ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА

Книжкой выдающегося польского математика Вацлава С е р пинского издательство «Просвещение» открывает новую серию «Математическое просвещение». Выпуски серии будут рассчитаны на самую широкую читательскую аудиторию: на школьников, учителей средней школы, отчасти на студентов и вообще на всех любителей математики самых различных возрастов и профессий.

Вполне закономерно, что первый выпуск серии посвящен элементарному изложению важнейших понятий, методов и результатов теории множеств— дисциплины, лежащей в основе большинства разделов классической математики (этому изложению отведена первая глава, занимающая большую часть книги; вторая глава посвящена более детальному рассмотрению некоторых более специальных вопросов теории точечных множеств, отражающих личные научные вкусы и интересы автора, демонстрирующего здесь важные методы теоретико-множественных рассуждений).

В дальнейших выпусках (иногда довольно значительно различающихся уровнем изложения и объемом) будут освещены многие важные и интересные для широкого круга читателей вопросы классической и современной математики и ее приложений.

Проф. В. Серпинский (род. в 1882 г.) — один из крупнейших современных математиков, признанный глава польской математической школы (многие выдающиеся представители которой — ученики Серпин- ского). Ряд работ Серпинского (всего их более 700) по теории множеств, топологии и теории чисел по праву считаются классическими. Серпинский— действительный и почетный член многих Академий наук, математических обществ и университетов мира — давно и активно работает в тесном содружестве с советскими математиками (начиная с Н. Н. Л у з и н а ).

Книги замечательного математика не раз издавались в Советском Союзе. Настоящая книжка (снабженная автором подзаголовком «Избранные главы для средних школ») достойно представляет этого большого ученого и как вдумчивого педагога и талантливого популяризатора.

От редакции польского издания

Теория множеств является одной из наиболее молодых отраслей математики, но ее элементы стали в настоящее время неотъемлемой частно общего математического образования.

Многие ученые уже давно выражали мнение, что некоторые вопросы теории множеств должны быть включены в программы средней школы. Несмотря на высокую степень абстракции, усвоение теории множеств не представляет особых трудностей, так как не требует предварительной подготовки.

В настоящей книге читатели найдут те фрагменты теории множеств, которые, по мнению профессора Вацлава Серпинского, могут быть без труда усвоены учащимися старших классов школы или техникума.

Учителя могут использовать эту книгу для кружковых занятий с молодежью, проявляющей особый интерес к математике.

ГЛАВА I

О МНОЖЕСТВАХ И ИХ СВОЙСТВАХ

Понятие множества

С различными множествами мы встречаемся не только в математике. Примерами множеств являются: множество всех жителей данного города; множество всех букв польского алфавита; множество всех книг данной библиотеки; множество всех целых положительных чисел; множество всех целых чисел, заключенных между 10 и 100; множество всех точек данной прямой; множество всех диагоналей данного многоугольника; множество всех прямых на плоскости, проходящих через данную точку; множество всех предметов, обладающих каким-либо данным свойством W.

Теория множеств, созданная более 80 лет тому назад Георгом Кантором, занимается исследованием общих свойств множеств, не зависящих от природы предметов (называемых элементами), образующих эти множества.

Еще в первые годы текущего столетия о теории множеств не было речи даже на математических факультетах университетов. Теория множеств считается основой современного математического анализа, и некоторые сведения из нее обязательны для каждого математика. В последнее время теория множеств начала проникать даже в средние школы.

Вот, что написано в книге Г. Радемахера и О. Теплица «Числа и фигуры»:

«... крайне простые в своей сущности-, не требующие.никаких предварительных познаний, идеи и выводы великого основоположника теории

множеств Георга Кантора являют собой образец подлинно математиче* ского стиля. Настоящая математика заключается не в нагромождении искусственных вычислительных приемов, а в умении получать нетривиальные результаты путем размышления при минимуме применяемого аппарата».

Исследуя множества, мы не исключаем и множества, образованные из одного-единственного элемента; например, множество всех простых четных чисел содержит только один элемент, которым является число 2.

Равенство множеств

Два множества Л и В мы считаем равными и пишем Л=В, если они состоят из одних и тех же элементов, другими словами, если каждый элемент множества Л является элементом множества В и наоборот. Если множества Л и В не равны, мы пишем А^=В. Это означает, что по крайней мере в одном из множеств Л или В имеется элемент, которого нет в другом множестве (т. е. или в множестве Л есть такой элемент, которого нет в множестве В, или в множестве В есть такой элемент, которого нет в множестве Л, или же имеет место и то и другое).

Казалось бы, решение вопроса о том, равны два множества или нет, не должно представлять особых трудностей. Однако это не так. Приведу здесь простой пример двух множеств Л и В, очень просто определяемых, о которых по сегодняшний день мы не можем решить, равны они или нет.

Пусть Л — множество всех четных чисел, больших 4, а В — множество всех чисел, являющихся суммами двух простых нечетных чисел. Мы до сих пор не знаем, какое из соотношений справедливо: А~В или А=(=В, и не знаем даже, как подойти к решению этого вопроса. В то же время можно легко показать, что каждый элемент множества В является элементом множества А, что мы выражаем, записывая ВсЛ и говоря, что множество В содержится в множестве А, или что множество В является частью (или подмножеством) множества А. Действительно, поскольку наименьшим нечетным простым числом является 3, сумма двух нечетных простых чисел всегда будет четным числом, не меньшим 6 (в записи: ^>6), следовательно, боль-

шим 4 (в записи: >4), откуда и следует, что ВсА, В 1742 г. Хр. Г о л ь д- бах высказал предположение, что АсВ, а следовательно, что иА=В (потому что, как легко видеть, для любых двух множеств Р и Q, если одновременно PcQ и QcP, то P=Q). Однако предположение Гольдбаха до сих пор не доказано и не опровергнуто.

Несколько иное положение было бы, если бы А^ было множеством всех нечетных чисел >7, а Вг—множеством всех чисел, являющихся суммами трех нечетных простых чисел. Здесь мы тоже до сих пор не умеем решить, имеет ли место соотношение Д1=В1 или нет, но благодаря результатам, полученным И. М. Виноградовыми его учениками, мы знаем метод, дающий возможность путем выполнения определенных, указанных этим методом вычислений решить, какое из соотношений Д^/^ или Д1=Р1 верно. К сожалению, хотя эти вычисления совершенно элементарны, число их так уелико, что ни одна существующая электронная вычислительная машина не была бы в состоянии их выполнить.

Пусть теперь Д2 означает множество, состоящее из двух чисел: 1093 и 3511, а Ва пусть будет множеством всех целых чисел п>1, для которых число 2”— 2 делится на п2. Можно доказать, хотя это и не очень легко, что A2czB2, но неизвестно, имеет ли место А2=В4 или нет. Пример этот интересен тем, что здесь множество Аа состоит всего из двух элементов.

Собственные подмножества

Если для множеств Р и Q имеет место Pc Q, но P^=Q., то мы говорим, что Р является собственным подмножеством множества Q (или, иначе, правильной частью Q). Как следует из приведенных выше примеров, иногда трудно решить, является ли данная часть множества (данное подмножество) его собственным подмножеством или же нет. Ясно, что часть части данного множества всегда является его частью. Другими словами, для любых множеств Д, В и С из АсВ и ВсС следует АсС. Мы выражаем это, говоря, что отношение, обозначаемое символом с (включение), является транзитивным, подобно соотношениям величины между числами, обозначаемым в арифметике символами < или -^.

Очевидно также, что часть собственного подмножества данного множества всегда является собственным подмножеством этого множества.

Пустое множество

Оказалось удобным ввести понятие пустого множества, т. е. множества, не содержащего ни одного элемента. Без этого понятия нельзя было бы, например, говорить о множестве всех корней какого-либо данного урав-

нения, если бы мы заранее не знали о существовании хотя бы одного его корня.

Часто бывает трудно определить, является ли данное множество пустым или нет. Мы не можем. Например, решить, является пустым или нет множество Z всех решений в целых числах х, у, г уравнения x8+y’4-z8==30. В то же время легко показать, что множество всех решений этого уравнения в целых положительных числах х, у, z является пустым.

Мы не знаем никакого метода, который дал бы возможность решить, является определенное выше множество Z пустым или нет. Иначе обстоит дело с множеством Zx всех решений в целых положительных числах уравнения ху-Ух-Уу—^1. В этом случае мы знаем метод, с помощью которого можно решить вопрос о том, является множество Zx пустым или нет, но необходимые для этого вычисления (делениечисла 2217-М на некоторые числа <2217) так трудоемки, что в настоящее время не могут быть выполнены.

Интересно, что для множества Z2 всех решений в целых положительных числах уравнения ху4-^+у=2217 недавно было доказано, что оно не является пустым, но до сих пор мы не знаем ни одного из элементов множества Z2, хотя известен метод, с помощью которого можно было бы определить все его элементы.

Конечные множества

Непустое множество называют конечным, если число его элементов может быть выражено с помощью какого-либо целого положительного числа. Например, множество всех решений в целых положительных числах уравнения x8-f-^84-z8=3 конечно (существует только одно такое решение: x—y=z=Yy, в то же время мы не знаем, конечно или нет множество всех решений этого уравнения в целых числах х, у, z, и не знаем никакого метода, который привел бы нас к решению этого вопроса. Известно, напротив, что множество всех решений в целых числах х,у, z уравнения ха-Ууа-Уга=1 бесконечно (что немедленно следует из тождества (9п4)84-(1 —9л3)8 4- +(3п — 9п4)3=1 при п=1, 2, 3,...).

Существуют конечные множества, число элементов которых нам неизвестно. Таково, например, множество всех натуральных делителей числа 2217-|-1. Но в этом случае мы можем указать число, большее, чем число элементов этого множества, например число 2217. Существуют, однако, множества, о которых можно доказать, что они конечны, но нельзя указать числа, большего, чем число их членов. Таким является, например, множество Т, определяемое следующим образом: если существует бесконечно много положительных четных чисел, не являющихся суммами двух простых чисел, то в множество Т включаем только число 1, если же существует только конечное число таких чисел, то пусть Т означает их множество.

Равночисленные множества

При изучении множеств в теории множеств мы абстрагируемся или от природы и порядка их элементов, или же только от их природы и обращаем внимание на их порядок, о чем будет сказано ниже.

Чем же, однако, могут отличаться друг от друга два множества, если мы отвлекаемся от природа и порядка их элементов? Два множества могут отличаться своей численностью.

Можем ли мы установить, равночисленны ли два множества или которое из них, быть может, многочисленнее, не зная понятия числа?

Допустим, что у нас есть два коробка спичек: в одном —белые спички, в другом — Красные. Вынем из каждого коробка по одной спичке (следовательно, одну белую и одну красную) и отложим их в сторону. Из оставшихся вынем снова по одной спичке из каждого коробка и вновь отложим их в сторону. Вынимая таким образом последовательно по одной спичке из каждого коробка, мы либо исчерпаем оба коробка одновременно, либо один из коробков окажется пустым, когда в другом еще останутся спички. Первый случай, очевидно, будет иметь место тогда и только тогда, когда в обоих коробках было одно и то же число спичек, во втором случае коробок, оставшийся пустым, когда в другом еще были спички, содержал меньше спичек.

Таким образом, желая убедиться, равночисленны ли два данные множества, мы не должны обязательно пересчитывать элементы этих множеств; достаточно последовательно брать попарно по одному элементу из каждого из этих множеств. Два множества будут равночисленными тогда и только тогда, если, выбирая попарно по одному элементу из каждого из этих множеств, мы исчерпаем их одновременно. Результат не будет зависеть от порядка извлечения элементов из каждого из двух данных конечных множеств.

Взятию однозначное соответствие

Можно сказать также, что два множества равночисленны, если их элементы можно соединить в пары таким образом, чтобы в каждой паре было по одному элементу из каждого из этих множеств (и чтобы каждый элемент каждого из этих множеств имел себе пару). В этом случае каждому элементу первого множества соответствует определенный и единственный элемент второго множества, а именно тот, что образует с ним пару. И наоборот, каждый элемент второго множества соответствует определенному и единственному элементу первого множества. В этом случае говорят, что между элементами, образующими наши множества, установлено взаимно однозначное (или, иначе, одно-однозначное) соответствие.

Для установления такого соответствия совсем не обязательно поочередно соединять в пары элементы, принадлежащие двум разным множествам; достаточно указать закон, определяющий это соединение в пары. Например, будет установлено взаимно однозначное соответствие между всеми нечетными положительными числами и всеми четными числами, большими ста, если каждому нечетному числу п мы сопоставим четное число, большее его на 101 (т. е. число n-HOl).

Равномощные множества

Если между элементами двух множеств можно установить взаимно однозначное соответствие, то говорят, что эти множества равномощны (или, иначе, эквивалентны). Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они имеют одно и то же число элементов. Понятие равномощ- ности применимо и к множествам, не являющимся конечными; например, как мы видели, множество всех, нечетных положительных чисел равномощно множеству всех четных чисел, больших ста.

В этом случае, однако, могут иметь место факты, которые на первый взгляд кажутся парадоксальными.

Так, например, множество всех натуральных чисел равномощно множеству всех четных положительных чисел. Взаимно однозначное соответствие между элементами этих множеств можно, например, установить, сопоставив каждому натуральному числу вдвое большее положительное число. Мы имеем здесь, следовательно, пример бесконечного множества, равномощного некоторой своей правильной части. Не существует ни одного конечного множества, равномощного какой-либо своей правильной части. Возникает вопрос, каждое ли бесконечное множество равномощно какой- либо своей правильной части. На этот вопрос мы не сможем ответить, не принимая специальных аксиом. Однако о многих бесконечных множествах, встречающихся в математике, можно доказать, что они равномощны некоторой своей правильной части. Мы вернемся еще к этому вопросу позже.

Чтобы выразить, что два множества М и N равномощны, пишут М~М. Как легко заметить, отношение — является симметричным (т. е. из М—N следует N—М), транзитивным (т. е. из М—N и N—Р следует М—Р) и рефлексивным (т. е. М—М для любого множества Л1).

Счетные множества

Множества, равномощные множеству всех натуральных чисел, называют счетными, остальные же бесконечные множества — несчетными. Следовательно, счетное множество — это такое бесконечное множество, все

элементы которого можно перенумеровать с помощью натуральных чисел таким образом, чтобы каждому элементу множества соответствовал определенный номер и чтобы каждый номер соответствовал определенному и единственному элементу множества. Другими словами, элементы счетного множества можно расположить в виде бесконечной последовательности

uv и2, и3, ...(I)

по порядковым номерам (индексам). Обратно, множество всех членов любой данной бесконечной последовательности (с различными членами) является счетным.

Очевидно, что часть счетного множества, если она не является конечным множеством, будет счетным множеством. Это следует из того, что элементы любой части множества (I) можно расположить в виде последовательности в порядке возрастания индексов. Например, множества всех нечетных чисел, всех простых чисел, всех чисел, являющихся квадратами натуральных чисел,— счетны. О существовании взаимно однозначного соответствия между натуральными числами и их квадратами знал уже Галилей в первой половине XVII века.

Если плоскость разбить на прилегающие один к другому квадраты, то множество этих квадратов будет счетно. Перенумеровать все эти квадраты можно следующим образом (рис. I):

Можно также доказать, что, разбив трехмерное пространство на равные кубы, мы полу

чим счетное множество этих кубов. И в этом случае можно бы поочередно обходить кубы по ломаной, соединяющей центры смежных кубов.

Непустое множество мы называем конечным, если число его элементов может быть выражено каким-либб натуральным числом. Отсюда следует, что если данное множество Z бесконечно, т. е. не является ни пустым, ни конечным, то для любого натурального числа п существует п различных элементов, каждый из которых принадлежит Z. Доказать это можно по индукции. Указанное предложение справедливо для числа п=\, так как, поскольку множество Z не пусто, в нем должен существовать какой-нибудь элемент av Допустим теперь, что наше утверждение справедливо для некоторого натурального числа п и что, следовательно, существует п различных элементов аг, а3,...,ап, каждый из которых принадлежит множеству Z. Если бы, кроме этих п элементов, множество Z не содержало никаких других элементов, то оно имело бы только п элементов и было бы конечно, что противоречит условию. Следовательно, в множестве Z имеется какой-то элемент ал+1, отличный от каждого из элементов ах, ааап. Мы имеем.

следовательно, л 4-1 различных элементов, каждый из которых принадлежит множеству Z. Утверждение наше справедливо, следовательно, для числа л+1. Отсюда по индукции заключаем о справедливости утверждения для любого натурального числа п.

Казалось бы, что подобное рассуждение приводит к заключению, что каждое бесконечное множество содержит счетное подмножество (счетную часть). Имея п разных элементов аг, а2,...,ал множества Z, мы можем извлечь из него новый элемент ал+1, отличный от каждого из элементов ах, о2ап, что приводит к бесконечному ряду аи а2, а3,... различных элементов множества Z, т. е. к некоторому его счетному подмножеству.

Но этому рассуждению можно предъявить следующий упрек. Образуя последовательность Сиа^...,^ различных элементов множества Z, мы вынуждены п раз произвести выбор. Никто не сомневается в возможности осуществления любого конечного числа выборов. Но есть математики, которые считают, что нельзя производить бесконечно много выборов без указания закона или правила осуществления этих выборов (первым из таких математиков был Дж. Пеано). Без использования так называемой аксиомы выбора (сформулированной Э. Ц е р м е л о) мы не сможем доказать ни то, что любое бесконечное множество содержит счетную часть, ни то, что каждое бесконечное множество равномощно некоторой своей правильной части.

То, что каждое счетное множество равномощно некоторой своей правильной части, очевидно, так как множество (1) равномощио множеству, которое мы получим, удалив из него первый член их. Но можно также доказать, не прибегая к аксиоме выбора, что каждое множество, равномощное некоторой своей правильной части, содержит счетное подмножество. Вот набросок этого доказательства. Допустим, что множество Z равномощно своей правильной части Т. Каждому элементу а множества Z соответствует определенный элемент /(а) множества Т таким образом, что разным элементам множества Z соответствуют различные элементы множества Т. Поскольку Т является правильной частью множества Z, существует элемент а множества Z, не принадлежащий Т. Теперь можно легко доказать, что члены бесконечной последовательности

a, f(a), M(a)Y Жа))), ...

являются различными элементами множества Z и, следовательно, образуют его счетное подмножество.

Сумма множеств

Суммой (или, иначе, объединением) двух множеств называют множество, содержащее все такие и только такие элементы, которые являются элементами хотя бы одного из этих множеств. Сумму множеств А и В обозна-

чают через А и В. Как легко видеть, сумма множеств обладает свойствами, подобными свойствам суммы чисел: коммутативностью (переместительностью) и ассоциативностью (сочетательностью), т. е. для любых двух множеств А и В мы имеем А ц В—В U А, а для любых трех множеств А, В, С имеем (A (J В) U С=Д и (В g С). Аналогично определяют сумму большего, даже бесконечного количества множеств: это множество, содержащее все такие и только такие элементы, которые являются элементами хотя бы одного из слагаемых.

Легко доказать, что сумма двух счетных множеств также есть счетное множество. Пусть

м^Из.Из,... и uvva,u3,... (2)

— два счетных множества. Образуем счетную последовательность, выписывая поочередно по одному члену из каждой из двух последовательностей (2), т. е. образуем последовательность

Я1,О1,И8,Ое,Мз,Пз,... • (3)

Множество всех членов последовательности (3) будет, очевидно, суммой множеств членов последовательностей (2). Если у этих последовательностей имеются одинаковые члены, то для получения последовательности, содержащей только различные члены и являющейся суммой множеств членов последовательностей (2), достаточно из последовательности (3) исключить каждый член, равный какому-либо из предшествующих членов.

Аналогично можно легко доказать, что сумма трех и, вообще, любого конечного числа счетных множеств есть счетное множество. Докажем теперь, что сумма счетного множества счетных множеств тоже есть счетное множество.

Допустим, что мы имеем бесконечную последовательность бесконечных последовательностей С^С^Сз--. . Члены последовательности Сп обозначим через u<i),u<2),u<3),-- • Сумма множеств членов наших последовательностей будет, следовательно, множеством всех членов такой бесконечной таблицы:

«(*>-

*ЦЦ

ы(1> _

► и^

• ее

и<2> *

и®'

и^

• ее

V , и|3)

/“^3)Х

• • •

• * е

и<4) 1

и^

• ее

• е «

• ее

ф

• ее

• е •

• ее

• • •

• е •

* А •

• — *

е е е

Теорема будет доказана, если мы покажем, что все элементы этой таблицы можно расположить в виде обыкновенной бесконечной последовательности. Это можно сделать с помощью так называемого диагонального метода, а именно, выписывая сперва единственный член, у которого сумма нижнего и верхнего индексов составляет 2, затем два члена с суммой индексов 3, далее три члена с суммой индексов 4 и т. д. Мы получим таким образом обыкновенную бесконечную последовательность

„(3> ,Л4> „<5>

и f, «2 , и \ , U 1 , «2» ы3» ы4 » Из , «2 U I U I ,... . (4;

Если, в частности, принять ы^=~,то бесконечная последовательность (4) содержала бы все рациональные положительные числа, причем каждое из них — бесконечное число раз, так как -^=^ при к—1,2,... . Чтобы получить бесконечную последовательность, в которой каждое рациональное положительное число встречается один и только один раз, достаточно оставить в нашей последовательности только несократимые дроби. Мы видим, таким образом, что множество всех положительных рациональных чисел счетно. Ясно также, что и множество всех отрицательных рациональных чисел счетно, а поскольку сумма двух счетных множеств есть счетное множество, мы можем расположить в бесконечную последовательность все рациональные числа, отличные от нуля, а добавив к ее началу число 0, получаем теорему, что множество всех рациональных чисел счетно.

Несчетные множества

Возникает вопрос, счетно ли множество всех действительных чисел. Оказывается, можно доказать, что оно несчетно. Можно ли доказательство несчетности множества всех действительных чисел излагать в средней школе? Это зависит от того, что знают учащиеся о действительных числах.

Если, например, им известен факт, что каждое действительное число имеет одно и только одно представление в виде бесконечной десятичной дроби, в которой бесконечно много цифр отлично от 9, то доказательство несчетности множества всех действительных чисел можно вывести из более общего утверждения, что для любой бесконечной последовательности действительных чисел

UytU^u^,... (5)

существует действительное число х, не совпадающее ни с одним из членов этой последовательности. Вот доказательство этой теоремы.

Пусть

^=^+0, cU)cO)cO>...

Ы2 = Д2+0, C^C^C^...

иа=ка-\-О,<^с^д^

•••••••••••••••••♦••♦

♦••••••••• ••••*•♦*••♦

— представления чисел иъ и^щ,... в виде бесконечных десятичных дробей, каждая из которых содержит бесконечно много цифр, отличных от 9. Здесь кг,ка,ка,... —целые числа.

Определим теперь бесконечную последовательность цифр сл (n=l,2,...j следующим образом. Пусть для данного натурального числа п сп будет наименьшей цифрой, отличной от с<"> и от 9. Очевидно, что имеется не меньше 8 цифр, отличных от с<^ и от 9. Таким образом, получим:

сл=^=с<”) и с=(=$ при «=1,2,... .

Бесконечная десятичная дробь

0, схс#3...

будет, следовательно, представлять некоторое действительное число х, такое, что 0<л< 1 и будет содержать бесконечно много цифр, отличных от 9. При этом хфип при «=1,2,..., так как для любого натурального числа п дроби, представляющие х и ип и содержащие бесконечно много цифр, отличных от 9, отличаются в «-й цифре.

Наша теорема доказана. Из нее сразу же вытекает, что множество всех действительных чисел не может быть счетным

Учащиеся средней школы знают о существовании взаимно однозначного соответствия между действительными числами и точками прямой.

Положение точки на прямой может быть определено с помощью действительного числа, определяющего расстояние этой точки от заданной точки О на прямой, причем расстояния точек, находящихся вправо от точки О (расположенной на горизонтальной прямой), считают положительными, а находящихся влево от точки О — отрицательными.

Ввиду наличия взаимно однозначного соответствия между действительными числами и точками прямой, из теоремы о несчетности множества всех действительных чисел следует теорема о несчетности множества всех точек прямой. Теорему эту можно легко доказать также и геометрически, исходя из так называемой аксиомы Асколи: Если dvd2,d3,...— бесконечная последовательность отрезков, из которых каждый, начиная со второго, целиком содержится в предшествующем ему отрезке, то существует (по меньшей мере одна) точка, общая всем этим отрезкам.

Допустим, что множество всех точек прямой Р—счетно; мы можем в таком случае расположить их в бесконечную последовательность

Pi» Р2> Рэ,— • (6)

Очевидно, что можно построить отрезок dx, не содержащий точки pv Далее, можно построить отрезок da, являющийся частью отрезка dx и не содержащий точки ра. Для этого достаточно разделить отрезок dx на три равные части и взять в качестве d2 ту, которая ни внутри, ни на конце не содержит точки р2 (если этим свойством обладает не одна часть d^, то выберем, скажем, самую левую). Затем так же строим отрезок d3, являющийся частью отрезка d2 и не содержащий точки р3, и т. д.

По аксиоме Асколи существует точка р, общая всем отрезкам dltda,d3t.... Эта точка не совпадает ни с одной точкой последовательности (6), так как при любом натуральном п точка р лежит на отрезке dn и, наоборот, точка рл (как это следует из способа построения отрезка dn) не лежит на отрезке dn. Предположение, что последовательность (6) содержит все точки прямой Р, ведет, следовательно, к противоречию. Следовательно, множество всех точек прямой является несчетным.

Континуум-гипотеза

Существуют, таким образом, бесконечные множества разной мощности, например, множество всех натуральных чисел и множество всех точек прямой. Возникает вопрос, существуют ли на прямой несчетные множества точек, которые не были бы равномощными. На этот вопрос мы не можем дать ответа. Предположение, что любое несчетное множество точек прямой имеет равную мощность с множеством всех точек прямой, носит название континуум-гипотезы. Эта гипотеза (высказанная создателем теории множеств Г. Кантором) до сих пор не доказана, но К- Гёдель доказал, что она не противоречит общепринятым аксиомам теории множеств (если только эти последние непротиворечивы). Я посвятил континуум-гипотезе специальную книгу, изданную в 1934 г, на французском языке (Hypothese du Continu)-, второе издание этой книги вышло в 1956 г. в Нью-Йорке. В 1951 г. я доказал, что континуум-гипотеза равносильна следующей теореме, в формулировке которой не участвует понятие бесконечности: Если из точки О трехмерного пространства провести три взаимно перпендикулярные прямые OX, OY, OZ, то множество всех точек простран-

ства является суммой трех множеств, из которых первое конечно на любой прямой, параллельной прямой ОХ, второе конечно на любой прямой, параллельной прямой 0Y, а третье конечно на любой прямой, параллельной прямой 0Z.

Положение точки на плоскости может быть, как известно, определено с помощью пары действительных чисел, так называемых координат точек, каковыми являются расстояния рассматриваемой точки от двух заданных на плоскости взаимно перпендикулярных прямых, называемых осями ко ординат. Оказывается, однако, что положение каждой точки на плоскости может быть также определено с помощью только одного действительного числа. Доказательство основывается на утверждении, что каждое действительное число имеет одно и только одно представление в виде бесконечной десятичной дроби, имеющей бесконечно много цифр, отличных от нуля.

Докажем, основываясь на этом, что множество Р всех пар действительных чисел х, у таких, что

0<х<1 и 0<г/^1,

является равномощным с множеством Z всех действительных чисел г таких, что

0<г<1.

Пусть (х, ^означает данную пару, принадлежащую множеству Р. Представим числа х и у в виде десятичных дробей, имеющих бесконечно много цифр, отличных от нуля. Пусть это будут, например, дроби

х=0,4300709500083 ....

у=0,05600300001402 ... .

Перепишем теперь по порядку цифры наших дробей, находящиеся после запятой, ставя вертикальную черту после каждой цифры, отличной от нуля. Таким образом получим из каждой дроби бесконечную последовательность групп цифр:

и4|3|007|09|5| 0008| 3| ...

05] 6| 003! 00001]4|02|... .

Вставив теперь группы второй последовательности между очередными группами первой последовательности, получим новую бесконечную последовательность групп цифр:

4|0513161007] 003| 09100001] 5] 4] 0008] 02] 3|... .

Опустим теперь в этой последовательности черточки. Полученная таким образом бесконечная последовательность цифр будет представлением в виде десятичной дроби некоторого числа

2=0,405360070030900001540008023..., которое мы ставим в соответствие паре (х, у).

Легко заметить, что это взаимно однозначное соответствие между элементами множеств Р и Z. Следовательно, эти множества имеют равную мощность.

Отсюда легко можно вывести следствие, что множество всех точек плоскости является равномощным множеству всех точек прямой. Аналогично можно доказать, что множество всех точек трехмерного пространства равномощно множеству всех точек прямой.

В качестве примера двух несчетных множеств равной мощности приведем множества точек двух каких-либо отрезков прямой ОА и ОВ, которые

мы расположим под прямым углом, так, чтобы они являлись катетами треугольника ОАВ (рис. 2). Соответствующими точками наших отрезков будем считать точки, лежащие на одной прямой, параллельной гипотенузе АВ (например, точки М и N).

Такое условие, очевидно, устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками наших отрезков.

Можно также легко установить взаимно однозначное соответствие между всеми внутренними точками конечного отрезка и всеми точками бесконечной прямой. Для этого расположим конечный отрезок АВ перпендикулярно данной прямой р, пересекающей его посередине в точке О (рис. 3).

На прямой, параллельной прямой р и проходящей через точку А, возьмем произвольную точку S, расположенную слева от А, а на прямой, параллельной прямой р и проходящей через точку В, возьмем точку F, расположенную справа от В. Каждой точке Л4 отрезка АО, отличной от А, сопоставим точку N прямой р, лежащую на пересечении прямой SM с прямой р, каждой же точке Р отрезка ОВ, отличной от В, сопоставим точку Q прямой

р, лежащую на пересечении прямой FP с прямой р. Как легко видеть, таким образом будет установлено взаимно однозначное соответствие между всеми точками отрезка АВ (за исключением его концов) и всеми точками прямой р.

Непересекающиеся множества

О двух множествах, не имеющих ни одного общего элемента, говорят, что они не пересекаются. Если имеется несколько множеств, то говорят, что они попарно непересекающиеся. если не пересекаются никакие два из них.

Легко доказать, что если счетное множество разбить на попарно непересекающиеся множества, то множество этих множеств будет или конечным, или счетным. Действительно, если мы каждому из множеств Z, на которые мы разбили счетное множество их,иа,иа,..., соотнесем самый первый член этой последовательности, принадлежащий Z, то. поскольку наши множества не пересекаются, каждому множеству Z будет соответствовать другой член нашей последовательности, и мы сможем расположить наши множества в виде конечной или бесконечной последовательности в соответствии с расположением последовательности их,иа,иа,... этих элементов.

Два счетных множества называют почти непересекающимися, если они имеют только конечное (или равное нулю) число общих элементов.

Докажем, что множество всех натуральных чисел можно разбить на несчетное число множеств, любые два из которых являются почти непересекающимися.

Обозначим с этой целью для каждого действительного числа х через £(х) наибольшее целое число -<х, а для каждого действительного положительного числа х обозначим через Z(x) множество всех чисел (очевидно, натуральных)

2л[2£‘(пх) + 1J, где « = 1,2,3, ... .

Покажем теперь, что для 0<х<у множества Z(x) и Z(y) имеют только конечное (или равное нулю) число общих элементов.

Действительно, если при каких-нибудь натуральных р и q имеем

2Р[2Е(рх)+11=2» l2E(qy)+l J,

то отсюда легко получаем, что должно быть p=q, а следовательно, Е(рх) = =E(qy), что, ввиду условия 0<х<у, дает, как легко заметить, ру — рх<\

и р<.

у—Х

Таким образом, множества Z(x) и Z(^) имеют менее чем^—^,следо

вательно, конечное число общих элементов

Мы доказали таким образом, что существует несчетное семейство бесконечных множеств натуральных чисел, любые из которых являются почта непересекающимися. Поскольку эти множества различны, то отсюда следует, что множество всех натуральных чисел имеет несчетное количество различных бесконечных подмножеств.

Сравнение мощностей бесконечных множеств

Займемся теперь вопросом, каким образом сравнивать между собой мощности бесконечных множеств, которые имеют неодинаковую мощность. Если множество А имеет одинаковую мощность с какой-то частью множества В, а множество В не равномощно никакой части множества А, то естественно будет считать мощность множества В большей, чем мощность множества А. Таким образом, мощность множества всех действительных чисел больше мощности множества всех натуральных чисел.

Мы знаем уже две разные мощности бесконечных множеств: мощность счетных множеств и мощность множества всех действительных чисел, или так называемую мощность континуума. Возникает вопрос, можно ли доказать, что существуют и другие мощности бесконечных множеств и, в частности, существуют ли бесконечные множества с мощностью, большей мощности континуума.

Можно доказать, что таковым является, например, множество всех различных множеств действительных чисел. Создатель теории мощностей Г. Кантор доказал, что мощность множества всех различных частей каждого данного непустого множества всегда больше мощности самого этого множества. Отсюда вытекает, что существует бесконечно много разных мощностей бесконечных множеств. Возникает еще вопрос, что будет, если множество А имеет равную мощность с какой-то частью множества В, а множество В равномощно какой-то части множества А. Оказывается, можно доказать, что в этом случае множества А и В равномощны. Это так называемая теорема Кантор а—Бернштейна.

Г. Кантор высказал также более общую гипотезу, чем континуум- гипотеза. Эта обобщенная континуум-гипотеза равносильна следующему утверждению:

Если Z есть произвольное бесконечное множество, а Т — множество всех различных частей множества Z, тоне существует множества, мощность которого была бы больше мощности множества Z и меньше мощности множества Т.

Континуум-гипотеза является частным случаем этой обобщенной гипотезы, если в качестве множества Z взять множество всех натуральных чисел.

Аксиома выбора

Мы упоминали уже несколько раз об аксиоме выбора. Аксиома эта, высказанная Э. Цермело в начале текущего столетия, формулируется так:

Для любого семейства R попарно непересекаюишася непустых множеств Z существует по меньшей мере одно множество N, содержащее по одному и только одному элементу из каждого из множеств Z семейства R.

Чтобы лучше понять трудности, связанные с принятием этой аксиомы, рассмотрим один пример. Пусть будут даны три непустые и попарно непе- ресекающиеся множества точек Zv Z2, Zs. Поскольку множество ZY не пусто, мы можем из него выбрать какой-либо элемент at. Аналогично можно выбрать элемент at из множества Z2 и элемент а2 из множества Z3. Множество NY, образованное из элементов <zt, а2 и а2, будет, очевидно, как раз тем, о котором говорится в аксиоме выбора.

Вопрос кажется настолько простым, что можно было бы лишь поражаться, что он способен вызывать какие-то сомнения, если не говорить о том обстоятельстве, что мы не определили, что означает выбор какого-либо элемента из данного непустого множества. Выбрать какой-то элемент—значит ли это определить этот элемент так, чтобы не было сомнения, что все имеют в виду один и тот же элемент?

Допустимтеперь, что вместо трех множеств Zt, Z2 и Z3 мы имеем бесконечную последовательность Zi, Z2, Zs, .... Zn, ... непустых и попарно непересекающихся множеств. Как тогда получить множество N, содержащее по одному и только одному элементу из каждого из множеств Z„ (для п— = 1,2, ...)? Можно ли в этом случае сказать: выберем элемент aY из множества Zv затем элемент а2из множества Z2 и так далее, а множество N, образованное из бесконечной последовательности элементов аи а2, as, .... будет тем, о котором говорится в аксиоме выбора? Имеется ли возможность повторения выбора бесконечное число раз? Не потребуется ли для этого бесконечно долгое время? Некоторые математики отвечают на это, что поскольку выбор возможен для каждого отдельного множества Zn, то он возможен также одновременно для всех множеств Zn (где п=1, 2, ...), так как выбор, как любая математическая операция, должен рассматриваться как независимый от времени. В отношении какой-либо аксиомы, не противоречащей нашей интуиции и не вступающей в противоречие с другими принятыми уже нами аксиомами, можно занять две позиции: мы можем эту аксиому

принять или отвергнуть. Очевидно, что отказ от данной аксиомы не означает принятия ее отрицания.

Что касается аксиомы выбора, то здесь следует учесть еще следующие обстоятельства.

Многие следствия из аксиомы выбора были доказаны без использования этой аксиомы.

Из аксиомы выбора выведено множество других следствий, ни одно из которых не привело к противоречию, а К- Гёдель доказал, что аксиома выбора не противоречит другим общепринятым аксиомам теории множеств (если эти последние сами непротиворечивы).

При современном состоянии науки аксиома выбора необходима для доказательства большого числа различных теорем теории множеств и анализа и значительно упрощает многие разделы этих наук.

Многие важные следствия аксиомы выбора мы не умеем доказывать без использования этой аксиомы. Вот один из примеров.

Если мы возьмем конечное множество и будем его элементы соединять каким-либо образом в пары, то или удастся все элементы соединить в пары, или же останется один элемент без пары. Первый случай, очевидно, имеет место при четном числе элементов, второй — при нечетном.

Казалось бы, если взять бесконечное множество и объединять его элементы в пары, то будет иметь место один и только один из двух случаев: как бы мы ни объединяли элементы нашего множества в пары, или все элементы удастся объединить в пары, или же всегда будет оставаться один элемент без пары.

Что так может и не быть, нас убеждает следующий пример. Пусть Z обозначает множество всех натуральных чисел: 1, 2, 3Если мы каждое нечетное число объединим в пару с большим его на 1 четным числом, то, очевидно, все элементы нашего множества Z будут объединены в пары. Однако если мы каждое четное число объединим в пару с большим его на 1 нечетным числом, то, очевидно, одно число, а именно 1, останется без пары.

Таким образом, здесь может иметь место любой из рассматриваемых двух случаев, в зависимости от способа объединения элементов множества в пары.

Возникает вопрос: будет ли так для любого бесконечного множества? Как легко понять, для любого счетного множества это имеет место. Но будет ли так для любого несчетного множества? Доказать это без использования аксиомы выбора не удается. Без помощи аксиомы выбора мы не смогли бы доказать даже такое, казалось бы, почти очевидное утверждение, что для любого множества имеет место по меньшей мере одна из двух возможностей: или все его элементы можно соединить в пары, или же останется один элемент без пары. Заметим, что и вывод этого утверждения из аксиомы выбора отнюдь не является простым делом.

В 1914 г. Стефан Мазуркевич доказал с помощью аксиомы выбора, что существует множество точек, на плоскости, такое, что любая прямая на этой плоскости пересекает его точное двух точках. Ни одно такое множество мы не можем, однако, конкретно указать. Очевидно, на плоскости не имеется множества точек, которое любая прямая на плоскости пересекала бы в одной и только одной точке. Не может быть таковым множество, состоящее из одной-единственной точки, так как тогда на плоскости имелись бы прямые, не проходящие через эту точку. Если же наше множество, кроме точки рх, содержало бы еще другую точку рг, то прямая, проходящая через Рх и р2, имела бы по меньшей мере две разные точки (рх и р^, общие с нашим множеством.

В то же время с помощью аксиомы выбора можно доказать, что для любого натурального числа п>1 существует на плоскости множество, которое каждая прямая на плоскости пересекает точно в п точках.

Мы легко, без ссылки на аксиому выбора, можем указать множество точек на плоскости, которое каждая прямая на этой плоскости пересекает в счетном количестве точек. Таковым является, например, множество, образованное всеми концентрическими окружностями с натуральными радиусами.

Рассмотрим теперь все множества точек на прямой, не симметричные относительно некоторой точки О, выбранной на этой прямой. Разобьем все эти множества на пары, зачисляя в одну пару два множества, симметричные друг другу относительно точки О. Из аксиомы выбора следует, что существует семейство множеств, которому принадлежит по одному и только одному множеству из каждой такой пары. Однако мы не можем определить такое множество. Мы не сможем, следовательно, здесь выбрать по одному множеству из каждой пары наших множеств.

Приведем здесь еще одно интересное применение аксиомы выбора, найденное около сорока лет тому назад польскими математиками. Допустим, что мы имеем дело с множествами точек на прямой, на плоскости или в трехмерном пространстве. Мы знаем из элементарной геометрии, что такое конгруэнтные (т. е. совпадающие при переносе, повороте или симметричном отражении) геометрические фигуры (или вообще произвольные множества точек). Если каждое из двух наших множеств А и В является суммой одного и того же конечного числа попарно непересекающихся множеств, например А=Аг U Д2и ... и Ат, В=Вх (J S2lj ... (J Вт, где Аг конгруэнтно Bv Ае конгруэнтно В2и т. д., наконец, Ат конгруэнтно Вт, то говорят, что множества Д и В конгруэнтны при конечном разбиении.

В 1924 г. Стефан Банах и Альфред Тарский вывели из аксиомы выбора удивительное следствие, что любые два ограниченных тела, хотя бы и разного объема (например, два куба разной величины), конгруэнтны при конечном разбиении. Позднее было доказано (тоже с помощью аксиомы выбора), что любой шар К является суммой пяти непересекающихся мно-

жеста, из которых после соответствующих переносов и поворотов мы получаем два непересекающихся шара, каждый из которых конгруэнтен шару К-

К сожалению, доказательство этого парадоксального утверждения является так называемым чистым доказательством существования (основанным на аксиоме выбора) и не дает возможности практического получения из одного шара двух шаров такого же, что и он, объема.

Заметим здесь еще, что Банах и Тарский доказали, что для круга подобный парадокс не имеет места. В то же время мы не знаем, конгруэнтен ли круг при конечном разбиении квадрату с той же площадью. В этом смысле проблема «квадратуры круга» еще не решена.

Алгебра множеств

Особый раздел общей теории множеств представляет собой так называемая алгебра множеств, которая занимается разными операциями над множествами с произвольными элементами. О сумме двух или более множеств мы уже говорили выше. Если из множества А удалить те его элементы, которые принадлежат множеству В, мы получим новое множество, называемое разностью множеств А и В и обозначаемое через А—В. Множество же всех элементов, принадлежащих одновременно как множеству А, так и множеству В, называют пересечением (или общей частью) множеств А и В и обозначают через А П В2. Для произвольных множеств А и В существует также понятие возведения в степень, но его определение более сложно. Определены также действия над произвольным, конечным или бесконечным числом множеств. Некоторые свойства действий над множествами отличаются от свойств действий над числами.

Например, множество А—(В—С) может не быть равно множеству (А—В) (J С, а множество (А и В)—С может не быть равно множеству A U (В—С). В то же время для любых множеств А, В и С имеем A (J В= =(А— В) и (В—A) (J (Л ПВ), так же как An(B(jC)=(AnB)U(AnC) и (А и В) П (A (J С)=А и (В П С).

Упорядоченные множества

Имеются и другие разделы теории множеств, например теория упорядоченных множеств. Множество 0 называют упорядоченным, если для любых двух различных его элементов установлено правило, по которому один из этих элементов считают предшествующим другому; для обозначения

1 Распространено также обозначение Д\В.— Прим. ред.

того, что а является элементом, предшествующим 6, пишут а-^Ь. Кроме того, это правило для любых элементов а, b н с множества U должно удовлетворять следующим двум условиям:

если а-^b, то не имеет места Ь-Ла (асимметричность);

если о4 6 и 64 с, то а-Чс (транзитивность).

Множество всех действительных чисел, например, упорядочено по их величине.

Не каждое множество мы можем упорядочить; мы не знаем, например, как упорядочить множество всех множеств точек данной прямой.

Конечное множество, состоящее из п различных элементов, может быть упорядочено столькими способами, сколько есть перестановок из п элементов, т. е. п! способами. Например, множество, состоящее из двух разных элементов а и 6, мы можем упорядочить двумя способами: а, 6 или 6, а. Множество, состоящее из трех элементов а, Ь, с, мы можем упорядочить шестью разными способами: а, Ь, с; а, с, 6; 6, а, с; 6, с, а; с, a, Ь; с, Ь, а.

Подобные упорядоченные множества

О двух упорядоченных множествах Ох и иг говорят, что они подобны, если между их элементами имеется взаимно однозначное соответствие, при котором для любых двух разных элементов множества иг предшествующему элементу множества Uv соответствует предшествующий элемент множества Ua.

Легко доказать, что любые два конечных упорядоченных множества с одним и тем же числом элементов подобны. Иначе дело обстоит для счетных множеств. Например, множество всех натуральных чисел, упорядоченных по их величине, не является подобным множеству всех целых чисел, упорядоченных по их величине, так как первое из них имеет первый элемент, т. е. предшествующий любому другому элементу этого множества (число 1), второе же множество такого элемента не имеет.

Счетное множество uv ы2, м3кроме упорядочения по порядку индексов, можно упорядочить, например, так:

. . • , t/g, w^j ^i>

^«+i. ««+2- ««+s.•• -,«1. «2. • • • «Л(прил = 1,2...);

«1» и3, и5, . . .,и3>W4, ы6, . . . ;

Uf> tig, И5,, tig, М4, tig.

Никакие два из этих упорядочений не являются подобными.

Можно доказать, что счетное множество можно упорядочить бесчисленно многими способами, никакие два из которых не являются подобными. Доказательства некоторых, казалось бы, простых теорем об упорядоченных множествах трудны. Так обстоит дело, например, со следующими двумя теоремами:

Любое упорядоченное счетное множество подобно некоторой своей правильной части.

Существует упорядоченное несчетное множество, которое не является подобным ни одной своей правильной части.

Можно доказать, что любое упорядоченное счетное множество подобно некоторому множеству рациональных чисел, упорядоченному по их величине.

Плотные упорядоченные множества. Сечения. Щели

Упорядоченное множество U называют плотным, если между любыми двумя его элементами имеется по меньшей мере еще один элемент множества U. Нетрудно заметить, что в этом случае между любыми двумя элементами множества U имеется бесконечно много промежуточных элементов этого множества. Например, множества всех рациональных чисел и всех действительных чисел, упорядоченные по величине, являются плотными.

Элемент упорядоченного множества U называют его последним элементом, если он не предшествует ни одному элементу множества U.

Можно доказать, что два плотных упорядоченных счетных множества, не имеющие ни первого, ни последнего элемента, являются подобными.

Сечением упорядоченного множества U называют любое разбиение всех элементов этого множества на два класса А и В, непустые и такие, что любой элемент класса А предшествует любому элементу класса В. Такое разбиение обозначают через \А, В1.

Если в данном сечении 1Л, В j класс А имеет последний элемент, а класс В в то же время имеет первый элемент, то говорят, что в сечении имеет место скачок (разрыв). Так, например, множество всех целых чисел, упорядоченное по их величине, имеет скачок в любом сечении. Нетрудно понять, что для того, чтобы упорядоченное множество было плотным, необходимо и достаточно, чтобы ни в одном его сечении не было скачка.

Если в сечении [Л, В 1 класс А не имеет последнего элемента, а класс В не имеет первого элемента, то говорят, что в сечении имеется щель. Так, например, в множестве всех рациональных чисел, отличных от нуля, сечение, в котором к классу А мы отнесем все отрицательные числа, а к классу В — положительные, образует щель. Можно также доказать, что сечение множества всех рациональных положительных чисел (упорядоченных по их вели-

чине), в котором к классу А мы причислим все рациональные положительные числа о», для которых су2<2, а к классу В — все остальные рациональные положительные числа, образует щель.

Упорядоченное множество, не имеющее ни скачков, ни щелей, называют непрерывным.

Заполнение щелей

Если данное упорядоченное множество U имеет щели, то их можно заполнить, добавляя к множеству U новые элементы следующим образом. Каждому сечению [А, В], образующему щель, мы ставим в соответствие новый элемент (не принадлежащий (/), который мы считаем самым последним из всех элементов класса А и предшествующим всем элементам класса В. Из Двух таких присоединенных элементов, соответствующих, например, сечениям [А, В] и [Alf BJ, мы считаем первый предшествующим или последующим второму в зависимости от того, является ли класс А подмножеством (собственным) класса Аг или же наоборот.

Можно показать, что, прибавляя эти новые элементы к множеству U, мы получим новое упорядоченное множество V, уже не имеющее щелей.

Применение этого метода для заполнения щелей в множестве всех рациональных чисел соответствует теории иррациональных чисел Дедекинда.

Вполне упорядоченные множества

Упорядоченное множество называют вполне упорядоченным, если в каждом его непустом подмножестве имеется элемент, предшествующий всем другим элементам этого подмножества.

Множество всех натуральных чисел является вполне упорядоченным по их величине, а множество всех рациональных чисел не является вполне упорядоченным по их величине. Не может быть вполне упорядочено множество всех точек прямой. С помощью аксиомы выбора можно доказать, что любое множество равномощно некоторому вполне упорядоченному множеству.

Принцип трансфинитной индукции

Вполне упорядоченные множества обладают следующим важным свойством, называемым принципом трансфннитной индукции:

Если какое-либо утверждение Т

справедливо для первого элемента вполне упорядоченного множества D,

справедливо для элемента а множества D, если оно справедливо для любого его элемента хЦа,

то утверждение Т справедливо для любого элемента множества D.

Действительно, допустим, что для некоторого утверждения Т выполнены условия 1) и 2), но существуют элементы множества D, для которых утверждение Т не справедливо, и пусть N обозначает множество всех таких элементов. N является, следовательно, непустым подмножеством вполне упорядоченного множества D и имеет поэтому первый элемент а. Из определения множества N вытекает, что утверждение Т должно быть справедливо для любого элемента х множества D такого, что хЧа. Но тогда, в силу условия 2), утверждение Т должно было бы быть справедливо и для элемента а, что невозможно, так как а принадлежит множеству N. Допущение, что принцип трансфинитной индукции не имеет силы для какого-то вполне упорядоченного множества, приводит, следовательно, к противоречию. Тем самым мы доказали этот принцип.

Принцип математической индукции

Можно доказать, что если для данного упорядоченного множества справедлив принцип трансфинитной индукции, то это множество должно быть вполне упорядоченным.

Что же касается принципа обычной математической индукции, то легко доказать, что он равносилен утверждению То, что множество всех натуральных чисел, упорядоченное по их величине, является вполне упорядоченным.

Действительно, допустим, что утверждение Т\ справедливо. В этом случае из определения вполне упорядоченного множества следует, что в каждом непустом множестве натуральных чисел имеется наименьшее число. Пусть теперь будет дано такое утверждение Т (в котором говорится о натуральном числе п), которое справедливо для числа п=1 и для которого из справедливости утверждения Т для какого-либо натурального числа п вытекает его справедливость для числа п+1.

Если бы существовало натуральное число х, для которого утверждение Т не имело бы силы, то множество Z всех таких чисел было бы непустым и в силу утверждения Т„ в нем имелось бы наименьшее число т. Это число т было бы натуральным числом, для которого утверждение Т не имело бы

силы, и из условия относительно утверждения Т (что оно справедливо для числа 1) следовало бы, что ш>1. Утверждение Т было бы, следовательно, справедливо для натурального числа п=т—1, что, по смыслу условия, принятого для утверждения Г, влечет за собой его справедливость для числа л+1=/п, что противоречит предположению. Утверждение Т должно быть, следовательно, справедливо для любого натурального числа. Мы доказали таким образом, что из утверждения Т6 вытекает принцип математической индукции.

Допустим теперь справедливость принципа математической индукции. Пусть Z есть некоторое произвольное непустое множество натуральных чисел. Допустим, что в множестве Z нет наименьшего числа. Очевидно, что в таком случае число 1 не принадлежит множеству Z.

Обозначим через Т утверждение (в котором говорится о натуральном числе л): «Ни одно натуральное число, меньшее или равное п, не принадлежит множеству Z». Утверждение Т очевидным образом справедливо для числа п=\. Если утверждение Т справедливо для натурального числа п, то оно имеет силу и для числа л4-1, так как в противном случае число л-М было бы, как легко видеть, наименьшим числом множества Z, что противоречит предположению о том, что множество не имеет наименьшего числа.

Следовательно, на основании принципа индукции утверждение Т справедливо для любого натурального числа п. Но в таком случае из утверждения Т вытекает, что множество Z является пустым, что противоречит предположению.

Итак, допущение, что существует непустое множество натуральных чисел, не содержащее наименьшего числа, приводит к противоречию. Мы доказали, таким образом, что из принципа математической индукции вытекает, что множество всех натуральных чисел, упорядоченное по их величине, является вполне упорядоченным.

Тем самым мы доказали, что утверждение Tw равносильно принципу математической индукции.

Функции

Пусть X и У — два каких-либо данных множества. Если каждому элементу х множества X соответствует определенный элемент у множества Y, то говорят, что в множестве X определена функция, значениями которой являются элементы множества Y (впрочем, не обязательно все). Таким образом мы получаем самое общее понятие (однозначной) функции. Элемент у множества Y, соответствующий данному элементу х множества X, обозна-

чают через fUY Множество всех элементов y=f(XY соответствующих элементам х множества X, обозначают через /(X) и называют отображением множества X на множество Y (или соответственно на часть множества у), или образом множества X. Если Х^ X, то через /(XJ обозначают множество всех элементов y=f(xY где х— элемент множества Хх. Легко доказать, что если XjC X и Хас Х,то всегда ^Хх U Х2) ^(Xj U ЛX2) и аналогично для произвольного конечного или бесконечного числа слагаемых, и что всегда /(XiQ Х^сДХ^ПДХг), но не обязательно имеет место /(Х1ПХ2) = =/(Xj) П/(Х2)- Например, если X является множеством чисел 1, 2, 3, а функция /(х) определена условиями /(1)=ДЗ)=1, /(2)=2 и если X, является множеством чисел 1 и 2, а Х2— множеством чисел 2 и 3, то, как легко проверить, и /(Х^, и /(Х2), а следовательно, и /(XJ П /(Х2) являются множествами, состоящими из чисел 1 и 2. В то же время множество /(Xj П Х^ образовано одним только числом 2, и поэтому здесь мы имеем /(Х, Л Х2) =^ ^/(Х^ П/(Х2). Поэтому образ суммы произвольного числа множеств всегда является суммой их образов, а образ пересечения произвольного числа множеств всегда содержится в пересечении их образов. Однако образ пересечения двух множеств может не быть равен пересечению образов этих множеств.

Если различным элементам множества X всегда соответствуют разные элементы множества Y, говорят, что функция /(х) разнозначна, или обратима. Такая функция, очевидно, устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементами множеств X и /(X). Легко доказать, что если функция /(х), определенная для элементов х множества X, является обратимой, то для произвольного числа множеств, содержащихся в X, образ их пересечения является пересечением их образов.

Декартово произведение

Декартовым (или прямым) произведением множеств Хг и Х2, или просто их произведением, называют множество всех упорядоченных пар (х, yY первым членом (х) которых является какой-либо элемент множества Xi, а вторым (у) — какой-либо элемент множества Х2Ч Декартово произведение множеств X, и Х^ обозначают через XtxX2. Функция /(х), определенная для всех элементов множества X, значениями которой являются элементы множества Y, определяет некоторую часть множества XxY, образованную из всех пар (х, /(х)), где х — какой-либо элемент множества X. Для того чтобы данное подмножество Z множества XXУ определяло какую- то функцию элементов х множества X, значениями которой являются элементы множества У, необходимо и достаточно, чтобы для каждого элемента

Название дано в честь великого французского философа и математика XVII века Р. Декарта, который, рассматривая плоскость как множество пар действительных чисел, положил начало аналитической геометрии.

х множества X в подмножестве Z существовала одна и только одна пара (х, z/), первым членом которой является элементх, а вторым — определенный элемент множества Y.

В частности, если X=Y, то множество ХхХ называют декартовым квадратом множества X. Исследование комплексных чисел является исследованием декартова квадрата множества всех действительных чисел. Декартовы квадраты играют важную роль в теории отношений.

Говорят, что между элементами данного множества X имеется определенное отношение/?, если дано некоторое подмножество / множества ХхХ. Говорят, что между элементами хг и х2 множества X существует отношение R, если упорядоченная пара Lxvx^ принадлежит подмножеству I множества ХхХ. В этом случае пишут хх/?х2.

Метрические пространства

В разных разделах математики рассматриваются различные пространства. Прежде всего, это так называемые евклидовы пространства (прямая, плоскость, трехмерное пространство, вообще многомерные пространства), затем — пространства бесконечно большого числа измерений (точки которых определяются с помощью бесконечного множества координат), пространства, элементами которых являются функции или кривые, и т. п. Чтобы не изучать каждый из этих видов пространств отдельно, создана теория метрических пространств, т. е. всех пространств, в которых можно определить расстояние между любыми двумя их точками, удовлетворяющее некоторым очень простым и естественным условиям.

С одной стороны, мы получаем таким путем полезное обобщение: теоремы, доказанные для метрических пространств, справедливы для любого частного случая таких пространств, и не нужно, следовательно, доказывать их для каждого случая отдельно. С другой стороны, благодаря простоте условий (так называемых аксиом расстояния) , которым удовлетворяет расстояние в метрических пространствах, теория метрических пространств является прекрасным примером применения аксиоматического метода. Все теоремы этой теории можно вывести из трех чрезвычайно простых аксиом.

Метрическим пространством называют такое множество М произвольных элементов, что каждой упорядоченной паре (а, Ь) элементов множества М поставлено произвольным способом в соответствие неотрицательное действительное число р(а, 6), называемое расстоянием между элементами а и Ь, удовлетворяющее следующим трем условиям:

р(а, 6)=0 тогда и только тогда, когда а=Ь;

р(а, 6)—p(Z>, а) для любых элементов а и b множества М (симметричность);

р(а, с)<(р(а, 6)+р(6, с) для любых элементов а, b и с множества М (так называемая аксиома треугольника).

Множество Z точек метрического пространства М, обладающее тем свойством, что для любой точки р множества Z существует положительное число г такое, что каждая точка q пространства М, расстояние которой от р меньше г, является элементом множества Z, называют открытым множеством этого пространства.

Евклидовы пространства

/n-мерным евклидовым пространством Rm, где т — данное натуральное число, называют множество всех последовательностей из т членов (xt, х2, ..., хт), являющихся действительными числами. Пространство^ будет метрическим, если расстояние между его точками х=(х1, х2, .... хЛ) и у=(91» Иг» — Ут) определить формулой

у) = VUr-Hi? + (х2—^2)2 4-... 4- (хт—ут)4 (доказательство того, что определенное таким образом расстояние удовлетворяет всем трем аксиомам расстояния, не представляет трудности).

Проекцией точки (xlf х2, ..., хт) пространства Rm на пространство Rm_t называют точку (xv х2, ..., хт_,) пространства Rm_v

Проекцией PZ множества ^.содержащегося в пространствеRm, на пространство Rm„i называют множество проекций на Rm-i всех точек множества Z.

Дополнением CZ множества Z по Rm называют множество Rm—Z. Исходя из открытых множеств G, содержащихся в пространстве Rm с достаточно большим числом измерений, получаем последовательно множества.

CG, PCG, CPCG, PCPCG, ...

(где PCG означает проекцию дополнения множества G, CPCG —дополнение проекции дополнения множества G и т. д.).

Множества, полученные таким образом из открытых множеств попеременным применением конечного числа операций дополнения и проектирования, называют проективными множествами.

После того, как Лузин (в 1924 г.) ввел понятие проективных множеств, выяснилось, что все рассматривавшиеся прежде множества, даже наиболее сложные, использовавшиеся в качестве примеров различных особенностей, были проективными множествами. Лузин сумел, однако, дать примеры множеств, не являющихся проективными.

Борелевские множества

В частности, множества типа PCPCG, где G пробегает все открытые множества пространства /?„+2, называют аналитическими множествами пространства Rm. Свойства их исследованы достаточно детально. Множества, которые являются аналитическими и дополнения которых также являются

аналитическими,— это не что иное, как борелевские множества (исследовавшиеся Э. Борелем), играющие важную роль в современном математическом анализе. (Впрочем, сам Борель определял эти множества иначе.) Отметим здесь еще, что М. G у с л и н в 1916 г. первым доказал, что проекция борелевского множества может не быть борелевским множеством, и начал исследование аналитических множеств, определенных первоначально как проекции борелевских множеств.

История рождения аналитических множеств весьма интересна и поучительна.

В 1916 г. Николай Л у з и н, в то время молодой профессор Московского университета, предложил своему ученику Михаилу Суслину изучить работу А. Л е б е г а об аналитически представимых функциях, опубликованную в 1905 г. в известном французском журнале journal des Mathematiques. В этой работе Лебег приводит, между прочим, теорему о том, что если аналитически представимая функция обратима, то обратная ей функция тоже является аналитически представимой. Доказательство этой теоремы Лебег основывает на нескольких леммах и в их числе на лемме, согласно которой проекция на прямую общей части бесконечной стягивающейся последовательности множеств, расположенных на плоскости, является общей частью проекций этих множеств. (Бесконечную последовательность множеств ZT, Z2,... называют стягивающейся, если каждое последующее множество этой последовательности, начиная со второго, содержится в предшествующем множестве.) Лебег не привел доказательства этой леммы, считая ее очевидной, и того же мнения придерживались, видимо, многочисленные читатели работы Лебега в течение 10 лет. Так вот, Суслин, продумывая эту лемму, установил, что она неверна. Обозначим через Z„ множество всех точек плоскости с координатами х, у, где х=0, 0<у<—. Множество Z1nZ2nZ3 (] --•, или общая часть всех множеств Z„ (где п=1, 2, ...), а следовательно и его проекция на ось ОХ, является пустым множеством. В то же время проекция каждого из множеств Z„ (где л=1, 2, ...), а следовательно и общая часть этих проекций, является множеством, образованным из одной-единствениой точки (0, 0). Но при п=1, 2, ..., очевидно, Zn+1cZ„; следовательно, последовательность множеств Zv Za, ... является стягивающейся, вопреки лемме Лебега.

Мне довелось быть свидетелем того, как Суслин сообщил Лузину свое замечание и вручил ему рукопись своей первой работы. Лузин очень серьезно отнесся к сообщению молодого студента, и подтвердил, что тот действительно нашел ошибку в труде известного ученого. Я также читал рукопись Суслина непосредственно после Лузина и знаю, как Лузин помогал своему ученику и как направлял его работу. Некоторые авторы называют аналитические множества множествами суслинскими; правильнее было бы называть их множествами Суслина—Лузина.

Суслин не остановился на том, что открыл ложность леммы Лебега. Он начал исследовать, справедливы ли выводы, сделанные Лебегом из его леммы. Одним из них была теорема Лебега о том, что проекция на прямую плоского борелевского множества является борелевским множеством. Для доказательства ложности этой теоремы Суслин построил плоское борелевское множество, проекция которого на прямую не является борелевским множеством. С этой целью Суслин создал целую теорию, названную им теорией Л множеств (аналитических). Теория эта была затем упрощена и развита Лузиным, который с ее помощью доказал, что теорема Лебега об обратимости аналитически представимых функций все же справедлива, хотя она и была выведена из ложной леммы.

Случай открытия Суслиным ошибки в лемме Лебега чрезвычайно поучителен с разных точек зрения. Прежде всего он показывает, что и крупные математики иногда выдвигают ошибочные утверждения. Случалось это и с великим Ферма. В данном случае ошибка Лебега заключалась в том, что он считал очевидным положение, которое на самом деле было ложным. Этот вид ошибок встречается очень часто. Кто-то сказал даже, что очевидные утверждения чаще всего ошибочны. Другой интересный факт — это то, что ошибка Лебега оказалась полезной, так как она привела к созданию теории аналитических множеств.

В 1917 г. Лузин начал писать большую работу об Л-множествах, которая частично была опубликована только в 1926 г. на 95 страницах X тома польского журнала Fundamenta Mathematicae. В 1930 г. в известной серии монографий, выходящей под редакцией Э. Бореля, была издана книга Лузина Lemons sur les ensembles analitiques et tears applications1.

Некоторые теоремы об Л-множествах, доказанные Лузиным и мной, были опубликованы в двух наших совместных работах, одна из которых появилась в 1918 г. в Biuletynie Akademii Umiejetno'sci в Кракове, другая — в 1923 г. во французском Journal des Mathematiques.

Открытые и замкнутые множества

Мы говорили выше об открытых множествах данного метрического, пространства М. Их дополнения до пространства М называют замкнутыми множествами этого пространства.

Пусть множество Z есть множество точек из метрического пространства М; точку р, принадлежащую или не принадлежащую множеству Z, называют предельной точкой (или Точкой накопления) множества Z, если любое открытое множество рассматриваемого пространства, содержащее точку ру

содержит по меньшей мере еще одну, отличную от р точку множества Z. Так, например, если метрическим пространством М является прямая, а множество Z состоит из бесконечной последовательности точек ръ р2, ... этой прямой, таких, что при п=1, 2, ... расстояние точки рп от некоторой точки О нашей прямой равно ^-, то, как легко видеть, предельной точкой множества Z будет только точка О. Напротив, если множество Z на прямой состоит из всех точек, расстояние которых от точки О выражается рациональным числом, то любая точка прямой будет предельной точкой множества Z.

Из определения предельной точки множества Z немедленно вытекает, что если точка р данного метрического пространства М является предельной точкой множества Z, заключенного в этом пространстве, то любое открытое множество, содержащее точку р, содержит бесконечное число точек множества Z. Действительно, если бы какое-то открытое множество U, содержащее точку р, не содержало бы ни одной отличной от р точки множества Z, то точка р не была бы предельной точкой множества Z. Если же открытое множество U, содержащее точку р, содержало бы только конечное, отличное от нуля число точек множества Z, не совпадающих с р, то расстояния этих точек от точки р образовывали бы некоторую конечную последовательность положительных чисел. Следовательно, существовало бы положительное число г, меньшее любого из членов последовательности. Множество U! всех точек рассматриваемого пространства, находящихся от точки р на расстоянии, меньшем г, было бы в этом случае открытым множеством этого пространства, содержащим точку р, но не содержащим никакой другой точки множества Z, вопреки условию, что р является предельной точкой множества Z.

Докажем теперь, что для того чтобы множество Z, заключенное в метрическом пространстве М, было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы оно содержало все свои предельные точки.

Допустим, что замкнутое множество Z не содержит какой-нибудь своей предельной точки р. Тогда точка р принадлежит дополнению Т=М—Z множества Z до пространства М. Но из определения замкнутого множества ■следует, что его дополнение является открытым множеством. Точка р принадлежит, следовательно, открытому множеству Т, не содержащему ни одной точки множества Z, вопреки предположению, что р является предельной точкой множества Z. Мы доказали, таким образом, необходимость нашего условия.

Допустим теперь, что множество Z, заключенное в метрическом пространстве М, содержит все свои предельные точки, и пусть Т = М—Z будет дополнением множества Z до пространства М. Пусть q будет какой-либо точкой множества Т. Поскольку Т = М—Z, точка q не принадлежит множеству Z и, следовательно, в соответствии с принятым относительно множества

Z условием не является его предельной точкой. Отсюда следует, что существует открытое множество U, содержащее точку q и не содержащее ни одной точки множества Z. Следовательно, будет UaT. Следовательно, для любой точки q множества Т существует открытое множество, содержащее точку q и заключенное в множестве Т. Это доказывает, что множество Т является открытым, и, следовательно, его дополнение М — Т = Z является замкнутым множеством. Условие нашей теоремы является, следовательно, достаточным.

Множество Z точек прямой называют ограниченным, если существует конечный отрезок, содержащий множество Z.

Аналогично, множество Z точек плоскости называют ограниченным, если существует круг, содержащий (внутри или на окружности) все точки множества Z.

В евклидовых пространствах имеет место следующая теорема Больцано—Вейерштрасса:

Любое бесконечное ограниченное множество имеет по меньшей мере одну предельную танку (содержащуюся в нем или нет).

Докажем эту теорему для множеств точек на прямой. Пусть Z — бесконечное ограниченное множество точек прямой. Существует, следовательно, отрезок d, содержащий множество Z. Разделим отрезок d на два равных отрезка. По крайней мере один из них будет содержать бесконечно много точек множества Z. Пусть d, означает первый из двух наших отрезков, считая слева, который содержит бесконечно много точек множества Z. Аналогично, выделим половину d2 отрезка dv которая содержит бесконечно много точек множества 2, и т. д. Мы получаем таким образом бесконечную стягивающуюся последовательность отрезков d^dgZDdgZD..., и, в соответствии с аксиомой Асколи, существует точка р, общая всем этим отрезкам. Покажем, что точка р является предельной точкой множества Z. Действительно, пусть (о, 6) — какой-нибудь интервал, внутри которого лежит точка р, и пусть положительные чцсла г, и га — соответственно расстояния точки р от аи Ь. Из определения отрезков d„(n=l, 2, ...) легко выводим, что длина интервала d„ равна-^-, где d — длина интервала d. Для достаточно больших п, очевидно, будет d„<rT и dn<r^, откуда следует, что отрезок d„ (содержащий точку р) будет лежать внутри интервала (a, ЬУ Поскольку, как мы знаем, отрезок d„ содержит бесконечно много точек множества Z, мы доказали, что внутри любого интервала, содержащего точку р, имеется бесконечно много точек множества Z и, тем самым, что точка р является предельной точкой множества 2, что и требовалось доказать.

Легко можно доказать, что множество всех предельных точек любого данного множества является замкнутым множеством.

Производное множество и замыкание множества

Множество всех предельных точек данного множества Z называют производным множеством множества Z и обозначают через Z'. Множество же Z (J Z' (образованное присоединением к множеству Z всех его предельных точек) называют замыканием множества Z и обозначают Z. Замкнутые множества —это, следовательно, такие множества Z, для которых Z=Z.

Легко доказать, что для любых двух множеств Zx и Z4

(Z1UZa)'=Z1,UZ./1(3)

а также

Z1UZ2—ZjUZa,(1)

что для любого множества Z

IT) -Т(2)

а также, что_

если множество Z пусто или имеет только один элемент, то Z=Z.

Топология

Топологическим пространством называют всякое множество /И, любому подмножеству Z которого поставлено произвольным способом в соответствие некоторое подмножество Z множества Л1, такое, что для любых подмножеств Z,ZltZ2 множества М были выполнены условия (1), (2) и (З).

Метрическое пространство М становится топологическим пространством, если замыкание Z множества Z, являющегося подмножеством множества М, определить как множество всех точек р множества М, обладающих тем свойством, что для любого положительного числа г существует по меньшей мере одна точка q множества Z (не обязательно отличная от р), расстояние которой от р меньше г.

Несмотря на свою общность, понятие метрического пространства нашло много применений в математическом анализе.

Перейдем теперь к топология. Это раздел геометрии, изучающий свойства формы и взаимного расположения фигур. Это наука о таких свойствах геометрических объектов, которые не исчезают при взаимно однозначных и непрерывных в обе стороны преобразованиях этих объектов, т. е. свойствах, которые не исчезнут при произвольном изгибе и растяжении или сжатии фигуры без разрывов и склеиваний в каком-либо месте. В частности, тополо-

гия занимается понятием линии, поверхности, измерения; к топологии относится также теория узлов.

Топология как самостоятельная наука появилась в начале XX века, но некоторые ее вопросы интересовали уже Лейбница (который называл ее Analysis Situs), а затем Эйлера. Эйлеру приписывают теорему Декарта о выпуклых многогранниках: число гран ей 4-число вершин ^число ребер4-2 4

Эйлер занимался также проблемой семи мостов в Кенигсберге на реке Преголя (см. рис. 4), по каждому из которых нужно было последовательно пройти, не вступая ни на один из них дважды. Эйлер показал, что решение этой задачи невозможно и привел необходимое и достаточное условие для того, чтобы можно было последовательно пройти по всем отрезкам линии, состоящей из конечного числа дуг, соединяющих конечное число данных точек, не проходя ни по одной дуге дважды.

Односторонние поверхности

Во второй половине XIX века

Рис- И. Б. Л и с т и н г и А. Ф. М ё-

б и у с открыли существование односторонних поверхностей.

Возьмем прямоугольный листок бумаги, основание AD которого значительно (скажем, в 8 раз) длиннее его высоты АВ (рис. 5). Перекрутим теперь этот бумажный прямоугольник и склеим его короткие стороны так, чтобы точка С совпала с точкой А, а точка D —с точкой В. Полученную таким образом поверхность называют листом Мёбиуса (рис. 6). Край этого «листа» образует одну непрерывную линию. С любой точки листа муравей мог бы попасть в любую другую его точку, не пересекая край. Если с какого-либо места начать красить лист, например, в зеленый цвет, то весь лист будет окрашен в этот цвет полностью, и не будет другой стороны, которую можно было бы окрасить в другой цвет. Эта поверхность имеет, следовательно, только одну сторону, а не две, как например поверхность полусферы, где мы можем одну сторону, например внутреннюю, окрасить в зеленый цвет.

а другую, наружную — в красный, таким образом, что две разные краски встретятся только на краю поверхности.

Разрежем теперь нашу ленту по средней линии, параллельной ее краям. Мы получим в этом случае двустороннюю замкнутую поверхность, но перекрученную. Если бы мы полученную поверхность разрезали еще раз по ее средней линии, параллельной краям, мы получили бы две замкнутые двусторонние поверхности, но переплетенные так, что их нельзя отодвинуть одну от другой на произвольное расстояние. Если же разрезать лист Мёбиуса вдоль линии, параллельной его краю и отстоящей от него на одну треть ширины ленты, то мы получим лист Мёбиуса (в три раза более узкий)

ССВВРис. 5Рис. 5

С

С

В

В

Рис. 5

Рис. 5

и замкнутую двустороннюю перекрученную поверхность (аналогично той, что в первом случае), причем эти поверхности, подобно звеньям цепи, нельзя будет, не разрывая, раздвинуть на произвольное расстояние

Советуем читателю самому соорудить эти простые фигуры из бумаги и на собственном опыте убедиться, как это все происходит.

Проблема четырех красок

Примерно в середине XIX века был поставлен вопрос, до сих пор не решенный, достаточно ли четырех разных красок, чтобы раскрасить произвольную карту, изображающую разные страны, таким образом, чтобы две страны, имеющие общую границу, были всегда окрашены в разные цвета. Это так называемая проблема четырех красок. Доказано, что трех красок недостаточно, пяти красок хватит всегда, а четырех достаточно, если число стран меньше 38.

В качестве примера утверждения из области топологии часто приводят утверждение, что на человеке, одетом в рубашку и имеющем связанные руки, рубашку можно вывернуть на левую сторону.

Другое утверждение из области топологии: изгибая кольца и соответственно их укладывая, можно образовать из них замкнутую цепь с произвольно большим числом звеньев, такую, что если в ней разорвать одно какое-либо звено, то наша цепь рассыплется на отдельные, не связанные друг с другом звенья. Пример такой цепи, образованный из трех звеньев, красуется на обложке журнала Matematyka. Модель такой цепи с большим числом звеньев имеется в книге Steinhaus Н. Kalejdoshop matematycz- пу, Warszawa, PZWS, 1954, 267, рис. 289 А1.

Литература по теории множеств и топология

В выпуске 1—2 за 1963 г. издаваемого в Женеве журнала L’Enseignement MathS- matique, являющегося официальным органом Международной комиссии по обучению математике, помещена статья проф. Фройденталя (Н. Freudenthal) из Утрехта «Обучение современной математике илн современное обучение математике?» На стр. 29 автор говорят об известной пропасти, существующей между школьной и современной математикой. 3tj явление, ужасающее многих математиков с начала текущего столетия, привело в наше время к созданию множества новых программ, более соответствующих нынешнему состоянию математики.

В Cahiers Pedagogique от 14 ноября 1955 г. проф. Дьедоние (J. A. Die- ri о n п ё) писал: ,Л 1'heure actuelle les mathematiques enseignees dans nos lycces correspondent 3 pen pres 5 ce qu’on savait en 1640’’1.

Из источников, по которым можно бы более подробно ознакомиться с теорией множеств и топологией, назовем следующие: Sierpinski Waclaw, Wstgp do teorii mnogoScii topologii, изд. II, дополненное, Варшава, 1947, 1—136. Эта книга переведена на английский язык и издана в Индии под названием: Introduction to the theory of sets and topology, The Indian Press, Allahabad, 1—154.

П. С. Александров, В. А. Ефремович, Очерк основных понятий топологии, Гостехиздат, М.—Л., 1936.

Более обширным является труд: Kuratowski Kazimierz, Wstgp do teorii mnogoScl i topologii, изд. II, исправленное, выпущенный в серин ,,Blblioteka Mate- matyczna", t. 9, PWN, Warszawa, 1—254.

Алгебре множеств я посвятил книгу на французском языке: Sierpinski Waclaw. Algebre des ensembles, в серии „Monografie Matematyczne", t. XXIII, Warszawa — Wroclaw, 1951, 1—205.

Трансфйнитиым числам посвящена моя книга на французском языке: Lemons sur les nombres transfinis, Gauthier-Villars, Paris, 1950, 1—240, а также моя книга на английском языке:. Cardinal and orginal numbers, „Monografie Matematyczne", t. XXXIV, PWN, Warszawa, 1958, 1—487.

Общей топологии я посвятил книгу иа английском языке, изданную в Канаде: General Topology, University of Toronto Press, Toronto, 1952, I—XII, 1—290.

В русском переводе (см. примечание* иа стр. 38) имеется (на стр. 125) только изображение цепи из трех звеньев.— Прим, перее.

«В настоящее время математика, преподаваемая в наших лицеях, соответствует приблизительно уровню знаний 1640 г.».— Прим, перее.

В 1954. г. в Варшаве был издан курс моих лекций о метрических пространствах, читанный в Варшавском университете, под названием Przestrzenie metryczne (205 стр.).

Теории множеств н ее приложениям к другим разделам математики посвящен издаваемый с 1920 г. в Варшаве международный журнал Fundamenta Mathematicae. Как пишет проф. Куратовский в предисловии к упомянутой выше его книге, журнал этот вскоре стал ие только важным фактором развития теории множеств и родственных разделов математики в Польше, но также и одним из основных — в международном масштабе — органов, сосредоточивающих научное творчество в этой области.

Весной 1963 г. вышел из печати Пятидесятый том Fundamenta Mathematicae. В связи с этим проф. Куратовский, теперешний редактор этого издания, опубликовал в № 2(44) за 1963 г. журнала Nauka Polska (стр. 28—34) статью «Пятьдесят томов Fundamenta Mathematicae. Воспоминания и замечания».

В 50-тн томах этого журнала опубликовано 1496 работ 414 авторов, в основном заграничных, среди, которых много самых выдающихся современных ученых. В настоящее время вышел уже том 52 Fundamenta Mathematicae r.

* На русском языке для более глубокого ознакомления с теорией множеств могут быть рекомендованы следующие книги:

Ф. Хаусдорф, Теория множеств, Гостехнздат, М,— Л., 1937.

П. С. Александров, Введение в общую теорию множеств н функций, Гостехнздат, М.— Л-, 1948.

П. С. АлександровиА. Н. Колмогоров, Введение в теорию функций действительного переменного, Гостехнздат, М.— Л., 1938.

Н. Н. Лузин, Теория функций Действительного переменного, Учпедгиз, М., 1948.

И. П. Натансон, Теория функций вещественного переменного, Гостехиз- дат, М.— Л., 1950 (нзд. 2, 1957).

Для более глубокого ознакомления с топологией, кроме упомянутой выше книги П. С. Александрова нВ. А. Ефремовича, можно рекомендовать «Очерк основных идей топологии» В. Г. Болтянского и В. А. Е ф р е м о в н ч а, напечатанный в сборниках «Математическое просвещение», выпуски 2— 5, Гостехнздат (Фиэматгнз), 1957—1960.

Из более популярных изложений (могущих в первую очередь заинтересовать читателя) отметим следующие:

К. Греллннг, Теория множеств (пер. с немецкого), ОНТИ, М.—Л., 1935 (ныне — библиографическая редкость).

Г. Радемахер и О. Теплиц, Числа и фигуры (пер. с немецкого); 2-е изд. Гостехнздат, 1938; 3-е нзд. Фиэматгнз, М., 1952; 4-е изд. «Наука», М., 1966 (готонится к печати).

Р. К у р а н т и Г. Р о б б и н с. Что такое математика? (пер. с английского) Гостехнздат, М.—Л., 1947; нзд. 2., «Просвещение», М., 1966 (готовится к печати).

А. С. Пархоменко, Что такое линия? Гостехиздат, М,—Л., 1954.

«Математика, ее предмет, методы и значение (сборник)», т. 3, изд. АН СССР. М., 1956.

Н. Я. В и л е и к и н. Рассказы о множествах, нзд. «Наука»,М., 1965.—Прим, персе.

ГЛАВА II

О КОНГРУЭНТНОСТИ МНОЖЕСТВ. КОНГРУЭНТНОСТЬ множествПРИ КОНЕЧНОМ РАЗБИЕНИИ

Конгруэнтность множеств

Конгруэнтность геометрических фигур хорошо известна из элементарной геометрии. Две геометрические фигуры, т. е. два множества точек, лежащих на прямой, на плоскости или в пространстве, конгруэнтны между собой, если они могут быть получены одно нз другого путем переноса, поворота или зеркального отражения. Чтобы показать, что два множества А и В конгруэнтны, пишут А=^В. Необходимым и достаточным условием конгруэнтности множеств А и В является существование между их точками взаимно однозначного соответствия, сохраняющего расстояния, т. е. такого, что если аг и а2 являются двумя произвольными точками множества А, а Ьг и Ь^ — соответствующими им точками множества В, то расстояние между точками av и а4 равно расстоянию между точками bj и Ь2.

Преобразования множеств, сохраняющие расстояния, называют изометрическими. Вместо того, чтобы говорить конгруэнтные множества, можно сказать изометрические множества. Понятие изометрии может применяться не только к множествам точек в пространстве, одного или многих измерений, но и вообще к множествам в так называемых метрических пространствах, для которых определено расстояние между двумя любыми их точками. Существуют множества точек даже на прямой, конгруэнтныенеко-

торому своему собственному подмножеству (т. е. подмножеству, не совпадающему со всем множеством). Таким множеством является, например, множество всех точек полупрямой.

Множество точек называют мономорфным, если оно не конгруэнтно ни одному своему собственному подмножеству Множество точек называют ограниченным, если существует число, большее, чем расстояние между любыми двумя точками этого множества. Докажем, что имеет место

Теорема 1, Каждое ограниченное множество точек прямой мономорфно.

Доказательство. На прямой зеркальное отражение какого- либо множества относительно данной точки (как центра симметрии) совпадает с поворотом этого множества на 180° около той же точки Покажем сперва, что при повороте прямой на 180° вокруг какой-нибудь ее точки ни одно множество точек не может отобразиться в свое собственное подмножество. Допустим, что при таком повороте множество Е точек прямой отображается в свое собственное подмножество Н. Пусть х — произвольная точка множества Е. При повороте она, следовательно, отображается в некоторую точку х' множества Н. Очевидно также, что при этом повороте точка х' (которая принадлежит Н, а следовательно, и Е) отображается в точку х. Отсюда следует, что каждая точка множества Е принадлежит Н. а это противоречит предположению о том. что Н является собственным подмножеством Е.

Обозначим теперь для произвольного множества Е точек прямой и для произвольного данного Действительного числа а через Е^а) сдвиг множества Дна длину а вдоль нашей прямой. Е(а) является, таким образом, множеством всех действительных чисел х+а, где х — точка множества Е. Очевидно, что если Н=Е(а), то Д(—а^—Е, и что для каждого действительного числа b ЩЬ>=Е1а+Ь\

Допустим, что множество Е точек прямой ограничено.Тогда существует положительное (конечное) число d такое, что для любой пары х и х* точек множества Е расстояние между х и х' меньше d. Если при сдвиге на длину а4=0 множество Е отображается на свою часть, или £(а)с£ (выражение А с: В означает, что множество А является частью множества В), то мы имеем также Е(2 фсЕ$ сЕ и, вообще, Е(па)сЕ при и —1, 2, 3, .. . Если х» есть точка множества Е, то для любого натурального числа п х0+ла является точкой множества Е(па) и, следовательно, также точкой множества Е Поскольку расстояние между точками х0 и х0+па равно па, то абсолютная величина числа па должна быть <^d при л=1, 2, 3, что при а^О невозможно. Следовательно ограниченное множество точек прямой ни при каком сдвиге (на длину, отличную от нуля) не может отобразиться на свою правильную часть.

Теорема 1 доказана. Отметим, что для ограниченных множеств точек на плоскости аналогичное утверждение не имеет места. Для этого случая справедлива

Теорема 2, Существует ограниченное множество точек, на плоскости, конгруэнтное некоторой своей правильной части.

Доказательство. Пусть а обозначает какой-либо угол, несоизмеримый с прямым углом. Возьмем произвольный отрезок прямой и повернем его вокруг одного конца на угол а в данном направлении. Будем затем поворачивать этот отрезок в том же направлении иа углы 2а, За, 4а и т. д. Мы получим таким образом бесконечную последовательность отрезков ОАТ, ОА^, ОА3, ...с общей точкой О. Если удалить точку О, то множество наших отрезков будет ограниченным множеством точек плоскости, конгруэнтным (при повороте на угол а) своей правильной части, а именно множество всех точек отрезков OAV ОАй, ОА3, ... без точки О конгруэнтно множеству всех точек отрезков 0А3, ОА3, ... (также без точки О).

Отметим, что два множества, каждое из которых конгруэнтно части другого, могут быть не конгруэнтны между собой. Пусть, например, А есть множество всех точек прямой с неотрицательными абсциссами, а 8 — множество, которое мы получим из А, добавив к нему точку с абсциссой —I. Множество А есть часть множества В, а множество В при сдвиге вдоль прямой на длину 1 конгруэнтно части множества А. Однако множества А и В не конгруэнтны между собой, так как для любой точки р множества А существует другая точка этого множества, расстояние которой от точки р меньше -у, точка же множества В с абсциссой —1 таким свойством ие обладает.

В связи с теоремой 1 отметим, что существуют множества (конечно, неограниченные) точек прямой, которые конгруэнтны множеству, образуемому из них удалением некоторой единственной точки. Таким является, например, множество всех точек прямой с абсциссами, равными натуральным числам, которое конгруэнтно множеству, образованному из него удалением точки с абсцидсой 1.

Имеет место

Теорема 3. Всякое множество Z точек прямой имеет не более одной точки р такой, что по ее удалении из множества Z получается множество, конгруэнтное Z.

Доказател ь с т в о. Допустим, что некоторое множество Z точек прямой имеет две различные точки р и q, такие, что по удалении из множества Z какой-нибудь из них мы получим множество, конгруэнтное Z. Пусть Z^ecr^ множество, образованное удалением из множества Z точки р, а 2^— множество, образованное удалением из множества Z точки q. Допустим, что множество Z конгруэнтно Zx при повороте прямой на 180° около некоторой ее точки, и пусть при этом повороте точка р отображается в точку р'. Поскольку точка р принадлежит Z, точка р' будет принадлежать Zv и тем более, Z. Но при этом же повороте точка р*, очевидно, отображается в точ-

ку р, а множество Z отображается в множество Zv Точка р принадлежала бы тогда множеству Zv что невозможно.

Следовательно, множество Zx не может быть конгруэнтно множеству Z при повороте, и аналогично множество Z2 не может быть конгруэнтно множеству Z при повороте. Следовательно, множества ZT и Z8 конгруэнтны множеству Z при сдвиге, иначе говоря, существуют действительные числа а и b такие, что Zx—Z^, Z2~Z(b).

Так как q4=P, то q принадлежит множеству Z1=Z(o), и поэтому q — а принадлежит множеству Z. Так как Z^Z, то а=^, поэтому q — афд и. следовательно, q — а принадлежит множеству Z2—Z(b), откуда следует, что q — а — b принадлежит множеству Z, а из этого, в свою очередь, что q — b принадлежит множеству Z^—Zy и тем более множеству Z; следовательно, q принадлежит множеству Z(6)=Z8, что невозможно.

Теорема 3 таким образом доказана. Как легкое следствие из нее получается

Теорема 4. Во всяком непустом множестве Z точек прямой существует точка р, после удаления которой из множества Z получают множество, не конгруэнтное Z.

Доказател ь с т в о. Теорема 4, очевидно, справедлива для множеств, состоящих из одной только точки. Если же множество Z содержит по меньшей мере две разные точки р и q, то, удаляя р или q из множества Z, мы получим два множества, которые по теореме 3 не могут быть оба конгруэнтны Z.

Возникает вопрос, сохраняют ли силу теоремы 3 н 4 для множеств точек на плоскости и для множеств точек в трехмерном пространстве.

Штраус (Е. G. Straus) доказал, что теорема 3, а следовательно, и теорема 4 справедливы для множеств точек на плоскости, но доказательство этого является сложным. ЯнМыцельский (J. М у с i е 1 s k i) доказал, что теоремы 3 и 4 для множеств точек трехмерного пространства неверны2.

С. Мазуркевич (S. Mazurkiewicz)HH доказали в 1914 г., что существует множество Z точек на плоскости, состоящее из двух не имеющих общих точек частей, каждая из которых конгруэнтна множеству Z 3. Можно доказать, что таким свойством не обладает никакое множество точек на прямой.

Движения множеств

Совершенно очевидно, что не существует множества точек на прямой, содержащего более одной точки и не имеющего ни одной

См. Fundamenta Mathematicae, т. 44 (1957), стр. 75—79.

См. Fundamenta Mathematicae, т. 42 (1955), стр. 1—10.

общей точки с любым своим движением. В то же время легко привести пример бесконечного множества точек прямой, имеющего с любым своим движением не более одной общей точки. Таким является, например, множество точек прямой с абсциссами 10я, где /1=1, 2, ... . Легко доказать, что для того чтобы множество точек на прямой обладало этим свойством, необходимо и достаточно, чтобы расстояния между любыми двумя его точками были все различны.

При рассмотрении движений множеств точек на прямой возникает вопрос: сколько для данного множества Z точек прямой имеется множеств, конгруэнтных Z при движении? Ответ на этот вопрос зависит, очевидно, от множества Z.

Обозначим, для данного множества Z точек прямой, через ^(Z) семейство всех множеств, конгруэнтных Z при движении. Если Z — множество всех точек прямой, то семейство /?(Z) состоит, очевидно, из одного только множества, которым является множество Z. Как нетрудно заметить, это единственный случай, когда семейство /?(Z) состоит только из одного множества. В других случаях семейство/?(Z) содержит более одного множества.

Действительно, допустим, что множество Z точек прямой не является ии пустым, ни множеством всех точек прямой. Существует в таком случае точка <2, принадлежащая множеству Z, и точка Ь, не принадлежащая Z. Очевидно, что точка b принадлежит множеству Z(b — а) (так как при сдвиге множества Z на b — а точка а переходит в точку 6). Следовательно, множества Z и Z(b — а) различны.

Возникает вопрос, существует ли множество Z точек прямой, для которого семейство /?(Z) состояло бы из конечного числа множеств? Докажем, что ответ на этот вопрос является отрицательным. С этой целью доказывается сначала следующая

Лемма. Пусть п есть натуральное число, большее 1. Если для множества Z точек прямой существует действительное число а такое, что множества

Z^ka^, где k=d, 1, .... п — 1 (Г) все различны, то существует также другое действительное число b такое, что множества

Z(kb). где 4=0, 1, ... п — 1, п (2) все различны.

Доказательство.Допустим что для действительного числа а множества (1) являются все различными, и пусть Ь= -^-. Если бы не все множества (2) были различными, существовали бы целые числа ку и кг такие, что

0<4,<42<л и Z(416)=Z(426). (3)

Поскольку л>1 и множества (1) все различны, мы имеем Z==Z(0)=^ H=Z^df=ZfnbY В силу (3) поэтому не может быть кх=0 и А2=п.

Из условия О^А^А^п вытекает, следовательно, что 0<А1<А2<л. Очевидно, что если для действительных чисел ст и с2 Z(c1)=Z(c^, то также Z=Z(c4— сх). В соответствии с (3) мы имеем, следовательно,

Z=Z((A2—Ах)6), где 0<А1<А2<п.(4)

Но из равенства Z=Z(c) следует равенство Z—Z( kc} для целых к; следовательно, равенство (4) влечет за собой равенство

Z= Z(k(kz— кг)Ь)

для целых к, откуда, в частности, для к=п при Ь=^ находим Z=Z№ — кх)а),

где кг — kv — одно из чисел последовательности 1, 2, ..., п — 1, что противоречит условию, что все множества (1) различны. Следовательно, множества (2) должны быть все различны, и наша лемма доказана.

Пусть теперь Z означает множество точек прямой, которое не является ни пустым, ни множеством всех точек прямой. Как мы уже знаем, семейство R(Z) состоит из более чем одного множества, и, следовательно, существует такое действительное число а, что Z=f=Z(a). Условие нашей леммы выполнено, следовательно, для п=2. По индукции из нашей леммы вытекает, следовательно, что для любого натурального числа т семейство R(Z) содержит по меньшей мере т разных множеств. Семейство R(Z) не может, следовательно, быть конечным. Таким образом, доказана

Теорема 5. Если Z есть, множество точек, прямой, непустое и не содержащее всех точек прямой, то на прямой существует бесконечно много различных множеств, конгруэнтных множеству Z при сдвиге.

Возникает вопрос, существует ли множество Z, для которого семейство R(Z) счетно, т. е. состоит из бесконечной последовательности различных множеств. Существование такого множества можно доказать с помощью аксиомы выбора, однако мы не знаем ни одного конкретного примера такого множества. С помощью аксиомы выбора можно даже доказать, что на прямой существуют множество Z точек и бесконечная последовательность множеств точек Zv Z2, Z3, ..., не имеющих попарно общих точек, такие, что любое множество точек прямой, конгруэнтное множеству Z при сдвиге, является одним из членов этой последовательности, и наоборот.

Легко привести пример такого множества Z точек прямой, что любой его сдвиг или совпадает с множеством Z, или не имеет с множеством Z ни

одной общей точки. Таким является, например, множество всех точек прямой с целыми абсциссами, а также множество всех точек прямой с рациональными абсциссами.

Чех (Е. Cech) доказал1, что существует непустое множество Z точек прямой, не являющееся множеством всех точек прямой, и такое, что для любого действительного числа а среди множеств бесконечной последовательности

Z, Z(a), Z(2a), Z(3a), ...

имеется только конечное число различных.

Конгруэнтность множеств при конечном разбиении

Пусть А и В будут два множества точек на прямой, на плоскости или в трехмерном пространстве. При данном натуральном п говорят, что множества А и В конгруэнтны при разбиении иа п частей2, и пишут А ~В, если существуют такие множества Ах, Ае,..., Ап и Вх, В»Вп, что *

1° А=Д1иД2и-иАя, B^iUBeU-UB,.

2°. ДЙЛ Д{ =BfcnBz=O при \<&<1<,п

3°. А^В^ при к=\, 2, .... п.

(Выражение Z=ZX иZ2U --U^n означает, что множество Z состоит из тех и только тех точек, которые принадлежат хотя бы одному из множеств ZX) Z2, ..., Z„, а выражение Pfi Q=0 показывает, что множества Р и Q не имеют ни одной общей точки.)

Если для данных множеств Д и В существует такое натуральное число п, что А=В, то говорят, что множества Д и В конгруэнтны при конечном

8 разбиении2, н пишут А=В.

Выражение А=В равносильно выражению AcsB.

।

Займемся сперва конгруэнтностью множеств при разбиении на две части.

Понятие конгруэнтности геометрических фигур при разбиении на две или более частей хорошо известно из элементарной геометрии и именуется там равносоставленностью. Имеется, однако, существенная разница между определением равносоставленности в элементарной геометрии и приведенным

См. книгу, упомянутую н предыдущем примечании (стр. 19—20).

Буквально «конгруэнтны (или даже равносоставлены) посредством конечного разбиения (или разбиения на л частей); выбор термина при переводе продиктован лишь соображениями кратности и удобства.— Прим. ред.

нами выше определением конгруэнтности множеств при конечном разбиении.

Например, из элементарной геометрии хорошо известно, что прямоугольный равнобедренный треугольник АВС (рис. 7) можно разбить его высотой BD на два треугольника, из которых можно получить квадрат (поворотом треугольника BDC на 270° вокруг точки В). Это, однако, не доказывает, что треугольник и квадрат конгруэнты при разбиении на две части в принятом нами смысле, ибо треугольники ABD и BDC, на которые был разбит треугольник АВС, имеют общую сторону BD.

В элементарной геометрии два многоугольника (или многогранника) считают равносоставленными, если они могут быть разложены на конечное и одинаковое число многоугольников (или многогранников), соответственно конгруэнтных друг другу и не имеющих общих внутренних точек. В на

шем же значении два множества конгруэнтны при конечном разбиении, если их можно разложить на одно и то же конечное число множеств, соответственно попарно конгруэнтных и не имеющих общих точек.

Возникает, следовательно,

вопрос, конгруэнтны ли при конечном разбиении (в нашем зна

чении) прямоугольный равнобедренный треугольник и квадрат. Ответ на

это дает

Теорема 6. Прямоугольный равнобедренный треугольник, конгруэнтен при конечном разбиении квадрату.

Доказательство этой теоремы является далеко не легким. Чтобы провести его, нам понадобится предварительно следующая

Теорема 7. Если А, В и С суть множества точек на прямой, на плос- SSS

кости или в трехмерном пространстве, такие, что А=В и В=С, то А=С.

S

(Другими словами, отношение = транзитивно.)

Теорема 7, как легко заметить, является непосредственным следствием такого утверждения:

Теорема 8. Если тип — натуральные числа, а А, В и С — множества, такие, что А—В и В=С, то А = С лттп

Доказательство. Вследствие А —В имеют место разложения

1°, отвечающие условиям 2° и 3°, а вследствие В—С существуют разложения B^U^U- UBm и C^jUCaU-UC^(1)

такие, что

В'ь Л В’ =Ск Л Cz=0 при 1<6< Кт(2)

и

Bicn-Ct при /=1, 2, ..., т.(3)

Пусть

Bkl=Bkt\Bi при 1<;а<п и 1<7<тп(4)

(через ^П Q обозначается множество всех точек, принадлежащих одновременно и Р и Q).

В силу 1°, (1) и (4), 56=B6iU 56аU ••• U 66т при 1<6<п(5)

и

Bt=BuU Baz U--U В„г при 1<^/и.(6)

Из (4),2° и (2) следует, что при 6=1, 2, .... п, ^ = 1, 2п, /=1, 2, .... т,

/т = 1, 2, .... т

Вк1Г\ Bklil=0. если кфкх или i=hlv(7)

Вследствие 3е, (5), 2° и (6) при 6=1, 2, ..„ п существуют разбиения

Л6=Л*1иДии-иЯв„8)

такие, что при 1^6<n, 1^6,^/г, 1<?<^/п, l^/^/n

АмПАк1<1=0, когда к#=кл или t=Mv(9)

и

Ак1 тВы при 1<:б<л, 1<^<уп.(10)

Аналогично из (3), (6), (2) и (7)следует, что при «=1, 2,..., т существуют разбиения

С, = CuUCzzU-U^(11)

такие, что

Ск^ П ^ьл =9, когда 6-^—6Z или /-/-/t,(12

и

BhzcuCizi при 1<^6^>г, 1<7<jzi13)

Из выражений 1°, (1), (8) и (11) следует, что А является суммой всех тп множеств Ам, где 6=1, 2, ..., п, 1—V 2, ..., т, а вследствие (10) и (13) имеем Ам^См при 6=1, 2, .... п, /=1, 2т.

Выражения эти с учетом (9) и (12) дают А=С, что и требовалось до- тя казать.

Можно доказать, что в теореме 8 число тп нельзя заменить меньшим числом. Действительно, если А — множество точек прямой с абсциссами

2, ..., тп, а В — множество точек с абсциссами ктп-\-1, где 6=1, 2, ..., п, (=1,2т, и если С — множество точек с абсциссами тп, 2тп, Зтп, ... (тп)2, то легко доказать, что А =В, В=С, но А=С не имеет места ни птк

для какого натурального числа k<,mn.

Заметим, что можно доказать, что если Л = Вг, где Вг — множество, п

содержащееся в В, а В= Аъ где Л!— множество, содержащееся в А, то А = В.

ТПП

Из теоремы 8 следует (при тп=п=2), что если А=В и В=С, то А=С. 224

В связи с этим возникает вопрос, для любых ли двух множеств точек на прямой, Л и С, где А =С, существует такое множество В, что А = В и В=С.

422

А, Шарма (A. Sharma) доказал, что этого может и не быть. Например, если множество А является совокупностью точек с абсциссами 1, 2, 3 и 4, а С — множеством точек с абсциссами 1, 10, 102 и 103, то, очевидно, А=С, но легко доказать, что не существует множества В, для которого бы

ло бы А —В и В=С.

22

В то же время открытым остается вопрос, существует ли для любых двух множеств Л и С, для которых А =С, такое множество В, что А = В=С.

33

Открыт также вопрос о существовании для любых двух множеств Л и С, для которых Л = С, такого множества В, что А= В =С. Мы не умеем 322

этого доказать даже в предположении, что множества Л и С конечны.

Лемма. Квадрат, К (внутренняя область вместе с периметром) конгруэнтен при разбиении на три части множеству, образованному из этого же квадрата К и из лежащего вне его полуинтервала произвольной длины, меньшей половины стороны квадрата К-

Доказател ь с т в о. Пусть К будет квадрат со сторонами длиной 1 и пусть О — центр этого квадрата. Из центра О проведем отрезок прямой О А, длиной меньшей 1 /2. Пусть а — некоторый угол, несоизмеримый с прямым углом. Повернем в каком-либо направлении отрезок О А на угол а, а затем на углы 2а, За и т. д. (ср. доказательство теоремы 2.) Мы получим таким образом бесконечную последовательность отрезков О А п О А 2, О А а, ... с общей точкой О. Если удалить точку О, то множество всех точек наших отрезков будет конгруэнтно (при повороте на угол а) множеству всех точек отрезков ОАг, ОА-Л, ... (без точки О). Это последнее множество обозначим через Zs, через ZL обозначим множество точек отрезка ОАг без точки О

и, наконец, через Z3— множество всех точек квадрата К (внутренних и периметра), которые останутся после исключения из него множеств Zv и Z^. Очевидно, что К=2.г UZ2UZ3, причем никакие два из множеств Zv Z2 и Z3 не имеют общих точек. Пусть Z^Z^Z^.

Пусть теперь L есть множество, состоящее из всех точек квадрата К и из множества Z5 точек некоторого отрезка ВС с точкой С, но без точки В, расположенного вне квадрата К и равного по длине отрезку OAV Тогда L=Z3U24U26, причем никакие два из множеств Z3, Z4 и Z6 не имеют общих точек. Очевидно, что Z2^Z4, a Z^Z^. Отсюда следует, что K=L, з что доказывает справедливость нашей леммы.

Мы можем теперь перейти к доказательству теоремы 6.

Пусть дан прямоугольный равнобедренный треугольник АВС (рис. 8)

с высотой ВО, равной 1, и, следовательно, с катетами, равными 1^2. Как известно, V^ — Разделим отрезок ВС в точке D на отрезок BD дли

ной 1 и отрезок DC длиной ]/2—1. Разобьем теперь треугольник АВС на

ный по длине отрезку DC,ный по длине отрезку DC,пять множеств, никакие два из которых не ИМ^Т ЛЕПТИТ TnuPW XfUnXtrtir>TDn 7 TnPV® гольник ABO (внутренние точки вместе с периметром), множество Z2 всех точек отрезка ОС без точки О, множество Z3 всех точек отрезка BD без точек В иО, множество Z^ всех точек отрезка DC без точки С и множество Z6 всех внутренних точек треугольника ВОС. Пусть, далее, К есть множество всех точек квадрата ЛЕВО (внутренних и периметра), FG — отрезок, рав-

ный по длине отрезку DC,

ный по длине отрезку DC,

без точки F и лежащий вне квадрата К, Z6 — множество всех точек отрезка FG, за исключением точки F, L= —К U Z6. Повернем множество Z5 около точки В на 270° (против часовой стрелки). Мы получим при этом внутреннюю область треугольника АЕВ.

Поскольку отрезок BD без точек В и D конгруэнтен отрезку ЕВ без точек Е и В, отрезок ОС без точки О конгруэнтен отрезку ЕА без точки А, а множество Z4 конгруэнтно множеству Z6, мы можем легко заключить, что треугольник АВС (внутренние точки вместе с периметром) конгруэнтен при разбиении на пять частей множеству L. Так как по нашей лемме множество L конгруэнтно при разбиении на три части квадрату К, мы, на основании теоремы 8, заключаем, что треугольник АВС конгруэнтен квадрату при разбиении на 15 частей. Тем самым теорема 6 доказана.

Возникает вопрос, ответ на который пока неизвестен: каково наименьшее натуральное число га, при котором прямоугольный равнобедренный треугольник конгруэнтен квадрату при разбиении на га частей?

С. Банахи А. Тарский доказали, что необходимым и достаточным условием для того, чтобы два многоугольника (расположенные на плоскости) были конгруэнтны при конечном разбиении, является равенство их площадей. Заметим, что доказательство необходимости этого условия значительно труднее, чем доказательство его достаточности.

Для многогранников положение совершенно другое. По теореме Банаха й Тарского (доказанной ими с помощью аксиомы выбора), любые два ограниченных многогранника конгруэнтны при конечном разбиении (даже если они имеют разные объемы). Из результата Банаха— Тарского, в частности, следует, что куб конгруэнтен при конечном разбиении кубу, который в два раза больше его по объему, а шар (внутренняя часть вместе с поверхностью) конгруэнтен при конечном разбиении кубу. В то же время мы не знаем, конгруэнтен ди при конечном разбиении круг (внутренняя область вместе с окружностью) квадрату.

Теорема 9. Отрезок прямой конгруэнтен при разбиении на три части некоторой своей правильной части, а именно — этому же отрезку, лишенному одного из концов.

(Рекомендуется сравнить теорему 9 с теоремой 1.)

Доказател ь с т в о. Пусть Z — отрезок прямой, образованный из всех точек прямой с абсциссами >9 и -<1, и пусть а—некоторое иррациональное число, 0 <а< 1. Обозначая через E(f) целую часть действительного числа / (т. е. наибольшее целое число, не превосходящее /), положим при 6=0, 1, 2, ... pfe=ka—E(ka). Очевидно, что все pfe суть действительные числа ^0 и <Д. Пусть Zx означает множество всех точек отрезка Z с абсциссами рк, где 0<^р6<1—a, Z^ — множество всех точек отрезка Z с абсциссами рк, где 1— 2<^рд,<1, и, наконец, 23— множество всех остальных точек отрезка 2, не принадлежащих ни Zv ни 22. Множество 22 является, следовательно, суммой трех множеств Zx, 22, 23, никакие два из которых не имеют общих точек.

Заметим здесь, что неравенство 1—a<jo6 можно заменить на 1—2<р^, так как в случае 1—a=pk=ka—E(ka) было бы (1 + 6)а=£'(6а)-|-1, что невозможно, так как из этого следовало бы, что число а рациональное, вопреки условию. Множество 22 является, следовательно, множеством всех точек отрезка Z с абсциссами рк, где 1—а<рй<1.

Пусть теперь 2' — это множество всех точек, которое мы получим, удаляя из отрезка 2 его начало, т. е. точку с абсциссой 0; 24 — множество всех

точек отрезка 2 с абсциссами рк, где 0<рк<я, и 2а — множество всех точек отрезка 2 с абсциссами рк, где я<^рй<1. Множество 2' есть, очевидно, сумма трех множеств 23, 24 и 25, никакие два из которых не имеют общих точек. Для доказательства того, что 2=2', достаточно, таким образом, доказать, 3

что 22~24 и 21osZ5.

Покажем, что множество 24 конгруэнтно множеству 22 при сдвиге на I—а. Действительно, если точка рй принадлежит 24, то, как мы знаем,0<рй< <а, следовательно, А>0 и 1—а<рй+1—а<1, откуда, вследствие 0<1—а, получаем, что £(рй+1—а)=0, а поскольку

рй+1—а=Аа—£(/га)-}-!—а=(й—1)а—ff&cQ+l, то £[(А—1)а]—£("/zaj)Н-1 =0, откуда pk~hl—«—(А—1)а—£[(А—lJa]=pft_T причем, вследствие А>0, рк>0, рй-!>1—а и точка рй_4 принадлежит множеству 22. Следовательно, любая точка множества 24 при сдвиге на 1—a переходит в точку множества 2а.

Если же рй принадлежит множеству 2а, то 1—а<рй<1, откудаО<рй+ -ba—1<а<1 и £('рй+а—1)=0, а поскольку рк+а—1=Аа—£(Аа)4-а—1 —(A+Ua—E(ka)—1, откуда 0=£[(А+1)а—E(ka)—1 ]=£[('А+1)а]—E(ka)—1, то рй4-а—1 = (А+Оа+ЕцА+1>l=P»+i.

причем, вследствие рй<1, мы имеем рй+1<а, что доказывает, что точка рй+1 принадлежит множеству 24. Следовательно, любая точка множества 22 при сдвиге на a—1 переходит в точку множества 24. Таким образом, мы доказали, что 2а=^24.

Пусть теперь рй есть точка множества Z^ Тогда 0<^рй<1—а, откуда a^P»+a<l и £(рй+а)=0, а поскольку рй4-я=('А+1)а—E(kn), то £I(A+1 )a]=£(Aa), откуда рй+а = (А+1 )а—£[(А+1 »=рй+1 и а<рй+1,что доказывает, что точка рйм принадлежит множеству 25. Следовательно, любая точка множества Zx при сдвиге на я переходит в некоторую точку множества 2S.

Пусть, наконец, рй есть точка множества 25. Тогда а<^рй< 1, что доказывает, что А>0 и O^pi—а<1—а<1, откуда Е(рк —a) =0 и, поскольку рк—а=(А—1)а=£(Аа), получаем £[(А—1)а—£(Аа)]=0, откуда £[( А—1)а] = =Е(ка), азатем рк—a=(k—Ija+EtfA—1)а]=рй_ь откуда 0^рй_£ < 1—я, что доказывает, что точка рб_£ принадлежит множеству Zv Любая точка множества Z5 при сдвиге на —а переходит, следовательно, в точку множества Zv Мы доказали, таким образом, что Z^Z,,.

Теорема 9 доказана. В связи с теоремой 9 отметим, что можно доказать, что отрезок прямой не конгруэнтен при разбиении на две части никакой своей правильной части.

Теорема 10. Множество W всех точек прямой с рациональными абсциссами и множество D всех точек прямой с абсциссами, являющимися конечными десятичными дробями, не конгруэнтны при конечном разбиении.

Доказательство (С. Мазур). Пусть W — Wt (J И7аи ... U №п будет разбиением множества U7 на га множеств. По меньшей мере одно из этих множеств содержит бесконечно много чисел вида -^, где р — простое число. Пусть это будет множество Wv Существуют, следовательно, два простых числа р>5 и q>p такие, что числа ^ и -^ принадлежат множеству U^v Поскольку разность-^- не может быть выражена конечной десятичной дробью, следовательно, множество Wt не может быть конгруэнтно никакой части множества D. Отсюда следует, что соотношение W=D не может иметь

места.

Можно доказать, что любое бесконечное множество точек прямой, плоскости или пространства содержит бесконечное подмножество, с которым оно не конгруэнтно при конечном разбиении.

Теорема 11. Если а и b — два произвольных действительных числа, А — множество всех рациональных чисел, меньших а, и В — множество всех рациональных чисел, больших Ь, то А = В.

Доказательство. Мы можем, очевидно, принять, что а4= Ь, например, а<Ь. Пусть т — такое натуральное число, что т>Ь—а. Обозначим через Q множество всех рациональных чисел w таких, что а^т<Ь,и (обозначая через Q (с) сдвиг множества Q на с) положим

B1=QU Q(—т) и Q(—2m) и Q(—3m) и ...

Множества этой последовательности, как легко видеть, конгруэнтны между собой и никакие два из них не имеют общих точек. Обозначим через В2 множество, полученное из множества В путем удаления из него всех точек множества Bv а через Ал — множество, полученное из множества Вг путем удаления из него всех тех точек, которые принадлежат множеству Q. Тогда

В=ВгиВ2, ВТГ\В2=0, А=А1иВа,

A1(]BZ=O, A^B^C—m^c^Bv

Отсюда немедленно следует, что А=В, и теорема 11 доказана.

2

Из теоремы 11, в частности, следует, что если А есть множество всех рациональных чисел, меньших ]/^ а В — множество всех рациональных чисел, меньших]/!^ то А=В. Заметим здесь, однако, что наши множества 2

А и В не конгруэнтны между собой. Чтобы доказать это, докажем более общую теорему, которая гласит:

Теорема 12. Множества А и В, о которых говорится в теореме II, конгруэнтны между собой тогда и только тогда, когда b — а есть рациональное число.

Доказательство. Достаточность условия очевидна. Для доказательства его необходимости допустим, что число b — а является иррациональным. Множества Л и В не могут, очевидно, быть конгруэнтными при повороте прямой около какой-либо ее точки. Следовательно, если они конгруэнтны, то это возможно только при сдвиге, и существует действительное число с такое, что А(с)=В, откуда Л=В(—с), причем, очевидно, числос должно быть больше 0. Если бы былос< b — а, йз чего следовало бы а+с<6, то существовало бы рациональное число w такое, что a-\-c<w<b, и число да не принадлежало бы множеству А(с)=В, вопреки тому, что да< Ь. Если же было бы с">Ь—а, т. е. а-^с>Ь, то существовало бы рациональное число w такое, что a-\-c>w>b, и число принадлежало бы множеству А (с) и не принадлежало множеству В, вопреки тому, что А (с)—В. Следовательно, должно быть с=Ь— а. Пусть да—рациональное число, принадлежащее множеству А. Число to1=w-Vc=wA-b—а принадлежит в таком случае множеству А(с)=В и потому является рациональным, откуда следует, что и число b — а=да1 — да рационально, что доказывает необходимость нашего условия. Таким образом, теорема 12 доказана.

Следствие. Множество А всех рациональных чисел, меньших V2, и множество В всех рациональных чисел, меньших^З, не конгруэнтны.

Доказательство. Как следует из теоремы 12, в этом случае достаточно доказать, что число V"3 —V^ — иррациональное. Это действительно так, потому что если бы число да=]/3—^2 было рациональным, то рациональным было бы и число да2=5—2J/6, а следовательно, и число ]/б^ которое, как известно, иррационально. Тем самым следствие доказано.

Теперь может быть доказана

Теорема 13. Если А есть множество всех рациональных чисел, меньших )/2, а В — множество всех рациональных чисел, больших ^2, то множества А и В не конгруэнтны, но конгруэнтны при разбиении на две части.

Доказательство. Поскольку неравенство да>)/2 равносильно неравенству —да<—1^2, то множество В конгруэнтно при повороте вокруг точки с абсциссой 0 множеству С всех рациональных чисел, меньших —V2. которое, в силу теоремы 11, конгруэнтно при разбиении на две части множеству А. Ввиду В а: С имеем, следовательно, также А = В. Напротив, A=sB 2

невозможно, так как при этом было бы А=:С и из определения множества А и С по теореме 12, следовало бы, что число ]/2—(—}/2)=2]Л2 является рациональным, что неверно. Теорема 13 доказана.

Заметим, что теоремы 11 и 12 сохраняют силу, если в их условиях слово «рациональные» заменить словом «иррациональные». Доказательство измененной таким образом теоремы 11 остается прежним, а доказательство измененной теоремы 12 нужно было бы несколько видоизменить.

Теорема 14. Если А — множество всех квадратов натуральных чисел, а В — множество всех квадратов натуральных чисел, больших 1, то множества А и В не конгруэнтны при конечном разбиении.

Доказательство. Допустим, что множества А и В конгруэнтны при конечном разбиении. В таком случае должно существовать натуральное число п и множества A v А2,..., А„ и В^ В2,..., В„, удовлетворяющие условиям Iе, 2° и 3е. Допустим, что Аб— тот элемент последовательности Iе, который является бесконечным множеством. Поскольку Аб есть бесконечное множество натуральных чисел, так же как и В*, то Аб не может быть конгруэнтным Вб при повороте. По 3° множество Аб должно быть конгруэнтно множеству Вб при сдвиге, скажем, на а. Допустим, что афО. Пусть р есть произвольная точка множества Аб- Тогда точка р24-а будет принадлежать множеству Вб и, следовательно, будет существовать натуральное число q Такое, что pa4-a=qa, откуда (p+q) (р—q)=pa—q2=—а. Так как p=(=q (ибо а=0), |р—q\ > 1, то p+q |а| и тем более р ^ |а|. Множество Аб содержало бы, следовательно, не более чем |а| точек, вопреки тому, что оно бесконечно. Поэтому должно быть а=0, откуда следует Д* — В*.

Мы доказали, таким образом, что для любого бесконечного элемента Аб имеет место Аб =Вб. Если среди множеств Де (где fe=l, 2, ..., га) множества Д1Г Д2, ..., Д$ являются Конечными, а множества Д,+1, Д5+а, .... Д„— бесконечными, то, обозначая 5=Д$+1 и А$+г U .. ., U Ап, мы будем, на основании 1°, иметь Д=ДгиД2и•-• iMsUS и B=B1uBaU--UB,US. Из этих выражений следует, что поскольку множество А получают из множества В, присоединяя к нему точку 1, то множество A^^aU- - UA, получают из множества Вги B2U •••Bs, добавляя к нему точку 1. Множество (конечное) AIUA2U“-UA5 имеет, следовательно, на один элемент больше, чем множество Вх U Вг (J В,. Но по 2° и 3° эти множества должны иметь одно и то же число элементов, что приводит к противоречию.

Множества Д и В, таким образом, не конгруэнтны при конечном разбиении, и теорема 14 доказана.

Приведем здесь без доказательств еще несколько утверждений о конгруэнтности множеств при конечном разбиении, доказательства которых имеются в цитированной в конце § 2 моей книге, изданной в Индии.

Отрезок прямой не конгруэнтен при конечном разбиении никакому меньшему отрезку. Аналогично квадрат (внутренняя область вместе с периметром) не конгруэнтен при конечном разбиении меньшему квадрату. В то же время (как это доказали с помощью аксиомы выбора С. Б а н а х и А. Т а р- с к и й) куб (внутренняя область вместе с поверхностью) конгруэнтен при конечном разбиении любому другому кубу1.

Р. М. Робинсон (R. М. Robinson) доказал2, что поверхность сфе-

ры 5 является суммой двух частей, не имеющих общих точек, каждая из которых конгруэнтна S при разбиении на две части.

Этот же автор доказал, что шар К (внутренняя область вместе с поверхностью) является суммой двух множеств, не имеющих общих точек, К=21и22, где Z^K, a Za=K. Отсюда следует утверждение (доказанное 2з

уже в 1924 г. С. Банахом и А. Тарским), что шар конгруэнтен при конечном разбиении двум шарам того же, что и он, размера, не имеющим общих точек.

Можно доказать, что если множество 2 содержит множество В и содержится в множестве А и если А = В, то 2=А. пп+1

Д. Кёниг (D. Konig) и С. В а л ь к о (S. V а 1 к б) доказали, что если для некоторого натурального числа n AtU АаЦ ... (JA„ ^BjUBaU-.. U5«. где никакие два из множеств Av Аа, ..., Ап, а также никакие два из множеств Bv Вг, ..., В„не имеют общих элементов, несли Ад ~Аги Вь ^Вг при А=1, 2, ..., п, то Аг= Bv Доказательство является трудным уже для га=2 и для п=3. Доказательство для га=2 нашел К. Куратовски й.

А. Л и н ден ба у м (A. Lindenbaum) высказал без доказательства следующее утверждение:

Если для натурального числа п множества А и В конгруэнтны и имеют менее _^fl+lL общих точек, то А — В= В — А (через А — В обозначается множество всех тех точек множества А, которые не принадлежат множеству В). В этом утверждении число —— нельзя заменить никаким большим натуральным числом.

Доказательства этих утверждений приведены в моей книге, изданной в Индии, на стр. 110—113 (теоремы 32 и 33).

Вспомним здесь еще о проблеме разбиения квадрата на неповторяющиеся квадраты. Речь идет о том, можно ли представить квадрат в виде суммы конечного числа (>1) квадратов, не имеющих общих внутренних точек, из которых никакие два не равновелики между собой. Некоторое время предполагали, что такие разбиения не существуют, позже было найдено несколько разбиений. Квадрат со стороной 175 можно разбить на 24 квадрата, стороны которых соответственно равны 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 14, 16, 18,

20, 29, 30, 31, 33, 35, 38, 39, 43, 51, 55, 56, 64, 81. Неизвестно, можно ли разбить квадрат на менее чем 24 различных квадрата. Неизвестно также, для каких натуральных чисел п квадрат можно разбить на п различных квадратов. Известно лишь, что может быть здесь п —24, 26, 28 и что число п может быть сколь угодно велико. Легко доказать, что если квадрат можно разбить на п различных квадратов, то его можно разбить и на 2л — 1 таких квадратов.

4. Преобразования сжатия

Конгруэнтность множеств является, как мы уже знаем, изометрическим преобразованием одного из этих множеств в другое, т. е. преобразованием, сохраняющим расстояния.

Взаимно однозначное преобразование множества А в множество В такое, что если а, и а4— произвольные различные точки множества А, а Ьг и 62 — соответствующие им точки множества В, то расстояние между точками bt и Ьг меньше, чем расстояние между точками ах и а2, называют преобразованием сжатия. В этом случае говорят также, что множество В метрически меньше, чем множество А. Легко заметить, что если К — данный квадрат, a Ki — квадрат меньших размеров, то существует преобразование сжатия квадрата Л в квадрат /Ci- Множество Z всех точек прямой метрически меньше самого себя. В качестве функции /, взаимно однозначно преобразующей множество Z в себя, достаточно взять функцию /(х)=2х.

Можно доказать, что этот парадокс не имеет места для ограниченных точечных множеств8.

Говорят, что множество В меньше множества А при конечном разбиении, если существуют натуральное число п и разбиения, для которых выполняются условия 1° и 2°; причем при 6=1, 2, .... п множество Вк метрически меньше множества Аь.

Дж. фон Нейман (J. von Neuman и) с помощью аксиомы выбора доказал парадоксальное утверждение, что отрезок прямой при конечном разбиении меньше отрезка, имеющего меньшую, чем он, длину. Можно также (с помощью аксиомы выбора) доказать, что круг (внутренняя область вместе с окружностью) при конечном разбиении меньше произвольного данного круга.

ОГЛАВЛЕНИЕ

От издательства ...,.,,...,.,,.,,....3

От редакции польского издания ........ .4

Глава I. О множествах и их свойствах

1. Понятие множества . , 2. Равенство множеств . . 3. Собственные подмножества

Пустое множество ...... Конечные множества . . , . Равночисленные множества , . Взаимно однозначное соответствие

Равномощные множества ......... 9. Счетные множества

Сумма множеств ............

Несчетные множества ....... . . .

Континуум-гипотеза . ...........

Непересекающиеся множества .......

Сравнение мощностей бесконечных множеств . * .

Аксиома выбора ..*•......,,

Алгебра множеств ............

Упорядоченные множества .........

Подобные упорядоченные множества . . . . .

Плотные упорядоченные множества. Сечения. Щели

Заполнение щелей

5

6

7

8

9

10

Вполне упорядоченные множества . .

Принцип трансфинитной индукции . .

Принцип математической индукции

Функции

Декартово произведение«..«.

Метрические пространства....•

Евклидовы пространства ......

Борелевские множества ......

22S2^S | Й ^ Й I м I й S » й

6 66 Й^Й I 9 g6 66 Й^Й I 9 g5959

6 66 Й^Й I 9 g

6 66 Й^Й I 9 g

59

59

Открытые и замкнутые множества

Производное множество и замыкание множества ........

ТОПОЛОГИЯ ......

Односторонние поверхности . . . . . . . ...... .

Проблема четырех красок

Литература по теории множеств и топологии.........

Глава П. О конгруэнтности миожеста. Конгруэнтность множеств при конечном разбиении

Конгруэнтность множеств ...............

Движения множеств

Конгруэнтность множеств при конечном разбиении .... . . .

Преобразования сжатия .............. *

Вацлав Серпинский

О ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Редактор Ю. ГастевХудожественный редактор В. РывчинТехнический редактор О. ВиноградоваКорректор Н. П. Кононова

Сдано в набор 5/Х 1965 г. Подписано к печати 4/IV 1966 г. 70 x 90Vi6. Печ. л. 4 (4,68). Уч.-изд. л. 3,64. Тираж 52000 экз. (пл. 1966 р. № 157). А 12034

Издательство «Просвещение» Комнтета попечати при Совете Министров РСФСРМосква, 3-й проезд Марьиной рощи, 41

Ярославский полиграфкомбинат Главполи- графпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР Ярославль, ул. Свободы, 97 № заказа 773 Цена 12 коп.

в 1966—1967гг. В СЕРИИ «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОСВЕЩЕНИЕ» ВЫЙДУТ СЛЕДУЮЩИЕ КНИГИ:

Л. С. КРОНРОД. Беседы о программировании.

Живое и увлекательное обсуждение актуальных и острых проблем программирования и перспектив развития электронных вычислительных машин. Круг читателей — студенты педагогических институтов и университетов, учителя, программисты и все лица, обучающие, обучающиеся нли хотя бы интересующиеся программированием.

Р. КУРАНТ и Г. РОББИНС. Что такое математика? 2-е издание.

Исправленное и несколько дополненное переиздание широко известной книги, первое русское издание которой (1947 г.) давно стало библиографической редкостью.

Р. Р. СТОЛЛ. Множества, логика, аксиоматические теории.

Систематическое и строгое, но достаточно элементарное и не требующее никаких предварительных знаний изложение важнейших идей, методов и результатов математической логики и аксиоматических оснований математики, а также примыкающих к ним вопросов алгебры множеств и теории булевых алгебр. Рассчитано на учителей средней школы, студентов и лиц различных специальностей, интересующихся математической логикой и ее приложениями. Может использоваться в качестве учебного пособии при систематическом преподавании и для самообразования.

1 О приоритете Декарта см.: F г ё с h е t М., Fan Ку. Introduction a la Topologic Combinatoire, 1, Parts, 1946, стр. 25, и книги, цитируемые там же в сноске Ч

256—259. [В русском переводе, сделанном с первого польского издания (Г. Штейн-

3 Fundamenta Mathematicae, т. 34(1947), стр. 254. (См. также Moszner Z., О paradoksalnym rozkladzie kali, Matematyka, 1964, № 4, стр. 149—153.— ПерееД

2Hadwiger Н., Debrunner Н., Kombinatorische Geometrie in der Ebene, Monographies de I'Enseignement Math£matique, N 2, Женева, 1960, стр. 92.

Sur la congruence des ensembles et ses generalisations, в Commentarii Mathematici Hei-

oetici, 19 (1946—1947), стр. 223»

Математическое просвещение

ВАЦЛАВ СЕРПИНСКИЙ О теории множеств

Перевод в польского

3. 3. РаЧиНвКОг О^-В^^^е-еееее-е1е^—ggg^^^„ggggg

И 3 Д А Т Е Л Ь С Т В О «ПРОСВЕЩЕНИЕ» Москва 19 6 6

WACLAW SIERP1NSKI

О TEORII MNOGOSCI

Wyhrane zagadnieniadla szkol srednich

WARSZAWA

PARSTWOWE zaklady wydawntctw szkolntch