’, й]]. Для всякого целого п и всякого AeL положим

A"=f С„,*(Л)й\

где С„, 6 (Л) е End (У). Функции А ь-* f„, к (Л) = Тг ^Сп, к (Л)), как легко убедиться, являются Adb-инвариантами.

Нас интересуют орбиты А под дейстнем N, такие, что А2 = Х1. Для А = у + МН 4- XI е Е имеем

Л2 = у2 + (Му + уМ) й + (М2 + Х^1 + Х1^ й2 +

+ (ЛМ/ + Л/М) № + >Ж

Таким образом, в качестве первых интегралов получаем С2.о(Л) = у2,/2,оМ) = -2(у, у>,

С,! И) = Му + уМ,к, (Л) = - 4 (М, у),

С2,2(Л) = М2 4- Лу/ 4- Му, к^А^-^^М, Nt)—АХ(у, /), С2, з (Л) = Ма + аМ,к з (Л) = — 4Л (М, Z).

Первые два уже известны, четвертый свойствен случаю Лагранжа. Подходящая линейная комбинация кг и /V з дает снова у(М, Q) + (y, Г). Заметим, что Л2(М, Г) и у(М, Q) + + (у, 2) являются в этом случае орбитальными инвариантами действия N на Е и что (у, у) и (М, у) непостоянны на этих орбитах. Гамильтонов поток, отвечающий (М, у), — это поток, порожденный вращениями с осью R/. Чтобы получить поток (5.3)

(у + Мй 4- Л2й2) Ь^ [у + Мй + W, Q + Й2],

нужно взять подходящую линейную комбинацию потоков, соответствующих <у, у> и <М, у>.

Метод алгебр Каца — Муди можно использовать в случае Эйлера — Пуансо (/ = 0). Насколько нам известно, применить этот метод в случае Ковалевской пока не удалось.

ЛИНЕАРИЗАЦИЯ

Теперь речь пойдет об интегрировании системы дифференциальных уравнений движения волчка в случае, когда она вполне интегрируема. В классической теории движение выражается через эллиптические функции. Точнее, в случаях Эйлера — Пуансо и Лагранжа это абелевы функции, связанные с некоторой эллиптической кривой, а в случае Ковалевской— тета-функции двух переменных. Мы ограничимся слу-

чаем Лагранжа. Случай Эйлера — Пуансо может быть рас* смотрен аналогично. В случае Ковалевской пока еще не удалось воспользоваться методами, которые мы собираемся описать.

Формализм гамильтоновых систем Каца — Муди — это не только «машина для производства» первых интегралов. Он позволяет также линеаризовать дифференциальные системы, т. е. описать пространства, определяемые постоянством первых интегралов, и потоки, которыми они снабжены, при помощи якобианов алгебраических кривых.

В § 5 нам уже пришлось заниматься дифференциальными уравнениями типа

Л = [Л, Ф(Л)],

где Л — полином от h с коэффициентом в алгебре g (в нашем случае so (У)). Пусть р — представление g в некотором комплексном векторном пространстве (в нашем случае можно взять каноническое представление в У ® Д). Положим

Qa. р (2, h) = det (г — р (Л)).

Проективная комплексная алгебраическая кривая с аффинным уравнением

Qa.p^, й) = о

называется спектром оператора р(Л) или просто А, если невозможны недоразумения. Спектр А является инвариантом траектории Л под действием потока (6.1): на самом деле из (6.1) выводится, что Тг(р(Л")) = 0 при всяком п. Иначе говоря, дифференциальное уравнение (6.1) описывает изо- спектральные деформации.

В случае Лагранжа в силу (5.9) имеем

52(Д) = —1Тг(Д)2 = (у, у) + 2сЛ + Я1(Я vM2 +

+ Я2(М, у)Л3 + V(Z, Г)к\ где мы положили

' с = ^М, у),

(6.3)(6.3)- нх (М, у) = <М, М) + 2Х<у, Z),. н^М, y) = 2A(M, t).

(6.3)

(6.3)

Поскольку Тг (Л) = Тг (Л3) = 0, получаем

(6.4)(6.4)QA (г, /г) = z (z2 + s2 (Л)),

(6.4)

(6.4)

так что спектр А состоит из прямой (z = 0) и эллиптической кривой с уравнением

z2 + s2(A) = 0,

которую мы будем, допуская неточность, называть спектром А.

Пусть Т — орбита подалгебры JV в Е с орбитальными инвариантами А2 = М, Н2(М, у), НХ(,М, у). Пусть X — неособая эллиптическая кривая с уравнением

0 = z2 + 1 + ^ск + Нх (М, у) /г2 + Н2 (М, у) й3 + Х2(/, /) Л4.

Обозначим через ^(Х, У') множество операторных полиномов А в V, имеющих X своим спектром. Пусть 91 — группа вращений пространства V вокруг оси R/. Эта группа действует на £ и оставляет Т и ^(Х, V^ инвариантными. Поток, который она порождает, есть гамильтонов поток, задаваемый отображением (Л1, у)н->(М, у).

Всякое Д е ^(Х, У) можно интерпретировать как полиномиальное семейство степени 2 эндоморфизмов пространства V. Следовательно, такое А является морфизмом расслоений на Р1:

А: V ®r67p< —>V ®r(7p<(2).

Ядро морфизма А есть подрасслоение ранга 1 в V ®r(7pi, изоморфное 67pi(—2). Полагая F = V ®R<7pVKer (А), получаем коммутативную диаграмму:

О-^бМ-З)-*!7 ®R(?p. ->£->0

|°^|“

о _> Ор.>V ® R Ор. (2) -* £ (2) -> 0

Интерпретируем к как морфизм X в Р1. В каждой точке gePi—{оо} отображение и имеет два собственных значения, которые являются значениями функции г на X в двух точках из X, лежащих над у. Сопоставляя точке хеХ собственное подпространство для и^х1), отвечающее собственному значению z(x), получим расслоение на X, которое обозначим $ (А). Тогда

F=hA^№ и=кДг\ deg $ (А) = 4.

Пусть Jac4(X)—многообразие обратимых расслоений степени 4 на X. Так как X— вещественная кривая, то Jac4(X) тоже вещественная кривая. Инволюция о кривой X, сохраняющая к, действует на Jac4(X). Положим

У = (^ е Jac4 (х) | ^ = аЗ?^.

Поскольку А вещественно, имеем 2Г(А)еУ. Тем самым определено отображение

S': ^(Х, Г^У.

Многообразие У вещественной размерности 1 является главным однородным пространством относительно действия множества вещественных точек вещественной эллиптической кривой.

Мы ограничимся тем, что сформулируем теорему линеаризации.

Теорема. 1) 2? инвариантно относительно действия 91 и определяет посредством факторизации изоморфизм 'S’(X, У)/91 на замкнутую область в У.

Поток (5.3) переходит при факторизации в 3 и задает на У поток, инвариантный относительно сдвига.

ЛИТЕРАТУРА

Adler A. On a Trace Functional for Formal Pseudo Differential Operators and the symplectic structure of the Korteweg —de Vries Type Equations. — Invent. Math., 50 (1979), 219—248.

Adler M„ van. Moerbeke P. Linearization of Hamiltonian systems, Jacobi Varieties and representation theory. Advances in Math. 1980, 38, № 3, 318—379.

Calogero F. Exactly Solvable One-Dimensional Many Body Problems.— Letters al Nuovo Cimento, vol. 13, n° 11 (1975), 411—416.

Van Moerbeke P. The spectrum of Jacobi Matrices. — Invent. Math., 37 (1976), 45—81.

Kazhdan D., Kostant B., Sternberg S. Hamiltonian Group Action and Dynamical Systems of Calogero Type. — Comm, in Pure and Appl. Math., vol. XXXI (1978), 481—507.

Kostant B. The solution to a Generalized Toda Lattice and Representation Theory.—Adv. in Math., vol. 34, n" 3 (1979), 195—338.

Kowalevska S. Sur Ie probleme de la rotation d’un corps solide autour d’un point fixe.—Acta Math., 12 (1888), 177—232.

Olshanetsky M. A., Perelomov A. M. Completely Integrable Hamiltonian Systems Connected with Semi Simple Lie Algebras. — Invent. Math., 37 (1976), 93—108.

Symes W. W. System oi Toda Type, Inverse Spectral Problems, and Representation Theory. — Invent. Math. 59 (1980), 13—51.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Примечание редактора. По затронутым в этом обзоре вопросам в настоящее время имеется богатая литература, поток которой питается как математическими, так и физическими источниками Ниже упоминаются лишь некоторые монографии и обзоры, в которых можно найти многочисленные указания библиографического характера.

Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. — Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы — 3. М.; ВИНИТИ, 1985, с. 1—303.

Дринфельд В. Г., Соколов В. В. Алгебры Ли и уравнения типа К.ор- тевега де Фриза. — Современные проблемы математики. Новейшие достижения, т. 24. М.: ВИНИТИ, 1984, с. 81—180.

Дубровин Б. А. Матричные конечнозониые операторы. — Современные проблемы математики, т. 23, М.: ВИНИТИ, 1983, 33—78.

Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов. Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980, с. 1—319.

Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теори солитонов.— М.: Наука, 1986, с. 1—527.

Lepowsky J. et al., ed. Vertex Operators in Mathematics and Physics. Proc, of a Conference, New York, Springer-Verlag, 1985, p. 1—482.

Кас V., ed. Infinite dimensional groups with applications. Proc, of a Conference. New York, Springer-Verlag, 1985, p. 1—379.

Кас V., Infinite dimensional Lie algebras. Boston ea., BIR Birkhauser, 1983, p. 1—245.

Benkart G. A. Kac.— Moody bibliography and some related references. Canadian Math. Soc. Conference Proceedings. Providence, Rhodesis- land, 1986, 111—135.

] Bogoyavlensky О. I. New Integrable Problem of classical Mechanics. Commun Matii' Phys., 1984, 94, 255—269.

] Фоменко A. T. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы. — М.: Издательство МГУ, 1983, с, 1—217.

ГРУППЫ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО РОСТА)[по М. Громову и др.]

Жак Титс

Коллеж де Фраис, Париж, Франция

ВВЕДЕНИЕ

Пусть Г — группа конечного типа и Е — ее конечная система образующих. Для ^еГ через /г,s(g) = U(g) = 1(g) обозначим «длину» элемента g, т. е. наименьшее целое число п, такое что g равняется произведению п элементов из Е U Е-1. Для г е R+ мы положим сг, е(г) = с (г) = Card {g е ^V\l(g)^r). Непосредственно ясно, что если Е' — другая конечная система образующих группы Г, то существуют такие постоянные а, b г R+, для которых

сг. в(агХ;Сг, в'(г)< сг. в(Ьг).

Говорят, что Г — группа полиномиального роста, если существуют такие с, d s R+, что

сг, в(r)<crd+1 (reR+).

Назовем тогда степенью роста нижнюю грань таких d, для которых неравенство (2) верно при подходящем выборе, числа с. Эти определения законны благодаря (1). Приведенные понятия, навеянные проблемами из топологии и дифференциальной геометрии, введены Дж. Милнором [5].

Легко видеть, что свободная группа, порожденная конечным множеством мощности >2 и, более общо, любая группа конечного типа, имеющая свободную неабелеву подгруппу, является группой экспоненциального роста (т. е. существует такое число 6 е R, 6 > 1, что c(r) ^ Ьг для любого г > 1). Напротив, любая абелева группа конечного типа является группой полиномиального роста. Целью статьи является

Теорема. Группа конечного типа тогда и только тогда является группой полиномиального роста, когда она обладает нильпотентной подгруппой конечного индекса.

Утверждение «тогда» получено Дж. Вольфом [10], а «только тогда» (значительно более трудное) — М. Громовым

. Частный случай разрешимых групп был получен перед этим Дж. Вольфом [10] и Дж. Милнором [6], а случай линейных групп отсюда выводился в работе [9] (см. далее п. 3.3). Для разрешимых или линейных групп цитируемые источники устанавливают, кроме того, что если группа не является группой полиномиального роста, то она является группой экспоненциального роста; мы оставляем в стороне вопрос о том, будет ли это верно вообще *).

Приведенная теорема имеет интересные геометрические приложения. Например, из нее вытекает, благодаря результатам М. Шуба (см. например, [8]), что если М— компактное риманово многообразие и если а: М-*М— отображение, локально увеличивающее расстояния, то тогда существуют связная нильпотентная группа Ли N, дискретная подгруппа Г «голоморфа» Aut N X N группы N, действующая на N без неподвижных точек, и автоморфизм р группы N, преобразующий N в себя, такие что пары (Л4, а) и (N/Г, Р) (где р действует на М/Г очевидным образом') топологически изоморфны (см. [3]).

РОСТ НИЛЬПОТЕНТНОЙ ГРУППЫ

f-рост

Пусть Г —группа, снабженная фильтрацией (r;)ieN., такой что Г = Г„ [Г;, Г,]с:Г;+/ и Г6 = {1} для почти всех к. Под конечной [-системой образующих понимается конечное подмножество Е группы Г, такое, что для любого t множество Е/ = ДПП порождает Г,. Положим E'i = E — ЕЕцЛ и назовем [-длиной слова из элементов множества Е J Е-1 возрастающую последовательность (пь п2, ...), где пг —длина (обычная) вклада множества Ez J Е/-1 в рассматриваемое слово. Мы скажем, что элемент из Г является элементом длины ^(л, гг, ...), где л^К-ь если он может быть записан в виде слова длины (пх, п^, ...) при пЕ ^ г, для всех I. Пусть fc(rb ri, ...)— число таких элементов. Если ^с'— функция, аналогично определенная для другой конечной /-системы образующих, то существуют такие постоянные a, be sR+, что

$с<агъ ar2, ...Xfc'^v, r2, .. .)^fc(brx, br2, ...).

Это придает смысл следующему определению: мы говорим, что Г — группа полиномиального f-роста степени ^d, если

1> См. дополнение в конце статьи. — Прим. ред.

существует такое число с е R+, что для любых г имеет местоfc(r, г2, ...)<crd+1.

Предложение. Если dt обозначает ранг абелевой группы. Г</Гг+ь то Г—группа полиномиального f-роста степени

< Ё idt.

Применяем индукцию, спускаясь по а = sup (i|Г = Г,}, а для заданного а — индукцию (обычную) по минимуму tn мощностей систем образующих группы Га/Га+ь Выберем /-систему образующих Е группы Г таким образом, чтобы Card£^ = m, [SU Е~\ EU Е-1] cz Е, и если элемент хеЕ» содержит степень с ненулевым показателем в Га+ь то степень с наименьшим строго положительным показателем такого свойства принадлежала бы Е. Пусть у е Еа- Следующее утверждение легко доказывается при помощи «чехарды» и индукции по целому q:

Если w — слово /-длины (ni, п^, ...) относительно элементов из £U Е~' и если (уь уг, ..., уР)~ вклад пары ^у, У"1} в это слово (так что yt = у или у-1 и р ^ па), тогда для О ^ q ^ р существует слово, представляющее тот же элемент группы Г, что и щ, имеющее тот же вклад пары (у, у-1}, начинающееся отрезком yvy2 ... уР и имеющее /-длину (пь «2, •..), где

пг < пг 4- qnz_a + J пг_2а + ....

ограничивая сверхуограничивая сверхуПредполагая п^г1 (для заданного reRJ, беря q = p<.r°.

ограничивая сверху

ограничивая сверху

числом q* «г0') и обозначая через

в наименьший индекс I, для которого rz = (l}, мы отсюда

выводим, что

(*) любой элемент g е Г /-длины ^(г, г2, ...) может быть записан в виде g = ysg', где |s|^ra, a g'— элемент /-длины ^(ег — |s|, er1 — |s|, ...), принадлежащий подгруппе Г' группы Г, порожденной множеством Е — {у}.

Если Г/Г' бесконечного порядка, то предположение индукции, примененное к Г', приводит к существованию такой постоянной с е R+, что количество возможных g' ограничивается сверху числом

Поскольку число допустимых значений для s мажорируется значением 2га + 1, то предложение выполняется. Если же Г/Г' — конечная группа порядка t, то мы перепишем g в виде g = ys'gi, где 0 ^ s, < t, g\ — элемент из Г' /-длины ^(ег, ег2, ...), и мы опять применим предположение ин.- дукции.

Лемма. Пусть Г — нильпотентная группа конечного типа и класса е, Z— последний нетривиальный член ее убывающего центрального ряда, Е — конечное подмножество образующих группы Г и z — элемент из Z. Тогда существует такая постоянная с е R+, что для neN мы имеем 1г,е(2п)^ <.С^П,

Доказательство проводится индукцией по е.

Очевидно, что достаточно доказать утверждение для коммутатора z = [х, у] элемента х из Е и элемента у, принадлежащего предпоследнему нетривиальному члену убывающего центрального ряда. Пусть п е N*, П] — наименьшее из целых чисел, строго превосходящих число л)п, и ах, щ — положительные целые числа, определенные условиями п = ахпеГт + а2, а, < пх, а2 ^ nf-1. По предположению индукции существуют постоянная с е R+ (не зависящая от п) и элементы yi и у2 длины ^с'пх, сравнимые соответственно е—1

с у"1 и у°2 по модулю Z. Наше утверждение вытекает теперь из того, что элемент

2" = [ха', у"1 ] • [х, у"2] = [х\ у,] • [х, у2]имеет длину ^2а, + 4с'пх + 2.

Предложение. (Басс — Вольф). Пусть Г — нильпотентная группа конечного типа и dt-— ранг i-го фактора Г;/Г;+1 ее убывающего центрального ряда (Гг). Положим d= ^ idt. Тогда для любой конечной системы образующих Е группы Г существуют такие постоянные сх, с2 @ R+, что

cxrd < сг. е (г) С c2rd 4-1 (re R+).

В частности, Г — группа полиномиального роста степени d.

Существование постоянной с2 сразу вытекает из предложения 2.2, примененного к (Г;). Докажем существование постоянной сх индукцией по классу е группы Г. Положим d' = d — ede. Предположение индукции включает в себя су-

шествование такой постоянной щ е R+, что существует по крайней мере сУ элементов длины <^-, попарно нё сравнимых по модулю Ге, а лемма 2.3 влечет за собой существование такой постоянной с" е R+, что Гв содержит по крайней мере щг е различных элементов длины откуда и следует утверждение.

(NB. Приведенное здесь доказательство существования постоянной щ является, с точностью до изложения, доказательством Дж. Вольфа [10], который для сг>е(п) также дает верхнюю границу, весьма громоздкую, но достаточную для установления полиномиальности роста. Сформулированная нами точная граница получена X. Бассом [1], который для нее дает доказательство, отличное от доказательства, приведенного здесь.)

Подгруппы конечного индекса

Непосредственно ясно, что если Г — группа конечного типа, 1\ — подгруппа конечного индекса, а Е, Е{ — конечные системы образующих групп Г, Гь то тогда существуют такие постоянные а, 6, b' е R+, что

сг„ в, (аг) < сг, е (г) < Ь'сТ1, в, кьЛ {г е R+).

Поэтому мы имеем

Следствие. Группа конечного типа, обладающая нильпотентной подгруппой конечного индекса, является группой полиномиального роста.

Теорема Громова [3] содержит обратное утверждение.

НАБРОСОК ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ГРОМОВА

Отныне через Г обозначается бесконечная группа конечного типа полиномиального роста, а через Е— конечная система образующих группы Г.

Для в е R+ мы обозначим (допуская некоторую вольность) через вГ метрическое пространство, наделяя группу Г инвариантным слева расстоянием (х, у)-+&1Е(х-ху) (если в = 1, то вГ обозначается также через Г). Громов показывает, что при подходящем выборе стремящейся к 0 последовательности (в;)

можно естественным образом определить метрическое пространство Y = lim е,Г; это пространство локально ком- 1->оо

пактно, связно, локально связно, однородно и конечномерно.

Пространство У некоторым образом описывает «поведение на бесконечности» группы Г (или, скорее, системы (Г,Е)). Группа Г действует на еГ (левыми сдвигами), и из этого выводится переходом к пределу действие группы Г на Y, т. е. строится гомоморфизм Г-> Isom У (группа изометрий пространства У). Теперь напомним два следующих результата.

3*2. Предложение.(Следствие «пятой проблемы Гильберта»). Группа изометрий метрического пространства, являющегося локально компактным, связным, локальным связным, однородным и конечномерным, есть группа Ли, обладающая лишь конечным числом связных компонент. (См. [7], гл. VI.)

Предложение. Любая подгруппа связной группы Ли обладает разрешимой подгруппой конечного индекса или содержит неабелеву свободную группу.

Если группа Ли является линейной, то это — частный случай основной теоремы из [9], и мы обращаемся непосредственно к этому случаю, переходя к сопряженному представлению.

Мы видели в § 1, что Г (являющаяся, напомним это, группой полиномиального роста) не может обладать неабелевой свободной подгруппой. С учетом этого, при помощи предложений 3.2 и 3.3 доказательство теоремы свелось к случаю — уже изученному — разрешимой группы, если бы мы только были уверены, что гомоморфизм Г-> Isom У из 3.1 инъективен. Но случай абелевых групп (когда Г «шевелит еГ все меньше и меньше» по мере того как е-*0, и поэтому тривиально действует на У) показывает, что это не так. Однако если Г не имеет коммутативной подгруппы конечного индекса, то Громов показывает, что, объединяя действие группы Г на еГ при помощи внутренних автоморфизмов «возрастающей амплитуды», можно всегда получить в пределе нетривиальное действие группы Г на У. Более точно:

(И) Если Г не является конечной, то она обладает подгруппой конечного индекса, имеющей гомоморфные образы в Isom У произвольно больших порядков (т. е. имеет либо бесконечный образ, либо бесконечно много образов неограниченных порядков^.

Наконец, Громов доказывает, что

(ш) предыдущего утверждения достаточно, чтобы вывести теорему из предложений 3.2 и 3.3 ’).

Три оставшихся параграфа относятся соответственно к утверждениям (1), (ii) и (Hi).

§ 4. ПРЕДЕЛЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

Функция расстояния в метрическом пространстве X обозначается через distx или просто dist.

Лемма. Пусть заданы вещественное положительное число R, последовательность (s^zetv строго положительных чисел, стремящаяся к нулю, и последовательность (N^ign* целых натуральных чисел. Тогда существует компактное метрическое пространство X со следующим свойством; если компактное метрическое пространство К диаметра ^R может быть для любого i е N* покрыто Nt замкнутыми шарами радиуса Bi, то К изометрически вложимо в X.

Пусть А — множество конечных последовательностей п = = («1, ..., ns) целых натуральных чисел, таких что 1 ^ ^ nt ^ Nt для всех I. Тогда требуемое условие окажется выполненным, если в качестве X мы возьмем пространство функций f; А R+, таких что

fWCR,

№ins+1)) — f((ntщ))|<2е3 для s>l,

с метрикой из L”:

dist(f, g) = sup|f(n) —g(n)|.A

Действительно, пусть К такое, как в формулировке. Индуктивно построим отображение ф: А-*К, обладающее следующими свойствами:

Чтобы Xi точек ф((п,)) образовывали висеть в К;

чтобы Ns точек ф((«]щ)) при s^2 образовывали

2е5-сеть в шаре с центром ф((П]ns-1)) и радиуса

2e$-i.

') На самом деле «алгебраическая лемма», используемая Громовым, имеет более сильную формулировку, чем (И); Гопал Прасад заметил мне, что при изложении (которое слегка отличается от изложения в [3]), принятом здесь для доказательства теоремы, можно было бы ограничиться в (Н).

Тогда немедленно проверяется, что отображение h I—* (п н-* distK (&, ф (n)) (& s К, п е Д) является изометрией пространства К в X.

Расстояния

В метрическом пространстве (X,6) мы назовем хаусдорфовым расстоянием между двумя подмножествами А, В (и будем обозначать его через dist.Hausd.e^, В)) нижнюю грань положительных вещественных чисел г, таких что А (соответственно В) содержится в r-окрестности множества В (соответственно А).

Пока не оговорено противное, все «пространства», о которых пойдет речь на протяжении этого параграфа, будут собственными метрическими пространствами с отмеченной точкой, а значит и локально компактными (метрическое пространство называется «собственным», если замкнутые шары конечного радиуса компактны, иначе говоря, если функция dist собственная). Говоря о пространстве (X, х) с отмеченной точкой, часто опускают упоминание о том, что точка отлична от х. Шар радиуса г и с центром в х пространства (X, х) обозначается через ВГ(Х, х), ВС(Х) или Вг.

Пусть (X, х), (X', х')—компактные пространства. Расстояние на X Ц X' называется допустимым, если оно совпадает с distx (соответственно с dist^') на X (соответственно на X'). Назовем хаусдорфовым расстоянием пространств (X, х) и (X', х') (и обозначим его через Л (X, X')) нижнюю грань множества

(dist. Hausd.6 (X, X')} U (6 (*. ^)),

где 6 пробегает множество допустимых расстояний наХ Ц X'.

Теперь пусть (X, х), (Х'.х')— какие-нибудь (собственные) пространства. Полагаем

Й((Х, х), (Г, V)) = A(X, Г) =£ ^h^B^X), Вп(Х'))

П=1

и говорим, что последовательность пространств (X,, х,) сходится к пространству (X, х), если lim ft (X, Х;) = 0. Легко /->00

видеть, что сходимость последовательности (X,) равносильна сходимости последовательности (В„(Х;)) для любого п.

Существование пространства У из п. 3.1 вытекает из следующего предложения.

Критерий сходимости. Пусть ((X,, X;))—последовательность пространств ^метрических, с отмеченной точкой, соб-

ственныхУ Предположим, что для г, е е R+ существует такое целое число Nr,e, что для любого i шар В, (ХУ) может быть покрыт Nr, 8 замкнутыми шарами радиуса е («.равномерная компактность» шаров радиуса г). Тогда из последовательности (Х;) можно извлечь сходящуюся последовательность.

Достаточно установить это свойство для каждой из последовательностей (Bn(Xi)y т. е. мы можем предположить пространства Xi компактами ограниченных диаметров. Тем самым утверждение сводится к случаю, являющемуся легким следствием из 4.1.

Пространство У

Напомним, что Г обозначает группу конечного типа полиномиального роста, а с(г)— число точек из Г, содержащихся в шаре с центром в 1 и радиуса г (если метрику определить исходя из конечной системы образующих б). Пусть d— степень роста и d'— вещественное число, строго большее, чем d.

Мы обратимся к [3], § 3, чтобы доказать (совсем легко) следующее утверждение, интуитивно вполне правдоподобное:

Существует расходящаяся последовательность (г^ем, таг кая что для i е N u / е {1i} мы имеем

с ^'ri} > Tid'c (rt);

для такой последовательности числа с ^r^ с (rt)~l ограничены сверху числом, зависящим только от / и d'.

Нетрудно видеть, что нам требуется именно это свойство, чтобы мы смогли применить критерий 4.3 к последовательности метрических пространств с отмеченными точками (гГ’Г, 1) (в соответствии с обозначением еГ из 3.1). Путем замены последовательности (и) на подпоследовательность мы можем заключить, что

для надлежащим образом выбранной расходящейся последовательности (ri) последовательность (г~1Г, 1) стремится к пространству с отмеченной точкой (У, уо), где Y — метрическое собственное пространство (и значит, локально компактное') .

Если g, g' еГ и если расстояние l\g~xg'^ равно I, то, очевидно, существует последовательность g = g0,gx, ... • • •, gi = g', такая что l(g7xgj) = \ i — i\; «умножая на 8 и заставляя а стремиться к нулю», мы отсюда выводим, что

для у, y'eY (находящихся друг от друга на расстоянии г) существует изометрическое вложение f: [0, г] -> У, такое что f(O) = yuf(r) = y'.

В частности,

пространство У связно и локально связно.

Следующее утверждение также легко вытекает из (1): Для любого е е R+ существует счетное покрытие пространства У подмножествами (в действительности шарами) Yi диаметров ^в, такими что

У, (diamy^ < оо.

Иначе говоря, «хаусдорфова размерность» пространства У (см. [4], VII, 4) есть наименьшее из d'; следовательно (см. то же),

размерность (топологическая) пространства У самое большее равна d.

Пример

Предположим, что Г — нильпотентная группа, порожденная множеством Е = {ei, е2, е3} и определенная соотношениями [ei,e2] = e3, [ei, е3] = [е2, в3] == 1. Предлагается описать соответствующее пространство У. Его носителем будет «группа Гейзенберга», т. е. К8, снабженное произведением

(х, у, z).^, у', z') = (x4-x', у + у', z + z' + xy').

Обозначим через L п, $ три проекции R3->R и положим л = (£, т)): R3->R2. Плоскость R2 = n(R8) снабжается метрикой Минковского

р((х, у), (х', /))™|х —Vl + ly —/|.

Произвольному пути (непрерывному) f: [0, r]->-R8 мы поставим в соответствие длину

m

X (f) = sup У ц (f (х^), f(xt)) (О — хо<х1< ... <х„ — г) m 1

и площадь a(f), а именно площадь, образуемую замкнутым путем, который получается дополнением пути f отрезком, параллельным оси х, затем отрезком оси у и снова отрезком, параллельным оси х [см. рисунок на с. 40). Пусть /и [0, г)-*- ->К3 называется горизонтальным, если для каждого х@[0, г]: имеет место

5 (Л W) ” 5 (А (°)) + а (л ° Й Ip, х]И

таким образом, h является единственным горизонтальным «подъемом» л-° А начала /i(0). Наконец, У — пространство R8, снабженное метрикой 6 следующего вида: 6(р, д) есть минимум длин Цл^Л)., где h пробегает множество горизонтальных

путей, соединяющих р и q. Легко дать явную формулу для 6з для х ^ у ^ 0 и z ^ 0 имеет место

х + у,если z ху

8((0, 0, 0), (х, у, z)) = { ^~"Vx — y, если xy^z^x2,( 4 Vz — х — у, если х2 ^ z,

а расстояние между двумя произвольными точками выводится отсюда с использованием инвариантности функции 6 относительно левых сдвигов группы Гейзенберга, относительно автоморфизмов

(х, у, z)*-^(y, —х, z — xy^v-^—x, —у, г)*-»(—у, х, г — ху),(х, у, г)^(у, х, xy — z)

и относительно инверсии (х, у, z)>—>(—х, — у, ху — z). «Геодезические линии» на У могут быть охарактеризованы следующим образом: путь h: [0, г]-*-У тогда и только тогда является изометрическим вложением отрезка [0, г] в У, когда он горизонтален, когда он «параметризуется длиной проекции п«к» (т. е. 1(л_»й|[0, л]) = х) и когда выполнено одно из двух следующих условий:

чтобы h был «монотонным» (т. е. такими были функции £оДит)ой);

чтобы h пробегал без повторений, кроме возможного совпадения концов, подмножество квадрата, параллельного осям.

Заметим, наконец, что хаусдорфова размерность пространства У равна 4.

Замечание

Изящное определение пространства ПтеГ, навеянное ме- в->0

тодами нестандартного анализа и допустимое для произвольной группы конечного типа, было дано Л. П. Д. ван ден Дрисом и А. Дж. Уилки.

§ б. ДЕЙСТВИЕ ГРУППЫ Г НА У. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО УТВЕРЖДЕНИЯ 3.4 (II)

В этом параграфе через (ez)Zi=N обозначается последовательность, стремящаяся к 0 и такая, что пространства (е,Г, 1) сходятся к (У, уо). Для каждого I задается допустимое расстояние 6, на егГ ЦУ (см. 4.2), при этом функции 6/ выбраны таким образом, чтобы

lim dist. Hausd.fi.(егТ, У) = limd, (1, уо) = 0. 8->ОО1~>ОО

Тогда говорят, что последовательность (pz), где pt е е,Г, стремится к точке р из У, если lira 6Z ^pb р) = 0, и что по- i-*OO

следовательность изометрий ар еД'-^Г стремится к изометрии а из У, если для (pj и р, указанных выше, а( (pj стремится к а(р).

Предложение. Если (at: е^— последователь, норть изометрий и если при 1->ео расстояние dist8zr (1, аД1)) остается ограниченным, то существует бесконечное множество N с: N, такое что (а,), s м стремится к изометрии пространства У.

Доказательство легко вытекает из компактности.

Следствие. Пространство У однородно.

Действительно, каждое из пространств е/Г является таким.

Доказательство утверждения 3.4(h)

Для §еГ и ге R+ положим

A (g, г) = sup {/ (x"'gx) I х е Вг (Г)};

это — амплитуда «передвижения шара 8Г(Г) при помощи g». Для ieN и §еГ мы через Xz(g) обозначим левый сдвиг пространства е,Г при помощи g. Заменяя последовательность (в,) на подпоследовательность, а также перенумеровав члены, мы можем благодаря п. 5.2 предположить, что для g^E— и, следовательно, для любого g е Г — изометрии X, (g) стре-

мятся к изометрии Лоо(^) пространства У, откуда мы получаем гомоморфизм Лоо: Г->1зотУ.

Если образ гомоморфизма Лоо бесконечен, то 3.4(ii) доказано. Поэтому предположим, что Лоо (Г) конечен и заменим КегЛоо на Г. Иначе говоря, предположив, что если Лоо(Г) = = {1}, то это означает, что для §еГ имеет место

Нтг"’Д(§, г) = 0.

Г->оо

Если классы сопряженных элементов с представителями из Е все конечны, то централизаторы этих элементов имеют конечный индекс в Г, поэтому центр группы Г имеет конечный индекс и 3.4 (ii) сразу же получается (поскольку dimisomy^ 1). Поэтому предположим, что по крайней мере один из элементов в Е имеет бесконечный класс сопряженных элементов. Из этого следует, что

для г, R е R+ существуют geE и а 6 Г, такие что Atagar1, r^R.

Используя одновременно (1) и (2), тот факт, что а.является произведением элементов из Е и что для хе Г н ееЕ имеет место

|Д(х, г) —Д(ехе-1, г) К 2,

мы тотчас убеждаемся в том, что для любого т] е R+ существует последовательность (а<) элементов из Г, такая что

lime,supk(atgai\ 8?*) = П-

1->оо gsE

Снова заменяя последовательность (е,) на подпоследовательность и изменяя индексацию членов, мы можем предположить, что для g е Е, а значит, и для любого g е Г последовательность изометрий Xi (g) = Xt (atgat *) сходится к изометрии Л^ ^g), откуда получается новый гомоморфизм Лоо: Г -> _> Isom У.Из соотношения (3) вытекает, что для подходящего элемента g е Е мы имеем

sup disty (у, Л^ (g) (у)) = П-

VeB, (У)

Если т) «очень мало», то это означает, что порядок элемента X» (g) «очень велик» (поскольку группа Ли Isom У не имеет произвольно малых подгрупп), откуда и следует 3,4 (ii).

КОНЕЦ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ:

ВЫВОД УТВЕРЖДЕНИЯ 3.4 (III)

Проведем индукцию по степени d полиномиального роста группы Г; более точно, мы предполагаем, что теорема установлена для любой группы полиномиального роста степени ^d — 1.

Лемма. Группа Г обладает подгруппой конечного индекса, имеющей фактор, изоморфный группе Z.

Если Г обладает гомоморфным образом бесконечного индекса в Isom У, то этот образ не может содержать неабелеву свободную подгруппу (в противном случае группа Г также имела бы такую подгруппу и являлась бы группой экспоненциального роста), поэтому он содержит разрешимую подгруппу конечного индекса (см. 3.3), и утверждение выполняется, поскольку Г — группа конечного типа.

Поэтому предположим, что Г не обладает гомоморфным образом бесконечного индекса в Isom У. На основании 3.4(ii) (и по § 5) существуют гомоморфизмы а,: Г-> Isom У, такие что числа {Card а, (Г)} неограниченны. Из хорошо известной теоремы К. Жордана (см., например, [2], 36.13) вытекает существование такого целого числа N, что любая конечная подгруппа группы Isom У обладает абелевой подгруппой индекса, делящего N (теорема Жордана относится к линейным группам; к ней сведется дело, если вспомнить, например, что максимальные компактные подгруппы группы Isom У линейны и сопряжены между собой). Пусть Г1 — пересечение всех подгрупп группы Г конечного индекса, делящего N; число этих подгрупп конечно (поскольку Г — группа конечного типа), поэтому [Г:Г1]<оо. Пусть Г{ — производная группа для Гь Из определений числа N и группы Г1 вытекает, что для любого i аг(Г1) = {1). Поскольку числа (Carda,(ri)} неограничены, фактор Гг/Г1 бесконечен, и лемма доказана.

Лемма. Пусть X — свободная абелева аруппа и а: Л->Л— автоморфизм.

Если автоморфизм а полупростой и если все вао собственные значения по модулю равны 1, то а имеет кбнвчный порядок.

Если а обладает собственным значением по абсолютной величине ^-у-, то существует Ха Л, такое что элементы ео + eia(X) + е2а2(Х)+ ... (8^ = 0 или 1, и =0 почти для всех i) попарно различны.

Достаточно убедиться в том, что любая орбита в Л® С группы {az|zsZ} имеет компактное замыкание, и, стало быть, ее орбиты в Л компактны.

Пусть £: Л-► С — линейная форма, такая что р о а= рР, где | р |^2. Тогда утверждение справедливо для лю

бого ХеА, такого что р(Х)^О; действительно,

= ( У, 8,р'у р (X), и ввиду предположения, наложенного на р, числа У в^' попарно различны.

2-0

В дальнейшем мы предполагаем, что Г есть полупрямое произведение ZXFi, где Z ^ Z: это разрешает нам лемма 6.1. Отметим, что ввиду полиномиальности роста группы Г

(*) Если zeZ и g е Г, то элементы g*. (zgz-1)81. (z^z-2)81... (ег те же, что и в 6.2) не могут быть попарно различны.

В частности, существует такое целое число m > 0, что трансформация zmg2-m принадлежит группе, порожденной элементами ztgrS где IС пг — 1. Это означает, что для любого g е Г1 (а значит, также и для любого §еГ) пересечение группы Г1 с группой <ZU{g}>, порожденной Z и g, есть группа конечного типа. Отсюда следует, что сама Г1— группа конечного типа. Тогда непосредственно ясно, что Г1— группа полиномиального роста степени ^d—1 (в качестве Е взять объединение конечных систем образующих групп Z и Г1); На основании предположения индукции Г1 обладает нильпотентной подгруппой конечного индекса. Мы предположим, не умаляя общности, что она сама нильпотентна.

Пусть z0 — образующий элемент группы Z, Г] зГ2zs ... ... —>Ге— {1} —центральный ряд группы Гь устойчивый относительно Z, и пусть а, —автоморфизм фактора Г,/Г,+1, индуцируемый элементом z0. Предположим, что последовательность (Г,) выбрана так, что всякий бесконечный фактор Г,/Г;+1 является свободным Z-модулем конечного типа с по- лупростым автоморфизмом а,.

На основании 6.3(И) и (*) в применении к степеням элемента «о любое собственное значение любой степени каждого из рассматриваемых az по модулю ^у иными словами, любое собственное значение автоморфизма az (по-прежнему при бесконечном факторе Гг/Гг+О имеет модуль 1. На основании 6.2(1) отсюда вытекает, что az имеет конечный порядок. Поскольку это справедливо для любого I, существует такое MeN*, что 0^=1 для любого I, и группа (z^) X Гь

имеющая в Г конечный индекс, является тогда нильпотентной, что и требовалось доказать.

Замечание. Вопреки тому, что было предусмотрено в схеме доказательства из § 3, нам не понадобился частный случай теоремы для разрешимых групп (или скорее, небольшая часть этого результата, которая оказалась необходимой, была предсказана в 6.3) Л

ЛИТЕРАТУРА

Bass Н. The degree io polynomial growth oi iinetely generated nilpotent groups, Proc. Lond. Math. Soc. (3) 25(1972), 603—614.

Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, М., 1969.

Gromov М. Groups of polynomial growth and expanding maps, Publ. Math. I. H. E. S. 53(1981).

Hurewicz W., Wallman H. Dimension theory, Princeton Univ. Press. 1948.

Milnor J. A note on curvature and fundamental group, J. Differential Geometry 2(1968), 1—7.

Milnor J. Growth of finitely generated solvable groups, J. Differential Geometry 2(1968), 447—448.

Montgomery D., Zippin L. Topological transformation groups. Interscience, 1955.

Shub M. Expanding maps, Proc. Symp. Pure Math. XIV, A. M. S„ 1970, 273—277.

[91 Tits J. Free subgroups in linear groups, J. Algebra 20(1972), 250—270. [10] Wolf J. Growth of finitely generated solvable groups and curvature of

Riemannian manifolds, J. Differential Geometry 2(1968), 421—446.

ДОПОЛНЕНИЕ РЕДАКТОРА

(подготовленное с участием Р. И. Григорчука)

Теория степеней роста групп, полугрупп и других алгебраических объектов имеет приложения в различных разделах математики, что стимулирует значительный интерес к ней как алгебраистов, так и специалистов иных профилей. После работы М. Громова были получены новые важные результаты в этой области.

Большой резонанс, вызванный работой Громова, повлек серию публикаций, в которых приводились различные модификации доказательства теоремы Громова. В этой связи следует отметить работу ван ден Драйса и Уилки [1*], в которой методами нестандартного анализа доказан несколько более сильный вариант теоремы Громова. Предпринимались попытки обобщения этой теоремы на различные классы полугрупп. В работе [2*] теорема Громова обобщена на класс полугрупп с сокращениями; при этом использовано понятие n-степенио нильпотентной полугруппы, введенное А. И. Мальцевым в работе [3*].

Теорема Громова дала положительный ответ на первую часть проблемы, поставленной Дж. Милнором [4*] в 1968 году. Вторая часть вопроса Милнора:

«Будет ли функция роста всякой конечно порожденной группы эквивалентна либо некоторой степенной функции п4, либо показательной функции 2П?» оставалась без ответа до 1983 года, когда появился аноис [5*]

с отрицательным решением проблемы Милнора Оказалось, что группы промежуточного роста между степенным и экспоненциальным существуют, что множество степеней роста групп имеет мощность континуума, а также что группы промежуточного роста существуют как в классе р-групп (р — простое число) так и в классе групп без кручения [6*], [7*].

Решение проблемы Милнора позволило ответить на многие вопросы анализа и других разделов математики. В частности, оно дало ответ на вопрос Дэя [8*] об аменабельных группах.

Несмотря на некоторое затишье в теории степеней роста групп, которое наблюдается в настоящий момент, многие важные вопросы этой теории и ее приложений ждут своего решения. Один из наиболее интересных и трудных вопросов: что можно сказать о функциях роста конечно опре деленных групп?

[1*] van den Dries of polynomial 349—374.[2*] Григорчук P.[1*] van den Dries of polynomial 349—374.[2*] Григорчук P.ЛИТЕРАТУРА

[1*] van den Dries of polynomial 349—374.

[2*] Григорчук P.

[1*] van den Dries of polynomial 349—374.

[2*] Григорчук P.

L., Wilkie A. J. On Gromov’s Theorem concerning groups growth and elementary logic. J. Algebra, 1984, 89, № 2,

И. О полугруппах с сокращениями степенного роста. Математич. заметки, 1987.

[3*] Мальцев А. И. Нильпотентные полугруппы. Учен зап. Ивановск. пед. ин-та, 1953, 4, 107—111.

[4*] Milnor J. Problem 5603. Amer. Math. Monthly, v. 75, № 6 (1968) 685—686.

[5*] Григорчук P. И. К проблеме Милнора о групповом росте. Докл. АН СССР, т. 271, № 1, (1983) с. 31—33.

[6*] Григорчук Р. И. Степени роста конечно-порожденных групп и теория инвариантных средних. Изв. АН СССР, Сер матем. т. 48, № 5, с. 939— 985.

[7*} Григорчук Р. И. О степенях роста р-групп и групп без кручения. Ма- темат. сборник, 1985, т. 126 № 2, с. 194—214.

[8*] Day М. Amenable semigroups. Ill. J. Math., vol. 1(1957), 509—544,

АЛГОРИТМЫ ПРОВЕРКИ НА ПРОСТОТУпо работам Эдлмана, Румли и Уильямса1)

X. У. Ленстра, мл.

Математический институт. Амстердамский университет,Амстердам, Нидерланды

ВВЕДЕНИЕ

Большинство методов, используемых для выяснения, является ли данное целое число п > 1 простым или составным, значительно легче работают с составными числами, нежели с простыми. В частности, это справедливо для методов, основанных на теореме Ферма, утверждающей, что a" s a mod л для всех простых чисел п и всех целых чисел а. Достаточно единственного числа а, не удовлетворяющего указанному сравнению, чтобы доказать непростоту п, хотя и без явного разложения л на множители. Однако таким способом не для всякого составного числа п можно доказать, что оно действительно является составным: составные числа п = 561 = = 3-11-17, 1105 = 5-13-17, 1729 = 7-13-19 и, возможно, бесконечно много других обладают тем свойством, что а" ^ = a mod л для всех целых чисел а. Более сильная версия теоремы Ферма, свободная от этого дефекта, утверждает, что (1.1) <2("~1)/2h= (-5-) = ± 1 mod л

для всех нечетных простых чисел п и всех целых чисел а ^ ^Omodn. Здесь (~) обозначает символ Якоби для a е Zi и нечетного положительного целого числа п. Можно доказать, что для нечетного составного п не более половины, и обычно значительно меньше, всех ае{1,2, ..., п—1} удовлетворяют (1.1). Для любого а из этого интервала значения a("-i)/2mod п и (-^-) могут быть эффективно вычислены: первое— повторным возведением в квадрат и умножение^ по модулю п, используя двоичное представление (л — 1) /2, а второе — посредством закона взаимности для символов Якоби. Эти вычисления можно проделать за время-

‘) Lenstra Н. W. Jr. Primality testing algorithms after Adleman, Ru- mely and Williams. Seminaire Bourbaki, 34-е аппёе, 1980/1981, № 576,1— 15.

с отрицательным решением проблемы Милнора Оказалось, что группы промежуточного роста между степенным и экспоненциальным существуют, что множество степеней роста групп имеет мощность континуума, а также что. группы промежуточного роста существуют как в классе р-групп (р— простое число) так и в классе групп без кручения [6*], [7*].

Решение проблемы Милнора позволило ответить на многие вопросы анализа и других разделов математики. В частности, оно дало ответ на вопрос Дэя [8*] об аменабельных группах.

ЛИТЕРАТУРА[1*] van den Dries of polynomial 349—374.[2*] Григорчук P.ЛИТЕРАТУРА[1*] van den Dries of polynomial 349—374.[2*] Григорчук P.Несмотря на некоторое затишье в теории степеней роста групп, которое наблюдается в настоящий момент, многие важные вопросы этой теории и ее приложений ждут своего решения. Один из наиболее интересных и трудных вопросов: что можно сказать о функциях роста конечно опре деленных групп?

ЛИТЕРАТУРА

[1*] van den Dries of polynomial 349—374.

[2*] Григорчук P.

ЛИТЕРАТУРА

[1*] van den Dries of polynomial 349—374.

[2*] Григорчук P.

L., Wilkie A. J. On Gromov’s Theorem concerning groups growth and elementary logic. J. Algebra, 1984, 89, Ns 2,

И. О полугруппах с сокращениями степенного роста. Математич. заметки, 1987.

[3*1 Мальцев А. И. Нильпотентные полугруппы. Учен зап. Ивановск. пед. ин-та, 1953, 4, 107—111.

[4*1 Milnor J. Problem 5603. Amer. Math. Monthly, v. 75, № 6 (1968) 685—686.

[5*1 Григорчук P. И. К проблеме Милнора о групповом росте. Докл. АН СССР, т. 271, № 1, (1983) с. 31—33.

[6*] Григорчук Р. И. Степени роста конечно-порожденных групп и теория инвариантных средних. Изв. АН СССР, Сер матем. т. 48, № 5, с. 939— 985.

[7*] "Григорчук Р. И. О степенях роста р-групп и групп без кручения. Ма- темат. сборник, 1985, т. 126. № 2, с. 194—214.

[8*] Day М. Amenable semigroups. Ill. J. Math., vol. 1(1957), 509—544,

АЛГОРИТМЫ ПРОВЕРКИ НА ПРОСТОТУпо работам Эдлмана, Румли и Уильямса1)

У. Ленстра, мл.

Математический институт. Амстердамский университет,Амстердам, Нидерланды

ВВЕДЕНИЕ

Большинство методов, используемых для выяснения, является ли данное целое число п > 1 простым или составным, значительно легче работают с составными числами, нежели с простыми. В частности, это справедливо для методов, основанных на теореме Ферма, утверждающей, что a" s a mod л для всех простых чисел п. и всех целых чисел а. Достаточно единственного числа а, не удовлетворяющего указанному сравнению, чтобы доказать непростоту п, хотя и без явного разложения п на множители. Однако таким способом не для всякого составного числа п можно доказать, что оно действительно является составным: составные числа л = 561 = = 3-11-17, 1105 = 5-13-17, 1729 = 7-13-19 и, возможно, бесконечно много других обладают тем свойством, что а" ^ = a mod л для всех целых чисел а. Более сильная версия теоремы Ферма, свободная от этого дефекта, утверждает, что

a^-^s ^-^-) = ± 1 mod п

для всех нечетных простых чисел п и всех целых чисел а Ф ^ 0 mod л. Здесь (-—) обозначает символ Якоби для a е 2 и нечетного положительного целого числа п. Можно доказать, что для нечетного составного л не более половины, и обычно значительно меньше, всех ае{1,2, ..., л—1} удовлетворяют (1.1). Для любого а из этого интервала значения at"-1)/2 mod л и (-£-) могут быть эффективно вычислены: первое— повторным возведением в квадрат и умножение^ по модулю л, используя двоичное представление (л—1)/2, а второе — посредством закона взаимности для символов Якоби. Эти вычисления можно проделать за время-

!) Lenstra Н. W. Jr. Primality testing algorithms after Adleman, Ru- mely and Williams. Seminaire Bourbaki, 34-е аппёе, 1980/1981, № 576,1— 15.

O((logn)2+e) для любого 8 > 0. Отсюда мы приходим к простому практическому методу распознавания непростоты чисел: выбираем случайным образом целые числа а из множества {1,2, ..., п—1} до тех пор, пока не встретится такое, которое не удовлетворяет (1.1). Если было испробовано несколько сотен значений для а, и все они удовлетворяют (1.1), то можно без риска держать пари, что п— простое число, или использовать п в качестве простого числа для коммерческих целей; однако это не дает математически строгого доказательства простоты п.

Только что описанный алгоритм принадлежит Соловэю и Штрассену {12]. Он является примером вероятностного теста на непростоту, то есть алгоритма, который в случае завершения работы по входному числу п говорит нам, является п простым или составным, и который имеет большую вероятность останова в случае составного п; мы не заботимся о завершении работы в случае простого п. Понятие вероятностного теста на простоту определяется аналогично с заменой непростоты на простоту. В свою очередь, детерминированный тест на простоту (или непростоту) обязательно завершает свою работу и говорит нам, является п простым или составным.

Настоящая статья посвящена главным образом алгоритму проверки на простоту Эдлмана и Румли [1, 2]. В этом алгоритме число п подвергается большому числу тестов, аналогичных (1.1). Если п не проходит все эти тесты, то оно является составным. Если п прошло все эти тесты, то можно определить небольшое множество чисел, которое содержит все делители п, не превосходящие п1/2. Индивидуальная проверка последних позволяет сделать вывод о простоте или непростоте п.

Имеются две версии этого алгоритма: вероятностная, которая обсуждается в § 4, и несколько более сложная детерминированная, которая обсуждается в § 5. Варианты и расширения указанных тестов описываются в §§ 6 и 7. Наконец, § 8 посвящен связи нового теста с более старыми алгоритмами проверки на простоту. Имеется надежда, что заключительные параграфы внесут вклад в практическую реализацию теста для чисел, записываемых сотнями десятичных цифр.

Анализ времени работы приводит к одной задаче из аналитической теории простых чисел, которую решили Померанц и Одлыжко. Они доказали, что существует эффективно вычислимая константа ci, такая, что время работы детерминированного алгоритма и ожидаемое время работы вероятностного алгоритма для простого п ограничено величиной (log п)с‘1081081°в" для п > ее. Это значительно быстрее, чем

для детерминированного алгоритма Полларда [9], который срабатывает за время

О (п|1/8)+в) для любого е > 0.

Если допустить некоторые обобщенные гипотезы Римана, то существует еще более быстрый детерминированный алгоритм проверки на простоту. Он заключается в проверке (1.1) для всех положительных целых чисел а < 70(logn)2, которые не делятся на п. Если п проходит все эти тесты, то можно показать, используя гипотезы Римана, что п— простое число. Время работы этого алгоритма

О ((logrt)4+e) для любого 8 > 0.

Отметим превосходную обзорную статью Уильямса [13], в которой содержится дополнительная информация о проверках на простоту и, в частности, принадлежащее Миллеру и Рабину улучшение тестов, основанных на (1.1). В [5, 11] обсуждается близкая по смыслу, но сильно отличающаяся по методам задача разложения числа на простые множители. Эффективные алгоритмы выполнения арифметических операций можно найти в [6].

На протяжении всего изложения мы зафиксируем целое число п> 1. Следует рассматривать п как целое число, которое «по всей видимости является простым» в том смысле, что тест на непростоту, аналогичный описанному выше, не дает возможности показать, что п — составное число. Задача состоит в том, как доказать простоту п.

Другие обозначения: ^ — примитивный корень степени m из единицы, А*— группа единиц кольца А с 1, и <а> —подгруппа, порожденная а; а\Ь означает, что а положительно и делит 6; Ор^пг^— число сомножителей р в разложении m для простого р; ZP— кольцо целых р-адических чисел и ра— конечное поле из q элементов.

ГАУССОВЫ СУММЫ

В этом параграфе мы зафиксируем два простых числа р и q с p\(q— 1). Предположим, что НОД(рр, п)=1. Пусть R = ZV^P, ^] и х —характер порядка р и кондуктора q, т. е. гомоморфизм групп

fp-^R с x[F*J=<Q.

Гауссовой суммой т^ является элемент из R, определенный равенством

где х(я) = Х(х mod </). Стандартное вычисление дает нам (2.1)т(х)" = х(«)~” • т(хп) modn/?, если п простое. .

Обратно, изучим, что можно сказать относительно п, если выполняется следующее несколько более слабое сравнение:

т (х)" = п (хГ" • т (х") mod nR,

для некоторого ^^ е^.

Сделаем следующее предположение.

Условие на р. Для любого простого р\п справедливо неравенство vp (г"'1 — 1) ^ vp (пр~1 — 1).

Это неравенство можно также сформулировать как гр-х в slmod(np~‘ — l)Zp; если оно выполнено для всех простых г\п, то понятно, что оно справедливо для всех г\п. Если выполнено (2.3), то мы пишем

/Р(г) = ((гр"‘ — l)/(np~‘ — l)modp) для г\п, что рассматривается как элемент из ZpjpZp = ZjpZ. Имеем (2.4)Zp(rrz) = /p(r) + Zp(r'), если гг'\п,

1PW=\.

Предложение. Предположим, что выполнены (2.2) и (2-3). Тогда т] (х) = X («) и х О') = X (^)Zp <П для каждого г | п.

Доказательство приводится ниже. В (2.9) мы увидим, что условие (2.3) не может быть опущено. Чтобы иметь возможность применять (2.6), нам необходим метод для проверки (2.3). С этой целью мы часто можем применить следующее предложение, доказательство которого также приводится ниже.

Предложение. Если (2.2) выполнено с ^(х)^ 1» то порядок р характера % удовлетворяет (2.3).

Тривиальным образом мы получаем

если np-1 ^ 1 mod р2, то выполнено (2.3).

Пример. Пусть р = 2. Тогда х задается равенством х(х) = ^-^-у Положим а = х(~1)<7 = ±<7> причем знак выбран так, что a si mod 4. Хорошо известно, что т(х)2 —а, поэтому (2.1) равносильно

а("~1)/2^ ^-^-) mod п, если п простое, НОД^, п)=1.

Это приводит к квадратичному закону взаимности: (-^-) = = (-^-)- Аналогично, (2.2) эквивалентно

akn-№s j. J то^ п.

Пусть теперь « — число Рамануджана: п = 1729 = 7- 13- 19. Тогда a(n~1)/2= 1 modn для всех qeZ с НОД (а, п)=1, поэтому (2.2) выполнено для всех q с 1)(х) = 1. Выбирая q таким, чтобы х(«)=—1 (например, <7=11), мы получаем пример, в котором п (х) т^ X(«)■ Это показывает, что условие (2.3) не может быть опущено из (2.6).

Доказательство (2.6) и (2.7). Предположим, что выполнено

(2.2). Применяя автоморфизм R, отображающий £р в £р и ^ в себя, мы находим, что

т (й^У = ч(хГп1+1 • т(х"'+1)тоб«/?

для всех I е Z>0, а индукция по z дает отсюда

т (хГ = П (х)""1"” • т (xn ) mod nR

для всех 1eZ>0. Для i = p — 1 мы имеем т(х") = т(х), и этот элемент представляет единицу в R/nR, поскольку т(х) • т (х) = q. Поэтому мы получаем

т(х)пР 1-1 ^r)(x)mod«p.

Пусть теперь г\п и г является простым. Тогда выполнено (2.2), в котором п заменено на г, a ii(x) — на х(г), так что по тем же соображениям мы имеем

т(х)гР 1-1 =x(r)mod/z/?.

Следовательно, если со обозначает порядок элемента (T(x)modrR) в (R/rR)*, то со|р(г₽~1 — 1).

Для доказательства (2.7) предположим, что л(х)=# 1- Из (2.10) мы видим, что

т(х)”Р U1 =n(x) ^ 1 modrP,

поэтому со делит р^пР-"1 — 1), но не делит пр-1— 1. Следовательно, ир (со) = ир (р (пр~1 — 1)). Так как цр(соХ то это доказывает справедливость (2.3), что и требовалось.

Для доказательства (2.6) предположим, что выполнено (2.3). Мы можем записать (гр-1 — ОДп"-1 — 1) = a/t>, где a, b е Z>o, 6^0 mod р, причем мы даже можем добиться того, что 6=lmodp. Тогда lp(г) = (amodр); согласно (2.10) и (2.11) мы теперь имеем

X (г) = X (г)6 = т (х)6 (гР-1-1) =^(^(яР-1-1)^^= л(х),р w mod rR,

и поэтому Х(г) = п(х/Р<г)-

Это мы доказали для простого г\п. Используя (2.4), мы видим, что то же самое равенство справедливо для произвольного г\п. Для г = п мы находим согласно (2.5), что %(/?) = = т)(х). Это доказывает (2.6).

§ 3. ОДИН РЕЗУЛЬТАТ ИЗ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

Померанц и Одлыжко показали, что существует эффективно вычислимая константа с2, такая, что для любого целого числа п > ее существует Ze Z>0, удовлетворяющее следующим условиям:

t свободно от квадратов,

/<(logn)*'108108'08*,

s >/1*^ для s= П q.

q — простоеИИ

Доказательство использует одну идею, принадлежащую Пра- хару [10], и приведено в [2]. Оно не дает реального построения t. В частности, остается недоказанной гипотеза Эдлмана о том, что можно взять t — JI р для некоторого х. Эври- р—простое р<х

стические аргументы и числовые соображения в поддержку этой гипотезы можно найти в [1,2]. Если мы возьмем х = 19, то (3.3) выполняется для п < 10350.

Результат Померанца и Одлыжко является наилучшим из возможных в том смысле, что существует положительная константа с3, такая, что / > (log n)c,‘log 108108 " для любого положительного целого числа I, удовлетворяющего (3.3), ср. [2].

ВЕРОЯТНОСТНЫЙ ТЕСТ НА ПРОСТОТУ

Тест проходит следующим образом. Найдем положительное целое число t, удовлетворяющее (3.1) и (3.3), например, испытывая последовательно / = 1,2,3, ... . Пусть s— такое же, как в (3.3). Проверяем, что п не делится ни на одно из простых чисел, делящих s или t. Для каждой пары простых чисел р, q с р\ (q— 1) и ^|s (так что p\f) выберем характер х порядка р и кондуктора q, а также проверим (2.2) для этого х- Далее доказываем, что любое простое р делящее /, удовлетворяет (2.3). Обычно для каждого р будет по крайней мере один х с ^(х)2/21> после чего (2.7) достаточно для доказательства (2.3). Если это не так и, кроме того, не применимо (2.8), проверяем (2.2) для характеров х порядка р, имеющих другие кондукторы, до тех пор, пока не будет найден пример с ^(х)^!. Если (2.3) доказано для всех простых р, делящих /, определим neZ посредством

п1 = г, mod з, 0 ^ rt < s,

для / = 0, 1, ..., /— 1, и проверим, что ни одночиз п не является нетривиальным делителем п. Если п проходит все эти тесты, то объявляем п. простым. Тем самым завершается описание алгоритма.

Для обоснования алгоритма предположим, что п прошло все тесты, но не является простым числом. Пусть г — нетривиальный делитель п, удовлетворяющий неравенству г ^ л1/2. Определим /, используя китайскую теорему об остатках, как

/е (О, 1/ — 1),

1 = 1Р (г) mod р для любого простого р 1t, где /р(г) —как в § 2. Согласно (2.6) мы имеем xW = X^z) для всех тех характеров х. которые были проверены. Поскольку эти характеры порождают группу всех характеров группы (L/sZ} её ф F^, то г a ns rt mod s. Теперь из q простое

q I s

О ^ г ^ л1/2 < s н 0 ^ rt < s следует, что г = г/, поэтому гг — нетривиальный делитель л, что дает противоречие.

Единственная недетерминированная часть алгоритма состоит в проверке условия (2.3). Для простого л эта проверка может в самом худшем случае поглотить очень много времени, а для составного л указанная часть алгоритма не обязана даже завершаться, поскольку вполне возможно, что (2.3) не выполняется. Если допустить некоторые обобщенные гипотезы Римана, то этот недетерминированный аспект можно устранить так же, как в случае Соловэя — Штрассена из вве-

дения. Другое решение, не использующее недоказанные гипотезы, приведено в § 5.

Анализ времени работы получается непосредственно, если мы применим результат из § 3. Находим, что для любого е с 0 < 8 < 1 алгоритм завершает работу с вероятностью

в за время <| logs] • (logn)c,'lo8lo8l°8" для всех простых п > ее; здесь с4 обозначает абсолютную эффективно вычислимую константу.

Отметим одно улучшение, представляющее практический интерес. Положим h(p) = vp{np~[ — 1) и s' = s • Ц ph^р\ где произведение берется по всем простым числам р, делящим НОД($, /). Тогда условие (3.3) может быть ослаблено до s' > п1/2, и в алгоритме можно s заменить на s'. Обоснование такого изменения использует то, что по определению /р(г) мы имеем х(г) = ,Х,№1р''П Ддя любого г\п и любого характера х, порядок которого равен степени р, а кондуктор делит phW+x.

ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ ТЕСТ НА ПРОСТОТУ

Прежде всего, пусть р, q, R, % и т(х)—такие же, как в § 2. Мы заменим (2.2) на несколько более сложное множество условий.

Запишем np-v — 1 = ph • и с и ^ О mod р. Рассмотрим по- 2Л

следовательность т(х)р“, т(х)р“, ..., т(х)р “ по модулю nR. Заметим, что эти элементы принадлежат подкольцу Z [у. в R. Наше первое условие совпадает с (2.10):

т (х)р “ = т] (х) mod nR для некоторого г|(х)е($р).

Мы знаем, что (5.1) выполнено, если п— простое число, причем п(х) =%(«)•

Предположим, что справедливо (5.1), и пусть ф (х) — наименьшее целое число ze(l, 2, .... А} со свойством, что т (х)Р “ сравнимо с некоторым элементом из (£р) по модулю nR. Нашим следующим условием является:

если ф (х) > 2 и т (х)рП" <Х>“ = 1 mod nR, то для любого /е{0, 1, .... р — 1} элемент x(%)pmto 4— ^Р из Z[£p] имеет после разложения-по базису 1, ^р, ..., ^р~2 модуля Z [у над Z некоторый коэффициент, который взаимно прост с п.

По определению w (%) каждый элемент т (х)— име

ет коэффициент ^0 mod га, поэтому вычисляя наибольший общий делитель, мы можем проверить (5.2), либо найти нетривиальный делитель числа п.

Предложение. Если выполнены (5.1) и (5.2), то rp~i в 1 mod pw№ для любого простого г\п.

Доказательство. Утверждение тривиально при ®(х)=1. Если т(х)рШ,(Х)“ ^ 1 mod nR, то мы можем имитировать доказательство (2.7) с р'^и вместо гар-1 — 1. Поэтому предположим, что ф(х)>2 и т(х)рШ,<Х>“= 1 mod»/?. Предположим, что гр-1^1 mod р^. Тогда мы можем записать pwto-vul^rp-x—1)= = а]Ь, где a, 6eZ>0, b^lmodp. Комбинируя сравнение т (х)ра,<Х>“= 1 mod г/? с (2.11), мы находим, что

т(х) = т(х) =т(хУ =x(r) = &тобгЯ для некоторого / е (0, 1р — 1}. Следовательно, все коэффициенты элемента т (х)— £р делятся на г, что

противоречит (5.2) и доказывает (5.3).

Предположим справедливость (5.1), и пусть зафиксировано такое целое число w, что wt^^w^u и rp-1 s 1 mod рш для любого простого г |га. Положим

С (г) = (О""1 — ОДр^ы) mod р) е Zp/pZp = Z/pZ для каждого г\п, и пусть ц' (x)s(Q определено равенством T(x)p“'“ = n/(x)modra7?.

Предложение. В указанных условиях и обозначениях мы имеем

^ = т\' ^x)1pw

для любого г\п, причем X (л) = Л (х)-

Доказательство почти идентично доказательству (2.6) и оставляется читателю.

После сделанных приготовлений мы представим детерминированный тест на простоту. Берем t, s как в § 4, проверяем, что НОД($/, га)=1, и выбираем характер х порядка р и кондуктора q для каждой пары простых чисел р, q с р\(д — 1) и q\s. Проверяем (5.1) и определяем ф(х) для каждого х- Далее для любого простого р\1 делаем следую-

щее. Полагаем w = maxш(х), где максимум берется повеем характерам х выбранного порядка р (если таковых нет, то игнорируем р). Проверяем (5.2) для единственного х порядка р с w = ®(х). Проделывая это для каждого р, вычисляем все пЧх); последние определены корректно, так как w удовлетворяет указанным выше условиям. Повторным применением китайской теоремы об остатках находим единственный класс вычетов (vmods), для которого x(v) = 'H,(x) Для всех х- Пусть г, е Z удовлетворяют сравнениям

v'srymods, 0^г;<з,

для i = 0,1, .... t—1, и проверяем, что ни одно из rt не является нетривиальным делителем п. Если п. проходит все эти тесты, то объявляем п простым числом, что завершает описание алгоритма.

Корректность алгоритма доказывается так же, как в § 4, только (2.6) следует заменить на (5.4).Время работы ограничено величиной (log п.у» • 108 108108 " для всех п > ее, где с^ обозначает абсолютную эффективно вычислимую константу.

СУММЫ ЯКОБИ

Пусть р, q, R, % н т(х)~такие же, как в § 2. В этом параграфе мы увидим, что условие (2.2) может быть заменено на условие, в котором упоминаются лишь элементы из подкольца Z [£р] в R.

Обозначим через А группу Галуа Q(£p) над <0, а через Z[A]— ее групповое кольцо над Z. Имеем ГР = А относительно изоморфизма, отображающего (/modp) в а,, где О/(£р) = = Ур. Пусть А действует на О(£р, gj так, что az(Q = ^ для всех j. Действие А индуцирует структуры естественного ZtAl-модуля на мультипликативных группах Q(£p, ^Г, Q(£p)‘, WnRY, (Z [Ц/nZ [Ц)‘; поэтому для х в любой из этих групп и а е Z [А] мы можем вполне осмысленно говорить о ха.

Определим гомоморфизм колец ф : Z [А] —> Fp равенством ф (О/) = (/ mod р) и пусть ^ — ядро ф. Это простой идеал в Z[A] с р е ^, порожденный множеством (а/ — j; j eZ- pZ}. Он является аннулятором Z[A]-мoдyля (£р).

Зафиксируем элемент л из ^. Рассматривая действие группы Галуа Q(£p, £„)над Q(£„), мы находим, что т(х)ле €<Q(£p)*, и похожим образом, что

v(x) = (^(x)modn^)n

принадлежит подгруппе (Z [£p]/nZ [£„])* из (R/nRy. Мы пытаемся заменить (2.2) условием на v(x), а не на т(х).

Используя структуру Z [А]-модуля, мы можем сформулировать (2.2) в виде

(т (х) mod nR')n-a,i = (г) (x)-ZI mod hRY

для некоторого т|(х)^<Ср)-

Предположим теперь, что а, р е Z [А] удовлетворяют

ал = р (п — о„), р

Тогда мы находим, возводя (6.1) в степень Р:

v (х)“ = (т) t£T"*W mod nZ [£р]) для некоторого г) (х) е (£р).

Предложение. Предложения (2.6) и (2.7) остаются справедливыми, если (2.2) заменить на (6.3), где a, ps е Z [А] удовлетворяют (6.2).

В доказательстве используется, что (2.2) остается справедливым после возведения в степень р, где ф(Р)#=(0modр), и в остальном аналогично доказательству, приведенному в § 2. Оно оставляется читателю.

Элементы а, Р из (6.2) существуют тогда и только тогда, когда п — оп принадлежит идеалу, порожденному л, в локальном кольце Z [А]^*. Используя стандартные методы коммутативной алгебры, показывается, что это локальное кольцо является кольцом с дискретным нормированием, причем замыкание изоморфно Zp, а соответствующее отображение Z[A]-*ZP задается lim /? . Следовательно, а, р дей- т->оо

ствительно существуют тогда, когда

л отображается в образующий идеала pZp.

Если гомоморфизм колец ф': Z [А] -* Z/p2Z определен равенством ф'(а/)==(/Ршобр2), то (6.5) равносильно тому, что

ф (л) = (0 mod р),

ф' (л) V= (0 mod р2).

Пример: л = р. В этом случае мы можем взять

р-1

Р = Z jo?' (С ф(р) = (— 1 modp)),/-1р—1 __

где [х] обозначает наибольшее целое число <х. Еслир = 2, т0 v(x) = (T(%)2modn/?) просто задается с помощью v(%) = = (%(—l)?modn/?), ср. (2.9).

Пример: л = оа + Чь — Са+ь, где a, 6eZ удовлетворяют условию аЬ (а + Ь) * 0 mod р (поэтому р = 2 исключено) и ар + 6Р ^ (а + 6)р mod р2 (ср. (6.6)); например, а = 6 = 1 для р<3-10, р ^ {1093, 3511). В этом случае мы можем взять

где ф (0) ф (0 mod р) является следствием л. T^joi' — P^- Согласно [7, гл. I, § 1] элемент v(%) задается суммой Якоби

v (%) == f — ЕX W* X (1 — х? mod nZ О.

\ x1}/

Этот элемент может быть вычислен в кольце Z [£₽].

Замечание. Представляет интерес задача нахождения метода вычисления v(x), более эффективного, чем прямое использование его определения или, в частном случае, чем формула, заданная в (6.8). Для р = 2 это тривиально. В общем случае может оказаться необходимым для этих целей использовать арифметическую характеризацию гауссовых сумм [7, гл. I]. Это действительно может быть сделано для р^П с использованием алгоритма Евклида в Z КР] (ср. [8]); здесь мы предполагаем, что известен элемент х е F, с %(х) =N 1-

Гауссова сумма т(х) = — £ xto^ е R вновь удовлетворяет (2.1). Рассмотрим аналог (2.2):

ЧхГ=3п(хГ'г 1 т (xn) mod п/?

для некоторого т] (х) е (^рлу

Условие на р. Для любого простого г \ п существует lpir\eZp, такое что гр-1 = (пр~‘)‘р(г) в группе 1 + pZp.

Это условие эквивалентно (2.3) для р > 2, а также для р — 2 при n=lmod4. Определяя /p(r)eZp для всех г\п равенством гр-1 = (пр-1)^1^, мы теперь имеем следующие аналоги (2.6) и (2.7).

Предложение. Допустим, что справедливы (7.1) и (7.2). Тогда 11(х) = х(«) “ X(d ~X(n)lPir} для всех г(п.

Предложение. Допустим, что выполнено (7.1), причем ■И (х)—примитивный корень степени рк из единицы, и справедливо одно из следующих утверждений'.

р нечетно-,

р = 2, к = 1 и п » 1 mod 4;

р = 2, к > 1 и т (х2*-1)"-' — ~ 1 mod nR.

Тогда выполнено (7.2).

Если р=2 и n = 3mod8, то (7.2) выполнено при 2(n-i)/2 = —imodn. Другой путь проверки (7.2) указан в (8.6).

Используя (7.1), (7.2), (7.3) и (7.4) вместо (2.2), (2.3), (2.6 ) и (2.7) в § 4 мы получаем вероятностный тест на простоту, в котором может быть устранено ограничение (3.1) о том, что t свободно от квадратов. Это улучшение имеет практический интерес. Коль скоро рассматривается время работы, упомянутое улучшение влияет самое большее на константу в экспоненте (см. заключительный абзац § 3). Как и в заключительном абзаце § 4 мы можем заменить s на s'= s • П pmW, где m (р)~ ор (nf — 1)— 1. рпростое р|НОД(з. О?

Те результаты из § 6, которые важны для практических целей, были обобщены на рассматриваемую ситуацию X. Коэном. Для р + 2 он нашел формулы, аналогичные формулам из (6.8), однако случай р = 2 требует значительно более деликатного обращения. Заключение состоит в том,. что все вычисления могут выполняться в кольце Z [g k^nZ,^ ftj.

Обобщение детерминированного теста из § 5 имеет следующий вид. Пусть р, к, q, R, х, т(%) —те же, что и выше, и обозначим через G группу Галуа Q^) над Q. Для /eZ* пусть а, —элемент из G с а/($р») = ^-6- Пусть G действует на R как Ст/($,) = ^ для всех /. Выберем ueZ- — pZ таким, чтобы p^u s Z [G] • (/г — а„) для некоторого msZ>o; например, возьмем в качестве и наибольший делитель числа /г'р-Ор6-1 — 1, который не делится на р. Определим % (х) = (т (х) mod nR)u, и предположим, что выполнено (7.1). Тогда Л(х) принадлежит р-примарной части группы (RJnRY. Эта р-примарная часть может рассматриваться как модуль над Zp[G], Пусть Нх — множество всех asZ*„ для которых существует г)(х, а)е^рА) с

Я (%)' ~(а/а°) — (п (х, а)и mod nR);

например, пеНх, причем г) (х, п) = г) (х). Легко проверяется, что Нх — подгруппа в Zp и что отображение х: ^х~*(£ а), х(а) = т](х, о\ является гомоморфизмом групп. Рассмотрим для а е Zp — Нг следующее условие:

для любого /s{0, 1, ..., рк — 1) коэффициенты элемента К (х)1-^^ — ^рь из Z [^pfc^nZ [^pfe^ при разложении по базису над ZjnZ порождают единичный идеал ZjnZ.

Для заданного а легко проверить это условие, либо найти нетривиальный делитель п, ср. (5.2).

Нас будет интересовать лишь про-р-примарная подгруппа 7Х = //ХП(1 + pZp) в Нг

Предложение. Пусть х удовлетворяет (7.1), и предположим, что любая подгруппа Jc 1 + pZP, для которой JX^J и Jx имеет в 1 индекс р, содержит элемент а, удовлетворяющий (7.5). Тогда для любого г\п мы имеем

Заметим, что необходимо рассмотреть не более трех подгрупп J, а для р > 2 не более одной.

Детерминированный тест, основанный на (7.6), проходит следующим образом. Пусть s, / — те же, что в (3.3), и проверим, что НОД (st, п) = 1. Для каждой пары простых чисел р, q с p\(q— 1) и p|s выбираем характер х порядка р6 и кондуктора q, где k = yp(q — 1). Проверим (7.1) и определим /х для каждого х- Далее, для любого простого числа

p\t делаем следующее. Положим /р= П Л> гДе пересечение х

берется по всем выбранным характерам х, порядок которых равен степени р. Проверяем (7.5) для небольшого числа пар (а, х), выбранных таким образом, что согласно (7.6) мы знаем, что rD~x е Jp для каждого г | п. Если — 1 е ]р (так что р = 2), то выбираем уре/р так, чтобы 7р = ур? [J (—ур р). В противном случае выбираем ур е /р так, чтобы Jp = ^р. Проделывая это для каждого р, определим единственный класс вычетов (vmods) с x(v) = x(Yp) Для всех %• Пусть vi = ri mods, причем 0^r(-<s, для z = О, 1t—1, и проверяем, что ни один из rt не является нетривиальным делителем п. Если -ls/2, то определим (pmods) посредством

Х(и) = х(—" 0> если х имеет 2-примарный порядок,

Х(Р)=1 для других X,

определим r't с помощью pvz = r'mods, 0^r'<s, для z = 0, 1, ..., t—1, и проверим, что ни один из г^ не является нетривиальным делителем а. Если п проходит все эти тесты, то оно является простым числом.

ТЕСТЫ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ТЕОРИЮ ГАЛУА

Вероятностные тесты на простоту, которые обсуждались в §§ 4 и 7, пытаются показать простоту п, доказывая, что любой делитель г числа п является степенью п в различных смыслах: в группе 1 + pZp, как в (7.2); в группе значений характера х> как в (7.3); и в группе (Z/sZ)*, как в § 4. Оказывается, похожим образом можно сформулировать несколько более старых тестов на простоту. В частности, последнее применимо к тестам, использованным Уильямсом которые опираются на функции Люка и обобщения последних, ссылки см. в [13]. В настоящем параграфе мы дадим обзор этих методов с рассматриваемой точки зрения, а также обсудим, как они связаны с тестами Эдлмана. Вместо функций Люка мы воспользуемся языком конечных колец. Под кольцом мы будем понимать коммутативное кольцо с 1. а также будем предполагать, что подкольца имеют тот же самый единичный элемент.

Теорема. Пусть se2>0. Пусть А —кольцо, содержащее Ъ/п^ в качестве подкольца. Предположим, что суще-

ствует аеЛ, удовлетворяющий следующим условиям:

а = 1,

as[q _ 1 s д* для любого простого q | s, i—1

полином и (й; — а"') имеет коэффициенты в ZlnZ для 1-0

некоторого t е Z> о.

Тогда каждый делитель г числа п сравним с некоторой степенью п по модулю s.

Доказательство. Мы можем предполагать, что г — простое число. Поскольку г является делителем нуля (или нулем) в А, то существует максимальныйидеал шсЛ с геш, Пусть А—поле А/ш и й = (a mod ш)е А. Из первых двух условий на а следует, что а имеет порядок s в А*. Полином <-1’ .

П (X — a"‘)’ для которого а является корнем, имеет коэф- <-о

фициенты в простом поле Fr из А. Поэтому ar также является корнем этого полинома, так что существует i е е{0, 1, ..., t—1} с аг = ап1> т. е. r = n‘mods. Это доказывает (8.1).

Для получения теста на простоту применяют (8.1) к кольцу А, которое в случае простого п, было бы полем Frat, где t— некоторое положительное целое число. В качестве s берется наибольший делитель числа п‘—1, который возможно разложить на простые множители. В качестве а выбирается элемент из А* порядка s. Если п действительно является простым, то такой а на практике легко построить, манипулируя элементами вида p(n/-i)/s, ре А*, и он удовлетворяет условиям (8.1). Обратно, из этих условий следует, что любой г\п по модулю s сравним с некоторой степенью п, поэтому если s > л1/2, то мы можем проверить простоту л так же, как в алгоритме из § 4.

- Классические тесты получаются для небольших значений t. Тест с t= 1 и А = Z/nZ дает результат, что каждый г|л равен (Imods), где s— та часть л—1, которая полностью разложена на множители; поэтому л — простое число, если s > л1/2. Для t = 2 и нечетного л можно взять А = = (Z/nZ) {Х] /(Х2 —иХ 4-v), где и, v^Z/nZ обладают тем свойством, что ^^ = — 1 для d = и2— 4у. В результирующем тесте, который обычно формулируется в терминах последовательностей Люка, мы можем использовать известные простые множители числа л -f- 1 в дополнение к та-

ким множителям для п — 1. Если n = 2т — 1 — число Мерсенна, то п + 1 легко разлагается на множители, и в этом случае (8.1) приводит к хорошо известному тесту Люка — Лехмера для чисел Мерсенна [13, с. 152].

Две важные особенности тестов, описанных в [13], не переносятся на описанный выше тест. Первая состоит в возможности использования нижних границ для неизвестных простых делителей числа п*— 1. Необходимы дальнейшие исследования, чтобы выяснить, будут ли они столь же полезными для больших значений t, которые представляют для нас интерес. Вторая особенность состоит в возможности комбинировать информацию, полученную в результате рассмотрения различных значений а и даже t. Чтобы наш тест получил такие же возможности, снабдим Л дополнительной структурой.

Пусть Л— кольцо, содержащее Z/nZ в качестве подкольца, и пусть <а) — циклическая группа автоморфизмов кольца Л с образующим а. Скажем, что Л— расширение Галуа Z/nZ с группой <а), если существуют isZ>0 и zi, z2, ... ..., zt е Л, такие, что

а1 = id a, det (a' (z/)), < z, / < < ^ Л*,

zb z2, ..., zt- базис Л над Z(nZ

(поэтому Л содержит п< элементов). Мы называем t рангом расширения. Если Л— расширение Галуа Z/nZ с группой <а), то Z/nZ ={х е Л : а(х) = х} согласно [4, гл. III, предложение 1.2].

Лемма. Пусть п— простое число, и пусть Л— расширение алуа рп с группой <о>. Тогд любой гомоморфизм колец т: Л->Л с т(1) = 1 utg = qx принадлежит <а>.

Доказательство. Пусть t обозначает ранг. Согласно [3, теорема 3.1] (примененной к f = id^, g = т) найдется единственная система (В/)^ попарно ортогональных идемпотентов t-it-i

в Л, такая что £ е/ = Ги т(х) = X af (х)в/ для всех х г А. j-0f-0

Единственность и тот факт, что ста х = т, дают нам, что ст(в/)= еь так что е; е Fn, для 0 j < t. Поскольку Fn не" имеет нетривиальных идемпотентов, то в, = 1 для некоторого i е. = 0 для всех / ^ и Следовательно, т = az, что и требовалось.

Иначе, мы можем воспользоваться теорией Гротендика этальных накрывающих для сведения (8.3) к следующему легко доказываемому факту: если G — абелева транзитивная

группа перестановок множества X, то любое отображение Х-*Х, коммутирующее со всеми элементами из G, принадлежит G.

Если 2b г22, — базис А над Z/nZ, то элемент х — S 0(2, из А с at е Z^nZ называется примитивным, если О], о2о# порождают единичный идеал в Z(nZ.

Теорема. Пусть seZ>0, и пусть А — расширение Галуа Z/nZ ранга t с группой <а>. Предположим, что для любого простого q | s существует а е А со следующими свойствами-.

ачт (?) = 1, где m (9) = oq (s), а<7т(<7)-1— | лвляегсл примитивным, а (а) — а".

Тогда п* = 1 mod s и для любого г ] п мы имеем, что (г mod з) е(nmods) в группе (Z/sZ)*.

Доказательство. Для любого простого q | з соответствующий а имеет порядок qmW в А* и a = Qt(a^ = ant, поэтому п* = = 1 modqmW. Следовательно, o'=1 mods. Пусть теперь г\п является простым числом. Тогда А = А[гА — расширение Галуа Fr с группой (а), где а индуцировано а. Отображение т: А-*А, т(х) = хг, является гомоморфизмом колец с т(1) = = 1 и та = ат, поэтому из (8.3) следует, что т = а' для некоторого I. Докажем, что r = nl mods. Пусть q |s — простое число и а —то же, что и в теореме. Тогда a = (amodM) имеет порядок ^т|?> в А* и аг = т (а) = с1 (а) = ап , поэтому r = nl mod qm{c>\ что доказывает (8.4).

Следующий метод построения расширений Галуа полезен для тестирования на простоту. Берем X=(Z /nZ) [Zj /(/•'), где f e(Z/nZ) [X] имеет единичный дискриминант, причем

т = 1Ц¥-^ в Л [У],i-0

где / — степень / и § = (Xmod(f) )е А. Тогда мы получим расширение Галуа Z/nZ с группой <ст>, где а® = I". Если п действительно является простым числом, то на практике такое f нетрудно найти.

Другой метод построения расширений Галуа состоит в том, чтобы брать тензорные произведения над Z/nZ расширений Галуа взаимно простых рангов. Этот метод позво-

ляет комбинировать информацию, идущую от различных колец А.

Использование (8.4) для проверки на простоту аналогично использованию (8.1). Одна из основных трудностей — найти относительно небольшое t е Z>0, и полностью разложенный на простые множители делитель s числа п*— 1 для которого s > л1/2. Если s = Ц ^Y то по теореме Ферма q простое I (q-П I* /

s делит п*— 1 (кроме случая, когда НОД(п, s) > 1), поэтому результат из § 3 показывает, что можно найти подходящее f < (log rt)C2-log 10g log ”. Это приводит к вероятностному тесту на простоту, скорость которого сравнима со скоростью обсуждавшихся ранее вероятностных тестов (§§ 4 и 7).

Преимуществом нового теста над предыдущими является то, что могут быть также использованы известные простые числа q\kn‘—1), для которых q—1 не делит t; однако Померанц написал мне, что здесь не следует ожидать слишком большого выигрыша. С другой стороны, предыдущие тесты имеют то преимущество, что необходимые вычисления могут быть выполнены в кольцах, ранги которых над ZjnZ значительно меньше t.

Естественно задать вопрос, до какой степени могут быть скомбинированы оба типа тестов. Используя тесты Эдлмана вместе со специальным случаем A = Z/nZ из (8.4), получаем тест, в котором то число, которое должно превосходить га1/2, является наименьшим общим кратным Ц q и той q простое (9-1) 11

части числа п— 1, которая полностью разложена на простые множители. Следующая теорема является примером результата, применимого в большей общности.

Теорема. Пусть выполнены все условия (8.4). Пусть p\t — простое число, и предположим, что ир (s) = ур (п* — 1) > 0. Тогда р удовлетворяет условию (7.2), и если г\п, г = пг mod s, то i = lp(г) mod tZp, где 1р(т) — то же, что в § 7.

Доказательство является простым упражнением из элементарной теории чисел.

Замечание. Все тесты на простоту в этой статье используют вспомогательное число з, от которого требуется, чтобы оно было больше чем п|/2. Ценой некоторой дополнительной работы с алгоритмами можно заменить нижнюю границу nv/2 на п1/3. Это делается с помощью рассмотрения возможного разложения п по модулю з2 и применения редукционных методов для двумерных решеток.

ЛИТЕРАТУРА

Adleman L. М. On distinguishing prime numbers from composite numbers (abstract). Proc. 21st Annual IEEE Symposium on Foundations of Science (1980), 387—406.

Adleman L. M., Pomerance C., Rumely R. S. On distinguishing prime numbers from composite numbers, Ann. of Math. 117 (1983), 173—206.

Chase S. U., Harrison D. K., Rosenberg A. Galois theory and Galois cohomology of commutative rings, Memoirs Amer. Math. Soc. 52 (1965), 15—33.

Demeyer F„ Ingraham E. Separable algebras over commutative rings. Lecture Notes in Mathematics 181, Springer, Berlin 1971.

Guy R. K. How to factor a number, Proc. Fifth Manitoba Conf. Numer. Math., Utilitas, Winnipeg (1975), 49—89.

Knuth D. E. The art fo computer programming, vol. 2, Seminumerical algorithms, second edition, Addison — Wesley, Reading 1981. (Русский перевод: Кнут. Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т. 2. Полу- численные алгоритмы. — Пер. с англ. — М.: Мир, 1977.]

Lang S Cyclotomic fields. Springer, Berlin 1978.

Lenstra H. W. Jr. Euclid’s algorithm in cyclotomic fields, J. London Math. Soc. (2) 10 (1975), 457—465.

Pollard J. M. Theorems on factorization and primality testing, Proc. Cambridge Philos. Soc. 76 (1974), 521—528.

Prachar K. Uber die Anzahl der Teller einer natflrlichen Zahl, welche die Form p — 1 haben, Monatsh. Math. 59 (1955), 91—97.

Schnorr С. P. Refined analysis and improvements on some factoring algorithms, J. Algorithms 3 (1982), 101—127.

Solovay R., Strassen V. A fast Monte-Carlo test for primality, SIAM J. Comput. 6 (1977), 84 —85; erratum, 7 (1978), 118.

Williams H. C. Primality testing on a computer, Ars Combin. 5 (1978), 127—185.

И. Дэю. Макдональд

Колледж Куин Мэри, Лондонский университет.Отделение теоретической математики

Лондон, Великобритания

ВВЕДЕНИЕ

Эта статья является в некотором смысле продолжением лекции Демазюра [4], хотя и имеются некоторые различия точек зрения.

Аффинные алгебры Ли являются частными примерами алгебр Ли, определенных матрицами Картана, т. е. лиевых алгебр Каца — Муди. Это бесконечномерные комплексные алгебры Ли, определенные образующими и соотношениями, для которых существует удовлетворительная структурная теория и теория представлений, точно отражающая (и включающая) классическую теорию конечномерных комплексных полупростых алгебр Ли и доведенная до аналога формулы Вейля для характера и до формулы знаменателя. В случае аффинных алгебр Ли эти формулы могут быть сделаны совсем явными, по крайней мере для некоторых модулей, и приводят к формальным тождествам для тета-функций и к модулярным формам. Простейший пример — это пример тривиальных представлений, приводящих к так называемой формуле знаменателя; она представляет собой тождество между формальными степенными рядами от нескольких переменных и при специализации может дать большое число тождеств для ц-функций Дедекинда.

Помимо таких связей с арифметикой и модулярными формами, которые составляют предмет этой лекции, в самое последнее время стало совершенно ясно, что аффинные алгебры Ли тесно связаны и с многими другими областями математики: комбинаторикой (разбиения, тождества Роджерса— Рамануджана) [5, 21); топологией (пространства петель, группы петель) [8, 9, 20]; линейной алгеброй (представления колчанов) [14]; разрешением особенностей [26]; вполне интегрируемыми системами [1,2] и структурами механики, а также физики элементарных частиц [6, 7]. По-ви- димому, также имеется дразнящая, но еще мало осмыслен-

*) Macdonald I. G. Affine Lie algebras and modular forms. Seminaire Bourbaki, 33-e annee, 1980/81, № 577, 1—19.

ЛИТЕРАТУРА

Adleman L. М. On distinguishing prime numbers from composite numbers (abstract). Proc. 21st Annual IEEE Symposium on Foundations of Science (1980), 387—406.

Adleman L. M., Pomerance C., Rumely R. S. On distinguishing prime numbers from composite numbers, Ann. of Math. 117 (1983), 173—206.

Chase S. U., Harrison D. K., Rosenberg A. Galois theory and Galois cohomology of commutative rings, Memoirs Amer. Math. Soc. 52 (1965), 15—33.

Demeyer F., Ingraham E. Separable algebras over commutative rings. Lecture Notes in Mathematics 181, Springer, Berlin 1971.

Guy R. K. How to factor a number, Proc. Fifth Manitoba Conf. Numer. Math., Utilitas, Winnipeg (1975), 49—89.

Knuth D. E. The art fo computer programming, vol. 2, Seminumerical algorithms, second edition, Addison — Wesley, Reading 1981. [Русский перевод: Кнут. Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т. 2. Полу- численные алгоритмы. — Пер. с англ. — М.: Мир, 1977.]

Lang S. Cyclotomic fields. Springer, Berlin 1978.

Lenstra H. W. Jr. Euclid’s algorithm in cyclotomic fields, J. London Math. Soc. (2) 10 (1975), 457—465.

Pollard J. M. Theorems on factorization and primality testing, Proc. Cambridge Philos. Soc. 76 (1974), 521—528.

Prachar K. Uber die Anzahl der Teller einer natiirlichen Zahl, welche die Form p — 1 haben, Monatsh. Math. 59 (1955), 91—97.

Schnorr С. P. Refined analysis and improvements on some factoring algorithms, J. Algorithms 3 (1982), 101—127.

Solovay R., Strassen V. A fast Monte-Carlo test for primality, SIAM J. Comput. 6 (1977), 84—85; erratum, 7 (1978), 118.

Williams H. C. Primality testing on a computer, Ars Combin. 5 (1978), 127—185.

И. Дэю. Макдональд

Колледж Куин Мэри, Лондонский университет.Отделение теоретической математики

Лондон, Великобритания

ВВЕДЕНИЕ

Эта статья является в некотором смысле продолжением лекции Демазюра [4], хотя и имеются некоторые различия точек зрения.

Аффинные алгебры Ли являются частными примерами алгебр Ли, определенных матрицами Картана, т. е. лиевых алгебр Каца — Муди. Это бесконечномерные комплексные алгебры Ли, определенные образующими и соотношениями, для которых существует удовлетворительная структурная теория и теория представлений, точно отражающая (и включающая) классическую теорию конечномерных комплексных полупростых алгебр Ли и доведенная до аналога формулы Вейля для характера и до формулы знаменателя. В случае аффинных алгебр Ли эти формулы могут быть сделаны совсем явными, по крайней мере для некоторых модулей, и приводят к формальным тождествам для тета-функций и к модулярным формам. Простейший пример — это пример тривиальных представлений, приводящих к так называемой формуле знаменателя; она представляет собой тождество между формальными степенными рядами от нескольких переменных и при специализации может дать большое число тождеств для т)-функций Дедекинда.

Помимо таких связей с арифметикой и модулярными формами, которые составляют предмет этой лекции, в самое последнее время стало совершенно ясно, что аффинные алгебры Ли тесно связаны и с многими другими областями математики: комбинаторикой (разбиения, тождества Роджерса-Рамануджана) [5, 21]; топологией (пространства петель, группы петель) [8, 9, 20]; линейной алгеброй (представления колчанов) [14]; разрешением особенностей [26]; вполне интегрируемыми системами [1,2] и структурами механики, а также физики элементарных частиц [6, 7]. По-ви- димому, также имеется дразнящая, но еще мало осмыслен-

Ч Macdonald I. G. Affine Lie algebras and modular forms. Seminaire Bourbaki, 33-e annee, 1980/81, № 577, 1—19.

ная связь с простой группой «монстром» [3, 15]’J. Область всех этих приложений, каждое из которых находится в стадии активного развития, продолжает с впечатляющей стремительностью расширяться.

КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ

Чтобы подготовить почву для дальнейшего, мы проведем краткий обзор наиболее значительных положений, относящихся к конечномерной комплексной простой алгебре Ли д. Пусть 5 — подалгебра Картана алгебры g (т. е. максимальная абелева диагонализируемая подалгебра); пусть 5* — алгебра, двойственная к 6, и пусть I — размерность алгебры I). Существует невырожденная симметричная билинейная форма (х, у) на д, которая инвариантна, т. е. ([х, z], у) = = (х, [г, у]) для всех х, у,2б д, например форма Киллинга tr(ad(x)ad(y)). Ограничение этой формы на I) невырождено и поэтому определяет симметричную билинейную форму (%, ц) на 5*.

Система корней. Пусть да обозначает для произвольного aEf)‘ множество таких xsg, что [й, х] = а(й)х для всех йе^. Тогда до = 5, а такие ненулевые ае5*, для которых да ^= 0, являются корнями алгебры д относительно подалгебры ]). Они образуют конечное подмножество R в §*, называемое системой корней для (д, 5). Мы имеем

9 = ^ + Е 9а,

а е Я

и каждое да является одномерным. Для каждого «е^ единственными корнями, пропорциональными корню а, являются ±а. Билинейная форма на g может быть выбрана так, чтобы число |а|2 = (а,а) было вещественным и положительным для каждого ае^.

Можно так выбрать корни «ь ..., ai^R, чтобы каждый корень а е R имел вид а = У, п;а; с целыми коэффициентами rti, которые либо все ^0 (положительные корни), либо все ^0 (отрицательные корни). Такие а, образуют множество простых корней, или базис для R, и мы будем предполагать, что они выбраны раз и навсегда. Тогда имеется единственный старший корень, для которого сумма У п, максимальна.

Группа Вейля. Пусть ®а обозначает для произвольного а е R отражение от гиперплоскости, ортогональной к а в ()*.

’) См. по этому поводу замечания в докладе Ж. Титса «Монстр», разд. 7, стр. 168 настоящего сборника. — Прим. ред.

Мы имеем

даа (X) = X — (а^, X) а, (Хе^),

где aV = 2а/(а, а) — корень, дуальный к а. Отражения wav соответствующие простым корням, порождают конечную группу изометрий алгебры £*, называемую группой Вейля W алгебры g относительно ^. Каждое отражение wa принадлежит группе W; система корней R устойчива относительно W, и каждый корень имеет вид ша, для некоторого w е W и некоторого простого корня at.

Матрица Картана. Числа ам = ^аУ,а^ целые, и IX /-матрица А — ^щА называется матрицей Картана алгебры д. Она удовлетворяет следующим условиям:

(Cl) ан = 2 для всех i; а,, ^ 0, если I ^= /; ац = 0 каждый раз, когда ар = 0.

(С2) Все главные миноры матрицы А должны быть >0.

Образующие и соотношения. Матрица Картана А определяет алгебру g с точностью до изоморфизма. Выберем так образующие et в Sap ft вд_а;(1 ^/^/), и такие элементы Лг е ^, чтобы (ер 1^ = 1, (hp h^ = aV (й), так что а;. (/г;) = = ^а/, а^ = ар. Тогда 3/ элементов ер fp hi порождают g и удовлетворяют следующим соотношениям:

[й^, й/] = 0,

\hb еД = амеь \hb fj = — aMfb

(adе^е, = (adtAx"ai‘h = 0 (Z ^ iY

Модули co старшим весом. Пусть Q (соответственно Q+) обозначает множество всех сумм У, щец при meZ (соответственно N), и пусть Р (соответственно Р+) обозначает множество всех таких Хе^*, что X^h^eZ (соответственно N) для 1 i I. Мы имеем Q с Р (но Q+ ф Р+).

Если V есть g-модуль и X е 6*, то через Vx мы обозначим множество таких и eV, что й.и = Х(й)и для всех keV Если Vx ^ 0, то X называется весом модуля V кратности dim(VJ. Если модуль V конечномерный, то V является прямой суммой своих весовых пространств, и все веса модуля V лежат в решетке Р.

Для каждого X е Р+ существует единственный конечномерный простой g-модуль Й(Х), порожденный таким элементом ухеК(Х)х, что е1'.их = 0 (1 <i^/). Множество весов из К(Х) устойчиво относительно W и содержится в X — Q+, а X (старший вес) имеет кратность 1.

В частности, У(0) — тривиальный одномерный д-модуль.

Формула характера. Пусть в групповом кольце Z [Р] свободной абелевой группы Р через ек обозначен элемент, соответствующий весу %, так что еКе* = е^. Определим характер конечномерного g-модуля V следующим равенством:

ch (10 = У dim (V^,и

где суммирование ведется по весам модуля Vv

Пусть элемент ре 5* определен условиями р(/ц)=1 (1 z Z). Тогда для i е Р+ имеет место формула характера (Г. Вейля)

chV(X) = ( £ det^^^VeP П (1-е-“). \а> г V/' а> 0

Если % = 0, то ch V(X)= 1, и поэтому из (1.3) вытекает формула знаменателя

П (1 — е~а)— У, det (да) е®р~р.

а> 0m г V

Используя (1.4), мы можем равенство (1.3) переписать так:

chV(%) = ( У det (да) е™ <а+рЛ /( ^ det (да).

ЛИЕВЫ АЛГЕБРЫ КАЦА-МУДИ [10, 11 ,12, 13, 24]

Пусть Л = (а</)г / s z — произвольная (конечная) матрица с целыми элементами, удовлетворяющая условию (С1), и пусть д' = д'(А) обозначает комплексную алгебру Ли, порожденную элементами et, ft, hi (ze/), подчиненными условиям (1.2). Алгебра д'(А) будет бесконечномерной, кроме того случая, когда А — матрица конечного типа (т. е. удовлетворяются условия (С2)). Элементы hi линейно независимы в д' и порождают подалгебру Картана У алгебры д'. По образцу конечномерного случая мы определим простые корни а.еУ* соотношениями a/(/i,) = at; (z, jel). Однако может случиться так, что det(A) = O, и в этом случае так определенные корни а, были бы линейно зависимыми. Этой неприятности можно избежать, расширив алгебру д' следующим образом. Пусть через Ьо обозначается пространство дифференцирований алгебры д', порожденное элементами di (ze/), где di<e^ = 6tlej, di(fj) — —6иУй определим вложение q>: V^o равенствами ^(hi) = ad ht = У alf dj, и пусть b — некоторое подпространство в bo, дополнительное к ф(^') (так что dim b = corank А). С точностью до изоморфизма полупря- мое произведение g = д' Ф b не зависит от выбора подпро-

странства Ь и является лиевой алгеброй Каца — Муди, определенной матрицей Картана А. Подпространство 6 = У®Ь является подалгеброй Картана алгебры д, и центр с состоит из всех таких элементов h = У, athi е V» что ^atatj = 0

для всех / е /, так что dim с = corank А.

Матрица А называется неразложимой, если не существует такого разбиения множества / на непустые непересекаю- щиеся подмножества /, К, что ац, = 0 для всех (/, й) е JXK, и симметризуемой, если существует такая невырожденная диагональная матрица D, что DA симметрична. Симметри- зуемость является необходимым и достаточным условием существования невырожденной инвариантной симметричной билинейной формы (я, у) на д. Отныне будем предполагать, что эти условия выполняются и что билинейная форма выбрана так, что значение (hi, hi) вещественно и >0 для всех I е /. Точно так же, как и в конечномерном случае, ограничение формы (х, у) на невырождено, и, следовательно, она определяет симметричную форму (X, ц) на 5*.

После этих предварительных сведений заметим, что все детали конечномерного случая, отмеченные в § 1, сохранят свои аналоги и в данной более общей ситуации.

Система корней. Система корней R алгебры g (относительно Ij) определяется точно так же, как и в § 1, но оказывается здесь бесконечным подмножеством алгебры 5* (если А не является матрицей конечного типа). Разложение (1.1) алгебры g сохраняет силу, и каждое да конечномерно, но уже не остается обязательно одномерным, и, таким образом, каждый корень aeR имеет кратность т(а) == dimg^ ^ 1. Простые корни а, (/ е /) определяются соотношениями [й, ej = = ai(h)ei для всех йеК так что a/(hi)=ai/; они линейно независимы, имеют кратность 1 и образуют базис в R в том же смысле, что и в § 1. Стало быть, мы имеем понятия положительных корней и отрицательных корней (но не старшего корня).

Для каждого корня а число (а, а) вещественно, а для каждого простого корня а, оно >0. Однако больше уже нельзя утверждать, что (ос, а) > 0 для всех корней а (когда А не является матрицей конечного типа). Корни а е R, для которых (а, а) > 0, называются вещественными корнями и имеют кратность 1; те корни, для которых (ос, а)^0, называются мнимыми корнями, и они могут иметь кратность >1. Если а вещественный, то единственными ему пропорциональными корнями являются ±ос; если а — мнимый корень, то па является корнем для каждого ненулевого целого п.

Группа Вейля. Как и раньше, группа Вейля W по определению есть группа изометрий алгебры 6*- Она порождена отражениями w^ (z е /) и содержит элемент вуа для каждого вещественного корня а. Множество вещественных корней, множество положительных мнимых корней и множество отрицательных мнимых корней — каждое из этих множеств устойчиво относительно W. Корень ае R тогда и только тогда веществен, когда имеет вид ®а,для некоторых we W и ie I.

Модули со старшим весом. Определим Р, Р+, Q, Q+, как и в § 1. Для каждого ХеР+ существует единственный простой (вообще говоря, бесконечномерный) g-модуль У(Х), порожденный элементом щеУ(Х)х и такой, что eid = О (ie/). Все весовые пространства V(X)n конечномерны, и У(Х) есть их прямая сумма; множество весов модуля У(Х) устойчиво относительно W и содержится в X— Q+. Старший вес X имеет кратность 1. Характер

ch V (X) = £ dim (УД.е^,

где суммирование ведется по весам модуля У(Х), теперь представляет собой бесконечную сумму формальных экспонент, такую, что . е~хch V(X) лежит в кольце формальных степенных рядов, порожденных экспонентами е-а‘ (i е /).

Определим р^Ь* условиями p(AI)= 1 (/<=/), р | Ь = 0. Тогда формула для характера (В. Каца) устанавливает, что для всех X е Р+

chV(X)= £ det(to)e™-(^)/e9 П (1-е-а)т(а). w е W' а > 0

Когда Х = 0, то сНУ(Х)=1, и мы имеем формулу знаменателя1.

П (1 — e-aTW= X det (оу) е”Р-Р, а> 0ш> е V

а, значит, также и

chV(X) = ( £ detWe^^Vf Е det(w)e®p\

АФФИННЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ [7, 11, 13, 2B]

Система корней лиевой алгебры Каца — Муди, вообще говоря, является довольно неуловимым объектом, и в настоящее время неизвестно никаких методов систематического перебора корней и их кратностей. Однако имеется один класс

бесконечномерных алгебр Каца —Муди, аффинных лиевых алгебр, для которых система корней может быть описана явным образом, и, следовательно, формула (2.1) для характера и формула (2.2) для знаменателя могут быть использованы, чтобы получить явные тождества.

Аффинные алгебры Ли могут быть охарактеризованы различными способами: как бесконечномерные алгебры Каца — Муди, все корни а которых удовлетворяют условию (а, а)^0, или равносильным образом как такие же алгебры, но определенные аффинными матрицами Картана, т. е. матрицами А, которые удовлетворяют условию (С1) и условию

(С2') det (Л) = 0, и все собственные главные миноры матрицы А больше 0.

Пусть R— неприводимая конечная система корней, ai, ... ..., az—ее базис, и пусть —ао — старший относительно этого базиса корень. Пусть ai; = (aY, а,\ Тогда А = (az/)o< i, /< z является аффинной матрицей Картана, и, значит, такой же оказывается и ее транспонированная матрица 1А\ и такими матрицами исчерпываются все аффинные матрицы Картана.

Для описанной матрицы А, где R — система корней конечномерной простой алгебры Ли д, как и в § 1, аффинная алгебра Ли д(А) может быть сконструирована следующим образом. Пусть L = С [t, t-1] — кольцо Лорана многочленов от одной переменной. Образуем £(g) = £®cg. Это —бесконечномерная алгебра Ли, которая может быть отождествлена с алгеброй Ли полиномиальных отображений С* + д (при этом элементу У, tl ® xt из L (д) соответствует отображение г-^Уг'х,). Для х=^г'®хь y=T4t1®yi определим (х, yY = У. tl+i (,хи у A eL, я пусть (х, у) обозначает свобод- I. /

ный член в (х, y^t. Тогда (х, у) — инвариантная билинейная форма на L^Y

Эта алгебра L^ на самом деле изоморфна алгебре д'(А) по модулю своего (1-мерного) центра с. Чтобы построить д'(А) из L^, мы должны, следовательно, построить одномерное центральное расширение, что осуществляется следующим образом. Как можно убедиться, функция ф(х, у) = Resz(dx/dt, y)z на L^ является 2-коциклом со значениями в С. и, следовательно, определяет центральное расширение L^ алгебры £(д), и £(д) изоморфно алгебре д'(А). Ясно, что £(д) = 1(д)Фс, где с= С с, и что умножение задается равенством [х + Кс, у + цс] = [х, у] + ф (х, у) с Vx.y^L^Y, X, цеС).

Аффинная алгебра ® = д(А) после этого получается добавлением к £(д) дифференцирования d, которое действует на L^ как на td/dt и которое убивает с. Иначе говоря, ® — £(g)®b, где b = СД, а умножение задается равенством [х + Xd, у + pct] = [х, у] + Xdy — pdx (х, yet (g); X, р е С.).

Не все аффинные алгебры Ли построены этим способом (получено около половины их). Остальные получаются разновидностью изложенной конструкции, в которой, как и раньше, исходят из простой алгебры Ли д, но уже с учетом автоморфизма а графа алгебры д, имеющего, скажем, порядок к (так что k — 1, 2 или 3). Пусть со — первообразный корень к-й степени из единицы, и для произвольного т Z пусть через дп обозначено множество таких хе$, что о(х) = = <йпх (таким образом, дл зависит только от вычета п по модулю к). Вместо £(д) мы образуем £(д, а) = © t" ® д„;

neZ заключительная часть построения остается неизменной. Если д — алгебра типа X, где X является одним из символов Ал, Вп, ..., Ga, то так сконструированная аффинная алгебра Ли называется алгеброй типа Xw.

Чтобы упростить изложение, мы сосредоточимся на аффинной алгебре Ли S = g(A), для которой к.= 1 (т. е. L (д, а) = £ (д)).

Система корней. Нам будет удобно так нормализовать билинейную форму (х, у) на д, чтобы |о0|2 = 2 (где —«о — старший корень). Для этого мы определим стандартную инвариантную билинейную форму (А, У) на ® = £(д)фсфЬ следующим образом: если X = х + Хс + pd, Y = у 4- X'с + 4- р'd (х, у е L (g); X, ц, Xх, ц' е С), то

IX, Y) = (x, у) + Хр' + Х'р.

Мы отождествим алгебру g с подалгеброй 1®д алгебры ®. Тогда § = ^ © с ф b — подалгебра Картана алгебры ®. Ограничение формы (X, Y) на § невырождено, поэтому оно определяет изоморфизм о: §->%* и билинейную форму (X, ц) на $*. Каждое Хе^* мы рассматриваем как линейную форму на §, полагая X (с) = X (d) = 0. Пусть y = o(d), б = о(с). Тогда y(c) = 6(ct)= 1, у (Д) = б (с) = 0, и $’ = §‘©СуфСб.

Мы имеем

£(9) = $+ £ ^Эь.

ft, X

где п е Z и X е R U {0}, причем пара (0, 0) исключается. Так как d действует на /"®9х умножением на п, то, следовательно, корнями алгебры ® относительно подалгебры ^ являются нб + а (н е Z, ае/?) и n6(neZ, п #= 0). Мы

имеем (пб + а, nd + а) = (а, а) > 0, поэтому корень nd + а вещественный, а корень пб (п ^ 0) мнимый (поскольку (6, б) = 0) и кратность каждого из них равна /.

Пусть S обозначает систему корней алгебры О относительно %. Простые корни суть а, = а< (1 ^ i ^ Z) и а0 = б + ад. Так как |Одр = 2, то «У = 5 + оУ. Мы имеем ht = ©-1 (а/) (l^i^Z) и полагаем Ло = ©-1 (аУ) е §. Положительными корнями ae.S* являются

(п—1)5 4-а, пб —а, пб (п>1, а s/?+).

Группа Вейля. Пусть ^ обозначает группу Вейля алгебры S, порожденную отражениями wat (O^Z^Z) из ^*. Так как (а,, 6)= 0 для всех I, то мы видим, что ^ оставляет на месте б. Мы можем следующим образом реализовать ^ как «аффинную rpyhny Вейля». Во-первых, посредством автоморфизма © действие группы ^ на 5* может быть перенесено на 5; группа не меняет с, и поэтому она действует на вещественном векторном пространстве V = §r/Rc, где $е порождается элементами Аь ..., А/, с, d. Так как 6(c) = 0, элемент б может рассматриваться как вещественная линейная форма на V, и легко проверить, что каждая аффинная гиперплоскость вида 6 = const из V устойчива относительно IF. В частности, пусть через Е обозначена гиперплоскость 6 = 1 из V; корни aeS могут рассматриваться как линейные функции на V, а значит, как аффинно-линейные функции на Е; и на самом деле IF действует на Е как аффинная группа Вейля, порожденная отражениями от гиперплоскостей а,(х) = 0 (0 ^ Z ^ Z) из Е, как и в [23].

Для каждого вещественного корня а = nb + а элемент ауа_6"=фа есть композиция отражений от двух параллельных гиперплоскостей из Е, и значит, является переносом, а именно х->-х + ы-1 (aV). Подгруппа группы ^, оставляющая на месте точку хоеЕ, определенную системой a,(xg) = 0 (1 ^ ^Z^Z), может быть отождествлена с (конечной) группой Вейля W алгебры д, а IF является полупрямым произведением группы W и группы переносов Т, изоморфной решетке M="^Za/. Для каждого цеМ пусть через t^eT обо- 1=*1

значается соответствующий перенос, так чтобы /(1(х) = х + + ю-1 (р) на Е. Действие отображения t^ на $* задается следующей формулой:

^ (a) = о0 + пр + nt) + -^- (| о |2 — | о0 + пр |2) 6,

где п = (о, б) ^= 0, а о0 есть проекция элемента о = §* на I)*.

Модули со старшим весом. Пусть Р (соответственно Р.Д обозначает множество таких Хе<$*, что %(A()eZ (соответственно N) ДЛЯ 0 ^ i < I, и пусть для каждого X е Р+ через V(X) обозначен простой S-модуль со старшим весом X, как и в § 2. Множество весов модуля V(X) есть ^-инвариантное подмножество в Р, а конгруентные относительно IF веса имеют одинаковую кратность. Если ц есть вес, то весом будет и ^ — иб дЛя любого целого п^О, так что веса распределяются по «цепочкам».

Будем говорить, что вес ц модуля V(X) максимален, если р + 6 не является весом. Например, X— максимальный вес. Множество Max (X) максимальных весов устойчиво относительно IF (поскольку IF не изменяет 6) и является объединением конечного числа lF-орбит. Для каждого веса ц существует единственное целое и ^ О, такое, что ц + ^б максимален.

Центральный элемент с действует на V(A.) как умножение на целое положительное число m = Х(с) = (X, 6), называемое уровнем веса X. Мы имеем рДс) = /п для всех весов модуля V(X), и пг = 0 в том и только том случае, когда X = 0.

Формула для характера. В § 2 мы рассматривали выражения ех как формальные экспоненты. Теперь мы будем с ними обращаться как с функциями на ф, определенными равенством £Х(Л) = ехр —2лЛ(А).

Пусть <§+ обозначает множество таких Неф, что 6(A) лежит в верхней полуплоскости Ж = (х + iy е С.: у > 0}. Поскольку каждый вес X е Р+, характер модуля К(М и ряды

7(Л + р)= ^ det(ty)ea-<x+p)weW

абсолютно сходятся для всех А е §4. и определяют голоморфу ные функции на этом полупространстве. Определим рей' посредством условий (р, а,) = 1 (O^t^Z), p(d) = (p, у) = 0, Формула для характера (2.3) принимает вид тождества

chV(M = Z(^ + p)//(p),

связывающего голоморфные функции на §+. Формула знаменателя (2.2) принимает вид

J (р) = еР ft (1 - qnY П (1 - Г'1*"0) (1 - q"^, n—lа>0

где q=e~6, с учетом описания (3.1) положительных корней.

СПЕЦИАЛИЗАЦИИ ФОРМУЛЫ

ЗНАМЕНАТЕЛЯ [13, 16, 19, 20, 23]

Напоминаем, что туфункция Дедекинда — это функция

П(т) = ^Й(1-^),п-1

где q = exp 2шт и т е Ж

Пусть а — автоморфизм конечного порядка т простой алгебры Ли д. Предположим, что характеристический полином det (X — о) имеет целые коэффициенты; тогда он является произведением круговых полиномов и поэтому может быть однозначно представлен в виде

бе1(Х-о) = Й(Х^- 1)\

где каждое ег равно ± I, все т{ делят т и У, ыщ = dim g. Каждый такой автоморфизм о приводит к двум тождествам для туфункций (которые могут совпадать): первое дает разложение в степенной ряд для ТТ г] (т^У1. а второе — разложение в степенной ряд для Ц ц (тг'т)^

В частном случае, когда о — внутренний автоморфизм Аб(ехр2шА), где A el), первое тождество получается путем оценивания обеих частей формулы знаменателя (3.4) при h + %d, а второе — оцениванием при тА + xd.

Простейший случай тот, в котором о — тождественный автоморфизм. Тогда оба тождества совпадают и выражают r](T)dimg в виде степенного ряда от q. Когда g = 51(2, С), это формула Гаусса и Якоби для Ц(1 — д")3- п-1

Другой пример получается, если взять в качестве А элемент из I), определяемый равенствами а,(А)=1 (L^t^/). Тогда характеристический полином автоморфизма о = = Аб(ехр2ш‘А) есть ^Хт—1)' (где т = 1 + число Кокстера для д); здесь опять оба тождества совпадают и представляют П(т)z в виде степенного ряда от q. Когда g = dl(2, С), это разложение Эйлера для Ц(1— qn} («теорема пятиугольных чисел»).

сов Т группы ^, а затем по конечной группе Вейля W. Для каждого v е Р через v° s Р пусть обозначается проекция на V веса V. Если вес ve Р таков, что (v, д) = я > 0, то из (3.2) следует, что

^е'М — ехр^-б • 6vo, п,

teT

где для любого ц е= Р и любого положительного целого иг имеет местоf

6_ =£

феМ+т *И

Ряды (5.1) и (5.2) абсолютно сходятся на §+, а б^щ— классическая тета-функция, зависящая только от ц по модулю тМ. Используя (5.1), мы вычисляем, что для Хе Р+ имеет место

7(Х + р)= 2 det (да) £ е<ш(Х+р> =

= ехр ^^у У, detMOtaCUo)». «+«>в = №

где т = Х^—уровень веса X (являющийся неотрицательным целым) и g = p(с). Следовательно, мы получаем

^ det ^w) Qw (X+p)ot m-Vg

(5.3)(5.3)гдегдеe~r^ ch V (M =

(5.3)

(5.3)

где

где

E det C^) 6W», «

tee IF

M -L л |2 I л |2

Гк 2{m + g) "2g "

(Здесь, кстати, | р |2/2g = 1/р~ (с) равно величине Е- dim g на основании «странной формулы».) Формула (5.3) напоминает формулу для характера Вейля (1.5), за исключением того, что экспоненты здесь заменены на тета-функции.

Теперь мы выведем другое представление для характера ch У(%). Если число тЦц.) = dim У(Х)^ —кратность веса р, то имеем

ch У(%) =£ е* £ mx^y, — n6)e-n6 =

ц s Max (X) п >0

= £ Е^Е тх(ц — ц6)е~ла,цеМах(Х)<^Г п^О

umod Т

поскольку веса у. — nd и / (р, — габ) = / (ц) — nd имеют одинаковую кратность. Используя (5.1), мы получаем

e-rxchVW= 5 с^,т> це Max (X) - ц mod Г

где величина

с^ = е"гх м6Цтк^- /гб)е"п6

п>0

зависит только от Л и р°, а

г ма = _^±р±__1р1__1е112(m+g) 2g 2т

Величины с^„ называются струнными функциями-, они являются функциями от т = б(Л), голоморфными на верхней полуплоскости 96. Если v г Р не является проекцией на V никакого веса модуля V (%), то полагаем с^ = 0. Значит, с^ определено для всех veP, и с^^0^^ для weW ХтМ. Из (5.3) и (5.4) следует, что

= 2^c^--vePfmM= 2^c^--vePfmMЕ det(a,)0a)(x+p)Om+s

= 2^c^-

-vePfmM

= 2^c^-

-vePfmM

(5.6)(5.6)weW

(5.6)

(5.6)

У, det (ay) 0рО> g

a>s W

Стоящие в правой части формулы (5.6) тета-функции 0V, m линейно независимы, и поэтому струнные функции с^ определяются соотношением (5.5) однозначно. Закон преобразования для тета-функций приводит, значит, к закону преобразования для струнных функций, выражающему величину т//2с^ (—1/т) в виде линейной комбинации значений cv(t), где V пробегает в Р+ элементы уровня т, а V пробегает Pmod/nAf. Отсюда следует, что т] (т)Шт9 с^(т) есть параболическая форма веса у | Р | для группы Г (Nm) fl Г (Af (m + g)), где N — наименьшее целое положительное число, такое, что y^p|2eZ для всех уеР. Эти факты позволяют в принципе вычислить струнные функции для любого модуля V (X) со старшим весом.

случай. Предположим, что все корни aER имеют одинаковую длину (так что R— система типа A, D или Е). Определим фундаментальные веса X, условиями Xi(hj) = &tf, Xi(d)=O (так что Хо = у). Тогда все веса X е Р+ уровня Х(с) = Г сопряжены с у при помощи автоморфизмов системы S+ положительных корней алгебры ®. Максимальные веса «базисного представления» V = У (у) заполняют отдельную орбиту ^-y, значит, все струнные функции с^ для X уровня 1 равны. Этой общей струнной функцией с^ является функция вида

c^ = q-1^ ^ anqn,

где q = e2ltrt и ао = 1. Следовательно, функция т](т)'с(т) является SL2(Z)-инвариантной, голоморфной и равной 1 при i°°; а значит, она есть тождественная единица, т. е. с(т) — = ц(т)-'. Поэтому характер модуля V есть

ch V = Ф(е-6)-' У, в*1 2 1 1 6,

где ф(Х) = П (1 — Хп). Простота этой формулы подсказы- п=1

вает, что должно найтись простое явное построение ©-модуля V; такая конструкция недавно найдена Френкелем и Кацем, и она вскрывает замечательную связь с некоторыми понятиями (вершинные операторы, дуальные резонансные модели) из физики элементарных частиц.

(Ь) Фантазии на тему монстра [3, 15]. Как ив (а), пусть g— алгебра типа A, D или Е, и пусть через V обозначено базисное представление алгебры ®. Для каждого целого п^О пусть через Vn обозначено подпространство в У, на котором d действует как умножение на —п, так что Ул является суммой весовых пространств Уц, для которых p(d) =—п. Каждое Vn является конечномерным g-модулем, и, таким образом, V = ф Vп может рассматриваться как градуированный п >0

g-модуль. Из (6.1) следует, что ряд Пуанкаре для У как градуированного g-модуля есть

X dim (У„)<7П = (ch У) (Td) = ф(<7)~'б(Л1, q\ п>0

где <7 = е2лгг, a 6(Af, q) = ^q^'12— тета-ряд решетки М IX еМ

(в качестве которой здесь взята решетка Q корней, поскольку а = аУ для всех а е R). В случае, когда g — алгебра типа Ей, мы получаем

2 dim (V п) q" = (,qj (д))1,а,п > О

где /(<?) = q~l + 744 + 196884^ + ...— модулярный инвариант на основании известных его свойств.

В [3] Конвей и Нортон высказывают предположение, что должен существовать такой градуированный модуль Н = = £ ^« Для простой группы М (монстра), что

п >0

q"x Е 6mVW=№,

п>0

а в более общей форме такой, что для каждого элемента оеМ «ряд Томпсона»

Ta = q~v Е trace (о, Hn)qn

п>0

является нормализованной образующей функционального поля рода нуль, возникающего из некоторой подгруппы группы 5£г(2). Они при этом предполагают следующую взаимосвязь между решеткой Лича L и монстром М. Пусть для каждого автоморфизма а решетки L через L0 обозначается подрешетка неподвижных относительно о точек из L, а через 6(£°, <?)—ее тета-ряд. Тогда должен существовать такой элемент OG М, что

To = q-W, ^/fideKl - qno\

в [15] Кац показывает, что в действительности верен аналог формулы (6.2), в котором решетка Лича L заменена решеткой корней М, а группа Конвея — группой Вейля W. Пусть G— односвязная комплексная группа Ли с g в качестве алгебры Ли. Тогда действие алгебры g на каждом Vn может быть «проинтегрировано» до G-действия. Каждый элемент ое№ порядка т может быть поднят до элемента ое G порядка 2/п, и Кац показывает, что

Е trace (б, К„) qn — 6 (М°, ^)/П det (1 — qna\ n^O' n = l

в полной аналогии с предположением (6.2).

(с) Роджерс — Рамануджан [21]. Пусть г = о-1 (р)е 5, и пусть те36 (верхняя полуплоскость). Для любого XsP^ мы имеем

У (% + р) (тг) = Е~ det (щ) е~ш (ш ХК+А т т,weW

что по формуле для знаменателя (8.2) раскладывается на множители

J (X + р) (тг) = q-^ ^ П (1 — ^. x+p))m (а),aeS+

где <? = е2л'т. Следовательно,где <? = е2л'т. Следовательно,

где <? = е2л'т. Следовательно,

где <? = е2л'т. Следовательно,

(6.3)(6.3)Ь+Р) \m(a)сЬ7(Х)(тг) = ^р> П (-TZ^r)aeS+41*/

(6.3)

(6.3)

Применим эту формулу, когда g = sl(2, С), а X имеет уровень 3, так что (с точностью до изоморфизма) Х = ЗХо или 2Хо + М. Поскольку р = Хо + Xi, произведение в (6.2) легко вычисляется; мы находим

е-х ch 7 (X) (тг) = —:,

IJ (1-^-1) (1-^-2) (1-^-3) П=1

когда А = ЗХ0, и

е~к ch V (X) (тг) — -^, П (1 -12""1) (1 - ^n"‘) (1 - 95п~4) П—1

когда Х = 2Х0+Х1. Теперь, если игнорировать множитель 001

JJ (1 —д2”-1)- > правые части в равенствах (6.4) и (6.5) яв- п— i

ляются тем, что входит в тождества Роджерса — Рамануджана:

(6.6)(6.6)ДО-^^-^-з) п—1ДО-^^-^-з) п—1^m(m+l)(1—<?)... (1 — «у”) •^m(m+l)(1—<?)... (1 — «у”) •

(6.6)

(6.6)

ДО-^^-^-з) п—1

ДО-^^-^-з) п—1

^m(m+l)

(1—<?)... (1 — «у”) •

^m(m+l)

(1—<?)... (1 — «у”) •

—

П<1 — ^"-^О — <Z5n-4)

В различных обобщениях этих тождеств произведения в одной из сторон могут быть приведены к такому же виду за счет надлежащего выбора старшего веса X. Это наводит на мысль, что должна найтись возможность доказательства формул (6.6) и (6.7) (и их обобщений) путем построения и изучения модулей 7(Х); и вот недавно такое доказательство было найдено Леповским и Вилсоном [21].

ЛИТЕРАТУРА

Adler М., van Moerbeke Р. Completely integrable systems, Кас — Moody Lie algebras and curves, Adv. in Math. 36(1980), 1—44.

Adler M„ van Moerbeke P. Linearisation of Hamiltonian sistems, Jacobi varieties and representation theory, Adv. in Math. 38(1980), 318— 379

Conway J. H., Norton S. P. Monstrous moonshine, Bull. LMS 11(1979), 308—339.

Demazure M. Identites de Macdonald, Sem. Bourbaki 483 (1976). [Русский перев. см. наст. сб. стр. 7—17.]

Feingold A., Lepowsky J. The Weyl — Кас character formula and power series identities, Adv. in Math. 29(1978), 271—309.

Frenkel I. B. Orbital theory for affine Lie algebras, Inv. Math, 77 (1984), 301—352.

Frenkel I. В., Кас V. G. Basic representations of affine Lie algebras and dual resonance models, Inv. Math. 62(1980), 23—66.

Garland H. Dedekind’s ^-function and the cohomology of infinitedfmen- sional Lie algebras, PNAS 72(1975), 2493—2495.

[91 Garland H. The arithmetic theory of loop groups, preprint.

Garland H., Lepowsky J. Lie algebra homology and the Macdonald — Kac formulas, Inv. Math. 34(1976), 37—76.

Кац В Г. Простые неприводимые градуированные алгебры Ли конечного роста, Изв. АН СССР, Серия матем., т. 32, № 6(1968), 1323— 1367.

Кац В. Г. Бесконечномерные алгебры Ли и г]-функция Дедекинда, Функцион. анализ и его прил., т. 8, вып. 1 (1974), 77—78.

Кас V. G. Infinite-dimensional Lie algebras, Dedekind’s Ti-function, classical Mobius formula and the very strange formula, Adv. in Math. 30(1978), 85—136.

Кас V. G. Infinite root systems, reprensentations of graphs and invariant theory, Inv. Math. 56(1980), 57—92.

Кас V. G. An elucidation of «Infinite-dimensional algebras ... and the very strange formula» Ee<1) and the cube root of the modular invariant j. Adv. in Math. 35(1980), 264—273.

Кас V. G., Peterson D. Affine Lie algebras and Hecke modular forms, Bull. AMS (New Series) 3(1980), 1057—1061.

Кас V. G., Peterson D. Infinite-dimensional Lie algebras, theta functions and modular forms. Advances in Math., 1984, 53, 125—264.

Кас V. G., Kazhdan D. A., Lepowsky J., Wilson R. L. Realisation of the basic representations of the Euclidean Lie algebras, Adv. in Math. 42(1981), 83—112.

Lepowsky J. Macdonald-type identities, Adv. in Math. 27(1978), 230— 234.

Lepowsky J. Generalised Verma modules, loop space cohomology and Macdonald-type identities, Ann. Scient. ENS (4е s6rie) 12(1979), 169— 234.

Lepowsky J., Wilson R. L. A Lie-theoretic interpretati n and proof of the Rogers — Ramanujan identities, preprint.

Looijenga E. Root systems and elliptic curves, Inv. Math. 38(1976), 17—32.

Макдональд И. Г. Аффинные системы корней и т]-функция Дедекинда, Математика, т. 16, № 4(1972), 3—49.

Moody R. V. A new class of Lie algebras, J. Alg. 10(1968), 211—230.

Moody R. V. Euclidean Lie algebras, Can. J. Math. 21(1969), 1432— 1454.

Slodowy P. Chevalley groups over C((t)) and deformations of simply elliptic singularities, RIMS Kyoto University, Japan, 1981.

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АФФИННЫХ АЛГЕБР ЛИ:ПРИЛОЖЕНИЯ К НЕКОТОРЫМ ПРОБЛЕМАМ ФИЗИКИ')[по Е. Дейту, М. Дзимбе, М. Кашиваре, Т. Миве]

Жан-Луи Вердье

Высшая Нормальная Школа,Математический центр, Париж, Франция

ВВЕДЕНИЕ

Недавние работы позволили установить связи между теорией алгебр Каца — Муди и их обобщений [6], теорией дуальных моделей взаимодействий между полями или частицами [9], теорией эволюционных нелинейных уравнений, таких, как уравнения Кадомцева — Петвиашвили (К. П.) или Кортевега — де Фриза (КдФ) [2].

В теории дуальных моделей естественным образом возникают дифференциальные операторы бесконечного порядка, действующие на функциях, интерпретируемых как средние значения по вакууму. Алгебры Ли, порожденные этими операторами, являются бесконечномерными, и, таким образом, мы получаем, например, представления алгебр Ли векторных полей на S1. В [7] на основании других предшествующих работ [8] показывается, что с помощью таких операторов можно реализовать фундаментальное представление аффинных алгебр Ли.

Существуют другие способы реализации этих представлений, а именно в случае алгебр типа Ап1’ эти представления можно реализовать в пространстве Фока операторами Клиффорда. Эта реализация имеет то преимущество, что она легко поднимается до подходящей группы G. Когда мы располагаем сплетающими операторами, мы можем описать действие группы G на алгебре полиномов или на подходящем пополнении этой алгебры. Функции тг = §'-1 для geG обладают замечательными свойствами. Они позволяют решить уравнения К- П. или КдФ и описать солитонные решения этих уравнений [2]. Эти функции являются формальными аналогами функций 6 на якобианах кривых [1].

Таким образом, речь идет о разделе формальной теории некоторых систем нелинейных дифференциальных уравнений

') Verdier Jean-Louis. Les representations des algebres de Lie affines: applications a quelques problemes de physique [d’apres E. Date, M. Jimbo, M. Kashiwara, T. Miwa], Seminaire Bourbaki, 34-e annee, 1981/82, № 596, 1—13.

© Revue Asterisque, 1982

в частных производных. Необходимо лучше понять поразительный факт появления (скрытых) симметрий, порождающих группу Каца — Муди.

Наконец, отметим, что алгебры Каца — Муди возникают и в других разделах физики, в частности в теории гравитации или супергравитации [5] и в теории калибровочных полей [10].

При подготовке этого обзора обсуждения с А. Дуади, Ж--Л. Жерве, П. Лошаком, А. Неве, М. А. Семеновым-Тян- Шанским помогли мне выяснить некоторые моменты.

АЛГЕБРА gi(oo)~

Обозначим через gl(oo) множество матриц (ak, i\ [eZ с коэффициентами из С, и через

^/ = (6^, Z).d(Z, /))611

элементарные матрицы. Положим

gl(oo) = ^ак, г gl(oo) | Зг, такое что ак, i = 0 для | k — Z1 > г},

gl (oo)f =. {(ад. z) e gl(oo) | (6, Z) h-» (a^ z) с конечным носителем}.

Элементами в ^l(oo) являются, таким образом, бесконечные матрицы с носителем, лежащим в диагональной полосе. Произведение матрицы А = (a^ z) е 1)( (оо) на ¥ = {Ьк, z) е egl(oo) определяется обычным способом:

(2.4)(2.4)Х¥ = <скл\

(2.4)

(2.4)

С к, I == S ®fc, р^р. Z>

' hi = L' hi = Lпричем gl(oo) есть С-алгебра, а gl(°o) есть gl (оо)-модуль. Для Z е Z полагаем

' hi = L

' hi = L

вп, п-^1>

и

^EefrXi, где

^•^f — 1, если Z^O,

8 I +1, если Z < 0.

Подпространство $ является коммутативной подалгеброй алгебры gl(oo). Если А е gl (оо), A = (a6, z) и УедЦоо),

v = (bkt z), то матрица /[X, У] обладает следом. Положим

В (X, У) = у Tr (У [X, У]) = I £ (е № - е (/)) ак. tbr. к.

к, I

В этих условиях мы определим расширение алгебры Ли gl(oo) и д1(оо)-модуля gl(oo), полагая

(2.8)(2.8)д1(о°)~ = д[(оо) ф Се,gt (оо)~ — gl(oo) ф Се

(2.8)

(2.8)

и определяя скобку [ ]~ следующим способом: с — центральный элемент;

[X, УГ = [Х, У]фВ(Х, У) с

для Xegt(oo) и Уед((оо).

Алгебра gt(oo)~ является центральным расширением алгебры gl(oo), и можно показать, что это расширение нетривиально. Подалгебра gl(oo)f = д((оо)^фСс есть центральное тривиальное расширение алгебры gl (oo)f. Положим

?=WCc.

Это — подалгебра Ли алгебры gt(oo)~', называемая подалгеброй Гейзенберга. Мы имеем

(2.П)Vhb hjA'=^^, -Г)с.

Теперь мы определим формальный ряд от (р, р-1, q, q-1) с коэффициентами из gl(oo)~, полагая

е(р, q)=^mek,mpkq-m(pq~l — 1)} — с. Имеем

\hb е^р, qAi\~ = (р1 — q^e^p, q).

ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АЛГЕБРЫ gl(<»)~

Пусть С [Хь Х2, ..., Х„, ...] — алгебра полиномов от бесконечного множества переменных (ХД.^. и С [[Хь Х2, ...]] — пространство соответствующих формальных рядов. Для ^еС[[Хь Х2, ...]] положим

(3.1)(3.1)' A^ = dx;^п>0’

(3.1)

(3.1)

M = t-n')X_J, n<Q, М=о.

Имеем(3.2)Имеем(3.2)[Л„, Ат1 = пЦп, m) Id,[Л„, Ат1 = пЦп, m) Id,

Имеем

(3.2)

Имеем

(3.2)

[Л„, Ат1 = пЦп, m) Id,

[Л„, Ат1 = пЦп, m) Id,

таким образом, что, полагая

(3.3)(3.3)p(ht) = Abр(с) = Id,

(3.3)

(3.3)

мы определим представление р алгебры в C:\Xi, Х2, . ••] (см. 2.11). Непосредственно заключаем, что это представление неприводимо.

Лемма 3.4. Пусть А: С №, Х2, ...]-> С [[Х^ Х2, ...]] — такое С-линейное отображение, что

( [Л„, А] = М для п>0,X [Лп, А] = р_пА для п<0.

Тогда

t^-t^^

А = Айе е, ^ е С.

Обратно, оператор (3.6) обладает свойствами (3.5).

Элементарное доказательство предоставляется читателю. Теперь определим формальный ряд от р, р-1, q, q~x, коэффициенты которого являются операторами, полагая

№ P^LXtP4,

1

(3.7)(3.7)д С d 1 дId\

(3.7)

(3.7)

d ~ ( дХ, ’ 2 дХг ’’ п. дХп ’

Х^р, q^ = e^x-p^x-qV^^ ч~\

Тогда на основании 3.4 мы имеем

[Лг, X (р, <?)] = (рг — q1^ X (р, q\ i е Z.

Оператор X (р, q^ переписывается так:

X (р, q)=^ Xk, i kX, d) pkq-1 (1 - qp"^ + Id.

k. I

Простая проверка позволяет доказать следующую лемму.

Лемма 3.10. 1) Операторы Zfc>1(X,d) суть дифференциальные операторы бесконечного порядка с полиномиальными коэффициентами. В частности, они переводят полином в полином.

Пусть PeC[Xi,X2, ...] — полином. Существуют два таких целых числа k(P)^0 и /(Р)^0, что Zu, i(X, d) (Р)=0 для к < /?(Р) или I > /(Р).

Мы будем говорить, что представление р алгебры gl(oo)~ или gl(oo)^" в векторном пространстве V допустимо, если для любого v е V существуют два таких целых числа к (у) и Z (и), что для любой матрицы (а^ z) е д((оо), носитель которой содержится в области Цк, l)\k<k(v) или 1>Ци^, имеет место равенство р ^ак, z)) и = 0. Ограничение на gi(oo)f допустимого представления алгебры gl (оо)~" допустимо. Любое допустимое представление алгебры gf(oo)f~ допускает единственное допустимое продолжение на д((оо)~.

Предложение 3.11. Существует одно и только одно допустимое представление р алгебры д((оо)~' на С VXv Х2, ...], такое что

(3.12)(3.12)ПоложимПоложим' р(йг) = Лг,. p(c) = Id,.р(е».г) = 2ыСК, 5).

(3.12)

(3.12)

Положим

Положим

Х_ (q) = e~i(X- “^^

Х+ ^q) = evx’ »е-ь&. р-1),

далее для любой пары (/г, ZisZ/Z положим

Zkil^X, d) = Zk.t(X, d) + Y_(k)d(k, Z)Id, где

Y_ (fc) = И’ еСЛИ ^ < °’

I 0 в противном случае.

Тогда имеем

Х+ (р) Х_ (р) = £ Zk, z (X, д') pkq"1.

Далее с помощью вычислений можно показать, что

\Zk,i, Zm,nA = Hl> m)Zk,n — 6{n, k)"Zmil.

Используя (3.14) и (2.9), мы обнаруживаем теперь, что соответствие ek,it—>Zk,i определяет представление алгебры 8И<»)Г, которое на основании 3.10 допустимо и которое, стало быть, продолжается на gl(oo)~. А тогда выполняется и (3.12).

Представление, описанное в предложении 3.11, называется фундаментальным представлением алгебры gl(oo)~.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФОКА

Пусть V = ® Сфп и V* = © Сф« — два векторных про- neZneZ

странства, двойственных относительно формы

^к,^ = 6^к,1).

Положим У+ = ф Сф , V — фСф , У’+ = ф Сф*. У’~ = п>0п<0п>С

= ф СФ*.

п<0",

Снабдим пространство F = У© V квадратичной формой

Q((x, u)) = (х, и\

Обозначим через р симметричную билинейную форму на F^ такую что Q (а?) = р ^w, w), w ^ F; имеем

₽((Ф„ 0), (0, ф?)) =-1-6(6, /).

Обозначим через А алгебру Клиффорда пары (К, Q) (алгебра свободных фермионов). Билинейное отображение УХУ*->А, которое ставит в соответствие элементу (и, V*) произведение в А: (а, 0) • (0, о*), отождествляет V ® V* со своим образом, обозначаемым через g (У, У*), который является подалгеброй Ли в А.

Положим

д(У, УТ = С.1©д (У, У);

это — подалгебра Ли в А.

Группа О(У, У)~ обратимых элементов geA, таких что gVg-1 = У и gV*g-x = У*, есть группа, соответствующая, алгебре Ли д (У, УТ- Группа G(F, У)~ действует посредством внутренних автоморфизмов на Ус: А. Группа автоморфизмов пространства У, к которой мы обращаемся, обозначаемая через О(У, У*), есть группа GZ-(У)П(Id + У® К). Значит, имеется точная последовательность

1 -» С* -> G (У, W -* G (У У) -И.

Положим

^сге = У+©У-,№ап=у-©У+.

Таким образом, мы получаем два взаимно дополнительных изотропных подпространства в F, которые двойственны относительно формы р. Положим далее

ЗГ = А1Усге, ST* = АГ ап.

Таким образом, мы получаем два пространства, двойственные относительно формы ₽: если ае^"* и be 9", то через» <а|6> мы обозначаем их скалярное произведение. Вектор. 1еС =А°1Усге, равно как и 1 е С =А°1Уап, обозначается через vac и называется вектором вакуумного состояния. Элементы а и b из ^"* и ^" соответственно чаще обозначаются» через <а| и \Ь>.

Пусть для а е F через аСГе и аап обозначаются его составляющие из U^cre и U^an соответственно. Для произвольного & е iF положим

а | & > = | ctcreДб) + |аап J 6),

где внутреннее произведение определяется при помощи ₽.

Эти операции распространяются на алгебру Клиффорда А, и, таким образом, мы определяем на ^" структуру левого A-модуля. Таким же способом мы определяем на структуру правого A-модуля, которая является присоединенной к предыдущей. Для а е 3"*, Ь^З" и g е А комплексное число

<a|gl&).

таким образом, вполне корректно определяется как результат спаривания элемента <a|g с |&>, или, что совершенно то же, спаривания элемента <а| с g|6). В частности, число

(4.10)(4.10)(vac|g| vac)

(4.10)

(4.10)

называется средним значением элемента g по вакууму.

A-модули 3 и 3* просты. А-модуль 3 называется пространством Фока. Векторы <vac| и |vac> являются образующими этих модулей.

Предложение 4.11. Единственное линейное отображение г: gl(°o)f -*А, такое что

' r(em,») = -2 < vac | фтф; I vac) + фтф‘п

(4.12)(4.12)-для (т, п) е Z X Z,

(4.12)

(4.12)

. г (с) = 1,

есть изоморфизм лиевых алгебр алгебры gl (oo)f на g(V, KV.

Представление р алгебры gl(oo)f~ на 3, которое отсюда выводится, допустимо.

Предложение является непосредственным следствием того факта, что имеет место равенство

(vac | ФтФп I vac) = 6 (tn, n)Y_(m\

где Y-(m') определено в (3.15).

Представление р допускает единственное допустимое расширение на gl (оо)", которое по-прежнему обозначается через р и которое называется представлением Фока алгебры д1(оо)~.

В частности, для любого I pUn) (см. (2.5)) есть эндоморфизм модуля ЗГ и для Z, / > О эндоморфизмы р(Л,) и p(hj) коммутируют.

Лемма 4.14. 1) Для любого i>0 p(hi)—локально нильпотентный оператор.

Для любого | у> е ^" существует такое Zo, что p{hi) | у> = О для i > Zo.

Утверждение 2) вытекает из допустимости представления р, а утверждение 1) проверяется прямым вычислением исходя из определения представления р.

Пусть ueiF. Тогда мы рассмотрим формальный ряд^xipW

е 1|у).

Из леммы 4.14 следует, что этот ряд является полиномом от переменных Xi с коэффициентами из ZF. Следовательно, выражение

т0(X) = (vac |е 1|и)

есть полином.

Теорема 4.17. Линейное отображение у*—*та(Х) модулям в С^ьХг, ...] изоморфно отображает представление Фока, алгебры gl(oo)~ на базисное представление алгебры gl(oo)~.

Для / > О имеем

-^то(А) = < vac|e 1p(A/)|y) = Tp(ft/)t,(Z).

Аналогично для / > О имеем

Z^‘p ФдjXjt, (X) = (vac | — [й_/, е 1] | у ),

а так как (vac|A_/ = 0, то

Sv м

jXfT, (X) = (vac | е 1 р (й_7) | у ) = тр 0 кХ\

Значит, отображение и<—>та(А) коммутирует с операторами алгебры Гейзенберга, и, поскольку модули просты, оно действительно является изоморфизмом. Чтобы показать, что этот изоморфизм коммутирует с операторами алгебры gl(oo)~, достаточно, опираясь на формулы (3.14), (3.15), (3.16) и (4.12),.

установить, что оператору ХДр^У-^) соответствует оператор ^ ^m?VnPmq~n- Поскольку мы имеем

(4.18)(4.18)' 2 ^m^nPmq-n = * (р) ф* ^>где ф(р) = ^трт,т

(4.18)

(4.18)

< ф*(<7) = 2^“п>

достаточно доказать равенства

(4.19)(4.19)*+ (РЛ, (^-Тф^Х),Х-^ДХ^х^ДХ^

(4.19)

(4.19)

Так как при ieZ имеет место [А;, ф(р)] =р‘^(р) и 1А/, ф*(^) ] = = q~‘ht, то из 3.4 получается, что ф(р) соответствует оператору а(р')ХДр), где а(р) — формальный ряд от р, р~1. Используя вектор y=|vac>, мы убеждаемся, что а(р)=1. Это же справедливо и для ф* (q).

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПОДАЛГЕБРЫ АЛГЕБРЫ gl (оо)~

Пусть п>0— целое число. Говорят, что элемент g=Uh,/) из gl(oo) периодический периода п, если имеет место

ai*n.i*n = ai,i ^ i, i^ZXZ.

Множество периодических элементов периода п есть подалгебра Ли алгебры gl(°o).

Пусть A=^at,^—периодическая матрица. Для AeZ положим

(^•2)Ак — (aZ. /)o<i <n, ftn</<(fc+l)n‘

Мы получаем, таким образом, последовательность с конечным носителем-матриц Лйед1(и). Поставим в соответствие матрице А полином Лорана

2 АкТ\

являющийся элементом из gl(n) [Г, Г-1]. Тем самым устанавливается биекция множества периодических матриц периода п на gl(n) [Т, Г-1]. Структура алгебры Ли на gl(n) [Г, Г-1}, индуцированная перенесением структуры, определяется следующим образом:

[2л6Г\ Zb/]=Z( Z [ЛьВ^Г,

п Xk+i—nz

где через [Л*, В/] обозначается обычная скобка в gl(n).

Теперь мы отождествим алгебру gl(n) [Г, Г-1] с подалгеброй периодических матриц периода п из gl(oo). При этом мы будем рассматривать подалгебру

gt (и) [Г, I" Г = 91W [Т, Т-'] ф Се алгебры gt(oo)~'. Для А и Begl(n)[T, Г-1] мы имеем

[Л, ВГ = М, Bl + Resr.oTr^BdT’).

Таким образом, мы получаем аффинную алгебру типа А^ [7]. Ограничивая фундаментальное представление алгебры gt(oo)~ на алгебру gt (п) [Г, Г-1] , мы по существу подбираемся к фундаментальному представлению алгебры gl(n)[T, Г-1] : из ограничения выводится представление в С №, Х2, ... ..Xj, ...] /^0 (modn), которое и является фундаментальным представлением алгебры gt (п) [т, Т-1] [7].

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ

Речь идет о бесконечной последовательности уравнений в частных производных, нелинейных, связывающих бесконечное число функций «ь н2ип, ... от бесконечного числа переменных ХЬХ2, ..., Хп, ... . Это система уравнений, называемая иерархией Кадомцева — Петвиашвили, или короче иерархией К- П. [1]. Рассмотрим формальный псевдодиффе- ренциальный оператор

L(X, d^d + ^tT1+ и2<Г2+ .... <5=557-

Условимся, что В-1 — обращение дифференцирования д, и, следовательно, оно переставляется с умножениями на функции согласно правилам

Значит, для любого п можно подсчитать кратный оператор Ln(X, д). Это — оператор вида

Ln (X, д) = дп + Рп. 2 (и) д^2 + ...

+/’n.n(«) + Rn,n+I(«)<5’1+ ....

где через Рп, т(и} обозначаются полиномиальные выражения от щ и их производных по Xt.

Обозначим теперь через L+I.X, д) дифференциальную часть в Ln(X, д). Таким образом, в соответствии с обозначениями в (6.3) имеем

L+ (X, д) = дп + £ Рп. т (о) дп-т.

2

Таким образом, мы имеем L^(X, d) = d, 1ЛДХ, d) = d2 + 2u2 L\ (X, d) = d3 + 3u2d + 3 (u3 + ди^

Сформулируем условие, чтобы линейная система уравнений относительно функции w^Xx, Х2, ...)

-ту— w = Ln (X, д) w, п = 1, 2

обладала бы решением. Для любой пары т, п^1 мы получаем равенство между дифференциальными операторами д .

от "эх;-

Д- L^ (X, d^--^L\ (X, д) = [Г? (X, д), L\ (X, д)].

Сравнивая коэффициенты при 5р в (6.6), мы получаем нелинейные уравнения в частных производных, связывающие функции иь Эти уравнения образуют иерархию К. П. Так, например, в случае т = 2, п = 3 мы получаем два соотношения, связывающих м2 и и3. Исключая ы3 и полагая и = и2, мы получаем уравнение К. П.:

(6.7)Частные стемы(6.8)(6.7)Частные стемы(6.8)3 д2о д /„ до„до1 д3о X

(6.7)

Частные стемы

(6.8)

(6.7)

Частные стемы

(6.8)

2 дХ2дХх V дХ3 dXv2 dX3v J

решения этого уравнения задаются решениями си-

дХ3 дХх 2 dXf '

Второе из уравнений в (6.8) есть не что иное, как уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ).

Можно показать [2], что уравнения (6.6) эквивалентны уравнениям

-^- = U",L], п^1.

Уравнения (6.9) являются эволюционными уравнениями псевдодифференциального оператора L.

Уравнения (6.6) или (6.9) влекут за собой существование псевдодифференциального оператора степени О

P^l + tynA-jd-' + ^Wd^H- .... такого что

(LP — Pd,

(-^ (Р) = - (Ll) Р, где Ln_ = Ln-LV

Существование оператора Р, подтверждающего свойства (6.11) и (6.12), равносильно соотношению (6.9) или (6.6). Рассмотрим теперь функцию фазы

Z*1Z*1(6.13)

Z*1

Z*1

и введем волновую функцию

w(X, к^ = Р^Хк\

Имеем

w(X, k) = (l + wi(X)k-1+ w2(X)k~2+ ...)ewt'.

формально сопряженный к Р оператор записывается следующим образом:

Р*=1 + (-д)-1т1 + (-дГ2ш2+ ... .

Теперь положим

w (^, ^ — (РТ'е-6^’6*.

Знание функции w влечет за собой знание оператора Р ((6.15) и (6.10)), а значит, функции w* (6.17) и оператора L (6.11).

Предложение 6.18. Функция w^X.fP) вида (6.15) является волновой функцией для иерархии К. П. в том и только том случае, когда для любых X, X’ имеет место

Resfe=loo(ty(X, &)ш*(Х', &)d&) = 0.

За доказательством мы отсылаем к [2].

Вернемся к уравнению К. П. (6.7). Известно, что если сделать функциональную замену

“2W = -^rl0gT(X), то получится уравнение

Р<П^Х^у\ЧХ-у^\,_й = ^

где Р (О) —дифференциальный полином

(Dt+B^-WA).

Речь идет об общем явлении. При помощи (6.19) показывается [2], что волновая функция ш(Х, &) может быть представлена в виде

да (X, k) =L £а. 6),

где т с точностью до множителя однозначно определено функцией w^X, k). Соотношениям (6.19) тогда можно придать вид билинейных дифференциальных уравнений относительно функции т, которые называются билинейными уравнениями Хироты.

Теперь предположим, что т—полином. Тогда соотношение (6.22) с использованием (3.13) перепишется в виде

(&) т (X)

w(X, k) = - + ^—1

а отсюда выводится

w4X,k) = ^^l,

и соотношение (6.19) переписывается в следующем виде:

Res^ (Х+ (к) т (X) • Х_ ^ т (Г) dk) = 0.

Назовем полиномом типа К. П. любой полином, который удовлетворяет условию (6.25).

Теорема 6.26. Множество полиномов типа К. П. устойчиво относительно действия алгебры gl (оо)~ в базисном представлении.

Речь идет о доказательстве того, что для всякого элемента msgl(oo)~ имеет место

Res (Х+ (k) р (пг) т (X) • Х_ (к) т (Г) dk) +

+ Res (Х+ (к) т (X) • Х_ (к) р (/п) т (X') dk) = 0.

На основании допустимости представления р (3.11) достаточно доказать (6.27), когда mEg((oo)~, либо же когда пг является элементарной матрицей. На основании (3.13) и (3.16) достаточно доказать тождество для формальных рядов относительно р и у;

Res (Х+ (к) Х+ (р) Х_ (у) т (X) • Х_ (к) т (Г) dk) +

+ Res (Х+ (к) т (X), Х_ (k) Х+ (р) Х_ (у) т (Г) dk) = 0.

Простой подсчет показывает, что первое слагаемое в (6.28) равно

(9 - р) Х+ (р) т (X) • Х_ (q) т (Г)

и что второе слагаемое противоположно к (6.29).

Следствие 6.30. Для любого geG^V, У*)~ (п.4) полином

EW<)т(X, g) = (vac|е1 glvac)

является полиномом типа К. П.

Это результат теоремы 4.17 благодаря тому, что 1 есть полином типа К. П., а любой элемент geG(V, У*)~ лежит в группе, порожденной матрицами ехрр(/п), где m е ОЦоо)~.

В качестве примера положим для r<0^s gr^l-^ + ^^ + ^h,)

и возьмем в качестве g элемент вида

g g^gr^ . • • grpSp.

Соответствующая функция т (X, g) по существу является характером линейной группы [2].

Также и формальный ряд относительно pi, qi с полиномиальными коэффициентами

N

Е »]Х (Рр q^ т№ ab Р1, q^ ...; aN, pN, qN) = el.1

является полиномом типа К. П. и называется ЛГ-солитонным решением.

Чтобы изучить решения иерархии КдФ, нужно наложить добавочные связи на общую систему К- П. Таким образом, если потребовать для целого п выполнение равенства

£1 = 0,

т. е. чтобы оператор £" был бы дифференциальным оператором, то это влечет за собой

-^-L = 0, р^о (mod л), и соответствующая функция зависит только от переменных Хь Х2, ..., Xj, ... /^O(modn). В случае п = 2 мы получаем иерархию КдФ. В случае п = 3 получается иерархия Буссинеска.

Алгебра Ли 81 (л) [Т, Г-1] действует на функциях т, описывающих решения этих систем. Эти действия поднимаются до соответствующих групп.

ДРУГИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Мы ограничимся их цитированием. С самого начала одной из проблем теории дуальных моделей является доказательство того, что все конструируемые состояния имеют физический смысл (например, масса ^0). Это — проблема отсутствия духов (фантомов). Использование алгебр Ли позволяет упростить эти доказательства.

Иерархия К. П. связана с алгеброй gl(oo)~. Можно построить аналогичные алгебры, используя ортогональную или симплектическую группу, и определить и решить новые иерархии [4], которые в свою очередь связаны, при наложении ограничений, с классическими аффинными алгебрами.

Можно также заменить присутствующие здесь скалярные операторы матричными операторами [3].

Наконец, 6-функции якобианов алгебраических кривых позволяют выразить решения систем К. П. [1]. Точно так же и для систем, связанных с ортогональной группой, нужно лишь использовать 6-функции многообразий Прима [2].

ЛИТЕРАТУРА

Чередник И. В. Дифференциальные уравнения для функций Бейкера — Ахиезера алгебраических кривых, Функцион. анализ и его прил., т. 12, вып. 1 (1978), 45—54.

Date Е., Jimbo М., Miwa Т., Kashiwara М. Transformation Groups for Soliton Equation, R. I. M. S. 394, Kyoto, Feb. 1982.

Date E., Jimbo M., Miwa T. Operator approach to the Kadomstev — Petviashvili Equation — Transformation groups for Soliton Equation III, J. of Physical Soc. of Japan, vol. 50, n° 11, november 1981, 3806— 3812.

Date E., Jimbo M., Miwa T. Hierarchies of Orthogonal and Symplectic Type — Transformation groups for Soliton Equation VI, J. of physical Soc. of Japan, vol. 50, n° 11, november 1981, 3813—3818.

Julia B. Infinite Lie Algebra in Physics, preprint, L. P. T. E. N. S.. juin 1981.

Кас V. G. Highest Representations of Infinite-Dimensional Lie Algebras, Proceedings of the I. С. M. Helsinki, 1978.

Кас V. G„ Kazhdan D. A., Lepowsky J., Wilson R. L. Realization of the Basic Representations of the Euclidean Lie Algebras, Adv. in Math. 42(1981), 83—112.

Lepowsky J., Wilson R. L. Construction of the affine Lie algebra Ai(1>, Comm. Math. Phys., 62(1978), 43—53.

Mandelstam S. Dual Resonance Models, Phys., 13(1974), 259—353.

Ueno J. K., Nakamura Y. Transformation Theory for Anti-Self-Dual Equations in Four-Dimensional Euclidean Space and Riemann — Hilbert Problem, R. I. M. S. 375, Kyoto, July 1981,

ДОПОЛНЕНИЕ РЕДАКТОРА

Конструкции пп. 2 и 5 этого доклада дают представление для вычета дифференциальной формы с коэффициентами из поля степенных рядов от одной переменной в виде следа некоторого оператора из gl(oo). Задолго до исследований, обсуждаемых в докладе, это представление было открыто и детально изучено Дж. Тейтом [1*]. В дальнейшем эта конструкция (называемая иногда «японским» коциклом) неоднократно переоткрывалась и обобщалась [2*], [3*], [4*], [5*]. Обобщение на случай ц-мерных локальных полей (и частности, полей степенных рядов от п переменных) было дано в [6*], [7*] (работа [6*] содержит определение вычета в /г-мериом случае и приложения к теоремам двойственности^ а работа [7*] дает интерпретацию этого определения с помощью коциклов бесконечномерных матричных алгебр Ли). Вопрос о связи этих конструкций при А > 1 с какими-либо классами нелинейных эволюционных уравнений совершенно не исследован. [1*] Tate J. Residues of differentials on curves, Ann. ENS, t. 1, f. 1, 1968, p. 149—159.

[2»j Фейгин Б. Л., Цыган Б. Л. Когомологии алгебр Ли обобщенно-якобие- вых матриц, Функц. анал. и его прил.— 1983, т. 17, п°2, с. 86—87. [3*] Фукс Д. Б. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли. — М.: Наука 1984.

[4*] Кас V., Peterson D. Spin and wedge representations of infinitedimensional Lie algebras and groups, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 78 (1981) n°6, 3308—3312.

[5*1 Segal G., Wilson G. Loop groups and equations of KdV type, Public. Math. PHES, 1985, n°63, p. 5—65.

[6*1 Паршин A. H. Абелевы накрытия арифметических схем. — ДАН, 1978, т. 243, п° 6.

[7*] Бейлинсон А. А. Вычеты и адели. — Функц. анал. и его прил., 1980, т. 14, n° 1, с. 44—45.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗ ТЕЙТА ИШАФАРЕВИЧА*

П. Делинь

Институт высших научных исследований, Бюр-сюр-Иветт

Высоты

Изогении

Гипотеза Шафаревича

В этой статье мы расскажем как Г. Фальтингс доказал гипотезу Тейта (2.7) и гипотезу И. Р. Шафаревича (3.3, 3.4). Мы подробно обсудим свойства высоты абелева многообразия, введенной Фальтингсом. Это более техничная и более длинная часть доказательства. Читатель, который, прочтя определения из пп. 1.1 и 1.2, готов воспринять предложение 1.3, может переходить к § 2 и З).

Обозначения и терминология

Некоторые термины мы будем использовать в их более узком значении:

Числовое поле := конечное расширение поля Q.

Схема := нётерова отделимая схема.

Групповая схема над S всегда будет схемой конечного типа над S. Обычно она будет плоской над S и коммутативной.

Через 6 мы будем обозначать алгебраическое замыкание поля к. Если А— абелево многообразие над к, а / — простое число, не равное характеристике поля к, то через Г/(А) обозначается модуль Тейта многообразия А, т. е. ТДАу.= = Иш proj А,» (к). На нем действует группа Галуа Gal(5/6), и он наделен структурой модуля над кольцом End (А) 6-эндоморфизмов многообразия А. Положим Vt (A) = Tt (A)®z,Qb

ВЫСОТЫ

Пусть к—числовое поле и L— векторное пространство размерности 1 над к, снабженное для каждой точки о

поля к у-адическим абсолютным значением II ||D; оно удовлетворяет условию ||%7||о = ||Х||о||7||о для Хек, leL. Пусть L*;=L—{0}. Предположим, что для let* равенство ||Л|0 = 1 выполняется для всех точек у, за исключением конечного их числа. Согласно формуле произведения II ||Х||„ = 1, где Хек*, произведение Л II / II» не зависит от оо

выбора / с L*. Назовем степенью пространства L логарифм обратного к этому произведению:

deg := — log Л || 71|0.

Пусть О — кольцо целых элементов поля к. Если о — точка поля к, то с помощью буквы у в нижнем индексе мы обозначаем пополнение относительно у. Далее, О-форма La пространства L, т. е. проективный O'-модуль ранга 1, такой, что La ^gk^L, снабжает L у-адическим абсолютным значением для любой неархимедовой точки у поля к; перенесем на L, абсолютное значение на к, с помощью изоморфизма векторных ^-пространств ky^Ly, который отображает О, на La,. Если leL*, то ||7||0 = 1 для почти всех у. Если I е La, то

^(LalO-l)= П II7 Со неархи-медова

Зададим, кроме того, для каждого вложения в поле комплексных чисел i: &с*С эрмитову структуру (т. е. положительно определенную эрмитову форму) < , X на комплексном векторном пространстве Lv;= L ®k,v Ci. Два сопряженных вложения в поле комплексных чисел дают два комплес- но-сопряженных векторых пространства Lu и будем предполагать, что <1,Г>1 = <7,7>г, для любого leL^. Если для архимедовой точки у, индуцированной вложением с в поле комплексных чисел, положить

117||О = (7, 7)}/2, когда о вещественна,

НII7II» = (7, 1\, когда и комплексна,

то получится система абсолютных значений желаемого типа, и deg£ определена.

Пример. Пусть к = Q; тогда О = Z, и если е — один из двух образующих +е модуля Lx, то

deg£ = — jlog(e, е).

Пусть А— абелево многообразие над полем к. Обозначим через со (Л) следующее векторное пространство размерности 1 над к: если А имеет размерность g, то

а>(Л):=д((ЫеЛ)7).

Если к — числовое поле, то для каждой точки о поля к имеется естественное и-адическое абсолютное значение на Ю(Л):

Пусть (7— кольцо целых поля к и Ад—модель Нерона многообразия А над Spec (С?). Тогда проективный (7-модуль ранга 1

®(Л)5:=Л((Ь1еЛ5)7)

будет (7-формой пространства со (Л). Она задает искомые абсолютные значения для неархимедовых точек.

странство <»(Л)Ь := со (А) 096, t ,Cj является ломорфных дифференциальных g-форм на эрмитовой структурой, для которой(а, а> = —\|аАа|.4(2л)« JЭто задает Ц ||0 для архимедовых точек пользует а А а |, что несущественно.странство <»(Л)Ь := со (А) 096, t ,Cj является ломорфных дифференциальных g-форм на эрмитовой структурой, для которой(а, а> = —\|аАа|.4(2л)« JЭто задает Ц ||0 для архимедовых точек пользует а А а |, что несущественно.Пусть i: kc*Ci — вложение в поле комплексных чисел и ьА — абелево многообразие над С., полученное из Л расширением поля скаляров. Комплексное векторное лро- ~пространством го-

странство <»(Л)Ь := со (А) 096, t ,Cj является ломорфных дифференциальных g-форм на эрмитовой структурой, для которой

(а, а> = —\|аАа|.

4(2л)« J

Это задает Ц ||0 для архимедовых точек пользует а А а |, что несущественно.

странство <»(Л)Ь := со (А) 096, t ,Cj является ломорфных дифференциальных g-форм на эрмитовой структурой, для которой

(а, а> = —\|аАа|.

4(2л)« J

Это задает Ц ||0 для архимедовых точек пользует а А а |, что несущественно.

IIо. Фальтингс ис-о. Фальтингс ис-Его наделяют

I

I

о. Фальтингс ис-

о. Фальтингс ис-

В терминах этих абсолютных значений высота h\A) многообразия А определяется так *):

h ^:= ЖоГ deg °(Л)-

Пример. Если k = Q и а —один из двух образующих ± а модуля со (Л)^ (дифференциал Нерона), то

Й(Л):=—^-log^-A- $ 1аАа|\

2л (С)/

Обобщение. Если a: G-*S — плоская групповая схема относительной размерности строго g над базой S с единичным сечением е, то обозначим через <в(О) обратимый пучок над S, относительно дуализирующий пучок которого яв^

') Другой подход к определению высоты ЦА) см, в [8*. § 2]. — Прим, ?е^,-' ''

ляется обратным образом: Ra1 Cg ~a*(o(G) [g], =e Ra1 Os. Если G гладка над S, то снова получаем

^(G) = Д ((LieG)v).

Пусть k — числовое поле с кольцом целых О и S = = Spec(t?). Если общий слой схемы G является собственным над k (т. е. это расширение конечной группы с помощью абелева многообразия), то интегрирование по G(C) задает снова для каждого вложения и & <=♦ С в поле комплексных чисел эрмитову структуру на <d(G)®»,i !С'. Таким образом, определена степень degto(G). Случай, когда схема G квази- конечна, будет использован в § 2.

Замечание. Плоская коммутативная групповая схема над базой S называется полуабелевой, если ее слои являются расширениями абелевых многообразий с помощью торов. Говорят, что А имеет полустабильную редукцию, если его связная модель Нерона А°о (где в каждом слое оставлена лишь компонента единицы модели Нерона) полуабелева. Это то же самое, что потребовать, чтобы А было общим слоем некоторой полуабелевой схемы над Spec (С?), причем эта последняя единственна. Если А — многообразие с полустабильной редукцией, то переход к А^, а значит, и к ю(А)д = а)(А^) перестановочен с расширением поля скаляров he*к' и коэффициент 1/[&:Q] в определении высоты h (А) обеспечивает ее инвариантность относительно расширения поля скаляров. Если абелево многообразие А над к обладает полустабильной редукцией над некоторым расширением к' поля к, то геометрическая высота этого многообразия определяется формулой

hgeom (А) := И (Ад').

Из того факта, что (А^)^ отображается в (A^q,, следует, что h (А) ^ Ageom (А), причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда А имеет полустабильную редукцию над к.

Напомним, что поляризация многообразия А — это класс алгебраической эквивалентности (определенный над 6) обратимых обильных пучков на А. Его степень — это целое число C\(Z)s/g\ = % (S’). Главной поляризацией называется поляризация степени 1.

Предложение 1.3. Каковы бы ни были числовое поле к и целые числа g, п и h, существует лишь конечное число классов изоморфизма поляризованных абелевых многообразий (А, 0) над к размерности g, степени поляризации п и высоты к(А) ^, к.

Пример 1.4. Случай k = Q, g — 1. Пусть Е— эллиптическая кривая над Q и ш — дифференциал Нерона. Кривая Е задается таким уравнением

у2 + ахху + оу/ — х3 — а^х2 — а^х — а6 — 0

с целыми коэффициентами, что если обозначить через F^x,y^ левую часть, то форма <о приобретает вид dx/Fv = -dy/Fx. Пусть Л cz iC — такая решетка, что группа (Д, и) изоморфна (lC/A, dz) над С. Пусть (со^шг)—положительный базис решетки Л, т = <о2/а>1 (1т(т) > 0) и q = ехр(2л1'т). Тогда надсО

(Е, «.) = (С/Л, Л) ^ (C7?z. ^-^У

Числа

С—-(-^г)~*(1-604 2:»»(/»)»-)

и А = (с3 — <?g)/1728 не зависят от выбора базиса (аи.аг)' решетки Л. Это полиномы с целыми коэффициентами от ai (см., например, таблицу Тейта, введенную в обращение П. Делинем, в IV томе трудов конференции в Антверпене (Springer Lecture Notes 476)). Они являются, таким образом, целыми числами. Кривая Е задается уравнением Вейер- штрасса

V2л уЗ у

г12 Л 216 •

Положим Н(Е^= exph(E') и Н*(Е') = sup(|с4|1/4, |св|1/6). Чтобы показать, что существует лишь конечное число эллиптических кривых над Q с заданной высотой й(£), достаточно получить для Н*(Е) оценку, зависящую только от Н(Е).

Выберем в Л базис (со1, <в2) с минимальным | со, |. Тогда Im (т) ^ V3/2 и

Я (Д) = (^-1 ®i I • I «>1 Im (т) |) "*/2 = ^ -1 Im (т)/л |-^,НЧЕ)< Сй. Н(Е)« Im (т)1/2.

Если 1т(т)>а, где а > 0, то из соотношения j=c^k = = <7-1 + 744-J- ... между т и модулярным инвариантом / следует, что Im(T)~sup(l, log|/|)/2n. Поскольку А —целое число, то, кроме того, | /1 Я* (Я)1 , откуда вытекает, что

Н* (£) < Сх • Н ^ - sup (1, log Н* (£))1/2

и, значит,

Не(S)<Ci • Н(5) • sup(1, log Н(£))1/2.

Замечание 1.5. Пусть т лежит в полуплоскости Пуанкаре, у=1т(т), ^ = ехр(2л1т) и Л(т)— решетка Z + Z-т, £(т)— эллиптическая кривая С./Л(т), снабженная дифференциальной формой dz, а — дифференциальная форма А(£(т), dzy,vi-dz (выбор корня двенадцатой степени не существен) и

Уо(т)= 2^ 5 1аЛЙ1= ^’I^IIC1 — ^2|2, ЕМ

Эта функция от т инвариантна относительно действия группы S£(2, Z), а значит, получается из функции У(/) от модулярного инварианта /. Если Е—эллиптическая кривая над 6 с модулярным инвариантом jefe, то положим Н(Е) = =ехр([£: Q] А(£)) (соответственно Hgeom (Е) = ехр ([Л : Q] • •hgeom(£)). Тогда

Hgeom (Е) = П У^Т^- П sup(l, |Ш1/12-t. k С С° неархи-

медова

Логарифмический дифференциал <5Т log 1^(т)— это, с точностью до умножения на скаляр, неголоморфный ряд Эйзенштейна Е2; Массер показал, что он может обращаться в нуль лишь при / = 0 или / = 1728 (Springer Lecture Notes 437, лемма 3.2). Отсюда вытекает, что максимум функции V(j) достигается при / = 0, а минимум функции hgeom (Е)— для эллиптических кривых Е с модулярным инвариантом 0. Это дает минимум функции А(£).

Пусть Е — эллиптическая кривая с комплексным умножением на элементы кольца целых О мнимого квадратичного поля с дискриминантом —D; тогда формула Човлы — Сель- берга (J. Crelle, 227 (1967), 86—ПО) дает значения высоты hgeom(Ej: если е — квадратичный характер Дирихле кондуктора D, то

(exp hgeom = Л П Г(а/Д)6<а,| Lo<a<0J

(w = ФО*, h— число классов). Частный случай 0 = 3 дает минимальное значение для h(Ej:

Amin = -1 {log ^ (Г (1/3)/Г (2/3))3} = - 0,748752 ')•

Прежде всего, докажем следующую лемму, которой будет достаточно для приложений.

Лемма 1.6. Пусть m— целое число, которое делится на два простых числа ^3. Существует лишь конечное число классов изоморфизма главно поляризованных g-мерных абелевых многообразий (А,0) над к, снабженных структурой е: ((Z/(m))2< ^ Ат уровня т, таких, что h (А) ^ h.

Так как m ^ 3, тройка (А, 0, е) не имеет нетривиальных автоморфизмов. Классы изоморфизма над к этих троек отождествляются с ^-точками подходящего пространства модулей Л4. Мы докажем лемму 1.6, сравнивая h (А) с высотой (в более классическом смысле) точки пространства М, соответствующей тройке (А,0, е). Предположение относительно m гарантирует, что А имеет полустабильную редукцию, так что эта высота инвариантна относительно расширения поля скаляров.

Пусть X— проективное многообразие над Q. Обратимый пучок 3 на X определяет класс по модулю 0(1) функций высоты h^ на X (Q). Такую функцию можно построить следующим образом:

Выбирается проективное многообразие Xz над Spec(Z) и обратимый пучок Зг на Xz так, чтобы (X, 3) получалось из (Xz, 3z) расширением кольца скаляров Z до Q.

Выбирается эрмитова структура на 3, т. е. на линейном расслоении Зе над Х(С), полученном из 3. Для упрощения предполагается, что она инвариантна относительно комплексного сопряжения в (Х(С), Зс).

Пусть теперь к — числовое поле с кольцом целых О и хеХ(А). Поскольку Xz является собственным над Spec(Z), х продолжается до xq g Xz (<7) = Hom (Spec ((7), Xz), Пусть 3X — слой пучка 3 над x, т. e. векторное ^-пространство размерности 1. Выбор (а) задает (7-форму х\Зг слоя 3 х. Выбор (Ь) задает для каждого вложения i поля к в поле комплексных чисел эрмитову форму Зх^ьлС. Положим

M-^^Toj-deg^.

Благодаря коэффициенту 1/[к: Q] в этом определении для кек' функция h^ на X(к) является ограничением на X(к) функции hj? на, X (А'); переходом к пределу получаем функцию hs на X (Q).

Приведем один нетривиальный вариант того факта, что существует лишь конечное число целых чисел п, удовлетворяющих неравенству | п |^ h.

Напоминание 1.8. Если 3— обильный пучок, существует лишь конечное число точек хгХ^к\, таких, что k^^^h.

Пусть U — открытое подмножество в X и У — его дополнение. Назовем логарифмическим расстоянием до У функцию р>0 на U^C.^, которая вблизи У асимптотически ведет себя как — log У, | /< |2, если У локально определяется уравнениями ft = 0. Этот класс функций на [2(C) зависит лишь от структуры комплексного алгебраического многообразия на U^), но не зависит, от компактификации Х(С) многообразия У (С).

Пусть s — эрмитова структура на линейном расслоении S, ограниченном на U. Предполагается, что она инвариантна относительно комплексного сопряжения. Приведенная выше конструкция высоты h^ позволяет, кроме того, связать с (S’, s) класс по модулю 0(1) функций высоты h2,s на U(Q)- Говорят, что s имеет логарифмические особенности вдоль У, если

sup (s/s0, Sq/s) < О (pr),

где р — логарифмическое расстояние до У, so— эрмитова структура на S и г достаточно велико.

Предложение 1.9. Если пучок $ обилен и эрмитова структура s на нем имеет логарифмические особенности вдоль У = X — U, то для любого числового поля к существует лишь конечное число точек хе U(k), таких, что h^tS(x)^.h.

Доказательство. Зафиксируем проективное вложение Х<=*Р, и пусть D — гиперповерхность в Р, содержащая У. Пусть г > 0 и s(D, г) — эрмитова структура на Sc|(X — С) (С) которая вдоль D асимптотически ведет себя как s0- |f]~2г, гДе во —эрмитова структура на S’ и f— локальное уравнение гиперповерхности D. Тогда s^s(D, г), а значит, с точностью до 0(1), h^ s^hs.svD, о на <Х — D)(Q). С другой стороны, с точностью до 0(1)

кж. s(D, l/n)^ ~ hg® П(_О) •

Если п достаточно велико, то пучок S’® "(—D") обилен и, согласно 1.8, существует лишь конечное число точек из (О — D) (k) с ограниченной высотой h^n^oy Для завершения доказательства У надо представить в виде пересечения дивизоров D.

1.10. Доказательство леммы 1.6. Рассмотрим абелеву схему А [Af ] над пространством модулей М и обратимый пучок © := ©(Л [Af]). Последний снабжен следующей эрмитовой структурой s: слой ©х пучка и над хеМ^СД—это

с» (Ах), где Ах — слой схемы A [Af ] над х, и

Ах

где а е <Ох-

Аналитическое описание тройки (М, со, s). Пусть V — вещественное векторное пространство размерности 2g, снабженное симплектической формой ф. Соответствующее пространство Зигеля 9 — это пространство вещественных структур Ходжа типа {(— I, 0), (0, — 1)) на V, поляризованное формой ф (т. е. многообразие таких максимальных_изотроп- ных подпространств FqckVc:=V®rC, что F° ф F°^> 7с и i$ (х, х) > 0 при х е F°, х #= 0). На действует группа Sp (V). Выбор симплектического базиса (eb fi)v<1^d пространства V отождествляет ^ с пространством таких симметрических матриц Z,/, что 1т(Х;/) положительно определена: надо наложить условие ft — У Ztjej s F°.

Зафиксируем целочисленную решетку Vz, порожденную симплектическим базисом (е,, fi)1<i<d, H^'AZKm^^Vz/mVz. факторпространство пространства 9 по конгруэнц-подгруппе Г := АпЦУх, Ф, ео) уровня m отождествляется со связной компонентой пространства М(С); абелево многообразие, соответствующее F°e9 — это Ax:=F°\VcjVz, его поляризация получается из ф, а структура уровня m — из е0. Меняя 8g, мы получаем все связные компоненты.

На 9 пространства Д ((Vq/F°)v) являются слоями Sp(7)- эквивариантного линейного расслоения со. Мы тривиализи- руем <в на 9 с помощью его базиса е, полученного из базиса et, ..., eg пространства Vc/F°. Эрмитова метрика s на с», в которой (е, e) = n~edetIm(Z), Sp (У)-инвариантна, и эта инвариантность характеризует ее с точностью до умножения на скаляр. При факторизации по Г со и s на 9 задают с» и s на М(С).

Если g > 1, то Н° (М, <о® ") — конечномерные пространства и компактификация Бейли—Бореля М{С)~ многообразия М(С) является для достаточно большого п замыканием М('О в проективном вложении, определенном глобальными сечениями пучка со®". Это описание показывает, что М(С)~ получается из компактификации М~ пространства М (определенного над Q) и определяет продолжение пучка со на М~ (используйте также статью: Borel A. J. diff. geom. 6 (1972), 543—560).

Предложение 1.9 сводит лемму 1.6 к следующим предложениям 1.11 и 1.12.

Предложение 1.11. Эрмитова структура s на а имеет логарифмические особенности вдоль М~— М.

В области Зигеля базис е пучка <в асимптотически эквивалентен обратным образам на У локальных обратимых сечений пучка ю на М~; это проверяется с помощью рядов Эйзенштейна; обратные образы функций логарифмического расстояния до М~— М" асимптотически эквивалентны функциям /(ImZ), где / — линейная форма /(У)=Тг(КУ), причем F— симметрическая положительно определенная форма; это можно проверить, используя тороидальные компактификации из [1] вместо компактификации Бэйли — Бореля М~ пространства М. Отсюда вытекает доказываемое предложение.

Паре (со, s) соответствует класс по модулю 0(1) функций высоты ha, s на M(Q). Отождествим тройку (Д,0, е), как в лемме 1.6, с соответствующей точкой из М (A) cz М (Qy

Предложение 1.12. С точностью до 0(1) (равномерно по £)

k(A) = hWiS(A, 0, е).

Если бы мы располагали над Z хорошей теорией компактификаций пространств модулей абелевых многообразий, можно было бы дать следующее доказательство леммы 1.6. Имеется схема Mz над Spec(Z) и над Мг «универсальная» абелева схема A[Mz], продолжающая универсальную абелеву схему А [Л1] над Л4.

Хочется верить, что

Каждая тороидальная компактификация многообразия Л4(С) типа, введенного в [1], если она определена над Q, имеет аналог над Spec(Z). Выберем одну из них, М^У", и пусть Mz — соответствующая компактификация схемы Afz.

Указанная универсальная абелева схема над Мг вкладывается в полуабелеву схему А[Мг] над Mz •

Над Q компактификация М~ пространства М доминирует над М~: имеется морфизм и: М~ -*М~. Продолжением и® пучка со на М~ будет о)(Д [Л/~]).

Из пп. (а) и (Ь) следует, что если (Д, 0, в) над к соответствует точке х е М (к), продолжающейся до х0: Spec (ОУ*М, то связная модель Нерона Ду многообразия А — это ХуА [Mz ]•

Значит, функция высоты А(Д) соответствует функции высоты h.^ на М (Q), связанной с обратимым пучком со :=о)(Д [Mz]) на М~ td М, структуре s и целочисленной структуре (Mz, со (Л [Мг ] ))• С точностью до 0(1) высоты h^s не зависят от выбора целочисленных структур, и предложение 1.12 вытекает из того, что пучок о на М" есть обратный образ пучка со на М~.

Но, к несчастью, мы не располагаем утверждениями (а) — (с), и для того, чтобы доказать 1.12, мы будем вынуждены вернуться к теории компактификаций пространств модулей кривых.

Лемма 1.13. Если схема X—полустабильная кривая над S, то Pic°(X/S) является полуабелевой схемой над S.

Лемма 1.14. Пусть Л — полуабелева схема над нормальной схемой S. Любое разложение А = А' X А" над открытым плотным подмножеством из S продолжается до разложения над всем S с полуабелевыми сомножителями.

Лемма 1.15. Пусть А — полуабелева схема над схемой S, и пусть Н — плоская конечная групповая подсхема схемы А над некоторым открытым плотным подмножеством U из S. После некоторой собственной сюръективной замены базы S'-^S схема Н' вкладывается в замкнутую в А плоскую групповую подсхему над всей схемой S и А/Н’ полуабелева.

В этих леммах, чтобы избежать тонких и ненужных вопросов представимости, удобно всегда работать с алгебраическими пространствами.

Предложение 1.16 (О. Габбер). Пусть схема X неприводима и конечного типа над S и А — абелева схема над X. Имеет место коммутативная диаграмма

(1.16.1)

где и — сюръективный собственный морфизм, а —1 собственный морфизм и и*А вкладывается в полуабелеву схему над Y~.

Доказательство (набросок) '). Используя тот факт, что общий слой схемы А/Х является фактором некоторого якобиана, теорему о полной приводимости Пуанкаре и собственность модулярного стека стабильных кривых, находим такие У, У~, открытое плотное подмножество V в У, абелеву схему А' над V и стабильную кривую С над У-, что над V абелева схема AXvA' является факторсхемой схемы Пикара Pic^(C) по конечной плоской групповой схеме. Доказательство завершается применением лемм 1.13—1.15.

Доказательство предложения 1.12. Применим предложение 1.16 к неприводимым компонентам схемы Мг—> —> Spec(Z). Можно предположить (и мы будем предполагать), что в полученной диаграмме (1.16.1) схема У- нормальна, что У плотна в У- и что Yq доминирует над компактификацией Mq схемы Mq.

“ГSpec(Q)“ГSpec(Q)

“Г

Spec(Q)

“Г

Spec(Q)

Ввиду инвариантности высоты А (Л) относительно расширения поля скаляров метод доказательства, намеченный после предложения 1.12, годился бы, если только можно было бы показать, что и~*(®)—это пучок а, построенный по полуабелевой схеме А [У© J над Yq, который продолжает и*Л[Мо]. Достаточно проверить это после расширения поля скаляров до .С.

Отметим, что если $ — линейное расслоение над открытым плотным подмножеством У нормального многообразия У-, то (а) его продолжение с У на У- однозначно определяется его обратными образами на таких гладких кривых о: С->У~, что множество и-1 (У) плотно в С, причем эти обратные образы рассматриваются над С как продолжение обратного образа расслоения $ над и-1 (У); (Ь) если s — эрмитова структура на 2, то $ допускает не более одного продолжения на У-, относительно которого s имеет логарифмические особенности вдоль У-— У.

Объединяя эти замечания и ссылаясь на предложение 1.11, мы сводим доказательство к проверке следующей леммы.

л) Подробное доказательство см. [7*, expose V]. — Прим, ред.

Лемма 1.18. Пусть С — гладкая алгебраическая кривая над С и А— полуабелева схема над С, которая является абелевой над дополнением U — С — S некоторого конечного множества точек S. Эрмитова метрика на m(А) |(7, заданная в точке уеИ формулой (а, а) = ^|ала|, имеет логариф-

Аи мические особенности вдоль S.

Пусть seS, и отождествим малую окрестность точки s (не содержащую других точек из S) с единичным кругом D с помощью локальной координаты г с началом s. Рассмотрим обратный образ Ап схемы А над D. Пусть L — векторное расслоение Lie(Ao) и Л — ядро экспоненциального отображения Lie(An)->Ao. Это ядро замкнуто в L, этально над D и, за исключением того, что лежит над нулем, является расслоением на решетки. Пусть A°czA— несвязное объединение сечений, проходящих через точки слоя ядра Л над 0. Если выбрать базис в L, то Az cz Lz ~ С® оказывается переменной решеткой в С8 (z=/=0); подрешетка Л® продолжается на 2 = 0 и Лг — Л® стремится к бесконечности (так как Л замкнуто). Поскольку А — связная модель Нерона, сечения Ап над D*, принадлежащие подгруппе конечного индекса группы всех сечений конечного порядка, продолжаются на D. Это влечет за собой совпадение Л° с подгруппой всех инвариантов локальной монодромии в Лг. Поскольку слой схемы Ап над 0 полустабилен, Lo порождено подрешеткой Ао- Тогда

(*) L— единственное векторное расслоение, продолжающее £[£)*, локальные сечения которого являются линейными комбинациями с голоморфными коэффициентами локальных сечений А®.

Известно (см., например, с. 175—177 работы: Griffiths Р. Periods of integrals on algebraic manifolds III, Publ. Math. IHES 38), что вне 2 = 0 схема An допускает аналитическое описание следующего типа: для подходящего базиса расслоения L над D* имеет место равенство Аг = С8/А(г), где переменная решетка А (г) удовлетворяет таким условиям: она содержит Z8; если A°(z)— подрешетка, неподвижная относительно действия локальной монодромии, то А® (г) стремится к пределу при z->0 (здесь под пределом понимается предел в пространстве дискретных Z-подмодулей ранга г = = rgA°(z) из С8)‘, A(z) — A°(z) стремится к бесконечности. Асимптотические формулы из цитированной выше работы показывают, кроме того, что объем факторпространства

iCg/A(z) растет как |log|z| |2g~r. Согласно (*), базис расслоения L\D* продолжается до базиса расслоения L над D; отсюда вытекает лемма 1.18.

Приведенное доказательство леммы 1.6 годится к тому же для случая, когда 0 — поляризация фиксированной степени п, а не только степени 1. Аналитическое описание соответствующего пространства модулей М = Mg, п, m несколько сложнее. Группа G ;= GL(2g, Z/(/«)) действует на М (заменой уровневой структуры) и M/G— грубое пространство модулей Mg, п поляризованных абелевых многообразий (А, 0) размерности g и степени поляризации п. Расслоение 6) над М с его эрмитовой структурой G-эквивариантно. Его (* С)-я тензорная степень спускается, таким образом, до М/G. Пусть h— соответствующая функция высоты на Mg, n = M/G, деленная на 4f:G. Из аналога предложения 1.12 для абелевых многообразий, наделенных поляризацией степени п (а не только степени 1), вытекает следующая лемма:

Лемма 1.20. Если (А,0) над k соответствует некоторой точке а из Mg, п^с Mg, „(Q), то

ftgeom(A) = A(a) + 0(l).

Доказательство предложения 1.9 показывает, что, так как мы имеем дело с обычными высотами, А (а) ограничена снизу на Mg,n(Q):

Лемма 1.21. Для любых gun существует число Cg, п, такое, что для каждого абелева многообразия А над числовым полем, допускающего поляризацию степени п, выполняются неравенства

hW^ Ageom(A)>Cg,„.

Замечание 1.22. Можно показать, что если А — абелево многообразие с полустабильной редукцией над числовым полем к и А*— двойственное к нему многообразие, то А(А) = = А(А*). Если А— абелево многообразие над произвольным полем к, то многообразие А4 ХА*4 всегда допускает главную поляризацию (результат Ю. Г. Зархина). Поскольку h^AX ХВ) = ft(A) + h(B), то отсюда следует, что в лемме 1.21 можно взять Cg, п, не зависящее от п (заменить С6 п на (1/8)С8811).

Лемма 1.23. Зафиксируем поле k и числа g, п и h. Существует такое конечное множество S точек поля к, что g-мерное поляризованное абелево многообразие (А, 0) над к с по-

ляризацией степени п и высотой h(A)^h имеет полустабиль- ную редукцию вне S.

Пусть задана пара (Д, 0). Найдется конечное расширение к' поля к степени, не превосходящей порядка группы GL(2, Z/(15)), такое, что абелево многообразие А'\= Ац имеет полустабильную редукцию. Дифференциал естественного морфизма Ао 0 О’ -> Лу, становится необратимым при редукции в каждой точке поля к', лежащей над точкой поля к, в которой А имеет неполустабильную редукцию. Если характеристика поля вычетов в точке неполустабильной редукции равна р, то ее вклад в разность А (Л)— А (Л') не меньше logp/[A':Q]. Отсюда следует, что logp [А': А] ^ А (Л)—Cg, „, а это дает ограничения на р.

Доказательство предложения 1.3. Из леммы 1.20 вытекает, что пары (Л,0), удовлетворяющие условиям предложения 1.3, образуют лишь конечное число классов изоморфизма над алгебраическим замыканием поля к. Для каждого из этих классов все точки плохой редукции лежат в объединении множества 5 (из леммы 1.23) и фиксированного множества всех точек потенциально плохой редукции;-кроме того, на абелевом многообразии А существует структура уровня m = 15, определенная над расширением к' поля к, с контролируемыми степенью и ветвлением.

Имеется лишь конечное число таких расширений к' (Эрмит) и конечное число возможностей для спуска (поляризованного абелева многообразия) с к' до к.

Покажем, что можно усилить предложение 1.3, опустив упоминание о 0.

Напоминание 1.25. Пусть Е—порядок в полупростой Q-ал- гебре S.

Группа единиц Е*, действующая внутренними автоморфизмами на множестве всех идемпотентов из Е, имеет лишь конечное число орбит.

Если S является алгеброй с инволюцией, то группа Е*, действующая (по формуле (х, h)i—>xhx*) на множестве всех эрмитовых элементов (А = А*) из Е с фиксированной нормой, имеет лишь конечное число орбит.

Применяя 1.25 к кольцу А-эндоморфизмов абелева многообразия А, получаем

Напоминание 1.26. (i) Абелевы многообразия, являющиеся прямыми сомножителями абелева многообразия А, образуют конечное число классов к-изоморфизма.

Поляризации 0 степени п на А дают лишь конечное число классов изоморфизма поляризованных абелевых многообразий (Л, 0).

Утверждение 1.26(i) позволяет вывести из предложения 1.3, примененного к А4ХА*4 (с помощью замечания 1.22),

Вариант 1.27. Зафиксируем k, g и h. Множество классов изоморфизма g-мерных абелевых многообразий А над к высоты h(A)^h конечно.

Отметим, что, согласно 1.26(ii), это утверждение является усилением предложения 1.3.

2. ИЗОГЕНИИ

В этом параграфе мы изучим поведение высоты h^A^ при изогениях абелева многообразия А с полустабильной редукцией и выведем из полученных результатов гипотезу Тейта.

Для всех точных последовательностей 0->А'->А-> -*А"^-0 коммутативных плоских групповых схем над 3 имеется естественный изоморфизм

й(А)~й(А')® й(А").

В случае когда 3 = Spec (б?)— спектр кольца О целых числового поля к, а общий слой схемы А (а следовательно, схем А' и А") собственный над к, этот изоморфизм согласован с эрмитовыми структурами, определенными для левой и правой части. Эта согласованность переписывается как равенство

л<С) л" (С) л Jo

Таким образом,

deg <а (А) = deg го (А') + deg го (А").

Пусть и: А В — изогения абелевых многообразий над к с ядром Н, и пусть Но — схемное замыкание группы Н в связной модели Нерона А^ многообразия А. Предположим, что А имеет полустабильную редукцию. Тогда последовательность

q^Ho^A^B»o->0

точна. Она дает нам равенство

А(В) = /ЦД)_—!_degro(Zf;).

Вычислим ©(H) для коммутативной плоской квази- конечной групповой схемы Н над S = Spec ((7). Общий слой схемы Н над к этален, Lie Н = 0 и пространство <й(Н)®вк канонически изоморфно к. Благодаря этому изоморфизму (7-структура ©(Я) пространства т^Щ^ок совпадает со стандартной (7-структурой (7 поля к на той открытой части S, над которой схема Н этальна, но вместе с тем их эрмитовы структуры различны.

Эрмитова структура на пространстве ©(Н)®пС равна стандартной эрмитовой структуре, умноженной на число ^Н.

Предположим вначале, что Н — конечная групповая схема над S с аффинной алгеброй О(Н). Эта схема является полным пересечением. Пусть S)-1 — модуль, обратный к дифференте, т. е. наибольший (7 (Я)-подмодуль в О(Н) ®ак, на котором отображение следа Тгя/5 принимает значения в (7. Отображение следа отождествляет 2)-1 с модулем, (7-двой- ственным к (7(H). Имеем О(Н') с S-x. Поскольку Н— групповая схема, существует такой (7-модуль ^о"1. <7 с2)»х ск, что 0”1 =0о’1 ®<?(7(Н). Тогда

©(H)— SV1-

На общий случай определение S>Y распространяется с помощью локализации в этальной топологии на S: локально Н является расширением этальной групповой схемы Н" с помощью конечной групповой схемы Н' и Ф»х для Н по определению равен Ф^х для Н'. Опять ©(Н)”^1. В частности, определенный выше изоморфизм ю(Н)®п& = & „продолжается** до естественного вложения О с» ©(H).

Определение степени дает

deg © (Я) = log [(# HYXk :Q№ # (<о (Н)/<7)].

Из предложения 9 дополнения из работы [3] вытекает, что группа ©(Я)(О аннулируется умножением на число#Я, откуда вытекает оценка

#(m(H)/<7)|#HIA:Q1.

Мы будем использовать следующее условие, автоматически выполненное для схем Я, являющихся замкнутыми групповыми подсхемами в полуабелевых схемах А над S.

Для каждой неархимедовой точки и поля к пусть Я„ — групповая схема над So := Spec((70), полученная из Я. Она является расширением открытой групповой подсхемы

Н" некоторой конечной этальной групповой схемы н"- над So с помощью конечной групповой схемы//' над So.

Пусть / — простое число, и предположим, что Н аннулируется умножением на I. Пусть к— алгебраическое замыкание поля к. На группе Н(к), являющейся векторным пространством над полем Fz конечной размерности г, действует группа Галуа Gal(fc/&). Пусть гомоморфизм xl^l: GaUkjky-*

F* — определитель этого представления и отображение Хо(^1: Gal (k/Q) -> Fz — композиция гомоморфизма х 1^1 и отображения переноса Gal(fc/Q)ab-*-Gal(fc/£)ab.

Если е: Gal (&/Q) -* {± 1} — знак перестановки, отвечающей действию группы Gal(£/Q) на Gal (£/Q)/Gal (&/А), то

/ Gal(fe/Q),,

Xo(Zf) = det Ind /^(^(^-fO = det IndH(й) • er.

X Gal (r/я)/

Предположение (2.2.3) дает нам неразветвленность вне I характера ХоС^): Gal (&/Q)-* Г*, являющегося, таким образом, степенью характера т, задающего действие группы Галуа Gal(fe/Q) на корнях степени Z из 1.

Пусть у — точка поля к, делящая I. В предположении, что абсолютный индекс ветвления е в точке у меньше I—1, М. Рейно ([3], теорема 4.1.1) связал ограничение характера Х[//] на группу инерции точки у с длиной у-компоненты бУ-модуля (о(/7)/СУ. Он рассматривал случай конечной групповой схемы над So, однако предположение (2.2.3) позволяет свести все к его ситуации. Из результата Рейно вытекает

Предложение 2.3. Пусть Н — групповая схема, аннулируемая умножением на I и удовлетворяющая предположению

Если для всех точек и поля к, делящих I, абсолютный индекс ветвления меньше I—1,то, полагая ^(^ (^)/<^) = ^", имеем

-x»vm=Tn.

Из этого утверждения мы выведем следующую теорему.

Теорема 2.4. Пусть Л — абелево многообразие над к с по- лустабильной редукцией. Существует конечное множество F простых чисел, такое, что для изогении и: А-»-В степени, не делящейся ни на одно простое число /' е F, выполнено равенство

h(A) = h(B).

Мы докажем, что можно выбрать F зависящим лишь от класса изогенности абелева многообразия А. Достаточно рас-

смотреть изогению с ядром Н, аннулируемую умножением на простое число I. Пусть Fx — множество таких простых чисел Г, что в некоторой точке поля к, делящей V, абсолютный индекс ветвления ^1'—1. Пусть р— простое число, такое, что А имеет хорошую редукцию во всех точках поля к, делящих р. Наше F содержит Fx U {р}.

Для каждой точки у поля к, делящей р, обозначим через qn число элементов ее поля вычетов, через е0 — ее абсолютный индекс ветвления, через Ро — характеристический полином арифметического автоморфизма Фробениуса <ро, действующего на Ti^A). Это приведенный полином с целыми коэффициентами, не зависящими от /, зависящий лишь от класса изогенности абелева многообразия А. Пусть а”, ... .. .,a”d—комплексные корни полинома Ро с их кратностями. Согласно А. Вейлю, все они по модулю равны q'P.

Пусть R— кольцо целых числового поля, достаточно большого для того, чтобы содержать все а” (и | р). Пусть группа Н^к) имеет размерность г как векторное пространство над F,. Существует гомоморфизм R-^-F^ с ядром X и для каждого у|р подмножество 1и из г элементов множества [l,2d], такое, что характеристический полином автоморфизма Фробениуса q>u, действующего на Н^, является редукцией modX произведения полиномов (Г — «У), i^Jv- Тогда

Хо Iя! (фр) = П ^ П ауу» mod X.

Если #(ш(Я)/СУ) = Zn, то отсюда с помощью предложения 2.3 вытекает, что

Ilf П a”YD = p"modX.

о | р \i е 1у у

Комплексное абсолютное значение левой части этого равенства равно р^-^пг. Наше сравнение, таким образом, не может превратиться в равенство, если не выполнено условие n=[^:Q] - г/2, при выполнении которого deg<o(/7)=0 (2.2.1). Пусть Рг — множество всех простых I, которые делят хотя бы одно из чисел вида Nf Ц f П a?Y° — PAY где для под-

' \о|р \ieIVox. )/

ходящего целого г с 1 ^ г ^ 2d множество 7 (и) является подмножеством в [l,2d] из г элементов и где 1^6^ ^[^iCpr, b =й [к : Q] -г/2. Тогда множество F — F{ 1){р} 11-^2 удовлетворяет заключению теоремы 2.4. сравнение (2.4.1) влечет за собой соответствующее равенство, deg(o(H) = 0, и доказательство завершается применением (2.1.1).

2.5. Зафиксируем простое число I. Пусть Л^ (А) — группа всех точек кручения из А^, порядок каждой из которых есть некоторая степень числа I, и пусть W есть /-делимая подгруппа в А^ ^к), инвариантная относительно действия группы Галуа Gal(fc/&). Она отвечает Галуа-инвариантному подмодулю Ti{W)cz Д(Л), такому, что факторгруппа ТДА^/ТД^) не имеет /-кручения. Для каждого целого п обозначим через 5 (и) фактормногообразие A/W^ абелева многообразия А.

Теорема 2.6. Для достаточно больших п высота h(B(n)) не зависит от п.

Доказательство похоже на доказательство теоремы 2.4; ссылка [3], 4.1.1, заменяется на следующее утверждение ([3], 4.2.1): если W есть /-делимая группа над So = Spec(0o) (и — точка поля к, делящая /) с d-мерной алгеброй Ли и если %[й?]: Gal (&о/йо)->Zz_— определитель действия (локальной) группы Галуа Gal (Аг„/£а) на ТДН^. то ограничение характера xl^l на группу инерции /0 с Gal (kv/kv) равно т^, где г—характер этой группы Галуа, задающий ее действие на всех корнях из единицы, степень которых есть степень /. Вместе с тем длина СУо-модуля a^WiW^ равна d-ey.

Появляются две проблемы:

Пусть W (п) — схемное замыкание группы W^ в Л^ и W (п)о — его обратный образ над So. Пусть W (п)° — наибольшая групповая подсхема в W {n)v, конечная над Sa. Тогда может не быть /-делимой группой.

Даже если трудность (а) не возникает, аналогичная проблема имеется для групповых схем W (п)°, которые могут не образовывать /-делимую группу над So; а именно, будучи точными в общей точке, последовательности

ОГ (п)«-> Г (п +/п)“W7 (т)2О могут не быть точными.

Эти трудности устраняются заменой абелева многообразия А на AIW^ для достаточно большого п (по поводу случая (Ь) см. [4], предложение 12), что и дает утверждение теоремы 2.6.

Если абелево многообразие А главно поляризовано и W—максимальное изотропное подпространство, то на фак-

тормногообразии A(W t<i также имеется главная поляризация. Согласно 1.3 и 2.6, эти фактормногообразия лежат лишь в конечном числе классов изоморфизма абелевых многообразий. Как объяснено в докладе Шпиро1), отсюда вытекает гипотеза Тейта. Дополнительная информация, доставляемая теоремой 2.4, позволяет теми же методами получить следующее более точное утверждение.

Теорема 2.7. Пусть А — абелево многообразие над числовым полем к с алгебраическим замыканием к. Группа Галуа Gal (й/&) действует на Z-модуле Тейта Т (А) := П Tt (Л), и пусть р: 2 [Gal 0г/к^ ->End£ (Г(Л)) — соответствующий гомоморфизм ее группового кольца. Подалгебра p(Z [Gal (&/&)]) алгебры Епб^ГДЛ)) имеет конечный индекс в централизаторе End (Л) в Endg (Tj (Л)).

Помимо гипотезы Тейта и полупростоты действия группы Галуа Gal (А/А) на Vt (А) эта теорема утверждает, что для почти всех / централизатор End (А) в Endzz (Г, (А)) состоит из Zrлинейных комбинаций элементов группы Gal (&/&).

Следствие 2.8. Над числовым полем к каждый класс изо- генности абелевых многообразий состоит из конечного числа классов изоморфизма.

Пусть А — абелево многообразие над к. Задать абелево многообразие А', изогенное А, — это то же самое, что задать для каждого / Галуа-инвариантную решетку П с Vz (А), совпадающую с Г, (А) для почти всех I. Для того чтобы А' было изоморфно А, необходимо и достаточно существование элемента 6eEnd(A)®Q, такого, что b-Ti(A) = Tt для всех I.

Для каждого простого / тот факт, что образ алгебры Qt [Gal ikjk^ в End (Vz (А)) совпадает с централизатором алгебры End(A)®Qz в End (Vz (А)), влечет за собой конечность числа орбит при действии группы (End(A)®Qz)‘ на множестве всех Галуа-инвариантных решеток Ti cz Vi (А). Для таких/, что End (A)® Zz — максимальный порядок в полупростой алгебре End(A)®Qz и образ кольца Zz [Gal (£/&)] в End (Tz (А)) совпадает с централизатором кольца End (А) в End(rz(A)), имеется ровно одна орбита.

*) См. настоящий сборник, стр. 125—150. — Прим. ред.

Пусть G— алгебраическая Q-группа, отвечающая мультипликативной группе Q-алгебры End(A)®Q. Эта группа ре- дуктивна. Адельная группа G(Af) действует на системы решеток (И), и, как было установлено выше, множество орбит этого действия конечно. Для каждой такой орбиты множество входящих в нее классов изоморфизма абелевых многообразий может быть отождествлено с множеством G(Q))G(Af)/A двойных классов смежности, где К— некоторая открытая подгруппа группы G(Af)- Но это множество конечно, что и доказывает следствие.

Следствие 2.9. Поляризованные абелевы, многообразия (А, 0) с поляризацией степени п, определенные над числовым полем к и такие, что А изогенно фиксированному абелеву многообразию В, образуют конечное число классов изоморфизма.

Доказательство. Применить 1.26(H).

3. ГИПОТЕЗА ШАФАРЕВИЧА

Теорема 3.1. Пусть к—числовое поле, к— его алгебраическое замыкание, S— конечное множество неархимедовых точек поля k, I — простое число и d — целое число. Существует такое конечное множество Т неархимедовых точек поля к, не пересекающееся с S, что любое полупростое d-мерное l-адическое представление р: СаЦк/к)-* GL(d, Qz), неразветв- ленное вне S, однозначно (с точностью до изоморфизма представлений') определяется следами Тг(р(ф0)), где и пробегает множество Т.

Известно (Эрмит), что существует лишь конечное число расширений Галуа k' поля к ограниченной степени, нераз- ветвленных вне S. Согласно теореме плотности Чеботарева, тогда существует конечное множество Т точек поля к, не пересекающееся с S, такое, что классы сопряженности автоморфизмов Фробениуса фо (и е Т) заполняют все группы Галуа Gal (£'/&) для всех расширений Галуа к' поля к степени ^1М', неразветвленных вне S. Покажем, что множество Т удовлетворяет заключению теоремы 3.1.

Пусть рь р2— два представления указанного выше типа, такие, что Тгр1(ф0)==Тгр2(ф0) для всех о е Т. Мы хотим доказать, что pz и р2 имеют один и тот же характер, что в силу полупростоты представлений даст нам их изоморфизм. Пусть М — образ алгебры Zz [Gal (£/£)] при гомоморфизме

Pi х р2: zz [Gal W -> Md (Qz) X Md (Qz).

Надо убедиться в том, что линейная форма 8(mb ги2):= :=Tr(mi) — Тг(/П2) тождественно равна нулю на М.

Алгебра М является Zz-модулем ранга ^2d. Образ группы Галуа Gal (6/5) в факторгруппе (М/1М)* состоит, таким образом, из менее чем Iм’ элементов и по предположению каждый из этих элементов имеет вид (р1Хрг)(фо), иеТ. Согласно лемме Накаямы, М совпадает с множеством Zz-ли- нейных комбинаций элементов (pi X Р2) (фо) (у^Л- А на них форма 6 обращается в нуль по предположению, что дает нам равенство б — 0 на М.

Замечание. Более слабое утверждение было получено Ж.-П. Серром по модулю обобщенной гипотезы Римана1).

Следствие 3.2. Пусть к— числовое поле и S — конечное множество точек поля к. Множество классов изогенности g-мерных абелевых многообразий над к, имеющих хорошую редукцию вне S, конечно.

Зафиксируем простое число I и применим теорему 3.1 к множеству SU (точки, делящие /} и d = 2g. Для каждого абелева многообразия А рассматриваемого типа /-адическое представление Vi(.A):=Tl(A)®Ql полупросто (2.7) и имеется лишь конечное число возможностей для следа фо (уеТ): согласно А. Вейлю, этот след является целым числом, по модулю не превосходящим 2g-^q0. Следовательно, имеется лишь конечное число возможностей для классов изоморфизма модулей Галуа Vz(A), и остается применить гипотезу Тейта.

Приведенные ниже следствия получаются из этого следствия с помощью следствий 2.8 и 2.9.

Следствие 3.3. Пусть к — числовое поле и S — конечное множество точек поля к. Множество классов изоморфизма g-мерных абелевых многообразий над к с хорошей редукцией вне S конечно2).

Следствие 3.4. Пусть к — числовое поле и S — конечное множество точек поля к. Множество классов изоморфизма g-мерных поляризованных абелевых многообразий (А, 0) с поляризацией степени п над к с хорошей редукцией вне S конечно.

ЛИТЕРАТУРА

Ash A., Mamford D., Rapoport М., Tai Y. Smooth compactification of locally symmetric varieties, Math. Sci. Press, Brookline, 1975.

!) Cm. [9*]. — Прим. ped.

Fallings G. Eindlichkeitssatze fur abelsche Varietaten uber Zahlkor- pern, Inv. Math., 73 (1983), 349—366.

Raynaud M. Schemas en groupes de type (p, ..., p), Bull. Soc. Math. France, 102 (1974), 241—280.

Tate J. p-divisible groups, Proc, of a conf, on local fields (Driebergen 1966), Springer-Verlag, New York, 1967, pp. 158—183. [Имеется перевод: Тэйт Дж. p-делимые группы. — Математика, т. 13, № 2, с. 3—25.]

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

5*] Arithmetic geometry, Springer, N. Y., 1986.

6* Fallings G., Wustholz G. et al. Rational points, Braunschveig, 1984.

1 Szpiro L., Seminaire sur les pinceaux arithmetiques: La conjecture de Mordell, Asterisque, 1985, n° 127

[8*]3архин Ю. Г., Паршин A. H. Проблемы конечности в диофантовой геометрии.— В кн : Ленг С Основы диофантовой геометрии. — М.: Мир, 1986, с. 369—438.

] Serre J.-P. Quelqties applications de theoreme de densite de Chebota- rev, Publ. Math. IHES, 54 (1981), 123—201.

*] Zarhin Yu. A finiteness theorem for unpolarized abelian varieties over number fields with prescribed places of bad reduction, Inven. Math. 79 (1985), 309—321,

Дополнение редактора

Таблица канонических высот эллиптических кривых СМ-типа, поле комплексного умножения которых имеет простой дискриминант — р, р = 3 (4) и число классов Л (составлена Ю. Г. Зархиным)

р

h

высота

Р

Л

высота

3

1

—0,74875

263

13

—0,29853

7

1

-0,71325

271

11

—0,27255

11

1

-0,65018

283

3

0,20539

19

1

—0,51389

307

3

0,26435

23

3

—0,63473

311

19

-0,37328

31

3

-0,57463

331

3

0,38975

43

1

-0,14251

347

5

0,11932

47

5

-0,56559

359

19

—0,32250

69

3

—0,45473

367

9

-0,02555

67

1

0,17281

379

3

0,51162

71

7

—0,53316

383

17

—0,25853

79

5

—0,43142

419

9

—0,13439

83

3

-0,33234

431

21

—0,29244

103

5

-0,33344

439

15

—0,21607

107

3

-0,21644

443

5

0,29839

127

5

-0,23885

463

7

0,35371

131

5

-0,35779

467

7

0,51148

139

3

-0,17502

479

25

—0,32082

151

7

—0,31360

487

7

0,39778

163

1

1,50055

491

9

—0,06487

167 -

11

-0,40477

499

3

0,79353

179

5

-0,22627

503

21

—0,24252

191

13

-0,40988

523

5

0,14171

199

9

-0,30937

547

3

0,71656

211

3

0,05420

563

9

—0,02675

223

7

-0,13922

571

5

0,27564

227

5

—0,12665

587

7

0,20658

239

15

—0,38221

599

25

—0,23509

351

7

-0,24119

607

13

0,00251

р

h

высота

Р

А

высота

619

5

0,38108

1163

7

0,77083

631

13

0,06304

1171

7

0,45455

643

3

0,95827

1187

9

0,45843

647

23

-0,17489

1223

35

—0,10474

659

11

-0,04143

1231

27

—0,05630

683

5

0,69342

1259

15

0,13542

691

5

0,47778

1279

23

0,07809

719

31

-0,25239

1283

11

0,29722

727

13

0,11295

1291

9

0,33136

739

5

0,48295

1303

11

0,75311

743

21

-0,05714

1307

11

0,35076

751

15

0,05960

1319

45

-0,17150

787

5

0,43828

1327

15

0,38106

811

7

0,24605

1367

25

0,18885

823

9

0,57350

1399

27

0,01349

827

7

0,44228

1423

9

1,19091

839

33

-0,21607

1427

15

0,13267

859

7

0,28304

1439

39

-0,06034

863

21

0,02945

1447

23

0,07815

883

3

1,23330

1451

13

0,33926

887

29

-0,15263

1459

11

0,23441

907

3

1,26547

1483

7

0,54752

911

31

—0,15484

1487

37

-0,03851

919

19

0,00304

1499

13

0,35674

947

5

1,07045

1511

49

-0,15686

967

11

0,47258

1523

7

1,05028

971

15

—0,02122

1531

И

0,27134

983

27

-0,05678

1559

51

-0,16098

991

17

0,13627

1567

15

0,56654

1019

13

0,08764

1571

17

0,17134

1031

35

-0,16205

1579

9

0,41274

1039

23

—0,04367

1583

33

0,05870

1051

5

0,82820

1607

27

0,23400

1063

19

0,04429

1619

15

0,27549

1087

9

0,86137

1627

7

0,64611

1091

17

-0,03822

1663

17

0,42089

1103

23

0,11462

1667

13

0,31837

1123

5

0,74213

1699

11

0,32687

1151

41

-0,18398

Здесь использовалась формула (1.5.1) для «геометрической» высоты. Отметим, что в случае h — 1 соответствующие кривые имеют модель, определенную над Q. Таблица показывает важное отличие числовой ситуации от случая семейства кривых над полной кривой. В последнем случае высота всегда неотрицательна (теорема С. Ю. Аракелова) и равна нулю для изотривиальных семейств. Было высказано предположение (Л. Шпиро, Ф. Оорт, Ф. А. Богомолов), что в числовом случае аналогами нзотривиаль- ных семейств являются кривые СМ-типа. Однако, как видно из таблицы, нх нельзя характеризовать условием, например, неположительности высоты. Впрочем, можно было бы надеяться, что это будет верно, если изменить определение высоты, выбрав другую нормировку интегралов, входящих в архимедовы компоненты. Во всяком случае дальнейшие вычисления AgeOm для р ^ 4000 показывают, что разброс значений высоты на этом интервале невелик. Наибольшее значение равно 1,655 и достигается при р = 2683. Последнее р, где hseom < 0, это р = 3671 и высота равна—0,014,

ГИПОТЕЗА МОР ДЕЛЛА»по Г. Фальтингсу

Люсьен Шпиро

Высшая Нормальная Школа, Париж, Франция

0. План статьи

Введение: диофантовы уравнения

Проблема Шафаревича

Множество Ш(В, F)

Два метода ограничивать множество Ш

Высоты, степень

Представление фундаментальной группы или группы Галуа

Переход к абелевым многообразиям

Проблема Тейта

Формулировка гипотезы Тейта

Сведение гипотезы Тейта к некоторому утверждению коиечиости

Стратегия, примененная Фальтингсом

Теорема Фальтингса

Конструкция Коданры — Паршииа

Как получать теоремы конечности

Таблица результатов

А что теперь?

Литература

1. ВВЕДЕНИЕ: ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ2>

Диофантовыми уравнениями называются конечные систе- мы уравнений

^) = о,

№хX„) = 0 Fn^Xx1>0,

где Fi — многочлены от переменных Хх, .... Хп с рациональными коэффициентами или (переходя к расширению), с коэффициентами в числовом поле. Нас интересуют рациональные решения (или после перехода к расширению—решения в числовом поле) этих уравнений.

*) Szpiro Lucien. La conjecture de Mordell (d’apres G. Faltigns). Se- minaire Bourbaki, 36-е annee, 1983/84, № 619, 1—21,

Более подробное изложение результатов этого доклада см. [1*], [2*], [3*], [4*]. История вопроса изложена в [4*. § 1]. — Прим. ред.

© Revue Asterisque, 1983

р

h

высота

Р

h

высота

619

5

0,38108

1163

7

0,77083

631

13

0,06304

1171

7

0,45455

643

3

0,95827

1187

9

0,45843

647

23

-0,17489

1223

35

-0,10474

659

11

—0,04143

1231

27

-0,05630

683

5

0,69342

1259

15

0,13542

691

5

0,47778

1279

23

0,07809

719

31

-0,25239

1283

11

0,29722

727

13

0,11295

1291

9

0,33136

739

5

0,48295

1303

11

0,75311

743

21

—0,05714

1307

11

0,35076

751

15

0,05960

1319

45

-0,17150

787

5

0,43828

1327

15

0,38106

811

7

0,24605

1367

25

0,18885

823

9

0,57350

1399

27

0,01349

827

7

0,44228

1423

9

1,19091

839

33

-0,21607

1427

15

0,13267

859

7

0,28304

1439

39

—0,06034

863

21

0,02945

1447

23

0,07815

883

3

1,23330

1451

13

0,33926

887

29

-0,15263

1459

11

0,23441

907

3

1,26547

1483

7

0,54752

911

31

-0,15484

1487

37

—0,03851

919

19

0,00304

1499

13

0,35674

947

5

1,07045

1511

49

-0,15686

967

11

0,47258

1523

7

1,05028

971

15

-0,02122

1531

11

0,27134

983

27

-0,05678

1559

51

-0,16098

991

17

0,13627

1567

15

0,56654

1019

13

0,08764

1571

17

0,17134

1031

35

-0,16205

1579

9

0,41274

1039

23

—0,04367

1583

33

0,05870

1051

5

0,82820

1607

27

0,23400

1063

19

0,04429

1619

15

0,27549

1087

9

0,86137

1627

7

0,64611

1091

17

-0,03822

1663

17

0,42089

1103

23

0,11462

1667

13

0,31837

1123

’ 5

0,74213

1699

11

0,32687

1151

41

—0,18398

Здесь использовалась формула (1.5.1) для «геометрической» высоты. Отметим, что в случае А = 1 соответствующие кривые имеют модель, определенную над Q. Таблица показывает важное отличие числовой ситуации от случая семейства кривых над полной кривой. В последнем случае высота всегда неотрицательна (теорема С. Ю. Аракелова) и равна нулю для изотривиальных семейств. Было высказано предположение (Л. Шпиро, Ф. Оорт, Ф. А. Богомолов), что в числовом случае аналогами нзотривиаль- ных семейств являются кривые СМ-типа. Однако, как видно из таблицы, их нельзя характеризовать условием, например, неположительности высоты. Впрочем, можно было бы надеяться, что это будет верно, если изменить определение высоты, выбрав другую нормировку интегралов, входящих в архимедовы компоненты. Во всяком случае дальнейшие вычисления /igeom для р ^ 4000 показывают, что разброс значений высоты на этом интервале невелик. Наибольшее значение равно 1,655 и достигается при р = 2683. Последнее р, где Ageom < 0, это р = 3671 и высота равна—0,014.

ГИПОТЕЗА МОР ДЕЛЛА»по Г. Фальтингсу

Люсьен Шпиро

Высшая Нормальная Школа, Париж, Франция

0. План статьи

Введение: диофантовы уравнения

Проблема Шафаревича

Множество Ш(В, F)

Два метода ограничивать множество Ш

Высоты, степень

Представление фундаментальной группы или группы Галуа

Переход к абелевым многообразиям

Проблема Тейта

Формулировка гипотезы Тейта

Сведение гипотезы Тейта к некоторому утверждению конечности

Стратегия, примененная Фальтиигсом

Теорема Фальтингса

Конструкция Коданры — Паршина

Как получать теоремы конечности

Таблица результатов

А что теперь?

Литература

ВВЕДЕНИЕ: ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ2)

Диофантовыми уравнениями называются конечные системы уравнений

W^) = 0,

ад,х„)=о, .... fn<xv хп)=о,

где Ft — многочлены от переменных Х\, ..., Хп с рациональными коэффициентами или (переходя к расширению), с коэффициентами в числовом поле. Нас интересуют рациональные решения (или после перехода к расширению —решения в числовом поле) этих уравнений.

*) Szpiro Lucien. La conjecture de Mordell (d’apres G. Faltigns). Se- minaire Bourbaki, 36-е annee, 1983/84, № 619, 1—21,

Более подробное изложение результатов этого доклада см. [1*], [2*], [3*], [4*]. История вопроса изложена в [4*, § 1]. — Прим. ред.

© Revue Asterisque, 1983

Пусть К — числовое поле, содержащее все коэффициенты многочленов F,, и пусть а: К-*С:—вложение К в поле Си комплексных чисел. Естественно рассматривать замкнутое многообразие V в аффинном пространстве Ас, определенное многочленами Ft. (Если F,— однородные многочлены, то предпочтительнее будет рассматривать замкнутое подмногообразие в Рс, определенное многочленами Ft). Первый интересный случай это тот, при котором многообразие V имеет размерность 1 над С. Он и будет, по существу, единственным случаем, изученным в этом докладе. Пусть V=C—алгебраическая кривая над полем комплексных чисел .С. Кривой С сопоставляется целое число g, называемое ее родом, и определяемое следующим образом: пусть С—проективное замыкание кривой С, а С — нормализация (и, значит, неособая модель) для С. Известно, что С как дифференцируемое многообразие является компактной римановой поверхностью без края. Число ручек этой поверхности С и есть ее род g. (ЯЦс, Z)~ Z2g.) Множество решений системы уравнений (7^ = 0) в поле К взаимно однозначно соответствует множеству рациональных точек кривой С над К, обозначаемому через С (К).

Возьмем в качестве примера одно однородное уравнение F(X, У, Z) = 0 степени п с целыми коэффициентами. Уравнение РД, У, Z) = 0 определяет плоскую кривую С в Р2. Предположим, что кривая С имеет над полем С. в качестве особенностей только двойные точки с разделенными касательными, и пусть г —число этих двойных точек. Тогда род кривой С равен

(„_!)(„ _2)

2

Если (а, Ь, с)—рациональные числа, такие что F(a, b, с) = 0 и если Л е Q, то ввиду того, что F — однородный многочлен, имеем также и F(Ka, ХЬДс^ = 0. Поэтому мы будем интересоваться только целыми решениями (а, Ь, с) без общего множителя. Множество таких решений находится во взаимно однозначном соответствии с C(Q).

Важность этого примера объясняется тем, что, как можно показать, любая гладкая проективная кривая над полем К имеет модель Р2, особые точки которой только точки описанного выше типа. Важность понятия рода состоит в том, что оно позволяет выделить три случая (g = 0, g = 1, g ^ 2), в которых множество решений имеет разную природу.

Теорема 1. Пусть К—числовое поле и С — гладкая, геометрически связная, проективная кривая рода g, определенная над полем К. Тогда для любого числового поля К' имеем

Если g = 0 и С^')^ 0, то С ~ Рд/ (бесконечное мно- окество решении).

Если g — 1, то либо С (К') пусто, либо С(К') является главным, однородным пространством над некоторой коммутативной группой конечного типа (теорема Морделла [Мо]).

Если g"^2, то С (К')—конечное множество (гипотеза Морделла [Мо], доказанная Фальтингсом [F2]).

Утверждение Ь) было обобщено в диссертации А. Вейля:

Пусть А— абелево многообразие, определенное над числовым полем К. Тогда А (К)—коммутативная группа конечного типа (теорема Морделла — Вейля).

Сразу же отметим, что за исключением некоторых частных случаев, описание множества решений при g^ 1 не является эффективным. Например, если кривая С лежит в проективном пространстве Pq, то точки C(Q) находятся во взаимно однозначном соответствии с теми точками с однородными координатами (х0, •••, хп), XiSZ, Н. О. Д.(Х1) = 1, которые лежат на С. Эффективный результат говорил бы «кое- что» о sup|xj (и, следовательно, о числе точек в С (К) при g^2) *). Но это не так для теоремы Фальтингса.

За исключением результатов Морделла и Вейля, цитированных выше, до работы Фальтингса имелись следующие результаты Зигеля о целых точках.

Определение. Пусть К — числовое поле, S — конечное множество точек поля К' и X— гладкая аффинная кривая над К- S-целой точкой кривой X над К называется рациональная точка кривой X над К, все координаты которой имеют знаменатели с носителем в S.

Можно взять в качестве примера K = Q, S = 0, X— плоская кривая в Ак, определенная уравнением F(X, У) = 0; при этом целая точка — это целочисленное решение данного уравнения. Это определение не зависит от выбранной системы аффинных координат. Действительно, если ^-> Spec б? (д — кольцо целых чисел поля К) является минимальной регуляр-

■) Здесь говорится о двух разных задачах. Эффективная оценка высоты рациональных точек для g > 2 до сих нор не получена (в случае излагаемой ниже теоремы Зигеля о целых точках такая оценка имеется лишь для кривых частного вида) н представляет собой весьма трудную задачу (см. замечания в [4*] и [5*] и дополнение редактора на стр. 268). Вопрос об оценке числа точек гораздо проще и был в принципе решен А. Н. Паршиным (см. изложение в [1*]). — Прим. ред.

ной моделью компактификации X для X, и если D— схемное замыкание для X— X, то S— целая точка кривой X над К есть не что иное как сечение морфизма X — Z)-* Spec С? \S.

Теорема [Si]. Пусть К — числовое поле, S — конечное множество точек поля К, X— неособая аффинная кривая над К, гладкая компактификация которой имеет род g. Тогда множество S-целых точек кривой X над полем К конечно в следующих двух случаях:

Эта теорема такжеЭта теорема такжене дает эффективнойне дает эффективной nw яффеКТИВН высоты целых точек. Однако работа Бейкер мых уравнениях Туэ nw яффеКТИВН высоты целых точек. Однако работа Бейкер мых уравнениях Туэграницы дляграницы дляа о так называе-а о так называе-а) g~0 и *(Х-ХУ>3.

Эта теорема также

Эта теорема также

не дает эффективной

не дает эффективной

nw яффеКТИВН высоты целых точек. Однако работа Бейкер мых уравнениях Туэ

nw яффеКТИВН высоты целых точек. Однако работа Бейкер мых уравнениях Туэ

границы для

границы для

а о так называе-

а о так называе-

F^X, К) —const,F^X, К) —const,

F^X, К) —const,

F^X, К) —const,

где F — однородный полином, имеющий три различных корня, дают некоторую эффективную границу для целых решений. Мы не будем обсуждать больше вопрос об этой эффективной границе для координат целых точек.

Скажем еще несколько слов по поводу аналогичных проблем, где поле К заменяется на поле рациональных функций К на кривой С, определенной над полем к:

а) если g =0, то С — Pr (теорема Тзена),

1э) если g — 1, то С(/<) либо пусто, либо является группой конечного типа (Нерон — Севери),

с) если g ^ 2, то С^К> конечно {к = С—Манин [Ма], char к = р > 0 — Самюэль [Sa]).

Заметим, что Грауэрт дал другое доказательство теоремы Манина в [Gr] и именно это доказательство 5ыло перенесено Самюэлем на случай полей положительной характеристики. Доказательство для этого последнего слт 1ая, приводимое в настоящем докладе, заимствовано из [S],

ПРОБЛЕМА ШАФАРЕВИЧА

МНОЖЕСТВО Ш(В, F)

Пусть В (В —от слова «base» — база) — регулярная схема. Здесь это будет чаще всего либо открытое множество в кольце целых алгебраических чисел, либо открытое подмножество на проективной и гладкой кривой, определенной над полем к. Пусть F (F — от слова «fibre», слой)—какое-

') Заметим, что эти условия (как и условие g ^ 2 в теореме Фаль- тингса) эквивалентны тому, что Х — Х—гиперболическая риманова поверхность. — Прим. ред.

нибудь условие на алгебраические многообразия и возможные его вырождения (например, F — гладкая проективная кривая рода g с полустабильным вырождением, или F — абелево многообразие размерности g, снабженное поляризацией степени га). Будем называть множеством Шафаревича, определенным по В и F, и обозначать его Ш(В, F), множество классов с точностью до В-изоморфизмов схем /: Х-*В, слои которых изоморфны F.

Пример 1.1. Конечные морфизмы, арифметический случай.

Пусть О — кольцо целых алгебраических чисел, S—-конечное множество точек в О, В = Spec С — S и п— положительное целое число. Один вариант классической теоремы Эрмита позволяет утверждать, что Ш(В, п точек) — конечное множество. Мы вернемся к этому утверждению в п. 2.2.

Пример 1.2. Конечные морфизмы кривых (в характеристике 0).

Пусть С — гладкая проективная кривая над полем k, S — конечное множество точек на С и п — целое число. Можно доказать (существенно используя теорему единственности Римана), что Ш(С — S, га точек)— конечное множество.

Пример 1.3. Группа Тейта — Шафаревича

Пусть К — числовое поле и А — абелево многообразие над К. Тогда множество классов с точностью до 7<-изомор- физмов многообразий, которые становятся изоморфными А над полем К для каждого пополнения К поля К, является группой, называемой группой Тейта — Шафаревича. Эта группа обозначается Ш(7<, А, К-изом. А для всех К), что согласуется с привычным обозначением Ш(А). В настоящее время недоказанной гипотезой является утверждение о том, что Ш(7<, А, ^-изом. А для всех К\—конечная группа1).

Пример 1.4.

Над выбранными нами базами Spec С? — S, или С — S, случай, когда множество S пусто, тоже представляет интерес. Например, утверждение о том, что ф Ш (Spec Z, га точек) = = 1 при га ^ 2, это одна из теорем Минковского, которая обычно формулируется в следующем виде: абсолютная величина дискриминанта числового поля степени не меньшей двух (над Q) больше или равна двум.

!) Осенью 1986 г. К. Рубин построил первые примеры эллиптических кривых AIQ с конечной группой Ш(А). В частности, Ш = (0) для кривой - у2 = х3 — х. См. также дополнение на стр. 256. — Прим. ред.

Пример 1.5.

А. Гротендик доказал в работе [Gro 2] следующую теорему:

Пусть В — открытое множество на алгебраической кривой над Ю'. и Ре В; пусть А- В— поляризованная абелева схема. Тогда, если фиксировать слой морфизма f над точкой Р, то морфизм / является жестким (другое доказательство этого утверждения можно найти в работе [D2]). С другой стороны, Г. Фальтингс в работе [F2] показал, что множество таких А образует ограниченное семейство (мы наметим далее доказательство этого утверждения, данное Ф. Гриффитсом в [Gri]).

Пример 1.6. Гипотеза Шафаревича [Sh 1]

В своем докладе на Международном математическом конгрессе в Стокгольме И. Р. Шафаревич поставил следующую проблему:

Пусть К — числовое поле, S — конечное множество точек поля К, g — целое число, большее или равное двум. Показать, что множество классов с точностью до К-изоморфиз- мов гладких проективных кривых рода g над К, имеющих хорошую редукцию вне S, конечно.

Если О— кольцо целых чисел поля К и B = Speci?\S, то проблема Шафаревича может быть сформулирована так:

показать, что # Ш (В, гладкие проективные кривыерода g)< оо.

Напомним, что гладкая проективная кривая С рода g^ 1 над К обладает единственной минимальной моделью, регулярной над О. Это означает, что существует регулярная схема X и проективный морфизм X —^> Spec О, общий слой Которого есть С, и такой, что среди его') слоев нет слоя, изоморфного Р1 с индексом самопересечения равным —1 (про регулярные модели см. у Абъянкара [АЬ] или у Липмана [Li], а про минимальные — см. работу Шафаревича [Sh 2]). Говорят, что кривая С имеет хорошую редукцию в точке ре SpecбУ, если схема Х(р) является гладкой.

Разумеется, можно выдвинуть геометрический аналог гипотезы Шафаревича:

фШ(С\3, гладкие проективные кривые рода g) < оо.

ДВА МЕТОДА ОГРАНИЧИВАТЬ МНОЖЕСТВО III

Высоты, степень

Геометрический случай: кривая С над полем А. Технику, используемую в геометрическом случае, можно условно подразделить на две:

ограниченные семейства,

жесткость.

Для семейств абелевых многообразий или кривых Х-^*С удается в терминах Sag ограничить величину —d, равную степени над С алгебры Ли абелева многообразия или якобиана кривой (S— множество точек плохой редукции, которая предполагается полустабильной). Например, если f: Х—>С — семейство кривых рода g "5$ 2 с ненулевым классом Кодаиры— Спенсера, то 12d^8gr(g—1) (9—l-ps/2), где q — род кривой С и s = 4I=S (см. [S]). Если основное поле — поле комплексных чисел £)j, то Аракелов в работе [A1J дает более точную оценку

d^(g — gQHq— 1 + s/2), где go — размерность неподвижной части якобиана. Для семейств абелевых многообразий Гриффитс в [Gri] показал, что d^8ng(q— l+s/2). Последнее неравенство над Cj при 5 = 0 доказано также в работах [М — В, S] для семейств абелевых многообразий. Одна менее точная оценка дается в [F2]. Семейство ХеШ(С— 5, ...) соответствует морфизму С в Mg (или Ag). Графики Г этих морфизмов являются подмногообразиями в СХМ8 (или в CXAg). Получение оценки для d позволяет более или менее просто показать, что существует обильный пучок L над СХМ8 (или CXAg), степень которого над Г ограничена. Следовательно, мы получаем многообразие Чжоу W конечного типа над основным полем к, которое параметризует множество X е еШ(С-5,...).

В случае непостоянных семейств кривых (что почти равнозначно отличию от нуля класса Кодаиры — Спенсера) можно показать, что полустабильный морфизм /: Х^- С с фиксированным множеством вырождения 5 является жестким [Al], [S]. Для этого заметим, следуя Аракелову [А1], что инфинитезимальные деформации морфизма / параметризуются элементами группы когомологий Н1 (X, со^). В случае нулевой характеристики Аракелов показал предварительно, что пучок tox/c численно положителен (т. е. почти обилен), затем закончил доказательство, применив «теорему об обращении в нуль» Кодаиры — Рамануджана. В случае

положительной характеристики в работе [S] показано, что справедливы те-же самые утверждения. Но при этом требуются более тонкие рассуждения, так как утверждение «теоремы об обращении в нуль» Кодаиры не верно в положительной характеристике (см. [Mu], [R3], [S]). После этого проверяется, что Ш(С — S, полустабильные кривые рода g)— конечное множество, так как в каждой связной компоненте W имеется единственный элемент из III. Мы не располагаем, однако, какой-либо информацией о числе этих связных компонент.

В случае нулевой характеристики с помощью примера 1.2 из п. 2.1 и теоремы Гротендика из § 3 (о полустабильной редукции) выводим, что =#:Ш(С — S, кривые рода g)< оо.

В случае положительной характеристики утверждение примера 1.2 п. 2.1 не верно, и фактически нельзя избавиться от предположения о полустабйльности, как это видно из контрпримера, приводимого в [S],

Арифметический случай числового поля К и его кольца целых и

а) Наивная высота

Пусть Р— точка проективного пространства Р”. Пусть Xq, .... хп — однородные координаты Р, которые предполагаются лежащими в Z и взаимно простыми. Положим Н (Р) = sup | xt |. Очевидно, что множество точек PeP"(Q), таких что Н(Р) ограничено, является конечным.

Рассмотрим теперь проективное пространство над числовым полем К, и пусть Р— его точка с координатами (хо, ... .... хп). Положим Н(Р)= П sup| xtt°/N^xtO\ где Ф — аеФ /'

множество архимедовых точек поля К; е0 = 1 (соответственно 2), если а вещественно (соответственно комплексно). Н(Р) не зависит от выбора координат, что следует из формулы произведения: Ц | f |®» — N (f), где / е К. Множество

О

точек Р из Р"(К) таких, что Н(Р) ограничено, является конечным. Ясно, что мы получим то же самое утверждение о конечности, если в определении наивной высоты заменим sup|x(| на VZ I х« I2 • В этом случае выражение

п WEiZe)7*ffi^)аеФ

также задает высоту, с которой, однако, труднее работать. Ь) Аракеловская высота ([W2], [А1])

Желательно иметь понятие «высоты», свойства которой были бы близки к свойствам степени в геометрическом случае. Мы кратко изложим основные этапы — йогу — ее построения.

Пусть К — числовое поле, О — его кольцо целых, п = d°(/(/<Q), D — абсолютное значение дискриминанта /(.Пусть L — обратимый пучок над О, снабженный для каждой архимедовой точки о некоторой эрмитовой формой

(,)0; (L0C)®(L0C)->L0C.

Пусть s е L. Положим

а

Это выражение не зависит от выбора s (в силу формулы произведения). Классы обратимых эрмитовых пучков (с точностью до изометрий) образуют группу, которую будем обозначать через Picc(u). Имеем точную последовательность

О -> Rr,+71og О* -* Picc (С?) -> С/ (О) -> О, где гх — число вещественных, а г2 — число комплексных точек, О* —группа единиц в О. Легко видеть, что d°: Pice ((?)-> -> R — аддитивная функция.

Введем «характеристику Эйлера — Пуанкаре» пучка L: х(£) = — log vol R"/L, где L-*Rn определяется из разложения ₽п = ф^£®^, в котором Ka — R (соответственно K.a = ADA1 если о— вещественная (соответственно комплексная) точка, и где объем измеряется с помощью евклидовой метрики, ассоциированной с эрмитовой формой < , >а.

Введем модифицированную характеристику: х' W = = _ log 2"v0^ ^ ^., определение которой оправдывается нижеследующей леммой 3. Например, х'(бО^^г 1°&"2— 2" log/). Введем теперь понятие сечений

Я°№ = {5е£|||5||а<1, Vo).

Например, Н° (О) = 0 + р. (О), где р — корни из единицы в О’ (0*00 снабжается метрикой, такой что || 1 ||а = 1, Vo) . Геометрически характеристика х'W интерпретируется следующим образом:

X' (L) = log lim 2-n ^ Н° ^ft".

где Lt получается из L умножением метрик на Н.

Чтобы показать, что мы приблизились к теории степени на алгебраических кривых, приведем четыре леммы, из которых три первых доказываются немедленно, а четвертая есть переформулировка леммы Минковского о точках решетки в компактном центрально-симметричном выпуклом теле.

Лемма 0 (Риман — Рох 1). х' (L) = deg L + х' (б?).

Лемма 1. Если d° (L) < 0, то Н° (L) = 0.

Лемма 2. Если d°(L) = 0 и Н°(Е)=^=0, тогда L^d (как. метризованные пучки), О — тривиальный метризованный пучок.

Лемма 3. (Минковский). Если deg (L) > — х' (О), тогда Н°Щ#=0.

Можно заново передоказать элементарные теоремы теории чисел (дискриминант больше единицы, теорема о единицах, конечность группы классов С1(О) и пример 1.1 из § 2, ...) исходя из этих четырех лемм.

Пусть X — алгебраическое многообразие над О*. X -^ О. Предположим, что X проективно, т. е. задано замкнутое вложение

Х-^Рп0.

Пусть РеХ(К)—рациональная точка. Ей соответствует сечение Ес^Х морфизма f. Имеем Еси Spec б?. Предположим, что обратимый пучок б?х(1) снабжен эрмитовыми метриками в точках на бесконечности. Тогда, как и выше, С?х(\),Е — метризованный обратимый пучок над О. У него, следовательно, имеется степень; положим d°(Ox(\) /Е) = h(P).

Предложение. Множество точек РеХ(К), имеющих ограниченную высоту h(P), конечно.

Чтобы доказать это предложение, заметим сначала, что утверждение не зависит от выбранных эрмитовых метрик, так как Хс — компакт. Возьмем теперь на б?х(1) метрику Фубини — Штуди и заметим к нашему удовольствию, что

ехрй(Р)= Ц (VS I ^< I2) 7^ (£ xtO\аеФ'

так же как и а конце п. а) I

Представление фундаментальной труппы или группы Галуа

Геометрический случай: С — кривая, S — конечное множество точек на ней. Фундаментальная группа дополнения Л1(С — S) хорошо известна. Можно, следовательно, исходя из ее представлений, получить информацию о множествах Ш(С— S, ...).

Пример 2.1. Конечные морфизмы (характеристика нуль)

Из теоремы единственности Римана следует, что факторгруппа порядка п группы Л1 (C\S) взаимно однозначно соответствует накрытию С' — С этальному над C\S, которое является накрытием Галуа степени d°n. Можно, переходя к замыканию Галуа, заменить элемент из UI(C\S, п точек) на накрытие Галуа степени п!. Отсюда заключаем, что множество Ш(С\5, п точек) конечно, так как множество факторгрупп порядка п! группы л: (C\S) есть конечное множество (пример 1.2 из п. 2.1).

Заметим, что оценка, полученная Гриффитсом в работе [Gri], также использует эту технику.

Арифметический случай: группа Галуа алгебраического замыкания R/K играет роль фундаментальной группы.

Пример 2.2. Набросок доказательства примера 1.1 из § 2.

Помимо того, что этот пример постоянно используется в настоящей статье, это доказательство имеет то преимущество, что оно использует оба метода ограничения множества Ш. Речь здесь пойдет о LLI(SpecC?\S, п точек).

Эрмит показал, что множество расширений К' поля К с заданным дискриминантом D конечно. Используя обозначения 2.2.1.2b), зададим на обратимом пучке О метрики || ||', относительно которых он будет иметь степень, равную —Х' (0 (—х' (^)= ’А 1°8 В' — гз 1°§ л/2) • Это можно сделать следующим образом (мы предполагаем для простоты, что отсутствуют комплексные точки):

n^C^d)^2^-1'421-^ шИа^з, Vi^i.

В силу леммы 3 существует элемент хе О, такой что

1"1 А)к(^’^(D'^a^-1; i^WKy.

где | |аг — обычная метрика. Такой элемент х является примитивным элементом для К' над К (фактически над Q) ; дей-

ствительно, л[о,(х) [2 = N(x) ^ 1, так как х^О'. Но тогда имеем | at (х) [ > 1 и oi (х) не может равняться никакому о/(х) при /^ 1. Мы показали таким образом, что для заданного дискриминанта существует примитивный элемент ограниченной высоты.

Остается показать, что для фиксированной степени п = deg К'/К и фиксированного S = Supp£»K7K дискриминант ограничен. Можно предположить (заменяя если необходимо п на nl)', что К'/К — расширение Галуа. Используем теперь второй метод: исследуем группу Галуа. Это было проделано в работе Серра [Se 1] с помощью групп высшего ветвления. Все сводится при этом к локальной ситуации: L/K—расширение Галуа степени п с группой G, полное относительно дискретного нормирования, и с абсолютным индексом ветвления е. Пусть р — идеал нормирования в L. Обозначим через Gt подгруппы в G, которые действуют тривиально на OlIV^.

Пусть D — дискриминант L над К- Имеем

М0) = 2(Ф^-1),о

Gt/Gi+X— подгруппа в Р7Р'+1,

Gj = (l), если i>e/p—L

ПЕРЕХОД К АБЕЛЕВЫМ МНОГООБРАЗИЯМ

Если С — гладкая проективная кривая над (С, то ее якобиан J (С) — это абелево многообразие с главной поляризацией, множество комплексных точек которого отождествляется с комплексным тором

н°(.с, аЬУ/н^с, Z^

[

мы сопоставляем петле у линейный функционал >^® г на пространстве дифференциальных форм, что задает отображение у t—^Ло!—* ^ оА1 .

X Y / J

Якобиан параметризует дивизоры нулевой степени на кривой С с точностью до рациональной эквивалентности. Это последнее определение обобщается на случай положительной характеристики: /(С) = Pic°(C). Для семейства проективных кривых, у которого пространство параметров есть, например, кольцо целых алгебраических чисел или гладкая проективная кривая над полем, Х-L- в, имеется также понятие от-

носительного якобиана: J(X)= Pic°(X/B)\ который является компонентой связности единицы относительной схемы Пикара Rxf*(O*x\ ЦХ\ является групповой схемой над В: J(X)-^B. Говорят, что групповая схема такого типа имеет хорошую редукцию в точке Р базы В, если слой ](Х)/Р есть абелево многообразие.

Лемма. Пусть С — геометрически связная гладкая проективная кривая над полем К. Пусть В — схема размерности 1, для которой К является полем функций и Р— точка на В. Тогда, если С имеет хорошую редукцию в Р, то и якобиан ЦС) имеет хорошую редукцию в точке Р.

Мы видим, таким образом, что взяв кривую над числовым полем С/К, мы построили главно-поляризованное абелево многообразие А — ЦС^/К, удовлетворяющее трем следующим условиям:

Размерность А фиксирована (равна роду g кривой С).

А — абелево многообразие, определенное над К.

Множество точек хорошей редукции для А содержит множество точек хорошей редукции для С.

В действительности теорема Торелли позволяет восстановить кривую по ее якобиану. Современное изложение этой теоремы содержится, например, в работе Оорта [О]. Мы сформулируем эту теорему в форме, наиболее удобной для наших рассмотрений. Мы должны сначала ввести соответствующие пространства модулей:

Mg, п — пространство модулей гладких связных кривых рода g над полем к, снабженных Z/nZ-базисом в группе точек порядка п ^п^^ на своем якобиане (выбор жесткости). Известно, что Mg, п— гладкое алгебраическое многообразие размерности 3g — 3 над к, обладающее универсальной кривой.

АЯ|П — пространство модулей главно-поляризованных абелевых многообразий размерности g над полем к, снабженных Z/nZ-базисом в группе точек порядка п (п^З).

Ag, п — алгебраическое многообразие размерности gkg-V Н- 1)/2, определенное над полем к, обладающее универсальным главно-поляризованным абелевым многообразием.

Теорема (Торелли). Для п^ 3 взаимно простого с характеристикой отображение периодов

Mg, п -^g» п»

которое кривой сопоставляет ее якобиан, является инъективным морфизмом.

«Гипотеза Шафаревича для абелевых многообразий» формулируется следующим образом:

Пусть К — числовое поле, S — конечное множество точек поля К, g и п— положительные целые числа. Показать, что множество абелевых многообразий над К размерности g, снабженных поляризацией степени п, и имеющих хорошую редукцию вне S, конечно.

Кратко эту гипотезу можно сформулировать так:

# Ш (SpecC? — S, абелевы многообразия dimg-,имеющие поляризацию степени п) < оо.

Напомним, что абелево многообразие А над К обладает единственной моделью Нерона [N], ЙГ->8рес<?, которая является гладкой коммутативной групповой схемой, и которая характеризуется следующим универсальным свойством: каноническое отображение A^R^-^-Xt.R') является биекцией для любой схемы R, гладкой над С; Говорят, что абелево многообразие А,К имеет хорошую редукцию вне 8, если ее модель Нерона имеет хорошую редукцию вне 8.

Благодаря примеру 1.1 из § 2 и теореме Торелли, мы видим, что «гипотеза Шафаревича для абелевых многообразий» влечет за собой «гипотезу Шафаревича для кривых». Действительно, зафиксируем п ^ 3. Расширение К' поля К, в котором все точки порядка п рациональны, имеет степень, не превосходящую п28, и разветвлено только в SU {п}.

Фактически, когда к основному полю присоединяются точки порядка п ^ 3 на абелевом многообразии, то его плохая редукция «не такая уж и плохая»: она становится «по- лустабильной».

Определение. Пусть V — кольцо дискретного нормирования с полем частных К и полем вычетов к. Пусть А (соответственно С) — групповая схема со связными слоями (соответственно кривая) над Spec V. Предположим, что Ак (соответственно С^) — абелево многообразие (соответственно геометрически связная гладкая проективная кривая). Говорят, что А (соответственно С) имеет полустабильную редукцию, если специальный слой Afe (соответственно Cfc) является расширением абелева многообразия при помощи группы мультипликативного типа (соответственно является приведенной кривой, у которой особенности — только обыкновенные двойные точки и которая не содержит кривой, изоморфной Р1 и стягиваемой в С). Это определение равносильно требованию унипотентности оператора монодромии.

Теорема (А. Гротендик [G2]). Пусть V—кольцо дискретного нормирования с полем частных К и пусть Ак— абелево многообразие над К. Тогда, если для некоторого п^З, взаимно простого с характеристикой поля вычетов, точки порядка п на многообразии А рациональны над К, то модель Нерона для Ак имеет полустабильную редукцию.

А. Гротендик первый показал, что произвольное абелево многообразие «потенциально» имеет полустабильную редукцию (т. е. становится таковым после некоторой конечной замены базы). Совместные усилия Серра, Тейта и Рейно позволили сформулировать теорему о полустабильной редукции в этой простой форме.

Замечание. Выше мы упоминали о вложении кривой в свой якобиан. Один из возможных методов доказательства теоремы Морделла — Фальтингса мог бы быть основан на следующем утверждении:

Пусть А — абелево многообразие над $3 и L — свободный ^-модуль конечного типа в А. Пусть С — кривая в А. Тогда множество U (сп»"1/.) конечно. п

В случае, когда rang(L) = 0, эта гипотеза была доказана М. Рейно [R2] (точки кручения). В той же работе Рейно показал, что теорема Морделла — Фальтингса (имевшая в момент появления [R2] статус гипотезы) влечет за собой справедливость вышеупомянутого утверждения1).

ПРОБЛЕМА ТЕЙТА

ФОРМУЛИРОВКА ГИПОТЕЗЫ ТЕИТА

Мы видели в предыдущем параграфе важность абелевых многообразий и точек конечного порядка на них. В этом параграфе мы вводим «модуль Тейта». Это фактически /-ади- ческая группа гомологий абелева многообразия, и гипотеза Тейта говорит, что можно надеяться многое узнать об абелевом многообразии А, когда «известна» группа гомологий Hx<A,ZtY

Определение. Пусть А — абелево многообразие, определенное над полем К, и пусть / — простое число. Модулем Тейта для А, который обозначается через Т/(А), называется проективный предел по п ядер умножения на Vх в А^ (если

z”z

обозначить ;вА = Кег(А—► А), то имеем zn+iA—> tnAy Если

См. доклад Ж. Остерле о работе Рейно на стр. 204. — Прим. ред.

G — группа Галуа алгебраического замыкания К поля К, то Т/(А) является Zz(G)-мoдyлeм.

Гипотеза Тейта для гомоморфизмов абелевых многообразий является одним частным случаем его гипотезы об алгебраических циклах, которая «заменяет» в /-адических когомологиях гипотезу Ходжа.

Гипотеза Тейта. Пусть К — поле конечного типа над своим простым подполем, G— группа Галуа над К алгебраического замыкания К, пусть А и В — два абелевых многообразия, определенных над К, а I— простое число ^отличное от характеристики поля К). Тогда канонический гомоморфизм

HomK(A, В)® Zz->Homo (Tz (А), TZ(B)) является изоморфизмом. Кроме того, G-модуль TZ(A)®QZ является полупростым.

Эта гипотеза в настоящее время доказана:

для поля К положительной характеристики Зархиным ^[2] (С. Мори для р = 2);

для поля К нулевой характеристики Фальтингсом [Fl], [F2], [F3].

Доказательство Ь) (когда К — числовое поле)" содержится в статье Делиня [D] на этом семинаре. Мы объясним далее принадлежащую Тейту и Зархину [Т], [Z] редукцию этой гипотезы к некоторому утверждению конечности, которое является частным случаем «гипотезы Шафаревича для абелевых многообразий».

Надо заметить, что для эллиптических кривых полупростота G-модуля Тейта TZ(A)®QZ доказана Серром в [Se2J. В той же книге Серр приводит доказательство ) гипотезы Шафаревича для эллиптических кривых. Идея этого доказательства принадлежит самому И. Р. Шафаревичу и использует теорему Зигеля, цитированную в § 1.

СВЕДЕНИЕ ГИПОТЕЗЫ ТЕИТА

К НЕКОТОРОМУ УТВЕРЖДЕНИЮ КОНЕЧНОСТИ

Сразу же заметим (переходя к произведению АХ В и графику гомоморфизма), что достаточно показать, что

EndK (А) ® Qz ^ EndG (Т z (А) ® Qz).

Пусть L — обильный пучок на А (поляризация). Мы можем,

следуя А. Вейлю (см., например, Д. Мамфорд [Ми])1, сопоставить пучку L билинейную антисимметричную форму, называемую формой Римана

EL: Tz (A) XTZ (A)->Zz(l) = Hm pzn,

которая невырождена, так как L — обильный. Пусть W — максимальный изотропный G-подмодуль в TZ(A)®QZ, и пусть К„ —образ TzM)fl^ в

Tz (A)/Z"T, (А) = tnA := Ker (AA).

Имеем коммутативную диаграмму

54 ^а/Кп»А^

Предложение 1 (Тейт, Зархин). Если среди абелевых многообразий Ап имеется бесконечное множество К-изоморф- ных между собой, то существует такойи^Е.^к(А)^^1,что

Т z (u) (Tz (А) ® Qz) = W.

Пусть Пу — такое, что имеется бесконечное число абелевых многообразий Ап, К-изоморфных Ап,:

Vni An —> Ап,.

Возьмем и„ = Хй1 ° vn ° ^л0 е End^ (А) ® Q и и = Нт ип в EndK(A)®Qz. Легко проверить, что Tz(u) удовлетворяет требованиям предложения 1.

Предложение 2 (Зархин). Предположим, что условие предложения 1 выполнено для каждого максимального изотропного G-подмодуля в EndG(Tz(A8))®Qz. Тогда:

Для каждого G-подмодуля W в EndG(Tz(A)®QZ) существует такой и е End*- (A)® Qz, что и2 = и и u(Tz (A)®QZ) = W.

EndG (Tz (A)) ® Q — полупростой G-модуль.

Ясно, что предложение 2 выводится из предложения 1 построением максимальной изотропной подгруппы, соответствующей V. Укажем эту конструкцию.

84

Пусть L — обильный пучок на А и М == 0 p*L; N = 0 p*L, где рр А8-> А — проекции. Пусть a, b, с, d принадлежат Qz и удовлетворяют соотношению а2 + 62 + с2 4-.d2 = — 1. По-

ложим

Проверяется, что Z#Z = — 1. Мы рассмотрим / как элемент в End0(Tz (A4))®QZ и положим

№х=Цх, Ix[x^W4},

IF2={x, — Zx| XS (iF1)4}.

Здесь (IF1)4 определяется по коммутаторной форме, ассоциированной с У на Л4. Имеем

IF, П 1^2 = 0,

IF] и IF2 ортогональны относительно Ем,

IFi + IF2 — максимальный изотропный (7-подмодуль относительно Ем.

Из предложения 1 следует, что существуют такие «ь u8 е End0 (Л) ® Qz, что £ «г (TZ(A)® Qz) = ®1 + а>2.

1

Правый идеал, порожденный ut в Endx0)®Qz, порождается идемпотентом и, так как это кольцо — полупростое. Легко видеть, что идемпотент и удовлетворяет требуемым условиям.

Нам осталось, следовательно, проанализировать условия предложения 2. Легко видеть, что если поляризация абелева многообразия Л имеет степень d, то каждое абелево многообразие Ап также снабжается поляризацией степени d (так как 1F — максимальный изотропный G-подмодуль). Поскольку все Ап изогенны Л, причем степень соответствующей изогении есть некоторая степень числа / и все эти многообразия также определены над К, то мы видим, что условие предложения 2 является частным случаем «гипотезы Шафаревича».

6. СТРАТЕГИЯ, ПРИМЕНЕННАЯ ФАЛЬТИНГСОМ [F2]

ТЕОРЕМА ФАЛЬТИНГСА

Фальтингс доказал в работе [F2] «гипотезу Шафаревича для абелевых многообразий».

Пусть Ак — абелево многообразие размерности g над числовым полем и А—> Spec О — его модель Нерона над кольцом целых О поля К. Следуя одной идее Аракелова,

Фальтингс снабжает слои обратимого пучка <йд = Дй/ей),/0 эрмитовыми метриками для каждой точки на бесконечности следующим образом:

<«, «„-(-O^-'^d)8 $ «лё.

^(=.>

Метризованный обратимый пучок <йд имеет, следовательно, степень d в смысле 2.2.1.2b). Мы определим модулярную высоту абелева многообразия Ак по формуле

hW = d4AfVK:QV

Преимущество h перед d состоит в том, что /г(Лд) = ЦАк), когда Ак полустабильно и К' — конечное решение поля К.

Доказательство теоремы Фальтингса разбивается на 4 пункта:

Показать, что если ограничить степень d обратимого пучка о>д (в вышеупомянутом смысле), то имеется только конечное число абелевых многообразий А над К размерности g, снабженных поляризацией степени п. Это, вероятно, наименее ясная (хотя и не неожиданная) часть цитированной статьи Фальтингса. Ее краткий, но строгий разбор содержится в работе [D].

Показать, что для абелевых многообразий Лп, введенных в предложении 1 из § 4, степень dn пучка <оДп ограничена (что влечет за собой гипотезу Тейта). Заметим, что у нас написано «ограничена», а не «постоянна».

Показать, что множество изогенных классов абелевых многообразий с фиксированным множеством точек плохой редукции является конечным.

Этот результат подвергся строжайшей критике и выдержал ее.

Показать, что в каждом изогенном классе степень обратимого пучка од ограничена.

В настоящей статье я показываю, что эти четыре пункта влекут за собой гипотезы Тейта и Шафаревича.

«Стратегическая» новизна работы Фальтингса состоит в доказательстве импликации 2) => 3), которое является чрезвычайно красивым. В остальном при доказательстве используются геометрические методы, существовавшие ранее.

Техника, применяемая для «ограничения» d в 2) и 4), существенно использует работу Рейно [R1] и «гипотезы Вейля» для абелевых многообразий [W2] для изучения поведения степени d (или модулярной высоты) относительно изогении.

В статье Делиня [D] можно найти доказательства этих четырех пунктов.

КОНСТРУКЦИЯ КОДАИРЫ - ПАРШИНА

Эта конструкция позволяет вывести гипотезу Морделла из гипотезы Шафаревича для кривых.

Мы используем обозначения п. 2.1.6. Пусть К — числовое поле и С — кривая над К, имеющая хорошую редукцию вне 2. Мы построим сейчас отображение с конечными слоями Р — > С ;

С(К) -> Ш (Spec О' - s; g'),где О' — кольцо целых поля К'— конечного расширенияполя К, S' — прообраз 5= 2 U(UP) в О' и g' определяетсяI 2

из равенства 2g — 2 = 22« (4g — 3).

Конструкция кривой СР

Отобразим кривую С в ее якобиан J, сопоставляя точке Q обратимый пучок (?c(Q — PV Мы определим теперь кривую Ci, как расслоенное произведение («pull-back»), используя эндоморфизм умножения на два в якобиане Г.

J

□

Ci С

Кривая С] гладкая и ее род g^ вычисляется по формуле 2g] — 2 = 22s (2g — 2). Кривая Ci определена также над К. Прообраз D точки Р является дивизором степени 228. Ci имеет хорошую редукцию в точках Spec и — S.

Рассмотрим конечное расширение Кл поля К степени 228', неразветвленное вне S, и такое, что Осхф^ L®2 для некоторого обратимого пучка L на Ci (определенного над Kf). Возьмем теперь в качестве СР —->-Сх накрытие кривой ^ с индексом ветвления, равным двум над дивизором D и этальным над С,— D, которое характеризуется тем, что <^ср(а 1 (^)red)= а*^- Для некоторого неразветвленного расширения Ка поля Ki кривая Ср—>С будет иметь хорошую редукцию вне прообраза S. Множество таких полей Ка конечно (пример 1.1 из § 2). Выбираем теперь в качестве поля К' наименьшее поле, содержащее объединение всех Ка.

Д. Мамфорд предложил вариант предыдущей конструкции кривой Ср, позволяющий более экономно выбирать базисное поле К' (но не род g').

Кривую Ci построим так же как и ранее, и рассмотрим особую кривую С', которая получается из Ci стягиванием

дивизора £>Х(0, Р) в одну точку Р' на кривой С'. Вкладываем затем кривую С'ХР' в ее якобиан Г (при этом (О, Р)->0), и построим кривую С", с помощью следующей коммутативной диаграммы:

J' —^*J’

□

С" *С'-р'

Берем теперь в качестве кривой СР нормализацию проективного замыкания кривой С".

Легко видеть, что отображение С^Ю-^ПЦЗресО'ХЗ',^) имеет конечные слои. В самом деле:

Накрытие Ср-* С разветвлено только в точке Р.

Существует только конечное число морфизмов между двумя алгебраическими кривыми рода, не меньшего двух.

КАК ПОЛУЧАТЬ ТЕОРЕМЫ КОНЕЧНОСТИ

Можно иначе интерпретировать конструкцию Код аиры — Паршина, замечая, что мы построили этальное накрытие С^-С и конечный морфизм C-^Ag,n (пространство модулей абелевых многообразий размерности g со структурой уровня п ^ 3) для любой гладкой кривой С рода g над полем, характеристика которого не делится на 2. Из этальности накрытия С—* С следует, что конечность С (К) эквивалентна конечности С (К). Но в силу теоремы Фальтингса множество Л8, п (К, S) конечно для любого поля К, следовательно, множество С (К) также является конечным.

Делинь сделал следующее замечание: пусть X— компактный фактор некоторой области Зигеля по действию дискретной группы без кручения. Из теоремы Маргулиса следует, что наша дискретная группа является арифметической и, следовательно, существует конечный морфизм этального накрытия X для X в некоторое многообразие модулей Ag,n. Таким образом, 4Н^(^)<°° Для любого числового поля. Например, множество абелевых многообразий заданной размерности, определенных над числовым полем К, со структурой уровня п ^ 3, алгебра эндоморфизмов которых является вполне вещественной алгеброй кватернионов, конечно с точностью до /(-изоморфизмов.

ТАБЛИЦА РЕЗУЛЬТАТОВ

Мы приводим в виде таблицы полученные к настоящему времени результаты о С — S, или о Spec б? — S. Мы также указываем то, что известно о семействах, имеющих всюду хорошую редукцию (5 = 0).

8 В*

8

8

3

R О Я

е( я и

* 5 а О

1 J V

sg« R 3.6 g е gs^'s ?■?»?

о Й^Ч^

Л 7

я 5 о s е |

« 9 о 5 О я 2 а «

■ °

Я Я у V у 5 у

S S о

S 8 g 8 8 е * o-'ssS aaag *** g

|g33

1S

'T®ио

IiS8

is 4 4

x is, „ =5s^

у S = « 8+“1 a - A 8 .8 0в «

\/ зЯ Ч Я

V уX J 5 5 5

£ ?$Л о^ь 2

3 V вu

и ^a^ = ag ag *^*g S*g *8

a5

vи$

S у S

5 °з 8 s у 2 s 5 §

5g

T я^ё 7

е | ХН^

* »аЗ 0-^ sSo:,g а§- а=>£ *3

go и

я 5 у

«О S

м3 *

ч§ 1 о

1 М 1

УсоЧ^

JULY III О О о в в e £ < a аан ***

5- V 8 а

$ 5g * 17

” Ы g *5

8 1"g »

8 S. =я “

g ss -S на * ***

Яо —°

°» =55

и у vк

5 g a

”S= *

es'S?. 6

. §2 1

*g s i &

ass* _*

6 в

1 g gtig

и о 1

ч яй

ё 11

У сот

3 з a

"i§ 7 “8

g 8 s °

s

N £

- * a

*

. 1

” 2

Sj ^ 38 §

85 g

^e 8 8 S = V v|»60 g?§S

-4=9

* *

3

§. ^5^ е! SS —-ад N я в «СО 87 8 ~ S а ё 2g

3 о5 =<а 3*1 о" “) В ^ 3 g ® 5 I 8 й^в ® » §д=а§|

* к <4 t-e . *^в

/

« S S E я Я La

2^& oils

"gasgs I'SSaS 4:833 5

В действительности имеется следующее обобщение результатов Фальтингса, которое заметили независимо сам Фальтингс, Делинь и Паршин с Зархиным *).

Теорема 2 (Фальтингс). Пусть X— регулярная схема, целая и конечного типа над Q, с полем частных К, алгебраическое замыкание которого обозначается R. Пусть G — группа Галуа К над К. Тогда

Если А и В — абелевы многообразия над полем К, то 31) представление группы G в Епбк(Т/(А)® Q0 полу- просто для любого простого I, аг) для любого I имеется канонический изоморфизм

Ношк(Л, B)®ZzT^HomQ(Tz(A), TZ(B)).

Множество классов с точностью до К-изоморфизмов абелевых многообразий над К размерности g, имеющих хорошую редукцию над схемой X, является конечным.

Заметим, что в п. b уже ничего не говорится о фиксировании степени поляризации. От предположения о степени поляризации можно избавиться при помощи следующей леммы, доказательство которой сообщил мне Делинь.

Лемма (Зархин). Пусть А —абелево многообразие над полем к. На абелевом многообразии А4 ХИ*)4 всегда существует главная поляризация.

В приводимой ниже таблице расположенное на пересечении строки «абелево многообразие» и столбца «/(-числовое поле В = Spec О — В» обозначение Ш(В, g, п) означает: множество Шафаревича абелевых многообразий над В размерности g, снабженных поляризацией степени п (см. табл, на стр. 146.

А ЧТО ТЕПЕРЬ?

Доказательство Фальтингса гипотезы Морделла не дает эффективной границы для высот рациональных точек на кривой потому, что не известна модулярная высота d для отдельного представителя из изогенного класса абелевых многообразий.

Единственный известный мне эффективный подход состоит в следующем).

Аракелов в работе [А2] развил теорию пересечений на арифметической поверхности X —^> Spec(7, где хорошей ме-

П Это обобщение принадлежит Ю. Г. Зархину. — Прим. ред.

г

148 Л. Шпирр

рой высоты точки является взятый с обратным знаком индекс самопересечения соответствующего сечения: —Е2. Мне бы хотелось выдвинуть следующую гипотезу:

Гипотеза о «малых» точках. Пусть К — числовое поле, С — гладкая полу стабильная кривая над К рода g^2, имеющая хорошую редукцию вне некоторого множества точек S. Тогда существует рациональная точка Р на кривой С, определенная над некоторым расширением К' степени п поля К, такая что соответствующее ей сечение обладает следующим свойством;

— — < (С] log D + сг log Nc\

где D — абсолютная величина дискриминанта поля К, сх, с2— две константы, Nc = N ( Ц р"^ и п^ — число компонент в слое над точкой р.

С помощью конструкции Кодаиры— Паршина и теоремы об индексе для арифметических поверхностей (Фальтингс [F3] и Хриляк [Н]) я могу показать, что эта гипотеза влечет за собой «эффективную гипотезу Морделла». Я показал в [S], что класс Кодаиры—Спенсера в геометрическом случае позволяет построить «малую» точку Р, для которой соответствующее сечение Е морфизма X -^* С удовлетворяет следующему неравенству:

-£-<(2q-2 + s),

где 8 = ^5 и q — род кривой С.

ЛИТЕРАТУРА

[АЬ] Abhyancar S. Resolution of singularities of arithmetical surfaces, Proc. Conf, on Arithm. Alg. Geometry, Purdue, 1963.

[Ari] Аракелов С. Ю. Семейства алгебраических кривых с фиксированными вырождениями. — Изв. АН СССР, т. 15 (1971) № 6.

[Аг2] Аракелов С. Ю. Теория пересечения на арифметических поверхностях.—Изв. АН СССР. т. 8 (1974) № 6.

[DI] Delfgne Р. Preuve des conjectures de Tate et Shafarevltch d’apres G. Fallings. [Русский перевод см. настоящий сб. стр. 100—124.] [D21 Deligne Р. Hodge II, Public. Math. IHES № 40.

[Fl] Fallings G. Arakelov’s theorem for abelian varieties, Inventiones Math. vol. 73, fasc. 3 (1983).

[F2] Fallings G. Eindlichkeitssatze fur abelsche Varietaten Ober Zahl- korpern, Inventiones Math. vol. 73, fasc. 3 (1983).

[F3] Fallings G. Calculus on arithmetic surfaces, Annals of Math., 1984, 119, № 2.

[Gra] Grauert H. Mordell’s Vermutung uber rationale Punkte auf al- gebraischen Kurven..., Pubi. Math, IHES, 1965,

[Gri] Griffiths Р. Lettre a 1'auteur, 18 mars 1983.

[Groll Grothendieck A. S. G. A. 7. I, exp. 9, Springer-Verlag, Lecture Notes in Math. vol. 288, 1972.

[Gro2] Grothendieck A. Un theoreme sur les homomorphismes de schemas abeliens, Inventiones Math. 2 (1966), p. 59.

Hriljac P. These, MIT 1982, American Journal of Math., 1985, 107, № 1.

Kodaira K. A certain type of irregula algebraic surface, Journal d’Analyse Mathematique vol. 19 (1967).

Lipman J. Desingularisatlon of two dimensional shemes, Annals of Math. 107 (1978), 151—207.

[Ma] Манин Ю. И Рациональные точки алгебраических кривых над функциональными полями. — Изв. АН СССР, сер. математ., 27: 6 (1963), 1395—1440.

[М-Bl] Moret-Bailly L. Families de courbes et de varietbs аЬёНеппез I et II, AstSrisque № 86.

[M-B2] Moret-Bailly L. ТЪёзе, Orsay, Asterisque, 1985, № 129.

[M-B&S] Moret-Bailly L., Szpiro L. Pinceaux de vari6tee аЬёНеппез ayant bonne rbduction, A paraitre.

[Mo] Mordell L. J. On the rational solutions of the indeterminate equation of the third and fourth degree, Proc. Cambridge Phil. Soc. t. 21 (1922), p. 179.

MullMumford D. Abelian varieties, Oxford Univ. Press, Bombay, 1970.

Mu2JMumford D. Pathologies III, American Journal of Math. 89 (1967).

N] Neron A. Modeles minimaux des vari6tfes аЬёНеппез sur les corps locaux et globaux, Publ. Math. IHES №21.

[O—S] Oort F., Steenbrink J. The local Torelli problem for algebric curves, Сёот. Alg. a Angers, Sigthoff — Noordhoff Alpen, 1980.

[P] Паршин A. H. Алгебраические кривые над функциональными полями.—Изв АН СССР 32 (1968).

[RI] Raynaud М. Schemas ел groupes de type р. р. р .... Bull. SMF t 102 (1974), 241—280.

[R2] Raynaud М. Courbes sur une vart6t6 аЬёНеппе et points de torsion, Invent. Math. 71 (1983) 207—233.

[R3] Raynaud M. Contrexemples au evanishing de Kodaira», Volume Ramanujan, Oxford Univ. Press, Bombay, 1980.

[Sa] Samuel P. Complbment ё un article de H. Grauert sur la conjecture de Mordell, Publ. Math. IHES № 29 (1966).

[Sei] Serre J.-P. Corps locaux, Publ. Inst. Math. Univ. Nancago VIII, Hermann, 1962.

[Se2] Serre J.-P. Abelian /-adic representations and elliptic curves, Benjamin, 1968.

[Shi] Shafarevitch I. R. Algebraic number fields, Proc. Int. Cong. Stok- holm, 1962.

[Sh2] Shafarevitch I. R. Minimal models ... of two dimensional schemes, TIFR, Bombay, № 37.

[Si] Siegel C. L. Oeuvres competes, vol. 1, Springer-Verlag, 1966, p. 209.

[S] SSminaire sur les pinceaux de courbes de genre au moins deux "(L. Szpiro), Ast6risque № 86 (1981).

[Tl] Tate J. Algebraic cycles and poles of zeta functions, Arithm. Alg. Geom., Purdue, 1963.

[T2] Tate J. Endomorphisms of abelian varieties over finite fields, Invent. Math. 2 (1966) 134—144.

[Wl] Weil A. Sur Г analogie entre les corps de nombres et les corps de fonctions, Revue Scient. N 77 (1939), dans Oeuvres completes

Springer — Verlag.

[W2] Weil A. Courbes algebriques et variety abfeliennes, Hermann 2e Edition, Paris, 1971.

[Z] Зархин Ю. Г. Эндоморфизмы абелевых многообразий над полями конечной характеристики. — Изв. АН СССР т. 9 (1975) № 2.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1*] Szpiro L. Seminaire sur les pinceaux arithmfetiques: La conjecture de Mordell, Asterisque, 1985, n’ 127.

!

2*1 Falltings G., Wiistholz G. et al. Rational points, Braunschveig, 1984.

3*] Arithmethic geometry, Springer, N. Y., 1986.

4*j Зархин Ю. Г., Паршин A. H. Проблемы конечности в диофантовой геометрии.— В кн.; Ленг С. Основы диофантовой геометрии. — М.: Мир, 1986, с. 369—438.

[5*] Parshin A. N. The Bogomolov — Miyaoka — Yau inequality on the arithmetical surfaces and it applications. In Seminaire de Theorie des Nombres, Paris, 1986—1987, Birckhauser, 1987.

МОНСТР»

no Р. Гриссу, Б. Фишеру и др.

Жак ТитсКоллеж де Франс, Париж, Франция

Существует одна и, вероятнее всего, единственная, с точностью до изоморфизма, конечная простая группа порядка N = 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000 = = 246 • З20 • 59 • 76 • И - 13. 17- 19-23-29-31 -41 -47-59.71. Ее называют (довольно несправедливо) монстром, или дружественным гигантом [Gr2], или, наконец, спорадической группой Грисса—Фишера или Фишера — Грисса-, она часто обозначается через Гх или, как и здесь, через F. В соответствии с классификацией конечных простых групп, считающейся завершенной (может быть, с точностью до единственности группы F: бытующие на этот счет суждения расходятся), это наибольшая из спорадических групп. «Большинство» из 26 спорадических групп (см., например, [Go], с. 134) вплетены в F (т. е. изоморфны факторам подгрупп): единственные исключения составляют группы Рудвалиса, О’Нана, Лайенса, группы Янко /з и Д и, быть может, «злой карлик» — группа 71, порядок которой 23.3.5.7.11.19*). Это обстоятельство, даже только оно одно, может объяснить тот интерес, который снискала группа F. Однако в значительной мере этот интерес был обусловлен появлением «Фантазии на тему монстра», о которых мы вспомним в § 6.

Предположение о существовании обсуждаемой группы было почти одновременно выдвинуто в ноябре 1973 г. Фишером и Гриссом. Их отправными точками были «локальные» условия на строение централизаторов некоторых элементов порядка 2 и 3. Мощные технические средства, развитые на протяжении последних 25 лет, позволили на основании гипотез такого рода получать целую кучу сведений — из

[W2] Weil A. Courbes algebriques et varietes аЬёПеппез, Hermann 2e edition, Paris, 1971.

[Z] Зархин Ю. Г. Эндоморфизмы абелевых многообразий над полями конечной характеристики. — Изв. АН СССР т. 9 (1975) № 2.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1*] Szpiro L. Seminaire sur les pinceaux arithmёtiques: La conjecture de Mordell, Asterisque, 1985, n° 127.

[2*1 Falltings G., Wiistholz G. et al. Rational points, Braunschveig, 1984.

[

3*] Arithmethic geometry, Springer, N. Y., 1986.

4*] Зархин Ю. Г., Паршнн A. H. Проблемы конечности в диофантовой геометрии. — В кн.: Ленг С. Основы диофантовой геометрии. — М.: Мир, 1986, с. 369—438.

[5*] Parshin A. N. The Bogomolov — Miyaoka — Yau inequality on the arithmetical surfaces and it applications. In Seminaire de Theorie des Nombres, Paris, 1986—1987, Birckhauser, 1987.

МОНСТР0

по Р. Гриссу, Б. Фишеру и др.

Жак ТитсКоллеж де Франс, Париж, Франция

Существует одна и, вероятнее всего, единственная, с точностью до изоморфизма, конечная простая группа порядка N = 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000 = = 2<6 • З20.59 • 7® • 11- I3- 17- 19.23.29-31 -41 -47 -59.71. Ее называют (довольно несправедливо) монстром, или дружественным гигантом [Gr2], или, наконец, спорадической группой Грисса—Фишера или Фишера — Грисса; она часто обозначается через Fi или, как и здесь, через F. В соответствии с классификацией конечных простых групп, считающейся завершенной (может быть, с точностью до единственности группы F: бытующие на этот счет суждения расходятся), это наибольшая из спорадических групп. «Большинство» из 26 спорадических групп (см., например, [Go], с. 134) вплетены в F (т. е. изоморфны факторам подгрупп): единственные исключения составляют группы Рудвалиса, О’Нана, Лайенса, группы Янко 73 и 74 и, быть может, «злой карлик» — группа 7ь порядок которой 23.3.5.7.11.19'). Это обстоятельство, даже только оно одно, может объяснить тот интерес, который снискала группа F. Однако в значительной мере этот интерес был обусловлен появлением «Фантазии на тему монстра», о которых мы вспомним в § 6.

Предположение о существовании обсуждаемой группы было почти одновременно выдвинуто в ноябре 1973 г. Фишером и Гриссом. Их отправными точками были «локальные» условия на строение централизаторов некоторых элементов порядка 2 и 3. Мощные технические средства, развитые на протяжении последних 25 лет, позволили на основании гипотез такого рода получать целую кучу сведений — из

*) Tits Jacques. Le Monstre [d’apres R. Griess, B. Fischer et al.], Semi- naire Bourbaki, 36-е аппёе, 1983/84, № 620, 1—18.

которых порядок группы часто бывает одним из самых доступных — и, так сказать, «обложить» описываемую группу, после чего остается «только» доказать существование. Для 10 из 26 спорадических групп этот последний этап — всегда трудный и, во всяком случае в первое время, связан с использованием ЭВМ, а также хорошо разработанной техники программирования, области, где особенно преуспел Ч. Симс. Что касается монстра, то замечательный успех Грисса состоит в том, что он доказывает его существование непосредственно, без обращения к ЭВМ; одновременно он освобождает от этого «первородного греха» и многие другие спорадические группы, вплетенные в F. Первая часть настоящего обзора дает крупными мазками доказательство существования монстра, восходящее к доказательству Р. Грисса, но отличающееся от него некоторыми существенными моментами; в частности, здесь доказательство элементарно, поскольку оно не заставляет обращаться ни к какому трудному результату теории конечных групп (такому как результат Д. Голдшмидта о 2-слиянии, используемый в [Gr2]).

Обсуждается, кроме того, основная роль как в доказательстве существования, так и в возникновении «Фантазии на тему монстра» некоторого неприводимого представления р размерности 196883. При первых поисках монстра было сделано предположение о существовании такого представления, в частности мысль о нем была подсказана результатами работы [Gr 1]. Задолго до того, как было доказано существование группы F, Б. Фишеру, Д. Ливингстону и М. П. Торну удались усилия по полному вычислению таблицы характеров этой группы при единственном предположении существования представления р. При тех же условиях, с добавлением некоторых других, Дж. Томпсон [Th] установил теорему единственности, принципы которой лягут в основу и нашего доказательства теоремы существования.

СУЩЕСТВОВАНИЕ

ГРУППА С. ГРУППА ТИПА М

Напомним, что в пространстве R24, снабженном евклидовым скалярным произведением ( , ), существует такая и с точностью до изоморфизма единственная решетка Л объема 1, что (Л, Л)с Z и {(%, %) |?. sA} = 2N— {2}; это — решетка Лича. Следуя Конвею, обозначим через .0 группу изометрий решетки Л и через .1 простую группу, полученную факторизацией группы .0 по {±1}. Положим М = Л/2Л. Это — векторное пространство размерности 24 над р2, снабженное квадратичной формой р, (редукция формы ^i—>

—l(x,«).рения—l(x,«).рениякоторая применяется для определения расши-

—l(x,«).

рения

—l(x,«).

рения

1 -*Z/2Z1 -*Z/2ZqJUM->1qJUM->1при помощи соотношения q2 = р(л(^)) (eZ/2Z), где qeQ. Мы будем обозначать через zo нетривиальный элемент из центра расширения Q. Имеем очевидную точную последовательность

1 -*Z/2Z

1 -*Z/2Z

qJUM->1

qJUM->1

1 -> Int Q -> Aut Q -> С (ц) -> 1.

М

Действие группы .0 на Л индуцирует вложение .1<=»О(ц), и мы обозначим через С прообраз группы .1 в AutQ.

Известно, что экстраспециальная группа Q обладает единственным неприводимым точным линейным Q-представле- нием; это представление абсолютно неприводимо, имеет размерность 212 и будет обозначаться через Q -> GL (У) (dimQ V = = 212). Отсюда мы получаем проективное представление AutQc=»PGL(У), и прообраз группы AutQ в GL^ имеет в качестве производной группы расширение А группы Aut Q при помощи группы порядка 2. Пусть С' — прообраз группы С в А; это — расширение группы С при помощи Z/2Z. Грисс показывает (без труда), что центральное универсальное расширение С группы С является скрещенным произведением групп .0 и С' над Л. Его центр — элементарная абелева группа порядка 4, а группа С, играющая здесь основную роль, определяется как факторгруппа группы С по подгруппе порядка 2 — по «диагонали» центра. Иными словами, в группе расширений группы 0 при помощи _группы Z/2Z1 группа С является суммой расширений .ОХлС и С'. Прообраз группы А4(сС) в С канонически изоморфен группе Q и будет с ней отождествляться.

Будем говорить, что конечная простая группа есть группа типа М («типа монстра»), если она обладает инволюцией, централизатор которой изоморфен группе С. Не совсем очевидно, что существует единственный класс изоморфизма таких групп. Эта единственность доказана Томпсоном [Th] посредством использования нескольких дополнительных предположений, от которых С. Нортон, как будто, смог избавиться, по крайней мере от наиболее существенных из них, таких как существование точного линейного представления размерности 196883 (см. введение и § 2). Что бы там ни было, но мы знаем следующее:

Предложение 1. Порядок конечной простой группы типа М есть число N, написанное в начале введения.

Это есть следствие теоремы C(ii) из статьи [Sm] (результат, вобравший в себя труд многих авторов), в которой предположение простоты заменено гораздо менее ограничительными, но довольно неудобными для формулирования условиями. О доказательстве предложения 1, очень техничном (и неэлементарном в смысле, упомянутом во введении), здесь не идет речи; впрочем, оно и не используется в доказательстве (а оно-то будет элементарным) главного результата Грисса — установления существования конечной простой группы типа М (см. § 5), набросок которого мы дадим.

С-МОДУЛЬ В

Положим L = A®Q и обозначим через ( , )д скалярное произведение на L, равное умноженному на восемь естественному скалярному произведению (т. е. превращающему Л в решетку, обладающую свойствами, указанными в § 1). Линейная форма на S2L, соответствующая ( , )д, имеет ядро В» размерности 299, которое можно при помощи формы ( , )д отождествить с пространством самосопряженных эндоморфизмов с нулевым следом на L.

Известно ([Col]), что решетка Л обладает 196560 векторами со скалярным квадратом 4 (относительно естественной формы); пусть Л2 = {X е Л | (X, X) д = 32} — множество этих векторов, и пусть Q2—прообраз в Q множества (Л2 + 4-2Л)/2Л (подмножество в Л4). Назовем двойным базисом векторного пространства объединение векторов базиса и противоположных им векторов. Пусть В2— векторное Q-npo- странство размерности 98280, снабженное двойным базисом (y(^)|^eQ2), занумерованным таким образом элементами из Q2, чтобы y(z0^) ——у(?)- (Если угодно, В2 можно получить факторизацией произведения ТТ Qq по подпростран- q^Qi

ству, натянутому на q + Zo^.)

Наконец, положим Bi=L®V. Это — пространство размерности 98304.

Группа С действует на В» посредством своего сечения .1 и на S2 посредством «сопряжения» (для с е С и q е Q имеем c.v(q) = v(cq)). С другой стороны, группа .0 действует на L, а С'—на Й; таким образом, С = -ОХлС' действует на Si, и это действие пропускается через С, превращая Si также в С-модуль, который является точным С-модулем наименьшей размерности. Положим В=В»ФВ2ФВ1. Это — С-модуль размерности 196883.

В самом начале своих исследований монстра Грисс [Gr 1] показал, что если бы существовала группа F, обладающая свойствами, которые он сформулировал, то наименьшей возможной размерностью точного Е-модуля было бы число 196883; и что если F обладало бы точным представлением такой размерности, то его ограничением на С могло бы быть только описанное здесь представление С-> GL(B). С другой стороны, как легко видеть, С является максимальной подгруппой в F, поэтому для восстановления F «достаточно» найти такой элемент g из GL(B), принадлежащий дополнению F—С, чтобы оказалось F = <С, g"). В [Gr 2] Грисс руководствовался мыслью воспользоваться обстоятельством, установленным значительно раньше С. Нортоном, что (по- прежнему в предположении существования представления F =*GL(.B^ группа F оставляет инвариантной на В ненулевую симметричную билинейную форму р и ненулевой алгебраический закон т: В ® В-*-В. Его метод состоял в одновременном поиске форм Рит, устойчивых относительно С, и автоморфизма g из В, не принадлежащего С и стабилизирующего эти же формы; после этого остается показать, что группа F = <C, g) конечна и Cf(z0) = C. В изложении Грисса [Gr 2] в исследовании т и g он довольно часто прибегал к методу «нащупывания», но, как мы увидим, этого можно избежать.

ГРУППА D И ЕЕ ДЕЙСТВИЕ НА В

Часто вместо того чтобы отыскивать элемент из F, не принадлежащий С, оказывается более удобным строить другую подгруппу bF, не содержащуюся в С (и которая, как мы это увидим в конце § 5, порождает совместно с С всю группу F, что, впрочем, совсем несущественно). Это и есть группа D, о которой сейчас пойдет речь.

Пусть Е— такой двойной ортонормированный (относительно формы ( , )д) базис пространства L, что 8Е а Л; пусть S—множество пар {±е|ееЕ}, и пусть a: E-^S—- каноническая проекция. Из описания решетки Лича, данного Конвеем [Col], следует, что S является носителем системы Штейнера 5(24,8,5). Группа G «перемен знаков», содержащихся в .0 = AutA, т. е. элементов из .0, представляющихся в выделенном базисе Е диагональными матрицами с коэффициентами ±1, канонически изоморфна коду Голея (^(Z/2Z)12), а стабилизатор StabE множества Е в .0 является полупрямым произведением группы Матье М^ на G. Обозначим через 6' и D' прообразы при отображении С->.1 образов групп StabE и G в Л. Мы видим, что D' — группа

порядка 236, являющаяся расширением группы G/{±1) при помощи Q. Образ множества 8£ в М = Л/2Л состоит из единственного элемента, прообраз которого в Q (обозначаемый через {21, г2}) очевидным образом нормализуется группой/У. Пусть 0° и D° — подгруппы индекса 2 в группах й' и D', являющиеся централизаторами в соответствующих группах пары {2ь 22}. Группа 5° является также централизатором в С, а стало быть, и в монстре F, если он существует, элементарной абелевой группы Z ={1,2о, 21, г2). Даже и до появления работы [Gr 2] специалисты знали, что индекс группы D0 в нормализаторе О группы Z в F «должен» быть равен 6, при этом факторгруппа В/D0 симметрическим образом переставляет Zi сопряжениями. Группа В, которая лишь вскользь упоминается в [Gr 2], играет здесь первостепенную роль. Фактически мы интересуемся скорее нормальной подгруппой D группы В, порожденной группой Q и ее сопряженными: это такое расширение группы ®з при помощи 2-группы D0, что факторгруппа D/Da симметрическим образом переставляет 2,- сопряжениями. Ставятся две задачи:

доказать существование такого расширения D; (ii) описать его действие на В.

Скоро мы увидим, что их удобно решать совместно.

Пусть R (соответственно Хо; соответственно Yo) — множество таких элементов q из Q2, образ которых в М представим в виде 4б1 — 4а2 (соответственно 2si + 2е2 + • • • + 2е8; соответственно —3б1 + £2 + ••• +е24), где е< принадлежат базису Е; для такого элемента q мы полагаем: supp^ (носитель элемента q) = а({еье2}) (соответственно supp^ = o({eb ... .е8})— блок системы Штейнера; соответственно ф0(^) = = a(ei)). Мы знаем ([Col]), что Q2 = RUXoUYo. Множества Хо и Yo являются классами сопряженности группы О'. Подгруппа R, порожденная в Q множеством R, является элементарной абелевой группой порядка 213, содержащей Z. Пусть Xi (i = 0, 1,2)—множество из 210 характеров группы/?, принимающих значение —1 на 2/ при j#=i, и пусть ф0: Х0->Х0— отображение, определенное правилом: фо(^)(г)=1 или —1 в зависимости от значения коммутатора (q, r)= 1 или го для reR. Напомним, что в § 2 было определено отображение о: Q-*B2, и обозначим через ф0: у(Хо)->5 и фо: у(Хо)->Хо отображения, являющиеся композициями отображения о-1: ц(Хо)^-Хо с отображениями ф0 и фо- Отображение (ф0, Фо): 0(Хо)->5ХХ0 сюръективно, а его слоями являются пары противоположных элементов из у(Хо).

Известно, что представление группы Q в V индуцируется каким угодно характером группы R, принимающим значение

— 1 на Zo; иначе говоря, V обладает двойным базисом W, инвариантным относительно Q и состоящим из собственных относительно R векторов, а отображение %. W Х^\3 Х2, переводящее каждый элемент из W в соответствующий характер, сюръективно и имеет в качестве слоев пары противоположных элементов из W. Множество Е ® W — двойной базис пространства Si. Обозначим через (ф, ф): E®F->-SX(^iU^2) отображение е ® щ->(а(е),%(щ)); оно сюръективно и в качестве слоев имеет пары противоположных элементов из Е® W.

Чтобы обосновать определения, которые будут далее даны, мы на время предположим, что задачи (i) и (ii) решены. Можно считать, что R устойчиво относительно внутренних автоморфизмов из D. Пусть для г = 1, 2 через X, обозначено трансформирование множества Хо каким угодно элементом из D, переводящим при сопряжении z0 в zt. Обозначим также через у: X(->S трансформирование отображения о |х: Хо—>3 таким элементом. Изложенное наводит на мысль — и мы это на самом деле показываем, —что y(XiUX2) не может быть не чем иным, как E®W, что мы должны иметь о(Х;)== --з

= ф-*(Х,) и если положить Р = о (Хо)(J (Е® W) = j °(Х<), а (ф, ф) продолжить на все Р при помощи (ф0, ф0), то ото- бражение (ф, ф): P-»SXIU^I также будет определено и устойчиво на D (при этом на S оно будет действовать тривиально, а на J Xt —- посредством внутренних автоморфизмов).

3/ 3\

Пусть (ф, ф): (J X;->SX| U Xt) — отображение, являю- i-0Xi—О /

щееся композицией отображения о""1 и (ф, ф). Прообраз элемента из SXX( при отображении (ф, ф) является смежным классом подгруппы (г{) в Хг. Если (/, /, &) обозначает перестановку тройки (0,1,2) и если х е Хь х'еХ, и ф(х) = ф(х'), то легко показать, что мы должны иметь Хх' г Хь Х'х е Х6, ф (Ххл) = ф (Х'х) = ф (х) и ф (Хх') = ф (*'х) = = ф (х) + ф (х'), откуда (хх')3 = Хх' • Х'х = 1 или z6. Точно так же, (хх')3 = (Хх' • х)3 = 1 или г,. Отсюда следует, что

*) если i ^ j, хе Xb х's X, и ф (х) = ф (х'), то Хх' = Х'х и (хх')3 = 1.

Всякой паре Ь = у (х), 6' = о (х') таких элементов из о (Хо), что ф(6)^ф(У) и ф(6) = ф(У), естественным образом отвечает элемент из ЯЛКегф(б) с носителем (ф(6), ф(6')),

а именно произведение хх'; мы его обозначим через 6 ■ У. Аналогично, паре b = e^w, b' = e'®w таких элементов из у (X, (J Х2), что ф (6) = о (е) =/= ф (6') = о (е') (и ф (6) = Ф (У) = — Х(шО), отвечает элемент из КПКегф(б) с носителем (ф(&), ф(У)), а именно единственный элемент из ЯПКегф(б), образ которого в М представлен в Л элементом 4? — 4У. Мы его также обозначим через b • Ь'. Снова угадывается, и это без труда доказывается, что два таким образом определенных произведения соответствуют друг другу при действии группы D.

Напомним, что код Голея G можно рассматривать как группу подмножеств в S мощностей 0, 8, 12, 16 или 24. Существует канонический изоморфизм между группой G/<S> и группой, двойственной к R/Z, определенный следующим образом: характер г группы R, тривиальный на Z и отвечающий паре Si, S— Si из G дополняющих друг друга подмножеств множества S, принимает на произвольном re R значение („D^rddsupponso. в этих обозначениях положим е(/)= =(—l)CardS,/4. Следующее утверждение для i = 0 проверяется непосредственно, а следовательно, должно доказываться для любого I:

пусть х, x'eXj таковы, что ф(х) = ф(х'), и положим Ь = у (х), Ь' = у (х'); тогда ХЬ' = Ь' или — Ь' (т. е. Хх' = х' или x'z^ в зависимости от значения в (ф (6) ф (У)) =; 1 или — 1.

Для хеХ, и reR полагаем °^г = хг. Иными словами, утверждается:

для 6ео(Хг) и reR, br = r или ггь смотря по тому, будет ли ф (6) (г) = 1 или — 1.

В заключение этого анализа мы покажем, что для хеХ, действие элемента х на множестве Р = у (Хо) U № ® F) может быть полностью описано при помощи v (х), действия группы Q на Р, и функций ф, ф. Для i = 0 это ясно. Предположим теперь, что I = 1 (для определенности), и пусть b г ф-1 (X,) (=о(Х/)). Сначала рассмотрим случай, когда ф (6) = ф (и (х)) (=ф(х)). Если 7 = 1, то ХЬ определяется условием (1). Если j = 0, то существует такое х* s Хо, что b = у (х'), и мы имеем ж6 = хо(х) (на основании (*)). Наконец, случай 7 = 2 сводится к предыдущему, поскольку ^^Ь)) = Ь. Теперь предположим, что ф (6) т4= ф (о (х)), и пусть элемент Уеф-1^)

таков, что ф(&') = ф(&) и ф(6') = ф(у (х)), тогда значение ХЬ' уже известно из предыдущего, а ХЬ характеризуется соотношениями ф(хЬ) = ф(Ь), ф (х6) = ф ^У) и ХЬ • ХЬ' = х (Ь • У) — = °w(b-b') (см. (2)).

Теперь забудем, что мы предположили группу D известной. Предшествующее изложение произвольному элементу р (=у(х)) из Р ставит в соответствие подстановку 6Р множества Р. При этом достаточно легко устанавливается следующий результат (подробнее см. [Ti 2], IV) :

если определить D как группу, порожденную подстановками 8Р для ре Р, то группа D', отождествляемая очевидным образом с некоторой группой подстановок множества Р, является подгруппой индекса три группы D, и для реф-1(^) внутренний автоморфизм группы D, соответствующий подстановке 6р, не меняет г, и переставляет два других Zj.

Естественным образом полагаем Хг = {б0 |реф-1(Хг)} и у (бг) = р.

Заметим, что мы уже знаем действие группы D на подпространстве пространства В, имеющем размерность 72.211 = = 147 456. Ее действие на «остальной части» пространства В определяется эвристическими рассуждениями такого же порядка трудности, что и предыдущие. Ограничимся формулировкой результатов.

Пусть Yz (/=1,2)— класс сопряженности группы D, полученный. из Yo трансформированием произвольным элементом из Х3_,; определим отображение supp: Yz->P(S) перенесением структуры (при этом Хз-z действует на S тривиально). Для у s Y/ полагаем и (z/) = 2~3 • У, и (/), где у' пробегает пересечение Y0nY3_z (показывается, что последнее множество состоит из 2® элементов, при этом каждая пара противоположных элементов из Yo имеет такой же носитель, что и z/). Пусть U,- — множество смежных классов подгруппы <Z/> в R. Для и = r-<2z>eU/ определим у (и) следующим образом: если / = 1 или 2, то у (и) = у (г) + у (ггг) е Вд если I = О, то образ элемента г в М = Л/2Л представлен в Л вектором 4е — 4е', где е, е' е Е, и мы тогда полагаем у (и) =ее' е В. (eS^L).

Наконец, доказывается, что единственное возможное действие группы D на В (совместимое с существованием группы F^ — это следующее (через е2 —-^ обозначается канона-

ческая проекция элемента е2 (sS2L) в В^: з

для deD, ееЕ и he и(иги¥гиХЛ имеет местоd(e2--^-) = e2--l- и dфф)) = v(dhy

АЛГЕБРА (В, т)

Мы видели, какую роль (прежде всего эвристическую) в построении Грисса сыграл некоторый закон алгебры т: В ® В-^В, инвариантный относительно F. Здесть для нахождения группы D нам этот закон не потребовался. Напротив, мы определим группу F как группу автоморфизмов алгебры (В, т). Поэтому важно определить отображение т, о котором мы знаем, что оно должно быть инвариантным относительно С и D.

Снабдим пространство В таким скалярным произведением ( , )в, для которого множество y(Q2)U и (Xi U Х2) = y(Q2)U и(£®1^) является двойным ортонормированным базисом пространства В2 + Вх, имеет место (В*, В2 + В1)в={0}, а для Ь.Ь'еВ» имеет место ф, Ь')в = 4 Тг bb' (напомним, что В„ было отождествлено с подпространством в EndL). Легко доказывается, что это скалярное произведение инвариантно относительно С и D.

Пусть Тр В. ®В,->В,, т2: В.® В2-> В2, т3: В2® В2->В2, т4: В,® Вх-> Вх, т5: В2® Вх-> Вх и т6: В2 ® Вх -* Вх — отображения, определяемые приводимыми далее соотношениями, в которых 6, b' е В„е End L, q, q' eQ2c End V, eeE, у eV (откуда е®иеВхУ a bq — элемент из В», получаемый следующим образом: рассмотрим элемент из Л, проекция которого в М = Л/2Л совпадает с проекцией элемента q; квадрат этого элемента есть элемент kq из пространства S2L, отождествляемого с помощью ( , )дс пространством самосопряженных эндоморфизмов пространства L, и мы полагаем bq = = kq—^-Trfe,. Тогда объявленные нами соотношения имеют вот такой вид:

т, (6 ® У) = 4 фЬ' + Vb^ - -^ Tr bb'-,

т2ф®У ф^ = ТгфЬч) • у фУ,

, . ,f ° (??'), если qq' е Q2,

Тз^0^ у^^| о в противном случае;

т4 ф ® ф ® о)) = Ьф)®и;

т5 Ф Ф) ®(e®v))=--e®q ф);

te (° (?) ® ф ® у)) = bq ф) ® q фУ

Отождествляя каждое из пространств В*, В2, В] со своим двойственным при помощи ограничения скалярного произведения ( , )в на это подпространство, мы получаем из каждого tz линейную форму на одном из 27 составляющих произведения В ® В ® В, которая, как мы убеждаемся, симметрична в случае равенства этих составляющих сомножителей. Продолжая эту форму по симметрии симметричными из рассматриваемых составляющих и нулем в остальных случаях, мы получаем симметричную линейную форму на В ® В ® В, которая посредством отождествления пространства В с помощью ( , )д со своим двойственным обеспечивает в свою очередь элемент из Нот (В ® В ® В), продолжающий отображение т< и который мы также обозначим через tz. Обратим внимание на пространство Нот$(В®В, В) отображений В®В-*-В, получаемых через ( , )8 из симметричных форм В ® В ® B-*Q.

Предложение 2. Отображения tz (l^t^6) составляют базис пространства неподвижных точек из С в Homs(B®S, В).

Функция V = £ c^t инвариантна относительно D, если и только если она пропорциональна отображению

т = 2\ + 2~Ч + 2-*t3 + т4 + 24-’т5 - 2~6т6.

Первое утверждение (лемма 5.4) из [Gr 2]) не является необходимым для доказательства существования монстра, но оно придает уверенность в методе получения т. На самом деле далее используется только инвариантность отображения т относительно D, т. е. утверждение «если» во второй части формулировки. Для установления этого подсчитаем т на тензорном произведении элементов вида е2 — -^ или о (Л),

2

где ееЕ и /г е [J (Uz U Yz U Xz) (см. последнее утверж- / =0

дение из § 3), и используем то, что вид результата инвариантен относительно произвольной подстановки индексов 0, 1, 2. Это выражается в виде свойств подмножеств R, Xz, Y; множества D, которые, будучи сформулированными, уже доказываются без труда. Вычисления в основных чертах соответствуют вычислениям из § 11 работы [Gr 2], но короче и приводят к более простым формулам: это происходит по той причине, что систематическое использование двойных базисов как бы исключает путаницу в знаках.

Это доказательство (утверждения «если»), хотя и элементарно и достаточно легко, все же слишком длинно, чтобы быть приведенным здесь. Вместо этого мы дадим доказатель-

если i = О, если I = 1 или 2;если 1 = 0, если i=1 или 2;если i = О, если I = 1 или 2;если 1 = 0, если i=1 или 2;ство утверждения «только если», основанное на том же принципе, но более короткое; таким образом, мы увидим, откуда берутся коэффициенты для т. Пусть элементы е е £, ге R и хеХ, таковы, что ф(х) = а(е) и гхеХ,, откуда ф(х)с <= supp г. Тогда из определений непосредственно вытекает, что имеет место

если i = О, если I = 1 или 2;

если 1 = 0, если i=1 или 2;

если i = О, если I = 1 или 2;

если 1 = 0, если i=1 или 2;

f (П/24) С! • у (г (г,»,I (44/3) с2 • у (г <2Z>),

V Г L) ®= / (23/3) С2 • О W.

"24 '' I (23/24) с4 • у (х),

—Зс2 • у (х), Уз • о (гх), (1/2) с4 • у (гх), 2(с5 + (44/3)с6).у(х), —31с6- у (гх),—Зс2 • у (х), Уз • о (гх), (1/2) с4 • у (гх), 2(с5 + (44/3)с6).у(х), —31с6- у (гх),т' (у (Г<2/»®У(х)) =

—Зс2 • у (х), Уз • о (гх), (1/2) с4 • у (гх), 2(с5 + (44/3)с6).у(х), —31с6- у (гх),

—Зс2 • у (х), Уз • о (гх), (1/2) с4 • у (гх), 2(с5 + (44/3)с6).у(х), —31с6- у (гх),

если i — j = 0, если 1 = 0 и j = 1 или 2. если / = 0 и 1=1 или 2 если 1 = / е (1, 2}, если 1, /е{1, 2} и t /.

Инвариантность же отображения т' относительно D требует чтобы (11/24) С1 = (44/3) с2, (23/3) с2 = (23/24) с4, с3 = (1/2)с4 = 32с6 и —Зс2 = 2(с5 + (44/3)с6), откуда т' = с4-т.

Замечание. Алгебраический закон, задаваемый табл. 6.1 из [Gr 2] (с очевидным соответствием обозначений) есть —72т. Отметим также, что используемые здесь обозначения несколько отличаются от обозначений в [Til] и [Ti2J; в частности, объекты, обозначаемые там через D, D, т2, т4’ те, т6, т и у, в обозначениях данной статьи представляют собой соответственно б°, б, 4т2, 2-10т4, З-^г-^те, 2-10т6, 25т и кубическую форму, ассоциированную с 25т.

ГРУППА АВТОМОРФИЗМОВ АЛГЕБРЫ (В, т)

Теорема. Группа Aut(B, т) ».сть конечная простая группа типа М.

Сразу же заметим, что так как никакая из трех простых составляющих В,® С, В2®С, Bi®C С-модуля В®С не устойчива относительно D, то

Результат, который нам надлежит установить, можно расщепить следующим образом:

(О CF(z0) = C;

F — конечная простая группа.

Начнем с доказательства того, что

(ii') любая инвариантная абелева подгруппа А группы F тривиальна.

Из (*) вытекает, что Л-модуль В ® С; является прямой суммой своих простых подмодулей, т. е. полупрост, к тому же все его изотипные компоненты имеют одинаковые размерности. Однако легко видеть, что модуль В® С не может быть разложимым в прямую сумму подпространств одинаковой размерности, переставляемых группой С (используется то, что dim В = 47.59.71 и что ни один из этих множителей не делит |С|). Поэтому Л — группа скалярных матриц. Будучи, с другой стороны, группой, содержащейся в Ап1(В,т), она сводится к одному нейтральному элементу, откуда и получается (ii').

Предположим, что утверждение (i) доказано, и покажем, что из него выводится (ii).

Поскольку группа Cf(z0) = C конечна, отображение Ad 20, действующее в алгебре Ли группы F, не имеет никакой неподвижной точки, кроме 0; значит, Adz0 =—1. Отсюда следует, что компонента связности нейтрального элемента группы F коммутативна, а значит, она равна {1} (благодаря (ii')); таким образом, группа F конечна (поскольку это алгебраическая группа).

Пусть Ft — инвариантная подгруппа в F, не сводящаяся к одному нейтральному элементу. Мы имеем Bi П С^ {1}, поскольку в противном случае отображение xt—>(г0,х) группы F\ в саму себя было бы инъективным, являясь при этом и сюръективным, любой элемент из fi=(z0,Л) был бы обратим с помощью z0 и группа Ft была бы коммутативной, вопреки утверждению (ii') (это рассуждение мне указал М. Бруэ). Легко видеть, что единственными инвариантными подгруппами группы С являются (1), <zo>, Q и С и что наименьшей инвариантной подгруппой группы D, содержащей Q, является сама D. Отсюда следует, что Fi содержит z0, а значит, и zi (поскольку этот элемент сопряжен с го в D), а значит, и Q, а значит, и D, а значит, также и С. Пусть S2(C)—- силовская 2-подгруппа группы С. Убеждаемся в том, что ее центр порожден элементом zo‘, отсюда следует, что нормализатор группы S2(C) в силовской 2-подгруппе S2(fi) группы F\, который ее содержит, централизует z0, а значит, содержится в С (из-за (i)). Таким образом, S2(C)— свой собственный нормализатор в S2(fi); это влечет за собой равен-

ство S2(C) = S2(B1), откуда Z(S2(F1))=<Zo>. Воспользовавшись «рассуждением Фраттини», заключаем: для f s F существует такой элемент feFx, что fS2 (FJ = f S2 (F^, откуда fzo —^zo и f s f.C c Fi. Таким образом, Fi = F, и импликация (i)=>(ii) доказана.

Осталось показать, что если aeCF (z0), то аеС.

Пусть для Ь^В через тйе GL (В) обозначается «трансляция» х ь-> т (6 ® х). Мы имеем та1б = ат6. Пусть л^ В->ВХ обозначает естественную проекцию (с ядром В»+В2), и пусть ₽: В XB->Q, р': (В, + В2)Х(В. + B2)->Q обозначают симметричные билинейные формы, определенные равенствами Р (6, У) = Тг(Ть • Ту) И р'(6, 6') = ТГ ((Л1 о Т» । 81) • (Л1оТу|В,)). Поскольку форма р' инвариантна относительно С, она является линейной комбинацией ограничений формы (,)5 (см. § 4) на В.ХВ. и на В2 X В2, и мы обозначим эти ограничения через ( . )в< и ( , )В1. Чтобы определить коэффициенты, достаточно вычислить р' (Ь, Ь) для элемента 6 е В. - {0} (например, Ъ — ее' при е, е' еЕ и е' #= ± е; см. § 3) и для элемента ЬеВ2— {0} (например, 6 = о(^) при </gQ2). Находим

(Dр, = 210-( , )В# + 9.У.( , )в.

Аналогично, р инвариантна относительно <С, D>, и, стало быть, пропорциональна форме ( , )в (ввиду (*)), и, вычисляя, например, значение р (ее', ее'), мы получаем

р = 3-1.132.41 •( , )в.

В частности, мы видим, что

форма ( , )в инвариантна относительно F

(что, впрочем, очевидно и без этого). Автоморфизм а алгебры (В, т) оставляет инвариантными собственные пространства В, + В2 и Вх элемента z0, а значит, и формы р и р'; на основании соотношений (1) и (2) отсюда вытекает, что 4) а устойчив на В», В2 и Вх, а значит, таковы же отображения ть т2, т3, т4 и 24-1т5 — 2~6т6.

Пусть для /.еА, через В£ обозначается правый сдвиг пространства В2, порожденный элементом u(q), где qeQ2 имеет тот же образ, что и X в М = Х/ЧХ. Из определения отображения т2 следует, что В^ есть «правое собственное пространство» множества В*, действующего на В2 путем Ь*—*хь, и что соответствующим «весом» (собственным значением) является линейная форма ша. 6*-*Тг^2-6) (где, как

и раньше, мы отождествляем S2L с подпространством в EndL при помощи ( , )д). Следовательно,

а переставляет между собой пространства В^ и формы сох-

Легко видеть (после небольшого размышления или обратясь к [Ja], с. 184), что любой автоморфизм Йордановой алгебры самосопряженных эндоморфизмов пространства L индуцирован ортогональным преобразованием в L. Отсюда сразу выводится, что само a|s также индуцировано таким преобразованием, скажем, преобразованием ад. Из второй части утверждения (5) получается, что ад устойчиво на Аг, а значит, и на А, т. е. что ад е .0. Прибегнув, возможно, к умножению а на подходящий элемент, выбранный из С, мы можем предположить, что а тождественно на В, и, значит, устойчиво на В^ при любом XgA2. Пусть ел — соответствующее собственное значение. Мы имеем 8л = ±1, поскольку а оставляет инвариантной форму ( , )3. Из инвариантности отображения т3 относительно а вытекает, что если X, X', X + X' е Л2, то ех+х' = ех • &v. Отсюда вытекает существование такого Хо е Л, что для X е Л2 имеет место ех = „„(„l^o. Мд/8; эт0 легко уВИДетЬ) используя базис решетки Л, содержащийся в Л2 (существование такого базиса доказывается так же, как ив случае систем корней),и воспользовавшись тем фактом, что если два элемента из А2 имеют скалярное произведение >0, то их разность также принадлежит Л2. Умножая а на элемент из Q, образ которого в М есть X0mod2A, мы придем к случаю, когда а тождественно на В2; в дальнейшем считаем, что это так.

Каждая прямая К в L есть образ самого L под действием некоторой суммы элементов из В, (cEndL). Инвариантность преобразования т4 относительно а означает поэтому, что K®V (см. § 2) устойчиво относительно а, откуда тотчас же вытекает, что a |Si является тензорным произведением отображения IdL и автоморфизма ay пространства V. Для qs Q2 отображение tv^j индуцирует на V умножение на q (напоминаем, что У—абсолютно простой Q-модуль), которое, следовательно, коммутирует с ay. Поскольку Q2 порождает Q, ay является автоморфизмом Q-модуля, и поэтому оно является умножением на скаляр, который может быть только ±1 вследствие инвариантности скалярного произведения ( , )3 относительно а. Таким образом, а=1 или го, и теорема доказана.

Замечания. 1) В [Gr 2] Грисс действовал совсем иначе. Заметив, что 2 и 3 суть единственные простые числа, появляющиеся в знаменателе формул, задающих его группу F=<C,g> и закон умножения т (в обозначениях § 2), он редуцирует рассуждения по модулю р ^ 5. Затем он опирается на глубокие результаты теории конечных групп (и на существование закона т), чтобы доказать, что централизатор элемента zo по модулю р в редуцированной группе Fp есть образ группы С в Fp. Результаты работы [Sm] (частным случаем которой, напоминаем это, является наше предложение 1) позволили ему заключить, что Fp при любом р ^ 5— конечная простая группа порядка N, значит такого же порядка и сама F. Этот метод не дает сведений относительно Аи1(В,т).

Можно также вывести теорему из следующих предложений:

Если неприводимая, бесконечная и замкнутая по Зарис- скому подгруппа группы GL(B) содержит С, то она является расширением конечной группы при помощи группы всех скалярных матриц, или же она содержит связную компоненту нейтрального элемента ортогональной группы, отвечающей квадратичной форме в В (см. [Ti 1] и [Ti 2], 1).

Всякая конечная подгруппа группы GL<B\V содержащая С в качестве собственной подгруппы, является тензорным произведением подгруппы группы GL(L) и подгруппы группы GL(V).

Доказательство утверждения (А), данное в ([Ti2J,l) использует классификацию полупростых групп Ли. Утверждение (В) можно доказать почти тем же способом, что и лемму 12.3 из [Gr 2], но было бы приятно получить ее более элементарное доказательство (см. [Ti 1], § 6).

Наше доказательство приведенной выше теоремы без изменений остается верным, если мы заменим F = Aut(B, т) на <С, П>. Принимая во внимание предложение 1, мы отсюда выводим

Предложение 5. Группа F = Aut(B, т) порождается подгруппами С и D.

И. СУЩНОСТЬ

„ФАНТАЗИИ НА ТЕМУ МОНСТРА" ("MOONSHINE”) ((CN)]

(Moonshine = Вздор, чепуха, пустая болтовня, выдумка или фантазия [определение из краткого Оксфордского словаря!.)

Обозначим через Н полуплоскость Пуанкаре, и пусть ((а Ь\ „)

N — целое >2, Го (Я) —группа || JeSL2(Z)|c=0(modW)j, Гo(^)+ — подгруппа группы GL2(Q), порожденная группой Го^)

и элементом I j о z

«Фантазии на тему монстра» неотделимы от истории открытия монстра; воспроизведем основные этапы.

В январе 1975 г. А. Огг заметил, что простое число р тогда и только тогда делит порядок монстра, когда риманова поверхносаь Я/Г0(р) + (компактифицированная) есть поверхность рода нуль. Это замечание, сделанное скорее в шутку, оказалось пророческим.

Еще более удивительно «совпадение», подмеченное Дж. Маккеем (1977 г.): размерность dim В = 196883 (см. § 2) есть не что иное, как коэффициент Ci модулярного инварианта j(z) — q~l + 744 + (2 с^1 (где q — e^12^, уменьшенный на единицу. Несколько позже Дж. Томпсон заметил, что имеет место более общий факт: первые коэффициенты ряда / (кроме 744) являются «простыми» целочисленными КОМбИНаЦИЯМИ (Ci = fi + f2, С2 = Ь+/2 + ^3> Сз = = 2fj 4- 2f2 + fa + ft, • • •) степеней ft неприводимых представлений монстра F\ иначе говоря, эти числа являются значениями на нейтральном элементе некоторых «неприводимых» характеров группы F. Следуя подсказке Дж. Томпсона, Дж. Конвей и С. Нортон заменили числа с{ значениями этих же самых характеров на других элементах группы и отметили, что таким образом получаются начала разложений в ряды других замечательных модулярных функций. Гипотеза, венчающая это удивительное открытие, была в конце концов доказана (объединенными усилиями А. Аткина, Дж. Конвея, П. Фонга, С. Нортона, С. Смита и Дж. Томпсона) в виде следующей теоремы, которая здесь цитируется по отличному обзору [Br] М. Бруэ.

Теорема. Существует формальный рядЦХ)=Х х+^СьХк с коэффициентами из множества «эффективных» характеров монстра, а также для любого geF порядка o(g) существуют целое число h^, делящее 24 и о^, и такая подгруппа Г5 группы GL2(Q), содержащая и нормализующая группу Го (A (g).о (g)), что ^компактифицированная^ поверхность H/Vg является поверхностью рода нуль, а функция jg (2) = ^-' 4- X Сб(s) qk (гдб Я = в2п,г) порождает поле функций этой поверхности.

В частности, с необходимостью имеет место Г1 = SL2(Z)' (с точностью до скаляров), откуда д = / — 744.

Главными составными частями доказательства этой теоремы являются соотношения в виде сравнений между коэффициентами модулярных форм и теорема Брауэра, описывающая характеры по их ограничениям на элементарные подгруппы.

Замечание Огга в настоящее время принимает следующий более строгий вид: для любого р, такого что Я/Г0(р) + —поверхность рода нуль, существует такой элемент gt^eF, что функция /д(р) порождает поле функций этой поверхности.

Еще одно «чудо»: для любого простого числа р, такого что (р— 1)|24, и поэтому 24 = 2d(p—1) при deN, Конвей предъявляет такие элементы g' (р) е F (или, точнее, класс сопряженности) порядка р и автоморфизм а(р) порядка р решетки Лича Л, что CF(g' (р)) оказывается расширением группы С.о(а(р)) при помощи экстраспециальной группы порядка p2d+1, причем />(p)(z) = (т) (г)/т] (pz))M + 2d, где г) (г) = = ^1/24П (1—^ — функция Дедекинда, a jg-^ порождает поле мероморфных функций поверхности Я/Г0(р) (см. [CN] и [Вг], с. 107). Элемент g' (2) есть не что иное, как наше z0 (§ 2).

В случае когда geC=CFU^, мы располагаем явными формулами (см. [CN], [Ка2] и [Вг], 4.2), выражающими /г при помощи тета-функций.

МОДУЛИ И АЛГЕБРЫ БЕСКОНЕЧНОЙ РАЗМЕРНОСТИ

«Фантазии на тему монстра» подсказали существование естественного градуированного /^-модуля М = (М1)1>_1, с полиномом Пуанкаре JZ (dim Mz) ^ вида j(z) —744. Есть надежда, что простое и прямое определение этого модуля обеспечит «одновременно» и расшифровку фантазий на тему монстра и более осознанное построение монстра.

Дж. Маккей открыл явление, аналогичное «фантазиям на тему монстра», связав последовательность представлений алгебры Ли Еа с функцией (^.f(z))1/3. Разъяснения этого были даны В. Кацем [Kal] и Дж. Деповским [Le]. Отправляясь от алгебры Каца —Муди типа ^\ которая, напомним, является центральным расширением при помощи 1С алгебры £8 ® С [Т, Т-1], рассматривают градуированный модуль фундаментального «базисного» представления, доминантный вес которого определяется диаграммой

т°

4—41111ь—н

J ооооооо

Его полином Пуанкаре есть в точности (^./(2))1/3, и £8, подалгебра алгебры Е^\ действует естественным образом на каждой однородной компоненте.

Мы располагаем явными конструкциями модуля фундаментального базисного представления алгебр Каца — Муди аффинного типа помощи «вершинных операторов» (см. главным образом [FK] и [KKLW]), а многие авторы пытались этим руководствоваться, чтобы аналогичным образом построить «модуль фантазий на тему монстра».

Любой целой четной решетке Л нечетного объема В. Кац [Ка2] ставит в соответствие градуированный модуль, который мы обозначим через Мд. Когда Л —решетка Лича, Кац замечает, что Мд — градуированный С-модуль (где С — группа из § 2), ряд Пуанкаре которого есть ^-(/(z) + c^); предполагается, что представление группы С в факторе Мд/(Мд)1 продолжается до градуированного представления группы F, характер которого задается рядом Х-ЦХ') (см. § 6).

Теперь о других результатах, полученных в этом направлении И. Френкелем, Дж. Деповским и А. Мерманом. Начнем с формулировки наиболее свежего из них, который, как мы увидим, приближается к цели, описанной в начале этого параграфа. Вспомним понятия из § 4 и рассмотрим пространство S = B + Q.l, снабженное скалярным произведением ( , )g, равным прямой сумме скалярного произведения 2а7-( , )s и трижды повторенного естественного скалярного произведения над Q. Для элементов Б = b 4- дА и Б' = Ь' + + д'. 1 из S положим b X Ь' = у т (Ь ® Ь') + дБ' + д'Ь + у X Х(6, b'^gA. Затем образуем пространство В = S[T, Т-1] + Q.e (полагая В[Т, Г-1] = В ® Q[T, Т-1]), которое в свою очередь снабдим скалярным произведением ( , )g и алгебраическим законом X, определенным следующими формулами, где и, u'eS[7, 7"Ч, а записи ( , )г и Хг обозначают естественные продолжения обозначений ( , )g и X на В [Т, Т-1]:

(« + йе, и' + k'e)g = постоянный член в (и, и'^;

(и + йе) X (и' + к'е) = и Хт и' + у ((^ 4ft ^’ “Og *е’ Группа F действует на В очевидным образом, сохраняя произведение X и скалярное произведение ( , )у Результат, объявленный в [FLM2], имеет следующий вид:

Существуют градуированный F-модуль АГ = Ц М„ и «представление» л: B->EndAl, согласованное с действиями

группы F на В и М, такое что л (е) = Id.

л (« X у) = у ([л (Ти), л (Т"1»)] + [л (Го), л (Г“!и)]) для и, и е В [Г, Г-1],

модуль л(ЬТп) однороден степени п для beB, MX=Q, Л1о = О, М_! изоморфен модулю В (как F-модуль) и У (dim Мп) .q~n = j(z)— 744, где, как обычно, а~е^г.

Л<1

Авторы предполагают очевидным образом, что характер градуированного F-модуля М задается рядом /(А-1) (см. § 6).

В [FLM2] не дано никакого указания относительно способа доказательства этого результата, но сопоставление с. [FLM1] позволяет в общих чертах вообразить себе то, что происходит. Любой целой решетке Л, четной и унимодуляр- ной, [FLM1] ставит в соответствие градуированное векторное пространство; снова назовем его Л4д, хотя на этот раз степени пробегают множество —yN. Для любого ne^Z и любого X е Л определяется при помощи «вершинного оператора» оператор хх(п) степени п в Л4д. В случае когда Л — решетка корней алгебры Е8, авторы показывают, что алгебра Ли, порожденная операторами хк(п) при ne^Z и (X, Х)=2 (т. е. когда X пробегает множество корней из Е8), изоморфна алгебре Е^ и что Мх — модуль базисного представления, новое построение которого, таким образом, дается в работе [FLM1], Построение же алгебры В (взамен алгебры Е1^) и «модуля» М (соответствующего модулю базисного представления) отчасти похоже, но, безусловно, значительно сложнее. Теперь вернемся к решетке Лича Л и заново определим операторы хх(п) (где на этот раз neZ, X е Л2, (X, Х) = 4), опираясь на «вершинный оператор». Однако, помимо того что алгебра В уже не является алгеброй Ли, существенное отличие от случая алгебры Е^ состоит и в том, что операторов Хх(п) больше не достаточно, чтобы ее «породить» (в смысле, который можно уточнить): нужно к ним присоединить их трансформации при помощи некоторой «тройки», чтобы установить взаимоотношение с нашей группой D (§ 3). [В первоначальном тексте, распространенном при устном сообщении, конец этого абзаца, опирающийся на отрывочные сведения, был достаточно смутным и неточным. Вместо того чтобы пытаться уточнять смысл, мы отсылаем читателя к появившейся за это время статье И. Френкеля, Дж. Деповского

и А. Меермана «Естественное представление монстра Фишера-Грисса с модулярной функцией I в качестве характера», Proc. Natl. Acad. Sci., USA 81 (1984), 3256—3260.]

*

**

Отклоняясь несколько от затронутых здесь вопросов, коснемся алгебры Ли бесконечной размерности, построенной Дж. Конвеем, Л. Кин и Н. Слоном [CQS], связь которой с монстром эти авторы надеются установить. В пространстве R26, снабженном системой координат (х0, xi, ..., Х24, Х70) 24

и квадратичной формой ^х2 — х2й, рассмотрим решетку В, состоящую из точек, все координаты которых принадлежат либо Z, либо Z + y, и скалярное произведение которых на вектор I у— ,-g-l целое и четное. Положим ш=(0,1,...

..., 24, 70) (вектор длины нуль!) и Ф = {г S 81 (г, г) = 2, (г, w) =—1}. Множество Ф имеет замечательные свойства: оно изометрично решетке Лича ([CS]) и имеет место равенство Aut 8 = (IsomФХ (±1}Х ^ф> где 1зотф есть группа изометрий множества Ф (изоморфная, таким образом, группе .0, расширенной при помощи переносов решетки Лича), а й^® — группа Кокстера, порожденная отражениями относительно элементов из Ф. Рассматриваемая алгебра Ли является алгеброй Каца — Муди, построенной исходя из «фундаментальной системы корней» Ф, т. е. из обобщенной матрицы Картана «г, s)\, $еф.

Сплетение (^Х Т7) X (Z/2Z) является факторгруппой группы Кокстера Сох Г, ассоциированной с графом инцидентности Г проективной плоскости П над р.

Пусть П' — дуаль к плоскости П. Выберем эпиморфизм ф: Сох Г -> (F X F) X (Z/2Z), пусть sx для х s ПЦП' обозначает образ при этом эпиморфизме соответствующей «образующей» группы Сох Г, и пусть л—проекция произведения FXF на один из его сомножителей. Ни один из элементов sx не принадлежит группе FXF, ибо иначе они все принадлежали бы ей (что видно путем последовательного присоединения), а тогда для х, г/еПОП' выражение л(ф(5*5у)) имеет смысл и представляет собой элемент из F. Теперь зафиксируем прямую d е П', принятую за «бесконечную прямую». Пусть Ш = П — d — соответствующая аффинная плоскость, и пусть П' = П' — {d} — множество ее прямых. Для хе П U П' положим г* = л (ф (SdS*)). Мы видим, что ^гх | х е IId U П'j является множеством Фишера в F такого типа, что любой «аффинной конфигурации» Р cz Hd U П^ соответствует группа FP = <гх\хе Р^, снабженная системой образующих Фишера. Рассмотрим несколько примеров.

Пусть Д1; А2, Д3еЩ суть три точки, образующие треугольник, и для i = 1, 2, 3 обозначим через Д' третью точку прямой, соединяющей точки Д/ (/ ф 1\ через at — прямую, соединяющую точки Д, (/ ^ О, через а' — прямую, параллельную этой последней и проходящую через Ар через а" — прямую, соединяющую At и Д' (секущую треугольника), и через Bed- точку на бесконечности, общую прямым ар а' и Д2Д3. Положим Рй = ^Ар Д', ар а'р a"|i=l, 2, 3] и Рх = Ро — (ар а2, а'^_ Мы имеем FP. = Fpv = F. Читателю предлагается изобразить графы Ро и Р, и убедиться в том, что это, соответственно, шестиугольник с тремя хвостами длины 3 и дерево с тремя ветвями длин 3, 4, 4. Фишер еще до 1976 г. открыл в F системы образующих, представленные этими графами.

Следующие результаты, как и много других такого же типа, были также получены Фишером. Для X с Рх полагаем F (X) = Fpv-x. Тогда F (Д2) — центральное расширение бэби- монстра ВМ при помощи группы ^га^ порядка 2; F (а() (соответственно ее производная) — нецентральное расширение (соответственно центральное) группы Фишера FiM (соответственно Fl'^ при помощи группы (г^ порядка 3; /(Д2, Д3) — центральное расширение группы 2£6(F2) при помощи элемен-

имеет место расширение графы Кок-имеет место расширение графы Кок-тарной абелевой группы (га', г^ порядка 4; F (Л2, а") s Fl^, F (Л2, Л3, а") — центральное группы Fi^ при помощи (г А- Заметим, что

имеет место расширение графы Кок-

имеет место расширение графы Кок-

стера этих групп являются деревьями с тремя ветвями длин (3, 3, 4), (2, 4, 4), (3, 3, 3), (2, 3, 4) и (2, 3, 3) соответственно. На приведенных примерах видно, как в недрах монстра можно выявить существование некоторых «экзотических» центральных расширений.

В заключение укажем еще, что работа [CN] содержит множество сведений о сопряженных классах группы F, о централизаторах элементов малых порядков и т. д.

ЛИТЕРАТУРА

[Вг] Вгоиё М. Groupes finis, series formelles et fonctions modulaires, Sem. Groupes finis, tome I, Publ. Math. Univ. Paris VII, 1982, 105—127.

[Col] Conway J. H. A group of order 8 315 553 613 086 720 000, Bull, bond. Math Soc; 1 (1969), 79—88.

[Co2] Conway J. H. The automorphism group of the 26-dimensional even unimodular Lorentzian Lattice, preprint (non date).

[CN] Conway J. H., Norton S. P. Monstrous Moonshine, Bull. bond. Math. Soc. 11 (1979), 308-339.

[CQS] Conway J. H., Queen L„ Sloane N. J. A. A Monster Lie algebra?, preprint (non date).

[CS] Conway J. H., Sloane N. J. A. Lorentzian forms of the Leech lattice, Bull. Amer. Math. Soc. 6 (1982), 215—217.

[FK] Frenkel I. В., Кас V. G. Basic representatitons of affine Lie algebras and dual resonance models, Inventiones Math. 62 (1980), 23—66.

[FLM1] Frenkel I. B„ Lepowsky J., Meurman A. An E8-approach to Fi, a parattre dans les Proceedings of the 1982 Montreal conference on finite group theory.

[FLM2] Frenkel I. B„ Lepowsky J., Meurman A. Communication personnel- le, octobre 1983.

[Го] Гореистайн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. — М.: Мир, 1985.

[Grl] Griess R. L. Jr. The structure of the «Monster» simple group, Proc. Conf. Finite Groups, W. Scott and F. Gross eds., Academic Press, 1976, 113—118.

[Gr2] Griss R. L. Jr. The Friendly Giant, Inventiones Math. 62 (1982), 1-102.

[Ja] Jacobson N Structure and representations of Jordan algebras, Amer. Math. Soc. Colloquium Publ., vol. 39, 1968.

[Kal] Кас V. G. An elucidation of «Infinite dimensional algebras ... and the very strange formula», E8(,) and the cube root of the modular invariant j, Adv. in Math. 35 (1980), 264—273.

[Ka2] Кас V. G. A remark on the Conway — Norton conjecture about the «Monster» simple group, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 77 (1980), 5048—5049.

[KKLW] Кас V. G., Kazhdan D. A., Lepowsky J., Wilson R. L. Realization of the basic representation of the Euclidean Lie algebras, Adv in Math. 42 (1981), 83-112.

[Le] Lepowsky J. Euclidean Lie algebras and the modular function j, Proc. Symp. Pure Math. 37 (1980) (Santa Cruz Conference on Groups), 567—570.

[Sm] Smith S. Large extraspecial subgroups of widths 4 and 6, Journal of Algebra 58 (1979), 251—281.

[Th] Thompson J. G. Uniqueness of the Fischer — Griess Monster Bull. Lond. Math. Soc. 11 (1979), 340—346.

[Til] Tits J. Resume de cours, Annuaire du College de France 1982— 1983.

[T12] Tits J. Remarks on Griess’ construction of the Griess — Fischer sporadic group, I, II, III, IV lettres polycopiees 1983.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1*1 Tits J. On Griess’ «Friendly giant». Invent, math., 1984, 78, 491—499.

[2*] Conway J. H. A simple construction for the Fischer—Griess monster group. Invent, math., 1985, 79, 513—540.

[3*] Griess R. L. The monster and its nonassociative algebra. Proc, of the Conf. «Finite Groups: Coming of Age», Montreal 1982; Contemporary Mathematics, 1985, 45, 121—157.

[4*] Frenkel I. B., Lepowsky J., Meurman A. A moonshine module for the Monster. Verteh Operators in Mathematics and Physics, Ed. by Lepowsky. Springer-Verlag, New York al., 1985, 231—274.

ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГОМОЛОГИИ:ОБЗОР НЕДАВНИХ РАБОТ

КОННА, КАРУБИ, ЛОДЕЯ, КВИЛЛЕНА )...

Пьер Картье

Политехническая школа, Отделение теоретической математики, Париж, Франция

ВВЕДЕНИЕ

Циклические гомологии возникли из двух различных источников. Конн [4] ввел циклические когомологии в своем исследовании инвариантов пространства слоев слоения, где они сыграли решающую роль в его некоммутативной дифференциальной геометрии. Цыган [23] ввел циклические гомологии, дающие возможность вычислить гомологии некоторых алгебр Ли; та же проблема получила близкое решение в работе Лодея и Квиллена [22]. Обе точки зрения были объединены Конном введением в [5] циклических объектов.

Оба подхода столь тесно связаны с К-теорией, что Фейгин и Цыган окрестили циклические гомологии «аддитивной К-теорией». Впрочем, возможно, каждой коммутативной формальной группе можно поставить в соответствие К-теорию; усилия в этом направлении были предприняты Моравой к 1970 г. Следует, однако, уточнить: Конн работает в аналитической ситуации с гильбертовыми пространствами, где имеется периодичность Ботта; здесь важны лишь Ко и Кь Впрочем, определением групп К<(Л) для всех целых положительных I мы обязаны Квиллену. В основе лежит характер Чженя, с помощью которого связываются К-теория и гомологии; построения, предпринятые Конном, были продолжены Каруби в контексте теории Квиллена [18], [19], [20].

Вездесущность циклических гомологий поразительна. Лишь только они возникли, как сразу были опознаны среди, казалось бы, очень отдаленных объектов: псевдоизотопии топологических пространств и пространства Л (К) Вальдхау- зена, алгебры Каца —Муди, гиперболическая геометрия размерности 3 и дилогарифм, ручной символ (symbole modere) и промежуточные якобианы, теорема об индексе. После того, как мы определим циклические гомологии и опишем основные их свойства, будет дано описание существенных моментов

[Le] Lepowsky J. Euclidean Lie algebras and the modular function j, Proc. Symp. Pure Math. 37 (1980) (Santa Cruz Conference on Groups), 567—570.

[Sm] Smith S. Large extraspecial subgroups of widths 4 and 6, Journal of Algebra 58 (1979), 251—281.

[Th] Thompson J. G. Uniqueness of the Fischer — Griess Monster Bull. Lond. Math. Soc. 11 (1979), 340—346.

[Til] Tits J. Resume de cours, Annuaire du College de France 1982— 1983.

[Ti2] Tits J. Remarks on Griess’ construction of the Griess — Fischer sporadic group, I, II, III, IV lettres polycopiees 1983.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1*1 Tits J. On Griess’ «Friendly giant». Invent, math., 1984, 78, 491—499.

[2*] Conway J. H. A simple construction for the Fischer—Griess monster group. Invent, math., 1985, 79, 513—540.

[3*] Griess R. L. The monster and its nonassociative algebra. Proc, of the Conf. «Finite Groups: Coming of Age», Montreal 1982; Contemporary Mathematics, 1985, 45, 121—157.

[4*] Frenkel I. B., Lepowsky J., Meurman A. A moonshine module for the Monster. Verteh Operators in Mathematics and Physics, Ed. by Lepowsky. Springer-Verlag, New York al., 1985, 231—274.

ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГОМОЛОГИИ:ОБЗОР НЕДАВНИХ РАБОТКОННА, КАРУБИ, ЛОДЕЯ, КВИЛЛЕНА ')...

Пьер Картье

Политехническая школа, Отделение теоретической математики, Париж, Франция

ВВЕДЕНИЕ

Циклические гомологии возникли из двух различных источников. Конн [4] ввел циклические когомологии в своем исследовании инвариантов пространства слоев слоения, где они сыграли решающую роль в его некоммутативной дифференциальной геометрии. Цыган [23] ввел циклические гомологии, дающие возможность вычислить гомологии некоторых алгебр Ли; та же проблема получила близкое решение в работе Лодея и Квиллена [22]. Обе точки зрения были объединены Конном введением в [5] циклических объектов.

Оба подхода столь тесно связаны с К-теорией, что Фейгин и Цыган окрестили циклические гомологии «аддитивной К-теорией». Впрочем, возможно, каждой коммутативной формальной группе можно поставить в соответствие К-теорию; усилия в этом направлении были предприняты Моравой к 1970 г. Следует, однако, уточнить: Койн работает в аналитической ситуации с гильбертовыми пространствами, где имеется периодичность Ботта; здесь важны лишь Ко и К\. Впрочем, определением групп Ki (Л) для всех целых положительных i мы обязаны Квиллену. В основе лежит характер Чженя, с помощью которого связываются К-теория и гомологии; построения, предпринятые Конном, были продолжены Каруби в контексте теории Квиллена [18], [19], [20].

Вездесущность циклических гомологий поразительна. Лишь только они возникли, как сразу были опознаны среди, казалось бы, очень отдаленных объектов: псевдоизотопии топологических пространств и пространства Л(Х) Вальдхау- зена, алгебры Каца —Муди, гиперболическая геометрия размерности 3 и дилогарифм, ручной символ (symbole modere) и промежуточные якобианы, теорема об индексе. После того, как мы определим циклические гомологии и опишем основные их свойства, будет дано описание существенных моментов

*) Cartier Pierre. Homologie cycliques: rapport sur des travaux recents de Connes, Karoubi, today, Quillen... , Seminaire Bourbaki, 36-e annee, 1983—84, № 621, 1—24.

этих приложений. Тематика быстро развивается, и данный обзор рискует быстро устареть1).

Я приношу искреннюю благодарность Конну, Делиню, Ка- руби и Лодею за многочисленные обсуждения, которые я имел с ними по этим вопросам, и за щедрые сведения — в большей части неопубликованные, — которые они мне сообщили. Я также благодарю Дуади за его благожелательное внимание во время подготовки этого обзора.

ПОСТРОЕНИЕ ЦИКЛИЧЕСКИХ ГОМОЛОГИЙ

КРАТКАЯ СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ К-ТЕОРИИ

Пусть X — компактное пространство. Обозначим через (X) аддитивную категорию векторных (комплексных) расслоений иа X и через Ф(Х) множество классов изоморфизма объектов из 8 (X). Относительно действия взятия прямой суммы Ф(Х) является коммутативным моноидом; ассоциированная с ним симметризованная группа обозначается через К°(Х). Для произвольного векторного расслоения Е с базой X через [Д] обозначается соответствующий элемент из К°(Х); по определению имеем [Д] + [F] = [Д Ф F], если Е и F — два векторных расслоения с базой X и любой элемент из Х°(Х) представим в виде [Д]— [Д]. На Д°(Х) существует структура коммутативного кольца, задаваемая формулой [Д] • [Д] = [Д ® Д]. Помимо тензорного произведения можно рассматривать внешние степени, определяющие операции Хп в Х°(Х). При помощи рекуррентных соотношений вводятся операции Адамса:

Ф1 (х) = х, ф„ (х) = I (-I)1"1 X, (х) ф„_г (х) + (-1)""1 пХ„ (х) Z-1

(для п^2). Примечательно, что ф„ — эндоморфизмы кольца К° (X); более того, имеет место фт° фп — Фтл и ф„ (х) = хп, если х—класс векторного расслоения ранга 1.

Пусть ФДХ)— коммутативная группа, образованная классами векторных расслоений ранга 1 на X относительно тензорного умножения в качестве действия. Эта группа изоморфна группе №(X,Z) (под когомологиями понимаются когомологии Чеха) относительно изоморфизма [L]i—»ci(L) (первый класс Чженя). Характер Чженя определяется следующими свойствами:

для компактного пространства К отображение chA является изоморфизмом колен /C°(X)®Q и Н* (X; Q) = = £ № (X; Q);

<>оv

chA функториален относительно л;

для L из ФДХ) имеет место ch*(L) = ехрп (L).

Кроме того, имеет место

chf (Ф^ (х)) = m‘chf (х) (хеК°М

если chf (х) — компонента элемента chx (х) в Нм (X’, Q). Заманчиво поэтому определить рациональные когомологии четной размерности, скажем, H+(X;Q), посредством изоморфизма chx; при этом можно с некоторыми оговорками определить операции Стинрода (см. [И]). Можно также определить классы Чженя сУЕ) векторного расслоения на X; они принадлежат группе №‘(Х; Z), и chx(£) вычисляется при помощи универсальной полиномиальной формулы (с рациональными коэффициентами) от классов с^Еу Гротендик показал, как определить К-классы Чженя, не выходя за пределы К0(X) (см. [14], с. 194—196).

Для получения нечетных когомологий используется известный изоморфизм между Н‘(Х) и Н'+ЧЗ^у где S4 обозначает надстройку пространства X. Это ведет к определению группы K^iX) = K°(SlX) или, более общо, групп К~п(Х) = K°(SnX) (где SnX— п-я надстройка пространства X). Это приводит к ненужной роскоши, поскольку теорема периодичности Ботта утверждает, что К~п(Х) канонически изоморфна группе /С-"-2^). Можно также определить относительные группы Kr^X, Yy где У —замкнутое подпространство в X; эта группа в действительности зависит только от локально компактного пространства Х\У, откуда получается определение групп Д-"(Х), когда X локально компактно. Теорема периодичности Ботта в этом случае утверждает:

«Л°(Х) изоморфна группе j(°(XXR2)», и мы имеем точный шестиугольник

Х°(Х,У) К°(Х,Г)^

К"' (Y.Z)K°(Y;Z')

(X,Z)(Х,/)^

в предположении, что X зз Y ld Z.

ПОЯВЛЕНИЕ С*-АЛГЕБР

Если А—кольцо, не обязательно коммутативное, то. обозначим через ^(А) аддитивную категорию левых проективных Д-модулей конечного типа. Изложенное в начале п. 1.1 применимо к любой аддитивной категории ^ и позволяет определить группу Гротендика К^У Мы полагаем Ко(Д) = = W№.

Для любого целого п^ 1 мы обозначаем через С£„(Д) группу матриц пХп, имеющих коэффициенты в Л и обратимых. Дополним каждую такую матрицу до бесконечной матрицы по следующему правилу:

а b 0 0 .

с d 0 0 .

0 0 10..

0 0 0 1.

Тогда группы GLn(A') образуют возрастающую последовательность, объединение которой обозначается через GL^AY Мы определим Ki(A) как факторгруппу группы ОНА) по ее коммутанту, обозначаемому через E^A/).

Предположим теперь, что А — полная нормированная алгебра (с единицей). Группа GLn(A) является тогда топологической группой, и GL^A) можно снабдить топологией индуктивного предела. В частности, определены гомотопические группы л,(С£(Д)). Разновидность теоремы периодичности Ботта (см. Вуд [17]) устанавливает существование для /^ 0 изоморфизмов (мы полагаем K-1^ = л0(С£(Д)))

К0(Д)^^+1(О£(Д)),

К"1 H)^n2i(GL(X)).

Отметим частный случай Д = С.: имеем K0(C)=Z и /С—1 (С) = 0, и мы возвращаемся к найденным Боттом гомотопическим группам n,(GL(C)).

Одно из наиболее ярких достижений теории Гельфанда нормированных алгебр состоит в следующем: если локально компактному пространству X поставить в соответствие алгебру С0(Х;С) непрерывных функций на X со значениями в iC. и обращающихся в нуль на бесконечности, то устанавливается эквивалентность категории локально компактных пространств и категории коммутативных С*-алгебр; компактные пространства при этом соответствуют алгебрам с единицей. Кроме того, если X компактно и если положить А = С^Х; С), то категория ^(Х) эквивалентна категории ^(Д) («теорема

Серра — Суона»); при этом эквивалентность устанавливается соотнесением расслоению ^ над X пространства его непрерывных сечений. Мы располагаем, таким образом, словарем, позволяющим переводить задачи о компактных пространствах в задачи о коммутативных С*-алгебрах. В частности, эквивалентность между ^(Х) и ^(Д) влечет за собой изоморфизм между К°(Х) и Ко АУ, также имеется изоморфизм между К^'(Х) и К-1 (Л)).

Одной из главных забот Конна было изучение факторпро- странств вида Х/Г или У/^", где Г —дискретная группа, действующая на локально компактном пространстве X, а ^~ — слоение на многообразии V. В обоих случаях мы можем поставить в соответствие геометрическим объектам С*-ал- гебру, обозначаемую через Cg(XiX в первом случае и через С*(У, #") во втором. Когда существует осмысленный фактор, эта С*-алгебра эквивалентна в смысле Мориты алгебре непрерывных функций, на факторпространстве, обращающихся в нуль на бесконечности. Однако, две алгебры, эквивалентные в смысле Мориты,. имеют изоморфные группы Кг (для i = 0, 1). Таким образом, разумно определить группы К-теории равенствами

K"twr)=Ki(c0№xr),

к-Чу/^у-кцсчу, Л)

(для I, равного 0 или 1). Эта К-теория имеет разумные свойства, и теперь речь пойдет о том, чтобы построить теорию гомологий и характер Чженя.

СЛЕДЫ В ЦИКЛИЧЕСКИХ когомологиях

Пусть к— поле характеристики О). Рассмотрим градуированную дифференциальную алгебру Q (с единичным элементом); обозначим через Q" однородную компоненту (для п^О) и через d\ Qn^-Qn+I дифференциал. Цикл степени п на £2 (называемый еще «замкнутым градуированным следом»)— это линейная форма т на Q”, которая удовлетворяет

двум следующим свойствам:

Т(м') = (-1)мт(<»,«)) для <9 г Qp, и' е Q’, р + q = n,

t(da) —0длящей"-1.

Вот несколько примеров:

Если А — алгебра над полем к, то мы положим Й°=А, Q" = 0 для п > 0 и d = 0; тогда цикл степени 0 — это линейная форма т на А, такая, что т(й6) = х(Ьа) для а, b из А. Такую форму часто называют следом (или центральной линейной формой).

Пусть X — ориентированное многообразие класса С” размерности п. Рассмотрим алгебру Q внешних дифференциальных форм на X и положим т (со) = j со для со е Q”.

х

Формула (2) следует из теоремы Стокса, а формула (1) обеспечивается тем, что в этом случае мы имеем со'со = = (—l)pqtoto' для co g Qp, со'е Q»; чтобы выразить это свойство, говорят, что Q коммутативна (в смысле градуировки).

В обозначениях из Ь) рассмотрим градуированную алгебру M,(Q) квадратных матриц порядка г с коэффициентами из Q. Если со = (со,/)—такая матрица, то мы положим dto = (datj). Тогда дифференциальная градуированная алгебра Мг(Й) уже не является коммутативной, но если положить Т (со) — ^ ^Ши ДЛЯ СО = (СО,/) из Q", то этим опять бу-

X i

дет определен цикл степени п на Mr(Q).

Пусть теперь А — алгебра над полем к; мы не будем предполагать ни того, что А коммутативна, ни того, что она обладает единичным элементом. Обозначим через А алгебру, получаемую из А добавлением единичного элемента, так что А = кЛ®А. Частный случай А = к существен; обозначим через Р алгебру к. Она имеет базис (1,е) над к с таблицей умножения 1.1 = 1, 1.е = е.1 = е.е = е. Введем также универсальную градуированную дифференциальную алгебру Q (А), построенную из А. Имеем Й° = А, а для n ^ 1 отображение а0 ® й! ® ... ® йп н-> й0 dax ... dan является изоморфизмом векторных пространств А ® А®п и Q"(A); если й0 = = Оо + Л.1, то

й0 dax ... dan = agdax ... dan + d (Xax da2 ... danY

Отсюда вытекает, что, используя соотношение

т,Доо, аьа^ = т(оо<&!... 4й„),

можно отождествить циклы степени п на Q(A) и п-следы на А. т. е. полилинейные формы тп, удовлетворяющие соот-

ношениям

^п (а1» а2, • • •, ап> «о) = ( О (^» а1> • • •, ап)>

и Ьтп = 0, где полилинейная форма Ьтп определяется при помощи

п= TA^xV i-0п= TA^xV i-06т„(Оо,а„+1) =

п

= TA^xV i-0

п

= TA^xV i-0

аг-ь аь ai+iап+1) +

+ (-1)"+1т„(а„+1а0, аь .... а„).

Эти определения можно переформулировать следующим образом. Пусть А*— пространство, двойственное векторному пространству А, рассматриваемое как бимодуль над А по правилу (a.f.b) (с)= f(bca) для а, Ь, с из А и f из А*. Рассмотрим комплекс коцепей Хохшильда алгебры А в бимодуле А*, обозначаемый через С* (Д).

Компонента n-степени, обозначаемая через С"(Д), представляет собой множество полилинейных форм от n+1 переменных на А, а кограничныйоператор b: С" (Д)-> С"4"1 (Д) определяется формулой (6). Значит, когомологии комплекса (С*(Д),6) являются когомологиями Хохшильда Я*(Д,Д*) алгебры А со значениями в Д*. Заметим, что элементы т„ из С"(Д), которые удовлетворяют соотношению (5), образуют векторное подпространство Сх(Д) в С"(Д). Некоторым чудом выглядит то, что b отображает С^(Д) в С"+1(Д); таким образом, можно рассмотреть подкомплекс (СЦД), 6) в (С*(Д),&) и определить его когомологии1). Эти когомологии обозначены Конном через ЯЦД), а Лодеем и Квилленом через НС*^; последние обозначения мы и примем и будем говорить о циклических когомологиях алгебры А.

СВОЙСТВА циклических когомологии

Сначала дадим определение w-произведения. Если А и В—две алгебры над полем к, то свойство универсальности алгебры Q (Д ® В) позволяет построить гомоморфизм градуированных дифференциальных алгебр

с: Q (Д®В) -> Q (Д) ® Q (В).

Если т — цикл степени п на Q(A) и л — цикл степени р на Q (В), то т U л = (т ® л) .с — цикл степени п + р на Q (Д ® В).

’) Коциклами комплекса (С^(А), б) являются, значит, «-следы; мы обозначаем через Z™ (А) множество этих «-следов.

Значит, можно определить спаривание Z"(A)X 2^(В) в 2"+₽(Л®В), и проверяется, что оно переходит на когомологии и определяет спаривание НСП^Х НСр(В) в НСп+р(А ® В).

Применим сначала это к случаю, когда А = В = к; здесь мы располагаем умножением в НС*^, и можно доказать, что НС* (к)—алгебра многочленов к [ст] от 2-следа ст, определяемого условием CT(edede)=l (предупреждение: Конн использует отличную от нашей нормировку с 2л/!). Далее рассмотрим случай, когда алгебра- А произвольна, а В равна к; мы имеем Л®й = Л, в частности о-произведение с элементом ст определяет оператор S: ЯС*(Л)->ЯС*(Л), называемый надстроечным. Подобно n-следам, он имеет следующее явное определение:

St(а0dax ... dan+2) =

n +1

= Е * («о dax ... da(_x (с^а^ dal+2 ... dan^.

Оператор S имеет степень 2 и отображает Zx(A) в Z"+2(A). Кроме того, определен оператор степени —1 В: Сп(А)-> -»Сх-1(Л). Сначала при помощи равенства

М^оа„) = (-1)"т(а„, а0, ....а^,)

определяется оператор t: Сп(Л)->С"(Л), так, чтобы подгруппа С” (Л) характеризовалась соотношением/т = т. Затем соотношением

Вот(ао, ..., а„) = т(1, Оо, ..., а„) + (-1)"т(оо, ...,а„, 1) определяется оператор Во: С"+1(Л)->С"(Л). Наконец, положим (Ю)Af = 1-|-/-}-... 4~/п, В — NBq.

По построению В отображает С"+1(Л) в С£(Л), и прямое вычисление дает соотношение ВЬ = —ЬВ. Следовательно, В переходит на когомологии и определяет оператор, обозначаемый снова через В, из Н*(Л,А *) в ЯС* (Л) (степени —1). Отметим, что, поскольку СЦЛ) является подкомплексом в С* (Л), мы имеем естественный гомоморфизм /: ЯС*(Л)->- + Я*(Л,Л*).

Основной результат Конна состоит в том, что треугольник

Н*(А,А*')

m у \

ЯС*(А) >НС*(Д

точен. Доказательство сводится к проверке двух формул: (11) SZjH) = &Cn+1M), ZUA^B^^-BZ^Ay где 2”(Д) —ядро отображения Ь: С"(Д)->СП+1 (Д). На самом деле доказывается, что В определяет при переходе к факторам квазиизоморфизм комплекса С*(Д)/С£(Д) на комплекс С^(Д)[—1]; иначе говоря, В индуцирует изоморфизм В' комплекса Нп (С* (Д)/С> (Д)) на НС?1^^, a S о В' есть не что иное, как кограница в точной последовательности комплексов

о q (д) с-(Д)-* с* (Д )/с; (д)о.

Упомянутая точная пара (Т) приводит к спектральной последовательности, которую можно описать следующим образом. Положим Dm‘" = С'п-п (Д), с условием С'(Д) = 0, если j < 0; рассмотрим два дифференциала: dx: Dm’п -> Dm+X*п Hd2: Dm‘n ->Dm'n+x, задаваемые, один при помощи Ь: ^-"(АУ* -»Ст-,1+1(Д), а второй при помощи В; Ст~п(А)-+Ст~п~х (А); поскольку мы имеем ВЬ = — ЬВ, у нас тем самым получается бикомплекс D. Фильтруем D по 2-й координате, что дает (Ё9В)т = У, Dm,n. Член Ех спектральной последовательности n>q

тогда равен Н*(А, Д) с дифференциалом М. Для окончательного описания введем коядро Д^(Д) эндоморфизма S —1 комплекса НС* (АУ поскольку S степени 2, комплекс H*DR(A^ имеет градуировку по модулю 2. Кроме того, определяем фильтрацию на Нок(АУ полагая F9Hdr (А) равным каноническому образу члена НС9(А) в Hdr(AY Член Е” спектральной последовательности получает градуировку, ассоциированную градуировке алгебры H*DR(A^ относительно этой фильтрации.

ПОЯСНЯЮЩИЕ ПРИМЕРЫ

В дальнейшем мы предполагаем, что к — поле комплексных чисел, а А—топологическая локально выпуклая алгебра с непрерывным умножением. Будем без оговорок заменять комплекс (С*(Д),6) подкомплексом, образованным полилинейными формами, непрерывными на А. Все алгебраические построения п. 1.3 и 1.4 сохраняют смысл, и теория переносится, таким образом, в топологическую ситуацию.

Пусть, далее, X— компактное многообразие класса С”, и пусть Д —алгебра С°°(Х; С). Обозначим также через Q" пространство внешних дифференциальных форм степени п

и класса С” на X; поток де Рама размерности п— это непрерывная линейная форма на й". Сначала докажем, что любой элемент т из С" (Л), для которого 6т = О, ассоциирован с потоком С размерности п на X, характеризуемым формулой

(С, fadh Д ... MD” £ sgn(a)t(f0, Мо, ..., foW).

Кроме того, соотношение т»—>С определяет изоморфизм группы когомологий Хохшильда ЯП(Л,Л*) с пространством потоков размерности п на X. Граница потока С есть поток ВС размерности п—1, определенный равенством <Вс, го> = = <С, dm> для <о Е й"-1. Далее проверяется, что указанный изоморфизм переводит оператор 1^В на Н*(Л, Л*) в границу потоков. В спектральной последовательности из конца п. 1.4 член Е2 есть в точности гомология де Рама НДХ\.СУ Таким образом, спектральная последовательность вырождается, и мы отсюда заключаем, что существует изоморфизм между H*DR(A) и Не (X; С); градуировка по модулю 2 выводится из обычной градуировки, например Я+(Х; С) =2 Я2<(Х; С), <>о

а фильтрация определяется так: FqH1(X; С)= £ Hn(X; С). "<q

Напомним также, что двойственность Пуанкаре дает изоморфизм между Нп(Х;'С.) и Hd-"(X;C), если X размерности d.

Этот пример, как мне кажется, оправдывает в общем случае обозначение ^^(Л), являющееся напоминанием о де Раме.

Второй пример — пример тора T2 = R2/Z2, снабженного расслоением 5", слои которого удовлетворяют уравнению Пфаффа dy = Мх, с иррациональным 6 (см. [4], II, п. 5). Алгебра Ле, описывающая это расслоение, состоит из рядов вида

x=S amnUmV\п

где коэффициенты (amn) быстро убывают, a U, V не коммутируют, но удовлетворяют соотношению VI/ = XUV с X = _ e2nz9. Канонический след на Ле сопоставляет указанному элементу х постоянный член а0, о- Наконец, через дц (соответственно через dv^ обозначим единственное непрерывное дифференцирование на Ле, удовлетворяющее условиям ду((7) = 1,ду(У) = 0 (соответственно дуф') = О, dy(V) = 1). Чтобы подсчитать (непрерывные) когомологии Хохшильда алгебры Ле в ее двойственной алгебре Лд, обратимся, используя резольвенту для бимодулей, к вычислению гомоло-

гий следующего комплекса:

,4;хл;Лл^о.

Имеем </(ф) — (Дф — ^U, Уф — фУ) и ^(ф,, ф2) = (Уф1 — Лф^) — — (%Уф2 — ФаЮ- Тогда НС3 (Ле) = Ker d имеет размерность 1 и порождается каноническим следом т. Отсюда выводим, что НС\А^ порождается надстройкой St следа т, задаваемой равенством 5т(х0, хь х2) — т (х0Х!Х2), и 2-следом ф, задаваемым равенством ф(х0, хх, х2) = т(х0дух1дух2 — хйдуххдих^. Оказывается, что надстройка S дает изоморфизмы НС?п^А9^~ ~ нс2п+2 (Д9) для п>1, откуда Hdr (Л9) = НС2 (Л9). Доказывается также, что нечетная часть Hdr(Aq) имеет размерность 2. Это и неудивительно, поскольку слои слоения ST стягиваемы и естественно ожидать, что когомологии фактора Т/^" изоморфны когомологиям самого Р (напомним, что мы имеем Н° (Р) = Н2 (Р) = С и что Я^Т2) размерности 2).

ЦИКЛИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

Обозначим, как обычно, через А категорию, имеющую в качестве объектов конечные множества [п] = {0, 1, ..., п} (для п ^ 0) ив качестве морфизмов возрастающие (в широком смысле) отображения. Если ‘g’ — какая-либо категория, то симплициалъными (соответственно косимплициаль- ными) объектами в ^ называются контравариантные (соответственно ковариантные) функторы из А в ^. Явно такой симплициальный объект Е определяется последовательностью объектов Еп из ^ и морфизмов

di. Еп^Еп_х, si. Еп->Еп*х (для 0</<«),

удовлетворяющих соотношениям

did^dj^di для t </,

(14)(15)(14)(15)S^Sj—"$/+l$Z для I ^^ J>S^Sj—"$/+l$Z для I ^^ J>Г Sj_xdb еслиГ Sj_xdb еслиdtSj==\ 1, еслиdtSj==\ 1, еслиI Sjdt_x, еслиI Sjdt_x, еслиК j,I равно / или /+ 1, i > 1 + 1 •К j,I равно / или /+ 1, i > 1 + 1 •

(14)

(15)

(14)

(15)

S^Sj—"$/+l$Z для I ^^ J>

S^Sj—"$/+l$Z для I ^^ J>

Г Sj_xdb если

Г Sj_xdb если

dtSj==\ 1, если

dtSj==\ 1, если

I Sjdt_x, если

I Sjdt_x, если

К j,

I равно / или /+ 1, i > 1 + 1 •

К j,

I равно / или /+ 1, i > 1 + 1 •

Когда ^ — категория модулей над коммутативным кольцом к, то говорят также вместо «симплициальных ^-модулей» о «йА-модулях».

Конн в [5] определил категорию А, содержащую А в качестве подкатегории с такими же объектами. Мы назовем циклическим объектом в ^ любой контравариантный функтор

из Л в # (наша терминология больше сходна с терминологией Каруби из [19]). В наиболее явном виде такой циклический объект является симплициальным объектом (En, di. Si), снабженным операторами tn: En-+En, удовлетворяющими следующим правилам:

dttn = tn_x d{_x, sz/„ = /„+1s,_1 для l<i<n,

/Г1 = Id^.

Рассмотрим теперь циклический ^-модуль Е (и потому йЛ-модуль). Определим линейные операторы Ь и Ь' из Еп в Еп_\ равенствами

b=d0-dx^ ... + (-l)"d„, b' = d0-dx + ... + (—l)"-1^-, затем оператор t — (—l)ntn на Еп и

^ = l + ^+ ... +/" из Е„ в Е„,

и, наконец, оператор

B = (-l)"(l — t)snN из Е„ в Е„+1.

Исходя из этих определений и соотношений от (13) до (17), мы получаем следующие тождества:

66 = 0, 6'6' = 0, ВВ = 0, ВЬ — — ЬВ.

6(1-/) = (!-/)6', (1 -t)N = N(l — 0 = 0,

b'N = Nb = Nd0N.

В частности, прямая сумма Е„ слагаемых Еп, снабженная оператором Ь, есть комплекс; гомологии этого комплекса мы обозначим просто через Н*(Е). Это — гомологии Е, рассматриваемого как симплициальный й-модуль; на основании классической теоремы Мура имеем изоморфизм

Я„(£) = л„(|В|),

где [£[— геометрическая реализация комплекса Е.

Кроме того, принимая во внимание соотношения (18) и (19), можно определить бикомплекс ^(В)

М Л 1 1-t

44

Е, ^1'^ - Ef Е] 4-L

Ео Ео — Во 4zL

Гомологии ассоциированного полного комплекса будут обозначаться через НС ДЕ) и называться циклическими гомологиями комплекса Е (это построение принадлежит Цыгану [23]). Предположим, что й содержит в качестве подкольца поле рациональных чисел. Тогда каждая линия предыдущей диаграммы точна; на основании соотношения 6(1—/) = = (1 — t)b' образом оператора 1 — t является подкомплекс в (£*, 6) и потому имеем

НСДЕ) = НДЕД\-ЙЕ.,^,

где р возникает из 6 при факторизации. Кроме того, заставляя tn действовать циклической перестановкой вершин симплекса, мы получаем из операторов tn в Еп автоморфизм Т геометрической реализации |£| комплекса Е. Обозначим через |£|цикл множество орбит автоморфизма Т в |£| («геометрическая реализация циклического множества £»). Тогда все еще в предположении Qczk мы имеем изоморфизм

НСп(Е)~щА\Е\№\

Возвратимся к общему случаю. Определим другой бикомплекс ^(£), принимая во внимание соотношение ВЬ = = —ЬВ:

Имеем ^^т„ = Е„ и ЗЦЕ)т„ = Е„_т (считая, что Et = 0, если i < 0). Определим гомоморфизм и из $ (Е) = ф $ (Е)тп в |ё,(£) = ф ^(^mn, который переводит х = $№)т„ в элемент х + ( — VfsnNx ИЗ ^(^^i-*® ^.(^m.^-m+l- ЛеГКО видеть, что и является морфизмом полных комплексов и определяет изоморфизм гомологий. Иначе говоря, можно определить НС ДЕ) как гомологииполного комплекса ^(Е), ассоциированного с ^{Е).

Наконец, построение комплекса &$(£) тотчас же дает точную последовательность комплексов

0-^(5., 6) -* M^WHM.

Переходя к гомологиям, выводим отсюда точный треугольник

ИС*(А) -—^W*(4)

/В

Н*(ДЛ)

(заметим, что / сохраняет степени, S уменьшает их на 2, а В увеличивает их на 1).

Наконец, пусть ^ — циклический A-модуль, все компоненты которого равны к и все операторы s., di и tn являются тождественными. Мы можем интерпретировать A-модули как модули над подходящим кольцом кА.. Тогда можно определить изоморфизмы

НС^Е^Тог^^, Е).

1.7. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГОМОЛОГИИ АЛГЕБР

Пусть А — А-алгебра. Поставим ей в соответствие циклический /г-модуль Л* следующим образом:

А„ есть тензорное произведение Л 0 ... 0 Л, взятое над к (n -f 1 множителей), и положим

dt(aQ<8i ... ®ап) = а0® ... ®а,а1+1® ... ®ап для O^z < п, dn(ao0 ••• 0 ап) = ОА 0 °i 0 •.. 0^-1!

s, (а0 0 ... ® а„) = «о 0 ... ® а, ® 1 ® а<+1 ® ... ® а„ (O^z^n); tg (^0 0 • • • ® 0^ = Un ® ZZq ® , . . ® Un—|.

Циклические гомологии циклического объекта Л^ будут называться циклическими гомологиями алгебры А и обозначаться через ЯС* (Л). На основании п. 1.6 имеем, таким образом, изоморфизм

ЯС„ (Л) ~ Тог'А (^, Л^).

Аналогичным образом мы назовем циклическими когомологиями алгебры А и обозначим их через ЯС* (Л), когомологии полного комплекса, ассоциированного комплексу, двойственному бикомплексу 48 (Л^). Без труда устанавливается изоморфизм

Не (Л) sExtftA (Л6, к^.

Когда к является полем характеристики 0, мы возвращаемся к циклическим когомологиям, определенным в п. 1.3. Более того, общие рассуждения о циклических объектах позволяют устранить довольно сложные явные вычисления Конна,

в частности при построении точного треугольника (Т) из п. 1.4.

Можно использовать произведение Йонеды в модулях Ext, чтобы определить умножение в группе НС* (k), изоморфной Ех1йл(^, ^). Без труда устанавливается, что мы получаем алгебру многочленов /г (о) с образующим ае. НС1^. В [5] Конн выводит отсюда, что классифицирующее пространство %А, ассоциированное с категорией X, имеет гомотопический тип пространства BS1.

Выясним связь между циклическими гомологиями и гомологиями Хохишльда. Рассмотрим А как бимодуль на самом себе, задавая действие посредством умножений слева и справа. Комплекс Хохшильда этого Д-бимодуля будет обозначаться через С,(Д); это не что иное, как комплекс (Д*, б), а гомологии Н, (Д^) комплекса Д", рассматриваемого как симплициальная группа, не что иное, как гомологии Хохшильда //,(Д,Д). Для любого целого п ^ 0 обозначим через С„(Д) фактор модуля С„(.Д) по ядру оператора 1 — t, порожденный как ^-модуль элементами

Оц^ах® ... ®а„ + (— 1)"+1а„®Оо® ... ®а„_!.

В предположении QcA циклические гомологии ВС* (Д) являются гомологиями комплекса (С^(Д), р), где р получается из b при переходе к фактору. Канонический гомоморфизм из СДД) на С^(Д) определяет гомоморфизм /, который включается в точный треугольник

НС*(Е) —^-ЯСХ(Е)

Нм@)

Установим теперь связь с гомологиями де Рама. Вернемся к дифференциальной градуированной алгебре £2(Д)изп. 1.3. Пусть [Q (Д), Q (Д)] — A-подмодуль, порожденный коммутаторами coco' — (— 1)исо'со, где со степени р, а со' степени q; он инвариантен относительно дифференциала d, и мы можем поэтому определить факторкомплекс Ла(Д)=О (Д)/[О(Д), Й(Д)]. Когда А коммутативна, [Q (Л), Й(Д)] —идеал в Й(Д), и ЛВ(Д) — обычный комплекс (по Келеру —де Раму) внешних дифференциальных форм на А. Тогда определяется гомоморфизм

ц: ЛЙ(Д)-> С^(Д),

который ставит в соответствие элементу (Oo+Xl)^ ... dan образ элемента д0® ... <8>ап в С^(Л) (я, е Л для O^Z^n, X е ку Переходя к факторам, выводим отсюда гомоморфизм 0 из Н. (ЛЙ(Л)) в НС. (Л). Когда к содержит Q, имеем точную последовательность

0->Я,(Лй(Л)) -^* ЯС, (Л) -^* НДА, Л).

Сделаем теперь предположение, что к — поле характеристики 0 и что Л — алгебра полиномиальных функций на алгебраическом многообразии X, аффинном и гладком над полем к. Возвращаясь к комплексу 5ЦЕ), введенному в п. 1.6, видим, что гомологии ЯС*(Л) вычисляются как гомологии полного комплекса, ассоциированного бикомплексу ^(Л):

С2(д) ^- СДА) *1—Со(А) *-6||

С1 (Л) *^- С0(Д) * 0 ^-

6II I

Со (А) -* 0 -*0 ■*

По определению имеем С„(Л) = Л® ... ®Л (пф1 множителей), и можно определить гомоморфизм ц: Сл(Л)-*ЛлП(Л) соотношением

р(а0®«1® • •• ®a„) = -^-aodal А A dan.

Далее, р приводит к гомоморфизму р, бикомплекса ^(Л) в следующий бикомплекс:

А2П(А) ^^-Л^А) ^Д—Л°П(А) *-

0|oj|

Л1д(А)^Л°П(А) 0

Л<>П(А)^ О '-е—0 *—

А затем показывается, что ц, индуцирует изоморфизм гомологий, откуда мы получаем изоморфизм между НС»(А) и

A"Q (Л^-'й (Л) ф HnD-R2 (Л) ф Я^4(Л) ф ...,

Мы обозначим через //^(Л) гомологии комплекса (ЛЙ(Л), d). Наконец, отсюда выводится, что фактор гомологий //С,(Л) по ядру оператора S—1 отождествляется с когомологиями де Рама H*DR(A) алгебры А; отметим аналогию с результатом Конна относительно циклических когомологий алгебры С°ДХ) (см. п. 1.5).

Проблема. Существует ли связь между циклическими гомологиями и комплексом де Рама — Витта в характеристике pt

1.8. ХАРАКТЕР ЧЖЕНЯ

В [4], II, Конн определяет для любой алгебры А спаривания между Ко И) и НС2п(А), совместимые с гомоморфизмами надстройки S: НС2п(А)-+ НС2п+2(А). При помощи перехода к индуктивному пределу отсюда выводится спаривание между Ко(Л) и //dr (Л). Следуя Каруби [19], I, можно привести следующую версию этого для циклических гомологий.

Пусть А — /г-алгебра с единичным элементом. Обозначим через МДА) алгебру квадратных матриц порядка г с коэффициентами из А. Пусть имеются проективный Л-модуль конечного типа Е и целое число n ^ 1; существуют целое число r^ 1 и такой идемпотент р в МГ(Л)= End (Лг), что Е изоморфно образу рАг эндоморфизма р. Поставим в соответствие эндоморфизму р образ произведения р® ... ® р в группе Can (Мг (Л)). Это — цикл, класс гомологий которого есть элемент [р] из НС2п(МДА)). Это дает инвариантность гомологий Хохшильда и циклических гомологий относительно эквивалентности Мориты; более точно, обозначим для любого целого i через Тг, линейное отображение из С ДМ ДА)) в С((Л), которое отображает (х0®а0)® ••• ®(х,®а,) на Тг(х0 ... х^.ао® ... ® а, (мы отождествляем МГ(А) с МДк)® А и предполагаем, что все Xj содержатся в Mr(k), а все а, — в Л). Так вот, если перейти к гомологиям, то Тг, определяет изоморфизмы

Тгр И ДМ ДА), МДА))~НДА, А),Тг^: НС ДМ ДА)) см НС ДА).

Возвращаясь к введенным выше обозначениям, устанавливаем, что существует гомоморфизм Cho из Ко (Л) в НСгДА), который ставит в соответствие модулю Е образ элемента [р] е НС2ДМДА)) под действием Тг£л. Кроме того, имеем

,НС2П(А)S1'НС2п-2(А),НС2П(А)S1'НС2п-2(А)коммутативную диаграмму:

,НС2П(А)

S1'НС2п-2(А)

,НС2П(А)

S1'НС2п-2(А)

си£

К0(А)СЬГ

Конн также строит аналогичные гомоморфизмы и для К1(Л). Мы опять последуем за Каруби, распространяя это построение на группы К;И) Квиллена [16], напомнив сначала их определение. Рассмотрим (как и в п. 1.2) дискретную группу О = ОВ(Л), объединение групп ОВДА^ для г = 1, 2, ... . Введем классифицирующее пространство SG; это—пространство, фундаментальная группа которого изоморфна группе G и универсальная накрывающая которого стягиваема. Следовательно, для всех целых i ^ 0 имеем НДВ6, Z) = НДС, Z). В качестве BG можно взять геометрическую реализацию некоторого симплициального множества; применяя +-конструкцию Квиллена, состоящую в присоединении симплексов размерностей 2 и 3, получаем пространство BG+ и- непрерывное отображение 0: ВО-* BG+. Тогда 0 индуцирует изоморфизмы групп НДВ0,2) на НДВО+, Z) и сюръективный гомоморфизм группы л1(ВО) = = G на Л1(В0+), ядро которого есть коммутант группы G. Следуя Квиллену, положим

Кг (Л) = л, (BG+).

Гомоморфизм Гуревича из л,(ВО+) в НДВв+) есть, таким образом, гомоморфизм

/z;: КДА^НДО, Z).

В то же время для любого r^ 1 группа ОВГ(Л) состоит из обратимых элементов алгебры М,(Л). Поэтому мы имеем гомоморфизм алгебры 6[СВ,(Л)] в МДАу взяв индуцированный гомоморфизм циклических гомологий, а затем воспользовавшись инвариантностью Мориты циклических гомологий и переходя к индуктивному пределу, получаем гомоморфизмы

<pm-.HCm (k [G])-+HCm(A).

Чтобы завершить определение характера Чженя, достаточно построить гомоморфизмы

0,.„: НДС, Z)->^C<+2„(A[G]) и взять композицию

КМ Д НДС, Z) Д- ^Cz+2„(ZS [G]) ^ НС(+2„ (Л).

Симплициальная модель пространства BG имеет в качестве симплексов в размерности п системы too, gign] со следующим отношением эквивалентности:

[ggo, ggx, • • •, gg»l = [go, gi. • • •, gj-

Операторы граней задаются, например, соотношением

dt too, .... gj = lgo, gi-t. gi+i, ... Snl.

но имеются также циклические операторы

/[go, .... gj = to™, go, gn-iL

Взяв комплекс цепей с коэффициентами из к, получаем циклический A-модуль, циклические гомологии которого обозначим через НС AG, к). Таким образом, устанавливается изоморфизм между HCn(G,k) и прямой суммой групп Hn-2j(G, k), откуда получаем гомоморфизм

П1,„: НАО, к^НС^ЛО, k).

Чтобы определить 0i>n, достаточно взять композицию

HAG, Z^HAG, А) ^ НС^АО. А) -^- НСигп№А\где ар; HCp(G, к)-* НСрЦг\О)) индуцировано отображением[g0> • • • > gP] ^ gp too ® g0~toi ® • • • ® gphgp-

Теперь, как можно было ожидать, имеется коммутативная диаграмма

C/i” НС^2К^

HCi.2n_2 (A)

Когда к содержит Q, образ гомоморфизма S равен образу гомоморфизма 0 (см. п. 1.7) и, следовательно, характер- Чженя получает свои значения в гомологиях комплекса ЛЙ(А). Беря совсем частный случай, когда алгебра А коммутативна, получаем характер Чженя со значениями в гомологиях де Рама алгебры А.

ПРИЛОЖЕНИЯ ЦИКЛИЧЕСКИХ ГОМОЛОГИЙ

ГОМОЛОГИИ АЛГЕБР ЛИ

образом:образом:Лл(9) = Тог^)(А, к).Лл(9) = Тог^)(А, к).Рассмотрим поле к характеристики 0. Если д — алгебра Ли над полем к, то определим группы гомологий следующим;

образом:

образом:

Лл(9) = Тог^)(А, к).

Лл(9) = Тог^)(А, к).

7 Зак. 506

где U(д)— обертывающая алгебра для д, и g тривиально действует на к. Эти группы вычисляются через комплекс (Ag, d), где d следующим образом действует во внешней алгебре алгебры д:-

d(xt Д ... Дхя) = Е (-Di+/[^, х/] Д Xi Л ...!<<</<«

... Л х^ Л ... Л Ху л ... л х„.

(мы используем обычную условность: знак ^ обозначает пропуск соответствующего члена). Классическая теория устанавливает, что Н*^)— биалгебра; она является, стало быть, антикоммутативной универсальной алгеброй над пространством PrimН,(д) примитивных элементов (теорема Хопфа).

Сейчас, следуя Лодею и Квиллену [22], а также Цыгану [23], мы произведем отождествление пространства Prim Н,(д) в одном важном случае. Пусть А — алгебра над полем к, и пусть Л4(Л)—ассоциативная алгебра бесконечных матриц ^аи\>1, !>v имеющих конечное число ненулевых членов; относительно обычной скобки [а, 6] = ab— Ьа эта алгебра Ли, которую мы обозначаем через д!(Л); она является объединением возрастающей последовательности алгебр Ли glr (Л), образованных г X r-матрицами. Возьмем целое число r^ 1; определим линейное отображение X из ®п-1д1г(Л) в СДМ,^, которое ставит в соответствие произведению х0 ® ... ® хп элемент

(—1)" 2 Sgn (<T)Xo®Xa(i)® . .. 0Х<,(п). as®n

Составим композицию X со следом Тг„ из С„(ЛГГ(Л)) в С„(Л), а затем с каноническим отображением из С„(Л) на СЯ(Л). Переходя к индуктивному пределу по г, получим окончательно гомоморфизм комплексов

А: (ДдЦЛ), d)[4-1]->С^(Л).

Основной результат состоит в том, что X индуцирует изоморфизмы

А„: РптЯя+1(д1(Л))->ЯСя(Л).

Кроме того, для любого целого числа m^t п канонические отображения

нп №п (Л)) -> Hn (glm (Л)) -> Нп (д! (Л))являются изоморфизмами (стабильность гомологий). Нако-нец, если алгебра А коммутативна, то имеем точную последо-

вательность

Нп Wn-t (Л)) -> Нп (д(„ (Д)) ^ Д"'^ W^Q (Д) -> 0.

Доказательство проводится в три этапа:

Классическая теория инвариантов Г. Вейля и И. Шура дает в наше распоряжение изоморфизм модуля коинва- риантов

НйШ1г), glrW® ... ®glrW)п множителей

с алгеброй А[©п] симметрической группы ©„, каждый раз, когда г п.

Алгебра Ли дГ(Д) отождествляется с д!г(/г)®Д; поскольку алгебра Ли glr(A) редуктивна, то мы можем, чтобы подсчитать гомологии алгебры Ли дГ(Д), заменить комплекс (А(д1г(/г)® Д), d) множеством его , коинвариантов относительно действия алгебры д1г(/г)’).

Учитывая а), можно вывести, что примитивная часть (в смысле копроизведения) этого последнего комплекса коинвариантов естественным образом изоморфна циклическому комплексу С^(Д).

УНИВЕРСАЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ АЛГЕБР ЛИ

В порядке сравнения сначала напомним некоторые свойства центральных расширений групп. Пусть G — группа, равная своему коммутанту; тогда существует точная последовательность

0-*tf2(6; Z)->£-Ag->1

со следующими свойствами:

ядро гомоморфизма л содержится в центре группы Е;

если л': E'-^G является сюръективным групповым гомоморфизмом и если его ядро содержится в центре группы Е', то тогда существует единственный гомоморфизм и-. Е-*Е', для которого л = л' ° и.

Возвратимся к группе GL(Ay соответствующей некоторому кольцу А. Коммутант группы GL^A^ обозначается через Е^А\, это подгруппа, порожденная элементарными матрицами (с 1 на диагонали и единственным ненулевым элементом вне диагонали). Группа Е(А^ равна своему коммутанту, и

GL (А^Е (Д) = Ki (Д), Н2 (Е (АУ Z) = К2 (Д).

‘) Случай, когда k = А, хорошо известен и восходит по существу к Э. Картану (1936 г.). Он был рассмотрен явно Шевалле и Эйленбергом в 1948 г.

Имеем, таким образом, универсальное центральное расширение

О-> ^ (Л)SZ (Л)G£ (Л)1,

где группа 5((Л) называется группой Стейнберга. Также имеем

#з№(Л); 2) = К3(Л).

Перейдем к алгебрам Ли. Если g— алгебра Ли над коммутативным кольцом к, то Ну (g) = д/ [д, д]. Предположим, что линейное отображение 0: А2д->д, переводящее х/\у в [х, у], допускает линейное сечение; из этого предположения вытекает, что [д, д] = д, и, наоборот, оно выполняется, если [д, д] = д и ПРИ этом д — проективный модуль над к. Тогда существует центральное расширение алгебр Ли

О-> Я2 (g)аgО, универсальное в том же смысле, что и раньше.

Прежде чем продолжать, сделаем несколько замечаний о группах циклических гомологий НС0(А) и ЯС1(Л). Пусть [Л, Л] является /г-подмодулем в А, порожденным коммутаторами [а, Ц= ab — Ьа; тогда //С0(Л) изоморфна фактору Л/[Л,Л]. Введем также коядро Г(Л) дифференциала 0: С^(Л)—С^(Л); как A-модуль, оно порождено символами <а, by, где а и 6 пробегают А, билинейными относительно а, b и удовлетворяющими условиям

(а, 6)+ (6, а)=0, (а, be) + (b, са) + (с, ab) — 0.

По определению группы НСх^Ау имеем точную последовательность

0-*ЛС!(Л)-*Г(Л)-^[Л, Л]-*0

с у<а, by = ab — ba.

Возьмем целое число г ^ 1. Определим линейное отображение Т из дТ(Л) в А /[Л, Л], которое ставит в соответствие матрице (х,/) образ следа £ хп по модулю [Л, Л]. Обозна- чим через з!г(Л) ядро отображения Т. Тогда з1г(Л)— алгебра Ли дифференцирований алгебры glr (Л), откуда получаем изоморфизм

Н^ДА^НС^А) (дляг>1).

Обозначим теперь через д$г(Л) A-модуль дТ(Л)Х Г(Л), снабженный следующим билинейным законом композиции:

[(х, у), (х', у')] = ([х, х'], Е^, х^у

Алгебра gfr(A) чуть-чуть не оказывается алгеброй Ли над к; мы действительно имеем [и, и] = — [и, и] и тождество Якоби

[и, [и, ф] ] + [о, [ф, и] ] + [tf, [и, и] ] = О,

однако нельзя утверждать, что [и, и] = О (за исключением, разумеется, случая, когда 2 обратимо в /г). Обозначим через str(A) ЯДР0 гомоморфизма (Тг, у) из fitr(A) в А; относительно предшествующей операции это — алгебра Ли, т. е. для и из str(A) мы уже имеем [и, и] = 0. Эти построения можно подытожить в следующей коммутативной диаграмме с точными строками и столбцами:

ООО

f t „ t

о -* Slr (А)* gI/А) -L~A/\M1 —* о

в str (А) —* gt^A) —» А 0

О[А,А] -*0

ООО

Лодей и Кассел доказали в [28] следующий результат:

а) Если г ^ 3, то алгебра Ли slr(A) порождена образующими иц(а) (при 1 i г, 1 г, i ¥= /, йеА), линейными относительно а и подчиняющимися условиям

\иц(а\ ик1(Ь)} = б1киц(аЬ).

b) Когда г ^ 5, алгебра Ли str(A) является центральным универсальным расширением алгебры sir (А).

В качестве следствия предположим, что либо г ^ 2 и число 2 обратимо в к, либо r^ 5 и алгебра [А, А] является проективным /г-модулем. Тогда имеем изоморфизм

Н2(%\ДА^~НСх(АУ

Когда А коммутативна, имеем [А,А] = 0, откуда НСХ(АУ = = Г(А), и отображение a.dbv-*<а., by определяет изоморфизм алгебры &A/k/dA на Г(А) (через йд/^ мы обозначаем модуль кэлеровых дифференциалов алгебры А). Предположим, помимо этого, что число 2 обратимо в к. Тогда предыдущий результат дает изоморфизм

Я2(в1г(А))^О^А (г >2).

Он выводится переходом к факторам из гомоморфизма

х Л у и-> Tr (х dy)

алгебры Л2з1г(Л) в йд^. Этот частный случай получен Блохом [24]. В еще более частном случае предположим, что А— алгебра k\t, Г1] полиномов от t и t-1; тогда вычет дифференциальных форм определяет изоморфизм алгебры w/k/dA с полем к. В этом случае мы, таким образом, имеем центральное универсальное расширение

и можно показать, что это — известное расширение алгебр Каца —Муди (см. Гарланд [25]).

Замечание. При менее ограничительных предположениях Кассел недавно установил в [27] изоморфизмы

7^2 (9 ® 2 Л) — ^Ajk/dA,

где g— одна из определенных Шевалле целочисленных форм полупростых комплексных алгебр Ли, а А — коммутативная fe-алгебра; здесь g ®z А рассматривается как алгебра Ли над к. Частный случай А = k\t, i~l] был ранее изучен Гарландом [25].

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ К-ТЕОРИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

Начнем с нескольких напоминаний о рациональной гомотопической теории. Пусть сначала М— компактное многообразие класса С00, псевдоизотопия такого М — это диффеоморфизм / многообразия MXI (где / = [0,1]), такой, что f(x,O) = (х,0) для любого хе М. Обозначим через Р(М) пространство псевдоизотопий. Легко определяется надстройка 2: Р(М)->- Р(М X /), а она позволяет определить индуктивный предел ^(М) пространств Р(МХ1к). Важно иметь возможность вычислять группы стабильных гомотопий л1(^’(А4)). Вальдхаузен [33] строит пространство Л(М) и изоморфизм групп л9(Л(М)) группам np_2(^(Al))//f(М; Q) (полагаем л9 (X) = л. (X) ® Q для любого топологического пространства X). Значит, тем самым наша задача сводится к вычислению рациональных гомотопий пространства Л(М).

Определение пространства Л(Х) зависит, вообще говоря, от пространства петель. Начнем с простого случая, когда X— пространство Эйленберга — Маклейна К(л, 1); иначе говоря, мы имеем Л1(Х) = л и л,(Х)=0 при i^l- Тогда А (X) есть не что иное, как пространство BG+, уже рассмотренное выше, где G = GL{Z [л]); группы гомотопий Х,(Х) =

= л,(Д(Х)) являются не чем иным, как группами Квиллена /С(2[л]), и, в частности, Xi(X) = Ki(Z), если X сводится к точке (откуда л={1}). Известно, что группы X0(Z[n]) и Ki(Z [л]) сыграли важную роль в возникновении алгебраической /(-теории и что они связаны с теорией Уайтхеда простого гомотопического типа.

Перейдем к другому случаю, к случаю односвязного пространства X с отмеченной точкой х0. Рассмотрим пространство ЙХ петель на X из точки х0; оно не является топологической группой, но Кан построил симплициальную группу GX, которая имеет тот же гомотопический тип, что и ЙХ. Тогда i4 = Q[GX] — симплициальное кольцо-, затем вводится в рассмотрение симплициальная группа GL^A), что приводит к симплициальной версии классифицирующего пространства BGL^A); к нему можно применить +-конструкцию Квиллена. Тогда А (X) имеет гомотопический тип геометрической реализации пространства BGL^AV\ положим Х,(Х) = л,(Л(X)) и обозначим через ^(Х) факторгруппу Х^Х^/ХЛхйу

Речь идет о том, чтобы дать средства вычисления этих групп, не повторяющие их определение. Для этого рассмотрим группу С,(ЙХ;ф) цепей с рациональными коэффициентами пространства петель ЙХ. Поскольку ЙХ является //-пространством, мы можем определить произведение (понтрягин- ское) петель из ЙХ и получить градуированную дифференциальную Q-алгебру (Внимание! В этом пункте дифференциал имеет градуировку — 1). Рациональная модель для ЙХ является связной градуированной дифференциальной Q-ал- геброй, снабженной гомоморфизмом /<->-С*(йХ; Q), согласованным со всеми структурами и индуцирующим изоморфизм на группах гомологий (иначе говоря, это то, что обычно называется квазиизоморфизмом). И действительно, как это следует из работ Квиллена1), имеет место эквивалентность категории связных градуированных дифференциальных Q-ал- гебр, с точностью до квазиизоморфизма, с категорией пунктированных односвязных топологических пространств, с точностью до рационально-гомотопической эквивалентности.

Итак, выберем К, как это сделано выше, и обозначим через К идеал элементов степени >0. Если в качестве К взять минимальную модель, то можно предположить, что К — тензорная алгебра некоторого пространства V над Q со «скрученным» дифференциалом. Поскольку К — ассоциативная алгебра (вообще говоря, без единичного элемента), можно рассмотреть алгебру Ли gl(K), которая унаследует

!) См. его статью о рациональной гомотопии в Annals of Mathematics, 90 (1969), р. 205—295.

дифференциал от К. Можно видоизменить определение гомологий алгебр Ли, чтобы определить гипергомологии ННДаЦК)).

Первый важный результат принадлежит Двайеру, Сяну и Стаффельдту [30]:

Пусть К — рациональная модель алгебры сингулярных цепей на QX. Тогда %‘i(X)®Q изоморфно примитивной части (в смысле биалгебр') модуля коинвариантов алгебры gl(Q), действующей с помощью присоединенного представления на гипергомологиях hH#(%\(R)).

Следующий щаг принадлежит Сяну и Стаффельдту [31]:

В предшествующих обозначениях предположим, что К изоморфна, как алгебра, тензорной алгебре T(V), где V— векторное пространство над Q. Пусть

Т: ^]

— след, определенный так же, как и в п. 2.2. Тогда Т индуцирует изоморфизм коинвариантов модуля hH,(gl(K)) относительно алгебры gl(Q) с гипергомологиями hH,(Kj\K, К]) градуированной коммутативной алгебры Ли K/VK, К].

Последний акт сыграли недавно независимо друг от друга Бургелеа и Стаффельдт, Речь идет о том, чтобы ввести в бой циклические гомологии. С самого начала дело касается распространения понятия циклических гомологий на случай градуированной дифференциальной алгебры А над коммутативным кольцом к. Заметим для этого, что ясно, как определить тензорное произведение градуированных дифференциальных алгебр. Следовательно, As — циклический объект категории градуированных дифференциальных алгебр. Значит, два бикомплекса ^(Л^) и ^ (Л^), определенных в п. 1.7. наследуют третий дифференциал, и мы должны взять полный комплекс, дифференциал которого является суммой трех членов. Получаемые таким образом гомологии обозначаются через ИНС, (А).

Теперь приведем следующий основной результат, который сформулировал Бургелеа в письме Конну:

Пусть f: А-*В — квазиизоморфизм градуированных дифференциальных алгебр. Индуцированный гомоморфизм является изоморфизмом гомологий hHC^A) и hHC^Bj (основное кольцо к произвольно).

Пусть X — пунктированное односвязное пространство, и f: A-^-C*(QX; Q)— квазиизоморфизм градуированных дифференциальных Q-алгебр. Тогда f индуцирует изоморфизм группы ^(.Х)® Q с к.НС;-\(А) при любом i ^ 1.

Принимая во внимание уже отмеченные результаты Сяна и Стаффельдта, доказательство сводится лишь к унылому переложению результатов Конна, а также Лодея—Квиллена в применении к случаю дифференциальных алгебр.

ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ЦИКЛИЧЕСКИХ ГОМОЛОГИИ

В [4], I Конн показал, как определить характер Чженя в К-гомологиях (последние — в смысле Каспарова)). Это — гомоморфизм из К°(Л) в Hdr(,A\ где А— плотная подалгебра С*-алгебры? Используя спаривание Каспарова между Ко И) и К0 (Л), Конн выводит отсюда теорему об индексе, обобщающую результаты Пимснера и Войкулеску.

В [6] Конн показал, как определить класс п-следов на С*-алгебре, которая неограниченна, в смысле неограниченности операторов гильбертова пространства. Отсюда он выводит геометрическое описание, в терминах кобордизмов, важной части группы К*(У/^")в К-теории многообразия V, снабженного слоением 9F. Он интерпретирует также в своей теории класс Годбийона —Вея.

Пусть .К — алгебраическое многообразие над полем к. Если X не является аффинным, то циклические гомологии кольца регулярных функций не очень интересны. С другой стороны, можно определить пучок комплексов вида U i—» ^С^(Г([/, Ох^, где U пробегает множество открытых подмножеств в X (в топологии Зарисского). Когда к имеет характеристику 0, а X гладкое, этот пучок комплексов (или комплекс пучков) является прямой суммой усеченных комплексов де Рама

0 —> йх,ь —* Qx/A -* . . . ► ^Xlfe —*• 0.

Такие комплексы были использованы Делинем [36], Блохом |[35] и Бейлинсоном [34] для определения высших регуляторов. В этом плане Жилле [38] развивал теорию .классов Чженя. Оставалось только полностью подключить циклические гомологии.

Уже и в предыдущей ситуации дилогарифм играет, неожиданную роль. За связями между такими достаточно далекими объектами, как дилогарифм, проблема равносоставленности многогранников), непрерывные когомологии группы SLatO, а также группа Кг поля, мы можем отослать к статье Дюпона и Заха [37].

ЛИТЕРАТУРА

Всему свое место. А вот и ссылки на Конна:

Connes A. Feuilletages et algebres d’operateurs, Sem. Bourbaki 1979— 80, expose n° 551, Springer-Verlag, Leet. Notes in Math. 842 (1981), 139—155.

Connes A. C-algebres et geometric differentielle, C. R. Acad. Sci. Paris, serie A, vol. 290 (1980), 599—604.

Connes A. C-algebres et geometric differentielle, C. R. Acad. Sci. Paris, Pure Math. 38 (1982), part 1, 521—628, Amer. Math. Soc., Providence.

Connes A. Non commutative differential geometry. Chapter I:'The Chern character in K-homology; Chapter II: De Rham homology and non commutative algebra, prepublications I. H. E. S., Bures-sur-Yvette, oct. 1982 et mars 1983; Public. Mathem. IHES, 62 (1986), 41—144.

Connes A. Cohomologie cyclique et foncteurs Ext", C. R. Acad. Sci. Paris, serie I, vol. 296 (1983), 953—958.

Connes A. Cyclic cohomology and the transverse fundamental class of a foliation, prepublication I. H. E. S., Bure-sur Yvette, dec. 1983.

Connes A., Skandalis C. The longitudinal index theorem for foliations, prepublication I. H. E. S., Bures-sur-Yvette, 1982.

Baum P., Connes A. Geometric К-theory for Lie groups and foliations, prepublication I. H. E S., Bures-sur-Yvette, nov. 1982.

Baum P., Connes A. Leafwise homotopy equivalence and rational Pontr- jagin classes, prepublication I. H. E. S., Bures-sur-Yvette, sept. 1983.

Справочники по К-теории:

Atiyah M. К-theory, Benjamin, New York, 1967. (См. также перевод: Атья M. Лекции по К-теории, М., 1967.)

Atiyah М. Power operations in К-theory, Quart. J. Math. Oxford (2) 17 (1966), 165—193 (reproduit comme appendice dans [10]).

Басс X. Алгебраическая К-теория, M., 1973.

Ботт Р. Lectures on KW, Benjamin, New York, 1969.

Karoubi M. К-theory, an introduction, Springer-Verlag, 1978. (См. также перевод: Каруби M. К-теория, М., 1981.)

[151 Милнор Дж. Введение в алгебраическую К-теорию, М., 1974.

Quillen D. Higher algebraic К-theory, Springer-Verlag, Leet Notes in Math. 341 (1973), 85—147.

Wood P. Banach algebras and Bott periodicity, Topology 4 (1966), 371—389.

Некоторые источники по циклическим гомологиям:

Karoubi М. Homologie cyclique des groupes et des algebres, C. R. Acad. Sci. Paris, serie I, vol. 297 (1983), 381—384.

Karoubi M. Homologie cyclique et K-theorie algebrique, I et II, C. R. Acad. Sci. Paris, serie I, vol. 297 (1983), 447—450 et 513—516.

Karoubi M. Homologie cyclique et regulateurs en K-theorie algebrique, C. R. Acad. Sci. Paris, serie I, vol. 297 (1983), 557—560.

Karoubi M. Connexions, courbures et classes caract6ristiques en K-th6o- rie algebrique, Canadian Math. Soc. Proc., vol. 2, part I (1982), 19—27.

Loday J. L, Quillen D. Cyclic homology and Lie algebra of matrices Comm. Math. Helv., 59 (1984), 565—591 (см. также C. R. Acad. Sci Paris, ser. I, vol. 296 (1983), 295—297).

Цыган Б. Л. Гомологии матричных алгебр Ли над кольцами и гомологии Хохшильда, УМН, т. 38, вып. 2 (1983), 217—218.

Гомологии и алгебры Ли:

Bloch S. The dilogarithm and extensions of Lie algebras, in Algebraic К-theory, Evanston 1980, Springer-Verlag, Leet. Notes in Math. 854 (1981), 1—23.

Garland H. The arithmetic theory of loop groups, Publ. Math. I. H. E, S. 52 (1980), 5—136,

Kassel С. Calcul algebrique de 1’homologie de certains groupes de matrices, J. Alg. 80 (1983), 235—260.

Kassel C. Kahler differentials and coverings of complex simple Lie algebras extended over a commutative algebra, a parattre.

Kassel C., Loday J.-L. Extensions centrales d’algebres de Lie, Ann. Inst. Fourier 32 (1982), 119—142.

Алгебраическая К-теория пространств:

(

29]Bourghelea P. Cyclic homology and the К-theory of spaces I, a parattre.

Dwyer W. G., Hsiang W. C., Staffeldt R. E. Pseudo-isotopy and invariant theory,!, Topology 19 (1980), 367—385.

Hsiang W. C., Staffeldt R. E. A model for computing rational algebraic К-theory of simply connected spaces, Inv. Math. 68 (1982), 227—239.

Staffeldt R. E. Rational algebraic К-theory of topological spaces and cyclic homology, a parattre.

Waldhausen F. Algebraic К-theory of topological spaces I, Proc. Symp. Pure Math. 32 (1978), 35—60.

Различные приложения:

Бейлинсон А. А. Высшие регуляторы и значения L-функций. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения, т. 24, М., 1984.

Bloch S„ Ramakrishnan D. Heisenberg group bundles and the regulator map for curves, a parattre.

Deligne P. Le symbole modere, note manuscrite de 25/07/79.

Dupont J. L., Sah С. H. Scissor congruences II, J.' Pure Appl. Algebra 25 (1982), 159—195.

Gillet H. Riemann — Roch theorems for higher algebraic К-theory, Adv. in Math. 40 (1981), 203—289.

Milnor J. W. Hyperbolic geometry: the first 150 years, Bull. Amer. Math. Soc. 6 (1982), 9—24.

Milnor J. W. On polylogarithms, Hurwitz zeta functions and the Ku- bert identities, Ens. Math. 29 (1983), 281—322.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

[41][42][43][44][45][41][42][43][44][45]Connes A. Cyclic cohomology and non-commutative differential geometry, preprint IHES, septembre 1986.

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

Connes A., Moscovici H. Transgression of the Chern character for families and cyclic cohomology, preprint IHES, juin 1986.

Connes A., Caroubi M. Caractere multiplicatif d’un module de Fredholm, C. R. Acad. Sci. Paris, t. 299, 1984, p. 963—968.

Connes A., Rieffe! M. A. Yang—Mills for non-commutative two-tori, preprint IHES, decembre 1985.

Cartier P. Decomposition des polyedres: le point sur le troisieme prob- leme de Hilbert, Seminaire Bourbaki, vol. 1984—85, expose 646.

КРИВЫЕ НА АБЕЛЕВОМ МНОГООБРАЗИИ1)[по М. Рейно]

Жозеф Остерле

Высшая Нормальная Школа, Париж, Франция

Введение

Пусть А—абелево многообразие, определенное над полем К характеристики О, X — собственная, абсолютно неприводимая кривая на А, определенная над К и не являющаяся эллиптической, Г — подгруппа конечного типа группы А (К).

Мы опишем, как в результате работ М. Рейно и Г. Фал- тингса было доказано следующее утверждение, высказанное в качестве гипотезы С. Ленгом в 1965 г. ([Lal]).

Теорема 1. Множество элементов х из X(R), кратность пх (при ненулевом целом п) которых принадлежит Г, конечно.

М. Рейно начинает с частного случая этой теоремы, когда Г={0}.

Теорема 2 (М. Рейно), Множество элементов из Х(К), имеющих конечный порядок в A (R), конечно.

Он доказывает также, что теорема 1 вытекает из формулируемой далее более слабой теоремы 3. Формулировка теоремы 3 эквивалентна знаменитой гипотезе Морделла, утверждающей, что абсолютно неприводимая кривая У, определенная над расширением Е конечного типа поля Q, имеет лишь конечное число рациональных точек над Е, если ее нормализация имеет род ^2. Эта гипотеза недавно была доказана Г. Фалтингсом, поэтому имеет место

Теорема 3 (Г. Фалтингс). Множество Х(^)ПГ конечно.

Это и завершает доказательство теоремы 1. Работы Г. Фал- дингса были помещены в предыдущем выпуске «Семинара Бурбаки». Данная статья посвящена доказательству М. Рейно теоремы 2 и импликации теорема 3 => теорема 1 (см. п. 4).

В и. 1 мы дадим принадлежащее Ф. А. Богомолову доказательство аналога теоремы 2, получаемого заменой «круче-

^Oesterle Joseph. Courbes sur une variate Abelienne (d’apres M. Raynaud). S6minaire Bourbaki, 36-е annee, 1983—84, № 625. 1—12.

© Revue Asterisque, 1983

ния» на «/-примарное кручение», п, 2 и 3 посвящены результатам, носящим чисто р-адический характер; используемый там технический результат доказывается, в п. 5 и 6. Пункт 7 описывает различные обобщения приведенных выше теорем.

В заключение отметим, что можно дать «комплексно-аналитические» формулировки, эквивалентные предыдущим. Так, замечая, что любая риманова поверхность S (компактная связная) алгебраизируема и что аналитическое отображение поверхности S в комплексный тор факторизуется через ее отображение в якобиан, мы легко убеждаемся в эквивалентности утверждений теоремы 2 и следующей теоремы 2'.

Теорема 2'. Пусть L — решетка {ранга 2g) в lO, Ф — аналитическое отображение компактной связной римановой поверхности S в 'Cf/L. Если ф(5) не содержится в образе никакой комплексной аффинной прямой на Qf, то его пересечение с QL/L конечно.

Было бы очень интересно получить чисто трансцендентное доказательство указанной теоремы.

Обозначения

Если заданы абелево многообразие А, определенное над полем К, целое число n> 1 и простое число I, то положим

А„ = Кег(А(Ю-^А(Ю),

А= U А.г,г>1

Ators — U Ат»

т >1

7Z {А) = lim Atr

Г

(при этом отображение Atr->Ats для r^s^l есть умножение на Г-5). Для любой подгруппы Г группы А {К) через Div (Г) мы обозначаем множество «точек деления группы Г», т. е. таких хе. А {К), кратность пх (при ненулевом целом п) которых принадлежит группе Г.

Z-ПРИМАРНОЕ КРУЧЕНИЕ ПО БОГОМОЛОВУ

Теорема (Ф. А. Богомолов). Пусть А — ненулевое абелево многообразие, определенное над расширением конечного типа К поля Q и I — простое число. Группа Галуа Ок = = Gal {К/К) действует на Zi-модуле Ti{A). Ее образ в

Aut(7z(A))‘ содержит открытую подгруппу группы гомотетий

За доказательством этого результата мы рекомендуем обратиться к [Во]1): на самом деле доказательство там дано только для случая, когда К — конечное расширение поля Q, а общий случай легко сводится к нему при помощи специализации. Отметим лишь, что Богомолов доказывает, используя свойства модулей Ходжа — Тейта, что образ группы Ок в Aut (Г/(A) ®zzQz) содержит открытую подгруппу своей алгебраической оболочки, и, как заметил Делинь, алгебра Ли этой алгебраической оболочки содержит гомотетии.

Следствие. Существуют целое число n> I и элемент а из Ок, такие, что имеет место равенство о(х) = пх для любого X е AjW.

Следующее утверждение является частным случаем теоремы 2, к которому мы приходим, ограничившись /-примар- ной частью кручения.

Теорема. Пусть А — абелево многообразие, определенное над полем К характеристики 0, X — замкнутая абсолютно неприводимая кривая на А, определенная над К и не являющаяся эллиптической, I— простое число. Множество Х(Х)Л Л А” конечно.

Заменяя в случае надобности К на подходящее подполе, над которым А и X определены, мы можем предполагать, что К имеет конечный тип над Q. Выберем тогда о и п такими, как в следствии из теоремы 1.1. Для любого х е X(Л) Л А,-» мы имеем пх = а (х) е X (К). Если бы Х^Л^;” было бесконечным, то кривая X была бы инвариантна относительно эндоморфизма пА—умножения на п в А. Рассуждение завершается благодаря следующей лемме:

Лемма. Если кривая X инвариантна относительно па (при п ^ 2), то она является эллиптической.

Обозначим через и морфизм из X в X, индуцированный эндоморфизмом па- Его степень равна и2: действительно, если вложить поле К в С и выбрать инвариантную голоморфную дифференциальную 1-форму со на А (С), ограничение которой на множестве Х'(С) гладких точек кривой

!) См. также [41*]. Там же содержатся доказательства других результатов этого раздела. — Прим. ред.

X (С) не обращается тождественно в нуль, то

deg (и) ^ (о Л ш) = ^ (Пд<о л Пд<в) = п2 ^ и а ш.

X' (С)X' (С)X'(С)

Поскольку морфизм пд; Л->Л является накрытием Галуа с группой Лп, то множество тех а е Лл, для которых X + а равно X, содержит п2 элементов. Применение этого рассуждения к степеням того же п показывает, что кривая X инвариантна относительно бесконечного числа сдвигов из Л, а значит, является эллиптической.

Можно уточнить теорему 1.2, приведя оценку сверху, «равномерную относительно сдвигов».

Теорема. В предположениях теоремы 1.2 существует такое целое число пг, что для любого расширения L поля К и любого a^A(L) мощность пересечения (X + а) (£) П Л;«> ограничена сверху числом т.

Как и в предыдущем случае, можно предположить, что К является расширением конечного типа поля Q. Из доказательства теоремы 1.2 видно, что если обозначить через о' автоморфизм поля L, продолжающий а, то мощность пересечения (X + a) (£) П Ар» ограничена сверху числом таких элементов х из (X+ «)(£), что пхе^Х + о'(а)) (£), или, другими словами, если обозначить через b такой элемент из Л(£), что (и—1)6 = па — о'(а), то вышеуказанная мощность ограничена числом таких элементов у из (X+ &)(£), что пу^{Х + 6) (£). Тогда теорема вытекает из следующего факта: пусть У— замкнутое алгебраическое подмногообразие {(6, у)/у— 6 е X, пу— 6еХ} многообразия АХА; проекция на первую компоненту индуцирует собственный морфизм многообразия У в Л, слои которого, согласно лемме из 1.2, конечны и поэтому их мощности ограничены сверху.

Замечание. Как уже отмечалось С. Ленгом (см. [Lal]), рассуждение, аналогичное предыдущему, позволило бы получить теорему 2, если бы мы знали, в предположениях теоремы 1.1, что образ группы GK в ПЛи1(Т;(Л)) содержит открытую подгруппу группы Zx = II Z (эта гипотеза была высказана Ж--П. Серром в [Se]1).

АБЕЛЕВЫ МНОГООБРАЗИЯ НАД р-АДИЧЕСКИМ ПОЛЕМ

В этом пункте К обозначает поле характеристики 0, полное относительно дискретного нормирования и, R— кольцо нормирования и, ш — максимальный идеал кольца R. Предположим, что поле вычетов к кольца R алгебраически замкнуто и имеет характеристику р > 0, что группа значений нормирования и есть Z, и обозначим через е абсолютный индекс ветвления v(p) в R.

Обозначим через R алгебраическое замыкание поля К, через и — его нормирование, которое продолжает и, через & — кольцо нормирования и, через m — максимальный идеал кольца R.

Пусть А— абелево многообразие, определенное над К и имеющее хорошую редукцию относительно и; это означает, что существует абелева Я-схема ^, для которой А является общим слоем (и такая ^ единственна с точностью до единственного изоморфизма). Специальный слой Ло схемы ^ является абелевым многообразием, определенным над к.

Мы имеем отображение специализации из А (К) = ^ (R) в До(А). При этом оно продолжается до отображения специализации из А(7<) = ^(^) в А0(й). Если задано конечное расширение К' с: R поля К, то множество элементов из А (К'), которые специализируются в 0, отождествляется с множеством точек формальной группы, определенной над R, координаты которых лежат в m П R'. Это множество является стандартной группой над К' в смысле ([Lie], III, § 7, п. 3). Для любого X е R+ мы обозначим через A^LK'1) множество точек этой стандартной группы, значение нормирования от координат которых строго превосходит X. Положим Аш (ЛЭ = -UAwW

к'

Предложение, а) Ограничение отображения специализации на множестве точек кручения из А (К) имеет конечное ядро, порядок которого есть степень числа р; оно инъективно, если в <. р— 1.

Ь) Пусть М— подмножество множества Div (А (К)). Если степени [7((х):7<] ограничены, когда х пробегает М, то существует такое целое число г^0, что ргМ содержится в А (К).

Положим X = ^ . Из свойств экспоненциального отображения следует ([Lie], III, § 7, п. 6, предл. 14), что Ар^К) не имеет кручения и что Ауц (ЛЭ f| Div (А (К)) = А^) (К). С дру-

гой стороны, для любого н е ]0, X] Д^ГО/АмГО аннулируется степенью числа р (см. там же и. 4).

Утверждение а) вытекает из предыдущего, поскольку ядро отображения специализации А (К)-»- До (^) содержится в А^К?) для всех ц > 1.

Докажем Ь). Допуская сдвиги элементов из М на элементы из Д(К), мы сводим рассмотрение к случаю, когда они специализируются в 0. Степени расширений К(х') поля К, когда х пробегает М, ограничены, а значит, то же самое можно сказать и об индексах ветвления; это влечет за собой, что М содержится в Д(ц>ГО для подходящего р > 0 и Ь) устанавливается на основании замечаний, сделанных в начале доказательства.

р-АДИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

3.0. В этом пункте мы сохраняем обозначения из предыдущего пункта. Кроме того, мы предполагаем, что абсолютный индекс ветвления е поля R равен 1.

Зададим, сверх того, кривую X на А, абсолютно неприводимую и определенную над К. Предположим, что X является общим слоем собственной и плоской R-кривой ^ на ^, удовлетворяющей следующим техническим предположениям:

(i) Специальный слой Хо кривой 96 неприводим, нормализация ^ кривой 96 является гладкой над R,~со слоями рода >2. В частности, специальный слой кривой есть нормализация кривой Хо.

(и) Пусть / — якобиан кривой ^ и а: /->• з4- — морфизм Албанезе, соответствующий сквозному морфизму 86-*96-* -^-з!'. Предположим, что а сюръективен, что его ядро Jf— гладкое и что группа связных компонент ядра Jf имеет порядок, взаимно простой с р.

Предыдущие предположения влекут за собой следующие результаты:

Если а —элемент из А(К) — А(К), то существует элемент asGal(^/K), такой что X — ач^Х — а(а) (в действительности мы имеем также X— aN=X — а (а) для любого сеСаЦК/К), такого что а^а)^ а).

Это — легкое следствие из того факта, что кривая Хо не имеет нетривиальных инфинитезимальных автоморфизмов, поскольку она рода ^2 (см. [Ra 1], доказательство предложения 6.4.2).

Множество 96 {R/p2R){\p<sf-{R/p2R) конечно.

Это утверждение является критическим моментом в доказательстве М. Рейно. Мы докажем его в п. 5 и 6: точнее, на основании предположений 3.1 гипотеза (Н) из п. 5.4 выполняется для неприводимой кривой Хо на Ао и нормализация Хо кривой Хо имеет род ^2. Это позволяет применить предположение 5.5 к Хо. Результат, который мы пытаемся доказать, оказывается тогда следствием предложения 6.5, примененного к абелевой R/p?R-схеме s4-XrR/p2R и к кривой ^XrR/P^R- условия этого предложения выполняются благодаря утверждению (С1) из 5.4.

Предложение. Существует такое целое число г ^ 0, что имеет место включение ргхгА(К^ для всех хеХ(К)Л nDivMW).

Пусть х — элемент из X(X)nDiv(A(K)). Существует, на основании предложения 2.3, Ь), такое целое число г(х)^0, что рг^х принадлежит А(КУ Поэтому для всех ое eGal(K/K) мы имеем

а (х) — х е (X — х^Ю П Ар=.

Принимая во внимание теорему 1.3, мы видим, что число сопряженных о^ элемента х, а значит, и степень \К\хУ Л| ограничены сверху независимо от х. Предложение 2.3, Ь) позволяет завершить рассуждение.

Предложение. Пусть £2 — объединение конечного числа классов смежности многообразия А(К) по подгруппе рА(К'). Подгруппа кручения группы, порожденной множеством Х(К)Л £2, конечна.

Существует такое конечное расширение К' поля К, что £2 содержится в А (/(')• На основании предложения 2.3, а) и Ь) ограничение отображения специализации А(К')-»- А0(1г) на множестве точек кручения многообразия А (КЗ имеет конечное ядро. Поэтому для доказательства предложения 3.4 достаточно показать, что образ множества Х(Х)ПП в А0(к) при отображении специализации конечен, а для этого можно предположить, что £2 сводится к классу а+/?А( Л) с аеА(К).

Предположим, что а принадлежит А (К). Образ множества Х(К)П& = а?(КШа + psi-(R^ в Ао^ при отображении специализации тогда конечен на основании утверждения 3.2, Ь), примененного к кривой X— а, получаемой сдвигом кривой X.

Предположим, что а не принадлежит А (К). В силу 3.2, а) существует такой элемент оеОа1(К/Ю, что кривая X— а отличается от кривой X— а (а). Итак, если х = а+р —

элемент из Х(К)П(а + М(Ю)> то элемент р = х — а = = а(х)— а(а) принадлежит пересечению (X — а)(^)П(Х — — а(а))(К). Это показывает, что Х(Я)П& конечно и завершает доказательство.

Предложение. Пусть Г — подгруппа конечного типа группы А(К). Подгруппа кручения группы, порожденной множеством X(^)f|Div(r), конечна.

На основании предложения 3.3 существует такое целое число г ^ О, что имеет место включение ргх е А (К) для любого хе Х(К)П Div(T). Положим Г'= Div(r)fH(Л). Для доказательства предложения достаточно, на основании 3.4, показать, что множество классов по модулю рА^К'), которые пересекают X(K)()Div(r), конечно. Применяя отображение Xi—> ргх, получаем отображение с конечными слоями этого множества в Г7рг+1Г', и остается применить следующий результат.

Лемма. Группа V7pr+YV' конечна.

Действительно, мы имеем точную последовательность

где W7 отождествляется с подгруппой векторного Q-простран- ства конечной размерности Г 0zQ. Значит, факторгруппа М/рг+1М -конечна для любой подгруппы М группы Г 0zQ или группы Л (К) tors- Лемма доказана.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2

И ВЫВОД ТЕОРЕМЫ 1 ИЗ ТЕОРЕМЫ 3

0. Мы находимся в положении, описанном во введении: у нас имеются абелево многообразие А, определенное над полем К характеристики 0, абсолютно неприводимая собственная кривая X на А, определенная над К и не являющаяся эллиптической, и подгруппа Г группы А (К), имеющая конечный тип.

Предложение (М. Рейно). Подгруппа группы А(Х}, порожденная множеством Х(К)Л Div (Г), есть группа конечного типа.

Пользуясь возможностью заменять А абелевым подмногообразием, мы сводим рассмотрение к случаю, когда А порождено разностями точек из X. Элементарные рассуждения из алгебраической геометрии, за деталями которых мы отсылаем к [Ra 1], показывают, что существуют:

подполе Е конечного типа над Q, над которым А и X определены, и такое, что Г содержится в А (5) ;

(И) простое число р и такое расширение К' поля Е, что предположения из 2.0, 2.1, 3.0, 3.1 выполняются для поля К', абелева многообразия А Хе К' и кривой X Хе X'.

На основании предложения 3.5 подгруппа кручения Т группы, порожденной множеством Х(^)П О1у(Г) = Х(К')П ПО1у{Г), конечна. Пусть п — ее порядок. Для любого хе еХ(к)Л Div(r) и любого oeGalf^/F) мы имеем о(х) — — хеТ, откуда о(пх) = пх и пхеА^Е1). Таким образом, А(Е)—группа конечного типа на основании теоремы Мор- делла — Вейля. Из этого вытекает доказываемое предложение.

Теорема 2 вытекает из предложения 4.1, примененного к случаю, когда Г={0), а теорема 1 вытекает из предложения 4.1, когда известно, что пересечение кривой Х(К) и подгруппы конечного типа многообразия А^ конечно, а это и является утверждением теоремы 3.

В. ОТОБРАЖЕНИЯ ГАУССА

В этом пункте fe обозначает алгебраически замкнутое поле.

Пусть X — собственная неприводимая кривая, определенная над к, У— векторное fe-пространство конечной размерности и у — морфизм непустого открытого подмножества из X в проективное пространство Р(У) прямых из У; такой морфизм канонически продолжается до морфизма у нормализации X кривой X в Р(У). Назовем степенью рационального отображения у (и обозначим ее через deg(у)) степень класса дивизоров на X прообраза при отображении у класса дивизоров, являющихся гиперплоскостями в Р(У). Аналогично, если u: Y-VX— рациональное, отличное от постоянного отображение собственной неприводимой кривой У в X, то назовем степенью этого отображения (и обозначим ее через deg(«)) степень конечного морфизма й: Y-^-X, определенного отображением и.

В этих обозначениях имеем:

deg(y оЫ) = deg(y)deg(u);

для любого векторного пространства W, содержащего У, степень сквозного рационального отображения X -^ -* Р(У)-* Р(Ю равна степени у;

для любого векторного подпространства У' пространства У, такого что Р(У') не содержит образа отобра»

жения у, степень сквозного рационального отображения Х-^ -*P(V)-»-P (V/V') не превосходит степени отображения у: она ей равна, когда Р(У') не пересекает у (/).

Пусть X — неприводимая кривая на абелевом многообразии А, определенная над к. С помощью сдвига отождествим касательное пространство в некоторой точке многообразия А с касательным пространством Lie(A) в начале. Ставя в соответствие произвольной гладкой точке х на X точку из P(LieA), определенную касательной к X в х, мы. получаем рациональное отображение ух: X->P(LieA), называемое «отображением Гаусса», ассоциированным с X.

Дальше мы будем предполагать, что алгебраически замкнутое поле к имеет характеристику р > 0. Пусть X— собственная неприводимая кривая на абелевом многообразии А,, определенная над к.

Пусть А-^->В-->А— разложение эндоморфизма рд: А-»-А умножения на р, в котором и этально, а и радикально. Обозначим через У и Z приведенные прообразы кривой X при отображениях рд и и соответственно. Пусть г — такое- наименьшее неотрицательное целое число, что ядро отображения и аннулируется r-й степенью автоморфизма Фробениуса, Fr\ В-+В^ (где В^— абелево многообразие, получаемое из В заменой базы относительно автоморфизма а>—>црг поля кр. изогения F(r) допускает разложение В—>А—> В<‘п, при этом w индуцирует морфизм из X в Z(r>.

Допустим, что для X выполняется следующая гипотеза, в которой через J обозначается якобиан нормализации X кривой X;

(Н) Морфизм Альбанезе a: J-*A, соответствующий сквозному морфизму X ->Х->А, сюръективен, его ядро N гладкое, а группа связных компонент ядра N имеет порядок, взаимно простой с р.

Тогда отсюда легко выводятся такие следствия ([Rai]):.

(Cl) Кривые У и Z неприводимы.

(С2) Морфизм да|х: X-hZ^ бирационален.

(СЗ) Если X рода ^2, то отображение Гаусса, ассоции» рованное с X, не является постоянным.

Поскольку отображение рд не этально, имеем r^ 1, а тогда из (С2) вытекает, что deg(u|z) = pr > 1, откуда получаем

(С4) deg (v |r) < deg (рА |у).

Предложение. Предположим, что для X выполняется

условие (Н) и что X рода ^2. Обозначим через ух и уу отображения Гаусса (5.3), ассоциированные с X и Y. Рациональные отображения уу и ух ° ^рД | у) не совпадают. .

Поскольку отображение и этально, имеем коммутативную диаграмму ту _

Y—>P(Lie А)

°'4 I

YZ

Z —► P(Lie В)

где правая стрелка есть изоморфизм, получаемый из дифференциала отображения и в нулевой точке. Отсюда выводится равенство

deg(yy) = deg(yzoy |у) = deg (yz) deg (v |у).

Поскольку да|х бирационально ((С2)), отсюда же имеем коммутативную диаграмму сквозных рациональных отображений:

X Д. р (Lie А) -> Р ((Lie А)/М)

=»1х||

zwДДр (Lie ^^

где М — ядро дифференциала отображения w: А-*В^ в нулевой точке.

Отсюда на основании 5.2 выводим, что

deg (ух) ^ deg (yz(r) о w |х) = deg (у^,).

Перенесением структуры убеждаемся, что степень отображения yz равна степени отображения у2(Г), и из (1) и (2) получаем неравенство

deg (уу) < deg (ух) deg (о |у).

Отображение ух на основании (СЗ) отлично от константы, а значит, оно имеет ненулевую степень; с другой стороны, мы знаем из (С4), что степень отображения v|yстрого меньше степени отображения рл | у. Таким образом, степень отображения уу строго меньше, чем deg(yx)deg(px | у) = = deg(yx °рл|у).

ИССЛЕДОВАНИЕ ПО МОДУЛЮ р1

В этом пункте к обозначает алгебраически замкнутое поле характеристики р > 0, a R — локальное кольцо с полем вычетов к, максимальный идеал которого ненулевой, порож-

ден числом рис нулевым квадратом: иначе говоря, R изоморфно кольцу векторов Витта длины 2 над к.'

Пусть S есть /?-алгебра. Обозначим через у*-* [у]р и у>_»р[у] отображения из S/pS в S, получаемые факторизацией из отображений х>—*хр и х«—>рх из S в S (мы будем использовать аналогичные обозначения для пучков ^-алгебр). В случае, когда алгебра S— плоская над R, а кольцо S/pS приведено, отображение (у, у')^-Цу1р + р\у'\ из (S/pSp в S инъективно, а его образ равен Sp + pS.

в виде (см. 6.1)в виде (см. 6.1)u = VuT4-pIu"A,u = VuT4-pIu"A,Пусть А = (А, ОдА — абелева R-схема. Ее редукция по модулю р, Л0 = (А, Оа^, является абелевым многообразием над к. Обозначим через рд=(р, и) эндоморфизм умножения на р в А. Его редукция рДо по модулю р имеет нулевой дифференциал. Следовательно, р-морфизм и пучков из О а в Од индуцирует р-морфизм из пучка О а в Од + рОл- Поскольку кольцо А плоско над R, а Ло приведено, и записывается

в виде (см. 6.1)

в виде (см. 6.1)

u = VuT4-pIu"A,

u = VuT4-pIu"A,

где и' и и" являются р-морфизмами пучков множеств О д В О А».

Пусть S есть /?-алгебра. Каноническая сюръекция S-> ->S0 = S/pS определяет групповой гомоморфизм лз: Л(5)-> -э-Л (So) = Ло (So); этот гомоморфизм сюръективен, поскольку схема А является гладкой над R.

Лемма. Существует единственное отображение as:

Ло(5о)->Л (S), делающее коммутативной диаграмму

Единственность as вытекает из сюръективности отображения Лз- Для доказательства существования отображения as достаточно показать, что при отображении рЛд^ образ элемента х из Л(5) зависит только от л5(х). Элемент х из Л(5) есть пара (х, и), где х—непрерывное отображение Spec(S)—*■ А, а и есть х-морфизм из Од в Os. Тогда лз(х) равняется паре (х, и0), где и0 —х-морфизм из Од, в Os„ получаемый из и редукцией по модулю р. Что же касается образа элемента х при отображении р.Ь(З), то он равен на основании 6.2 паре (у, ю), где у = рох, а w есть у-морфизм

из О а в Os, задаваемый формулой

W = [Уд ° Ы']Р + р [у0 о и"].

Это и доказывает лемму.

Сохраним предыдущие обозначения. Пусть еще X с А— кривая, собственная и плоская над R; обозначим через Хо кривую на Ао, получаемую из X редукцией по модулю р; предположим, что Хо и ее прообраз Уо, получаемый при отображении рДг? неприводимы.

Изучим диаграмму (1) в случае, когда S — алгебра дуальных чисел /? [е]. В этом случае группа Ao(So) = Л0(^[е]) есть группа точек касательного пространства к Ао со значениями в &. Она канонически отождествляется с произведением групп Aq^X Lie(Ao). Аналогичным образом A(S) = = А(/?[е]) отождествляется с А(/?)Х Lie(A); /?-модуль Lie А свободен и конечного ранга, и Lie(A0) отождествляется с Lie(A)/p Lie(A). Переходя к факторам, получаем обозначаемый через £>—>р[£] изоморфизм группы Lie(A0) на pLie(A). Он индуцирован умножением на р в Lie(A).

Сделав указанные отождествления, обозначим через уо гладкую точку на Уо(£) и через § — элемент из Lie(A0). Для того, чтобы элемент (t/o, £) из Ао(&[е]) принадлежал кривой Уо(^[е]), необходимо и достаточно, чтобы § принадлежал прямой уу, (у0), где уУо — отображение Гаусса, ассоциированное с Уо (см. 5.3). Благодаря коммутативности диаграммы (1) образ пары (уо,^) при отображении aR[e] есть пара (х, р[^]), где x = aR(y0), и точка х из A^R) является подъемом элемента х0 = ру0 из Xo(hY Предположим теперь сверх того, что х0 есть гладкая точка из Хо^. Тогда, если Л— элемент из Lie А, то для того, чтобы элемент (х, л) из А (А? [е]) принадлежал кривой X (7? [е]), необходимо и достаточно, чтобы х принадлежал кривой XVR't и чтобы л принадлежал касательному пространству к X вдоль сечения х (которое отождествляется при помощи переноса со свободным прямым множителем ух(х) /?-модуля Lie(A), имеющим ранг 1). Прямая из Lie(Ao), получаемая из ух(х) редукцией по модулю р, есть у^0(х0); в частности, если т] принадлежит пересечению pLie(A)H?х(х), то она имеет вид р[л0]> где Ч) G Yxo (хо)"

Из подсчета размерностей мы можем сделать следующее заключение: если при отображении а^[е] образ кривой У0(й[е]) содержится в X(R [е]), то рациональные отображения уг и Yx.°/7x0|y. из уо 8 Р (Lie (Л)) совпадают.

Предложение. В предположениях из 6.4 выполняется одно из следующих условий:

Множество pA^R^X^R) конечно.

Рациональные отображения уУо и Vx0°^Jy0 «з ^» в Р (Lie Ло) совпадают.

Обозначим через 3 (соответственно ^о) пучок идеалов пучка О л (соответственно Оа^, который определяет X (соответственно Ко) и через Уб — пучок идеалов из О а» порожденных пучком Уо и образами 3 относительно р-морфизмов пучков и* и и" (см. 6.2). Обозначим через Уб замкнутую подсхему в Уо, определяемую пучком Уб- Будем различать два случая:

Имеет место У0£Уб- В этом случае множество Уб(&> конечно, поскольку Уо по предположению есть неприводимая кривая. Таким образом, из диаграммы (1) вытекает, что pA(R) П^(Ю равняется пересечению аЛ(У0(&)) П X(R). На основании формулы (2) это множество равно ад(Уб(^))- Условие а) предложения, таким образом, выполнено.

Имеет место У0 = У$. В этом случае из формулы (2) вытекает, что as (Уо (So)) с X (S) для любой R-алгебры S. Взяв S = R[s], мы видим, на основании 6.4, что условие Ь) выполняется.

ОБОБЩЕНИЯ

Следующая гипотеза, сформулированная С. Ленгом ([La 2], с. 221), естественным образом обобщает утверждение теоремы 1.

Гипотеза. Пусть А —коммутативная алгебраическая группа— расширение абелева многообразия при помощи тора, определенная над алгебраически замкнутым полем К характеристики 0. Пусть X— замкнутое алгебраическое подмногообразие в А и Г —подгруппа конечного типа группы А(К). Множество элементов из Х(К'), кратность пх (при ненулевом целом п) которых принадлежит Г, содержится в объединении конечного семейства подмногообразий многообразия X, которые являются сдвигами алгебраических подгрупп группы А.

Известны следующие частные результаты:

а) Случай, когда А есть тор: гипотеза была доказана П. Лиарде ([Li]), когда X — кривая, а затем М. Лораном ([Lt]) в общем случае.

^«Случай, когда Г ={0} («точки кручения на X»), а А — абелево многообразие: гипотеза была доказана М. Рейно. ([Ra 2]). Когда мы ограничиваемся /-примарным кручением.

то доказательства Богомолова, представленные в п. 2, могут быть также обобщены ([Во] и [Ra 2]).

с) Случай, когда А — абелево многообразие и когда X не содержит никакого сдвига ненулевого абелева подмногообразия многообразия А: М. Рейно показывает в ([Ra3]), что тогда пересечение Х(/<) П Div (Г) порождает подгруппу конечного типа группы А (К?) ’).

Перенесемся в условия теоремы 2. Для любого расширения L поля К и любого aeA(,L) множество точек из (X + а) (Е), имеющих конечных порядок в А(Е), конечно. Можно поставить вопрос, существует ли верхняя граница числа этих точек, независимая от а: М. Рейно выводит из

Ь), что дело обстоит именно так, когда X не содержится в абелевой поверхности на А.

ЛИТЕРАТУРА

Bogomolov F. A. Snr l’algebricite des representations 1-adiques, C. R. Acad. Sci. Paris, t 290 (1980), 701—704.

[Lal] Lang S. Division points on curves, Annali di Matematica Рига ed Applicata, serie quarta, tomo LXX (1965), 229—234.

[La2] Lang S. Fundamentals of Diophantine Geometry, Springer-Verlag, New York, 1983. [Русский перевод: Ленг С. Основы диофантовой геометрии. — М.: Мнр, 1986.

[Li] Liardet Р. Sur une conjecture de S. Lang, Soc. Math. Fr., Asteris- que 24—25 (1975), 187—209.

[Lie] Bourbaki N. Groupes et algebres de Lie, С. C. L. S. Diffusion, Paris, 1982. [Русский перевод в: Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли.— Перев. с фраиц. — М.: Мир, 1976, гл. I—IV.]

[Lt] Laurent М. Equations diophantiennes exponentielles, C. R. Acad. Sci. Paris, t 296 (1983), 945—947.

[Rai] Raynaud M. Courbes sur une variete аЬёПеппе et points de torsion, Invent. Math. 71 (1983), 207—233.

[Ra2] Raynaud M. Sous-variete d’une varietd abelienne et points de torsion, Arithmetic and Geometry, Papers dedicated to I. R. Shafare- vich, Birkhauser (1983).

[Ra3] Raynaud M. Around the Mordell conjecture for function fields and a conjecture of Serge Lang, Springer-Verlag, Leet. Notes in Math. № 1016 (1982), 1—19.

[Se] Serre J.-P. Representations 1-adiques, Kyoto Symposium on Algebraic Number Theory (1977), 177—193. '

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Богомолов Ф. А. Точки конечного порядка на абелевом многообразии. Известия АН СССР, сер. матем., т. 44, № 4, 1980.

Parshin A. N. Finiteness theorems and hyperbolic marifolds, preprint IHES, 1986, Bures-sur-Yvette.

[3*] Serre J.-P. Resume des cours de 1985—86, Annuaire du College de France, 1986.

’) И выводит отсюда теорему конечности рациональных точек на многообразии X. Другое доказательство этого результата в случае, когда основное поле является полем функций над С, даио в [2*] с помощью гиперболической метрики Кабояши. — Прим. ред.

ЧИСЛА КЛАССОВ МНИМЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ПОЛЕЙ1)

Жозеф ОстерлеВысшая Нормальная школа, Париж, Франция

В 1934 г. Хейльброн доказал, что для любого целого числа h. ^ 1 существует лишь конечное число мнимых квадратичных полей, число классов которых равно h ([Hei]). Это утверждение было уточнено в 1936 г. Зигелем, который показал, что если /г(—d) обозначает число классов мнимого квадратичного поля дискриминанта —d, то величина log/i(—d) эквивалентна величине log-V^ когда d стремится к + оо ([Si]). Эти результаты отвечают на вопросы, четко сформулированные Гауссом на языке квадратичных форм ([Ga] 302 и 303).

Теорема Зигеля неэффективна и, в частности, для данного числа h ^ 1 она не позволяет ограничить дискриминанты —d, для которых /г(—d) равно h. Однако для любого h ^ 1 известно ([Та]), что если /г(—d) равно к, то все значения d, кроме, быть может, одного, удовлетворяют неравенству d ^ 2100Й2 log2(13A) (имеется предположение, что его не существует: это было бы следствием расширенной гипотезы Римана).

Таблицы, дающие числа классов мнимых квадратичных - полей дискриминанта —d для d<4-106, были составлены Бьюэлом ([Ви]). В пределах этих таблиц число полей с числом классов h равным 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 соответственно равно 9, 18, 16, 54, 25, 51, 31, 131, 34, 87, а наибольшее соответствующее каждому случаю d равно 163, 427, 907, 1555, 2683, 3763, 5923, 6307, 10 627, 13 843 (возможно, что все мнимые квадратичные поля с числом классов h ^ 10 находятся в этой таблице).

Тот факт, что h(—d) > 1 для d > 163, был установлен независимо Хегнером, Старком и Бейкером (см. [Не], [Stl], |[St2] и [Ва]); двое последних из этих авторов впоследствии дали эффективную, очень высокую границу d < Ю1030 для таких d, что /г(—d) — 2; наконец, тот факт, что нет таких

*) Oesterle Joseph. Nombres de classes des corps quadratiques imaginai- res. Seminaire Bourbaki,36-е annee, 1983/1984, № 631, 1—14.

. © Revue Asterisque, 1984

то доказательства Богомолова, представленные в и. 2, могут быть также обобщены ([Во] и [Ra 2]).

с) Случай, когда А — абелево многообразие и когда X не содержит никакого сдвига ненулевого абелева подмногообразия многообразия А: М. Рейно показывает в ([Ra3j), что тогда пересечение X(/C)f)Div(F) порождает подгруппу конечного типа группы 4 (К) *).

2. Перенесемся в условия теоремы 2. Для любого расширения L поля К и любого оеАЩ множество точек из (Х+а)(£), имеющих конечных порядок в А(.Е^, конечно. Можно поставить вопрос, существует ли верхняя граница числа этих точек, независимая от а: М. Рейно выводит из 7.1,Ь), что дело обстоит именно так, когда X не содержится в абелевой поверхности на А.

ЛИТЕРАТУРА

] Bogomolov F. A. Snr Falgebricite des representations 1-adiques, C. R. Acad. Sci. Paris, t. 290 (1980), 701—704.

[Lal] Lang S. Division points on curves, Annali di Matematica Рига ed Applicata, serie quarta, tomo LXX (1965), 229—234.

[La2] Lang S. Fundamentals of Diophantine Geometry, Springer-Verlag, New York, 1983. [Русский перевод: Ленг С. Основы диофантовой геометрии.—М.: Мир, 1986.

[Li] Liardet Р. Sur une conjecture de S. Lang, Soc. Math. Fr„ Asteris- que 24—25 (1975), 187—209.

[Lie] Bourbaki N. Groupes et algebres de Lie, С. C. L. S. Diffusion, Paris, 1982. [Русский перевод в: Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. — Перев. с франц. — М.: Мир, 1976, гл. 1—IV.]

[Lt] Laurent М. Equations diophantiennes exponentielles, C. R. Acad. Sci. Paris, t. 296 (1983), 945—947.

[Rai] Raynaud M. Courbes sur une variete abelienne et points de torsion, Invent. Math. 71 (1983), 207—233.

[Ra2] Raynaud M. Sous-vari6t6 d’une variete abelienne et points de torsion, Arithmetic and Geometry, Papers dedicated to I. R. Shafare- vich, Birkhauser (1983).

[Ra3] Raynaud M. Around the Mordell conjecture for function fields and a conjecture of Serge Lang, Springer-Verlag, Leet. Notes in Math. № 1016 (1982), 1—19.

[Se] Serre J.-P. Representations 1-adiques, Kyoto Symposium on Algebraic Number Theory (1977), 177—193. '

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

] Богомолов Ф. А. Точки конечного порядка на абелевом многообразии. Известия АН СССР, сер. матем., т. 44, № 4, 1980.

[2*] Parshin A. N. Finiteness theorems and hyperbolic marifolds, preprint IHES, 1986, Bures-sur-Yvette.

[3*] Serre J.-P. Resume des cours de 1985—86, Annuaire du College de France, 1986.

И выводит отсюда теорему конечности рациональных точек на многообразии X. Другое доказательство этого результата в случае, когда основное поле является полем функций над С, дано в [2‘] с помощью гиперболической метрики Кабояши. — Прим. ред.

ЧИСЛА КЛАССОВ МНИМЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ПОЛЕЙ1)

Жозеф Остерле

Высшая Нормальная школа, Париж, Франция

В 1934 г. Хейльброн доказал, что для любого целого числа к ^ 1 существует лишь конечное число мнимых квадратичных полей, число классов которых равно к ([Hei]). Это утверждение было уточнено в 1936 г. Зигелем, который показал, что если /г(—d) обозначает число классов мнимого квадратичного поля дискриминанта —d, то величина log/t(—d) эквивалентна величине logV^ когда d стремится к +оо ([Si]). Эти результаты отвечают на вопросы, четко сформулированные Гауссом на языке квадратичных форм ([Ga] 302 и 303).

Теорема Зигеля неэффективна и, в частности, для данного числа к ^ 1 она не позволяет ограничить дискриминанты —d, для которых /г(—d) равно к. Однако для любого к ^ 1 известно ([Та]), что если /г(—d) равно к, то все значения d, кроме, быть может, одного, удовлетворяют неравенству d ^ 2100Л2 log2(13A) (имеется предположение, что его не существует: это было бы следствием расширенной гипотезы Римана).

Таблицы, дающие числа классов мнимых квадратичных полей дискриминанта —d для d<4-106, были составлены Бьюэлом ([Ви]). В пределах этих таблиц число полей с числом классов к равным 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 соответственно равно 9, 18, 16, 54, 25, 51, 31, 131, 34, 87, а наибольшее соответствующее каждому случаю d равно 163, 427, 907, 1555, 2683, 3763, 5923, 6307, 10 627, 13 843 (возможно, что все мнимые квадратичные поля с числом классов к ^ 10 находятся в этой таблице).

Тот факт, что к(—d)>l для d > 163, был установлен независимо Хегнером, Старком и Бейкером (см. [Не], [Stl], ][St 2] и [Ва]); двое последних из этих авторов впоследствии дали эффективную, очень высокую границу d < Ю1030 для таких d, что к^—d) = 2; наконец, тот факт, что нет таких

*) Oesterle Joseph. Nombres de classes des corps quadratiques imaginai- res. Seminaire Bourbaki,36-e annee, 1983/1984, № 631, 1—14.

. © Revue Asterisque, 1984

d, для которых й(—d) = 2 и 427 < d < 101030, был независимо установлен Старком, с одной стороны, ([St 3]), и Монтгомери и Вайнбергером, с другой ([М — W]).

В 1977 г. Голдфилд доказал, что если имеется параболическая модуляторная форма f=£ anqn веса к для Г0(М), П=1

собственная для операторов Гекке, и такая, что aj = 1, и если ассоциированный ряд Дирихле L^, s) = У ann~s n=l обладает в s = -2 (центр критической полосы) нулем достаточно большого (не меньшего 3 или 4, в зависимости от ситуации) порядка, то можно для любого h ^ 1 предъявить эффективную границу для таких d, что й(—d) = h (см. Go]).

С нормализованной новой формой f веса 2, являющейся собственной функцией операторов Гекке и имеющей рациональные коэффициенты, мы можем ассоциировать эллиптическую кривую Е, определенную над Q (единственную с точностью до Q-изогении), L-функция которой, обозначаемая через L(E, s), равна ряду L(f,s). Гипотеза Вейля1) утверждает, что любая кривая Е, определенная над Q, может быть получена таким способом, а для заданной кривой Е к этому можно подбираться алгорифмическими вычислениями на компьютере. С другой стороны, гипотеза Берча и Суиннерто- на-Дайера утверждает, что ЦЕ, s) имеет в s = 2 нуль порядка р, равного рангу г кривой E(Q), и известны кривые, для которых этот ранг достаточно велик (практический рекорд достигается для кривой, полученной Местром, ранг которой г^ 14). Принимая это во внимание, мы в состоянии построить формы веса 2, для которых имеются все основания считать, что L(f, s) имеет в s= 1 нуль достаточно большого порядка; к несчастью, в то время как необращение в нуль производной высшего порядка функции L(f, s) в s = 1 можно, вообще говоря, проверить вычислениями на компьютере, выяснить обращение в нуль этой производной таким способом невозможно. Это объясняет то, что в момент своего появления теорема Голдфельда могла использоваться только по модулю гипотезы Берча и Суиннертона-Дайера.

И вот в 1983 г. Гросс и Загир получили очень красивую формулу, позволяющую для некоторых квадратичных характеров х представить значение при s=l производной от

*) Называемая теперь более справедливо гипотезой Таниямы — Вейля. — Прим. ред.

L(f, s)L(f ® х> s) в виде произведения ненулевого выражения (по существу, произведения периодов) на высоту Нерона— Тейта точки, получаемой из точек Хегнера, лежащей на абелевом многообразии (см. [G — Z]). Когда эта точка имеет конечный порядок и когда L(f<8%, 1) отлично от нуля, то мы имеем L'(f, 1) = 0. Если помимо этого функция Л (f, s) = (2л) -Д (s) Ns/2L (f, s) удовлетворяет функциональному уравнению A(f, 1—s) = —A(f, s), то из этого выводится, что L(f,s) имеет при s=l нуль порядка р ^ 3.

Гросс и Загир явно построили модулярную форму f веса 2, обладающую указанными свойствами, и показали, что для этой формы f существование нуля порядка р 3 достаточно для использования результатов Голдфилда.

Укажем оценки, которые были получены.

Теорема. 1. Для любого е>0 существует такая эффективно получаемая постоянная с(е)>0, что имеет место h (—d) с (s) (log d) *-е.

По поводу более точных, но гораздо более техничных утверждений, мы отсылаем читателя к дальнейшему содержанию статьи. Сообщим только следующий результат:

Теорема 2. Для любого целого числа Г ^ 1 существует такая эффективно получаемая постоянная В(Т)> 0, что если d обладает по крайней мере Т простыми делителями, то имеет место h (—d) В (Т) log d.

Пункты 1 и 2 посвящены напоминаниям относительно мнимых квадратичных полей и модулярных форм. В п. 3 приводится в очень упрощенном виде доказательство теоремы Голдфилда. Построение нужной нам модулярной формы f изложено в п. 4.

МНИМЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ПОЛЯ И БИНАРНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ (СМ. [Б.-Ш.] )

Пусть КсС,— мнимое квадратичное поле. Обозначим через —d его дискриминант, через О — кольцо его целых чисел, через x = (~d)— ассоциированный квадратичный характер (условимся, что х(л) = 0> когда п не взаимно просто с d). Простое число р является разложимым, разветвленным и неразложимым в О, когда соответственно х(Р) принимает значения 1, 0 или —1. Дзета-функция поля К есть ^(s) = = £(s)L(s, х), где £ —дзета-функция Римана, a L(s, х) есть L-ряд Дирихле, ассоциированный с характером х- Группа классов идеалоз кольца О — это конечная группа, порядок

которой, обозначаемый через h (или через /г(—d), является числом классов поля К.

Обозначим через Qd множество бинарных квадратичных форм ах2 + Ьху + су2 с целыми рациональными коэффициентами, положительно определенных с дискриминантом 4ас— Ь2, равным d. Можно построить биекцию группы классов идеалов кольца О на множество классов квадратичных форм из Qd (по модулю линейных замен координат с целыми коэффициентами и детерминантом 1): если задан класс идеалов *8’, то выберем идеал не?, возьмем в нем базис (соь со2) над Z и проверим, что квадратичная форма q^x, у} = = ^.N(x®x+y^ принадлежит множеству Qd и что ее класс зависит только от ^?; этот класс и ставится в соответствие классу ‘8’.

При введенных обозначениях частичная дзета-функция t,^, s)= Е Na-S равна w1 У q (m, n)~s, где хм ае?(ш, п)е”-(0, 0}

обозначает порядок группы единиц кольца О (равный 6, 4 или 2, в соответствии с тем, когда d = 3, d = 4 или d>4). Функция ^ есть сумма частичных дзета-функций, ассоциированных с различными классами идеалов кольца О.

Каждый класс квадратичных форм из Qd содержит единственную форму q(,x, у)= ах2 + Ьху + су2, которая приведена, т. е. для нее выполнены условия

|&|<а<с,

Ь^О, если а равно числу |Z>| или числу с.

„/ d d л/d /Vd

Для такой формы ал/-^ ,с 25 -у- 1и даже с >-^-,

если d N= 4^; более того, устанавливается, что число Nq(x) пар (m, п^е ZXN*. таких что q(m, п)^х, равно нулю для х <^- (и даже для х < с) и что имеет место неравенство

XX—

( Nq (/) < ( t dt для х ^.

Vd/2Vd/2

Исходя из предшествующего, множество Qd квадратичных форм из Qd, являющихся приведенными, имеет мощность, равную h, и если обозначить через a(q) первый коэффициент такой формы q, то дзета-функция поля К при d>>4 записывается в виде

^(s) = ЕЕ ^(пг,пГ5\

а е Or6d '(m, n) е Z X N*/

откуда выводится тождество

(1.3.2)(1.3.2)?к (s) тт 1 + Р *

(1.3.2)

(1.3.2)

W — 11 1 - х (Р) P~s ~

У qkm, п) 5

(m, n)eZXN*НОД. (т, п)=1

То обстоятельство, что число классов h мало для некоторого поля К большого дискриминанта, выражается в том явлении, что «много небольших простых чисел остаются неразложимыми в 67». Вводя такую мультипликативную функцию X: N*->{— 1, 1), что Х(р) = —1 для любого простого числа р, это можно выразить, сказав, что «для большого числа небольших целых чисел п имеет место Х(п) = х(п)». Вот два количественных выражения предыдущих качественных утверждений:

Если простое число р разложимо в К, то имеет место ph^-^- действительно, тогда существует простой идеал р кольца О, нормы р; идеал рЛ главный, порожденный элемент вида ? + ^ ^ , где а е Z и 6 eN‘, и мы имеем рк =

а2 + db2 d

4

положим "^^у~=У vnrt~$- Имеет место У vn^/i: n = 1И < (Vd/2)

это вытекает из равенства (1.3.2) и из элементарных свойств квадратичных форм, которые мы вкратце напомнили в 1.3.

МОДУЛЯРНЫЕ ФОРМЫ ВЕСА 2

Ассоциированный ряд Дирихле (см. [S—D, В])

Для краткости будем называть нормализованной новой формой веса 2 и уровня N новую форму (в смысле, исполь- зуемом в loc. cit.) f = У anqn (где q = е2я/т) веса 2 для

П=1

группы Го(Аг), являющуюся собственной функцией операторов Гекке Тр (,р -V N) и первый коэффициент которой ах равен 1. Тогда ассоциированный ряд Дирихле L(f, s)= У апп~г

П=1 имеет разложение в эйлеровское произведение

L(f, з)= П ^-app-TV П (1 -арр-^р^Г1- p\Nр< N

Имеем |ap|^2Vp Для любого простого числа р. Когда р2 делит N, ар есть нуль; когда N кратно р, но не р2, ар равно 1 или — 1.

Существует такое 8 е {—1, 1), что f ("^) = — sNx2t (т). Функция s н-As/2 (2 л)-5 Г (s)L(f, s) продолжается до целой функции A(f, s) на С, быстро убывающей на бесконечности в любой вертикальной полосе и удовлетворяющей функциональному уравнению A(f, 1—s) = eA(f, s). Когда N не делится на квадрат, то имеем е = — Ц (— а„).

Скручивание квадратичным характером (см. [VI])

Пусть /— нормализованная новая форма веса 2 и уровня N (см. 2.1) и х — квадратичный (примитивный) характер Дирихле кондуктора d. Тогда существуют целое число Ах ^ 1 и такая нормализованная новая форма f ® х веса 2 и уровня Nx, что ap(f®x) равняется ap(f)x(p) почти для всех простых чисел р (здесь ап^ обозначает n-й коэффициент Фурье функции f). При этом данные условия определяют Nx и /®х единственным образом; f®x называется скрученной формой формы f при помощи характера х-

Когда наибольший общий делитель чисел N и d2 свободен от квадратов, Nx есть наименьшее общее кратное чисел N и d2 и мы имеем апЦ ® ^—ankbxW для любого целого п ^ 1, а постоянная 8(/®х), участвующая в функциональном уравнении для A(f®x>s)> задается формулой

e(f®x)=—Х(—О П (—aPX(d));

p|WP<N

эта формула записывается еще проще, как e(f®x)~ = х(—A) e(f), если d взаимно просто с N.

Ряд Дирихле L (Sym2f, s)

Пусть /= У, anqn — нормализованная новая форма веса 2 П=1

и уровня N (см. 2.1). По аналогии с 2.2 обозначим через

L(f®X, s) ряд Дирихле У. anX^n-s, где X: N*->{—1, 1} п—1

является мультипликативной функцией, введенной в 1.4. Положим

L(Sym2f, s)= П (1 -p^)~lL(f, s/2) L(f®k, s/2).

Pf N

Имеем (см. [Sh])

L(Sym2f, s)= П (1 + р‘-Т‘ Е «^~s- р -f Nп=1

Функция A(Sym2A s) = №(2n)’sr(s)n’s/2r(s/2)L(Sym2f, s) продолжается, до целой функции (см. [Sh] и [G — J]). На основании результата Огга ([Ogg], с. 304)

Л(8уш2Д 2) = А ^ /(т)ДтЙЛ Д dr|,.

где Do (А) обозначает фундаментальную область группы Го (А) на полуплоскости Пуанкаре.

Когда N свободно от квадратов, функция A(Sym2/,s) удовлетворяет функциональному уравнению ([Ogg], теорема 6)

A(Sym2f, 3 — s) = Л(Sym2f, s). -

(Это можно распространить на случай, когда N имеет делителями квадраты, если подходящим образом усовершенствовать . эйлеровские сомножители для простых, делящих N; см. [G — J].)

ПРИНЦИП ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

В этом пункте К обозначает мнимое квадратичное поле,

—d — егодискриминант, х=( ^—ассоциированный

квадратичный характер. Предположим, что d > 4. Если 90оо

Д= 52 ann~s И в=52 bnn-s суть два ряда Дирихле, то n-ln=l, , _ ,

обозначение А <8 означает, что |ая|^оч для всех п^1.

Предположим, нам известны ряды Дирихле Ф и G и вещественное число М > 0, удовлетворяющие следующим условиям;:

(Cl) 'K(s)<$(2s-I)2 и <?($)< (-^^г) :

в частности, Ф (соответственно G) абсолютно сходится для Re(s)> 1 (соответственно для Re (s) > 3/2).

(С2) Ряд Дирихле G обладает эйлеровским произведением Ц0р, где для каждого простого числа р множители Gp(s) . р-

имеют вид1 где а, а', 0, 0' суть комп-

(1+ар S)U + PP )

лексные числа абсолютной величины ^Vp.

СЗ) Функция dsy (s) Ф (s) G (s), где y(s) = ЛРГ(з)2, продолжается до целой функции на С, быстро убывающей на бесконечности в каждой вертикальной полосе, инвариантной относительно подстановки s->2— s и обладающей при s = l нулем порядка ^3 (а значит, порядка ^4, принимая во внимание функциональное уравнение).

(С4) Функция Ф обладает голоморфным продолжением на окрестность полуплоскости (s|Re(s)^l), имеет простой нуль при s = 1, а функция yV быстро убывает на бесконечности в любой вертикальной полосе упомянутой полуплоскости.

Мы собираемся в этом пункте показать, что в таком случае можно эффективным способом мажорировать d как функцию от /i = /i(—of), Ф и М. Мы увидим в п. 4, как модулярные формы веса 2 позволяют построить описанные выше T, G и М и выведем из оценок, полученных в этом пункте, теорему Голдфилда.

Основное равенство

В качестве отправного пункта заметим, что для ° > у имеет место равенство

a+Z оо

J ^-‘Y (s) V (s)G (s) (s-1)-3^- = 0. a— i со

Действительно, если го обозначает подынтегральную диффе- о+ i оо14-I оэ

ренциальную форму, то ^ со = ^ со на основании теоремы о вычетах, и этот последний интеграл есть нуль, ввиду того, что со удовлетворяет функциональному уравнению.

Для произвольного вещественного U ^ 1 положим

Оф, 5)= П GM

P<U

оф’, 5) = 0^-0ф, 8) = 0ф, ^((Д^^))-1)-

Обозначим через / ф) интеграл cZs""lY(s)4r(s)G(s, (/)($— a— Z оо

— I)-3-^- и определим аналогичным образом /((/*), так что (3.1.1) примет вид

/([/) = -/({/*).

Исследование интеграла /((/)

Рассмотрим ориентированный путь А, изображенный на чертеже, при этом г] ^ 1/4 и rf выбраны достаточно малыми так, чтобы Тиб были голоморфными в области, содержа' щейся между А и прямой (s|Re(s) = о}.

Принимая во внимание теорему о вычетах, мы имеем (см. (С.4))

ЦЩ = схС(и, 1) (log d + ^4r+c2) +/.((/),

где Ci (соответственно с2) обозначает значение при $ = 1 функции (соответственно логарифмической производной функции) si—>_ । и где Л((/) есть интеграл, анало

гичный интегралу /((/), но подсчитанному по пути А. Существует такая постоянная Сз > О, зависящая только от V и от М, например с3 = ^ |y(s) T(s)(s — 1)"3|^^-, что имеем А

lA^K^ sup|G(C/, s)|.

$е д

О некоторых интегралах

Лемма 1. Пусть т —целое число ^=2, а < б — веществен- a+i оо

ные числа. Тогда x\-*I(x^ = x~s (s — aY"m — положи- J2Ш

a-i со тельная функция на R+. Она является убывающей и выпуклой, если а ^ 0.

I х

Действительно, Цх) равняется выражению -^_ щ ■ для х<1 и числу 0 для х>1.

В предположениях леммы 1 пусть |ль ..., рг — положительные меры на R+, для которых функция tt—> ta интегрируема. Положим

P/(s) = ^~ifl/ 0</<г» Re(s) = a) и

о+< оо

J^= J ^...^х-Ча-аГ1-^.

0—1 ОО

Благодаря теореме Фубини из леммы 1 получаем, что верна

Лемма 2. Интеграл J есть положительная функция на R+ Она выпуклая и убывающая, если а ^ 0.

В отображениях, которые мы рассматривали, меры pz являются либо образами при гомеоморфизме />—>/~* мер вида е_//~“-1 с и<а в случае чего мы имеем ц/(5) = Г(5—«), либо имеют вид У, а„б„, где б„ есть мера Дирака в точке п, п-1

a (a„)nsN, —семейство таких положительных вещественных чисел, что семейство (ann~°) суммируемо; в этом случае у./ (s) равна сумме У а„м~$.

п-1

Лемма 3. Пусть ц' (1 ^ f^r) — положительные меры на R‘+, удовлетворяющие тем же условиям, что и цу, мы определим Г по Цу тем же способом, что и J. Предположим, что для

Xх

любого х>0 верно неравенство ^,([0, Q)dt^ ^ И/([0, i])dt, О0

и пусть а>0. Тогда интеграл J мажорируется интегралом Г.

Достаточно разобрать случай, когда цу отличается от ц' только для одного индекса /. Тогда, ввиду теоремы Фубини, мы приходим к случаю, когда г равно 1. Но в этом случае мы имеем /(х) = ^ 1 (xZ) цр Г (х) = ^ / (xt) цр и функция t*—* ►~>/(xZ) является положительной, убывающей и выпуклой на R* (лемма 1). Отсюда вытекает лемма, если принять во внимание условия, наложенные на ц( и цр

Примеры. 1) Пусть q — приведенная квадратичная форма дискриминанта d (см. 1.3). Если ц — сумма мер Дирака бц (т. ») ^Ш, n)^ZX N*), ар' — мера, являющаяся суммой

мерымеры56 256 2ллVali и меры плотности -^=Vali и меры плотности -^=по отношению к мерепо отношению к мере

меры

меры

56 2

56 2

л

л

Vali и меры плотности -^=

Vali и меры плотности -^=

по отношению к мере

по отношению к мере

Лебега на + °°]> то для любого х>0 имеет место

( р ([0, 1]) Л < ^ и' ([0, /]) dt (loc. cit). Для Re (s) = о > 1

^т№Г-^т№Г-8о

^т№Г-

^т№Г-

имеем Д(з)=^ q^m, пУ"8 и Д'(з) = у -

(m. в) е Z X N*

Пусть V —мера У, 6„, a v' —сумма меры Дирака 6, п—1

в точке 1 и меры Лебега на [1, + °°[> и пусть р и р' — образы мер v и V при отображении /*—*Р. Для любого />0 справедливо неравенство v([0, /D^v'([О, /]), откуда р ([О, /]) < р' ([0, /]) для всех / > 0. Для Re(s) = a> 1 имеем

p,(s) = g(2s) и 0-'(s)= $_(1/2) •

Оценка величины |/((/*)!

Для оценки величины |J(C/*) ] будем исходить из следующего выражения интеграла /((/*) (получаемого из определения при помощи замены переменной si—»(s + "2)): Для любого а > 1

/((/•) =

=3' d-'^fs + DvO + yaCtr. s + l)(s-4)"'^.

G—l со

На основании леммы 2 из 3.3 интеграл

S ^(,+1),-(,-4)’^ 0—1 ОО

положителен для любого х > 0, так что мы. имеем о+1 ”•_3

|Д1П|< 5 ^-и/^^ + ^ф^)^-!)" -^ 0—1 со

для любого ряда Дирихле ф, абсолю.ио сходящегося по s при Ra (s) > 1 и такого, что Т ^s + ^ G (и*, s + у) <ф($). На основании условия (С1) и формул (3.1.3) и (1.3.2) это неравенство можно использовать, в частности, если в качестве ф

взять ряд Дирихле, полученный возведением в квадрат ряда 2 (a kqTs 2 (2s) + У д (m, n)~s'\ с последующим

qsQiM V(m, n)eZXN*V

исключением в результате членов, имеющих вид a (g)-s X Xa(gTs№)2 с a(g)a(g')<U.

Принимая во внимание лемму 3 и примеры 1 и 2 из 3.3, мы увеличиваем член в правой части неравенства (3.4.2), когда в выражении ряда ф заменяем

на (т^жУ’

a(qVs a^q')-8 на U-s (при a (д) а (д') > [/),У, q(m, n)~s на

(m. njeZXN*

^•—^—r^d 3/2 (для каждой формы geQrd4\

Таким образом, получается следующая оценка:

(3.4.3)(3.4.3)(/(С/ЭКЛ + Л + А,(/(С/ЭКЛ + Л + А,

(3.4.3)

(3.4.3)

(/(С/ЭКЛ + Л + А,

(/(С/ЭКЛ + Л + А,

где мы положили, обозначая через й число классов поля К,

(3.4.4)(3.4.5)(3.4.6)(3.4.4)(3.4.5)(3.4.6)A-»,1^-Mv($ + i)y-?(S-l)"'S-. o—i соA-»,1^-Mv($ + i)y-?(S-l)"'S-. o—i соОГЦ-/ ОООГЦ-/ ООХ№)(з-4)"3^,Х№)(з-4)"3^,/3/3л1 h34 V^л1 h34 V^dsInidsIniИмеем Jt ^ c4Имеем Jt ^ c4h3 / . dM I . „уw( log—1 + 3).h3 / . dM I . „уw( log—1 + 3).Предложение 1.зЭе с4g6 .Имеем J2^c5h ^ а(д)~\ где cb = ^-M^2. ЧгйТПредложение 1.зЭе с4g6 .Имеем J2^c5h ^ а(д)~\ где cb = ^-M^2. ЧгйТA2с) Имеем J3^c^—r=-> ydA2с) Имеем J3^c^—r=-> ydгде c6 = 4n2eM3,2sup(2, log(4M)).где c6 = 4n2eM3,2sup(2, log(4M)).

(3.4.4)

(3.4.5)

(3.4.6)

(3.4.4)

(3.4.5)

(3.4.6)

A-»,1^-Mv($ + i)y-?(S-l)"'S-. o—i со

A-»,1^-Mv($ + i)y-?(S-l)"'S-. o—i со

ОГЦ-/ ОО

ОГЦ-/ ОО

Х№)(з-4)"3^,

Х№)(з-4)"3^,

/3

/3

л1 h3

4 V^

л1 h3

4 V^

ds

Ini

ds

Ini

Имеем Jt ^ c4

Имеем Jt ^ c4

h3 / . dM I . „уw( log—1 + 3).

h3 / . dM I . „уw( log—1 + 3).

Предложение 1.

зЭе с4g6 .

Имеем J2^c5h ^ а(д)~\ где cb = ^-M^2. ЧгйТ

Предложение 1.

зЭе с4g6 .

Имеем J2^c5h ^ а(д)~\ где cb = ^-M^2. ЧгйТ

A2

с) Имеем J3^c^—r=-> yd

A2

с) Имеем J3^c^—r=-> yd

где c6 = 4n2eM3,2sup(2, log(4M)).

где c6 = 4n2eM3,2sup(2, log(4M)).

Легко проверить, используя теорему о вычетах и [Zi], с. 371, что для любого х>0 и любого е>0 (при а> 1) имеют место следующие неравенства:

Ms~4) ^^[^Г^^ + ЗГ^5"^!-!'

о—too2

a+ZCO_g

5 x$7^t(s-t) ^"^8x’

(3.4.9)(3.4.9)

(3.4.9)

(3.4.9)

Г ss3/1\ 3 ds <

) X (S _ 1 - 8) (s - 1 + 8) k 2 J 2Я1

G+e —I co

28

Используя теорему Фубини

заключаем из (3.4.7), что Jx мажорируется произведением величины А .^ на значение при s = — выражения

-vU2

1 d44! ds41 d44! ds41 d\3! ds^1 d\3! ds^

1 d4

4! ds4

1 d4

4! ds4

1 d\

3! ds^

1 d\

3! ds^

гЦ + е)2^1 и <4МУ ^е,гЦ + е)2^1 и <4МУ ^е,откуда и вытекает с).откуда и вытекает с).

гЦ + е)2^1 и <4МУ ^е,

гЦ + е)2^1 и <4МУ ^е,

откуда и вытекает с).

откуда и вытекает с).

и элементарная выкладка показывает, что это выражение записывается в виде -^- Р (log (""77"")) ■ где Р~УнитаРный многочлен 4-й степени, и что член /-й степени этого многочлена (0 < / < 3) мажорируется числом с$34~ , откуда и вытекает а);

заключаем из (3.4.8), что J^ мажорируется величиной

с* £«(,)-', где «,-16^(1);®—^-М»;

заключаем из (3.4.9), что 73 мажорируется при любом 8>0 величиной 4^М^г(|+8) Взяв в качестве е число, обратное к sup (2, log (4М)), получаем, что

Выбор числа U и вспомогательная теорема

Возьмем в качестве U число I—^—I , где иг есть такое наименьшее целое число, что m2 + m ^ -^-, если h=^ 4, и т—^, если h = 4. При таком выборе имеет место

Лемма 1. Существует не более одного простого числа p^U, разложимого в К; если такое р существует, то р^{^^ • Наибольший простой делитель числа d строго больше числа U.

Если р и р' меньше числа U и разложимы в К, то -^~ р - ^-> С t,K (s) и plp'v С -^— для любой такой пары (Z, ZjeN2, что / + Г ^ пг' = [т]. На основании 1.4, Ь), отсюда выводится неравенство l + 2m + 2m +4—L^A, которое противоречит определению числа пг. Второе утверждение было доказано в 1.4, а). Наконец, если Т— число простых делителей числа d, то известно (см. [Б — Щ], III § 8), что 2Г-1 делит /г, откуда заключаем, что Т ^.2пг. Поскольку либо d, либо у- свободно от квадратов и по крайней мере один из простых делителей числа d ограничен сверху выра-

(dxurri

жением I fl . а значит, и числом и, и легко проверяется, что равенство никогда не имеет места.

Обозначим через P(d) множество простых делителей числа d, за исключением наибольшего из них, и положим ]Z=^^ . На основании леммы 1, формулы (1.3.2) и условий (С1) и (С2) из начала п. 3, имеем:

1< ^ а^^Са! Д (1+-£-), где

<sQ^dosp<d)

Л , h 1 + V"1 ,

G(U, 1)>а2 Д GpW’ где ^(tT^vJ '

P e P (d)

zeros ^WO^ V Gp(D.W-I/2

Q d > 2j Gp (1) где “з , _ y-i/2

Pt»

и в обозначениях из 3.2

_ (l + 7-l/2)2(l-p-W)4’_ (l + 7-l/2)2(l-p-W)4’(3.5.4) suplAAALV ' seA |G(tZ, 1)1(3.5.4) suplAAALV ' seA |G(tZ, 1)1<a4 fj (1—P l/4) 2. где a4 ре P (d>

_ (l + 7-l/2)2

(l-p-W)4’

_ (l + 7-l/2)2

(l-p-W)4’

(3.5.4) suplAAAL

V ' seA |G(tZ, 1)1

(3.5.4) suplAAAL

V ' seA |G(tZ, 1)1

e, l п (£рЩ7 pePW ™e, l п (£рЩ7 pePW ™V g'p^.^№ °л»V g'p^.^№ °л»+ Ca — c9 JJ (1p e P (d)+ Ca — c9 JJ (1p e P (d)-p-1/4)"2'-p-1/4)"2'Теорема 3. Предположим, что d^e50 (и, значит, h^2) и | log Af | ^47. Тогда

e, l п (£рЩ

7 pePW ™

e, l п (£рЩ

7 pePW ™

V g'p^

.^№ °л»

V g'p^

.^№ °л»

+ Ca — c9 JJ (1p e P (d)

+ Ca — c9 JJ (1p e P (d)

-p-1/4)"2'

-p-1/4)"2'

+ c8-C9 П (l-p-,/4)"2.

pePl.il

где c7 = (l + 10 10) (c5 + -^- + e ^Ce), cs — c2 —3*10 ,

C = + (l+l.5'10"5)-

Элементарные выкладки показывают, что в предположениях теоремы имеют место следующие оценки: U^e50, V>e®, -A^e-so, А^г-е"50, log-^-| + 3<lodd, Л<1оА"Г< 1 • Тогда из 3.2 и неравенств (3.5.2), (3.5.3), л/и 340

мы заключаем, что

|/(t/-)Ka1/i Ц (1 + 7)(с5 + -^- + е"50с6).

р е Р (d)

Из 3.2 и неравенств (3.5.2), (3.5.3), (3.5.4) выводим, что

|/(t/)l>|ci|o2 Ц Gp(l)Aogd +

р е Р (d)X .

+ Z #--+'"-КТ»* пJ1-^2)-peP(d)peP(d)/

Первое неравенство теоремы получается из равенства / (t/*) = = — /((7) (см. 3.1) и оценок (3.5.5) и (3.5.6), если принять во внимание, что -^-^ 1 + 10 10, а3 ^ 3 • 10 , «4^1 + + 1,5- 10"5.

Второе получается, если заметить, что для каждого простого числа р, делящего d, Gp(s) имеет вид (1—ар-^Х X(1 + ₽P'), где а, р являются комплексными числами абсолютной величины ^Vp (см. (С1) и (С2)).

Заключение. Пусть УС— семейство мнимых квадратичных полей и 2D — множество таких d, что —d является дискриминантом поля КеХ. Предположим, что известны вещественное число М > О, ряд Дирихле V и, для каждого поля К е УС, ряд Дирихле GK удовлетворяющие условиям (С1)— (С4) из начала этого пункта (относительно поля К). Поскольку постоянные ct (1 ^ i ^ 9), введенные в этом пункте, зависят только от М и У, но не от Gk и, стало быть, не от К, то теорема 3 позволяет для любого h. ^ 1 мажорировать эффективным образом те de2), для которых /i(—d)—h. В частности, мы имеем:

Для любого е > 0 существует такая эффективно находимая постоянная С(е)> 0, что для любого deD имеем hV—d^C^^dY-».

Действительно, из теории родов квадратичных форм ([Б — Ш, III, § 8) известно, что если Т обозначает число простых делителей числа d, а С1 — группу классов идеалов поля Q(V~ &)’ то 2-группа GI/2CI имеет порядок 2Г~‘. В частности, Card (Р (d)) = Т — К ^|4 , а это позволяет вывести только что приведенное утверждение из теоремы 3.

Для любого целого числа Т ^ 1 существует такая эффективно находимая постоянная B(T)>Q, что Ц—й')"^ ^B(7)logd для любого de 2), имеющего не более Т простых делителей.

Если de 2) простое (а это, когда d > 8, равносильно нечетности числа й(—d)), то

h(-d)>int(^-, -^(log d + с8 - с9)).

Предложение 2. Условия (С1)— (С4) из начала п. 3 выполняются для М, ЧС Gk, если функция L(f,s) имеет при s = 1 нуль порядка ^3.

Это тотчас же выводится из свойств модулярных форм, упомянутых в п. 2. В частности, тот факт, что знак в функциональном уравнении функции (Ру^Ч^) GK(s) = A.(f, s)X XA(f®%,s) равен +1, вытекает из того факта, что значение х(—N) равно 1 (см. 2.2).

Предложение позволяет применить результаты п. 3.6 к семейству квадратичных полей Жм- В полученных таким образом оценках снизу наиболее важной постоянной явля- ется ' е^ (см. теорему 3); она, вообще говоря, очень близка к -^-, и полученные нижние границы окажутся тем лучше, чем больше будет эта постоянная. На основании (2.3.3), (2.3.1) и определения постоянных Ci (см. 3.2) и с5(см. 3.4, предложение 1,Ь)) имеем

с, = 2л J] (1-Р"Т* JJ Г^ТК^^лТт^с^^-М3'2.

PIN О, W)

Представленные выше результаты распространяются на мнимые квадратичные поля, дискриминант которых не взаимно прост с N, но ассоциированный характер % таков, что e(f®x) = e(f) (обозначения из 2.2). Для выполнения условий (С1)— (С4) из пункта 3 необходимы следующие небольшие усовершенствования; возьмем в качестве Y ряд Дирихле, имеющий такие же эйлеровы сомножители, как и L(f, s)A(f®X, s) для тех простых чисел р, для которых р2Ч 'Г НОД (A, d2), и такие же эйлеровы сомножители, как и L(f, s)L(f ® х, s), для остальных простых чисел. Положим

NN

Gxlsj^Hf, s)L(f ®х, s^ts)-1 и М = -^-> где Nx обозначает уровень формы f®x (когда К меняется, М пробегает конечное множество).

Способ, которым работы Гросса и Загира позволяют проверить, что для конкретных форм f веса 2 ряд L(f,s) имеет при s= 1 нуль порядка ^3, был описан во введении. Детали можно узнать в [G — Z]. Здесь мы довольствуемся описанием такой ситуации: эллиптическая кривая £0 с уравнением у2 + у = х? + х2 — 23х— 50 есть кривая Вейля кондуктора 37 и ранга нуль (см. [Ма]), и ассоциированная модулярная форма f0 является единственной новой формой веса 2 и уровня 37, для которой /о (—"з^~) =— 37т2/0(т).

Кривая Еь получаемая из Ео «скручиванием при помощи —139», есть кривая Вейля кондуктора 37.1392 и ранга 3, а ассоциированная модулярная форма есть /1=/о®Хо» где / -139 \

Хо = I I. Гросс и Загир проверили, что L(/bs) имеет при s=l нуль порядка 3. Постоянные е(/0) и е(Л) соответственно равны 1 и хо(—37)= 1. Пусть х — квадратичный характер, ассоциированный с мнимым квадратичным полем дискриминанта —d. Если %(—37) отлично от нуля, то e(fi ®x) = e(fo®XoX) = XoX(—37) = —х(—37)., Если х(—37) есть нуль, то мы имеем в(/1 ® х) = (/о ® ХоХ) — — ХоХ(—0 = = —1 (см. 2.2). Стало быть, всегда e(/i ® х) = 8(Л), кроме случая, когда х(—37) равно —1, т. е. случай, когда х(37)=1. Но в этом случае log у ^ A log 37 на основании 1.4, а). Когда х(37) равняется —1 или 0, то применима теория, изложенная в 4.1 или в 4.2. В качестве У надлежит взять функцию

У (s) = L (К, s) L(fx ® X, s) Lti9 (,f0 ® XoX. s).

что дает нам1 ± 4139-$4- 139,-2\ если 139|dчто дает нам1 ± 4139-$4- 139,-2\ если 139|d

что дает нам

1 ± 4139-$4- 139,-2\ если 139|d

что дает нам

1 ± 4139-$4- 139,-2\ если 139|d

Ai39(fo®XoX, $) = ' . 1,

а в качестве M можно взять

( 1, если 37 -f* d,

° = 1 1/2, если 37\d И

Это доказывает теоремы 1

и (ХоХ)(139)= ± 1, если 139 -f d, 37°139е число ——• где

( 2, если 139 ^ d, t 1, если 139 \d.

и 2 во всех случаях.

стром. Тогда осталось бы проверить, что эта кривая есть кривая Вейля, а это как раз не просто... ')

Знание перечня мнимых квадратичных полей, имеющих число классов, равное 1, 2 или 4, позволило бы составить таблицу (конечную) чисел neN*, которые допускают ровно одно представление в виде п = х2 + у2 + г2, где. х ^ у^ ^г^О. Это выводится из формулы Гаусса — Эрмита, дают щей число таких представлений числа п.

Знание перечня мнимых квадратичных полей, имеющих число классов ^/i (А—гзаданное целое число), позволяет составить таблицу (конечную) немаксимальных порядков в мнимых квадратичных полях, группа классов обратимых модулей в которых имеет порядок, меньший, чем h (см. [Б —Ш], с. 278, упр. 20).

Теорема 3 слишком слаба, чтобы дать возможность определить дискриминанты, для которых каждый род квадратичных форм (с целыми коэффициентами и положительно определенных) содержит единственный класс, и, в частности, составить таблицу (конечную, на основании теоремы Зигеля) «удобных чисел» Эйлера (см. loc. cit, с. 273).

ЛИТЕРАТУРА

[Ba] Baker A. A remark on the class number of quadratic fields. Bull. London Math. Soc. 1 (1969), 98—102.

[Б-Ш] Боревич 3 И, Шафаревич И. Р Теория чисел, М, 1985.

[Bu] Buell D. A. Small class numbers and extreme values of L-function of quadratic fields, Math, of Comp. 31 (1977), 786—796.

[Ga] Gauss C. F. Disquisitiones arithmeticae, Leipzig, 1801, (Имеется перевод: Гаусс Карл Фридрих. Труды по теории чисел, М., 1959.) [G-J] Gelbart S., Jaquet Н A relation between automorphic representations of GL(2) and GL(3), Ann. Sci. E. N. S. (4) 11 (1978), 471—542.

[G-Z] Gross B„ Zagier D Points de Heegner et derivees de fonctions L C. R. Acad. Sci. Paris 297 (1983), 85—87.

[He] Heegner K. Diophantische Analysis und Modulfunktionen, Math Z 56 (1952), 227—253." '

[Hei] Heilbronn H. On the class-number in imaginary quadratic fields Quarterly J. of Math. (Oxford) 5 (1934), 150—160.

[Go] Goldfeld D. M. The conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer and the class numbers of quadratic fields, Journees Arithmetiques de Caen, Asterisque 41—42 (1977), 219—227.

[M-W] Montgomery H. L., Weinberger P. J. Notes on small class numbers Acta Arithmetica 24 (1973), 529-542.

[Ogg] Ogg A. P. On a convolution of L-series, Invent. Math. 7 (1969) 297—312.

Но тем не менее было доказано Местром в [1*]. В [2*] он указывает на оценки числа классов Л(—d), позволяющие решить вопрос о полях С А = 3. В частности, ДЛЯ простых dlog d< 55й(—d). — Прим, ред.

[Sh] Shimura G. On the holomorphy of certain Dirichlet series. Proc, of the London Math. Soc. 31 (1975), 79—98.

[Si] Siegel C. L. Ober die Classenzahl quadratischer Zahlkorper, Acta Arithmetica 1 (1936), 83—86.

[S-D, B] Swinnerton-Dyer H. P. F., Birch B. J. Elliptic curves and modular function, in: Modular Functions of One Variable IV, Leet. Notes in Math. 476, Springer-Verlag, Berlin — Heidelberg — New York, 1972.

[Stl] Stark H. M. There is no tenth complex quadratic field with classnumber one, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 57 (1967), 216—221.

[St2J Stark H. M. On the «gap» in a theorem of Heegner, J. Number Theory 1 (1969), 16—27.

[St3] Stark H. M. On complex quadratic fields with class number two. Math. Comp. 29 (1975), 289—302.

[Ta] Tatuzawa T. On a theorem of Siegel, J. of Math. 21 (1951), 163— 178.

[Vi] Vigneras M.-F. Valeur au cetre de symetrie des fonctions L associees aux formes modulaires, Seminaire Delange—Pisot — Poitou 1979— 80, Birkhauser.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1*] Mestre J.-F. Courbes de Weil de conducteur 5077, C. R. Acad. Sci. Paris, 1985, t. 300, № 15.

[2*] Mestre J.-F. Courbes de Weil et courbes supersingulieres, Seminaire de Theorie des Nombres de Bordeaux, Annees 1984—1985, ex. № 23.

РАБОТА Б. ГРОССА И Д. ЗАГИРА) О ТОЧКАХХЕГНЕРА

И ПРОИЗВОДНЫХ L-РЯДОВ)

Джон Коутс

Университет Париж — Юг, Орсе

ВВЕДЕНИЕ

Задача нахождения группы рациональных точек на эллиптической кривой, определенной над полем Q, является одной из старейших и труднейших в математике. В общем случае она остается нерешенной и по сей день,хотя имеется обширная литература, посвященная ее решению для большого числа конкретных кривых. Наиболее трудная часть задачи состоит в явном построении рациональных точек на кривой, когда имеются экспериментальные или теоретические основания предполагать, что такие точки должны существовать. Типичный пример, восходящий к временам греков и арабов, это вопрос о том, когда данное целое положительное число В является площадью прямоугольного треугольника с рациональными сторонами. Легко показать, что ответ иа этот вопрос положительный, если и только если на эллиптической кривой

у1 = ^-Вгх

существует рациональная точка бесконечного порядка (или, эквивалентно, рациональная точка (х, у), для которой у=5^0). Имеются веские основания предполагать, что на кривой (1) всегда существует рациональная точка бесконечного порядка в случае, когда В — целое положительное число, сравнимое с 5, 6 или 7 (mod8). Действительно, если число В свободно от квадратов, то гипотеза Бёрча и Суиннертон-Дайера предсказывает, что ранг группы рациональных точек на кривой (1) нечетен, если В сравнимо с 5, 6 или 7 (mod 8), и только в этом случае. Ответ даже на этот частный вопрос о построении рациональных точек бесконечного порядка на эллиптической кривой 1) лежит, по всей видимости, за пределами возможностей современной математики.

[Sh] Shimura G. On the holomorphy of certain Dirichlet series, Proc, of the London Math. Soc. 31 (1975), 79—98.

[Si] Siegel C. L. Ober die Classenzahl quadratischer Zahlkorper, Acta Arithmetica 1 (1936), 83—86.

[S-D, B] Swinnerton-Dyer H. P. F., Birch B. J. Elliptic curves and modular function, in: Modular Functions of One Variable IV, Leet. Notes in Math. 476, Springer-Verlag, Berlin — Heidelberg — New York, 1972. [Stl] Stark H. M. There is no tenth complex quadratic field with classnumber one, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 57 (1967), 216—221.

[St2J Stark H. M. On the «gap» in a theorem of Heegner, J. Number Theory 1 (1969), 16—27.

[St3] Stark H. M. On complex quadratic fields with class number two. Math. Comp. 29 (1975), 289—302.

[Ta] Tatuzawa T. On a theorem of Siegel, J. of Math. 21 (1951), 163— 178.

[Vi] Vigneras M.-F, Valeur au cetre de symetrie des fonctions L associees aux formes modulaires, Seminaire Delange — Pisot — Poitou 1979— 80, Birkhauser.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1*] Mestre J.-F. Courbes de Weil de conducteur 5077, C. R. Acad. Sci. Paris, 1985, t. 300, № 15.

[2*] Mestre J.-F. Courbes de Weil et courbes supersingulieres, Seminaire de Theorie des Nombres de Bordeaux, Annees 1984—1985, ex. № 23.

РАБОТА Б. ГРОССА И Д. ЗАГИРА) О ТОЧКАХХЕГНЕРА

И ПРОИЗВОДНЫХ L-РЯДОВ)

Джон Коутс

Университет Париж — Юг, Орсе

ВВЕДЕНИЕ

Задача нахождения группы рациональных точек на эллиптической кривой, определенной над полем Q, является одной из старейших и труднейших в математике. В общем случае она остается нерешенной и по сей день,хотя имеется обширная литература, посвященная ее решению для большого числа конкретных кривых. Наиболее трудная часть задачи состоит в явном построении рациональных точек на кривой, когда имеются экспериментальные или теоретические основания предполагать, что такие точки должны существовать. Типичный пример, восходящий к временам греков и арабов, это вопрос о том, когда данное целое положительное число В является площадью прямоугольного треугольника с рациональными сторонами. Легко показать, что ответ иа этот вопрос положительный, если и только если на эллиптической кривой

уг = х? — Вгх

существует рациональная точка бесконечного порядка (или, эквивалентно, рациональная точка (х, у), для которой у^=0). Имеются веские основания предполагать, что на кривой (1) всегда существует рациональная точка бесконечного порядка в случае, когда В — целое положительное число, сравнимое с 5, 6 или 7 (mod8). Действительно, если число В свободно от квадратов, то гипотеза Бёрча и Суиннертон-Дайера предсказывает, что ранг группы рациональных точек на кривой (1) нечетен, если В сравнимо с 5, 6 или 7 (mod 8), и только в этом случае. Ответ даже на этот частный вопрос о построении рациональных точек бесконечного порядка на эллиптической кривой 1) лежит, по всей видимости, за пределами возможностей современной математики.

Еще в 19 в. было известно, что можно строить решения уравнения Пелля, используя значения либо круговых функций, либо значения т]-функции Дедекинда. Хегнер в работе [11] впервые успешно использовал значения эллиптических модулярных функций для построения рациональных точек на эллиптических кривых. В той же работе Хегнер впервые эффективно нашел все мнимо квадратичные поля с числом классов 1. После периода непонимания и забвения идеи Хег- нера привлекли внимание Бёрча [1], [2], [3], который существенно прояснил и дополнил их. Важность этих работ Хегнера и Бёрча состоит в том, что в них впервые устанавливается существование рациональных точек, бесконечного порядка на некоторых эллиптических кривых над полем Q без явного выписывания координат этих точек и проверки того, что они в действительности удовлетворяют уравнению кривой. Рациональные точки, которые строятся при помощи метода Хегнера — Бёрча, называются точками Хегнера на эллиптической кривой (точное определение будет дано позднее). К сожалению, и это уже было ясно в пионерских работах Хегнера — Бёрча, точки Хегнера не всегда имеют бесконечный порядок. В попытке преодолеть эту трудность Бёрч и Стефенс провели обширные вычисления (результаты которых с большим опозданием и лишь частично были опубликованы в [4]) и пришли к следующим поразительным гипотезам:

Точки Хегнера на эллиптической кривой над Q имеют бесконечный порядок, если и только если ранг группы рациональных точек на кривой равен 1.

Если L-ряд Хассе—Вейля эллиптической кривой обращается в нуль в точке s = l, то существует замкнутая формула для значения в точке s= 1 его первой производной, в которую входит произведение стандартного сомножителя, отвечающего ненулевому периоду, и сомножителя, отвечающего канонической высоте. Нерона — Тейта точек Хегнера эллиптической кривой1).

ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТОВ

Перейдем теперь к рассмотрению работ Гросса и Загира [8], [9], которые содержат существенное продвижение в доказательстве гипотез Бёрча и Стефенса и в некотором смысле идут дальше. На самом деле как конструкция точек Хегнера, так и основной результат Гросса — Загира, в действительности являются утверждениями о модулярных фор-

*) Имеется в виду, что Z.'(1) не равняется нулю. — Прим, ред,

мах (следовательно, они применимы только к тем эллиптическим кривым над Q, которые входят в качестве изогенных факторов в якобиево многообразие модулярной кривой Хо (W)). Фиксируем некоторое целое число N>L Напомним, что Xq^N) — это кривая над Q, параметризующая классы эквивалентности пар (Е, -^* Е2) обобщенных эллиптических кривых Ei и Ег, связанных изогенией а, ядро которой является циклической группой порядка N. Следуя Бёрчу [3], определим точку Хегнера на X0(vV) как класс эквивалентности, содержащий пару (Е, -^ Е^, такую что кольцо эндоморфизмов как Еь так и Е2 изоморфно одному и тому же порядку О в мнимом квадратичном поле К. Чтобы иметь большой запас точек Хегнера на кривой Хо(ЛО> мы должны варьировать как мнимое квадратичное поле К, так и порядок О в К. Однако для простоты изложения в настоящем докладе мы рассмотрим только те точки Хегнера, которые удовлетворяют следующим предположениям.

Предположение A. (i) О есть максимальный порядок К, (ii) дискриминант D поля К взаимно прост с N,

каждый простой делитель числа N расщепляется в К.

Из условия (iii) следует, что существует 2Г целых идеалов п в поле К, таких что факторкольцо СУ/n является циклической группой порядка N; здесь г обозначает число различных простых делителей N. В этом случае легко видеть, что точки Хегнера кривой X0(N) соответствуют парам вида (С/а-* С/ап-1), где п — такой целый идеал, что OIxv^ZINZ, а а — произвольный целый идеал поля К. В действительности такая точка зависит только от выбора К, п и образа идеала а в группе классов идеалов поля К. Точки Хегнера кривой Xo(^) рациональны над полем Н = К (]((?)), где /— классический /-инвариант решетки в комплексной плоскости. Согласно теории комплексного умножения, Н есть гильбертово поле классов для К (т. е. максимальное неразветвлен- ное абелево расширение К), и гомоморфизм Артина определяет изоморфизм между группой классов С1к поля К и группой Галуа G поля Н над К. Действие группы G на точках Хегнера может быть явно описано; в частности, G действует просто и транзитивно на тех точках Хегнера, которые соответствуют фиксированному целому идеалу п со свойством OJn^ZlNZ.

Основной результат Гросса и Загира дает замкнутое выражение для значения в точке s= 1 первой производной от L-ряда, являющегося сверткой Ранкина двух модулярных

форм. В качестве одной модулярной формы берется любая модулярная форма / = У, anqn (q — е^12), принадлежащая П=1

векторному пространству, порожденному над С примитивными параболическими формами (т. е. новыми формами в терминологии [16]) веса 2 относительно подгруппы Го(Л^)с czSl2(Z) (напомним, что Го^) состоит из всех матриц (а Ь\

^ leSL2(Z), p = 0(modAf)). В качестве другой модулярной формы возьмем 9-ряд, соответствующий мнимому квадратичному полю К и произвольному элементу а из группы Галуа G = Gal (///К). Этот 9-ряд строится следующим образом. Пусть С(о) — класс идеалов поля К, соответствующий а при изоморфизме Артина. Выберем целый идеал а в классе С (о) и Z-базис рь р2 идеала а. Тогда квадратичная форма

является целочисленной и имеет дискриминант D, равный дискриминанту поля К. Кроме того, класс эквивалентности этой квадратичной формы относительно действия группы SL2(Z) зависит только от выбора автоморфизма о. Пусть w— число корней из 1 в поле К и 8 — характер Дирихле по модулю D квадратичного расширения K/Q. Как показал Гекке [10], 9-ряд

(m, п) е Z2

является модулярной формой веса 1 с характером е относительно Г0(Д), т. е. она голоморфна во всех точках компактифицированной верхней полуплоскости и удовлетворяет соотношению

0a(Yz)-=8(d)(c2 + d)9a(z)

/а Ь \

для всех -у = I I е Го (D). Для каждого целого п 1 обозначим через г0(л) число целых идеалов с нормой, равной п, в классе с(о), и положим га(0) = ау-1. Так как r0(«) = ra-i (л) (потому что комплексное сопряжение переводит класс идеалов в обратный к нему в группе С1К\ то 60(z)= £ га(п^п.

п-1

L-ряд, детально изученный Гроссом и Загиром, в полуплоскости /?($)> 3/2 определяется следующей формулой:

La (f, s) = Ln (e, 2s - 1) £ aJa W n~3, n—1

где £дг (e, s) по определению получается после выкидывания из эйлербвского произведения для £-ряда Дирихле, отвечающего характеру в, сомножителей Эйлера, соответствующих всем простым делителям числа N. Как мы объясним позднее, метод Ранкина показывает, что функция LO(AS) допускает голоморфное продолжение на всю комплексную плоскость и обращается в нуль в точке s=l. Существенно новый результат, содержащийся в работе Гросса и Загира, — это доказательство замечательной замкнутой формулы для первой производной в точке s=l от La(f,s) в терминах точек Хегнера на кривой Хо(№), соответствующих полю К. Точки Хегнера входят в эту формулу через их каноническую высоту, фундаментальное арифметическое понятие, принадлежащее Нерону и Тейту. Напомним кратко определение канонической высоты. Предположим, что N таково, что кривая Xo^N) имеет род g> 1, и пусть J — абелево многообразие, определенное над Q, которое является якобианом кривой Xo^Ny Таким образом, группа /(Q) Q-рациональных точек многообразия / отождествляется с группой Q-рациональных дивизоров степени 0 на кривой Х0(М) по модулю линейной эквивалентности. Построим вложение

Ф: У/{± О^Р2®"1,

определенное над полем Q, в проективное пространство размерности 2е— 1. Для этого напомним, что тэта-характеристика С на кривой Xq^N) есть класс дивизоров степени g— 1, определенный над Q, такой что 20 есть канонический класс на Хй(М). Пусть W обозначает образ (g—1)-й симметрической степени кривой Хо(^ в группе классов дивизоров степени g—1 на X0(Ny Тогда в = Ц7 —О есть обильный и симметричный дивизор на J, и класс дивизора 20 в группе Пикара многообразия J не зависит от выбора О и определен над полем Q. Линейное пространство Д°(/, 20) имеет размерность l = 2g, и выбор базиса Хь ..., xt в этом пространстве задает вложение (4). Для каждого конечного расширения F поля Q обозначим через MF множество всех нормирований поля F, нормализованных условием

п I a |g — 1 для всех а г F*. Каноническая высота точки и е Мр

P<=J(F) определяется как предел

ЛдР)=ИтД- У max {log| х{(пР) [„}.

Можно показать, что этот предел существует и определяет положительно определенную квадратичную форму RF: /(/7)®R-*R. Пусть < , >F: ЦР^ХН^-^^ — симметрическая билинейная форма, соответствующая ftF, т. е.

<Р, Фр = ^PVP^Q^-fip (Р) - KF (Q)).

Существование билинейной формы < , ^р позволяет строить параболические формы веса 2 относительно Го(М) при помощи следующей элементарной леммы. Для каждого целого m.^ 1 обозначим через Тт т-е соответствие Гекке на кривой Xo(N), которое определяется по формуле

тт^=у,(ха,

с.•.

где х = (Д-^> Д2)> сумма справа берется по всевозможным подгруппам С порядка т. в Ей которые пересекаются с Кега только по нулевому элементу, и хс -(EXJC-^. Е^/аСС^. Это соответствие индуцирует iQ-эндоморфизм абелева многообразия /, который будет обозначаться также через Тт. Пусть Т — коммутативная Q-подалгебра в Endo (/0 (М)) ®Q, которая порождена Тт для всех m 1.

Лемма 1. Пусть задано Q-линейное отображение ср: Т -► С. Тогда существует параболическая форма g^ веса 2 относительно Vo{N), разложение Фурье которой имеет вид £ф = 2 Ф (I'm) ?m- Кроме того, для каждого / г "О" имеем т-1

t^)= £W„K.

Доказательство леммы будет приведено в § 3. Обозначим через (со) рациональную точку на кривой Xq^N), соответствующую параболической вершине на бесконечности (напомним, что комплексные точки кривой XoW отождествляются с фактором компактифицированной верхней полуплоскости по действию группы Го(ЛО). Через х будем обозначать некоторую точку Хегнера на кривой Xq(N'), соответствующую полю К, а через £— точку в J(H), определяемую классом дивизора (х)— (оо). Для каждого дебиз леммы 1

следует, что

Ro^ = £ <£, Tml°>Hqmm—1

является параболической формой веса 2 относительно Го (Л'). Нетрудно показать, что с точностью до прибавления старой формы веса 2 относительно Г0(Л/") Ra^ зависит только от N, D и а, а не от выбора точки Хегнера х. Нормируем скалярное произведение Петерсона для Г0(Л^) следующим образом:

(51. 8^ы =$ 5i (2) g^A dx dy,

интеграл берется по фундаментальной области группы ro(W), действующей на верхней полуплоскости ^. Мы, наконец, можем сформулировать основной результат Гросса и Загира.

Теорема 2. Пусть f принадлежит векторному пространству, порожденному над .Ci примитивными параболическими формами веса 2 относительно Го (Ai). Тогда для всех сгО справедливо равенство

s)U= —(f, Ra)N, asu2^D('

где 4u = w равняется числу корней из 1 в поле К.

Доказательство теоремы 2, принадлежащее Гроссу и Загиру, является длинным и трудным. Оно основано на удивительно красивых и тонких вычислениях в духе лучших математических традиций 19 в. В оставшейся части этой статьи мы дадим лишь набросок основных идей, лежащих в основе этих вычислений.

Хотя техника, развитая для доказательства теоремы 2, представляет, несомненно, самостоятельный интерес, ее основное значение заключается в многочисленных арифметических приложениях, относящихся к A-функциям с эйлеров- ским произведением. Пусть

7 = ДЯ)®С.

Согласно теореме Морделла — Вейля, пространство V является конечномерным над С. Спаривание < , >я, задаваемое канонической высотой, определяет эрмитово скалярное произведение на V:

(р<8>а, Q®b)H = ab (Р, Q)H (a, b е С).

Кроме того, пространство V снабжено естественными действиями как группы Галуа G, так и алгебры Гекке Т- Обо-

значим через О (соответственно Т) группу всех комплексных характеров G (соответственно Т). Действие алгебры Т самосопряжено относительно введенного выше скалярного произведения и коммутирует с действием группы G. Следовательно, имеются разложения

v = ф^,

Xе8pef

на изотипичные компоненты. Важное подмножество в Т задается примитивными нормализованными параболическими формами веса 2 относительно Го (А) (т. е. новыми формами веса 2 относительно Г0(А), первый коэффициент Фурье которых равен 1). Если /=£ ай^" —такая форма, то соот-

п—I

ветствующий характер алгебры Т переводит Тт в ат для всех m^ 1. До конца этого параграфа будем предполагать, что I — примитивная нормализованная параболическая форма веса 2 относительно Го(А). Для каждого характера хг^ положим

Щ, X, s)= L XWL.AL s).

as6

Этот Дряд всегда представляется в виде эйлеровского произведения (эйлеровское произведение соответствует тензорному произведению двух /-адических представлений группы Галуа поля Q над Q: одно, связанное с модулярной формой f, а другое — с представлением индуцированным характером х). Кроме того, хорошо известно (см. [6]), что выполняется следующее функциональное уравнение:

A (f, X, s)= —Л(/, х, 2 —s),

где A(f, х, s) = (AD),(2n)-2$r(s)2L(f, х, s). В частности, Z,(f, X, s) имеет нуль нечетного порядка в точке s=I. Напомним, что х обозначает точку Хегнера на кривой Х0(А), и g— точка J(Н)t задаваемая классом дивизора (х)— (оо). Положим

aeG

так что ^ е Vх.

Теорема 3. Пусть f— примитивная нормализованная параболическая форма веса 2 относительно Го (А).

Тогда d&n2(f,f).. ,

где £/,х— проекция |х на f-изотипичную компоненту пространства У = /(Я)8.С:, и h обозначает число классов дивизоров поля К.

Заметим, что 8л2 (f, f)„ равняется периоду интеграла

II ®f II = ^ а>, Л №}, где tof = 2лг/ (z) dz.

^oW(C)

Пусть й = й X X^Ra- Чтобы вывести теорему 3 из тео- а е G

ремы 2, мы должны показать, что (/,й)№= (Д fJX?/, x^f, х^н. Это равенство является формальным следствием леммы 1 и G-инвариантности спаривания, задаваемого канонической высотой (напомним, что G = Gal (////<)). Мы опускаем детали.

Хотя теорема 3 носит общий характер и может быть применена к простому фактору якобиана У1), соответствующему произвольной примитивной параболической форме, ее наиболее интересные приложения связаны с эллиптическими кривыми над Q, которые встречаются в разложении J. Пусть Е— эллиптическая кривая, определенная над Q. Для каждого простого р (независимо от того, является ли редукция кривой Е хорошей или плохой) обозначим через Np число точек на редукции Ё кривой Е mod р, которые рациональны над Z/р^. Положим

ар = 1 + р — Np.

Напомним, что L-ряд Хассе — Вейля кривой Е над <Q определяется через эйлеровское произведение

L (E,s) = П (1-«Рр-$) П (l-a^-^ + p--2»)"1.

p|Nи (р, ЛГ)-1

где N обозначает кондуктор кривой Е (см. [13]). Пусть

L^E, s)=^ann-s. Назовем Е модулярной эллиптической я—1

кривой над Q, если f (z) = 2 anqn является примитивной параболической формой веса 2 относительно Г^М). Если кривая Е модулярна, тогда функция

Л (Е, з) = (2л) ~s Г (з) L (Е, s) = J f (Zy) у^_о

является целой и удовлетворяет функциональному уравнению

Л (Е, s) = xbeNv~sA. (Е, 2 — s), mE = ± 1.

Важной нерешенной проблемой остается вопрос: какие эллиптические кривые над <Q являются модулярными? А. Вейль и Танияма выдвинули гипотезу, что любая эллиптическая кривая над <Q является модулярной. В настоящее время эта гипотеза проверена для большого числа кривых с кондуктором N ^ 500. Теоретически всегда возможно за конечное число шагов решить, является ли данная эллиптическая кривая модулярной, однако для кривых с достаточно большим кондуктором вычисления становятся практически неосуществимыми. Единственный общий класс эллиптических кривых над Q, про который известно, что он состоит из модулярных кривых, — это кривые с комплексным умножением (например, кривая (1) для всех BeQ*). Приведем теперь наиболее важные следствия теоремы 3 для модулярных эллиптических кривых над Q. Если Е— такая кривая, то обозначим через Е(К) группу /(-рациональных точек на Е, а через L(E/K,s)— L-ряд Хассе —Вейля для кривой Е над К.

Теорема 4. Пусть Е — модулярная эллиптическая кривая над <Q с кондуктором N. Пусть К— мнимое квадратичное поле с дискриминантом D, причем (D, М) = 1 и каждый простой делитель числа N расщепляется в поле К. Тогда L (Е/К, s) обращается в нуль в точке s = 1 и, если этот нуль является простым, группа Е(К) содержит точку бесконечного порядка.

Чтобы вывести теорему 4 из теоремы 3, положим ЦЕ, з) = = У aRn-s, так что Hz)='£l anqn является примитивной параболической формой веса 2 относительно Го(ЛО- Возьмем в качестве х тривиальный характер Хо группы Галуа G. Пусть ЦЕ^, s) = У апв(п) n-s, где в обозначает характер а—1

K1Q. Тогда

ЦЕ/К, s) = L(E, W, s)^L(f, Хо, s).

Следовательно, если L(E/K,s) имеет простой нуль в точке з = 1, то из теоремы 2 вытекает, что £г,Хо — ненулевой элемент в J(/C)®|C. Таким образом, выбирая ненулевой гомоморфизм из I в Е, мы получаем, что образ gf, Хо в Е^К^ С* является ненулевым, что и требовалось показать.

Если Е— эллиптическая кривая над Q, то обозначим через

E^XEl^-*R

спаривание на Е, задаваемое канонической высотой (определение которой совершенно аналогично определению высоты для J; аналогом вложения (4) служит х-координата в уравнении Вейерштрасса над Q для кривой Е).

Теорема 5. Пусть Е — модулярная эллиптическая кривая над Q, такая что L(E,s) обращается в нуль в точке s = 1. Тогда существует такая рациональная точка РеЕ(Q), что

-^ЕЦЕ, s^_x = a&E<P, P^.q,

где а — некоторое ненулевое рациональное число, й£ — вещественный период определенного над Q ненулевого дифференциала первого рода на Е. В частности, если Eijis') имеет простой нуль в точке s= 1, то группа E(Q) содержит точку бесконечного порядка.

Чтобы вывести равенство (8) из теоремы 3, мы сначала заметим, что в глубокой теореме Вальдспургера [14] доказывается существование (бесконечного числа) полей К, удовлетворяющих условиям теоремы 4 и таких, что ЦЕ1г\ 1)#= 0. Так как мы можем считать, что Е(Е, s) имеет простой нуль в s = 1 (иначе возьмем Р = 0 в (8)), то для таких полей К мы получаем, что L^,%q,s') имеет простой нуль в s = 1, где Хо — тривиальный характер группы классов идеалов поля К. Из теоремы 3 следует тогда, что ^, Хо является ненулевым элементом в ЦК}® С. С другой стороны, gf,Xo лежит на самом деле в J(Q)®C. Это легко следует из того факта, что 1^ = 1, где Фаг (z) = —-^-. который в свою очередь следует из того, что L(E, s) имеет простой нуль в s = 1. Равенство (8) устанавливается теперь выбором ненулевого гомоморфизма из J в Е и функториальных свойств канонических высот, а также из хорошо известных свойств алгебраичности Е(ЕЧ 1).

Излишне говорить, что равенство (8) согласуется со свойствами алгебраичности, предсказанными гипотезой Бёрча — Суиннертон-Дайера. Однако действительная важность теоремы 5 состоит в том, что она дает первый существенный сдвиг в положительном решении проблемы построения рациональных точек на эллиптической кривой, определенной над Q. Даже для функциональных полей результаты такого сорта были прежде неизвестны. Следует также подчеркнуть,

что теорема 5 очень полезна для практических вычислений, так как значение производной L^E, 1) (если оно =#0) может быть легко вычислено с использованием стандартных быстро сходящихся рядов.

С другой стороны, ясны и ограниченные возможности применения теоремы 5. Когда ЦЕ,з) имеет нуль в точке s= 1 кратности >1, то теорема 5 не дает никакой информации о существовании рациональных точек бесконечного порядка на Е. Даже когда ЦЕ, s') имеет простой нуль в точке s = 1, остается недоказанным, что ранг кривой E(Q) равен 1. Наконец, совсем не легко доказать теоретически, что L (Е, s) имеет простой нуль в s = 1, когда это предсказывается стандартными гипотезами. Например, для каждого простого числа р = 5mod 8 стандартные гипотезы предсказывают, что /.-ряд кривой

у2 = х3 + рх

должен обращаться в нуль в точке s = 1 с кратностью, равной в точности 1. Было бы интересно доказать это, так как не всегда легко найти рациональную точку бесконечного порядка на этой кривой при помощи элементарной теории спуска. Когда р = 877, то как показано в [5], образующая (по модулю кручения) группы рациональных точек на кривой (9) имеет х-координату

3754945281271621931055040699420927923462016215987776871505425463220780697238044100

которая дает некоторое представление о трудностях «наивного» подхода для нахождения рациональных точек бесконечного порядка на эллиптических кривых.

Теорема 6. Существует модулярная эллиптическая кривая Е над Q, такая что L (Е, s) имеет нуль в точке s = 1 кратности 3.

Пусть Е — модулярная эллиптическая кривая над Q, для которой знак в функциональном уравнении для ЦЕ, s) равен — 1. Если точка Р, построенная в теореме 5, окажется равной нулю в группе E(Q)®Q, то, как следует из (8), /.-ряд ЦЕ, s) бутрел иметь нуль в точке s = 1 кратности ^3. На самом деле, Гросс и Загир доказали, что точка Р равна нулю для кривой

- 139^ = Х®+ Юх2 — 20х + 8,

которая, как известно, имеет ранг 3. Из результатов Голд- фельда (доказательство которых было значительно упрощено

Остерле в [17]) следует, что теорема 6 дает решение классической проблемы эффективного нахождения всех мнимых квадратичных полей с заданным числом классов1).

НАБРОСОК ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ 2

Сначала скажем несколько слов о доказательстве леммы 1. Пусть S— векторное пространство, порожденное над Q параболическими формами веса 2 относительно Го(^) с рациональными коэффициентами Фурье. Действие алгебры Гекке Т на S является точным, так как пространство S отождествляется с кокасательным пространством в нулевой точке якобиана J/Q. Утверждение леммы 1 есть почти немедленное следствие следующего факта. Спаривание TXS-* -*Q, которое сопоставляет каждой паре (/,^) первый коэффициент Фурье функции t^g), является невырожденным спариванием Q-векторных пространств (использовать определение спаривания и точность действия алгебры Гекке на S).

Доказательство теоремы 2 основано, во-первых, на методе Ранкина аналитического продолжения L-рядов Lq(f,s) и, во- вторых, на теории Нерона [12], дающей разложение глобальной высоты на якобиане J/H в сумму локальных компонент. Доказательство весьма непрямое, по существу теорема 2 оказывается справедливой, поскольку никакое другое утверждение не может выполняться. Оно получается после сравнения результатов двух удивительно красивых и далеко не тривиальных вычислений, одно из которых имеет арифметическую природу и связано с вычислениями локальных высот на Xq^N), а другое, чисто аналитическое, связано с методом Ранкина. Как показали Гросс и Загир, в результате вычислений оказывается, что обе части равенства в теореме 2 сводятся к одному и тому же очень сложному и загадочному выражению. Мы не имеем возможности подробно изложить эти замечательные вычисления, и поэтому ограничимся лишь их кратким описанием. Чтобы упростить следующие далее формулы, мы сделаем

Предположение

D = — р, где р> 3 — простое число, р = 3 mod 4.

Теория Нерона (см. также [7]) доказывает существование для каждого нормирования о поля Н единственного локального символа <а, Ь>0 со значениями в R. Этот символ определен для пары взаимно простых дивизоров а, 6 степени нуль на кривой ^o(^V) над локальным полем Ну. Локальный

') По этому вопросу см. доклад Остерле (с. 219—238) в настоящем сборнике. — Прим. ред.

символ характеризуется биаддитивностью, симметричностью, непрерывностью, и когда один из дивизоров является главным, задается формулой

<«> Ь)о = £ mp log | g (Р) |0,р

где й=^т.р^ и Ь является дивизором функции g. В ра- р

боте [7] определение локальных символов распространяется на пары а, 6 не обязательно взаимно простых дивизоров степени 0 и объясняется, по крайней мере теоретически, как эти символы можно вычислять. Связь между локальными символами и спариванием, соответствующим глобальной высоте, задается простой формулой:

(Ю)(а, ₽)я = I («, Ь>0,

о е Му

где а, b — произвольные дивизоры степени нуль на кривой Xo^Ny над полем Н, а а, Р — соответствующие точки якобиана J(H)^ Пусть теперь х — точка Хегнера на кривой Хй^У, соответствующая полю К, и положим а = (х)— (оо), Ь = (х)— (0). Поскольку класс дивизора (0) — (оо), как известно, имеет конечный порядок в /(л), то для всех целых m ^ 1 выполняется равенство

ое Мд

где, как и прежде, £ обозначает класс а в /(Я). К сожалению, у нас нет возможности изложить подробно чрезвычайно интересные вычисления локальных символов <а, ГтЬа>0| проведенные в работе [9] (отметим только, что дивизоры а и ТщУ взаимно просты тогда и только тогда, когда rCT(m) = 0). Окончательный результат формулируется следующим образом.

Напомним (см. [15], гл. 15), что функция Лежандра второго рода

+1

= ^Г $ (1 -(2 - dt (R (s) > - 1)

удовлетворяет дифференциальному уравнению

(1 — 2?Уу" — 2z/ + s(s+ 1)у = 0.

Положимтг„ Yjv=2^T-

где q пробегает все простые делители числа N. Пусть

5 = С + log л,

где С — постоянная Эйлера. Обозначим через 6(т) функцию,

которая принимает значение 1 или 2 в зависимости от того, делится ли на р число пг или нет. Обозначим через р(т) сумму p(m) = X с. а через Цз) — дзета-функцию Римана.

с | m

Теорема 7. Для каждого m ^ 1 значение <£, Тщ^н задается формулой

2/гго (т){де — В + у log (-^-)}+

>nplN( Ь \

+ ^ 6 (”) f 2 8 W log (-^гП ra Imp — nN^ + lim j -у^у^-— п-1 \dl п/s~>1 ’

-2^ 6(n)^ s(d)k(mH«tfMl+v) Г n—1 \d|n /'

Ч-гАр^^Д,--^- - 1 -Улг + ylog (‘V’)}-

d I m

Перейдем теперь к краткому описанию аналитического подхода, используемого при вычислении LaQ, 1) методом Ранкина. Ряды Эйзенштейна

Ge(z, s) = У — (z = x + «/)

{mpz + n^mpz + nP

Мп, п)ч*0

допускают как функция s голоморфное продолжение на всю комплексную плоскость и как функция z Ge^s) является неголоморфной модулярной формой веса 1 с характером е относительно Го(р). Классическими рассуждениями получаем следующее интегральное представление для функции:

2(з) = (4л)-5 Г (s)La(f, S).

Предложение 8. Пусть Ф(г, s) = 6„ (z) Ge (Wz, s) и M = Np. Тогда

B(s) = -^(f, Ф(г, s—1))м = ~t /(г)Ф(х, s — V)dxdy.

г„ 1М1-»

Напомним, что для каждой (возможно, неголоморфной) модулярной формы g веса 2 для Го(Л1) след g относительно Fo(N) определяется по формуле

Tr(g)= £ g|2a,

as W

где W обозначает множество представителей правых классов смежности группы Го(^ по подгруппе Г0(Л1).

Предположим теперь, что s вещественное, и положим

Q (z, s) = Тг (Ф (z, s — 1)).

Из предложения 8 следует, что

В(5) = 1(Л Q(z, д))^

Поскольку Lo^f, s) обращается в нуль в точке s=l, то (13) L'a{f, 1) = 2л(А ^(z)^, где Ф(г) =-^-Q(z, s) (^р Важный этап при доказательстве теоремы 2 — это вычисление ряда Фурье функции ф(г), хотя технически это очень трудная задача. Определим функцию

У (u) = ^ e-“xx~vdx.1

Предложение 9. Имеем ф(г) = У7bm{y)qm, где

Ьщ (У) = hro (m) (log {Npy) + 2Ле — С) —

— X r<Am-P — nN)&{n)f^ a{d)\og (-5")) —

Обозначим через Ф1 (соответственно S’) пространство неголоморфных модулярных форм (соответственно пространство голоморфных параболических форм) веса 2 относительно Fo(jV). Напомним, что оператор голоморфного проектирования— это единственное линейное отображение П: 991->- -*9’, удовлетворяющее условию

(да, §)н = (®. H(g)) N для всех оу г S’.

Для того, чтобы дать аналитическую формулу для действия оператора П на коэффициенты Фурье модулярной формы, мы введем подмножество 91 с 9R, состоящее из всех таких форм gs9R, что для каждого ^eSL^Z) существует 8 > 0, для которого

(И){g |2у) (z) = О {у-6) для z-*ioo.

Лемма 10. Предположим, что g = У, cm(z/)<7m принад- m^Z

лежит множеству Э1. Тогда П(§)= 2 cm?m> 29е т=* 1

ст = 4лт х lim е~^тууяст (у) dy.

Другая техническая трудность состоит в том, что форма ф(г)е$? не принадлежит подпространству 91. Весьма изобретательное рассуждение, используемое для преодоления этой трудности, состоит в следующем.

Для каждого делителя е > 0 числа N введем функцию

Е

»у

(cz + d)2\cz + df'

где X" обозначает суммирование по всем парам целых чисел (с, d)mod± 1, удовлетворяющих условиям (с, d)= 1, е|с и (c/e,N/е) = 1. Эти ряды Эйзенштейна допускают продолжение на всю s-плоскость. Положим

Ее (z) = Ее (z, 0), Fe(z) = -д^ Ее (z, s) js„o.

Предложение 11. Пусть

ф (z) = Ф (z) —£ -^ {Ве (z)+(log (-^- ) + 2Лв—в) Ее (z)|.

el.V

Тогда ср <= 91 и П (ф) = П (ф).

В силу (13) и того факта, что f принадлежит пространству, порожденному примитивными формами веса 2 относительно Го (М), Для завершения доказательства теоремы 2 остается вычислить коэффициенты Фурье функции П(ф). В результате технически трудных вычислений имеем

Предложение 12. Предположим, что П(ф)= 2 стЯт- Тогда для каждого целого m ^ 1, (jn, М^=\ имеем: коэффициент •^" ст задается формулой (11) из теоремы 7.

Я благодарен Б. Гроссу, Д. Загиру и Р. Колмецу за их помощь при подготовке этого доклада.

ЛИТЕРАТУРА

Birch В. Diophantine analysis and modular functions, Proceedings of Bombay Colloquium on Algebraic Geometry 1968, 35—42.

Birch B. Elliptic curves and modular functions, Symposia Mathematica 1970, 27—32.

Birch B. Heegner points of ellyptic curves, Symposia Mathematica (1975), 441—445,

256256Дж. Коутс

256

256

Birch В., Stephens N. Heegnefs construction of points on the curve y2 — хз— 1728e2, Progress in Mathematics Vol. 38 (1983), 119,

Cassels J., Bremmer A. On the equation у2 = x^x2 -\- pV Math, of Computation vol. 42 (1984), 257—26 4.

Gross B. Heegner points on Хо(ЛГ), to appear in Proceedings of the Durham conference on Modular Forms 1983.

Gross B. Local Heights on Curves. Arithmetic Geometry, Berlin, Springer, 1986, p. 327—340.

Gross B., Zagier D. Points de Heegner et derivees de fonctions L, CRAS 297 (1983), 85—87.

Gross B„ Zagier D. The heights of Heegner points and the derivatives of L-series. Invent. Mathem., N 84, 1986, 225—320.

Hecke E. Zur Theorie der elliptischen Modulfunctionen, Math. Werke, 428—460.

Heegner K. Diophantische Analysis und Modulfunctionen, Math. Zeits- chrift 56 (1952), 227—253.

Neron A. Quasi-functions et hauteurs sur les varietes abelien nes, Ann. of Math. 82 (1965), 249—331.

Tate J. The arithmetic of elliptic curves. Invent. Math. 23 (1974), 179— 296.

Waldspurger J.-L. Correspondance de Shimura et Quaternions, to appear.

Уиттекер Э. T., Ватсои Г. H. Курс современного анализа. Перев. с англ. Ч. I. — М.: ГОНТИ, 1933; Ч. 2. —М: ГОНТИ, 1934.

Atkin A., Lehner J. Hecke operators on Го(т). Math. Ann., vol. 185 (1970), 134—160.

ДОПОЛНЕНИЕ РЕДАКТОРА

Карл Рубин [1*] получил недавно следующие поразительные результаты, существенно дополняющие работу Гросса и Загира. Пусть К — мнимое квадратичное, поле с числом классов 1 и Е — эллиптическая кривая над Е, имеющая комплексное умножение из поля К. Кривой Е отвечает характер Гекке ф поля К так что L-функция L(E, s) кривой Е равна £(ф, з)£(ф, s). Если QeC*— подходящий период кривой Е, то £(ф, 1 )/Q е К. Обозначим через Ш группу Шафаревича—Тейта кривой Е над К и через Ок кольцо целых поля К.

Теорема 1. Если ЦЕ, 1)^=0, то группа Ш конечна. Более того, если простой идеал р поля К не делит #0^ и если #^(^0torsion LQ¥, 1)/Q ^ 0 (mod р), то ^-компонента группы Ш тривиальна.

Теорема 2. Если Е — эллиптическая кривая СМ-типа над Q -и rkE(Q) 2, го ord.—1 L(E, s) 2.

Комбинируя' этот результат с теоремами Коутса — Вайлиса и Гросса — Загира получаем для кривых СМ-типа, определенных над Q, что ords=.iL(E, s) ^ 1 влечет за собой равенство rk E(Q) = ord$-i£(E, s). Методы автора позволяют эффективно находить группу Ш. В частности, имеем у2 = х3 — х, Ш = (0); у2 = х3 + 17х, Ш = Z/2©Z/2; у2=х3 — 283452, Ш=Z/ЗфZ/3. В этих трех случаях также проверяется полная гипотеза Бёрча — Суиниертон-Дайера для значения ЦЕ, 1).

Rubin К. Tate—Shafarevich groups and L-functions, of elliptic curves with complex multiplication, Inv. Math., 1987,

ТЕОРЕМА ФЕРМА: ВКЛАД ФУВРИ1)

Жан-Марк Дезуйер

Университет Бордо I, Отделение математики и информатики

ВВЕДЕНИЕ

В «теореме» — или проблеме — Ферма утверждается невозможность решения в целых положительных числах уравнения хп + уп = гп при п ^ 3. Благодаря простоте формулировки и тому, что Ферма сам разрушил «психологический барьер», заявив, что располагает доказательством, эта проблема околдовала многих — как «арифмоманов», так и профессионалов — и стала плодотворным стимулом в развитии математики (теории алгебраических чисел и особенно понятия идеала). И наоборот, разные области математики внесли свой вклад в изучение этой проблемы. Из недавних достижений назовем результат о конечности множества примитивных решений уравнения хп-\-уп = гп при фиксированном п 3, доказанный Фальтингсом средствами алгебраической геометрии, и результат о бесконечности множеств простых чисел /2), таких, что

V(х, у, z,<=.Z4 х1 + у1 + г1 = 0 =>xyz = 0(mod/), полученный Эдлманом, Хис-Брауном и Фу ври методами, которые опираются в конечном счете на алгебру, геометрию и анализ3). Соотношение (1.1), имеющее самое прямое отношение к изучению проблемы Ферма, известно под названием «первый случай теоремы Ферма» для показателя L

Как установили Эдлман и Хис-Браун (1985)4), из пред-

!) Deshouillers Jean-Marc. ТНёогёте de Fermat: la contribution de Fouvry. — Seminaire Bourbaki, 37-e annee, 1984—85, № 648, 01—10.

Буквами l и p здесь обозначаются только простые числа.

Совсем другой подход к теореме Ферма с помощью алгебро-геометрических методов обнаружил Г. Фрей (1986). Ои сопоставил каждому нетривиальному решению уравнения Ферма эллиптическую кривую над Q обладающую весьма специальными свойствами. К. Рибе (1986) показал, что из гипотезы Хассе — Вейля о дзета-функциях эллиптических кривых вытекает несуществование кривых с этими свойствами. Это же следует из арифметического аналога неравенства Богомолова — Мняоки — Яо (см. Партии А. Н. (1987)). См. также дополнение редактора на стр. 268.— Прим. ред.

Дата в скобках следом за фамилией отсылает к работе, указанной в литературе, и обозначает год ее выхода.

© Revue Asterisque, 1985

Birch В., Stephens N. Heegner’s construction of points on the curve y2 = Xs— 1728s2, Progress in Mathematics Vol. 38 (1983), 119.

Cassels J., Bremmer A. On the equation у2 = x(x2 + p). Math, of Computation vol. 42 (1984), 257—264.

Gross B. Heegner points on Xo(M), to appear in Proceedings of the Durham conference on Modular Forms 1983.

Gross B. Local Heights on Curves. Arithmetic Geometry, Berlin, Springer, 1986, p. 327—340.

Gross B., Zagier D. Points de Heegner et derivees de fonctions L, CRAS 297 (1983), 85—87.

Gross B., Zagier D. The heights of Heegner points and the derivatives of L-series. Invent. Mathem., N 84, 1986, 225—320.

Hecke E. Zur Theorie der elliptischen Modulfunctionen, Math. Werke, 428—460.

Heegner K. Diophantische Analysis und Modulfunctionen, Math. Zeits- chrift 56 (1952), 227-253.

Neron A. Quasi-functions et hauteurs sur les varietes abelien nes, Ann. of Math. 82 (1965), 249—331.

Tate J. The arithmetic of elliptic curves. Invent. Math. 23 (1974), 179— 296.

Waldspurger J.-L. Correspondance de Shimura et Quaternions, to appear.

Уиттекер Э. T., Ватсон Г. H. Курс современного анализа. Перев. с англ. Ч. 1. — М.: ГОНТИ, 1933; Ч. 2. — М: ГОНТИ, 1934.

Atkin A., Lehner J. Hecke operators on Г0(т). Math. Ann., vol. 185 (1970), 134—160.

ДОПОЛНЕНИЕ РЕДАКТОРА

Карл Рубин [1*] получил недавно следующие поразительные результаты, существенно дополняющие работу Гросса и Загира. Пусть К — мнимое квадратичное поле с числом классов 1 и £ — эллиптическая кривая над Е, имеющая комплексное умножение из поля К- Кривой Е отвечает характер Гекке ip поля К так что L-функция ЦЕ, з) кривой Е равна £(ф, s^L^, s). Если fie С* — подходящий период кривой Е, то L^, l)/fi е К. Обозначим через Ш группу Шафаревича—Тейта кривой Е над К и через Ок кольцо целых поля К.

Теорема 1. Если L(E, 1) =# 0, то группа Ш конечна. Более того, если простой идеал у поля К не делит #О^ и если #Е(К)torsion ЕЦ?, l)/fi * 0 (mod p), то ^-компонента группы Ш тривиальна.

Теорема 2. Если Е — эллиптическая кривая СМ-типа над Q 'и rk E(Q) ^2, то ord,—t ЦЕ, з) ^ 2.

Комбинируя" этот результат с теоремами Коутса — Вайлиса и Гросса — Загира получаем для кривых СМ-типа, определенных над Q, что ords-iL(E, s) ^ 1 влечет за собой равенство rk E(Q) = ords=iL(E, s). Методы автора позволяют эффективно находить группу Ш. В частности, имеем у2 = х3 — х, Ш = (0); у1 = Xs + 17х, Ш = Z/2@Z/2; у2=х3-283452, Ш=2/Зф2/3. В этих трех случаях также проверяется полная гипотеза Бёрча — Суиннертон-Дайера для значения ЦЕ, 1).

Rubin К. Tate—Shafarevich groups and L-functions, of elliptic curves with complex multiplication, Inv. Math., 1987.

ТЕОРЕМА ФЕРМА: ВКЛАД ФУВРИ)

Жан-Марк Дезуйер

Университет Бордо I, Отделение математики и информатики

ВВЕДЕНИЕ

В «теореме» — или проблеме — Ферма утверждается невозможность решения в целых положительных числах уравнения хп + уп = zn при п ^ 3. Благодаря простоте формулировки и тому, что Ферма сам разрушил «психологический барьер», заявив, что располагает доказательством, эта проблема околдовала многих — как «арифмоманов», так и профессионалов— и стала плодотворным стимулом в развитии математики (теории алгебраических чисел и особенно понятия идеала). И наоборот, разные области математики внесли свой вклад в изучение этой проблемы. Из недавних достижений назовем результат о конечности множества примитивных решений уравнения хп + уп = 2п при фиксированном п ^ 3, доказанный Фальтингсом средствами алгебраической геометрии, и результат о бесконечности множеств простых чисел I), таких, что

V (х, у, г} е Z: х1 + у1 + 2^ = 0=^xz/z^0(mod /), полученный Эдлманом, Хис-Брауном и Фуври методами, которые опираются в конечном счете на алгебру, геометрию и анализ3). Соотношение (1.1), имеющее самое прямое отношение к изучению проблемы Ферма, известно под названием «первый случай теоремы Ферма» для показателя I.

Как установили Эдлман и Хис-Браун (1985)), из пред-

положения

Эх0, 36 > 2/3, Зс0 > О, Vx>x0: # {р < х |р = 2 [3],

Р (р - 1) > я6} > c0x/log х

(где Р^п) обозначает наибольший простой делитель числа л) следует, что соотношение (1.1) имеет место для бесконечного множества простых чисел /. Этот критерий обобщает теорему Софи Жермен (простое 2/+ 1 =^ (1.1)); в приложении 1 объяснено, как он выводится из теоремы Вендта. Справедливость гипотезы (1.2) установлена Фуври (1985).

Неравенство (1.2) изучалось и само по себе, независимо от применения к проблеме Ферма; значение допустимых 6 позволяет делать некоторые выводы о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях.

Мы начнем с краткого описания успехов в нахождении значения допустимых 6, подчеркивая на каждом этапе введенное новшество, а затем поясним, в рамках общей теоремы Бомбьери — Виноградова, каким образом Фуври «перешел» значение 2/3. Попутно выяснится важная качественная и количественная роль некоторых идей Иванна. В приложении 2 мы совершим небольшую прогулку по залитым солнцем каменистым тропинкам модулярных форм, с которых время от времени открывается прекрасный вид на Геометрию и Анализ.

НЕМНОГО ИСТОРИИ, ИЛИ ТЕОРЕМА БРУНА —

ТИТЧМАРША В СРЕДНЕМ

В этом параграфе мы займемся нахождением вещественного 6 > 0, такого, что

lim # (р ^ z | наибольший простой делитель *-»о

числа р — 1 больше х6} = + оо.

Заметим, что решение этой задачи по уровню трудности аналогично доказательству гипотезы (1.2) Эдлмана и Хис- Брауна для того же 6.

С подобной задачей столкнулся Чебышев при изучении целых п, для которых п2 + 1 имеет большой простой делитель. Чебышев свел поставленную задачу оценки снизу к поискам оценок сверху, и той же идеей воспользовался Мото- хаси (1970) для первого определения 6, удовлетворяющего условию (2.1).

Преобразование задачи. Рассмотрим произведение JJ (р— 1)и оценим, с одной стороны, порядок его величины р^*

и, с другой стороны, вклад простых множителей, не превосходящих х6.

По теореме о простых числах

л (х) = # {р < х} ~ И х ( ~ -7-^-7) имеем

log II (р — 1)= х ElogZ + o(x) = Р<хп<х Цр-\

= 2 logZ-n(x; Z, 1) + о(х), откуда

л(х; q, а) = # (р^х |p = a(mod 9)}.

Таким образом, чтобы доказать (2.1), достаточно установить существование такого вещественного ц > 0, что при достаточно большом х

У logZ • л(х; Z, 1)<(1 — т])х. !<х6

Теорема Бруна — Титчмарша. Для изучения суммы 2 d(p— 1) Титчмарш (1930) воспользовался решетом Бруна

Р<Х и доказал, что

Ve>0, ЯСе, Эх0(е), Vx^x0(e), Nq<xx-B, Va:

л (x; q, a) < C8 —.v8 v(»)logx/9

Решето Сельберга или решето Россера приводят к выполнению (2.2) с Cg —2 + е. Отсюда следует, что (2.1) имеет место для всех 6 < 1 — е~ол = 0,393 ... .

Теорема Бомбьери — Виноградова. Из расширенной гипотезы Римана об L-функциях Дирихле следует, что л(х; q, a)^

vtofiogT РавномеРно no q^x42-6, откуда

У, logZ • л(х; Z, 1)<х/2.

I < x1^— s

Каков бы ни был сейчас статус расширенной гипотезы Римана, некоторые из ее следствий о распределении простых

*) Обратите внимание иа идиосинкразию некоторых специалистов по теории чисел! Предложение (2.2) часто формулируют так: „найдется такое Се, что л(х; q, а) ^С,—г- равномерно по а < х1-е и а“ Ф(9) log х/?

и даже так:

„я(х; q, a)= 08 (—^JL_ ) равномерно по q < х'~8 и а“.

чисел в среднем в арифметических прогрессиях можно доказать непосредственно. Так же н соотношение (2.3) есть следствие знаменитой теоремы Бомбьери — Виноградова (1965) (см. § 3). Объединяя (2.3) и (2.2), получаем (2.1) для всех 6 < 1 — ув-0’25 = 0,61059 ...; этот результат принадлежит Мотохаси (1970).

Теорема Бруна — Титчмарша в среднем. Из теоремы Бомбьери — Виноградова следует, кроме того, что константа 1/2 в (2.3) оптимальна; случай модулей q <_ xV2-e, таким образом, полностью решен. Следующее новшество принадлежит Хули (1973), который указал на возможность улучшить дей-

ствие ванияствие ваниярешета путем введения в решето Сельберга суммиро- по модулю q. Он показал также, что оценка

ствие вания

ствие вания

,(4 + в) х

л (х; q, а) < гтг2—

vф (?) log х

имеетимеетместо для почти всех q из интервала [х!/2, х3/4] в не

имеет

имеет

котором смысле, который мы здесь не уточняем, но который достаточен, чтобы показать, что (2.1) справедливо для всех 6 < 5/8 = 0,625. Это нетривиальное исследование остаточного члена решета пустил в ход Мотохаси (1974) для оценки сверху отдельных выражений функции л(х; q, а) в случае, когда q достаточно велико по сравнению с х; кульминацией этого подхода стало

Решето Россера — Иванца (1980). Оно описано в докладе 520, обратиться к которому мы просим читателя. Подчеркнем, что замечательная гибкость этого решета основана на представлении остаточного члена в виде билинейной формы, коэффициенты которой допускают теоретико-числовую интерпретацию (ср. с теоремой 2 на с. 520-09); в § 4 мы приведем пример применения этого факта, показывающий, каким образом метод просеивания позволяет свести оценку остаточного члена к оценке тригонометрических сумм, в данном случае сумм Клостермана

S(m, п; с)= £ ехр (2лг ^^.^-^ •

х, у mod сxy™V (mod с)

Используя свое решето и оценку А. Вейля сумм Клостермана, Иванец (1982) доказал справедливость (2.1)) для всех 6 < <0,63810....

Суммы Клостермана в среднем. Поскольку суммы Клостермана сами входят в среднем (по модулю с и коэффициентам т и л), можно ожидать, что они частично компен-

сируют друг друга. Обходный маневр — обращение к модулярным формам — позволил Кузнецову (1980) и Брюгге- ману (1978) найти такие компенсации, возникающие благодаря взятию среднего по модулю; Дезуйер и Иванец (1982) обобщили эти результаты (см. приложение 2) и показали (1984), что (2.1) имеет место для всех d < 1 — у е~3/8= = 0,65635... .

Теперь мы подходим к вкладу Фуври, который увеличил оценку для 6, удовлетворяющих (2.1), до 0,65785 и, наконец (1985), движимый проблемой Ферма, до 0,6687 > 2/3.

3. ПОКАЗАТЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ФЕНОМЕН ЧЕТНОСТИ

Определение. Пусть а = {аь .... ап, ..3—последовательность вещественных чисел, такая, что |ая[ = Ое(пе) при всяком е > 0. Говорят, что а есть показатель распределения для последовательности а, если Ve > 0, V3 > 0, VseN:

(3.1)(3.1)2g<X«-8Vq. о)-12g<X«-8Vq. о)-1п<хп<хп—ofa](п.<7)-1п<хп<хп—ofa](п.<7)-1

(3.1)

(3.1)

2

g<X«-8Vq. о)-1

2

g<X«-8Vq. о)-1

п<хп<х

п—ofa](п.<7)-1

п<хп<х

п—ofa](п.<7)-1

Из теоремы Бомбьери — Виноградова

уд>о, ав, ас, Ух>2

Z

sup шах л (у; q, а) ——* . Их < — Сх .

By<x{a,q^> (log*/

7<x‘/z(iog x)-S

следует, что для функции — индикатрисы простых чисел 1/2 является показателем распределения. Заметим, что гипотеза Римана не дает ничего большего, а гипотеза Монтгомери

л (х; q, а) = ^- И х + О (^-^х1^8)

показывает, что допустим показатель 1 (гипотеза Эллиотта и Хальберштама). Значение 1/2 является критическим и зависит непосредственно от участия в доказательстве большого решета; зато оно является весьма общим: как установил Мотохаси (1976), если две последовательности а и b допускают 1/2 в качестве показателя распределения, То этим свойством обладает и их свертка a*b = J.,., £ атЬь

I ml—n )

Фуври и Иванец (1980) получили первый существенный результат с показателем распределения, большим 1/2. Речь идет о последовательности целых чисел, не имеющих малых простых делителей (р|п =*■ р > л1/883), аналогичной по своей

пх...пк-п /пх...пк-п /структуре последовательности простых чисел. В своей диссертации Фуври значительно развил этот метод. Он показал, что если последовательности dk (dk^ = У имеют при

пх...пк-п /

пх...пк-п /

3^6^12 показатель распределения больше 1/2, то это так не только для любой последовательности cU, но и для последовательности простых чисел. Это многообещающий путь, так как задачу о последовательностях dk можно свести к оценке тригонометрических сумм в среднем по модулю.

Исходная идея состоит в том, чтобы рассматривать последовательность а, свернутую из двух последовательностей а и р, и свести оценку левой части (3.1) к исследованию выражений вида

(3.2)Е — ^ EmEz0"*^ ф(9) EmEz “m^ ’

\q. а) = 1 miwalql(m/,q) — l

где У6 обозначает У

К<*<2К

Такого рода «билинейные» выражения встречаются в использованном Иванцом варианте решета Россера, в тождестве Вона (1977) и комбинаторных тождествах типа Линника, приведенных у Хис-Брауна [1982].

Один из возможных подходов состоит в применении к (3.2) неравенства Коши — Шварца

^<Q^supiami ^ Em f Е, p^-wEz^Y (q, a)-l (m. g)-l Xlm»ea to](Z. q)”l '

и прямой оценке каждого из трех членов, которые получатся после раскрытия квадрата; три главных члена компенсируются (метод просеивания). Рассмотрим требующий самого тонкого обращения член

(g, a)—1 (Z,, g)=l Zi™Z,[g) m^ah [д](g, a)—1 (Z,, g)=l Zi™Z,[g) m^ah [д]W = Уд У z, Pz, У z, Pz, Ут 1

(g, a)—1 (Z,, g)=l Zi™Z,[g) m^ah [д]

(g, a)—1 (Z,, g)=l Zi™Z,[g) m^ah [д]

(где П= l(mod^)). Поскольку ищется наибольшее^ возможное q, мы не оцениваем сразу по модулю остаточный член

Ут 1 - Mlq,Ут 1 - Mlq,m=»aI[q[m=»aI[q[

Ут 1 - Mlq,

Ут 1 - Mlq,

m=»aI[q[

m=»aI[q[

а разлагаем его в ряд Фурье. Тогда сумма по Л интерпретируется как сумма Клостермана, оценка Вейля которой

и приводит к указанному выше «историческому» результату; итак, теперь можно прибегнуть к «клостермании» и учесть суммирование по модулю q.

Изложить последнюю составную часть доказательства Фуври нам поможет «феномен четности». Как заметил Сель- берг, множество целых чисел, допускающих четное число простых делителей, имеет показатель распределения, равный 1. Отсюда следует, с одной стороны, что решето не может произвести простые числа, даже если оно снабжено последовательностью с показателями распределения 1, и, с другой стороны, что неравенство

л (х; q, а)< —т-гчv / ф ^) logx

недостижимо — посредством этого решета — ни для какого С < 2. Но Фуври установил, что можно взять С = 1,73 для q, близкого к х1/2. Откуда такой выигрыш? От использования членов, которые в общем решете оказываются тривиальными, но в некоторых случаях допускают оценку другими методами, не связанными с решетом, а взятыми из классической аналитической теории, например при помощи рядов Дирихле или комбинаторики. Эту идею предложили Иванец и Ютила (1979) в работе о разностях между последовательными простыми числами.

В заключение отметим, что Бомбьери, Фуври, Фридлендер и Иванец в настоящее время развивают свои методы, чтобы получить удобные для применения «заменители» гипотезы Эллиота и Хальберштама, в которых вместо абсолютного значения фигурирует некоторая «хорошо факторизуемая» функция, а вместо показателя 1/2 вещественное число, строго большее, чем 1/2; эти методы они применяют, например, к изучению простых чисел — близнецов.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

КРИТЕРИЙ ЭДЛМАНА И ХИС-БРАУНА

В книге Рибенбойма (1979) указан следующий результат.

Теорема (Вендт). Пусть к— четное целое число, не делящееся на 3, и Wk — произведение П((1 + О* — 1), взятое по корням степени к из единицы. Если числа I и kl + 1 простые и kl+ 1 не делит (кк— 1)1^6, го (1.1) имеет место.

Мы покажем, как вывести из этой теоремы один критерий для первого случая «теоремы» Ферма.

Теорема (Эдлман — Хис-Браун). Из справедливости гипотезы (1.2) следует существование бесконечного множества простых чисел I, для которых имеет место (1.1).

Доказательство. Если 6 > 2/3, то для достаточно больших х

(А1.1)ЗА^-^.

»<х1~в

Рассмотрим какое-нибудь такое х. Для четного к, не делящегося на 3, положим

Ек = ^.рС:Х\кр — 1)/* есть простое /р, большее или равное хв) и^ = {pe£jp^(^-l)^}.

Заметим, что Fk попарно не пересекаются, а при к > х1- пусты. Следовательно, в силу (1.2),

(А1.2)£ *^>соъ|т-

й<х1-6

3 -Г »

Целое число (kk —1)№» строго положительно и меньше кк • к ■ 2fe; значит, оно имеет не более чем к + (к -V + 1) log2 ^ (^ З/г2) простых делителей, откуда

(А1.3)*Е'к>*Ек-Зк\

Из неравенств (Al.l) — (А1.3) и из того, что Е'к попарно не пересекаются, следует, что

Ф (р^ х \р = Ik + 1, й^х1-6, 2|й, 3^6, Z простое.

и далее по критерию Вендта получаем, что

С х^

*У<=Х\1 удовлетворяет (!•!)} >-у~^у

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

СУММЫ КЛОСТЕРМАНА И МОДУЛЯРНЫЕ ФОРМЫ

А2.1. Суммы S(m, п-,с) (см. (2.4)) были введены Клостерманом, который получил нетривиальные оценки сверху. Ему удалось также оценить коэффициенты Фурье параболических модулярных форм (например, коэффициенты т(л) функции Рамануджана, определяемые параболической формой

веса 12: X т (л) Яп = Я П (1 — рт)24. В 1932 г. Петерсон n>Im ^ 1

предложил удобное явное представление коэффициентов Фурье параболических форм веса к в терминах сумм

Ет5^ 1; с)/».^»^).С>0

Именно при помощи этих соотношений выводятся оценки Вейля для сумм Клостермана, а именно соотношение т(и) = = Ое(л11/2+1/4+е). Гипотеза Рамануджана (ныне теорема Делиня) утверждает, что т(л) = Ое(пп/2+е), и наводит на мысль о компенсациях при суммировании сумм Клостермана. Линник и Сельберг высказали гипотезу, что имеет место максимальная компенсация:

£ у S (/л, п; с) = Ое, „, п (С8) при (/л, л) ^ (0, 0). с<С

А2.2. Брюггеман и Кузнецов независимо установили соотношения между коэффициентами Фурье р,(и) параболических модулярных форм Alaacca (вещественно аналитических функций, определенных на PSL2 (Z) \ Н и собственных относительно лапласиана А; индекс / указывает на соответствующее собственное значение X/) и суммами сумм Клостермана, уравновешенных бесселевыми функциями чисто мнимого порядка. Обратив это соотношение, Кузнецов вывел из него формулы суммирования типа

(А2.1) ^-^g(c)S(m, п; с)= £ рДт) р, (л) Й (Х,\

сХу—собств.

знач. А

где Й— результат преобразования функции g с помощью бесселевых функций (чисто мнимого порядка). В частности, он установил соотношение

Е Т5^’ гц с) = Ое> „, „ (С*/б+в) при (Щ, л) ^ (0, 0). е<С

А2.3. Наши знания о р/(л) подобны тем, которыми мы располагали о коэффициентах т(л) до того, как была доказана теорема Делиня, а именно у нас есть довольно плохие оценки для отдельных Р/(л), но хорошая среднеквадратичная оценка (по Ранкину). Иванец (1979) дал применимые (т. е. явные) оценки сумм типа

E^E^Ev^5^- п' с>-

т п с

А2.4. Побуждаемые различными вопросами теории чисел, особенно теоремой Бруна — Титчмарша, Дезуйер и Иванец (1982) расширили эти оценки на случай, когда суммирование по с ведется лишь по некоторым арифметическим прогрессиям (скажем, по модулю 7). Это потребовало рассмотрения конгруэнц-групп Го (9). Главная трудность здесь в том, что неизвестно, верно ли утверждение, что положительные собственные значения лапласиана не меньше 1/4 (гипотеза Сель- берга); меньшие 1/4 собственные значения привели бы к преобладающему вкладу членов ^(Я). В названной выше статье объясняется, как можно частично обойти это препятствие, приняв во внимание среднее по модулю, которое естественным образом участвует в теоретико-числовых приложениях.

А2.5. Чтобы понять природу форм Маасса, о которых, кроме их существования, известно мало, Филлипс и Сарнак исследовали недавно устойчивость этих собственных функций при деформациях поверхности PSL^Z^XH. Ожидавшаяся альтернатива такова:

либо эти собственные функции в общем устойчивы, и тогда они «аналитической» природы и могут быть построены;

либо эти собственные функции в общем неустойчивы, и тогда они «теоретико-числовой» природы.

Пусть Uj — функция Маасса, отвечающая собственному значению Я/. Филлипс и Сарнак построили некую функцию L (uj, s) и связали ее обращение в нуль в точке ^ +1 л/х} — 1/4 с устойчивостью собственной функции. Используя (А2.1), Дезуйер и Иванец нашли эквивалент среднего квадратичного для значений этих функций L в некоторых специальных точках. Это подтвердило теоретико-числовую природу форм Маасса, уже подсказанную формулой суммирования (А2.1).

ЛИТЕРАТУРА

Adleman L. М. and Heath-Brown D. R. The first case of Fermat’s last theorem.— Invent. Math. 79 (1985), 409—416.

Bombieri E. On the large sieve. — Mathematika 12 (1965), 201—225.

Bruggeman R. W. Fourier coefficients of cusp forms. — Invent. Math. 70 (1982), 1—18.

Deshouillers J.-M. ProgrSs recents des petits cribles arithmetiques, Seminai- re Bourbaki, 1977/78, exp. 520, Lectures Notes in Mathematics, № 710, Berlin, 1979.

Deshouillers J.-M., Iwaniec H. Kloosterman sums and Fourier coefficients of cusp forms. — Invent. Math. 70 (1982), 219—288.

Deshouillers J.-M., Iwaniec H. On the Brun — Titchmarsh theorem on average. — Coll. Math. Soc. J. Boyai 34 (1984), 319—333.

Deshouillers J.-M., Iwaniec H., Phillips R., Samak P. On Maass cusp forms (to appear).

Fouvry Е. These de Doctoral d’Etat Bordeaux (1981).

Fouvry E. Theoreme de Brun — Titchmarsch; application au theoreme de Fermat.— Invent. Math. 79 (1985), 383—407.

Fouvry E., Iwaniec H. On a theorem of Bombieri — Vinogradov type. — Ma- thematika 27 (1980), 135—152.

Heath-Brown D. R. Sieve identities and gaps between primes. — Asterisque 94 (1982), 61—65.

Hooley C. On the largest prime factor of p + a. — Mathematika 20 (1973), 135—143.

Iwaniec H. Fourier coefficients of cusp forms and the Riemann zeta-func- tion. — Sem. th. Nb. Bordeaux (1979—1980), expose n° 18, 36 pages.

Iwaniec H. A new form of the error term in the linear sieve. — Acta Arith. 37 (1980), 307—321.

Iwaniec H. On the Brun — Titchmarsh theorem.—J. Math. Soc. Japan 34 (1982), 95—123.

Iwaniec H., Jutila M. Primes in short intervals.—Ark. Mat. 17 (1979), 167—176.

Кузнецов H. В. Гипотеза Петерсона для параболических форм веса нуль и гипотеза Линника. Суммы сумм Клостермана. — Матем. сб. 111 (1980), 334—383.

Motohashi Y. A note on the least prime in an arithmetic progression with a prime difference. — Acta Arith. 17 (1970), 283—285.

Motohashi Y. On some improvements of the Brun — Titchmarsh theorem, I and II. — J. Math. Soc. Japan 26 (1974), 306—323 and 27 (1975), 444— 453.

Motohashi Y. An induction principle for the generalization of Bombieri’s prime number theorem. — Proc. Japan Acad. Sci. 52 (1976), 273—275.

Ribenboim P. Thirteen lectures on Fermat’s last theorem. — Springer-Verlag, Berlin (1979).

Titchmarsh E. C. A divisor problem. — Rend. Circ. Mat. Palermo, 54 (1930), 414—429.

Vaughan R. C. Sommes trigonometriques sur les nombres premiers. — C. R. Acad. Sci., Paris, Ser A. 285 (1977), 981—983.

Виноградов А. И. О плотностной гипотезе для L-рядов Дирихле. — Изв. АН СССР, сер. матем. 29 (1965), 903—934. Поправка: там же 30 (1966), 719—720.

ДОПОЛНЕНИЕ РЕДАКТОРА

,1. Эллиптические кривые Фрея строятся следующим образом. Пусть А и В взаимно простые целые числа. АВС #= 0, 321 А, В = 1 mod 4 и С = А — В. Обозначим через Е эллиптическую кривую

у2 = Х3 _|_ (Л _|_ 3) Х2 _|_ ДВх (= х (Х + Л) (х + В)).

Фрей (1986) доказал, что

Кривая Е имеет стабильную редукцию над Q и ее кондуктор равен

М= П а

ЦАВС

Минимальное уравнение кривой Е над Z имеет вид

у2 + ху = х3 + j (А + В - 1) х2 +-^ АВх

и минимальный дискриминант равен Dmm = 2~8(АВС)2. Пусть теперь р ^ 5 — простое число, аР — Ьр = ср, 2|а, 6=1 mod 4 и abc =£ 0. Положим А = аР, В = Ьр- Тогда

ДЩ1П>2-8№*

Пусть К(р) — расширение поля Q, получаемое присоединением координат точек р-го порядка. Расширение К(р) неразветвлено вне 2 и р и для любой точки Р поля К(р), лежащей над р, локальное / р х

поле К(р}р имеет видОр^, л/Т) где р = 1 — первообразный корень из 1 и p|op(j) (ПРН этом / — абсолютный инвариант кривой Е).

_Пусть Fp, Q — алгебраические замыкания соответственно полей Fp и Q. Z - кольцо целых поля Q. Выберем вложение QcC и точку поля Q, лежащую над р. Последняя дает гомоморфизм z: Z -> Fp.

Представление

р: Gal (Q/Q) G1 (2. Fp)

называется модулярным уровня М и веса 2, если р неприводимо н существует такая параболическая форма / (<?) = У, a.q1 относительно груп- пы Го(М), что

о, = 1, а, е Z.

3) Если / — простоеФробениуса, то3) Если / — простоеФробениуса, то/ — собственная форма относительно алгебры Гекке

3) Если / — простоеФробениуса, то

3) Если / — простоеФробениуса, то

число, / -if рМ, at е Gal (Q/Q) — автоморфизм

в поле Гр.в поле Гр.Пусть L/Q-расширение Галуа, неподвижное относительно гоуппы Kern р называется неоазветвленным R ПППРТЛи /Г6Г р.Пусть L/Q-расширение Галуа, неподвижное относительно гоуппы Kern р называется неоазветвленным R ПППРТЛи /Г6Г р.Trace р (ст,) =i (o,)

в поле Гр.

в поле Гр.

Пусть L/Q-расширение Галуа, неподвижное относительно гоуппы Kern р называется неоазветвленным R ПППРТЛи /Г6Г р.

Пусть L/Q-расширение Галуа, неподвижное относительно гоуппы Kern р называется неоазветвленным R ПППРТЛи /Г6Г р.

„ , _~it.ionu i руины ixerp.

КО-КО-р называется неоазветвленным в простом /, если поле L неразветвлено в точке I поля 0. В случае I = р говорят, что р конечно в р, если его ограничение на подгруппу разложения в р отвечает представлению конечной и плоской групповой схемы над 2Р типа (р, р). Если Р — точка поля L, лежащая над р, и Lp — пополнение L относительно Р, то пред-

КО-

КО-

ставление р конечно в р, если L? имеет вид Lp = QP^, V« J, где р | ор (а), £р = 1. Как мы _видели выше, это условие выполнено для представления группы Gal(Q/Q), действующего в группе (= Fp ® Fp) точек р-го порядка кривой Фрея.

Серр сформулировал, а Рибе (1986) доказал следующие гипотезы о модулярных представлениях.

Пусть р — модулярное представление уровня рМ, р-к М и веса 2. Если р конечно в р, то оно является модулярным представлением уровня М. и веса 2.

Пусть р — модулярное представление уровня МХМ2 и веса 2. Предположим, что числа Mv и рМг взаимно просты, и что р неразветвлено во всех делителях Mv Тогда р — модулярное представление уровня М2 и веса 2. _

Пусть теперь р — представление группы Галуа Gal(Q/Q) на точках р-го порядка кривой Фрея Е, отвечающей нетривиальному решению уравнения Ферма. Согласно гипотезе Таниямы — Вейля (см. например. Modular Functions of One Variable IV, Lecture Notes in Mathematics, № 476, Berlin, 1975) существует нетривиальное отображение XoiN')-* E модулярной кривой X0(N) = И/Г0(П). Как показал Фрей (1986) (см. также Серр (1987)) отсюда и из приведенных выше двух утверждений о модулярных представлений вытекает, что р — модулярное представление

уровня 2 и веса 2. И поскольку модулярная кривая Хо(2) имеет род О таких представлений не существует.

Отметим также, что гипотеза Таниямы — Вейля о модулярной параметризации может быть выведена из старой (начала 30-х гг.) гипотезы Хассе о функциональном уравнении для дзета-функции эллиптических кривых. Необходимые для этого рассуждения содержатся в (loc. cit, с. 20) и к ним нужно лишь добавить гипотезу Тейта о гомоморфизмах эллиптических кривых, доказанную теперь (для любых абелевых многообразий) Фалтингсом (см. доклады Делиня и Шпир о в этом сборнике).

Другой подход к доказательству несуществования эллиптических кривых Фрея, возникающих из нетривиальных точек кривых Ферма состоит в использовании неравенства 3) (для больших р). Шпиро предположил, что для всех эллиптических кривых Е над Q, имеющих стабильную редукцию, выполнено неравенство

(1)Smin (5) < N (Е)с

с некоторой универсальной константой с. Эта гипотеза возникла из изучения соответствующей геометрической ситуации.

Пусть f: V -* В — стабильное семейство эллиптических кривых с ие- особым общим слоем. Тогда

(2)(2)£ db<c, (Ф S) + с2 (2g (В) — 2), b ё= 5

(2)

(2)

где Sc fl - множество точек плохой редукции и 6» — число компонент слоя, g(B)—род базы. Связь (1) и (2) становится очевидной, если учесть, что оь (Dmin) = дь и #5 является (логарифмическим) аналогом кондуктора N. Шпиро показал, что в (2) можно взять с(, 2 = 6. Теория Ходжа на поверхности V дает ct, 2 = 12, а формула Хирцебруха для сигнатуры поверхности г (И) совместно с неравенством т(У)^ 62(У) (второе число Бетти) приводит к ct = 9, с2 = 6.

В числовом случае среди кривых над Q, имеющих стабильную редукцию и кондуктор N ^ 200, имеется несколько с константой с = = In Dmlnjln N большей 6. Наибольшее значение равно 7,87 (наблюдение Ж. П. Серра). Вычисляя константу с для кривых Фрея (вычисления проводились для нескольких тысяч значений параметров А и В) можно заметить, что с довольно быстро стремится к 2. Так что выглядит правдоподобным, что кривых Фрея

уе > 0 Dmin < с (в) №+е

(идея вводить е > 0 в числовые аналоги точных геометрических неравенств принадлежит Шпиро). Отметим еще, что если на кривой Е все точки п-го порядка рациональны над основным полем, то с 2s а. Поскольку модулярные кривые Xn=HIV^N^ для главных конгруенцпод- групп уровня IV <6 имеют род ^1, то отсюда вытекает, что имеется бесконечное множество эллиптических кривых с с ^6 (по крайней мере, над расширением поля Q). Можно ли построить такое множество над Q неизвестно.

В статье (Паршин (1987)) показано, что неравенство Шпиро тесно связано с арифметическим аналогом неравенства Богомолова — Мняоки — Яо. В алгебраической геометрии это неравенство было получено для неособых проективных поверхностей общего типа над алгебраически замкнутым полем характеристики 0. Оно утверждает, что cjV)2 С ЗсДУ), где cL2( И—классы Чженя поверхности V. В дальнейшем было получено обобщение на случай поверхностей с простейшими особенностями — рациональными двойными точками. Приведем теперь формулировку арифме-

тического аналога неравенства Богомолова — Мияоки — Яо, учитывающую упомянутое обобщение.

Пусть V — регулярная схема размерности 2, S = Spec Ак, где Лх — кольцо целых числового поля К, h V -* В — собственный морфизм с геометрически неприводимым неособым общим слоем рода g ^ 1. Обозначим через В» множество всех архимедовых точек поля К и введем на каждой римановой поверхности А„ = V ®„ С, о е 8«> метрику Аракелова ро (она индуцирована плоской метрикой якобиева многообразия). Весь набор данных (V, f, В», X», ц0) называется арифметической поверхностью Р.

Группа Пнкара Pic(V) схемы V может быть расширена до группы Pic (Г) дивизоров Аракелова на Р, являющихся формальными линейными комбинациями С + ^ a^X,, С е Pic (Р), ае s R. С. Ю. Аракелов (Из-

D

вестня АН СССР, сер. матем., 38 (1974), 1179—1192) ввел на Р1с(Р) билинейную форму — индекс пересечения С-D с вещественными значениями и определил относительный канонический класс <Dv/b е Pic(P). Г. Фальтингс определил аналоги чисел 6О для архимедовых слоев Хо = V®, С (Ann. Math., 119 (1984), 387—424). Как показал Ж. Б. Бост (Seminaire Bourbaki, 1986/87, exp. 676)

б„ = С (g) — 6 In (Det' Д/ц),

где ц = Цо (Ао) — площадь римановой поверхности Х„ А —оператор Лапласа на пространстве функций, Д' — его регуляризованный детерминант и С (g) — константа, зависящая только от g.

В свете классической аналогии между геометрической и числовой ситуацией неравенство Богомолова — Мияоки — Яо для арифметической поверхности выглядит следующим образом:

®ЩВ ■ ш7/8 С1 2 ®о^о + С2 $2 — 2) In | D^jq I + с3.

ueS

Здесь S — множество точек плохой редукции и архимедовых точек, ес = = log#fe(o) для неархимедовых о, е0 = 1 для вещественных и, е0 = 2 для комплексных о, б' = б0 для архимедовых о, б' есть число особых точек, остающихся на слое V», если стянуть все (—2)-кривые, D^ — дискриминант поля К над Q, с,, 2,2 — абсолютные константы. Мы предполагаем для простоты, что все слои морфизма f суть стабильные кривые и все особые точки рациональны над &(«).

Теорема. Предположим, что неравенство (3) выполняется для всех арифметических поверхностей со стабильными слоями и родом общего слоя g > 1. Тогда

Для любой арифметической поверхности V существует такая эффективно вычислимая константа с^, что для всех сечений I: В -* V справедливо неравенство i (В) • a>v^g^ с^, в котором i(B) рассматривается как дивизор Аракелова на Г (с тривиальными архимедовыми компонентами) .

Существуют такие эффективно вычислимые абсолютные константы bi 2, что для всех эллиптических кривых В, определенных над фиксированным числовым полем К и имеющих стабильную редукцию,

Н (Е) <bx(DKfQN (Е))^,

где Н(Е) — каноническая (экспоненциальная) высота кривой Е.

Из теоремы вытекают два следствия. Неравенство п. I) влечет за собой существование эффективной верхней границы для высоты рацио-

271

нальных точек на любых алгебраических кривых рода g ^ 2, а из неравенства (4) без труда вытекает неравенство (1).

Что касается основного неравенства (3), то можно предположить, что оно справедливо для всех стабильных арифметических поверхностей с родом общего слоя ^1 и подходящими константами ^,2. з- В геометрическом случае можно взять ci = 3, сг = 1, сз = 0 в качестве оптимальных значений. Используя упомянутые выше соображения с сигнатурой поверхности V над С можно дать простое доказательство (3) с щ — 5, сг = 9, сз — 18. Весьма интересной представляется задача определения сигнатуры для арифметической поверхности.

Frey G. Links between stable elliptic curves and certain diaphantine equations, Annales Universitatis Saraviensis, 1986, v. 1, № 1, 1—40.

Parshin A. N. The Bogomolov—Miyaoka — Yau inequality on the arithmetical surfaces and its applications. In S6minaire de Theorie des Nombres, Paris, 1986—1987, Bircknauser, 1987.

Ribet K. A. Lectures on Serre’s conjectures: preliminary notes, preprint MSR1, Fall 1986, Berkeley._

Serre J.-P. Sur les representations modulaires de degr6 2 de Gal (Q/Q)’

Duke Math. J., 1987.

5 7. ХАРАКТЕРЫ ПРИМАРНОГО ПОРЯДКА

В этом параграфе мы обобщаем результаты предыдущих параграфов, указывая, как могут быть использованы харак

теры примарного порядка. По сравнению с приведенными

ранее доказательства несколько более сложны, и мы опускаем их.

1986, 349—350). Прим, ped,

(*)(С, ВУмодуль В ® С прост.

8. СИСТЕМЫ ОБРАЗУЮЩИХ И ПОДГРУППЫ

Назовем множеством Фишера любое подмножество груп

пы, состоящее из инволюций, попарные произведения кото

рых имеют порядок 2 или 3. В течение длительного времени

Б. Фишер интересовался системами образующих группы F,

обладающими этим свойством, т. е. заданиями группы F

в виде факторгруппы группы Кокстера, граф которой имеет

только простые ребра. Из-за отсутствия до последнего вре

мени истинного описания такого рода задания позволяют по

крайней мере ориентироваться среди некоторых замечатель

ных подгрупп в F. Следующее изящное утверждение, полу

ченное Конвеем, снова дает в качестве частных случаев си

стемы образующих, открытые Фишером.

4. ПОСТРОЕНИЕ ХОРОШЕЙ МОДУЛЯРНОЙ ФОРМЫ

б. НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ

5.1. В [М — W] Монтгомери и Вайнбергер показали, что

МАТЕМАТИКА

НОВОЕ В ЗАРУБЕЖНОЙ НАУКЕ

редакторы серии: а.н. Колмогоров, с.п.новиков

АЛГЕБРАИ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ(С ПРИЛОЖЕНИЯМИ)

Избранные доклады семинара Н. Бурбаки

Сборник статей

Перевод о английскогои французскогопод редакцией

А. И. КОСТРИКИНА и А. Н. ПАРШИНА

МОСКВА „МИР"1987

СОДЕРЖАНИЕ

М. Демазюр. Тождества Макдональда. Перевод с французского. А. Н. Кириллова 7

Ж.-Л. Вердье. Алгебры Ли, гамильтоновы системы и алгебраические кривые [по М. Адлеру и П. ван Мербеке]. Перевод с французского Н. И. Плужниковой . . '18

Ж. Титс. Группы полиномиального роста [по М. Громову и др.]. Перевод с французского А. И. Скопина30

X. Ленстра мл. Алгоритмы проверки на простоту [по Эдлману, Ру- мли и Уильямсу]. Перевод с английского В. И. Логинова . . 47

И. Дж. Макдональд. Аффинные алгебры Ли и модулярные формы. Перевод с английского А. И. Скопина67

Ж.-Л. Вердье. Представления аффинных алгебр Ли: Приложения к некоторым проблемам физики [по Е. Дейту, М. Дзимбе, М. Каши- варе, Т. Миве]. Перевод с французского А. И. Скопина . . . . 84

П. Делинь. Доказательство гипотез Тейта и Шафаревича. Перевод с французского Г. М. Цукерман100

Л. Шпиро. Гипотеза Морделла [по Г. Фальтингсу]. Перевод с французского А. Н. Кириллова125,

Ж. Титс. Монстр [по Р, Гриссу, Б. Фишеру и др.]. Перевод с французского А. И. Скопина151

П. Картье. Циклические гомологии: обзор недавних работ Конна, Ка-

руби, Лодье, Квиллена... . Перевод с французского А. И. Скопина 175

Ж. Остерле. Кривые на абелевом многообразии (по Рейно). Перевод с французского А. И. Скопина204

Ж. Остерле. Числа классов мнимых квадратичных полей. Перевод с французского А. И. Скопина219

Дж. Коутс. Работа Б Гросса и Д. Загира о точках Хегнера и производных L-рядов. Перевод с английского А. Н. Кириллова . . . 239

Ж-М. Дезуйер. Теорема Ферма: вклад Фуври. Перевод с французского Н. И. Плужниковой257

Научное издание.

АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ (С ПРИЛОЖЕНИЯМИ)

Избранные доклады семинара Н. Бурбаки

Сборник статей

Заведующий редакцией профессор | Б. В. Шабат)

Зам. зав. редакцией А. С. Попов

Ст. научный редактор А. А. Бряндннская. Мл. научный редактор И. В. Герасимова. Художник А. В. Шипов. Художественный редактор В. И. Шаповалов. Технический редактор Л. В. Козлова. Корректор А. Ф. Рыбаль- ченко

ИБ № 6249

Сдано в набор 05.03.87. Подписано К печати 24.09.87. Формат 60X90 1/16. Бумага ки.-жури. сыкт. Печать высокая. Гарнитура литературная. Объем 8,50 бум. л. Усл. печ. л. 17,00. Усл. кр.-отт. 17,26. Уч.-нзд. л. 15,31. Иад. № 1/5479. Тираж 4800 экз. Зак. № 506. Цена 2 р. 10 к.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» 129820, ГСП, Москва, И-110, 1-й Рижский пер., 2

Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.

ББК 22.14 + 22.13 А 45

УДК 512.81 + 511.7

А 45 Алгебра и теория чисел (с приложениями): Избранные доклады семинара Н. Бурбаки: Сб. статей 1976— 1985 гг. Пер. с англ, и франц. — М.: Мир, 1987. — 272с., ил.

Читателям хорошо знакомы книги Н. Бурбаки из серии «Элементы ма* гематикн»», выпущенные в переводах в издательствах «Наука» и «Мир» в разные годы. Теперь представляется возможность познакомиться с трудами семинара Н. Бурбаки — широко известного международного научного семинара, на котором в обзорном виде излагаются важнейшие достижения последних лет из различных областей математики.

Настоящий сборник составлен из докладов, посвященных результатам по алгебре и теории чисел с их приложениями. Среди авторов — известные математики: М. Демазюр, П. Делииь, П. Картье, Ж. Тите (Франция), И. Макдональд (Великобритания), X. Ленстра (Нидерланды).

Для математиков разных специальностей, аспирантов и студентов университетов.

. 1702030000—486_

ББК 22.14 + 22.13ББК 22.14 + 22.13А ” 041(01)-8Т14-87,4.1

ББК 22.14 + 22.13

ББК 22.14 + 22.13

Редакция литературы по математическим наукам

© состав, перевод иа русский язык, дополнения, «Мир», 1987