ПРЕДИСЛОВИЕ

Каждый школьник знает, что нельзя изучить физику, не решая задач. Простые задачи разбирают на уроке, более сложные задаются на дом, еще более сложные, как говорят «нестандартные» задачи решают на олимпиадах. Большинство людей считает решение задач делом необходимым, но довольно скучным. В немалой степени это связано с тем, что в задачах, как правило, речь идет о идеализированных телах и системах, упрощенных до такой степени, что трудно поверить в то, что эти задачи имеют хотя бы какое-то отношение к реальному миру и что их решение может помочь в объяснении тех или иных интересных явлений, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни. В действительности же решение почти любой задачи может много дать не только для изучения законов, изложенных в учебнике, и в привитии навыков пользования этими законами, но и помочь понять то, что происходит в окружающем нас мире. Нужно только увидеть связь между упрощенной ситуацией, о которой идет речь в задаче, и реальными явлениями. Именно это мы и хотели показать читателям книги. Для сборника мы постарались отобрать те задачи, которые непосредственно связаны с реальными объектами и явлениями, или те, решение которых позволяло обсудить интересные вопросы современной физики и техники. По этой причине решения задач в ряде случаев представляют собой небольшие научно-популярные статьи. Так, например, задача о струе послужила поводом для рассказа о кумулятивных явлениях и т. д.

Пользуясь случаем, мы хотели бы выразить благодарность своим друзьям В. Е. Белонучкину, Ю. М. Бруку, И. Ф. Гинзбургу, С. М. Козелу, Г. Л. Кот- кину, А. Л. Стасенко, вместе с которыми много раз составляли задачи для олимпиад и обсуждали их решения. Мы благодарны также Ю. В. Пухначеву и Ю. П. Попову, сделавшим для книги шуточные рисунки.

Авторы

Г*

В июле 1980 г., когда эта книга готовилась к печати, трагически погиб в автомобильной катастрофе одни из ее авторов — кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Ии: ститута физики высоких давлений АН СССР Иосиф Шаевич Сло- бодецкий.

И. Ш. Слободецкий был одним из инициаторов создания журнала «Квант». Будучи членом редакционной коллегии журнала, он вел активную организационную и научную работу в отделе физики, был бессменным руководителем раздела «Задачник «Кванта»» по физике.

Огромный вклад внес И. Ш. Слободецкий в создание серии «Библиотечка «Квант»». С самого начала работы редакциоииой коллегии этой серии ои являлся ее ученым секретарем.

Глубокая профессиональная эрудиция физика-теоретика, искреннее стремление сделать как можно больше полезного людям, редкий дар общения, необыкновенная самоотдача — все эти качества Иосифа Шаевича Слободецкого вызывали неизменную любовь и уважение к нему друзей и коллег по работе.

Редакционная коллегия

ЗАДАЧИ

«Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятая слабы, ио потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий.»

К- Прутков. «Плоды раздумий»

МЕХАНИКА

В киноаппарате и кинопроекторе проходит 16 кадров в секунду. На экране движется автомобиль с колесами, реальный диаметр которых 1 м. Изображения колес делают 4 оборота в секунду. Какова скорость автомобиля?

Если смотреть на свет сквозь две наложенные друг на друга гребенки с разной частотой зубьев, то светлые участки будут чередоваться с темными. С какой скоростью будут перемещаться светлые места, если одну из гребенок двигать со скоростью 1 см/с? Неподвижная гребенка имеет 5 зубьев на сантиметр, а движущаяся — 6.

На рис. 1 показана часть траектории движения гела, брошенного под углом к горизонту. В точке А

скорость тела была равна 20 м/с. Используя рисунок, найти, сколько времени тело двигалось из точки А в точку В.

Тяжелый ящик перемещают с помощью двух .тракторов, движущихся со скоростями Vx и V2,

составляющими угол а. Как направлена и чему равна скорость ящика в тот момент, когда канаты параллельны векторам гц и и2 (рис. 2)’

Может ли спортсмен на водных лыжах двигаться быстрее катера?

Рис. 3.

Тяжелый диск радиуса R скатывается на двух нерастяжимых нитях, намотанных на него. Свободные концы нитей закреплены (рис. 4). Нити при движении диска постоянно натянуты. В некоторый момент угловая скорость диска равна ю, а угол между нитями ос. Какова в этот Момент скорость центра диска?

Концы А и В стержня АВ скользят по сторонам прямого угла (рис. 5). Как зависит от угла ос ускорение середины стержня (точки С), если конец В движется с постоянной скоростью и? Длина стержня равна I.

Тринадцать одинаковых шестеренок, оси которых закреплены, сцеплены друг с другом, образуя кольцо. На какой наибольший угол можно повернуть одну из шестеренок, если каждую из них при неподвижной соседней можно повернуть за счет неточного сцепления на угол ос?

Спутник пролетает над Новосибирском в 12.00, а над Москвой в 15.00. Где он будет в 18.00, в 19.30?

Время всюду московское.

Каким было бы число дней в году, если бы Земля вращалась вокруг собственной оси или обращалась вокруг Солнца в противоположную сторону?

Студент, институт которого находится рядом со станцией кольцевой линии метрополитена, живет у станции метро, также находящейся на кольцевой

линии, но в противоположном конце города, так что ему безразлично, в какую сторону ехать. Поэтому он всегда садится в тот поезд, который подойдет первым. Количество поездов, идущих как в одну, так и в другую сторону, одинаково. Студент, однако, за

метил, что он чаще ездит на поезде, идущем по часовой стрелке. Чем это можно объяснить?

Из двух портов А и В, расстояние между которыми равно /, одновременно выходят два катера,

один из которых плывет со скоростью Vi, а другой — со скоростью v2. Направление движения первого катера составляет угол а, а второго —угол |3 с линией АВ .(рис. 6). Каким будет

наименьшее расстояние ме- Лв

жду катерами?

За лисой, бегущейРис 6-

прямолинейно и равномерно

со скоростью Уь гонится собака, скорость которой у2 постоянна по абсолютной величине и направлена все время на лису. В момент, когда скорости У1 и у2 ока

зались взаимно перпендикулярными, расстояние между лисой и собакой было равно I.

Каково было ускорение собаки в этот момент?

Космонавты, находясь вблизи одной из звезд

некоторого звездного скопления, видят, что все другие звезды скопления удаляются от них со скоростями, пропорциональными расстояниям до этих звезд. Какую картину движения звезд увидят космонавты, оказавшись вблизи какой-нибудь другой из звезд этого скопления?

Имеется однородный шнур со взрывчатым веществом. Скорость распространения взрывной волны

по воздуху с, а скорость горения шнура и (и < с). Найти форму линии, по которой нужно расположить шнур, чтобы волны от всех точек шнура пришли в заданную точку одновременно?

В стеклянную цилиндрическую пробирку, расположенную вертикально, вдвинут снизу ерш для мытья пробирок. Что произойдет с ершом, если трубку слегка покачивать в вертикальной плоскости?

Человек, чтобы не поскользнуться на обледенелой горке, сбегает с нее. Почему это целесообразно?

Рис. 8.Рис. 9.

Железная дорога идет так, как показано на рис. 8. Какой участок пути подвергается наибольшему разрушению при движении поездов?

Шарик массы т прикреплен к стержню длины /. Другой конец стержня шарнирно прикреплен к вертикальной оси (рис. 9). Нарисуйте примерный график зависимости угла а, образуемого стержнем с вертикалью, от угловой скорости о вращения оси.

Почему конькобежцы размахивают руками при беге?

В какую сторону наклоняются при повороте пароход, самолет, подводная лодка? Почему?

Гантелька длины I стоит в углу, образованном гладкими плоскостями (рис. 10). Нижний шарик ган- тельки смещают горизонтально на очень маленькое расстояние, и гантелька начинает двигаться. Найти

Рис. 10.Рис. 10.скорость нижнего шарика в тот момент, когда верхний шарик оторвется от вертикальной пло- скости'

Рис. 10.

Рис. 10.

Рис. 11.Рис. 11.Для измерения ускорения используется изогнутая по дуге окружности трубка, заполнеи-

Рис. 11.

Рис. 11.

ная водой, в которой имеется пузырек воздуха (рис. 11). Как связано положение пузырька с ускорением трубки? ✓

Знаменитый американский физик Роберт Вуд построил телескоп с параболическим зеркалом, поместив на дне колодца вращающийся сосуд со ртутью. В каких пределах можно было изменять фокусное расстояние получившегося ртутного зеркала телескопа при изменении угловой скорости ю вращения сосуда в пределах 2 4- 4 рад/с.

График зависимости силы сухого трения от скорости изображен на рис. 12. Используя этот график, объясните, почему звучит скрипичная струна, когда по ней равномерно ведут смычком.

Почему при резком торможении автомобиль теряет управление (машину «заносит»)?

Почему легче проткнуть шилом дыру, если шило вращается? Почему нужно вращать гвоздь, чтобы вытащить его из стены?

Очень тонкую нить, собранную в клубок, начинают вытягивать вверх за один конец с постоянной скоростью и. Масса единицы длины нити равна р. С какой силой приходится тянуть за нить в тот момент, когда длина вытянутого конца /?

Рис. 13.Рис. 13.

Рис. 13.

Рис. 13.

Две одинаковые тележки, на которых находятся два одинаковых дворника, движутся по инерции с одинаковыми скоростями параллельно друг другу. В некоторый момент времени на тележки начинает падать снег равномерным потоком. Дворник,

Рис. 14.Рис. 14.

Рис. 14.

Рис. 14.

стоящий на одной из тележек, сбрасывает снег все время вбок, а на второй тележке дворник спит. Какая из тележек быстрее пройдет одно и то же расстояние?

Для межзвездных путешествий ракета должна достигать скорости, сравнимой со скоростью света. Оценить возможность использования для такой ракеты химического двигателя, действующего на реак-

ции окисления водорода, если теплотворная способность водорода равна 1,1 • 108 Дж/кг.

Какой должна быть масса топлива для достижений ракетой с массой m = 20 т скорости 0,01 скорости света?

Плоская бесконечная струя толщины d0 падает под углом а на плоскость (рис. 15). Скорость струи равна и, ее плотность р. На какие струи распадается струя?

По водопроводной трубе течет вода со скоростью у = 10 м/с. Докажите, что если резко (мгновенно) закрыть кран, давление на кран станет равным 150 атм. (Из-за

этого нельзя, например, даже ■—»■■—=*-. при аварии слишком быстро

перекрыть поток воды в водо-Рнс- 15-

сливе.)

Труба радиуса г заполнена веществом плотности р0. Невесомый поршень, на который действует постоянная сила F, вдвигаясь в трубу, уплотняет это вещество (рис. 16). Уплотнение происходит скачком,

Рис. 16.Рис. 16.то есть в трубе как бы перемещается с некоторой скоростью с поверхность, справа от которой плотность вещества ро, а слева больше чем р0. В начальный момент поверх

Рис. 16.

Рис. 16.

ность совпадает с плоскостью поршня. Найти скачок Др

плотности вещества.

Землетрясения вызывают иногда появление громадных отдельных волн — цунами, распространяющихся на огромные расстояния. Длина таких волн во много раз превышает глубину океана, а высота достигает нескольких десятков метров. При таких волнах в движение приходит вся вода под волной вплоть до океанского дна. Аналогичной волной является приливная волна. Найти скорость цунами, полагая среднюю глубину океана /г0 = 5 км.

Отклоните стул, стоящий на достаточно гладком полу, на небольшой угол и отпустите. Объясните наблюдаемое движение стула.

Почему пуля, вылетевшая из ружья, не может отворить дверь, но пробивает в ней отверстие, в то время как давлением пальца дверь отворить легко, но проделать отверстие невозможно?

Рис. 17.

Почему пуля пробивает в пустом тонкостенном стакане лишь два маленьких отверстия, в то время как стакан, наполненный водой, разбивается при по- падании в него пули вдребезги?

Насос подает объем V воды в час на высоту Н по трубе диаметром d. Какой величины должна быть мощность насоса? Можно ли с помощью насоса меньшей мощности подавать объем V воды в час на высоту Н?

Модель вертолета, изготовленная в 1/10 натуральной величины, удерживается в воздухе при помощи мотора мощностью 30 Вт. Оцените, какой должна быть мощность двигателя вертолета, сделанного из тех же материалов, что и модель.

Найти коэффициент полезного действия водометного двигателя реактивного катера, если площадь входного отверстия двигателя S = 0,9 м2, а выходного — s = 0,02 м2.

Автомобиль массы т = 600 кг трогается с места. Двигатель автомобиля работает с постоянной мощностью N = 50 кВт, коэффициент трения скольжения колес о дорогу ц = 0,6. Оценить, за какое минимальное время автомобиль наберет скорость 100 км/час. Сопротивлением воздуха и трением в механизмах пренебречь.

Астронавты «Скайлэба» с помощью специального радиолокационного высотомера обнаружили, что 12

поверхность океана в районе «Бермудского треугольника» ниже нормального уровня на 25 метров (см., например, журнал «Наука и жизнь», 1976, № 9). Предполагая, что этот «прогиб» можно объяснить наличием под дном океана шаровой полости, заполненной водой, оценить радиус этой полости. Глубина океана Н = 6 км.

Спутник Земли движется по круговой орбите на высоте h — 760 км над поверхностью Земли. Его хотят перевести на эллиптическую орбиту с максимальным удалением от поверхности Земли Н = = 40 000 км и минимальным расстоянием от поверхности h = 760 км. На сколько для этого необходимо изменить скорость спутника? Каким будет период обращения спутника по новой, эллиптической орбите?

Два спутника, А и В, движутся по одной и той же круговой орбите на небольшом расстоянии друг от друга. Необходимо осуществить стыковку спутников. Удасться ли это сделать, если, включив двигатель, сообщить спутнику В импульс в направлении к спутнику А?

Шар массы иг налетает на покоящийся шар массы М. Найти, как зависит от отношения масс шаров энергия, которую теряет налетающий шар при упругом центральном столкновении.

Кубик, скользящий без трения по гладкому горизонтальному полу, ударяется одной из своих боковых граней о вертикальную стенку. Коэффициент трения кубика о стенку равен р. Под каким углом к стенке отскочит кубик, если до столкновения с ней он двигался по направлению, составляющему со стенкой угол а?

Почему футболистам было бы тяжело играть слабо накачанным или «перекачанным» мячом?

Атом, движущийся со скоростью и (и <С с), испускает фотон под малым углом а к направлению своего движения. Доказать, что если частота излучения покоящегося атома равна vo, а частота излучения движущегося атома равна v, то для видимого света v ” cos а. Скорость света равна с.

Почему обычно у-кванты, излученные ядрами радиоактивного вещества, не могут поглотиться подобными же ядрами?

Известно, что внутренняя энергия ядра может иметь только определенные значения.

Машина, служащая для укатки дороги (каток), опирается на цилиндрические шины-катки. Спереди пять катков, а сзади семь. Как сделать так, чтобы давление всех шин-катков на грунт было одинаковым вне зависимости от профиля дороги и накачки шин?

На цилиндрический столб намотан один виток каната. Для того чтобы канат не скользил по столбу,

когда за один из его концов тянут с силой F, за второй конец каната нужно тянуть с силой f. Как изменится сила f, если на столб будет намотано п витков каната (f не зависит от толщины каната)?

На верхнюю точку закрепленного шара радиуса R поставлен ванька-встанька (рис. 18). Нижняя поверхность игрушки — полушар радиуса г; центр

тяжести игрушки (точка С) расположен на половине радиуса полушара. Упадет ли ванька-встанька с шара? Проскальзывания нет.

Концы пружины в нерастянутом состоянии закреплены. Как обработать пружину так, чтобы она стремилась сократиться?

К двум точкам прикреплены цепочка длины I и концы двух стержней, сумма длин которых тоже равна I, а свободные концы шарнирно связаны. Чей центр тяжести находится ниже — цепочки или стержней?

Какой стакан более устойчив — пустой или с сахаром?

Почему трещина в лопающихся трубах, когда в них зимой замерзает вода, всегда идет вдоль, а не поперек трубы?

Почему половую щетку значительно легче удерживать на пальце, чем палку той же длины?

Почему можно управлять движением велосипеда при езде «без рук»?

В полусферический колокол, плотно лежащий на столе, наливают через отверстие вверху воду

(рис. 20). Когда вода доходит до отверстия, она приподнимает колокол и начинает вытекать снизу. Най

ти массу колокола, если радиус его равен R, а плотность ТОДЫ р.

Сообщающиеся сосуды, один из которых суживается, а другой расширяется кверху,„ заполнены водой (рис. 21). Как будет меняться количество воды в сосудах при нагревании одного из них?

Рис. 21.Рис. 21.Два одинаковых открытых сосуда соединены двумя одинаковыми трубками и доверху заполнены водой. Трубки закрыты кранами К\ и К2 (рис. 22),

Рис. 21.

Рис. 21.

Температура воды в сосудах поддерживается постоянной, причем 711>Г2>4°С. Что будет происходить с водой в сосудах, если сначала открыть кран Къ а затем (при открытом кране KJ открыть кран Кг?

Три открытые бочки наполнены до половины водой и установлены на разной высоте (рис. 23). Из каждой бочки проведены вверх трубки, соединяю-

щиеся вместе. Трубки тоже заполнены водой Куда будет перетекать Вида по трубкам, если одновременно открыть краны Кь Кг и Кз?

Вода переливается через край плотины (рис. 24). Во время паводка водосброс (объем воды,

Рис. 23.Рис. 24.Рис. 23.Рис. 24.

Рис. 23.Рис. 24.

Рис. 23.Рис. 24.

Рис. 25.Рис. 25.

Рис. 25.

Рис. 25.

который проходит в секунду) увеличивается втрое. Во сколько раз возрастает при этом уровень воды над плотиной?

Многие из вас замечали, что в тот момент, когда вы ступаете на мокрый песок, он светлеет. Это связано с тем, что песок становится суше. Но как только вы убираете ногу, след, оставленный ногой, немедленно заполняется водой. Объясните это яв

ление.

Под открытым водопроводным краном стоит наполняющаяся водой ванночка. В ванночку под

струю воды помещают легкий шарик. Останется ли шарик под струей?

Почему почти одним и тем же движением губ, выдыхая воздух, можно согреть руки и остудить чай?

Почему «кочуют» песчаные дюны?

При испытании реактивного снаряда, уста

новленного в хвосте самолета для защиты его от нападения сзади, был обнаружен удивительный факт. При пуске снаряда он разворачивался и догонял самолет. Как можно объяснить это явление?

Почему реки, текущие даже по совершенно плоской однородной почве, изгибаются?

Для простоты рассмотрите реку, текущую вдоль экватора.

В воде покоится лодка. Человек, находящийся на ней, переходит с кормы на нос. Как будет двигаться лодка, если сила сопротивления при ее движении пропорциональна ее скорости.

ТЕПЛОТА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

На монете начерчена мелом прямая линия. Останется ли она прямой, если монету нагреть?

Свинцовый лист, покрывавший южную часть крыши Бристольского собора, сполз вниз по крыше на 50 см в течение двух лет. Сползание листа началось сразу же после того, как им была покрыта крыша. Попытка остановить сползание листа вколачиванием гвоздей в стропила не удалась, потому что сползающий лист вырывал гвозди. Крыша была не крутая, и свинцовый лист мог бы оставаться на ней, не скользя под действием силы тяжести вниз. Почему же сполз лист?

Попробуйте оценить, на сколько сползает за 10 дней свинцовый лист, если максимальная и минимальная температуры равны соответственно 7'1 = = 20°С и 72=10°С, длина листа при Г2=10°С равна /о = 1 м, угол наклона крыши <р = 30°, коэффициент трения листа о стропила ц = 0,7. Коэффициент линейного расширения свинца а = 3-10-5К-1.

Запах пахучих веществ распространяется обычно по комнате благодаря конвекции. Однако в совершенно спокойной атмосфере возможна и диффузия, связанная с беспорядочным движением молекул. За счет диффузии происходят многие процессы в жидкостях, кристаллах и газах. Как быстро происходит диффузия? Скажем, если запах пахучего вещества распространился на 1 м за 3,5 минуты, то за какое время он распространился на 10 м?

Как диффузия зависит от температуры?

Полость колбы литрового термоса заполнена гелием, давление р которого при комнатной температуре равно 10-5 атм (1 Н/м2). При этом давлении

длина свободного пробега молекул газа велика по сравнению с расстоянием между стенками колбы. Оценить время, за которое чай, которым наполнен такой термос, остынет от 90°C до 80°C.

Спутник Земли радиуса г — 2 м наполнен смесью кислорода и азота, причем масса азота составляет 75% массы всего газа. Микрометеорит пробивает в нем отверстие площадью S = 1 см2. За какое время давление в спутнике уменьшится на 5%, если температура в спутнике комнатная?

Найти скорость испарения с единицы поверхности воды в вакууме при температуре 20 °C. Давление насыщенных паров при этой температуре равно 2,3 кПа.

Было обнаружено, что в запаянной П-образ- ной трубке уровни воды в обоих коленах трубки остаются на одинаковой высоте и при наклоне трубки. Что находится в коленах трубки над поверхностью воды?

В закрытом сосуде имеется несколько капель жидкости разной величины. Что произойдет с ними через достаточно продолжительное время?

Под стеклянным колпаком, из которого выкачан .воздух, находится кювета с водой. В ней вертикально установлена капиллярная трубка. Известно, что давление насыщенных паров над вогнутой поверхностью жидкости несколько меньше, чем над плоской поверхностью. Поэтому можно предположить, что жидкость в трубке будет испаряться и конденсироваться на поверхности воды в кювете. Образовавшийся поток пара можно использовать для приведения в движение вертушки. Все ли верно в приведенном рассуждении?

Хватит ли мощности гидроэлектростанции, чтобы испарить воду, проходящую через ее турбины?

Почему пар обжигает сильнее воды той же температуры?

Электрическим кипятильником мощностью W = 500 Вт нагревают воду в кастрюле. За две минуты температура воды увеличивалась от 85 °C до 90 °C. Затем кипятильник выключили и за одну минуту температура воды упала на один градус. Сколько воды находится в кастрюле? Удельная теплоемкость воды равна 4,19-103 Дж/кг-К.

Рис. 26.Рис. 26.Волейбольный мяч массой 200 г и объемом 8 л накачан до избыточного давления 0,2 атм. Мяч был подброшен на высоту 20 м и после падения на твердый грунт подскочил поч^и на ту же высоту. Оцените максимальную температуру воздуха в мяче в момент удара о грунт. Температура наружного воздуха 300 К, теплоемкость воздуха при постоянном объеме Су= = 0,7 кДж/кг-К-

Рис. 26.

Рис. 26.

осадков. Оцените, наосадков. Оцените, наВлажный воздух, который переносится ветром, дующим с побережья Тихого океана через вершину Кордильер, адиабатно расширяется, поднимаясь вверх, и охлаждается. При этом пары, находящиеся в воздухе, выпадают в виде

осадков. Оцените, на

осадков. Оцените, на

сколько отличаются температуры у подножья по обе стороны Кордильер, если влажность у побережья Ф = 60%, а температура Г1 = 25°С. При такой температуре давление насыщенных водяных паров рн = = 3,4 кПа.

Почему, когда, купаясь в жаркий день, вы входите в воду, вода кажется холоднее воздуха, а когда выходите, то наоборот?

Почему тонкая медная проволока плавится в пламени газовой печи, в то время как медный гвоздь даже не раскаляется докрасна?

Почему опытные хозяйки предпочитают жарить на чугунных, а не на алюминиевых сковородах?

Почему металлические предметы, находящиеся в комнате, на ощупь кажутся холоднее, чем деревянные?

Почему измерение температуры медицинским термометром продолжается долго, а «стряхнуть» его можно практически сразу же после измерения температуры?

Каждый квадратный метр поверхности тела, нагретого до температуры Т, излучает за единицу

• -дани энергию 11 = аТ\ где о=5,67-10*8Вт/№-К4- 5. каком расстоянии R от Солнца расплавится же- ныи космический корабль, если плотность потока . лнечного излучения (мощность, проходящая через с 'иницу площади) на орбите Земли Ео = 1400 Вт/м2? . мпературу плавления железа принять равной Т = = 1535 К, расстояние от Земли до Солнца Ro = === 1,5-10й м.

На брусок льда надета проволочная петля, к нижней части которой подвешен груз. Проволока начинает сравнительно быстро разрезать лед, так как он плавится под проволокой и вновь смерзается над ней. Это явление происходит от того, что при повышении давления температура плавления льда понижается и лед под проволокой оказывается при температуре выше, чем температура плавления льда при повышенном давлении. Однако, если петлю сделать из капроновой нити того же диаметра, то лед практически не режется. Почему?*

Оцените максимальную толщину ледника.

При неправильной регулировке двигателя внутреннего сгорания иногда вместо сравнительно медленного сгорания горючей смеси начинается так называемая детонация, при которой смесь сгорает быстро, со взрывом. Почему при этом падает к. п. д. двигателя?

Для отопления здания используется теплота, которая отдается воздуху при работе теплового двигателя. Этот двигатель приводит в действие холодильную машину, которая отнимает теплоту от грунтовых вод и отдает ее воздуху в комнате. Определить теоретический к. п.д. такого цикла отопления, если температура в котле теплового двигателя Т\ = 210 °C, температура воды в батарее Т2 = 60 °C, а температура грунтовых вод Т?,— 10°С.

Почему брезентовая палатка хорошо защищает от дождя, но если во время дождя к потолку палатки дотронуться рукой, потолок начинает «протекать»?

Два мыльных пузыря радиусов и и г2 сливаются в один пузырь радиуса г3. Найти атмосферное давление, если поверхностное натяжение мыльной пленки равно о.

Сложенные вместе смоченные оконные стекла практически невозможно отделить друг от друга, если пытаться оторвать одно стекло от другого. Почему?

На поверхности воды плавают две спички, которые предварительно до половины были опущены в парафин. Оказалось, что как чистые, так и покрытые парафином концы спичек притягиваются между собой, а «разноименные» концы отталкиваются. Почему?

В сосуд с водой опускают Г-образный стеклянный капилляр радиуса г (рис. 27). Температурный

ход коэффициента поверхностного натяжения показан на рис. 28.

В каком диапазоне значений температуры вода вытечет из сосуда?

В условиях невесомости жидкость, помещенная в стеклянный цилиндрический сосуд с радиусом основания R\, приняла форму, показанную на рис. 29, а. Свободная поверхность жидкости имела форму сферы с радиусом Ro. Та же жидкость, помещенная- в стеклянный сосуд радиуса Rs на Земле, приняла форму, показанную на рис. 29,6. Свободная поверхность жидкости была плоской. Определить высоту уровня жидкости в сферическом сосуде. Какую форму будет иметь жидкость в сферическом сосуде, если радиус сосуда больше или меньше Rs?

Говоря о хорошо обтекаемом теле, имеют в виду, что оно имеет каплевидную форму (рис. 30).

Но «каплевидна» ли такая форма? Мгновенные фотографии падающих капель*) (рис. 31) показывают,

Рис. 30.Рис. 31.

что маленькие капли сферичны, а большие похожи на сдобную булочку. Почему капля принимает такую форму? Оцените максимальный размер капель.

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

Внутри гладкой сферы находится маленький заряженный шарик. Какой величины заряд нужно поместить в нижней точке сферы для того, чтобы шарик удерживался в ее верхней точке? Диаметр сферы равен d, заряд шарика q, его массат.

Подсчитать среднюю плотность р электрических зарядов в атмосфере, если известно, что напряженность электрического поля на поверхности Земли равна 100 В-м-1, а на высоте h= 1,5 км эта напряженность падает до 25 В • м-1.

*) Фотографии взяты из журнала «Scientific American», v. 190, 1974.

ЮЗ. При какой разности потенциалов между электродами зажигается неоновая лампочка, если энергия ионизации неона U7 = 21,5 эВ, а среднее расстояние между двумя последовательными столкновениями электрона с атомами газа / = 0,4 мкм? Электроды имеют вид больших пластинок, расположенных на расстоянии d = 3 мм друг от друга.

Найдите заряд заземленного металлического шара радиуса г, если на расстоянии / от его центра находится точечный заряд q.

В однородном заряженном шаре имеется сферическая полость, центр которой находится на расстоянии а от центра шара. Найти напряженность электрического поля в различных точках полости, если плотность заряда равна о.

Какую наибольшую разность потенциалов можно получить, имея батарейку с э. д. с. 8 и два одинаковых конденсатора?

Между каждой парой из п данных точек включен конденсатор емкостью С. Чему будет равна емкость между двумя произвольными точками?

Ю8. Шар, изготовленный из твердого диэлектрика, поместили в однородное электрическое поле напряженностью Ео. При этом диэлектрик оказался полностью поляризованным. Воспользовавшись принципом суперпозиции, найти напряженность электрического поля в центре шара и в точках на расстоянии г от центра шара (г меньше радиуса шара).

Молекулы диэлектрика можно представить как гантельки длины / с зарядами + q и —q на концах. Число молекул в единице объема равно п.

Имеется равномерно заряженный отрезок АВ. Как направлена напряженность электрического поля, создаваемого этим отрезком в точке С; по медиане треугольника АВС, по его биссектрисе, по высоте, ни по одной из этих линий?

ПО. Между пластинами замкнутого плоского конденсатора находится точечный заряд q. Площадь пластин бесконечно велика, расстояние между ними равно d. Первоначально заряд находится на расстоянии d/S от левой пластины. Какой заряд пройдет по проводнику, замыкающему пластины конденсатора, при перемещении заряда q в новое положение на расстоянии с//3 от правой пластины?

Для определения небольших емкостей иногда пользуются мостиковой схемой, изображенной на рис. 32. Язычок'переключателя колеблется с частотой V. Какова емкость С, если сопротивление переменного резистора равно R, а постоянных — Ri и R2? Стрелка гальванометра не отклоняется.

Схему, изображенную на рис. 33, применяют обычно для измерения неизвестного сопротивления Rx. Как, используя подобную схему, измерить сопротивление г самого гальванометра, если второго гальванометра нет?

В схеме (рис. 34) все вольтметры одинаковы. Э. д. с. батареи ^ = 9 В, ее внутреннее сопротивление мало. Верхний вольтметр показывает t/i = 2B. Что показывают остальные вольтметры?

Рис. 35.Рис. 35.

Рис. 35.

Рис. 35.

В схеме, изображенной на рис. 35, вольтметр измеряет напряжение на резисторе с сопротивлением R = 300 кОм. Каким должно быть сопротивление

вольтметра дня того, чтобы его показания отличались не более чем на 2% ог действительного значе

ния Ur"?ния Ur"?Если вольтметр подключен параллельно верх

ния Ur"?

ния Ur"?

нему резистору с сопротивлением и (рис. 36), то он

покажет 6 В, если параллельно нижнему резистору с сопротивлением Г2, то 4 В, а если его подключить к точкам Л и В, то он покажет 12 В. Каковы в действительности напряжения на резисторах?

Как измерить величину неизвестного сопротивления, имея вольтметр и амперметр с неизвестными внутренними сопротивле

Рис 36.Рис 36.ниями?ниями?На рис. 37 изображены схе

Рис 36.

Рис 36.

ниями?

ниями?

мы для измерения сопротивления резистора с помощью амперметра и вольтметра. По какой схеме выгоднее включить приборы, чтобы измерить сопротивление более точно?

Рис. 37.

На рис. 38 приведена зависимость тока через автомобильную лампочку от напряжения на ней. Лампочку включают в цепь, показанную на рис. 39. Найти мощность, выделяющуюся на лампочке.

На рис. 40 приведена вольт-амперная характеристика стабилотрона С. Каким будет напряжение на нагрузке в цепи, показанной на рис. 41? Как будет меняться напряжение на нагрузке при изменении напряжения U сети на ±Ю%?

На рис. 42 показана вольт-амперная характеристика дуги. Каким будет ток в цепи, если дугу подключить к источнику напряжения По = 80 В последовательно с резистором, сопротивление которого 7? = 500 Ом?

^ || Gt

Можно ли две лампочки в 45 и 75 Вт, рассчитанные на 127 В, включить последовательно в сеть 220В, если допустимо перенапряжение не более 10%? Вольт-амперная характеристика лампы мощностью 100 Вт приведена на рис. 43.

Рис. 45.Рис. 45.

Рис. 45.

Рис. 45.

Источник электроэнергии имеет вольт-амперную характеристику, показанную на рис. 44 (U— напряжение на источнике, / — ток, текущий через него).

Нарисовать график зависимости напряжения на резисторе, на который замкнут этот источник, от величины сопротивления этого резистора. .

Для питания прибора напряжение на его входе нужно устанавливать как можно точнее. Для этого используются два реостата, соединенных так, как показано на рис. 45. Длины

реостатов одинаковы, а сопротивление одного из них в 10 раз больше сопротивления другого. Как поступить, чтобы установить напряжение как можно точнее? Во сколько раз точность установки напряжения будет больше, чем в том случае, когда используется лишь один реостат? Как включить реостаты, если для питания приборов нужно устанавливать поточнее не напряжение, а ток?

Если терморегулятор электрического утюга поставлен в положение «капрон», то утюг периодически включается на ti = 10c и выключается на

т2 = 40с. Поверхность утюга при этом нагревается до температуры Tt = 100 °C. Если терморегулятор поставить в положение «хлопок», то утюг периодически включается на т' = 20 с и выключается на т' = 30с. Определить установившуюся температуру Т2 поверхности утюга в этом положении терморегулятора. Найти, до какой температуры нагреется включенный утюг, если терморегулятор выйдет из строя.

Считать, что теплоотдача пропорциональна разности температур утюга и окружающего воздуха. Температура в комнате То —20°С.

Длина нити накаливания электрической лампочки равна /, а диаметр нити d. Какими должны быть длина /] и диаметр d\ нити лампочки, рассчитанной на то же напряжение сети с вдвое большим световым потоком, если к. п. д. обеих лампочек одинаков?

К середине проволоки, натянутой между двумя опорами, подвешивается груз. Почему при подключении концов проволоки к источнику напряжения груз начинает колебаться и эти колебания не затухают до тех пор, пока проволока замкнута на источник?

Удельная теплота сгорания водорода q = = 119 700 кДж/кг. При каком минимальном напряжении на электродах может происходить электролиз воды?

При измерении э. д. с. старой батареи для карманного фонарика вольтметр показал 4,3 В, однако лампочка от этой батарейки не горит. Почему?

Для получения мощных световых импульсов через газоразрядную лампу разряжают батарею конденсаторов большой емкости, заряженную до разности потенциалов U. Почему для этой же цели обычно не используется батарея гальванических элементов с э. д. с., равной U?

Почему лампочка накаливания сгорает обычно при включении?

В простейшей схеме магнитного гидродинамического генератора плоский конденсатор с площадью пластин S и расстоянием между ними d помещен в поток проводящей жидкости с удельным сопротивлением р. Жидкость движется с постоянной скоростью у параллельно пластинам. Конденсатор 28

находится в магнитном поле с индукцией В, направ- . .иной перпендикулярно к скорости жидкости и параллельно плоскости пластин. Какая мощность выделяется во внешней цепи, имеющей сопротивление Ю

Электронно-лучевая трубка с ускоряющим напряжением 1) помещена в однородное магнитное поле с индукцией В, направленной вдоль оси трубки. На экране при этом наблюдается небольшое расплывчатое пятно. Если менять величину индукции, то

Рис. 46.

можно заметить, что при некоторых значениях в0, 2В0, ЗВ0, ... электронное пятно фокусируется — собирается в точку. Объясните это явление. Как с помощью такого эксперимента определить отношение заряда электрона к его массе?

Сверхпроводящее кольцо, по которому течет ток, изгибается в две окружности в виде восьмерки и затем складывается вдвое. Как меняется ток в кольце и магнитное поле в центре кольца?

В камере ускорителя по окружности радиуса R движется очень тонкий пучок протонов. Величина тока в начальный момент /0, полное число частиц в камере п. Магнитный поток через неизменяющуюся орбиту пучка изменяется со скоростью <р (Ф = <р/). Какой станет величина тока после того, как частицы сделают один оборот? Скорость частиц остается много меньше скорости света.

Две катушки с индуктивностями Lx и L2 соединены параллельно. Какими будут максимальные токи в катушках, если параллельно им подключить

конденсатор с емкостью С, предварительно заряженный до напряжения U"?

Две длинные однослойные сверхпроводящие катушки с числами витков Пл и п2, длинами /i и /2 и сечениями Si и S2'соединены параллельно при'помощи сверхпроводящих проводов. Определите, как распределится между ними ток /, подведенный от общего источника. Катушки удалены друг от друга так, что поле одной не действует на поле другой. (Тем не менее катушки и соединяющие их провода можно рассматривать как один сверхпроводящий контур.)

Почему трансформатор выходит из строя в том случае, если хотя бы один виток обмотки замкнется накоротко?

Имеются два одинаковых идеальных трансформатора с коэффициентом трансформации 1 :3. Первичная обмотка одного из них последовательно соединена со вторичной обмоткой второго и свободные концы этих обмоток включены в сеть переменного тока с напряжением 100 В. Вторичная обмотка

Рис. 47

первого трансформатора последовательно соединена с первичной обмоткой второго. Определить амплитуду переменного напряжения между свободными концами этих обмоток.

Если на первичную обмотку ненагруженного трансформатора подать напряжение Uo = 220 В, то напряжение на вторичной обмотке будет U\ = 127 В. Какое напряжение П2 будет при Uo = 220 В на на-

грузке с сопротивлением /? = 10 Ом, подключенной ко вторичной обмотке этого трансформатора? Активное сопротивление первичной обмотки трансформатора Г] = 2 Ом, а вторичной r2 = 1 Ом. Внутреннее сопротивление генератора тока принять равным нулю.

До какой разности потенциалов зарядится конденсатор емкостью С (рис. 48), если замкнуть ключ Л? Э. д. с. батареи равна ^. Внутреннее сопротивление батареи и сопротивление проводов пренебрежимо малы. Диод можно считать идеальным — в прямом направлении его сопротивление ничтожно мало, в обратном — бесконечно велико. Индуктивность L достаточно велика, так что процесс зарядки идет медленно.

Рис. 49.Рис. 49.

Рис. 49.

Рис. 49.

На рис. 49 показана простейшая схема выпрямителя. Диод считается идеальным. Во сколько раз изменится мощность, выделяемая на сопротивлении R, при подсоединении параллельно ему конденсатора С такой емкости, что за период колебаний напряжения сети (И = 220 В, v = 50Fu) заряд конденсатора практически не меняется?

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

К стенке, наклоненной под углом а к вертикали, подвешен маятник длины I (рис. 50). Маятник отклонили в плоскости, перпендикулярной к стенке, на небольшой угол р от вертикального положения и отпустили. Найти период колебаний маятника, если а-< р и удар шарика о стенку — абсолютно упругий.

Определить период колебаний полярной молекулы в однородном электрическом поле, напряженность которого Е = 300 В/см. Полярную молекулу

ложно представить в виде жесткой гантельки длины / = 10~8 см, на концах которой находятся две ма

териальные точкитериальные точкимассы т (т — 10-24 г),, несущие на себе заряды -\-q и —q соответственно (у=1,6-10-19 Кл).

териальные точки

териальные точки

. 144. Модель молекулы СО2— три шарика, соединенных пружинками и расположенных в положении равновесия вдоль одной прямой. Такая молекула может совершать колебания разных типов: а) и б) (рис. 51). Найти отношения частот этих колебаний.

Колонна одинаковых грузовых автомобилей подъезжает

к складу, забирает груз и дви

жется дальше с той же скоростью. В результате про

дольный профиль грунтовой дороги принял вид, показанный на рис. 52. В каком направлении двигались

ооСооСS с— ^6) СксдйШ^^^ишдЭS с— ^6) СксдйШ^^^ишдЭРис. 52.Рис. 52.автомобили?

оо

С

оо

С

S с— ^

6) СксдйШ^^^ишдЭ

S с— ^

6) СксдйШ^^^ишдЭ

Рис. 52.

Рис. 52.

Рис. 51.

На горизонтальную мембрану насыпан мелкий песок. Мембрана совершает колебания с частотой v = 500 Гц в вертикальной плоскости. Какова амплитуда колебаний мембраны, если песчинки подскакивают на высоту /г = 3 мм по отношению к положению равновесия мембраны?

Доска массы А1 расположена горизонтально и опирается на два вращающихся цилиндра. Расстояние между осями цилиндров /. Коэффициент трения между доской и цилиндрами р. Доказать, что если доску, находящуюся в положении равновесия, слегка 32

толкнуть в горизонтальном направлении, она будет совершать гармонические колебания, и найти период этих колебаний. Каким будет движение доски, если изменить направление вращения цилиндров на противоположное?

Точка подвеса математического маятника длины / совершает горизонтальные колебания такие, что ее координата меняется со временем / по закону х = a cos rot. Считая колебания маятника малыми, найти амплитуду и фазу вынужденных колебаний

маятника.

ОА, движутся поОА, движутся поЕсли длину математического маятника умень* шать, когда маятник проходит положение равновесия, и увеличивать в те моменты, когда его отклонение максимально, то амплитуда колебаний маятника начнет нарастать. Почему?

ОА, движутся по

ОА, движутся по

В цилиндрический конденсатор в точке А впускается слегка расходящийся пучок положительных ионов с малым углом раствора а (рис. 53). Все ионы в пучке имеют одинаковую энергию. Те ионы, у которых вектор скорости в точке А направлен перпендикулярно к отрезку

окружности радиуса г = ОА, концентрической с обкладками конденсатора. Доказать, что пучок ионов будет фокусироваться в точке В такой, что АО В = = jt/V2- Определить максимальную ширину пучка.

Читая лекции в Страсбурге в 1908' г., академик Л. И. Мандельштам поражал аудиторию следующим красивым опытом. Он брал два камертона, настроенные на близкие частоты 500 и 505 Гц, ставил их рядом друг с другом и возбуждал камертон с частотой 500 Гц. Второй камертон не отзывался на его колебания. Но стоило начать периодически закрывать ящик возбужденного резонатора рукой, как второй камертон начинал громко звучать. Объясните этот опыт.

При передаче телевизионного изображения на Земле за 1 секунду передается 25 кадров. Это означает, что 1 кадр передается за 1/25 секунды. В то

33332 И. Шо Слободецкий, Л. Г, Асламазов

33

33

же время, как известно, передача одного кадра изо* Сражения Луны советской автоматической станцией «Луна» длилась 25 минут. Почему так велика раз* ница во временах передачи кадра в обоих случаях?

Упрощенно атом гелия можно представлять как систему, в которой два электрона совершают ко* лебания около общего центра — неподвижного ядра. Используя эту модель, попробуйте оценить приближенно диэлектрическую проницаемость жидкого гелия в постоянном электрическом поле, принимая во внимание, что гелий сильно поглощает ультрафиолетовое излучение на длине волны X = 0,06 микрон. Плотность жидкого гелия р = 0,14 г/см3.

На фотографии летящей пули (рис. 54) видны звуковые волны, которые возбуждаются при движении пули. (Такую фотографию удалось получить бла* годаря тому, что области, в которых плотность воз* духа различна^ по-разному преломляют световые

Рис. 54.

лучи.) Воспользовавшись линейкой, определить примерную скорость пули. Скорость звука в воздухе равна 340 м/с.

Подводная лодка плывет на глубине ho = = 500 м. На каком расстоянии от лодки (вдоль по* верхности океана) гидроакустик на лодке может обнаружить приближающийся корабль, если скорость звука в воде уменьшается с глубиной на Дс = 4 м/с каждые Дй = 100 м, а у поверхности океана она равна с0 = 1500 м/с. (Изменение скорости звука с глубиной связано с изменением температуры воды и ее плотности.)

ОПТИКА

Перед зеркалом стоит человек, закрыв один глаз. Изображение этого глаза в зеркале он закрывает, приклеивая бумажку. Что увидит человек, если он закроет открытый глаз и откроет закрытый? *;

В боковой стенке сосуда, наполненного жидкостью с показателем преломления п, проделано отверстие небольшого радиуса г. По оси отверстия из сосуда направляют горизонтально тонкий луч света. До какого уровня h над отверстием должна вытечь жидкость, чтобы луч света вышел из струи, ни разу не испытав полного внутреннего отражения?

Изменением поперечного сечения струи пренебречь, показатель преломления жидкости считать достаточно большим.

Почему возникает «лунная дорожка» на поверхности водоема в ясную лунную ночь?

Рис. 55.Рис. 55.ввААРис. 56.Рис. 56.Матированное стекло (одна из поверхностей стекла гладкая, другая шероховатая) прикладывают к чертежу: один раз гладкой поверхностью кверху, другой раз — книзу. В одном случае чер-

Рис. 55.

Рис. 55.

в

в

А

А

Рис. 56.

Рис. 56.

теж виден хорошо, в другом — разобрать его невозможно. Почему?

В дымовой завесе из непрозрачных частиц радиуса и = 5 мкм при содержании массы вещества т = 0,04 г в кубометре воздуха дальность видимости составляет /1 = 50 м. Сколько вещества в кубометре воздуха распыляется другим источником завесы, который создает частицы радиуса г2 = 10 мкм, если видимость сокращается до /г = 20 м?

На рис. 56 отрезок А'В' — действительное изображение источника АВ. Фотоаппарат помещают в точках 1, 2 или 3. Какие части источника получаются на фотографиях?

Диаметр объектива фотоаппарата мал по сравнению с диаметром линзы. Фотоаппарат «наводится» на плоскость А'В'.

Какие очки следует прописать человеку, если в воде он видит нормально?

Рис. 57.

На рис. 58 показано положение двух точек, А и В, и их изображений А' и В', которые получены с помощью линз. Найти построением положения линз и их фокусные расстояния.

А- .А'В- -Б'

А-*

А.В'*

•А

сь)б)

Рис. 58.

Почему лицо фехтовальщика в проволочной маске не видно публике, а спортсмен видит все так же хорошо, как и без маски?

Почему при ярком освещении те, кто пользуется не очень сильными очками, могут читать и без очков?

Почему для того чтобы сфотографировать одновременно два объекта, один из которых находится дальше другого, и получить на фотопленке резкое изображение обоих объектов, обычно уменьшают диаметр отверстия объектива (объектив диафрагмируют) ?

Почему днем окна домов кажутся темными?

Рис. 59.

Почему с моста лучше видно рыбу, плавающую в реке, чем с низкого берега?

Определить, во сколько раз изменится освещенность изображения Солнца,- полученного плоско- выпуклой линзой, если линзу разрезать по диаметру и сложить плоскими сторонами?

Для выжигания по дереву сфокусированными солнечными лучами необходимо иметь линзу с отношением диаметра D к фокусному расстоянию F большим 0,07 (D/F >0,07). Оценить, сколько горожан нужно было Архимеду выстроить на крепостной стене для того, чтобы они могли поджечь римский корабль, направив в одну точку корабля солнечные лучи с помощью плоских зеркал диаметром d = 1 м, если корабль подошел на расстояние L = 200 м от берега.

Почему лампочки обычно окружают матовым колпаком?

Почему в цехах с рассеянным освещением рабочим трудно работать?

Во сколько раз освещенность в лунную ночь в полнолуние меньше, чем в солнечный день? Высота Луны и Солнца над горизонтом одинакова. Считать, что Луна рассеивает а = 0,1 падающего на нее света равномерно по всей полусфере. Принять расстояние от Луны до Земли L — 400 000 км, радиус Луны г = 2000 км.

Почему цепочка фонарей кажется одинаково яркой вдоль ее длины? •

В полой сфере проделано отверстие, через которое проникает луч света. Внутренняя поверхность сферы отражает свет во все стороны одинаково (диффузно) и не поглощает его. Как будут отличаться освещенности точки, диаметрально противоположной отверстию, от освещенности остальных точек сферы?

Жука фотографируют в двух масштабах: с расстояния ^ = 3F, где F— фокусное расстояние объектива, и с расстояния di = ЪР. Во сколько раз надо изменить диаметр диафрагмы объектива, чтобы освещенность изображения на пленке в обоих случаях была одной и той же? Считать, что диаметр объектива в обоих случаях много меньше F.

При наблюдении в телескоп яркие звезды видны даже днем. Объяснить, почему?

При наблюдении в телескоп освещенность изображения звезды в 10 раз меньше освещенности поверхности дневного неба, рассматриваемого в тот же телескоп.

Во сколько раз нужно увеличить диаметр объектива, чтобы освещенность изображения звезды стала в 10 раз больше освещенности неба?

Инфракрасное излучение определенной длины волны поглощается метаном (СН4). При нормальных условиях слой чистого метана толщиной в 1 см поглощает 98% энергии излучения.

Во сколько раз ослабится такое излучение при прохождении по вертикали атмосферы Земли?

При расчете плотность метана в атмосфере принять равной 1,4-10~6 кг/м3.

РЕШЕНИЯ

Изображения колес поворачиваются на 1 оборот за время прохождения 4 кадров в проекторе. Поэтому на каждом кадре колесо должно быть повернуто по сравнению с предыдущим на 1/4 оборота. Колеса на экране вращаются «вперед», если скорость движения автомобиля такова, что за время между кадрами т = 1/16 с колеса автомобиля делают п полных и еще 1/4 оборота вокруг своей оси. Если же" за т секунд колеса делают п полных и 3/4 оборота вокруг оси, то изображения колес на экране будут вращаться «назад». Таким образом, угловая скорость колес равна или Иц = 32 л (п + 1/4)с-1, или го2 = = 32 л(п + 3/4)с~*. Это означает, что оси колес, а вместе с ними и автомобиль, движутся со скоростью О1=32(д+1/4)лР м/с (тогда изображения колес вращаются «вперед») или со скоростью иг = 32(п + 3/4) nR м/с (в этом случае изображения колес вращаются «назад»). Подставляя в эти формулы и = 0, 1, 2, 3, .. ., мы будем получать ответы

Hi = 12,6 м/с = 45 км/ч, или Vi = 223 км/ч ... и

иг = 136 км/ч, или 02 = 316 км/ч ...

При этом, поскольку скорость автомобиля вряд ли больше 140 км/ч, она равна 45 км/ч, если изображения колес вращаются «вперед», или 136 км/ч, если коле

ggggса на экране вращаются «назад».

gg

gg

Совместим какие-нибудь зубья гребенок (рис. 60). Тогда следующие зубья будут находиться на расстоянии 1/5—1/6=1/30 (см) друг от друга. Сместим подвижную гребенку на это расстояние. Картина

светлых и темных полос сместится„

,Рис. 60.

на период неподвижной гребенки, т. е. на 1/5 см.

Тогда светлые и темные места будут перемещаться со скоростью о = 1/5:1/30 = 6 (см/с) при скорости движения гребенки 1 см/с.

Опыт с гребенками позволяет увидеть, что происходит при сложении волн с различной длиной волны X, и Хг и разными скоростями распространения (фазовыми скоростями) щ и «г. В результате сложения синусоидальных волн получается не синусоидальная волна (рис. 61). Скорость ее распространения у — это скорость перемещения повторяющейся группы горбов и впадин. Ее называют групповой скоростью. Найдем у. В системе отсчета, движущейся со скоростью Ui, вторая волна движется со

скоростью и2 = и2 — иг Если в некоторый момент совпадают горбы А и А', то через некоторое время т совпадут горбы В и В'. В результате группа волв переместится влево на Xi. Следо- , ,Ха — Xi

вательно, она перемещается со скоростью Xi/т. Но т = -^.

Поэтому — = -—- (па —ui). В неподвижной системе отсчета т Аа — Ai

XaUi — Х|«аХа — Х|XaUi — Х|«аХа — Х|(1)(1)Xi, Дм

XaUi — Х|«аХа — Х|

XaUi — Х|«аХа — Х|

(1)

(1)

" = “•- — -"--X-дл

В отсутствии дисперсии (зависимость скорости распространения волн от X), у = «1 = «а — групповая скорость совпадает с фазовой. При дисперсии формула (1) справедлива для набора волн близких длин. Тогда у = и —^- X. Эта формула позволяет, например, найти скорость распространения модуляции амплитудно- модулированной волны, групповую скорость распространения волн в воде (волн в океане) и т. д.

Время полета t = tWvIg, где Ду г — изменение проекции скорости у тела на вертикальную ось У. Нетрудно найти Дуг 40

графически, построив в произвольном масштабе вектор оЛ (направленный по касательной к траектории в точке Д) и затем вектор х>в, воспользовавшись тем, что о* — const (рис. 62). После этого нетрудно с помощью линейки найти Доу и вычислить t. В нашем случае Доу « 27 м/с и / « 2,9 с.

Скорость ю ящика, конечно, не равна о, + о2, так как У| ч о2— две составляющие скорости, но из разных пар. о такова,

что ее проекции иа направления канатов равны соответственно п1 и os. Поэтому конец вектора о лежит на пересечении перпендикуляров, проведенных к векторам vi и о2 (рис. 63).

Из рисунка видно, что их = о cos (а — Р) и о2 = о cos Р, так что

COS Р 021 02

cos a cos Р + sin a sin рOi ’ cos а + sin а tg р Oi *

Отсюда

tg Р = —-— f—cosctg а

b r sm а k t»2/ o2 sin а

E

V = -^-=O2 V1 +tg2p.

cos p

Катер и спортсмен на лыжах связаны нерастяжимой веревкой. Поэтому проекции скоростей катера и спортсмена на направление веревки должны быть равны (в противном случае смещения концов веревки вдоль ее направления были бы не одинаковы и веревка разорвалась бы). Из рис. 64 видно, что это приводит к ограничению:

4141' 01 cos а = о2 cos р.

41

41

При а > р скорость лыжника щ будет по модулю больше скорости катера t^ (Например, когда направление веревки совпадет с направлением скорости катера, а лыжник движется под углом.)

Рис. 66.Рис. 66.

Рис. 66.

Рис. 66.

В системе координат, связанной с центром диска, скорости «с и ик точек С и К равны по абсолютной величине toR и направлены вдоль нитей. В системе, связанной с Землей, скорости этих точек перпендикулярны к нитям (нити нерастяжимы!). Сле

довательно, если v — скорость центра диска, то вектор Ус =

= ис + v (рис. 65) перпендикулярен к ис, а вектор vK = ик + v

перпендикулярен к «к. Это означает, что точки А и В лежат на окружности с диаметром у. Из рисунка видно, что у составляет угол а/2 с каждой из нитей и

и„ toR у =к—е

cos (а/2) cos (а/2)

Точка О представляет собой вершину прямого угла, опирающегося на диаметр окружности радиуса //2 с центром в точке С (рис. 66). Сле

довательно, ОС — радиус этой окружности. Это означает, что при

движении стержней длина отрезка ОС не меняется и точка С

движется по окружности с центром в точке О и радиуса ОС = Z/2.

Скорость ос точки С направлена по касательной к траектории и перпендикулярна к ОС. Так как стержень нерастяжим, то проекции скоростей точек С и В на направление стержня должны быть одинаковы;

и cos а — vc cos р.

Из рис. 66 видно, что р = 2а — л/2. Поэтому cos а о VC v cos (2а — л/2)2 sin а

Проекция ускорения ас точки С на радиус ОС должна быть равна о^ОС = a/2Z sin2 а. Но как направлен вектор ас?

Заметим, что проекция скорости Ос точки С на горизонтальную ось равна occos (а — 0) = ас cos (л/2 — а) = а/2. Эта проекция не зависит от а и, следовательно, постоянна. Это означает, что ускорение точки С вертикально и делит угол ОСВ пополам. Таким образом, имеем:

/ Л\О2

С V 2/2/ sin2 а

Отсюда

а2

аС 21 sin3 а "

Перенумеруем шестеренки, обходя кольцо из них против часовой стрелки. Удерживая шестеренку 2 и шестеренку 13, шестеренку 1 можно повернуть на максимальный угол а. Удерживая теперь шестеренку 3, повернем шестеренку 2 на угол а. При этом шестеренка 1 повернется еще на угол а, а шестеренка 13 — на угол а в другую сторону. Удерживая шестеренку 4 неподвижной, повернем шестеренку / еще на угол а (то есть всего она повернется на угол За). При этом шестеренка 13 окажется повернутой в другую сторону на угол 2а, а шестеренка 12 — на угол а. И так далее, вплоть до седьмой шестеренки. Поворот шестеренки / при этом окажется равным 6а. Последняя восьмая шестеренка может повернуться лишь на угол а/2. Таким же будет дополнительный угол поворота первой шестеренки, которая, таким образом, повернется на угол 6,5а.

Москва и Новосибирск находятся на одной широте (55° северной широты), а их долготы отличаются на 45°. Москва находится на 38°, а Новосибирск — на 83° восточной долготы. За 3 часа (с 12.00 до 15.00) Земля делает 1/8 оборота вокруг ее оси и Москва в 15.00 окажется в том же положении по отношению к Солнцу и неподвижным звездам, в каком находился Новосибирск в 12.00). Следовательно, спутник делает за 3 часа целое число оборотов вокруг Земли. Так как период обращения спутника не может быть меньше, чем Гтш = 2л/сотш,а №^^7? = у, то Tmin = 2л л/ R!g«lA ч.Поэтому период обращения спутника равен либо 3 часам, либо 1,5 часам. В обоих случаях в 18.00 спутник будет находиться над пунктом с координатам^ 55° северной

широты и 7° западной долготы. В 19.00 спутник окажется над пунктом с координатами 55° северной широты и 30° западной долготы, если период его обращения 1,5 часа, и над пунктами с координатами 55° южной широты и 154° восточной долготы, если его период равен 3 часам.

Земля обращается вокруг Солнца и вращается вокруг собственной оси, причем ось Земли почти перпендикулярна к плоскости орбиты, а направления вращения Земли вокруг своей оси и обращения вокруг Солнца совпадают. Если бы Земля ие вращалась вокруг своей оси (то есть не вращалась по отношению к далеким звездам), то любая точка на Земле была бы ориентирована одинаково по отношению д Солнцу через время, равное периоду обращения Земли вокруг Солнца. Следовательно, обращение вокруг Солнца за год прибавляет как бы один оборот к числу оборотов вокруг своей оси. Поэтому при изменении направления вращения Земли число дней в году изменится на два.

Обозначим t интервал времени между поездами, идущими в одну сторону. Если промежуток времени между отправлением поезда, идущего по часовой стрелке, и ближайшим поез

дом против часовой стрелки равен т, то между отправлением

поезда, идущим потив часовой стрелки, и поездом, идущим по часовой стрелке, проходит время t — т. Если т<1/2, то /— т>т.

Вероятность того, что студентВероятность того, что студентпридет в интервал времени t — г, t — т , очевидно, в ——— раз больше вероятности того, что он придет в интервал времени т. Поэтому- то студент и ездит чаще по часовой стрелке.

Вероятность того, что студент

Вероятность того, что студент

В системе координат, движущейся относительно Земли со скоростью оь корабль А покоится, а корабль В движется со ско

ростью о —о2 —О] (рнс. 67). Минимальное расстояние между кораблями равно длине перпендикуляра АК, опущенного на траекторию корабля В. Обозначим ф угол, образуемый вектором о с линией В А. Тогда АК = Z sin <р. Так как и = у2— оь то спроектировав все векторы на линию АВ и на линию, перпендикуляр

но к АВ, получим

ОтсюдаОтсюдаtgфtgфv cos ф = 02 cos р + Ui cos а, о sin ф = о2 sin Р — Oi sin а.

Отсюда

Отсюда

tgф

tgф

02 sin р — о, sin а t>2 cos Р + Oi cos а '

Выражая sin ф через tg ф, найдем АК.

Так как абсолютная величина скорости собаки постоянна, а меняется только направление скорости, то ускорение собаки направлено перпендикулярно к вектору скорости. Траекторию движения собаки за малый промежуток времени Л/ можно считать дугой окружности. Обозначим R радиус этой окружности. Тогда ускорение собаки — центростремительное, равное u^lR. За время Д/ вектор скорости собаки поворачивается на угол

Рис. 68.Рис. 68.

Рис. 68.

Рис. 68.

а = viMIR (рис. 68). А лиса за это время перемещается на расстояние V|AA Так как вектор скорости собаки направлен все время на лису, то это расстояние равно al. Следовательно,

vi At = al = —-—.

R

Отсюда

n Vs ,V|V2

R = — l и a= ——.

01I

Выделим некоторую звезду и найдем ее скорости в системах координат, связанных с первой и второй звездами, у которых находились космонавты. По условию задачи скорость в системе координат, связанной с первой звездой

VI =ОГ|,

где ri — вектор, проведенный от первой звезды к выделенной звезде. В системе, связанной со второй звездой, на которую перелетели космонавты, скорость выделенной звезды

Vs = vi — Vo,

где Vo = аг0 — скорость второй звезды относительно первой. Проведя вектор г2 от второй звезды к выделенной (рис. 69), легко увидеть, что

Гз = И — Го.

Соответственно, скорость звезды

«2 = а (п — го) = агг.

Следовательно, космонавты опять увидят, что все звезды разлетаются со скоростями, пропорциональными расстоянию до них.

По логарифмической спирали. Это нетрудно доказать, показав, что угол, образуемый касательной к шнуру с прямой, проведенной в заданную точку, постоянен с

он равен arccos —, где и — скорость горе

ния шнура).

У ерша, вдвинутого снизу в вертикальную трубку, щетинки изогнуты, как показано на рис. 70. При наклоне трубки давление щетинок на стенку трубки с одной стороны ослабевает и при некотором наклоне щетинка начинает скользить вверх по трубке до тех пор, пока из-за изменения кривизны щетин- vС ки сила давления на стенку, а следовательно.

Рис. 70. и сила трения скольжения не возрастают настолько, что щетинка остановится. При выпрямлении трубки обратного скольжения не произойдет, так как сила трения покоя больше силы трения скольжения Таким образом, ерш будет шагами продвигаться вверх по трубке, «расклиниваясь» в трубке за счет сил трения покоя и проскальзывая за счет уменьшения трения при скольжении.

На человека на горке действуют две силы: сила тяжести trig и сила R, равная сумме силы трения FTp и силы N — нормальной реакции горки (рис. 71). Так как момент силы тяжести относительно центра масс человека равен нулю, то человек будет

сохранять равновесие и не «переворачиваться» только в том случае, если сила R проходит через его центр масс.

Если трение подошв обуви о горку велико и человек стоит на горке, то сумма сил, действующих на человека, равна нулю, то есть сила R направлена вертикально и равна силе тяжести.

Иное дело, если трение мало. Разберем вначале предельный

случай: ЕТр = 0. Тогда человек не будет падать, если он перпендикулярен к горке (рис. 72). Только в этом случае сила N реакции горки проходит через центр масс человека. Но равнодействующая Q сил mg и N при этом не будет равна нулю. Она направлена параллельно наклонной плоскости и равна mg sin а. Поэтому человек должен спускаться с ускорением а = g sin а.

Если трение мало, но не равно нулю, то ускорение человека должно быть меньше. Записав второй закон Ньютона, мы найдем, что оно равно а = g sin а — FTP/m.

Наибольшему разрушению подвергнется сопряжение дуг,

образуемых дорогой. В этом месте центростремительное ускоре

ние, сообщаемое вагону равнодействующей приложенных к нему

сил, испытывает скачок, равный t»2(l/Z?i + + 1№). Из-за зазора между щеками колес и рельсами происходит удар. Несколько менее сильный удар происходит и в местах сопряжения прямых участков дороги с дугами.

Сопряжение различных участков, а также повороты дороги из-за этого никогда не делаются с помощью дуг окружностей. Они устраиваются так, чтобы радиус кривизны менялся плавно.

Если шарик вращается по окружности и стержень составляет с вертикалью угол а, то центростремительное ускорение шарику сообщает равнодействующая силы тяжести и силы натяжения стержня. Эта

равнодействующая направлена горизон

тально и равна mg tg а (рис. 73). Запишем

уравнение движенияуравнение движенияшарика:Отсюдашарика:Отсюдаmgtga = mco2r или g tg а = со2/ sin a.

уравнение движения

уравнение движения

шарика:

Отсюда

шарика:

Отсюда

cos a = —

co2/

Это выражение справедливо, однако, только при со2/ ^ g, то есть при со^ V^ (cos а должен быть меньше 1). При

<0 < "x/gH > g *8 G > tolr» T0 есть равнодействующая силы тяжести и силы натяжения нити сообщает шарику ускорение большее, чем ускорение при вращении по окружности. Поэтому стержень

с шариком будут вращаться, оставаясь вертикальными. График зависимости а от о показан на рис. 74

В то время, когда конькобежец набирает скорость, его ноги движутся в двух разных параллельных плоскостях, находящихся на некотором расстоянии друг от друга. Рез

кие движения ног вызывают появление момента сил, стремящихся повернуть корпус человека вокруг вертикальной оси.

Поэтому конькобежец в такт движению ног размахивает руками так, чтобы движение соответствующих рук и ног было про- тивофазно. При таком движении рук возникает момент сил, противодействующих моменту сил, обусловленных движением йог

и компенсирующих его.

На летящий самолет в плоскости, перпендикулярной к направлению его полета, действуют две силы — сила тяжести и аэродинамическая подъемная сила. Их равнодействующая при повороте самолета должна быть ваправ- ¥лена к центру окружности, по которой движется самолет. Это возможно, если корпус самолета наклонен в сторону поворота (рис. 75).

Такой наклон самолета получается благодаря тому, что при повороте киля (руля) из-за давления воздуха на киль самолет начинает поворачиваться вокруг вертикальной оси, проходящей через рис 75его центр тяжести. Одно из крыльев са

молета тогда движется быстрее другого. На это крыло действует большая аэродинамическая подъемная сила и самолет поворачивается вокруг горизонтальной оси. При этом подъемная сила, 'действующая иа это крыло, уменьшается, а на другое крыло возрастает.

При повороте теплохода иа его внешний борт действует избыточное давление, сообщающее теплоходу центростремительное ускорение. Это давление появляется благодаря тому, что при повороте руля теплоход поворачивается вокруг вертикальной оси. При этом он продолжает двигаться по инерции бортом вперед.

Точка приложения равнодействующей сил добавочного гидродинамического давления лежит на середине погруженной части теплохода. Поэтому если центр тяжести теплохода лежит ниже середины части его, находящейся в воде, то теплоход наклоняется в сторону поворота. Если центр тяжести теплохода лежит выше середины части, погруженной в воду, то теплоход при повороте наклоняется в сторону, противоположную повороту. Угол наклона теплохода определяется условием равенства нулю суммарного момента сил гидростатического давления (подъем силы), равнодействующая которых приложена к центру тяжести вытесненного объема жидкости, и сил добавочного гидродинамического давления на внешний борт теплохода.

Теплоход может плавать устойчиво даже в том случае, когда

его центр тяжести лежит выше центра тяжести вытесненного объема воды, т. е. выше точки приложения «выталкивающей» силы. Для этого необходимо, чтобы благодаря форме корпуса теплохода при его наклоне центр тяжести вытесненного объема

смещался в сторону наклона.

Поворот подводной лодки происходит так же, как и поворот теплохода, благодаря добавочному гидродинамическому давлению

на внешний борт. Но центр тяжести подводной лодки находится ниже ее середины, так как он должен лежать ниже точки приложения равнодействующей сил гидростатического давления, находящейся примерно в середине сечения подводной лодки (иначе подводная лодка перевернулась бы). Поэтому при повороте подводная лодка наклоняется в сторону поворота.

Пусть в момент отрыва

верхнего шарика от вертикаль

ной плоскости гантелька составляет угол а с вертикалью (рис. 76), скорость верхнего шарика равна v, скорость нижнего и.

Согласно закону сохранения энергии

го2 , ти1 ...,

— + —g- = mg Д/z = mgl (1 — cos а).

где т — масса каждого шарика и Дй = I— Zcosa=Z(l—cos a). Отсюда

«?+ w2 = 2^/(1 — cos a).(1)

Поскольку стержень жесткий, проекции к и и на стержень равны:

и cos а = « sin а.(2)

Из уравнений (1) и (2) находим

к2 = 2gl (cos2 а — cos3 а) = 2g/ (х2 — х3),(3)

где х = cos а.

До момента отрыва центр масс гантельки двигался. с горизонтальным ускорением (это ускорение сообщалось силой реакции вертикальной стенки). Поэтому к моменту отрыва верхнего шарика от вертикальной стенки скорость и максимальна. Найдем значение cos а, при котором выражение у = х2 — х3 (см. (3)) максимально. Так как у' = 2х — Зх2 = О при х = 2/3, то и2 максимально при cos а = 2/3 и равно

2/2

«гаах = у Д/у gL

Пузырек не будет перемещаться по трубке, если сила N, действующая на него со стороны жидкости, будет направлена по радиусу трубки, то есть перпендикулярно к касательной к трубке (рис. 77). Так как сила N — это архимедова выталкивающая

сила, то она перпендикулярна к линиям постоянного давления, Равнодействующая Q сил N и mg (m — масса пузырька) направлена горизонтально и равна та. Поэтому

Свободная поверхность жидкости во вращающемся сосуде принимает форму параболоида вращения. Рассмотрим на поверхности жидкости некоторый малый элемент массы т, находящийся на расстоянии х от оси вращения (рис. 78). На згот

элемент действует сила тяжести mg и сила давления N со стороны остальной жидкости. Сила N направлена перпендикулярно к свободной поверхности жидкости. Поскольку выбранный элемент жидкости движется с постоянной угловой скоростью по окружности радиуса х, то равнодействующая R сил N и mg направлена к оси вращения и равна по абсолютной величине та2х. Следовательно,

. таРх «?хtg а ==

mg g

(1)(1)жидкости имеетжидкости имеетРис. 79.Рис. 79.где а — угол наклона касательной к поверхности жидкости. Из соотношения (1) следует, что поверхность параболоида. Действительно, так как

(1)

(1)

жидкости имеет

жидкости имеет

Рис. 79.

Рис. 79.

то dx

dy югх dx — g Отсюда

1 a2

y=-^x2 + C (2)

(C — константа).

Воспользовавшись свойствами параболы, нетрудно найти фокусное расстояние параболоида. Мы сделаем это несколько другим способом.

Рассмотрим малые участки поверхности, близкие к оси вращения. Такой участок поверхности можно считать частью сферы радиуса R. Найдем такое R, которое лучше всего «приближается» к параболоиду. Угол наклона касательной к сфере в точке ча расстоянии х от оси вращения таков, что (рис. 79)

(3)(3)Для точек, близких к оси, а и р так чтоДля точек, близких к оси, а и р так чтов формулах (1) и (3) малы.в формулах (1) и (3) малы.а2Хаж gа2Хаж gииsin § = ;£-•

(3)

(3)

Для точек, близких к оси, а и р так что

Для точек, близких к оси, а и р так что

в формулах (1) и (3) малы.

в формулах (1) и (3) малы.

а2Х

аж g

а2Х

аж g

и

и

Для «наилучшей» сферы а = р, то есть

о2 1Т— Rо2 1Т— Rи R ^а2 "и R ^а2 "

о2 1

Т— R

о2 1

Т— R

и R ^

а2 "

и R ^

а2 "

.Следовательно, фокусное расстояние параболоида

Rg_

22а2’

В случае зеркального телескопа Вуда получим 1,22 м < F < 4,9 м.

При движении смычка струна благодаря трению увлекается смычком и натягивается. Когда величина силы трения становится равной некоторой максимальной, струна начинает проскальзывать относительно смычка. Так как при этом величина силы трения резко уменьшается, то струна совершает почти свд- бодное колебание. Затем, когда скорости струны и смычка сравняются, струпа «захватывается» смычком и т. д. Колебания

струны незатухающие, так как при движении струны в ту же сторону, что и смычка, сила трения, действующая на струну, со

вершает положительную работу, компенсируя потери энергии струной.

При движении автомобиля участок колеса, соприкасающийся с дорогой, неподвижен относительно нее. При резком торможении колеса скользят по дороге (юз). Обозначим »( скорость

Рис. 80.Рис. 80.движения автомобиля и рассмотрим вопрос — какая сила F должна действовать иа автомобиль, чтобы он начал двигаться вбок (машину «занесло»). Обозначим Уг скорость бокового заноса (рис. 80) и будем считать, что Иг С Ui. Так как скорость о автомобиля равна сумме Oi + о2, а сила трения FTp направлена

Рис. 80.

Рис. 80.

противоположно вектору р, то ее проекция на вектор »| равна Fi = FTP cos р, а проекция на вектор р2 равна F2 = FTC sin р, где

Р = arctg -^- « ^-. Следовательно, У| 01

г Е «г . ог

(ш— масса автомобиля, к — коэффициент трения).

Ясно, что для возникновения движения вбок (заноса) необходима сила, равная по модулю Fi. А так как эта сила пропорциональна скорости ог, то такой запое может быть вызван сколь угодно малой силой. Она может появиться как составляющая силы тяжести прн неровной дороге.

Предположим, что мы хотели вытащить гвоздь, например с помощью плоскогубцев. Для того чтобы гвоздь двигался по- ступательво, иа него должна действовать сила F, большая максимальной силы трения покоя FTP. А чтобы гвоздь вращался, к плоскогубцам необходимо приложить силу Fi такую, чтобы ее

момент относительно осн гвоздя был больше момента силы трения!

FvR > FTpr,

где R — радиус рукоятки плоскогубцев, г — радиус гвоздя. (Сила трения, действующая на гвоздь, по абсолютной величине такая же, как в первом случае, но направлена не вдоль оси гвоздя, а перпендикулярно ей.) Таким образом,

Г1 > "^ FTp.

Так как R ^ г, то сила F, по абсолютной величине может быть во много раз меньше силы F

Нетрудно показать, что если гвоздь вращается, то вытащить его из стены можно, приложив сколь угодно малую силу Fz. параллельную оси гвоздя (см. задачу 26).

Следовательно, вытащить гвоздь из стены можно, приложив к плоскогубцам силу Ft > -^- FTp и сколь угодно малую силу F*. что в сумме меньше FTP.

Изменение импульса нити ДК за время Д/ равно произведению массы нити Дт = роД<, которая пришла за это время в движение, на ее скорость и:

ДК = ро2 Л/.

Это изменение равно импульсу внешних снл:

ДК = (A —mg) Д/ = (A — p/g) ДА

Подставляя выражение для ДК, получаем для силы F, с которой тянут нить, следующее выражение:

К = р (о2 + g/).

При попадании на тележку массы М порции снега Дт ее скорость о меняется на величину До, которая находится из закона сохранения импульса в проекции на горизонтальное направление

Мхз = (Л1 + Дт) (о — До).

Здесь не учтен начальный нмпульс порции снега, так как он не Имеет горизонтальной составляющей. Аналогично, сбрасывание снега в сторону не меняет импульса тележки. В результате на ходим

ЛДт

До^-^-о.

Отсюда следует, что замедление движения тележки тем меньше, чем больше ее масса. Поэтому тележка, с которой снег не сбра- вывают, будет двигаться быстрее.

Для оценки будем считать, что топливо в ракете сгорает очень быстро и образующиеся газы выбрасываются одной порцией. Обозначим и скорость ракеты, и — скорость газов, Мс — массу сгоревшего топлива. Тогда Мои = то и

М = т — = 0,01 —.(1)

и и'

Теперь найдем и. Из уравнения химической реакции горения водорода

2Н2 + О2 = 2Н2О

следует, что для сгорания двух киломолей водорода необходим киломоль кислорода. В результате получается два киломоля паров. Иными словами, прн сгорании 4 кг водорода в 32 кг кислорода образуется 36 кг паров. Следовательно, масса ДТП паров

41

образуется при сгорании массы -gg- Д7И = — NM водорода. При этом выделяется энергия

е=1дм<7.

Конечно, только часть этой энергии превращается в кинетическую энергию газов. Но для оценки будем считать, что Q = &Ми^р, то есть

ОтсюдаОтсюда-i-AM^yAMujjp.-i-AM^yAMujjp.

Отсюда

Отсюда

-i-AM^yAMujjp.

-i-AM^yAMujjp.

Это «предельная» скорость истечения газов. В нашем случае она равна д^А. ij . io® м/с ~ 5 . ю3 м/с. Поэтому Л10 > > 0,01-С— т = 600 т.

ипр

Отношение Мс[т огромно, но сильно занижено. Пока масса еще не сгоревшего топлива велика по сравнению с т, реактивная сила сообщает импульс не только ракете, но и оставшемуся топливу. Поэтому наш расчет некорректен, н нужно пользоваться формулой Циолковского

Л1о + т _т '

которая в нашем случае дает

Мо = те600 « т • 1026° = 20 • 102е° т!

Эта цифра во много раз превышает массу Солнца 7ис = 2 10г7т. Химическое топливо, как показывают расчеты, не может дать скорость истечения больше 10 км/с. Оно, очевидно, для межзвездных полетов неприменимо.

Для достижения скоростей, сравнимых со скоростью света, необходимо использовать топливо, которое дает скорость истечения порядка скорости света. Идеальный случай и = с (фотонная ракета). ,

Обозначим через dt и d2 толщины образовавшихся струй (рис. 81), а через щ и ог— нх скорости. Так как через попереч

Рис. 81.Рис. 81.ное сечение первоначальной падающей струи за одну секунду проходит такая же масса жидкости, что и через поперечные сечения обеих образовавшихся струй и жидкость несжимаема, то

Рис. 81.

Рис. 81.

pd0o = pdivi + pd2V2. (1)

Найдем, как меняется скорость частиц жидкости. Проследим за небольшой массой Ат жидкости, которая перемещается из основной струи в левый рукав. Такое

перемещение равносильно просто

переносу этой жидкости из области / в область //. Но в области / мы «извлекаем» объем жидкости Pi и силы давления совершают работу Ai = piVi. В области // работа сил давления отрицательна и равна Аг = —P2V2. Следовательно, полная работа А внешних сил равна piVi — paVz. Но жидкость несжимаема и, следовательно, Pi = Р2. Кроме того, давление во всех струях тоже одинаково и равно атмосферному, так как границы у струн плоские. Поэтому А = 0. По теореме о кинетической энергии изменение кинетической энергии массы Ат жидкости равно А. Следовательно, кинетическая энергия частиц жидкости и их скорость остаются постоянными: Oi = и2 = и.

Поэтому из равенства (1) получаем

d0 = di + di.(2)

Так как на жидкость не действуют никакие .внешние горизонтальные силы, горизонтальная проекция импульса текущей жидкости должна оставаться постоянной:

то cos а = тюх — т2ог, где т, mt и т2 — массы жидкости, прошедшие через сечения струй за одно и то же время. Так как т ~ do, mi ~ dt и

m2 ~ da, тоm2 ~ da, то(3)(3)d0 cos i = /, — di.

m2 ~ da, то

m2 ~ da, то

(3)

(3)

Из равенств (2) и (3) получаем

di = d0 cos2 da = d0 sin2 y.

ударяет о плоскость, онаударяет о плоскость, онаискривляется и давление здесь другое.искривляется и давление здесь другое.Его нетрудно найти. Так как силаF, действующая на струю со F стороны плоскости, равна скорости изменения проекции импульса К струи на ось У, перпендикулярную к плоскости, а ДК, = ..= К sin а, тоЕго нетрудно найти. Так как силаF, действующая на струю со F стороны плоскости, равна скорости изменения проекции импульса К струи на ось У, перпендикулярную к плоскости, а ДК, = ..= К sin а, тоFFДКу К sin аДКу К sin аД/Д/Л/Л/Мы говорили, что давление во всех случаях равно атмосферному. Это, однако, верно далеко от места попадания струи на плоскость, где струя плоская. В том же месте, где струя

ударяет о плоскость, она

ударяет о плоскость, она

искривляется и давление здесь другое.

искривляется и давление здесь другое.

Его нетрудно найти. Так как сила

F, действующая на струю со F стороны плоскости, равна скорости изменения проекции импульса К струи на ось У, перпендикулярную к плоскости, а ДК, = ..= К sin а, то

Его нетрудно найти. Так как сила

F, действующая на струю со F стороны плоскости, равна скорости изменения проекции импульса К струи на ось У, перпендикулярную к плоскости, а ДК, = ..= К sin а, то

F

F

ДКу К sin а

ДКу К sin а

Д/

Д/

Л/

Л/

Рис. 82.За время Д< иа плоскость попа

дает объем жидкости V = Su St с массой М = pSu St и импульсом К = Ми = pSu2 St, где S — площадь сечения струи. Поэтому

pSu2 sin а • Л<StpSu2 sin а • Л<StpSu2 sin а.pSu2 sin а.

pSu2 sin а • Л<St

pSu2 sin а • Л<St

pSu2 sin а.

pSu2 sin а.

Благодаря этой силе удерживаются, например, на поверхности воды лыжник. (рис. 82) и глиссер иа подводных крыльях.

Площадь S зоны повышенного давления примерно равна площади сечения струи. Поэтому

F г -р^ = ри2 sin «.

Давление это невелико. Например, при нормальном падении на плоскость (а = 90°) струи воды, скорость которой равна, скажем, 10 м/с (такую скорость имеет, например, капля, падающая с высоты 5 м)

р ~ 105 Н/м2.

Эта величина равна всего лишь атмосферному давлению. В то же время не зря поговорка говорит, что капля камень точит. И действительно, при регулярном падении капель с высоты всего 1—2 м камень постепенно разрушается. В чем же здесь дело? Мы вернемся к этому вопросу в задаче 32. Здесь же рассмотрим другое интересное явление — кумулятивную струю. Она возии-

кает, например, когда поток жидкости налетает под углом на плоскость так, как показано на рис. 83. В этом случае вдоло плоскости «бьет» струя, скорость которой во много раз превышает скорость набегающего потока. Такая струя обладает огромной кинетической энергией.

Найдем скорость и кумулятивной струн при падении на плоскость потока жидкости, имеющего скорость и. Обозначим а угол между фронтом потока и плоскостью (рис. 84).

Рис. 83.Рис. 83.Рис. 84.Рис. 84.

Рис. 83.

Рис. 83.

Рис. 84.

Рис. 84.

Точка пересечения фронта потока н плоскости перемещается вдоль плоскости. Обозначим с ее скорость. Если мы перейдем в систему отсчета, движущуюся со скоростью с, то в ней задача сводится к предыдущей — струя движется так, что ее скорость направлена под углом а к плоскости со скоростью щ = у — с и разбивается на две струи, движущиеся со скоростями, равными по модулю Ui «вперед» и «назад» вдоль плоскости.

Найдем гч и с. Так как вектор щ перпендикулярен к вектору v, то

с = — и Di = п ctg а.sin а

В неподвижной системе отсчета, в которой плоскость покоится, скорость и кумулятивной струи равна с + ot, то есть

и = ——- + v ctg а = v ctg —.sin а ь 6 2

При малых а эта скорость может достигать огромной величины, во много раз превосходящей и. Например, при а = 10° и « 11 о, при а = 2° и « 57 п и т. д. Во много раз в кумулятивной струе может быть больше и энергия единицы объема жидкости (плотность энергии) рп2/2. Приа= 10°-^- «120, при а=2° -^g- «3200!

Возникновением кумулятивной струи объясняются необычайно высокие приливы в некоторых сужающихся заливах. Обычно на берегу океана высота прилива составляет примерно 1 м. В то же время, вапример, в сужающемся заливе Фанди (Канада) он достигает 15 м. Это объясняется тем, что когда приливная волна входит в залив, она распространяется под углом к берегам. Возникает кумулятивная струя, идущая вдоль берегов и попадающая в узкие части залива. Так как ее скорость в несколько раз превышает скорость приливной волны, то высота прилива оказы

вается значительно выше.

Кумулятивная струя возникает н при столкновении двух струй, фронты которых движутся под острым углом друг к другу (рис. 85). Такое столкновение происходит, например, в кумулятивном снаряде. Снаряд представляет собой цилиндр, заполненный взрывчатым веществом, в котором сделана выемка. Выемка

покрывается тонкой (1—2 мм) металлической облицовкой. При взрыве облицовка начинает сжиматься, двигаясь со скоростью порядка 103 м/с, н развивается огромное давление порядка 4'1013 Н/м2. При таком давлении металл ведет себя подобно жидкости н образуется кумулятивная струя толщиной 1,5—3 мм, скорость которой может быть больше 104 м/с. Такая струя легко пробивает слой стали (брони), толщина которой, как оказывается, равна длине кумулятивной струи.

Этот результат нетрудно получить простыми вычислениями. Так как при больших давлениях металл ведет себя как жидкость, то определим глубину проникновения сгрун длиной Z и плотности ро в жидкость плотности р. В жидкости образуется каверна, по стенкам которой начинает растекаться струя (рис. 86). Обозначим щ скорость головки струи, которая приняла форму гриба со шляпкой, а и — скорость струн. В системе от- 68

счета, движущейся со скоростью щ, скорость струн равна и— v1( а скорость жидкости равна — щ. В вершине головки струй сталкиваются две струи, идущие справа и слева. Их давлений должны совпадать. А так как давление, как мы показали, пропорционально pv2, то

Ро^—У1)2 = Р»1-

Отсюда

v»i = -7==.

+ Vp/po

Если струя падает в жидкость той же плотности, то р = ро и v = о/2 — скорость проникновения струи равна половине Скорости струн.

Струя будет проникать в жидкость, пока вся она не пройдет точку О, т. е. время т = //(о —щ). За это время она пробьет слой жидкости толщиной

1 v

1"2 (о — щ) '

При р = р0 L = I, то-есть струя пробьет слой жидкости толщиной в длину струи.

В случае кумулятивного снаряда длина струи равна примерно образующей конической вставки. После пробития слоя, толщина которого меньше длины струн, скорость струи равна первоначальной.

Интересное применение кумулятивной струи для сварки металлов предложил академик М. А. Лаврентьев. Если два листа металла бросить плашмя навстречу друг другу с большой скоростью, то возникает кумулятивная струя, бьющая от точки контакта металлов. Эта струя уносит с собой окисли и загрязнения, благодаря чему соединившиеся листы свариваются. Так можно обеспечить высококачественную сварку таких металлов, которые вообще не свариваются друг с другом.

Еще один, теперь уже последний, пример кумулятивной струи. При бросании тела в жидкость, например, камня в воду, в жидкости образуется воронка. Затем жидкость со всех сторон устремляется в воронку и образует кумулятивную струю, поднимающуюся в виде всплеска на довольно большую высоту, иногда выше того уровня, с которого было брошено тело.

Вот к каким интересным выводам приводит почти обычная «школьная» задача.

Для простоты будем считать, что кран представляет собой круглую заслонку с площадью S, равной площади сечения трубы. При закрывании такого крана частицы воды, попавшие па

заслонку, останавливаются, передавая свой импульс заслонке. В результате этого у заслонки образуется область с повышенной плотностью, в которой вода покоится. Границы этой области перемещается по трубе со скоростью звука с (с этой скоростью распространяется любое упругое возмущение в жидкости). Значит, за время Ы остановятся те частицы, которые находятся в объеме

V = Sc At

Масса этого объема воды равна т = pSc А/ (р — плотность воды), изменение скорости Ди равно v, а изменение импульса ДА равно pScu М.

Следовательно, на воду (согласно второму закону Ньютона) действует сила

F = —= pSC0.

Такая же по абсолютной величине снла действует со стороны воды на заслонку, поэтому давление на заслонку равно

Г

p = -g= рсо.

Подставляя численные значения р = 103 кг/м3, с = 1500 м'с и v = 10 м/с, получим

р = 1,5- J07 Н/м2.

Это в 150 раз больше давления установившегося потока на преграду. Понятно, почему капля долбит камень!

Явление, которое мы разбирали, называется гидравлическим ударом. Встречается оно довольно часто. Оно возникает, например, когда морская волна ударяет о мол или прибрежную скалу. Из-за него опасно упасть в воду плашмя.

Будем считать, что труба достаточно длинна, так что гра

ница областей с различнойница областей с различнойплотностью находится далеко от конца цилиндра. Тогда ясно, что единственной горизонтальной силой, действующей на вещество в цилиндре, является снла F. Поэтому изменение импульса вещества в цилиндре равно импульсу этой силы.

ница областей с различной

ница областей с различной

Каждая из приведенных в движение частиц вещества движется со

скоростью движения границы между областями с различной плотностью. Обозначим скорость движения поршня у, а плотность сжатою вещества р. За время А/ поршень переместится на расстояние Z = о А/ (рис. 87) и в движение придут те частицы, которые находятся в объеме и М яг2, причем плотность

этих частиц равна ре (остальные частицы, плотность которых равна Ар = р — ро, уже движутся со скоростью с). Так как скорость каждой из частиц равна с, то импульс, который приобретают частицы вещества за время М, равен и Д/ рослг2. Этот импульс, как мы уже говорили, равен импульсу силы F. Следовательно,

FM = mp0cr2 At (1)

Ясно, что скорости с и с не независимы. Из условия сохранения массы следует, что масса вещества, которое находится в объеме лг2н А/, прн смещении поршня на расстояние о А/ должна распределиться по объему слг2 АС причем здесь она будет иметь плотность Др. Поэтому

ОтсюдаОтсюдалг2пр Д/ = лг2с Др Д/.лг2пр Д/ = лг2с Др Д/.

Отсюда

Отсюда

лг2пр Д/ = лг2с Др Д/.

лг2пр Д/ = лг2с Др Д/.

(2)(2)с= о -£—

(2)

(2)

Ар

Подставляя (2) в формулу (1), получим

F = лг2п2F = лг2п2РРоР —Ро’РРоР —Ро’

F = лг2п2

F = лг2п2

РРо

Р —Ро’

РРо

Р —Ро’

где р = Flnr2 — давление на поршень.

Мы рассмотрели, как распространяется импульс сжатия в упругой среде, например, в газе. Если скорость о поршня мала, то мало и Др, ас — это скорость звука в газе. В этом случае, впрочем, не происходит скачка плотности — резкого изменения р. Фронт импульса размывается и р меняется плавно. Если скорость поршня велика — больше скорости звука, то картина резко меняется. Прежде всего, в равенство (1) уже входпт не скорость с звука в среде с плотностью ро, а скорость ci в среде с плотностью р = Ро + Др. При больших Др они не равны. И, как оказывается, ct > с. В этом случае и с уже не равно скорости звука, а совпадает *со скоростью поршня. На фронте импульса развиваются очень большие давления, он резкий — со скачком плотности и давления. Такой импульс называется ударной волной. При движении ограниченного (самолета, снаряда) тела в среде со скоростью больше скорости звука впереди тела бежит ударная волна. Эта ударная волна распространяется затем в стороны со скоростью, равной скорости звука. В результате возникает картина распространения волн, которую мы увидим при решении задачи 154. По этой причине звук летящего со сверхзвуковой скоростью самолета слышен позже того, как самолет пролетит над вами и этот звук слышен как резкий хлопок (скачок давления).

расстояние в этом сечении дорасстояние в этом сечении до'IП'IПРис. 88.Рис. 88.При распространении цунами (или прилива) вода приводится в движение и приобретает импульс у переднего фронта волны и затем теряет этот импульс, когда ее обгоняет задний фронт. Обозначим у скорость волны и рассмотрим движение воды в системе координат, движущейся со скоростью у. Невозмущенная вода перед и за цунами движется со скоростью —у. Обозначим и скорость воды в некотором сечеини / волны и h— дна океана (рис. 88). За время Д/ через сечения / и // проходят одинаковые объемы воды (вода несжимаема). Следовательно, hot) М = hu М и

расстояние в этом сечении до

расстояние в этом сечении до

'IП

'IП

Рис. 88.

Рис. 88.

(1)

ходящей через слой I—IIходящей через слой I—IIТак как h > hB, то и < и и, следовательно, импульс воды, проза время Д/, уменьшается на

ходящей через слой I—II

ходящей через слой I—II

Дт(и— и) = ZAov Д<(у— и)р, где р — плотность воды и / — длина некоторого выделенного фронта волны. Это изменение импульса равно импульсу внешних сил Ft и f2, действующих на границах слоя I—II, то есть в сечениях I и II. Среднее давление в сечение / равно у pgh, а площадь сечения lh. Следовательно, Pi = -^ pgh4. В сечении II соответственно F2 =-^-pg/i^I, Равнодействующая этих сил равна их разности, а ее импульс (^ — А2) ^ = Р8^(^2 ~ ^о)^1 Так как h ж ho (высота волны мала по сравнению с глубиной океана), то можно считать, что А + Ао ж 2А0, так что импульс внешних сил равен pg/A0(A — — Ао)Д/ и, следовательно,

lh0 (о — «) рр М = pgl (h — Ао) Ао Д/ или

у (v — н) = g (А — Ao).(2)

Подставляя сюда и = сАо/А, получим

у2 "~^—^ = (А — Ао) g.

Отсюда, если учесть, что А « Ао, найдем о = Vgh « •Vgho.(3)

При распространении коротких гравитационных воли, длина волны X которых мала по сравнению с глубиной океана, роль глубины океана играет длина волны, так как на глубине такого

порядка затухает возмущение поверхности океана. Поэтому скорость распространения таких волн оказывается пропорциональной Vg^- Скорость же цунами, как мы видели, не зависит от длины волны. Такова же скорость приливной волны и вообще любых воли, длина которых много больше глубины океана. Подставляя в формулу (3) Ло = 5- 10s м, найдем 220 м/с. Найдем еще время, за которое цунами или приливная волна может обежать земной шар:

2л/?о

t =—- = 1,8- 10s с «50 ч.

у

Если убрать Луну и образовавшимся ранее приливным волнам предоставить возможность распространяться вокруг земного шара, то каждый из максимумов прилива проходил бы" данную точку через 50 ч. Так как максимумов приливов два, то время между приливами было бы 25 ч — на час больше суток. Из-за влияния Луны распространение приливной волны оказывается не свободным, а вынужденным. Его можно сопоставить с вынужденными колебаниями маятника (см. задачу 148).

При движении стула до момента соприкосновения передних ножек с полом его центр тяжести опишет дугу окружности с центром, лежащим на прямой, проходящей через задние ножки стула. В момент удара о пол скорость центра тяжести будет иметь проекции как на вертикальную, так и горизонтальную оси. Удар о пол является неупругим и вертикальная проекция скорости центра тяжести стула «гасится». Для того чтобы обратилась в нуль горизонтальная проекция скорости центра тяжести, нужно, чтобы сила трения действовала некоторое время (FTtt = = тигор), а за это время стул сдвинется на некоторое расстояние вперед.

При большом начальном отклонении стула в момент удара передних ножек о пол задние могут оторваться от пола.

Одно время в литературе много писалось об инерциоидах — устройствах, которые, как утверждали авторы, движутся благодаря внутренним силам. Так как это противоречит законам механики, то эти законы объявлялись неверными. В действительности, конечно, поведение всех этих устройств прекрасно описывалось законами механики, а авторы плохо учитывали внешние силы и их характер, в частности, силу трения.

Таким инерциоидом может быть стул с сидящим на ием человеком. Если, сидя на стуле (не касаясь ногами пола), резко отклониться назад, то стул отклонится от вертикали (делайте это не слишком энергично, а то перевернетесь!). Возвращаясь в нормальное положение, вы вместе со стулом отклонитесь вперед.

Нетрудно сообразить, что когда вы откидываетесь назад, сила, действующая на ножки стула, увеличивается. Поэтому велика и сила трения, не дающая им возможность проехать назад. При дальнейшем же движении стула, когда центр тяжести человека со стулом движется по дуге, сила давления на пол уменьшается и сила треиия оказывается недостаточной, чтобы удержать стул на месте.

Время столкновения пули с дверью мало. За это время деформация, вызываемая давлением пули, ие успевает распространиться на большие расстояния. Поэтому импульс, теряемый пулей, передается сравнительно небольшому участку двери, и пуля пробивает в ней небольшое отверстие.

За время входа пули в стакан уровень воды в стакане не успевает измениться. Поэтому в месте входа пули вода сжимается и возникает область высокого давления, которая, расширяясь со скоростью звука, достигает через некоторое время стенок стакана. Стакан разлетается вдребезги.

За время Д/ насос подает на высоту Н массу воды pV \t, совершая работу Л, равную изменению механической энергии воды. Так как насос «гонит» воду с некоторой скоростью v, то

У1=-(РЦ^ < + (pVA/)gtf.

Следовательно, мощность насоса

W = -^ + pVgH.

Найдем скорость ц. За время А/ через поперечное сечение трубы площадью S = л<Р/4 проходит объем воды V Af = у Af nd2/4. Отсюда,

Таким образом, мощность насоса

32рИ3 , „ „

Из последнего выражения видно, что чем больше диаметр d трубы, тем меньше необходимая мощность насоса. Но можно уменьшить величину N, не меняя диаметра трубы. Если трубу обрезать на высоте h <$. Н, то вода будет вылетать из трубы с некоторой скоростью и. Для этого необходима мощность насоса

N' = —-— (так как h <С Н, то потенциальной энергией на вы- соте ,h для простоты мы пренебрегаем). Для того чтобы вода 64

поднялась на высоту Н, необходимо, чтобы ее скорость была не меньше, чем

«mln = V"g (Я — й) « V2g^-

Таким образом, получим, что в этом случае можно использовать насос мощностью

N' = pVgH.

Вертолет (или модель) удерживается в воздухе благода-" ря реактивной силе, возникающей, когда винт отбрасывает воздушную струю. При этом на вертолет со стороны отбрасываемой струи согласно третьему закону Ньютона действует сила, равная по абсолютной величине силе, действующей на струю. Обозначим р — плотность воздуха, S — площадь струи и и—ее скорость. Тогда за время Ы винтом «отбрасывается» вниз объем воздуха So Д/ с массой т = pSu Д/, а импульс воздуха изменяется на величину

Д^ = mu = ASu2 ДА

Согласно второму закону Ньютона на воздух действует сила

Эта сила равна весу вертолета

pS«2. = Mg,(1)

мощность же двигателя равна энергии, сообщаемой воздуху за 1 с:

N=-^"=^PSya-^

Подставляя сюда y = AjMg[pS, получим

N = ^ Mg л/MgipS.(3)

Так как масса вертолета пропорциональна объему, то есть кубу линейных размеров (Д3), a S ~ ZA то из (3) имеем

N ~ L1*2.

Это означает, что отношение мощностей двигателей вертолета и модели должно быть равно отношению их линейных размеров в степени 7/2:

мод V ^МОД / Отсюда

N = Ммод - 107'2 « 96 кВт.

65653 И. Ш. СлободецкиП, Л. Г. Асламазов

65

65

Работа А двигателя равна изменению кинетической энергии воды. За время А/ двигатель засасывает объем воды V = t'S А/, имеющий относительно катера скорость и и кинетическую энергию

^к = у (t’S A/) ру2 = IpS^ А/

(р — плотность воды).

Эта вода выбрасывается со скоростью и, и

£'=1(рЗоД/) и2.

Так как вода несжимаема, то uS Л/ = us Ы, так что u — t) — и s

к 2 р

Отсюда

А-Е'-Е - 1 р S<S2-s2)

Полезная же работа равна

-^пол = F реакт ^ kt,

где Греакт — реактивная сила, действующая на корабль. Она равна по абсолютной величине изменению импульса воды в единицу времени, так что

Лол = Р " "S" У3 А/, а

_ ЛОЛ S2

П А “ S (S + s) •

Пренебрежем трением качения и сопротивлением воздуха. Вначале максимальное ускорение, с которым может двигаться автомобиль, определяется максимальным значением силы трения колес о дорогу;

FtppAlg

° =— —77— = Pg-

ММ

При этом автомобиль движется с мощностью, меньшей максимальной (чтобы не было проскальзывания), а его скорость пропорциональна времени

у = at = pg/.

В момент времени t = h скорость станет равной щ = р^Д, а мощность двигателя достигнет величины N, причем

N = FTpVi = gAfg • pg/i = р^ЛМь

Отсюда

h = V 9,, «2,8 c, a Ui = ugh « 16,8 м/с. y^g^M

Начиная с этого момента сила трения становится меньше максимальной, и изменение кинетической энергии автомобиля равно

М (о2 - ^)2/VМ (о2 - ^)2/V» 6,5 с.» 6,5 с.N <t— /1). Отсюда

М (о2 - ^)

2/V

М (о2 - ^)

2/V

» 6,5 с.

» 6,5 с.

41. Так как частицы воды на поверхности находятся новесии, то потенциальная энергия частиц одинакова как41. Так как частицы воды на поверхности находятся новесии, то потенциальная энергия частиц одинакова какв рав-в «уг-в рав-в «уг-/ = Л +

41. Так как частицы воды на поверхности находятся новесии, то потенциальная энергия частиц одинакова как

41. Так как частицы воды на поверхности находятся новесии, то потенциальная энергия частиц одинакова как

в рав-в «уг-

в рав-в «уг-

дублении», так и Мт равна —у——, । Vpm+ Т", , . , гдедублении», так и Мт равна —у——, । Vpm+ Т", , . , гдедалеко от полости. Далеко от полости она „,Мт ,

дублении», так и Мт равна —у——, । Vpm

+ Т", , . , где

дублении», так и Мт равна —у——, । Vpm

+ Т", , . , где

в низшей точке «углубления» — у —+

т — масса частицы воды, L — глубина океана,

4

М ММ М44.3.3У=-д-лг8—объем полости, М — масса Земли, R — радиус Земли. Таким образом.

М М

М М

4

4

.3

.3

Отсюда, учитывая, что плотность Земли р = М^ лг3, получим

M(L + r) = r3.

Полагая r^ L, найдем

Ж « 15,7 км.

Более точно это уравнение можно решать графически, начертив на миллиметровке графики функций yi = г3 и у2 = (L + r)hR, где L » 10 км, и найдя точку их пересечения.

Таким же способом можно оценить высоту прилива. Для этого достаточно приравнять потенциальную энергию массы т воды в поле тяжести Земли и Луны в точках 1 и 2 поверхности (рис. 89).

Для простоты будем считать, что скорость спутника изменяется за очень короткий промежуток времени (малый посрав нению с периодом обращения спутника по круговой орбите) Минимальное расстояние от поверхности Земли до эллиптической

орбиты равно радиусу первоначальной круговой орбиты, то есть обе орбиты спутника имеют общую точку (точка 1 на рис. 90), в которой и произошло изменение скорости спутника. Найдем скорости о0 и Di спутника в этой точке на круговой и эллиптической орбитах, а затем и изменение скорости До = щ — оо.Вначале определим скорость ио спутника при движении по круговой орбите. Так как центростремительное ускорение а = Оц/№ + A) (R — радиус Земли) спутнику сообщает сила тя-орбиты равно радиусу первоначальной круговой орбиты, то есть обе орбиты спутника имеют общую точку (точка 1 на рис. 90), в которой и произошло изменение скорости спутника. Найдем скорости о0 и Di спутника в этой точке на круговой и эллиптической орбитах, а затем и изменение скорости До = щ — оо.Вначале определим скорость ио спутника при движении по круговой орбите. Так как центростремительное ускорение а = Оц/№ + A) (R — радиус Земли) спутнику сообщает сила тя-тМготенця F = \ ^ + Aj2-тМготенця F = \ ^ + Aj2-(М — масса Земли, т — масса спутника), то согласно второму закону Ньюто-(М — масса Земли, т — масса спутника), то согласно второму закону Ньюто-РгРгРис. 90.Рис. 90.тУотУотМтМНа R + h Y (R + h)2 " веиства непосредственноНа R + h Y (R + h)2 " веиства непосредственноИз этого ра- найдем, чтоИз этого ра- найдем, чтоПоПоМY R + hМY R + hДля того чтобы определять скорость щ спутника, когда он движется по эллиптической орбите на высоте А над Землей, воспользуемся законом сохранения энергии и законом Кеплера.В тот момент, когда спутник находится на расстоянии h от Зем-Для того чтобы определять скорость щ спутника, когда он движется по эллиптической орбите на высоте А над Землей, воспользуемся законом сохранения энергии и законом Кеплера.В тот момент, когда спутник находится на расстоянии h от Зем-

орбиты равно радиусу первоначальной круговой орбиты, то есть обе орбиты спутника имеют общую точку (точка 1 на рис. 90), в которой и произошло изменение скорости спутника. Найдем скорости о0 и Di спутника в этой точке на круговой и эллиптической орбитах, а затем и изменение скорости До = щ — оо.

Вначале определим скорость ио спутника при движении по круговой орбите. Так как центростремительное ускорение а = Оц/№ + A) (R — радиус Земли) спутнику сообщает сила тя-

орбиты равно радиусу первоначальной круговой орбиты, то есть обе орбиты спутника имеют общую точку (точка 1 на рис. 90), в которой и произошло изменение скорости спутника. Найдем скорости о0 и Di спутника в этой точке на круговой и эллиптической орбитах, а затем и изменение скорости До = щ — оо.

Вначале определим скорость ио спутника при движении по круговой орбите. Так как центростремительное ускорение а = Оц/№ + A) (R — радиус Земли) спутнику сообщает сила тя-

тМ

готенця F = \ ^ + Aj2-

тМ

готенця F = \ ^ + Aj2-

(М — масса Земли, т — масса спутника), то согласно второму закону Ньюто-

(М — масса Земли, т — масса спутника), то согласно второму закону Ньюто-

Рг

Рг

Рис. 90.

Рис. 90.

тУо

тУо

тМ

тМ

На R + h Y (R + h)2 " веиства непосредственно

На R + h Y (R + h)2 " веиства непосредственно

Из этого ра- найдем, что

Из этого ра- найдем, что

По

По

М

Y R + h

М

Y R + h

Для того чтобы определять скорость щ спутника, когда он движется по эллиптической орбите на высоте А над Землей, воспользуемся законом сохранения энергии и законом Кеплера.

В тот момент, когда спутник находится на расстоянии h от Зем-

Для того чтобы определять скорость щ спутника, когда он движется по эллиптической орбите на высоте А над Землей, воспользуемся законом сохранения энергии и законом Кеплера.

В тот момент, когда спутник находится на расстоянии h от Зем-

ли, он обладает потенциальной энергией Пт =— у ь • mv2

Кроме того, спутник имеет кинетическую энергию Ki =—^—.На высоте Н от Земли спутник обладает потенциальной энергиейтМmt)^

Пг = — у ■„.. и кинетической энергией К2 = —-—, где ь2—

К + пZ

скорость спутника на высоте Н. Согласно закону сохранения энергии

ти^ тМ ти^ тМ

~2 Y R + h = —2Y R+H*

По второму закону Кеплера площади, заметаемые радиус- вектором спутника за равные промежутки времени, равны. На рис. 90 это площади заштрихованных фигур. Если промежуток времени мал, скорости движения спутника вблизи точек / и 2 можно считать постоянными. Тогда вместо секторов можно рас- 61

сматривать соответствующие равнобедренные треугольники. Запишем равенство их площадей:

4 МЯ + Л) Д/ = 1 о2 (/? + //) М.

Из последних двух равенств найдем

V

2yAl R + И 2R + H + h* R + h‘

Тогда изменение скорости спутника

,До = t>i — Do = 2365 м/с.

Теперь определим период Т обращения спутника по эллиптической орбите. Согласно закону Кеплера отношение квадратов периодов обращения спутника равно отношению кубов больших полуосей. Поэтому

Т у (2/? + Н + ЬУТе) =8(R + hy '

где То — период обращения спутника по круговой орбите радиуса R + h. Он равен То = 2л(7? + /г)/ус.

Следовательно,

Т = л (2/? 4- Н + Л) а /^±А±А « 12Д ч.

Энергия спутника равна (см. задачу 42)

„1„ тМ

E^-mt,1-^-^

где R — радиус орбиты, у — скорость спутника. В случае круго

вой орбитывой орбитытак чтотак что„ I тМ тМЕ=2^--^„ I тМ тМЕ=2^--^1 Мт2 Y R1 Мт2 Y R(1)(1)

вой орбиты

вой орбиты

так что

так что

„ I тМ тМ

Е=2^--^

„ I тМ тМ

Е=2^--^

1 Мт

2 Y R

1 Мт

2 Y R

(1)

(1)

Если включить двигатель, разгоняя спутник, то Е увеличится. Это, как видно из (1), приведет к увеличению среднего радиуса орбиты, а так как квадраты периодов обращения спутников относятся как кубы больших полуосей их орбит, то период обращения спутника тоже увеличится. Старая и новая орбиты спутника будут проходить через одну и ту же точку (в которой включался двигатель). О диако теперь спутник будет приходить в эту точку через больший промежуток времени, чем первый, и, следовательно, расстояние между спутниками начнет увеличиваться. Так состыковаться ие удастся.

Как же состыковать спутник? Для этого можно, например, сообщить импульс «назад». Тогда орбитой станет эллипс с меньшей, чем радиус окружности большой полуосью, а период обращения спутника уменьшится. Благодаря этому спутники в области пересечения их орбит будут сближаться. После сближения можно увеличить скорость спутника, чтобы сделать ее такой же, как у первого, и осуществить «мягкую» стыковку.

Обозначим скорость налетающего шара до столкновения »о, после столкновения ® и скорость покоящегося шара после столкновения и.

Запишем законы сохранения энергии и импульса:

-^т«ц=^-Ми2+ ^-mt?,(1)

те0 = Ми + mt).(2)

Решая эту систему совместно, найдем 2 "--у-Г+Т’

где к=-отношение масс шаров. т

Теперь можно найти энергию, переданную первоначально покоящемуся шару

Ми2 mv2 1

E=—=4fe—IkVir

_mu2 „

Так как —— = Е0 — это начальная энергия налетающего шара, то

ИсследуемИсследуемк -► оо энергия Е -> 0. Так как функцияк -► оо энергия Е -> 0. Так как функцияполученное выражение. Очевидно, что при к = 0 иполученное выражение. Очевидно, что при к = 0 ик(А + 1)2к(А + 1)2непрерывна, то при некоторомнепрерывна, то при некоторомзначении к она будет максимальна. Ясно, что максимум функции (£ -|- 1)21соответствует минимуму выражения = к + ^- + 2, илизначении к она будет максимальна. Ясно, что максимум функции (£ -|- 1)21соответствует минимуму выражения = к + ^- + 2, илиА +j.А +j.Но так как к + -^ ^ 2Но так как к + -^ ^ 2д/к - ^- = 2, то его минимальноед/к - ^- = 2, то его минимальноезначение равно 2:значение равно 2:6 + 1-2.6 + 1-2.

Исследуем

Исследуем

к -► оо энергия Е -> 0. Так как функция

к -► оо энергия Е -> 0. Так как функция

полученное выражение. Очевидно, что при к = 0 и

полученное выражение. Очевидно, что при к = 0 и

к(А + 1)2

к(А + 1)2

непрерывна, то при некотором

непрерывна, то при некотором

значении к она будет максимальна. Ясно, что максимум функции (£ -|- 1)21

соответствует минимуму выражения = к + ^- + 2, или

значении к она будет максимальна. Ясно, что максимум функции (£ -|- 1)21

соответствует минимуму выражения = к + ^- + 2, или

А +j.

А +j.

Но так как к + -^ ^ 2

Но так как к + -^ ^ 2

д/к - ^- = 2, то его минимальное

д/к - ^- = 2, то его минимальное

значение равно 2:

значение равно 2:

6 + 1-2.

6 + 1-2.

Отсюда найдем, что при этом к = 1. Следовательно, налетающий шар теряет максимальную часть своей кинетической энергии при

столкновении с шаром той же массы. График зависимости £($) показан на рис. 91.

Теперь понятно, что для того чтобы замедлить нейтроны — отобрать у них максимально возможную часть энергии, необходимо, чтобы нейтроны сталкивались с атомами как можно более близкой массы — лучше всего с ядрами атомов водорода. Поэтому для защиты от нейтронов и используются водородсодержащие вещества.

Формула (3) позволяет попять одну из основных трудностей, с которой сталкивается осуществление управляемого термоядерного синтеза. Для того чтобы такой синтез стал возможен, дей

териевая или дейтерий-тритиевая плазма должна быть нагрета до температуры в несколько сотеи миллионов градусов (108—10s К). Соответствующую энергию должны иметь ионы дейтерия и трития. Самый простой способ увеличения энергии заряженных частиц— воздействие на них электрического поля. Но при этом практически вся энергия воспринимается электронами, имеющими большую длину свободного пробега. Конечно, в дальнейшем

энергии электронов и ионов должны постепенно выравниваться. Однако из-за большого отношения

Рис. 92.Рис. 92.Скорости Vj = v sin а и «1Скорости Vj = v sin а и «1масс при каждом столкновении электрон передает иону очень маленькую энергию и поэтому время установления теплового равновесия очень велико — больше времени удержания плазмы.

Рис. 92.

Рис. 92.

Скорости Vj = v sin а и «1

Скорости Vj = v sin а и «1

На кубик при ударе о стенку действуют две силы: сила нормальной реакции стенки и сила трения FTp (рис. 92). Разложим скорости кубика до и после столкновения со стенкой на составляющие, параллельные этим силам.

перпендикулярны к стенке, а скорости v2 = у cos а и н2 параллельны ей. В направлении, перпендикулярном к стенке, между кубиком и стеикой, как обычно, происходит абсолютно упругий удар, в результате которого составляющая скорости кубика, пер

пендикулярная к стейке, меняется на противоположную: ui = —v sin а. Это означает, что составляющая импульса кубика.

перпендикулярная к стенке, меняется на 2mvsina (m —масса кубика).

Если время соударения кубика со стенкой обозначить т>в средняя абсолютная величина силы реакции стенки равна Nts>, то согласно второму закону Ньютона изменение составляющей импульса кубика, перпендикулярной к стенке, равно импульсу силы Л/Ср, то есть 2mvsina = Мсрт.

Если бы на кубик не действовала сила трения, то составляющая импульса кубика, параллельная стенке, не изменилась бы и кубик отскочил бы от стенки под тем же углом а, под которым двигался к ней до удара. Однако благодаря действию силы трения в нашем случае меняется и составгующая н2 скорости кубика. Предположим вначале, что средняя сила трения Ртр. ср = = Л'ср-ц, действующая на кубик, такова, что за время взаимодействия кубика со стенкой составляющая скорости кубика, параллельная стейке, не успевает уменьшиться до нуля. В этом случае тиг — mv, = —FTP. срт, или ты2 = me cos a — 7VcppT.

Но WCpT = 2ту sin а, поэтому

mu2 = me cos a — 2p.my sin a или

иг = у (cos a — 2p sin a).

Следовательно, кубик отскочит под углом р таким, что

tg6=M =tea

1 И2 I 1 —2gtga

то кубик будет проскальзыватьто кубик будет проскальзыватьОднако, если tg a > J-, 2р

то кубик будет проскальзывать

то кубик будет проскальзывать

относительно стеики не все время удара, а только до тех пор,

пока составляющая его скорости, параллельная стейке, не обратится в нуль. Вместе с ней обратится в нуль и сила трения, действующая на кубик, и кубик отскочит под углом 90° к стейке.

Перейдем в систему отсчета, связанную с ногой футболиста. В этой системе отсчета покоящийся относительно земли

мяч налетает на ногу с некоторой скоростью.

Если при ударе не происходит потери энергии, то мяч Отлетает с той же скоростью и, следовательно, его скорость относительно земли равна удвоенной скорости иоги. Потери энергии приводят к тому, что скорость мяча будет меньше. В случае абсолютно неупругого удара скорость мяча равна скорости ноги, и тогда дальность полета мяча примерно в четыре раза больше дальности его полета при абсолютно упругом ударе.

Рассмотрим, чем определяются потери энергии. При ударе деформации ботинка и мяча являются упругими (если только мяч накачан не слишком слабо), так как после удара и ботинок

тиРис. 93.тиРис. 93.и мяч восстанавливают свою форму. Однако восстанавливать свою форму мяч и ботинок могут не одновременно, и тогда мяч отскочит, не получив всей запасенной при ударе потенциальной энергии деформации. При ударе и деформации соприкасающихся частей ботивка и мяча в них возникают бегущие волны сжатия. Если эти волны возвращаются назад одновременно, то их энер- /гия почти полностью переходит в кинетическую энергию мяча. Если мяч недостаточно накачан или «перекачан», одна из волн приходит раньше и мяч отскакивает, не получив всей энергии упругой деформации.

ти

Рис. 93.

ти

Рис. 93.

Атом, излучив фотон с энер-

гиеи от и импульсом р^ = —, приобретает импульс тоь Из закона со

хранения импульса следует, что вектор ти начального импульса атома и векторы mvt и рф образуют треугольник (рис. 93). Поэтому

(mo1)2 = (mo)2 +— 2mo-^-cosa.(1)

Кроме того, согласно закону сохранения энергии

(ДЕ — изменение внутренней энергии атома).

Для излучения первоначально покоящимся атомом мы можем записать

_Av0ти2

О = mu— и ДЕ = —у— + "vo>

где ы — скорость атома после излучения.

Из этих уравнений найдем

^-'Ч'1»)-(3>

Теперь из равенств (1)—(3) нетрудно получить

v — v0 Г, , h / , ц 1 + о—5" (v + Vo) = — cos a.

v L 2mc2 'J c

Для малых (оптических) частот можно пренебречь вторым членом в квадратных скобках В результате мы получим

V — VoVV — VoVas — cos a.сas — cos a.с

V — Vo

V

V — Vo

V

as — cos a.с

as — cos a.с

Это и есть формула Доплера.

Итак, движущийся атом излучает свет, частота которого отличается от частоты излучения покоящегося атома. Если атом

движется к наблюдателю, то частота излучения v > v0, а длина волны А меньше Ао. При движении от наблюдателя cos а = — I, Av < 0, то есть v < v0, а А > Ао. Уменьшение частоты излучения, которое приходит к нам от далеких звезд (красное смещение), позволяет измерять их лучевые скорости. Более того, эффект Доплера позволяет определить, вращается ли звезда, расширяется ли ее газовая оболочка и так далее. Эффект Доплера позволяет измерять на расстоянии и температуру различных объектов. Так как атомы вещества находятся в хаотическом тепловом движении, то частота излучения имеет непрерывный набор значений от v — Av до v + Av, где Av определяется скоростью теплового движения и ~ ^^ U— температура тела). Говорят, что спектральная линия уширяется. По уширению линии нетрудно найти о, а затем и температуру Т тела. Это, конечно, только некоторые из применений эффекта Доплера в современной физике и технике.

При излучении у-кванта его энергия меньше разности внутренних энергий ядра на величину энергии движения самого ядра из-за отдачи. Для того чтобы у-квант мог поглотиться ядром, его энергия должна быть больше, чем разность внутренних энергий ядра на величину кинетической энергии, которую атом приобретает после поглощения.

Если атом является узлом решетки, то отдача может восприниматься всем кристаллом в целом, а так как его масса много больше массы одного атома, энергия отдачи мала. В этом случае у-квант, излученный ядром атома, может поглотиться ядром атома такого же кристалла (эффект Мёссбауэра).

На рис. 94 показана конструкция подвески передних ко- лес- Цифры показывают относи- рис ддтельную длину соответствующей

части рычага.

Сила может зависеть только от диаметра d столба, коэффициента трения р между столбом и канатом и от силы F. Из соображений размерности следует, что f ~ F. Действительно, никакая другая комбинация величин F, р и d не будет иметь размерность силы (р — безразмерная). Таким образом,

f = kF,

где к — константа, которая определяется величиной р.

Из этой формулы следует, что при любом изменении диаметра столба сила f останется прежней.

Найдем теперь, как изменится сила f при намотке иа столб п витков каната.

Для второго витка роль силы F играет сила f. Следовательно, fa = kf = k2F;

к свободному концук свободному концуРис. 95.Рис. 95.где fa — сила, которую нужно приложить каната при двух витках. Для третьего витка

к свободному концу

к свободному концу

Рис. 95.

Рис. 95.

f3 = kf2 = k3F.

Для n-го витка получим:

fn — knF.

Из первого равенства следует, что к = = f/F. Поэтому fn = (^) F.

При отклонении игрушки, например, вправо, центр тяжести смещается (рис. 95). Если при этом он

окажется левее вертикали АВ, то момент силы тяжести относительно точки опоры А будет возвращать игрушку в положение равновесия. Если же ои окажется правее, то игрушка упадет.

Обозначим а угол поворота игрушки, а Р— угол поворота радиуса OiA. Так как дуги СА и КА равны (нет проскальзывания), то аг = РР, так что Р = а-^-. Из треугольника ОАВ имеем:

ОВАО г г

sin р sin (п — а — Р) sin (а + Р) sin [а (1 + r!Rf\ ‘

При малом отклонении sinp « р и sin[a(l + r/^)]«a(l + r/P). Поэтому

О Вгг2

777 = —TT~i7777 > И™ = -т—.

аг/R a(l+r/R)R + г

Положение равновесия устойчиво, если ОС = -^- г > ОВ, т. е.

или

R>r.

При малых относительных деформациях пружина является упругой, то есть целиком восстанавливает свою форму и

размеры после освобождения ее концов. Если же относительные деформации велики, пружина становится пластичной, возникает остаточная деформация. Длина пружины становится больше, чем к, если пружину растягивали, и меньше, чем к, если ее сжимали. Воспользуемся этим свойством пружины для решении задачи.

Возьмем закрепленную на концах пружину за виток, который находится ближе к одному концу пружины, чем к другому, и сдвинем этот виток к дальнему концу пружины (рис. 96). Одна часть пружины окажется растянутой, а другая — сжатой.

При этом их абсолютные деформации Д/ будут одинаковыми, а относительные деформации — разными. Относительная деформация M/ki короткой части пружины будет больше, чем относительная деформация Д///02 длинной части пружины:

Д/ М_ lox кг

Это означает, что можно подобрать такие Д/, ki и кг, что деформация длинной части пружины будет еще упругой, а короткой части — уже пластичной. После такой «обработки» длина длинной части (которая была сжата) останется прежней, а длина короткой части (которая была растянута) увеличится. Увеличится и длина всей пружины в иедеформированном состоянии. Следовательно, закрепленная на концах пружина будет стремиться удлиниться.

Аналогично, если рассматриваемый виток пружины сдвинуть к ближнему концу пружины и приложить внешние усилия такие, чтобы деформация длинной (растянутой) части пружины была упругой, а деформация короткой (сжатой) части пластичной, то пружина после обработки будет стремиться сократиться.

Потянув за одно из звеньев цепочки (рис. 97), ей можно придать форму стержней. При этом будет произведена работа, которая, очевидно, идет на увеличение потенциальной энергии цепочки, то есть на подъем ее центра тяжести. Так как в новом положении центр тяжести цепочки совпадает с положением цен- 76

тра тяжести стержней, ясно, что пеитр тяжести свободно висящей цепочки расположен ниже центра тяжести стержней.

Наинизшее положение центр тяжести стакана с сахаром

занимает тогда, когда он находится на уровне сахара в стакане.

Действительно, если уровень сахара лежит ниже центра тяжести

системы (точки Р иа рис. 98, а), то центр тяжести понижается

при досыпании в стакан сахара (при этом увеличивается масса ниже центра тяжести). Если же уровень сахара лежит выше Центра тяжести системы (рис. 98,6), то центр тяжести опустится, если высыпать часть сахара выше него. Заполненный таким образом стакан наиболее устойчив.

Если давление в трубе равно р, то на единицу длины поперек трубы SjopuaР R

приходится сила Ft = p = -^—,

pl-2R2Z + 4Rpl-2R2Z + 4R/? —радиус трубы. Вдоль трубы на единицу длины приходится

pl-2R2Z + 4R

pl-2R2Z + 4R

сила Гасила Га«рР,«рР,то есть вдвое больше, чем Ft< По

сила Га

сила Га

«рР,

«рР,

этому труба всегда лопается вдоль, а ие поперек. По этой же

причине лопаются вдоль сардельки при варке.

Для того чтобы щетка удерживалась в равновесии, нужно в случае ее отклонения от положения равновесия, т. е. поворота на некоторый угол, успеть подвинуть палец так, чтобы щетка вновь оказалась в положении равновесия. Щетка будет отклоняться медленее, чем палка той же длины, так как центр тяжести щетки лежит выше центра тяжести палки. (Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрите, как зависит время падения легкого стержня с укрепленным на его конце тяжелым шаром от длины стержня.)

Поэтому щетку удерживать легче, чем палку.

Для того чтобы сохранять равновесие при езде иа велосипеде, нужно, теряя равновесие, т. е. наклоняясь в какую-нибудь сторону, всегда поворачивать руль в ту же сторону, в которую падаешь. При езде «без рук» это происходит автоматически благодаря тому, что ось переднего колеса, а вследствие этого и центр масс вилки и колеса велосипеда, не проходит через ось руля, а лежит несколько впереди нее.

Наоборот, чтобы повернуть, надо согнуться так, чтобы наклонить велосипед в сторону поворота.

Давление р иа стол в тот момент, когда вода начинает подтекать, равно pgR, а сила давления (сила, действующая на

стол) равна pS, или

F = pS = npgK3.

Эта же сила равна Mg, где М — общая масса колокола и воды: 2

F = Mg = mg + у nR3pg.

Следовательно,

2

mg + у nR3pg = npg/?3.

Отсюда

m = —npZc.

Независимо от того* какой сосуд нагревается, вода поте

чет направо. Пусть нагревается жидкость в правом сосуде. Тогда

сна расширится и займет больший объем. Если бы сосуд был

цилиндрическим (рис. 99), то давление жидкости на дно не изменилось бы; уменьшение плотности воды в точности скомпенсировалось бы увеличением высоты столба жидкости. Это следует из того, что сила давления на дно цилиндрического сосуда, с одной стороны, равна силе тяжести, действующей на находящуюся в сосуде воду, а с другой стороны, равна давлению жидко

сти на дно, умноженному на площадь дна, т. е. pS. Так как

ни сила тяжести, ни площадь дна при нагревании жидкости не меняются, то и давление на дно цилиндрического сосуда не ме

няется.

В коническом расширяющемся сосуде при таком же уменьшении плотности жидкости увеличение высоты столба меньше, чем в цилиндрическом сосуде. Это происходит по двум причинам: во-первых, расширяется меньшее количество жидкости, а значит, меньше изменение ее объема; во-вторых, при расширении вода должна заполнить объем, заштрихованный на рисунке. Поэтому давление на дно сосуда при нагревании жидкости уменьшается. Так как при равновесии жидкости в трубке, соединяющей сосуды, давление у ее конца в левом сосуде должно быть равно давлению у ее конца в правом сосуде, то жидкость будет перетекать из левого сосуда в правый.

Давление на дно в обоих сосудах одинаково (в противном случае жидкость не находилась бы в равновесии), поэтому, так как температуры, а следовательно, и плотности жидкостей

различны, уровень жидкости в сосуде с большей температурой и соответственно с меньшей плотностью жидкости выше, чем во втором сосуде. Нарисуем график зависимости давления в каждом

из сосудов от высоты (рис. 100), р0 — атмосферное давление. На той высоте, на которой находится

Рис. 100.Рис. 100.верхняя трубка, давления в сосудах будут соответственно равны pi и рг. И так как pi > Р2, то при открывании крана жидкость будет переливаться по верхней трубке из сосуда с большей температурой в сосуд с меньшей температурой. Но уровень воды в каждом из сосудов должен оставаться неизменным, так как только в этом случае давления на дно обоих сосудов будут одинаковы.

Рис. 100.

Рис. 100.

А значит, по нижней трубке, соединяющей сосуды, жидкость бу

дет перетекать из сосуда с меньшей температурой в сосуд с

большей температурой.

Система из трубок будет работать как сифон. Из верхней бочки вода будет перетекать в среднюю и нижнюю. Кроме того, из средней бочки вода будет перетекать в нижнюю. Так как скорость перетекания воды по сифону пропорциональна разности

уровней воды в сосудах, то в том случае, когда уровень воды в средней бочке ближе к уровню воды в нижней бочке, чем к уровню воды в верхнем, в среднюю бочку из верхней будет перетекать больше воды, чем из средней бочки в нижнюю. В этом случае будут наполняться как нижняя, так и средняя бочки. Если же уровень воды в средней бочке -ближе к уровню воды в верхней, чем в нижней, то будет наполняться лишь нижняя бочка за счет вытекания воды из верхней и средней бочек.

Водосброс (масса воды, протекающая в 1 секунду) определяется высотой h уровня воды над плотиной, зависит от плотности воды и ускорения свободного падения g.

В = f (Р, g. h\

Из соображений размерности нетрудно получить: p = Ap^W

(к— безразмерная постоянная). При возрастании водосброса

-втрое h№ вырастает втрое и, следовательно, h возрастает в 5 _

V9 раз, то есть примерно в 1,5 раза.

Чтобы объяснить, что происходит с песком на берегу реки, начнем с ... обычных шариков. Одинаковые шарики можно

уложить на плоскости так, чтобы каждый из них касался других шаров. Затем в лунки между шарами первого слоя можно положить шары второго слоя. Они будут касаться трех шаров нижнего слоя и шести соседей своего слоя и т. д.; полученное таким образом расположение шаров называется плотной упаковкой шаров. Если нарушить плотную упаковку, выведя шары одного из слоев из лунок между шарами нижнего слоя, промежутки между шарами увеличатся. Возрастет и объем всей системы. Это означает, что если иа систему из плотно упакованных шаров действуют силы, приводящие к нарушению плотной упаковки, объем системы увеличивается за счет увеличения промежутков между шарами.

Аналогично ведет себя и другая зернистая среда. Возьмите, например, пшено (или кофе), наполните им стакан, слегка встряхивая его, чтобы зерна располагались, образуя наиболее плотную из возможных упаковку. Затем надавите на пшено. Давление приведет к увеличению объема, занимаемого зернами, то есть к нарушению плотной упаковки. Если теперь слегка постучать по стакану с тем, чтобы зерна вновь «упаковались» наиболее плот- I но, стакан окажется ие заполненным доверху.

Теперь вернемся к песку на берегу. Ов тоже плотно упакован. При давлении, на песок плотная упаковка разрушается, и объем песка увеличивается за счет увеличения пространства между песчинками. Вода из верхних слоев песка уходит вглубь, заполняя эти увеличивающиеся промежутки. Песок как бы «высыхает». Когда ногу убирают, плотная упаковка восстанавливается, а вытесненная из уменьшившихся вновь промежутков вода заполняет след, оставленный ногой.

Пусть центр шарика слегка сместится относительно оси струи. На шарик под струей воды действуют со стороны струи I две силы: сила давления, направленная к центру шарика и стре- I мящаяся вытолкнуть шарик из-под струи, н сила треиия, на- правленная по касательной и стремящаяся вращать шарик. Tani' как шарик частично погружен в воду, между шариком и водой

»действуют силы вязкости, вращение шарика вызовет его качение I в сторону струи. При достаточно больших отклонениях центра шарика от оси струи горизонтальная составляющая силы давления уменьшается, а действие трения увеличивается. Поэтому i шарик будет возвращаться под струю. Таким образом, шарик г будет колебаться под струей. При слабой струе возвращающие й силы будут слабы, колебания шарика будут происходить медлен- р нее и с большей амплитудой. Если амплитуда колебаний превы- с: сит радиус шарика, то ои выскочит из-под струи.Д1

Когда воздух выдувают тонкой струей, его скорость ве- дика. Поэтому давление в струе меньше атмосферного, отчего струей захватывается окружающий холодный воздух, не насыщенный водяными парами.

В другом случае выдыхается теплый, насыщенных парами воздух, скорость которого мала. Он-то и попадает под руку.

Из-за вихрей, образующихся при обтекании дюн ветром, с надветренной стороны дюн образуется спокойная зона с пониженным давлением. В этой зоне выпадает песок, захваченный ветром с подветренной стороны.

Так же объясняется перемещение песчаных отмелей.

В начале движения реактивного снаряда его скорость относительно самолета в течение некоторого промежутка времени меньше скорости самолета. Поэтому относительно воздуха снаряд движется в том же направлении, что и самолет, т. е. стабилизаторами вперед. Стабилизаторы разворачивают снаряд в направлении движения самолета так, чтобы его сопротивление набегающему потоку воздуха было минимальным; затем за счет реактивной тяги скорость снаряда увеличивается, и он догоняет самолет.

Извилистое течение рек связано с тем, что нх прямолинейное течение неустойчиво. Это означает, что прн случайном образовании небольшой извилины илн неоднородности течения реки (например, из-за упавшего в воду дерева), образовавшийся изгиб реки будет увеличиваться. Для того, чтобы разобраться, почему это происходит, рассмотрим ... стакан с чаем, в котором плавают чаинки. Если ложкой «раскрутить» чаи в стакане, заставив жидкость вращаться, и затем вынуть ложку из стакана, то через некоторое время все чаинки соберутся вдоль оси стакана. Связано это вот с чем.

"При вращении жидкости в стакане на каждую из часгвц жидкости действует со стороны других окружающих ее частиц сила такая, что равнодействующая этой силы и силы тяжести направлена горизонтально и сообщает частице центростремительное ускорение а = и1/?, где со — угловая скорость вращения жидкости и R — расстояние, на котором находится частица от оси вращения. Чем больше расстояние R, тем больше ускорение частицы, значит, тем больше должна быть горизонтальная составляющая силы, действующей на эту частицу со стороны других частиц. Поэтому поверхность вращающейся жидкости принимает форму параболоида. (Напомним, что сила, действующая на частицу жидкости, которая находится у поверхности, со стороны других частиц, перпендикулярна к поверхности. Иначе составляющая этой силы, параллельная поверхности, вызвала бы движение частиц жидкости.) Благодаря такой форме поверхности

жидкости давление в ней на одном н том же расстоянии от дна увеличивается по мере приближения к стенкам стакана.

После того как вынули ложку из стакана, скорость частиц жидкости у стенок етакана и у дна начинает уменьшаться из-за трения. При этом ускорение, сообщаемое этим частицам действующими на них силами, оказывается больше центростремительного, и в стакане возникает течение жидкости такое, как показано на рнс. 101. Из-за трения скорость этого течения у поверхности меньше его скорости на некоторой глубине. Это течение и переносит чаинки к оси вращения жидкости.

Подобное же круговое поперечное течение возникает и в реке там, где река делает поворот (рис. 102). Этим течением частицы

Рис. 101.Рис. 101.Рис. 102.Рис. 102.

Рис. 101.

Рис. 101.

Рис. 102.

Рис. 102.

песка со дна и наружного берега реки переносятся к ее внутреннему берегу. Таким образом, круговое течение увеличивает изгиб рекн, размывая ее наружный берег. Более того, эрозия — разрушение берега и дна — сказывается сильнее у наружного берега рекн. Поэтому дно реки принимает профиль, показанный иа рис. 89.

При движении человека на него со стороны лодки действует сила F, равная

с А (ту)

где т — масса человека и у— его скорость. Такая же по абсолютной величине сила действует иа лодку. Но направлена она в другую сторону. Кроме того, на лодку действует сила сопротивления Fc = Au, где к — константа и и — скорость лодки. Итак,

r , г А Щи?)-F^ku = -^-

(М— масса лодки).

Поэтому

А (ту) , А А (Му)

At Т- д( •

ОтсюдаОтсюдаku Ы = Д (Л1и) + Д (то).

Отсюда

Отсюда

И так как иМ = Дх — это смешение лодки, то £ Дх = Д (Л1«) + Д (то).

нулю. Следовательно, в этот мо-нулю. Следовательно, в этот мо-Рис. 103.Силы трения, действующие наРис. 103.Силы трения, действующие наВ конце концов и лодка и человек в ней остановятся. Тогда &(Ми) и Д(то) будут равны мент нулю будет равно и смещение Дх лодки.

нулю. Следовательно, в этот мо-

нулю. Следовательно, в этот мо-

Рис. 103.

Силы трения, действующие на

Рис. 103.

Силы трения, действующие на

Останется прямой, так как смещение каждой точки радиуса монеты пропорционально расстоянию между этой точкой и центром монеты.

Обозначим х расстояние от нижнего края листа до точки О, которая остается неподвижной относительно крыши при нагревании листа (рис. 103)

участки листа выше и ниже точки О, направлены так, как показано на рисунке и равны по абсолютной величине: FTp. । = = ix -у gx cos ф и FTp. 2 = p у (I — x) g cos ф (m — масса листа, a m,

—масса единицы длины листа, / — длина листа при темпе-

ре 6). Так как лист нагревается медленно, можно считать, что в любой момент он находится в равновесии и сумма проекций на ось X сил, действующих на лист, равна нулю:

rag sin ф + р — gx cos ф — р — g (Z — х) cos ф = 0.

Отсюда найдем:

^ sin ф + р cos ф2р cos ф

Если весь лист прн нагревании удлиняется на Д/, то удлине- ние нижцеи части листа равно — Д/, так что прн нагревании листа его нижний край опускается на расстояние

АХ А/Дх = — Д/АХ А/Дх = — Д/ sin ф + Р cos ф ^2р cos ф

АХ А/

Дх = — Д/

АХ А/

Дх = — Д/

Аналогично найдем расстояние Ду, на которое поднимается нижний край листа при охлаждении. В этом случае неподвижна уже другая точка О' листа, а направления сил трения меняются на противоположные. Учитывая это, найдем:

АуАуU COS ф — Sin ф . ,= ———-— ДЕ

Ау

Ау

2р. cos ф

За цикл изменения температуры нижний край листа опускается на расстояние Ах — Ду; а за п суток лист сползет па расстояние

\L=n (М) = па/0 (Т1 - Г2) —-р р

Подставляя сюда численные данные, получим Д£ ж 2,5 см.

столкновения с молекулой воздуха направление движения моле-столкновения с молекулой воздуха направление движения моле-Молекулы диффундирующего вещества дви?кутся хаотически, 'как и молекулы любого таза. Это означает, что после

столкновения с молекулой воздуха направление движения моле-

столкновения с молекулой воздуха направление движения моле-

Рис. 104.Рис. 104.кулы диффундирующего вещества может быть совершенно произвольным. Если проследить за такой молекулой, то ее траектория представляет собой ломаную, n-е звено которой может быть направлено совершенно произвольно по отношению к п — 1-му (рис. 104).

Рис. 104.

Рис. 104.

Обозначим / — среднюю длину одного звена. Это расстояние, кото

рое пролетает молекула между двумя последовательными столкновениями. Его называют поэтому длиной свободного пробега. Обозначим еще Rn перемещение частицы за п шагов, а а — угол между вектором Rn-i и следующим шагом. Тогда, согласно теореме косинусов.

^«^-j + ^-S^j/cosa.

Усредним это равенство. Тогда

R^^-V^-^R^ltosa

Но а может принимать любые значения и равновероятны все значения cos а, как положительные, так и отрицательные. Поэтому cos a = 0 и

^=^-i + /2. (1)

Воспользовавшись соотношением (1), мы можем записать депочку равенств:

^=^f+/2,

^=^+/2,

Теперь сложим их. Тогда все промежуточные величины сократятся, и мы получим

Число шагов п пропорционально времени / наблюдения над молекулой:

где т — время свободного пробега. Оно равно Цо, где о — сред- t няя скорость теплового движения молекул. Поэтому п = — v и

^ = 1/2 = /п/.

Среднее значение Кп не равно ^R^, но близко к нему. Поэтому можно считать, что

R=R^=^t.(2)

Мы видим, что R~^t. Поэтому если на расстоянии 1 м пахучее вещество распространилось за 3,5 минуты, то на расстоянии 10 м оно распространится за 3,5-100 минут, то есть примерно за 6 часов!

Формула (2) справедлива не только для молекулы диффундирующего вещества, но и для молекул самого газа. Справедлива она и для совершающей беспорядочные перемещения броуновской частицы, для которой была установлена А. Эйнштейном в 1905 г.

Интересно сравнить среднее перемещение - молекулы газа, скажем, за 1 с с расстоянием L, которое пролетает за это время молекула. Например, при атмосферном давлении и комнатной температуре для молекулы азота в воздухе (о и 500 м/с, а I А? 6-Ю-8 м) имеем

L ~ 500 м 'с • 1 с = 500 м, a R ~ 5,5 • 10-3 м = 5,5 мм.

Из-за хаотичности движения молекулы R в 105 раз меньше L!

Формула (2) позволяет установить зависимость R от температуры газа Т. Для этого прежде всего выясним, чем определяется величина длины свободного пробега /. Будем считать, что молекула — это шарик радиуса г. За время М молекула при своем движении столкнется с теми молекулами, центры которых лежат в цилиндре радиуса 2г и

_Q длиной и Д/ (рис. 105). Если кон-

Vvцентрация газа п, то таких моле

Рис. 105.Рис. 105.кул

Рис. 105.

Рис. 105.

N = пп (2г)2 о ДЛ

Разделив путь у М, пройденный молекулой, на число столкновений N, найдем /:

Z = T^2—4лг2л

Но согласно основному уравнению молекулярно-кинетической тео

рии р — пкТ, где р — давление, к — постоянная Больцмана. По- р , кТ ,7

«»vm«»vmНЛИ R-p-^W2.4ш2ррНЛИ R-p-^W2.4ш2ррэтому п = ■ и / = 4лг2р • Кроме того, средняя скорость теплового движения молекул y = ^^kT[m, где m—масса молекулы. Следовательно,

«»vm

«»vm

НЛИ R-p-^W2.

4ш2рр

НЛИ R-p-^W2.

4ш2рр

Вот как R зависит от времени /, давления р газа и его температуры Т.

В случае броуновской частицы п тоже пропорциональна з/Д а так как положения броуновской частицы отмечаются через равные промежутки времени т, то / = ут. Поэтому R = = Vi,-V"T/ = vVt/ = А/ ■ it (m0—масса броуновской ча- стицы). В этом случае R~ -\Tt.

При решении многих задач нам понадобится формула для числа z молекул газа, попадающих на поверхность площадью S за время t;

г = -^ nS | vx 11,

где n — концентрация молекул газа и |t>z|—среднее значение модуля проекции скорости молекул на ось X, перпендикулярную

к поверхности. Так как

9 . о I 22 3RT

ох + Уу+иг = ^ =—7Г*

где и — средняя тепловая скорость молекул газа, р — молярная масса газа, 7 — его температура, то

2"2 RT

Ux^UY = Uz = —>

и можно считать, что

V3 RT4 <V3 RT4 <Mxl* V^ = д/^.

V3 RT

4 <

V3 RT

4 <

Более аккуратный расчет показывает, что (^( = -2 Для наших расчетов это, впрочем, несущественно.

Используя найденное выражение для |о^|, получим

1 с /1 с, . Z3^

Z = — nSvt = — nSt А .

44 V И

Этой формулой мы неоднократно будем пользоваться.

Каждый атом гелия, перелетая от внутренней горячей к на- 3 ружной холодной стенке колбы, переносит энергию Ei = — кТвн.

3

Улетая от наружной стенки, они несут энергию Е2 = — кТ01

где То — температура в комнате. Поэтому за время / от внутренней к наружной стенке колбы переносится количество теплоты

q = (5i — Е-Т) z = у knSv (Твя — Го) t.

Так как изменение температуры ДГ мало по сравнению'с начальной разностью температуры Т = 363 К и воздуха в комнате (АГ = 10 К, а Т — То = 70 К), то Твн — Т» и Т — То. Кроме того, для оценки можно считать, что температура гелия в колбе

V

37?7cp ,

где Тср = (7 + 70)/2. Кроме того, согласно основному уравнению молекулярно-кинетической теории р = пкТ, так что для гелия в колбе п = р!кТСр. Поэтому

q=^pS/\j-^-kT-T0M.4 V Ц'ср

Для того чтобы температура чач понизилась на ДГ = 10 К, должно быть перенесено количество теплоты Q = cm ETt где

с = 4.2103 Дж/кг-К— теплоемкость воды и т = 1 кг—масса чая. Приравнивая q и Q, найдем время к

стЕТ Г^

pSt-T—To) V ЗД "

В эту формулу входит площадь S стенок колбы. Ее можно оценить, полагая, что колба сферична. Тогда S = 4лг2, а объем кол-

/ з \2/з

бы V = -у лг3, так что S = 4nf —• В нашем случае найдем, что S « 5-Ю-2 м2. Подставляя все необходимые величины в формулу (1), найдем

/« 3,5 • 10s с « 1 ч.

Такой же результат мы получим и для случая, когда колба заполнена воздухом. Только в этом случае энергия Е молекулы 5

равна -^ кТ, так как воздух состоит в основном из двухатомных молекул. Заметим, что при большом давлении наш способ вычисления несправедлив, так как длина свободного пробега / не велика по сравнению с расстоянием L между стенками колбы. При / С L механизм теплопроводности схож с механизмом диффузии, разобранным в предыдущей задаче.

Давление р в спутнике равно сумме парциальных давлений кислорода pi н азота рг, и так как pi = п^кТ, а рг = пгкТ, то р = (ш + п-^кТ,

Ер = (Ent-V Еп2) кТ,(1)

а

Ер = ДЛ1 + Ад2

Р пх + щ1

Но изменения концентраций молекул равны

_ z1 1 nlSu1tг2 1 n2Sv2t

Дт- —=_,дП2== —=... .(3)

Поэтому

Др _ 1 St ni«l+n2ti2...

р 4 Vw

Согласно уравнению газового состояния

mi1 тг

Поэтому

п2 m2 р, р1

где а = tnilmi. Используя (5), найдем

Ер = 1 S t араЩ + С2Р1,g.

р 4 V арг + Pi "

Подставим сюда t>tПодставим сюда t>tи найдем t:и найдем t:

Подставим сюда t>t

Подставим сюда t>t

и найдем t:

и найдем t:

(7)(7)__ Др 4V (hi + ацг) Уц|Ц2

(7)

(7)

Р S ^ЩТ (ар2 V^i + Hi УЙг)

Подставляя сюда F =-5-лг3, —— = 0,05, а = 1/3, а также 3 Р

остальные величины, найдем t « 4,7-103 с ж 1,3 ч.

Интересно, каков состав молекулярного лучка, вылетающего

из спутника? Из соотношений (3) имеем

(8)(8)ДП| Д1 Р[«1/ Н2

(8)

(8)

Дл2«2 02«2 V Hl '

Мы видим, что отношения концентраций ДП1/Дп2 в молекулярном пучке, вылетающем в вакуум, в VtWni Раз больше концентраций газов в сосуде. Процесс истечения газа из сосуда через маленькое отверстие называется эффузией. Формула (8) показывает, что с помощью эффузии можно обогащать газы. Ее, в частности, можно использовать для обогащения природного урана, который содержит изотопы урана 235U и ^U. Изотоп ^U используется в атомных электростанциях, однако его концентрация в природном уране очень мала. Один из способов его обогащения (впрочем, не самый лучший)—это использование многоступенчатой газовой эффузии. Для этого' берут газообразное соединение природного урана с фтором UF6, которое содержит молекулы с изотопами урана 235UF6 и asUF6, и пропускают через трубу с отверстиями, через которые газ попадает в откачиваемый сосуд. Из-за близости молярных масс этих соединений концентрации меняются мало н полученный пучок пропускают вновь через такое же устройство и т. д.

(1)(1)Если бы пар над жидкостью был насыщенным, то пар и жидкость находились бы в равновесии, и за любое время t из пара в жидкость попадало бы столько же молекул 2, сколько их вылетает из жидкости. Следовательно, через поверхность жидкости площадью S за время / вылетает число молекул г = — nSot (см. задачу 73), где п — концентрация молекул в насыщенном паре ио — их тепловая скорость Так как п= -~- и о = (Ри — давление насыщенных паров воды), то

(1)

(1)

к V Тр

Разделив z на число Авогадро, найдем, сколько молей молекул воды испарится за время t;

^^ТГ^”^^^"^"^51”"?^*^"^51(2)

(так как МАк = /?). Теперь найдем массу т воды, испаряющейся с единицы площади поверхности в единицу времени (скорость испарения):

-^-t-VS-®

Подставляя в эту формулу рк = 2,3-103 Па, р = 18-10-3 кг/моль и Г = 293 К, найдем, что m = 2,6 кг/м2-с, то есть с 1 м2 поверхности воды за 1 с испаряется 2,6 кг воды.

Велика лн эта скорость? Найдем, за какое время испарится в вакууме ’ (например, в космосе) стакан воды. Он содержит М = 200 г воды, а диаметр стакана равен примерно 7 см, так что S = 3,8-10-3 м2. Поэтому t — MlmS = 2Q cl Правда, если вынести стакан с водой в вакуум, то вода испарится не так быстро. Дело в том, что при испарении жидкость охлаждается и при быстром испаренин замерзнет. Попробуем рассчитать, сколько воды останется в стакане. При испарении массы воды ДМ поглощается количество теплоты q = гДМ, где г = ==2,5-10“ Дж/кг — удельная теплота парообразования. Эта теплота отбирается у массы'воды М— ДМ при ее остывании от температуры 0 = 20 °C до нуля и превращении в лед. Поэтому

г ДМ = с (М — ДМ) 0 + Л (М — ДМ),

где с = 4,2-103 Дж/кг-К — удельная теплоемкость воды и Х = = 3,2-Ю5 Дж/кг — удельная теплота плавления льда. Отсюда

ДМ == 0 028 кг = 28

г + с0 -р X

Такая масса воды испарится, а в стакане останется 172 г льда. Лед же испаряется значительно медленнее. Благодаря этому считается, например, возможным наличие воды на Луне (в виде льда и пара). Согласно этой гипотезе водяные пары, которые содержат лунные породы, поднимаются на поверхность и замерзают там, закупоривая, таким образом, пары.

А в обычных условиях, скажем, в комнате, как быстро должен испариться стакан воды? Для того чтобы ответить на этот вопрос, нужно учесть конденсацию пара. Если давление пара в комнате равно р (влажность ф = р/рн), то из г нужно вычесть число молекул zh попадающих в воду из пара: Zi =

заменить на рв — р, так чтозаменить на рв — р, так что

заменить на рв — р, так что

заменить на рв — р, так что

Это означает, что в формуле (3) нужно рв

При влажности, скажем, 60% (ф = 0,6) и температуре 7 =293 К (20°C), давление пара р = 0,6рн ~ 1,4-103 Па. Из формулы (4) мы найдем

m' = 1 кг/м2 • с.

Это всего в 2,6 раза меньше скорости испарения с единицы поверхности жидкости в вакуум. Значит, стакан воды в комнате должен испаряться примерно за время в 2,6 раза большее, чем в вакууме, то есть за 52 с — меньше минуты! В действительности же вода в стакане может находиться несколько суток. В чем же дело? В том, что мы неправильно учли количество молекул, возвращающихся в жидкость. Пар в тонком слое у поверхности жидкости практически насыщен. Это связано с тем, что при испарении воды давление пара у поверхности возрастает и начинается диффузия пара от поверхности. Но процесс диффузии очень медленный (см. задачу 72) и поэтому давление пара у поверхности практически равно ра. Испарение можно несколько ускорить, если обдувать стакан потоком воздуха. Так поступают, например, когда хотят охладить чай. Дуя на него, мы уве

Рис. 106.Рис. 106.личиваем конвекцию, ускоряем «отвод» молекул пара из приповерхностного слоя и повышаем скорость испарения. А испарение чая приводит к его охлаждению.

Рис. 106.

Рис. 106.

В обоих коленах трубки над поверхностью воды находятся только насыщенные водяные пары, давление которых, как известно, не зависит от объема.

Давление насыщенного пара у поверхности капли зависит от ее радиуса. Действительно, представим себе замкнутый сосуд, в котором

имеется капиллярная трубка, не смачиваемая жидкостью. Давление в точке В (рис. 106) больше давления в точке А на величину pcgh;

Рв-Ра^^Ь,

где h — разность уровней жидкости в капилляре и в сосуде, а рп — плотность пара.

Жидкость в капилляре находится в равновесии под действием двух сил: силы поверхностного натяжения, равной по модулю 2лго (о — поверхностное натяжение, г — радиус капилляра) и силы давления жидкости на глубине h, равной pg/i-лг2 (р — плотность жидкости), поэтому 2wc = №pgft. Отсюда

.2<т, 2а рп

h = и р =р 4 -i—.

pgrгр

Таким образом, давление над поверхностью жидкости тем большем, чем меньше ее радиус кривизны.

Это означает, что давление насыщенного пара над каплей тем больше, чем меньше радиус этой капли. Значит, если над поверхностью маленькой капли пар насыщен, то над поверхностью большой капли он будет ненасыщенным. Это приведет к тому, что пар будет конденсироваться па большой капле, понижая тем самым давление пара у поверхности малой капли. Это в свою очередь приведет к испарению маленькой капли. В результате в сосуде через некоторое время останется только одна большая капля.

Тот же результат можно получить и из самых общих рас- суждений. Предположим, что в сосуде налита жидкость (поверхность жидкости плоская) и имеется капля. При испарении жидкости с плоской поверхностью эта площадь не меняется. В го же время при испарении капли площадь поверхности жидкости уменьшается. Но, как мы знаем, всякая система, предоставленная самой себе, стремится перейти в состояние с минимальной энергией. Поэтому если в сосуде имеется капля жидкости и жидкость с плоской поверхностью, то равновесие наступит тогда, когда капля полностью испарится и сконденсируется на плоской поверхности. (Это означает, что давление насыщенных паров над каплей больше, чем над плоской поверхностью жидкости). Если в сосуде имеются капли разного размера, то мелкие капли будут испаряться и конденсироваться на более крупные, пока в сосуде не останется только одна большая капля.

Так как вогнутая поверхность воды в капилляре находится на большей высоте, чем плоская, то давления пара у этих поверхностей разные:

Др = pgh, где р — плотность пара, h— высота поднятия жидкости в капилляре. Поэтому пар и над кюветой и в капилляре может быть насыщенным и никакого потока пара не будет.

Нет. Гидроэлектростанция вырабатывает электроэнергию за счет потенциальной энергии потока воды, проходящего через ее турбины. Масса Дт воды обладает потенциальной энергией

Kmgh, где h — высота плотины. Для того чтобы масса воды испарилась, необходимо затратить количество тепла Q1 = =-Дтс(Г1— Го) для ее нагревания от температуры Го = 2О°С до температуры кипения Г1=100°С и еще количество тепла Q2 = ХДт для испарения (с = 4-103 Дж/кг— теплоемкость воды, Л = 2,3 10е Дж/кг— удельная теплота парообразования). Мощности гидроэлектростанции в случае отсутствия потерь хватит для испарения воды, если

&mgh = Дтс (Г) — Го) + ДтЛ или

h = су\ - Т^ + \ 230 км!g

При конденсации пара выделяется большое количество тепла.

При нагревании воды

WTi = ctn(T2 — Г|) + Qi,

где Т] — время нагревания, Г2 = 90 °C, Г1 = 85 °C и Qi — потери энергии, которые пропорциональны разности температур воды и окружающей среды и времени т.

При остывании воды

ст ДГ = Q2,

где ДГ = 1 °C. Так как разность температур воды и воздуха меняется незначительно, а т2 = 0,5ть то Q2 = O,5Q|, так что

Wh = cm(T2 — Г,) + 2cm ДГ.

Отсюда

m = —m х , о Л -г ~ кг.с(Г2 — Л) + 2с ДГ

2. Так как мяч после удара о землю поднялся почти на ту же высоту, с которой он падал, потерями энергии при ударе можно пренебречь и считать, что сжатие воздуха в мяче во время удара происходит адиабатически.

Согласно закону сохранения энергии (первому закону термодинамики) изменение внутренней энергии газа Д1/ равно

MJ=Q4-A,(1)

где Q — количество тепла, сообщенного газу, и А — работа, совершенная над газом при его сжатии. Так как в данном случае Q = 0, то

Д1/ — А(2) ■

Как известно, изменение внутренней энергии газа не зависит от процесса и равно

^U = cvmLT = cvm^Tmax-Ty(3)

где Т — начальная температура газа, m — его масса.

Работа по сжатию воздуха совершается за счет механиче* ской энергии мяча. Если пренебречь потенциальной энергией деформации камеры и грунта в момент наибольшего сжатия (когда температура воздуха максимальна, а мяч покоится), то

А = Mgh,(4)

где М — масса мяча, h — высота, на которую он был подброшен.

Подставив выражения для ЛИ и А в формулу (2), получим

^ЧТтах-т^МеЬ.(5)

Массу воздуха в мяче можно определить из уравнения га* зового состояния:

pV = —RT,

где р = ро + Pi (ро = 1 атм — атмосферное давление, pt — избыточное давление), V—объем мяча. Отсюда

Из (5) и (6) находим

Ттах = Г [1 + --^8'11 « 1,027- = 306 К.

Рассмотрим установившийся воздушный поток через хребет и проследим за небольшой массой m воздуха, занимающей на подветренной стороне горы (у побережья) объем Pi. Обозначим Т1 — температуру и pi — давление воздуха на подветренной стороне, pt можно считать полным давлением, так как Pi ~ 105 Па, а парциальное давление паров рп = <рря я» « 1,8- 10s Па, так что рп С рь Оказавшись на надветренной стороне горы, давление на которой равно рг, эта же масса воздуха будет иметь объем Рг и температуру Тг. Изменение Д77 внутренней энергии газа происходит за счет работы А внешних сил, действующих на выделенный объем газа и теплоты Q, выделяющейся при конденсации пара:

A77 = A + Q.(1)

Изменение внутренней энергии воздуха пропорционально изменению температур. Для одноатомного газа энергия одного 94

*RT н ДД= ^-RAT,*RT н ДД= ^-RAT,моля газа U = — RT. Воздух состоит в основном из двухатомных

*RT н ДД= ^-RAT,

*RT н ДД= ^-RAT,

газов — азота и кислорода. Для него U =

где ДТ = Т2— Ть Масса m воздуха содержит v = — молей,-где р = 29-10-3 кг/моль — молярная масса воздуха. Поэтому изменение внутренней энергии массы m воздуха равно

(2)(2)Д<7=4~ RAT.

(2)

(2)

2 ц

Работу Л внешних сил можно рассчитать так. На подветренной стороне горы внешние силы, — атмосферное давление, — совершают работу, выталкивая массу m газа из объема Pi. Эта работа Л1 ='piPi. На надветренной стороне масса m воздуха вытесняет воздух, который находился ранее в объеме Р2. Работа сил атмосферного давления здесь отрицательна и равна Л2 = = —ргРа- Таким образом,

Л = Л] + Л2 = piPi — paV

Но согласно уравнению газового состояния piPi= — RTt, а

Р2Р2 = — RTi. Поэтому Р

A=-R^Tl-Ta) = - — RAT.(3)

А сколько выделилось теплоты при конденсации пара? Если масса сконденсировавшегося пара Дт, то Q = Amr, где г = =2,5-106 Дж/кг. Д/га можно определить из уравнения газового состояния для пара pnVi = -^-RTi (где цп= 18-10~3 кг/моль), Рп

„,„ m RT,

Подставив в эту формулу Pi = — ”—> получим

Am = m^ = tpm ^L-P»-, а Q = q)rm РпРн. (4) Р PiР Р1р Pl

Подставим теперь (2), (3) и (4) в (1):

2L—ц&Г=—— RAT-V-tprm — —,2 РРР Pi

откуда

=^"^ to 23 К.

7 Rpi

Это означает, что температура сухого воздуха на надветренной стороне горы Тг ~ 48 °C! Описанные нами воздушные потоки

характерны, например, для Кордильер, служащих разделом областей с разной погодой. В предгорьях Кордильер со стороны Тихого океана часты обильные дожди. По другую сторону гор часто дуют сухие горячие ветры, превратившие этот район в пустыню.

Когда человек выходит из воды, вода испаряется, отбирая тепло от тела.

Количество тепла, передаваемого стержню, находящемуся в пламени, пропорционально площади- его боковой поверхности. Теплоотвод же вдоль стержня пропорционален площади поперечного сечения стержня. Поэтому повышение температуры находится в прямой зависимости от отношения площади боковой поверхности к площади поперечного сечения. Это отношение обратно пропорционально радиусу стержня.

Поэтому тепловое равновесие толстого стержня наступает при значительно меньшей температуре, чем тонкой проволоки.

Теплопроводность чугуна меньше, чем теплопроводность алюминия. Поэтому температура внутренней поверхности чугунной сковороды более равномерна. Кроме того, благодаря большей теплоемкости чугунной сковородки ее температура практи-, чески не меняется, когда на нее опускают холодные продукты. Поэтому продукты при жарке не подгорают.

Когда мы прикасаемся к деревянным предметам, имеющим плохую теплопроводность, нагревается только небольшой уча сток предмета под пальцем. Металл же, обладающий xopouiei теплопроводностью, нагревается весь. Это приводит к большему теплоотводу от пальца и его охлаждению.

При измерении температуры термометр должен нагреться от комнатной температуры до температуры тела, т. е. иа 15— 17 °C. «Стряхнуть» же термометр можно уже тогда, когда его температура понизится на 2—3°С так как шкала термометра на чинается с 34 °C. Необходим ) учесть еще то, что при нагрев, нии н остывании тел скорост изменения их температуры пре порциональна разности температу тела и среды и поэтому завис! ’ мость температуры термометр ■ от времени имеет вид, изобрг т женный иа рис. 107. Это привс

Дит к тому, что время остывания термометра до температурь при которой его можно «стряхнуть», намного меньше времен измерения температуфы.

Корабль нагревается до такой температуры Т, при которой энергия, излучаемая им, становится равной энергии, получаемой, от Солнца. Излучаемая в единицу времени энергия пропорциональна площади поверхности корабля. Будем для оценки считать, что корабль — шарик, средний радиус которого равен г. Тогда энергия, излучаемая кораблем, нагретым до температуры 7, за едини» цу времени, равна

Гизл = 4лг2Ц7 = 4лг2о 74,

Энергия, получаемая от Солнца за единицу времени, пропорциональна пло«

шарика, тошарика, тощади наибольшего сечения есть лг2, и равна

шарика, то

шарика, то

солнечного от Солнца.солнечного от Солнца.Wпог л = ^г^Е^, где Ei — плотность потока излучения на расстоянии R

солнечного от Солнца.

солнечного от Солнца.

Так как в единице телесного угла от Солнца распространяется постоянная энергия, то (рис. 108) ЕД = ЕД и

Et=E0 Sjj t

Следовательно, 1ГПОгл = лггЕ0 ^"^"^ • Приравняв 1^изл И И^погл, Получим

4лг2п74 = лг2£’о (-^у.

Из этого уравнения найдем

«-Т д/З^6'10’™

Итак, при приближении к Солнцу корабль может расплавиться. А при удалении от Солнца’ Сколько нужно энергии для того, чтобы согреть космический корабль, направляющийся от Солнца, когда его излучение станет незначительным? Следует, конечно, учесть, что на корабле должен быть мощный реактор (скажем, ядерный), который снабжал бы энергией двигатель, приборы и т. д. Пусть мощность* реактора 1010 Вт — всего вдвое больше мошности ракеты носителя спутника «Протон», а его к п д. 40%. К п. д. любой тепловой машины не может быть больше, чем (71-7г)/71, где 71—температура в горячей зоне, а 72— в холодной. Для того чтобы повысить к. п. д., Т^ желательно сделать

97974 И. Ш. Слободецкий, Л, Г, Асламазов

97

97

как можно выше. Но Л ограничена тугоплавкостью материалов. Пусть 7\ = 3500 К (на 150 К ниже температуры плавления вольфрама). Тогда Т2 = (1—т])Г1 = 2100 К. При таком к. п. д. реактора 60% его мощности, то есть 6 • 10s Вт выделяется в виде тепла. Это огромная мошиость и вопрос уже нужно ставить не о том, чтобы согреть корабль, а о том, как отвести такую мощность. Единственная возможность — излучение. Но мощность излучения 1Г„3л = cT^S. Поэтому для того чтобы избавиться от такой мощности, корабль должен иметь площадь

SSм2 « 5 • 103 м2.м2 « 5 • 103 м2.6-109

S

S

м2 « 5 • 103 м2.

м2 « 5 • 103 м2.

5,67 - 10 — 8 - (2,1)4 - 1012

Это полгектара площади с температурой 2100 К!

Нужно отметить, что с проблемой теплоотвода встречаются уже конструкторы нынешних кораблей и даже скафандров.

При повышении давления температура плавления льда действительно понижается. Однако при плавлении льда поглощается теплота плавления, и температура льда под проволокой начинает падать. Это происходит до тех пор, пока температура льда в области повышенного давления не упадет до температуры плавления при этом давлении. Дальнейшее плавление льда будет определяться -теплом, которое вследствие теплопроводности будет приходить к области пониженной температуры. При использовании проволоки это тепло будет проводиться за счет хорошей теплопроводности металла от замерзающей сверху воды, и процесс разрезания льда будет быстрым. При использовании капроновой нити, обладающей малой теплопроводностью, тепло будет подводиться главным образом за счет охлаждения всего бруска льда в целом, и процесс разрезания пойдет очень медленно.

Обозначим Н максимальную высоту ледника. Она "ограничена из-за плавления льда у основания ледника. При плавлении льда массы Am = pS Ах (р — плотность льда, S — площадь сечения ледника) поглощается энергия ХАт. Эта энергия равна изменению потенциальной энергии ледника, высота которого уменьшается на Ах и, следовательно,

ДЕ = pgHS kx.

Поэтому

pgHS Ах ж pSZ Дх, откуда

Для льда Л = 332 кДж/кг Поэтому

Н « 35 км.

Примерно такую же величину мы получим для высоты гор, так как удельная теплота плавления горних пород того же порядка, что и у льда. Как известно, самая высокая гора на Земле имеет высоту «9 км, та(? что наша оценка совсем ие плоха.

При взрыве давление газа в цилиндре возрастает скачком. Из-за инерции поршня и шатуна они не могут быстро набрать скорость и поэтому сильно деформируются. На это уходит часть энергии. При правильной регулировке двигателя смесь сгорает сравнительно медленно, и давление в цилиндре все время примерно одно и то же.

Кроме того, при взрыве газа его температура больше температуры смеси при медленном сгорании. Поэтому возрастают потери энергии из-за теплоотдачи.

К. п. д. теплового двигателя равен

Если при сгорании топлива выделилась энергия q, то двигатель совершил работу

лЛ - Т2

Д = дЧ1 = q —.

При этом отопительной системе было передано количество теплоты

Т2

Qi = (l — q =-^г-q.

Холодильная машина работает по обратному циклу. Она отбирает у грунтовых вод количество теплоты qt и передает отопительной системе количество теплоты

Qz = А + qt,

где А — работа, совершенная над холодильной машиной. Так как машина идеальна, то она обратима. Это означает, что при работе по прямому циклу она совершает работу А, получая от нагревателя количество теплоты Q2 и отдавая грунтовым водам количество теплоты qv Ее к. п. д.

откудаоткудаАл Т2— г?Ал Т2— г?Т2 - Гз

откуда

откуда

А

л Т2— г?

А

л Т2— г?

Т. ’

т^ т2

4 Тх (Т2 - Гз) •

Всего отопительная система получает количество теплоты

Q = Qx + Q2 = qy-yГ"*2»-

Таким образом, к. п. д. системы

2.2.Q ,=— <

2.

2.

q

К. п. д. больше 1! Это, впрочем, не противоречит законам термодинамики. Ведь мы извлекаем тепло из постороннего источника — грунтовых вод.

Брезентовую ткань можно представить себе как сито с очень маленькими ячейками. Сквозь такое сито капли воды не протекают, так как их удерживает сила поверхностного натяжения (рис. 109). Эти капли будут срываться, если толщина h слоя

, 2(Т

Рис. 109.Рис. 109.воды такова, что pgh >*

Рис. 109.

Рис. 109.

4а

Pg"

Если прикоснуться к мокрой ткани рукой, то несколько капель сливаются в одну —■ значительно большего ради-

уса. Эта капля уже не удерживается капиллярными силами (сила поверхностного натяжения, удерживающая каплю, при увеличении радиуса капли растет пропорционально радиусу, а масса капли — пропорциональна квадрату радиуса капли, т. е. значительно быстрее). Потолок палатки начинает протекать.

При решении этой задачи будем, исходить из того, что после слияния двух мыльных пузырей в один суммарная масса воздуха в них не изменяется:

(1)(1)таз = mi + т-2-

(1)

(1)

Согласно уравнению газового состояния масса воздуха в пу* зыре равна

4

где V = -д- л/?3 — объем пузыря, ц — молярная масса воздуха, Т — температура (она равна температуре окружающего воздуха и одинакова для всех пузырей) и Я — газовая постоянная.

Запишем условие равновесия пузыря:

Р = РоА- ^P = Pй-V^-,(3)

2а

где ^p = —добавочное давление под сферической поверхностью мыльной пленки радиуса г, а ро — атмосферное давление, 100

Используя соотношения (2) и (3), можно записать:

(. 2а X 4з р,( 2а X 4 о и

mi - (ро + п ) ' 3 ЯГ1 рТ ’ m2—(Ро+ Л2 J-y^^f,

/. 2а X 4з ц

тз = (/о + —)• J ^^

Найденные выражения для mi, та и тз подставим в равенство (1) и найдем ро:

96. Свободная поверхность жидкости у торца сложенных стекол представляет собой цилиндрическую поверхность. Будем считать, что смачивание полное. Тог- «96. Свободная поверхность жидкости у торца сложенных стекол представляет собой цилиндрическую поверхность. Будем считать, что смачивание полное. Тог- «да радиус г этой поверхности равен d/2, где d — расстояние между стеклами. Давление под изогнутой поверхностью жидкости меньше атмосферного на величину Др, которую можно найти, рассмотрев равновесие выделенного на рис. 110 элемента жидкости и воздуха. Учитываяда радиус г этой поверхности равен d/2, где d — расстояние между стеклами. Давление под изогнутой поверхностью жидкости меньше атмосферного на величину Др, которую можно найти, рассмотрев равновесие выделенного на рис. 110 элемента жидкости и воздуха. Учитываясилы поверхностного натяжения на границе стекло — жидкость, запишемсилы поверхностного натяжения на границе стекло — жидкость, запишем

96. Свободная поверхность жидкости у торца сложенных стекол представляет собой цилиндрическую поверхность. Будем считать, что смачивание полное. Тог- «

96. Свободная поверхность жидкости у торца сложенных стекол представляет собой цилиндрическую поверхность. Будем считать, что смачивание полное. Тог- «

да радиус г этой поверхности равен d/2, где d — расстояние между стеклами. Давление под изогнутой поверхностью жидкости меньше атмосферного на величину Др, которую можно найти, рассмотрев равновесие выделенного на рис. 110 элемента жидкости и воздуха. Учитывая

да радиус г этой поверхности равен d/2, где d — расстояние между стеклами. Давление под изогнутой поверхностью жидкости меньше атмосферного на величину Др, которую можно найти, рассмотрев равновесие выделенного на рис. 110 элемента жидкости и воздуха. Учитывая

силы поверхностного натяжения на границе стекло — жидкость, запишем

силы поверхностного натяжения на границе стекло — жидкость, запишем

откудаоткуда(ро — p)dl = 2al,(ро — p)dl = 2al,Л^aьр = ро-р = -5- =Л^aьр = ро-р = -5- =

откуда

откуда

(ро — p)dl = 2al,

(ро — p)dl = 2al,

Л^a

ьр = ро-р = -5- =

Л^a

ьр = ро-р = -5- =

Поскольку атмосферное давление больше, чем давление между пластинками, то оно прижимает пластинки друг к другу. Так как стекла обычно неровные, то они касаются друг друга в некоторых местах, что ограничивает сближение стекол. Для того чтобы оторвать одно стекло от другого, нужно приложить силы, ббль- щие, чем Др5, где S — площадь стекол. Если расстояние между стеклами d ~ 10~6 м, то

Др = ^- #« 1,4- 10s Н/м2.a

При площади пластины —-10“2 м2 сила должна быть порядка 1,4-10’ Н (!)

Рассмотрим взаимодействие чистых концов спичек. В этом Случае поверхность воды принимает вид, изображенный на

рис. Ill, а. На высоте h справа от спички давление воды равно р0— pgh, а слева давление воздуха равно атмосферному р0- По

этому сила, действующая например, на левую спичку, со стороны жидкости, будет меньше силы, действующей со стороны воздуха.

п спички будут притягиваться. Когда концы обеих спичек покрыты парафином, то поверхность воды здесь принимает вид, изображенный на рис. 98,6, и рассмотрение, аналогичное приведенному выше, дает тот же результат. Поверхность воды в случае «разноименных» концов изображена на рис. 98, в. Рассмотрев силы, действующие на концы спичек слева и справа, мы придем к выводу, что концы спичек отталкиваются.

Будем обозначать через / высоту поднятия жидкости в капилляре: / = -^^. Чтобы вода могла подняться по трубке, нужно, чтобы было / > /1, а для того чтобы она начала вытекать через нижний конец, Н > I. Тогда получаем, что жидкость будет 2pgh ,- ZpgH „

вытекать, если < ст <. I юдставляя данные, полу

чим 0,0693 Н/м < о < 0,0735 Н/м. Отсюда диапазон температур 17 °C < Т < 45 СС.

В точке, в которой сходятся поверхности трех сред (в нашем случае жидкости, твердого тела и газа) эти поверхности образуют угол, который называют краевым углом. Краевой угол определяется силами взаимодей- ствия между молекулами в

‘ • ^" • '• этих сРсДах н сго можно опре- •-':•_ . делить из условия равновесия.

^/////////////////////Лу////////^/ Ограничимся случаем, когда

323одна из поверхностей — пло

ская поверхность твердого тела Рис. 112.(рис. 112). Рассмотрим отре

зок границы длины /. В точке О сходятся три силы поверхностного натяжения, направленные по касательным к границам раздела сред: Л = /0,2, F2 =Zo23 и Кз =/<Тзь где а12— поверхностное натяжение на границе сред 2 и 1, а22—поверхностное натяжение па границе сред 2 и 3, a a3i—на границе сред 1 и 3. Сумма проек-

ций этих сил на плоскую поверхность должна быть равна нулю:

/сгз1 — 1огз — ton cos а = 0./сгз1 — 1огз — ton cos а = 0.(1)(1)ОтсюдаОтсюдаcos аcos а<Тз1 — Сгз<Т12<Тз1 — Сгз<Т12

/сгз1 — 1огз — ton cos а = 0.

/сгз1 — 1огз — ton cos а = 0.

(1)

(1)

Отсюда

Отсюда

cos а

cos а

<Тз1 — Сгз

<Т12

<Тз1 — Сгз

<Т12

Если Ost > СТ12 + сггз, то условие (1) невыполнимо и равновесие невозможно. В этом случае жидкость растекается по поверхности, т. е., как говорят, полностью смачивает твердое тело. При

«)б)Рис. 113.«)б)Рис. 113.

«)б)

Рис. 113.

«)б)

Рис. 113.

О2з > 013 + О|2 равновесие тоже невозможно. Тогда жидкость полностью не смачивает твердое тело и собирается в каплю. В обычных школьных задачах считается, что cos а = 1 или cos а = —1.

Краевой угол не зависит от силы тяжести и должен быть одним и тем же в невесомости и на Земле. Как видно из рис. 113, а и б,

cos а = -5- и cos а = -=-. КоКг

Отсюда

,Ri Rs\ ": /

ао"

Если ту же жидкость налить в сосуд с радиусом, большим R2, то высота h понизится, а Рис. 115. жидкость у края слегка приподнимется, обра

зуя тот же угол а со стенкой (рис. 114). При R < Rs жидкость у края опустится, чтобы опять сохранился краевой угол (рис. 115).

Краевой угол, как мы уже выяснили, определяется только взаимодействием молекул трех сред. Его можно изменить, добавив в одну из сред какое-нибудь вещество, влияющие на поверхностное натяжение. Именно с этим связано то, что при растворе-

нии даже незначительного количества мыла или стирального порошка в воде ее моющее действие значительно усиливается. Это свойство объясняется тем, что мыло, скапливаясь (адсорбируясь) на границе воды с отмываемой поверхностью или тканью, значительно уменьшает поверхностное натяжение. В результате ослабляется прилипание частичек жира и грязи к поверхности.

Рис. 116.Рис. 116.Пусть, например, на поверхности ткани имеется капелька жира, который смачивает ее (рис. 116). Краевой угол а определяется, как нам уже известно, поверхностными натяжениями на границах раздела. Если в воду добавить мыло, то молекулы мыла, адсорбируясь на границах воды — жир и вода — ткань, значительно уменьшают ав^ж и <тв—г. Натяжение Ов-т оказывается меньшим, чем аж-т и соответственно, cos а < 0, то есть а > 90°. Жидкость перестанет смачивать поверхность. Уменьшение коэффициента Ов-ж при этом, как легко видеть, также увеличивает краевой угол.

Рис. 116.

Рис. 116.

При краевом угле а = 180° жир абсолютно не смачивает поверх

ность, и капелька жира сама отрывается от нее. Если же уменьшение поверхностного натяжения не столь велико, то во всяком случае после увеличения краевого угла а капли легко отрываются от поверхности при механических воздействиях во время мойки или стирки.

На рис. 117 показана серия увеличенных фотографий шерстяной нити. На первой фотографии — нить, испачканная жидким парафином. Три следующие фотографии показывают очищающее действие раствора стирального порошка. Ясно видно, как увеличивается краевой угол поверхности парафина с нитью. Парафиновый жир сворачивается в глобулы и уносится водой. Последняя фотография показывает уже совсем чистую нить.

Адсорбированные молекулы мыла окружают капельки жира и отмываемую поверхность плотно заполненным (мономолекуляр- ным) слоем, который обладает высокой механической прочностью. Молекулы мыла сильно связаны друг с другом, и разорвать пленку очень трудно Поэтому при стирке пленки из адсорбированных молекул не разрушаются и препятствуют обратному прилипанию уже оторвавшихся капелек жира к поверхности и слиянию капелек друг с другом.

Оторвавшиеся при стирке твердые частички грязи также оказываются окруженными молекулами мыла, которые препятствуют их обратному прилипанию к поверхности. Взвешенные в воде частицы грязи и капельки жира удаляются вместе с ней.

Интересно, что образование устойчивой пены — это только побочный эффект уменьшения поверхностного натяжения при

растворении моющих веществ,> Пена образуется из пузырь» ков воздуха, которые попадают в воду, увлекаемые струей воды. Эти пузырьки всплывают к поверхности и оказываются окруженными пленкой. Если поверхностное натяжение малб, то малб и избыточное давление 2о/г в пузырьке и он долго не лопается.

Механизм моющего действия, который мы здесь, разобрали, представляет интерес и в связи с другими важными техническими задачами: покрытием поверхностей лаками и красками, склеиванием, пропиткой некоторых материалов другими (например, пропиткой порошков искусственных алмазов металлом, при которой образуется сверхпрочный материал алмет) и т. д.

Прежде всего о форме капли в невесомости. Такая

Рис. 117.Рис. 117.капля должна быть сферической благодаря силам поверхностного натяжения, из-за которых капля должна принять форму с минимальной поверхностью. Когда капля падает равномерно, на ее форму влияет гидростатическое давление внутри капли. При равномерном падении капли сила тяжести, действующая на столбик АВ (рис. 118), должна быть уравновешена силами гидростатического давления снизу и сверху столбика. Если высота столбика АВ равна h, а площадь столбика S, то

Рис. 117.

Рис. 117.

p(sh)g = s(pA- рву или pA-pB = pgh.

Мы видим, что гидростатическое давление в капле меняется с в шестой. Предположим, что давление воздуха со всех сторон

капли одинаково и равно ро. Разность давлений внутри и снаружи капли определяется формулой Лапласа Ар = 2с)г, где г — радиус кривизны ио — поверхностное натяжение капли. Поэтому 2с

давление внутри капли равно Ро + ~~. Для точек А и В имеем

,2а, 2с

Ра = Ро + Т~ и Рв = р0+>~1

АВ

а так как рл — рв == pg h, то

2с 2с ,

— - — = pgh.

ГА ГВ

Отсюда следует, что радиус кривизны в точке В должен быть больше, чем в точке А, и капля должна выглядеть так, как показано на рис. 119.

Рис. 119.Рис. 119.Существенно ли различны гл и Гв? Для маленьких капель радиусом порядка 1 микрона (10-6 м), pgh « 210-2 Н/м2, а

Рис. 119.

Рис. 119.

Рис. 118.

2о/г « 1,6-105 Н/м2! В этом случае pg h настолько мало по сравнению с избыточным лапласовым давлением в капле, что гидростатическим давлением можно пренебречь. Такая капля может считаться эталоном сферичности. Иное дело для капли диаметром, скажем, в 4 мм. Для нее pg h « 60 Н/м2, а 2с,г « та 78 Н/м2. Эти .величины одного порядка, и нарушения сферичности для такой капли более существенны. Полагая ТдГв ~ г^р и й = 2гср«4мм, найдем, что Дг = г в — гд «0,06 мм. Разность радиусов составляет 3% от радиуса.

Однако наш расчет показывает только, для каких капель можно ожидать нарушение сферичности, но не объясняет форму капли. В чем же дело? А в том, что мы не учли разности давлений воздуха под каплей и над ней. Перед каплей давление больше нормального атмосферного на величину порядка рВоздО2, где v — скорость капли (см. задачу 32). За каплей же давление оказывается меньше атмосферного из-за того, что там образуют-

ся вихри и турбулентный воздушный поток. Если разность давлений воздуха у дна и вершины капли рдо — рв0 > pgh, то 2а 2а ,х п

pgh — (рло — рв0) < 0 и, следовательно, гА > ге. Г А ГВ

Об этом и свидетельствуют снимки.

Итак, теперь понятно, почему маленькие водяные капли сфе- ричны, а капли диаметром порядка 1—5 мм похожи на сдобную булочку. А как должны выглядеть капли еще большего диаметра? Оказывается, что капли большего диаметра неустойчивы и разрываются на маленькие. Это, впрочем, и понятно. Сохранность капли, ее форму обеспечивает поверхностное натяжение. Однако

когда гидростатическое давление в капле начинает превышать

давление Лапласа 2а/г, капля «растекается» и дробится на более

Рис. 120.Рис. 120.мелкие. Этим объясняется, почему не бывает крупных капель на листьях деревьев и других поверхностях, не смачиваемых жидкостью. Возможный размер капли можно получить из неравенства 2a/r > pgh, полагая, что h « 2г:

Рис. 120.

Рис. 120.

г < V pg

Для воды, например, найдем: г<3,8 мм; для ртути г < 2,6 мм. В случае движу-

щейся капли все выглядит сложнее из-

за внутренних вихревых движений внутри капли, которые появляются благодаря силам трения, действующим со стороны воздуха (рис. 120). Это, однако, мало меняет нашу оценку.

Заряд Q, который нужно поместить в нижней точке сферы, должен быть таким, чтобы электрическая сила, действующая на верхний заряд, была не меньше силы тяжести mg, то

qQ _„

есть —mg. Отсюда

mgd2q -

Однако нам нужно еще проверить, будет ли равновесие шарика устойчивым. Рассмотрим малое отклонение шарика от положения равновесия (рис. 121).

Равновесие шарика устойчиво, если проекция силы F электрического взаимодействия зарядов на касательную к сфере больше или равна проекции силы тяжести на ту же касательную: qQ ._. о

sin а^ mg sin 2а.

(Сила N реакции перпендикулярна к поверхности сферы.)

Так как угол а отклонения шарика от положения равновесия мал, то sin а « а, sin 2а « 2а. Поэтому

qQ

2mga^—p-a.

Следовательно, для устойчивого равновесия шарика в верхней Точке сферы в нижнюю точку сферы должен быть помещен заряд

q

Как известно, напряженность электрического поля вну

три заряженного тонкого сферического слоя равна нулю, а вне

Рис. 121.Рис. 121.этого слоя напряженность такая, какой она была бы, если бы весь заряд слоя был сосредоточен в его центре. (Это можно показать, исходя из закона Кулона и принципа суперпозиции.)

Рис. 121.

Рис. 121.

Разобьем Землю и атмосферу Земли на тонкие сферические слои. Тогда ясно, что на поверхности Земли напряженность электрического поля равна

Q4ле0Р2 'Q4ле0Р2 '(1)(1)где <2 — суммарный заряд Земли, R -е радиус Земли.

Q

4ле0Р2 '

Q

4ле0Р2 '

(1)

(1)

На высоте К напряженность электрического поля складывается из напря-

женностп поля, созданного зарядом Q

6 лн, и из напряженности поля, созданного- зарядом q слоев атмосферы с радиусами, меньшими К + К, то есть

р _* Q + ?

4ле0 (Р + КУ " Так как

4

^==рК = уЛ[(Р + й)3-Р3]р, То

О1 Г03’ п

Е = 4ле0 R + КУ + 3^[(/? + Л) ~ (^ + НУ 1Р" 2

Радиус Земли R много больше высоты К, поэтому в знаменателе формулы (2) можно сумму R-V К заменить на Р. Тогда

Р Q , К F 1 I К4ле0Р2 + Зе0 р £°+ Зеа р‘

Отсюда

р = ^о^_Ео). _ _ lj3.10-12 Кл/М3,

Если разность потенциалов между электродами U, ТО напряженность электрического поля между ними E=Uld. В этом поле на электрон действует сила F = еЕ (е— заряд электрона), сообщающая ему ускорение

FЕеUe

а = — ,

ттmd

При столкновении с атомом газа электрон передает ему свою энергию и останавливается (мы считаем, что столкновение ие- упруго). Масса атома много больше массы электрона. Поэтому то2 , атому газа при столкновении передается энергия ——, приобретаемая электроном между его последовательными столкновениями. Эта энергия должна быть равна потенциалу ионизации газа К7:

-^ = Г.(1)

Найдем теперь скорость, приобретаемую электроном. Если

Uex время разгона равно т, то мы можем записать, что и= ах = —т- md cvr? Uвт^

и 1 = - - = "g^ • Из этих уравнений найдем, чтО

Подставляя это выражение для и в уравнение (1), получим

d

откуда

Потенциал шара должен быть равен нулю. Потенциал поля в центре шара, равный, конечно, потенциалу шара, складывается из потенциала поля точечного заряда q и поля, создаваемого зарядом Q шара. Заряд Q распределен по шару не равномерно, но если шар разбить на маленькие участки с зарядами Eq, то потенциал поля, создаваемого зарядом шара в центре, можно выразить как суммарный потенциал полей ^очечных зарядов Eq.

Таким Образом, можно записать для центра шара: Дф = = У к^-=-У ^q = -Q и k^-+k^ = ° (6=1/4ле0).

Z—iг г Z—i гг I

Отсюда

0--Т9.

Будем считать, что сначала шар равномерно заряжен по всему объему, а потом часть его заряда, находящуюся внутри

полости, удаляют.

Согласно принципу суперпозиции напряженность поля в любой точке однородного заряженного шара равна векторной сумме напряженности поля шара с полостью и напряженности поля заряда, удаленного из полости.

Рассмотрим произвольную точку внутри полости. Ее расстояние от центра сферы обозначим х, а от центра полости у. Напряженность Ео поля, созданного сплошным шаром в этой точке.

Ео = -у лха.Ео = -у лха.направлена вдоль радиуса шара и равна по абсолютной величине

Ео = -у лха.

Ео = -у лха.

Ei = -д лу<т.Ei = -д лу<т.Аналогично, напряженность Е2 поля, созданного зарядом, находившимся раньше в полости, направлена по радиусу полости и равна по абсолютной величине

Ei = -д лу<т.

Ei = -д лу<т.

Тогда напряженность Ev истинного поля, созданного шаром с полостью, из принципа суперпозиции равна

Ех = Ео — Е2.

Рассмотрим треугольники АОО' и АВС (рис. 122).

Углы 1 и 2 равны как накрест лежащие, и отношения прилежащих к ним сторон одинаковы:

Е2Ео4

== — лет.

УX3

Следовательно, треугольники подобны, из чего следует, что ЕхЕо

ах

Отсюда

Из подобия треугольников следует также, что вектор Et направлен параллельно отрезку ОО'.

Таким образом, мы нашли, что вектор напряженности поля

отрезку ОО', соеди-отрезку ОО', соеди-6 U,6 U,Рис. 123.Рис. 123.в точке А полости направлен параллельно няющему центры сферы и полости. Абсолютная величина напряженности Et = = лао, и не зависит от того, где имен

отрезку ОО', соеди-

отрезку ОО', соеди-

6 U,

6 U,

Рис. 123.

Рис. 123.

но в полости находится точка А. Это означает, что электрическое поле в полости однородно.

Зарядив оба конденсатора от источника до разности потенциалов 8, составим цепь, изображенную на рис. 123. При этом заряды на конденсаторах перераспределяются.

Обозначая заряды на конденсаторах после перераспределения через 91 и 9г, а напряжения через Ut и 0 г, имеем

^ + О \ — Uг — 0,91 + 9г == 2С^Г,

откуда их = —, иг= — 8. Зарядив теперь конденсатор 1 до разности потенциалов 8, соберем ту же схему. Теперь U2 станет 7

равным — 8. Повторяя эту операцию много раз, можно заря

дить конденсатор 2 до разности потенциалов, сколь угодно близкой к 28. Соединив теперь последовательно источник, конденсатор 1, заряженный до напряжения 8, и конден

Рис. 124.Рис. 124.сатор 2, можно получить на концах цепи напряжение, сколь угодно близкое к 48.

Рис. 124.

Рис. 124.

Из симметрии очевидно, что при измерении емкости цепочки между точками / и 2, разность потенциалов между двумя любыми из других точек (3, 4, 5, 6 ...) равна нулю. Это означает, что включенные между этими точками конденсаторы не заряжены и поэтому они не дают вклада в емкость системы. Тогда данная цепочка эквивалентна схеме, приведенной на рис. 124.

Емкость цепи равна поэтому пС.

Во внешнем электрическом поле все гантельки ориентируются вдоль поля (рис. 125), при этом на шаре возникают заряды, распределенные определенным образом по его поверхности.

Внутри шара, где плотности положительных и отрицательных зарядов одинаковы, заряды компенсируют друг друга.

Если внимательно посмотреть на рисунок, то можно представить себе, что шар из полностью поляризованного диэлектрика эквивалентен двум как бы вложенным друг в друта шарам. Один

Рис. 125.Рис. 125.

Рис. 125.

Рис. 125.

рических слоев.рических слоев.НоНо-43Q = qn-~ лг3,-43Q = qn-~ лг3,дпгг Зееодпгг Зеео

рических слоев.

рических слоев.

Но

Но

-43

Q = qn-~ лг3,

-43

Q = qn-~ лг3,

дпг

г Зеео

дпг

г Зеео

шар заряжен только положительно, другой — только отрицательно. Центры этих шаров смещены друг относительно друга на расстояние I (длина гантельки), а относительно центра реального Щара они смещены на расстояние -^- (рис. 126).

Таким образом,- поле в любой точке складывается из внеш- йего поля долей, созданных положительно и отрицательно за

ряженными шарами. Поэтому вначале решим вспомогательную задачу: найдем напряженность поля внутри равномерно заряженного шара на расстоянии г от его центра.

Разобьем равномерно заряженный шар на тонкие сферические слои, толщина которых много меньше радиуса шара. Согласно принципу суперпозиции напряженность поля на расстоянии г от центра шара равна сумме напряженностей полей зарядов таких сфе- напряженность поля, созданного заря

дами тех слоев, радиусы которых больше ц равна нулю, а слоев, радиусы которых меньше г, такая, как если бы заряды этих слоев Находились в центре шара. Следовательно, напряженность ноля на расстоянии г от центра шара равна Ег = к-^-

(Q—заряд шара радиуса г). Если число Зарядов q в единице объема шара равно п, то

Воспользовавшись полученными результатами, нетрудно найти напряженность поля в любой точке А шара из диэлектрика. Обозначим расстояние от этой точки до центра положительно заряженного шара И, а до центра отрицательно заряженного шара г2. Вектор напряженности поля в точке А складывается из трех векторов (рис. 127) Ео, Ei и Е21 где ^1="^^поле г- стг2

положительно заряженного шара, Е2 =поле отрицатель

но заряженного шара.

Найдем сначала сумму Et и Е2. Рассмотрим треугольники АО1Ог и АВС. Углы АВС и OiAO2 равны, и выполняется следующее соотношение:

АВ _ Ei _ п _ О,А ВС Е2 г2 О2А ‘

Из подобия треугольников следует, что вектор Е = Ех -\- Е2 параллелен линии ОХО2, то есть параллелен Ео. Абсолютную величину вектора Е можно найти из соотношения

Е ОхО2

Ех ОхА ' откуда

Е = Е Q1®2 4^1

1 OiAЗее0 *

Рис. 127,Рис. 127,£л — £0 — -Е — Е(£л — £0 — -Е — Е(qnlЗее0 'qnlЗее0 '' Тогда окончательно напряженность поля в точке А равна

Рис. 127,

Рис. 127,

£л — £0 — -Е — Е(

£л — £0 — -Е — Е(

qnl

Зее0 '

qnl

Зее0 '

Как видно, напряженность поля в точке А не зависит ни от Г1, ни от г2, то есть не зависит от положения точки А внутри шара. Это означает, что поле внутри полностью поляризованного шара однородно.

Вектор напряженности поля не может быть параллелен отрезку АВ: напряженность поля заряженного отрезка равна сумме напряженностей полей частей отрезка, а они все направлены к отрезку или от него в зависимости от знака заряда отрезка.

Не подходит и высота треугольника АВС: например, если точка С находится в стороне от отрезка на расстоянии, много большем длины отрезка, то ясно, что напряженность поля должна быть направлена к отрезку АВ, а не по перпендикуляру к нему,

в этом случае сумма векторовв этом случае сумма векторовРис. 128.Рис. 128.Итак, у нас осталась медиана и биссектриса. Для того чтобы вектор Е был направлен вдоль медианы, необходимо, чтобы отрезки равной длины Дх, находящиеся на равных расстояниях от середины отрезка, создавали одинаковое поле в точке С. Только

в этом случае сумма векторов

в этом случае сумма векторов

Рис. 128.

Рис. 128.

ДЕ будет направлена вдоль медианы треугольника АВС. Однако это невозможно: отрезки равной длины имеют одинаковый заряд Ду = аДх (а — линейная плотность заряда, то есть заряд единицы длины отрезка), а расстояния до точки С различны.

Значит, вектор Е направлен вдоль биссектрисы треугольника АВС.

Убедимся в этом. Найдем напряженность поля отрезка Дх такого, что прямая, проведенная из него в точку С, обра

зует угол а с высотой треугольника и Дх С г (рис. 128): ^E =

, аДх „.

= к—. Если отрезок Дх виден из точки С под углом Да, то

л « <, Да Да . о , Да \

Дх) = г Да угол а мал, так что tg —, а ДХ] = 2г fg I,

.Дх । г Да . _, а г Да , аЛа

Дх = - ■■ = и &Е = к -== к.

sin (90 — а) cos аг2 cos а г cos а

Но г cos а = к, поэтому ДЕ = к --^ • Напряженность поля отрезка, который виден из точки С под угом Да, не зависит от угла а. Все отрезки, которые видны из точки С под одинаковым углом, создают в ней поле одинаковой величины. Но для любого отрезка Дх, находящегося слева от биссектрисы CD треугольника АВС, можно найти отрезок справа от нее такой, что он виден из точки С под тем же углом Да, что и отрезок Дх, и угол р между биссектрисой и прямой, соединяющей этот отрезок с точкой С, такой же, как и для отрезка Дх. Так как эти отрезки создают в точке С одинаковое поле, то вектор ДЕ суммьЕ векторов ДЕ1 и ДЕ2 напряженностей полей отрезков направлен по диагонали ромба, построенного на векторах ДЕ] и ДЕ2, то есть вдоль биссектрисы CD. Это верно для любого угла а, то есть для любой пары отрезков. Значит, и вектор напряженности поля отрезка АВ направлен вдоль биссектрисы треугольника АВС,

том случае, если заряд q равномерно «размазать» по плоскости.том случае, если заряд q равномерно «размазать» по плоскости.ПО. Так как пластины конденсатора большие, индуцирован* ные на них заряды не изменяются при перемещении заряда q параллельно плоскостям пластин (краевыми эффектами мы пренебрегаем). Это означает, что не изменятся заряды пластин н в

том случае, если заряд q равномерно «размазать» по плоскости.

том случае, если заряд q равномерно «размазать» по плоскости.

параллельной пластинам конденсатора и находящейся первоначально на расстоянии d/З от левой пластины.

Обозначим q заряд левой пластины конденсатора. Тогда заряд правой пластины (согласно закону сохранения заряда) равен —qi. Заряды qx н —q\ пластин конденсатора создают между пластинами электростатическое поле с

напряженностью Е) = -g^' (3 — площадь

каждой пластины), а находящаяся

внутри конденсатора пластина с зарядом q — поле с напряженностью Е — "^е S (РИС" *29). С одной стороны от пластины направления напряженностей обеих полей совпадают, а с другой стороны — противоположны друг другу. Поэтому разность потенциалов Дф между пластинами конденсатора равна

19

Дф = (£,-£)- у <Z + (£.+ £г) — d.

Так как пластины конденсатора замкнуты, напряжение между ними равно нулю: Дф = 0. Следовательно,

-3^5 С91 “ 2") + 3^5" G1 + "2 ) = °-

Из этого уравнения найдем заряд qv.

qx = -^q-

Аналогично можно найти заряд qv левой пластины конденсатора, когда средняя пластина (заряд у) находится от нее на 2 .

расстоянии у а:

/ 1

91 =б"q"

Таким образом, при перемещении внутри конденсатора точечного заряда q (или заряженной пластины) по проводнику.

соединяющему пластины конденсатора, проходит заряд

M = qv — qi = 3- q-

Когда язычок подключен к источнику, конденсатор заряжается до некоторого напряжения U. При этом на его обкладках появляются заряды q = CU. При переключении язычка происходит разрядка конденсатора. Таким образом, через плечо мостика, в которое включен конденсатор, течет средний ток / = CUx при напряжении на нем U. Следовательно, эффективное

Рис. 130,Рис. 130,сопротивление этого плеча равно

Рис. 130,

Рис. 130,

Рэ = (Cv)-1. Записав условие балан-

R1Рэ

са моста —— = —, найдем

ССR 1R1R2 v'R 1R1R2 v'КРг

С

С

R 1

R1R2 v'

R 1

R1R2 v'

Включим гальванометр в цепь вместо неизвестного сопротивления (рис. 130), а точки А и В соединим через ключ К. Подбором переменного сопротивления R добьемся такого положения, что показания гальванометра не будут изменяться

при замыкании и размыкании ключа К. В такой ситуации потенциалы точек А и В равны: фл = фе.

Но фл = фо — hR (/j — ток, текущий по участку ОД), а фв = фс — ЬРг Цг — ток, текущий по участку DB). Поэтому

откудаоткуда(1)(1)фо — hR = фо — hRz,hR = I2R2.

откуда

откуда

(1)

(1)

С другой стороны, фл = фс + hr (г — сопротивление гальванометра), а фв = фс + hRi, так что

Фс + Лг = Фс+ ^Р

откуда

hr-hRv(2)

Из (1) и (2) получаем

Ясно, что нижний вольтметр показывает lh— $ — Ui= = 3 В. Сумма токов в общей точке вольтметров равна нулю.

а показания каждого вольтметра пропорциональны току через него. (Сопротивления вольтметров одинаковы по условию.) Следовательно,

Vz = U2 - = 1В.

В отсутствие вольтметра сопротивления R и Ri включе

ны последовательно. Поэтому напряжение на сопротивлении R

равноравноUR R + RtUR R + Rt8.8.При подключении вольтметра он будетПри подключении вольтметра он будет

равно

равно

UR R + Rt

UR R + Rt

8.

8.

При подключении вольтметра он будет

При подключении вольтметра он будет

измерять напряжение на участке, состоящем из параллельно включенных сопротивлений R и сопротивления вольтметра г. Вольтметр покажет величину

и'=^и'=^Rr ,7 RrR + ri\R + rRr ,7 RrR + ri\R + r4-^)4-^)

и'=^

и'=^

Rr ,7 RrR + ri\R + r

Rr ,7 RrR + ri\R + r

4-^)

4-^)

По условию, показание вольтметра должно отличаться не более чем на 2% от значения UR. Поэтому

<0,02.<0,02.

<0,02.

<0,02.

Подставив в это уравнение выражения для UR и U', найдем, что сопротивление вольтметра не должно превышать 3675 кОм.

При подключении вольтметра к точкам Л и В его показание равно э. д. с. источника. Поэтому если вольтметр подключен к сопротивлению п, а внутреннее сопротивление вольтметра равно г, то по цепи идет ток

так что

^^^т^/Ь+т^)-(1)

И + Г ' \ Л Тг2 /

.Точно так же

"-‘'^/(п+т^т)'<2)

Разделив уравнение (1) на уравнение (2), получим

17, л

U2 Га

Таким образом, riln = 3/2.

При отключенном вольтметре напряжение на сопротивлениях Тх и гг равно 17=12 В Так как отношение сопротивлений

известно, нетрудно найти и напряжения U{ и U2 на сопротивлениях:

U.-VU2 — U, и2U.-VU2 — U, и222

U.-VU2 — U, и2

U.-VU2 — U, и2

2

2

Отсюда

и\=ии\=и= Ду ; 1 , =7,2 В,1 + ^г/г1= Ду ; 1 , =7,2 В,1 + ^г/г1и2 = и-и\и2 = и-и\4,8 В.4,8 В.

и\=и

и\=и

= Ду ; 1 , =7,2 В,1 + ^г/г1

= Ду ; 1 , =7,2 В,1 + ^г/г1

и2 = и-и\

и2 = и-и\

4,8 В.

4,8 В.

Достаточно сделать два измерения (рис. 131). Первое

позволяетпозволяетопределить внутреннее сопротивление амперметра;

позволяет

позволяет

Рис. 131.Рис. 131.

Рис. 131.

Рис. 131.

Ux г.-—.Ux г.-—.аа■^ = Rx + ra,22117. Ответ■^ = Rx + ra,22117. Ответ

Ux г.-—.

Ux г.-—.

а

а

■^ = Rx + ra,22

117. Ответ

■^ = Rx + ra,22

117. Ответ

второе — величину неизвестного сопротивления:

отсюда Rx = —,га.

зависит от того, какой из приборов лучше. Если

мы измеряем сопротивление Rx по первой схеме, то мы знаем напряжение U на этом сопротивлении, а ток, идущий через него, точно неизвестен. Неточность в измерении тока А/ при известном напряжении приводит к неточности АД* в определении Rx, которая легко находится из закона Ома:

IRx=U, I NRX-V RXM = O.

Обозначая R„ внутреннее сопротивление вольтметра, имеем А/Rb — IRx-

R

Поэтому NRX = Rx~r =~?T" • Для второй схемы аналогич- 1 АВ

но получаем ^RX = Ra, где Ra—внутреннее сопротивление амперметра. Таким образом, если RX/RB < RJRX, то выгоднее пользоваться первой схемой, и наоборот.

Для того чтобы найти мощность Р, необходимо найти напряжение U на лампочке и ток / через нее. Найдем их.

Если напряжение на лампочке и резисторе с сопротивлением Ra равно U, то напряжение на втором резисторе равно 8—U и ток через него равен, UЕсли напряжение на лампочке и резисторе с сопротивлением Ra равно U, то напряжение на втором резисторе равно 8—U и ток через него равен, UЧерез резистор с сопротивлением RaЧерез резистор с сопротивлением Ra_ Uh-R?_ Uh-R?а через лампочку тока через лампочку ток/ = /.-/=/ = /.-/=8Ri8Riтечет при этом токтечет при этом ток(1)(1)Этой зависимости должны удовлетворять ток и напряжение на лампочке. С другой стороны, их значения должны соответствоЭтой зависимости должны удовлетворять ток и напряжение на лампочке. С другой стороны, их значения должны соответствовать значениям, соответствующим графику (рис. 132). Поэтому для того чтобы найти U и I, нужно построить график зависимости /(И), соответствующий формуле (1), и найти значения U и I, соответствующие точкам пересечения графиков. Подставив в формулу (1) известные величины, зависимость I от U можно записать в видевать значениям, соответствующим графику (рис. 132). Поэтому для того чтобы найти U и I, нужно построить график зависимости /(И), соответствующий формуле (1), и найти значения U и I, соответствующие точкам пересечения графиков. Подставив в формулу (1) известные величины, зависимость I от U можно записать в виде(/ выражается в амперах, a U — в вольтах). Этот график легко построить. Из рисунка видно, что(/ выражается в амперах, a U — в вольтах). Этот график легко построить. Из рисунка видно, что/ = 0,4 А и U = 1,2 В По/ = 0,4 А и U = 1,2 В ПоэтомуэтомуР = Ы = 0,48 ВтР = Ы = 0,48 Вт119. Построим нагрузочную прямую <7 =119. Построим нагрузочную прямую <7 =+ ^0+ ^0RhRi + RhRhRi + RhRHR.Ri + RhRHR.Ri + Rh(см. задачу 118). Ее пересечение с графиком(см. задачу 118). Ее пересечение с графиком(рис. 133) определяет рабочее напряжение U = 10 В. Для того чтобы найти At/о, необходимо построить нагрузочные прямые с(рис. 133) определяет рабочее напряжение U = 10 В. Для того чтобы найти At/о, необходимо построить нагрузочные прямые сU = 10 В ± 0,5 В (рис. 133). По этим прямым нетрудно найтиU = 10 В ± 0,5 В (рис. 133). По этим прямым нетрудно найтипределы изменения £/0: 90 В ^ Uo ^ 45 В.пределы изменения £/0: 90 В ^ Uo ^ 45 В.

Если напряжение на лампочке и резисторе с сопротивлением Ra равно U, то напряжение на втором резисторе равно 8—U и ток через него равен

, U

Если напряжение на лампочке и резисторе с сопротивлением Ra равно U, то напряжение на втором резисторе равно 8—U и ток через него равен

, U

Через резистор с сопротивлением Ra

Через резистор с сопротивлением Ra

_ Uh-R?

_ Uh-R?

а через лампочку ток

а через лампочку ток

/ = /.-/=

/ = /.-/=

8

Ri

8

Ri

течет при этом ток

течет при этом ток

(1)

(1)

Этой зависимости должны удовлетворять ток и напряжение на лампочке. С другой стороны, их значения должны соответство

Этой зависимости должны удовлетворять ток и напряжение на лампочке. С другой стороны, их значения должны соответство

вать значениям, соответствующим графику (рис. 132). Поэтому для того чтобы найти U и I, нужно построить график зависимости /(И), соответствующий формуле (1), и найти значения U и I, соответствующие точкам пересечения графиков. Подставив в формулу (1) известные величины, зависимость I от U можно записать в виде

вать значениям, соответствующим графику (рис. 132). Поэтому для того чтобы найти U и I, нужно построить график зависимости /(И), соответствующий формуле (1), и найти значения U и I, соответствующие точкам пересечения графиков. Подставив в формулу (1) известные величины, зависимость I от U можно записать в виде

(/ выражается в амперах, a U — в вольтах). Этот график легко построить. Из рисунка видно, что

(/ выражается в амперах, a U — в вольтах). Этот график легко построить. Из рисунка видно, что

/ = 0,4 А и U = 1,2 В По

/ = 0,4 А и U = 1,2 В По

этому

этому

Р = Ы = 0,48 Вт

Р = Ы = 0,48 Вт

119. Построим нагрузочную прямую <7 =

119. Построим нагрузочную прямую <7 =

+ ^0

+ ^0

Rh

Ri + Rh

Rh

Ri + Rh

RHR.

Ri + Rh

RHR.

Ri + Rh

(см. задачу 118). Ее пересечение с графиком

(см. задачу 118). Ее пересечение с графиком

(рис. 133) определяет рабочее напряжение U = 10 В. Для того чтобы найти At/о, необходимо построить нагрузочные прямые с

(рис. 133) определяет рабочее напряжение U = 10 В. Для того чтобы найти At/о, необходимо построить нагрузочные прямые с

U = 10 В ± 0,5 В (рис. 133). По этим прямым нетрудно найти

U = 10 В ± 0,5 В (рис. 133). По этим прямым нетрудно найти

пределы изменения £/0: 90 В ^ Uo ^ 45 В.

пределы изменения £/0: 90 В ^ Uo ^ 45 В.

Напряжение U на дуге равно

(1)(1)U = По - IR,

(1)

(1)

где / — ток в цепи. С другой стороны, зависимость напряжения 1) от тока / должна определяться точками графика U(l), Поэтому построим на графике нагрузочную прямую О = Uo— IR

Рис. 133.

и найдем точки пересечения этой прямой с вольт-амперной характеристикой дуги (рис. 134). Эти точки и определяют возможные

значения напряжений на дуге и токов в цепи. Точка а соответствует устойчивому, а точка b — неустойчивому горению дуги. Убедимся в этом, рассмотрев, например, точку Ъ. При случайном небольшом уменьшении тока напряжение на дуге t/j окажется

меньше того напряжения UY, которое должно быть на дуге для ее нормального горения. Дуга гаснет. При небольшом возрастании тока напряжение на дуге U2 будет больше необходимого U"\ Это приведет к еще большему увеличению тока. Точно так же нетрудно убедиться в том, что точка а соответствует устойчивому горению дуги. Из рисунка найдем, что / = 13 А.

Рис. 136.Рис. 136.Можно решить задачу и иначе, построив вольт-амперную характеристику всей цепи. Для этого достаточно «сложить» график /7(/) для дуги с графиком зависимости UR от / для резистора (рис. 135). Значениям напряжения Uo на входе цепи соответствуют две точки а и 6 вольт-амперной характеристики цепи. Точка а лежит на восходящем участке характеристики, а точка 6 — на, как говорят, падающем участке, — участке, на котором при увеличении тока напряжение не возрастает, а убывает. На таком участке дифференциальное

Рис. 136.

Рис. 136.

сопротивление цепи = —тг Д/

отрицательно. Предположим, дуга работает при напряжении

no-такno-такUo и /о, соответствующим точке 6 (рис. 136), и в цепи явилась небольшая переменная составляющая напряжения,

no-так

no-так

что U = Uo + —■ &U sin tot. Тогда появится и переменная составляющая тока / = /0 + -^- Д/ sin (со/ + ср), где ср — сдвиг фаз между током и напряжением. Так как при уменьшении наприже- ния ток возрастает и прн минимальном напряжении ток максимален (см. рис. 136), то ф = л. Мощность Р, которая выделяется MJ-M

переменным током, равна cos ф, а так как ф = л, то

д = -^<0.

Мы видим, что мощность Р отрицательна! Это означает, что переменная составляющая тока не выделяет энергию, а черпает ее за счет постоянной и, следовательно, амплитуда переменного тока должна нарастать. Такое нарастание тока приведет к тому, что установится ток, соответствующий точке а участка вольт-амперной характеристики!

Прежде всего необходимо построить вольт-амперную характеристику для лампы мощностью 45 Вт. Это можно сделать, заметив, что отношения токов при одном и том же напряжении на двух лампах равно отношению их мощностей. (Справедливость этого для напряжения, отличного от 127 В, следует нз того, что лампу в 75 Вт можно получить, включив параллельно лампу в 45 и в 30 Вт.) На рис. 137 вольт-амперная характеристика лампы в 45 Вт показана пунктиром. Сложив обе

кривые, получим вольт-амперную характеристику последовательно соединенных ламп. По этому графику найдем значения тока в лампах при U = 220 В, и значения напряжений Ui и иг на лампах. Так как U\ > 1,1 Проб, то ясно, что такое включение ламп недопустимо.

Если в цепи течет ток /, то напряжение на сопротивлении г будет равно 1г. Поэтому при заданном значении сопротивления ток в цепи н напряжение на сопротивлении графически находятся как координаты точки пересечения прямой U = 1г с вольт-амперной характеристикой источника (рис. 138).

При увеличении сопротивления реостата угол наклона этой прямой с осью / будет расти. Прн этом будет увеличиваться напряжение на сопротивлении. Сопротивление, соответствующее положению / прямой, будем обозначать через rt. Начиная с этого значения сопротивления, ток в цепи может иметь три значения. Однако вплоть до сопротивления г2 ток будет непрерывно изменяться. Положение // соответствует неустойчивости в системе. Небольшое уменьшение тока приводит к его скачкообразному

ослаблению до величины /2- При этом напряжение на сопротивлении тоже уменьшается скачком При дальнейшем увеличении сопротивления реостата напряжение на нем будет непрерывно возрастать. При выводе реостата неустойчивость возникает при сопротивлении ri.

Реостат Rt слабо влияет на напряжение на приборе. По

этому ясно, что сначала надо установить напряжение на приборе с помощью реостата Нг и затем подправить его реостатом Rt.

Действительно, если длинаДействительно, если длинареостата равна Z, а неточность

Действительно, если длина

Действительно, если длина

при установке реостата составляет М, то неточность в сопротнв- лении реостата ^R2 равна — R2, а неточность в установке со

противления реостата Ri равнапротивления реостата Ri равнаМ D Az D

противления реостата Ri равна

противления реостата Ri равна

-у- Ri = 0,1 — R2, то есть в

10 раз меньше неточности установки сопротивления реостата R2. Поэтому при той тактике, о которой мы говорили, сопротивление реостатов удастся подобрать в 10 раз точнее, чем при использовании только одного реостата R2. Во столько же раз точнее будут установлены и напряжения на реостатах, а значит, и

напряжения на приборе.

Так как заранее не очевидно, в какую сторону мы ошибемся.

устанавливая сопротивление R2, то есть что нам придется делать

с помощью реостата Ri, — увеличивать илн уменьшать сопротив

ление, то перед установкой реостата R2 движок реостата Rt нужно установить посередине реостата.

Если нам нужно устанавливать как можно точнее не напряжение на приборе, а ток, идущий через него, то в этом случае реостат должен быть включен параллельно прибору как шунт, причем основным в этом случае будет реостат с меньшим сопротивлением; именно через него будет идти наибольший ток.

Второй реостат с большим со

противлением нужно включить парал

лельно первому (рис. 139) и ток устанавливать так: вначале установить движок реостата R2 посередине, затем установить ток с помощью реостата Ri и подправить его с помощью реостата R$.

Так как ток, идущий через реостат, равен ^ = "^"» т0 ПРИ неточности установки сопротивления реостата ^R неточность в

так чтак чустановке тока будет равна

так ч

так ч

17 U _ U^R U

R R-^^R R (R + ^R) ^ R2

Используя реостат Ri, мы получим неточность установки токаU М п U М_■—- — Ri —1 а с помощью реостата /?2 неточность уста-Ry I Rj IИспользуя реостат Ri, мы получим неточность установки токаU М п U М_■—- — Ri —1 а с помощью реостата /?2 неточность уста-Ry I Rj I„ и ыи ыновки тока станет равной -5 — = 0,1 ——, то есть будетА2 7А1 I10 раз меньше, чем при использовании только реостата Rv124. Пусть Р— мощность, выделяющаяся в утюге. Тогда :„ и ыи ыновки тока станет равной -5 — = 0,1 ——, то есть будетА2 7А1 I10 раз меньше, чем при использовании только реостата Rv124. Пусть Р— мощность, выделяющаяся в утюге. Тогда :ввзазавремя т^ в нем выделится энергия Wt = Рть а за время Ti + т2 утюг отдаст энергию Wz = «(7,— 7c)(ti + t2), где а — коэффи-время т^ в нем выделится энергия Wt = Рть а за время Ti + т2 утюг отдаст энергию Wz = «(7,— 7c)(ti + t2), где а — коэффи-циент утюгациент утюгапропорциональности. При установившейся температурепропорциональности. При установившейся температуреWi = №2,Wi = №2,то естьPti =а(Г, — 70) (Ti + т2).то естьPti =а(Г, — 70) (Ti + т2).(1)(1)Точно так же в режиме, когда регулятор установлен в положеТочно так же в режиме, когда регулятор установлен в положеI ети, виде щаш Оле;ленцииИз тем лам чтоI ети, виде щаш Оле;ленцииИз тем лам что

Используя реостат Ri, мы получим неточность установки тока

U М п U М_

■—- — Ri —1 а с помощью реостата /?2 неточность уста-

Ry I Rj I

Используя реостат Ri, мы получим неточность установки тока

U М п U М_

■—- — Ri —1 а с помощью реостата /?2 неточность уста-

Ry I Rj I

„ и ыи ы

новки тока станет равной -5 — = 0,1 ——, то есть будет

А2 7А1 I

10 раз меньше, чем при использовании только реостата Rv

124. Пусть Р— мощность, выделяющаяся в утюге. Тогда :

„ и ыи ы

новки тока станет равной -5 — = 0,1 ——, то есть будет

А2 7А1 I

10 раз меньше, чем при использовании только реостата Rv

124. Пусть Р— мощность, выделяющаяся в утюге. Тогда :

в

в

за

за

время т^ в нем выделится энергия Wt = Рть а за время Ti + т2 утюг отдаст энергию Wz = «(7,— 7c)(ti + t2), где а — коэффи-

время т^ в нем выделится энергия Wt = Рть а за время Ti + т2 утюг отдаст энергию Wz = «(7,— 7c)(ti + t2), где а — коэффи-

циент утюга

циент утюга

пропорциональности. При установившейся температуре

пропорциональности. При установившейся температуре

Wi = №2,

Wi = №2,

то есть

Pti =а(Г, — 70) (Ti + т2).

то есть

Pti =а(Г, — 70) (Ti + т2).

(1)

(1)

Точно так же в режиме, когда регулятор установлен в положе

Точно так же в режиме, когда регулятор установлен в положе

I ети, виде щаш Оле;

ленции

Из тем лам что

I ети, виде щаш Оле;

ленции

Из тем лам что

нии «хлопок»,

НоНо^ = а (72 - Го) « + т2).(2)

Но

Но

Подставив в (2) значение Р из (1), найдем 72:

ИзИзТ1 (Л-^^ + 'Гг) , т

Из

Из

7Г 7 о

Т[ т, + т2

Ж* эт ве л$ ив нЖ* эт ве л$ ив нАналогично найдем и 73:

Ж* эт ве л$ и

в н

Ж* эт ве л$ и

в н

7з = 420 °C.

Обозначим 8 и 8\—энергии, излучаемые соответствен- но первой и второй лампочками, a W н Wt — мощности, потребляемые ими от сети. Тогда 8 = ») W', 81 = rjWi и 8v = 28, где У) — к. п. д. лампочек. Отсюда следует, что

IT, .

W ~ 8

U2U24/

Но IV = —и lVi=-pr-, где U — напряжение сети, R = р —

КAiЛа'

471

В R1 = р —v — сопротивления нитей (р — удельное сопротивлеч вне материала при температуре работы лампы). Поэтому

W'y R Id-X

~W"~~RT~'hd2 1

так что

В состоянии равновесия мощность, получаемая лампочкой от сети, должна быть равна мощности, излучаемой лампочкой в виде света и тепла. Последняя, очевидно, пропорциональна площади поверхности нити и некоторой функции температуры КТ). Следовательно, W = Sf(T).

Световой поток, излучаемый лампочкой, также пропорционален площади поверхности нити и некоторой (уже другой) функции температуры <р(7): S = S<p(7). Так как S’ = ^W, то

tp (7) = yf (7).(2)

Из равенства (2) следует, что к. п. д. лампочки определяется температурой нити. Следовательно, при одинаковых к. п. д. двух лампочек температуры их нитей накала одинаковы. Это означает, что

Уг5,Ф(7)Sidxh

S8<р (Т)8dl '

Но Si = 2S, следовательно,

-^- = 2.(3)

al

Из равенств (1) И (3) нетрудно найти:

dY = d ^4 « l,6d, h = l^2 « 1,3Z.

При подключении концов проволоки к источнику напряжения через нее потечет ток. Проволока будет нагреваться. При этом она удлиняется и ее сопротивление увеличивается. Это приведет к уменьшению тока, а следовательно, и количества выделяющегося в проволоке тепла. Длина проволоки уменьшится Н т. д.

Обозначим U напряжение на зажимах электролизной ванны и / — пропускаемый ток. Проводя электролиз воды в течение времени /, необходимо затратить энергию

W = UIt = UQ,

где Q — заряд, прошедший через ванну.

При этом из ванны выделится масса водорода

где ц = 10“3 кг/моль — молярная масса выделяющегося атомарного водорода, е= 1,6-10-18 Кл — заряд иона водорода и Мл— 1 исло Авогадро,

При сгорании этого водорода образуется вновь вода и выделяется энергия

W , = mq

Из закона сохранения энергии следует, что W > Wi, то есть

откуда получим, что напряжение U должно быть больше, чем

t/mln = ^^1.23 В.

У старой батареи большое внутреннее сопротивление. Из закона Ома для полной цепи легко видеть, что увеличение внутреннего сопротивления батареи приводит к уменьшению тока в цепи.

Батарея гальванических элементов имеет конечное внутреннее сопротивление, поэтому напряжение на лампе меньше э. д. с. батареи на величину падения напряжения на внутреннем сопротивлении. Если разряжать через лампу конденсатор, то все напряжение падает на лампу. По мере разрядки конденсатора напряжение на лампе уменьшается, ио если взять конденсатор большой емкости, то заряд, накопленный в нем, будет большим и в течение достаточного промежутка времени разность потенциалов между обкладками конденсатора (а следовательно, и напряжение на лампе) будет практически постоянным.

Нить лампочки нагревается не сразу. Так как сопротивление ненагретой нити мало, то некоторое время после включения лампочки в сеть через нее течет большой ток. Сопротивление тонких небольших участков нити больше сопротивления других таких же по длине, но более толстых участков. Поэтому на тонких участках выделяется больше тепла. Теплоотвод же, пропорциональный площади поверхности участка, меньше, чем в случае толстого участка. Это приводит к тому, что тонкие участки нагреваются значительно быстрее всей нити, причем при нагревании сопротивление тонкого участка возрастает, что приводит к еще большему выделению тепла н нагреванию. Увеличение сопротивления тонкого участка мало влияет на сопротивление всей нити и через нить все еще идет большой ток. Все это приводит к перегреву тонкого участка и его сгоранию.

Если диаметр тонкого участка мало отличается от диаметра нити, или его длина сравнима с длиной нити, то вся нить успе-. вает прогреться, а ток через нее уменьшится до безопасной величины.

Находящийся в магнитном поле конденсатор, заполненный проводящей жидкостью, представляет собой источник тока. Найдем э. д. с. и внутреннее сопротивление этого источника.

На свободные заряды проводящей жидкости, движущиеся со скоростью и, в магнитном поле действует сила Лоренца Ел — quB, искривляющая траектории зарядов. В результате заряды оседают на пластинах конденсатора. Если конденсатор не замкнут на внешнее сопротивление, процесс зарядки продолжается до тех пор, пока сила, действующая на заряды со стороны возникающего электрического поля, не уравновесит силу Лоренца. Из этого условия найдем напряженность электрического поля

в конденсаторе, не замкнутом на внешнее сопротивление: Еэл = Гл, или Eq = qvB, откуда Е = иВ. Следовательно, раз

ность потенциалов между пластинами не замкнутого конденсатора (э. д. с.) равна ё = yBd.

Внутреннее сопротивление конденсатора равно сопротивле- d

нпю проводящей жидкости между обкладками, г — р

сопротивлениясопротивлениисопротивлениясопротивленииRRRRПри подключении к конденсатору внешнего

сопротивления

сопротивлении

сопротивления

сопротивлении

R

R

R

R

по цепи идет ток / = ~n~"i—• Чри этом на К + г

выделяется мощность

P = PRP = PR(cBdy R(cBdy R

P = PR

P = PR

(cBdy R

(cBdy R

Электроны вылетают из электронной пушкн трубки с

небольшим угловым разбросом скоростей н попадают в магнитное поле. При этом в направлении оси электроны имеют одииа-

- ■—, и раз

личные составляющие, перпендикулярные к оси и намного меньшие, чем цц

Движение вдоль осн — равномерное и прямолинейное. Наличие же перпендикулярных к оси составляющих приводит к искривлению траектории движения электронов. На электрон, влетающий в магнитное поле перпендикулярно к его силовым линиям, действует сила Лоренца

F = екВ,

где у — перпендикулярная к В составляюшая скорости электрона Эта сила сообщает электрону центростремительное ускоре1!не а = v2/R, где R — радиус окружности, по которой бу^рт

двигаться электрон. Согласно второму закону Ньютона

откудаоткудаmu2mu2еуВ,еуВ,ине фо]ине фо]

откуда

откуда

mu2

mu2

еуВ,

еуВ,

ине фо]

ине фо]

оче ила тер дус не скс наг ра.йог наг ра;оче ила тер дус не скс наг ра.йог наг ра;где зарк 1 час как Ко, унт об] по; Дл В I ри:В 1ва: б=с ту] агде зарк 1 час как Ко, унт об] по; Дл В I ри:В 1ва: б=с ту] а

оче ила тер дус не скс наг ра.

йог наг ра;

оче ила тер дус не скс наг ра.

йог наг ра;

где зар

к 1 час как Ко, унт об] по; Дл В I ри:

В 1

ва: б=с ту] а

где зар

к 1 час как Ко, унт об] по; Дл В I ри:

В 1

ва: б=с ту] а

те"еВ

а период Т и частота со вращения электрона по окружности Из? есть

г = ^. = ^ю=2л=^(2) КОТ

v еВТ m А\

Мы получили очень важный результат: какими бы ни были составляющие скоростей электронов, перпендикулярные к оси труб* ки, все электроны совершают один оборот за одно и то же вре* I мя. Если бы составляющие скоростей электронов, параллельные i оси трубки, были все равны нулю, то траекториями электронов | были бы окружности разных радиусов, проходящие через одну точку — точку вылета электронов из пушки (рис. 140), причем в эту точку все электроны приходили бы одновременно.

Так как электроны участвуют еще в равномерном прямолинейном движении вдоль оси трубки, то результирующими траекториями нх движений будут винтовые линии. Эти линии будут

пересекаться на каждом шаге винта (рнс. 141), так как состав* ляющие скоростей, параллельные оси, одинаковы для всех электронов. В точках пересечения траекторий, очевидно, и фокусируется электронный пучок.

Итак, электронное пятно на экране будет собираться в точку, если расстояние L от электронной пушки до экрана будет кратно шагу винтовой линии h = ytT, то есть

£ = дУ|Г = Пл/^£.-^ = 4.2лА/'™7,(3)

V m еВ В V е

причем при В — В^ п = 1, при В = 2В0 п = 2 и т, Д.

С помощью такого эксперимента можно определить отношение заряда электрона к его массе. Действительно, из последней формулы

е 8лгД

m ~ В2В^ "

Измерив о, L и So, нетрудно найти отношение —.

Рис. 142.Рис. 142.Мы показали (см. формулу (1)), что радиус окружности, по которой движется заряженная частица в однородном поле, обратно пропорционален индукции В поля, и может быть сделан очень маленьким. На этом основана идея магнитной изоляции плазмы. Температура плазмы для осуществления управляемых термоядерных реакций должна достигать сотен миллионов градусов (10= К— 10s К) и поэтому необходимо изолировать плазму, не допуская ее контактов со стенками установки. В цилиндрической установке это можно сделать с помощью магнитного поля, направленного вдоль оси цилиндра. В таком поле электроны н ионы будут вращаться в разных направлениях по окружностям с радиусом

Рис. 142.

Рис. 142.

где т — масса частицы и q — ее заряд.

В сечении, перпендикулярном к полю, движение одного copra частиц в плазме выглядит так, как показано на рис. 142.

Кольцевые токи, которые связаны с таким движением, взаимно уничтожаются внутри плазменного столба, а на границе столба образуют кольцевой ток. Взаимодействие этого тока с магнитным полем и удерживает плазму. Правда, остаются концы цилиндра. Для удержания плазмы там используются неоднородные поля, в которых частицы плазмы отражаются от конца. Другой вариант установки — обойтись вообще без концов, поместив плазму в тороидальную камеру. Таково устройство установок «Токамак».

Так как в сверхпроводящем контуре не может действовать э. д. с. (по закону Ома ток в контуре при этом должен быть бесконечным), то магнитный поток через сверхпроводящий контур всегда остается неизменным. Площадь контура уменьшилась, а магнитный поток остался прежним. Следовательно, индукция

1231235 И, Ш, Слободецкий, Л, Г, Асламазов

123

123

магнитного поля увеличилась во столько раз, во сколько уменьшилась площадь контура. И так как индукция магнитного поля пропорциональна току, то во столько же раз увеличился и ток.

Величина тока / зависит от скорости частиц так:

I — en^vS,

п2nRSп2nRSгде е — заряд протона, по — число протонов в единице об ьема, S — площадь сечения пучка, о — скорость. Будем считать, что протоны равномерно распределены по своей орбите, поэтому (учитывая, что пучок очень узки/

п2nRS

п2nRS

и0

еп~ 2л/? У'еп~ 2л/? У'Тогда

еп

~ 2л/? У'

еп

~ 2л/? У'

/

Таким образом, чтобы найти ток, нужно найтн скорость протонов. Начальную скорость мы знаем. Она равна

2л/?/0

Уо •

пе

Так как магнитный поток в камере ускорителя меняется, то в ней индуцируется э. д. с. индукции, равная скорости изменения магнитного потока Ф, то есть

Когда протон сделает один оборот, электрическое поле совершит над ним работу, равную ёе, которая пойдет на изменение кинетической энергии протона

my2 №Oq

с е = — —-

^т—масса протона).

Отсюда найдем скорость протона после того, как он сделает один оборот в камере ускорителя:

V

2 . 2ёе

У° + —

Тогда ток в камере будет

2л/? Vl пе /о) +2<Р m -1+ 2л2/?2щ/'

Так как напряжения на катушках одинаковы, то

откуда

LJi= Lilt,(1)

где Л и 1г — токи, идущие через первую и вторую катушки. Из закона сохранения энергии следует, что эти токи максимальны при

LXI2 LJ?2 q2

T +<2>

Из (1) и (2) найдем

Л = ^ V"Lx (£,+ £2)С ' Ь = дА^ L2(Lx + L2)C *

136. Полный поток через контур должен быть равен нулю. Поток через первую катушку пропорционален «[$[, а через вторую"-^-«2^2 (^i и 1» — величины токов в катушках). Прирав- •2136. Полный поток через контур должен быть равен нулю. Поток через первую катушку пропорционален «[$[, а через вторую"-^-«2^2 (^i и 1» — величины токов в катушках). Прирав- •2нивая эти выражения, получимнивая эти выражения, получимчточтоЛ + /2 = I, найдемЛ + /2 = I, найдем11 / ”2 Л2 Sih 1г \ »i / S1I211 / ”2 Л2 Sih 1г \ »i / S1I2. Учитывая,. Учитывая,

136. Полный поток через контур должен быть равен нулю. Поток через первую катушку пропорционален «[$[, а через вторую"-^-«2^2 (^i и 1» — величины токов в катушках). Прирав- •2

136. Полный поток через контур должен быть равен нулю. Поток через первую катушку пропорционален «[$[, а через вторую"-^-«2^2 (^i и 1» — величины токов в катушках). Прирав- •2

нивая эти выражения, получим

нивая эти выражения, получим

что

что

Л + /2 = I, найдем

Л + /2 = I, найдем

11 / ”2 Л2 Sih 1г \ »i / S1I2

11 / ”2 Л2 Sih 1г \ »i / S1I2

. Учитывая,

. Учитывая,

'«-'TVT-

гдегдекаккакI Пх ) S\U •Через короткозамкнутый образующаяся в нем э. д. с.I Пх ) S\U •Через короткозамкнутый образующаяся в нем э. д. с.виток потечет большой ток, так замыкается на его собственноевиток потечет большой ток, так замыкается на его собственноесопротивление (которое очень мало). В исправном работающем трансформаторе э. д. с„ образующаяся в обмотке, замыкается на большое внешнее сопротивлениеЭ. д. с. индукции в обмотке трансформатора пропорцио-сопротивление (которое очень мало). В исправном работающем трансформаторе э. д. с„ образующаяся в обмотке, замыкается на большое внешнее сопротивлениеЭ. д. с. индукции в обмотке трансформатора пропорцио-

где

где

как

как

I Пх ) S\U •

Через короткозамкнутый образующаяся в нем э. д. с.

I Пх ) S\U •

Через короткозамкнутый образующаяся в нем э. д. с.

виток потечет большой ток, так замыкается на его собственное

виток потечет большой ток, так замыкается на его собственное

сопротивление (которое очень мало). В исправном работающем трансформаторе э. д. с„ образующаяся в обмотке, замыкается на большое внешнее сопротивление

Э. д. с. индукции в обмотке трансформатора пропорцио-

сопротивление (которое очень мало). В исправном работающем трансформаторе э. д. с„ образующаяся в обмотке, замыкается на большое внешнее сопротивление

Э. д. с. индукции в обмотке трансформатора пропорцио-

нальна числу витков и скорости изменения магнитного потока:

АФ

^ = « дР

Но если эта обмотка подключена к сети, то сам магнитный поток пропорционален числу витков. Следовательно, э. д. с. в первичной обмотке первого и вторичной обмотке второго трансформатора пропорциональны квадратам чисел витков обмоток

8Х = кА» S2 = кА = к (ShJ2 = 9kА = 9^x

(k — постоянная).

Сумма же ^i + Si равна напряжению Uo сети (67О = 100 B)i^1 + 9#, = t/o.

Отсюда Si = 0,1 t7o = 10 В.

Напряжение Ui на вторичной обмотке первого трансформатора равно

— ^, = 3^ = 30 В. П\

Напряжение Ua на первичной обмотке второго трансформатора равно

<^ = 1.9^, =3^=30 В.пз 3

Напряжение U на свободных концах этих обмоток может быть равно либо Ui + Ui, если они включены так, что э. д. с. имеют одинаковые направления, или же Ui—U^, если они включены «навстречу» друг другу. В первом случае U = 60 В, а во втором 17 = 0.

Обозначим действующее значение э. д. с. индукции, возникающей в первичной обмотке ненагруженного трансформатора, через S и а во вторичной обмотке — через Si. Очевидно, что

© 2 Иг

где П1 — число витков в первичной обмотке, пг — во вторичной обмотке и к = nxlni— коэффициент трансформации. Поскольку в ненагруженном трансформаторе Si = Uo и Si = Ui, то

R — Si - UxR — Si - Ux«Vs.«Vs.

R — Si - Ux

R — Si - Ux

«Vs.

«Vs.

Когда трансформатор нагружен, то есть ко вторичной обмотке подключено сопротивление R, по первичной обмотке идет ток

а по вторичной обмотке

^ = ^+77-(2)

Здесь S^ и S^—э. д. с. индукции в первичной и вторичной обмотках нагруженного трансформатора.

Коэффициент полезного действия трансформатора практически равен единице. Это означает, что мощность в первичной обмотке трансформатора равна мощности, передаваемой во вторичную цепь;

hS'-hS^(3)

Тогда

^2 _ Up ^1

(4)

Из (1), (2) и (4), (3) найдем!

2 г, + ^(/? + гг)'2 г, + ^(/? + гг)'ПО В.ПО В.Ui = UR =.

2 г, + ^(/? + гг)'

2 г, + ^(/? + гг)'

ПО В.

ПО В.

Л + к2 (R + г2)

Обозначим U — напряжение, до которого зарядится конденсатор. Его заряд q = CU, а энергия W = С С/2, Эта энергия рання работе, совершенной источником тока;

/772

A = 8q = 8CU = ^-.

Отсюда

U = 28.

Напряжение оказывается вдвое большим, чем при непосредственном подключении конденсатора к источнику. Связано это вот с чем.

Вначале ток увеличивается и э. д. с. индукции в катушке направлена противоположно э. д. с. источника. Часть работы, совершаемой источником, идет на увеличение энергии магнитного поля катушки, которая запасает эту энергию. При U = 8 энергия магнитного поля максимальна и равна 8 • С8 — С8г, то есть половине работы источника. Максимален в этот момент и ток в катушке, а э. д. с. равна нулю. В дальнейшем ток начинает уменьшаться и направление э. д. с. индукции становится таким же, как у источника, увеличивая таким образом напряжение на конденсаторе, энергия которого продолжает увеличиваться как за счет работы источника, так и за счет энергии, запасенной катушкой.

Если сопротивление R подключено непосредственно к сети переменного тока, то в нем выделяется мощность, равная LPjR, где U—действующее значение напряжения.

В случае, если сопротивление подключено к сети через диод, в нем выделяется мощность, в два раза меньшая (полпериода ток через сопротивление не течет)!

Теперь найдем мощность Pi, выделяющуюся в сопротивлении при подсоединении параллельно ему конденсатора. В условии 133

задачи сказано, что за период колебаний напряжения в сети заряд конденсатора практически не меняется. Это означает, что напряжение на конденсаторе можно считать постоянным и равным ^(V21/)2 2(/2

амплитудному значению Uo. Тогда Рг = -^- = = —^ , поскольку амплитудное значение напряжения больше действующего значения в V2 раз.

Отношение мощностей, выделяемых на сопротивлении с подключенным конденсатором и без конденсатора, равно

Рг 2U2-2R

Pi R • U2

Таким образом, при подсоединении конденсатора параллельно сопротивлению в нем выделяется мощность, в четыре раза большая.

Если бы стенки не было, маятник совершал бы гармонические колебания с угловой амплитудой (максимальным углом отклонения от вертикали) Рис периодом

То = 2лТо = 2л

То = 2л

То = 2л

Рис. 143.Рис. 143.

Рис. 143.

Рис. 143.

При упругом столкновении со стенкой абсолютная величина ско

рости маятника не изменяется, а направление движения меняется на противоположное. Это означает, что период колебаний маятника Т в присутствии стенки не равен То, а меньше этой вели

чины на время т, за которое маятник, совершая свободные коле-

бания, отклонился бы от вертикали вправо от угла а до угла Р и вернулся обратно.

Запишем уравнение гармонических колебаний для углового перемещения ф:

<р = Р cos tot,

где со = 2л/Т0. График зависимости ф(ш/) показан на рис. 143.

В момент времени / = 0 ф = р, то есть маятник находится в кпьннем правом положении. Через некоторое время tx угол от

клонения маятника от вертикали станет равным а. Из уравнения а = Р cos toti получаем

,1 а

и = — arccos .

о р

Из симметрии очевидно, что

_2 а То и

т == — arccos -5- =arccos -7- .

со р л р

Тогда окончательно

и запишем период колебанийи запишем период колебанийТ — 2лТ — 2л

и запишем период колебаний

и запишем период колебаний

Т — 2л

Т — 2л

В положении устойчивого равновесия молекула располагается вдоль поля (рис. 144). Если ее вывести из этого состоя

ния, то возникает вращательный момент, поворачивающий молекулу вокруг ее центра тяжести. Этот момент создают силы F

и — F, действующие па заряды в электрическом поле.

1 ели рассматривать заряды каждый в отдельности, то можно сказать, что электрические силы для них играют такую же роль как сила тяжести для математического маятника. Поэтому заряды колеблются подобно математическим маятникам длиной Z/2.

Воспользуемся этой аналогией

молекулы так:

где g' — ускорение, которое электрическое поле сообщает каждому заряду. Так как g' = F/m, a F = еЕ, то g' = eElm. Поэтому

Т = 2лТ = 2л^«2.,0-Пс.^«2.,0-Пс.

Т = 2л

Т = 2л

^«2.,0-Пс.

^«2.,0-Пс.

Обозначим к жесткость пружинок модели молекулы, массы шариков — атомов кислорода М и массу шарика — атома углерода m (m/M = 12/16).

Совершая колебания типа а, оба атома кислорода колеблются синхронно относительно неподвижного атома углерода. Это связано с тем, что в силу симметрии колебаний атомов кислорода на атом углерода в любой момент действуют с обеих сторон равные по абсолютной величине и противоположно направленные силы, которые «уравновешивают» друг друга. Поэтому в случае а атомы кислорода совершают свободные колебания, частота которых равна

При колебаниях типа б на атом углерода действуют равные по абсолютной величине силы, направленные в одну и ту же сторону. Если шарик — атом углерода разбить на две равные части, то ясно, что они будут колебаться как одно целое: на них всегда действуют равные силы, и, следовательно, шарики-половинки в любой момент будут иметь одинаковые ускорения, скорости и координаты. Частота колебаний молекулы СОг равна частоте колебаний системы, состоящей из атома кислорода и половины атома углерода. Таким образом, задача сводится к определению частоты колебаний соединенных пружинкой шариков массы М и -g- т. Такие шарики колеблются около неподвижного центра масс системы. Если длина пружинки в нерастянутом Состоянии равна I, то центр масс системы находится на расстоянии т + 2М 0Т шаРика массы Поэтому можно считать, что шарик массы М (атом кислорода) колеблется относительно центра масс на пружинке длины

/ т

1 т + 2М '

Жесткость части пружинки больше жесткости целой пружинки. Так как жесткость обратно пропорциональна отношению длины этой части к длине целой пружины, то жесткость части

пружинки

^i = /г I— = к^i = /г I— = кт + 2Мтт + 2Мт

^i = /г I— = к

^i = /г I— = к

т + 2Мт

т + 2Мт

Частота колебаний шарика массы М на пружинке жесткости ^ равна

.. /й(« + 2Л1)

в отношение частот

тm + 2Мтm + 2М311311

т

m + 2М

т

m + 2М

3

11

3

11

Автомобиль на рессорах представляет собой сложную колебательную систему. Он может совершать вертикальные колебания, крутильные колебания вокруг оси, параллельной дороге, и крутильные колебания вокруг оси, идущей поперек дороги. Кроме того, благодаря упругости шин он может совершать различные колебания в горизонтальной плоскости. Эти колебания определяют устойчивость автомобиля при его прямолинейном дви-

жении и, как говорят, легкость управления автомобилем. Для разрушения дороги наиболее существенны вертикальные колебания автомобиля и крутильные колебания в вертикальной плоскости. Для вертикальных колебаний системы автомобиль — колеса можно воспользоваться результатом, полученным в решении предыдущей задачи. Обозначим т — массу колес, Af — массу кузова и к—жесткость рессор. Будем считать, что шины очень жесткие. Тогда собственная частота колебаний системы равна

тМ

Аналогичную формулу можно получить и для крутильных колебаний. Точный вид этой формулы нам в данном случае несуществен. Важно только то, что частота колебаний убывает при увеличении массы кузова. Прн т ^ М частота о стремится к •у/к/т—собственной частоте колебаний груза массы т на пружине жесткости к.

Если на дороге имеется ухаб, то при определенной скорости автомобиля колесо подпрыгнет. Через время, равное половине периода колебаний системы, оно ударится о землю, вызывая разрушение дороги. При ударе колесо движется под некоторым углом к дороге. Такой удар вызывает небольшое перемещение материала дороги вперед и образование нового ухаба. Когда по дороге пройдет много машин, дорога станет гофрированной подобно стиральной доске. Расстояние между ухабами определяется скоростью автомобиля и частотой колебаний;

При одной и той же скорости автомобиля это расстояние тем больше, тем меньше со, и, следовательно, чем больше масса кузова. Поэтому в нашем случае автомобили шли слева направо.

Такие «стиральные Доскн» на дорогах часто возникают у перекрестков, на которых стоят светофоры Связано это с тем, что при резком торможении автомобиля передняя часть кузова наклоняется. Это становится причиной возникновения колебаний даже на идеально гладкой дороге.

Отметим, что амплитуды колебаний колес и кузова относятся как их расстояния до центра масс системы:

О КО Л _ ^КуЗ Ш

При М » т пассажир может вообще не ощутить колебаний колес.

Интересно, что существует критическая скорость для каждой дороги, при которой может начаться ее разрушение автомобилями. Это та скорость, при которой начинаются подскоки колес.

Обозначим Л амплитуду колебаний мембраны и го = = 2nv — ее циклическую частоту. Тогда зависимость координаты х мембраны от времени / можно представить в виде (ось X направлена вертикально вверх) х = Л sin tot. Скорость о мембраны и ее ускорение а в момент времени t равны

v = Лео cos tot, а = — Ли2 sin tot.

На песчинку массой иг действует сила тяжести mg и сила N реакции мембраны. Запишем уравнение ее движения

N — mg = та

В момент отрыва песчинки от мембраны N = 0 и, следовательно, а = — g.. Это означает, что песчинка отрывается от мембраны в тот момент /о, в который — Ли2 sin tot0 = — g, или sin tot0 = y-2. Скорость По мембраны и песчинки в этот момент времени, а также их координата, равны

о0 = Лго cos totQ, Хо = A sin tot0 = -у,

В дальнейшем песчинка движется в поле тяжести, поднимаясь на высоту Дх, и можно воспользоваться законом сохранения энергии

mg ^x = -у *

откуда

Д^— 2g

Так как h = х0 + Дх, то

, _ g , е?Аг cos2 tot0

" “ го2 + 2g

Отсюда найдем Л:

Л = а/—§1 М 7,7.10~5 м = 0,077 мм.

V го2

В горизонтальном направлении на доску действуют только силы сухого трения со стороны вращающихся цилиндров. 138

Каждая сила трения направлена в сторону, противоположную относительной скорости доски, и пропорциональна силе нормального давления (а значит, и реакции опоры). Если доска находится в равновесии, то силы трения равны по модулю. Следовательно, равны и силы нормальной реакции каждого из цилиндров. Это означает, что центр тяжести доски при равновесии

находится между цилиндрами на одинаковом расстоянии ст каждого из них.

рение. Найдем его, вычислив предварительно N, и N2 из условиярение. Найдем его, вычислив предварительно N, и N2 из условияПусть теперь досса смешена от своего положения равновесия на расстояние х < Z/2, например, вправо (рис. 145). В этом положении силы нормального давления Nt и N2 уже не будут равны друг другу, а потому не будут компенсировать друг друга и силы сухого трения Ft и F^. Равнодействующая F сил Fv и F2 сообщит доске горизонтальное уско

рение. Найдем его, вычислив предварительно N, и N2 из условия

рение. Найдем его, вычислив предварительно N, и N2 из условия

отсутствия вертикального ускорения:

Nx+N2-Mg = 0,

и условия равенства нулю момента внешних сил относительно оси, проходящей через точку В:

N2^l - х^ - Nx ^1 + х^ =0.

Отсюда

«,-««(1—Ь). №-«„(1 + ^)

Следовательно, сумма проекций сил Ft и F2 на ось X, направленную вправо, равна

F = Fx - F2 = и (^1 - М2) = - ■ '^ .г

Мы видим, что F пропорциональна по модулю смещению х доски от положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению, то есть к положению равновесия. Таким образом, эта сила является «возвращающей» силой, аналогичной той, которая возникает при колебаниях маятника Следовательно, доска совершает гармонические колебания.

Период колебаний можно найти, записав уравнение движения доски. Для проекций на ось X

Ма =^ х> или а =1"х-

Модуль коэффициента пропорциональности между смещением и ускорением представляет собой квадрат циклической частоты ко* лебаний:

„2_ 2ц§

“оГ

Период колебаний

т_= 2л tooт_= 2л too

т_= 2л too

т_= 2л too

воположное результирующая горизонтальная сила также изменитвоположное результирующая горизонтальная сила также изменитРис. 146.Рис. 146.При малыхПри малых

воположное результирующая горизонтальная сила также изменит

воположное результирующая горизонтальная сила также изменит

Рис. 146.

Рис. 146.

При малых

При малых

При изменении направления вращения цилиндров на проти

свое направление. При смещении доски эта сила уже не будет возвращать ее к положению равновесия, а, наоборот, будет уводить тем дальше, чем больше было первоначальное смещение. В результате доска соскочит с цилиндров.

Рассмотрим математический маятник, частота малых колебаний которого. равна (0. Длина L такого маятника такова, что о = Vg/L, так что L = g!a\

колебаниях можно считать, что все точки маят

ника движутся по горизонтальным прямым. Амплитуду b колебаний маятника можно сделать такой, чтобы амплитуда колебаний точки А, находящейся на расстоянии / от груза маятника (рис. 146), была равна а.

Колебания маятника, очевидно, не изменятся, если мы сделаем точкой подвеса маятника точку А и будем поддерживать ее колебания такими, чтобы ее смещения остались прежними в каждый момент времени.

Если I <. L (или /.<g/to2), то, как видно из рис. 133, а,

b La L — 1*

откудаоткуда

откуда

откуда

(1)(1)gH __ Юрg/l — to2 COq — to2 '

(1)

(1)

где too = -x/gll.

Фаза колебаний в этом случае совпадает с фазой колебаний точки подвеса.

Условие / -< gjto1 означает, что со < -х/g/l. Но Vg(l равен частоте соо свободных колебаний маятника. Следовательно, наше условие означает, что со < соо. Если маятник совершает вынужденные колебания с частотой со, меньшей частоты соо собственных колебаний, то фаза колебаний маятника совпадает с фазой вынуждающей внешней силы.

Если со>соо, то -у/g/l >л/ц[Ь и I > L (рис. 133,6). В этом b Lсо2*

случае—= и Ь — а—т^. Фаза колебаний в этом

a a — Lш — COq

случае противоположна фазе вынуждающей силы.

При со -► соо амплитуда колебаний становится большой (резонанс) и наши рассуждения несправедливы.

Решение этой задачи помогает понять, почему максимумы приливов наступают вовсе не в те моменты, когда Луна нахо

дится в зените или в надире (с противоположной стороны Земли). В большинстве районов земного шара приливы отстают от видимого движения Луны на л/2 (на 1/4 суток по времени). Остановимся на этом подробнее. Забудем для начала о движении Луны вокруг Земли и будем для простоты считать, что Земля— это твердый шар, покрытый океаном (рис. 147). Поле тяготения Луны неоднородно и убывает обратно пропорционально квадрату расстояния до центра Луны. Поэтому ускорение, которое сообщается в таком поле всей Земле (центру масс Земли), несколь-

ко меньше ускорения, сообщаемого частицам океана, находящимся непосредственно под Луной (наиболее близким к Луне), и несколько больше ускорения, сообщаемого частицам океана на противоположной стороне Земли. По этой причине сферическая равновесная форма поверхности океана невозможна. На частицы океана должны действовать еще какие-то силы, которые, складываясь с силой тяготения Луны, сообщали бы частицам океана ускорения, такие же, как ускорение центра масс Земли. Такие силы могут возникнуть только при отклонении формы поверхности Океана от сферической, причем выпуклости должны находиться непосредственно под Луной и с обратной стороны Земли. Высоту приливов, как уже говорилось в решении задачи 41, можно найти из условия, что поверхность океана эквипотенциальна, иными словами, потенциальная энергия всех частиц поверхности океана одинакова. Расчет, аналогичный приведенному в задаче 41, дает для высоты h прилива:

.- 3 Мл R »

2 М3 I

(Мл—масса Лупы, М3—масса Земли, Р3—радиус Земли, / — расстояния между центрами Земли и Луны).

Такая теория приливов была разработана еще Ньютоном, который впервые правильно объяснил, почему бывает два прилива. Ее называют статической теорией, так как она не учитывает движение Луны и вызванное им движение приливных горбов — приливных воли. Круговое движение аналогично движению колебательному. Поэтому можно сказать, что приливы совершают вынужденные колебания, обегая Землю. Это движение должно происходить так же, как вынужденные колебания математического маятника, которые мы только что рассмотрели.

При решении задачи 34 мы нашли, что свободная приливная волна обежала бы Земной шар за 50 часов. Так как приливных горбов два, то собственный период приливов был бы равен 25 часам. Период же видимого обращения Луны вокруг Земли составляет 25 часов и, следовательно, период вынуждающей силы для приливных колебаний равен 12,5 часам. Период приливообразующей силы меньше собственных колебаний приливов, а частота притивообразующей силы больше частоты приливных колебаний. Поэтому фазы движения Луны и приливов при вынужденном движении приливных волн противоположны (см. рис. 147). Это соответствует картине приливов в большинстве районов земного шара.

Когда мы пэднимаем маятник, мы совершаем работу и увеличиваем его потенциальную энергию. Когда маятник опу-

скается, сила тяжести совершает работу и потенциальная энергия маятника уменьшается. Но все дело в том, что в систему поступает энергии больше, чем расходуется. Действительно, поднимая за нить маятник на высоту h и тем самым укорачивая на h длину нити (рис. 148), мы совершаем работу

Л1 = Fih = ^mg + —^—) А

(поскольку равнодействующая сил Ft и mg сообщает маятнику(поскольку равнодействующая сил Ft и mg сообщает маятникуцентростремительное ускорение, тоцентростремительное ускорение, тоFi — mg =Fi — mg =,2,2«И2 >,,j • Когда«И2 >,,j • Когда

(поскольку равнодействующая сил Ft и mg сообщает маятнику

(поскольку равнодействующая сил Ft и mg сообщает маятнику

центростремительное ускорение, то

центростремительное ускорение, то

Fi — mg =

Fi — mg =

,2

,2

«И2 >,,

j • Когда

«И2 >,,

j • Когда

же в точке максимального отклонения от положения равновесия

мы даем возможность маятнику опуститься, то есть увеличиваем до первоначального значения длину нити, сила тяжести совершает работу

Аг = mgh cos а.

так как перемещение маятйика по вертикали равно Л cos а.

Таким образом, в систему поступает энергия

Е = Л, — Лг-

Она больше нуля, поэтому амплитуда колебаний будет увеличиваться (конечно, если поступающая энергия превышает работу сил сопротивления).

Нетрудно понять, почему качели раскачиваются, если приседать всякий раз, когда качели максимально отклонены, и вставать при прохождении положения равновесия. И в этом случае как бы меняется длина ннти маятника (если длиной нити считать расстояние от точки подвеса до положения центра тяжести человека), а роль силы натяжения нити выполняет сила реакции , ши2 со стороны ног — /V. Н положении равновесия N = mg 4у— и

Л] = ^mg + —^— р.

где h—высота подъема центра тяжести. Когда качели максимально отклонены и человек приседает, сила тяжести совершает работу

Аг = mgh cos а.

За период система получает энергию

[

то2Ч

—21- mg (1 — cos а) I.

Эта величина положительна, поэтому энергия и, следовательно, амплитуда колебаний будут увеличиваться.

Оба примера показывают, как можно увеличить энергию колебаний периодическим изменением параметров системы

с частотой, вдвое большей частоты колебаний. Такое возбуждение колебаний называется параметрическим, а резонанс изменений параметров с частотой колебаний называется параметрическим

резонансом.

Красивое использование параметрического резонанса в космической технике предложили советские ученые В. Белецкий и М. Гиверц.

Представим себе космический корабль, который 'состоит из двух раздвижных половинок, так что при необходимости корабль принимает форму гантельки. Если корабль движется по эллиптической орбите вокруг планеты (звезды) массы М, то потенциальная энергия корабля со сдвинутыми половинками на

_Мт

расстоянии R от центра планеты равна — у где т — мас

са корабля. Раздвинем половники корабля на расстояние 21 так, чтобы гантелька была перпендикулярна к плоскости орбиты (рис. 149). При расстоянии от центра О планеты до центра масс корабля, равном R, расстояние до частей корабля равно Rjcos а, где а « « tg а = UR (этот угол конечно мал, так как I <g: R),

Следовательно, силы, действующие на половинки корабля, равны 1 Мт ,„_

F — у —^ cos а, а их равнодействующая F = 2F cos а =

ЛТпг „ „ .

= у ^2 cos'* а. Эта сила в cos3 а раз отличается от силы, действующей на корабль со сдвинутыми половинками. Если гантельку перемещать из одной точки в другую, оставляя угол а неизменным, то работа и, следовательно, изменение потенциальной энергии корабля будет отличаться в cos9 а раз от работы и изменения потенциальной энергии корабля со сдвинутыми частями. Это означает, что потенциальная энергия корабля-гантельки равна — Y cos9 °- Потенциальная энергия изменилась так, как

если бы мы ничего не делали с кораблем, а изменили поле тяготения, заменив постоянную всемирного тяготения у на у cos3 а.

А теперь будем каждый раз в перигее раздвигать половинки корабля, а в апогее сдвигать их. Будем еще с помощью специального устройства следить за тем, чтобы в полете от апогея к пе

ригею угол а оставался постоянным — это упростит наши рас-

четы. Рассмотрим, что будет происходить с орбитой нашего корабля. Пусть корабль-гантелька движется от перигея к апогею. Обозначим Ui его ^скорость в перигее, ил — скорость в апогее, л— расстояние до центра планеты в перигее и Pi — это расстояние в апогее. Согласно закону сохранения энергии

Мтmv[ Мтти^

— Y-^—cos8a + -^—= -у-^—cos8a+—g—.(1)

Кроме того, как известно, секториальная скорость корабля остается постоянной. Обозначим ее S. Тогда (см. задачу 42)

S = OiH = KiRb

Отсюда n = S/o, и Pi = S/tii. Подставим эти выражения для И и Pi в равенство (1). Сократив на т, мы получим

99 2уМ о /X

о, — их = —— cos3 a (о, — uY)

или

01 + «1 = 5 COS3 a.(2)

Долетев до апогея, сдвинем обе половинки (переключим гравитационное поле). Проведя расчет, аналогичный тому, который мы сделали только что для первой половины траектории, найдем

Wi + o2 = -——,(3)

где о2 — новая скорость в перигее. Теперь вычтем -из равенства (3) равенство (2). Получим

02 — 01 = —^ (1 — cos3 a).(4)

В результате наших операций скорость в перигее увеличилась: 02 > »!. А расстояние? Так как ri = S/olf а r2 = S/o2 = лО1/о2,

то расстояние в перигее уменьшилось. Обозначив величину -•

буквой а, получим

о2 = 01 + а (1 — cos3 a), r2 = n — = Л;т-т——.

1'о2 о! + a (1 — cos3 а)

Вновь раздвинем половинки корабля и полетим от перигея к апогею. В апогее корабль будет иметь скорость и2 такую, что (см. (2))

о2 + «2 = a cos3 a.(5)

И. Ш. Слободецкий, Л. Г. Асламазов145

Вычитая из (5) равенство (2), получим

(«2 — ^1)+ («г — «,) = О, откуда

«2 — «: = о< — Уг = о (cos3 а — 1)

Итак, скорость в апогее через период уменьшилась. А расстояние? Оно, очевидно, увеличилось:

R, = Rv Ш- = Rv ■"‘ — > Rt.

иг щ + a (cos3 а — 1)

Нетрудно заметить, что каждый оборот увеличивает скорость в перигее и уменьшает скорость в апогее на одну и ту же величину а(1—cos3 а). Следовательно, после п периодов обращения корабля вокруг планеты его скорости в перигее и апогее будут

Уп = У| + па (1 — cos3 а), ип — щ — па (1 — cos3 а),

а расстояния „

"1 щ + па (1 — cos3 а) ’ п и^ — па (I — cos3 а)

При п->и1/а(1 — cos5 а) величина Rn стремится к оо, то есть корабль уйдет от планеты. Так, изменяя периодически параметры корабля, можно растягивать его орбиту и вообще улететь от планеты в космическое пространство. Прав- +да, времени для этого потребуется не-

/v\\w\мало, так как величина щ/а(1— cos5а)

велика. Зато проект корабля совсем \не плох, если нужно покинуть поле

\тяготения сверхплотной очень тяжелой

X \звезды. В этом случае а велико и п

xsg\сравнительно мало.

XX 150. Для того чтобы можно было О изучить движение ионов, необходимо Рис. 150.прежде всего выяснить, какая сила дей

ствует на ион в электростатическом поле цилиндрического конденсатора, то есть выяснить, какова напряженность поля в таком конденсаторе.

Напряженность поля пропорциональна плотности силовых линий. Если через дугу с единичным углом проходит п силовых линий, то через дугу с углом ф проходит А = пф силовых линий. Плотность силовых линий, пересекающих дугу радиуса г, равна отношению N к длине гф дуги, то есть равна п[г (рис. 150).

Следовательно, напряженность поля конденсатора пропорциональна г-1:

В таком поле на заряд q, находящийся на расстоянии г от оси конденсатора, действует сила

р=м_.

г

Эта сила сообщает заряду ускорение я, равное по модулю

bq а =——bq а =——гтгт

bq а =——

bq а =——

гт

гт

где т — масса заряда.

Обозначим х отклонение иона от основной траектории радиуса г0. Тогда г .= г0 + х, и

bqа /и (г0 + х) *

Рассмотрим движение этого иона в системе отсчета, вращающейся вокруг оси конденсатора. В этой системе ускорение уже не равно я, так как все точки системы тоже движутся с некоторым ускорением относительно неподвижной системы отсчета, связанной с осью конденсатора. Точка, находящаяся на расстоянии го + х от оси, движется с центростремительным ускорением яц = со2(го + х). Следовательно, во вращающейся системе отсчета ускорение иона равно

Яотн = Я - яц = — ^^ - to2 (г, + X).

Из закона сохранения момента импульса следует, что

Ш (г0 + х)2ю = ^“о»

где too — угловая скорость иона в точке А. Она же равна и угловой скорости иона, движущегося по основной траектории. Но 2

центростремительное ускорение о0 = юого иону, движущемуся по основной траектории радиуса г0, сообщает сила F, равная по модулю hq/r^, то есть о^Гд = bqimrti и

Таким образом,

bqbq, bq (— 2rox — х2)

^ОТН '79 V О I

т (ro + х) mroт (ги + х) го

При х « го

а2 х

<*ОТН 9 Ле

6»6»147

6»

6»

Мы видим, что вотн = — kx, где й = 26^/гц. Как известно, при такой зависимости ускорения тела от смещения тело совершает гармонические колебания с периодом Т = ^nl^fk. Следовательно, ионы пучка, скорость которых в точке А составляет малый угол а со скоростью ионов, движущихся по основной траектории, бу- дут совершать относительно основной траектории радиальные гармонические колебания с периодом

Рис. 151.Рис. 151.

Рис. 151.

Рис. 151.

Этот период одинаков для всех ионов. Значит, после того как

ионы попадают в конденсатор в точке А через времена tn = Т

= п "2 (п — * > 2> 3, ...), все ионы будут оказываться в одной и

той же точке основной траектории — будут фокусироваться. Нетрудно найти угол <р между двумя последовательными фокусами:

Т л

Таким образом, если AOB =j = n/V2",ro ионы будут фокусироваться в точке В.

Найдем теперь максимальную

ширину пучка. Для этого воспользуемся тем, что максимальное абсолютное значение скорости тела, совершающего гармонические колебания, и амплитуда хтах его колебаний связаны соотношением

Стах — xmaxQ,

где Й = 2л/Г — частота колебаний. В нашем случае птаХ равно значению радиальной проекции скорости в точке А (рис. 151):

а

ушах — у —

(. . а а X „

так как а мало, sin 1- Поэтому

12л

— toroct — xmax •

d — 2xmax —d — 2xmax —согоаГ гоасогоаГ гоа2л2лСледовательно, максимальная ширинв d пучка равна

d — 2xmax —

d — 2xmax —

согоаГ гоа

согоаГ гоа

2л

2л

При закрывании рукой звучащего камертона излучаемый им звук модулировался. В результате излучаемая звуковая волна A cos tot превращалась в волну, описываемую формулой

А = Ло cos tot (1 + В cos Ш), (1)

где о = 2лу—частота не модулированной волны и й— частота модуляции. Преобразуя (1), можно записать

А = Ло cos mt + -^ А - В cos [(го — й) 1] + -^- Л • В cos [(ш + й)/].

Следовательно, модулированная волна представляет собой сумму трех волн с частотами <о, го — й и со + Й. Одна нз частот со — й или to + й совпадала с частотой колебаний второго камертона. В результате он возбуждался.

Для передачи изображения необходимо прежде всего преобразовать его в электрический сигнал. Это происходит в передающей телевизионной трубке. Кадр изображения проецируется на светочувствительный мозаичный экран. Каждая из ячеек экрана заряжается, причем тем больше, чем больше ее освещенность. Так получается электрическое изображение передаваемого объекта. Затем электронный луч последовательно обегает различные участки этого изображения, двигаясь слева направо (вдоль строки) и сверху вниз (по строкам); электрическое изображение преобразуется в электрический сигнал.

Предположим, мы хотим передать картинку, показанную на рис. 152. Яркость картинки по горизонтали меняется по синусоидальному закону. Пусть число максимумов яркости равно т.

число строк, на которое разбивается картина, равно п, а частота смены кадров vK. Электрический сигнал, содержащий информацию о картине, имеет форму, показанную на рис. 153.

За время передачи одной строки сигнал имеет m максимумов, за время передачи одного кадра—пт максимумов, а за 1 секунду— птУк максимумов. Значит, циклическая частота сигнала равна й = 2nv = 2nmnvK.

Следовательно, частота сигнала й пропорциональна частоте смены кадров

й~гк.

Величина сигнала меняется со временем по синусоидальному закону, который можно записать так:

U = Uo + Ui sin &t = Ua (1 + к sin Qt),

где к = Uil U0.

Для того чтобы передать этот низкочастотный сигнал на большие расстояния, им модулируют сигнал высокой частоты и (to ■> й), величина которого меняется по закону

U — ий sin rot.

В результате модуляции амплитуда высокочастотного сигнала уже не постоянна, а меняется со временем так же, как модулирующий низкочастотный сигнал (рис. 154). Таким образом,

UM = Uo (1 + к sin й/) sin tot

(UK— величина амплитудно-модулированного сигнала).

После несложных тригонометрических преобразований получим

UM = Uo sin tot + -^ kUo sin [(со + й) /] + ^- kU0 sin [(to — й) /].

Это означает, что в нашем случае амплитудно-модулированный сигнал представляет собой сумму трех синусоидальных сигналов

Рнс. 154.

с частотами to, to + й и to — й. Если же кадр является более сложным, то он передается в интервале частот шириной 2Й. Чем больше частота смены кадров, тем шире указанный интервал частот. Телевизионный приемник, следовательно, должен принимать сигналы в некотором диапазоне частот.

Но наряду с сигналом, несущим данную информацию, в «эфире» всегда существуют всевозможные случайные сигналы, назы- 150

ваемые шумами. Шумы имеют различные частоты и можно считать, что в каждом интервале частот их энергия примерно одинакова. Чем шире полоса частот, воспринимаемая приемником, тем сильнее шумы или, как говорят, выше уровень шумов. Если основной сигнал слаб, он может забиваться шумами, и мы не

сможем его распознать.

На Земле передающие станции обладают достаточной мощностью, и уровень сигнала намного выше уровня шумов. Поэтому частота vK, а значит, и частота смены кадров, может быть достаточно большой (что, действительно, необходимо для осуществления нормального зрительного восприятия телепередачи).

Иное дело в космосе. Мощности передатчиков на космических кораблях малы, уровень основного сигнала низок. Увеличивая же время передачи одного кадра, то есть сужая полосу частот, можно существенно уменьшить уровень шумов, что поможет выделить сигнал, несущий информацию.

Грубо можно представить, что в электри- +^-^

ческом поле электронные орбиты смещаются на некоторое расстояние Дх от ядра и происходит Рис- *^5. поляризация атомов диэлектрика. Представим

себе некоторый объем диэлектрика. Смещение электрических зарядов на величину Дх (рис. 155) приводит к появлению на торцах этого объема зарядов q и — q, где

q = ^eNNxS

(2е— заряд ядра, е=1,6-10-*в Кл, N— число атомов гелия в единице объема и S — площадь торца диэлектрика). N легко найти, зная молярную массу гелия ц = 2-10-3 кг/моль и плотность гелия р:

N = — N, « 2 • Ю26 м-3

(Na = 6,02-1023 моль-1 — число Авогадро). Внутри же объема заряд остается скомпенсированным. Следовательно, ослабление поля в диэлектрике в е раз связано как раз с полем, созданным зарядами + q и — q, причем напряженность Е поля в диэлектрике равна

Е = Ео — ДЕ,

где Ео — внешнее поле и ДЕ — поле зарядов на торцах. Его можно рассматривать как поле плоского конденсатора, так что

. „ q 2eNNxNE = —— =.

Cqo8q

так что Ео = гЕ. Поэтомутак что Ео = гЕ. ПоэтомуКроме того, как известно, Е = —,

так что Ео = гЕ. Поэтому

так что Ео = гЕ. Поэтому

(О(О„„ 2e^Дx

(О

(О

Е = гЕео

Нам осталось найти Дх.

На электрон в электрическом поле с напряженностью Е действует сила F = еЕ. Если принять модель, в которой электрон как бы «связан» с ядром пружинкой жесткости к, то удлинение Дх этой пружинки равно

ДхДхF еЕ к- к 'F еЕ к- к '(2)(2)

Дх

Дх

F еЕ к- к '

F еЕ к- к '

(2)

(2)

Найдем теперь к. Гелий сильно поглощает излучение с длиной волны X = 0,06 мкм или частотой го = 2лс/Х (с — скорость света). Это резонансная частота колебаний электрона. Следовательно, ю-=^к!т, гнет — масса электрона.

ОтсюдаОтсюдай = 4л2-^-^9.102 кг/с2.й = 4л2-^-^9.102 кг/с2.Поэтому можно записать

Отсюда

Отсюда

й = 4л2-^-^9.102 кг/с2.

й = 4л2-^-^9.102 кг/с2.

Подставляя теперь (2) в (1) и сокращая на Е, получим

е = 1е = 12e^Vкво2e^Vкво1,05.1,05.

е = 1

е = 1

2e^Vкво

2e^Vкво

1,05.

1,05.

Из каждой точки траектории пули распространяется сферическая звуковая волна. Этн волны, складываясь, дают картину, которая существенно зависит от соотношения между скоростью пули и скоростью звука. Если скорость звука больше

скорости пули, то волны, которые излучаются в разных точках, никогда не смогут догнать друг друга (рис. 156). Если же скорость пули больше скорости звука, то фронты волн будут пересекаться, как показано на рис. 157 и, складываясь, эти волны

будут образовывать «усы», расходящиеся от пули, аналогичные «усам», идущим от носа глиссера. Эти «усы» представляют собой огибающие фронтов сферических звуковых воли. Подобная картина представлена на фотографии. Следовательно, пуля двигалась со скоростью п, большей скорости звука с.

Угол между «усами» простым образом связан с отношением скоростей пули и звука. Так как за время t пуля пролетает расстояние АО = vt (см. рис. 157), а звук из точки О проходит расстояние OB = ct, то

ct с

sin а = —г = — ,иг и

В нашем случае а м 45° и поэтому

v « 480 м/с.

Картина волн, идущих от носа корабля, как мы говорили, похожа на рис. 54. Однако здесь она сложнее. Это связано с тем,

что скорость распространения коротких волн (длина которых

мала по сравнению с глубиной водоема) зависит от длины волны,

Рис. 158.Рис. 158.Для таких волн v~-^gK. Так как при движении корабля возбуждается целый набор волн с различными X, то образуется группа волн. Групповая скорость, как мы видели при решении задачи 2, не совпадает со ско

Рис. 158.

Рис. 158.

ростью отдельных волн и равна иг = «= и — х -77-. В случае волн на воде с и ~ ~ Vg^- получим

1ЦГ=2 и.

Поэтому к тому моменту, когда корабль перемещается из точки А в точку В, фронт группы волн, возбужденных в точке

А, переместится не в точку С, а только на половину расстояния АС. Из-за этого за кораблем распространяется большое число волн, идущих ступеньками по линии В К (рис. 158). Сами ступеньки параллельны линии ВС.

Из-за изменения скорости звука с глубиной звуковые лучи изгибаются, как показано на рис. 159, и перед кораблем образуется «мертвая зона», в которую звук вообще не попадает. Граница мертвой зоны — это траектория луча, идущего вначале параллельно поверхности океана. Нижний край волнового фронта шириной Дй, перпендикулярного к этому лучу, за время М проходит на Дс-Д/ меньшее расстояние, чем верхний край

(рис. 160). Благодаря этому фронт волны за время Д/ поворачивается на малый угол а, такой, что

ааtga =tga =Дс • ЫДАДс • ЫДА

а

а

tga =

tga =

Дс • ЫДА

Дс • ЫДА

Скорость го поворота волнового фронта равна

сосоa _ ДсДГ—ДАa _ ДсДГ—ДА0,04 с-1.0,04 с-1.С такой же скоростью поворачивается и вектор скорости звуке-» вого фронта, который перпендикулярен к этому фронту. И так как изменение абсолютного значения скорости звука мало поС такой же скоростью поворачивается и вектор скорости звуке-» вого фронта, который перпендикулярен к этому фронту. И так как изменение абсолютного значения скорости звука мало по

со

со

a _ ДсДГ—ДА

a _ ДсДГ—ДА

0,04 с-1.

0,04 с-1.

С такой же скоростью поворачивается и вектор скорости звуке-» вого фронта, который перпендикулярен к этому фронту. И так как изменение абсолютного значения скорости звука мало по

С такой же скоростью поворачивается и вектор скорости звуке-» вого фронта, который перпендикулярен к этому фронту. И так как изменение абсолютного значения скорости звука мало по

сравнению с самой скоростью, то можно считать, что фронт волны движется по окружности радиуса R = с/со = 1500/0,04 м = = 37,5 км. R ^ h, поэтому можно считать, что радиус R остается постоянным вдоль всей траектории луча. В этом случае, как видно из рис. 159,

I = V^?2 -kR- hf го ^2Rh0 го 6.1 км.

На таком же расстоянии и гидроакустик на корабле сможет услышать шум лодки, так как звуковые волны, идущие от лодки, тоже загибаются и при расстояниях, больших I, не попадают на поверхность.

Эту задачу можно решать и более строго, разбив воду на тонкие слои и рассматривая последовательно изменение угла, под которым идет звуковая волна в каждом слое (рнс. 161).

sin а, с.sin a, sin а,,.

Так как —= —— , то =— = const —

sin ai+1 ci+1cz cj+1

= -—— = -—. Смещение Az луча в i-м слое равно Ай 1е а =

Со Со'ГЬ [

Ай sin а,с .с„ — сой

= — -^ •... ; =г. Подставляя сюда sin а. = _- = — по.

-у 1 — sin2 azсо со ’

лучим

Лг= — ^"^Ай,Vco — (со ~ ю,!)2

так что

= Sdh=-^^C»-Vo- ^ * в.

6 ^c^-Vo-tohY

В океанах имеются области, в которых скорость звука до некоторой глубины уменьшается с глубиной, а затем увеличивается. В таких областях звуковые лучи загибаются

Рис. 161Рис. 161так, что звук распространяется в узкой области, в которой скорость звука минимальна. Образуется узкий звуковой канал, в которой звук низкой частоты, слабо затухающий в морской воде, может распространяться на тысячи километров.

Рис. 161

Рис. 161

Скорость звука в воздухе

также зависит от высоты из-за

изменения температуры и плотности воздуха, а также из-за зависимости скорости ветра от высоты. Поэтому в атмосфере возникают те же эффекты загибания звуковых волн, что и в воде. Теперь понятны и физические основы народной поговорки «не кричи против ветра». Если скорость ветра, как это обычно бывает в нижних слоях атмосферы, увеличивается с высотой, то звуковые волны, распространяясь против ветра, загибаются вверх и на некотором расстоянии от «крикуна» образуется мертвая зона, в которой звук вообще не слышен.

Он увидит, что на изображение закрытого глаза наклеена бумажка.

Под наибольшим углом к поверхности воды луч света падает в точке Д струи (рис. 162). Угол падения а, при котором луч в этой точке не испытывает полного внутреннего отражения, должен быть таким, что

sina = —. (1) п

Касательная к струе в точке А составляет угол у = 90° — об е горизонталью. Таким образом, луч света выйдет из струи, ни разу не испытав внутреннего отражения, если угол, который образует касательная к струе в точке А, составляет С горизонтом угол у такой, что cosy = 1/п.

Но касательная к поверхности жидкости — это траектория

движения частиц жидкости,движения частиц жидкости,Рис. 162.Рис. 162.(Дт — масса частицы воды).(Дт — масса частицы воды).вышедших из сосуда у верхнего края отверстия. Поэтому направление касательной к поверхности жидкости совпадает с направлением вектора скорости частиц жидкости в точке А.

движения частиц жидкости,

движения частиц жидкости,

Рис. 162.

Рис. 162.

(Дт — масса частицы воды).

(Дт — масса частицы воды).

Эта скорость складывается из горизонтальной скорости Пь которую имели частицы воды у отверстия сосуда, и из скорости иг, приобретенной ими при свободном падении с высоты 2г. Из закона сохранения энергии сле- Д то| дует, чтоДт • g • 2г = —-—

поэтому O2 = V4gr. Что же ка

сается скорости vi вытекания жидкости из сосуда, то, как известно, она равна -V^gh, где h— высота уровня воды над отверстием ).

Зная О| и Vz, нетрудно найти угол наклона касательной к поверхности жидкости в точке А к горизонту:

(2)

Выражая теперь cosy через tgy и подставляя это выражение в формулу для п, получим n = Vl + 2г/Л, ИЛИ

При ветре со скоростью 2—13 м/с на поверхности водоема образуется рябь, которую можно представить как множество мелких волн, разбросанных по поверхности воды абсо-

лютно неправильно и возникающих одинаково часто во всех направлениях. Крутизна склона волн при этом не превышает некоторого предельного значения а, которое зависит от силы ветра и может достигать 20—30°.

Для простоты будем считать, что наблюдатель и источник света находятся на одном уровне над поверхностью воды (рис. 163).

Маленькое горизонтальное зеркальце будет отбрасывать свет в глаз наблюдателя О только в том случае, когда расстояния от него до наблюдателя и до источника одинаковы (точка М),

Если же зеркало наклонено под углом а в сторону наблюдателя, то для того чтобы отраженный свет попадал в глаза, оно должно быть несколько сдвинуто от наблюдателя (точка N"). Зеркальце, наклоненное под углом а в противоположную сторону, должно находиться в точке N'.

Наклонные положения зеркала аналогичны крайним положениям волн, при которых отраженный от них свет еще попадает в наш глаз. Расстояние между N и № поэтому определяет длину световой дорожки. Во всех точках между N и N' найдутся участки волн, имеющие достаточный наклон для того, чтобы отражать лучи в наш глаз.

Рассмотрим теперь углы между лучами света. Из чертежа видно, что р + а = у + б, р — а = е = б, откуда у = а + р — —(Р — а)=2а. Таким образом, мы приходим к выводу, что угол, под которым мы видим большую ось светового пятна, просто равен углу между двумя наиболее крутыми склонами. Нетрудно подсчитать и линейный размер большой оси пятна NN'.

Короткая ось пятиа отраженного света легко находится аналогичным способом. Если сместить зеркальце из точки М в направлении, перпендикулярном к NN', то для того, чтобы отраженный свет попал в глаз наблюдателя, зеркальце надо повернуть на

некоторый угол вокруг оси, параллельной NN' (рис. 164)'. Считая, что предельный угол поворота зеркальца, по-прежнему, равен «, находим, что ширина полосы света РР' = 2/z tg а и, сле- о 2Л tg а

довательно, короткая ось стягивает угол р = — у.—-.-.

Отношение двух видимых полуосей пятна будет равно р/2а или, считая, что пятно невелико и угол а мал, равно sin о, где м — Угол, под которым мы смотрим на воду.

Чем меньше этот угол, тем более вытянуто пятно. Если взгляд скользит по поверхности, то пятно света будет до бесконечности вытягиваться и суживаться.

Шероховатая поверхность стекла рассеивает падающий на нее свет равномерно во все стороны. Если стекло лежит иа чертеже гладкой поверхностью (рис. 165, а), то в каждую точку

Рис. 165.Рис. 165.Рис. 166.Рис. 166.

Рис. 165.

Рис. 165.

Рис. 166.

Рис. 166.

шероховатой поверхности стекла попадают лучи, идущие как от линий чертежа, так и от чистых мест. Световые потоки, идущие из таки\ разных участков чертежа, затем рассеиваются во все стороны одинаково, и от каждого участка в глаз попадают лучи, идущие как от линий чертежа, так и от чистых мест. Разные участки «стекла поэтому кажутся одинаково яркими, и разобрать чертеж нельзя.

Если же стекло обращено к чертежу матовой поверхностью (рис. 165»,б), то матовая поверхность оказывается освещенной неравномерно. Лучи, идущие из разных точек этой поверхности, попадают в глаз, не пересекаясь, и чертеж легко разобрать.

Рассмотрим слой воздуха с дымом на пути светового пучка (ри с. 166). Выберем М настолько малым, чтобы в пределах этого слоя практически не было затенения одних частиц другими. Таксой слой поглотит долю света, определяемую поперечным

сечением AS всех частиц, находящихся в этом слое. В расчете на единицу поперечного сечения пучка получим

(1)(1)AS = W Мкгг =; Д/лг2 =,

(1)

(1)

(4/3) лг-’р4гр

где N — число частиц в единице объема, р — плотность распыленного вещества.

Запишем соотношение (1) для двух рассматриваемых случаев и найдем отношение толщины слоев, в которых поглощается одинаковая доля света:

Д£| m2 и

A/z-mi г г '

Аналогичные соотношения можно записать для двух, трех... слоев, в пределах которых вновь можно пренебречь взаимным затенением частиц. Если в первом случае дальность видимости связана с выбранным Д/ соотношением 1\ = пМ\, то и во втором случае, очевидно, h = п Мг. Тогда можно записать

/1п Mi mi ri

ОтсюдаОтсюдаUп Minix с2 "

Отсюда

Отсюда

та = гщ -^- = 0,2 г/м3.

ri 1а

Рассмотрим, например, точку 3. Лучи, выходящие из точки В, попасть в нее не могут (рис. 167) и она не видна. Из рисунка ясно, что видна будет только часть предмета АВ. Аналогично определяются области, которые видны из точек 1 и 2.

Рис. 168.Рис. 168.

Рис. 168.

Рис. 168.

Нарисуем ход луча от бесконечно удаленного источника через глаз. Этот луч испытывает два преломления на двух поверхностях хрусталика (рис. 168). Согласно закону преломления

sin а д2

sin рП1 ’

где И1 — абсолютный показатель преломления первой среды (воды или воздуха), п» — абсолютный показатель преломления вещества хрусталика.

Из этой формулы видно, что при уменьшении ni (замене воды на воздух) угол р уменьшается. Это означает, что после преломления на входной поверхности хрусталика в том случае, когда перед глазом воздух, лучи идут ниже, чем в том случае, когда перед глазом вода. Поэтому если в воде изображение удаленного предмета при ненапряженном глазе образуется на сетчатке, то в воздухе изображение этого предмета при ненапряженном глазе будет получаться перед сетчаткой. Следовательно, человек близорук.

Центр лннзы лежит в точке пересечения прямых ЛА' и ВВ', плоскость линзы проходит через точку пересечения продолжения прямых АВ и А'В' (рис. 169, а, б).

а)б)

Рис. 169.

Остановимся на двух наиболее существенных факторах.

Во-первых, лицо человека в маске освещено гораздо хуже, чем сама маска и окружающие предметы. Поэтому свет, отраженный лицом, очень слаб по сравнению со светом, идущим от маски в других предметов. Вот почему для наблюдателя из пуб-

лики лицо фехтовальщика в Сам же спортсмен, наоборот, предметы вокруг себя на фоне тренней стороной проволочнойлики лицо фехтовальщика в Сам же спортсмен, наоборот, предметы вокруг себя на фоне тренней стороной проволочноймаске практически неразличимо, хорошо видит ярко освещенные слабого света, отраженного вну- маски. К тому же изображение

лики лицо фехтовальщика в Сам же спортсмен, наоборот, предметы вокруг себя на фоне тренней стороной проволочной

лики лицо фехтовальщика в Сам же спортсмен, наоборот, предметы вокруг себя на фоне тренней стороной проволочной

маски в глазу спортсмена получается сильно размытым (несфокусированном), так как маска расположена слишком близко к глазу.

Аналогично объясняется, почему днем невооруженным глазом нельзя увидеть звезд: солнечный свет, рассеянный атмосферой, гораздо сильнее света звезд.

Во-вторых, поскольку проволочная сетка находится близко от лица спорстмена, она закрывает для наблюдателя довольно 160

большую часть лица. В то же время спортсмену эта маска не мешает.

В заключение рассмотрим еще одну подобную задачу — почему днем с улицы ничего не видно внутри комнаты, если смотреть через окно, занавешенное сетчатой тканью? Очевидно, в этом случае тот факт, что сильно освещенная снаружи занавеска отражает много света по сравнению с предметами внутри комнаты, играет решающую роль. Если смотреть из комнаты на улицу, то яркие предметы будут хорошо видны, так как внутренняя сторона занавески освещена слабо. Однако видно будет значительно хуже, если в комнату попадают прямые солнечные лучи и стены комнаты хорошо отражают свет, — тогда и изнутри занавеска освещена хорошо. Чтобы хорошо видеть то, что происходит на улице, необходимо в этом случае подойти вплотную к окну.

Вечером, наоборот, очень хорошо видна с улицы освещенная комната и совсем не видна улица из комнаты.

Резкое изображение предмета, которое дает хрусталик несовершенного глаза, получается не на сетчатке глаза, а перед ней, если человек близорук, или за ней, если человек дальнозорок. В обоих случаях изображение каждой точки на сетчатке глаза получается в виде расплывчатого пятна, диаметр которого зависит от диаметра зрачка (рнс. 170) и от степени близорукости

Рис. 170.Рис. 170.

Рис. 170.

Рис. 170.

(или дальнозоркости) человека. Чем меньше диаметр зрачка, тем уже пучок лучей, создающих изображение точки, тем меньше пятно получается на сетчатке. При ярком освещении диаметр зрачка уменьшается, и изображение букв для людей, носящих не очень сильные очки, оказывается слабо размытым. Поэтому они могут читать и без очков. Для тех же, кто пользуется сильными счками, изображение букв получается далеко от сетчатки глаза, и несмотря на небольшой диаметр зрачка, изображение букв оказывается сильно размытым, так что читать текст все равно не возможно.

Аналогично объясняется увеличение глубины резкости (то есть области, которая получается резкой на фотопленке) при уменьшении диаметра отверстия объектива. Действительно, пусть

мы хотим одновременно сфотографировать две точки (Л и 6)’, находящиеся на некотором расстоянии друг от друга (рис. 171). Если аппарат сфокусирован на какой-то предмет между этими точками (объектив дает на фотопленке резкое изображение этого предмета), то изображение точек на фотопленке получается расплывчатым, но диаметр каждого из пятен — изображений точек — зависит от диаметра отверстия объектива, уменьшаясь при уменьшении этого диаметра. Допустимое размытие определяет глубину резкости — те расстояния, на которых изображения на пленке считаются резкими.

Простой расчет дает для диаметра d размытого изображения точки, смещенной на расстояние х из положения, при котором ее изображение получается резко:

d~D-,—|х|.

(о — Г) а 1 1

где F—фокусное расстояние объектива, D — диаметр отверстия диафрагмы и а — расстояние от предмета до диафрагмированного объектива, при котором изображение резкое. Если, как обычно бывает, а » F, то

Fd« D —5-1 х I.

Отсюда можно найти «глубину» резкости при допустимом размытии изображения:

Глубина резкости оказывается обратно пропорциональной диаметру диафрагмы.

При маленьких диаметрах диафрагмы глубина резкости велика. Однако при этом начинают играть роль дифракционные явления. Из-за дифракции на диафрагме пучок не сходится в точку, а его изображение образует систему светлых и темных колец. Основная Доля энергии попадает в небольшой центральный максимум, соответствующий дифракционной угловой расходимости пучка порядка K]D, где Л — длина волны света. Дифракционное размытие в фокальной плоскости объектива долж-

XF

ио быть порядка Д ~ —^-. Для видимого света с длиной волны Х = 5,5-10-7 м и объектива с фокусным расстоянием F = 5 см дифракционное размытие Д порядка, скажем, 0,1 мм, получается при диаметре диафрагмы D ~'0,3 мм. Таких маленьких отверстий диафрагмы не бывает в обычных объективах и дифракционное

размытие пучка для них несущественно. Тем не менее оно представляет важную характеристику объектива, так как определяет возможное предельное разрешение объектива — расстояние между двумя точками, изображения которых можно будет увидеть раздельно. Очевидно, что две точки можно будет увидеть раздельно, как говорят, разрешить, если центры дифракционных изображений этих точек отстоят друг от друга на расстояние порядка радиуса их дифракционных изображений (критерий Рэлея). Следовательно, две точки разрешимы, если угловое расстояние между ними (угол, под которым они видны) порядка углового дифракционного уширения пучка:

Например, для глаза с диаметром зрачка D = 4 мм при наблюдении в свете с длиной волны X ~ 5,5-10-7 м

Ф — 1,25 • 10-4 рад.

Для телескопа с диаметром линзы в 2 м получим ф ~ 6-10—6 рад. Чем больше диаметр объектива телескопа, тем лучше его разрешение. Вот почему астрономы стремятся получить в свое распоряжение телескопы с возможно большим диаметром объектива.

Но вернемся к маленьким отверстиям диафрагмы. Мы ранее пришли к выводу, что чем меньше отверстие диафрагмы, тем больше глубина резкости. При О-* О глубина резкости стремится к оо. При очень маленьких отверстиях диафрагмы можно выбросить линзу и устроить «дырочную» камеру — камеру-обскуру. Если такой фотокамерой фотографировать отдаленный предмет, находящийся на расстоянии, много большем размера камеры, то можно считать, что из каждой точки предмета в объектив попадает параллельный пучок лучей. Такой пучок будет давать на пленке пятио, диаметр которого равен диаметру отверстия, а глубина резкости такого объектива бесконечна. При уменьшении диаметра отверстия качество изображения будет улучшаться. Это, однако, справедливо лишь до тех пор, пока диаметр D отверстия таков, что дифракционное уширение пучка мало по сравнению с диаметром отверстия. Так как дифракционное уширение пучка растет с уменьшением D, то при уменьшении диаметра отверстия качество изображения вначале улучшается, а затем начинает ухудшаться. Наилучшее изображение получается тогда, когда дифракционное уширение оказывается порядка диаметра отверстия

Отсюда найдем, что для этого диаметр отверстия должен быть порядка W" Например, для света с длиной волны к ~ 6-10~7м и F ~ 10 см получим, что диаметр отверстия должен быть порядка 0,34 мм.

Прозрачные окна отражают меньше света, чем стены домов.

Когда рыба рассматривается с моста, лучи от нее, идущие в глаз, падают на поверхность воды под малым углом и поэтому их отражение от поверхности невелико по сравнению с тем случаем, когда рыба рассматривается с невысокого берега.

Кроме этих лучей в глаз попадают лучи от Солнца, которые создают общий слепящий фон. Если наблюдатель стоит на мосту, в его глаза попадают солнечные лучи, падающие под меньшим углом, чем в том случае, когда он стоит на берегу. Поэтому эти лучи меньше отражаются от поверхности воды и фон в этом случае менее яркий.

Освещенность изображения Е равна отношению светового потока Ф, проходящего через линзу, к площади изображения S. Отношение освещенностей для рассматриваемых двух случаев можно записать так:

Еа Фг Si

EiФ1 S2

Освещенность поверхностей линз в обоих случаях одна и та же. Поэтому отношение световых потоков равно отношению площадей линз —целой и разрезанной пополам. Это значит, что Ф2/Ф1 = 1/2.

Теперь найдем отношение площадей изображения.

Изображение Солнца лежит в фокальной плоскости линзы. Обозначим фокусное расстояние линзы F, а угол, под которым видно Солнце с Земли, а. Так как Солнце находится очень далеко от Земли, то можно считать, что из каждой точки Солнца на линзу попадает параллельный пучок лучей, собирающихся с фокальной плоскости линзы. Поэтому угол а — это угол между пучками лучей, идущих от крайних точек Солнца.

Из рис. 172 видно, что радиус изображения Солнца равен

аr=F^-

Но так как угол а мал (а « 30'), то

ааа2"а2"FaFaи г- 2 'и г- 2 '

а

а

а

2"

а

2"

Fa

Fa

и г- 2 '

и г- 2 '

Для того чтобы найти размер изображения во втором случае, нужно знать фокусное расстояние составной линзы.

Заметим, что оптическая сила двух сложенных вплотную тонких линз равна сумме их оптических сил. Действительно, луч, вышедший из фокуса первой линзы, становится после того, как он пройдет эту линзу, параллельным главной оптической оси системы и после прохождения второй линзы сойдется в ее фокусе. Обозначив фокусное расстояние сложной линзы F', мы можем согласно формуле линзы написать

1 _ _1_ , JL—"——

■ Но отсюда следует, что фо-* у7 *

кусное расстояние линзы, состав

ленной из двух половинок плоско-Рис- 172.

выпуклой линзы, вдвое меньше

фокусного расстояния целой линзы. Благодаря этому радиус изображения Солнца во втором случае будет вдвое меньше, чем в

первом случае, а площадь изображения — в четыре раза меньше, то есть Si/S2 = 4. Поэтому EzjEi = 2.

Следовательно, освещенность изображения Солнца увеличи

лась в два раза.

Размер солнечного зайчика обычно намного больше размера зеркала. Это связано с тем, что параллельный пучок лучей, идущий от одной точки Солнца, отражается от зеркала и, попадая на экран или стену, дает пятно, размер которого примерно равен размеру зеркала. Зайчик образуют накладывающиеся пятна, которые получаются при отражении пучков, идущих от всех точек Солнца. Размер зайчика определяется пучками лучей, идущими от диаметрально противоположных точек Солнца (рис. 173). Дак как угол между этими пучками равен угловому диаметру Солнца а « 30' (углу, в котором видно Солнце с Земли), то диаметр пятна равен примерно 2г + 2L tg ^ м d + La, где L — расстояние до стенки. Распределение освещенности в этом пятне неравномерно, однако для оценки пренебрежем этим обстоятельством и будем считать, что Солнце находится в зените. Тогда плоскость зеркальца должна составлять угол 45° с направлением на Солнце и освещенность зеркальца равна £,0cos450 = Eo/V2, где Ео — освещенность прямыми солнечными лучами. Световой

_.Ео тиЕ

поток Фо, попадающий на зеркальце, равен —. Прене-

V2 4

брежем поглощением и рассеянием этого потока. Тогда, разделив

Ф на площадь S = -^ л (d + ЕаУ зайчика, найдем его среднюю освещенность:

£ = —(1) S V2(d + £a)2

Освещенность Е можно подсчитать и более точно. Заменив ход лучей от Солнца ходом лучей от его изображения,

нетрудно заметить, что в середине зайчика в каждую точку приходят лучи только от тех точек Солнца, которые видны из этой

Рис. 174.

точки в угле Р, в котором лежит диаметр зеркала, то есть в телесном угле fii ~ р2 (рис. 174). При освещении прямыми солнечными лучами в каждую точку приходят лучи, идущие в угле а, то есть телесном угле Q ~ а2. Поэтому освещенность Е во столько раз меньше Ео, во сколько раз Й( меньше Q:

Eq 12 V а 7 '

(2)(2)Но Р = d cos 45°/Д поэтому

(2)

(2)

£ ~ £" 2а2£2 '

Для оценки можно воспользоваться любой из формул (1) или (2).

Теперь можно найти освещенность точек корабля, в которые посылают зайчики п горожан. Она равна пЕ и должна быть примерно такой же, как освещенность Ех, которую получают в фокальной плоскости линзы при выжигании.

Диаметр изображения Солнца в фокальной плоскости линзы равен Ра (см. задачу 168), а световой поток Ф, собираемый линзой, равен E0-nD2H. Поэтому

£0лР2/4 D2

(£а)2/40 £2a2 '

Так как DIP "5= 0,07, то

£^4,9- Ю-3-^-.

а2

Поэтому корабль можно было поджечь, если

пЕ = пЕ0> 4,9 • 10"3

2L2a2a2

т. е. при

п>4,9- Ю-3--^-.а1

Подставляя сюда d = 1 м и £ = 200 м, найдем, что п ^ 392. Столько горожан нужно было Архимеду для того, чтобы расправиться с римским флотом.

Наша оценка, по-видимому, несколько завышена. По сообщению польского журнала «Вокруг света» (№ 12 за 1974 г.) греческий физик Иоиас Саккос в 1973 г. провел следующий опыт. 70 солдатам были даны отполированные листы меди размером 150 ■ 90 см2. Солдаты направили отраженный солнечный свет в одно и то же место копии римского деревянного корабля, стоящего в 200 м от берега. Через две секунды после этого корабль задымился, а еще через три секунды загорелся.

Матовый колпак равномерно рассеивает свет от лампы. Поэтому, хотя яркость нити накаливания лампочки очень велика, яркость матового колпака (т. е. световой поток, излучаемый с единицы поверхности колпака) мала. Сравнительно невелика и яркость изображения колпака па сетчатке глаза.

О форме блестящих предметов мы судим обычно по бликам на их поверхности. При рассеянном же освещении блики отсутствуют.

Так как расстояния от Солнца до Земли и Луны велики по сравнению с диаметром Солнца, то при расчетах мы можем считать, что Солнце — это точечный источник света, равномерно излучающий световую энергию во все пространство. Примем, что сила света этого источника, то есть энергия, излучаемая Солнцем в единичный телесный угол за 1 секунду, равна /. Тогда освещенность поверхности Земли в яркий солнечный день будет равна

^С ‘*

где L — расстояние от Солнца до Земли.

Луна освещает Землю отраженным солнечным светом. Так как расстояние от Солнца до Луны можно принять равным расстоянию от Солнца до Земли, то освещенность поверхности Луны в полнолуние тоже равна IIL?- На всю поверхность Луны попадает световая энергия

Г = £с.лг2.

Так как энергия а 117 рассеивается затем равномерно по всем направлениям по «полусфере», то в единичный телесный угол излучается энергия

Еглг2

(полный телесный угол равен 4л). Теперь легко найти освещенность поверхности Земли в полнолуние. Считая Луну точечным источником с силой света /л, получим

а 2/2 '

где Z — расстояние от Луны до Земли.

Отношение освещенностей Земли в полнолуние и в солнечный день равно

Ес а(г^_1

~ 80 ООО '

Интересно, что около 300 лет назад аналогичный расчет позволил Ньютону правильно оценить расстояние до ближайших ярких звезд. Ньютон исходил из того, что видимая звездная величина некоторых звезд, например, а Центавра, примерно такая же, как у Сатурна. Иными словами, освещенности, создаваемые

этими звездами и Сатурном на плоскости, перпендикулярной к световым лучам, идущим от звезд и от Сатурна, примерно одинаковы. Приведем отрывок из работы Ньютона, который мы взяли из примечания редактора русского перевода к книге Ф. К р а у - форда «Волны» (М.: Наука, 1974).

«На диск Сатурна падает около 1/2100000000 части солнечного света. Во столько же раз поверхность этого диска меньше сферической поверхности, радиус которой равен радиусу орбиты Сатурна. Предположим, далее, что Сатурн отражает 1/4 часть этого света. Тогда отраженный полусферой Сатурна свет будет составлять 1/4200000000 часть света, испущенного полусферой Солнца.

Уменьшение света обратно пропорционально второй степени расстояния до светящегося тела. Поэтому если Солнце было бы на расстоянии от Земли в 10000 ^/42 раз большем, чем Сатурн, оно оказалось бы таким же ярким, каким кажется Сатурн без своего кольца. Такое свечение немного превосходило бы свечение неподвижной звезды первой величины. Таким образом, расстояние, с которого Солнце светило бы как неподвижная звезда, примерно в 100000 раз больше расстояния до Сатурна».

Расстояние от Сатурна до Земли равно примерно 1,4-106 км. Таким образом, согласно расчету Ньютона расстояние до ближайших ярких звезд должно быть равно 1,4-1014 км. Эта оценка по порядку величины правильна для расстояния до а Центавра, Сириуса, Проциона. Согласно нынешним данным расстояние до Центавра в 28 000 раз, до Сириуса в 58 000, а до Проциона в 75 000 раз больше расстояния от Солнца (Земли) до Сатурна.

Площадь изображения фонаря, даваемого хрусталиком, обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника, но и световой поток, падающий на зрачок, тоже обратно пропорционален квадрату расстояния до источника, поэтому освещенность изображения не зависит от расстояния до фонаря.

Убедимся в этом. Обозначим I энергию, излучаемую фонарем в единицу телесного угла (яркость фонаря), L— расстояние до фонаря и do — диаметр зрачка.

Освещенность поверхности хрусталика равна

FL

а световой поток, попадающий на его поверхность,

Eyitd^ al

Ф== 4 ="47Л"‘

Так как расстояние до фонаря много больше фокусного расстояния F глаза, то геометрическое изображение фонаря получается в фокальной плоскости и его диаметр d = FDIL, где D — диаметр фонаря (рис. 175). Площадь изображения равна поэтому с nD2F2

S = —,,_--, а его освещенность 4LZ

Ф d^F == [ _

Рис. 175.сировав солнечные лучи, можнозажечь дерево, а сделать это со светом, идущим от звезды, конечно, не удается, хотя имеются звезды с диаметром, не большим диаметра Солнца и излучающие ие меньше энергии, чем Солнце. В чем же здесь дело?Мы предположили, что диаметр изображения определяется геометрическим изображением звезды. В действительности же это изображение дифракционное, ее угловой размер равен X[d, а диаметр d' = XFjd, где X — длина волны. Этот диаметр много боль- . D Е ше «геометрического» а=-=-г:Рис. 175.сировав солнечные лучи, можнозажечь дерево, а сделать это со светом, идущим от звезды, конечно, не удается, хотя имеются звезды с диаметром, не большим диаметра Солнца и излучающие ие меньше энергии, чем Солнце. В чем же здесь дело?Мы предположили, что диаметр изображения определяется геометрическим изображением звезды. В действительности же это изображение дифракционное, ее угловой размер равен X[d, а диаметр d' = XFjd, где X — длина волны. Этот диаметр много боль- . D Е ше «геометрического» а=-=-г:Мы видим, ч^о освещенность не зависит от L. Отсюда следует любопытный результат. Заменив в наших рассуждениях фонарь на звезду, а хрусталик на линзу, мы найдем, что освещенность изображения звезды, которое получается с помощью линзы, не зависит от расстояния до звезды. В то же время, сфоку-

Рис. 175.сировав солнечные лучи, можно

зажечь дерево, а сделать это со светом, идущим от звезды, конечно, не удается, хотя имеются звезды с диаметром, не большим диаметра Солнца и излучающие ие меньше энергии, чем Солнце. В чем же здесь дело?

Мы предположили, что диаметр изображения определяется геометрическим изображением звезды. В действительности же это изображение дифракционное, ее угловой размер равен X[d, а диаметр d' = XFjd, где X — длина волны. Этот диаметр много боль- . D Е ше «геометрического» а=-=-г:

Рис. 175.сировав солнечные лучи, можно

зажечь дерево, а сделать это со светом, идущим от звезды, конечно, не удается, хотя имеются звезды с диаметром, не большим диаметра Солнца и излучающие ие меньше энергии, чем Солнце. В чем же здесь дело?

Мы предположили, что диаметр изображения определяется геометрическим изображением звезды. В действительности же это изображение дифракционное, ее угловой размер равен X[d, а диаметр d' = XFjd, где X — длина волны. Этот диаметр много боль- . D Е ше «геометрического» а=-=-г:

Именно поэтому освещенность изображения очень мала. Так, при d = 2 см, Xjd = 2,25-10~5 рад. Угловой диаметр Солнца равен 4,7-10-3 рад, а при «удалении» Солнца до блих<айшей звезды £г«4-1013 км он станет равным 1,75-10-8 рад. Тогда d'jd ~ ~ 1,3-103. Следовательно, освещенность изображения звезды таких же параметров, как и Солнце, в 1,7-16е раз меньше, чем освещенность изображения Солнца.

Так как внутренняя поверхность сферы света не поглощает, то рано или поздно установится равновесие между попадающей в сферу световой энергией и выходящей из нее, т. е. сфера будет являться идеальным отражателем света.

Каждый элемент полости сферы должен излучать на всю сферу столько же световой энергии, сколько и получает.

Но поток энергии, излучаемой всей сферой на отверстие, равен падающему потоку. Отсюда следует, что освещенность всех

точек полости сферы будет такой же, какой была бы освещенность плоского экрана, установленного у отверстия в сфере.

Течка же, диаметрально противоположная отверстию, облучается двумя путями: первичным пучком и всей сферой. Оба потока при равновесии равны, следовательно, она будет в два раза больше освещена, чем все другие точки сферы.

Обозначим через В световой поток, испускаемый единицей площади поверхности жука внутри единичного телесного угла (поверхностная яркость). Тогда с площади So (рис. 176) на объектив фотоаппарата падает световой поток

Sn

Ф = BSC£ = BS0

s_

Здесь Й = —ртелесный угол (на самом деле это равенство не точное, а приближенное), 5Д— площадь диафраг

мы объектива (£>д— ее диаметр), d— рис. 176, расстояние от фотоаппарата до жука.

После объектива световой поток попадает на фотопленку, создавая на ней изображение. Освещенность этого изображения

Ф _ В305дS d2S

где S — площадь изображения выделенного участка поверхности жука. Найдем ее.

Поскольку линейное увеличение линзы равно //d (/—расстояние от линзы до изображения), отношение площадей изображения и предмета

So1

Согласно формуле линзы.

откуда f=d^p и

f . . ..F

d d — F"

Следовательно, освещенность изображения

В$п SoBS^d-F?

d1 ' S d2F2

По условию задачи, при фотографировании жука в двух мае* штабах освещенность изображения должна быть одной и той же:

BSnl(dx-FyBS^-F?

d^F2d^

Отсюда

^L=I^L^. = ^_ D^ - - 5

5д2(d2-F)2d‘^36 Гд2 б'

Глаз оценивает яркость объектов по освещенности их изображений на сетчатке. Чем более яркий источник, тем больше освещенность его изображения. Мерой контрастности изображения звезды на фоне неба может служить отношение освещенностей их изображений на сетчатке глаза, то есть Езв. ]/£ф i.

Рассмотрим сначала картину, которая образуется на сетчатке невооруженного глаза. Пусть d — диаметр зрачка, F — фокусное расстояние глазной оптики. Освещенность находится как отношение светового потока к площади изображения. При этом нужно иметь в виду, что изображение звезды (точечного источника)' имеет вид дифракционного пятна. Его диаметр в фокальной плоскости линзы порядка \F!d, где X — длина волны.

Выберем небольшой элемент неба (фона). Световой поток от этого удаленного источника света, попадающий в глаз, очевидно, пропорционален d2. Площадь изображения такого протяженного источника пропорциональна F2. Отсюда освещенность фона £ф. 1 ~ d2[F2. Коэффициент пропорциональности определяется яркостью источника и не меняется при изменении способа наблюдений.

Световой поток от звезды также пропорционален d2, а пло

щадь дифракционного изображения на сетчатке пропорциональна

^XFjdy. Таким^XFjdy. Такимобразом.образом.зв- 1 ^dY F2 VF2 -зв- 1 ^dY F2 VF2 -ОтноОтношение освещенностей изображений звезды и фона на сетчаткешение освещенностей изображений звезды и фона на сетчатке

^XFjdy. Таким

^XFjdy. Таким

образом.

образом.

зв- 1 ^dY F2 VF2 -

зв- 1 ^dY F2 VF2 -

Отно

Отно

шение освещенностей изображений звезды и фона на сетчатке

шение освещенностей изображений звезды и фона на сетчатке

невооруженного глаза равна

«1 =«1 =£зв,1 £ф. 1£зв,1 £ф. 1d2К2-d2К2-(1)(1)

«1 =

«1 =

£зв,1 £ф. 1

£зв,1 £ф. 1

d2

К2-

d2

К2-

(1)

(1)

В реальных условиях дневного наблюдения это отношение, являющееся мерой контрастности изображений, таково, что невооруженный глаз практически не видит звезды на фоне яркого неба.

Пусть теперь глаз вооружен телескопом. Телескоп состоит из двух линз: объектива и окуляра. Ход лучей от бесконечно уда- 172

ленного объекта, находящегося на оптической оси телескопа, показан на рис. 177. Первое изображение объекта получается в фокальной плоскости объектива Oi. Глаз рассматривает это изображение через окуляр как через лупу. Изображение, которое получается на сетчатке глаза, подобно изображению в фокальной

Рис. 177.Рис. 177.плоскости объектива. Поэтому ♦ для решения нашей задачи достаточно рассмотреть отношение освещенностей изображений звезды и фона в этой плоскости. Повторяя рассуждения, приведенные выше, иолу- чим

Рис. 177.

Рис. 177.

~ X2 *(2)

где D — диаметр объектива телескопа. Поскольку коэффи-

циенты пропорциональности в

выражениях (1) и (2) одни и те же (они зависят только от самих источников света — звезды и фона), то

Qi D2

ai ~ d2 *

Таким образом, телескоп увеличивает контрастность изображения звезды на фоне неба в (Д/d)2 раз. В нашем примере ф!йу = 100, так что D[d = 10.

Для больших астрономических телескопов это отношение достигает значений порядка 105—106. С помощью таких телескопов можно увидеть днем даже очень слабые звезды.

Найдем вначале количество метана в вертикальном столбе земной атмосферы с площадью основания S. Давление этого столба иа поверхность Земли равно атмосферному давлению р0. С другой стороны, это давление равно силе тяжести воздушного столба, деленной на площадь S. Пренебрегая изменением ускорения силы тяжести с высотой (это можно сделать, так как граница атмосферы лежит на высоте около 200 км, а это много меньше радиуса Земли 6400 км), мы можем записать:

Ро =Ро =ОтсюдаОтсюдаmgS ‘mgS ‘ттPoSgPoSg

Ро =

Ро =

Отсюда

Отсюда

mg

S ‘

mg

S ‘

т

т

PoSg

PoSg

Умножив tn на а, получим массу метана в этом столбе:

Теперь найдем, слой какой толщины х составляла бы эта масса метана при нормальных условиях (площадь основания цилиндра по-прежнему равна S). Запишем уравнение газового состояния:

pDSx = -^-RT,

В

где Sx — объем массы метана Щен? Ц=16-10-3 кг/моль — молярная масса, Т — 273 К и ро = 1 атм. Подставив в это уравнение выражение для массы метана, найдем

aRTх =•.

gH

Если энергия излучения равна вначале Ео, то после того как излучение пройдет слой толщиной а = 1 см, энергия излучения станет равной (1 — q)E0. Следующий сантиметр метана поглотит 9-ю часть этой оставшейся энергии излучения. В результате после того как излучение пройдет слой метана толщиной 2 см, энергия излучения будет составлять (1 — q^Eg и т. д. После прохождения слоя метана толщины х энергия излучения будет составлять

£ = (1-9)х/о£0,

т. е. (1 —9)*/я-ю часть первоначального излучения.

Подставив в эту формулу численные значения всех входящих в нее величин, найдем, что при прохождении атмосферы из- i лучение ослабнет в 4-10~4 раз.

СОДЕРЖАНИЕ

а

я

о

ПРЕДИСЛОВИЕ3

ЗАДАЧИ5

МЕХАНИКА5

ТЕПЛОТА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА17

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ22

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ31

ОПТИКА35

РЕШЕНИЯ39

Иосиф Шаевич СлободецкийЛев Григорьевич Асламазов

ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ

М., 1980 г., 176 стр. с илл.

(Серия: Библиотечка «Квант»)

Редактор И. Г. Вирко.

Техн, редактор С. Я. Шкляр.

Корректор Л. С. Сомова.

ИВ № 11621

Сдано в набор 18 03.80. Подписано к печати 14.08.80. Т-12469. Бумага 84ХЮ8'Л,.

Тип. № 3. Литературная гарнитура. Высокая печать. Услови. печ. л. 9,24.

Уч.-изд. л. 9,54. Тираж 150000 экз. Заказ Ns 582. Цена книги 30 коп.

Издательство «Наука»

Главная редакция физико-математической литературы

117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15

Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и КНИЖНОЙ торговли. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.

БИБЛИОТЕЧКА - КВАНТ* выпуск 5

И.Ш. СЛОБОДЕЦКИЙ Л. Г. АСЛАМАЗОВ

ЗАДАЧИ

ПО ФИЗИКЕ

БИБЛИОТЕЧКА-Квант-

выпуск 5 -

И. Ш. СЛОБОДЕЦКИЙ Л. Г. АСЛАМАЗОВ

ЗАДАЧ И

ПО ФИЗИ КЕ

МОСКВА«НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1980

22.3

С 48

УДК 530.1

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:

Академик И. К. Кикоин (председатель), академик А. Н. Колмогоров ’(заместитель председателя), кандидат физ.-мат. наук

И. Ш. Слободецкий)(ученый секретарь), член-корреспондент АН СССР А. А. Абрикосов, академик Б. К. Вайнштейн, заслуженный учитель РСФСР Б. В. Воздвиженский, академик В. М. Глушков, академик П. Л. Капица, профессор С. П. Капица, члеи-корреспон- дент АН СССР Ю. А. Осипьяи, член-корреспондент АН СССР В. Г. Разумовский, академик Р. 3. Сагдеев, кандидат хим. нах к М. Л. Смоляиский, профессор Я. А. Смородииский, академик С. Л. Соболев, член-корреспондент АН СССР Д. К. Фаддеев, член-корреспондент АН СССР И. С. Шкловский.

Слободецкий И. Ш., Асламазов Л. Г.

С 48 Задачи по физике. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980, 176 с.—(Библиотечка «Квант». Вып. 5) —30 коп.

Сборник задач, для решения которых вполне достаточно знаний, не выходящих за рамки школьной программы. Это, однако, не простые задачи. Они требуют ясного понимания основных законов физики, умения применять, эти законы и наконец просто сообразительности. Решение таких задач часто представляет собой маленькое самостоятельное исследование.

Большинство задач в сборнике касается различных реальных явлений природы. Все задачи снабжены решениями.

Для школьников, преподавателей, студентов.

20400—110L 053(02)-8020400—110L 053(02)-80135 80. 1704000000135 80. 1704000000^^^~~ ВБК2»

20400—110

L 053(02)-80

20400—110

L 053(02)-80

135 80. 1704000000

135 80. 1704000000

(g Издательство «Наука»* Главная редакция физико-математической литературы, 1980