Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Предисловия, как и увертюры, пишутся, когда работа уже закончена. То, что их. помещают в начале книг, является слабым отблеском того, что я назвал дидактической инверсией: при написании математических монографий и учебников в публикуемых работах путь к получению результата является обратным тому, который проделал автор в действительности; ключевые определения, формулиров'ки которых являются последним штрихом подготовки публикации, ставятся в начало. Дидактической инверсии я уже много лет противопоставляю мысленный эксперимент.
Во всяком случае следует излагать другому математические результаты не так, как они были придуманы, а так, как их мог бы придумать тот, кто знал бы известное теперь, и как их мог бы придумать школьник под руководством учителя. Это и есть метод, который применил Сократ, обучая раба Менона. В мысленном эксперименте можно попытаться представить себе, как учащийся «пере- откроет» то, что от него потребуют.
Я назвал предисловие слабым отблеском дидактической инверсии. Хотя его можно было и не писать вообще, оно будет полезно прежде всего для рецензентов, которым теперь нет необходимости читать всю работу; полезно и для автора, который, как композитор в увертюре, может торжественно продемонстрировать основной мотив произведения.
Эта книга, как и ее вторая часть (том II), не является дидактикой математики в том смысле, что не содержит систематических сведений об изложении того или иного учебного материала; эти книги не являются и систематическим анализом учебного материала. Я почти нигде не ссылаюсь на тщательно проведенные эксперименты в классах,чкоторые можно оценить статистически. Столь же мало я основываюсь на результатах экспериментов психологов. Вероятно, читатель заметит, что в этой книге почти нет цитат. Все это я хотел бы объяснить.
Вначале о литературе по психологии: я не вижу необходимости цитировать ее как высший дидактический авторитет, особенно ту литературу, которая стоит вне воспитательного контекста. Если некоторые это и делают, то они вынуждены высказать и свою точку зрения. Принятое сейчас в математической дидактике злоупотребление именем Пиаже вынудило меня остановиться в отдели*
ных главах на том, что означают его исследования для математического воспитания. -
От педагогической психологии в обучении математике можно ожидать всего, чего угодно: в техническом отношении эти ожидания, пожалуй, что и сбываются^ Я узнал от специалистов по педагогической психологии много интересного и остроумного, но очень мало из того, что мне требовалось. Если в прекрасной современной книге я ищу ответ на вопрос о том, что понимается под обучением и как оно подразделяется, то этот ответ весьма далек от того, что я понимаю сам и слышу от коллег об обучении математике; чувство непонимания охватывает меня: цеужели математика есть нечто совершенно иное? Хотелось бы, чтобы кто-либо, глубже знающий и математику, и психологию, навел мосты между ними.
Помимо нескольких общих идей, мои рассуждения не связаны с психологией. Непосредственными источниками моей работы являются школьные учебники, дидактические планы, пробные уроки, наблюдения над отдельными детьми и косвенным образом — беседы и дискуссии с учителями. Что касается этих бесед и дискуссий, то в конце настоящего предисловия будет приведен отчет о некоторых влияниях. В то же время у меня были причины избегать, где в этом нет особой необходимости, упоминаний об учебниках, дидактических планах и пробных уроках. Для этого есть веские основания: этот материал подвергался критике, которая в большинстве случаев была негативна. Критические доводы почти однозначно распадаются на немногие серьезные соображения и большое количество придирок. Оба вида критики волей-неволей смешиваются; мне хотелось бы избежать этого. Иначе было бы много чести цитировать наряду с серьезной критикой и множество мелочных придирок. Лишь в немногих специфических случаях я прибегал к цитированию.
То, что я почти не упоминаю математико-дидактических исследований, имеет другую причину, главным образом ту, что, если не считать некоторых банальностей, я не использовал их результаты, так как не смог ими воспользоваться. Это я должен объяснить.
Вначале я думаю об исследованиях, которые должны показать, что некоторый определенный учебный материал может быть предметом преподавания. Материал предлагают кому-то; указывают, где и когда он проверялся; успешность обосновывается даже численной мерой. Однако при этом отсутствует указание метода преподавания, и тем самым весь отчет, как таковой, обесценивается, так как и без того ясно, что детям можно соответствующими методами вдолбить все что угодно. Недавно я видел прекрасный с дм по себе курс для индивидуализированного обучения (по определенной программе каждый школьник работает с доступной ему скоростью), по которому дети, руководимые ложными рецептами, годами по-
слушно доказывают одну и ту же нелепость, и никто их не останавливает — это показывает, что и такой материал может быть предметом преподавания. К подобным исследованиям я питаю более серьезное недоверие. В лучшем случае они показывают возможность изучения материала, но не возможность обучения ему. Неверно, что это одно и то же. Если некоторый материал может быть преподаваем, это еще не значит, что достаточно большое количество учителей могут обучать этому. Если материал математически неверен, .или дидактически неудачен, или нс имеет познавательной ценности, некоторые учителя отказываются обучать такому, а многие хотя и обучают, но делают это с отвращением, так что обучать этому материалу становится уже невозможным. Далее, некоторый материал может оказаться столь своеобразным, что ему можно обучать только, если ясно указано, как следует обучать, но эти сведения тоже большей частью отсутствуют (я имею в виду нс дидактические тонкости, а форму обучения, которая подходит к данному предмету). Такими вопросами я пренебрегаю в настоящей книге: при разработ- 'ке материалов и методов обучения мы должны думать нс только о том, что можно изучить и что стоит изучать, но и о том, каким приемам обучения научится на этом материале учитель, или лучше, чему мы сможем научить учителя, при обучении школьников. Когда я рассматриваю мою собственную деятельность, а также настоящую книгу с этой точки зрения, я оцениваю свои собственные способности в этой области не столь уж высоко.
Но продолжим обсуждение видов исследования, которые я нс смог использовать. Второй вид — это те исследования, в которых сравниваются два различных метода обучения одному и тому же материалу, или две различные последовательности прохождения отдельных разделов. Затем с надежностью, скажем 98%, делается вывод, что оба варианта нс столь уж плохи. Пожалуй, еще лет тридцать назад я наблюдал впервые подобное исследование, но в обучении не математике, а географии. Исследование было проведено безупречно; единственное, удивившее меня, было то, что это оказалась та самая география, которая смертельно надоела нам в школе. С тех пор я видел множество подобных исследований, в которых описывались методы обучения; иногда я едва верю глазам своим, что такое возможно и в наши дни.
Все это, вероятно, исключительные случаи, но и в тех исследованиях, относительно которых эта критика неуместна, остается apriori нерешенной проблема математического воспитания: чему, зачем и как следует обучать. Моя критика направлена против самого духа подобных исследований. Когда окончательные результаты приукрашивают статистикой, можно думать, что математическая строгость' перенесена и в педагогические исследования. Однако единственное, что напоминает — плохое! — естествознание, — это гордость верностью седьмого знака после запятой, тогда как цифры перед запятой совершенно бессмысленны. Куда большему, чем из подобных исследований, я научился из собственного и опубли-
кованного опыта, из учебников и методов, нравятся они мне или не нравятся, и из беспристрастного анализа учебного материала и приемов обучения опытных педагогов.
Педагогическая деятельность — это поиск верного пути воспитания в соответствии с искренними убеждениями. Педагогическая наука должна быть в первую очередь сознанием ответственности этих искренних убеждений. По-моему, это называется философией. Говорят также, что пренебречь этой философией нельзя. Самые детальные исследования не могут заменить философию; напротив, они могут строиться лишь на правильной философской основе.
Несмотря на все частные рассуждения, эта книга от начала до конца является философией математического воспитания. Я не первый, кто пишет такую книгу, и во всяком случае должен был бы научиться у своих предшественников критическому восприятию. Научность такой книги, как эта, определяется не числом ссылок, а основательностью, с которой проводится обсуждение.
Я не раз говорил и писал об обучении математике. Эти два тома не содержат существенно нового по сравнению с моими прежними публикациями; отдельные куски дословно списаны из них. Однако те же мысли расположены теперь по-иному. Мне, как математику, это далось нелегко. Диалектический стиль взамен дедуктивного представил для меня известные трудности; это же относится и к упорядочению мелких вопросов. Однако в целом это больное место. Форма курса или книги по математике, где говорится «вследствие теоремы... (см. с ...)», «мы видим, что определения на с. ... и с. ... эквивалентны» — в книге, подобной настоящей, совершенно неприемлемы, однако ничего другого я придумать не мог. Поэтому настоящие две книги, как сказал бы математик, совершенно неупо- рядочены. Многочисленные повторения оказались неизбежными.
Если я не мог пользоваться цитатами в деталях, то я преисполнен* сознанием идей, которые я воспринял от других авторов. Первый толчок к занятиям теоретическим и математическим воспитанием я получил от моей жены в период совместного изучения проблем воспитания. С педагогикб-психологической стороны я главным образом испытывал влияние исследований О. Декроли. Моя педагогическая интерпретация математики ясно указывает на влияние брауэровского восприятия математики (но не воспитания). С 1945 до 1963 года я изучал многие общие и частные вопросы в математическом семинаре (голландского) «Общества по обновлению воспитания и обучения»; из числа его членов, которым я весьма благодарен, назову лишь П. М. ван Хиле и его усопшую супругу Дике Гельдоф. К более позднему времени относятся дружеские встречи, которые пробудили во мне интерес к математическому воспитанию в международном плане; прежде всего я благодарен Эмме Кастельну- ово, Зофии Крыговской и В. Сервэ за то, что узнал от них на международных встречах; добавлю еще имя А. Ревю. Всем, кого волнует дело математического образования, посвящается эта книга.
Утрехт, 27 декабря 1970 г.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТРАДИЦИЯ
Некто метко и остроумно заметил, что математика вначале подкрадывается постепенно и незаметно, но вскоре голова ее подымается к небу, а сама она идет по земле.
Илья. IV, 442 — 3.
... потому что она начинается с точки и линии, но ее исследования простираются на небо, землю и вселенную.
Герои. «Определения».
Не плачь об этом — посмотри на моих родителей, введенных в заблуждение громкой славой лживых математиков.
Надпись на могильном камне четырехлетнего Телефуса у Аппие- вой дороги.
Если армия противника выступила 6 дней назад и
проходит ежедневно 3-~ мили, а наша армия выступает
сегодня, то сколько миль в день она должна проходить, чтобы догнать противника через 7 дней?
Из учебника арифметики 1799 года
Я не знаю, научились люди вначале писать или считать. Алфавит на 2 тыс. лет старше, чем нынешняя индийско-арабская цифровая система. Однако это ничего не доказывает. Математика куда старше, чем эти цифры. Вместе с первым письмом человечество начало вести и письменные вычисления, а какие и на сколько раньше были вычисления устные или на счетных дощечках, мы попросту не можем установить. Однако знаменательно, что, например, в индоевропейских языках названия числительных для чисел до 10 и для 100 возникли в незапамятные времена и, следовательно, придуманы задолго до письма.
Как известно, в конце третьего тысячелетия до наЩей эры в Вавилоне существовали хорошо развитые .элементарные арифметика и алгебра, большей частью формулировавшиеся геометрическим языком, т. е. длина и ширина (прямоугольника) представляли то,
что мы ныне обозначаем % и у. Считают, что этой математикой пользовались жрецы, но это заблуждение: жрецы — это были попросту интеллектуалы того времени: писцы, учителя, библиотекари, звездочеты, астрологи, гадатели по внутренностям животных^ мудрецы, строители храмов и дворцов, колдуны. У колыбели вавилонской математики стояли вычислитель и землемер, купец и меняла, банкир и бухгалтер, нотариус и сборщик налогов, строители городов, дорог и мостов. Однако их потребности были быстро удовлетворены. Задачи, предлагавшиеся учащимся школ при храмах в течение двух тысяч лет, были нс только практического характера. В них шутливо обсуждалось асфальтирование дороги длиной 100 км и шириной 1 мм и предлагалось вычислить потребное число поденных рабочих; рассматривался раздел наследства, состоявшего из 65 золотых, между пятью братьями так, чтобы каждый следующий по возрасту получил на 3 золотых меньше предыдущего; задавались вопросы, которые в ходу и по сей день: о камне, который весит один фунт плюс половину веса этого камня, или о копье, которое подымается на один локоть выше стены, возле которой оно воткнуто, и основание которого отстоит на три локтя от стены, а если его наклонить, то оно окажется вровень со стецой. Конечно, это приучало к полезным умножениям и делениям с помощью таблиц или счетных дощечек, но для чего? Чтобы школьники могли решить бесполезное линейное или квадратное уравнение? Если кто-то был неудовлетворен этим, то что отвечал на это отец или учитель? Что математику изучают издавна, потому что математика изощряет ум; что другие предметы еще более бесполезны: шумерский язык, который еще изучают, хотя он уже более двух тысячелетий мертв, аккадский язык и клинопись, хотя на вавилонских улицах давно уже говорят по- арамейски, а алфавит изобретен тысячу лет назад. Или учитель отвечал: подожди немного, в будущем году с помощью этой математики ты сможешь изучать календарь, вычислять праздники, движение Солнца, Луны и звезд? Астрономия — вторая наука человечества; вычислительная астрономия на 2 тыс. лет моложе математики, однако это действительно практическая наука, ибо нельзя сотворить из воздуха звезды и планеты, как выдумывают математические задачи. Зачем нужна астрономия: календарь, праздники, предсказание затмений, войн, эпидемий, ураганов, ливней, наводнений, судеб народов и отдельных личностей? Это, конечно, полезная наука, полезное приложение математики, которую оно использовало в течение двух с половиной тысяч лет. Правда, для этих приложений едва ли требуются даже квадратные уравнения. Если хотели применить их, всегда ставили такие задачи, как: «Я перемножил длину и ширину, получил площадь; излишек длины над шириной, сложенный с площадью, равен 183; сумма длины и ширины равна 27; найти длину, ширину и площадь». Тысячи подобных задач обнаружены на глиняных табличках, но, к сожалению, почти нет теоретической литературы, «учебных текстов», правил, по которым следует решать эти задачи.
Еще меньше — не на глиняных табличках, а на папирусе — сохранилось нам от египетской математики. Однако и здесь та же общая картина — математика, которая быстро выходит за рамки практических приложений. Разве не совершенно естественно, что вычислителей и землемеров захватывает интерес к числам и фигурам, с которыми они ежедневно имеют дело, что они как бы играют с числами и фигурами, что они хотят постичь тайны чисел и фигур и тщательно хранят постигнутое от посторонних? Это следует подчеркнуть: как часто утверждают, что догреческая математика — это ^ишь чисто прикладная математика!
Разумеется, греческая математика была иной и, судя по тому немногому, что нам известно, она с самого начала должна была быть иной. Где-то в VI веке до н. э. греки должны были изучить вавилонскую математику и астрономию; из того, что нам известно о Фалесе, вытекает влияние вавилонской астрономии, а вавилонская математика говорит о многом, что мы традиционно связываем с Пифагором и его учениками. Кто не знает так называемой теоремы Пифагора? Но она была известна в Вавилоне еще на две тысячи лет раньше. Но, может быть, Пифагор первым доказал ее? Нет, и это не так, ибо теорему, которая отнюдь не очевидна, можно открыть только путем доказательства; ее нельзя открыть, попросту измеряя стороны треугольника. И все же мы то и дело читаем, что впервые открыли ее греки.
Что, пожалуй, греки сделали — это привели доказательства в систему. Греческая математика характеризуется тем, что мы ныне .называем «дедуктивной системой». Вероятно, это и в самом деле началось с Фалеса. Традиция утверждает, что Фалес доказал некоторое количество геометрических теорем; при тщательном рассмотрении оказывается, что они не того рода, к которому относится, скажем, теорема Пифагора, а примерно следующего: «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны»; иначе говоря, это теоремы, справедливость которых можно усмотреть с первого взгляда. То, что такие теоремы все же доказывают, свидетельствует, что открыта некая новая игра, доказательство ради самого доказательства. То, что такие теоремы можно доказывать, свидетельствует, что построена система, в которой эти доказательства являются осмысленной деятельностью. Если такое и существовало у вавилонян, то во всяком случае бесследно исчезало.
Разъяснение существа дедуктивной системы мы находим у Аристотеля столь ясно, как нигде до последнего времени. Каждая истинная наука, считает Аристотель, исходит из традиций, принципов, лежащих в ее основе, из которых она развивается. У Евклида это определения, постулаты, аксиомы, приведенные в систему; у других это сформулировано иначе; однако обычай начинать построение гео-
метрии с подобных принципов по меньшей мере на целый век старше, чем «Начала» Евклида. Так поступал, вероятно, уже Гиппократ Хиосский, автор первого систематического сочинения по геометрии. Откуда этот обычай — из самой геометрии, из философии или из публичных диспутов — неизвестно. Можно предположить, что первоначально с помощью таких принципов защищались от придирок и кляуз. ,
Евклид перечисляет отнюдь не полностью все аксиомы, которыми он пользуется; но если Евклида и упрекают в этом, то лишь с чересчур современных позиций. Наука основывается на принципах. Но кто скажет, что их можно перечислить исчерпывающим образом? Насколько далеко следует при этом заходить, является у Аристотеля вопросом целесообразности.
У Евклида имеются места, построенные аксиоматически в современном смысле, например учение о пропорциональности и подобии в 5-й и 6-й книгах, приписываемое Евдоксу; оно соответствует тому, что ныне мы назвали бы теорией действительных чисел; но есть и другие места, в которых дедуктивная структура очень слаба, — мы не должны забывать, что Евклид был главным образом компилятором. И все же дедуктивная структура «Начал» в течение двух тысяч лет вызывала восхищение и многочисленные.подражания. Восхищение было вполне справедливым; подражание удавалось немногим. Разумеется, и Архимед, и Христиан Гюйгенс были не менее великими аксиоматиками, чем Евдокс, но аксиоматические потуги Спинозы изложить философию по образцу геометрии, пример Лейбница аксиоматического построения юриспруденции и по- литикологии, аксиоматическая космология Уистона и другие подобные построения были куда менее убедительны. Что такое аксиоматика и как следует формулировать аксиомы, показано впервые в конце XIX века Пашем; у него этому учились итальянские геометры и учился Гильберт.
Дедуктивность и аксиоматический подход являются для нас наиболее поразительной, наиболее характерной чертой греческой математики. Великой заслугой греческих математиков было также открытие иррациональности, несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной. Ничто не очевидно более, как принять, что каждое отношение двух величин можно выразить отношением целых чисел. Открытие иррациональных чисел вызвало кризис основных понятий, но это опять чересчур современное рассуждение. Философия пифагорейцев, считавших число началом всех начал, во всяком случае плохо соответствовала этому открытию; однако бывшие среди пифагорейцев математики умели справиться с этим. Требовалось по-новому определить понятие отношения, и притом не с помощью целых чисел; первоначально это было сделано с помощью итерационных процессов, однако затем их исключили. Окончательное решение древних, нечто вроде.дедекиндовых сечений, содержится, как было сказано выше, в 5-й и 6-й книгах «Начал»; в 12-й книге
развито античное учение об «эпсилонтике». Но греки пошли дальше: исключили не только предельные процессы, но и всю вавилонскую алгебру. Так как чисел оказалось недостаточно, их вообще изгнали из геометрии: действительные числа были неизвестны, рациональные -— запрещены. Впрочем, я полагаю, это касалось только науки, ибо купцы и ремесленники пользовались, конечно, дробями. Но математики, по примеру Пифагора, считали числа священными; Платон раздраженно реагирует на людей, которые хотят дробить целую единицу.
Значит, от алгебры отказались вообще? Нет, просто нашли за- ~мену, геометризированную алгебру, систему геометрического описания алгебраических операций, линейных и квадратных уравнений, приемов решения задач. Эти вопросы изложены во 2-й книге Евклида и находят приложение в книге 10-й при классификации Иррациональностей, образцового примера неудобочитаемой математики.
Эта геометризированная алгебра, оторванная от жизни, бесполезное достижение фанатиков метода и точности, стала одной-из причин вырождения греческой математики. Разумеется, до тех пор, пока наряду с официальной евклидово-архимедовой математикой преподавались также эвристические методы алгебры и бесконечно малых, молодые люди могли осваиваться со смирительной рубашкой официальной науки. Но как только эти традиции были сломлены, все погибло. До III века вавилонские традиции были живы, и в Диофанте мы видим истинного алгебраиста. Затем все кончилось. Алгебра развилась заново уже в арабской культуре, с опаской оглядываясь на образцы греческой строгости; Индия и христианское средневековье шли своим путем — далее я к этому еще вернусь. С традициями греков впервые порвал лишь Декарт, не признававший никаких традиций вообще. Он делает поворот на 180°: вместо того чтобы геометризировать алгебру, алгебраизирует геометрию и в результате получает то, что в средней и высшей школе до последнего времени называлось аналитической геометрией. В это время снова вошли в моду предельные процессы и методы бесконечно малых, которые привели к исчислению флюксий (у Ньютона) и к дифференциальному и*интегральному исчислению (у Лейбница). Никого не мучили угрызения совести, которые привели греков к отказу от алгебры; никто не вдавался в логические тонкости эпсилонтики Евдокса или не обращал на них внимания. Пожалуй, евклидово- архимедовой строгости еще удивлялись, но вряд ли кто-нибудь понимал ее, и после Христиана Гюйгенса не было никого, кто бы ей следовал. Лишь после того, как в XIX веке вновь была обретена строгость, стали понимать греков. Однако исторически все это было необходимо: смирительная рубашка Евдокса, в которой задыхалась греческая математика, тысячелетнее междуцарствие, освобождение,
при котором вместе с водой выплеснули и младенца, второе мучительное построение строгой дедуктивной системы (которое продолжалось дольше, чем в древности) и, наконец, вторичное открытие греков, которые, оказалось, уже тогда так много знали.
Но довольно пока 0 традициях математической строгости. Еще раз: не следует преувеличивать представления о строгости греков. Как раз в области элементарной геометрии у Евклида есть пробелы и, хуже того, кажущиеся доказательства. Тем более странной кажется тщательность, проявленная при рассмотрении теории параллельных. Постулат о параллельных, который мы находим у Евклида, был для древних окончательным решением проблемы, которая должна была весьма интересовать греков. На другие решения есть лишь косвенные указания, но они позволяют предположить, что греки знали об этом больше, чем содержится у Евклида, что они во всяком случае были близки к исторически столь далекой неевклидовой геометрии. Но опять-таки как в смысле математической строгости со времен Евдокса, так и в отношении оснований геометрии со времен Евклида на два тысячелетия твердо установилось традиционное содержание. Точно так же обстоит дело с геометрическим методом — всем, пожалуй, известен метод конгруэнтных треугольников, на которые фигуру разбивают вспомогательными линиями, чтобы, переходя от одного треугольника к другому, построить цепочку доказательств конгруэнтности двух величин, равенство которых нужно доказать, — последовательный метод, доходящий иногда до абсурда. Вспомните, например, классическую задачу из школьного курса геометрии: доказать, что плоскость ВС К, проходящая через три вершины куба, смежные с данной вершиной Л, перпендикулярна диагонали куба, проведенной из вершины А. Скольких «признаков конгруэнтности» можно избежать, если заметить невооруженным глазом, что поворот на 120° вокруг диагонали АЕ преобразует рассматриваемую плоскость ВСК в себя, из чего и вытекает все, что требуется доказать! Еще десять или двадцать лет назад подобные доказательства были категорически запрещены в школе. Теперь, наконец, такие отображения, как зеркальное отражение, сдвиг, вращение, выражают последний крик моды в школьном преподавании. В творческой геометрии эти методы появились еще в XIX веке, они составляют основу новой геометрии. Но евклидовы традиции конгруэнтных треугольников еще и в нашем столетии были настолько сильны, что даже Феликсу Клейну не удалось ввести отображения в школьное преподавание в Германии.
По-видимому, еще в последних доевклидовых учебниках геометрии отображения были допустимым методом доказательства; следы этого метода содержатся даже в самих евклидовых «Началах». Евклид искоренил геометрические отображения, и тем самым была решена их судьба вплоть до XIX века. Почему отображения были
запрещены? Их кинематический оттенок противоречил возвышенному характеру геометрии; оторванность геометрии от жизни не выносила изменений, а всякое движение есть изменение — такие философские догмы были, очевидно, задней мыслью; иногда они проскальзывали и. позднее, вплоть до наших дней. Даже насквозь пропитанное кинематикой современное понятие функции долго не могло повлиять на точку зрения геометров — столь сильны были греческие традиции.
Пифагор, по преданию, возвел геометрию из сферы повседневной жизни в ранг свободного искусства, т. е. сделал ее предметом занятий свободных людей, не оскверняющих себя работой. К четырем. видам свободных искусств средневекового квадривиума принадлежали еще арифметика, музыка и астрономия; их также приписывали Пифагору, и они были, конечно, областью деятельности первых из его учеников. Даже само название «математика» происходит'оттуда: из учеников Пифагора вскоре выделилась группа, называвшая себя математиками, так как они занимались четырьмя «математа»: геометрией, арифметикой, теорией музыки» и астрономией. Не только принадлежность к «свободным искусствам», но также и тоъ что предметы изучения этих наук были не от мира сего, постоянно подчеркивалось Платоном и его учениками и стало традицией. Однако из этого не следует, как иногда бывает, делать вывод, что античные математики совсем неблагосклонно относились к приложениям математики. Многие занимались практической механикой, и не кто иной, как Архимед^ был величайшим среди них. Пожалуй, верно, что как вавилонская математика, так и греческая далеко опередили возможности ее применения: конические сечения были впервые использованы через два тысячелетия после их открытия как эллиптические орбиты планет у Кеплера, в одном из фокусов которых находится Солнце. Пожалуй, вообще математика как наука всегда была намного впереди возможностей ее применения. Это соответствует особенное ги математики: искать формы мышления, из которых приложения выбирают то, что им подходит.
Математика является высшим среди научных достижений греков; в теоретических науках они достигли большего, чем в экспериментальных. Это верно; но это и вполне естественно, и уже у
вавилонян было подобное этому. Если однажды удается постичь силу мышления, ее стараются развить. Ведь чувства обманчивы — это постоянно подчеркивают. Отдаленные предметы кажутся уменьшенными, квадратные башни — круглыми, весло в воде кажется переломленным. Приходится призадумываться, чтобы раскрыть все уловки природы. '
Конечно, рационализм играл у греков большую роль. И все же, как это часто бывает, преувеличивают безмерно, утверждая, что греки не вели наблюдений. В качестве гротескного примера называют Зенона, который дошел до доказательства, что быстроногий Ахиллес не догонит черепаху, что явно противоречит опыту; конечно, Зенон и сам понимал это, но его знаменитый парадокс имел целью не опровергнуть действительность,, а привести теорию о действительности к абсурду. Цитируют также Аристотеля как рационалиста, который ставил дедукцию выше опыта. Но и это тоже неверно. Что нам кажется странным у Аристотеля — и это важнее, — что он, объясняя природу, мыслит не механико-математически, а психолого-биологически, что иногда придает его аргументации магический оттенок. Мы обязаны современной механикой не тому, что Галилей, Гюйгенс, Ньютон были лучшими наблюдателями, чем греки, а тому, что они строже и логичнее анализировали. Если, например, Аристотель пытается доказывать конечность вселенной, то это неверно не потому, что такое нельзя доказывать, а потому, что его-доказательства полны логических ошибок. Напротив, Галилей обосновывает одинаковую скорость падения тел в пустоте не наблюдением, а поразительно глубоким анализом. Греки вообще понимали эмпиризм и знали ему цену — это показывает греческая астрономия. Тут они старались «спасти явление», т. е. параметры модели планетной системы, вводя многочисленные дифференты и эпициклы, соответствующие наблюдениям. Разумеется, важную роль здесь играла точность наблюдений и возможность проконтролировать достигнутую точность. Однако, помимо астрономии, наряду с чистой математикой развивалась и прикладная математика, примеры которой нам известны из компендия Героца. Таково же положение и сейчас, однако с почти непрерывными переходами между двумя крайностями —теоретической и прикладной математикой. Оценивая прошлое, не следует забывать весьма невысокие требования, которые предъявлялись приложениями к математике. Это должно было привести к застою науки; но, с другой стороны, нельзя не согласиться, что греческая математика содержала элементы застоя внутри себя; было трудно перебросить нить через образовавшуюся в традициях лакуну. Это нарушало стиль «Начал», классического образца законченной науки, который хорошие учителя могли использовать как учебник, —к этому мы еще вернемся.
Когда индийцы, арабы, средневековые монахи обновили математику, то это была уже математика другого рода, математика, в которой не чувствовалось влияния Пифагора, стремившегося возвысить ее в ранг свободных искусств. Новшества имели обычно прак-
тический характер. У индийцев'арабы заимствовали новое написание чисел, чтобы передать его европейцам, нашу десятичную позиционную систему, значительно более удобную, чем буквенная запись чисел у греков, или так называемые римские цифры. Да, значительно более удобную, но и здесь не следует преувеличивать. Спрашивается, как вычисляли греки, как вычисляли римляне с их непрактичными числовыми системами? Это должно было быть мучением. Как можно было поступать столь непрактично? Возможно, в астрономии греки восприняли вавилонскую шестидесятеричную систему счисления. Если им это было известно, то почему они вообще не записывали своих чисел в позиционной системе (и притом в десятичной)?
Теперь вопрос о том, как греки и римляне вычисляли своими приемами, решается просто. Ответ гласит: вообще никак. Вычисляли не так, как это делаем мы на бумаге, а камешками на счетных досках — а там все само собой упорядочивалось в зависимости от места. Так считали издавна вплоть до нового времени, а в Китае и Японии считают так еще и сейчас. Несмотря на многие неудобства, эти вычисления ведутся по меньшей мере столь же быстро, как на бумаге. Распространение индийско-арабского способа вычислений, т. е. письменного, с помощью записи цифр, шло параллельно с изобретением покрытых пылью табличек, на которых писали по пыли или мелкому песку; другие новшества в вычислениях связаны с появлением дешевой бумаги.
Но, конечно, индийско-арабская система была шагом вперед. При этом удивительно, что переход к этой системе тянулся вплоть до XVI века, когда Стевин в дополнение к десятичной форме записи целых чисел изобрел десятичные дроби, хотя уже вавилоняне владели шестидесятеричными дробями.
Обыкновенные дроби являются, собственно, еще более примечательной главой в истории математики. Вначале они очень медленно "получали признание; с ними трудно было примириться. Сколько будет, если 2 разделить на 7? Ответ «две седьмых» звучит как неудачная тавтология. Истинный вычислитель вычисляет до тех пор, 2
пока есть что вычислять. -=- можно записать как — 4- и это вы- 74 1 28
глядит гораздо приятнее. Так и делали египтяне, они преобразовывали дроби в сумму «основных» дробей, т. е. дробей с числителем единица. Им следовали греки, иногда даже математики и астрономы, если они вообще не отказывались от дробей из философских соображений. Лишь индийцы признали обыкновенные дроби и записывали их с помощью числителя и знаменателя почти так же, как и мы, только без дробной черты.
Введение обыкновенных дробей (а позднее и отрицательных чисел) является типично алгебраической идеей, возникшей из необходимости выполнения арифметических действий. Требование неограниченной выполнимости арифметических операций осуществляется путем введения новых объектов; это указывает на уже утон-
ченное формальное мышление. И другие понятия мы относим к алгебре: символику, применение обозначений для переменных, которые не входят в обиходный язык. «Задумай число...» —так начиналось в старой словесной алгебре условие задачи. У Диофанта мы наблюдаем, как слово «число» отшлифовывается до символа, над которым выполняются вычисления. У индийцев и арабов этот процесс идет дальше; коссисты позднего христианского средневековья имели целую систему символов для неизвестного и его степеней, причем они отнюдь не ограничивались третьей степенью, как это обычно делали геометры. Важным шагом в развитии символической алгебры было появление в середине XV столетия формально записанных дробей, содержащих многочлены от неизвестных в числителе и знаменателе. Привычная для нас алгебра начинается с того времени, когда Виета (в конце XVI столетия) обозначает буквенными символами не только неизвестные (или переменные), но и неопределенные величины (или параметры).
Следующий по важности шаг в развитии алгебры — алгебраиза- ция геометрии Декартом, который преодолел при этом и древнее обременительное ограничение, заключавшееся в том, что все члены алгебраической суммы должны были иметь одну и ту же размерность. Тем самым были преодолены греческие традиции в алгебре.
В то же время Декарт создал и новую традицию — традицию алгебры. Часто не замечают, сколь стойкой она была. Разумеется, уже Гюйгенс вел с ней борьбу в физике, Лейбниц — в фйлософии и математике. Разумеется, крупнейшие математики посвятили себя исчислению бесконечно малых и развивали его (Ньютон, Лейбниц, семья Бернулли, Эйлер, Лагранж, Лаплас). Разумеется, были еще и другие, которые развивали новые методы или, по меньшей мере, постигли их, но сколько их тогда уже было? Бесчисленные популярные переработки Евклида и учебники алгебры на разных языках служат многочисленными указаниями на то, как распространялось изучение геометрии и алгебры вплоть до университетов. Но где же можно было в этот период изучать новое исчисление бесконечно малых, которое столь далеко превзошло алгебру Декарта? Я полагаю, что в течение всего XVIII столетия не было ни одного места, где бы оно преподавалось. Это было одним из поразительных фактов, не имеющих прецедента в истории математики. Как же это стало возможным? Неужели было так трудно убедить университеты, которым стоило больших усилий усвоить картезианство и которые в это время как раз признали солнечную систему Коперника, изменить образ мыслей по отношению к исчислению бесконечно малых? Разумеется, нельзя отрицать косность университетов XVIII столетия. Кроме того, едва ли хоть один из ведущих математиков работал в университетах. Развитие науки было в то время делом
академий и ученых корпораций, которые не имели отношения к университетам. Но и это еще не все. Со времени изобретения книгопечатания научные традиции направились по другому пути. Если устное преподавание и не стало ненужным, то во всяком случае стало не столь необходимым, как ранее. Возникни исчисление бесконечно малых на пару столетий раньше, открой его кто-нибудь в ту пору — без школ, где бы его преподавали, оно запросто могло бы бесследно исчезнуть. Теперь другое дело. Были книги, по которым можно было изучать исчисление бесконечно малых, и так как после Ньютона оно было необходимо, особенно в астрономии, то были и люди, которые затрачивали усилия, стремясь прочесть эти книги. Но таких людей не могло быть много. Чтобы понять то, что публиковалось в области исчисления бесконечно малых, читатель должен был быть конгениальным автору. Так получилось, что исчисление бесконечно малых изучало гораздо меньше людей, чем алгебру, —положение, которое в общем сохранилось и поныне. Со времени изобретения книгопечатания ведущие ученые были освобождены от необходимости создавать свои школы. Для некоторых ученых это было облегчением, но для развития традиций науки оказалось тормозящим явлением, которое было исправлено лишь в XIX столетии. К этому нам еще придется вернуться.
Возвращение науки в университеты знаменуется созданием Политехнической школы во Франции и реформой Гумбольдта в Пруссии. Не везде и не во всех науках это совершилось одинаково быстро. В Кенигсберге и Берлине тон задавал на своих семинарах Якоби; в Геттингене во времена Гаусса преподавалась лишь элементарнейшая математика. Складывались новые традиции: во Франции сложился традиционный курс анализа, традиционные курсы теоретической механики, начертательной геометрии; в Германии —эллиптических функций. Все это продолжалось целое столетие. Здание курса анализа было впоследствии методически поделено на теорию множеств, топологию и алгебру, этот курс был принесен в жертву начатому Кантором и продолженному Фреше, Хаусдорфом и Эмми Нётер «структурированию» математики. Вместе с упразднением особого положения механики как приложения математики исчезает потребность изолировать ее. Совершенно непонятна нам ныне; столетняя тирания начертательной геометрии; непонятно, почему она изучалась и превозносилась как образец приложения математики, тогда как ранее она была образцом полностью изолированного раздела математики, не связанного ни с другими разделами, ни с приложениями математики, дисциплиной, нигде и никогда не применявшейся, ибо она была слишком неподвижной, чтобы иметь применения. Можно еще понять, что эллиптическим функциям придавали большое значение, поскольку они были первым расширением издавна известного понятия элёментарных функций. Исторически они и приобрели большое значение, но, как выяснилось, лишь в качестве переходной стадии на пути, который вел к различным новым областям математики. То, что эти функции на много деся-
тилетий пережили свое значение, также можно объяснить лишь косностью традиции.
Другим модным вопросом XIX столетия была алгебраическая теория инвариантов — кто однажды познакомился с так называемым символическим методом, может оценить всю его прелесть. Весьма удивительно, что эту дисциплину постиг бесславный конец. Гильберт был тем, кто завершил эту теорию, причем он (неумышленно) показал, сколь мелки многие ее проблемы, если рассматривать их с высшей точки зрения. Открытия Гильберта привели к преобразованию теории алгебраических инвариантов в алгебру колец многочленов. Подобное произошло и с широкими областями геометрии XIX столетия, растворившимися в той части алгебры, которая ныне весьма неудачно называется алгебраической геометрией. Так возник и угас в XX столетии один из видов теории функций одной комплексной переменной, глубоко и подробно разрабатывавшейся главным образом в Германии. Аналитическая теория чисел, основы которой заложил еще Эйлер, пережила расцвет в первой трети нашего века и обрела затем относительный покой, хотя ее кардинальные проблемы еще ждут своего решения. Одна из областей дифференциальной геометрии, достигшая расцвета в 20—30-х годах нашего столетия, быстро застыла затем в чисто формальном состоянии.
Каждая история состоит из чередования традиций и обновления. Сопротивление старого новому продолжается ныне в течение не более чем одного поколения. Математике особенно свойственна сила убеждения, в ней можно более объективно оценить успехи, чем где- либо еще. В математике было меньше непризнанных гениев, чем где либо еще. Душещипательные истории, которые рассказывают об Абеле, просто выдумка. Значение Абеля было тотчас признано современниками, даже теми, которые читали его работы не сразу после их появления. Абель умер не от голода, а от туберкулеза; ему были предоставлены достаточные стипендии, позволявшие даже путешествовать; то, что Коши затерял одну из его работ, — клеветническая выдумка. Во всяком случае верно, что Абель умер слишком рано и не успел завоевать большей славы. Это же относится и к Галуа: если бы он прожил дольше, то его теория завоевала бы признание быстрее. И о Римане рассказывают, будто бы он умер голодной смертью; но и он погиб от туберкулеза, хотя и не столь молодым, как Абель, и притом в расцвете своей славы. Кантор серьезно сожалел о равнодушии современников. Но его болезнь приписывают не этому обстоятельству; вообще неверно, что идеи Кантора были отклонены или не замечены. Наоборот, его точечные множества быстро получили признание, хотя с абстрактной теорией множеств это произошло несколько позднее. Что в самом деле шло медленно — это проникновение теории множеств в другие области математики, но прежде всего потому, что эти другие области еще не созрели для того, чтобы нуждаться в теории множеств; и действительно, по мере созревания они как бы падали к ногам этой теории. В следующей главе мы проследим это.
Если Буля считают непризнанным гением, то это, конечно, преувеличение. Не следует считать слишком большой заслугой разработку изолированных формализмов, которые лишь впоследствии оказались полезными; коль скоро они не были наполнены содержанием, современники были вправе пренебречь ими. Логистики часто считают Фреге непризнанным гением, но это тоже преувеличение; Фреге жил в закоулке математики. Своим незнанием или непониманием того, что происходило в его время в математике, он сам отказал себе в свидетельстве своей гениальности.
В начале этой главы много говорилось о полезной математике. Чем дальше мы прослеживаем традиции, тем меньше возвращаемся к этому. К повседневным вычислениям, к математике торговцев, ремесленников и землемеров еще в Вавилоне присоединилась математика астрономов, которая в Греции была поднята на большую высоту и которая применялась как в навигации, так и в астрологии. Вообще говоря, греческо-римская техника требовала больше математики, чем вавилонская или древнеегипетская, но в целом это все еще была «жалкая» прикладная математика. И эта «бесполезность» тоже препятствовала развитию математики. Не только потому, что отсутствовали общественные потребности, но и потому, что ненужная обществу наука не могла рекрутировать себе адептов. Знаменательно, что римляне, говоря о математиках, подразумевали астрологов, а иногда халдеев, ибо астрология пришла оттуда, с востока. Да и на какие средства мог существовать математик? Правоведение, риторика, филология, даже искусство стихосложения давали для этого больше возможностей. В христианском средневековье были хотя бы монастыри, стремившиеся развивать науку, о;нако среди наук математика опять-таки играла весьма скромную роль.
Что послужило причиной неожиданного, казалось бы, взлета математики и естественных наук в XVI веке, который в следующем столетии подарил нам Галилея, Декарта, Кеплера, Гюйгенса, Ньютона, Лейбница? История рассказывает больше о гуманитарных науках, которые рассматривали взлет математики и естествознания в рамках Ренессанса искусства и гуманизма. Однако для нового развития так называемое возрождение античности оказалось менее важным, чем принято считать. Историки подчас недооценивают двигательную силу техники, лежащей вне интересов исследователей гуманитарных наук. Упускают, что развитие техники началось на три столетия раньше. С 1200 до 1500 года было сделано больше изобретений, чем за всю предыдущую историю человечества; последним из этих изобретений было книгопечатание. Это и было тем развитием техники, которое подготовило расцвет математики и естествознания не непосредственно тем, что эта новая техника сразу же потребовала обширных и глубоких научных сведений, а тем, что
разгадка хитростей природы в процессе изобретений и открытий оказалась родственной разгадке тайн чисел и фигур.
Но несомненно также, что математика стала все более и более* употребительной. Множество учебников, появлявшихся начиная с XVII века, часто даже с практическими указаниями, были, разумеется, написаны для людей, имевших некоторые предварительные сведения по математике. Ньютон сделал важный шаг от небесной кинематики к небесной механике; для этого он придумал свои флюксии. Уже братья Бернулли пробовали свои силы в проблемах механики, которые могли иметь технические применения. Но большое влияние приложений на постановку задач математики началось лишь с XIX столетия. Я считаю, что подоплека расцвета прикладной математики с начала XIX столетия до наших дней еще недостаточно оценена. Имена Фурье, Пуассона, Коши показывают, что главную роль играла здесь Франция. Исследования в области приложений математики стали сразу делом чести. Политехническая школа таким путем смогла достойно подтвердить, что новая революционная высшая школа имеет право свысока смотреть на окостеневшие университеты. Вообще говоря, и здесь было преувеличение, которое привело во Франции к завышенной оценке приложений и недооценке чистой математики, что в целом повредило французской математике. Но это между прочим, ибо возврат к приложениям оказался определяющим и в высшей степени благодатным фактором для развития математики в XIX столетии.
Если я говорю здесь о приложениях, то имею в виду не столько вычислительную астрономию, которая после тысячелетней истории обрела кульминацию в трудах Лапласа, и не другие столь же традиционные приложения. Я не имею в виду и применения математики в области теории вероятностей, которые пока что больше идут вширь, чем'вглубь. Я имею в виду обширную область, из которой математика получает сильные импульсы, область, которую ныне называют математической физикой. Она впервые была развита в трудах Фурье, Пуассона, Коши, хотя им и предшествовали работы Эйлера, Лагранжа, Лапласа.
Учебники могут создать впечатление, будто механика, завершенная в принципе Ньютоном, нуждается лишь в разработке отдельных деталей. Это впечатление совершенно ложно. Даже механика систем потребовала совершенно новых принципов, не говоря уже о механике деформируемых тел. Теплопроводность, упругость, колебания и волны в твердых телах, жидкостях и газах — вот проблемы, к решению которых приступили в XIX веке. Методы, развитые при этом на основе физических идей, включали, например, исследование уравнений с частными производными, интегральные уравнения и функциональный анализ. Запросы, выдвинутые различными физическими проблемами, до сих пор не исчерпаны полностью. Поразительно, что эта математическая физика развита чисто теоретически людьми, понимавшими важность своих исследований, но далекими от эксперимента, опиравшимися на скудные эм-
лирические данные. В действительности математические методы, разработанные для теории упругости, были впервые применены и проверены в электромагнетизме и оптике, но это также великолепная область приложений. Еще раз в нашем столетии чистая математика получила от приложений весьма стимулирующую инъекцию: исходя из требований квантовой механики были проложены новые пути в функциональном анализе. То, что математическая статистика обязана постановкой своих задач статистической практике, известно, пожалуй, всем. Чего еще может ожидать математика от численного анализа и вычислительных машин, покажет будущее.
Можно еще коснуться теории чисел, алгебраической геометрии и теории категорий и рассмотреть, насколько беднее была бы математика без притока проблем, которые ставят приложения. Математика возникла как полезная деятельность, и сегодня она полезнее, чем была когда-либо. Можно сказать, что она стала бы ничем, если бы не была полезной.
Почему я подчеркиваю это? Потому что ничто так быстро не забывается, как прописные истины. Потому что как раз те, кто отвечает за обучение и воспитание, часто забывают об этом. Нет, они не могут обманывать и не хотели бы обманывать. Однако обучение и воспитание — это повседневная жизнь, практика — и то, что признается на словах, часто не сразу осуществляется на практике.
МАТЕМАТИКА СЕГОДНЯ
Сэр, нас иногда здесь, в аду, удивляет, что мы считали наши лучшие работы похороненными под толстым слоем пыли ваших библиотек, а оказалось, что очень талантливые молодые люди современного математического мира с большим упорством работают над проблемами, которые совсем не так новы, как они думают. К сожалению, кажется, в вашем мире возник ряд вампиров, называемых рецензентами, которые безжалостно обрушиваются на математиков, если те не знают пароля. Я сделаю все, чтобы модернизировать свой язык, и я прекрасно осознаю свои недостатки в этом отношении. Но смею вас заверить, что в любом другом случае мои намерения честны и результаты инвариантны, возможно каноничны и, может быть, даже функториальны. Но, пожалуйста, позвольте надеяться, что мне не поставят двойку.
Р. Липшиц. Письмо к издателю американского журнала «Annals of Mathematics», 69 (1959), 247 — 251.
Под предлогом измерения градуса меридиана, достаточно хорошо измеренного древними, они (шарлатаны из Академии) заполучили у министра 100 000 экю на такое
мероприятие и этот скромный пирог по-братски разделили между собой
Марат. «Друг народам.
Самым большим варваризмом является введение символов, совсем новых в математике, но прекрасно понимаемых в обиходной речи. Авторы позаимствовали у немцев сокращение п' для обозначения
L2 • 3 • .. • (и— 1) • п, которое придает рукописи оттенок удивления и восхищения тем, что числа 2, 3, 4 и т. д. появляются в математических результатах.
А. де Морган. «Реппу Cyclopedia» (1842), статья «Символы».
Что означает «сегодня»? Всегда затруднительно определить, с чего начинается «сегодня». Историки начинают обычно «новейшую историю» с момента собственного совершеннолетия —этот момент служит для них переломным. Если бы провести анкету среди математиков, то подавляющим большинством голосов было бы признано, что перелом начался с Бурбаки. Сами члены группы Бурбаки вряд ли с этим согласились бы. Другая точка зрения заключается в том, что переломным моментом был 1870 год, когда в работах' Кантора и Дедекинда была создана современная теория действительных чисел,* а К. Жордан кодифицировал основы теории групп. Однако выбор 1870 года имеет тот недостаток, что тем самым игнорируется длительное развитие теории групп, начавшееся примерно с 1820 года; еще печальнее, что приходится считать, будто Риман, который сегодня столь современен, умер уже «вчера». ,
Однажды некий юный математик заявил в своем докладе на математическом коллоквиуме примерно следующее: «... откуда и вытекает, согласно известной теореме каменного века, что...». Если не ошибаюсь, эта теорема была открыта ровно 20 лет назад. Один из немногих более пожилых слушателей перебил его репликой: «Из неолита, не так ли?» В разных местах земного шара каменный век кончался в разное время; даже сегодня в удаленных точках планеты еще встречаются люди, стоящие на первобытной стадии развития. Точно так же и в математике позавчерашнее нередко соседствует с нынешним и даже с послезавтрашним; одни считают «нынешним» более раннее, другие — более позднее; для молодых «новое» кажется ближе, чем для пожилых.
Многие повторяют утверждение, что такие области, как абстрактная алгебра, топология, теория меры, функциональный анализ и теория гильбертовых пространств, нигде не преподавались; однако это преувеличение: тот, кто впервые заявил об этом, имел в виду лишь те университеты, о которых ему было известно, но те, кто повторял это, обобщали необоснованно. Я защищал диссертацию
в 1930 году и, если не считать абстрактной алгебры, слушал лекции известных математиков по всем этим дисциплинам. Абстрактную алгебру я изучал позднее в другом месте; однако там отсутствовало преподавание функционального анализа. По топологии и теории меры в те годы уже читались лекции и были выпущены учебники.
Когда же появился тот тип изложения математических курсов, который содержится ныне в большинстве учебников? Я бы сказал: в среднем с 1935 года. Трудно решить, как быстро эти новые идеи в обучении распространились по миру. Я полагаю, что с 1950 или с 1955 года этот «новый» стиль распространился в университетах.
Изменение стиля. Нужно иметь в виду, что основные сведения, которые, студент-математик (или физик) приобретает в первые годы обучения в университете, существенно не обновились. Новым является лишь стиль обучения. Чтобы убедиться в том, что стиль обучения математике за последние десятилетия существенно изменился, достаточно прочесть книгу или журнальную статью по математике, относящуюся к началу нашего века, и подумать о каждой строке — как ее написали бы сегодня. Разумеется, существуют и книги начала века, написанные так же, как их написали бы и сегодня, например «Основы теории множеств» Хаусдорфа, написанная в 1914 году. Но именно такие книги оказались провозвестником нового стиля в обучении математике.
Этому изменению стиля преподавания математики, так называемому процессу формализации математики, еще не видно конца; скорее мы наблюдаем лишь начало этого процесса. Следует считаться с возможностью, что математическая литература конца нашего века будет отличаться от литературы начала века точно так же, как современный литературный ^русский язык отличается от языка «Слова о полку Игореве».
Мало кто из занимавшихся в эти десятилетия математикой осознал изменение ее стиля; однако если бы они сравнили прежние записи или публикации с нынешними, то легко обнаружили бы это изменение. Я вспоминаю замечание одного студента периода моей учебы во время лекции по теории чисел: он хотел бы интерпретировать некоторое свойство на языке теории групп и доказательство провести, исходя из этой теории. Лектор отрицательно покачал головой и сказал: «Это не имеет отношения к теории чисел». Ныне никто не стал бы доказывать это самое свойство иначе как на основе теории групп. Будучи студентом первого курса, я удивлялся, что такие понятия, как, например, линейная зависимость, в трех различных учебниках преподносились, на трех различных языках, в трех различных терминологиях; я боялся поверить, что это одни и те же понятия.
Изменение стиля: переменные. Не помню, когда я осознал тот важный факт, что для получения высказывания из высказывательной формы надо связать в ней переменные, что бывают кванторы существования и кванторы общности, и всякий раз должно быть ясно, какой из кванторов имеется в виду.
Я не помню, чтобы в начале моей учебы хоть один из преподавателей уделял внимание разъяснению того, какими кванторами связаны различные записанные на доске переменные. Будучи студентом, я прилежно переписывал в свои тетради то, что было на доске, но куда реже—дополнительные пояснения лектора; поэтому-то мои записи бывали обычно недостаточно понятными.
В повседневной речи мы чаще всего не заботимся об уточнении вида кванторов, относимых к переменным. В фразе «У меня есть (один1) автомобиль» «один» является квантором существования (т. е. существует один определенный автомобиль, который мне принадлежит); в фразе «(один) автомобиль стоит много денег» «один» является квантором общности (т. е. каждый автомобиль стоит много денег). Услышав эти фразы, никто и не подумает, что мне принадлежит каждый автомобиль; никто также не подумает, что я считаю дорогостоящим лишь один определенный автомобиль или лишь некоторые автомобили.
Когда несчастный студент прилежно переписывает все, что изображено на доске, но не записывает сформулированных преподавателем пояснений, он ощущает потом отсутствие взаимосвязей, из которых можно было бы понять недосказанное, (точнее, недоза- писанное). Когда мне самому пришлось читать курс анализа, я с самого начала постарался записать на доске словами определения предела и непрерывности. Однако гораздо позднее я заметил, что, говоря о сходимости данного конкретного ряда или доказывая непрерывность данной конкретной функции, необходимо всегда писать на доске: «... для каждого... существует такое, ... что для всех ... верно, что если верно..., то всегда...». Ах да, это и есть схема, известная математикам уже более полувека! Но где, в какой книге она была сформулирована хотя бы 40 лет назад? Не только в этом примере, но и в математике вообще проходит обычно длительный период с момента открытия и даже применения некоторых понятий до их четкой формулировки. В течение этого периода множеству студентов приходится читать по глазам преподавателя то, что преподаватель еще порой четко не осознал сам.
К изменению стиля современной математики относится также необходимость составления четкой схемы рассуждений. В моих лекциях по анализу в 1938 году я неожиданно пришел к мысли сформулировать во всех деталях определение отрицания непрерывности (как на языке «в — 6», так и с помощью предела), чтобы показать эквивалентность обоих определений. На этом примере я впервые понял ценность подобных схем рассуждений.
Многие педагоги, как и я, убедились в ценности логической символики для сокращения утомительных записей, но не решались применять эту логическую символику в математических лекциях. Нынешний стиль обучения математике характеризуется, помимо использования схем рассуждений, также применением логических символов (которые, к сожалению, иногда применяются недостаточно продуманно).
Говоря об изменении стиля в отношении применения кванторов, следует упомянуть о терминологии, весьма обычной для 30-х годов и совершенно исчезнувшей несколько десятилетий спустя.
Предположим, что некоторая работа начинается словами: «пусть 7? — топологическое пространство», или «пусть G — группа», или «пусть / — непрерывная функция», или «пусть Р —точка на проективной плоскости». Несколько далее говорится о некотором «7?», если имеется* в виду топологическое пространство, о некотором «С», если имеется в виду группа, о некотором «/», если имеется в виду непрерывная функция, о некотором «Р», если подразумевается точка проективной плоскости. Могло даже быть сказано «пусть 5 является 7?» или «пусть R^ Ro, ... есть определенные R» и т. д., причем «Р» из обозначения некоторого топологического пространства превращается в родовое понятие всех, топологических пространств; то же происходило и с другими обозначениями. Это вполне понятное влияние обиходного язьща, в котором, например, слово «человек» может обозначать как отдельного человека, так и весь род человеческий; точно так же здесь сказывалось и влияние традиционной логики с ее высказываниями вида: «все S суть Р» и т. д. Однако в большинстве случаев такие обозначения являлись небрежностью, вкравшейся из-за того, что не отваживались рассматривать такие совокупности субстратов, как топологические пространства, группы, непрерывные функции или проективная плоскость, как множества принадлежащих им элементов, вводя целесообразные сокращения. В устной речи подобная небрежность встречается и ныне, но в печатном виде не встречалась мне уже много лет.
Изменение стиля: функции. Я уже не помню, когда мне стало ясно, что функцию нужно обозначать не / (%), а /; думаю, что это было еще до 1935 года. Но даже когда мне это стало ясно, я не отваживался последовательно проводить это в жизнь. Некоторое время я писал «отображение fX cz Y», когда подразумевал отображение X в Y — иные формы записи считались в то время вычурными. Давно уже осудив «функцию/(%)» и даже запретив эту форму записи своим ученикам, я еще писал «последовательность ап». ,
Насколько необходимы были эти нововведения, могут удостоверить сопротивлявшиеся и затем убедившиеся. Почему нельзя писать произвольно / или / (%) в качестве обозначения функции, если это не столь уж важно? И если, хотя это не столь уж важно, некто настаивает на определенном способе написания, то это требование кажется другим бессмысленным жонглированием терминами, Од-
нако если бы мы всегда имели дело с одной или двумя функциями или даже с точно определенной совокупностью функций, то способ написания действительно был не столь уж важным. Но как записать, что данная функция принадлежит некоторому множеству Л? Может быть, f (х^ € Л? Но ведь эта запись означает нечто иное, а именно что значения функции принадлежат множеству Л. И лишь по контексту можно определить смысл такой записи — а на это мы не всегда можем положиться.
Но тогда уже нельзя писать:•
S(f(x))= j К (х, y)f(y)dy
О
или
та а (X)) -f(x + а),
если мы хотим определить оператор интегрирования S или оператор переноса Та. Скорее уж следует писать:
1
(Sf) (х) = § К (х, у) t (У) dy
и соответственно
(ТаП(х) = f (х-\-а).
Как мы теперь видим, это вовсе не мелочи. Функциональный анализ внес много ценного для разъяснения способов написания. Если мы имеем дело с множествами и пространствами функций, с отображениями этих множеств друг на друга, если они вновь образуют пространства, которые отображаются друг на друга, нельзя уже рассчитывать, что контекст прояснит, что именно мы имеем в виду. Вместе с возрастанием абстрактности объектов, которые мы рассматриваем, растет и потребность в точности использования словесных выражений и обозначений.
Изменение стиля: анаколуф. Однако существуют и большие тонкости. Рассмотрим доказательство известной теоремы.
Теорема: У^—число иррациональное.
Док-во: (1) предположим (чтобы опровергнуть), что существуют натуральные р, q, такие, что — = V2.
q
Мы можем считать, что р и q взаимно простые.
Возведем (1) в квадрат; получим: — = 2.
q4
Отсюда р4 = 2q4.
2q4 — число четное, поэтому четно и р4, а также и р.
р = 2pt для некоторого натурального р^.
2^ = 4pf.
^ = 2pt
б/2 четное, поэтому четно и q — противоречие.
В (1) переменные р, q связаны квантором существования. В (2) они появляются несвязанными, но ясно, что они все еще подчинены условию (1). Однако это не вытекает из текста. Нет никакой взаимосвязи между р, q из (1) и теми р, q, которые встречаются в (2) и далее. Мы можем заменить их двумя другими буквами, и, если мы это проделаем, выявится противоречие. Нечто подобное происходит и в (6); переменная р^ связана, но применяется в (8) без необходимой ссылки на (6).
Но, может быть, все это лишь придирка? Здесь, пожалуй, это действительно так. Но кое-кто всякий раз в таких случаях сомневается. Они, правда, продолжают в прежнем стиле, но всякий раз размышляют. Еще через десять или двадцать лет никто уже не осмелится писать так. Однако любопытно все же, что подобные нелепости сохраняются столь долго, хотя это так легко исправить: нужно лишь дополнить (1) пустячком, вроде «обозначим эти числа р, q», и точно так же в (6), после чего мы можем снова спать спокойно, не терзаясь недоговоренностью;.
Выше упоминалась небрежность, к которой все мы постепенно привыкли. Писали: «отображение fR cz S», подразумевая отображение / множества R в множество S. Ныне говорят: «отображение / переводит R в S» и пишут: / : R -> S. Это, пожалуй, более удовлетворительно, но тем самым лишь подтверждается, что все еще не осознается, что именно было неудачным в прежней форме записи. Я поясню свою мысль примерами:
Пусть Л, В, С, D, Е — некоторые точки; плоскость а = АВС пересекает прямую / = DE в точке F: a Q / = {F}.
Выберем х ^ М.
Последовательность ап =! сходится.
п П2 + 1
Что можно показать на этих примерах?
«fR a S»; «а = АВС»; «I = DE»;
«а Г) / = {F}»; «х 4 М»; «а„ = —-—»
являются предложениями с точки зрения грамматики и высказываниями с точки зрения логики. Если речь идет об «отображении...», о «плоскости...», о «прямой...», то вместо многоточия после указания объекта (т. е. после слов «отображение», «плоскость», «прямая») должно стоять наименование этого объекта; после «выберем» должно стоять определение выбираемого объекта. Но во всех приведенных примерах на этих местах стоят предложения. Теперь ясно, что здесь имеется в виду: после Д после а, /, х должен мыслиться какой- то знак препинания или следующий кусочек предложения нужно писать в скобках. Итак:
«отображение f (fR cz S)»;
«плоскость a (= ABC)» или «плоскость a (a = ABC)»;
«прямая / (= DE)» или «прямая I (I = DE)»;
«выбираем x (^ /И)» и т. п.
Если во всех записях отображений соблюдаются четкие обозначения, то кое-где еще преклоняются перед прежними небрежностями, часто даже вполне сознательно, не желая стремиться к излишней точности. Еще через десять или двадцать лет покончат и с этой небрежностью. Я указал здесь два примера, в которых «современность» еще не вступила в свои права. Многие уже самоуверенно говорят о современной математике, как будто-ныне все уже приведено в должный порядок. Однако все течет, все изменяется, и словесные формулировки в математике не являются исключением.
Тридцать лет назад следующая запись считалась хорошим стилем:
«Если R и S — компактные пространства и R можно непрерывно и взаимно однозначно отобразить на S, то R и S гомеоморфны». Разумеется, это верно, но это меньше, чем доказывает и подразумевает автор подобной записи. Разумеется, «R и S гомеоморфны», но этот гомеоморфизм осуществляется указанным в формулировке теоремы непрерывным отображением R на S. Итак: «Если R иЗ — компактные пространства й если / взаимно однозначное непрерывное отображение R на S, то / — гомеоморфизм». Именно это автор и подразумевает, что подтверждается последующим цитированием — применяют не то, что записано, а то, что подразумевается.
Изменение стиля: пушка есть то, что стреляет. Группа определялась ранее как «множество G, в котором, определена операция умножения такая, что:'
(ab) с = а (Ьс);
ае = еа = а для некоторого определенного элемента е;
для каждого элемента а существует элемент сг1 такой, что а сг1 = сг1 а = е».
Здесь затруднительно уже двукратное упоминание определения, и притом в различных смыслах. Звучит комично, что определение (операции) служит средством для определения (группы). Второе «определение» выражает лишь тот факт, что в множестве существует операция (называемая умножением) и это «определение» лишь подчеркивает, что такое умножение принимается весьма произвольно. Итак, можно сказать: «множество G, в котором существует умножение такое, что..-.», но теперь ясно видно, что нас не удовлетворяет. «Умножение» появляется как связанная переменная —* как же его назвать, если оно потребуется позднее? Назовем его М:
«Множество G с умножением М таким, что...».
Но что это такое, умножение? Очевидно, отображение упорядоченных пар элементов из G на само множество G:
Л4 € [G, G] -> G, написал бы я.
Понятие группы содержит два понятия: множество G и умноже-
ние М — и, следовательно, является упорядоченной парой (G, М). И мы должны честно обозначить умножение через Л1 так, что определений будет гласить:
, «Группа — это пара (G, М), состоящая из множества G и отображения М € [G, G] G, такая, что:
М (М (а, 6), с) - М (^ М (Ь, с));
существует е С G такое, что М (а, е) = М (е, а) = а;
для каждого элемента а С G существует элемент а"1 С G такой, что М (a, яг1) = М (й-1, а) = е».
Но и теперь не все гладко, ибо опять появляется переменная, связанная «существованием», а именно переменная е, которая в (2) и (3) играет роль константы, и, конечно, в дальнейшем это будет все более заметным. И потом, это замечательное «сгЧ — что это вообще за символ, в котором «— 1» в показателе степени? Самый простой способ исправить все названное — ввести «особый» элемент е и функцию «инверсия» в первоначальное определение функции Итак:
«Группа “ это четверка (G, М, е, I), состоящая из множества G, отображения М (М € [G, G]->G), элемента е ^G\ отображения 1 ^G GY такая, что если a, b, с € G, то:
М (М (а, 6), с) - М (а, М (Ь, с));
М (а, е) = М (е, а) - а;
М (a, Id) — М Цсц а) = е».
Если однажды проделать все это, то совесть будет спокойна и можно опять писать: «группа G, (ab) с... и т. д.», как писали когда-то. Но все же полезно однажды продумать все эти вещи; ныне принято всевозможным вновь вводимым математическим понятиям давать определения по вышеприведенной схеме.
В обиходном языке не всегда обращают внимание на подобные математические тонкости. Так, например, «коммутативная группа» и «топологическая группа» представляют собой одинаковые грамматические конструкции: существительное, поясненное прилагательным. Однако пояснения носят различный характер: коммутативная группа — это такая группа, в которой выполняется условие ab = = Ьа, т. е. класс коммутативных групп содержится в классе групп. Напротив, топологическая группа — это вовсе не группа, а пара, состоящая из группы на множестве G и топологии на этом множестве G (которая к тому же должна удовлетворять некоторому условию, а именно что М и I должны быть непрерывны относительно топологии на G). От топологической группы переходят к группе, забывая о топологии; если же забыть о второй части понятия, о группе, то получим топологическое пространство.
Точно так же конечное поле есть поле, однако упорядоченное поле является не полем, а парой, состоящей из поля и отношения порядка на множестве, состоящем из всех элементов этого поля. Архимедовски упорядоченное поле, напротив, снова является упорядоченным полем*
Евклидово векторное пространство не является особым случаем векторного пространства, а векторным пространством с евклидовой метрикой; ориентированное евклидово векторное пространство опять-таки является не особым случаем векторного пространства, а векторным пространством с дополнительной ориентацией. Однако предикат «^-мерный», разумеется, является ограничивающим. Подобным тонким, но в математике весьма существенным различиям трудно подыскать аналогию в обиходном языке.
Вот еще нечто подобное, что долго оставалось недостаточно ясным: действительные числа можно воспринимать как комплексные, но не наоборот. Комплексное векторное пространство, напротив, можно рассматривать как действительное, но не наоборот. В самом деле, в векторном пространстве, в котором допустимы умножения на комплексное число, допустимы и умножения на действительнее число, но (вообще говоря) не наоборот.Если комплексное векторное пространство R является конечномерным, то в качестве действительного оно будет иметь вдвое больше измерений. Но коль скоро в действительном векторном пространстве выделен базис, то его (т. е. пару, состоящую из R и одного из базисов в R) можно естественным образом расширить до комплексного векторного пространства, допускающего все линейные комбинации базисных элементов с комплексными коэффициентами.
Подоплекой этого анализа служит весьма простой факт: функция на множестве М, принимающая действительные значения, может рассматриваться и как комплекснозначная функция (но не наоборот). Напротив, функции комплексного переменного можно (путем ограничения) сопоставить функцию действительного переменного, но не наоборот. •
Около 1930 года началось слияние общих структур, возникших и развившихся независимо друг от друга. Возникли топологические группы, кольца, поля, т. с. множества, которые, с одной стороны, обладали топологией, а с другой — обладали алгебраическими структурами, которые должны были быть совместимы с топологией, т. е. алгебраические операции в них должны были быть непрерывными относительно заданной топологии. Возникли метрические группы, кольца, поля, группы с мерой, упорядоченные группы, кольца и поля, топологические векторные пространства и т. д. В то же время развилась и техника сочетания структур, а нынешние словесные формулировки, о которых говорилось выше, были уточнены лишь в течение последних двух десятилетий.
Следующий пример показывает, сколь забавно изменяется язык. Уже в течение‘многих десятилетий топологическое пространство определялось как множество R; в котором некоторые подмножества названы открытыми, так что пустое множество и само R открыты. О топологическом пространстве говорили также, что на лежащем в его основе множестве задана топология. Но что же называлось при этом топологией? Ах да, топология — это цак раз то, что делает данное множество топологическим пространством.
Ныне определение топологического пространства гласит: топологическое пространство — это пара (R, U), где R — множество и U — множество подмножеств из R, такая, что 0 € U, R U; Р, Q^U^P(]Q^U\ U' cU=> U р^и, Р € U (разумеется, U состоит из множеств, которые мы выше назвали открытыми).
В топологическом пространстве (R, U) R есть множество, а что такое U? Это, конечно, топология. Итак, топология —это то, что прибавляется к множеству, чтобы образовать из него топологическое пространство; ну так что же это такое? Это как раз и есть U, совокупность открытых множеств.
Сколь долго могут поддерживаться традиции, показывает пример геометрической аксиоматики. Как старая, так и новая аксиоматика начинались с геометрии, и естественно, что как раз здесь дольше всего сохранились архаические тенденции. Аксиоматика плоской проективной геометрии в стиле Д. Гильберта могла бы, скажем, начинаться так:
Аксиомы относятся к известным вещам, называемым точками и прямыми.
Аксиома I. Через две различные точки проходит ровно одна прямая..
Аксиома II. Две различные прямые имеют ровно одну точку пересечения.
Аксиома III
Сравним это с определением группы. Если не употреблять слова «группа», можно было бы сказать: «имеются объекты, которые можно перемножать друг с другом так, что...».
Как правильно должна была бы звучать вышеприведенная аксиоматика геометрии?
«Плоская проективная геометрия —это тройка (Р, G, /), состоящая из двух различных множеств Р и G и соотношения / между ними, такая что ... . Здесь элементы из Р называются точками, элементы из G — прямыми, соотношение / обозначает принадлежность;. вместо I (х, у) говорят также: х лежит на у или у проходит через х».
Изменение стиля: формализация. Наши примеры изменения стиля в математике были ограничены языком изложения и могут показаться чем-то вроде придирок. Конечно, дотошным математикам не чужды и придирки, однако иной раз проходит жизнь целого поколения или еще дольше, пока результат таких придирок получит признайие. То, что, несмотря на все придирки, могу предсказать сохранение определенных языковых погрешностей еще на несколько десятилетий, показывает, сколь многое за этим кроется. Математики— педанты. скорее тогда, когда защищают традиции, чем когда пропагандируют новое. Новое в математике преодолевает сопротивление и получает признание лишь тогда, когда никак нельзя ина^е. Там, где возможна наглядная иллюстрация, обходятся не слишком четкими языковыми формами; чем абстрактнее рассматри-
ваемые проблемы, чем дальше они от наглядности, тем тщательнее должны быть сформулированы словесные выражения.
Вспоминая теперь мои студенческие годы, можно, пожалуй, констатировать, что моим нынешним коллегам легче разъяснять студентам основы анализа, чем лекторам того времени, и прежде всего из-за лучших словесных формулировок, которые за это время постепенно выкристаллизовались; новые словесные формулировки расширяют возможности пассивного и активного восприятия информации на более высоком уровне, а также проведение исследований.
Я уже говорил, что пополнение математической терминологии продолжается безостановочно. В идеале должен был бы возникнуть язык столь лаконичный, что он стал бы доступен пониманию ЭВМ. Формальная логика показывает в общих чертах, как это могло бы выглядеть. Это отнюдь не означает, что уже в ближайшие годы математики будут писать учебники и монографии на языке формальной логики. Утверждают, что с ЭВМ нужно говорить на языке особого рода, потому что ЭВМ глупы, я бы сказал, потому, что их восприятие упорядочено не так, как восприятие человека. Благодаря богатому жизненному опыту, которым не располагает никакая ЭВМ, для нас многое «само собой понятно», тогда как для ЭВМ является тарабарской грамотой. С программистом мы говорим на одном языке, с ЭВМ — на другом.
Язык является эластичным инструментом. Чтобы на обиходном языке выразить математические факты, мы подгоняем наш язык к требованиям математики. Этот процесс продолжается, и, не желая говорить пока о его завершении, можно предвидеть вариант языка будущего, доступного пониманию и человека, и машины, пожалуй, не абсолютно формализованного, но построенного на серьезной логической основе, или, более того, целого семейства вариантов различной формализации языка, приспособленных к различным уровням контактов с ЭВМ. •
Осознанное совершенствование языка как точного способа выражения мыслей называют еще формализацией. Это один из организующих аппаратов современной математики. К организующим тенденциям нам еще придется вернуться в более общем плане. Пока что нужно лишь заметить, что формализация должна стать в будущем наиболее эффективной формой деятельности математиков, как, впрочем, это можно было заметить в математике и до сего времени. Ничто не является столь общим во всех областях деятельности человека, как тенденция к словесному описанию; осознанный анализ языковых возможностей, используемый математиками, должен привести к нужным результатам.
Экстенсиональная абстракция. Я уже говорил, что многие считают началом «современной математики» 1870 год; это время связано с именами Кантора и Дедекинда. Часто цитируют изречение Кронекера: «Целые числа сотворил господь бог, все остальное—дело
рук человеческих». Кронекер сознательно не упомянул здесь множеств, потому что они «созданы» Кантором. Так как мы не знаем, кто именно —вслед за богом —сотворил натуральные числа, то, вероятно, Кантор —единственный математик, об открытиях которого можно рассказать совершенному профану, не обремененному никакой подготовкой. Может показаться- даже, что главной заслугой Кантора было то, что он ввел слово «множество».
Разумеется, суть дела не в этом слове, равно как и не в том, чтобы называть некоторые объекты множествами, хотя именно так часто думают профаны. Не состоит она ни в образовании подмножеств, объединений и пересечений заданных множеств, ни в том, что множества можно отображать друг на друга. Существуют иные причины, вызвавшие столь глубокое влияние теории множеств на всю математику.
Выше я упоминал высказывание Кронекера о сотворении натуральных чисел богом. Кантор считал натуральные числа неисследованной и неисследуемой основой математики. По Кантору, натуральные числа являются частным случаем более общего понятия, мощности. Множества, которые можно взаимно однозначно отобразить друг на друга, называются равномощными; мощность — это то, что является общим для равномощных множеств. Мощности можно складывать, при этом множества, представляющие эти мощности (и не содержащие общих элементов), объединяются; следует показать, что мощность результата не зависит от выбора представляющих эти мощности множеств. По такому же рецепту выполняется перемножение мощностей и возведение их в степень. При перемножении двух мощностей в основу кладется образование пар; произведение совокупности Ф множеств состоит из всех отображений / множества Ф в объединение множеств X, принадлежащих Ф, таких, что f X С X для всех X из Ф. Аналогично можно прийти к понятию степени. В конце концов все целые неотрицательные числа (и операции над ними) получаются из мощностей конечных множеств.
В одном месте канторово определение мощности не вполне отвечает современным требованиям. «Мощностью» Кантор назвал «то, что является общим для равномощных множеств» — весьма шаткое понятие. Ныне говорят: «равномощность» — соотношение эквивалентности, а «мощность»—класс эквивалентности, т. е. «мощность множества М — это класс множеств, равномощных /И» (при этом предусмотрительно говорят «класс», ибо «совокупность множеств, равномощных данному множеству М» звучало бы «слишком сильно» и в дальнейшем могло бы привести к обычным теоретико-множественным парадоксам типа «множество всех множеств»).
Искусственный прием, заключающийся в описании понятия путем его «объема» или «экстенсионала», т. е. совокупности объек-
тов, подпадающих под данное понятие, вообще является якорем спасения для образования понятий в современной математике. Такие формулировки, как «то, что является общим для...» или «... рассматриваются как равные», называются интенсиональными, поскольку они воспроизводят намерение («интенсию») творца этого понятия; описание же понятия через его объем («экстенсию») называется экстенсиональным. Тенденция экстенсионального описания понятий, берущая начало в теории множеств Кантора, называется экстенсионализмом. Так, экстенсиональная формулировка для терма «отображение А в В» гласит: «отображение А в В есть подмножество / множества пар (Л, В), обладающее таким свойством, что для каждого а С А существует ровно одно b С В, причем (a, b) С / ».
Эти формы сохраняются ,независимо от того, определяют ли целые числа как мощности или с помощью аксиоматики Пеано как порядковые числа. Во всяком случае, схема образования понятий, введенная • выше, является типичной для современной математики. Приведем лишь некоторые из бесчисленного количества примеров.
Исходя из понятия натурального числа, определяют рацио- 24
нальные числа как дроби или пары чисел, причем, скажем, у и у а а'
рассматриваются как тождественные. Вообще, у и у, считаются тождественными, если ab’ = а'Ь. После этого определяют сумму у с ad + bcас
и у как •——, произведение как ^ и показывают, что сумма и произведение не меняются, если одну из дробей заменить по условию «тождественной».
Современная экстенсиональная формулировка гласит: определяется соотношение го через со ~<^ ad = Ьс. Это есть соотно- r о а
шение эквивалентности, и по определению рациональные числа являются классами эквивалентности этого соотношения, т. е. максимально возможными множествами попарно эквивалентных эле- ментов. Значит, вместо того чтобы сказать «эквивалентные-г- и-т ь d рассматриваются как тождественные», вводят нечто общее всем эквивалентным парам, а именно их класс эквивалентности, и называют его рациональным числом. Сложение и умножение классов эквивалентности определяют через пары у, причем необходимо показать, что эквивалентное плюс (умноженное на) эквивалентное дает вновь эквивалентное.
Таким же искусственным приемом обосновывают действия с целыми числами, сравнимыми по модулю т. Интенсиональное «а и b считаются тождественными, если они отличаются на число, кратное т» можно сформулировать экстенсионально: ш и b называются эквивалентными, если разность а — b делится на т\ классы эквивалентности называются целыми числами, сравнимыми по модулю
пт». И опять-таки необходимо убедиться, что сложение и умножение можно перенести на числа, сравнимые по модулю т; эти операции определяют с помощью выбора представителей и показывают, что результат не зависит от этого выбора.
Аналогичный пример представляют собой кольца многочленов р [х] над полем Р, рассматриваемые по модулю некоторого неприводимого многочлена f (х). Таким образом, к полю Р присоединяют один из корней этого многочлена / (х). Еще один пример: расширение поля рациональных чисел до поля действительных чисел; в множестве й последовательностей Коши поля Q определяют соотношение эквивалентности и называют классы эквивалентности действительными числами; сложение и умножение распространяют с Q на й и показывают, что эквивалентное плюс (умноженное на) эквивалентное дает вновь эквивалентное.
Экстенсиональное образование понятий всегда сводится к одной и той же схеме: из класса й с прмощью соотношения эквивалентности «<хз» получается класс й/оо классов эквивалентности; структуру, возможно существующую в й (определяемую отношением или операцией), переносят на Й/^, если эта структура согласована с отношением эквивалентности. Этот принцип вообще служит основой образования новых понятий не только в математике. С помощью соотношений «такого же веса», «такой же длины», «такого же цвета» можно распределить объекты в классы по весу, по длине, по цвету (скажем, 3 кг, 5 м, бледно-розовый); к ним можно применить соотношения порядка (больше, меньше) или сложение. Однако это не единственный принцип формирования понятий. Такое понятие, как «стул», можно определить некоторым числом критериев применимости. Образование понятий такого рода мы также встретим в математике, если обратимся к другим вопросам современной математики. •
Аксиоматическая абстракция. Около 1870 года началось создание не только теории множеств, но и современной аксиоматики, разумеется, в геометрии, ибо она издавна была областью, в которой, естественно, возникала проблема дедуктивного построения из основных положений—аксиом. Неевклидова геометрия, послужившая толчком для развития аксиоматики, расцвела из туманных начал около 1830. года. Аксиоматику проективной и комплексной проективной геометрии пытался создать Хр. К. Г. фон Штаудт в 40—50-х годах. Первую действительно полную аксиоматику евклидовой геометрии предложил Паш. Он показал математикам, как следует формулировать аксиомы. Вскоре, однако, более глубокие «Основания геометрии» Гильберта (1899) затмили работы Паша.
Смысл, который мы ныне, т. е. начиная с Гильберта, вкладываем в слова «аксиома», «аксиоматика», совсем новый. Начиная с греков и до философов начала X X века под аксиомой понималось такое предложение, которое было недоказуемым, да и не требовало доказательства, так как было основой и условием каждого доказательства, и
было яснее, очевиднее и более общим, чем то, что из него выводилось. Кое-что, например постулат о параллельных, который в течение веков пытались доказывать, не содержится в списке аксиом ни у Евклида, ни, вообще говоря, у более поздних авторов. Паш также не говорит о такой аксиоме, когда он имеет в виду основания геометрии; в французском и английском языках до самого нашего столетия сохранился обычай говорить о постулате. По-видимому, Гельмгольц был первым, ктр назвал геометрические постулаты аксиомами (вероятно, вследствие ложной интерпретации Канта); ему последовали Пуанкаре и Гильберт, который в своих «Основаниях геометрии» ввел нынешнее употребление слов «аксиома» и «аксиоматика».
«Основания геометрии» Гильберта начинаются так: «Мы мыслим три различные системы вещей, ... точки, ... прямые, ...- плоскости.... Мы мыслим точки, прямые и плоскости в определенных соотношениях ..., как-то: «лежать», «между», «параллельный», «конгруэнтный», «непрерывный»... . Точное описание этих соотношений достигается аксиомами геометрии».
Если мы ожидаем описания этих понятий, вроде «точка есть то, что не имеет частей» (именно так записано у Евклида), то нас ждет разочарование. У Гильберта нет таких явных описаний. Аксиомы дают неявные описания, устанавливающие определенные свойства точек, прямых, плоскостей и взаимосвязей между ними, вроде «существует единственная прямая, которая проходит через две данные точки».
Фреге считал недостатком системы аксиом Гильберта невозможность установить с их помощью, что собой представляет точка; например, являются ли его — Фреге — карманные часы точкой. Гильберт, напротив, подчеркнул, что в том и состоит суть аксиоматики, что она позволяет вместо точек, прямых, плоскостей говорить о стульях, столах и пивных кружках. Лишь свойства, явно указанные в аксиомах, играют роль в дедуктивных рассуждениях. Это как в шахматах, где свойства фигур определяются не их формой, а правилами игры.
Признание неявных определений было важным шагом, который стал образцом всей современной методологии науки. Важность неявных определений была впервые подчеркнута математиком.Жергоном (1818). Тем самым был сделан решающий шаг на пути отхода от учения Аристотеля; выведение науки из точно сформулированных принципов было от Аристотеля до Жаргона редко оспаривавшимся, но и никогда не выполнявшимся даже приближенно идеалом.
Как только Гильберту удалось аксиоматически обосновать геометрию Евклида и тем самым точно определить геометрические понятия, аксиоматика получила новое направление, которое, впрочем, было уже предопределено в «Основаниях геометрии» Гильберта. Важным намерением Гильберта было выяснить, насколько существенны различные аксиомы; что будет, если отказаться от той или иной аксиомы. Если ничего не изменится, то аксиома является и^
лишней. Если же она не лишняя, то редуцированная система аксиом будет определять уже не евклидову геометрию, а некоторый класс обобщенных, более слабых геометрий, удовлетворяющих этой сокращенной системе аксиом. Как раз такие системы аксиом, определяющие не единый объект, но удовлетворяющие многим не изоморфным друг другу «моделям», оказались важными в дальнейшем. Собственно говоря, такие системы аксиом были известны и раньше, но никто не называл их аксиомами; ныне их называют требованиями, которые налагаются на некоторый математический объект, чтобы он был группой; это также аксиомы, аксиомы группы, но сколь далеки они от традиционных аксиом!
История понятия группы является прекрасным примером возникновения подобных систем аксиом. Лейтмотивом оживления геометрии в XIX веке послужили геометрические преобразования. Были открыты проективные, аффинные, эквиформные и т. д. преобразования, рассматривались композиции .таких преобразований, •было установлено и использовалось, что эти преобразования образуют группы, еще до того, как было произнесено это слово или кто- либо определил, что такое группа. Другие группы, которые исследовали, также не зная еще, что такое группа, — это группы перестановок. Таким образом, еще до того, как около 1870 года было сформулировано абстрактное понятие группы, в работах математиков встречались уже не только разнообразные группы, но и некоторая часть теории групп, сформулированная лишь для отдельных частных случаев. Сама теория групп возникла как средство упорядочить эти частные результаты; метод заключался в том, что общие для всех групп свойства, к которым пришли позднее, —ассоциативность умножения, существование единицы и обратного элемента — были сформулированы и названы аксиомами группы. Что такое группа, устанавливается определенными требованиями, подобно тому как это сделано в геометрической аксиоматике. Однако для аксиом евклидовой геометрии есть, по сути дела, лишь одна модель — сама евклидова геометрия; аксиомам группы удовлетворяют многие модели. Иногда шутят, что аксиомы группы позволяют облегчить себе жизнь, объединяя различные вещи в одну кучу.
Возникновение понятия группы может рассматриваться как образец для описанного метода введения новых математических понятий. К этому понятию нельзя было прийти, просто объединяя вместе все известные в то время примеры групп, а надо было выделить общие свойства всех этих примеров. Аналогичным образом было введено в 1910 году Е. Штейницем понятие поля (исходя из полей рациональных, действительных и комплексных чисел, полей Галуа, р-адических чисел и т. д.). С этого момента ведет свое летосчисление абстрактная алгебра. В 1914 году было введено общее понятие линейного пространства, охватившее многочисленные примеры ранее известных функциональных пространств. В 30-х годах это понятие под названием векторного пространства было использовано для изложения аналитической геометрии.
Первыми областями математики, аксиоматизированными после геометрии (и после Гильберта), оказались алгебра, примеры из которой приведены выше, и топология (Фреше, Хаусдорф). Множества точек евклидова пространства, римановых поверхностей, многообразий и множества функций были объединены вначале в метрические, а затем в топологические пространства. Если абстрактная алгебра еще питалась понятиями старой алгебры, то в топологии возникли*свои фундаментальные понятия, которых не было в прежних специальных подходах, —такие понятия, как полнота, компактность, сепарабельность, или такие, которые можно правильно понять лишь с обобщенной точки зрения, —связность, размерность, произведение пространств и т. д. Но то же самое относится в значительной мере и R алгебре.
Вероятно, еще более*характерна «абстрактная» точка зрения в анализе, так как здесь в изобилии имеются «конкретные», т. е. формулируемые в старом анализе, результаты, полученные абстрактным путем, которые невозможно было бы получить прежними методами. Поразившим меня некогда примером могут служить почти-периоди- ческие функции. Г. Бор называл непрерывную функцию / одной действительной переменной почти-периодической, если для каждого е > 0 существует интервал длины / (е), в котором существует «поч- ти-период» г (е), такой, что |/ (х + г (е)) —/ (х)| <8 для всех ’х. Это замечательное определение. Должен признаться: будучи студентом, я однажды принимал участие в семинаре по почти-периодическим функциям, но едва ли я понял, что же собственно представляют собой эти функции. Позднее, в один прекрасный день, я прочитал новую—абстрактную—формулировку С. Бохнера: «Рассматривается линейное пространство Ф непрерывных ограниченных функций с нормой, равной верхней грани значений функции; в этом пространстве рассматривается сдвиг Та (т. е. (TJ) (х) = / (х + а^\ функция / из Ф называется почти-периодической, если пространство функций TJ имеет компактную оболочку».
У меня сразу все прояснилось; я тотчас понял все существенное в определении Г. Бора и в его доказательстве. «Перевод» Бохнером определения Бора на абстрактный язык оказался для меня убедительной иллюстрацией мощи абстрактного метода. Кстати, этот метод привел меня не только к пониманию определения Бора, но и дальше, к пониманию почти-периодических функций на любых группах (а не только на группе переносов на числовой прямой).
Примерно до конца 1920-х годов аксиоматические стремления в алгебре, топологии и анализе развивались более или менее независимо друг от друга. Анализ, включавший в себя аксиоматические элементы алгебры и топологии, дал толчок к комбинированию структур. Известные образования, как, например, поле действительных чисел, можно рассматривать в качестве топологического поля, или в качестве упорядоченного поля, или в качестве метрического поля, т. е. можно образовать слияние двух или более структур, которые при уточнении описания не должны противоречить друг другу. То-
дологическое поле есть поле с топологией, причём операции поля непрерывны. Для упорядоченного поля требуется наличие порядка, который сохраняется при сложении и при перемножении положительных элементов. Метрическое поле обладает Йормой |...| с условиями: | а + Ь\ ^ |^| + I Ь\ и j ab\ = | а\ • | Ь\. Точно так же определяются топологические группы, группы с мерой, линейные топо- .логические пространства, метрические линейные пространства. И здесь действует математическая абстракция, позволяющая расчленить свойства объектов, способствующая большей ясности и более глубокому пониманию. Абстракция полезна для понимания элементарных свойств действительных чисел, для понимания того, какие свойства зависят от аксиом кольца, какие -г-от аксиом поля, от коммутативности умножения, от полноты, от локальной компактности и т. д.
Куда девалась геометрия? Когда представляют себе нынешнюю структуру математики, кажется, что роль геометрии уже сыграна. В течение многих веков, даже после успехов алгебры и анализа, геометрия служила образцом истинной математики, классическим примером математической строгости. Лишь в XIX веке после четкого и независимого от геометрии обоснования алгебры и анализа заметили, что и строгость традиционной геометрии не столь уж Образцова, и прежнее глубокое уважение к геометрии сразу же пошатнулось. Вообще говоря, геометрия едва ли заметно продвинулась с древности до конца XVIII века и мало что привнесла в развитие математики. Пожалуй, лишь в начале XIX века наступил новый расцвет геометрии, когда она способствовала также развитию теории групп и отчасти алгебры, но особенно созданию аксиоматики. '
Но что же осталось от геометрии ныне? В системе современной математики Бурбаки для геометрии не нашлось места. В реферативных журналах тому, что еще называется геометрией, отводится лишь 5% места; в списках лекционных курсов геометрия еще упоминается, но люди, которые могли бы называть себя геометрами, не делают этого: звучит слишком старомодно. . - .
Однако, если присмотреться, это не совсем так. В случайно выбранной работе по анализу я последовательно читаю: гильбертово пространство, векторное пространство, размерность, собственный вектор, подобие, отображение, выпуклый, отражение, окрестность, числовая прямая, центр, куб, линейный, проекция, перенос, огибающая, — геометрический подтекст в отнюдь не геометрической, казалось бы, теме. При этом я еще не упомянул бросающееся в глаза слово «аксиома», которому Гильберт придал новое значение в своих «Основаниях геометрии».
Слова говорят о понятиях. Геометрическая терминология в современной алгебре и в анализе характеризует проникновение геометрической наглядности в современную математику. Это утверждение нетрудно подкрепить примерами.
Первым примером может служить стремительное развитие теории функций комплексного переменного в XIX веке, осуществленное путем вторжения в анализ геометрии, путем геометрического истолкования комплексных чисел. Алгебраический смысл уравнения хп — 1 прояснился с его геометрической интерпретацией, связью с построением правильного n-угольника. Двойная периодичность эллиптических функций впервые стала интересной и понятной после геометрической интерпретации. Несмотря на кажущуюся полной победу, одержанную вейерштрассовой алгебраизацией над геометрической интуицией, нужно сказать, что их величайшие проблемы, решенные лишь на пороге XX века, пришли от Римана, от его геометрических идей о римановых поверхностях, от конформного отображения, от униформизации — от идей геометрического происхождения, которые и позднее привлекали своей наглядностью.
Другой пример — оживление понятия числа, начиная примерно с 1870 года. Числа количественные обоснованы достаточно наглядно; в истории человечества и в жизни индивидуума сложение и умножение начинается на пальцах или счетных палочках (камешках). Однако вскоре, особенно после расширения числовых областей, понятие числа застывает в алгоритмических правилах; число как количество служит лишь в са^ых простых приложениях, а собственно в математике не играет никакой роли. Это значит: до Г. Кантора . никто первым не осознал неосознанный ранее процесс абстракции и проложил путь от наглядного числа к формализованному. Мы уже упоминали этот путь: множества, отображения, взаимно однозначное отображение и через него — классы эквивалентности.
. Теорию множеств считают более абстрактной и строгой, чем вся предшествующая ей математика. Но и в ней идущие от геометрии понятия порядка и меры играют организующую роль. Это привело к коренному пересмотру интегрального исчисления, бывшего до, того чисто алгоритмическим ремеслом. Одновременно возникла топология, мощные алгебраические методы которой были применены к изучению простейших наглядных образов — полиэдров. Эти методы оказали сильное влияние на алгебру и анализ. Важнейшие идеи и проблемы топологии имеют геометрическую основу, и в последние десятилетия в топологии были решены давно стоявшие проблемы путем применения прямых геометрических методов.
Под влиянием алгебры в XIX веке преобразовалось наивное представление о пространстве — возникли понятия п-мерного пространства, стали изучать многомерные пространства, состоящие из геометрических образов, точек и векторов. Геометрическая интерпретация прояснила многие вопросы линейной алгебры, в частности возникший около 1800 года метод наименьших квадратов. Понятие пространства было обобщено на случай бесконечного числа измерений — это нововведение восходит к аналитикам, которые стали рассматривать пространства, состоящие из функций, последовательностей и т. д. Но и геометрические идеи в свою очередь оказали сильное влияние на алгебру, теорию чисел и другие ветви математики.
Современную математику характеризует стирание граней между ее классическими областями. Ныне едва ли можно признать геометрию связной областью исследований; однако геометрический метод виден повсюду. Почему же объявленный отмершим метод геометрической наглядности оказывается столь жизнеспособным даже в областях, не имеющих, казалось бы, ничего общего с геометрией? Я полагаю потому, что геометрическая наглядность может указать нам путь к тому, что важно, интересно и доступно, потому что эта наглядность может предостеречь нас от заблуждений среди множества проблем, идей, методов. Перефразируя Канта, можно сказать: наглядность без понятий пуста, понятия без наглядности слепы.
Математика понятий и математика алгоритмов. Имеется стакан белого вина и стакан красного; уровень вина в стаканах одинаков. Берут одну чайную ложку из стакана с красным вином и вливают в стакан с белым, размешивают, затем чайную ложку смеси вливают в стакан с красным вином. Чего больше: красного вина в стакане с белым или белого вина в стакане с красным?
Эти количества одинаковы. Пусть объем стакана а, объем чайной ложки Ь. После первого переливания... Треть тех, кто пытается решить задачу таким путем, ошибаются. Лишь немногие рассуждают так: после всех переливаний количество жидкости в обоих сосудах одинаково; будем считать, что белое и красное вино не смешались; то количество красного вина, которое оказалось в сосуде с белым, отсутствует (не хватает) в стакане с красным; значит, оно заменено белым. Поэтому красного вина в стакане с белым ровно столько же, сколько белого вина в стакане с красным.
Первое решение алгоритмическое, второе — понятийное. Это лишь один пример из многих, но пример весьма типичный. Он лишь на одно мгновение ясно показывает различие между алгоритмической и понятийной математикой. Ниже нам придется вернуться к дидактическому значению этого различия. Здесь же мы остановимся на его историческом аспекте.
Слово «алгоритм» увековечило память ал-Хорезми (Мохаммед ибн Муса, VIII век), который зафиксировал индо-арабский метод вычислений. Методы или, если угодно, рецепты вычислений называют алгоритмами. Алгебра Виета, аналитическая геометрия Декарта, дифференциальное и интегральное исчисление Лейбница являются такими алгоритмами, и их создатели отдавали себе в этом отчет. Виета ясно сказал об этом в своем введении; Декарт назвал геометрию в качестве первого примера в своем «Рассуждении о методе»; Лейбниц был одержим желанием находить алгоритмы, и это удалось ему столь превосходно, что с помощью своего алгоритма он совершенно затмил аналогичную по содержанию работу Ньютона; мощь алгоритма нигде не проявляется столь ярко, как в диффе-
ренциальном и интегральном исчислении. С проблемами, решение которых требовало гениальности на уровне Архимеда или Гюйгенса, мог после Лейбница, используя его алгоритм, шутя справиться любой посредственный математик. .
Осуществление действенного алгоритма могло принести известное ощущение мощи, но могло и удовлетворить потребность в игре. Так расцвели алгоритмы, имевшие весьма ограниченную область действия: начертательная геометрия,-символический метод в теории инвариантов, Шубертов метод в исчислительной геометрии — только тот, кто хоть однажды пользовался этим инструментом, может оценить, насколько он захватывает. Ряды Фурье или более общие ортогональные ряды, интеграл Фурье, вычеты, интегральные формулы Гаусса — Грина—Стокса, функции Грина, исчисление Хивисай- да, интеграл Лапласа — эти термины позволяют вспомнить хорошо известные алгоритмы, появившиеся еще в XIX веке.
Часто утверждают, что современная математика отличается от классической усилением роли понятий за счет алгоритмического. Пожалуй, верно, что самое поразительное новшество, с которого начинается современная математика, — теория множеств, абстрактные алгебра и анализ, топология — прямо-таки извержения понятий, прорвавшие застывшую лаву алгоритмического; это я уже неоднократно подчеркивал ранее. Но когда-нибудь застынет и эта лава. Каждое новое понятие таит в себе зародыш алгоритмического — в этом и заключается особенность математики.
Некогда арифметические действия были наукой. Лишь после того, как они были механизированы, смогла свободнее развиваться теория чисел. Без алгоритма дифференциального и интегрального исчисления едва ли появился бы анализ. Алгоритмизируя математические методы, их консолидируют. Было бы несправедливо противопоставлять алгоритмическую и понятийную математику или принижать одну форму, возвеличивая другую; несправедливо также одну из форм считать «современной», а другую —- «устаревшей».
Систематизация и математизация. Коль скоро наука прошла период накопления фактов, она переходит к упорядочению опыта. Нетрудно указать сведения, упорядочение которых приводит к элементарной арифметике и геометрии. Математизацией мы назовем также упорядочение действительности, если это выполняется математическими средствами. Однако математик часто сразу же отказывается от рассмотрения действительности; он может сделать это в тех случаях, когда логические взаимосвязи гарантируют быстрое достижение успеха. Так собирается по крупицам математический опыт, который в свою очередь снова должен быть систематизирован. Но какими средствами? Разумеется, математическими, — и таким образом математизируется математика. Сначала в малом: что принять за определение и что за теорему? Обосновать «это» — «тем» или наоборот? Доказать «это» как особый случай «того» или
начать с особого случая? А затем перейти к общему: сознательному построению теории, аксиоматическому или явному виду?
Так поступали издавна. Некоторые уравнения второй степени можно рассматривать как уравнения кривых; эти кривые, как установил еще Менехм, являются коническими сечениями. Аполлоний начал с конических сечений, чтобы от них перейти к уравнениям. В новое время снова повернули н^ 180° и поставили уравнения в начало. Однако в проективной геометрии конические сечения появляются раньше, чем геометрическое место точек пересечения соответствующих прямых, относящихся к рассматриваемому проективному пучку.
Ныне математизация математики — одно из основных занятий математиков. Нет ни одной науки, в которой переработка, упорядочение стали бы столь необходимы, как в математике. Кажется, что ничего не должно повторяться; и тот, кто читает лекционный курс, перерабатывает материал заново; почему нет, если это действительно ново, оригинально и лучше, чем по-старому?
Эти поиски новшеств удаются в других науках гораздо меньше — следовало бы сказать, совсем мало. Можно, скажем, заметить, что некоторые главы теоретической физики десятилетиями, даже столетиями переписываются из одного учебника в другой, причем авторы подчас не замечают, что главы, появившиеся в разные периоды времени, противоречат друг другу или по содержанию, или по форме.
Тот, кто не проследил шаг за шагом постоянную реорганизацию математики, может испытать трудности при попытке сразу перескочить всю последовательность ее развития. Тот, кто, не будучи математиком, привык применять в своей специальности математику своих школьных лет, быстро приходит к неверному мнению о том, что такое современная математика. Поразительно, что физики весьма скептически относятся к той самой математике, которая не представляет затруднений для экономистов, психологов, лингвистов и др., именно потому, что первые применяют математику издавна, а последние — лишь недавно.
Выше уже подчеркивалось, что постоянное новое упорядочение не каприз, а необходимость. Каждый знает, сколь стремительно развиваются науки. Чтобы овладеть ими, нужно привести наши знания в систему. К математике это относится так же, как и к другим наукам; в математике это делается более осознанно и на более высоком уровне, чем в какой-либо другой науке: ведь упорядочение в математике тоже математическая деятельность. Едва ли сомнительно, что ныне математик обозревает намного большую часть математики, чем его коллега по л века назад, — и это несмотря на рост математики, с одной стороны, и благодаря новым формам организации — с другой. Из организационного опыта математиков могут вынести пользу на длительное время и представители других наук, и математики могут помочь им в этом. В недалеком будущем математики-прикладники будут заниматься упорядочением материалов
опыта и областей исследования и прежде всего математическим опытом формализации, т. е. формально-логическим упорядочением.
В качестве систематизаторов математики наиболее известны Бурбаки. Сколь убедительно упорядочена у них математика! Столь неоспоримо, что Пиаже смог «переоткрыть» бурбакистский порядок с помощью психологического подхода. Бедный Пиаже! Пиаже не математик, и он не мог знать, как мало можно полагаться на математика-систематизатора. Еще до того, как Бурбаки закончили упорядочение математики, было открыто значение категорий. Едва ли можно сомневаться, что категории — инструмент нового- порядка и что от бурбакистского построения не останется камня на камне, если перестроить его в стиле теории категорий, которая тоже когда-нибудь будет заменена новым подходом к систематизации математики.
Между тем категории действительно замечательное средство для упорядочения математики заново. Кто нс знает, что такое категории, пусть неЪчень сожалеет об этом; автор этих строк не очень уверен, что знает их, также и потому, что эта теория еще только формируется. Он может убедить себя и других, что знает, что такое категории, преподавая их; но, несмотря на повторные усилия, ему это не удается. В один прекрасный день он поймет, как это делается, найдет нужный подход; кто-'то другой продолжит, и, как водится, через 20 лет или еще раньше первый семестр начнется с изучения категорий.
Если я не умею объяснить, что такое категории, то могу, пожалуй, рассказать анекдот об одном профессоре математики, к которому пришел некто с готовой диссертацией — не его ученик и даже не математик, а инженер. В рукописи было около 30 страниц, и автор надеялся, что она'может быть принята в качестве диссертации. Профессор спешил, он лишь бегло перелистал текст и сказал: «Это напоминает о категориях. Вы знаете теорию категорий?» — «Нет»,—ответил диссертант и отправился изучать категории. С такой скоростью идут теперь дела. И чем современнее математика, тем она проще. Выяснилось, что работу объемом в 30 страниц с помощью категорий можно изложить на трех страницах. Три странички составили бы бедноватую диссертацию; но через некоторое время из них можно было бы опять сделать тридцать, десятикратно увеличив содержание.
Приложения. Тот, кто прочитает эту главу, может подумать, что современная математика лишь формализованный вариант прежней. Это абсолютно неверно. В течение последних десятилетий не только решены многие прежние проблемы, но в математике возникли и совершенно новые области. Я. усиленно подчеркиваю формальную сторону, потому что это главное для обучения математике в школе. По содержанию же школьная математика в ближайшем будущем едва ли значительно превзойдет школу XIX века.
Правда, я должен сделать исключение в отношении того, что называют прикладной математикой. Возможно, что современные примеры прикладной математики в школе превзойдут прежние — сейчас станет ясно почему.
Я начал первую главу с прикладной математики или, скорее, с непосредственных применений' математики, потому что это была исторически первая математика — и я подчеркивал постоянное взаимовлияние -математики и ее приложений друг на друга/ Разве в наши дни взаимосвязь математики и ее приложений изменилась? Вовсе нет; львиная доля прикладной математики в естественных науках и в технике требует развития классических областей: алгебры, специальных функций, интегралов, дифференциальных и интегральных уравнений, вариационного исчисления весьма конкретного вида. При наличии современной вычислительной техники эти области стали еще важнее, ибо многие проблемы, которые раньше витали в облаках чистой теории, допускают теперь численные решения. Это, пожалуй, следует подчеркнуть в противоположнссть тенденциям пренебрежительного отношения к анализу в школьном и вузовском преподавании. .
• И еще нужно отметить, что среди тех, кто применяет математику, особенно нелегко пришлось физикам. Около 1930 года это стало особенно заметно в связи с усилением роли представлений групп и эрмитовых операторов в гильбертовых пространствах. Современная физика живет такой математикой, новее же и в физике она не вполне приживается: редуцируют теорию групп (физики говорят: групповую чуму) до классической алгебры и упускают при этом все преимущества групповой трактовки, а также ослабляют, насколько возможно, существенные абстракции в абстрактном анализе. Несомненно, что фйзики в своих стремлениях — с йомощью специально для этого случая придуманных методов избежать современной математики и вернуться к классическим методам — сами себя наказывают. В их же интересах следует подчеркнуть смысл современной математики. .
К современным приложениям математики нужно отнести также математическую статистику, которая в нынешних формах также возникла около 1930 года. В противоположность тому, что называется математической физикой, статистика является областью приложения весьма элементарных разделов математики. Поэтому неудивительно, что ею занимается множество людей, не получивших собственно математического образования; статистика является полем деятельности ученых и инженеров самых различных специальностей. После 1945 года число статистиков стало стремительно расти; теперь оно не растет уже столь быстро, но статистика была и остается весьма плодотворной областью применения математики. ' Наиболее поразительной новинкой среди прикладных математических дисциплин является, однако, область, которую трудно определить одним термином. Обычно используют выражение «исследование операций». Сюда относят теорию автоматов, логику контактных
.схем, и вычислительных устройств, теорию игр, математику средств связи и теории информации, математический аппарат обработки числовых данных и хранения информации, линейное программирование, кибернетику и многое из теории графов. Однако, вместо того чтобы бросаться словами, я лучше приведу примеры задач, о которых идет речь; некоторые из них могут показаться тривиальными или нечетко сформулированными, но они показывают наиболее существенное. . • '
Как быстрее всего найти максимальный член последовательности? Как быстрее упорядочить эти члены по величине? Каким приемом решить систему линейных уравнений с сотней неизвестных и как обстоит дело с точностью результата? Как лучше всего построить контактную схему для заранее указанной цепи? Какие размеры должна иметь телефонная станция, чтобы время ожидания (или потери переговоров) не превышало определенных границ? Какие запасы товара должен иметь торговец, чтобы наивыгоднейшим образом лавировать между "'Сциллой («к сожалению, распродано») и Харибдой (залежалый товар)? Целесообразно ли блефовать при игре в покер? В каком порядке коммивояжер может кратчайшим путем посетить 50 указанных пунктов? Как кратчайшим способом выявить фальшивую (более легкую) монету среди множества одинаковых по весу? Как кодировать текст, чтобы телеграфная передача обходилась возможно дешевле? Как расшифровать тайнопись? Как уберечься от ошибок при передаче числовых последовательностей? Как ослабить шумовые помехи при передаче сигналов? Как уловить скрытую периодичность в шумовых помехах? Как раскладывать пасьянс? .
Надеюсь, что эти примеры скажут читателю больше, чем вышеприведенные названия. Здесь многократно встречаются проблемы, для решения которых м*етоды классической математики малоприменимы, проблемы, каждая из которых требует особой теории; особенно относится это к «конечным» проблемам, т. е. таким, которые теоретически могут быть решены за конечное число шагов, однако практически их можно решить лишь при наличии подходящей стратегии — как раз той стратегии, которая требуется в данной конкретной задаче. *
Все это само по себе требует больших вычислительных установок, для которых придумывают стратегии поиска; они в свою очередь также требуют определенной стратегии.
Числовые расчеты издавна широко применялись в астрономии; чтобы удовлетворить ее потребности, понадобились тригонометрические и логарифмические вычисления. Следующими вычислителями оказались геодезисты и специалисты страхового дела, которые раз-
работали свой аппарат главным образом в XIX веке; к концу века было разработано много методов вычислений, которые применяются и поныне. С распространением вычислительной техники век логарифмов окончился. Существенный перелом произошел после 1945 года: лишь для ЭВМ с их невообразимым быстродействием стало возможным рассмотрение многих проблем, к которым ранее не удавалось даже подступиться. Тем самым вычислительная математика колоссально расширилась и по содержанию. Нигде больше не выявляется столь четко, сколь разнообразно применяется математика: теми, кто математизирует проблему; теми, кто знает формулы и делает возможными вычисления; теми, кто переводит формулы на язык ЭВМ; вычислительной машиной, которая обрабатывает полученные данные. Или иначе: создателем ЭВМ, разработчиками стратегий, машинных языков, программ... Это очень разносторонняя математика, которая используется при применении электронной вычислительной техники.
Если говорить об областях применения, математика также очень расширилась. Не стоит повторять, что везде и всюду применяются ЭВМ. Точно так же везде, где обрабатываются статистические материалы, применяются математические методы. Вообще говоря, это не методы классического анализа или математической физики, которые приспосабливают к потребностям новых областей применения. Это проблемы комбинаторики, оптимизации, логики, организации, т. е. проблемы, для решения которых нет готовых рецептов в существующей литературе. Во всех науках произошли перевороты под влиянием математики. Не решенные пока что проблемы применения ЭВМ для чтения и перевода текстов побудили лингвистов исследовать структуры языка с совершенно новых точек зрения, исходя из математических принципов. Чтобы привлечь ЭВМ для медицинской диагностики, пришлось упорядочить симптомы с логической точки зрения. Хозяйственные работники, предлагая крупные экономические мероприятия, кладут в основу своих прогнозов математические модели.
Так всплывает ужасающая картина, предсказывающая, что однажды нами начнут управлять вычислительные машины. Что это, химера или реальность нашего завтра? Нет сомнений, что и ответ на этот вопрос принадлежит математике точно так же, как решения дифференциального уравнения. , '
ТРАДИЦИИ ВОСПИТАНИЯ
Учащимся следует слушать и молчать... Ученик не должен ничего говорить во время лекции. Потому что иначе он будет мешать лектору и своим соученикам, и лекцию не удастся закончить своевременно. Если нужно что-то спросить, он должен записать отдельно — и после окончания лекции будет достаточно времени для вопросов.
Ратке. Положения, на которых основано искусство обучения Лейпциг, 1617 г .
Ныне я уже не могу представить себе ни одной науки, в которой обучающиеся молодые люди должны лишь молчать и прислушиваться к премудростям старших. В математике и естественных науках такое время давно уже прошло. Но нс сомневаюсь, что подобное устаревшее представление об университете и изучении наук встречается еще как при стороннем наблюдении, так и у юных студентов. Вряд ли можно сомневаться, что в широкой публике еще господствует представление о науке, которая изучается и поучает, но не применяется в жизни. Разумеется, это неверно относительно естественных наук с их лабораториями; однако в отношении математики я не уверен, что пассивное изучение уже изжило себя. Один более молодой коллега рассказывал мне, что когда он после окончания университета приступил к исследовательской работе, то долгое время думал, что математические труды разрабатываются в том же стиле, как они публикуются, и что он тщетно пытался вести исследовательскую работу в этом стиле. К счастью, в конце концов он научился работать как следует — этого, конечно, никто не мог ему рассказать. Коллеге, о котором идет речь, в период учебы в университете никогда не, приходилось решать задач, выходящих за рамки чисто формальных действий, а эти-то задачи могли быть единственной настоящей школой. В конце концов он добился толка в математике, и я полагаю, что в своем собственном преподавании он использует этот опыт.
Обучение математике, которое прошел этот коллега, ныне явля? ется, пожалуй, исключением — я имею в виду в университете. Из всех теорий мало что можно узнать о практике обучения, но я боюсь, что пассивное обучение еще, играет большую роль в школе. Мы в течение многих лет вели опросы первокурсников, и один из вопросов к ним касался суждения об их учителях математики. Почти все считали ценным качеством, что «он умел хорошо объяснять». Все желают иметь активного педагога, который много объясняет, которого приятно слушать, который перед каждой предлагаемой ученику задачей покажет решение подобной и который ни в коем случае не потребует от ученика чрезмерных усилий. И это говорили отнюдь не худшие студенты, а будущие математики. Я охотно соглашусь, что большинство учителей не шли на поводу лени, однако знамена-
тельно, каким ученик представляет себе хорошего учителя. Иное понимание учеником обязанностей учителя можно встретить лишь там, где вся система обучения была направлена на самостоятельную работу, гДе класс был приучен работать индивидуально или небольшими группами и где педагог лишь руководил, процессом обучения, большей частью исподволь.
Наши первокурсники постоянно жаловались, что мы в своих лекциях «мало объясняем», что на практических занятиях им предлагают задачи, подобных которым они раньше не решали, что от них требуют большего проявления активности, чем они привыкли в школе. Требование большей самостоятельности вначале поражало их. Все это имело место в течение краткого переходного периода; и все же до самого конца второго курса нам приходилось отбиваться от требований студентов увеличить число лекций. Мы совершенно уверены — и неоднократно убеждались в этом, — что при увеличении количества лекций, т. е. при увеличении «объяснений», успеваемость на практических занятиях скачкообразно падала; более широкое рассмотрение предмета на лекциях сразу же ослабляет напряженное внимание, с которым студенты работают на практических занятиях. Все это мы разъясняем студентам; они не верят нам, но, пожалуй, понимают, что мы сознательно выбираем систему скупо отмеренных лекций при сравнительно многочисленных практических занятиях под руководством ассистентов.
Читатель может подумать, что я смешиваю две вещи. Я начал главу с традиционных убеждений и постепенного высвобождения от их давления и перешел к развитию учебного процесса, от пассивного слушания к активной проработке учебного материала. Как это взаимосвязано? Это прочно связано с тем, что называется воспитанием. Поэтому я ставлю вопрос: лучше ли учатся, если осваивают материал самостоятельно или если получают его в готовом виде (разумеется, это зависит от особенностей учебного материала; для одного материала больше подходит первый метод, для другого — второй). Дидактические выводы меня в данный момент не интересуют. Наше обучение должно предоставить молодежи возможность самостоятельно выработать культурные ценности; молодежь со своей стороны должна усвоить, что самостоятельность, требующаяся везде, определяет и ее роль в процессе обучения, в освоении культурных ценностей.
В статичной культуре древности не существовало разницы между унаследованным и обладаемым. Сыновья считались несовершеннолетними, пока был жив отец; когда он умирал, сыновья продолжали дело его жизни. Ныне каждый —наследник всего мира науки, и ни для кого не предопределена особая ячейка; если еще не сегодня, то во всяком случае так будет завтра. Обладание —это уже не состояние, а постоянный процесс овладевания. Воспитание — руководство этим процессом, а не просто занятие рук и мозга благоприобретенным наследством.
Молодежь может быть отравлена духовно. Бульварная литера-
тура и бездумные произведения искусства угрожают молодежи не столько отравлением естественных вкусов и обычаев, сколько возможностью без труда удовлетворять свои потребности. Против этого есть только одно средство — побуждение к активности в той или иной области. Ребенок, сам открывающий науку, искусство или моральные устои, защищен тем самым от инфекции духа.
Ни одно существо не рождается столь беспомощным, как'дитя человеческое. Поэтому-то философы и считают, что разум ребенка — tabula rasa\ Однако это не так. Правда, человеку еще необходимо приобрести многочисленные физические и умственные навыки, которыми животные обладают инстинктивно. Это приобретение навыков —длительный процесс, он-идет медленно, и принуждение не помогает его ускорить. Это и отличает человека от животных: отсутствие инстинктов и необходимость обучения приводят к типично человеческим ситуациям свободы выбора.* Природа, вознаградившая животных непосредственно полезным, дала человеку возможность—и задачу—освоить унаследованное, чтобы овладеть им. .
• В нашем обществе путь от унаследования культурных ценностей до овладения ими стал долгим и сомнительным. Юноша начала нашего века, которому вдолбили вычислительные навыки, получал достаточно, чтобы обеспечить себе скромное существование в качестве бухгалтера, пока существовала система, которой он служил. Ныне торговый мир постепенно настолько покорен вычислительной техникой, что дешевле обходящиеся люди-расчетчики совершенно вымерли. Если наше обучение будет заключаться в том, чтобы вдолбить детям вещи, которые через одно-два десятилетия будет лучше выполнять компьютер, мы сами вызовем катастрофу. Честно говоря, ни об одном учебном материале, которому мы должны обучать детей, мы не знаем, то ли это, что им нужно. Однако кое-чему ценному мы можем их научить: как овладевать знаниями.
На стене горят огненные знаки! Студенты, о которых я рассказываю, понимают учебный процесс только как накопление информации; это те, которые упрекают университет в том, что он снабжает их неверной информацией, и которые по информационным каналам университета хотят распространять то, что они рассматривают как вер- нук^ информацию. Если речь идет о том, что такое верная информация, то они действительно правы; однако нужно им указать, что обучение совсем не совпадает с восприятием информации.
- Насколько глубоко проникло в практику преподавания такое понимание? Однажды, когда я противопоставлял пассивное обучение активной работе, некто заметил: «Об этом говорил еще старик Коменский». Насчет Коменского я не уверен, но по крайней мере, начиная с Песталоцци, этого требовали всегда. Всегда— это
Tabula rasa (лат. — «чистая доска») — термин английского философа Дж. Локка, образно характеризующий первоначальное состояние сознания (прим, перев.). •
значит, что «однажды» — не помогает. Если теорему доказали однажды, она доказана; если однажды установлена константа — скорость света, должно произойти многое, чтобы кто-то мог серьезно отрицать ее справедливость. Дифференциальное исчисление, однажды открытое, имело успех, ибо оно объективно верно.
Разумеется, неверно, что со времен Коменского ничего не произошло в педагогике. Лошадка и тележка в букваре постепенно заменились поездом, автомобилем, самолетом, ракетой. Я не иронизирую. Коменский или Песталоцци «сказал то-то», но в иной век их слова могут иметь иное-значение. Не следует думать, что великими педагогами ничего не сделано, если их мечты еще не сбылись. За это время общество продвинулось в своем развитии, и если педагогика лишь идет в ногу со временем, то мы относительно, недалеко ушли со времен Коменского или Песталоцци. .
Насколько практика учебного процесса ныне соответствует требованиям принципа активности, я не берусь решать. Может быть, мы ломимся в открытую дверь, повторяя это требование?- Некоторые наблюдения последних лет испугали меня, например урок родного языка в VII классе образцовой школы; учительница в течение всего урока излагает основы языкознания без контрольных вопросов, без ответов на вопросы. Затем уроки математики в VII и VIII классах образцовой школы; учителя излагали материал, безусловно, прекрасно, так что даже при напряженнейшем внимании не могло возникнуть вопросов; да, я должен добавить, что вначале одному из учеников было предложено пересказать содержание предыдущего урока, причем сделал он это небезупречно, и учитель неоднократно перебивал его. Затем уроки, математики практикантов в V, VII и X классах; практиканты в течение целого урока излагали материал слушателям, не осмеливавшимся пошевелиться; затем письменные упражнения, в которых ученики могли применять'доказанные ранее предложения, заменяя параметры числовыми значениями.
Но больше всего меня встревожило множество присутствовавших при этом педагогов, которые, очевидно, считали все происходящее совершенно в порядке вещей. Восхищенные безупречными способностями докладывавших, они, казалось, не замечали, что оказались в школе, по поводу которой иронизировал поэт: «Если все спят и лишь один говорит, то это называют обучением».
Нс думаю, что, будучи школьником и студентом, я имел столь прекрасных преподавателей-докладчиков, как те, о которых я только что рассказал, и на коленях благодарю за это создателя, Я благодарю его и за хороших педагогов, которые, к счастью, встречались мнё во время учебы чаще, чем столь прекрасные докладчики. «Образцовых» уроков, о которых я только что рассказал, в то время, пожалуй, не было; такими они стали лишь в последние го-
ды. Эти «образцовые» уроки были такие, как передаются по теле* видению; не стоит удивляться, что и преподаватели были такие, какие встречаются лишь в телепередачах. Там-то не пустят дело на самотек! Думают лишь, как бы школьник не задал глупого вопроса или такого, на который не сразу найдешь ответ! Или вдруг возникнет дискуссия —и цель урока не будет достигнута. К тому же телевидение слишком дорого. В течение длительного времени я ежедневно наблюдал на телеэкране такую воспитательницу детсада, которая, словно фонтан, целый час не умолкала, и через'две недели ни один из детей не отваживался перебить ее. Затем она получит новую группу детей и может на ней пробовать свои силы дальше. Разумеется, все это происходит на телевидении, потому что это образцовая воспитательница—она и будет образцовой, потому что ее показывает телевидение. И все же я не уверен, что не ломлюсь в открытую дверь.*_
Нужно, однако, учесть кое-что еще. Запрещает ли обычная классная комната не просто учебную деятельность; обязывает ли учительская кафедра, к которой прикованы взоры учащихся, не только «излагать материал», с одной стороны, и пассивно выслушивать — с другой? Я полагаю, что в действительности организация учебного процесса должна не столько делать возможным активное обучение, сколько делать невозможным пассивное обучение.
Роль учителя в учебном процессе подлежит пересмотру и с другой точки зрения. У тех, кто приходит из школ в современные университеты с массовым обучением, не хватает чувства личных - контактов между педагогом и учеником. Я думаю, что многим студентам не хватает этого, особенно тем, кто отвергает авторитет самого университета; они хотят быть замеченными профессором, перед которым они встают, они хотят встречаться с профессором лицом к лицу. Почему нет?
Тоска по персональному университету романтична. В дальнейшем обучение будет становиться* все более безличным, и не только в университетах. Коль скоро обучение будет охватывать все более широкие слои, оно выйдет на рынок как товар массового потребления.
Широкие области математики предназначены ныне для программированного обучения. Обучать всему этому в процессе личного общения — чрезмерная роскошь. Личное вмешательство необходимо там, где оно существенно, например, в процессе контроля, если самоконтроля оказывается недостаточно, и для этого следует сохранить участие педагога. Создание такого программированного обучения — задача ближайшего будущего; личное обучение в течение немногих ближайших десятилетий достигнет своей качественной границы. Возникает вопрос, как программировать активное, творческое обучение. Этот вопрос мы будем здесь ставить неоднократно.•
Далее следуют мысли автора о настоятельной необходимости рационализировать процесс воспитания, и в первую очередь математи-
ческого воспитания, под которым в Западной Европе и США часто понимают элитарное воспитание. Однако, по мысли автора, главное, что отсутствует как в элитарном, так и в массовом математическом воспитании, — это место математического воспитания в общей системе обучения и воспитания.
ЦЕЛЬ И СМЫСЛ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
Ценность математической дисциплины следует измерять по ее применимости к эмпирическим наукам.
' К. Рунге. Тезисы диссертации. 23.06.1880 г.
Ценность математической дисциплины нельзя измерить по ее применимости к эмпирическим наукам.
Ф. Рудио. Тезисы диссертации. 23.06.1880 г.
Цель и смысл обучения математике дискутируются уже столь давно, столь часто, столь многими, со столь многих точек зрения, что в конце концов ничего более разумного по этому вопросу высказать невозможно. Подчеркнуть это — тоже цель и смысл настоящей главы.
Вычисления. Когда первоклассник только начинает читать и писать, он, возможно, и не осознает целей обучения; однако его учитель знает, какова цель изучения каждой отдельной строчки. Цель ясна: постичь искусство читать и писать. Эту цель нетрудно описать словами: не читать Или писать нечто конкретное, а читать и писать вообще. Изобретение алфавита позволило наряду с известными словами читать и писать неизвестные, наряду со школьной хрестоматией читать, газеты и словари.
Приблизительно так же обстоит дело и с вычислениями. Однако лишь приблизительно: чем ближе те или иные «вычисления» к настоящей математике, тем сомнительнее это утверждение. Мы знаем, для чего нужно чтение и письмо: чтобы нечто прочитать и нечто написать. Ну, а для чего нужно умение вычислять? Конечно, относительно 2 + 2 сомнений не возникает, но для чего нужно деление на многозначные числа, для чего нужны дроби с дробями в числителе и в знаменателе, для чего нужны текстовые задачи, процентные расчеты и т. п.? И что же, собственно, означает «уметь вычислять»? Если некто умеет читать и писать, он может прочитать или написать все что угодно. Но если некто даже долго учился вычислять, всегда найдется что-то новое, чего он еще не вычислял. Самые элементарные вычисления могут еще быть определенной
целью; их значение можно, пожалуй, описать словами — вычисления ^ повседневно?! жизни. Но чем более сложные вопросы мы затрагиваем, тем больше неопределенности возникает. Ныне мы скептически относимся и к непосредственным вычислениям, ибо если задача более или менее сложна, то мы скорее доверяем вычислительной технике, чем вычислениям вручную. Раньше — я имею в виду полвека назад — это еще было не так. Педагог-педант, приучив школьника хорошо вычислять, считал, что привил ему нечто важное для жизни, и гордился этим. В какой-то степени он был прав, ибо человек, умевший хорошо вычислять, всегда мог заработать себе на жизнь. Конечно, и ныне есть еще педагоги, которые считают целью своей жизни натаскивать школьников в вычислениях. Если попасть в класс к такому педагогу, можно насмотреться чудес: это класс энтузиастов устного счета; как не подивиться такому учителю, мастеру своего дела! Это настоящий труд, а отнюдь не колдовство; человек, который добивается этого в нормальном классе, —артист своего дела.
Однако тот, кто смотрит глубже, призадумается. Ведь детский разум пластичен; воспитатель может направить его в любую сторону. Эксперименты показали, что научить можно почти всему, если это делать хорошо и достаточно настойчиво. Но в классе чудо- вычислителей мы спросим себя: а стоит ли? Для учителя-фанатика вычисления являются самоцелью; он убежден* что вычисления имеют ценность и как средство воспитания. Существуют также люди, влюбленные в чистописание,, в гимнастику, в морфологию и синтаксис. Те, кто влюблен в вычисления, —наиболее способные и наиболее опасные. Вычисления, которым они обучают, —вершина и граница их собственных возможностей; но ведь очень тяжко сказывается, когда учитель знает не более того, что он обязан преподавать. Тот, кто рассматривает учебный материал, не зная, что за ,ним следует (не с высшей точки зрения), абсолютизирует этот материал, изолирует его, возводит в степень верования, а это всегда опасно, и не только в отношении вычислений. Далекие от школьной действительности математики, пытающиеся навязать школе математическую программу, не задумываясь над тем, что есть много ценного вне их науки, столь же ограниченны, как и фанатики-вычислители из начальной школы.
По современной терминологии, идущей из США, вычисления считаются частью общего курса математики. С этим можно было бы согласиться, если бы обучение математике шло как единое целое, начиная с 1 + 1. Я .редко встречаю такой подход в современных учебниках; еще реже он встречался в обучении ныне работающих учителей. Я опасаюсь, что в некоторых странах скоро с первого класса станут преподавать «математику» люди, никогда не знавшие, что же такое математика.
Далее автор указывает на падение роли устных вычислений по мере распространения вычислительных средств.
Классическое обучение вычислениям знало, кроме четырех
действий над • натуральными числами, еще структурированные действия (дроби и скобки), а также текстовые задачи, решаемые арифметическим методом. Это была своего рода наука, которая вычислениями и завершалась; против собственно математики воздвигалась стена и создавался тупик, из которого не было выхода.
Система. Что теперь в самом деле является целью обучения математике, сказать трудно. Мы знаем, что математику можно применять ко многим вопросам, что теперь большему числу школьников, чем раньше, придется когда-либо применять математику. Если бы мы могли предсказать каждому, какие математические понятия, какие навыки ему понадобятся в дальнейшем, все было, бы прекрасно. Однако мы знаем, что такое предсказание невозможно. Математика настолько гибка и многообразна, что о ее приложениях и применимости трудно что-либо сказать заранее, кроме отдельных банальностей, как в индивидуальном, так и в коллективном плане.
Означает ли это, что благотворная деятельность по изучению математики ничем не ограничена? Если неизвестно, какая именно математика понадобится школьнику когда-либо, нельзя ли допустить большую свободу в отборе того, чему его учить? И ^ самом деле, на этот вопрос иногда утвердительно отвечают вслух и очень часто — в мыслях.
Во всяком случае одно ограничение существует—восприимчивость учащихся. Оно не столь существенно, как можно подумать, так как многое зависит от организации учебного материала. Кроме того, не существует настоящих критериев успешности обучения. Иногда, скажем, экспериментируют, если можно это так назвать, преподавая некоторый определенный материал и констатируя, что учащиеся его поняли. Эта констатация может означать всякое: ученики кивают головами или могут решать задачи, подставляя в формулы конкретные числа. Однако все это лишь локальные критерии. Успех обучения констатируют на том или ином учебном материале. Это дешевый успех, ибо всему конкретному, отдельно взятому можно обучить при необходимом усилии, особенно если это конкретное незначительно по объему и не требует глубины понимания. Однако с такой лишь локальной уверенностью мало что можно начинать всерьез. "
Следствия, которые выводят из таких экспериментов, бывают часто сильно преувеличенными. Так, я неоднократно читал, что опыты якобы показали возможность обучать теории групп уже чуть ли не в восьмилетней школе. В действительности же опыты, которые имелись в виду, были ограничены тем, что школьников научили оперировать с некоторыми специальными группами (что может быть очень полезным), что, очевидно, для этих объектов введено наименование «группа» и даже на заключительном этапе дано определение группы. Все это является теорией групп в такой же степени, как четыре арифметических действия — теорией чисел, как
черчение — геометрией, как рассмотрение какой-либо одной функции — теорией функций или измерение и взвешивание —физикой. Значит, по здравому смыслу, никак это не теория групп. Называть это теорией групп опасно и в другом отношении: можно внушить себе, что рассмотрением того, что предлагалось назвать «теорией групп», уже выполнено обязательство по отношению к действительному изучению теории групп. К счастью, несмотря на это, имели место вполне успешные опыты изучения теории групп в школе, однако не в восьмилетней и не в начальной школе.
Если что-то возможно изучать, это, конечно, не значит, что изучать нужно. Даже если нс связывать изучение математики с вполне определенной целью, необходимо, пожалуй, признавать приоритеты. Данный раздел может быть более или менее важным, чем другой, если оба раздела изучаются изолированно. Но в конечном счете одно может уступать другому — например, если второе лучше входит в общий курс, чем первое. Однако существует весьма, сомнительный аргумент, о котором часто приходится слышать в отчетах исследователей: что учебный материал нравится учащимся. Это фальшивый аргумент, ибо мы выбираем материал для обучения вовсе не для того, чтобы разцлекать детишек. Точнее, существует, конечно, шкала оценок для удовольствий, а в задачу воспитателя входит и воспитание вкуса. Хороший педагог может развлекать своих учеников и вычислениями; дети охотно занимаются вычислениями, особенно делением без остатка; механические вычисления, копирование, переписывание — все это может доставлять детям радость. Учитель, который это использует, не воспитатель, а демагог. •
Я уже говорил о представлении — часто неявном, — что независимо от того, какие разделы математики преподаются, нельзя заранее предсказать, что именно школьнику понадобится впоследствии. Однако это не значит, что будущее школьника полностью неизвестно. Кое-что можно предсказать с большой уверенностью, именно что он не станет математиком. Эта уверенность несколько уменьшается, когда школьник переходит из общеобразовательной школы в гимназию; снова падает, если он выбирает естественноматематическое направление, и еще ниже падает, если он выбирает в вузе специальность, требующую изучения математики. Но нужно постоянно подчеркивать, ибо это легко забывается, что, кроме будущих математиков, еще очень многие должны изучать математику, что те, кто корда-либо будет применять высшую математику, составляют меньшинство по сравнению с теми, кто вообще пользуется математикой, и что те, кому никогда не придется
применять математику, должны ее изучать, потому что она необходима, чтобы стать человеком в полном смысле слова.
У математика существует вполне естественная склонность воспитывать математиков. Подготавливая лекцию, математик представляет себе ученика, которому она будет читаться; и этот ученик большей частью видится себе подобным; а так как сам лектор — математик, возникает сильный соблазн подготовить лекцию для будущих математиков. Это можно понять, но с этим нельзя согласиться. Нужно всегда говорить себе, математику, что математика слишком важна, чтобы можно было мое обучение рассчитывать исключительно или главным образом на будущих математиков. При этом сознательный математический шовинизм является исключением. Я встречался с этим на диспутах, когда мне возражали: «Мы, математики, знаем, чтб такое хорошая математика, это наше кровное дело, а все остальное — чепуха». Однако это и вправду было исключение. Склонность математиков преподавать математику без учета всего остального еще глубже укрепляется. Если математику принижают, математикам следует для себя самих рационально проанализировать это обстоятельство, чтобы избежать крайностей. Эти крайности прежде всего выражаются в стремлениях математизировать саму математику. Конечно, математизацию следует изучать, но математизацию реальных ситуаций и, может быть, в заключение какую-либо математическую ситуацию.
Многие считают, что целью математического образования является ознакомление учащихся с системой математики. Однако это может быть конечной целью лишь при подготовке будущих математиков, но никак не целью общего математического образования. Такой подход может привести к включению в курс вопросов, не имеющих ценности (например, теории бинарных отношений), и исключению важных вопросов, не укладывающихся в систему. Подобные системы ведут к принятию антидидактического преподавания, скажем, к усилению аффинной геометрии в ущерб метрической. '
Такой подход к преподаванию часто является плодом ограниченности авторов. Примеры множеств во многих современных учебниках показывают, что их авторам неизвестны истинные применения множеств. Попытки ввести понятие функции во всей его общности, обходя конкретные примеры функций, указывают на непонимание того, как используется понятие функции в математике. •
Приложения. Наиболее тревожащим является, пожалуй, новое толкование элементарных вычислений. Что можно возразить пробив традиционных учебников арифметики — в них легко найти ясное понимание применимости вычислений, а также знание разносторонних возможностей их применения. Конечно, иногда перегибают палку в отношении сложности примеров, составляют надуманные задачи, пишут решения, пригодные лишь для данной конкретной задачи, и ограничиваются элементарными приемами там, где
чуть более глубокие методы математики оказались бы более подходящими. Но хуже всего, пожалуй, что эти учебники уже несколько десятилетий отстают от общественного развития, что они не учитывают новых, куда более широких возможностей применения вычислений, вероятно, потому, что о них не знают. Вместо этого предпринимают или, во всяком случае, пытаются предпринять формальные преобразования. Соблазн формального легко может ослепить, и, к сожалению, многое из традиционного опыта отбрасывается. Например, чрезмерно подчеркивают характер натурального числа как класса мощностей, совершенно притом забывая, что этот аспект натурального числа при всей многочисленности его сзязей с действительностью играет весьма ограниченную роль. Я опасаюгь, если эти традиции сохранятся, серьезных последствий для обучения вычислениям не столько относительно самих действий, которые многим нравятся,'сколько относительно применимости вычислений. Я думаю, едва ли можно сомневаться, что традиционное обучение четырем действиям может приучить школьника не только к механическому выполнению действий, но также и к их разносторонним применениям (я полагаю, исключая дроби); я боюсь, что нам предстоит в этой области разочарование, и уверен, что это попытаются свалить на современную математику, притом совершенно несправедливо.
Функции и отображения вводятся, вообще говоря, без связи с изучавшимися ранее разделами математики и с действительностью, либо в связи, которая едва ли является иллюстративной. Отсюда нужно заключить, что эти взаимосвязи, вообще говоря, остаются неизвестными. Стоило бы однажды выявить их во всей полноте. Функции и отображения/ а также, конечно, элементарную алгебру можно разнообразно применять в естесгвенных науках — в рамках этих наук, изучаемых в школе. Но здесь выявляется еще одно •беспокоящее обстоятельство. Учителя физики и химии видят одну из задач обучения математике в возможности применения математики на своих уроках, но конечно, не очень полагаются на эту возможность. Поэтому они стараются обходиться как можно меньшими применениями математики. В этом отношении начальное обучение естественным наукам, вплоть до университета, является чудом — я имею в виду чудо дематематизации естествознания. В самом деле, удивительно, какими крохами математики обходится учитель физики в .гимназии, как ему удается избегать понятия функциональной зависимости, как он ограничивает всю математику лишь подстановкой числовых значений в известные формулы. Эта дематематизация естествознания столь же вредна для обучения математике, как и для обучения естественным наукам, Становится возможным избегать показа учащимся, как применяется математика в естественных науках. Математику и естествознание изолируют друг от друга, занимаются бесплодной математикой и деградированным естествознанием... Поэтому мы должны по мере возможности применять математику в других науках, с тем чтобы
школьник изучил эти применения. Мы не должны обманывать школьника кажущимся отсутствием взаимосвязей, если хотим, чтобы он с этими взаимосвязями познакомился.
Если я в претензии к физикам, что они преподают дематемати- зированную физику, то сразу же нужно сказать и о математиках, которые со своей стороны преподают изолированную математику. Это обычная точка зрения учителя математики: «Я преподаю математику, которую я знаю; применения не моего ума дело; все, что мне о них известно, непонятно с точки зрения математики, нечетко, да и не может быть выражено четко, не укладывается в логическую схему математики». Нет этого и в учебнике, по которому работает учитель математики. Впрочем, среди всех «аргументов», вследствие которых математика преподается изолированно, можно понять'лишь один — некомпетентность. Учитель математики не знает, как применяется математика. На него нельзя обижаться: он этогоне изучал — вторая, естественнонаучная специальность учителя встречается все реже. В некоторых странах есть ныне учителя математики, которые не дали в школе ни одного урока физики, а если и давали, то это была дематематизированная физика. Все это общеизвестно; тем более удивительно, что на курсах усовершенствования для учителей математики, которые имеются повсюду и считаются необходимыми, также часто отсутствует рассмотрение ка^их-либо взаимосвязей. «Если мы обучим учителя приложениям математики», сказал мне один педагог, пытавшийся сделать это на курсах, «то его мгновенно переманят на работу в промышленность; поэтому мы вынуждены преподавать лишь такие разделы математики, которые нельзя применить нигде, кроме школы». Это сказано честно, но я думаю, что не так уж везде все плохо. Во всяком случае, это не причина избегать приложений математики на курсах усовершенствования. Часто сами организаторы курсов не владеют этими приложениями.
Так что же делать? Ведь нельзя забывать, что школьный класс, где преподает учитель, не витает в безвоздушном пространстве, а вместе со своими прошлыми, нынешними и будущими учащимися принадлежит обществу,гв котором столь большую роль играет математика. Если положить в основу стерилизованную программу обучения абстрактной математике, то придется покончить с геометрией, так как она недостаточно точна, и с математическим анализом, так как его нельзя изложить достаточно строго. Где же найдется место для изучения ЭВМ в таком монолитном курсе, посвященном множествам, бинарным отношениям и векторным пространствам? Они были бы в нем полезным, но чужеродным телом.
Можно было бы предложить такой выход: рассматривать двоичную систему счисления и считать, что изучается работа ЭВМ. Однако это- примерно то же, что считать решенным вопрос сексуального просвещения, рассказывая истории о тычинках и пестиках» К сожалению, есть еще люди, считающие, что рассмотрение двоич* ной системы счисления раскрывает все тайны работы ЭВМ<
О взаимосвязях. Здоровым принципом является изучать не изолированные крохи, а согласованные разделы. То, что взаимосвязано, легче изучается и легче удерживается. Нужно лишь правильно-понимать взаимосвязанность. Если это такая взаимосвязанность, которая доступна лишь преподавателю или, тем более, если даже ему непонятна, а он лишь сообщает о ней, то цель не достигается; взаимосвязи, логически согласованные в школьных программах, часто или даже всегда именно такого рода. Взаимосвязи конструируются внутри математики, чтобы преподавать единый предмет, но это делают за счет взаимосвязей между математикой и нематематикой, не задаваясь вопросом, какие из этих связей естественнее и важнее. К этому я вскоре еще вернусь.
Имея в виду цель и смысл обучения математике, я часто говорю о приложениях математики. Именно среди математиков-прикладников есть люди, которые не любят этого наименования. Они говорят, что существует лишь одна математика, в которой что-то больше, а что-то меньше связано с «нематематикой». Они правы; к сожалению, это наименование часто употребляют люди, желающие оправдать обучение математике без каких7либо связей с «нематематикой». Термин «прикладная», по-моему, дословный перевод французского «applique». «Применяемая математика» или «допускающая применение» звучало бы лучше. Надеюсь, никто не подумает, что я пропагандирую изучение* прикладной математики в школе. Не нужно изучать вычислительную математику, связанную с ЭВМ, чтобы научить школьников программированию. Не нужно изучать теорию вероятностей, чтобы сделать из них статистиков. Никакой «прикладной» математики, чтобы это ни означало. Наибольшей ценностью математики является ее гибкость. Математика, специально скроенная для определенного применения, костенеет.
Я бы хотел, чтобы школьник изучал не прикладную математику, а как применять математику. Это не должно обозначать утилитаризма. Поэтому я хотел бы говорить не о прикладной или применяемой математике, а о имеющей богатые связи математике.
То, чему учат, должно иметь много связей — этого требовал еще старик Коменский. Но все зависит от того, какие взаимосвязи рассматривают и подчеркивают. Едва ли речь должна идти о внутренних взаимосвязях в математике. Коль скоро эти взаимосвязи естественны, они появляются сами; если же они искусственны, то бесполезны в дидактическом отношении. А искусственны ли они, следует решать с точки зрения школьника. Полнейшим воплощением внутриматематических связей является система, если все так сбалансировано, что ничего нельзя выбросить, значит, все взаимосвязано. Сомнительно лишь, сможет ли школьник понять с таким трудом сконструированную систему. Это не только сомнительно, но даже невероятно. И еще невероятнее, если сама система не более как иллюзия. Но самое плохое то, что такая внутренняя взаимосвязь достигается за счет внешних взаимосвязей.
Например, едва ли можно* избежать, чтобы первоначальное обучение арифметике, геометрии, элементам теории множеств было лишено заметных связей между этими областями. Эти связи можно построить лишь ретроспективно, на высшем уровне. Они не могут быть предвосхищены, даже если учитель потрудится заранее (а нс непосредственно в классе!) продумать свои логико-эстетические идеи. Даже внутри каждой из этих областей не всегда удается высветить существенные логические связи (например, связи между различными понятиями натурального числа или между аффинными и метрическими свойствами фигур). Гораздо важнее связи арифметических, геометрических и теоретико-множественных понятий с реальностью. " '
Конечно, следует давать прочные взаимосвязи. Однако вопрос, где именно. Математические понятия тоже должны быть связаны, но эта связь не может и не должна быть непосредственной. Существуют и еще более сильные связи. Когда изучают родной язык, начинают с тесного увязывания словесных выражений с реальностью, с ситуациями, обозначенными этими выражениями. Действительность — это скелет, обеспечивающий взаимосвязи, и с ней ассоциируются словесные выражения. Между этими надстройками также образуются взаимосвязи, вначале такие, которые отражают связи в скелете, затем все более формальные, соответствующие структуре языка. Без длительных взаимосвязей с реальной жизнью язык остается схематичным. •
Разумеется, математика — это не только язык, точно так же, как и язык — это не только «язык» (здесь «язык» понимается в смысле формальной системы). Я полагаю, что можно обратиться к аналогии. Если хотят преподавать взаимозависимую математику, то прежде всего не следует искать прямых взаимозависимостей; нужно вначале понять исходные пункты, в которых изучаемое связано с реальной жизнью. Реальная жизнь — это скелет, на котором зиждится математика, и если некоторые элементы математики покажутся между собой не связанными, то требуется лишь время, чтобы выявить взаимосвязи между ними. Ученого-математика может интересовать витающая в облаках математическая система; для нематематика несравненно важнее взаимосвязь с реальной жизнью. .
Я подчеркиваю это по весьма практическим причинам. Почему школьник учится говорить на родном языке и не учится говорить на языке математики? С родным языком он связан целый божий день (и подчас даже во сне), а математике принадлежит только пять школьных уроков в неделю. Изученное без прочных связей быстро забывается. Как часто учитель замечает, что пройденное несколько недель назад бесследно забылось, если оно не применялось! Логический путь от пройденного ранее к нынешнему нс помогает, потому что этот путь построен нс школьником, а учителем или даже автором учебника в предположении, что этот логический путь таинственным образом может повлиять на мышление школьника. Те
крохи математики, которыми школьник пользуется в течение данной недели, — чужеродное тело в его повседневной жизни, да и они имеют тенденцию сколь возможно быстро исчезнуть. Лишь для себя самого можно определить, сколь быстро забывается невзаимоувязанный материал. Я уже упоминал высказывание экспериментаторов, утверждавших,# что тот или иной материал может быть предметом обучения; однако это утверждение ни о чем не говорит: дети изучают все что угодно и все что угодно бесследно забывают. Эксперимент ни о чем нс говорит, если он не показывает, сколь прочно материал закреплен и сколь длительно он удерживается. «Прочно закреплен» говорит нечто о связи с реальной действительностью, и лишь при достаточно тесной связи с реальной действительностью может быть гарантировано длительное владение пройденным. . -
Ссылаясь на «Дидактику математики» Э. Кастсльнуово (Emma Castelnuovo, Didaktik der Mathematik. Akademische Verlagsgesell- schaft, Frankfurt/Main, 1968), автор говорит о внутри-и внемате- матических аналогиях, считая их весьма ценными в процессе обучения математике. Он считает понятие аналогии более ценным, чем строгое понятие изоморфизма, хотя это и вызывает возражения строгих систематиков, поскольку понять идею изоморфизма можно лишь, овладев аналогией.
Взаимосвязанность должна гарантировать,, что та математика, которую изучают, не будет забыта. Нельзя, конечно, считать целью изучения математики именно то, что она не будет забыта. С помощью хорошей мнемотехники можно запомнить многое. Однако запечатленное в памяти может оказаться не только благом, но и обузой. Но знания, которые’ однажды усвоены, проникаются по мере созревания все большей взаимосвязанностью и все менее базируются на памяти; чем глубже изучается история, тем меньше нужна хронология, структурирующая события. Хронология становится ненужной, и она забывается. И все же то, что было изучено, нелишнее; это как бы лестница, которую, забравшись наверх, отталкивают. Это происходит и в жизни отдельной личности, и в истории рода человеческого. Из того, что математик изучит в своей области, в конце его жизни 90 процентов может быть вычеркнуто, как излишнее. Исторически, однако, это не было лишним: это было необходимо изучить, чтобы впоследствии заменить лучшим. Не оказаться забытым — не только не достаточный, но даже не необходимый критерий при изучении математики. Удержание в памяти и забывание — слишком' грубые определения. Удержание в -памяти в смысле возможности идентичного воспроизведения и забывание «абсолютно изгладилось из памяти» — это лишь единичные предельные случаи. И в истории происходит то же, что и в жизни отдельной личности. Сотни бесплодных попыток произвести трисекцию угла, объяснить волновые явления в распространении света, понять структуру бензола были необходимы для подготовки теории Галуа, электромагнитной теории света, теории циклических'
связей в химии. Это были не просто тупиковые поиски, но эффективные попытки. Важную роль играет не то, что сохранилось в памяти при изучении математики, а то, что эффективно, — это и должно стать возможным благодаря взаимосвязанному обучению.
Может показаться, что не так уж важно, какие именно разделы математики преподаются, если только они связаны с жизнью. Это в известной степени верно. Существует древнее поверье, что обучение ценно само по себе; что бы ни изучалось, это дает образование. Конечно, столь категорично не стоило бы утверждать; образовательная ценность различных дисциплин может*быть различной.
Упражнение ума. В числе семи свободных искусств средневе- ковьд по традиции, восходящей к пифагорейцам, филологический тривиум (грамматика, риторика, диалектика) предшествовал математическому квадривиуму (арифметика, геометрия, музыка, астрономия); надо всем этим стояла философия, еще выше — теология. Особое внимание математике как предмету преподавания было, пожалуй, присвоено благодаря се происхождению. Не удивительно, что в эпохе Возрождения математика также была полезна в качестве предмета обучения; к классическому образованию — кто нынче этому поверит! — всегда принадлежали и естественные науки, и математика, так как в то время гуманитарные науки были еще лишь «золушками» при науках божественных; противопоставление естественных и гуманитарных наук еще не стало обычным.
Но математика была все же не просто «дворянкой» среди предметов обучения. Математика считалась оселком, на котором оттачивался интеллект, розгой для мышления, упражнением ума и в качестве такового пронизывала, все, что ставило своей целью Воспитание/ Так возникла потребность в учителях, размахивающих этой «розгой мышления», в профессорах, подготавливавших учителей, а когда впоследствии пришли к идее выбирать профессоров математики среди тех, кто занимается математикой как наукой, наука перешла из академий в университеты.
Далее. Были не только культурно-исторические или педагогические аргументы, придававшие математике ценность, которой она обладала еще в платонистском. воспитании. Во Франции, единственной стране, где в XVIII веке систематически, хотя и не очень широко развивалась математика, рационалистический образ мышления деятелей революции создал широкое.поле деятельности для обучения и применения математики. Основанные тогда высшие школы можно было с одинаковым успехом назвать военными школами с математическими тенденциями или математическими школами с милитаристскими тенденциями. Объясняя военные успехи Наполеона, было естественно подчеркнуть математическое обучение его офицеров, и это делалось как в самой Франции, так и за ее пределами. Давно уже было известно, что математика полезна в военном искусстве; генерал должен был уметь вычислить, когда он встретит противникам строитель крепостей должен был уметь
Строить правильные многоугольники. Но математика как средство военного воспитания представляла собой нечто иное — розгу для мышления. После успехов французской армии никто не хотел оказаться в числе отставших, и во многих странах создали военные школы на манер французских, и тем самым стали создаваться условия для ускоренного развития математики в XIX столетии.
Сегодня весьма сомнительно, была ли математика действительно столь волшебным средством. Могла, пожалуй, существовать связь между знакомством с математиков! и военными успехами французского офицерского корпуса около 1800 года, но она не сводилась к тривиальному утверждению, что знание офицерами математики влечет за собой военные успехи. Не математическое воспитание возвысило уровень французских офицеров над уровнем офицеров других стран, а отбор по принципу способностей к математике, который, очевидно, был целесообразнее, чем отбор по геральдическим данным, юридическим или филологическим способностям.
Слава математики как упражнения ума была тем самым подтверждена. Многие достойные сожаления школьники должны были изучать математику, чтобы оправдать существование своих учителей, которые в свою очередь изучали математику в университетах, чтобы оправдать существование профессоров, которые в свою очередь создавали науку математику, чтобы ее можно было применить лишь в будущем, тогда, когда этого потребует техника. Ныне математика — весьма полезная наука, но, чтобы дойти до такого состояния, она должна была пройти через пустыню бесполезности. Ее приходилось лелеять как аристократию духа, пронесенную многими, которые изучали бесполезную в то время математику лишь в качестве упражнения ума.
История поистине удивительна. Колумб открыл Америку, думая, что попал в Индию. Если вере в математику как в упражнение ума не суждено было оправдаться, если это была лишь иллюзия, то, как выяснилось, иллюзия оказалась беременна действительностью. Блуждающий огонек выманил нас на верный путь.
Существует ли это упражнение ума сейчас? Является ли таковым математика, и, быть может, наиболее эффективным? Как ответить на этот вопрос? Применяемые ныне методы, с помощью которых точно измеряют успехи в учебе, не годятся для ответа на столь обще поставленный вопрос. Эти методы имеют лишь локальную область применения; чтобы достаточно точно определить успехи в целом, методов не существует.
Средство отбора. Каждый учитель согласится: кто силен в математике, большей частью силен и в остальных предметах. Это может быть верным, но, однако, не свидетельствует, что нельзя успевать в других предметах, не постигнув математики.
Это наводит на размышления. Не думают ли люди, считающие математику лишь упражнением ума, что по успехам в математике можно определить «коэффициент интеллектуальности» и, значит,
что математика может служить надежным средством отбора? Ныне, к сожалению, это единственное, что действительно надежно установлено об общей ценности математики. В качестве средства отбора по интеллектуальным способностям математика надежнее любого другого учебного предмета (может быть, даже надежнее специальных тестов), применять ее, пожалуй, тоже удобнее всего. Таким образом, математика широко применяется в качестве инструмента отбора. Она является лакмусовой бумажкой для любого естественнонаучного, технического, медицинского высшего образования; определенный, хотя точно не установленный минимум математических знаний и навыков необходим и для гуманитарного образования.
• Значит, это и есть цель обучения математике — отбор школьников по их успехам в математике? Короче говоря, цель обучения математике — аттестат зрелости?1 Все в нас восстает против такого вывода, который все же отражает реальность, именно что математика — это высокоценимое и излюбленное средство отбора. Мы восстаем против этого и как воспитатели, отказывающиеся признать отбор целью воспитательного процесса, и как математики, считающие математику слишком хорошей для столь плохого применения. Однако пока еще отбор необходим, и было бы нелепо отделить воспитание и отбор друг от друга и в качестве воспитателей не стремиться влиять на отбор. Весь вопрос в том, как влиять.
Можно ли, будучи воспитателем, настаивать на таком порядке, когда обучают некоторому предмету, чтобы с его помощью производить отбор? Аргумент, гласящий, что математика — превосходное средство для предсказания общих способностей, недостаточен. Если преподают предмет и проверяют знания по нему, неизбежно начинают преподавать как раз то, что предстоит проверять, а это может оказаться как раз тем, что математика в качестве упражнения ума представляет хуже всего. В школе каждому предмету грозит вырождение в обучении тому, что будет проверяться на экзамене. •
Проверка является весьма разумной деятельностью. Обучающий должен быть в состоянии проверить успешность обучения хотя бы потому, что при необходимости может улучшить обучение. Обучаемый имеет право знать,* усвоил ли он что-либо, целенаправленны ли были его усилия, способен ли он усвоить то, что от него требуется. Наконец, и внешний мир интересуют сведения о том, что изучено. Я уже указал, что наши экзаменационные и другие проверочные методы приспособлены для локальной констатации успе-
■ 1 Во многих странах мира, в том числе и* в социалистических странах, аттестат зрелости получают после 12—13 лет обучения; обязательное образование (например, в ГДР — десятилетнее) может быть завершено 12-летним «расширенным» (т. е. аттестатом зрелости) только при очень хорошей успеваемости и хорошем прилежании. В капиталистических странах для детей трудящихся существуют и социальные препятствия к получению полного среднего образования (прим, перев.).
хов в обучении. Вообще говоря, возможны и глобальные проверки, и в математике это сделать легче, чем в любом другом предмете.
Из практики работы университета мы знаем, что гораздо поучительнее наблюдать за деятельностью студента, чем просматривать представленную им работу; школьные педагоги, безусловно, согласятся с нами. К этому я еще вернусь более подробно; здесь замечу лишь, что* это и есть исходный принцип для глобальной оценки успеха обучения. Однако мне известно, что повсюду существуют законы, регламентации, установки, предписывающие совершенно иные формы контроля. Университеты большинства стран являются, пожалуй, единственными заведениями, в которых программа, само преподавание и контроль сосредоточены в одних и тех же руках. Они могут, если потребуется, привести программу в соответствие с преподаванием и не нуждаются в отделении преподавания от проверки. Они обязаны, если только могут, подавать пример и придавать экзаменам остроту отбора. Возможно, они могут поступать и иначе.
Обществу малоинтересно, сколь хорошо разобрался некто в математике, если это не уточнено оценкой; такая оценка представляет собой критерий отбора. Рассчитывать и анализировать приходится и ученику — какую оценку своей учебы он считал бы справедливой, и преподавателю, профессиональный долг которого заключается в выборе золотой середины между строгостью и мягкостью. Поэтому экзамен — цель; то, что входит в проверяемое на экзамене, — программа, оно же является и предметом преподавания — вот вам и весь метод.
Так ли это в действительности? Часто, к сожалению, реальность именно такова. То, что этого не должно быть, я покажу в дальнейшем. .
Логическое мышление. Между тем пока еще не было дано ответа на вопрос о ценности математики как упражнения ума. Это тонкий вопрос. Мы хотели бы получить утвердительный ответ, но кому поможет самообман? j
Логическое мышление издавна развивается в процессе изучения математики. Что здесь означает «логическое», объяснить трудно; почему бы нс сказать просто «мышление»? Со времен Аристотеля существует так называемая логика, которая много разрабатывалась теоретически, но не имела ничего общего с мышлением в собственном смысле этого слова. Логика выражается вовсе не в выводах типа: «Все люди смертны; Сократ — человек; следовательно., Сократ смертен». Едва ли существуют мысли, которые можно выразить в субъектно-предикатной форме; мысли требуют схемы отношений и последовательностей кванторов. Кроме того, мышление — это применение не только формальной логики, но и многих не столь формальных примеров, например аналогии.
Самый обыденный разговор содержит формальные элементы, но математическая дискуссия отличается от этого разговора тем, что в нем формальные элементы остаются в неявной форме, а обсуждаются лишь конкретные вопросы.
Верно, что обучение математике развивает логическое мышление, и прежде всего логическое мышление в математике. Другой вопрос: можно ли это перенести в иные области? Как вообще можно было бы «перенести»? Если что-то «переносится», то лишь по аналогии, которая может быть более или менее осознанной или даже совершенно неосознанной, но все же действенной. Я имею в виду известные формальные элементы в том, что обычно называют логическим мышлением; например, когда из того, что ситуация симметрична относительно двух параметров, делают неявно вывод, ' что в ней подразумевается симметричное поведение.
Аргументы симметрии играют роль и в математике, причем традиционная математика (или в большей мерс традиционная школьная математика) также едва признает ее и охотно затушевывает, принижает, заменяя не относящимися к делу алгоритмами; вспомните, например, вытеснение аргументов симметрии в геометрии алгоритмическим применением теорем конгруэнтности, в алгебре — алгоритмическими вычислениями. Если формальные аргументы, как, например, аргумент симметрии, находят столь полезными, то их желают распространить не только на математику — следует прежде всего широко применять их в математике, вначале бессознательно и неявно, чтобы затем использовать осознанно. Такое осознание формальных элементов нигде не выполняется столь легко и эффективно, как в математике.
В продолжение ряда лет я наблюдал за математическим развитием студентов — математиков и физиков в течение первого года обучения в университете. Ниже перечисляются вопросы, которые я задаю в первые недели занятий и для сравнения задаю другим студентам после окончания ими первого курса. Вопросы задавались не вфюрме официальной проверки, а в свободной беседе:
Являются ли величайший художник среди поэтов и величайший поэт среди художников одним и тем же лицом?
Если среди поэтов есть только один художник, то верно ли, что среди художников только один поэт и это одно и то же лицо?
Являются ли старейший художник среди поэтов и старейший поэт среди художников одним и тем же лицом?
В некотором городе есть дома, а в домах — столы. Для каждого и = 1, 2, 3, ... верно, что если в некотором доме есть столы с п ножками, то в этом доме нет столов с более чем п ножками. Верно ли (для любого п = 1, 2, 3, ...), что если в некотором доме .есть столы с п ножками, то в этом доме не существует столов с менее чем п. ножками? .
В некотором ящике находятся всевозможные предметы различного цвета и различной формы» Имеются ли в этом ящике два предмета, различающиеся как по цвету, так и по форме?
Начинающих студентов такие вопросы затрудняли. Год спустя даже посредственные студенты высмеивали того, кто всерьез задавал подобные вопросы (правда, пятый вопрос несколько труднее остальных). Едва ли можно сомневаться, что математика, которой они занимались в течение года, способствовала их развитию.
После того как на четвертый вопрос, заданный мною во время лекции, безуспешно пытались ответить около 80 студентов,-один учитель гимназии, старавшийся развить у своих учащихся логическое мышление, предложил ученикам выпускного класса (естественно-математического направления) дать на него письменный ответ. Сносно ответили лишь двое из 23 учащихся; еще один ответ оказался ошибочным, остальные—20 — совсем неверными.
После года изучения математики в университете этот же вопрос рассматривался студентами как смехотворно легкий.
Язык. Сформулированные выше пять вопросов, которые едва ли можно назвать математическими, характеризуют определенные формальные элементы, употребляемые в математических структурах. Доказывает ли мой опыт осознание этих структур студентами в течение первого года обучения? Да, поскольку я могу исключить препятствующий такому выводу фактор: я не убежден, что вновь поступившие студенты вообще правильно понимали смысл поставленных вопросов. В некоторых случаях я даже убеждался, что они не понимали. Я готов предположить, что во многих случаях языковой смысл вопросов был понят, но нс хочу повторять ошибку Пиаже: почти во всех его экспериментах, которые должны были показать, что ребенок такого-то возраста не в состоянии правильно выполнить такие-то и такие-то действия, было совершенно ясно, что ребенок не понял языкового смысла в задании; эксперименты Пиаже относились в подавляющем большинстве к языковому, а не к познавательному развитию детей.
Это между прочим. Нет сомнений, что в течение первого года обучения наши студенты благодаря изучению математики преуспевают также в понимании языкового смысла. Если говорить о математике как упражнении ума, нужно упомянуть и о сильном влиянии изучения математики на понимание языкового смысла. Универсальность языка, связывающего все виды высказываний и умственной деятельности, позволяет предположить, что своеобразие математического, языка действует и за пределами математики.
Язык ученых и отношение ученых к языку сильно варьируют от науки к науке. Я не говорю здесь о поэтах и писателях, но характерное для них словоупотребление, заметное и в некоторых областях науки, показывает тенденцию к самостоятельности языка или даже к доминированию языка над содержанием, желание выведать тайну слов по их волшебным оттенкам, внутреннему звучанию или этимологии. Существует весьма широкий спектр употребления слов от поэтов и писателей до математиков, которые произвольно обращаются со словарем, чтобы придать словам четкие значения, сво-
боднЫе от каких бы то ни было подтекстов. Конечно, это удобно лишь математикам, потому что они могут в своей системе все свести по определению к столь простым понятиям, что никакие разночтения невозможны. Уже физикам это не так легко; физики в большей мере связаны с обиходным языком и его неопределенностью.
В прошлом математическая терминология спорадически оказывала влияние на обиходный язык. В каждом языке сохранилось выражение «центр тяжести»; в политике длительное время говорили о «параллелограмме сил»; ныне этим выражением почти не пользуются, так как силы в политике обычно противодействуют друг другу, однако «результирующая» пока еще сохранилась; существует склонность всякое неизвестное называть иксом. Модным словом математического происхождения является «множество», употребляющееся почти всегда неверно. Среди шарлатанов замечено злоупотребление математическим термином «информация». Если кто-либо использует математические термины, не подозревая об их истинном значении, то мы, как математики, ужасаемся: кдк этого человека учили математике! Я имею в виду, например, журналистов, публикующих репортаж, о торжественном вводе в действие новой ЭВМ, которая вычисляет со скоростью,, составляющей две трети скорости света; биолога, который таблицу скоростей размножения различных животных заключает сравнительными данными о скорости распространения звука и света. Однако упрек следует адресовать не тем, кто говорит или пишет подобные нелепости, а тем, кто их обучал математике, или даже тем, кто утверждал для них программы и составлял учебники.
Если я говорю, что математика является особенно ценным и в отношении словоупотреблений упражнением ума, то не думаю, разумеется, что изучение математики может научить понимать или употреблять определенные слова. Речь идёт скорее о том, что математика может показать, как установить значения определенных слов, как избежать порочного круга в определениях, как конструировать высказывания, чтобы избежать недоразумений.
. Равносторонний треугольник — это частный случай треугольника, а как быть с. равнобедренным? Это, разумеется, не частный случай. Ведь говорят о вершине и об основании равнобедренного треугольника; если же равнобедренный треугольник случайно окажется равносторонним, то неизвестно, какую точку считать вершиной и какую сторону — основанием, поскольку это не содержится в определении. Равнобедренный треугольник — это пара, состоящая из треугольника и одной из его вершин, причем стороны, прилегающие к этой вершине, равны. Одному равностороннему треугольнику соответствуют таким образом три равнобедренных в зависимости от того, какая вершина выделена. Прямоугольный треугольник опять-таки можно рассматривать как
частный случай треугольника. Конгруэнтные треугольники не являются, конечно, частным случаем, однако совсем по другим причинам; это особые подмйожестга множества треугольников. Треугольная пирамида есть частный случай пирамиды, но не то же, что тетраэдр; иначе правильная треугольная пирамида была бы правильным тетраэдром, что, разумеется, неверно. Пожалуй, треугольная пирамида есть пара, состоящая из тетраэдра и одной из его вершин. Впрочем, я думаю, что в традиционной геометрии не пускаются в такие тонкости;, ее язык, освященный двухтысячелетними традициями, кажется просто незыблемым.
Автор рассуждает о формальном конструировании понятий, говорит р кванторах, неявно скрывающихся за обиходными сло- вамц «всегда», «везде», «иногда», утверждает, что весьма важно иллюстрировать последовательности кванторов примерами, а это часто недооценивают или ограничиваются примерами только из математики, наконец, приходит к выводу, что влияние математического языка на повседневный незначительно.
О решении проблем. Математика ценится высоко, потому что с ее помощью можно решить много проблем. Такая вера во всемогущество математики имеет много источников. Это, во-первых, магия чисел. Далее, воспоминание об обучении вычислительным навыкам, и в частности о процентных расчетах, с помощью которых можно рассчитать не только проценты, но также и самый капитал, и ссудный процент, и время. Разве это не удивительно?'Иногда к математику обращаются с задачей, для решения которой не хватает одного из условий (числа), в твердой уверенности, что математик сумеет это число отыскать. Я рассказываю в связи с этим историю: «Сколько лет капитану?» (Сообщаются длина, ширина, высота, водоизмещение, скорость, год постройки и т. д. океанского парохода и спрашивается, сколько лет капитану; когда выясняется, что «решить задачу» нельзя, я объявляю «ответ»: капитану 34 года, а на вопрос, как я узнал это, отвечаю: я спросил у самого капитана.) Трудно разубедить тех, кто слепо верует во всемогущество математики; иной раз они подозревают нас просто в нежелании открыть профессиональные тайны. Многие не верят, что невозможно рассчитать, как добиться верного выигрыша в Монте-Карло; утверждение, что можно доказать обратное, т. е. что такой системы не существует, не принимают всерьез. Если кто-то хочет рассчитать надежную систему биржевых спекуляций, а математики утверждают, что такой надежной системы не существует, им возражают: спекулировали же так удачно Гаусс и Джон Мейнард Кейнс! Однако были ведь и математики, которые на бирже проиграли свой деньги. Да, но это и есть расхождение теории с практикой, думает обыватель. .
. Слепая вера в математику переходит и на ЭВМ, которые будто бы в один прекрасный день начнут управлять и властвовать, цбо в Америке работают уже над тем, чтобы сделать программистов ненужными, чтобы обучить автоматы программировать еще более сложные автоматы, — это якобы прочитал в какой-то американской книжке один социолог, вступивший со мной в публичную дискуссию. Я посоветовал, этому социологу прослушать двухнедельный курс программирования, чтобы понять, что можно делать с помощью ЭВМ, но это было воспринято как язвительное выражение плохого настроения, вызванное дискуссией у побежденного. К вере в математику присоединяется обычно недоверие к математикам, которые, очевидно, не знают—или не желают выдавать профессиональную тайну, — что можно делать с помощью математики. Все это. способствует тому, что ситуации, которые не по плечу математике, не признаются таковыми.
Упрощения. Решение задач является лишь частью математической активности, которую не следует переоценивать. Я уже указывал, что математик, решив задачу, исследует ее, рассматривая с различных точек зрения. -
Сколько осей симметрии у правильного многоугольника на плоскости? Каждый видит это, каждый, даже- не изучавший геометрии, может обосновать ответ.-
Нужно лишь различать четное и нечетное число сторон п. Для нечетного п каждый увидит ось симметрии, проходящую через любую вершину и середину противолежащей стороны; для четного п есть два рода осей симметрии: проходящие через две противоположные вершины и проходящие через середины противолежащих сторон. Однако как в случае четного, так и в случае нечетного числа сторон осей симметрии будет равно п.
Так рассуждать может любой профан. Математик же сразу ставит вопрос: не единообразны ли оба случая? Конечно, легко заметить, что ось симметрии S должна проходить через центр много- . угольника, при этом она однозначно определена, если для некоторой точки Р известен ее образ при этой симметрии S. Если ш качестве Р взять одну из вершин, то S (Р) необходимо также будет одной из вершин. А это и значит, что существует ровно п осей симметрии.
Идея привести различные случаи доказательства к единому виду, является вполне математической; нематематик не так легко придет к такой идее. Наконец, и в математике она не применялась в древности или, во всяком случае, не была настолько употребительной, как ныне, а.получила признание лишь постепенно, оказалась весь- ма плодотворной и широко распространилась. Она по праву может считаться частью упражнения ума. Но для этого необходимо, чтобы подобные идеи осознанно преподносились в курсе математики; это означает, что следует не излагать школьнику приглаженные и приукрашенные доказательства, а предоставлять ему самому искать путь к доказательству и отшлифовывать это доказц1
тельство. Такая система обучения приведет школьника от решения локальных проблем к первым этапам самостоятельного и систематического мышления.
Математики обладают склонностью упрощать задачи и их решения. Рассмотрим следующий пример.
Некто приходит к книготорговцу, покупает книгу за 5 марок и дает стомарковую купюру. У торговца нет сдачи, он идет к соседу- сапожнику разменять. Тот заодно возвращает ему починенные ботинки, удерживает 8 марок за починку минус одну марку, которую был должен книготорговцу, и дает 93 марки. Книготорговец, добавив 2 марки, дает покупателю 95 марок сдачи и книгу; тот уходит. После обеда приходит сапожник и сообщает, что стомарковая купюра фальшивая. Сколько должен уплатить книготорговец сапожнику и чему равен ущерб книготорговца?
Расчеты подобного рода также между родственниками и друзьями, когда, например, один платит за всех в ресторане, служат часто причиной недоразумений. Лучше всего решать проблему, отбросив все несущественное, но для этого нужно разобраться в ситуации и выяснить, что существенно, а что нет. Ясно, что это могут сделать не только математики; однако люди, .далекие от математики, инстинктивно опасаются «упрощать» такие ситуации.
О числах. Если чего и ждут от изучения математики, то это — постичь значение чисел. Основательное знакомство с числами, более детальное, чем непосредственное впечатление, позволяет понять многое.
Тремя нулями в многозначном числе больше или меньше, обыватель часто не замечает. Существует ли на Земле 3 биллиона или 3 миллиарда людей, ему кажется равнозначным. Составляет ли бюджет страны биллионы или миллиарды марок, существует ли Земля миллионы или миллиарды лет —лежит за пределами постижимого. Газеты сообщают о самолете, в баках которого 20 000 т горючего, о льдине на Рейне, простирающейся от Бонна до Кёльна, вес которой оценивается в 100 000 кг. Даже сообщая о высоте гор или высоте полета самолета, часто превращают метры в такое же число километров; при ливнях миллиметры осадков заменяют сантиметрами.' «Световой год в триста тысяч раз длительнее календарного, а световая секунда —*одна трехсоттысячная доля обычной секунды». Сообщение о том, что 40% нидерландского бюджета выделено на развитие исследований, обошло все газеты и даже повторялось в дебатах, пока некий математик не обнаружил ошибку и выяснил, что речь идет всего лишь о 4%.
С процентами вообще обстоит дело плохо. Если говорят, что некая партия получила на выборах на 5% голосов больше, это может означать, что она получила 20% голосов вместо 15%. «10%
участников—незамужние женщины» может означать, что 10% участников женского пола были незамужем. «Процент неграмотных в Португалии выше, чем во всех других европейских странах, вместе взятых». Когда Франция в 1969 году повысила цену золота с 16 до 18 франков, от Сан-Франциско до Токио и от Рейкьявика до Капштадта газеты писали, что франк обесценился на 12,5% (вместо Не
английский фут и миля пересчитаны в метры и километры с четырьмя—шестью знаками после запятой. А в газетной заметке говорилось, что Эверест, оказывается, на 50 м ниже, чем считалось раньше, так как фут округленно принят за одну треть метра. А однажды мне позвонили из одной редакции, чтобы узнать, чему же равняется л в Америке.'.
СОКРАТОВСКИЙ МЕТОД
Сократ (рабу). Итак, скажи: это у нас квадрат в четыре фута? Ты понимаешь меня?
Раб. Да..
Сократ. Мы можем дополнить его еще одним таким же?
Раб. Да.'
Сократ. Ик ним пристроить точно такой же третий?
Раб. Да.
Сократ. И наконец, заполнить образовавшийся угол таким же четвертым квадратом?
^ Раб. Да, конечно.
I ь Сократ. Значит, теперь у нас четыре одинаковых квадрата?х
• Раб. Да..
Сократ. Во сколько же раз получившийся новый квадрат больше первоначального?
Раб. В четыре раза больше.
Сократ. Но ведь он должен быть только вдвое больше; или ты не помнишь?
Раб. Помню, конечно.
Сократ. А вот такая линия, идущая из одного угла в другой, не делит ли. она каждый из этих квадратов на две равные части?
Сократ (Менону). Как ты думаешь, мой друг Менон, высказал ли он какое-либо мнение, не являющееся его собственным?
Менон. Нет, только свое собственное.
Платон, Менон.
Из трудов Платона нам известен сократовский метод1 — лекция-беседа, в которой учитель заранее продумывает и предлагает слушателям как верные, так и неверные идеи, а ученики принимают или опровергают их, показывая тем самым свое восприятие беседы. Среди методов обучения» вычислениям прошлого века можно найти разработанные по этому образцу лекции-беседы, скажем, о
делении; они исполнены с распределением ролей. Этот вариант сократовского метода должен быть детально продуман, и он применяется с успехом, если только учитель опытен, а ученик нс спит. • *
Может быть, читатель подумает, что я шучу. Отнюдь нет. Сократовский метод и ныне служит фундаментом дидактики или,' скорее, должен служить —многих наших современников следует назвать «досократиками». Если лектор произносит: «Уважаемые слушатели, сегодня я хотел бы вместе с вами поразмышлять о...», то это предвещает сократовскую беседу. Впрочем, возможно, что это лишь уловка, сейчас он вытащит конспект и начнет читать то, о чем размышлял дома, без аудитории. И все же вводная фраза может быть произнесена всерьез, хотя, пожалуй, не на нужном, месте. Когда он там, в своем кабинете, произносил «уважаемые слушатели», он как бы видел этих слушателей перед собой. Он обращался к ним — и они прислушивались; он обращался к одному — и тот отвечал; он призывал на помощь воображение и как бы дискутировал со спрашивавшим, соглашался с ним или опровергал и защищал свою точку зрения. Все это он записывал или запоминал, включая заблуждения, которые своевременно исправлял, вставлял на свои места, даже отмечал места, в которых можно рассказать притчу. В конце концов он выходил на кафедру, и фраза «я хотел бы вместе с вами поразмыслить...» оказывалась лишь недосмотром, как если бы он сказал «ветер свистит в трубе» потому, что во время подготовки к лекции была ненастная погода. И слушатели расходились бы после лекции, думая про себя: «он так душевно говорил сегодня», шли «он опровергнул все мои возражения, словно знал, что я скажу», или «теперь понятно, почему я был другого мнения». '
Я охотно слушаю такие беседы. Человек стоит на кафедре и говорит; тем не менее его изложение как бы перемежается с возражениями оппонентов. Когда он закончит, можно будет самостоятельно решить, где же истина. Лектор —мы должны быть благодарны ему — был словно акушером, который помог нам родить собственные идеи, аше только воспринять его идеи.,
Это и называется сократовским методом или диалектикой, или лучше дидактикой мысленного эксперимента. Это выражение восходит к Маху и означает у него метод теоретической физики — основной метод от Галилея до Эйнштейна (а возможно, и поныне). В ди-
Метод назван по имени одного из величайших древнегреческих философов Сократа (V в. до н. э.), однако усовершенствован был учеником Сократа — Платоном (427 — 347 гг. до на. э., настоящее имя— Ар истокл). С тех пор метод был лишь незначительно модернизирован и поныне служит одним из наиболее активных. Разновидностью его является эвристический метод, требующий еще более активной деятельности учащихся, которым еще меньше сообщают (подсказывают), но задают много вопросов, в процессе ответов на которые ученики как бы заново «перестирывают» .нужные закономерности (прим. ред.). -
дактике я представляю себе мысленный эксперимент, когда учитель или автор учебника как бы видит перед собой школьника (группу школьников-) и преподносит ему идеи, реагируя в то же время на их.реакции. Следовательно, воображаемые школьники активны, и с учетом их активности учитель может вести их дальше. Я хотел бы считать, что в ходе обучения изучаемое как бы создается или открывается заново. Поэтому факты не преподносятся в готовом виде, и школьник прослеживает их возникновение. Если даже активность школьника в сократовском методе в известной мере является фикцией, у школьника появляется чувство, что учебный материал как бы возник, родился в процессе занятий, а учитель лишь способствовал этому рождению. .
Противоположным этому является метод, который французы называют «парашютировать»: идеи падают с ясного неба, как бы спускаясь на парашюте. Именно математики легко соблазняются этим методом. Все в нем прекрасно, логично и взаимосвязано. Из заранее данного определения выводится предложение, которое хотя и не дано заранее, а доказано, но заранее подобраны факты, а именно формулировка теоремы и способ доказательства. Так и идет продвижение в строгой логической последовательности, которую некто придумал и затем расписал по этапам. Преподавателя, привыкшего к этому методу, очень трудно приобщить к другим идеям, потому что он связан с системой, которую с таким трудом усвоил и которая его радует. Придираться к нему нет причин: все, что он делает, безупречно в математическом смысле, логично; а тем, кто не понимает логики, не следует заниматься математикой. Такие учителя едва ли понимают, что могут быть другие точки зрения и другие методы обучения, а не только единая строго логически упорядоченная система.
Физики-теоретики в этом отношении не лучше, чем некоторые математики; когда я изучал электромагнетизм, доцент написал на доске уравнения Максвелла и все дальнейшее вывел из них. Физики называют этот прием аксиоматическим и оправдывают его еще следующим замечанием: это очень скучно выводить самим уравнения Максвелла шаг за шагом, а так дело идет гораздо быстрее. Все верно; было бы плохо, если бы доценту пришлось скучать.
То, что идеи следует преподносить вместе с процессом их возникновения, вовсе не означает, что их необходимо показывать так, как они возникали, даже исключив тупики и сократив обходные пути. ,
Рассматривая открытия и изобретения слепых, зрячие видят сверх того, как можно было это изобрести и открыть, если бы были учителя, которые знали то, что нам известно ныне. Но Клио не
пользовалась сократовским методом, а учителя человечества всегда видели чуть дальше, чем их ученики. Долгое время считалось, что природа зла. Удаленные предметы она показывает преуменьшенными; весло, погруженное в воду,— сломанным. А господь бог, о котором Эйнштейн говорил, что он коварен, но не зол, не усмехнулся ли он в кулак, когда Планк в поте лица высиживал свой квант из статистических формул, хотя Эйнштейн несколько лет спустя вывел его из фотоэффекта одним мановением руки?
«Переоткрытие» в сократовском методе не следует понимать бук; вально: оно не настоящее, а стимулированное. Да и как могло быть иначе? Поскольку софисты подорвали высокий до того авторитет учителя, Сократу пришлось его восстанавливать. Инициатива в сократовском методе принадлежит учителю. Он нс только помогает ученику, он показывает, как происходит «переоткрытие», излагает его ученику. Как это делать, учитель продумывает в своем мысленном эксперименте.
Существует и совершенно иной подход. Он исходит из тоге, что учебный процесс должен быть систематическим, причем система должна быть результатом логического анализа изучаемого материала или лучше инверсии этого результата. Если анализ показывает, что язык состоит из предложений, предложения составлены из слов, слова из слогов, слоги из звуков, то школьника учат чтению на родном или иностранном языке начиная с букв и звуков, которые затем связывают в слоги, затем в слова, в предложения.
Если анализ математики выявляет дедуктивную структуру, то математика должна излагаться в соответствии с этой структурой, и это следует делать по специальной дедуктивной системе, которой доверяет учитель или автор учебника. х •
Это и есть то, что я назвал «антидидактической инверсией». Так мы пишем наши математические труды: мысли, приводящие к результату, мы скрываем; мы никогда не знаем, как излагать их, —• это могло бы показаться публичной стиркой грязного белья. Как раз мы, математики, привыкли к объективизации, что само по, себе является хорошей привычкой. Как мы пришли к некоторой идее, никого не интересует. Это и понятно, мы ведь пишем математическую работу, а не «признание в открытии». Некоторые дидактически одаренные авторы обращают внимание на другое: разъяснить, как еще до проведения исследования ухитриться предугадать -результат. Автор применяет то, что названо мысленным экспериментом: он представляет себе своего хитрого двойника и заставляет свое «второе я» построить материал заново — убедительнее, элегантнее, целесообразнее, чем он сам в действительности. Мы должны идти не по историческим стопам первооткрывателя, а по выровненному пути исправленного варианта истории.
Этот метод непопулярен. Математические работы пишутся для специалистов, знающих все тонкости, привыкших прочитывать в готовых трудах между строк, как они были созданы. Авторы, украшающие таким стилем школьные учебники, забывают, что пишут
не для математиков, что школьники понятия не имеют, как браться за подобный текст. Я уже говорил об однбм математике (см. с. 50), который до самого конца обучения в университете не знал, что математические труды пишутся совсем не так, дак они создаются. Он сумел доучиться в университете до счастливого завершения. Но мне жаль тех, кто терпит при этом фиаско в университете или уже в старших классах школы.
Ныне выходят целые серии учебников, особенно по так называемой современной математике. Среди них есть и плохие, и хорошие. Плохие распознаются по содержащимся в них ошибкам; от таких можно уберечься. А хорошие? Заметно, что автор продумал все детали, а не положился на случай. Но о многом он просто умолчал — не в математическом, а в дидактическом отношении. Он основательно продумал, почему нужно расположить материал так, а не иначе, почему выбрано это определение, а не то, почему теорема излагается после примера, а не наоборот. Он мог провести мысленный эксперимент перед тем, как писать, но все следы этого эксперимента исчезли. Есть лишь слабое утешение, что у автора удастся выманить устное объяснение подоплеки его изложения. Может выясниться, что каждый шаг действительно взвешен заранее. Но чем это может помочь учителю, который вынужден пользоваться учебником, не ознакомившись с соображениями автора?
Так же обстоит дело с многочисленными программами по современной математике, которые составляются и публикуются вот уже 15 лет. Для учителя, знакомого с теорией множеств, современной алгеброй, линейной алгеброй, они не представляют научной ценности; для тех, кто с этими разделами незнаком, они дают слишком мало как в смысле понимания предмета, так и в смысле самого содержания, явно не предназначенного для изложения школьникам. В лучшем случае эти программы могут служить лишь основой для обсуждения, однако и в этом смысле они малопригодны. В каком объеме следует преподавать в школе теорию множеств, современную алгебру, линейную алгебру и т. п., какие разделы и в какой последовательности — эти вопросы можно поставить в повестку дня. Однако решающие аргументы должны быть дидактического плана, а все эти дидактические соображения в программах не изложены, авторы предпочитают сохранять их в тайне.
В программах, которые я имею в виду, отсутствует какая-либо аргументация; все, что может вызвать сомнения, вычеркнуто; стиль этих программ догматический. Но если, автора подвергнуть перекрестному допросу, он покажет, что каждый шаг им продуман и может быть дидактически мотивирован.
Почему так происходит? Потому что систематика области считается полезной. Потому что можно попутно доказать вспомогательную теорему, которая пригодится в дальнейшем. Потому что должен же был школьник когда-нибудь слышать о том-то и том-то. Потому что конгруэнтность следует проходить до подобия Почему пропущено вот это? Потому что это можно рассматривать как част-
ный случай того-то; потому что в таком-то классе этого нельзя изучать со всей строгостью.
Все эти ответы исходят из того, что школьника следует обучать завершенным формам математики, предопределенным зрелым математиком, который знает, как сопоставляются друг с другом отдельные разделы, зачем нужен каждый отдельный раздел этой системы. Однако для школьника все это остается бессмысленным нагромождением отдельных кирпичиков, под которыми погребена наука. В такой системе заключено столько таинственности, что и взрослый математик может потерять желание разбираться. Почему? Да потому, что автор предается эстетическому. наслаждению математикой или его грызет червь математической строгости и систематизации. Строгость —это как раз то, что автору программы однажды показалось , блаженством, а систематизация — то, что обеспечивает автору максимальную прозрачность.
Я далек от мысли, что подобные программы и учебники полностью характеризуют учебный процесс. От математиков—большей частью школьных — я слышал й другие ответы на вопрос: «Почему вы так поступаете?» Если бы это было не так, я бы никогда не написал эту книгу, ибо все, что в ней имеется, я усвоил от педагогов-практиков. Вероятно, они могут дидактически мотивировать то, что они делают. Некоторые из них написали и учебники — хорошие учебники. Но я думаю, что они делают это как канатные плясуны. И все же иногда происходят катастрофы. Классическим примером может служить Принсгейм, блистательный дектор университета и в то же время автор учебника, способного вызвать лишь непрекращающуюся тошноту.
Я описывал ситуацию как преподаватель высшей школы, но с точки зрения' школьного учителя можно еще сгустить краски.
Я определяю некоторое понятие и доказываю теорему. Ага, из теоремы следует, что определение.неудачно. Я заменяю его и формулирую теорему заново. Разве так не делают на лекциях? Но попробуйте писать так книгу! Как сможете вы ее опубликовать? Но ведь студент может понять новое определение, только если он понимает, почему непригодно старое.
Я аксиоматически определяю векторное пространство. Над полем действительных или комплексных чисел, потому что иного я не могу предположить. В дальнейшем, когда слушатель познакомится с.другими полями, я смогу расширить это понятие. А нельзя ли наоборот — разве это не возможное решение? Нет, это дидактическая капитуляция. Если я рассматриваю векторное пространство в качестве методического исходного пункта, то любой другой подход был бы ошибочным, антидидактическим решением. Но как можно на первой странице учебника определять векторное пространство, чтобы на сотой странице сознаться, что это определение слишком узко?
Я излагаю доказательство не полностью, чтобы иметь возможность задать вопрос: «Чего не хватает?» Никто не отваживается так
печатать. Можно даже не найти издателя. Бодрый доцент бойко вычисляет по модулю т, причём делает это так, как если бы числа, отличающиеся на кратное т, были равны, а в следующем семестре выясняется, как это можно сделать четче с помощью классов эквивалентности. В таком же стиле пишется книга — и автора, безусловно, упрекнут, что он писал это в пьяном виде, хотя с^м упрекающий в своих лекциях поступает не иначе. Студенты бросают мне упрек: «Почему вы в первый раз излагали это не так четко?» Я отвечаю: «А почему вы не протестовали сразу же?» — «Да, тогда я еще был глуп и не все понимал». — «Тем более я рад, чтб не рассказал вам тогда же всего сразу. Но будьте спокойны, если вы когда-нибудь и сможете себе сказать «теперь я наконец понял все», то разве что на склоне лет».
Таково проклятие книгопечатания. Наряду со «священным писанием» есть еще «священное книгопечатание». То, что печатается, •должно быть завершенным. Нельзя на с. 112 опровергать то, что высказано на с. 12. Нельзя на с. 12 доказывать нечто, что придется на с. 112 расширить, чтобы применить на с. 114, —сразу на с. 12 необходимо дать и расширение в надежде, что читатель не забудет этого до с. 114. Иначе рецензент отметит: -«Автор не заметил, что теорема на с. 412 является лишь обобщением теоремы на с. 12, и там-то ее и следовало доказать».
Однако ныне проклятие книгопечатания смягчено изобретением менее обязывающих способов размножения. И все же книга — злейший враг сократовского метода, хотя она не должна им быть. Нужно лишь, чтобы кто-нибудь изложил материал в книге так, как он излагает на лекциях. Но кто отважится? На уровне средней школы сделано несколько таких попыток. Их отклоняют, так как они выглядят хаотичными. Да, они хаотичны, однако лишь с точки зрения систематиков, но не диалектиков.
Я верю, что многие учителя ведут преподавание более благоразумными методами, чем это предлагается fe учебниках. Но что делать тем, кто менее самостоятелен и связан учебником? Не обольщайтесь иллюзиями! Они читают учебник своим ученикам вслух. Я тоже так-делал. К счастью, в учебниках есть еще задачи, одну из которых решают в качестве образца, а остальные —потом. На экзаменах же проверяется лишь умение решать задачи.
Чем можно воспользоваться вместо учебника? Как изучать методы, как может один учитель перенять их у другого? Публиковать эксперименты? Да, но только такие, которые имеют место в действительности. До сих пор это имело место крайне редко. Публиковать мысленные эксперименты? Наиболее впечатляющими в этой области являются книги Пойа, в которых зрелый Пойа предоставляет начинающему Пойа создавать математику. Можно возразить, что не каждый начинающий —Пойа. Можно согласиться, что книги Пойа описывают и иллюстрируют методико-дидактические исследования и тем самым далеко превосходят беспринципную методико-дидактическую литературу.
ПЕРЕОТКРЫТИЕ
Лучше всего обучает деятельность, в процессе которой показывают.
Ян Амос Коменский. «Великая дидактика».
Я видел однажды, как Лаплас пытался в течение часа восстановить цепочку рассуждений, скрытую им в его «Небесной механике» с помощью слов «легко видеть, что».
Био. Научная и литературная смесь. Париж, 1858, 3.
Он в веселом настроении выскочил из ванны и голый побежал домой, громко объявляя, что нашел искомое, он бежал и кричал: «Эврика, Эврика!».
Витрувий об Архимеде.
Коменский. Неверно, что от Сократа до Коменского не было педагогов; однако Коменский был первым, кто написал о педагогике больше, чем любой из его предшественников, и продуктивность которого редко кому удавалось превзойти и позднее.
В диалогах Платона оратору нужен некто, к кому он мог бы обращаться и кто отвечал бы. «да» и «нет». Многие из современников Коменского не дошли до этого. Педагог Ратке в своих «Статьях» (1617 г.) пишет:
«Учащимся надлежит слушать и молчать... Ученик не должен разговаривать во время лекции. Иначе он может помешать и учителю и своим соученикам, и лекция может не окончиться вовремя. Если ему необходимо что-то спросить, пусть запишет отдельно, а после окончания лекции будет достаточно времени для вопросов».
Учитель должен контрольными вопросами стимулировать деятельность школьников, чтобы быть уверенным, что те не уснули, сказали бы мы сегодня. Это основной принцип Коменского: школьник учится, воспринимая осмысленную действительность, а не только слова, и для этого Коменский создал свой знаменитый «Мир в образах». Раскрытие смысла означает новую активность школьника — новую в противоположность одному лишь улавливанию слов. Пример, предписание, подражание — вот три этапа обучения по Коменскому. Что же, школьник активен только на третьем этапе?
Нет. Коменский установил, что созерцание, слушание, ощущение, проба на вкус, на запах тоже могут быть активными, если эти действия включаются в учебный процесс осознанно. После примера следует предписание; учитель делает из воспринятого чувствами опыта теоретический вывод, и это нельзя опускать, если мы не хотим поступать как неразумные животные. Теория, выведенная из показаний чувств, предшествует практике. Практика есть подражание примеру с помощью предписания. Задача учителя — продемонстрировать пример и объяснить, рассказать, как подражать ему. Задача школьника — быть внимательным, понимать,
подражать. При обучении письму недостаточно сказать «делай так». Сначала нужно показать образец, и притом так, чтобы школьник мог проследить за каждым движением руки и лишь затем рассказать, как это делается; после этого школьник должен подражать. Нужно не только рассказать ученику, как собирают часы, а сначала показать, перед глазами школьника разобрать, собрать часы и сравнить с другими часами. «Пример» у Коменского не статичен, а сам является процессом. Ученик учится не только созерцать, но и действовать, причем учйтель демонстрирует только правильные (также и в моральном смысле) поступки. Основной принцип дидактики Коменского сформулирован в эпиграфе к этой главе.
Полезно процитировать это предложение и поразмыслить, как следовало бы сказать сегодня. Я думаю, так: '
Лучше всего изучается деятельность, если в процессе изучения ее выполняют. •
Это, пожалуй, не очень сильно отличается от принципа Коменского, но здесь сдвинут акцент с «учить» на «учиться», с действий учителя на действия ученика, с сенсорного на моторное. Как мало достигается теорией при обучении плаванию, езде на велосипеде, вождению автомобиля! Здесь нужно дать ученику возможность выполнять действия, и притом в условиях, гарантирующих успех. Ныне это стало обычным в обучении моторной деятельности. Насколько глубоко проник этот метод в обучение умственной деятельности, пока не установлено.
Между примером и подражанием заключается, по Коменскому, теория; здесь школьник пассивен. Да и как может быть иначе! Учитель — тот знает теорию и сообщает ее школьнику. Что такое теория: названия частей речи, названия падежей и правила склонения, классификация растений и животных, правила сложения и умножения, условие равновесия весов, как вести себя в классе, на улице, среди людей и т. д.
В следующем разделе «Мышление и действие» говорится о развитии теории и изменении ее характера после Коменского. Нынешнему крестьянину теория нужна в большей мере, чем в то время; нынешнему электромонтеру — больше, чем тогдашнему кузнецу; теория нужна не только в аудитории, но также в поле и в цехе. Школьнику предоставляется ныне все больше самостоятельности. Стирается граница между теорией и практикой: мысленное восприятие, еще до его осознания, подвергается воздействию теории; обдумывание является лишь мысленным продолжением действия.
Автор приводит пример искусственности границы между мышлением и действием. В «Началах» Евклида есть два вида математических рассуждений: теоремы и задачи на построение; теоремы доказываются, построения выполняются; доказательства заканчиваются словами «что и требовалось доказать», построения — словами «что и требовалось выполнить». Комментаторы пытаются говорить, что построения — это тоже доказательства, именно до-
казательства существования; тем самым они хотят любой ценой сохранить статичность геометрии. Однако едва ли сомнительно, что евклидовские построения являются стилизованным действием и, следовательно, могут служить одним из прекрасных примеров абстрактного единства мышления и действия.
^Соотношение между мышлением и действием сместилось и в социальном плане. Еще не так давно работой называлось лишь то, что требовало хоть каких-то физических усилий; места работы исследователей природы и техники назывались поэтому лабораториями, что, собственно, и означает их рабочее место, ученых — кабинетами, коммерсантов — конторами. Они идут не на работу, а в институт, в контору. Таким путем было изобретено разграничение работы руками и работы головой. Но где кончается один вид работы и где начинается другой? От рабочего, везущего тачку с цементом, до крановщика, нажимающего на кнопки, чтобы поднять готовую плиту, до инженера, определяющего, куда эту плиту уложить, до архитектора, создающего здание, существует целый ряд промежуточных звеньев. Где же кончается планирование и начинается выполнение? .
Завершенная математика и математика как вид деятельности. Это верно, что такие слова, как математика, язык, искусство, применяются в двояком смысле. Искусство — это понятно; существует завершенное • искусство, которое изучает история искусств, и существует искусство, которое творят художники. Подобно этому, 'Можно говорить о языке, хотя это и не кажется столь очевидным; филологи всякий раз подчеркивают это. То, что наряду с завершенной математикой существует математика как вид деятельности, понимает неосознанно любой математик, но лишь немногие это осознают; а так как это редко подчеркивают, то нема- тематики ничего не знают об этом.
Доныне математику анализируют только как готовый продукт; если за анализом следует формальный синтез, то результат представляют как нечто завершенное. Возьмем, скажем, трехтомные «Принципы математики» Рассела и Уайтхеда (1910^-1913). Единственное, что вспоминается — это математика, как протекающая во времени активность, упорядоченность предложений; что, скажем, для доказательства теоремы 87 может применяться теорема 43, но никак не теорема 141. Насколько мертва эта система, можно судить по тому, что каждое словесное предложение в этой книге представляет собой высказывание — нет ни вопросов, ни формулировок проблем. ' .
Автор пытается показать, как можно преобразовать готовую (завершенную) математику в активную: вместо «существует некоторое 6» говорить «я ищу некоторое 6»; вместо «из р вытекает q» говорить «из р я вывожу q» и т. п. — все это не очень существенно, но показывает, что завершенную математику не следует воспринимать всерьез. Многие способные математики пишут так, словно
делают необходимые открытия и создают доказательства непосредственно перед глазами читателя.. В действительности же в школе рассматривается лишь завершенная математика, которую школьник может лишь воспроизводить; ее дополняют так называемыми приложениями, которые либо являются надуманными и делают всякую «теорию» излишней, .либо представляют собой попросту подстановку параметров в общие теоремы.
* Школьник должен быть занят деятельностью—на это есть не только педагогические, но и организационные причины. Большой организационной проблемой всякого учебного процесса является возможность учителя убедиться в успешном продвижении его учеников. Можно заставить школьника отбарабанить выученное. Это оказывается недостаточным. Материалом для упражнений, для экзаменов и наконец целью обучения являются задачи.
Чем важнее для нас математика, тем заметнее дидактические проблемы. Если математика должна применяться, то применение математики следует преподавать и изучать. Иногда применением называют подстановку числовых значений в общие формулы, но это не применение. Математику применяют, создавая ее заново. Однако этого не происходит, когда изучают математику как нечто завершенное, разучивают алгоритмы, решают задачи, специально созданные для разучивания алгоритмов, рассматривают вещи, которые могут быть случайно применены однократно, при этом выпадает из рассмотрения гибкость математических методов.
Серьезнейшим из всех-пороков школьной математики является ее бесполезность. Противоположностью завершенной математике служит математика в стадии становления. Ее преподавал уже Сократ. Ныне мы требуем, чтобы школьник изучал истинное возникновение математики — создавал ее заново. Однако, рассуждают некоторые математики, что дозволено Юпитеру, не позволено быку. Я, Юпитер, упорядочил мир математики для школьника. Зачем же ему, быку, начинать заново? Ныне немногие стоят на этой точке зрения. Однако предоставить школьнику право переоткрытия теоретически, а на деле не способствовать этому — еще хуже.
В разделе «Анализ деятельности» процесс обучения математике сравнивается с процессом обучения языку. Здесь упоминаются работы Пойа, Эренфест-Афанасьевой и др. и резко критикуются исследования Пиаже.
В заключительных разделах главы автор говорит о ступенях учебного процесса. Он показывает, как можно подвести учащихся к формулировке принципа математической индукции путем решения целесообразно подобранных задач, доведя их.до установления аксиоматики Пеано. Отмечается, что такой путь соответствует историческому пути развития. Указывается, что оперирование с математическими объектами, приводящее к открытию их свойств, должно предшествовать логическому установлению этих свойств (например, сначала путем измерения устанавливают свойства сторон и диагоналей параллелограмма, а потом доказывают их).
Отмечается, что вначале учителю не удается довести учебный материал до сознания школьника; кажется, что учитель и ученики, достигшие более высокой ступени, говорят на языке, которого ученики, стоящие на более низких ступенях, не понимают; эти ученики слушают учи-теля, но не воспринимают предмета; они чувствуют себя беспомощными, имитируют действия до тех пор, пока не достигнут более высокого уровня. После этого учебный процесс идет стабильно, вырабатывается рутинная и алгоритмическая техника как 'условие для перехода к новому, еще более высокому этапу. Автор рекомендует последовательный подъем по ступеням, при котором методы, используемые для решения задач данной ступени, становятся предметом изучения на следующей ступени.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ УПОРЯДОЧЕНИЕ
Высказанные выше дидактические рассуждения носили в основном локальный характер. Структура изучаемой математики в целом не просматривалась; она могла бы просматриваться, если с самого начала шло бы строго дедуктивное построение математики, так сказать, в форме перевернутой пирамиды; однако ясно, что это противоречило бы схеме дидактического переоткрытия.
Далее говорится о возможности структурирования математики в целом; только таким путем может преподаваться математика, тесно связанная q повседневной жизнью; только так можно надеяться, что школьник усвоит изучаемые разделы и их применение. Именно так издавна изучались арифметические действия, и, в самом деле, их может применять большинство изучавших арифметику.
Значение и возможность применения элементарных вычислений оцениваются не слишком низко; к тому же трудности и важность хорошо изученного часто оценивают недостаточно серьезно. За пределами элементарных вычислений не найти ни одной области математики, которую бы изучавшие ее могли бы столь же хорошо применять — вплоть до вузовского курса математики. Все такие разделы изучаются вне связи с повседневной действительностью и потому легко забываются. -
Если в традиционном изучении математики и касаются приложений, то это всегда происходит по образцу антидидактического обращения. Вместо того, чтобы исходить из конкретной постановки задач и исследовать их математическую сущность, начинают с математики, чтобы'заняться «приложением» ее к данной конкретной проблеме. И это еще в лучшем случае. Обычно же приложением называют попросту подстановку конкретных значений в общие формулы. Такая банальность существенно дискредитировала «приложения» математики.
Ныне признано, что школьник должен научиться «математизировать» нематематические (или недостаточно математические) проблемы, т. е. учиться математической постановке проблем. Автор приводит примеры: так упорядочить геометрические теоремы, что-
бы из нескольких основных вывести все остальные, — это и есть математизация (в данном случае также аксиоматизация) геометрии; упорядочить эту систему в смысле языка тоже математизация, иначе говоря, формализация; языковое упорядочение приводит к формализованной системе. Каждый, кто писал математические сочинения, испытал это; если известны результаты и доказательства, нужно еще упорядочить их математически — этим занимаются на пути к оформлению результата.
Нет никаких сомнений, что школьник должен научиться математизированию, разумеется, на низшей ступени, где он применяет и нематематизированный материал, и тем самым гарантируется применимость математики.
После этих разъяснений идет раздел «Поля приложений». Под полями, скажем, б геометрии автор понимает, например, виды четырехугольников (чтобы сформулировать определения), симметрию, паркетирование плоскости конгруэнтными фигурами, алге- браизацию геометрии и т. п. В качестве примеров полей приводятся законы рычага и центр тяжести, закономерные связи между естественными величинами, математизация микроэкономики (особенно интересный раздел, который, пожалуй, не применялся еще в школьной математике), распространение волн и колебаний.
Автор упоминает также о «методе проектов» в обучении, под которым понимается интегрированное обучение многим предметам по отдельной теме, например по темам: «Земля», «Пространство», «Вода», «Питание» и т. п.
Многие разделы математики, считает автор, следует изучать до появления в физике, химии и других предметах потребности в соответствующих результатах. Например, невозможно сформулировать законы преломления света математически, потому что изучение синуса предусмотрено (программами голландской школы) лишь полтора года спустя. Не проще ли начать изучение синуса раньше?
Нельзя, отвечают математики, на тригонометрию требуется столько-то часов, а/Начинать тригонометрию можно только после завершения определенного курса алгебры — вот реакция, характеризующая систематизацию. Синус «должен» изучаться в курсе тригонометрии; сюда же относятся косинус, тангенс, котангенс, формулы сложения и удвоения, теоремы синусов и косинусов и многое другое; если для этого еще не пришло время, нет вам никакого синуса. Или все, или ничего. А ведь синус был бы превосходным примером математической функции, которую можно ввести графически (исходя из движения по окружности); автор считает, что синус может быть одной из первых функций, с которыми следует знакомить школьника.
Слишком поздно—с точки зрения учителя физики — появляется в школе дифференциальное и интегральное исчисление. Автор считает, что и здесь можно было бы на более ранней стадии обучения ввести знакомство с производными и интегралами от простейших функций.
Аналогичные ошибки подмечает автор и в системе изучения физики: многие-важные понятия, такие, как удельный вес, удельная теплоемкость, сопротивление и др., с помощью которых можно иллюстрировать и мотивировать линейную функцию, рассматриваются слишком поздно; законы рычага были бы очень полезны на ранних стадиях изучения алгебры. Автор обосновывает важный вывод: математики и физики должны создать единую систему, в которой оба предмета представляли бы собой единое целое и разбивались бы на разделы по взаимосвязям и по степени трудности. Особенно целесообразным считает это автор для Германии, где учитель математики большей частью одновременно является и учителем физики.
Раздел «Алгоритмы» начинается с истории происхождения термина. Алгоритмы хороши, многократно подчеркивает автор, и рутинные операции неизбежны в математике. Определенные алгоритмы должны быть изучены и навыки в их применении доведены до автоматизма; это приобретается упражнениями, а целесообразные упражнения входят в изучение материала.
Наряду с алгоритмами рассматриваются схемы, тактика и стратегия; вот пример. Схема: при покупке товаров стоимости складываются. Тактика: то, что неизвестно, назвать иксом, чтобы затем применить алгебраические алгоритмы. Стратегия: обобщить задачу, чтобы найти решение. -
В заключение указывается, что многие вопросы, возникающие в курсе математики лишь однажды и почти не связанные ни с предшествующими, ни с последующими разделами, стоит изучать, рассматривая их как образчик известного типа рассуждений. Иначе возможны такие, методические недоразумения, как рассмотрение понятия множества во II классе с последующим возвращением к нему лишь в IX классе или введение рациональных чисел как классов эквивалентности пар целых чисел, остающееся изолированным вопросом курса, или аксиоматическое определение действительных чисел, при котором практически не используется основная аксиома непрерывности.
Другими примерами особых вопросов являются изысканные блюда математической кухни, скажем, удвоение квадрата, или доказательство иррациональности корня из двух, или существование бесконечного множества простых чисел. Рассматривая подобные задачи в их дидактическом воздействии, автор приходит в важному выводу: дидактически полезные проблемы не должны быть слишком простыми, не должны быть слишком специальными, не должны быть слишком вычурно сформулированы.-Даются советы, как дидактически правильно подходить к некоторым из таких задач.
СТРОГОСТЬ
Становясь строгой, математическая наука принимает искусственный характер, -который всех поражает, она забывает свое историческое происхождение: видят, как решаются вопросы, но не то, как и почему они были поставлены. Это показывает, что логика недостаточна, что наука о доказательствах не исчерпывает всей науки и что интуиция сохраняет свою роль как дополнение, 'или, быть может, противовес, или противоядие для логики.
Л. Пуанкаре. Труды И интернационального конгресса математиков. Париж, 1900, 12 3—4.
Ступени строгости. Математика имеет перед всеми другими науками уже то преимущество, что относительно любого высказывания можно установить, истинно оно или ложно. Является ли математическое сочинение-хорошим или плохим, важным или не важным, оригинальным или тривиальным, решить сложнее, но об истинности или ложности спор едва ли возможен. В физике это значительно труднее решить, поскольку физика — эта не только математика. Требуется, чтобы теория подтверждалась практикой; однако если это не так, то теория не обязательно ошибочна; может случиться, что она лишь нецелесообразно применена. Во всех других науках критерий целесообразности часто бывает релевантнее, чем критерий истинности, о котором никогда точно не известно, как им пользоваться. Все это происходит оттого, что ни одну науку нельзя представить в такой строго дедуктивной форме, как математику. В математике мы знаем не только, верен ли результат, но даже — и, собственно, только это — верно ли он обоснован. Это и называется строгостью. Такое требование предъявляется к математике, и если мы преподаем математику, то она должна быть строгой.
Но кто определит, насколько строга преподаваемая математика? Конечно, учитель — и притом красными чернилами. Школьник должен вначале усвоить, что означает строгость. Он усваивает это так, как дрессируется электрическим током мышь: после дрессировки юна по звонку прыгает через барьер. Это сравнение не совсем точно, потому что учитель пользуется красными чернилами не произвольно, а закономерно, по правилам, которые школьнику — ведь он тоже homo sapiens — должны быть известны и действенность которых закрепляется красными чернилами. Когда один из моих учеников давал свой первый урок в школе, дети спросили его, требует ли он менять знак при переносе членов уравнения из левой части в правую так, как это требовал предыдущий учитель. У нового учителя спрашивают о его требованиях. Почему бы не спросить о том же и учителя математики?
Так можно было изучать математическую строгость, оставаясь нц нулевом уровне. Обучающее воспитание не только человеч-
йее, но и действеннее, чем дрессировка; признаком воспитания — в противоположность дрессировке — является свобода. Едва ли можно усомниться, что школьник может изучать математическую строгость не иначе как в процессе изучения математики вообще — путем переоткрытий. Это-то и происходит на различных этапах. Можно прибегать к строгости, не зная, что это такое; можно говорить, что то-то является строгим; можно говорить, что является строгим в математике в целом.
Последнее совсем не просто; много споров о строгости в обучении проистекает именно потому, что некоторые люди не понимают, что это не такой простой вопрос. Различные мнения о понятии строгости колебались в истории; еслй не закрывать глаза, то можно обнаружить это колебание мнений и поныне. Столетие назад с понятиями о бесконечно малых оперировали весьма наглядно, и все; шло прекрасно*именно благодаря наглядности. Потом стали критичнее и думали, что нельзя обойтись без эпсилонтики. Теперь наметились обратные тенденции; через десять или двадцать лет будет сделано «великое открытие»: то, что делалось сто лет назад, вполне строго, если это понимать правильно. Вычисления с дифференциалами снова водили в моду. * - - '
Когда я учился в университете1, строгий курс анализа на первом семестре начинался обоснованием числовых областей: натуральные, целые, рациональные, действительные числа. Ныне, ни-' чтоже сумняшеся, исходят из аксиоматического определения системы действительных чисел как упорядоченного илй топологического поля, обладающего определенными свойствами. Тогда могли спросить: «Откуда ты знаешь, что такие-то числа существуют?» Ныне ответ может гласить: «А если ты исходишь из натуральных чисел или из множеств, откуда ты знаешь, что они существуют?» Конечно, в последующем изучении будет дано «доказательство существования» (разумеется, «существования, если...»), и уже этот способ показывает определенный дидактический подход. Еще более удивительно, что мучительные сомнения в уровне- строгости натолкнули теперь некоторых на мысль проходить в школе то, что из-за чрезмерной сложности некогда изъято из программы первого курса университета, — формальную теорию целых, рациональных, действительных чисел. Если делать это строго, нужно начинать обоснование с натуральных чисел2 или даже с множеств — вот к чему приводит слепая вера в необходимость чрезмерной строгости. Однако тот, кто утверждает, что это и есть верх точности, несовременен. Он явно заблуждается. Ныне скорее можно сказать, что натуральные числа еще проблематичнее действительных, а множества проблематичнее натуральных чисел. К счастью, упомянутые попытки настолько неудачны в математическом и дидактическом смысле, что они убеждают немногих.
То есть в 20-е годы нашего столетия (прим, перев.).
Например, пользуясь аксиоматикой Пеано (прим. ред.).
Некоторые современные ученые считают строгой математикой только то, что можно изложить в аксиоматической форме. Однако можно сделать на этом пути еще один шаг —- потребовать полной формализации, т. е. изложения на языке, не связанном с повседневной действительностью. Это было бы еще более претенциозным, но вместе с требованием аксиоматической формы исключило бы значительную часть математики, которую должен изучать нематематик. Такие ученые знают об этом и согласны, раз уж это необходимо, продолжать обучение «экспериментальной математике», умывая руки в смысле математической строгости. Таким образом, математика разделяется как бы на две^части: одна —для Юпитера, другая — для быка. Экспериментальная математика, т. е. свободный поиск, несравненно важнее, чем предлагаемое учителем или автором учебника нечто, связанное аксиомами; нечего и говорить, что «экспериментальная математика» гораздо менее строга. Существуют ступени строгости и существует материал заданной строгости; школьник должен познакомиться с ним и проработать его. Зрелый математик также оперирует различными мерками строгости, и нужно быть слепым, чтобы верить в существование единого уровня строгости; все, что ниже этого уровня, считать трюкачеством, а все, что выше, — придирками. *
' Когда семилетний ребенок складывает на пальцах или на палочках 8 + 5, то это, конечно, не математика, но на данной ступени это достаточно строго. Позднее следует ради строгости потребовать, чтобы школьник делал разбиение 8 + 2 + 3, так как существует неписаное правило, что таблица сложения вида а + b = с запоминается только для 1 ^ а < 10, 1 + Ь < 10, 2 ^ с + 10. Еще позднее снова никакого разбиения делать не нужно, ибо таблица сложения будет расширена до 1 ^ а^Ю, 1 ^ Ь ^ 10, 2 <+ ^ 20. Учитель с учеником «играют» по неписаным правилам, причем следование этим правилам и есть строгость. Правила никем не вырабатываются, они вытекают из поведения участников; никто, вообще говоря, даже и учитель, не формулирует их четко. Переход от некоторой системы правил к последующей совершается в неопределенные моменты, но вполне естественно: в один прекрасный день школьник отказывается «играть» по старым правилам.
Локальное упорядочение. Если школьник в процессе построений делает открытие, что радиус можно отложить на окружности ровно шесть раз, и если он объясняет это тем, что углы в равностороннем треугольнике содержат по 60°, то это вполне строго. Для благочестивого математика такой аргумент, разумеется, ужасен. Потому что здесь далеко не все сказано. Сколько еще понадобится аксиом, чтобы строго прийти к этому результату, будь то по Евклиду, по Гильберту или исходя из линейной алгебры! Совершенно верно, но ведь все это школьник должен выучить, а он не учит, когда ему преподносят систему аксиом. Дидактически это не строгий метод. Строгость позволяет, убедить, а завершенная математика
не убеждает. Чтобы проникнуться строгостью, нужно в той строгости, которая рассматривается в данный момент, усомниться. Без такого сомнения нет смысла применять высший масштаб строгости.
Разумеется, решая задачу, вроде вышеприведенной о правильном шестиугольнике, школьник должен задать себе вопрос:«Что же, -собственно, дано в условии?» Мы-то знаем, что если школьник пойдет в подобных рассуждениях дальше, то он придет к совершенно непостижимому или к порочному кругу. Мы это знаем. Но ведь школьник этого не знает. Он должен пережить, прочувствовать это. Без таких переживаний школьник во всяком случае не постигнет смысла аксиоматики.
А пока что школьник пользуется тем, что можно назвать локальной систематизацией пространства применимости — понятием, которое оказывается важным для дидактического осмысления, особенно в процессе обучения геометрии. Анализируют геометрические понятия и взаимосвязи вплоть др достаточно произвольной границы, скажем, до того момента, пока понятия еще можно видеть невооруженным глазом, а в истинности теорем убеждаться на основе непосредственной проверки. Так рассуждают всегда при решении вопросов практической геометрии: не с помощью весьма далеких от повседневности аксиом, а с помощью весьма расплывчатых и изменчивых утверждений, воспринимаемых как истинные. При этом область изучения распадается на большие или меньшие куски, но не упорядочивается как единое целое. Так поступают везде: так же в физике и в других науках, где применяется математика.
Логическая строгость. Чем отличается данная теорема от обратной, необходимое условие от достаточного, квантор существования от квантора общности, что такое порочный круг — все это при локальной систематизации так же ясно, как и при глобальной. Я бы сказал, что некоторые аспекты строгости яснее выражаются в применяемой математике, чем в завершенной. Прежде всего здесь намного яснее, что является обоснованным и что необоснованным. В завершенной математике возможно такое высказывание, как «треугольник с четырьмя вершинами равносторонний», которое в применяемой математике является абсурдом; в завершенной математике на вопрос, почему истинно высказывание (а + Ь)(а— 6)= = ц2 — Ь\ можно даже ответить: «потому что Земля круглая», ибо р -^ q истинно всегда, когда истинно q. В применяемой математике есть и другое понятие строгости: ответ на вопрос, «почему?» делает математику строгой, если этот ответ обоснован. Правила формальной логики никогда не достаточны в качестве признака строгости. Проверочные вопросы, вроде «Почему вы то-то определили так- то?», «Можно ли это доказать, не пользуясь тем-то?», «Где этот метод применялся раньше?», никогда нельзя ставить в рамках формальной логики, однако следует подчеркнуть, что эти вопросы так же относятся к математике, как вычисление интеграла или вывод формулы, хотя в завершенной математике мы это сразу же охотно за*
бываем. Ответ на такие вопросы требует строгости своеобразного рода. Что именно служит здесь строгостью, пока еще никто не- пы-' тался сформулировать. В логике прикладной науки все мы пока еще на нулевой ступени строгости. Это совсем неплохо. Наоборот. Тем меньше опасность, что мы будем преподносить логику прикладной математики как логику математики завершенной. Но иногда нужно уяснить себе, что это тоже математика.
Отделение математики от действительности. В одной дискуссии мне возразили: «Но однажды школьник должен ясно увидеть различие между математической теорией и реальной действительностью». Я ответил: совершенно верно и в то же время совершенно неверно. Я полагаю совершенно верным, если на занятиях стремятся к математической строгости, и совершенно неверным, если тем самым отстаивают ни с чем не связанную математику. Совершенно верно, если делают акцент на «изучать», и совершенно неверно, если тем самым отстаивают изучение завершенной аксиоматики.
Отделение математики от действительности проявляется уже тогда, когда школьник учится вычислять, — я имею в виду абстрактные арифметические действия. Да, конечно, в действиях тоже нужно упражняться. Техника вычислений требует, чтобы школьник мог забыть, что число 7 может представлять собой 7 реальных единиц. Школьник учится как бы выделять чисто математические области, чтобы лучше выполнять действия с числами, независимо от их конкретного содержания. Вообще говоря, важно осознать, что существуют высказывания, истинность которых не зависит ни от погоды, ни от наших симпатий. Но, к счастью,-школьник знакомится и с освобождением от этих границ, когда выполняет арифметические вычисления с конкретными величинами из. повседневной жизни или хочет понять действие вычислительной машины.
Конечно, школьник должен научиться выделять математику из повседневной жизни — это и есть суть строгости, но он должен также понимать, что вера в непроницаемую перегородку между математикой и жизнью — лишь иллюзия. Потому что если он не приучится сомневаться в непроницаемости этой перегородки, то не научится и определять ее место. Но никто не захочет привносить в школу полностью формализованную математику. Отсюда вытекает: применяемая математика не обособлена и не может быть обособлена, й если захотеть начать что-либо с помощью обособленной математики, то грани сами собой отпадут — и этому тоже нужно учиться* *
Наши школьники любят это, возражают мне, они понаторели в аксиоматической системе и не признают иного"; они отклоняют полустрогость и хотят оставаться в системе, где да есть да, нет есть нет, а что сверх то’го, то от лукавого. Это еще хуже, сказал бы я. Подумайте, что же вы делаете? Один из сотни ваших учеников ста»
нет, может быть, математиком, а девяносто девять должны будут применять математику в жизни, в которой существуют сомнения, в которой не существует «да» и «нет» в чистом виде. Вы обманываете своих учеников, вводите их в заблуждение. Что? Ученикам это нравится? Но им нравится и деление без остатка, и отвратительные дроби, и дифференцирование, если их только к этому приучили, если им привили вкус ко всему этому. Однако воспитанием называется именно привитие правильных вкусов.
Задачас Когда я пишу это, раздается телефонный звонок. Вчера вечером в одной веселой компании я предложил задачу:
«Дан конечный направленный граф («решетка») с одним наивысшим и одним наинизшим узлами (не совпадающими между собой)" Играют двое; они поочередно, ставят на узлы фишки; если некоторый узел уже занят, ставить на все низшие запрещено. Тот, кто вынужден поставить на наивысший узел, проигрывает. Доказать, что начинающий обладает выигрывающей стратегией».
И вот один из вчерашних гостей сообщает, что он решил задачу.
Когда я вчера сформулировал задачу, кто-то для большей уверенности спросил, что такое «направленный» граф, что означает «запрещено». Никто не спросил, что означает «наивысший» и «наи- низший», что понимается под «игрой», что означает «начинать», «ставить», «выиграть» и «проиграть», что я называю выигрывающей стратегией. Задача не обособлена (от обиходного языка). Но ведь на каждом конкретном графе можно играть в эту игру. И мы играем, если хотим решить задачу, мы входим в ситуацию. Никакая аксиоматика не поможет нам решить эту задачу, никакие обособления; напротив, мы можем понимать задачу только в реальной действительности. Ее можно решить строго — настолько строго, что это прекрасно демонстрирует, что такое сама строгость.
Я бы охотно встретился с педагогом, который сообщит, что его ученики любят такие задачи.
ПРОЦЕСС ОБУЧЕНИЯ
Если все спят, а один говорит — это и называется обучением.
Вильгельм Буш,.
Авторитет теоретиков. Педагоги издавна формулируют свою философию в виде требований. Они рассказывают другим, как те должны вести обучение. Некоторые из них не только рассказывают, но и показывают.
Автор далее рассуждает о праве поучать других, о том, как следует вести обучение.
Я возражаю против ориентации обучения математике исключи-
тельно на содержание этого обучения и догматическую трактовку, пренебрегающую всеми психолргическими предпосылками и социальными аспектами преподавания математики. Эти устремления идут как со стороны академических кругов, рассматривающих школьную математику лишь как систему, так и от некоторых работников школы.
Преподаватели высшей школы уверяют, что они ограничиваются отбором подлежащего преподаванию материала и не вникают в вопросы дидактики. На самом деле отбор материала зачастую предопределяет дидактические решения, приводя к предпочтению готовой, не имеющей связей математики перед приложимой математикой. Это находит отражение и в учебниках.
Далее следует описание неудачной реформы преподавания математики в голландской школе (1937), провалившейся из-за ее нере- алистичности и фантастичности, а также пренебрежения психологическими и социальными аспектами. Указывается на аналогию этой истории с другими реформами математического образования.
Практика обучения. Имеющийся в распоряжении автора материал охватывает:
Учебные планы и программы. '
Учебники и другие пособия.
Экзаменационные задания.
Теоретике- и экспериментально-дидактические исследования.
Учебные планы большей частью являются неопределенными. Их можно интерпретировать по-разному. Программы более подробны. Однако главная проблема — указать цели, глубину и масштабы изучения материала. Достигнуты ли цели, правильно ли определены глубина изучения и масштабы требований, в них не указано.
Автор задается вопросом, можно ли судить об учебном процессе по учебникам. Но всегда существуют хорошие учебники и плохие учебники. Так по каким же следует равняться? Хорошие учебники используются обычно в небольшом проценте классов, но и этот отрицательный симптом ничего не доказывает.
Экзаменационные задания являются достоверным источником информации лишь для тех, кто знает, какая тренировка предшествует экзаменам и как оценивается выполнение этих работ. Автор рассказывает, что стереометрические задачи экзамена за 1960 год в Голландии позволили бы стороннему наблюдателю предположить исключительно высокий уровень изучения стереометрии в голландских школах, если бы он не заметил, что этим экзаменам предшествует длительное натаскивание в решении подобных задач.
Личные впечатления автора при посещении школ позволили увидеть две крайности: с одной стороны, обучение, в котором широко использовался метод «переоткрытий», с другой стороны,
авторитарное обучение пассивных учеников. При этом автор наблюдал высокую .степень* корреляции между «современной» математикой и архаичной педагогикой. Однако автор считает, что между этими крайностями лежит немало средних форм^обучения и что обучение в целом поставлено, по-видимому, лучше, чем создание учебников.
В заключение главы говорится об организации обучения. В европейских странах в сфере образования занято около одного процента населения. Потребность же в обучении в ближайшие десятилетия должна удвоиться, а то и утроиться главным образом в тех секторах, где на каждого преподавателя приходится сравнительно мало учеников. Все это говорит о том, что, по мнению, автора, потребуется в 5—10 раз больше учителей, а значит, нынешние методы обучения станут непригодными; личное обучение должно стать для старших возрастов редкостью, вроде рукописных книг. Поэтому автор приходит к г-ыводу о необходимости подготовки к введению программированного обучения.
УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ
Требуется учитель плавания, умеющий плавать.
Объявление во французской провинциальной газете. '
Они хотят сегодня учить тому, чему выучились лишь вчера. Ах, какой короткий кишечник у,этих господ.
Шиллер.
Тот, кто давал объявление, считал само собой разумеющимся, что учитель плавания может учить плавать. По непонятным причинам он требовал сверх того, чтобы возможный претендент и сам умел делать то, чему собирался учить других. Наниматель мог бы, например, потребовать, чтобы будущий учитель владел техникой водоспасания, умел делать искусственное дыхание, знал кое-что об анатомии и физиологии мускулов рук и ног, о дыхании, о том, как плавали древние германцы, и бог* знает чего еще можно потребовать от учителя плавания.
Из воспоминаний юности одного преуспевшего позднее американца — не знаю уж, стал он профессором или миллионером или и тем и другим, — я запомнил один курьезный случай. Когда в юности ему было туго, он позвонил по объявлению, где требовался учитель чешского языка. Правда, он не знал ни слова по-чешски, но это его не смущало. Он сам стал брать уроки за половинную
плату и стремился лишь идти в качестве ученика на один урок впереди себя самого в качестве учителя. Очевидно, полезно, чтобы учитель знал на один урок дальше, чем то, что должен сегодня преподавать, — по цитате видно, ^то об этом знал еще Шиллер.
Да, с этим согласны все. Преподаватель должен знать больше того, чему он учит, и не только в'тот момент, когда учит, но еще раньше. Но как измерить эти «больше» и «раньше»? Об этом спорят специалисты и профаны.
В обучении — и не только в подготовке учителей, нои везде — возникают подобные проблемы. Папуасский ребенок учится у своих родителей именно тому, что ему понадобится в жизни — в его жизни, которая не отличается от жизни его родителей. В этом огромная разница между развитыми и развивающимися странами; у нас молодое поколение должно изучать гораздо больше, чем ему, строго говоря, требуется. Все «лишнее» как-то оправдывается образовательной ценностью изучаемого, например «упражнением ума» в математике, — не стоит здесь возвращаться к этому вновь.
Что же должен знать о своем предмете учитель? Во всяком случае, то, чему он должен учить, — в качестве самого необходимого минимума. Если придется, то окончив гимназию с единицей или двойкой с плюсом1 по французскому языку или по математике, выпускник может сразу же начать преподавать — излагать свои знания французского или математики — точно так, как те «господа с коротким кишечником». Правда, он должен бы еще знать, как учить, но об этом и в университетах рассказывают не так уж много.
То, что подобное обучение путем одного лишь изложения сведений недостаточно, обнаружится во французском быстрее, чем в математике.
Школьник, получивший даже единицу в аттестате по французскому, имеет слишком скромный запас слов, чтобы перевести без словаря первый же серьезный текст из учебника. А с единицей по математике и достаточно здравым смыслом он может, пожалуй, сказать, верно или неверно сформулировано любое предложение из школьного курса математики, может провести контрольную работу и проверить ее. Тем не менее кандидаты на звание учителя издавна должны сдавать экзамены^ более высокими требованиями по математике, чем им понадобится для работы в школе. «Более высокие» имеется в виду не в смысле более широкого объема знаний, а в смысле качественного различия между школьной и вузовской .математикой. Феликс Клейн говорил о двойном забывании: сначала о забывании школьной математики во время пребывания в университете, а затем о забывании университетской математики при возвращении, в школу в качестве учителя. Со времен Клейна разрыв между школьной и университетской математикой стал еще резче, ибо школьная математика едва ли существенно изменилась,
В школах Запада и некоторых социалистических стран (например, ГДР) высшим баллом является единица — «очень хорошо», низшим — пятерка — «недостаточно», в ФРГ даже шестерка — «совершенно недостаточно» (прим, перев.)»
тогда как тщеславие вузовских преподавателей стремится привести своих воспитанников, большинство из которых вернется в школу, в лоно математических исследований.
Существуют веские причины, по которым высшие ступени обучения нельзя доверить «господам с коротким кишечником». Мы хотим, и притом вполне обоснованно, чтобы прошел определённый промежуток времени между моментом, когда некто сидел за партой, и моментом, когда он займет место учителя; если он собирается преподавать математику, то многое говорит за то, что этот промежуток необходимо использовать для серьезного изучения математики в вузе. Насколько длинным должен быть «кишечник», 4 или 8 лет, нельзя вывести из этого требования.
В сказанном и написанном самое важное часто то, что стоит в скобках. В данном случае это университетский период в жизни учителя. Его влияние распространяется далеко за пределы временных скобок. Итак, неужели безразлично, что изучает будущий учитель в университете? Разумеется, нет. Так что же там, в этих скобках? Или, может быть, скобки можно раскрыть?
В последние годы стараются смягчить травму первого забывания. Школьная математика должна семимильными шагами ликвидировать отставание на целое столетие или даже больше. Если это удастся, то в математике и ее приложениях шаг от аттестата зрелости до первой университетской лекции едва ли будет большим, чем от свидетельства об окончании одного класса до первого урока в следующем классе. Само собой это не достигается; как этому способствовать, нужно еще обсудить.
Примечательно, что эта травма демонстрирует важный критерий, которому должна удовлетворять научная подготовка учителя: учитель должен быть в состоянии вести обучение по программе, кардинально отличной от той, по которой учили его самого.
Опыт, который мы провели в Голландии на курсах усовершенствования учителей, показал, что прежняя научная подготовка учителей гимназии примерно соответствовала этому критерию. О подготовке учителей реальных школ это едва ли можно сказать; еще хуже обстоит дело у учителей основной школы. Требование, чтобы образование содержало и зародыш перестройки, относится в нашем быстро изменяющемся обществе не только к образованию математиков. Недавно я читал, что, по американским расчетам, нынешний выпускник университета сменит в своей жизни в среднем пять профессий, три из которых в момент получения диплома еще не существуют (не уверен, что это так и есть и что я привел по памяти точные цифры).
Почему же понадобилось так много времени, чтобы восполнить пробел между школьной и вузовской математикой? Почему лишь сейчас пытаются сделать то, что уже полвека считается желательным? Вместе с ростом значения математики для общества
возросла и потребность в ликвидации этого пробела. Однако выросли не только потребности, но и самд математика. Рост математики — как школьной, так и вузовской — постепенно заполняет этот пробел. Что изменилось со времени безуспешных попыток Ф. Клейна восполнить этот пробел, станет ясным, если проанализировать его работу «Элементарная математика с точки зрения высшей». Существует много явлений элементарной математики, которые начинают хорошо понимать лишь тогда, когда рассматривают их в глубокой взаимосвязи с теорией, и которые оказываются не столь уж элементарными. Клейн хотел дать научное обоснование тому, чем учитель ежедневно занимается со школьниками, — и для некоторых тем самым смягчалась острота пробела. Однако обоснование — это скорее лишь воскресный ландшафт, по которому учитель может прогуляться, а не декорация, которую можно захватить с собой в класс. Поэтому научные обоснования не оказали достаточного влияния на школьную математику. 'Например, Клейн рассматривал .теорию Галуа в качестве научного обоснования для решения в школе уравнений второй и третьей степени; однако теория Галуа чересчур высокая материя для уровня средней школы. Эрлангенская программа могла бы дидактически выправить многое, если бы еще тогда была совершенно изменена тенденция развития школьной математики; но в то время никто об этом не думал.
Тот, кто ныне повторил бы подход Клейна к элементарной математике с точки зрения высшей, сделал бы это на гораздо более низком уровне, ближе к школьной математике. Благодаря развитию абстрактной алгебры сухие понятия группы и поля претерпели такой научный расцвет, что могли бы оплодотворить школьную математику, и оказались настолько близки к ней, что учитель может даже увязать с ними свое преподавание; примеры, с помощью которых можно ввести и проиллюстрировать эти понятия, стали настолько проще, что для их научного обоснования вовсе не требуется проникновение в дебри теории Галуа. Весьма характерно, что об идеях аксиоматики, о таких областях, как теория множеств, в оригинальном изложении Клейна не было и речи.
Чтобы созрело понимание того, что самое фундаментальное в науке соседствует с самым элементарным, потребовалось полвека. Если наше понимание структуры математики за прошедшие полвека настолько углубилось, что может даже оказать влияние на школьное обучение, то к другому вопросу, как применяется математика, мы можем подойти лишь чисто эмпирически. Ответа на этот вопрос мы не знаем; никто еще его серьезно не продумал. Поэтому крайне неотложный вопрос, как преподавать математику, чтобы она была применимой, можно обсуждать лишь с множеством оговорок. Исходя из всех этих соображений, я сформулировал минимальные требования, которые я предъявил бы к математической подготовке учителей математики:
Чтобы обучение дало возможность самостоятельно пользоваться фундаментальными методами современной математики.
Чтобы оно обеспечивало фундаментальные знания; необходимые для понимания структуры современной математики.
Чтобы оно обеспечивало определенное понимание того, как применяется математика.
Чтобы оно давало представление о математических исследованиях. ч'
Я считаю это минимальной программой по математике для учи- * телей математики на уровне гимназий и реальных школ. Однако к учителям двух старших классов гимназии необходимо предъявить более высокие требования.*
. В конце главы автор приводит аргументацию в пользу сформулированных выше требований и говорит о возможности сокращения длительности (в Голландии — четырехлетней) подготовки будущих учителей в университете; однако автор считает необходимым периодическое повторение и обновление знаний в дальнейшем на курсах. Излагаются также соображения о дидактической и методической подготовке будущего учителя в университете и (мелким шрифтом) о характере курсов усовершенствования в Голландии.
ПОНЯТИЕ ЧИСЛА - ОБЪЕКТИВНЫЙ ПОДХОД
Он заимствовал свою математику у Пиаже, а свою возрастную психологию у Бурбаки. Он не любил полную индукцию; он предпочитал ей полное запугивание.
Из биографии одного дидакта.
Единственное число «понятие числа» — заблуждение. Существуют различные понятия числа: содержательное, формальное, методологическое, генетическое, дидактическое — в этих аспектах.
Содержательное. Существуют натуральные, целые; рациональные, действительные, комплексные числа; я еще пропустил алгебраические и трансцендентные, да и элементы определенных полей (например, конечных или простых неархимедовых полей) можно было бы рассматривать как числа. Упомянутые множества чисел связаны друг с другом отношением включения. Можно также рассматривать высшие понятия — расширения и низшие — подсистемы.
• О содержании будет еще речь дальше; формальное понятие появится при этом вполне естественно. Рассмотрим здесь понятие числа методологически, поставим вопрос об этом подходе. Как приходят к числу, как его расширяют и систематизируют? Генетический аспект также входит сюда. Однако мы хотим раскрыть индивидуальное развитие понятия числа, в каком бы аспекте оно ни рассматривалось, чтобы в следующей главе вернуться к его дидактической причастности.
В качестве объективного подхода к понятию числа я хотел бы прубо различать: порядковое число, количественное число, числовая мера, компонент вычисления. Разъясню вкратце, что я под этим понимаю. " .
Порядковые числа. Это прежде всего последовательность натуральных чисел, первые члены которой с трудом постигает ребенок так же, как буквы, как названия пальцев, красок, букв, чтобы затем однажды овладеть всей их неограниченной последовательностью, т. е. тем, чему нет аналогов в пальцах, красках или буквах. Порядковые числа становятся незаменимым объектом вычислительной деятельности. При этом как бы сама собой возникает потребность считать и в обратйом направлении, потребность в отрицательных числах. Порядковое число обретает математическую формализацию в математической-индукции, затем в системе аксиом Пеано и, наконец, достигает своего рода апофеоза в трансфинитных числах. .
Количественное число. Количественное число генетически, пожалуй, появилось раньше, чем порядковое. Животные распознают небольшие числа, хотя, конечно, не умеют считать. Ребенок, наоборот, столь рано учится считать, что вначале не замечает, что счет служит для определения количества. Однако, как легко убедиться, ребенок распознает небольшие числа независимо от счета, особенно когда они соответствуют конкретным примерам. Количественное число обретает свою формализацию в мощности множеств (кардинальное число), достигает своего апофеоза в бесконечных мощностях. .
Числовая мерси Некоторую величину измеряют, исчерпывая ее или пытаясь исчерпать копиями единиц; можно, скажем, представить себе исчерпывание сосуда литровой меркой. При этом могут использоваться, как, например, во взвешивании или денежном обращении, и кратные меры. Копии единиц могут быть обозначены подряд, как на мерной линейке, однако линейное упорядочение мер не является существенным; данную поверхность можно исчерпать единицами площади в любой последовательности.
Невозможность исчерпывания без остатка ведет, с одной стороны, к делению с остатком, с другой стороны, если раздробляют единицу измерения, к дробям. Вычисления с дробями обретают формализацию в поле рациональных чисел, от которого с помощью инфинитезимальных процессов переходят к полю действительных чисел. Несоизмеримые друг с другом величины встречаются в неархимедовских полях.
Компонент вычисления. Это алгоритмическое понятие числа. Число следует понимать в оперативном смысле в соответствии с правилами, по которым с ним обращаются. Оно обретает свою формализацию в аксиоматическом построении. Числа появляются в качестве элементов полей и колец, определенных аксиомами.
Порядковое число. Ряд натуральных чисел является основой
математики —- исторически, генетически, систематически. Без натурального ряда чисел нет и математики; если в некоторых современных математических книгах это представляется не так, то потому, что их авторы не знают, что такое математика. Ребенок знает это лучше. Счет быстро становится для него теоретической потребностью; он быстро начинает считать дальше, чем это вызывается его практическими потребностями. Иногда не хватает слов для выражения чисел, но не знаков и символов. Названия чисел до десяти, образование числительных для десятков и наименование сотни являются общими для обширных семейств языков; для тысячи они разветвляются. Не могли ли создатели этих языковых семейств считать дальше? Хитрецы придумывали, вероятно, новые названия чисел, но хранили их в тайне. Но действительно ли нужны новые, особые обозначения для каждой новой степени десяти. Да, возможно, чтобы записывать эти числа словами. И конечно, нет, если числа есть нечто, с чем выполняют вычисления на абаке. Можно лишь по мере возрастания чисел дополнять абак новым столбцом, даже никак не называя его. Запись в десятичной позиционной системе была еще яснее. Названия числительных до двадцати в большинстве языков строятся с нарушением закономерностей: в некдторых языках нарушение закономерностей простирается до сотни. Именно начало натурального ряда чисел без всякой необходимости затруднено для учащихся. На абаке или в цифровой записи все это гораздо’ закономернее. Позиционная система представляет собой простой принцип: если к девятке добавляется единица^ появляется нуль и единица переносится в следующий разряд. Издавна сложилось, что в I классе изучаются числительные до 20, во II —до 100, в III неограниченно или подобно этому. Но ребенок усваивает неограниченность числового ряда уже в I классе, и это очень большое событие.
Это произошло в школе Монтессори, в детском саду. На определенной стадии обучения детям предложили писать числа натурального ряда одно под другим последовательно на длинной полоске бумаги. После 19 учительнице иногда приходилось помогать, также и после 29; после 39 обычно дети справлялись сами, после 99 опять требовалась помощь. Девочка, которую я имею в виду, увлеклась этим; ей приходилось подклеивать все новые и новые листочки. На третий день она перешагнула за 1000. На числе 1024 она остановилась. «Так можно продолжать неограниченно», — заявила она. Игра кончилась. Я имею в виду" эту игру. В прежней школе учительница могла бы сказать «считай дальше до 2000». К счастью, учительница знала и другую игру — не знаю уж, какую именно. Может быть, прибавлять не по одной, а по две едини-
цы. Или по три. Или игру с треугольными числами. Или с квадратами. Или не знаю, какую еще. Можно продолжать дальше. Вплоть до степенных рядов, до рекурсивных функций.
Числовые последовательности относятся к математике; поэтому существуют люди, называющие математикой то, что делала эта девочка, — написание числовых последовательностей. Я уже объяснял однажды, почему лучше не называть это математикой. Восклицание «и так далее неограниченно» — это, пожалуй, математика, первая математика, которую выработало человечество, и первая, которую вырабатывает в своем развитии индивидуум. Это величайшая и важнейшая математика, первая и последняя, высшая и глубочайшая. Может быть, смешно, что я это подчеркиваю; однако я должен это сделать, потому что есть люди, которые этого не знают.
Девочка была, пожалуй, удивлена, когда заметила, что «так всегда продолжается дальше». Наблюдатель был, пожалуй, в большом восторге от открытия ребенка. Ему бы следовало спросить, что, собственно, «продолжается дальше».
«Продолжается дальше» не просто натуральный ряд чисел, часть которого записана на полоске бумаги, хотя так и может казаться: «продолжается» форма записи. Мы знаем принципы, пользуясь которыми можно записать любые числа: за нулем следует единица, за единицей — двойка и т. д. и, наконец, переход через девятку. Это настолько просто, что можно разъяснить не только ребенку, но и машине. Позиционная система служит простой моделью абстрактного механизма натурального ряда чисел.
Могла бы девочка сформулировать эти принципы? Я думаю, едва ли; в этом отношении она еще не созрела для математики. Но применять эти принципы, постичь их неограниченную применимость — это достижение. Ребенок открыл для себя бесконечность, а это и есть альфа и омега математики.
К счету непосредственно примыкают простейшие арифметические действия. Сложение есть счет вперед, вычитание — счет назад. Это основной принцип прежней дидактики. Это здоровый принцип, вытекающий из понятия порядкового числа, хотя дидак- ты и пренебрегают «новой» математикой. Разумеется, ребенок не должен просто «считать». Если ребенок на вычислительном при1 боре прибавляет три к шести, то учитель прежней школы следил, чтобы это было сделано в три этапа, «считая» дальше: и один—будет 7, и один — будет 8, и один — будет 9. «Счет» вперед и назад и другие виды систематического «счета» по 2, по 3 единицы и'т. п., дополнение до десятков и т. п. интенсивно прорабатывались в прежней дидактике; такие действия можно прочно увязать с числовой прямой; об этом мы еще будем говорить. Эти действия подготавливают устные вычисления; подготавливают также путь к алГорит*- мизаЦии вычислений и к письменным вычислениям.
Кроме того, чистый «счет» служит полезной деятельностью не только при подсчете камешков, лет, фонарей, вагонов, денег, где порядковое число ведет к количественному; счет используется как ритмичная деятельность во времени; я имею в виду считалки, чтобы определить, кто будет салкой, или счет для определения 'Времени до начала поиска при игре в прятки. Сидячие места, дома, телефоны пронумерованы по порядку; чтобы в них разобраться, нужно знать принцип нумерации. Сознание, что счет всегда можно продолжить, играет роль во всем процессе обучения вычислениям, во всех действиях, которые изучают, и в десятичных периодических дробях. Идет ли речь о бесконечности времени или пространства — это усваивается по образцу «и так далее неограниченно», как в ряду натуральных чисел. Вычисляют ]/2 до определенного знака после запятой и ставят затем три точки — знак возможности неограниченного продолжения. Записывают бесконечные ряды и знак предела, вписывают в круг многоугольники с неограниченно возрастающим числом сторон, при этом бесконечные процессы, от построения числовых рядов до сходимости последовательностей функций, представляют себе протекающими во времени (точно так . же обстоит дело с непрерывными изменениями — к этому мы еще вернемся).‘
Так же строят и треугольник Паскаля по правилу, согласно которому слева и справа всегда должны стоять единицы, а на всех остальных местах — суммы стоящих справа и слева над этим местом чисел:
1
1 1
1 2 1
13 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Точки в последней строке поставлены взамен понятного каждому «и т. д.» — «и так далее неограниченно». Можно и в завершенной форме указать, что должно стоять на fe-м месте /?-й строки (считая сверху, начиная с нуля): это биномиальный коэффициент (”). Можно показать, что
п\ с п* .
к\ ^п — ку.
и что это и есть завершенная форма.
Но что означают факториалы и! и й!? Вот что:
n! = 1 • 2 • . . . • п
и аналогично k\. Однако здесь снова стоят точки, которые благосклонный читатель поймет в смысле «ит. д.». Это вовсе не завершенная форма, это опять течение образующегося произведения во времени. Теперь делается попытка исключения этого протекающего во времени процесса:
Определение*. О! = 1 и всегда, если п\ уже определено, то (п+. 1)! = (n + 1) • ^!. Таким образом цель достигнута? Нет, несмотря на безобразное «определено» внутри самого определения; с помощью «всегда, если» опять-таки вызывается временной процесс. Можно сказать нейтрально:
Определение*. О! = 1 Л V^ (п + 1)! = (п + 1) • п\.
Этого достаточно. «Л» является нейтральным логическим «для всех». Теперь п\ действительно определено сразу — я имею в виду «сразу» логически, но не для вычислителя, который, если хочет вычислить 1000!, должен все же в течение какого-то времени выполнить серию умножений.
Перед нами — рекурсия, или принцип математической индукции; это как коробка с какао, на которой изображена девочка с такой же коробкой какао в руках. Это овладение бесконечностью с помощью индукции, как формулирует Зенон в конце одного из своих парадоксов бесконечности: «Это одно и то же, говорят ли один раз или все снова и снова».
Мы естественным путем пришли к определению с помощью математической индукции. Это уже встречалось, когда мы ставили вопрос о значении п\. Но, разумеется, уже сам треугольник Паскаля определен с помощью математической индукции, а именно:
(п\__ л. (п -\- \\ _ !п\ \ ( п Л /* *\
W ч^+и w
Чтобы теперь это определение (£) связать с формулой (*), т. е. чтобы доказать (*), нужно применить математическую индукцию.
Собственно говоря, математическая индукция появляется гораздо раньше; если хотят сказать о натуральных числах нечто, что*должно быть верным для всех натуральных чисел, требуется математическая индукция. Скажем, для того чтобы определить сложение и умножение. Вначале разъясняется прибавление единицы: для каждого п £ N под п + 1 понимается следующее за п число натурального ряда; затем определяют
а + 0 = а Г\^ п а + (п + 1) = (^ п^ + 1;
а • 0 = 0 Л М п (п + 1) а = па + а,
чем и определяют сложение и умножение вообще. А потом можно опять-таки с помощью математической индукции доказать такие законы, как ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность операций и т. п.
Если вышенаписанное прочитать во временной интерпретации
кванторов общности, то получим: а + 0 = а, и если а + п уже определено, то
а + (п + 1) « (а + п) + 1•
и аналогично для умножения.
Удивительно в этих определениях сложения и умножения то, что все это как раз соответствует действиям учителя, когда он обучает школьника:
4 + 1 = 5; 4 + 2 будет на единицу больше, значит, 6;
4 + Зеще на единицу больше, значит, 7 и т. д. Еще поразительнее построение таблицы умножения: 1 • 3 = 3; 2 • 3 будет на 3 больше, значит, 6; 3 • 3, еще на 3 больше, значит, 9 и т. д. Сложение — это индуктивный «счет», умножение — это индуктивное «перескакивание». Но принцип математической индукции формализует это самое «и т. д.», как бы приручает бесконечное, заключает это бесконечное в малый объём, как на коробке с какао.
Мы часто упоминали принцип математической индукции, но еще не сформулировали его. Вот классическая формулировка:
Р: Пусть Е — некоторое свойство натуральных чисел. Пусть
Е(0)Л n^N (Е (п)Е ( п + 1)).
Тогда AaCJV Е (/г).
Итак, свойством Е должен обладать нуль, и всегда, если натуральное число п обладает свойством Е, то и следующее число (n + 1) должно обладать этим свойством. При выполнении таких условий все натуральные числа обладают свойством Е.
Это применяется ко всевозможным свойствам Е. Например, к свойству (х) относительно п, если хотят доказать, что оно истинно для всех натуральных чисел п. Выше мы применяли математическую индукцию и в определениях. При этом требуется некоторая осторожность, «а + п определено» нельзя воспринимать как свойство относительно п. Чтобы придать определению четкий смысл-, необходима новая сложная формулировка. Здесь мы не рассматриваем этого.
' Можно выразить принцип математической индукции и иначе, определяя свойство Е через множество М обладающих этим свойством элементов' множества натуральных чисел N:
Р'\ Пусть М a N. Пусть 0 £ М и Уп (п^ Л4) -> (п + 1) Е М.
- Тогда М = N.
Как установить, что Р (или Р') истинно? Ну, конечно, это ясно как день:-0 6 М, значит, и 1 = 0 + 1 £ М; значит, и 2 = 1 + 1 £ С М; значит, и 3 = 2 + 1 С М и т. д. Чтобы доказать Р\ нужно вытащить законсервированный квантор общности из консервной банки и заменить его индукцией во времени и пресловутым «и т. д.».
Но можно поступить и иначе: просто потребовать Р' аксиоматически; говорят, что N однажды охарактеризовано принципом Р\ точнее говоря:
Ри\ N — это множество, в котором отмечен элемент 0 и задано отображение / множества N в себя (Jx называется также элементом, следующим за х) такое, что -
/ обратимо, fN = ^\{0}
(т. е. каждый элемент имеет ровно один следующий элемент и ровно один предшествующий, кроме нуля, который предшествующего не имеет),
(О С М cz N Л fM с= М) (М = N)
(т. е. если 0 принадлежит М и для каждого элемента из М следую-' щий элемент также принадлежит М, то М исчерпывает все N).
Последнее является, так сказать, условием минимальности; никакое собственное подмножество N не обладает свойством содержать 0 и вместе с каждым элементом содержать также и следующий за ним элемент. Это требование необходимо. Пусть, скажем, за N следует один экземпляр т. е.
О, 1, 2, ..., ... —3', —2', — Г, О', V. %, ... .
Таким путем получится новое множество К с обратимым отображением /, которое переводит каждый элемент в следующий за ним, причем fK = К\ {0}, но теперь К содержит собственное подмножество N, которое также удовлетворяет этим требованиям.
То, что мы здесь рассмотрели, является существом аксиоматизации Пеано последовательности натуральных чисел. От примитивнейшего понятия числа, которое еще не знает бесконечности, через наивный «счет», наивное применение математической индукции и ее осознание к формализации и в конце концов к аксиоматизации на теоретико-множественной основе. Мы познакомились со спектром все более утонченных понятий числа. Разумеется, мы не хотим утверждать, что все эти ступени должны найти отражение в учебном процессе. Однако, вопреки мнению догматических ди- дактов, математическое образование нельзя свести к одной ступени познания понятия числа.
Далее следует обсуждение формализованной теории натуральных чисел, результатов Геделя и «нестандартных моделей».
Нужно добавить, что при каждом практическом применении математики запрятанную бесконечность приходится выжимать из ее капсулы. Бесконечные процессы, с помощью которых получают результаты или желают вычислить нечто, должны проводиться поэтапно во времени, и можно даже оценить, сколько времени требует каждый этап. Я уже подчеркивал, что существуют различные ступени строгости. Понятие числа появляется в обучении и исследованиях на различных этапах, и всякий раз следует применять соответствующую ступень строгости. Я подчеркиваю это, но не потому, что в современной литературе понятие порядкового числа излагается на слишком высоком уровне, наоборот, потому, что существует склонность просто забывать о нем. К этому мне еще придется вернуться.
Количественное число. Количество элементов некоторого множества устанавливается обычно подсчетом, однако это не единственный способ. Возможно ли обосновать понятие числа как количества независимо от счета? В качестве математической формализации количественного числа известна мощность (которая в определенном контексте называется также кардинальным числом в противоположность ординальному числу).
Мощности являются открытием Георга Кантора: два множества называются равномощными, если их можно взаимно однозначно отобразить друг на друга. Так, множество пальцев левой руки равномощноГ множеству пальцев правой — отображение выполняется наложением руки на руку. Множество натуральных чисел равномощно множеству четных чисел — число п отображается на 2и. Можно также сравнивать множества неравномощные: Л называется более мощным, чем В, если В однозначно отображается в А^ но не на А.
Мощность множества, по Кантору, — это то, что является общим для всех равномощных множеств1; ныне говорят, что мощность множества А—это класс всех множеств, равномощных Л. Это объясняется тем, что с точки зрения мощности равномощные множества считаются несущественно отличающимися друг от друга.
Мощности а и р можно сравнивать по величине: а > р, если (по введенному выше определению) множество мощности, а более мощно, чем множество мощности р. Мош,нести аир можно складывать и перемножать. Возьмем множество А мощности а и множество В мощности р. Чтобы получить а + Р> нужно убедиться, что А и В не имеют общих элементов, и взять мощность множества А + В; ар будет мощностью множества пар [Л, 6], т. е. множества упорядоченных пар (п, 6), где а С А и b б В. Можно даже определить 0.3 : это мощность множества отображений В в Л. Затем нужно убедиться, что все эти понятия корректны, т. е. что истинность соотношения а > р и значения а + Р, оф и а£ не зависят от выбора множества А мощности а и множества В мощности р.
Бесконечные множества обладают замечательным свойством: они могут быть равномощны своим правильным подмножествам. Это свойство мешало многим математикам до Кантора; многих оно удерживало от того, чтобы рассматривать бесконечные множества как завершенные объекты.
Это замечательное свойство можно использовать, чтобы определить конечное множество: это множество, которое не равномощно никакой своей правильной части. Сюда относятсяд пустое множество с мощностью 0; каждое множество, содержащее один-един- ственный элемент, с мощностью 1; каждое множество с двумя элементами с мощностью 2 и т. д. Сумма, произведение и степень были определены именно так, чтобы в случае конечных множеств получались обычные определения; если Л и В содержат соответ-
* У Кантора сказано гораздо менее определенно (прим, азтора).
ственно тип элементов (и не содержат общих элементов), то их объединение действительно содержит т + п элементов, множество пар — тп элементов; существует также тп отображений В в А (ибо такое отображение устанавливается, ^сли для каждого из п элементов В имеется т возможных отображений в Л). Сравнение мощностей конечных множеств также сводится к обычному сравнению кардинальных чисел по величине. Наконец, арифметические законы (коммутативность, ассоциативность и т. п.) попросту очевидны. “
Разве это .не удивительно просто и убедительно? И это сравнивают с традиционным толкованием и введением порядкового числительного, как было показано „выше! Там изобретали названия чисел, слово за словом — искусственная и вовсе не очевидная система. На вопрос «сколько», подсчитывали элементы задаваемого множества. Чтобы сравнить два множества, приходилось пересчиты-, вать элементы каждого из них; если число оказывалось одним и тем же, значит, множества равномощны; если подсчет элементов множества А заканчивался раньше, чем подсчет элементов В, значит, А менее мощно, чем В. Зачем эта сложность, которая затушевывает существо дела, вводя натуральный ряд чисел, тогда как множества можно сравнивать, исходя из их мощности, и определять натуральные числа на этой основе. Кроме того, сразу же как бы сами собой появляются сумма и произведение, которые при порядковом подходе вводятся с помощью утомительного «счета». Ц наконец, если натуральные числа определять, исходя из понятия мощности, можно уже на самой ранней стадии обучения предложить детям приятный кусочек дедуктивной математики. При порядковом же подходе, наоборот, нужно ждать, пока появится математическая индукция, а это весьма далекая стадия обучения, прежде чем можно будет предложить дедуктивное рассмотрение понятия числа.
- Совершенно ясно, что в- школе возможен лишь количественный подход и никакой другой: если вводить числа как мощности, значит, дети должны обращаться с числами как с мощностями. Когда дети лишь приходят в школу, они уже знают порядковые числа, т. е. могут проговорить начало натурального ряда как стихи, даже не понимая значения чисел. Число как мощность — прекрасное средство для перестройки сознания детей — педагоги издавна были против «счета». На более высокой ступени можно разъяснить школьникам математическую теорию, лежащую в основе такой дидактики, т. е. сознательное построение натуральных чисел как мощностей конечных множеств. '
Не удивительно ли, как благодаря Кантору можно все это проделать и как можно обновить обучение математике по идеям Кантора!
Нет, я красиво обманул читателя. Но тем самым я попал в хорошую компанию. То, что многие обманывают, и что многие по- /звбляют себя обманывать, показывает нынешняя учебная литература: учебники арифметики, построенные под влиянием мощио-
стей, учебники математики более высоких ступеней, где теория целых чисел с кажущейся строгостью выводится из понятия мощности. Я хочу лишь показать, что:
Мнение о том, что количественное число, т. е. рассмотрение, основанное на понятии мощности, достаточно для обоснования понятия натурального числа, математически ложно (по крайней мере, если математику понимают в обычном смысле).
Количественный аспект целых чисел несуществен по сравнению с порядковым аспектом. • ' •
Количественный аспект недостаточен для дидактики натуральных чисел. .
Количественное число математически недостаточно. Читатель, вероятно, уже заметил, что при рассмотрении конечных множеств после мощности 2 я уклонился от дальнейшего перечисления с помощью «и т. д.». Конечно, я мог бы продолжать, скажем, до 3 426 789 или хотя бы упомянуть такое число в качестве примера (как это в самом деле и сделано в учебнике для детей 11 —12-летнего возраста). Принципиально это безразлично. Желая привести натуральные числа к общему понятию мощности, нужно определить конечные мощности. Определяют точно мощности 0, 1, 2 и, возможно, еще некоторые. Конечно, этого недостаточно, ведь хотят как-то охватить все конечные мощности. Именно для этого и говорят «ит.д.»; что при этом подразумевают, ясно как день: если к множеству конечной мощности п добавить еще один элемент, возникает множество мощности п + 1. Это разумное, вполне приемлемое определение, которое на самом деле охватывает все конечные мощности. Жаль только, что этот прием можно применять, лишь владея всеми натуральными числами, N считается известным/ и для каждого п С N по определению устанавливают, что множество
{1, ...» П}
является конечным множеством, именно множеством мощности п; само множество N является представителем бесконечной счетной мощности.
Теперь можно сказать: мы применяем ^, чтобы определить, что такое конечная мощность, что такое мощность 0, 1, 2, ...; но N выбрано лишь в качестве, так сказать, последовательности номеров; более глубоких соотношений в N, как, например, основных арифметических действий, не применяют; они будут определены позднее в действиях с мощностями. Это кажется верным, но на самом деле в корне неверно. Чтобы извлечь из N конечные множества и их свойства, требуется самое глубокое, что вообще можно сказать об N — математическая индукция.
Вначале следует вообще показать, что п £ N однозначно определяет некоторую мощность, т. е. что если
{1, ..., т} равномощно {1, ..., п^
то необходимо т — п. Можно попробовать доказать это, но без математической индукции ничего не получается. В учебниках, исходящих из количественного аспекта, это либо молчаливо считается само собой верным, либо категорически внушается читателю, либо проводится квази-доказательство методом «и т. д.». Но при этом мы еще далеки от конца. Нужно уметь складывать, перемножать, возводить в степени конечные мощности, но для этого вначале следует показать, что объединение двух конечных множеств и множество пар, состоящих из элементов двух конечных множеств, снова конечны и что конечно множество отображений одного конечного множества в другое. Упомянутые учебники часто содержат здесь пробел; о необходимости доказательства даже не упоминается; в других случаях опять-таки пользуются шатким «и т. д. —методом». Для доказательства же неизбежно применение математической индукции.
Столь же плохо обстоит’ дело и с обычным доказательством того, что счетная мощность является наименьшей из бесконечных мощностей, т. е. что в каждом бесконечном множестве содержится счетное подмножество. Конечные мощности можно было бы ввести последовательно одно за другим, не формулируя общего принципа. Но если мы хотим из заданного бесконечного множества выделить счетную часть, потребуется N в полном объеме. И это также можно обойти ни к чему не обязывающим «и т. д.».
Пусть задано множество М. Либо оно пустое, т. е. мощности О, либо нет; в последнем случае оно содержит элемент, скажем ах\ либо теперь М = {<^1}» и тогда его мощность 1, либо она больше, и тогда существует еще элемент а^ С М. причем ^ =7^ ti2. Либо М = ^ц,, tz2}, и тогда его мощность 2, либо она больше, и тогда существует элемент... и т. д.
Я полагаю это вполне корректным на том уровне, на котором теорема сформулирована. Для наивного представления об N, когда еще не пользуются формализацией при помощи математической индукции, это вполне приемлемо. Это становится неприемлемым, коль скоро читателю покажут, что N можно определить, исходя из мощностей. И совершенно неприемлемо, если вокруг мощностей построить формальный аппарат с аксиомами теории множеств и, не знаю уж, с чем еще.
Извлечение из бесконечного множества М счетного подмножества, как это здесь было сделано, действительно протекает во времени; здесь требуется перечисление N как процесс, протекающий во времени. Это нельзя исключить с помощью математической индукции. Математическая индукция может быть применена к построению последовательности VanY если Для каждого элемента по некоторому правилу задается следующий за ним. Чтобы выявить заключенную здесь бесконечность, требуется не только математическая индукция, но и определенный принцип выбора или нечто, ему эквивалентное. Принцип выбора служит именно для того, чтобы бесконечные возможности выбора (первоначально мыслимые
во времени) сконцентрировать в единственный выбор. Исходя из принципа свободного выбора, можно для каждого конечного подмножества X множества М выбрать элемент х £ М\Х\ точнее, существует отображение / множества конечных подмножеств М в само М такое, что fX € М \ X. Теперь остается определить индуктивно:
Ло = О и лл+1 = л2и ШЛД
чтобы затем путем Л = U Ап тол^ч^ъ счетное бесконечное подмножество М. Таким образом включается построение А, однако математическая индукция все еще применяется.
А нельзя ли все это отбросить, нельзя ли определить конечные мощности в N независимо от математической индукции? Я уже упоминал о характеристическом свойстве конечных множеств —• не иметь собственных подмножеств такой же мощности. Дедекинд именно так и сделал, исходя из этого свойства как определения конечного множества; бесконечными по определению являются те множества, которые имеют хотя бы одно собственное подмножество такой же мощности. Значит, если М бесконечно, то существует взаимно однозначное отображение / множества М в себя такое, что fM#=M. Применяя такое отображение /, можно, не пользуясь принципом свободного выбора, построить счетное бесконечное подмножество М, причем а0 £ М \ fM и anVk = fa^, или, иначе, наименьшее бесконечное множество, содержащее а0 и вместе с некоторым х также / х.
Теперь трудность передвигается на дедекиндов смысл конечного множества: легко видеть, что множество, конечное в обычном смысле, конечно и в дедекиндовом смысле. Чтобы доказать обратное, т. с. что множество, не имеющее собственного равномощного подмножества, эквивалентно части N, нужно либо перечислять во времени, либо применить принцип свободного выбора.
Кроме того, чтобы, по Дедекинду, получить счетное множество, нужно вначале вообще иметь бесконечное множество; если присмотреться, выясняется, что за первое бесконечное множество Дедекинд принимает N.
Примерно так же протекает рассужденке у Расселла и Уайтхеда. Они определяют ’конечные мощности индуктивно,, чтобы заодно получить и N; 0 есть мощность пустого множества, и если т есть мощность множества М, то пг + 1 —мощность множества М U {с}, где с^М. Наименьшим множеством, содержащим 0 и. вместе с х содержащим также х + 1, по определению является N. Но и они не могут избежать постулата существования бесконечного множества. В этом мораль всей истории, причем основа этой морали совершенно ясна.
Можно представить себе «теорию множеств», содержащую только конечные множества. Все необходимые операции с множествами выполняются в этой «теории» без оговорок. В математике, построенной на такой «теории множеств», можно определить любое отдельное натуральное число, но так как в пей не существует множества всех натуральных чисел, то нельзя и высказать какие-либо предложения обо всех натуральных числах, нельзя определять операции с натуральными числами вообще. Это совершенно примитивная математика на уровне, когда еще не воспринимается бесконечность, если только вообще называть это математикой.
В известных учебниках подчеркивается, что N должно быть множеством; иногда это формулируется как аксиома. Однако для построения математики этого никак не достаточно. Нужно еще знать, что каждая счетная последовательность {п/г} образует множество.
Далее приводятся соображения автора по поводу мыслей Дж. фон Неймана о вполне упорядоченных множествах и введенном Нейманом определении # (Л4)—мощности множества М: класс множеств, равномощных М. Это сделано, замечает автор, еще и потому, что существуют учебники для школьников 11—12 лет, в которых встречаются такие обозначения и развиваются подобные идеи.
Я хотел бы извиниться за то, что в дидактических рассуждениях вынужден был столь углубиться в дебри теории множеств. Учебники, методы изложения которых я разобрал, не просто хорошие, они относятся к превосходнейшим, какие только существуют. Если я утверждаю, что излагаемые в них методы неверны, то должен быть документальным и в мелочах. Однако ошибочность методов — это действительно мелочь. Главная беда в том, что авторы этих учебников с их дидактико-теоретическими методами взяли слишком высокий прицел. Если нужны доказательства того, что эти разделы теории множеств и введение натуральных чисел не могут быть предложены в школе (даже в выпускных классах гимназии), то анализ даже лучших учебников, которые затмевают многие другие, доказывает это.
Если вводить натуральные числа как мощности и притом упускать существенные предложения, или недооценивать их доказательства, или проводить их — в остальном вполне корректно —с помощью «и так далее», то ясность не достигается, а, напротив, вуалируется: все, что есть существенного в теории натуральных чисел, —математическая индукция. Если считают математическую индукцию слишком трудной для школьников данного возраста, то тем более не следует давать лишь кажущееся обоснование теории натуральных чисел.
Якобы доказано, что теории множеств, которая считается трудной, можно обучать даже маленьких детей. По поводу таких высказываний я уже выражал свое мнение и покажу еще в дальнейшем, что именно дети часто на более низком уровне принимают за
теорию множеств. Здесь мы имеем как раз такой случай. Читатель, даже если он лишь бегло прочитал предыдущее, заметил, пожалуй, что теория множеств вовсе не так проста, что даже на том уровне, который считается приемлемым для школы, существуют хитроумные вопросы и случаи, в которых даже серьезные математики допускают ошибки. Это не специально подобранные случаи, я не отыскивал их. Я лишь критиковал здесь с математической точки зрения то, что предлагается школьникам 11—12 лет в качестве обоснования теории натуральных чисел; должен сознаться, что, будучи начинающим, я ненамного лучше разбирался во всем этом. Это не легкие вещи, и тот, кто не может разобраться в моих разъяснениях или, точнее, кто не может их критически осмыслить, пусть лучше не преподает этот материал, который, как показывают примеры, даже для серьезного математика представляет такие большие’ трудности. Ученики ничего не потеряют, да и сам преподаватель тоже. Тот, кто не имеет математического опыта, может лишь механически пересказать материал. Не потому, что лучше сделать трудно; школьник готов ко всему, лишь бы получить «достаточную» оценку. Но что делать учителю, которому предстоит начинать обучение такому материалу? Если он настолько некритичен, что возьмется за него, то, может быть, сможет вести обучение, но не должен этого делать. Если же он достаточно критичен, то мог бы вести обучение, но не захочет этого делать.
Как случилось, что подобный материал пробил себе путь в школьное обучение? Я полагаю, что авторы учебников, как и все другие, были под сильным впечатлением количественного восприятия понятия множества; возможно, они были также под влиянием Пиаже, который посвятил свои исследования количественному аспекту натурального числа, —к этому мы еще вернемся. Будучи не в пример Пиаже математиками, они должны были бы знать, что количественные числа недостаточны для обоснования теории натурального числа; и конечно, они знали это еще до того/как приступили к своим учебникам. Может быть, они тогда еще не знали, что при количественном подходе образуются столь серьезные пробелы. Когда это выяснилось, было уже поздно. Система была уже разработана. А система должна быть. Обоснование теории натуральных чисел должно было развиваться не потом, как мы это делаем в университете, а вначале. «Строительство дома начинается с фундамента», — возражали мне, когда я критиковал эту систему. Я отвечал: неверно; строительство дома начинается на бумаге, и фундамент рассчитывают лишь тогда, когда определится высота дома.
Что из всего этого можно излагать в школе (я не утверждаю, что уже для 11—12-летнего возраста)? Можно излагать понятия равномощности и сравнения мощностей — это действительно прос-
тые вещи. Можно привести примеры конечных нечетных множеств, если четко и ясно объявить, что натуральные числа и N считаются известными априори, а не обосновываются этим методом. Я не знаю, в каком возрасте можно разъяснить школьнику, что
# (1, ..., т) ф # (Г, ..., м) при т п
требует доказательства, и в каком возрасте он может понять это доказательство. Авторы учебников тоже не исследовали эту проблему. Я крайне сомневаюсь в необходимости и возможности доказательства конечности суммы и произведения двух конечных множеств, ибо даже авторы учебников порой не чувствуют необходимости в таких доказательствах. Сумму и произведение натуральных чисел школьник находит алгоритмически, и весь свой опыт он должен поставить под сомнение, если хочет понять эту проблему. Ну хорошо, допустим, что он это сделает. Что доказывают такие факты — я имею в виду доказательство на уровне «и так далее»? Если так, нужно четко и ясно признать, что это неудовлетворительно, потому что единственное слабое звено в цепочке формализации остается нетронутым.
Я вижу гораздо больше возможностей для обоснования натуральных чисел и .вычислений с ними в порядковых числах, исходя из математической индукции и не имея в виду аксиоматики Пеано или точной формулировки принципа математической индукции. Это корректный, чистый, образцовый метод с множеством следствий; мы ведь уже видели, сколь близки индуктивные определения сложения и умножения к определениям в школьной арифметике. Обоснование натуральных чисел, как порядковых чисел, является возможным, но это не означает необходимым, однако все другие обоснования попросту невозможны.
Количественное числительное несущественно в математическом отношении. Если аспект мощности даже и недостаточен для описания натуральных чисел, то он все же кажется настолько простым и естественным, что можно лишь удивляться, почему математика должна была ждать Кантора, чтобы он открыл этот аспект.
Идеи Кантора искажают, если подчеркивают именно эту сторону его деятельности. Существенно не то, что он интерпретировал таким образом натуральные числа и операции над ними, а то, что он отважился применить эти соображения к бесконечным множествам.
Всем, кто с опаской избегает на занятиях-бесконечных множеств и ограничивает понятие мощности лишь конечными множествами, можно сказать, что действительно эффективным понятие мощности является лишь для бесконечных множеств. Школьника как бы обманывают, если, с одной стороны, формально вводят понятие мощности, но, с другой стороны, делают вид, что существуют лишь конечные мощности.
Однако остается неясным, почему человечество должно было
так долго ждать, пока натуральные числа стали рассматриваться как мощности. Очень просто: потому что этот аспект натуральных чисел был вплоть до эпохи Кантора совершенно несущественным, собственно говоря, таковым он и оставался еще долго и после Кантора. Количественное число—совершенно примитивное понятие, которое в развитии человечества было вскоре заменено более тонким; это повторяется, как мы' увидим дальше, и в развитии индивидуума. Некоторые животные обладают пониманием хотя бы небольших кардинальных чисел; скажем, птицы знают, сколько яиц у них в гнезде. Человек обладает наряду с этим (да к тому же в очень раннем возрасте) и другим понятием: он умеет считать.
Известен вопрос: существуют ли два человека с одинаковым числом волос на голове? Ответ гласит: да; людей существует миллиарды, а самый густоволосый имеет заведомо меньше миллиона волос. Поэтому отображение, в котором каждому человеку соответствует число его волос, не может быть взаимно однозначным.
Этому вопросу не менее 400 лет. Он всегда рассматривался как удивительный математический курьез, пока Дирихле впервые не применил лежащий в его основе «принцип ящиков» или, иначе, «принцип Дирихле»: если множество из п, элементов распределено по т (т < п) ящикам, то найдется ящик, содержащий более одного элемента. '
Дирихле был исторически первым, кто математически нетривиально применил свойство мощности числового отрезка. Ныне известны и другие применения этого принципа, однако едва ли хоть одно из них относится к школьной математике. Прежде всего было обнаружено, что если бесконечное множество разбить на конечное число частей, то хотя бы одна из частей снова окажется бесконечной. -
Бесконечные - мощности являются важным вспомогательным средством в математике, точнее, были таковыми. Абстрактная алгебра, топология, абстрактный анализ пользовались трансфинитными числами вплоть до 1940 года. С тех пор от них отошли. Так называемая лемма Цорна позволила освободить математику от различения мощностей. Тот, кто ныне придает большое значение понятию мощности, не столь современен, как он думает. Это изменчиво, как дамские моды.
Где же в школе играет роль количество? С одной стороны, на весьма низком уровне, где все еще не решен вопрос об общем понятии натурального числа. Затем, и это нельзя недооценивать, в вопросах комбинаторики. Едва ли стоит Напоминать, что при объединении Конечных множеств (без общих элементов) количества элементов складываются. То, что при образовании пар количества элементов перемножаются, является не основой для умножения, но одним из аспектов умножения, которому ранее не уделялось достаточного внимания; ссылка на него является безусловной заслугой теории множеств. При рассмотрении дидактики умножения мы еще вернемся к значению схемы прямоугольника.
Насколько плохо изучена эта область, показывает такой факт: теоретико-множественная основа комбинаторных выводов часто остается невыясненной. Часто ссылаются на определение умножения через образование пар, что в действительности сложнее. Если из 5 мальчиков и 4 девочек нужно выбрать все пары «мальчик — девочка», то множество пар является подходящей моделью и по этому принципу получается 20 пар.
- Однако чаще всего для задач на умножение образование пар не является подходящей моделью. Подобные проблемы, несмотря на их важность, часто недооценивают в школе, в том числе и в старших классах, и в университете это можно заметить. Возьмем, например, вопрос: «Имеется 5 кошек, у каждой кошки 4 лапки. Сколько всего лапок?» Нет сомнений, что вопрос решается умножением: это' определяется словечком «каждая». Применяется ли в этой задаче образование пар? Здесь нельзя комбинировать 5 кошек с 4 лапками, как это было, сделано выше с мальчиками и девочками. Это можно сделать лишь, если произвольно перенумеровать лапки: 1, 2, 3, 4, и теперь комбинировать каждую кошку не с лапкой, а с ее номером. Другой вопрос: «Собрание из пяти человек избирает из своей среды председателя и секретаря. Сколькими способами можно это сделать?» Ага, 5 вариантов для выбора председателя, затем 4 для выбора секретаря, всего 9 вариантов —так отвечают нам даже в университете.
Не входя в тонкости дидактики, я заранее предполагаю, что уже в начальном обучении что-то делается неверно. Модель образования пар не действует здесь, и очевидно почему: число 4 не соответствует здесь^конкретному множеству или хотя бы такому, которое можно интерпретировать как конкретное множество. То, что в таких или подобных комбинаторных задачах вообще применяется модель образования пар, основывается на недостаточном -анализе понятий. Больше того, пусть Р —множество пар {председатель; секретарь}. Имеется «отображение забывания» f, которое «забывает» секретаря и, следовательно, отображает каждый из элементов Р на его первую компоненту. Множество образов для / содержит 5 элементов, а прообраз при этом отображении каждого из элементов образа содержит 4 элемента. Поэтому Р должно содержать 5 • 4 = 20 элементов.
С этим явлением, которое встречается * гораздо чаще, чем образование пар, должен быть знаком каждый педагог-математик. Здесь действительно имеют место теоретико-множественная формулировка и количественный аспект, которые обеспечивают ясность,—- и это вместо ничего не стоящего обращения к теории множеств. В общем виде сформулированный принцип гласит: если Р отображено на Q так, что каждый элемент Q имеет множество прообразов, состоящих из г элементов, и Q состоит из q элементов, то Р состоит из qr элементов. Это можно уяснить с помощью количественного
аспекта, поскольку это наглядно, однако — в этом читатель может убедиться, —чтобы это доказать, количественных чисел недостаточно.
Несмотря на общий отрицательный заголовок раздела, я все же включил и соображения о важности количественного аспекта. В противоположность другим аспектам эти соображения не столь уж значительны. Нужно подчеркнуть значение количественного аспекта как наиболее эффективного в применении к таким проблемам, как комбинаторные, а вовсе не в вызывающих недоразумения безуспешных попытках обоснования понятия числа.
Количественное числительное недостаточно в дидактическом отношении. Как обстоит дело с количественным аспектом в индивидуальном развитии? Я уже отмечал, что ребенок рано выучивается считать. Он может даже большей частью считать и дальше, когда умеет распознать мощности. Часто констатировали, что ребенок, умеющий считать, не понимает еще зависимости между счетом и количеством. Это может быть верным, но это не обязательно главное. Я хотел бы рассказать об одном опыте с внучкой, которой было 5 лет 3 месяца.
Мы сидели за столом вшестером. Вдруг она сказала: 12 глаз. Она сосчитала потихоньку, про себя. Я спросил: а сколько ушей? Она начала считать: 1, 2, ..., 12. Сколько ног? Она сосчитала (невидимые) ноги. Сколько рук? Она стала считать, заливаясь смехом. Сколько коленей? Она едва считала, давясь от смеха. Несколько дней спустя спросил я, сколько пальцев на моей (левой) руке: 1, 2, 3, 4, 5. Я приложил к левой руке правую: а сколько на этой? Она опять стала считать. Я повторил вопрос о пальцах на ее руке. И каждый раз она считала заново.
Можно склониться к выводу, что у нее еще отсутствует верное понимание числа, взаимосвязи между порядковым числом и количественным. Я этому не верю. Это относилось к правилам игры — всегда считать. На такой стадии это является самым строгим доказательством. Счет забавляет, особенно забавляет, если каждый раз получается один и тот же результат. Дети хотят также всегда слушать одни и те же сказки, при игре в прятки всякий раз прячутся в одном и том же месте. Так же поступают и взрослые: ведь они спрашивают ребенка о вещах, хорошо им известных. Я косвенно убеждался в том, что ребенок ясно распознает количество в множествах вплоть до пяти элементов; но коль скоро его спрашивают «сколько» —автоматически начинает процесс счета. Один из моих внуков (4 года 11 мес.), которому я хотел задать ряд приведенных выше вопросов о глазах и т. д., уже на второй вопрос разочарованно ответил: да ведь это то же самое. Этот ребенок привык к другим играм. Если всякий раз счет приводит к одному и тому же результату, то это забавно лишь до тех пор, пока не надоест — и игра в счет кончается. Подсчет двенадцати глаз есть уже строгое доказательство, что и ушей тоже 12.
Порядковое число играет в .происхождении понятия числа первую и важнейшую роль — это следует признать и с точки зрения возрастной психологии, и с точки зрения педагогики, а никак не отрицать эту роль. При этом мощность является лишь дальнейшим аспектом, а именно фактом, что при взаимно однозначном отображении порядковое число сохраняется. Ничем не доказано, что ребенок формирует число, исходя из этого факта. Так можно думать, лишь исходя из абстрагированной сферы сформировавшегося математика. Ребенок обретает порядковое число и в какой-то момент констатирует его инвариантность при взаимно однозначных отображениях (например, при перестановках); он не формирует конкретное число—также не бессознательно—как класс взаимно эквивалентных множеств. И мы поддаемся лишь оптическому обману, если подчеркиваем инвариантность при взаимно однозначном отображении. Это опять-таки видно математику, который думает о разумном построении понятия числа. Ребенок знакомится с этой инвариантностью в гораздо более широком плане. Нс только что число инвариантно при взаимно однозначном отображении, но также и то, что если я завтра сосчитаю свои пальцы, то их также окажется пять; что'все люди имеют одно и то же количество частей тела; что количество камешков, накрытых платком, не меняется, когда я произношу «фокус-покус». Инвариантность при взаимно однозначном отображении — лишь маленький уголок этого большого комплекса, причуда взрослых, рекламирующих эту частность как аспект мощности.
Сколько инвариантностей может запомнить ребенок, показал мне мой старший внук (2 года 4 мес.), с которым я регулярно ходил к переезду с шлагбаумами, чтобы смотреть на проходящие поезда. Первый раз нам случайно —я говорю, случайно —встретился хромающий щенок. На другой день на этом же месте малыш спросил: «А где же смешной щенок?» Ему еще предстояло постичь, что хромающий щенок вовсе не инвариантная принадлежность некоторой местности.
‘ Одним из инвариантных свойств порядкового числа является инвариантность при взаимно однозначном отображении; свое значение она обретает лишь под влиянием анализа в теоретико-множественном построении математики. Именно это и есть единственное инвариантное свойство порядкового числа, которое можно сформулировать в самой математике. То, что завтра у меня будет столько же .пальцев, сколько и сегодня, и что по количеству моих пальцев я делаю вывод о количестве пальцев у других людей, — это уже за пределами математики. Факт инвариантности при взаимно однозначном отображении — единственное, что можно сформулировать внутри математики. Верить, что это как раз и есть критерий того, что ребенок усвоил понятие числа, —заблуждение. Едва ли можно сомневаться, что упор на применение количественного аспекта исходит от Пиаже. Пиаже, разумеется, под влиянием работ Кантора, посвятил себя изучению понятия числа именно в этом аспекте,
Другими аспектами он пренебрегает. Пожалуй, он упоминает еще аспект ординального числа, но то, что он понимает под этим, едва ли имеет что-либо общее с порядковым числом. Из того, как он безразлйчен к аспекту порядкового числа, можно' заключить, что он молчаливо подразумевает у исследуемых умение считать, что он никогда не указывает, сколь далеко они умеют считать, — удивительно, как велика у него доля исследуемых, которые кажутся умеющими считать очень далеко или даже неограниченно.
Ясно: Пиаже считает, что понятие натурального числа можно образовать, исходя из мощностей. Для той стадии математики, на которой находятся исследуемые, это может быть математически верным (лишь для отдельных натуральных чисел, а не для общего понятия числа), это приводит к тому, чтобы поверить, что это верно и психологически, — Пиаже старается обосновать в возрастной психологии дедуктивную систему математики, которую он случайно знает.
Пиаже снова оказывает влияние на математиков, которые, собственно, должны знать: то, во что Пиаже математически верит, неверно; количественный аспект натуральных чисел уже математически недостаточен. Я уже разъяснял, что всякий, кто хочет ввести натуральное число, исходя из мощности, молчаливо (а иногда и бессознательно) подразумевает порядковые числа; именно это им знакомо, так что они иногда не замечают пробелов или, во всяком случае, не замечают неполноты и тем самым, собственно, и доказывают, что и психологически порядковый аспект является фундаментальным. Огорчительно видеть, как дидакты некритично ссылаются на психолога; то, что они заимствуют авторитет Пиаже, является не результатом его исследования, а неверной (или, во всяком случае, неверно.понятой) математической предпосылкой.
Из этого не следует делать вывод^ что я отвергаю количественный аспект натуральных чисел. Разумеется, ребенок должен узнать, что порядковое число при взаимно однозначных отображениях инвариантно; разумеется, для ответа на вопрос: «Сколько всего камешков?» — надо объединить два множества, даже если результат получается пересчетом; разумеется, ребенок должен быть знаком со связью умножения и образования пар. И разумеется, на более высокой ступени обучения он осознает эти действия, которые в конце концов будут формализованы. Я лишь возражаю против тенденции к желанию ограничиться при рассмотрении натуральных чисел только количественным аспектом, что невозможно, или к переоцени ке его, что опасно. Как раз, когда ищут практические взаимосвязи с понятием числа, едва ли имеет значение понятие мощности. Может быть, пять очков на игральной кости и напоминают о мощности, но никто при этом не думает о купюре в пять марок, или о пяти часах, или о пятой платформе, о пяти минутах, о пятерке в аттестате, о пятилетием возрасте, о точке с абсциссой 5 на числовой прямой. Это совсем не такое понятие числа, как количественное. То, что некоторые понятия позволяют по-своему осмысленно истолко-
вать сложение и умножение мощностей, является важным явлением; эта универсальность числа и объясняет его силу.
Оба аспекта в обучении. Количественным аспектом понятия числа ранее подчас пренебрегали, разумеется, на высших ступенях обучения. Ныне уже на низших ступенях его, пожалуй, переоце-' нивают, хотя, к счастью, я могу отмстить, что все хорошие дидакты предпочитают широкий подход. Позднее, когда числа изучаются в теоретическом плане, переоценка аспекта мощности весьма рас-' пространена.
Но возможно и худшее. На обеих ступенях наблюдаются такие вещи, как диаграммы Венна с тремя карандашами, двумя футлярами, ластиком и флажком с шестеркой, которая показывает, -что эта диаграмма должна символизировать число 6. За диаграммой следует знак объединения (сложения) и другая диаграмма с двумя карандашами, двумя ластиками и флажком с четверкой. Затем идет знак равенства, а результат предоставляется нарисовать самостоятельно. Я полагаю, что задача в дальнейшем повторится со знаком «минус», и было бы любопытно узнать, что же получится .
Ну, старина,.не сердись, подумал я, и улыбайся лукаво. Но, глядя на экран телевизора, я разражаюсь гомерическим хохотом, когда вижу, что домик, на крыше которого изображен флажок с шестеркой (множество из пяти окон и одной двери), «складывается» с подобным же домиком, причем домики склеиваются воедино, а флажки сливаются вместе.
Даже привидения, которые давно уже прокляты в бездне дидактического ада, воскресают, из мертвых благодаря безотчетной вере в мощность: на диаграммах Венна складываются три яблока и две груши; в результате получается пять плодов (я делаю к таким книгам дополнение: я не знаю, встретится ли в дальнейшем сложение «2 яблока + 3 груши^б плодов» и не сделает ли автор вывода, что это якобы доказывает некоммутативность сложения).
* Как читатель уже мог заметить, я не верю в традиции. Но я сожалею, когда некоторые серьезные люди проводят обновление так, словно в новой математике уже нет дидактики обучения арифметике, так как тем самым эти серьезные люди выдают целой шайке шарлатанов индульгенции на любую бессмыслицу. За последние десятилетия в обучении арифметике достигнуты определенные успехи, но не может быть и речи о каком-либо переломе. Просматривая учебники арифметики, можно установить, что с 1920 до 1940 года сделано гораздо больше, чем после 1940 года. Я хочу сказать, что нельзя догматически отрицать многовековой опыт в наиболее изученной области школьной дидактики.,*
Я сравнивал некоторое количество современных методов вычислений1. Я констатировал, что действительно хороши те, которые
подчеркивают порядковое число, даже если и делаются уступки моде. Разумеется, это не значит, что ребенок учится вычислять непосредственно в процессе счета. Порядкового , числа в этом примитивном смысле дидакты избегают правомерно. Ребенок должен заниматься счетом систематически и, кроме того, работать с перечисляемыми образами. Для этого нужен однородный структурированный материал; цитированные выше устрашающие примеры нарушают оба принципа: и структурированность, и однородность. Если ребенку предложить две диаграммы Венна соответственно с восемью и с пятью произвольными и произвольно упорядоченными объектами для сложения, то это будет хорошо гармонировать с количественным аспектом, но чем это поможет бедному ребенку? Чтобы сложить данные объекты, он может лишь попросту пересчитать их. Таким образом он не учится складывать 8 и 5 наглядно. Для наглядности он должен видеть 8 и 5 структурированно, скажем, в виде двух горизонтальных рядов или на счетах. Вычислениям можно научиться только на наглядном материале, лучше всего на таком, который можно взять в руки. Представление натуральных чисел конкретными множествами страдает отсутствием наглядно выполняемых операций. Это известно издавна. На счетной доске вычисляют с помощью однородных структурированных множеств, скажем рядов камешков или куточек. Во всех хороших учебниках арифметики, которые я видел; я убеждался в этом принципе; все новые вспомогательные средства для вычислений, созданные или пропагандируемые хорошими педагогами, сознательно используют однородность и структурированность. Разумеется, не следует забывать неоднородные или неструктурированные примеры, встречавшиеся ранее. Они тоже существуют в этом мире.
Хорошие учебники арифметики составляют, вероятно, меньшинство. Большая часть тех, которые я видел, полностью игнорирует порядковые числа. Я видел и такие, которые нигде не обучали счету. Среди рекомендаций в учебнйке едва ли встречались игры, требующие счета. Вследствие преобладания количественного аспекта единственный вид счета, который изучают дети, —это простой пересчет; систематический счет как предмет обучения отсутствует в этой литературе, или же им серьезно пренебрегают. Такое важное промежуточное звено между устными и письменными вычислениями, как интерпретация добавления (сложения) в форме дальнейшего счета и вычитания в форме «счета назад», попросту отсутствует. Я наблюдал класс, в котором пользовались новейшими материалами, в котором год спустя лишь несколько способных учеников догадались, что для прибавления Зкб нет необходимости пересчитывать все заново, а достаточно лишь считать дальше, начиная с семи.
Осознание «мощностного» характера натурального числа уместно, если школьник может с его помощью достичь большего, чем доказательство формул вида:
а + b = b + а или а ^ b Д b ^ с => а ^ с,
которые он уже знает; если подобная теория допускает продвижение, невозможное без ее помощи, это неоднократно подчеркивается многочисленными аргументами. Большинство современных учебников не отвечает этому. Существует нё так много возможностей поставить количественный аспект натурального числа в операционную взаимосвязь, но и не столь уж мало, как мы показали на примерах из комбинаторики. Если хотят оправдать количественный аспект на более высокой ступени, то это можно сделать в таком контексте подобно тому, как порядковый аспект осознается на примере применения математической индукции.
Мера. Ни одно понятие в повседневной жизнш не является столь важным, как мера. Количественное число может еще служить мерой множества; однаКо то, что измеряется, почти никогда не является множеством.
Сутки не являются множеством часов или минут (хотя воспринимать их можно именно так); мешок гороха или муки не является множеством, состоящим из гороха или муки; пять рублей совсем не то же, что множество из пяти металлических рублей.
Чтобы считать людей или яйца, существуют натуральные числа (единицы). Для измерений нужна единица измерения; то, что измеряется, называется величиной, и путем измерения величины находят определенное число, меру (здесь речь идет только о скалярных величинах). Требуется много единиц измерения, так как существует много величин: длина, площадь, вес, работа, сила тока, атмосферное давление, цена — все это вещи, которые становятся величинами, если указать единицу измерения. Почему для различных величин нужны различные меры, не всегда ясно. Почему длину и ширину измеряют одной и той же мерой, а площадь —другой, почему атмосферное давление не выражалось раньше в мм; почему большие расстояния не измеряют летными часами или световыми годами, как наши предки измеряли расстояние временем ходьбы или езды; почему бензин оплачивают за литр, газ — за кубометр, электричество —за киловатт-час, а тепло —за какие-то тепловые единицы? Кое-что из этого изучается в процессе обучения арифметике; в той мере, которая требуется физику, он строит физическую систему единиц. В промежутке же оказывается совершенно неисследованная область. Виноваты в этом математики. Можно выразиться яснее: нужно ли ожидать развития научных исследований в области учения об электричестве, чтобы точнее определить, что представляет собой киловатт-час в различных формах поставляемой нам электроэнергии и за что именно мы платим деньги? Нужно ли откладывать изучение направленных величин до тех пор, пока физики сумеют объяснить, что же представляет собой сила?
У математиков есть склонность стричь все скалярные величины под одну гребенку. Ведь это большое удобство математики, что каждую величину можно однотипно выразить числом, если задана еди-
ница измерения. Но если это настолько важно, то школьник должен это усвоить, ибо должна же математика применяться, —и нужно помнить о различном происхождении и характере отдельных величин и понимать зависимости между ними. Все это или, во всяком случае, система понимания этого тоже есть математика.
' Теперь существуют чистые математики, которые по вопросам измерения отсылают дидактов к математической теории меры. Так идет дело, я полагаю, уже в течение 15 лет. Мне стыдно, что я никогда не протестовал против этого. Университетский математик обращается к учителям и разъясняет общую теорию меры:
Дана система (Л4, В. р), состоящая из множества М, совокупности В подмножеств М, отображения р совокупности В в множество действительных чисел, такая, что выполняются условия:
Мъ М2 € В => Mi U М2 С В А МгПМ2 СВ ДМг\М2 СВ;
М С В=> }1 (М)^0;
Мь М2 CBN МХ^\М2 - 0^ <МХ и^2)=р(М1)+р(Л12)
и так далее и тому 4 подобное. За этими определениями следует несколько более или менее тривиальных теорем и примеры такие, как мощности и меры множеств, имеющих размерность не более чем три. Слушатели дивятся столь высокой мудрости, а на следующей встрече, когда знаменитый математик отсутствует, часами обсуждают, что означает запись 3 кг и как понимать равенство 3 кг = 3000 г; является ли «кг» множителем, как это принято в алгебре при буквенных записях, и вытекает ли равенство 1 кг = 1000 г из общего дистрибутивного закона. На таких дискуссиях я присутствовал еще в 1969 году. Если кто-то излагает иначе, они лишь пожимают плечами: ведь речь идет о теории меры.
Ясно, что общая теория меры не имеет с этими вопросами ничего общего; она дает учителям и учащимся лишь камни вместо хлеба. К счастью, некоторые дидакты в последние годы разобрались в этих вопросах; речь идет о самих по себе старых и не очень глубоких рассуждениях, которые были лишь затуманены постоянными ссылками на теорию меры.
Величины. Величина есть непустое множество G с отношением порядка (<) и сложением (+), такое, что для a, b, с С G выполняется:
а < 6, либо а = Ь. либо а > Ъ (исключительное «либо)»;
а<ЬДЬ<с=>а<с;
(а + Ь} + с = а + (Ь + с);
а + b = b + а;
а -Д- с = b + с =^ а = Ь;
а < b Эс (а + с = Ь)
(легко показать, что это с определяется однозначно).
На основе сложения можно определить умножение на положительное натуральное- число: 1 • а = а, (1 + nV а = а + п * а для п € Nv , т. е. п • а = а + и+ ... + а с п слагаемыми.
Далее требуется делимость величины, т. е.
Ча С G V п С N 3 b С G (а - п • Ь)
(здесь также Ь, т. е. п-я часть, однозначно определена).
Итак, в G допускается умножение и деление на натуральные числа, а вследствие этого и умножение на положительные рациональные числа (элементы Q^ \
Прежде чем продолжать рассуждение, приведем пример G. (1усть G — множество масс. Тогда оно обладает следующими свойствами: в множестве этих объектов вводится отношение «равновесия» (устанавливаемое с помощью весов); точно так же вводится отношение «легче, чем»; далее устанавливается, как при объединении двух объектов получается новый объект. «Равновесие» есть отношение эквивалентности, для него образуются «классы эквивалентности», называемые обычно массой. Мы будем называть их массовыми классами, а название «масса» сохраним для совокупности их, для всего множества G.
Другими примерами могут служить линейные, плоские и пространственные фигуры (измеряемые длиной, площадью и объемом) и, возможно, даже объединенные в единую систему, где линии предшествуют поверхностям, а поверхности —объемам.
-Мы продолжаем, общее рассуждение. Выберем в G единицу или единичную меру е. Рациональныё кратные е образуют множество Q+- а, которое не исчерпывает G. Чтобы в этом убедиться, нет необходимости обращаться к возможному существованию иррационального веса, длины и т. п. Второй пример показывает это иным способом. Если складывать длины, мы никогда не получим площади; складывая площади, никогда не получим объема.
Итак, в принципе мыслимо существование элементов G, которые меньше любых элементов Q • е или также больше любых элементов Q+ • е, иначе говоря, бесконечно малых и бесконечно больших -элементов по отношению к е. Такие величины называются неархимедовскими. Итак, величина называется архимедовской, если:
Для е С G не существует элемента, большего (или меньшего), чем все элементы Q- е*
Это можно выразить и так:
Для с, d $ G существуют г £ Q+ и s С Q+ такие, что d < г • с и d > s • с.
Затем можно, конечно, выбрать г целым и s числом, обратным Некоторому целому, поэтому для с. d С С существуют натуральные
т и п такие, что. d < nVc и d> • с. п
-Дак как с и d можно поменять ролями, достаточно потребовать:
S'. V c. d 3 n £ N (d < n • cY
Это и есть обычная форма аксиомы Архимеда. Учебники обычно начинают с (8'), чтобы вывести (8). Мы выбрали (8) и упростили это требование. Так поступают в активной математике; обычный же порядок является антидидактической инверсией. Так как она применялась уже более 2 тыс. лет назад, никто не подвергает ее сомнению. Это одна из причин. Другая: если начать с (8), то все представляется страшно ясным. Чтобы сразить читателя, начинают С (8').
Возьмем теперь архимедовскую величину G. Как и раньше, выберем е С G. Каждое а С G разбивает Q+ • е по величине на две части и таким образом определяет в Q+ разбиение на 2 множества:
. {т € Q+ , т • £ ^ я}, {т С Qv , Т • е > aY
Это называется сечением в Q+ ; оно обычным образом определяет действительное число а С R^ . Иначе говоря,
а = sup {т С Q^ , т • е ^ aY
а есть по определению мера а относительно е. Это положительное действительное число. Таким путем можно ’ представить любое а С G как положительное дeйcfвитeльнoe кратное е. Надо еще потребовать, что обратно любое положительное действительное кратное е принадлежит G. Можно было бы этого потребовать, например, в форме следующей аксиомы:
Gzd Rr • е.
Само собой можно даже потребовать: G = Rb • е.
Далее легко показать, что для а, Р € /?+
а < р =^ а • ^ < Р • е,(а + Р) • е = а • е + р • е.
Меру а относительно е обозначим v (я). Тогда:
v отображает G в R^ (если принять (9), то на R+ ).
а < b =>- v (а) < v (bY.
v (я + b) — v (я) + v (bY
v (е) = 1.
Также само собой:
v (to) = t (v (я)) для /С Q+ •
Свойства I—IV характеризуют v; существует единственная функция, обладающая этими свойствами, именно мера v (а) величины а относительно е. Если е заменить через ^ = а • а, то получится новая мера V (aY причем
v' (а) = а ~L у (aY
Все это кажется само собой понятным, и едва ли стоило труда вводить это. Я все же проделал это, чтобы подчеркнуть, что учение о величинах не имеет ничего общего с теоретико-множественной мерой. Пожалуй, есть аналогии: системе В множеств с мерой соответствует система величин G; для множеств существует объе-
динение, для мер — сложение; р так же, как v, является положительной функцией, и обе они при объединении или соответственно при сложении сохраняют аддитивность. Однако нужно обратить внимание: сложению величин соответствует объединение множеств без общих элементов. Следовательно, нельзя «складывать» произвольные множества в том же смысле, как складывают величины. Напротив, операции пересечения и объединения величин не имеют смысла. Изменение масштаба ничего не обозначает в теории меры, но является ключевым понятием для величин. Мы уже отмечали, что теоретико-множественная модель не соответствует приложениям, в которых рассматриваются величины. Теория множеств и учение о величинах —различные вещи, и их не следует смешивать. Во всяком случае, учителя, пытающегося постичь измерение величин, совершенно неправильно отсылать к мере множества.
Эти строки написаны и для учителя; насколько глубоко следует школьнику разбираться в теории измерения величин —другой вопрос, который я еще не рассматривал. Однако к изложенному нужно добавить несколько замечаний. Сказанное выше может дать неверное представление о процессе измерения.' Практика совпадает с теорией вплоть до выбора единицы измерения е и даже вплоть до попытки выяснить, не уложится ли е в заданной величине а целое число раз. Если это не получается, то в соответствии с теорией нужно попытаться уложить в а любые доли е вида — • е и устано- п
вить, какие — • е окажутся меньше а и какие больше а; таким п
образом, Q+ • е разбивается на 2 части, которые и определяют сечение (разумеется, если случайно — • е Совпадает с а, то меранай- п
дена).
На практике поступают не. так. История знает различные попытки. Если даны две величины а0 и аъ можно попытаться найти общую единицу измерения, которая в каждой из данных величин а0 и ах укладывается целое число раз. Это выполняется с помощью алгоритма Евклида:
0О = 9А + 02 (0 < а2 < а^,01 = 9202 + 03 (0 < а3 < я2)
Если процесс обрывается, скажем, если
0/2-1 Яп^т
бесконечнаябесконечнаято ап является общей (и притом наибольшей) мерой величин и 01- 9/— знаменатели разложения в цепную дробь отношения
бесконечная
бесконечная
л-. Процесс может не оборваться, и тогда получается ai
цепная дробь1.
_ 1 Именно такой процесс рассматривает Киселев в разделе «Об измерении величин». См.: Киселев А. П. Геометрия. М., 1980 (прим, перев.).
Это одна из интересных во многих теоретических отношениях идей, по практически бесполезная для учения о величинах. Исторически интересен, хотя и не важен вообще, египетский метод, при котором результат деления представляется в виде суммы различных долей, т. е. дробей с числителем единица.
Естественный и применяемый на практике метод измерения разработан вавилонянами. Если а С О несоизмеримо с установленной единицей измерения е, берется меньшая мера. Для величин в повседневной жизни издавна существуют различные меры —для расстояния, скажем, дневной переход, миля, сажень, фут, дюйм. Вавилоняне установили постоянные соотношения для подобных мер друг к другу, причем особенным предпочтением пользовалось число 60. .
Раз такая система однажды разработана, то уже нетрудно было догадаться разбить наименьшую из имеющихся мер на 60 долей и продолжить эго деление столько раз, сколько требовалось. Ныне мы предпочитаем число 10; наши языки и счетные приборы в наших методах исходят из десятичной системы счисления; древневавилонская идея систематического деления единицы измерения еще в 1585 году перенесена Симоном Огевином на десятичную систему. Так измеряют и ныне: если имеющаяся единица измерения оказывается слишком грубой, ее делят на степень десяти. Результат измерения записывают в десятичной системе: сначала целое число, а затем, если требуется, знаки после запятой. Некоторые' доли или кратные обозначают приставками, вроде милли-, микро-, кило-, мега-, гига-, для таких единиц, как секунда, тонна, литр. В иных случаях в название единиц включается числительное как миллион или биллион.
Если пользоваться только десятичными долями, то аксиома делимости (7) не требуется в полном объеме; для практических измерений эту аксиому можно сформулировать так:
7. 4a№HGla- 106).
Таким образом, обыкновенные дроби вообще не рассматриваются. В качестве результата измерения получаются только десятичные дроби, которые в идеале могут стать бесконечными. В этой системе 1/3 выражается в .форме бесконечной десятичной дроби; в такой форме представляются рациональные числа вообще. Если воспринимать обыкновенную дробь как результат измерения," то над аспектом меры будет учинено насилие, а это служит первым указанием на делаемые впоследствии дидактические выводы. Обыкновенные дроби возникают скорее при делении, чем при измерении.
Мне следовало бы рассматривать доли и кратные как особые аспекты понятия числа, потому что во многих языках для них существуют особые выражения. В понятии величины они играют формирующую роль, как операторы, которым соответствуют рациональные числа. Однако, для того чтобы найти меру этих величин, достаточно ограниченного требования делимости. Я сформулировал его как делимость на 10. Математически приятнее было бы
число 2, но можно взять и любое другое основание; если угодно, можно менять основание при переходе от одного деления к другому, как это делается в английской системе мер.
Обозначение меры как функция. Я должен вернуться к прежнему вопросу о том, что означает запись 3 кг и как понимать равенство 3 кг = 3000 г. Мы можем выбрать в качестве единичной меры массы е килограмм, т. е. класс эквивалентности, к которому принадлежит определенный эталон. Этот класс и есть е = 1 кг. Мера v относительно этой единицы е принимает для объектов класса масс. а кг значение: . х
v (якг) = а.
Или, наоборот, а кг следует понимать как прооораз а при отображении V. Или иначе v'1 есть отображение в G множества упорядоченных по величине положительных действительных чисел. В данном случае числу а ставится в соответствие массовый класс а кг:
V™1 (а) = а кг.
Следовательно, «кг» обозначает то же самое, что и обозначение «v~b>, только записанное справа от аргумента, а не слева. Может быть, было бы удобнее писать обозначение функции перед аргументом, т. е. вместо 3 кг = 3000 г писать:
' кг 3 = г 3000.
Здесь не поставлены скобки; но часто бывает, что и при обозначении функции скобки опускают. '
Итак, обозначение меры есть знак функции; руб., см, сек, г— функции, отображающие числа на данные денежные суммы, длины, промежутки времени, веса. Зависимость между кг и г можно выразить кг х = 1000 • г х, т. е. «килограмм в 1000 раз больше, чем грамм».
Это очевидная интерпретация, и можно лишь объяснить традицией и отсутствием указаний на теоретико-множественное понятие меры, что она до сих пор не проведена.
Прямая и обратная пропорциональность. Учение о величинах еще не исчерпано. Ведь складываются не только величины однородные; устанавливают взаимосвязь между величинами разного рода и образуют новые величины.
Одной из важных связей между величинами является гомоморфизм, отображение / величины G в величину Gi с сохранением фундаментальных соотношений, т. е.
a <b=>m < f (b)9f (а + b) ~ f (а) + f (b)
M, само собой разумеется,
f (т a) = т f (a) для т C Q + .
Для рассматриваемых нами архимедовых величин такое отображение взаимно однозначно; если потребовать выполнения (9), то оно является отображением G на Gv Гомоморфизм установлен, если для некоторого а £ G определен его образ / (а); если для G выполняется (9), то заданному а можно поставить в соответствие любое / (а) в Gv Так как величины G и Gr полностью характеризуются мерами v и vx, то / выражена через эти меры:
g = vt h~1
является отображением R^ на себя, таким, что g (v (a)) = vt (f (a)),
чем и устанавливается соответствие меры а и образа f (а) для а. Отображение g является ограничением линейного отображения на R, и потому имеет вид:1
g (т) = а т,
где a € R^ .
В этих рассуждениях выявляется математическая подоплека прямой пропорциональности величин. Обратная пропорциональность также находит свое обоснование в антигомоморфизме.Так называется отображение f, для которого
а < b => f (а) > f (b),f (па) = — f (а) для п С N+п
и, само собой разумеется,
f (т а) = —/ (а) для т $ Q+.т
Антигомоморфизм сводится к гомоморфизму; соответствующее отображение ф записывается через меры так:
.ф (т) = а т"1.
Примеры гомоморфизмов величин известны: отображение /, которое массе товара ставит в соответствие его стоимость; объему вещества—его массу; времени—путь (при равномерном движении). Примерами антигомоморфизмов могут служить соответствие длины ширине при заданной площади прямоугольника или числа рабочих на данном объекте — времени выполнения работы (при обычных условиях).
Умножение и деление величин. Можно не только сравнивать величины друг с другом; их можно перемножать и делить. Таким путем получается, скажем, величина стоимость /масса с единичной мерой р • кг""1; масса/объем —г • см"3; пут^/время —см • сек"1 или км • час"1. Меры этих величин называются: цена (единицы товара), удельный вес, скорость. При этом применяемые обозначе-
ния изменчивы. В одном случае пишут, скажем, ... за кг, в другом ... км/ч; для удельного веса обозначение опускают, ибо он странным образом определен как масса одного кубического сантиметра вещества в граммах. Некоторые из этих понятий, хотя и не систематически, изучаются уже в начальном курсе арифметики. Истинный математик, конечно, ненавидит подобные числа и предоставляет заботы о них физику. При делении
150 км : 3 ч = 50 км/ч
у него волосы встают дыбом. Подальше бы от всего этого! Обучение школьников тому, что происходит в повседневной жизни, завело бы слишком далеко. „,
Аргумент строгости при действиях с именованными числами является ложным. Вычисления строги, а сопротивление, которое некоторые математики считают оправданным, является чистым догматизмом. Я уже разъяснял, как следует понимать, что
кг 3 = г 3000.
Здесь кг —функция, г —тоже функция, так же обстоит с «м» и «р». Из них путем умножения и деления можно образовывать новые функции. Математик может еще допустить (ибо этому нельзя помешать), что меры величин умножают и делят. Физик с полным правом воспринимает это иначе; если он знаком с современной математикой, то может указать математику, что оправданием умножения величин является тензорное произведение и что обратные величины двойственны друг другу.
Я не могу вдаваться в эти математические тонкости. Скажу здесь лишь следующее.
Из двух величин G и Н можно образовать новую G • Н. Используя идею тензорного произведения, формально составляются произведения ab (а С G и b € Н\ причем требуется, чтобы
(а а) b = а (а Ь) для а С /?+.
Отсюда в качестве следствия получим, что при заданных масштабах е G, f £ Н
зависит только от произведения ар. Если а = а е, b = р /,
то можно заранее объявить ар мерой ab относительно ef и затем определить сложение и сравнение элементов G • Н с помощью соответствующих мер.
Пример. Работа = сила • путь с эмпирически установлен-
ным фактом, что половинная сила на удвоенном пути выполняет ту же работу. Или чисто математически:
объем прямоугольника =■ длина • ширина.
При этом вполне осмысленно писать:
кг а • м р = кгм ар, где «кгм» есть функция, составленная из «кг» и «м», которая отображает числа на работу. Или:
• см а • см р = см® ар, -'
где «см2» отображает числа на площадь фигуры.
Теперь о делении величин или, скорее, об обращении величины G. Может ли это быть? Делят же «путь на время», «площадь на длину», однако существует ли в себе и для себя нечто, имеющее вид обратной длины, обратного времени? Да, величины, обратные длине, известны в оптике под названием «диоптрии» (диоптрия —это м-1); так называемое число колебаний в акустике (например, сек-1 435 для камертона) есть величина, обратная времени, так же как и килогерцы для радиоволн. Любые из этих величин можно осмысленно складывать или по меньшей мере находить среднее арифметическое значение (имеется в виду оптический закон, по которому сумма величин, обратных расстояниям до объекта и до изображения, равна величине, обратной фокусному расстоянию).
В чем же операционный смысл обратных величин? Возьмем хотя бы число колебаний:
число колебаний • продолжительность = количество колебаний.
Если умножить число колебаний (в, секунду) на промежуток времени (в секундах), то получится отвлеченное число, количество колебаний за указанный промежуток времени.
Если заданы величина G и обратная ей G*, то их соотношение описывается тем условием, что определено их произведение
G ■ G* = R+,
т. е. для а ( G и a* £G* произведение аа* является элементом /?+ и билинейно по а и а*.
Такие G и G* называются (собственно говоря, для модулей и векторных пространств) двойственными друг другу. Обычно выбирают единицы измерения е € G и е* € G* так, чтобы
е • е* = 1
(следовательно, скажем, «сек» и «сек-1», если речь идет о промежутках времени и обратных им величинах). Для мер v и v* величин а € G и а* С G* при этом получается:
а • а* = v (а) • v* (а*).
В частном случае, если а и а* выбраны так, что
а • а* = 1,
то для v (а) и v* (а*) получаются обратные значения. Поэтому двойственные величины представляются обратными друг другу.
Особенно часто обратные величины встречаются как множители составных величин; как мы уже упоминали:
цена за единицу товара = стоимость/массу, плотность = масса/объем, скорость = путь/время.
Совершенно ясно, как следует вычислять с мерами:
р а (кг 0)-1 — р кг-1 оф-1, г а (см3 Р)-1 = г см-3 ар-1, м а (сек Р)-1 = м сек-1 аР-1.
(Снова нужно обратить внимание: «сек-1» есть функция, отображающая числа на величину, обратную времени, а не обращение функции «сек», которая отображает числа на время.) Было бы полезно, если бы вычисления с именованными числами всегда рассматривались по этим правилам. Обычным обозначением деления на именованное число является словечко «в»: км/с —это километр в секунду. Так же и в процентных расчетах: 5% — это 5/100; процентная ставка должна быть задана с помощью обозначения, скажем, 5 %/год или, если угодно, ■—% / месяц или 35% / 7 лет. К сожалению, такой четкой формы записи, которая облегчила бы обучение, страшатся, потому что университетские математики лишь хмурятся при упоминании об именованных числах. Однако их сомнения легко преодолимы, ибо именованные числа можно ведь систематизировать аксиоматически, как величины.
Я подчеркиваю, что это не означает необходимости предлагать такую систематизацию школьнику; если это и нужно, то лишь на последующих ступенях обучения. К этому мы еще вернемся.
Логарифмирование величин. Под названием «децибел» известна мера, появляющаяся при логарифмировании величин. О логическом статусе этой меры нет ясности даже у техников, которые ею пользуются. Большей частью децибелами описывают уровень зву- Кй; интенсивность звука измеряют в Вт • см-2 и берут 1010 log от Меры. Следует воспринимать это как именованную величину, но £ аддитивным вместо мультипликативного обозначения меры. Та- ■Йим образом, интенсивность звука в 1000 Вт • см-2 в шкале деци- ^елов обозначается:
10 log Вт • см-2 + 30,"
$Как уже многократно предлагалось1.
1 Автор ссылается здесь на свои публикации «Децибел как фундаментальное Понятие» и др. в голландском научном журнале в 1951 году (прим. трее.).
Числовая прямая. Наиболее привлекательное, что можно сказать об аспекте числа как меры, я приберег к концу. Конечно, школьник должен научиться вычислениям с величинами; чтобы учитель знал, что за этим кроется, я провел подробные рассуждения. Но в процессе обучения необходимо и вначале, и на последующем этапе прибегнуть к какой-то одной модели понятия величины. Для принятых нами аксиом все такие модели изоморфны; если рассмотреть одну модель, станут понятными все другие,’ коль скоро они будут распознаны. Значит, нужно поупражняться на одной модели понятия величины и поупражняться в распознании многих других или познакомиться со многими величинами и их взаимозависимо- стями.
Наиболее математической среди величин является длина; это основное понятие геометрии. Она более осязаема, чем промежуток времени; все классы длин можно локализировать на одной, может быть бесконечной, линейке; для массы же нельзя представить «массового ящика» с непрерывным рядом массовых классов. Поэтому моделью величины будет длина; она конкретна, насколько мы можем пожелать; на бесконечно длинной линейке реализуется числовая полупрямая; если признать ее, остается сделать лишь небольшой шаг к числовой прямой. На ней располагаются не только скалярные, но и одномерные векторные величины, которые едва упоминались до сих пор. Я сказал «числовая прямая» в единственном числе, но, разумеется, числовые прямые известны, как любая числовая модель, в копиях. Ее изображают иногда горизонтально, иногда вертикально (большей частью горизонтально, что также имеет недостатки); обе числовые прямые объединяют на одном чертеже, чтобы получить график, —это дает модели связи различных величин, скажем количества и стоимости товара, —график задает таблицу стоимости так же, как вытекающая из пропорциональности линейная функция.
В дальнейшем я рассмотрю числовую прямую как средство наглядности. Однако уже теперь я хочу заметить, что правильно применяемая числовая прямая может служить отличным вспомогательным средством для наглядного представления четырех арифметических действий: прибавление или вычитание некоторого числа воспринимается как сдвиг, вычитание из некоторого числа — как отражение, умножение и деление — как растяжение или сжатие; правила вычислений выявляются весьма наглядно. Я рассматриваю числовую прямую как ценнейшее достижение дидактики четырех арифметических действий в современной математике.
В литературе можно найти три приложения числовой прямой, на которые я должен сослаться: во-первых, так сказать, числовая прямая как линейка, точки которой соответствуют действительным числам; во-вторых, как прямая, на которой нанесена шкала с произвольным началом отсчета и единичной мерой и на которой точки называются числами; в-третьих, прямая как застывший субстрат, на котором числа действуют как операторы (перенос и растяжение).
Назовем эти три вида соответственно объектным, координатным й операторным восприятиями. Второе восприятие, без сомнения, на- йболее систематическое, а третье — наиболее элегантное; однако мы увидим, что эти восприятия базируются на дидактически неверных предпосылках и порождают серьезные дидактические трудности. Поэтому, говоря в этой главе о числовых прямых, я буду иметь в виду первое восприятие.
Здесь числа прочно связаны с прямой; особо отметим, что это относится к точкам 0 и 1, т. е. к единичной мере. Я допускаю, что неизменная единичная мера менее удобна для восприятия величин, но это имеет преимущества в дидактическом отношении. Как я разъясню далее, числовая прямая должна применяться с самого начала обучения вычислениям или почти с самого начала. Прежде всего на ней должны быть отмечены и обозначены натуральные числа; затем при вычитании появляются —и обозначаются —отрицательные числа; при делении или сжатии присоединяются обыкновенные дроби; при измерении—главным образом десятичные дроби, вначале конечные,, а потом бесконечные. Таким образом числовая прямая заполняется — я подразумеваю — не числами или точками, а точками, воспринимаемыми как числа. При этом методе не приходится вводить новые числа, нет принципиального расширения числовых областей — есть лишь все расширяющаяся «познанная область». Действительные числа с самого начала даются в их наглядном представлении как операции: сложение как сдвиг, умножение как растяжение; арифметические законы действий очевидны или легко могут быть проиллюстрированы.
Здесь уместно принципиальное разъяснение, которое относится не только к понятию числа, но и к математическим понятиям вооб- -ще в их обучающем контексте; в понятии числа их последовательность выражается яснее всего.
Описание или создание понятий — анализ или синтез? Числовая прямая должна внушать существование и взаимосвязь натуральных, затем целых, рациональных, действительных чисел; или, лучше, она должна создать у школьника чувство, что он выполняет действия и операции в уже знакомой области, существование которой вообще не упоминалось или не разъяснялось; предлагае- ,мая ему область настолько естественна, что подобные вопросы вообще едва ли могут возникнуть. В процессе анализа эта область будет описана подробнее; будет показано, где расположены целые числа, как их складывают, какие из них больше, какие меньше, при делении подведут к дробям и, наконец, когда пройдут через все это, покажут относительно любого действительного числа, как оно определяется числами рациональными. Однако это описание обычно бывает весьма неполным. В течение первого семестра в университете все это выправляется. При изучении алгебры говорят, что действительные числа образуют упорядоченное поле и добавляют еще одно топологическое свойство (скажем, существование верхней границы
ограниченного множества). Акцент сдвигается с меры на компонент вычисления —в этом мы еще разберемся. Во всяком случае, излагается все необходимое, чтобы заняться действительными числами как субстратом анализа. Разумеется, как и о числовой прямой, можно теперь спросить об упорядоченных полях с такими-то топологическими свойствами: существуют ли они вообще и сколько их существует? Конечно, если существует одно, то существует и много, но все они изоморфны друг другу (также с учетом топологии).
— То, что хотя бы одно такое поле существует, — замечает доцент, — вы узнаете позднее в таком-то курсе (предназначенном для математиков, но не для физиков). • .
Когда я был студентом, мне все это тоже преподнесли в первом семестре; будучи молодым приват-доцентом, я следовал примеру моих учителей.
Нынешний метод научно и дидактически вполне оправдан и предпочитается прежнему. Что это значит: доказать существование того, что мы ныне называем «поле действительных чисел»? Мы сводим действительные числа к рациональным, скажем, с помощью сечений в области рациональных чисел или с помощью фундаментальных последовательностей (рациональных чисел!). Мы должны обратиться к глубоким теоретико-множественным понятиям, чтобы найти средства — подмножества или подпоследовательности, классы эквивалентности, операции с классами эквивалентности, интерпретацию поля рациональных чисел как подполя нового поля, т. е. выполнить расширение прежнего поля, и затем — самое трудное — показать, что новое поле действительно обладает требуемыми топологическими свойствами (скажем, что в нем любая фундаментальная последовательность сходится).
Это очень важная процедура, которую я только что описал, и не потому, что она от поля рациональных чисел приводит к полю действительных чисел, с которым каждый давно уже знаком, а потому, что она является образцом для многих подобных процедур и непосредственно применима, если требуется пополнить метрические пространства, топологические группы, кольца, поля и таким путем создать легионы новых структур. Эта процедура относится к созданию новых структур и потому не относится к началам анализа, где она является чужеродным телом; ее место там, где создаются новые математические структуры. В университете также требуется мотивация; сложная мысленная конструкция, которая не приводит ни к чему новому, кроме вывода хорошо известного поля действительных чисел из поля рациональных чисел, оказывается плохо мотивированной, если не представляет никаких дальнейших перспектив.
Далее. Чего мы добились, когда свели поле действительных чисел к полю рациональных чисел? Хорошо, вернемся назад, начнем с того, что рациональные числа сводятся к целым с помощью метода пар (целых), чисел. Это опять-таки важный метод, не потому, что рациональные числа, которые уже давно известны, вы-
водятся из целых чисел, а потому что точно так же для любой области целостности образуется поле отношений, а это тоже есть взаимозависимость, в которую можно что-то внести; основания для этого те же, что и выше.
И опять тот же вопрос: чего мы теперь добились? Мы остановились на целых числах; их можно свести к натуральным. А натуральные числа? Их выводят из классов мощностей — я уже разъяснял, что для этого требуется, если мы не хотим, как многие учебники, прибегнуть к сознательному или бессознательному обману.
Во всяком случае, ясно: здесь существование одного объекта сводится к существованию другого; ничто не возникает из ничего, и если последнее нечто ничем не подкреплено, то от начинающего нельзя ничего требовать. Как бы то ни было, нужно начинать с joro, что как, например, числовая прямая, так сказать, самой природой вещей более или менее полно проанализирована и описана. Представить это как вновь созданное человеческим разумом имеет смысл лишь при условии, что учащийся может как-то постичь, для чего это нужно делать. Мотивом может служить, что мы не удовлетворены допущением существования описанного объекта и хотели бы свести его к более элементарному. Я еще не раз буду рассматривать это как вынуждающую причину. Дидактически более убедительно, если сведение одного к другому будет не изолированным актом, а образцом для образования новых структур. -
Действительные числа. Действительные числа появляются столь же рано, как и рациональные, когда рассматривают числовую прямую. Какие бы средства ни использовались, действительные числа появляются почти столь же рано. Единичный квадрат имеет диагональ, а диагональ имеет длину независимо от того, определены действительные числа или нет.
То, что диагональ имеет длину V2, бросается в глаза еще до общей формулировки теоремы Пифагора. Еще до доказательства иррациональности числа V2 (что нетрудно) можно очень наглядно
обнаружить, как ведет себя V2 по сравнению с рациональными числами. В плоской целочисленной _ решетке (рис. 1) строят точку (1; 1^2), соединяют ее с началом координат и смотрят, как проходит полученная прямая относительно целочисленных точек. Если бы одна из точек решетки (а; Ь) лежала на прямой, то уравнение t (1; ]/2) = (а; Ь) с целыми а, b имело бы решение и, значит, К2 = ~ было бы рациональным. В действитель-
ности же существуют лишь все более точные приближения У2 рациональными числами. Значит, существуют иррациональные числа, т. е. числа, которые нельзя представить в форме обыкновенной дроби с целыми числителем и знаменателем. Это верно, хотя такая строгость и не нравится хмурящемуся математику..Он хочет, чтобы сказали:
(?х) х2 - 2 '
не имеет решения в рациональных числах; значит, нужно расширить числовую область, чтобы уравнение имело решение. Нет, наша точка зрения не такова. Это верно, что до сих пор я сталкивался только с рациональными числами, но это не значит, что не существует никаких других. Они уже есть, и я должен не создать их, а открыть. Это не философский платонизм, а подчеркнутое в предыдущем разделе дидактическое отношение.
]/2 уже есть; его нужно лишь вычислить. Я не могу записать У2в форме plq с целыми р и </, но в моем распоряжении есть ведь и другие средства.
Если воспользоваться шкалой, то результат запишется не в в форме обыкновенной, а в форме десятичной дроби. Впрочем, встречалось и раньше, что для записи числа требовалось бесконечное множество символов; 1/3 записывается в форме бесконечной десятичной дроби. Конечно, существует разница между 1/3 и К2; 1/3 есть число рациональное и лишь в прокрустовом ложе десятичной системы ведет себя строптиво; ]/2~есть число иррациональное и в любой системе счисления требует бесконечного количества знаков. Можно, если кого-то это забавляет, измерять или вычислять один за другим сколько угодно десятичных знаков У2. Разумеется, школьнику нужно не только рассказать об этом, но и показать — и это не так уж трудно. Однако этого не следует делать с помощью классического алгоритма извлечения корня, как делало мое поколение еще в школе.
У греков было два хороших способа справляться с такими иррациональностями, как У2. Первый способ — то, что ныне называется алгоритмом Евклида или, иначе, составлением. цепной дроби. Если применить прием, приведенный на с. 127, то а0 = У^^ а^ = 1, далее получим qx = 1, а2 = У 2 — 1, 92=2, а3= (У 2—I)2, 9з = 2 ..., и если теперь на каком-то ап оборвать процесс и положить аа = 0, то для У2 получаются последовательные приближения *
XX века (прим, перев.)>XX века (прим, перев.)>А 1 12 112’ 5’ 12’ 29’ ’
XX века (прим, перев.)>
XX века (прим, перев.)>
Еще более действенным является древневавилонский метод: искать сторону квадрата, площадь которого равна 2. Аппроксимацией является поиск прямоугольника с площадью 2, стороны которого лишь мало отличаются друг от друга. Если одну из сторон взять аг = 1, то другая сторона ^ = 2.
Это плохая аппроксимация. Возьмем теперь за новое приближение среднее арифметическое
«2 = y(«i + ^i) = y,
тогда
Это уже намного лучше. Повторим этот прием:
1 ,, , ч 17
«3 =(«2 + У = -,
Теперь стороны отличаются только на —. Еще раз:
1 ., , .577
щ — — (л. -|~ Ья) — ■—",42 v 3408
.2816
ь4 = - - —.а4 577
Разность сторон составляет всего лишь ^~* Так можно продолжать неограниченно; легко показать, что процесс сходится к квадратному корню из 2.
Здесь опять были использованы обыкновенные дроби, однако это не обязательно; можно находить средние арифметические (ал+1) и обратные значения (,Ьп^ в десятичной форме и округлять, скажем, на вычислительном устройстве. При этом легко убедиться, что после нескольких этапов полученная десятичная дробь уже не меняется. Вавилоняне делали это в шестидесятеричных дробях.
Действительные числа появляются как бесконечные десятичные дроби. Они кажутся чуть лй не еще менее сомнительными, чем отрицательные и дробные числа, хотя, по всеобщему мнению, общее понятие действительного числа должно казаться самым трудным. Во всяком случае, осторожными нужно быть. Представление действительных чисел не является однозначным; скажем, числа
2,30000... и 2,29999...
равны; действительно, если сравнивать их значения до n-го десятичного знака, то они отличаются лишь на 10“п, что является бесконечно малым при возрастании п. С оговоркой, что бесконечная
последовательность девяток заменяется последовательностью нулей с увеличением предыдущего знака на единицу, действительные числа задаются десятичными дробями. Вычисления с ними производятся весьма наивно, как с конечными дробями, во всяком случае, вначале; далее стоит проанализировать и правила действий. Скажем, можно установить, что
2,37894... < 2,37901...
в соответствии с величиной первых различных между собой знаков. Если мы хотим сложить две такие дроби, то их где-то обрывают и складывают как конечные. Однако все это не так просто; если оборвать слагаемые на n-м месте после запятой, то нет уверенности в значении последнего неотброшенного разряда суммы. Во всяком случае, поправка не может быть больше единицы; однако даже это не всегда удобно. Скажем, при сложении
0,2354... и 0,1645...
нет ясности, получится ли 0,3999... или 0,4000..., т. е. нельзя установить уже первый десятичный знак, хотя сомнительность в значении суммы становится все меньше при возрастании количества десятичных знаков. Это и есть следствие двузначности в некоторых случаях представления действительного числа десятичной дробью. С подобными проблемами приходится сталкиваться и при других арифметических действиях. Особое внимание требуется при делении; так же как нельзя делить на нуль, не следует делить на число, о котором неизвестно, отлично ли оно от нуля; к делению можно приступать лишь тогда, когда в делителе появятся знаки, отличные от нуля. -
Несмотря на это, область действительных чисел кажется не представляющей трудностей, даже если ее не только анализировать, но и синтезировать. Действительное число определяют как бесконечную десятичную дробь с учетом вышеприведенных оговорок, определяют, какое действительное число больше другого, определяют, как это было схематически сделано выше, правила арифметических действий и выводят из этого законы действий. В заключение показывают, что в определенной таким образом системе выполняется топологическое требование, предъявляемое к полю действительных чисел, скажем, что ограниченное множество десятичных дробей имеет верхнюю грань. Тогда множество бесконечных десятичных дробей с указанными связями и соотношениями оказывается по существу полем действительных чисел.
Это нужно однажды проделать! Я боюсь, что намеченный здесь
путь, кажущийся столь кратким и простым, окажется довольно длинным и, главное, скучным. Я посмотрел, как это сделано в одном из современных учебников. Выяснилось, что это сделано очень нечетко. В самом деле, там определили действительные числа как бесконечные десятичные (или двоичные) дроби, определили еще соотношения больше-меньше в этой системе, но пренебрегли независимым определением арифметических действий, хуже того, ни разу не упомянули, хотя это и необходимо, об определении операций, о проверке законов действий и топологического условия.
Несмотря на это, я хочу сказать, что существование поля действительных чисел можно доказать в школе путем задания системы действительных чисел (хотя, разумеется, не для 12-летних), если удовольствоваться схемой определений операций, как это сделано выше, и не проводить слишком детальную проверку законов действий. Это подходит также для использования ЭВМ. Нужно ли это делать? Это, конечно, другой вопрос. Школьники, которые заучивают наизусть выражения «легко показать» и «мы опустим доказательство», действуют мне на нервы.
Теперь возникает вопрос: зачем нужны фундаментальные последовательности, дедекиндовысечения, системы вложенных интервалов, если можно, и к тому же проще, во всяком случае наивнее, обойтись десятичными дробями? Бесконечные десятичные дроби являются вообще частным случаем фундаментальных последовательностей: если обрывать бесконечную десятичную дробь на р-х местах, то получится последовательность {ар} такая, что \ат —ап\ < е, коль скоро т, п > N (е), причем можно попросту выбрать N (в) достаточно большим, чтобы выполнялось 1(НУ(е) < е; эта последовательность сходится к а. Эти частные фундаментальные последовательности вполне достаточны. Из их сходимости вытекает сходимость любых фундаментальных последовательностей. Поэтому, чтобы обосновать действительные числа, можно удовлетвориться рассмотрением этих частных последовательностей, т. е. удовлетвориться тем, что числа представляют бесконечные деся-. тичные дроби.
Почему так не поступают? Очень просто, потому что это было бы неэлегантно. Прежде всего десятичная система. Число 10 — очень практичное обстоятельство, потому что наши названия чисел, как-то считанные с пальцев, построены по десятичной системе. Эта преимущественная роль числа 10 должна оборваться в высшей математике. На ЭВМ двойка вытеснила десятку. Однако и двоичная система не решает внутриматематических проблем. В бесконечных десятичных дробях в качестве исходного пункта выделены конечные дроби; в бесконечных двоичных дробях это конечные двоичные дроби. Обе системы случайны. «Правильным» исходным пунктом являются, конечно, рациональные числа. В множестве рациональных чисел как двоичные, так и десятичные дроби представляют собой необоснованный выбор. Построение действительных чисел, исходя из двоичных или десятичных дробей, неэлегантно.
Однако это весьма практично. Это подчеркивает как раз то, что близко к практическим вычислениям. Это апеллирует к геометрическому изображению действительного числа, которое наиболее действенно. Действительное число —длинная полоска цифр, выползающая из печатающего устройства ЭВМ. Действительные числа там настолько конкретны, что соотношения между ними, операции, законы можно полностью понять уже на нулевой ступени, не вдаваясь в сложные языковые формулы.
То, что можно определить те же понятия с помощью фундаментальных последовательностей или дедекиндовых сечений, — это теоретическая роскошь. Если это можно себе позволить — прекрасно. Спрашивается, можно ли себе это позволить в школе? Я сильно сомневаюсь в этом. Если делать попытки в этом направлении, то получится, что данное однажды определение действительных чисел — явно или неявно сформулированное — можно сразу же забыть. Оно дастся, как это часто бывает, для успокоения совести авторов учебников. Уже от учителя ожидают, что он это опустит. Так, у нас, в Голландии, одной увлеченной точностью группе реформаторов удалось в период между двумя войнами добиться, чтобы дедекиндовы сечения были включены в учебники, причем только эти сечения, но ни одного следствия из них, и ни разу не говорилось даже о сложении чисел, определяемых дедекиндовыми сечениями. Ни один учитель с полным основанием этого не рассматривал. Учебники такого рода существуют ныне везде; вместо дедекиндовых сечений в них большей частью фигурирует верхняя грань ограниченного множества.
Однако существуют дидакты, которые выводят обратное следствие. Не чувствуя себя в состоянии «строго» ввести действительные числа, они жертвуют в школе анализом. «Строго» при этом означает: дедекиндовы сечения, фундаментальные последовательности и т. д. А некоторые считают достаточно строгим, если они для приличия упоминают эти понятия без того, чтобы их применять.
Это явное непонимание понятия «строгость». Школьник, который воспринимает действительные числа как точки на числовой прямой или в качестве бесконечных десятичных дробей и в этом смысле оперирует с ним, ближе к математической строгости, чем тот, кто познакомится с определением, которое на занятиях не применяется или применяется очень редко. И едва ли есть что- нибудь более оперативное, чем бесконечные десятичные дроби. Восприятие действительных чисел как бесконечных десятичных дробей является вполне строгим.
Разумеется, я не хочу покончить с фундаментальными последовательностями и обоснованием с их помощью действительных чисел. Но пусть тот, кто придает им столь важное значение, подумает, чем они хороши и где в математике впервые встречается то, чем они хороши. Я уже говорил, что элегантность говорит против бесконечных десятичных дробей. Стремление к элегантности правомерно: элегантность прекрасна, если мы можем ее обеспечить и если
другие ее оценят. Теория делимости в Z выглядит элегантнее, если ее формулировать с помощью идеалов; линейная зависимость и независимость векторов выглядит элегантнее, если исходить из теоремы Штейница о замене. На более высокой ступени многое проходит элегантнее, особенно если нам разрешается оставаться на низшей ступени.
Это, конечно, не единственное соображение. Речь идет не только об элегантности. Метод «пополнений» структур с помощью классов фундаментальных последовательностей имеет гораздо более обширные приложения, чем этот пример, позволяющий перейти от рациональных чисел к действительным. Частные фундаментальные последовательности, такие, как двоичные или десятичные дроби, не имеют этого значения. Если мы хотим применять метод фундаментальных последовательностей к построению совсем других объектов, было бы действительно смешно ограничиваться бесконечными десятичными или двоичными дробями при построении действительных чисел. Однако это «если мы хотим...» наступает лишь для тех, кто оказывается на математическом факультете университета. В школе, если же вообще хотеть «овладеть» действительными числами, можно ограничиться их восприятием и толкованием в качестве двоичных или десятичных дробей.
Все это я пропагандирую уже более двадцати лет. Вероятно, практики никогда и не поступали по-другому. В качестве же теоретиков и авторов учебников они этого часто не любят. Рассматривать десятичные дроби кажется в какой-то мере неприличным. К счастью, во многих странах учителю предоставляется свобода исключить материал учебника, который ему представляется нецелесообразным. Все изолированное нецелесообразно.
Теория действительных чисел, которая вследствие догматизма или укоренившегося предрассудка превосходит то, что целесообразно для действительных чисел, нецелесообразна.
Я резюмирую: действительные числа рассматриваются как нечто данное на числовой прямой с их заданными операциями. Числовую прямую исследуют с помощью бесконечных десятичных дробей. Постулируют или дедуктивно выводят из свойств бесконечных десятичных дробей топологические свойства действительных чисел, поскольку их в самом деле применяют. Если желают делать что-либо дальше, то строят действительные числа заново, но в качестве бесконечных десятичных дробей.
Компонент вычисления. Счет и вычисления обрели первую систематизацию в позиционной системе. Следует заметить, что позиционная система, в том числе и десятичная, старше, чем индоарабские цифровые знаки. Задолго до их появления позиционная система уже использовалась для счета и вычислений. .
Далее автор рассуждаем о применении позиционных систем счисления в письменных вычислениях и в работе ЭВМ, о переходе от десятичной системы счисления к двоичной, на которой работает
большинство ЭВМ. Он указывает на важность работы с конкретными объектами, и не только с записями чисел, при изучении алгоритмов арифметических операций над числами. "
В школьных программах некЬторых стран содержалась раньше- теория позиционной системы счисления; в других странах она исчезла из программ уже давно. Есть лишь одна область, в которой теория позиционной системы имеет смысл, — вычисления на ЭВМ, если это не рассматривалось еще в начальной школе при введении в обучение позиционной системы.
Алгебраический принцип. Автор отмечает наглядность появления дробей при делении и измерении. Он отмечает необходимость быстрейшего введения алгоритмов действий над дробями, указывает, что с измерениями теснее связаны десятичные дроби, чем обыкновенные.
Если принять точку зрения, что дроби служат для возможности 7
неограниченного деления, то — появляется как решение задачи:
7 том —37 том —3«Сколько будет, если 7 разделить на 3?» Если согласиться с отве-
7 том —
3
7 том —
3
это и то следует считать результатом указанного деления.
Можно изложить это более удовлетворительно математически,
7'
если сказать, что под — мы понимаем решение уравнения
(1)(1)(?х) Зх = 7
(1)
(1)
и это решение, обозначенное через х, удовлетворяет уравнению. Тем самым вычисления с дробями переходят из элементарной арифметики в алгебру; ясно, какой фундаментальный алгебраический принцип кладется в основу. В той или иной форме это встречается в алгебре всюду, где расширяется числовая область или операция. «—3» можно объяснить, исходя из натуральных чисел, как число, удовлетворяющее уравнению
(?х) х + 3 = 0;
1^2— как положительное число, удовлетворяющее уравнению
(?х) х2 = 2;
i — как число, удовлетворяющее уравнению " (?х) х\ = — 1.
Если обе части уравнения (1) умножить на 5, то получим:
15х = 35,
357
а это и показывает, что можно отождествить — и у. Это и есть смысл техники сокращения дробей и приведения их к новому знаменателю, исходя из смысловой зависимости, а не только из «ре-
цента» того что в дроби можно добавлять или отбрасывать любые, множители над и под дробной чертой. Если нужно сложить два
7 з рациональных числа, скажем — и —, то назовем их х и у и напишем определяющие их уравнения:
Зх = 7; 5у = 3.
Теперь нужно найти уравнение, определяющее х + у. Это можно сделать путем уравнивания коэффициентов;
15х - 35; 15у = 9, откуда следует:
15 (х + у) = 44.
Формально это есть не что иное, как обычное сложение дробей, однако опять-таки в осмысленном математическом контексте. Подобным образом можно поступить и в других арифметических действиях. Все это протекает по наглядной схеме и в то же время в осмысленном процессе.
Далее автор рассуждает о существовании решений уравнений (1) и следующих; о классах эквивалентности числовых пар, описывающих деление: пары (я, 6) и (#', Ь'^ называются эквивалентными (при условии 6, V -^ 0), если ab* = Ьа*. Здесь же —обсуждение дидактических проблем, связанных с определением рациональных чисел как классов эквивалентностей дробей.
Класс эквивалентности некоторой дроби можно перечислить, выписав дробь за дробью, скажем
— 14 —7 2. И 21’ —б’ —3’ з’ б’ 9’*
Можно красиво й наглядно изобразить классы эквивалентности, ведущие к данному рациональному числу, например к названному выше числу у, в декартовой системе координат на плоскости; каждый такой класс будут представлять точки с целочисленными координатами, лежащие на заданной прямой, проходящей через начало координат. Можно даже вообще определить рациональные числа через эти прямые.
Автор отмечает, что метод введения рациональных чисел с помощью пар целых чисел является примером общей теоремы о расширении коммутативного кольца без делителей нуля до поля. Другим примером служит построение алгебраических дробей, исходя из пар многочленов. Он указывает, что дроб*1 можно ввести как записи — с правилом действия у • о = а, и отмечает возможность такого же подхода к отрицательным числам ((—3) + 3 = 0), корням, а также ж расширению операций (например, к определению степени с рациональным показателем).
Все эти формы введения новых объектов на основании указания правил действий над ними автор объединяет под общим названием «алгебраического принципа». Он отмечает связь этого принципа с «принципом перманентности», отвергаемым высоколобыми университетскими математиками, и показывает далее' дидактическую несостоятельность этой критики. Алгебраический принцип позволяет доказать, что в случае существования искомого расширения правила действий определены -однозначно; доказательство же существования расширения лежит вне рамок возможного в школе.
Формальное присоединение. К2 — это число, с которым вычисляют так, словно квадрат этого числа равен двум. Если я хочу убедиться в существовании подобного объекта, то воспринимаю его как действительное число на числовой прямой или в том контексте, в котором были определены действительные числа. Однако первое направление можно продолжить. Разве не оправдано, что действия с корнем из двух выполняют так, как если бы его квадрат был равен двум? Такие действия с этим символом протекают без противоречий. Я ни на йоту не сомневаюсь в том, что V^является действительным числом. Однако осторожность все же нужна. Предположим, некто заявляет: вычисляем с числом х так, как будто
О • х = 1, или х2 + 1 = О, или 10х = —1.
Так ведь не выходит—вскоре выявляются противоречия; из первого равенства по обычным правилам можно вывести, чтоб = 1; второе и третье равенства неудовлетворительны уже потому, что выражения в левых частях всегда положительны, а справа заведомо неположительны; если отказаться от упорядоченности, то второе равенство удается спасти с помощью комплексных чисел; в третьем нужно подумать, можно ли установленное для действительных значений х определение 10х распространить разумным способом на . комплексные значения х так, чтобы при этом получались и отрицательные значения.
Здесь-то и проявляются противоречия, когда с иксом, установленным неявно некоторым равенством, хотят производить"дей- ствия так, словно этот икс следует известным уже законам. Откуда мы знаем, что с числами —3, —, V2, i можно обращаться по прежним правилам, не сталкиваясь с противоречиями? Правда, мы знаем, что до сих пор противоречия не встречались. Можно даже сказать больше: если бы такое противоречие обнаружилось, его можно было бы свести к противоречию в области натуральных чисел. Доказательства непротиворечивости в математике всегда относительны; когда речь идет о сравнительно сложных областях, то непротиворечивость в одной области сводится к непротиворечивости в другой. Можно попытаться свести все к множествам или к натуральным числам; можно также представить себе числовую пря-
мую и определить на ней места для —3, ^ К2, i (для I понадобится аналогичное представление комплексных чисел на плоскости). Это и есть метод, который мы уже исследовали ранее. Наряду с ним существует другой, более алгебраический метод. Это формальное присоединение.
Что это означает, вычислять с 1^2 ? К множеству рациональных чисел Q присоединим К?- Что может произойти? Мы получим выражения вида а + &К2 (где a, b ^Q\ Такие выражения можно складывать, вычитать, умножать и даже делить по известным правилам:
(а + bV^ ± (с + d/2) = (а ± с) + (6 ± фУТ,(а + ЬУ^ • (с + d/2) = кас + 2М) + kad + Ьс^У^
1 а — ЬУ2 °।—
а + b У 2ка + ЬУ2) <а — Ь У 2)^ " №^ — 2^2*
В результате снова получаются выражения такого же вида, причем знаменатель никогда не оказывается нулем, ибо У2— число иррациональное; обычные законы действий выполняются, и выражения вида а + ^У 2 (причем a, b £ Q) образуют поле УкУ2).
ДЛя всех этих вычислений нужно лишь знать, что кУ2)2 = 2, но не требуется знать места, где У 2 локализуется среди рациональных чисел. Верно ли, что существование К2 и Q (У 2) можно* гарантировать только после такой локализации? Вовсе нет, можно поступить гораздо проще. Вместо а + ЬУ2 рассмотрим упорядоченную пару ка, Ь) (причем a, b С Q) и будем обращаться с этими парами по следующим правилам:
ка, b) + кс, d) = ка + с, b + dy
ка, Ь) • (с, d) — кас + 2bd, ad + bc\
т. е. так, словно это и есть а + ЬУ 2 и c-j-dp^. Легко проверить, что мы получим поле, в котором выполняются все обычные законы.
В нем содержатся и рациональные а С Q в форме ка; 0) и, конечно, К2 в форме (0; 1), причем (0,1) • (0,1) = (2, 0).
Это уже абстрактная алгебра; любители систематизации стремятся резко разграничить ее с введением У2 как действительного числа. Однако нужно обратить внимание, что уже операции, в которых встречаются корни и выполняются действия с ними, и являются абстрактной алгеброй. Вероятно, читателю покажется странным, что он еще в школе, возможно, даже еще до «века Бурбаки», занимался абстрактной алгеброй. Это похоже на мольеровского «Мещанина во дворянстве», который был удивлен, услышав, что в течение всей своей жизни говорил прозой. В самом деле, уже древние вавилоняне применяли формальное присоединение; начиная
с Лагранжа, в течение двух веков этот метод применяется вполне сознательно. Действия с корнями становятся абстрактной алгеброй, когда их исследуют на высшей стадии обучения.
Современная алгебра после Штейница добавила к этому оправдание давно известного с помощью теоретико-множественных методов, мы покажем это ниже.
Я рассматривал аспект понятия числа, который назвал комно- нентом вычисления. «Вычисляй с числом |/2 так, как если квадрат этого числа равен двум». Это «вычисляй так, как если...» я представил здесь действиями над парами чисед и обосновал это. Предназначено ли все это и для изучения в школе? Я полагаю, что да. Но не в тот момент, когда К2 встречается впервые. В этот момент К2 наивно предполагается лишь числом, квадрат которого равен 2. Однако позже, когда прежние иррациональности будут рассматриваться с высшей точки зрения, было бы уместно осведомить школьника, выполняющего действия с а + Ь|/Л2, что он может воспринимать эти действия как действия с парами чисел. Это настолько естественно, что можно лишь задать вопрос, почему это не происходит. Я еще не видел ни одного учебника, в котором бы как-либо рассматривалось формальное присоединение. Многие учебники вводят понятие поля. Как вообще начинается изучение этих вопросов в современном обучении математике? Никак. А ведь это было прекрасной возможностью показать, для чего служит абстрактный алгебраический аппарат и как выглядит элементарное с точки зрения высшего.
Я хотел бы сделать еще один шаг. Почему здесь нужно ограничиваться столь простыми уравнениями? Этому можно лучше и основательнее научиться на более сложных примерах. Возьмем такое уравнение: :
х3 — х — 1 = 0.
Легко видеть, что рациональных решений оно не, имеет. Что мы делаем? Допускаем, что существует некоторый х, удовлетворяющий уравнению, и начинаем выполнять действия, как обычно в алгебре, считая х3 — х — 1 = 0. Следовательно, везде заменяем х3 через х + 1 и соответственно х4 через х2 + х, далее х5 через х3+х2 и далее через х2 + х + 1 и т. д. Все, что получается из х в результате четырех арифметических действий, может быть сведено к виду ах2 + Ьх + с с рациональными а, 6, с. Для сложения, вычитания, умножения это очевидно; для деления это нужно доказать. Вот как это можно сделать.
Вместо деления на многочлен / (х), который, конечно, не делится на х3-— х — 1, так как в этом случае пришлось бы делить на нуль, можно выполнить умножение на некоторый многочлен g (х), обладающий свойством
■ / W • S W ^ 1 с точностью до слагаемых вида х3 — х — 1.
Такой многочлен g (х) можно найти, решая уравнение
f (х) • g W + (^3 — x — 1) e h (x) = 1,
т. e. найдя- удовлетворяющие ему g (x) и h (x). Это возможно, так как известно, что многочлен х3 — х — 1 неприводим в поле рациональных чисел. Практически это можно осуществить тем же методом, который применяется в теории чисел для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, — так называемым алгоритмом Евклида. Пусть / (х) = х2 + 1; тогда
что дает
Так же как мы рассмотрели пары чисел для вычислений с J/2, можно интерпретировать такие вычисления с помощью троек (а, Ь, с\ а именно:
(ц, b, с) + (u, v, &а) (а + Ц, b + v, с + w\(а, Ь, с) • (м, у, ^) =
= (an + aw + bv + си, аи + ас Д bu + bw + си, ас + bu+cwY
Здесь мы попросту ввели расширение поля путем формального присоединения. В учебниках абстрактной алгебры это делается со столь высокой точки зрения, что какая бы то ни было связь со школьной алгеброй отсутствует.
Однако было бы хорошим упражнением взять такой учебник и уяснить себе, что все проделанное выше является элементарным источником того, что имеется в этом учебнике.
Формальное присоединение появляется уже тогда, когда рассматривают многочлены с одной (или несколькими) переменными. Иначе говоря, когда с помощью
/ (х) = а^ + ах х + ... 4- апхп (cq Е Q) определяют не функцию f от х, а выражение, над которым выполняются ассоциативные и дистрибутивные вычисления.
Далее автор говорит о возможности аналогично представить и действия с многочленами как с набором из (п + 1) чисел (/z0, ах, ..., а^ и о возможности установить правила действий над ними, о построении кольца Q (х) многочленов с рациональными коэффициентами и в нем кольца идеалов /, кратных х3 — х— 1, т. е. I = (х3 — х — 1) Q (х); вычисления выполняются так же, как если х3 — х — 1 равно нулю.
В школьной математике придерживаются условия, что Vт есть положительное решение уравнения х2 = т (т > 0). Коль скоро встают на формально-алгебраическую точку зрения, то Vт и —V"т неразличимы; они определяются лишь как решения уравне-
Ния %2 = tn; нужно следить, чтобы при этом не получилось ляпсусов.
Формальное присоединение является общепризнанным лишь в одном случае — при переходе от поля действительных чисел к полю комплексных чисел. И снова I и —I неразличимы алгебраически; различить их может лишь геометрическая интерпретация — ориентированная плоскость, в которой положительное направление обхода характеризует порядок 1, I, —1.
12. РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА-ОТ НАГЛЯДНЫХ МЕТОДОЙ К АЛГОРИТМИЗАЦИИ
И РАЦИОНАЛИЗАЦИИ
В развитии понятия числа можно различать следующие фазы:
наглядное оперирование;
алгоритмическое оперирование;
алгебраическое оперирование;
упорядочение в целом (понятие поля);
включение в систему математики.
Они родственны, но не обязательно идентичны тому, что я ранее назвал этапами учебного процесса. Вообще говоря, они не обязательно протекают последовательно во времени. Обучающийся может по отношению к одному понятию находиться в одной фазе и в то же время по отношению к другому понятию — в другой фазе. Он может одновременно оперировать с одним и тем же понятием в различных фазах. Далее, после наглядной фазы я подробно упомяну od относящейся к ней алгоритмической фазе; это же следовало бы сделать для алгебраических операций и следующих фаз.
Наглядные вычисления со структурированным материалом. Мы подчеркнули первостепенное дидактическое значение порядкового числа; дидактика начального обучения арифметике издавна направлена на систематизацию процесса счета, и, если я не ошибаюсь, это является хорошим методом. При этом структурированный материал играл важную роль, которая сохраняется и сейчас. Ребенок должен научиться добавлять, считая дальше по порядку, научиться отнимать, считая в обратном порядке, должен разбивать числа на десятки, должен умйожать, считая через несколько единиц.
Это как раз шесть недостаток диаграмм Венна — они сознательно игнорируют необходимое структурирование. Конечно, школьник должен работать и с неструктурированным материалом именно для того, чтобы научиться структурировать. Работать с неструктурированным материалом как с таковым или изымать структуру из структурированного лишь теоретическая забава, которая имеет мало общего с обучением арифметике.
Диаграммы Венна не способствуют систематическому счету.
Наоборот, при сложении они вместо присчитывания требуют пересчета с самого начала. Не существует и метода обучения отнимать с помощью диаграмм Венна. Помимо ужасающих нелепостей, видел я и более серьезные, но не убедительные опыты. Наиболее изощренное, что я видел, — это пять птичек, три из которых сидели, а две улетели, чтобы проиллюстрировать вычитание 5—2. Большинство представлений вычитания на диаграммах Венна требуют словесного пояснения, чтобы их можно было понять, вообще говоря, даже и для взрослых. Знаменательно, что безуспешность применения диаграмм Венна для обучения вычитанию не помешала догматическому верованию в необходимость их применения.
Другое требование, которое издавна предъявлялось к материалу для обучения арифметике, — он должен быть однородным. На абаке считали с помощью камешков, шариков, изображений монет, которые были взаимозаменяемыми, на счетах — с помощью одинаковых косточек двух цветов. Можно было ожидать, что теоретикомножественное восприятие должно потребовать однородности материала; с теоретико-множественной точки зрения множество ведь делает все однородным: все, что в него входит, является «элементом». Однако в большинстве новомодных учебников стараются представить множества, с которыми детям предстоит иметь дело, по возможности максимально разнородными: в одной и той же диаграмме Венна можно встретить целый винегрет из букв, цифр, звездочек, крестиков и других бессмысленных фигур, причем все они разнородны. В основе этого лежит не какой-либо дидактический принцип, а математическое заблуждение, которое следует разъяснить: два символа Л, записанные в разных местах классной доски, означают в математике одно и то же; поэтому в диаграмме Венна ничего не должно повторяться, так как это было бы одним, й тем же объектом, а не разными, — вот очевидный ход рассуждений. Однако диаграмма Венна должна быть не бессмысленным выбором значков, а единой картиной, в которой расположены образы; скажем образы монеток, которые ребенок должен подсчитать. Некоторые учебники идут еще дальше; они попросту доходят до обмана школьника, утверждая, что множества должны быть неоднородными, что количество элементов в множестве можно установить лишь тогда, когда его элементы не похожи друг на друга.
Разумеется, верно, что ребенок должен учиться считать и на неоднородном материале. Но для развития вычислительных навыков это подходит меньше, а применение неоднородного материала как принципа обучения является попросту бессмысленным.
Структурирование материала может быть логическим (или принятым по условию, по соглашению) и наглядным. Наша система счисления структурирована логико-условно с помощью «поместного» значения цифр; структуры такого рода известны в системах мер. и, весьма конкретно, в монетных системах. Позиционная система построена по образцу абака, где каждая косточка принимает десятикратное значение, если ее переносят из своей колонки в
следующую слева (иногда используется также пятикратный переход). В наших странах абак исчез при появлении письменных вычислений. Он сохранился на Дальнем Востоке, а также в России, оттуда в начале XIX века абак вновь распространился на Западе — я имею в виду так называемую вычислительную машинку моего детства с 10x10 передвижными косточками. Это и есть наглядно структурированный материал; каждая косточка означает одну и ту же единицу в противоположность абаку или монетной системе, где существуют и более крупные единицы. Монтессори снова рассматривает вычислительную машинку в смысле абака и применяет ее на уроках арифметики.
Материалы, изображаемые на бумаге. С давних пор выполнялись операции с небольшими числами, в ходе которых объединяли или разделяли множества; множества состояли из конкретных объектов; особенно излюбленными объектами были пальцы. За последние годы заметна сильная склонность заменять пригодные для этих манипуляций объекты их изображениями на бумаге. В этом есть нечто вообще разумное, если делать с понятием и фантазией. Однако этого-то почти везде нс хватает. Господствует знаменательная склонность: все эти изображенные на бумаге подчас весьма реалистические материалы ограничивать диаграммами’Венна. Как это происходит, мы разъясним далее; к этому приводит длинная цепочка заблуждений и бессмысленных подражаний. Диаграммы Венна господствуют, хотя существуют гораздо лучшие средства. Прекрасные венгерские учебники арифметики, лучшие в своей области из существующих в мире, вообще обходятся без диаграмм Венна. Там используются лишь естественные группировки для изображения множеств; скажем, штабель из досок, книги на полке, дети на скамейке и т. д.; таким путем они складываются и вычитаются; скажем, для вычитания 5—2 из штабеля с 5 досками сбрасывают 2 доски. А любители диаграмм Венна позволяют себе такую бессмыслицу, как на рисунке 2, при случае даже со знаком
«плюс» вместо объединения, да еще может быть с разными объектами на диаграммах в слагаемых и в сумме. Существуют и корректные представления, как на рисунке 3; это в самом деле верное изображение того, что ребенок делал раньше, когда складывал кучки камешков; но все это лишь чересчур искусственно, слишком абстрактно и недостаточно наводяще в противоположность упомянутым выше венгерским изображениям. Едва ли удовлетворителен и рисунок 4. Как уже сказано, приверженцы диаграмм Венна в натянутых отношениях с вычитанием. Свободно передвигающийся материал и венгерский метод здесь намного предпочтительнее.
Л4ожно спросить: а нужно ли это? Разве ребенок нс может, как прежде, складывать на стрлс камешки? Всегда, когда материал многократного пользования заменяется материалом разового пользования, следует быть несколько скептичным. Учебный материал разового пользования удорожает учебный процесс. Окупаются ли более высокие затраты? Я полагаю, что опытный и богатый фантазией педагог мог бы с помощью материала, не связанного с напечатанным на бумаге, достичь гораздо большего. Однако печатный материал для начального обучения арифметике имеет два преимущества, которые необходимо учитывать: во-первых, легче контролировать индивидуальную деятельность школьника; во-вторых, неопытный учитель с ' помощью хорошо продуманной дидактики вынуждается к конкретным действиям, до которых он иначе мог бы нс додуматься.
Примеры структурированного материала. Многие современные учебные материалы вполне сознательно наглядно структурированы. Часто главенствует принцип, что все единицы имеют одинаковый размер и наглядно связаны друг с другом. Имеется материал Кизснера и материал Штерна с палочками, соответственно от 1 до 10 элементарных кубиков. При этом Кизенер придает еще 'значение связи чисел с цветами, чтобы их легче было опознать; некоторые защищают этот принцип верой и правдой; другие кри-.
тикуют его как ересь; однако оба убеждения не оправданы. У Штерна к счетным палочкам есть еще всякий дополнительный материал. '
Материал Дьенеша более гибок. Упорядочение кубиков происходит систематически во всех измерениях: кубик, палочка-десяток, пластищ<а-сотця, куб-тысяча и при необходимости далее аналогично. Осуществляются и другие основания, отличные от 10. Дьенеш искусно демонстрировал применение такого материала не только к прямому счету, скажем, в алгебре при решении уравнений. Кажется, что дети работают с материалом быстрее, чем учителя математики, которые, очевидно, слишком привыкли к формальным методам, чтобы пользоваться одной лишь наглядностью.
Как уже сказано, дидакты склонялись свести вычисление к чистому счету. Материал благоприятствует систематическому счету, структурному сложению и вычитанию, которые в конце концов должны привести к алгоритмическим вычислениям. Иногда обращаются к наглядному материалу. Утверждают, что дети долго остаются в плену наглядности и это затрудняет, задерживает и мешает переходу к алгоритмическим вычислениям. Я могу представить себе такое в отношении счета по пальцам, но не думаю, что современный учебный материал может так действовать. Я считаю, что можно спокойно предоставить ребенку играть учебным материалом, пока у него есть охота; чем изощреннее будет материал, тем скорее он надоест ребенку — и это все, чего можно пожелать. Впрочем, счетные палочки применяют и.для наглядных действий с дробями. Точнее говоря, получается, что палочки делают более наглядными пропорции.
Множество пар. Исходя из понятия количества, произведение двух натуральных чисел определяется с помощью множества пар. Если Л — множество из а элементов, В — множество из b элементов, то ab определяется как число элементов множества (Л, 6), состоящего из пар вида (я, 6), где a С Л и b 6 В. Нижеприведенный прямоугольник показывает произведение 3 • 6:
11 12 13 14 15 16
21 22 23 24 25 26
31 32 33 34 35 36
Едва ли можно сомневаться, что эти прямоугольники должны быть широко использованы для наглядного представления умножения. В традиционном обучении арифметике они всегда применяются, но пожалуй, недостаточно, и на то есть причины: они мало помогают в алгоритмическом отношении. Чтобы заметить, что 3*6=18, этот пример должен быть преобразован, а это нарушает его форму и симметрию. Поэтому дидакты изобрели другое средство. Они охотнее применяют .счет в более утонченной форме, с шагом большим, чем единица. Систематический счет вообще, и в теории, и
в практике, является полезным инструментом. Некоторые из современных учебников игнорируют систематический счет.
В данном случае систематический счет означает индуктивное построение произведений, т. е. 3-6 как 2-6 + 6 и вообще (1 + а) • b как b 4- ab при исходных условиях: 0 -6=0 и 1 • b = По этому принципу издавна строилась и применялась таблица умножения. Большинство настольных вычислительных машин также образуют произведения индуктивно-аддитивным путем.
Это индуктивное сведение умножения к сложению является важнейшим средством для заучивания. Из догматических соображений обновители иногда забрасывают этот прием. Они утверждают: «Позднее при изучении понятия поля выяснится ведь, что умножение независимо от сложения; это нужно своевременно учитывать». Это в корне неверно. В общем понятии поля умножение отделяется от сложения. Это вполне допустимо. Однако общее понятие поля пока что пустое название. Нужно же иметь хотя бы одно поле; нужно же позаботиться о множестве со сложением и умножением; и если мы нс хотим ограничиться конечными полями, то простейшим является поле рациональных чисел. Можно делать что угодно, но не поможет никакая догма; чтобы определить умножение, необходимо индуктивно свести его к сложению точно так же, как в элементарной арифметике.
При этом нельзя пренебрегать прямоугольным-и таблицами при изучении умножения. Их подчеркивание записано в кредит «новой математике», но переоценка также нс нова. Всегда были учителя, которые тренировали своих учеников «видеть» произведение, скажем, 7 • 8 в форме прямоугольника; всегда были классы, которые показывали удивительные успехи в таких наглядных вычислениях. Большинству учителей такая наглядность не очень по душе. Они ограничиваются систематическим счетом, индуктивным построением произведения и таблицей умножения. Однако не надо забывать и прямоугольных таблиц. Материал Дьенеша позволяет хорошо упражняться в этом; счетные палочки кажутся мне менее подходящими.'
При подчеркивании схемы прямоугольника в нынешней дидактике возникает удивление, что пренебрегают приложениями, в которых эта схема оказывается действенной. Однако такое положение можно понять, ибо в приложениях сразу отпадает количественный аспект натурального числа, который так любят новаторы. Множители сразу оказываются действительными, даже отрицательными числами, для обоснования которых схема прямоугольника кажется неподходящей.
Обычно применяющиеся приложения — это именно те, которые образуют множество пар (Л, 6) из заданных конечных множеств А с а элементами и В с b элементами, и устанавливают, что это множество пар содержит ab элементов, скажем, «сколько пар можно выбрать из 5 мальчиков и 4 девочек?».
Однако настоящие приложения выглядят совсем по-другому.
Задано множество, которое надо структурировать как состоящее из пар. Так, например, время занятий в школе распределяют по двум критериям: 1) день .педели и 2) номер урока; получается пример прямоугольника из 5 дней недели и 4 уроков в день, т. е. 5 х 4 уроков в неделю. Исходное множество.Q времени занятий в школе ’ (если таковое вообще является множеством) структурировано; Л, В и (Л, В) нужно понимать как множества подмножеств Q, а именно Л — как множество дней недели, В — как множество номеров уроков и (Л, В) — как множество пар из дней недели и номеров уроков.
Примеры можно продолжить неограниченно. Наиболее бросается в глаза, разумеется, прямоугольник, который разбивается на 5 полос по ширине и на 4 полосы по высоте (они не обязательно * должны быть одинаковыми), что дает 20 частичных прямоугольни- . ков. Примерно так же рассматривается вычисление.площади прямоугольника, если отдельные отрезки соответствуют единицам длины, скажем, 5 единиц в ширину и 4 в высоту. Как первое математическое переживание моих дошкольных лет я вспоминаю удивление по поводу вычисления площади прямоугольника. Я рассказываю об ЭТ01С1 потому, что, будучи взрослыми, мы легко забываем то, что может вызвать удивление ребенка. Если я правильно понимаю мое удивление в те годы, речь шла нс о том факте, что множество из 5 строк и 4 столбцов насчитывает 5 • 4 = 20 объектов; это я понимал, ибо умел уже умножать. Меня удивило конструктивное структурирование бесструктурного прямоугольника. Мой отец изобразил его на песке. Прямоугольник в учебнике, изображенный со всеми вспомогательными линиями, нс может заменить структуру в процессе ее созидания.-
Мощность множества пар равна произведению мощностей данных множеств — это может заучить наизусть каждый. И сюда это совершенно не относится. Точно так же не относятся сюда задачи, в которых вместо общих множеств нужно подставить конкретные множества. Сюда относятся такие и только такие вопросы, в которых школьнику вначале приходится определить структуру множества пар. В традиционном обучении арифметике это делается с помощью прямоугольника, но делается только для того, чтобы оправдать формулу его площади. Однажды выполнив это, школьник может забыть структурирование прямоугольника. Разумеется, если нужно вычислить площадь прямоугольника со сторонами 23, 46 см и 27, 89 см, его нс строят на бумаге и не разбивают на клеточки. Значит, формула площади работает плохо. Ведь школьник может представить себе такое разделение. Однако для этого он совершенно недостаточно отработал навык структурирования множества как множества пар. Следует также не ограничиваться прямоугольником, разделенным равноотстоящими линиями, а применять и наглядно пояснять,структурирование некоторого множества по двум признакам.
При всем значении, которое я придаю здесь'множеству пар в
качестве средства структурирования, я должен теперь подчеркнуть, что оно тем нс менее опять-таки недостаточно. Оно нс помогает в большом количестве случаев, в которых на него совершенно необоснованно ссылаются. Это я уже разъяснял ранее: если из 5 мальчиков и 4 девочек образовать все пары «мальчик — девочка» (несколько заумная задача), то множество пар в теоретико-множественном смысле является подходящей моделью; однако —большей частью множество пар не подходит к таким задачам на умножение. Я вспоминаю вопрос о 5 кошках, у каждой из которых по 4 лапки: «Сколько всего лапок?» Это «по 4» подсказывает мысль об умножении, но, как я разъяснил, не связано с множеством пар. Еще хуже работает множество пар в вопросе: «На собрании из пяти человек избирается председатель и секретарь. Сколькими способами можно это сделать?» Вспомогательным математическим, средством в таких проблемах является отображение Р на Q, в котором все элементы Q имеют одинаковое количество прообразов. Точно так же «т корзин с п яйцами» структурируют множество этих яиц не в смысле множества пар, а в смысле отображения /, которое каждое яйцо отображает на свою корзину, и это есть отображение с образом мощности тис ровно п прообразами для каждого образа.
Такая модель должна быть основательно проштудирована в процессе обучения. Это было бы ценным применением теоретико- множественных понятий в противоположность многим бессмысленным, которыми изобилуют некоторые современные учебники.
Обобщение модели прямоугольника. Если схема прямоугольника была наглядно применена для натуральных чисел, то она сама собой напрашивается и для дробей; тем самым умножение дробей становится наглядной операцией. Квадрат может быть заполнен 5 • 4 прямоугольниками, стороны которых имеют длины — и —;
5 4
5 ‘ 4 ~з = 2420*5 ‘ 4 ~з = 2420*1
5 ‘ 4 ~
з = 2
420*
5 ‘ 4 ~
з = 2
420*
поэтому прямоугольник составляет — часть квадрата:
12
— —. 1ем же путем наглядно устанавливается, что —
Эч’от путь, особенно для десятичных дробей, есть лишь небольшой шаг к осмыслению прямоугольника (в отношении его площади) как произведения длин его сторон или, наоборот, восприятию про
изведения двух величин в качестве прямоугольника, стороны которого являются данными множителями. Известно, что произведение двух величин в геометрической алгебре греков всегда называлось прямоугольником; рудимент этой терминологии сохранился в чтении выражения я2 как «^-квадрат». Но и ныне интерпретация произведения как площади прямоугольника играет "большую роль, именно при определении интеграла и применении понятия интеграла.
У Эммы Кастельнуово бросается в глаза, что дети сами видят
момент силы как прямоугольник, сторонами которого являются сила и ее плечо.
Следовало бы шире использовать этот прямоугольник в целях наглядности, т. с. нс только, когда речь идет о длинах сторон и площади прямоугольника или когда речь идет о целочисленных множителях? Это напрашивается в применении понятия интеграла, но может быть испробовано уже в гораздо'более элементарных вопросах. Можно изобразить человеко-часы, килограмм-метры, киловатт-часы и ватты как единичные квадраты, а величины, которые измеряются этими единицами, — как прямоугольники: скажем, 100 человеко-часов (ватт), если угодно, как прямоугольник со сторонами в 5 человек (ампер) и 20 часов (вольт) или в 4 человека (ампера) и 25 часов (вольт) и т. п. Я уже разъяснял, и как можно математически обосновать умножение именс^ванных чисел, и насколько это важно для приложений в качестве учебного материала.
Далее автор приводит примеры для пояснения этих мыслей: умножение времени на скорость, чтобы получить путь; объем на плотность, чтобы получить массу и т. п. Касаясь, например, скорости, автор рекомендует убедиться на опыте, что скорости могут быть различны; что прежде всего ученик должен научиться оценивать соотношение скоростей: «больше» и «меньше»; «вдвое больше» и «вдвое меньше»; наконец, рассматривать задачи, в которых'ищется точная мера скорости. Разумеется, подобные правила можно просто продиктовать школьнику, но такой метод никогда не приводит к большому успеху.
Деление на равные части и деление по содержанию. Так как я уже высказывался в пользу наглядных моделей, я должен также предостеречь и от известной переоценки наглядности.
Модель прямоугольника для умножения в некоторой степени симметрична относительно сомножителей. Эта симметрия отсутствует при перемножении именованных величин: если умножают единицы или штуки на цену единицы товара, часы работы — на почасовую оплату, количество месяцев — на 30, то в той или иной степени осознают разницу между множимым и множителем; если нужно умножить денежный вклад4 на процентную ставку, объем на удельный вес, вольты на амперы, то, хотя едва ли можно объяснить, что должно быть множимым и что множителем, но между первым и вторым сомножителями уже нет симметрии. Все же модель прямоугольника подходит во всех этих случаях — такого многостороннего применения и ожидают от моделей.
Знаменательно, что прежние дидакты ясно чувствовали эту асимметрию при делении, без сомнения, потому, что деление всегда воспринимали весьма наглядно. Разделить 20 булок на 5 человек в наглядном отношении совсем не то же, что разделить эти же 20 булок так, чтобы каждый получил по 5 булок, и спросить, для скольких человек это возможно.
Первый пример, где 20 булок делится на 5 частей,- показывает
деление на равные части; второй пример, где 20 булок делится на 5 булок, — деление по содержанию. Школьник был даже обязан решать эти две задачи различными методами; в частности, письменное деление в этих двух случаях выглядело совершенно различным. Вероятно, было нс так много педагогов, которые понимали и могли передать то, что требовали учебники.
Разумеется, было бы неверно переносить различие этих проблем на различие алгоритмов. В том-то и смысл алгоритма, что он универсален. Создавая общие схемы, хотят облегчить себе жизнь. ЭВМ тоже ведь «знает» лишь один вид деления, а то, что дозволяется ЭВМ, должно дозволяться и вычислителю.
Разумеется, существуют различая в постановке вопроса, которые должен понимать учитель и знать, хотя бы и нс сознавая этого, школьник. Однако многообразие постановок' вопроса может быть гораздо шире, чем дилемма «деление на части и по содержанию». Ведь уже при делении по содержанию не просто делят 20 булок на отвлеченное число 5, как требуют учебники; 20 булок разделить на 5 человек = 4 булки/чел. (или 4 булки на человека). Далее идут многочисленные виды деления, в которых площадь делят на длину, чтобы получить ширину; килограммы — на объем, чтобы получить кг/см3; путь — на время, чтобы получить скорость, и т. п. Логично было бы для всех этих случаев создать особые виды деления. Невозможно понять, почему два вида деления должны быть менее абсурдны, чем две сотни выводов. В этом ведь, как уже сказано, характерное применение математики, когда изоморфные проблемы сводят к одной абстрактной схеме. Если искать для этой схемы наглядную модель, то предлагается модель прямоугольника для умножения и обратно для деления. Школьник должен научиться интерпретировать умножение именованных величин по схеме прямоугольника, особенно если речь идет нс просто о числах, а о числовых мерах, и придавать умножению конкретный смысл. Если применить эту модель, то само собой выявится определенная симметрия множителей; тем самым при делении станет излишним различение множителя, играющего роль делителя.
Однако нс следует понимать меня превратно. Нужно, пожалуй, тренировать школьника в обеих формах: «На что нужно умножить 4, чтобы получить 20?» и «Что нужно умножить на 4, чтобы получить 20?», а также во многих других формулировках не для того, чтобы овладеть отдельной рутинной операцией, а чтобы осознать в целом, что овладеть достаточно одной операцией.
Я рассмотрел здесь два вида деления, ибо они, давно уже устаревшие, то и дело проявляются, когда дидакт размышляет о делении именованных величин, не основываясь при этом на учении о величинах.
В следующем разделе «Числовая прямая — две ошибки» автор говорит о традиции расположения числовой прямой горизонтально, тогда как многие ее приложения — термометры, счет этажей, антропометр — расположены вертикально; поэтому автор считает,
что для восприятия детьми горизонтальное расположение числовой прямой не вполне удачно; точно так же дети не сразу научаются отличать правое от левого, например b от d, 9 часов от 3 часов на циферблате; в то же время верх и низ ребенок различает вполне уверенно. •
Вторая распространенная ошибка — неправильное начало счета: многие дети отсчитывают расстояния по линейке от 1 (а не от 0).
В разделе «Числовая прямая как материал для улучшения наглядности» напоминается о трех видах дидактического применения числовой прямой (см» с. 134): объектном, координатном, операторном. Автор поясняет, что при координатном применении числовой прямой арифметические преобразования интерпретируются слишком формально (как переход к новой системе координат), а при операторном подходе' легко наглядно пояснить умножение чисел, но гораздо сложнее выглядит связь сложения и умножения. Этим вопросам посвящены разделы «Координатное восприятие» и «Операторное восприятие».
Объектное восприятие. Здесь с самого начала все устанавливается в' окончательном виде. Числа с самого начала являются объектами, а* вовсе не операторами и лишь затем, после реинтерпретации, объектами. Они жестко связаны с числовой прямой и остаются на своих местах, а не движутся при изменениях начала отсчета и масштаба. При отображениях объекты соответствуют объектам.
Это находят неизящным: число 5 при добавлении числа 3 отображается в 8; совершенно ясно, что 5 и 8 — объекты, а 3 — оператор. Эта асимметрия некоторым не нравится. Однако такое рассмотрение исходит, из неверной интерпретации. Это выявляется следующим образом.
Рассмотрим вначале умножение. 3 • 5 читается на европейских языках как «трижды-пять» (или аналогично). Ныне в некоторых странах (а ранее так, возможно, было везде) действует правило, по которому множителем является здесь нс 3, а 5. Не знаю уж, из чего это исходит; возможно, из того, что при письменном умножении пишут меньший из сомножителей на втором месте и, естественно, считают его множителем. Во всяком случае при такой системе обучения дети должны заучивать таблицу умножения в последовательности 3 • 1, 3 • 2, 3 • 3, 3 • 4, ..., а чтобы подчеркнуть, что в умножении 3 • 5 множителем является 5, следует читать «пятью- три». Удивительно', что стремления к модернизации оставили это неизменным. Во многих учебниках записано, скажем, умножение на 5 нс в форме
х -> 5 • х или Тх 5 • %,
а в форме
х -> х • 5 или ТЛ х * 5
(разумеется^ подобные обозначения относятся не к языку учащихся, а к языку дидактов-исследователей).
Ввиду коммутативности умножения это, конечно, одно и то же, однако на практике это все-таки не одно и то же. Именно это и является непрактичным и потому служит поводом для недоразумений.
Неверно, что при умножении на 3 результат 15, относящийся к 5, оказывается столь ужасно асимметричным. Неверно, что 3 является здесь оператором; понимать так не нужно, даже неверно. 3 — число, объект на числовой прямой, такой же, как 5 и 15. ‘«3» устанавливает оператор (или функцию), а именно функцию «трижды». Это обиходный язык. Почему же нельзя использовать такое удобство обиходного языка? Обиходный язык четко различает число п и оператор «в п раз». Зачем нужно игнорировать тонкости обиходного языка?
Если это все же делается, то отчасти потому, что второй сомножитель в произведении непременно хотят воспринимать как множитель; это странное восприятие влечет за собой и другое. Когда пишут наоборот, то в записи
х -> 3 • х или Tx 3 • х
ойерация «трижды» указывается совершенно ясно с помощью «3-». Значит, «3-» — знак функции. Каждому а £ N (или в Z, или в /?) соответствует функция, обозначаемая «а-». Нет ничего проще, чем
а • : х а • х или а • = Ух а- х.
Можно свободнее взаимозаменять число а и операцию «а •»; имеются различные обозначения, и нс нужно ни для себя, ни для детей вносить путаницу окончательным фиксированием операнда и оператора.
Что дозволено в умножении, дозволено й в сложении; поэтому и 3 + 5 следует воспринимать как прибавление 3 к 5. Здесь также
а + : х а + х или а + = Ч х а + х,
т. с. оператор «сдвиг вправо на а» обозначается «а + ». В сложении это оказывается распространением обиходного языка: наряду с «три-жды» мы можем,ввести «три-и». Тем*самым удается избежать, что тройка может служить и операндом, и оператором. В операторе «3+» тройка является оператором над определенным объектом. В сумме 3 + 5 тройка и пятерка являются равноправными объектами, и в то же время тройка записана не сама по себе, а является частью обозначения функции.
Подобно этому воспринимается и минус. Получается функция — : х ~> —х или —= Чх (—х\
7-
Рис.
5
что наглядно например:
7
представляется как
отражение
от начала отсчета
— : х -> 7 — х или
7 — - Y
(7 - х^
т. е. вычитание из 7, перевертывание числовой прямой, переставляющее 0 и 7; вообще,
а — : х а — х или а — = Лх (а — х)
— перевертывание, переставляющее 0 и а. При этом можно воспринимать «—» как особый случай «а — », или, короче, «—» — как краткую форму записи «О — » (см. рис. 5).
Дети без труда справляются с наглядным представлением вычитания. Может быть, читатель покачает здесь головой, но это так. Я тоже вначале сомневался, но как только с помощью наглядности избавился от навязчивой алгоритмической идеи, то заметил, что проще всего выполнить 7—3, т. е. «отнять три от семи», если отнять эти 3 «с конца семи», а это и есть адекватное описание, что делают, если 3 подвергают отражению, которое переставляет 0 и 7. Тогда я также понял, почему дети видят результат а — b быстрее, чем взрослые.
И все же возражения против объектного восприятия? Наше .восприятие сложения и умножения, разумеется, лишь отодвинуло мешающую некоторым асимметрию. Ва + Ьиабаи b являются однородными объектами, но первый всегда является определяющей частью оператора, а второй — нет. Это выражается в том, Что (?х) 3 + х = 7 и (?х)х + 3 = 7 наглядно означают все же разные вещи: «Какое число при сдвиге на 3 приведет к 7?» и «На сколько нужно сдвинуть 3, чтобы получить 7?» Если из-за этой асимметрии хотят отбросить применение или интерпретацию числовой прямой, то нужно уяснить, что должны применяться обе обратные операции если не на числовой прямой (числовой оси), то на оси времени в таких, например, задачах: «Гансу 7 лет. Сколько лет ему было 3 года назад?» и «Гансу 7 лет. Сколько лет назад ему было 3 года?» Прежним дидактам было ясно, что одно обращение вовсе нс гарантирует другого; как и многие хорошие традиции дидактики обучения арифметике, и это тоже кажется забытым..
Разумеется, это должно быть целью обучения арифметике — по мере возможности работать и с одной и с другой симметричными моделями; на пути к достижению этой цели школьник должен научиться стирать асимметрии при сложении и умножении. Этих асимметрий нельзя избежать, поскольку сложение и умножение рассматриваются как «прибавить к...» и «умножить на ...», т. е. как отображения с одной переменной, что ценно в наглядном отношении. Это один аспект сложения и умножения, который всегда сохраняется, даже если эти операции рассматривают как функции двух переменных. Различные же алгоритмы для таких обращений, как это культивировалось для деления на части и деления по содер- жаник^, совершенно нецелесообразны.
В случае вычитания также следует рассматривать оба обращения
(?х) 7 — х-Зи (?%)% — 4-3
если не просто в примерах, то в текстовых задачах — и этого как раз ныне часто не хватает.
. Знак числа и знак операции. С помощью приведенной выше интерпретации преодолевается еще одна классическая дидактическая трудность. Издавна мешало то, что знаки «плюс» и «минус» используются в двух смыслах: как знак числа и как знак операции. Эта трудность предотвращалась искусственным приемом — обозначением отрицательных чисел с помощью Т, 2, 3, ... или 1", 2~, 3~, ...; применялись также различные цвета для записи положительных и отрицательных чисел. Это является, однако, совершенно ненужным искусственным приемом: в примере 3 + (—7) знак«—» является знаком числа, а знак «+» — знаком действия; то же имеет место в примере (—3) + 7, где знак «+» является знаком действия для (—3). Что касается знака числа, то «+7» означает то же, что и просто 7. Иначе говоря, знак «+» в качестве знака числа излишен; знак «—» может быть как знаком числа, так и знаком операции; чем он является в каждом случае, совершенно ясно.
Систематизация на числовой прямой. Вначале на числовой прямой отмечены только элементы множества N. Прибавление тройки является сдвигом вправо на 3 единичных шага. Прибавление тройки и прибавление пятерки составляют вместе прибавление восьмерки. Это наглядно приводит к ассоциативному закону (сравните это с обычным школьным «доказательством»!). Рассматриваются оба обращения сложения, коль скоро они выполнимы в N. Вычитание из 7 является отражением, которое переставляет 0 и 7; мы уже убедились в его наглядной ценности, (а + Ь) — а и (а + Ь) — b также имеют свой наглядный смысл.
Благодаря потребности неограниченно выполнять обращения сложения на числовой прямой появляются неизвестные ранее образы отрицательных чисел. При этом или (—3) может появиться
как определяющая часть оператора сложения «(—3) + », если «3 + » обращать в N коль скоро это возможно, или сначала отмечают на числовой прямой —1, —2, —3, ..., чтобы решение задачи
+ х = b
выполнялось без ограничений. Во всяком случае, (—а) + появляется как обращение аД-\ наряду с этим появляется b — а как решение задачи:
(?%) а + х = Ь.
Нужно обратить внимание на то, что согласно вышесказанному 7 — 3 = 7 — (+3)
является тривиальным, т. е. условной формой записи; однако же
7—3=7+ (—3)
являетсяДалееявляетсяДалеенетривиальным высказыванием.
является
Далее
является
Далее
аналогично рассматривается умножение на положитель
ный множитель а как растяжение (сжатие), которое 1 переводит в а. Как и для сложения, «можно констатировать» законы для умножения. Дроби, скажем, со знаменателем 3 рассматриваются как результаты обращения умножения на 3 — таким путем появляется оператор «— • ». Композиция операторов «— • » и «7 • » позволяет
7
получить оператор «— • » и аналогично вообще любой оператор
умножения «г • », где г — любое рациональное (возможно, отрицательное) число. Операция умножения дробей истолковывается как композиция операторов. Однако возникают трудности при истол
ковании операций сложения и вычитания дробей.
Автор указывает, что деление на нецелые числа трудно истолковать с помощью наглядных операций на числовой прямой. И хотя логически всегда можно рассматривать деление как обращение умножения, однако это не является достаточно наглядным и требует других предпосылок, отсутствующих в элементарной арифметике. Дидактам следует выяснить все возможности мысленного эксперимента; если убедительного объяснения не получается, то не стоит пытаться обманывать себя и учеников.
Графики для повышения наглядности. Умножение именованных чисел обсуждалось здесь неоднократно; для наглядности бралась модель прямоугольника. Другой формой наглядности является графическое представление с помощью линейной функции. А. Де- лессер предложил овеществить линейную функцию с помощью прозрачной вращающейся линейки на клетчатой пластинке. К сожа-
лению, графические представления в той области, которая ранее освоена пропорциональностью, все еще слишком мало применяются. Конечно, можно составить таблицу значений стоимости некоторого товара, взятого в количестве от 1 до 10 кг, однако график все же убедительнее. Что касается пути как функции времени, то нужна осторожность; движения нс обязательно должны быть равномерными. То, что обычно называют скоростью, носит в технике название средней скорости. Однако, что это такое, кажется в широких кругах неизвестным. Если вы, скажем, летите из Лондона в Амстердам и за 55 минут покрываете расстояние в 450 км, а от стюардессы слышите, что полет проходит со скоростью 850 км/ч, то она, вероятно, имеет в виду максимальную скорость. Нс нужно бояться и графика неравномерного движения. Я полагаю само собой понятным, что графически представленная функция в этих задачах может быть средством не только для наглядности, но и для решения. Даже пресловутые задачи о велосипедистах, которые встречаются и догоняют друг друга, о вливании и вуливании, о смешивании вин и сухофруктов можно, конечно, решать этим способом. При этом я не думаю, что эти задачи нужно решать для уяснения'свойств графиков. Я больше думаю о схеме, которую следует наполнить разумным материалом.
Я хочу показать здесь применение графиков до начала систематического изучения графических представлений. На рисунке 6 изображены «линии жизни» человека — его возраст как функция времени (календаря). Здесь сравнивается возраст ребенка, родившегося 1 июля 1962 года, с возрастом его отца, родившегося 1 января 1937 года. Когда ребенок будет ровно вдвое моложе своего отца? .
На рисунке 7 показано встречное движение с различными скоростями двух поездов, идущих из Л в В. Когда они встретятся? '
На рисунке 8 изображено ежемесячное перечисление определен-
ИмуществоИмуществоВремяВремяРис. 8
Имущество
Имущество
Время
Время
ных сумм со счета одного лица на счет другого лица. Когда на счету получателя впервые окажется большая- сумма денег, чем на счету отправителя?
Наконец, существуют примеры, в которых производится графическое сложение и вычитание; таков рисунок 9, где показано движение судна по течению. Можно также графически «линеаризировать» круговое движение, т. с. изобразить круговое (циклическое) движение линейно, как, например, на рисунке 10, где представлено движение часовой и минутной стрелок; точки пересечения двух графиков указывают (своими абсциссами) моменты встречи двух
стрелок.стрелок.Рис. 10Рис. 10Можно было бы также представить графически упомянутые выше функции Ч х а + х и Ч х ах.
стрелок.
стрелок.
Рис. 10
Рис. 10
Рычаг. Я неоднократно предлагал использовать в качестве средства наглядности рычаг.
При этом я думал не только о наглядном представлении отрицательных чисел и известных операций,, но и об алгебраических законах. При разработке деталей сразу же выявлялись трудности. Результатами я не вполне доволен; возможно, кто-либо попытается их улучшить.
Автор рекомендует далее представлять числа в изображении рычага двумя способами: во-первых, как плечо рычага, т. с. расстояние от осн (положительные числа — вправо, отрицательные — влево, как на
числовой прямой), и, во-вторых, как силу или вес (положительная сила действует вниз, отрицательная — с помощью блока — вверх). Автор ссылается также на статью К. Орлова в Educational Studies in Mathematics 3 (1971), где приводится другой метод использования рычага.
Вычислительные машины. Я часто упоминал об абаке как о наглядном материале для изучения десятичной позиционной системы. К наглядным материалам, хотя это и несколько непривычно, я хотел бы также причислить вычислительную машину, не компьютер, а обычный арифмометр типа «Феликс» с рукояткой. Думаю, что кто-либо уже пытался использовать такую машину в обучении, но нс знаю, есть ли публикации об этом. Я имею в виду применение арифмометра наряду с абаком, когда нужно сложить 8 и 5. t
Применение ручного арифмометра даст прекрасное понимание десятичной позиционной системы, показывает поместное сложение и вычитание, перенос десятков, показывает умножение (или деление) путем повторного сложения (или вычитания) и т. д. Другим преимуществом применения арифмометра автор считает возможность решения близких к действительности задач с громоздкими вычислениями — не нужно бояться, что школьник погрязнет в бесконечных выкладках.
Автор предвидит возражение: привыкнув к арифмометру, школьник не захочет больше складывать и умножать в уме; однако изобретательный педагог сумеет направить стремления школьника; например, можно предложить ученикам вычислить на арифмометре 1 * 7, 2 • 7, 3 • 7 и т. д. и записать в тетради в форме таблицы умножения. Можно предложить двум (или более) школьникам выполнить одни и те же упражнения по таблице умножения в уме и на арифмометре и устроить соревнование, кто выполнит быстрее. Автор признает, что применение арифмометра может ухудшить вычислительные навыки школьников, но не видит в этом большой беды.
В следующем разделе «Рациональная противоположность наглядного метода — пропорциональность и вычисления с дробями» говорится, что пропорциональность является весьма логичным, хотя и не наглядным средством для рассмотрения целого комплекса проблем. Однако тот, кто знаком с алгеброй, легко алгебраизирует эти проблемы, вводя неизвестные. Учителя и авторы учебников, знающие алгебру, но все же предлагающие школьнику решать задачи традиционными вычислительными методами, занимаются обманом. Важно добиваться, чтобы школьники наглядно представляли себе связи между величинами.
В этой связи автор говорит о двух видах педагогики, о двух истинах: одна —для Юпитера, другая— для быков; такую философию он считает негодной для обучения: если данную задачу целесообразно решать алгебраически, школьник имеет такое же право, как и учитель, избрать этот путь решения.
Автор считает вычислительные упражнения необходимыми для подготовки школьника к изучению алгебры, особенно потому, что алгебру школьник должен изучать как нечто, что он должен применять. „
Действия с дробями автор считает большим дидактическим провалом. Дети могут наглядно вычислять с наглядными дробями, но если учитель быстро переходит к алгоритмическим вычислениям с дробями, наступает катастрофа. Правила сокращения дробей и алгоритмы арифметических действий над дробями даются детям ■21
с трудом — для них это правила бессмысленной игры. — + —; 21212133
; _ . —; — :все это идет гладко, а что делать детям 33 33 33
1278,,
С И — ?-
13147 -
Автор считает наиболее наглядной 'операцией над дробями умножение, несколько менее наглядными — сокращение дробей, их сложение и вычитание; деление же дробей он считает совсем ненаглядной операцией. Вообще, оперирование со сложными дробями он считает едва ли мотивированным объектом изучения.
Громоздкие дроби и действия с ними автор считает изобретением школьных учителей, которое можно понять только на высших стадиях обучения. Ван Хиле многократно подчеркивал, что идеи, лежащие в основе действий с дробями, и их мотивации относятся к алгебре: эти действия вводятся для того, чтобы показать неограниченную выполнимость четырех арифметических действий.
В школах ныне прилагается.много усилий для улучшения техники действий с дробями. Автор считает, что это было бы полезным, если бы нс отвлекало от более важных проблем.
Раздел «Рациональный метод в противоположность наглядным — отрицательные числа» содержит аналогичные рассуждения. С отрицательными числами х = —а и у = —b вычисляют так, как если выполняются условия: х + а = 0 и у + b = 0.
Отсюда следует, что (х + у) + (а + Ь) = 0 и потому—(а+ Ь) = = —а — Ь, а также, что b (х + а) = 0, (у + Ь) х = 0 и потому ху = ab^ т. е. (—а) • (—b) = ab.
Для тренировки школьника в действиях с отрицательными числами автор предлагает «индуктивно-экстраполяционный метод», при котором школьник заполняет последние строки таблицы:
3 + 2 = 5 3+1=43 + 0 = 3з + (-!)= ...3 + (—2) = ...3 + 2 = 5 3+1=43 + 0 = 3з + (-!)= ...3 + (—2) = ...3-2=13—1 = 23 — 0 = 33-(-1)= ...3 —(—2) = ...3-2=13—1 = 23 — 0 = 33-(-1)= ...3 —(—2) = ...3-2 = 6(—3) - 2 = —6
3 + 2 = 5 3+1=4
3 + 0 = 3
з + (-!)= ...
3 + (—2) = ...
3 + 2 = 5 3+1=4
3 + 0 = 3
з + (-!)= ...
3 + (—2) = ...
3-2=1
3—1 = 2
3 — 0 = 3
3-(-1)= ...
3 —(—2) = ...
3-2=1
3—1 = 2
3 — 0 = 3
3-(-1)= ...
3 —(—2) = ...
3-1=3(—3) - 1 = —3
3-0 = 0(—3) -0 = 0
3 ■(-!)=... (-3) - (-1) = ...
3 • (—2) = ... (—3) • (—2) = ...
Для лучшего изучения действий с отрицательными числами автор считает возможным сочетать этот метод с наглядными методами.
Прикладные вычисления. То, что этому посвящен специальный раздел, не означает, что и в обучении арифметике прикладные вычисления должны быть обособленной главой. Напротив, я хочу подчеркнуть их органическую связь с «чистыми вычислениями». Существует традиция, что арифметическим действиям обучают, исходя из необходимости конкретных приложений, и что в процессе обучения действиям постоянно возвращаются к приложениям. По крайней мере при вычислениях с дробями поступают именно так. Если рассматривать учебники арифметики, то бросаются в глаза разносторонние приложения, я бы сказал, систематическая полнота приложений. Авторы учебников как бы анализируют все возможности и необходимости прикладных вычислений. Конечно, скорее всего это дань традиции, но результаты все же не такие плохие — я имею в виду также влияние на школьника. Пойдите в магазин или на рынок, и вы сможете констатировать, что считать научились многие. При этом прежде всего стоит заметить, что в ариф.- метике изучаются не только сами действия, но и их применение. А скажем, алгебра и геометрия, изучаемые вне связи с повседневными приложениями, остаются неприменимыми для многих, изучавших эти предметы и «овладевших» ими. Никто нс выдвигает возражения, что приложения арифметики намного проще. Они проще лишь потому, что их лучше изучают.
Автор вспоминает учебники арифметики 40-х годов — еще до современной модернизации обучения математике, по которым учились его дети. На одной из страниц учебника для V класса был изображен отходящий от перрона поезд, приведен отрывок из.железнодорожного расписания и сформулированы вопросы: какой поезд нужно выбрать, если отец пришел на вокзал в 8.00? Когда он прибудет на станцию К? И т. д. Автор считает, что «модернизированному» обучению математике нечего делать с такими «банальностями», ибо вопросы сформулированы чересчур нечетко — следовало бы, скажем, спросить о нижней границе множества времен отхода поездов, обладающих такими свойствами, и т. д.
Приводятся различные формы вопросов для выполнения одного и того же арифметического действия: 16—10. Например:
Гансу 16 лет. Сколько лет назад ему было 10 лет?
Гансу 10 лет. Через сколько лет ему будет 16 лет?
Гансу 10 лет, а Петеру 16 лет.
На сколько лет Петер старше, чем Ганс?
На сколько лет Ганс моложе, чем Петер?
Сколько лет назад Петеру было столько лет, сколько Гансу теперь^
Через сколько лет Гансу будет столько лет, сколько Петеру теперь? И т. д,
Автор утверждает, что, нисколько не преувеличивая, может написать тысячу подобных вопросов. И далее, тысячи подобных задач решает каждый нормальный человек. Может быть, читатель находит их смешными? Но то, что хорошо изучено, часто впоследствии считают смешным.
Обучение арифметике столь тесно связано с приложениями, что проблемы применения изученного попросту не возникают; прикладные вычисления — наиболее наглядная часть обучения арифметике.
И все же автор выражает недовольство: наблюдается тенденция отхода от приложений, стремление к абстрактности. Само по себе это не так уж плохо; однако опасность заключается в чрезмерном веровании в систему и стремлении исключить все, что в эту систему не укладывается. Вот система в развитии понятия числа: натуральные, целые, рациональные, действительные числа. Однако в это «прокрустово ложе» укладывается далеко не все. Скажем, 0,57р.— рациональное число, а 57 к.— целое? Явно бессмысленный вопрос. А числа в железнодорожном расписании — для них В этой системе вообще не находится места. В прежних учебниках был’постепенный переход от простого к сложному, но мало системы. Среди задач нового типа всегда давались—для повторения — задачи старого типа. Вообще многое повторялось, но для математика каждое повторение как бельмо на глазу.Бельма не любит никто, но каждый математик любит систематику.
Автор предостерегает от чрезмерной абстракции в обучении: если абстрактность будет возрастать, то дети станут все больше изучать такое, что они не смогут применять, — и это еще в лучшем случае. В дальнейшем автор обещает показать, что так называемая новая математика подчас создается авторами-шарлатанами.
Гораздо хуже, по мнению автора, положение с изучением алгебры, где в начальной стадии школьник нс может найти применений, поэтому многое следовало бы улучшить.
РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА-АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МЕТОД
Целые числа сотворил господь бог; все остальное — дело рук человеческих.
Леопольд Кронекер.
Грань между арифметическими вычислениями и алгеброй в наших нидерландских условиях проходит между шестилетней начальной школой и следующим этапом обучения. Разумеется, смешно делать вид, что после шести лет школьного обучения вычисления прекращаются и что можно уловить момент, с которого начинается
алгебра. Однако такое разграничение является в нашей школе фактом, и так будет еще какое-то время. Я думаю, что нынешние учителя начальной школы смогут присоединить к обучению арифметике и алгебраические методы там, где это необходимо. Трудность заключается в необходимости соблюдать осторожность при реформе начальной школы. Стоит лишь открыть шлюзы, как и учителя, и учащиеся окажутся беззащитными перед потоком вырожденной математики, которая под названием «новая математика» наводнит школу.
То, что алгебру отделяют от арифметики, издавна имело хорошее обоснование. Элементарным вычислениям свойственны наглядность и конкретность. Алгебра определяется формально-символическими методами. Однако традиционное обучение арифметике давно уже перешагнуло эту грань, или, иначе, с помощью псевдо- элементаризации захватило области, принадлежавшие некогда алгебраическим методам, такие, как вычисления с дробями и все, что связано с пропорциональностью. Это и есть тс вопросы, где прежде должны были применяться алгебраические методы.
Буквы. Классическим признаком применения алгебраических методов было «буквенное исчисление» (ужасное название). С распространением современной математики буквы в качестве математических символов стали появляться все раньше. Если вообще давать множествам названия, то эти названия выражаются буквами; буквы могут также играть роль элементов множеств.
Далее указывается, что направление, названное «новой математикой», отбросило дидактику математики на столетие назад, что введение множеств, состоящих из букв и других плохо математизируемых объектов, нецелесообразно и даже опасно (хотя и законно).
То, что следует понимать в математике под буквами, уже давно известно. С — это любая точка плоскости, о которой ничего иного неизвестно, если нс указано, например, что она принадлежит отрезку АВ, но и в этом случае для точного указания.ее положения надо добавить, что она является серединой этого отрезка. В х2 — 2х + 3 = О значения х, удовлетворяющие этому уравнению, принимают лишь значения 1 и 2, а л — греческая буква, обозначающая совершенно определенное число.
«Иммануил Кант» или «3» означает вполне определенного человека или вполне определенное число; «человек» или «а» могут означать различные объекты, причем ясно, что «человек» может означать только человека, тогда как область, пробегаемая «а», определяется по мерс надобности. По способу определения этого «а» его называют константой или переменной — несколько небрежное обозначение, если нс добавить, какое множество это «а» пробегает.
Чтобы объяснить это детям, которые проливают слезы, не понимая, как может быть, что а = Ь, если а — это а, b — это Ь, ди- дакты придумали задачу:
а может быть одним из чисел 2, 4, 7, 11;
b может быть одним из чисел 2, 3, 7, 9;.
при каких условиях а = № (Причем это же можно сформулировать с помощью множеств.) Или при тех же допустимых значениях Sz и Ь:'
чему равны значения выражений За, 2а + ЗЬ, № и т. д.?
Учитель с бесконечным терпением вколачивает в школьника, что в алгебре буквы что-то обозначают, что ни одна формула не имеет смысла, если не определен смысл ее составных частей, и что, наконец, алгебра — это вовсе не бессмысленная игра с 26 буквами.
Но все напрасно. Какое же обучение прошли люди, которые сочиняют эту «новую математику», какие занятия они вели, прежде чем стали сочинять книги? Неужели они столь увлечены возможностями «новой математики», что начисто отказались от своих прежних математических убеждений? Или они идут непроторенными путями? Может быть, дело просто в том, что они определяют вещи, которые не встречаются в обычной математике, создавая особую школьную математику? _
Автор отмечает, что если в множестве {а, Ь, с} буквы означают переменные, то это могут быть множества {1, 2, 3} или {%, у, г} и т. д. Если же это просто множество букв, то как потом объяснить школьникам, что возможно равенство а = b или что из (а + Ь^ = а2 + 2аЬ + Ь2 вытекает (и + и)2 = и2 + 2ш) + и2? ' Особую опасность автор усматривает в учебниках, не содержащих математических ошибок, но нелепых с точки зрения дидактики. Критикуется использование в алгебре конечных множеств, почти не встречающихся в теории множеств. В то же время в таких учебниках отсутствует техника работы с переменными. В результате, несмотря на многочисленные примеры отображений конечных множеств, утрачивается смысл понятия функции. Школьники, • обучавшиеся по таким учебникам, уже нс в состоянии воспринимать буквы как обозначения переменных, т. е. усваивать алгебру.
Среди учебников на моей полке есть и хорошие. Однако я все же чувствую себя словно накануне краха нашего математического образования, пожалуй, несколько преувеличенная боязнь. Может быть, авторы некоторых учебников не сознают того вреда, который они причиняют? Я надеюсь, что они прочитают эти вопросы и сами себе на них ответят.
Я критиковал один из лучших учебников направления «новой математики». Очевидно, автор даже не заметил, что в математике существует нечто вроде переменных, что переменные появляются в тексте в виде букв и что это и есть в общем и целом смысл букв, особенно в алгебре. В то время как целые поколения дидактов стремились приучить школьника к применению переменных, автор даже не заметил этой проблемы. Вместе с «новой математикой» произошел полный перелом в традициях. Вся высокопарная теория множеств является лишь бессмысленной игрой с 26 буквами. Те-
перь это сказывается: продолжавшееся вот уже около 15 лет обновление обучения длительное время сводилось лишь к обновлению изучаемого материала. Людей, предостерегавших от этого, высмеивали; все дидактические аргументы объявляли смехотворными. Теперь счет предъявлен, и наступает расплата.
Ныне считается само собой разумеющимся (без особых доказательств), что теория множеств лежит в основе всей математики. Допустим, что это так; допустим, что именно так должно начинаться построение математики. Даже и тогда неверно, что так может строиться обучение математике. Если математика должна служить чему-то, то школьнику следует изучать алгебру и анализ. Теория множеств может помочь при этом, помочь существенно — и с этой точки зрения ее следует использовать для улучшения обучения математике. Первые школьные курсы, содержащие теорию множеств, выглядят так' теория множеств начинается во II классе и'затем до IX или до X полностью забывается. Еще в Дубровникском проекте математику поделили на изолированные друг от друга области — одной из них оказалась теория множеств, которая нигде не применяется. Этот подход в использовании теории множеств был подвергнут резкой критике. Многие зашевелились. Однако еще несколько лет назад появилась «Современная алгебра» для школьников, написанная одним- именитым математиком; первая ее половина содержала новейшую (хотя и небезупречную) теорию множеств и абстрактную алгебру, в то время как вторая — несколько архаичную аналитическую геометрию в векторном изложении, вне всякой связи с «современной» первой половиной книги. Ныне как будто излечились от таких теоретизированных излишеств. Однако теперь выявляется нечто иное: математика, которую изучает школьник после теории множеств, по содержанию и в дидактическом отношении определяется теорией множеств, а следовало бы наоборот. Плохо еще и то (и это постоянно повторяется), что эта теория множеств преподается так, что после этого любое обучение математике становится невозможным. Если рассматриваются только конечные множества, если множества постоянно иллюстрируются (часто даже неверно) диаграммами Венна, если ведут себя так, как будто буква обозначает не что иное, как себя самое или место в диаграмме Венна, школьник не может допустить, что существуют переменные, что переменные изображаются буквами и что, особенно в алгебре, буква может обозначать число — целое, рациональное и т. п. .
Пусть поймут меня правильно. Я не утверждаю, что на занятиях нужно говорить о переменных или даже объяснять, что такое переменные, — это было бы нелепо, да и вообще едва ли возможно. Дело в том, чтобы приучить школьника к объяснениям, вроде «где а может быть любым положительным числом», чтобы школьник, читая или записывая букву в некотором математическом выражении, привык уяснять себе, что может означать эта буква. Школьник должен усвоить, что математика вовсе не игра с буквами.
Опишем систематически роль букв как математических символов. Она может быть двоякой. Во-первых, буква как имя собственное, скажем л для определенного числа или С для точки пересечения двух данных прямых на чертеже (или «Лондон» возле соответствующей точки на географической карте, где это слово напечатано). Во-вторых, буква как общее имя, как в обиходном языке слово «человек», которое может относиться к любому человеку, или «камень», которое может относиться к любому камню.
Мы пользуемся многозначными (общими) именами иногда по незнанию, так как не знаем другого более определенного имени; иногда потому, что нас не интересует более' определенное обозначение объекта. Первый случай встречается в алгебре с неизвестными в общих высказываниях. Если буква применяется в качестве общего имени для числа, то почему мы применяем так много букв а, Ь, с, ...? Это как если мы говорим об этом человеке и о том человеке, об этом камне и о том камне. Школьнику, который не понимает, как может быть, что а = Ь, отвечают: «Да, а не обязательно должно быть равно Ь, но это может получиться случайно, как случайно может оказаться, что человек или камень, о котором подумал я, совпадет с тем, о котором подумал ты».
Очень важно, чтобы школьник усвоил, что буквы обозначают нечто и что различные буквы и выражения могут означать одно и то же, как «Лондон» и «столица Англии» означают одно и то же. Поэтому нехорошо, когда буквы слишком часто употребляются в качестве имен собственных, как в некоторых учебниках; если всегда и везде каждая буква означает только себя самое или определенное место в диаграмме Венна, школьник будет уведен в сторону от идеи переменной величины, от общего имени. Разумеется, я не собираюсь запрещать применение букв в качестве имени собственного, скажем, в таком примере: «Пусть А — множество {1,2, 3}». И даже этого можно избежать; если речь идет о задачах на пересечение, то можно избежать связи А с определенным множеством,
формулируя, например: «Пусть А и В — два из множеств... (следует перечисление); требуется определить их пересечение».
Разумеется, нужны и постоянные имена для определенных множеств; в книгопечатании используются Z, N как нечто особое — не переменные, не многозначные (общие), а вполне определенные имена вполне определенных множеств. Известную трудность представляет геометрия. Здесь, как мне кажется, задача учителя — подчеркнуть, что треугольник АВС различен в разных тетрадях и даже на разных страницах одной и той же тетради. Школьник выбирает некоторый треугольник АВС; затем это уже вполне конкретный треугольник АВС; для меня — мой, для тебя — твой.
То, что буквы представляют в математике нечто, необходимо всемерно подчеркивать на занятиях; интерпретация букв в качестве' общего имени для однородных объектов настолько естественна, настолько родственна обиходному языку, что трудно понять, почему она не всегда так воспринимается, например, у выше упомянутых авторов учебников. Чтобы это понять, нужно снова подчеркнуть различие между языком математическим и языком обиходным. Общие имена в обиходном языке определяют род объектов, которые они означают; слова «человек» или «камень» означают всегда только людей или только камни, тогда как а, Ь, с, ... имеют и другие функции, а не только обозначение чисел.
Дидактическая ахиллесова пята алгебраических общих имен заключается в том, что их значение, т. е. род вещей, которые они обозначают, всякий раз должно быть явно определено, тогда как для понятий «человек» или «камень» это указано само собой. Можно пойти по этому пути, считая, что «а» является сокращением «числа а», «Л» — сокращением «точки Д»; можно даже в течение некоторого времени требовать, чтобы школьник читал «а? + ЗЬ» словами: «квадрат числа а.плюс утроенное число Ы. Выполнимо ли это на практике? Выше я уже приводил такие задачи:
а может быть одним из чисел 1, 2, 3, 4;
b может быть одним из чисел 1, 2, 3, 4, 5;
чему может быть равно 2я, ЗЬ, 2а + ЗЬ, а + Ь’ а — Ь, (а + b) (а — Ь), a2 — b\a
Это же можно сформулировать с помощью множеств; можно говорить, что а пробегает множество А, Ь— множество В, и использовать формальный оборот:
множество а + Ь, где а € А и b С В.
Одно не исключает другого. Напротив, одно дополняет другое. Это упражнения, которые по цели и характеру существенно отличаются от архаичных подстановок.
Возникает старый вопрос: можно ли пользоваться буквами для неизвестных или неопределенных величин? Если рассматри-
вать мотивационный материал (неопределенные величины в общих алгебраических, геометрических, физических и повседневных соотношениях, неизвестные в решении задач), то кажется, что уравнения и неизвестные имеют преимущество. Это верно лишь относительно. Если рассмотреть мотивационный материал, то это простенькие задачи и вопросы, к которым школьники привыкли в обучении арифметике и умеют решать их без «икса». Я полагаю, что неопределенные величины лучше представляют общие имена, чем неизвестные. Алгебра, которая близка к приложениям, сама собой пронизана неопределенными величинами; они появляются во всевозможных формулах, которыми познается действительность в природе и в общественной жизни. Кроме того, неопределенные величины ближе всего к понятию функции. Разумеется, в перечисленных выше примерах 2я, ЗЬ, ... не функции в себе и не функции для себя, но могут рассматриваться как функции от а б Л или b б В.-
Переменные встречаются, строго говоря, всегда в связанном ^иде, если содержащие их выражения имеют смысл. Однако вопрос о том, насколько далеко должно простираться уточнение этой связи, остается открытым. -
В геометрии можно удовлетвориться тем, что раз навсегда устанавливается, скажем, обозначение заглавными буквами точек; однако тут и там проскальзывают выражения «точка Л», «отрезок АВ», «треугольник АВС», и очень хорошо, что это напоминает школьнику о множествах, которые пробегают переменные; однако словесная квантификация «для всех А» произносится достаточно редко (кроме, скажем, «множество всех точек Л, которые...»). В алгебре, во всяком случае вначале, совсем не вредно, если постоянно напоминают о смысле букв. Как это квантифицировать словесно—другой вопрос. Это можно сделать многими способами:
Пусть а, Ь, с— целые числа,
а ф + с) = ab + ас.
Пусть а, Ь, с — целые числа. Тогда
а ф + с) = ab + ас.
Пусть а, Ь, с — целые числа. В этом случае всегда
а ф + с) = ab + ас.
Если а, Ь, с — целые числа, то
а ф + s) = ab + ас.
а ф + с) = ab '+ ас для любых целых, чисел а, Ь, с.
Для всех целых чисел а, Ь, с аф + с) = ab + ас.
Ча б Z, b б Z, с б Z ф ф + с) = ab + ас\
Не настаивая прямо на пропаганде ранней символики кванторов, я хочу все же подчеркнуть, что дело не сводится к формулам.
Наоборот, всегда полезно использовать преимущества синонимов в обиходном языке. Когда подчеркивают и связанность переменных, это идет на пользу самому понятию переменной величины.
Разумеется, прежде всего приходится думать о кванторе существования. Однако в начале изучения"алгебры он едва ли играет роль. На этом этапе существование устанавливается, когда нужный объект появляется; утонченный же смысл существования может еще подождать. Что, пожалуй, важно —это осознать, что такое условное равенство и относительно какого «неизвестного» его нужно разрешать. Кое-что формализовать здесь кажется мне более важным, чем формализация кванторов. Читатель уже заметил, как я записываю уравнения в виде
(?х)х2 — 2х 4- 3 = О,
или
(?х)а + х = с.
Что это означает, едва ли требует разъяснения, хотя это и не описано формально.
Другие подобные вопросы, подчеркивает автор, лежат выше школьного уровня и относятся к высшей алгебре, например интерпретация многочлена сц 4- агх 4- ... 4- а„х” (где коэффициенты сц «неопределенные», присоединяемые к основному полю как свободные трансцендентные), как многочлена над полем Р (a0,-«jа„).
Автор выражает также сомнение, нужно ли говорить школьнику о многозначном (общем) имени, хотя в некоторых условиях это может оказаться полезным.
Знак равенства. В тетрадях по арифметике можно было раньше встретить такие записи:
24-7 = 94-7 = 16 4-7 = 23 4-... .
Мы отбросили такую форму записи не потому, что ее нельзя оправдать. Это продолжалось долго, пока не было решено запретить такие записи; ныне сохранились лишь пережитки стиля, в Автором допускалась подобная форма записи. Прибавить что-то можно лишь к числу, и
(2 4-7 = 9),
к которому еще раз прибавляют число 7, само является не числом, а высказыванием. Это верно, но воспринимается это даже в высшей математике не столь строго. Вот примеры из одной хорошо известной своей математической строгостью образцовой книги:
сумма р (f) = ^а (х) f (х), ...»
х^Х
4-00
интеграл /(/)= f f(x)dx, ...»
объединение Л = J Ап,п
п
функция / = ^а^ь интегрируема, ...»
множество хХХ, для которых ...,открытое множество GclX,некоторое множество Л4£Ф, ... .
Что же здесь «неверно»? Очевидно, всегда удобно, чтобы схемы вида ... = ..., ... сз ..., ... С ... обозначали высказывания (которые могут быть истинными или ложными). Если читают «сумма...», «интеграл...», «открытое множество...» и т. д., то на месте, обозначенном многоточием, ожидают сумму, или соответственно интеграл, или открытое множество. А то, что стоит в тексте, представляет собой высказывание. Ныне это небрежность, которая допускается всеми (я тоже допускаю это) и которая, пожалуй, через 25 лет начисто исчезнет. Ее можно, скажем, исправить, если перед знаком равенства (включения, элемента множества) открыть скобку, а в конце выражения закрыть скобку."
Старая и вполне естественная интерпретация
2 + 7 = 9
такова: имеется 2; я прибавляю 7; получается 9. Теперь это окончательно отвергнуто. 2 + 7 воспринимается как одно число; все выражение читается как высказывание, которое устанавливает ра- в'енство двух чисел.
Восприятие суммы (2 + 7) как одного числа является вполне алгебраическим, оно тесно связано с буквенным исчислением. Коль скоро 2 + 7 воспринимается как вычислительная задача, мы не можем понимать выражении вида а + Ь, ибо как их можно «вычислить», если ни а, ни b не даны? а + b нельзя интерпретировать и как высказывание, а лишь как сумму а и Ь, т. е. как число, если а*и b —числа. Это восприятие проявлялось в истории алгебры и 37
для дробей: пишут — и определяют, что это одно число, а вовсе не вычислительная задача. В алгебраических выражениях этот шаг был сделан около 1460 года именно в уравнениях вида
2х2+ 100 —2х = 25
Юх — х2
Здесь дробь снова воспринимается как число (и снова видна тесная взаимосвязь дробей с алгебраическим методом).
Легко согласиться, что запись с ^, £, cz, — является высказыванием; однако «=» представляет в этом отношении некоторые трудности. Ибо каким высказыванием может это быть? Очевидно, речь идет о понятии «является». Какое именно «является»? В при-
мере «Сократ является человеком» (или проще: «Сократ — человек») речь идет о «$», в примере «обезьяна —млекопитающее» — о «сз». Как же понимать «является»? Скажем, в примере «Лондон является столицей Англии» слово «является» соответствует равенству. Ну, а что такое равенство? 2 + 7 и 9 —совершенно разные вещи: второе состоит из одного, первое—из трех- знаков. В действительности точно так же обстоит дело и с Лондоном. Можно назвать населенный пункт одним словом, а можно, если есть желание — двумя (конечно, я должен знать, что Лондон действительно является столицей Англии; чтобы заменить «9» через «2 + 7», я должен уметь считать).
«а = Ь» означает, что а и b — одно и то же.
Большей частью так это и выражают; говорят, что слева и справа от знака «=» стоят имена одной и той же вещи. Это верно. «2+7» и «9» в самом деле выражения, которыми обозначается одна и та же вещь, точно так же, как «Лондон» и «столица Англии». Это верно, но зачем выражаться так сложно? То, что а и b — одна и та же вещь, можно сказать проще; однако это не является математическим фактом; слова «вещь» (или «объект») и «одно и то же»* не относятся* к математическому контексту. Но и в «именах одних и тех же вещей» столь же мало математического характера.
Автор отмечает, что некоторые считают вычисление 2 + 7 неразумной "задачей, поскольку это лишь требование выбрать для 2 + 7 другое «имя» («название») — так называемую «стандартную» форму (или «стандартное имя»). Он указывает, что это сложная предосторожность, вызвавшая непониманием различия законченной и активной математики. С точки зрения формальной математики нельзя ставить задачи: «вычислить (а + Ь) (а — Ь)» или «разложить на множители а? — ЬЧ. Отмечается плохая привычка читать равенства лишь в одном направлении. Почему нужно писать: х2 — Зх + 2 = 0, но ни в коем случае не 0 = х2 — Зх + 2? Почему решение линейного уравнения записывают в виде х = ..., а не в виде ... = х?
Автор предвидит возражение возможных оппонентов, что хотя «обезьяна—млекопитающее», но не всякое млекопитающее — обезьяна; такие соображения он считает несостоятельными для установления обязательной формы тех или иных записей, хотя и повторяет ранее приводившийся пример: «3 яблока + 2 груши = 5 фруктов», но не наоборот. Отличается нелепость формулирования таких свойств, как «из а = а’ следует, что а + b = а* + Ьк ведь а = а' означает совпадение а и а', а тем самым и всех их свойств. В заключение раздела приводится известное определение равенства, данное Лейбницем: «Две вещи идентичны, если все их свойства общие (и, следовательно, различны, если отличаются хотя бы одним свойством)».
Язык алгебраических формул. Школьник должен учиться воспринимать и записывать алгебраические формулы так же, как он
7*179
понимает родной язык или ноты в музыке. Достижение этой цели, как известно каждому учителю, требует многих усилий. Существуют учебники, вполне сознательно стимулирующие процесс изучения алгебраических формул; существуют и другие, как бы не замечающие в этом проблемы. Это прежде всего учебники, обучающие завершенной математической системе. Это вполне естественно, потому что вся дидактика должна быть включена в построение системы; если, система однажды определена, то дидактика уже не требуется. Правда, помимо системы изложения, эти учебники часто содержат еще задачи, с помощью которых могут быть выработаны практические навыки.
' Едва ли можно сравнивать изучение языка алгебраических формул с изучением родного языка. Родной язык воздействует непрерывно— язык алгебраических формул применяется очень редко. Более близким примером для сравнения может служить нотная грамота, однако это сравнение совершенно неприемлемо с другой точки зрения. Изучение нотной грамоты требует лишь создания прочных и систематических ассоциаций между оптической картинкой и моторной памятью; понимание едва ли играет здесь роль. Если люди испытывают затруднения с нотной азбукой, то причина скорее всего в том, что они несерьезно относятся к учебе и не уделяют достаточных усилий и времени. Язык алгебраических формул совсем другого характера по сравнению с обиходным языком, или нотной грамотой, или химической символикой. Ясно понимают это немногие. В философской диссертации о символике, написанной одним химиком, я обратил внимание на главу, где он рассматривал математическую символику; я совершенно растерялся, прочитав, что в его интерпретации, скажем 2 + 7 = 9, это реакция двойки с семеркой, в результате которой получается девятка (как он прочитает 9 = 2 + 7, я уж и не знаю). Этот химик мог, вероятно, хоть что-то делать с математическими формулами. Что творится среди школьников, когда они пользуются математическими формулами, едва ли можно себе представить. Безразличие, с которым некоторые учебники относятся к этой проблеме, возмутительно.
Я уже говорил об особой роли, которую буквы играют в алгебре. Не всегда подчеркивают, что а + b является числом, если а, b — числа. Стоит, пожалуй, заметить, что наши алгебраические условности затрудняют понимание этого факта. Часто, когда «а + Ь» заменяет некоторое «с» (скажем, в записи «cd = de»), совокупность «а + Ы> заключают в скобки; если в ab заменить «о» через «—а», получается «—аЬ»; если же «6» заменить через «—Ь», то получается не а — Ь, а а (—Ь\ Разве это не парадокс?
Школьник должен выучить, когда скобки нужны, а когда нет. Это не так просто; стоит лишь подумать, что нужно сообщить по этому поводу машине и что из этого забывают, когда обучают человека.
Предлагалось любые алгебраические выражения, представляющие собой число, всегда заключать в скобки; тогда «а + Ь» явля-
ется задачей вычисления суммы, а «(а + Ь)» — собственно суммой. Можно, скажем, записать
((((2 W» + (&))
с ужасающе огромным количеством скобок, от которых затем можно освободиться по определенным правилам. Но я боюсь, что это окажется слишком сложным.
Систематическое структурирование алгебраических выражений с помощью скобок и условий является тем, что существенно отличает алгебраический язык от обиходного. Заказывая «горячие сосиски и мороженое», мы без всяких скобок понимаем, что «горячие» относится к сосискам, но не к мороженому; обращаясь «глубокоуважаемые дамы и господа», говорящий без всяких скобок подразумевает столь же глубокое уважение к господам мужчинам, сколь и к дамам, но в обиходном языке это несущественно. В математическом же выражении 2 • (3 + 4) скобки играют весьма существенную роль; введением скобок здесь производится структурирование текста.
При сложении и умножении недоразумений не появляется, ибо действует ассоциативный закон. Но при вычитании, делении, возвышении в степень порядок действий играет важную роль.
При совместном выполнении сложения и вычитания в языке алгебраических формул действует:
Принцип А. Выполняется все последовательно, как записано, слева направо. Иначе говоря, все открывающиеся скобки пишутся слева. Этот принцип настолько естествен, что до.введения скобок отклонения от него обозначались путем записи выражений друг под другом. Это применяется и сейчас для дробей.*
С этим связан следующий принцип:
Принцип В. То, что не укладывается в линейный порядок, пишут одно под другим.
Наряду с этим существует отдельный принцип.
Принцип С. Снабженное чертой сверху едино.
До появления скобок пользовались чертой сверху, чтобы указать на такое объединение, в некоторых выражениях эта запись сохранилась и до нашего времени, например п + 1. Мы еще пользуемся этим методом для знака корня, например Уа + Ь; существует также функциональная «черта сверху», например для обозначения сопряженных комплексных чисел.
Принцип D. Пары скобок заключают взаимосвязанное.
Скобки впервые появились у Штифеля (1544); настоятельно рекомендовал их Лейбниц; начиная с Эйлера, они стали общепризнанными. '.
Принцип Е. Известные алгебраические операции вызывают взаимную зависимость.
Это старейший синтаксический структурный принцип для алгебраических выражений; он даже старше, чем язык математических формул вообще. Речь идет именно о том, что умножение «главнее», чем сложение и вычитание, — и это вполне естественно.
Можно подумать, скажем, как школьникам иногда разъясняют, что 2а + За = 5а: 2 коровы + 3 коровы дают вместе 5 коров; «3 коровы» можно прочитать как «3 раза корова». Отнюдь не бес
смысленно, что и ныне мы осваиваем наименование раньше, чем функцию. Затем можно изменить направление мыслей и воспринимать умножение как наименование. В уравнениях это вполне естественно. С древних времен уравнение х2 + 21 = Юх разъяснялось по схеме: «1 квадрат вещи плюс 21 равно 10 вещам».
Принцип F. Известные знаки способствуют разделению. Этим свойством обладает знак равенства, который, собственно
говоря, принадлежит и к обиходному языку; точно так же действуют ^, ^ и другие знаки.
Сформулированные принципы иллюстрируются различными примерами. Отмечается, что вместо 2у лучше писать у или 2 + у.
Некоторые правильные записи малоупотребительны, например: а2, a2b, ^abY Незнание смысла записи 2(ай) может привести к ошибкам вида 2 (ай) = (2а) • (26).
Полезным дидактическим средством автор считает подстановки выражений вместо букв, а также схемы вида
(□ + О) (□ — О) = D2 — О1.
Автор предостерегает от случайных методов обучения языку алгебраических формул, которые еще господствуют кое-где. Применение этого языка должно быть доведено до автоматизма. Однако дидактические ошибки могут привести к ложному автоматизму; исправить его куда труднее, чем не допустить. Особенно важно следить, чтобы алгебраические упражнения не вылились в бессмысленную игру с буквами. Как в обучении арифметике наряду с примерами иногда решаются и текстовые задачи, так и в процессе освоения языка математических формул необходимо проверять осознанность применения формул.
РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА-ОТ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО ПРИНЦИПА
К УПОРЯДОЧЕНИЮ АЛГЕБРЫ В ЦЕЛОМ
Введение обозначения х12 для 12-й степени икса знаменовало собой новую эру в анализе.
К. Я^оби.
Содержательно-наглядная теория чисел не включает в себя метод алгебраического буквенного обозначения.
Д. Гильберт. «О бесконечном», 1927.
Развитие алгебраического принципа. Для операций над целыми числами установлен целый ряд различных тождеств. Эти тождества представляются хаотическим нагромождением. На более высокой ступени приходят к тому, чтобы рассмотреть эти тождества в це-
лом и установить, что достаточны лишь немногие из них. Нужно только учесть, что понятие «достаточны» не столь уж тривиально. Имеется в виду не «достаточны для практических потребностей» или «достаточны для следующей контрольной работы». Существуют перечни формул, в которых собраны выражения для (а + 6)2, (а — 6)2, (я + b) (а — Ь\ т. е. формулы, имеющие большое значение для практики. Вовсе не следует обижаться на вычислителя, если он воспринимает выражение «достаточно» в практическом смысле. Однако мы имеем* в виду иное, а именно то, что (я + Ь) (а — Ь) = а2 — № можно вывести из более простых фундаментальных тождеств. Разумеется, мы вообще должны решить, ртбят ли формулы труда, затрачиваемого на их вывод, но это уже практические соображения.
Еще раз. Нужно уяснить себе, что достаточность не такая уж простая идея. Знали ли об этом вавилоняне и египтяне, которые все же были неплохими математиками, —это еще вопрос. В геометрии некоторые греческие математики были близки к этому. В алгебре это было осознано лишь в самое последнее время.
Итак, «достаточность» следует понимать в смысле дедуктивного базиса. Нужно найти несколько законов, из которых можно вывести все другие предложения, представляющие какую-либо ценность.
Далее говорится о требованиях к этим законам и о ступенях учебного процесса в мысленном эксперименте: операции с числами, затем осознание законов, которым подчинены эти операции, потом формулировка этих законов, далее локальное упорядочение всей совокупности законов в соответствии с дедуктивными взаимозави- симостями и, наконец, упорядочение в целом, ведущее к строгой дедуктивной системе. .
Возможен и иной путь расширения, связанный со стремлением сделать операции всегда выполнимыми. Это ведет к появлению новых объектов, которые могут быть получены рациональным методом на основе «алгебраического принципа». Для этого нужно знать законы алгебры в исходном множестве и оперировать с новыми объектами так, как если бы эти законы выполнялись и для них.
В следующем разделе «От степеней к логарифмам» говорится о переходе от понятия степени к понятию корня и понятию логарифма; таблицу логарифмов школьник должен воспринимать так, как если она показывает запись данных чисел а в форме 10^; если школьнику предлагается вычислить с помощью логарифмов произведение ab, то он может записать: а = 10р, b = 107; затем ab = = 10^+^ и посмотреть в таблице, какому же числу ab соответствует 10^+^. Этот метод действует прекрасно, говорит автор, «и делает ненужным изучение правил действий с логарифмами».
Отмечены два аспекта числа К2 как числа, квадрат которого равен 2, и как числа, допускающего рациональные приближения.
В разделе «Процесс упорядочения алгебры» рассматриваются- два подхода к построению школьного курса математики: классиче-
ский и дедуктивный. Второй метод направлен на аксиомы поля (или упорядоченного поля), которые можно сформулировать, как только школьники узнают четыре арифметических действия. Это упрощает изложение для учителя, но не для школьника, получающего готовую систему понятий, правим, законов, формул. Школьник не производит самостоятельно упорядочения алгебры в целом; может случиться, что он так и не узнает, как вывести один закон из другого или как свести многие законы к нескольким. Иными словами, упорядочение некоторой области математики излагают так, как это проходит в университетах. Существуют веские причины для того, чтобы на этом (университетском) уровне начинать изложение алгебры с теории полей. Однако, чтобы получить школьную алгебру, недостаточно просто разбавить университетскую. ' .
Автор отмечает, что, прежде чем заниматься аксиоматикой поля, следует определить понятие коммутативной группы, а этому вопросу следует предпослать изучение Аналогии между сложением и умножением:
а + b = b + а,
(а + Ь) + с = а + (Ь + с), а + 0 =а, а + (—а) = 0,
а — b = а + (—Ь\'
— (а + Ь) = —а —Ь, а + а = 2а,
а + а’+ а = За, •
(—а) + (—а) = —2а,
ab == Ьа, (ab) с — а фс\ а • \ = а, а - и *' — !.
- = ab~\
. ь
(аЬУ1 ~ а~Чг\ а - а = а2,
• а • а • а = а8, а-1 • а-1 =а~2.
При этом следует показать, что последние три строки вытекают из первых четырех. Необходимо, однако, оговаривать, когда аналогия приводит к ложным выводам. Отмечены аналогии
п (а + Ь) = па + nb, ^abY = апЬ\п (а — Ь) = па — nb. (ab^Y = anb~n.
Левый столбец можно истолковать, сказав, что Yx пх является гомоморфизмом аддитивной группы поля к в себя, т. е.
п (я.+ у) = пх + лу и п • (—х) = —п • х.
Правый столбец толкуется аналогично: Тлх” является гомоморфизмом мультипликативной группы поля К \ {0} в себя, следовательно, -
(xyY = Хпуп И (АГ1)” = (х”)"1.
Эти гомоморфизмы сохраняют порядок или .меняют его на обратный:
а < b Л п > 0 => па < nb. а <Ь /\ п> 0 => ап < Ьп, а < b К п < 0 => па > nb, а <b Л п < О =>- ап > Ьп, - где аналогия снова не полна, ибо в правом столбце необходимо дополнительное условие а > 0. Иначе говоря, всегда уславливаются ограничивать рассмотрение гомоморфизма в правом столбце на множестве положительных элементов К или, короче, на /<+.
Отмечается наглядная очевидность того, что гомоморфизм х->х отображает /?+ на себя. Это позволяет ввести извлечение корней из положительных чисел. Анализируется изоморфизм аддитивной группы R и мультипликативной группы /?+ и их связь с показательной функцией и логарифмами. Отсюда видно, что решающим средством упорядочения материала является не понятие поля, а показательная и логарифмическая функции.
В разделе «Упорядочение алгебры в целом» дана аксиома «логарифмической линейки, рассмотрены связи алгебры и анализа. Автор рассказывает,' что он многократно задавал оканчивающим гимназию вопрос, что такое 2^, и получал ответ, как это вычислить путем повторного логарифмирования. Большей частью автору удавалось натолкнуть отвечающего на мысль определить 2Г для рациональных г и затем перейти к пределу ^ при rn -> К2; однако это неминуемо забывалось вскоре после экзамена на аттестат зрелости; особенно важно, что абитуриенты не могли осмыслить сходимости 2Г^ • Это показывает необходимость алгебраического подхода к показательной функции.
Далее в аксиоматической форме излагается описанный автором план изучения алгебры.
Аксиома!. К — упорядоченное1 поле с константами >, +> •, 0, 1 («больше, чем», «плюс», «умножение»,, «нуль», «единица»).
Аксиома II. К — упорядоченная коммутативная группа относительно сложения (в которой 0 является нейтральным элементом), т. е., кроме аксиом упорядоченного множества и коммутативной группы, в К выполняется условие совместимости:
a<b=^a-Vc<b-V с.
А к с и о м а III. К^ — упорядоченная коммутативная группа относительно умножения, т. е , кроме аксиом коммутативной группы, в К выполняется условие совместимости:
0 <а<Ь/\с>0=>0< ас <Ьс.
Аксиома IV. Умножение Чхгк ах является гомоморфизмом группы сложения в К (дистрибутивный закон).
Аксиома V. Мультипликативная группа в КЛ обладает сохраняющим порядок изоморфизмом, обозначаемым log, на аддитивную группу К.
Эта аксиома весьма наглядна. Я бы ее назвал аксиомой логарифмической линейки.
Аксиома V*. Существует логарифмическая линейка.
Аксиома логарифмической линейки достаточна для определения других операций в обычной школьной алгебре. В частности, она позволяет определить степени и?, где и 6 К^, и вывести правила действий над ними.
Раздел «Обзор упорядочения алгебры» содержит рассуждения о необходимости дополнения аксиоматики упорядоченного поля приведенной выше «аксиомой логарифмической линейки». Автор отмечает, что обычные аксиомы упорядоченного поля не характеризуют однозначно поля действительных чисел. Для этого достаточна была бы топологическая аксиома, например, существование точной верхней границы ограниченного множества, или осуществимость дедекиндовых сечений, или сходимость фундаментальных последовательностей; взамен одной из них автор и предлагает свою аксиому, носящую подчеркнуто алгебраический характер. Однако, говорит он, эта аксиома все еще недостаточна для упорядочения (в дальнейшем) анализа. -
В разделе «Интегральное определение логарифма» подчеркивается независимость интегрального определения логарифма, которое может быть введено независимо от (и задолго до) общего понятия интеграла, поскольку опирается лишь на наглядное понятие площади. Наконец, последний раздел первой книги «Аксиома измерения углов» посвящен измерению углов.
Устанавливается связь между угловой мерой и множеством действительных чисел по модулю 2л. Далее, каждому комплексному числу а, такому, что |а| = 1, сопоставляется поворот комплексной плоскости: z-^az. Тем самым задача измерения углов сводится к отысканию функции со, отображающей множество Е = = {а||а| = 1} на множество действительных чисел по модулю 2л так, что
со (г^) = (о (zj + со (z2). 1 .
Существование такого отображения 1 выражается следующей аксиомой. '
Аксиома VI. Пусть К (О — комплексное расширение поля К с нормой \а + bi\ = V а2 + Ь2 для а, b € К. Пусть Е— циклически упорядоченная мультипликативная группа (как именно установлен порядок, пока не рассматривается) элементов из К (0> имеющих норму 1. Тогда существует сохраняющий циклический порядок: изоморфизм Е на аддитивную группу /?тоа 2л-
Короче, существует транспортир.
Эта аксиома позволяет ввести косинус и синус с обычными свойствами и формулами, а именно:
cos a = Rear1 (a), sin a = Im ar1 (a).
Однако автор выражает сомнение в возможности формулировки названных теорем на занятиях в обычной школе; модели вроде приведенных выше идей о логарифмической линейке и измерении углов могут быть рассмотрены только с высшей точки зрения и соответственно на более продвинутой стадии обучения.*
МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ
В конце концов после гигантской совместной работы Фреге, Дедекинда и Кантора бесконечность была возведена на трон; наступило время наслаждаться триумфом... .
. Из рая, созданного Кантором, никто нас тепе'рь не прогонит.'
Д. Гильберт. «О бесконечном», 1927 г.
.В теории множеств не установлею резкой грани меж
ду конечным и бесконечным. Бесконечное появляется здесь даже в качестве простейшего случая.•
Г. Вейль. «Нынешнее состояние познаний в математике», 1925 г.
То, что я рассматриваю множества после понятия числа, можно, пожалуй, понять. Я полагаю, стало ясным, что математика по содержанию и в дидактическом смысле начинается с числа, точнее говоря, с натуральных чисел, и большая часть того, что изучается в математике, связано с числом. Поразительно,. сколь мало упоминалась до сих пор теория множеств (если исключить многочисленные крики кажущейся теории множеств). Очень полезно начинать с важнейшего; тогда, по крайней мере, известно, сколько требуется знать о немногом важном, чтобы воздать ему должное.
Что такое множество? — Пожалуйста, расскажите нам, что такое множество! — с такой настоятельной просьбой обратилась группа учителей к университетскому преподавателю математики, когда «новая математика» стала угрожающе стучаться в двери средней школы и уже приближалось время, когда этим учителям предстояло объяснять понятие множества своим ученикам. Я не знаю, как ответил этот преподаватель и удовлетворил ли этот ответ слушателей. Если посмотреть, как интерпретируется понятие множества учителями и школьными учебниками, невольно придешь к заключению, что ученые, рассказывая в последние годы учителям о множествах, допускают серьезные дидактические ошибки. Ниже мы остановимся на том, в чем они заключались. В целом же, если ознакомиться с соответствующими лекционными курсами, то можно констатировать, что в них содержится немало сведений о множествах, но не сообщается о том, какое приложение они находят в математике. Очевидно, предполагалось, что учителя должны это придумать самостоятельно. Я сторонник творческого подхода к педагогическому процессу, но лишь тогда, когда он оправдан; к данному случаю это не относится.
Наблюдаются две крайности в объяснениях того, чем являются множества. Во-первых, это формальное определение множества, причем попутно дается также определение понятия «элемент». Примерно так, как у Евклида: «Единица—это то, через что каждое считается единым». Нечто подобное хотели бы услышать от университетского математика упомянутые выше учителя. Дается же на уроках математики определение параллелограмма и даже того, что представляет собой определение. Как же начать в школе изложение теории множеств, если нельзя дать" учащимся задание выучить наизусть строки: «Множество есть то-то и то-то», «Элемент есть то-то и то-то», «Элемент принадлежит данному множеству, если...».
В наши дни изучают аксиомы и аксиоматику, однако многие, видимо, не знают, откуда пошлй эта традиция. Конечно, аксиомы и аксиоматика нужны для глобальной систематизации данной отрасли знания, однако происхождение аксиоматики все же иное, как мы уже разъясняли и вынуждены разъяснять снова. В настоящее время известно, что однозначное определение в конце концов становится невозможным, потому что, желая избежать порочного круга, приходится на каком-то этапе перестать пользоваться анализом и перейти к обратному образу мышления, т. е. к синтезу, оперировать с понятиями, еще не имеющими определения. Именно таков в настоящее время взгляд на систему аксиом геометрии — как на ряд предложений, в которых встречаются понятия, не получившие какого-либо предварительного определения, такие, как «точка», «прямая», «лежать на», с которыми приходится оперировать в соответствии с аксиомами геометрии.
Понятия «множество»-, «элемент множества» подводят нас именно к той области, где далее задавать вопросы бессмысленно (кстати, это же можно сказать и о натуральном ряде чисел, ^отя некоторые полагают, что натуральный ряд может быть понят и освоен с чисФо теоретико-множественных позиций). Я не хочу утверждать, что изложение теории множеств должно быть построено, аксиоматически. Конечно, можно начинать излагать этот раздел, как и всякий другой, с аксиом, нс при условии достаточно глубокого его предварительного понимания; в теории множеств это особенно существенно,^так как нужно знать свойственные этому разделу особенности и подводные камни. Полагаю, что в рамках школы это недостижимо.
Если я думаю об одной из употребительных систем аксиом теории множеств, то вряд ли я могу понятно изложить тому, кто имеет в области математики и теории множеств столь же слабые представления, как ученик оберпримы, для чего это нужно. И несмотря па это, существуют учебники, даже рассчитанные на II—12-летних школьников, с аксиоматически излагаемой теорией множеств.
Разумеется, это лишь кажущаяся аксиоматика, вроде той, которая ^анее применялась в геометрии, где тривиальности формулировались как аксиомы, тогда как действительно важные обстоятельства не упоминались ни в качестве аксиом, ни иным образом.
Что же делать, если невозможно ни аксиоматически, ни путем определения объяснить, что такое множество? — Точно так же, как поступают с числами и фигурами. Ученику столь же мало рассказывают, что такое число и что такое два, сколь мало разъясняют при изображении фигур на доске, что такое точка, — столь же мало требуется разъяснять, что такое множество. Можно было бы возразить, что числа определяют как мощности множеств, что, впрочем, как читатель уже знает, неверно. 'Можно сказать, что точки —это пары чисел, но для этого нужно сначала изучить геометрию и, следовательно, как-то узнать, что такое точка. Никто не определяет, что такое дышать, ходить, падать, плавать, — но люди обучаются делать это, чтобы жить и пользоваться законами физики. Принудительные точные определения относятся к устарелой методологии и методике.
Это была одна из крайностей при разъяснении теоретико-множественных понятий, формальные квазиопределенпя. Другой крайностью являются диаграммы Венна. Почти все учебники разъясняют школьнику, что если вокруг некоторого количества букв, цифр или иных значков изобразить замкнутую кривую, то получается множество. Существуют еще множества в фигурных скобках, скажем ^а, б, с} или {§, Л, (.)}. Один учитель как-то показал мне на доске, как он объясняет ученикам, что диаграммы Венна и фигурные скобки —одно и то же: он соединяет скобки снизу и сверху штрихами и выравнивает острия фигурных скобок. Тогда я спросил, что же он делает с запятыми в скобках. Ах да, заметил он, там слишком много запятых, потому что элементы множества различны. .
. Однако фигурные скобки используют и иначе. Именно, множество планет записывают -
{х | х является планетой}
и таким способом выписывают целую страницу заданий вроде следующих: запиши (или еще более остроумно: назови) множество конных полицейских, множество двуногих без перьев, множество нынешних президентов США, множество учеников класса с длинными волосами, носящих очки и т. п. Такие примеры можно рекомендовать, чтобы удивить родителей нынешних школьников или, скажем, телезрителей.
Еще удивительнее для публики, когда ко всем этим примерам изображают диаграммы Венна, а также подчеркивают, что лошади конных полицейских находятся за пределами этих диаграмм, а
очки и волосы длинноволосых очкариков или кольцо Сатурна не должно быть заключено в круги на диаграммах так же, как и нос президента США. Удивление вызывает и пустое множество. После того как доказана единственность пустого множества, дается задание: приведи еще три примера пустых множеств.
Десятилетняя девочка обратилась со своей «новой математикой» к отцу, который хоть и не был математиком по профессии, но изучал теорию множеств в рамках «старой» математики. На другой день выяснилось, что все задачи он решили неверно. Она даже объяснила (со слов учительницы), почему: два множества, имеющие одинаковые «кардинальные числа», именно так они и назывались, нс обязательно равны, как множества. Два пустых множества, хотя и имеют одно и то же кардинальное число, именно 0, но они нс равны. Пустой холодильник не то же, что пустая урна или корзинка для бумаг (я вспоминаю кафе, где были разные цены на кофе с молоком, кофе со сливками и кофе без молока; почему бы нс установить еще одну цену на кофе без сливок?). Отец, так скандально провалившийся, рассказал об этом коллеге-математику, и тот разыскал учительницу. Выяснилось, что она не так уж глупа. Хотя она и не утверждала, что две замкнутые кривые на доске, внутри которых ничего не было изображено, —.различные пустые множества, но она это разумно аргументировала примерно следующим: допустим, что мы ведем речь о людях, тогда это пустое множество обозначает «отсутствие людей»; если мы говорим о буквах, то оно обозначает «отсутствие букв»; если же речь идет о точках, то «отсутствие точек». Чем является пустое множество, зависит от вида объектов, о которых идет речь. Итак, если я изображаю две диаграммы Венна, то они обозначают различные виды объектов, поэ- тому-то они и представляют различные, пустые множества.
Математик возразил, что для двух таких диаграмм Венна можно образовать пересечение и объединение, а потому они не являются «различными» видами. Она согласилась, но все же спросила: «А зачем тогда овалы вокруг диаграмм Венна?» — вопрос весьма правомерный.
Я пишу
... —множество.
Что можно вставить вместо трех точек? Я даже не требую, чтобы получилось верное высказывание. Но оно должно по крайней мере нечто гласить, хотя бы и нечто ложное.
Рассмотрим вначале более легкий пример, схему предложения: ... — собака.
Что можно вставить вместо точек? Например: Лео. Будет ли это верным (истинным), зависит от обстоятельств; Лео может быть кличкой собаки и, может быть, как раз о собаке Лео и была речь. А возможно, упомянутый Лео — человек, и тогда высказывание
может также оказаться истинным, но уже не в зоологическом смысле.
Можно поставить вместо точек: «Отец собаки». Тогда высказывание истинно. А высказывание «Отец кошки — собака» имеет по крайней мере какой-то смысл. Если же вместо точек поставить «чем», то это едва ли допустимо, потому что противоречит правилам стилистики. Точно так же я не допускаю
«Ее рёге d’un chien», так как это написано по-французски.
А как быть с
х — собака?
Я полагаю, что «х» не является кличкой собаки в обычном смысле хотя бы потому, что в этом случае следовало бы писать «X». Но, возможно, как раз перед этим шла речь о некотором х, который загрыз кролика. А могло ли быть
А —собака?
Почему бы нет, если только мне расскажут, что подразумевают под «А». Вот с
* — собака
я просто не знал бы, что делать; хотя, может быть, это относится к игре, в которой звездочка символизирует собаку.
А что, если вместо точек поставить настоящую собаку? Ну, ясно: не выйдет. Тогда — изображение собаки. Нет, не слова «изображение собаки», а картинку, рисунок собаки. Значит, речь идет не5 о фразе.
изображение собаки —собака,
что было бы не так уж неудачно, а о фразе, в которой на месте подлежащего нарисована собака.
Время от времени встречаются подобные шуточные тексты, но я не верю, что кто-либо считает , их всерьез допустимыми, даже если нарисована вполне определенная собака.
Мы пользуемся для упоминания вещей в языковых текстах их именами, а не их изображениями. Такие тексты могут сопровождаться изображениями, под которыми значится
Рис. 27. Собака.
Или в тексте стоит: «Рис. 27 изображает собаку».
Собственно говоря, я должен остерегаться. Иногда бывает, что изображение вещи оказывается непосредственно в тексте. Скажем, можно прочитать
А — буква.
Здесь Л — не. определенный объект, как было в предложении «Л — собака», а печатное изображение упомянутой буквы. Осторожнее было бы записать
Значок Л'—буква
или «Л» — буква.'
Вернемся теперь к
,... —множество.
Можно, конечно, на месте точек записать: объединение двух множеств. Можно также записать N или Z, если читатель знает, что под этим подразумевается. Также высказывание
{7, 9, 12} —множество
имеет смысл и является истинным. А теперь я запишу:
{а, 6, с,} — множество.
Что это обозначает? Если известно, чем являются а, Ь, с, то можно ответить на такой вопрос. Например:
— если а, Ь, о — три различных числа, то
{а, Ь, с} —множество чисел.
— если а, Ь, с — три различные точки, то
{а, Ь, с^ — множество точек.
— если а, Ь, в —три различных землетрясения, то
■ {а, Ь, с} — множество землетрясений.
Почти во всех школьных учебниках {а, Ь, с} рассматривается как множество букв. Действительно, можно считать, что:
— если а, Ь, с — три различные буквы, то
{а, Ь, с} —множество букв.
При этом ясно, что а, Ь, в могут быть буквами х, у, г. Поэтому можно сказать:
— пусть х обозначает букву а, у обозначает букву b, z — букву с. Тогда {х, у, z} — множество букв а, Ь, с.
Значки, встречающиеся в записи «^а, Ь, с}», обозначают имена определенных объектов, которые могут быть весьма разнообразными, например, числами, точками, землетрясениями. Или могут быть буквами, но в таком случае не должны быть буквами а, Ь, с, если это не указано явно. Буквы в математике могут означать что угодно, но не сами эти буквы. Это вполне разумно, ибо иначе можно оказаться в затруднении.
Нет, это не придирки. Как школьник должен понимать равенство а = Ь, если речь идет о буквах? Как втолковать ему, что
х£{а, Ь, с}
вообще возможно (именно, когда х — a \j х — b \/ х = с), если ему объяснили, что {а, Ь, с} —множество букв а, Ь, с, которые отличны от х? Как он должен усвоить, что
(а, Ь, с} П <1, 2, 3}
может оказаться непустым, если ему вдолбили,_что одно множество состоит иа букв, а другое — из чисел?
Пожалуйста, не упрекайте меня в том, что я здесь рассматриваю преувеличенные тонкости. Мне было бы приятнее не делать этого. В обычной математике никогда не встречаются ■ множества букв. Они попросту не требуются, и проблема: избегать ли их или допускать со всеми оговорками —даже не возникает. Однако литера тура по «новой математике» почти единодушна: допускать и даже культивировать множества букв.
Существуют разные варианты. Например
{△, О, □}
должно обозначать множество в соответствии с пояснительным текстом, но без каких-либо объяснений, чем являются его элементы. В фигурные скобки могут быть даже заключены лев, слон и верблюд. Будет ли это каким-то множеством, состоящим из одного зверя каждого рода, или вполне определенным множеством, состоящим из определенного льва, определенного слона, определенного верблюда — и каких именно? Или имеется в виду множество, состоящее из трех видов: лев, слон, верблюд? Те же вопросы можно задать о треугольнике, круге и квадрате. Впрочем, есть еще одна возможность, которую, вероятно, и имеет в виду автор такого учебника: имелось в виду множество, как раз и состоящее из данных треугольника, круга и квадрата, изображенных в фигурных скобках..
Тогда запись△ ^{Л, О, □} следовало бы понимать так, что один треугольник записан внутри фигурных скобок, а другой — вне их. Разумное описание множества Д, которое имеет в виду автор, было бы таким:
Рис. 12Рис. 12Д = {а, 6, с}, где d — треугольник, b — круг, с — квадрат, изображенные на рисунке 12. Однако это не укладывается в избранную автором систему, ибо он желает использовать буквы не как имена объектов, а как сами объекты; у него А является множеством букв а, Ь, с. Но,. может быть, он должен избегать букв, ибо пишет книгу по математике для детей, которые еще не умеют читать. Такие книги существуют, их написали люди, считающие доказанным, что дошкольники могут изучать теорию множеств, и находятся родители, желающие обучать своих детей- дошкольников по этим книгам; и, хотя сами они изучали математику в вузе, чувствуют себя слишком глупыми, чтобы понять книги, написанные для дошкольников.'
Рис. 12
Рис. 12
Лишь немногие отваживаются обратиться к математику из университета — но и он не понимает этих книг. Я лишь с большим трудом постиг принцип одной из таких книг: изображения одушевленных предметов, подобных друг другу, символизируют один и тот же объект; изображения ' же неодушевленных предметов символизируют один и тот же объект лишь тогда, когда они в точности конгруэнтны. Я полагаю, что автор действовал так неосознанно— столь наивно составлены подобные книги.
Само по себе обозначение в фигурных скобках элементов множества с помощью изображений вместо имен не вызывает возражений. Изображения невыразительны, как идеограммы. Нужно лишь хорошо продумать, что при этом получается. Именно:
Каждое изображение должно обозначать вполне определенный объект, и должно быть ясно, какой именно.
Если объект изображается различными способами, нужно ясно осознавать, что различные изображения обозначают один и тот же объект.
Следует избегать видов объектов, которые невозможно изобразить в различной форме, чтобы не создавать впечатления, что множество содержит лишь один экземпляр данного вида.
Это лучше всего осуществить следующим образом.
Пусть первая страница учебника воспроизводит весь универсум, который может состоять из детей, слонов, мячей, кукол, ягод и т. и. Для большего интереса можно изобразить одного и того же ребенка в различных одежках, одного и того же слона в различных ракурсах — на первой странице должен быть дан полный перечень объектов со знаком равенства для различных изображений одного и того же объекта. Я не назвал среди объектов зеленых автомобилей «Пежо-404», нс называю монет, бананов и других почти неразличимых однородных объектов*.
Так можно сделать, но я отнюдь нс утверждаю, что так нужно делать. Если перечисляют объекты, то'совершенно естественно называют их по именам. Впрочем, это не догма;.в жизни часто бывает, что имя заменяется изображением. Если хотят систематически называть объекты с помощью их изображений, это можно сделать разумным способом; как именно — я показал выше.
Диаграммы Венна. Мы поставили вопрос о том, что можно вписать на- место точек в записи
... — множество.
Мой обширный опыт не знает случая, когда бы здесь изображались диаграммы Венна. Многие считают, что диаграммы Венна — это и есть множества (например, когда соединяют изображения этих диаграмм знаком объединения множеств); однако никто не отваживается явно утверждать, что собственно диаграммы и являются множествами. Совершенно ясно, что на месте точек должно быть словесное выражение, даже если это выражение не имеет смысла.
{л, b, с} является, конечно, чем-то словесным; запятые, во всяком случае, указывают на это. Звери в фигурных скобках хотя и нс являются обычным словесным выражением, но они хотя бы играют такую же роль, роль идеограммы.
Диаграммы Венна явно нс являются словесным выражением, но чем же они являются? В учебниках математики встречаются ведь и не только словесные выражения. Там есть еще фигуры, изображения равносторонних треугольников, логарифмические функции, кривые Пеано —да мало ли что еще. Назовем все это кратко иллюстративным материалом. Словесный текст что-то означает, иллюстративный материал что-то изображает. Впрочем, иногда говорят, что и изображение что-то означает; больше того, если рисунок непонятен, то говорят: не знаю, что это означает. Изображение ребенка на дорожном знаке может означать «школа»; тогда это идеограмма и,* следовательно, служит словесным выражением. -
Изображения должны что-то изображать, хотя бы игру воображения. Иногда изображения требуют конкретного соответствия, иногда —лишь структурного. Примером первого служит изображение церкви св. Петра в Риме, примером второго — рисунок церкви вообще. На рисунке могут быть и словесные указания, разъясненные на полях, скажем названия определенных деталей изображения. Названия улиц на плане города могут быть восприняты как таблички на угловых домах, но это нс годится для названия реки на соответствующей картинке.
Высокая степень соответствия встречается часто на изображениях абстрактных предметов.. Треугольник с обозначенными вершинами А, В, С изображает объект настолько точно, что его можно легко идентифицировать. Горизонтальная прямая с числами в определенных точках прекрасно изображает множество действительных чисел. Графики являются хорошим изображением соответствующих функций. Открытое плоское множество прекрасно изображается овалом. Блок-схема может верно отобразить некоторый процесс.
Что же требуется от иллюстративного материала в дидактическом плане? Я полагаю, во-первых, чтобы он нечто изображал, во- вторых, чтобы изображенное можно было узнать без длинных пояснений и, в-третьих, чтобы принцип изображения был ясным, и легко понимаемым. Я полагаю, что это разумные требования. А теперь я хочу рассмотреть, насколько удовлетворяют этим требованиям обычные диаграммы Венна. '
Простейший случай — это то, что я назову естественными диаграммами Венна. Я имею в виду внутреннюю область простой плоской замкнутой кривой, которая получается, если изобразить такую кривую на плоскости и, может быть, заштриховать то, что окажется в этой области. Очевидно, эти изображения удовлетворяют названным требованиям в такой же мерс, как обычные изображения треугольников и функций. Они просты и не подлежат обсуждению. Не слишком маленьким детям привычен способ изо-
бражения, принятый на географических картах. Таким образом применялись диаграммы Венна в различных курсах «старой математики» по крайней мере в годы моего студенчества. С помощью этих открытых овалов показывали, например, что такое пересечение и объединение множеств, как они связаны с дополнениями. Если, скажем, лектор объяснил это и хочет убедиться, что слушатели поняли данные определения, он изображает два пересекающихся овала и спрашивает: «Если это — множество взрослых людей, а это —множество лиц женского пола, то что представляет собой общая часть?» Однако в «старой математике» я ни разу не видел, чтобы для определения пересечения множества взрослых людей и множества лиц женского пола изображали диаграммы Венна и рассуждали о них. Но ныне диаграммы Венна часто используют именно для этого.
Можно сказать и иначе: диаграммы Венна служили некогда не как ныне, для изображения множеств, а для изображения включений и взаимосвязей между множествами, их пересечениями и объединениями и, пожалуй, для изображенйя аналогичных связей между логическими высказываниями — а для этого диаграммы Венна приспособлены отлично. Это применение диаграмм Венна можно проиллюстрировать и вышеприведенным примером: рисуют два овала как изображения множеств, но подразумевают такие понятия, как пересечение и объединение любых множеств — и в качестве примера упоминают о взрослых людях и о лицах женского пола. Неважно, как выглядят множества, если только они, как в конкретном примере, пересекаются, не пересекаются, одно включает другое и т. п. Но такое соотношение, как то, что одно множество является элементом другого множества, как конечность или бесконечность множества, количество его элементов, никогда не изображают с помощью диаграмм Венна, для этого они нс предназначены; точно так же с помощью диаграмм Венна не изображают, какого рода элементы входят в множество. '
То, что я назвал естественными диаграммами Венна, едва ли встречается в школьных учебниках. Не знаю уж почему; может быть потому, что многие боятся бесконечных множеств и избегают их. Однако множества натуральных чисел избежать нельзя; но его намного сложнее осознавать как объект, чем, скажем, множество точек внутри овала, объединяемых этим овалом.
Если естественные диаграммы Венна отсутствуют, то часть их все же является общепринятой: замкнутая кривая. Эта кривая — настолько привычная часть диаграмм Венна, что большинство тех, кто ею пользуется, отождествляет эту кривую с собственно диаграммой. Смысл и цель применения этой кривой остаются совершенно неясными; в частности, неясно, что она, собственно, отображает. У меня такое впечатление, что этот вопрос никто тцлком не обсуждал. Их переняли от прежних диаграмм Венна, где они действительно обозначали некоторую кривую, и теперь их рисуют просто по традиции —очевидно, эту традицию 10—20-летней давности
во всех отношениях, кроме возраста, мож- нож сравнить с тысячелетней.
* Создается впечатление, что кривая нужна лишь затем, чтобы объединить нс связанные между собой объекты. На бумаге изображают несколько нс .бессмысленных фигур — крестики, звездочки, кружочки и т. п. — и, чтобы преодолеть их разнородность, обводят кривой. Можно, конечно, задать себе вопрос: почему столь разнородный материал объединяют в одно множество? Конечно, школьник должен познакомиться и с множествами, состоящими из неоднородных объектов, но разве только с такими? Это было бы противоестественным.
‘Принципиальная неоднородность имеет причину, и эта причина* просто недоразумение. Множества, изображаемые на диаграммах Венна, "должны состоять из явно различных по виду элементов, говорят нам, а потому два треугольника недопустимы в диаграмме Венна. Но почему же? Ведь в природе существуют два и даже больше, чем два, треугольника. Ладно, но как же пояснить, что два треугольника, которые изображены на диаграмме, различные треугольники? Ведь множество (А, А} содержит лишь один элемент, именно А. Значит, два треугольника на диаграмме различны, и притом явно различны по виду, если они изображены на различных местах, как различны два яйца в корзине или два пятачка в кармане. То, что изображено в фигурных скобках, является — если только это вообще имеет смысл — не собственно элементами, а их именами. Если, чтобы угодить неграмотным, я изображаю «А» вместо «треугольник», то указываю этим именем лишь один треугольник. Обиходный язык вообще богаче, в нем есть много названий для треугольника: этот треугольник, тот треугольник, третий треугольник и т. д. В математике в этих случаях записывают
<Д1. .... Ат).
где Лх, ..., Дт—различные треугольники. Диаграмма Венна, наоборот, может выглядеть как на рисунке 13, но никогда — как на рисунке 14. Это должно быть множеством треугольников, но не множеством имен треугольников.
Итак, при образном представлении множества нет причин требовать, чтобы изображаемые элементы были разнородными. Вероятно, замкнутая кривая обязана своим появлением потребности как-то обозначить объединение множества неоднородных элементов. Мы видели, что неоднородность вообще не необходима — и
Рис. 16Рис. 16Рис. 19Рис. 19тем самым теряется право на существование кривых в диаграммах Венна. Эта кривая попросту является признаком бедной фантазии. -
Рис. 16
Рис. 16
Рис. 19
Рис. 19
В упомянутом ранее венгерском учебнике можно видеть, сколь естественно и убедительно изображены множества; тому, кто это однажды увидел, совершенно непостижимо, почему до сих пор многие помешаны на диаграммах Венна. Множество блоков можно составить в виде башни, в виде стенки или здания вообще, можно сделать это с помощью цветных блоков, представить множество красных блоков в первом этаже как пересечение подмножеств. Можно рядом со стеной поставить башню, чтобы сравнить их по мощности. Разве это нс более осмысленно, чем диаграммы Венна? Изобразить множество детей в виде точек на диаграмме Венна —абсурдно; если только есть что-либо еще более абсурдное, так это спросить, где же здесь нос Марии, и потребоваться обозначения этого носа поставить точку вне диаграммы. Скамейка, на которой (или стол, вокруг которого) сидят дети,— само собой разумеющееся изображение множества этих детей, в котором можно образовать подмножества и их пересечения. Множество книг можно изобразить на книжной полке и различать среди этих книг большие и маленькие, коричневые и зеленые, с картинками и без и т. п. -
Изображения нс обязательно должны быть точными; они должны служить для обучения математике, а не рисованию. Множество яблок можно изобразить в виде пирамидальной кучки кружочков, а можно и в том виде, как они преподносятся в вазе для фруктов. Такая стилизация и приводит к диаграммам Венна; круг с кружочками внутри: большой круг символизирует очертания тарелки, а маленькие кружки — лежащие на ней яблоки. Это вполне разумно.
Или, скажем, накрытый стол, на котором поставлено множество предметов, приготовленных для завтрака; из них можно
выделить подмножество всех чашек, всех предметов, подготовленных для одного из завтракающих, всех съедобных предметов. Лишь одного я нс могу понять: разграничения подмножеств с помощью разложенного на столе шнура. Я не знаю, можно ли выделить подмножества иначе, как логически; но если это делается, по крайней мере символически, то распилить стол на части было бы естественнее.
Короче говоря, я могу понять диаграмму Венна, в которой замкнутая кривая изображает край стола, а значки внутри нее подразумевают предметы, лежащие на этом столе, как, скажем, на рисунке 15.
Если я рассматриваю рисунки 16 и 17, то мне представляется множество из 5 точек на плоскости. Буквы нарисункеД? относятся нс к изображению, а к именам точек, точно так же как слово «Лондон» обозначает на географической карте место, близ которого расположен этот город. Я только не понимаю, зачем здесь замкнутая кривая. А рисунок 18 меня смущает, ибо я нс понимаю странных чисел при точках.
До сих пор если рисовали множества, то правильно воспроизводили их элементы. На рисунке 19 и это требование нс выполнено.
Возможно, автор имел в виду множество {1, 3, 4, 5, 7}. Такое обозначение, в фигурных скобках, корректно. Но в корне неверно ставить числа внутри замкнутой кривой. Элементами изображения должны быть образы (тарелок, жемчужин, точек и т. п.). Имена могут появляться как указания или кал словесные пояснения. Напротив, кривая вокруг имен, которые не являются указанием или пояснением, внушают мысль о множестве имен вместо множества {1, 3, 4, 5, 7}. К тому же совершенно непонятно, как эти числа на рисунке 19 попали в овал и почему они изображены там, а не где- либо еще. Рассматривая многочисленные диаграммы Венна такого рода в школьных учебниках, можно подумать, что авторы тоже не понимают этого. Они не продумывают эти проблемы и в конце концов списывают друг у друга.
Я приводил пример учителя, который разъяснял своим ученикам, почему фигурные скобки и диаграммы Венна —одно и то же. Но это не одно и то же. Фигурные скобки — это словесное выражение, тогда как диаграмма Венна» — рисунок. Внутри фигурных скобок снова должны стоять словесные выражения; при этом рисунки могут быть использованы как идеограммы, если только представить себе возможные последствия: должно быть ясно, является идеограмма родовым именем или индивидуальным, и если индивидуальным, то каким именно.
Наоборот, детали диаграммы Венна, а также собственно диаграмма являются рисунками, в которых словесное выражение возможно лишь в качестве пояснений. Особенно относится это к
замкнутой кривой, которая, если она имеет смысл, должна что-то изображать.
Это может быть схематичным. Если хотят показать класс учеников и для этого изображают замкнутую кривую в качестве границы (стенок класса), а штрихи внутри служат изображением детей, то это будет грубым рисунком, но все же осмысленным.
А если вместо штрихов поставить буквы, получится бессмыслица. Я не могу представить себе, где может возникнуть настоятельная потребность в диаграмме Венна для множества дней недели или для множества нынешних, президентов Соединенных Штатов. Почему, говоря о параллельных или пересекающихся прямых, нужно изображать эти прямые в виде овалов на диаграмме Венна, остается для меня неясным.
Diagrammatis vennica. Рисунок 20 должен изображать некоторую функцию, которая сопоставляет некоторым ученикам их вес (в кг). Первая замкнутая кривая содержит имена вместо изображений детей; вторая содержит числа, причем число «29» встречается дважды, так что отображение' является взаимно однозначным (!). Разумеется, числовая прямая была бы гораздо естественнее, если бы автор не был обуян страстью все изображать в форме диаграмм Венна, манией «Diagrammatis vennica»1.
Я хочу еще раз указать, что другие иллюстративные представления могут быть гораздо целесообразнее, чем диаграммы Венна. Большей частью можно обойтись без непонятных кривых; нередко эти кривые —признак того, что художник поленился продумать, как можно представить все изображенное в единообразном виде.*
Если речь идет нс о соотношениях объединения или пересечения, а хотят лишь схематически представить на бумаге собственно множества, следует вначале продумать, что, собственно, может быть достигнуто рисунком и как это сделать наиболее целесообразно'. Множество ваз и множество цветов можно сравнить, если в каждую вазу поставить ровно один цветок; диаграммы Венна здесь, попросту бесполезны.
Что можно получить с помощью диаграмм Венна, показывают следующие примеры..,
Нам представляют класс: Мария, Ганс, ... и затем говорят: «назовем Марию а, Ганса —6, ...» (какая утонченность! Ребенок — Мария, но ее хотят назвать а и т. п.). Затем изображают диаграмму Венна, как на рисунке 21.
Ну, а нос Марии, где же ой на диаграмме? Его там нет. Да и как он может быть, если нет самой Марии! Нос Марии может быть обозначен точкой вне диаграммы. А сама Мария? —Но так далеко автор не распространяется. Хотя Мария сидит за своей партой и, следовательно, явно не находится на диаграмме, но она, очевидно, должна сидеть и на диаграмме, ибо называется у автора «я», и это «а» имеется на диаграмме...
Другой пример—множество картофелин; картофелины находятся внутри овала. Ну, а само множество картофелин? Оно является точкой вне овала, ибо нс является элементом себя самого.
Все эти примеры я не выдумал. Они исходят не от кого-либо желающего высмеять диаграммы Венна,, а от тех, кто их пропагандирует и считает, что эти рассуждения могут приохотить 11—12- летних школьников к занятиям математикой. Ясно, что диаграммы Венна используются здесь для целей, к достижению которых они совершенно непригодны. Метод, полезный при определенных условиях, использовать при любых условиях — манера догматического преувеличения, которым, .к сожалению, мы, математики, нередко злоупотребляем.
Где находят множества? Где находят числа, круги, функцию, «синус»? Отнюдь не в реальном мире. Числа могут быть количеством реальных предметов, реально существуют круглые предметы,^ можно вычислить синус угла. Существует нечто в действительности, что называют числом, кругом, синусом, и это как-то связано с тем, что также называется в математике, но эти понятия не так просто идентифицировать друг с другом. Ныне известно, что взаимосвязь между математикой и реальностью более тонка.
Говорят так: чтобы понять некую часть действительности, строят ее упрощенную модель, которую затем пытаются математизировать. Вначале такая модель можег быть вполне конкретной. Но мало-помалу конкретность исчезает, и модель становится все абстрактнее.
Так происходит с натуральными числами: структура числового ряда служить математизированной моделью -реальности, где всегда считали. В истории человечества модель появилась в весьма конкретной форме: пальцев руки или камешков. Эти модели весьма надежны: 3 и 2 всегда дают 5. Однако получится ли при сложении трех коров и двух коров пять коров, зависит от многих обстоятельств: пока я считаю, одна из коров может убежать или умереть, или быть украдена, или родить теленка.
От конкретных моделей легко перейти к абстрактным, которые удовлетворительны в одних ситуациях и непригодны в других.
Сложение хорошо применимо к коровам, людям, деньгам, но плохо к телефонным номерам или высоким горным вершинам. Линейная функция годится для соотношений «цена — вес» или «вес — объем», но не для «число рабочих — продолжительность работы» или «площадь — периметр» и т. п. Иногда говорят: математка неприменима. Однако вернее сказать, что неприменима избранная модель.
Множества кажутся более фундаментальными. Это происходит потому, что мы как бы применяем понятие множества непосредственно к действительности — без использования модели. Если я охватываю взглядом три объекта и говорю о множестве этих объектов, то это есть множество данных конкретных объектов; оно является реальностью, а не только моделью этой реальности.
Но лищь в исключительных случаях все это выглядит так просто. Это действительно редкое и не столь уж важное исключение. Если школьники видят в учебнике изображенное множество из трех вишен, то будут ли это три реальные вишни, и если да, то какие именно? «Эти три вишни», скажет один из учеников, другой, глядя в такой же учебник, знает, о каких вишнях идет речь. Но будут ли это реальные вишни? А ведь мы только приступаем к изучению теории множеств.
Я уже упоминал телефильм, в котором четверть часа подряд заключали изображения предметов в фигурные скобки, сопровождая это действие и монотонным текстом: «это — множество». Ведь собственно теория множеств начинается не ранее того, как с множествами что-то делают, сравнивают их путем отображения, образуют множество пар, множество подмножеств. Однако все это — отображения, множество пар, множество подмножеств — уже вовсе не конкретные явления; это модельные понятия, которые как-то применяются в действительности.
Теперь мы приходим к следующему вопросу.
Где применяются теоретико-множественные модели? Конечно, нельзя ответить на этот вопрос, придумывая искусственные примеры. Из того, что нынешние учебники переполнены такими примерами, вовсе не вытекает, что трудно найти и хорошие примеры. Разумеется, речь пойдет не о показе примера множества, а о примере того, что можно делать с множествами. .
Я уже говорил о естественных диаграммах Венна. Как проанализировать на уроке понятие «общая граница двух стран»? Следует заметить, что «страны» ассоциируются здесь не с поверхностью земного шара, а лишь с цветными областями на карте, которые соприкасаются по некоторой кривой. Или, выражаясь математически, «страна» — это множество точек на карте (или на поверхности земного шара), а граница двух соседних стран — это пересечение соответствующих двух множеств. При этом можно не ограничиваться лишь соседними странами, ибо может оказаться, что страны не имеют общей границы, или, другими словами, что общая граница представляет собой пустое множество.
Разумеется, «страны» — не точечные множества на поверхности земного шара. Вблизи границы или на расстоянии 12 морских миль от берега нельзя утверждать, что некоторое пятнышко принадлежит стране; другой сомнительной точкой будет, например, Нидерландское посольство в Вашингтоне. Кроме того, «страна» может иметь и более двух измерений: в горно-шахтном деле или в воздушном океане появляется и третье измерение. При некоторых обстоятельствах под «страной» можно понимать множество ее городов и других населенных пунктов или множество ее жителей; наконец, существуют аспекты, которые не укладываются в теоретико-множественную модель.
Рассмотрим «страну» как множество точек на поверхности земного шара. Тогда высказывание «Нидерланды — это объединение одиннадцати нидерландских провинций» не столь уж бессмысленно. Разумно также рассмотреть пересечение двух или трех провинций. Реальная или воображаемая линия делила бы страну на север и юг, другая линия — на запад и восток, и можно задать вполне осмысленный вопрос: как в теоретико-множественном смысле назвать северо-восточную часть страны?
Вот другой аспект. Население страны можно разбить по различным признакам: пол; возраст (до 18 лет или старше); семейное положение; обладатель водительского удостоверения IV, III, II, I класса или не имеющий такового. Куда отнести в этой схеме замужнюю водительницу автобуса? Предположим, что все нидерландское население учтено с помощью перфокарт; что нужно сделать, чтобы отыскать такого человека?
Представим себе, что пространство аккуратно разрезано на конгруэнтные куб4>1 и рассмотрим множество этих кубов; какие подмножества образуют слои, столбики?
)н Все это гораздо нагляднее, чем диаграммы Венна. Однако эти примеры вполне определенного типа. Если задано такое множество, можно тотчас по определению установить, какие объекты входят в множество, а какие не входят; по крайней мере, модель подсказывает ответ на этот вопрос; то же относится и к странам на карте. Математические примеры обычно тоньше. Чтобы найти множество точек плоскости, лежащих на расстоянии г от точки Л, требуется циркуль, чтобы построить множество точек, равноудаленных от Л и от В, нужно выполнить нетривиальные действия. Чтобы найти множество таких х, которые удовлетворяют уравнению х—3x4-2 — О, нужно решить уравнение. Школьники, конечно, должны быть знакомы и с множествами, элементы которых можно найти лишь с трудом. Однако это не значит, что каждую задачу следует формулировать на теоретико-множественном языке, требуя найти множество решений, или что решение каждой задачи следует записывать в форме множества ответов.
Теоретико-множественную формулировку следует выбирать лишь тогда, когда она существенна.
В мои студенческие годы было шутливым снобизмом говорить о множестве четных простых чисел. Я цумаю, что и ныне это лишь снобизм, но уже серьезный.
Конечно, можно решать уравнение
•(?х) (х2 — Зх + 2 = 0),
записывая.
{х|х2— Зх+ 2= 0}=(х|х2—2..^Х+-+ 2 — ^-= 0) =
Г1/3\21 1fl31. ,31 1
\2 /4 J[2222)
= (-Ф—| =у) U(я|х —у=—у)=W* =2}U
{х|х = 1} = {х|х = 2 V ^ = !}•
Я не вижу лишь, где здесь понятие множества используется операционно. .
Каждую импликацию Д т (F (х)-> G (х)) можно записать в виде VX\'F W} cz {x|G (х)}. Например, вместо «все люди смертны» можно писать «множество людей входит в множество смертных». Можно даже сказать: «множество площадей кругов радиуса единица есть одноэлементное множество л».
Все это допустимо, т. е. это допустимый снобизм.
Когда же говорят «Множество точек плоскости, равноудаленных от А и от В (раньше это называли геометрическим местом точек) есть перпендикуляр, проведенный через середину отрезка Л В», то эта модель действительно использует операционное понятие множества. Здесь действительно сравниваются между собой множества и притом множества, которые на самом деле появляются на бумаге: в дальнейшем к множествам этого вида будут применяться такие теоретико-множественные операции, как образование пересечений..
Я не хотел бы еще вдаваться в объяснение, для чего нужны множества в математике. Зная это, можно применять их с пользой в преподавании, но этим не ограничиваются. В школьном преподавании множества стали теперь предметом изучения и вводятся с целями, которые неизвестны обычной математике. Вообще-то это не запрещается и даже может оказаться дидактически целесообразным. Однако, прежде чем вводить множества, следует поразмыслить, какой конкретно цели они служат, т. е. в какой связи находятся с повседневной реальностью и с содержательной математикой. У меня такое впечатление, что множества вводятся
скорее по привычке или потому, что так делают другие, а не в силу применения необходимости их изучения.
Во многих курсах множества используют для введения или — на более высокой ступени — для обоснования понятия натурального числа. Выше уже разъяснялось, что для этого множества не годятся. Здесь важно отметить, что при введении натуральных чисел количественный аспект вскоре вытесняется и что формальное обоснование и без того является чужеродным телом. Это означает, что понятие множества служит в оперативном отношении лишь очень не на долго; оно становится ненужным и в следующих разделах курса больше не появляется. Или того хуже: автор напрягает все силы, чтобы снова вернуться к понятию множества, и все возможное, а порой и невозможное, излагает теоретикомножественным языком; некоторые примеры нелепостей приведены выше.
Чего еще можно ожидать от понятия множества? Многие пользуются им для обоснования понятия функции. Это является и математическим и методическим недоразумением: нет никакой необходимости предпосылать функциям множества. И если даже понятие множества предпосылают понятию функции, оно едва ли является оперативным понятием.
“Понятие множества может, пожалуй, быть оперативным лишь в вопросах комбинаторики. Как ни странно, именно в этой связи его обычно не используют.
Структурированный мир — «Малая вселенная». Существует лишь один пример, где теоретико-множественная модель действительно актуальна и даже может быть использована в детском саду. Я думаю, что до сих пор только Дьенеш осознал это. Речь идет о разделении мира по различным признакам. Примеры предыдущего раздела как раз в этом роде; в поисках естественного появления теоретико-множественной модели каждый, вероятно, приходит к примерам подобного рода. Это действительно теоретико-множественные связи и операции заданных структурирующих и формулирующих средств. Включение, пересечение, объединение и дополнение могут быть связаны здесь с повседневной реальностью; то же относится и к образованию пар, если только это будет не абстрактное объединение, а структурирование заранее заданного множества.
Другим преимуществом этого примера является его появление не в произвольно обозначенном, а в реальном и, главное, обозримом мире.
Для детей младшего возраста это особенно важно. Установлено, что при обучении геометрии замкнутые фигуры, как параллелограмм и куб, воспринимаются легче, чем открытые, как угол и прямая. Бесконечный мир с его непредсказуемым обилием объектов и видов объектов, рассматриваемый порой в начальной школе, часто сбивает с толку. Я опять вспоминаю вопрос о присутствии
носа Марии или множества картофелин на диаграмме Венна. Но если оперируют с данным классом учащихся или данной кучкой картофелин, это вопросы попросту несущественны.
Такие открытые миры встречаются и в нематематических проблемах, но там их используют при постановке шуточных вопросов. -Например, «Американец, немец, англичанин и француз прыгнули с парашютами из самолета. Кто был первым на земле? — Ответ: Адам».
В упомянутых материалах Дьенеша речь идет о «мире» (коробке) с набором предметов, отличающихся по различным признакам — окраске, форме, длине, толщине. С этим «миром» проводят логические игры. К сожалению, в руководстве, которое я видел, этот сам по себе превосходный материал был объединен с совершенно непонятным и неуместным применением диаграмм Венна.
Я нахожу, что при всей ценности материала Дьенеша мешает то, что он предлагает уже рерко структурированный «мир» и тем самым не предоставляет ребенку достаточных возможностей для самостоятельного структурирования универсума. Такие универсумы с легко распознаваемым строгим разбиением имеют свои преимущества; однако Они не должны выступать как общепонятийный образец. Материалы Дьенеша кажутся мне чересчур математизированными. Такая математизация, т. е. в данном случае структурирование по определенным признакам, будет более поучительной, если объекты не будут заранее структурированы столь явно.
В качестве «мира» для упражнений дошкольника я представляю себе некую' «Малую вселенную»; скажем, содержимое некоего шкафа с игрушками. Эта «Малая вселенная» может состоять из предметов, отличающихся по цвету, форме, размерам, материалу, назначению (движущиеся, недвижущиеся), виду (вагоны, автомобили, куклы, плашки) или, лучше, распределены детьми по группам; можно упражняться в более частном или более общем разбиений; можно научиться отыскивать объекты по необходимым и достаточным критериям. Наконец, с помощью этой «Малой вселенной» можно подразделить принципиальные и случайные факты или явления: если все красные движущиеся предметы в «Малой вселенной» — автомобили, то это может быть квалифицировано как предложение, относящееся к данной системе, но теряющее силу для других систем. В полностью организованном логическом «строительном наборе» критерии независимы, скажем, при 4-х критериях красный—синий, круглый — многогранный, длинный — короткий, толстый — тонкий встретится каждый из 16 вариантов, например, красный - многоугольный - длинный- - тонкий и т. п. и притом ровно один раз. В шкафу с игрушками может существовать и случайная зависимость: все красные движущиеся предметы являются автомобилями, но не все автомобили обязательно являются красными. Это — естественное богатство различных возможностей.
Но самым важным представляется мне самостоятельное структу-
рирование, в котором на таком материале можно упражняться успешнее, чем на заранее структурированном. Я еще раз обращаю внимание на образование пар. Когда в университетском курсе теории групп вводится прямое произведение, мы начинаем с данной группы G, содержащей два нормальных делителя Н и К, единственным общим элементом которых является единица, затем устанавливаем определенные свойства их произведения нк, а именно, ,что НК также является группой, каждый элемент которой может быть представлен единственным образом как произведение эле- мента’из Н на элемент из К- После этого «конкретного» произведения определяется абстрактное: из элементов групп Н и к образуются пары \h. кЛ, где/i С Н, к 6 К и для них определяется умножение \h, кЛ • \hv к^ = \ННЪ kktA. В школе же, вводя декартово произведение множеств А и В, поступают как раз наоборот: начинают с абстрактных комбинаций элементов из Л с элементами из В; лишь иногда позднее переходят к конкретному созданию пар в заданном множестве. Из 5 мальчиков и 4 девочек образуют труднопостижимые пары мальчик—девочка вместо того, чтобы, скажем, структурировать время пребывания в школе по признакам дня недели и времени дня для получения множества упорядоченных пар — расписания уроков на неделю. Точно так же куда целесообразнее структурировать данную плоскость с помощью системы координат в качестве множества пар чисел, чем начинать с множества пар чисел и затем отображать это множество на плоскость.
Я упоминал о «Малой вселенной», имея в виду логико-теоретико-множественные упражнения для дошкольников. Но я должен быть осторожен. Я не могу однозначно ответить, нужны ли подобные упражнения в детском саду или в первом классе. До сих пор никто не объяснил мне целей и задач введения такого материала. Возможно, что упражнения эти полезны сами по себе, для умственного развития. Проверка такой версии вполне возможна. Если это и не так, то описанный материал может служить начальной ступенью для дальнейшего — для чего именно, неясно. Если же и это не будет установлено, то можно с полным правом исключить подобные упражнения, как чужеродное тело.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие автора 5
Математическая традиция 9
Математика сегодня 23
Традиции воспитания 50
Цель и смысл обучения математике. .55
Сократовский метод 75
Переоткрытие 82
Математическое упорядочение....86
Строгость 89
Процесс обучения 94
Учитель математики 96
Понятие числа — объективныйподход100
Развитие понятия числа — от наглядных методов к алгоритмизации и рационализации 150
Развитие понятия числа — алгебраический метод 170
Развитие понятия числа — от алгебраического принципа к упорядочению алгебры в целом .182
Множества и функции 187
Ганс Фройдентальматематика как педагогическаяЗАДАЧА
Сокращенный перевод с немецкого А. Я. Халамай-вера
Титульный редактор Н. Я- Виленкин, редактор В. И. Ефимов, художественный редактор Е. Н. Карасик, художник Б. Л. Николаев, технический редактор Л. М. Абрамова, М. М. Дербикова, корректоры К. А. Иванова, Г. С. Попкова
ИБ № 6580
Сдано в набор 25.08.81. Подписано к печати 4.02.82. Формат 60x90Vie. Бумага типографская Ne 3. Гарнитура литерат. Печать высокая. Усл. печ. л. 13. Усл. кр. отт. 13. Уч.-изд. л. 13,71. Тираж 39 000 экз. Заказ Ne 17 2. Цена 1 руб. 10 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41
Сарато! скпй ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат РосглаЕПоли- графпромг Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Саратов, ул. Чернышевского, 59.
2 В оригинале: «Современный литературный немецкий язык от старонемецкого» (прим, перев.).
матической или лексической правильности речи (прим. ред.).
смысле; обозначение точек в геометрии имеет лишь, внешне, характер, отличный
от обозначения величин в алгебре. Исторически это выяснилось постепенно. «А» может означать в геометрии любую точку точно так же, как «а» в алгебре — любое число. Если для некоторой точки выбрано имя «Д», то я должен считать его как бы именем собственным данной точки. Для чисел это не так. Хотя и верно, что если некто предлагает «задумай число, прибавь 3, умножь на 4 и т. д.», то я
выбираю произвольное число, скажем 17, и произвожу указанные действия. Это выглядит так же, как в геометрии; однако это не то, что подразумевается в алгебре, когда говорится о произвольном числе. Если в алгебре в (а 4" by числа а
и b рассматриваются как вполне определенные, как в геометрии А и В должны
быть вполне определенными точками, то алгебра извращается. Из-за этого-то
алгебра и геометрия кажутся различными в том, что касается применения букв.
В действительности такого различия нет; но чтобы это понять, нужно смотреть глубже. В геометрии для доказательства некоторого общего предложения можно позволить себе рассмотреть конкретный треугольник АВС, если он выбран как «общий»; то, что верно для «общего» треугольника, учит алгебраическая геометрия, верно и для частного; однако «общего» натурального числа в этом смысле не существует (прим, автора).
Г.ФРОЙДЕНТАЛЬ
им»
ш
ПЩИМСМЯ
И
H.FREUDENTHAL
MATHEMATIK
PADAGOGISCHE
Band 1
ERNST KLETT VERLAG STUTTGART. 1977
Г.ФРОЙДЕНТАЛЬ
шепнишПВД4Г0ГИЧВСШэдш
Часть I
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
Под редакциейН. Я. Виленкина
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1982
ББК 74.262
Ф91
Рецензент:действительный член Академии наук УССР,профессор Б. В. Гнеденко
Сокращенный перевод с немецкого А. Я- Халамайзера
Фройденталь Г.
Математика как педагогическая задача. Ч. I. Пособие для Ф91 учителей/ Под ред. Н. Я- Виленкина; Сокр. пер. с нем.
А. Я- Халамайзера. —М.: Просвещение, 1982.—208 с., ил.
Данная книга представляет собой сокращенный перевод первой книги известного голландского ученого Г. Фройденталя. Автор излагает ряд интересных и полезных мыслей по поводу математического образования и воспитания молодежи. Часть авторского текста, которая при переводе сокращена, в данной книге выделена чертой слева.‘"
Предназначена для учителей математики средней школы.
126 — 82126 — 82ББК 74.26251ББК 74.262514306010400—410
126 — 82
126 — 82
ББК 74.26251
ББК 74.26251
ф'
103(03) — 82
© Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1973.
© Перевод на .русский язык. Издательство «Просвещение», 1982 г.