Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ОГЛАВЛЕНИЕ
Элементы
Условия
Решения,
теории,
задач
указания,
примеры
ответы
Предисловие
3
Глава 1. Тождественные преобразования
5
9
260
алгебраических выражений
Глава 2. Алгебраические уравнения
35
39
284
Глава 3. Применение уравнений к решению задач
56
59
316
Глава 4. Тождественные преобразовании
102
108
333
тригонометрических выражений
Глава 5. Тригонометрические уравнения
136
140
360
Глава 6. Прогрессии
160
162
400
Глава 7. Логарифмы. Показательные и
169
175
406
логарифмические уравнения
Глава 8. Неравенства
192
199
436
Глава 9. Комбинаторика и бином Ньютона
213
214
467
Глава 10. Дополнительные задачи по алгебре
220
222
471
Глава 11 Начала математического анализа
241
245
509
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее (седьмое) издание «Сборника задач по математике для поступающих во втузы» выходит в двух книгах (книга 1 — «Алгебра», книга 2 — «Геометрия»). При этом сохранены почти весь массив задач пятого и шестого (стереотипного) изданий, теоретические сведения справочного характера и примеры решения задач с объяснением применяемых методов. Сохранено также разделение задач на три группы (А, Б, В) по их возрастающей трудности в тех главах, где такое разделение было осуществлено и в предыдущих изданиях «Сборника».
Хотя такое деление имеет более или менее условный характер, авторы полагают, что умение решать задачи из группы А должно определять минимально необходимый уровень подготовки учащихся к вступительным экзаменам во втузы. Успешное решение задач из группы Б определяет более высокое качество усвоения школьной программы. К группе В отнесены задачи повышенной трудности. Однако практика решения таких задач полезна для развития и укрепления способности к самостоятельному логическому мышлению, для обогащения математической культуры и может быть использована в школе и на факультативных занятиях.
Существенной переработке подверглось расположение задач в каждой главе внутри разделов А, Б и В. Теперь задачи сгруппированы по типам, методам решения и заново пронумерованы. Кроме того, в каждом из разделов А, Б и В к наиболее типичным задачам даны полные решения или указания, помещенные в конце книги. Тем самым «Сборник» приобретает новое качество — он становится дополнительным к школьным учебникам пособием для самообучения в процессе подготовки к вступительным экзаменам по математике во втузы.
В соответствии со школьной программой обучения математике в «Сборнике» рассматриваются только области действительных чисел: действительные корни функций, уравнений, систем уравнений.
В «Сборнике» приняты следующие обозначения: начало и конец решения примера отмечаются соответственно знаками □ и ■, а вместо слова «Указание» употребляется знак *.
Начиная с третьего издания работа над «Сборником» выполнялась коллективом авторов без участия самого активного соавтора и научного редактора его первого и второго изданий М. И. Сканави, умершего в 1972 г. Специальное редактирование третьего и последующих изданий было возложено на Б. А. Кордемского. За годы, прошедшие после выхода в свет шестого издания «Сборника», авторский коллектив поте-
рял еще двух своих коллег: И. Ф. Орловскую и Р. И. Позойского. Мы сохраним светлую память о них.
Авторы сердечно благодарят учащихся и преподавателей школ, подготовительных курсов и факультетов вузов, рецензентов «Сборника», высказавших критические замечания и добрые советы, предложивших поправки. В особенности авторы признательны Р. И. Борковскому (г. Челябинск), приславшему наибольшее количество пожеланий и замечаний, учтенных при подготовке настоящего издания.
Авторы
ГЛАВА 1
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯАЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Свойства степеней
Для любых х, у и положительных акЬ верны равенства:
а° = 1;
(1.1)
X у х+у
(1.2)
а а =а ;
X у х-у а :а =а ;
(1.3)
(1.4)
(об) ^а b ;
(1.5)
а
У 7
(1.6)
-X 1
а=—.
(1.7)
а Многочлены
Для любых а, b и с верны равенства:
а1—Ь2=(а—А) (а+ЬУ,
(1.8)
(a+b)2=a2+2ab+b2;
(1.9)
(а—ЬУ^^—ЗаЬ+Ь2;
(1.Ю)
(а+А)3=а3+За2А+ЗаА2+А3 или (в+А)3=в3+А3 + ЗвА (а+ЬУ
(1.И)
(а-Ь)3=а3-За2Ь+ЗаЬ2-Ь3 или (а—Ь)3=а3—Ь3 — ЗаЬ (а—А);
(1.12)
а3+А3™(а+А) (о2—вА+А2);
(1-13)
а3—А3—(а—А) (а2+аА+А2);
(1.14)
ах2+Ьх+с-а (x-xi) (х-х2Х
(1.15)
где xj и х2— корни уравнения ах2+Ьх+с=0.
Свойства арифметических корней
Для любых натуральных л и Аг, больших 1, и любых неотрицательных анЬ верны равенства:
"^VaVb;
(1.16)
* la "д/а
Nb Vb _
(1-17)
cv^-V»;
(1-18)
(1.19)
п Г пк / к а=а ;
(1.20)
(V»f=o l^Y
.(1.21)
» Г » Г, »,
^jа< л//>, если 0<а<»;
(1-22)
>—[ а при а^О,
Va =М = )„
( — а при а<0;
(1-23)
2л /2л
(1-24)
2л + 1 /2л + 1 Г
V~ а= —у/a (а^О).
(1-25)
Пример 1. Упростить выражение
х*+2х2-Зх+1х*+2х2-Зх+1
х*+2х2-Зх+1
х*+2х2-Зх+1
Обозначим дробь через А, а выражение в скобках — через В; тогда заданное выражение примет вид А+2В. Заметим, что для ^Зх и 6V27x3 допустимыми являются только значения х>0, при которых знаменатель дроби А не равен нулю. Поэтому и для заданного выражения допустимыми являются только значения х>0.
Используя формулу (1.9), выделяем в числителе дроби А полный квадрат:х* + 2х2+1 —Зх=(х2 + 1)2 —Зх.
Так как х>0, то в силу равенства (1.21) имеем 3х=(^3х)2. Тогда полученное выражение с помощью формулы (1.8) можно разложить на множители как разность квадратов:
(х2 + 1)2 — (^Зх)2=(х2+1 — V3*) (х2+1 +V3jt)-
Следовательно,
Далее, на основании формулы (1.20) имеем 6V27x2—6V(3x)3=V3x, откуда
В-у/Зх--. Итак, H + 2S-x2-V3x+l+2 у/зх-1 = х2 + х/Зх. ■
Пример 1 Упростить выражение
х/о2—4о6+4628о626
—.1, 0 < а < 26.
х/а2+4о6+462 я2-462 о-26
Имеем ^a2—4ab+4b2=‘yj(a — 26)2 = |о—261 = 26 —a, y/a2+4ab+4b2 — \a +
+ 26j —а+26; здесь были использованы формулы (1.9), (1.10) и (1.23). Следовате-
y/a2—4ab+b2 2Ь—а
льно, —. —— = =. Теперь находим
yja2 4-4ab4-b2 2b*o
26—о 8о626(26—о) (о—26) —8о6+26 (о+26)о
26+о , о2—462 а-26о2—46226 — 0
Пример 3. Упростить выражение
х2+4х—5+(х—5) х/х2 — 1
/(х)^=, х>1.
х2—4х—5+(х+5) х/х2— 1
Используя формулу (1.15), разложим на множители квадратные трехчлены в числителе и знаменателе дроби:
(х+5)(х-1)+(х-5)х/^1
/ (х) =7==.
(х-5)(х+1)+(х+5)х/х2-1
Так как х>1, то в силу соотношения (1.21) имеем х-1=х/(х—I)2
и х+1— -У(х + 1)2. Значит,
V^T ((х+5) х/х-1+(х-5)х/х+1)
/ (х)- ,7=т=-,
х/х+1 ((х-5)х/х+1+(х+5)х/х-1)
/х-1 откуда после сокращения получим / (х) — /. ■
Vx + 1
Пример 4. Не прибегая к приближенным вычислениям, упростить числовое выражение
□ Используя формулы (1.16), (1.8), (1.20) и (1.10), находим:
d«Vi+2v5 '/^-i V^F"*
1(13+4 V3) (13-4 V3)_6 /169—48
И2 ~ V 121
Окончательно получим A =4—1=3. ■
Пример 5. Проверить справедливость равенства
V38+V1445+V38-V1445=4.
□ Положим \/38 + х/1445+\/з8—х/1445=х. Возведем в куб обе части этого равенства. Используя формулу (1.11), получаем
38 +V1445 + 38-V1445 + 3 V(38+x/1445) (38~х/1445) х=х3.
или х3+Зх—76=0. Подстановкой х=4 убеждаемся в том, что х=4 является одним из корней полученного кубического уравнения: 64+12— 76 =0.
Преобразуем кубическое уравнение: х—64=3 (4—х); (х—4) (х2+4х+16)+ +3 (х— 4)=0; (х—4) (х2+4х+19)=0. Но множитель х2+4х+19 не имеет действительных корней. Значит, 4 — единственное возможное действительное значение для х, чем и доказано требуемое равенство (поскольку очевидно, что
3х/з8+х/1445+3х/38—х/1445— действительное число). ■
Пример 6. Проверить справедливость равенства
□ Рассмотрим равенство
Очевидно, что если оно верно, то верно и заданное равенство. Пусть а=
V'+4VJVi;,-8Vj г'
=-=, A—2+V3. Легко установить, что а>0 и 6>0. Если при
4-V3
этом выполняется равенство а1=Ъ1, то а=6. Находим
Ь1
Так как а2=62, то а=Ъ, т. е. заданное равенство справедливо.
Этот пример можно решить быстрее, если догадаться, что оба подкоренных выражения в условии являются квадратами положительных чисел, а именно: , 7+4 ^3—(2+х/з)1 и 19—8 х/3=(4—х/З)2. Тогда левая часть чядя иного равенства (2+х/з)(4-х/з) г г г естьтv3”2+^3—V3™2 и 2=2. ■
4-х/З"
Премер 7. Чему равна сумма выражений ^jlA—t2 и ^%—t1, если известно, что их разность равна 2 (значение переменной / находить не Нужно)?
□ Согласно условию, V24—t2
а2-ь2. .—-
а+Ь—, получим V24-r+V8- а—b
s/8—t2=2. Используя формулу 24-8
г
Группа А
Упростить выражения и вычислить их, если даны числовые значения параметров (1.001—1.124):
1 1
1.001.
а Ь+с /Ь2+с2—а2\
1 1
26с
а—Ь—с
; а=0,02, Ь= -11,05, с=1,07. abc
1.002.
1.003.
а Ь+с / 1 \(2+3/+2 (а—ЬУ+аЬ
2/
1 X2 (Г—3)2-И2г
4:+3 /2 + 5/+6/ а5+65+а263+а362
2
1.004.
(а+ЬУ—ab (а3+Ь3+а2Ь+аЬ2) (а3—63)
/1+х+х21-х+хЛ-1
~т- + 2 --(5 — 2х 2); j
1.005.
m2-i:
. п2
1
т,
1.006.
1.007.
1.008.
1.009.
л2— ] I т__\
т2) \ п)
а—Ь а2+Ъ2+а
2а—b 2a2+ab—b2-
— — (Ь 2 + b + ab + а).
(464+4д62+а2):(262+а)
2 (х4+4х2-12)+х4+11х2 + 30
х2+6‘
За2+2ах—х1ах—Зх2
2+10 —-.
(Зх+а) (а+х)а2-9х2
// х V2 (х+у)2—4ху\2 х4
х2—ху
1.010.
1 1 \ /1 1 '
- н I: I a b+cj \а Ь+с
х2у2—у4
Ь2 + с2
. Ч
2Ьс
а=1 — 6=0,625, с=3,2. 40
1.012.
1.013.
1.014.
1.015.
1.011.
(х—уУ+Аху
х~6—64
4+2х
Зх+1
2х—у 2х+у 2х-5у/ Ах1-у1 Их—2'
—— ;х=7,(3).
Зх+1 /3 \За—2 +).
4х2(2х+1)
.016.:; р=0,7о, q=l/25.
гр-^q1 2+pq1
4а2— b1
2Ь+а а ^b—la^+ab1
.017. .
61+2ай1 —За26 а1—Ь1
1.018.
1.019.1.019.а"1-»"1а^+Ь"1а"1-»"1а^+Ь"1а^1 (а+ЬУ—ЗаЬа^1 (а+ЬУ—ЗаЬ
1.019.
1.019.
а"1-»"1
а^+Ь"1
а"1-»"1
а^+Ь"1
а^1 (а+ЬУ—ЗаЬ
а^1 (а+ЬУ—ЗаЬ
.020.:
b (abc+a+c) 11
ана+-.
1 Ь ь+- с
(ab-1+a *6+1) (a *— b *)2
.025. —-.
a26 2 + a 1b1 — (ab~1+a 'b)
1.029.
1.030.
1.031.
111.033.1.033.
1
1
1.033.
1.033.
1.032.
((Vp-VqV + eVpVVqr1) :
Р-Ч
1.034.
(V°2
|; a>b>0.
1.035.
Ха+ьГй'4 c111^ ■ a^b^ )
, ,ч2л 16 —8л(a+6) a -
i/6
| ; 6 = 0,04.
x+1
x2—4x+3
(,л/а+>/ьУ—4b a+9b+by/ab
(a-b):( A+3 l-\
\\ b \ a/ V6 Vе
2 1+v^
1.041. f—
2-V/+4
1.042. (—Д=~—
X'V 1 + X 1 + 5 -0,:
X—1X
1.043.: —
1/2 ,1;
x+x +1 X
1.044. (*-
\Va+v°+l
/4
J/+4 + - .—_.
</+4
l-xV /1—^/x -^l+x\2
/x)\^/l +x 1— \[x)
’+12
+
5-0,5
Л'уууК.
x—yx у + x у
.045. -— —
3/41/2 1/41/21/21/2
X +x уX +yX
/ 2я/ (/я—я)1****
.046. ”.
1.047. I .
\z —z )2+4z'
x У
-2X1'4
(x2-y2)(3V
1.049. —-=^—Г—£ v 3v^+3VxV-3
/ 2e
1.050. /== 3
V (i+e) 3vi+°
5^-_-cvS+’V?); «-«•
U+S/a+A/g*
У
1.051.
4x (x+^/x2 —I)2 (x+V*2-l)4-l'
1.052.
■^^x+2)^—8x л/х —2/\/x
1.053.
^бх (5 + 2^6) • V3V2^~ ZV^-
1.054.
6 ^4х (H + 4V6) ■3 V4^ - 2v/3x.
1.055.
a3 — a — 2Л—b^ja/а' + а^аЬ + а^b \
r=: ;—;+— ;a=23, b=22. / К 6\/ к a -bi-b)
V-<a+"?)^+'^)
1.056.
Сх^4)3 ^^aJiA6
1.057.
'Jx+^l-x1 • ^Х-х^Т-х1
Vi-*2
1.058.
x(x2—a2) */2 + la2 -Jx+a1
-:+—.
-1/21/222 1/2 X2 —OX
a(x—a)+ (x —a)x—(x2 —a2)
1.059.
/х/2 ааг ^Jt-TaJ»
/ + /~ + 2
V ° V2®v2a-4V8a4
1.060.
XS/a-l/ vVa+1/
1.061.
V^3 + sjx^1 — \/хгу — •xjv' *^y^+*-^X*y—^yjxy^—4^x3
1.062.
a -bob 1a
-1/3-t/6 -1/3-2/3 s A'
a —a b +bV °
7/3 _ 5/3 ,2/3,4/3
1.063.
a —2a b +ab1/3
5/34/3 1/32/32/3 ‘'
a —a b —ab +a b
1.064.
^-b1') eVa-Vb>
3V?+,V^3-3V^-3v^4
1.065.
(m—1) >Jm—(л— 1) >/n Vm'n+mn+m1 —m
1.066.
з^/5 ev^-3V^)+
, l/mlln2 + (т+пЩт*)(a —a ) 4л, l/mlln2 + (т+пЩт*)(a —a ) 4л
, l/mlln2 + (т+пЩт*)
(a —a ) 4л
, l/mlln2 + (т+пЩт*)
(a —a ) 4л
1.068.
1.069.
1.070.
1.071.
1.072.
1.073.
1.080.
1.074. (V^+D
(a—A)3 (V^+Va)*3 + 2ziVo+6V6 3 (V^b"b)
1.077.
1.078.
1.079.
4/3 -- 1/3 m — Tim • n
1095 je^-*^)^+2^^+^4^.°1-6
=0,09.=0,09.аъ^Ь+а>/а—Ь ^^Jb—s/ab^ a^i/b^i/^b^—'i/b^+aVo a=4,91,
=0,09.
=0,09.
.096. ((l-x2)-l/Z+l+) 2 : (г-х2-!^/!^).
(l-x1)"l/Z-P
1.097. ((1-p2) 1/2-(l+p2)-,/2)2+2 (l-p*)",/2.
1.104.
z
(^-oA (а+^Г‘):(2 ((<Л),/2-й) <a-by1\
\Уа3Ь*-4аЛ ;-^12Я-.
1.108.
а=4/3, 6 = 0,25.
4
а-3-, х=0,28.7
1.112.
з//> зкМр
X — XX
+-.
, Мр , ikxi _ 'к, М« , Мрх к-рМм , . (х +х ) -2х (х +х ) х +1 / 9—4fl-11+д-1—бл'Л4
(.
к -1/2-3/2-1/2-3/2/
'За +2а а +3а'
1.118.
’7* ^Z^+’V9 \/162
5’7* ’JlM+T^S *V«
1.121. v —• - ■ =-- -- ™- ’7*2 'V2*+6 *7375
1.123. aVwV^+iVsV^-z^V^s^VisV^-
5 ’7б^~3 W^-И S/h+I ’775750-
Проверить справедливость равенств (1.125—1.134):
74-V^+VV3-l-VV27-773-l г
V4V^7-V2V3 + 1
4:^0,6 3^”Ю 4VL5:(0.25 ^216 ’79).
(4+715) (ViO-V6) V4~Vi5 = 2.
1.128. ^/з-Т3 (3 + 75) (TiO-TS) = 8.
и результат упроститьи результат упроститьСделать указанную подстановку (1.135—1.145):
и результат упростить
и результат упростить
1.135.1.135.3-а b 1 (а2+b2)x+b ^2/з -1/2
1.135.
1.135.
; х=а b .3/2 2 6 X2
1.136.
1-6 , г
—Р хг — 1хА-^Ь;
b
\-Jb
1.137.
4ab
x-2b
2 а+Ь
V7-5
1.138. (*+1) (*+2) (х+3) (х+4); х=-.
2
1.139.
(z-l)(z+2)(z-3)(z+4)V3-1
; z=
23
2
1.140.
1.141.
1.142.
1.143.
1.144.
1.145.
1—ах Ц+Ьх 1 +ах у 1 — Ьх
(х-1)(х+4)
(I—у)(у+2) = ^-\ у1 О+1)2 ’ ^
Освободиться от (1.146—1.151):
иррациональности в знаменателе дроби
2 —
1.146. —
1.147.
14
1.148.
4
13-V9
1.149.
3-V2-V3
6a—1
-7=1.151. —=
y2+V3+V5
Вычислить сумму кубов двух чисел, если их сумма и произведение соответственно равны 11 и 21.
Показать, что если
z = Зу/а+V°2 + ^3 ~ 3 VV°2+^3—°- то z3 + 3bz—2a=0.
Если V^^a + Vs-H^S, то чему равен ^/(8—а) (5 + а)?
Чему равна сумма ,/25 — х2 + -/15—х2, если известно, что разность ^/25 —х2 —VlS—х2 = 2 (величину х находить не нужно)?
Преобразовать (а2 + 62) (c2 + d2) так, чтобы получилось (ас+Ьф1 + (ad— be)1.
Вычислить значение выражения:
— —z, z=3<J,y5 + V^+3V'V^-V2;
х3 + Зх, х= VV5 + 2-VV5-2-
Группа Б
Упростить выражения и вычислить их, если даны значения параметров (1.158—1.292):
1.158.1.158.1.159.1.159.а3—2а2 + 5а+26
1.158.
1.158.
1.159.
1.159.
a3 —5aa + 17a—13*
р3+4р2+ 10р+12 р1 —Зр1 + 8рр3-р2+2р+16р2+2р + 6
1.160.
1.161.
' z-2(z+4)2 —12
^6z+(z-2)2z3-8
'х4+5х3 + 15х—9 9\
1z-2
z3+2z2 + 2z+4
z
3—4х+3х2 —12
1.162.
1 \2 (х4—7х2+1) 211х2 + —1
1\2 \
- + 77); х=
/125
5 '
1.163.
4
Ах+4-1— Ьх
(4х2-62)- Ь
2А+(А2—4) х—26х2 (6+2х)2-8Лх
Ьх
2 '
1.164.1.164.1.165.1.165.
1.164.
1.164.
1.165.
1.165.
/2—п т—1\ / _ т— 1 , 2—п\ , г—г
|1-4) : I п1К?и2); т=4у400, л=у5.
\п—1 т—2/ \ л—1 т—2/
2д4+а3+4д2+а+2
^ ^ (х2 —3x4-2) 1/2-(х2 + Зх+2) 1/2 ^(х* —5х2+4)*^2
'(х2-Зх + 2)”1/2 + (х2 + Зх + 2)”‘/23х
b 1^—У^Ь^ ^Уь1 / За3 аЬ '
г^—: ;
(2а2 —62 —аА) ^Уа^Ь4X^-ab-b1 а-Ь,
- п1/3 „ ч 4/3 о ‘/3 ,2/39 а 4-2 X а 4-8а5-а- п1/3 „ ч 4/3 о ‘/3 ,2/39 а 4-2 X а 4-8а5-аа + 82/31/3 J ЦЗ +1/3*1 а — 2а +V 1—а 1 4-аа + 82/31/3 J ЦЗ +1/3*1 а — 2а +V 1—а 1 4-а1.182.1.182.1.185.1.185.'4—2x4-х2 6х2 + 8+12х*i„ 4-2х4-х2'4—2x4-х2 6х2 + 8+12х*i„ 4-2х4-х2х2 + 2х+4\ 1/32x4-4 )х2 + 2х+4\ 1/32x4-4 )(х+2).(х+2).
- п1/3 „ ч 4/3 о ‘/3 ,2/3
9 а 4-2 X а 4-8а5-а
- п1/3 „ ч 4/3 о ‘/3 ,2/3
9 а 4-2 X а 4-8а5-а
а + 82/31/3 J ЦЗ +1/3*
1 а — 2а +V 1—а 1 4-а
а + 82/31/3 J ЦЗ +1/3*
1 а — 2а +V 1—а 1 4-а
1.182.
1.182.
1.185.
1.185.
'4—2x4-х2 6х2 + 8+12х
*i
„ 4-2х4-х2
'4—2x4-х2 6х2 + 8+12х
*i
„ 4-2х4-х2
х2 + 2х+4\ 1/32x4-4 )
х2 + 2х+4\ 1/32x4-4 )
(х+2).
(х+2).
(х \/х-уху Сх/х-*Уу)-У 4Уу) (х+у + Уху)С Vx+4 Vr) ((4 V^ -4 Vv)2+4V^y)
/ х+гу(x-2>^8^\ / у 2i X\8>>3 (x2+2x>> + 2>'2) x2 — 2xy+2y2) \4x2 — Sy2 Ax^ + Sy4)’
х=*Уб, у=8У2.
2 (а+(л4" 1)4“(s + 2)4"4-2а)6 (a +b )
а24-За4-2, ,.о,е
(а-6) (а4-2)
■.^-Ь^^а-Ь^Г.
a*1* a^—(-^/0’4-2? + \/a (a + 2)2 )
•у/2 (a +1 — -^/а2 + 2д) (a 2 — a**+a^)
1.194. x V^vV
a+b /
1.196. -7=
Wa-VbV \
-1/21/6
1.197. fc->-
Ч»1/2+п"1/3
- х^Зху' 6у ^^ (7 4- 4V3).
I _ Iу/a — 1 (Va + 1) Ч ’.
W-*')>
3ab—by/ab+ay/ab—3b2^
1 /1 (a by
ч - /- -+-) -1
2X14\b a) 4aby/a+9aby/b—9b2 у/a \
4I; a > b > 0.
3 гг/
-y/b — 2-Ja/
2'
(.1/2-1),/3 у2. aMn!3
а-а-^'У V^+V^T
/1 +x
17=*-
. x2+2x— 3+(x+1)1
x2-2x-3+(x-l)Vj
r2_z_6-(( + 3)V^
t2+<-6-(r-3) v<2-
—^= 4-1—^
Wby/a2/ \a 8V
CVm^+n 3Vm+n
--L-x—V /l-i--\o<x<i. /\_xi_y+x; \xlx1x)
c2-9 , =;x>3.
c2—9
-4
=; z>2.
-4
^):<« +b ).
г 'y/in*—л3+л2 гу/т—mn
mn-1 +n—n*m-1—n1
1.207.
VV3+2- V7-4V3 + 3\АЛ (*+27)—9x—27
1.208.
,Vv^+Vi2‘6V8-2V15-23V2fl+
-1/2
1.210.
1.213. (z2-z+l)
1.214.
1.215.
1.216.
1.217.
1.218.
1/2
1.219.
1.220.
-3 12
-d-а2).
1.221.
1.222.
1.223.
+ 1)
1.224.
1.225.
1.226.
1.227.
(ax"* +
(х+х —2) а
1.228.
Г‘/2-(х-2)~'/2)'1
a-vb—tjab
((х+г^'^Ч^х—г)-*^)* — ((х + 2) ab1*3—а+1
а2+62+дй Ь^-а1
CVo^Vb-'V^ CVk^S/"0*6'/»^
P*+q* V \-
1.231,1.231,—T3+1—2 ) ^ -ps V^p
1.231,
1.231,
/ p q ^pq , . —-(p-9)
Np-q p+q p -q
1.231.
1.240.
+4оЛ)
1.241.
(p^+iY
;V3-i
pq^-p-'q p1q 2+pq * + i
|6-1|2
— + 6|6—1|+2—-
pq^+p-'q-i
1.242.
2х-х|х-1|+х|х|+3
1.243. .
1.244.
1.246.
1.248.
1.249.
1.251.
1.253.
1.255.
1.257.
1.259.
1.261.
1.263.
1.265.
6-2+^
|х|+х2
^= + |х-2|. х2+4х+4
|x3-l| + |x+l|
1.245.
1.247. |х2-1| + х |х+1|.
|x—1|,|x+l|\
x2 —2x'Ь2х—4 1 : |x—2|.
m5 + m'
|m3-l|-l
а|а+2|—а2+4
(х3—4х2 + 3х) |х—2|
|х—1| + |х|+х
25
2 |a4"5| — a +— a
3a2 + 10a-25 '
к-ИИ
1.250.
1.252.
1.254.
1.256.
1.258.
х—4 —2
—' |x—31.
x3 —5x2 + 7x—3
m |m-3|
(m2 —m—6) |m| a2-4-|a-2|
a3 + 2a2 —5a —6
x|x —3|+x2—9
2x3—3x2 —9x
1.260.
1.262.
x2-l+|x+l|
W(x-2) ‘ |x2-l|+x2 |x—1 2x2-lx-1
6Л-9-[у-9| + 2. 1.264.
-^-И^-Ц- 2+х+х 1
(х- i)V(^- l)z+4x
' xz+l+2|x|'
|2х—I1’
21
(4x-l)| — ((V^x-1 + 4x)‘1 -(V8x-1 - 4x) 'l))
x2y~2-xy~1+- (xy~I+y ^
.
,№1/2
2x—у —xy+2xy
,l\/(.a-y) (у-Ь)+\Да+У) (У+6) Г7
' V(a+y^ (y+b)-^(a-y) (y-b) .. a2+2a—3
VG-^+a ) fa ~D fa-1):7=^
1.283.
a2+4
(2--Ц--) f(a-4) =7(^+4)^—7=^=
1.285.
XX (l+5x)(l + 3x/
/ 1/ 11\2/1 1\\-1/2
■ —+-U-• -+-
\(x+3)2 V 9/ (x+3)3 \x 3//
1.291
1.292.
V(3x+2)2-24x
^6m-V "Lj^m1—!!1--Jbm — "L^^m1—^ = Т^Зт—п.^6m-V "Lj^m1—!!1--Jbm — "L^^m1—^ = Т^Зт—п.V10p+ 2^/25^^ -V10/7 - 'LjTV^q1 = 2V5p^.V10p+ 2^/25^^ -V10/7 - 'LjTV^q1 = 2V5p^.1.293.1.294.1.295.1.296.1.297.1.298.1.299.1.300.1.301.1.302.1.293.1.294.1.295.1.296.1.297.1.298.1.299.1.300.1.301.1.302.V26+15V3 (2-V3)=l-V26+15V3 (2-V3)=l-
^6m-V "Lj^m1—!!1--Jbm — "L^^m1—^ = Т^Зт—п.
^6m-V "Lj^m1—!!1--Jbm — "L^^m1—^ = Т^Зт—п.
V10p+ 2^/25^^ -V10/7 - 'LjTV^q1 = 2V5p^.
V10p+ 2^/25^^ -V10/7 - 'LjTV^q1 = 2V5p^.
1.293.
1.294.
1.295.
1.296.
1.297.
1.298.
1.299.
1.300.
1.301.
1.302.
1.293.
1.294.
1.295.
1.296.
1.297.
1.298.
1.299.
1.300.
1.301.
1.302.
V26+15V3 (2-V3)=l-
V26+15V3 (2-V3)=l-
Проверить справедливость равенств (1.293—1.306):
V9+V85+V9-V8b = 3.
V8 + 2V10 + 2v/5-V8-;2V10 + 2V/5 = V20-4V5-
V45 + 29V^-V45-29V2=2V2.
ll-6v/2 г
= v =3-V2.
3V45- 29V^
Преобразованием левой части проверить, что:
a) V7+5V2-3V5V2-7=2;
б) V3+V3+Vio+6V3=V3+i-
Упростить выражение y=^x*Ts/x-A-V ^х—Т>/х—\, а затем построить график функции у для 1<х< со.
При каком значении к многочлен х2+2 (к—9) х4- (к24- Зк4-4) можно представить в виде полного квадрата?
Проверить, что число х= 3V4+V80-V\/80—4 является корнем уравнения х34- 12х—8 = 0.
Исключив и и v из равенств u—v = a, u2—vz = b, u3—v3 = c, найти соотношение между а, b и с.
Преобразовать сумму
12 2 3 3'4л(л + 1)
к наиболее простому виду.-
Показать, что 1111л
-41h ...4—;=•
6 12 20 л24-Зл + 2 2л4-4
Доказать, что если а 4- Ь=Л, то'
а b 2 (Ь — а)63—1 а3-1~а262+3‘
Определить А, ВиС так, чтобы для всех допустимых значений х имело место равенство
х2 + 5 АВС=1 _],х3 —Зх+2 х+2 (х—I)2 х—1
Число 19 представить в виде разности кубов натуральных чисел. Показать, что такое представление единственно.
Доказать, что: а) сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9; б) число р5 — р делится на 5 при любом натуральном значении pj в) число к3 4-5к делится на 3 при /ceN.
Многочлен х —16 представить в виде произведения многочленов второй степени.
При каких значениях а и b трехчлен 16х24- 144x4-(а 4-Л) представляет собой полный квадрат, если известно, что b—а= — Т.
Группа В
Упростить выражения. Найти области допустимых значений параметров, если они не указаны (1.320—1.356):
(х 4-2V2x^4) '^-(-(x-V^-4)
1324.
1330.
\аП-^ (V^+V^)'
1325.
1326.
1327.
1328.
1329.
1 ”2|5T2 F x \4+2x+x2 4-2x+x2/
л4—Злэ+7л2—5л
1 n / 12-2
I—*7 — 2+ I——
x 4x~l у 4x 1 л4-2я3+4л2+2л-5
1331.
1332.
1.333.
1334.
-1).
J-A
a3—b3
J^+b'Y-a^b1^
1.335.
1.336.
a
-3 (a^ + i),/2
+ 3)l/2 (г^ + З+а^А^+З)
-1/2V
1.337.
4(^-1)
1.338.1.338.(z3 —1).
1.338.
1.338.
(2z-l) (4z’-2z2+z)-1
— 1/2
1.339.1.339.(2x + 5+4V2x+1) 1/2(2x + 5+4V2x+1) 1/2-1/2-1/21.340.1.340.6x2+2 V2yx6x2+2 V2yxV4^V4^
1.339.
1.339.
(2x + 5+4V2x+1) 1/2
(2x + 5+4V2x+1) 1/2
-1/2
-1/2
1.340.
1.340.
6x2+2 V2yx
6x2+2 V2yx
V4^
V4^
1.341.1.341.1.342.1.342.—-+ 2x2 —2.x4+2x2+3—-+ 2x2 —2.x4+2x2+31.343.1.343.111/21/2x2—9x2—9
1.341.
1.341.
1.342.
1.342.
—-+ 2x2 —2.
x4+2x2+3
—-+ 2x2 —2.
x4+2x2+3
1.343.
1.343.
1
1
1/2
1/2
x2—9
x2—9
♦V^T4^2)2^^• (x2 - 2)"1.
1.344.1.344.
1.344.
1.344.
(За+Уба-l) */2+(3a-V6a-l) 1/2
1—2p
1.345.
1
V 1 2p,
1 V1
1.346.
a —8 6Vo362+4 3V^2 i /7
1.347.1.347.x—4x—4
1.347.
1.347.
x—4
x—4
8 16_+_
1.348.
,2
1.349.
f(x2—3)2 + 12x2
.2
1.350.
1И-11Их2 —1
1.351.
1.352.
1.353.
1.354. I—.21— (х2—4). х —2
,.35S.
\ x*-xV2+l/
1-~3- 6(9х ’1 + 4х-12).
2х—3
Разложить на множители х (у2—z2)4-y (z2—x2) + z (х2—у2).
Доказать, что если для чисел х, у, z, т, п, р выполняются
х уzтпр
равенства —Ь-Ч— = 1, —I—Ь- = 0, то для них выполняется также и ра- т прхуz
х2 у2z1
венство — Ч—-Ч—-= 1.
т1 п1р1
Разложить на множители х2 (у—z)4-y2 (z—x)4-z2 (х—у).
Среднее арифметическое двух положительных чисел
а и А (а>А) в т раз больше их среднего геометрического. Доказать, что
а т+у/т1 — 1
А /и—^/м2 —1
ГЛАВА 2
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙС ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Уравнением с одной переменной называется равенство, содержащее эту переменную (ее иногда называют неизвестным).
Значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство, называется корнем (или решением^ уравнения.
Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными. В процессе решения заданное уравнение заменяют более простым; при этом используют следующие правила преобразования уравнения в равносильное ему:
какое-нибудь слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком;
обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число;
Г/(х) = ОГ/(х) = Оуравнение вида =0 можно заменить равносильной системой
Г/(х) = О
Г/(х) = О
или решить уравнение /(х)=0, а затем отбросить те из найденных
корней, которые обращают в нуль знаменатель g (х).
. Пусть в результате преобразования уравнения
/1 W =81 W(2.1)
получено уравнение
/2 И =81 (X).(2.2)
Если каждый корень уравнения (2.1) является корнем уравнения (2.2), то уравнение (2.2) называют следствием уравнения (2.1).'
Корни уравнения (2.2), не удовлетворяющие уравнению (2.1), называются посторонними корнями уравнения (2.1) и не считаются решениями этого уравнения.
К появлению посторонних корней могут, например, привести (но не обязательно приводят) такие преобразования: возведение в квадрат (или другую четную степень) обеих частей уравнения, умножение обеих частей уравнения на алгебраическое выражение, содержащее переменную, и т. п.
. Чтобы выяснить, имеются ли среди корней уравнения-следствия посторонние корни исходного уравнения, необходимо проверить каждый из найденных корней подстановкой его в исходное уравнение.
Можно поступить иначе: на каждом этапе решения уравнения определять промежутки, в которых могут находиться корни уравнения. Все корни, не принадлежащие этим промежуткам, являются посторонними и должны быть отброшены. Однако остальные корни все равно необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение.
. Еслй уравнение имеет вид / (х) h (x)=g (x)h (х), то деление обеих его частей на h (х), как правило, недопустимо, поскольку может привести к потере корней; в этом случае могут быть потеряны корни уравнения h (х)=0, если они существуют.
Уравнение не считается решенным как в случае, когда ответ содержит посторонние корни, так и в случае, когда в процессе решения был потерян хотя бы один корень.
216
Пример 1. Решить уравнение|— —.
3-х 2 х (3-х)
Перенесем все члены уравнения в левую часть и преобразуем полученное х2—7x4-12,
выражение к виду=0. Из уравнения х2—7x4-12=0 находим xi-3,
2х (3—х)
Х2«4. При х=3 знаменатель обращается в нуль; значит, 3 не является корнем.
Итак, получаем ответ: х=4. ■
Пример 2. Решить уравнение Vх-2=х—4.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
(Vx-2)2=(x-4)2, х-2=х2-8х+16;х2—9х + 18=0, Xj=3, Х2=6.
Проверим найденные корни, подставив их в исходное уравнение. Если х=3, то получаем 1 = —1—неверное равенство; если х=6, то получаем 2=2 — верное равенство. Значит, заданное уравнение имеет единственный корень х=6.
Отметим, что можно было сначала найти область определения данного Гх—2>0, уравнения. Для этого решим систему неравенств <откуда х>4. Тогда
(х—4>0, сразу видно, что Х|=3 — посторонний корень исходного уравнения. Проверкой
убеждаемся, что х=6 удовлетворяет заданному уравнению. Итак, х=6. ■
Пример 3. Решить уравнение V1—4x4-2—Vp* 4-1 )2 — 8х.
Преобразуя правую часть уравнения, получаем:
^/1 —4x4-2=^/4х2—4x4-1;
V1 -4x4-2-V(2x-1)2; V1 —4х4-2=|2х— 1|.
Эго уравнение имеет решение лишь при условии ! — 4х>0, т. е. х<1/4. Тогда |2х—1| = 1 — 2х (а не 2х—1, так как это верно только при х> 1/2, что противоречит условию х<1/4). Значит, ^1 — 4x4-2—1 —2х, откуда
Vl-4x=-l-2x.(♦)
Область возможных значений х определяется системой неравенств ( 1— 4х>0, <т. е. х< —1/2. Возведя обе части уравнения (♦) в квадрат, получим
(—1—2х>0,'
1—4х— 1 4-4х4-4х2; 4х24-8х=0, Xi =0, Х2 = —2.
Корень X] — 0 не удовлетворяет условию х^ —1/2 и поэтому является посторонним; корень х2=—2 удовлетворяет неравенству х^ 1/2, но его следует проверить. Подставив х— — 2 в исходное уравнение, получим верное равенство: 34-2—5. Итак, заданное уравнение имеет единственный корень х— —2. ■
При решении уравнений часто используются метод разложения на множители и метод замены переменной.-
Пример 4. Решить уравнение (х4-1) (х24-2)4-(х4-2) (х24-1)—2.’
Растры» скобки и приведя подобные члены, имеем 2х34-Зх24-Зх4-2—0. Разложим левую часть уравнения на множители. Сначала группируя члены уравнения, а затем используя формулу (1.13), получаем 36
2 (х34-1)4-Зх (х4-1)=0; 2(х-Н) (х2-х+1)+Зх (х+1)=0;(х4-1)(2х24-х4-2)=0.
Последнее равенство верно при условии, что по крайней мере один из сомножителей равен нулю: х+1=0, откуда х—— 1, или 2х24-х4-2=0. Однако дискриминант последнего уравнения отрицателен, следовательно, оно не имеет корней. Итак, х= — 1. ■
•/ Ц , 1 \
Пример 5. Решить уравнение 7 [ х4— 1—2 I х24—- 1—9.
\ X/ \X2/
/,
Введем переменную z, полагая х4—=z. Тогда I х4— I =z , откуда по X\ х)
формуле (1.9) находим х2ч-2Ч—;=z2.
х2
Заменив в данном уравнении выражение в первой скобке на z, а во второй — на z2 —2, получим
7z—2 (z2—2)=9; 2z2-7z4-5=0; zj-5/2, z2 = 1.
Для отыскания x следует решить два квадратных уравнения:
15,.1
хч——-, 2х2 — 5х 4-2=0; xi=2; х2=-;х 22
х4— = 1, х2—хЧ-1 =0; 1X0 — корней нет. х
Итак, получаем ответ: xi = 2; х2 = 1/2. ■
Пример 6. Решить уравнение V-x+1 4-д/4х4-13—^/3x4-12.
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
х 4-1 4-4x4-134-2^/(х 4-1) (4х4-13)=Зх4-12;
V(*+0 (4x4-13)-— (х4-1).
Еще одно возведение в квадрат привело бы к уничтожению иррациональности, однако здесь нет необходимости в этом преобразовании. Замечаем, что полученное уравнение-следствие может иметь решение только при условии х4-1<0. Вместе с тем одним из условий существования решения исходного уравнения является требование Х4-1 >0. Оба условия совместны в единственном случае, если х4-1—0, откуда х—— 1. Это значение х, как легко проверить, удовлетворяет исходному уравнению. Так как уравнение-следствие других корней не имеет, то других корней не имеет и исходное уравнение. Итак, х — — 1. ■
Пример 7. Решить уравнение 3V(54-x)24-4 ^(З—х)2=5 3V25—х2.
Так как х—5 не является корнем уравнения, то обе части уравнения можно разделить на V(5-x)2, причем потери корней не произойдет. Получаем уравнение, равносильное исходному:
, /54-х
Полагая 3 —z, приходим к квадратному уравнению z—5z 4-4=0, от
у 5—х
куда zi —1, z2—4. Для отыскания х имеем два уравнения: 3 /= 1
У.5—х
/5 + х5 + х ■
и =4. Возведя в куб обе части каждого из них, получим= 1, откуда
V5—х5—х
5+х х=0, и—-=64, откуда х=63/13. Итак, Х|=0; Х2=63/13. ■ 5—х
ример 8. Решить уравнение
2x2 + 6-2V2x2-3x+2 = 3x + 3.
Запишем уравнение в следующем виде:
(2x2-3x + 2)-2V2x2-3x + 2 + l=0.
Положим -J^-X -Зх+2 = г, отметим, что пригодными могут быть только значения z>0. Произведя указанную замену, получим уравнение z2-2z+l=0, откуда z=l —это пригодное значение г и поэтому уравнение V^2-Зх+2 = 1 или 2х2 —Зх+1=0 равносильно заданному. Корни x^l/2, х2=1 этого квадратного уравнения являются корнями исходного уравнения. ®
Пример 9. Решить уравнение
^/х + 3 —4з/х— 1 + ^/х+8 — бу/х —1 =1.
Положим Vх-1 =z и заметим, что z>0, х>1, x=z2 +1. Тогда на основании формулы (1.23) получим-</х + 3 — 4VX” 1 “ s/z2 —4z+4 = |z —2|;
-^/х+8 —б-^х— 1 =^/z2 —6z + 9 = |z-3|. Исходное уравнение примет вид
|z-2| + |z-3| = l.(*)
Используя определение модуля, рассмотрим следующие случаи:
Вычитая из этого уравнения второе уравнение системы, получаем xy-Jxy—% или (ху)3=64, т. е. ху=-4. Это уравнение и второе уравнение заданной системы образуют систему
(ху—4,(ху—4,
<или <
(ху(х+у) = 20(х+у—5.
Отсюда находим две пары решений: xt=4, у, —1 и хг —1, Уз=4. Проверкой убеждаемся, что обе пары удовлетворяют исходной системе уравнений. ■
Группа А
Решить уравнения* (2.001—2.066):
2.001.
х—3 х+3 х+б х—6
1=h.
х—1 х+1 х + 2 х—2
2.002.
X2 + 1 X2 —1 = 23. х-4х+3
2.003.
ах1з
—- = (а+1)2. х—1
2.004.
1т2+п2
х+ =2 х т—п
2.005.
х 2я—х а+Ь
+ ■■=1.
а + Ь а—Ь х
2.006.
а1 — ! а—х += 1.
ох—1а
2.007.
Ьа
+=2. х—а х—Ь
2.008.
х+л т— п х+р т—р т+п х—п т+р х—р
2.009.
х+2 х+6 х+10 1h= 6.
х+1 х+3 х+5
2.010.
7 (х—2) (х—3) (х—4) (2х—7) (х+2) (х—6)'
2.011.
5а 4аЗа
hh= 8. у+я у+2а у+За
2.012.
Л2+бу_/ 5х у \х2—4/\4-х2/
2.013.
(х+З)3 —(х + 1)3 = 56.
2.014.
(х—а)3 — (х—ЬУ=Ь3—я3.
2.015.
8х*+х3 +Мх + 8 = 0.
2.016.
3 х4—-)-7 14— ) = 0.
\X1)\ X/
2.017.
(х+1) (х2 + 2) + (х+2) (х2 +
1)=2.
■ х2 63 Ъ Ъ1
2.018. -+-=-+-. а х* а а*
2.019.
х—2 х+2 х—4 х+4
11
х—1 х+1 х—3 х+3
28
15'
2.020.
х2+х—5Зх
+-+4=0.
хх2+х—5
2.021.
(х—я)2+х (х—я)+х2 19
(х—я)2—х (х—я)+х2 7
2.022.
45
,ь=2.
х2+4 х2+5
2.023.
1 1 _ 1 х3+2 х3+3~12
2.024.
х—а х—Ь
+=2,5. х—Ь х—а
2.025.
111
2.026.
*50
х*=14.
2х4-7
х(х+2) (х+1)2” 12
♦Величины я, b, с, р, q, т, п, как правило, считаются постоянными, а х, у. х, и, v, w — переменными.
2.065. x2 + 3x—18+4v/x2 + 3x—6 = 0.
2.066. x2-4x-6 = V2x2-8x+12.
Решить системы уравнений (2.067—2.119):
2.067.
(х—у= 1, (х3 — У3 = 1-
2.068. 1
х2+у2 + 6х+2у = 0, х+у+8 = 0.
2.069.
Гх4+у4 = 82, (ху=3.
2.070. 1
(х + 0,2)2 + (у+0,3)2 = 1, х+у=0,9.
(-хг+уг 10
2.071.
J(x—у) ху=30,
2.072. 5
1 х+у 3’
((х+у) ху= 120.
1113 х у 4
2.073.
Су2-ху= -12, (х2 — ху=28.
2.074. j
х4-у4=\5, х3у—ху3 = 6.
2.075.
Гх3+у3 = 7, (ху (х+у) = -2.
2.076. ]
х2у3+х3у2 = 12, х2у3—х3у2 = 4.
!11
2.077.
(х-1 +у-1 = 5, [х-2+у~2= 13.
2.078. <
у-1 у+1 X у2 —х—5 = 0.
2.079.
(и2 + uv = 15, (v2 + uv=10. <2 У 1-+-=з, J X 3 ) х 3 3 ( -+-=-.
2 у 2
2.080. ]
12 (х+у)2 + х=2,5—у, 6 (х—у)2 + х=0,125+у.
2.081.
2.082. ]
(х-у) (х2-у2)=45, х+у=5.
fx у 5
'х+у х—у 13
2.083.
< у х 6
2.084.
х—у х+у 6
Lx2—у2=5.
.ху=5.
2.085.
(х2у3 = 13, (х3у2=2.
2.086. "
'х у 13 у X 6 л+у= 5.
fxcb
(x + y + - = 9,|ax+- = 2,
2.087.
<У2.088. < У
1=20.l-+ay=2ab.
Уx
2.089.
Гх3+у3 = 7fu3+v3 + l=w,
{ . .„2.090. { , ,
8.(uv=
2.091.
(х1у+хуг = 6,(x2+y4=5,
(xy+(x+y) = 5.W =2.
2.093.
(x3+y3 = 65,(x3+y3 = 9,
4 ,’2.094.
Vty+xy—lO.[xy=2.
2.095.
(x3+y3 = 35,f х+2У+32=3-
(x+y=5.2096- )3x+ У*^1’
(,2x+3y+ z=2.
| 2x4- y* z = 7,
2.097.
< x+ly4- z = 8, x+ y+2z=9. fv—«=1,
2.098.
< w—v= 1, ((m-1)3 + (v-2)3 + (w-3)3 = 3. f /»5+ /-5. и.
2.099.
JV 2 V 3r4v«-4Vv=i,
1 х*у_ х-УlV^+Vv = 5.
8 V 12‘
2.101.
I'Vx+vS'-lO,X1O1 Г2(^+^) = Зх/ху.
\*Vx+\/y=4-(x+y=5.
114
Г—~ 4- —ч==—,
2.103.
)VX -Jy 3fx1+xy+y2 = 91,
|^-9.U^+y-13.
2.105.
(■^+^=6,X1O& PV^+’Vy»*,
\x1y+y1x=2O.(x+y=28.
2.107.
t*-Vx*y^"4Vx—y=*»-[4V«+v—4V«—v=2,
k>JxA-y—^x—y=%.lV«+v—vM—v”8.
2.109.
lx-y=8^,M(^+# = 3,
\jx*jy=*a-V(*-#=l-
= 2,= 2,
= 2,
= 2,
= 1,
2.111.
2.112.
х+у = ху + а.
<._
\/2x-y+ll + V^ + y-9^3-
2.114.2.114.^x-y = 6,^x-y = 6,2.116.2.116.2.118.2.118..^(х+уУТх-у)1^». ' V^ --Vy=o.sv^, x + y=5.3VxVy+3VyVx=i2, x^=64..^(х+уУТх-у)1^». ' V^ --Vy=o.sv^, x + y=5.3VxVy+3VyVx=i2, x^=64.fu2 +v2 —uv+ 13,2.115.lu + v = v'uv + 3.\2JxVjy=3, 2.117.Vхг— Jxy-У ^Jy1^.fu2 +v2 —uv+ 13,2.115.lu + v = v'uv + 3.\2JxVjy=3, 2.117.Vхг— Jxy-У ^Jy1^.
2.114.
2.114.
^x-y = 6,
^x-y = 6,
2.116.
2.116.
2.118.
2.118.
.^(х+уУТх-у)1^». ' V^ --Vy=o.sv^, x + y=5.
3VxVy+3VyVx=i2, x^=64.
.^(х+уУТх-у)1^». ' V^ --Vy=o.sv^, x + y=5.
3VxVy+3VyVx=i2, x^=64.
fu2 +v2 —uv+ 13,
2.115.
lu + v = v'uv + 3.
\2JxVjy=3, 2.117.
Vхг— Jxy-У ^Jy1^.
fu2 +v2 —uv+ 13,
2.115.
lu + v = v'uv + 3.
\2JxVjy=3, 2.117.
Vхг— Jxy-У ^Jy1^.
13 (2 —^/x--y)-1 + 10 (г + ^/х+у)”1 = 5,
Up-Vx-^-S ^2-yVxAyYx = 3.
He решая уравнения ax2 + 6x + c = 0, найти xf2+x^2, где X] и X2 — корни данного уравнения.
Составить квадратное уравнение с корнями — и —, где X! Х2
X] и х2 — корни уравнения ах1 + 6х + с=0.
Составить уравнение второй степени, один из корней которого равен сумме, а другой — произведению корней уравнения ах2 -ybx-y с= = 0.
Составить уравнение второй степени, корни которого были бы на единицу больше корней уравнения ax2-ybx-yc=0.
Определить коэффициенты квадратного уравнения х2Арх-У + 9=0 так, чтобы его корни были равны pa q.
Найти коэффициенты А и В уравнения х 2-У Ах-У В = 0, если известно, что числа А и В являются и его корнями.
При каком целом значении к один из корней уравнения 4х2 — (Зк + 2) х + (fc2 — 1) = О втрое меньше другого?
При каком целом значении р уравнения Зх2 —4х + р—2=0 и х2 — 2рх + 5 = 0 имеют общий корень? Найти этот корень.
Найти все значения а, при которых сумма корней уравнения х2 — 2а (х—1)—1=0 равна сумме квадратов корней.
При каком значении а уравнения х2 + ах+8 = 0 и х2+х+й=0 имеют общий корень?
30. В уравнении х2 —2х + с=0 определить то значение с, при котором его корни Х] и х2 удовлетворяют условию 7х2 — 4х, =47.
Не решая уравнения х2—(2д+1) х+а2 + 2=0, найти, при каком значении а один из корней в 2 раза больше другого.
При каком значении р отношение корней уравнения х2+рх—16=0 равно —4?
Не решая уравнения Зх2 — 5х—2=0, найти сумму кубов его корней.
При каком целом значении b уравнения 2х2 + (ЗА — 1) х— 3 = 0 и бх1—(2А—3) х— 1 =0 имеют общий корень?
При каком положительном значении с один корень уравнения 8х2 —6х+9с2 = 0 равен квадрату другого?
Группа Б
Решить уравнения (2.136—2.182):
(х-1)(х-2)(х-3)(х-4) t
(х+1) (х+2) (х+3) (х+4) х—т х+т х—2т х+2т 6 (т—1)
+=+
х-1х+1 х—2х+25
+=++6.
z—1 z+1 z—2 z+2
ох4-х3 + а2х-а=0.2.140. (х+1)5 + (х-1)5 = 32х.
(2х+а)5-(2х-а)5 = 242п5.
(x2 + x+l) + (x2 + 2x + 3) + (x2 + 3x+5)+... + (x2 + 20x+39) = = 4500.
|х| + |х—1| = 1.
|х|3 + |х-1|3 = 9.
2.145.
х2 + 1 х2+2
х+1 х—2
.х+1 х+2 х
25
6 ‘
2.147.2.148.2.147.2.148.
2.147.
2.148.
2.147.
2.148.
(х+1)2 (х + 2)+(х—I)1 (х-2)=12.
и1 и ~ += 2.
2—и2 2—и
2.149. х3 —(а+А + с) х2 + (аА + пс+Ас) x—abc=0.
2.150.
2.152.
1110
ха + (х+2)2- 9'
2.151. 7 (х+-)-2 (х2+Д ) = 9.
2.153. 2 (х—I)2 —5 (х-1) (х—а)+2(х—а)2=0.
х2+2х+1 х2+2х+2 7
2.154. +—=-.
х2+2х+2 х2+2х + 3 6
2.155.
2415
х2+2х-8~х2 + 2х-3
z2—z z2—z+2
2.156.
z2—z+1 z1—z—2
2.157.
68
(x+l)(x+2)+(x-1) (x+4)
2.158. (x2—6x)2—2 (x—3)2 = 81.
2.159. (x2+2x)2-(x+l)2 = 55.
2.185.
2.187.
2.189.
х2+у—20 = 0, х-Уу2 — 20 = 0. х3 + Зх,у2= 158, Зх2у+у3 = —185. х2 + у2= 34, х-уу-уху=23.
2.186.
2.188.
2.190.
(2х2 — 3ху + у2 = 3,
2.191. X ,,
(х2 + 2х>> —2у2 = 6.
2.192.
х2 +>>* = 20, х4+>-2 = 20. 'х2+з>2-2х + 3>--9=0, ,2х2 + 2у2 + х — 5у — 1 =0. х2 + 2у2 = 17, х1 — 2ху= —3.
Сх16
ху — ^-,
IУ3
)У9
— = “•
/"х3
IНху = 40,
2.193. < У.
) У3
(±- + ху=10.
((х-у) (х2+>’2) = 5, 2 194 <
' 1(х + ?) (х2-у2) = 9.
2.195.
2.197.
х3+уъ = 9а3, х2у-Уху2 = 6а\ а^О. х6+у6 = 65,
2.196.
2.199.
х*—х2у2 + у*= 13. х*-Ух2у2-уу4 = 9\, х2*ху + у2=\3.
2.200.
2.198.
х4+у4 = 17, .
х1+у1 = 5. х+у+ху = 7, х2+у2 + ху = 13.
(x-j) (x2-j2) = 3a3,
(х+у) (х2+у2) = 15а3; а^О.
( 44
+= 3)
2.201. Х-У
2.202.
4
(х + у)2 + (х —_у)2 = 20.
3
55
+ - = 0, 2х-у + 3 2
17
+ - = 0.
■х+у — 1 2х — у + 3 5
1
2.203. ^+У^ + 1х = 35-2у, ((х—у)2 — 2^=3— 2х.
2.204.
1 х—у+=
аЬ + 1 b '
аб + 1
2
2.205.
У(х-у) х2У25
2.206.
= 12.
4
J х2—ху у2—ху
2.207. <
7
х1— ху у
3
1
б’
6
2.208.
’2—ху 5
Х+У а
Х2+у2— 1 X
,, 4х
х2+у2+— = 22.
У
ху(х+1) (у+1)=72, ,(х-1) (у—1)=2.
2.209.
(х+^)(у+1) = 10,
Х*+У) (ху+1)=25.
{x+yz=2, y+zx = 2, z+xy=2.
{x+y+z=3, x+2y—z=2, x+yz+zx=3.
2.212.
x+y+z=0, 2x + 3y+z=0, ,(x+l)2 + (y+2)2 + (z+3)2= 14.
{x+y+z=2,Cx4-y+z=6,
2x+3y+z=l,2.214. \x(y+z) = 5,
x2 + (y+2)2 + (z-l)2 = 9.ly(x+z) = 8.
{x+y+z=0, cx + ay+bz = 0, (x+ b)1 + (y+ c)2 + (z+ a)2 = a1 + b1 + c2.
{x—ay+a2z=a3, x—by+b2z=b3, x—cy+c2z=c3; a^b, b + c, c+a.
{ax + by+cz = k,
a2x+b2y+c2z=k2,
a3x+b3y+c3z=k3; a^b, b^c, c + a.
{xy—a, yz=b, zx = c; abc>0.
2.219.
{1 1 1 ,
- + -+3
X у z 1 1 1
-+-+- xy yz ZX
—=1.
xyz
wu uv
2.221.
*x—1 >,+3 z-1
2 “ 3 ~ 4 ’
,2x + 3j»-5z+19=0.
1Л12.1Л12.|2x + 3^| = 5, J2X-JH-L|2x + 3^| = 5, J2X-JH-L
1Л12.
1Л12.
|2x + 3^| = 5, J2X-JH-L
|2x + 3^| = 5, J2X-JH-L
fx+56=0,
j
L/x+y—56=0.
2.224.
2.225.
2.227.
= 1,
2.228.г
\.Ху}х+Уу/у=У5.
2.229.
х—у+10 = 5.
2.230.2.230.2.231.2.231.х1— у2 = 6,ху2 = бТ10.
2.230.
2.230.
2.231.
2.231.
з
з
2.233. < 3
3
v + w = 3,'w+u = l,
3
3
2.234. {
-1/2 з Г 1 с
uv=64.
2.235. { v
(х + ^17.
^ v
(Зх+2^=4.
<
(3х+2у=23.
2.238.
2.240.
(х2 + 1) у+(у2 + 1) х=4ху.
>^/x2—3y—88 + ^/х + бу =19,
2.239.
2х+у=1.
2.241.
+ 2у+1 = 1, 2х+у=2.
2.242.
/= 2,
(Зх-2у
(4у-9).
Г 1х „ у 5
)+2+———,
2.243. <N у х 2(|х+у| = 5.
2.244. Решить уравнение
х (х+1) + (х+1) (х+2) + (х+2) (х+3)+... + (х+9) (х+10) == Г2+2-3 + 3'4+... + 9Ю.
Найти коэффициенты т и п квадратного трехчлена х2+/их+л, если известно, что его остатки при делении на двучлены х—т и х—п соответственно равны шил.
Квадратное уравнение ах1*Ьх*с=0 имеет два корня. Составить новое квадратное уравнение, у которого один из корней на единицу меньше большего корня, а другой — на единицу больше меньшего корня данного уравнения.
Определить, при каких значениях т один из корней уравнения z3 — (т1 —т + 7) z—(3/и2 —3/и-6) = 0 равен — 1. Отыскать два остальных корня уравнения при этих значениях т.
Показать, что если коэффициенты а, Ь, с уравнения ах2 + 6х + + с = 0 связаны условием 1b1 — 9ас = 0, то отношение корней уравнения равно 2.
Показать, что если а и b — корни уравнения х2+//х+1=0, а Ь и с — корни уравнения x1 + qx + 2 = 0, то (b — a) (b — c^=pq — 6.
При каких значениях а уравнения х2+дх+1 =0 и х2 + х+а=0 имеют общий корень?
При каком положительном значении р корни уравнения 5х2—4 (// + 3) х+4=//2 противоположны по знаку? Найти эти корни.
Найти коэффициенты уравнения х2+рх+^=0 при условии, что разность корней уравнения ргвна 5, а разность их кубов равна 35.
Составить квадратное уравнение с корнями (а + Ь)1 и (а—Ь)1, если а и b — корни уравнения х2+рх + ^ = 0.
Пусть а и Д — корни уравнения Зх2 + 7х+4 = 0. Не решая данного уравнения, составить новое квадратное уравнение с числовыми а р коэффициентами, корни которого равныи.
Р— 1 а— 1
Показать, что среди корней уравнения х4+5х3+15х —9 = 0 есть только один положительный и только один отрицательный (сами корни находить не обязательно).
Группа В
Решить уравнения (2.256—2.302):
(х3 + х-3) + (х2 + х-2) + (х + х”1) = 6.
(х + 3)*+(х+5)4=16.
(х-1)5 + (х+3)’ = 242(х+1).
(х—2)6 + (х—4)6 = 64.
27х3 + 9х2-48х+20 = 0.
х 2 4-™——~ = 40.
(9+х)2
х3-х2Д-;=2.
х3-х2
2 (х2 + х+1)2 -7 (х-1)2 = 13 (х3 -1).
Юх3—Зх2—2х+1=0.
х3-(2д+1) х2+(д2+а) х-(а2-а) = 0.
и3-(2а+1) u1+(a1+2a-b1) и+(Ь2-а2) = 0.
х3-(р2-р + 7) х—3 (р1—р—2)=0.
х3-(2а+1) х2 + (а2 + 2а-т) х-(а2-т) = О.
х3 —3ох2 + (3а2—А)х—(а3—ой)=0; 6^0.
4х*-16х3 + Зх2 + 4х-1=0.
х3-2ах2 + (а2 + 2^-9)х-(2а\/3-12а+6^) = 0.
х3 —2х2 —(а1 —а—1) х+(а2-а) = 0.
х3 —(За—1) х2 + (2а2-3а) х + 2а2=0.
z3-(2p+l) z2 + (p2 + 2p—q) z-(p2-q) = 0.
Vх—Vx+ 1 — Vx+4 + Vx+9 = 0.
V'^V^ + VuI+V^ = V2«2 + 8
(ограничиться отысканием положительных корней).
Vx3 + xZ-l+Vx3 + x2"*"2=3.
24-х г
+ .7х=1 + х.
2-х
>JxV2j"x^-V \jx — 2^J"x—\==x—\.
3Vx+5+3Vx + 6 = 3V^ +П.
Vx2-19x+204-Vx2-25x-150 = 3 V—.
Vx-30
2 r- r- /214-х
2.283. - (Vx1 + 37x+336-Vx1+18x+32)= .
19V 16 + x
2.284. V2x?+8x+6 + VxI^T = 2x+2.
2.286. x3 + x+3Vx3 + x-2=12.
5 3VX 5Vx + 3 5 Vх 3^ = 820 r
-f + x4/x + x = 22.
*VxV8-*Vx-8 = 2.
*V18 + 5X + 4V64 - 5x=4.
6 3VX^3 + 3VX^2=5 6V(^2Hx^3j.
V^-l+V^+^ + zV^-l) (x+3) = 4-2x.
V^^+Vx+T = 3x+2V^x2 + 5x+3-16.
2.294.
s
5
= 16.
2.295.
1
1
1
3
3
2
2.296.
2.297.2.297.2.298.2.298.8.4 128.4 12-i з-i з
2.297.
2.297.
2.298.
2.298.
8.4 12
8.4 12
-i з
-i з
4/5-2/5 t
x —lx + 6x — 0.
2.299.2.300.2.299.2.300.
2.299.
2.300.
2.299.
2.300.
3+3 V(7 +x)2 -2 VP x) P2x) = 3.
2.301.
2.302.
(34-х) зу7Й-(х + 1) V34--Xз()Уз4-х-3ч/х+^!
(3V(15-x)2 + 3V(15-х) (х-6) + 3VCx-б)2)2 49
3V*5—x+3Vx —6
Решить системы уравнений (2.303—2,341):
2.303.
{2x+y + z=0,
3x + 2y + z = 0,
3 (x+2)3+ 2 (y+1)3+ (z+1)3 = 27. f x у z
2.305.
2x+y+z=6,) у z
3x + 2y + z=7,2.306. < y^z
.(x-l)3 + (y + 2)3 + (z-3)3 = 7.I x у
z
2.308.2.308.x+y y+z a+b b+cx+y y+z a+b b+c
2.308.
2.308.
x+y y+z a+b b+c
x+y y+z a+b b+c
{
121
— - + 2xy=—, x2+y25
12221
hx2 + ^2 = —. 2xy4
a+b b+c
x+y У+z z+x a+b b + c c+a
■Ь1
x+y У+z z+x
2.309.
|3 = 12,
(,(xy)2+xy=6.
(x1+y1—x—y=102,
2311. Z '
1х^+х+^=69.
{X X2 X3
-+ —t= 14,
У у* y3 x+y=3.
2 312(X+2?) ^+3^=601
'' ((y+x)(y+2x)(y+3x) = 105.
2.313.
f^ + y) (x2-^2)=16, ((x-^) (x2 + >2) = 40.
2.314.
(x3+^3 = 2,
<(ограничиться отысканием целочисленных
\2xy —x y = 1
решений).
2.315.
fx*+6x2v2 +y4= 136,(9 (u*+v*)= 17 (u + v)2,
4z2.316. j
(x3yf-xy3 = 30.(3uv = — 2 (u + v).
(xy+- = 2 (x3 + y2),r(u2 + v2) (u + v)=15uv,
2.317.
2.318. Г ., ''
]x[(u4 + v*) (u2 + v2) = 85m2v2.
1 xy— = x 2 + v .
У
Г 8 8x+- = 3}>2,fx3+x3^3 + y3 = 17,
2.319.
V У2.320. (
1 , 17(х+ху+у=5.
2.321.
pO (х41-^*)= —17 (x3y+xy3),fx3+y3 = 19,
(x2+-y2 = 5.2-322‘ {(xy+8) (x+y) = 2.
f x+y+z=6,,
111(x*y+z=2.
2.323.
\ -H—h-=l,5,2.324. \x1-yy1+z1 = 6,
I x у z|
1_U3+>-3 + z3=8.
(x—y+z = 6,(xy+yz=8.
2325.
J x2+^2+z2—14, 2.326. \^z+zx=9, tx3— y3 + z3=36. lzx+x.y = 5. fuv + vw = 2a1.
2.327.
\ vw + wu = 2a2- a—l, kwu+uv = 2flIЛ a—1.
Гцух2=8,
1—(ограничиться отысканием положительных
2328.
s ,’решений).
| xzwu= 12, чи+у+ w = x+4
2329.
(у/х2+5 + у/у2 — 5 = 5,(у/х+-Уу+1 = ].,
2.330.„
(х2+)'1=13.IVx+T 4-^=1-
2331.
(Vx+Vy=9, , г (ограничиться отысканием целочисленных vVx+3Vy=5решений).
2.332.2.332.2.333.2.333.V^2-^ + х/ху-у2 =3 (x-y), x2->,i = 41.
2.332.
2.332.
2.333.
2.333.
2.334.2.334.^/1 —4x2 —V1 —4yz = 2 (x4-y), 2 335 fu + v + ^/м2—^=12, х1-Уу1+4ху=IvVk2-v2 = 12.
2.334.
2.334.
2.336.2.336.Vx —4 +V>' +Vz+4 = 6, T^Jx—4 — ^fy—4>Jz-y4 = — 12, ■x+y+z= 14.
2.336.
2.336.
2.338.
Vх + У + ^~У = 8, ^^Jx^yx^y^xy^y3 =12.
2.339.
'bx+ay ax-yby '
5
г
1. Пусть числа хь x2 и x3 служат корнями многочлена ах3 -ybx2 -ycx-yd. В таком случае имеет место тождество
ах3 -Vbx2 -у сх-У d= а (х—xj (х—х2) (х—х3).
Воспользоваться этим тождеством для получения формул, связывающих корни и коэффициенты данного многочлена.
С помощью формул, полученных в п. 1, найти корни хь х2 и х3 уравнения 8х3 — 20х2 —10x4-33 = 0, составив и решив новое кубическое уравнение с корнями Xi4-x2, х24-х3 и x34-Xi.
Решить уравнение Зх34-2Л/3 х2 —21x4-6^3 = 0, если известно, что произведение двух его корней равно 1.
Решить уравнение 2дх3 —(2в24-а4-2) х1 + (а1 + 2а+1) х—а = 0, если известно, что произведение двух его корней равно единице.
Для уравнения х3 +ах2 4-6x4-1=0 произведение суммы его корней на сумму их обратных величин выразить через коэффициенты а и Ь.
Решить уравнение 8х34-4х2 —34x4-15 = 0, если известно, что два из его корней xt и х2 удовлетворяют соотношению 2xi—4х2 = 1.
Доказать, что если корни уравнения х34-ох24-6х4-с=0 составляют геометрическую прогрессию, то один из них равен — 3^с.
Решить уравнение 64х3 — 24х2 — 6x4-1=0, если известно, что его корни образуют геометрическую прогрессию.
Решить уравнение ax3 + bx2 + cx + d=0, если его коэффициенты а, Ь, с и d в указанном порядке составляют геометрическую прогрессию с заданным знаменателем q.
Решить уравнение х4 —6х3 + 7х2 + 6х —2 = 0, если известно, что оно имеет по крайней мере одну пару корней, разность между которыми равна 1.
Найти коэффициенты а и b уравнения х4 + х3 —18х2 + ах + 6 = = 0, если известно, что среди его корней имеются три равных целых числа.
Числа х,, х2, х3 служат корнями уравнения х 3 + рх 2 + qx + г=0. Требуется: 1) составить уравнение с корнями XjXj, х2х3, x3xj; 2) воспользоваться результатом п. 1 для отыскания корней уравнения x3-3V2x2 + 7x-3V2 = 0.
Найти коэффициенты р и q уравнения х4 - Юх3ч-37х2+рх + + 9=0, если известно, что среди его корней имеются две пары равных между собой чисел.
Показать, что корни уравнения х+х ~1 = 2 cos 40° являются также корнями уравнения х4 + х”4 = 2cos 160°.
Решить уравнение 2х5 — х4 —2x3 + x3 —4х+2 = 0, если известно, что оно имеет три корня, из которых два являются противоположными числами (противоположными называются два числа, сумма которых равна нулю).
Решить уравнение х4—4х3 + Зх2 + 8х—10 = 0, если известно, что два его корня отличаются друг от друга только знаком.
Решить уравнение 12х3 + 4х2—17х+6 = 0, если известно, что среди его корней имеются два числа, обратных по абсолютной величине и противоположных по знаку.
Составить уравнение с целыми коэффициентами возможно более низкой степени, одним из корней которого было бы число V^+V3.
Решить уравнения 2х3 —5х2 + 6х — 2 = 0 и 6х3 — Зх2 — 2х + 1 =0, если известно, что они имеют один общий корень.
Найти все значения 1, при которых уравнения 2х3 — х2 — х — — (2+1) = 0 и lx1 — х — (2 +1) = 0 имеют общий корень, и найти этот корень. -
Решить уравнения х3 —6х2 —39х—10= 0 и х3+х2 —20х —50 = = 0, воспользовавшись тем, что один из корней первого уравнения в 2 раза больше одного из корней второго уравнения.
2.362. Решить уравнения х3 —7х2+12х —10 = 0 и х3 —Юх2 —2х + + 20 = 0, если известно, что один из корней первого уравнения в 2 раза меньше одного из корней второго уравнения.
Решить уравнения х4—х3 —22х2+16х+96 = 0 и х3 —2х2 — — Зх+10 = 0, воспользовавшись тем, что у них есть общий корень.
Показать, что равенство ab = c выражает необходимое и достаточное условие того, что среди корней уравнения х3 + ох2 + 6х + с=0 имеются два числа, сумма которых равна нулю.
Показать, что условие kb1 — (Л+1)2 ас=0 (^#0) является необходимым и достаточным для того, чтобы отношение корней уравнения ах2 + Ах+с=0 было равцо к.
Найти все три корня уравнения ах3 + Лх2 + сх+</=0, если его коэффициенты удовлетворяют условию ad=bc.
Составить уравнение третьей степени по его корням х,, xtx2 и х2, если числа X] и х2 являются корнями уравнения х2+рх+д=0.
Показать, что уравнение -^/х* + х—2+\/х*+х—2=6 имеет единственный положительный корень, и найти этот корень.
Дано уравнение ах24-Ьх+с=0. Пусть 5я=а"+Д", где а и Д — корни уравнения. Найти зависимость между S„, S„+i, S„+2.
Показать, что для всякого натурального числа л выполняется
111л+1
равенство1ь...Ч=, и с его помощью решить
1'2 2'3 (л + 1)(л + 2) л + 2
уравнение
(1 + 3 + ... + (2л+1)):(-+-+...+—) = 342.
\2 6342/
ГЛАВА 3
ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙК РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Премер 1. В направлении от А к В автомобиль ехал некоторое время с постоянной скоростью vt = 60 км/ч. Остальную часть пути он проехал за такое же
время, но со скоростью v2=40 км/ч. В противоположном направлении автомобиль ехал одну половину пути со скоростью v3 = 8O км/ч, а /фугую полови
ну — со скоростью v4=45 км/ч. Какова средняя скорость рейса: а) из Л в S?
6) из В в Л?
□ а) Так как автомобиль в течение одинаковых промежутков времени ехал
Vj +v2 60+40
с каждой из указанных скоростей, то v™=== 50 (км/ч).
22
Обратный рейс состоит из двух равных частей пути (предположим, что каждая из них равна з км), которые пройдены автомобилем в неравные промежутки времени; поэтому было бы неверно считать, что v3 + v4 80+45
Vq, = —-—=—-—=62,5 (км/ч). Пусть автомобиль ехал х часов со скоростью
v4y
v3 и у часов — со скоростью v4. Тогда v3x=v^=s, откуда х=—. Следовательно, 'v3
средняя скорость
2л 2v4y 2v3v4 2-8045
-q,-==== 57,6 (км/ч). ■
х+у V4y/v3+y v3+v4125
Пример 2. Бригада рабочих выполнила некоторое задание. Если бригаду уменьшить на 20 человек, то такое же задание она выполнит на 5 дней позже, чем при первоначальном составе, а если бригаду увеличить на 15 человек, то она выполнит задание на 2 дня раньше. Сколько рабочих было в бригаде первоначально и за сколько дней они выполнили задание?
□ Пусть х рабочих выполнили задание за у дней; тогда по условию ху=(х —20) (у + 5) и ху = (х + 15) (у-2).
х-20 у х+15 у
Запишем оба равенства в виде пропорций:=и=. Каж-
ху + 5ху —2
а сa—b c—d
дую пропорцию вида -=- заменим равносильной пропорцией вида ——=——.
-205152*
Тогда получим=и — =. Теперь легко находим, что х=60 и у = 10.
ху+5 х у—2
Итак, в бригаде было 60 человек, которые выполнили задание за 10 дней. ■
Пример 3. Три насоса, качающие воду для поливки, начали работать одновременно. Первый и третий насосы закончили работу одновременно, а второй — через 2 ч после начала работы. В результате первый насос выкачал 9 м3 воды, а второй и третий вместе 28 м3. Какое количество воды выкачивает за час каждый насос, если известно, что третий насос за час выкачивает на 3 м3 больше, чем первый, и что три насоса, работая вместе, выкачивают за час 14 м3?
□ Пусть первый и второй насосы выкачивают за час соответственно х и у м3, тогда третий выкачивает за час (х+3) м3. Второй и третий насосы выкачали соответственно Ту и (28—Ту) м3 воды. Первый насос работал 9/х часов, 9 28 —2у
третий (28 —2у)/(х+3) часов. Согласно условию, - =и 2х+у+3 = 14. Решая х х+3
систему уравнений, находим х=3, у=5. Итак, получаем ответ: 3, 5 и 6 м3. ■
Пример 4. Пешеход, идущий из совхоза на железнодорожную станцию, пройдя за первый час 3 км, рассчитал, что он опоздает к отходу поезда на 40 мин, если будет идти с той же скоростью. Поэтому остальной путь он прошел со скоростью 4 км/ч и прибыл на станцию за 15 мин до отхода поезда. Чему равно расстояние от совхоза до станции и с какой постоянной на всем пути скоростью пешеход пришел бы на станцию точно к отходу поезда?
Составим следующую таблицу:
Пешеход пришел бы на станцию
Расстояние, км
Скорость, км/ч
Время, ч
Точно
X
V
X
V
С опозданием
х-3
3
х-3
3
С опережением
х-3
4
х—3
4
Уравнивая промежутки времени, записанные в первой и второй, в первой и третьей строках, получаем систему уравнений
иля=, откуда х= 14. Итак, получаем ответ: х= 14 км, v=3,5 км/ч. ■
34
Пример 5. Расстояние между точками А и В равно 270 м. Из А в В равномерно движется тело; достигнув В, оно сразу же возвращается назад с той же скоростью. Второе тело, выходящее из В в Л через 11с после выхода первого из А, движется равномерно, но медленнее. На пути от В к А оно встречается с первым дважды: через 10 и 40 с после своего выхода из В. Найти скорость движения каждого тела.
□ Удобная модель задачи — график равномерного движения в системе координат «путь» (к — в метрах), «время» (I — в секундах). Пусть АС (рис. 3.1) — график движения из Л в В со скоростью Vi = tga (ось времени At); CD — график движения из В в Л.того же тела с той же скоростью vj = tga (ось времени Bt); ЕЕ — график движения из В в Л со скоростью V2=tg Р, Р< а (ось времени Bt).
Промежуток времени BE— И, промежуток времени до первой встречи ЕН—10, между первой и второй встречами НК—30; тогда NM—21vi, НМ— 10v2,
KF-40v2, NM+HM—AB—T10, т. е.
21vi + 10v2-270.(•)
Промежуток времени НС— HM^t — lOv^vg; промежуток времени СК—КЕ^х — -40v/vb Так как НС+СК—30, то 10v2/v1 +40v2/vj —30, откуда
5v2 = 3vi-
Решая совместно уравнения (*) и (**), находим v^lO м/с, v2=6 м/с. ■
Рис. 3.1Рис. 3.1Рис. 3.2Рис. 3.2
Рис. 3.1
Рис. 3.1
Рис. 3.2
Рис. 3.2
Пример 6. Из А в В вышла машина с почтой. Через 20 мин по тому же маршруту вышла вторая машина, скорость которой 45 км/ч. Догнав первую машину, шофер передал пакет и немедленно поехал обратно с той же скоростью (время, затраченное на остановку и разворот, не учитывается). В тот момент, когда первая машина прибыла в В, вторая достигла лишь середины пути от места встречи ее с первой машиной до пункта А. Найти скорость первой машины, если расстояние между А и В равно 40 км.
Рассмотрим систему координат «путь» (s — в километрах), «время» (г — в часах). Пусть АС (рис. 3.2) — график движения первой машины с искомой скоростью v=tgo; DE и ЕЕ — график движения «туда — обратно» второй машины со скоростью tgД=45; ЛР-1/3. Известно, что ЛВ-40 и G — середина пути АН. Пусть AG=NK=y. Тогда промежуток времени DK=ylt%p=y]45. Геометрически ясно, что DK=KL=LM, поэтому промежуток времени движения первой
Зу
машины АМ=-Ц—, откуда
v=40.v=40.
v=40.
v=40.
1 2уПромежуток времени AL=-+—, LE=AH=2y, поэтому
v=2y.v=2y.С*)С*)1 2/~ Н.3 45,
v=2y.
v=2y.
С*)
С*)
Решая совместно уравнения (*) и (**), находим у=15 км и v — ЗО км/ч. ■
Пример 7. Из колбы, содержащей раствор соли, отливают 1/л раствора в пробирку и выпаривают до тех пор, рока процентное содержание соли в пробирке не повысится вдвое. После этого получившийся раствор выливают в колбу и смешивают с оставшимся в ней раствором. В результате содержание соли в растворе повысилось на р%. Определить процентное содержание соли в первоначальном растворе.
□ Пусть в колбе было первоначально п литров раствора, содержащего х% 1
соли, что составляет лх/100 л соли. В пробирку отлили -п — 1 л раствора. По п
условию после выпаривания процентное содержание соли в пробирке повысилось вдвое; так как выпаривается только вода, а количество соли остается неизменным, то затем в колбу вылили только 0,5 л раствора. Тогда в колбе окажется л— 1 +0,5—л—0,5 л раствора, в котором по-прежнему содержится лх/100 л соли.
Согласно условию, имеем пх/100 = (х+р) (л —0,5)/100, или лх = (х+/>) (л—0,5), откуда х=р (2л — 1). ■
Пример 8. Найти все натуральные трехзначные числа, каждое из которых обладает следующими свойствами: первая цифра числа в три раза меньше суммы двух других его цифр; разность между самим числом и числом, получающимся из него перестановкой двух последних его цифр, неотрицательна и делится на 81.
□ Пусть искомое число имеет вид 100x+10y+z, где х, у, z— его цифры. Согласно условию, 3x=y+z и число 100х+ Юу+z —(100х+ 10z+y) делится на 81. Упрощая, получаем, что 9 (у —z) делится на 81, т. е. у —z кратно числу 9. Так как у и z —цифры, то последнее возможно лишь в двух случаях: 1) у—z = 0 и 2) у — z = 9.
Дх=у + х,
В первом случае имеем систему <, откуда Зл—Зу, что возможно при
(y-z = 0‘
х = 2, у = 2 = 3 (искомое число 233), при х = 4, y = z = 6 (искомое число 466) и при х — 6, y = z = 9 (искомое число 699). Во втором случае имеем систему !3x=y + z,
<Второе уравнение системы возможно лишь при z = 0, у = 9; тогда х = 3
(y-z = 9.
и искомое число равно .390. Итак, получаем ответ: 233, 390, 466, 699. ■
Группа А
Делении на части, пропорции, проценты
.001. Из данных четырех чисел первые три относятся между собой как 1/5 : 1/3:1/20 , а четвертое составляет 15% второго числа. Найти эти числа, если известно, что второе число на 8 больше суммы остальных.
.002. Вкладчик* снял со своего счета в Сбербанке сначала 1/4 вклада, затем 4/9 оставшихся и еще 64 000 руб. После этого у него осталось на сберкнижке 3/20 всех его денег. Как велик был вклад?
.003. Сумма первых трех членов пропорции равна 58. Третий член составляет 2/3, а второй — 3/4 первого члена. Найти четвертый член пропорции и записать ее.
.004. Трое сотрудников получили премию в размере 297 000 руб., причем второй получил 1/3 того, что получил первый, и еще 18 000 руб., а третий получил 1/3 денег второго и еще 13 000 руб. Какую премию получил каждый?
.005. Длина Дуная относится к длине Днепра как 19/3:5, а длина Дона относится к длине Дуная как 6,5:9,5. Найти протяженность каждой из рек, если Днепр длиннее Дона на 300 км.
.006. В двух бидонах находится 70 л молока. Если из первого бидона перелить во второй 12,5% молока, находящегося в первом бидоне, то в обоих бидонах будет поровну. Сколько литров молока в каждом бидоне?
.007. Тракторист вспахал три участка земли. Площадь первого равна 2/5 площади всех трех участков, а площадь второго относится к площади третьего как 3/2:4/3. Сколько гектаров было во всех трех участках, если в третьем было на 16 га меньше, чем в первом?
.008. В библиотеке имеются книги на английском, французском
♦Указанные в условии задач числовые значения, характеризующие стоимость, величину заработка, размер премии, кредитные и другие денежные операции, не претендуют на совпадение с их реальными прототипами в современной действительности.
и немецком языках. Английские книги составляют 36% всех книг на иностранных языках, французские — 75% английских, а остальные 185 книг — немецкие. Сколько книг на иностранных языках в библиотеке?
.009. В магазин для продажи поступили учебники по физике и математике. Когда продали 50% учебников ко математике и 20% учебников по физике, чтЬ составило в общей сложности 390 книг, то учебников по математике осталось в 3 раза больше, чем по физике. Сколько учебников по математике и сколько по физике поступило в продажу?
.010. Двое рабочих за смену вместе изготовили 72 детали. После того как первый рабочий повысил производительность труда на 15%, а второй — на 25%, вместе за смену они стали изготовлять 86 деталей. Сколько деталей изготовляет каждый рабочий за смену после повышения производительности труда? .
.011. На полях, выделенных агролаборатории для опытов, с двух участков собрали 14,7 ц зерна. На следующий год после применения новых методов агротехники урожай на первом участке повысился на 80%, а на втором — на 24%, благодаря чему с этих же участков было собрано 21,42 ц зерна. Сколько центнеров зерна собирают с каждого участка после применения новых методов агротехники?
.012. Найти два числа, сумма которых равна 44, причем меньшее число отрицательно. Процентное отношение разности между большим и меньшим числами к меньшему числу совпадает с меньшим числом.
.013. Найти три числа, если первое составляет 80% второго, второе относится к третьему как 0,5:9/20, а сумма первого и третьего на 70 больше второго числа.
.014. На вступительном экзамене по математике 15% поступающих не решили ни одной задачи, 144 человека решили задачи с ошибками, а число решивших все задачи верно относится к числу не решивших вовсе как 5:3. Сколько человек экзаменовались по математике в этот день?
.015. Числители трех дробей пропорциональны числам 1, 2, 5, а знаменатели пропорциональны соответственно числам 1, 3, 7. Среднее арифметическое этих дробей равно 200/441. Найти эти дроби.
.016. Площади трех участков земли находятся в отношении
3 5 3
2 -: 1 -: 1 -. Известно, что с первого участка собрано зерна, на 72 ц больше, чем со второго. Найти площадь всех трех участков, если средняя урожайность составляет 18 ц с 1 га.
.017. Расстояние между Москвой и Смоленском по железной дороге равно 415 км. На этом пути расположены города Можайск и Вязьма. Расстояние между Москвой и Можайском относится к расстоянию между Можайском и Вязьмой как 7:9, а расстояние между Можайском и Вязьмой составляет 27/35 расстояния между Вязьмой и Смоленском. Найти расстояния между каждыми двумя соседними городами.
.018. Охотничий порох состоит из селитры, серы и угля. Масса серы должна относиться к массе селитры как 0,2.1,3, а масса угля должна
составлять И -% массы серы и селитры вместе. Сколько пойдет каждого из веществ на приготовление 25 кг пороха?
.019. Музыкальный театр объявил конкурс для поступления в оркестр. Первоначально предполагалось, что число мест для скрипачей, 60
виолончелистов и трубачей распределится в отношении 1,6:1:0,4. Однако затем было решено увеличить прием, и в результате скрипачей было принято на 25% больше, а виолончелистов на 20% меньше, чем ранее намечалось. Сколько музыкантов каждого жанра было принято в оркестр, если всего приняли 32 человека?
.020. Первое из неизвестных чисел составляет 140% второго, а отношение первого к третьему равно 14/11. Найти эти числа, если разность между третьим и вторым на 40 единиц меньше числа, составляющего 12,5% суммы первого и второго чисел.
.021. Заработки рабочего за октябрь и ноябрь относились как 3/2:4/3, а за ноябрь и декабрь как 2:8/3. За декабрь он получил на 45 000 руб. больше, чем за октябрь, и за перевыполнение квартального плана рабочему начислили премию в размере 20% его трехмесячного заработка. Найти размер премии.
.022. Рабочий день уменьшился с 8 до 7 ч. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках заработная плата возросла на 5%?
.023. В январе завод выполнил 105% месячного плана выпуска готовой продукции, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил двухмесячный план выпуска продукции?
.024. В первый день спортивных соревнований не выполнили зачетные нормы и выбыли из дальнейшей борьбы 1/6 состава команды юношей и 1/7 состава команды девушек. В течение остального периода соревнований из обеих команд выбыло из-за невыполнения норм одинаковое количество спортсменов. Всего к концу испытаний не выполнили зачетные нормы 48 человек из команды юношей и 50 человек из команды девушек, но из общего количества спортсменов, выполнивших зачетные нормы, девушек оказалось вдвое больше, чем юношей. Какова была первоначальная численность команд?
.025. Денежная премия была распределена между тремя изобретателями: первый получил половину всей премии без 3/22 того, что получили двое других вместе. Второй получил 1/4 всей премии и 1/56 денег, полученных вместе двумя остальными. Третий получил 300 000 руб. Как велика была премия и сколько денег получил каждый изобретатель?
.026. В первую неделю отпускного путешествия друзья израсходовали на 6000 руб. меньше, чем 2/5 количества взятых с собой денег; во вторую неделю 1/3 остатка и еще на билеты в театр 1200 руб.; в третью неделю 3/5 нового остатка и еще на морские прогулки 3120 руб., после чего у них осталось 42 000 руб. Сколько денег было израсходовано за три недели путешествия?
.027. За первый квартал автозавод выполнил 25% годового плана выпуска автомашин. Число машин, выпущенных за второй, третий и четвертый кварталы, оказалось пропорционально числам 11,25, 12 и 13,5. Определить перевыполнение годового плана в процентах, если во втором квартале автозавод дал продукции в 1,08 раза больше, чем в первом.
.028. Обувная фабрика за первую неделю выполнила 20% месячного плана, за вторую — 120% количества продукции, выработанной за первую неделю, а за третью неделю — 60% продукции, выработанной за первые две недели вместе. Каков месячный план выпуска обуви, если известно, что для его выполнения необходимо за последнюю неделю месяца изготовить 1480 пар обуви? ,
.029. Цену товара сначала снизили на 20%, затем новую цену
снизили еще на 15% и, наконец, после пересчета произвели снижение еще на 10%. На сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара?
.030. Вследствие реконструкции оборудования производительность труда рабочего повышалась дважды в течение года на одно и то же число процентов. На сколько процентов возрастала каждый раз производительность труда, если за одно и то же время рабочий раньше вырабатывал изделий на 25 000 руб., а теперь на 28 090 руб.?
.031. В штате гаража числится 54 шофера. Сколько свободных дней может иметь каждый шофер в месяц (30 дней), если ежедневно 25% автомашин из имеющихся 60 остаются в гараже для профилактического ремонта?
.032. Три бригады рабочих сделали насыпь. Вся работа оценена в 3255 тыс. руб. Какую зарплату получит каждая бригада, если первая состояла из 15 человек и работала 21 день, вторая — из 14 человек и работала 25 дней, а число рабочих третьей бригады, работавшей 20 дней, на 40% превышало число рабочих первой бригады?
.033. В два сосуда одинаковой массы налита вода, причем масса сосуда А с водой составляет 4/5 массы сосуда В с водой. Если воду из сосуда В перелить в сосуд А, то масса его вместе с водой станет в 8 раз больше массы сосуда В. Найти массу сосудов и количество воды в них, зная, что в сосуде В содержится воды на 50 г больше.
.034. Имеются три сосуда, содержащих неравные количества жидкости. Для выравнивания этих количеств сделано три переливания. Сначала 1/3 жидкости перелили из первого сосуда во второй, затем 1/4 жидкости, оказавшейся во втором сосуде, перелили в третий и, наконец, 1/10 жидкости, оказавшейся в третьем сосуде, перелили в первый. После этого в каждом сосуде оказалось 9 л жидкости. Сколько жидкости было первоначально в каждом сосуде?
.035. Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?
.036. На сколько процентов следует увеличить длину радиуса круга, чтобы площадь круга стала больше на 96%?
.037. В трех секциях спортивной школы было 96 спортсменов. Число членов конькобежной секции составляло 0,8 числа членов лыж- 1
ной, а число членов хоккейной секции составляло 33 -% суммарного числа членов двух первых секций. Сколько спортсменов было в каждой секции?
Отношения «больше — меньше»
.038. Один фермер получил средний урожай гречихи 21 ц с 1 га, а другой, у которого под гречихой было на 12 га меньше, добился среднего урожая 25 ц с 1 га. В результате второй фермер собрал на 300 ц гречихи больше, чем первый. Сколько центнеров гречихи было собрано каждым фермером?
.039. На вагоноремонтном заводе в определенный срок должно быть отремонтировано 330 вагонов. Перевыполняя план ремонта в среднем на 3 вагона в неделю, на заводе уже за две недели до срока отремонтировали 297 вагонов. Сколько вагонов в неделю ремонтировали на заводе?.
.040. На расстоянии s км грузовой автомобиль расходует бензина на а л больше, чем легковой. Расходуя 1 л бензина, грузовой автомо- 62
биль проходит по той же дороге на 6 км меньше, чем легковой. Каков расход бензина каждого из этих автомобилей на расстоянии $ км?
.041. По обе стороны улицы длиной 1200 м лежат прямоугольные полосы земли, отведенные под участки, одна — шириной 50 м, а другая — 60 м. На сколько участков разбит весь поселок, если более узкая полоса содержит на 5 участков больше, чем широкая, при условии, что на узкой полосе каждый участок на 1200 м2 меньше, чем каждый участок на широкой полосе?
.042. Груз массой 60 кг давит на опору. Если массу груза уменьшить на 10 кг, а площадь опоры уменьшить на 5 дм2, то масса, приходящаяся на каждый квадратный дециметр опоры, увеличится на 1 кг. Определить площадь опоры.
.043. В зрительном зале клуба было 320 мест, расположенных одинаковыми рядами. После того как число мест в каждом ряду увеличили на 4 и добавили еще один ряд, в зрительном зале стало 420 мест. Сколько стало рядов в зрительном зале?
.044. Запас сена таков, что можно ежедневно выдавать на всех лошадей 96 кг. В действительности ежедневную порцию каждой лошади смогли увеличить на 4 кг, так как две лошади были переданы соседнему колхозу. Сколько лошадей было первоначально?
.045. Сочинение писали 108 экзаменующихся. Им было роздано 480 листов бумаги, причем каждая девушка получила на один лист больше каждого юноши, а все девушки получили столько же листов, сколько все юноши. Сколько было девушек и сколько юношей?
.046. На машиностроительном заводе разработали новый тип деталей для генераторов. Из 875 кг металла изготовляют теперь на три детали нового типа больше, чем деталей старого типа изготовляли из 900 кг. Какова масса детали нового и старого типов, если две детали нового типа по массе меньше одной детали старого типа на 0,1 т?
.047. Для перевозки 60 т груза из одного места в другое затребовали некоторое количество машин. Ввиду неисправности дороги на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполагалось, поэтому было дополнительно затребовано 4 машины. Какое количество автомашин было затребовано первоначально?
.048. Город С, расположенный между пунктами Л и В на одной прямой, снабжается газом из этих пунктов, расстояние между которыми 500 км. Из резервуара А в каждую минуту откачивается 10 000 м3 газа, а из резервуара В — на 12% больше. При этом утечка газа в каждой магистрали составляет 4 м3 в минуту на километр трубы. Зная, что в город С газ поступает из резервуаров АиВ поровну, найти расстояние между городом С и пунктом А.
.049. В четырех ящиках лежит чай. Когда из каждого ящика вынули по 9 кг, то во всех вместе осталось столько же, сколько было в каждом. Сколько чая было в каждом ящике?
.050. Два парка общей площадью 110 га разбиты на равное количество участков. Участки каждого парка по площади равны между собой, но отличаются от участков другого. Если бы первый парк был разбит на участки такой же площади, как второй, то он имел бы 75 участков, а если бы второй был разбит на такие же участки, как первый, то он содержал бы 108 участков. Определить площадь каждого парка.
.051. В семье отец, мать и три дочери; всем вместе 90 лет. Разница в возрасте у девочек — 2 года. Возраст матери на 10 лет больше суммы возрастов дочерей. Разность лет отца и матери равна возрасту средней дочери. Сколько лет каждому члену семьи?
.052. В кинозале имеется две двери, широкая и узкая. Через обе двери после сеанса зрители выходят из зала в течение 3 мин 45 с. Если зрителей выпускать через одну широкую дверь, то выход из зала займет на 4 мин меньше, чем в том случае, если зрителей выпускать только через одну узкую дверь. Сколько времени требуется для выхода зрителей из кинозала через каждую дверь в отдельности?
.053. Два сосуда с раствором соли поставлены для выпаривания. Ежедневно выпариваемые порции соли постоянны для каждого сосуда. Из первого сосуда получено 48 кг соли, а из второго, стоявшего на 6 дней меньше, — 27 кг. Если бы первый сосуд стоял столько же дней, сколько второй, а второй столько, сколько первый, то из обоих растворов получилось бы одинаковое количество соли. Сколько дней стоял каждый раствор?
.054. В швейный цех поступило три кипы бельевого материала, всего 5000 м. В первой кипе количество материала, было в 3 раза меньше, чем во второй, а в третьей — 22% всего количества. Из материала первой кипы сшили 150 простыней и 240 наволочек. Для изготовления одной простыни требовалось на 3,25 м больше материала, чем для изготовления одной наволочки. Из скольких метров материала шьется одна наволочка?
.055. От трех кафедр института поступили заявки на приобретение дополнительного оборудования лабораторий. Стоимость оборудования в заявке первой кафедры составляет 45% от заявки второй кафедры, а стоимость оборудования в заявке второй кафедры — 80% от заявки третьей. Стоимость оборудования в заявке третьей кафедры превышает заявку первой на 640 млн. руб. Какова общая стоимость оборудования в заявках всех трех кафедр?
.056. Сумма квадратов корней уравнения х2 —Зах + а2 = 0 равна 1,75. Найти значение а.
Геометрические и физические задачи
.057. Для спортплощадки отвели участок в форме прямоугольника с диагональю, равной 185 м. При выполнении строительных работ длину каждой стороны уменьшили на 4 м. При этом прямоугольная форма была сохранена, но площадь оказалась уменьшенной на 1012 м2. Каковы действительные размеры спортплощадки?
.058. Участок прямоугольной формы обнесен изгородью. Если от него отрезать по прямой некоторую часть так, что оставшаяся часть окажется квадратом, то при этом его площадь уменьшится на 400 м2, а изгородь уменьшится на 20 м. Определить первоначальные размеры участка. .
.059. Спортивная площадка имеет форму прямоугольника, длина которого на b м больше ширины. Площадка окаймлена дорожкой одинаковой ширины вам. Каковы размеры спортивной площадки, если ее площадь равна площади окаймляющей ее дорожки?
’ 3.060. Фотокарточка размерами 12 х 18 см вставлена в рамку постоянной ширины. Определить ширину рамки, если ее площадь равна площади самой карточки.
.061. На ровной горизонтальной площадке стоят две мачты равной высоты на расстоянии 5 м др;т от друга. На высоте 3,6 м от площадки к каждой мачте прикреплено по одному концу куска проволоки длиной 13 м. Проволока натянута в плоскости расположения мачт и прикреплена к площадке, как показано на рис. 3.3. На каком расстоянии
от ближайшей мачты находится точка прикрепления проволоки к площадке?
.062. Имеется лист жести в форме прямоугольника, у которого отношение длины к ширине равно 2:1. Из этого листа изготовлена открытая сверху коробка таким образом, что по углам листа вырезано по квадрату со стороной 3 см и получившиеся края загнуты. Определить размеры листа жести, если объем коробки оказался равным 168 см3.
.063. На рис. 3.4 изображены окружность, касающаяся двух взаимно перпендикулярных осей Ох и Оу, и прямая АВ, касающаяся окружности в точке Р. Радиус окружности R =10 см, а площадь треугольника О АВ равна 600 см2. Найти координаты точек А, В, Р, учитывая, что ОА>ОВ.
.064. Переднее колесо движущейся модели на протяжении 120 м делает на 6 оборотов больше, чем заднее. Если окружность переднего колеса увеличить на 1/4 ее длины, а окружность заднего — на 1/5 ее длины, то на том же расстоянии переднее колесо сделает на 4 оборота больше, чем заднее. Найти длины окружностей переднего и заднего колес.
.065. На пути от села до поля колесо грузовика делает на 100 оборотов меньше, чем колесо велосипеда, и на 150 оборотов больше, чем гусеница трактора. Найти расстояние между селом и полем, если известно, что длина окружности колеса грузовика составляет 4/3 длины окружности колеса велосипеда и на 2 м короче гусеницы трактора.
.066. По наклонной плоскости длиной 6 м катятся два цилиндра, у одного из которых длина окружности равна 3 дм, а у другого 2 дм. Можно ли увеличить длины окружностей обоих цилиндров на одну и ту же величину так, чтобы на том же пути один из них сделал на 3 оборота больше фугого?
.067. По двум окружностям равномерно вращаются две точки. Одна из них совершает полный оборот на 5 с быстрее, чем другая, и поэтому успевает сделать в 1 мин на два оборота больше. Сколько оборотов в минуту совершает каждая точка?
.068. Две силы приложены к одной точке и направлены под прямым углом. Модуль одной из них на 4 Н больше модуля фугой, а модуль равнодействующей на 8 Н меньше суммы модулей данных сил. Найти модули данных сил и их равнодействующей.
.069. К материальной точке приложены две аилы, угол между которыми равен 30°. Модуль одной из приложенных сил в 7-^/5 раза больше модуля фугой, а модуль равнодействующей силы на 24 Н больше, чем модуль меньшей силы. Определить модули меньшей и равнодействующей сил. ■
.070. Кристалл, находясь в стадии формирования, равномерно наращивает свою массу. Наблюдая формирование двух кристаллов, заме-
тили, что первый из них за 3 мес. дал такой же прирост массы, как второй за 7 мес. Однако по истечении года оказалось, что первый кристалл увеличил свою первоначальную массу на 4%, второй — на 5%. Найти отношение первоначальных масс этих кристаллов.
.071. Кусок платины, плотность которой равна 2,15 • 10* кг/м3, связан с куском пробкового дерева (плотность 2,4 102 кг/м3). Плотность системы равна 4,8 102 кг/м3. Какова масса куска дерева, если масса куска платины составляет 86,94 г?
.072. В лаборатории измеряется скорость, с которой распространяется звук вдоль стержней, сделанных из разных материалов. В первом опыте оказалось, что весь путь, состоящий из трех последовательно соединенных стержней, звук проходит за время а с, а путь, состоящий из второго и третьего стержней, звук проходит в 2 раза быстрее, чем один первый стержень. В другом опыте второй стержень заменили новым, и тогда последовательное соединение из трех стержней звук прошел за время b с, а соединение из первого и второго стержней — вдвое медленнее, чем один третий стержень. Найти скорость распространения звука в новом стержне, если его длина I м.
Торгово-денежные отношения
.073. Некоторый товар был куплен осенью и за него было уплачено 825 000 руб. Килограмм этого товара осенью на 1000 руб. дешевле, чем весной, и поэтому на ту же сумму весной было куплено на 220 кг меньше. Сколько стоит 1 кг товара весной и сколько его было куплено осенью?
.074. Перевозка тонны груза от пункта М до пункта N по железной дороге обходится на Ъ ру§. дороже, чем водным путем. Сколько тонн груза можно перевезти от М до N по железной дороге на сумму а руб., если водным путем на эту же сумму можно перевезти на к т больше, чем по железной дороге?
.075. Для оплаты пересылки четырех бандеролей понадобились 4 различные почтовые марки на общую сумму 84 руб. Определить стоимости марок, приобретенных отправителем, если эти стоимости составляют арифметическую прогрессию, а самая дорогая марка в 2,5 раза дороже самой дешевой.
.076. Стоимость 60 экземпляров первого тома и 75 экземпляров второго тома составляет 27 000 руб. В действительности за все эти книги уплатили только 23 700 руб., так как была произведена скидка: на первый том в размере 15%, а на второй — в размере 10%. Найти первоначальную цену этих книг.
.077. Две шкурки общей стоимостью в 2250 тыс. руб. были проданы на аукционе с прибылью в 40%. Какова стоимость каждой шкурки, если от первой было получено прибыли 25%, а от второй — 50%?
.078. Рабочий час мастеров АнВ оплачивается неодинаково, но оба мастера работали одинаковое число часов. Если бы А работал на 1 ч меньше, а В — на 5 ч меньше, то А заработал бы 72 000 руб., а В — 80 000 руб. Если бы, наоборот, А работал на 5 ч меньше, а В — на 1 ч меньше, то В заработал бы на 36 000 руб. больше, чем А. Какую сумму получил каждый мастер за все время работы?
.079. В магазин привезли яблоки 1-го сорта на сумму 228 000 руб. и яблоки 2-го сорта на сумму 180 000 руб. При разгрузке привезенные яблоки случайно перемешались. Подсчет показал, что если теперь про-
давать все яблоки по одной цене — на 900 руб. ниже цены килограмма яблок 1-го сорта, то будет выручена ранее намеченная сумма. Сколько килограммов яблок привезено, если известно, что яблок 2-го сорта было на 5 кг больше, чем 1-го сорта?
.080. Имеющиеся на складе 300 кг товара проданы в неравных количествах двум организациям по цене 37 500 руб. за 1 кг. Первая организация перевозит купленный товар на расстояние 20 км, а вторая — на 30 км. Перевозка 10 кг товара обходится в 1 500 руб. за 1 км пути. Зная, что вторая организация заплатила за покупку и перевозку товара на 2 млн. 700 тыс. руб. больше первой, определить, сколько килограммов товара купила каждая организация и какую сумму она заплатила за товар и его перевозку.
Соотношения между натуральными числами
.081. Однозначное число увеличили на 10 единиц. Если полученное число увеличить на столько же процентов, как в первый раз, то получится 72. Найти первоначальное число.
.082. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если к этому числу прибавить 36, то получится число, записанное теми же цифрами, ио в обратном порядке. Найти исходное число.
.083. Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если от этого числа отнять 9, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти исходное число.
.084. Даны два двузначных числа, из которых второе обозначено теми же цифрами, что и первое, но написанными в обратном порядке. Частное от деления первого числа на второе равно 1,75. Произведение первого числа на цифру его десятков в 3,5 раза больше второго числа. Найти эти числа.
.085. Произведение цифр двузначного числа в 3 раза меньше самого числа. Если к этому числу прибавить 18, то получится число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти исходное число.
.086. Найти двузначное число, частное от деления которого на произведение его цифр равно 8/3, а разность между искомым числом и числом, написанным теми же цифрами, но в обратном порядке, равна 18.
.087. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 4 и в остатке 3. Если же это число разделить на произведение его цифр, то в частном получится Зив остатке 5. Найти исходное число.
.088. Ученику надо было найти произведение числа 136 на некоторое двузначное число, в котором цифра единиц вдвое больше цифры десятков. По рассеянности он поменял местами цифры двузначного числа, отчего и получил произведение на 1224 больше истинного. Чему равно истинное произведение?
.089. Если неизвестное двузначное число разделить на число, изображенное теми же цифрами, но в обратном порядке, то в частном получится 4 и в остатке 3. Если же искомое число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 8 и в остатке 7. Найти это число.
.090. Некоторое двузначное число в 4 раза больше суммы и в 3 раза больше произведения своих цифр. Найти это число.
.091. Трехзначное число оканчивается цифрой 2. Если ее перенести в начало записи числа, то полученное число будет на 18 больше первоначального. Найти это число.
.092. Задумано целое положительное число. К его записи присоединили справа цифру 7 и из полученного нового числа вычли квадрат задуманного числа. Остаток уменьшили на 75% этого остатка и еще вычли задуманное число. В окончательном результате получили нуль. Какое число задумано?
.093. Определить целое положительное число по следующим данным: если его записать цифрами и присоединить справа цифру 4, то получится число, делящееся без остатка на число, большее искомого на 4, а в частном получится число, меньшее делителя на 27.
.094. Было задано целое число. Требовалось увеличить его на 200 000 и полученное число утроить. Вместо этого приписали к цифровой записи заданного числа справа цифру 2 и получили правильный результат. Какое число было задано?
.095. Сумма всех четных двузначных чисел разделилась на одно из них без остатка. Полученное частное отличается от делителя только порядком цифр, а сумма его цифр равна 9. Какое двузначное число являлось делителем?
.096. Числители трех дробей пропорциональны числам 1, 2 и 3, а обратные величины соответствующих знаменателей пропорциональны числам 1, 1/3 и 0,2. Найти эти дроби, если их среднее арифметическое равно 136/315 .
.097. Если бы ученик правильно перемножил два написанных на доске числа, то получил бы в произведении 4500. Но, переписывая с доски сомножители, в одном из них ученик вместо последней цифры 5 написал цифру 3 и после умножения в результате получил 4380. Какие числа должен был перемножить ученик?
.098. В рукописи задачника по арифметике был помещен пример, в котором данное число надо умножить на 3 и от полученного результата отнять 4. В типографии допустили опечатку: вместо знака умножения поставили знак деления, а вместо минуса — плюс. Тем не менее конечный результат от этого не изменился. Какой пример предполагали поместить в задачнике?
.099. Одна из двух дробей вдвое больше другой. После возведения каждой из дробей в квадрат и сложения этих результатов получается некоторая сумма. Та же сумма получается после возведения каждой из дробей в куб и сложения этих результатов. Найти данные дроби.
Движение: путь, скорость, время
.100. От пристани в город отправилась лодка со скоростью 12 км/ч, а через полчаса после нее в том же направлении вышел пароход со скоростью 20 км/ч. Каково расстояние от пристани до города, если пароход пришел туда на 1,5 ч раньше лодки?
.101. Турист проплыл по реке на лодке 90 км и прошел пешком 10 км. При этом на пеший путь было затрачено на 4 ч меньше, чем на путь по реке. Если бы турист шел пешком столько времени, сколько плыл по реке, а плыл по реке столько времени, сколько шел пешком, то эти расстояния были бы равны. Сколько времени он шел пешком и сколько времени плыл по реке? •
.102. Экспресс проходит путь от Москвы до Санкт-Петербурга на 3 ч 30 мин быстрее пассажирского поезда, так как за 1 ч он проходит на 35 км больше. Сколько километров в час проходит каждый из них, если расстояние между Москвой и Санкт-Петербургом принять с округлением равным 650 км?
.103. Группа студентов во время каникул совершила поход по Подмосковью. Первые 30 км они прошли пешком, 20% оставшейся части маршрута проплыли на плоту по реке, а затем опять шли пешком, пройдя расстояние в 1,5 раза больше того, которое проплыли по реке. Остальной путь проехали за 1 ч 30 мин на попутном грузовике, который шел со скоростью 40 км/ч. Какова длина всего маршрута?
.104. Искусственный водоем имеет форму прямоугольника с разностью сторон 1 км. Два рыбака, находящиеся в одной вершине этого прямоугольника, одновременно отправились в пункт, расположенный в противоположной вершине. При этом один рыбак поплыл на лодке напрямик по диагонали, а второй пошел пешком вдоль берега. Определить размеры водоема, если каждый рыбак передвигался со скоростью 4 км/ч и один из них прибыл к месту назначения на 30 мин раньше другого.
.105. Велосипедист каждую минуту проезжает на 500 м меньше, чем мотоциклист, поэтому на путь в 120 км он затрачивает времени на 2 ч больше, чем мотоциклист. Вычислить скорость каждого из них.
106. Расстояние от А до В по железной дороге равно 88 км, а по реке оно составляет 108 км. Поезд из А выходит на 1 ч позже теплохода и прибывает в В на 15 мин раньше. Найти среднюю скорость поезда, если известно, что она на 40 км больше средней скорости теплохода.
107. По одной из трамвайных линий начали курсировать трамваи новой конструкции. Рейс протяженностью 20 км продолжается теперь на 12 мин меньше, так как средняя скорость трамвая новой конструкции на 5 км/ч больше средней скорости трамвая устаревшей конструкции. Сколько времени затрачивает на рейс трамвай новой конструкции и какова его средняя скорость?
108. Два автобуса одновременно выехали с фабрики и направились в зону отдыха, к озеру. Расстояние между фабрикой и озером 48 км. Первый автобус прибыл к озеру на 10 мин раньше второго, причем средняя скорость второго меньше средней скорости первого на 4 км/ч. Вычислить скорости автобусов.
109. Из порта одновременно вышли два теплохода, причем один из них пошел на юг, а другой на восток. Через 2 ч расстояние между ними составило 174 км. Найти среднюю скорость каждого теплохода, если известно, что один из них в среднем за каждый час проходил на 3 км больше, чем второй.
110. Расстояние между поселками А и В равно s км. Из А отправились в В одновременно по одной и той же дороге два автотуриста, которые должны были прибыть в S в одно и то же время. В действительности первый турист прибыл в В на л ч раньше срока, а второй на Зл ч опоздал, так как последний проезжал за каждый час в среднем на г км меньше первого. Определить среднюю скорость каждого автотуриста.
111. От станции железной дороги до турбазы можно пройти по шоссе или тропинкой, причем тропинкой ближе на 5 км. Два товарища условились, что один пойдет по шоссе, строго выдерживая намеченную скорость v км/ч, а второй — тропинкой со скоростью 3 км/ч. Второй пришел на турбазу раньше первого на 1 ч. Найти расстояние от станции до турбазы по шоссе и скорость v первого товарища, если известно, что v — целое число.
112. Скорости пассажирского и товарного поездов относятся как а;Ь. Пассажирский поезд вышел со станции А на 0,5 ч позже товарного, а прибыл на станцию В на 0,5 ч раньше его. Найти скорости поездов, если расстояние между А и В равно s км.
113. В отверстие трубы вошла одна материальная частица, а спустя 6,8 мин в то же отверстие вошла вторая частица. Войдя в трубу, каждая частица немедленно начинает поступательное движение вдоль трубы: первая частица движется равномерно со скоростью 5 м/мин, а вторая в первую минуту пробегает 3 м, а в каждую следующую минуту на 0,5 м больше, чем в предыдущую. За сколько минут вторая частица догонит первую?
114. Два брата имели билеты на стадион, расположенный в 20 км от их дома. Чтобы добраться до стадиона, они решили воспользоваться своим велосипедом и договорились, что отправятся одновременно, один на велосипеде, а другой пешком; проехав часть пути, первый оставит велосипед, а второй, дойдя до места, где будет оставлен велосипед, дальше поедет на нем и догонит первого у входа на стадион. Где должен оставить велосипед первый брат и сколько времени уйдет на дорогу, если каждый из братьев будет идти равномерно со скоростью 4 км/ч, а ехать в 5 раз быстрее?
115. Первый турист, проехав 1,5 ч на велосипеде со скоростью 16 км/ч, делает остановку на 1,5 ч, а затем продолжает путь с первоначальной скоростью. Спустя 4 ч после отправки в дорогу первого туриста вдогонку ему выезжает на мотоцикле второй турист со скоростью 56 км/ч. Какое расстояние они проедут, прежде чем второй турист догонит первого?
116. Два брата взяли свои велосипеды и одновременно тронулись в путь с намерением проехать 42 км. Старший брат на всем пути сохранял одну и ту же скорость, а младший брат каждый час отставал от старшего на 4 км. Но так как старший брат отдыхал в пути целый час, а младший — только 20 мин, то к финишу они прибыли одновременно. Сколько времени продолжалась поездка?
117. Самолет должен пролететь 2900 км. Пролетев 1700 км, он сделал вынужденную посадку на 1 ч 30 мин, после чего полетел со скоростью, на 50 км/ч меньшей, чем раньше. Найти первоначальную скорость самолета, если известно, что он прибыл на место через 5 ч после вылета.
118. Товарный поезд был задержан в пути на 12 мин, а затем на расстоянии 60 км наверстал потерянное время, увеличив скорость на 15 км/ч. Найти первоначальную скорость поезда.
119. Через 2 ч после выезда с фабрики шофер посмотрел на спидометр и заметил, что проехал только 112 км. Он прикинул мысленно, что если и дальше поедет с той же скоростью, то на 30 мин опоздает с доставкой груза на станцию. Поэтому шофер увеличил скорость и прибыл на станцию даже на 30 мин раньше срока. Определить начальную и последующую скорости движения автомобиля, если расстояние от фабрики до станции по спидометру составляет 280 км.
120. Мотоциклист отправился из пункта А в пункт В, отстоящий от А на 120 км. Обратно он выехал с той же скоростью, но через час после выезда должен был остановиться на 10 мин. После этой остановки он продолжал путь до А, увеличив скорость на 6 км/ч. Какова была первоначальная скорость мотоциклиста, если известно, что на обратный путь он затратил столько же времени, сколько на путь от А до №
121. Велосипедист проехал 60 км из пункта А в пункт В. На обратном пути он первый час проехал с прежней скоростью, после чего сделал остановку на 20 мин. Начав движение снова, он увеличил скорость на 4 км/ч и поэтому потратил на путь из В в А столько же времени, сколько и на путь из А в В. Определить скорость велосипедиста на пути из Л в В.
122. Из поселка, расположенного в 60 км от города, сегодня до-
лжей приехать отец студентки, который хотел посетить воскресную лекцию. Однако лекция перенесена на другой день. Чтобы предупредить отца об этом, дочь поехала по шоссе ему навстречу. При встрече выяснилось, что отец и дочь выехали на мопедах одновременно, но средняя скорость дочери была вдвое большей. Возвращаясь после встречи, каждый из них увеличил первоначальную скорость на 2 км/ч, и дочь прибыла в город на 5 мин позже, чем отец в поселок. С какой средней скоростью отец и дочь ехали первоначально?
123. Две группы туристов должны идти навстречу друг другу из турбаз А и В, расстояние между которыми 30 км. Если первая группа выйдет на 2 ч раньше второй, то они встретятся через 2,5 ч после выхода второй группы. Если же вторая группа выйдет на 2 ч раньше, чем первая, то встреча произойдет через 3 ч после выхода первой группы. С какой средней скоростью идет каждая группа?
124. Пешеход и велосипедист отправляются одновременно навстречу друг другу из городов А и В, расстояние между которыми 40 км, и встречаются спустя 2 ч после отправления. Затем они продолжают путь, причем велосипедист прибывает в А на 7 ч 30 мин раньше, чем пешеход в В. Найти скорости пешехода и велосипедиста, полагая, что они все время оставались неизменными.
125. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 120 км, вышли одновременно навстречу друг другу два автобуса. В пути первый сделал остановку на 10 мин, второй — на 5 мин. Первый автобус прибыл в В на 25 мин раньше, чем второй прибыл в А. Можно считать, что скорости движения автобусов были постоянными, причем скорость первого автобуса превышала скорость второго автобуса на 20 км/ч. Сколько времени продолжалась поездка пассажиров каждого из этих автобусов между пунктами А и В1
126. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух мест, расстояние между которыми равно 270 км. Второй проезжает в час на 1,5 км меньше, чем первый, и встречается с ним через столько часов, сколько километров в час делает первый. Определить скорость каждого велосипедиста.
127. Два поезда отправляются из пунктов А и В навстречу друг другу. Они встретятся на половине пути, если поезд из А выйдет на 2 ч раньше, чем поезд из В. Если же оба поезда выйдут одновременно, то через 2 ч расстояние между ними составит 1/4 расстояния между А и В. За какое время каждый поезд проходит весь путь?
128. Турист А отправился из города М в город N с постоянной скоростью 12 км/ч. Турист В, находившийся в городе N, получив сигнал, что А уже проехал 7 км, тотчас выехал навстречу ему и проезжал каждый час 0,05 всего расстояния между М и N. С момента выезда В до его встречи с А прошло столько часов, на сколько километров в час продвигался В. Найти расстояние между городами М и N, если оно не меньше 100 км.
129. Моторная лодка и парусник, находясь на озере на расстоянии 30 км друг от друга, движутся навстречу друг другу и встречаются через 1 ч. Еми бы моторная лодка находилась в 20 км от парусника и догоняла его, то на это потребовалось бы 3 ч 20 мин. Определить скорости лодки и парусника, полагая, что они постоянны и неизменны в обоих случаях.
130. В один и тот же час навстречу друг другу должны были выйти А из поселка М и В из поселка N. Однако А задержался и вышел позже на 6 ч. При встрече выяснилось, что А прошел на 12 км меньше, чем В.
Отдохнув, они одновременно покинули место встречи и продолжили путь с прежней скоростью. В результате А пришел в N через 8 ч, а В пришел в М через 9 ч после встречи. Определить расстояние MN и скорости пешеходов.
131. Два тела движутся навстречу друг другу из двух мест, расстояние между которыми 390 м. Первое тело прошло в первую секунду 6 м, а в каждую следующую проходило на 6 м больше, чем в предыдущую. Второе тело двигалось равномерно со скоростью 12 м/с и начало движение спустя 5 с после первого. Через сколько секунд после того, как начало двигаться первое тело, они встретятся? *
132. Кошка, гнавшаяся за мышкой вдоль длинного коридора, догнала ее через а с после начала погони. Первоначальное расстояние между ними I м. Если при таком же начальном расстоянии мышка с перепугу побежала бы не от кошки, а навстречу ей, то была бы схвачена через b с. Полагая, что в том и в другом случае кошка и мышка прилагали бы максимальные усилия, найти средние скорости каждой из них. •
133. На учениях разведывательный катер подошел к головному кораблю эскадры и получил приказание произвести разведку впереди эскадры по направлению ее движения на расстоянии 70 км. Определить, через какое время катер вернется к головному кораблю эскадры, продолжающей идти вперед, если известно, что скорость катера 28 км/ч, а эскадра должна двигаться со скоростью 14 км/ч.
134. По сигналу дрессировщика два пони одновременно побежали равномерно вдоль внешней окружности арены цирка в противоположных направлениях. Первый пони бежал несколько быстрее второго и к моменту встречи пробежал на 5 м больше, чем второй. Продолжая бег, первый пони подбежал к дрессировщику, остававшемуся на том месте, от которого начали бежать пони, через 9 с после встречи со вторым пони, а второй — через 16 с после их встречи. Каков диаметр арены?
135. От пристани отправился по течению реки плот. Через 5 ч 20 мин вслед за плотом с той же пристани отправилась моторная лодка, которая догнала плот, пройдя 20 км. Какова скорость плота, если известно, что скорость моторной лодки больше скорости плота на 12 хм^
136. Моторная лодка, обладающая скоростью движения 20 км/ч, прошла расстояние между двумя пунктами по реке туда и обратно, не останавливаясь, за 6 ч 15 мин. Расстояние между пунктами 60 км. Определить скорость течения реки.
137. Сначала катер шел а км по течению реки, а затем вдвое большее расстояние — по озеру, в которое река впадает. Весь рейс продолжался 1 ч. Найти собственную скорость катера, если скорость течения реки с км/ч.
138. Катер отошел от причала одновременно с плотом и прошел вниз по реке 40/3 км. Не делая остановки, он развернулся и пошел вверх по реке. Пройдя 28/3 км, он встретился с плотом. Если скорость течения реки 4 км/ч, то какова собственная скорость катера?
139. В 9 ч самоходная баржа вышла из А вверх по реке и прибыла в пункт В; 2 ч спустя после прибытия в В эта баржа отправилась в обратный путь и прибыла в Л в 19 ч 20 мин того же дня. Предполагая, что средняя скорость течения реки 3 км/ч и собственная скорость баржи все время постоянна, определить, когда баржа прибыла в пункт В. Расстояние между Ан В равно 60 км.
140. Два приятеля в одной лодке прокатились по реке вдоль берега и вернулись по той же трассе через 5 ч с момента отплытия. Весь рейс составил 10 км. По их подсчетам получилось, что на каждые 2 км против течения в среднем им требовалось столько же времени, сколько на каждые 3 км по течению. Найти скорость течения, время проезда туда и время проезда обратно.
141. Над пунктом А вертолет был в 8 ч 30 мин. Пролетев по прямой s км, вертолет оказался над пунктом В. Продержавшись 5 мин в воздухе над пунктом В, вертолет пошел обратным курсом по той же трассе. К пункту А он вернулся в 10 ч 35 мин. От Л к В он летел по ветру, а обратно против ветра. Скорость ветра все время была постоянной. Найти скорость ветра, если собственная скорость вертолета также все время постоянна и при безветрии равна v км/ч. При каком соотношении между заданными величинами задача имеет решение?
Работа
142. Однотипные детали обрабатываются на двух станках. Производительность первого станка на 40% больше производительности второго. Сколько деталей было обработано за смену на каждом станке, если первый работал в эту смену 6 ч, а второй — 8 ч, причем оба станка вместе обработали 820 деталей?
143. Одна мельница может смолоть 19 ц пшеницы за 3 ч, другая 32 ц за 5 ч, а третья 10 ц за 2 ч. Как распределить 133 т пшеницы между этими мельницами, чтобы, одновременно начав работу, они окончили ее также одновременно?
144. На одном из двух станков обрабатывают партию деталей на 3 дня дольше, чем на другом. Сколько дней продолжалась бы обработка этой партии деталей каждым станком в отдельности, если известно, что при совместной работе на этих станках в три раза большая партия деталей была обработана за 20 дней?
145. Двое рабочих выполняют совместно некоторое задание за 8 ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить его на 12 ч скорее, чем второй, если тот будет работать отдельно. За сколько часов каждый из них, работая порознь, может выполнить задание?
146. Планом было предусмотрено, что предприятие на протяжении нескольких месяцев изготовит 6000 насосов. Увеличив производительность труда, предприятие стало изготовлять в месяц на 70 насосов больше, чем было предусмотрено, и на один месяц раньше установленного срока перевыполнило задание на 30 насосов. На протяжении скольких месяцев было предусмотрено выпустить 6000 насосов?
147. При испытании двух двигателей было установлено, что первый израсходовал 300 г, а второй 192 г бензина, причем второй работал на 2 ч меньше, чем первый. Первый двигатель затрачивает в час на 6 г бензина больше, чем второй. Какое количество бензина в час расходует каждый из двигателей?
148. На уборке снега работают две снегоочистительные машины. Первая может убрать всю улицу за 1 ч, а вторая — за 75% этого времени. Начав уборку одновременно, обе машины проработали вместе 20 мин, после чего первая машина прекратила работу. Сколько еще нужно времени, чтобы вторая машина закончила работу?
149. Две бригады, работая одновременно, обработали участок земли за 12 ч. За какое время могла бы обработать этот участок каждая из
бригад в отдельности, если скорости выполнения работы бригадами относятся как 3:2?
150. Одна бригада может убрать все поле за 12 дней. Другой бригаде для выполнения той же работы нужно 75% этого времени. После того как в течение 5 дней работала только первая бригада, к ней присоединилась вторая, и обе вместе закончили работу. Сколько дней работали бригады вместе?
151. За 3,5 ч работы один штамповочный пресс может изготовить 42% всех заказанных деталей. Второй пресс за 9 ч работы может изготовить 60% всех деталей, а скорости выполнения работы на третьем и на втором прессах относятся как 6:5. За какое время будет выполнен весь заказ, если все три пресса будут работать одновременно?
152. Каждая из двух машинисток перепечатывала рукопись объемом 72 страницы. Первая машинистка перепечатывала 6 страниц за то же время, за которое вторая перепечатывала 5 страниц. Сколько страниц перепечатывала каждая машинистка в час, если первая закончила работу на 1,5 ч быстрее второй?
153. Две машинистки должны перепечатать рукопись, состоящую из трех глав, из которых первая вдвое короче второй и втрое длиннее третьей. Работая вместе, машинистки перепечатали первую главу за 3 ч 36 мин. Вторая глава была перепечатана за 8 ч, из которых 2 ч работала только первая машинистка, а остальное время они работали вместе. Какое время потребуется второй машинистке для того, чтобы одной перепечатать третью главу?
154. Ученик токаря вытачивает шахматные пешки для определенного числа комплектов шахмат. Он хочет научиться изготовлять ежедневно на 2 пешки больше, чем теперь; тогда такое же задание он выполнит на 10 дней быстрее. Если бы ему удалось научиться изготовлять ежедневно на 4 пешки больше, чем теперь, то срок выполнения такого же задания уменьшился бы на 16 дней. Сколько комплектов шахмат обеспечивает пешками этот токарь, если для каждого комплекта нужно 16 пешек?
155. Бригада слесарей может выполнить некоторое задание по обработке деталей на 15 ч скорее, чем бригада учеников. Если бригада учеников отработает 18 ч, выполняя это задание, а потом бригада слесарей продолжит выполнение задания в течение 6 ч, то и тогда будет выполнено только 0,6 всего задания. Сколько времени требуется бригаде учеников для самостоятельного выполнения данного задания?
156. Некоторое задание А выполняет в срок, на а дней больший, чем В, и на b дней больший, чем С. Работая вместе, А и В выполняют задание за столько же дней, что и С. Определить время, за которое каждый выполняет задание отдельно. При каком соотношении между заданными величинами задача имеет решение?
157. Бригада рабочих должна была изготовить 8000 одинаковых деталей в определенный срок. Фактически эта работа была окончена на 8 дней раньше срока, так как бригада делала ежедневно на 50 деталей больше, чем было намечено по плану. В какой срок должна была быть окончена работа и каков ежедневный процент перевыполнения плана?
158. Три машины разных систем выполняют некоторую счетную работу. Если всю работу поручить только одной второй или одной первой машине, то одна вторая машина затратит на выполнение всей работы на 2 мин больше, чем одна первая. Одна третья машина может выполнить всю работу за срок, вдвое больший, чем одна первая. Так хак части работы однотипны, то всю работу можно поделить между тремя
машинами. Тогда, работая вместе и закончив работу одновременно, они выполнят ее за 2 мин 40 с. За какое время может выполнить эту работу каждая машина, действуя отдельно? -
159. Чан наполняется двумя кранами А и В. Наполнение чана только через кран А длится на 22 мин дольше, чем через кран В. Если же открыть оба крана, то чан наполнится за 1 ч. За какой промежуток времени каждый кран отдельно может наполнить чан?
160. В одном бассейне имеется 200 м3 воды, а в другом — 112 м3. Открывают краны, через которые наполняются бассейны. Через сколько часов количество воды в бассейнах будет одинаковым, если во второй бассейн вливается в час на 22 м3 больше воды, чем в первый?
161. Через 1 ч после начала равномерного спуска воды в бассейне ее осталось 400 м3, а еще через 3 ч — 250 м3. Сколько воды было в бассейне?
162. В лабораторной установке некоторая жидкость поступает в сосуд через три входных крана. Если открыть все краны одновременно, то сосуд наполнится за 6 мин. Если же наполнять сосуд только через второй кран, то на это потребуется 0,75 того времени, за которое может наполниться сосуд только через один первый кран. Через один третий кран этот сосуд наполняется на 10 мин дольше, чем через один второй кран. На какое время надо открывать каждый кран в отдельности для наполнения сосуда?
163. Бассейн для плавания имеет три трубы разного сечения для отвода воды с помощью равномерно откачивающего насоса. Через первую и вторую трубы вместе при закрытой третьей трубе наполненный бассейн опорожняется за а мин, через первую и третью вместе при закрытой второй — за b мин, а через вторую и третью трубы при закрытой первой — за с мин. За какое время наполненный бассейн опорожняется через каждую трубу в отдельности?
Смеси, сплавы
164. Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с содержанием 75% воды?
165. Морская вода содержит 5% соли по массе: Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?
166. Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди?
167. Сплав меди с серебром содержит серебра на 1845 г больше, чем меди. Если бы к нему добавить некоторое количество чистого серебра, по массе равное 1/3 массы чистого серебра, первоначально содержавшегося в сплаве, то получился бы новый сплав, содержащий 83,5% серебра. Какова масса сплава и каково первоначальное процентное содержание в нем серебра?
168. В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5% железа, в оставшейся руде содержание железа повысилось на 20%. Какое количество железа осталось еще в руде?
169. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600 г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
170. Некоторое вещество впитывает влагу, увеличивая при этом свою массу. Чтобы впитать 1400 кг влаги, требуется взять нераздробленного вещества на 300 кг больше, чем раздробленного. Сколько процентов от массы вещества составляет масса впитанной влаги в случае раздробленного вещества и в случае нераздробленного, если во втором случае это число процентов на 105 меньше, чем в первом?
Группа Б
Отношения, проценты
171. Одна из трех бочек наполнена водой, а остальные пустые. Если вторую' бочку наполнить водой из первой бочки, то в первой останется 1/4 бывшей в ней воды. Если затем наполнить третью бочку из второй, то во второй останется 2/9 количества содержавшейся в ней воды. Если, наконец, из третьей бочки вылить воду в пустую первую, то для ее наполнения потребуется еще 50 ведер. Определить вместимость каждой бочки.
172. По трем сосудам распределено 24 л жидкости. Сначала из первого сосуда перелили в два другие столько, сколько было в каждом из них. Затем из второго перелили в два другие столько, сколько стало в каждом из них после первого переливания. Наконец, из третьего перелили в остальные столько, сколько стало в каждом из них после второго переливания. В результате в каждом сосуде оказалось одинаковое количество жидкости. Сколько жидкости было в каждом сосуде первоначально?
173. Объем вещества А составляет половину суммы объемов веществ В и С, а объем вещества В составляет 1/5 суммы объемов веществ А и С. Найти отношение объема вещества С к сумме объемов веществ А и В.
174. Инженер в первую неделю отпуска израсходовал несколько меньше, чем 3/5 количества взятых с собой денег; во вторую неделю 1/4 остатка и еще 3000 руб.; в третью неделю 2/5 нового остатка и еще 1200 руб., после чего осталось 6/35 от количества взятых денег. Известно также, что количество денег, оставшихся неизрасходованными к концу первой, второй и третьей недель, убывало в арифметической прогрессии. Сколько денег было израсходовано за три недели отпуска?
175. Найти четыре числа, образующих пропорцию, если известно, что сумма крайних членов равна 14, сумма средних членов равна 11, а сумма квадратов таких четырех чисел равна 221.
176. Было намечено разделить премию поровну между наиболее отличившимися сотрудниками предприятия. Однако выяснилось, что сотрудников, достойных премии, на три человека больше, чем предполагалось. В таком случае каждому пришлось бы получить на 40 000 руб. меньше. Профсоюз и администрация нашли возможность увеличить общую сумму премии - на 900 000 руб., в результате чего каждый премированный получил 250 000 руб. Сколько человек получили премию?
177. Известно, что разность переменных величин z и у пропорциональна величине х, а разность величин х и z пропорциональна величине у. Коэффициент пропорциональности одни и тот же и равен целому положительному числу к. Некоторое значение величины z в 5/3 раза
больше разности соответствующих значений х и у. Найти числовое значение коэффициента к. '
■ 3.178. Трое рабочих участвовали в конкурсе. Первый и третий из них произвели продукции в 2 раза больше, чем второй, а второй и третий — в 3 раза больше, чем первый. Какое место занял каждый рабочий в конкурсе? В каком отношении находятся количества выработанной ими продукции?
Население города ежегодно увеличивается на 1/50 наличного числа жителей. Через сколько лет население утроится?
Стрелку в тире были предложены следующие условия: каждое попадание в цель вознаграждается пятью жетонами, но за каждый промах отбирается три жетона. Стрелок был не очень метким. После последнего (л-го) выстрела у него не осталось ни одного жетона. Из скольких выстрелов состояла серия и сколько было удачных выстрелов, если 10<л<20?
Цистерну в течение 5 ч наполнили водой. При этом в каждый следующий час поступление воды в цистерну уменьшалось в одно и то же число раз по сравнению с предыдущим. Оказалось, что в первые четыре часа было налито воды вдвое больше, чем в последние четыре часа. Каков объем цистерны, если известно еще, что за первые два часа в нее было налито 48 м’ воды?
Бригада рыбаков планировала выловить в определенный срок 1800 ц рыбы. В течение 1/3 этого срока был шторм, вследствие чего плановое задание ежедневно недовыполнялось на 20 ц. Однако в остальные дни бригаде удавалось ежедневно вылавливать на 20 ц больше дневной нормы, и плановое задание было выполнено за один день до срока. Сколько центнеров рыбы планировалось вылавливать ежедневно?
Два рабочих были приняты на один и тот же срок выполнения сезонной работы с разной оплатой каждому за один день труда. Первый работал на а дней меньше срока и получил г руб., а второй проработал на а дней больше срока и получил 5 руб. Если бы первый работал столько дней, сколько второй, а второй столько дней, сколько первый, то они получили бы поровну. Определить установленный срок работы.
Два грузовых автомобиля должны были перевезти некоторый груз в течение 6 ч. Второй автомобиль задержался в гараже, и когда он прибыл на место погрузки, первый перевез уже 3/5 всего груза; остальную часть груза перевез второй автомобиль, и весь груз был перевезен таким образом за 12 ч. Сколько времени нужно было каждому автомобилю в отдельности для перевозки груза?
Из металла определенной марки изготовлено несколько шариков, равных по массе, для подшипников и несколько поршневых колец, также равных по массе. Если бы число, выражающее массу каждого шарика в граммах, было на 2 меньше числа сделанных колец, а число, выражающее массу каждого кольца в граммах, на 2 больше числа сделанных шариков, то число, выражающее их общую массу, превышало бы удвоенную разность числа колец и шариков на 800, а если бы число, выражающее массу каждого предмета в граммах, было равно числу Сделанных предметов того же рода, то общая их масса была бы равна 881 г. Сколько было сделано шариков и колец?
Три мальчика А, Би В условились, что при совместном путешествии на катере каждый побывает в должности капитана, причем величина времени пребывания каждого в этой должности будет пропорциональна числу очков, которые он получит, участвуя в географической викторине. В итоге А получил на 3 очка больше, чем Б, Б и В имеете
получили 15 очков. Число, выражающее 1/10 всего времени путешествия (в часах), на 25 больше числа очков, полученных мальчиками. Сколько времени были капитанами А и В, если Б исполнял эту обязанность 160 ч?
Для перевозки груза из одного места в другое было затребовано некоторое количество грузовиков одинаковой вместимости. Ввиду неисправности дороги на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполагалось, поэтому дополнительно были затребованы 4 такие же машины. Масса перевезенного груза была не менее 55 т, но не превосходила 64 т. Сколько тонн груза было перевезено на каждом грузовике?
Около дома посажены липы и березы, причем их общее количество более 14. Если количество лип увеличить вдвое, а количество берез на 18, то берез станет больше. Если же количество берез увеличить, не изменяя количества лип, то лип все равно будет больше. Сколько лип и сколько берез было посажено?
Школьник переклеивает все свои марки в новый альбом. Если он наклеит по 20 марок на один лист, то ему не хватит альбома, а если по 23 марки на лист, то по крайней мере один лист останется пустым. Если же школьнику подарить еще такой же альбом, на каждом листе которого наклеено по 21 марке, то всего у него станет 500 марок. Сколько листов в альбоме?
Х190. Уголь, привезенный на склад, предназначен для двух заводов. На первый завод начали доставлять уголь с 1-го июня по т т ежедневно, не исключая воскресений, на второй завод — с 8-го июня по л т ежедневно, не исключая воскресений. К концу дня 16-го июня на складе осталась половина первоначального количества угля. Какого числа был вывезен со склада весь уголь, если оба завода получили угля поровну?
Из молока, жирность которого составляет 5°/,, изготовляют творог жирностью 15,5%, при этом остается сыворотка жирностью 0,5%. Сколько творога получается из 1 т молока?
Мастер дает сеанс одновременной игры в шахматы на нескольких досках. К концу первых двух часов он выиграл 10% от числа всех играемых партий, а 8 противников свели вничью свои партии с мастером. За следующие два часа мастер выиграл 10% партий у оставшихся противников, 2 партии проиграл, а остальные 7 партий закончил вничью. На скольких досках шла игра?
Предприятие увеличивало объем выпускаемой продукции ежегодно на одно и то же число процентов. Найти это число, если известно, что за два года объем выпускаемой продукции возрос в 2 раза.
Первоначальная себестоимость единицы продукции была равна 500 руб. В течение первого года производства она повысилась на некоторое число процентов, а в течение второго года снизилась (по отношению к повышенной себестоимости) на такое же число процентов, в результате чего она стала равной 480 руб. Определить проценты повышения и снижения себестоимости единицы продукции.
На один продукт два раза была снижена цена, каждый раз на 15%. На другой продукт, имевший первоначально ту же цену, что и первый, снизили цену один раз на х%. Каким должно быть число х, чтобы после всех указанных снижений оба продукта снова имели одну и ту же цену?
Для изготовления пшеничного хлеба взято столько килограммов муки, сколько процентов составляет припек на эту муку. Для изготовления ржаного хлеба взято на 10 кг муки больше, г. е. столько
килограммов, сколько процентов составляет припек на ржаную муку. Сколько килограммов взято той и другой муки, если всего выпечено 112,5 кг хлеба?
Геометрические и физические задачи
Согнутые из проволоки окружность и прямоугольник прилажены так, что окружность проходит через две вершины А и В и касается стороны CD (рис. 3.5). Найти отношение сторон прямоугольника, если известно, что его периметр в 4 раза больше радиуса окружности.
В плоское кольцо, образованное двумя концентрическими окружностями, вложено семь равных соприкасающихся дисков (рис. 3.6). Площадь кольца равна сумме площадей всех семи дисков. Доказать, что ширина кольца равна радиусу одного диска.
Два шарика помещены в цилиндрическую банку, диаметр которой 22 см (рис. 3.7). Если влить в банку 5 л воды, то покроются ли полностью водой оба шарика, диаметры которых 10 и 14 см?
Квадрат и равносторонний треугольник заполнены одинаковым количеством равных кругов, касающихся друг друга и сторон этих фигур. Сколько кругов для этого потребуется, если к стороне треугольника примыкает на 14 кругов больше, чем к стороне квадрата (рис. 3.8)?
Прибор, применяемый для определения диаметра крупной детали (D>2 м), указывает высоту Н сегмента, отсекаемого плоскостью, касательной к шаровым опорам прибора, при постоянном расстоянии 2L между центрами опорных шариков прибора (рис. 3.9). Требуется выразить формулой соответствие между искомым диаметром D детали и измеряемой высотой Н ее сегмента при постоянных L и d, где d — диаметр каждого из опорных шариков.
По внутренней области угла 60° прямолинейно движется материальная точка. Выйдя из вершины этого угла, она через некоторый
Рис. 3.7рис. 3.8Рис. 3.9Рис. 3.7рис. 3.8Рис. 3.9
Рис. 3.7рис. 3.8Рис. 3.9
Рис. 3.7рис. 3.8Рис. 3.9
промежуток времени оказалась на расстоянии а от одной стороны угла и на расстоянии b от другой стороны. Далее она изменила направление движения и по кратчайшему пути просто упала на ту сторону, к которой она была ближе. Найта длину пути, пройденного точкой, если а<Ь.
Сооружается участок железнодорожной насыпи длиной 100 м, поперечным сечением которого является равнобедренная трапеция с нижним основанием 5 м, верхним основанием, не меньшим 2 м, и углом откоса 45°. Какую высоту А должна иметь эта насыпь, чтобы объем земляных работ составил не менее 400 м3, но не более 500 м3?
В некотором механизме три шестеренки разных диаметров связаны между собой так, что ббльшая из них касается обеих меньших, причем все три шестеренки вместе имеют 60 зубцов. Когда ббльшая шестеренка до полных четырех оборотов не доходит на 20 зубцов, вторая и третья делают соответственно 5 и 10 полных оборотов. Сколько зубцов имеет каждая шестеренка в отдельности?
Два колеса соединены бесконечным ремнем; меньшее из них делает на 300 оборотов в минуту больше второго. Большое колесо совершает 10 оборотов в промежуток времени, на 1 с больший, чем время такого же числа оборотов меньшего колеса. Сколько оборотов в минуту совершает каждое колесо? ■
Две сцепляющиеся шестерни А и В насажены плотно: первая — на вал Оь а вторая — на вал Ог. Шестерня А имеет на 10 зубцов больше, чем В. При некоторой скорости вращения вала О] вал О2 совершает 63 оборота в минуту. Если шестерни поменять местами, то при той же скорости вала О\ вал О2 совершит 28 оборотов. Определить число зубцов каждой шестерни.
Два зубчатых колеса находятся в сцеплении. Колесо А имеет 12 зубьев, а колесо В — 54. Сколько оборотов сделает каждое колесо до того, как оба они вернутся в исходное положение?
Модули двух сил, действующих на материальную точку под прямым углом, и модуль их равнодействующей составляют арифметическую прогрессию. Определить, в хаком отношении находятся модули аил. •
Нужно было взять несколько литров жидкости при температуре а и другое количество лигров той же жидкости при температуре Ь, чтобы получить температуру смеси с. Однако второй жидкости было взято столько, сколько предполагалось взять первой, и наоборот. Какая температура смеси получилась?
3^10. Спортсмен стреляет в мишень, отстоящую от него на d м. Наблюдатель, находящийся на расстоянии а м от стрелка и b м от мишени, слышит одновременно звук выстрела и звук удара пули в мишень. Найти скорость пули, если скорость звука равна v м/с.
3^11. Известно, что свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Если два тела начали падать с одной высоты спустя 5 с одно после другого, то через какое время они будут друг ог фуга на расстоянии 220,5 м?
Мяч падает с высоты 2 м 43 см и, ударяясь о землю, отскакивает вновь, поднимаясь всякий раз на 2/3 высоты, с которой он в очередной раз падает. После скольких ударов мяч поднимется на высоту 32 см?
Мяч катится перпендикулярно боковой линии футбольного
поля. Предположим, что, двигаясь равномерно замедленно, мяч прокатился в первую секунду 4 м, а в следующую секунду на 0,75 м меньше. Футболист, находящийся первоначально в 10 м от мяча, побежал в направлении движения мяча, чтобы догнать его. Двигаясь равномерно ускоренно, футболист пробежал в первую секунду 3,5 м, а в следующую секунду на 0,5 м больше. За какое время футболист догонит мяч и успеет ли он сделать это до выхода мяча за боковую линию, если к линии поля футболисту надо пробежать 23 м?
Торгово-денежные отношения -
Имеются два одинаковых куска разных тканей. Стоимость всего первого куска на 12 600 руб. больше стоимости второго. Стоимость четырех метров ткани из первого куска на 13 500 руб. превышает стоимость трех метров ткани из второго куска. Покупательница приобрела 3 м ткани из первого куска и 4 м ткани из второго куска и заплатила за все 38 250 руб. Сколько метров ткани было в каждом из этих кусков? Какова стоимость одного метра ткани каждого куска?
В ателье поступило по одному куску черной, зеленой и синей ткани. Хотя зеленой ткани было на 9 м меньше, чем черной, и на 6 м больше, чем синей, стоимость кусков была одинаковой. Известно также, что стоимость 4,5 м черной ткани равна стоимости 3 м зеленой и 0,5 м синей вместе. Сколько метров ткани было в каждом куске?
Красный карандаш стоит 27 руб., синий — 23 руб. На покупку карандашей можно затратить не более 940 руб. Необходимо закупить максимально возможное суммарное количество красных и синих карандашей. При этом красных карандашей нужно закупить как можно меньше, но число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей более, чем на 10. Сколько красных и сколько синих карандашей следует закупить при указанных условиях?
Несколько студентов решили купить импортный магнитофон ценой от 170 до 195 долларов. Однако в последний момент двое отказались участвовать в покупке, поэтому каждому из оставшихся пришлось внести на 1 доллар больше. Сколько стоил магнитофон?
Соотношения между натуральными числами
Какое двузначное число меньше суммы квадратов его цифр на Ни больше их удвоенного произведения на 5?
Сумма двух трехзначных чисел, написанных одинаковыми цифрами, но в обратном порядке друг относительно друга, равна 1252. Найти эти числа, если сумма цифр каждого из них равна 14, а сумма квадратов цифр равна 84. ,
Цифры некоторого трехзначиого числа составляют геометрическую прогрессию. Если в этом числе поменять местами цифры сотен и единиц, то новое трехзначное число будет на 594 меньше искомого. Если же в искомом числе зачеркнуть цифру сотен и в полученном двузначном числе переставить его цифры, то новое двузначное число будет на 18 меньше числа, выраженного двумя последними цифрами искомого числа. Найти это число. -
Найти трехзначное число, цифры которого образуют геометрическую прогрессию, если известно, что после его уменьшения на 495 получается число, записанное такими же цифрами, какими записано
искомое число, но расположенными в обратном порядке; если цифры числа, получившегося после вычитания, уменьшить (слева направо) соответственно на 1, на 1 и на 2, то получится арифметическая прогрессия.
Имеются три положительных двузначных числа, обладающих следующим свойством: каждое число равно неполному квадрату суммы своих цифр. Требуется найти два из них, зная, что второе число на 50 единиц больше первого.
При умножении двух положительных чисел, из которых одно на 75 больше другого, по ошибке получилось произведение на 1000 меньше истинного. Вследствие этого, деля (при проверке) ошибочное произведение на меньший из множителей, получили в частном 227 и в остатке 113. Найти оба числа.
При умножении двух чисел, из которых одно на 10 больше другого, ученик допустил ошибку, уменьшив цифру десятков произведения на 4. При делении полученного произведения на меньший множитель для проверки ответа он получил в частном 39, а в остатке 22. Найти множители.
Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится Зив остатке 8. Если число, составленное из тех же цифр, но записанных в обратном порядке, разделить на произведение цифр, то в частном получится 2, а в остатке 5. Найти это число.
Результат умножения двух положительных чисел, полученный вычислителем, показался ему сомнительным. Для проверки он решил разделить результат на больший сомножитель. В частном получилось 17 и в остатке 8. Тогда вычислитель понял свою ошибку: оказалось, что цифра десятков, записанная им в произведении, больше истинной цифры десятков на 6. Какие числа перемножал вычислитель, если известно, что их разность равна 36?
Задумано целое положительное число. К его цифровой записи приписали справа какую-то цифру. Из получившегося нового числа вычли квадрат задуманного числа. Разность оказалась в 8 раз больше задуманного числа. Какое число задумано и какая цифра была приписана?
К цифровой записи некоторого задуманного двузначного числа приписали справа это же число и из полученного таким образом числа вычли квадрат задуманного числа. Разность разделили на 4% от квадрата задуманного числа; в частном получили половину задуманного числа, а в остатке — задуманное число. Какое число задумано?
К цифровой записи некоторого задуманного положительного числа приписали справа еще какое-то положительное однозначное число и из полученного таким образом нового числа вычли квадрат задуманного числа. Эта разность оказалась больше задуманного числа во столько раз, сколько составляет дополнение приписанного числа до 11. Доказать, что так будет получаться тогда и только тогда, когда приписанное число равно задуманному.
Найти два двузначных числа А и В по следующим условиям. Если число А написать впереди записи числа В и полученное четырехзначное число разделить на число В, то в частном получится 121. Если же число В написать впереди числа А и полученное четырехзначное число разделить на Л, то в частном получится 84 и в остатке 14.
Найти два числа по следующим условиям: сумма их равна 1244; если в конце обозначения первого числа приписать цифру 3, а в конце обозначения второго числа отбросить цифру 2, то получатся два равных числа.
Запись шестизначного числа начинается цифрой 2. Если эту цифру перенести с первого места на последнее, сохранив порядок остальных пяти цифр, то вновь полученное число будет втрое больше первоначального. Найти первоначальное число.
Найти два двузначных числа, обладающих следующим свойством: если к большему искомому числу приписать справа нуль и за ним меньшее число, а к меньшему числу приписать справа большее число и затем нуль, то из полученных таким образом двух пятизначных чисел первое, будучи разделено на второе, дает в частном 2 и в остатке 590. Кроме того, известно, что сумма, составленная из удвоенного большего искомого числа и утроенного меньшего, равна 72.
Основание степени увеличили в к раз, а показатель степени уменьшили во столько же раз, в результате чего сама степень не изменилась. Найти основание степени, обладающей таким свойством.
Знаменатель дроби меньше квадрата ее числителя на 1. Если к числителю и знаменателю прибавить по 2, то значение дроби будет больше 1/4; если от числителя и знаменателя первоначальной дроби отнять по 3, то значение дроби будет равно 1/12. Найти эту дробь.
Движение: путь, скорость, время
Путь от А до В пассажирский поезд проходит на 3 ч 12 мин быстрее товарного. За то время, что товарный поезд проходит путь от А до В, пассажирский проходит на 288 км больше. Если скорость каждого увеличить на 10 км/ч, то пассажирский пройдет от А до В на 2 ч 24 мин быстрее товарного. Определить расстояние от А до В.
Два спортсмена начинают бег одновременно — первый из А в В, второй из В в А. Они бегут с неодинаковыми, но постоянными скоростями и встречаются на расстоянии 300 м от А. Пробежав дорожку АВ до конца, каждый из них тотчас поворачивает назад и встречает другого на расстоянии 400 м от В. Найти длину АВ. '
Два мотоциклиста отправляются одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми равно 600 км. В то время как первый проходит 250 км, второй проходит 200 км. Найти скорости движения мотоциклистов, считая их движения равномерными, если первый мотоциклист приходит в В на 3 ч раньше, чем второй в А.
Из пунктов А и С в пункт В выехали одновременно два всадника и, несмотря на то, что С отстоял от В на 20 км дальше, чем А от В, прибыли в В одновременно. Найти расстояние от С до В, если всадник, выехавший из С, проезжал каждый километр на 1 мин 15 с скорее, чем всадник, выехавший из А, который приехал в В через 5 ч.
Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 2400 км, навстречу друг другу выходят одновременно пассажирский и скорый поезда. Каждый из них идет с постоянной скоростью, и в некоторый момент времени они встречаются. Если бы оба поезда шли со скоростью скорого поезда, то их встреча произошла бы на 3 ч раньше фактического момента встречи. Если бы оба поезда шли со скоростью пассажирского поезда, то их встреча произошла бы на 5 ч позже фактического момента встречи. Найти скорости поездов.
Один турист вышел в 6 ч, а второй — навстречу ему в 7 ч. Они встретились в 8 ч и, не останавливаясь, продолжили путь. Сколько времени затратил каждый из них на весь путь, если первый пришел в то
место, из которого вышел второй, иа 28 мин позже, чем второй пришел в то место, откуда вышел первый? Считается, что каждый шел без остановок с постоянной скоростью.
Расстояние между станциями А и В равно 360 км. В одно и то же время из А и из В навстречу друг другу выходят два поезда. Поезд, вышедший из А, прибывает на станцию В не ранее чем через 5 ч. Если бы его скорость была в 1,5 раза больше, чем на самом деле, то он встретил бы второй поезд раньше, чем через 2 ч после своего выхода из А. Скорость какого поезда больше?
Автомобиль, пройдя путь от А до В, равный 300 км, повернул назад и через 1 ч 12 мин после выхода из В увеличил скорость на 16 км/ч. В результате на обратный путь он затратил на 48 мин меньше, чем на путь от А до В. Найти первоначальную скорость автомобиля.
Велосипедист проехал 96 км на 2 ч быстрее, чем предполагал. При этом за каждый час он проезжал на 1 км больше, чем предполагал проезжать за 1 ч 15 мин. С какой скоростью он ехал?
По шоссе от завода С до станции В железной дороги на 28 км дальше, чем до станции А той же дороги. Расстояние от А до В через С на 2 км больше, чем длина участка АВ железной дороги. Доставка тонны груза из С в А стоит 130 тыс. руб., а по железной дороге из А в В — 260 тыс. руб. Перевозка тонны груза на 1 км автотранспортом стоит на 32 тыс. руб. дороже, чем по железной дороге. Определить расстояния А С, ВС, АВ.
Учебный самолет летел со скоростью 220 км/ч. Когда ему осталось пролететь на 385 км меньше, чем он пролетел, самолет увеличил скорость до 330 км/ч. Средняя скорость на всем пути оказалась равной 250 км/ч. Какое расстояние пролетел самолет?
Юноша возвращался домой из отпуска на велосипеде. Сначала на несколько километров пути он потратил на один день больше половины числа дней, оставшихся после этого до конца отпуска. Теперь у юноши две возможности проехать остальной путь так, чтобы прибыть домой точно к сроку: проезжать ежедневно на А км больше, чем первоначально, или сохранить прежнюю норму ежедневного пути, превысив ее лишь один раз — в последний день пути — на 2Л км. За сколько дней до конца отпуска отправился юноша домой?
В заезде на одну и ту же дистанцию участвовали два автомобиля и мотоцикл. Второму автомобилю на всю дистанцию потребовалось на 1 мин больше, чем первому. Первый автомобиль двигался в 4 раза быстрее мотоцикла. Какую часть дистанции в минуту проходил второй автомобиль, если он проходил в минуту на 1/6 дистанции больше, чем мотоцикл, а мотоцикл прошел дистанцию меньше, чем за 10 мин?
От пункта А вдоль шоссе удаляется гонщик, поддерживающий все время постоянную скорость а км/ч. Спустя 30 мин из того же пункта стартовал второй гонщик с постоянной скоростью 1,25а км/ч. Через сколько минут после старта первого гонщика был отправлен из того же пункта третий гонщик, если известно, что он развил скорость 1,5а км/ч и одновременно со вторым гонщиком догнал первого?
В полдень из пункта А в пункт В вышел пешеход и выехал велосипедист, и в полдень же из В в А выехал верховой. Все трое отправились в путь одновременно. Через 2 ч велосипедист и верховой встретились на расстоянии 3 км от середины АВ, а еще через 48 мин встретились пешеход и верховой. Определить скорость каждого и рас-
стояние АВ, если известно, что пешеход движется вдвое медленнее велосипедиста.
С одного старта в одном и том же направлении одновременно начали гонки два мотоциклиста: один со скоростью 80 км/ч, другой — со. скоростью 60 км/ч. Через полчаса с того же старта и в том же направлении отправился третий гонщик. Найти его скорость, если известно, что он догнал первого гонщика на 1 ч 15 мин позже, чем второго.
Два велосипедиста стартовали одновременно из одного и того же места в одном направлении. Следом за ними, через 10 мин с того же места начал путь третий велосипедист. Сначала он обогнал первого велосипедиста, после чего находился в пути еще 20 мин, пока догнал второго. Начиная от самого старта и до конца пути каждый велосипедист шел с постоянной скоростью: а км/ч — первый велосипедист, b км/ч — второй. Найти скорость третьего велосипедиста.
Дорога от почты А до поселка В идет сначала в гору на протяжении 2 км, потом по ровному месту 4 км и затем под гору 3 км. Почтальон проходит от А до В за 2 ч 16 мин, а обратно — за 2 ч 24 мин. Если бы конечный пункт его пути был расположен по той же дороге, но вдвое ближе к А, то на весь путь туда и обратно почтальону было бы достаточно 2 ч 19 мин. Сколько километров в час проходит почтальон, когда он идет: а) в гору; б) по ровному месту; в) под гору?
Расстояние между городом А и станцией Fno железной дороге равно 185 км. Пригородный электропоезд идет от А первые 40 км в гору, следующие 105 км по ровному месту и остальные 40 км снова в гору. В гору поезд идет на 10 км/ч медленнее, чем по ровному месту. На этом пути имеются станции В, С, D и Е на расстояниях 20, 70, 100 и 161 км от А, и на каждой из них поезд стоит 3 мин. Найти время прихода поезда в В, С, D и Е, если известно, что он вышел из А в 8 ч и пришел в Г в 10 ч 22 мин того же дня.
Юноша пошел к железнодорожной станции, до которой от его дома было 10,5 км. Через полчаса из того же дома вслед за юношей по той же дороге вышел его брат, который, идя со скоростью 4 км/ч, догнал юношу, передал ему забытую им вещь, тут же повернул обратно и пошел с прежней скоростью. С какой скоростью шел юноша, если известно, что шел он всю дорогу равномерно, а его брат вернулся домой в тот момент, когда юноша подошел к станции?
Турист возвращался из отпуска на велосипеде. На первом участке пути, составляющем 246 км, он проезжал в среднем за каждый день на 15 км меньше, чем проезжал за каждый день на последнем участке пути, составляющем 276 км. Он прибыл домой точно в срок — к концу последнего дня отпуска. Известно также, что на преодоление первого участка пути ему потребовалось на один день больше половины числа дней, оставшихся после этого до конца отпуска. За сколько дней до конца отпуска отправился турист домой?
Расстояние между пунктами А и В равно 308 м. Из А по направлению к В движется точка, которая в первую секунду проходит 15 м, а в каждую следующую секунду на 1 м меньше. Из В в противоположном направлении движется точка, которая в первую секунду проходит 20 м, а в каждую следующую на 3 м больше. На каком расстоянии от А произойдет встреча, если точка, вышедшая из В, начала двигаться на 3 с позже точки, вышедшей из пункта А1
Пункт С расположен в 12 км от пункта В вниз по течению. Рыбак отправился на лодке в пункт С из пункта А, расположенного выше пункта В. Через 4 ч он прибыл в С, а на обратный путь затратил
6 ч. В другой раз рыбак воспользовался моторной лодкой, увеличив тем самым собственную скорость передвижения относительно воды втрое, и дошел от А до В за 45 мин. Требуется определить скорость течения, считая ее постоянной. z
На реке, скорость течения которой 5 км/ч, в направлении ее течения расположены пристани А, В и С, причем В находится посередине между А и С. От пристани В одновременно отходят плот, который движется по течению к пристани С, и катер, который идет к пристани А, причем скорость катера в стоячей воде равна v км/ч. Дойдя до пристани А, катер разворачивается и движется по направлению к пристани С. Найти все те значения v, при которых катер приходит в С позже, чем плот.
Пассажир поезда знает, что на данном участке пути скорость этого поезда равна 40 км/ч. Как только мимо окна начал проходить встречный поезд, пассажир пустил секундомер и заметил, что встречный поезд проходил мимо окна в течение 3 с. Определить скорость встречного поезда, если известно, что его длина 75 м.
Найти скорость и длину поезда, зная, что он проходил с постоянной скоростью мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 с и затратил 25 с на то, чтобы пройти с той же скоростью вдоль платформы длиной 378 м.
Два контрольных пункта делят лыжную трассу на три участка одинаковой длины. Известно, что путь, состоящий из первого и второго участков вместе, лыжник прошел со средней скоростью а м/мин; путь, состоящий из второго и третьего участков вместе, он прошел со средней скоростью b м/мин. Средняя скорость лыжника на втором участке была такой же, как средняя скорость для первого и третьего участков вместе. Какова средняя скорость лыжника по всей трассе в целом и на каждом участке этой трассы в отдельности? Провести анализ условий существования реального решения задачи.
Три пловца должны проплыть в бассейне дорожку длиной 50 м, немедленно повернуть обратно и вернуться к месту старта. Сначала стартует первый, через 5 с — второй, еще через 5 с — третий. В некоторый момент времени, еще не достигнув конца дорожки, пловцы оказались на одном расстоянии от старта. Третий пловец, доплыв до конца дорожки и повернув назад, встретил второго в 4 м от конца дорожки, а первого — в 7 м от конца дорожки. Найти скорость третьего пловца.
Из А в В через равные промежутки времени отправляются три автомашины. Они прибывают в В одновременно, затем выезжают в пункт С, находящийся на расстоянии 120 км от В. Первая машина прибывает туда через час после второй. Третья машина, прибыв в С, сразу поворачивает обратно и в 40 км от С встречает первую машину. Определить скорость первой машины, считая, что по всей трассе скорость каждой машины была неизменной.
Два автомобилиста встретились на полпути между городами А и В. При встрече выяснилось, что первый из А выехал раньше, чем второй из В, на столько часов, сколько составит половина того времени (также в часах), которое прошло бы до их встречи при одновременном выезде из тех же пунктов, по той же дороге, с теми же скоростями, постоянными на всем пути. Во сколько раз второй автомобилист ехал быстрее первого? .
Навстречу движущемуся трамваю шла девушка — знакомая юноши, сидевшего у окна трамвая. Через 8 с после того, как она поравнялась с окном, юноша вышел из трамвая и пошел следом за ней. Сколько прошло времени с этого момента до того, как он догнал
девушку? Скорость юноши в 2 раза больше скорости девушки и в 5 раз меньше скорости трамвая.
Два судна движутся прямолинейно и равномерно в один и тот же порт. В начальный момент времени положения судов и порта образуют равносторонний треугольник, а после того как второе судно прошло 80 км — прямоугольный треугольник. В момент прибытия первого судна в порт второму остается пройти 120 км. Найти расстояние между судами в начальный момент времени.
Расстояние между станциями А и В равно 103 км. Из А в В вышел поезд и, пройдя некоторое расстояние, был задержан, а потому оставшийся до В путь проходил со скоростью, на 4 км/ч большей, чем прежняя. Найти первоначальную скорость поезда, если известно, что оставшийся до В путь был на 23 км длиннее пути, пройденного до задержки, и на прохождение пути после задержки было затрачено на 15 мин больше, чем на прохождение пути до задержки.
Пароход через 2 ч после отправления от пристани А останавливается на 1 ч и затем продолжает путь со скоростью, равной 0,8 первоначальной, вследствие чего опаздывает к пристани В на 3,5 ч. Если бы остановка произошла на 180 км дальше, то при тех же остальных условиях пароход опоздал бы в В на 1,5 ч. Найти расстояние АВ.
Для того чтобы подняться на обычном лифте на последний этаж восьмиэтажного дома (высота 33 м) при двух 6-секундных промежуточных остановках, нужно затратить столько же времени, сколько его потребуется, чтобы подняться на лифте высотного здания при одной 7-секундной промежуточной остановке на 20-й этаж (высота 81 м). Определить подъемную скорость лифта в высотном здании, зная, что она превышает скорость обычного лифта на 1,5 м/с, но не достигает 5 м/с.
В Одессу должны прибыть два теплохода с разрывом в 1 ч. Оба теплохода идут с одинаковой скоростью, но обстоятельства сложились так, что первый теплоход опоздал бы на ц мин, а второй на /2 мин. Получив по радио указание о необходимости прибыть без опоздания, оба капитана одновременно увеличили скорости теплоходов: первый — на V! км/ч, второй — на v2 км/ч, в результате чего оба теплохода прибыли в Одессу точно по расписанию. С какой скоростью шли теплоходы до получения сигнала по радио?
По графику поезд проходит перегон в 120 км с одной и той же скоростью. Вчера поезд прошел половину перегона с этой скоростью и вынужден был остановиться на 5 мин. Чтобы вовремя прибыть в конечный пункт перегона, машинисту на второй половине перегона пришлось увеличить скорость поезда на 10 км/ч. Сегодня повторилась остановка поезда на середине того же перегона, только задержка продолжалась 9 мин. С какой скоростью машинист вел поезд сегодня на второй половине перегона, если в конечный пункт этого перегона поезд снова прибыл по расписанию?
Из двух пунктов, расстояние между которыми 28 км, одновременно вышли навстречу друг другу два пешехода. Если бы первый не задержался на 1 ч на расстоянии 9 км от места своего отправления, то встреча пешеходов произошла бы на полпути. После остановки первый пешеход увеличил скорость на 1 км/ч и встреча произошла на расстоянии 4 км от того места, где задержался первый. Найти скорости пешеходов.
На участке шоссе протяженностью 10 км, лишенном перекре-
стков, автобус останавливается только для входа и выхода пассажиров. Всего он делает 6 промежуточных остановок, затрачивая на каждую из них по 1 мин, а движется всегда с одной и той же скоростью. Если бы автобус двигался без остановок, то тот же путь он прошел бы со скоростью, превышающей среднюю скорость своего движения с остановками на 5 хм/ч. Сколько минут автобус находится в движении на этом участке шоссе?
Через 2 ч после отправления поезд остановился на 30 мин. На оставшемся до станции участке пути производились ремонтные работы и поезду была разрешена скорость, составляющая 1/3 первоначальной скорости, вследствие чего поезд пришел на станцию с опозданием на 1 ч 10 мин. На другой день остановка поезда произошла на 14 км ближе к конечной станции и при тех же условиях опоздание сократилось до 50 мин. Определить расстояние между станциями и скорость поезда.
Длина круговой дорожки ипподрома равна b км. Из двух наездников А и В, начавших скачки одновременно, наездник А прибыл к финишу на 2 мин раньше. В другой раз наездник В увеличил скорость на с км/ч, в то время как наездник А уменьшил скорость на с км/ч и потому В прибыл к финишу на 2 мин раньше, чем А. Найти скорости наездников в первом заезде.
Два спортсмена бегают по одной замкнутой дорожке стадиона. Скорость каждого постоянна, но на пробег всей дорожки первый тратит на 10 с меньше, чем второй. Если они начнут пробег с общего старта в одном направлении, то еще раз сойдутся через 720 с. Какую часть длины всей дорожки пробегает в секунду каждый бегун?
По двум концентрическим окружностям равномерно вращаются две точки. Одна из них совершает полный оборот на 5 с быстрее, чем другая, и поэтому успевает сделать на два оборота в минуту больше. Пусть в начале движения лучи, направленные из центра окружности к этим точкам, сливались. Вычислить величину угла между лучами через 1 с.
Меньшая дуга между точками А и В, находящимися на окружности, равна 150 м. Если точки начнут двигаться навстречу друг другу по меньшей дуге, то встретятся через 10 с, а если по большей дуге, то встреча произойдет через 14 с. Определить скорости движения точек н длину окружности, если известно, что точка А может обежать всю окружность в то время, как В пройдет только 90 м.
Часовая и минутная стрелки совпадают в полночь, и начинается новый день. В котором часу этого нового дня впервые снова совпадут часовая и минутная стрелки, если допустить, что стрелки часов движутся без скачков?
Предполагая, что стрелки часов движутся без скачков, установить, через сколько минут после того, как часы показывали 8 ч, минутная стрелка догонит часовую.
От станции железной дороги до пляжа 4,5 км. Мальчик и рейсовый автобус одновременно отправились от станции к пляжу. Через 15 мин мальчик встретил автобус, возвращающийся от пляжа, и успел пройти еще 9/28 км от места первой встречи с автобусом, как его догнал тот же автобус, который дошел до станции и опять отправился к пляжу. Найти скорости мальчика и автобуса, считая, что они постоянны и ни мальчик, ни автобус в пути не останавливались, ио у пляжа и на станции автобус делал остановки продолжительностью в 4 мин каждая.
На пристани с теплохода сошли два пассажира и направились в один и тот же поселок. Один из них первую половину пути шел со
скоростью 5 км/ч, а вторую половину — со скоростью 4 км/ч. Другой шел первую половину времени со скоростью 5 км/ч, а вторую половину — со скоростью 4 км/ч и пришел в поселок на 1 мин раньше первого. За какое время каждый из них прошел весь путь и каково расстояние между пристанью и поселком?
Дежурный монтер спустился по движущемуся вниз эскалатору метро. Весь'его путь от верхней площадки до нижней продолжался 24 с. Затем он поднялся и в том же темпе снова спустился вниз, но теперь уже по неподвижному эскалатору. Известно, что спуск продолжался 42 с. За сколько секунд спустился бы человек по движущемуся вниз эскалатору, стоя на ступеньке?
Велосипедист отправляется из А в В. Расстояние от Л до В равно 60 км; скорость велосипедиста постоянна. Затем он едет обратно с той же скоростью, но через час после выезда из В делает остановку на 20 мин. После этого он продолжает путь, увеличив скорость на 4 км/ч. В каких границах заключена скорость v велосипедиста, если известно, что на обратный путь от В до А он потратил не больше времени, чем на путь от А до ЕР.
Работа '
Обычно к выполнению некоторого задания привлекаются одновременно два механизма. Производительность этих механизмов не одинакова и при совместном действии задание выполняется ими за 30 ч. Однажды совместная работа двух мехаанизмов продолжалась только 6 ч, после чего первый механизм был остановлен и всю остальную часть задания выполнил второй механизм за 40 ч. За какое время такое же задание может выполнить каждый механизм, работая отдельно с присущей ему производительностью?
Можно изготовить 9000 деталей на нескольких новых станках одинаковой конструкции и одном станке старой конструкции, работающем вдвое медленнее каждого из новых станков. Можно н зигот старый станок заменить новым станком той же конструкции, что и остальные. Тогда по второму варианту на каждом станке изготовлялось бы на 200 деталей меньше, чем на одном новом станке по первому варианту. Сколько было работающих станков?
Некоторый заказ выполняют в мастерской № 1 на 3,6 ч дольше, чем в мастерской № 2, и на 10 ч дольше, чем в мастерской № 3. Если при тех же условиях работы мастерские № 1 и № 2 объединятся для выполнения заказа, то срок его выполнения окажется таким же, как в одной мастерской № 3. На сколько часов больше или меньше одного семичасового рабочего дня длится выполнение указанного заказа в мастерской № 3?
Рукопись в 80 страниц отдана двум машинисткам. Если первая мяпшнйстка начнет перепечатывать рукопись через 3 ч после второй, то каждая из них перепечатает по половине рукописи. Если же обе мятиннстки начнут работать одновременно, то через 5 ч останутся неперепечатанными 15 страниц. За какое время может перепечатать рукопись каждая машинистка в отдельности?
Двум рабочим было поручено задание, второй рабочий приступил к нему на 1 ч позже первого. Через 3 ч после того, как первый приступил к заданию, им осталось выполнить 9/20 всего задания. По окончании работы выяснилось, что каждый выполнил половину всего
задания. За сколько часов каждый, работая отдельно, может выполнить все задание?
Два цеха молокозавода совместно должны обработать поровну определенное количество литров молока. Второй цех приступил к выполнению задания на а рабочих дней позже, но обрабатывал ежедневно на т л молока больше, чем первый. Прошло еще 5а/9 рабочих дней от начала совместной работы этих цехов и осталась невыполненной 1/3 всего задания. Сколько рабочих дней потребовалось для выполнения задания, если работа была окончена одновременно и каждый цех обработал половину заданного количества литров молока?
Если выполнение заказа по набору нескольких книг возложить на одного из трех наборщиков, то первый справится с работой на 10 ч быстрее, а третий — на 6 ч быстрее, чем второй. Если же одну из заказанных книг будет набирать первый наборщик, а другую книгу одновременно будет набирать второй, то за 9 ч они наберут столько страниц, сколько за 10 ч наберут второй и третий, работая вместе при тех же условиях. Сколько времени потребуется каждому наборщику для набора всех заказанных книг при раздельной работе?
Два «механических крота» разной мощности при одновременной работе с разных концов тоннеля могли бы прорыть его за 5 дней. В действительности же оба «крота» были применены последовательно с одной стороны тоннеля, причем первый прорыл 1/3, а второй — остальные 2/3 его длины. На выполнение всей работы ушло при этом 10 дней. За сколько дней каждый «крот», работая самостоятельно, мог бы прорыть тоннель?
Двум рабочим было поручено изготовить партию одинаковых деталей; после того как первый проработал а ч, а второй 0,6а ч, оказалось, что они выполнили 5/л всей работы. Проработав совместно еще 0,6а ч, они установили, что им осталось изготовить еще 1/п всей партии деталей. За сколько часов каждый из них, работая отдельно, выполнит всю работу? Число л натуральное; найти его.
При разгрузке баржи сначала 2 ч дейст вовали четыре подъемных крана одинаковой мощности. Затем добавочно ввели в действие еще два крана меньшей, но одинаковой мощности. После этого для окончания разгрузки потребовалось еще 3 ч. Если бы все эти краны начали работать одновременно, то разгрузка была бы произведена за 4,5 ч. Если бы один кран большей и один кран меньшей мощности работали совместно, то за какое время они разгрузили бы баржу?
Два экскаваторщика должны выполнить некоторое задание. После того как первый проработал 15 ч, начинает работать второй и заканчивает это задание за 10 ч. Если он при раздельной работе первый выполнил 1/6, а второй — 1/4 всего задания, то для его окончания потребовалось бы еще 7 ч их совместной работы. За сколько часов может выполнить задание каждый экскаваторщик в отдельности?
В бассейн проведены две трубы разного сечения. Одна — равномерно подающая, другая — равномерно отводящая воду, причем через первую бассейн наполняется на 2 ч дольше, чем через вторую опорожняется. При заполненном иа 1/3 бассейне были открыты обе трубы, и бассейн оказался пустым спустя 8 ч. За сколько часов, действуя отдельно, первая труба наполняет, а вторая опорожняет бассейн?
Два одинаковых бассейна одновременно начали наполняться водой. В первый бассейн поступает в час на 30 м3 больше воды, чем во второй. В некоторый момент в двух бассейнах вместе оказалось столько воды, сколько составляет объем каждого из них. После этого через 2 ч
40 мин наполнился первый бассейн, а еще через 3 ч 20 мин — второй. Сколько воды поступало в час в каждый бассейн?
Для гидродинамических исследований изготовлена небольшая модель канала. К этой модели подведено несколько труб одинакового сечения, вводящих воду, и несколько труб другого, но тоже одинакового сечения, предназначенных для удаления воды. Если сразу открыть четыре вводящие и три выводящие трубы, то через 5 ч в модели прибавится 1000 м3 воды. Если одновременно открыть на 2 ч две вводящие и две выводящие трубы, то увеличение объема воды составит 180 м3. Сколько воды пропускает за час одна вводящая и сколько пропускает одна выводящая труба?
Если две трубы открыть одновременно, то бассейн наполнится за 2 ч 24 мин. В действительности же сначала была открыта только первая труба в течение 1/4 времени, которое необходимо второй трубе, чтобы наполнить бассейн, действуя отдельно. Затем действовала вторая труба также в течение 1/4 времени, которое необходимо первой, чтобы одной наполнить бассейн, после чего оказалось, что остается наполнить 11/24 полной вместимости бассейна. Сколько времени необходимо для наполнения бассейна каждой трубой в отдельности?
Смеси, сплавы
Имелось два сплава меди с разным процентным содержанием меди в каждом. Число, выражающее в процентах содержание меди в первом сплаве, на 40 меньше числа, выражающего в процентах содержание меди во втором сплаве. Затем оба эти сплава сплавили вместе, после чего содержание меди составило 36%. Определить процентное содержание меди в каждом сплаве, если в первом сплаве меди было 6 кг, а во втором — 12 кг.
Сплавили два сорта чугуна с разным процентным содержанием хрома. Если одного сорта взять в 5 раз больше другого, то процентное содержание хрома в сплаве вдвое превысит процентное содержание хрома в меньшей из сплавляемых частей. Если же взять одинаковое количество обо их,.сортов, то сплав будет содержать 8% хрома. Определить процентное содержание хрома в каждом сорте чугуна.
Имеются два сплава золота и серебра. В одном сплаве количества этих металлов находятся в отношении 1:2, в другом — 2:3. Сколько граммов нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 19 г сплава, в котором золото и серебро находятся в отношении 7:12?
Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5 и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с 30%-ным содержанием никеля?
Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй — 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Сколько олова содержится в полученном новом сплаве?
■ 3.306. Некоторый сплав состоит из двух металлов, входящих в отношении 1:2, а другой содержит те же металлы в отношении 2:3. Сколько частей каждого сплава нужно взять, чтобы получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27?
Некоторый сплав содержит металлы А и В в отношении пг.п, другой — те же металлы в отношении p:q. Какие количества первого
и второго сплавов нужно взять, чтобы получить 1 кг третьего сплава с равным содержанием металлов А и В!
Сосуд вместимостью 8 л наполнен смесью кислорода и азота, причем на долю кислорода приходится 16% вместимости сосуда. Из этого сосуда выпускают некоторое количество смеси и впускают такое же количество азота, после чего опять выпускают такое же, как и в первый раз, количество смеси и опять добавляют столько же азота. В новой смеси кислорода оказалось 9%. Какое количество смеси каждый раз выпускалось из сосуда?
Примеси составляют 20% от общего объема раствора. Каково наименьшее число фильтров, через которые нужно пропустить раствор, чтобы окончательное содержание примесей не превышало 0,01%, если каждый фильтр поглощает 80% примесей? (Известно, что 1g 2«0,30.)
Пчелы, перерабатывая цветочный нектар в мед, освобождают его от значительной части воды. Исследования показали, что нектар обычно содержит около 70% воды, а полученный из него мед содержит только 17% воды. Сколько килограммов нектара приходится перерабатывать пчелам для получения 1 кг меда?
Группа В
Электронная вычислительная машина получила задание решить последовательно несколько задач. Регистрируя время выполнения задания, заметили, что на решение каждой следующей задачи машина затрачивала в одно и то же число раз меньше времени, чем на решение предыдущей. Сколько было предложено задач и сколько времени затрачено машиной на решение всех задач, если на решение всех задач, кроме первой, затрачено 63,5 мин, на решение всех задач, кроме последней, затрачено 127 мин, а на решение всех задач, кроме двух первых и двух последних, затрачено 30 мин?
Три свечи имеют одинаковую длину, но разную толщину. Первая свеча была зажжена на 1 ч раньше двух других, зажженных одновременно. В некоторый момент горения первая и третья свечи оказались имеющими одинаковую длину, а через 2 ч после этого одинаковую длину стали иметь первая и вторая свечи. За сколько часов сгорает первая свеча, если вторая сгорает за 12 ч, а третья — за 8 ч?
Цена бриллианта пропорциональна квадрату его массы. Бриллиант массой р карат был разбит на две части, после чего его стоимость уменьшилась в к раз. Найти массу частей, на которые был разбит бриллиант (1 карат=0,2 г). Доказать, что наибольшая потеря в стоимости бриллианта происходит в том случае, когда обе его части равны по массе.
На складе имеется некоторое число бочек двух образцов общей вместимостью 7000 л. Если бы все бочки были первого образца, то вместимость всех бочек увеличилась бы на 1000 л. Если бы все бочки были второго образца, то вместимость уменьшилась бы на 4000 л. Вычислить вместимость всех бочек каждого образца в отдельности.
Соревнуются три бригады лесорубов. Первая и третья бригады обработали древесины в 2 раза больше, чем вторая, а вторая и третья — в 3 раза больше, чем первая. Какая бригада победила в этом соревновании?
Имеется п мензурок с жидкостью. Из первой мензурки перош- ли 1/л имеющейся там жидкости во вторую мензурку, затем из второй 92 ' '
мензурки 1/л оказавшейся там после переливания из первой мензурки жидкости перелили в третью мензурку и т. д. Наконец, из л-й мензурки перелили 1/л оказавшейся в ней после переливания из предыдущей мензурки жидкости снова в первую мензурку. После этого в каждой мензурке оказалось по а см3 жидкости. Сколько жидкости было первоначально в каждой мензурке?
Арбузы, привезенные на базу, предназначены для двух магазинов. Первый магазин сразу приступил к перевозке арбузов и перевозил их ежедневно одинаковыми по массе порциями. Второй магазин приступил к перевозке арбузов на а дней позже и также перевозил их ежедневно одинаковыми по массе, но иными, чем первый магазин, порциями. Через b дней, прошедших от начала перевозочных операций, на базе осталась половина первоначального количества арбузов. За сколько дней были вывезены все арбузы с базы, если перевозка закончилась одновременно и масса арбузов, полученных первым магазином, равна массе арбузов, полученных вторым магазином?
В колбе имеется раствор соли. Из колбы отливают 1/л раствора в пробирку, а раствор, оставшийся в колбе, выпаривают до тех пор, пока процентное содержание соли не повысится вдвое. После этого вливают в колбу раствор из пробирки. В результате содержание соли в растворе повысилось на р% по сравнению с первоначальным. Определить процентное содержание соли в первоначальном растворе. Какую часть первоначального раствора следовало отлить, чтобы в результате описанной процедуры процентное содержание соли увеличилось в 1,5 раза?
Известно, что разность переменных величин у и z пропорциональна величине х, а разность величин z и х пропорциональна величине у. Коэффициенты этих пропорциональностей равны соответственно kt и кг. Некоторое значение величины z в 3 раза больше разности соответствующих значений х и у. Доказать, что если каждый из коэффициентов кх и кг увеличить на 3, то произведение полученных чисел будет равно числу 8 (предполагается, что величины х и у не принимают нулевых значений).
Если искомое двузначное число увеличить на 46, то получится число, произведение цифр которого равно 6. Найти это число при условии, что сумма его цифр равна 14.
На какое целое положительное число надо разделить 180, чтобы остаток составлял 25% от частного? ■
Доказать, что куб наибольшего из трех последовательных натуральных чисел не может быть равен сумме кубов двух других чисел.
Искомое число больше 400 и меньше 500. Найти его, если сумма его цифр равна 9 и оно равно 47/36 числа, изображенного теми же цифрами, но написанными в обратном порядке.
Найти трехзначное число, зная, что число его десятков есть среднее геометрическое числа сотен и единиц. Если в его записи поменять местами цифры сотен и единиц и вычесть новое число из искомого, то разность будет равна 297.
Искомое трехзначное число оканчивается цифрой 1. Если ее стереть и затем ее же приписать в качестве первой цифры числа, то полученное новое трехзначное число будет меньше искомого на 10^"Найти это число.
Разность логарифмов цифр сотен и десятков трехзначного числа равна логарифму разности тех же цифр, а сумма логарифмов цифр сотен и десятков равна логарифму суммы тех же цифр, увеличенной в 4/3
раза. Если из этого трехзначного числа вычесть число, имеющее обратный порядок цифр, то их разность будет равна положительному числу, у которого цифра сотен совпадает с цифрой десятков данного числа. Найти это число.
. Искомое трехзначное число начинается с цифры 1. Если ее стереть и затем ее же приписать в качестве последней цифры числа, то полученное новое трехзначное число будет больше искомого на 9а1Д,е. Найти число.
В былое время комиссионный магазин как-то принял для продажи фотоаппараты, часы, авторучки и радиоприемники на сумму 240 руб. Сумма цен приемника и одних часов на 4 руб. больше суммы цен фотоаппарата и авторучки, а сумма цен одних часов и авторучки на 24 руб. меньше суммы цен фотоаппарата и приемника. Цена авторучки равна целому числу рублей, не превосходящему 6. Количество принятых фотоаппаратов равно цене одного фотоаппарата в рублях, деленной на 10; количество принятых часов равно числу приемников, а также числу фотоаппаратов. Количество авторучек в 3 раза больше числа фотоаппаратов. Сколько всего предметов указанных наименований было принято магазином?
В магазин поступил товар 1-го и 2-го сортов на общую Сумму в 450 млн. руб. Дополнительная экспертиза установила, что весь поступивший товар можно продавать только по цене 2-го сорта, в результате чего фирма потерпела бы убыток в сумме 50 млн. руб. Продавцы магазина безвозмездно не только устранили дефекты в товаре 1-го сорта, но и товар 2-го сорта довели до кондиции 1-го сорта. Получив после этого разрешение продавать весь товар по цене 1-го сорта, магазин дал фирме прибыль в сумме 30 млн. руб. В какую сумму оценивался первоначально весь товар 1-го сорта и весь товар 2-го сорта отдельно?
Куплено несколько килограммов товара двух сортов: 1-го сорта на 4500 руб. и 2-го на 2000 руб., причем 1-го сорта куплено на 1 кг больше. Стоимость 1 кг товара 1-го сорта на 100а руб. выше стоимости 1 кг товара 2-го сорта. Сколько килограммов товара каждого сорта куплено? Определить число решений в зависимости от возможных значений а.
Уголь, добываемый в пункте А, продается по q руб. за тонну, а добываемый в пункте В — на р% дороже. Пункты А и В соединяет дорога длиной s км. В какой зоне этой дороги АВ расположены потребители угля, для которых закупка и доставка угля из В обходится дешевле, чем из А, если перевозка 1 т угля на расстояние 1 км обходится в т руб.? В каком месте дороги АВ расположено предприятие, расходы которого на потребление угля не зависят от выбора пункта А или № Исследовать возможные случаи.
Предприятие А, потребляющеелед, закупает его в пункте В по цене а руб. за тонну. Иногда этому предприятию приходится закупать лед в другом пункте С по цене 1,5а руб. за тонну. Оба изготовителя сами доставляют потребителю А закупленный им лед, начисляя за перевозку по р руб. за тонно-километр. Потеря в массе, происходящая при транспортировке от таяния льда, составляет т/1000 его начальной массы на километр пути. Предприятие А расположено между В и С, и каждая тонна фактически ■ полученного льда обходится предприятию А одинаково (в рублях) при доставке как из пункта В, так и из пункта С. Во сколько рублей обходится предприятию А тонна получаемого льда, если , известно, что расстояние от В до С через А равно s v/l-
■3.333. Из двух пунктов А нВ одновременно выехали два инспектора
к месту происшествия, в пункт С. Первый инспектор примчался в С через а мин. Если второй инспектор будет стремиться попасть из В в С одновременно с первым, то ему придется на проезд каждого километра затрачивать на с мин меньше, чем первому, так как расстояние от В до С на b км больше расстояния от Л до С. На каком расстоянии от пункта Л случилось происшествие?
■ 3.334. Из одного и того же пункта одновременно в одном направлении по прямолинейному участку шоссе с постоянными, но различными скоростями вышли два пешехода. Через 2 ч расстояние между ними было s км. После этого пешеходы стали идти быстрее и затрачивать на каждый километр пути на 10 мин меньше. Еще через 2 ч расстояние между ними стало равным 3» км. Найти расстояния, пройденные пешеходами за первые два часа движения.
Три мотоциклиста проезжают с постоянными, но различными скоростями один и тот же участок АВ дороги. Сначала пункт Л проехал первый мотоциклист, а 5 с спустя в том же направлении — второй и третий. Через некоторое время первого мотоциклиста обогнал третий, а еще через 10 с его обогнал и второй. За какое время первый мотоциклист проедет расстояние АВ, если второй проехал это расстояние за 1 мин, а третий — за 40 с?
К берегу водохранилища подошли трое: А, В и С; А отправился на противоположный берег вплавь со скоростью v км/ч; одновременно В и С отправились на моторной лодке со скоростью 10v км/ч. Через некоторое время С решил остаток пути преодолеть вплавь и поплыл с той же скоростью, что и Л. В тот же момент В повернул назад, чтобы взять в лодку А, который быстро садится в нее и продолжает путь вместе с В. На противоположном берегу все трое оказываются одновременно. Определить время переправы, если известно, что ширина водохранилища равна b км (скорость течения предполагается равной нулю).
Между пунктами А и В, удаленными друг от друга на 3,01 м, совершает колебательное движение материальная частица mt. Скорость ее постоянна по величине, и на конечных пунктах она не задерживается. Через 11 с после выхода частицы пц из пункта А другая частица тг начинает двигаться из пункта В также с постоянной, но меньшей скоростью. Эта частица, двигаясь в направлении пункта А, дважды встречается с частицей znb а именно через 10 и 45 с после выхода второй частицы. Определить скорости частиц.
Из Москвы в город N пассажир может отправиться поездом. В этом случае он пробудет в пути 20 ч. Если же он дождется отправления самолета (а ждать придется более 5 ч после отправления поезда), то пассажир доберется до города N через 10 ч, включая и время ожидания. Протяженности трассы самолета и железнодорожного пути одинаковы. Во сколько раз скорость самолета превышает скорость поезда, если известно, что самолет окажется над этим поездом через 8/9 ч после отправления из аэропорта и пролетит к этому моменту столько же километров, сколько пройдет поезд?
Два спортсмена бегают по одной замкнутой дорожке стадиона. Скорость каждого постоянна, но на пробег всей дорожки первый тратит на а с меньше, чем второй. Если они начинают пробег с общего старта и в одном направлении, то сходятся через каждые b с. Через какое время они встретятся, если побегут в противоположных направлениях по той же дорожке с прежними скоростями?
Три пловца должны проплыть в бассейне дорожку длиной 50 м, немедленно повернуть обратно и вернуться к месту старта. Сначала стартует первый, через вс — второй, еще через вс — третий. В некоторый момент времени, еще не достигнув конца дорожки, пловцы оказались на одном расстоянии от старта. Третий пловец, доплыв до конца дорожки и повернув назад, встретил второго в s м от конца дорожки, а первого — в г м от конца дорожки. Найти скорости первого и третьего пловцов и установить связь в виде неравенств между параметрами гия так, чтобы задача имела решение. ’
Из аэропорта к центру города вышел автомобиль, одновременно из центра города в аэропорт вышел автобус-экспресс. Когда первый прошел половину пути, второму осталось до конца маршрута 19,2 км, а когда второй прошел половину пути, первому осталось до конца маршрута 12 км. Сколько километров остается пройти автобусу после того, как автомобиль закончит свой маршрут? Предполагается, что скорости автомобиля и автобуса постоянны на всем пути.
Расстояние между двумя точками равно d. Под действием некоторых сил обе точки начинают равномерное движение навстречу друг другу. Чтобы они встретились на середине пути, первой точке нужно начать движение на / единиц времени раньше второй. Если же точки начнут сближение одновременно, то через Т единиц времени расстояние между ними составит k-ю часть (к>1) первоначального расстояния. Найти скорости движения точек.
Два брата имели билеты на стадион, расположенный в 10 км от их дома. Сначала они собирались идти на стадион пешком, но
изменили намерение и решили воспользоваться своим велосипедом, договорившись, что один отправится на велосипеде, а другой одновременно с ним — пешком. Проехав часть пути, первый оставит велосипед,
а второй, дойдя до оставленного велосипеда, поедет на нем дальше и догонит первого у входа на стадион. Сколько времени выигрывают братья при этом по сравнению с первоначальным намерением идти весь
путь пешком, если каждый из них на велосипеде преодолевает каждый
километр на 12 мин быстрее, чемкилометр на 12 мин быстрее, чемпешком?
километр на 12 мин быстрее, чем
километр на 12 мин быстрее, чем
Рис. 3.10Рис. 3.10Спортсмен, тренируясь в быстрой ходьбе вдоль шоссе, заметил, что каждые 6 мин его догоняет троллейбус, и каждые 3 мин проходит встречный троллейбус. Требуется найти, через какие промежутки времени отправляются троллейбусы с конечных пунктов и во сколько раз медленнее троллейбуса шел спортсмен, если допустить, что в обе стороны троллейбусы отправляются через
Рис. 3.10
Рис. 3.10
одинаковые промежутки времени, идут без остановок с постоянной и одинаковой скоростью. Спортсмен также идет без остановок с постоянной скоростью (рис. 3.10, где АВ — график движения спортсмена, прямые MXNX || M2N2 и PxQx || P2Q2 — графики движения каких-либо по
следовательно идущих один за другим троллейбусов попутно спортсмену и навстречу ему).
По расписанию учебно-тренировочных занятий сначала из пункта А должен выехать один связист, а через 6 ч — второй связист с такой скоростью, чтобы нагнать первого в 180 км от пункта А. Одиахо в момент отправления первый связист получил распоряжение ехать со
скоростью, на а км/ч большей, чем намечалось первоначально. Второму же связисту не разрешалось увеличивать скорость, намеченную расписанием, поэтому, чтобы точно выполнить задание, ему пришлось выехать из пункта А на 3 ч раньше, чем намечалось. Сколько времени будет в пути каждый связист? Доказать, что задача имеет смысл только при я <30. '
Два приятеля собрались на охоту. Один из них живет в 46 км от охотничьей базы, другой, имеющий «Москвич», в 30 км от базы — между этой базой и домом своего приятеля. Они тронулись в путь одновременно, причем владелец «Москвича» поехал навстречу своему приятелю, идущему пешком. Встретившись, они вместе поехали на базу и прибыли туда через час после выхода из дома. Если бы пешеход вышел из дома на 2 ч 40 мин раньше владельца «Москвича», то приятели встретились бы в 11 км от дома пешехода. Какова скорость автомобиля? Скорости движения пешехода и автомашины считать постоянными.
На шоссе последовательно расположены пункты D, А, С и В. Из А и В одновременно выехали мотоциклист и велосипедист в пункты С и D соответственно. Встретившись в Е, они обменялись машинами и каждый продолжал свой путь. В результате первый затратил на поездку от А до С 6 ч, а второй затратил на поездку от В до D 12 ч. Определить длину пути АВ, если известно, что каждый едущий на мотоцикле развивает скорость 60 км/ч, а на велосипеде — 25 км/ч, и, кроме того, средняя скорость движения первого на пути АС равна средней скорости движения второго на пути BD.
К цветущей яблоне полетел шмель со скоростью vj м/мин. Одновременно к другой яблоне полетела пчела со скоростью v2 м/мин. При этом шмелю нужно было преодолеть расстояние в 2й м, а пчеле — расстояние в 2Ь м. Предположим, что траектории их полета — взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке, делящей пополам и путь шмеля, и путь пчелы. Найти формулу, выражающую зависимость расстояния у между шмелем и пчелой от времени х их полета. Установить момент, когда в полете шмеля и пчелы расстояние между ними достигает наименьшего значения. Исследовать, пролетит ли пчела или шмель точку пересечения их траекторий к моменту, когда будет достигнуто наименьшее расстояние между шмелем и пчелой.
Два велосипедиста выезжают одновременно из пункта А с различными (но для каждого постоянными) скоростями н едут к пункту В. Достигнув его, они тотчас же едут обратно. Первый велосипедист, ехавший быстрее второго, на обратном пути встретил второго на расстоянии а км от В-, затем, достигнув А, едет снова по направлению к В, и, пройдя ^-ю часть пути АВ, встречает; второго велосипедиста, возвращающегося из В. Найти расстояние от,,Л до В.
Со станции А отошли два электропоезда с интервалом в 12 мин и практически сразу развили одинаковую скорость 50 км/ч. Они едут в одном направлении без остановок, сохраняя указанную скорость неизменной. С какой постоянной скоростью шел встречный поезд, если он повстречал эти электропоезда через 5 мин один после другого?
Два поезда длиной в 490 и 210 м равномерно движутся навстречу друг другу по параллельным путям. Машинист одного из них заметил встречный состав на расстоянии 700 м; после этого через 28 с поезда встретились. Определить скорость каждого поезда, если известно, что один из них проезжает мимо светофора на 35 с дольше другого.
Кортеж автомобилей с космонавтами равномерно движется по проспекту со скоростью v км/ч. Протяженность кортежа постоянно сохраняется равной m м. Букет цветов, брошенный из окна дома, попал
в коляску мотоциклиста, ехавшего сзади кортежа. Мотоциклист проехал вперед, передал букет космонавту, находившемуся в первом автомобиле, и тотчас отправился обратно. На проезд туда и обратно вдоль движущегося кортежа мотоциклисту потребовалось t мин. Вычислить скорость мотоциклиста, если она на всем пути была одинакова.
На соревнованиях авиамоделей с моторчиками лучшими оказались две модели. При встречном ветре первая модель продержалась в воздухе на т мин меньше второй, но пролетела на А м дальше. Скорость ветра равна с м/мин, но на продолжительность полета модели ветер не влияет, от ветра зависит только дальность полета. Предполагается, что собственная скорость каждой модели все время постоянна. Какая из этих моделей пролетит большее расстояние при безветренной погоде?
Из пункта А отправилась моторная лодка вверх по Волге, а из пункта В одновременно вышел плот по течению. Через а ч они встретились и далее двигались без остановок. Дойдя до пункта В, лодка, не задерживаясь, повернула обратно и догнала плот в пункте А. Предполагается, что собственная скорость лодки была все время неизменной. Сколько времени находились в плавании плот и лодка?
Два человека одновременно начали спускаться по движущемуся вниз эскалатору метро, причем один шел вдвое быстрее другого. Один из них насчитал 60 ступенек, а второй — 40. Сколько ступенек пришлось бы им отшагать по неподвижному эскалатору?
Сначала катер шел а км по озеру, а затем половину этого расстояния по реке, впадающей в озеро. Весь рейс продолжался 1 ч. Найти собственную скорость катера, если скорость течения реки равна с км/ч.
На участке реки от А до В течение так невелико, что им можно пренебречь; на участке от В до С течение оказывает заметное влияние на движение лодки. Лодка покрывает расстояние вниз от А до С за 6 ч, а вверх от С до А за 7 ч. Если бы на участке от А до В течение было бы таким же, как на участке от В до С, то весь путь от А до С занял бы 5,5 ч. Сколько времени в этом случае понадобилось бы той же лодке на движение вверх от С до Л? Собственная скорость лодки принимается неизменной во всех случаях. '
На расстоянии / м от моста А вниз по течению реки расположен мост В. Когда спортсмен проплывал мимо моста А, направляясь к мосту В, ему бросили два мяча. Первый мяч он подхватил, а второй оставил плыть по течению. Проплыв с мячом некоторый участок реки, спортсмен оставил этот мяч и поплыл вверх по реке за вторым мячом. Подхватив второй мяч, снова повернул по направлению к мосту В и достиг его одновременно со свободно плывшим первым мячом. Какое расстояние пришлось проплыть спортсмену, если его собственная скорость все время была в к раз больше скорости течения?
Несколько рабочих выполняют задание за 14 дней. Если бы их было на 4 человека больше и каждый работал бы в день на 1 ч дольше, это же задание было бы выполнено за 10 дней. Если бы их было еще на 6 человек больше и каждый работал бы еще на 1 ч в день дольше, задание было бы выполнено за 7 дней. Сколько было рабочих и сколько часов в день они работали?
В бригаде землекопов каждый работает ежедневно по одинаковому числу часов. Известно, что производительность труда одинакова у всех рабочих бригады и при этом бригада может вырыть канаву для укладки кабеля за 6 дней. Однако еще до начала работы выяснилось.
что рабочий день сокращается иа 1 ч, а состав бригады уменьшается на 5 человек. В таком случае канава может быть вырыта за 9 дней. В действительности эту канаву рыли 12 дней, так как рабочий день был сокращен не на 1 ч, а на 2 ч и два человека не вышли на работу по болезни. Сколько рабочих было в бригаде первоначально и сколько часов в день они работали?
Три мя шины производят некоторую работу. Если эту работу будет выполнять одна первая, то она кончит работу на а дней позже, чем при работе всех машин вместе. Если же эту работу будет выполнять вторая, то она кончит ее на b дней позже, чем все вместе, а если третья, то ей потребуется в с раз больше времени, чем всем машинам вместе. За сколько дней выполняет работу каждая из них в отдельности?
Партия одинаковых деталей обрабатывалась на трех станках разных конструкций в такой последовательности: сначала действовал только I станок столько часов, сколько потребовалось бы для совместного выполнения всей работы на II и III станках; затем действовал только II станок столько часов, сколько потребовалось бы для совместного выполнения всей работы на I и III станках. Остальная часть партии деталей была обработана на III станке в течение стольких часов, сколько потребовалось бы для совместного выполнения всей работы на I и II станках. Во сколько раз быстрее была бы выполнена зга работа, если бы действовали совместно все три станка?
Для наполнения водой бассейна были поставлены два насоса. Один первый насос может наполнить бассейн на 8 ч скорее, чем один второй. Сначала был открыт только один второй насос на время, равное удвоенному количеству времени, которое потребовалось бы для наполнения бассейна при одновременном действии обоих насосов. Затем открыли также первый насос и через 1,5 ч после того, как был открыт первый насос, бассейн наполнился водой. За сколько часов каждый из насосов, работая порознь, может наполнить бассейн?
Пройдя через пористый фильтрующий материал, жидкость равномерной струей вливается в 40-ведерную бочку и может выливаться через кран, имеющийся в дне бочки. Если этот кран открыт, то приток и отток жидкости таковы, что за каждые 4 мин в бочке убавляется одно ведро. За какое время отфильтрованная жидкость наполнит пустую бочку при закрытом нижнем кране, если известно, что для этого потребуется на 3 мин меньше того времени, за которое открытый нижний кран способен пропустить 66 ведер?
В куске сплава массой 6 кг содержится медь. В куске другого сплава массой 8 кг содержится медь в ином процентном отношении, чем в куске первого сплава. От первого куска отделили некоторую часть, а от второго — часть, вдвое большую по массе, чем от первого. Каждую из отделенных частей сплавили с остатком другого куска, после чего получили два новых сплава с одинаковым процентным содержанием меди. Какова масса каждой из частей, отделенных от кусков первоначальных сплавов?
От двух кусков сплава одинаковой массы, ио с различным процентным содержанием меди отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого куска, после чего процентное содержание меда в обоих кусках стало одинаковым. Во сколько раз отрезанный кусок меньше целого?
Сплав состоит из олова, меда и цинка. Если от этого отава отделить 20 г и сплавить их с 2 г олова, то во вновь получившемся отаве масса меда будет равна массе олова. Если же отделить от
первоначального сплава 30 г и прибавить 9 г цинка, то в этом новом сплаве масса олова будет равна массе цинка. Определить в процентах состав первоначального сплава.
Смешав по 2 см3 трех веществ, получили 16 г смеси. Известно, что 4 г второго вещества занимают объем, на 0,5 см3 больший, чем 4 г третьего вещества. Найти плотность третьего вещества, если известно, что масса второго вещества в смеси вдвое больше массы первого.
Даны две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, а также точка А (а; а), где а>0. Требуется найти координаты такой точки М на оси Ох и такой точки Р на оси Оу, чтобы треугольник АМР был равносторонним.
Сравнивая два бруска, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда, установили, что длина, ширина и высота второго бруска соответственно на 1 см больше, чем у первого бруска, а объем и полная поверхность второго бруска соответственно на 18 см3 и 30 см2 больше, чем у первого. Какова величина полной поверхности первого бруска?
Вместимости трех сосудов А, В, С, каждый из которых имеет форму куба, относятся как 1:8:27, а объемы налитой в них воды — как 1:2:3. После переливания части воды из сосуда А в сосуд В и из сосуда В в сосуд С во всех трех сосудах получили слой воды одинаковой 4
глубины. Затем перелили 128 - л воды из сосуда С в сосуд В, а после 7
этого из сосуда В в сосуд А столько, что глубина воды в сосуде А стала вдвое больше, чем в сосуде В. При этом оказалось что в сосуде А имеется теперь на 100 л воды меньше, чем было первоначально/ Сколько воды было первоначально в каждом сосуде?
Зная длины сторон треугольника, ученик выразил его площадь и обратил внимание на то, что значениями длин сторон и площади этого треугольника являются соответственно четыре последовательных целых числа. Каковы длины сторон треугольника?
На столе стоит цилиндрическая банка с водой. Радиус основания банки равен R. Если в банку опустить шарик радиуса г, то он ляжет на дно банки, а поверхность воды при этом поднимется настолько, что окажется касательной к шарику. Доказать, что произойдет то же самое, если в эту банку с тем же количеством воды опустить вместо данного шарика шарик другого радиуса. Найти радиус нового шарика и установить условия, при которых он будет больше или меньше радиуса данного шарика.
На сторонах равностороннего треугольника АВС между его вершинами расположены точки Ль Вх и Сх так, что ААх = ВВ\ = ССх=х.
Сторона треугольника равна а. Найти такое значение х, при котором отношение площадей треугольников АхВхСх и АВС было бы равно данному положительному числу т. В каких пределах можно изменять величину т, чтобы выполнялось условие задачи?
Точка Р расположена на диаметре окружности радиуса R между концами диаметра АВ. Из этой точки Р движутся три единичные массы по направлениям отрезков РА, РВ и PC так, что PC — полухорда, перпендикулярная диаметру АВ. На каком расстоянии от А находится точка Р, если известно, что скорости движения постоянны и за единицу времени первая масса достигла точки А, вторая — точки В, а третья — точки С? При этом кинетическая энергия (.тч1^ в сумме составляет а1 единиц. В каких пределах можно изменять величину а1, чтобы выполнялось условие задачи? ''-
Самоходный каток, употребляемый для ремонта дорог, в состоянии укатывать полосу шириной 0,85 м, причем каждая следующая полоса перекрывает предыдущую на 1/4 ее ширины. С какой скоростью должен двигаться этот каток, чтобы за время, не большее 6 ч и не меньшее 5 ч, можно было дважды провести укатку участка шоссе длиной 750 м и шириной 6,5 м?
Вдоль сторон прямого угла по направлению к вершине движутся два шара с радиусами 2 и 3 см, причем центры этих шаров перемещаются по сторонам угла с неравными, но постоянными скоростями. В некоторый момент времени центр меньшего шара находится на расстоянии 6 см от вершины, а центр большего — на расстоянии 16 см. Через 1 с расстояние между центрами стало 13 см, а еще через 2 с шары ударились, не дойдя до вершины. Найти скорости шаров.
Две точки Ли В, первоначальное расстояние между которыми равно а, одновременно начали двигаться по разным сторонам прямого угла к его вершине с одной и той же постоянной скоростью v. Точка В достигает вершины на t единиц времени раньше, чем точка А (все измерения выполнены в одной системе единиц). Определить, сколько времени двигалась точка А. Какое значение надо придать величине а, чтобы искомое время приняло наименьшее из возможных его значений?
Три фермы расположены не на одной прямой, но соединены прямолинейными дорогами. Расстояние от первой фермы до третьей через вторую вчетверо длиннее прямолинейного пути между ними; расстояние от первой фермы до второй через третью на а км длиннее прямолинейного пути; расстояние от второй фермы до третьей через первую равно 85 км. В каком интервале находятся все значения а, для которых было бы возможным указанное расположение ферм? Вычислить расстояние между фермами при а= 5.
Если при начале отсчета времени было тй г вещества А н 2/Ио г вещества В, то через любое число / лет, в результате радиоактивного распада, этих веществ останется соответственно т = /ио'2 и М=ЪпйТ кг\ где Xi и 22 — постоянные, зависящие от природы веществ. Вычислить период полураспада каждого из этих веществ, т. е. найти, через сколько лет от каждого вещества останется только половина его первоначального количества, если известно, что период полураспада вещества 6 в 2 раза меньше, чем вещества А, и что через 20 лет общая масса этих веществ уменьшается в 8 раз.
ГЛАВА 4
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Соотношения между тригонометрическимифункциями одного и того же аргумента
(здесь и в дальнейшем запись neZ означает, что л — любое целое число)
sin2x+cos2x—1;
(4.1)
sinx я
(4^)
tgx=, х#- (2л+1), neZ; cosx 2
cosx
ctgx—, х^-кпдеХ; sinx ял
(4.3)
tgxctgx=i,”eZ;
(44)
■,*я
1 +tg2x=——, x#- (2л+1), neZ; cosx 2
(4.5)
1 +ctg2x———, х#хл, neZ. sm2x
Формулы сложения
(4.6)
sin (x+y)—sinxcosy+cosxsiny;
(4-7)
sin (x—y)—sinxcosy—cosxsiny;
(4-8)
cos (x+y)—cosx cosy—sin x sin у;
(4-9)
cos (x—y)—cosxcosy+sinxsiny; tgx+tgyя
(4.Ю)
tg(x+y)=, x, у, x+y#-+xn, neZ;
1-tgxtgy2
(4.П)
tgx—tgyя
tg(x-y)=,x,y,x-y# *iuyeZ.
1+tgxtgy2
Формулы двойного аргумента
(4-12)
sin 2x—2 sinx cosx;
(4-13)
cos 2x—cos2 x—sin2 x—2 cos2 x—1 = 1 — 2 sin2 x;
2tgx* xx
(4-14)
tg2x——, x#-+- k, keZ, x^-+m, neZ.
l^x 4 22
(4.15)
Формулы половинного аргумента(для функций sin и cos — формулы понижения степени)
x 1—cosx
sin2 -*;
(4.16)
22
x 1+cosx cos2 - *;
(4.17)
22
x sinx 1—cosx tg - —=, x # я+2xn, n e X.
(4.18)
2 1 +cos xsin x
Формулы преобразования суммы в произведение
х+у х—у
sinx+siny=2sin —— cos ——;
(4.19)
х+у х-у
sinx—siny=2cossin;
22
(4.20)
х+ух—у
cosx+cosy=2coscos; 22
(4-21)
х+у х-у
cosx—cosy= — 2 sinsin;
22
(4.22)
sin (х+у)я
tgx+tgy=, x, y#—l-ял, neZ;
(4.23)
cosx cos у2
sin (x—у)я
tgx—tgy=, x, у#- + ял, neZ.
(4.24)
cos x cos у2
Формулы преобразования произведения в сумму
1
sinxsiny=- (cos (х—у) —cos (х+у)); 2
(4.25)
1 cosxcosy=- (cos (х—y)+cos (х+у));
2
(4.26)
1 sinxcosy=- (sin (х—y)+sin (х+у)).
2
(4.27)
X
Соотношения между sinx, cosx и tg -
2tg-
(4.28)(4.28)(4.29)(4.29)sinx*, x# (2л 4-1) я, леХ;
(4.28)
(4.28)
(4.29)
(4.29)
l+tg2 -
2
l-tg2- cosx=, х#(2л + 1) и, neX.
1+^I
Формулы приведения
Нячняттие функции не изменяется
Название функции изменяется на сходное
—a
л—a
n+a
л
— a
2
л
-+a
2
3л a
2
3л
—+a 2
sin
—sin a
sin a
— sin a
cosot
cos a
— cos a
—cos a
cos
cos a
— cos a
—cos a
sin a
—sin a
— sina
sina
tg
-tga
л a#-
2
-tga
(2л+ 1), n
tga
eZ
Ctg a
-ctga
a# л
ctga
л, neZ
-ctga
ctg
-ctg a
а#лл
-ctg a
neZ
ctg a
tga
-tga | tga л
a#- (2л+1), nel г
-tga
I
Пример 1. Доказать тождес-зо
8 cos24аtg2a+ctg2a+tg6a+ctg6a=.sin 12a
Применяя последовательно к левой части равенства формулы (4.2), (4.3), (4.1) и (4.13), находим
sin2a cos 2a sin 6a cos 6a
Л—tg 2a+ctg 2a + tg 6a+ctg 6a=111
cos 2a sin 2a cos 6a sin 6a
sin22a+cos22a sin26a+cos26a 1122
4—1=H—;—
sin2acos2asin6acos6asin2acos2a sin6acos6a sin4a sin 12a
2 (sin 12a+sin 4a)sin 4a sin 12a
4 sin 8a cos 4a
Преобразуя сумму синусов по формуле (4.19), получаем А —. Так как
sin 4a sin 12a
sin 8a—2 sin 4a cos 4a, to
8sin4acos24a 8cos24asin 4a sin 12a sin 12a
Премер 2. Упростить выражение /л а\/л а\а
A =cos (1 sinI sin
\6 4/\3 4/4
К произведению первых двух сомножителей применим формулу (4.27). Тогда получим
1 / /ла\ л\а 1 / а 1\ а 1 а а 1а
А =- ( sinl+sin - Isin -=- I cos -4— 1 sin-=-cos - sin -H— sin -.
2\\22/ 6/4 2 \ 2 2/ 4 224 44
Снова используя формулу (4.27), находим
1 / а За\ 1 а 1 ЗаА =- I —sin -+sin — н— sin -=- sin —. ■
4 \44/ 44 44
Пример 3. Представить в виде произведения
A = 2cos2 За + ^/з sin 6а— 1.
□ Согласно формуле (4.14), имеем 2cos2 За— 1 =cos 6а. Следовательно,
ГV3\
Л=со$6а+V3 sin6a=2 I - cos 6аЧsin6а 1=
\22/
(
лл\
cos - cos 6а + sin - sin 6а J.33)
Так как выражение в скобках — развернутая формула (4.10) для косинуса раз- (л\
— 6a I. ■ 3/
Пример 4. Проверить, что tg20°+4sin20° = x/3-
□ Применив формулы (4.2), (4.13) и (4.19), получим
sin 20°+4 sin 20° cos 20° sin 20°+2 sin 40°
A - tg 20°+4 sin 20°===
cos 20°cos 20°
(sin 20°+sin 40°)+sn 40° 2sin30°cos 10°+sin40° cos 10°+sin40°
cos 20°cos 20°cos 20°
Заменив по формуле приведения cos 10° на sin 80° и снова используя формулу (4.19), находим
—2 — 2—2 — 222сое 20°сое 20°sin80°+sin40° 2sin60°cos20°
—2 — 2
—2 — 2
2
2
сое 20°
сое 20°
х
Пример 5. Найти значение tg-, если известно, что sinx—cos х= 1,4.
□ Удобно воспользоваться формулами (4.28) и (4.29), учитывая, что они верны только при х#л(2л+1), neZ. Однако в данном случае х не может
принимать эти значения. Действительно, если бы х—я (2л+1), то sin (я (2л 4 + 1))—cos (я (2л41))—0—(—1)#1,4. Выразив sinx и cosx через tg (х/2), перепи- даем данное равенство в виде ‘
X, X
2tg- 1-tg2-22
1+tg2- 1+tg2-22
Полагая tg -—z, получаем уравнение z2 —5z+6=0, откуда zj —2, Z2=3. Итак, 2
tg-=2Htg-=3. ■
22
Пример 6. Упростить выражение 1, / Зя\ **
A—- sm2 ( 2a 4-— 1—2 (cos* a 4 sin* a) 4 2 (cos® a 4 sin® a). 2\2/
, /3n\
По формуле приведения имеем sin2 I 2a4—)—cos 2a. Преобразуем cos®a4sin®a как сумму кубов по формуле (1.13):
cos® a+sin® a—(cos2 a)3 4 (sin2 a)3—(cos2 a+sin2 a) (cos* a+sin* a—cos2 a sin2 a), откуда, учитывая формулы (4.1) и (4.13), находим cos* a 4 sin* a-cos* a 4 sin* a - — sin2 2a. Использовав полученные результаты, перепишем заданное выражение 4‘
в виде 1,АX,
A—- cos22a—2 (cos* a 4 sin* a) 42 I cos*a4sin*a— sin22a
После приведения подобных членов получим А — - cos22a— sin22a=- cos4a [на 222
1
основании тождества (4.14)]. Итак, cos4a. ■
Пример 7. Упростив выражение
sin 8a+sin 9a4sin lOa+sin lla+sinl2aЛ—,
cos8a4cos9a4cosl0a4cos lla4cos 12a
найти его значение, если tg 5a—cos 20° cos 40° cos 80°.
Перегруппируем слагаемые в числителе и знаменателе и воспользуемся формулами (4.19) и (4.21). Тогда получим
(sin8a4sin 12a) 4 (sin 9a 4 sin lla)4sin 10aЛ — ■■ — —
(cos 8a 4-cos 12a) 4-(cos 9a 4-cos lla)4-cos 10a
2 sin 10a cos 2a 4- 2 sin 10a cos a 4- sin 10a
2 cos 10a cos 2a 4-2 cos 10acos«4cos 10a
sin 10a (2cos2a+2cosa+l)2tg5a
=tg 10a =—
cos 10a (2cos2a+2cosa+l)1— tg25a
[применена формула (4.15)]. Теперь правую часть заданного равенства tg5a= =cos 20° cos 40° cos 80° умножим и разделим на sin 20°; трижды применяя формулу (4.13), находим
(sin 20° cos 20°) cos 40° cos 80° (sin 40° cos 40°) cos 80°
tg 5a
sin 20°2 sin 20°
sin80°cos80° sin 160° sin (180°—20°) sin20° 1
4sin20° ~8sin20°=8sin20°=8sin20°""8'
1
Следовательно, A =Следовательно, A =2-2tg5a 816
Следовательно, A =
Следовательно, A =
1 —tg25a~ 1 ~63’
1
64
Пример 8. Доказать, что для любого числа к слагаемых и любого а#2ял (neZ) справедливы равенства:
ка (k+1) a
sin — cos
22
cos a+cos 2a+cos 3a+...+cos fca =;ra)
a
sin -
2
fca(fc+l)a
sin — sin
22
sin a+sin 2a + sin 3a+... + sin fca=.(6)
a
sin -
2
Эти формулы удобно использовать для преобразования суммы косинусов или синусов при большом количестве слагаемых.
Пусть Sk (a)=cos a+cos 2a+... + cos fca. Умножив обе части этого равенст- a
ва на 2 sin -, получим
a aaaa
2S* (a) sin -=2sin - cosa+2sin - cos2a+2sin - cos3a + ...+2sin - cosfca. 22222
Применяя формулу (4.27), имеем
a/3aa\/5a3a\
25* (a) sin -=| sinsin - ]+[ sinsin — )+
2\22/\22/
/7a5a\/a(2*+l)a(2*-l)’
+1 sinsin — )+...+ I sinsin
\22/\22,
Замечаем, что первое слагаемое в каждой скобке взаимно уничтожается со вторым слагаемым в следующей скобке. Таким образом, правая часть последнего
равенства есть разность sin-sin -. Преобразовав ее по формуле (4.20), а к» (&+1)а
получим 25^ (а) sin - = 2sin — cos—, откуда следует равенство для 5* (а), т. е. формула (а).
Аналогично доказывается справедливость равенства (б). ■
Замечания.1. Вместо приведенного способа решения можно применить метод математической индукции.
2. Запоминать полученные формулы нет необходимости, однако показанный здесь прием преобразования тригонометрических выражений может оказаться эффективным в практике решения аналогичных задач.
Группа А
Доказать тождества (4.001—4.062):
4.001. (1+cos-12a + tg2a) (1— cos-12a+tg2a) = 2tg2a.
4.002.4.002.cos l2a+ctgcos l2a+ctg4.003.4.003.2 sin22 sin2cos (3 л -2a)cos (3 л -2a)
4.002.
4.002.
cos l2a+ctg
cos l2a+ctg
4.003.
4.003.
2 sin2
2 sin2
cos (3 л -2a)
cos (3 л -2a)
4 004 tg2a+ctg30_tg2a
ctg2a+tg3^ tg3^
4.005. cos a 4- cos 2a + cos 6a + cos 7a=4 cos (a/2) cos (5a/2) cos 4a.
4.006. sin 9a+sin 10a + sin lla + sin 12a=4cos (a/2) cos a sin (21a/2).
4.007. cos 2a—cos 3a—cos 4a + cos 5a = —4 sin (a/2) sin a cos (7a/2).
4.008. sin4a— sin5a—sin6a-f-sin7a =— 4sin (a/2)sinasin (lla/2).
4.009.4.009.cos a-f-sin a + cos 3a + sin 3a = 2^/2cos a sincos a-f-sin a + cos 3a + sin 3a = 2^/2cos a sin8 cos12a4.010. tga + ctga+tg3a + ctg3a=. sin 6a8 cos12a4.010. tga + ctga+tg3a + ctg3a=. sin 6a4.011. (sin a) "1 + (tg a) 1 = ctg (a/2).4.011. (sin a) "1 + (tg a) 1 = ctg (a/2).4.012.4.012.sinsinI—sin (3a—л)I—sin (3a—л)/5л 3a\= ctg —+— .I 4 2//5л 3a\= ctg —+— .I 4 2/sin 2a—sin 3a+sin 4 a4.013. tg 3a.cos 2a—cos 3a+cos 4asin 2a—sin 3a+sin 4 a4.013. tg 3a.cos 2a—cos 3a+cos 4a4.01*4.015.4.01*4.015.,,1 1/5л\2sm2 (Зя—2a)cos1(5я+2а)=sin I8a ).44 \2/1+sina./лa\sin2a (l+tg2atga)+=tg2a+tg2I -+- I.1-sina\4 2/,,1 1/5л\2sm2 (Зя—2a)cos1(5я+2а)=sin I8a ).44 \2/1+sina./лa\sin2a (l+tg2atga)+=tg2a+tg2I -+- I.1-sina\4 2/
4.009.
4.009.
cos a-f-sin a + cos 3a + sin 3a = 2^/2cos a sin
cos a-f-sin a + cos 3a + sin 3a = 2^/2cos a sin
8 cos12a
4.010. tga + ctga+tg3a + ctg3a=. sin 6a
8 cos12a
4.010. tga + ctga+tg3a + ctg3a=. sin 6a
4.011. (sin a) "1 + (tg a) 1 = ctg (a/2).
4.011. (sin a) "1 + (tg a) 1 = ctg (a/2).
4.012.
4.012.
sin
sin
I—sin (3a—л)
I—sin (3a—л)
/5л 3a\
= ctg —+— .
I 4 2/
/5л 3a\
= ctg —+— .
I 4 2/
sin 2a—sin 3a+sin 4 a
4.013. tg 3a.
cos 2a—cos 3a+cos 4a
sin 2a—sin 3a+sin 4 a
4.013. tg 3a.
cos 2a—cos 3a+cos 4a
4.01*
4.015.
4.01*
4.015.
,,1 1/5л\
2sm2 (Зя—2a)cos1(5я+2а)=sin I8a ).
44 \2/
1+sina./лa\
sin2a (l+tg2atga)+=tg2a+tg2I -+- I.
1-sina\4 2/
,,1 1/5л\
2sm2 (Зя—2a)cos1(5я+2а)=sin I8a ).
44 \2/
1+sina./лa\
sin2a (l+tg2atga)+=tg2a+tg2I -+- I.
1-sina\4 2/
4.016. 1 —sin 4а 4-ctg I2a I cos 4a=0.
. _ a _ a sin2 a—4 4.017. an”—cos°- =cos a.
224
4.018. cos I —h4a 14-sin (Зя—8a)—sin (4я— 12a) —4 cos 2a cos 4a sin 6a.
/5л\
cos I6a )4-sin (л4-4a)4-sin (3л—a) \ 2/
4.019. tg a.
/5л\
sin I1-6a 14-cos (4a—2n)4-cos (a4-2n)
\ 2)
4.020.4.020./Зл\/3л ’1 4-ctg I 2aI ctgha X2/\2,/Зл\/3л ’1 4-ctg I 2aI ctgha X2/\2,4.021.4.021.ctga-htga/14 л'ctga-htga/14 л'= ^tg2a.= ^tg2a.8л8л4.022.4.022.sina4-sin a+— 4-sin I aj = 0.\ 3 /\ 3/.. cos2 a—cos2 flctg2a-ctg2^=-TT--—.sin'1 asm* psina4-sin a+— 4-sin I aj = 0.\ 3 /\ 3/.. cos2 a—cos2 flctg2a-ctg2^=-TT--—.sin'1 asm* p
4.020.
4.020.
/Зл\/3л ’
1 4-ctg I 2aI ctgha X2/\2,
/Зл\/3л ’
1 4-ctg I 2aI ctgha X2/\2,
4.021.
4.021.
ctga-htga
/14 л'
ctga-htga
/14 л'
= ^tg2a.
= ^tg2a.
8л
8л
4.022.
4.022.
sina4-sin a+— 4-sin I aj = 0.
\ 3 /\ 3/
.. cos2 a—cos2 fl
ctg2a-ctg2^=-TT--—.
sin'1 asm* p
sina4-sin a+— 4-sin I aj = 0.
\ 3 /\ 3/
.. cos2 a—cos2 fl
ctg2a-ctg2^=-TT--—.
sin'1 asm* p
4.023. (cos a — cos Д)2 4- (sin a - sin Д)2 = 4 sin2.
(tga-hcos-1 a) (cosa —ctga)
4.024. ——~=1.
(cosa-hctga) (tga-cos'*a)
sin 4a cos 2a/3 л\
4.025. '=ctg Ia ).
14-cos4a 14-cos2a\2/
4.026. cos2 (a —90°)4-ctg2 (a-270°)=—— cos2 (a4-180°).
sin2 (a 4-90°)
4 027 ^gt90*41*) _ tg(180°+a) + l
"' 1+ctg (360“-a) ctg (270°-a)-1’
tg2acos~‘ 2fl—tg2flcos~* 2a„
4.028. = tg(a-№.
cos"'2a 4-cos'*2Д
4.031. (cosa—совД)1—(sina—smj8)2 =4.031. (cosa—совД)1—(sina—smj8)2 =4.029. 2 I sin'1 4a—tg I — 4-4a I >4-tg (5R4-a)=ctga.
4.031. (cosa—совД)1—(sina—smj8)2 =
4.031. (cosa—совД)1—(sina—smj8)2 =
a-Д
—4sm2 -j~ cos (а4-Д).
* /7л X , /9л\ sin4a
4.032. sin1 ^-—2aJ—sin2 ^——2a^=—
4.033. cos4a—sin 4a ctg 2a=cos 2a—2cos2a.
4.034.4.034./9л «X , /7л a sin I —Ь- I—sih I —Ь-\8 4/ к 8 4,/9л «X , /7л a sin I —Ь- I—sih I —Ь-\8 4/ к 8 4,sin (a/2)sin (a/2)22
4.034.
4.034.
/9л «X , /7л a sin I —Ь- I—sih I —Ь-
\8 4/ к 8 4,
/9л «X , /7л a sin I —Ь- I—sih I —Ь-
\8 4/ к 8 4,
sin (a/2)
sin (a/2)
2
2
4.035. cos4atg2a—sin4a=-—.
tg2a—1
/лX/1
4.036. sin22a-cos I --2a sin 2a— =-.
\3/к6/ 4
14*14*. . /л X
1
4*
1
4*
4.037. sin a+cos I —a cos \3/
4.038.4.038.tg3a 1—ctg2 3a tg23a-l ctg 3a
4.038.
4.038.
4.039. cos 4a—sin 4a ctg 2a = — 1.
4.040.4.040.cos 4al+cos4a
4.040.
4.040.
i'
cos'2 2a—1 sin 2 2a— 1
tga—cos'1 a_.
4.041.=tg a cos 1 a.
cos a—ctg a
4.042. cos2 (45°—a)—cos2 (60° +a)—cos 75° sin (75° — 2a)=sin 2a.
1—2sin2a 1—tga
4.043. =.
+sin 2a 1+tga
sin 2a+ sin 5a — sin 3a
4.044. = 2 sin a.
cosa+1 — 2 sin 2a
ctg2 2a— 1
4.045.cos 8a ctg 4a=sin 8a.
2 ctg 2a
4.046.=- sin 4a.
ctga-tga 2
cos 4a
4.047. ctg (45° +2a) =.
1 +sin 4a
(sin1a+tg2a+l) (cos2a—ctg2a+l)
4.048. ——= 1.
(cos2a+ctg2a+l) (sin2a+tg2a-1)
/Vtga+VctgaX2 2
4.049. ( ———— ) =.
\ sina+cosa / sin2a
4.050. sin2 (45° + a)—sin1 (30°—a)—sin 15° cos (15°+2a) = sin2a.
4.051. sin6a+cos6a+3sin2acos2a=l.
4.058.4.058.ctg2a -tga\ 2/ctg2a -tga\ 2/
4.058.
4.058.
ctg2a -tga\ 2/
ctg2a -tga\ 2/
. tg3a 3-tg2a
4.052. =.
tga 1—3tg2a
4.053. sin a 'sin (x—a) + sin2 |- — a | = sin2 -. V /2
4.054. cos2 a—sin2 2a=cos2 a cos 2a—2 sin2 a cos2 a.
sin 7a
4.055.2 (cos2a + cos4a+cos6a) — 1 =0.
sin a
4.056. sin2 a — sin2 P= sin (a+Д) sin (а —Д).
4.057. cos4x+sin2y+- sin2Zx— 1—sin (y + x) sin (y—x).
(л\
- + a ) tg (2л —2a)
2 )
4.060.4.060.cos 2a+sin 2a
4.060.
4.060.
tg 4a + cos 4a =.
cos 2a—sin 2a
tga + tg^ tga —tg^
4.061.1h2tg2a = 2cos a.
tg(a+№ tg(a-№
4.062. 1 — sin2 2a 4- cos 2a=cos2 a + cos4 a.
4'
Упростить выражения (4.063—4.113):
4.063. 1— sin |—3л |—cos2- + sin2 \2/44
l+sin2a,
4.064.f-cos2a.
/ 5л\
cos (2a- -2л) ctg ( aI
а\а/а\
2л+- I ctg —cos I 2л+- I
4/8V4/
/аXа/7лаХ
\4/8\ 24/\4/8\ 24/cos I —Зя) ctg-+cos II
\4/8\ 24/
\4/8\ 24/
4.067. cos а (1+cos 1 а + tga) (1 -cos-1 a + tga).
4.068. sin2a (1 + sin-1 a + ctga) (1 —sin-1 a+ctga).
4.069.4.069.1—cos (8a-3л) tg 2a—ctg 2a
4.069.
4.069.
) sin [I sin
6 2/\3 2/2
4.071. sin2 |-+2/?| —sin2 |--20). \2/\2/
cos"12x+sin2xtg2x1
4.072.— +
l+cos4xX/я X
4 sin I —x I ctg [ —x )
\4 /V J
4.073. cos2 (a + 2Д) + sin2 (a — 2Д) — 1.
4.074. sin1 (a+2/?) +sin2 (a —2/?) —1.
4.075. (cosa—cos2/?)2 + (sina + sin2/?)2.
(I — cos 2a) cos (45°+2a)
4.076. .
2 sin2 2a—sin 4a
/Зл a\/11л a\
4.077. cos2I—cos2к- I.
\8 4/\ 84/
/a\/a\
4.078. ctg 45° — | + ctg 135°— .
к2/к2/
1 +ctg2actga
4.079. —.
tga+ctga
cosma—cos not
0. r-.
sin ла—sin ma
,/3n\_ /л \ _.(it
1.sin2I a(1— tg2a) tg ( -+a I cos 2I —a
\2 /\4 /\4
2. 1.
, / Зл\ 1—SMi-11 2a н— । \2/
cos-1 a+coe-1/?
3. .
tgacos-1 /?+tg/?cos-1 a
4.084.4.084.4.085.4.085.ctg3ctg3+ctg+ctgb1 —sinb1 —sin1 —tg (я—2a) tga4.086../Зя \ tga + tga\ 2/1 —tg (я—2a) tga4.086../Зя \ tga + tga\ 2/ctg2 I ad— I cos2 I a— I\ 2/ V 2/4.087. --.(я\ , /a— I—cos2 an— I2/\ 2/4 088ctg(270°~a) ctg2 (360° -a)-1' 1-tg2 (a—180°)ctg(180° + a)cos2 (a—270°) sin2 (a+270°)4.089. —+—.sin"2 (a+90°)-l cos"2 (a-90°)-lлол (1+tg2 («-900)) (sin"2 («-270°)-1)4.v9U..(l+ctg2 (a + 270°)) cos'2 (a + 90°)ctg2 I ad— I cos2 I a— I\ 2/ V 2/4.087. --.(я\ , /a— I—cos2 an— I2/\ 2/4 088ctg(270°~a) ctg2 (360° -a)-1' 1-tg2 (a—180°)ctg(180° + a)cos2 (a—270°) sin2 (a+270°)4.089. —+—.sin"2 (a+90°)-l cos"2 (a-90°)-lлол (1+tg2 («-900)) (sin"2 («-270°)-1)4.v9U..(l+ctg2 (a + 270°)) cos'2 (a + 90°)4.091.4.091.sin2sin2-ctg2-ctg2
4.084.
4.084.
4.085.
4.085.
ctg3
ctg3
+ctg
+ctg
b
1 —sin
b
1 —sin
1 —tg (я—2a) tga
4.086..
/Зя \ tga + tga
\ 2/
1 —tg (я—2a) tga
4.086..
/Зя \ tga + tga
\ 2/
ctg2 I ad— I cos2 I a— I
\ 2/ V 2/
4.087. --.
(я\ , /
a— I—cos2 an— I2/\ 2/
4 088ctg(270°~a) ctg2 (360° -a)-1
' 1-tg2 (a—180°)ctg(180° + a)
cos2 (a—270°) sin2 (a+270°)
4.089. —+—.
sin"2 (a+90°)-l cos"2 (a-90°)-l
лол (1+tg2 («-900)) (sin"2 («-270°)-1)
4.v9U..
(l+ctg2 (a + 270°)) cos'2 (a + 90°)
ctg2 I ad— I cos2 I a— I
\ 2/ V 2/
4.087. --.
(я\ , /
a— I—cos2 an— I2/\ 2/
4 088ctg(270°~a) ctg2 (360° -a)-1
' 1-tg2 (a—180°)ctg(180° + a)
cos2 (a—270°) sin2 (a+270°)
4.089. —+—.
sin"2 (a+90°)-l cos"2 (a-90°)-l
лол (1+tg2 («-900)) (sin"2 («-270°)-1)
4.v9U..
(l+ctg2 (a + 270°)) cos'2 (a + 90°)
4.091.
4.091.
sin2
sin2
-ctg2
-ctg2
4Q92 tg (a/2)-ctg (a/2) tg (a/2)+ctg (a/2) cos2 a—ctg2a+l
3. —.
sin2a+tg2a-l
cos2 (2a-90°)+ctg2 (90° + 2a) + l
4. —.
4.095.4.095.sin2 (2a—270°)+tg2 (270°+2a)+l
4.095.
4.095.
sinsin
sin
sin
/Зя\/Зя
ctg I2a)+tgl—+2a
\2J\2
4.096.
11— cos (4а—л)1
/Зя \/ я\2а/ Зл\
2tg Ia) cos2 la— I2ctgla+—Isin2
\ 2/\2/\2 /
4.098.
4.099.
cos2a+2sin2 (а—я) cos2a+4sina+sin2 (а+л)cos3 (а—4л)cos a (4sina+l)
(Зл\/8я\/2л
2a+cos I 2a)+cos I —+ 2a
2/\3 /\3
4 sin2 (а—5л)—sin2 (2a+я)
(1п\
cos2 I 2aI—4+4sinJa
\2/
4.103.
(l+sin2a)
4.104..
tg4a—tg2a
sin6a cos (6a—л)
4» 105» —-'■" ■"" -|-e
sin 2acos 2a
( л
• '-cos (4«--2л)+«» I 4a—
+cc i (4а+-я)-*-сот+cc i (4а+-я)-*-сот4.106.
+cc i (4а+-я)-*-сот
+cc i (4а+-я)-*-сот
^ ^^ sin (2а+2я)+28Ш (4a— n)+sin (6a+4n) cos (6л-2a)—2cos (4a—n)+cos (6a—4л)
4.108.
4 sin
a\
— l-ctg-
2/
Зя «\
д*г)
(3*\
sin (2«+Д+яп (2а—Д—cos (2а I
\2/
4.109. —-.
/Зя
cos (2а+Д+со$ (2а—Д—sin I —Н2а
cos За+cos 4а+cos 5а
4.110..
sin За+sin 4а+sin 5а
4.111.
, /5я\
cos2 I2а +4 cos
\2/
1+cos (4а—я)—8sin2 (5я—а)
4.112.
cos
sin
/я—а\ /я—а
cos2 I11 2sin1-cos
\ 4 Л 2
4.113.
1 + cos а+cos 2а+cos Заcosa+2cos2a—1
Преобразовать в произведение (4.114—4.147):
4.114. sin4a — 2cos22a+l.
aa
4.115. tg- + ctg- + 2.
22
4.116. cos *a—sin 4 a.
4.117.
tg*a-tg6actg4 a—ctg2 a
4.118. l-3tg2 (a+270°).4.119. 1 — 3tg2 (a-180°).
4.120. tg24.120. tg2Зя\ / Зя\ aI—ctg a4— I.
4.120. tg2
4.120. tg2
2/ '\2/
3sin2 (a—270°)—cos2 (a+270°).
sin2 (a + 90°) - 3 cos2 (a - 90°).
-, / я\ , / Зя\
sin2 I p— )—cos2 I aI.
V 2/\2/
, /Зя \
3-4cos2(a .
\2/
3-4sin2 I—a .
\2/
/я\/Зя\/5я’
1+cos I—1-3a I—sin I3a |+ctg I—ЬЗа
\2/\2/\2,
1+cos (2a+270°)+sin(2a+450°).
4.128. l-cos(2a-270°)+sin(2a+270°).
/5я\, / Зя\
sin I2a |+2sin2 I 2a1—1.
■\2) V 2/
1—cos (2a —я)—cos (4a + я) + cos (6a—2я). /Зл\/5л
l+ctgl4a I + sin 4—+ 4a . \2/\2/
sin a— 2 cos 3a—sin 5a
.
cosa—2 sin 3a—cos 5a . /а Зл\г /5яX .
2cos2 I) + V3coslal—1. \2 2 /\ 2/
sin 4a+sin 5a + sin 6a
.
cos 4a+cos 5a+cos 6a
— cos 5a cos 4a—cos 4a cos 3a + 2 cos2 2a cos a.
sin 10a sin 8a + sin 8a sin 6a — sin 4a sin 2a.
cos 7a—cos 8a—cos9a+cos 10a
-.
sin 7a—sin 8a—sin 9a + sin 10a
sin5a—sin6a — sin 7a+sin8a.
cos 3a - cos 4a —cos 5a + cos 6a. sin 13a+sin 14a + sin 15a + sinl6a
.
cos 13a+cos 14a+cos 15a+cos 16a
sin 2a+sin 4a + sin 6a.
sin 5a+sin 6a + sin 7a + sin 8a.
cos 5a+cos 8a + cos 9a + cos 12a.
3 + 4cos4a + cos8a.
^tga+sina—.Jx% a — sin a, 0 < a < я/2.
1 + sin 2a—cos 2a — tg2a.
sin2a+sin4a—sin6a.
Доказать справедливость равенств (4.148—4.152):
(sin 160° +sin 40°) (sin 140°+sin 20°) + + (sin50°-sin70°) (sinl30o-sinll0o)=l.
(COS340)-1 +(tg56°)-1=ctg28°.
cos 28° cos 56° cos 2° cos 4°V3sin38°
+.
sin 2°sin 28°4 sin 2° sin 28°
1-2 sin 50°=0,5 cos" *160°.
(cos 70° +cos 50°) (cos 310° +cos 290°) + + (cos 40° +cos 160°) (cos 320°-cos 380°)= 1.
Вычислить (4.153—4.166):
sin2 (я/8)+сов2 (3n/8) + sin2 (5я/8) + со$2 (7я/8).
tg435°+tg375°.
tg255°—tgl95°. (Зя4\
sin I ——2arctg -I.
13я5л
ctgctg —.
1212
sin I 2a 4— J, если tga=~.
cos | 2a 4— I, если ctga=-. \4/3
5 4.160. , если tga = 0,2.
6+7sin2a
, если tga = 0,2.*
3+4cos2a'
sin a, если sin (a/2) + cos (a/2)= 1,4. ■
sin 2a, если sin a — cos a = p.
2 —13cos2a + sin-12a, если ctga= —1/5.
1+ 5sin2a —3cos-12a, если tga= —2. (5л\/5л\/7л\9
—ba — tg Ia , если tg —b2a =—.
4/V/\2/11
Найти число ae (я/2, я), если известно, что tg2a= —12/5.
Доказать, что если А и В — острые углы некоторого прямоугольного треугольника, то sin 2Л + sin 25=4 sin Л sin В.
Найти число р (п/2<р<п), если известно, что tg (а + Д) = 9/19 и tga= —4.
Найти sin4 a + cos4 а, если известно, что sin a—cos а= 1/2.
Дано: ctgа = 3/4, ctgД = 1/7, 0<а<я/2, 0<Д<я/2. Найти а + Д.
Найти ctg 2а, если известно, что sin (а—90°)=—2/3 и 270°<а<360°.
Доказать, что если аир удовлетворяют неравенствам 0<а<я/2, 0<Д<я/2 и cosa=7/^/50, tg Д = 1/3, то а+2/?=я/4.
Найти tg2a, если известно, чтоcos (а—90°) = 0,2
и90°<а<180°.
Доказать, что если а и Р удовлетворяют неравенствам 0<а<я/2, О^Р^я/2 и tga = 5, ctg Д = 2/3, то а+Д=Зя/4.
Дано: ctga = 4, ctg Д= 5/3, 0<а<я/2, 0<Д<я/2. Найти а + р.
4 ATI. Вычислить (1 + ctga) (1 Л-ctg Д), если а + Д=Зл/4.
Вычислить (1+tga) (1 -+- tg Д), если а+/?=я/4.
Доказать, что если sin a = ./21/7, sinP=V^iU и a, P- острые углы, то а+Д=60°.
.’ sina + tga
Показать, что выражениенеотрицательно в области
cosa+ctga
определения.
Исключить а из равенств x=tg2a, y=sin2a,
Доказать, что cos 2—cos 8 <0.
Величины а, р, у составляют арифметическую прогрессию, sin a—sin у
Доказать, что=ctgp.
.cosy—cos я
55Дана дробь . ..■. Преобразовать подко-
5
5
1 + 3 V32 cos415° -10- sV3
репное выражение к более простому виду, после чего дробь сократить.
Выразить tg*a+ctg*a через т, где m=tga+ctga.
Группа Б
Доказать тождества (4.186—4.239):
sin4a+cos4a— 1 2
—=-.
sin6 a+cos6 a—1 3 (itX . /яX sin 3a
—a I sin I —a 1 =.
6/\3/sin a
sm-12asin-1 (60° — 2a) sin-1 (60°+2a) = 4sin-16a.
cos 6a—cos 7a—cos 8a+cos 9a15a
= ctg—.
4.190.4.190.sin2 (Зя—4a)+4 cos2sin2 (Зя—4a)+4 cos2= ctg42a.= ctg42a.4.194.4.194.tga+cos ‘a— 1 =tga+cos ‘a— 1 =4.195.4.195.l + ctga+sin-1l + ctga+sin-1a=a=a2 sin - sina2 sin - sin'я aЛ 2,'я aЛ 2,sin6a—sin7a—sin 8a+sin 9 a2
4.190.
4.190.
sin2 (Зя—4a)+4 cos2
sin2 (Зя—4a)+4 cos2
= ctg42a.
= ctg42a.
4.194.
4.194.
tga+cos ‘a— 1 =
tga+cos ‘a— 1 =
4.195.
4.195.
l + ctga+sin-1
l + ctga+sin-1
a=
a=
a
2 sin - sin
a
2 sin - sin
'я a
Л 2,
'я a
Л 2,
/a я\
(l+sina)ctg[)..
4.196.
\2 4/,\
:- - tg2 I -+- I.1
/7л a\/5л a\\4 2/
2 sin JI cos I —h- I
\4 2/\4- 2/
4.197.
ctg2 (2a—л), /5л\. /л \ . /л \
3cos2 I2a |=4sin I —2a I sin 1 —h2a 1.
, /Зл \\ 2/\6/\6/
1+tg2 (2a)
\ 2)
/Зл a\/5л \
4cos2 (а—л)—4snr I)+3cos2a I
\ 2 2/\ 2), a
4.198.
1L1=tg* -. /п a\/7я\2
4 sin2 I1—cos2 Ia 1
\2 2/\2/
/я \ /я \
4.199.
1 —cos (2a—л) + cos (4a—2л) = 4cos2acos 1 - + a 1 cos 1 —a 1.
\6 /\6 7
/Зл \/5л\(Su \
4.200.
sin Ia 1 (tg2a— 1) ctg I a1 sin- I —ha 1=2.
\ 2/\4 /\ 4/
cos4 (а—л)1,
4.201.
= — ctg2 a.
/Зл\/Зл\2
cos4 I al+sin4 I a4— — 1
\2/\27
4.202.
( 3л \
tg 1 aI (1—sin 2a)=cos 2a.
\47
4.203.
cos 4a tg 2a—sin 4a_
= - tg2 2a.
cos 4a ctg 2a+sm 4a
( Зл\,/ л\
4.204.
ctg 1 4a)+cos- (4a— 3л) = ctg 1 2a— 1. \2/\4/
4.205.
sin a+sin/i+siny—sin (a + )J) cosy —
—cos (a + p) sin у = 4 sinsin -y sin -y.
/ л\
sin 1 4a 4— )
4.206.
2cos22a + V3sin4a —1\67
2sin22a+x/3sin4a—1. /, ”\
vsin I 4a— I
\67
4.207. 3 — 4 cos (4a—3л)—cos (5л + 8a) = 8 cos4 2a.
4 208 1+cos С^+бЗСП+яи (2a+810°) '' 1 — cos (2a—630°)+sin (2a+6ЗО0)”^8 ^
4.209.4.209.=ctg4 2a.=ctg4 2a.3+4cos4a+cos8a
4.209.
4.209.
=ctg4 2a.
=ctg4 2a.
3— 4cos4a+cos8a
3 + 4sin(4a4—) + sin I 8аЧ—)=8sin*2a. \2 /\2 /
cos~6a—tg6a=3tg2acos-1a+l.
l-2sin22a l+tg2a
=.
1—sin 4a1— tg2a
sin2 (135°—a)—sin2 (210°-a)-sin 195°cos (165°-2a)cos2 (225° + a) —cos2 (210° — a)+sin 15° sin (75°—2a)
Vctg« + Vtg=, /”\
2= = ctg I —a )•
-,/ctga-Vtga \4/
,, 2cossin2 (а—/П
ctg2 a-bctg2/J—! + 2=
sin a sin psin a sin2 p
sin 2a (2 cos 4a +1) ctg (30°—2a) ctg (30°+2a) = sin 6a ctg 2a tg 6a.
/4 л \/2 л\ 1 .
sin (я+а) sin I —ba I sin I —ba l=- sin 3a.
sin 6a+sin 7a+sin 8a+sin 9a15a
= tg—.
cos 6a+cos 7a+cos 8a+cos 9a2
/я a\ /я a\ a
/7л a\/a\ a 8
sin I1+sin I —Зя I tg -
\2 4/\4/ 8
1 +cos (2a—2я)+со$ (4a+2л)—cos (6a—л)
=2 cos 2a.
cos (2л—2a)+2cos2 (2a4-я) —1
ctga—tga—2tg2a—4tg4a=8ctg8a.
ctga—tga—2tg2a=4ctg4a.
4cosacos<pcos (a—<p)—2cos2 (a—y)—cos2y = cos2a.
sin2 <p—cos2 (a—<p)+2cosacos<p cos (a—<p)=cos2a.
cos2y+cos2 (a—<p)—2 cos a cos <p cos (a—y) = sin2a.
tg 6/?- tg 4/i - tg 2P= tg 6P tg *p tg ip.
4.228.4.228.
4.228.
4.228.
2 sin2 4а —1
= -1.
/л\/5л \
2ctg I -+4а I cos2 I ——4а ) \4/\4 /
,sin 2а—cos 2а
tg4a—cos l4a=.
sin2a4-cos2a ,, 5+3cos4a
cos6 a 4-sin6 a=.
8
4.232.4.232._cos 2a (3+cos 4a)
4.232.
4.232.
44cos” a—sin ” a=.
4
4
4.233. ctg (30°-a) ctg (150°-a) ctg (270° + a) = tg3a.
4.234.4.234.4 sin4 sinsinsinsinsin= cos 6a.= cos 6a.
4.234.
4.234.
4 sin
4 sin
sin
sin
sin
sin
= cos 6a.
= cos 6a.
1 — 2 cos2 2a1 — 2 cos2 2a
1 — 2 cos2 2a
1 — 2 cos2 2a
4.235.4.235.= 1./л\/л\
4.235.
4.235.
2tg I 2a— 1 sin2 I - + 2a I \4/\4/
16 sin5 a — 20 sin3 a + 5 sin a = sin 5a.
/л a\1
tg I- + - I — tga =.
\4 2/cos a
3 I « + - 1I cos 2a 4-\ 2//
+ 2sin3acos (Зя—a) sin (а — я) = 2sin2 (5a/2).
(sin a—sin Д) (sin a 4-sin Д) = sin (a—j8) sin (a 4-/?).
Упростить выражения (4.240—4.284):
I cos 2a 4.241.——; 90°<a<135°.
\ ctg2a—tg2a
VO — sin a sin ^)2 — cos2 a cos2/?.
(cos 8a tg 4a—sin 8a) (cos 8a ctg 4a+sin 8a).
sin22a+sin2^+cos (2a+/?)cos (2a—fl).
(In\
sin (2a—3n)+2cos I —I-2a ) \6J
—.
/я \ г
2cos I—2a l+VScos (2a—Зя) \6/
cos 2a—cos6a+cos 10a—cos 14a 4e246«■!!■■ ■■Ill — lll I I m .Ill llllll^
sin 2a+sin 6a 4-sin 10a 4-tin 14a
/, /Зя, /”\/5я\/”
4.247.
(1—ctg2 (2а I )sin21 —к 2а ) tg I2а ) + cos 4а —
\\2//V /\4/\2
/Зя \/ я\
4sin (я—2х) sin2 1—hx ) sin3xcosx+3sinxsin 1 х—)
4.248.
\ Z /X */
l+cos8xcos24x
/ 4 sin 1 4а— 1
4.249.
2Ч.1.
, /Зя\, /5я\
ctg2 1 2а1—tg2 1 2а Н— I \2/\2/
4.250.
(1+tg2a)2—2tg22a . мп 4а— 1.
l+tg22a
4.251.
sin (80° +4а).
4 sin (20°+а) sin (70°—а)
4.252.
cos2 (4а—Зя)—4 cos2 (2а—я)+3 cos2 (4а+3я)+4со$2 (2а+я)—1
/ я\ /5я\
cos I 4а— I sin IН2а )
4.253.
\2/\ 2)
(1 + cos2а) (1 +со$4а)
/ я\/я \/5я\/Зя \
4.254.
4cos | а— I sin3 I —Ьа I—4sin Ia cos31 —f-a 1.
\2/ V /\2/\2/
4.255.
cos* 2а—6 cos2 2а sin2 2а+sin* 2а.
tg2 2а-- -1
\4/
4.256.
, /5я\
1g-
/Зя а\
sin2 (а—я)—4cos ()
4.257.
'\2 2/
, / 5я\/я а\
cos2 1 а)—4+4 cos2 1 —I— )
\2 /\2 2/
4.258.
__,Г /Зя \
cos~24a—tg2 (Зя+4а)-2cos2 a—V3cos 1 у—2а 1.
/5я\/5я\
tg 14а ) sin2 1 —h4a 1
4.259.
\4/\4/
1—2 cos2 4а
4.260.
/ Зя' 4 sin4 I а——
X 2.
. / 5я\ sin4 I аl+cos*
X 2/
5я\ «+— -1 .2/
4.261.
/5я'
sin | 4а н—
\2.
( Зя\
1 +cos [ 4аI
X 2/
4.262. (tg 255° - tg 555°) (tg 795° + tg 195°).
4.263.
tg615°-tg555°
tg795°+tg735°"
/ я\ /Зя
Зя'
4.264.
cos | 2x4— I sin IЗх )—cos (2х—5я) cos I Зхн—
X 2/\2/\2,
’5я
’5я
sin |х I cos4x+sinxcos ( —h4x
2
2
4.265.
9я
я
sin (2х—я) cos (х—Зя) + sin I 2х—- I cos I х+- I.
4.266.
7я
Зя
5я'
sin (х+2я) cos I 2х1 + sin Iх I sin ( 2x
V 2/\2 J \2,
4.267.
4.268.
Зя\ / ЗяХ аl+cos 11 «4— I.
4.269.
4.270.
4.271.
3cos2 (a+270°)-sm2 (a-270°)
3sin2(a-900)-cos2(a+900) ’
sin 2a+cos 2a—cos 6a—sin 6a
sin 4a+2 sin2 2a—1
V(1_ tK12a) (ctg2 2a-1).
4.272.
V^a+Vctea
я
я
4^73.
tge~Vct8«
:, 0<а<- и а#-. ,24
cos'
sin2 a sin3 8
+—.
sin (a—/0 sin (^—a)
/2 sin a—sin 2a
/, если: а) 0<а<я; б) жа<2л.
у 2 sin а+sin 2а
cos1 (45° +a)-cos3 (30° - а) + sin 15° sin (75°-2а).
sin1 (135°-2а)-sin1 (210°-2а)-sin 195°cos (165°-4а). /1+sina/1 —sina
//, если: a) 90°<a<180°; 6) 270°<a<360°.
у 1-sin а у 1+sina
/ а—Зл\ л —a
f 1 + cosI ctg.
\2 /4
sin2 4a +4 sin* 2a—4 sin2 2a cos2 2a 4.230..
4—sin2 4a - 4 sin2 2a
/5я\, /5л\, /7л\
sin —l-4a I —sin6 I —Ha | + cos62a . \2/\2/\2/
sin8a+sin9a+sinl0a+sinIla cos8a—cos9a—coslOa+coslla 4.282. •:—.
cos8a+cos9a + cos Юа+cos 11a sin8a—sin9a—sin Юа+sin Ila
cos (270°-2a) ctg (30°-2a) tg (240°-2a) (2 cos 4a-1).
(
/1—cosx\\ /l+cos2x 2 arctg II) /.
\ sinx //yl—cosZx
Преобразовать в произведение (4.285—4.331):
sin6a—2V^cos23a +V3.
,
—= sin 4a +1 — 2 cos12a.
V3
3 — 4 cos 4a + cos 8a—8 cos* 2a.
4288. tg3x—tg3x —3tgx + 3.
tg*x—4tg2x+3.
6sin32a— 1 — cos4a.
^/1+sin (a/2) — v/i — sin (a/2), если 0°<a< 180°.
2 cos3 2a+ 3 cos 4a—3.
cos1 a+cos1 P — 2 cos a cos P cos (a—P).
яа(2а—P) sin В
— - +—-.
cos4a cos 2a
sin2 (a+8)—sm3a—sin3В
_,
sin3 (a+Д)—cos’a—cos3 P
sin3 (a—2/1)—cos3 a—cos3 ip.,
sin3 (2a—Д)—sin32a—sin3^.
(
5я+а\ /а—я\ . /а \, /а \
11 1+cosI cos 1 I —2я )—4cos2 I —Зл I.
4 )\2 / V / V /
4.299.
sin 8а
sin* 2а—cos* 2а
2—tg4a—ctg4a.
2 cos2 2а—1
tg 2а + cos 2а—sin 2а.
/я\, /Зя\
2tg I —2а I sin2 I2а I
\4/\4/
°^^2“.
l+tg4atg2a
1 — sin2 a—sin2 Д+2 sin a sin Д cos (а —Д). / Зя\ / 3л \/ л '
1+cos I 2a| + sin I 2a4— — ctg I - + 2a \2 /\2 / V
4.305.4.306.4.307.4.305.4.306.4.307.+ cos (2a—л) + sin+ cos (2a—л) + sin4 cos24 cos2sin asin a2 sin2 2a+^/5 sin 4a—2 sin2 2a+^/5 sin 4a—, если: a) 0°<a<90°; 6) 90°<a<180°., если: a) 0°<a<90°; 6) 90°<a<180°.4tg2a (1 — tg22a) sin 8a (1+tg2 2a)24tg2a (1 — tg22a) sin 8a (1+tg2 2a)2
4.305.
4.306.
4.307.
4.305.
4.306.
4.307.
+ cos (2a—л) + sin
+ cos (2a—л) + sin
4 cos2
4 cos2
sin a
sin a
2 sin2 2a+^/5 sin 4a—
2 sin2 2a+^/5 sin 4a—
, если: a) 0°<a<90°; 6) 90°<a<180°.
, если: a) 0°<a<90°; 6) 90°<a<180°.
4tg2a (1 — tg22a) sin 8a (1+tg2 2a)2
4tg2a (1 — tg22a) sin 8a (1+tg2 2a)2
cos2 (а—2Д) —cos2 fa—cos2 (2)8 —л).
1—cos (л—8a)—cos (л+4а).
cos 2a—sin 4a—cos 6a.
- /л\/лX/Зп\ /3л
sin* I - + a l + cosJ I - + a — cos I a+sm I —l-a
V/V/\2 /
2 cos12a+V^ sin 4a— 1. /9л\/5n\
sin I2a )+2sin2 I 2a1—1\ 2/\2/
.
(
л\ / л\ /3n\
2a4— I —sin I 4a— J + sin I 6a1
2/\2/\2 /
cos 2a—sin4a—cos 6a
.
cos 2a+sin 4a—cos 6a
4.317.
4.315. cos 2a+sin 4a—cos 6a.
sin-1
4.320.4.320.l-2sm2al-2sm2a/5я X /я2tg I —+a I cos2 I -+a/5я X /я2tg I —+a I cos2 I -+a/ я X /—tga+sin I —ba I—cos I a—/ я X /—tga+sin I —ba I—cos I a—к I rqк I rq
4.320.
4.320.
l-2sm2a
l-2sm2a
/5я X /я
2tg I —+a I cos2 I -+a
/5я X /я
2tg I —+a I cos2 I -+a
/ я X /
—tga+sin I —ba I—cos I a—
/ я X /
—tga+sin I —ba I—cos I a—
к I rq
к I rq
3tg1(«+3n)-l
1—3tg2/a4—
X 2.
sin2a+cos2a—cos6a—sin6a.
4.322.4.322./Зя X ctg Ia ./Зя X ctg Ia .
4.322.
4.322.
/Зя X ctg Ia .
/Зя X ctg Ia .
cos3 I —ba I—sin2 /ba).
V 8 7 X 87
2cos2 (a) sin I aH— \47 X 4.
l+cos|—b2a) sinlaH—) \2 7 X 47
sinasin2 (a—270°) (14-tg3 a) 4-cos a cos3 (a4-270°) (l+ctg3a).
sin 2a 4-cos 4a—sin 6a.
cos2 2a—3 sin3 2a.
cos3 (na/2)—sin3 (zna/2).
1+tg (2a—- l + cos-1 | 2a+—|.
X 2/ X 27
/ ЗяХ/11яX
cos ( «4— }4-2cos (a I
x27\67
Г /2” ' +x/3sin Ia \2.
4.329. cos3 (2a)—cos3 (b2a).
I X 47 1 4.330. sina—I I .
I cosa—sina I
4.331. tg 210° 4-ctg 210° 4-tg 220° 4-ctg 220°.
Доказать справедливость равенств (4332—4.354):
sin 24° cos 6°—sin 6° sin 66°
4332. -1.
sin 21° cos 39°—sin 39° cos 21°
sin 20° cos 10° 4-cos 160° cos 100°
1.
sin 21° cos 9° 4-cos 159° cos 99°
cos 63° cos 3°—cos 87° cos 27°
cos 132” cos 72°—cos 42° cos 18*
cos 64° cos 4°—cos 86° cos 26°
= -1.
cos71°cos41°—cos 49° cos 19°
' cos 66° cos 6°+cos 84° cos 24°4.336. = 1.
cos 65° cos 5° +cos 85° cos 25°
sin3 70° sin2 50° sin210° = 1/64.
a) sin 15°=-—; 6) cos 15° = -—.
44
Vs+iV5-1
a) cos 36°——; 6) an 18°=—.
44
ctg 10° ctg 50° ctg 70° = ctg 30°.
sin 20° sin 40° sin 60° sin 80°
= 3.
sin 10° sin 30° sin 50° sin 70°
sinl0°sin30osin50osin70o=l/16.
sin 20° sin 40° sin 60° sin 80° = 3/16.
Зяя 1
ansin —=-.
1010 2
и2я4я6я1
cos -+cos —I-cos —i-cos —= —.
55552
4.346.4.346.8
4.346.
4.346.
ctg 60°+tg 60°+ctg 50°+tg 50°=-^ cos 20°.
4я 2я я
8 cos — cos —cos - = 1. 999
tg 9° + tg 15° — tg 27° - ctg 27°+ctg 9° + ctg 15° = 8.
(
Зя\/я a\
aJ tg I -H— I 2/\4 2/
- = 1.
/ ^”\
+cos faI
\2/<
. cos 70° + 8 cos 20° cos 40° cos 80° = 2 cos2 35°.
/Зя \ 3a . 3a г 3a /За л\
1 —cos I3a —sin —l-cos* — = 2V2cos — sin I —I— I. \2)222\2 4/
(
я\/5я\
2a—- 1+sin (Зя—4a)—cos I —А 6a 1
2/\ 2/
1 — cos 2a.
4 sin (5я—3a) cos (a—2я)
sin 10° cos 10°
cos 36°—sin 18°=sin 30°.
Вычислить (4355—4.367): , it .Зя 5п . 7л
яп -+cos* —F sin* —t-cos* —. 8888
sin 20° cos 50° sin 60° cos 10°.
cos (3n/5) cos (6 л/5). cos 68” cos 8°—cos 82° cos 22”
.
cos 53° cos 23” - cos 67° cos 37°
cos 70° cos 10°+cos 80° cos 20°
.
cos 69” cos 9° + cos 81° cos 21°
cos 67” cos 7°—cos 83° cos 23”
4.360.tgl64 .
cos 128° cos 68”—cos 38° cos 22°
sin 22° cos 8°+cos 158” cos 98°
.
sin 23” cos 7°+cos 157° cos 97”
6sina—7cosa + la
, если tg - = 4.
8sina+9cosa—12
/5л\/5я\/Зя\3
tg —bx | + tgx I, если tg —hx ) =
\4/\4/\2/4
sin и cos, если sina+sine=; cosa + cos8=-—; 226565
5яя
— <а<3ли —<в<0.
22
а—Д27а+Д 75л
cos, если sina + sin5=; tg= -,—<а<3я
265292
л
и —<Д<0. 2
sin3 a—cos3 а, если sin a—cos а = л.
2 sin 2а—3 cos 2а
, если tga=3.
4 sin 2а+5 cos 2а
Зная, что А, Ви С — внутренние углы некоторого треугольника, доказать справедливость равенств (4.368—4.374):
АВС
sin Л + sin J+sin C=4cos - cos - cos -. 222
sin .4+sin 2?+sin СAВ
=ctg - ctg -.
sin A + sin B— sin C22
sin 24 +sin 22?+sin 2C»= 4 sin .4 sin 2? sin C.
sinC
=tgX+tgA
cos4'cosS
1. 5шЗЛ + 5шЗЛ+япЗС= — 4cos — cos — cos —.
222
sin 4A + sin 4B+sin 4C= — 4 sin TA sin ТВ sin 2C. А В В С С А
tg - tg -+tg - tg -+tg - tg - = 1.
Найти tg (x/2), если известно, что sinx+cosx= 1/5.
1 — 2 sin2 (a/2)
Зная, что tg (a/2)=/n, найти.
1 +sina
1 +cos 2a 4.377. Найти значение выражения, если известно, что
ctg (a/2) — tg (a/2) sin a + cos a = m.
sin (a+Д) p
Известно, что=-. Найти ctgp. sin(a—Д) q
Зная, что sin a+cos a=m, найти sin6 a+cos6 a.
Известно, что tga=p/q. Найти sin 2a, cos2dm tg2a.
Найти cos2a, если известно, что 2ctg3a+7ctga+3 = 0 и число а удовлетворяет неравенствам: а) Зя/2<а<7я/4; б) 7я/4<а<2я.
Найти sin 2а, если известно, что 2tg2a — 7tga+3 = 0 и число а удовлетворяет неравенствам: а) я<а<5я/4; б) 5я/4<а<Зя/2.
cos (а+Д ' р
Известно, что=-. Найти tgp. cos (а— Д) q
Доказать, что выражение
/ Зя\г /Зя\1 — 2sin2 I a—— | + V3cos I 2a +— ) \2/\2// Зя\г /Зя\1 — 2sin2 I a—— | + V3cos I 2a +— ) \2/\2/
/ Зя\г /Зя\
1 — 2sin2 I a—— | + V3cos I 2a +— ) \2/\2/
/ Зя\г /Зя\
1 — 2sin2 I a—— | + V3cos I 2a +— ) \2/\2/
ял я
не зависит от а, где а*—|—.
2 12
a Р у a Р у
Доказать, что tg -+tg —l-tg - = tg - tg - tg -, если a+Д+у = 2я.
222222
яяяя4.386. Доказать, что выражение tg I 2a—- 1 sin I 4a+- 1 + cos I 4a+4.386. Доказать, что выражение tg I 2a—- 1 sin I 4a+- 1 + cos I 4a+
я
я
я
я
4.386. Доказать, что выражение tg I 2a—- 1 sin I 4a+- 1 + cos I 4a+
4.386. Доказать, что выражение tg I 2a—- 1 sin I 4a+- 1 + cos I 4a+
+— I не зависит от a, если a#- (4л+3).
Доказать, что выражение
Зя'2,Зя'2,, / Зя\1—cos* I a1—sin'
Зя'
2,
Зя'
2,
\2/
sin6a+cos6a—1
не зависит от а, если а#ял/2.
Доказать, что выражениеsin (250° +a) cos (200° —а) —
—cos 240° cos (220°—2а) не зависит от а.
Доказать, что выражение cos2 а+cos2 ф +cos2 (а + ф)— — 2 cos а cos <р cos (а+ф) не зависит ни от а, ни от <р.
Вывести формулу cos (п+1) а=2 cos а cos ла—cos (л—1) а, где п — любое действительное число, и с ее помощью представить cos За и cos 4а в виде многочленов от cos а.
Доказать, что
4 sin4 sinsinsincos (За/2)cos (а/2)cos (За/2)cos (а/2)
4 sin
4 sin
sin
sin
cos (За/2)
cos (а/2)
cos (За/2)
cos (а/2)
Дано sin а + sin/?=2sin (а + Д;а+Р^2лп (neZ). Найти
tg (a/2) tg (р/2).
Показать, что если р постоянно, то функция /(а) = pcos3a—cos За psin3a+sin3a
1также является постоянной, cos аыпа
Дана функция/(x)=cos*x+sin*x. Найти/(а), если известно, что sin 2а=2/3.
Доказать, что если а+/?=60° (а>0, Р>й\ то tgatg^<l/3.
Группа В
Доказать тождества (4.396—4.409):
4.396.4.396.3— 4cos2a+cos4a,
4.396.
4.396.
= tg* a.
3+4cos2a+cos4a
ctg (270° - 2a)+ctg (210° - 2a) + ctg (150° - 2a) = 3 tg 6a. /я \ //я\\,,sin 6a
ctg I - + a 11 1 + cos I 2a— 11 cos 12a+2 cos (4a—2л)=.
\4/ \\2//sin 2a
8 cos* a—4 cos3 a—8 cos2 a + 3 cos a +1 = — 2 sin (7a/2) sin (a/2).
cos (a+Д cosy + cosa+cos/?+cosy—sin (а + Д) siny = a+^a+yД+у
= 4coscoscos.
222
cos |——6a | sin3 (я—2a)—cos (6a—я) sin3 (—2a ] = cos3 4a. V 2/\ 2>
8 cos* a+4 cos3 a—8 cos2 a—3 cos a +1 = 2 cos (7a/2) cos (a/2).
sin2 a+sin3/?—2 sin a sin/? cos (a—/?) = sm2 (a—/?).
8cos*a—4cos3a—8cos2a+3cosa+l7a a
= —tg — tg
8 cos4 a+4 cos3 a—8 cos2 a—3cosa+l22
sina+sin/?+siny—sin (a+/?+y)а+ДД+уy+a
tg — tgtg.
cosa+cos^+cosy+cos (a+/?+y)222
ctg a—tga—2tg2a—4tg4a...— 2"tg2"a=2*+lctg2*+la, л— любое натуральное целое или 0.
яп2ла
cosa+cos3a + cos5a+...+cos (2л —1) а=, л — число сла- 2 sin a
гаемых.
cos (n+1) a sin ла л
cos а + со822а + „. + со$2ла=1—, л — число
2sina 2
слагаемых.
л cos (л+ 1) a sin ла
sin а + sin 2а +... + sin ла =, л — число
22 sin а
слагаемых.
Упростить выражения (4.410—4.412):
sin3 2a cos 6a + cos3 2a sin 6a.
3 sin a cos 3a + 9 sin a cos a—sin 3a cos 3a — 3 sin 3a cos a.
4 (sin*x+cos4x)— 4 (sin6x+cos6x) —1.
Преобразовать в произведение (4.413—4.415):
sin3 a cos 3a + cos3 a sin 3a.
1 / 1 — cos2a l+cos2a\
- I —^1~) +ctg 2a + cos 2a + sin 2a.
2 \cos 2 a— 1 sin 2a— 1/
cos 22a + 3 cos 18a+3 cos 14a + cos 10a.
Доказать справедливость равенств (4.416—4.440):
л2 л4 л8 л16л 1
cos —cos—cos —cos—cos — = —.
333333333332
2л4л6л18л2лл
3sin — + sin — — sinsin — = 8 sin — cos2 —.
1717172171717
2л4 л8 л16л32л1
cos —cos —cos —cos —cos — = —.
313131313132
tg 20° cos"1 20° tg 40° cos’1 40° tg 60° cos ’1 60° tg 80° cos’1 80° = = 48.
sin 10° sin 20° sin 30° sin 40° sin 50° sin 60° sin 70° sin 80° = 3/256. л2лЗл12л13л14л
cos — cos — cos —...cos — cos — cos —= —1/2 *.
151515151515
я2лЗл4л5л6л7л
cos — cos— cos—cos—cos —cos —cos — = 1/2
15151515151515
sin 10° + sin 20° + sin30°+ sin 40° + sin 50° = 0,5 sin 25° sin ’1 5°.
ctg 80° ctg 70° + ctg 70° ctg 30° + ctg 30° ctg 80° = 1.
ctg 70°+ 4 cos 70° = V3.
tg 9° - tg 27° - ctg 27°+ctg 9°=tg 15° + ctg 15°.
cos 50° + 8 cos 200° cos 220° cos 80° = 2 sin165°.
sinl8osin54o=l/4.
sin1 (arctg3 — arcctg (—1/2))= 1/2.
sin1 (arcctg (1/2)—arcctg (—1/3)) = 1/2.
4.431.4.431.4.432.4.432./- 1Х /115X 7
4.431.
4.431.
4.432.
4.432.
sin 2arctg - | + tg I - arcsin — )=-.
\2/\217/ 5
.1
sin 2arctg- —tg I - arcsin — )=-.
\2/\217/ 5
cos (2arctg2)—sin (4arctg3) = 9/25.
3615 я4
arccosarccos—=—arcsin-.
8517 25
я3615/ ЗХ
- +arccos — = arccos —|- arccos I — . 28517\ 5/
cos (2 arcctg 7) = sin (4arcctg3).
cos (11я/5) —cos (2я/5) = 1/2.
sin 84° sin 24° sin 48° sin 12° = 1/16.
tg 830° + tg 770° + tg 740° = tg 470° • tg 410° • tg 380°.
tg 12° tg 24° + tg 24° tg 54° tg 12° = 1.
Вычислить (4.441—4.462):
/11я1иХ/11я1иХ
ctg1— arccos — 4-ctg Iarccos — .
\ 42a)\ 42a)
fin12aX(In12aX
tg —k- arccos — +tgarccos — .
\42b)\42b)
ctg2sin (—H- arcsinI.
4\2 23 /
/3л 13\_ / 5я 1. 4\
cos (arcsin - —cos® I —I— arcsin - .
\2 25/\2 25/
1. /5я 14\
-—cos* | —I— arccos - 1.
4\2 25/
4.453.
ctg
'5я 1
—к- arccos
4 4
4.454.
1 arcctg -—arctg
4.455.4.455.
4.455.
4.455.
/5• 12\
tg I 2 arccos —==—arcsin — I
V v^613/
4.456.
4'
arcsin -—2 arctg (—2)
/13/ Г
ctg I - arccos —2 arcctg I —
V5\ 2,
4.458.4.458.arccos —3 arcctg ( — 2)arccos —3 arcctg ( — 2)4.459.4.459.4arcsin - — 2 arcctg4arcsin - — 2 arcctg
4.458.
4.458.
arccos —3 arcctg ( — 2)
arccos —3 arcctg ( — 2)
4.459.
4.459.
4
arcsin - — 2 arcctg
4
arcsin - — 2 arcctg
cos I - arccos —2 arctg (—2) I.
\25J
/5л16\/5 л16\
tg I —I— arccos - +tgarccos - . \42a)\42a)
/13\
tg - arccos —2 arctg (—2) I.
\25/
Найти ctg -, если известно, что sinx—cosx=
Доказать, что если sina=l/3, sin Д= 1/(3Vil), ыпу= 3/7П (a, Дну — острые положительные углы), то a 4-^+у = 90°. /я\/я\5я
Зная, что tga=m, найти sin2 I -4-a — sin I—a I—cos— x
\4/\6/12
/5л xsin2a \12
Известно, что cos 2a=m. Найти sin6 a 4-cos6 a.
Найти cos8 a—sin8 a, если известно, что cos 2a=/и.
sin 4a+sin 10a—sin 6a
Найти значение выражения—, если известно,
cos 2a 4-1—2 sin2 4a
что sin a—cosa=/n.
(
Зя\ 4я . x 5x
x)= — и что 0<x<-, найти sin - cos —.
2/5222
Пусть А, В и С — внутренние углы некоторого треугольника. Доказать, что sin3 Л 4-sin2 54-sin2 С— 2 cos A cos В cos С=2.
Доказать, что если cos 2а=cos 25 cos 2у, то 14-ctg (а4-6)х xctg (a—^) = sin-1y.
Пусть А, В и С — внутренние углы некоторого треугольника. Доказать, что
sin (2л+1) Л 4-sin (2л+ 1) 54-sin (2л4-1) С=
я 2л4-12л4-12л4-1
= (—1) 4 cosA cosBoosС,
222
где п — целое число.
Пусть А, В и С — внутренние углы некоторого треугольника. Доказать, что
яп2лА + ып2лВ + 5т2лС=( —1)”+1 4sinnJ sinnBsinnC,
где л — целое число.
Доказать, что равенство (sin<p)x4-(cos<p)x= 1 выполняется для всех фб(0, я/2) в том и только в том случае, если х=2.
Доказать, что выражение 4 cos a cos </> cos (a — <p)4-2sin2 (a — — <p)—cos2<p не зависит от <p.
. /15л\
Найти наибольшее значение выражения sin2 I ——4a I —
, X17” \
—sin2 I4a I при 0<а<л/8.
,„ „.ctg2a-tg2a
Наити наименьшее значение выражения при
(5я\
8a
2)
0<а<тг/8.
Доказать следующее утверждение: для того чтобы в треугольнике АВС один из углов был равен 60°, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство sin3>44-sin3.84-sin3C=0.
Доказать следующее утверждение: для того чтобы в треугольнике АВС один из углов был равен 36° или 108°, достаточно, чтобы выполнялось равенство sin 5А 4- sin 554- sin 5С = 0.
Доказать следующее утверждение: для того чтобы один из углов треугольника АВС был равен 36° или 108°, необходимо, чтобы выполнялось равенство sin 5А 4- sin 5В4- sin 5С= 0.
ctga-tga
Найти наименьшее значение выражения при
cos 4a 4-1
0<a< л/4.
cos 2a 4-1
Найти наибольшее значение выражения при
ctg (a/2)-tg (a/2) 0<а<л/2.
Доказать, что если tgatg^=l, то sin2a=sin2^ и cos2a= = —cos 2/?.
(
Зя \ 4х 5х
х )=- и 0<х<я/2, найти cos - cos —.2/322
Найти наибольшее значение выражения —— при
sin6 «4-cos6 а
ОСаСя/2.
1
Найти наибольшее значение выражения —— при
sin* а+cos4 а
0Са<я/2. /5я\ 3х5х
Зная, что sin Iх —-, найти sin - sin —.
V 2/ 522
Доказать, что если для некоторых чисел а, Д и у выполняется равенство (1— sina) (1— sin/?) (1— siny) = (l+sina) (l+sin/Г) (1+siny), то каждая из частей этого равенства равна |cosacos/?cosy|.
Доказать, что для чисел <р, удовлетворяющих неравенствам 0<д><к{4, выполняется равенство
,,V2COS®
l-tg^ + tg2<p-tg3p + ... = ——~—-.2 sin (я/4+<р)
Найти наименьшее значение выражения sin6 a+cos6 а при 0<а<я/2.
Найти наименьшее значение выражения sin* a+cos4 а при 0<а^я/2.
Показать, что если а постоянно, то функция /(x) = cos3x + 4-cos1 (a + x) — 2 cos a cos х cos (a+x) также является постоянной.
Найти сумму 1 + cos 4a + cos 8a +... + cos 4na.
Показать, что если x=tg5°, y = tg20° и z=tg65°, то xy+yz+zx- 1.
Доказать, что tgl42°30' + V6 + V3 — V2 есть целое число.
Пусть А, В, С — углы треугольника. Доказать, что 8 sin (Afi) sin (5/2) sin (С/2)<1.
Показать, что если arctgx+arctgy + arctgz = я, то x+y+z= = xyz.
Показать, что если arctgx + arctgy+arctgz= л/2, то xy+yz+zx= 1.
Пусть А, В, С — углы треугольника. Доказать, что 8 cos А х xcosScosC^ 1.
Пусть А, В, С — углы треугольника. Используя неравенство cos 4 cos В cos С^ 1/8, доказать, что sin1 А + sin1 В+ sin3 С^ 9/4.
ГЛАВА 5
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
1°. Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения вида sinx=a (где И<1), cosx=a (где |л|<1), tgx=a (где — со<а< + co), ctgx=a (где — со<а< + оо). Формулы решений этих уравнений имеют следующий вид (здесь и в дальнейшем neZ означает, что п — целое число):
sinx—а; х=(— 1)” arcsina+лл, neZ;(5.1)
cosx=e; х— ±агссо$о+2ял, neZ;(5.2)
- tgx=a; x=arctga+nn. neZ;(5.3)
ctgx=a; x=arcctga+im, neZ.(5.4)
В частных случаях при а=0, а= 1, а= — 1 получаются следующие формулы:
япх=0; х=ял, neZ;(5.5)
sinx=l; х—я/2+2ял, neZ;(5.6)
sinx= —1; х= —я/2+2ял, neZ;(5.7)
cosx=0; х=л/2+ял, neZ;(5.8)
cosx= 1; х=2ял, neZ;(5.9)
cosx= — 1; х=я + 2ял, neZ;(5.10)
tgx=0; х=ял, neZ;(5.11)
ctgx=0; х=я/2 + ял, neZ.(5.12)
Уравнения вида sin (шх+ф)=а, cos (шх+ф^а, tg (шх + ф^Ь, ctg (шх+ф)=b Са| < 1, ш * 0, ф, b — любые действительные числа) также относятся к простейшим. Их следует решать сразу по формулам (5.1)—(5.4), заменив х на
а>х + ф.
/я \ <3
Премер 1. Решить уравнение sin I ”~2х
□ Согласно формуле (5.1), имеем□ Согласно формуле (5.1), имеемяп V3—2х=(-1) агсяпНял. Так как 62яп V3—2х=(-1) агсяпНял. Так как 62
□ Согласно формуле (5.1), имеем
□ Согласно формуле (5.1), имеем
яп V3
—2х=(-1) агсяпНял. Так как 62
яп V3
—2х=(-1) агсяпНял. Так как 62
яяarcsin ——-, 2 3arcsin ——-, 2 3„ л„ лто - —2х = (—1) - + ял,63то - —2х = (—1) - + ял,63откудаоткуда„Я Я ЯЛ| --I1или6 12 2„Я Я ЯЛ| --I1или6 12 2
я
я
arcsin ——-, 2 3
arcsin ——-, 2 3
„ л
„ л
то - —2х = (—1) - + ял,63
то - —2х = (—1) - + ял,63
откуда
откуда
„Я Я ЯЛ
| --I1или
6 12 2
„Я Я ЯЛ
| --I1или
6 12 2
я+ | Л Я
х-(-1)-+—(6л+1), лег. ■
6 12
Если уравнение не является простейшим, то с помощью тождественных преобразований его нужно свести к одному или нескольким простейшим уравнениям, совокупность которых равносильна заданному.
2°. При радении тригонометрических уравнений часто используются разложение на множители и введение новой переменной (метод подстановки).
Пример 2. Решить уравнение rinx—sinzx cos3x.
Применив к sin2x формулу (4.13), получим
sinx—2sinxcosxcos3x, sinx (1 — 2cosxcos3x)—0.
Так как оба множителя в левой части этого уравнения имеют смысл при любых значениях х, то оно равносильно совокупности двух уравнений: япх=0 и 1—2cosxcos3x=0. , .
Согласно формуле (5.5), первому уравнению удовлетворяют' значения х=яп, neZ.
Для решения второго уравнения преобразуем произведение косинусов в сумму по формуле (4.26); имеем l-(cos4x+cos2x)=0. Так как 1 — cos4x-2sin12x [см. формулу (4.16)], то уравнение принимает вид 2sin22x—со$2х-0 или 2(1 — cos2 2х)—cos 2х—0, откуда получим 2 cos2 2х+cos 2х—2=0 — квадратное уравнение относительно cos2x. Полагая cos2x=z, имеем 2z2+z—2==0. Решая это
>1, то>1, то-1+V17-1-V17-1-V17
>1, то
>1, то
уравнение, находим Z|«, z2™. Так как |z2| —
444
уравнение cos2x=z2 не имеет решений. Остается решить уравнение
.-1+V17V17-1
cos2x=. По формуле (5.2) находим 2х = ±arccosН2л£, keZ.
4 4
1V17-l
Итак, получаем ответ: х=лл, х= ±- arccosЬяк, п, keZ, ■ 24
При решении уравнения методом разложения на множители оно может не быть равносильным полученной совокупности уравнений, так как возможно появление посторонних корней. Чтобы избежать ошибки в ответе, нужно исключить из полученных значений неизвестного те, для которых заданное уравнение не имеет смысла.
Пример 3. Решить уравнение (1—sinx) (tg2x—3)=0.
Найдем значения х, удовлетворяющие каждому из уравнений 1 — sinx=0 и tg2 х—3 =0; если sinx= 1, то по формуле (5.6) получим
х=я]1-1г'1як, keZ;(*)
если tg2x=3, т. е. tgx= ±^/з, то по формуле (5.3) имеем
х= ±л/3 + ял, neZ.(*«)
Однако было бы ошибочным считать ответом объединение решений (•) и (**). Дело в том, что исходное уравнение не имеет смысла для значений х=л/2 + ял (neZ), поэтому первое из предполагаемых решений непригодно и ответом является только второе решение х = ±л/3 + лл (neZ). ■
Пример 4. Решить уравнение cos х cos 2х cos 4х=1/8.
Наиболее быстрый способ решения — умножение правой и левой частей равенства на 8sinx, хотя при этом возможно появление посторонних корней. Чтобы избежать этого, следует учитывать, что в окончательное решение не должны входить значения х, для которых sin х=0, т. е. значения х=ли (л е Z), так как они не удовлетворяют исходному уравнению.
После умножения на 8 sin х уравнение примет вид
8 sin х cos х cos 2х cos 4х=sin х.
Последовательно трижды применив формулу синуса двойного аргумента (4.13), получим сначала 4sin2xcos2xcos4x=sinx, затем 2sin4xcos4x=sinx и далее sin8x=sinx или sin8x— sinx=0. Преобразуя по формуле (4.20) разность 7х9х
синусов в произведение, получаем sin — cos —=0.
22
7х7х2л£
Пусть sin —=0; тогда ——як (*eZ), откуда х=— (keZ), причем следует 227
исключить значения х—2лл (neZ), получающиеся при к=1п, как посторонние для 9х9х л
исходного уравнения. Пусть теперь cos—=0; тогда —=-+ят (meZ\ откуда
я (2m + l)
х—(meZ), причем следует исключить значения х—я (2л+1) (neZ), по
лучающиеся при т—9л+4 (neZ), как посторонние для исходного уравнения.
2якя(2т+1)
Итак, получаем ответ: х——, где целое к*Тп, neZ; х—, где целое 7.9
т#9л+4, neZ. ■
3°. ■ Однородными уравнениями называются уравнения следующего вида:
a sin for 4-6 cos for—0;(5.13)
asin,*x+6sinfcxcos*x+ccos2kx-0;(5.14)
a sin1 for+6 sin1 *х cos fcx+с sink* cos1 kx+dcos1kx=0.(5.15)
Уравнение
asn1kx+bsnkxcoskx+ccos1kx=d
при d*0 не является однородным, но его можно привести к однородному уравнению вида (5.14), заменив число d тождественно равным ему выражением a (sin1 кх 4- cos1 for).
Для решения уравнений (5.13)—(5.15) в случае в#0 рассмотрим такие значения х, при которых cos for—0. Тогда из каждого уравнения следует, что при тех же значениях х должно быть и sin for—0, а это невозможно. Значит, решениями этих уравнений могут быть только такие значения х, при которых cos for #0. Поэтому если (при а у* 0) разделить обе части уравнения (5.13) на cos for, уравнения (5.14) — на cos^for, уравнения (5.15) — на cos’^x, то потери корней не произойдет.
В результате получается алгебраическое уравнение относительно tg^x, для решения которого следует произвести подстановку tgfo=z.
Пример 5. Решить уравнение
, /Зя X/ я\
3sm2xcos —hx ]+3sm2xcosx—sinxcos^x—sin2 x— cosx—0.
X 2/X 2/
□ Используя формулы приведения, получаем
3sin3x4-3sin2xcosx—sinxcos2x—cos3x—0.
Это однородное уравнение относительно sinx и cosx, причем а * 0, т. е. значения х, при которых cosx—0. не являются решениями заданного уравнения. Разделив члены уравнения на cos’ х, имеем:
3tg,x+3tg2x—tgx— 1 — 0; (3tg2x—1) (tgx4-l)=0;
,V3 ”
3tg2x-l-0, tgx-±—, x-- (6л±1), neZ;
я
tgx+1 -0, tgx- -1, x— (4*-1), keZ.
4
Итак, получаем ответ: х-- (6 л ± 1) и х-- (4*-1), л, keZ. ■ ■ 64
При решении уравнений (5.13)—(5.15) в случае а—0 деление на cos for недопустимо, так как оно приводит к потере корней — тех значений х, при которых cos for—0.
При а—0 уравнение (5.13) становится простейшим, а для решения уравнений (5.14) и (5.15) следует применить метод разложения на множители.
4°. Другие приемы решения тригонометрических уравнений рассмотрим при решении примеров.
, /х я\
Пример 6. Решить уравнение 3 cos11I—2cosx-4.
Дри решении таких уравнений удобно использовать формулы понижения
X 1—cosxx 1+cosx
степени (4.16) и (4.17), которые имеют вид sin2- =, cos2-=.
2222
3 (1 +cos (х—л/2))Воспользуемся второй из них:2cosx=4 и после очевидных
2
преобразований получим уравнение 3sinx—4 cosx = 5.(*)
Оно легко приводится к алгебраическому уравнению относительно tg - с помо- 2
2tg(x/2)l-tg2(x/2)
щью формул (4.28) и (4.29), т. е. равенств sinx=, cosx=,
l+tg2(x/2)l+tg2(x/2)
верных для всех х^л+2лл, neZ. Отметим, что замена sinx и cosх выражениями, содержащими tg (х/2), может привести к потере корней вида х=я+2лл, neZ. Удовлетворяют ли эти значения х исходному уравнению, выясняется проверкой.
Выполнив в уравнении (*) подстановку tg (x/2)=z, которую называют «универсальной», получим уравнение z2 —6z+9=0. Оно имеет решение z=3. Возвращаясь к переменной х, получим tg(x/2) = 3, откуда x=2arctg3+2n«, neZ. Остается проверить, не удовлетворяют ли уравнению (*) числа х=п+2лл, neZ. Имеем 3sin (л+2лл)—4cos (л + 2лл)^5; значит, числа х=л+2лл не являются решениями уравнения (*).
Итак, получаем ответ: x=2arctg3 + 2nn, neZ. ■
Пример 7. Решить уравнение sin6x+cos6x=a (я — заданное число).
Преобразуем левую часть уравнения по формуле (1.13) как сумму кубов: sin6 х+cos6 х=(sin2 х)3 + (cos2 х)3 =
=(sin2x+cos2x) (sin*x+cos*x— sin2 xcos2 x) =
1
= (sin* x+cos* x+2 sin2 x cos2 x) — 3 sin2 x cos2 x==(8т2х+со52х)2 — 3 sin2 x cos2 x = 1 — 3 sin2 x cos2 x.
1
1
Согласно формуле (4.13), имеем sinxcosx=- sin2x. Тогда получим равно- 2
3,,4(1-a)
сильное исходному уравнение 1 — sin 2x=a, откуда sin 2х=. Если
43
(1-я)12 ,
0<<1, т. е. -<а<1, то уравнение sin2x= ±- V3 (1 —я) имеет решение
1/2 ,\ л
х= +- arcsin I - V3 (1 —я) )+~ п, neZ. ■2\3/2
В частности, при я=1 решением уравнения sin6x+cos6x= 1 являются числа x=itnl2 (neZ). Однако это уравнение, как и многие другие, можно решить быстрее, используя неравенства |sinx|<l, |cosx|<l (см. примеры 8 и 9).
Пример 8. Решить уравнение sin x+cos х=1 (ksN).
Легко догадаться, что числа х=лл/2 (neZ) являются решениями уравнения. Однако еще следует доказать, что других решений нет. Предположим, что существуют решения х=а#ял/2 (neZ). Так как |sina| < 1 и |cosa| < 1, то sin2 a< 1 и cos2 a < 1. Поэтому для любого целого положительного к справедливы неравен. 2*+2. ,2*+2-„. 2*+2
ства sin a < sin2 а и cos a < cos2 a. Складывая их, получаем sin a+
4-cos а<япга+со«га. Но япга+сог«—1; следовательно, мп х4- 2*+2
4-cosх<1 для всех значений х—а#ял/2 (neZ).
Значит, заданное уравнение (в частности, уравнение sin* х 4-cos* х— 1) не имеет решений, отличных от х—ял/2 (neZ). ■
Прейер 9. Решить уравнение sin (ncos2x)~l.
По формуле (5.6) находим ясо« 2х—-+2я>, т. е. cos 2х—-4-2*, *eZ. Но 22
я
|cos2x|<l, поэтому *-0. Имеем со$2х-~, 2х- ±-+2ял (neZ), оттуда получаем
3
я
ответ: х—- (6л ±1), neZ. ■
Группа А
Решить уравнения (5.001—5.175):
5.001. cos3x—sinx=^/з (cosx—sin3x).
5.002. sin3z—совЗг—^/З/2.
5.003. sin2z+cos2z=V2sin3z.
5.004. 2 (cos4x—sinxcos3x) = sin4x4-sin2x.
5.005. sin2xsin6x—cos 2x cos 6x=^$^13x008 8x. z 3z 1 .. 3z z
5.006. sun - cos —•= an2z=sm — cos -.
22^22
5.007. tg2xcos3x+sin3x+v/2sin5x=0. /я\/я \
5.008. cosrsin I —i-6r +cos I —11 sm6r»cos6r+cos4t
V)\2 /
\^/
5.010. sin3x+— sin 5x+- cosSx-0. ‘22
/я \
5.011. cos4xcos (я+2х)—sm2xcos 1—4x =— \2/2
5.012. (sin2x+V3cos2x)2 = 2—2cos ^~“x^.
5.013. sin 3x4-sin 5x—sin4x.
5.014. cosx—cos 3x—sin 2x.
5.015. cosx—cos2x=sin3x.
5.016. cos5x4-cos7x=cos (я4-6х).■
5.017. cos |-+5x |4-sinx—2cos3x. \2/
. 1 . / A ' 5.018. smx+sm -—sm 1 x4— 1.
sin4x.
5.009. sin f-+2x) ctg3x+sin (я4-2х)—V^ cosSx—0.
5.019. cosx—V3sinx=cos3x.
5.020. т/з sin2x4-cos5x—cos9x=0.
5.011.cosx+cos2x+costa=0.
5.022. sin3x—sin7x=V^ sin2x.
5.023. sin 2x4-sin (я—8x)=V2 cos3x.
5.024. sin (-4-3x |—sin (я—5x) = V^ (cos5x—sin3x). \2/
5.025. sin (15°4-x)4-sin (45°-x)=l.
5.026. cos (20° 4-x) 4-cos (100°—x) = 1/2.
5.027. sin (15°4-x)4-cos (45° 4-x) 4-0,5=0.
5.028. sin 5x=cos4x.
5.029. tg (70°4-x) + tg (20°-x) = 2.
5.030. sin6x4-sin2x=0,5tg2x.
5.031. tgx4-tg2x—tg3x=0.
5.032. sin 9x= 2 sin 3x.
/Зя X
5.033. cos3x=2sin I —Ьх I.
\2/
(
я X
—x
2/
/Зя _ X
5.035. cos 6x=2 sin I —Ь 2x I. \2/
5.036. sinz4-sin2z+sin3z=cosz4-cos2z+cos3z.
5.037. cos9x—cos 7x4-cos 3x—cosx=0.
5.038. sinx— sin 2x4-sin 5x4-sin 8x=0.
5.039. cos 7x 4- sin 8x=cos 3x—sin 2x.
5.040. sinx—sin3x—sin5x4-sin7x=0.
5.041. sin x 4- sin 7x—cos 5x 4- cos (Зх— 2я)=0.
( ЗяХ
5.042. sin2x—sin3x4-sin8x=cos I 7x4— |. X 2/
5.043. 1—cos6x=tg3x.
5.044. (14-cos4x) sin2x=cos22x.
3n4-x
5.045. 1 — cos (я4-х)—sm—-—=0.
5.046. cos 4x4-2 cos3 x=l.
5.047. 14cos/+cos2r4-cos3f=0.
5.048. 14-sin2x=(cos3x4-sin3x)2.
5.049. 1—sin3x=( sincos-| .
X 22/
5.050. 14-cos 7x=| sincos —
X 22.
5.051. sin Зх+sin 5x=2 (cos2 2x—sin1 3x).
5.052. 0,5 (cos5x+cos7x)—cos12x+sin13x=0.
3x
5.053. 1+sinx—cos5x—sin7x=2cos2—.
2
5.054. cos 2x+cos6x+2 sin2 x= 1.
5.055. cos13x+cos14x+cos15x=l,5.
x3x
5.056. cos1 —Heos2sin12x—sin14x=0.
22
5.057. cos1 x+cos2 2x—cos2 3x—cos24x=0.
5.058. sin13x+sin14x=sin15x+sin16x.
5.059. sin12z4-sin13z4-sin14z4-sin15z=2.
/л \, /л XX
cos1 I —x —cos1 -+2x I.
V 7 V 77
5.061. Scoszcos (60°—z) cos (60°+z)+l = 0.
5.062. sinzsin (60°—z) sin (60°+z)=l/8.
5.063. sin 2x sin 6x=cos x cos 3x.
5.064. sinxsin3x4-sin4xsin8x=0.
5.065. sin3xcos3x=sin 2x.
5.066. cos 3x cos 6x=cos 4x cos 7x.
5.067. cos (x+1) sin 2 (x+l) = cos3 (x4-l) sin4 (x+1).
5.068. tg3/—tgt—4sint=0.
г\
5.069. V3 — tg^=tg|—x I.
\3/
5.070. (cos 6x — 1) etg 3x=sin 3x.
3x
5.071. cos 1 x+etg 3x= etg —.
/л\/лX
5.072. cosxcos2x=sin I -+x I sin I —h4x 1 +
\47\47
/Зя\/7л
+ sin —h4x cos I5x\47\4
5.073. sin3x—4sinxcos2x=0.
7x3xx5x
5.074. sin — cos —|-sin - cos —|-sm2xcos7x=0. 2222
x 3x
5.075. cos - cossin xsin 3x—sin 2xsin 3x=0.
22
(
ЛX/лX/лX . /лX
—h5x I cos —Ь2х =sin —kx I sin —6x .
4/\47\4/\4/
(
л X . /л X
—Ь2х I sin I —Зх I.
47\47
5.078. ctgz—sin/=2sin2
5.079. 2 I tg- — 1 ) = cost. \ 2 /
5.080. l + sin2x=sinx+cosx.
5.081. cos2x=V^ (cosx—sinx).
5.082. 2ctg2xcos2x+4cos2x—ctg2x—2 = 0.
5.083. sinzxcos-4x—4tg2x+3cos~2x—12=0.
5.084. cos3x+cos2x—4cos2- = 0.
2
5.085. 2tg3x—2tg2x+3tgx—3 = 0.
5.086. cos4x+2sin2x=0.
5.087. 3sin22x+7cos2x—3 = 0.
5.088. 6ctgzx—2cos2x=3.
5.089. cos2x—5 sinx—3 = 0.
5.090. cos (4x+2)+3sin (2x+l) = 2.
5.091. 2cos2x+5sinx—4=0.
5.092. 6sinzx+2sin22x=5.
5.093. 25 sin2 x+100 cosx=89.
5.094. cos 2x+sin2 x+sin x= 0,25.
5.095. cos2x+3sinx=2.
5.096. 2tg43x-3tg23x+l=0.
5.097. cos4 2x+ 6 cos2 2x=25/16.
5.098. ctg42z+sin*42z=25.
5.099. 2sinzz+tg2z = 2.
5.100. 2+tgxctg—FCtgxtg—= 0. 22
5.101. sin4x+cos4x=cosz2x+0,25.
5.102. sin42x+cos42x = sin2xcos2x.
5.103. sin4x+cos4x=sin2x—0,5.
5.104. 7 + 4sinxcosx+l,5 (tgx+ctgx) = 0.
5.105. 4tg23x—cos-23x=2.
5.106. 3 + 2sin2x=tgx+ctgx.
5.107. tgx+ctgx=2cos-14x.
5.108. 2cos2x+2tgzx=5.
5.109. sin22x+sin2 x=9/16.
5.110. 2sin3x—cos2x—sinx=0.
5.111. ctg’x+sta"2x-3ctgx—4=0.
ЗЛ1Х tg2xan2x—3V3 ctg2xcos2x=0. sinz
5.113.=2-ctgz.
1+cosz
5.114. cos“22r ®P "22r=8/3.
5.115. sin2x—2sinxcosx=3cos2x.
5.116. sin23x=3cos23x.
5.117. 3cos2x=sin2x4-sin2x.
5.118. sin 3x4-sin x=4 sin3 x.
5.119. a cos2~—(a+2b) sin2 -=acosx—isinx; b^O. 22
5.120. sinz—sin2z=cos2z—cosz.
5.121. 2 sinz—cosz=2/5.
5.122. cos2x=l —sin2x.
5.123. 3sin2x4-2cos2x = 3.
5.124. 4sinx4-cosx=4.
5.125. sin2z— 4cos2z=4.
(
яX
—x |+4sin (я4-х) cosx4- 2/
/Зя X
+ 2sin Ix cos (я+х) = 1.
\2/
(
ЗяX/я X
—Ьх 1—3sin (я—x) cosx+sin I -+x cosx=0.
2/\2/
6sin2x4-sinxcosx—cos2x=2. 1
4sm3z4—cos3z = 3. 3
3sin5z—2cos5z=3.
cos-,3t—6cos3t=4sin3/.
sin’ -—sin2 - cos -—3sin - cos2 -4-3 cos’ - = 0.
333333
2 sin3 x 4-2 sin2 x cos x—sin x cos2 x—cos’ x=0.
sin -2
5.135.5.135./Зя \
5.135.
5.135.
ctg I y4-x I —tg2x=(cos2x—1) cos 2x.
/Зя X - 14-cos2x
ctg Ix — ctg2x4-— = 0. \ 2/sin2 x
(sin~1z4-cos~1z) (sinz4-cosz)4-2=0.
tg x tg 20° 4- tg 20° tg 40° 4- tg 40° tg x = 1.
tg x 4- tg 50° 4- tg 70°=tg x tg 50° tg 70°.
tg fy4-xj—3tgax=(cos2x —1) cos~2x.
cos (2t-18°) tg 50°4-sin (2t-18°)=.
2cos 130°
11
1
1
cos (3x—30°)—sin (3x-30°) tg30°= 2cos210‘
5.143. sinxcosxcos2xcos8x=-sin 12x.
5.144.
5.145.
4
sin3 z cos z—sin z cos3 z=^/5/8.
(sin 41+cos 4/)2 = 16 sin 21 cos3 2t—8 sin 21 cos 2t.
5.146.
1
1
ctgx-tgx+2 I11 = 4.
\tgx+l tgx-1/
5.147.
tg - tgx+1 cosx 2
3.
5.148.
x,x
2tg - cos2 -
22
1
x
tg~ + CtgX 2
1
p-== sin 2Л
3-tgt V3+t8<
/я x\
5.149. (1+sin x) tg I)=cos ]x—cosx.
\4 2/
4ctgx
+sin22x+l=0.
l+ctg2x
. sin3x
ctgx+tg2x+l=4cos2xH2cos2x. sinx
2 (1 — cos2x) = V3 tgx.
(1 +cosx) = ctg ^.
5 (l+cosx) = 2+sin*x—cos*x.
sin2x=cos*—sin4-. 22
3 (l-sinO+sin4/=l+cos4r.
5.157.5.157.sin2x—2sin2x—2sin2 x—4 cos2 - 2sin2 x—4 cos2 - 2= ^2?= ^2?5.158.5.158.sin I -+x ) sin\2 /sin I -+x ) sin\2 /яяяя.2 ):- = 3.<я \.2 ):- = 3.<я \COS I —HX I COS IXCOS I —HX I COS IX4444
5.157.
5.157.
sin2x—2
sin2x—2
sin2 x—4 cos2 - 2
sin2 x—4 cos2 - 2
= ^2?
= ^2?
5.158.
5.158.
sin I -+x ) sin\2 /
sin I -+x ) sin\2 /
я
я
я
я
.2 )
:- = 3.
<я \
.2 )
:- = 3.
<я \
COS I —HX I COS IX
COS I —HX I COS IX
4
4
4
4
5.159.5.159.tg (~+x )—ctg2x+sin 2x (l+cos2x)=0.
5.159.
5.159.
\2 )
5.160. tg23x—2sin23x=0.
_ _ . Зх—7яя— Зх, Зх
sinHeos=cos—.
222
/Зя \
2 cos (я+х)—5 cos Ix I
5.163.5.163.\27_3
5.163.
5.163.
/Зя \~2
cos I —Hx I—cos (я—x)
= l+cos4x.
l-tg22x
1116
- +.
l+cos2z l+sm2z 11
sin*x+cos4x=5/8.
2tgx—2ctgx=3. , /я \, /я
sin I —H |=sinz+sin I —t
7\8
2 cos2 - — 1 = sin 3x.
2
cosx—sinx=4cosxsin2x.
sinx+sin3x=4cos3x.
tg (x—15°) ctg (x+15°) = l/3.
(sin 2z—sin ~121У + (cos -12z - cos 2z)2 = 1.
- Z 3Z , t , 3<
tg-ctg—Heos -sin— — 1.
2222
$.175.
Группа Б
Решить уравнения (5.176—5.385):
14.tgxtg5x—V^tg2xcos3xcos-15x—0.
V^ (i 4-tg2xtg3x)—tg2xcos-13x.
4cosx—V3ctgx+1.
м I ям I яtg6xcos2x—sin2x—2an4x=0.
м I я
м I я
2sin2x—cos I- + 3xcos3xcos~’5xcos \2/
tgJf+tg2x+tg3x—0.
1
sa2xsm6xcce4x+- <x»12x«0.
1
cosxcos2xsin3x=-sin2x.
4
4cosxcos2xcos3x=cos6x.
4sin2xsin 5xsin7x—sin4x=0.
sin 3x+sinx—sin2x=2cosx (cosx —1).
tg (120°+3x)-tg (140°—x) = 2sin (80°+2x).
ctg (x-25°)+tg (3x+15°)=2sin (2x-50°).
3x x
tgtg- = 2sinx.
22
tg3/+tg/=2sin4/.
tg2x—ctg3x+ctg5x=0.
tg5z—tg3z—2tg2z=0.
5.193.
tg<
tg5' „
——=0.
cos2 5z
cos2/
5.194.
tg2/
tg/ „
cos2<
cos2 2/
cos23<
cos2/
5.195.
1=0.
tg'
tg3/
5.196.
ctg4z
ctg' _
= 0.
sin2z
sin2 4/
3-tg2x
tgx—=sin6x.
1—3tg2x
tgztg (z+60°) tg (z+120°) = ^.
sin-11—sin-12t=sin-14t.
tg (35° + x) ctg (10°—x) = 2/3.
cos2 (x+40°)+cos2 (x—40°) —sin 10°cos2x = sin2x.
4 sin 5x cos 5x (cos4 x—sin4 x) = sin 4x.
(2cos2t+5) cos4/—(2 cos 2z+5) sin4 Z=3.
tg*x=36cos22x.
cos~*z=64cos22z.
tg43z=sin26z. 160 '„
cos *z=——2sin z (ctg2zctgz+l).
4sin4z,
- —2cos-2z—1=0.
(1 +cos2z)2
5.209.
5.210.
5.211.
8sin-22x+l4
—=ctg2 X+-.
cos~2x+tg2x3
/_7\
I cos 6z—tg6z— I (sinz+cosz+2) = 0.
\V
tg3 z+ctg3 z—8 sin - 3 2z = 12.
2sin*z (sin2z— 3) — 2sin2 z (sin2z—3) —1 = 0.
sin2x+2ctgx=3.
2sin2x+3tgx=5.
(cos2x+(cosx+sinx)2) (tgx+ctgx)=0.
2 sin x cos I —x + 3cos3 I —bx cosx—5cos3 лс sin I - + x 1=0. V / V 7\27
sin4 2x+sin 3 2x cos 2x — 8 sin 2x cos3 2x—8 cos4 2x = 0.
x /Зя x\x Xx. x
3sin- cos I —I— + 3sm-cos —sin-cos2 - =
2\ 2 2/2,222
/я x\X
= sin I -+- cos -.
V 2/2
, /Зя \. /Зя \_
sin22xcos2x +3sin 2x sin —|-2x +2cos32x=0.
\2/\27
/я \ 1■
3 sin z cos2 I —hz — sin 2z—5cos4z+2cos2z=0.
\27 2
sin4x (3sin4x—2cos4x) = sin22x— 16sin2xcos2xcos22x4- +cos22x.
4sin4x+cos4x=l + 12cos4x.
2sm4x+l,25sin22x— cos4x=cos2x.
5 sin4 2z—4 sin2 2z cos2 2z—cos4 2z+4 cos 4z = 0.
. . /Зя\/Зя\
2coszsin Iz — 5sin zcos z+ sinzcos3 —hz =cos2z. \27\27
6cos32z+2sin32r
= cos4z.
3 cos 21—sin 2z
40 (sin3 —cos3 - |
5.227.5.227.\227
5.227.
5.227.
= sin z.
16 sin —25 cos -
22
sin2 Г +sin 2l—1 tgZ=— cos2z—sm2z+l
sin2x—2sin2 I —x \4 >
ctgx=;
cos2x+2cos2 I-+x \4 .
2 (cos3x+2sin3x) .
—- = sin2x.
2sinx+3cosx
5.231.5.231.sin3x+cos3x = cos 2x. 2cosx—sinx
5.231.
5.231.
tgx+ctgx
= 6 cos 2x4-4 sin 2x.
ctgx-tgx
cos-12/4-sin'1 214-cos-121sin-1 21—5 = 0.
24-sint=3tg-.
8cosx—8cosx—cosx+l=0.
5.236. 14-sinz4-cosz4-sin2z4-cos2z=0.
1 4-sin x 4-cos x 4-sin 2x4-cos 2x
= 0.
tg2x
(sinx—cosx)24-tgx=2sin2x.
(cosx—sin x)2 4-cos4 x—sin4x=0,5sin4x.
/я \
2 (14-sin2x) = tg (—hx .
\4 7
sin2x4-2sin2—2anxsin2—l-ctgx=0. 22
cos x+ 0,5 sin 2x—cos x sin3 x4- 4 sin x4- 4=0.
2cos6 21—cos4 214-1,5 sin2 41 — 3 sin2 21=0.
0,5 sin 4x sin x+sin 2x sin x = 2 cos2 x.
2smz3x+sin26x=(sin2x+sin4x) cos-1 xsin-1 3x.
/7л\
cos IKx 1
/Зл \ к 27
tgx 4-= 2.
\27 14-cosx
3V3 tg x sin x—ctg x cos x+9 sin x—3^/3 cos x=0.
sin2x—2cos2x+4 (sinx—cosx4-tgx—1)=0.
V^ (с08* 2^ ~ s’n* 2x) = cos 2x+ sin 2x.
1— sin 2x=cosx—sinx.
ctgx—tgx=sinx+cosx.
cos 2x=(cos x 4- sin x). 2
sin2z+5 (sinz+cosz)4-1=0.
2 cos2 - (1 — sinx)4-cos2x=0. 2
sin4x—sin2x4-4 (sinx4-1) = 0.
2sin52z—sin32t—6 sin2 214-3 = 0.
5.257.5.257.5.258.5.258.cos2z (1 4-ctgz)—3 = 3 cos z.
5.257.
5.257.
5.258.
5.258.
tg2l-tg2l-sin z—cos z
tg2l-
tg2l-
5.267.5.267.5.268.5.268.5.269.5.269.ctgx-tgx=ctgx-tgx=cosx—sinxcosx—sinx0,5 sin 2x0,5 sin 2x5.270.5.270.^+^+2_0.ctgz ctg2z^+^+2_0.ctgz ctg2z
5.267.
5.267.
5.268.
5.268.
5.269.
5.269.
ctgx-tgx=
ctgx-tgx=
cosx—sinx
cosx—sinx
0,5 sin 2x
0,5 sin 2x
5.270.
5.270.
^+^+2_0.ctgz ctg2z
^+^+2_0.ctgz ctg2z
,3 (cosЗх—cosx)
ctg2x+—+ 2=0.
sin 3x—sinx
,,4 r
sin xtgx+cos xctgx+2sinxcosx=- V3-
2tgx+tg2x+2tgxtg3x+tg2xtg3x=0.
(ctgz— 1) (1 +sin 2z) = 1 +ctgz. 4 cos2,— 1
= ctg t (1 + 2 cos 2,).
sin,
4sin2 —1 2 5.264.= tg, (1 — 2 cos,).
cos,
sin —cos3 -
22 1
=- cosx.
2+sinx 3
(sinx+cosx)2 —2sin2x-Jr /(и\. (к'
=— sin I —x -sin I —3x
l+ctg2x2 \\4/\4,
l+sm2x 1+tgx +2—-3 = 0.
1—sin2x 1-tgx
5.271.5.271.tg4z tg2z 5
5.271.
5.271.
+1— = 0, tg2z tg4z 2
3 (cos2x+ctg2x)
——-2(sin2x+l) = 0.
ctg2x—cos2x
5 sinx—5tgx
—+4 (l-cosx)=0.
sinx+tgx
ctgx+ctg 15° +ctg (x+25°) = ctg 15°ctg (x+25°)ctgx.
5Л75. ctg-— tg- + 4cos 22
5.276.5.276.cosx 1 / 2ctgx '
5.276.
5.276.
.xx 8\ l+ctg2x,
ctg’T-tg2-
22
+=1.
cos2xx
ctgx+tg- 2
tg2z=ctgz—4cosZcos3z.
tg2 —hsin2 - tg -+cos2 - ctg - + ctg2 - + sinx=4. 222222
1 5.280. —Hgx—ctgx—4=0. sin22x
tg5x—2tg3x=tg23xtg5x.
3tg3x—4tg2x=tg22xtg3x.
tgx—ctgx=sin-1x—cos-1x.
37 tg 3x = 11 tg x.
tg4x+ctg4x=— (tgxtg2x+l) cos2x.
3ctgZ—3tgZ+4sin2z=0.
ctgx—tgx —2tg2x—4tg4x 4-8 = 0.
tg2x+ctg2x+3tgx+3ctgx+4=0.
tg2- + ctg2- —2=4tgz.
(tgz—ctgz+2tg2z) (l+cos3z)=4sin3z.
tg4x+tg2x+ctg4x—ctg2x= 106/9.
tg4x+ctg4x+tg2x+ctg2x=4.
sin2t tg t+cos2t ctg t—2 sin t cos z = 1 + tg t+ctg t. ,,8cos24x, г
cos 22xtg2x+sin 22xctg2x=FlOsin-14x+4v3. sin34x
tg3z+6sm~*2z=8sin~32z—3ctgz.
sin6x+2=2cos4x.
cos9x—2cos6x=2.
(cos*22x+tg22x) (sin~22x+ctg22x) = 4sin~24x+5.
sin3z+sin3z=sm2z. -4
cos3z—cos3z+0,75sin2z=0.
cos (22°-z) cos (82e-Z)+cos (112°-z) cos (172°-z)= —0,5 (sinz+cosz).
sin2 (z+45°)—sin2 (z—30°)—sin 15° cos (2z+15°)=0,5 sin 6z.
cos z cos 2z cos 4z cos 8z=1/16.
88cosxcos2xcos4xcos8x=-cosl5x.
8
8
5.305. sin3zsin3z4-cos3zcos3z=cos34z.
cos3zcos3z+sin3zsin 3z=^/2/4.
4sin3xcos3x4-4cos3xsin3x=3sin2x.
sin3xcos3x4-cos3xsin3x4-0,375 = 0.
sin 2/4-2 cos2z—1
= cosz.
cosz—cos3Z4-sin3z—sinz
sin 2/ cos 2z (sin4 2z4-cos4 2z — 1) = 0,5 sin2 4z.
cosl0x4-2cos24x4-6cos3xcosx=cosx4-8cosxcos33x.
2 cos 13x4- 3cos 3x4- 3 cos 5x- 8 cos xcos34x= 0.
cos8x4-3 cos4x4-3cos2x= 8 cosxcos3 3x—0,5.
cos6x4-sin6x—cos2 2x= 1/16.
sin62Z4-cos62z=l,5 (sin42z4-cos42z)4-0,5 (sin Z4-cosz).
2 (sin6x4-cos6x)—3 (sin4x4-cos*x)=cos2x.
. /я \
sin43z4-sin4 I —b3r =0,25.
\4/
sin6x4-cos6x=7/16.
sin32/4-cos32/4-0,5sin4z=l.
tg32x4-ctg32x4-6sm-1 2x=8sin"34x. 11
= tg3x.
tg5x+tg2x ctg5x4-ctg2x
-4-Ctg27z=.
tg3z+tg4zctg3z+ctg4z
8cosZctg2z
sin3/—sinr=—.
4—sin-21
11 15cos4z
1.
2ctg2Z4-l 2tg2/+l 8+sin22<
112
——4—;—=-■
tg22x4-cos~22x ctg22x+sin 22x 3
(
it x\ 1 4- sin x
]= V2cosx.
4 2/ sinx
tgztg2z=tgz4-tg2z.
, 3x 5.328. cos2x=cos —.
2
5329. ctgx (1 — 0,5 cos 2x) = 1.
. /я \ cos2 I —2/1 \2)
=cos~22/-l.
14-cos 2/
5.331. 0,5 (tg2 х 4-ctg2 х) = 14-™5= ctg2x. V3
5.332.
,»x
6 COS 1 X = tg3 —ь ctg3 -.
3х 3х26 2
sin - cos -
2
Гzctgx
5.333. smx+cosx+sm2x+v2sin5x=.
14-ctg2x
5.334.
sin 2/ sin / •= sin l+cos2i 1+cosz
Z-l.
5.335.
cos4 2x4-sin4 2xх/з
—0,5 cos 4x=— sin 4x.
cos42x—sin4 2x2
5.336. cos 3zsin 3 r—tg3 r—ctg3/=2^/3 cos *2/.
5.337. 1—2 cos1 z (cos 2z—tg Z sin 2z)=sin4 z—cos4 z.
2 (cos2ztgz—sin2z)
5.338. 1+—==cos2z.
cos"2z
sin3x (1 — ctgx)4-cos3x(l — tgx) = l,5cos2x.
4cosz2z —tg4z = ctg2z. (я \/5я \
-+x I sin Ikx I
6 /\6/
+ 2tgX=0.
COS2X
+ctg2 -=—.
2sinx+sin2x 2 3
4 (sintcos5 z+coszsin5 z) + sin32z= 1. sin2/—tg2 /
—+ 2tg3z+l=0.
COS2/—Ctg2/
cos-1x—cosx
sin (Зя—x) + tg (я+х) =.
2sinx
2 (cos4/+sin4 r) , 5.346. = cos -12t+cos 4z +1.
cos4/—sin4/
5.347.
1+sin2x+cos2xx\
hsinx I 1+tgxtg - 1 = 4.
1+sin2x—cos2x \2/
cosz (1 —tgz) (sinz+cosz)=sin t.
sinx (cosx—2) + tgx=2—cosx—cos~*x. (я\ / я\ я хЧ— |+sm I хЧ— )=sin —1.
4/\4/4
5 (1—sinlx) —16 (sinx—cosx)4-3=0.
tg (z2—z) ctg 2= 1.
tgx tg (x+1)=1.
tg (x4-1) ctg (2x4-3)= 1.
ctg*x=cos22x—1.
ctg* x=cos3 2x4-1.
sin/2—sint=0.
5.358. sin2z—sin6z4-2=0.
cos3x4-cos—= 2. 2
cos 2x4-cos2=0.
4
, /я \\
cos2 I—Hx|4-cos2lx| = 0. \3/\12/
tgx—tg2x=sinx.
5363. (sin x 4-cosx)4 4-(sin x—cosx)* = 3—sin4x.
(sin x 4-cosx)4 = 2 (14-sin 2 x)—(sin x—cosx)4
sin3 x (14- ctg x) 4- cos3 x (14- tg x) = 2V$in x cos x.
cosz4-sinz=vl—2cos2z.
1 — cos x = ^/1— ^/4cos2x—7cos4x.
(14-cosx) /tg-—24-sinx=2cosx.
5.370. ^/^82х+0^54-л/ио’^+0>5=2.
sin3x=asinx.
5372. cos3x=mcosx.
tgx4-tga4-l=tgxtga.
12sinx4-4V3cos (x4-x)=mv5.
5375. sin (x4-2,5)4-sin (x4-0,5) = cos a.
22*,№)"e",=4.
2™,х4-4-2"*,х=6.
5378. 9'-”fa=31^^
5379. 814-81=30.
х+г^-з ^'
з'^^ -^’^-^э^
г-1^-0^^-'’^'0^’^.
logcolx4 1ogcol2x2=l.
logrinX41ogrinix2=4.
3 (log2 sin х)2+log2 (1 — cos 2x) = 2.
Дано: (1+tgx) (l+tgy) = 2. Найти x4-y.
1
Показать, что уравнение ctg2x+ctg3x4=0 не
sinxsin2xsin3x
имеет корней.
Один из углов прямоугольного треугольника удовлетворяет уравнению sin3x+sinxsin2x— 3cos3x=0. Показать, что треугольник равнобедренный.
Показать, что не существует треугольника, каждый угол которого удовлетворял бы уравнению (3cosx—2) (14sin2x+sin2x—12) = 0.
Показать, что существуют треугольники, у которых каждый угол удовлетворяет уравнению (65 sin х—56) (80—64 sin х—65cos2x) = 0. Найти эти углы.
Показать, что треугольник, каждый из углов которого удовлетворяет уравнению 3 tg х— 3 tg — Т^Гз = 0, является равносторонним.
2
Найти sin а, если cosa = tg^, cos/?=tgy, cosy=tga (0<а<л/2, 0<Д<л/2, 0<у<л/2).
Найти углы а, Р и у первой четверти, если известно, что они составляют арифметическую прогрессию с разностью л/12, а их тангенсы составляют геометрическую прогрессию.
5394.
fsinx + cosy — O,
/-^«x+om^^^
5.395.
(sin2 х+ cos2 у = 0,5.
l9“v_81“*=2.
5396.
(х—у=5л/3,
5.397.
(sin х cos у=0,25,
(sin х=2 sin у.
(sin у cos х=0,75.
5398.
U-y=-M3,
5.399.
Jx+y = л/4,
(cos2 лх—sin2 лу = 1 /2.
(tgXtgy—1/6.
х У -
5.400.
("72 sin х=sin у, (75 cos х=75 005 У-
5.401.
/-tg- + tg-=2, 1 22
)ctgx+ctgy=
5.402.
r2“>»+2c” "^ = 5>
5.403.
(sin х sin у=0,75,
(2СО,Х-2С”->=4
(tgxtgy=3.
5.404.
(х+у = 5л/6,
5.405.
(х+у=л/3,
(cos2 х+cos2 у=0,25.
(sin x sin у=0,25.
Решить системы уравнений (5.394—5.405):
1,8.
Группа В
Решить уравнения (5.406—5.492):
(cos2 х+cos""2 х) (1 + tg2 2у) (3 + sin 3z) = 4.
(4—cos2x) (2+3sin.y)=12+13cos~23z.
(3 — sinx) (4—sin-2x)= 12+cos2j>.
(24—!-)(4-2cos4x)=l + 5sin3Z \ COS2X/
(5 + 3sin'2x) (2—sin6x) = 7 + cos2j’.
sin2x—tg2x,..
—tg6x+tg*x-tg2x=O.
ces2x—ctg x
tg2 x Ctg2 2x ctg 3x=tg2 x—ctg2 2x+ctg 3x.
3tg2x—4tg3x=tg23xtg2x.
3tgf—tg3 (
(cos3t+cosf) = 2sm5t.
1-tg2/
tg t2
(sin 3z—sin r)=— .
2—cos-2,ctg2,—3
tg 2x tg2 3x tg2 5x = tg 2x+tg2 3x—tg2 5x.
tg2 x tg2 3x tg 4x=tg2 x—tg2 3x+tg 4x.
cos2x2 (tgx2+2tgx)+tg3x (l-sin2x2) (2-tgxtgx2)=0.
2tgn/2—tgnr+tgnt tg2Ttt2 = O.
2 (tgx—sinx) + 3 (ctgx—cosx) + 5=0.
(cos*x+2sin3x—2sinx+l) (sinx+cosx) = 0.
(2sinx—1) (cos*x+2cos3x+2coszx—2cosx+l) = 0.
tgx—sin2x—cos2x+2 (2cosx—cos"1 x) = 0.
tg2x+tgx—3ctg2x—3ctgx—2=0.
6x
4 4-2 cos —
5.425.5.425.3tgx-tg3x 5
5.425.
5.425.
2-cos~2x cos3x+cosx
tgx—sin2x—cos2x (1 — 2cos"1 x) = 0.
2sin2x+sinx+sin-1 x+2sin-1x=6.
2 (1 —sinx—cosx) + tgx+ctgx=0.
4ctg3 2x— 12ctg2x+ctg2 x+ tg2 x—14=0.
1-2cos2x_
+ 2tg2x+ctg34x = 3.
sinx cos x
2tgx+tg|+4ctg2x=ctg3x.
1 / 1 //- 1 /
- tg-+-tg- + tgt=2V3+- ctg-.
44 2244
, 1(1 \ .
12cos 2x+-ctg2x+10 I 2tgx+-ctgx 1=1.
18cos2x+5 (3 cosx+cos-1 x) + 2cos~2x+5 = 0.
4—4 (cosz—sinz) —sin2z=0.
5sin2z—11 (sinz+cosz) + 7 = 0.
tg x+ctg x+tg2 x+ctg2 x+tg3 x + ctg3 x=6.
tg3x+tg2x+ctg2x+ctg3x—4=0.
tgx+ctgx—cos4x=3.
•1 • i
1+sin - sin/—cos-sin/=2cos I
22U 2
5.441.
sin 15x—ctgx = tg-.
5.442.
4 cos 3x
(3—tg x) (cos 3x+cos x)=.
tg2x
|cos/| = l+ctg/.
|sin/| + |cos/|=l,4-
|sin/+cos 4 = 1/2.
4i/3
|tg2/+ctg2/|=——.
cos4 x+4 cos x — 1 = 0.
cos-4x+8cos-1x—7 = 0.
cos-4x—2cos~2x—12tgx—16 = 0.
ctg42z=cos24z+l.
sin/ + ...+(-l)”sin"/+...
5.451. t—'
l+sjn/+...+sin"/ + ...
1 —cos 2/
1 +cos2/
1—cos2x+... + (—l)”cos"2x + ... 1 ,
5.452. =- tg4x.
1+cos2x+...+cos 2x+...
5.453.
l-tgx + ... + (-l)”tg”x+...
l+tgx + ... + tg”x + ...
1+sin 2x.
5.454.
l+tgx + ... + tg x + ....
= 1 + sin 2x.
l-tgx + ... + (-l)”tg"x + ...
l+sin/+...+sin”r + ...
5.455.
1—sin/+...+(-l)”sin”/+...
4
1 +tg2 /
sin10x+cos10x=29/64.
sin8 2x+cos*2x=41/128.
sine3x+cose3x
sin103x+cos103x=4—.
4cos26x+sin26x
tg (?tcos z) = ctg (я sin t).
tg (я ctg z)=ctg (я tg t\
sinx^/z+sin я/=0.
cos ^/^ cos x.
ctg2xZ2+ctg4xZ=0.
cos”4x+cos4x= 1+cos2x—2sin22x.
5x
cos6x+sin—=2.
2
sin*x+2cos3x+2sin2x—cosx+l=0.
sin5x+cos5x = 2 —sin4x.
(tgx—tg2x)2—cos (x+4tgx)= —1.
1+V3 (l+cosx) = cos2 (x+2tgx).
(
я\.
x— I (1 — 4cos22x) — 2cos4x=3.
4/
Г\
(sinx+v3cosx) = 5 + cos -+4x .
V /
V3 sin z—V2sin2z—sin 2z+3cos2z=0.
2sin2z=V$in2 z—16sin2 zcos2z cos22z+cos2 z.
cosx+-v/sin2x—2sin2x+4cos2x=0.
25П14х + .Убсо$2х = 0.
Vcos2x+V14-^n2x=2^/sinx+cosx.
3Vsin2 x+ 3Vcos2 =3
3-,/sin2 x— ’^/cos2 x = 3-У2 cos 2x.
4Vl0+8tin2x-4V8cos2x^T=L
*^0,5—cos2x+ 4x/0,5 + cos2x = 1.
3V^—tgx+3V7+tgx=3.
3V0^5—tinx4-5V0^54-5nx=l.
V^co^^+l +V4sin2x+3 = 4.
sinx+^/2—sin2x+sinx-^—sin2x = 3.
cosx+Vils—cos2x—cosxVhS—cos2x=l.
1 / x 5
vl+3ctgx+ /= “•
6 V3+tgx 2
coszV^^+sinzV5?^s^=2sinz.
sin-12xVtg2jc4-ctg2x + 2+ctg2xVtg2x+ctg2x^2=4cos22x.
5.489. 2—sinx5.489. 2—sinx1—sinx1—sinx
5.489. 2—sinx
5.489. 2—sinx
1—sinx
1—sinx
-^/1 + sinx—^/l—япх=1 +cosx.
logo,5,an 2x Sinx =1/2.
log^nxcoixsinx logenxcoixcosx=l/4.
Убедиться в том, что уравнение 2ctg2x—3ctg3x=tg2x не имеет корней.
Решить системы уравнений (5.494—5.499):
5.494.5.494.cos x—cos у=sin (x+j), яM+bH--■4cos x—cos у=sin (x+j), яM+bH--■45.495.5.495.'1sinx=smj>,sinx1 cosx=cosj. ' cosx'1sinx=smj>,sinx1 cosx=cosj. ' cosx
5.494.
5.494.
cos x—cos у=sin (x+j), я
M+bH--
■4
cos x—cos у=sin (x+j), я
M+bH--
■4
5.495.
5.495.
'1
sinx=smj>,sinx
1 cosx=cosj. ' cosx
'1
sinx=smj>,sinx
1 cosx=cosj. ' cosx
(3ctgx=tg3.y,5.496. j(cosx=sin2y.(3ctgx=tg3.y,5.496. j(cosx=sin2y.5.497.5.497.. xу 2tg +tg =22 ^tgx+tg>-=2V3.. xу 2tg +tg =22 ^tgx+tg>-=2V3.
(3ctgx=tg3.y,
5.496. j
(cosx=sin2y.
(3ctgx=tg3.y,
5.496. j
(cosx=sin2y.
5.497.
5.497.
. xу 2
tg +tg =
22 ^
tgx+tg>-=2V3.
. xу 2
tg +tg =
22 ^
tgx+tg>-=2V3.
1 tgx+ctgx=2sm H,5.498. <)/( tgj-4 Ctgj’=2sm x+- I. 4\ 4/1 tgx+ctgx=2sm H,5.498. <)/( tgj-4 Ctgj’=2sm x+- I. 4\ 4/5.499.5.499.5.500. Найти x, у. z, если5.500. Найти x, у. z, еслиsinx sin уsinx sin у{2cosx=3tgj>, 2008^=3 tgz, 2cosz=3tgx.sinz{2cosx=3tgj>, 2008^=3 tgz, 2cosz=3tgx.sinz115 2 ’5 2 ’
1 tgx+ctgx=2sm H,
5.498. <)/
( tgj-4 Ctgj’=2sm x+- I. 4\ 4/
1 tgx+ctgx=2sm H,
5.498. <)/
( tgj-4 Ctgj’=2sm x+- I. 4\ 4/
5.499.
5.499.
5.500. Найти x, у. z, если
5.500. Найти x, у. z, если
sinx sin у
sinx sin у
{2cosx=3tgj>, 2008^=3 tgz, 2cosz=3tgx.
sinz
{2cosx=3tgj>, 2008^=3 tgz, 2cosz=3tgx.
sinz
1
1
5 2 ’
5 2 ’
ГЛАВА 6ПРОГРЕССИИ
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
1° Арифметическая прогрессия (в)— первый член; d—разность;
п — число членов; а, — л-й член; S„ — сумма п первых членов):
дя=Д1+</(л—1);
at+a, 2at+d(n-l) S*- „ л-л;
22
й*-1+«а+1 , _
(6.1)
(6-2)
Д* —, к—2,3,.... л 1;
ак+°т"*я,+а1. где k+m=p+q.
(6.3)
(6.4)
2° Геометрическая прогрессия (bi—первый член; q— знаменатель (9# ОХ л — число членов; Ь, — л-й член (6„#0); S„ — сумма л первых членов):
b.-^q”" ;
(6-5)
61 (I-9”)
^—H^(^D; ' 1-9
(6.6а)
S,-nbt (#-1Х
(6.66)
^-ба-^+ь к-2,3,..., л-1;
(6-7)
bfcb*-b,b,, где k+m-p+q.
(6-8)
Если |?| < 1, то при неограниченном увеличении л (л-юо) сумма 3„ стремится к числу, которое называют суммой бесконечной геометрической прогрессии 1-9 и обозначают буквой 3:
3 (6.9)
1-9
Промер 1. Сумма трех первых членов возрастающей арифметической прогрессии равна 21. Если от первых двух членов этой прогрессии отнять по 1, а к третьему члену прибавить 2, то полученные три числа составят геометрическую прогрессию. Найти сумму восьми первых членов геометрической прогрессии.
2д] +2d
□ Согласно формуле (6.2), имеем & — 3—21 или «.+</—7. По усло-
2
вию, «1 — 1, av+d— 1, ai+2<Z+2 — три последовательных члена геометрической прогрессии. Используя формулу (6.7), получаем (a1+</-l)3-(a1+M+2) («1—1),
откуда после замены ax = 1—d и раскрытия скобок приходим к квадратному уравнению d2+3d—18=0, т. е. dx=3, di= — 6. Условию удовлетворяет только dx=3; тогда ах =4. Далее, находим bx = ах — 1 = 3, b^=ах + d— 1 = 6 и, следовательно, 9=2. Наконец, по формуле (6.6) получим
Л1 (9в—1) 3(28-1)
Sg=——-=—=765. ■
9-12-1
Пример 2. Найти сумму шести первых членов арифметической прогрессии, у которой сумма любого числа членов равна учетверенному квадрату этого числа.
Используя условие и формулу (6.2), имеем
2ах +d(n—Y)
п=4п2 или 2ax—d=(8—d)n.
Последнее равенство должно выполняться при определенных ах, d и при любых значениях п, а это возможно только тогда, когда </=8. Значит, ах=4, откуда находим
Пример 3. Известно, что при любом п сумма п первых членов некоторой числовой последовательности {«„} выражается формулой S„=л2 +2л. Найти девятый член этой последовательности и доказать, что (и„) является арифметической прогрессией. .
Обозначим п-й член последовательности через ип. Тогда S„=U|+U2 + + ... + «„; S,+ i=S„+u„+b или un+x—Sn+x-S„. Следовательно, ug = Sg—S8 = =92 + 18—82 —16=19. Далее, рассмотрим разность двух любых соседних членов последовательности:.
Ия+1 —“n=№+i -S,,)—(S„—S„_i)=
= („ + 1)2+2 („ + !)—2л2—4„ + (л—1)2+2 (л—1)=2.
Это означает, что /и,,} является арифметической прогрессией с разностью d=2. ■
Пример 4. Решить уравнение 1+2х+4х2 + ... + (2х) + ...=3,4—1,2х, если известно, что |х|<0,5.
Левая часть уравнения есть сумма бесконечной геометрической прогрессии, причем Ьх = 1 и I9I — |2х| < 1, так как |х| < 0,5. Согласно формуле (6.9), имеем
1+2х+4х2 + ...=—-—■1—2х
или
1
=3,4-1,2х; (3,4—1,2х) (1-2х)=1;
1-2х
2,4х2-8х+2,4=0; Зх2-10х+3=0,
откуда Xi -3, Х2= 1/3. Условию удовлетворяет только корень х-1/3. ■
Группа А
6.001. За установку самого нижнего железобетонного кольца колодца заплатили 260 тыс. руб., а за каждое следующее кольцо платили на 20 тыс. руб. меньше, чем за предыдущее. Кроме того, по окончании работы было уплачено еще 400 тыс. руб. Средняя стоимость установки
4
одного кольца оказалась равной 224 - тыс. руб. Сколько колец было установлено?
6.002. Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна 5/3, а произведение третьего и четвертого ее членов равно 65/72. Найти сумму 17 первых членов этой прогрессии.
6.003. В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, а за каждый последующий — на 1/2 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?
6.004. Найти три первых члена аь а2, а3 арифметической прогрессии, если известно, что ai+a3 + a5= —12 и в| а3а3 = 8О.
6.005. Найти число членов арифметической прогрессии, у которой сумма всех членов равна 112, произведение второго члена на разность прогрессии равно 30, а сумма третьего и пятого членов равна 32. Написать три первых члена этой прогрессии.
6.006. Турист, поднимаясь в гору, в первый час достиг высоты 800 м, а каждый следующий час поднимался на высоту, на 25 м меньшую, чем в предыдущий. За сколько часов он достигнет высоты в 5700 м?
6.007. При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй член в частном получается 5, а при делении тринадцатого члена на шестой член в частном получается 2 и в остатке 5. Найти первый член и разность прогрессии.
6.008. Найти четыре числа, образующих геометрическую прогрессию, у которой сумма крайних членов равна — 49, а сумма средних членов равна 14.
6.009. Найти третий член бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |?| < 1, сумма которой равна 8/5, второй член равен — 1/2.
6.010. Найти три первых члена бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |?| < 1, сумма которой равна 6, а сумма пяти первых . членов равна 93/16.
6.011. Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 2, а сумма квадратов этих же чисел равна 14/9. Найти эти числа.
6.012. Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии равна 8. Найти сумму 11 первых членов этой прогрессии.
6.013. Сумма трех первых членов возрастающей арифметической прогрессии равна 15. Если от первых двух членов этой прогрессии отнять по 1, а к третьему члену прибавить 1, то полученные три числа составят геометрическую прогрессию. Найти сумму 10 первых членов арифметической прогрессии.
6.014. Известно, что при любом и сумма S, членов некоторой арифметической прогрессии выражается формулой 5„=4л2—Зл. Найти три первых члена этой прогрессии. ,
6.015. Вычислить (1 + З2 + 52+... +(2л — I)2 +... +1992)—(22+42 + 62 + + ... + (2л)2 + ...+2002).
6.016. Найти четыре числа, образующих геометрическую прогрессию, у которой второй член меньше первого на 35, а третий больше четвертого на 560.
6.017. Найти четыре числа, образующих геометрическую прогрессию, у которой третий член больше Первого на 9, а второй больше четвертого на 18.
6.018. Знаменатель геометрической прогрессии равен 1/3, четвертый член этой прогрессии равен 1/54, а сумма всех ее членов равна 121/162. Найти число членов прогрессии.
6.019. Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если известно, что а4—а2= —45/32 и а^—а4= —45/512.
6.020. Найти первый и пятый члены геометрической прогрессии, если известно, что ее знаменатель равен 3, а сумма шести первых членов равна 1820.
6.021. Арифметическая прогрессия обладает следующим свойством: при любом л сумма ее л первых членов равна 5л2. Найти разность этой прогрессии и три первых ее члена.
6.022. Произведение трех первых членов геометрической прогрессии равно 1728, а их сумма равна 63. Найти первый член и знаменатель этой прогрессии. '
6.023. Решить уравнения:
2х+1 +Х1 —х3+х4—х5 + ...= 13/6, где И<1;
1 , „ 7
-+лЧ-х2 + ...+л- +...=-, где |х|<1. х 2
6.024. Первый член арифметической прогрессии равен 429, разность ее равна — 22. Сколько членов этой прогрессии нужно взять, чтобы их сумма была равна 3069?
6.025. Сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |д|<1 равна 16, а сумма квадратов членов этой же прогрессии равна 153,6. Найти четвертый член и знаменатель прогрессии.
6.026. Найти натуральные числа, образующие арифметическую прогрессию, если произведения трех и четырех первых ее членов равны соответственно 6 и 24.
6.027. Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии равна 6, а их произведение равно 135/16. Найти сумму 15 первых членов этой прогрессии.
6.028. Найти число членов конечной геометрической прогрессии, у которой первый, второй и последний члены соответственно равны 3,12 и 3072.
6.029. Найти сумму всех положительных четных двузначных чисел, делящихся на 3 нацело.
6.030. Найти знаменатель q бесконечной геометрической прогрессии О»! < 1)> У которой каждый член в 4 раза больше суммы всех ее последующих членов. ■
6.031. Известно, что внутренние углы некоторого выпуклого многоугольника, наименьший угол которого равен 120°, образуют арифметическую прогрессию с разностью 5°. Определить число сторон этого многоугольника.
6.032. Произведение третьего и шестого членов арифметической прогрессии равно 406. При делении девятого члена этой прогрессии на ее
четвертый член в частном получается 2, а в остатке 6. Найти первый член и разность прогрессии.
6.033. В бесконечной геометрической прогрессии с положительными членами и со знаменателем |^| < 1 сумма трех первых членов равна 10,5, а сумма прогрессии 12. Найти прогрессию.
6.034. Сумма трех последовательных членов геометрической прогрессии равна 65, а сумма их логарифмов по основанию 15 равна 3. Найти эти члены прогрессии.
6.035. Найти знаменатель (|^| < 1) бесконечной геометрической прогрессии, у которой каждый член относится к сумме всех последующих членов как 2:3.
Группа Б
6.036. Сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна 21, а сумма их квадратов равна 189. Найти первый член и знаменатель этой прогрессии.
6.037. Доказать, что любой член арифметической прогрессии начиная со второго есть среднее арифметическое между любыми двумя членами, равноудаленными от него.
6.038. Известно, что в некоторую арифметическую прогрессию входят члены а2„ и а^ такие, что ainlaim=— 1. Имеется ли член этой прогрессии, равный нулю? Если да, то каков номер этого члена?
6.039. Даны две арифметические прогрессии. Первый и пятый члены первой прогрессии равны соответственно 7 и — 5. У второй прогрессии первый член равен 0, а последний член равен 7/2. Найти сумму членов второй прогрессии, если известно, что третьи члены обеих прогрессий равны между собой.
6.040. Три числа составляют геометрическую прогрессию. Если от третьего отнять 4, то числа составят арифметическую прогрессию. Если же от второго и третьего членов полученной арифметической прогрессии отнять по 1, то снова получится геометрическая прогрессия. Найти эти числа. •
6.041. Найти целое положительное число п из уравнения
/ 8+Зл\
(3+6 + 94-...4-3 (л —1))+ ( 4 + 5,5+ 7+...4—-—1 = 137.
6.042. Найти сумму всех четных трехзначных чисел, делящихся на 3.
6.043. Сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |9| <1 равна 4, а сумма кубов ее членов равна 192. Найти первый член и знаменатель прогрессии.
6.044. Найти четыре числа, первые три из которых составляют геометрическую прогрессию, а последние три — арифметическую прогрессию. Сумма крайних чисел равна 21, а сумма средних равна 18.
6.045. Сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна 91. Если к этим членам прибавить соответственно 25, 27 и 1, то получатся три числа, образующих арифметическую прогрессию. Найти седьмой член геометрической прогрессии.
6.046. Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 2, то прогрессия станет арифметической, а если после этого увеличить последнее число на 9, то прогрессия снова станет геометрической. Найти эти числа.
6.047. Найти три числа, образующих геометрическую прогрессию, если известно, что их произведение равно 64, а их среднее арифметическое равно 14/3.
6.048. Доказать, что любой член знакоположительной геометрической прогрессии начиная со второго равен среднему пропорциональному между любыми членами, равноудаленными от него.
6.049. Найти сумму семи первых членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |?|<1, если ее второй член равен 4, а отношение суммы квадратов членов к сумме членов равно 16/3.
6.050. Найти сумму всех трехзначных чисел, делящихся на 7.
6.051. Найти сумму
/ 1V / 1V /„ 1\2
(2+- +(4+- +...+ ( 2 +- .
6.052. Даны две бесконечные геометрические прогрессии со знаменателем |?| < 1, различающиеся только знаком их знаменателей. Их суммы соответственно равны ^ и S2. Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, составленной из квадратов членов любой из данных прогрессий.
6.053. Пусть ai, Д2а„ — последовательные члены геометрической прогрессии, 5Я — сумма ее п первых членов. Доказать, что
/111\
8„=Д1 a, I —I1- — Ч— ).
а2ап/
6.054. Доказать, что если числа а, b и с составляют арифметическую прогрессию, то числа д2+дА+/>2, д2 + дс+с2 и 62 + 6с+с2 в указанном порядке также составляют арифметическую прогрессию.
6.055. Первый член некоторой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |^|<1 равен 1, а ее сумма равна 5. Из квадратов членов этой прогрессии составлена новая бесконечная геометрическая прогрессия. Найти ее сумму.
6.056. Найти пятый член возрастающей геометрической прогрессии, зная, что ее первый член равен 7 — 3-^/5 и что каждый ее член начиная со второго равен разности двух соседних с ним членов.
6.057. В арифметической прогрессии сумма ее т первых членов равна сумме л первых членов (/и/л). Доказать, что в этом случае сумма ее первых т+л членов равна нулю.
6.058. Известно, что L, М. N — соответственно /-й, m-й, л-й члены геометрической прогрессии. Показать, что £т "М* W т=1.
6.059. Числа а, Ь, с, одно из которых кратно 7, составляют арифметическую прогрессию с разностью 7. Показать, что число abc делится на 294.'
6.060. Показать, что для всякой арифметической прогрессии при
любом л выполняется равенство <У2»=-^»+- ^з» № — сумма к первых ■3
членов прогрессии).
6.061. Решить уравнение
х—1 х—2 х—31
где х — целое положительное число.
6.062. Число 180 представить в виде суммы четырех слагаемых так, чтобы они составляли геометрическую прогрессию, у которой третий член был бы больше первого на 36.
6.063. Даны две геометрические прогрессии, состоящие из одинакового числа членов. Первый член и знаменатель первой прогрессии равны соответственно 20 и 3/4, а первый член и знаменатель второй прогрессии равны соответственно 4 и 2/3. Если перемножить члены этих прогрессий с одинаковыми номерами, то сумма всех таких произведений составит 158,75. Найти число членов этих прогрессий.
6.064. Три числа, из которых третье равно 12, образуют геометрическую прогрессию. Если вместо 12 взять 9, то три числа составят арифметическую прогрессию. Найти эти числа.
6.065. В конечной геометрической прогрессии известны ее первый член а, последний член b и сумма 5 всех ее членов. Найти сумму квадратов всех членов этой прогрессии.
6.066. В некоторой геометрической прогрессии, содержащей 2л положительных членов, произведение первого члена на последний равно 1000. Найти сумму десятичных логарифмов всех членов прогрессии.
6.067. Сумма трех чисел равна 11/18, а сумма обратных им чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 18. Найти эти числа.
6.068. Разность арифметической прогрессии отлична от нуля. Числа, равные произведениям первого члена этой прогрессии на второй, второго члена на третий и третьего на первый, в указанном порядке составляют геометрическую прогрессию. Найти ее знаменатель.
Группа В
6.069. Найти трехзначное число, цифры которого образуют геометрическую прогрессию. Если из этого числа вычесть 792, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Если из цифры, выражающей число сотен, вычесть 4, а остальные цифры искомого числа оставить без изменения, то получится число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию.
6.070. Известно, что при любом л сумма л первых членов некоторой числовой последовательности выражается формулой S,= 2л2 + 3л. Найти десятый член этой последовательности и доказать, что эта последовательность является арифметической прогрессией.
6.071. Найти сумму 19 первых членов арифметической прогрессии аь а2, а3если известно, что 04+og+an+a^ 224.
6.072. Длины сторон треугольника представляют собой три последовательных члена возрастающей геометрической прогрессии. Сравнить знаменатель этой прогрессии с числом 2.
6.073. Найти сумму четырех первых членов геометрической прогрес
сии, обладающей тем свойством, что ее три первых члена, сумма кото- 166
рых равна 148/9, являются одновременно первым, четвертым и восьмым членами некоторой арифметической прогрессии.
6.074. Числа аь а^, .... а„ а„+1 образуют арифметическую прогрессию. Доказать, что
111л
11-... Ч.
Я1Д2 Д2аз я*а»+1 ^«я-н
6.075. Последовательность чисел 1, 8, 22, 43, ... обладает тем свойством, что разности двух соседних членов (последующего и предыдущего) образуют арифметическую прогрессию: 7, 14, 21, ... . Найти номер члена последовательности, равного 35351.'
6.076. Доказать следующее утверждение: для того чтобы три числа 111
, , составляли арифметическую прогрессию, необходимо b+с с+а Ь+а
и достаточно, чтобы числа а1, Ь1 и с1 также составляли арифметическую прогрессию.■
6.077. Сумма четырех чисел, составляющих геометрическую прогрессию, равна — 40, а сумма их квадратов равна 3280. Найти эту прогрессию.
6.078. Даны две прогрессии: геометрическая с положительными членами а, (знаменатель равен 9, где q^ 1) и возрастающая арифметическая с членами Ь, (разность равна </). Найти х из условия log^a,—b„ = = \ogxa1-b1.
6.079. Найти сумму 1+2'3 + 3'74-... + л (2”—1).
6.080. Найти сумму ГЗ + 3-9 + 5 27 + ... + (2л—1) з”.
6.081. Найти произведение п первых членов геометрической прогрессии, если известны их сумма 5 и сумма а их обратных величин.
6.082. Корни уравнения х4 —10х2 + а=0 составляют арифметическую прогрессию. Найти а.
6.083. Доказать следующее утверждение: для того чтобы три числа х, у и г в указанном порядке составляли геометрическую прогрессию, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство (х2+у2) (у2 + + z1) = (xy+yz)1.
6.084. В соревновании по волейболу участвовало п команд. Каждая команда играла со всеми остальными по одному разу. За каждую игру выигравшей команде засчитывалось одно очко, за проигрыш очки не начислялись; ничьих в волейболе нет. По окончании соревнований выяснилось, что набранные командами очки образуют арифметическую прогрессию. Сколько очков набрала команда, занявшая последнее место?
6.085. В угол, содержащий 60°, вписаны пять окружностей так, что каждая последующая окружность начиная со второй касается предыдущей. Во сколько раз сумма площадей всех пяти кругов больше площади меньшего круга?
6.086. Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, обладающей следующим свойством: если от ее первого члена отнять 16/27, то первые три члена образуют арифметическую прогрессию, а если
после этого от третьего члена отнять 16/189, то снова получится геометрическая прогрессия.
6.087. Число членов геометрической прогрессии четно. Сумма всех ее членов в 3 раза больше суммы членов, расположенных на нечетных местах. Найти знаменатель прогрессии.
6.088. Вычислить значение дроби —+х +х +х+* црИ х_ _q 05.
X® 4"Х®+ Х* + Х^ + 1
6.089. Сократить дробь
х8 + х6у1 + х*у* + х1у6+у8
х* + х3у + х1у1 + ху3+у*
6.090. Найти условия, при которых квадраты трех последовательных членов арифметической прогрессии являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии.
ГЛАВА 7
ЛОГАРИФМЫ. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕИ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА И ФОРМУЛЫ
Свойства показательной функции
у = а , а>0, a# 1
°. Область определения функции—множество R всех действительных чисел.
2°. Область значений функции — множество R+ всех положительных чисел:
а > 0 для любого действительного значения х.
3°. При а>1 функция возрастает, т. е. если хх<хг, то ах <а\ При 0<а<1
функция убывает, т. е. если X] <х2, то ах>а1.
4°. Если а ' =а ’, то X; =х2.
Свойства логарифмической функцииу=1о&х, e>0, а* 1
1°. Область определения функции — множество R+ всех положительных действительных чисел.
2°. Область значений функции — множество R всех действительных чисел.
3°. При а> 1 функция возрастает, т. е. если x2>xj >0, то1оь,х2>1о&Х1. При 0<а<1 функция убывает, т. е. если x2>xi>0, то 1о&,х2<1о&,Х].
Свойства логарифмов
1°. Если х>0, то
•«Яа*
х=а(7.1)
(основное логарифмическое тождество).
2°. Логарифм основания равен единице:
1о&а=1.(72)
3°. Логарифм единицы равен нулю:
10^1=0.(7 3)
(7.4)(7.4)4°. Если Xi >0 и х2>0, то
(7.4)
(7.4)
logs (xi x2)=logax1 +1о&,х2
(формула для логарафма произведения);
log, — = log. х1 - log„ х2(7.5)
хг
(формула для логарафма частного).
5°. Если х>0, ТО
loge* =flogaX,
где р — любое действительное число (формула для логарифма степени).
6°. Если х>0, то -
(7-7)новому(7-8)(7.9)(7-7)новому(7-8)(7.9), log»-* 1о&х=- ■
(7-7)
новому
(7-8)
(7.9)
(7-7)
новому
(7-8)
(7.9)
log» °
для любого действительного числа 4>0 и А#1 (формула перехода к основанию логарифма).
В частности,
1
logah= ИЛИ log, Alog»a = 1;
log» в
logg6=log , bP =plog , b (peR, p^O).
УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХИ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
1°. Показательное уравнение .
(7Л0)(7.И) основа-(7Л0)(7.И) основа-a =b (о>0, a# 1, 4>0, b^ 1)
(7Л0)
(7.И) основа-
(7Л0)
(7.И) основа-
равносильно уравнению
/to log, a-g (х) log, b, которое получается логарифмированием уравнения (7.10) по какому-либо нию с>0, с#1.
_/to г to, .
В частности, уравнение а =а равносильно уравнению / (x)=g (х).
2°. Корнями уравнения
(и (х))=(м (х))(7.12)
считаются только решения смешанной системы
{
и (х)>0, к(х)#1,(7.13)
/W^g to
и те значения х, для Kotopbix и (х)= 1, если при этих значениях определены / (х)
и g (x). Функция вида (u (x)) определена только при и (х) > 0, поэтому те значения х, которые формально удовлетворяют равенству (7.12), но при которых и (х)<0, не принято считать корнями уравнения (7.1-2).
3°. Логарифмическое уравнение
10go/(x)=/>
(7-14)
равносильно уравнению
/(х) = а6.
(7.15)
4°. Логарифмическое уравнение
toga/(x)=logag (х) (а>0, а^1)
(7.16)
равносильно каждой из следующих систем:
|/to>0,(gto>0.
<или <
l/W=Hx)lfto = gto-
(7.17)
Для решения уравнения (7.16) переходят только к одной из этих систем (той, которая проще) либо решают уравнение /(x)=g (х), которое может иметь корни, посторонние для исходного уравнения, и проверяют каждый из них подстановкой
в исходное уравнение.
5°. Для решения уравнений
1о&/(х)+1о& g (x)=loga и (х),
(7-18)
loga/to-loga g (x) = 10g„ U (x),
(7-19)
/>10ga/(x)=10gaU(x),
(7.20)
используя формулы (7.4)—(7.6), их приводят соответственно к виду:
toga Vto’g (x))=loga и (х),
(7.21)
/to toga—-=10gaU(x), gto
(7.22)
toga V toV = toga u(x)
(7-23)
и далее решают так, как указано в п. 4°.
Из найденных корней следует включить в ответ те, для которых / (х) > О, gto>®» u(x)>0, либо проверить каждый из них подстановкой в исходное уравнение..
6°. Если при решении уравнения с помощью формул (7.4)—(7.6) производят- /(х)р
ся преобразования вида loga (/" (х)' g (х)), loga, log^ (f (х)) , где р — четное gto
число, то возникает опасность потери корней заданного уравнения. Чтобы предотвратить возможную потерю корней, надо пользоваться указанными фор-
мулами в таком виде:
" (7.24)(7.25)(7-26)" (7.24)(7.25)(7-26)1о& У (х) g (х))=1о& V (х)| +1о& |g (х)|, '/(х)
" (7.24)
(7.25)
(7-26)
" (7.24)
(7.25)
(7-26)
.1о&——-=1о&[/"(х)|-1о&,|г(х)|,
8 (х)
log, V (x))l>=p log \f (х)|, р — четное число.
у 2х 1-х
Пример 1. Решить уравнение V5'0,2 —0,04=0.
□ Здесь все степени можно привести к одному основанию 5. Имеем:
1111
/1 \/ 1 \ 1 —
Г 2 2х /1\2х 2х 1-х / 1 \— 2(1—х)
Vs = 5 , 0,2 =(-) —5, 0,04=[ —)=5. Тогда уравнение при-
\5/\25/
мет вид
2 2х -2(1-х)2 2х
5 5—5=0 или 5=5
1 1
Согласно указанию 1 °, перейдем к равносильному уравнению — 2 (1 — х).
2 2х
Их2 —5х + 1 =0, После преобразований получим <откуда х1 = 1, Х2= 1/4. ■
’(х#0,
Пример 2. Решить уравнение
ЗбЗ^-Збб^-З^' + б^-О.
X*лХ
Группируя подобные члены, имеем 3 (35—1)—5 (35—1) = 0 или 3х =5 . Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10 (см. указание 1°), получаем равносильное уравнение
■х2 lg3 — 2х lg5, или х (х 1g3—21g5)=0,
откуда Xj =0, х2=2 lg5/lg3. ■
Пример 3. Решить уравнение 4^—9 • 2^ *+2=0.
Так как 4 —2 и2 =2 '2 =-'2 , то данное уравнение примет
вид l —'2 +2—0. Произведем замену переменной 2V =у, где у >0 в силу
9
свойства 2° показательной функции. Тогда получим уравнение у2—у+2=0,
1 -Г
корни которого у, =4, У2—1/2 положительны. Из уравнения 2V =4 имеем 2V = =22, Vx=2, откуда х=4. Из уравнения 2'^*=1/2 находим 2'^=2-1, откуда
-Jx= — 1, что невозможно. Итак, получаем ответ: х—4. ■ x'-lx5*-10
Пример 4. Решить уравнение |х—2|— |х—2|.
□ Согласно указанию 2°, корнями уравнения являются только решения смешанной системы
|х—2|>0, |х-21^1, .х2 —2х = 5х—10|х—2|>0, |х-21^1, .х2 —2х = 5х—10илиилих#2, х^З, х#1, •х2-7х+10 = 0х#2, х^З, х#1, •х2-7х+10 = 0
|х—2|>0, |х-21^1, .х2 —2х = 5х—10
|х—2|>0, |х-21^1, .х2 —2х = 5х—10
или
или
х#2, х^З, х#1, •х2-7х+10 = 0
х#2, х^З, х#1, •х2-7х+10 = 0
и, быть может, решения уравнения |х—2| = 1. Из двух корней уравнения х1—7x4-10=0 решением системы является одно число х=5, а требованию |х-2| = 1 удовлетворяют х=3 и х=1, также являющиеся решением системы, поскольку при этих значениях х функции х2 —2х и 5х—10 определены. Итак, получаем ответ: х= 1, х=3, х=5. ■_
Пример 5. Решить уравнение 2 (Igx—lg6)=lgx—21g (Vх-1)-
□ Учитывая область определения логарифмической функции, квадратного корня и указание 5°, получаем систему, равносильную заданному уравнению:
х>0,х>0,х2 хlg 1g х2 хlg 1g 36 (Vx-1)36 (Vx-1)илиили
х>0,
х>0,
х2 х
lg 1g
х2 х
lg 1g
36 (Vx-1)
36 (Vx-1)
или
или
Обе части уравнения разделим на х (при этом не произойдет потери корней, так как х>0) и умножим на 36 (Vх—!)2 (причем не появятся посторонние корни, так [х> 1, как х#1). Тогда получим систему <-Из уравнения
IxGA-1)2 = 36.
(Vx(Vx-l))2-36 находим Vх (Vx~l)=6, Vх (Vх- В»6 —6, поскольку Vх (Vх-1)>0. Далее, имеем Vx(Vx-*)=6 или (Vх)2 —Vх-6=0. Значит, Vх=3, откуда х=9>1; Vх = — 2, что невозможно. Итак, получаем ответ: х=9. ■
Пример 6. Решить уравнение
logo,5 V1+ х+3 logi/4 (1 - х)=log^ie (1 - X2)2 + 2.
□ Перейдем к основанию 1/4. Имеем:
logo,5 V1 +x=log1/4 (1 +х) [см. формулу (7.7) или (7.9)];
logi/u 0-х2)2logi/u 0-х2)2JO&/4 О -х2)2 =11°«1/4 -JO&/4 О -х2)2 =11°«1/4 -2 Jog1/4 |1 -х2|’22 Jog1/4 |1 -х2|’2“10gl/4 |1“х2|“10gl/4 |1“х2|
logi/u 0-х2)2
logi/u 0-х2)2
JO&/4 О -х2)2 =1
1°«1/4 -
JO&/4 О -х2)2 =1
1°«1/4 -
2 Jog1/4 |1 -х2|
’2
2 Jog1/4 |1 -х2|
’2
“10gl/4 |1“х2|
“10gl/4 |1“х2|
11[см. формулу (7.7) и указание 6°];
1
1
2 = logl/4 — [см. формулу (7.6)].
В результате приходим к уравнению
10g|/4 (1 +х) + 3 log1/4 (1 -x)-logV4 |1 —х2| +logV4 —.
Учитывая область определения логарифмической функции, находим
(1+х>0, (х>-1,
//—1<х<1.
(.1— х>0; (х<1;
При этих значениях х имеем 1 — х2>0 и |1 — х2| = 1 —х2. Далее, согласно указанию 5 , получим
1 — X210gl/4 (1+х) (l-x)3 = 10gi/4.
Это уравнение равносильно смешанной системе
— 1<х<1,
(1+х) (1 — х)3 = (1 — х2)/16.
Обе части уравнения делим на (1 + х) (1 — х) > 0, причем потери корней не произойдет. Тогда получим
— 1<х<1,(1-х)2 = 1/16.
Из уравнения 1—х=1/4 находим х=3/4, причем хе(—1, 1). Из уравнения 1 — х = —1/4 имеем х=5/4, т. е. х не удовлетворяет неравенствам — 1 < х< 1. Итак, получаем ответ: х= 3/4. ■
lgx+5
Пример 7. Решить уравнение х 3 = 10*gx+l.
Так как логарифмическая функция определена при х> 0, то левая и правая части данного уравнения положительны. Логарифмируя их по основанию 10 и используя формулы (7.6) и (7.2), получаем
Произведем замену переменной у=1g х и решим уравнение у2 + 5у=3у+3. Имеем у2+2у—3=0, откуда yi = —3, У2 = 1. Из уравнения lgx=—3 получаем х=10'3, а из уравнения lgx=l находим х=10. Итак, х=0,001, х= 10. ■
Пример 8. Решить уравнение logx (2х2—4х+3)=2.
Используя указание 3° и учитывая ограничения, налагаемые на основание логарифма, записываем равносильную данному уравнению систему
х>0; х^1,2х2—4х+3=х2.
Решаем квадратное уравнение х2—4х+3=0, откуда Xj=3, Х2=1 (не подходит). Итак, х=3. ■
Пример 9. Решить уравнение logg (x+6)logx3=2.
Учитывая область определения логарифмической функции, ограничения, налагаемые на основание логарифма, и формулу (7.8), получаем равносильную данному уравнению систему
х + 6>0.
х>0; х#1,
log3 (х + 6) -= 2.
■logjx
Решаем уравнение этой системы. Так как х#1, то log3x#0 и уравнение принимает вид log3 (x + 6) = 21og3x или log3 (x+6)=log3x2 или х2 = х+6 (см. указание 4°). Находим корни этого уравнения: xj = — 2, х2 = 3. Из них только х=3 удовлетворяет условиям х + 6>0, х>0 и х^1. Итак, получаем ответ: х=3. ■
Пример 10. Решить уравнение lgx2=0,251g (4х+3)4.
Учитывая область определения логарифмической функции, заключаем, что х#0, 4х + 3#0. Для преобразования 1g (4х + 3)4 применяем формулу (7.26) (см. указание 6°). Тогда 0,251g (4х + 3)4=0Д5 41g |4х+3| =lg |4x+3J. В результате получим уравнение lgx2=lg |4х + 3|, равносильное заданному.
Если4х+3>0, т. е. х> —3/4, то |4х + 3|=4х+3 и х2=4х + 3. Находим корни этого уравнения: Х|=2 + V7>-3/4, x2=2-V7>-3/4. Если 4х+3<0, т. е. х< — 3/4, то |4х+3| = —4х—3 и х2=—4х—3. Находим корни этого уравнения:
Х1 = -1 <—3/4, х2= —3<—3/4. Итак, получаем ответ: 2±,/7; — 1; —3. ■
Замечание. Выражение 0,251g (4х+3)4 можно заменить тождественно равным ему выражением 1g ((4х+3)4) ’ (см. указание 5°), но утверждение 1g ((4х+ , 0,25
+ 3) ) =lg(4x + 3) было бы неверным. Дело в том, что при использовании правила возведения степени в степень необходимо учитывать следующее свойство „ , ,.. . 2л 1/(2л)
степенной функции: при любом neN (х )= |х|, а не х [см. формулу (1.24)].
Поэтому lg ((4х + 3)4) ' =lg ((4х+3)4)* 4=lg |4х + 3|.
Группа А
Решить уравнения (7.001—7.040):
11-х
7.019. З З2*-1 -2"5x-‘ =0,2.7.021. 9х*-1 —36"Зх1-3 + 3 = 0.7.023. (УЗ)Х+(1^3)Х"'°=84.7.019. З З2*-1 -2"5x-‘ =0,2.7.021. 9х*-1 —36"Зх1-3 + 3 = 0.7.023. (УЗ)Х+(1^3)Х"'°=84.7.020. 102/х+251/х=4,25 50'/х.7.020. 102/х+251/х=4,25 50'/х.7.022. 4х-102х ‘-24=0.7.022. 4х-102х ‘-24=0.7.024.7.024.9V^59V^5-27 = 63Vrl.-27 = 63Vrl.
7.019. З З2*-1 -2"5x-‘ =0,2.
7.021. 9х*-1 —36"Зх1-3 + 3 = 0.
7.023. (УЗ)Х+(1^3)Х"'°=84.
7.019. З З2*-1 -2"5x-‘ =0,2.
7.021. 9х*-1 —36"Зх1-3 + 3 = 0.
7.023. (УЗ)Х+(1^3)Х"'°=84.
7.020. 102/х+251/х=4,25 50'/х.
7.020. 102/х+251/х=4,25 50'/х.
7.022. 4х-102х ‘-24=0.
7.022. 4х-102х ‘-24=0.
7.024.
7.024.
9V^5
9V^5
-27 = 63Vrl.
-27 = 63Vrl.
7.007. 2х* Э -5*’ 3 = 0,01 (10х ‘ )\
11
7.009. 5х ^ О.г^ \/25.7.010. 1^ 1 •0,5Vx+* = 4x+Vx
7.011. 2,5 ^ 0,4* V5^=5,o 0,15. 7.012. f Цт^ 6~Q) =0.
7.013. ^Г\'=^. 7.014. ^^\
7.015. 2x2~'-3x2=3x2"1-2x’+2. 7.016. 5x+6-3x+7=435x+4-193x+5.
7.017. 52x *+22x-52x+22x+2 = 0. 7.018. l'08^'5‘°МзХ = 400.
2 Зх+З
7.025. 17-2V71x-8 = 2"4V^lx. 7.026. 8х-2 х +12=0.
7.027.7.029.7.027.7.029.7.028. 101+x2-10* x2=99.7.028. 101+x2-10* x2=99.7.031. lg210x+lgx=19.7.033. x‘g2-2~lgx=l.11—Igx1J7.035. x 3 -—==0.V1007.037. x10g3x=4V3^.7.039. x*gx=1000x2.7.031. lg210x+lgx=19.7.033. x‘g2-2~lgx=l.11—Igx1J7.035. x 3 -—==0.V1007.037. x10g3x=4V3^.7.039. x*gx=1000x2.7.030. lg2x2=l.lgx+57.032. x 3 =10$+lgx.7.034. Jclog4X-2=23(,°g4X~,)7.030. lg2x2=l.lgx+57.032. x 3 =10$+lgx.7.034. Jclog4X-2=23(,°g4X~,)7.036. x21og2x=8.7.036. x21og2x=8.7.038. >/x‘gVx= 10.7.038. >/x‘gVx= 10.7.040. 27xlog27x=x10/3.7.040. 27xlog27x=x10/3.
7.027.
7.029.
7.027.
7.029.
7.028. 101+x2-10* x2=99.
7.028. 101+x2-10* x2=99.
7.031. lg210x+lgx=19.
7.033. x‘g2-2~lgx=l.
1
1—Igx1J
7.035. x 3 -—==0.
V100
7.037. x10g3x=4V3^.
7.039. x*gx=1000x2.
7.031. lg210x+lgx=19.
7.033. x‘g2-2~lgx=l.
1
1—Igx1J
7.035. x 3 -—==0.
V100
7.037. x10g3x=4V3^.
7.039. x*gx=1000x2.
7.030. lg2x2=l.
lgx+5
7.032. x 3 =10$+lgx.
7.034. Jclog4X-2=23(,°g4X~,)
7.030. lg2x2=l.
lgx+5
7.032. x 3 =10$+lgx.
7.034. Jclog4X-2=23(,°g4X~,)
7.036. x21og2x=8.
7.036. x21og2x=8.
7.038. >/x‘gVx= 10.
7.038. >/x‘gVx= 10.
7.040. 27xlog27x=x10/3.
7.040. 27xlog27x=x10/3.
7.041. Найти натуральное число л из равенства 32-3$,38...33”-1 = 275.
7.042. Вычислить сумму 2+2 , если 4+4 =23.
Упростить (7.043—7.051):
7.043.7.043.27log23 + 51og254927log23 + 51og2549$10в1625.510В53$10в1625.510В53. 7.044.. 7.044.+ 49*°8*7.+ 49*°8*7.
7.043.
7.043.
27log23 + 51og2549
27log23 + 51og2549
$10в1625.510В53
$10в1625.510В53
. 7.044.
. 7.044.
+ 49*°8*7.
+ 49*°8*7.
147.045. 811Og53 + 27lo8936 + 310879.7.047. -log3log3Vv^.147.045. 811Og53 + 27lo8936 + 310879.7.047. -log3log3Vv^.7.046. -log2 log2 ^ ^l.7.046. -log2 log2 ^ ^l.7.048. 36log65+10,'lg2-31°g’36.7.048. 36log65+10,'lg2-31°g’36.
14
7.045. 811Og53 + 27lo8936 + 310879.
7.047. -log3log3Vv^.
14
7.045. 811Og53 + 27lo8936 + 310879.
7.047. -log3log3Vv^.
7.046. -log2 log2 ^ ^l.
7.046. -log2 log2 ^ ^l.
7.048. 36log65+10,'lg2-31°g’36.
7.048. 36log65+10,'lg2-31°g’36.
7.049.7.049.814814~—~logg4~—~logg422+ 25loei258 j+^T2.+ 25loei258 j+^T2.зз227.050.7.050.40940981‘°«59 + 310^381‘°«59 + 310^3
7.049.
7.049.
814
814
~—~logg4
~—~logg4
2
2
+ 25loei258 j+^T2.
+ 25loei258 j+^T2.
з
з
2
2
7.050.
7.050.
409
409
81‘°«59 + 310^3
81‘°«59 + 310^3
7.051.7.051.^°82^-^°84^-^‘^в^., д/^З^^ у5 (основания логарифмов
7.051.
7.051.
представляют собой идущие подряд натуральные степени числа 2).
Упростить, указав допустимые значения букв (7.052—7.057):
1
7.052. f2logV2a-3log27(a,+1)3-^^-Л
7.053. JOga^HHL1^kYE^
log»2 (a2-l)log 3/aVs2-1 22
7.054. a*084^ 6-2alogei+1 ^X ^ab^ .
1.-2
f 2S210849 25 + 2 log2 log2 log2 a21”8® 4^" 41”88 4 - a 2
7.055. .
1—a
7.056. (logeA+Iogja + Z) (log,^—log,» b) log» a —1.
7.057.7.057.1 —log’ Ь1 —log’ Ь
7.057.
7.057.
1 —log’ Ь
1 —log’ Ь
a
Ooge А+lOg» a+1) loga -
7.058. Если log, 27=6, то чему равен logx/3 ^/o?
7.059. Вычислить log1/2 28, если log7 2=a.
7.060. Найти lg2 vx> если известно, что log, 100 = a.
7.061. Найти log» 2,97, если известно, что lg3 = a и lg 11 = b.
7.062. Показать, что при условии х>0 и у>0 из равенства х2+4у2=12ху следует равенство
lg (х+2у)—21g2=^ (Igx+lgy).
х1 -У1Aog21og2T
7.063. Доказать, что если у=2 и z=T , то х= ± /, и ука
зать все значения z, при которых х принимает действительные значения.
Решить уравнения (7.064—7.144):
7.064. lg(V6+x+6) =—-—. logVxlO
7.065. lg(x+l,5)--lgx
7.066. lg (5—х)—lg (35—хэ) = 0.
log$ (V2х—7 + 7)
7.068. Iog2 (V4x+5~ 1) = 0,5log2 (V^+5 + 11).
7.069. lg (3-x)-- lg (27 —x3)=0.
3
Igx2 7.070.=1.
lg (6x—5)
7.071. Ig5+lg (x+10)=l—lg (2x-l)+lg (21x-20).
7.072. log2 182-21og2V5-x=l°g2 (H-x)+L
7.073. Iog5-x/x~9—logs 10+logs>/2x—1=0.
2-lg4+lg0,12
7.074.======1.
lg (V3x+1+4)—lg2x
7.075. logs (Зх-11)+logs (x—27)=3+log$ 8.
7.076. lg(5-x)+21gA/^x-l.
7.077. 0,5 Qg (x2-55x4-90)-lg (x-36))=lg V2- x—5
7.078. log2 —+ log2 (x2-25)=0.
7.079.
lgVx+7—lg2
7.080. 1g (lgx)4-lg Qgx3-2)=0.
7.081. 21og3 (x-2)4-log3 (x-4)2 = 0.
7.082. Ig(3x24-12x4-19)-lg(3x4-4)=l.
7.083. log3 (x-3)2+log3 |x—3| = 3.
7.084. lgv^3+lgv/x+3 = 2-0,51g625.
7.085. 21gx—lg4= —1g (5—x2).
7.086. Ig8—lgVx+6=lg 16—1g (x—2).
7.087. 21gV4^x+lg(6-x)=l.
lg(2x-19)-lg(3x-20)Igx
7.089. log^+log, (y 4-5) 4-log, 0,02=0.
7.090. (log2x-3) log2x4-2 (log2x4-l)log2 ^2=0.
7.091. 0,1 log2 (x—4) —l,31o^ (x—4)4-3,6=0.
7.092. 1g (x24-l) = 21g-1 (x24-l) —1.
7.093. 1g (x (x4-9))4-lg —=0.
X
7.094. lg2 (100x)4-lg2 (10x)=144-lg ^-
7.095. logs (x-2)4-logv/5 (x3-2)4-logo^ (x-2) = 4.
6. logx9x2 log2x=4. 7.097. Iog?/24x4-log2 — = 8.
8. log,9 4-logx2 729=10. 7.099. log2x4-log4X4-loggX= 11.
21og,27-31og27X=l. 7.101. Iog,x4-log,y=2. , 25л
Iogsx4-logx25=ctg2—.
logsx loggx logzzx log,! x=2/3.
V^o&^+V^°8xa=l°/3-
logxV2-log^=log327-logx(2x).
2
l+21ogx21og4 (10—x) =.
log4x
log1_x3-logl_,2-0,5=0.
[ 1+—)lg3+lg2=lg(27-3x \x ,
31og52+2—x=logj (3х—52-x)
0,25log2'^x^ °'51ogi(x2 ”=,/2(7-4
д108^^1^^08!^^1*0.7.И2. log2 (9 —2^= 10lg^3 x'.
7.113. 52(log52+x,_2=5x+log527.115. xto,x’(x’-1)=5.32+1o*’25 = 5-92‘X.7.113. 52(log52+x,_2=5x+log527.115. xto,x’(x’-1)=5.32+1o*’25 = 5-92‘X.41о*2Х+х2 = 8.1x‘8X=10.xlg ^/s2^—1g 25 = 0.41о*2Х+х2 = 8.1x‘8X=10.xlg ^/s2^—1g 25 = 0.
7.113. 52(log52+x,_2=5x+log52
7.115. xto,x’(x’-1)=5.
32+1o*’25 = 5-92‘X.
7.113. 52(log52+x,_2=5x+log52
7.115. xto,x’(x’-1)=5.
32+1o*’25 = 5-92‘X.
41о*2Х+х2 = 8.
1
x‘8X=10.
xlg ^/s2^—1g 25 = 0.
41о*2Х+х2 = 8.
1
x‘8X=10.
xlg ^/s2^—1g 25 = 0.
1g (3х —24 x) = 2 + 0,25 1gl6-0,5xlg4.
log, (81x+32x) = 31og2790.
3x-log68x=log6 (33x+x2-9).
log, (3x,-H)-lOg6 (32_x’ + 9)=log62-l.
1g (625 ^/s^^^O. 7.124. lg(10lg(x,-2l5-2=lgx-lg25.
IgV5,03 ^Шв2”11- 7126- x0g5-l)=lg(2x + l)-lg6.
lg^81 ^/У^^О.7.128. log3 (3x-8) = 2-x.
2x-lg (52x+4х -16) = x 1g 4.
1о^(4х-6)-1О8<Т(2х-2) = 2.
7lgx-5lgx+l=3-5lgx 1-13-7lgx"1.
7.13Z 41°g’x’+log^ 3=0,2 (42+log»x-4log»x).
3-41°gl2-46-2logx2'I = 8.
гт^^ ^-ггз^+г?^.
log2 (4-3x-6)-log2 (9X-6)=1.
7,136. 41о,5х2-41о*5Х+‘ -ь^0*5*-1 -1=0.
^ lg (271+32v5 + lg 10 = 2.
5*^ (x,"2l) 0,22" 25"°’51og2x= 1.
421og«(2x-2) ‘0,25*°*» <1,'3) = V16.
logs (y2-13x+28+^=iogj02.
logs (4x+4) = x+log2 (2x+‘-3).
^7^Зх(15'х) + 81о8б2 = 8.
logs (4x+144)-41og52=l+log5 (2X~2+1).
logs (25x+3—1) = 2—logs (5X+3 + l).
Решить системы уравнений (7.145—7.167):
7.145. i
'32x—2^ = 725,(x^' * = 5,
7.146. {
•3х—2*/2=25.l/+2=125.
7.147. <
?V=2,(4Х+> = :ГХ,
7.148.
у1о8х>=16. x+y x+y
7.149. <
2 3 +2 6 = 6,(2X,3,= 6,
2 r ,7150- 1
x2+5y2 = 6xy.(y. 4>= 12
'(x+y) 2,-2x=6,25,
7.151. <
—7152
.(лг4-у)2х->=5.U2-y=20.
- x-y y-x
XogyX+Xc^y^SIl,| ——
7.153. ]
7.154. <2 +2 =2,5, xv=Tl1
Ug(2x-y)+1 =lg(y+2x)+lg6.
7.155. |
10l+l8<x+,)=50,
lg (x-y)+lg (x+y)=2-lg5.
7.156. |
Ig(x2+y2) = 2-lg5, lg C^+^+lg (x-y)=lg 1,2+1.
fl0g4X + 10g4y=l+10g4 9, 7.157. (
(x+y—20 = 0.
f0,51og2x—log2y=0,7.158. j “(x2 —5y2+4=0.f0,51og2x—log2y=0,7.158. j “(x2 —5y2+4=0.7.159. f^^^(,log2x—4=log23—log2y.7.159. f^^^(,log2x—4=log23—log2y.
f0,51og2x—log2y=0,
7.158. j “
(x2 —5y2+4=0.
f0,51og2x—log2y=0,
7.158. j “
(x2 —5y2+4=0.
7.159. f^^^
(,log2x—4=log23—log2y.
7.159. f^^^
(,log2x—4=log23—log2y.
7.160. <7.160. <7.7.1<^(х-у)=1, logo, (x+y) = 0.1<^(х-у)=1, logo, (x+y) = 0.
7.160. <
7.160. <
7.
7.
1<^(х-у)=1, logo, (x+y) = 0.
1<^(х-у)=1, logo, (x+y) = 0.
fy=l+tog4X,7.162. <fy=l+tog4X,7.162. <7.163.7.163.log4X-log2y=0, x1—2y2—8 = 0.log4X-log2y=0, x1—2y2—8 = 0.
fy=l+tog4X,
7.162. <
fy=l+tog4X,
7.162. <
7.163.
7.163.
log4X-log2y=0, x1—2y2—8 = 0.
log4X-log2y=0, x1—2y2—8 = 0.
7164 J10®2^1^^4’'' (log4x+log2y=5.7164 J10®2^1^^4’'' (log4x+log2y=5.7.165.7.165.'з,-9х—81,■1g (y+x)2—lgx=21g3.'з,-9х—81,■1g (y+x)2—lgx=21g3.
7164 J10®2^1^^4’'' (log4x+log2y=5.
7164 J10®2^1^^4’'' (log4x+log2y=5.
7.165.
7.165.
'з,-9х—81,■
1g (y+x)2—lgx=21g3.
'з,-9х—81,■
1g (y+x)2—lgx=21g3.
7.1667.16633= 81,= 81,lgVxy=l+lg3.lgVxy=l+lg3.7Л67.7Л67.—2y)+log3 (3x+2y)=3.—2y)+log3 (3x+2y)=3.
7.166
7.166
3
3
= 81,
= 81,
lgVxy=l+lg3.
lgVxy=l+lg3.
7Л67.
7Л67.
—2y)+log3 (3x+2y)=3.
—2y)+log3 (3x+2y)=3.
Группа Б
Решить уравнения (7.168—7.186): x4.
5V'+2 0,2V'+2=125,~4 0,04x"2. 12
^/|х-зГ+'= ^/|х-ЗГ-2.'
|x-3|3x'"l0x+3=l.
|x-2|l0x,"3x-l = l.
3 4Х+- • 9х+2=6 • 4Х+* — • 9Х+*. 32
2х-*+2х-4+2х 2=6,5 + 3,25+1,625+... (выражение в правой части — бесконечная геометрическая прогрессия).
гт'-в ^+в-з'+'-г?^.
3 16х+2-81х=5 -36х.
8 +2 7.177. = 5.
4х-2
27 2 3х+9 2х-23х-27'2 х=8.
49* +^х 2-344- Vх 2=-7.
9х+6х=22х+*.
lx*'^~6 = 0.
o. 51+х,-5‘ х’ = 24.
32х+4+45-6х-9‘22х+2=0.
5х ^/8*~* = 500.
5х"' + 5 0,2х"2=26.
Решить уравнения и исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет решение и при каких — нет (7.187—7.188):
3'4х"2 + 27 = а + а-4х~2.
в+З 11
2‘,+2-32х(‘,+2) = 4х.
Упростить выражения и указать, при каких значениях букв возможны преобразования (7.189—7.195):
,, . XZlog^ta+A)
7.189.7.189.ааIgaIgA 1
7.189.
7.189.
а
а
(Gog; a+logj 6 + 2)*^ + 2)1/2—log» a-lOge b.
7.19). Iofo2x41og2xxloe^x+1)-^^
7.192.7.192.i+^' + 8i+^' + 8SlogSlog
7.192.
7.192.
i+
^' + 8
i+
^' + 8
Slog
Slog
1O&V4* b-logeifc* b
(6 Go& a log,2 6 + l)+loge b e+log’ 6)l/2—log, b при a> 1.
log, 6+log, 166 I
\/ log i Ь'log 6
-="-.
10g, 6-log,4 662*°84 *°8, 4_ !
Известно, что log, x=a, log» x=p, log, x=y, 1о&,х=5 и x#l. Найти log^a/ X.
11
Известно, что ^=io' lg" и у — 10* *i#. Найти зависимость а от у.
111
Зная, что о = 88 ис=8 8 , показать, что а=88 .
'log С' log. с
Доказать, что log,» с =—1.
log, c+log4 с
log, X
Доказать, что= 1 +log, b.
log,» X
Упростить выражение log,+4 /n+log,_4 т—21og,+4 тх xlog,_4 т, если известно, что т1=а1—Ь1.
Найти log^ 8, если известно, что 1g 5 = а и 1g 3 = b.
Зная, что lg2=a и log27 = 6, найти 1g56.
Решить уравнения (7.204—7.276):
log2 (2—х)—log2 (2—V*)=l°g2 -Jl-x—0,5.
lg (x3+8)—0,51g (x2 + 4x + 4)=lg7.
toggle
log23+21og4x=x1°g3x.
log^ x+log VF *+log »/з"х +... + log 1«Дx=36.
logto x+logv/jo x+logax/io x+...+lg lo/io x=5,5..
log2 log3 (x2-16)-logip logU3- = 2.
logg log2 x+log2 log4 x=2.
log2 x log3 x=log3 (x3)+log2 (x2)-6.
log23 1og34 1og*5...1og„ (n+l)=10 (neN).
log$x+log25X=logl/jV3.
log,. x2+log, (x-l)=log, log^ 5.
log,x+log,.x+log,.x=ll..
log^x+logy^x+log^ х=П.
logaV4+-x+31oga2 (4—x)—log,,* (16—x2)2=2.
При каких значениях a уравнение имеет решение?
/3Х 21089 (X+D /125\Iogi/27 ^х~^ log527
(—=.
\5/\ 27 /logs 243
31g2+lg (2V^=T-‘ — l)=^lg (о,4^/2^ + 4^ + 1.
51ogx/9 x+log9/x x3+81og9x2 xz = 2.
_-z_l,5x-2,5_l,5x-0,5_ v3x+k-
logs (2+2—0,01 • 5) = 3x-1.
( 1 + - ) log2 3 - log2 (3х -13) = 2.
\ 2/
S^'^^-I-S^^^ie/S.
2‘°*5 xl - 2*+‘°gs x + 2l0B5X” ‘-1=0.
4lgx+1 —6*gx—2"3*gxl+2 = 0.
2,5‘°*зх+0,41°8зХ=2,9.
^ (16log»x+1-16log3Vx)+16log3x-logV5 5V5 = 0.
log2 V4+log8(9x+1-l) = l+log8(3x+‘ + l).
25log-*x-5logl6X,+ l=logv^ 9V3-2510g'6x.
5"Zlogn,04 (3~4x2) +1,5logl/8 4х = 0.
6-(1+4-94“21о,,Л3) log7 x=logx 7.
logi2 (43x+3x—9)=3x—xlog1227.
3log3 x+10g3x*+log3x’+-+log3x*=27jc 30
(16-S2*-1 -2-5х"1 -0,048) 1g (x3 + 2x + l)=0.
21gx2-0g (-x))2=4.7.237. 31g (x2)-lg2 (-x) = 9.
41ogJ (-x) + 21og4 (x2)= -1.7.239. 3log’x+x‘°g3X= 162.
x2,glx=10x3.7.241. 5Jex=50-x‘e3.
(1б“Г“+4=0.
4™ V 4/
31og2sinx+log2 (1— cos2x)=2.
->J\o6xV5x= —log, 5.7.247. log4,+ i 7+log9,7=0.
x2log,27 1og9X=x + 4.7.249. log, (125x) logyx= 1.
201og4,Vx+7logi6, x3 — 31og,p x2 = 0.
log^x • Vlog^TS - log, 9 + 4=0.
log /-2
-+log2,2 1og1/22x=0.
10g2x2
logH,(2x3 + 2x1-3x + l)=3.
log3,+7 (5x + 3)+log5,+3 (3x+7)=2.
log,+1 (x-0,5) = log,_0>J (x+1).
Cg (x+20)-lgx) log,0,l = —1.
log,» 16+log2,64=3.
xlog,+1 5" log(x+1)=—.
x
7.259.7.259.=log2, x+log2,2.=log2, x+log2,2.log2 (x3+3x2 + 2x—1) log2 (x3+2x2—3x+5)
7.259.
7.259.
=log2, x+log2,2.
=log2, x+log2,2.
\/logoio4x+1 + V^OKo.z^+S = 1.
^logg (—x)—logg>/x2 = 0.
Vbg?x+log25+2=2,5.
^/31og2x—1—91og22=5. 21
-=n
V31og2V^ V1o82 (-x)
lgV10-lgl00=^/ 1g (390635-5 ^-2,5.
log2 V*+ V log2x=4/3.
V log$x+ V logjx=2.
1g4 (x-l)2+lg2 (x-l)3=25.
7.269. |log^x-2|-|log3x-2|=2.
|<|<<(|<|<<(11g (Зх—y)+lg (у+х)—41g2=0.11g (Зх—y)+lg (у+х)—41g2=0.
|
<
|
<
<
(
|
<
|
<
<
(
11g (Зх—y)+lg (у+х)—41g2=0.
11g (Зх—y)+lg (у+х)—41g2=0.
т
log, mlog^—у= = 1.'
-Jla—x
log^log1/ax=0. a
(31ogeX—2) log2a=log^x—3 (a>0, a/1).
log, 3+logs x=log^3+logs V* + 0,5.
a2
log^alog,,--=1. 2a—x
log,2-log4x+ 7/6 = 0. 1 +21ogo2
-—1 = 2"log,3' log, (12-x).
log9x
Найти точку пересечения графиков функций y=log2 (х+14) и у=6—log2 (х+2).''
Найти точки пересечения графика функции /(х) = х^*—100 000х* с осью абсцисс.
Решить системы уравнений (7.279—7.314):
2—log2y=21og2 (х+у), log2 (x+y)+log2 (х2-ху+у2) = 1.
1х-У
(0,48x,+2)2x-J'= 1, - lg (x+y)-l=lg6-lg (x+2y). log2 (x-y)=5-log2 (x+y), lgx-lg4^
Jgy—lg3
' x У'
»? x=32, logs (x-y) = l-logs (x+y).
. Sx’-Slx+lO .n
7285. (
xy=15.llogx+i (y+23)=3.
*=i,fy-iog3x=i,
7.286.
Г7.287. {
l9(x2+y) = 6 <LJ=312.
fg^-27-3^=0,
7.288.
| - lgx + ; lgy = lg (4-V*)-
7.289.
гз'^-тш,Jig (x2+y2)=i+ig8,
llogvT^+y)”2-7.290. |ig ^+^_lg (x_y) = lg3.
(У Y = 972,
7.291.
(logVs (x-y)=l.
7.292.
г31+2|о8з(у-х) = 48,
[21og5 (2y—x—12)—logs O-x)=log5 (y+x).
7.293. log9 (x3+y3) = log3 (x2-y2)=log3 (x+y).
7.294.
JOogaX + logey-2) 10g18a=l, [2x+y-20a=0.
5Г.«VS-1 _ c
|(x+y)3=—,I
7.295.
<27^7.296. \ з (x+y) 5 (x-y)
31og5 (x+y) = x-y.11
\ZIx_yx+y
C X2 y2 -+- = 12,
7.297.
1^=2,7 298*1
V27е2У<>. ЛjOg -
[(2x/=64 (x>0).(2"loe2x+5^=1/3.
f/-7^‘°=l,[2aogl/,x-21ogx2y) + 5 = 0,
7.299.
)’7.300. <
(x+y=8 (x>0).'‘ (xy2 = 32.
7301.
flg(^-3)-lg (5-y) = 0,
P ' ’7.302. XГ Г
[logsy logj, (y-2x)=l;I4"1 V4х —8 \J8y = 0.
7303.
flogx(3x + 2y)=2,7зм fx+y=12,
(log, (2x + 3y) = 2.‘’ [2 (21og,,2X-logi/xy) = 5.
x>_,>_.6=L^ flg^+^^l,
7305.
(x-y=2(x>0).'‘ Ugy-lgM = lg2.
ПЗОТ.
4-72 =2 , у—х=3.
7.308.
7.309.
7.311.
tg~ (хх+.у3) + 1,5
10 2=100^/10,
v . 7.310.
Vx2+l0y 6 "3 2Vx2 + 10y-9
lg (x+y)-lg5=lgx+lgj-lg6,
—t1.
•lg (y + 6)-(lgy+lg6)
У=Х,5+у"Х,
V’s+x=64(y>0\
7.312.
10gx,,--10g2X=l, X
log2 (y-x)=l.
[(x+y) =(x-y/,
7.313. fz
(log2x—log2-y = 1.
Г x~2>
(x = 36,
7.314. 4
(4 (x-2y)+log6X=9
(найти только целочисленные решения).
Группа В
Упростить выражения и указать, при каких значениях букв возможны преобразования (7.315—7.320):
7.315.'
I10*,1»4?/2 1 -|/2А2 Q6b-2 2 ) lg b1 /1б2б+111ю0’51*184*72
/ 21g b
7.316.
21og У2 6
. М1/2
1о& /7 >ес'
V о/
ли а>1 и b> 1.
7.317.
7.318.
Vlog.p+logp л + 2 ‘ (log, р - log^ р) ■ Vlog, р.
+ Vilog;
\\21og,»/\ 21og« 6/ /
7.319.
1
1 ~ logl/« :—73+1о82 (° ~ 6)(а-6)
(1—log^, (о—6)+log2 (о—6))‘/2
1320. (flog* a+log* 6 + 2)*^ —2)‘/Z при\<a<b.
. Заметив, что 675 = 9'75, a 135=3'45, дать без помощи таблиц ответ на вопрос о том, какое число больше: log135675 или log4575.
Уравнение 4*4-10*=25х имеет единственный корень. Найти его и выяснить: искомый корень положителен или отрицателен? больше или меньше единицы?
Показать, что log312=log371og75iog544-l.
log*, А ■ log, А4-log, А' log, А4-log, А • log„ Аlog*, А ■ log, А4-log, А' log, А4-log, А • log„ АВыражение,
log*, А ■ log, А4-log, А' log, А4-log, А • log„ А
log*, А ■ log, А4-log, А' log, А4-log, А • log„ А
представить в форме произведения.
log3 21 logt 31 logs 4' loge 5 ■ log7 61 logs 7=1/3.log3 21 logt 31 logs 4' loge 5 ■ log7 61 logs 7=1/3.Показать, что
log3 21 logt 31 logs 4' loge 5 ■ log7 61 logs 7=1/3.
log3 21 logt 31 logs 4' loge 5 ■ log7 61 logs 7=1/3.
При каких значениях p уравнение
lg (x24-2/>x)—lg (8x—6/>-3)=0
имеет единственный корень?
При каких значениях а уравнение
21g (х 4-3)=1g (ох) имеет единственный корень?
Найти х (xeZ), если (V^5 + >№= 13,5.
Решить уравнения (7.329—7.353):
21og5x=log3x log3(v^+I-l).
7.330. (1+Iogx^yigx=lglgl03-1.
7.331. 31og,4+21og4X4 + 31ogi6x4=0.
7,332. 4*°gi6x—3*oei6,-0,5=3lo8i6x+0,5_221O8i6x-1.
7.333. log,+ 1 (x3—9x4-8) log,.] (x4-l)=3.
„ 2—41og122 loge(8—x) 7.334.1=.
logi2(x4-2)log6(x4-2)
tgl*—)
\ 4/cos2x
7335.2-20,25-1=0.
7.336. Ig2x4-lg (2—x)=lglg/>.
7337. Iog4x4-logx2—log4x/x=l.
logtx4-logv£x4-...4-loglt^x=^ (^eN).
7339. 2—log»» (14-x)=3log»-^х—1 —1о&« (x1-!)2.
7340. 1и1+1'*зХ4-»|,",о,зХ=»|24-1 ^m>0,m*\\
|x-l|‘g'x lgx’ = |x-l|3.
а218Х-‘8<6-^=1 (a>0)
pf0^^-1-14)*10^^*2).,?» (P>0).
(x2-x-l)x’~* = l.
7.345. (2x-2'2-x)log9<2x+3Hog3X=l.
|хх3|х,-х=(х—3)2.
logx/7(x+12)=81ogx+i2 x (ограничиться отысканием целого корня).'
5*gx-3lgx=5, (3)-3°'5lgx-5°'5<lgx-2).
pOg2 (Зх-1)-1о&3| = |1о& (5-2x)-l|.
p+Vy’^Vp-Vtf1"2'"1 =—
2-V3
^^-21og3VS+loglx=3.
1083 5
logx+3 (3-V1-2x+x2)=1/2.
V log2 (2x2) log4 (16x) = log«X3.
Решить системы уравнений (7354—7.360):
7.354.7.354.Iog2 (и + v) - log3 (« - V) = 1 u1— v2 = 2.Iog2 (и + v) - log3 (« - V) = 1 u1— v2 = 2.7355. <7355. </=/,Xlo&- =У/=/,Xlo&- =Уlo&x lo&ylo&x lo&y7356. <7356. <3igx=4ig>) (4x),g4=(3y)'g3.3igx=4ig>) (4x),g4=(3y)'g3.(p*q иpq*OYxy = a2, lg2x+lg2y=2,5 lg2 (a2) при условии a<0.(p*q иpq*OYxy = a2, lg2x+lg2y=2,5 lg2 (a2) при условии a<0.{logs> , log,* . x 8 +y 8 =4,lOg4X — log4y=l.{logs> , log,* . x 8 +y 8 =4,lOg4X — log4y=l.7.359.7.359.(2*^-x,-8==l.(OX-Y’4^"16»!.(2*^-x,-8==l.(OX-Y’4^"16»!.r log.y , „ log-X , |x 3 +2y 4 =27, 7.360. { z llog3y-log3x=l.r log.y , „ log-X , |x 3 +2y 4 =27, 7.360. { z llog3y-log3x=l.
7.354.
7.354.
Iog2 (и + v) - log3 (« - V) = 1 u1— v2 = 2.
Iog2 (и + v) - log3 (« - V) = 1 u1— v2 = 2.
7355. <
7355. <
/=/,Xlo&- =У
/=/,Xlo&- =У
lo&x lo&y
lo&x lo&y
7356. <
7356. <
3igx=4ig>) (4x),g4=(3y)'g3.
3igx=4ig>) (4x),g4=(3y)'g3.
(p*q иpq*OY
xy = a2, lg2x+lg2y=2,5 lg2 (a2) при условии a<0.
(p*q иpq*OY
xy = a2, lg2x+lg2y=2,5 lg2 (a2) при условии a<0.
{logs> , log,* . x 8 +y 8 =4,
lOg4X — log4y=l.
{logs> , log,* . x 8 +y 8 =4,
lOg4X — log4y=l.
7.359.
7.359.
(2*^-x,-8==l
.(OX-Y’4^"16»!.
(2*^-x,-8==l
.(OX-Y’4^"16»!.
r log.y , „ log-X , |x 3 +2y 4 =27, 7.360. { z llog3y-log3x=l.
r log.y , „ log-X , |x 3 +2y 4 =27, 7.360. { z llog3y-log3x=l.
ГЛАВА 8НЕРАВЕНСТВА
УКАЗАНИЯ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ НЕРАВЕНСТВ
1°. Числовое неравенство — это неравенство, верное при всех допустимых или при специально подобранных значениях входящих в_него букв. Например, а2 + 6 2 > 2а6, где а и b — любые действительные числа; ^/в > 0, где а > 0.
Наиболее часто встречающийся способ доказательства неравенств основан на определениях понятий «больше» и «меньше» и заключается в выяснении знака разности между левой и правой частями неравенства. Эти определения состоят в следующем:
если а—Ь>0, то а>Ь;
если а—6<0, то а<6;(8.1)
если а—6=0, то а=Ь.
Приведенные определения можно использовать и в обратном порядке: если а >6, то а—6>0 и т. д.
2°. Основные свойства числовых неравенств:
Если а>Ь, то Ь<а.
Если а>Ь и Ь>с, то а>с.
Если а>Ь и ceR, то а+с>Ь+с.
На основании этого свойства члены неравенства можно переносить из одной части в другую с противоположными знаками, сохраняя знак неравенства.
Если в>6 и с>0, то ас>Ьс.
Если а>Ь и с<0, то ас<Ьс.
Неравенства одинакового смысла можно почленно складывать, т. е. если а>Ъ и c>d, то a+ob+d.
Неравенства одинакового смысла с положительными членами можно почленно умножать, т. е. если а>6>0 и c>d>0, то ac>bd.
Если а>6>0, то в">б", neN.
Если а>0, 6>0 и a >b”, neN, то а>Ь.
1 1
Если в>6>0, то -<-. а 6
3°. Иногда при доказательстве неравенств используются некоторые извест-. вне неравенства. Такими, например, являются следующие:
о+6,—'
^Jab, а^О, 6>0,(8.2)
2
т. е. среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического;
а Ь
-+->2, а>0,6>0,’(8.3)
6 а
т. е. сумма двух взаимно обратных положительных чисел не меньше 2.
УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ НЕРАВЕНСТВС ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1°. Неравенства с одной переменной имеют вид:
/(-*)>£ (x);/(x)<g (х);/ (x)^g (x),f(x^g (х).
Решением неравенства называется множество значений переменной, при которых данное неравенство становится верным числовым неравенством.
Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают.
Основная идея решения неравенства заключается в замене неравенства более простым, но равносильным заданному.
2°. При решении неравенств используются следующие правила преобразования неравенства в равносильное:
какой-либо член неравенства можно перенести из одной его части в другую с противоположным знаком, оставив при этом без изменения знак неравенства;
обе части неравенства можно умножить или разделить на одно н то же положительное число, оставив при этом без изменения знак неравенства;
обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный;
если для одних и тех же значений х справедливы неравенства /(х)>0, g (х)>0 и / (x)>g (х), то для тех же значений х верно неравенство Vtof>(g (х))", neN.
. Пусть заданное неравенство имеет вид/ (x)!g (х)>0 (вместо знака > могут быть знаки <, >, <, а функция в знаменателе может быть постоянной) либо оно приведено к этому виду с помощью правил п. 2°.
Для решения неравенства применяется метод интервалов (метод промежутков), который состоит в следующем:
на числовую ось наносят точки хь х2,..., *т разбивающие ее на промежутки, в которых выражение / (х)/^ (х) определено и сохраняет знак (плюс или минус). Такими точками могут быть корни уравнений/ (х)=0 Hg (х)=0. Соответствующие этим корням точки отмечают на числовой оси: закрашенными кружками — точки, удовлетворяющие Заданному неравенству, а светлыми кружками — не удовлетворяющие ему;
определяют и отмечают на числовой оси знак выражения / (x)/g (х) для значений х, принадлежащих каждому из полученных промежутков. Если функции 2л /(х) или g (х) являются многочленами и не содержат множителей вида (х—а) , где neN, то достаточно определить знак функции / (x)jg (х) в любом таком промежутке, а в остальных промежутках знаки плюс и минус будут чередоваться.
Если же в числителе и знаменателе дроби / (x)/g (х) имеется множитель вида (х—а) , где neN, то, полагая х+а, делят обе части заданного неравенства на множитель (х—а) , положительный при всех значениях х^а (см. п. 2°), и непосредственной проверкой выясняют, удовлетворяет ли значение х=а заданному неравенству.
Рис. 8.1
J Изменение знаков удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой (кривой знаков'), проведенной через отмеченные точки и лежащей выше или ниже числовой оси в соответствии со знаком дроби / (x)jg (х) в рассматриваемом промежутке. Промежутки, которые содержат точки, удовлетворяющие данному «равенству, покрывают штрихами. На ту же ось помещают и точки, соответствующие х=а. Например, для кривой знаков, изображенной на рис. 8.1, получаем следующее решение неравенства: (х^ a) (J (о, х2) Q (хз, оо). .
Роль кривой знаков может играть схематическое расположение параболы относительно оси Ох. Так, в случае, изображенном на рис. 8.2, решение неравенства имеет вид (— со, Jti)(j (xj, со) (xj и Х2 — корни квадратичной функции).
4°. Рассмотрим решение квадратного неравенства
aj^+bx+oO ,(8.4)
в случае отрицательного дискриминанта квадратного трехчлена ах1+Ьх+с ф— =Ь—4ас<0\+</ +
jWHWHWWtXr-^***и*^-^"
х
Рис. 8.2Если а>0, то неравенство (8.4) выполняется при всех значениях х (рис. 8.3, о); если же а<0, то оно не выполняется ни при каком значении х (рис. 8.3, 6).Рис. 8.2Если а>0, то неравенство (8.4) выполняется при всех значениях х (рис. 8.3, о); если же а<0, то оно не выполняется ни при каком значении х (рис. 8.3, 6).
Рис. 8.2
Если а>0, то неравенство (8.4) выполняется при всех значениях х (рис. 8.3, о); если же а<0, то оно не выполняется ни при каком значении х (рис. 8.3, 6).
Рис. 8.2
Если а>0, то неравенство (8.4) выполняется при всех значениях х (рис. 8.3, о); если же а<0, то оно не выполняется ни при каком значении х (рис. 8.3, 6).
5°. Иррациональное неравенство
Vfto<gto(8.5)
можно рассматривать при условии/(x)>0=»1/C(x)>0=»g (х)>0. Значит, согласно указанию 2° г, обе его части можно возвести в квадрат. Из выше рассмотренных рассуждений заключаем, что неравенство (8.5) равносильно системе неравенств-
ОМ>0,(8.6)
6°. Иррациональное неравенство
(8.7)(8.7)V/W>8 to
(8.7)
(8.7)
можно рассматривать при условии/(х)>№»^/С(х)>0. Однако при этом условии его правая часть g (х) может быть как неотрицательной, так и отрицательной, а потому неравенство (8.7) равносильно совокупности двух систем неравенств:
to>0, to<0.to>0, to<0.(8-8)(8-8)/to^O, 8to>0, .(VTto)2>te to)2;
to>0, to<0.
to>0, to<0.
(8-8)
(8-8)
7°. Показательное неравенство; -
/toК to
a >a(8,9)
щж а>1 равносильно неравенству 194
/И >8 to, а при 0 < а < 1 — неравенству
fto<g (х).
8°. Логарифмическое неравенство
l°ga/W>loga 8 W при а>1 равносильно системе неравенств
C/to>0,
у W>0,
V to >g to, а при 0 < a < 1 — системе неравенств
f/to>0,
р to>0, V(x)<g(x).
9°. Для решения простейших тригонометрических неравенств sinx>a, cosx>a, tgx>a, ctgx>a
(8.10)
(8.И)
(8-12)
(8.13)
(8-14)
(8-15)
(вместо знака > могут быть знаки <, >, <) применяют графический способ. Находят точки пересечения графика соответствующей тригонометрической функции с прямой у=а, расположенные ближе к началу координат, и затем используют периодичность функции. Неравенства вида (8.15) можно решать также с помощью единичного тригонометрического круга.
Для решения более сложных тригонометрических неравенств их сводят к простейшим случаям с помощью упрощений.
(х+3) (5-х)
Пример 1. Решить неравенство—— >0.
□ Корнями уравнений (х+3) (5—х)=0 и 2х—5=0 служат числа X] = — 3, х2=2,5, хз = 5, которые не являются решениями заданного неравенства, поэтому на числовой оси отмечаем их светлыми кружками (рис. 8.4). Эти точки разбивают числовую ось на четыре промежутка. Легко определяем, что при х> 5 левая часть неравенства отрицательна — ставим знак минус справа от точки 5 и, двигаясь влево, чередуем знаки плюс и минус. С помощью рис. 8.4 получаем ответ: (-00, -3)U(2,5; 5). ■
-3
2,5
Рис. 8.4
х2 (2х—9)(х—I)3
Пример 2. Решить неравенство<0.
(х+4)5 (2х-6)4
□ Полагая х#0 и х^З, разделим обе части неравенства на положительную х2
дробьи сразу заметим, что х=0 удовлетворяет заданному неравенству, (2х-6)4
а х=3 не удовлетворяет. Кроме того, множители с нечетными показателями степени заменим соответствующими множителями первой степени (ясно, что при этом знак выражения в левой части неравенства не изменится). В результате получим более простое неравенство, равносильное заданному для всех х^О их^З:'
с(2х-9)(х-1) „
Начертив кривую знаков, заштрихуем промежутки, удовлетворяющие этому неравенству, и отметим на той же оси точки х=0 и х=3 (рис. 8.5). Учитывая, что значение х=0 является решением заданного неравенства, но не принадлежит заштрихованному промежутку, его следует дополнительно включить в ответ. Значение х=3 не является решением неравенства, но принадлежит заштрихованному промежутку; следовательно, зто значение нужно исключить. Итак, получаем ответ: (- оо, -4) Q П, 3) U(3; 4,5] U0. ■
Рис. 8.5
11
Пример 3. Решить неравенство<-.
х2 —5х+6 2
Преобразуем данное неравенство в равносильное:
11 х2 —5х+4
..<0; >0. х2 —5х+6 22(х2 —5х + 6)
Корни Xj = 1, X;=4 уравнения х2 — 5х+4 = 0 являются решениями неравенства (на рис. 8.6 отмечаем их закрашенными кружками); корни хз=2, х4 = 3 уравнения х2 —5х+6=0 не являются решениями неравенства (на рис. 8.6 отмечаем их светлыми кружками). С помощью кривой знаков получаем ответ: (-со, 1HJ U(2, 3)0(4, оо). ■ -
Рис. 8.6
X — 3
Пример 4. Решить неравенство>0.
х—2
Учитывая, что х не может принимать отрицательные значения, разобьем точками Xj = 2 (корень уравнения х—2=0) и хг=9 (корень уравнения Vх-3=0) на промежутки не всю числовую ось, а только ее часть [0, оо). С помощью кривой знаков (рис. 8.7) получаем ответ: [0, 2) (J (9, оо). ■
Пример 5. Решить неравенство ^х+б! <х+5.
Х> —61, х>-5, х2+9х — 36 >0,Х> —61, х>-5, х2+9х — 36 >0,Согласно указанию 5°, зто иррациональное неравенство равносильно системе
Х> —61, х>-5, х2+9х — 36 >0,
Х> —61, х>-5, х2+9х — 36 >0,
(х> -5, (х2 4-9х —36>0.(х> -5, (х2 4-9х —36>0.т. е.-Ь10х+25,т. е.-Ь10х+25,{х+61>0,
(х> -5, (х2 4-9х —36>0.
(х> -5, (х2 4-9х —36>0.
т. е.
-Ь10х+25,
т. е.
-Ь10х+25,
х+5>0,
х + 6Кх2
Рис. 8.8Рис. 8.8Решая квадратное уравнение х2 + 9х—36=0, находим х, — — 12, хг = 3. Строим кривую знаков (в данном случае — дугу параболы) и стрелкой, направленной вправо от точки —5, отмечаем промежуток х> — 5 (рис. 8.8). Решения первого и второго неравенств системы совпадают на промежутке (3, оо). Итак, получаем ответ: (3, оо). ■
Рис. 8.8
Рис. 8.8
Пример 6. Решить неравенство x—3<Vx—2..
Согласно указанию 6°, это иррациональное неравенство равносильно следующей совокупности двух систем неравенств:
'х-2>0,,х—3<0,'х-2>0,,х—3<0,х-2>0,
'х-2>0,
,х—3<0,
'х-2>0,
,х—3<0,
х-3>0, х1 — 6х+9<х— 2;
или
х2 —7х + 11 <0;х2 —7х + 11 <0;^/////////////12 6) 3^/////////////12 6) 3хх
х2 —7х + 11 <0;
х2 —7х + 11 <0;
^/////////////1
2 6) 3
^/////////////1
2 6) 3
х
х
Решением первой системы является промежуток 3<х<(7 +Vi)/2 (рис. 8.9, а), а решением второй системы — промежуток 2<х<3 (рис. 8.9, б). Объединяя эти решения, получаем ответ: 2<х<(7 +V5)/2. ■
-81
Пример 7. Решить неравенство—-———^<®-
Так как выражение х2 + 2х + 5 положительно при любом х, то, умножив на него обе части данного неравенства, получим равносильное неравенство
8ч-х
I — 81 <0 или 3 *8+Х)
Далее, поскольку основание степени 3>1, используя указание 7°, имеем — 8—х<4, откуда х> —12. Итак, получаем ответ: (—12, оо). ■
log2x+l2 —log. л3
Промер 8. Решить неравенство 0,4 2<6,252 .
Заметив, что 0,4=2/5 и 6,25=(2/5) “2, приведем обе части неравенства к одному основанию:
'2\21og2
Так как основание степени 0<2/5<1, то, используя указание 7°, имеем log2 х+1 >2 log2x2-4. Функция/(x)-log2 х определена щ>и х>0; следователь-
но, 21og2x3 = 6 log2x. Полагая y=log2x, приходим к неравенству у1 — 6у+5>0, откуда находим, что у < 1 или у > 5.
Таким образом, данное неравенство равносильно совокупности неравенств log2x<l, log2x>5, которую можно переписать в виде log2x<log22, log2x>log225. Поскольку основание логарифма 2>1, используя указание 8°, находим, что решение первого неравенства есть промежуток 0 < х < 2, а второго — промежуток х>25, т. е. х>32. Итак, получаем ответ: (0, 2) N(32, оо). ■ 2х-1
Пример 9. Решить неравенство х > 1.
2х-1
Приведем неравенство к виду х >х° и рассмотрим два случая: 0 <х< 1 и 1<х<3, 3<х<оо. Согласно указанию 7°, решаем совокупность систем неравенств:
0<х<1,2х—1 <0;. 3—х0<х<1,2х—1 <0;. 3—х1 <х<3, 3<х<оо,
0<х<1,
2х—1 <0;
. 3—х
0<х<1,
2х—1 <0;
. 3—х
2х—1 >0.
.3-х
Применяем метод интервалов сразу к двум системам (рис. 8.10). С помощью рисунка, учитывая знак дробного неравенства (<0 в первом случае и >0 во втором), получаем ответ: (0, 1/2) (J (1, 3). ■
Рис. 8.10 х + 4 Пример 10. Решить неравенство log^ log1/2<0. 2х —3□ Согласно формуле (7.3), имеем 0=logi/31. Поскольку основание ло-Рис. 8.10 х + 4 Пример 10. Решить неравенство log^ log1/2<0. 2х —3□ Согласно формуле (7.3), имеем 0=logi/31. Поскольку основание ло-
Рис. 8.10 х + 4 Пример 10. Решить неравенство log^ log1/2<0. 2х —3
□ Согласно формуле (7.3), имеем 0=logi/31. Поскольку основание ло-
Рис. 8.10 х + 4 Пример 10. Решить неравенство log^ log1/2<0. 2х —3
□ Согласно формуле (7.3), имеем 0=logi/31. Поскольку основание ло-
х+4х+4х+4х+4гарифма 0<1/3<1, используя указание 8°, получаем равносильное неравенство
х+4
х+4
х+4
х+4
1°61/2>1 (при этом условие log^>0 выполняется автоматически),
в ., фо№ (7.2) вмвем l.l=g,„l . ™ .:, 0<1Д<1.
снова используя указание 8°, получаем равносильную данному неравенству систему
х+4>0, 2х—х+4>0, 2х—<0.2 (2х-3)<0.2 (2х-3)
х+4
>0, 2х—
х+4
>0, 2х—
<0.
2 (2х-3)
<0.
2 (2х-3)
Из второго неравенства системы следует, что 2х—3<0; значит, х + 4<0 и задача сводится к решению равносильной системы
'2х-3<0,(х<3/2,
или <откуда х< — 4.
,х+4<0(х<—4,
Итак, получаем ответ: (—оо, —4). ■
Промер 11. Найти область определения функции
У=у 1-log8 (х2-4х+3).
□ Поскольку логарифмическая функция определена только для положительных чисел, а квадратный корень — для неотрицательных чисел, задача сводится к решению системы неравенств
fx2-4x + 3>0,
[1-logs (х2—4х + 3)>0.
Левую часть первого неравенства разложим на множители, а во втором заменим 1 на logg 8:
(х—3) (х—1)>0,
log8 (x2-4x+3)^log88.
Так как основание логарифма 8>1, то, согласно указанию 8°, переходим к системе
(х —3) (х—1)>0,f(х—3) (х — 1)>О,
, т- е- {
х2-4х + 3<8,1(х—5) (х+1)«0.
Последняя система равносильна неравенству (х —3) (х—1) (х—5) (х+1)<0, которое решаем методом интервалов. С помощью рис. 8.11 получаем ответ: f-1, 1) U (3,51. ■
Рис. 8.11
Группа А
8.001. Показать, что для всех положительных чисел а и b верно
неравенство ^/а+V^^* Va+^-
8.002. Доказать, что если а>0 и 6>0, то
8.003. Доказать, что еслир>0 и q>0, то (р+2) (^+2) (p+q^lbpq. '12
8.004. Доказать, что если а #2, то>.
а2—4в+4 а3—8
8.005. Доказать, что если т, п и р — длины сторон некоторого треугольника, то/п1 + л1+р1<2 (лш+тр+цр).
8.006. Доказать, что если т>0 и л>0, то тп (т+л)<т3 + л3.
8.007. Доказать, что для любых действительных чисел х и у верно неравенство х2 + 2у1 + 2ху+6у+10>0.
8.008. Показать, что для любых двух положительных чисел произведение их суммы на сумму их обратных величин не меньше 4.
8.009. При каких значениях а оба корня уравнения х1— — (д+1)х+д+4=0 оказываются отрицательными?
8.010. Найти целые положительные значения х, удовлетворяющие 5х+1 „ неравенству —— > 2х+2.
х— 1
8.011. Найти целые решения системы неравенств
х-1 2х + 3 х х+5 -+-<2,
2362
х + 5 4 — хх+1
1<3х.
'824
,2
8.012. При каких значениях т неравенство х — тх>— выполняется т
для любых X?
Найти области определения функций (8.013—8.014):
/х2 —7х+12
- 8.013. у— /.
V х2—2х—3
8.014. у= /5-х--.
Решить неравенства (8.015—8.038):
15
8.015. +<1.
2—х 2+х
8.016. (х+1) (3-х) (х-2)2>0.
8.017.8.017.1Зх—2—х21Зх—2—х2138.018. <.х+2 х—38.020. |2х2-9х+15|>20.8.022. 5х-20<х2<8х.138.018. <.х+2 х—38.020. |2х2-9х+15|>20.8.022. 5х-20<х2<8х.8.019.8.021.8.023.8.019.8.021.8.023.Зх2 —10х+3 >0 х2 —10х+25Зх2 —10х+3 >0 х2 —10х+25|x2-5xl<6._ х6-9х* + 8>0.|x2-5xl<6._ х6-9х* + 8>0.8.024. х8-6х7 + 9х6-х2+6х-9<0.8.024. х8-6х7 + 9х6-х2+6х-9<0.8.025.8.027.8.025.8.027.а*+а3 — а— 1 <0.2-7х+8 „а*+а3 — а— 1 <0.2-7х+8 „8.026. т3+т2 —т—1>0.8.026. т3+т2 —т—1>0.8.028.8.028.х*+х2 + 1—<0.х2—4х—5х*+х2 + 1—<0.х2—4х—58.029.8.029.4-х1х—5 1—х4-х1х—5 1—х158.031. ->1.4+Зх—х2158.031. ->1.4+Зх—х28.030.8.032.8.030.8.032.х2—Зх + 2 ->1. х2+Зх + 2 х3-х2+х-1 <0.х+8х2—Зх + 2 ->1. х2+Зх + 2 х3-х2+х-1 <0.х+88.033.8.033.х*—2х2—8 <0. х2+2х+1х*—2х2—8 <0. х2+2х+18.034. (-D (-^(-З)^ (х+1) (х+2) (х+3)8.034. (-D (-^(-З)^ (х+1) (х+2) (х+3)8.035.8.035.V4x2-19x+12V4x2-19x+128.036.8.036.V17-15x-2x2 >0.V17-15x-2x2 >0.х+3х+33 ;>0- 7х—4 —Зх2
8.017.
8.017.
1
Зх—2—х2
1
Зх—2—х2
13
8.018. <.
х+2 х—3
8.020. |2х2-9х+15|>20.
8.022. 5х-20<х2<8х.
13
8.018. <.
х+2 х—3
8.020. |2х2-9х+15|>20.
8.022. 5х-20<х2<8х.
8.019.
8.021.
8.023.
8.019.
8.021.
8.023.
Зх2 —10х+3 >0 х2 —10х+25
Зх2 —10х+3 >0 х2 —10х+25
|x2-5xl<6._ х6-9х* + 8>0.
|x2-5xl<6._ х6-9х* + 8>0.
8.024. х8-6х7 + 9х6-х2+6х-9<0.
8.024. х8-6х7 + 9х6-х2+6х-9<0.
8.025.
8.027.
8.025.
8.027.
а*+а3 — а— 1 <0.
2-7х+8 „
а*+а3 — а— 1 <0.
2-7х+8 „
8.026. т3+т2 —т—1>0.
8.026. т3+т2 —т—1>0.
8.028.
8.028.
х*+х2 + 1
—<0.
х2—4х—5
х*+х2 + 1
—<0.
х2—4х—5
8.029.
8.029.
4-х1
х—5 1—х
4-х1
х—5 1—х
15
8.031. ->1.
4+Зх—х2
15
8.031. ->1.
4+Зх—х2
8.030.
8.032.
8.030.
8.032.
х2—Зх + 2 ->1. х2+Зх + 2 х3-х2+х-1 <0.
х+8
х2—Зх + 2 ->1. х2+Зх + 2 х3-х2+х-1 <0.
х+8
8.033.
8.033.
х*—2х2—8 <0. х2+2х+1
х*—2х2—8 <0. х2+2х+1
8.034. (-D (-^(-З)^ (х+1) (х+2) (х+3)
8.034. (-D (-^(-З)^ (х+1) (х+2) (х+3)
8.035.
8.035.
V4x2-19x+12
V4x2-19x+12
8.036.
8.036.
V17-15x-2x2 >0.
V17-15x-2x2 >0.
х+3
х+3
8.037. V3x—х2<4 —х.8.037. V3x—х2<4 —х.8.038. V9x-20<x.8.038. V9x-20<x.
8.037. V3x—х2<4 —х.
8.037. V3x—х2<4 —х.
8.038. V9x-20<x.
8.038. V9x-20<x.
8.039. При каких значениях х функция у= VlO + x-yfl — x принимает положительные значения?
Решить неравенства (8.040—8.088):
8.040. (О, (4)/2"‘>(0, (6))х'+6.
_ Мх2* 2 <0,125._ Мх2* 2 <0,125.0,64 < 70,8"(" 3)<1. *2 + 20,64 < 70,8"(" 3)<1. *2 + 28.041. 0,32+4+6+ +2х>0,372 (xgN).
_ Мх
2* 2 <0,125.
_ Мх
2* 2 <0,125.
0,64 < 70,8"(" 3)<1. *2 + 2
0,64 < 70,8"(" 3)<1. *2 + 2
4х+1
/2\3 (2х-7)—
8.044. -12,25>1.8.045.
8.046.
_ _2x3 —Зх+6 Л 0,3< 0,00243.
8.047.
0,2х' '>25.
8.048.
0,5х < 0,25х'.
8.049.
52'/х+5<5'/х+1 + 5'
/х
8.050.
5^+>>5^+4
8.051.
25х<6-5х-5.
8.052.
11
--1--2
4х -2х -3<0.
8.053.
2
-(х-2) 4х-22(х-%83
>52.
8.054.
2^2_2^3_2х+4>5х+1-
jX+2
8.055.
3^x+3Vx"11-3Vx"2<u.
х2 Зх-Зх+‘<0.
8.056.
8.057.
3Х + 5 З^*1 —1
8.058.
Зх—5 log3<1. х+1
8.059.
Зх-1 logl/з-<1. х + 2
8.060.
(logo,2 (х-1))2>4.
8.061.
|3-log2x|<2.
8.062.
2х-8 logi,5-<0. х-2
8.063.
logo,3 (х2 —5х+7)>
0.
8.064.
log2 (l + log1/9x-log9x)<
1. 8.065.
logo,3 (Зх—8)>logo,3
(х2 + 4).
8.066. lglOlg(x'+21)>l+lgx.
8.067. log, (х+27)—log, (16 —2x)<log„x.
8.068. 21oge (x-2)-loge (x-3)>2/3.
8.069. logi.2 (x-2)+log12 (x+2)<log1-25.
8.071. log3x+log<5x+log1/3x<6.
8.072. logs (x + 7)>log2 (x+1).
8.073. log,., 0,3>0.
8.075.
4х2 — 1
8.074. log^x+logo.sx—2<0. /10\
logo,3I у 0og25-l) I
8.077.
/1 logl,7 - (l-log73)
\2
3x2 —16x+21 <0.
logo,3 (x2+4)
8.076.
8.078.
(x-8) (2-x)
8.079.
8.081.
logo,3 (*+1)logo3100-logo,39
5х lo*0,4X1Og0,4T
2>1
8.080.
8.082.
8.083. 5 0,2lgx>0,04lg2.
8.085. log, log9 (3X- 9) <1.
8.084.
8.086.
log5(x2 + 3) <Q4x2-16x
3x+6 logmlogi
0,3x42
log^sC*3-5**8)
log3
5 x
log2log1/3logsx>0.
8.088.8.088.8.089. у=0,5_8.089. у=0,5_8.090. у =8.090. у =x-1x-18.091. у =8.091. у =8.092. у=8.092. у=logo,3 (х-1)logo,3 (х-1)8.093. Найти натуральные8.093. Найти натуральныезначения х, удовлетворяющие системезначения х, удовлетворяющие системенеравенствнеравенствlog^f (х-1)<4,log^f (х-1)<4,
8.088.
8.088.
8.089. у=0,5_
8.089. у=0,5_
8.090. у =
8.090. у =
x-1
x-1
8.091. у =
8.091. у =
8.092. у=
8.092. у=
logo,3 (х-1)
logo,3 (х-1)
8.093. Найти натуральные
8.093. Найти натуральные
значения х, удовлетворяющие системе
значения х, удовлетворяющие системе
неравенств
неравенств
log^f (х-1)<4,
log^f (х-1)<4,
8.087. 0,5 >6.
Найти области определения функций (8.089—8.092):
Л x x-5 2x
Ih<.
Vx 3 x 3—x
4. Найти целые значения x, удовлетворяющие системе неравенств
х + 8
>2, х + 2
1g (х-1) <1.
Группа Б
5. Доказать, что произведение суммы трех положительных чисел на сумму обратных чисел не меньше 9.
6. Доказать, что если а — любое действительное число, то верно д2 4-д + 2
неравенство —— > 2.
^/а24-д4-1
7. Доказать, что при условии 2у + 5х = 10 выполняется неравенство Зху — х — у2<1.
8. Доказать, что если 4А + а=1, то выполняется неравенство az + 462^l/5.
9. Доказать, что многочлен т6 —т5+т*+т2-ди 4-1 принимает положительные значения при всех действительных значениях т.
Показать, что при любых действительных значениях х фу- X2 +х+1
нкция у = не может принимать значений, больших 3/2
х2+1
и меньших 1/2.
Найти все значения а, при которых выражение
^/(а4-1)х2 — 2 (а— 1)х+3а—3 имеет смысл для любых xeR.
При каких значениях р оба корня квадратного трехчлена х2 + 2 (р+1)х + 9р — 5 отрицательны?
При каких значениях п оба корня уравнения (п —2)х2 —2пх + + п + 3 —■ 0 положительны?
При каких значениях т корни уравнения 4х2 — — (Зт+1) х—/и—2 — 0 заключены в промежутке между —1 и 2?
При каких значениях а квадратный трехчлен ах1 — 7х + 4д принимает отрицательные значения для любых действительных значений х?
8.106. Найти целые числа х, удовлетворяющие неравенству8.106. Найти целые числа х, удовлетворяющие неравенству2
8.106. Найти целые числа х, удовлетворяющие неравенству
8.106. Найти целые числа х, удовлетворяющие неравенству
8
9
Найти область определения функции /, если /(х) =
I /4х-22\2
= /9-
V \ *-5 /
Найти целые неотрицательные значения х, удовлетворяющие х+З 1 2х,
неравенству<.
х2—4 х+2 2х—х2
При каких значениях а неравенство ——”<1-5 выполняется для любых значений х е R?
Найти те значения т, при которых неравенство
х2 —8х + 20'
<0 выполняется для любых действительных зна- тих2 + 2 (ти + 1) х + 9/и+4 чений х.
Их2 —5x4-6
При каких значениях х разность —х принимает
только отрицательные значения?
x2+mx- 1
При каких значениях т неравенство ———■ —<1 выполняется для любых X?
х3—тх—2
При каких значениях т неравенство ——-—-> — 1 выполняется для любых X?
— 1 +9а+4а2
При каких значениях а сумма аЦ—-— принимает толь
ко положительные значения?
Решить неравенства (8.115—8.192):
8.115.8.115.Зх+1х—3Зх+1х—3<3.<3.8.116.8.116.№У>0 74^№У>0 74^8.118.8.118.|х-3|х2 —5х+6|х-3|х2 —5х+6
8.115.
8.115.
Зх+1
х—3
Зх+1
х—3
<3.
<3.
8.116.
8.116.
№У>0 74^
№У>0 74^
8.118.
8.118.
|х-3|
х2 —5х+6
|х-3|
х2 —5х+6
m2x+l m2x + 3 т+9х
<
236
8.120.8.120.х2 —5х+4х2—4х2 —5х+4х2—4<1.<1.
8.120.
8.120.
х2 —5х+4х2—4
х2 —5х+4х2—4
<1.
<1.
325х-473
8122 <
" 6х2 —х—12 Юх-15 Зх+4
О.1ХЧ.-.
х+1 х2—х + 1 х3 + 1 1414
——+—;<+—-•
х2—4 2х2 + 7х + 6 2х+3 2х3 + Зх2-8х-12
10 (5-х) 11 6-х 5 (6-х)
—-.
3 (х—4)3 х—4 х—2
—9<х4—10х2<56.
216х6+19х3< 1.
|х—6|>|х2 —5х+9|.
х2 (x*+36)-6V3 (х* + 4)<0.
8.131.
<0.
х2+3х—10
х2 (x+3V5) + 5 (3x + V5)>0.
(x2 + 4x+Ю)2 —7 (x2 + 4x+ll) + 7<0.
8.136. ^х+3<^-Х+^х~2.
8.137. V*2 —4x>x—3.8.137. V*2 —4x>x—3.8.138.8.139.8.140.8.138.8.139.8.140.8.141. <хУ+Зх+4>-2.8.141. <хУ+Зх+4>-2.
8.137. V*2 —4x>x—3.
8.137. V*2 —4x>x—3.
8.138.
8.139.
8.140.
8.138.
8.139.
8.140.
8.141. <хУ+Зх+4>-2.
8.141. <хУ+Зх+4>-2.
0,5V3<0,5‘ “”2x<0,5.
1 1 i
oZ2"V ■< Vo^^l-
V9X-3X+2>3x-9.
61og4x —3
0,2 ‘°84X > V^OOs'08^”1.
,и (x3 + 4x + 4)
2,25l->'' -!"“"’>Q
91ов2 (x~1)'1 - 8 • 5*°B2(x" 1)-2>9log2(x”°_ 16 • 5*oe2 (x“°-*
3
-(x+D
0,008х+ 5l-3x+O,O42<30,04.
25 "2x-10x+5x>25.
8.153.
l°gO,25
2x+l 1
h~
x+3 2
1
2
log4/3 (Vx+3—x)>0.
logo,5 (x+3)<logo,25 (x+15).
logi/з (x-l) + log1/3 (x +Ij+log^ (5 —x) < 1.
21og3 log3x+logi/3 log3 (9 \fx^\.
log2(V4x + 5-l) 1 8.158.=->-.
log2 (V4x+5+ll) 2
logos (x/x+3—1)
—<0>5-
logo,5 «x + 3 + 5)
8.160.8.160.11log2(x—1) log2X/x+l11log2(x—1) log2X/x+l
8.160.
8.160.
11
log2(x—1) log2X/x+l
11
log2(x—1) log2X/x+l
8.161.8.161.Ig7—1g (—8x —x2)^ Q
8.161.
8.161.
lg(x+3)>
Iog3log4logl/3 log1/4 -<0.
x+14x—1
Iog4x+log2 (Vx—l)<log2logv?5 (найти целые значения x).
8.164.8.164.l-log4x<ll+log2x^2l-log4x<ll+log2x^2
8.164.
8.164.
l-log4x<l
l+log2x^2
l-log4x<l
l+log2x^2
log1/5x+log4X>l.
/x3\232
(log2x)4-Hog1/2—j +91og2— <4 (log1/2x)z.
loglx_,l0,5>0,5.
3x-l
log,——>0.
log^ (x2 — 5x + 6)< 1.
21og,og3,3<l.
log1/2log2logx_19>0.
logos |x-2|
8.173.!
x2—4x
(x"D(3'x) 8.174. ->0. 10g2 |x-l|
3 log, * log, 0*) 8.175. 0,4 ’>6,25log3x,+2.
г^Ч-х'01»-^^. 8.177. x0,5 “V’w3"2,5'“^Л 8.178. 3*gx+2<3lgxl+5 —2. t/ 2\2 lg*J
0,6lg ("x)+3<( 1 - I \ 3/
?*2*+16х“1ов2Х<17.
S^+x^lO.
logologe—— <0. x+4
log3 log,! log,! x*>0.
log3 (log2 (2—log) x) — 1) < 1.
210geX + 6 8.185. —->1.
log2x+2
log2 log4 x+log4 log2 x ^ — 4.
log|(x-l)2-logo,5 (x-l)>5.
|x-3|2xl-7x>l.
-Узсо$~1х<418х-
sin4x+cos4xctg2x> 1.
2 + tg2x+ctg2x<0.
2cds x (cosx—V8tgx)<5.
Найти области определения функций (8.193—8.203):
8.194.8.194.8.193./(х) =8.193./(х) =^х-х2 log3 |х-4|^х-х2 log3 |х-4|
8.194.
8.194.
8.193./(х) =
8.193./(х) =
^х-х2 log3 |х-4|
^х-х2 log3 |х-4|
y=log3 (0,642 *°gV2x-1,25’ (log2x)2).
y=V logi/3 log3 |x—3|.
y=Vlog?/2 (x —3)—1.
y=\/2—1g |x—2|.
y=log3(2,og-3°'$-l)+-.
log3 (2x—6)
/x2—11
у= /1+.
V (x+3) (x-4) logs (x-4)
y=2'/lx 31 18 xl.
y=Vlogo,s (x2 —9) + 4.
При каких значениях x определено следующее выражение: log3 (1 —logo,5 (х2 —2х —2,5))?
Найти все значения р, при которых выражение lg ((р—1) х2 + + 2рх+3р—2) определено для любых х.
Найти множество целых значений х, удовлетворяющих неравенству
42+х^ + 3 22+'^-1б<15-4х^+23+х^ + 5 2^^
Расположить в порядке возрастания три числа: at = logi/2 sin 2х, а2= — 1— log2sinx, a3=log1/2 (1 —cos2x), если 0<х<я/4.
Решить системы неравенств (8.208—8.215): Го,2””<1,
\х-1 1 )1—>0.
12-х 2
8.210.8.210.>0, х2-16х+64>0, х2-16х+64
8.210.
8.210.
>0, х2-16х+64
>0, х2-16х+64
5х— 7 х Зх
<4+—
х—55 —х х2 —25
8.212.
8.214.
|х2+ 5х| <6, >+1|<1.
8.215.
|х2-4х|<5, |х+1|<3.
Группа В
a+b+c+d4a+b+c+d4ствоство\jabed.\jabed.Доказать, что при а>0, Ь>0, с>0 и d>0 справедливо неравен
a+b+c+d
4
a+b+c+d
4
ство
ство
\jabed.
\jabed.
Доказать, что из всех прямоугольных параллелепипедов с данной суммой всех ребер наибольший объем имеет куб.
Доказать справедливость неравенств (8.218—8.221): / z\ ( х\ 1+-1+-1+-(х>0, ^>0, z>0).
х) \ У/ \
а3+Ь3 /a + b\3
^ (а>0, b>OY
2\ 2 /
a*+b* f a+b\*
^ .
2\ 2 /
0 + 73 + 0~73>2-
Зх2+рх —6
При каких значениях р система неравенств — 9<<6
х-х+1 выполняется для всех действительных значений х?
2x2+znx—4
При каких значениях т неравенство — 6<<4 вы-
х2-х + 1
полняется для всех действительных значений х?
Пусть число Xj,>0 является корнем уравнения ох2 + 6х+с = 0. Показать, что существует корень х2 уравнения сх2 + Ах+а=0 такой, что
Х1 + х2>2.
Числа xt и х2 являются действительными корнями уравнений 5х3 — 6 = 0 и 6х3 — 5 = 0 соответственно. Показать, что Xi + x2>2.
Решить неравенства (8.226—8.279):
|х3—1|> 1 — х.
|х-1| + |2-х|>3 + х.
8.229.8.229.х2-7|х| + 10
8.229.
8.229.
—;<0-
х2 —6х+9
V4-4x3 + x6>x-V2.
V**-2*2+l>l-*.
* logs* (2-1083*)
log,x+log,-<.
3 logs*
sinx—2
>2.
4sin2x—1
V5*-4+V3*+I<3-
,2|*-H , a
3+3 lx—II
<3
4
V*2 + 3* + 2 — V*2~*+!<!•
log2 (x—1)—log2 (x+l)+logj+i 2>0.
log, log2 (4х-12)< 1.
10 0,3 ^/^йх)>3.
2<2'* °”x/ <8. 2coi2x—6 coix
32“»2x-‘>3'-2“*,x
0,2c”2x— <4 125-I/Z.
25CO‘’X
log, log, (9х-6)>1.
Vlogi/2(*2 + 4*-4)<l (xeZ).
У1-9 (logt^x)2> 1 -4 logi/s *•
log1/2x+Vl—4 Oogi/2*)2< 1 •
log,2 (3-2x)>l.
log, (4x+l)+log x 3>2,5. (4 +0
log, (3х— 1) - logI/3 (3x+2-9)> -3.
1 +log2x
log,^-<0.
log,(x3 + l) log,+1x>2.
log, (x+l)<log1/, (2-х).
x — 1
log3 logo 2 loggz> 0.
x+5
log, (x2 + 3x—3)> 1.
|x2 —2x|+4
log,/2; '<0.
|x + 2|+x2
2x 1
log,2 |x-3| 2
8.259. (4х2 + 2х+1),2"г>1.
1<31л2 ^<9.
8—12x log 8.262. 5 *>25.
(2х+3'2 x)2 lo®2^-'“^ u+6)> i
log|,_4| (2x2 —9x+4)> 1.
11
==<.
togMiVx+3 logi/2(x+l)
3
log,^ —2.
8 —2x
logi/2 (x-3)-logi/2 (x + 3)-log,+3 2>0.
|24^2-i —5|^3.x”3
В-З^^ + Э^^^.
x + 5
(x2 + x+1)x+2>(x2 + x+1)3. /15\к+71/,541^-3^+21
log,.10-0,51o&10>0 (0<а<1).
Iog7 x—log3 7 • logs x > log2 0,25.
xlog«x+4<a4x (0<a<l).
V3*2 + 5x + 7-V3x2 + 5x+2>1.
log^i/S—log,5+^5 +1,25<0.
lo&.(35-x3;^lo&.(35-x3;^8.279.8.279.8.299.8.299.
lo&.(35-x3;^
lo&.(35-x3;^
8.279.
8.279.
8.299.
8.299.
%.ТП. |log3 -М < logs -
8.278. log,:_3729>3.
logo (5-sr)
Решить систему неравенств
(x—l)lg2 + lg (2X+'+ l)<lg (7 2x+12), log, (x + 2)>2.
Найти области определения функций (8.281—8.282):
y=y/anx—0^5+log3 (25-х2).
Найти множество целых значений х, удовлетворяющих неравенству logo 3 (у/х + 5 — х +1)>0.
Без помощи таблиц доказать неравенства (8.284—8.285):
2<log32+log23<3.
2 < -v^log23 4- -y/iogs^ < у/^ +1 •
Указать такие значения х, при которых неравенство у2 — — (5х—1) (у—1)>0 выполняется для всех значений у.
Найти а из неравенства х2—2е+2х—2е+3+12>0 при условии, что оно верно для любых значений х.
Доказать, что если (х2+ 5x4-6) (х2 + 11х + 30)<0, то sin2x>0.
Из значений х, удовлетворяющих неравенству log13 (2х— 2)<log13 (х + 1), указать те, для которых sin2x<0.
Показать, что 1/8 < cos 20° cos 40° cos 70° <1/4.
Показать, что 1/8 < sin 20° sin 50° sin 70° <1/4.
Показать, что tg40o+tg45°+tg50°>3.
Показать, что при условии 360°к—45°<а<360°к+45с, где keZ, выполняется неравенство ctg (45°—a)+ctg45°+ctg (45° + a)>3.
Решить неравенства (8.294—8.300):
sin2xsin3x — cos2xcos3x>sinl0x.'
А\ з-у/з
sin3хsin I—Зх } + cos3xcos I—Зх |>.
2sin2x—sinx + sin3x<l.
ctgx—tgx—2tg2x—4tg4x>8V3.
4sinxsin2xsin 3x>sin4x.
8300. 3cos2x sin x—sin3 x< 1/2.
ГЛАВА 9
КОМБИНАТОРИКА И БИНОМ НЬЮТОНА
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Число перестановок из п элементов находится по формуле
Р„ = Г2...(л-1)л=л!(9 д)
Число сочетаний из л элементов по т находится по формуле л!
С"=;С° = 1.(9.2)
" т! (л—т)!"
Справедливы следующие свойства сочетаний:
С”=С;~";(9-3)
с^+с^'-с”*,1.(9-4)
Число размещений из л элементов по т находится по формуле
л!
А;=РтС”.(9.5)
*’ (л-щ)!
Формула бинома Ньютона имеет вид
(а + 6)” = С°а” + С‘а" * A + .-. + Cja" *6 +... + С"6 ,(9-6)
или
,, п п п-1,п (п- 1)...(л —£+1) „-к к п
(а + Ь) =а +па6 + ...+a b + ... + 6,
к!
где л — натуральное число и С‘а” *6* = Тк+1 есть (£+1)-й член в разложении
бинома (Jt=O, 1, 2, .... л).
Сумма биномиальных коэффициентов равна 2 :
С; + С‘ + ... + С;=2"..t9-7)
Пример 1. Команда некоторой ЭВМ записывается в виде набора из восьми цифровых знаков — нулей и единиц. Каково максимальное количество различных команд?
Так как для каждого элемента набора возможны два значения (0 или 1), то максимальное количество различных команд есть ,2'2.. .2=256. Можно рассуж-
,8 раз
дать иначе: рассмотреть все двоичные числа от 00000000 до 11ШШ2" 255ю. ■
Пример Z В разложении (1 +х) четвертый член равен 0,96. Найти значения хил, если сумма биномиальных коэффициентов равна 1024.
Так как сумма биномиальных коэффициентов равна 2 , а 1О24=210, то , 109 8 ,,
л=10. Четвертый член разложения Т<—С’х3=х3=120х3. Согласно усло-
Г2’3
вию, 120хэ=0,96, откуда х3 = 0,008, т. е. х=0Д. ■
Пример 3. При каких значениях х и у возможно равенство СХ:СХ,3: А* = = 1:3:24?' ’’
□ Применяя формулы (9.2) и (9.5), имеем
у! 0 + 2)!
х! (у —х)! х!(у—х + 2)!
Из второго уравнения получаем х! = 24, т. е. .г = 4 (поскольку 24=1 '23’4), а из первого уравнения находим
(у —х +1) (у —х+2) 1•
0 + 1) 0 + 2)-з"
Так как х = 4, то у2 —9у + 8=0, откуда у=1 и у = 8; у=1 не удовлетворяет условию (у>х = 4). Итак, х = 4, у = 8. ■
Группа А
Решить уравнения (9.001—9.005):
9.001. а) Л2 С^* = 48; б) С* + 6С2 + 6С>9х2-14х.
9.002. a) C^^lC^Hx-^ б) -^-^Л.
9.003. а) Л3 + С^2 = 14х; б) Л = -2С^ЗИ2.
9.004. а) —^ = 336; б) Л^3 = хР,_2.
Л + 2,30
9.005. а) + = 210; б) A + 27V, =- Рх.
Ах~' Р3+7
9.006. Показать, что при любом к сумма С2+Л + С2+Л+1 есть точный квадрат.
9.007. Доказать тождества:
а) Л=(п-1) (Л-. + Л-г); б) Cj С^=Скт С".
9.008. Сумма биномиальных коэффициентов разложения ( 2лх+
1 У"
ЧI равна 64. Определить слагаемое, не содержащее х.
2лх2/
9.009. Сумма биномиальных коэффициентов с нечетными номерами в разложении (ох + х ’/4)” равна 512. Найти слагаемое, не содержащее х.
9.010. При каких значениях х четвертое слагаемое разложения (5 + 2х)16 больше двух соседних с ним слагаемых?
9.011. Каков наибольший коэффициент разложения (а+Ь)", если сумма всех коэффициентов равна 4096?
9.012. В разложении ^J-+ ^^^ ^е6™ член> содержащий ab.
Найти этот член. 214
9.013. Сумма коэффициентов второго и третьего слагаемых разло-
/, /—-1 Х”
жения ( Vх= I равна 25,5. Написать член, не содержащий х.
\2 6^х),
9.014. При каком значении х четвертое слагаемое разложения
(-^/2 + ^/2 ) в 20 раз больше т, если биномиальный коэффициент четвертого слагаемого относится к биномиальному коэффициенту второго слагаемого как 5:1?
9.015. Определить А1,, если пятое слагаемое разложения (V* + + 1/х)" не зависит от х.
9.016. В какую натуральную степень следует возвести бином / 1 X
(—р + 3 ], чтобы отношение четвертого слагаемого разложения к третьеМ /
му было равно 3V2?
9.017. Расписание одного дня содержит 5 уроков. Определить количество таких расписаний при выборе из 11 дисциплин.
9.018. Комиссия состоит из председателя, его заместителя и еще пяти человек. Сколькими способами члены комиссии могут распределить между собой обязанности?
9.019. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20 человек?
9.020. Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти звуков?
9.021. В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы пять гвоздик одного цвета?
9.022. Номера трамвайных маршрутов иногда обозначаются двумя цветными фонарями. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, если использовать фонари восьми цветов?
9.023. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга (т. е. каждая команда дважды встречается с любой другой). Определить, какое количество встреч следует провести.
9.024. Замок открывается только в том случае, если набран определенный трехзначныи номер. Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти цифр. Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предшествовало удачной? .
9.025. Из группы в 15 человек выбирают четырех участников эстафеты 800 + 400 + 200+100. Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам эстафеты?
9.026. Команда из пяти человек выступает на соревнованиях по плаванию, в которых участвуют еще 20 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться места, занятые членами этой команды?
9.027. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске две ладьи так, чтобы одна не могла взять другую? (Одна ладья может взять другую, если она находится с ней на одной горизонтали или на одной вертикали шахматной доски.)
9.028. Две ладьи различного цвета расположены на шахматной доске так, что каждая может взять другую. Сколько существует таких расположений? '
9.029. Порядок выступления восьми участников конкурса определяется жребием. Сколько различных исходов жеребьевки при этом возможно?
Группа Б
Решить уравнения (9.030—9.032):
Рх-$
9.030. ,+*= 72.
Рх-Х
9.031. C^-' + Ci-^CJ-’ + .-. + Cf-’ + Cr’+Cr'^lOlS. AAAААА
Р
9.032. ——— = 720.
А‘Рх-5
9.033. Решить систему уравнений:
гл^ • 4 х-1-г(А,4-ЗС, = 90
а) <б) х х ’
[Р,+ 1 = 720;’ [,4'-2С'=40.
9.034. Найти х и у, если:
а) CU:C№=6:5:1;
б) С^"1: (С'_2 Ч- С^Ч- 2С^2): С'+1 = 3:5:5.
9.035. Найти х и у, если:
а) (А^ +уА^): А Г1: С'"' = 10:2:1; б) Л^1:Л^_,:(С>_2 + С^0 = 21:6О:1О.
9.036. Доказать тождество:
а) С*+С*„-‘ = С*;
11 б) с;+зс?-*+зс*-2+с;-3=с* 3;
в) Atx=^-^tx1.
9.037. Разность между третьими биномиальными коэффициентами разложений (а+Ь) и (а+ 6) равна 225. Найти число рациональных
членов разложения (V^+Vy)”-
9.038. Найти к-й член разложения (V3+V2)"', если известно, что Т*+2:Т*+1:Г*=28:8^:9.
9.039. Разность между некоторыми членами Тк+1 и Тк разложения
(V*-лА *)12 равна 30. Определить, при каких значениях х это возможно, если член Тк+1 содержит х в степени, вдвое меньшей, чем член Тк.
9.040. Найти наибольший биномиальный коэффициент разложения
(лч—), если произведение четвертого от начала и четвертого от конца л
слагаемых равно 14 400.■
9.041. При любом допустимом значении z слагаемое Uk+1 разложе
ния cVz*Vzf в 2 раза меньше слагаемого Vk+i разложения 1 V"+1
Ч= ). Найти эти слагаемые.<
\Jz)
.9.042. Сумма третьего От начала и третьего от конца биномиальных
коэффициентов разложения ^\/з Ч- V^)” равна 9900. Сколько рациональных членов содержится в этом разложешш?,
- / 1 V
9.043. Третье слагаемое разложений" I 2х + — ) не содержит х. При \ х /
каких^значениях х это слагаемое равно второму слагаемому разложения
9.044. Тридцать человек разбиты на три группы по десять человек в каждой. Сколько может быть различных составов групп?
9.045. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?
9.046. Сколько различных светящихся колец можно сделать, расположив по окружности 10 разноцветных лампочек (кольца считаются одинаковыми при одинаковом порядке следования цветов)?
9.047. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом первый и второй тома не стояли рядом?
9.048. Четыре стрелка должны поразить восемь мишеней (каждый по две). Сколькими способами они могут распределить мишени между собой?
9.049. Из группы в 12 человек ежедневно в течение 6 дней выбирают двух дежурных. Определить количество различных списков дежурных, если каждый человек дежурит один раз.
9.050. Сколько четырехзначных чисел, составленных из цифр 0, 1,2, 3, 4, 5, содержат цифру 3 (цифры в числах не повторяются)?
9.051. Десять групп занимаются в десяти расположенных подряд аудиториях. Сколько существует вариантов расписания, при которых группы № 1 и № 2 находились бы в соседних аудиториях?
9.052. В турнире участвуют 16 шахматистов. Определить количество различных расписаний первого тура (расписания считаются различными, если отличаются участниками хотя бы одной партии; цвет фигур и номер доски не учитываются).
9.053. Шесть ящиков различных материалов доставляются на пять этажей стройки. Сколькими способами можно распределить материалы по этажам? В скольких вариантах на пятый этаж доставлен какой- либо один материал?
9.054. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?
9.055. Поезд метро делает 16 остановок, на которых выходят все пассажиры. Сколькими способами могут распределиться между этими остановками 100 пассажиров, вошедших в поезд на конечной остановке?
9.056. Сколько трехзначных чисел, делящихся на 3, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?
9.057. Собрание из 80 человек избирает председателя, секретаря и трех членов ревизионной комиссии. Сколькими способами это можно сделать?
9.058. Из 10 теннисисток и 6 теннисистов составляют 4 смешанные пары. Сколькими способами это можно сделать?
9.059. Три автомашины № 1, 2, 3 должны доставить товар в шесть магазинов. Сколькими способами можно использовать машины' если грузоподъемность каждой из них позволяет взять товар сразу для всех магазинов и если две машины в один и тот же магазин не направляются? Сколько вариантов маршрута возможно, если решено использовать только машину № 1?
9.060. Четверо юношей и две девушки выбирают спортивную сек-
цию. В секции хоккея и бокса принимают только юношей, в секцию художественной гимнастики — только девушек, а в лыжную и конькобежную секцйи — и юношей, и девушек. Сколькими способами могут распределиться между секциями эти шесть человек?
9.061. Из лаборатории, в которой работает 20 человек, 5 сотрудников должны уехать в командировку. Сколько может быть различных составов этой группы, если начальник лаборатории, его заместитель и главный инженер одновременно уезжать не должны?
9.062. В фортепьянном кружке занимаются 10 человек, в кружке художественного слова— 15, в вокальном кружке— 12, в фотокружке — 20 человек. Сколькими способами можно составить бригаду из четырех чтецов, трех пианистов, пяти певцов и одного фотографа?
9.063. Двадцать восемь костей домино распределены между четырьмя игроками. Сколько возможно различных распределений?
9.064. Из группы в 15 человек должны быть выделены бригадир и 4 члена бригады. Сколькими способами это можно сделать?
9.065. Пять учеников следует распределить по трем параллельным классам. Сколькими способами это можно сделать?
9.066. Лифт останавливается на десяти этажах. Сколькими способами могут распределиться между этими остановками 8 пассажиров, находящихся в кабине лифта?
9.067. Восемь авторов должны написать книгу из шестнадцати глав. Сколькими способами возможно распределение материала между авторами, если два человека напишут по три главы, четыре — по две, два — по одной главе книги?
9.068. В шахматном турнире участвуют 8 шахматистов третьего разряда, 6 — второго и 2 перворазрядника. Определить количество таких составов первого тура, чтобы шахматисты одной категории встречались между собой (цвет фигур не учитывается).
9.069. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составляются всевозможные пятизначные числа, не содержащие одинаковых цифр. Определить количество чисел, в которых есть цифры 2, 4 и 5 одновременно.
9.070. Семь яблок и три апельсина надо положить в два пакета так, чтобы в каждом пакете был хотя бы один апельсин и чтобы количество фруктов в них было одинаковым. Сколькими способами это можно сделать? '
9.071. Буквы азбуки Морзе состоят из символов (точек и тире). Сколько букв можно изобразить, если потребовать, чтобы каждая буква содержала не более пяти символов?
9.072. Номер автомобильного прицепа состоит из двух букв и четырех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 30 букв и 10 цифр?
9.073. Садовник должен в течение трех дней посадить 10 деревьев. Сколькими способами он может распределить по дням работу, если будет сажать не менее одного дерева в день?
9.074. Из вазы, где стоят 10 красных и 4 розовые гвоздики, выбирают один красный и два розовых цветка. Сколькими способами это можно сделать?
Группа В
9.075. Доказать, что9.075. Доказать, чтоллС‘ + 2С^ + ЗС’+...+пС;_2„-1
9.075. Доказать, что
9.075. Доказать, что
л
л
9.076. Доказать тождество С*+С* * = С*+1. Пользуясь этим тождеством, показать, что
С
т 1 т I । т
я ТЧ-П'-т^-Ю"^^! ~ С п_. 10.
9.077. Упростить выражение Р^ + ^Рг* ...-г пР„, где Р^ — число перестановок из к элементов.
9.078. Доказать, что С;„+х С?Л^<(С^.
9.079. Найти наибольшее значение суммы (1 + хг + (1 — х) при
9.080. Найти наибольшее слагаемое разложения (^5 + V^)20•
9.081. При каких значениях х наибольшим слагаемым разложения (5 + Зх)10 является четвертое?.
9.082. Если раскрыть все скобки в выражении (1+х)9-|-(1+х)10 + + ... + (1+х)14 и привести подобные члены, то получится некоторый многочлен. Определить коэффициент при х9 в этом многочлене, не раскрывая скобок.
9.083. Двенадцати ученикам выданы два варианта контрольной работы. Сколькими способами можно посадить учеников в два ряда, чтобы у сидящих рядом не было одинаковых вариантов, а у сидящих друг за другом был один и тот же вариант?
9.084. Каждый из десяти радистов пункта А старается установить связь с каждым из двадцати радистов пункта Б. Сколько возможно различных вариантов такой связи?
9.085. Шесть ящиков различных материалов доставляют на восемь этажей стройки. Сколькими способами можно распределить материалы по этажам? В скольких из них на восьмой этаж будет доставлено не менее двух материалов?
9.086. Сколькими способами можно построить в одну шеренгу игроков двух футбольных команд, так чтобы при этом два футболиста одной команды не стояли рядом?
9.087. На книжной полке книги по математике и по логике — всего 20 книг. Показать, что наибольшее количество вариантов комплекта, содержащего 5 книг по математике и 5 книг по логике, возможно в том случае, когда число книг на полке по каждому предмету равно 10.
9.088. Лифт, в котором находится 9 пассажиров, может останавливаться на десяти этажах. Пассажиры выходят группами в два, три и четыре человека. Сколькими способами это может произойти?
9.089. «Ранним утром на рыбалку улыбающийся Игорь мчался босиком». Сколько различных осмысленных предложений можно составить, используя часть слов этого предложения, но не изменяя порядка их следования?
9.090. В шахматной встрече двух команд по 8 человек участники партий и цвет фигур каждого участника определяются жеребьевкой. Каково число различных исходов жеребьевки?
ГЛАВА 10
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ
Пример 1. Показать, что log2 cos20°+log2 cos40°+log2 cos80° = -3.
□ Утверждение верно, если верно, что log2 (cos 20° cos 40° cos 80°) = — 3 [использована формула (7.4)] или log2 А = — 3, где А=cos 20° cos 40° cos 80°. Умножим и разделим правую часть последнего равенства на 8 sin 20°:
4 2 sin 20° cos 20° cos 40° cos 80°Л =.
8 sin 20°
Применяя три раза последовательно формулу (4.13), получаем
4 sin 40° cos 40° cos 80° 2 sin 80° cos 80° sin 160°A ====
8 sin 20°8 sin 20°8 sin 20°
sin (180°-20°) sin 20°3
8 sin 20°8 sin 20°
Следовательно, log2 A =log2 2" 3 = — 3. ■ Пример Z При каких значениях p уравнение'
x2—(2P—1) x—3 (Z-* —/-2)=0 имеет равные корни?
□ Квадратное уравнение имеет равные корни, если его дискриминант D= =b1—4ac равен нулю. Находим
Р=(/-1)2 +12 (4Р~‘ -2,"2) =,12 2^ 12 /2,»
=2-22+1 +-4-2-5Z+1.
44
Используя замену переменной 2,=у, получаем уравнение 4у2 —5у+1=0, которое имеет корни yj = l/4, у2 = 1. Решаем уравнения /=2~2 и 2Р = 1, откуда р= —2 и р=0. ■
Пример 3. Решить уравнение |х—1| |х+2|=4.
□ Поскольку |ху|=|х|'|у|, перепишем данное уравнение ■ в виде |(х— 1) (х+2)|=4. Оно равносильно совокупности двух систем:
(х-1)(х+2)>0, ( (х-1) (х+2)<0,(х-1)(х+2)=4; (—(х—1) (х+2)=4.
В первой системе корни уравнения Xi = —3, х2 = 2 удовлетворяют неравенству этой системы, а значит, и самой системе; дискриминант квадратного уравнения второй системы отрицателен; следовательно, эта система несовместна. Итак, получаем ответ: — 3; 2. ■
Пример 4 При каких целых значениях а неравенство
2 logo,5 а—3 + 2х logo,5 а-х1 <0
выполняется в любой точке оси Ох?
Заменим заданное неравенство равносильным: х2 —2xlogo,5a + 3 — — 2logo ; а>0. Так как коэффициент при х2 положителен, то неравенство выполняется в любой точке оси Ох, если дискриминант квадратного трехчлена отрицателен (см. указание 4° из гл. 8). Следовательно,
4 log^a-4 (3-2 logo s а) <0 или log2sa + 2 log0,5a-3<0.
После замены переменной y=logo,so получаем неравенство у2 + 2у—3 <0;/(у) = =у2+2у— 3=0 при У1 = 1, У2=—3. Схематическое расположение параболы относительно оси Оу приведено на рис. 10.1. Отсюда находим — 3<у<1.
Рис. 10.1
Решаем неравенство — 3<logo,sa<l, которое, используя формулы (7.6) и (7.2), запишем в BHaelogo,sO,5~3<logo,5a<logo,sO,5. Так как основание логарифма 0 < 0,5 <1, то в силу указания 7° из гл. 8 получаем равносильную этому неравенству систему
(а>0,
[0,5<а<0,5~3, т. е. 0,5<»<8
Целыми значениями а, удовлетворяющими последнему неравенству, являются числа 1, 2, ..., 7. ■ |sin |cos
Пример 5. Решить неравенство 10>10.
Так как основание степени 10 >1, то на основании указания 7° из гл. 8 перейдем к равносильному неравенству |sin х| > |cos х|. Отсюда, применяя указание 2° г) из гл. 8, получим sin2x>cos2x. Далее, используя тождественные преобразования тригонометрических выражений, имеем
sin2x> 1 —sin2x; 2sin2x> 1; 1 —cos2x> 1; cos2x<0,
откуда я/2+2я&<2х<Зя/2+2я£, к el. Итак, получаем ответ: ^4+яЛ<х<Зя/4+яЛ, keZ. ■
Решение неравенства |sinx|>|cosx| можно также найти графически, построив графики функций |sinx| и |cosx| на одном чертеже (рис. 16.2).
Пример 6. Доказать, что графики функций у=>Л"Зх -Уп и у=л'3 *+/и при условии тп<0 пересекаются в двух точках, из которых одна лежит на оси абсцисс, а другая — на оси ординат.
□ Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения
m3 + л=лЗ +т; умножая все его члены на 3 ^0 и группируя подобные 2хх
слагаемые, получим m3 + (л—т) 3 —л=0.
Положим 3Х=у>0 и решим квадратное уравнение ту2 + (п—т) у—п=0.Имеем D = (n—т)2+4тл=(л+т)2 и, следовательно,Положим 3Х=у>0 и решим квадратное уравнение ту2 + (п—т) у—п=0.Имеем D = (n—т)2+4тл=(л+т)2 и, следовательно,
Положим 3Х=у>0 и решим квадратное уравнение ту2 + (п—т) у—п=0.
Имеем D = (n—т)2+4тл=(л+т)2 и, следовательно,
Положим 3Х=у>0 и решим квадратное уравнение ту2 + (п—т) у—п=0.
Имеем D = (n—т)2+4тл=(л+т)2 и, следовательно,
Из уравнения 3х =1 находим х=0, а из уравнения 3х =— п(т получим x=log3 (—л/m). Найдем ординаты точек пересечения. Если X] =0, то yt =т 3°+ + л=т+л. Точка (0; т + л) лежит на оси Оу. Если X2 = log3 ( — л/т), то yi =
log (-л/т)/ л\,log (-л/т)
=тЗ 3+л=т(]+л=0 [так как 3 3=—л/т в силу равенства
\ т/
7.1)]. Точка (loga (—л/т); 0) лежит на оси Ох. ■
Упростить выражения (10.001—10.004):
10.003.10.003.10.002.10.002.V^T3V^T31-cos 246°1 +cos 246°1-cos 246°1 +cos 246°10.004.10.004.cos (я+а) +1cos (я+а) +1(я \ - + а 1 + 1 2 /(я \ - + а 1 + 1 2 /
10.003.
10.003.
10.002.
10.002.
V^T3
V^T3
1-cos 246°
1 +cos 246°
1-cos 246°
1 +cos 246°
10.004.
10.004.
cos (я+а) +1
cos (я+а) +1
(я \ - + а 1 + 1 2 /
(я \ - + а 1 + 1 2 /
10.005. Решить уравнение |х2 + 1,5х+1|=т. При каких значениях т оно имеет единственное решение?
10.006. Найти рациональные корни уравнения
10.007. Найти целые корни уравнения х3 — |х—1| = 1.
Решить уравнения (10.008—10.010):
10.008. х2 + 2х-3|х+1| + 3 = 0.
10.009. |х+1| + |х—1|=2х3.
10.010. |х2-3|х| + 1| = 1.
Решить неравенства (10.011—10.017):
10.011.
X1-
4|х| + 3>0.10.012. х2-5|х| + 6<0.
зы-
14х2—5х+6
10.013.
—
— «4.10.014. <0.
х—
3|х|+7
10.015.
2
.2х+х2+х
>1.10.016.->0.
х—4
X
10.017. |х+1|>2|х+2|.
Решить системы уравнений (10.018—10.022):
10.018.10.018.2х—3[у|=1, Jx|+2y=4.2х—3[у|=1, Jx|+2y=4.Гб,751х+3,249у=26,751,
10.018.
10.018.
2х—3[у|=1, Jx|+2y=4.
2х—3[у|=1, Jx|+2y=4.
10.019. {
10.020.10.020.10.021.10.021."2Х+2У = 5, 2х+'=4."2Х+2У = 5, 2х+'=4.(3,249х+6,7 51у=23,249.
10.020.
10.020.
10.021.
10.021.
"2Х+2У = 5, 2х+'=4.
"2Х+2У = 5, 2х+'=4.
Г8х=10у,
10.022. { х (2 =5у.
10.023. Показать, что система уравнений <’ не имеет
(2х-3у=4
решений.
10.024. Найти целые значения х, удовлетворяющие системе нера- raog3x),og»x<i, венств < (х>1.
Построить графики функций (10.025—10.051):■
10.025. а) у=х2 + 5х+6; в) ^=|х2 + 5х+6|;
б) г)
у=х2 + 5|х| + 6; у = |х2 + 5|х| + 6|.
10.026. а) у=—х2 + 4х—5;
б)
у== —х2+4|х| —5;
в) у=|-х2 + 4х-5|;
г)
у= —х2 + 4|х| —5|.
10.027. а) у=х2-7х+6;
б)
у=х|2-7|х| + 6;
в) у=|х2-7х+6|;
г)
у=|х|2-7|х| + 6|.
И
10.028. у=х+—.
X
10.029. у=|х+1|-х.
10.030. у=х|х| + 1.
10.031. у=-! (х2—4).
х—1
10.032. y=V(x+2y + V(x-
2)2.
10.033. у=|х-2| (х+2).
10.034. 3-=^; (х2-4).
|х-1| 2-х,
х^/(х—I)2 10.035. у=—-.
И
X—1.
10.036. у=(х2—х—2). |х+1|
10.037. у=(х2-9). |х-3|
10.038. a) y=logi/2x;в) у=10^1/2 И;10.039. у=2Мх.10.041. у=1х-'^.10.043. y=V1018x2.10.045. у=21о82х.1-log5 (х-1)10.047. у=53.2х2-6х10.049. у = 0,5 х~3 .10.038. a) y=logi/2x;в) у=10^1/2 И;10.039. у=2Мх.10.041. у=1х-'^.10.043. y=V1018x2.10.045. у=21о82х.1-log5 (х-1)10.047. у=53.2х2-6х10.049. у = 0,5 х~3 .10.051.10.051.У=У=10g210g2х—4х2—16х—4х2—1610.052. Решить графически уравнение |х—1| + 2х—5 = 0.10.052. Решить графически уравнение |х—1| + 2х—5 = 0.
10.038. a) y=logi/2x;
в) у=10^1/2 И;
10.039. у=2Мх.
10.041. у=1х-'^.
10.043. y=V1018x2.
10.045. у=21о82х.
1
-log5 (х-1)
10.047. у=53.
2х2-6х
10.049. у = 0,5 х~3 .
10.038. a) y=logi/2x;
в) у=10^1/2 И;
10.039. у=2Мх.
10.041. у=1х-'^.
10.043. y=V1018x2.
10.045. у=21о82х.
1
-log5 (х-1)
10.047. у=53.
2х2-6х
10.049. у = 0,5 х~3 .
10.051.
10.051.
У=
У=
10g2
10g2
х—4
х2—16
х—4
х2—16
10.052. Решить графически уравнение |х—1| + 2х—5 = 0.
10.052. Решить графически уравнение |х—1| + 2х—5 = 0.
6) y = logi/2 (-х);
г) y=|log1/2x|; д) y=|logi/2|x||.
10.040. y=-l~W.
10.042. y=lgx+|lgx|.
10.044. у = х1о8лг2.
10.046. у = |х|‘/2.
х2—4
10.048. y = log2 х-2
х2 —9
10.050. y=log3.
10.053. Построить график функции у=^/ах1 + Ьх + с, если а>0 и Ь1 — 4ас = 0.
10.054. Величина у есть целая часть («характеристика») логарифма х по основанию 2. Построить график у как функции х при изменении х от 0,5 до 8,0.
10.055. Отличаются ли один от другого графики функций y=lgx2 и у=21g х?
10.056. Построить на одном чертеже графики функций y = lgx2 Hy = lg2X.
10.057. Доказать, что графики функций у = 4х — 3 • 2 и у = — (5 • 2 + +1) не имеют общих точек.
10.058. Найти точки пересечения кривой у = 12х2 — 5 |х| — 36 и параболы у = 6х2 —5х—12.
Изобразить в координатной плоскости хОу заданные соотношения между переменными х и у (10.059—10.063):
10.059. |х| + |у| = 1.10.061. х+|х|=у+И-10.059. |х| + |у| = 1.10.061. х+|х|=у+И-10.060. |x|-|yl = l.10.062. [y| = logo,5|x|.10.060. |x|-|yl = l.10.062. [y| = logo,5|x|.
10.059. |х| + |у| = 1.
10.061. х+|х|=у+И-
10.059. |х| + |у| = 1.
10.061. х+|х|=у+И-
10.060. |x|-|yl = l.
10.062. [y| = logo,5|x|.
10.060. |x|-|yl = l.
10.062. [y| = logo,5|x|.
10.063. log2 (х+у — 1) <0.
10.064. На рис. 10.3 изображен график y=logax (масштабы на осях координат одинаковы). С помощью этого графика найти число а.
10.065. Как, зная график/(х), построить график /(х)|? Можно ли по графику / (х)| восстановить график / (х)?
Для графика функции y = ox2 + Z>x+c определить, положительно, отрицательно или равно нулю каждое из чисел а, b и с (10.066—10.067):
10.066. См. рис. 10.4.10.067. См. рис. 10.5.
10.068. Составить уравнение параболы с осью, параллельной оси ор- ■ динат, если эта парабола проходит через точки (—2; —3), (— 1; 2) и (1; 0)) Показать, что она пересекает <юсь абсцисс по разные стороны от оси ординат.
10.069. Найти коэффициенты квадратичной функции у=ах1 + Ьх + с,
У,У,Рис. 10.5Рис. 10.5
У,
У,
Рис. 10.5
Рис. 10.5
зная, что при х= —0,75 она принимает наибольшее значение 3,25, а при х=0 принимает значение 1.
10.070. Показать, что уравнение х5 + х4 + 2х3+2х2 + х+1=0 имеет только один корень. Какой?
10.071. Многочлен к5 + к4—2к3 — 2к2 + к+1 разложить на множители.
10.072. Показать, что координаты только одной точки плоскости удовлетворяют уравнению х2—4х+у — 6^/у +13 = 0, и найти эту точку.
10.073. Показать, что уравнение x8+p1x6+q1x4 + r1x1 = 0 не имеет отличных от нуля корней.
10.074. Существуют ли такие а, при которых корни уравнения х2—2 (а—3)х—а + 3 = 0 заключены в промежутке (—3, 0)?
10.075. Найти значения х, при которых все значения функции у= = х2 + 5х.+ 6 принадлежат промежутку [6, 12].
10.076. Сколько действительных решений имеет система уравнений Гх2+у=5, [х+у2 = 3?
10.077. Чему равна сумма всех корней всякого биквадратного уравнения?
10.078. Составить биквадратное уравнение, если числа -^/з—1 и ч/З +1 являются двумя его корнями.
10.079. Не находя х и у в отдельности, вычислить сумму х2у+ху3, если х—у=4 и ху=3.
10.080. Не решая уравнения х2 —Зх—10 = 0, вычислить сумму кубов его корней.
10.081. Имеет ли уравнение (2х—1)2 + (х+1)2 = 0 действительные корни?
10.082. При каких значениях р сумма квадратов корней уравнения х2+рх + 35=0 равна 74?
10.083. При каком значении q сумма кубов корней уравнения х2—х—q=0 равна 19?
10.084. При каких значениях к корни уравнения х2—(2fc+l)x+fc2=0 относятся как 1:4?
10.085. При каком значении а сумма квадратов корней уравнения х1+ах+а—2=0 является наименьшей?
10.086. Найти такие значения Л, при которых оба корня трехчлена (А— 1) х2+(Л—3) х+(А—2) положительны.
10.087. При каких значениях а график функции у=(а+5) х^х+а— —3 пересекает ось абсцисс по разные стороны от оси ординат?
10.088. Решить уравнение х3 — 7х—6 = 0. Убедиться в том, что сумма всех его корней равна нулю. Нельзя ли было в этом убедиться, не находя самих корней?
10.089. Имеет ли уравнение х3 + 2х—3 = 0 отрицательные корни?
10.090. Доказать, что х=1 — единственный корень уравнения х3 + + 3х—4=0.
10.091. Многочлен а4 + 2д3 + 6д—9 разложить на множители.
10.092. Доказать, что многочлен х4—2х3+2х2—8х+16 принимает положительные значения при любых действительных значениях х.
10.093. Разложить на множители х—3^ху+2у (х>0, у>0).
10.094. Нетрудно заметить, что равенство
(х-д) (х -6) (х-6) (х-с) (х-с) (х-д)_
■(с-д)(с-6) (д-*)(д-с) (й-с)(/>-д)~
имеет относительно х степень не выше, чем вторую. Тем не менее оно имеет более двух корней — можно проверить, что числа хх—а, хг=Ь
и х3=с ему удовлетворяют. Чем это объяснить?
10.095. Дано произведение
В типографии как-то случилось, что обе дроби выпали из набора и получилось произведение
(х4+х3+х2+х+1) (х4—х3+х2—х + 1).
Наборщик утверждает, что, несмотря на потерю дробей, получившееся выражение тождественно данному. Прав ли он?
1
10.096. Указать область определения функции у= .. По-
V^2-10x+25 казать, что график этой функции расположен симметрично относительно прямой х=5.
10.097. Без преобразования уравнения Vx+1 +>/з—х= 17 показать, что оно не имеет корней.
Найти области определения функций (10.098—10.108):
1/х2 —Зх—10
10.098. у=~Ю.099. /(х)= /.
V х4—9х2
/ х—3logx
10.100. /(х)= /-.10.101. у=.
■yl— Зх+2х2arcsin (х—3)
10.102.
/ 1—2х
10.103. y=(log3x—logz x) l/Z.
10.104.
y=V^-3X. '
10.105. y=log3logi/2x.
10.106.
y=V log3COSX.
10,107. /(x)=Vlogx2-log2x.
/(x) = Vl~lg (x-l)+ /• \j x + 2-
Указать область определения функции y=log2 (х2 —2х+3).
Имеет ли график этой функции какую-либо ось симметрии? Если да, то какую?
Указать все точки на оси Ох, в которых функция у =
3 81 — 10 9 +3 не определена.
Найти целые значения х, принадлежащие области определе-
у/ 1 — ЯП X
ния функции / (х) =.
1g (—Зх2+10х—3)
х (х—4)
Для каких значений х имеет смысл равенство 1g
1 — X
=lgx + lg (x-4)-lg (1-х)?
Для каких значений
график функции у=х + 3 +график функции у=х + 3 ++ ^/(x+l) (x + 7) расположен ниже оси абсцисс?
график функции у=х + 3 +
график функции у=х + 3 +
10.114.10.114.2 —8x4-12| = х2 —8х+12.2 —8x4-12| = х2 —8х+12.10.115.10.115.2—10х + 162—10х + 16х2 —10х + 16х2 —10х + 16х2—10х+24 х2 —10х + 24х2—10х+24 х2 —10х + 2410.116.10.116.10.117.10.117.х2 —11—х2lg2 (1 - 9х)+1g (1 - 9х) - 2| = 2 - 1g (1 - 9х) - 1g2 (1 - 9х).х2 —11—х2lg2 (1 - 9х)+1g (1 - 9х) - 2| = 2 - 1g (1 - 9х) - 1g2 (1 - 9х).Решить уравнения (10.118—10.130):10.118. Jx2-1^==1. кРешить уравнения (10.118—10.130):10.118. Jx2-1^==1. к1 +-=5.1 +-=5.10.120.10.120.4VoiTH)24VoiTH)24410.122. log3 Oogi (х—4)) = 0.10.124. log24x—41og4X=12.10.126. x+lg (l+4x)=lg50.10.128. cos58 x+ sin40 x=l.10.130. ctg (sinx)=l.10.122. log3 Oogi (х—4)) = 0.10.124. log24x—41og4X=12.10.126. x+lg (l+4x)=lg50.10.128. cos58 x+ sin40 x=l.10.130. ctg (sinx)=l.>2>210.121. log2log3log4X=0.10.121. log2log3log4X=0.10.123. 6log64xlog«x=12.10.125. logx+6(2x-Vx+6) = 0,5.10.123. 6log64xlog«x=12.10.125. logx+6(2x-Vx+6) = 0,5.10.127. x22x+8=2x2+2J10.129. logCOTXsinx=l.10.127. x22x+8=2x2+2J10.129. logCOTXsinx=l.10.131. В каких точках график функции у = V—x+^—V—x+4 пересекается с прямой у— 1?10.131. В каких точках график функции у = V—x+^—V—x+4 пересекается с прямой у— 1?Установить, для каких значений х выполняются равенства (10.114—10.117):
10.114.
10.114.
2 —8x4-12| = х2 —8х+12.
2 —8x4-12| = х2 —8х+12.
10.115.
10.115.
2—10х + 16
2—10х + 16
х2 —10х + 16
х2 —10х + 16
х2—10х+24 х2 —10х + 24
х2—10х+24 х2 —10х + 24
10.116.
10.116.
10.117.
10.117.
х2 —11—х2
lg2 (1 - 9х)+1g (1 - 9х) - 2| = 2 - 1g (1 - 9х) - 1g2 (1 - 9х).
х2 —11—х2
lg2 (1 - 9х)+1g (1 - 9х) - 2| = 2 - 1g (1 - 9х) - 1g2 (1 - 9х).
Решить уравнения (10.118—10.130):
10.118. Jx2-1^==1. к
Решить уравнения (10.118—10.130):
10.118. Jx2-1^==1. к
1 +-=5.
1 +-=5.
10.120.
10.120.
4
VoiTH)2
4
VoiTH)2
4
4
10.122. log3 Oogi (х—4)) = 0.
10.124. log24x—41og4X=12.
10.126. x+lg (l+4x)=lg50.
10.128. cos58 x+ sin40 x=l.
10.130. ctg (sinx)=l.
10.122. log3 Oogi (х—4)) = 0.
10.124. log24x—41og4X=12.
10.126. x+lg (l+4x)=lg50.
10.128. cos58 x+ sin40 x=l.
10.130. ctg (sinx)=l.
>2
>2
10.121. log2log3log4X=0.
10.121. log2log3log4X=0.
10.123. 6log64xlog«x=12.
10.125. logx+6(2x-Vx+6) = 0,5.
10.123. 6log64xlog«x=12.
10.125. logx+6(2x-Vx+6) = 0,5.
10.127. x22x+8=2x2+2J
10.129. logCOTXsinx=l.
10.127. x22x+8=2x2+2J
10.129. logCOTXsinx=l.
10.131. В каких точках график функции у = V—x+^—V—x+4 пересекается с прямой у— 1?
10.131. В каких точках график функции у = V—x+^—V—x+4 пересекается с прямой у— 1?
Решить уравнения и исследовать, при каких значениях параметра они имеют корни (и сколько их) и не имеют корней (10.132—10.137):
Va-6x=x-l.Va-6x=x-l.10.134.10.136.10.134.10.136.^/х—1 =а.^/х—1 =а.^/з—х—-^/з + х=а.^/з—х—-^/з + х=а.0а-2х+х=а.Та^5х=1-х.^/25х+а=3 + 25х.0а-2х+х=а.Та^5х=1-х.^/25х+а=3 + 25х.
Va-6x=x-l.
Va-6x=x-l.
10.134.
10.136.
10.134.
10.136.
^/х—1 =а.
^/х—1 =а.
^/з—х—-^/з + х=а.
^/з—х—-^/з + х=а.
0а-2х+х=а.
Та^5х=1-х.
^/25х+а=3 + 25х.
0а-2х+х=а.
Та^5х=1-х.
^/25х+а=3 + 25х.
При каких значениях" т уравнение 2^/1 —т (х+2) = х+4 имеет один корень?
При каких значениях р>0 уравнение 3^2х+р= 1 +3х имеет два различных действительных корня?
При каких значениях с уравнение ^с (х—1)+4=3—х имеет два различных действительных корня?
При каких значениях к уравнение ^Д (2х+1)+16—х=х—3 не имеет корней?
Доказать, что если алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами имеет целый корень, то свободный член уравнения делится на этот целый корень.
Как вы будете решать уравнение х*—4х3 —10х2 + 37х—14=0, если заранее известно, что многочлен в левой части данного уравнения разлагается на множители второй степени с целыми коэффициентами?
Возможно ли равенство x=log2x?
Доказать, что если квадратное уравнение x1+px+q=0 с целыми коэффициентами р и q имеет рациональные корни, то эти корни — целые числа.
Не решая уравнения ^/3—х+^/х—5 = 10, показать, что множество его корней пусто.
Имеет ли решение уравнение smx=2sm47ocos44°?
Дано уравнение 3sin2x+cos2x=4. Имеет ли оно решение?
При каких значениях а уравнение х2—2х—log3a2 = 0 имеет корни?
Найти произведение корней уравнения zlog53z=25 3Vz*.
Найти натуральное значение к из условия '22-24-2в...2“=0,25"‘28.
Ig5+lg(x2 + l) 10.152. Показать, что график функции у=2 ни в од-
1g (л-2)
ной точке не пересекает ось Ох. 10.153. Определить, при каком значении к график функции y=lgfcx—2 lg (х+1) имеет только одну общую точку с осью абсцисс.
В каких точках график функции у=log3 (V^ + 21 - 7^712)
пересекает ось Ох?
Найти точку пересечения графика функции
у=(3^+1о^«(10+х))1о8«(5~,с)
с осью ординат.
Найти абсциссу той точки графика функции y=log2 logo (г^1 +4),
ордината которой равна единице.
Указать область определения и область значений функции y=log5sinx.
Доказать, что - + ->2, если а/>>0.
6 а
Доказать, что если a+Z> + c= 1, то а2 + А2 + с2> 1/3; а. Ь, с — действительные числа.
Доказать справедливость неравенства */^+^>3V^+^3 (а>0; А>0).
Доказать, что сумма кубов катетов меньше куба гипотенузы.
Доказать, что в любом треугольнике сумма длин трех медиан меньше его периметра и больше полупериметра.
Доказать, что если а, Ь, с — соответственно катеты и гипотенуза, то а + Л^с^Д.
Решить неравенства (10.164—10.184):
10.164. х3 + 4>х2 + 4х.
116
10.165. -+—>—.
X X1 X3
15 16 10.166.<-1.
X1 X4
10.167. x3—2x2—x+2>0.
/Зх—1
10.168. /<1.
V 2-х
10.170. 7х’~4х"2>1/49.
10.172. 1<2х(х+2)<8.
x2+2
10.169.>2.
V? + l
10.171. 0,5(x2+x-2)(3'x)>1.
10.173. logo,5 (2x + 6) > logo,5 (x + 8).
10.174. 21gx<lg2x.
10.175. lg->lg(x+5).
10.176. log2 (1 + 10g! /з х) < 1.
1— I0K4X 1
10.177. —<-.
, l+log2x 2
10.178. х^^ + О.З^^ОДв.
10.180. x2log20,3—2 log20,09>0.
10.179. log1/2log3x>l.
10.181. x"3x'8>x7.
10.182. log2 (x+1) > logx+116.
10.184. log,_3 (x—1)<2.
10.183. logo^ (2х—l)>x—1.
10.185. При каких значениях х выражение logo,) (х2—8) неотрицате
льно?
Найти целые значения х, при которых верно неравенство logs (х+3)2<2.‘
Найти целые значения х, удовлетворяющие неравенств у 0,0007293 <0,Зх1"5х+4<П -.
9
Найти неотрицательные решения неравенства *^/з23х 81 < (2 V°87 50’5
— I
15/
Дгц различных х из области определения функций выяснить, какая из величин больше: 1g х2 или 1g2х.
Каковы возможные значения х, если log, (а2 +1)<0?
Что больше: З400 или 4300?
5а+6
При каком значении а выполняется неравенство> 1?
4—а
1— х8
Для каких значений х равенство (1 + х) (1 +х2) (1 +х )=■
1 — X оказывается верным?
х2 + 1
На графике функции у = 0,8 |хрнайти точку, ордината х+1
которой в 2 раза больше ее абсциссы (сам график строить не обязательно).
При каких значениях х график функции у = 0,7*8 (х 8х+8) расположен не ниже прямой у = 1?
Найти значения х, при которых график функции y=log1/3 (х2 —8х) + 2 расположен не ниже оси абсцисс.
Найти точки пересечения параболы у = х2+1 и кривой у=\3хг—5|.
Дано п<т, где л и т — натуральные числа. В какой последовательности располагаются на числовой прямой точки, изображающие числа 1, л/m, ти/л? Какая из двух последних точек лежит ближе к точке, изображающей число 1?
На числовой оси построить точки, изображающие числа
л
Доказать, что при любом натуральном л выражение —h
6
п1 п
+—+- — натуральное число.
Доказать, что если каждое из двух данных чисел является суммой квадратов двух чисел, то произведение данных чисел может быть представлено в виде суммы квадратов двух чисел.
Показать, что всякое нечетное число можно представить в виде разности квадратов двух целых чисел.
Цифры трехзначного числа записаны в обратном порядке. Показать, что разность между полученным и данным числами делится на 9.
Показать, что сумма квадратов двух нечетных чисел не может быть квадратом целого числа.
Показать, что если арифметический квадратный корень из произведения двух натуральных чисел есть число рациональное, то и квадратный корень из их частного — число рациональное.
Является ли простым или составным число 22001 +1?
Почему при делении на 3 чисел, равных квадрату целого* числа, в остатке никогда не получается 2?
р
Дана правильная несократимая дробь -. Доказать, что из q
ара
равенства - + -= 1 следует, чтонесократимая дробь. q qq
Сумма трех степеней числа 3 с натуральными подряд идущими показателями, из которых меньший не меньше числа 2, делится без остатка на 117. Доказать.
Сколько корней имеет уравнение 0,Зх=х2 —х+1?
Проверить, что для уравнения 2х+х2 — 3 = 0 оба корня больше — V^, причем один точно равен 1.
Показать графически, что уравнение lgx=lg2x не имеет корней.
Показать графически, что уравнение ^A—х2—log3 (|х| — 3) = 0 не имеет корней.
Дано:
f 1, если х — рациональное число;
/(х)=<
[—1, если х — иррациональное число.
Является ли эта функция постоянной, если х — действительное число? А ее квадрат?
Доказать, что система уравнений
{
x-’+y-^S, y-1+z-1 = 3, z-'+r^S
не имеет действительных решений.
Решить системы уравнений (10.216—10.217):
чfx+y-z = 0,
|(х—а) (у—b)=c,I_
{10.217. <x-y+z=2,
1(х-а)/(у-6)=с.(_x+j,+z=4.
При каком значении т система уравнений (2х+(т-1)у=3, ((«+!) х+4у= -3
имеет бесконечное множество решений? Не имеет решений?
Установить, при каких значениях b система уравнений •Г(2А+1)х+у=13,
■{зх+(2А-1)у=15
1) имеет одно решена (найти его); 2) имеет бесконечное множество решений; 3) не имеет решений.
При каких значениях т система
Jx+my=3m,
\тх4-9у=6
имеет решение, которое удовлетворяет неравенствам х^О, у^О?
Доказать, что если кубы двух действительных чисел равны, то равны и сами числа.
Многочлен х4+4 представить в виде произведения двух многочленов второй степени.
Многочлен х8+у8 представить в виде произведения двух многочленов четвертой степени относительно х и у.
Разложить гл множители а*+4Ь*.
При каких значениях х функция у=|х— 1|4-|х— 3| имеет наименьшее значение? Найти это значение.
Найти наименьшее значение функции у=х1 — 6х 4-11.
Найти наибольшее значение функцииу=\+2х—х1.
/iv2-2x
Найти наибольшее значение функции ^=1-1
Указать наименьшее значение функции
10.230.10.231.10.232.10.230.10.231.10.232.y=log2 (х2 —4x4-20).
10.230.
10.231.
10.232.
10.230.
10.231.
10.232.
8 х2
Найти наименьшее значение функции у=—4—. х1 2
х2
Найти наибольшее значение функции у=—..
х*4-25
Построить графики 110.233. у=——.х2—9Построить графики 110.233. у=——.х2—9функций (10.233—10.236):1функций (10.233—10.236):110.234.10.234.х2-5х4-6х2-5х4-6
Построить графики 1
10.233. у=——.
х2—9
Построить графики 1
10.233. у=——.
х2—9
функций (10.233—10.236):
1
функций (10.233—10.236):
1
10.234.
10.234.
х2-5х4-6
х2-5х4-6
14-хх24-5х—6
у=.10.236. у—.
хх—1
Построить график функции
(1/х2 при х#0,
у=<
(2 при х= 0
и показать, что х=2 является точкой минимума данной функции. Кроме того, на этом примере показать, что не обязательно слева от точки минимума находится промежуток убывания функции, а справа — промежуток возрастания: может быть и наоборот.
Показать, что координаты всех точек прямой х4-у=2 удовлетворяют неравенству х1+у1>2, и истолковать этот факт геометрически.
Изобразить в координатной плоскости хОу заданные соотношения между переменными (10.239—10.240):
Зх-4у4-12>0их+^-2<0.
у+3>х2 + 2х и х+у^З..
Указать, какие из следующих функций являются четными, нечетными и какие не являются ни четными, ни нечетными:
a) y=Mn3x+ctg’x; б) y-sin2x+cos3x; в) у=—^7 1+япх
г) y=sin4x+x2 + l; д) y-arcsin|;
е) y=x-^v^; х) И;
з) y=arccos3x; и) y=5arctgx; 3*-1 к) у= —arcctgx; л) у=. 3*+1 .
Доказать, что функция /(x)=lg (х ryl+x2) является нечетной.
Доказать, что произведение четного числа нечетных функций есть функция четная.
Можно ли утверждать, что сумма двух периодических функций есть функция периодическая?
Определить периоды функций (10.245—10.246):
y=15sin212x-H2sin215x.
a) y=cosx+sin-; б) y=sinx+cos -+sin-.
Показать, что sin 495°—sin 795° + sin 1095°=0.
Построить графики функций (10248—10.252):
a) y=sinx; б) y=2sinx; X в) y=sin2x; г) у=sin-.
a) у=cosx; б) у=cos |xj;
в) y=|cosx|; г) y=|cos |х||.
у=—. 10.251. у=!^"",х. 10.252. у=log2 sinх.
COSX Изобразить в координатной плоскости хОу заданные соотношения между переменными х и у (10.253—10.254):
Isinxl
М = |япх|.10.254. [у|=-L
.sinx
Показать, что графиком уравнения sin (х+у)=0 является
бесконечная совокупность равноотстоящих параллельных прямых.
Построить график функции
{
0,5х+1 при х<0, cosxпри0<х<л,
х2 —ЗЯХ+2Я1 при х^я.
' Указать значение!функции в точке разрыва, х 10.257. Построить график функции у=— ял 2х. И
Доказать, что 8 cos 20° cos 40° cos 80° = 1.
При каких значениях а и Д возможно равенство sina+ +sin Д=8Ш (a+Д)?'
При каких значениях т может выполняться равенство cos <р = m2—4m—4я
=, если 0< <в <-?
т2 + 13
2д2 + 2а
При каких значениях а равенство tgp =возможно, а2 —6д + 9
еоди 0<ф<я/4?
1 — sin aa
Чему равна дробь, если ctg -=тл cos a2
Для чисел а и Д, таких, что 0<а+Д<я/2, оказалось, что ctg a и ctgД являются корнями уравнения х2+рх+?=0 (предполагается, что оба корня этого уравнения положительны). Найти а+Д.
Найти sin а, если tga=2 и я<а<Зя/2.
Вычислить sin (а+Д) sin (а—Д),если sin а= —1/3,
cos Д——1/2..
Сколько корней имеет уравнение х3 = ап Зх?
l+2sinx
Равносильны ж уравнения (1+2апх) tgx=0 и=0?
ctgx
Показать, что уравнение sinx+sin2x=2 не имеет решений.
. Показать, что параболау=х2—х + 5,35 не пересекает график функции у=2 sin х+ 3.
(
я\ 2х—-1 х
/2я\
х sin I 2x4— .
X 15/
Чему равно наибольшее значение функции у=ап (sinx)?
Найти наименьшее и наибольшее значения функции у= = 3sin2x+2cos2x.■
1,
При каких значениях х функция у=—— + ctg2 х+1 достигает COS2X
наименьшего значения? Найти это значение.
Каково наибольшее значение функции y = sinx+cosx? При каких значениях х оно достигается?
Из всех четырехугольников с данными диагоналями т и п найти четырехугольник наибольшей площади.
Найти области значений функций (10.276—10.278):
10.276. y=(sinx+cosx)2.10.276. y=(sinx+cosx)2.10.277.10.277.COSX у=.
10.276. y=(sinx+cosx)2.
10.276. y=(sinx+cosx)2.
10.277.
10.277.
XX
cos —sin - 22
у=5sinx—12cosх.
Доказать, что неравенство |sinx+V3cosx|<2 верно для любого действительного значения х.
Возможно ли равенство sin a+cos а=^3?
Существует ли угол, для которого косинус равен:
а) а+-при а^О; б) IgaH(а>0;а^1);-
aIga
/ ^З-Х V*
в) (—рi г) cos40° + cos50°?
XV5-V3/--
3 + ,/х3 —-,/хл
Найти х из условий tga =—-—, tg^=—-—, a + p = -.
8.3. Доказать, что если в треугольнике существует зависимость a b
=, то он равнобедренный.
cos 4 cosS
Доказать, что если отношение косинусов двух углов треугольника равно отношению синусов тех же углов, то треугольник равно бедренный.
Доказать, что для любого треугольника со сторонами а, Ь, с и углами А, В, С, лежащими соответственно против этих сторон, справедливо равенство a (sin В—sin С) 4- b (sin С— sin А) + с (sin А — — sinS)=0.
а—Ь
Доказать, что если в треугольнике =1—2 cos С, то он
a
равнобедренный.
Пусть А, В, С — углы треугольника, причем С — тупой угол. Доказать, что tg^ tgB< 1.
Доказать, что во всяком треугольнике сумма попарных произведений котангенсов всех углов равна единице.
Доказать, что для всякого треугольника со сторонами а, b и с и углами А, В, С его площадь 5 можно определить по формуле
5=- (abc)2*1 ^/sin Л sin В sin С.
Пусть А, В, С — углы треугольника. Показать, что sin A sin В—cos С=cos A cos В.
Знак V заменить одним из знаков <, >, <, > так, чтобы следующие соотношения были верными: а) lg sin a v 0; 6) sin a+ 4-cosa v 1,5; в) ^/sina+^/cosa v 1; r) tga+ctga v 1,9 (a — острый угол).
Показать, что если х= a cos a sin/?, у=а sin a sin/?, z=acos/?, то x2+y2 + z2 = a2.
Вычислить без таблиц Igtg22°+lgtg68°.
Существует ли такой угол, для которого числа 2+V3 и 2—^/5 являются соответственно его тангенсом и котангенсом?
Исключить t из равенств х=10“”', ^=10™'.
Исключить ф из равенств и= 10“” ’, v=10™ *, 0<ф<я/2.
Чему равна сумма чисел а и Д, если tga и tgД являются корнями уравнения 6х2 — 5х+1 =0?
Выразить tg3a через tga.
Доказать, что сумма sin"x + cos”x тождественно равна 1 только при л=2.
Значения функции у=sin x+cos х на отрезке О^х^тг/2 сравнить с единицей для £=0, 1, 2, 3.
Выразить sin 6° через sin 12°.
Определить знак произведения sin 2 • sin 3- sin 5.
Если Iogasin40°+logetg40°+logecos'140°=Z>, то чему равна сумма tocsin 500+logetg500+logecos-150°?
Рассмотрев случаи 0<a< 1 и а> 1, выяснить, существует ли ЧИСЛО Vl°ga tg 40° " 1°& tg 70°.
Найти значения функции / (n) = arcsin (sin л) при л = 1, 2, 3, 4,
6 и 7.
Решить уравнение cos 2х=х2 + 1.
На вступительных экзаменах один из поступающих предложил следующее решение уравнения
sin 2х + 7 cos 2х+7=0:
выразил sin2x и cos2x через tgx и получил уравнение
2tgx [7(l-tg2x)[ 7=о
l+tg2X l+tg2X’
откуда нашел, что tgx = —7 и х=кк— arctg7. Все ли тут хорошо?
Что больше: sin2x или 2sinx?
Для каких точек оси Ох выполняется неравенство: a) sin х < 1 /2; б) |sin х| < 1 /2?
Доказать, что при некоторых ограничениях для а и Д из равенства sin (a+^ = 3sin (а—Д) следует, что tgа=2tgД. Указать требуемые ограничения для а и Д.
Найти такие два числа т и М, чтобы неравенство т < sin a cos a cos 2a < M было верным при любых а и чтобы разность между М и т была наименьшей.
a
Показать, что знаки sm а и tg - совпадают при любом значении а^кк (к — целое).
Найти такие значения а и Ь, при которых функция у= аЛ*Ь -
= (a—b) sin2 x-icos2 х тождественно (для всех значений х) равна 2. 2
С помощью формулы, связывающей sin За и sin а, доказать, что 0,1 < sin 10° <0,2.
Вычислить яп 54°, если известно, что sin 18°= (</5 —1)/4.
Решить уравнение cos (лх2)= —1/2.
Решить уравнение cos ()ц/хН1.
При каких значениях а уравнение 14-sinax=cosx имеет единственное решение?
Решить неравенства (10.319—10.320):
ЯП* >0.10.320. sinxcosx> 1/4.
1 +COSX
Для каких углов первой четверти выполняется неравенство sin a > sin 2a?
10.322.четверти.10.323.10.324.10.322.четверти.10.323.10.324.ЗяЗя33Найти tg I ——2а к если sina=- и а не принадлежит первойНайти tg I ——2а к если sina=- и а не принадлежит первойВычислить sinВычислить sinВычислить sinВычислить sin
10.322.
четверти.
10.323.
10.324.
10.322.
четверти.
10.323.
10.324.
Зя
Зя
3
3
Найти tg I ——2а к если sina=- и а не принадлежит первой
Найти tg I ——2а к если sina=- и а не принадлежит первой
Вычислить sin
Вычислить sin
Вычислить sin
Вычислить sin
Что больше: tgl или arctg 1? я15
Что меньше: - или arctg - + arctg -?
448
я22
Что меньше: -илиarcsin- + arccos-?
433
Построитьострыйугол,тангенс которого в 2 раза больше
его синуса.
Определить z, если известно, что tg a =3Z, tg/?=3 2иа—Д=-.
6
Определить знаки чисел (10.330—10.334):
10.331. logo 31 — (log2 5 — 1) I.\7/10.333. 1g arctg 2.10.331. logo 31 — (log2 5 — 1) I.\7/10.333. 1g arctg 2.10.330. log1-7 (0,5 (1—log73)).
10.331. logo 31 — (log2 5 — 1) I.
\7/
10.333. 1g arctg 2.
10.331. logo 31 — (log2 5 — 1) I.
\7/
10.333. 1g arctg 2.
5—log< 310.332. — —.1о&,34-1о&,33
log^4tgl.
Чему равно основание логарифма, при котором число а равно своему логарифму?
Вычислить без таблиц 1g 32,11 —1g 0,03211.
Вычислить (10.337—10.342):
10.337. 491"10g72+5"‘°g54.
10.338. 0,8 (l-!-^8)108655-
10.339. lg tg 2°+1g tg 4°+lg ctg 2°+1g ctg 4°.
10.340. lg tg 3° ‘ lgtg6°' lgtg 9°...lgtg 87°.
lg tg 1°' lg tg 2° • lg tg 3°...lg tg 89°.
lgtg 1 °+lgtg 2°+lgtg 3° +... + lg tg 89°.
Чему равно произведение log32 1og43 1og54...1og1o9, если известно, что lg 2=0,3010?
Вычислить log236, если log|29 = m.
Определить знак произведения
lg sin 32°1 lg cos 17° • lg tg 40° ■ lg ctg 20°.
Доказать, что log2 5 — иррациональное число.
10.347.10.348.+log*6).10.347.10.348.+log*6).Всегда ли неверно равенство lg (a+Z>)=lga+lgZ>?
10.347.
10.348.
+log*6).
10.347.
10.348.
+log*6).
a+6 1
Доказать, что если a +b —lab, то logt=~ yogta+
Найти ошибку в следующих рассуждениях: ->-;
111
2 log- -> 3 log- -. Сокращая обе части равенства на log, -, получаем 2> 3.
222
Если logj,a=m и log, Ь = п, то чему равен log,cabl
Если среднее арифметическое десятичных логарифмов двух чисел равно q, то чему равно среднее геометрическое кубов самих этих чисел?
Показать, что число ^/12345,67 иррационально.
Уничтожить иррациональность в знаменателе дроби 1
V2 -Ф
Что больше: а) 0,8 1,3 или 0,8 ''4; б) log1/3 0,5 или log3 0,5?
Сколько цифр содержит число 2100?
Вычислить logoi щ.^х, если logo х=&ь loga2x = A2,
logakx=blc; х¥=1.
Катеты прямоугольного треугольника равны log) 9 и log316.
Найти площадь треугольника.
Найти без помощи таблиц с= хЦа~5Ь3, если 1g а = —0,6498, a lgb= 13,9170.
Произведение (22 +1) (22 +1) (22 +1) представить в виде суммы степеней числа 2.
Разделить а128 — 6128 на произведение
la-Vb^ ^-Vb1^ (a4 + b4)...(a64 + b64).
Найти произведение ху, если х+у=а и x*-vy* = b*.
Доказать, что никакое четное число, не кратное четырем, нельзя представить как разность квадратов двух натуральных чисел.
Найти произведение >Ja*-sfa..?x^Ja.
В предположении, что а^Ю” (а и п — целые), доказать, что Iga есть число иррациональное.
2х + 3
Показать, что функция у =совпадает с функцией, обрат- 5х—2
ной данной.
Решить систему неравенств —— < I - )< 1.
V2
Построить график функции y=log2 (sin х cos х).
Что больше: 123% от 456 или 456% от 123? Какое свойство процентов можно сформулировать, обобщая ответ на этот вопрос? Обосновать это свойство.
На некоторый товар были дважды снижены цены — сначала на 15%, а затем еще на 20%. Каков общий процент снижения цены?
Через один первый кран вода равномерно вливается в бак
и заполняет его за 3 ч, а через один второй — за 5 ч. За какое время вода заполнит бак, если открыть оба крана одновременно?,
Через один первый кран вода равномерно вливается в бак и заполняет его за 3 ч, а через второй кран вода равномерно выливается и наполненный бак опорожняется за 5 ч. За какое время вода заполнит порожний бак, если открыть оба крана одновременно?
Найти число х, если числа 1, 7, 13, ..., х составляют такую арифметическую прогрессию, для которой 1 +7+ 13 + ...+х=280.
Существует ли такая арифметическая прогрессия, у которой сумма любого числа ее членов равна: а) квадрату числа членов; б) кубу числа членов?'
Найти все значения х, для которых существует сумма log1^x+(log1/2x)2 + ... + (log1/2x)”+... .
Число членов геометрической прогрессии четно. Сумма всех ее членов в 3 раза больше суммы членов, расположенных на нечетных местах. Определить знаменатель прогрессии.
Найти l+2<+2Zx+...+2fcx..., если к — число натуральное,
Верно ли, что три произвольных рациональных числа а, Ьис всегда можно рассматривать как члены некоторой арифметической прогрессии?
Найти сумму
23.23.8 16 32
2
3.
2
3.
_ _|
3 9 27
Доказать, что последовательность, заданная формулой у„ = 10л + 7 _
=———, убывает.
Установить, является ли заданная последовательность убывающей или возрастающей:
/зу
а) х„ = 3л2 —л; б) х„=л2 —Зл; в) х„=7л—л2; г) y„=lg I - 1 .
Сократить дроби (10.381—10.384): л!Сократить дроби (10.381—10.384): л!10381.10381.10383.10383.(л+ 1)1 —л!(л+ 2) л!(л+ 1)1 —л!(л+ 2) л!10.382.10.382.(л + 1)!(л + 1)!10.384.10.384.(л+2)!+ („ + !)!(л + 2)1 —(л +1)!((п + 2)!+л!) (л+1)(л + 2)! (л2 + 3л + 3)(л+2)!+ („ + !)!(л + 2)1 —(л +1)!((п + 2)!+л!) (л+1)(л + 2)! (л2 + 3л + 3)
Сократить дроби (10.381—10.384): л!
Сократить дроби (10.381—10.384): л!
10381.
10381.
10383.
10383.
(л+ 1)1 —л!
(л+ 2) л!
(л+ 1)1 —л!
(л+ 2) л!
10.382.
10.382.
(л + 1)!
(л + 1)!
10.384.
10.384.
(л+2)!+ („ + !)!
(л + 2)1 —(л +1)!
((п + 2)!+л!) (л+1)
(л + 2)! (л2 + 3л + 3)
(л+2)!+ („ + !)!
(л + 2)1 —(л +1)!
((п + 2)!+л!) (л+1)
(л + 2)! (л2 + 3л + 3)
10.385.10.385.Доказать, что для всякого л е N выполняется неравенство
10.385.
10.385.
1л!1л!111
1л!
1л!
—I1—
1! 2!3!
Как использовать тождество -=для доказате- к— 1 к к—1 к
1111 л-1
льства справедливости неравенства —I1Ь...Ч—-<?
22 З2 42л2 л
Доказать, что если р и q — простые числа, большие 3, то р1 — q 2 делится на 24.
Доказать, что если п — простое число, большее 3, то л2 —1 целое число.
24
Доказать, что п1—п делится на 42, если п — любое целое число.
Доказать, что сумма кубов п нечетных чисел равна л2 (2л2—1) при любом натуральном значении л.
Доказать, что
1 । 1 i a i , ”(” + 1) "(”+1)(”+2)
I 4- 3 4- о 4-... 4-=.
26
Доказать, что
124-224-324-...4-л2 =124-224-324-...4-л2 =п (л4-1) (2л 4-1)6п (л4-1) (2л 4-1)6
124-224-324-...4-л2 =
124-224-324-...4-л2 =
п (л4-1) (2л 4-1)6
п (л4-1) (2л 4-1)6
Доказать, что неравенство 3">л4-2 верно, если л — натуральное число.
Используя метод математической индукции, доказать справедливость неравенства (1 4-а)”^ 14-ла (л—натуральное число, л^2 и а> — 1).
Доказать, что |«] 4- а2| < l«il + |а2|. На основании этого методом математической индукции доказать, что
|a]4-a24-...4-a„|<|ai|4-|a2|4-...4-|an|.
ГЛАВА 11
НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ И ПЕРВООБРАЗНЫХНЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ(а, b — постоянные)
Первообразная F (х)
Функция / (х)
Производная/- (x)
ах
а
0
X
—-. р*-1
х , реК
p-' PX
р+1
а
а
a Ino
Ina
е
е
e
—
1пх
1
1О&.Х
X
1
In |х|
1
x Ina 1
X
X1
.— COSX
sinx
COSX
sinx
COSX
—sinx
tgx
1
ctgx
COS2X
1
11
- F («)=- F(ax + b\ а^О
f^-ftax+b)
sm2x
of ^i=*f (ax+6)
аа
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
1°. Правила дифференцирования (u, v — функции; с — постоянная):
^-си';(П.1)
(u+vy=u'+v';(П.2)
(uv)'=u'v+uv';(11.3)
u’v—w'(1L4)
(g (Z"to))'=g' (/"to)/' to, где g (/"to) — сложная функция. (11.5) 2°. Уравнение касательной к графику функции у=/ to записывается в виде
(11.6)(11.6)У-Уо-Г (зго) (х-х0),
(11.6)
(11.6)
где (xq; ло) — точка касания.
3°. Правила нахождения первообразных:
если F — первообразная для / a G — первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g;
если F — первообразная для /, а ^ — постоянная, то kF есть первообразная для Л/;
если F (х)— первообразная для /(х), a it#0 и 6 — постоянные, то
- F (кх+Ь) есть первообразная для функции / (кх+Ь).
4°. Формула Ньютона—Лейбница имеет вид ь
$/(x)dx=F(b)-F(a).(Ц.7)
5°. Площадь криволинейной трапеции аАВЬ (рис. 11.1), ограниченной осью Ох, прямыми х—а и х=Ь и графиком неотрицательной функции у=/(х) на отрезке [а, 6], находится по формуле
Рис. 11.11
S=U(x)dx.(П.8)
х3—8
Пример 1. Найти lim.
*-2 2х—4
х3—8
□ Функция/to="—~ в точке х=2 не определена. Разложив числитель на
множители по формуле (1.14), представим эту функцию в виде
/to/to(х—2) (х3 + 2х + 4)
/to
/to
2 (х—2)"
В области определения функции /(х) выражение х— 2# О, поэтому дробь можно сократить на х - 2. Тогда, получим
х2+2х+4Um /(x)=lim=/(2)=6. ■
х->2х-»22
^х'-Ч-З
Пример X Найти lim1—
х^ х—4
V*2-7-3
□ Функция /(х)=в точке х=4 не определена. Умножив числи-
х—4
тель и знаменатель на ^х3—7+Зэ^О и используя формулу (1.8), преобразуем дробь:
х2-7-9х2-7-9lim /(x) = lim —:
х2-7-9
х2-7-9
x-4x-4 (x-4) (Vx 2 - 7 + 3)
..(x-4) (x+4)
— lim■.= um
x-4 (x-4)(Vx2-7 + 3) x-4
x+44==-=/(4)--. ■;-2 —74-33x+44==-=/(4)--. ■;-2 —74-33x2 + 4
x+44
==-=/(4)--. ■
;-2 —74-33
x+44
==-=/(4)--. ■
;-2 —74-33
Пример 3. Составить уравнение касательной к графику функции/(х) = х-2
в точке его пересечения с осью ординат.
Согласно формуле (11.6), уравнение касательной записывается в виде У—Уа—Г (x<s) (х—х0), где (xq; Уо) — точка касания. Абсцисса х0 точки пересечения
графика с осью Оу равна 0, а ордината у<4 -f (0) = — 2; значит, (0; — 2)—
Г(х) =Г(х) =2х(х-2)-(х2 + 4)1(х—З)22х(х-2)-(х2 + 4)1(х—З)2х2-4х—4х2-4х—4точка касания. Далее, используя формулу (11.4) и таблицу производных, получим
Г(х) =
Г(х) =
2х(х-2)-(х2 + 4)1(х—З)2
2х(х-2)-(х2 + 4)1(х—З)2
х2-4х—4
х2-4х—4
откуда /'(0)=—1. Итак, искомое уравнение касательной имеет вид у—(—2)= — 1 (х—0) или у=—х-2. ■
Премер 4. Найти промежутки возрастания и убывания и точки экстремума (х-2)2 функции / (х) =-—.
X2
Область определения функции — вся числовая ось, кроме точки х=0. Используя формулу (11.4) и таблицу производных, находим
2 (х —2) х2 —(х —2)2 2х 4 (х-2)
f (х) = 0 только при х = 2. Составим таблицу:
Интервал
(-00,0)
(0, 2)
2
(2, оо)
Г to
4*
—
0
+
fto
Z
min
z
Следовательно, х=2 — точка минимума; функция возрастает на (— оо, 0) и на (2, оо), убывает на (0, 2). ■
Пример 5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции y=/(x) = 2sinx + sin2x на отрезке [0, Зя/2].
Сначала найдем значения / (х) на концах данного отрезка: /(0)=0, /(Зя/2) = —2, а затем критические точки, принадлежащие этому отрезку. Имеем Зх х f (x) = 2cosx+2cos2x; f (х)=0, если cosx+cos2x=0, откуда 2cos —- cos-=0.
ЗхЗх яя 2
Из уравнения cos— =0 находим — =- + ял, т. е. х=-Н— ял, а из уравнения 22 23 3
XX я
cos-=0 получим -=~ + ял, т. е. х=я + 2ял, neZ. Второе решение является 22 2
я 2 частью первого, следовательно,- решение уравнения имеет вид х=-Н— ял, пеХ.
3 3
Отрезку [0, Зя/2] принадлежат точки Х1=я/3 и Х2=я. Находим значения /(х)
в критических точках:/ (я/3)=3^3/2, / (л)=0. Сравнивая между собой числа/ (0), /(Зя/2),/(я/3),/(я), заключаем, что Улаим = -2, Утиб=3^3/2. ■
Пример 6. В арифметической прогрессии шестой член равен 3, а разность прогрессии больше 0,5. При каком значении разности этой прогрессии произведение первого, четвертого и пятого ее членов является наибольшим?
□ Согласно условию, aj=ai+5^=3, откуда <^ = 3—5d. Обозначим произведение 010405 через у. Тогда получим у=<ц (ai+3d)(av^4d)= — 10d3 + 51d2— —7М+27. Для отыскания значения d, при котором функция у принимает наибольшее значение, сначала найдем производную y' = —30d2 +102^—72= = — 6 (5d2 —17</+12), а затем, решив уравнение Sd1 —17^+12=0, найдем ее корни </1 — 1; </2 = 2,4. Так как по условию </>0,5, то исследуем поведение функции у на интервале (0,5; оо). Составим таблицу:
Интервал изменения d
(0,5; 1)
1
О; 2,4)
2,4
(2,4; оо)
У'
—
0
+
0
—
У
min
Z
max
На интервале (0,5; оо) имеется только одна точка максимума функции у, а именно </=2,4. Это значит, что на интервале (0,5; оо) функция у достигает наибольшего значения при </=2,4. ■
Пример 7. Площадь поверхности сферы равна 27л. Какова высота цилиндра наибольшего объема, вписанного в эту сферу?
□ Пусть цилиндр образован вращением прямоугольника A BCD вокруг диаметра MN (рис. 11.2). Полагая AD—x, выразим объем V цилиндра как функцию от х. Имеем 5сфсры = 4лО.В2, т. е. 4я(?и2=27я, откуда ОВ1=П!4. Далее, из LAOB получим
,,,, 27 х1 27-х2
АВ2 = ОВ2 — ОА2, т. е. АВ1 =«———=—-—. Используя формулу объема цилиндра, находим
27 —х3я
У (х) = пАВ2 АП=кх=- (27х-х3).
44.
Рис. 11.2_
По смыслу задачи, 0<х<2ОД т. е. 0<х<Зх/з. Имеем V' {х)—~ (27—Зх2)= 4
3
=- я (9—х2); У" (х) = 0, если 9—х2=0. Отсюда находим х=3 (так как х>0). Если 4_
0<х<3, то И'(х)>0, а если 3<х<3х/з, то У' (х)<0. Следовательно, х=3— точка максимума. Поскольку функция И (х) определена для любого х и на всей числовой прямой имеет одну критическую точку, заключаем, что при х=3 функция V (х) достигает наибольшего значения. ■
Г 3
Пример 8. Для функции /(x) = 2sin5x+Vх+~ найти первообразную F (х)
при условии, что графики функций f(x) и F (х) пересекаются в точке, лежащей на оси Оу.
□ Так как для функции sinx одной из первообразных является —cosx, то, „2
согласно правилам п. 3 °, первообразная функции 2sin5x есть — со$5х. Далее,
г 32,-3
первообразная функции Vх +~ есть ~ x^jxA— х. Тогда для /(х) первообразной
22,-3
функцией является Г (х) = — - cos 5х-I— х^х+~ х+С при произвольном значе
нии постоянной С. Необходимо найти такое значение С, при котором графики функций F (х) я f (х) пересекаются в точке, лежащей на оси Оу. Это значит, что 2
при х=0 должно быть выполнено равенство F (0)=/(0). Но Г(0)=-- + С,
323
а/(0)=~; следовательно, —- + С=-, откУда С=1. Итак, искомая первообразная
■22-3
имеет вид F(х) = —cos5x+- x^/x-l—х + 1. ■
Пример 9. Найти площадь замкнутой фигуры, ограниченной графиками фун
кций у = — х3, у=- Vх и у=8.
□ Графики заданных функций изображены на рис. 11.3. Требуется найти площадь 5 фигуры ОАВ (на рисунке она заштрихована).
Очевидно, что искомая площадь равна разности между площадью прямоугольника Л BCD и площадями 5] и Si двух криволинейных треугольников OAD и ОВС. Найдем координаты точекА и В. Решив системы уравнений
г 8Г
_О=~Vх,
[у=-х3,I 3
<и <, получим А (—2; 8)
1у = 8[у = 8
и В (9; 8). Далее, имеем С (9; 0), Р(—2; 0), Ф=11, ВС=8, откуда 8двсп= 1Г 8 = 88. Площади криволинейных треугольников ОАО и ОВС находим с помощью интеграла по формуле (11.8):
5,=5,=99о8=4, S2=--23о8=4, S2=--239 =48.о9 =48.о00о
5,=
5,=
9
9
о8
=4, S2=-
-23
о8
=4, S2=-
-23
9 =48.
о
9 =48.
о
0
0
-2
Итак, 5=5^дсд—51-52 = 88-4—48 = 36 (кв. ед.). ■
Вычислить (11.001—11.010):
11.001.
х3 + 8
Ига .
ж_-2 X2—4
11.002.
4х2-8х + 3 lira —-. х_о,5 2х2-7х+3
11.003.
х3+х2—X—1 lira —.
х_-1 х3+х2+х+1
11.004.
5х3—2х2 + 5х—2 hm —•.
х-,2/5 5х4—2х3 —5х2 + 2х
11.005.
х + ^х—6 lira=—.
х-*4 х —sVx+6
11.006.
Vl+3x4-Vl-2x lim 2 „ 3 • х_о х+х2 + 2х3
11.007.
Vх-1 1im —== .
*-1 Vx2+2 Vх-3
11.008.
l-^ + l lim.
х-0X
11.009. lim —=—.
x-*l x/Ax +1 — 3
V2x + 3 — 1
11.010. hm.
V5+x~2
Вычислить пределы и подтвердить или отвергнуть данные утверждения (11.011—11.018):
х2 + х—12х4-16
11.011. hm= 5 + hm-.
х^з Зх—9х_2 8-х3
Vx24-3 + 2x
2x2 —5x—3
11.012. lim >
- lim
—
X_-1x+1
x--0,5
4x2—18x—10
.. J^+xA-x^-X
x‘
-2x2 + l
11.013. lim
<lim —
x-0X
x-*l
X2-]
V3x-5-l Vx + 1-l л 11.014. limlim<cos —.
Х-.2 х 2х-*0 хЮ
х3—15—х
.015. hm —>hm—=.
х-и х2+5х—6 .-.sjs-jx
х3 + Зх2—4х—3
.016. lim hm —■ ———<0.
х_1х2—1 х^з 3^х2 —1—2
х—1 9х3 + 9х2 —х—1 х-»о 2^/х + х х3 —82*+2 —16 .
.018. limlim= 1-
Х_2х(х -4)х_2 4*_2*
Найти производные функций (11.019—11.033):
.019. у=3 3<^ + 2x3 Vх*—v х3
.020. а) у = (х4-х2 + 1)3;
10-хб) y=lg —-• х + 2б) y=(sin2x+1) е\б) y=ln V^^T-б) y=3Vx (1 —хУ-б) y=tg2x—ctg2x.10-хб) y=lg —-• х + 2б) y=(sin2x+1) е\б) y=ln V^^T-б) y=3Vx (1 —хУ-б) y=tg2x—ctg2x.б) y=x+sinx cosx.Xб) y=sin -.б) y=x+sinx cosx.Xб) y=sin -.1 —cos2x
10-х
б) y=lg —-• х + 2
б) y=(sin2x+1) е\
б) y=ln V^^T-
б) y=3Vx (1 —хУ-
б) y=tg2x—ctg2x.
10-х
б) y=lg —-• х + 2
б) y=(sin2x+1) е\
б) y=ln V^^T-
б) y=3Vx (1 —хУ-
б) y=tg2x—ctg2x.
б) y=x+sinx cosx.
X
б) y=sin -.
б) y=x+sinx cosx.
X
б) y=sin -.
.021. а) у=,
1 +cos2x
.022. а) у= V4x3-7x2+l;
.023. a) y=Vx2-l (*4-1);
.024. a) y=Z-5xl;
.025. а) у=(х+1) 3V^2;
, 1
.026. a) y=x2cos-;
х
.027. a) y=cos23x;
6) j=^ tg3x.6) j=^ tg3x.V(l+x2)36) y=—.x3„V^-x16) y=■ . X6) j=sin2x tgx. я 36) y = sinIn10 xV(l+x2)36) y=—.x3„V^-x16) y=■ . X6) j=sin2x tgx. я 36) y = sinIn10 x11.043./(x) =11.043./(x) =V^+i+iV^+i+i; f (0)=?; f (0)=?
6) j=^ tg3x.
6) j=^ tg3x.
V(l+x2)3
6) y=—.
x3
„V^-x1
6) y=■ . X
6) j=sin2x tgx. я 3
6) y = sinIn
10 x
V(l+x2)3
6) y=—.
x3
„V^-x1
6) y=■ . X
6) j=sin2x tgx. я 3
6) y = sinIn
10 x
11.043./(x) =
11.043./(x) =
V^+i+i
V^+i+i
; f (0)=?
; f (0)=?
.028. a) y=tg (sinx);
11.029. уЦ (x3-V(x2-l)3)-x.
.030. a) y = -;
4x
.031. a) y= .. . .;
y/x1—2
.032. a) j = (x3 + l) cos2x;
.033. a) y=x V3x2+1;
.034. Решить уравнение f'(x)— /(x) = 0, если/(x) = x3 Inx. x
x3-t
.035. Решить неравенство f (x)<g' (x), если /(x) =
x
g (x) = 5x + -.
X
.036. Решить неравенство /' (x) + <p' (x)<0, если /(x) = 2x3 + 12x2, <p (x) = 9x2 + 72x.
.037. Решить уравнение 1 + 5/(x) + 6/' (x) = 0, если / (x) =.
1 — X
Вычислить значения производных заданных функций при указанных значениях независимой переменной (11.038—11.059):
11.038. /(х) = <х2 + 3+—; /' (1) = ?
х+1
х2 —2
11.039./(х)=—;/'(2)=?
х +2 ■ х 3 11.040./(х) =-—;/'(3)=?
3 х
21
11.041. /(х)=х---—; /' (-1) = ? Зх3
11.042.f (i)=?
7x2+3 ^+1
11.044. / (x) = sin 4x cos 4x; /' (я/3) = ?
11.045. /(x) = sin2x2; /' (0)=?
cosx
11.046. /(x)=—7-; /' (я/2)=?
1+smx
11.047. / (x)=sin*x—cos*x; /' (л/12)=?
1 +sJx—1
11.048. /(x)=-; f ф^Ч
V*-i
11.049. /(x)—5 (x+1)2 sVx^T; /' (2)=?
11.050. /(x)=V^2-i+3Vx;/' 0)=?
11.051. /(x)=^ sinx tg2x; /' (я/2)=?
11.052./(х)=/-Ц;/'(0)=?
V 1+x3
11.053. /(X)=I—;/' (0) = ?
2-2
.054. /(x) = sin3 -;f №) = •?
2
.055. /(x)=2*~Zt,~1;/' №)=?
.056.(0) = ?
x—1
.057. /(x) = (x2-x) cos2x;/' (0) = ?
sin2x
.058. /(x)=——;f (*)-?
Vх
.059. /(x)=^;/' (я/2) = ? япх
.060. Найти вторую производную функции /(х) и вычислить ее значение при указанном значении х:
/(x) = x3lnx + cos2x;/” (1)=?/" (я) = ?
) /(x) = sin ^+х 1пх2;/" (3)=? Г №) = 1
.061. Выяснить знак производной функции у=х/4х+9 (х2—16) в точке х=0.
.062. Дана функция /(х)=4^х^- Как изменяется ее производная с возрастанием х от 1/16 до 81?,
.063. Дана функция/(х)=2cos2 (4х—1). Найти область значений /' to-
х+3
.064. Доказать, что функция /(х)=убывает на всех интерва- х—5
лах области определения.
.065. Дана функция/(x)=xlnx—х. Как изменяется ее производная с возрастанием х от 1 до 9?
.066. Найти область определения функции/(х)=>А+Зх—х2 и область определения ее производной.
.067. Дано: /(х)—-Vx^+T и к(х)=хе х. Показать, что /'(2) 2
является корнем уравнения g* (х) = 0.
.068. Функция задана формулой f(x)=e“ +4х+1. Найти значения постоянных а и Ь, если/(1)=/ (0)=/' (0).
.069. Функция задана формулой/(х) = 5 sin х+ 3 cosx. Решить уравнение /' (0) = /' (х).
.070. Функция задана формулой f(x)=e х (х2 + 3х+1). Решить уравнение /' (х) = 2/(х).
.071. Построить раздельно графики функций /(х) = х, <р (х) = |х| и g (х) = х |х| в окрестности точки х=0. Несмотря на то что / (х) дифференцируема при х=0, а <р (х) — нет, их произведение g (х) = х |х| имеет производную в точке х=0.
Обосновать правильность этих утверждений и найти g' (0).
.072. Доказать, что функция /(x)=x + sinx не убывает в каждой точке оси Ох.
.073. Показать, что при любых значениях постоянных р и q (p^q) функция, заданная формулой
fpcosx+^sinx при х>0,
(рх+ 9+1при х<0,
не дифференцируема в точке х=0.
.(174. Дана функция /(х) = 0,5 (х2—cosx). Пользуясь соображениями непрерывности, выяснить, имеют ли уравнения /(х) = 7,8 и f (х) = = 7,8 хотя бы по одному корню на промежутке [2л, Зл].
.075. Найти все значения постоянной а, при которых производная функции, заданной формулой у~е , принимает только положительные значения на всей области определения данной функции.
.076. Найти сумму х+х2+...х”, а затем сумму 1 + 2х + Зх2+... Я—1
... + пх .
sinx
.077. Функция задана формулой f(xY—. Показать, что
хН— I
3/
эта функция возрастает в любой точке, принадлежащей ее области определения.
.078. Функция задана формулой у=^/ах3 —6х2 + 3х. Найти все значения постоянной величины а, при которых данная функция определена и монотонно возрастает при всех х>0.
.079. Показать, что функция у=х3 + 4х возрастает на всей числовой оси.
.080. При каком значении р функция /(x)=cosx— px + q убывает на всей числовой оси?
.081. Доказать, что функция y = 2x + sinx возрастает на всей числовой оси.
возрастает на всей чис-возрастает на всей чис-1
возрастает на всей чис-
возрастает на всей чис-
.082. Доказать, что функция у=хА
1 ловой оси.
Найти промежутки возрастания и убывания функций (11.083—11.087):
.083. у=>/з sin х—cos х.
1
.084. у=. х2+х+1
.085./(х)=-х(х-3)2. 124
.086./(х)=-+———.
XX X3 •
.087. /(х) = (2,-1) (2х—4)2.
.088. Найти промежутки возрастания и убывания функции 1■
/(х) = хЧ— и установить, в какой из точек xi=log54, X2 = log53 заданная X'
функция принимает большее значение.
.089. Найти промежутки возрастания и убывания функции 1+х
/(х) =—— и установить, в какой из точек Х\ = е или хг=е функция принимает большее значение.
Найти наименьшее и наибольшее значения функций на заданных промежутках (11.090—11.108):
.090. у=х3-Зх2 + Зх + 2; [-2, 2].
.091. /(х) = Зх4 + 4х3 + 1; [-2, 1].
.092. у=х5-х3 + х+2; [-1, 1]. х 3
.093. у=-+-; [-5, -1].
3 х х 2 11.094. у=-+-; [1, 6].
8 х
л■; о, - .,2л■; о, - .,2sin2x
л
■; о, - .
,2
л
■; о, - .
,2
.095. /(х) = /л
sin [ - + . \4
.096. /(x)=cos2 - sinx; [0, я].
.097. у (х) =...1-; а) [-3, 3]; б) [2^/5, 8].
Ух2+ 16
.098. /(x)=x + cos2x; [0, я/2].
.099. /(x)=tgx+ctg2x; [я/6, я/3].
1
.100. /(х)=- cos 2х+sinx; [0, я/2].
х11,
.101. /(х)=sin2x+-cos3 х—cos х;[—я/2, я/2].
243
.102. /(х)=cos2х+sinx; а) [0, я/4]; б) [я/3, я].-
.103. f^1 a) [3/4, 2]; б) [3/2, 3].
V 2x—18
.104. f(x) = x+-; a) [-2, -1]; б) [1, 3]. x
.105. f(x) = (5-x) 2”x; a) [-1, 0]; 6) [5, 6].
.106./(x) = 2v ; a) [-8, -1]; 6) [-1, 1].,
.107. y=3 3VU^iy + x; a) [-7, 0]; б) [1, 2].
.108. /(x) = 2x2—Inx; [1, eY
.109. Найти наибольшее значение функции/ (х) — cos х^/sin х в промежутке [0, я/2].
.110. Найти наименьшее значение функции
/2+cosx\2
\ sm х /
в промежутке (0, л).
.111. Найти наименьшее значение функции
11
j+——
в промежутке [0, 1), п — число натуральное.
.112. Число 18 разбить на такие два слагаемых, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
.113. Число 180 разбить на три положительных слагаемых так, чтобы два из них относились как 1:2, а произведение трех слагаемых было наибольшим.
.114. Найти число, которое превышало бы свой квадрат на максимальное значение.
.115. Требуется огородить забором прямоугольный участок земли площадью 294 м2 и разделить затем этот участок забором на две равные части. При каких линейных размерах участка длина всего забора будет наименьшей?
.116. Прямоугольный лист жести имеет линейные размеры 5x8 дм. В четырех его углах вырезают одинаковые квадраты и делают открытую коробку, загибая края под прямым углом. Какова наибольшая вместимость полученной коробки?
.117. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 24 см и углом 60° вписан прямоугольник, основание которого лежит на гипотенузе. Каковы должны быть длины сторон прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
.118. Две стороны параллелограмма лежат на сторонах данного треугольника, а одна из его вершин принадлежит третьей стороне. При каких условиях площадь параллелограмма является наибольшей?
.119. Среди равнобедренных треугольников с данной боковой стороной а указать треугольник наибольшей площади. -
.120. Боковые стороны и меньшее основание трапеции имеют одинаковые длины — по 50 см. Найти размер ее большего основания, при котором площадь трапеции была бы наибольшей.
.121. Найти длины сторон прямоугольника наибольшей площади, вписанного в прямоугольный треугольник со сторонами 18, 24, 30 см и имеющего с ним общий прямой угол.
.122. Определить длины сторон прямоугольника наибольшей площади, вписанного в прямоугольную трапецию с длинами оснований 24 и 8 см и длиной высоты 12 см. (Две вершины прямоугольника лежат на боковых сторонах трапеции, а две другие — на ее большем основании.)
.123. Из пункта А на прогулку вышел пешеход со скоростью v км/ч. После того как он отошел от Л на 6 км, из А следом за ним выехал велосипедист, скорость которого была на 9 км/ч больше скорости пешехода. Когда велосипедист догнал пешехода, они повернули назад и возвратились вместе в Л со скоростью 4 км/ч. При каком значении v время прогулки пешехода окажется наименьшим?
.124. В равнобедренный треугольник с длинами сторон 15, 15 и 18 см вписан параллелограмм наибольшей площади так, что угол при основании у них общий. Найти длины сторон параллелограмма.
.125. В какой круг можно вписать прямоугольник наибольшей площади с периметром, равным 56 см?
.126. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию. Каков должен быть угол при большем основании, чтобы площадь трапеции была наибольшей?
.127. Величина угла при вершине А трапеции ABCD равна а. Длина боковой стороны АВ вдвое больше длины меньшего основания ВС. При каком значении а величина угла ВАС окажется наибольшей? Чему равно это наибольшее значение?
.128. Найти косинус угла при вершине равнобедренного треугольника, имеющего наибольшую площадь при данной постоянной длине медианы, проведенной к его боковой стороне.
.129. Величина угла при основании равнобедренного треугольника равна а. При каком значении а отношение длин радиусов вписанной и описанной окружностей является наибольшим? Чему равно это отношение?
.130. Какие размеры нужно придать радиусу основания и высоте открытого цилиндрического бака, чтобы при данном объеме К на его изготовление пошло наименьшее количество листового металла?
.131. Боковая грань правильной четырехугольной пирамиды имеет постоянную заданную площадь и наклонена к плоскости основания под углом а. При каком значении а объем пирамиды является наибольшим?
.132. В правильную четырехугольную пирамиду с ребром основания а и высотой Н вписана правильная четырехугольная призма так, что ее нижнее основание лежит в основании пирамиды, а вершины верхнего основания -- на боковых ребрах. Найти длину ребра основания и длину высоты призмы, имеющей наибольшую боковую поверхность.
.133. Боксвое ребро правильной треугольной пирамиды имеет постоянную заданную длину и составляет с плоскостью основания угол а. При каком значении а объем пирамиды является наибольшим?
.134. В правильной треугольной пирамиде боковая грань имеет заданную постоянную площадь и составляет с плоскостью основания угол а. При каком значении а расстояние от центра основания пирамиды до ее боковой грани является наибольшим?
.135. В конус с заданным постоянным объемом вписана пирамида; в ее основании лежит равнобедренный треугольник, у которого величина угла при вершине равна а. При каком значении а объем пирамиды является наибольшим?
.136. Образующая конуса имеет постоянную длину и составляет с высотой конуса угол а. В конус вписана правильная шестиугольная призма с равными длинами ребер (основание призмы лежит в плоскости основания конуса). При каком значении а боковая поверхность призмы является наибольшей?
.137. Переменная у обратно пропорциональна переменной х. Найти коэффициент к обратной пропорциональности и заполнить таблицу:
X
0,1
9,6
У
30
3,05
На графике заданной обратной пропорциональности найти точку, ближайшую к началу координат О (0; 0).
.138. Известно, что мощность Р, отдаваемая электрическим эле-
Е2 R
ментом, определяется по формуле Р=, где Е — постоянная элект-
(г+Я)2
родвижущая сила элемента, г — постоянное внутреннее сопротивление, R — внешнее сопротивление. Каким должно быть внешнее сопротивление R, чтобы мощность Р была наибольшей?
.139. Дана функция у=х* — 6х2 +1. Найти наибольшее и наименьшее значения производной на промежутке [—1, 3].
.140. Составить уравнение касательной к графику функции у = х (In х—1) в точке хд = е.
.141. Составить уравнение касательной к графику функции у=tg Зх в точке х0=л/3.
.142. Под каким углом к оси Ох наклонена касательная к графику функции g (х) = х21пх в точке х0= 1?
.143. Составить уравнение касательной к графику функции у = х3 + 1
=в точке его пересечения с осью абсцисс.
.144. На графике функции у=х (х—4)3 найти точки, в которых касательные параллельны оси абсцисс.
.145. Показать, что касательные, проведенные к графику функции х—4
у=в точках его пересечения с осями координат, параллельны, х—2
1
.146. Определить, под каким углом синусоида у=—= sin Зх пересе- V3
кает ось абсцисс в начале координат.
.147. Показать, что на графике функции j=x3 + x2 + x+1 нет точек, в которых касательные параллельны оси абсцисс^.
.148. В каких точках касательные к кривой у—х2 —х+1 парал
33лельны прямой у = 2х — 1?
3
3
.149. В каких точках касательная к графику функции /(х)=у 5х2
——+ 7х—4 образует с осью Ох угол 45°?
.150. Под каким углом к оси Ох наклонена касательная, проведенная к кривой у = 2х3 — х в точке ее пересечения с осью Оу?
.151. Под каким углом к оси Ох наклонена касательная, проведенная к кривой у=х3 —х —7х+6 в точке Мо (2; —4)?
33
.152. Известно, что прямая у=— х—— является касательной к линии, заданной уравнением у=0,5х4 —х. Найти координаты точек касания.
.153. Составить уравнение касательной к графику функции у=х2е *вточкех=1.
.154. Составить уравнения касательных к кривым у=2х2 —5 и у=х2 — Зх+5, проведенных через точки пересечения этих кривых.
.155. Найти угол, который образует с осью ординат касательная 2,1,
к кривой у=- х х , проведенная в точке с абсциссой х=1.
.156. Составить уравнения касательных к кривой у=х2 — 4х+3, проходящих через точку М (2; —5). Сделать чертеж.
.157. Составить уравнение касательной к графику функции у= = 1п (2е—х) в точке х=е.
.158. Составить уравнение касательной к графику функции /(х) = = 2 —4х—Зх2 в точке х •• — 2.
.159. В каких точках угловой коэффициент касательной к графику функции у = 2х3 — 2х 2 + х — 1 ра вен 3?
11.160. В каких точках ха11.160. В каких точках ха-. к графику функции у —об- х —2-. к графику функции у —об- х —2разует с осью Ох угол 135е?11.161. Дана функция/(х)разует с осью Ох угол 135е?11.161. Дана функция/(х)4х— ). Требуется:4х— ). Требуется:
11.160. В каких точках ха
11.160. В каких точках ха
-. к графику функции у —об- х —2
-. к графику функции у —об- х —2
разует с осью Ох угол 135е?
11.161. Дана функция/(х)
разует с осью Ох угол 135е?
11.161. Дана функция/(х)
4х— ). Требуется:
4х— ). Требуется:
а) составить уравнениеа) составить уравнениекасательной к i рафику данной функции
а) составить уравнение
а) составить уравнение
в точке с абсциссой х = л/6 (окончательные числовые значения округлять до второго десятичного знака);
установить, в каких точках промежутка 0^х<я касательная к графику данной функции составляет с осью Ох угол 60°.
2/тЛ
Дана функция / (х) = - cos I Зх— !. Требуется найти:
3\6/
угол, образованный с осью Ох касательной к 1рафику данной функции в точке с абсциссой х —л/З;
точки минимума на промежутке [0, я].
В точке пересечения графиков функций у = §1у[х и у=12х — 2х проведена касательная к каждому графику. Наити разность углов, образованных этими касательными с положительным направлением оси Ох.
В точке М (1; 8) к кривой у=
ная. Найти длину ее отрезка, заключенного между осями координат. '
Найти площадь треугольника, образованного биссектрисами
координатных углов и касательной к кривой у=ух2 — 5 в точке М (3; 2).
К гиперболе у = Цх проведены касательные: одна — в точке
М (2; 2), а другие — параллельно прямой у=—4х. Найти площади треугольников, образованных каждой из этих касательных с осями координат.
Отрезок произвольной касательной к кривой у=х\ заключенный между точкой касания и осью Ох, спроецирован на ось Ох. Показать, что эта проекция вдвое больше проекции аналогичного отрезка касательной к кривой у=х* с той же абсциссой точки касания.
В произвольной точке кривой у=у/1х—х1 проведена касательная. Показать, что длина отрезка касательной от точки касания до пересечения с осью Оу равна ординате точки пересечения.
Найти точки экстремума функций (11.169—11.172):
х1пх+2
у=—.11.170. у=.
taxх
у = х2е~х.11.172. у = х3е"х.
Найти экстремум функции у = х2 —In (1 +2х).
Найти точки экстремума функции у=е х—е 1х и угол между осью Ох и касательной к графику данной функции в точке с абсциссой х = 0.
Найти точки экстремума функции у=е %sinx и угол между осью Ох и касательной к графику данной функции в точке с абсциссой х=0.
Найти точки экстремума функции у = х—In (1 + х) и точку на графике данной функции, в которой касательная к графику параллельна прямой, проходящей через точки А (2; 3) и В (— 1; 4).
3
Найти экстремумы функции у=х3 + - и составить уравнение
X касательной к графику в точке с абсциссой х= — 2.
Дана функция у= —х+—8х2 + 9. Найти ее экстремумы и ординаты точек пересечения с графиком функции у = — 9х2 + 9.
Найти экстремумы функций и указать промежутки их возрастания и убывания (11.179—11.183):
у = е~х-е~1х.11.180. у=х2е’х.
у=е *sinx, если 0<х<л.
у = х + 1п (1-2х).11.183.
Ос-5)2
Найти промежутки возрастания и убывания функции и точки экстремума (11.184—11.201):
X-5
у=—.
х2 + 1
у=х2+~.
X
X2 —1
у —.
х2 + 1
11.185. у= (х-2)2
11.187. у = х+—.
на». х2+4
11.192.
х+24
У—.11.193. у--.
х2—9х2—2x4-2
11.194.
1 —хЗх
у--.11.195. у=—.
(х—2)3х2+4х + 4
11.196.
х24-2хх—1
у=.11.197. у=.
х —1х2-2х + 2
11.198.
2хх2
у=--.11.199. У=~.
х2+х + 1X3 —1
11.200.
(х-3)2■1
У=——-.11.201. у=.
х2(х—1)(х—4)
Найти экстремумы функций, указать промежутки их возрастания и убывания, а также начертить эскизы графиков функций (11.202—11.211):
11.202.
у=2х3 + Зх2-1.
11.203.
у=0,5х4—4х2.
11.204.
у=х*— 10х2 + 9.
11.205.
х3 X2 у=—2x4-3.
32
11.206.
у=х3 — Зх2 + 2.
11.207.
у=2х3 —15х24-36х.
11.208.
у=8 + 2х2—х4.
11.209.
х4, 9
у=2х2—.
44
11.210.
1 _-
у—- х3—4х . 5
11.211.
2 ^1+х2'
Точка движется прямолинейно по закону 5 (0= v,2‘ Показать, что ее ускорение обратно пропорционально квадрату пройденного раССТОЯНИЯ.
В задачах 11.213—11.218 указан закон прямолинейного движения 5 (z); s и Z выражаются соответственно в метрах и секундах.
4:4-3
»(z) =. Найти скорость в момент z=9.
(+4
5 (z)=2r3 —Зг + 4. Найти скорость и ускорение в момент z = 2.
»(z)=0,5/4 —5z3 + 12z2 —1. В какие моменты времени ускорение движения тела равно нулю?
j (z) = 8 —2z+24zz— 0,3z5. В какой момент времени тело имеет наибольшую скорость? Найти эту скорость.
Движения двух материальных точек вдоль одной прямой заданы уравнениями 5i = 4z2 + 2, s2=3z2 + 4z—1. Найти скорость движения точек в те моменты, когда пройденные расстояния равны.
Прямолинейные движения двух материальных точек заданы уравнениями Sj=2z3 —5z2 —3z, »2=2Z—3Z2 —11Z4-7. Найти ускорения
точек в тот момент, когда скорости их равны.
Две точки движутся по оси Ох. Координата xv первой точки определяется формулой xl = 3z2 —5, координата х2 второй точки — формулой x2=3z2 —Z+1 (хь х2 — в метрах, Z —в секундах). Найти скорости движения точек в тот момент, когда координаты точек равны.
Тело, выпущенное вертикально вверх, движется по закону: a) h (z)=8z—5z2 или б) h (z)=4+8z—5Z2 (Л — в метрах, Z — в секундах).
Найти скорость тела в момент соприкосновения с землей (ускорение g считать равным 10 м/с2).
Тело массой тд движется прямолинейно по закону »(/) =
2
=——-. Доказать, что сила, действующая на тело, пропорциональна кубу пройденного пути.
Тело массой тд движется прямолинейно по закону j(/) = = at2 + pt+у (а, р, у — постоянные). Доказать, что сила, действующая на тело, постоянна.
Радиус шара г равномерно возрастает со скоростью 2 см/с. С какими скоростями возрастают поверхность и объем шара? Найти эти скорости в момент, когда г достигнет 10 см. (При /=0 величина г=0.)
Угол а, на который повернется колесо через промежуток времени t, равен а=3/2 —12/4-36 (а — в радианах, / — в секундах). Найти угловую скорость <а в момент / = 4 и определить, в какой момент времени колесо остановится.
В тонком неоднородном стержне, имеющем длину 25 см, масса (в граммах) распределяется по закону g ^ = 4l1 — ll, где /— расстояние от начала стержня до любой его точки. Найти плотность стержня на расстоянии 4 см от начала стержня и среднюю плотность стержня.
Дана функция/(х) = |х|. Написать выражение первообразной функции.
Найти функцию F (х), график которой проходит через заданную точку Мд (х; у) (11.227—11.228):
F’ (х) = 4х24-9х~2; Мд (3; -2).
х31
F' (х) =4x4--; Мо (2; 1).
33
Для данной функции / (х) найти первообразную Fix), график которой проходит через заданную точку Мд (хо; Уо) (11.229—11.232):
/(х) = х4; Мо (-1; 2).11.230. /(x) = sin2x; Мо (0; 1).
1/ л\.
/(х) =;Мд —; -1 . 11.232. /(х) = х"4; Мд (2; -3). яп23х\12/
Найти функцию F (х), если известно, что F' (х) = 4х3 — Зх2 и что F (1) = 3.
Для функции /(x) = cos4x найти первообразную F (х), если известно, что F (тг/24)= — 1.
Найти функцию S (х), если ее производная S' (x) = 2/VS—x и5(1)=-1.
Чему равен путь, пройденный точкой, движущейся прямолинейно, за отрезок времени от /1 = 1 до /2 = 4, если скорость точки v (/) = 2/24-3/ (/ — в секундах, v — в м/с)? Чему равно ускорение точки в момент /=2?
Тело движется прямолинейно со скоростью v (/) = \/14-/ (/ — в секундах, v — в м/с). Найти путь, пройденный телом за первые 7 с. Чему равно ускорение тела в момент 1=124
- Вычислить интегралы (11.238—11.263):
11.238.11240.11242.11.238.11240.11242.J COS2 X dx.J COS2 X dx.11244.11244.11.246.11.246.
11.238.
11240.
11242.
11.238.
11240.
11242.
J COS2 X dx.
J COS2 X dx.
11244.
11244.
11.246.
11.246.
«/2
f sin22xdx.
*/4
J (sin It—cos2/)2 dt. о
Г \
I cos I — 3x | dx.
J \3 / о
-12
J sinxcosxdx. о
2
11248.11248.0,511250. f >J\-x dx.о0,511250. f >J\-x dx.о0,511252. I ( 4x—— ) dx.J \2x/i*/411254. j (tgx+ctgx)-1 dx.*/6 "/211256. J sin4 x dr. о0,511252. I ( 4x—— ) dx.J \2x/i*/411254. j (tgx+ctgx)-1 dx.*/6 "/211256. J sin4 x dr. о11.249.11.251.11.253.11.249.11.251.11.253.00111100j cos4xdx.j cos4xdx.о iо i0 150 1511258.11258.xdx(x+l)’*xdx(x+l)’*0 ж 11260. j sin2x cos 3xdx.0 ж 11260. j sin2x cos 3xdx.о-1211262. J cos 3xcos2xdx.0о-1211262. J cos 3xcos2xdx.0f dx11.259.===.J Vx+10—vx+l -1-12j sin4xsin5xdx.оj (lO^4—smrex)dx.-2f dx11.259.===.J Vx+10—vx+l -1-12j sin4xsin5xdx.оj (lO^4—smrex)dx.-2f (l + 3x)4 dx. о
11248.
11248.
0,5
11250. f >J\-x dx.о
0,5
11250. f >J\-x dx.о
0,5
11252. I ( 4x—— ) dx.
J \2x/
i*/4
11254. j (tgx+ctgx)-1 dx.
*/6 "/2
11256. J sin4 x dr. о
0,5
11252. I ( 4x—— ) dx.
J \2x/
i*/4
11254. j (tgx+ctgx)-1 dx.
*/6 "/2
11256. J sin4 x dr. о
11.249.
11.251.
11.253.
11.249.
11.251.
11.253.
0
0
1
1
1
1
0
0
j cos4xdx.
j cos4xdx.
о i
о i
0 15
0 15
11258.
11258.
xdx
(x+l)’*
xdx
(x+l)’*
0 ж 11260. j sin2x cos 3xdx.
0 ж 11260. j sin2x cos 3xdx.
о
-12
11262. J cos 3xcos2xdx.
0
о
-12
11262. J cos 3xcos2xdx.
0
f dx11.259.===.
J Vx+10—vx+l -1
-12
j sin4xsin5xdx.
о
j (lO^4—smrex)dx.
-2
f dx11.259.===.
J Vx+10—vx+l -1
-12
j sin4xsin5xdx.
о
j (lO^4—smrex)dx.
-2
Вычислить площади фигур, ограниченных заданными линиями (11.264—11.272):
у=х3, у=1 их=2.
y=cosx, у=0, х= — к]4 и х=я/4.
y=-Jx, у=1 и х=9.
у=х3 iy=7x.
у=2х—х2 и у = 3/4.
у=х* и у=х.
у=1/х2, у = 0, х=0,5 и х=2,5.
у=5/х и у=6—х.
у=х3-4х, у = 0, х>0.
Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 2х2 —2x4-1, прямыми х=0 и у=0 и касательной к данной параболе в точке с абсциссой х0 = 2.
Написать дифференциальное уравнение для гармонического колебания: а) у= —4sin (2x4-3); б) у = 3,8 cos (0,6х—10).
Найти два отличных от нуля решения дифференциального уравнения: а) у' = — 36у; б) у"= — Збу.
РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ, ОТВЕТЫ
ГЛАВА 1ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯАЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
.001. □ Введем обозначения: 1 1
а Ь+с/ 62+с2—д2\а—Ь—с
=А; 11 +)-В;= С. 11\ 1Ьс / abc
— н а Ь+с
Тогда заданное выражение примет вид А В: С. В выражении А допустимыми являются значения а#0, А#0, с^О, Ь*— с. Приведя дроби Ь+с—а
к общему знаменателю, получим А =; для выражения В, используя
Ь + с+а
(Ь+с)2—а2 (Ь+с+а)(Ь+с—а)
формулы (1.8), (1.9), находим В==. Следо-
гЬс2Ъс
вательно, Ь+с—а (Ь+с+а) (Ь+с—а) (Ь+с—а)1
А' В*'=;
Ь+с+а 2Ьс2Ьс
(Ь+с—a)2 abc а (Ь+с—аУ А"В;С™■”.
2Ьс а—Ь—с 2(а—Ь—с)
Подставив заданные значения, имеем (-11,05 + 1,07 -0.02)2 0,02 102 0,02 -!'=0,1. ■
2(0,02+11,05-1,07)2 10
.002. □ Стоящие в знаменателе квадратные трехчлены разложим на множители:Т2+ЗТ+2-=(т + 1) (т+2);Т2+4т+3=(т+1) (т+3);т2+5т+6 =
= (т+2) (/+3). Отсюда видно, что для существования дробей необходимо, чтобы т# —1; т#—2; Т# — 3. Приведя сумму дробей к общему знаменателю, получим
12Т12(Т2 + Зт+2)2
(т+1)(Т+2)+(Т+1) (т+3)+(т+3) (Т+г^Т+П (т+2) (/+3)=Г+3 и далее
/ 2 V (т-3)2 + 12т ) -2. ■ \Т+3/2
(а—ЬУ+аЬ
.003. □ Положим А»; В=а5+Ь5+а2Ьэ+а1Ь1; С—(а3+Ь1+а1Ь+
(а+ЬУ—аЬ'
+ab2) (а1—63). Преобразум каждое из записанных выражений, используя
для разложения на множители формулы (1.9), (1.13), (1.14) и группировку a—ab+b1
членов: А =; ^=a+ni+is+a2i3=a3 (а2+62)+63 (а2 +
а2+а6+62
+А2)—(л3+Л3) (л2+А2); С=а3Л-Ь3 *a2b-t-ab2 (а3—63)=((a3^-a26)-^(63-^
-^a6i)) (^—Ъ^У^а+ЬУ (а2 + Ь2У ^сЛ—Ь^. Тогда получим
В a1— ab+b2 (а+ЬУ (a1+b1) (а3—63)
C-a2*ab+b2 (а2+Ь2У(а3+Ь3У~
(а2—дб+62) (а+ЬУ (а—ЬУ (а2 + аЬ+Ь2У (а2 + Ь2У
=:=а—Ь, где а* — 6.1
(а2+а6+62) (а2+62) (а+6) (а1—аЬ+Ь2У
1.004. 0,04. 1.005. (/и/л). 1.006. (6 + 1)/(6-2а). 1.007. 1+Зх2.
1.008. 1. 1.009. (х-^)/(х+у). 1.010. 1. 1.011. 1/(ху).
1.012. 24/(5у-2х). 1.013. 20. 1.014. 2а+ 3. 1.015. 1+2х.
1.016. 0,5. 1.017. (а-ЬУКа+ЬУ- 1.018. 1. 1.019. 1/4.
1.020. -1. 1.021. 2х—1. 1.022. 1. 1.023. 0,5а3 (а-1).
1.024. — 7/24. 1.025. 1/(аЬУ-
.026. □ Используя для первого множителя заданного выражения формулу (1.9), получим
.—1т2—9 I т2—9.—1т1-9
у/т— I1-2 ]тFVm+ /=
ушу ту m
,— iJm2—т2+9 2 (т+З)
2(m+3)[т2 2(т+3у г
Далее находим=— — ==—= V 2 (т+3). ■
■s/m N 4V2
2/33/4-1(36 —а 6 )2/33/4-1(36 —а 6 )(r2-Vr4-16).(r2-Vr4-16)..027. □ Используя формулы (1.7), (1.8), (1.9), находим
2/33/4-1
(36 —а 6 )
2/33/4-1
(36 —а 6 )
(r2-Vr4-16).
(r2-Vr4-16).
1 Произведя деление, получим ответ:. ■
г
.029. □ Применяя формулу (1.8), в числителе получим iiiii1
—-—-— — 1- — 1
( тя\ / тя\ ( тп \
1х + 3х ИХ —Зх ) 1 X —Зх1 =
1111---11
-—-—“ т я —- 2
/ т _ я \ / т я\ * I т я \ \Х + ЗХ ) / т /Д = | X + 3х 1 I X —Зх ) X*1 I X —Зх ) = I X —Зх ) .
\/ \/\/ х \/
Используя формулу (1.9), преобразуем знаменатель:
2т+я2m+я 11
- _;_ 2
ттпятп/ тя\
х +6х+9х — 12х= 1х — Зх 1 .
Отсюда находим
1111
Z -\ , - у 11
I х + 3х I ( х -Зх )„„
\ А 7 _х + 3х
~ X —- 2
( т
XIX — Зх 1
.030. □ Здесь допустимыми значениями выражения являются только значения х>а, тдаа>й. Используя равенство x—a=>Jx—a >Jx—a и приведя сумму дробей в скобках к общему знаменателю, получим
■Jx—aJх—а- Jx—aJx—a ,—— Jx1 — ^
. . "•—. . . = * (2у-^+°) =•
XA-aA-.jх—а ^х-а(^хА-а—-^х—а^20°
Jx1—a1. lx2 >/х2-а2 а
Тогда-: —-!=- -== = 1. ■
a N а2а ^х2-а2
.031. □ Применяя формулы (1.7), (1.9), (1.10), (1.14) и (1.16), в первой скобке получим
V?^1+"У" ^^Г"^ = V(2-0 (4+21+Р)+V?^1+"У" ^^Г"^ = V(2-0 (4+21+Р)+
V?^1+"У" ^^Г"^ = V(2-0 (4+21+Р)+
V?^1+"У" ^^Г"^ = V(2-0 (4+21+Р)+
Приведя к общему знаменателю дроби во второй скобке, имеем
'1272
Ч===. Окончательно находим
72 + 7' 2~'
2 V4 + 2<+'2 272_V8-'3
V(2-<)2 2~' 72 "_
.032. х-1. 1.033. l^Vp+V^Kp-qY 1034- U/a + VbyKa-b\ 1.035. ОД
.036. 0. 1.037. 1/(оЛ). 1.038. ^т-^/п)1. 1.039. у2. 1.040. (1+1)//. 1.041. -4.
.042.. 1.043. х + 1. 1.044. Ja-\. 1.045.1.046. ”Jy.
(1-х2) (х-1)*^Х-*>/у
.047. \zl,-zlq\. 1.048. 7х- 1049- 16- 1050- 2^а5!а. 1.051. 1/7х2-1.
.052. -7х при хе(0,2); 7х при хе(2, оо). 1.053. ^6х. 1.054. V20x. 1.055. 1.
.056. 1/127п2А. 1.057. ±672 1058. 2/(х2-о2). 1.059. -1. 1.060. 1/о. 1.061.
— (47х—\Zy). 1.062. а*6. 1.063. а^ + Ь1*3. 1.064. а—Ь. 1.065. V^/m—Jnym.
.066. 37°2- Nb1- I ®67- 1 1 068- -— • 1 069- 6- 107°- 7'2-4/(' + a ("^а-Уа)
+2). 1.071. 1. 1.072. —25 при а>0; 25 при а<0. 1.073. --Jac. 1.074. 7*+х. 1/з 1/з_
.075. 2. 1.076. 3. 1.077. —=77 1.078. 1/(х2-1). 1.079. 27з. 1.080. 0. 1.081. 67xV
21/й,-3). 1.082. -. 1.083. 5. 1.084. 4p-J*p'-\. 1.085. 7*2-1- I®8®-
4 (о2-х)VV
—=. 1.087. -3n(m+p). 1.088. -Vх 1+^ • 1 089. (1 -а^а. 1.090.
^a*Jl_ X х2/
\—Jx
-1/(я2 + я+1). 1.091. I. 1.092. —. 1.093. -1. 1.094. q (p*qY 1.095. 5.
1 —x
.096. 1—x2. 1.097. . 1.098. ^x+y-'^x-y. 1.099. 1/2. 1.100. x*y.
2. 1.102. 1. 1.103. -1. 1.104. z (z + !) (z+2). 1.105. -72/(N- 110®- 1-a при 06(-00, -1); o-l при oe(-l, 0)U(0, !)[)(!> «)■ 1.107. o/2. 1.108. (o+i)37*2 + 2o3. 1.109. -1. 1.110. 29/35. 1.111. 100. 1.112. 1/3. 1.113. ,^x*
V*^x. 1.114. 16o2. 1.115. (o+i)2. 1.116. 1/m2. 1.117. -o2. 1.118. 1/2.
□ Запишем числа под знаками радикалов в другом виде:
5511 3781372- Применив формулу (1.19), по-
5
5
лучим5 4 Vl8+4V18-22e718“2e718- ■
1.1М. 3/5. 1.121. 31/3. 1.122. 12732. 1.123. 0,1. 1.124. 0.
□ Обозначим прасую и левую части равенства соответственно через а и Ь. Так как а>0, Ь>0, то из равенства а1=Ь1 будет следовать равенство а=Ь. Имеем
‘^п-л/г^з+х
2(УЙ-УзУз-Уз + 1)
У27-У2УЗ+1
а+Ь
0. 1.136. 0. 1.137. . 1.138. -3/4. 1.139. 3/4. 1.140. 0,2. 1.141. 6.
_ab
1.141 -Уб/2. 1.143. (а-Ь\ 1.144. (а+6). 1.145. 1.
□ Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю:
(2—У2)—Уз (2+У2)+Уз
(2+У2)-Уз (2+У2)+Уз
(2-У2) (2+У2)-Уз (2+У2)+Уз (2-У2)-3
(2+У2)2—3
-1-2Уз-УзУ2 + 2Уз-У2'Уз 1 + Уб
3+4У23+4У2
Снова произведя аналогичные действия, находим
1 + 2Уб 3-4У2_(1+2Уб)(3-4У2)
3+4У2 З-4У223
2(Уз-У2)(Уз + У2)(3 + У2). 1.148. (У13+УЗ) (У13+3). 1.149. -(4 + ЗУ2) (5 + зУз)/2. 1.150. (ЗУ2+2Уз~У30)/2. 1.151. (Уа+Уа)(а + + Уа2 + Уа)/а.
□ Пусть а и b— пасомые числа; тогда а+6 = 11 и ab=21. Согласно ■формуле (1.11), имеем (а+Ь)3=а3+Ь3+За6 (а+Ь). Следовательно, а3+Ь^=(а+Ь)3-ЗаЬ (а+Ь), т. е.а3+63 = 113-3'21 11=638. ■
6. 1.155. 5. 1.157. а) 2Уз/3;б) 4.
□ I способ. Коэффициенты числителя и знаменателя преобразуем так, чтобы можно было вынести общий множитель: а3 —2л2 + 5а+26=а3 + + 2а2 — 4a2—8а+13а+26=а2 (а+2)—4а (а+2)+13а (а+2) = (а+2)"(а2 — —4а+13); а3—5а2+17а—13=а3—а —4а2+4а+13а—13=(а—1) (а —4а+ а+2
+ 13). Произведя деление, получим ответ:. а— 1'
II способ. Представим свободные члены многочленов в виде 26=1 *2’ 13 и 13 = 1'13. Далее проверяем, не является ли каждый из множителей корнем заданного многочлена; для этого подставляем его со знаком «+» или «—» в многочлен. Для многочлена а3—2а2+5а+26 таким корнем
является — 2 (поскольку (—2)3—2 (—2)2 + 5 (-2)4-26=0). Теперь делением многочлена на разность а— (—2) понизим его степень на единицу; имеем (а3—2а24-5а4-26):(а4-2)=а2 — 4а-413. Таким образом, получаем разложение на множители: (а4- 2) (а2 —4а 4-13). Здесь квадратный трехчлен не имеет корней, так как Л <0. Это разложение единственно. Аналогично разлагаем другой многочлен и в результате получаем тот же ответ. ■
□ Разложим многочлены третьей степени на множители (см. задачу 1.158): р3+4р2+10р+12—(р+2) (р2+2р+6); р3—р2+2р+16=(р+2) (р1— — Зр+8); р3-Зр2+8р—р (р2—Зр+8). Тогда получим
(р+2) (>24-2р4-6) р(р2 —Зр+8) (р + 2) (р2 —Зр4-8) (р2 + 2р4-6)
□ Выполним указанные действия внутри скобок, приведя дроби к общему знаменателю:
z—2z2+8z+41
z2 + 2z+4"*"(z—2) (z24-2z+4) z-2~
г2— 4z+4+z2+8z+4—г1—2z—41
“(z-2)(z2 + 2z+4)~z-2
Затем упростим вторую дробь: z3+2z2 + 2z+4 (z+2)(z2+2) z+2 z3-2z2+2z-4~(z-2) (z2+2)~z-2
z—21
Окончательно получим1=. ■
z—2 z+2 z+2
x*+5x3 + 15x—9 x*-94-5x (x24-3) (x24-3) (x2-34-5x)
□ 1) -^=-=
x64-3x*x4(x2 + 3)x4(x2+3)
x2 + 5x-3
x2+5x-3 9 (x4-2) (x4-3)
1—7=;
X X* X*
(x4-2) (x4-3)Xsx (x4-2) (x4-3) x
x4 x (x2-4) + 3 (x2-4)~(x+3) (x+2) (x-2)~x-2
•/ , 1 V /
1.162. □ Рассмотрим выражение I xz4—- I —14 I x4— ) 4-77. Для его упроще- \X2/\ X/
ния воспользуемся подстановкой х 4—=z; тогда х 2 4—- =z 2—2. Следовате- хх2
/1V
льно, (z2—2)2—14z24-77=z*—18z24-81=(z2—9)2 или |х24-24—;—9 1 =
Xх2 /
/ IV (х4-1х2 + \)2
=( х2—74— 1 =. Теперь заданное выражение примет вид
\х2/ , х*
,,, (х*-7х24-1)2 1.
(х*~1х2 + 1)-2 --—.Ответ: 5*/125 = 5. ■
X4X4
□ Первая дробь после обычных преобразований примет следующий вид:
(ix)24-4ix4-4(ix+2)1 bx+2
bx (b ^+bx)-2x (2-bbx))"bx (2 + bx) (b-2x) = bx (b-2x)
(2x4-й) (2x-b-) 2x + b Упростим вторую дробь:— . Тогда получим
6 (6—2х)2b(b—2x)
/ bx+2 2x + b \ bx bx+2—2x1—bx bx 1— х1'
\6х (6—2х)~6 (6—2х)/ 2 = Ьх ф-2х)2 ~ Ь-2х‘
ГД2 + 1д+2„ ,, ,Х4-3
V5/5. 1.165. . 1.166. —-. 1.167. д2х2-62у2. 1.168..
а—1 а2 (а—I)2х— 1
□ Чтобы разложить числитель на множители, произведем следующее преобразование:х*+1 =х* + 2х2 + 1 — 2х2=(х24-1)2 — (^2^)2=(х2 +1 +
+ i/2*) (х2 + 1— ^2х). Тогда числитель примет вид (х2 + -^2х+1)(х2— — ч/2х+1)+(х2+5/2x4-1)=(х24-х^2х 4-1) (х2—Х5/2+2). Таким образом, получим (x24-xV2+1)(x2-xV2+2) г , г г , --xV2=x2+xV2+l -xV2=x2 + l. ■ x2-xV2+2
□ Трехчлен а3 —За2 4-4 в числителе группировкой разложим на множители: о3—Зо24-4=(о4-1) (а—2)2. Аналогично разложим на множители трехчлен в знаменателе: о34-Зо2—4=(о—1) (о4-2)2. Продолжая разлагать на множители числитель и знаменатель дроби, получим
(о4-1) (а—2)24-(а2—4)ч/а2—1
(о-1) (а4-2)24-(а2—4)у/о2 —1
5/0—1 (а-ь2) ((04-2)5/0—14-(а—2)s/o+l)
5/04-! (а—2) (a (Va+1+Va—1)—2 (V°+1-Va— 1)) (а —2)Vfl+l
Va-1 (о 4-2) (а (5/04-1 4Va-l)-2 (5/04-1 ->ja-1)) (04-2)5/0-1
□ Внутри скобок числителя вынесем общий множитель: об^4 (а/Л4—
—60 Ь 4-12о b —8)—аЬ (а b —2) ; тогда числитель будет равен 2Л.1/2 , 1/3 I/42
о b (о b —2у. Аналогично преобразуем трехчлен в знаменателе: 2/3 1/2 2/3 1/2 . 1/3 .1/42/3 1/2 1/3 1/4
а b (о b —4о b 4-4)—о b (а b —2) . Окончательно нахо-
2/3 1/2 1/3 I/4
а b (о b —2Y дим— 1. ■
2^1/21/3 I/4
о о (о о —2)
□ Запишем числитель в следующем виде:
. /2—;„1/3 1/3 2/32/3 , 1/31/3 1Д
x4-3V2ox2х 4-2 о хх (х 4-2 о )
2/3 1/3”ч2/3 2/3/V/3 vtl v "
V4" *2о4-4 ах 2 о (2 о 4-х )
2/32/31/31/3
x — (2a) x + (2a) Тогда дробь будет равна=. Внутри скобок
(2а) (х -(2а) )(2а)
получим
(2а)2/3(2а)'/3(2а)/(2а)У3
/1/34
/ х \16а*
Окончательно находим I=——. ■
з2/3/ х(2а)
□ Приведением к общему знаменателю и вынесением общего множителя преобразуем отдельно числитель и знаменатель первой дроби: х^х + х^у+у^х+у^у-^х-ух/х-х^у+у^у)
_ 2Уху (Ух+Уу) _ 2Уху _ х-у х/х-х/у хУх—хУу—уУх+уУу + хУх+хУу+уУх+уУу
X2—у2
Тогда дробь примет вид
(6-1) (6-V»-4-2)(6—1Х/6—2 (V»-2-V + 2)_
(6 + 1) (6—^/b2—4+2)(6+1ХЛ+2 к>/ь-г- Vb+2)
6-1 lb—2
= 6+1 Nb+2
1-6 /6-2 lb+2 1-6 Окончательно находим=. ■
6 + 1 V6+2 \ b-2 6 + 1
□ Легко заметить, что т+4^/т—4=(,/m—4 + 2)2; m—4^/m—4 =
, ,^Jm + ^Jm—4'^JJm —4 + 2 Jm—4 + 2
= (i/m—4 —2)2. Тогда —==^ ==—-———. Оконча-
Vm-4Vm-4-VV'”-4-2 x/m-4-2
■Jm—^+2 (Vm—4 —2)2 m—8 тельно получим —==— •=. ■
^/m—4—222
□ Преобразуем подкоренное выражение в числителе:
/х-1/х+1 ^ (х-1) + (х + 1) ^ (Vx + 1-Vx-l)2
Vx+1 Vx-1 v^i v^2-!’
I lx — 1/x+1^/x+1 — y/x — 1
откуда I /h /2= - —. Далее, используя формулу
A/Vx+1 V x-1 Vx2-i
(1.14), получим (Vx+l-Vx-l)(2x+Vx2-l)1
Преобразуем вторую дробь: зом, окончательно получим
3l/x2+xy + y2 =-. Таким обра-
(х+у) 3Vx2
^x-y^-jx1-Vxy+y1 (x+y) ^Jx1 *^х—у
V^^+J1)2 ^x^xy+y1 *+У
x1 — Зх+21
.179. . 1.180.. 1.181. 5.
Зхa (3a+6)
/;/I+X+2V1 — x2+l — x
.182. □ 1) V^Vl-* = /~=
у2
/(VlTx+Vb^x)2 1;;
= /=-7 (<1+*+<1-х);
2 V2
г г (Vl+^-Vl-*) (l+x + Vl-x2 + l-x)
) —= (V1 + x+V1 — x) ■.- -
V22+Vl~x2
1= (x+l-l+x)V21= (x+l-l+x)V21.183. □ Здесь в знаменателе следует применить формулу ^/а+В=1.183. □ Здесь в знаменателе следует применить формулу ^/а+В=
1
= (x+l-l+x)
V2
1
= (x+l-l+x)
V2
1.183. □ Здесь в знаменателе следует применить формулу ^/а+В=
1.183. □ Здесь в знаменателе следует применить формулу ^/а+В=
■=—. 1.185. V4-*2 1 1*6- V*3~ V^3-1-187. V2-
х—V2x + 1
-С^с**^- 1-189. 3.
□ Легко заметить, что в числителе первой дроби выражение в скобках а+2а
есть арифметическая прогрессия с разностью d= 1, откуда S„=—-— (а +1).
а+2а2—— (н+1) , 2Заа+2а2—— (н+1) , 2ЗаРазложив знаменатель на множители, запишем первую дробь в виде
а+2а
2—— (н+1) , 2За
а+2а
2—— (н+1) , 2За
. Затем преобразуем вторую дробь: (а+2)(а+1) а+2
6(Va+V*)(Ve—V^6
Окончательно получим
За h а 4-2
□ Все три множителя запишем под одним общим корнем:
* r^l!L1^12£z^lz^=6 К1-^4 d-^2,* А1г^=з IV-хN 93 (1+2х+х2)2х3,4х3 V 9х2(1+х)* V 9х2 V Зх
Так как хе(0, 1), то получаем ответ: 3 . ■
□ 1) У(Va - V» + V») (V" - V» ~ *V»)=JU“ -^ЬУ-Jb ;
^Ua-'Jbf-^/bU0 г ,
З)-5^^^^^^V"-Ответ: V1,21 = 1,1- ■
^Цд-^ЬУ-^Ь __ _
□ 1) Ot/a—aV“ + 2 + \/a3 —\/а-^а+2=а (.^/а—-у/а + 2) +
+ \/а (^/а—5/а + 2) = (5/а—,/а+2) (а+*,/а);
Jt (а +1 — ^а2 4-2а) J1—2^а (а 4- 2) 4- (а 4- 2)| ^а—^a 4* 2|
U“—Va+2) (a + Ua) (a2 —a ^y/a+y/a) U° — Va+2) (o34-4V°3)
Так как a>0, то ^a—Va+2<0, откуда получаем ответ: —(a34-*V°3)- •
(V° + *JQ— 1);
-1. 1.199. V(*+3)/(x-3). 1.200. -V(<+2)/(/-2). 1.201. l/(a6). 1.202. Am. 1^01 V»2-1- i-20*- 1/(V<»-1)- l-2®5- 1/(1+3V°)- I-206- “/(a+1)- 1-207.
(,/х-2)/(,/х-3). 1.208. 1/(V2-V°)- i-209- Vm-V"- 1-210. VVp+V»- 1.211. 1. 1.212. 1.1.213. z2/(z2 + z+l). 1.214. ^a+Va-^- 1.215. 2 1.216. V3/3. 1.217. V"2-1- 1^18. -2-4V3- 1.219. - V2- 1.220. 1. 1.221. a-b. 1.222. -V(*-2)/(x+2). 1.223. 1 + \Д 1.224. V^V^+l-V")- 1-225. 2 V?/*2- 1.226. 2,4. 1.227. x3 V". 1.228. l/(Va+3 V°)- 1-229. 1/р^/б). 1.230.0. 1.231. Vp2-92/V/’-L232- L25.1.233. 4/9.1.234. V*+l.1-235. 4.
irVp-4-1-237. 2.1.238. 1.1.239. V^/O+»)-1-240. V"/(°+46). 1.241. 1.
/б2—26+1 |6-1|
□ Упростим знаменатель: /=——. Тогда данное выражение
|6-1|+62 |6-1| + 26-2
примет вид=. Нетрудно заметить, что 6>0 и 6^1.
ViiA-ii
Теперь воспользуемся определением модуля и рассмотрим различные промежутки изменения 6:
— (6—1)—62 (6-1) + 26-2 (6 —1) (—1 —62+2) 1-62 1) 6 е(0, 1) => —^-=-^== =
^-Vb(b-1")-Va(6-D -Vb
Jb ’6-1+62 (6-l)+2(6-l) 62+32) 6e(l, +oo) =»?—■
V6 (6-1) Vb
□ Здесь x#0 и x# — 1. В зависимости от промежутков изменения х получаем ответ:
2х + х (х-1) —х2 + 3 х+3 — Х + Х2X2 —X
1
□ Очевидно, что данное выражение можно записать в виде+|х—2|. |х+2|
Рассматривая различные промежутки изменения х, получим:
1х2—3 3-х2
хб(—оо, -2)=» -(х-2)=>;
15-х2
хе(-2, 2) => —--(х-2) =>-;
х+2х—2
1х2—3
хб[2, +оо)=»+х—2=>
х+2х+2
(4—х2)/(х2+4х—4), если хе(—со, 1) и х* —T-flJl; (х+2)/(2—х), если хе[1, 2^ (х+2)/(х—2), если хе(2, оо).
|х3-1| + |х + 1| |х_ц(х3+х+1)+|х + 1|
□ Здесь х#0. Имеем;-, от-
X +хх’+х
куда получаем:
1) хе(—оо, -1)1) хе(—оо, -1)-х3+1-х-1х3+х-х3+1-х-1х3+х
1) хе(—оо, -1)
1) хе(—оо, -1)
-х3+1-х-1х3+х
-х3+1-х-1х3+х
2) хе[-1,0) (J (О, 1)2) хе[-1,0) (J (О, 1)-х3+1+х+1 2+х-х3 х3 + хх3+х
2) хе[-1,0) (J (О, 1)
2) хе[-1,0) (J (О, 1)
х3-1+х+1
хе[1, оо) =>= 1. ■
х3 + х
□ Имеем |х2—1|+х |х+1| = |х—1| |х+1|+х |х+1|. Отсюда получаем:
хе(—оо, -1)^ х3-1-х (х+1)=-(х+1);
хе[-1, 1) => — х2+1 +х2+х=х+1;
хе[1, оо) х2—1 + х2+х=2х2+х—1. ■
□ Здесь x#—1, x# 1, х#2. Имеем:
х2—4х+4
хе(—оо, -1)=> (-х2 + 2х+2х-4):(2-х) ==х-2;
х-2
,х2+4
хе(—1, 1) => (—х2 —2х+2х—4):(2—х)=;
х-2
хе(1, 2) => (х2—2х+2х—4):(2—х)= -(х+2);
хе(2, оо) => (х2 — 2х+2х—4):(х—2) = х+2. ■
□ Очевидно, что х>0, х#1. Подкоренное выражение в числителе равно (2х+1)2 . Разложив знаменатель на множители, запишем данную дробь |2х+1|1
в виде =. Следовательно, при хе(0, 1) получим
х|х-1|-|2х+1| х|х—1|
11
-, а при хе (1, + оо) получим —. ■
X —X2х2—X
□ 1) 7*~4^^+2 = У7^4^/х^4+4+^
= |У^4-2| + 2;
V*+4VJC-4-2=V(v^4 + 2)2-2 = V^-4+2-2=V*-4;
|V^4-2|+2
■■=A.
Vx-4
Если Vx—4—2<0, to -Jx—4<2, т. e. 4<x<8. Таким образом, при 4
xe(4, 8) имеем A =—=—1, а при xe[8, oo) получим A = L ■ Vx-4
— (m2+m 3V2+3V4) при me(—oo, 0)(J(0, 1); т^Цт — 3i/2) при me(l, V2)U(V2. »)• 1-252. —(x2 + x+1) при xe(— oo, 1) [J (1,3); x2 + x+1 при xe(3, oo). 1.253. —all при ae(—oo, —2); a (a—1)/2 при oe(—2, oo). 1J54. l/(m+2) щ)и me(-oo, —2)0(—2, 0)(J(3, oo); -l/(m+2) при me(0, 3). 1^55. -1/x при xe(-oo, 0)[J(0, 1)Q(!> 2); 1/x при xe(2, 3)IJ(3, oo). 1Л56. l/(o+l) при oe(-oo, -3)Q(-3, -1)(J(-1, 2); l/(o+3) при ae(2, oo).
\aSL 1/(1-Зх) при хе (-00, 0);при хе[0, 1/3) И (1/3, 1); 1/(х-1)
(х-1) (Зх-1) 3
Щ>и хе(1, оо). 1.258.при хе(—оо, — 3/2) М (—3/2, 0)Н(0, 3); 1/х при х (2х + 3)
а+5
хе(3, со). 1259. — 1/а при ае(—оо, —5); при ае(—5, 0)0(0, 5/3) 0
а (За—5)
0(5/3, оо). 1260. —(х+1)/х при хе(—оо, —1); (х+1)/(2—х) при хе(—1, 0); (х+1)/(х—2) при xe(0, 2)0(2, оо). 1261. (г2—г)/(г^ + 1) при ге^—ао, 0); г/(1 — г) при ге[0, 1); r/(r—1) при ге(1, оо). 1262. 2 при хе(—оо, —1); 2х2/(2х — 1) при хе[-1, -02/2)0 (-02/2, 02/2)0(02/2, 1); 0 при хе(1, оо). 1263. -4 при уе(—оо, 3); 2у—10 при уе[3, 9); 8 при уеГО, оо). 1.264. (1 + х—х2)/(х+1) при хе(—оо, — 1)0(0, 1); (х2+х-1)/(х+1) при хе[1, 00); (1-х—х2)/(х+1) при хе(—1, 0). 1. 265. (х+1)/(1-х) при хе(—оо, —1); (х+1)/(х—1) при хе[—1, 0); (х—1)/(х+1) при хе[0, оо). 1.266. х при хе(0, 1/2); —х при хе(1/2, оо).
□ Найдем допустимые значения х для данного выражения: х>1 и х#2.
Теперь избавимся от иррациональности в знаменателе:
0х— 20х— 1 (0х— 1 +1) 0(х—20х—1) (0х—l + l)2 Vx2— 4х+4 х—2х—2х—2
_|х-2| х-2' х—2х—2
Итак, получаем: 1) хе[1, 2) =>— — 1; 2) хе(2, оо) =>= 1. ■
х-2х-2
□ Разлагая числитель первой дроби на множители, имеем
Cx/x-^y^CV^ + ^V^y4*3^ - 12 /-П 4
==з • Vх л — Vх + V -^ л +
*Vx-3x/y
+ 3Vy2 —3- 121/х,у*=(*х/х—3Vy)2;
далее находим (Cx/x—3VyY) ^2===Аналогично преобразуем
\4Vx-3VY
вторую скобку:
/^х-3)^*-3)(х+3^+9)\1/2 Г , Г Г
-1■=1 - V* - IV*- з| - Vх-
V x+3Vx+9/
Ответ: при хе[0, 9) => 3—2V*! Щ® хеф, оо) => — 3. ■ 1370. □ Упростим числитель:
Тогда знаменатель запишется следующим образом:Тогда знаменатель запишется следующим образом:
Тогда знаменатель запишется следующим образом:
Тогда знаменатель запишется следующим образом:
|1-д|11
—у (1 -а)=—= (2|1 — а| — (1 — а)), а>0, а* 1.
«Ja 2>]а"XVа
„и-а1
Заданное выражение примет вид.
2|1—о|—(1—а) 2
Ответ: при ае(0, 1) => -; при ае(1, оо) =» 2. ■ 3
1371. □ Имеем
V(2x)2+(x2-l)2 V** + 2x2 + l * " i " i~2w’ 2И(х+1)-2|x|(x2 + l)-
XX
Ответ: при хе(оо, 0) =» —; при хб(0, оо) => -. ■ 22
1372. □ Находим
/г—3(z+3)3/2 \ (z+3) (6z—z2-9)
V+3 ^4.3 Jx—3|718z
Zz-3 z+3\Z (z+3) (z—3)2\
V+3|z-3|A~18z/
Tax как z> —3 и z^O, то получаем:
z2-6z+9+z2+6z+9 (z + 3)(z-3)2z2-6z+9+z2+6z+9 (z + 3)(z-3)2
z2-6z+9+z2+6z+9 (z + 3)(z-3)2
z2-6z+9+z2+6z+9 (z + 3)(z-3)2
(z+3)(z-3)18z
2) при ze(3, 00) =>2) при ze(3, 00) =>z2-6z+9-z2-6z-9 (z+3)(z-3)2 2(z-3)(z + 3)(z-3)18z“ 3
2) при ze(3, 00) =>
2) при ze(3, 00) =>
1373. □ Первое подкоренное выражение преобразуем следующим образом: V^+tVZx-A—^/cV*—2+V2)2=V*~2+1/2; здесь х>2. Аналогично, ,/х—2V2x—4—V(Vx—2—V2)2—lVx—2—\/2|- Следовательно, заданное выражение примет вид Vх-2+1/2+IV*—2—V2I- Итак, получаем ответ: 1) V*^2-V2<0 =» хе[2, 4) -t/x—2+V2-VX-2+V2-2V2;
2) V*-2-V2>0 => хе[4, оо) =» V*~2+ V2+V*-2- V2-2V*-2. ■
1.274. □ Подкоренные1.274. □ Подкоренныевыражения преобразуемвыражения преобразуем111111так: — д4 1так: — д4 111a-2+2V"-2 + l (V"-2 + l)2’a-2+2V"-2 + l (V"-2 + l)2’а—Т^а—Т—Х (ч/д—2—I)2а—Т^а—Т—Х (ч/д—2—I)2д>2.д>2.1111д^З. Тогда данное выражение примет видд^З. Тогда данное выражение примет вид1111•. В ре-•. В ре-
1.274. □ Подкоренные
1.274. □ Подкоренные
выражения преобразуем
выражения преобразуем
1
1
1
1
1
1
так: — д4 1
так: — д4 1
1
1
a-2+2V"-2 + l (V"-2 + l)2’
a-2+2V"-2 + l (V"-2 + l)2’
а—Т^а—Т—Х (ч/д—2—I)2
а—Т^а—Т—Х (ч/д—2—I)2
д>2.
д>2.
1
1
1
1
д^З. Тогда данное выражение примет вид
д^З. Тогда данное выражение примет вид
1
1
1
1
•. В ре-
•. В ре-
зульта те получаем ответ:
1
2,, 4
1.275.1.275.□ Положим y+-=z; тогда z — 4=у 4—-, у^О. Подкоренное выражение УУ
1.275.
1.275.
примет вид (z2—4)2—8z2+48=z*—16z2+64=(z2—8)2. Следовательно,
1.276.1.276.V(z2-8)2 = □ ИмеемV(z2-8)2 = □ Имеем44442\22\2|z2—8| или у24—-+4— 8 = у1—44—- =(у— у2 Г у \ у.|z2—8| или у24—-+4— 8 = у1—44—- =(у— у2 Г у \ у.УУУУа2 —3а2 —32(д2-3)|а|2(д2-3)|д|2(д2-3)|а|2(д2-3)|д|
1.276.
1.276.
V(z2-8)2 = □ Имеем
V(z2-8)2 = □ Имеем
4
4
4
4
2\2
2\2
|z2—8| или у24—-+4— 8 = у1—44—- =(у— у2 Г у \ у.
|z2—8| или у24—-+4— 8 = у1—44—- =(у— у2 Г у \ у.
У
У
У
У
а2 —3
а2 —3
2(д2-3)|а|2(д2-3)|д|
2(д2-3)|а|2(д2-3)|д|
(д* + 6д2 + 9—12д2I"2 —3||a-^/3|"|a + V3|
4а2
Используя определение модуля и рассматривая различные промежутки изменения а, получаем ответ:
и ,/- 2(a-V3)(a+V3)(-«) .
де(—оо, -V3)=>77= -2д;
(д-73) (д+V3)
/ Ат 2 (д-^З) (Д+73) (-д)
де(-чД 0) =»77— = 2д;
-(д-73) (д+ч/3)
r 2(д-ч/3)(д+ч/3)д
де(0, ч/З) =» ~2д;
-(в-0) (д+ч/3)
Г2(fl-V3)(a + V3)a
де(7з, оо) =>——=2д. ■ (д-Уз)(д+7з).
д2 + 1д2 —2д + 1(д— I)2
□ Здесь х>1, поэтому >1 =»>0=»>0=»д>0.
2д2д2д
(д+1)2(д-1)2
Далее находим х+1=; х— 1=. Тогда заданное выражение
2д2д
• примет следующий вид:
ф.а |a-l|*.
V2e 'Jia o+l —|o—1|'
.|^1Го+Т
Отсюда получаем ответ:
— (a—1) 1 —aa—1
■ при ae(0, 1) =>=; при ae(l, co) =>
a+l+a— 1 2d2
□ Последовательно находим:
V(z+2)2—8z ,/z2+4z+4-8z |z—2|
z+2z+2z+2’
(z-l)2 + 3_z2—2z+41
z3+8 ~(z+2) (z2—2z+4)~z+2’
z2 —3z+2(z—l)(z—2)z-1
z3—2z2—4z+8 z2 (z—2)—4 (z—2) z2—4
Тогда заданное выражение примет вид /|z-2|1 \ z-1 |z—2| + 1 z2—4 |z—2|+1
I1): ~— =’=(z—2)
\z+2 z+2/ z2—4z+2 z—1 z—1
Учитывая, что г* — 2, z^l и z#2, получаем ответ:
, ,, ,2-z+lz2-5z+6
ze(-oo, -2)(J(-2, 1)U(1.2)=>-(Z-2)=-;
z—11 —z
z-2+I
ze(2, oo) =*(z—2)=z—2. ■
z—1
При хб[1/8, 1/4) =» -1; при xe(l/4, oo) => 1.'
138ft При y<2x => l/(2y3); при y>2x =» -l/(2y3).-
1381. □ Освободимся от иррациональности в знаменателе:
V2y2+2o6V2y2+2o6k-J(a+y) (y+b)+.J(a-y) (y-bV V^+y) (У+*) + '/{a-y} (y-b) ■
V2y2+2o6
V2y2+2o6
V (a+y)(y+i)-(a-y)(y-*) Подставляя y= ■Jab, находим 'JaJjab—lab^bJjab + ^ay/ab+l^+bJab ■Jtab
2Va6
TjabTjab
Если0<6<а, to~2= (Vя--Jb*»Ja+V^=4J-^
— Va+l/(a+3) при ae(— 1, 1); Уа+1/(а + 3) при ae(l, oo). 1283. —2 при (4—a) (a2+16) ae(—oo, 0); 2 при ae(0, oo). 1.284. (4a— 16)/(a + 4) при ae(4, oo); 2a (4+a)
при ae (—4,4). 1.285. —2 при xe(— oo, 0); 2 при xe(0, oo). 1286. m/2.1287. 1 при
O^b^a, a#0; •Ja+bIQ-Ja—b—.Ja+b) при 0< — b^a. 1288. —(x—3) при xe(—oo, -l/3)U(-l/3, — 1/5)M(—1/5, 3); x-3 при хер, oo). 1289. -Зх при xe(—oo, — 3)(J(—3, 0); Зх при хб(0, oo). 1290. (m—l)/(2m) при me(0, 1);
(1—m)/2 при me[l, oo). 1.291. (1—а)/Уа при ae(0, 1); (a— 1) Va при ae0> °0)- 1.292. — Vх при XG(0> 2/3); ^/x при xe(2/3, oo).
8-5V4010
□ 1) —==+—== =
'V^-'V^jV^lVs Vs2 __ _
(V8-V5)(3V82 + V40 + V52)У*010 (V8 + V5)2
(V8-3V5)(SV8+V5)V8 + V5 V52 V8 + V5
ю , л , г ioVs . Г . Г
——j=— V^ Vs = V^— V5;
V8-V5 ,
—~=V8-Vs;
Vs+Vs
V8-Vs+V5=V23=V2- ■
□ Имеемbm+lV^m1—л2 = 3т+л + lV^m1—n1*'?>m—n=Узт+л +
+ Узт—л)2; аналогично, 6m—2У9т2 —л2=УЗт+л—УЗт—л)2. Следовательно, У(^/Зт+л+^/Зт—л)2 — У(>/Зт+л—^/Зт—л)2=^/Зт+л + + >/Зт—л—^/Зт+л+^/Зт—л=2^/3т—л, где т>л/3, т>0. Итак, равенство справедливо при всех л е [0, 3m). ■
□ Имеем 'л^ТЬ-^З^^/^хг^УУ^^^
Г ■ Г Г , г.1-*Vs
7-4V3=4-2-2V3+(V3) =(2-<3) ■ Следовательно, —=^== =
_y26-15V3
(2.-V3)2 г =-—-^- = 2-73. ■
2-^3=____
□ 1) У5 - 2V6=У3 - V6+2=У(V3 - V2)2=V3 - V2;
V27-3V18+3Vi2-V8=(V3-V2)3;__
(V3-V2)(5 + 2V6)_ 5+2^6 (5 +Уб) (5 + гУб) 49 + 20^6
УЗ_-У2)3УЗ-У2)2 (5-Уб) (5+ 2^6)25-24
=49 + 2^6;
(49 +20^6) (49-20Уб)=492-202'6 = 1. ■
□ Имеем:,
У Юр+У25р2 -?2=У(5р+»)+У25р2- ?2 + (5р-?) =
2) аналогично, -^/iQp—2^25р2 — q2 =-j5p+q —^/^p — q;1> ^Sp+q+^Sp-q-^Sp+qA-x/Sp-q-^Sp-q.2) аналогично, -^/iQp—2^25р2 — q2 =-j5p+q —^/^p — q;1> ^Sp+q+^Sp-q-^Sp+qA-x/Sp-q-^Sp-q.Равенство справедливо при p>0 и ?e[0, 5pY ■Равенство справедливо при p>0 и ?e[0, 5pY ■1308. □ Так как1308. □ Так какx+2,/x — 1 = -y/x—l+Z^x—I +1 = -^(Vx ^ + 1У =x+2,/x — 1 = -y/x—l+Z^x—I +1 = -^(Vx ^ + 1У == -Jx—1 + 1 и yx—T-Jx— l=|^/x— 1 — 1], то данное выражение примет вид у=,/x—1 +1+|yx—1 —1|. Итак, получаем ответ:= -Jx—1 + 1 и yx—T-Jx— l=|^/x— 1 — 1], то данное выражение примет вид у=,/x—1 +1+|yx—1 —1|. Итак, получаем ответ:1) при Vх- 1 — 1 <0 => хе[1, 2) => у=2;1) при Vх- 1 — 1 <0 => хе[1, 2) => у=2;2) при -Jх— 1 — 1 >0 => хе [2, оо) => у = 2^/х~ 1.2) при -Jх— 1 — 1 >0 => хе [2, оо) => у = 2^/х~ 1.График функции у изображен на рис. Р. 1.1. ■График функции у изображен на рис. Р. 1.1. ■1.309. □ Данное условие будет выполнено, если дискриминант равен нулю. Имеем D=4 (к—9)2 —1.309. □ Данное условие будет выполнено, если дискриминант равен нулю. Имеем D=4 (к—9)2 —Рис. Р.1.1Рис. Р.1.1-+-4 (t2 + 3fc + 4)=0 => (,к-9У = к2+Зк + 4;х к2-18i + 81=i2 + 3fc + 4 => 2\к = 11 => к == 11/3. ■1.310. □ Подставив заданное значение х в уравне_ние. получим следующее выражение: (3у4 + ,/80—-+-4 (t2 + 3fc + 4)=0 => (,к-9У = к2+Зк + 4;х к2-18i + 81=i2 + 3fc + 4 => 2\к = 11 => к == 11/3. ■1.310. □ Подставив заданное значение х в уравне_ние. получим следующее выражение: (3у4 + ,/80—-3VV80-4)3 +12 (3V4 + V80-3VV80-4)-8.-3VV80-4)3 +12 (3V4 + V80-3VV80-4)-8.Согласно формулеСогласно формуле(1.12), имеем(1.12), имеем(3V4 + V80-3VV80-4)3=4 + V80-V80+4-3 х(3V4 + V80-3VV80-4)3=4 + V80-V80+4-3 хх 3 у/ (V80+4) (^80-4) ( 3 V 4 + ^80- 3 V V80-4) = 8-12 хх 3 у/ (V80+4) (^80-4) ( 3 V 4 + ^80- 3 V V80-4) = 8-12 хх (3V4 + V80-3VV80-4).х (3V4 + V80-3VV80-4).Таким образом.Таким образом.8-12(3^4 + х/80-8-12(3^4 + х/80-
2) аналогично, -^/iQp—2^25р2 — q2 =-j5p+q —^/^p — q;
1> ^Sp+q+^Sp-q-^Sp+qA-x/Sp-q-^Sp-q.
2) аналогично, -^/iQp—2^25р2 — q2 =-j5p+q —^/^p — q;
1> ^Sp+q+^Sp-q-^Sp+qA-x/Sp-q-^Sp-q.
Равенство справедливо при p>0 и ?e[0, 5pY ■
Равенство справедливо при p>0 и ?e[0, 5pY ■
1308. □ Так как
1308. □ Так как
x+2,/x — 1 = -y/x—l+Z^x—I +1 = -^(Vx ^ + 1У =
x+2,/x — 1 = -y/x—l+Z^x—I +1 = -^(Vx ^ + 1У =
= -Jx—1 + 1 и yx—T-Jx— l=|^/x— 1 — 1], то данное выражение примет вид у=,/x—1 +1+|yx—1 —1|. Итак, получаем ответ:
= -Jx—1 + 1 и yx—T-Jx— l=|^/x— 1 — 1], то данное выражение примет вид у=,/x—1 +1+|yx—1 —1|. Итак, получаем ответ:
1) при Vх- 1 — 1 <0 => хе[1, 2) => у=2;
1) при Vх- 1 — 1 <0 => хе[1, 2) => у=2;
2) при -Jх— 1 — 1 >0 => хе [2, оо) => у = 2^/х~ 1.
2) при -Jх— 1 — 1 >0 => хе [2, оо) => у = 2^/х~ 1.
График функции у изображен на рис. Р. 1.1. ■
График функции у изображен на рис. Р. 1.1. ■
1.309. □ Данное условие будет выполнено, если дискриминант равен нулю. Имеем D=4 (к—9)2 —
1.309. □ Данное условие будет выполнено, если дискриминант равен нулю. Имеем D=4 (к—9)2 —
Рис. Р.1.1
Рис. Р.1.1
-+-4 (t2 + 3fc + 4)=0 => (,к-9У = к2+Зк + 4;
х к2-18i + 81=i2 + 3fc + 4 => 2\к = 11 => к =
= 11/3. ■
1.310. □ Подставив заданное значение х в уравне_ние. получим следующее выражение: (3у4 + ,/80—
-+-4 (t2 + 3fc + 4)=0 => (,к-9У = к2+Зк + 4;
х к2-18i + 81=i2 + 3fc + 4 => 2\к = 11 => к =
= 11/3. ■
1.310. □ Подставив заданное значение х в уравне_ние. получим следующее выражение: (3у4 + ,/80—
-3VV80-4)3 +12 (3V4 + V80-3VV80-4)-8.
-3VV80-4)3 +12 (3V4 + V80-3VV80-4)-8.
Согласно формуле
Согласно формуле
(1.12), имеем
(1.12), имеем
(3V4 + V80-3VV80-4)3=4 + V80-V80+4-3 х
(3V4 + V80-3VV80-4)3=4 + V80-V80+4-3 х
х 3 у/ (V80+4) (^80-4) ( 3 V 4 + ^80- 3 V V80-4) = 8-12 х
х 3 у/ (V80+4) (^80-4) ( 3 V 4 + ^80- 3 V V80-4) = 8-12 х
х (3V4 + V80-3VV80-4).
х (3V4 + V80-3VV80-4).
Таким образом.
Таким образом.
8-12(3^4 + х/80-
8-12(3^4 + х/80-
80 —4) — 8 = 0, т. е. число х есть ко
рень данного уравнения. ■.
1311.1311.b
1311.
1311.
□ Так как u2—v2=(u—V)(u+V)=b, то u+v=-. Тогда получим систему
,baba
(u—v=a откуда и=—|— и v =. Подставив найденные значения
J2д 2 2д 2
16
^u + v=-,
а,,. х aV (b aV 3b2
и и v в равенство u3—v3=c, имеем u3—v3=|—|— —Ih \2а 2/\2а 2/ 4а
а3
-I— = с. Итак, искомое соотношение имеет вид ЗЬ2+а*=4ас. ■
4
131Х л/(л+1).
1313. □ Разложим квадратный трехчлен на множители: л2+Зл+2 = (л + 1) (л + + 2). Тогда получим
1111111. 1
6 + 12 20+ " (л + 1) (л+2)-2-3 + 3-4+4-5 + " (л+1) (л+2)’
111111111111
Но —=; ; =—-; ...; . При
23 2 3 3 4 3 4 4'5 4 5 (л + 1)(л + 2) л + 1 л + 2
11
сложении этих разностей все члены, кроме - и, взаимно уничтожат- 2л+2
111111л
ся. Таким образом, - +—Н—+...Ч—:==. ■
6 12 20л2+Зл+2 2 л+2 2л+4
□ Приведем правую часть равенства к общему знаменателю:
х2+5 А (х—1)2 + 5(х+2)+С (х+2) (х—1)
х3—Зх+2х3—Зх+2'
Если две дроби с одинаковыми знаменателями равны, то тождественно равны и их числители, т. е.
х2 + 5=Я (х-1)2+5 (х+2) + С(х+2) (х-1).
Так как это равенство есть тождество, то оно выполняется при любых х. Следовательно, если х = 1, то 35=6, т. е. 5=2; если х = — 2, то 9 А=9, т. е. А = 1; если х=0, то А +25—2С=5, откуда С=0. Итак, А = 1, В=2, С=0. ■ 1.316. □ Пусть 19=х3—у3, где х>у. Так как х3—у3=(х—у) (х2+ху+у2), а число 19 является простым, то его можно представить в виде произведения
Гх—у=1,
только как 1 • 19. Тогда получим систему <Подставив
(х2 + ху+у2 = 19.
у=х—1 во второе уравнение, имеем Зх2—Зх—18=0 или х2—х—6=0, откуда Х(=3, х2=2 и, значит, yi=2, У2 = 1. Из двух пар (3; 2) и (2; 1) удовлетворяет условию только пара (3; 2). Следовательно, решение единственно и 19= З3—23. ■'
(х2 —2) (х2 + 2) (х2-2х+2) (х2 + 2х+2). 1319. а=165,5, 6 = 158,5.
□ Здесь х# — 1, х#0, х#1. Разложив числитель и знаменатель на множители, получим
/ (х—1) (х2+х + 1) X (х2—2х+1+х) X \~1/2 / х2 \~1/2 |х + 1| \(х+1)2 (х2 — х+1) (х2 + 2х+1 — 1) (х-1)/К(х+1)7 “ И '
Окончательно находим:
х+1
хе(—оо, — 1) =>;
х
х+1
хб(-1,0)»;
х
xe(0, 1)U(1, + оо)»—. ■ ’ х
□ Найдем область допустимых значений:
Гх—2</2х—4>0,Гх>2,/2х—4,Гх2>8х—16,
(2х-4>0[х>2.[х>2=>
Гх2—8х+16>0,Гх#4,
1х>2 ■(х>2.
Легко заметить, что х+2^/2х—4=(,/х—2+^/2)2 и х—Т^Тх—4 =
/—Г‘1
=(Vx-2-V2)2. Тогда заданное выражение примет вид —== +
^х-г*^г
1|Vx-2-V2|+V^-2+V2'
-I======- —. Окончательно получим:
,Vx-2-V2|1х-41
хер, 4)хер, 4)-(х-4)-(х-4)хе (4, 4-со)=»хе (4, 4-со)=»1322. □ Здесь т#0, п^О, т!п*2. Имеем:1322. □ Здесь т#0, п^О, т!п*2. Имеем:л т. .,2ч—|—4лгл2—4лгл2т пл т. .,2ч—|—4лгл2—4лгл2т п(т2+2тп+п2) т2п2(т2+2тп+п2) т2п24тп—т2—п2 (т—2л)2’ 414 -(4тл-т2—4л2) тптп п2 т14тп—т2—п2 (т—2л)2’ 414 -(4тл-т2—4л2) тптп п2 т1тп (т+п)2(т—2л)2 ’тп (т+п)2(т—2л)2 ’!тл(т+п)2 4т1 п2!тл(т+п)2 4т1 п2т --1 пт --1 п(т-Тл)1(т-Тл)1(л:-2л)(л:-2л)т 2 пт 2 пт — 1 пт — 1 пт—2лт—2лт 1 пт 1 пт2 пт2 пт 2пт 2п2) п.,п /2) п.,п /
хер, 4)
хер, 4)
-(х-4)
-(х-4)
хе (4, 4-со)=»
хе (4, 4-со)=»
1322. □ Здесь т#0, п^О, т!п*2. Имеем:
1322. □ Здесь т#0, п^О, т!п*2. Имеем:
л т
. .,2ч—|—
4лгл2—4лгл2т п
л т
. .,2ч—|—
4лгл2—4лгл2т п
(т2+2тп+п2) т2п2
(т2+2тп+п2) т2п2
4тп—т2—п2 (т—2л)2’ 414 -(4тл-т2—4л2) тп
тп п2 т1
4тп—т2—п2 (т—2л)2’ 414 -(4тл-т2—4л2) тп
тп п2 т1
тп (т+п)2
(т—2л)2 ’
тп (т+п)2
(т—2л)2 ’
!тл(т+п)2 4т1 п2
!тл(т+п)2 4т1 п2
т --1 п
т --1 п
(т-Тл)1
(т-Тл)1
(л:-2л)
(л:-2л)
т 2 п
т 2 п
т — 1 п
т — 1 п
т—2л
т—2л
т 1 п
т 1 п
т
2 п
т
2 п
т 2
п
т 2
п
2) п.
,п /
2) п.
,п /
Окончательно находим: (т \ (т \ - —1) I2 л т \п / \л /
0<—<1 =*—т-п;
п(т \
2)' \л /
т
1<— <2=»п—т; п
т
2<— <оо => т—п. ■ п
1323. 2х2— а2, если х<— |а|; —а2, если х>|а|. 1324. Ь— 4а, если ае[0, V2)! 2 (а— I)2, если ае\>/2, +оо). 1325. 5/(2Vx), если хе(0, 4); (2х—З^г^/х), если хе [4, 4-со).
□ Разложим числитель и знаменатель на множители:
„♦_2л2+4л2+2л-5=л4-л2-2лэ+2л+5л2-5=л2 (л2-1)-2л (л2-1) + + 5(л2-1)=(л2-1)(л2-2л+5);
л*—Зл3+7л2—5л=л (л2 (л—1)—2л (л—1)4-5 (л—1))=л (л—1) (л2—2л4-5).
Из разложения видно, что ОДЗ л#0, л^ 1. Окончательно получим (л2—1) (л2—2л4-5) Л4-1 л (л—1) (л2—2л4-5) л
□ Легко заметить, что под знаками радикалов в числителе находятся полные квадраты:
^/^-s-V»)1^ ("+V»)Vw-
Преобразуем знаменатель:
V^ (a+V^-S'V6 (a+Vi3)=(a +V^) (V2a-5-V6)-
Тогда заданное выражение примет вид
(e+V^lV^-SV»!|V^-5V*I
J a (a + V6) ( V^ - 5' V6) V° (V^ - 51 V»)
Очевидно, что ОДЗ a>0, a*—^b, a^lSXjb1^. В результате получаем ответ:
. Г (V^-SV^)1
-Ja ^у/2д—5'3у/Б}у/a
г y/2a-V3y/b 1
у/2а >51^Ь=» _\==-^=. ■
VaCV^-S'V*) V"
(2—х)/2, если хе(—оо, —2); —(х2+2х+8)/(2х), если хе[—2, 0); (х2 + +2х+8)/(2х), если хе(0, оо). 1329. —х, если хе(0, 1); х, если хе(1, оо). 1330. (х— 1)/х, если хе(—оо, О)0[1, °о); (1—*)/*, если хе(0, 1). 1331. — (z+l)/z, если ze(—оо, — 1)0(0, 1); (z+l)/z, если ze[— 1, 0)0(1, оо).
□ Последовательно находим:
•^(а2—й2*^) (°2—Ь1—\/а}=V(°3~Ь3У—а;
Va6 + 1о3 Ь3 + Ь6—4а3й3—а=V(°3— b3Y—а.
Для области допустимых значений должны выполняться следующие условия:
а>0; а3—Ь3 + у/а^0 =» b^-J^ + y/a', й3 + ^а>0 =» й> -6-Ja.
Следовательно, -6y/a^b^3->fi^~+^a. Итак, получаем ответ: 1 при а>0, — 6y/a^b<i3-/a3*y/a. ■
□ Находим ОДЗ: х>0; х+2у>0 =>у>— х/2 Преобразуем отдельно числитель и знаменатель:
y/f1 (х+2у)+V*3 (x+2y)-xVx-*2=x [yjx+2y-y/x)+y/x3 (Vx+2y-
-Vx)=(Vx + 2y-Vx) (x+Vx3);
yJlx-\-2y—2>Jx1 л-2ху=^x—2Vx1+2xy+x+2y= =yJx^2^Jx^JxV2y*^c+2y=J^Jx4^^= \y/x*2y-y/x|.
Тогда данное выражение примет вид
(Vx+2y-Vx) (Vx+Vx2)
VjxV2y—Vx| (2V*2—yjx'3yjx^-x)
(Ух + 2у —Ух) Cx/x+x/x) CV*1~x/*1x/x+x)
\х/х+2у—х/х\ (\/x2—Ух\/х+х)
(Ух+2у-Ух) Cx/x+xM\Vx+Iy-x/x\
В результате получаем ответ:
при хе(0, + оо), уе(-х/2, 0) => -Сх/х+х/хУ. '
при хе(0, * со), уе(0, + оо) => 3Ух+Ух. Ж
1334. 2а при ае(—оо, 0)(J(3, оо); —2а при ае(0, 3). 1335. \p-Jy, у^О. 1336.
4а2 + 3, .
. 1337. 2/(2—а) при ае[1, 2); 2Уа-1/(а-2) при ае(2, оо). 1338. -9z3 9 (а2 + 1)
при ze(—оо,—1/2)У(0, 1/2); 7z3 + 2 при ze[—1/2, 0)(J(l/2, оо). 13».
—2! x/lx-yX при хе(—1/2, 3/2); — У2х+1/2 при хе(3/2, оо).
1340. □ Здесь х>0, у>0. Преобразуем числитель и знаменатель:
Хх—х/у-уух~1') = - (4х2—4хУу+у)=—= |2х~Уу|;
NX ^х
xj9х2+6 3У2ух+ 3У4у2=л/^х+3У2у)2=Эх + 'xll-У»
6х1-у21х/2ух1—Зх/ух1—6х/*У5 = ’^х (Зх+3У2у)—(ЗхУу+6У22у3у2)=
-2x (Зх+3У2у)-Уу (3x + V2y)=(2x-V>-) (3x+V2y).
Тогда заданное выражение примет вид
^2x-Vy|(3x+3V5) _ |2х-Уу|
Ух(Зх+3УЗД(2х-Уу) Ух(2х-Уу)'
Ух (2х—у)УхУх (2х—у)УхДалее имеем: если Ък^у, то —===; если же 2х>Уу, то
Ух (2х—у)Ух
Ух (2х—у)Ух
=—=. Учитывая, что х>0, у>0, получаем ответ: —= при х>0,
0<у<4х2;= при х>0, у>4х2. К
Ух
1341. -1/х при хе(-оо, -У2)()(0, У2); 1/х при хе(-У2, 0)()(У2, оо).
1342. □ Разложим числитель на множители: хв+4х*—4х4+4+х4—2х2+2” =((х4+2)2-4х4) + (х4-2х2 + 2)-(х4+2-2х3) (х* + 2 + 2х1')+(х*-2х1 + +2)=(х4—2х2+2) (х4+2х2+3). Тогда получим
1343. □ Здесь х>3. Преобразуем числитель и знаменатель первой дроби: -^/х+З—2Ух+3 +1 = ^/(Ух+3 —I)2—|Ух+3 — 11;Ух—УхУх+3—
— Ух—3+ Ух—3" Ух+3— У х (1 — Ух+З) — Ух—3 (1 — Ух+3) —
= (1 — х/х + 3) (х/х—х/х—3). Поскольку x>3, эта дробь примет вид
—■■■ В результате получим
х/х + 3-1111
(1 — ^х+З) (^х— -Jx—3) ^Jx + ^x—З Vх-3—х/х хА~3 + х/
—2х/х
=—. Ж
3
□ Пусть (За+ х/ба—1) ^2+(За—х/ба—1) *^2=z. Возведем обе части равенства в квадрат:
2112
За+х/ба—1 За—х/ба—1 -J^d — 6а+1
За—^6а—1+3а + х/ба—126а 2
9а2-6а+1+х/9а2-6а+1 (За-1)1 + |За-1|
Очевидно, что ОДЗ заданного выражения z есть а >1/6 и а ^1/3. Таким образом, окончательно находим:
при ае[1/6, 1/3) => z2=-—; z=--^—;
(За—I)2 За—1
12а—2J\la-T
при а е(1/3, оо) => z2=--; z=^ В
(За-1)2 За-1
— (х/1 — 4р2 + 1)2/(4р2) при рб[ —1/2, 0);— 1 при ре(0,1/2).
|*х/а—6х/б|. 6>0. 1347. 4х/(х—4) при хе(4, 8); 2х/х/х—4 при хе(8, оо). 1.348. 6 при хе(—оо, 0); 6—2х при хе[0, 6); —6 при хе[6, оо). 1.349. ( —2х2 + 2х—3)/х при хе(—оо, 0); (3 + 2х)/х при хе(0, 2); (2х2—2х+3) /х при хе[2, оо). 1350. х/(х—1) при хе(—оо, — 1); х/(1 —х) при хе(— 1,0); —х/(х+1) при хе[0, 1); х/(х+1) при хе(1, оо). 1351. 1/а при ае(-оо, — 1)0fl» 00)1 ° ПРИ ае[-1, 1). 1352. (/— l)/(3z — 1) при <е[1/6, 1/3) (J[L »); (1 — 0/(3r— 1) при <е(1/3, 1). 1353. 1 —х/х при хе[0, 1); dх — ^ при xe[h °0)- 1-354. х2 —4х—12 при хе(—оо, 2); (х + 2)2 прихе(2, оо). 1.355. х2+х/2. 1356. (9—2х)/х при хе(—оо, 0); (2х—9)/х при хе(0, 3/2); (2х+3)/х при хе(3/2, оо).
1357. □ При z=y, у=х, z=x многочлен обращается в нуль; следовательно, он делится на (х—у) (х—z) (у—z). Так как данное выражение имеет третью степень относительно х, у, z, то должно выполняться равенство двух многочленов:
х (y2-z2)+y (z2-x2)+z (x2-y2)=fr (х-у) (x-z) (y-z).
Раскрыв скобки, получим
ху2—xz2+yz2—yx2+zx2—zy2=k (х2у—x2z+xz2—y2x+zy2—z2y).
Сравнивая коэффициенты многочленов при соответствующих степенях, найдем к= — 1. Таким образом, искомое разложение имеет вид
ГЛАВА 2
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
2.001. □ Имеем
х2—2х—3+х2+2х—3 х2+4х—12+х1—4х—12 2(х2-3) 2(х2-12)
х2—1х2—4’ х2—1х2—4 ’
х*-7ха+12=х*-13х2 + 12; 6х2=0;х=0. ■
2.002. xi=5;x2=-55/16.'
2.003. □ Приведя к общему знаменателю, получим
2 , ,xi , ,ч2 a(а + 1)2±-^/(а+1)*—4а (а2+1)2
ах1—(а+1) х+(а+1)2=0; х==
2а
(а + 1)2±(а + 1) (а—1)о + 1,
=: X, =а+1; х2 =. ■
2аа
т1 + п1
2.004. □ Имеем х — 2— - х+1 =0; следовательно,
т2+л21/т1 + п1\1т1+п1±2тлт+пт—п
х=——-±— -1=—;х,=; х2 =. ■
т —пУХт—п1/т—пт—пт + п
а1 — ^
2.005. □ Если 6^0, то xi=a+6, х2=; если 6=0, то х=а. 2.006. Х|=а;
26
х2 = (1-а2)/л 2.007. хх=а+Ь; x2=^a+b^l.
2.008. □ Имеем
(х2—л2)—(ле2—л2) (х2— р2) — (т1 — р1)х1—т1х1—т1
(л1+л)(х-л)(т+р) (х-р) ’(л1+л)(х-л) (л1+р)(х-р)
Отсюда: либо х1—т1 = 0, т. е. хх=т, хг——т; либо (л1+л) (х—л)=(л1+р) (х—р), т. е. (л—р) х=(л—р) (m+л+р). Если п=р, то х — любое число, кроме х=п; если л^р, то хз=т+п+р. Ответ: если п=р, то х — любое число, кроме х=л; если л^р, то хх=т, Х2=—т, хз=т+п+р. ■
135
2.009. □ Переписав уравнение в виде 1ч+1Ч+ 1ч= 6, получим
х+1х+3х+5
1.35
1-'ч=3. Отсюда, приведя к общему знаменателю, имеем x+V х+3 х+5
9х2+46х+45=Зх3+27х2 + 69х+45;
Зх3 + 18х2+23х-0; х (Зх3 + 18х+23)=0;
2 г•
Х1=0;х2,з3±-V3- ■
2.010. Х1=0;х2=5;х3=38/11. 2.011. ух=0;у2, 3=(-9±°/4-
./x2+6V / 5х V /x2+6V / 5х V
2.012. □ Имеем | —-— I — I I =0 или I —— I — | —-—- I =0. Расклады- \х2— 4/ \4—X1)\х2—4/ \х2—4/
вая левую часть уравнения на множители, получим (при х^±2); либо х24-64-5х=0, откуда xj = —3, либо х2 + 6—5х=0, откуда х2=3. ■
2.013. □ Разложив левую часть уравнения как разность кубов, получим ((х+3)— -(х + 1))((х+з/+(х+3)(х+1)+(х + 1)2)=56. Отсюда Зх24-12x4-13-28 или х24-4х—5=0, т. е. Х| =1; х2= —5. ■
2.014. □ Имеем (х— а)3—(х—6)3 = (6—а) (х2—2ах+а2+х2 — (а+6) x+ab+x1 — —26х+Ь2). Поэтому уравнение примет вид (6—а) (Зх2—3 (д+6)х+д2+ +а6+62)=(6 —а) (62+а6+а2). Отсюда находим: если а=Ь, то х — любое число; если а^Ь, то Зх2—3 (а+6) x+a2 + ab+b2=a2+ab+b2, т. е. Х]=0;
xi=a+b. ■
2.015. □ Имеем х3 (8x4-1)4-8 (8x4-1) =0, откуда (8x4-1) (х34-8)=0 или (8х-ь + 1)(х+2)(х2-2х+4)=0, т. е. х, = —1/8; х2= —2. Ж
/х3+1\/х4-1\х+1„
2.016. □ Имеем 3 (—— I—7 I1=0, откуда—— (Зх2—3x4-3—7х)=0, т. е. \ X1 )\ X )X2
либо х + 1=0, либо Зх2—10х+3=0. Следовательно, xi = —1; х2=3;
х3 = 1/3. ■
2.017. х= —1.
2.018. □ Приведя к общему знаменателю и перенеся все члены уравнения в ' левую часть равенства, получим х* —ah (a+b) х2 + а3Ь3=0. Это биквадратное уравнение. Полагая x2=z, имеем z2 —ab (a+b) z+a3b3=0. Следо- ab(a+b)±ab(a-b)
вательно, z=, откуда z\ = ab; zi=ab*, т. е.
2
-Ч, 2= t^V6. х3, 4= ±iVa- ■
2.019. xv, 2 = ±2; х3, 4= ±3^21/7. .-х2+х—5
2.020. Xi = 1; х2 = — 5; х3 4 = — 1 ± <6. • Использовать подстановку=z. ’х
2.021. □ Приведя к общему знаменателю и перенеся все члены уравнения в левую часть, получим 12 (х—а)2—26х (х—а)4-12х2=0. Так как х^0, то
/х—а\2х—а
уравнение можно переписать в виде 121) —261-12=0 или
.\ X / X
(
х—а\2х—а ' х — а
) —134-6=0. Полагая= /, получим 6/2—13(4-6=0. От-
X )XX
32
сюда Г] =-, (2=-, т. е. х, = — 1а, х2=3а. ■
2.022. □ Полагая х2 4-4=z, получим-4-= 2 или 2z2 — 7z—4=0. Отсюда Z[ =
z Z4-1
=4, т. е. х2=0, х=0; z2= —1/2, т. е. х2= —9/2 (это квадратное уравнение
корней не имеет). Итак, х=0. ■
2.023. *1 — 1; х2= — ^б. • Использовать подстановку х34-2=z. х—а '
2.024. х\-1Ь—a; xi=2a—b. # Использовать подстановку=z. х—6
111.
2.025. □ Переписав уравнение в виде —=—, положим х3 +
хг+2х х24-2х4-1 12
111,
4-2х—z. Тогда -—=—. Значит, zi =3, z2= —4, т. е. либо х24-2х—3=0
'z Z4-1 12
, либо х2+2х+4=0. Из первого уравнения находим Xi = 1; Х2= —3. Второе ' уравнение не имеет корней. ■
2.026. Xi, 2 = ±2; хз, 4 = ±4У24/2. • Использовать подстановку 2х4 —7=z.
2.027. Xj=l; Х2=3. • Использовать подстановку х1 — 4х+10=у.
2.028. xj=2; Х2=1/2. * Использовать подстановку (x3 + l)/x=z.
/ , П /1\1
2.029. □ Переписав уравнение в виде ( хн—- 1+1 хЧ— 1=4, положим хн—=z.
\X2/ \ X/X
Тогда х2+2+—=z2 или z2 —2=х2Н—-. Заданное уравнение примет вид х2х2_
z2+z—6=0, откуда zi = 2, z2= — 3. Итак, х1; 2=1; *з, 4=(—3 ± х/5)/2. ■
2.030. х( =2; х2=1/2; х3- 4=(— 11 ± У 105)/4.
2.031. □ Имеем У15—х=6—Уз—х. Возведя обе части равенства в квадрат, получим 15—х=36—12Уз—х+3—х; 12УЗ —х=24; Уз—х=2; 3—х=4; х= —1. Проверка показывает, что это значение является корнем уравнения. ■
2.032. X] = — 1; Х2=3.
2.033. □ Имеем
0,6 3 /-юлДз
, V3 v . 12 3 '
2 V 7—х=; У 7—х =;
-•4У216ЭУ93 3 2 216
УТ—х=2; х=3. ■
2.034. xit 2 = ± 1, хз, 4= ± Уб-
2.035. □ Имеем (х2+9)—(х2—7) = 16 или (Ух2+9—Ух2—7) (Ух2 + 9+ + Ух2—7) —16. Так как Ух2+9~Ух2-7=2, то Ух2 + 9+Ух2-7=8.
(Ух2+9+Ух2—7=8, Следовательно, получаем систему < откуда
,(Ух2+9-Ух2-7=2,
2Ух2+9«10, т. е. xlt 2= ±4. ■
2.036. □ Возведя обе части уравнения в квадрат, имеем (х+1) + (9—х)— -2У(х+1)(9-х)=2х-12 или У(х+1) (9—х) = 11—х. Снова возведя в квадрат, после преобразований получим х2 —15х+56=0, откуда xi=8, Х2=7. Проверкой убеждаемся в том, что оба корня подходят. ■
2.037. □ Решая так же, как и предыдущий пример, получим xi = —4/3, хг=4. Однако легко видеть, что первый корень является посторонним. Итак, х=4. ■
2.038. □ Возведя обе части уравнения в квадрат, получим 2х+2Ух2—х—11 = — 16. ОтсюдаУх2—х—11 =8—хилих2—х—11—64—16х+х2или 15х—75, т. е. х-5. ■
2.039. □ Дважды возведя в квадрат, находим xj = — 1, Х2= — 4. Проверкой устанавливаем, что подходит только первый корень. ■
2.040. х = 2..
2.041. □ Перепишем уравнение в виде \/5*+7 + 3V12—5х=1 и возведем обе части равенства в куб, воспользовавшись формулой (а+6)3—а3+63 + + 3д6(а+6). Тогда получим (7 + 5х) + (12—5х)+3'\/(7+5х) (12—5х)х x(V5x+7+V12-5x) = l. Так как, по условию, \/5х+7 + \/12—5х=1, то 19+3 \/(7+5х) (12—5х) = 1. Отсюда V(5x+7) (12-5х)= — 6 или (5х)2—5 (5х)—300=0. Следовательно, 5х=0,5 (5 ±35), откуда 5xi=20, 5x2= —15, т. е. Xi =4, Х2= —3. ■
2.042. Х1 = -61,Х2=30. 2.043. х=9. 2.044. х=0. 2.045. xi,2=±l.
2.046. □ Имеем ^/1+х^/х2—24=х—1 или 1+х^/х2 —24=х2 — 2х+1 или Vx2—24=х—2 (так как х#0). Отсюда х=7. ■
2.047. □ Сократив дроби в левой части уравнения, получим \/х2 + + 1 —\/х+1=4 или 3^х3 — 3^/х—2=0. Отсюда 3-jx= — \ или '^jx^T. Так как 3-Jx не может быть равен — 1 (при этом знаменатели исходных дробей обращаются в нуль), то х=8. ■
2.048. х-4. 2.049. х,-3, х2=5.
2.050. □ Воспользуемся очевидным равенством (5 + 3^/х)—(5—3^/х)=2’^/х. Разложив его левую часть как разность квадратов, получим ^S-v^x— — ^5 — \Л0 (V5+3VX+V5—3VX)=2 3VX- Так как, по условию, •^/S+’^/x+x/S—\/х=3^х, то V5+3VX—V^—3VX=2 Складывая почленно эти уравнения, имеем 2х/5+\/х=\/х+2- Отсюда 20+4 3,Jx = = \/х2+4 3V*+4 или 3Vx2 = 16 или 3х/*=4, т. е. х—64. ■
2.051. xt — о, х2 = (4а—6)/3.
2.052. □ Для решения уравнения воспользуемся следующим утверждением: если .а сa+b c+d
верно равенство -=- , то справедливо и равенство=(проверьте!). b da—b c—d
„ (VX + VX)+(VX-VX) 3 + 1 2VX _ Г Г Имеем —===——или= *2 или >Jx=2 Vх или
(Vx+3Vx)-(Vx-Vx) 3-1 2 Vх
х3=64х2; так как х^О, то х=64. ■
2.053. □ Данное уравнение можно переписать в виде 2 (\/х)2 + 5 6 Vх—18=0. Решив это квадратное уравнение относительно 6 Vх» получим 6Vx =
-5±V25 + 144.-.
=. Отсюда Vх! “ —9/2, **<^хг=2. Первый корень не подхо-
4
дат. Ответ: х=2в=64. ■
2.054. □ Имеем ^х 5-Vx—l°Vxe_sVx1; 3<^ху/х^^у/х*. Таким образом.
‘V-^3—10Vx3 —56=0. Далее, решая аналогично предыдущему примеру, получим: 10^/х3=23; х3=230; х=2*°=1024. ■
2.055. х, Z=±2V2. 2.056. xlt 2= ±2V2- 2Л57. xt, 2= ±7. 2.058. x1 = 6, x2=
= -2 (1 + V4)/5. 2.059. x=2. 2.060. x=5/3.
7 l5~x
2.061. x=l. # Использовать подстановку 7 /—-=z.
, /16z
2.062. z1=2;22=— —. ♦ Использовать подстановку ’ /—-=u.
2.063. xi, 2= ±4. • Использовать подстановку •>/x1+20=z.
. г4 м+1
2.064. □ Полагая 3Vx+2=u, получим-+= 2. Отсюда м—9м+20=0; «t =4;
и 5
«2=5. Таким образом, \/х+2=4; Зх/х=2; х, = 8; 3х/х+2=5; 3^/х=3; Х2-27. ■
2.065. □ Полагая х1 +3х—6=у, получим у—12+4Vy=0. Отсюда ^у=2; у =4. Таким образом, х2+3х—10=0, т. е. xi = —5; хг=2. ■
2.066. □ Полагая х2—4x+6=z, получим z— VL=^lz. Следовательно, z1—24z+ + 144=2^ z2—26z+144=0. Далее имеем: zv = 18, т. e. x2—4x+6 = 18; xt=6; X2=—2; zi=%, t. e. x2—4x+6=8; X3,4=2±V6- Проверкой легко убедиться в том, что подходят только первые два корня. Ответ: xi =6; х2=-2. ■
2.067. □ Из первого уравнения находим у=х— 1. Подставив это выражение во второе уравнение, имеем х3—(х—1)3«7, откуда х2—х—2=0. Следовательно, Х]=2, Х2= — 1, a yi = l, У1=— 2. Ответ: (2; 1), (—1; —2). ■
2.068. (-4; 24); (-6; -2).’
381...
2.069. □ Имеем: у—-. Значит, х*н—-=82, т. е. х—82х4+81=0, откуда х*=1 хх*
и х4=81. Выразив х, получим ответ: (1; 3); (—1; — 3); (3; 1); (—3; — 1). ■
((x+OPf-Ky+O.S)2-!,
2.070. □ Запишем систему в виде <Полагая х+0,2=и;
1(х+0,2)+(у+0,3)=1,4.
(u2+v2=l,
y+0,3=v, придем к системе <Возведя второе уравнение в квад-
(m+v=1,4.
рат, получим u2+v2+2mv=1,96. Так как w2+v2 = l, то уравнение примет f«+v=l,4,'
вид 2uv=0,96. Итак, <Ропив эту систему обычным способом,
t«v=0,48.
находим «1=0,8, vi=0,6; «2=0,6, v2—0,8. Отсюда xi=0,6, yi=0,3; хг=0,4, У2=0Д ■
Х+у
2.071. □ Разделив второе уравнение системы на первое, получим—4, откуда
х-у
2х55у/5у\5у40,
—=-, т. е. х =—. Тогда(уч—)у—=120, т. е. — у’ = 120;у1—21.
2у33\3 /39
Ответ: (5; 3). Ж
х2ч-у2 5х 1
2.072. □ Перемножив уравнения системы, получим =-. Отсюда -=-,
ху2у г
ух
т. е. х=~, или -=2, т. е. х=2у. Из второго уравнения системы для 2У
2 13113
каждого из этих случаев имеем: -ч—=-, откуда у=4, х=2; —I—=-,
У у 4. 2у у 4
откуда у = 2, х=4. Ж
2.073. (7; 3), (-7; -3).
(х2 —у1) (х2+у2)15ху5х
2.074. □ Имеем =—, т. е. -Ч—=-. Полагая -=z, получим
(х2 — у2) ху6ух2у
2z2 —5гч-2=0, откуда z=2, z=l/2. Итак, х = 2у и х=у)2. Подставим найденные выражения в первое уравнение системы: у4=1, т. е. у=±1; тогда х=±2; у*= —16 (это уравнение не имеет корней). Ответ: (2; 1), (-2; -1). Ж
2.075. (2; -1), (-1; 2). 2.076. (1; 2).
2.077. □ Возведем первое уравнение в квадрат: х~2ч-у'2+2 (ху)-1=25. Учитывая, что х^+у'1-13, получим 13 ч-2 (ху)-1 =25, т. е. ху—1/6. Из уравне- х+у5(ху=1/6,
ния=5 находим х+у=-. Итак, остается решить систему < ху6(х+у=5/6.
Ответ: (1/2; 1/3), (1/3;1/2).Ж
2.078. (4; 3), (4; -3). 2.079. (3; 2), (-3; -2).
(12и2+и-2,5=0,
2.080. □ Полагая хЧ-у=и и х—у=v, получим систему < ,откуда
(6v24-v-0,125=0,
«I =5/12, vl = 1/12, «2 = —1/2, v2 = —1/4. Комбинируя каждое значение и с каждым значением v, находим:
(x+y-5J12,
[х—у =1/12, т. е. Х[ = 1/4, У1 = 1/6;
(хч-у=5/12,
\х-у=-1(4, т. е. хз-1/12, у2 = 1/3;
Гхч-у=—1/2,
(х-у =1/12, т. е. хз=—5/24, у3=-7/24;
(хч-у =-1/2,
(х— у=—1/4, т. е. Х4=—3/8, у4=—1/8. Ж
2.081. (2; 6), (1; 3). 2.082. (4; 1), (1; 4). 2.083. (3; 2), (-3; -2).
х+у1 13
2.084. □ Полагая=z, получим z+- =—, т. е. 6z —13гч-6=0, откуда zx = х—уz 6
32хч-у32х5хч-у
=-, z2=-. Таким образом,=-, т. е. —=-, у=±1, х-±5;=
23х-у22у1х-у
22х 5
=-, т. е.———, у2= —1 (корней нет). Ответ: (5; 1), (—5; — 1). Ж
32у -1-
2.085. (1/2; 4). 2.086. Й 3), (3; 2).
2.087. (4; 1), (10/3; 2/3). • Положить х+у=и, ху—v.
2.088. (1/а; 6). 2.089. (— 1, 2); (2, -1).
2.090. □ Из второго уравнения системы находим u3 = —m/v3. Подставив в
первое уравнение, получим v3+ l=m, т. е. v6—(m—1) v3—т=0. По- V3
дожим v3—z; тогда получим уравнение z2 —(т— 1) z—т=0, откуда z=
(m—1)± V"!2+2/И+1 (m—l)±(m+l) ==, т. е. zi =т, z2= — 1. Итак, решив
22
{
u3=m,[u3=—1,.—
и <найдем значения х и у. Ответ: V^Jm; — 1);
v3= —1(v3 = m,
(-1; Vm). ■
2.091. (1; 2), (2; 1). * Использовать подстановку ху=и, x+y=v.
2.092. (2; 1), (2; -1); (1; V2); 0; -^2)- 2.093. (4; 1), (1; 4). 2.094. (1; 2), (2; 1).
2.095. □ Имеем
(х+у) (х2—ху+у2)=35,(х2-ху+у2=7,
откуда< ,,
х+у=5,(х2+2ху+у2 = 25.
Вычитая первое уравнение из второго, получаем Зху=18, откуда ху=6. [х+у=5,
Итак, решив систему <, найдем значения х и у. Ответ: (2; 3),
(ху = 6
2.096.2.096.(3; 2). Ж
2.096.
2.096.
□ Сложив уравнения системы, получим 6 (x+y+z) = 12, т. е. x+y+z=2.
Вычитая это уравнение из первого, имеем y+2z=l. Теперь из системы
(y+2z=l,
•<находим Зх=6, т. е. х—2. Легко видеть, что у= — 1, z—1.
(3x+y+2z—7
Ответ: (2; — 1; 1). ■
.097. (1; 2; 3).
.098. □ Из первых двух уравнений получим u—v—1 и w=v + l. Подставляя эти выражения в третье уравнение, имеем (v—1 —l)3+(v—2)3 + +(v+l—З)3—3. Отсюда 3 (v—2)2=3, т. е. (v—2)3 —1, v=3. Значит, и=2, w=4. Ответ: (2; 3; 4). ■•
2.099. □ Имеем
Решив эту систему, получим ответ: (124; 76). ■
□ Возведя первое уравнение в квадрат, получим Vu + Vv—2 *>/ич=\.
Г Г/—(VMVv=4>
Так как ^/и+^увЗ, то *V«<v=2. Итак, решив систему _-
найдем значения и и v. Ответ: (16; 1). ■
(1; 81), (81; 1). 2.102. (4; 1), (1; 4). 2.103. (1; 9), (9; 1).
□ Имеем х+у—13—^Jxy. Возведя это уравнение в квадрат, получим х2+у2+2ху“169 — 26^/ху+ху. Так как х2+у2=91— ху, то 91-169—
[ху=9,
— ТЬ^ху, т. е. ^Jxy=3. Остается решить систему <Ответ: (1; 9),
(х+у=10.
(9; 1). ■
(1; 4), (4; 1).
□ Возведя первое уравнение в куб, получим х+у+3 СхА+’ч/и) ЧА-У”
V^ = 3.■зхА+3хА=4.V^ = 3.■зхА+3хА=4.Ответ: (1; 27),Ответ: (1; 27),= 64 или х+у+3'4 \Ау=64. Так как х+у=28, то 28+3 43>/ху=64,
V^ = 3.
■зхА+3хА=4.
V^ = 3.
■зхА+3хА=4.
Ответ: (1; 27),
Ответ: (1; 27),
т. е. ^ху — З. Остается решить систему
(27; 1). ■
□ Представим второе уравнение системы в виде (ЧА+у—*хА~У)х х (ЧА+У+ЧА—у)=8. Так как *х/х+у-1г*х/х—у=4, то 4(ЧА+У— —ЧЧ—у) = 8, т. е. *у/x+y-*-Jх—у=2. Остается решить систему ЧА+У=3,(х+у=81,
или <Ответ: (41; 40). ■
*^х-у=\Iх—у=1.
(41; 40). 2.109. (9а2; а2).
Лх+у[ = 3,
□ Имеем <Отсюда получаем четыре системы уравнений:
(1х-у| = 1.
х+у=3, х—у= 1;х+у=3, х—у= 1;х+у=3,(х+у=-3, (х+у=—3,
х+у=3, х—у= 1;
х+у=3, х—у= 1;
,х—у=— 1; (х—у=1;(х—у= — 1.
Решив их, найдем все значения х и у. Ответ: (2; 1), (1; 2), (—1; —2), (-2; -1). ■ _
/у2.
□ Полагая /—=z, получим z— = 1 или z — z—2=0, и, значит, z\ = \хz_
ly
=2, Z2= — 1 (этот корень не подходит). Итак, /-=2, т. е. у=4х. Тогда
х/9х+хА=4 или ЗхА+хА=4, откуда х=1, ау=4. ■
(0; а), (2—а; 2), если а^0; (2; 2), если а=0. * Использовать подстановку
N х + а
(3; 1). • Использовать подстановку 2х—у+11=и, Зх+у—9=v.
(12; 4), (34; —30). • Использовать подстановку ^х+у=и, 3^х—у=\.
□ Возведем второе уравнение в квадрат: u2 +v2+2uv = uv+6xAv+9. Так как u2+v2=uv+13, то 2uv—6x/“v+4=0, т. е. uv—3xAv+2=0. Сделав замену -Jwi=z, получим квадратное уравнение z2—3z+2=0, откуда zi=2, т. е. y]w=1, Z2=l, т. е. ^/ич=\. Итак, остается решить системы {ич=4,(uv=l,
и < Ответ: (1; 4); (4; 1). ■'
u+v=5 (u+v=4.
(4; 1).
□ Перемножив уравнения, получим х+у=9, т. е. у=^—х. Подставив
данное выражение в первое уравнение и выполнив преобразования, придем к уравнению х2—9х 4-8=0. Отсюда х, = 1, х2=8, а у, = 8, у2 = 1. ■
□ Имеем 6Vx2>>3+6Vx3y2 = 12, откуда 6^/х2у2 (6х/х+6х/у)=12. Так
как6^/х2у2 =3Vxy=3VM. то 67xVjy=3. Итак, остается решить систе-
f6Vx+6Vy=3>
му< - - Ответ: (1; 64); (64; 1). ■
(V^Vj'-z.
/ ./ ,f3u+10v = 5,
□ Полагая (2—Vх-У') "“» О^^х^У^ —v> получим <
(4u—5v=3.
{
2—^/х—у=1,
—
24-Vх 4-у=5. ответ: р; чу ■
□ Выполнив преобразования и используя теорему Виета, получим
62 2с
11 xj+x2 ^Х^х^-Зхххг 7i"~Ь2—2ас
х2+х2 (Х]Х2)2(Х1Х2)2с2 с2 ■
а1
1 1 х]+х2 1 11Ь
□ Имеем — 4—=; —1—=. Но, по теореме Виета, Х| +х2= —;
X] х2 Х]Х2 Х| х2 Х]Х2а
Ь с11 а 6 11 аb а
х1х2=-. Поэтому —I—=—=—; —1—=-. Итак, х24—х4—=0 или аХ[ х2 с с xt х2 сс с
а сх2+Ьх+а—0. ■
□ Если корни искомого уравнения обозначить через X] и х2, а данного — через X] и х2, то из условия следует, что х\ =Х] Ч-х2; х2=Х[ х2. Используя — Ь — с — — с—ЬЬс теорему Виета, получим X] = —; х2 =-. Отсюда Х| ч- х2 =, X] х2 = —-.
а ааа1
.Ь—с Ьс
Итак, искомое уравнение примет вид х2чх—-=0 или ах4-(аЛ— а а2
— ас) х—6с=0. ■
ах24-(6—2а) х4-(с—б4-а)=0. 2.124. р-0, ?=0; р-1, q= -2. 2.125. Л, = 1, Вх = -2; Л2=0, В2=0. 2.126. к=2.
(Зх2—4х+р—2=0,
□ Имеем ,Подставив выражение р=2—Зх2ч-4х во
(х2—2рх 4-5=0.■
второе уравнение, получим 6х3—7х2— 4хч-5=6хэ—6х2—4хЧ-5 = 6х2 х х(х—1)—(х—1) (хЧ-5)=(х—1) (6х2—х—5)=(х—1)2(6хЧ-5), т. е. Х! = 1, х2— —5/6. Отсюда pi = 3, рг— —41/12 (противоречит условию). Итак, р—3. При этом значении р получим уравнения Зх2—4х4-1=0 и х2—6х4-5=0.
Первое из них имеет корни х, = 1, Хг = 1 /3, а второе — корни х, = 1, хз = 5, т. е. х=1 — общий корень. Ж
□ Имеем х2 —2ох+(2а—1)=0 и Х1+Х2=х}+Хг, т. е. Xi+X2=(xi + X2)2 — — 2x1X2. Согласно теореме Виета, 2а=4а2—4а+2 или 2а2—За+1=0, откуда oj = 1, 02 = 1/2. Ж
а = 6. 2.130. с = 15. 2.131. а=4.
^Х1Х2--16,
□ Имеем х2+ах—16=0 и xi/x2=—4. Из системы (найдем
1х1/х2=-4
Х| = 8, Х2 = — 2 или xi = — 8, х2=2. Далее, используя равенство xi + х2 = — р, получаем ответ: pt = — 6, р2=6. Ж
□ Выполнив преобразования и используя теорему Виета, находим х,+
,./5\32 5 215
+ x,=(xi +Х1Г — 3xiX2 (xi +Х2) = ( - I +3 - -=—. Ж \3/3 3 27
6 = 2. 2.135. с = 1/3.
□ Перемножив одночлены, стоящие в числителе и знаменателе, имеем х*-10х3 + 35х2-50х+24,,,,-
—-= 1 или х*— Юх3+З5х2— 50х+24=х* + 10х3+
х* + 10х3 + 35х2 + 50х+24
+ 35х2 + 50х+24. Отсюда, приведя подобные члены, получим 20х3+ 100х = = 0 или х3 + 5х=0. Таким образом, х=0. Ж
□ Выполнив преобразования (сделайте это самостоятельно), в результате 3
получим —- (m-1) (х*+4)=0. Легко видеть, что при т=1 в качестве х можно взять любое число, кроме ±1, ±2; при т#1 получим х*+4=0 или х* = — 4 (действительных корней нет). Итак, если т= 1, то х — любое число, кроме ± 1, ±2; если m ^ 1, то корней нет. Ж
□ Выполнив преобразования, получим уравнение z4+4=0 или z*+4z2 + +4—4z2=0 или (z2 + 2)2—4z2=0, т. е. (za-2z+2) (z2+2z+2)=0. Итак, либо z2 —2z+2=0, либо z2+2z+2=0. Легко видеть, что корней нет, так как дискриминанты обоих уравнений отрицательны. Ж
□ Перепишем уравнение так: ха2 + (х*— 1) а— х3=0. Это квадратное уравнение относительно а, откуда находим
-(х*-1)±7(^-02+4х* -(х4-1)±(х4+1) а ==.
2х2х -
Следовательно, а=-; а=—х3. Остается решить уравнения ах = 1 х_
и х3+а=0. Ответ: х, = 1/а; х2 = —3>/а, если а^О; х=0, если а=0. Ж
□ Имеем (х + 1)5=(х + 1)2 (х+1)3=х5 + 5х4 + 10х3 + 10х2+5х+1;
(х—1)5 = (х—I)2 (х—1)3=х5—5х4 + 10х3 —10х2 + 5х—1. Складывая, получим 2х5+20х3 + 10х=32х или х3 + 10х3 —11х=0 или х (х4+10х2 —11)=0. Отсюда Х| = 0, х2- з = ± 1. Ж
Если а=0, то х — любое число; если а#0, то Х|, 2=±о- 2.142. xj =10;
х2= -20,5.
□ Воспользуемся определением модуля и рассмотрим различные случаи.
1-й случай: х<0. Тогда — х+1 —х=1, т. е. х=0. Легко видеть, что х=0 не удовлетворяет неравенству х<0. Следовательно, х=0 — посторонний корень.
2-й случай: 0<х<1. Тогда х+1—х=1, т. е. 1 = 1. Значит, х может быть любым числом на [0, 1).
3-й случай: х> 1. Тогда х=1.
Ответ: хе[0, 1]. ■
□ 1-й случай: х<0. Тогда—х3+(1—х)3=9, т. е. 2х3—Зх2+Зх+8=0 или (х+1) (2х2—5х+8)=0. Легко видеть, что х= —1 —единственный корень этого уравнения (удовлетворяет условию).
2-й случай: 0<х<1. Тогда х3+(1—х)3=9. Корни этого уравнения не удовлетворяют условию.
3-й случай: х>1. Тогда х3+(х—1)3=9, т. е. 2х3—3х2 + 3х—10=0 или (х—2) (2х2+х+5)=0. Легко видеть, что х=2 — единственный корень этого уравнения.
Ответ х1 = — 1, Х2=2. ■
□ Имеем (х2+1) (х—2)+(х3 + 2) (х+1) = -2 (х+1) (х—2). Выполнив преобразования, получим 2х3 + х2 + х—4=0. Так как сумма всех коэффициентов равна нулю, то х = 1. Запишем последнее уравнение в виде 2х3—2х2+3х2—Зх+4х—4=0или(х—1) (2х2 + Зх+4)=0.Отсюда
2х2+Зх+4=0. Поскольку дискриминант этого уравнения отрицателен, оно не имеет корней. Ответ: х = 1. ■
Х1 = 1,х2. з=-2±^. 2.147. х-1. 2.148. «1 = 1, u2, 3=(l±V33)/4.
□ Легко видеть, что одним из корней уравнения х3—(а+6 + с)х2 + + (ab + ac+bc) х—abc=0 является х,=а. Тогда ((х3 —(а + 6 + с)х2 + (а6 + +ac+bc)x—abc)):(x—а) = х2 — (Ь + с) х+bc. Из уравнения х2 —(6+с)х+ + 6с=0 находим, что х2=Ь, х3=с. Ответ. Xi =а; х3=6; х3=с. ■
Замечание. Можно сформулировать и доказать так называемую обобщенную теорему Виета. Если xi, х2, х3 — корни уравнения х’+рх2+ +?х+д=0, то х!+х2+х3= -р; xlx2+xix3+x2x3=i}; х1х2х3= -s.
х2+11
□ Полагая =z, получим гч— = —2,5 или z +2,5z+l=0. Значит,
XZ
х2+11
Zi = — 2 или= — 2, откуда х +2х+1 =0, т. е. х, 2 — ~ 1S z2 — — или х'2
х2 + 11
= —, откуда 2х+х+2=0. Так как дискриминант последнего урав- х2
нения отрицателен, то оно не имеет корней. Ответ: х= — 1. ■
1
х1 =2, Х2=1/2. Использовать подстановку х-1—=z.
X
1110,
□ Полагая x+l=z, получим ч— или 5z*—19z2—4=0. (z-1)2 (z + 1)2 9
Отсюда zj=4, т. e. z=±2, и z2=—- (это уравнение не имеет корней).
Ответ: X] = 1, Х2=—3. ■
х—1
х=2д—1, Х2=2—а. ® Использовать подстановку=у.
х—а
xi =0, Х2= — 2. • Использовать подстановку х2+2х+1 =у.
Xt=6, Х2= — 2, х3-4=0,5 (—2±-х/б6). 2.156. zt=0, z2=l.
66□ Раскрыв скобки в знаменателе, получим уравнение +
6
6
х2+Зх + 2
8
4—:= 1, для решения которого следует использовать подстановку
х2 + 3х—4
х2+3х—4=z. Ответ: Х]=0, Х2 = —3, х31 4=0,5 (—3±^/73).
Положим (х—3)2=z или х2 —6x+9=z, откуда х2—6x=z—9. Итак, исходное уравнение примет вид (z— 9)2—2z=81 или z2—20z=0. Таким образом, zi=0, т. е. (х—3)2=0, откуда Х1=хг=3, и 22=20, т. е. (х—3)2=20, откуда
хз 4-3 ±2^5. ■
xi=2, х2“—4. х-2х+2
□ Полагая =у и= z, получим уравнение 20y +48yz—5z =0 х + 1х-1
у 1(х-2) (х-1) 1
или 20 - +48 (~ 1—5=0. Следовательно, -=— или =—,
\z/ \zjz 10 (х + 1) (х+2) 10
2 у5 (х —2) (х— 1)5
откуда xi = 3, х2=-;-=- - или= — (действительных корней
3 z2 ' (х+1) (х+2)2
нет). Ответ: xi =3, Х2=2/3. ■
□ Имеем (х + 7^2~ I)2 ((^ +^2-О (х-л/х2-1))э = iили(х +
+ Vx2 —I)2 (х2—х2+1)=1. Таким образом, x + V*2-1=1 или Vх2-!" = 1 — хили х2 — 1 = 1 -2х+х2, откуда х= 1; х+^х2 — 1 = — 1 или Vx2~ 1 = = -(1+х)или х3-1 = 1 + 2х + х2, откуда х=-1. Ответ: х> = 1, х2= — 1 ■
□ После возведения в квадрат получим 2х3 + 2х+5 + + 2V(x2 + x+4) (х2 + х + 1)=2х2+2х+9 или х/(х3+х)2 + 5 (х3+х) + 4 = 2. Отсюда (х3+х)3 + 5 (х3+х)+4=4 или (х2+х) (х2+х+5)=0. Ответ: Xi=0, х2 = —1. ■
-2х+1.-3
□ Имеем Vx=2— или -Jx =. После возведения в квадрат и
х+2х + 2
выполнения преобразований уравнение примет вид х3+4х2+4х—9=0. Заметим, что сумма коэффициентов последнего уравнения равна нулю и, значит, оно имеет корень х=1. Поэтому х3—х3 + 5х2—5х+9х—9=0 или (х—1) (х3 + 5х+9)=0, т. е. х2 + 5х+9=0 (это уравнение не имеет корней). Ответ: х=1. ■
□ Имеем >/х+2=3уЗх+2. После возведения уравнения в шестую степень получим (х+^*=(Зх+2)2 или х3 —Зх3 + 4=0 или (х+1)(х2— —4х+4)=0. Отсюда Xj = — 1 (посторонний корень), х2=2. Ответ: х=2. ■
х-1.
□ После возведения обеих частей уравнения в куб имеем 2х—16 +
+ 3 ^х (х —16) (х—8)=х—8 или 3 3V* (х~16) (х—8) = —(х—8). Отсюда 27х (х—16) (х—8)= —(х—8)3. Легко видеть, что Х] =8. После сокращения последнего уравнения на х—8, раскрытия скобок и приведения подо- „12 г-
бных слагаемых получим 28х*—448х+64=0, откуда Х2 з=8±—V21- ® ’7
xi = 1, Х2=3/2, х3=2.
□ После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получим хэ—9х3^+8=0 или (х^)2—9х3^+8=0, откуда х^2=1, т. е. Х[ = 1, 3/2
и х =8, т. е. Х2=4. ■
□ Имеем 5’13>/х22 + 30^/х2, — 22’13^/х7=0 или 15^6с7 (5х+х*^2—22)=0. Отсюда: либо 13х/х7=0, т. е. х=0; либо 5х+х^2—22=0 или 5 (х^У+х*^—22=0, т. е. х*^=2 и х^ =—— (не имеет смысла). Ответ: Xi =0; Х2=4. ■
ГТ”2
□ Полагая / =и, получим и2— = 3 или и3—Зи—2=0. Отсюда: U]=2
I zz4/ z
или /=2 или=4, т. е. z=—:и2= — 1, т. е. /= — 1 (не имеет
yz+1 z + 13yz+1
4 смысла). Ответ: z= —. ■ 3
х=0. • Использовать подстановку ^/х+1 +>Jx=z.
х=12. • Использовать подстановку 20/х=у.
П Положим x2 + 5x+2=z. Тогда (х+4) (x+l)=x2+5x+4=z+2. Таким образом, остается решить уравнение z+2—3Vz— 6=0 или z—3^/z—4=0. Ответ: Xi =2, Х2——7. ■
□ Имеем (Зх2-2х+15)-(Зх2-2х+8)=7 или (0х2-2х+15- —-х/Зх2—2х+8) (ч/Зх2—2x+15+x/3x2—2х+8) = 7.Так как
V3x2-2x+15+V3x2-2x+8 = 7, то V3x2-2x+15-V3x2-2x+8 = l. Вычитая из предпоследнего уравнения последнее, получаем
2V3*2—2х+8=6 или Зх2—2х+8=9 или Зх2—2х—1=0, откуда xt = l, Х2=-1/3. ■
/18-7х-х2/—(х—2) (х+9)/х+9
□ Имеем /-= /-—-^—— /. Заметим, что — 9<
у 8—6х+х2 у (х—2) (х—4)4—х
" '/х+9/4-х 13
<х<4. Данное уравнение можно переписать так: /——+ /"^=^-
/х+91 13
Полагая /—z, приходим к уравнению z+-=— или 6z — 13z+6=0.
у4—хz 6
3/х+9 3
Отсюда получаем: г1“~ и™ J~—”~ или 4х+36=36—9х, т. е. х,=0;
/х+9 2
z2—- или /—- или 9х+81 —16—4х, т. е. хг— —5. Легко видеть, что
V4-X 3
оба корня удовлетворяют условию. ■;•-
2.176.
Так как
то
. Вычитая из предпоследнего уравнения по- 4
/7= 9-3^7+7.,
следнее, получаем 2VX+1~Vx + 7 =или И (х+7)—2Vx+7 —
4
— 93 = 0, откуда х = 2. ■
х=0. • Использовать подстановку \/x+~l=z.
6 + 1281286 + 1j
х, =, Х2=. • Использовать подстановку 1J^ax—by = z.
а128а
□ Возведем обе части уравнения в куб:
' 9 — ,/x+l + 7 + -Jx+1 + 3■ 4•3,/(9—-^/х+1) (7 + ^/x+l)=64 или
— (х+1)=4.— (х+1)=4.Отсюда (х+1)—2^/x+l +1 =0 или ^ха-1 = 1, т. е. х=0. ■Отсюда (х+1)—2^/x+l +1 =0 или ^ха-1 = 1, т. е. х=0. ■□ Имеем ч/х+4 + ч/х—4 = 2х+2\/х2 —16 —12.□ Имеем ч/х+4 + ч/х—4 = 2х+2\/х2 —16 —12.Возведем правую частьВозведем правую частьэтого уравнения в квадрат:этого уравнения в квадрат:(^/х+4+^/х—4)2 = 2х+2^/х2 —16. Полагая(^/х+4+^/х—4)2 = 2х+2^/х2 —16. Полагая= и и вычитая из последнего уравнения предпоследнее, по= и и вычитая из последнего уравнения предпоследнее, получаем и2 — и—12=0, откуда ui=4, и2=—3 (посторонний корень). Такимлучаем и2 — и—12=0, откуда ui=4, и2=—3 (посторонний корень). Такимобразом,образом,хА+4 + Vx—4 =4 и Vx+4 — ^/х—4 =хА+4 + Vx—4 =4 и Vx+4 — ^/х—4 =(х+4) —(х—4) =2. Отсюда4(х+4) —(х—4) =2. Отсюда4находим lyjx—4 = 2 или Vх-4 = 1, т. е. х = 5. Я□ Имеем 4^/(0—х)2—Ю^а—х) (6—х)+4^/(6—х)2=0. Так как х^б иl/a—xV/а-х1а—х 5±346—ах#а, то2 /II —5 /+2=0, откуда /=, т. е. xi=,N\b-x)Nb-xNb-x 43находим lyjx—4 = 2 или Vх-4 = 1, т. е. х = 5. Я□ Имеем 4^/(0—х)2—Ю^а—х) (6—х)+4^/(6—х)2=0. Так как х^б иl/a—xV/а-х1а—х 5±346—ах#а, то2 /II —5 /+2=0, откуда /=, т. е. xi=,N\b-x)Nb-xNb-x 434а—64а—6□ Имеем ^x+a+’V-t+o + l = —3Vx+°+2. Возведя обе части уравнения в куб, получим 3x+3a+3=3’\/(x+a) (x+a+1) (x+a+2). Отсюда□ Имеем ^x+a+’V-t+o + l = —3Vx+°+2. Возведя обе части уравнения в куб, получим 3x+3a+3=3’\/(x+a) (x+a+1) (x+a+2). Отсюда(x+a+l)3=(\/(x+a) (x+a+1) (x+a+2))3 или (x+a+1) ((x+a+1)2- —(x+a) (x+a+2))=0. Следовательно, либо x+a+l=0, т. e. x=— a— 1, либо (x+a+1)2—(x+a) (x+a+2)=0, t. e. (a+1)2— a (a+2)=0 (это уравнение не имеет корней). Ответ: х= —а— 1. ■(х2+у=у2+х,(х2+у=6,□ Имеем < .откуда < , Вычитая из первого уравне-(у2+х=6,+х = 6.ния второе, получим (х2—у2)—(х—у)=0 или (х—у) (х+у—1)=0. Итак,(x+a+l)3=(\/(x+a) (x+a+1) (x+a+2))3 или (x+a+1) ((x+a+1)2- —(x+a) (x+a+2))=0. Следовательно, либо x+a+l=0, т. e. x=— a— 1, либо (x+a+1)2—(x+a) (x+a+2)=0, t. e. (a+1)2— a (a+2)=0 (это уравнение не имеет корней). Ответ: х= —а— 1. ■(х2+у=у2+х,(х2+у=6,□ Имеем < .откуда < , Вычитая из первого уравне-(у2+х=6,+х = 6.ния второе, получим (х2—у2)—(х—у)=0 или (х—у) (х+у—1)=0. Итак,
— (х+1)=4.
— (х+1)=4.
Отсюда (х+1)—2^/x+l +1 =0 или ^ха-1 = 1, т. е. х=0. ■
Отсюда (х+1)—2^/x+l +1 =0 или ^ха-1 = 1, т. е. х=0. ■
□ Имеем ч/х+4 + ч/х—4 = 2х+2\/х2 —16 —12.
□ Имеем ч/х+4 + ч/х—4 = 2х+2\/х2 —16 —12.
Возведем правую часть
Возведем правую часть
этого уравнения в квадрат:
этого уравнения в квадрат:
(^/х+4+^/х—4)2 = 2х+2^/х2 —16. Полагая
(^/х+4+^/х—4)2 = 2х+2^/х2 —16. Полагая
= и и вычитая из последнего уравнения предпоследнее, по
= и и вычитая из последнего уравнения предпоследнее, по
лучаем и2 — и—12=0, откуда ui=4, и2=—3 (посторонний корень). Таким
лучаем и2 — и—12=0, откуда ui=4, и2=—3 (посторонний корень). Таким
образом,
образом,
хА+4 + Vx—4 =4 и Vx+4 — ^/х—4 =
хА+4 + Vx—4 =4 и Vx+4 — ^/х—4 =
(х+4) —(х—4) =2. Отсюда
4
(х+4) —(х—4) =2. Отсюда
4
находим lyjx—4 = 2 или Vх-4 = 1, т. е. х = 5. Я
□ Имеем 4^/(0—х)2—Ю^а—х) (6—х)+4^/(6—х)2=0. Так как х^б и
l/a—xV/а-х1а—х 5±346—а
х#а, то2 /II —5 /+2=0, откуда /=, т. е. xi=,
N\b-x)Nb-xNb-x 43
находим lyjx—4 = 2 или Vх-4 = 1, т. е. х = 5. Я
□ Имеем 4^/(0—х)2—Ю^а—х) (6—х)+4^/(6—х)2=0. Так как х^б и
l/a—xV/а-х1а—х 5±346—а
х#а, то2 /II —5 /+2=0, откуда /=, т. е. xi=,
N\b-x)Nb-xNb-x 43
4а—6
4а—6
□ Имеем ^x+a+’V-t+o + l = —3Vx+°+2. Возведя обе части уравнения в куб, получим 3x+3a+3=3’\/(x+a) (x+a+1) (x+a+2). Отсюда
□ Имеем ^x+a+’V-t+o + l = —3Vx+°+2. Возведя обе части уравнения в куб, получим 3x+3a+3=3’\/(x+a) (x+a+1) (x+a+2). Отсюда
(x+a+l)3=(\/(x+a) (x+a+1) (x+a+2))3 или (x+a+1) ((x+a+1)2- —(x+a) (x+a+2))=0. Следовательно, либо x+a+l=0, т. e. x=— a— 1, либо (x+a+1)2—(x+a) (x+a+2)=0, t. e. (a+1)2— a (a+2)=0 (это уравнение не имеет корней). Ответ: х= —а— 1. ■
(х2+у=у2+х,(х2+у=6,
□ Имеем < .откуда < , Вычитая из первого уравне-
(у2+х=6,+х = 6.
ния второе, получим (х2—у2)—(х—у)=0 или (х—у) (х+у—1)=0. Итак,
(x+a+l)3=(\/(x+a) (x+a+1) (x+a+2))3 или (x+a+1) ((x+a+1)2- —(x+a) (x+a+2))=0. Следовательно, либо x+a+l=0, т. e. x=— a— 1, либо (x+a+1)2—(x+a) (x+a+2)=0, t. e. (a+1)2— a (a+2)=0 (это уравнение не имеет корней). Ответ: х= —а— 1. ■
(х2+у=у2+х,(х2+у=6,
□ Имеем < .откуда < , Вычитая из первого уравне-
(у2+х=6,+х = 6.
ния второе, получим (х2—у2)—(х—у)=0 или (х—у) (х+у—1)=0. Итак,
- если у=х, то Xi=2; х2=—3; если у=—х+\, то хз 4=. Ответ:
'2
Z1+V21 1—х/21\ /1 —V21 1 + 721\ (2; 2), (-3; -3), —2—;. ■
\ 22 / \ 22 /
.(х3+у3 = 19,
□ Имеем <Сложив уравнения, находим (х+у)3 = 1
[3 (х2у+ху2)= —18.
или х+у=1. Тогда у=1—х и из первого уравнения получим: х3 + + (1 —х)3 = 19 или х2—х—6 = 0, откуда Xj=3, х2 = — 2 и yi = — 2, yi=3. Ответ (3; -21 (-2; 3). ■
□ Вычтем второе уравнение из первого: (х2—у2)—(х—у)=0 или (х— у)х х(х+у—1)=0. Итак, если х—у=0, то х1 =4, у, =4 и х2 = —5, yi = — 5; если4 х+у= 1, то х3, 4 = (1 ± V77)/2 и Уз, 4=(1 тV77)/2- Ответ: (4; 4); (-5; -5); /l+V77 1-V77\ Л—У77 ^V77^ \ 22 / \ 22 /
(2; 2), (—2; -2), (2; -2), (-2; 2). 2.187. (2; -5).
□ Умножим первое уравнение на 2 и из результата вычтем второе уравне- .5х+17
ине:—5х + 11у—17=0.Следовательно, у=, откуда
146х2+93х - 239 = 0. Итак, Х1 = 1, у, = 2 и х2 = -239/146, у2 = 117/146. Я
(3; 5), (5; 3). 2.190. (3; 2), (-3; -2), (V3/3; ^3>П>\ {~^У -5^3/3). 2.191. (2; 1), (-2; -1).
{
х16
—ХУ—~> У3 Перемножив уравнения системы, получим (ху)2 —
У9
__ху х2
59144
—-- хуА—Отсюда ху=6 и ху=23/6. Легко видеть, что xi=2, yj =3
и Х2= —2, У2 = —3. Я
(4; 2), (-4; -2).
х2+у2 5
□ Разделив первое уравнение системы на второе, получим =-.
*(х+у)2 9
Отсюда 2х24-2у2—5ху=0 или 25 - + 2=0. Итак, если -=2, то х1 =2,
У УУ
х 1
yi — 1; если-=-, то Х2= — 1, У2= —2. Я У 2
□ Умножив второе уравнение на 3 и сложив результат с первым уравнением, получим (х+у)3=27о3. Отсюда х+у=3а. Тогда из второго уравнения находим ху=2д2. Таким образом, числа х и у являются корнями квадратного уравнения z2—Зяг+2о2=0. Итак, zi=a, 1г=2а, т. е. xj=a, yt=2a их2=2о, У1=а. Я
□ Возведем второе уравнение в квадрат: i'x34-y2)2=25 или х*+у4 + +2х2у2=25. Учитывая, что х*+у*=17, уозучаем х2у2=4, т. е. ку-«2
(х2+у2 = 5,(х2+у2=5,
и ху=—2. Остается решить системы <и <Ответ:
(ху=2<ху=—2.
(2; 1), (1; 2), (-2; 1), (1; -2); (2; -1), (-1; 2); (-2; -1); (-1; -2). ■
□ Имеем (х2+у1') (х*—х2у2+у4)=65. Учитывая, что х*—х2у24-у* = 13, находим х2+у2 = 5. Возведем последнее равенство в квадрат: х*+2х2у2+ +у4=25 и вычтем из него второе уравнение системы. В результате получа- .[х2+у2 = 5,
ем Зх2у2 = 12 или х2у2=4. Итак, из системы ■<остается найти
(х2у2=4
х и у. Ответ: (2; 1), (-2; -1); (2; -1); (-2; 1); (1; 2),(-1; -2); (1; -2); (-1; 2). ■
(1; 3), (3; 1). 2.199. (1; 3), (3; 1), (-1; -3), (-3; -1).
□ Сложив уравнения системы, получим 2 (х3+у3) = 18а3 или х3+у3= =9а3. Отсюда х2у+ху2=6д3. Далее, сложив уравнения 3 (х2у+ху2) = 18а3 и х3+у3=9а3, находим (х+у)3 = 27а3, откуда х+у=3а. Тогда из уравнения ху (х+у)=6а3 имеем ху=2п2. Таким образом, х и у являются корнями квадратного уравнения г2—3oz+2a2 = 0. Итак, xi=a, yi=2a и xi=2a, уг = а. ■_
(3; 1), (3; -1), (- 5/3; V65/3), (-5/3; - V65/3). • Использовать подстановку x+y = u, x—y = v.
11
(2; — 3). • Использовать подстановку=и,=v.
х+у—12х—у+3
(а+Ь а — Ь\ (а+Ь а—Ь 2ЛЙЗ. (3; 2), (1; 4), (-3; -4), (-5; -2). 2.204. ; ;
\ 22 / \ ab ab
(2; 1), (6; -3), (6+2V3; -2-2^3), (6—2^/3; -2 + 2V3). 2.206. (3; 1), (-3; -1), (14V106/53; 4V106/53), (-14V106/53; -4^106/53). 2.207. (5; 3), (-5; -3).
/-7 + V73 -7-V73X /-7-V73 -1 + Jl3\
(2; 3), (3; 2), (—;— , —;— . 2.209. (1; 4),
\22/ \22/
(4; 1).
□ Составляя попарно разности двух уравнений, получаем, что x=y=z. Тогда любое из уравнений примет вид u+u2 = 2, откуда и, = — 2, их=1.
Ответ: (1; 1; 1), (-2; -2; -2). ■
{
x+y=3-z.
Отсюда находим x+2y=2+z.
y=2z—1,х=—3z+4. Тогда из третьего уравнения получим
(—3z+4)+z (3—z) = 3, откуда z2 = l. Итак, zi=l, yi = l, Х] = 1 и Z2= —1, y2=-3, xz=7. ■
(0; 0; 0), (2; -1; -1). 2.213. (3; -2; 1), (-1; 0; 3).
(x+ (y+z)=6,
□ Первые два уравнения образуют систему <Таким об'(x(y+z)=5.
[х=1. Отсюда < ly+z=5[х=1. Отсюда < ly+z=5разом, х и y+z являются корнями квадратного уравнения и2—6и+5=0.
[х=1. Отсюда < ly+z=5
[х=1. Отсюда < ly+z=5
и <Наконец, из систем <y+z=5, и
^+2=1’(y(z+l)=8
Vy+z=l, находим x, у, z. Ответ: (1; 2; 3), (1; 4; 1), (5; 2; — 1), U(z+5)=8
(5; 4, -3). ■
2215. (0; 0; 0), (a—b; b—c; c—d). 1216. x=abc, y=ab+bc+ca, z=a+b+c. k(k—c)(k—b)k(k—c)(k—a)k(k—d)(k—b)
2217. x=, y=, z=.
a (a—c) (a—6)b (b—c) (b—d) c (c—d) (c—b)
2218. □ Перемножив уравнения системы, получим (xyz)2=abc, т. е.
.—xyz ^/abc lac lab [be
xyz = ±dahc. Отсюда x=—— ±= ± /—, y=± /—, z=± —. ■
yz b v b у c Na
2219. □ Запишем третье уравнение в виде xyz=1 и умножим на него два первых
{
x+y+z=3,
xy+yz+zx=3, Введем вспомогатель- xyz=l.
ную неизвестную и и для нее получим, что и3 — Зи2 + 3и—1=0 (см. замечание к решению задачи 2.149). Отсюда (х—1)3=0, т. е. и= 1. Значит, система имеет единственное решение х=у=z= 1. Я
2220. (1; 3; 5), (-1; -3; -5). 2221. (3; 0; 5).
|2х+3у| = 5,
□ ИмеемВоспользуемся определением модуля и рассмотрим
|2х—Зу| = 1.
различные случаи.
(2х+Зу>0,[2х+3у=5,
1-й случай: <Тогда <откуда х=3/2, у=2/3. Легко
(2х—Зу>0.|2х—Зу=1,
видеть, что эти значения удовлетворяют данной системе.
[2х+Зу>0,['2х+3у=5,
2-й случай: <Тогда/откуда х = 1, у =1.
[2х-Зу<0.(2х—Зу= —1,
(2х+Зу<0,(2х+3у= —5,
3-й случай: <Тогда <откуда х = — 1, у= — 1.
(2х— Зу>0.(2х—Зу = 1,
[2х+Зу<0,[2х+3у=—5,
4-й случай: <Тогда <откуда х= —3/2, у=—2/3.
(2х—Зу<0.(2х—Зу= —1,
Ответ: (1; 1), (-1; -1), (3/2; 2/3), (-3/2; -2/3). ■
2223. □ Составим разность уравнений системы: (х—у)+(^у—^х)=0 аши (Vy- Vх) (\/х+^у—))=й. Отсюда либо ^у--х/х=й, т. е. х=у=49, либо х+у=1. В последнем случае, сложив уравнения системы, получим Г г(х+у-Ш,
x+y+^x+Vy)-И2=0, откуда < -а эта система не имеет
l-Vx+Vy=l,
решений. Ответ: (49; 49). Ж
2224. □ Перемножив уравнения системы, имеем 8=(х+у)—(х—у), откуда у=4. Затем возведем уравнения системы в квдщэат и сложим их; тогда получим 5у 4х
— Ч—=х. При у=4 найдем х=5 (х= —5 — посторонний корень). Ответ: х 5у
(5; 4). В
2225. (11; 1).
2226. □ Запишем первое уравнение так: (u2—v2)+V“2~v2 —12=0, откуда
.Ги2—№=9,
V“2—v2 = 3. Тогда исходная система примет вид <Решив эту
(u2+v2=41.
систему, получим ответ: (5; 4). ■
1/х2—у2 \2х2— у1 Ту1
ХШ. □ Имеем /( —--1 I =1—-=—- = 1,6. Таким образом, ос-
V \х +у/х2+у2 х2+у2
{
х2+у2 5
4
У Ответ: (1; 2), (-1; -2). ■ху=2.__
2.228.2.228.((Ух)3 + (Уу)3 = 35
2.228.
2.228.
□ Перепишем исходную систему так: <-- Тогда, сложив
ХЗх^у+Зу^х-Ю.
уравнения этой системы, придем к уравнению (^ + v4)3 = 125, откуда Ух + Уу=5. Далее имеем <Jy = 5 —Ух; у=25—1оУх+х; y-Jy=\25- — 15yjx—xy/x+\5x. Последнее выражение подставим во второе уравнение исходной системы и получим х—5Ух+6=0, откуда х/х=2, Ух=3. Итак, Х1=4,У1=9; х2=9,у2=4. ■
(1; 7), (49/64; 41/8), (7; -8). 2.230. (4; 1), (121/64; 169/64).
□ Преобразуем левую часть первого уравнения. Так как ^х2+у2+ .—: , . (х2+у2)—(х2 — у2)
+ Ух2—у2 = 6,тоУх2+у2 —Ух2—у2 =—= 1, т. е.
Vх1 +у2 + Vх2 —Уг
/ / 2у2
Vх2 +у2—Vх2—у2 =—. Складывая это уравнение с уравнением
Ух2+у2 + Ух2—у2=6, получим 2Ух2+у2=6+—. Далее, учитывая, что
бУ10,,
У 2 _, приходим к биквадратному уравнению х— 9х— 10=0. Отсюда
х
х=У10, у= ±Уб. Ответ: (У 10; Уб), (У^ -У6)- ■
□ Сложив уравнения системы, найдем >/x+y + -s/y + z+-s/z+x=6.
Вычитая из этого уравнения поочередно каждое из уравнений данной
{
Уг+х=3,Гг+х=9,
^/х+у=1, или \ х+у=1, Снова применяя
УУ^=2tv + x=4.
указанные выше действия к уравнениям последней системы, получим ответ: х=3,у=-2, z=6. ■
(1; 64), (64; 1). 2.235. (1; 16), (16; 1).
□ Возведемпервоеуравнениевквадрат:Зх+2у+1 —
—2У(2х+у+1)(х+у)=1.Учитывая,чтоЗх+2у=4,и полагая
г;, fwv-2,((и+ур-д,
<2х+уЧ-1»и, Vx4-y=v, получим стстему <или<из
ци—v)2*!,1(«—v)2 = l.
которой находим и=2,которой находим и=2,Итак, остается решить систему
которой находим и=2,
которой находим и=2,
(2х+у+1=4,
/Ответ: (2; -1). ■
(х+у=1.
(5; 4), (-9; 25). 1238. (1; 1). 1239. (2; 3), (13/3; -5/3). 2.240. (10; 1), (-21/2; 53/12).
□ Положим Vx2+2y-yl=z. Тогда x2+2y+l=z2, x2+2y=z2—1. Таким образом, первое уравнение системы примет видг2+г—2=0, откуда z( = l, z2=—2 (посторонний корень, так какг>0). Итак, х2+2у+1 = 1. Из систе- [х2+2у=0, мы <находим х и у. Ответ: (2; —2). ■
(2х+у=2
(3; 3/2), (6; 3).
Г кх+у)2 5_
□ Имеем \ V ху 2 ОТКуда’
|х+у|=5,11^01=5.
[ху=4,
1-й случай: х+у>0. Тогда система примет вид <откуда xi=4,
(х+у=5,
У1 = 1; х2=1;у2=4.
{
ху=4, откуда х+у=—5,
*1 = —4, У1 = —1; х2=-1,у2=-4.
Ответ: (1; 4), (4; 1), (-1; -4), (-4; -1). ■ 2.244. Х[=О;х2= —10.
2.245. □ Выполнив деление, получим:
х2+тх+п | х—m
~ х2-тхх+2т
х2+/их+л | х —л
х2-лхх+т + л
2тх
Ттх-Ъп1
(ли-л) X
(л1+л) х—тп—п2
2т2+л
тп + п2 +л
Согласно условию, 2т2+п=т, тл+л2+п—п. Если л=0, то 2/и2=/и, т. е. т=0 либо л1=1/2. Если л#0, то п = — т, т (/и—1) = 0, т. е. /и=1, п= — 1. Ответ: (0; 0), (1/2; 0), (1; -1). ■
—6±t/^2—4дс
□ Имеем X! 2=. Пусть xj>x2; тогда, используя условие,
’2а
b
получим: (Xj — l) + (x2 + l)=xj+x2 = —; (xi —1) (х2+1)=х1х2—хг+х^ 1 = а
сJb2—4асb(сJb2—4ac\
=--|1. Итак, х2+-х+(—I1 1=0 или дх2+6х+
а аа\а а/
+ (с+^/б2—4дс—д)=0. ■
□ Полагая z= — 1, получим относительно т уравнение т2—т—6=0, корнями которого являются т=3 и т=— 2. При каждом из этих значений
’ т данное уравнение запишется так: z3—13z—12—0. Эго уравнение представим в виде (z+1) (z+3) (z—4)—0, откуда zi — — 1; z2— -3; zj—4. ■
□ Имеем 2b1 — 9ac=0 или 62=4,5дс. Тогда если хь х2 — корни уравнения
ах1+Ьх+с=0, то
—b+s/^—^ac —^.Soc+t/o.Sac-^4,5—Vo>5 Г-
xi —:=J ас,
2a2a2a
-b-^-tacV4,5 + V0,5 ,—
х2 V4.5+V°.5 (V9 + Vl)Vo.5
Таким образом, —=—== = —== ==2, откуда х2=2х1. ■
*1 V4.5-V0,5 (V9-V1)V°>5
□ Используя теорему Виета, имеем: ab = l, а+Ь-—р и 6с=2, b+c=— q. Тогда pq=(a+b) (6+с)=2>2+ас+3, откуда b2+ac— pq—3, (b—а) (Ь—с)= . - — (b^ac)—3=(pq—3)—3=pq— 6. Итак, (b—а) (6—c)=pq—6. ■
□ Вычитая из первого уравнения второе, получим ах—х-И—а=0 или (а-1)(х-1)=0. Если а—1, то каждое из уравнений примет вид _ х2+х + 1 —0, а такое уравнение не имеет действительных корней. Если же а#1, то х — 1 и, значит, 1 +а+1 —О, т. е. а= — 2. ■
р>2; xt=p+2, х2=(2—р)/5.
□ Имеем xi —х2 = 5, xj-x’=35, где Х] и х2 — корни уравнения х2+рх+
-p+Vp2-*<?-р-^р2-м
+q = 0. Кроме того, Х; = и х2=. Итак,
22
х3—x3=(xi —хг) (х2+Х1Х2+х^) или 5 (xj+x!x2+x^) = 35 или х’+х^-Ь
fp2 — q = 1,
+х2—7, т. е. получим систему < Решая ее, находим р—\,
V/p2-4q-5.
q=*—6 и р= — 1, q=—6. ■
х2 + (4^—2р2) х+(р*—4р2?) = 0. •,47
□ Так как а и Д— корни уравнения Зх2+7х+4=0, то аД=~, а+Д——.
Далее, поскольку -—- и — корни искомого уравнения х2+рх+^=0, находим'
аД 2 /а Д \(а + Д)2 —2аД—(а+Д)23
q==~, р= — I1) .
аД—(а+Д)+1 7\Д-1 а-1/ аД-(а+Д) + 121
Итак, искомое уравнение имеет вид х1——хН—=0 или 21х2 — 217.
— 23х + 6—0. ■
□ Имеем х*+5х3 + 15х-9=(х2-3) (х2+3)+5х(х2 + 3)=(х2+3) (х2 + +5х—3)—0, т. е. либо х2+3—0 (это уравнение не имеет корней), либо х2 +5х—3 —0. Поскольку дискриминант последнего квадратного уравнения положителен, оно имеет два корня: xj и х2, причем Х|Х2 —— 3, Х[+х2—
— — 5. Легко видеть, что знаки этих корней противоположны. ■
1, 1 ,//\
□ Положим х-|——г, тогда х Н—=z2—2. Отсюда I хн—)|х Н—; I” хх2X X/ \х1)
=z3—2z или x’+—+хн—=z3—2z, t. e. x3H—-=z3 —3z. Следовательно, x3 XX3
z3—3z+z2—2+z=6 или z3+z2—2z—8 = 0. Замечаем, что zi=2; далее после деления на z—2 получим z2+3z+4=0, а это уравнение не имеет корней.
Итак, z=2, откуда следует, чтох+- = 2 или х2—2х+1 =0, т. е. Xj 2=1. ■ •х’
□ Положим x=z—4. Тогда x+3=z—1, x+5=z + l. Следовательно, данное уравнение примет вид (z— 1)* + (z +1)* = 16. Отсюда 2z* + 12z2 +2=16 . или z*+6z2 — 7=0, т. е. z2=l и z2=—7. Корнями первого уравненияа являются числа Zj = 1, z2 = — 1, а второе уравнение не имеет корней. Итак,
X! = — 3, х2= — 5. ■
Xi = — 1, х2 = 0, хз = — 2. • Использовать подстановку х +1 = z.
х,=4, х2 = 2.
2360. □ Запишем данное уравнение в виде (Зх)3+(Зх)2 — 16 3х+20=0 и положим 3x=z. Тогда получим z3+z2 — 16z + 20=0. Замечаем, что z, =2, и по
сле деления на z—2 имеем z2+3z—10=0, т. е. z2 = 2 и гз = —5. Таким образом, X! = х2=Zj /3 = гг/З=2/3, хз=гз/З = — 5/3. ■
9х
261. □ Положим =и. Отсюда 9х=9и+хи, т. е. 9 (х—и)=х. Таким об-
9+х
(х2+и2=40,((х— и)2 = 40-2хи,
разом, приходим к системе <откуда /Из
[9 (х—и)—хи = 0,(9 (х—u) —хи=0.
[х—и=— 20,[х—и=2,
последней системы получаем <и <Первая система не
(хи= —180 (хи = 18.
имеет решений, а решая вторую, находим Xj 2 = 1±V19- ■
262. х, = — 1, х2 = 2. 2.263. х, =2, х2=4, х3= -1, х4 = -1/2.
х= —1/2. < Использовать подстановку х=1/у.*
□ Так как сумма коэффициентов уравнения равна нулю, то один из его корней равен единице: Xj = l. Тогда после деления на х—1 получим х2 —2ох+(а2 —а) = 0, откуда х2- з = а±^а- ■
266. «1=1, ui=a+b, ui=a—b.
2367. □ Замечаем, что одним из корней уравнения является Xj = —3. Тогда после деления на х+3 получим х2—Зх—(р2— р—2)=0, откуда х2=р+1, х3=—р+2. ■
268. Х!=1, хг, з = д±-х/"1- 2.269. Х]=а, х-^ з = а*^Ь.
□ Имеем (4х*+3х2—1)—(16х3—4х)=0. Отсюда 4(х2 + 1)(х2— ■\
— 16х (х2 — )=0> т. е. (х2—) (х2—4х+1)=0. Решая последнее уравне- \4/X 4/_
ние, получаем ответ: Х], 2= +1/2, хз, 4=2±^/з. ■
□ Данное уравнение удобно записать как квадратное относительно а:
(x-2V3) e2-(2x2-2V3x-12) o+(x3-9x-6V3)=0.
Отсюда а==—. Замечаем, что х2 —V3x—6 = (х—2^/3) (x4*V3)-
X-2V3
Значит, а (х—2^/3)=(х—2^/3) (х+^З), откуда Х| =>2^Ъ, хг=а—^/з. Легко убедиться в том, что число а— ^3 есть двукратный корень данного уравнения. Итак, получаем ответ: xi = 2V3, х2 = х2=д—^3. ■
х1=1, х=1— а. 2.273. х1 = — 1, Хг = а, хз = 2д.
□ Данное уравнение удобно записать как квадратное относительно р: (z— 1) р2 —(2z2 —2z) p + (z3 — z2 —qz+q^O.
Отсюда (z— l)p2 — 2 (z— l)zp+(z— 1) (z2 — q)=0, t. e. (z—1) (p2—2zp + +z2—5)=0. Таким образом, z—1=0 и p2—2zp+z2—^=0. Из первого уравнения находим z,= 1, а из второгоp=z+-Jq, т. е. z^ ^=p±\Jq. ■
□ Имеем ^Jx+Vх+9=Vx+*+Vx+^- Возведя это уравнение в квадрат, находим 2х 4-94-2^/х2+9х=2х 4-54-2Vx2 + 5x4-4, т. е. ^/х2+9х— — ^/х2 4-5x4-4=—2. Снова возведем уравнение в квадрат: 2х2 4-14x4-4— — 2v/(x2+9x) (х2 + 5х+4)=4, т. е. х2 + 7х= Vxt + 14x3+49x2+36x. Наконец, после еще одного возведения в квадрат получим х*+14х3+49х2 = = х*+14х3+49х2 + 36х или 36х=0, т. е. х = 0. ■
□ После возведения уравнения в квадрат получим 2и2+2+ +2^/(и2—и— 1) (u2 + u+3)=2u2 + 8, т. е. ^/(и2 —и— 1) (u2+u+3)=3. Отсюда (и2— и— 1) («2+и+3)=9 или и* + и2 — 4и—12=0. Замечаем, что одним из корней последнего уравнения является и=2. Разделив на —2, приходим к уравнению u3+2u2+5u+6=0, которое не имеет положительных корней, так как все его коэффициенты положительны. Итак, и=2. ■
□ Положим хэ 4-х2—1 = и. Тогда данное уравнение можно записать в виде
Г / / Гк 4-3 —и3
V“+V“+3=3. Отсюда находим V“+3—vu=—== =- = 1, т. е.
_^/“+V“+3 з _
Vм 4-3 —^/и = 1. Складывая последнее уравнение с уравнением Vй + 4-Vu+3 = 3, получим 2у/и=1, т. е. и=1. Таким образом, остается решить уравнение х3 4- х 5 — 1 = 1, которое имеет единственный корень х=1. ■
х=0.
□ Возведем уравнение в квадрат: 2х4-2^х2—4х4-4=х2—2x4-1 или 2V(x—2)2=x2—4x4-1 или 2х—4=х2— 4x4-1, т. е. х2 —6х4-5=0. Отсюда Х[=5, х2 = 1. Сделав проверку, убеждаемся в том, что подходит только корень х=5. ■
□ Возведем данное уравнение в куб: 2x4-114-3 3V(x+5) (х4-6) (2x4-11)= = 2x4-11, т. е. 3V(x+5) (х4-6) (2x-f-ll)=0. Отсюда (х4-5) (х4-6) (2х4-11)=0. Корнями этого уравнения являются xj = — 6, х2= — 5,5, х2= —5. ■
xj=0,x2=l.
/х+5г; г;
□ Имеем 3HVx2 — 25x—150=Vх2-19x4-204. Возведя это урав- V Х-ЗО
х+5
нение в квадрат и выполнив преобразования, получим 9= 324. От-
х—30
сюда 9 (х+5)=324 (х—30), т. е. х=31. ■
х=79.
□ Запишем данное уравнение в виде ^/х+1 (^/Зх+б+^/х—1)= =2(^х+1)2. Отсюда Х]=—1. Остается решить уравнение ■х/2х+6 +
+Vx—1 =2>/х+1. Возведя обе его части в квадрат, получим 2х+6+х— — 1+2V(2x+6) (х—1)=4 (х+1) или 2-У(2х+6) (х—1) = х—1. Следовательно, 4 (2х+6) (х—1)=х2—2х+1 или 7х2 + 18х—25=0, откуда х2 = 1, х3 = —25/7. Сделав проверку, убедимся в том, что х= —25/7 — посторонний корень. Итак, х1 = — 1, х2 = 1. ■
з
2.285.2.285.О ИмеемО Имеем(х-X(х-X2 32 3ОтсюдаОтсюдаилиили3Та-3Та-
2.285.
2.285.
О Имеем
О Имеем
(х-
X
(х-
X
2 3
2 3
Отсюда
Отсюда
или
или
3
Та-
3
Та-
ким образом, приходим к уравнению (х—V2)8 (x+V2)8 = x24> из которого
находим, что х2—2=±х3, т. е. х3—х2+2=0 и х3 + х2—2=0. Первое уравнение имеет корень х, = — 1, второе — корень х2 — 1. ■
□ Запишем данное уравнение в виде (х3+х—2) + 3Vx3+x—2—10=0. Положим 3>/x3+x-2=z; тогда уравнение примет вид z3+z—10=0. Замечаем, что zj=2, и после деления на z—2 получим уравнение z2 + 2z+5= =0, которое не имеет корней. Следовательно, х3+х—2=23, т. е. х3+х— — 10=0. Это уравнение имеет единственный корень х=2. ■
Xj = — 1, х2 = 1. * Записать уравнение в виде 5х^*5+Зх4/15=8 и использовать подстановку 3\/х2=у.
2388 Х( = -1, х;=4.
2389.239а2389.239ау = 2,
2389.
239а
2389.
239а
□ Положим х+8=и, х—8 = v*. Тогда из системы <находим
(u4 —v4=16
и=2, v=0. Таким образом, х=8. ■
Х| =63/5, х2 = —17/5.
2391. □ Полагая 6Vx—2=0, \/х—3=6, запишем уравнение в виде я2 — 5d>+662=0.Отсюда (о—36) (о—26)=0. Таким образом,
^х-г-У^х-З, т. е. х-2185/728, и Vx-2-2'Vx-З, т. е. х = 190/63. Я
2392. □ Запишем уравнение в следующем виде: (х—1)+2^(х—1) (х+3)+(х+ + 3)+^х—1 + <х+3—6=0 или (Vx—1+Vx+3)2 + (Vx—l+Vx + 3)— — 6=0. Отсюда получим Vх- 1 + */х+3=2; далее имеем . , (х+3)—(х—1) 4.
Vx+3-vx~ 1"—===—"=2. Значит, -^/х—ХаО, откуда
t/x+3+Vx— 1 х=1. Я'
2393. х=3.
V*6-1 (Vх-о (Vх2+V*+v
□ Имеем —=17== 16. Отсюда 3Vx3 +
Vx3-1 Vх-1
+ Vx2+Vx~ 14=0. Решая это уравнение как кубическое относительно3 Vе > находим его единственный действительный корень х=32. ■
х = 65.
х4
□ Возведем уравнение в квадрат:h2x2 + (2x+15)=4xz или
2х+15 х*/ х^\ 2
2х2 + (2х+15)=0 или (—=- —У2х+15 ) =0. Таким образом, 2х+15V2x+15/
приходим к уравнению х2—2х—15=0, корнями которого являются xj = = — 3, Х2=5. Проверкой убеждаемся, что х=—3—посторонний корень. Ответ: х=5. ■
х(=1, х2=2ф V4, хз= -З3^- • Умножить уравнение на х и решать 3/$ его как кубическое относительно х .
х=4.
□ Умножив уравнение на V2-x+V7+x> получим (2—х)+(7+х)= = 3 (V^—х +V^+x) или V2-х +V2+x=3- Возведем последнее уравнение в куб: 2—х+7+х+З З’V(2—х) (7+х)=27, откуда (2—х) (7 + х)=8. Итак, приходим к уравнению х2 + 5х—6=0, корнями которого являются *1 = 1, х2=—6. ■
□ Для левой части уравнения имеем Vх-2+V4—х= =V2+2^6х—8—х2 = V2+2V1 — (х—3)2<2, а для правой части х2—6х + +11 = (х— З)2+2 > 2 Следовательно, возможен лишь случай равенства обеих частей, т. е. (х—3)2+2=2 откуда х=3. ■
2301. х(=7, xz=26. • Использовать подстановку V34—х=2 (1+1); S-Jx+1 = =2(1-0-_
21 7^/141, ,
2302 Xi=7, х2=14, х3 4=—±. * Использовать подстановку V15—х=
'212
=2(1+0; Vх-6=2(z—1).•
2303. □ Из первого уравнения найдем выражение для г. 2=4—х—у. Подставив его во второе уравнение, получим 2ху—16—х2—у2+8х—8у—2ху=16, откуда (х—4)2 + (у—4)2=0. Сумма неотрицательных чисел может быть равна (х—4=0, нулю только тогда, когда <. Отсюда х=4, у=4. Значит, 2=—4.
(у—4=0
Ответ: (4; 4; —4). ■
□ Из первых двух уравнений выразим х и у через z и получим х=—2, у=z. Тогда третье уравнение системы перепишем так: 3 (—г+2)3+2 (2+1)3 + +(г+1)3=27. Отсюда (2+1)3—(г—2)3 = 9 или ((г+1)—(г—2)) ((г+1)2 + +(г+1) (г—2)+(г—2)2)=9. Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, придем к уравнению Зг2—3г+3=3, откуда 2!=0, 22=1. Значит, xj=0, х2= — 1; У1=0, уг = 1. Ответ: (0; 0; 0), (—1; 1; 1). ■
/9 + 3^5 -1-3J5 1-3 Js\ /9-3V5 — 1 + 3^5 1 + 3V5
2.305. (3; -2; 2), ;; , ;;
\ 222 / \ 2.22 ,
Xу
2306. □ Положим -=u; -=v;
Уz
u+v+h'=3, uv+uw+vh'=3, Составим uvw=l.
z -=н>. Тогда
X
Г u+v + w=3, Jill Л -+-+-=3, J И V w
откуда
вспомогательное кубическое уравнение:
Z3—3/2 + 3t—1=0 или (Г—1)3=0, т. е. /=1. Значит, x=y=z. Тогда из третьего уравнения данной системы найдем, что 3х = 3. Итак, х=1, у=1, z=l. Я
ri21
Ju5
2307. □ Полагая х2+у2—и, 2xy=v, придем к системе \Переписав
I 121
1( +и=—.
<1 21у4
-=—— V,
J и 5 ее в виде \и перемножив уравнения, получим 5v —21v+4=0,
I 21 1
I u=
4 v
11fx2+y2=5,
откуда Vi=4,vj=-.Тогда u,=5,U2=-Итак, из систем<
54(2ху=4
Г 2 2 1
I х2+у2=~,
J 4
и \ j находим х и у. Ответ: (2; 1), (1; 2), (—2; — 1), (—1; —2);
L2^
(Vs№ Vs/™>: <0/1»: -js№ l-M -Vs/ю); (- Vs/Ю; -J^S)- ■ a+bb+cc+a
2308. □ Положим= u;=v;= w. Тогда, сложив уравнения заданной
х+уУ+zz+x
системы, придем к уравнению u+v+w=3. Вычитая из этого уравнения поочередно уравнения исходной системы, найдем н>=1, v=l, u=l. Итак, .<х+у=а+Ь,
остается решить систему <y+z=b+c, откуда получим х=а, y=b, z=c. Я G+x=c+o,
2309. □ Из первого уравнения следует, что x/y—l, а из второго -— что ху=2 и fx/y=2,fx/y=2,
ху= — 3. Итак, имеем две системы: < и < Легко видеть, что (ху=2 [ху= — 3.
вторая система не имеет решений, а решениями первой служат пары xt =2,
Л = 1 и Х2=-2,у2=-1. Я
2310. □ Имеем
хх
4— — 14=0. Замечаем, что - = 2; тогда уравнение УУ
можно записать в виде
0. Отсюда либо -—2=0,
™6° у 4-3-4-7 = 0 (это уравнение не имеет корней). Итак, остается (х)у = 2,
решить систему <Ответ: (2; 1). ■■
(х4-у = 3.
fx24-2xy4-y2 —(х4-у)=1024-2ху,
□ Запишем систему в виде <и произведем
'[(х+у) + ху = 69
(к2 — u = 102 + 2v,
замену x+y=u, xy=v. Тогда получим систему <Отсюда
{u+v=69.
найдем ui = 15, vt=54; ui= —16, V2=85. Итак, остается решить системы (х+у = 15, (х+у= —16,
jи jОтвет: (6; 9), (9; 6). ■
(ху = 54(ху=85.
х2 + 5ху + 6у2
□ После деления уравнений и раскрытия скобок получим — =
у2 + 5ху+ 6х2
4хz24-5z4-6 4
=-. Полагая -=z, имеем-=- или 17z2 — 15z-38=0, т. е. zj = 2
7уl+5z+6z2 7
и z;= —19/17. Отсюда и из первого уравнения данной системы заключаем,
/ X\ I X \ /X \
что у3 ( -4-1 ) I - 4-2- 4-3 1 = 60, т. е. либо у3 = 1, откуда yi = 1, xi =2,
\У /\У/\У/-~
173 417-3V419 V4
либо у3=—, откуда у^ =-—, х2 =—-—. ■
(3; -1), (1; -3). 2.314. (1; 1).
fx* + 6x2y2+y*= 136,
□ Имеем <Складывая эти уравнения, находим (x-f-
(4х3у + 4ху3 = 120.
+у)*=256, т. е. х+у= +4. Вычитая из первого уравнения второе, получа-
[х+у = 4, ем (х—у) =16, откуда х—у=2. Итак, остается решить системы <
(х—у = 2, (х+у=4,(х+у=— 4, (х+у=— 4,
44Ответ: (3; 1), (1; 3), (-1; -3),
(х—у= — 2, (х-у=2,(х—у=—2.
(-3; -1). ■
(0; 0), (-1; -2), (-2; -1), (2/3; -1/3), (-1/3; 2/3) •у2—х
□ Складывая уравнения системы, получим 2ху 4-— 3 (х2+у2), а вы-
ху
читая из первого уравнения второе, находим ху=1. Таким образом, 2+у2 —х2 = 3 (х2+у2), откуда 1 —2х2 -у2=0. Учитывая, что х=1/у, при-
2
дем к уравнению 1у2 = 0, т. е. у4—у2 4-2 =0. Очевидно, что послед- У2
нее уравнение не имеет корней, так как его дискриминант отрицателен. Значит, и данная система не имеет решений. ■
(2; 4), (4; 2), (0; 0).
8,
П Перемножив уравнения системы, получим 8ху4-84-84—~=9 (ху)2 или ху
9 (ху)3—8 (ху)2—16ху4-8=0. Полагая xy=z, имеем 9z3—8z2 — 16z—8=0. Следовательно, (z—2) (9z24-10z4-4)=0, т. e. либо z—2=0, откуда z=2, либо 9z24-10z4-4=0 (это уравнение не имеет корней). Итак, ху=2, откуда x=l,y=Z ■
(1; 2), (2; 1). 2.321. (2; -1), (-1; 2), (-2; 1), (1; -2). 2.322. (-2; 3), (3; -2).
(2; 2; 2).
□ Запишем первое уравнение системы в виде y+z=2—x и возведем его в квадрат: y2+z2 +2yz=4—4х+х2. Учитывая, что у2 +z2 =6—х2, и приведя подобные слагаемые, имеем yz=x2—2х— 1. Теперь то же самое уравнение возведем в куб: у3 +z3+3yz (y+z)=8—12х+6х2—х3. Учитывая, что y3+z3=8—х3, и приведя подобные слагаемые, получим х3—2х2—х+2=0 или (х2—1) (х—2)=0, откуда xi = l; х2=—1; х3=2. Итак, на основании
■fy+z=l, fy+z=3,
полученных результатов составляем три системы: <, <,
(yz= — 2 (_yz=2 fy+z=O,
<; из них находим у и z. Ответ: (1; — 1; 2), (1; 2; — 1), (—1; 1; 2),
Xyz= — X
(—1; 2; 1), (2; 1; — 1), (2; — 1; 1). ■
(1; —2; 3), (1; -3; 2), (2; -1; 3), (2; -3; 1), (3; -1; 2), (3; -2; 1).
□ Сложив все три уравнения и сократив на 2, получим ху+yz + zx=ll. Затем, вычитая из этого уравнения поочередно каждое уравнение данной {zx=3,
yz=6. Наконец, перемножив эти уравнения, находим ху=2.
(xyz)2 = 36, откуда xyz=6 и xyz=— 6. Таким образом, в первом случае xyzxyzxyz
получаем —=2, — = 1, —=3, откуда у=2, x = I, z=3, а во втором zxyzху
xyzxyzxyz
— =—2,—=1,—=3, откудау= —2, х= — 1, z=3. ■ zxyzху
(а+1; а; а—1), (—(«+!); -«X -(«-!))•
2328. □ Перемножим первые три уравнения: u2v2w2x6 = 8 24'12. Извлекая из обеих частей этого равенства квадратный корень, получим иун'х3=48. Теперь поделим поочередно последнее уравнение на каждое из первых трех уравнений данной системы: wx = 6, их=2, vx=4, откуда w=6/x, и=2/х, 12
v=4/x. Тогда из четвертого уравнения системы следует, что — = х+4. х
Отсюда х2+4х—12=0, т. е. xi=2, х2=-6 (посторонний корень). Итак, х=2, u=l, v=2, н> = 3. ■■,
□ Возведем первое уравнение в квадрат: x2+y2+2V(x2+5) (у2—5) = =25. Учитывая, что х2+у2 = 13, получим V(x2 +5) (у2 —5)=6 или (х2 + 5) (у2—5)=3б. Так как у2 = 13—х2, то последнее уравнение примет вид (х2+5) (8—х2)=36 или х*—Зх2—4=0, откуда х= ±2. Значит, у= ±3. Ответ: (2; 3), (-2; -3), (2; -3), (-2; 3). ■
(0; 0).■
□ Возведя первое уравнение в квадрат, а второе — в куб, получим х+у+2ч/ху=81,
Вычтем из первого уравнения этой системы второе: х+у+15\/ху=125.
2-Jxy— 15\/ху+44=0. Положим bJxy=z\ тогда Jxy=z\ 3^xy=z3 и приходим к уравнению 2z3 —15z2+44=0, имеющему единственный целочисленный корень z=2. Отсюда ^ху=%, т. е. ху=64. Значит, /—(ху = 64,
х+у=81 — 2>/ху = №. Итак, остается решить систему <из кото-
(х+у = 65,
рой находим xi = l, у] =64; х2=64, у2=1- ■
□ Из первого уравнения заключаем, что либо х=у, либо х=у+1. Возведя второе уравнение системы в шестую степень, получим (х+у)3 — — 13 (х+ур+48 (х+у)—64=0, откудах+у=8. Следовательно,решения систем (х+у=8, (х+у=8, << и являются искомыми. Ответ: (4; 4), (4,5; 3,5). ■
(х=у (х—у=1
□ Запишем первое уравнение в виде >/х (х—у)+-Уу (х—у)=3 (х/х—у)2, откуда, разделив на ^х—у, получим ^х+у/у=3у/х—у. Возведя это уравнение в квадрат, после упрощений придем к уравнению ^ху=4х—5у. Снова возведем в квадрат: ху = 16х2—40ху+25у2. Далее, разделив на ху, имеем 16—+25——41=0 или 16) —41-+25=0. Итак, х/у=25/16
у ху
и х/у= \ (легко видеть, что х=у не является решением системы). Следовательно, у=(16/25) х. Из второго уравнения системы находим х2 = 625/9, т. е. х= ±25/3, и, значит, у= + 16/3. Сделав проверку, убеждаемся в том, что х= —25/3, у= — 16/3 — посторонние корни. Ответ: (25/3; 16/3). ■
(Л/4; - V2/4), (-хМ x/W
□ Запишем первое уравнение в виде и+v—12= —yu2—v2. Возведя это уравнение в квадрат, получим u2 + v2 + 2hv + 144 — 24и—24v = u2 — v2 или v2 + uv— 12u— 12v+72=0. Из второго уравнения системы находим ^u1— v2 = 12/v. Подставив это выражение в первое уравнение системы, имеем uv+v2 — 12v + 12=0 или v2 +uv = 12v—12. Таким образом, получаем (v2 + uv- 12u— 12v + 72=0,
систему <из которой находим и = 5. Итак,
(v2+uv = 12v—12,
v2+5v=12v—12. Отсюда v2 —7v+12 = 0, т. е. Vj =3, v2 = 4. Ответ: (5; 3),
(s^e _____
(8-У26/13; 27х/26/13), (-8^26/13; -27х/26/13), (8^26/13; -27х/26/13), (-8V26/13; 27х/26/13).
□ Сложив первое и второе уравнения, получим 3^х—4= — 6 + 3x/z+4, откуда V-x—4 — — 2+Vz+4. Далее, умножив первое уравнение системы на —2 и сложив со вторым, имеем — 3x/y = 24+6x/z+4, откуда -^у=% — — I-Jt-v^. Таким образом, х—4=4—4yz+4+z+4, т. е. x=z— —4x/z+4 + 12, и у=64 — 32x/z+4+4z + 16, т. е. у=4z—32x/z+4+80. Подставив полученные для х и у выражения в третье уравнение системы, найдем z=5. Отсюда х=5, у=4. Ответ: (5; 4; 5). ■
□ Имеем *^Jхг А-хгу—ху1 — у1=*-Jх1 (х+у)—у2 (х+у) =
=*V(x+y) (х2—у2)=4х/(х+у)2 (х—у) = х/х+У4х/х-У-Обозначив
—,—. [u+v = 8,
Jx*y = u, у/ х—у=ч, придем к системе <Следовательно, и=6,
(uv = 12.
\\/х*У = 6, v=2 и u=2, v = 6. Итак, остается решить системы < и
IVх-У = 2
(х/х+у=2, < откуда получаем ответ: (26; 10), (650; —646). ■
' 2.339. □ Имеем две системы' 2.339. □ Имеем две системы
' 2.339. □ Имеем две системы
' 2.339. □ Имеем две системы
Ьх + ау
х+1
=4;
‘ У
■ах+Ьу Ьх+ау х+1 1
Из первого уравнения обеих систем получаем, что (а—Ь) х=(а—Ь) у. Итак, если а—6^0, то х=у, а значит, xj = 1/3, ^ = 1/3 и х2 = —4/3, у2= — 4/3. Если
2.340.2.340.этиэтиже а—6=0, то система имеет бесконечное множество решений, представляющих собой координаты точек двух прямых х—4у= —1 и 4х—у= — 4. ■же а—6=0, то система имеет бесконечное множество решений, представляющих собой координаты точек двух прямых х—4у= —1 и 4х—у= — 4. ■□ Так как□ Так какт. е,,_4х—у=4. Далее, так какт. е,,_4х—у=4. Далее, так какэти уравнения, имеемэти уравнения, имеемкуда 4у+4-^х=\+4^х+4х, т. е. 4х—4у=—1. Наконец, из системыкуда 4у+4-^х=\+4^х+4х, т. е. 4х—4у=—1. Наконец, из системы
2.340.
2.340.
эти
эти
же а—6=0, то система имеет бесконечное множество решений, представляющих собой координаты точек двух прямых х—4у= —1 и 4х—у= — 4. ■
же а—6=0, то система имеет бесконечное множество решений, представляющих собой координаты точек двух прямых х—4у= —1 и 4х—у= — 4. ■
□ Так как
□ Так как
т. е,,_4х—у=4. Далее, так как
т. е,,_4х—у=4. Далее, так как
эти уравнения, имеем
эти уравнения, имеем
куда 4у+4-^х=\+4^х+4х, т. е. 4х—4у=—1. Наконец, из системы
куда 4у+4-^х=\+4^х+4х, т. е. 4х—4у=—1. Наконец, из системы
66Х1+х2+хз=-;2W5 \(X! +х2) (х2+х3)+(х2+х3) (хз+хОНхз+х,) (Х|+х2) = 1 --Хз 1 f --х1 ) +Х1+х2+хз=-;2W5 \(X! +х2) (х2+х3)+(х2+х3) (хз+хОНхз+х,) (Х|+х2) = 1 --Хз 1 f --х1 ) +(Х1 +х2) (х2+х3) (хз+хО(Х1 +х2) (х2+х3) (хз+хО
6
6
Х1+х2+хз=-;
2W5 \
(X! +х2) (х2+х3)+(х2+х3) (хз+хОНхз+х,) (Х|+х2) = 1 --Хз 1 f --х1 ) +
Х1+х2+хз=-;
2W5 \
(X! +х2) (х2+х3)+(х2+х3) (хз+хОНхз+х,) (Х|+х2) = 1 --Хз 1 f --х1 ) +
(Х1 +х2) (х2+х3) (хз+хО
(Х1 +х2) (х2+х3) (хз+хО
4х—у=4, находим х= 17/2, у=5/3. ■'
4х—4у= — 1
(1; 1; 1).
□ 1) Разделим на а обе части тождества ax3+bx2+cx+dsa (х— х,) х
х (х—х2) (х—хз) и раскроем скобки. Выполнив приведение подобных чле
нов, получим х3+— х3+- х+-=х3 —(xi+х2+х3) х1+(х1х2+х2хз + х3х1) х а а а
d
хх-Х]Х2хз, откуда Х]+х2+х3 =—; х1х2+х2хз+х}х1=-; Х1Х2хз =— ааа
— формулы обобщенной теоремы Виета для многочлена (и уравнения) третьей степени.
20
2) Имеем: (х1+х2)+(х2+х3)+(х3+х|)=2 (х1+х2+х3)=2 —= 5, откуда
Составляем уравнение z3—5z2 + 5z—1=0. Применяя разложение на множители, находим его корни: Zi = l, z2=2+V3, z3=2—V3. Для отыскания {Х1+Х2 = 1, х2+х3 = 2+^/3, x3+xi =2-V3.
Ответ. Xi = l,5, х2=0,5+^3,.х3=О,5—V^- •
□ Пусть *ь *2,*з—корни данного уравнения. Согласно обобщенной теореме Виета, находим *i*2*3 = — 6i/3/3 = — 2у/3- Так как *i*2 = l, то х3=—2-х/з. Снова используя обобщенную теорему Виета, имеем *i+*2 +
г1 г 2J3, г
+х3=—2V3/3, откуда Х]Н2^3 =, т. е. 3*J—4^3X1 +3=0. От-
*13
сюдаполучаемх| = V3,xi'=V3/3. Замечаем, что *i*i'=l и,следовательно, *1'=*2. Ответ: *, = 3, *2=V3/3, *3=—2^3- ■
X) =д, *2= 1/а, *3 = 1/2.
□ Имеем
,1 Ц (xi+x2+x3) (х1х2+х2х3 + х1х3) -ah
(*1 +*2+*з) I —IН— 1 == —ab. Я
\*1 *2 *3/*1*2*3-1
□ Имеем х, = 2*2 + 0,5. Таким образом, 8(2*+0,5)3+4(2*+0,5)2 — -34 (2*+0,5)+15=0 или 8 (8*3 + 6*2 + 1,5*+0,125)+4 (4*2 +2*+0,25)- — 34 (2*+0,5)+15 = 0. Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим 64*3 + 64*2—48*=0. Так как *=0 не является корнем исходного уравнения, то, сократив последнее уравнение на 16*, имеем 4*2+4*—3=0, откуда *=0,5 и * = —1,5. Легко установить, что * = —1,5 — посторонний корень. Значит, *2=0,5. Теперь остается найти другие корни: *1 = 1,5, *3=-2,5. ■
□ Пусть *1, xxq, xxq2 — корни данного уравнения. Тогда в силу обобщенной теоремы Виета имеем *1 xiq'xiq2=x’q3 = —с или х^ = — 3>Jc, откуда
^С. ■
*1=1/8, *2 = — 1/4, *3 = 1/2. • Воспользоваться доказанным в задаче 2.347 утверждением и обобщенной теоремой Виета.
x=—q.
□ По условию, корнями данного уравнения являются числа * и *+1. Подставляя *+1 вместо * в уравнение, получаем *4—2*3—5*2+6*+6=0. Корень * удовлетворяет как исходному, так и полученному уравнению, а значит, и их разности, т. е. уравнению *3—3*2+2=0. Поскольку сумма коэффициентов этого уравнения равна нулю, один из его корней равен L Разделив на*—1, получим*2—2*—2=0. Оба корня*1 = 1 + -у/з и*2 = 1 — -у/з служат корнями данного уравнения. Два других корня получим прибавлением единицы к найденным корням: *3 = 2+у/3, *4=2—V3- *
/-Зр+9-1,J Зр2+Зи=-18, | Зр2?+р3=я, Ср3?-Л./-Зр+9-1,J Зр2+Зи=-18, | Зр2?+р3=я, Ср3?-Л.□ Данное уравнение можно записать в виде (*+р)3 (*+^)=0 или (*3+ + Зр*2 + Зр2*+р3) (*+?)=0. Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим *4 + (Зр+^) *3+(Зр2+Зр?) *2 + (Зр4^+р3) *+р39=0. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях * в данном и полученном
/-Зр+9-1,
J Зр2+Зи=-18, | Зр2?+р3=я, Ср3?-Л.
/-Зр+9-1,
J Зр2+Зи=-18, | Зр2?+р3=я, Ср3?-Л.
Из первых двух ееИз первых двух ееуравнениях, приходим к системе
Из первых двух ее
Из первых двух ее
уравнений следует, что 2р2— р— 6=0, т. е. р=Т и р= — 3/2 (посторонний корень, так как р и q — целые числа). Далее находим q = 1 — Зр, т. е. q = — 5. Отсюда окончательно получаем а = — 52, Ь = — 40. ■
2352. 1) х3-?х2+ргх-г2=0; 2) x = V2. 2.353. р=-60, ^ = 36.
□ Пусть х — корень уравнения хн— = 2cos40°. Возведя это уравнение х
в квадрат, имеем х1 Н— =4cos240° — 2 или х2 Н— =2cos 80°. Снова возведя х2х2
уравнение в квадрат, получим х4Н—=2cos 160°. И
х4
□ Если уравнение имеет хотя бы одну пару корней, огорчающихся только знаком, то на их отыскание не влияет присутствие в уравнении нечетных степеней переменной. Вычеркнув их, получим биквадратное уравнение —х4+х2 + 2=0. Решая его, находим х2 = 2, откуда х^^/2, Х2=—V2> их2=-1, что невозможно в области действительных чисел, /(ля отыскания третьего корня разделим данное уравнение на — х4+х2 + 2 и получим —2х+1=0, откуда хз = 1/2. ■
Xi =2, х2=—2.
. □ Согласно условию, корнями уравнения служат числа хи— 1/х. Подставив вместо х в уравнение —1/х, получим 6х3 + 17х2+4х—12=0. Корень х удовлетворяет одновременно исходному и полученному уравнениям, а следовательно, и разности между первым из них и удвоенным вторым, т. е. уравнению —ЗОх2—25х+30=0 или 6х2 + 5х—6=0. Отсюда Х]=2/3,
Х2= -3/2. Учитывая, что Х[Х2Хз= —1/2, находим хз = 1/2. И
□ Число ^/2+^/3 есть корень уравнения первой степени х—V2=V3> коэффициенты которого не являются целыми. Возведя это уравнение в квадрат, получим уравнение х2—2^/2х= 1, коэффициенты которого — не целые. Возведение в куб также не даст уравнения с целыми коэффициентами. Наконец, возведение в четвертую степень даст требуемое уравнение х4— Юх2 + 1=0, одним из корней которого является число V2+V3. ■
□ Умножив первое уравнение на 3 и вычтя из результата второе уравнение, получим 12х2—20х+7—0. Оно имеет корни х= 1/2, х=7/6. Так как по условию существует общий корень двух заданных уравнений, то он будет корнем и последнего уравнения. Проверка показывает, что общим корнем двух заданных уравнений является лишь х=1/2. Разделив каждое из данных уравнений на 2х—1, получим уравнения х2 —2х+2=0 и Зх2—1=0. Первое из них не имеет корней, корнями второго являются числа 4 2 = ±V3/3. ■
х=1 +2”*, где 2 — действительное число, 2i*0.
□ Пусть х — корень второго уравнения; тогда число 2х должно удовлетворять первому уравнению. Поэтому 8х3—24х2 —78х—10=0. Вычитая это уравнение из второго уравнения, умноженного на 8, получим 32х2—82х—390=0. Можно проверить, что корень х=5 этого уравнения является также корнем и второго из данных уравнений, а 2х—10 — корнем первого из них. Отсюда получаем:
х3—6х2—39х—10=(х—10) (х2+4х+1)=0, т. е. Х] = 10, хг, з = "2±t/3;
х3+х2 —20х—50=(х—5) (х2+6х+10)=0, т. е. х=5. ■
х-5 и X] =10, Х2, 3- ± V2-
□ Очевидно, что общий корень данных уравнений является корнем, например, и такого уравнения: (х4—х3—22х2 + 16х+96)—х (х3—2х2—Зх+ + 10)=0. После преобразований получим уравнение х3—19х2+6х+96=0. Вычитая его из второго данного уравнения, приходим к уравнению 17х2—9х—86=0, имеющему корни —2 и 43/17. Проверяем, что первый из них служит общим корнем данных уравнений. Тогда их можно записать в следующем виде: (х+2) (х3 —Зх2—16х+48)=(х+2) (х—3) (х2 —16)=0 и (х+2) (х2—4х+5)=0. Отсюда получаем, что корнями первого уравнения являются числа X) = — 2, х2 = 3, х3 =4, х4 = —4, а корнем второго — число х=-2. ■
□ Необходимость. Пусть а и — а— корни уравнения, причем а#0. После подстановки их в уравнение получим тождества а3+да2 +6а+с=0 и — а3 +аа2 — 6а + с=0. Складывая и вычитая их, имеем аа2+с=0 и а2+6 = 0. Исключив а2, находим ab = c.
Достаточность. Пусть известно, что ab = с. Используя это условие, запишем уравнение в виде х3+ах2+6х+а6=0 или (х2+6) (х+а)=0, откуда х1, 2= ± V~Ь (при 6<0), х3= —а. Итак, х, +x2=V—6+(~ V-^)=0- ■
□ Имеем aib=c[d=k-, тогда a=bk, c=dk. Подставляя эти выражения в данное уравнение, получаем bkx3 +bx2+dkx+d=0. Отсюда 6х2 (ix + l) + </(Jtx+l)=0 или (itx + 1) (6x2+d) = 0, т. е. Х\ =— \)к=—Ь,а, хг, з = ±V-d(b. ■
□ Так как х2, Х|Х2, х2 — корни уравнения третьей степени, то (х— — xj) (Х — Х[Х2) (х-х2) = х3 —(Х2+Х]Х2+Х2) X2 +(xjx2 + Х2х2+ XtX^ X — -xjx3=o. Но
x2 + x1x2 + x2=(xi + x2)2-xix2=/>2-9;
Х3Х2+Х2Х2+Х]Х3 = Х1Х2 (x2+x5 + x2x2=xix2 ((xi+x2)2-2x1x2) + x2x2 =
= 9 (Р2-ЭД+?2 = 9Р2-?2; xJxJ = (x!X2)3 = ?3.
Поэтому искомое уравнение имеет вид х3— (р1 —q) x1 + (p1q—q1) х— -93 = 0. ■
□ Положим -^х* + х—2=z; тогда z2+z—6=0. Отсюда zi=2, z2= —3 (второй корень не подходит, так как z > 0). Таким образом, 4Vх4 +х—2=2, откуда х*+х—2=16 или х*+х—18=0. Замечаем, что х=2; тогда, разделив х4+х—18 на х-2, получим уравнение х3+2х2+4х+9=0. Оно может иметь только отрицательные корни (так как все его коэффициенты положительны). Итак, х=2 — единственный положительный корень данного уравнения. ■
□ Так как а и Д— корни уравнения, то аа2 +6а+с=0 и аД2+6Д+с=0. Умножив первое уравнение на а”, а второе — на Д и сложив, получим , л+2« + 2^, , л + 1 „л+k , л л _
а (а+ Д )+6(а +Д )+с(а +Д )=0. Легко видеть, что если
л лл + 2л+2л+1л+1
5я=а +Д , то 5я+2 = а + Д ; 5л+1 = а+Д . Следовательно, иско
мое соотношение имеет вид aSn+2 + bSn +, + cSn=0. ■
л = 17.
ГЛАВА 3
. ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
3.001. □ Искомые числа таковы: */5; */3; крй; 0,15'*/3 =*/20. По условию, кк к к
— 8=-41—, откуда *=240. Ответ: 48; 80; 12; 12. ■
35 20 20"
.Зх
3.002. □ Пусть вклад составляет х руб. Тогда первый остаток равен —; второй
Зх4 ЗхЗхЗххЗх
остаток'64 000=—. Следовательно,=64 000, откуда
49 4204320
х=240 000 (руб ). ■
3.003. 12; 24:18 = 16:12. 3.004. 180 000, 78 000 и 39 000 руб. 3.005. 2850, 2250 и 1950 км. 3.006. 40 и 30 л.
3.007. □ Площади участков равны х, у, х—16 (га). Согласно условию, 29
х=— (х4-у—16-t-x) иу : (х—16)=3/2:4/3, откудау=- (х—16). Далее имеем
2 /9\2 /25х\272
х=- I 2х- 16Н— х—18 1 или х=-34 , откуда х=—. Теперь нахо-
5 \8/5 \ 8/5
9/272\ 216544 216
дим у=-I16)=—.Вся площадь составляетк
8 \ 5/555
-16=136 (га). ■
3.008. 500. 3.009. 720 и 150.
3.010. □ Первоначально рабочие изготовляли за смену хи 72—х деталей, а затем 1,15х и 1,25 (72—х) деталей. По условию,- 1,15x4-90 — 1,25х=86; 0,1х=4; х=40; 1,15'40 =46. Ответ: 46 и 40 деталей. ■
3.011. 10,26 и 11,6 ц. 3.012. -220 и 264. 3.013. 80; 100; 90. 3.014. 240. 3.015. 4/7, 8/21, 20/49.
3.016. □ Пусть х, у, z — площади участков. Тогда х/у = 6/4, y/z =4/3, откуда х=6к, у=4к, z = 3k. По условию, (6*—4*)'18=72, откуда *=2. Значит, площадь всех трех участков составляет x-ky-kz=2 (б4-44-3)=26 (га). ■
3.017. 105, 135 и 175 км. 3.018. Серы 3 кг, селитры 19,5 кг, угля 2,5 кг. 3.019. 20 скрипачей, 8 виолончелистов, 4 трубача. 3.020. 280, 200, 220. 3.021. 149 400 руб.
3.022. □ Пусть за 8 ч работы мастер изготовлял а деталей и зарабатывал b руб. Тогда расценка составляет 6/а руб. за деталь, а производительность труда равна а/8 дегалей в час. После увеличения производительности на а ха
х% мастер стал изготовлять -4деталей в час. Поэтому за 7 ч он 8 8'100
7а /х \1а/х \b 1Ь (
изготовил— I 1 4Iдеталей и заработал— { 14) - = — ( 14
8 \100/8\100/а 8 \
х \1Ь (х \
4) руб. Согласно условию, — 1 ч1 = 1,056, откуда х = 20%. ■
100/8 \100/
.023. На 7/1%.
.024. □ Пусть зачетные нормы выполнили х юношей и 2л девушек. Таким образом, первоначальная численность команд составляет Х4-48 юношей и 2x4-50 девушек. По окончании первого дня соревнований выбыло 11
- (х 4-48) юношей и - (2x4-50) девушек. Позже еще выбыло из обеих 67;
команд одинаковое количество спортсменов, поэтому 48— (х+48) = 50— 16
—- (2x4-50), откуда х=24. Итак, первоначальная численность команд — 7
72 и 98 человек. ■
3.025. 950 000, 400 000, 250 000, 300 000 руб. 3.026. 233 000 руб. 3.027. На 13,2%.
3.028. 5000 пар. 3.029. На 38,8%. 3.030. На 6%. 3.031. 5. 3.032. 1260, 1050, 945 тыс. руб. 3.033. 50,150 и 200 г. 3.034. 12,8 и 7 л. 3.035. 2,5 кг. 3.036. На 40%.
3.037. 40; 3 2; 24.
3.038. □ Составим следующую таблицу:
Фермер
Площадь, га
Урожайность, ц/га
Масса, ц
Первый
X
21
21х
Второй
х-12
25
25 (х-12)
По условию, 25 (х—12)—21х=300, откуда х=150. Тогда 21х=3150 (ц), а 25 (х-12) = 3450 (ц). ■
3.039. 33. 3.040. (—д6+^/д262+4а6х)/(26) и (ab + JaW +4abs)K2b) л. 3.041. На 45. 3.042. 15 дм2. 3.043. 21. 3.044. 8. 3.045. 48 и 60. 3.046. 175 и 450 кг. 3.047. 20.
3.048. 100 км. 3.049. 12 кг.
3.050. □ Пусть $ — площадь парка, л — число равновеликих участков, Q — площадь участка. Тогда S:n=Q. Данными и искомыми значениями заполним таблицу в последовательности, указанной цифрами ©, ©,..., © :
Парк
Первоначально
При новом разбиении
5
п
Q
5
п
Q
Пер-
„ 108х 110-х
110-х
© х
© 75
X
вый
© х
108
Второй
(в) НО—х
75(110-х) ©
X
X
© - 75
0 110-х
© 108
110-х
©
108
108х75 (110-х)
По условию,=, откуда х=50. Ответ: 50 и 60 га. ■
110-х х
3.051. 38, 31, 5 7 и 9. 3.052. 6 и 10 мин. 3.053. 18 и 24. 3.054. Из 1,25 м.
3.055. 2160 млн. руб. 3.056. ±0,5.
3.057. □ Пусть х — длина, а у — ширина площадки. Согласно теореме Пифагора, х2+у2 = 1852. Кроме того, (х—4) (у—4) = ху—1012, откуда ху—4 (х± +у) = ху—1028; х+у=257; у=257—х. Решив квадратное уравнение х2+(257—х)2—1852=0, находим xi=104, х2 = 153. Ответ: 100x149 м. В
3.058. 40 x 50 м. 3.059. (V62 + 32n2-6+4a)/2 и (V»2 + 32ti2+6+4a)/2 м 3.060. 3 см. 3.061. 2,7 м. 3.062. 10 x 20 см.
3.063. □ Пусть д иб— длины катетов; тогда а—10+6 —10 — длина гипотенузы. ab
Следовательно, (д+6—20)2=д2+62 и — = 600, откуда д=40 (см), 2
6=30 (см), т. е. А (40:0), В (0:30). Находим угловой коэффициент прямой 33
АВ: к= —. Значит, уравнение прямой АВ имеет вид у = — х+30, а уравнение окружности — вид (х-10)2 + (у-10)2 = 100. Решение системы этих уравнений дает координаты точки Р: Р (16; 18). В
3.064. □ Длина окружности колеса С, число оборотов л и расстояние j связаны формулой Сл=л. Таблицу значений этих величин заполним в порядке, указанном цифрами ©,©,...,©:
Колесо
До изменения
После изменения
С
3
п
С
3
п
Переднее
о *
0
120
0
120 X
5х
©7 - 4
©
120
©
1204 5х
Заднее
0 у
©
120
©
120
У
бу
®7
®
120
©
1205 бу
{
120 120 =6, X у
96 100 откУДа находим х- у ~4,
3.065. 600 м. 3.066. Можно увеличить на 2 дм. 3.067. 4 и 6. 3.068. 12, 16 и 20 Н.
3.069. 2 и 26 Н.
3.07а □ Пусть годовой прирост массы х равен а; тогда, согласно условию. ЗаЗа 4x7
годовой прирост массы у равен —. Имеем а=0,4х, —=0,5у => --=- =» =»х:у—35:12. ■У
3.071. *85 г. 3.072. 1,5//(6-а) м/с. 3.073. 2500 руб; 550 кг. 3.074. Ць^+^аЪк- —Ьк)/(2Ь). 3.075. 12, 18, 24, 30 руб. 3.076. 200 руб. 3.077. 900 и 1350 тыс. руб. 3.078. 75 000 и 100 000 руб. 3.079. 85 кг. 3.080. 120 кг и 4 млн. 860 тыс. руб; 180 кг и 7 млн. 560 тыс. руб. 3.081. 2.
3.082. □ Пусть искомое число имеет вид 10х+у. Тогда, по условию, х+у = 12 (1) и 10х+у+36=10у+х, т. е. х—у+4=0. (2) Складывая (1) и (2), получим 2х—8, откуда х—4, ау=8. Ответ: 48. ■
3.083. 32. 3.084. 21 и 12. 3.085. 24. 3.086. 64.
3.087. П Пусть искомое число есть 10х+у. Тогда, согласно условию, имеем [10х+у—3=4 (х+у),
систему <Решив ее, получим х=2, у = 3. Ответ: 23. ■
ЦОх+у-5-Зху.
3.088. 1632. 3.089. 71. 3.09а 24.
3.091. □ Пусть искомое трехзначное число имеет вид 100х+10у+2; тогда после перенесения цифры 2 оно примет вид 200+10х+у (1). По условию, 200 + 10х+у—(100х + 10у+2)=18, откуда 10х+у=20. Подставив это выражение в (1), получим 200 +20 = 220. Итак, первоначальное трехзначное число есть 202. ■
3.092. □ Пусть задумано число х. Далее, следуя тексту условия, получим числа 251
10х+7,10х+7—х2 и остаток — (10х+7—х2). Тогда- (10х+7—х2)—х=0
или х2—6х—7=0. Годится лишь значение х=7. ■
3.093. 32. 3.094. 85 714. 3.095. 54. 3.096. 4/7; 8/21; 12/35. 3.097. 75 и 60. 3.098. 3 х х 3 -4. 3.099. 5/9 и 10/9. 3.10а 60 км. 3.101. 2 и 6 ч. 3.102. 65 и 100 км/ч. 3.103. 150 км. 3.104. 3 х 4 км. 3.105. 30 и 60 км/ч. 3.106. 88 км/ч. 3.107. 48 мин; 25 км/ч. 3.108. 32 и 36 км/ч. 3.109. 60 и 63 км/ч.'
л
3.11а □ Пусть t— намеченное время, v1 и v2— скорости; тогда — = /—и, (1) ■V!
s/11\
—= /+Зл, (2) v,—v2=r. Вычитая (1) из (2), получим д I)=4л или v2\v2 V,/
sr
(v1 — vi) J=4nv|V2, откуда viv2=—. Теперь заметим, что решением системы 4л
vi+t-v^-r,
sr являются корни z1 =V] и z2= — v2 квадратного уравнения
V1 (-v2)=-—
4л
srnr+у/nr (nr+s')
z^—rz= 0. В результате получаем ответ:и
4л■2л
-nr-VyJnr (nr+s)
км/ч. ■
2л
8 км; 4 км/ч. 3.112. s (a — b)jb и s (a—b)]a км/ч.
□ Пусть t — время (в минутах), за которое вторая частица догонит первую. Расстояние, пройденное второй частицей, равно сумме / членов арифметической прогрессии, у которой О| = 3, </=0,5; следовательно, д= 2л, +</(/—1)6+0,5 (/-1)
=/ =I. То же расстояние, пройденное первой ча-
22
6+0,5 (/-1) стицей, составит 5 (6,8 + /)=34+5/. Итак, /=34+5/, откуда
2
/=17 (мин). ■
На середине пути; 3 ч.
□ Примерный график движения изображен на рис. Р.3.1. Пусть / — время (в часах), за которое второй турист догонит первого. Так как vBCI1= 16 км/ч, vMOT=56 км/ч, то Дея,=(2,5+/) 16, дмот=56/. Отсюда 56/= 16/+40, т. е. /=1 (ч). Итак, д=56 км. ■
3 ч 20 мин. 3.117. 850 км/ч.
□ Пусть скорость поезда до задержки равна х км/ч, а после нее
(х+15) км/ч. Тогда (рис. Р.3.2) АВ=~, С£=60, СО=60—, BD =,
55 х
х 60— 60560
АЕ—. Так как BD=AE, то=, откуда х=60 (км/ч). ■
х+15х х+15
Рис. Р.3.3
120
□ По условию, AC=CD (рис. Р.3.3). Имеем АС=—, где х— первона- х
1 120-х120 7 120-х
чальная скорость: CD = \A—।. Итак, ——--I, откуда
6 х+бх6х+6
х=48 (км/ч). ■
20 км/ч. 3.122. 14 и 28 км/ч. 3.123. 5 и 3 км/ч.
□ Таблицу значений скорости, пути и времени заполним в порядке, указанном цифрами О, ®,
ТУристДо встречискорость, км/чвремя, чпуть, кмскорость, км/чПешеходО X© 2© 2х© хВелосипедист© 20-х© 2@ 40—2х®20-хТУристДо встречискорость, км/чвремя, чпуть, кмскорость, км/чПешеходО X© 2© 2х© хВелосипедист© 20-х© 2@ 40—2х®20-хПосле встречиПосле встречивремя, ч□уть, км40—2х©40—2х® X— 2х 20-х® 2хвремя, ч□уть, км40—2х©40—2х® X— 2х 20-х® 2х
ТУрист
До встречи
скорость, км/ч
время, ч
путь, км
скорость, км/ч
Пешеход
О X
© 2
© 2х
© х
Велосипедист
© 20-х
© 2
@ 40—2х
®20-х
ТУрист
До встречи
скорость, км/ч
время, ч
путь, км
скорость, км/ч
Пешеход
О X
© 2
© 2х
© х
Велосипедист
© 20-х
© 2
@ 40—2х
®20-х
После встречи
После встречи
время, ч
□уть, км
40—2х
©40—2х
® X
— 2х 20-х
® 2х
время, ч
□уть, км
40—2х
©40—2х
® X
— 2х 20-х
® 2х
40-2х 2х 15
По условию,=—,откуда х=4 (км/ч). Ответ:
х 20-х 2
4 и 16 км/ч. ■■
1 ч40 мин и2 ч5 мин. 3.126. 12и 10,5 км/ч. 3.127. 4и8 ч. 3.128. 140 км.
18 и 12 км/ч. 3.130. 84 км; 6 и 4 км/ч. 3.131. Через 10 с.
I (.a+b^Iab) и / (д-2>)/(2д6) м/с. 3.133. Через 3 ч 20 мин. 3.134. 35/л« «Нм. 3.135. 3 км)ч. 3.136. 4 км/ч. 3.137. (Зд— с+^а1+2ас+с1)12 км)ч.
68/3 км/ч. 3.139. В 14 ч. 3.140. 5/12 км/ч; 2 и 3 ч. 3.141. Vv (v-j), где v>j. 3.142. 420 и 400. 3.143. 475, 480 и 375 ц.
□ Время (/), количество работы, выполняемой в единицу времени, т. е. производительность труда (IP), и весь объем работы (У) связаны соотношением У= Wt. Примем К— 1 и заполним следующую таблицу:
Станок
Время, дни
Объем работы
Производительность труда
1
Первый
X
1
X
1
Второй
х-3
1
х-3 3
Оба вместе
20
3
20
Так как при совместной работе станков их производительности складыва- 113
ются, то -н—, откуда х=15. Ответ: 15 и 12 дней. ■ х х—3 20
12 и 24 ч. 3.146. Десяти. 3.147. 24 и 30 г.
□ Весь объем работы примем за 1. Производительность труда первой 3 41
машины равна 1 (за 1 ч), второй 1 :-=- (м * ч)- Работая вместе - ч,
114 7
они выполнят -1Н—■-=- всей работы. Тогда на долю одной второй
33 3 9
22 4 1
машины останется - работы, для чего потребуется -:-=- W- Ответ:
10 мин. ■ 3.149. 20 и 30 ч. 3.150. 3. 3.151. За 3 ч 45 мин. 3.152. 8 и 9,6. 3.153. 3 ч. 3.154. 15. 3.155. 45 ч. 3.156. b+Jb (b-a); b-a+Vb (Ь—а); ^/b (b-a) дней; должно быть Ь>а. 3.157. 40 дней; 25%. 3.158. За 6, 8 и 12 мин. 3.159. За 132 и ПО мин.
2лЬс
Через 4 ч. 3.161. 450 м3. 3.162. На 56/3, 14 и 24 мин. 3.163. За,
ab+bc—ас
2abc 2аЪс и мин. ac+bc—ab ab+ac—bc
□ В целлюлозной массе содержится 0,85 500 = 425 кг воды. Пусть выпарено х кг воды; тогда получим 425—х=0,75 (500—х), откуда х=200 (кг). ■
70 кг. 3.166. 13,5 кг. 3.167. 3165 г; «79,1%. 3.168. 187,5 кг. 3.169. 150 и 450г.3.170. 280 и 175%.
□ Пусть х — вместимость первой бочки; тогда вместимость второйравна
37 377
-х, а третьей - - х =—х.По условию, — х+50 =х,откуда х= 120.Итак,
49 41212
вместимости бочек составляют 120, 90 и 70 ведер. ■
13, 7 и 4 л.
□ По условию, 2КЛ = Ид+ Ус и 5Vg= Уд+Ус- Пусть Уд=хУс и Ув=уУс- (2х—у=1,21
Тогда получим систему <откуда х=-, у=~. Следовательно,
(—х+5у = 1;33
Ус 1 — = 1. ■ Ул+Ув х+у
116 000 руб. 3.175. 12; 8; 3; 2. 3.176. 18.
3. • Записать условие в виде системы трех уравнений. Из первых двух уравнений выразить x/z и y!z через к, а затем подставить полученные выражения x/z и yjz в третье уравнение и вычислить искомое значение к.
На первом месте третий рабочий, на втором — второй, на третьем —• первый. Количества выработанной ими продукции относятся, как 5:4:3. 3.179. «через 55 лет.
□ Пусть было т попаданий, а значит, п—т промахов. Тогда 5т— — 3 (л—т)—О или 8/и=Зл, откуда т=Зл/8. Так как т и л — натуральные числа, то л должно быть кратно восьми. В промежутке 10 < л < 20 пригодно лишь значение л= 16. Итак, произведено 16 выстрелов, из которых 6 удачных. ■
62 м3. 3.182. 100 ц. 3.183. a {>Js+>Jr)l{yJs—yJr) дней, где s>r. 3.184. 10 и 15 ч или по 12 ч. 3.185. 25 шариков и 16 колец или 16 шариков и 25 колец. 3.186. 200 и 140 ч.
□ Пусть масса перевезенного груза составляет х т, а число машин равно /х 1\
л. По условию, х—I1 (л+4) или л2+4л-8х=0, откуда л= \л 2/
= 2 (—1+V1+2X ) (л —натуральное). В интервале 55<х<64 подходит только х=60. Тогда л=2 (— 1 +11)=20. Итак, было 24 машины, на каждую из которых грузили по 60:24 = 2,5 т. ■
11 лип и 5 берез. 3.189. 12. 3.190. 28 июня.■ .
□ Пусть получено х т творога жирностью 15,5%; тогда останется 1 — х т сыворотки жирностью 0,5%. Следовательно, в 1 т молока содержится 15,5х 0,5 (1-х) 15х+0,515х+0,55
1 т жира. По условию, =—-, откуда 100100100100100
х=0,3 (т). ■
На 20 досках. 3.193. «41,4%. 3.194. 20%. 3.195. 27,75. 3.196. 35 и 45 кг.
4:1. 3.199. Немного не покроются.
□ Пусть к стороне квадрата примыкает л кругов; тогда всего имеется л2 кругов. К стороне треугольника примыкает л+14 кругов; значит, в тре- (15+л) (л + 14)
ВИЮ, л2 =ВИЮ, л2 =(15+л) (л + 14)(15+л) (л + 14)■, откуда л = 35. Итак, каждая фигура содержит по■, откуда л = 35. Итак, каждая фигура содержит поугольнике содержится 1+2 + ...+(л + 14)=кругов. По усло-
ВИЮ, л2 =
ВИЮ, л2 =
(15+л) (л + 14)
(15+л) (л + 14)
■, откуда л = 35. Итак, каждая фигура содержит по
■, откуда л = 35. Итак, каждая фигура содержит по
1225 кругов. ■3.201. D^L^+^-Hd^H.1225 кругов. ■3.201. D^L^+^-Hd^H.sin (60°-а)sin (60°-а). Отсюда находим:. Отсюда находим:
1225 кругов. ■3.201. D^L^+^-Hd^H.
1225 кругов. ■3.201. D^L^+^-Hd^H.
sin (60°-а)
sin (60°-а)
. Отсюда находим:
. Отсюда находим:
3.202. □ Длина пути, пройденного точкой, равна сумме длин отрезков О А и АВ=а (рис. Р.3.4). Имеем
Рис. P.3.4Рис. P.3.4sin2 ot=, l+ctg2isin2 ot=, l+ctg2iполучим sma=—•— i — 2 ^y^+ab+b1получим sma=—•— i — 2 ^y^+ab+b1Итак искомая длина составляет дч=а+2' sin аИтак искомая длина составляет дч=а+2' sin аl^+ab+b1l^+ab+b1
Рис. P.3.4
Рис. P.3.4
sin2 ot=, l+ctg2i
sin2 ot=, l+ctg2i
получим sma=—•— i — 2 ^y^+ab+b1
получим sma=—•— i — 2 ^y^+ab+b1
Итак искомая длина составляет дч=а+2' sin а
Итак искомая длина составляет дч=а+2' sin а
l^+ab+b1
l^+ab+b1
sin 60° cos а-cos 60° sin а b
2b+a ctgi=—. Используя формулу
ЗЛОЗ. 1<й<1,4....
□ Пусть х, у, z — числа зубцов трех шестеренок, причем y>y>z и x+y+z—60 (1). Так как шестеренки сцеплены, то за время их вращения придет в соприкосновение одинаковое число зубцов каждой шестеренки, т. е. 10z=5y=4x—20 (2). Решив систему уравнений (1), (2), находим х=30, у=20, z—10. ■
3.205.
3208.
300 и 600. 3.206. 20 и 30. 3.207. 9 и 2.
□ По условию, а1 +(а+</)2 = (а+2^)2, т. е. 3d1+2ad— а2=0. Пусть d= = ак(к>0); тогда За1к1+2а1к-а1 = 0, откуда ЗЛ2+21с-1=0. Годится лишь
1 корень *=~-
o+d d 4 o-v2d
Находим искомые отношения: =1+-=-; =
a
a 3
3.209.
3.211.
3.212.
3.213.
3.214.
3.216.
2d 5
= 14—=-. Ответ: 3:4:5. ■ а 3 '
а+Ь—с. 3.210. vrf(a—6) м/с.
Через 7 с после начала падения первого тела. • Воспользоваться известной из физики формулой 5=4,9t2.
После пяти ударов.
Через 5 с; за 0,5 м до линии поля. • Воспользоваться формулой s=vt+at2, где v и а — постоянные. Их значения можно вычислить из следующих условий: для мяча 5 (1)=4, $ (2)=7,25; для футболиста 5 (1)=3,5, s (2)=7,5. Вместо указанной формулы можно использовать также формулу суммы л членов арифметической прогрессии, полагая, что искомое число г=л — целое.
В каждом куске было по 5,6 м; 6750 и 4500 руб. 3.215. 45, 36 и 30 м. □ Пусть было куплено х красных и у синих карандашей. По условию, 27х4-23у< <940 и у—х<10. Построим прямые 27х+23у=940 (1) и у-х=Ю (2). Из рис. Р.3.5 видно, что эти прямые пересекаются в точке А, координаты которой удовлетворяют уравнениям (1) и (2), и при этом достигается максимально возможная сумма х+у. Решив систему (1), (2) и учитывая, что числа х и у — натуральные, получаем ответ: 14 красных и 24 синих карандаша. ■
3.217. 180 долларов. 3.218. 15 или 95. 3.219. 824 и 428.
3.220.
3.221.
3.224.
3.225.
Искомое число имеет вид 100х+Юу+ +2, где х, у, z образуют геометрическую прогрессию, т. е. xz=y2 (1). Согласно условию, имеем 100z+10y+x=100x + 10y+z—594, откуда х—2=6 (2); 10y+z=10z+y+18, откуда у—2=2 (3). Системе уравнений (1), (2), (3) удовлетворяют х=8, у=4,2=2. Искомое число есть 842. ■ 964. 3.222. 13 и 63.
По условию, х (х+10)—40 — 22 = 39х, где х — искомый меньший множитель. Отсюда находим х=31 и х+10=41. ■ 53. 3226. 16 и 52.
3.227. □ Пусть было задумано число х; тогда, приписав к нему справа цифру у, получим число 10х+у. Согласно условию, 10х+у—х2=8х, откуда х —
— 2х—у=0, т. е. х=1+-у/1+у. Возможные значения у таковы: 0; 3; 8. Следовательно, задуманное число есть 2, или 3, или 4. ■
3228. 50. 3230. 42 и 35. 3.231. 12 и 1232.
3.232. □ Первоначальное шестизначное число имеет вид 2" 10s 4-х. После перенесения цифры 2 на последнее место получим число 10x4-2. Согласно условию, 10x4-2=3 (2-10s 4-х), откуда х=85 714. Итак, первоначальное число есть 285 714. ■
3233. 21 и 10. 3.234. * ^к. 3235. 4/15.
3.236. □ На рис. Р.3.6 изображены графики движения поездов до изменения скоростей. Находим tg Z.3/C7V=v® =288: ЗД=90 (км/ч). Пусть v^ = x км/ч; тогда AB=NL=xt км;CD=90 (t—3,2)=хг,откуда
(=288/(90—х) (1). После изменения скоростей имеем *^. = 100 км/ч, xt X1
vlL=x + 10 км/ч. По условию,=2,4 (2). Решив систему уравне-
х+10 100
ний (1) и (2), получим х=50 км/ч, (=7,2 ч. Таким образом, ^В=х(=50 7,2=360 (км). ■
□ На рис. Р.3.7 изображены графики бега двух спортсменов. Пусть АВ = =х м, С и D — точки первой и второй встреч. Если v, и v2 — скорости 300 х—300
первого и второго спортсмена, то —=(1). За время, прошедшее
Vi V2
между встречами (XL), спортсмены пробежали: первый (х—300)+400= =х+100 м; второй 300+(х—400) = х—100 м. Следовательно, х + 100 х-100х+100 х-100
= (2). Из (1) и (2) получаем —, откуда ViV2300х-300
х=500 (м). ■
40 и 50 км/ч. 3.239. 80 км. 3.240. 100 и 60 км/ч. 3.241. 3 ч 40 мин и 2 ч 12 мин. 3.242. Вышедшего из В. 3243. 60 км/ч. 3.244. 16 км/ч. 3.245. 3,25; 31,25 и 3 2,5 км. 3.246. 1375 км.
день С|:1—I1
А х дней В
Рис. Р.3.8
□ Пусть отрезок АВ (рис. Р.3.8) изображает весь путь юноши и количество дней (х), за которые он должен проехать его при норме v км в день. По условию, отрезок времени АС на 1 больше половины отрезка времени СВ;
СВСВ2х-2
следовательно, АС—\ =— или х—СВ—1=—, откуда СВ= дней.
223
Примем за 1 путь, изображенный отрезком СВ. Тогда, согласно первому 2х—2/2х—2\
варианту, —-—(v+*) = !, а согласно второму, I— 1 I v+
+ (v+2A)' 1 = 1. Исключая из этих двух уравнений v, находим х=4. ■
2/3. 3.249. Через 50 мин. 3.250. 6, 9 и 12 км/ч. 3.251. 100 км/ч.
□ Графики движения велосипедистов изображены на рис. Р.3.9. Выразим пройденные ими расстояния: для первого ЛВ=1—Ьх) а; для третьего
/ 1\
АВ—xv, где v — искомая скорость; С2>=1хч—I v; для второго
/11\
С2)=1-+хч—16. Имеем систему уравнений относительно х и v: \63/
I I I a=xv, ) /1\/1\1
| I -+х 6 = хЧ— V. 42/\3/
Исключив х, находим v=(а+ ±36+5/а2 — ЮаЬ + Ъ2)/4 км/ч. ■
а) 3 км/ч; 6) 4 км/ч; в) 5 км/ч. 3.254. 8 ч15 мин; 8 ч5 3 мин; 9 ч16 мин;
ч 01 мин. 3.255. 3 км/ч. 3.256. За 4 дня. 3.257. 105 м. 3.258. 1 км/ч. 11 1
5<v<15. • Принять АВ=ВС за 1 и решить неравенство+>-,
-V—5 v+5 5
где v > 5.
v=50 км/ч. • Условие задачи равносильно тому, что встречный поезд стоит, а пассажир мчится мимо него со скоростью, равной (v +40) км/ч, где v —. искомая скорость.
75,6 км/ч; 147 м.
2аЬЦа*Ь\, 2аБКЗЬ-аУ, ТоЬЦа+Ку, labjya—b') м/мин, где bfl<a<3b. 3.263. 22/15 м/с.
□ Пусть V], v2, v3 — скорости автомашин. Сравним промежутки времени (рис. Р.3.10), выразив их через отношение пути к скорости: AP=x(vv,
bx х х х112
МР=х(\г, NP=xjvi. Согласно условию,—, откуда —ч—= —
Vl V2 V2 V3V! V3 v2
(1).Далее, DE=80jvt и DE-(80 +40)/v3, откуда 80/v| = 120/v3 (2);
120 120
DK=X2Bfvi; DF =12Q/V2, откуда= 1 (3). Решив систему уравнений vi v2
(1), (2), (3), находим vt»30 км/ч. ■
В (V5+l)/2 раз. 3.266. Через 88 с. 3.267.240 км. 3.268. 80 км/ч.
270 км. 3.270. 3 м/с.
□ Графическое изображение условий представлено на рис. Р.3.11. Имеем /<1 \/<2 \
Ji = (v+vi) Г—v I Гн—I; J2=(V|+V2) (T+l)—v I Г+H—|. После упро- \60/\60/
_60v|V2
щений и исключения Т получаем v= км/ч. ■ V1<2-V2<1
100 км/ч. 3.273. Первоначально оба шли с одной скоростью 3 км/ч. 3374. 24 мин. 3.275. 196 км; 84 км/ч. 3.276. (с+х/с2 + 120Ьс)/2 и (—с + +7с2 + 120М/2 км/ч. 3377. 1/80 и 1/90. 3.278. 12 или 60°. 3.279. 12 и 3 м/с;
57
360 м. 3.280. 1 ч 5 — мин. 3381. Через 43 — мин. 3.282. 3 и 45 км/ч. 3.283. 1 ч 11И
21 мин; 1 ч 20 мин; 6 км.
3384. □ Пусть Z — путь по неподвижному эскалатору, v^ — скорость эскалатора, vMOHT — скорость движения монтера по неподвижному эскалатору. Тогда Z/vw„=42, //(vMOHT +vra)=24. Требуется найти Цч^. Имеем VMOHT1 VMOKTV3O1 V3O111I
=—,1—; — =—, откуда — = 56 c. ■ Z42//24 /24 42 56v^.'
3385. 0<v<20 км/ч.
3386. □ Весь объем работы примем за единицу. Пусть первый механизм выполняет задание за х ч, а второй — за у ч. Так как при совместной работе мощности (производительности труда) складываются, то имеем систему уравнений (V Jx у 30
I/1 1\ 40
( 1-6 -+- =—
4V у; у.
Решив ее, находим х=75 ч, у=50 ч. ■
3387. 5. 3388. Больше на 1 ч. 3.289. 16 и 10 ч. 3.290. 10 и 8 ч. 3.291. 2а.
20, 30 и 24 ч. 3.293. За 15 и 7,5 дней. 3.294. 0,4вл/(11-л); 0,24 ап (л-9); л—10..
□ Весь объем работы примем за единицу. Пусть для ее выполнения в одиночку крану большей мощности нужно х дней, крану меньшей мощности -— у дней, а при совместной работе одного крана большей и одного крана меньшей мощности — z Дней. Производительность труда соответст- 8 /4 2\4 2 1111
венно равна 1/х, \[у и 1/z. По условию, -+(-+- 13 = 1; —|--——;-+-=-. х \х у)х У 4,5 х у z
Решив эту систему, находим х=24, у=36, z= 14,4. Ответ: за 14,4 ч. ■ 3.296. За 20 и 30 ч.
Значения искомых и заданных величин запишем в форме таблицы:
Труба
Время, ч
Вместимость
Производительность труда
Подающая
X
1
1
X
Отводящая
х+2
1
1
х+2
1
1
Обе вместе
8
—
—
3
24
1 11
По условию,=—, откуда х=6. Ответ: за 6 и 8 ч. ■
х х+2 24
60 и 90 м3. 3.299. 65 и 20 м3. 3.300. 4 и 6 ч. 3.301. 20 и 60%. 3.302. 5 и 11%. 3.303. 9 и 10 г. 3.304. 40 и 100 т. 3.305. 170 кг.
□ Пусть взято х частей первого металла и у частей второго. Тогда 121735
- ха— у=— (х+у), откуда у =— х. Ответ: 9 и 35 частей. ■ 35449
mp — nq1 mp—nq
- Ч;кг.
2 2 (пр—mq) 2 2 (пр— mq)
□ Первоначально в сосуде содержалось 16'8/100 = 32/25 л кислорода. Выпущенные х л смеси содержат 16х/100=4х/25 л кислорода. Теперь в сосуде на 8 л смеси приходится (32—4х)/25 л кислорода, что составляет (16—2х)%. Вторично выпущенные х л смеси содержат (16—2х) х/100 = 32-4х (8-х) х 8
= (8—х) х/50 л кислорода. Согласно условию, ————=9 ^у
откуда X] =2, Х2 = 14. Ответ: 2 л. ■
1.
□ Примеси составляют - раствора. После первой фильтрации останется
/IV/iV^1/i\*+1
(- 1 примеси, а после £-й фильтрации — 1-1. По условию, 1-1<
<10~4; —(£+1) lg5<—4, откуда £>4,7. Ответ: 5 фильтров. ■
□ Пусть 1 кг меда получается из х кг нектара. После удаления воды из нектара останется 300 г прочих веществ на каждый килограмм, а после удаления воды из меда — 830 г на килограмм. Имеем 300х=830, откуда х«2,77 (кг). ■
□ Пусть /1, <2, —> <л-1. <п — время, затраченное соответственно на решение первой, второй, .... (п— 1)-й, л-й задачи, а Т — время, затраченное на решение всех п задач. Тогда, согласно условию, Т— <i =63,5 (1); Т—1„=127
'(2); T-tv-h-tn_x-tn =30 (3), где Т=^——, 1п = м" *. Из (1) и (2)
получим 5 (<!-,„)=63,5 (1-5) (4), г, —/„ = 127 (I — 5) (5), откуда 5=1/2. 1
Учитывая это, запишем уравнение (3) так: 2lx —1„—tt—Z[ —2гл—гл=30, 2
откуда /( —81л=60 (5). Теперь из (6) и (4) находим ti =64, /„=1/2. Наконец,
Рис. Р.3.13Рис. Р.3.13
Рис. Р.3.13
Рис. Р.3.13
1/IX”-1
из уравнения -—64 1-1 получим л=8. Ответ: 8 задач; 127,5 мин. ■
16 ч. • Начальную длину каждой свечи принять за 1 и, считая процесс горения равномерным, представить его графически (рис. Р.3.12). Скорости горения свечей: Vj-x: 1, vn—12:1, vm=8:1. Искомое время: х+1 ч.
3313. □ Пусть масса одной части камня равна х; тогда масса другой части равна
Р1Р (к+^к (2—к)")
р—х. По условию, =к, откуда х—(карат),
х3+(р-х)22к
р^-^/кф-кй
р—х—, к <2. Будем интерпретировать стоимость всего
камня как площадь (р1) квадрата с длиной стороны р единиц (рис. Р.3.13), а суммарную стоимость двух частей камня — как площадь (5) вписанного квадрата. Имеем S (х)=рг—2х (р—х). Функция S (х) достигает наибольшего значения при х=р)2. Отсюда находим к=2. Итак, наибольшая потеря в стоимости бриллианта имеет место тогда, когда массы обеих его частей равны. ■
3314. 6400 и 600 л. 3315. Третья;
3316. □ Пусть в л-й мензурке после вливания из (л—1)-й оказалось хп см3
жидкости. Тогда после выливания — см в первую мензурку в л-и осталось л
х» ("-1)^л,„(л-1)х„
х„ см жидкости. По условию, —а, откуда х=
п пл
ап
—столько же жидкости было в каждой предыдущей мензурке л—1
(кроме первой) перед выливанием в последующую. Предположим, что в первой мензурке первоначально было х см3 жидкости; тогда получим уравнение
_ х® 1 ап (л-1)х® а
О»L+-а илиL +-а,
п п п—1п л—1
откуда х® =откуда х® =ап (л —2)(п-1)2 "ап (л —2)(п-1)2 "
откуда х® =
откуда х® =
ап (л —2)(п-1)2 "
ап (л —2)(п-1)2 "
Для второй мензурки имеем
ап (п—2) ап хр>ч:.=
л (л-1)2л-1
а(л2 —2л+2) откуда х®(л-1)2 •
Далее, для третьей мензурки получим 1 ал ал х®+,
лл—1 л—1
откуда х®=а. Следовательно, и в каждой из остальных мензурок первоначально содержалось по а см3 жидкости.
ап (л—2)
Итак, получаем ответ: в первой мензурке — см3, во второй
а(л2 —2л+2)
см , в остальных — по а см. ■
(л-1)2
За b+Jb (b-a) дней. 3.318. р (л + 1)/(л-1); 1/3. 3320. 77 или 86.
□ Пусть х — делитель, г — остаток; тогда 4г— частное и 180—г= =4гх, откуда х=(180—г)/(4г). Так как х — целое, то подходящее значение г=4. В результате получаем х = 176/16 = 11. ■
423. • Из условия следует, что цифра сотен равна 4.
421. 3.325. 211. 3.326. 42 L 3.327. 121. 3.328. 18. 3329. 300 млн. руб;
150 млн. руб. 3.330. (25+а±7Ж2л) и (25-a+jD)/(2a) кг, где В=а2- — 130a + 625, причем если a > 5 — нет решений, если 0 < a < 5 — два решения, если а=5 — одно решение (3 и 2 кг). 3.331. Если s>pqj(100r), то на расстоянии от В, не большем ijl—pqUIOOr). Если же г<р^/(100г), то для любого пункта, расположенного на дороге АВ, выгоднее брать уголь в А.
1000 (2,5a+jp)/(2000— sn) руб. Задача имеет решение при гл <2000.
(^/b2 с1+4abc—bc)/(2c) км; а, Ь, с — произвольные положительные числа.
□ Пройденные пешеходами расстояния удобно представить в виде схемы (рис. Р.3.14). Пусть АВ=х км. В течение первых двух часов первый пешеход на каждый километр пути затрачивал 2/х ч, а второй 2/(х+г) ч. В течение двух последующих часов на каждый километр пути они затрачи- 2 12212
вали соответственно -—-=— ч и —-=— ч. С помощью схемы
х 6 BDх+г 6 СЕ
легко устанавливаем, что CE—BD=2s. Таким образом, получаем уравне- 12 (х+г)12х,
ние= 2s или х2—(24—г) х+72—12s=0. Ответ: (24—г—
12-х-г 12-х-
-Vj2 + 288)/2h (24+j-V-$2 + 288)/2 км. ■
Рис. Р.3.14Рис. Р.3.14
Рис. Р.3.14
Рис. Р.3.14
3335. За 80 с. 3336. 316/(130v) ч.
3337. 11 и 7 см. • Построив графики движения частиц, легко определить, что 21V] + 10v2 = 301 и 56v|— 45v2 = 301, где vj и v2 — скорости частиц mi и т2.
,—100s-г (50+5)
3338. В 10 раз. 3339. Через ab^a1 *4аЬ с. 3340. и
.(35—г) а
100х-г(50+з)d(k—\^
м/с, где 5<г< 1005/(50 +5). 3.341. 6,4 км. 3.342.±(г—з) аТТк
dTtdTt^2^Тгкг /^2^Тгкг /
d
Tt
d
Tt
^2^
Тгкг /
^2^
Тгкг /
3343. □ Каждый должен проехать и пройти одинаковое расстояние; следовательно, велосипед надо оставить на середине пути, т. е. в 5 км от дома. Пусть V! (км/мин) — скорость ходьбы пешком, a v2 (км/мин) — скорость 1 1
езды на велосипеде. Тогда ——— = 12. Поэтому выигрыш во времени Vj v2
10 /5 5\/1 1\
составит1—I—) = 5[1=5 12 = 60 (мин). ■
Vl \V1 Vz/vV
3 (—а+>/а1+240а) —3 (За—Va2 + 240a) 3.344. Через 4 мин; в 3 раза. 3.345. ич;
2a2a
a <30. 3346. 60 км/ч. 3347. 340 км. 3.348. Через (avj+6v2)/(vJ+v^) мин от начала полета. 3349. Так км. 3350. 70 км/ч. 3.351. 36 и 54 км/ч. 3.352. (3m+ +^/9m2 + 2500/2v2)/(50/) км/ч. 3.353. Если с < Л/т, то первая модель; если о Л/т, то вторая модель; если с—him, то одинаково. 3.354. a (1+^2) ч. 3355. 120.
3356. (3a+2c+V4c2-4ac+9a2)/4 км/ч. 3.357. 7,7 ч.
3358. □ Пусть и — скорость течения реки, ки — скорость пловца в неподвижной воде; т,п,р — отрезки времени (рис. Р.3.15). Имеем: AD=u (т+п) (1); DC— (ки—и) п (2); АС—(ки+и) т (3); BD—(ku+u)р (4); ВС=и (п+р) (5). Но DC—AC-AD (6) и DC—BD—BC (7). Из (6), (1), (2) и (3) находим, что т—п, а из (7), (2), (4) и (5) — что п—р, т. е. т=п=р. Отсюда следует, что AC—BD, а также AD—BC (8). Тогда BC—l-AC—l-um (Л+1) (9). Подсга-
I
вляя (9) и (1) в (8), получим 2ти=1— ит (А+1), откуда т= (10). и(3+А)
(Л-1)/
Наконец, подставляя (10) в (2), получим DC—. Итак, расстояние, 3+к
2(к-\^1 1(Зк+1)
которое проплыл спортсмен, есть 5—/+2DC=/+—=— м. Я
— (а+6) + х/D— (а + 6) + х/D
3.359. 20 и 6 ч. 3360. 21; 6 ч. 3.361. а+——; 6+~——;
_2 (с+1)2 (с+1)
-с (a-kb)+cVD,,
, где D-(a—by+4abc1.
2 (с +1)1
3362. □ Объем работы примем за 1. Количество работы, выполняемой I, П и Ш станками, обозначим соответственно 1/х, 1/у, 1/г. Тогда за 1 ч три станка
1 1 1 yz+xy+xz вместе выполнят работу-Н—+- =. Следовательно,
х у z xyz
xyz,
время выполнения работы тремя станками совместно; время xy+yz+xz
yz при совместной работе П и Ш станков равно; для пар I и П, I и Ш
У + 2
ху XZ
соответственно и . Суммарное время при раздельной работе
х+у x+z.
yz xz ху
станков, по условию, есть1ч. При последовательном выпо- y+z x+z х+у
-yz xz ху
лнении работы имеет место равенствоЧ1 1. Учи-
x(y+z) у (x+z) z(x+y)
тывая это, находим искомое отношение:
/ yz xz ху \ xyz yz+(y+z) х xz+y (x+z)
I11j:1p
V+z x+z x+yj xy+yz+xz x (y+z) у (x+z)
xy+z (x+y) yzxzxy
-|=H1 HhidH I = 4. И
z(x+y) x(y+z) у (x+z) z(x+y)
3a 4 и 12 ч. 3364. За 96 или за 5 мин. 3.365. 2,4 и 4,8 кг.
□ Изобразим массы сплавов равными прямоугольниками (рис. Р.3.16). Пусть хд отрезан от куска А, а хд — от куска В. По условию, состав новых слитков (т—х)д+хд и хд+(т—х)д. Одинаковый процент меди в слитках возможен при условии, что количества сплава А и сплава В в слитках пропорциональны, т. е. Qn—x)/x=xl(m—x), откуда х=т(2. Итак, искомое отношение равно 2. ■__
40, 50 и 10%. 3.368. 4 г/см3. 3.369. Мх (а^/з-а; 0), Рх (0; а^З-а), Мг(-ал/3-а; 0), Р2 (0; -<ц/3-а). 3370. 22 см3. 3.371. 500, 1000 и 1500 л.
3; 4; 5. 3373. rx=(-r+V6R1-3r1)!2; r<rx^R при (^3-1)/2«т/Я<^2/2; rx<r<R при ^212<г1Р<Д. 3374. а(3±^3 (4m-1))/6; 1/4<т<1.
3375. К^^^-ЗК1; ЗИ^г^а1 <21^. 3376. От2,5доЗ км/ч. 3.377. 1и4 см/с.
3378. (v/+V2aJ-v2P)/(2a); a-Nt^l. 3379. 0<а<68. При a=5 расстояние между фермами 60,40 и 25 км.
3380. 10 и 5 лет. • Пусть Т—период полураспада вещества Л; тогда \[2=2~ХхТ»\=2'2~к2ТГ1, откуда 2,-1/Т, Хг=2]Т.
ГЛАВА 4
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
4.001. □ Перегруппировав слагаемые и использовав формулу (4.5), получим ((1 +tg2a)+cos"*2a) ((1 +tg2a)—cos-12a) = (l +tg2a)2—cos-22a= = 1 + 2tg2a+tg22a—cos22a=2tg2a.
4.004. □ Вынесем за скобки в числителе tg2a, а в знаменателе tgЗД и воспользуемся формулой (4.4):
tg2a-|-ctgЗД tg2a (1+ctg2actg3^ tg2a
ctg2a+tgЗД tgЗД (ctg2atgЗД+l) tgЗД
4.008. □ Обозначив левую часть тождества через А, сгруппируем члены так: А = (sin 4a—sin 6a)+(sin 7a—sin 5a). После этого воспользуемся сначала формулой (4.20), а затем (4.22):
А = — 2sin a cos 5a+2 sin a cos 6a=2 sin a (cos 6a—cos 5a) = Ila a
= — 4 sin a sin — sin-. ■ 22
4.011. □ I способ. Используя формулы (4.28), (4.15) и (4.4), получим
11l+tg2(a/2) l-tg2(a/2)2a
-1ч—=ctg —.
sina tga 2tg (a/2) 2tg (a/2) 2tg (a/2)2
II способ. Применяя формулы (4.18) и (4.4), находим
1 cos a 1+cosa 1 a 4==ctg-. ■ sin a sin a sin a tg (a/2)2
4.014. □ Имеем
2 sin2 (Зя—2a) cos2 (5n+2a)=2sin22acos22a=- sin2 4a=
2
11 //5л\\ 1 1/5я\
=- (1 —cos8a)=- I 1 —sin8a I1=sin I8a .
44\\2//4 4\2/
Здесь были использованы формулы приведения, а также (4.13) и (4.16). ■
-. Затем воспользуемся формулами (4.20) и (4.21):-. Затем воспользуемся формулами (4.20) и (4.21):4.019. □ Используя формулы приведения, запишем левую часть в виде sin 6a—sin 4a+sin a
-. Затем воспользуемся формулами (4.20) и (4.21):
-. Затем воспользуемся формулами (4.20) и (4.21):
cos 6a+cos 4a + cos a
2sinacos5a+sina sina (2cos5a+l) :tga g
2cos5acosa+cosa cosa (2cos5a + l)
4.023. □ I способ. Применяя формулы (4.22), (4.20) и (4.1), получим
. . 2®+Д . 2“-Д . . 2“-^ 2«+д
4 sin2яп2Н4яп cos2=
=4яп I sin21-cos)=4sin2.
2 \22 /2
II способ. Раскрыв скобки, находим
cos2 a—2 cos a cos/?+cos2 Д+sin2 a—2 sin a sin ^+sin2 ^= a-Д а-Д
= 2 (1— созасобД—sinasin/I)—2 (1—cos (а—Д))=2'2$1п ——=4яп2 ——
(укажите формулы, которые были использованы при этом способе реше-
ния). ■
4.026. □ Доказываемое тождество равносильно следующему (после применения
формул приведения): sin2a+tg2a=— cos2 а. Преобразуя левую часть
cos2 а
последнего равенства, получим
sin2 a sin2 а (cos2 а +1)
sin2 ан— ==
cos2 а cos2 а
(1— cos2 а) (1 +cos2a) 1— cos4 а1
===———cos2 а. ■
cos2 аcos2 а cos2 а
.029. □ Применяя сначала формулы приведения, приведем левую часть к виду 2 (1 +cos4a) Uga. Далее, используя формулы (4.17), (4.3), (4.13) и (4.15), sin 4a
находим
2'2cos22a1—tg2a
+tga=2ctg2a+tga=+tga=ctga. ■
2sin2acos2a. tga
.032. □ Применим последовательно формулы (4.16) и (4.22): /7я\/9я\-
—cos I4a I— 1 +cos I4a ) \ 4/\ 4/я sin 4a
= — sin (2л—4a) sin -=——. ■
24 72
4.035. □ Имеем
(sin4acos2a\
cos 4a )= sin 2a/
,2tga
= —tg2a (2cos2 2a—cos 4a) — —tg2a=— tg2a—1
(мы воспользовались равенством 2cos22a—cos4a=l, которое вытекает из формулы (4.17)). ■
2sin2acos2acos2a,
4.039. □ cos 4a—= cos 4a—2 cos2 2a = — 1. ■
sin 2a
4.042. □ Применяя формулы (4.17) и (4.27), получим 1+cos (90°—2a) 1+cos (120° +2a) sin (150°-2a)+sin (-2a) 22"2“
sin 2a+sin 2a—cos (120°+2a)— sin (150°—2a)
=sin 2a,
так как sin (150° — 2a)=sin (90°+(60°—2a))=cos (60°—2a), a cos(120° + +2a)=cos (180°—(60°—2a))= — cos (60°—2a). ■
ctg2 (x/2)-l
4.045. □ Нетрудно вывести формулу ctgx=(сделайте это самосго-
2ctg(x/2)
ятельно) и из нее получить, что первое слагаемое в левой части есть ctg 4a. Далее находим
ctg4a—cos 8a ctg4a=ctg4a (1 —cos 8a)=ctg 4a • 2sin2 4a=2sin 4a cos 4a = sin 8a
(использованы формулы (4.16) и (4.13)). ■
4.048. □ Умножив и разделив числитель и знаменатель на tg2 а, получим
(sin3а+tg2а+1) (sin3а-1 +tg2а)
(sin2a+l +tg2a) (sin2a+tg2a—1)
4.051. □ Заметим, что (а+6)3=п3+ЗпА (а+6)+63, и используем тождество (sin2a+cos2a)3 = l. Тогда поЛучим sin®a+3sin2acos2a(sin2a+cos3a)+ +cos6a=l или sin6a+cos6a + 3sin3acos2a=l. ■
4.054. □ Применяя формулы (4.14) и (4.13), преобразуем правую часть: cos2 a cos 2a — 2 sin2 a cos2 a=cos2 a (cos 2a— 2sin2 a) = cos3 a (1 — 4 sin3 a) = =cos2a—sin2 2a. ■
4.056. □ Используя формулы (4.16) и (4.22), находим
1 — cos2a— 1 +со$2Д 1
sin a—sin^==- (cos 2/?—cos 2a) =
22
= sin (a+Д sin (а—Д). ■
4.058. □ Упростим сначала первое слагаемое в левой части: /я \-
ctg I -+a ) tg (2я-2а)
\2 /—tga(—tg2a) sin a sin 2а cos a cos 2а
—==sin 2a /Зя \tg2a—tga sinacosacos2a
ctg2a -tga
(использованы формулы приведения и формула (4.24)). Затем упростим второе слагаемое:
я \ /я \.- /я \ /я \
-+a I sin I -—а]=2<3 cos I —а ) sin I -—а 1 =
4 /\4 )\4 /\4 /
Г\ Г
=V3sin I —2а l=V3cos2a
(использованы формулы приведения и (4.15)). Таким образом, левая часть
Г /* . V3\1”
примет вид sin2a—V3cos2a=2 I - sin2acos2a ). Заменив - на cos -, _\22/23
ч/зя
a — на sin - и воспользовавшись формулой (4.8), окончательно получим 23
(
яя\/я\
sin 2a cos—cos 2a sin - =2 sin I 2a—I. ■ 33/\3/
.062. □ 1 — sin32a + cos2a = (1 + cos2a) — •4sin3acos2a = 2cos3a — sin2ax 4•4
xcos2a=2cos2a—(1— cos2 a) cos2a=cos2a+cos4a (укажите формулы, использованные при решении). ■
.063. □ Применяя формулы приведения, а также (4.16), (4.13), находим a a / a\ a a a a
Л = 1 +sin —cos -—I 1—cos - ]+sin -=2sin2 -+2sin - cos - —
22 \2/2444
a / a a\
=2 sin - i sin -+cos - I.
4 \ 44/
. 33
Сумму sin - +cos - можно найти различными способами. Укажем два 44.
из них:
а а а /я а\ я /я а\/я а\
sin -+cos -=sin - + sin I]=2sin - cos]=V2cos I
444\2 4/4\4 4/\4 4/
а а .- / 1 al a\ p / я a
sin -+cos -=V2 I —= sin -+—= cos - =<2 I cos - sin - +
44 V2 4 V2 4^\ 4 4
яa\p /я a\
+sin - cos - =V2 sin — H— .
44/\4 4/
(
я a\ /я a\p а /я a\
=sin -+- . Итак, A=lJi sin - sin I -ч— 1. ■
4 4/\4 4/4\4 4/
.064. — sin2 a. 4.065. 1/8.4.066. -tg (a/8). 4.067. 2sina.
, sina+l+cosa sin a— 1+cosa
.068. □ sin2 a•= ((sin a+cos a) +1) ((sin a+cos a)—
sin asin a
— l)=sin2a+2sina cosa+cos2 a—1 =2sinacosa=sin2a. ■
.069. —0,5sin 8a. 4.070. 0,25 sin (3a/2)..
.071. □ Используя формулы (4.16) и (4.22), получим
cos (а+4Д) 1 —cos (а—4/1) cos (а—4Д) —cos (а+4Д) = sin a sin 46. ■
222
4.072. cos 32x. 4.073. — sin 2a sin 4Д. 4.074. —cos 2a cos 4Д.
4.075. О Возведя в квадрат, а затем применяя формулы (4.9) и (4.16), получим
cos2 a—2 cos a cos 2Д+cos2 2 Д+sin2 a+2sin a sin 2Д+sin2 2Д =
, а + 2Д =2—2 (cos a cos 2^—sin a sin 2/?)=2 (1—cos (a+2^))=4sin2. ■
4.076. □ Используя формулу (4.16), имеем
2sin2acos (45° + 2a)sin2 a cos (45°+2a)tg a cos (45°+2a)
Л =—;==.
2sin 2a (sin 2a—cos 2a) 2sin a cos a (sin 2a—cos 2a) 2 (sin 2a—cos 2a)
Преобразуем разность sin 2a—cos 2a следующим образом: sin 2a—cos 2a = p / 11\ pp
1 —= sin2a= cos2a J=y2 (sin45°sin2a—cos45°cos2a) = —^/2x
V2V2/ -
■V2
x cos (45°+ 2a). Ответ: A =tga. ■
4
4.077. □ Воспользуемся сначала формулой (4.17), а затем (4.22): /Зя а\/11я а\■
1+cos ——I 1+cosl1— ]р
\4 2/\ 4 2/ 7я / а\ V2 3
224\2/2224\2/2=sin — sin I я+- =— sin -. ■
224\2/2
224\2/2
2
1
4.078. 2tg a. 4.079. 0,5 ctg a. 4.080. tga. 4.081.2. 2 а+Д4.083. ctg. 4.084. ctg4 a. 24.078. 2tg a. 4.079. 0,5 ctg a. 4.080. tga. 4.081.2. 2 а+Д4.083. ctg. 4.084. ctg4 a. 24.082..
4.078. 2tg a. 4.079. 0,5 ctg a. 4.080. tga. 4.081.2. 2 а+Д
4.083. ctg. 4.084. ctg4 a. 2
4.078. 2tg a. 4.079. 0,5 ctg a. 4.080. tga. 4.081.2. 2 а+Д
4.083. ctg. 4.084. ctg4 a. 2
2cos2а
4.085. □ Имеем 1cos а111
cos-1 а cosa— 1 cosa— 1 1—cosa 2sin2(a/2)
(использованы формула приведения и (4.16)). ■
4.086. 0,5tg2a. 4.087. L
4.088. □ Воспользуемся формулами приведения: tg actg2 a — 1tg2a 1—tg2a
1—tg2a ctga 1—tg2» tg2a
4.089. 1. 4.090. sin2 a.
cos2 a—sin2 a cos 2a sin2 a cos2 a 1 . , 4.091. □ — =-sin22a. ■
ctg2a—tg2» (cos2»—sin2») (sin2a+cos2a) 4
4.092. —cosa. 4.093. ctg2 a.
SIH
sin22a+tg22a+lcos2 2a sin2 2a cos2 2a+1 sin2 2a
4,094 □ =•
cos2 2»+ctg2 2»+11sin2 2a cos2 2a+1 cos22a
cos22a4:—
sin2 2a
=tg22a. ■
4.095. -0,25 sin 8a.
4.096. □ Используя формулы приведения, а также (4.16), находим
1 2cos22a 1
Л =— Ч1~ ■
2ctg a sin2 asin3 2a 2tg a cos1 a
Далее имеем
1 2cos2 2a 12
Л 11 ”— •
sin 2a sin3 2a sin 2a sin 2a
4.097. 2/cos3 a. 4.098. 0. 4sin2a-sin22a 4sin2a (1— cos2 a) sin4a
4.099. D :==
sin22a—4+4sin2» 4cos2a (sin2»-1) cos4»
4.100.4.101.4.102.4.100.4.101.4.102.(1/^2) sin2».,
4.100.
4.101.
4.102.
4.100.
4.101.
4.102.
(/я \\\\
cos2 I --2a )-sin2 I —2a ) 11 cos2 I -—2a 1ч-sin2 {--2a 11 = \4/\4// \\4/\4))
(я\
-—4al=cos4a. ■ 2/
□ К числителю применяем формулу (4.14), а затем формулу приведения; /5я\/«
имеем cos I4» = sin 4a.В знаменателе получаем (cos- +
\2/X2
а\ /а а\аа
+sin — 1 f cos—sin-|=cos —sin -=cosa. Окончательно находим 2/ \22/22
sin 4a2sin2acos2a
^_— =4 cos 2a. ■
cos a sin a0,5 sin 2a
4.103. ctg2a. 4.104. cos4a. 4.105. 2. 4.106. ctg2a. 4.107. tg4a.
4cos a4cos a sin2 (a/2) cos2 (a/2)
4408. □ —--—— =
ctg2 (a^-tg2 (a/2) cos4 (a/2)-sin4 (a/2)
4cos a sin2 (a/2) cos2 (a/2) 4cosasin2 (a/2) cos2 (a/2) ■=sin2 a.
cos2 (a/2)—sin2 (a/2)cos a
tg2a. 4.110. ctg 4a.
sin22a+4sin2a—4 sin22a—4cos2a 4cos2a (sin2a—1) 1
n=_:<=_
1—cos4a—8sin2a 2sin22a—8sin2a 8sin2a (cos2a—1) 2
aa
sin a cos-2sinacos-
22
□ =
/яa\/a\a /a\
+cos I)I 1 +sin - I 2cos - I 1 —sin - 1
\22/ /aaa\\2/2\2/
( 2cos —2sin - cos - I 2\222/
a a
2sin - cos -
2 cos a.
□ Заметим, что 2cos22a— 1 = cos4a (это вытекает из формулы (4.17)). Тогда А = sin 4a—cos 4a. Эту разность преобразуем в произведение следующим образом:А = sin 4a—sin (90°—4a) == 2 cos 45° sin (4a—45°) =
">5/2sin (4a—45°) (использованы формула приведения и (4.20)). ■
□ I способ. Имеем
sin2 - +cos2-
aa2222(l+sina)
tg -+ctg - + 2 + 2=+2=.
2aasin asina
sin - cos-
22
Сумму 1+sina можно преобразовать в произведение, например, так: /я\/яа\' /яа\
1 +sina—l +cos I —a )—2cos2 I]=2sin2 I -+- I. В результате полу-' \2/\42/\42/
/я а\
чаем 4=4sin -+- sin"1 а.
\4 2/
II способ. Находим
а а / л а\2/ /я а\\ 2
tg2-+2tg- + l (tg-+tg-l /sinl-+-)\ а а 22\ 42/ /\4 2/ I 1
tg - +ctg - +2===1 I =
2аа \ я а / а
tg-tg-\ cos-cos-/ tg-
22x 4 2Z 2
/я a\/я a\
2sin2 I - +- I 2sin2 I - +- J
\4 2/\4 2/, /я a\ ,
=——4sin2 I - +- 1 sin"1 a. ■
a aaa \4 2/
cos2 - tg - sin - cos -
2 222
□ Имеем
11 sin4a—cos4a (sin2 a+cos2 a) (sin2 a—cos2 a) 16cos2a
cos4a sin4a cos4asin4acos4asin4asin42a
= —16ctg2asin-32a.
Мы использовали формулы (4.13), (4.14), (4.1) и (4.3). ■ 4.117. tg8a. 4.118. 4sin (a-60°) sin (a+60°) an"2a. 4.119. 4sin (30°-a) x x sin (30°+a) cos-2 a.
(cos2 a—sin2 a) (cos2 a+sin1 a)
□ ctg2a—tg2a—(ctga—tga) (ctga+tga) —
sin a cos a sin a cos a
—4cos2asin-12a. ■
4cos (30°+a) cos (30°-a). 4.122. 4sin (30°+a) sin (30°-a).
□ Используя сначала формулы приведения, а затем (4.16), (4.17) и (4.21), получим
1+ cos 2^—1+ cos 2a cos2 Д—sin2 a=—cos (a+Д) cos (а—Д). ■
/я X /я X/яX7 яХ
4cos I -+a I cos I —a ]. 4.125. 4sin I - + « I sin I a— I.
\6/\6 /\6/X 6/
□ Воспользовавшись формулами приведения, после преобразований находим
l+cos3a
Л — 1 — sin За+cos За—tg За— 1 + cos Заsin За=
cos За
(1 +cos За) (cos За—sin За)
cos За
За •
Преобразуем множители в числителе: 1 4-cos3a=2cos —, cos За—sin За—
— V2!—= cos За= sin За l=V2cos I - + 3а I. Окончательно получим
V2 V2 '\4 /
г За /я X Л—2V2cos2—cos(- + 3alcos ‘За; ■ 2\4/
2V2cosacos(45°-a). 4.128. 2V2 sin a cos (45°-а).
□ cos2a+2cos22a— 1— cos 2а+cos 4а—2cos За cos а. ■ Г\,
4cosacos2acos3a. 4.131. 2V2cos2acos | —2а J cos 4а.
\4/
ctg2 I —а ) ctg3a. \4 /_
, а .-г(^/l1\
□ 2sin2- +VSsina—l=V3sina—cosa=2 sin a—cosa — 2\ 22/
/яяX/я\
—2 I cos-sin a—sin - cosa I—2sin I a-^- I ■/
X667\6/-
tg5a. 4.135. 2 cos a sin 2a sin 6a.
□ I способ. A=sin8a (sinl0a+sin6a)—2sin22acos2a—sin8a'2sin8ax ■x cos2a—2sin22acos2a—2cos2a (sin2 8a—sin22a)=2cos2a - (1— cos 16a—
— 1 + cos 4a)—2cos 2a sin 6a sin 10a.
1
II способ.Л = sin 10а sin 8а-I—(cos2a—cos 14a—cos2a+cos6a)=
2
=sinl0asin8a + sin 10asin4a=sin 10a (sin8a+sin4a)=2cos2asin6asin 10a.
Укажите формулы, которые применялись в каждом из способов решения. ■
ctg (17о/2).4.138. — 4sin (a/2) sin a sin (13a/2).4.139. — 4sin(a/2)sinax
x cos (9a/2).
□ Применив дважды формулы (4.19) и (4.21), получим
(sin 13a+sin 15a)+(sin 14a4-sin 16a)2cosa (sin 14a+sin 15a)
(cos 13a+cos 15a)+(cos 14a+cos 16a) 2cosa (cos 14a+cos 15a)
2sin (29a/2)cos (a/2)29a
==tg—. ■
2cos (29a/2)cos (a/2)2
4sin3acos2acosa.4.142. 4cos (a/2) cos asin (13a/2).
4cos (3a/2) cos 2a cos (17a/2).
□ Запишем данное выражение так: A =4+4cos4a— 1 + cos8a= =4 (1+cos4a) —(1—cos 8a). Тогда, применяя формулы (4.16) и (4.17), получимА = 8cos2 2a— 2sinz4a=8cos2 2a— 8sin2 2acos2 2a=8cos2 2a (1 —
— sin2 2a)=8 cos4 2a. ■
□ ,/tga + sina—Vtg®--sina = Vt8a (V1 + cosa — ^/1 — cosa) =
Г /— /a/ Г / * al a\
cos - — sin -- = V2tga'V2 I —= cos = sin - 1 =
\ 22/V2 2 V2 2/
/ a
= 2vtga cos I - 4—1. ■
2V2sin2acos - + 2a
\4/.
.4.147. 4sin 3a sin 2a sin a.
cos 2a
□ Приведем одно из возможных решений. В левой части предполагаемого равенства сначала применим формулы приведения: (sin 20°+sin 40°) х х (sin 20° + sin 40°) + (sin 50° - sin 70f) (sin 50° - sin 70°) = sin2 20° + 2sin 20° x x sin40°+sin240° + sin2 50° — 2sin 50°sin 70°+sin2 70°.Заметим, что
sin2 20°+sin2 70° = 1 и sin2 40° +sin2 50° — 1, a 2sin20°sin40°=cos20°—cos 60° и 2sin50°sin70o=cos20°—cos 120° (согласно формуле (4.25)). После этого левая часть примет вид 2 + cos20°—cos60°—cos20° +cos 120°=2—1 = 1, т. e. она равна правой части. ■
□ Сложив дроби в левой часта равенства, получим
sin 28° cos 28° cos 56° + sin 2° cos 2° cos 4° sin 56° cos 56°+sin 4° cos 4°
sin 2° sin 28°2sin2°sin28°
sin 112° + sin8° V3c°s52°^/3sin38°
4sin2°sin28° 4sin2°sin28° 4sin2°sin28°
Здесь были использованы формулы (4.13), (4.19) и формулы приведения. ■
2.‘
□ Имеем
2 =4. cos 90°+cos 60°2 =4. cos 90°+cos 60°sin 90°
2 =4. cos 90°+cos 60°
2 =4. cos 90°+cos 60°
tg435°+tg375°=tg75°+tgl5° cos75°cosl5'
Здесь были использованы формулы приведения, а также (4.23) и (4.26). ■
4.155. 27з.4.156. 7/25.4.157. 273.
4.160. 65/113.
4.158. — 1772/26.4.159. 772/26.
4.161. □ Используя формулу (4.29), находим cos 2а
2
226
l-tg2a 1-0,04 12 —==—. Сле-
l+tg2a 1+0,04 13
4.162.
4.163.
4.164.
довательно,==—.
3+4cos2a 48 87 3+— 13
0,96.
□ (sina—cosa)2=p2 =» sin2a—2sinacosa+cos2a=p2 =» sin2a=l—р2. ■
□ Сначала заметим, что tga=—5. Затем, используя формулы (4.29)
1-2512,
и (4.28), найдем cos2a== ——, sin. 2a =
1 +2513
13 57
Л = 2 + 12. ■
sin 2а
1+2513
=. Итак, -105
4.165.
4.167.
55
2.4.166. -22/9.
□ Используя формулу (4.15), получим квадратное уравнение относитель- 2tga12,
но tga. Имеем tg2a== ——, откуда 6tg2 a—5tga—6=0. Решив это
1—tg2a5
3
уравнение, найдем два возможных значения для tga: (tga)i=- и (tga)2 =
2
3
—-. Первый корень (tga)i =- не подходит, так как не выполнено условие
2
2
4.169.
4.171.
задачи для а. Второй корень (tga)2 = —- дает ответ: а=я—arctg -. ■ я—arctg 5. 4.170. 23/32.
4
□ Заметим, что tga=- и tg^=7. Теперь, согласно формуле (4.11), находим
4
-+7
3Зя
tg (а+в)== — 1. Так как, по условию, а+6е(0, я), то а+^=—. ■
284
1 —
3
4.172.
2
2
□ Имеем sin (a—90°)= —sin (90°—a)= —-, t. e. cosa=-. Следовательно,
sina= —
1 — (так как a — угол IV четверти). Далее находим 93
4.173.
4
2 — 1 г
cos 2a 2cos2a—1975
ctg2a='=—==—. ■
sin2a 2 sin a cos a2 7$ 20
2- —3 3
□ Заметим, что 0<а<я/4 и 0<^<я/4 (объясните, почему). Тогда 0<2/?<я/2 и 0<а+2Д<Зя/4. Далее имеем cos (a+2/1)=cos a cos 2Д—
/ 491.
—sin a sin 2Й.Ho sina= /1=—=,sin/T
V 50 750
tgl
1
Vi+tg2^ Vio’
134
cos^=—==—=,cos2p=l—2an2p=-.Следовательно,
Vl+tg2^ Vio5
7 42131я
cos (а+ЭД=—=--=•—=•—==—=, т. e.a+2S=-. ■
Vso 5 Vso Vi° Vio V2 4
-^Jbp3.
3 5+-
3tga+tg^2
□ Имеем tg^=-. Так как tg(a+^ =, то tg(a+^ ==
21-tgatg^i 15
2 Зя
= — 1. Учитывая, что а+Де(0, я), получим а+Д=—. ■ 4 4.176. а+/?=я/4. 4.177. □ Приведем один из вариантов решения. Имеем
/Зя\^2/Зя\V2
Заметим, что sin |a )— (cos a+sin al a cos Ia 1=(cosa— \47 2\4/2
—sin a.) Таким образом.
— (cos a+sin a)(cosa—sina)
sina+cosa 22
A-==2. ■
sina^/2
— (cos a+sin a)
2.
□ Имеем
a tg2acos2 - sina+tga sin2 a (cosa+ 1)2
cosa+ctga cos2a (sina + 1) /я a\ cos2 II \4 2/
sin2 aу
□ Так как x=tg2a=—, то x=, откуда x—xy=y или
sin2 a1—у
x—у— =xy. ■ a+y
□ Согласно свойству арифметической прогрессии, В=. Используя
2
формулы (420) и (4.22), преобразуем левую часть:
а—уа+у а+у
2sincos cos sina—sin у 222
=ctg^. ■ cosy—cosaa—уa+ya+y
22222sinsin sin 2
2
2
2
2
l+cos2a
□ Используя формулу cos a=.находим
2
.-/l+cos30°\
32cos* 15° —10 —8V3 = 32 )
X 2)
/s/3\2 Г
= 8 1+— —10 —8v3=4.
X 2 /
Далее получим
1 + V4 1 + V4 1 + V4
Мы воспользовались формулой a3+63 = (a+6) (a2—ab+Ь2), где роль а и Ь играли соответственно 1 и 3 V4. ■
т*-4п?+2.
4.191. □ Используя формулы приведения, приведем левую часть к виду aa
cos - cos2 - 24
. Заметим далее, что ctga+ctg/?= 3a /a3a\ /a3a\
sin2 — ! ctg -—ctg — 1 ( ctg - + ctg — I
4 \44/X44/
sin(a + /?)sin (Д—a)
=, ctga—ctg/?=. После этого левая часть упрощается
sinasin Дsin a sin/?
следующим образом:
a aa 3aaa
cos - cos2 - sin2- sin2 —cos - sin2-
244422sin a 1
==„_. а
3aaa 8sina 8
sin2 — sin - sin a4sin - sin a
422
a aa
2sin- cos - + 2sin2-
1sina+1— cosa222
□ tg a H1
cos acos acos a
a / a a
a
a a
2sin - { cos-+sin - I 2sin - ( cos - + sin-
2X22,
2
22,
a
2sin -
2
cosa
a
2sin - 2
2®■ 2 a
cos2 -—sin2 -
22
Г . a
V2sin -
2
aa
cos —sin -
22
V2sin
я a
.4 2,
/л a sin I
\4 2,
4.197. П После преобразований левая часть примет следующий вид: А =cos2 2a—
22
2
2
,<3
— 3sinz2a=4 I - cos2asin2a
cos 2a Hsin 2a I. Далее имеем
2/
ItIt\ IIt,Я\
sin - cos 2a—cos - sin 2a ] I sin - cos 2a+cos - sin 2a ] =
66/X66/
/я \ /я
=4sin I -—2a I sin I - + 2a
\6/\6
/3л \sin2 a—cos2 a
□ Заметим, что sin2 Ia )=cos2 a, tg2 a— 1 ==
\ 2/cos2 a
(sina—cos a) (sina + cos a)r / я X
, sina—cosa=V2sin I —+a 1, sina+cosa= cos2 a\ 4/
г /лX/5яХ/яХ
=V2sinl-+a), ctg I ai = ctg|a—Тогда левая часть тождества \4/\4 /\4/
запишется так:
cos2 a' V2sincos2 a' V2sincos2 a sin2cos2 a sin2поскольку cosпоскольку cossinsin
cos2 a' V2sin
cos2 a' V2sin
cos2 a sin2
cos2 a sin2
поскольку cos
поскольку cos
sin
sin
□ Преобразуя левую часть, получим
1— tg4a cos 4a1— tg4a cos 4a1 + sin 4acos 4a1 + sin 4acos 4a1 +cos1 +coscos 4acos 4acos2 2a—sin2 2acos2 2a—sin2 2a
1
— tg4a cos 4a
1
— tg4a cos 4a
1 + sin 4acos 4a
1 + sin 4acos 4a
1 +cos
1 +cos
cos 4a
cos 4a
cos2 2a—sin2 2a
cos2 2a—sin2 2a
(cos 2a— sin 2a) (cos 2a+sin 2a).- /л X /л '
(V2)2 cos I - + 2a I cos I — 2a \4/\4,
(лX/яХ
- — 2a I cos I 2a—- I
4/X4// яХ
== ctg I 2a—). ■
/яX/яХ X 4/
cos I -+2a | sin I 2a— I
\4/X4/
Замечание. Выражение cos4a можно преобразовать и так: /Я у /я \/я \
cos 4a = sin I - — 4a l = 2sin I —2a 1 cos ( —2a I.
X2 /\4/\4/
□ Сначала, используя формулы приведения, преобразуем левую часть к виду 3+4cos4a+cos8a. Затем, применяя формулу (4.17), преобразуем правую часть:
/l+cos4a\2 /l+cos8a\
8cos42a=8 fI =21 l+2cos4a4=3+4cos4a+cos8a.
X 2/ X ’2 /
Итак, правая часть равна левой, т. е. тождество доказано. ■
• Воспользоваться результатом, полученным при решении задачи 4.207.
1 sin6 a (1 — sin2 a) (1 + sin2 a+sin* a)
□ —;
cos” a cos6 acos* a cos2 a
l+sin2a+l — 2cos2a+cos*a 3sin2a ,.
==— +1 =3tg2acos-2a+l. ■
cos* acos* a .
_2cos(S—a) cos2a cos1 В 2cosacos/?
□ ctg2 a + ctg2 Д+2 =—— H
sin a sin Дsin2a sin2/? sinasin/?
cos2asin2/?—2cosacos/?sinasin/?+cos2/?sin2a sin2 (a—Д) sin2 a sin2 Дsin2 a sin2/?
sin6a+sin8a+sin7a+sin9a 2sin7acosa+2sin8acosa
□ =
cos 6a+cos 8a +cos 7a+cos 9a 2cos 7a cos a+2 cos 8a cos a
sin7a+sin8a 2sin (15a/2) cos (a/2)15a
== tg—. ■
cos 7a+cos 8a 2cos (15a/2) cos (a/2)2
□ Используя формулы приведения, а также (4.17) и (4.21), получим
+ cos 2a+cos 4a+cos 6a 2cos2a+2cos5acosa cosa(cosa-|-cos5a) cos2a+2cos22a—1 cos 2a+cos 4a cos3acosa 2cos3acos2a
=— 2cos2a. ■
cos 3a
2tga
tg3a-tg3a-□ Предварительно напомним формулы tg2a= и l-tg2a 3tga-tg’a
tg3a-
tg3a-
=. После этого можно записать, что
1 —3tg2a
3tg2/?-tg’2/? 2tg2/?
tg6/?-tg4/?-tg2/?=-l:^r-—-tg2^=
\1—3tg22/? l-tg22/? /(l-3tg22^(l-tg22/?)
=tg 2/?tg4/? tg 6/?. ■
sin 4asin 4asin 4a
□ ==:
\\\\
ctg I-+2a r2sin2 I—I-2a I 2ctg I- + 2a I sin2 I-+2a ) sin -+4a \4/\ 4/\4/\4/\2,
sin 4a
== ctg 4 a. ■
cos 4a
(
Л\/л\
~+4a)cos 8asin I -+4a )
4/\4/
□
/я \/ Зя \/я \\
2cos —h4a I sin2 Il-4a I 2cos I - +4a ] sin2 I - +4a ] \4/\ 4/\4/\4/
cos 8a cos 8a ™ ^—■e ——1 аж — 1.
/я \ cos 8a'
sinl-+8a)
\2/
□ cos6 a+sin6 a-(cos2 a + sin2 a) (cos*a—cos2 a sin2 a + sin* a)-
l+cos2a\2 1/1—cos2a\2 11
) —sin22a + |I =- (1 + 3cos2 2a) = - (5 + 3cos4a).
2/4\2/48
Здесь были использованы формулы (4.16), (4.17) и (4.13). ■
□ ctg (ЗО’-а) ctg (150°-a) ctg (270°+a)=-tgatg (60°+a) tg (120° + а) = sin (60° + а) sin (120°+а)cos60°—cos (180°+2a)
= — tg а — tg а:=
cos (60°+а) cos (120° + a) cos60°+cos (180°+2a) 1111
sin a+sin a cos 2a-sinaM—sin3a—since
2222
—tg За. Основную роль 1111'
cos a—cos a cos 2a -cosa—cos3a—-cosa 2222
в преобразованиях играли формулы (4.25) и (4.26). ■
□ Сначала преобразуем правую часть:
sin 5а=sin 4а cos а+cos 4а sin а =4 sin a cos2 a cos 2а+cos 4а sin а= =sina (4 cos2 а cos 2a+cos 4a)=sin a (4cos2a—8 sin2 a cos2 a+cos 4a)= = sina (4cos2a—2sin22a+cos4a).
Теперь выполним преобразования в левой части: . 16sin5a—20sin3a+5sina=sina (16sin2a (sin2a—1)+4 (1 —sin2a) + l) = = sina (4cos2a—4sin22a+l)=sina (4cos2a—2sin22a+cos4a).
Итак, тождество справедливо. ■
2|ctga|. cos 2acos2asin2acos2a 1
□ Имеем —— =-—=- sin2 2a. Так как
ctg2 a—tg2 a (cos2 a—sin2 a) (cos2 a+sin2 a) 4
по условию 90°<a<135°, to 180°<2a<270° и sin2a<0. Следовательно,
/1 . . 1 .
/-sm22a= — - sin2a. ■
V42
|sina—sin/?|. 4343. -1.4344. 1.4.245. -^3 ctg 2a. 2sin8asin6a—2sin8asin2a sin6a—sin2a 2sin2acos4a
□ :===tg2a. ■
2sin8acos6a+2sin8acos2a cos 6a+cos 2a 2cos2acos4a
1. 4.248. sin4xcos~24x. —4cos4a— 4 cos 4a sin2 2a cos2 2a
tg22a—ctg22a(sin22a—cos22a) (sin22a + cos2 2a)
— cos 4a sin2 4a
■l=sin24a— 1 = — cos24a. ■
—cos 4a
4.250. — 2sin22a. 4351. cos (40°+2a). 4352. tg*2a.
4.253.4.254.4.255.4.256.4.253.4.254.4.255.4.256.sin4acos2a sin 2a 2cos22a
4.253.
4.254.
4.255.
4.256.
4.253.
4.254.
4.255.
4.256.
□ Имеем== tga. Здесь были ис-
(1 + cos 2a) (1+cos 4a) 1+cos2a l+cos4a
пользованы формулы (4.18) и (4.17). ■
sin 4a.
□ cos* 2a—6cos2 2a sin2 2a+sin* 2a=(cos2 2a—sin2 2a)2 — sin2 4a=cos2 4a—
—sin2 4a=cos 8a. ■
, a
— sin 4a. 4357. tg* -. 4358. 2sin
'/5 л\/ 5 л \1 С\\
tg [4а ) sin2 I —Н4а I sin | —4а I cos2 I —4а Isin I — 8а 1
\ 4/\ 4/\47\4)\27
4.259. □ -=- =- =
1—2cos24a/л \2 cos 8 а
—cos8acos I -—4a I \47
1= —. ■
2
(
л \ - + 2a 1.4.262. 8V3.■
47
□ Используя формулы приведения, a также (4.23) и (4.24), получим tg75°—tgl5° sin 60° cos 75° cos 15° V3 tg 75°+tg 15° "cos 75° cos 15° sin 90° ~ 2 '
tg 5x 4.265. sin 3x4.266. cos 3x 4.267. 2|sin"l2a|. cos-1 a—cos a 4.268. □ Приведем подкоренное выражение к виду ——=
sin 1 a—sin а (1—cos2 a) sin a sin3 а
=-—=——=tg3a. Извлекая кубический корень, получим
cos а (1 — sin2 a) cos3 а
tga. ■
4.269. □ Преобразуем отдельно числитель и знаменатель: 3 — 3 cos 2а— 1 — cos 2а/1\
3sin2a—cos2a== 1 —2cos2a=2 (—cos2а )=
2\27
=2 (cos 60° — cos 2а) =4 sin (a+30°) sin (a—30°);
3 + 3cos2a— l+cos2a/1\
3cos2 a—sin2 a==2cos 2а+1=2 1 cos2a4— I =
2\27
=2 (cos 2a+cos 60°) =4cos (30°+a) cos (a—30°).
Разделив первое выражение на второе, получим tg (а+ 30°) tg (а—30°). ■ 4.270. 2sin 2а.
□ V(l-tg22a)(ctg22a-l)= —= V4ctg24a = 2 |ctg4a|. ■ V tg22a
/я\1
ctg I a— . 4.273. -.
\474
sin2a sin2^1 —cos2a—1+со$2Д 2sin (а+Д) sin (а—Д)
□ +=—*
sin(a—/0 sin (Д—a)2sin(a—/02sin (a—/0
=sin (а+Д. ■ a a
a) tg -; 6) -tg -. 4.276. -sin2a.
□ К первым двум членам применим формулу (4.16), а к третьему — (4.21): 1
- (1 -cos (270°—4a)—1 +cos (420°-4a)-sin (360°-4a)-sin (30°+4a))- 2
1
=- (sin4a + cos (60°— 4a)+sin4a—sin (30°+4a))=sin4a. ■
4.278.4.278.a,
4.278.
4.278.
a) —2tga; 6) 2tga. 4J79. cos -. 4J80. tg*2a.
□ После применения формул приведения выражение примет вид cos 4а— —cos6 2а+sin6 2а. Далее имеем
cos6 2а—sin6 2а = (cos2 2а—sin2 2а) (cos* 2а+cos2 2а sin2 2а+sin* 2а) =
, = cos4а ((sin22а+cos22а)2—cos22аsin22а)=cos4а (1— sin24а).
В результате получаем cos 4а—cos4a I 1—sin24a )=- cos4asin24a= \4/4
1 =- sin 4a sin 8a. ■
8
1.4.283. -sin6a.
□ Рассмотрим каждый из множителей по отдельности. 1—COSX1—COSX
Пусть arctg=a; тогда tga-. Согласно формуле (4.15), sin хsin х
находим
—cosx2
(
1— cosx\sinx 2sinx (1—cosx)
arctg—:)=—=-—— =tgx.
sinx )/1—cosxv 2cosx—2cos x
1—1
\ sinx /
/l+cos2x /2cos2x
/= /———|ctgx|.
у 1—cos2x V 2sin2x
4.285.4.286.4.287.4.289.4.291.4.285.4.286.4.287.4.289.4.291.Итак, в произведении получаем: 1, если ctgx>0, и — 1, если ctgxcO. ■ 2sin (6a—60°)._
4.285.
4.286.
4.287.
4.289.
4.291.
4.285.
4.286.
4.287.
4.289.
4.291.
2/17з\ 2
□ —= sin4a—cos4a=—= I - sin4acos4a )=—= sin (4a—60°). ■
73-7з^27V3
472 sin (x-45°) sin (x-60°) sin (x+60°) — 8 cos 4a. 4.288. —.
cos’x
4 cos 2x sin (60° — x) sin (60°+ x) . 4.290. — 8cos (2a+ 60°) cos (2a-60°).
cos*x aaa
U Предварительно заметим, что 0<-<45°, — 45° <— *<0, а 0^45°—-<
-a
<45: Подкоренные выражения преобразуем так: l+sin- = l +
2
/ a\ , / a\a , / a\
+ cos I 90° — -).-= 2cos2 I 45° — ) и 1 — sin - = 2sin2 I 45° — ). Теперь no- \2/\4/2\4/
лучаем
4.292. □ 1 + cos 4a + 3 cos 4a — 3 = 4 (cos 4a — cos 60°) = 8 sin (2a + 30°) sin (30° —
-2a). ■
4.293.
4.295.
,tg2acos (2а+Д)
sin2 (а — /0- 4.294. .
cos 4а,■
□ Числитель приводится к выражению 2sinasin/icos (а+/0, а знамена-
4.296.
тель — к выражению —2 cos a cos/? cos (a +/Г). В результате -tgatg/?. ■
— 2cos a cos 2/? cos (a—2/?). 4.297. — 2sin 2a sin ^cos (2a—Д).
/я a\
получаем
4.298.
sin [ -+-\2 2.
□ 2+
/л а'
1—cos I —|— \2 2,
а\ 1
а /3
1 -f-sin - )4cos2 -=4 I — cos:
2У а cos -
2\4
а
2,
4.299.
4.301.
4.302.
4.303.
4.304.
(л cos2 -
6
а\
—cos2 - 1=42У
л
1 + cos - -1 — cos а
3
4 cos2 ( —2а ]. 4.300. —\4 У
—2a
4,
2
(я
—4а
4,
sin 8а
/ла\/а
=4sin I -)sin-
\62У\26.
я\
□tg 2а + cos 2а — sin 2а = 1 - tg 2а + cos 2а —
/л\/ л\
2sin I —2а ) cos2 Iн2а I
\4У\ 4У
-2V2 sin
cos 2a —sin 2a
—sin 2a=(1 + cos 2a)=
cos 2a
— 2a I cos a
.4 J
cos 2а
2 ctg 4a.
1 1
□ Имеем sin2a + sin28—(cos (a— S) — cos (a + й)) cos (a — 6)=-—cos2a +
2 2
11.11,,
+- —- cos2/?—cos2 (а —Д)+-cos2a + -cos2/8 = l —cos2 (a —^) = sin2 (а —Д).
Теперь находим 1 —sin2 (a—/?)=cos2 (a —/0- ® 2v 2 sin2 a cos I —2a I
\4 У ..
а
а
cos 2а
. 4305. 8sin2asin22a. 4306. a) ctg —; 6) tg-.
22
4.307. □ 1 —со$4а +V3sin4a —
4tg2acos4acos22ar
^ 1 _ cos 4a + V3 sin4a— 1 = sin 8a
/ n\■
= 2 1—sin 4a—cos 4a |=2sin I 4a—1. Здесь были использованы фор- \ 22/\6/
мулы (4.16), (4.14), (4.9). ■
4.308. 2sinasin (2/?-a) cos2/?.
4309. □ Используя формулы приведения, а также (4.17) и (4.21), получим 1 + (я\
cos4a + cos - )=4cos4a хзУ
(я \/ я\
2а н— I cos I 2а— I. ■ бУ \ бУ 4.310. 4sin4asin (а—15°) cos (а+15°).
4311. □ cos3 a— sin3a + sina—cos a=(cos a—sina) (cos2 a + cos a sin a + sin2 a—1)=
V2/n\
— sin2acos I a4— I. ■ 2\4/
/я \'
2cos I —4a I.
\3/
cos2a+2cos2a—1cos 2a+cos 4 a2cos3acosa
□ ==-=
1 +cos2a+cos4a+cos6a 2cos2a+2cos5acosa 2cosa2cos3acos2a 1 =. ■
2cos2a
4314. tg (a—15°) ctg (a+15°). 4315. 4sin4asin (a + 15°) cos (a—15°). 4316. —sin 4a.
—sin~la + sina (sin2a—1) cosa , 4317. □ ;=ctg3a. ■
—cos a+cosa sina (cos a— 1)
\7
tg I — a j tg I -+a j tg2 a. 4.319. 2v2 sin 2a sin (4a —45°). cos2acosa—sina+cosa (cosa—sina)
4320. □tg a+cosa—sina ==
cos 2acosa
Г\»a
2V2 cos I -+a I cos2 - \4 /2
=. Здесь были использованы тождества
cosa
(ft \ (ft/1^1
2sin I -+a ) cos I -+a =sin I -+2a 1=cos 2a, cosa—sina=v2cos I -+a ) \4 /\4/\2/\4 /
. a и 1+cosa = 2cos2-. ■ _2
(V2/2) sin 2a.
1+sin 2a 1 — sin2a (1 + sin2a)2—(1—sin2a)2 4sin2a
4322. П 1— -..-.....-. = m., . I.— 1 SB ■
1—sin 2a 1+sin 2a1—sin22acos2 2a
V2 sin (45° + a). 4324. 4cos4asin (15°-a) cos (15° + a). (m+n)a (m—л) a
4325. 4sin (30° +2a) sin (30°-2a). 4326. coscos.
1 sin 2a—cos2a+l sin2a+2sin2a
□ l-ctg2a+=:
sin 2a sin 2asin 2a
Г\
V2 sin [ -+a I
2sina (cos a+sin a)\4 /
_ sin 2acos a
V3 ctg«- 4329. sin 4a.
cos2 lad— I \4/ 1л
4330. □ sina=sina— = sina—sin- =
/л\ 26
2cos2 lad— I.
\ 4/'
/а я\/а л\
=2 sin II cos I -H—I. ■
\2 12/\2 12/
8 4.331. —= sin 70°.-
Уз
□ Преобразуем отдельно числитель и знаменатель: cos60° + cos 68° —cos 60°—cos 112° —cos 68°;
2 cos 30°+cos 112° —cos 30° - cos 68° — cos 68°.
2
Таким образом, частное равно — 1. ■
□ В левой части предполагаемого равенства перейдем к вычислению числителя и знаменателя. Имеем cos 10° cos 50° cos 70°=-(cos 60° + 1/111\ 1
+cos40°) cos70°=- I - cos70°4— cos 110°-I— cos30° ]=- cos30°. Аналогич- 2 \222/ 4
1
но находим sin 10° sin 50° sin 70°=- sin 30°. В итоге получаем ответ: 4
ctg30°. ■
□ Сначала используем формулу (4.25), а затем (4.27):
УзУзУз /.
— sin 20° sin 40° sin 80° =— sin 80° (cos 20° — cos 60°) =— I sin 80° cos 20° — 244 \
i\Уз /1ii\Уз i Узз
—- sin80° )=— I- sinl00°+- sin60°—- sin80° )=—-' — =—. ■
2/ 4 \222/4 2 216
2
□ tg9°+tg81°—(tg27°+tg63°)+tg 15°+tg75° —
66*cos90°+cos72°
222 (cos36°-cos72°) 2
_++4=8. ■
cos 90°+cos 36° cos 90°+cos 60°cos 36°+cos 108°
3a3a3a3a /3a3a\
□ 1 — cos3a+sin3a=2sin2—l-2sin— cos——2 sin— sin—Heos—)= 2222 \22/
.-3a/3aл\
=2V2 sin — sin I —I— I. ■
2\ 24/_
'У3\
.-,-2 I- cos 10°sin 10° I
1 Уз cosl0°—Уз sin 10°\22/
□—===
sin 10° cos 10° sin 10° cos 10°sin 10° cos 10°
2 sin (30°-10°)2sin20°
sin 10° cos 10° sin 10° cos 10°
3/2. 4356. 3/16. Зл 6л 4.357. □ 1 способ. Пусть A —cos — cos —. Умножив обе части этого равенства
ЗлЗлЗлЗл 6л. Зл
на 2sin —, получим 2Л sin — — 2sin — cos — cos —, или 2Л sin —= 555555
6л6яЗя1. 12лЗл12л
—sin'—cos—, или 2Jsin—=-sin, или 24sin -—-мп—. Но 55525525
2я/Зя\Зя1
sin — =»япя] = sin—.откуда Л =-."
5\5/54
' ЗяЗя6я6я6я
2 sin — cos — cos — sin — cos —
Зя 6я 55555
II способ. Имеем Л—cos — cos ——
, 55ЗяЗя
2sin —2sin —
55
12я 2я sin — sin — 551
ЗяЗя 4
4sin — 4sin — 55
cos 76°+cos 60°—cos 104°—cos 60°
□ -1. ■
cos 76° + cos 30°—cos 104° — cos 30°
1. 4.360. 0. 4361. 1. 4.362. -85/44.
5л sin —25л sin —2□ Имеем
5л sin —
2
5л sin —
2
(5л\/5я\
—+x l+tg I-X -—
/\4/
cos
22
5лcos2x
cos—+cos2x
2
/3л\34
Так как tg I—hx)=—ctgx—-, to tgx=— и, значит, cos2x= \2/43
l-tg2x750
=— —.Ответ:. ■
l+tg2x257
. я+Рa—Д21я-+pa—Д27
4364. □ Имеем 2sincos, 2coscos, откуда
22652265
i+P 1я+Д Зя
tg—-. Так как 2я<а+Д<Зя, то я<<— (III четверть). Теперь
2922
7
я+Р 97я+Р 9
находим sin—— = —=, cos—=. ■
/49V1302V130
V +81
4.365. 27/(7^130). 4366. (Зл-л3)/2. 4367. -9/4. sin (я—(Л+В)) sin (Л + В) sin Л cos В+- cos Л sin В 4371. □ —-— :-IgA+tgB. ■
cos Л cos Scos Л cos Scos Л cos В
А В C it
4374. □ Так как Л+В+С~я, то — н—4——-. Далее находим
2 2 2 2
ВВВВtg-{tg-+tg-) + tg-tg--tg-2 \ 22/222tg-{tg-+tg-) + tg-tg--tg-2 \ 22/222в+свсsin яп — sin —222В с+ Вс=в+свсsin яп — sin —222В с+ Вс=
В
В
В
В
tg-{tg-+tg-) + tg-tg--tg-
2 \ 22/222
tg-{tg-+tg-) + tg-tg--tg-
2 \ 22/222
в+свс
sin яп — sin —
222
В с+ Вс=
в+свс
sin яп — sin —
222
В с+ Вс=
. cos — cos — cos — cos —
2222
Л Л В С А ВС
tg — cos —+sin — sin — sin —+sin — sin —
2222222
ВСВC
cos — cos —cos — cos —
2222
(B C\В C
cos I — ч— + sin — sin — \2 2/22
В C'
cos — cos — 22
xx 11 — m m2 —1
4.375. tg - = 2 или tg - = —. 4376. . 4.377. .
2231+m2
sin a cos Д+cos a sinpctg/?+ctga p
□ Имеем = или =-. Отсюда ctg/?=
sin a cos/?—cos a sin/? qctg/?—ctga q
l+6m2 —3m42pqq1—?1 2pq
. 4380. sin2a=-, cos2a=——-, tg2a=—-.
4p -t-q1 p +q2 q -p
4381. □ Решив квадратное уравнение относительно ctga, находим (ctga)t =
= -1 /2 ((tg а)! = - 2) и (ctg а)2 = - 3 ((tg а)2 = — 1 /3). Теперь, используя условие задачи, получаем ответ: a) (cos2a)i = —3/5; б) (cos2a)2=4/5. ■
q-p
4381. а) 4/5; б) 3/5. 4.383.ctga. q+pг
/>Л1'
-.-21 — яп2а— cos 2а
1 —2cos2a+V3sin2a —cos2a+V3 sin2a\ 22,
4384. □ ==
/я\/я\/я\
sinl-—2а)sin I—2а)sin I—2а)
\6/\6/\6/
/ я\
sin ( 2а— )
\6/
= 2= -2. ■
/я \
sin I —2а )
\6/
4.385. □ Имеем '
а+Ду а ^
sincos - + cos - cos -
2 у у 222
+ tg - = tg= aД22 а.
cos - cos -cos - cos -
2222
аД aД a P
—cos - cos-+sin -sin -+cos - cos-
2222 2 2a Ду
cos - cos -
22
У®+P
Мы воспользовались тем, что cos - — — cos —г-. ■
22
4386. -1.4387. -2/3.
4388. □ —sin (70° + a) (—cos (20°—a))+cos60° (—cos (40°—2a)=
—sin (70° + a) cos (20° — a)—cos 60° cos (40°—2a)—
sin90°+sin (50°+2a)-cos (40°-2a) 1 ==-. ■
22
4390. cos3a=4cos’a—3cosa, cos4a = 8cos*a—8cos2a + l. «-Р cos
a+Дa—pаЦ-р a+P2
4392. □ Имеем 2sincos=4 sincos, откуда =2.
2222a+p
cos
2 Значит,
a P a+P a—P2sin - sin - coscos
a P 22221
tg - tg =-. ■
22 aPа-pa+p 3
2cos-cos- coshcos ■2222
p (cos3 a sin a+sin3 a cos a)+(sin 3a cos a—cos 3a sin a)
4393. □
sin a cos a
p sin a cosa+sin2a
.—p+2. ■ sma cosa
4394. f^-1!9.
4398. □ Имеем
11—sin2 2a
(1 + sin 2a)h2cos4a—|-2cos4a—
/я \cos 2acos2 2a
sin I ~+2a I
\2/
1sin 2a+sin 6a—sin2a sin 6a
= 1 +2cos4a—(sin2a+2cos4a sin2a)=.
sin 2asin 2asin2 a
P 1+cosP
Здесь были использованы формулы ctg -—и (4.27). ■
2 sop
□ Находим.
cos 4a—cos 8acos 8a+cos 4a
sin 6a sin3 2a+cos 6a cos3 2a—sin2 2aH cos2 2a
22
=- (cos8a (cos2а—sin22a)+cds4a)=- cos4a (1 + cos 8a)=cos 4a. 22
Здесь были использованы формулы (4.25), (4.26), (4.14) и (4.17). ■
□ Преобразуем числитель:
a+^ а—р 2у+а+Д а+Д а+Д /а—р
2sincos2cossin=2sinI cos
'22222 \2
2у+а+Д\a+pp+yy+a
— cos =4 sinsinsin. 2/222
a+P P+y y+a Аналогично в знаменателе получаем 4cos —— coscos ——, откуда
и вытекает справедливость тождества. ■
1 +cos2a+l +cos4a+... + l +cos2na
q =
2
п sin3a—sina+...+sin (2л+1) a л sin (2л+ 1) a—sin a.
24 sin a24 sin a
л cos (л+ 1) a sin ла
=-+. ■
22 sin a
(3/4) sin8a. 4.411. 2sin32a. 4.412. -cos32x. 4.413. (3/4) sin4a.
2V2 sin ( - + 2a ) cos2 I —a ]
\4/\4 /,
--.4.415. 8cos 16a cos3 2a.
sin 2a
□ Сначала находим V3 sin 20° sin 40° sin 80° sin 20° sin 40° sin 60° sin 80° ==
2 ,- /1\
.-V3 I cos20° sin80°—- sin80° I
V3 (cos20°-cos60°) sin80° y \2/
44
/111\
V3 -sin60°-1—sin 100°—sin80° I \222/ 3
4=16‘
Аналогично получаем, что (cos 20° cos 40° cos 60° cos80°)2=—. Наконец,
31
имеем—:—=48. ■
16 256 л
□ Умножив и разделив левую часть на 2sin —, получим
4я Зл 4л 5л 6л 7л 8л Зл 6л 7л sin — cos — cos — cos — cos — cos — sin — cos — cos — cos —
15151515151515151515
л я 2л л2л я2я2л
sin — cos - cos —cos - cos— • 2 sin -sin —cos—
155555 555
ялл
2s sin—25,2sin-2”sin-
1555
4я
sin —
51
27sin - 5
cos 70°cos 70° 4- 2 sin 140°
□ +4cos70°=
sin 70°cos 20°
cos40° cos30°— sin40°+2sin 140° cos40° cos30°+- sin40°+sin40°22
cos 20°cos 20°
cosl0°+sin40° cosl0°+cos50° 2cos 30° cos 20° г V3. ■ cos 20°cos 20°cos 20°
□ Пусть arctg3 = « и arcctg (—1/2) = Д. Тогда tga=3, ctg/?= —1/2, cos2 «=1/10, sin2 «=9/10, cos2 P=1/5, sin2 Д=4/5, sina=3/V10, cosa = l/V10, cos p—iiVs, sin/?=2/Vs. Заметим, что sin2 («—/?)=sin2«cos2/? + +cos2a sin2/?—2sin«cos« sin/? cos/?. После этого получаем sin2 («—/?) =
9 114312+—-—2—=—= ~ IЮ 5 10 5 V10 V10 VS9 114312+—-—2—=—= ~ IЮ 5 10 5 V10 V10 VS12’12’1
9 114312
+—-—2—=—= ~ I
Ю 5 10 5 V10 V10 VS
9 114312
+—-—2—=—= ~ I
Ю 5 10 5 V10 V10 VS
1
2’
1
2’
Vs 361577 15
□ Пусть arccos—=«, arccos— =B. Далее находим sin (а—в) =— 851785 17
36 8 3 /я 4\/4\ 3
_—•—=- и gfn I —arcsin - )=cos I arcsin - =-. Поскольку углы a— В 85 17 5\25/\5/ 5
я 4
и —arcsin - принадлежат I четверти, доказываемое равенство справед-
ливо.
4.441. -alb. 4442. -b,a. 4.443. -(2/3) \Л-
4 1 —
/Зя 13\/13\5 1
□ Заметим, что cos2 Iarcsin - ) = sin2 I - arcsin - ]==—,
\ 2 25/\25/210
/5я 14\ 1.,
cos2 I—+-arcsin - J=-. Далее воспользуемся формулой a”—b” =
\ 2 25/5
=(a2—Z>2) (a*-t-a1b1+b*) и в результате получим — 0,007. ■
6/25. 4.446. 6/25.
□ Пусть arcctg (V2—1)=о; тогда tga=V2+l- Следовательно, cos2a=
1/V2. откуда arccos (—1/V2)=3r/4. ■_
4448. -я/4. 4.449. (1-а2)/(2д). 4450. 0,009. 4.451. 1/8. 4.452. (l-Vs)/2.
4453. V10 - 3. 4.454. 0,98.4.455. -119/120.
443a1 a 2
□ Пусть arcsin - = a; тогда sina»=-, cosa=~, sin - =—=, cos - =—=. Анало-
555275275
43
гично, пусть arcctg (—2)=/?; отсюда sin 2/?=—-, со$2Д=—-. В результа-
/a\ 1
те получим sin2 I — 26 I =-. ■
\2/ 5 __
— 2.4.458. 11/2.4.459. -275/5.4.460. -275/5.4.461. lajb. 4.462. -1/2.
2tg (x/2)
□ Используя формулы (4.28) и (4.29), получим уравнение -—^ ■^— 1—tg2(x/2) 1+272
. Решив это квадратное уравнение относительно l+tg2(x/2)3_
tg (x/2)=z, находим Zi=3+2^/2, Z2 = V2- Следовательно, ctg (x/2)—V2/2 и ctg (x/2) = 3 —72- ■
/я\Xя\Х^я\
1 —cos I -+2a I— 1 +cos I —2a I—sin I2a l+sin2a
\2/\3/\ 6/.
□ Имеем = sin 2a,
2
2tga 2m2
откуда sin 2a=— =-. ■
l+tg2a 1+Л12
□ Заметим, что cos4a=2cos22a—1 =2m2—1. Теперь находим
sin6 a+cos6 a=(sin2 a+cos2 a) (cos* a—cos2 a sin2 a+sin* a) =
/l+cos2a\2 1,/1—cos2a\2 l+3m2
= |I — sin2 2a + I =. ■
X 2/4\2/4
m (m2 + l)/2. 4.468. 2(l-m2). 4.469. -38/125.
2л +12л+1
□ В левой части получаем 2sin(A +S)cos(А — В) + 22
2л+12л + 1
+2sinC eosС. Учитывая, что А + В+С=л, находим 22
2л + 12л + 1/я2л+1 \
sin(A +'B)=sin(л —Q=sin I - (2л + 1)С 1 =
22\22/
л 2л +1 2л +1л2л + 1
=(—1) cosС; sinС=(—1) cos(А+В). •222
Следовательно,
2л+1/„ 2л+ 1я 2л+ 1\
2cosCi (—1) cos(А — В)+(—1) cos(Л+5) 1 =
2 X22/
л 2л + 12л+1 2л + 1
=(— 1) 4cosА' cosB'cosС, 222
т. е. мы пришли к выражению, стоящему в правой части. ■
□ Допустим, что sinX<P+cosX<p = l при любом <р. Тогда должно быть / я\х/Я\Х/ 1 V
I sin - I +cos I - ) =1, т. е. 21—=1 =1, а это возможно только при
X 4/Х4/\72/
х=2. ■
2+cos2a. 4.476. 1/V2 при а=л/16. 4.477. 2 при а = я/16. ctga — tgacos 2a2
□ Имеем ==. Наименьшее значение
■cos 4a+ 1 2cos2 2a sin a cos a sin 4a
этого выражения, равное 2, достигается при а—я/8. ■
1/2 при а-я/4. 4.484. -76/125. 4.485. 4 при а=л/4.
4486. □ Наименьшее значение выражения sin4a+cos4a = 1—0,5sin2 2a равно 1/2 и достигается при а=л/4. Следовательно, наибольшее значение выражения l/(sin4a+cos4a) равно 2 и достигается при а=л/4. ■
41/125.
□ Имеем
АВ
(1— sina) (1— sin/9 (1 —siny)=(l+sina) (l+sin/Q (1 + siny) =>
=> AB—BA => (1 —sin2 a) (1 —sin2 Д (1 —sin2 y)=(1 —sin2 a) (1 —sin2 Д (1 —
—sin2y) => X2=52=cos2a cos3/?cos2y => 4 = 5=|cosa cos/? cosy|. ■
□ Имеемsin6 a + cos6 a=(sin2 a+cos2 a)3 — 3 sin2 a cos2 a = 1—(3/4) sin2 2a.
Наименьшее значение этого выражения равно 1/4 и достигается при а=я/4. ■
1/2 при а=я/4.
□ Заметим, что 2cosa cosx cos (a+x) = (cos (a+x) + cos (a—x)) cos (a+x). Далее имеем
/(x)=cos2x—cos2 (a+x)—cos (a—x) cos (a+x)+cos2 (a+x)=
—cos2 x—cos (a—x) cos (a+x) = cos2x— (cos2a+cos2x)=
2
1111
=cos2x—- cos 2a— (2cos2x—1)=-— cos2a=sin2a=const. ■
222 2
sin (л +1) 2a ■ cos 2ла
-.
sin 2a
□ Находим
tg 142°зо' - - tg з7°зо> - -tgtg 142°зо' - - tg з7°зо> - -tg45°+ 30° cos (45° +30°)-145°+ 30° cos (45° +30°)-1Ve V2 , 144 -Ve V2 , 144 -22sin (45°+ 30°)sin (45°+ 30°)V6-V2-4 V3-1-2V2 (V3-1-2V2)(V3-1)V6-V2-4 V3-1-2V2 (V3-1-2V2)(V3-1)
tg 142°зо' - - tg з7°зо> - -tg
tg 142°зо' - - tg з7°зо> - -tg
45°+ 30° cos (45° +30°)-1
45°+ 30° cos (45° +30°)-1
Ve V2 , 1
44 -
Ve V2 , 1
44 -
2
2
sin (45°+ 30°)
sin (45°+ 30°)
V6-V2-4 V3-1-2V2 (V3-1-2V2)(V3-1)
V6-V2-4 V3-1-2V2 (V3-1-2V2)(V3-1)
V2/V3 1^ V2(V3 + D V3 + 12
2 \ 2 2/
-2-V3-V6+V2.
4.496.4.496.Отсюда получаем, что заданная сумма равна 2. ■
4.496.
4.496.
□ Согласно теореме косинусов, a2—62+c2—2hccos4—(6—с)2+2Ас (1 —
,АА,—
—cos Л)=(А—с)2+4Ас sin2 —, откуда а>2ап—>/Ьс. Следовательно,
АаВ bС с
sin— ^—=,sin—<—=,sin—<—=.Окончательно имеем
2 2yjbc"^ 2^ас.2 2yjab
АВС 8sin — sin — sin — <1. ■ 222
y+z
X4—"
1 — yz
□ Так как tg (arctgx4-arctgy4-arctgz)—tgn, to=0. Следовате-
x+z
\-x
1-yz льно, x+y+z=xyz. ■
□ Воспользуемся тем, что если а+Д+у=я/2, то 8япа япД siny^l (см. задачу 4.496). Подберем а, Ду так, чтобы р+у—А, а+у—Ви а+Р— С(это возможно сделать всегда). Заметим, что ana—cos (Д+у), sin Д=cos (а+у), sin у—cos (а+Р). Таким образом, 8 cos A cos В cos С< 1. ■
□ Покажем сначала, что $1п2Л4-$5п2В4-5т2С=24-2со$Л cosBcosC. Действительно, вычитая из правой части этого равенства левую и учитывая, что А 4- В+ С—и, получим
1 — sin2 А 4-1— sin2 В—sin2 (Л +В) —2со$Л cos В cos (А-ьВ)=
—cos2 А 4- cos2 В— (sin A cos В 4- cos A sin В)2 — 2 cos Л cos В (cos A cos В— — sin A sin В)=cos2 А 4- cos2 В—sin2 A cos2 В—cos2 A sin2 В— 2cos2 A cos2 В т
—cos2A 4-cos2 B-cos2B (sin2 Л 4- cos2 Л)—cos2 Л (sin2 В4- cos2В)— 0.
Итак, $1п2Л 4-sin2B4-sin2C—24-2со$Лсо$Всо$С<24-2 -=2 -. ■
84
ГЛАВА 5
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
(Всюду, если нет иных указаний, предполагается, что к, I, т, п принимаютлюбые целые значения.)
1 я я
□ Разделив на 2 обе части уравнения и учитывая, что -=cos-=sin-,
V3 я я
а —=sin —=cos -, имеем
236
1-Уз 1
- cos3x4sin3x =— cosx+- sinx;
2222
яяяя
cos - cos3x+sin - sin3x=cos -cosx+sin- sinx;
■3366
/я\/я\/я\/я\
cos I —Зх 1—cos I —x 1=0; sin I —2x ) sin Ix |=0.\3/\6/\4/\12/
Отсюда, получим:-
/я \ яя
sin I—2x)=0, 2x=- + nk, X! =- (4k+l); \4/48
/я\я
sin Ix |=0, x2=—Vnk. ■
\12/12
яя
5.002. zx-35°+ 120° к, z2-55° + 120°k. 5.003. Zj =- (8k+1), z2=— (8 k+3).
5.004. □ Перепишем уравнение в виде cos 4х=sinx cos3x+0,5 (sin4x+sin2x). Преобразуем правую часть уравнения:
sinx cos3x+0,5'2sin3x cosx=sin4x.
Значит, cos4x=sin4x, откуда tg4x= 1,4х=-+як, x=— (4k+1) (деление на 416
cos4x возможно, так как cos4x=0 не является решением уравнения). ■ - Я1 Я якя
5.005. х,=— (2к+1),х2=(-1)—+—.5.006.2!=^,z2=- (12*+5).
1612 36
ик я
5.007. х1 -у, х2=- (8k±3).
5.008. □ Используя формулы приведения, имеем cos/ cos6z+sinf sin6/= =2cos5/cos/; cos5/=2cos5< cos/; cos5/ (1—2cosr)=0. Отсюда получим:
-яя
cos5/=0; 5/=- + як, ii=— (2k+l); 210'
1я
cos/=-;/2= ±-+2як. ■-
23
яt я як'
.009. х1=—(2к+1), х2=(-1) —+—. 5.010. х1=75° + 18О° к, х2=45° к-3°45'.
1012 3
яя як2як 2я
5Л11. х(=- (2к+1), х2=(-1)-+у. 5.012. *1=—, *2=— (Зк-2).
.013. □ 2sin4x cosx=sin4x; sin4x (2cosx—1)=0;
ик
sin4x = 0, 4х = лк; Xj =—;
4
1лл
cosx=~, х2= ±-+2лк=- (6к±1). ■
233
х3=^(4к+1).ЯХ2=- (4к—1).4х3=^(4к+1).ЯХ2=- (4к—1).4як4 я2лк я
х3=^(4к+1).
Я
Х2=- (4к—1).4
х3=^(4к+1).
Я
Х2=- (4к—1).4
5.014. xi=—, х2=(-1) -+як. 5.015.^=—, х2=-(4к-1),
я2яя
5.016. х1 =—(2к+1),х2=—(Зк±1).5.017. х,=-(2к+1),
1236
1
5.018. Х1=2як, х2=2як—. я
5.019. □ cosx—cos3x = x/3 sinx; 2sinx sin 2х=,/з sinx; sinx (2sin2x—./3)=0;
sinx=0, xt =лк;
2) sin2x2) sin2xлк5.020. x, =—, 2лк5.022. X, —,лк5.020. x, =—, 2лк5.022. X, —,/Зь л лк
2) sin2x
2) sin2x
лк
5.020. x, =—, 2
лк
5.022. X, —,
лк
5.020. x, =—, 2
лк
5.022. X, —,
—; *2=(—i) -+—• ■
26 2
jt* i л лкля
X2=(-1)T— +—.5.021. X1=-(2k+l),x2=—(8k±3).
21 7212
л 2якяt я як
х2=+- +—.5.023. Х[=-(2к+1),х2=(-1) —+—.
65620 5
ял
5.024. xi=— (4к+1), х2=— (12к-1).
1'
5.025. □ 2sin30° cos (15°—х) = 1; поскольку sin300=-, имеем cos (15°—х)= 1,
15° —х= —360° к, х=15° + 360° к. ■
5.026. х1 = 100°+360° к, х2=-20°+ 360° к. 5.027. х1 = 135°+360° к, х2=-105° +
яя
+ 360° к. 5.028. X! =-(4к+1),х2=—(4к+1).5.029. х = 180° к-25°.
як ллк
5.030. Xi =~> x2 = g (6^±1)- 5.031. х="у-
5.032. □ Представив 2sin3x в виде sin3x+sin3x, имеем sin9x—sin3x=sin3x; 2cos6x sin3x=sin3x. Отсюда получим:
лк
sin3x=0, Зх=лк; xi=—;
яя
cos6x=l/2, 6х= ±- + 2лк; х2=— (6к±1). ■
лял
5.033. Х1=- (2к+1), х2=- (Зк±1). 5.034. х^лк, х2=- (6к±1). 5.035. Xi = 236
яя
=-(2к+1),х2=-(Зк±1). 46
5.036. □ Заметив, что sinz+sin3z=2sin2z cosz, a cosz+cos3z=2cos2z cosz, имеем 2sin2z cosz+sin2z=2cos2z cosz+cos2z;
sin2z (2cosz + l)=cos2z (2cosz+l); (2cosz + l) (sin2z—cos2z)=0; отсюда получим:■
2л
2cosz4-l —О, cost— —1/2; Z| =— (Зк±1);
3лл
sin 2z—cos2z, tg2z=l, 2z—-4-як; z2—- (4k 4-1). ■
як яяк ллк
5.037. х, -у, х2—-(2к4-1).5.038.x,—, х2=-(2к4-1).5.039.x,—,
яяткitkт.
х2—-(4к—1),х2=—(4к+1).5.040. х=—5.041. х,=—,х2=-(4к+3).
як
5.042. х—.
5 ,, sin3x
5.043. □ 2sm23x=tg3x, cos 3x^0; 2sm23x—; 2sin 3xcos3x=sm3x;
cos 3x
як
sin3x—О, Зх—як; х,——; яя•
2sin3x cos3x—1; sin6x=l, 6x=-+2лк; x2=— (4k 4-1). ■
яt л як4я
5.044. x, =-(2k4-1), x2=(-l) —+—. 5.045. x,= я (2k 4-1), x2=y(3k±l). лля
5.046. x— (2k 4-1). 5.047. tx=- (2k4-1), r2— (2k4-1). 623
5.048. □ 14-sin2x=«cos23x4-2sin3x cos 3x4-sin2 Зх; 14-sin2x-14-sin6x; sin6x—sin2x-0; cos4x sin2x=0;
як
sin2x—0; 2x—як; х,——; 2
ля
cos4x—0; 4x—-4-як; x2—- (2k4-1). ■ яяя
.049. Х!-як, х2— (2к4-1).5.050.Х|-- (4к4-1), х2-— (4к4-3).
.48-20
/14-cos4x1— cos6x\
.051. □ 2sin4x cosx—2 I);
X 22/.
2sin4x cosx—cos4x4-cosбх; sin4x cosx—cos5x cosx;
.я
cosx—0, xj—-4-як;
2 /л\/лx\/л9x\
cos5x—sin4x; cos5x—cos I —4x 1=0; sin I -4— I sin I1=0; отсю- \2/\42/\42/
да получим: л xя
-4——як, х—ь2як — эти значения входят в решение xt;
4 22.
9х яял 2як
—як, 9х—-4-2лк; хз——h.
2 42189
ля
Ответ: xj —- (2к4-1), х2—— (4к4-1). ■ 218
я2л*яя
5.052. х,=-(2*+1),х2=—.5.053. х,=-(2*+ 1),х2=-(4*-1).
я
5.054. х=—(2*+1).
5.055. □ 2 (cos23x+cos24x+cos25x)=3; 1 + cos6x+1+cos8x+1+cos10x=3;
cos6x+cos8x+cos Юх=0; cos8x+2cos8x cos2x—0;
яя1) cos8x=0, 8х=- + я*; X(=— (2*+l);2161) cos8x=0, 8х=- + я*; X(=— (2*+l);2162)2)1 cos2x= —,21 cos2x= —,22яя2x= ±—Н2я*; xi=- (3*±1).332яя2x= ±—Н2я*; xi=- (3*±1).33
я
я
1) cos8x=0, 8х=- + я*; X(=— (2*+l);
216
1) cos8x=0, 8х=- + я*; X(=— (2*+l);
216
2)
2)
1 cos2x= —,
2
1 cos2x= —,
2
2яя
2x= ±—Н2я*; xi=- (3*±1).33
2яя
2x= ±—Н2я*; xi=- (3*±1).33
яяя
5.056. X]=-(2*+ IX х2=-(2*+1), х3=-(2*+1). 5.057. х^яЛ/2, х2=я*/5.
457
яяя
5.058. х, = л*/2,х2=я*/9. 5.059. zi — (2*+l),z2=— (2*+1). 5.060. xt=- (2*+1), 4142
2я* я
х2=—, х3=— (2*+1).
5.061. □ 4cosz'2cos (60°—z) cos (60°+z) + l=0;
4cosz (cosl20°+cos2z)+l=0; — 2cosz+4coszcos2z+l=0; 1
—2cosz+2 (cos3z+cosz)+l =0; cos3z=—-; 3z= ±120°+360°*; z—
-±40°+ 120°*. ■ ЯЯЯ*
5.062. z=(-l) 10°+60° *. 5.063. xl=—(2*+l), x2=-(2*+1X 5.064. x(-—
я*я* ля*
x2=—. 5.065. X[=—, x2=— (6*±1). 5.066. x——. 721210
5.067. □ 2cos (x+1) sin2 (x+l)=2cos3 (x+1) sin4 (x+1);
sin3 (x+l)+sin (x+l)=sin7 (x+l)+sin (x+1);
sin3 (x+1)—sin7 (x+l)=0; sin2 (x+1) cos5 (x+l)=0;
я*
sin2 (x+l)=0; 2 (х+1)=л*; X[=1;
2
яя
cos5(x+l)=0; 5(х+1)=-+я*;х2=—(2* + l)-l. ■ 210
яя2я
5.068. »!=я*, /2=-(6*±1). 5.069. Xi-я*, х2=-(3*+1). 5.070. х=—(3*± 1). яя
5.071. Х!=- (4*+1), х2=- (4*+1).
5.072. □ Заметим, что
2cosx cos2x=co$3x+cosx, /я \/я\/я
2sin (—hx I sin (~+4x I=cos3x—cos f —h5x\4 /\4/\2
/Зя\/7яX/5яX
2sin I —h4x I cos I5x ]=sin Ix )—sin (я—9x).
\4/\4J\2у
Тогда получим cos Зх+cos x=cos Зх+sin 5x+cos x—sin 9x;
sin9x—sin5x=0; sin2x cos7x=0;
кк.
sin2x=0; lx=uk‘ х,=—;
2яя
cos7x=0; 7х=- (2к4-1); х2«— (2к4-1) — это решение включает значе- 214
я■
ния - (2k 4-1) из решения хр Исключив указанные значения из хр получим
я
ответ: Xi =ик, х2=— (2k 4-1). ■
5.073. х,=як, х2=-(6к±1). 5.074. х=—. 5.075. х=- (2k +1). 5.076. х=—. 6694
я
5.077. х=— (4k-1).
12
5.078. □ Заменив 2sin2 - на 1—cost, имеем: ctgf— sint=l — cost; ctgf—1 = 2 cos t— sin t
= sint—cost; smt^O;=sint—cost; (sint—cost) (sint + l)=0. От-
sin t
сюда получим: я 1) sint—cost=0, tgt=l, t)=-+nk; 4 я
2) sint= —1, t2 =Ь2як. ■
2
яяя
5.079. t=-(4k 4-1).5.080. Х1 = 2як,x2=- (4k+1),x3=-(4k-l).
224
яяя
5.081. x—(4k 4-1).5.082.x-- (2k+1).5.083.x— (3k±l).
443
x
5.084. □ Заменяя 2cos2 - на 14-cosx и разлагая левую часть уравнения на 2
множители, имеем: cos3x4-cos2x—2 (14-cosx)=0; cos2x (cosx4-l)— , —2 (14-cosx)=0; (1+cosx) (cos2x—2)—0; cos2x—2^0, так как |cosx|<l;
4-cosx=0; cosx= — 1; х=я4-2як. ■
.085. x=- (4k 4-1). 5.086. xt-- (2k 4-1), x2=- (6k±l). 5.087. x=- (2k+l).
4464
.088. □ Левая часть уравнения определена при sinx^O. Заменив 2sin2x на 1—cos2x, a 2cos2x на 1+со$2х, получим квадратное уравнение относительно cos 2-г.
l-f-cos2x
(1 +cos2x)=3; 6+6cos2x—1 +cos22x=3 —3cos2x;
1—cos2x
cos2 2x4- 9 cos 2x+2=0.
Такcos2xТакcos2xкаккак4-як. ■4-як. ■-9-V732-9-V732±arccos±arccos-9-V73то cos2x#; следовательно,_2_V73-91V73-9Ь2як; x= ±- arccosh 222-9-V73то cos2x#; следовательно,_2_V73-91V73-9Ь2як; x= ±- arccosh 222
Так
cos2x
Так
cos2x
как
как
4-як. ■
4-як. ■
-9-V73
2
-9-V73
2
±arccos
±arccos
-9-V73то cos2x#; следовательно,
_2_
V73-91V73-9
Ь2як; x= ±- arccosh 222
-9-V73то cos2x#; следовательно,
_2_
V73-91V73-9
Ь2як; x= ±- arccosh 222
*+1 ЯЛ1* Я Я* 1
5.089. х=(-1)- + я^.5.090. X] =-(4к+1)—, х2 = (-1) — +——.
64212 2 2
> яя
5.091. х=(—1) -+лЛ.5.092. х=-(2Л+1).5.093. х= ±агссо$0,8 + 2я*.
64
Ы я-1 я . я
.094. х=(-1)-+лА. 5.095. *!-(-!) - + л*. х2— (4*+1).
62
3 + х/9—81
6. □ tg23x= ; tg23x = l; tg23x=-;
42
ял
tg3x= ± 1, Зх= +- + л£; Xi = ±—|—. _4_ 12 3_
V2 V2 1 V2 ”* tg Зх = ±—, Зх = + arctgк я*; х2 = ±- arctg1—. ■
2"2323
яяя2л
7. х=- (3fc±l). 5.098. z(6А±1). 5.099. z=- (2*+1). 5.100. х=— (3Jt±l). 61243
□ Воспользуемся тождеством 1 =(sin2x+cos2x)2, откуда sin*x+cos*x=
= 1—2sin2x cos2x=l—sin22x. Тогда получим 1—- sin22x = l—sin22x+ 1ял
+-; 1 —2sin2 2x=0; cos4x=0, 4х=- + яЛ; x=- (2*+l). ■ 428
яя
x=- (4Jt+l). 5.103. x— (bk+V).
□ Уравнение определено при sinx^O, cosx^O. Преобразуем его левую часть:
/sin х cos х\ 7+2sin2xH— I11 =
\cos x sin X/ 3 (sin2 x+cos2 x)3
■=7 + 2sin2x-l=7 + 2sin2xH.
2sinxcosxsin2x
-7-5-7+51
Имеем: 2sin22x+7sin2x+3 = 0; sin2x#= —3; sin2x== —,
442
>4.1 яя nk
2x=(-l) -+л*;х=(-1)—+—.■
612 2
як я тк
х=—(4*+1). 5.106. х=(-1) — +—. 1212 2
□ Уравнение определено при sinx#0, cosx^O, cos 4x^0. Так как tgx+ 222/я\
+ctgx=, то , откуда sin2x=cos4x, cos I—2x1 —
sin2xsin2x cos4x\2/
/я\ . /”\
—cos4x=0; sin I - + x I sin I —3x 1=0;
\4/\4)
/я \ля
sin I -+x )=0, -*x=uk\ X| =- (4fc—1); \4 /44
(Я\яя
—3x1=0, —Зх=—я^ x2=—(4A+1) — это решение включает 4)412
я
xi, поэтому х=— (4*+1). ■
я13
х=- (Зк±1).5.109.х=±- arccos -+як.
324
□ Преобразуемлевуючастьуравнения:
2sin3x—sinx—cos2x=sinx (2sin2x—1)—cos2x= —cos2x (sinx+1)..
Имеем (1 +sinx) cos2x=0, откуда получим:
яя
sinx= —1, х=h2nk; Xi =-(4k—1); 22‘
cos2x=0, 2х=^+як; x2=^ (2k+l). ■ яяя
x1=-(4k+3), x2=-(6k+l). 5.112. x=-(3k+l).
466
sinz
□ Уравнение определено при sinz^O, 1+cosz^O. Имеем =2—
1 +COSZ
cosz sinz2sinz —cosz'
; =; sin2z=2sinz—cosz+2sinz cosz—cos2z;
sinz 1+cosz sinz
1* я
1 +cosz=2sinz (1 +cosz); так как 1 +cosz#0, то sinz=-, z=(—1) -+
+ як. ■'
я/\
t=- 3k±l . 6\/
□ Так как cosx—0 не является решением уравнения, то, разделив на cosx, / я
получим tg2x—2tgx—3=0; tgx=l ±^/1 +3-1 ±2; tgx= — 1, х( =- (4k— 1); 4
tgx=3, X2=arctg3+xk. ■
x=-(3k±l).5.117. x,=Rk-arctg3, x2=-(4k+l).5.118. xi-як,
94
x2=— (2k+l). 5.119. Х!=2як, x2=| (4k+l).
□ sinz—sin2 z+cos2 z —cosz; sinz=l— cosz; z z z z z z 2sin - cos -=2sjn2 -, cos-#0; tg2 —tg-=O;
222222
z z
tg-—О, -=як; zi=2nk;
22
zz яя
tg- = l,-=-+як; z2--(4k+l). ■
22 42
я
Zi=2arcctg3+2nk, Z2= — 2arctg7 + 2nk. 5.122. X)= як, x2=-(4k+l).
4
яя3
x1=- (4k+l), X2=arcctg5+Rk. 5.124. X] =-(4k+l), X2=2arctg- + 2як. 425
я■
Zi=- (2k+l), х2=аг^4+як.
□ 4sin2x—4sinx cosx+2cos2x=sin2x+cos2x;
3sin2x—4sinx cosx+cos2x=0, cosx^O;
3tg2x—4tgx+l =0; tgx =;
я
) tgX=l, Х^' + як;
4
1■ 1
) tgx=-, x2=arctg-+nk. ■
■3
5.127.5.129.5.127.5.129.я1я3
5.127.
5.129.
5.127.
5.129.
х; =- (4k+1), x2=arctg-+nk. 5.128. xt =- (4k— 1), x2=arctg ~+як.
244
3z 3z 1 /3z 3z\/3z3z\ 3z
□ 42sin — cos —b- I cos2sin2 — 1=3I sin2 —bcos2— ), cos2 —#0;
22 3 \22/\22/2
3z3z3z3z3z3z6±4
24tg —+ 1 —tg2 —=9tg2 —+9; 5tg212tg—+4=0; tg—=;
2222225
1)1)3z2 2nk
1)
1)
— = arctg2+nk; z\=- arctg2 +—;
3z 222 2лк
2) —=arctg-+як; z2=- arctg-4.
я2 2лкя1 лк
Z!=—(4k+l), z2=-arctg54. 5.131. tj=—(4k-l), t2=-arctg54—. .1055123 _3
ЗяяV2
X] =— (4k+1), x2—я (3k ± 1). 5.133. X; =- (4k— 1), x2 = ±arctgb лк.
442
XXXXXXя
□ l-cosx=2sm-, sin-^0; 2sin2-=2sin-; sin- = 1,-=-+2як;
2222222
х=я(4к+1). ■
ЯЯi+i л лк
х\=ик, хг— (4к+1). 5.136. х=- (4к+3). 5.137. z=(-l)— +—.
4412 2
1—tg20°tg40°
□ tgx (tg20°+tg40°)=l—tg20° tg40°; tgx=;
tg20°+tg40°
1
tgx =; tgx=ctg60°; tgx=tg30°; x=30° + 180°-k. ■
tg (20°+40°)
x=60° +180° k. 5.140. x=-(4k-1). 5.141. t, = -31° + 180° k, f2-89° +
•4
+180° k. 5.142. x= ±40° +120° k. 5.143. x=як/8.
,, V2 V2
□ 2sinz cosz (sin2z—cos2z)=—; —sin2zcos2z=—; _44
V2*+l яJt+1 ”
sn4z=;4z=(—1)-+nk;z=(—1)—|—. ■
2416 4
я'
t—(4*+l).
16
■cosx sinxtgx—1+tgx+l
□b2—4, sinx#0, cosx^O, |tgxj#l;
sinx cosx tg2x—1
cos2x—sin2x 4tgx2cos2x
1— —4;2tg2x=4; ctg2x—tg2x—2;
sinx cosx tg2x—1sin2x
cos 2лsin 2л2cos4xяя
=2;=2; ctg4x=l; 4х=- + я*; х=— (4*+1). ■ sin2xcos2xsin4x416
яяя
5.147. х=— (6*4-1). 5.148.(2*+1), г2=я*. 5.149. х=- (2*+1).
4cosx
sinx „
□—hsin22x+l=0, sinx^O;
COS2X
1+—— snr x 4sinxcosx+sin22x + l=0; sin22x+2sin2x+l=0;
Кк
к Я Я**2 = (-l) - +—.6 2к Я Я**2 = (-l) - +—.6 2(sin2x+l)2=0; sin2x= — 1; 2x= —- + 2я*; x”~ (4*— 1).
к Я Я*
*2 = (-l) - +—.
6 2
к Я Я*
*2 = (-l) - +—.
6 2
X! =^ (2*+1),x2 =^ (4*+1).5.152. x, = я*,
к Я5.153. xi =я (2*+l), x2=(— 1) -+я*.45.154. □ 5 (l+cosx)=2+(sin2x+cos2x) (sin2x—cos2x);5 + 5cosx=2+(l—cos2x)—cos2x; 2cos2x+5cosx+2=0;
-5-V25-16 -5-3-5 + 312я
cosx#==— 2, cosx== —; x=— (3*±1). ■
44423
Яk”k Яя
x,=-(2*+l),x2=(-l) -+я*. 5.156. h=(-l) -+я*, h=- (4*+l).
5.157. □5.157. □sin2x—2. x x
5.157. □
5.157. □
—tg2 -, cos - # 0;
XXX22
4sin2 - cos2 —4cos2 - 222
sin2x—2. x2—sin2x . x
tg2 -;=tg2 -;
x / x \2 x x 2
4cos2 - I sin2 —II 4cos - cos -
2\2 /22
2—sin1x=4sin1 - cos2 -; 2—sin2x=sin2x; sin2x=l; sinx=±l; 22
я х=-+я*. ■
2
x=-(6fc±l).я=-(2*+l).x=-(6fc±l).я=-(2*+l).яX!=- (2*+l), 2яX!=- (2*+l), 2яя*x2=-(4*+1). 5.160. xi=—, x2=яя*x2=-(4*+1). 5.160. xi=—, x2=
x=-(6fc±l).
я
=-(2*+l).
x=-(6fc±l).
я
=-(2*+l).
я
X!=- (2*+l), 2
я
X!=- (2*+l), 2
яя*
x2=-(4*+1). 5.160. xi=—, x2=
яя*
x2=-(4*+1). 5.160. xi=—, x2=
4sm2 x cos2 x—4sin2 x
+ 1 — 2tg2x=0, cosx^O;+ 1 — 2tg2x=0, cosx^O;□
+ 1 — 2tg2x=0, cosx^O;
+ 1 — 2tg2x=0, cosx^O;
4sin x cos2x+4 (sin2 x— 1)
+ l-2tg2x-0;+ l-2tg2x-0;4sin2x (cos2x— 1)
+ l-2tg2x-0;
+ l-2tg2x-0;
4cos2x (sin2x— 1)
2itk яля
Х!=—, х2=- (4к4-1). 5.163. х=- (4к4-1). 5.164. х-— (6к±1).
14-sin2z4-14-cos2z 16316
□-—;=—;
14-sin2 z 4-cos2 z 4-sin2 z cos2 z 11 2+sin2zcos2z 11
'..1 я яI
33=324-4sin22z; 4sin22z-l; sin2z= ±-; 2z= ±—hxk; z—— (6k±l). ■ •
яяк 1/ 3\
x=- (3k±l). 5.167. x=—+- arcctg — I.
62 2\ 4/
. /я \_ /я \•
□ 2sin2 —н 1—2sin2 I —t ]=2sm/;
\8 J \8 / (я\/я\\■
-4-2/—(1— cos I—2/1 |=2sin/; 4/\*))
\/ Л\Яr
cos I —It —cos I -4-2/ =2sin/; 2sin - sin2/=2sin/; V2 sin / cos/=sin/; \4/\4/4
sin/=0, /) =як; 1яя
cos/ =—=, <2= ±-4-2як=- (8k±l). ■
V244
яяяя
х,=- (4к4-1),х2=-(4к4-1).5.170. х| =- (4к-1),х2=-(4к4-1).
яя
xj=- (2к4-1), х2=- (4*4-1). 24
2sin (х-15°) cos (х4-15°) 1
cos(x—15°)#0; sin(х4-15°)#0;cos(x—15°)#0; sin(х4-15°)#0;□ =-,
cos(x—15°)#0; sin(х4-15°)#0;
cos(x—15°)#0; sin(х4-15°)#0;
2sin2x—30° 1 2sin2x—1 1 __. 2sin2x4-1 #0;2sin2x4-30° 3 2sin2x4-1 32sin2x—30° 1 2sin2x—1 1 __. 2sin2x4-1 #0;2sin2x4-30° 3 2sin2x4-1 32cos (х—15°) sin (х4-15°) 3
2sin2x—30° 1 2sin2x—1 1 __. 2sin2x4-1 #0;
2sin2x4-30° 3 2sin2x4-1 3
2sin2x—30° 1 2sin2x—1 1 __. 2sin2x4-1 #0;
2sin2x4-30° 3 2sin2x4-1 3
6sin2x— 3=2sin2x4-1;
sin2x=l; 2x=90°4-360° k; x=45° (4k4-1). ■ яя
t=- (2k 4-1). 5.174. <=-(4k4-l).
_ _co$x anx 3lca»xsinx-M/cosx
□ 9=9-9, cosx^O; 9=9;
cosx=sinx4-l/cosx; cos2x=sinx cosx4-l;■
cos2x=sinx cosx4-sin2x4-cos2x; sin2x4-sinx cosx=0;
sinx=0; Х[ = як;
я
sinx= —cosx; x2=-(4k—1). ■
5.176.5.176.4
5.176.
5.176.
Здесь cos 2x # 0, cos 5x^0. Тогда cos 2x cos 5x4- sin 2x sin 5x=
=V2 sin2x cos3x*, cos3x=V2 sin2x cos3x. Отсюда получим:
я
cos3x=0; x=-(2k4-l), но при k=3/4-l имеем cos5x=0, поэтому
я
xi = ±-4-лк;
61> я як
sin2x=—=;х2=(—1) —I—. ■
V2 82
kitл2я
х-(-1) -+лк. 5.178. Х!=-(6к + 1), х2=—(3fc+l).
□ Здесь cos 6х#0. Следовательно, sin 6х cos 2х—sin 2х cos 6х='
=2sin4x cos6x; sin4x=2sin4x cos6x, откуда получим:
.’ якitk
sin4x=*0; х=—, но при к=2/+1 имеем со$6х=0, поэтому х, =—;
1я
cos6x=-; х2 =— (6к±1). ■
218
яя
X! =— (6k± 1), х2=як. 5.181. Xj =ик, x2 = яk±arctg —, х2=- (3k ±I).
1523
□ Запишем данное уравнение в виде 2sin2x2sin6x cos4x+cosl2x=0 и преобразуем его левую часть:
2sin2x (sinl0x+sin2x)+cos 12x=2sin2x sin 10x+2sin22x+cos 12x= =cos8x— cos 12x+2sin2 2x+cos 12x= 2cos24x—1 + 1— cos4x=
=cos4x (2cos4x— 1).
Имеем cos4x (2cos4x—1)=0, откуда получим:
я
cos4x=0; xt=- (2k+l);
1я
cos4x=-; x2=— (6k±lX ■
212
itkitккitk
xf—, x2—(2k+lX 5.184. x,=-(2k+IX x2— (3k±lX 5.185. xt—,
52432
яяя
x2=~ (2^ + 1)- 5.186. x^htk, x2- (2Jt+l), x2=- (4fc—1).
□ Имеем tg (120°+3x)+tg (40°+x)=2sin (80°+2x). Пусть 40°+x=y; тогда■
tg3y+tgy=»2sin2y; cos3y#0, откуда следует cosy#0;
sin4ysin2ycos2y
™2sin2y;=sin2y.
cosy cos3ycosy cos3y
Отсюда получим:
sin 2y=0; так как cosy# О, то sin у=0, т. е. у^180°*;
Qos2y=c<>sу cos3y; 2cos2y™cos4y+cos2y; cos2y—cps4y=0; sin3yx x siny«0; япЗу=>0, уз—бУ -k (это решение включает у]).
Ответ х—60° "к—40°. ■
V17-1
Л) - - 5°+60° к, х2=70°+90° • к. 5.189. X] = 2як, х2 = ± arccos +2як.
<1=— (к#4/ +2Х /2=±-arccosvitk.
424
sin2x cos3x cos5x
□—1—0, sin3x#0, sin5x#0, cos2x#0;
cos 2x sin 3x sin 5x
sin2x sin3x—cos2x cos3x cos5xcos5xcos5x
•у”0;н“0;
cos2xsin3xsin5xcos2xsin3x sin5x
cos5x=0; *i=~ (2k+l);
2sin5x—2cos2x sin3x=0; 2sin5x=sin5x+sinx;
sin5x—sinx=O; sin2x cos3x=0;
якя
хг=—, к^У, так как при этом sin3x=sin5x=0; хз—-(2к+1) включает решение х2..
яя
Ответ: х,=—(2k+l), х2=-(2к+1). ■ я
z,=nk, z2=— (2k+l).
sin Г
□ Здесь cos5/^0, откуда следует cosz#0. Тогда cosz cos 5z
sin 5/
— =0; sin Z cos Z—sin 5z cos 5z=0; sin2/—sinl0t=0; cos 5t cost
sin4z cos 6z=0. Далее имеем: я
cos6z=0; z1=—(2k+l); як
sin4/=0, t=—; при этом k#4Z+2, поскольку cos 5/^0, следовательно, 4
я
остаются значения t—-(2k-t-l), t=nk. Но первая часть решения входит 4
в /] и, значит, Г2=лк. ■
яяя
Z,= як, /2=-(6к±1). 5.195. Z=-(2к+1). 5.196. tx=- (2к+1), k#3Z+l;646
як Z2=—, к #5/.
1+tgy 2 tgy-=-;
i-tg^ з
.13tgy + 3tg2y = 2—2tgy; 3tg2y+5tgy —2=0; tgy1 —;1■ 3.13tgy + 3tg2y = 2—2tgy; 3tg2y+5tgy —2=0; tgy1 —;1■ 3tgy2= — 2; x^arctg-—35°+180°k; x2=—arctg2—35° + 180°’k. ■ як ял
.1
3tgy + 3tg2y = 2—2tgy; 3tg2y+5tgy —2=0; tgy1 —;
1■ 3
.1
3tgy + 3tg2y = 2—2tgy; 3tg2y+5tgy —2=0; tgy1 —;
1■ 3
1V73-75.204. xj = ±- arccos1-як, 2121V73-75.204. xj = ±- arccos1-як, 212лХ2 = -(3*±1),лХ2 = -(3*±1),5.205. Z] = ± arccos25.205. Z] = ± arccos2пп1/x3 = +- arccos I — 1 + лк.2\3/як я1/x3 = +- arccos I — 1 + лк.2\3/як я+ як, z2=- (3k±l). 5.206. ri =—, /2=—(2k+l).+ як, z2=- (3k±l). 5.206. ri =—, /2=—(2k+l).5.207. □ Здесь cosz#0, sinz#0. Заметим, что5.207. □ Здесь cosz#0, sinz#0. Заметим, чтоx=45° + 180°k.5.202. x, =—,x2=—(2k+l).5.203. <=-(6k±l).
1V73-7
5.204. xj = ±- arccos1-як, 212
1V73-7
5.204. xj = ±- arccos1-як, 212
л
Х2 = -(3*±1),
л
Х2 = -(3*±1),
5.205. Z] = ± arccos
2
5.205. Z] = ± arccos
2
п
п
1/
x3 = +- arccos I — 1 + лк.
2\3/
як я
1/
x3 = +- arccos I — 1 + лк.
2\3/
як я
+ як, z2=- (3k±l). 5.206. ri =—, /2=—(2k+l).
+ як, z2=- (3k±l). 5.206. ri =—, /2=—(2k+l).
5.207. □ Здесь cosz#0, sinz#0. Заметим, что
5.207. □ Здесь cosz#0, sinz#0. Заметим, что
cos2z cosz+sin2z sinz cosz1
ctg 2z ctg z +1 ===—.
sin2z sinz 2sinz cosz sinz 2sin2z
Тогда получим уравнение
11160160
1—=—; sin* z+cos* z=— sin* z cos* z. sin*z cos*z99
Тая кая sin*z+cos*z+2sin2z cos2z=(sin2z+cos2z)2 = l, то уравнение при, , 160,
мет вид 1 — 2sin2z cos2z=— sin*z cos*z, или 20sin*2z+9sin22z-18=0, 9
3
или 20u2+9u—18=0, где u=sin22z. Отсюда находим и=- (берем только _4
^3я
положительный корень). Итак, sin2z= ±—, т.е. z=- (3k± 1). ■
26
5.208.5.208.яz=-(3k±l). 5209. хяz=-(3k±l). 5209. хяяяя- (Зк±1). 5.210. z=-(6k±l).- (Зк±1). 5.210. z=-(6k±l).5.211.5.211.□ Преобразуем левую часть уравнения (здесь sinz#0, cosz#0):□ Преобразуем левую часть уравнения (здесь sinz#0, cosz#0):sin’z cos’z 8 —cos’z sin’z 8sin’z cos’zsin’z cos’z 8 —cos’z sin’z 8sin’z cos’zsin8 z+cos6z— 1sin8 z+cos6z— 1sin3z cos’zsin3z cos’zsin6z+cos6z—(sin2z+cos2z)3 —3sin*z cos2z—3sin2z cos*zsin6z+cos6z—(sin2z+cos2z)3 —3sin*z cos2z—3sin2z cos*zsin3 z cos3 z—3 (sin2z+cos2z)—6sin3 z cos3 z—3 (sin2z+cos2z)—6sin3 z cos3 zsin3 z cos3 zsinz coszsinz coszsin2z1sin2z1Следовательно, sin2z=—-, откудаз = (—1)Следовательно, sin2z=—-, откудаз = (—1)*+i*+iя якя як12 212 25.212.5.212.5.213.5.213.я* 1лкZi =-(4к+1), z2=(—1) - arcsm (1—V3)4—■ 4222tgx2tgx2□ Воспользовавшись формулой sin2x=, получим1l+tg2Xl+tg2x tgx= 3; 4tg2x+2=3tgx+3tg*x. Заметим, 4rotgx=l — решение этого уравнения; значит, х=- (4к+1). Других решений нет. Действительно, 3tg x— 41■-4tg2 x+3tgx-2 = 3tg’ х—3tg2 x-tg2 x+tgx+2tgx-2 = (3tg2 x-tgx ++2) (tgx—1), где 3tg2x—tgx+2#0 (поскольку S<0). ■я* 1лкZi =-(4к+1), z2=(—1) - arcsm (1—V3)4—■ 4222tgx2tgx2□ Воспользовавшись формулой sin2x=, получим1l+tg2Xl+tg2x tgx= 3; 4tg2x+2=3tgx+3tg*x. Заметим, 4rotgx=l — решение этого уравнения; значит, х=- (4к+1). Других решений нет. Действительно, 3tg x— 41■-4tg2 x+3tgx-2 = 3tg’ х—3tg2 x-tg2 x+tgx+2tgx-2 = (3tg2 x-tgx ++2) (tgx—1), где 3tg2x—tgx+2#0 (поскольку S<0). ■
5.208.
5.208.
я
z=-(3k±l). 5209. х
я
z=-(3k±l). 5209. х
я
я
я
я
- (Зк±1). 5.210. z=-(6k±l).
- (Зк±1). 5.210. z=-(6k±l).
5.211.
5.211.
□ Преобразуем левую часть уравнения (здесь sinz#0, cosz#0):
□ Преобразуем левую часть уравнения (здесь sinz#0, cosz#0):
sin’z cos’z 8 —
cos’z sin’z 8sin’z cos’z
sin’z cos’z 8 —
cos’z sin’z 8sin’z cos’z
sin8 z+cos6z— 1
sin8 z+cos6z— 1
sin3z cos’z
sin3z cos’z
sin6z+cos6z—(sin2z+cos2z)3 —3sin*z cos2z—3sin2z cos*z
sin6z+cos6z—(sin2z+cos2z)3 —3sin*z cos2z—3sin2z cos*z
sin3 z cos3 z
—3 (sin2z+cos2z)—6
sin3 z cos3 z
—3 (sin2z+cos2z)—6
sin3 z cos3 z
sin3 z cos3 z
sinz cosz
sinz cosz
sin2z
1
sin2z
1
Следовательно, sin2z=—-, откудаз = (—1)
Следовательно, sin2z=—-, откудаз = (—1)
*+i
*+i
я як
я як
12 2
12 2
5.212.
5.212.
5.213.
5.213.
я* 1лк
Zi =-(4к+1), z2=(—1) - arcsm (1—V3)4—■ 422
2tgx2tgx2
□ Воспользовавшись формулой sin2x=, получим1
l+tg2Xl+tg2x tgx
= 3; 4tg2x+2=3tgx+3tg*x. Заметим, 4rotgx=l — решение этого уравне
ния; значит, х=- (4к+1). Других решений нет. Действительно, 3tg x— 41■
-4tg2 x+3tgx-2 = 3tg’ х—3tg2 x-tg2 x+tgx+2tgx-2 = (3tg2 x-tgx +
+2) (tgx—1), где 3tg2x—tgx+2#0 (поскольку S<0). ■
я* 1лк
Zi =-(4к+1), z2=(—1) - arcsm (1—V3)4—■ 422
2tgx2tgx2
□ Воспользовавшись формулой sin2x=, получим1
l+tg2Xl+tg2x tgx
= 3; 4tg2x+2=3tgx+3tg*x. Заметим, 4rotgx=l — решение этого уравне
ния; значит, х=- (4к+1). Других решений нет. Действительно, 3tg x— 41■
-4tg2 x+3tgx-2 = 3tg’ х—3tg2 x-tg2 x+tgx+2tgx-2 = (3tg2 x-tgx +
+2) (tgx—1), где 3tg2x—tgx+2#0 (поскольку S<0). ■
яя-
х=- (4к+1). 5.215. х=- (4к-1).
44
□ Имеем 2sin3x+3sin2x cosx—5cos3x=0. Так как cosx=0 не является решением уравнения, то после деления на cos3 х получим 2tg3x+3tg2x—5=0. Замечаем, что tgx=l удовлетворяет уравнению, поэтому можно выделить множитель tgx— 1:
2tg3x—2tg3x+5tg2x—5tgx+5tgx—5=0; (tgx—1) (2tg2x+5tgx+5)=0.
Ho 2tg2x+5tgx+5?t0 (поскольку D<0). Итак, получаем ответ: x = я
=- (4k+l). ■
4 я1якяя
х, =- (4Jt—1), х2=- arctg2+—. 5.218. х|=- (4к-1), х2=- (6к+1).
82223
□ — sin32x+3sin2x cos22x+2cos3 2х=0, cos2x^0; я1
tg32x—3tg2x—2=0; (tg2x+l)2 (tg2x—2)=0; xi=- (4k—1), x2=- arctg2 + 82
як +—. ■ 2
яя.11 як
z=- (3Ar± 1). 5221. xi=— (4k+l), x2 =— arctg-+—.
31643 4
□ 4sin*x=l—cos4x+12cos*x; 4sin*x—2sin22x—12cos*x=0;
2sin*x—4sin2x cos2x—6cos*x=0; tg*x—2tg2x—3=0; u1 —2u— 3=0, где u=tg2x; u=3 (берем только положительный корень). Ответ: я
х=-(3к±1). ■
яяяя
х=- (6к±1).5.224. z,=- (2k+l),z2=-(3Jt± 1). 5225.z=- (3k±l).
6863
□Имеем6cos32z+2sin32z=cos4z (3cos2z—sin2z),т. e.полагаем
3cos2z—sin2z?t0 и, значит, tg2z#3. Так как cos4z=cos22z—sin22z, to, раскрыв скобки и разделив на cos3 2z#0, получим 6+2tg32z=3-3tg22r-tg2z+tg3 2z;
tg32z+3tg22z+tg2z+3=0; (tg2z + 3) (tg22z+l)=0;
1як
tg22z + l #0, tg2/= — 3; z=—arctg3-t—. ■
22
4
t=arctg - + 2як. .5
□ Записав уравнение в виде
sin2 <+2sinz cosz—sin2 z—cos2 z tg'=—;———,
cos2z—2smz cosz+snr‘z+cos'iz
,2tgz-l
разделим числитель и знаменатель на cos z (cosz#0): tgz=—;
2-2tgz + tg2z tg2Z—2tgz+2#0 (поскольку 2><0), следовательно, tg3z—2tgfZ+1 =0;
,"1+75
(tgz—1) (tg2z-tgz—1)=0, откуда Zi=-(4k+l), z2 = arctg+ як, z3 =
_42
i-Vs
= arctghak. ■
ЛЛл
5329. xi—-(2*4-1),х2—-(4*4-1), хз= — arctg24-n*. 5.230. xj =- (4k—1),
2_4_4
■ / V2\/ V2\
x2—arctgl l+~ )4-n*, X3=arctgl 1—— j+лк,
5331. □ Здесь 2cosx—sinx^O, t. e. tgx#2. Тогда sm3x+cos3x=(cos2x— —sm3x) (2cosx— sinx); cos3x—2cosx sin2x—sinx cos2x=0, откуда no- лучим:■
л
cosx=0; X]=-(2*4-1);
2sin2x4-sinx cosx—cos2x—0, cosx#0; 2tg2x+tgx—1 =0; tgx=—1, 1 л1
tgx=-; x2=- (4 k— 1), хз =arctg -4-лк. ■
242
5.232.5334.5336.5.232.5334.5336.л1лк11
5.232.
5334.
5336.
5.232.
5334.
5336.
Xj=-(4k—1), x2=-arctg54—. 5.233. 6 = arctg - + лк, /2=arctg-4-я*.
82223
я2л*2л*
<-" (4*4-1). 5.235. х, =—, х2=—.
□ Заметив, что 14-sin2z=(sinz4-cosz)2, a cos2z=(sinz4-cosz) (cosz— —sinz), разложим левую часть уравнения на множители: (sinz+cosz) х х (sinz+cosz+1 4-cosz—sinz)=0; (sinz+cosz) (1+2cosz)=0. Отсюда имеем:
sinz4-cosz-0; tgz= — 1; zx — - (4k— I);
4
1 2я
14-2cosz—0; cosz——; z2 ——(3*±1). ■
2ял
x— P*±l). 5^38. x— (2*+l). 34
5Л39. □ Заметив, что (cosx—sinx)2 —1—sin2x, a cos4x—sin4x=(cos2x+ +sin2x) (cos2x—sm2x)—cos2x, получим 1 —sin2x+cos2x—sin2x cos2x — —0; 1—sin2x+cos2x (1—sin2x)—0; (1—sin2x) (l+cos2x)=0, откуда яя
x,-- (4*4-1), x2--(2k+l). ■
5Л4& x, -- (4*-l), x2-- (6*±1). 46
5^41. □ sin2x4-l—cosx—sinx (l—cosx)4-ctgx-0, sinx^O;
sin3x+sin2x cosx—sinx cosx—sin2x4-sinx4-cosx—0;
(sinx4-cosx) (sin2x—sinx4-l)—0,sin2x—sinx4-l#0;sinx-f-cosx—0;
tgx--l;x--(4*-l). ■ 4 яя
5342. x-- (4k-1). 5.243. l=- (2*4-1).
5344. □ sin2x cos2x sinx4-sin 2x sinx— (14-cos2x)=0;,
sin2x sinx (cos2x4-1)—(14-cos2x)—0; (sin2x sinx— 1) (1 4-cos2x)=0;
я
sin2x sinx—1^0; cos2x= —1; x=- (2*4-1). ■ ЯЯ*я
5345. x,--(2*4-1), *^3/4-1, x2=—@*4-1). 5346. x=(-l) -4-я*.
я/2v3\5.247. х( =- (6к+1), x2=arctg I Г— 1+я^, х3 = яЛ—arctgя/2v3\5.247. х( =- (6к+1), x2=arctg I Г— 1+я^, х3 = яЛ—arctg(sinx—cosx' sin x—cos x H cosx .
я/2v3\
5.247. х( =- (6к+1), x2=arctg I Г— 1+я^, х3 = яЛ—arctg
я/2v3\
5.247. х( =- (6к+1), x2=arctg I Г— 1+я^, х3 = яЛ—arctg
=0, cosx#0;=0, cosx#0;/2 \,
=0, cosx#0;
=0, cosx#0;
(sinx—cosx) I cosx+241=0, cos2x+2cosx+2#0; sinx—cosx=0;
\cosx/
я
tgx=l; x=-(4fc+l). ■4
я яяяя
X! = ±-+- (%к-1),х2=-(4к—1). 5350.xt =-(4к-1), х2=- (4£+1),
6 8824
х3 = 2я£.
cos х sin х
□=sinx+cosx, sinx#0, cosx#0;
sin x cos x
cos2x—sin2x=sinx cosx (sinx+cosx);
(sinx+cosx) (cosx—sinx—sinx cosx)=0;
я
sinx+cosx=0; tgx= —1; Xj=- (4fc—1);
4
cosx—sinx—sinx cosx=0. Положим cosx—sin x=y; тогда (cosx— 1—У2
sinx)2=y2 или 1 — 2sinx cosy=y2, t. e. sinx cosx =. Решаем полу-
1-y2-
ченное квадратное уравнение: у=0; у2+2у—1=0; у=— 1±V2; _2_
cosx— sinx# —1 —V2>™ как—1—V2< —2 (напомним, что
|cosx—sinx|<V2);значит, cosx—sinx = — 1+^/2; cosx—cos (—
Д2
X г я /я X p /п \ V2—*
x=— 1+V2;2sin-sin|—x =-l+v2;sin I—x)=—;
/_4\4 ) V \4 /^/2
к 'Jl-I it
5.252.5.252.5354.5354.*i=- (4*:-1),4 •я*i=- (4*:-1),4 •яяx2=- (12Jt-l),яяx2=- (12Jt-l),яX)=— (6k-1).3X)=— (6k-1).3я5.253. z=- (4fc-l).4я5.253. z=- (4fc-l).45356.5356.х=- (4*+l). 5.255. x=- (4*:-l).□ Разложим на множители левую часть уравнения: sin32/(2sin22z—l)— — 3 (2sin22(—l)=(2sin22<—1) (sin32z—3). Далее имеем (2sin22z— 1) хX (sin32z-3)=0; sin32z-3#0; 1-2sin22z=0; cos4z=0; z=- (2*+l). ■х=- (4*+l). 5.255. x=- (4*:-l).□ Разложим на множители левую часть уравнения: sin32/(2sin22z—l)— — 3 (2sin22(—l)=(2sin22<—1) (sin32z—3). Далее имеем (2sin22z— 1) хX (sin32z-3)=0; sin32z-3#0; 1-2sin22z=0; cos4z=0; z=- (2*+l). ■x2=(— I) arcsin— h-(4*+l). ■
5.252.
5.252.
5354.
5354.
*i=- (4*:-1),4 •
я
*i=- (4*:-1),4 •
я
яx2=- (12Jt-l),
я
яx2=- (12Jt-l),
я
X)=— (6k-1).3
X)=— (6k-1).3
я
5.253. z=- (4fc-l).
4
я
5.253. z=- (4fc-l).
4
5356.
5356.
х=- (4*+l). 5.255. x=- (4*:-l).
□ Разложим на множители левую часть уравнения: sin32/(2sin22z—l)— — 3 (2sin22(—l)=(2sin22<—1) (sin32z—3). Далее имеем (2sin22z— 1) х
X (sin32z-3)=0; sin32z-3#0; 1-2sin22z=0; cos4z=0; z=- (2*+l). ■
х=- (4*+l). 5.255. x=- (4*:-l).
□ Разложим на множители левую часть уравнения: sin32/(2sin22z—l)— — 3 (2sin22(—l)=(2sin22<—1) (sin32z—3). Далее имеем (2sin22z— 1) х
X (sin32z-3)=0; sin32z-3#0; 1-2sin22z=0; cos4z=0; z=- (2*+l). ■
Я ■ я
5357. 2| — (4*:-1), z2=- (6fc±l). 46
2sin2z+sin4Z
5358. □ Здесь cos Z#0, sin 2z#0. Преобразуем выражение:
2sin2z—sin4z
2sin2z+2sin2z cos2z l+cos2z 2cos2z , в* Ctg2 t.
2sin2z—2sin2z cos2z 1—cos2z 2sin2z
Далее имеем tg2 z—ctg2 z=2ctg2z; (tgz—ctgz) (tgz4-ctgz)=2ctg2z;
2ctg2z (tgZ4-ctgZ)=2ctg2z;ctg2z (tg/+ctgz+1)=0; tgZ4-ctgz-t-l#0;
я
ctg2z=0; z=-(2*4-1). ■
x--(4*4-1). 5.260. x=(-l)*-4-—. 86 2
□ 2tgx (14-tg3x)4-tg2x (1 4-tg3x)=0, cosx#0, cos2x#0, cos3x#0;
(14-tg3x) (2tgx4-tg2x)=0;
я
tg3x= — 1; x=— (4*— 1), но *#3/4-1, так как при *=3/4-1 не существует tg2x;
2tg х.
2tgx4—=0, tgx=0, tgx=±V2.
l-tg2x
Ответ: x\=itk, x2= ±arctgv/24-n*, x3=— (4*—1), *#3/4-1. ■ 12
я
z=- (4*-l).
2 (14-cos2/)-l
□ = (14-2cos2z) ctgz, sinZ#0;
sinz
( 1\
(1 4-2cos2z) Ictgz 1=0;
. \ЯИ'7
я
cos2z=—-; Z=- (3*±1);
1—cosZ
# 0, поскольку при cos z = 1 имеем sin z=0. ■
sinz
5.264.5.264.яяяя5.266.5.266.□□- (6*±1). 5.265. х=- (4*4-1).32sn2x4-2sinx cosх4-cos1 х—2sin2х- (6*±1). 5.265. х=- (4*4-1).32sn2x4-2sinx cosх4-cos1 х—2sin2хcos2xcos2x14- —sin2xsinx (sin2x4-cos2x)=V2 cos I-—2x 1;14- —sin2xsinx (sin2x4-cos2x)=V2 cos I-—2x 1;' Г /я \ =V2 sinx cos —2х , sinx#0; \4/' Г /я \ =V2 sinx cos —2х , sinx#0; \4/яяяяя /яя /яsin 2x4-sin I — 2х 1=cos [-—2х I; 2 sin - cos (— 2x_\2/ sin x \4/4\4,V2 /я\=I cos —2x 1;sin x \4/sin 2x4-sin I — 2х 1=cos [-—2х I; 2 sin - cos (— 2x_\2/ sin x \4/4\4,V2 /я\=I cos —2x 1;sin x \4/
5.264.
5.264.
я
я
я
я
5.266.
5.266.
□
□
- (6*±1). 5.265. х=- (4*4-1).
32
sn2x4-2sinx cosх4-cos1 х—2sin2х
- (6*±1). 5.265. х=- (4*4-1).
32
sn2x4-2sinx cosх4-cos1 х—2sin2х
cos2x
cos2x
14- —sin2x
sinx (sin2x4-cos2x)=V2 cos I-—2x 1;
14- —sin2x
sinx (sin2x4-cos2x)=V2 cos I-—2x 1;
' Г /я \ =V2 sinx cos —2х , sinx#0; \4/
' Г /я \ =V2 sinx cos —2х , sinx#0; \4/
я
я
я
я
я /я
я /я
sin 2x4-sin I — 2х 1=cos [-—2х I; 2 sin - cos (— 2x
_\2/ sin x \4/4\4,
V2 /я\
=I cos —2x 1;
sin x \4/
sin 2x4-sin I — 2х 1=cos [-—2х I; 2 sin - cos (— 2x
_\2/ sin x \4/4\4,
V2 /я\
=I cos —2x 1;
sin x \4/
яяяя
я
я
я
я
cos I —2х 1=0; xi =- (4*4-3);
\478
я
sinx=l; X2=-(4*4-1). ■
5J67. □ Здесь cosx#0, sin2x# 1, tgx#l. Имеем cos2x4-sin2x4-2sinx cosx 14-tgx ;4-23-0. cos2x4-sin2x—2smx cosx1—tgx
Разделив числитель и знаменатель первой дроби на cos2x^0, получим l+tg2x+2tgx1+tgx/l+tgx\21+tgx
;+ 2-3=0; — +23=0.
l+tg2x—2tgx1—tgx\1—tgx/1—tgx
Обозначим=y. Тогда y2+2y—3=0; yi = —3, y2= 1- Итак 1-tgx
= —3, tgx=2; xi =arctg2 + яt;
. 1-tgx
+ tgX
= 1, tgx=0; Х2=я*. ■
1-tgx '
яя
z=— (6*±1). 5.269. x=- (4fc+l). ctgz1ctgz tg2z
О Пусть=y. Тогдау+- + 2=0; (у+1)2 = 0,у#0. Так как=,
ctg2zуctg2z tgz
tg2z2tgzя
то получим= — 1;;= — 1, tgz^u; tg2z=3; z=- (3Jt±l). ■
tgz(1—tg2z)tgz3
1.- кк 1.- я*
zj = ±- arctgV24—, 22 = ±- arctgV5+—- 2222
/1 \.
3cos2x I 1 нI \ sin 2x/1
□ 2 (sin2x+l)=0, cosTx^O, sin2x#0;
cos 2x I1 )
\sin2x /
3 (sin2x+1).
—2 (sin2x+l)=0;
— sin2x
sin2x# — 1, так как при этом cos2x=0;
331—sin2x1—sin2x1я=2, sin2x=—;х=(—1)—2121я=2, sin2x=—;х=(—1)—212икик225.273.5.274.5.273.5.274.1х= ±arccos -+2я^.4□ ctg 15°+ctg (x+25°)=ctgx (ctg 15° ctg (x+25°)~ 1);1х= ±arccos -+2я^.4□ ctg 15°+ctg (x+25°)=ctgx (ctg 15° ctg (x+25°)~ 1);
3
3
1—sin2x
1—sin2x
1я
=2, sin2x=—;х=(—1)—
212
1я
=2, sin2x=—;х=(—1)—
212
ик
ик
2
2
5.273.
5.274.
5.273.
5.274.
1
х= ±arccos -+2я^.
4
□ ctg 15°+ctg (x+25°)=ctgx (ctg 15° ctg (x+25°)~ 1);
1
х= ±arccos -+2я^.
4
□ ctg 15°+ctg (x+25°)=ctgx (ctg 15° ctg (x+25°)~ 1);
ctg !5°+ctg (x+25°)ctg 15° ctg (x+25°)—1ctg !5°+ctg (x+25°)ctg 15° ctg (x+25°)—1
ctg !5°+ctg (x+25°)ctg 15° ctg (x+25°)—1
ctg !5°+ctg (x+25°)ctg 15° ctg (x+25°)—1
= ctgx (при этом ctg 15°ctg(x+25°)—1 #0);
1
—— =ctg^ tg (x+40°)=tg (90°-x); ctg (15 +x+25 )
x+40°=90°-x+180° Jt;x=25°+90° Jt. ■
я
z=- (4*-l). cosx1
□ =-(l-sin2x);
/ xx\ ( xx\ 8
lctg--tg-Hctg-+tg- \22/ \22/
cosx 1
=- (1 —sin2xX cosx^O, sinx#0;
28
2ctgx-.
sinx
sin2 x 1я
=- (1 — sin2л); 1—cos2x=l —sin2x; tg2x=l; x=- (4*4-1). ■
48"8
яя
л=arctg 34-я*. 5.278. /, =- (2k +1), t2 — (*k +1).
68
/ x x \
□ Преобразуем левую часть уравнения I sin - #0, cos -#0 I:
xx
sin3 - cos3 - 22 x x
tg2 — 4-ctg2 -4-2—241h2sin - cos -=
22x x 22
cos -sin -
22
XX XX
sin4 -+cos4 - + 2sin2 - cos2-
22 2 22
-2+x xsin - cos -
, sin2 -+cos2 -
x x\i \22,
tg - 4-ctg-1 -24-
22/xx
sin -cos -
22
I sin2 —hCOS2 - |sin2 —HCOS2 -
\22/122 x x
Ho ==— tg -+ctg -. Обозначив
xxxxxx 22
sin - cos - sin - cos - sin - cos - 222222
XX
tg—Hctg-—у, получим уравнение y2+y—6=0, откуда yi = —3, yi=2. 22
Имеем: x x 2*+i2
tg—Hctg-=—3,=—3;xi = (—1) arcsin-4-я*;
22 sin x3
xx 2я
tg-4-ctg-=2;— 2; x=- (4*4-1). ■.
22sinx2
я1 nk
X!=-(4*+3\ x2=-arctg34-—.
□ Здесь cos 3x^0, cos 5x;*0. Перенесем tg3x в правую часть уравнения:
tg5x-tg3x=tg3x+tg23x tg5^ tg5x-tg3x=tg3x (1 +tg3x tg5x); tg5x—tg3x
5.282.5.282.—tg3x (при этом l+tg3xtg5x#0); tg2x—tg3x; Зх=2х+я*; l+tg3xtg5x х=я*. ■
5.282.
5.282.
x-i*. 5Л83. x-- (4*4-1). 4
□ Преобразуем tg3x:
2 tgxtgx +—
tgx+tg2x l-tg2x
tg 3x=-=
l-tg2x l-tg2x+23—tg^
g x-=tg x—.
1—tg2x—2tg2x1 — 3tg2x
3—tg2x.
Тогда уравнение примет вид 37tg х— = 11 tg х, откуда имеем:
l-tg2x
tgлг=0; X] =itk;
3—tg2x 11,
=—; tg2x=25; X2=nfc±arctg5. ■
1—3tg2x 37
□ Заметим, что tg*x+ctg*x=(tg2x+ctg2x)2—2. Преобразуем правую часть уравнения:
/2tgx\
(tgx tg2x+l) cos2x=| tgx—+ 1 Jcos2x=
\1—tg2x/
tg2x+lsin2x+cos2x
=cos 2x=cos 2x = 1.
1—tg2xcos2x— sin2x
Далее имеем (tg2x+ctg2x)2=24—; tg2x+ctg2x=—. Ho tg2x+ctg2x=
=(tgx+ctgx)2—2, откуда tgx+ctgx= ±—7;= ±-7=; *=- (3fc±l). ■
V3 ®п2х V3 6 я
t=- (3Jt±l). l-tg2x 5.287. □ Заметив, что ctgx—tgx== 2ctg2x, преобразуем левую часть tgx уравнения:
2ctg2x—2tg2x—4tg4x+8=4ctg4x—4tg4x+8=8ctg8x+8. Зяя
Отсюда ctg8x= — 1, 8x=—НяЛ; x=— (4fc+3). ■ 432
яяя
x=-(4Jt-l).5.289. z=-(4fc+l).5.290. t, =- (2Jt+l), fc#3Z+l,
443
я.
t2=-(2t+l), k*5l+2..
я 1V157™6,,
xi=-(3t±l), X2=±-arccos> + itk. ® Положить tg x—ctg x=z;
тогда tg4x+ctg*x=z2+2. x*+1 ”
x=- (2k+l). 5.293. x=(-l)—+я*.
412
sin2x cos2x 8cos24x+10sin24x ,5.294. □1;h4V3, sin 2x^0, cos 2x^0;
cos3 2x sin3 2xsin3 4x
=4^/3; sin4x=4^/3; sin4xsin*2x+cos*2x 8
=4^/3; sin4x
=4^/3; sin4x
sin3 2x cos3 2x sin3 4x
(sin12x+cos12x)1—2sin22x cos22x 12
sin3 2x cos3 2xsin3 2x cos3 2x sin 4x
22,-6,-V3 ,*+1 я
=4^/3;=4^/3, sin4x= —-—; x=(— 1)—h sin2xcos2x sin4xsin4x'212
nfc
5.295.5.295.5296.5296.4i-^6k±iy□ Имеем sin6x=2cos4x—2; sin6x= — 4sin22x. Вычтем sin2x из обеих частей уравнения: sin6x—sin2x= — 4sin22x—sin2x; 2sin2xcos4x= = —sin2x (4sin2x + l). Итак:nksin2x=0, 2х=як; xi~">2cos4x+4sin2x+l =0; 2—4sin22x+4sin2x+1=0; 4sin22x—4sin2x—3 =4i-^6k±iy□ Имеем sin6x=2cos4x—2; sin6x= — 4sin22x. Вычтем sin2x из обеих частей уравнения: sin6x—sin2x= — 4sin22x—sin2x; 2sin2xcos4x= = —sin2x (4sin2x + l). Итак:nksin2x=0, 2х=як; xi~">2cos4x+4sin2x+l =0; 2—4sin22x+4sin2x+1=0; 4sin22x—4sin2x—3 =1133=0, sin2x= —, sin2x#-; х2=(—1)22=0, sin2x= —, sin2x#-; х2=(—1)225297.5297.яяяx,=—(2k+l), яяx,=—(2k+l), я2я х2=— (Зк±1).2я х2=— (Зк±1).яяt+1 я nkII—. И12 25298. x=- (2*+1).5299. zx = Tik,8t+1 я nkII—. И12 25298. x=- (2*+1).5299. zx = Tik,8z2=-(2k+l), ?3=- (12к±1). 5.300. Z1=- (2к+1), z2=nk, z3 = (-l)* - + itk.2626z2=-(2k+l), ?3=- (12к±1). 5.300. Z1=- (2к+1), z2=nk, z3 = (-l)* - + itk.26265301. □ Преобразуем левую часть уравнения:5301. □ Преобразуем левую часть уравнения:
5.295.
5.295.
5296.
5296.
4
i-^6k±iy
□ Имеем sin6x=2cos4x—2; sin6x= — 4sin22x. Вычтем sin2x из обеих частей уравнения: sin6x—sin2x= — 4sin22x—sin2x; 2sin2xcos4x= = —sin2x (4sin2x + l). Итак:
nk
sin2x=0, 2х=як; xi~">
2cos4x+4sin2x+l =0; 2—4sin22x+4sin2x+1=0; 4sin22x—4sin2x—3 =
4
i-^6k±iy
□ Имеем sin6x=2cos4x—2; sin6x= — 4sin22x. Вычтем sin2x из обеих частей уравнения: sin6x—sin2x= — 4sin22x—sin2x; 2sin2xcos4x= = —sin2x (4sin2x + l). Итак:
nk
sin2x=0, 2х=як; xi~">
2cos4x+4sin2x+l =0; 2—4sin22x+4sin2x+1=0; 4sin22x—4sin2x—3 =
1
1
3
3
=0, sin2x= —, sin2x#-; х2=(—1)22
=0, sin2x= —, sin2x#-; х2=(—1)22
5297.
5297.
я
я
я
x,=—(2k+l), я
я
x,=—(2k+l), я
2я х2=— (Зк±1).
2я х2=— (Зк±1).
я
я
t+1 я nk
II—. И
12 2
5298. x=- (2*+1).5299. zx = Tik,
8
t+1 я nk
II—. И
12 2
5298. x=- (2*+1).5299. zx = Tik,
8
z2=-(2k+l), ?3=- (12к±1). 5.300. Z1=- (2к+1), z2=nk, z3 = (-l)* - + itk.2626
z2=-(2k+l), ?3=- (12к±1). 5.300. Z1=- (2к+1), z2=nk, z3 = (-l)* - + itk.2626
5301. □ Преобразуем левую часть уравнения:
5301. □ Преобразуем левую часть уравнения:
- cos (104° —2/)+~ cos60°+- cos (284° —2/)+~ cos60° = 2222
11111
- — cos (14°-2/)+~+ - cos (14°-2/)+-=-.
24 24 2
=2sin2 -; 2=2sin2 -; 2, 1 t t
=2sin2 -; 2
=2sin2 -; 2
Имеем sin<+cos/=l, sint=2sin -, 2sin - cos - 222
sin-=0; Zi = 360° jt;
2
sia -- —cos -, tg - =1; /2=90° (4k-r 1) ■
2itkя
5302. /!=90‘ к, /2=±15° + 90° к. 5303.^-=, fc#15/; z2 = — (2Л+1),
1517
*»* 17Z+ 8. 5304. х=™, к*Х41.
14
. □ Преобразуем левую часть уравнения, используя то, что sin2z= 1 — cos2z и cos2z=l—sin2?:
(1—cos2?) sin? sin3?+(l — sin2?)cos? cos3z=sin? sin3?+cosz cos3z— —sin? cosz(cosz sin3?+sin? cos3?)=cos2z—sinz cos? sin4?= = cos2?(l— 2sin? cos? sin2?)=cos2?(l — sin22?)=cos3 2?.
Имеем cos2?=cos4z, откуда sin?sin 3?=0 и г=я*/3. ■
ЯЯ* +1 Я як
z=-(8к±1). 5307. Х1 = як, х2=-(2к+1).5.308. х=(-1)~+~-
яяк■
1=- (4к+1). 5310. (=—.
5311. □ Запишем уравнение в виде cosl0x+2cos24x —cosx=2cosx cos3x (4cos23x—3).,
Преобразуем правую часть уравнения:
2cosxcos3x (4cos23x—3)=2cosx cos3x (2cos6x—1) =
=2cosx (2cos3x cos6x—cos3x)=2cosx (cos9x+cos3x—cos3x)= =2cosx cos9x=cos 10x+cos8x..
Тогда получим cosl0x+l+cos8x—cosx=cos 10x+cos8x, откуда cosx=l; х=2як. ■ я
х=як/12. 5.313. x=— (6k±l).
30
□ Преобразуем левую часть уравнения:
(cos2x+sin2x) (cos*x—sin2x cos2x+sin*x)—cos22x= =cos4x+2sin2x cos2x+sin4x—3sin2x cos2 x—cos2 2x=
331
=(cos2x+sin2x)2—cos22x— sin2 2x=l — cos22x— sin22x=- sin22x.
444
1 , 1, 1
Далее имеем -sin22x=—;sin22x=-;cos4x=l—2sin22x=-;
41642
x=^(6k±l). ■
яяяк
О =я (2k+1),l2=-(4k—1).5316. х=- (2k+1).5317. 1,=—.
223
яя
t1=— (4k-1). 5.318. x= (3k±l).
126
1
5319. □ (cos2/+sin21) (cos221—cos2/sin2r+sin22/)=l—sin4t;
2 /1\!
(cos21+sin2i) I 1— sin411=1— sin4i; X 2/2
- sin41^0; cos2t+sin21=1; sin21=1— cos21; sin2!—sini cost=0; 2
sint=0; t\=idc,.
sint=cosi, tgi = l; t2=- (4k+l). 4
я
x=- (6k ±1).
5321. □ Здесь cos2x#0, cos5x^0, sin2x#0, sin5x^0, cos3x^0. Имеем:
cos 5x cos 2x sin 5x sin 2x =tg3x, sin 7x^0;
sin 7x sin 7x cos7x+cos3x cos3x—co$7x tg Зх;
2sin7x 2sin7x
ItItIt
ctg7x=tg3x, 7x——Зх+лк; Юх=- (2*+1); x=—(2*+l), где k*5l+2, 2220
так как при ^=5/+2 не существует tg2x. ■ яяя
5322. Z!—(2*+1),*#7/+3;z2=—(4*+3),*#7/+l.5323. tx=-(2k+Y\ 14284
<2-^(3*±l). 5324. □ Здесь sint#0, cost#0. Преобразуем левую часть уравнения: sin21cos21sin21cos2t
2cos2/+sin2t 2sin2z+cos2l l+cos2/ l+sin2/
l+sin4t+cos4/ l+(sin2/+cos202—2sin2tcos2l 2—0,5 sin2 2#
2+sin2(cos2/2+sin2Zcos2r2+0,25 sin2 2<
Так как 2+0,25 sin2 2/#0, то уравнение примет вид 8—2 sin2 21=15 cos 4/; я
7+cos 4z—15cos41; cos41=0,5; t=—(6*±1). ■*
я
5325. x—(2*+l). /я \ 1 +COS ( - —X I /я x\ \2 / г(n x\
5326. □ tg II=V2 cosx, cos I]#0, sinx#0;
\4 2/sinx\4 2/
/яx\ (ux\ .-/яx\/яx\
tg II '2cos2 I1=V2 cosx sinx; 2sin II cosI
\42/ \42/\42/\42/
-V? sinx cosx; sin |—x)=V2 sinx cosx; cosx=V2 sinx cosx;
cosx—0; xi—- + 2я*, поскольку при х=-+я(2*+1) не существует
1кН
sinx——=; х2=(— 1) ~ + я*. ■
V2 4
яя
5327. Zi— «к, z2— — arctg3+R*. 5328. xi—2я*,х2=- (6it± 1). 5329. х=- (4*+1). 64
sin2 2/ ’ 1sin2 It .
5330. □ =— 1, cos 2/# 0, cos2z# — 1;=tg22t;
l+cos2t cos22/l+cos2t
sin2t=0, 2/=2я*, так как cos2/= —1 при 2/=я (2^+1);
,l-Vs l + Vs l+Vs
cos2 2/= 1 +cos 2<; cos2/=—-—, cos2/#—-—, поскольку —-— > 1.
i i-Vs Ответ: h=ttk, <2=±-arccosvttk. ■
яяяя
5331. xi— (2*+1),х2— (3Jt+1).5332.х—(*к+1).5.333.X! =—(8Jt— 1),
46424
ЯЯЯЯ
x2,=—(8*4-5). 5334. !=-(4*4-1). 5335. x=— (3*4-1). 5336. t— (3*4-1). яя
5337. t = xk. 5338. Z1 =я*. г2=-(4*4-1). 5339 . x=- (2*4-1)..
44.
5340. □ Здесь sin2!#0, cos 41# 0. Имеем 4cos22r=tg414-ctg2r,"
sin21 sin41+cos2t cos4tcos21
4 cos2 21=; 4cos22<=. Отсюда получим:
sin 21 cos 41sin 21 cos 41
я
cos 21=0; 1| =- (2*4-1);
какsin 21 cos 41# 0),sin8i=l;какsin 21 cos 41# 0),sin8i=l;4
какsin 21 cos 41# 0),sin8i=l;
какsin 21 cos 41# 0),sin8i=l;
4 sin 21 cos 2t cos 4/ = 1 (так я
/2=—(4*4-1). ■
16
я1я
5.341. X[ =-(4*4-1), x2=-arctg-4-я*. 5342. x=-(3*±1). 5.343. 1= 433
t я я*
-(-1) -+—.
12 2 sin2!—tg2t
5344. □ Здесь sin l#0, cos 1#0. Преобразуем выражение——:
cos2!—ctg2!
tg2! (COS2!—1) tg*l'
=—— =tg l. Тогда получим уравнение tg® l+2tg314-1=0; ctg21 (sin21—1) ctg2!
(tg314-1)2=0; tg!= — 1; !=-(4*—1). ■ 4.
5.345.5.345.2яяt я я*
5.345.
5.345.
x=— (3*±1). 5346. l=- (6*±1). 5347. x=(-l) — +—.
5348. t = l-l)k-*T*.5349. х=2я*.5350. X! =-(6*±1),x2=-(8*±3).
6_34
к -Jl Я
5351. x=(—1) arcsin1—(4*4-1).
10 4
5352. □ Здесь cos (12 —!)#0; имеем tg (l2 —0=tg2, откуда
1 ±V1+4 (24-я*) l±V9+4a*
I3 —l=2+n*, t2 —t—2—я*=0; 1=,
22
я 1 я*
5.353. x=-4-—. 5354. х=я*-2.
4 2 2
5355. □ Так как ctg*x>0; cos22x—КО, то приходим к системе уравнений (ctg*x=0,яя*
<Отсюда находим: 1) х=- (2*4-1); 2) х=—, но во втором
(cos2 2х—1=0.22
случае при к=21 не существует ctgx. Итак, получаем ответ: я
х=-(2*4-1). ■ яя
5356. хх=- (2*4-1), xi=- (2*4-1).
l±Vl+8«* -l±Vl+4n (2*4-1) 5357. 1] 2”> 1з 4“> *”0, I, ?. . .
’2'2
5358. □ Так как |sin«|<l, то равенство sin2г—sin62= -2 sysufoywo :члько
при sin2z—— 1, sin6z—l. Если sin2z—— 1, то 2z—Н2л£, откуда
2 я
z—— + itk. При этих значениях z равенство sin6z—1 выполняется. Итак, я
z--(4*-l). ■
х=4я£. 5.360. х=8я*. 5361. х=— (Ш+7). 5362. х=ик.
□ Преобразуем левую часть уравнения:
(sin3x+2sinx cosx+cos3x)3+(sin3x—2sinx cosx+cos2x)2 = =(1 + sin 2x)2 + (1 — sin 2x)2 = 2+2sin2 2x.
Далее имеем 2+2sin32x=3—sin4x; sin4x = l-2sin32x; sin4x=cos4x; я
tg4x = l; x—(4*+l). ■
я
x, -я*, X2=- (3*± I).
3
□ Имеем sinxcosx>0, но при sinx<0, cosxcO левая часть уравнения отрицательна, поэтому sinx>0, cosx>0. Преобразуем левую часть уравнения:
sinx+cosxsinx+cosx
sin3 хи cos3 х=(sin x+cos x) (sin2 x+cos3 x) —
sinxcosx
—sinx+cosx.
Тогда получим sinx+cosx—2 Vsinx cosx=0; (Vsinx—^/cosx)2=0; sinx= я
—cosx; tgx—1; x—-+2я*, так как sinx>0, cosx>0. ■
4 яя
z, -- (4*+IX z2-- (4*-1).
24
5367. □ Возведем обе части уравнения в квадрат (при этом возможно появление лишних корней, поэтому все решения следует проверить). Имеем: (1—cosx)2 —1—V4cos2x—7cos*x;
—2cosx+cos3x—— |cosx| ^4—7cos2x;
cosx (-2+cosx)——cosx V4—7cos2x
(заметим, что |cosx|— cosx, так как в исходном уравнении правая часть не больше 1, т. е. в левой части cosx>0). Отсюда получим:
■я
cosx—0; Х1—-+Я* (удовлетворяет уравнению);
2—cosx—V4—7cos2x; 4—4cosx+cos3x—4—7cos3x; 2cos2x—cosx=0,
11 / / 11
cosx—-. Подставляя cosx—- в уравнение, имеем -— /1— /4'—7'—; 222VV 416
11я
---.Итак,Х2--(6*±1). ■
23
яя
5368. х-- (4*+1). 5369..х-2як. 5370. х-- (2*+1).
□ Преобразуем левую часть уравнения: sin3x=sin (2x+x)=sin2x cosx+cos2x sinx= = 2sinx cos2x+cos2x sinx—sin3x=3sinx—4sin3x.
Остается решить уравнение 3sinx—4sin3x=o sinx. Имеем:
sinx=0; xi = nk при любом a; .3—a.3—a
sin2x=: здесь 0<<1; 0^3—o<4;—3<—о<1, t. e.
44
— Ko<3— при таких а существует sinx. Итак, 2sin x=, 1 — 2
3-oo-l1o-l
—cos2x=:cos2x=:x2=±-arccos|-лк при — l<o<3. ■
2222
it1m+1
X] =- (2k+1) при любом m; x2=±-arccosvnk при — 3<m<l. 222
ItЛЛ
x=-(4k—1)—апра а#-, при a=- решений нет.
444
к m л3
x = (—1) arcsin — 4—(6k+l), при — 8<m<8.5.375. x = лкh
8 62
кcos aл
+ (—1) arcsinпри любом a. 5376. x=- (4k+ 1). 2cos12
sn2x , l-un2x , _an2x 8—
□ Имеем 2+4'2=6; 2 Ч——=6. Пусть 2=у. Тогда
2™ *
у2 —6у+8 = 0, У1=4, уг=2. Итак:
2™ х#4, поскольку sin2x#2;
2™ х=2, sin2x=l, sinx=±l; х=- (2k+l). ■
2
к л лклл
х = (-1) —+—. 5379. х=- (Зк±1). 5380. х=- (4к+1).
36 664
п1
□ Имеем 1+sinx+...+sin х+...=сумма бесконечной геомет-
—sinx
рической прогрессии, где |sinx|<l (при |sinx| = l решений нет). Отсюда 1
_l-snx 2/312 .1,Л+1Л , _
3=3 ;=-; sinx=—; х=(— 1)-+лк. ■
1—sinx 326
л
х=- (6к±1).
3 1
□ Здесь cosx>0, cosx#l. Используя формулу loga6=, преобразуем log» о
уравнение следующим образом:
log4 cosx'log2 cos2x=l; 1о& cosx log4 cos*x = 1; log4 cosx 41og4 cosx=l;
,1
log2 cos x—-.
Далее имеем:
11/2
log4 cosx#-, так как 4 =2#cosx;
1— 1/2 1 ж
log4 cosx- —, cosx—4--; x—- (6*±1). ■
■ Жinя
5384. x=(-l) -+я*. 5385. x=(-l) - + т*. 5386. x=-(4*+l). 464
5387. □ Здесь sinx#0, sin2x#0, sin3x#0. Заметав, что cos 2x cos 3x ctg2x+ctg3x--I sin2x sin3x
cos2x sin3x+cos3x sin2x sin5x
sin2x sin3x sin2x sin3x’
1
перепишем уравнение так: sin5x-|=0 (sin2x sin3x#0). Значит, sinx
sin 5x sin x = — 1; поскольку |sin «| < 1, это возможно только в двух случаях:
(sin5x—1,(яп5х=* — 1,
, 2) L . (ЯПХ—— 1,($1ПХ—1.
ж5л
Если sinx—— 1, то х—- (4*—1), 5*=~ (4*— 1), sin5x= — 1.
л5л
Если sinx—1, то х—— (4*+1), 5х—— (4*+1), sin5x = 1. 22.
Следовательно, исходное уравнение не имеет корней. ■
5389. □ Если X], Х2, х3 —углы треугольника, то хх+х^+хз—к. Покажем, что корни данного уравнения не удовлетворяют этому условию. Действительно, из уравнения 3cosx—2—0 получим cosxi =2/3. Далее имеем: 14sin1x+2rinx cosx—12 (sin2x+cos2x)—0; sin2х+sinxcosx— 6cos2x=0, cosx#0; tg2x+tgx-6-0; tgx2-2, tgx3--3. •
Значит, cosxi<^/3/2, tgX2>V3. 18*з<0> откуда следует, что х^л/3,
Х2>л/3, хз>ж/2. Очевидно, что ни в каком сочетании сумма углов не равна Я (Х1+Х2+Х3>Я, Х1+Х]+Х2>Л, Х1+Х2 + Х2Ж и т. д.). ■
5390. a—aicsin (3/5),/?—arcsin (5/13), у—л—arcsin (56/65). 5392. sin«=(^/5—1)/2. яя
5393. □ Пусть а"Р~"^» у"‘^"*"]2 ках’ 110 Условию' ^Д”?^61» tgy- —?2tg«—qtgp, то
(
л\ 12/,/ я\ / я\
—:г-—— ™ ^Р-г8 (Р—) ‘«(0*~ )•
/ я \ tg/i\12/\12/
Преобразуем правую часть этого уравнения:
tg^-tg — tg^+tg— tg2^-tg2 —
ля„ я _
1-tg — tg^ 1-tg — tg/? 1-tg2—tg2/?
Яя
Тогда получим tg2^—tg2 — tg^-tg^-tg2 —; tg*/?=l; поскольку 1212
0<^<я/2, имеем tg^ = l, т. e. Д=л/4. Ответ: а=я/6, ^=я/4, у=я/3. ■ t я2л1 лл
Х) =(—1) - + idc,yi=—(Зл±1);х2=(—I) -+л*,у2=-(6л±1).
6363
х = ик,У=”(6л±1).5396. х=-(2к+3),у=-^-\\
326
лял2л
X] =- + л (к—л), у!=- + л(к+л); х2 =Щ(к—п\ у2 =Ьл (к+л). 6363
1111
5398. х=- (6*— 1),у=-(6к+1).5399. Xj =arctg-+як, yi=arctg—nk\
6623
х2 = arctg -+лк, у2 = arctg — ик. 5.400.32х2 = arctg -+лк, у2 = arctg — ик. 5.400.3211ял
х2 = arctg -+лк, у2 = arctg — ик. 5.400.32
х2 = arctg -+лк, у2 = arctg — ик. 5.400.32
х=- (6k ± 1), у=- (4л±1), к и л — числа 64
'511
одной четности. 5.401. xt = 2arctg—ь2лк, у] = — 2arctg - + 2лл; х2=—2arctg- +
ял
+ 2як, y2=2arctg- + 2ял. 5.402. х=- (2к+1), у=- (6л±1).
223
г3
I sinx siny=-, )43/4
□ Имеем \Из второго уравнения получим= 3,
) sinx sin уcosx cosy
(1= 3.-
Xcosx cosy
r3
(sinx siny=-,
1J4
откуда cosx cosy=-. Тогда придем к системе \Складывая
Vcosx cosy=~.
уравнения и вычитая первое уравнение из второго, получаем
sinx siny+cosx cosy=l, 1 cosx cosy—sinx siny= —;sinx siny+cosx cosy=l, 1 cosx cosy—sinx siny= —;cos (x—y) = l, 1 cos (x+y) = —;cos (x—y) = l, 1 cos (x+y) = —;x—y=2n*, 2л x+y= ±—ь2ял.x—y=2n*, 2л x+y= ±—ь2ял.
sinx siny+cosx cosy=l, 1 cosx cosy—sinx siny= —;
sinx siny+cosx cosy=l, 1 cosx cosy—sinx siny= —;
cos (x—y) = l, 1 cos (x+y) = —;
cos (x—y) = l, 1 cos (x+y) = —;
x—y=2n*, 2л x+y= ±—ь2ял.
x—y=2n*, 2л x+y= ±—ь2ял.
ял
Ответ: х= ±-+л (к+п), у= ±- + л (л—к). ■33
ялля
5.404. xi=-(2Jt+l),у,=-(1—3*);х2=-(3*+1),у2=-(1—2*).
2332
ял
5.405. х=- (6k+1), у=- (1-6к).
6_
5.406. □ Имеем: 1) cos2x+cos“2x>2; действительно, cos2x+cos-2x—2=
= (cosx+cos~*x)2>0; 2) l+tg22y>l; 3) 2<3 + sin3z<4. Значит, левая часть уравнения не меньше 4; равенство возможно лишь при cos2x=l, tg2y=0, sin3z= — 1.
л
Ответ: х=я*. у=лт/2, z—~ (4л—1). ■
и5.407. x=-(2fc+l).и5.407. x=-(2fc+l).лУ=- (4m+1), 2лУ=- (4m+1), 2яллл
и
5.407. x=-(2fc+l).
и
5.407. x=-(2fc+l).
л
У=- (4m+1), 2
л
У=- (4m+1), 2
z—. 5.408. х—(4к-1), у=-(2л + 1).
322
ляя
лллл5.409. х=л*. у=-(4л + 1). 5.410. х=-(2*+1), у=лл. 5.411. х=-(2*+1). 624
л
л
л
л
х(=- (6*±1), х2=- (4*+1). 64
□ 3tg2x-3tg3x=tg3x+tg23xtg2x;
(tg2x-tg3x)=tg3x (l+tg2x tg3x), l + tg2x tg3x#0;
(tg3x-tg2x) = —tg3x; 3tgx+tg3x=O;
l+tg2xtg3x
tg2x+tgx 3tgx+= 0, 1-tgx tg2x#0;
1-tgx tg2x
3tgx—3tg2x tg2x + tg2x+tgx=0; 2tgx 2tgx
4tgx-3tg2x— н—=0; tgx=O; Xi = nk;
1—tg2x 1—tg2x _
2—2tg2x—3tg2x + l =0, tgx—±^-;*2 =
□ Преобразуем левую часть уравнения:
3tgf-tg3t2tgt
2cos t cos 2t=— (3—tg2 t) cos t cos 2t =
1—tg2Zl-tg2r
=tg2f (3cos2t—sin2t) cos2/—
cost
sin2t
=(2cos2 t+cos2t)=2sin2t cost+ 2sint cos2t=2sin3t cost■
(сокращение на cost и cos2t допустимо, поскольку cost#0, cos2t^0).
Тогда уравнение примет вид sin3t=sin5r, откуда sintcos4t=0. Ответ: л
Х1=лЛ, Х2=~ (2*+1). ■ 8 tg t cos212sm21
□ 2sint cos2t=— —, sint#O, cost#0, cos2t#0;
2cos2t— 1cos2t—3sin2t
cos t=——, cos21—3sin21#0, tg21# 1/3;
cos21—3sin2t
cost (cos21—sin21—2sin21) —1; cost (2cos2t—1)= 1; 2nk■
cost+cos3t—cost=l; cos3t=l; t=, но к^У, так как sint#0. Ответ: 3
2л t=y(3Jt±l). ■ 5.416. □ tg2 5х—tg2 Зх=tg 2х (1 — tg2 Зх tg2 5х), cos Зх cos 5х#0- sin25xcos23x—sin23x cos25x=tg2x (cos23xcos25x—sin23x sin25x); sin2x ' sin8x sin2x=cos8x cos2x, cos2x#0; cos2x
ик
sin2x=0; х=—, ею к#2/+1, поскольку cos3x cos5x#0; 2
sin8x=cos8x; tg8x=l.
я
Ответ: xi = як, x2 =—(4k+l). ■
32
я
xj =ric, х2=- (2k+1).
4
□ Разделив на cos2 х2# 0, получим
tgx2+2tgx+tg3x (2-tgx tgx2)=0; 2tgx + 2tg3x=tg*x tgx2-tgx2;
2tgx (l+tg2x)=tgx2 ^x-l) (tg2x+l), l+tg2x#C;
2tgx=tgx2 (tg2x—1), tg2x—1#0; —tg2x=tgx2, х2=як—2x, x2 + 2x—
— як=0, x= — 1 ±V^ +”*. k=0, 1, 2 ■
1+V1+8*1-V1+8*
о =0, /2=. k*l Qi* 1), 13=, k*l (2/-1), k>0, l>0.
44
□ Преобразуем левую часть уравнения:
2sinx (cos'*х—l)+3cosx (sin*1 x—l)+2sinx sm'*x+3cosx cos~'x= =2sinx (cos-1x— 1 +sin'*x)+3cosx (sin'1x— 1 +cos*1x)=
/ 1 1
=(2sinx+3cosx) Iч1
\cosx sinx
Далее имеем:
2sinx+3cosx=0, cosx#0; tgx= —1,5; X] =-arctgl,5 + Rk;
1
41=0, sinx#0, cosx#0; sinx+cosx=sinx cosx. Пусть
cos x sin x
y1 — 1 sinx+cosx=y; тогда (sinx+cosx)2 = l +2sinx cosx, t. e. sinx cosx=—-—.
Значит, у1—2y—1=0; y=l±V2, но cosx+sinx#l+^/2. Итак, Г ”\ Г /*
nx+cosx=l —V2,2cos - cos I—x) = l —v2;coslx—1=—=—1;
_4\4 /X 4/ ^/2
яV2-2
x2 = - ± arccosЬ 2я*. ■
42
я
□ 1) sinx+cosx=0; tgx= — 1; x=-(4k—1);
4
Покажем, что cos*x+2sin3x—2sinx+l#0. Действительно, cos*x+l + +2sinx (sin2x-l)=cos*x+l — 2sinx cos2x=cos*x+l —sin2xcosx>0, так как cos4x+l>l, a sin2x cosx<l. ■
к Л
x = (-l) - + як.
6
□ Преобразуем левую часть уравнения:
tgx—2sinx cosx—2cos2x+l + 2 (2cosx—cos'1 x) = =sinxcos-1x—2sinx cosx—2cos2x+cosx cos'*x+ +2 12cosx—cos'1 x)=sinx (cos~*x—2cosx)—cosx (2cosx—cos-1x)+ +2 (2cosx—cos'1 x)=(2cosx— cos-1x) (2—sinx—cosx).
Отсюда получим:
2—sinx—cosx^O;
1Л
2cosx= 0, cosx#0; 2cos2x—1=0; cos2x=0; x=-(2*+l). ■ cosx4
я
x=-(3*±l). 3■
□ Имеем
6x
,2+cos—'
tgx(3-tg2x)5
-cos x=, cosx#0, cos2x#0; 2cos2x—1cos2xcosx
,,6x
sinx cos2 x (3—tg x)=2+cos —.
Преобразуем левую часть уравнения:
3sinx cos2x—sin*x=2sinx cos2x+sinx (cos2x—sin2x) = = sin2x cosx+sinx cos2x=sin3x.
6x
Тогда получим sin 3x—cos — = 2, откуда следует
Г$тЗх=1,j*3x—^ + 2ят,
\ gx t. e. \Значит, я + 4ят = 5я+10ял, т. e.
(cos—= —1,f
vV—=я + 2ял.
35
2m=2+5л. Из этого равенства вытекает, что л — четное число; пусть 5я 10лА: 5л
л=2*. Тогда х=—|— (4к+1), где к#3/+2, так как в этом случае
636*
5я
cosx=0. Ответ: х=—(4*+1), fc#3Z+2. ■ 6 я
х=-(2£+1). 4
□ Положим sinx+sin'x=z. Тогда sin2x+sin'2x=(sinx+sin""1x)2 —2 = 5
=z2—2. Имеем 2z2+z—10=0, Zj = 2, z2 =—. Отсюда получим:
1я
sinx4=2; sinx=l; xt=- (4k+l); sinx2
151*+i я
sinx4—; sinx= — (sinx# —2); x2=(—1)-+я*. ■
sin x 226
яяx/2—V10
X] =- (4*—1), x2=-±arccosh2nfc.
444
□ Преобразуем левую часть уравнения:
4 ctg3 2х — 12ctg 2х+tg2 х+ctg2 х—2 — 12=4 ctg3 2х — 12ctg 2х+(ctg х—
—tgx)2 —12=4 (ctg32x—3ctg2x+ctg22x—3)=4 (ctg22x—3) (ctg2x+l).
Отсюда получим:
ctg2x»-l; x2--(4*+3). ■
• л1l±v/13 лЛ
хх =— (4*4-3), xi=- arcctgк—.
16424
x
□ Вычтем ctg - из обеих частей уравнения:
2 XXX
2tgx4-tg -—ctg -4-4ctg2x=ctg 3x—ctg -. 222
Тогда левая часть уравнения преобразуется тая: 2tgx—2ctgx4-4ctg2x= —4ctg2x+4ctg2x=0. хх2л*
Значит, ctg3x—ctg -=0; Зх=-4-я*; х=, к* 51 (при*=5/ определены не
225
все функции, входящие в уравнение). ■
л
t=— (6*4-5).
12 ctgx / ctgx\
□ Имеем 12 (tg2x+l)+—-—F10f2tgx4—— 1—1=0. Пусть 2tgx+
ctgx"ct^x4
4= к тогда 4tg2x4= y—. Следовательно, 3y 4-10y4-7=0,
393
7
t. e. y! = — 1, y2= —• Итак:
ctgx
2tgx4— 1;
tg*2-tg*2-16’16’3 ctgx 7
tg*2-
tg*2-
1
6’
1
6’
2tgx4—— =— -,6tg2x+7tgx+l =0, tgXj = —1,
л1
X[= - (4*— 1), x2=— arctg—Нл*. ■
46
2л( 2\
xi —— (3*± 1), x2= ±arccos I — 1+2л£.
3X 3/
л
Z|=2n*, Z2=- (4Jt—1). * Положить cosz— smz=y. 2 _
лV2
z—-±arccosh2n*.
лx=- (4Jt+l). • Положить tgx+ctgx =y.4□ Пусть tgx+ctgx=y, тогда tg2x+ctg2x=лx=- (4Jt+l). • Положить tgx+ctgx =y.4□ Пусть tgx+ctgx=y, тогда tg2x+ctg2x=(tgx+ctgx)2-2=y2-2,(tgx+ctgx)2-2=y2-2,410
л
x=- (4Jt+l). • Положить tgx+ctgx =y.
4
□ Пусть tgx+ctgx=y, тогда tg2x+ctg2x=
л
x=- (4Jt+l). • Положить tgx+ctgx =y.
4
□ Пусть tgx+ctgx=y, тогда tg2x+ctg2x=
(tgx+ctgx)2-2=y2-2,
(tgx+ctgx)2-2=y2-2,
tg3 x+ctg3 x=(tgx+ctgx)2—3tg2xctgx—3tgxctg2x~y1—Зу. Уравнение
примет вид y’+y2—Зу—6=0. Заметив, что у=2 удовлетворяет уравнению, выделим в его левой части множитель у—2: у3—г^ + Зу2—бу+Зу—6& = (у—2)(у2 + 3у+3), т.е. (у—2)(у2 + Зу+3)=0. Отсюда получим: '
у=2,—2, х—-(4*+1)(при этом tgx и ctgx существуют);
sin2x 4
л*1V5 —1
X] =- (4*+1), х2=(— 1) - arcsin1.
4222
'/////” \
□ 1 + sin - sin t—cos - sin r 2sin - cos -= 1 +cos I — t ; 2222\2 /
/, At
sin - sinr 1—2cos2 - =sin<; —sin - sint cos/=sin t;
2\2/2
sin 1=0, <i =n*;
t3tt3t
sin - cos t= — 1, sinsin - = —2, что возможно только при sin —= — 1, 2222
ttl и
sin- = l, так как IsinaKL Еслиsin- = l,то-=- + 2л*
222 2
■ 3//Зя\
и sin —=sin — + 6пк 1 = — 1, при этом значения 1=л (4*+1) входят в ре- 2\ 2/
шение Гр Ответ: t = iik. ■
л 5.441. х=- (2*+1).
6
□ Имеем
4cos Зх cos 2х
2 (3—tg2x) cos2x cosx =, sin2x^0, cos 2x^0, cosx?*0;
sin2x
sin 2x cos x (3—tg2 x)=2cos 3x.
Преобразуем левую часть уравнения:
6sinx cos2x—2sin3x=4sinx cos2x+2sinx (cos2x— sin2x) = = 2 (sinZx cosx+sinx cos2x)=2sin3x.
Уравнение примет вид sin3x=cos3x или tg3x=l, откуда x=— (4^+1), но
л при *=3/+2 получаем cos2x=0. Ответ: х==~ (4^+1), к*31+2. ■
□ Отметим, что sin (#0, и рассмотрим два случая:
cosl>0, ^/3 cost=l+ctg/, sinr+cost—V^ sin / cos/=0;
cosr<0, — V3 cost = 1 + ctgt, sinf+cost+V3 sin» cosr=0.
Решим каждое из полученных уравнений: у2-1--
Положим sint+cos/=y; тогда sin(cosr=; V^y2 —2у—Vs=O,
1г1 /л \1
у== (y=v3#sinr+cosrt; sinr+cos/==,sin (- + /)==;
VsVs / Ve
Л1
/+- = - arcsin —=+2л*, так как cos г > 0.
4V6
1
Аналогично предыдущему находим sin t+cos /=—=;
Vs
/л \1 я1
sin I -+/ )=—=, /+-—л—arcsin —=+2я* (cos/<0).
•\4 / Ve 4 Ve
л1
Оба результата можно объединить. Ответ: t=- (4*— 1)—arcsin —=. ■ 4V6
11лл
f=±2arctg-4— л*. 5.445.(=-(4*4-1). 5.446.t=—(3*±1).
2 2412
□ Дополним левую часть уравнения так, чтобы получить (cos2x4-l)2:
cos*x4-2cos2x4-l — 2cosJx—14-4cosx—1 ««0;
(cos2x4-1)2—2 (cosx—1)2=0;
(cos2x4-l 4-1/2 (cosx-1)) (cos2x4-l -1/2 (cosx-l))=0.
Далее имеем:
cos2x-V2 cosx4-l 4-V2#0;
.cos3X4-V2 COSX4-1 — 5/2=0;
-V24V4V2-2/-V2-V4V2-2\
cosx=I COSX# ).'
\2/
V2V2-I-I
Ответ: x= ±arccos=4- 2л*. ■
V2—
-214-V6V2-1
x=±arccos— ._ 4-2л*. 5.449. xj = arctg7=nt*, x2=
V24-V8V2-2v2
1-V6V2-1 , = arctg=ь л*.
V2
□ Имеем ctg42z— 1 =cos24z. Преобразуем левую часть уравнения:
(ctg2 2z—1) (ctg2 2z-h 1)(ctg2 2z—1) (ctg2 2z-h 1)cos2 2z — sin2 2z cos2 2z 4- sin2 2z cos 4z
(ctg2 2z—1) (ctg2 2z-h 1)
(ctg2 2z—1) (ctg2 2z-h 1)
sin2 2zsin2 2zsin4 2z
cos4z
Тогда=cosz4z, sin2z#0. Отсюда получим: sin42z
cos4z = 0;4z=- (2*4-1); zi=- (2*4-1); 28
1
=cos4z, откуда следует sin42z
cos4z-l, f4z=2n*.
sin2z=±l; ^2z=-4-n* — система не имеет решений.
л .
Ответ: z=-(2*4-1). ■
□ Сначала находим
sin 14-...4-(—1)” sin" 14-...=;
14-sin t
n1
14-sin/4-...4-sin t+...=, |sin/|<l.
1 — sint
Далее имеем 1— sin/ 2sin2/ 1 —sin/ sin2/ 1+sin/ 2cosV 1 +sin/ 1—sin2/’
,1* ”
2sm2/+sin/—1 — 0, sin/# — 1, sin/—-; /—(— 1) —Fnk. ■
л
x—- (Зк±1). 5.453. x=itk.
l+tgx .
□ Решение возможно только при |tgx|<l. Имеем — l+sm2x.
l-tgx 2tgx2tgx2tg2 x
Заменив sin2x на —, получим l+tgx— l— tgxH—,
l+tg2xl+tg2x l+tg2x
tgX|-0; х=кк; 1 +tg2x=l — tgx, tg2x=—tgx, tgx#-l. Ответ: x—nk. ■
к *
/-(-1) -+nk.
6
□ Сначала воспользуемся формулами понижения степени:
/1—cos2x\5 /1+со$2х\3 29
I) +(] ——.
\2/ \2/ 64
Затем после возведения в степень и приведения подобных членов получим: 29,51
5cos*2х+lOcos2 2х +1 ——; cos*2x+2cos22x—-—0; cos2x— ±—=;
44^/2
х--(2к+1). ■*
х-^(3к±1).
□ Очевидны решения |sin3x| —1 (тогда со$3х—0) и |cos3x| — 1 (тогда якяк
sin3x—0), откуда Зх——, т. е. х——. Покажем, что других решений нет, 26■
предварительно преобразовав правую часть уравнения: (sin23x+cos23x) (sin*3x—sin23x cos23x+cos*3x)
4cos26x+sin26x
(cos2 3x—sin2 3x)2+sin2 3x cos2 3x
-41.
4cos26x+sm 6x
Если |sin3x|<l, |cos3x|<l, to sin103x+cos103x<sin23x+cos23x— 1, t. e. кроме указанных выше, решений нет. ■
(
я\я
— я sin/); л cos/-—я$т/+як; cos/+sin/=
2/2
1
——Нк, что возможно лишь при к—0, к— — 1.
2
/ я\1V2
■ 1) Если к—0, то sin/+cos/=-; cos I/—- )——=——.
\ 4/ 2^2 4
/ я\ V2
Если к- —1, то sin/+cos/——; cos I /— .
\4
При таких значениях z все исходные функции определены.
лV2
Ответ: z=-±arccosvuk. ■
44
(—1)4пл1—V1+8*
(=arcsin1—, к=3, 4, ...; к=— 4, —5. 5.461. z, =Ь
2^+1 22
+ V5 + 8*
+ 2*. Z2 =+ 2*-, k=0, 1, 2, ... .
2
гr l+Vl+8n*
5.462. □ Из условия следует: 1) x=vx + 2^,Jx=;
2
.-.- -l+Vl+8»t
x= — Jx-v-2.uk, Jx= (берем только положительный ко-
2_
рень каждого уравнения, так как ^х^Оу, при этом £=0, 1, 2, ... .
i J1 + 8л&г
Ответ: х=|-2лА:, к=0, I, 2, ... ■
2
-2±^*+2к,
t=, k^-l.k^iy1-^. 2_
□ В левой части имеем cos 4x+cos*x>2; действительно, cos-4x+ +cos4x—2=(cos-2x—cos2x)2>0. Теперь оценим правую часть уравнения: 1+cos2x—2sin22x<2, поскольку cos2x<l, 2sin22x>0. Таким образом, равенство возможно лишь при cos4x=cos2x = I, sin2x=0. Ответ: х=ик. ■
х=л (4*+1).,
□ Имеем (sin2x+l)2+cosx (2cos2x—1)=0; (sin2x+l)2+cosx cos2x=0. {sinx=0,
Раве- cosx cos2x= — 1.
fcosx= —1,(cosx = l,
нство cos x cos 2x = — 1 выполняется, если <либо <
lcos2x=l -[cos2x= —1.
Последнее невозможно, так как cos2x=2cos2x—1. Ответ: х=л (2к+1). ■ л
х = -(4k+ 1).
х=2ик. • Воспользоваться тем, что (tgx—tg2x)2>0, |cos (x+4tgx)|<l.
х = л(2£+1).
□ Имеем
/л\/л\
cos I х— ]—4cos 2х cos х— —4cos22x+2 = 3;
\4/\4/
(
/л\\/л\
1+C0S х— ) 1=1— cos I X \4/7\4/
Левая часть уравнения неположительна, правая — неотрицательна; следовательно, равенство возможно лишь при 4cos 2х I 1+cos I х—- 11 = 1—
(
л\/ л\л
х—- 1=0. Отсюда cos I х—1=1, х=--V-2.uk; при этом 47 .\ *)4
(
л\и
х—1#0, cos2x=0. Ответ: х=-(8*+1). ■
4/4■
5.471. □ Имеем5.471. □ Имеем/iV3Y
5.471. □ Имеем
5.471. □ Имеем
4 I - sinx4cosx I =5+cos \22/
(
я\/я\
x+- ]=5+cos I ~+4x 1.
3/\3/
Так как 4sin2 ( x+- )<4, 5+cos [ -+4x )>4, to \3/\3/
С/л\т-яя
i sin2 x+- =l, i x4—=-+xk,
I\3/I32
)(x\)x'
I cos I—i-4x) = — 1(-+4х=л+2лл.
\3/
лОтвет: x=-(6fc+l). ■
XXX
Zi=-(8*+l), <2 = — arctg 3 4-л (2Jt+l). 5.473. xi =-(2*4-1), x2—(6*±1), 4 46
1V17-1
хз = ±- arccosh xk.
□ Имеем cosx= —>/sin2x—2sin2x+4cos2x, t. e. cosx<0. После возведения обеих частей уравнения в квадрат приходим к однородному уравнению:
cos2x=sin2x—2sin2x+4cos2x; tg2x—4tgx4-3=0; tgx= 1, tgx=3.
XX
Так как cosx<0, то получаем следующий ответ: х| =-+л+2лА=- (8*+5), 44
x2=arctg3+a+2n^=arctg34-a (2*+1). ■ л1лх
Xi=-(8*+3), х2=- arctg5+- (2*+1). 5.476. х,=- (4А:-1), х2 = 2л*. л
х=- (2*+1). 4
□ Возведя в куб обе части уравнения, получим
sin2x+3 3^/sin2x cos2x (3\/cos2x—3^/sin2x)—cos2x=2cos 2x;
Так как, по условию, \/sin2x—^cos^a’V^cosTx, то
— 3Van2 x cos2 x 3^2 cos 2x=cos 2x; — 2sin2 x cos2 x cos 2x=cos3 2x; /1\X
cos2x cos22x+- sin22x =0; x=- (2fc+l). Ш \2/4
□ Пусть \/10+8sin2x=n, *V8cos2x—l=v; тогда и—v = l, u*4-v*= = 10+8sin2x+8cos2x—1 =17. Преобразуем u*4-v* так, чтобы найти mv. u*+v*=(u2+v2)2—2h2v2; (u1+v2)1 = 17+2k2v2; k2+v2=(k—v)24-2uv= 1 +2uv.
Следовательно, приходим к уравнению (1 4-2kv)2 —17+2k2v2 или k2v2+2mv—8=0.
{
u—v= 1, т. e.
uv = 2, ^ u=2, v = l (u# —1, v#—2). Итак, 4V8cos2x— 1 =1; cosx=±~; x= я
=-(3*±l). ■ яя
x=- (3£+ 1). 5.481. x( =- (4*+1), x2= — arctg6 +n£. 6- 4
. / , / (u+v=l,
□ Пусть 5V0>5—sinx=u, \/0,5 + sinx=v; тогда <Пользуясь
[u3+V5 = l. этими соотношениями, выполним преобразования, чтобы найти uv: u5+vs=(u+v) (u4—u3v+u2v2—uv3 + v4); u4+v4-uv (u2+v2)+u2v2 = = (u2 + v2)2 —u2v2 —uv (u2 + v2) = (u2 + v2 + uv) (u2 + v2 —uv) —uv (u2 + v2).
Так как u2 + v2 = (u+v)2 —2uv, u+v=l, to u3 + v5=(l—uv) (1—3uv)—uv (1 — 2uv)=l — 5uv + 5 (uv)2.
Поэтому имеем уравнение 5 (uv)2 —5uv + l = 1, откуда uv=0, uv = l. Таким образом, получим:
(u+v = l, 1) <u=0, v = l; u=l, v=0;
fu+v = l,"
2)
(uv = l; система не имеет действительных решений.
Итак, ’^/0,5—sinx=0 или ’V^—sinx—1; sinx=±0,5. Ответ: х=- (6fc±l). ■ я 5.483. х=- (6*±1).
х=- (4к+1). • Положить sinx=u, sin2x=v. 2
xi =2яА:, x2=- (2k +1). 4 я,
X! =-(4Jt+l), x2= — arctg4 +nk. • Положить Vl + 3ctgx=y; тогда 4
I tgx J
V 3 + tgx у
□ Имеем
cosz /sin2z[—-—l^+sinz /cos2z[—-—l^=2sinz;
V\cos2z/ у \sin2z /
coszsinz
sin2z+cos2z=2siriz. |cosz||sinz|
Рассматривая все возможные сочетания знаков sin z н cos z, получим: ,,1 я
sinz>0, cosz>0:sin2z+cos2z=2sinz, sinz=-, г=-+2як;
sinz>0, cosz<0: — sin2z + cos2z = 2sinz, sinz =, z = n —
-1+V3"
—arcsinv2Tik;
sinzcO, cosz>0:sin2z—cos2z=2sinz, sinz=, z= _2
-1 + V3
= —arcsin^2itk, 2
1Я
sinzcO, coszcO: — sin2z—cos2z=2sinz, sinz= —г=я+- + 2я&.
26
Ответ: zx=- (6k+l), Z2=arcsin-Vuk. ■
x=- (8*+3). 5.489. x=- (4*4-1).
□ Заметим, что sinx^O, так как ^/1+sinx>^l —sinx. Возведем обе части уравнения в квадрат:
1 +sinx—2V1 — sin2x+l — sinx = l +2cosx+cos2x;
cos2x+2cosx+2 |cosx| — 1 =0.
Рассмотрим два случая:
cosx>0, cos2x+4cosx—1 =0, cosx= —2+^5; x( =arccos (V5—2)+2itk (при этом sinx>0);
cosxcO, cos2x=l, cosx= — 1; Х2=я (2Jt-+-1). ■
□ Здесь sinx>0, cosx>0, sinx#l. Имеем 1о^х (sinx cosx)=2; loganx sinx+log^^ cosx=2; 1 +1о^х cosx=2; log^x cosx= 1; sinx=cosx;
я я tgx=l; x=- + 2itk=- (8^+1), так как sinx>0, cosx>0. ■ 44'
x=- (8*+l).
□ Имеем
2cos2x 3cos3x sin2x
, sin2x#0, sin3x#0, cos2x#0.
sin2x sin3x cos2x
Преобразуем левую часть уравнения:
2cos2х sinЗх— 3cos Зх sin 2х
sin 2х sin Зх
2 (cos2x sin3x—sin2x cos3x)—sin2x cos3x 2sinx—sin2x cos3x sin 2x sin 3xsin 2x sin 3x
Так как sinx#0 (при sinx=0 получаем sin2x=0), то уравнение примет вид 1— cosxcos3x cosx =, откуда cos 2х=cos х (sin 2х sin Зх+cos 2х cos Зх); sin2xsin3x cos2x
cos2x=cos2x; sin2x=0, но sinx#0, т. e. исходное уравнение не имеет корней. ■
□ Запишем данную систему так:
х+уу—хх+ух+у
sinsin= sincos,
2222
я
И+М-7
x 4
Рассмотрим два случая:
sin=0; отсюда х+у=2пк, причем *=0, поскольку |х+у|<|х| + |у| = 2
лл
=-. Значит, х+у=0, т. е. х= —у; итак, |х| = [у|=-.
48
х+уу—хх+у. (иу—х\/л у\
cos=sin; отсюда cos—hcosl-ч1=0; cos I ~+-lx 222\22 /\4 2/
/я x\
x cos |1=0. Здесь мы не получаем решений исходной системы, так
\4 2/
(л х\ 1=04 2/лимеем у=~ + 1нк, т. е.2 л л(л х\ 1=04 2/лимеем у=~ + 1нк, т. е.2 л лтс имеем х= —тс имеем х= —лл4 л4 л22ллОтвет: х, =- у, = --; х2 = --, у2=~.Ответ: х, =- у, = --; х2 = --, у2=~.л/л у\2л*, т. е. |х|>—; при cos ( -+- 1=04\4 2/л/л у\2л*, т. е. |х|>—; при cos ( -+- 1=04\4 2/
(л х\ 1=0
4 2/лимеем у=~ + 1нк, т. е.
2 л л
(л х\ 1=0
4 2/лимеем у=~ + 1нк, т. е.
2 л л
тс имеем х= —
тс имеем х= —
л
л
4 л
4 л
2
2
л
л
Ответ: х, =- у, = --; х2 = --, у2=~.
Ответ: х, =- у, = --; х2 = --, у2=~.
л/л у\
2л*, т. е. |х|>—; при cos ( -+- 1=0
4\4 2/
л/л у\
2л*, т. е. |х|>—; при cos ( -+- 1=0
4\4 2/
5.496. х, -- (2*+1),25.496. х, -- (2*+1),2У!=лл;У!=лл;ЛЛ
5.496. х, -- (2*+1),2
5.496. х, -- (2*+1),2
У!=лл;
У!=лл;
5.495. х=-(2*+1),у=- (2*+5) +2лл.
44
х2 = (—1)*- + л*,у2=(—1)*-+лл.5.497. Х!=-(6*+1),у!=-(6л+1);
1-V10' 1+V1°1+V10
х2=2arctg=—ь 2л*, у2 = 2arctg-=—Ь 2лл; х3=2arctg=—н 2л*,
V3V3V3
1-V10л л* я
y3 = 2arctg=—ь2лл. 5.498. х=-(8*+1), у=-(8л+5). 5.499. xj=(-l) - +
V3446
т ^я ^
+ л*, У]=(—1) -+лт, Z[=(—1) - + лл, к, т, л — числа одной четности;
ллл
х2=уэ =Z4=- (12*+1),уг=я3=Х4=-(12m + 7),z2=x3=y4=-(12л—1),
666
ллл
■Х5=Уб=27=- (12*+5), y5=z6 = x7=- (12^-1), z5 = x6=y7=- (12л + 7).
666
sinx siny sinz
□ Положим t==—— =. Если/=0, то очевидны решениях—у=0,
z=u; x=z=0, у=и; х=л, y=z=0. Пусть /# 0; проверим, можно ли построить треугольник из отрезков г, /V3, 21 (тогда х, у, z можно рассматривать как внутренние углы этого треугольника). Имеем г2+3г2—4г2, т. е. получим прямоугольный треугольник; следовательно, z=a/2, /=1/2, sinx=1/2, siny—^/3/2. Ответ: xt—л/6, yi— л/3, z\=up.; x2=y3=Z4«0, y2=z3=X4=0,
z2-x3-y4-a. ■
6.001.
6.003.
6.004.
6.005.
6.006.
6.008.
6.009.
6.010.
6.011.
6.012.
6.013.
ГЛАВА 6ПРОГРЕССИИ
9.6.002. 119/3.
□ Пусть х — число промахов в серии из 25 выстрелов. Тогда, исполь-
зуя формулу (6.2), получим уравнение
21+0,5(х-1),
х—1 или х* +
2
+3х—28=0, откуда xj =4, х2 = — 7 (не подходит). Следовательно, стрелок попал в цель 21 раз. ■
1) 2; -1; -4; 2) -10; -7; -4.
((oi +</) </=30,
□ Согласно условию, имеем систему <Отсюда нахо-
(oj + 2</+ О1 + 4</ =32.
дим два решения: 1) «1 = 1, </=5; 2) ах=1, d=3. Для каждого из них воспользуемся формулой (6.2).
2+5 (п-1)
При О] =1, </=5 получим 112=л, откуда Л1 = 7, л2 = — 6,4 (не
2
подходит). В этом случае первые три члена таковы: 1; 6; 11.
14+3 (л-1)
При 01=7, d=3 получим 112=л, откуда nj=7, л2=—32/3
2
(не подходит). В этом случае первые три члена таковы: 7; 10; 13. Заметим, что в обоих случаях число членов равно 7. ■
За 8 ч. 6.007. 3 и 4.
,О! (1 +^3)= — 49,
□ Согласно условию, получаем систему <Отсюда
(«19 (1+9)= 14.
292+59+2=0, т. е. qx = —2, q^ = —1/2. Тогда искомыми четырьмя числами
являются 7; —14; 28; —56. ■
{618
1-9~5’
Далее
имеем I692 —16^—5=0, откуда qx = —1/4, ?2 = 5/4>1 (не подходит). Следовательно, 6з=(—1/2) (—1/4) = 1/8. ■
3; 3/2; 3/4.■
(.a1 + a2 + a3 = 2,
□ Согласно условию, получаем систему <Далее, исполь-
[а2+а2+а2=14/9.
«1 +аз
зуя формулу (6.2), имеем'3=2, откуда at + а3 =4/3 и, значит, а2 = 2/3.
2
,а1+аз=4/3,
Таким образом, приходим к системе <решив которую полу’(о?+о2=10/9,
чим «1 = 1/3, оз = 1 либо 0] = !, о3=1/3. Итак, искомыми числами являются
1/3; 2/3; 1. ■
44.
□ Пусть О] — первый член арифметической прогрессии, d — ее разность.
(2а, + ЗД 3
Согласно условию, = 15, откуда а,+</=5 (1). Далее, так как
2
числа а, — 1, а, +d— 1, а, + 2d+1 образуют геометрическую прогрессию, то в силу формулы (6.7) имеем (a, + d—1)2=(а, —1) (а,+2</+1) (2). Решив систему уравнений (1), (2), получим два решения: 1) а, =3, d— 2; 2) а,—9, d=—4. Однако второе решение не подходит (</=—4<0). Итак, 23+2'9
5,0 = 10=120. ■
2
6.014. 1; 9; 17.
6.015. □ Заметим, что (2л)2—(2л— 1)2=4л — 1. Число л найдем из равенства 4л — 1 = 2002 — 1992 или 4л — 1 = 399, откуда л = 100. Покажем, что последовательность а„ = (2л)2 — (2л — I)2 есть арифметическая прогрессия. Действительно, ал — а„ _ 1 = ((2л)2 — (2л — 1 )2) — ((2л — 2)2 — (2л — З)2)=4л — 1 — 4л + 5=4,
3 + 399
т. е. d=4. Теперь находим — 5,оо= 100 = 20 100, откуда
2
5= -20 100. ■ 2222
6.016. 1) 7; -28; 112; -448; 2)-И-;-46-;-186-,-746 -6.017. 3; -6;
3333
12; -24. , 111
6.018. □ Так как Ьл=Ь^\ то —=Ь/—, откуда 6,=-. Теперь, используя фор- 54272
/ 1\
- 1
4 4 3 7 121
мулу (6.6а), получим уравнение —, из которого находим
3
л = 5. ■
45
6.019. □ Согласно условию, имеем систему b\ q (g2—1)= ——, 6,g3(g2 —1) =
45, 1
, откуда <? ——. В результате получаем два решения: 1) А, =6, 51216
6.020.6.021.6.020.6.021.д = 1/4; 2) Ь\ = — 6, q= —1/4. ■
6.020.
6.021.
6.020.
6.021.
5 и 405.
□ Используя формулу (62) и условие задачи, имеем равенство 2а, + </(л—1)
л=5л2 или 2а,— ^=(10— d) л. Так как в этом равенстве может 2
изменяться только л, то ^=10. При zZ= 10 находим а, =5. Следовательно,
три первых члена этой прогрессии таковы: 5; 15; 25. ■'
.022. 1) 3 и 4; 2) 48 и 1/4.
.023. □ Воспользуемся формулой (6.9), справедливой при условии |х|< 1: х2 1317
а) 2х+1 ч— => Х]=-, х2= —; 1+х 629
11771212б) -ч => X, =-, х2=—. ■х 1-х 233б) -ч => X, =-, х2=—. ■х 1-х 233
1
1
7
7
12
12
б) -ч => X, =-, х2=—. ■х 1-х 233
б) -ч => X, =-, х2=—. ■х 1-х 233
6.024. 9 или 31.
6.025. □ Применив к обеим прогрессиям формулу (6.9), получим bt +6] q+ bvb*
+ 6192+ ...= и 6?+(6i чУ*(Ь1Ч1У + ...=;• Согласно условию,
1-q1-q2
616?
имеем систему= 16,= 153,6, откуда 9=1/4, ^ = 12. Следователь-
1-91~9
НО, 64 = 3/16. ■
6.026. □ В силу условия имеем
Д1 (я1+<0 («1+24=6,'
=» Si +3</=4 =*Д1 =4—3d.
а\ (ai+d) (ai+2d) (qi+3d)=2A.
Таким образом, приходим к кубическому уравнению 3d1 —22d2+48d— -29=0 или 3d$-3d1-19d1+19d+29d-29=0> откуда (d-1) (3d2-l9d+ +29)=0. Условию задачи удовлетворяет только корень d=\. Итак, получаем ответ: 1; 2; 3; 4. ■
6.027. 37,5 или 52,5. 6.028. 6. 6.029. 810. 6.030. 1/5. 6.031. 9.
6.032. □ Согласно условию, имеем систему
,аз Об=406,,(Д1 +2/1) («1 + 5<0=406,
<или <
(09=204+6(в]+8</=2 (о]+3<0+6.
Отсюда находим два решения: 1) at =4, </=5; 2) а\=—19П, </=—37/14.
Условию задачи удовлетворяет только первое из них. ■
6.033. 6; 3; 3/2;....
6.034. □ В силу условия имеем систему
а!+а19+а192 = 65,
logi5al+log,5al9+logljal92=3.
Записав второе уравнение в виде AogY5(q1'atq,a1q2')—3, получим aYq3 = 15\ т. е. 01^=15. Таким образом, приходим к системе а|9=15, О| +159=50, которая имеет два решения: 1) а, = 5, 9=3; 2) а(=45, 9=1/3. Ответ: 1) 5; 15; 45; 2) 45; 15; 5. ■
6.035. 3/5.
6.036. □ Согласно условию, имеем
«1 (1+9+92)=21,
a, (I+92+9*)=189.
Возведем в квадрат обе части первого уравнения: aJ(l+92+9*)+ +2a,q (1+9+92)=441. Вычитая из этого уравнения второе уравнение системы, полутам 2а2 q (1 +9 +92)=252, откуда 0^9=6. Теперь из системы г«1 (1+92)=15, <находим два ранения: 1) 9=2, «1=3; 2) 9=1/2, 03 = 12.
(а, 9=6
Проверка показывает, что оба решения подходят. ■
6.038. □ Имеем а2я/а2т"—1 =* в2я+в2я>“0 =* С^+Рл-1) d)+(«i + (2m—1) d) — =0 =» «!+(»+«— 1) </=0. Эго означает, что (п+т)-й член прогрессии
6.039 M”&<w”lj 1; 3; 9; 2) 1/9; 7/9; 49/9. 6.041. 7. 6.042. 82 350.
6.043. □ Так как ^4-ai 9+^192 + — =—— иа’+а,53+а5?6+ —= ~.тополу- 1-9I-?3
-^-=4, 1-9-^-=4, 1-9а;—4 = 192 1-93а;—4 = 192 1-93ним систему
-^-=4, 1-9
-^-=4, 1-9
а;
—4 = 192 1-93
а;
—4 = 192 1-93
4(1-9) = аьили л.,
(48 (1+94-92)=а2.
6.044.6.044.Далее имеем 292 4-5g4-2=0, откуда q= —2 (не подходит), 9 = —1/2. Следовательно, at=6. ■
6.044.
6.044.
□ Пусть аь а2, аз. А) — искомые числа. Используя условия, а также формулы (6.3) и (6.7), получим систему•
Га^а^з,
I 2Дз=Д24-Д4,
) 01+^4=21,
Исключив из этих уравнений аь а^, 04, имеем 4а2—75аз4-324 =0, откуда находим оз = 12 либо 03=6,75. Ответ: 1) 3; 6; 12; 18; 2) 18,75; 11,25; 6,75; 2,25. ■
6.045. 5103 или 7/81.
6.046. □ По условию, числа a, aq, aq образуют геометрическую прогрессию, числа а, 094-2, aq1 — арифметическую прогрессию, а числа a, aq+2, аа* + 4-9 — снова геометрическую прогрессию. Используя формулы (6.3) и (6.7), {a+aq1 aq+2=,
из которой находим два
решения: 1) о=4, 9=2; 2) о=4/25, 9=—4. Ответ: 1) 4; 8; 16; 2) 4/25; -16/25; 64/25. ■
127(4*—1) (4*+* 4-1)
6.047. 1) 8; 4; 2; 2) 2; 4;8. 6.049. —. 6.050. 70 336. 6.051. 2л 4--.
яп
34
6.052. □ Имеем:
О14-О194-О1924-... = 51=-;
1-9 at at-a1q + a1q1-... = Si=;
1+9г а?+о?92+а?94+-=5=-^Ч.
1-9
о2 а1 О1
Отсюда следует, что 5==•=5] S^. ■
l-gi x-q I4-9
6.055. №/(25-1). 6.056. 2. 6.061. 7. 6.062. 1) 12 4-244-484-96; 2) 4,5 4-13,5 4- (о4-6)5-2о6 4-40,5 4-121,5. 6.063. 7. 6.064. 1) 3; 6; 12; 2) 27; 18; 12. 6.065. .
25-(а4-А)
.066. Зл.
.067. □ Пусть х, у, z — искомые числа. Тогда, используя условия, получим систему {И.
x+y+z=—, 18
111.
-+-+- = 18, X у Z 2 1 1 -=-+-. у X Z
Решив ее, найдем х— 1/9, у= 1/6, z= 1/3. ■
6.068. -2.'
6.069. □ Пусть х, у, z — соответственно цифры сотен, десятков и единиц искомого числа. Тогда, используя условия, получим следующую систему: {100x+10y+z— 792= 100z+ 10у + х,
уг=хг,
2y=x—4 + z.
Решив ее, находим x=9, y=3, z=l. Итак, искомое число есть 931. ■ 6.070. □ Сначала находим u1o = Sio—59=(2'1OO+3O)—(2'81+27)=41.
Теперь докажем, что при любом л разность ил+1 — и„ постоянна. Это и будет означать, что последовательность {и„} есть арифметическая прогрессия. Итак, u„ + i —u„ = (S„+1 —S„) —(S„ —S„_]) = S„+| — 2S„ + S„_i =2 (л + +1)+3 (л +1) — 4л2 — 6л + 2 (л — I)2 + 3 (л —1) = 4, что и требовалось установить. ■
25
6.071. 1064. 6.072. Меньше 2. 6.073. 25 —.
27
6.074. □ 1) Если разность прогрессии d отлична от нуля, то можно записать
10102101021 1озоз d1 1озоз d'1 ГА оз,'1 ГА оз,1 1 (Х ^л ^я+1\^л1 1 (Х ^л ^я+1\^л
1
0102
1
0102
1 1озоз d
1 1озоз d
'1 Г
А оз,
'1 Г
А оз,
1 1 (Х ^л ^я+1\^л
1 1 (Х ^л ^я+1\^л
л лл л
л л
л л
6.075. 101.
6.077. □ Легко установить, что |g| ^ 1 (проверьте). Согласно условию, (^--40, 1^=3280.
Исключив из этих уравнений аь придем к уравнению четвертой степени относительно q: 21q*+82qa + 82q2 + 82q+21 =0. Это так называемое воз/1 \
вратное уравнение. Разделив все его члены на q2, имеем 21 ( ^2+ . ) + \9 /
/1\1,
+82 I я— 1+82=0. Теперь положим q+~ = t и получим уравнение 21С + \ 9/9
ш + 32/+40 =0, откуда 1= —4/7 (не подходит), /= —10/3. Далее, из уравнения 110
q+= —— находим q=—3 и q= —1/3, которым соответствуют значения qз
С] =2 и Oj =—54. Ответ: 2; —6; 18; —54 или —54; 18; —6; 2. ■
6.078. x=q'^.6.079. 2”+* (л-1) + 2-0,5л (л +1).6.080. з”+‘ (л-1) + 3.
6.081. (Slef*1. 6.082. 9. 6.084. 0. 6.085. В 7381 раз. 6.086. 0,25. 6.087. 2.
6.088. *0,95.
6.089. □ Числитель представляет собой сумму пяти членов геометрической прогрессии, первый член которой равен х8, а знаменатель равен х'2 у1; следовательно, в числителе получим
х8 (1-(х-2у2)3)_х8-х-2у10_х10-у10
х~2у2Л—х~2у2х2—у2
Аналогично, в знаменателе имеем
х* (1 — (х-1у)5) х*—х-1у3 х5— у5
1— х-1у1— х-1ух—у
Разделив первое выражение на второе, находим
х*°—у10 Xs—у5х*°—у10 Xs—у5х2—у2х—ух2—у2х—ух5+у3х+ух5+у3х+у=х4 —х3у+х2у2 —ху3+у4.=х4 —х3у+х2у2 —ху3+у4.
х*°—у10 Xs—у5
х*°—у10 Xs—у5
х2—у2х—у
х2—у2х—у
х5+у3х+у
х5+у3х+у
=х4 —х3у+х2у2 —ху3+у4.
=х4 —х3у+х2у2 —ху3+у4.
6.090. При произвольном первом члене ai арифметической прогрессии ее раз
ность d=0 или d=at (—2± V^)-
ГЛАВА 7
ЛОГАРИФМЫ. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕИ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
7.001.7.001.12
7.001.
7.001.
□ Приведем все степени к одному основанию 2. Имеем 7=2 ;
16V2 1131-х1-х
0,125*= (2 3)*=2 *; 4 2 =(22) 2 =2* * Тогда уравнение примет вид 93/9 3\
2 х 1— х'2 х*1— хп
22 =2 или 2=2. Используя указание 1, перейдем к рав-
/9 3\
носильному уравнению — [-4— = 1 — х. После преобразований получим \2
[2х2-11х-6=0,
<откуда Xi = —1/2, хч = 6. ■'
(х#0,
.002. х=35. 7.003. х=81.
5х2 —3 76х 35х2 —3 76х 3.004. □ Применив правило извлечения корня из степени и формулы (1.19) и (1.16), получим
5х2 —3 7
6х 3
5х2 —3 7
6х 3
Согласно указанию 1°, переходим к равносильному уравнению откуда X] =—1/5, х2=3. ■
7.005. □ Приводим все степени к одному основанию 2: V2=2 ; 0,5 512
« 4^/х+Ю2(V*+1) -Vx+1
= 2; 16=2. Тогда получим
!52152
2 „ 4Vx+10„2 V7+10 Vx+l
2 2 v -2=0 или 2=2.
Г15
Полагая Vx=y>0, переходим к равносильному уравнению =
2 2 (2у+5)
2
=, которое имеет корни yi = 5 и Уг= — 2 (последний не подходит,
>' + 1г
тхаххожжу должно быть у^0). Итак, Jx=5, откуда х=25. ■
7.006. х=5/3. 7.007. ^=1, х2 = 2. 7.008. х, = -2,5, х2 = 3. 7.009. х = 9/4.
7.010. х=4.
7.011. □ Имеем‘
4+V9-X4+У9-Х4+V9-X4+У9-Х
4+V9-X4+У9-Х
4+V9-X4+У9-Х
Умножив обе части уравнения на 5/2, получим
Полагаем V*- х=у>0 и после преобразований переходим к уравнению у2—5у+4=0, корни которого yi = l и у2=4 удовлетворяют условию у>0.
Отсюда находим: ^/9—х=1, 9—х=1, Х]=8; ,/9—х=4, 9—х=16, х2 =
/7V
7.012. □ Разделив обе части уравнения на положительное число - ) , получим \4/
2х2-6
4Х-2 2 —1=0 или 2Х 3+2Х=2° или х2 + 2х—3=0.
Итак, х1 = — 3, х2=1. ■
7.013. х — 10. 7.014. Х]=0, х2 = 25.
7.015. □ Сгруппируем степени с основанием 2 в левой части, а степени с основанием 3 в правой части уравнения и разложим каждую часть на множители. Имеем
2х1-' (1+23) = 3Х,-‘ (1+3)или2х2~,'32 = 3Х,"‘-22.’
Разделив обе части уравнения на 3х * ■ 22 #0, получим
2х’"' З22х’-3/2\х1-3 /2\°
= 1 или= 1 или I - I =1 - I . 3х’-' 223х2"3
Отсюда х2 —3=0, т. е. xi>2=±V3- ■
7.016. х=-3. 7.017. х = 1.
7.018. □ Логарифмическая функция y=log3x определена при х>0. Поэтому, согласно формуле (7.6), имеем log3X2 = 21og3X. Следовательно,
^.^^O2 или 41O83X-5*Og3X=202 или гО^з^О2.
Отсюда log3x=2, т. е. х=32 = 9. ■
7.019. □ Имеем 52х ’—S^'S"1; 5х *=5х-5'1; 0,2=5-1. После деления всех членов данного уравнения на 5”1 оно примет вид 3 5 — 25 =1. Положим 5х=у, где у>0. Тогда получим уравнение Зу2—2у—1=0, откуда yi — 1, у2= —1/3 (не подходит, так как не выполнено условие у>0). Значит, у= 1, откуда х=0. ■
7.020. □ Предварительно выполним преобразования: Ю2^Х=(2-5)2^Х=2^Х-52',Х; _3lx2/х _ 1/х-»31х 31х 31х ~_
25 =(52) =5 ; 50 =(2 52) =2 "5 . Разделив обе части данного уравнения на 5^Х^0, получим уравнение 22^+1 =4,25"2*^, которое решаем подстановкой у=2 . Ответ: Xi, 2= ±1/2. ■
7.021. х,. 2—±7^, х3 4=±1.7.021 x = 3.7.023. x=20.7.024. x= 9.
7.025. x^-1, x2=9.
2263x+3 ■33
-- _ 3+__
7.026. □ Имеем 8 “(2s) ^2 и 2—2—23,2 . Тогда уравнение примет
6/x- 3/x3/x
вид 2 — 2 ’2 +12—0. Введя новую переменную 2 —y>0, получим уравнениеу2 —8у+12—0, корни которого yi-2 и yi —6 положительны. Из
3/х
уравнения 2 —2 находим 3/х— 1, т. е. xj =3. Остается решить уравнение 3/х
-6. Логарифмируя его левую и правую части по основанию 2, получим
33
- log22=log26 или -=log26, откуда х2 ==31og«2. ■
XXlog26
7.027. х = 3. 7.028. xL 2= ±1. 7.029. Xj = -1/3, х2=0. 7.030. х,. 2 = ±V10, х3, 4= ±1/710- 7^)31 Х! = 10-6, х2=103.
7.032. □ Логарифмическая функция определена при х>0; значит, левая и правая части данного уравнения положительны. Логарифмируя их по основа- lgx+5
нию 10 и используя формулы (7.6) и (7.2), получаемlgx=5+lgx.
Положим у=1g хи решим уравнение у 2+5у=15+3у, откуда у, = — 5, у2 = 3.
Из уравнений 1gх= —5 и lgx=3 находим Х| = 10'5, х2= 103. ■
7.033. □ Учитывая область определения логарифмической функции (х>0), прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10: lg2 1gx— —lgxlg2=0. Это уравнение выполняется при любом х>0. Ответ: (0, со). ■
7.034. Xi-2, х2 = 64. 7.035. X]-1/710, х2 = 100. 7.036. хь 2-2. 7.037. х1 = 1/*73, х2=3. 7.038. X! =0,01, х2=100. 7.039. х, =0,1, х2=1000. 7.040. х^З, х2 = 273.
7.041. □ По условию, число п — натуральное; значит, последовательность 2, 5, 8, ..., Зл—1 есть арифметическая прогрессия с разностью d=3. В левой части уравнения выполним умножение степеней с одинаковым основанием 2+5+8 +... + Зя — 1* -
и получим 3= (3Л)Э. Используя формулу суммы п членов
0,5 (2+Зя —1)я. _,
арифметической прогрессии, имеем 3=3 , откуда л+Зл2 = ЗО.
Последнее уравнение имеет корни л, = 3 и л2= —10/3 (не подходит). Итак, л=3. ■
7.042. □ Имеем (2 +2 ) = 2^+2+2=4^+4 *+2. Так как, по условию,
4 +4 =23, то (2 +2 ) =25. Учитывая, что 2 +2 >0 (в силу свойства 2° показательной функции), окончательно получим 2 +2 =5. ■
7.043. □ Применив последовательно формулы (7.8), (7.1) и (7.9), получим ((33),og32+5,Og57)((92),Og»4-(23),Og23)
3+51Og25163
(2s+7) ((9log9Y-33)_ 15 (42-3s)_
ЗО^4)= 3(1+4) ="1L "
7.044. 10. 7.045. 890.
7.046. □ Используя формулы (7.6) и (7.2), находим
—Iog2 \o%ixF>Jl.= -log2 log22l/8 = —log2 (1/8) = — (— 3) logz2=3. ■
7.047. 2. 7.048. 24. 7.049. 19. 7.050. 1. 7.051. 8.
7.052. □ Обозначим данное выражение через А. Согласно свойству 1° логарифмической функции, д>0. Применив сначала формулу (7.9), а затем (7.1) и (7.6), получим
Л = (21о82‘'< —З*”83 ^1+—2д) : (4921°g^a-(V5)1Og^a-l) =
—а—1) = (а4—(д2 + 1+2д))—а—1) = (а4—(д2 + 1+2д))=(д4-(д + 1)-2д) : (491ов«“2 ,а4—(а+1)2
—а—1) = (а4—(д2 + 1+2д))
—а—1) = (а4—(д2 + 1+2д))
:(а2-д-1)=—-.
а — а— 1
Эта дробь определена при условии а2—а—1#0. Решив уравнение ,1+V1—V5
а2 —а—1=0, находим его корни: а,=, аг= (последний не
22_
,i+Vs
удовлетворяет условию а>0). Следовательно, а — а—1#0, если а#.
2
Теперь можно провести дальнейшее преобразование: (д2+а+1) (а2—а—1),l+V
А ==а2 + а+1, где а>0 и а*. ■
о2 —а—12
7.053. □ В силу определения и свойства 1° логарифмической функции имеем а>0, в#1 (1) и а2— 1 >0 => |д|>1 =► а< — 1 или д>1 (2). Из (1) и (2) следует, что а > 1. Далее, так как знаменатель дроби должен быть отличен от нуля, то а2 —1#1 и, значит, д^+^/2. Теперь заметим, что logi/a ^/а2 —1 = — loga >J а2 — 1 (согласно (7.7)), и, используя формулу (7.9),
находим
л/а2 —1, где а>1 и а*4"к ■л/а2 —1, где а>1 и а*4"к ■loga Va2-l log2 V"2-1 ,
л/а2 —1, где а>1 и а*4"к ■
л/а2 —1, где а>1 и а*4"к ■
А =у=== = 10ga
loga л/а2-\ \06а <а2-\
7.054. ab (а—А)2, где а>0, а#1, 6>0, 6#1. 7.055. 1+а, где а>0 и а#1.
7.056. loga 6, где а>0, а#1, 6>0, А#1 и аА#1. 7.057. loga6, где д>0, д#1, 6>0,
А#1 и Ь^а.
7.058. П Применяя последовательно формулы (7.9), (7.8) и снова (7.9), получим
log
6Vo=log3 3>Ja=
7,059. -(1 + 2д)/а. 7.060. 1/a2. 7.061. (6+3o-2)/(2o).
7.062. □ Прибавив к обеим частям равенства х2+4у2 = 12ху по 4ху, получим (х+2у)2 = 16ху. Так как х>0, у>0, то х+2у=V^y- Прологарифмируем последнее равенство по основанию 10:
111
lg (х+2у)=- lg (16ху); lg (х+2у)=- lg 16+- Cgx+lgy);
222
.1
lg (x+2y)-21g2=- Ogx+lgy). ■
7.063. □ Из условия следует, что у>0, z>0, a x2=log2y (1), y2=log2z (2). Так как z=2X , где у>0, то z>l и, значит, log2z>0. Из равенства (2) выразим y™-J\ogaz и подставим в (1). Имеем x2=log2 >/log2z, откуда . х= ±V®>51og2 log2z. Это выражение принимает действительные значения, еслиlog2 log2 z^O, откуда log2z>l, т. е. z>2. ■
7.064. □ Из определения логарифма следует, что Vх > 0, ^/х # 1, т. е. х > 0, х # 1. Применяя формулы (7.9) и (7.6), получим lg (x/6+x + 6)=lgx. Согласно указанию 4 , переходим к равносильной данному уравнению системе (х>0, х#1,(х>0, х#1,
) ! или 1 / tx/6+x+6=xlV6+x=x—6.-
В левой части уравнения -^б+х^О, поэтому х—6^0, т. е. х^б, и можно обе части уравнения возвести в квадрат. Имеем (х^б,(х^б,
<,или 3 ,
(б+х=х2-12х+3б(х2-13х+30 = 0.
Находим корни уравнения: Xi = 3, х2=10; из них неравенству х ^ 6 удовлетворяет только х= 10. ■
7.065. х=0,5. 7.066. х, = 2, х2 = 3.
7.067. □ Учитывая область определения квадратного корня, заключаем, что 2х—7>0. При этих значениях х имеем ^Дх—7>0; ^Дх—7 + 1>0, хДх—7+7>0 и -Jlx—1+T>4, т. е. logs (\/2х—7+7)#0. Умножив обе части уравнения на logs (\/2х—7+7), получим
logs (V^ - 7+1)=0,51ogs (V2x—7+7) или
logs (x/2x-7 + l)=logs Jjlx-IVl.
Согласно указанию 4°, переходим к системе f2x-7>0,
V2x-7 +1 =
Введя новую переменную ^/2х—7+1 =у>0, приходим к уравнению у= =^у+6 или у2—у—6=0, имеющему корни yj = 3 и у2 = — 2 (последний не удовлетворяет условию у>0). Итак, остается решить уравнение ■J1X—1 + + 1=3, откуда х=5,5, что удовлетворяет неравенству 2х—7 > 0. ■
7.068. х=5.
7.069. □ Имеем 1g (3—x)3=lg (27—х3), что равносильно системе
(3-х>0,(х<3,
<или <
цЗ—х)3=27—х31(3—х)3=(3—х) (9+Зх+х2).
Далее получим (3—х) (9—бх+х2— 9—Зх—х2)=0 или (3—х) (—9х)=0, откуда Xi =0, х2—3 (не удовлетворяет неравенству х<3). Итак, х=0. ■
7.070. х-5.•
7.071. □ Учитывая область определения логарифмической функции, имеем следующую систему неравенств:
| х+10>0, Л2х-1>0, =>
<21х—20>0
|х> —10, Лх>1/2, =>х> 20/21. (х> 20/21
Согласно указанию 5°, получаем равносильную данному уравнению систему
х> 20/21,.Сх> 20/21,
10 (21.x—20) или <10 (21х —20)
1g (5 (х + 10)) = 1g —5(х + 10)=— .
2х—1к2х —1
Решая уравнение, находим Х! = 10, х2=1,5 (оба значения удовлетворяют неравенству х > 20/21). ■
7.072. х=—2. 7.073. х = 13.
7.074. □ Учитывая области определения логарифмической функции и квадратного корня, имеем систему неравенств Зх + 1>0 (при этом условии ^/Зх + 1 +4>0), х>0, решением которой является х>0. Данное уравнение равносильно системе
х>0,
(1)(1)lg (V^ + l +4)-lg2x^0,
(1)
(1)
2—lg4 + lg0,12 = lg (V3x+l+4)-ig2x.
Используя указание 5°, приходим к уравнению
100 0,12V3x+l+4V3x + H"4
1g= lg или 3 =.
42х2х
После умножения обеих частей уравнения на 2х (при этом приобретения корней не произойдет, поскольку х> 0) получим иррациональное уравнение ^/Зх + 1=6х—4 (2). Так как ^/Зх + 1>0, то и 6х—4^0, откуда х>2/3. Возведем обе части уравнения (2) в квадрат: Зх + 1 =36х2—48х + 16 или 36х2 —51х + 15 = 0. Отсюда находим х, =1, х2=5/12 (не удовлетворяет условию х> 2/3). Остается убедиться в том, что для х = 1 выполняется второе из условий системы (1): lg (V3x + 1 +4)—Ig2x=lg6 —lg2=lg3#0. Итак, x=l. ■_
7.075. x=37. 7.076. x=4-Vll-
7.077. □ Умножив обе части уравнения на 2 и учитывая указание 5°, получим
(1)(2)(1)(2)х2-55х+90х2-55х+90' (3)' (3)равносильную данному уравнению систему f х2-55х+90>0,
(1)
(2)
(1)
(2)
х2-55х+90
х2-55х+90
' (3)
' (3)
4g——=lg2.
х—36 х2 —55х+90 Решаем уравнение (3). Имеем=2 или х2—57х+162=0, откуда
х—36
х, = 54, х2=3. Значение х2=3 не удовлетворяет неравенству (2), а X] = 54 ему
удовлетворяет. Подстановкой в неравенство (1) убеждаемся, что х=54 удовлетворяет и ему. Итак, х=54. ■
7.078. х=6. 7.079. х = 29.
7.080. □ Для существования логарифмов необходимо, чтобы одновременно были выполнены неравенства х>0, lgx>0, 31gx—2>0 или х>0, х>1, lgx>2/3. Отсюда lgx>2/3. Теперь переходим к равносильной данному flgx>2/3, уравнению системе <После замены переменной y = lgx
Ug х (31gx-2)=l.
получим уравнение Зу2 —2у—1=0, корни которого У1 = 1, у2=—1/3- Из этих значений неравенству lgx>2/3 удовлетворяет только первое. Итак, 1gх=1, откуда х_= 10. ■
7.081. х!=3,х2 = 3 + ^2. 7.082. х, = - 1, х2 = 7.
7.083. □ Здесь х#3. Записав правую часть уравнения в виде 3 = 31og33=log13’, переходим к равносильному уравнению (х—З)2 |х—3| — З3 при условии х#3. Так как а2 = |а|2, то получим |х —3|э = 33 или |х—3| = 3, откуда Х[ =0, х2 = 6. ■
7.084. х = 5. 7.085. х,=1, х2 = 2. 7.086. х=10. 7.087. х = 5-У11. 7.088. х = 10.
7.089. х = 5. 7.090. X! = 3V2, х2 = 4. 7.091. х1 = 33/8, х2 = 17/4, х3 = 8, х4 = 12.
7.09г хь 2=±3. 7.093. х=-10.
7.094. □ Здесь х>0. После несложных преобразований получим равносильное уравнение (2+lgx)2+(l +lgx)2= 14—Igx. Полагая lgx=y, приходим к квадратному уравнению 2у2 + 7у—9=0, имеющему корни yi = — 9/2, у2 = 1.
-9/2
Следовательно, х1 = 10, х2 = 10. ■
7.095. х=3.
7.096. □ Здесь х>0, х#1. После преобразований приведем уравнение к виду (21ogx3+2) log2x=4, откуда, учитывая, что log,3 logsх= 1, получим 21og3x+21og2x=4. Решив это уравнение с помощью подстановки log3 х=у, в результате находим Х| = 1/9, х2=3. ■
7.097. Х[ = 1/128, х2=2. 7.098. x=V3.
7.099. □ Используя формулу (7.7), получим уравнение
log2x log2x/ 1 1\
log2xH1= 11 или 10g2 X I 1Н—1—1=11,
log24 log28\2 3/
откуда log2x=6, т. e. x=64. ■
xi = l/27, x2=9. • Воспользоваться подстановкой log2?x=y.
y=x, где x>0 их# 1. 7.101 X!=5, x2=25.
xi = l/9, x2=9. • Используя формулу (7.7), перейти к основанию 3.
X] =\/а, х2=а’, где а>0 и a# 1. 7.105. Х| =4V2, х2 = ,/2.
□ Учитывая область определения логарифмической функции и ограничения, налагаемые на основание логарифма, имеем систему неравенств 10—х>0, х>0, х#1, откуда 0<х<1, 1<х<10 (1). Так как х#1, то log4x#0. Умножив обе части уравнения на log4x (при этом приобретения корней не будет), после преобразований получим уравнение log4x + +log4 (10—x)=log416 или х2—10х+16=0. Его корни Х]=2 и х2=8 явля-
ются и корнями данного уравнения, поскольку удовлетворяют условиям (1). ■
□ Здесь 1—х>0, 1—х#1, т. е. х<1, х#0 (1). Далее имеем log]_xl,5 = 0,5
=0,5; 1,5=(1—х) ; 2,25 = 1—х; х = —1,25. Это значение удовлетворяет условиям (1). Итак, х = —1,25. ■
х-1/2.
□ Здесь 3*—5 *>0 (1). Воспользуемся тем, что 2—x=logs5 *, и запи- _ 2—хх2 — х
шем уравнение в виде logs (2*5)=logs (3—5). Далее имеем
-2—х х 2—х2—х.х 2—х х — 2
23'5=3-5;5(23 + 1)=3;5=3.
Наконец, умножив обе части уравнения на 3#0, получим (5'3)=
= 1 => 15 х = 15°=>2—х=0=>х=2. Этот корень удовлетворяет неравенству (1). ■
□ Учитывая области определения квадратного корня и логарифмической функции, имеем систему неравенств
{
х+3>0,гх>-3,
х2-9>0, или <|х|>3, 7—х>01х<7.
ооишжшиим► -337 х
Рис. Р.7.1
С помощью рис. Р.7.1 находим 3<х<7 (1). Преобразуем левую часть уравнения:
Остается решить уравнение х—3=V2 (7—х). Из неравенства (1) следует, что х— 3 > 0, и обе части этого уравнения можно возвести в квадрат. После упрощений получим х2—4х—5=0. Значение Xj = — 1 не удовлетворяет условию (1), а Х2=5 — удовлетворяет. Ответ: х=5. ■
X! =0, х2 = 2. 7.112. х = 0. 7.113. х = 0. 7.114. х = 2.
□ Согласно указанию 2°, х>0 (1). Далее, учитывая область определения логарифмической функции, получим х2—1>0 или |х|>1, откуда х< —1, х> 1 (2). Из (1) и (2) следует, что х> 1 (при этом автоматически выполняет-
log ^хг—\ ся ограничение x# 1 на основание логарифма). Теперь имеем х х =5 или ч/х2 —1 =5; X], 2= ±V26. Данному уравнению удовлетворяет только
X-V26. ■
х6(0, 1)|J(1, оо). 7.117. х=2. 7.118. Х! = -1, х2 = 5. 7.119. х=3.
х=1. 7.121. хь 2-±3. 7.122. хь 2-±1. 7.123. х,=5, х2=15. 7.124. х=7.
xi=2, Х2 = Н. 7.126. х=1. 7.127. х,=2, х2=6. 7.128. х=2. 7.129. х=2.
х=2.
□ Сгруппируем степени с основанием 7 в левой части уравнения, а степени с основанием 5 — в правой:
7lgX+13?x-,=3-5lg,-,+5,g,+ l.
Вынеся за скобки степень с меньшим показателем и проведя дальнейшие преобразования, получим'
?Х-‘ (7+13) = ?Х~?Х-‘ (7+13) = ?Х~
?Х-‘ (7+13) = ?Х~
?Х-‘ (7+13) = ?Х~
Отсюда Igx—2=0, т. е. х= 100. ■
Xj=l,x2 = 3. 7.133. x=3V2. 7.134. Xj-1, х2=100. 7.135. х-1. 7.136. х = 5.
х=9. 7.138. х=7. 7.139. х = 2.
□ Отметим, что в левой части выражение под знаком логарифма положи- 1
тельно при всех х. Упростим правую часть: logs 0,2=logs-=logs 1 —
—logj5 = — 1 = logs 31. Итак, log3[3х 13x+28 ^—] _ ]Og3 3-1 Далее имеем \9/
x’-13x+28 2 1 x2 —13x+28,
3+-—;3= 3"2;
9 3
x2 —13x+28= —2; x2-13x+30; x1=3, x2 = 10. ■
x=2. 7.142. ^=7, x2 = 8. 7.143. xt=2, x2=4. 7.144. x=-2.
□ Положим 3х=u>0 и 2>^Z=v>0. Тогда получим
Jm2 —v2 = 725,J(u —v) (u+v) = 725,J"u+v=29,
U-v=25[u—v=25(u—v=25,
откуда u=27, v=2. Итак, остается решить систему Зх=33, 2У^=2, откуда х=3, у=2. Ответ: (3; 2). ■
□ Согласно указа шло 2°, х>0. Прологарифмируем оба уравнения по основанию 5:
f(2y2 —1) log5x=l, to2+2) log5X = 3.
Здесь 2y2—1^0 и logsx#0, так как правая часть уравнения отлична от у2+2 нуля. Разделив почленно второе уравнение на первое, получим —= 3
2у2 — 1 или 5у2=5, откуда у= ±1. Из первого уравнения находим logsx = l, т. е. х=5. Ответ: (5; 1), (5; -1). ■
2 'Ji
(2 ; 2). 7.148. (1/2; -3/2).
(х+>)/6
□ В первом уравнении введем новую переменную 2=z>0. Тогда
получим уравнение z2+z—6=0, имеющее корни zi = 2, z2 = — 3 (не удовлетворяет условию z>0). Следовательно, 2^+^6=2, откуда (х+у)/6 = 1, т. е. (х+у=6,
х + у=6. В результате приходим к системе <которую решаем
■(х2+5у2 = 6ху,
способом подстановки. Ответ: (3; 3), (5; 1). ■
(1; 1). • Прологарифмировать все члены уравнения по основанию 2.
(9; 16). • Возвести обе части второго уравнения в степень 2х—у и подставить полученное выражение в первое уравнение.
7.15г (5; 5). 7.153. (3; 9), (9; 3).
□ Учитывая область определения логарифмической функции, заключаем, что должны выполняться неравенства 2х+у>0 и 2х—у>0 (1). Положим (х—1 5
в первом уравнении 2 =z и получим Л—=- или 2z2 —5z+2=0, z 2
откуда zi =2, Z2=0,5. Составим и решим две новые системы, равносильные данной:
(2=2,С(х-у)/2=1,
llg ((2х-у) 10)=lg ((у+2х)6) °* (5 (2х-у) = 3 (у+2х) °*
[х—у = 2,
=> <=> х=4, у=2. Условия (1) выполняются.
\х=2у
(2=0,5,(х—у— — 2,
<=> <=> х= — 4, у=— 2. Здесь условия
(5(2х-у)=3 (у+2х) U=2y
не выполняются.
Ответ: (4; 2). ■
(4,5; 0,5). 7.156. (4; 2), (4; -2). 7.157. (2; 18), (18; 2). 7.158. (1; 1), (4; 2). ./^-1
(6; 8), (8; 6). 7.160. (3; 27). 7.161. (; —L
□ Здесь х>0. Логарифмируя второе уравнение по основанию 4, получим систему
,y=l+10g4X, (ylog4X=6,y=l+10g4X, (ylog4X=6,y + (-log4x)=l,
,y=l+10g4X, (ylog4X=6
,y=l+10g4X, (ylog4X=6
ИЛИ <
[y(-10g4X)=-6.
Значит, у и (—log4x) являются корнями квадратного уравнения z2—z—6=0. Отсюда получаем две системы: у=3, —log4X=—2 и у=—2, —log4X=3. Ответ: (16; 3), (1/64; —2). ■
□ Здесь х>0, у>0 (1). Перейдем в первом уравнении к основанию 4 и получим систему
Х”У , х2-2х-8=0.Х”У , х2-2х-8=0.log4—=log4 1,=
Х”У , х2-2х-8=0.
Х”У , х2-2х-8=0.
У =*у х2 —2у2 = 8(х2-2у2 = 8
Из второго уравнения системы находим х, —4, Х2 = — 2 (ие удовлетворяет условиям (1)); тогда у2 = 4, т. е. yi =2, уг = — 2 (не удовлетворяет условиям (1)). Ответ: (4; 2). ■
(4; 16). 7.165. (16; -28), (1; 2). 7.166. (25; 36). 7.167. (3; -3).-
х-4
□ Приведя все степени к основанию 5, получим 5=5.
Согласно угячя пиич 1°, перейдем к равносе^1</«.'му уравнению
(Vx-2)(7x+2)г
==Зх — 12—2x4- 4. Сократив на V*+2 > 0 (при этом потери
корней не произойдет), после преобразований придем к уравнению х—Vx~6—0. Положим ^х=у>0 и решим уравнение у2 — у—6=0, откуда У1 = —2 (не годится), у2 = 3. Таким образом, х=9. ■
х=25. х+1 х-2
□ Имеем |х— 3| 4 = |х—3| 3 . Согласно указанию 2°, корнями данного уравнения являются решения системы
Г |х-3|>0,р*3,
J |х-3|#1, или <х#2, х#4,
1x4-1 х-2(зх + 3 = 4х-8
х 4 3
и, быть может, решения уравнения |х—3| = 1. Уравнение системы имеет корень х=11, а условию |х—3| = 1 удовлетворяют х=2 и х=4, также являющиеся решением системы, поскольку при этих значениях функции
иопределены. Итак, xi =2, х2=4, х3 = 11. ■ 43
х,=1/3, х2=2, х3 = 4. 7.172. х^-1/5, х2 = 1/2, х3 = 1, х4 = 3.
□ Сгруппировав степени с основанием 4 в левой части уравнения, а степени с основанием 9 — в правой и вынося общий множитель за скобки,
7722имеем хх+1 /1 \2х2х+2
7
7
2
2
3'4 (1-2'4) = 9(-3--1или3'2 (-7) = 3
Разделим обе части уравнения на —21/2 и получим 2=3. Это
7.174.7.175.7.174.7.175.7.176.7.176.равенство возможно только при условии 2x4-1 =0, откуда х= —1/2. ■ х—4.
7.174.
7.175.
7.174.
7.175.
7.176.
7.176.
Полагая 3 —у>0, получим кубическое уравнение у3 —13у24-39у—27 = =0. Разложим его левую часть на множители: (у3—27)—13у (у—3)=0 или (у—3) (у2—Юу 4-9)=0. Решив уравнения у—3 =0 и у2 — 10у+9=0, находим У1 — 3, У1 — 1, уз=9. Ответ: xi=0, х2 = 1, х3 = 2. ■
4х 4х2х
Запишем уравнение в виде 3’2 +2'3 =5(2'3) . Так как 2х 2х 2х
(2'3) =2 '3 >0 при любом х, то, разделив все члены уравнения на 2х 2х
2 '3 , получим
2 3'—4-2'з212 3'—4-2'з21з2*з2*г2*г2*/2^/ЗХ215 или 3 I — ) +2 I 1\3)\2//2^/ЗХ215 или 3 I — ) +2 I 1\3)\2/
2 3'—4-2'
з21
2 3'—4-2'
з21
з2*
з2*
г2*
г2*
/2^/ЗХ21
5 или 3 I — ) +2 I 1
\3)\2/
/2^/ЗХ21
5 или 3 I — ) +2 I 1
\3)\2/
(2^2
ТеперьТеперьположим (-) =у>0 и придем к уравнению Зу4— = 5 или
Теперь
Теперь
Зу2—5у+2=0, откуда yi = l, уг=213. Остается решить уравнения
/Л2* 2
и(-) —-. Ответ: xi—О, х2—1/2. ■
W 3
1ЛП. х1 = 1, х2 = log2 (3 + V29) -1.
□ Левая часть уравнения представляет собой куб разности двух чисел 3'2 и 2х. Поэтому (3'2 Х—2х) =8 или 3'2 х—2Х=2. Это уравнение . решаем подстановкой 2 =у>0. Ответ: х=0. ■
х-3. 7.180. х=0. 7.181. х = 2,5._
z\, 2—±2. • Воспользоваться тем, что ^/7+V^'V48=l.
х= 1.7.184. х=—2.
□ Согласно определению корня, х^О. Запишем уравнение в виде Эх-3
5х' 2 Х =53 ■ 22. Разделив обе части на 53 22 #0, получим Зх—3х-З1
~—Э
5'2= 1или5 '2=1или(5'2 1=1.
Таккак5'2^ >0и5'2^ #1, то х—3=0, т. е.х = 3. ■
х, = 1,х2 = 3. х— 2
□ Запишем уравнение в виде 4(3—а)=а—27 (1). Отсюда при условии
х-2 а—27х-2
—а#0 получим 4=■ (2). Так как 4>0 при любом х, то
3—а-
а-27 уравнение (2) имеет решение, если>0.-
3 —а
Рис. Р.7.2
Решим это неравенство методом интервалов. Используя рис. Р.7.2, находим 3 <«<27. При этих значениях а равенство (2) можно прологарифмиро- а-27«-27
вать по основанию 4: х— 2=log4, откуда x=2+log4.
3—«3 —«
«-27
Пусть теперь<0, т. е. «<3 и «>27; тогда уравнение (2) не имеет 3 —«
решений.•
Пусть, наконец, 3—«=0; тогда уравнение (1) примет вид 4'0 =
=3 — 27^0, т. е. оно не имеет решений.
а-27
Итак, получаем ответ: х=2+log4при 3 <« <27; нет решений при а < 3
3 —«
и а>27. ■
(2«—1)/(а+3) при а#—3, а#—2, а# 1/2; нет решений при а=—3, «=—2, а =1/2.
' 7.189. □ Упростим дробь:
logiopa 1 1 1
lg« lo&jlOOlga 21o&,10'lga 2
.■ logloo* 1 „
Аналогично,=-. В результате получим IgA 2
tW^^d,^^
причем должны быть выполнены условия с>0, a# 1, b>0, b* 1, ab* 1, ■ 7.190. □ Имеем.
Л=((logj а+log* A+2)l/2+2)l/2—log»a—1о&6='
//] xl/2 ч 1/2j
= ((log;c+-——+2) + 21 -logic--=
XX log; а ))logic
_Mog;c+2iog;c+i\l/2 + \^2 log; с+1
XX log; а // logic
Заметим, что log;c+21og;c + l=0og;c + l)2 и (0og;c + l)2)'^ = |log;a + + l|=log;a + l, так как logja+l >0. Далее находим ^ /logja+l \|/2 logja + l pogj a + 21og; с + 1\^2
X log; a /logic \ log; a /
log;c+l log;a+l log;a + l
logic|logia|logic
Пусть logtoO; тогда |logia| = logic, откуда Л =0.
2 0og;a + l) Пусть logia<0; тогда |logta|= —logic, откуда A .
logic
Остается решить неравенства logtoO и logia<0. Для неравенства logtoO имеем: если 0<6<1, то и 0<с<1; если же 6>1, то »с>1. Для неравенства logia<0 получаем: если 0<6<1, то а>1; если же 6>1, то 0<a< 1.
fO<a<l,(с>1,fa>l,
Ответ: 0, если < или <: —2 0ogia+log„6), если < или
1о<6<1(./>>1[0<й<1
С0<с<1, {■
1*>1.
(l+logjx)3, где х>1. 7.192. х+1, где х>0, х#1. 7.193. 1о&,6, где с>0, b>0, с^1, 6^1. 7.194. 3—2log„6, если 0<b<a^, b^l; —3, если Ь>а1. 7.195. 1/(1о&,6—1), где с>0, a#l, b>0, 6#1, a^b, ab*\.
1
-.
a 1+/? 2+у 1+5
□ Прологарифмировав данные равенства по основанию 10, получим 111 lga-1
lg/?=, lgy=. Следовательно, lgy==, откуда
1-lga • 1-lg/l1 Iga
1-lga
11 — 1g у
lga=. Согласно определению логарифма, имеем a=10. ■
□ Используя последовательно формулы (7.6), (7.7), (7.4), (7.5), получим
1031g —31g253 (1 —lg5) 3(1-л)
logjo 8=3 log3o 2====. ■
lg30 lg(3 10) lg3+l 6+1
a (6+3).
□ Учитывая область определения логарифмической функции, имеем
(2 —х>0,(*<2,
<-=> <=>0«х<2.(1)
<2—7*>010<х<4
2—х 73~*
Согласно указанию 5°, переходим к уравнению =—. Разделив
2-7* 72
обе его части на 72—* (при этом потери корней не будет, так как при
.72-* 1
условии (1) V2—*>°Х получим==—=. Решаем это уравнение воз- 2-7* 72-
ведением обеих его частей в квадрат и последующей подстановкой 7* = =у>0. В результате находим его корни х^О, х2 = 16/9, причем оба удовлетворяют условию (1). ■
xi = -l, х2=3.
□ Здесь х>0. Упростим правую часть уравнения:
lOgg!6
lotx log 3 log 4 log 4
x " = (x x ) 3 =3 3 =4.
Теперь запишем уравнение в виде
Iog49+log4x2=41og44 или log4 (9x2)=log444,
т. е. 9х2=44, откуда х12=±16/3. Условию х>0 удовлетворяет только
корень х= 16/3. ■
□ Применяя формулы (7.8) и (7.6), получим:
1111
+-= +^= +... +-= = 36;
log,73 logx473 !og, V3 logx1673
246161
+++ ...+36; (2+4+6 + ... + 16) = 36.(1) logx3 logx3 logx3logx3logx3
Выражение в скобках представляет собой арифметическую прогрессию, у которой 01=2, ал = 16, Д=2. Воспользуемся формулой a„=ai+d (л— 1)
и получим 16 = 2+2 (л—1), откуда л=8. Тогда
Oi+ag2+16
2+4 + 6 + ...+ 16=Sg ='8= 8=72.,
22
1
Подставив это значение в уравнение (1), имеем '72= 36 или
log,3
. ' 721og3X=36, откуда х=з'^=73- ■.
, 7.208. х = 10У10. 7.209. хь 2 = ±5. 7.210. х=16. 7.211. X! =8, х2 = 9.
. 7.212. х=1023. • Перейти к логарифмам по основанию 2.
х = 1/’7з.
□ Здесь должны быть выполнены условия х#0, х—1>0, откуда х>1. Далее имеем 1о^зх=1о&х (поскольку х>0, что следует из условия х> 1) и loga log^ 5=logs 2. Тогда получим уравнение logaX+loga (х—1)=1оа,2 или loga (х (х — 1))=loga 2, откуда х (х — 1) = 2. Корень Х] = — 1 не удовлетворяет условию х> 1, а корень х2=2 — удовлетворяет. Итак, х=2. ■
х=а, где а>0 и д#1. # Перейти к логарифмам по основанию а.
х=д6, где д>0 и д#1.
□ Учитывая область определения логарифмической функции, квадратного корня и ограничения, наложенные на основание логарифма, заключаем, что
4 + х>0,4-х>0, в>0, а^14 + х>0,4-х>0, в>0, а^1—4<х<4,а>0, а*\.—4<х<4,а>0, а*\.(1)(1)
4 + х>0,
4-х>0, в>0, а^1
4 + х>0,
4-х>0, в>0, а^1
—4<х<4,а>0, а*\.
—4<х<4,а>0, а*\.
(1)
(1)
Приведем все члены уравнения к основанию а1-.
(44-х) (4-х) logo* (44-x)4"31oga2 (4-х) —loga2 (16 —Х2) = 2 ИЛИ loga2= 2.
(4-х) (4 + х)
Сократив дробь на (4 —х) (44-х) (потери корней не будет, так как при условии (1) (4 —х) (44-х)>0), получим loga2 (4-х)2 = 2, откуда 2ioga2 (4 — —х)=2, поскольку 4 —х>0. Следовательно, х-4—а2.
Найдем те значения а, при которых —4<х<4. Имеем -4<4-а1 <4; — 8<—а2<0; 0<д2<8. Учитывая, что д>0, а-^1, получаем 0<а<1 и 1 <а<2^/2. Ответ: х=4—а2, где 0<а<1 и 1 <а<2^/2. ■
х = 2. 7.219. х=17.
□ Здесь х>0. Используя формулы (7.6) и (7.8), преобразуем данное уравнение:
Slog^x-haiog^x-bietog zx = 2;(i)
5316 9Х_
4-4-;-2.(2) х9 log, 9х2
log*- log,-
9х.
Заметим, что в уравнении (2) должно быть х#1, но х = 1 не является корнем исходного уравнения и уравнения (1) (в чем убеждаемся подстановкой) и, следовательно, уравнение (2) равносильно исходному при условиях х>0, х#1. После дальнейших преобразований уравнение (2) примет вид
16 = 2.log, 9 4-216 = 2.log, 9 4-253
16 = 2.
log, 9 4-2
16 = 2.
log, 9 4-2
1 1— log,9 log, 9—1
х=1/3. 7.222. х= 4 log, 2. 7.223. x^l/16, х2=1. 7.224. х=5.
□ Уравнение имеет смысл, если выполнены условия 9—2*>0 и 3—х#0 (1). Умножив обе его части на 3 —х#0, получим log, (9—2,) = 3—х, откуда х 3-хх8
9—2=2 ,. Положим 2 =у > 0 и решим уравнение 9 — у=-, которое имеет У
корни У1 = 1, У2=8. Отсюда 2 =1, т. е. х=0; 2 =8, т. е. х=3,— это значение не удовлетворяет условиям (1). Итак, х=0. ■
□ Учитывая, что lgx2=21gx (так как х>0), приведем данное уравнение к виду -21g^-2 1g* 1g*21g* + 221g*1g* 1g*21g*
2— 23 —2'3=0 или 4'2—23 — 18'3=0.
Разделим обе части последнего уравнения на 3 8 #0:
,2xlg*
Полагая 1-1 =у>0, получим квадратное уравнение *у -у— 18=0, кор
ни которого у! =9/4 и У2— — 2 (не подходит, так как должно быть у>0).
/2\ig^ 9 /2\-2
Итак, - ] =-=(-] , откуда 1gх=—2, т. е. х=0,01. ■ W 4 \3/
х, = 1/3, х2 = 3. 7.228. х=1. 7.229. х = 0. 7.230. х=4.
П Заметим, что
/ . \log , , (3-4*2)
5-21о*0,04(3-4х) = Ш= 3-4х2'
\25/’
"з)=—х
Тогда уравнение примет вид 3 —4х2 —х = 0, откуда xj = —1, хг=3/4. При этом должно быть выполнено условие 3—4х2 >0, коюрому удовлетворяет только значение х = 3/4. ■
Х!-5^, х2 = 7. 7.233. х = 3. 7.234. х=,Д
□ Воспользуемся тем, что произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, но при этом второй множитель определен. В данном случае, учитывая область определения логарифмической функции, получим хэ+2х+1 >0.
Решим сначала уравнение 16'5— 2 5х —0,048 = 0. Перепишем его
'16 2* 2 ,6,
в виде —5 —5=0; полагая 5 =у>0, после преобразований по-
55125
лучим уравнение 200у2—25у—3=0. Оно имеет корни yi = l/5 и у, = — 3/40
(не подходит, так как не удовлетворяет условию у>0). Следовательно, 5 = 5-1, откуда х= — 1. Однако при х= — 1 не выполнено условие х3+2х+ +1 >0, т. е. это значение не является корнем данного уравнения.
Решим теперь уравнение 1g (х3+2х+1)=0. Имеем х3+2х+1 =1 или х(х2+2)=0, откуда х=0 (х2 + 2^0 ни при каком значении х). Итак, корнем этого, а значит, и данного уравнения является х=0. ■
□ Здесь должно быть — х>0, откуда х<0. Тогда lgx2 = 21g ( —х) и дан- ( ное уравнение примет вид 41g (—х) —1g2 (—х) = 4. Полагая 1g ( — х)=у, находим у=2, откуда 1g (—х)=2, т. е. —х=100 и х = — 100. ■
х= -1000. 7.238. х=-1/2.
□ Имеем 3 1 = (3 3 ) 3 = х 5 . Тогда уравнение примет, вид
2х 3 =162 или х 3 =81. Так как х>0, то можно прологарифмировать обе части уравнения по основанию 3:
log2x=4 =» log3x= ±2 =» xt = l/9, х2=9. ■
□ Здесь х>0. При этих значениях х обе части уравнения положительны и их можно прологарифмировать по основанию 10. Тогда получим 21g3x=l+31gx или 2у3 —Зу —1=0 (где y = lgx). Разложив левую часть уравнения на множители, имеем (у+1) (2у2 —2у—1)=0. Решив уравнения у+1=0 и 2у2—2у— 1 =0, находим У1 = — 1, у7, з=О>5 (1 ± v^)- В результате
, 0,5(1 ±Л) _ получаем ответ: xi=0,l, х2> 3 = 10. ■
х=100. 7.242. xt =0,1, x2 = V10, х3= 100. 7.243. xt =0,001, х2 = 1, х3 = 10.
□ Используя формулы (4.13) и (4.16), получим
2ап2х6
2+-4 = 0.
После применения формулы приведения имеем 2sin2x 62яп2х _„
2 ч4 = 0 или 2+ 3'2—4=0.
sin2x 2
$ш2х.
Положим 2=у>0 и получим уравнение у2 + 3у—4=0, откуда yi = 1,
у2=—4 (не удовлетворяет условию у>0). Остается решить уравнение sin 2х
2=1. Имеем sin2x = 0, откуда 2х = лл, т. е. х = лл/2, neZ. ■
п л
х = (—1) - + ял, neZ.
6
□ Так как левая часть уравнения неотрицательна (арифметический корень), то должно быть выполнено неравенство — logx5>0, т. е. logx5<0, откуда 0<х<1. Возведем обе части уравнения в квадрат: log, x/5x=log25
11
или - logx5+- = log25. Полагая logx5=y<0, получим уравнение 2у2 — 22
—у—1=0, имеющее корни yj = — 0,5, у2 = 1 (не подходит, поскольку не
-0,5
выполнено условие у<0). Итак, logx5=—0,5, откуда х =5, т. е. х= = 5"2 = 1/25. ■
□ Вследствие ограничений, налагаемых на основание логарифма, имеем систему неравенств 4х+1>0, 4х + 1^1, 9х>0, 9x^1, откуда х>0 и х^1/9 11
. Данное уравнение преобразуем к виду1=0. Ум-
log7(4x+l) log79x
ножив обе части уравнения на log7 (4x+l)Tog79x^0, при выполнении
условий (1) получим
log7 9x + log7 (4х + 1) = 0 или log7 (9х (4х + l)) = log71 или 9х (4х + 1) = 1.
Отсюда находим xj = —1/3 (не удовлетворяет условиям (1)), х2= 1/12. Итак, х=1/12. ■
х=2. 7.249. xi = 1/625, х2=5.
х, = 1/(4 V8), х2 = 1, х3=4. • Перейти к логарифмам по основанию 4х.
□ Чтобы сумма в левой части уравнения была равна нулю, необходимо, чтобы первое слагаемое было отрицательно, т. е. log^jx<0. Отсюда следует, что 0<х<1 (1). При этом условии logx9<0 и, значит, подкоренное выражение положительно. Перенесем 4 в другую часть уравнения и возведем обе его части в квадрат: log^-x (2—21ogx3) = 16. Так как 112
logx3==^ =, то
1°8зх log^Vx bg^x
, I 4 \
log\x I 21 = 16 или 21og^-x—41ogvTx— 16=0.
X Н^зх/v
Полагая logv/jx=y<0 (согласно условию (1)) и решая соответствующее уравнение, находим yi=4, у2= — 2. Данному уравнению удовлетворяет только значение у = —2, т. е. logv/Jx= —2, откуда х = 1/3. ■
х = 4. 7.253. х = 3. 7.254. х=2. 7.255. х=1.
□ Здесь должны быть выполнены неравенства х+20>0, х>0, х^1, откуда х>0 и х^1 (1). После преобразований получим
х+20х+20
1g= -logo.i х или 1g=lgx. хх
Отсюда находим Xi = —4, х2=5. Условиям (1) удовлетворяет только х = 5. ■
x1 = l/3-v/2, х2 = 4. 7.258. х=1. 7.259. х=1.
□ Учитывая области определения логарифмической функции и квадратного корня, получаем систему неравенств
х>0,
logo,04*+l>0,0)
logo2x+3>0.
Воспользуемся тем, что Iogo,2x=logoio4x2 = 21ogo o4x (поскольку х>0). Тогда, полагая tog004X=y, получим уравнение >/у+1+^2у+3 = 1 или ^2у+3 = 1 — V>'+1- Возведем обе его части в квадрат:
2у+3 = 1 +>>+1—2Vy+l или 2^/у + 1 = -1-у.
Так как 2т/у+1 >0, то — 1 — у^О, откуда у < — 1. Снова возведя в квадрат обе части уравнения, имеем 4 (у+1) = 1 +у2+2у или У1 —2у—3=0, откуда У1 = — 1, у2=3 (не удовлетворяет условию у< — 1). Значит, logo^x” —1, т. е. х=0,04~* = 25. При этом условия (1) выполнены. ■
Xj = —64, х2= —1.
7363 □ Здесь х>0, x# 1. Полагая log3x=z#0 (поскольку x# 1), получим уравнение
/ , 1£*+2^+1 RzWvy
Vz +^+2=2’5 7——=2,5 ™ 7~—2,5‘
,z2+1
Учитывая, что z +1 >0 при любом z, перепишем его в виде=2,5 или
z2 +1=2,5 |z| (z^O).
Рассмотрим два случая. Если z>0, то |z|=z и, значит, z2 —2,5z+l=0, откуда Z] = 1/2, z2=2. Если же z<0, то |z|=—z и, следовательно, z 2 + 2,5z +1=0, откуда z3 = — 2, Z4 = — 1 /2. Остается найти соответствующие значения х: Xi = 5 =V5, х2 = 52=25, х3 = 5~2=1/25, Х4 = 5 ' = 1/^5. ■
Х]=1/8, х2 = 8. 7364. х=-2 3,Д 7.265. х=256. 7366. х = 2.
7367. х=5. ф Привести радикалы к одному показателю 6 и ввести новую переменную.
□ Здесь х—1 >0, откуда х> 1. Воспользуемся тем, что lg (x—l)2 = 21g (х— — 1),lg (х—l)3 = 31g (х—1),и запишем уравнение в виде
161g* (х—1)+9^ (х—1)=25. Полагая 1g2 (х-1)=у>0, получим уравнение 16у2+9у—25=0, которое имеет корни у! = 1, у2 = — 25/16 (не подходит). Значит,у=lg2 (х-1)= 1, откуда lg (х—1)= 1 или lg (х— 1)= — 1. Из первого уравнения находим xj = ll, из второго х2 = 1,1. Оба корня удовлетворяют условию х>1. ■
□ Выражения llog^/зх—2| и |log3x—2| обращаются в нуль соответственно при х=3 и х=9. Воспользуемся тем, что функции log^x и log3x возрастающие, и рассмотрим решения заданного уравнения на интервалах 0<х<3, 3<х<9 и х>9.
Если 0<х<3, то log^x—2<0, log3x—2<0 и уравнение примет вид —1о£^х+2—(2 —log3x)=2 или —log3x2+log3x = 2 или log3x=—2, т. е. х= 1/9. Это значение является корнем уравнения, так как 0< 1/9 <3.
Если же 3<х<9, то log^x—2>0, log3x—2<0 и уравнение примет вид log^x—2—(2—log3x)=2 или log3x2+log3x=6 или log3x=2; х=9 не является корнем уравнения, поскольку не удовлетворяет неравенству 3<х<9. Наконец, если х>9, то log^/Jx—2>0, log3x—2>0 и уравнение примет вид log3x2 —2—(log3x — 2)=2 или log3x = 2; х = 9 есть корень уравнения, так как удовлетворяет неравенству х>9.
Итак, получаем ответ: х, = 1/9, х2=9. ■.
х=т, где т>0 и т*1. 7.271. х=а, где а>0 иа^1. 7.272. Xi = 1/а, х2=х/а, х3=а2. 7373. X, = 1/3, х2=9. 7374. х=а, где а>0 и а* 1. 7375. х, = I/3V^, х2 = 8. 7376. х=6. 7377. (2; 4). 7378. (10s; 0), (10" \ 0).
□ Здесь должны выполняться неравенства у>0, х+у>0, х2—ху+у2>0 (1). Согласно указаниям 5° и 4°, с учетом условий (1) преобразуем данную систему следующим образом:
С 4Z-4
I log2 -=log2(x+y)2,1 - = (x+y)2,
) У)У
| log2 ((x+y)(x2-xy+y2))=log22; | (x+y)(x2-xy+y2)=2;
{
x2— xy+y2 у x+y 2’ (x+y)2y=4
Запишем первое уравнение в виде 2х2-2ху-у2у2 = ху+у2 или /х\2 X
2х2 —Зху+у2 = 0. Разделив обе части на у2, получим 2 ^J — 3-+1=0.
Полагая x(y=t, имеем 2/2 —3/ + 1=0, откуда 0 = 1, <2 = 1/2- Остается решить системы уравнений-
f^=i,<х)у=\1г,
l(x+y)2 у=41(х+у)2у=4.
Для первой системы имеем х=у, откуда 4х3= 4; следовательно, Х| = 1 и У\ = \; аналогично, для второй системы имеем у = 2х, откуда 18х3 = 4;
значит, х2=\/б/3 и у2 = 2 Зх/б/3. ■
(2; 2). 7.281. (2; 4). 7.282. (6; 2). 7.283. (2; 1).
□ Рассмотрим два случая. 1) Пусть у>0, у* 1. Тогда из первого уравнения следует, что 5х2 —51х+Ю = 0, откуда Х] = 10, х2=0,2. Из второго уравнения находим yi = 1,5, у2 = 75.
Пусть у=1. Тогда первое уравнение выполняется при любом xeR. Из второго уравнения следует, что х=15.
Ответ: (10; 1,5), (0,2; 75), (15; 1). ■
(2; 4).а
□ Умножив обе части второго уравнения на 6^>0, получим систему
J"(x2 + y) 2* х3= 1, (9(х2+у)-2,-,1-3,",2 = 1.
Разделим почленно второе уравнение на первое: 9 1*=1 или 3*=
= 3°, откуда у—х3+2=0 или у—х2= — 2. Остается решить систему уравнений (у—х2 — — 2,(у-х2=-2,
< ,, или <,.
цх2+у)2 2=1(у+х2=4.
Эту систему решаем алгебраическим сложением: 2у=2, т. е. у =1; 2х2 = 6, т. е. xj, 2=*^- Ответ: (V3; 1), (-^; 1). ■
(27; 4), (1/81; — 3). • Прологарифмировать второе уравнение по основанию 3.
□ Запишем первое уравнение в виде 3=33,3 и прологариф
мируем его по основанию 3; тогда получим 2 *>Д х/у=3 + х/6'- Далее, второе уравнение запишем в виде 1g С>ГХ'VT)=lg(4-^)при условиях
"2"2х>0, у>0, 4—\/х>0 (1), откуда уравнений
"2
"2
или
Из второго уравнения найдем *Из второго уравнения найдем *—, где Jy +1 # 0, и подставим это—, где Jy +1 # 0, и подставим это
Из второго уравнения найдем *
Из второго уравнения найдем *
—, где Jy +1 # 0, и подставим это
—, где Jy +1 # 0, и подставим это
г ( 8выражение в первое уравнение: ^у I ——1г ( 8выражение в первое уравнение: ^у I ——1Отсюда уУ1=3, <У2 = 1, а *vX| = l, \ЛХ2=2- Соответствующие значения У1=9, Х| = 1 и У2 = 1, Х2 = 16 удовлетворяют условиям (1). Ответ: (1; 9), (16; 1). ■(-2; 7). 7.290. (8; 4). 7.291. (5; 2). 7.292. (16; 20), (0; 4). 7.293. (1; 0), (2; 1).7.294. (9а; 2а), (а; 18а), где а>0 и а# 1. 7.295. (4; 1).Отсюда уУ1=3, <У2 = 1, а *vX| = l, \ЛХ2=2- Соответствующие значения У1=9, Х| = 1 и У2 = 1, Х2 = 16 удовлетворяют условиям (1). Ответ: (1; 9), (16; 1). ■(-2; 7). 7.290. (8; 4). 7.291. (5; 2). 7.292. (16; 20), (0; 4). 7.293. (1; 0), (2; 1).7.294. (9а; 2а), (а; 18а), где а>0 и а# 1. 7.295. (4; 1).ииГ" 1у VI * ” —7.296. □ Положим 2=и>0и=v. Тогда получим систему < z 53v+-=8.Г" 1у VI * ” —7.296. □ Положим 2=и>0и=v. Тогда получим систему < z 53v+-=8.Решая каждое уравнение самостоятельно, находим: uj=2, ui= — 5/2 (не удовлетворяет условию u>0); V]=5/3, *2=1- В результате имеем следующие две системы:Решая каждое уравнение самостоятельно, находим: uj=2, ui= — 5/2 (не удовлетворяет условию u>0); V]=5/3, *2=1- В результате имеем следующие две системы:J 2 ' -2,\ х+у 5 кх-у 3J 2 ' -2,\ х+у 5 кх-у 3Vxy-l = l, х=4уVxy-l = l, х=4у"ху=4,х=4у, откуда 4у2=4; yi = — 1, У2=1;"ху=4,х=4у, откуда 4у2=4; yi = — 1, У2=1;тогда х, = — 4, Х2=4;тогда х, = — 4, Х2=4;12=2,) х+у—- = 112=2,) х+у—- = 1=0.=0.Однако у=0 не удовлетворяет первомуОднако у=0 не удовлетворяет первомукх-у,уравнению и, значит, эта система не имеет решений. , Ответ: (4; 1), (—4; — 1). ■297. (3^/2; -3), (V^; 2).298. □ Здесь х>0, у>0. После несложных преобразований получим системукх-у,уравнению и, значит, эта система не имеет решений. , Ответ: (4; 1), (—4; — 1). ■297. (3^/2; -3), (V^; 2).298. □ Здесь х>0, у>0. После несложных преобразований получим системух3+у3 = 12ху, 1 1 1х3+у3 = 12ху, 1 1 1х у 3х у 3f(x+y) (х2—ху+у2)=12ху, или <(3 (х+у)=ху.f(x+y) (х2—ху+у2)=12ху, или <(3 (х+у)=ху.Далее, разделив первое уравнение на второе, имеемДалее, разделив первое уравнение на второе, имеем
г ( 8
выражение в первое уравнение: ^у I ——1
г ( 8
выражение в первое уравнение: ^у I ——1
Отсюда уУ1=3, <У2 = 1, а *vX| = l, \ЛХ2=2- Соответствующие значения У1=9, Х| = 1 и У2 = 1, Х2 = 16 удовлетворяют условиям (1). Ответ: (1; 9), (16; 1). ■
(-2; 7). 7.290. (8; 4). 7.291. (5; 2). 7.292. (16; 20), (0; 4). 7.293. (1; 0), (2; 1).
7.294. (9а; 2а), (а; 18а), где а>0 и а# 1. 7.295. (4; 1).
Отсюда уУ1=3, <У2 = 1, а *vX| = l, \ЛХ2=2- Соответствующие значения У1=9, Х| = 1 и У2 = 1, Х2 = 16 удовлетворяют условиям (1). Ответ: (1; 9), (16; 1). ■
(-2; 7). 7.290. (8; 4). 7.291. (5; 2). 7.292. (16; 20), (0; 4). 7.293. (1; 0), (2; 1).
7.294. (9а; 2а), (а; 18а), где а>0 и а# 1. 7.295. (4; 1).
и
и
Г" 1у VI * ” —
7.296. □ Положим 2=и>0и=v. Тогда получим систему < z 5
3v+-=8.
Г" 1у VI * ” —
7.296. □ Положим 2=и>0и=v. Тогда получим систему < z 5
3v+-=8.
Решая каждое уравнение самостоятельно, находим: uj=2, ui= — 5/2 (не удовлетворяет условию u>0); V]=5/3, *2=1- В результате имеем следующие две системы:
Решая каждое уравнение самостоятельно, находим: uj=2, ui= — 5/2 (не удовлетворяет условию u>0); V]=5/3, *2=1- В результате имеем следующие две системы:
J 2 ' -2,
\ х+у 5 кх-у 3
J 2 ' -2,
\ х+у 5 кх-у 3
Vxy-l = l, х=4у
Vxy-l = l, х=4у
"ху=4,
х=4у, откуда 4у2=4; yi = — 1, У2=1;
"ху=4,
х=4у, откуда 4у2=4; yi = — 1, У2=1;
тогда х, = — 4, Х2=4;
тогда х, = — 4, Х2=4;
12=2,
) х+у
—- = 1
12=2,
) х+у
—- = 1
=0.
=0.
Однако у=0 не удовлетворяет первому
Однако у=0 не удовлетворяет первому
кх-у,
уравнению и, значит, эта система не имеет решений. , Ответ: (4; 1), (—4; — 1). ■
297. (3^/2; -3), (V^; 2).
298. □ Здесь х>0, у>0. После несложных преобразований получим систему
кх-у,
уравнению и, значит, эта система не имеет решений. , Ответ: (4; 1), (—4; — 1). ■
297. (3^/2; -3), (V^; 2).
298. □ Здесь х>0, у>0. После несложных преобразований получим систему
х3+у3 = 12ху, 1 1 1
х3+у3 = 12ху, 1 1 1
х у 3
х у 3
f(x+y) (х2—ху+у2)=12ху, или <
(3 (х+у)=ху.
f(x+y) (х2—ху+у2)=12ху, или <
(3 (х+у)=ху.
Далее, разделив первое уравнение на второе, имеем
Далее, разделив первое уравнение на второе, имеем
{
х2 — ху+у2,
~= 12,С(х+у)2 = 36 + 3ху,
или S хухух+у=—. ■'
х+у=—I з
Теперь положим xy=z, причем z>0, так как х>0 и у>0. В результате придем к уравнению z2 —27z—324 = 0, откуда Zi=36, z2 = — 9 (не удовлетворяет условию z>0). Решив систему ху = 36, х+у=12, окончательно находим х=у=6. ■
(3; 5), (6; 2), (1; 7). • См. задачу 7.284.
(2; 4), (4^/2; 2 4V2)- • В первом уравнении положить logxy=z и решить это уравнение относительно z.'
(3; 9). 7.302. (6; 2).
□ Здесь должны быть выполнены неравенства
{
Зх + 2у>0,
2x + 3y>0,(х>0, x^l,Qj
х>0, х*1,Ь>0, у*1.
у>0, у*\
При этих условиях данную систему можно переписать в виде
(Зх+2у = х2,
V2x + 3y=y2.
Вычитая из первого уравнения второе, имеем х—у=х2 — у2 или (х-у) (1—х—у)=0, откуда либо х—у=0, либо х+у—1=0. Таким образом, получаем следующие две системы:
(Зх+2у = х2,(Зх+2у = х2,
<и <
(х-у=0|х+у—1=0.
Во втором уравнении каждой из систем выразим у через х и подставим в первое уравнение. Тогда для первой системы получим х2 — 5х=0, откуда х=0 (не удовлетворяет условиям (1)), х = 5, а соответствующее значение у = 5. Для второй системы получим х2—х—2 = 0, откуда х= —1 (не удовлетворяет условиям (1)), х = 2, а соответствующее значение у= — 1 также не удовлетворяет условиям (1). Итак, х = 5, у =5. ■
(3; 9), (9; 3). 7.305. (5; 3), (1; -1).
□ Здесь х+у^0, у>0, х^0. Применив указания 3°, 4°, 5°, перейдем
Г|х+у| = 10,
к системе < у /— = 2.
Если х>0, тоу = 2х; поэтому |х+у| = |3х|=3х, откуда Зх=10, т. е. х=10/3, ау=20/3.■
Если х<0, то у=—2х; тогда |х+у| = |—х| = |х| = -х, откуда —х=10, т. е. х= — 10, а у=20.
Ответ: (10/3; 20/3), (-10; 20). ■
(1; 4).
□ Положим 5=н>0, 2 =v>0 и получим систему
Cizv=200,(2uv=400,
(u2+v2=689(u2 + v2 = 689.
‘427
Складывая и вычитая эти уравнения и учитывая, что u+v>0, приходим к следующим двум системам: (u+v = 33, (u + v = 33, <и <
[u—v=I7(и—v= —17.
Из первой системы находим ы=25, v=8; из второй u=8, v = 25. Остается решить системы
5 v =25, ) 5 V =8,З^ — в( 2^=25.
Ответ: (8; 9), (271og’2; 41og25). Я
(4; 2), (-4; 2). 7.310. (1/2; 4). 7.311. (2; 3). 7.312. (1; 3). 7.313. (2/9; 1/9).
□ Здесь х>0. Логарифмируя первое уравнение по основанию 6, придем к системе f(x-2y) log6X = 2,<4 (х-2у) ^х=8,
\или \
14 (x-2y) + log6X=9 (4 (х—2y) + log6X=9.
Таким образом, значения выражений 4 (х—2у) и log6x можно считать корнями квадратного уравнения z2 — 9z + 8 = 0, откуда Z(=8, Z2=l. В результате получаем две системы уравнений: [4 (х - 2у) = 8,(4 (х - 2у) = 1,
) и > Uog6X=l Llog6X = 8.
Первая из них имеет решение х = 6, у = 2, а решение второй системы не удовлетворяет требуемому условию, поскольку значение у не является • целым. ■ 7.315. lg6, где b> 1.
□ Обозначим данное выражение через Л. Так как, по условию, а> 1 и b> 1, то iog,Z>>0 и log»a>0 (1). Используя формулы (7.6), (7.4), (7.5), (7.2) и (7.8), получим
//11\1/2 /11\'/2\
Л =2^'^бН-(1-blog^H-Oog^-M) I -l-(log^-1)+-Qog6a-1) I ) =
= 21og ^ b' ^ ((2+log, b+iog6 a)'/2 - flog, b + lo&, a - 2)'/2) =
// i V/2 / i V/2 =log^ (I 2+log,ZH) ~(log,/H2) =
\\10ga*/\10g« 6/
/^lofoi+log^+ix1/2 /log2Z>+l-21ogeZl\l/2\
=log. 6I ~ II .
\\ logsb /\ log»» / /
Согласно условиям (1), 1 +logaZ>>0 И ((1 +10gaZl)2)1/2 = |l +log»6| = l +log»6. Следовательно,,
Л = log i'2 6 I— )=1 + log, b - log, b -1.
\ log^2» log‘fl6 /
Если106,6 —1>0,т. е.1о^6>1и,значит,Ь"^а>\,то
|1об,6 —l|=loga6 —1. Отсюда /1 = 1 +106,6-106,6 + 1 =2.
Еслиloga6—1<0,т. е.1о&,6<1и,значит,а>6>1,то
110^6—1| = 1 — log„6. Отсюда Л = 1 +106,6-1 +1о&,6=21об,6.
Ответ: 2, если 6>а> 1; 2106,6, если а>6>1. ■
□ Данное выражение определено при условиях л>0, л#1, р>0, р¥Л, лр#1. Обозначим его через А и преобразуем следующим образом:
^ = x/log„p+log?n + 2 (lognp-log^p) Vlog„p =
/! х
“Vlog>+1 + 21og„p log„p--=
\ togpnp;
=VO+itW/ (=11 +106, pl"= VogpH log^ + l/logpn Uog^n + l)
„ ,. 108^
= !1+1O6,P!
log„p+l■
Так как <кбпр определен при log„p>0 и p*X, то log„p>0, а потому l+iog„p>0 и 11 +log„p| = 1 +iog,p. Значит, 4 = logjp. Остается решить неравенство iognp>0. Если 0 <л < 1, то оно выполняется при 0 <р<1; если
же л>1 — при р>1..
(0<л<1,("л>1,
Ответ: log’p, где <или <
"Ю<р<1(р>1- ■
—2, если Ь>а>\; -2106,6, если а>6>1. 7.319. 1—loggia —6), если
0<а<1,[л>1,р>1,
или/log- (л — 6) — 1, если 0<6<л<1 или <
6<0(0<6<'а:(6<0.
Согласно условию, 1<а<6, поэтому loga6>l, 0<log*a<l (рис. Р.7.3). Таким образом, loga6>log»a и окончательно получаем А = =1O6,6-Iog4a. ■
□ Пусть logl35 6 75=x, 1о&575=у. Тогда 675= 135* (1), 75 = 45* (2). Так как 675=9’75, 135 = 3’45, то равенство (1) можно записать в виде 9’75 = = 3х 45х, откуда, используя равенство (2), получим 9 ’45*=3х 45х. Из З2 45Х
равенства произведений можно составить пропорцию —=—. Далее имеем 3Х 45*
1 <logi35 6 75 <2 =• 1 <х<2 => 3 <32; тогда в правой части пропорции получим 45* <45Х => у <х, т. е. Iog135675>log45 75, что и требовалось определить. ■ _
Vs— 1
x = logo4, 0<х<1. 7.324. logл (тпрУХо^А log, Л log.Л.
2
□ Запишем данное уравнение в виде
lg (x2 + 2px) = lg (8х-6р-3).(1)
Согласно указанию 4°, оно равносильно системе
(8х—6р—3>0,[8х>6р + 3,(2)
(х2+2рх=8х—6р—3(х2—2 (4—р) х+6р + 3 = 0.(3)
Найдем корни квадратного уравнения (3): xj, 2 =4-р± V(4 —рУ — (6р + 3) = =4—p±Vp2 — 14p+X3. В том случае, когда р1 — 14р+13 = 0, т. е. при Р1 = 1, р2 = 13, оно имеет единственный корень (х,=3 при pi=l и х2 = —9 при р2 = 13). Однако из этих двух пар значений неравенству (2) удовлетворяет только пара х=3, р=1. Таким образом, при р=Х уравнение (1) имеет единственный корень.
-> Р
Рис. Р.7.4
Рассмотрим теперь случай, когда р1— 14р+13>0. Используя рис. Р.7.4, находим, что р<1 или р> 13. В этом случае уравнение (3) имеет два корня xi=4—р + у/р1 — 14р+13 и х2 = 4— р — -jp1 — 14р+13. Чтобы уравнение (1) имело единственный корень, нужно, чтобы один из указанных корней удовлетворял этому уравнению, а другой — нет.
Найдем такие значения р, при которых корни Xj и х2 удовлетворяют неравенству (2). Подставив сначала значение xj в это неравенство, получим 8 (4—p + Vp2~14p+13)>6p+3; 8 V2-14p+13>14p-29.(4)
При р<1 и р>13 в левой части имеем 8-Jp1 — 14р+13>0; поэтому если в правой части 14р— 29<0, т. е. р<29/14, то неравенство (4) выполняется.
.А— . =2. >
•113р
Рис. Р.7.5
Объединяя перечисленные условия (рис. Р.7.5), заключаем, что Xj является корнем уравнения (1) при р<1 (5).
Если жер>29/14, то после возведения в квадрат обеих частей неравенства (4) получим
64р2-896р + 832>196р2-812р+841 или 44р2 + 28р + 3<0.
Рис. Р.7.6
Но 44р2+28р+3 =0 при х; = -1/2, х2 = — 3/22; с помощью рис. Р.7.6 устанавливаем, что прир>29/14 неравенство (4) не имеет решений. Следовательно, X] не является корнем уравнения (1).
Теперь в неравенство (2) подставим значение х2:
8 (4— р—Vp2-14p + 13)>6p + 3; 8^/р2 —14р+13<29—14р.(6)
Прир<\ и р> 13 левая часть неравенства (6) положительна; поэтому если 29— 14р<0, т. е. р>29/14, то оно не имеет решений.
Рис. Р.7.7
Если же р<29/14, то после возведения обеих частей неравенства (6) в квадрат и упрощений получим 44р2 + 28р+ 3 > 0. С помощью рис. Р.7.7 устанавливаем, что неравенство (6) справедливо прир< —1/2 или —3/22<р<1 (7). Таким образом, х2 является корнем уравнения (1) при условиях (7).
Из условий (5) и (7) следует, что при —1/2 <р< 3/22 корень Х] удовлетворяет уравнению (1), а корень х2 — нет, т. е. данное уравнение имеет единственный корень.
Итак, получаем ответ: р= 1 и р е [—1/2, —3/22]. ■
а= 12 и а е (- со, 0].
□ Приведем все члены уравнения к одному основанию. Имеем \/о,5 +
1.- , 1+(V2)3 327 / 3 V
+ 3V4=—р+(3У2)2 =—=—-=;13,5=—=(—-У.Итак,
V2 V2 V2 2 vV2/
/ 3 V / 3 у
I —= I =( —= ) , откуда х=3. ■
xt = l, х2=4..
□ Уравнение имеет смысл, если одновременно выполняются неравенства 4 —х
>0, х>0, х#1, откуда 0 <х<1, 1 <х<4 (1). При этих условиях преоб- 10
разуем его следующим образом:
(l+logx (4—х)—logx10) lgx=lg3-l;
log, (4—x) '1,3
lgx+——l=lg3-l; 1+log, (4—x)=log,10 ; log,10
log, U (4—x))=log,3.
Итак, получаем уравнение x(4—х)=3. Из двух его корней Х|=3, х2=1 условиям (1) удовлетворяет только х=3. ■
л:, = 1/8, х2 = 1/2. 7332. х = 64. 7333. х=3. 7334. х=7.
7.33S. □ Заметив, что 0,25= 2" 2, получим уравнение
Далее, используя формулу (4.13) и формулу приведения, упростим дробь в показателе степени:
Тогда уравнение примет вид
2-22-1=0.
2
Полагая 2=у>0 и решив уравнение у——1=0, находим yi=2,
У-
■18/ \
\4// Я\
У2= — 1 (не подходит). Значит, 2=2 или tg I х—1 = 1, откуда
\4/
л лл
х —=~ + лл, т. е. х=-+лл, neZ. ■
4 42_
7.336. xL 2-l±\/l-0.51gA где 1 <р«100. 7.337. х=4. 7.338. х=\Д где к>2.
1339. х = 1+Z>2, где 6>0 и 6^1. 7340. xi = l/3,x2 = 3.
7341. □ Здесь х>0. Рассмотрим два случая. 1) Пусть |х—1|>0 и |х—1|1, т. е. х^1, х^2, х^0. Тогда получим уравнение lg2x—lgx2=3 или Ig^—21gx—3=0 или у2—2у— 3=0, где y=lgx. Отсюда находим yi=3, У2= — 1,т. е. Xi = 1000, Х2=0,1.
Пусть |х—1| = 1, т. е. х=2 и х=0. Однако х=0 не является корнем данного уравнения. Таким образом, хз=2. ■
ЧЗШ. □ Здесь должны быть выполнены неравенства х>0 и 6—х>0, откуда 0<х<6. Рассмотрим два случая.
Пусть а^1. Тогда 21gx—1g (6 —х)=0 или lgx2=lg (6 —х) или х2 = 6 —х, откуда Xi =2, Х2= — 3. Условию 0<х<6 удовлетворяет только х=2.
Пусть а=1. Тогда уравнение выполняется при любом показателе степени. Поэтому решением уравнения является любое значение из ин- • тервала (0, 6).
Ответ: 2, если 0<д<1 или 1 <а<оо; (0, 6), если а = 1. ■
2, если 0<р< 1 или 1 <р<оо; (—2, оо), если р= 1. 7344. Xi, 2 = ± 1, хз = 2.
7345. х, = 1, х2 = 3. 7.346. хх = -1, х2 = 2, х3=4.
8logx (х + 12)’8logx (х + 12)’7347. □ Здесь должны выполняться условия х>0, х^1, х+12>0, х+12^1, откуда х>0 и х# 1 (1). Преобразуем уравнение следующим образом:
8
logx (х + 12)’
8
logx (х + 12)’
log, (х+12)2=--; 21og, (х+12) =
log, (х+12)
log’ (х+12)=4; log, (х+12)=±2.
Остается решить уравнения х + 12 = =х2 и х + 12=х~2. Первое из них
7.348. х=100.7.348. х=100.является квадратным и имеет корни Х[ =4 и х2 = — 3, причем условиям (1) удовлетворяет только х=4. Второе приводит к кубическому уравнению х’ + 12х2=1 илих3 = 1 —12х2. Решим его графически. Из рис. Р.7.8, на котором построены графики функций у=х3 и ji=1 — 12х2, видно, что абсцисса точки пересечения этих графиков принадлежит интервалу (О, 1), т. е. корень не является целым. Итак, х = 4. ■
7.348. х=100.
7.348. х=100.
□ Уравнение имеет смысл, если одновременно выполняются неравенства Зх—1>0 и 5—2х>0, т. е. 1/3 < х < 5/2 (1). Заметим, что из равенства |а| = |/>| следует, что либо а=Ь, либо а= — Ь. Решаем два уравнения, соответствующие указанным двум равенствам:
log2 (Зх—1)—log23=log2 (5-2x)-log22;'
Зх—15 —2х Зх—1 5 —2х
log2 ——=log2 ——; —— =——, 3232
откуда X] = 17/12, что удовлетворяет условию (1);
log2 (Зх—1)—log23=log22—log2 (5-2х);
Зх—12
=; 6х2-17х + 11=0; х2=11/6; х3 = 1, 35 —2х
причем оба корня удовлетворяют условию (1). ■
Xj, 2 = 1±V2, хз = 1. 7351. х, = 1/3, х2 = 9.
7352. □ Учитывая область определения логарифмической функции и ограничения, налагаемые на основание логарифма, получаем систему неравенств
3 —V1 ~2x+x2>0,ГЗ —|x—l|>0,Г-2<х<4,
x+3>0,=>\x>—3,=>\x> —3, => -2<x<4. (1)
.x + 3#lLx#— 2Lx#—2
Перепишем уравнение в виде 1о&+з (3 —|х—1|) = 1/2, откуда 3 —|х—1| = =(х+3)*^ (2). Воспользуемся тем, что |х—1|=0 при х=1, и рассмотрим два случая: —2<х<1 и 1<х<4.
Если —2<х<1, то |х—1| = 1 — х и уравнение (2) примет вид 3 — 1 + х = х/х + 3 или 2+х = х/х + 3. Возведя обе части уравнения в квадрат,
,-3 + V5
после упрощений имеем х +Зх+1=0. ОтсюдаX] =«
2
-3 + 2,2-3-^5
«=—0,4, что удовлетворяет условию (1); xj =«
22
-3-2,2
as-= —2,6, т. е. это значение не удовлетворяет условию (1).
Если 1<х<4, то уравнение (2) примет вид 3—x + l=V-*+3- После преобразований получим уравнение х2 —9х+13 = 0. Следовательно,
9 + V29 9 + 5,4
X] =as= 7,7, т. е. это значение не удовлетворяет условию (1); 22
9-^ 9-5,4
Х2=as=1,8, что удовлетворяет условию (1). 22
Vs-39-^29
Ответ: х, =, Х2 = ■
22.
х = 16. 7.354. (3/2; 1/2).
□ Здесь должны выполняться следующие ограничения: х>0, у>0, у#1, а>0, а#1. Таким образом, обе части первого уравнения положительны и их можно прологарифмировать по основанию a: plo^x=^1о^ у или log»x q
Подставив этот результат во второе уравнение системы, получим 1О&У Р
X ЦX qjpgjp
log»-=-. Следовательно,-=а , откуда х=уа (1). Теперь выражение (1) У РУ
р q qp-q -q
подставим в первое уравнение системы: у а =у или у = а . Возведя 1
обе части последнего равенства в степень (p — q^O, так как p^qX
.p-q
находим у=а Р * или у=а Р (2). Наконец, выражение (2) подставляем
...f(»-p) -./ Pti-P) i-p\ _
в (1) и получаем х=а .Ответ: [а , а ■
(1/4; 1/3). 7.357. (-а1; -1/а); (-1/а; -а3).
□ Предварительно преобразуем выражение у 8gX так: log^-r
ylogg X _ ^logy 8 _ ^loggу log,x _ ^°8y xyog8 y _ ^°88 y
Тогда первое уравнение системы примет вид 2х 8 =4 или х 8 =2. .х
Записав второе уравнение системы в виде log4 - =log44, приходим к следу- (1у
I х 8 =2, ющей системе: \ х Выразив из второго уравнения х через у и под- 1- = 4.'
ставив в первое, имеем (4у)°88> = 2. Учитывая, что у>0, прологарифмируем обе части по основанию 8:
log8ylog8 (4y) = log82; log8y (21og8 2 + loggy)= 1/3.
Положим log8y = z и получ—: уравнение 3z2 + 2z—1=0, имеющее корни Z[=l/3, z2 = —1. Отсюда находим у\=8' = 2, у2 = 8-1 = 1/8 и соответствующие значения Х[ = 8, х2=1/2. Ответ: (8; 2), (1/2; 1/8). ■
□ Согласно указанию 1°, переходим к равносильной системе
(х+^) (х2 —ху —8) = 0,(1)
(х—у) (х2 + ху+2х-16)=0.(2)
Воспользуемся тем, что произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, и рассмотрим три случая.
Пусть х+у = 0, т. е. у= — х. Тогда, подставив это выражение в уравнение (2), получим 2х (х2 — х2 + 2х — 16) = 0. Отсюда Х[ =0, х2 = 8 и, следовательно, yt =0, У2= — 8.
Пусть х—у = 0, т. е. у = х. Тогда, подставив это выражение в уравнение (1), имеем 2х (х2 —х2 —8) = 0, т. е. х = 0 (это значение уже было получено ранее).
Пусть х+у^О и х—у^О. Тогда в уравнениях (1) и (2) равны нулю вторые сомножители и приходим к системе fx2 — ху— 8=0, (х2 + ху + 2х—16 = 0..
Сложив эти уравнения, получим 2х2+2х—24 = 0 или х2+х—12 = 0, откуда х2 —8
хз = 3, х4 = —4. Иэ первого уравнения следует, что у= и, значит, х
3-з = 1/3,У4=-2.
Ответ: (0; 0), (8; -8), (3; 1/3), (-4; -2). ■
(3; 9), (1/9; 1/3).
ГЛАВА 8
НЕРАВЕНСТВА
.001. □ Предположим, что неравенство y/a + y/b>y/a+b верно. Так как все его члены положительны, то верно и неравенство (Va +V^)2>(Va+^)2 или a+2y/ab+b>a + b или 2y/ab>0. Последнее действительно верно, поскольку а>0 и Ь>0 по условию. В результате мы пришли к такому неравенству, из которого можно получить данное.
Для доказательства проведем все рассуждения в обратном порядке: неравенство 2у/аЬ>0 верно; следовательно, верно и неравенство a+Z> + + 2y/ab>a + b или (Va + V^)2>'’+*; так как y/a + y/b>0 и а + Ь>0, то верно и неравенство у/ а + y/b > у/а +Ь. ■
.002. □ Рассмотрим разность между' левой и правой частями неравенства: 2у/аЬ.— 2y/ab — *'y/ab(yja + y/b) ^y/ab (2*'y/ab — y/a~y/b'}
—== — у/ab ====—-—==
yjo+yjby/a-^y/by/a+y/b
2 у/ah Cy/a-'■у/ЬУ
yja + y/b
поскольку *y/ab>0, y/a + y/b>Q, Цу/а—^у/ьУ^ при a^b и CVa~
,2y]ab, г-2yJab,—
— *y/bY=O при a = b. Итак, —-= — *y/ab<S.O => —=-^*y/ab. Я
-у/a + y/by/a + y/b
a+bу—
8.003. □ Используя известное неравенство>y/ab (при а>0, Ь>0), запишем
Р + 2 у— 9 + 2 у— p + q у—
'5--J2p, ><29.^у/РЧ- Так как неравенства с положитель-
222
(р + 2) (9+2) (р + 9)8(р + 2) (9+2) (р + 9)8ными членами можно почленно перемножить, то получим
(р + 2) (9+2) (р + 9)8
(р + 2) (9+2) (р + 9)8
>2р9 или (р + 2) (9+2) (р + 9)>16р9. ■
8.004. • Определить знак разности между левой и правой частями неравенства.
8.005. □ Очевидно,, что т>0, п>0, р>0. Пусть р^т^п. Согласно свойству сторон треугольника, имеем т — п<р, р—т<п, р—п<т. Следовательно, верны неравенства (т-пУ <ра => т2 — 2тп + п2 <р2; (р — тУ<п2-=»р2- — 2рт+т2 <п2; (р—пУ<т2 => р2 — 2рп + п2 <т2. Сложив их, получим 2/и2 + 2л2+2р2—2 (тп +рт+рп)<р2 + п2 +т2 или т2+л2+р2<2 (тл+рт+рл). ■
8.007. □ Преобразуем левую часть неравенства:
х2 + 2у2+ 2ху’ + 6у>+19=(х2 + 2ху+у2) + (у 2 + бу + 9) + 1 =
= (х+у)2 + (у + 3)2 + 1 >0,
так как (х+у)2>0, (у + 3)2>0 и'1 >0. ■
8.009. □ Пусть Х]<0, х2<0 — корни данного уравнения. Следовательно, дискриминант квадратного трехчлена х1—(а+1)х+а+4 неотрицателен, т. е. (а + 1)2—4 (а+4)>0. Кроме того, согласно теореме Виета, х(Х2=а+4>0, Х| +х2=а+1 <0. Таким образом, приходим к системе неравенств
Решаем первое неравенство; имеем а1 — 2а— 15=0 при а= — 3, а=5. Далее устанавливаем, что а< — 3 или а>5 (рис. Р.8.1). Наконец, с помощью рис. Р.8.2 получаем ответ: (-4,-3]. ■
Рис. Р.8.1Рнс- Р-8-2
8.010. □ Имеем
5х+15х + 1-2(х2-1)2х2-5х—3
(2х+2)>0;>0;:<0.
X—1X—1X—1
2 (х+0,5) (х—3)
Разложив числитель на множители, получим<0. Приме-
х—1
ним метод интервалов и с помощью рис. Р.8.3 устанавливаем, что х< —0,5 или 1 <х<3. В этих интервалах содержится только одно целое положительное значение х=2. ■
Рис. Р.8.3
8.011. # Решить каждое неравенство самостоятельно, а затем выбрать те значения х, которые удовлетворяют системе.
2
8.012. □ Приведем неравенство к виду х2 — тх — — >0. Оно выполняется при т
любых х, если дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, т. е.
8m3+8(m + 2) (m2-Zm + 4)
т1 А—<0=><0=><0. Так как m2-2m+4>0
т тт
тА-2
при любом т (/)=—12<0), то, решив неравенство <0 методом
т
интервалов, окончательно находим — 2<т<0. ■
х2 —7х+12
8.013. □ Данная функция определена при условии —->0. Решив это
х2 —2х —3
неравенство методом интервалов, получим ответ: (—оо, — 1)Н[4, оо). ■
8.014. (-оо, 0)0(2, 3].
8.015. □ Имеем
152 + х+10-5х—4 + х2х2 —4х+8
+< 1 =>-<0 =>— <0.
2 —х 2 + х4 —х24—х2
Поскольку х2—4х + 8>0 при любом х (Р=—1б<0), остается решить неравенство 4—х2<0, откуда получаем ответ: (—оо, — 2)0(2, оо). ■
8.016. (-1, 2)0(2, 3). 8.017. (-оо, 1)0(4/3, 2). 8.018. (-4,5; -2)0(3, =»).
8.019. (- со, 1/3) 0 (3, 5) 0 (5, со).
8.020. □ Так как 2х2—9х+15>0 при любом х (р = — 39<0), то |2х2—9х+15| = =2х2—9х+15. Решив неравенство 2х2—9х + 15>20, в результате получаем ответ: (—оо; — 0,5] (J [5, оо). ■
8.021. □ Неравенство |х2—5х|<6 равносильно двойному неравенству — б< [х —5х—6<0,
<х2—5х<6 или системе <Каждое неравенство системы
(х2 — 5х+б>0.
решаем самостоятельно, используя метод интервалов. Для первого неравенства находим — 1<х<6, а для второго х<2 или х>3. Объединяя эти решения (рис. Р.8.4), получим ответ: (— 1, 2) (J (3, 6). ■
-12 36X
Рис. Р.8.4
8.02Х [0, 8]..
8.023. □ Введем вспомогательную переменную х3=_у; тогда неравенство примет вид у1—9у+8>0. Используя метод интервалов, находим у<1 или у>8. Далее решаем неравенства х3<1 и х3>8, откуда х<1 или х>2. Итак, получаем ответ: (—оо, 1) (J (2, оо). ■
8.024. □ Разложим левую часть на множители:
х6 (х2—бх+9)—(х2—бх+9)<0; (х2-6х+9) (х6-1)<0;
(х—З)2 (х2—1) (х4+х2 + 1)<0.■
Так как (х—3)2>0 при х#3, а х4+х2 + 1>0 при любом х, то остается решить неравенство х2 —1<0. В результате получаем ответ: (— 1,1). ■
8.025. (-1, 1). 8.026. (-1, оо).
8.027. □ Так как х2 +1 >0 при любом х, то можно умножить все части неравенства на х2+1. Тогда получим
х2 + 1<3х2-7х+8<2х2+2,т. eJ’
(2х2-7х + 7>0.
Первое неравенство системы выполняется при 1<х<6, а второе — при всех х. Ответ: (1, 6). ■
8.028. (-1, 5). 8.029. (1, 3) IJ (3, 5).
8.030. □ Имеем
х2—Зх+2х2—Зх+26х
> 1 => —1 > 0 =>< 0.
х2 + Зх+2х2 + Зх+2(х+1)(х+2)
Применяем метод интервалов и с помощью рис. Р.8.5 устанавливаем, что х<— 2 или —1<х<0. Ответ: (—оо, — 2)(J(— 1, 0]. ■
Рис. Р.8.5Рис. Р.8.5
Рис. Р.8.5
Рис. Р.8.5
8.031.8.033.8.031.8.033.8.034.8.035.8.034.8.035.
8.031.
8.033.
8.031.
8.033.
8.034.
8.035.
8.034.
8.035.
(-1,4). 8.03Х (-8, 1].
Разлагая числитель и знаменатель на множители, получим (х2—4)(х2+2),,
<0. Заметим, что (х + 1)2>0 при х# —1, а х2 + 2>0 при
(х+ I)2
любом х. Решив неравенство х2—4<0, находим —2<х<2. Наконец, учитывая, что x# — 1, получаем ответ: (—2, — 1) (J (— 1, 2). ■
( со, -3)U(-2, -1).-2
Данное неравенство можно рассматривать лишь при условии 4х — — 19х+12>0, откуда находим, что х<0,75 или х>4 (1). При этих значениях х имеем V^x2—19х+12>0 и достаточно решить неравенство х—7<0. . т\ е. х<7 (2). Из системы неравенств (1), (2) получаем ответ: (— оо; 0,75) (J
8.036. (-3,1).
8.037. □ Согласно указанию 5°, это иррациональное неравенство равносильно системе
Зх—х2>0,Л х (3 — х)>0,
4 —х>0,иди \ х<4,
Зх—х2<16—8х+х2(2х2-11х+16>0.
Но последнее неравенство выполняется при любом х (поскольку D<0); поэтому решение системы из первых двух неравенств дает ответ: [0, 3]. ■
8.038. □ Согласно указанию 5°, имеем систему
9х-20>0,fx>20/9,
aJ а(х>20/9,
х>0, или < х>0,или <
9х—20<х2(_х2 —9х + 20>0’'
В результате получаем ответ: [20/9, 4) (J (5, оо). ■
8.039. □ Из условия следует неравенство ‘^/lO+x—V2-x>0ИЛИ
*V10 + x>V2—х. Оно равносильно системе
10 + х>0,Гх> —10,
I(-10<х<2,
2 —х>0, или \ х<2, или < .I .1—1 <х<6.
10+х>(2—х)2Lx2 — 5х—6<0
8.040.8.040.Решением последней системы является промежуток (—1,2]. ■ 46 v
8.040.
8.040.
□ Заметив, что 0,(4)=-, а 0,(6)=-, запишем данное неравенство в виде
/ах2(х*-1)/А.х’+б■
^-J\3,/" ^^ КЯК основание степени 0<2/3<1, то, согласно
указанию 7°, переходим к неравенству 2 (х 2 — 1) < х 2 + 6. Решив его, получа-
ем ответ: (-272, 2V2). ■
8.041. 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. 8.042. (0, 2]. 8.043. (0; 0,5). 8.044. (-оо, 11].х(х_3)
8.045. □ Так как 0,64 = 0,82, а 1=0,8°, то имеем неравенство 0,82<0,8<
<0,8°. Отсюда, учитывая, что 0<0,8<1, приходим к системе
х (х—3),(х2 —Зх>0,
2>>0 => 0<х2 —Зх<4 =» < .
2(х2 —Зх—4<0.
Решив ее, получим ответ: ( — 1, 0) [J (3, 4). ■
8.046. (- оо; 0,5) (J (1, оо). 8.047. (-1, 0) (J (0, 1). 8.048. [0; 0,5].
8.049. □ Пусть 5 =у; тогда 5=у1 и неравенство примет; вид у2 + 5<5у+у
или у2 — 6у + 5<0. Решив его, находим 1 <у<5. Остается решить неравенство 5°<5^<5. Имеем 0<^/х<1, откуда 0<х<1. ■
8.050. (0, оо). 8.051. (0, 1).
8.052. □ Неравенство имеет смысл при х^0. Запишем его в виде 2—
- 11
— I— 1
— 2* 2*1—3<0. Положив 2=у>0 и решив неравенство 1у2— у-6^0,
находим — l,5<y<Z Так как 2>0 при всех х#0, то остается решить
1
Г*11—2х
неравенство 2<2. Имеем —1 < 1 или<0, откуда получаем ответ:
(-оо, 0) (J [0,5; оо). ■
.053. (3, оо).
.054. □ В левой части неравенства вынесем за скобки множитель 2*+2, а в пра- „,х+1■
вой — множитель 5:
2*+2 (1 —2—22)>5х+' (1-5); -5У+2>-45*1.
Разделив обе части последнего неравенства на отрицательное число х-V 1
—10 ■ 5, получим
1 2Х+2 2/2\х+1 2
-■<- или - I <-, откуда х+1> 1, т. е. х>0. ■
2 5*+1 5\5/5
8.055. [О, 4). 8.056. (-1, 1). 8.057. [-л/з, V3]-
8.058. □ Заметим, что 1 =1о8зЗ, а основание логарифма больше 1. Согласно указанию 8°, переходим к системе
Во втором неравенстве системы — 8<0, откуда следует, что х+1>0, а значит, в первом неравенстве должно быть Зх—5>0. Решив систему [x + l >0, /, получим ответ: (5/3, оо). ■
(Зх—5>0
8.059. (-оо, -2)(J(5/8, оо).
8.060. □ Данное неравенство можно переписать в виде |logo,2 (х—1)|>2, откуда либо logo,2 (х—1)< —2 (1), либо logo,2 (х—1)>2 (2). Решаем неравенство (1). Так как — 2=10^0,2~2, то, учитывая, что 0<0,2<1, получим х—1>25, т. е. х>26. Решив неравенство (2), найдем 0<х— 1 <0,4, т. е. 1<х<1,04. Ответ: (1; 1,04) (J (26, оо). ■
8.061. (2, 32). 8.062. (4, 6). 8.063. (2; 3).
8.064. □ Заметив, что logi/9X= —loggx, запишем данное неравенство в виде log2 (1—21oggx)<log2 2. Оно равносильно системе
х>0,
(х>0,
1 — 21oggX>0, или <
(0<1—21oggx<2.
1 —21oggx<2
‘ешаем второе неравенство: — 2<21og9x— 1 <0; — l<21og9x<l; —1/2<
<log9x<l/2; log99< log9x<log9 9 .Следовательно, 3 *<x<3 и полу
чаем ответ: (1/3, 3) (неравенство х>0 выполняется автоматически). ■
8.065. (8/3, оо). 8.066. (О, 3) (J (7, оо).
8.067. □ Данное неравенство равносильно системе
Гх+27>0,‘ ] 16 —2х>0, < х>0, )х + 27
I log*“
V16 —2х
Гх> -27,.
1 х<8,|0<х<8,
=» < х>0,<2х2-15х + 27
) Х + 27э<0-
;1°8*х lift 7г<Х 1
Решив последнюю систему, получим ответ: (3; 4,5). ■
8.068. (3, 4) (J (4, оо). 8.069. (2, 3).
.11/2
8.070. □ Все слагаемые приведем к логарифмам по основанию 9: -=log99 =
=log93; log35x=log925x2; log1/3 (x+3) = -log3 (x+3)= -log9 (x+3)2 =
=log9 (x+3)-2. Данное неравенство равносильно системе
х+3>0,)
=* Л 3 (х4-3)
3х(х+3)2—
log9 —— > 1о8е 1v 25х
25х2
Решив последнюю систему, получим ответ: (0, оо). ■ 8.071. (0, 27). 8.071 (-1, 2).
8.073. □ Согласно условию, логарифм числа 0,3, меньшего 1, положителен. Это может быть только в том случае, когда основание логарифма есть положительное число, меньшее 1 (рис. Р.8.6). Таким образом, имеем систему х— 1
неравенств 0 << 1, решив которую полу-
х+5
чим ответ: (1, оо). ■
8.074. [0,5; 4]. • Положить logo 5X=y.
8.075. □ HMeeM0<log73<l=»0<l —log73<l=>0<
1 Z1 \
с- (1— log7 3) <—< 1 =>log1]7 I - (I — log7 3) ) <pgC p g g
<0. Значит, достаточно решить неравенство 4х2—1>0, откуда получаем ответ: (—оо; — 0,5] (J [0,5; оо). ■
8.076. (-оо, 2)(J(8. оо)..'
8.077. □ При любомх имеем х2+4>4и, значит, х2+4> 1, т. е. logo,3 (х2+4)<0.
Поэтому достаточно решить неравенство Зх 2 — 16х+21 > 0, откуда получаем ответ: (—оо, 7/3) (J(3, оо). ■
8.078. (0, 4). 8.079. (-1, 91/9).
8.080. □ Данное неравенство равносильно системе
Зх + 6
^Зх + 6
—>о.
Г —>8.
х2 + 2
1 х2 + 2
/-Зх + 6
Зх + 6
/ Зх + 6
1 х2 + 1Зх + 6
log2^—>0,=> t
<=>>2.
х2 + 2
1 х2 + 2
1 Зх+6х2 + 2
Зх+6
1Зх+6
^х2+2^
logl/3log2 ,<0
х2 + 2
\Jog2>1
х2 + 2
Заметим, что при переходе от второй системы к третьей из первых двух неравенств остается только второе, а в третьей системе достаточно решить только третье неравенство. В результате получаем ответ: (—0,5; 2). ■ 8.081. (0; 0,4) Q(l, со). 8.082. [1, 4]. 8.083. (0, 40). 8.084. (2, со).
.085. □ Данное неравенство можно рассматривать при условиях ’
3 —9>0,I3 >3\)х>2,
или \или \
log9 (3Х-9)>0(3Х-9>1(зХ>10.
Прологарифмировав второе неравенство по основанию 3, находим х> >log310 >2, т. е. в данном неравенстве основание логарифма х > 1. Значит, logs (3Х—9)<х, откуда 3*—9 <9* (1). Положим 3 =у и получим неравенство у— у+9>0, которое выполняется при любом у. Поэтому неравенство (1) выполняется при всех х, а решением исходного неравенства является промежуток x>log3 10. Ответ: (1/lg3, оо). ■
.086. □ Данное неравенство равносильно системе
{
х>0,Гх>0, <
log5x>0,или<х>1,■■
11(o<log<x<l/3.
logi/3log5x>l 4'
Достаточно решить систему 0<logsx<l/3, откуда log51<log5x<log55l/3, т. е. 1 <х<’-у/5. ■
8.087. □ Запишем данное неравенство в виде 2 Х>2 3. Прологарифмировав его по основанию 2, получим 2—х > 1 4- logs 3, откуда х < 1 — logs 3 (при логарифмировании знак неравенства сохранился, так как основание 2> 1). ■
8.088. (0; 0,25) (J (4, оо).
8.089. □ Данная функция определена при условиях 4—х2>0, х—1^0. Решив эту систему, получим ответ: [—2, 1) U (1, 2]. ■
х—1х—1
8.090. □ Здесь должны'быть выполнены условия>0, logos>0. Решив х + 5’ х + 5
эту систему, получим ответ: (1, оо). ■
8.091. [2, оо).
8.092. □ Здесь Должны выполняться условия
х-1>0,-х2+2х+8>0,1о8о,з(х-1) >()V-x2 + 2x + 8х-1>0,-х2+2х+8>0,1о8о,з(х-1) >()V-x2 + 2x + 8
х-1>0,
-х2+2х+8>0,
1о8о,з(х-1) >()
V-x2 + 2x + 8
х-1>0,
-х2+2х+8>0,
1о8о,з(х-1) >()
V-x2 + 2x + 8
Из второго неравенства следует, что ^—х + 2х + 8>0, и, значит, в третьем неравенстве должно быть logo s (х— 1)<0. Таким образом, имеем систему {х>1, (х-4) (х + 2)<0,'
logo,3 (лс— 1X0,
решив которую получим ответ: [2, 4). ■
8.093. 2. 8.094. 2; 3.
8.095. □ Здесь требуется доказать, что (а + 6 + с)[-4—I—1^9 при условии \а b с)
а>0, Ь>0, с>0. Рассмотрим разность между левой и правой частями неравенства:
(
111\bсacab
-+-+- -9=1+-+-+-+1+-+-+-+1-9= аbс)aabЬ с с
(
Ь а\ (с а\ (с 6\
-+- + -+- + -+- -6.
а Ь) \а с) \6 с)
b ас ас Ь
Так как в силу (8.3) имеем - + ->2, - + ->2, ~+~>2, то, сложив эти а Ьасb с
(
Ьа\(са\(сЬ\
-4—) + [-+-)+(-+-)>6. Итак, (а + 6 + с)х ab)\ас)\Ьс)
/111\/111\
х(-4—I—) —9^0, т. е. (а + 6 + с) (-4—I— >9. ■ \аbс)\аbс)
8.096. □ Здесь а2 + а+1 >0 при любом а. Преобразуем левую часть неравенства: а2+а+2 а2+а + 11.— 1
—======—== + —. = Va2 + °+ l+ —,
у/а1+а+\ у/а2 + а + \ Jo1 + а +1Va2 + a+l
а это сумма двух положительных взаимно обратных чисел, которая, как известно, не меньше 2. Итак, данное неравенство верно при любом а. ■
7. • Выразить у=0,5 (10—5х), подставить это выражение в неравенство и рассмотреть разность между левой и правой частями неравенства.
"4 (а—1)2—4 (а +1)3 (а-1)<0,(2 (а-1) (а+2)>0,
или <
,а+1>0[а+1>0.
откуда получаем ответ: [1, оо). ■
6р6р
6р
6р
Рис. Р.8.7
□ Квадратный трехчлен х2+2 (р+1) х+9р—5 имеет корни, если D= =4 (р + 1)2—4 (9р—5)>0. Пусть X] и х-^— корни трехчлена; тогда, по условию, Xj<0 и х2<0. Далее, согласно теореме Виета, хххг = 9р— 5>0, х\ +хг= —2 (р +1)<0. Таким образом, получаем систему
{
(р + 1)2-(9р —5)^0,Гр2 —7р + 6>0,Гр<1, р>6,
9р-5>0,или\р>5/9,или<д>5/9,
р+1>0'-/>> —1^>-1.
Используя рис. Р.8.7, находим решение последней системы: 5/9<р<1 или Р>6. ■
(-оо, -3)|J(2, 6].
■8.104. □ Пусть Xi и х2 — корни данного
уравнения. По условию, — 1 <Х] <2 и -1<х2<2 (1). Следовательно, /(х) = 4х2 — (3/п + I) х—т--2 — квадратичная функция, а ее графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Эта функция
Рис. Р.8.8имеет корни, поэтому парабола ли
бо пересекает ось Ох в двух точках, либо касается ее в одной точке (на рис. Р.8.8 изображены возможные расположения параболы относительно оси Ох). Согласно неравенствам (I), эти точки должны принадлежать интервалу (—1, 2). При этом /(—1)>0 и /(2)>0. Следовательно, получаем систему неравенств
’4+3w+l — т—2>0,(2т+3>0,(т> — 3/2,
или<или<
16 — 6т — 2—т — 2>0( — 7w + 12>0(m<12/7,
откуда —3/2<w<12/7. ■ 8.105. — оо<а< —1,75.откуда —3/2<w<12/7. ■ 8.105. — оо<а< —1,75.8.106.8.106.□ Здесь должно выполняться условие х —13^0, т. е. х#13. При этом□ Здесь должно выполняться условие х —13^0, т. е. х#13. При этом2х—132х—13> 0 и данное неравенство равносильно следующему:> 0 и данное неравенство равносильно следующему:х—13 928’х—13 928’Ре-Ре-
откуда —3/2<w<12/7. ■ 8.105. — оо<а< —1,75.
откуда —3/2<w<12/7. ■ 8.105. — оо<а< —1,75.
8.106.
8.106.
□ Здесь должно выполняться условие х —13^0, т. е. х#13. При этом
□ Здесь должно выполняться условие х —13^0, т. е. х#13. При этом
2
х—13
2
х—13
> 0 и данное неравенство равносильно следующему:
> 0 и данное неравенство равносильно следующему:
х—13 9
28’
х—13 9
28’
Ре-
Ре-
9 х-13 9■
шая его, получим — -<<-; — 9<4х—52<9; 43<4х<61. Итак,
828
10,75 <х< 15,25 и х^13. Целыми значениями х, удовлетворяющими этим условиям, являются 11, 12, 14, 15. ■
[37/7, 7]. 8.108. 1.8.109. -6<а<6.
□ Так как х2—8х+20>0 при всех х, то ггои любом х должно выполняться неравенство/пх2 + 2 (ж + 1) х+9/и+4<0 (1).
Пусть л1=0. Тогда неравенство (1) примет вид 2х+4<0, т. е. оно верно только при х< — 2, но не при любом х.
Пусть т^О. Тогда неравенство (1) выполняется при любом х, если Д = 4 (т + 1)2 — 4т (9m+4) <0 (2) и т<0. Решаем неравенство (2):
т1 + 2m +1 — 9m2—4т<0; — 8m2 — 2m +1 <0; (2m +1) (—4m+1)<0, откуда т<— 0,5 или т>0,25. Но т<0 и, следовательно, окончательно получаем т < — 0,5. ■
(-3, -2)1)0, 2)11(3, оо). 8.112. -6<т<2. 8.113. -7<т<1. 8.114. (-2, -1)0(-1, пи(5,»).
•Зх+1+3(х —3)лбх—8> о, > 0: х—3I х—3Зх+1—3(х —3)) Ю<0I<0.•Зх+1+3(х —3)лбх—8> о, > 0: х—3I х—3Зх+1—3(х —3)) Ю<0I<0.□ Имеем
•Зх+1+3(х —3)лбх—8
> о, > 0: х—3I х—3
Зх+1—3(х —3)) Ю
<0I<0.
•Зх+1+3(х —3)лбх—8
> о, > 0: х—3I х—3
Зх+1—3(х —3)) Ю
<0I<0.
Зх+1:3*+1
|<3 => -3<<3 =>
Из второго неравенства следует, что х—3 <0, а значит, в первом неравенст- fx-3<0,fx<3,
ве должно быть 6х— 8<0. Итак, <=>< т. е. х<4/3. ■
(6х —8<0(х<4/3,
□ Должно выполняться неравенство V^ —х3>0. которое имеет место, если 4 — х3>0, т. е. если хс3^. При этом условии достаточно решить неравенство [х + 2! — ;х|>0 (1). Учитывая, что |х-г2; = 0 при х=—2 и |х|=0 при х=0, рассмотрим различные интервалы изменения х.
Пусть х< — 2. Тогда |х+2| —|х|= —х —2 + х= —2<0, т. е. эти значения не удовлетворяют неравенству (1).
Пусть — 2<х<0. Тогда [х + 2[ -\x\—x + 2-rX = 2x-i-2 и неравенство (Г) примет вид 2х + 2>0, откуда х> — 1. Следовательно, в этом случае — 1<х<0(2)._
Пусть 0^х<3^/4. Тогда |х + 2| —|х| = х + 2-х=2>0 при любом х из рассматриваемого интервала. Значит, в этом случае 0^x<3V4 О)-
Объединяя неравенства (2) и (3), получаем ответ: - 1 < х < \/4. ■
□ Упростим левую часть неравенства:
х3 + 6х2 + 12х + 8 (1-х) (х + 2)2 —(х - 2)2 (1-х) ■,-> о-
8х(х + 2)2
(х + 2)3 (! - х) ((х + 2)2 —(х —2)2)(х + 2)3 (1 - х) 8х
8х(х + 2)2> ’ 8х (х + 2)2'
Неравенство определено при условиях х^ -2, х*0 и можно сократить дробь, в результате чего получим неравенство (х+2) (1 —х)>0. Ответ: (-2, 0)^(0, 1). ■
[1,5; 2).
□ Преобразуем данное неравенство: 3т2х+3-2т2х-6<т+9х; т2х— — 9х<т + 3; (т-3) (т + 3)х<т + 3. Далее находим решения неравенства при различных значениях параметра т.
Пусть (т- 3) (т+3)>0, т. е. m < —3 или т>3. Тогда неравенство имеет решение х<1/(т — 3). .
Пусть (т—3) (т + 3)<0, т. е. —3 <т<3. Тогда неравенство имеет решение х> 1/(т —3).
Пусть (т—3) (т+3)=0, т. е. т=3 или т=—3. Тогда если т=3, то неравенство примет вид 0 х<6 и, значит, выполняется при любом xeR. Если же т= — 3, то неравенство примет вид 0х<0 и, следовательно, не имеет решений. ■
□ Имеем
х2 —4х2 —4х2 —5х + 4 х2-4
х2 —4
х2 —4
•х2 —5х + 4 х2 —4х2—5х + 4' х2—4•х2 —5х + 4 х2 —4х2—5х + 4' х2—4+ 1>0,-1«0+ 1>0,-1«0
•х2 —5х + 4 х2 —4
х2—5х + 4
' х2—4
•х2 —5х + 4 х2 —4
х2—5х + 4
' х2—4
+ 1>0,
-1«0
+ 1>0,
-1«0
■ 2х (х —2,5) — 3=0, (х+2)(х—2)
5 (х-1,6)(х+2) (х—2)^ "
Применим метод интервалов сразу к двум неравенствам и с помощью рис. Р.8.9 найдем те значения х, при которых обе дроби неотрицательны. В результате получим 0<х<1,6, х>2,5. ■
Рис. Р.8.9
□ Разложив числитель на множители:
(х3 —8) + (х* + 2х3 + 4х2) = (х —2) (х2 +2х + 4) + х2 (х2 + 2х+4) = = (х2+2х+4) (х2 + х—2),
(х2 + 2х + 4) (х2 + х—2)
придем к неравенству-<0. Так как х2>0 при х^О
х2
и х2+2х+4>0 при любом х, то остается решить неравенство х2+х—2<0. Учитывая, что х^О, получаем ответ: (—2, 0)(J (0, 1). ■
(-оо, -4/3)(J (-79/75, 3/2) U(2, оо). 8.123. (-со, -7)|J(-1, 0) (J(°* DUO, =о). 8.124. (-оо, -1)U(-1, 2]. 8.125. (-2; -1,5)(J[1, 2)|J[5, оо).
(-оо, 2)(J[3,5; 4)(J[7, оо). 8.127. (-^14, -3)U(-1, DU(3> V^Y
(—1/2, 1/3). * Положить х3=у.
□ Очевидно, что х2—5х+9>0 при любом х; поэтому |х2—5х+9| = = х2—5х+9.
Пусть х<6. Тогда неравенство примет вид — (х—6)>х2—5х + 9=> => х —4х+3<0. Отсюда находим 1 <х<3.
Пусть х>6. Тогда неравенство примет вид х—6>х2—5х+9=> => х2 — 6х+15 < 0, что невозможно.
Итак, получаем ответ: (1, 3). ■
(-V12, V12)- 8.131. (-оо, -5)(J(-3, -1)(J(1, 2). 8.132. (-оо, -2) U(l. 2)U Р, со). 8.133. (-V5, оо).
□ Положим х2 + 4х+10=у; тогда получим неравенство у1 — 7(у + 1) + + 7<0 или у1—1у<0, откуда 0<у<7. Следовательно, 0<х2+4х+10<7. Но х2+4х+10>0 при любом х, поэтому остается решить неравенство х2+4х+3<0. В результате получаем ответ: (—3, —1). ■
4
□ Полагая у = ^2—х, получим неравенство —у <2 (1). При х<2 имеем У
у>0 и, значит, можно умножить обе части неравенства (1) на у. Следовательно, 4— у2<2у или у2+2у—4>0. Отсюда находим у< — 1— V5 или у > Vs—1 • Однако значения у < — 1 — Vi не удовлетворяют неравенству (1),
поскольку должно быть у > 0. Таким образом, у > ^5 — 1 и остается решить неравенство V2—х>V5-1. Так как ^5—1 > 0, то в силу указания 6° это иррациональное неравенство равносильно системе
'2—х>0,(х<2,(-*<2,
(V2-*)2>(V5-1)2 <2—х>6 —2^/5 lx<2V5-4,
откуда получаем ответ: (— со, 2V5-4). ■
□ Согласно указанию 5°, данное иррациональное неравенство равносильно системе
х>-3,.
х>1,
х>2,
х + 3 <2х—3 + 2х/(х—1) (х—2)
(х>2, 1б-х<2^-1)(х-2).
В силу указания 6° второе неравенство равносильно совокупности двух систем:
(х-1) (х-2)>0, 6 — х<0.(х-1) (х-2)>0, 6 — х<0.Г(х-1)(х-2)>0, \ 6 —х>0,(1)
(х-1) (х-2)>0, 6 — х<0.
(х-1) (х-2)>0, 6 — х<0.
<36— 12х+х2<4 (х2—Зх+2);
Решаем систему (1). Из первых двух ее неравенств находим 2<х<6. Третье неравенство после преобразований примет вид Зх2 —28 >0, откуда /282 .—/28 2 .—
х< —“ v21 или х> V21- Таким образом, решением си
стемы (1) является промежуток 2х/21/3<х<6.
Решаем систему (2). Из первого ее неравенства находим х< 1 или х>2, а из второго х > 6. Следовательно, х > 6 — решение системы (2).
Объединяя решения систем (1) и (2), получаем ответ: (2V21/3, оо). ■
(-оо, 0]|J(4,5; оо). 8.138. (1, 2/V3].
□ Приведем данное неравенство к виду (х—3) (Vx2+4-(x+3)X0. Рассмотрим два случая: х—3>0 и х—3<0. В первом случае получим систему (х—3>0,(х>3,
1х/*2 + 4 —(х+3)<01-Ух2 + 4<х+3.
При х>3 обе части второго неравенства положительны и их можно возвести в квадрат. Следовательно, х2 + 4<х2 + 6х+9 или 6х+5>0, т. е. х> —5/6. Итак, в этом случае х>3.
Во втором случае имеем систему
х-3<0, Vx2 + 4-(x+3)>0х-3<0, Vx2 + 4-(x+3)>0
х-3<0, Vx2 + 4-(x+3)>0
х-3<0, Vx2 + 4-(x+3)>0
Согласно указанию 6°, второе неравенство равносильно совокупности двух • систем:
х2+4>0,
х + 3 <0.х + 3 <0.х + 3>0,(1)
х + 3 <0.
х + 3 <0.
х2 + 4>х2 + 6х+9;
Первое неравенство системы (1) выполняется при всех х, второе — при х> -3, третье — при х< —5/6. Таким образом, — 3<х< — 5/6 есть решение системы (1). Очевидно, что система (2) имеет решение х< — 3. Отсюда заключаем, что в этом случае — со <х< 5/6.
Объединяя решения, найденные в рассмотренных двух случаях, получаем ответ: (— оо, — 5/6] Q [3, оо). ■
(0,5 (J34-1), оо). 8.141. [-1, оо). 12х
□ Здесь должно выполняться условие>0, откуда находим х<0 или , х—2
/ 12х
х>2. Положим у = * />0 и получим неравенство у*—2у2 —4у>0.
V х —2
Разложим его левую часть на множители:
у* — 2у1—4у=у (у3-2у-4)=у (у3-4у + 2у-4) =
=У (у (у2-4) + 2 (у-2))=у (у —2) (у2 + 2у + 2).
Так как у2 + 2у+2>0 при любом у, то достаточно решить неравенство yly—2^0. Имеем у<0 (что невозможно) или у>2. Остается решить
/12х
неравенство 4 >2 (с учетом условий х<0 или х>2). В результате
V х —2
получаем ответ: (2, 8). ■
□ Так как основание степени 0<0,5<1, то приходим к неравенству
sin2x
>1. Далее, согласно форму- 1 —со$2х
лам (4.13) и (4.16), имеем sin2x 2sinxcosx
==ctgx. Остается pel-cos 2х 2sin2x
шить неравенство l<ctgx<x/3. Построив график функции y=ctgx (рис. Р.8.10), получим ответ: я/6+ял < х < я/4 + я л, л 6 Z. ■ 8.144. (-2, -5/3) j(0, 1/13). 8.145. (2, оо).
(1, 2) (J (64, оо).
□ Приведя степени к основанию 3/2, получим
(х+2)1(х+2)1
(х+2)1
(х+2)1
Далее имеем 21og2 (х2 — Зх — 10) > log2 (х+2)2 или 21og2 (х 2—Зх — 10) > >21og2 |х+2|, откуда переходим к системе неравенств {х2—Зх—10>0, |х+2|>0, х2 —Зх—10>|х + 2|.
Из первых двух неравенств находим х< —2 или х>5 (1). Решим третье неравенство. Если х< —2, то оно примет вид х1 — Зх—10> — х—2 и в этом случае получим х< — 2. Если же х> — 2, то неравенство примет вид х1—Зх— 10>х+2 и в этом случае находим х>6. Оба решения удовлетворяют условиям (1). Ответ: (—со, — 2)0(6, со). ■
[-3, -V6)U(-V6, -2] (J R, 700(76. 3]. 8.149. (О, оо).
□ Преобразуем данное неравенство следующим образом:
16• 5*082 (Х~°-' -8 ■ S*0®2 (х“ ° "2 >9log2 (х°_9log2(х-*)""1.
8.51о*2<'-,)-2(2.5_1)>9,о*2(*-,)-1(9-1);
^log^ (х—1) - 2 > ^!og2 (х—[)—2 ^5^°g21 2
Значит, log2 (х— 1) —2<0, откуда 0<х— 1 <4. Ответ: (1, 5). ■
(-1/3, оо). 8.152. (О, 2).
11
□ Заметив, что -=logo,25 _, перейдем к равносильному неравенству 0<
2x4-1112x4-112x4-1112X4-1
<4— <-. Если4—>0, то1—<-, т. е. <0; если же
х 4“ 322х 4- 32х 4- 322х 4- 3
2x4-1 12x4-1 1 12x4-1
1—<0, то<-, т. е.Н1>0. Решаем две системы
Х4-3 2х4-3 2 2х4-3
неравенств:
8.157. □ Данное неравенство равносильно системе8.157. □ Данное неравенство равносильно системе
8.157. □ Данное неравенство равносильно системе
8.157. □ Данное неравенство равносильно системе
Ответ: (-4/3, -1)0(-1, —1/2). ■
[-3, 1). 8.155. (1, оо) 8.156. (2, 5).
2
Полагая log3X=y>0, получим неравенство >3, откуда находим
— 6<у<—2 (не годится) или у^З. Система— 6<у<—2 (не годится) или у^З. Системах>1,(х>1,
— 6<у<—2 (не годится) или у^З. Система
— 6<у<—2 (не годится) или у^З. Система
или < дает
logjx>3(х>27
ответ: [27, оо). ■
8.158.8.158./ log2 (у— 1) 1
8.158.
8.158.
□ Полагая v4x+5=y, приходим к неравенству>- (1). Далее,
log2O+ll) 2
учитывая область определения логарифмической функции, имеем у — 1 >0, у +11 > 0, откуда у > 1 и, значит, log2 (у+ 11)>0. Теперь умножим обе части
неравенства (1) на 21og2 (у + П) и получим 21og2 (у— l)>log2 (у + И) или (у—1)2>у+11. Отсюда находим у<—2 или у>5. Неравенство ^4х+5<-2 не имеет решений, а из неравенства ^4^ + 5>5 получаем х>5. ■ 8.159. (-2, 13).
□ Пусть выполнены неравенства 0<х—1<1, т. е. 1<х<2, и log2 (х—1)<0 (1). Тогда 2<х+1 <3 alog2 Vx+l=°,51og2 (х+1)>0 (2). Из (1) и (2) следует, что при 1 <х<2 данное неравенство очевидно.
Пусть теперь х—1>1, т. е. х>2. Тогда оба логарифма положительны и приходим к неравенству log2 Vx+ * <1°82 (х~ 0> решая которое получим х>3. Ответ: (1, 2)М(3, оо). ■
(-3, -2) [J (-1,0).
х + 14х—14х—1
8.161 □ Заметив, что log,/4=log4, logi/31og4= 4х—1х+1х+1
4х— 1
= — Iog31og4, преобразуем данное неравенство: х+1
4х—14х—1
log3 Iog4+log3 log4< 0;
х+1х+1
4х—14х—14х—1
21og3 log4< 0; 0 < log4< 1; 1 << 4.
х+1х+1х+1
Решив последнюю систему, получим ответ: (2/3, оо). ■
□ Учитывая область определения логарифмической функции и квадрат
ного корня, заключаем, что х>0 и Vх-1>°» откуда х>1. Приведем все
логарифмы к основанию 2: log2 VX+1°B2 (Vx~О^ойгЗ или Vх (Vх-1)<2. Положим ^/х=у>0 и решим неравенство у2—у—2<0, откуда — 1<у<2. Но Vx>^ и» значит, 1<VX<2, т. е. 1<х<4. Целыми значениями х, удовлетворяющими этому неравенству, являются 2 и 3. ■
(0; 0,5) (J [V2, со). 8.165. (4Ь*0^°’2, со). 8.166. (1/8, 1/4) J (4, 8).
□ Таккаккэдх-1|0,5>0,то0<|х—1|<1. Данное неравенство равносильно
системе
0<х<1 или 1<х<2, 0,25<|х-1|.0<х<1 или 1<х<2, 0,25<|х-1|.Гх^1,[Х#1,
0<х<1 или 1<х<2, 0,25<|х-1|.
0<х<1 или 1<х<2, 0,25<|х-1|.
J-l<x-l<l,^ J 0<х<2,
Gog|x -1| 0,5 > log!, _ 11 |х -11°’5(,0,5 < Vl*-1|
[0<х<1,[1<х<2,
Последняя система распадается на две системы: <и <
(0,25<1—х (0,25<х-1.
■ В результате получаем ответ: (0; 0,75) U (1,25; 2). ■
(1/3, 1)U(1, 2). • Рассмотреть два случая: 0<х<1 их>1.
□ Здесь должны выполняться следующие условия: {х2-5х + 6>0,
х>0,=> 0<х<0,5;0,5<х<2;х>3.(1)
2x^1
При этих условиях данное неравенство равносильно совокупности систем неравенств
(0<2х<1,(2х>1,
<и <
(х1 —5х + 6>2х [х2-5х+6<2х.
Отсюда находим 0<х<0,5 и 1<х<6. Учитывая условия (1), получаем ответ: (0; 0,5) Q (1, 2) (J (3, 6). ■
(1, 3) (J (З9, оо). • Рассмотреть два случая: 0<log3X<l и logjx>l.
□ Неравенство имеет смысл, если log,_i9>0, откуда х—1>1, т. е. х>2 (1). Из данного неравенства следует 0 <log2log,_i 9 < 1 =» 1 <log,_i9 <2=> ^ х — 1 <9 < (х—I)2. Решив систему (хсЮ, <, получим 4<х<10, что удов-
(х-1 >3 летворяет условию (1). ■ 8.172. (1, 4).
□ I способ. На одном чертеже построим графики функций у=logo,} |х— — 2| и у=х2—4х (рис. Р.8.11) и определим те значения х, при которых функ
ции имеют разные знаки. Используя рис. Р.8.11, получим ответ: (— оо, 0)( I U(l, 2) U (2,3) U (4,=о).V
П способ. Решаем системы неравенств |"logo,3 |х-2| >0, jiogo,3 |х-2| <0, (х2 — 4х<0(х2—4х>0
и в результате получаем тот же ответ. ■
(0, 1/2) (J (2,3).
(0,1/3) |J (243, оо). • Привести обе части неравенства к одному основанию 2/5 и положить log3 х—у.
□ Заметим, что 2to*2X“(21°*2X)I°*2X=x1O*2X, и положим з^*1Х««у. 1 5
Тогда получим неравенство у+->-, откуда находим у<1/2 или у>2. У 2
Итак, х 2 < 1/2 или х 2 > 2. Эти неравенства решаем логарифмированием по основанию 2. Из первого имеем log2x< — 1, что невозможно; второе flaerlog2x>l, т. е. log2X< — 1 или log2X>l. Ответ: (0, 1/2)(J(2, со). ■
[1/8, 4]. • Прологарифмировать обе части неравенства по основанию 0,5.
(0,01; со). 8.179. (-оо: -0,1]Н[-0,001; 0). 8.180. (0,25; 1)1 )(1, 4).
(ОД 5). 8.182. (-4, - 3) (j (8, оо)
□ Учитывая область определения логарифмической функции и ограничения на основание логарифма, имеем х^0, x^l, log,2 1ogx2x4>0. Но из данного неравенства следует, что logx2 1ogx2X*>l=>logx3 2>l=>logx2 2>
>logx2x2. Если 0<|х|< 1, то 2<х2 и, значит, |х|>х/2, что невозможно. Если же |х|>1, то 2>х2, т. е. lxjc-^/2. Таким образом, получаем следующие две системы:
{
х>0,[х<0,,-г
- и - Ответ: (-V2, - D U 0. лЛ). ■ l<x<V2 1-V2<x<-1.
р-28, 1). 8.185. (а4, а-1), если 0<д<1, и (а"1, а4), если а>1. 8.186.
(0, 4V2]- 8.187. (1, 1 +2”5/4) (J (3, оо).
□ Пусть 0 <|х — 3|<1; тогда 2х2 — 7х<0, т. е.
Гх^З,Сх^З,
\ — 1 <х—3<1, => < 2<х<4, => 2<х<3 или 3<х<3,5.
(х(2х-7)<0^0<х<3,5
Пусть |х—3|>1; тогда 2х2 —7х>0, т. е.
{
х—3< —1 или х—3>1, fx<2 или х>4,
=> <=>х<0илих>4.
х (2х— 7)>0(х<0 или х>3,5
Ответ: (-оо, 0) (J(2, 3)(J (3; 3,5) (J(4, оо). ■ л
□ Здесь должно выполняться условие cosx^O, т. е. х/- + лл. Произведем преобразования:
Ji 4sinx V3-4sinxcosxJi — 2sin2x
_<0;<0.<0
COS X COSXCOSXCOS X
Так как cos2x>0 при х^- + лл, то достаточно решить неравенство _2_
V^—2sin2x<0, т. е. sin2x> ^3/2. Полагая z=2x и построив график функ- л2л
ции y=sinz (рис. Р.8.12), устанавливаем, что -+2лл<2х<— + 2лл или ллл
- + лл<х<- + лл. В эти интервалы значения х=- + лл не входят. Итак, 632
/лл\
получаем ответ: I- +ял,-+лл где лeZ. ■ \63/
□ Имеем sin2x^0, т. е. 2х^ял или х^ял/2. Выполним преобразования:
cos2xsin4xsin2x+cos4xcos2xcos2x
sin4x+cos4x> 1;> 1;> 1, т. e. ctg2x> 1.
sin2xsin2xsin2x
Теперь с помощью графика функции y=ctgz (рис. Р.8.13) устанавливаем, лллл ял
что лл <2х<-4-лл, откуда —-<х<-4-—. Значения х = ял/2 не входят в эти 428 2
(
ЛЛ Я\
—, - (4л + 1) , neZ. ■
2 8/
ялял
□ Учитывая, что 2х/—, т. е. х*—, выполним преобразования: 24
12tg2x4-tg2 2х+1(14-tg2x)2
24-tg2x4-<0;<0;<0.
tg2xtg2xtg2x
Отметим, что (1 4- tg 2x)2 > 0, если tg 2x ^ — 1. Из уравнения tg 2x = — 1 нахо- ЯЯ ЛЛЯ ЛЛ
дим 2х=Ьлл, т. е. х=1—. Следовательно, если х*1—, то
48 28 2
я достаточно решить неравенство tg2x<0. Имеем ял—<2х<ял, т. е.
2
ЛЛ Л ЛЛ
<х<—. Однако найденные интервалы содержат значения
Л ЛЛ
х =—4-—, которые нужно исключить из ответа. Таким образом, окон- 8 2
(
ЛЛ Л ЛЛ л\/ял я ял\
>~—1U(,— , пеХ. ■2 4 2 8/ \ 2 8 2/
л
□ Здесь х^- 4-лл. Выполнив преобразования, получим
2
2cos2x—4^2sinx— 5<0; 2 (1 — sin2 х) —4V2sinx —5 <0;
2 sin2 х 4-4^/2 sin х 4-3 >0.
Далее положим sinx=y и придем к неравенству 2у24-4^2у4-3>0. Так как уравнение 2у24-4^/2у4-3=0 имеет корни yj = — 3V2/2, yi = -V2/2, ТО у< -3V2/2 или у> — V2/2. Первое решение не удовлетворяет данному неравенству, поскольку [y| = |smx|<l. Остается решить неравенство sinx>— V2/2. Используя график функции y=sinx, устанавливаем, что
я 5я
2ял--<х<—+2ял. Из этих интервалов нужно исключить значения я/ я я V
х—-+2ял, поэтому окончательно получаем ответ: (2ял—-, -+2ял)0 /я5я\
U+2””). "eZ. ■ х+11, к 1
\24/ .2(1+-)
□ Функция определена, если 4— 17'2Х+4>0, т. е. 2 —17 2 +
+4 > 0. Пусть 2 =у > 0; тогда получим неравенство 4у 2 — 17у + 4 > 0, откуда у<1/4 или у>4. Итак:
1
", 1 11 + 2х
2 <-=>-<-2=><0=>-0,5<х<0;
4 хх
1
X 11—2х
2 >4=»->2=»>0=>0<х<0,5.
х х
Ответ: [-0,5; 0)0 № 0,5]. ■
8.194. [0, 3) (J (3, 4). 8.195. (0, 1/64)0(4, оо).
8.196. □ Здесь должны выполняться следующие неравенства:
|х-3|>0,log3 |х-3|>0,•logi/31og3 |х-3|>0|х-3|>0,log3 |х-3|>0,•logi/31og3 |х-3|>0х*3, |х-3|>1,=>log3 |х-3|<1х*3, |х-3|>1,=>log3 |х-3|<1
|х-3|>0,
log3 |х-3|>0,
•logi/31og3 |х-3|>0
|х-3|>0,
log3 |х-3|>0,
•logi/31og3 |х-3|>0
х*3, |х-3|>1,=>
log3 |х-3|<1
х*3, |х-3|>1,=>
log3 |х-3|<1
х^З,
| х^З,
х—3< —1 или х—3>1, =:
. s х<2 или х>4,
|х—3|<3
/ 0<х<6.
С помощью рис. Р.8.14 получаем ответ: [0, 2) 0 (4, 6]. ■
М(5,5) Х(х)
А(3)В(8)
Рис. Р.8.15
8.197. (3; 3,5] (J[5, оо). 8.198. [-98, 2)(J(2, 102].
Имеем
21Ogx-3°<l>0,2х-6>0, log3 (2х-6)^021Ogx-3°<l>0,2х-6>0, log3 (2х-6)^0
21Ogx-3°<l>0,
2х-6>0, log3 (2х-6)^0
21Ogx-3°<l>0,
2х-6>0, log3 (2х-6)^0
Ответ: (3; 3,5) (J (3,5; 4). ■
(4, 5)[J(5, оо).
□ Функция определена, если выполняется неравенство |х— 3|—[8— х|>0, т. е. )х— 3|>|8—х| (1). Заметим, что на числовой оси |х—3| и |х—8| —это расстояния от точки с координатой х до точек с координатами 3 и 8.
Поэтому неравенство (1) означает, что расстояние от точки X (х) до точки А (3) больше или равно, чем расстояние до точки В (8) (рис. Р.8.15). Найдем 3 + 8
координату середины М отрезка с концами в точках А и В". —^—=5,5. Тогда все точки, расположенные правее М, находятся дальше от А, чем от В. В результате получаем ответ: [5,5; со). ■
Замечание. Для решения неравенства (1) с помощью определения модуля следует рассмотреть три случая: х<3, 3<х<8, х>8.
(-со, -T)U(-7, -4UG. 7)U(7. 81UO1, со). 8.203. [-5, 3)(J(3, Я
(-оо, — 1)(J (3, оо).
□ Данное выражение определено, если (р—1) х2 + 2рх+Зр-2>0 (1). Пусть р—1=0, т. е. р=\. Тогда неравенство (1) примет вид 2х+1>0, откуда х> —1/2; таким образом, оно выполняется не при любом х. Пусть теперь р—1^0. Тогда левая часть неравенства (1) является квадратным трехчленом и оно выполняется при любом х, если р—1>0, a /)=4р2—4 (р—1) (Зр—2)<0. Решив эту систему неравенств, получим ответ: (2, оо). ■
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.
□ Сначала найдем разность
а2—»i = -1— log2sinx— log1/2sin2x= — 1 — log2sinx+
+log2 (2sinxcosx)= — 1 — log2sinx+1 +log2sinx+log2cosx=log2cosx.
Так как 0<х<л/4, то ^2/2<cosx<l и log2cosx<0. Поэтому а2—ai<0, т. е. аг<ах (1).
Теперь найдем разность। _ cos ^
аз-О] =log1/2 (1 -cos2x)-logi/2sin2x=logi/2 ———=logi/2tgx. sin2x
Поскольку 0 < x < л/4, имеем 0 < tg х < 1, откуда logз/2 tg х > О, т. е. а3 > ах (2).
Итак, из (1) и (2) следует, что а2<а, <а3. ■
(О, л/2].
□ Заданные неравенства определены при условиях х2 — 9х+20>0,Гх<4; х>5,
х-1>0,=»<х>1,
х2-13>0(x<-V13; x>V13-
Рис. Р.8.16
С помощью рис. Р.8.16 устанавливаем, что ^13<х<4 или х>5 (1). При этих значениях х все части неравенств неотрицательны и их можно возвести в квадрат, откуда получаем систему
Jx2—9х+20<х—1, Jx2—10х+21 <0, (3<х<7, (х-1<х2-13 (х2—х—12>0 (х<-3; х>4.
т. е. 4<х<7 (2). Объединяя решения (1) и (2), получаем ответ: 4 ^ [5, 7]. ■ 8.210. (5, 8)(J(8, 29). 8.211. (-8; -6,5)(J(0, 5). 8.212. [1,75; 4). 8.213. (-1, 3). 8.214. □ Решаем каждое неравенство самостоятельно:
,,(х2 + 5х + 6>0,
|х2 + 5х|<6=» — 6<х2 + 5х<6=> <
[х2 + 5х —6<0
=> — 6<х< — 3 или — 2<х< 1(1);
|х+1|<1=>-1«х+1<1=>-2<х<0.(2)
Объединяя решения (1) и (2), получим ответ. (—2, 0]. ■
(-1, 2).
а+bу— c+d1—
□ Используя известное неравенство (8.2), запишем>Vo6,"5-Jed,
22
a + b c+d /—i—
откуда. после почленного сложения имеем ——I"^ Jab + Jed. Рассуж-
a+b c+d дая аналогично по отношению к числами, получим
22
a+b c+d
%ЛП. ® Воспользоваться неравенством, доказанным в задаче 8.216.
Х + у I— y + Z !— z + x J—
□ Запишем очевидные неравенства: ^Jxy, ^Jyz, ^-Jzx. .222
х+у У+z z+x Перемножив их, получим••>xyz. Наконец, после умножения
222
8
обеих частей неравенства на — > 0 имеем xyz
(х+у) 0+z) (z+x)/ у\ / z\ / х\
>8 или ( 1 +- ) 1 +- ) 1 +- )>8. ■
xyz\ X/ \ у/ \ Z/
ф Определить знак разности между левой и правой частями неравенства.
□ Рассмотрим разность
a* + b* (a+b)* ^a^ + ^ — ^ + lab + b1^1
216 ~16"'
Далее, используя формулу квадрата трехчлена, получим
8а4+ 86* — а* — 4агЬг — b* — ^a?b — 2a1b1 —4аЬ3
16~
7а* + 76* — 6а262 —4а 36 —4а6 3
~16~
3(а* + 6*—2а262) + 4(а* + 6* —а36 —об3)'
~16~
3 (а2-62)2 + 4 (а3 (а-6)-63 (а-6))
~16“
3 (а2 —62)2+4 (а—6)2 (а2 + а6 + 62)
~16" ’
поскольку (а2 —62)2>0, (а—6)2>0, а2+а6+62>0. Итак,
2
Za + bVа*+Ь* Za + b\*
—I) >0, откуда>1| . ■
\ 2 72\ 2 7
□ Так как "хА+хА "хА—х/з=',>А —3 = 1, то числа "хА+хА
л / Т
и v2— <3 — взаимно обратные. Согласно известному неравенству (8.3), имеем "хА+хА + п^2—>/з > 2. ■
□ Умножив все части неравенств на х2 —х+1 >0, получим
,,,[12х2 + (р-9)х+3>0,
— 9х2 + 9х —9<3х2+рх—6<6х2 —6х + 6=>-(
[Зх2-(6+р) х+12>0.
Эти неравенства выполняются при любом х, если дискриминант каждого квадратного трехчлена отрицателен, что приводит к системе
JO—9)2 —144<0, Пр-9|<12, С—12<р—9 < 12, (-3<р<2\, 1(6+р)2 —144<0 1|6+р|<12 1-12<6+р<12 [-18<р<6.
Решением последней системы является промежуток — 3<р<6. ■ 8.223. — 2<т<4.
— bt'jb^—^ac
□ Корнями уравнения ах2+6х+с=0 являются числа х =,
2а
—b±.x/b^—4ac
а корнями уравнения сх2+6х+а=0 — числа х =. Выберем
2с
-b+V^—4ас— b — ^/b^—4ac
X] =>0 и х2 =. Далее находим
2а2с
/ b — >Jb^—4ac\Z b + •Jb^—4ac\ b1— (yJb^-Aac)1 4ас
Xi х2 =) I)==—= 1.
\ 2а / \ 2с / 4ас 4ас
Следовательно, xj и х2 — взаимно обратные положительные числа и, как
известно, их сумма не меньше, чем 2. Итак, для каждого положительного корня первого уравнения существует такой положительный корень второго уравнения, что Xj +х2>2. ■
Замечание. Можно не выбирать один корень первого уравнения и соответствующий корень второго уравнения, а доказать, что корни этих уравнений являются взаимно обратными числами.
□ Имеем |х3 — 1|=х3 — 1, если х3 —1>0, т. е. х>1; |х3 —1| = 1—х3, если х3 —1<0, т. е. х<1. Поэтому данное неравенство равносильно совокупности двух систем
х>1, х3-1>1-хх>1, х3-1>1-х(1)(1)х<1, 1—Х3>1—X.х<1, 1—Х3>1—X.(2)(2)
х>1, х3-1>1-х
х>1, х3-1>1-х
(1)
(1)
х<1, 1—Х3>1—X.
х<1, 1—Х3>1—X.
(2)
(2)
Решаем систему (1):
fx^l,(х>1,(х>1,
<=><=>х>1.
Цх-1) (х2+х+1) + (х-1)>0 1(х-1)(х2 + х + 2)>0(х—1>0
Решаем систему (2):
X<1,Jx<l,
/l-x)(ltm2Ml-x)>0((l-xHx-ix2)^
[x<l, =»<=>x< — 1 или 0<х<1.
((1 —x) x (1+x)>0
Объединяя решения систем (1) и (2), получаем ответ: (—оо, — 1)(J и (О, DUO.»)- ■
(-оо, 3). 8.228. (-оо, 0) (J(6, оо). 8.229. (-5, —2)(J(2, 3)(J(3, 5).
□ Данное неравенство можно рассматривать при условиях'
х*0,(х^О,
IО
4—х2>0,=><|х|<2, =-.(’=» —2<х<0 или 0<х<2.
I ■2<х<2•
2 —V4 —х2#0(4-х2^4
Выполним преобразования:
4-2V4-x2 + 2 + V4-x2 1 6-V4-X2 1
4-(V4-x2)2 х х2 х
Умножив обе части неравенства на х2>0, получим 6—V4—х2>х, откуда
V4—х2<6—х. Согласно указанию 5°, это иррациональное неравенство равносильно системе
4-х2>0,Г-2<х<2,
6 —х>0,=> < х<6,
4 —х2<36-12х+х2(,х2 —6х+16>0.
Последнее неравенство верно при любом х, откуда, учитывая область определения данного неравенства, получаем ответ: [—2, 0) (J (0, 2]. ■
(5, оо). 8.232. (-оо, V2)U(V2, оо). 8.233. (-оо, — 2)(J(0, 1)(J(1, 00)•
□ Преобразуем данное неравенство так:
logs х +1 - log, 3 < logt 3 logs X (2 - logs x\•
log53
logs x +1< 21og$ 3 - logs x.
log5x
logs3
Положим logsx=y и, решив неравенство 2^+1——21ogs3<0, нахо-
У
дим у<—\/2 или 0<y<logs3. Итак, log5x< —1/2 или 0<log5x<log53,
откуда получаем ответ: (О, V 5/5) М (1, 3). ■
8.235.8.235.8.236.8.236.у—2
8.235.
8.235.
8.236.
8.236.
□ Пусть sinx=y. Решив неравенство —-—>2 методом интервалов, по- 4у2 — 1
лучим — 1/2<у<0 или 1/8<у<1/2. Таким образом, — l/2<sinx<0 или
1/8 <sinх< 1/2. С помощью рис. Р.8.17 получаем ответ: ^2ял —я, 5я\ / я \ /1 я \ /5я
2ялHJ 2ял—, 2ял 11 JI arcsin- + 2ял, - + 2ялНН—1-2ял, я—
6/ \686/ \6
\’
—arcsin-+2ял леZ. ■.
8/
[0,8; 1). 8.237. (О, 1)UO. 2).
виде -Ух2 + Зх+2<1 +^х2 — *+1 и перейдемвиде -Ух2 + Зх+2<1 +^х2 — *+1 и перейдем□ Запишем неравенство в к равносильной системе
виде -Ух2 + Зх+2<1 +^х2 — *+1 и перейдем
виде -Ух2 + Зх+2<1 +^х2 — *+1 и перейдем
х2 + Зх+2>0,
х2—х + 1 >0, х2 + Зх + 2<1 +х2—х+1 +2-Ух2—х + 1
х< —2; х> — 1,Jx1 — х + 1 >2х.х< —2; х> — 1,Jx1 — х + 1 >2х.Последняя система равносильна совокупности следующих двух систем:
х< —2; х> — 1,
Jx1 — х + 1 >2х.
х< —2; х> — 1,
Jx1 — х + 1 >2х.
х< —2; — 1^х<0, х2-х+1>0;
(1)(1)х>0, х2 —х +1 >4х2.х>0, х2 —х +1 >4х2.Решением системы (1) являются промежутки х< —2 и — 1 <х<0, а решением системы (2) — промежуток 0<х<(^13 —1)/6. Объединяя эти решения, получим ответ: (—со, — 2]Н[—1, (^13 —1)/6). ■
(1)
(1)
х>0, х2 —х +1 >4х2.
х>0, х2 —х +1 >4х2.
. (3,. оо). 8.240. 0<>g4 13, 2].
□ Преобразуем данное неравенство, а затем перейдём к равносильной системе:
0,3 "^mV^**>0,3 => \/^ogi^/5tgx<l
tgx>0, logi/V3tgx>0, =» logi/VTtgxcl
С помощью рис. Р.8.18, на изображены единичный круг тангенсов, получим ответ:
/я я \
котором и линиякотором и линия-+ял,-+ял I, neZ. ■,64'я я-+ял,-+ял I, neZ. ■,64'я я’Зя’Зя5я5я[- + 2ял,-+2ял ] Ml— + 2ял, Ь2ял |, neZ.
котором и линия
котором и линия
-+ял,-+ял I, neZ. ■
,64
'я я
-+ял,-+ял I, neZ. ■
,64
'я я
’Зя
’Зя
5я
5я
\32/ \23/
(
Зяя\/иЗя\/я я\
2ял, 2ял— НИ -+2ял, —+2ял I, heZ. 8.244. | ял—,—Илл ), neZ..
44/\44)V6 6/
(log»?, 1)U(1. °0)- 8-246. -5; 1- 8.247. [1/2, 1).
[1/V2, 1/V4)UO. V2]. 8.249. (-3, -1).
□ Здесь должны выполняться условия 4^+1 >0 и 4 + 1^1, что справедливо при любом xeR. Полагая log3 (4Х-ь1)=у, получим неравенство 1 5х
у+->-, откуда у<1/2 или у>2. Остается решить неравенства logs (4 +
У 2,
+ 1)<1/2 и log; (4 + 1)>2. Для первого из них имеем 4 + 1<3 ;
4X<V3~1; x<log4 (V^ — 1)- Аналогично решаем второе неравенство:
4 + 1>32; 4 >8; xlog24>log28; х>1,5. Ответ: (—со, log4 (^3 —1)) (J U (1,5; 00). ■'
0og3 (28/27), log34). 8.252. (р, l)|J(l/p, 00), если 0<р<1; (1/р, 1), еслир>1.
□ Здесь должны выполняться следующие условия:
(х>0, Х^1,(х>0, х^1,
=> <=> х>0, х#1.
(х + 1>0, х + 1^1(х>—1, х^О
Запишем данное неравенство в виде logx (х3 + 1)->2 (1) и рассмотрим два случая: 0<х< 1 и х> 1.1°8* (х+1)
Пусть 0<х<1; тогда, умножив обе части неравенства (1) на log, (х +1)<0, получим
log, (x3+l)<21ogx (х + 1)=>х3 + 1>(х+1)2=»(х + 1) (х2 — 2х)>0=>
=» — 1 <х<0 или х>2, что невозможно.
Пусть х> 1; тогда, умножив обе части неравенства (1) на log, (х+1)>0, получим
log, (х3+ l)>21og, (х+ 1)=>х3 +1 >(х+1)2=> —1<х<0 или х>2.
Ответ: (2, оо). ■
(О, l)(J((V5 + l)/2, 2). 8.255. (-00, -11). 8.256. ((V21 — 3)/2, 1)(J(1, 00).
( — 00, (V17 + l)/4].,,
□ Рассмотрим два случая: 0 <х2 < 1 и х2 > 1.
Пусть 0<х2<1, т. е. —1<х<0 или 0<х<1; тогда х—3<0 и, значит, |х—3|=3—х. Учитывая область определения логарифмической функции, 2х
заключаем, что>0, откуда 0<х<3. Итак, в данном случае нужно 3-х
решить систему
которая, как легко установить, не имеет решений.
Пусть х1>1, т. е. х< — 1 или х>1. Тогда если х< — 1, то>0, т. е.
3—х
0 <х <3, и, следовательно, решений нет. Если же х> 1, то данное неравенство равносильно совокупности двух систем:
Решаем систему (1):Решаем систему (1):Решаем систему (2):Решаем систему (2):х>3,=>х>5.0^х<3, х>5х>3,=>х>5.0^х<3, х>5Ответ: [5, оо). ■Ответ: [5, оо). ■8.259. (— оз, —1/2) (J (1, со). • Рассмотреть два случая:8.259. (— оз, —1/2) (J (1, со). • Рассмотреть два случая:’4х2+2х+1 > 1, х2 —х>0’4х2+2х+1 > 1, х2 —х>0’4х2 + 2х+1<1,х2 —х<0.’4х2 + 2х+1<1,х2 —х<0.|- + ял,- + ял , лег. 8.261. (-1, 0) J (0, 1) (J (1, 2). 8.262. (2/3, 1)J(2, 6).
Решаем систему (1):
Решаем систему (1):
Решаем систему (2):
Решаем систему (2):
х>3,
=>х>5.
0^х<3, х>5
х>3,
=>х>5.
0^х<3, х>5
Ответ: [5, оо). ■
Ответ: [5, оо). ■
8.259. (— оз, —1/2) (J (1, со). • Рассмотреть два случая:
8.259. (— оз, —1/2) (J (1, со). • Рассмотреть два случая:
’4х2+2х+1 > 1, х2 —х>0
’4х2+2х+1 > 1, х2 —х>0
’4х2 + 2х+1<1,х2 —х<0.
’4х2 + 2х+1<1,х2 —х<0.
\64 J
(3, оо). 8.264. (-оо, 0)|J(5, оо).
х+3>0, х+1>0,log1/2 V^ + 3 5^0, ,log1/2 (х+1)^0х+3>0, х+1>0,log1/2 V^ + 3 5^0, ,log1/2 (х+1)^0. □ Здесь необходимо выполнение следующих условий:
х+3>0, х+1>0,
log1/2 V^ + 3 5^0, ,log1/2 (х+1)^0
х+3>0, х+1>0,
log1/2 V^ + 3 5^0, ,log1/2 (х+1)^0
Если — 1 <х<0, то V2<Vx+3<^3, т. е. Vx + 3>1>" тогда logi/2-Ух+3<° (1); далее, так как 0<х + 1 < 1, то logi/2 (х + 1)>0 (2). Из (1) и (2) следует, что данное неравенство очевидно при хе( — 1, 0).
Если же х>0, то ^/x+3>V3>l и log]/2V^+3<0, а х+1>1 и, значит, logl/2 (х+1)<0. Умножив обе части данного неравенства на log^-^x+S х х logi/2 (х+1)>0, получим неравенство log1/2 (х+l)<logi/2VJt+3, решив которое находим х>1. Ответ: (—1, O)(J[1, оо). ■
(О, 1) (J [4/3, 4). 8.267. (3, 9). 8.268. [-1, - V2/2] (J [ V2/2, 1].
□ Перейдем к основанию 3 и получим неравенство
8'3+3-3>0.
Разделив обе его части на 3>0, имеем
8'3+38'3+3•9-1>0.•9-1>0.
8'3+3
8'3+3
•9-1>0.
•9-1>0.
Пусть 3 V* *=у>0; тогда неравенство примет вид 9у2 + 8у—1>0, от
куда у< —1 или у >1/9. Так как у>0, то 3 VX чХ>3 2, т. е.
4v^x-Vx> — 2. Теперь положим Vx=z>0 и придем к неравенству
22 х-2<0, откуда — Kz<2. Поскольку z>0, остается решить неравенство 0< \/х<2; в результате получим ответ: [0, 16]. ■~
(-2, -1] (J [-1/2, 0]. • Рассмотреть три случая: х2+х+1>1, х2+х+1<1и х2+х+1 = 1.
□ Данное неравенство равносильно следующему: |х+7|<|х2 — — Зх+2|. Чтобы решить его, построим графики функций у = |х+ + 7| и у=|х2 — Зх+2| и с помощью рис. Р.8.19 получаем ответ: (-00, -1)U(5, 00). ■
Замечание. Можно воспользоваться определением модуля и решить указанное неравенство на интервалах — со<х<—7, — 7<х<1, 1<х<2, 2<х<оо.
(0, а2) 0(1, со). 8.273. 0<х<32/(1°8з7 log73)
(0, а) (J(l/a*, оо). • Прологарифмировать обе части неравенства по основанию а.
(—2, — 1](J[—2/3, 1/3). ф Положить Зх2+5х+2=у.
(VS, 5). ■'
(О, 3). • Записать неравенство в виде |log3x|<|log3X—2| и решить его на
интервалах 0<х<1, 1<х<9 и х>9.
(-V12. -2)(J (2, V12).
□ Здесь должны быть выполнены условия
- х’>0,Гх<3735,
-х>0,=><х<5,=>x<V35.
loga(5-x)#0^5-х#1
Так как 3<V35<4, то 5—х>1. Теперь воспользуемся формулой (7.7) и в левой части данного неравенства получим logg(35-x3)
=log3_x (35—х3). Таким образом, нужно решить неравенство log, (5-х)
Iog5_x (35 — x3)>3 при условии 5 —х>1. Имеем 35 —х3>(5 —х)3, откуда получаем ответ: 2<х<3. ■■
Замечание. Вместо преобразования левой части неравенства с помощью
формулы (7.7) можно было рассмотреть две системы
tloga (35-x3)<loga (5-х)3 Itoga (35—x3)>loga (5-х)3.
Каждая из них дает один и тот же ответ: 2 < х < 3.
(1, 2). 8.281. (-5, - 7я/6) (J [я/6, 5л/6]. 8.282. [-1/3, 0) (J (0, 1].
□ Данное неравенство равносильно системе
х.
Рассмотрим решения этой системы на интервалах — 5<х<0, 0<х<1 и 1^х<оо.
Пусть — 5^х<0; тогда второе неравенство очевидно, а третье невозможно, т. е. система не имеет решений.
Пусть 0<х< 1; тогда второе неравенство очевидно, а третье равносильно неравенству х+5<х2, т. е. х2 —х—5>0, откуда х<(1 — ^21 )/2< — 1 или х>(1 +^21)/2>2; поэтому система не имеет решений.
Пусть х>1; тогда получим систему
решив которую находим (х/21 + 1)/2<х<4. Этому интервалу принадлежит только одно целое значение х, а именно х= 3. ■
□ Сначала докажем, что 2<log3 2+log23. Действительно, так как log32 х
xlog23 = l, причем log32>0 И log23>0, log32#l, log23#l, то log32
и log2 3 — это положительные взаимно обратные числа, а их сумма, как известно, больше, чем 2.
Теперь докажем, что log32+log23<3. Имеем 0<log32<l, l<log23<2.
откуда после почленного сложения находим l<log32+log23<3. Объеди
няя доказанные результаты, окончательно получим 2 < log3 2 4- log2 3 < 3. ■
хе(0, 1). 8287. ае(-оо, 0).
Рис. Р.820Рис. Р.820□ Решив неравенство (х2 + 4-5x4-6) (х2 4-11x4-30)<0 методом интервалов, получим, что оно выполняется при —6< <х< — 5 или —3<х<—2. По- _ строим часть графика функции -2Т у—sin2x (при —2жх<0) и с помощью рис. Р.8.20 устанавливаем, что при —6<х<—5 и — 3<х<— 2 действительно имеет место неравенство sin2x>0. ■
Рис. Р.820
Рис. Р.820
(я/2, 3).
□ Положим Л = cos 20° cos 40° cos 70°. Так как cos 70°=sin 20°, то А =
—cos 20° sin 20° cos 40°. Применив дважды формулу (4.13), получим А =
.11
=~ sin 40° cos 40°=- sin 80°=- cos 10°. Таким образом, нужно показать, что 244
1 cos 10° 11
-<<-, т. е. -<со$10°<1. Но последнее неравенство очевидно, по-
8442
1 cos 10° 1
скольку-=cos 60° <cos 10° <1. Итак, мы доказали, что-<<-, а зна-
844
1
чит,-<cos20°cos40°cos70°<-. ■
4
□ Поскольку ctg45° = l, достаточно доказать, что ctg (45° — a)+ctg (45° + + a)>2. Рассмотрим левую часть этого неравенства. Учитывая, что углы 45°+а и 45° — a— дополнительные, получаем ctg (45° — a) + ctg (45° + a) = = tg (45° + a)+ctg (45° + a). Согласно условию, 360° ■ л—45° < a < 45° + + 360°л, откуда 360°’л<45° +a<90°+ 360°'л, а значит, tg(45° + a)>0 и ctg (45° +а) >0. Таким образом, имеем сумму положительных взаимно обратных чисел, которая, как известно, не меньше, чем 2. Итак, мы доказали, что tg (45° + a)+ctg (45°+a) >2, и тем самым требуемое неравенство доказано. ■
□ Применив формулу (4.9), получим неравенство —cos5x>sin 10х=> =>sin 10x+cos5x<0=>cos5x (2sin5x+l)<0. Последнее неравенство равносильно совокупности двух систем:
{
cos5x>0,fcos5x<0,
sin5x< —1/2;(sin5x> —1/2.
Рис. P.8.21
Обе системы решаем одновременно. Построив на одном чертеже графики функций y=sinz и у=cosz, где z=5x, с помощью рис. Р.8.21 усганавлива- яitit7я
ем, что 2ял—-<г<2ял—- или 2ял+-<г<2хл+—. В результате получаем
2яля2яля2яля2ял7я
ответ:<х<или1—<х<1—, ле2. ■
510530510530
□ Преобразуем левую часть неравенства:
sin3 xcos Зх+cos3 xsin Зх=sin2 х • sin х cos Зх+cos2 x • cos x sin 3x= sin (—2x)+sin4xsin2x+sin4x
=sin xh cos2 x=
22
—sin2 xsin 2x+sin2 xsin 4x+cos2 xsin 2x+cos2 xsin 4x
=2”
sin2x (cos2x—sin2x)+sin4x (sin2x+cos2x)
=2”
1 - sin 4x4-sin 4х
sin 2x cos 2x4-sin 4x 23
33V3V3
Остается решить неравенство - sin4x>——, т. e. sin4x>—. Полагая
4x=z и построив график функции y = smz (см. рис. Р.8.12), находим а2яя2яя яляял
-4-2лл<г<—н2ял или -4-2ял<4х<—4-2лл. Отсюда —I—<х<-4—, 333312 262
леХ. ■
□ В результате преобразований получим
1 —cos2x4-2cos2xsinx—1 <0=>cos2x (2sinx—1)<0.
Последнее неравенство равносильно совокупности двух систем (cos2x>0,(cos2x<0,
{0) S(2)
(sin х< 1/2;(sinx>l/2.
Рис. P.8.22
Положим 2x=z и построим графики функций y=cosz и y = sinx. 1) Используя рис. Р.8.22, а, б, находим яяяяяя
2ял—<г<-4-2ял=>2ял— <2х<-4-2ял=» пл— <х<-4-ял, 222244
7яя
2ял<х<-4-2ял. 66
Составим следующую таблицу:
л= — 1
■л = 0
л= 1
со$2х>0
/ 5я Зя\
X 4*4/
/ я я\
X 4’4/
/Зя 5я\
Х4’ 4/
sinx<l/2
/ 19я11я\
X6 ’6 /
/ 7я я\
X 6’ 6/
/5я 13я\
Х6 ’ 6 /
С помощью рис. Р.8.22, в устанавливаем, что система (1) имеет решение яя5я5я
2ял—<х<-+2лл и 2ялН<х<Н2ял, neZ.
4664
Снова используя рис. Р.8.22, а, б, находим
лЗялЗялЗл
2ллН— <z<к2лл=»2ялн—<2х< Ь2лл=> лл + - <х<клл,
222244
я5я
2ялН—<х< Н2лл.
66
С помощью рис. Р.8.22, в устанавливаем, что система (2) имеет решение яЗя
2ялН—<х< Н2лл.
44
(
яя\/. яЗя\/5я5я'
2лл—, ~ + 2ял НИ 2ялН—,Н2лл 1И2ялН,ь2лл
пег. ■пег. ■46/X 44/X64,
пег. ■
пег. ■
□ Последовательно преобразуя левую часть неравенства, получим
cosx sinx2 (cos2 х—sin2 х)
2 tg 2х—4 tg 4х =—2 tg 2х—4 tg 4х =
sinx cosx2sinxcosx
2cos2x
— 2tg 2x—4tg4x = 2ctg 2x—2 tg 2x—4tg 4x = sin2x
2tg2x42tg2x42'2(1—tg22x)
2tg2x
4
2tg2x
4
—2 tg^x - 4 tg 4x=4 tg 4x =
2tg2x
4'2(1—tg24x)8
;4tg4x= tg4x;4tg4x= tg4x.1=== 8 ctg 8x.
;4tg4x= tg4x
;4tg4x= tg4x
2tg4x tg8x
Итак, имеем неравенство 8ctg8x>8^/3 или ctg8x>V3. Полагая 8x=z, я
с помощью графика функции y=ctgz устанавливаем, что ял<г<- + лл, 6
яяля ял
откуда ял<8х<- + ял, т. е.—<х<—I—, пег. ■ 6848 8
/яЗя\/7я яX/яяX
1-+ял, —Нлл L пег. 8.299. I ял, -+ял Н )[-+ял, —Нлл I, пег.\88/\12 2/\212)
/ ля \
8300. I— (12л—7), — (12л+1) , пег.
Х18; 187
ГЛАВА 9
КОМБИНАТОРИКА И БИНОМ НЬЮТОНА
9.001. а) □ Имеем Л2=х(х—1), С*~‘=х. Отсюда х2(х—1)=48; х2 (х—1) = =42 3; следовательно, х =4 ■; б) х=7.
9.002. а) х = 5; б) х = 5. 9.003. а) х = 5; б) Х;=6, х2 = 11. 9.004. а) х = 8; б) х=7.
9.005. а) х=5; б) х=7.
9.007. □. а) Имеем Pn_t = (n — 1) !; Р„_2 = (л—2) !. Таким образом,
(л-1) ((л-1) ! + (л-2) !)=(л-1) (л-2) 1 (л-1 + 1)=л! = Р„.
Левая часть искомого тождества есть
л!(п — к)!л!
к'. (п — к) ! (т — к)’. (п — т) ! к', (т — к) ! (л-т) 1’
а правая часть
/и!л!л!
к', (т — к) ! /и! (п-т) ! к', (т — к) ! (л—т) !
Итак, тождество доказано. ■
9.008. 240; 3-е слагаемое. 9.009. С*о а2 = 45а2. 9.010. 15/28 < х < 10/13. 9.011. 924.
9.012. 252о». 9.013. 1547/1024.
9.014. □ Биномиальные коэффициенты 4-го и 2-го слагаемых равны соответст- т (т — 1) (т — 2)
венно С’ и т. Следовательно,= 5 или (т — 1) (т— 2)=30,
3!т
откуда т = 1. Тогда 4-е слагаемое разложения имеет вид Тд = С\2<"Х ^ х
1х—2
х— и приходим к уравнению С32=140, откуда находим
7'6'5 х—2х—2
2=140; 2=4; х=4. ■
6
9.015. 240. 9.016. 5. 9.017. 55 440.
9.018. □ Из семи человек следует выбрать и председателя, и его заместителя. Это можно сделать А2=42 способами. ■
9.019. 1140.
9.020. □ Для каждого звукосочетания клавиши нажимаются одновременно, поэтому для к звуков имеем С*о звукосочетаний. Таким образом, искомое количество есть С20+С^4-... + с;"=с;о4-С;о4-С204-...4-С™-С"0-С[0- — С20 = 210—1 —10—45=968. ■
9.021. 253. 9.022. 64. 9.023. 240.
9.024. □ Первую цифру можно было выбрать пятью способами, вторую — также пятью, т. е. для двузначного числа имелось 52 вариантов. Значит, всего трехзначных чисел в этих условиях было 53= 125 и удачной попытке предшествовало 124 неудачных. ■
9.025. 32 760. 9.026. 251/20!.
9.027. □ Первую ладью можно поставить на любое из 64 полей. При этом 14 полей оказываются под,угрозой, т. е. для второй ладьи остается любое из 64—15 = 49 полей. Таким образом, общее число вариантов составляет 64'49 = 3136. ■,
9.028. 896. 9.029. 8!.'
9.030. □. Имеем Л^[ = (х4-1) !/(х-у) !, Рх_>=(х-у) !, Рх_х = (х- 1)!, откуда (х+1) ! (х—у) I'
= 72 или х(х4-1) = 72, т. е. х = 8. Учитывая, что х—у>0 (х—у)!(х—1)!
и у — целое число, получаем у=0, у = 1, ..., у=7. ■
9.031. □ Очевидно, что при х=10 левая часть уравнения на 1 меньше суммы биномиальных коэффициентов разложения бинома (а+Л)10. Эта сумма равна 1024. Следовательно, х= 10 является решением данного уравнения. Других решений нет, так как при х< 10 не существует С*-10, а при х> 10 левая часть уравнения больше 1023. ■
9.032. х = 7.
9.033. а) □ Из второго уравнения имеем (х 4-1)1 = 720. Так как 720 = 6!, то х = 5. Учитывая, что С*~Л = С’ перепишем первое уравнение так: Л5г:Р4 + С” = 126. Но А^:Р4=5С’, откуда 6С’ = 126 или у(у—1)(у— — 2) (у —3) (у —4) = 21 120. Далее имеем 21 120 = 23'32'5'7 = 7 6 5 4 3, т. е. у=7 ■; 6) х = 5, у=3.
9.034. а) х = 8, у=3;б) х = 7, у = 3. 9.035. а) х = 7, у-3; б) х = 7, у = 3.
9.036. □ а) Преобразуем левую часть равенства:
л!п*л! /11
■— !=I - 4- кЦп-кр. (k-Y) ! (л -А:4-1) ! (к-1) ! (л-к) ! U л-fc-H
(л + 1)!
к'. (п-к + Г) !
Но С‘ =— —, и тождество доказано. ■
к!(л-А+1)!
9.037. 6. 9.038. 7290; 3-е слагаемое. 9.039. хх-^2(4, х2=^5.
, л-3 1
9.040. □ Четвертое слагаемое от начала имеет вид 74=С3 л—-, а четвертое
л3
1
слагаемое от конца — вид T._i = C" 'п1 ——. Следовательно, Т4Т„_2 = л-3
Л
9.041.9.041.9.0419.0419.043.9.045.9.043.9.045.9.046.9.046.—(С3)2 = 14 400, откуда С’ = 120. Далее имеем п (л—1) (п —2) = 720; л (л—1) (л —2)= 10 9 8; л=10. Итак, наибольший биномиальный коэффициент, входящий в слагаемое, одинаково удаленное от концов разложения, есть С,0=252. ■
9.041.
9.041.
9.041
9.041
9.043.
9.045.
9.043.
9.045.
9.046.
9.046.
U3 = 10z2, K4=20z2.
п (п— 1)
Указанные в условии коэффициенты равны С2 Имеем 21-— =
.(100—*)/4 ^/3
= 9900 или л (л—1)= 100 99, откуда л =100. Тогда 77+1 = 6^34 ;
согласно условию, к/3 и (100—к)/4 — числа целые, т. е. к делится на 12.
Г1001
Для л = 100 таких чисел имеется — 4-1=9. ■
12 J
х = 2. 9.044. 30!/(10!)3.
Искомые числа оканчиваются пятью или нулем. Если на последнем месте стоит 0, то таких чисел Л 3=4 • 3 ■ 2=24; если же на последнем месте стоит 5, то на первом не может оказаться 0 (искомые числа — четырехзначные); в этом случае таких чисел Л2 —А2=18. Итак, условию задачи удовлетворяют 42 числа. ■—
9!.
9.047. □ Убрав первый том, получим 29! перестановок книг. Первый том можно поставить рядом со вторым двумя способами; следовательно, в 2 29! случаях первый и второй тома стоят рядом. Так как всего имеется 30! перестановок, то в 30! — 2'29! из них первый и второй тома не стоят рядом. ■
9.048. 2520. 9.049. 12!/(2!)6. 9.050. 204.9.051. 2 9!.
9.052. □ Участников первой партии можно выбрать С ,6 способами, а участников второй С,4 способами. Так как порядок выбора пар не имеет значения, то участников двух партий можно выбрать С 26 С ^/2! способами, участников трех партий С,5С^С,2/3! способами, .... и, наконец, участников восьми партий Cj6CJ4С22...С2/8! = 15 1311'9'7'5 31 = 2 027 025 способами. ■
9.053. 5s; 64s. 9.054. 210.
9.055. □ Первый пассажир может выйти на любой из 16 остановок, так же как и второй, т. е. д ля двух пассажиров имеется 162 возможностей. Следовательно, для 100 пассажиров существует 1б100 способов. ■
9.056. 40. 9.057. 80!/(3! 75!). 9.058. 10!/48. 9.059. З6; 6!. 9.060. 2304. 9.061. 15 368.
9.062. □ Имеем С‘5С^0С;2С^ = 15! 10/7!. ■
9.063. 28!/(7!)*. 9.064. 15 015. 9.065. З5. 9.066. 10е.
9.067. □ Находим Cj6Cj, C^CjC2 C,2CJ С^ = 16!/(2* ■ З2). ■
9.068. 420.9.069. 1800.9.070. 105.
к
9.071. □ Букв, содержащих ровно к символов, имеется 2 ; значит, всего можно изобразить 2’ +22+...+25»2 (25- 1)/(2- 1) = 62 буквы. ■
9.072.9 10®.’
9.073. □ Отделим границей деревья, предназначенные для посадки в течение каждого дня. Таких границ две, и для них имеется 9 мест (количество промежутков между десятью деревьями). Имеем С2 = 36. ■
9.074. 60.
9.075. □ Воспользуемся тождеством 1 + С^ + С2+ С’+... + С^=2 и перепишем его п раз следующим образом:
с*+с2+с2-ь...+-с:=2”-1,
с2+с>...+с;=2в-1-с', с’+... + с;=2"-1 -с'.-с2,
с;=2"-1-с^-с2-...-с;-’.
Учитывая, что 1 =С", сложим все написанные равенства:
С'+2С*+ЗС2 + ...+лС"=л2”—лС' —(л —1) С"-‘-(л-2) С;-...-С’-'.
Обозначив числитель заданной дроби через 5, получим S=n2"— S, откуда
,S=n2, т. е. тождество доказано. ■
9.077. □ Сначала покажем, что пР„ = (п +1)! — л!. Действительно, пР„=пп'.= = лл! + л!--л! = (л + 1)! —л!. Отсюда имеем 1 1! = 2!—1!; 2 2! = 3!— 2!, .... лл!=(л + 1)!~л!. Теперь, суммируя все эти равенства, получаем Р1+2Р2+-+л^я=(л+1)!-1- ■'
9.078. □ Перепишем требуемое неравенство так:
(1)(1)(2л + х)...(л+х + 1) (2л—х)...(л — х + 1) /2л...(л + 1) л!л!\ л!
(1)
(1)
Умножив обе части неравенства (1) на (л!)2 и разделив на ' 2л...(л+1) (2л-х)...(л—х+1), получим
(2)(2)(2л 4-х) (2л 4-х— 1)...(л4-х4-1) 2л (2л— 1)...(л4-1)
(2)
(2)
2л (2л—1)...(л4-1)(2л —х) (2л —х—1)...(л —Х4-1)
Неравенство (2) очевидно, так как все дроби слева не превосходят соответ- 2л4-х 2л 2л—14-х2л—1
ствующих дробей справа:<,<и т. д. Итак,
2л 2л—х 2л—12л—1—х
исходное неравенство доказано. ■
9.079. 23®.
9.080. □ Рассмотрим отношение двух соседних слагаемых Тк+г}Тк+\. Так как /к 20—к«-к Тк*1 20 —к /2
7*4-1-CaV 2 5• Ткц-2-С$ у2 '5, то —--.
Эта функция монотонно убывает с ростом к; слагаемые возрастают, если
20 —А: /2
Tk+ijTk+\> 1. Решим неравенство /~>1; имеем
__ к+1 у 5
Г Г Г Г 20V2-V5 г
(724-75) А<2072-75; к<—44^ = 7710-15кТ, т. е. при к=1 по-
V5+V2
лучим наибольшее слагаемое Т9=С„24-5® = 314 925 ■ 105. ■
9.081. 5/8<х<20/21.
9.082. □ Добавим к данному выражению 14-(1 4-х)4-(14-х)2 4-... 4-(1 4-х)8. Очевидно, что при этом коэффициент при х9 не изменится. Но 1 4-(14-х)4-...
(14-х)15 —1 (14-х)15 —1
... 4-(1 4-х)14==, откуда имеем 7’10+I = С[“-1 х10 =
,(14-х)-1 х
= С|3х. Итак, искомый коэффициент равен 3003. ■
9.083. 2 (6!)2. 9.084. 2200.
9.085. □ 1) Каждый материал можно доставить восемью способами, поэтому всего имеется 8® способов.
2) Чтобы определить, в скольких случаях на восьмой этаж будет доставлено не менее двух материалов, найдем, сколькими способами можно доставить на этот этаж один материал и не доставить ни одного. Если на восьмой этаж не доставлен ни один материал, то на остальные 7 этажей доставлены 6 материалов, что можно сделать 7® способами; если же один из материалов доставлен на восьмой этаж, то на остальные 7 этажей доставлены 5 материалов, что можно сделать 675 способами; в остальных 8®—7®—6 7® =8®—13 75 случаях на восьмой этаж будет доставлено не менее двух материалов. ■
.086. 2 (11!)<
.087. □ Пусть имеется 10—х книг по математике и 104-х книг по логике. Из условия следует, что х<5. Число различных наборов составляет С?о-. С1О+^ “ри х=0 имеем (С’^1. Но С50_, С^+><(С’О)2 (см. задачу
9.088.9.089.9.090.9.088.9.089.9.090..078), что и требовалось установить. ■
9.088.
9.089.
9.090.
9.088.
9.089.
9.090.
Группы могут быть составлены CjC3 С1 способами, а распределены по этажам A L способами. Таким образом, искомое число составляет
■
□ В предложение обязательно входят подлежащее и сказуемое. Каждое из слов «улыбающийся», «босиком» и словосочетание «на рыбалку» можно как включать, так и не включать в предложение, т. е. имеем 23 = 8 предложений. Добавив в каждое из них слово «утром», получим еще 8 предложений, из которых можно получить еще 8 добавлением слова «ранним». Так как среди этих 24 предложений есть и исходное, то всего можно составить 23 новых предложения. ■
Существует 8! различных составов партнеров и 2® распределений цветов фигур; поэтому количество исходов жеребьевки равно 2®• 8!. ■
ГЛАВА 10
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ
10.001. □ Для упрощения воспользуемся формулами (1.9), (1.10): т / m*—2та+1т1т* + 2т2 + \
А т2+1^+4т2т2+1у4т2
т /(m2 + l)2 m|m2 + l| тm2 + ly 4т2(m2 + l)2|m| 2 |m|’
а'Ча'Чпоскольку m2+l>0 при любом т, a |m2 + l|=m2 + l. Теперь, используя определение модуля и учитывая, что т#0, получаем ответ: Л = 1/2, если т>0; А = —1/2, если т<0. ■
а
'Ч
а
'Ч
10.002. *Vb-a, где Ь>а. 10.003. ctg33°. 10.004.
-3±V16/n-7737
10.005. х^ 2=прит>—; х(=х2 =— при/и=—.
’416416
10.006. □ Находим область определения уравнения: х+2>0, откуда х>—2, и
х^0, т. е. (—2, 0)М(0, со). Полагая =у, получаем уравнение
_И_
1 4V3, г2V3±V12-9
уН—= или Зу — 4^3у+3=0. Отсюда yi 2 ==
у 3'3
2^3 ±^3 Г V3
=-; у1 =V3> Уг=~- Далее решаем два уравнения:
х^х+2.— х+2
=V3;-3; Зх2—х—2=0; х^-2/3, х2=1.
|х|X2
Это рациональные корни и они входят в область определения уравнения.
Jx*l V3 *+2 1 ,3±V9 + 24
=—;=-; ха —Зх—6=0; х, 2 =
W 3 х2 3’2
Это иррациональные корни, а значит, они не удовлетворяют условию задачи.
Ответ: X! =—2/3, х2 = 1. ■
.007. х= 1.10.008. Xi = -3, х2=-2, х3=0, х4=1.
.009. □ Имеем |х+1|=0 при х=—1, а |х—1|=0 при х=1. Далее будем решать данное уравнение на интервалах(-ОО, -1),[-1, 1), [1, 00).
Если х< — 1, то — х—1 —х+1 =2х3; 2х3 + 2х=0; х (х2 + 1)=0. Так как х2 + 1>0 при любом х, то х=0; это значение не входит в интервал (-со, -1).
Если —1<х<1, то х+1—х+1=2х3; 2х3 = ^ х3 = 1; х=1#[—1, 1).
Если х>1, то х+1+х-1=2х3; х3—х=0; х(х2 —1)=0; х(х-1)(х+ +1)—0; X] = — 1, х2=0, хз = 1. Интервалу [1, оо) принадлежит только значение х=1.'
Итак, получаем ответ: х— 1. ■
10.010. Х[, 2= ±3, X3 4= ±2, Х$, 6= ± 1> X7=0.
10.011. □ Так как x2 = |x|2, то решаем неравенство |х|2—4 |х| + 3>0. Его левая часть есть квадратный трехчлен относительно |xj, который обращается в нуль при |х| = 1 и |х| = 3. Используя метод интервалов, находим |х| < 1 или |х|>3. Отсюда следует, что — 1<х<1, х< —3; х>3. Ответ: (-00, -3)U(-1. 1)U(3. =0). ■
10.012. (-3, 2)(J(2, 3). 10.013. (-оо, — 2/7](J(3, оо). 10.014. (2, 3). 10.015. (2, 4) (J (4, 6). 10.016. (0, оо).
10.017. □ Имеем |х+1|=0 при х= — 1, |х4-2|=0 прих=-2. Далее будем решать данное неравенство на интервалах (—оо, —2), [—2, — 1) и [—1, оо).
Если х<—2, то неравенство примет вид —х—1>—2х—4, откуда х>—3. Значит, —3<х<—2(1).
Если — 2<х< — 1, то —х— 1 >2x4-4 или Зх< —5, т. е. х< —5/3. Поэтому — 2<х<—5/3 (2).
Если х> — 1, то х+1 >2х+4, откуда х< — 3. В этом случае решений нет. Объединяя решения (1) и (2), получаем ответ: (—3, —5/3). ■
10.018. □ В зависимости от различных сочетаний знаков х и у данная система распадается на четыре системы:
1)1)Гх>0, L>o, ) 2х-3у=1 кх4-2у=4Гх>0, L>o, ) 2х-3у=1 кх4-2у=4/"х>0,
1)
1)
Гх>0, L>o, ) 2х-3у=1 кх4-2у=4
Гх>0, L>o, ) 2х-3у=1 кх4-2у=4
I >->0,
) 2х-3у=1
L —2х—4у= —8;
—7у= —7; у=1 >0, х=4— 2у=2>0;
решение системы (2; 1);
2)2)Гх<0,Ь<0,) 2х4-3у=1, L—х4-2у=4Гх<0,Ь<0,) 2х4-3у=1, L—х4-2у=422/-х<0,|у<0,| 2х4-3у=11-2х4-4у = 8/-х<0,|у<0,| 2х4-3у=11-2х4-4у = 8
2)
2)
Гх<0,
Ь<0,
) 2х4-3у=1, L—х4-2у=4
Гх<0,
Ь<0,
) 2х4-3у=1, L—х4-2у=4
2
2
/-х<0,
|у<0,
| 2х4-3у=1
1-2х4-4у = 8
/-х<0,
|у<0,
| 2х4-3у=1
1-2х4-4у = 8
7у=9; у=9/7>0 — решений нет;
3)3)/-х>0,Ь<0,) 2х4-3у=1, 1х+2у=4/-х>0,Ь<0,) 2х4-3у=1, 1х+2у=4-2-2/*х>0,J У<0> ) 2х4-3у = 1, V—2х-4у=-8;/*х>0,J У<0> ) 2х4-3у = 1, V—2х-4у=-8;
3)
3)
/-х>0,
Ь<0,
) 2х4-3у=1, 1х+2у=4
/-х>0,
Ь<0,
) 2х4-3у=1, 1х+2у=4
-2
-2
/*х>0,
J У<0> ) 2х4-3у = 1, V—2х-4у=-8;
/*х>0,
J У<0> ) 2х4-3у = 1, V—2х-4у=-8;
—у= —7; у=7>0 — решений нет;
4)4)/■х<0,) У>0>) 2х-3у=1,V—х4-2у=4/■х<0,) У>0>) 2х-3у=1,V—х4-2у=422Гх<0,Ь>0,| 2х-3у=1, L—2х4-4у=8;Гх<0,Ь>0,| 2х-3у=1, L—2х4-4у=8;
4)
4)
/■х<0,
) У>0>
) 2х-3у=1,
V—х4-2у=4
/■х<0,
) У>0>
) 2х-3у=1,
V—х4-2у=4
2
2
Гх<0,
Ь>0,
| 2х-3у=1, L—2х4-4у=8;
Гх<0,
Ь>0,
| 2х-3у=1, L—2х4-4у=8;
Ответ: (2; 1). ■Ответ: (2; 1). ■
Ответ: (2; 1). ■
Ответ: (2; 1). ■
у=9; х=2у—4=14>0 — решений нет.
10.019. (3; 2). • Сложить и вычесть почленно данные уравнения.
10.020. (-2; -1), (2; 1). 10.021. (0; 2), (2; 0). 10.022. (1/2; ^2/5).
10.024. □ Так как х>1, то log3X>0. Прологарифмировав первое неравенство по основанию 9, получим loggx'logglogix^O. Далее, при х>1 имеем loggx>0; значит, logglogjX^O, откуда 0<log3x<l, т. е. 1 <х<3. Находим целые значения хе(1, 3] и получаем ответ: х1 =2, Х2=3. ■
Рис. Р.10.1
10.025. □ а) Находим корни функции: х2 + 5х+6=0 при Х] = —3 и Х2=—2; затем найдем точку пересечения параболы с осью Оу :у=6 при х=0. Кроме того, определим координаты вершины параболы: х,= —(3+2)/2 = = —2,5; ув = 6,25—11,5 + 6 = — 0,25. Строим параболу по точкам (—3; 0), (—2; 0), (—2,5; —0,25), (0; 6) и симметричной последней точке (—5; 6) (рис. Р.10.1, а).
Функция / (х) — четная, так как /(—х)=/(х), а потому ее график симметричен относительно оси Оу. Чтобы построить этот график, нужно взять часть полученной выше параболы при х>0 и отобразить эту часть симметрично относительно оси Оу (рис. Р.10.1, б).
Отметим, что у=|х2+5х+6|>0 при любом х. График данной функции можно получить из графика функции у=х2+5х+6. При тех значениях х, где у > 0, указанный график сохраняется, а при тех значениях х, где у < 0, он отображается симметрично относительно оси Ох вверх (рис. Р.10.1, в).
Имеем у = |х2 + 5 |х|+6|=х2 + 5 |х|+6, так как х2 + 5 |х| + 6>0 при любом х. График этой функции изображен на рис. Р.10.1, б. ■
10.026. а) — г) См. соответственно рис. Р.10.2, а—г.
10.028. □ Запишем функцию в виде
(х + 1 при х>0, у=•<
(х—1 при х<0.
Строим графики линейных функций при указанных значениях аргумента х. Точки (0; 1) и (0; -1) графику не принадлежат (рис. Р.10.3). ■
10.032. □ I способ. Имеем у=|х+2| + |х—2|. Воспользуемся определением модуля и построим график на различных участках числовой оси: если х< — 2, тоу=^х—2—х+2= -2х; если -2<х<2, тоу=х+2-х+2=4; если х>2, ТОу=х + 2+х-2=2х (рис. Р.10.4, а).
II способ. Построим на одном чертеже графики функций у=|х+2| ■ и у=|х—2|, а затем сложим их графически (рис. Р.10.4, 6). ■
10.038. □ а) Строим график по точкам (1; 0), (1/2; 1), (2; — 1) (рис. Р.10.5, а).
функция определена, если —х>0, т. е. х<0. График функции y»logi/2 (—х) симметричен графику функции y^log^x относительно оси Оу (рис. Р.10.5, б).
Функция y—logj/i И — четная; ее область определения х#0. График функции состоит из двух кривых, симметричных относительно оси Оу (рис. Р.10.5, в). ■
г) — д) См. рис. Р.10.5, г, д.
10.039. □ Функция у=2*^х определена при х#0, причем 2*^>0 во всей области определения. Если х-»0 справа, то 1/х-* + со, т. е. 2^х-* + оо; если же х->0 слева, то 1/х-> —оо, т. е. 2*^х-*0; далее, если х-» + оо, то 1/х-»0 и 1/х>0, т. е. 2^Х-»1 (причем 2^Х>1); если же х-> —оо, то 1/х->0 и 1/х<0, т. е. 2^Х-»1 (причем 2*^< 1). Искомый график изображен на рис. Р.10.6. ■
10.040. См. рис. Р.10.7.
10.042. □ Здесь х>0. Если lgx>0, т. е. х>1, то y = 21gx; если же lgx<0, т. е.
0<х<1, то у=0. Искомый график изображен на рис. Р.10.8. ■
10.043. □ Имеем y = ^/lO21g,X| = lo'g|X| = |x| при условии х#0. Таким образом, если из графика функции у=|х| удалить точку (0; 0), то получим искомый
график (рис. Р.10.9). ■
Рис. Р.10.8
10.044. □ Функция определена, если х>0 и х#1. При этих значениях х имеем у=2. Искомый график изображен на рис. Р.10.10. ■
х^—4(х#2,
10.048. □ Найдем область определения функции: >0=><’ =»-2<
х—2[х+2>0
<х<2; х>2. При этих значениях х функция имеет вид y=log2 (х+2). Ее
график изображен на рис. Р.10.11. ■
= V«= V«хн—i; имеем у = 0 при х= 2aiхн—i; имеем у = 0 при х= 2ai
= V«
= V«
хн—i; имеем у = 0 при х= 2ai
хн—i; имеем у = 0 при х= 2ai
10.052. ПЗапишем уравнение в виде |х—1| =5 — 2х. Так как |х—1|>0 при любых х, то и 5—2х>0, т. е. х<2,5. Рассмотрим функции У1 = |х—1|, У2=5—2х и построим на одном чертеже их графики при х<2,5 (рис. Р.10.12). Решением данного уравнения является абсцисса точки пересечения данных графиков. С помощью рис. Р.10.12 устанавливаем, что х=2. Я
10.053. □ Так как Ь2 — 4лс=0 и л>0, то квадратный трехчлен ах2 + Ьх + с имеет равные кор- b
ни: Х{—х2 =. Значит, у =
2а
b
—. Строим график фун- 2л
6\b
хн— ) (прямую), а затем часть этой прямой при х< —— v 2л/2а
отображаем симметрично относительно оси Ох вверх (рис. Р.10.13). От- bb
метим, что рис. Р. 10.13 иллюстрирует случай, когда —>0; если же —<0, 2л2л
то точка пересечения прямой с осью Ох окажется правее точки х=0. Я
У-
• --о
0,5 *°„
1 е—е;►
01248 х
е-о
Рис. Р.10.14
10.054. □ Согласно условию, y=nog2x). Если х=0,5, то [log20,5] = — 1; такое же значение принимает функция при хе[0,5; 1); если х=1, то [log2l]=0, а также при всех хе[1, 2); если х = 2, то [log2 2] — 1, а также при всех хе[2, 4); если х=4, то [log24] = 2, а также при всех хе[4, 8); наконец, если х=8, то n°g2 3] = 3. Искомый график изображен на рис. Р.10.14. ■
10.055. Да.
10.056. □ Сначала построим график функции y=lgx2 —21g |х| (рис. Р.10.15). Прежде чем построить график функции у=\^х, отметим, что она определена при х>0, а ее значения у>0. Далее находим производную 1
y'=21gx-и исследуем функцию на экстремум. Имеем у'=0 прих=1; xlnlO
если х<1, то у'<0, а если х> 1, то у'>0. Итак, х= 1 — точка минимума, причем ут;„ = 0. Теперь построим график функции у=1g2 х (рис. Р.10.15). ■
10.057. □ I способ. Построим графики заданных функций (рис. Р.10,16).
Функция у=4х—3 2х обращается в нуль, когда 2 (2х—3) —0, т. е. 2 —3=0, откуда x=log23. Если x<log23, то у<0; если же x>log23, то у>0. Далее, если х-» + оо, то у-»оо; если же х-* — со, то у-»0. Исследуем данную функцию на экстремум. Находим у' = 2 In 2 2-3'2 In 2 = = 2"ln2 (2^ 2-3); у' = 0, если 2 + > —3 = 0, т. е. x=log23 —1. При x<log23 —1 имеем у'<0, а при x>log23 — 1 имеем у’>0; значит, х = =log23—1 —точка минимума. Найдем соответствующее значение функ-
Функция у = —(5'2 * + 1)<0 при любом х. Исследуем ее на экстремум: у'—— 52 Х1п2 (—1) = 52 ХIn 2 >0 при любом х, т. е. функция не имеет экстремумов и возрастает на всей числовой оси. Найдем значение функции при x=log23 —1: у— — (521 4-1) = — (5'2'3~1-г 1)= —4-. Из рис
Р.10.16 видно, что построенные кривые не имеют общих точек.
уравнение в виде у3 + 5=Зу2—у и решим его графически. Построим на одном чертеже графики функций z=y3+5 и z=3y2—у (рис. Р.10.17). При у > 0 функция у 3 + 5 возрастает быстрее, чем Зу2 —у, и графики не пересека- ' ются. Уравнение (2) имеет единственный корень у= —1<0, но он неудовлетворяет уравнению (1). Итак, уравнение (1) не имеет решений, т. е. графики заданных функций не имеют общих точек. ■10.058. (2; 2), (-3; 57).уравнение в виде у3 + 5=Зу2—у и решим его графически. Построим на одном чертеже графики функций z=y3+5 и z=3y2—у (рис. Р.10.17). При у > 0 функция у 3 + 5 возрастает быстрее, чем Зу2 —у, и графики не пересека- ' ются. Уравнение (2) имеет единственный корень у= —1<0, но он неудовлетворяет уравнению (1). Итак, уравнение (1) не имеет решений, т. е. графики заданных функций не имеют общих точек. ■10.058. (2; 2), (-3; 57).Рис. Р.10.18Рис. Р.10.18— К х < 1. Искомый график симметричен относительно осей Ох и Оу. Сначала построим график при— К х < 1. Искомый график симметричен относительно осей Ох и Оу. Сначала построим график при
уравнение в виде у3 + 5=Зу2—у и решим его графически. Построим на одном чертеже графики функций z=y3+5 и z=3y2—у (рис. Р.10.17). При у > 0 функция у 3 + 5 возрастает быстрее, чем Зу2 —у, и графики не пересека- ' ются. Уравнение (2) имеет единственный корень у= —1<0, но он не
удовлетворяет уравнению (1). Итак, уравнение (1) не имеет решений, т. е. графики заданных функций не имеют общих точек. ■
10.058. (2; 2), (-3; 57).
уравнение в виде у3 + 5=Зу2—у и решим его графически. Построим на одном чертеже графики функций z=y3+5 и z=3y2—у (рис. Р.10.17). При у > 0 функция у 3 + 5 возрастает быстрее, чем Зу2 —у, и графики не пересека- ' ются. Уравнение (2) имеет единственный корень у= —1<0, но он не
удовлетворяет уравнению (1). Итак, уравнение (1) не имеет решений, т. е. графики заданных функций не имеют общих точек. ■
10.058. (2; 2), (-3; 57).
Рис. Р.10.18
Рис. Р.10.18
— К х < 1. Искомый график симметричен относительно осей Ох и Оу. Сначала построим график при
— К х < 1. Искомый график симметричен относительно осей Ох и Оу. Сначала построим график при
II способ. Если кривые имеют общие точки, то уравнение 4 —32 = = —(5 2 .+1) (1) имеет решение. Решим это уравнение. Полагая 2 = у>0, получим у2—Зу=1 или у3 —Зу2+у+5=0 (2). Запишем последнее
У
10.059. □ Перепишем данное соотношение в виде |у| = 1 — |х|. В силу того, что |у|>0, имеем 1 — |х|>0, откуда х| < 1, т. е. — 1<х <1. Искомый график симметричен относительно оси Оу, поскольку у не зависит от знака х, и симметричен относительно оси Ох, так как у= ±|1 — |х||. Достаточно построить график при х>0, у>0, а затем отобразить его симметрично относительно осей координат (рис. Р.10.18). ■
10.061. См. рис. Р.10.19.
10.062. □ Заданное равенство определено при х#0. Так как |у|>0, то logj/2 И>0; значит, |х|<1, откуда
10.064. а=2. 10.065. Нет.
10.066. □ Ветви параболы направлены вниз; следовательно, о<0. Квадратный трехчлен имеет корни х( <0, х2>0. Согласно теореме Виета, xix2 = c/a<0; но о<0 и, значит, с>0. (Иначе: при х=0 имеем у=с и из того, что у>0, следует с>0.) Абсцисса вершины параболы хв>0; так как х,=>0
2о
и о<0, то 6>0. ■
10.067. о>0, Z»0, с=0. 10.068. у=-2х2-х+3.
10.069. □ По условию, при х=0 значение у=1, откуда с=1. Далее, так как абсцисса вершины параболы х, и при х = — 0,75 имеем унаиб=3,25, то 2л
b33
=—, откуда b=- а. Тогда искомая функция примет вид 2а42
,3
у=ах н— ох +1. Подставив в это равенство координаты вершины парабо- 2
13 93 / 3\
лы, получим —=— а+- а — + 1. Решим последнее уравнение относи- 4 162 \ 4/
тельно а и найдем а= —4; значит, Ь= —6. Итак, искомая функция имеет вид у= — 4х2 —6х+1. ■
10.070. х=-1. 10.071. (к+1)3 (к-1)2.
10.072. □ Здесь xeR и у>0. Разложим левую часть уравнения на множители: (х2 —4х+4)+(у—6х/у+9) = (х—2)2 + (х/у—З)2. Получаем уравнение (х— — 2)2 + (л/у — З)2 =0. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда оба числа одновременно равны нулю, т. е. х—2=0, •Vу— 3=0, откуда х=2, у=9. Это единственная точка плоскости, координаты которой удовлетворяют данному уравнению. ■
10.074. ае(6/5, 2). • См. решение аналогичной задачи 8.104.
10.075. □ I способ. Согласно условию, 6<х2 + 5х+6< 12. Таким образом, имеем систему неравенств
Jx2 + 5x>0,fx<-5;x>0,
[х2 + 5х—6^0( —6<х<1.
В результате получаем ответ: — 6<х< —5 и 0<х<1.
II способ. Построим параболу у=х2 + 5х+6 и прямые у=6 и у—12 (рис. Р. 10.21). С помощью рисунка устанавливаем, что значения функции у=х2 + 5х+6 заключены в промежутке [6, 12] при — 6<х< — 5
10.076. □ Решением системы являются координаты точек пересечения графиков функций, заданных этими уравнениями. Запишем исходную систему в виде (у=5—х2, <Графиком первого уравнения является парабола с осью сим-
(х=3—у2.
метрии Оу, а графиком второго — парабола с осью симметрии Ох. Построив эти графики (рис. Р. 10.22), получим четыре точки их пересечения, т. е. данная система имеет четыре действительных решения. ■
10.077. 0.
10.078. □ Общий вид биквадратного уравнения таков: ох*+6х2+с=0. По условию, оно имеет корни xi—^3—1 и хг=ч/з + 1. Корни биквадратного уравнения попарно противоположны; следовательно, имеются еще корни
Хз = -(7з-1)и Х4 = — (^/3 +1). Полагая а = 1, представим левую часть уравнения в виде произведения:
(x-(V3-D) (x+(V3-l)) (x-G/S + D) (x+(V3 + l))=0; _ (х2-(7з-1)2) (x2-(V3 + l)2)=0; (x2-4+2V3) (x2-4-2V3)=0;
(x2—4)1 —(2^/з)2—0; x* —8x2+16 —12=0; x*—8x2+4=0. ■
10.079. □ Имеем x5y+xys=xy (x1+y1+2xy—2xy)=xy ((x—y)2 + 2xy)=3 (42 + + 2 3)=66. ■
10.080. □ Здесь D>0, т. e. уравнение имеет два корня xg и х2. Согласно теореме
Виета, Х]+Х2=3, Х]Х2= —10. Далее находим
х’+х2=(х1+х2) (x2-xix2+x2+2xix2-2xix2)=
= (х1+х2)((х1+х2)2-Зх1х2) = 3 (З2 —3 (—10)) = 117. ■
10.081. Нет. 10.082. р=±12. 10.083. q = 6. 10.084. ^=2, кг = -2/9.
10.085. □ Пусть X) и х2 — корни уравнения. Тогда х1х2=а—2, xi+x2= — а. Отсюда выразим хг+х^^+хг)1—2х!Х2=а2 —2д+4=/(а). Так как / (а) — квадратичная функция, первый коэффициент которой положителен, то / (а) принимает наименьшее значение. Оно достигается при а= 1. ■
10.086. □ Пусть Х]>0 и х2>0 — корни квадратного трехчлена (Л—1)х2 +
+ (Л—3) х+Л—2. Тогда должны быть выполнены следующие условия:
Л-2 >0, Л-1ЗЛ2-6Л-1«0.Л-2 >0, Л-1ЗЛ2-6Л-1«0.Л#1,л-з —<0, Л-1Л#1,л-з —<0, Л-1Л—1#0,
Л-2 >0, Л-1
ЗЛ2-6Л-1«0.
Л-2 >0, Л-1
ЗЛ2-6Л-1«0.
Л#1,
л-з —<0, Л-1
Л#1,
л-з —<0, Л-1
Л-3
— >0,
Л-2
Х|Х2 =>0,
Л-1
Д«(Л—З)2 —4 (Л—1) (Л—2)>0
Из второго неравенства находим, что 1 < Л < 3, из третьего — что Л< 1 или Л>2, а из последнего — что (3— V12) /3<A<(3+V12)/3. С помощью рис. Р.10.23 получим ответ: 2<Л^(3+ч/12)/3. ■
2 51S з2 51S з
2 51S з
2 51S з
Рис. Р.1023
10.087. — 5<а<3..
10.088. □ Разложим левую часть уравнения на множители: х3—7х—6=(х3—х)—6 (х+1)=х(х-1)(х+1)-6(х+1) = =(х+1)(х2-х-6)=(х+1)(х+2)(х-3).-
Очевидно, что уравнение (х+1) (х+2) (х—3)=0 имеет корни Х] = — 1, х2=—2, хз=3. При этом x1+x2+xj=0, т. е. сумма всех корней данного уравнения равна нулю.
В этом можно убедиться и не находя корней уравнения. Пусть уравнение
имеет корни xV1 хг, хз; тогда хэ — 1х—6 = (х—xt) (х—х2) (х—хз). Перемножив эти двучлены и приведя подобные члены, получим
Так как волевой части член с х2 отсутствует, то и в правой частиТак как волевой части член с х2 отсутствует, то и в правой частиX3 —7х —6 = Х3 —(Xj +Х2+Х3) Х2+(х1Х2 + Х1Хз + Х2Х3) X —XjX2X3.
Так как волевой части член с х2 отсутствует, то и в правой части
Так как волевой части член с х2 отсутствует, то и в правой части
Xi +Х2+хз=О, что и требовалось установить. ■
Рис. Р.10-24Рис. Р.10-2410.089. □ I способ. Разложив левую часть уравнения на множители, получим (х—1) х х(х2+х+3)=0. Так как х2+х+3>0 при любом х, то х—1 =0, откуда х=1. Значит, уравнение не имеет отрицательных корней. II способ. Решим данное уравнение графически. Записав его в виде х3=— 2x4-3, построим графики функций у=х3 и у = = -2x4-3 (рис. Р.10.24). С помощью рисун- ка устанавливаем, что х = 1 > 0 и других корней нет. ■
Рис. Р.10-24
Рис. Р.10-24
10.091. (д-1) (04-3) (а24-3).
10.092. □ Разложим данный многочлен на множители:
/(х) = х“-2х34-2х2-8х4-16 = (х4-2х34- 4-х2)4-(х2-8х4-16) = х2 (х2 —2x4-1) 4+ (х—4)2=х2 (х—1)24-(х—4)2.
Очевидно, что х2 (х—1)2>0 при х#0, х#1, а (х—4)2>0 при х#4. Таким образом, / (х) является суммой двух неотрицательных слагаемых, которые одновременно не обращаются в нуль, т. е. / (х) > 0 при любом х. ■
10.093. Ux- Vy) Цх-lJyY
10.094. * Упростить левую часть равенства и доказать, что это равенство есть тождество при условии а^Ь^с.
10.095. Нет.
111
10.096. □ Имеем у =—===== =—== =. Найдем область опреде-
Vx2-10x4-25 V(^-5)2 lx~5l
ления функции: )х—5|^0, т. е. х#5. Значения функции слева и справа от точки х=5 одинаковы, так как |—а| = |а|; следовательно, график функции симметричен относительно прямой х=5. ■
10.097. □ Найдем область определения уравнения:
х4-1>0,— 1,
=>/=>-1<х<3.
3-х>0(х«3
Следовательно, 0<Vx+K2, 0<Vs™х<2, откуда Vx+1 *^3 — х<17, т. е. уравнение не имеет корней. ■
10.098. (-00, -1)U(-D DUO. ®Y Ю.099. (-со, -3)(J[-2, 0)U(0, 3)U UP, co). 10.100. (1/2, l)Ul3> °0)-
10.101. □ Данная функция определена при условиях
х>0,Гх>0,
|х-3|«1,=><2«х«4,
arcsin (х—3)^0^х#3.
Решив последнюю систему, получаем ответ: [2, 3) U (3, 4]. ■
10.102. (-3, -2/3]. 10.103. (0, 1).
10.104. □ I способ. Функция определена прй условии 2Х-3Х>0, т. е. 2Х>3Х.
Далее имеемДалее имеемРазделив обе части неравенства на 3 >0,
Далее имеем
Далее имеем
имеемимеем>1, откуда получаем ответ:
имеем
имеем
х<0.х<0.II способ. На одном чертеже строим графики функций у=2 и у=3* (рис. Р. 10.251 С помощью рисунка получаем ответ: (—со, 0]. ■'
х<0.
х<0.
10.105. (0, 1). 10.106. 2™, neZ. 10.107. (0, 1/2] I) U(l, 2]. 10.108. (1, 4]. 10.109. xeR; да, х=1 — ось симметрии.
3-1 <32^<3=» —1 <-<!=»3-1 <32^<3=» —1 <-<!=»10.110. □ Функция не определена, если х=0 или 3 • 81 *^лг—10'9*^+3 <0. Положим 9*^=у> >0 и придем к неравенству Зу2 — — 10у+3<0, откуда находим 1/3<у<3.
3-1 <32^<3=» —1 <-<!=»
3-1 <32^<3=» —1 <-<!=»
Решив последнюю систему, получим ответ: (-00, -2)и(2, со) (J 0. ■
10.111. □ Данная функция определена при условиях
I sinx<l, J Зх2 —10х+3<0,I -Зх2+10x-3# 1.I sinx<l, J Зх2 —10х+3<0,I -Зх2+10x-3# 1.С1 —sinx>0, J -Зх2 + 10х-3>0, | lg(-3x2 + 10x-3)#0
I sinx<l, J Зх2 —10х+3<0,
I -Зх2+10x-3# 1.
I sinx<l, J Зх2 —10х+3<0,
I -Зх2+10x-3# 1.
Первое неравенство выполняется при любом х, второе — при 1/3<х<3; наконец, из последнего условия имеем х#(5±V13)/3. Таким образом,
/1 решение системы имеет вид (-
, 3 I. Целыми значениями х, принадлежащими области опреде
ления функции,являются 1 и 2. ■
10.112. Равенство не имеет смысла. 10.113. (—оо, — 7].
□ Согласно определению модуля, |а|«=д, если а>0. Решив неравенство х — 8х+12>0, устанавливаем, что х<2 или х>6. Ответ: (—оо, 2](J U [6, 00). ■
(-оо, 2](J(4, 6)(J[8, оо). 10.116. (-оо, — 1)(J[0, 1). 10.117. [-1; 0,11].
□ Здесь х2— 1>0=>|х|>1=»х< — 1; х>1. Полагаем ^/х2 —1=у>0. Да- 6,
лее имеем у—=1; у—у—6=0;у] = -2<0 (не подходит), yz=3. Итак, У —
получаем уравнение Vx2 —1 =3, откуда х2—1 =9, т. е. Х], 2= ±V1Q- Оба
корня принадлежат области определения уравнения. ■
■1+х
□ Здесь>0. Решив это неравенство методом интервалов, находим
1111х< — 1 или х>0. Запишем данное уравнение так: ^- + И— = 5. Полагая 1/х=у, получим Vy+1 +У=5 ™ Vx+^S—У (!)• Область определения
1
1
1
1
уравнения (1) есть у> — 1: в этой области Vy+^О; следовательно, и 5— у>0, т. е. у <5. Итак, искомый корень принадлежит интервалу — 1 <у <5. Возведем обе части уравнения (1) в квадрат:
у +1 =25—Юу+у2; у2—11у+24 = 0; у, = Зе[-1, 5]; у2—8#[— 1, 5].
Наконец, решив уравнение 1/х=3, находим х=1/3>0— корень данного уравнения. ■
Замечания. 1. Полученный корень полезно проверить.
Можно выполнить все указанные действия без нахождения области определения уравнения, но следует помнить, что возведение в квадрат обеих частей уравнения расширяет его область определения и могут появиться посторонние корни. После такого решения обязательна проверка корней подстановкой их в исходное уравнение.
^ = -31/11, х2 = 3. 10.121. х = 64. 10.122. х1=4,5, х2 = 6. 10.123. л-1/6, х2 = 6. 10.124. x^l/16, х2=4. 10.125. х = 3.
□ Запишем уравнение в виде x+lg (1 +4Х) = 1 +lg5. Нетрудно установить, что значение х=1 удовлетворяет уравнению. Левая часть уравнения есть /(x)=x+lg (1+4Х) — функция возрастающая; поэтому если х< 1, то' / (х) < 1 + 1g 5, а если х > 1, то / (х) > 1 + 1g 5. Значит, уравнение имеет единственный корень х=1. ■
хь 2= ±2, х3=1.
л
□ Если cos58 х=0, то cosх=0, откуда х=- + лл, ле Z. При этих значениях 2
л
х имеем sin х = +1; тогда sin4,0 х = 1, т. е. значения х=- + лл удовлетворяют 2
уравнению. Если же sin*°x=0, то sinx=0, откуда х=лл, neZ. При этих значениях х имеем cosx=+l; поэтому cos58x=l, т. е. значения х=лл также удовлетворяют уравнению. Объединяя найденные решения, получим х=лл/2, neZ.
Покажем, что других корней уравнение не имеет. Пусть х^лл/2; тогда sin2x<l и cos5x<l; так как sin4,0 х < sin2 х, cos58x<cos2x, то cos58x+sin40x<sin2x+cos2x, т. е. cos58x+sin4Ox<l и, следовательно, других корней уравнение не имеет. Ответ: х=лл/2, neZ. ■
□ Здесь должны выполняться условия sinx>0, cosx>0, cosx^l. Из л
первых двух неравенств следует, что 2лл<х<-+2лл (neZ), а из данного 2
уравнения — что sinx=cosx. Разделив обе части этого уравнения на л
cosx^O, получим tgx=l, откуда х=- + лл, neZ. Однако интервалу 4
л \л
2лл, -+2лл I принадлежат только значения х=-+2лл, neZ. ■
л
□ Из уравнения следует, что sinx=- + nn, neZ. Так как |sinx|<l, то 4
Лк . я
sinx=-, откуда х=(—1) arcsin- + л*, keZ. ■1
44
(0; 1).
□ I способ. Корни уравнения должны удовлетворять системе неравенств
а—6х>0,
х—1>0
Возведя обе части данного уравнения в квадрат, получим
а—6х=х2 —2х+1 или х2 + 4х+1 — д=0.(2)
D■
Уравнение (2) имеет решения, если —=4—1 +д = 3+д>0, откуда д>—3.
4
Если а= — 3, то уравнение (2) имеет единственный корень Х1=х2=—2, который не удовлетворяет условиям (1). Если же а> — 3, то уравнение (2) имеет два корня: Х[ = — 2 —^/з+д и Х2= — 2+^/з + д. Однако корень X! при всех значениях х отрицателен и, значит, не удовлетворяет условиям (1). Выясним, при каких значениях д этим условиям удовлетворяет корень х2. Для этого решим систему
л>6 (—2 +V3+o)>х/з+д^а+12,
=» <
— 2 + V3 + a>l lV3 + a>3.
Легко установить, что первое неравенство выполняется при а> — 3, а второе — при а>6. Итак, при б^жоо уравнение имеет единственный корень х= — 2+л/З + д, а при — оо<д<6 оно не имеет корней.
II способ. Положим VII способ. Положим Va-t1
II способ. Положим V
II способ. Положим V
a—6x=t>0. Тогда а—6х=/ , откуда х =—-—,
а заданное уравнение примет вид (2+6/+6=а. Решим это уравнение графически, для чего построим параболу у=(2+6г + 6 и прямую у=а (рис. Р. 10.26). Эти линии пересекаются в двух точках, имеющих абсциссы t= —З—^З+а и t= — 3 + ^3+д. Требованию <>0 может удовлетворять только второй корень; нетрудно установить, что это требование выполняется при а>6 (соответствующая часть параболы выделена на рисунке жирной линией). Теперь вернемся к старой переменной х; находим х =
a — (V3+a— З)2 а — 3 — д+б^З+д—9.
==;= — 2+^3 + д. В результате полу-
66
чаем тот же ответ, что и при I способе решения. ■
□ Здесь и далее для уравнений с параметрами возможен аналитический способ решения,, однако ввиду его громоздкости будем использовать гра
фический способ. Положим ^/За—2х=/>0. Тогда За—2х=Р, откуда За I1
х~~^~~^> Данное уравнение примет вид t —2l=a. Построим параболу
у = 1г — 21 и прямую у=а (на рис. Р. 10.27 соответствующая условию <>0 часть параболы выделена жирной линией). С помощью рисунка устанавливаем, что при а< — 1 уравнение не имеет корней, при —1<а<0 оно имеет два корня, а при а = — 1 и при а>0 — один корень. Остается найти эти корни. Для этого решаем уравнение I1 — 2t—а=0, откуда получим /1, 2=
= l±Va+l или, возвращаясь к старой переменной, xj, 2=а—1±^а+\. Итак, при — 1 <а<0 уравнение имеет два корня: х^ 2=fl —1±V°+1>' при
а= -1 —- один корень х= -2; при а>0 — один корень х=а— l—^a+ 1; наконец, при о < — 1 оно не имеет корней. Я
□ Умножив и разделив левую часть уравнения на сопряженное выражение, приведем уравнение
2
к виду —== =а. По-
^Х* 1 +^х— 1строим график функции2
у=--==.(рис. Р.10.28).
VX4-1 +yjx— 1
Из рисунка видно, что при 0 < я < ^2 прямая у=а пересекает этот график в единственной
пересекает его. Для нахождения абсциссы точки пересечения прямой у=а 2
с графиком функции у=—=== решим систему уравнений
Vx + 1 +VX-1
Vx+i—Vх— *=a-
2
х/ x+1 +v x— 1 ——. a
Сложив эти уравнения, получим 2^х*\=аА— или Vх + 1=_-<—, откуда а2 а
а1 1а*+ 4.-
х + 1 =—1-1-1—, т. е. х=—. Итак, при 0<a<v2 уравнение имеет
4а24а2
а*-!-4.-
единственный корень х =— а при а<0иа>^2 оно не имеет корней. Я
4а1
При — 1,25<а<5 уравнение имеет два корня: Х|, 2 = — 1,5 ±0,5^5+4а;
при а= —1,25 — один корень х=—1,5; при а>5 — один корень х= —1,5 — —0,5^5 + 40; при а< —1,25 нет корней. 10.136. При — ^6<а^^/б уравнение имеет один корень х= —0,5а V12—а2; при а<— ^6 и а>^6 нет корней. 10.137. При 2,75 <а<3 уравнение имеет два корня: х1-2=0,02 (—5±^4а—11); при
а=2,75 — один корень х= — 0,1; при а>3 — один корень х=0,02(—5 + + у4о— 11); при а<2,75 нет корней.
□ Если т=0, то уравнение примет вид 2=х+4 и, значит, имеет единст
венный корень х= — 2. Пусть т#0. Положим ^1 —т (х+2)=у>0, откуда 1 —у2*
после преобразований найдем х=2. Тогда данное уравнение запит
шется так: 2у=2+4 или 2my=l—у2+2т или y2 + 2my—1 = 2т.
т
Теперь построим графики функций z=y2 +2ту—1 и z=2m. Так как в уравнении параболы коэффициент при у содержит параметр т, то нужно рассмотреть два случая: т>0 и т<0. В обоих случаях, учитывая условие у >0, берем только ту часть параболы, которая расположена правее оси Oz (рис. Р. 10.29, а, б). Если т > 0, то прямая z = 2m пересекает указанную часть параболы в единственной точке при условии 2m > — 1, т. е. при т> — 1/2; значит, в этом случае т>0. Если же т<0, то прямая z=2m пересекает эту часть параболы в единственной точке также при условии 2m > — 1, т. е. при т> —1/2; следовательно, такое пересечение получается при — 1/2<т<0. Кроме того, в случае т<0 уравнение имеет единственный корень при условии, что прямая z=2m касается параболы z=y2 + 2m —1 в ее вершине. Записав уравнение параболы в виде z=(y+m)2— 1 —m2, устанавливаем, что ордината вершины равна — 1— т1; значит, условие касания примет вид — 1—m2=2m, откуда m= —1. Таким образом, объединив все полученные сведения, заключаем, что уравнение имеет единственный корень при т= — 1 и при — 1/2<т<оо. ■
О <р< 2/3. 10.140. -оо<с<-4, -4<с<-2. 10.141. -со<к<-4.
□ Пусть Ах а-Вх А-Сх +...+К=0 — алгебраическое уравнение, где А, В, С, .... К — целые числа и А #0. Запишем его в виде
л В л-1 С л-2 К...
X А—X А—X +...+-=0.(1)
А АА
Если Хь Х2, .... х„ — корни уравнения (1), то его можно представить следующим образом:
(х—Xi) (х—х2)...(х—х„) = 0 или
х”-(х1+х2+... + хл) х” ' + ... + (-1)” х1Х2-.х„=0.'
Сравним коэффициенты при одинаковых степенях х, в частности свобод-
ные члены: (— 1)” х^.-.х,»KjA. Из этого равенства следует, что если уравнение (1) имеет целый корень, то К делится на этот корень. ■
П Согласно условию, левую часть уравнения можно представить в виде (х1+Ах+В) (x’ + Cx+Z)) — 0, где А, В, С и D — целые числа. Выполнив умножение, получим
x4+(H + qxJ+(5+Z)+AC) x^AD+BQ x+BD-0.
Сравним коэффициенты при одних и тех же степенях х в данном и в полученном уравнениях: А + С— —4, AD+BC—37, BD— -14. Так как В и D — целые числа, то возможны следующие варианты: 1)5—7, Л——2; 2) 5= —7, 5=2; 3) 5-2, D=-7; 4) 5=-2, D-7; 3) 5=14, D--1; 6) 5--14, Л-1; 7) 5-1, Л--14; 8) 5--1, Л-14.
( —2Л + 7С —37,
Если 5—7, Л—— 2, то имеем систему <откуда 9С—29,
I Л + С— —4,
т. е. С—29/9 не является целым числом и этот случай не годится. [2Л-7С-37,
Если 5— —7, Л —2, то имеем систему ■<откуда 9Л — 9, т. е.
(Л + С——4,
А = 1, С=—5, и данное уравнение примет вид (х2+х—7) (х2—5х+2)=0. Остается решить уравнения х2+х—7=0 и х2 —5х+2—0.
□ Заданное равенство можно рассматривать только при х>0. Построим на одном чертеже графики функций у=х И у —log2X. Из рис. Р. 10.30 видно, что графики не имеют общих точек; значит, данное равенство невозможно. ■т□ Пусть корень уравнения х —не- псократимая дробь. Тогда получим тождествот1 т—+р —+ 9 = 0 или т +ртл + 9л =0 л2 лили т1” — л (pm+qn).(1)□ Заданное равенство можно рассматривать только при х>0. Построим на одном чертеже графики функций у=х И у —log2X. Из рис. Р. 10.30 видно, что графики не имеют общих точек; значит, данное равенство невозможно. ■т□ Пусть корень уравнения х —не- псократимая дробь. Тогда получим тождествот1 т—+р —+ 9 = 0 или т +ртл + 9л =0 л2 лили т1” — л (pm+qn).(1)Другие варианты рассматривать не следует, так как уравнение уже решено. ■
□ Заданное равенство можно рассматривать только при х>0. Построим на одном чертеже графики функций у=х И у —log2X. Из рис. Р. 10.30 видно, что графики не имеют общих точек; значит, данное равенство невозможно. ■
т
□ Пусть корень уравнения х —не- п
сократимая дробь. Тогда получим тождество
т1 т
—+р —+ 9 = 0 или т +ртл + 9л =0 л2 л
или т1” — л (pm+qn).(1)
□ Заданное равенство можно рассматривать только при х>0. Построим на одном чертеже графики функций у=х И у —log2X. Из рис. Р. 10.30 видно, что графики не имеют общих точек; значит, данное равенство невозможно. ■
т
□ Пусть корень уравнения х —не- п
сократимая дробь. Тогда получим тождество
т1 т
—+р —+ 9 = 0 или т +ртл + 9л =0 л2 л
или т1” — л (pm+qn).(1)
Правая часть равенства (1) представляет собой целое число, делящееся на л; тогда т , а значит, и т делится на л, что невозможно, поскольку т
дробь — несократима. Таким образом, рациональный корень не может л
быть дробью, т. е. х — целое число. ■
Нет.
□ I способ. Разложив левую часть уравнения на множители, получим 14
V10 sin (<р+2х)=4, где ф=arctg -. Отсюда sin (<р+2х) =—= > 1, т. е. ура- 3Vio
внение не имеет решений.
II способ. Сумма в левой части равна 4 только тогда, когда sin2x— —cos2x=l. Однако это невозможно, так как если sin2x—1, то со$2х=0, и наоборот. ■
(-оо, -V3/3]UM3/3. ”)•
□ Уравнение имеет смысл при z>0. Прологарифмировав его по основанию 5, имеем
4
4
Iog53z"log5z—2+- log3z или QogsS+logjz) log5z—2+- log5z.
Пусть log5z=y; тогда z=5 , а уравнение примет вид
(1)(2)(1)(2)у— у (—logs3 1—2=0.
(1)
(2)
(1)
(2)
\3/
Если Z] и Z2 — корни данного уравнения, то zi zj = У1 • 5^2=5х 1 +У1.
4 Согласно теореме Виета, для уравнения (1) находим У;+У2 =—logsS.
3
Подставив это значение в равенство (2), получим
,4/3
log,' 4/3 .
5 355
= 5 V5.
3 3
к=1. 10.153. k=4 и к<0. 10.154. (-2; 0), (2; 0). 10.155. (0; 25). 10.156. 16.
Область определения (2лл, л + 2лл), neZ; область значений (—оо, 0].
□ Рассмотрим разность
В числителе прибавим и вычтем выражение 2д/>+2дс+26с, а затем сгруппируем слагаемые:
А =-((а2+Ь24-с2 + 2дЬ+2ас+2Ьс)4-
3
+ (д2+/>2—2д6) + (д2 + с2—2дс) + (62+с2—26с) —1) =
(а+b + с)2 + (о—ЬУ + (а—с)2+(Ь—с)2 — 1
3
Согласно условию, д+А + с=1; значит,
A
Рис. P. 10.31
Рис. P. 10.32
□ Пусть ABC — прямоугольный треугольник; ВС=а, AC=b, АВ=с (рис. Р.10.32). Требуется доказать, что a+b^c^l (1). Предположим, что неравенство (1) верно. Преобразуем его так, чтобы получить неравенство, из которого следует справедливость данного неравенства. _ Так как все члены неравенства (1) положительны, то ^а+ЬУ^с^Т)2 или д2 + 2о6 + />2<2с2. Но а2+Ь2 = с2, а значит, lab^c2 (2). Теперь проведем ab chc
СК -LAB и положим CK=hc. Имеем Sk^bc——=—> откуда ab=chc и нера- 22
венство (2) примет вид 2сАг<с2 или hc^cl2 (3).
Покажем, что неравенство (3) действительно справедливо. Из геометрии известно, что если а=Ь, то hc=c[2. Пусть а^Ь. Проведем медиану CD к гипотенузе: тогда CD=c[l. Но из прямоугольного треугольника KCD следует, что CK<CD, т. е. hc< cj2. Итак, неравенство (3) верно для любого прямоугольного, треугольника. Теперь, взяв в качестве исходного верное неравенство (3) и проведя все рассуждения в обратном порядке, придем к неравенству (1). ■
[-2, 1HJ[2, оо). 10.165. (-3, 0)(J(2, оо). 10.166. (-4, 0)(J(0, 4). 10.167. (-1, 1)(J(2, оо)- 10168. [1/3, 3/4).
х2 + 2.1
(—оо, оо). • Воспользоваться тем, что —= = О^2 + 1 +—- —■ 'xjx2-ir\yJx2 + \
(-2, 0)0(2, оо). 10.171. (-2, 1)0(3, °о). 10.172. (-3, -2)0(0, 1). 10.173. (-3, 2). 10.174. (О, 1)0(10°. оо). ЮЛ75. (О, 1). 10.176. (1/3, 3). 10.177. (О, 1/2) О [Л оо).
□ Неравенство имеет смысл при х>0. Упростим первое слагаемое: logxfl.3
^*°®0,2 °’3 = Х*°8х °’2 = (X1Ogx°’3)1Og0,2 Х = 0)31Og0,2 \
Тогда неравенство примет вид 2’0,3 80,2 <0,32’2 или О.З^^^^ОЗ2 и далее logo,2X>2, откуда получаем ответ: (0; 0,04]. ■
(1, V3)- Ю.180. (-2, 2).
□ Здесь должно быть х>0. Рассмотрим два случая: 0<х<1 и х>1.
.1) Если 0<х<1, то ^Зх—8<7, откуда х> — 5; значит, в этом случае
решением является прстйежуток (0, 1).
Если х> 1, то —Зх—8>7, откуда х< —5; таким образом, в этом случае решений нет.
Ответ: (0, 1). ■
□ Здесь должны быть выполнены условия
{
х + 1>0,(х>-1,
-* <«* — 1 <х<0,0<х<оо.(1)
х+1#1(х#0
В правой части неравенства переходим к основанию 2; имеем logx+l 16 = logj 164.
=„ Полагая log2(x+l)=y, получим неравенство
10g2(x+l) 10g2(x+l)
4
у—>0, откуда находим —2<у<0 или у>2. Далее имеем:
У
— 2<log2 (х+1)<0=>0,25<х+1<1=> -0,75<х<0;
log2 (х + 1)>2=»х+1>4=»х>3.
Оба решения удовлетворяют условиям (1). ■
□ Запишем неравенство в виде logo,5 (2^ — 1) >logo,5 0,5х ■ Так как
[2 -1 <2,
0<0,5<1, то переходим к равносильной системе < *' Положим
12 -1>0.
х2
в первом неравенстве 2 =у >0 и придем к неравенству у— 1 <-. Решив его,
У
находим у< — 1, что невозможно, или 0<у<2, откуда имеем систему
(2Х <2,(х<1,
< ,=»< Ответ: (0, 1). ■
[2 >2°(х>0.
(3, 4) (J (5, оо). 10.185. [-3, -2V2)U(2V2. 31- 10186- ~6; ~5; -<! -21
□ Запишем неравенство в виде 0,318<0,3Х $х+4<0,3"2. Так как 0<0,3< 1, то
fx2-5x-14<0, f(x —7) (х+2)<0, 18>х2 —5х+4> —2=>< ,=><
(х2 —5х + 6>0Цх—2) (х—3)>0
=»(х-7) (х+2) (х—2) (х-3)<0.
Решив последнее неравенство методом интервалов, получим —2<х<2 или 3<х<7. Находим целые значения х, принадлежащие этим интервалам, и получаем ответ: — 1; 0; 1; 4; 5; 6. ■
[О, 3).
□ Данные величины можно сравнивать только при х>0. Рассмотрим разность М—1gх2—1g2 х—21gх—lg2x=lgx (2—Igx). Имеем:
M=0, ecnnlgx=0 или Igx=2, т. е. при х—1 и х-100 справедливо равенство lgx2=lg2x; **'
М>0, если 0<lgx<2, т. е. при 1<х<100 выполняется неравенство lgx2>lg2x;
М<0, если lgx<0 или lgx>2, т. е. при 0<х< 1 и при х>100 выполняется неравенство Igx2 <lg2x. ■
0<х<1.
□ Приведем данные числа к одному показателю степени, равному 100. Имеем 3*°°=34 1М=(З4)100; 4300 —43 10°—(43)100. Так как из двух степеней с одинаковым положительным показателем 100 больше та, у которой основание больше, то 3400 >4100. ■
— 1/3<а<4. 10.193. (-оо, 1)U(L =»)■ 1М«- (3, 6). 10.195. [1,4-272)0(4+272,7]. 10.196. [-1, 0) J (8, 9]. 10.197. (-73; 4), (-1; 2), (1; 2), (73; 4).
□ По условию, л и т— натуральные числа и п<т; значит, т=п+к, где к — некоторое натуральное число, причем к <т (к=т—п). Имеем: ллт—кктт п + кккк
— < 1 =>—=;= 1; — > 1 =» — == 1 +-; п<т=» — <-.
тт тт лл ллтп
п
Итак, на числовой оси точки расположены следующим образом: —; 1; т
тпт
—; при этом точка — ближе к 1, чем точка — (рис. Р.10.33). ■ птп
Рис. Р. 10.33
□ Для изображения на числовой оси иррациональных чисел 72, 7з и 7з воспользуемся теоремой Пифагора: 72=712 + 12> V3 = 7(V2)2 + 12, 7з=722 + 1- Тогда точки, изображающие числа 7^+7^ и V2-7з> находим как сумму и разность построенных отрезков (рис. Р. 10.34). ■
^-^О1<2 ^ 2 <5
Рис. Р. 10.34
□ Имеем
л3 л2 п лэ + 3л2+2л л(л2 + Зл + 2) л(л + 1)(л + 2) ^— +—=—■1 ==.
62 3666
По условию, л — натуральное число, т. е. л, л +1, л+2 — три последовательных натуральных числа; значит, среди них по крайней мере одно делится на 2 и одно делится на 3. Итак, их произведение делится на 6 и, следовательно, данная сумма есть число натуральное. ■
□ Все целые числа делятся на четные и нечетные. Если число а — четное, т. е. а=2к, то д2=4£2. Значит, квадрат четного числа делится на 4, т. е. при делении на 4 дает остаток 0. Если же число а — нечетное, т. е. д=2*+1, то a2=4*2+4k+1. Таким образом, квадрат нечетного числа при делении на 4 дает в остатке 1. Рассмотрим сумму квадратов двух нечетных чисел: (2*+1)2 + (2л+1)2 =4 (£2 + л2)+4 (£+л)+2. Иначе говоря, при делении на 4 сумма квадратов двух нечетных чисел дает в остатке 2, в то время как квадрат любого целого числа при делении на 4 дает в остатке либо 0,
либо 1. Итак, сумма квадратов двух нечетных чисел не может быть квадратом целого числа. ■
/— т
□ Пусть ^jab=—, где aeN, AeN, mel, neN. Требуется доказать, что
Га[a lab -Jab т
/- — число рациональное. Имеем -= —==. В этой дроби
Nbr _>jb Sb1 \b\ n\b\
Га " '
meZ, л |6|eN; значит, число I-—рациональное. ■
□ Имеем 22001 +1 =(2667)3+13, т. е. данное число представляет собой сумму кубов и, следовательно, является составным. ■
□ Всякое целое число п либо кратно 3, либо не кратно 3. Если п кратно 3, то л = ЗЛ (где AeN) и, значит, пг = 9кг, т. е. при делении п1 на 3 остаток равен нулю. Если же п не кратно 3, то л=3£+1 либо л=3£ + 2; тогда л2=9к2 + 6*+1 либо л2=9*2 + 6к+4, т. е. при делении л2 на 3 в остатке получится 1. Итак, в остатке никогда не получается 2. ■
□ Согласно условию, имеем функцию /(х) = 3Х+Зх+ +3*+ , где xeN и
х>2. Представим/(х) в виде/(х) = 3х(1 + 3 + 32) = 3х13. При х=2 имеем /(2) = 32'13 = 117, а при х>2 получим / (х) = З2' 13 3Х 2 = 1173Х Z. Итак, если х>2, то/(х) делится на 117 без остатка. ■
Один.
□ I способ. Запишем уравнение
в виде 2 =3—х2 и построим на одном чертеже графики функций у —2* и у=3—х2. Из рис. Р.10.35 видно, что уравнение имеет два корня, которые больше — з/з, причем один из них равен 1.
II способ. Из уравнения 2 = 3-х2 следует, что 3—х2>0; значит, — ^/з<х<%/3, т. е. корни уравнения больше —^/з. При х = 1 имеем 21 =2 и 3 — 12 = 2, т. е. один из корней равен 1. ■
Нет, да. 10.216. Если с=0, то х=а, у — любое число, кроме у = Ь; если с#0, то Х]=д+с, ^=6+1, Х2=а—с, уг=Ь—1. 10.217. (1; 2; 3).
□ Система имеет бесконечное множество решений либо не имеет решений, если коэффициенты при х и у пропорциональны. Следовательно, 2 т— 1
=(здесь m +1 # 0; легко убедиться в том, что при т = — 1 система т + 14
имеет единственное решение). Далее имеем (т + 1) (т —1) = 8; т1 —1=8, 2 2 3
откуда т=±3. При т=3 получим -=-^—, т. е. система не имеет 4 4 —3
2-4 3
решений. При т= — 3 получим —-=—=—у Т- е- система имеет бесконечное множество решений. ■
/14-136 12—156 \
I;1 при b* ± 1; не имеет бесконечного множества реше-
\2 (1—А2) 2(1—62)/
ний ни при каком Ь; нет решений при Ь— ±1.
{
х+ту = 3т,
имеет решение, если коэффициенты при х и у тх+9у = 6"
не пропорциональны, т. е. l/m#m/9 (m^O) (1). Из уравнения \lm=mlS находим т= ±3. Итак, при т^ ±3 система имеет (и притом единственное) решение. Решаем систему методом алгебраического сложения, умножив все члены первого уравнения на (—т):
(-тх-т2у=—3т2,,,
<откуда (9—т2) у = 3 Q.—m2\
I mx+9y=6,
3 (2—m2)21m
Если m#±3, то у=, х = 3т—ту =. Следовательно,
9-т29-т2
/ 21m 3 (2—m2)\
I-:] — решение системы.
\9 —m2 9 — т2 /
Используя условия х>0, у>0, составим систему лкоторая
9—т1 сводится к двум системам:
9 —т2>0, 21т>0, 2—т2>09 —т2>0, 21т>0, 2—т2>0ии9—т2<0, 21т<0, 2—т2<0.9—т2<0, 21т<0, 2—т2<0.
9 —т2>0, 21т>0, 2—т2>0
9 —т2>0, 21т>0, 2—т2>0
и
и
9—т2<0, 21т<0, 2—т2<0.
9—т2<0, 21т<0, 2—т2<0.
Решением первой из них является промежуток О^т^^З, а решением второй — промежуток т< — 3.
Условие (1) выполняется при т^О. Рассмотрим случай т=0, при котором (х+0 у=0,
система примет вид <откуда х=0, у=2/3 — единственное ре-
[0х+9у=6,
шение, причем условия х>0, у>0 выполнены. Итак, при любых те(—оо,
-3)U[0, V2] система имеет единственное решение, для которого х^О,
10.222.10.224.10.225.10.222.10.224.10.225.>^0. ■_„
10.222.
10.224.
10.225.
10.222.
10.224.
10.225.
(x2-2x-i-2) (х2 + 2х + 2).10.223. (х* + J2x2y2+y*) (х*- Jlx2y2-Vy^.
(a2 — 2ab + 2b2) (а2+ 2д6 + 2А2).
ymin=2 при Кх<3. ♦ См. решение задачи 10.032.
Ут1п = 2. 10.227. утм = 2.
□ I способ. Функция у=х2 — 2х при х = 1 досгигает наименьшего значе- /IV1-^-(^-2х)
ния, равного — 1; поэтому функция у=1 - \=2 при х= 1 прини
мает наибольшее значение ут1Х=2.
II способ. Исследуем данную функцию на экстремум, для чего найдем лу1-2*1/IV2”21
производную: у'=1-1(2х—2) In-= — 21n2 I - 1(х—1); у'=0 при
х=1. Если х<1, то у'>0, а если х> 1, то у'<0. Следовательно, при х=1 функция принимает наибольшее значение уд,,,—2. ■
ymn=4.
ЮДЗО. □ I способ. Найдем область определения данной функции:
х+7>0,И —х>0х+7>0,И —х>0=> -7<х<11.=> -7<х<11.Построим графики функПостроим графики функций у = ^х*1 и у=ций у = ^х*1 и у==^11 — х, а затем сложим их графически (рис. Р. 10.36). Из рисунка видно, ЧТО утах = 6 при Х = 2.=^11 — х, а затем сложим их графически (рис. Р. 10.36). Из рисунка видно, ЧТО утах = 6 при Х = 2.х>-7, х<11х>-7, х<11
х+7>0,
И —х>0
х+7>0,
И —х>0
=> -7<х<11.
=> -7<х<11.
Построим графики функ
Построим графики функ
ций у = ^х*1 и у=
ций у = ^х*1 и у=
=^11 — х, а затем сложим их графически (рис. Р. 10.36). Из рисунка видно, ЧТО утах = 6 при Х = 2.
=^11 — х, а затем сложим их графически (рис. Р. 10.36). Из рисунка видно, ЧТО утах = 6 при Х = 2.
х>-7, х<11
х>-7, х<11
П способ. Данная функция положительна во всей области определения, и если она принимает наибольшее значение и, то прямая у=а касается графика функции. Найдем значение а, при котором уравнение Vx+7+Vll — х=а имеет кратные корни. После преобразований получим х + 7+И —х + 2^/(х+7) (11-х)=а или 2V(x+2) (11—х) = а2 —18.
Уравнение имеет решение при условии а2—18>0. Далее находим
4 (—х2 + 4х+77) = (п2—18)2 или — х2 + 4х+77 =
,/а2—18V
Рассмотрим функцию /(х)=х2—4х—77 + . Она имеет кратные
Dкорни, если —=4 + 77 —4 к 2 ,Dкорни, если —=4 + 77 —4 к 2 ,\ 2 /"2/а2—18\2
Dкорни, если —=4 + 77 —
4 к 2 ,
Dкорни, если —=4 + 77 —
4 к 2 ,
=0. Тогда (1 =81 или
к 2 / 0^-18
= ±9, откуда п2= + 18 + 18. Так как данная функция положительна,
то о>0. Значит, а=6, откуда находим утах=6.
III способ. Находим производную:
11
2Vx+7 2V11-X
1 ^/11 — х—^/х+7
Очевидно, что у'=0, когда ^11—х—^/х+7=0, откуда х=2. Если — 7<х<2, то у'>0, если же 2<х<11, то у’<0. Итак, при х=2 имеем Утах — 6. И
уПцП=4. 10.232. Ушах-0,1.
□ I способ. Область определения функции находим из условия х2 —9^ #0, откуда х^±3, т. е. прямые х=—3 и х=3 не пересекают график функции. Так как/(—х)=/(х), то функция четная и поэтому достаточно построить ее график на интервале [0, оо), а затем отобразить его симметрично относительно оси ординат. Найдем точку пересечения графика с осью Оу: при х=0 имеем у = — 1/9. Найдем теперь точки, в которых /«=±1:
1
——=i=>x2-9=l=>x2 = 10=>x=+V10;
х2—9
—=-1=>x2-9=-1=>x2 = 8=>x=±V8. х2—9
Если х-»3 слева, то х2—9-»0, будучи отрицательной; значит, у-» — оо; если же х-»3 справа, то х2—9->0, будучи положительной; поэтому у-» + оо.
Наконец, если х-»±оо, то у-»0, причем у>0. График схематически изображен на рис. Р. 10.37.
' II способ. Построим сначала параболу — график функции У2=х2—9 (на рас. Р.10.37 она изображена пунктирной линией). Значения функции yi =
1——
=—-— обратны значениям — х2 —9
функции у1=х1—9. Если х=0, то У2 = —9, а значит, yi = —1/9. При х2—9=±1 имеем yt = =У2=±1, т. е. прямые у= — 1 и у=1 пересекают параболу в точках, которые принадлежат графику функции у^ Из графика функции у2=х2 —9 видно, что при х-+3 как слева, так и справа значения у2-»0; вместе с тем если х-»3 слева, то Уг<0, а если х-»3 справа, то у2>0. Следовательно, yj-» —оо при х-»3 слева и у(->+оо при х-»3 справа. Используя все полученные сведения, строим искомый график. ■
См. рис. Р.10.38.
Рис. Р.10.38Рис. Р.10.38Рис. Р.10.39Рис. Р.10.39□ Построим на плоскости прямые Зх—4у+12=0 и х+у—2=0 (рис. Р. 10.39). Каждая из них делит плоскость на две области; точки одной из них удовлетворяют соответствующему неравенству, а точки другой — нет. Чтобы установить, точки какой из этих двух областей удовлетворяют заданному неравенству, достаточно подставить в него координаты точки (0; 0). Тогда получим 12>0, — 2<0, т. е. начало координат удовлетворяет заданным неравенствам. Теперь укажем стрелками направления от каждой из прямых в сторону начала координат и возьмем общую часть этих двух областей (на рис. Р. 10.39 она заштрихована). Это и есть искомая часть плоскости хОу, причем точки самих прямых ей не принадлежат. ■ Замечание. Направление нужной области плоскости можно также получить, если записать данные неравенства в виде у<(3/4)х+3 и у< —х+2, т. е. ординаты искомых точек меньше ординат прямых у=(3/4)х + 3 иу=-х+2. Поэтому нужно взять направление вниз от обеих прямых.
Рис. Р.10.38
Рис. Р.10.38
Рис. Р.10.39
Рис. Р.10.39
□ а) Область определения функции (х#лл) симметрична относительно начала координат. Пусть т принадлежит области определения функции. Тогда/(m)=sin3m+ctg5m, /(—m)=sin3 (—m)+ctg5 (—m). В силу нечетности функций sinx и ctgx имеем sin (—m)= — sinm, ctg (—т) = — ctgm, откуда /(—m)=(—sinm)3 + (—ctgm)5 = —(sin3m+ctg5m)= —/(m). Итак, /(—m) = —/(m), t. e. данная функция нечетная.
Здесь область определения функции (xeR) симметрична относительно начала координат. Имеем / (т)=sin 2m+cos 3m, /(—m) = sin2 (—m)+ + cos3 (—m). Первое слагаемое — функция нечетная, а второе — четная; значит, sin (—2m) =—sin2m, a cos (—3m) = cos3m и /(—m)= —sin2m+ +cos 3m# +/ (m), т. e. данная функция не является ни четной, ни нечетной,
Находим область определения функции: sinx+l#0; sinx#—1;
л
х#—-+2лл. Она не симметрична относительно начала координат, и поэтому вопрос о четности и нечетности функции ставить нельзя. Функция ни четная, ни нечетная.
Область определения (xeR) симметрична относительно начала координат. Имеем /(m) = sin*m+m2 + l, /(—m)=sin* (—m) + (—m)2 + l = =(—$тт)*+т2 + 1 =sin*m+m2 + 1 =/(m). Итак,/(—m)=/(m), т. e. данная функция четная.
Область определения функции находим из условия — 1 <х/2< 1, откуда . — 2<х<2, т. е. она симметрична относительно начала координат. Далее m/ m\m
имеем /(m)=arcsin —, /(—m) = arcsin I)= — arcsin —= —f(m). Итак, 2\ 2/2.
данная функция нечетная. ■
Ни четная, ни нечетная; ж) нечетная; з) ни четная, ни нечетная; и) нечетная; к) ни четная, ни нечетная; л) нечетная.
□ Пусть Т\ — период функции / (х), а Г2 — период функции ф (х), т. е. /(х + Г!)=/(х)и Ф (х + Т2)=ф (х). Рассмотрим функцию
Q (х)-/(х)+ф (х). Предположим, что Q (х) имеет период 7) тогда Q (х+7)=/(х+Т) + ф (х + 7)=/(х) + ф (х). Если Т кратно Т\ и Тг, т. е. Т(Т\=п и Т(Тг=к, где леМ, кеМ, то Q (х+ T)—f (х+лТ[)+ ф (х+кГ2) = =/(х)+Ф (х). Значит, в этом случае Т— период функции Q (х).
Так, например, для функций / (х) = sin 2х и ф (х)=cos Зх, имеющих соответственно периоды Г, = л и Г2 = 2л/3, их сумма также является периодической функцией с периодом Т=2л.
Однако можно привести пример функции, которая представляет собой сумму двух периодических функций, но сама не является периодической. Такова функция Q (х) = {х} + sin х, где {х} — дробная часть числа х. Период функции /(х) = {х) равен 1, период функции ф (x) = sinx равен 2л, но функция й (х)=/(х) + ф (х) не имеет периода. Итак, на поставленный в условии вопрос следует дать отрицательный ответ. ■
л/3. 10.246. а) 6л; б) ЗОп. 10.249. а), б) См. рис. Р.10.40, а; в), г) см. рис. Р. 10.40, 6. 10.250. См. рис. Р.10.41. 10.251. См. рис. Р.10.42. 10.252. См. рис. Р.10.43.10.253. См. рис. Р.10.44.10.254. См. рис. Р.10.45. 10.256. См. рис. Р.10.46; /(л) = 0. 10.257. См. рис. Р.10.47.
Рис. Р.10.40
Рис. Р.10.42
□ Имеем'
а+ра—Ра+ра + р
2 sincos2 sincos=0;
2222
а+Р /а—ра+Р\а+р аР
sinI coscos1=0; — 2 sinsin - sin -=0.
2 \22 /222
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: а+ра+р
sin— 0;=лл; а + 0=2ял;
22
а а
sin -—0; - = ял; а=2лл, р — любое число;
22
sin -=0; -=ял; й=2ял, а — любое число. 22
- Итак, получаем ответ: а+Р=2лп; а = 2ял, а реН; р=2лп, а аеН (лей). ■ 10.260. (-1,25; -1)0(9, оо). 10.261. [-9, — 1] Q[0, 1]. 10.262. □ Обозначив данное выражение через А, перейдем к аргументу а/2 и выполним следующие преобразования:
а а аа/ аа\3
cos2 - + sin2 — 2cos - sin-I cos — sin- I
2222\22/
A-=.(1)
а a( а
cos2 —sin2 -I cos —sin - I( cos -+sin - I
22\22/\22/
fa a\ f a a\
Выражение А определено при условии (cos—sin - 11 cos- + sin - 1^0.
a aaa
Решим уравнения cos -±sin -=0. Так как ctg -=m существует, то sin -^0.
2222
aa
Разделив обе части уравнений на sin-, получим ctg-± 1=0, откуда 22
a
ctg - = ± 1 =т. Итак, выражение А определено при условии т^ ± 1. Далее, 2 .« я
сократив дробь (1) на cos — sin - и разделив числитель и знаменатель на 22
. a
sin - ^ 0, находим
a a a
cos — sin - ctg — 1
222m-\
A ===. ■
a a a m + 1
cos - + sin - ctg - +1
222
□ Выразим ctg (a + /f) через ctg a и ctg^:
1 1 1
1 1-tgatg^ ctga ctg/? ctgactg/?—1 ctg (a + j^ ====.
tg(a+/$) tga+tg^ 11 ctga+ctg/J
1 ctg a ctg/?
Согласно теореме Виета, имеем XiX2=ctgactg^=9>0, Xi+X2=ctga +
+ ctg^= —p>0, откудаp<0. Таким образом,
9—1 1—9
ctg(a + ^==.(1)
~P P
1-9
Так как, по условию, 0<а+Д<л/2, то ctg (a+j$)>0, т. е.>0. Но р<0 Р
и, значит, 1 —9<0, откуда q>l (2). Далее, поскольку уравнение x2+px+q=0 имеет корни, заключаем, что D=p2 —49^0, т. е. q^p1^ (3).
1—9
Итак, из (1) следует, что a + ^=arctg, а из (2) и (3) — что .Р
1 <q^p2j^. ■
-2V5/5. 10.265. -23/36. 10.266. Три. 10.267. Нет.
□ Графиком функции у=х2 —х+5,35 является парабола, ветви которой направлены вверх. Эта функция принимает наименьшее значение в вершине параболы, т. е. в точке х,=0,5, у, =Утш =0,25 — 0,5 + 5,35=5,1. Найдем теперь область значений функции y=2sinx + 3. Так как — l^sinx<l, то — 2<2sinx<2, откуда K2sinx+3<5, т. е. Упшх=5. Итак, парабола расположена не ниже прямой у=5,1, а кривая y = 2sinx+3 не выше прямой у = 5, т. е. эти кривые не имеют общих точек. ■
л ли
Утах = 0,75. 10.271. ymaI = sinl. 10.272. ymin = 2, утах = 3. 10.273. Х=~+—, 4 2
'Г”
neZ; Уше =4. 10.274. ymM=v2 °РИ х= — +2лл, neZ.
.4
Рис. Р.10.48Рис. Р.10.48Рис. Р.10.49Рис. Р.10.49
Рис. Р.10.48
Рис. Р.10.48
Рис. Р.10.49
Рис. Р.10.49
□ Пусть ABCD— четырехугольник; АС=т, BD=п (рис. Р.10.48). Имеем 11
,Br + Sk.nr = - AC ВК+- ACDN, где BKLAC и DN LAC.
ADL^kJ CkADV, LAW 22
LOOK) Следовательно, SABCD=-^LOOK) Следовательно, SABCD=-^AC (SO sin a+DO sina)=- AC sin axAC (SO sin a+DO sina)=- AC sin axПусть LBOC=i; тогда BK= BO sin а (из LBOK), a DN=DO sin а (из 11
LOOK) Следовательно, SABCD=-^
LOOK) Следовательно, SABCD=-^
AC (SO sin a+DO sina)=- AC sin ax
AC (SO sin a+DO sina)=- AC sin ax
1
x (BO+DO) =- mn sin a. Поэтому площадь четырехугольника окажется на- 2
ибольшей, если sin a = 1, т. е. а=90°. Итак, указанным свойством обладают четырехугольники с взаимно перпендикулярными диагоналями. ■
г / я\
□ Так как sinx+cosx=V2 яп х+- 1, то y=(sinx+cosx) =
\ 4/
, /, / л\
= 2sin хи—L Но 0<sin хи— <1, откуда 0<2sin хи— <2, т. е.
\ 4/\4/\4/
область значений данной функции — промежуток [0, 2]. ■
[- Jl V2].
□ В координатной плоскости хОу построим точку А (5; 12) и рассмотрим
вектор О А (рис. Р. 10.49). Пусть этот вектор образует с осью абсцисс угол ф.
551212
Тогда из рисунка видно, что cos<p=—==== =—, sin^p=—=====—,
725 + 144 13725 + 144 13
1212
tgy=—, т. е. p=arctg —. Преобразуем данную функцию так:
у=13 I— sinxcosх 1 = 13 (cos^sinx—sin^cosx)=13sin (x—<p),
где p=arctg—. Очевидно, что — К sin (x—<p)^l, откуда — 13<у<13. ■
Нет. 10.281. а) Нет; б) нет; в) да; г) нет. 10.282. 17. а b с
□ Согласно теореме синусов, имеем ==. Из первых
sin Л sin В sin С
a sin В двух отношений выражаем 6, а из первого и третьего с: 6= sin Л
asin С
с=. Подставив эти выражения в левую часть доказываемого pa- sin Л
венства, получим
a (sinS—sinC)+/> (sin C—sin Л) + с (sinX — sinS) = asinSasinC
= a (sin В—sin С) И(sin C—sin X) -I(sin A — sin B) = sin Asin A
asinSsinCasinCsinS
=a sin B— a sin С Иa sin В+a sin C 0,
sin Asin A
что и требовалось установить. ■ 1 / a—6\ b
□ Из данного равенства выразим cos С=- 1—. С другой сто-
~2 \ a / 2a
роны, по теореме косинусов имеем c2 = a2 + b2 —2abcos С. Подставив выра
жение cos С в последнее равенство, получим с2 =а2+b2 — 2аЬ'—=а2. Зна- 2a
чит, с=а, т. е. треугольник — равнобедренный. ■
10.288. □ Требуется доказать, что
ctgXctgS+ctgXctgC+ctgSctgC=l,(1)
где А, В, С — углы треугольника. Так как Х + 5+С=180°, то С = 180°—(А + В). Пусть С— наибольший угол треугольника. Возможны два случая:
Если С=90°, то А + В=90° и В= 90° — А. Рассмотрим левую часть равенства (1):
ctgXctg (90°-X) + ctg90° (ctgX+ctg (90° —Х)) =
= ctgXtgX + O (ctgX + tgX) = l.
Значит, в этом случае равенство (1) верно.
Если С^90°, то левую часть равенства (1) выразим через тангенсы: 1/ 1\
+ ctgC(+—)■ Но ctgC=ctg (180°-(Л+5))=-ctg (Л + 5) tgAtgB\tgX tgS/
11 tgB+tgA и тогда левая часть равенства (1) примет вид.
tgAtgB tg (А + В) tgAtgB
Используя формулу тангенса суммы, получим
(1-tgXtgS) (tgB + tgA) 1 — l+tgAtgB
tgAtgB (tg А + tgB) tgAtgB tgAtgB *
т. e. равенство (1) верно и в этом случае. ■
а) «<»; б)«<»; в) □ в данном случае 0<sina<l, O^cosacl, а потому . 1/3. ,1/3,
sin a > sin а и cos a > cos a. Сложив почленно последние неравенства, . . l/з 1/3. 23 3 / , -
получим sin a + cos a>sin a+cos а, откуда \/sina + \/cosa>l r) «>».
0. 10.294. Да.
□ ПпологапиФмировав данные равенства по основанию 10. получим
lgx=cos г, Igy—sin Г Тогда cos2 z+sin2 / «lg2 x+lg2y или lg2x+lg2y= L ■
2/32/3“J IK я — UK a
lg u + lg v=l. 10.297. - + «*, neZ. 10.298. tg3a=——.
41—3tg2a
10.299. □ Если равенство яп x+cos х=1 является тождеством, то оно выполняется и при х=л/4. Тогда получим
Последнее равенство справедливо только при л=2: если л >2, то (^/2)">2,
а если л <2, то (V^) <2. Значит, и данное равенство тождественно только при л = 2. ■
Если к=0, то у> 1; если к= 1, то у^ 1; если к = 2, то у = 1; если к = 3, то
0<у<1. 10.301. snJ6°=0,5 (l-Vl-sin212°). 10.302. Минус.
□ Сначала упростим левую часть данного равенства:
sin 40° sin 40° 1о&$т40° +logatg40° —logics 40° = log,,= 21ogatg40° = 6.
cos 40° cos 40°
Теперь упростим искомую сумму и получим
log,, sin 50° +loga tg 50° — log,, cos 50° = 21oga tg 50° = 2 loga ctg 40° =
= 21oga ——21ogatg40° = —6. ■ tg40°
□ Так как 0<tg40°<l, a tg7 0°>l, то при любом а числа logatg40° и 1о&tg70° имеют разные знаки, т. е. Iogatg40° logatg70° <0. Значит, данное число не существует. ■
□ Воспользуемся тем, что arcsin (sinx) = x, если — л/2<х<я/2. Отсюда находим: /(1)=arcsin (sin 1) = 1, так как 0<1<я/2; / (2) = arcsin (sin 2) = = arcsin (sin (л — 2)) = л — 2, так как я/2<2<я, а 0<я —2<я/2; /"(3) = я —3; /(4) = л-4;/(5) = 5-2л;/(6) = 6-2я;/(7)==7-2л. ■'
х = 0.
□ При решении уравнения sin2x+7cos2x+7=0 были использованы 2tgxl tg2x
формулы sin2x = и cos2x=, которые справедливы при
l+tg2xl+tg2x
•я
условии х#- + лл. Поэтому сначала нужно было подставить значения 2
л
х=- + лл в данное уравнение. Тогда получим sin (я+2ял) + 7со$ (я + 2
л
+ 2ял) + 7 = 0; 0 + 7 (—1) + 7 = 0, т. е. х=-+лл— корни уравнения. После 2
этого следует решить уравнение указанным в условии способом и найти вторую серию корней. ■‘
Замечание. Потери корней не произойдет, если применить формулы синуса и косинуса двойного угла. В этом случае получим
2sinxcosx+7 (cos2x—sin2x) + 7 (cos2x+sin2x)=0; 2sinxcosx+14cos2x=0; 2cosx (sinx+7cosx) = 0.
Отсюда:
л
cosx=0; х=-+лл;
2
sinx+7cosx=0 (cosx#0); tgx + 7 = 0; tgx= — 7;
x=arctg (—7)+лл=лл —arctg7.
□ Для сравнения sin 2x и 2sin x находим их разность:
A=sin2x—2sinx=2sinxcosx—2sinx=2sinx (cosx— 1).
Воспользуемся неравенствами — l<sinx<l и — 1<cosx<1. Вычитая по 1 из всех частей второго неравенства, получим — 2<cosx—1^0. Таким образом, имеем:
если — l<sinx<0, то A=2sinx (cosx—1)>0, т. е. если 2лл—л<х< <2лл (neZ), то sin2x>2sinx;
если 0<япх<1, то A = 2sinx (cosx—1)^0, т. е. если 2лл<х<л + + 2лл (neZ), то sin2x<2sinx. ■
Замечание. Этот результат можно наглядно проиллюстрировать графически, построй» на одном рисунке графики функций y=sin2x и у=2япх.
7яяяя
а) 2ял<х<~+2ял, neZ; 6) ял—<х<-+ял, neZ. 10.310. tga = 6666
яя
=2tg/?, если а?б- + ял и р^-+ют (neZ). 10.311. т= —1/4, Л/=1/4. 22
□ Рассмотрим разность у—2 и применим формулы понижения степени:
cos2x a+6 l+cos2x y—2=(a—b)+———2=
222
2a—26—2acos2x+26cos2x+a+6+acos2x + 6cos2x—8
~4~
(3a—b — 8)+(36—a) cos2x
~4‘
Согласно условию, у—2=0 тождественно, а это возможно, если За—Ь— 8=0, 36—а=0. Решив эту систему, находим а=3, 6=1. ■
□ Сначала выразим sin За через sin а. Имеем
sin3a=sin (2а + а)=sin 2а cos а+cos 2а sin а= =2sinacos1a + (l — 2sin2a) sina=2sina (1 —sin2 a) + + sina (1 —2sin2a)=sina (2 —2sin2a+l — 2sin2a) = 3sina—4 sin3 a.
Следовательно, sin30° = 3sin 10°—4sin3 10°, откуда 3sin 10° — 4sin3 10°=0,5 или 8sin310°—6sin 10° + l =0. Положим sinlO°=x и рассмотрим функцию /(x) = 8x3—6x+l. При х=0,1 получим /(0,l) = 8'0,001 — 6'0,l + l>0 (1), а при x=0,2 получим/(0,2) = 8'0,008 — 6 0,2+1 <0 (2). Из неравенств (1) и (2) следует, что корень функции/ (х) существует и что он заключен между 0,1 и 0,2. Итак, 0,1 <sin 10° <0,2. ■
sin54°=(V5 + l)/4.
,/ Ц, 2я
□ Имеем ях=± arccos —) + 2ял или ях2 = ±—+2ял, aeZ, т. е. \ 2/3
,2/222
х2=2л±-, откуда х= ± /2л±-. Это возможно, если 2л+->0 и 2л—->0.
3V 333
11
Первое неравенство выполняется при п > —-, а второе — при л>~. Отсюда
33
следует, что в первом случае л>0, а во втором п>1. Итак, получаем ответ:
х, = ±^2п+~, где пеХ, л>0; Х2 = ±^|2л—-, где neN. ■
х=4л2, где пеХ и л>0.10318. х=0 при aeR. 10319. [2лл, я + 2ял), пеХ. / я5я\
I—+ял, —+ ял I, лег. 10321. 0; [я/3, я/2]. 10322. -7/24.10323. -J^ll. \1212/
□ Имеем
/3\/1\/3\/1\
sin I arcsin - I cos I arccos - l+cos I arcsin - I sin I arccos - 1 =
\5/ V 3/\5/\3/
3 1 / 9/1 3 + 85/2
—-+ /1/1—я
5 3 V 25 V 915503
□ Так как arctgl =я/4<1, a tgl>tg45° = l, то tgl>arctgl. ■ 1л5 я15
□ Имеем 0<arctg-<-, 0<arctg-<-, откуда 0 < arctg- +arctg-< я. 4 28 248
Используя формулу тангенса суммы двух углов, получим
/1\/5\1 5
tg I arctg - +tg| arctg- -+/15\\4/\8/4 828
tg arctg - +arctg - 1===—> 1.
\48//1\/5\1 5 27
tg I arctg- I tg I arctg- I 1— -\4/\8/4 8
л 15
Следовательно, - < arctg -+arctg -. ■ 448
Рис. Р. 10.50Рис. Р. 10.50- <arcsin -+arccos -. 433
Рис. Р. 10.50
Рис. Р. 10.50
□ Ордината точки Ta линии тангенсов есть tga, а ордината точки Ра единичной окружности есть sin а (рис. Р. 10.50). Так как, по условию, tga=2sina, то ОВ=\/2. Отсюда вытекает следующий способ построения: из точки В оси Ох с координатой 1/2 восставим перпендикуляр к згой оси до пересечения с окружностью в точке Ра, а затем точку Ра соединим с О; полученный угол РаОВ=а— искомый. ■
0,5.
□ Имеем 0<log73<l=>0<l —
—log73<l =>0<0,5 (l-log73)<l=>
=>log1-7 (0,5 (1 — log73))<0. ■
Минус. 10.332. Минус.
ПТак как arctg2>arctgл/з, то arctg2>n/3 и, значит, arctg2>l. Поэтому lgarctg2>0. ■
Минус. 10.335. я , где а>0 и а#1. 10.336. 3. 10337. 12,5. 10.338. 4.
0.
□ Произведение равно нулю, так как среди множителей есть число lgtg45°=0. ■
0. 10.342. 0.
0,3010. • Привести все множители к основанию 10.
□ Упростим искомое выражение: log2 36=21og2 6=2(1+ log2 3) (1); кроме
21og23 21ogz321og23
того, log129=21og123==. По условию, =m. Из
log212 2+log232+log23
Imэтого равенства находим log2 3 =, где m #2. Теперь подставим найден-
2—m
■2(2 + m)
ное значение logz3 в равенство (1) и получим log2 36=, m ^2. ■
2—m
Минус.
□ Поскольку 2 <log2 5 <3, число log2 5 не является целым. Предположим,
что logz5=m/n, где т и л— натуральные числа. Согласно определению логарифма, 2 =5. Возведя обе части этого равенства в степень л, получим 2 = 5”, что возможно только при да=л=0, а это противоречит тому, что тип — натуральные числа. Поэтому число log2 5 не является дробным. Итак, число log2 5 — иррациональное. ■
Равенство верно при а=6/(6—1), где 6>1.
11
□ Неравенство 21oga ->3loga - верно только тогда, когда а>1; в этом 22-
11
случае loga-<0 и при сокращении на loga- знак указанного неравенства следует изменить на противоположный, в результате чего получится верное неравенство 2<3. ■
□ Имеем:
(1)(1)(2)(3)(2)(3)logic ab = logja а + logic b;
(1)
(1)
(2)
(3)
(2)
(3)
logic a11 тп
logAa ==>logica=m logic*=m=m=;
logic*1+logiC 1 л+1
1+-
n
iog^b1 n
\o&.b=-=> logic* =л logic с=л-7 =
logicCЛ + 1 л + 1
Подставив выражения (2) и (3) в равенство (1), получим logic о* = л (/и+1)
- л + 1 ''
a2V2 + 2 V2+2 V2 + 2+V32+V4-1.4
1000 . 10.353. —--—. 10.354. а) 0,8;
2
6) log)/з 0,5.
□ Находим lg2loo = lOOlg2tolOO 0,3010=30,10. Значит, число 2100 содержит 31 цифру. ■
. 10357. 2 кв. ед. 10.358. с = 1000. 10.359. 214+212 +
* ^+*^"!+...+*t 1
+ 210 + ... + 22 + 2°. 10360. а—Ь. 10.361. ху = 0,5 (2n2±V2 (a4 +**))■
□ Четное число, не кратное четырем, можно записать в виде (2л +1) • 2= =4л + 2, neZ. Из последней формулы видно, что это число при делении на 4 дает в остатке 2. Предположим, что 4л + 2=р2 — q1, где peN и geN, и рассмотрим следующие случаи:
Если р и q— четные числа, то р1 — q2 = ykY — (2ли)2=4 (fc2—/и2), т. е. при делении заданного числа на 4 в остатке получается 0.
Если же р и q — нечетные числа, то р2 — g2 = (2fc+l)2—(2m+l)2 = =4 (к2— /и2)+4 (к—т), т. е. заданное число снова кратно четырем.
Если, наконец, одно из чисел р или q четно, а другое нечетно, то р1 —92=(2Jt+l)2 — (2ли)2=4 (к1 — /и2)+4к+1, т. е. при делении числа на 4 в остатке получается 1.
Итак, ни при каких peN и geN число р1—q1 при делении на 4 не дает в остатке 2, откуда следует, что число 4л+2 нельзя представить в виде Р'-Ч1. ■.
511V"511-10366. ттл <x<-+го1им—<x<ял, леZ. 10.368. а% от 6 ра- 66
вно 6% от а.
□ Примем первоначальную цену за 100%. Тогда после первого снижения новая цена окажется равной 100% —15% = 85% первоначальной. Второе снижение цены на 20% по отношению к первому составит 85% 0,2 = 17% от первоначальной цены. Таким образом, после второго снижения новая цена будет равна 85% —17% = 68% первоначальной. Итак, общее снижение цены составляет 100% — 68 % = 32%. ■
За 1,875 ч. 10.371. За 7,5 ч. 10.372. х=55.■
□ а) Имеем 5л=л2 или — л=л2. Так как л#0, то Л[ +а„=2л, откуда 2
а„=2л—ар Это линейная функция относительно л и, значит, такая прогрессия существует.
О;+ап
S„=л3 => —-— л=лэ=>а„=2л2 — Д| — квадратичная функция относи
тельно л; поэтому такой прогрессии не существует. ■
хе(1/2, 2).
□ Пусть 6ь bi, ..., 62л — геометрическая прогрессия со знаменателем q
2я
Ь\ (9 -1)
и числом членов 2л; тогда Si„=, ?#1. Далее, пусть 6Ь Ьз, ....
9-1
62л-1 — геометрическая прогрессия, составленная из членов предыдущей, расположенных на нечетных местах; тогда ее знаменатель равен q1, а число bt (g2”—1)
членов л и, следовательно, S,=, ?#±1. Так как, по условию,
92 —1
„Ьх (^-l) 36, (^-1)
52«=3Sm то получаем уравнение*, откуда, сократив
q-X q2-Y
61 (^-l)
на#0, находим <7=2. ■
9-1
1/(1-2Х).
□ Расположим данные числа в порядке возрастания: а<Ь<с. Предположим, что а, би с — члены арифметической прогрессии с разностью d и номерами л, лт и р; тогда
а=оя=д1+d(л—1); b=aTn=ax-Vd (m—1); c=ap=ax+d (р-1).(1)
Находим с—a=d (р— 1— л+ l) = d (р—л), с— b=d (р— 1 — m+l) = d (р —т), с—а р—п
откуда=. Так как л, т ир — натуральные числа, то р—п=А gN,
с—6 р—т
с—а А
р—т=ВеМ и —-=— ^' 1*авенсгво (2) показывает, что л, т и р можно
с—а
подобрать так, чтобы получилось рациональное число . Таким об-
с—6
разом, на поставленный в условии вопрос следует дать положительный ответ. ■
2
2 —
23с —a3 8
Пусть, например, а=-, Ь=-, с = 2. Тогда==-; значит, р—л = 8,
32с—Ь3 3
2 —
2
р—т=3. Положим, например, р=9; следовательно, л = 1, т=6. Подставив
2
эти значения, а также а, 6 и с в равенства (1), получим -=av+0d, 3
321
- =at + 5</, 2 = ^ + 8d. Отсюда находим Oj =-, d=- и получаем следующую
2 5 7 4 3 5 И
арифметическую прогрессию: -; -; -; -; -; -; —; 2; ... (в ней первый, пятый 3 6 6 3 2 3 6
и восьмой члены — заданные рациональные числа).
2,4.
□ Находим разность
10(л + 1) + 7 10л + 7 Юл2 + Юл+ 7л —Юл2 — 7л — Юл —7
У„+1 Уп 2(п + 1) 2л2л (л+ 1)
-7
<0 при любом леМ.
2л (л+1)
Итак, у„+1—у„<0; значит, у„+1 <у„, т. е. последовательность убывает. ■
а), б) Возрастающие; в) не монотонная; г) убывающая.
1 2 З...л1
□ Используя определение факториала, находим=-. ■
л! (л +1 — 1) л
(л + 3)/(л+1). 10383. (л + 2)/(л + 1). 10.384. 1/(л + 2).
10385. □ Оценим левую часть доказываемого неравенства:
/И/И11111111111 12 + 221 12 + 2211112 3112 31+... 41 2 З...л1+... 41 2 З...л2Л2Л
/И
/И
11111
11111
1 1
2 + 22
1 1
2 + 22
1
1
1
12 3
1
12 3
1
+... 4
1 2 З...л
1
+... 4
1 2 З...л
2Л
2Л
Последнее выражение представляет собой сумму л членов геометрической прогрессии, знаменатель которой равен 1/2. Следавательно,
1 1
/(л)<= 2— — <2 при любом лeN. ■
□ Имеем-
111111
ZW==75+^ + '"+4-^ + n ., + '" + 2 3 л 2 2 3 3 л л
111/ Ц /1 1\/ I 1\1 ”-1
<1-н... +—— — I 1 — 1 + 1)+... + (1 = 1 —=.
1'2 2 3(л— 1) л \2/ \2 3/\л—1 л/ л л
л —1 Итак, мы доказали, что / (л) <. ■
л
□ Так как числа р и q — простые, то они являются нечетными. Следовательно,
р2 —д2 = (2л + 1)2 —(2£+1)2 = 2 (л+£+1)'2 (л-/г)=4 (л + Л+1) (л + fc—2£) = =4(л+к+1)(л + к)-8 (n + k+V)k (л>2, к>2\
Заметим, что (л+*+1) (л+fc) —это произведение двух последовательных натуральных чисел; значит, одно из них кратно 2, т. е. первое слагаемое делится на 8. Второе слагаемое также кратно 8, т. е. р2 — q2 делится на 8.
Пусть число р имеет вид р=Зг+1, где р>3, т. е?г>1. Так как р должно быть нечетным, то r=2mr(meN), откуда р=6л1+1. Аналогично устанавливаем, что д=6/+1. Таким образом, р2 —^2=(6т + 1)2 — (6/+1)2 = 36 (от2 — —/2)+12 (ли —/), откуда видно, что р1 —q1 делится на 3. Итак, р2—q2 делится на 8 и на 3, т. е. на 24.
Для полноты доказательства следует рассмотреть еще случай, когда р= 6т — 1 и q = 61 — 1. В этом случае получаем тот же результат. ■
- 10.390. □ Требуется доказать, что
3(л) = 13+33 + 53 + ... + (2л-1)3 = п2 (2п2-1).
Воспользуемся методом математической индукции. При л = 1 утверждение справедливо. В самом деле, 3(1) = Р = 1; с другой стороны, л2 (2л —1) = 12 (212—1)=1. Итак, равенство S(л)=л2 (2л2—1) при л = 1 справедливо.
Предположим теперь, что утверждение верно при п=к, т. е.
S (fc)=fc2 (2£2 — 1), и докажем, что оно верно и при п = к* 1, т. е.
S(fc+l) = (fc + l)2 (2 (fc+I)2 —1) = (£2+2£+1) (2Jt2+4*:+l) = = 2^4 + 8^3 +1 lfc2 + 6^+1.
Действительно,
3 (fc+l) = S (А) + (2 (jt-H)-l)3 = k2 (2t2 —1) + (2A+I)3 = = 2k* - к2 + ik3 +12k2 + 6k +1 = 2k* + ik 3 +11 к2 + 6k +1.
Итак, из справедливости равенства при п = к следует его справедливость и при л=£ + 1. Согласно принципу математической индукции, заключаем, что равенство верно при любом neN. ■
10.395. □ Сначала докажем, что |а1 + а2К1«11 + 1®21- Для этого рассмотрим различные случаи сложения действительных чисел: если Я]>0 и «2>0, то |ai+a2| = |a]l + |a2|;
если Я]<0 и а2<0, то |si+«2|=|ai|+|«2|;
если «1 и «2 имеют разные знаки, то |ai4-a2l=|lail — l«2ll<l®il + l«2l-
Итак, неравенство |aj + a2| < |«ii + |a2l верно.
Докажем теперь, что |ai + a2 + — + Onl<|ail + I«2l + — + Ы- Для случая л=2
■ это только что доказано. Предположим, что верно неравенство |ai+a2+...+atK|ai| + |a2|+...+|o^|, и докажем, что тогда верно и неравенство |ai+a2 + - + «*+iKI“il + l«2l + — + le*+11- Имеем
|«i + а2 +... + а*+11 < |«t + а2 + - + а*1 + 1а*:+11 <
<|ail + |a2l + ---+l™*:l+l™*+iL'.
т. е. из справедливости неравенства при п=к вытекает его справедливость при л=£+1. В силу принципа математической индукции заключаем, что неравенство верно при любом neN. ■
ГЛАВА 11
НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
.001. -3.11.002. 0,8.11.003. 0.11.004. -145/42.
.005. □ Числитель и знаменатель данной дроби представляют собой квадратичные функции относительно Vх. Имеем
(Vx + 3) (^х —2)Vx + 3 5
lim —=—= lim —=—=— = —5. ■
*-►4 (^/х —3) (^х—2) х-и^/х-3 —1
11.006. 1.__
11.007. □ Разложим знаменатель дроби на множители: \/х2+2 \/х—3 =
= (3^/х—1)2+4 3Jx—4=(\Д~ 1) (3Vx + 3). Теперь, сократив дробь на
Г1
’т/х—1 #0 при х-+0, находим lim —=—=0,25. ■ х—♦! \/х+3
11.008.-1.11.009.1,5.
11.010. □ Умножив числитель и знаменатель дроби на (^/2х+3 +1) (Vs+x + 2), получим
(2х + 3-1) (Vs + x + 2)2(x+1)(V5 + *+2)
lim====== lim===
X—1 (5 + x-4) (V2X+3 + 1) x—1 (x+1) (V2x+3 + l)
2 (V5 + X+2) 24
= lim --===—=4. ■
x—* —1 ^/Zx + 3 + 1^
11.011. □ Находим
x2 + x—121x4-1621
lim=2- (1), 5 + lim=5-2-=2- (2).
x_3 3x—93,_2 8 —x3 33
Из (1) и (2) следует, что данное равенство верно. ■ 11.012. Верно. 11.013. Неверно.
V3X-5-1 3V* 4-1-1
11.014. □ Имеем lim=-. Для нахождения limдомножим
х-2х-22,_о X
числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы чисел 3х/х+1 и 1:
(Vx4-1)3-1311
lim======= lim —=======— = -.
х-о х (3^/(х+1)2 + 3V*4-1 4-1) х"*° \/(х+1)2 + 3Vx + l + 1 3
'3 1 я
Итак, получаем неравенство<cos—, которое неверно, поскольку
я
cos— <1. ■
10
11.015. Неверно. 11.016. Неверно. 11.017. Верно.
11.018. □ Находим
хэ—8(х—2) (х2+2х+4)х2+2х+4
lim-= lim= lim= 1,5;
х-2*(х -4) х^2 х(х-2)(х+2)х_2 х(х+2)509
2-162 4 — 164 (2 -4)4
lim= lim= lim= lim= 0,5.
4Ж_2*^ (2*)2 —(22)2 x^2 (2X-4) (2X+4) x^2 2*4-4
Итак, получаем 1,5—0,5=1, т. е. данное равенство верно. ■
11.019. у'=—= + 7х2 Jx ;• 11020. а) у' = 6х (х*-х2 + 1)2 (2х2-1); 6) у' =
2х3—6х2+6х—14sin2x12
=.11.021. а) у’=;6) у'=.
(х—I)2(l+cos2x)2(х—10) (х+2)1п10
2х(6х-7)х
11.022. а) у'= — — — — ; 6) у' = е (sin 2x4-sin2 х 4-1).
3 V(4x’-7x24-1)2
11.023. □ а) Запишем данную функцию в видеу=(х2 —l)1^3 (х4—1), откуда У=~ (х2- 1) 2/,'2х (х4—1)4-(х2—l)*^ 4х3 =
— 2x (x2 —1) (7x24-l)— 1 ===;— 2x (x2 —1) (7x24-l)— 1 ===;з V(^2-D2з V(^2-D2_ 2x(x4 —1)
— 2x (x2 —1) (7x24-l)
— 1 ===;
— 2x (x2 —1) (7x24-l)
— 1 ===;
з V(^2-D2
з V(^2-D2
з VCc2-i)2
X
y'—.
X -1
х=-5х3.V(l-x)-12 vx 1-Зх
11.024. а) у' = е (Зх2—Юх); б) у’======.
3 V*2 3 V1 -х 3 Vx2 (1 -*)
5x4-2811
11.025. а) у'==;б) у'=-——.11.026. a) y' = 2xcos-4-sin-;
3 з^/хsin24xхх
1cosx
б) у'=1 4-cos2x. 11.027. а) у'= — 3sin6x; б) у'=- sinx. 11.028. а) у' =—-;
2cos2 (sinx)
tg2 х 1
б) у*=—. 11.029. y'=2x2-2xVx2-l-l. 11.030. а) у* =; б) у' =
cos ^x2V*2+4
3V1 + х222
=. 11.031. а) у’=. ^- ^ ; б) у' ==. 11.032. а) у’ =
х*V(x2 — 2)3x2V2 —х2
,,5х24-11
=3x2cos2x—2 (х34-1) sin2x;6) у'=2sin2x. 11.033. а) у'=—- — — ; б) у'=~.
V(3x24-1)2 х
11.034. х=е-1. 11.035. (-со, 0)|J(0, 5/2). 11.036. [-4, -3]. 11.037. х^З, Х2=4.
11.038. □ Сначала находим /' (х)=——. —4-2=—- 4т. Те-
Vx24-3(^+1)^2 + 3 (х+1)
1 2
перь, полагая х=1, получим f (1)=-4-- = 1. ■
11.039. 4/9. 11.040. 2/3. 11.041. -2. 11.041 1/8.11.043. 1/8. 11.044. -2. 11.045. 0. 11.046. □ Имеем
— sinx (1 4-sinx)—cosx cosx —sinx—sin2x—cos2x
(14-sinx)2(14-sinx)2
-(14-sinx) 1/л\1
(14-sinx)2 14-sinx’ \2/2
11.047. 1.11.048. 1/30.11.049. 39.11.050. 7/6.11.051. 1.11.052. -1/2.
11.053. 31n2. 11.054. 3V2/8.11.055. 0,5 In 2. 11.056. -3.11.057. -1.11.058. 2/Vn.
11.059. 1. 11.060. a) J" (x) = 21nx+3-4cos2x; /' (l) = 3-4cos2; /' (я) = 21пл-1; 21x21/я\41
6) /' (x) =sin -;/' (3) =sin 1;/' - -.11.061. y' (0)<0.
x9339\2/я18
11.062. Убывает от 1,5 до 0,25. 11.063. [—8, 8]. 11.065. Возрастает от 0 до 1п9.
11.066. [-1,4] и (-1,4). 11.068. а= -1,6 = 1.
11.069. □ Находим /'(x)=5cosx—3sinx, /'(0)=5. Согласно условию, имеем (Х\ XX
1 —2sin2 - 1—6sin - cos -=5=>
2/22
X/ Xх\XXX
=> — 2sin -5sin -+3cos- 1=0, откудаsin - = 0либо 5sin - + 3cos - = 0.Из
2\22/222
первого уравнения получаем xl=2un, neZ, а из второго хг =
/ 3\3
= 2arctg I --1+2ял=2лл—2arctg-, neZ. ■
11.070. xj = -7/3, x2 = 0. 11.071. g* (0) = 0.
11.073. □ Чтобы функция /(x) была дифференцируема в точке х=0, должно
выполняться равенство f (0)= lim f (х\ Если х>0, то f (х) =
= —р sin х+geos х,= —р sin х+geos х,х-*0 (х<0)
= —р sin х+geos х,
= —р sin х+geos х,
т. е. f (0)=д; если же х<0, то f (х)=р
и lim /' (х)=р, откуда следует, что p=q. Однако, по условию, p^q и, х-*0 (х<0)
значит, при х=0 данная функция не дифференцируема. ■
11.074. □ Для уравнения 0,5 (х — cosx) = 7,8 (1) рассмотрим функцию <р(х) = = 0,5 (х2 — cosx)—7,8. Найдем знаки <р (2л) и <р (Зл). Имеем д>(2л) = =0,5 (4л2-!)—7,8=2л2—8,3; так как 3<л<4, то 18<2л2<32, т. е. Ф (2л)>0; аналогично, ф (Зл)=4,5я2 —7,3, т. е. ф (Зя)>0. Таким образом, на [2л, Зл] функция ф (х) непрерывна, возрастает (сообразите, почему) и не меняет знак на концах интервала; значит, уравнение (1) на [2л, Зл] не имеет корней. Проведя аналогичные рассуждения для уравнения /' (х) = 7,8, заключаем, что на промежутке [2л, Зл] оно имеет по крайней мере один корень. ■
11.075. а>3.
11.076. □ Первая сумма — это сумма п членов геометрической прогрессии, у ко- X (1—х")
торой 6| =х, q=x и х#1, т. е. S„=. Вторая сумма представляет
1 — х
собой производную от первой суммы. Следовательно,
' (1-(л+1)х") (1-х)-х(1-х”)(-1)
^^d-х)2"
, л , ч я+1”+1, Л Л+1
1 —(л+1)х —х+(л + 1)х+х— X 1 — (л +1) х +лх
(1-х)2(1-х)2"
11.078. а>4. 11.080. р>1.
Г( пи \\
11.083. □ Имеем y'=V3cosx+sinx=2 ( sin - cosx+cos - sinx l=2sin I ~+x 1. X 33)\3 /
(
я \я
-+x 1=0 находим x=пял, neZ. Далее решаем 3 /3
неравенства sin [ -+х 1>0 и sin I -+х )<0. Первое из них выполняется,
я 2я2л5л
если2лл—-<х<—|-2ял, авторов — если — +2лл<х<—+2лл, пеХ (рис.
11.084. Возрастает на (—со, —1/2), убывает на (- 1/2, со). 11.085. Возрастает на (1, 3), убывает на (—со, 1) и на (3, со). 11.086. Возрастает на (—6, 0) и на (0, 2), убывает на (— со, —6) и на (2, со). 11.087. Возрастает на (—со, 1) и на (2, оо), убывает на (1, 2). 11.088. Возрастает на (— оо, — 1) и на (1, оо), убывает на (— 1, 0) их на (0, 1); /(xi)</(x2). 11.089. Возрастает на (1, оо), убывает на (0, 1);
/^>J(xx). '
11.090. □ Сначала находим значения у на концах промежутка: у (—2)=— 24, у (2)=4. Теперь найдем критические точки, принадлежащие промежутку [—2, 2]. Имеем у'=3х2 —6х+3=3 (х—I)2; уравнение у' = 0 имеет корень х=1, причем у (1) = 3. Сравнивая между собой значения у (— 2), у (2) и у (1), заключаем, что y,^ = - 24, уная6=4. ■
11.091. Уяаим = 0, Уналб-17. 11.092. У налы-1, Унаиб ~ 3- 11.093. У паям —Ю/З,
Уналб- 2. 11.094. Умям11 Уяаиб”?>325.
11.095. □ Сначала найдем значения /(х) на концах промежутка: /(0)=0, / (л/2)=0. Далее находим
Решим уравнение /' (х)=0. Имеем:
(
я\/л\/я\
-+х )+cos2xsin ( —+х )—sin 2х cos I -+х 1=0;
4)\4/\4)
/л\/л\/л\/л\
cos 2х sin I -+х l + sin I —х 1 = 0; cos2хsin I ~ + х )+cos I -ц-х 1=0,
\4/\4/\4/\4/
/л \/я
sin I —их M0; cos2x+ctg I -+x
\4 )\4
Тах как
ctgctg1 —cos1 —cossinsincos2xcos2x
ctg
ctg
1 —cos
1 —cos
sin
sin
cos2x
cos2x
/ 1
то в результате придем к уравнению cos2x 11 + j +si~^у0' Следовате" 2+sin2xя un
льно, cos2x=0 либо —= 0. Из первого уравнения находим х— + ,
l+sin2x4 2
лег, а второе не имеет решений. Промежутку [0, л/2] принадлежит только значение х=л/4, для которого /(я/4) = 1. Итак, получаем ответ: Унаим-®»
У наиб — 1 - И_
96. ушим = 0, у^^З^З^. 11097. а) Уиаим — 0,8, y^-l; б) Мям^ЛА Унаиб = 2/3. 11.098. Унаям=1. Унаиб = я/2- 11-099. Уяаям = 1. У™т6 = ^3!3. 11.100. Унаям —0,5, Утиб-0,75. 11.101. у™™ =-я/4, уНаиб = я/4. 11.102. а) у»»,-!, Уяаи6 = 1,25; б) уншм = 1,Уяаяб=1.25.11.103. а) Унаим = 1, Уваяб = 3>/4/3;
б) Унаям = 3-У9/2, Унаиб^АЛ П-104, а) Унаим = “ L5» Унаяб = 1; б)утим = 2,5, Унаяб = 9- 11.105. а) Унаям = 5, Уналб = 12; б) Уиаим = “1/64, у„аяб = °-
□ Находим/’ ^=^Х Ь2 J х”1/3;/' (х)#0 при любом х; у' не существует при х=0.,п
Если хе[—8, —1], то /(—8)=2*=16, /(—1)—2; значит, Уиаим—2, Унаиб — 16-
Если хе[-1, 1], то/(-1)=2,/(1)=2,/(0) = 1, откуда уваям = 1> Уяаиб =
а) Унаям “ 3, Уианб — б; б) Унаям = 1 > У наиб — 5. 11.108. Уиаим — 2, Унаяб 2^1.
□ Имеем/(0)=0,/(я/2)=0. Далее находим
y'=-sinxVsinJc+cosx—cosx=
2vsinx
cos2x-2sn^x l-3sin2x
2^/sinx 2^/sinx
. 2 111
Таким Образом, у'=o, если sm x=-=»smx= ±—==>х= ±arcsm-^=+лл, <3<3
neZ Промежутку [0, я/2] принадлежит только х=arcsin —=. В результате
получим /1 arcsinполучим /1 arcsinз1/2 т-3/4
получим /1 arcsin
получим /1 arcsin
7=23—это наиболь
шее значение/(-<■) на [0> я/2]- ®
11 1Ш П Сначала исследуем поведение функции/(х) при стремлении х к нулю справа и к я слева. Если х-»0, то/(х)-» + со; если х-+л, то/(х)-*-Юо.
Теперь находим
2 (2 + cosx) ( —2cosx — 1)sin3x2 (2 + cosx) ( —2cosx — 1)sin3xsin2xsin2x2+cosx — sin2х—(2+cosх) cosх f(x) = 2 —
2 (2 + cosx) ( —2cosx — 1)sin3x
2 (2 + cosx) ( —2cosx — 1)sin3x
sin2x
sin2x
sinx
Значит,/' (x)=0, если 2cosx+l =0, откуда x= ±-+2лл, neZ. Промежутку
(0, и) принадлежит только х=2я/3. Окончательно получим (2и\ /2 + (—0,5)\2
/(— )=(— ) =3 — это наименьшее значение/(х) на (0, я). ■
кЗ/ к 0,5^3 /
У»ям=/№=2.
□ Пусть х — первое слагаемое; тогда 18 —х — второе слагаемое. Согласно условию, получим функцию S (х)=х2 + (18—х)2, где, по смыслу задачи, 0<х<18. Найдем наименьшее значение S (х). Имеем S’ (х)=4х—36; S'(х) = 0 при х=9; если 0<х<9, то S'(x)<0; если же 9<х<18, то S'(x)>0. Итак, х=9— точка минимума S (х) и, значит, каждое из слагаемых равно 9. ■
40; 60; 80. 11.114. 0,5.
□ Пусть х и у (рис. Р.11.2) — линейные размеры участка (в метрах); тогда площадь участка есть ху=294, откуда у=294/х. Длина всего забора 588 Зх2 + 588
выразится функцией / (х) = 3х+2у=3хн, причем, по смыслу
х х
Зх2 —588
задачи, х>0. Далее имеем /’ (х) =, от-
х1В
ККкуда f (х)=0 при х=14 (поскольку х>0). Если 0<х<14, то f (х)<0; если же х> 14, Tof (х)>0; поэтому х=14 есть точка минимума функции f(x). В результате получаем ответ: 14x21 м. ■
К
К
XXXXххУУ18 дм .
X
X
X
X
х
х
У
У
С N А
Рис. Р.11.2Рис. Р.11.3
□ По условию, ЛВ=24 см, LA=6O”, откуда LB=30° (рис. Р.11.3). Пусть х и у — линейные размеры прямоугольника MNKL (в сантиметрах).
Выразим у через х. Из L.KBL: BL=KLctg30°=x^; из &.MNA-.
AM=MNctg60°=x —; тогда у=МЪ=АВ-ВЪ-АМ=2А-хЛз-х —- _33
=243=243•. Площадь прямоугольника MNKL выразится функцией
=24
3
=24
3
S (х)=ху=х ( 24—S (х)=ху=х ( 24—4x^44x2V^8^/3
S (х)=ху=х ( 24—
S (х)=ху=х ( 24—
|=24х. Далее имеем S' (х)=24х, 3/33
откуда S' (х) = 0 при x = 3V3- Если х<3^/з, то S' (х)>0, а если х>з7з, то
S'(x)<0, т. е. х=з7^ —точка максимума 3 (х). Итак, получаем ответ:
3^3 х 12 см. ■
□ Пусть ВС=а, AFLBC и AF=h; BMNK — параллелограмм, в котором MN=x (рис. Р.11.4). Имеем S8MNK= = MN LF. Выразим LF через х; так как MN AL
txMAN ~ £хВАС, то =— или
ВС AF
х h—LFh(a—x')
-=, откуда LF=. Площадь
ahа
параллелограмма BMNK выражается фун- h (а —х) h
кцией 3 (х)=х=- (ах—х2). Далее
а аh
находимS' (х)=- (а—2х),откуда
а
S' (х) = 0 при х=а/2. Если х<~а/2, то S' (х)>0; если же х>а/2, то 5' (х)<0, т. е. х=а)2— точка максимума 3 (х). Итак, площадь параллелограмма является наибольшей, если две его стороны представляют собой средние линии данного треугольника. ■
Прямоугольный треугольник с катетом а. 11.120. 100 см. 11.121. 12 и 9 см. 11.122. 12 и 9 см.
□ Время, за которое велосипедист догонит пешехода, составит 6/9 = 62/6 2\
= 2/3 (ч). До встречи пешеход был в пути -4— (ч) и прошел v I - 4— I (км), v 3V 3/
Этот же путь они преодолели обратно с одинаковой скоростью 4 км/ч /6 2\
v I — 4— )\v 3/
и затратили время (ч). Тогда время, затраченное пешеходом на
всю прогулку, выразится функцией
/6 2\
v ~+~I,
6 2 \v 3/ 6 2 3 v v24-13v4-36 t (v)=- 4— 4-=-4—1—4—=, где v > 0.
v 34 v 3 2 6 6v
Находим
(2v4-13) v—(v2 + 13v4-36) v2 —36
откуда t' (v)=0 при v=6. Легко установить, что v=6 — точка минимума функции t (v). Итак, получаем ответ: 6 км/ч. ■
9 и 7,5 см. 11.125^2/1=1472 см. 11.126. 60°.
□ Пусть АВ, AC=q> (рис. Р.11.5). Воспользуемся формулой
cosip==_ х^=-. Учитывая, что АС=АВ* ВС, получим
\АВ\ |ЛС| _
АВ(АВ*ВС) АВ1*АВ ВС
СО8ф=^- =-=—=" =Т=^— ".= - _=■
|Л1В||ЛВ4-ВУ \АВ\^АВ1*ВС1*2АВВС
Согласно условию, |ЛВ|=2 |ВС|. Пусть |ВС|=а; тогда |ЛВ1=2а и, следовательно, АВ ВС= |ЛВ| |ВС| cos (ЛВ, ВС)=2а' acosa=2a2cosa. Тогда выражение для cos ф примет вид
4a2 + 2a2cosa 2a2 (2+cosa) 2+cosa cos <p= - =„„^--^ ^.==^ =/ (a).
layj ba2+a2+ 1-2a2cosa 2д а^5+4 cos a y5+4cosa
Далее находим
,— 2 sin a
— sin ay5+4cos a — (2 +cos a) —==
У5+4со$а
/' (a)—=
■5+4cosa
sina (5+4cosa—4 — 2 cos a)sina (1+2cosa)
У(5+4со$а)3У(5+4со$а)3
Значит, /*(a)=0, если sina=O либо l+2cosa=0. Из первого уравнения получаем а=ял, neZ, что не подходит (так как 0<а<я), а из второго . 2я.
а=+—+ 2ял, neZ. Условию задачи удовлетворяет только а=2я/3. При
этом если а<2я/3, то cosa> —0,5 и/7 (а)<0, а если а>2я/3, то cosa< —0,5
и /' (а)>0, т. е. а=2я/3 — точка минимума функции / (а). В этой точке cos <р принимает наименьшее, а_угол у — наибольшее значение. Находим 2-0,5 Узя
эти значения: cos <р=—== =—, откуда ф=-. Итак, наибольшая величина "У5-2 26
угла ВАС равна я/6 и достигается при а=2я/3. ■
11.128. □ Пусть АВ=ВС, а = LABC, AD=l — медиана к ВС (рис. Р.11.6). Имеем 11 ,
5йЛвс=- AB BCsina, т. е. 5д^дс=-ЛВ 2 sin а. Из kABD по теореме
2,,,2АВ1 АВ
косинусов находим r = AB2+BD2—2AB BDcosa=AB2+—2АВ — х
/5\,4/2
xcosa=AB2 I—cos a I, откуда AB2=. Таким образом, 5ддвс= \4/5—4cosa
2/2sina
==S (а), где 0<жя по смыслу задачи. При а-*0 и а-»я имеем 5—4 cos а
S (а)-»0, причем S (а)>0. Если на интервале (0, л) функция S (а) имеет критическую точку, то в ней S (а) щзинимает наибольшее значение. Нахо-
5cosa—4
дим S'(a)=2Z2-; значит, S'(a) = 0, если 5cosa—4=0, откуда
(5—4cosa)2
cos a=4/5. Итак, площадь треугольника ABC является наибольшей при cos a=4/5. ■
а=л/3; 1/2. • Пусть в ^АВС точки О и О\ — центры описанной и вписанной окружностей, а R и г — радиусы этих окружностей (рис. Р.11.7). Выразить отношение r{R через а и исследовать полученную функцию a
rjR =f(a)=sin 2a tg - на экстремум.
2
H-R^Vhu
□ Объем пирамиды S^bcd (рис. Р-Н-8) выражается формулой V=
=-Вдвсв'SO. Пусть AD=a; тогда Вдвсп=а\ а из &SOK находим SO = alai
= OKtgLSKO =-t&a. Значит, V=- a1 - tga=- a’tga (1). Далее, пусть 2326.
OK aa1
S^sdc—Q—~ a SK, где SK==. Поэтому Q =, откуда
cos a 2 cos a4cosa
a = V^Scos a (2). Подставив (2) в (1), получим
1 4Q
V= V (a)=~ (V46cosa)3 tga= —
где 0<а<л/2 по смыслу задачи. Если а-+0 и а-*п/2, то V (а)-+0, причем '■4 2cos2a—sin2a
И(а)>0 на (0, л/2). Находим V’ (a)=- Q2-—.—; V’ (а)=0, если 3 2Vficosa -
2cosJa—sin2a=0; далее имеем tg2a = 2; tga=±V2; а= ±arctgx/2 + nn, neZ. Условию задачи удовлетворяет только значение a=arctgV2. Итак, объем пирамиды является наибольшим при a=arctg^/2. ■
a/2; Я/2. 11.133. arctg (^2/2). 11.134. arctgy^. 11.135. л/3. 11.136. я/4.
□ По условию, у=к(х или к=ху; значит, к=9,6 3,05 = 29,28. Если у = 30, то х=29,28/30 и 0,98; если х=0,1, то у= 29,28/0,1 = 292,8. Расстояние от , начала координат (0; 0) до точки (х; у), лежащей на гиперболе, равно
х/х^у1- Таким образом, Е1ужно исследовать на экстремум функцию
/(х)= хг4—-, где хе(0, оо). Находим
Г (х) =Г (х) =к2к2гг
Г (х) =
Г (х) =
к2
к2
г
г
11.138. Я = г.11.138. Я = г.Значит,(х)=О, если 1—- = О или x4 = fc2, откуда x=vl^l- При к>0 имеем y=k(>/k=^/к, т. е. х=у = у/к. Итак, х=ум5,4- •
11.138. Я = г.
11.138. Я = г.
□ Имеем у'=4х 3 — \2х=/(хУ Находим значения функции / (х) на концах промежутка [— 1, 3]:/(— 1) = 8,/(3) = 72. Теперь найдем критические точки функции /(х), принадлежащие этому промежутку: f (х) = у" = = 12х2—12= 12 (х2—1); f (х)=0, если х=±1. Тогда получим /( — 1) = 8 (это значение было найдено ранее),/(1)= —8. Итак, у'яаим=”8, у'наиб =
у-х—е, 11.141. у=3х—л.
□ Угловой коэффициент касательной к графику функции g (х) равен k=g’ (xg)=tgo, где хд— абсцисса точки касания, а а — угол наклона касательной к оси Ох. Находим
g' (x)=2xlnx + x2 - = 2xlnx + x=x (21nx+ 1). х
При хд = 1 получим g' (1)= 1, откуда tga=l и, значит, а = л/4. ■
у = х+1..
□ Пусть (хо; уд) — точка касания. Так как касательная параллельна оси абсцисс, то угловой коэффициент касательной в этой точке равен нулю. Имеем у'=4 (х—4)2 (х—1); к=у' (хд)=4 (х0—4)2 (хд—1) = 0, откуда находим (x0)i=4, (хо)г=1 и, значит, (yo)i=O, (уо)2=—27. Итак, получаем искомые точки касания (4; 0) и (1; —27). ■
я/3.
□ Пусть (хд; уд) — точка касания. Угловой коэффициент касательной в этой точке есть к=2. Находим у' = х2 — 2х— 1; к=у' (х0)=х2—2хд — 1 = 2. Решив уравнение х2—2хд—3=0, получим (хд)1=3, (хо)г= —1, откуда (yg)i = — 2, (уд)2=2/3. Итак, искомыми точками касания являются (3; —2) и(-1;2/3). ■.
(2; 8/3) и (3; 7/2). 11.150. Зя/4. 11.151. я/4. 11.152. (1/2; -15/32). 11.153. у = х(е.
□ Чтобы найти точки пересечения данных кривых, решим систему урав- [у=2х2-5,
нений <из которой получим Х! = —5, хг=2 и yi=45, уг=3.
1у=х2 —Зх + 5,
Таким образом, имеем две точки пересечения: А (—5; 45) и В (2; 3). Далее найдем производные данных функций у'=4х и у'=2х—3, а затем угловые коэффициенты касательных к заданным кривым в точке А; *1 =4 (—5)= — 20, кг=2 (—5)— 3 = —13. Значит, уравнения касательных в точке А имеют вид у—45=—20 (х4-5) и у—45= —13 (х+5) или у=—20х—55 и у=-13х-20. Аналогично для точки В находим ^=8 и ^2= 1, а уравнения касательных запишутся в видеу=8х—13 иу=х +1. ■
10 1 ,
□ Имеем у'=— х*— х , у* (l)=3=tga, где a — острый угол, состав-
ленный касательной с осью Ox (tga>0). Пусть р— угол, составленный касательной с осью Оу (рис. Р.11.9); тогда Р= LAOB+ LOAB, т.е.
п
^=-+arctg3. ■
2
□ Полагая х=2, находим у=4 — 8+3 = — 1 *-5, т. е. точка М не лежит на кривой и не является точкой касания. Пусть (хд; уд) — точка касания. Имеем у' = 2х—4, fc=2x0—4. Составим уравнение касательной, проходящей через точку М\
-5-уо = (2хд-4) (2—хд) или уд= — 5—(2хд —4) (2-х0).(1)
Поскольку точка (х0; уд) лежит на кривой, получим yo = xj—4хд+3 (2). Теперь, решив систему уравнений (1), (2), находим две точки касания: А (0; 3) и В (4; 3). Итак, существуют две касательные к данной кривой; одна из них имеет угловой коэффициент к[ = — 4 и уравнение у= — 4х+3, а другая — угловой коэффициент ^=4 и уравнение у=4х—13 (рис. Р.11.10). ■
х + еу-2г=0. 11.158. у=8х+14. 11.159. (1; 0), (-1/3; -44/27). 11.160. (4; 3), (0; -1). 11.161. а) у = х-0,09; 6) я/24, л/8, 13я/24, 5я/8. 11.162. а) Зл/4; 6) 7я/18. 11.163. я/6.
□ Поскольку у(1)=8, точка М лежит на кривой и является точкой ...2/\V2 -1/3
касания. Находим у = — (5 — х ) х . Следовательно, угловой коэффициент касательной к=у' (1)= — 2, а уравнение касательной имеет вид у= — 2х+10. Эта касательная пересекает координатные оси в точках А (0; 10) и В (5; 0), откуда АВ=vW+ 52 = 5x/s. ■
□ Сначала составим уравнение касательной к кривой у=х/г2—5 в точке М (3; 2): Зх—2у—5=0. Уравнения биссектрис координатных углов имеют вид у=х и у=—х, причем эти биссектрисы взаимно перпендикулярны.
(Зх—2у—5=0,[Зх—2у—5=0,
Решив системы <и <находим точки пересече-
(у=х(у= — х,
ния касательной с биссектрисами: А (5; 5) и ^(1; — 1). Тогда получим прямоугольный треугольник ОАВ, площадь которого требуется найти. Имеем ОА =х/52+ 52 =5^/2, OS-^/P+t—1)2=^/2, откуда 5ддвс= —0,5ОАОВ=5 (кв. ед.). ■
Si“S2=53=8 кв. ед.
□ Пусть (xq; yd) — точка касания, лежащая на кривой у=х2. Тогда yo=xj, угловой коэффициент касательной к=у' (хо)=2хо, а уравнение касательной у— xJ=2xq (х—xq) (1). Обозначим через АВ отрезок любой касательной от точки (xq; уо) Д° оси Ох, а через АС — проекцию этого
отрезка на ось Ох (рис. Р.11.11). Из уравнения (1) находим абсциссу точки А: при у=0 хо '
хо2хо2получим х=—. Следовательно,
хо
2
хо
2
Аналогично, для кривой у=х4 с той же абсциссой Xq точки касания уравнение касательной имеет вид у—xj=4xj (х—xg). Полагая у=0, найдем абсциссу точки А: зх; зх0
х——_— Значит, 4х2 4
Из (2) и (3) следует, что первая проекция вдвое больше второй. ■
1
1пх—х -
х 1пх— 1
□ Функция определена при х>0 и х#1. Имеем у’==;
In2 X In2 X
отсюда у'=0 при In х — 1 = 0, т. е. при х=е. Составим таблицу:
Интервал
(0. 1)
(1.С)
(е, со)
у'
—
—
+
У
X
S
Z
Следовательно, х=е — точка минимума. ■ 11.170. х=1/е— точка максимума. 11.171. х=0 — точка минимума, х=2— точка максимума. 11.172. х=3 — точка максимума. 11.173. ynun=0,25—In2 при я х=0,5. 11.174. х=1п2 — точка максимума; я/4. 11.175. х=- + 2ял, neZ —точки
5я максимума; х=—+2ял, neZ — точки минимума; я/4."
4 ' х
□ Имеем у'=; у'=0 при х=0, причем если — 1<х<0, то у'<0,
1+х
а если х>0, тоу'>0. Значит, х=0 — точка минимума.
Подставив в уравнение прямой у=кх +Ь координаты точек А и В, получим (3=2*+6, систему <из которой найдем к— —1/3. Но угловой коэффициент
(4= — к+Ь, прямой АВ равен угловому коэффициенту касательной к графику данной
функции и, следовательно, кхас=у' (хд) == —• Отсюда находим абс-
1+х03
циссу точки касания хд = — 0,25, а затем- ординату этой точки уд = — 0,25 — -In0,75. ■
Утах™ —4 при Х = - 1,Утш=4 при Х=1; у=11,25х+ 13. 11.178. Утах = 9 при х=0; 0, 0 и 9.
□ Имеем у'=— е Х + 2е=е (2 —е ); у'=0 при е =2, т. е. при
х=1п2. Если х<1п2, то у’>0, а если х>1п2, то у'<0. Значит, при х=1п2 ■-Ь2-21п21п0,51п0,25„
функция имеет максимум, равный ушм=е — е =е —е =0,25; в интервале (—со, In 2) она возрастает, а в интервале. (In 2, оо)— убывает. ■
УпиП=0 при х=0, ymM=4e"2 при х=2; возрастает на (0, 2), убывает на (— оо, 0) и на (2, оо).11.181. Ушах=0,5^2е ^4 при х=л/4; возрастает на (0, я/4), убывает на (я/4, я). 11.182. ymax=ln2—0,5 при х=—0,5; возрастает на (—оо; —0,5), убывает на (—0,5; 0,5). 11.183. Ушш= —25/96 при х=7/11; возрастает на (7/11, 5), убывает на (— оо, 7/11) и на (5, оо).
х2 + 1-х2х1—х2(1—х)(1+х)
□ Находим у'==-=. Уравнение у'=0
■(х2 + 1)(х2+1)2(х2 + 1)
имеет корни X] = — 1 и хг = 1. Составим таблицу:
Интервал
(-=о, -1)
(-1,1)
(1,00)
У
-
+
-
У
S
л
S
Итак, при х= — 1 функция имеет минимум, а при х = 1 — максимум; в интервале (—1, 1) она возрастает, а в интервалах (—оо, — 1) и (1, оо) — убывает. ■
х=2 — точка минимума; убывает на (—оо, 2), возрастает на (2, оо). 11.186. x = 3Vo,5 — точка минимума; убывает на (—оо, 0) и на (0, 3х/0>5), возрастает на (3у0,5, оо). 11.187. х=2— точка минимума; возрастает на (—оо, 0) и на (2, оо), убывает на (0, 2). 11.188. х=0 — точка минимума; убывает на (—оо, 0), возрастает на (0, оо). 11.189. х= —2 — точка максимума, х=2 — точка минимума; возрастает на (—оо, —2) и на (2, оо), убывает на (—2, 2). 11.190. х=2 — точка минимума; убывает на (—оо, 2), возрастает на (2, оо). 11.191. х = = —4 — точка максимума; возрастает на (—оо, —8) и на (—8, —4), убывает на (—4, 0) и на (0, оо). 11.192. Убывает на (—оо, —3), на (—3, 3) и на (3, оо). 11.193. х = 1 —точка максимума; возрастает на (—оо, 1), убывает на (1, оо). 11.194. х = 1/2 — точка минимума; убывает на (—оо, 1/2), возрастает на (1/2, 2) и на (2, оо). 11.195. х=2 — точка максимума; убывает на (— оо, —2) и на (2, оо), возрастает на (—2, 2). 11.196. х=1—ч/з — точка максимума, х=1 +-^3 — точка минимума; возрастает на (— оо, 1 —у^З) и на (1 +^/з, оо), убывает на (1 — д/З, 1) и на (1, 1+л/З). 11.197. х=0 — точка минимума, х=2 — точка максимума; убывает на (—оо, 0) и на (2, оо), возрастает на (0, 2). 11.198. х=-1 —точка минимума; х = 1 — точка максимума; убывает на (— оо, — 1) и на (1, оо), возрастает на (—1, 1). 11.199. х= —\/2— точка минимума, х=0 — точка максимума;
убывает на (—оо, — 3V2), на (0, 1) и на (1, оо), возрастает на (—3V2, 0). 11.200. х = 3 —точка минимума; убывает на (0, 3), возрастает на (—оо, 0) и на (3, оо). 11.201. х—2,5 — точка максимума; возрастает на (—оо, 1) и на (1; 2,5), убывает на (2,5; 4) и на (4, оо). 11.202. Уты = 0 при х= — 1, ут;п = — 1 при х=0;
возрастает на (—оо, — 1) и на (0, оо), убывает на (—1, 0). 11.203. ymin=—8 при х= ±2, уты=0 при х—0; убывает на (— оо, —2) и на (0, 2), возрастает на (—2, 0) и на (2, оо). 11.204. Утш=—16 при x=±V5, Уты=9 при х=0; убывает на (— оо, — V5) и на (0, V5), возрастает на (-75, 0) и на (V5, 00).
□ Находим у'=х2—х—2=0=(х + 1) (х—2). Уравнение у'=0 имеет корни Xi = —1 и Х2=2. Если — оо <х< — 1, то у'>0; если — 1 <х<2, то у '<0;
если 2<х<оо, то у'>0. Таким образом, при х= — 1 имеем Ушы = 25/6, а при х=2 имеем утт = —1/3; функция возрастает на (—оо, — 1) и на (2, оо), убывает на (—1, 2). Для более точного построения графика найдем еще точки его пересечения с осями координат. При х=0 получим у = 3, т. е.
(0; 3) — точка пересечения графика с осью Оу. Для нахождения точек пересечения графика с осью Ох решим кубическое уравнение:
X3 X2
2х + 3 = 0=>2х3-Зх2 + 6 (3 —2х) = 0=> 32
=>х2 (2х—3) —6 (2х —3)=0=> (2х —3) (х2-6)=0.
Итак, у=0, если xi = l,5, х2 3 = + V6- Эскиз графика изображен на рис.
Р.11.12. ■
уты=2 при х=0, Утш= —2 при х=2; возрастает на (—оо, 0) н на (2, оо), убывает на (0, 2). 11.207. Уты—28 при х=2, ут;„ = 27 при х=3; возрастает на (—оо, 2) и на (3, оо), убывает на (2, 3). 11.208. уты=9 при х=±1, ушш = 8 при х=0; возрастает на (—со, —1) и на (0, 1), убывает на (—1, 0) и на (1, оо). 11.209. упйп =—6,25 при х= ±2, Уты =—2,25 при х=0; убывает на (—со, — 2) и на (0, 2), возрастает на (—2, 0) и на (2, оо). НЛО. уши=0 при х=0, ymin= — 9,6 при х=2; возрастает на (—оо, 0) и на (2, оо), убывает на (0, 2). 11Л1. ут«=2 при х*=0; возрастает на (—оо, 0), убывает на (0, оо); ось Ох — асимптота графика функции (рис. Р.11.13).
2 -1/3
□ Сначала находим скорость точки v=$' (/)=- /, а затем ее ускоре-
ние a = v' (n^s' (/) ===. Таким образом. a= где
9 V'4 W<s^
2 k= —. ■
9
131
□Имеемv(0 =5'(0=;;v(9)=—(м/с).■
(/+4)13
21м/с;24м/с2.11.215.1c;4 c.
□ Имеем v (/)=j'(/)= —2+48/—1,5/4. Чтобы определить наибольшее значение v (/), находим v' (/)=48 —6/3. Уравнение v' (0 = 0 имеет корень / = 2, причем если / < 2, то v' (/)>0, а если />2, то v' (0 <0. Значит, / = 2 — точка максимума функции v (/); при этом v (2) = 70 (м/с). ■
V|=8 м/с и v2 = 10 м/с; Vj =24 м/с и vj = 22 м/с. 11.218. aj=14 м/с2, 02 = 18 м/с2. 11.219. vi=36 м/с, v2 = 35 м/с.
□ а) Находим время подъема тела, для чего определяем v (/)=А'(/) = = 8—10/. В наивысшей точке подъема v (0 = 0, откуда / = 0,8 (с). Так как h (0) = 0, то время подъема и время спуска одинаковы; скорость свободного падения тела выражается формулой x=gt, откуда получаем ответ: у (0,8) = = 10 0,8 = 8 (м/с).
б) Здесь, как и ранее, время подъема тела / = 0,8 с, но, поскольку А (0) = 4 (м), необходимо определить время его свободного падения. Находим высоту подъема А (0,8) =7,2 м и используем закон свободного падения gt1Ю/2,—
5 (/)=—, откуда 7,2 =. Значит, / = ->/1,44 = 1,2 (с) и скорость тела в мо
мент соприкосновения с Землей составит v= 10 1,2 = 12 (м/с). ■
44161611.221. □ Из курса физики известно, что F=mga. Воспользуемся тем, что a (/) =
4
4
16
16
= v'(/) = 5" (/). Имеем s' (/) =, a(/)=5"(/) = или a(/) =
(2/—I)2(2/-1)3
2 V
= 2 II =2 (з (/))’. Итак, сила, действующая на тело, пропорциональ- \2/—1/
на кубу пройденного пути. ■
□ Из условия следует, что г(/) = 2/. Находим поверхность шара и его 432л/3
объем: 5 (/) = 4лт2 = 16л/ , И{/)=- лг3 =. Определяем скорости воз-
33
растания 5 (/) и V (/): У;=8" (/) = 32л/, у2=И' (/) = 32л/2. При г = 10 полу
чим 10 = 2/, откуда / = 5 (с). Следовательно, vi (5) = 160л (см2/с), у2(5) =
= 800л (см3/с), ■
<о = 12 рад/с; 1 = 2 с.
□ Найдем плотность стержня: р (0=g'(0 = 8/—2, откуда р (4) = 30 (г/см). £ (25) 4 252 —2'25
Тогда средняя плотность Рц, ===98 (г/см). ■
□ Если х>0, то /(х) = х и F (х) = 0,5х2 + С; если х<0, то/(х)=—х и
Е(х)=-0,5х2 + С. ■_
X3 х 1
□ Имеем F (х)=4 —1-9Н С. Подставив в это равенство координаты
4— 2=~ З3 — 9 3-1 ■34— 2=~ З3 — 9 3-1 ■3
4
— 2=~ З3 — 9 3-1 ■3
4
— 2=~ З3 — 9 3-1 ■3
точки Мй (3; —2), получим
49
F М=- х3 — -35. ■
3х
+ С, откуда С= — 35. Итак,
хxs + 113 —cos 2.x
F (х) =2х2+- + 7. 11.229. F(x)-. 11.230. F(x) =.
12352
О Используя правило 3° в), находим F(x)=-(—ctg3x) + C. Подставляем 3
/ л\
в это равенство координаты точки Мд I —; — 1 I и получаем — 1 = \12)
1 л22+ctg3x
= — cig —НС, откуда С = —. Значит, F (х) . ■
71х’ + 8,2sin4x—9
F(x) =—. 11.233. F(x)=x4-x’ + 3. 11.234. F(x) =.
24x38
-1/2
□ Запишем производную в виде S (х) = 2(5-х). Тогда, используя
1 (5-х)'/2
правило 3° в), находим 5 (х) = 2—-——— + С= — 4^/5—х + С. Полагая х=1, получим 5 (1)= —4 2 + С= —1, откуда С=7. Итак, S(x) =
□ Так как v(t) = s'(t), то 5 (t) = 2 —+ 3 —+ С. Полагая С=0, получим 32
13200
5 (1)=—, 5 (4) =—. Искомый путь составит 5 (4)—5 (1) = 64,5 (м). Далее 63
находим ускорение а (г)=v' (/)=4» + 3, откуда а (2) = 11 (м/с2). ■
11,25 м; 1/12 м/с2.
Гf 1 +cos 2х 1 / Г Г
□ I cos2xdx= Idx=- I dx* I cos2x</x
J J 22 J
о 0о 0оо
о 0
о 0
it 1+- sin2x0 2it 1+- sin2x0 21 \ л—OH— 0 I2 /1 \ л—OH— 0 I2 /1 / = - I X
it 1
+- sin2x
0 2
it 1
+- sin2x
0 2
1 \ л—OH— 0 I
2 /
1 \ л—OH— 0 I
2 /
2 \
Зл/4.
Г dx f -2/3 X 27!/31/3
□—== Xdx=— =3(27 -8 )=3. ■
J Vx2 J1/3 8
88
я/4я/4
□(sin2(—cos2z)2 dt= I (sin22z— 2sin2/cos2z+cos22r) dt =
л/4я/4
п/4 Л 1 1 Л —2о =4 4 4' 4п/4 Л 1 1 Л —2о =4 4 4' 4ГГ/1
п/4 Л 1 1 Л —2
о =4 4 4' 4
п/4 Л 1 1 Л —2
о =4 4 4' 4
= dt— sin4zt/z=l Z+-cos4z
JJ\4
00
9V3/2. 11.243. V3/3- П-244. 2.
*/2п/2
11.245. □11.245. □1 sinx cosx dx=-21 sinx cosx dx=-2f1 1sin2x <Zx=- - (—cos2x)f1 1sin2x <Zx=- - (—cos2x)*/20*/20
11.245. □
11.245. □
1 sinx cosx dx=-
2
1 sinx cosx dx=-
2
f1 1
sin2x <Zx=- - (—cos2x)
f1 1
sin2x <Zx=- - (—cos2x)
*/2
0
*/2
0
= — (cos n—cosO)=-.
42
11.246. 0.
о
11.248. -101,25.
11.249. □11.249. □
11.249. □
11.249. □
+- [ —=—— dx=- f [ (3x4-1) dx+2 f (3x+l) dx
3 J ,\Дс4-13\JJ,
ооо
1 /1 (Зх+ 1)5/3 7/3 2 (Зх + 1)2/3 7/3\ 1/1 5/3 m \ 46
-I4-=- - (8 —1)4-(8 -1) -—.
3 \35/3 о 32/3 о / 3 \5/15
x/4x/4cos xV14-)sin x)cos xV14-)sin x)11.250. (4-V2)/6. 11.251. 2. 11.252. 0,51n2-l,5. 11253. 3 С>/^-Ш
x/4
x/4
cos xV1
4-)
sin x)
cos xV1
4-)
sin x)
*/4
11.254. □11.254. □(tgx-bctgx)'1 dx=(tgx-bctgx)'1 dx=
11.254. □
11.254. □
(tgx-bctgx)'1 dx=
(tgx-bctgx)'1 dx=
о
11.256. Зл/16. 11.257. 11/96.
22о1 /- I COSX2 \о1 /- I COSX2 \— со$5х о 5— со$5х о 5оя\ 1оя\ 11 11 144о/ 2о/ 25 5,5 5,554/9. 11.261 0,6. 11.263. 3,6V101ge^4,9.□ Задвинь» линии образуют фигуру АВС (на рис. Р. 11.14 она заштрихована). Абсциссу точки А найдем, решив систему у=х3, у=1, откуда х = 1. Искомая площадь равна разности между площадями криволинейной трапеции DACE и ква- цДрата DABE. Согласно формуле (11.8), имеем24/9. 11.261 0,6. 11.263. 3,6V101ge^4,9.□ Задвинь» линии образуют фигуру АВС (на рис. Р. 11.14 она заштрихована). Абсциссу точки А найдем, решив систему у=х3, у=1, откуда х = 1. Искомая площадь равна разности между площадями криволинейной трапеции DACE и ква- цДрата DABE. Согласно формуле (11.8), имеем2ЕЕРис. р.11.14Рис. р.11.14D i 0 /2D i 0 /2S = Sdace- Sdabe= х3 dx — 1 = —J4S = Sdace- Sdabe= х3 dx — 1 = —J42-1 =2-1 =16-116-14411-1 =— (кв. ед). ■11-1 =— (кв. ед). ■2 кв. ед 11.266. 8/3 кв. ед. 11.267.2 кв. ед 11.266. 8/3 кв. ед. 11.267..268. 1/6 кв. ед..268. 1/6 кв. ед.5/12 кв.5/12 кв.0,3 кв. ед.0,3 кв. ед.11.270. 1,6 кв. ед 11.271. 12-51п5«4 кв. ед.11.272. □ Сначала построим график функции у=х3—4х при х>0. Находим точки экстрему-11.270. 1,6 кв. ед 11.271. 12-51п5«4 кв. ед.11.272. □ Сначала построим график функции у=х3—4х при х>0. Находим точки экстрему-ма: у' = 3х2—4; Зх2ма: у' = 3х2—4; Зх21,1.1,1.При х>0 функция убывает на (0, 2/^/3), возрастает на (2/V3, оо), а х= 2/V3 —г точка минимума, причем ут;и = —16/(3^3)*~3. Итак, требуется найти площадь фигуры ОАВ (рис. Р.11.15). Так как функция у=х3—4х принимаетПри х>0 функция убывает на (0, 2/^/3), возрастает на (2/V3, оо), а х= 2/V3 —г точка минимума, причем ут;и = —16/(3^3)*~3. Итак, требуется найти площадь фигуры ОАВ (рис. Р.11.15). Так как функция у=х3—4х принимает2222на (0, 2) отрицательные значения, то 5=на (0, 2) отрицательные значения, то 5=(х3—4х) dx . Имеем I (х3 —(х3—4х) dx . Имеем I (х3 —/х*X2’—4х) dx=(4 — \42,/х*X2’—4х) dx=(4 — \42,оооо2= —4, откуда получаем ответ: 5=4 (кв. ед.). ■ о2= —4, откуда получаем ответ: 5=4 (кв. ед.). ■ о
2
2
о
1 /
- I COSX
2 \
о
1 /
- I COSX
2 \
— со$5х о 5
— со$5х о 5
о
я\ 1
о
я\ 1
1 1
1 1
4
4
о/ 2
о/ 2
5 5,
5 5,
5
5
4/9. 11.261 0,6. 11.263. 3,6V101ge^4,9.
□ Задвинь» линии образуют фигуру АВС (на рис. Р. 11.14 она заштрихована). Абсциссу точки А найдем, решив систему у=х3, у=1, откуда х = 1. Искомая площадь равна разности между площадями криволинейной трапеции DACE и ква- цДрата DABE. Согласно формуле (11.8), имеем
2
4/9. 11.261 0,6. 11.263. 3,6V101ge^4,9.
□ Задвинь» линии образуют фигуру АВС (на рис. Р. 11.14 она заштрихована). Абсциссу точки А найдем, решив систему у=х3, у=1, откуда х = 1. Искомая площадь равна разности между площадями криволинейной трапеции DACE и ква- цДрата DABE. Согласно формуле (11.8), имеем
2
Е
Е
Рис. р.11.14
Рис. р.11.14
D i 0 /2
D i 0 /2
S = Sdace- Sdabe= х3 dx — 1 = —
J4
S = Sdace- Sdabe= х3 dx — 1 = —
J4
2
-1 =
2
-1 =
16-1
16-1
4
4
11
-1 =— (кв. ед). ■
11
-1 =— (кв. ед). ■
2 кв. ед 11.266. 8/3 кв. ед. 11.267.
2 кв. ед 11.266. 8/3 кв. ед. 11.267.
.268. 1/6 кв. ед.
.268. 1/6 кв. ед.
5/12 кв.
5/12 кв.
0,3 кв. ед.
0,3 кв. ед.
11.270. 1,6 кв. ед 11.271. 12-51п5«4 кв. ед.
11.272. □ Сначала построим график функции у=х3—4х при х>0. Находим точки экстрему-
11.270. 1,6 кв. ед 11.271. 12-51п5«4 кв. ед.
11.272. □ Сначала построим график функции у=х3—4х при х>0. Находим точки экстрему-
ма: у' = 3х2—4; Зх2
ма: у' = 3х2—4; Зх2
1,1.
1,1.
При х>0 функция убывает на (0, 2/^/3), возрастает на (2/V3, оо), а х= 2/V3 —г точка минимума, причем ут;и = —16/(3^3)*~3. Итак, требуется найти площадь фигуры ОАВ (рис. Р.11.15). Так как функция у=х3—4х принимает
При х>0 функция убывает на (0, 2/^/3), возрастает на (2/V3, оо), а х= 2/V3 —г точка минимума, причем ут;и = —16/(3^3)*~3. Итак, требуется найти площадь фигуры ОАВ (рис. Р.11.15). Так как функция у=х3—4х принимает
2
2
2
2
на (0, 2) отрицательные значения, то 5=
на (0, 2) отрицательные значения, то 5=
(х3—4х) dx . Имеем I (х3 —
(х3—4х) dx . Имеем I (х3 —
/х*X2’
—4х) dx=(4 — \42,
/х*X2’
—4х) dx=(4 — \42,
о
о
о
о
2
= —4, откуда получаем ответ: 5=4 (кв. ед.). ■ о
2
= —4, откуда получаем ответ: 5=4 (кв. ед.). ■ о
1/8. ф В числителе подынтегральной функции прибавить и вычесть 1, а затем разбить на два интеграла от степени функции х +1.
12. ф Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби.
ГГ —sinx+sin5x
□ I sin2xcos3x dx= Idx=
□ Сначала составим уравнение касательной к параболе. Так как у* = =4х— 1 то при хо=2 получим к=у' (2)=6. Находим ординату точки касания: у0=2 22—2'2 +1 =5. Следовательно, уравнение касательной имеет вид у—5=6 (х—2) или у=6х—7. Фигура, площадь которой требуется определить, на рис# Р.11.16 заштрихована. Имеем Sqabd=Sqabc-S^ввс- Абсциссу точкиDнайдемизусловия6х—7=0, т.е.х=7/6.Значит,
7 511525
DC=2—=-,откудаSkDbc=-ОСВС=--'5 =—(кв.ед).Далеена-
6 622612
ходим
(2x2-2x+l)dx=(2x2-2x+l)dx=2 10 =— (кв. ед.)о 32 10 =— (кв. ед.)о 3
(2x2-2x+l)dx=
(2x2-2x+l)dx=
2 10 =— (кв. ед.)
о 3
2 10 =— (кв. ед.)
о 3
10 25 5
и окончательно получим Soxbd=” — 12=4 ^кв' ед “
□ а) 1 способ. Искомое уравнение имеет вид у”= — су, где с=ш2. Так как <о=2, то с=4 и в результате получаем у "= —4у или у ”+4у=0.
II способ. Находим у' = —8cos (2x+3),y” = 16sin (2х+3). Итак, получаем ответ: у"+4у=0; ■ б) у'+0,36у = 0.
□ а) Решением уравнения является функция вида у=Се , где С— произвольная постоянная. Продифференцировав это выражение, получим кх
у = Ске и после подстановки у и у в данное уравнение имеем
Ске = —ЗбСе . Отсюда находим к = —36, т. е. у = Се .
б) Решением уравнения является функция вида у = A cos (шх+ф), где А и ф — произвольные постоянные. Для нахождения to продифференцируем у дважды: y' = /4<usin (шх + ф), у” = — Аш2 cos (шх + ф). Подставив у и у" в данное уравнение, имеем — Аш1 cos (<ох+ф) = — 36Л cos (шх+ф\ откуда to2 = 36, т. е. <о = 6. Итак, получаем ответ: у=А cos (6х+ф\ ■
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие3
Элементы теории» примеры
Условия задач
Решения, указания, ответы
Глава 1. Тождественные преобразования алпебраичес-
ких выражений
5
9
260
Глава 2. Алгебраические уравнения
35
39
284
Глава 3. Применение уравнений к решению задач . . . .
56
59
316
Глава 4. Тождественные преобразования тржоаометри-
ческмх выраженже
102
108
333
Глава 5. Трж'ияометреческве уравнения
136
140
360
Глава 6. Прогрессии
160
162
400
Глава 7. Логарифмы. Показательные и логарифмичес-
кве уряввеявя
169
175
406
Глава 8. Неравенства
192
199
436
Глава 9. Комбинаторика и бином Ньютона
213
214
467
Глава 10. Дополиительше задачи по алгебре
220
222
471
Глава 11. Начала математического анализа
241
245
509
4\2 25/
4.447. arccos (cos (2arcctg (V^ —1))).
4.448. arcsin (cos (2arcctg (V2 —1))). /1° \
4.449. tg I arccos .. ... + arccos .. ... I, где a<0.
\ v1 +el v1 +»1/
/5я 1. 3\ „(In 1. 4\
4.450. cos61 —I— arcsin - j+cos® Iarcsin -
\2 25/\2 25/
4.451. cos 260° sin 130° cos 160°.
1— sin*z—cos6z,
2Уху 2 (х-Уху+у) Уху (х+у)
Ух-Уу (х+у)(Ух-Уу) х-Уху+у
Уху (х+у) у-Уху + х х+у Окончательно получим=— ■=—=. ■
х-Уху+у 2-xJxy 2
1.174. □ Легко догадаться, что подкоренное выражение в числителе есть полный / . ,xjb^^xjb-l
квадрат суммы: (v6 + 2 + v^ —2)2. Тогда получим — - =
Уб3-4+А + 2
У» + 2 + У»-21
У» + 2(У» + 2 + У»-2) У» + 2
1.175. □ Разложим на множители отдельно числитель и знаменатель:
62-3»-(»-1)У»2-4 + 2=»2-»-(»-1)У»2-4-2_(6-1) = = 6 (»-1)-(»-1)У»2-4-2 (6-1) = (»-1) (»-У»2-4-2); »2 + 36-(» + 1)У»2-4 + 2=»2+» + 2(» + 1)-(» + 1)У»2-4 = = (»+!) (»-У»2-4 + 2).
Тогда первая дробь примет вид
31/х3—у3 (х—у)2 Зу/х—у Зу/х1*ху*у1
*Vx + 3x/y
=*VxCx/x-3x/y").
4VxCx/x-3Vy)
В результате получим==—.
Ответ: при *^x—3>/y<0 =* —*s/x; при \/х—30у>О =» ^х. ■
1.269. □ Простейшие преобразования дают:
/(V^-3) (V*+ 3) (х0х-27)\1/2 ■
I = I —^х =
1) npHze(-3,0)|J(0,3)=>
1/- /" Г Г a lb
если0<а<6, to= (—Vя+V^+■va+■v*),*4 l~- ■
58
ЛЛ
212
я
5.198. z=-20°+60° k. 5.199. Z=-(2k+l), k5*7Z+3.
7
2
5.200. □ Пусть y=35°+x. Тогда tgy tg (45°+y)=-, cosy^O, tg(45°+y)#0;
3 loga 27 b
1-у ^4-2
корни ^1=2, У1=4. Остается решить уравнения log,9=2 и log,9 =4. Из
О 2 3 46
Рис. Р.8.14
1 +(д-/>)2 + (д—с)2 + (6—с)2—1 (д—6)2+(д-с)2+(/>-с)2
3
а2 + Ь2 + с2>-. ■ 3
10.161. □ Пусть АВС — прямоугольный треугольник; ВС=а, АС=Ь, АВ=с (рис. Р.10.31); требуется доказать, что д3+/>3<с3. Проведем СКЗ.АВ: тогда ВК=ас и АК=ЬС — проекции катетов на гипотенузу. Так как катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу, то справедливы равенства а2 = сас, b1 =cbc. Умножив обе части первого из них на д, а обе части второго — на Ь, получим а3 = саса, b3 = cbcb. Сложим эти равенства почленно: а3 + b3=саса + cbcb = — с (дасА-ЬЬ^. Но ддс<д2, bbc<b2, откуда aac+bbc<a2+b2. Следовательно, a3 + b3<c (a2+b2Y так как, по теореме Пифагора, а2+Ь2=с2, то окончательно имеем а3+Ь3<с3. ■
10.162. • Через вершины данного треугольника провести прямые, параллельные его противоположным сторонам, и воспользоваться тем, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, но больше их разности.
под ред. М.И. Сканави
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ ВО ВТУЗЫ(С РЕШЕНИЯМИ). Кн. 1. Алгебра
Книга написана в соответствии с программой по алгебре для поступающих в вузы. Настоящее издание (б-е — 1992 г.) существенно переработано и дополнено. Задачи объединены по принципу однородности тем, типов, методов решения и разбиты на три группы по уровню их сложности. Ко многим задачам даны подробные решения. В жаждой главе приведены сведения справочного характера и примеры решения задач.