Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
На олимпиадах для школьников по математике часто предлагаются неравенства, доказательство которых лучше выявляет способности и возможности учащихся, степень их интеллектуального развития. Эта книга призвана научить учащихся методам доказательства неравенств.
Методы доказательства неравенств многочисленны и разнообразны. В каждом параграфе книги приводится один метод доказательства неравенств или доказательство неравенств какого-нибудь раздела математики. В книгу включены методы, использующие соотношения между средними арифметическими, геометрическими, гармоническими и квадратичными, методы математической индукции и замены переменных, методы, использующие неравенства Коши-Буняковского, Йенсена, Чебышева, свойства функций и т. д. Эти методы позволяют не только доказывать разнообразные неравенства, но и решать некоторые задачи, связанные с неравенствами. Для пояснения каждого метода доказательства приводятся примеры и упражнения, которые снабжены решениями или указаниями. В конце каждого параграфа даются упражнения для самостоятельного решения.
В § 14 (Различные неравенства) помещены неравенства, для доказательства которых используются методы, которые не освещены в предыдущих параграфах, или же при их доказательстве используется одновременно несколько методов.
Книгу завершает параграф “Сто избранных неравенств”, при доказательстве которых выбор метода предоставляется читателю.
В каждом параграфе мы старались расположить неравенства по сходству доказательств и возрастанию сложности, что позволит читателю самостоятельно доказывать эти неравенства и только при возникновении трудностей обращаться к приведенным доказательствам. Советуем при использовании решений, приведенных в книге, больше внимания уделять выбору метода доказательства.
В книге использованы неравенства, предлагавшиеся на математических олимпиадах ряда стран, однако приведенные здесь решения существенно отличаются от авторских. Было сочтено целесообразным решения задач поместить в конце того же параграфа.
На составителей книги оказали большое влияние статьи Л.Д. Кур- ляндчика с соавторами, посвященные неравенствам. Авторам этих статей составители приносят свою благодарность авторам этих статей.
Авторы выражают благодарность Г.В. Григоряну за помощь в подготовке рукописи книги к изданию на русском языке.
§ 1. простейшие неравенства
В курсе алгебры средней школы подробно описаны те основные свойства неравенств, которые необходимы для доказательства простейших неравенств. Учитывая то, что читатель знаком с этими свойствами, из большого числа простейших неравенств ниже приводятся те, которые в дальнейшем будут использованы при доказательстве более сложных неравенств.
УПРАЖНЕНИЯ
Докажите следующие неравенства.
а2 + 62 > 2аЬ.
а ^^y/ab, где а, b 0.
/—2
ab ^ --, где а, b > 0.
а b
а + 62,
-—— >где а, b > 0.
2 - + - а b
а2 + 62/ а + Ь<2
Ев..
а + b > 1 + ab, где а > 1, b < 1.
а2 + Ь2 > с2 + (а + b — с)2, где а > с, b < с.
а)2, где ab > 0; б)—2, где ab < 0.
О CtО Ct
Ж1 ^ < жп, где Ж1 ^ Ж2 С ... С жп.
п
.. Ж1 .Ж1 + Ж2 + . . . + жп . ЖпЖ1 Ж2 ,/ОСтг
— < < —,где —< — <. . . <—
2/11/1 + 1/2 + . . . + 1/п Уп1/11/21/п
И У1.У2, • • • , Уп > 0.
Ж1 < V^1^2 • • .хп ^ хп, где 0 с Ж1 С ж2 < • • • < хп, п 2.
|di| + |а2| + • . • + |an| ^ |ai + tt2 + . . . + ап\.
^ ^^р, где аъ а2, . . • , ап >
п — + — + ... + —
«1«2ап
> О.
(а + b) ^Jа ^ ^ > а у/b + b у/а, где а, b > 0.
- (а + Ь) + - > J —, где а, 6 > 0.
а (х + у — а) ^ ху^ где ж < а, у а.
——- Н—- > —, где х > 1.
х - 1 х + 1 х'
1Л9‘ зГ+1 + ЗА + 2 + зГ+3 > 2^ + 1 + 2^ + 2’ ГДе к € N
1.20.1.20.ab /(1 - а) (1 - 6)о — ——9, где 0 < аab /(1 - а) (1 - 6)о — ——9, где 0 < аb ^b ^12'12'
1.20.
1.20.
ab /(1 - а) (1 - 6)
о — ——9, где 0 < а
ab /(1 - а) (1 - 6)
о — ——9, где 0 < а
b ^
b ^
1
2'
1
2'
1-21.,•, „ < ,, где к е N
V3& + 1 2к + 2V3^+4
2" 1 ^ п, где n € N.
1212412461001
1 23III- -I. _ . _ ...
■ '33 53 5 7357101103
1„. xl-al-bab1
a) + < т + “’ гДе ° < а, 6 < oi
7 1 — о 1 — aba2
521^7 52 ^ _52 "^ ^La^ гДе 0 < ai,...,an < -.
1 = 11 = 11 = 11 = 1
РЕШЕНИЯ
). а? + Ь2 - 2аЬ = (а - bf ^ 0.
Доказательство аналогично доказательству 1.1: а + b — 2 л/ab = (л/а — л/b )2 > 0.
Умножая обе части неравенства 1.2 на 2 ——-, получим данное неравенство.
Из известного неравенства 2аЬ ^ а2 + Ь2 (упр. 1.1) получим эквивалентное неравенство а2 + b2 + 2аЬ ^ 2а2 + 2b2, откуда сле- (а + b) а +оf а-\-/ а + b
; отсюда следует —-; отсюда следует —-дует неравенство -——, или ( —-— )—, которое
; отсюда следует —-
; отсюда следует —-
I а + b можно переписать в виде —-—
. ,2 а + b
’
Данное неравенство получается из неравенств упр. 1.2 и 1.3.
См. решение упр. 1.4.
Используя тождество а + b — 1 — ab = (а — 1) (1 — Ь) и условия а > 1, b < 1, нетрудно заметить, что (а — 1) (1 — 6) > 0.
Оценим разность левой и правой частей неравенства:
а2 + Ь2 — с2 — (а + b — с)2 = (а2 — с2) — ((а + b — с)2 — Ь2) = = (а — с) (а + с) — (а — с) (а + 2Ь — с) = 2 (а — с) (с — Ь) > 0, так как согласно условию а > с, b < с.
а) Умножая обе части неравенства на число ab > 0, получим очевидное неравенство а2 + b2 2аЬ.
Поделив обе части неравенства а2 + b2 ^ —2аЬ на число ab < 0, получим необходимое неравенство.
Поскольку согласно условию жх ^ жх, х^, . . . , хп ^ хп, то пжх ^ хх + ж2 + . . . + хп ^ пхп, откуда следует, что
. Хх 4- Ж2 + • • • + Хп
Ж1 < < хп.
п
Из заданных условий получаем, что
Хх ,. Хп..
Ui — < х{ ^ yi —г = 1, . . . , п.
УтУп
Складывая эти неравенства, получаем — (ух + . . . + Уп) жх + . . .
. . . + Хп с ^ (ух + . . . + Уп), откуда следует, что
Хх < Хх —Н • • • 4" Хп < Хп
У1 У1 + . . . + Уп Уп*
Имеем хх С х^ ^ хп (i = 1, • • • , п, п ^ 2). Перемножая эти неравенства, получим х^ хх • х^ • • • • • хп ж^, откуда получаем
Ж1 ^ лУХх * Х^ * . . . * Хп ^ Жп •
Если ах + . . . + ап ^ 0, то |«i + . . . + an| = «1 + ... + ап. Используя неравенство а ^ |а|, получаем
|di + . . . + ап\ = ах + • . • + ап ^ |di| + . . . + |ап|.
Если ах + . . . + ан < 0, то |di + . . . + ап| = —ах — ... — ап. Используя неравенство —а ^ |а|, получаем
|di + . . . + а^ = — ах — . . . — ап С |&1| + • • • + |ап|.
Поскольку
п(п —1)/2 слагаемых
то, используя упр. 1.9, а), получим
(di + ... + ап) (п + 2 •- = п ,
Vaiап/2
откуда следует данное неравенство.
Данное неравенство эквивалентно неравенству
/. а + bVa^r Vb
которое получается перемножением неравенств а + b ^ 2 y/ab (упр. 1.2)
а + 6+ Vb /л
и —2—~—2—"— (котоРое следует из упр. 1.о).
Имеем
a + b 1 \
V~“2) >0’
/।। 1 \а-\-Ь
следовательно, - (а + о) + -у —-—•
Поскольку а (х + у — а) — ху = ах-ху-\-а (у — а) = (у — а) х х (а — ж) и у ^ а ^ х^ то (у — а) (а — ж) ^ 0, откуда получаем
а (х + у — а) ^ ху.
Воспользовавшись неравенством упр. 1.5, получим
ж — 1 ж + 1 .
(ж - 1) + (ж + 1) ’
илиили11ж — 1 Ж + 111ж — 1 Ж + 12ж'2ж'Согласно неравенству из упр. 1.18 имеем
или
или
11
ж — 1 Ж + 1
11
ж — 1 Ж + 1
2
ж'
2
ж'
11_11^2
ЗА: + 1 + ЗА: + 3 - (ЗА: + 2) - 1 + (ЗА: + 2) + 1 > ЗА: + 2 ’ следовательно,
111
3ЗА: + 2’3ЗА: + 2’„31еперь докажем, что —-Лк + 2„31еперь докажем, что —-Лк + 2+-. Действительно,1к + 2+-. Действительно,1к + 2ЗА: + 1 + ЗА: + 2 + ЗА? + 3
3
ЗА: + 2’
3
ЗА: + 2’
„3
1еперь докажем, что —-
Лк + 2
„3
1еперь докажем, что —-
Лк + 2
+-. Действительно,
1к + 2
+-. Действительно,
1к + 2
2А: + 1 + 2А: + 2 ЗА: + 2(2А: + 1) (2А: + 2) (ЗА: + 2)
Данное неравенство эквивалентно неравенству
Поскольку
/1Л /11\/ 21V- 11144 -
\а/\Ь/\аЛ-Ь / abа b^а 4-6)2 а-V b
_ 144 а + b _ (а — Ь)2 (а — Ь)2 _
ab (а + ь)2 а + 6 ab ab (а + b)2 ab (а + Ь)
= (a-bf(l-(a^b))1
ab (а + b)2'’2 ’
(а - b)2 (1 - (а + Ь))
то ^ 0, следовательно, ab (а + Ь)
Данное неравенство эквивалентно неравенству (2А; + 1) УзГ+4 < (2А; + 2) V^k + 1,
или неравенству
(2А: + I)2 (ЗА: + 4) < (2А: + 2)2 (ЗА: + 1). Последнее неравенство справедливо, так как
^к + 2)2 (ЗА: + 1) - (2А: + I)2 (ЗА: + 4) = к > 0.
Поскольку 1<2<22<...<2п1и количество нату
ральных чисел 1, 2, 22, . . . , 2П 1 равно п, то 2п 1 ^ п.
Пусть у зайца имеется одна морковь. В первый день он съедает | моркови, во второй день — | оставшейся части, на 51-й день — ^^ оставшейся части. Так как каждый день обязательно остается морковь, то сумма частей моркови, съеденных зайцем, должна быть
меньше единицы.
ююВ первый день заяц съел - моркови, во второй день —
ю
ю
часть, на 51-йчасть, на 51-й45451001011001011 \^^ 1-ю часть, что означает, что1 \^^ 1-ю часть, что означает, что
часть, на 51-й
часть, на 51-й
4
5
4
5
100
101
100
101
1 \
^^ 1-ю часть, что означает, что
1 \
^^ 1-ю часть, что означает, что
98 100199 * 101 * 10398 100199 * 101 * 10312 12 4 12 4
98 1001
99 * 101 * 103
98 1001
99 * 101 * 103
3 + з’5 + з’5’7 + '” + з’5
а) Воспользовавшись неравенством из упр. 1.20, получим ((1 — а) + (1 — b))2(а + b)21 — a\bab
(1 — а)(1 — 6)ab1-bl-a^ba'
Второе решение. Заметим, что 1 — а ^ а и 1 - Ь ^ Ь. следовательно,
1 - a1-b _ (1 - а)2 + (1 - Ь)2 _
1 — b1 — а (1 — а)(1 — Ь)
= ((1 - а) - (1 - 6))2 + 2(1 - а)(1 - 6) (а - 6)2 (1-а)(1-6)(1_а)(1_6)+-
(а - Ь)2 а6
ab+6а’
— а1 — bаb
поэтому - + С т + -.
1 — b1 — аbа
Поскольку
г = 1г = 1
/1 e,i 102 \/1 ап_11 ап \
— I 1И )+...+ [ —h ) + п,
\ 1(Z21 tti /\ 1 ап 1ап-i /
п(гг —1)/2 слагаемых
то, используя неравенство из упр. 1.24, а), получим
п(п —1)/2 слагаемыхп(п —1)/2 слагаемых
п(п —1)/2 слагаемых
п(п —1)/2 слагаемых
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Докажите следующие неравенства.
|ж - у| < |1 - жу|, где |ж|,|у|<1.
223.3.sin ж — 11 > 2 — sin ж
2
2
3.
3.
sin ж — 223 — sin ж
n bc222
Н1? ^ - + т, где а^с > 0. оссааоаос
111197 99„
—h < ——. где а + о + с = - и а. о. с > 0.
а о с аос3
3(1 + а2 + а4) > (1 + а + а2)2.
(ас + bd)2 + (ad — be)2 144, где а + b = 4, с + d = 6.
ж2 + Ж2 + • • • + $2п + па2, ^ а V^ (Ж1 + ж2 + • . • + Ж2п).
8.8.1 + 1 + 1 < а + b b + с а + с1 + 1 + 1 < а + b b + с а + сVa + Vb + \/с2 л/abcVa + Vb + \/с2 л/abc, где а^ с > 0., где а^ с > 0.
8.
8.
1 + 1 + 1 < а + b b + с а + с
1 + 1 + 1 < а + b b + с а + с
Va + Vb + \/с2 л/abc
Va + Vb + \/с2 л/abc
, где а^ с > 0.
, где а^ с > 0.
а3 (Ь2 — с2) + Ь3 (с2 — а2) + с3 (а2 — Ь2) < 0, где 0 < а < b < с.
10. а3Ь + Ь3е + е3а ^ а2Ь2 + Ь2с2 + а2с2, где а ^ b ^ с > 0.10. а3Ь + Ь3е + е3а ^ а2Ь2 + Ь2с2 + а2с2, где а ^ b ^ с > 0.
10. а3Ь + Ь3е + е3а ^ а2Ь2 + Ь2с2 + а2с2, где а ^ b ^ с > 0.
10. а3Ь + Ь3е + е3а ^ а2Ь2 + Ь2с2 + а2с2, где а ^ b ^ с > 0.
a) tg2 (а — Д)——, где tga = ntg^, n > 0.
б) 1 + cos (а — Д) > cos а + cos Д, где 0 < а, Д С ^-.
. .[2ж] [Зж] [4ж][5ж]г п
[5ж] > [ж] +где [а] — целая часть
числа а.
(п!)2 ^nn, пЕ N.
ж6 + ж5 + 4ж4 — 12ж3 + 4ж2 + ж + 1 > 0.
1g2 а lg/31g7, где а,/3,7 > 1, а2 > /З7.
log4 5 + log5 6 + log6 7 + log7 8 > 4,4.
19.19.123 + 3^5123 + 3^5пп3 • 5 • . . . • (2n + 1)3 • 5 • . . . • (2n + 1)5’ ГДе5’ ГДеп е N.п е N.,3,33320.20.23 — 123 — 1З3 - 1З3 - 1п3 - 1п3 - 132’ ГДе32’ ГДепп2,2,п е N.п е N.21.21.гдегдеппЕ N.Е N.23.23.24.24.12121113 + 4 " 51113 + 4 " 5гдегде12’12’ппгдегде112, п Е N.2, п Е N.112999 + 1000 < 5’112999 + 1000 < 5’25. (sin ж + 2 cos 2ж) (2 sin 2ж — cos ж)25. (sin ж + 2 cos 2ж) (2 sin 2ж — cos ж)4,5.4,5.26. а) -^±126. а) -^±1ааь1 + 6’ь1 + 6’гдегдеа+ьV2 + а + 6а+ьV2 + а + 6а, 6 > 0;а, 6 > 0;ат + biат + biап 4" Ь,ап 4" Ь,&п&п+ Ьп + 2+ Ьп + 211«1«11bii1bii11апап1bi1bi—+ —+ 2 ai b^—+ —+ 2 ai b^— + — + 2 ап bin— + — + 2 ап bin2п,2п,где 21,. . . , гп — некоторая перестановкагде 21,. . . , гп — некоторая перестановкаг = 1,.г = 1,.чисел 1,. . ., п,чисел 1,. . ., п,0,0,п.п.
19.
19.
12
3 + 3^5
12
3 + 3^5
п
п
3 • 5 • . . . • (2n + 1)
3 • 5 • . . . • (2n + 1)
5’ ГДе
5’ ГДе
п е N.
п е N.
,3
,3
3
3
20.
20.
23 — 1
23 — 1
З3 - 1
З3 - 1
п3 - 1
п3 - 1
3
2’ ГДе
3
2’ ГДе
п
п
2,
2,
п е N.
п е N.
21.
21.
где
где
п
п
Е N.
Е N.
23.
23.
24.
24.
1
2
1
2
111
3 + 4 " 5
111
3 + 4 " 5
где
где
1
2’
1
2’
п
п
где
где
1
1
2, п Е N.
2, п Е N.
112
999 + 1000 < 5’
112
999 + 1000 < 5’
25. (sin ж + 2 cos 2ж) (2 sin 2ж — cos ж)
25. (sin ж + 2 cos 2ж) (2 sin 2ж — cos ж)
4,5.
4,5.
26. а) -^±1
26. а) -^±1
а
а
ь
1 + 6’
ь
1 + 6’
где
где
а+ь
V2 + а + 6
а+ь
V2 + а + 6
а, 6 > 0;
а, 6 > 0;
ат + bi
ат + bi
ап 4" Ь,
ап 4" Ь,
&п
&п
+ Ьп + 2
+ Ьп + 2
1
1
«1
«1
1
bii
1
bii
1
1
ап
ап
1
bi
1
bi
—+ —+ 2 ai b^
—+ —+ 2 ai b^
— + — + 2 ап bin
— + — + 2 ап bin
2п,
2п,
где 21,. . . , гп — некоторая перестановка
где 21,. . . , гп — некоторая перестановка
г = 1,.
г = 1,.
чисел 1,. . ., п,
чисел 1,. . ., п,
0,
0,
п.
п.
2 v^ < 2 2^ ^, где ^ > О (г = 1, . . . , п).
г=1гг = 1
11141111,,
- + - + -<—, где - + т + - < 1, a, b, с Е N. аbс42’а b с
— > 2, где ж, у^ z > 0.
у + Z х + Z х + у ’
1 < -L+ 7—-—7 +—7 < 2, где а > О,
а + b + d а + b + с b + с + d а + с + d
6 > 0, с > 0, d > 0.
31.31.а + b > с + d, где а, 6, с, d ^ | и а? + b > с2 + d, а + b2 > с + d2.
31.
31.
Указание. Если a A- b ^ с A- d^ то а ^ с или b С d. Когда а ^ с,
b — d > (с — а)(с + а) ^ с — а.
Найдите минимальное значение выражения
4 I 42 I 21
аоаоао
4 — 772'7'7’
оаоаоа
где а, b > 0.
Если 0 < a^b^c < 1, то одно из чисел (1 — a) 7 (1 — 6) с, (1 — с) а не больше ^.
Пусть а^Ъ^ с > 0 и а + b + с = 1. Докажите, что:
у^а + ^ (6 - с)2 + ^6 + ^ (с - а)2 + ^с + ^ (6 - а)2 С 2;
у^а + ^ (6 — с)2 + л/b + л/с < ^/З.
Указание, a) d х +С х А—, если ж, у^ z > 0
иж + 7/ + г = 1.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА ШТУРМА
Метод, предложенный немецким математиком Р. Штурмом, кроме различных приложений дает возможность провести оценку неравенств при наличии определенных условий. С помощью этого метода можно доказать ряд неравенств.
Пример 2.1. Доказать, что если произведение положительных чисел Ж1;Ж2, . . . , хп равно 1, то хх + х^ + • • • + хп п.
Доказательство. Если хх = х^ = . . . = хп = 1, то хх + + Х2 + • • • + Хп = П.
Пусть среди рассматриваемых чисел есть хотя бы два не равных друг другу. Тогда среди чисел жх, х^. . . , хп найдутся два таких числа, одно из которых будет больше 1, а другое меньше (упр. 1.12). Пусть это числа хх и Ж2, причем хх < 1, х^ > 1. Заметим, что хх + х^ > 1 + ххх^ (упр. 1.7).
Таким образом, если заданные числа заменим числами 1, ххх^^ жз,. . . , жп, то их произведение опять будет равно 1, а сумма
1 + жхж2 + ж3 + . . . + жп < Ж1 + ж2 + . . . + хп.
Действуя с полученными числами 1, жхЖ2, жз, . . . , жп аналогичным образом, получим новую последовательность, в которой будут равны 1 уже два члена. Действуя так же самое большее п — 1 раз, получим последовательность, в которой п — 1 членов равны 1, а n-й член равен Ж1 . . . жп, т. е. опять равен 1.
Таким образом, получили, что п < хх + ж2 + • • • + хп.
Из доказательства видно, что рассматриваемое неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда хх = ж2 = . . . = хп = 1.
Пример 2.2. Доказать, что если сумма чисел жх,. . . , жп равна 1, то ж? + . . . +> —.
Доказательство. Если хх = • • • = хп = —, то п
х^ + . . . + ж^ = -.
Пусть среди рассматриваемых чисел есть хотя бы два не равных друг другу. Среди этих чисел найдутся два таких числа, одно из которых будет больше —, а другое меньше — (упр. 1.10). Пусть это числа 11 m<1
жх и Ж2, причем Ж1 < — и Ж2 > —• 1аким образом, заменяя хх на —, ппп
1
а ж2 на жх + ж2, получаем новую последовательность чисел
11
Ж1 + ж2, ж3, . . . , жп, пп
сумма которых снова равна 1, а так как
Ж1 + Ж2 > ( — ) + ( Ж1 + ж2)
(упр. 1.8), то
/ 1 \ 2/1 \ 2
। 21 \1 \ , 2 ,,2
жх + Ж2 + . . . + жп >+ I Ж1 + ж2 - - ) + ж3 + ...+ жп.
Повторяя эти действия конечное число раз, получим последовательность, все члены которой будут равны —, а сумма их квадратов будет меньше суммы квадратов заданных чисел жх,. . . , жп, т. е.
Из приведенного доказательства видно, что рассматриваемое неравенство превращается в равенство в том и только том случае, когда 1
Ж1 — • . • — жп —.
УПРАЖНЕНИЯ
Докажите неравенства 2.1-2.6.
Ж1Ж 72,п /„
> V^i--^, где Ж1,...,жп>0. пv
22/ Ж1 + . . . + Ж^ > Ж1 + . . . + Жтг
* * V
(1 - Ж1) (1 - Ж2) . . . (1 - Жтг) хп
—-- > (п - 1) , где Ж1,...,ЖП > О Ж1 . . . Ж/г
И Ж1 + . . . + жп = 1.
2.4.2.4.п > 2.п > 2.11п-h • • • + ^ ,> где жх1 + Ж11 + Жтг 1 + д/ж1 . . . Жтг11п-h • • • + ^ ,> где жх1 + Ж11 + Жтг 1 + д/ж1 . . . Жтг
2.4.
2.4.
п > 2.
п > 2.
11п
-h • • • + ^ ,> где жх
1 + Ж11 + Жтг 1 + д/ж1 . . . Жтг
11п
-h • • • + ^ ,> где жх
1 + Ж11 + Жтг 1 + д/ж1 . . . Жтг
abc + bed, + eda + dab < — + -^-abed, где a,b, c^ d 0 и a-Vb-Vc-Vd = 'V.
0 C xy + yz + гх — "Ixyz —, где x1y1z^Onx-\-y-\-z = l.
Среди треугольников с углами, не превышающими 75°, которые вписаны в данную окружность, найти тот, периметр которого:
является наибольшим;
является наименьшим.
Докажите, что если для любых чисел а и Р имеет место неравенство
af (а) + Pf (b) > / (аа + РЬ)
(соответственно а/ (а) + Pf (b) ^ / (аа + /36)),
где а, Р ^ 0, а + Р =1и а, b — любые числа из областиD(/)= /,
а жх, ж2, •• • ЖП7 Ух, У2, •• •Уп Е 1 и удовлетворяют условиям
Ух У2 • • > Уп, Ух жх,
Ух + У2< Ж1 + Ж2,. . . , Ух + . . . + Уп-Х < Ж1 + . . .+Жп-1,
Ух+. . . + Уп = Ж1 + . . . + Жп,
то
/ (У1) + / (Уг) + ... + / (Уп) < / Щ) + / (ж2) + ... + / М
(соответственно / (yi) + / (у2) + ••• + / (у») >
> / Щ) + / (ж2) + ... + / («„)).
Пусть числа жх, ж2,. . . , Ж1997 удовлетворяют следующему условию:
—-^ < Xi < УЗ (г = 1,2,..., 1997);
Ж1 + Ж2 + . . . + Ж1997 = —318 ^.
Найдите наибольшее значение выражения жР + жР + . . . + ^P97.
Докажите неравенство
1)(п-1)/2
cos Qi cosa2 . . . cosan(tgai + . . . + tgan) (ny2)/2—,
где n 2 и 0 ai < ^ г = 1, 2,. . . , n.
Докажите, что
i (1 г )7
i=X
где к 2, к E N и а/. = max(ж/е(1 — ж) + (1 — ж)/еж), а ж^ > 0,
г = 1, 2,. . . , п, Ж1 + • • • + жп = 1, п 2.
РЕШЕНИЯ
Рассмотрим числа —. Ж1 = , ..., —произведение V Ж1 . . . хплУ Ж1 . . . хп
которых равно 1. Тогда согласно примеру 2.1 имеем неравенство
илиили(2-1)(2-1)
или
или
(2-1)
(2-1)
Нетрудно заметить, что в данном неравенстве знак равенства имеет место, когда Ж1 = . . . = хп.
Неравенство (2.1) известно как неравенство Коши.
Рассмотрим числа , . . . ,-, сумма ко-
Ж1 И- . . . Т Ж77,Xi И- . . . T X-n,
торых равна 1. Согласно примеру 2.2 имеем
илиили
или
или
2 । 2 .. 2,...
Жг + Ж2 + • • • + Жп > / Ж1 + Ж2 + • • • + Жпп\п
откуда и получается заданное неравенство.
Нетрудно заметить, что неравенство (2.2) превращается и равенство
тогда и только тогда, когда Ж1 = . . . = хп.
Так как Xi + . . . + хп = 1, то согласно упр. 1.10 найдутся г11
два числа, одно из которых не больше —, а другое не меньше —.
/ 11
Для определенности примем, что х\ —. х^ — • пп
~111
Заменив Xi на —, а ж 2 на Xi + х^ — —, получим числа —, ппп
^Ж1 + Ж2) , Жз, . . . , жп, для которых получим
(1 - Ж1) (1 - Ж2)... (1 - Жп) >
Ж1”-Жп/-(«1+ «2’
(1 - Ж1) (1 - Ж2) . f1 " „) С1 "+ „) /, 17х
так как ^ Ъи (упр-1Л7) и
- I Ж1 + Ж2)и уи '
(1 - Ж1) (1 - ж2) _ ^1 - (Ж1 + ж2)
Ж1Ж2Ж1Ж2 '
2 Н.М. Седракян, А.М. Авоян
Повторяя это действие конечное число раз, получим п чисел, каж- 1
дое из которых равно —, и для этих чисел левая часть неравенства, п
которая равна (п — 1) , не больше -.
'Ж1.. .
Обозначим ^/ж777?^^ = т. Согласно упр. 1.12 можем при
/Ж1Ж2
нять, что Ж1 С т, Ж2 ш, следовательно, для чисел ш, , жз, . . .
т
... , жп имеет место неравенство
1 + Ж11 + хп 1 + тЖ1Ж21 + Хп
т
1111z,
так как -h - > -1упр. 1.17) и
1 + Ж1 1 + ж2 1 + Ш г Ж1Ж2 V Н 7 т
111 ~ Ж1Ж2
1 + Ж1 1 + Ж21 + Ж1 + Ж2 + Ж1Ж2 '
Через конечное число ходов получим
+ Ж11 + ж™ J + m1 + ?п 1 +. Жп
Если а = b = с = d = ^, то имеет место равенство. Пусть а <
6 > т ТогДа:
,, 176 , п
с + а —— cd < 0; заметим, что
/176\
А = abl с + d —— cd\ + cd {а + b)
используя упр. 2.1; ,176
с + а2Т"С®^’ заметим1 что
. _ 1 /,1\ /,176 Л , /1/,1\\
л < -^ + 6--Дс + (/-—сс/) +СС/(-+ (а + Ь--)).
Таким образом, неравенство необходимо доказать для чисел cii =
= Ьл = а + b — ci = с, di = d.
44
Действуя аналогичным образом, мы или докажем неравенство для чисел ai^ bi^ ci^ di^ или останется доказать неравенство для случая, когда два числа из ai^bi^ ci^ d± равны ^. В конце концов мы придем
к необходимости доказать неравенство для случая, когда все числа 1
равны -, но в этом случае неравенство, очевидно, выполняется.
Пусть х ^ у ^ z\ тогда понятно, что у ^ ^ следовательно,
О < у (ж + г) + жг (1 - 2у) <
Таким образом, если в выражении ху + yz + xz — 2xyz заменить 11
числа x^y^z на числа -,у,х + z — -, то его значение увеличится.
11111
1 ювторив эту операцию, заменим числа -, у х + z — - на числа -, -, -.
ООООО
Таким образом,
о11127
жу + уг + жг-2жуг< - + - + --- = -.
Согласно теореме синусов
р = а -V b + с = 2R (sin а + sin 3 + sin 7) .
Докажем, что из всех треугольников, вписанных в данную окружность, наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.
Если треугольник не равносторонний, то можем принять а > ^ > >0.
Докажем, что
sin а + sin 3 + sin (а + 3) < sin — + sin + 3sin а + sin 3 + sin (а + 3) < sin — + sin + 3тг А3/тг А3/+ sin (а + 3) •+ sin (а + 3) •
sin а + sin 3 + sin (а + 3) < sin — + sin + 3
sin а + sin 3 + sin (а + 3) < sin — + sin + 3
тг А
3/
тг А
3/
+ sin (а + 3) •
+ sin (а + 3) •
sin а + sin3 — sin — — sin ya -\- 3 —7Г7Га а Чsin а + sin3 — sin — — sin ya -\- 3 —7Г7Га а ЧДействительно,
sin а + sin3 — sin — — sin ya -\- 3 —
7Г7Г
а а Ч
sin а + sin3 — sin — — sin ya -\- 3 —
7Г7Г
а а Ч
з/ “
.а - - а + 23 - -
= 2 sin —cos —^— 2 sin —cos- =
_ 7Г27Г
= 2 sin ——— ( —2 sin ^ sin ——) =
2\42 /
7Г7Г
. . ч • ч • ^ Т 3 п = 4 sin —sin —sin —-— < 0.
Следовательно, периметр треугольника с углами а, Д, 7 меньше периметра треугольника с углами ^, а + 3 — ^ 7- Если 7 7^ ^, то полу-
7Г ~ тг
чим, что периметр треугольника с углами —, а + р — —, 7 меньше, чем
периметр треугольника с углами ^, ^, ^.
Докажем, что наименьший периметр будет у треугольника с углами 75°, 75°, 30°. Для этого достаточно доказать, что периметр треугольника с углами а, /3, 7 не меньше периметра треугольника с углами 75°, а + /3 — 75°, 7.
Действительно, sin 75° + sin (а + /3 — 75°) С sin а + sin/З, так как
sin а + sin /3 — sin 75° — sin (а + /3 — 75°) =
= (sin а — sin 75°) + (sin /3 — sin (а + /3 — 75°)) =o . a - 75° a + 75° o . a - 75° a + 2/3 - 75°= 2 sincos2 sincos =
A . a - 75° . /3 - 75° . о +/3 n nO Q / = 4 sinsin -— sin —-— > 0,0 < a, /3 C 75 .
Если Xi = Ui. г = 1, 2, . . . , n, то
/ Щ) +... + / (ж„) = / (Щ + ... + / (у„).
Пусть для некоторого г справедливо Xi ф у г- Из приведенных условий следует, что если т — наименьший номер, при котором хт ф + уПИ то ут < хт. Пусть з — тот наибольший номер, при котором УЗ < Xj\ к — наименьший номер, больший j. при котором Хк < у к- Заметим, что такое к существует, так как в противном случае имеем
Хх + Х2 + • • • + Xj_x + Xj > ух + у^ + . . . + Uj.Ж7 + 1 ^ UjVX*)
Х-п ^ Un*
Складывая полученные неравенства, приходим к противоречию: хх + + ж2 + . . . + жп > ухА-у^А-. . .A-Un* Таким образом, Xj > yj Ук > хк.
Пусть 5 = min (xj — Uj.Uk — х^ и А = 1 — . Рассмотрим
Xj Ж к
числа Хх. $2. * * * . Xj — X. Xxj + (1 — Л) Хк = Х^ Xj^x. * * * . Хк-1. Ххк + + (1 — A) Xj = Х*к1 $k-Vh • • • ? ХП и проверим, что для них выполняются условия упражнения.
Действительно, хх А- ... A- Xi ^ ух + • • • + Ui {^ = ^^^ * * * ^ j ~ что очевидно. Неравенство
Ux + U2 + * * • + Uj < хх А- ж2 + . . . + Xj_x + Xxj + (1 - А) хк
верно, поскольку Xxj + (1 — А) Хк = Xj — 5 ^ xj — (xj — уj) = Uj* Так как Xj^x ^ Uj^x. * * * . хк-х ^ Uk-x. то
Хх + . . . + Xi ^ Ух + . . . + Ui^ г = 3 + 1,. . . .к - 1.
Для остальных величин имеем
Ж1 + Ж2 + • • • + Ж; = Ж1 + . . . + Ж,-! + (Ажу + (1 - А) X к) + Xj + i + . . .
... Н~ Хк—1 Н- (Ажд, Н- (1 A) Xj) Н- ... Н~ ж^,
следовательно, для чисел условия упражнения опять выполняются. С другой стороны,
/ (Ж1) + ... + / (ж,-1) + / (ж,) + ... + / (хк) + ... + / (ж„)
/ («1) +/ (ж,-1) + / (ж*) + / (ж>+1) + ... + / (ж*,-1) +
+ /(ж£) +/ (жп) ,
так как / (жр = / (Ажу + (1 - А) хк) < А/ (жу) + (1 - А) / (хк) и / (ж») = / (Аж/. + (1 - А) х^ < А/ (хк) + (1 - А) / (ж,); следовательно, / (ж>) + / (ж£) < / (ж>) + / (ж*) •
С другой стороны, 8 = Xj — yj или yk — хь^ следовательно, ж^ = yj или Х*к = ук.
Таким образом, мы заменили числа Ж1, х^ . . . , Xj. . . . , хп на числа жх, Ж2, ..., Xj-h х^ ж^+1, . . . , хк_^ х*к, ж^+i, . . . , Ж/^, так что условия упражнения снова выполняются. С другой стороны, сумма / (жД + . . . ... + / (жД + ... + / (ж^) + ... + / (жп) не возросла, а количество г, удовлетворяющих условию ж^ = Уг^ увеличилось на единицу, следовательно, после числа ходов, не превышающего п — 1, получим, что
/ (жх) +/ (ж„)/ (yi) +/ (Уп).
Сначала докажем следующую лемму.
Лемма. Если а ^ b и ж > 0, то
(о + ж) + (а — ж) > а + о .
Действительно,
(Ь + ж)12 + (а — ж)12 — а12 — 612 =
= Ci2x (Ь11 — а11) + <722ж2 (610 + а10) + . . . + 2ж12 > 0.
Обозначим у г = ^/3xi*^ имеем
-1<т/г<3, г = 1, 2,..., 1997,(2.3)
У1 + У2 + • • • + 2/1997 = —954(2-4)
и
Если какие-нибудь два числа из чисел ух у^ . . . , У1997 принадлежат интервалу (—1,3), то согласно лемме эти два числа можно заменить числами, одно из которых равно — 1 или 3, и удовлетворяются условия (2.3) и (2.4), причем сумма уР + . . . + 2/1997 возрастет.
Из сказанного следует, что сумма уР + . . - + 2/1997 будет наибольшей, если числа уР, . . . , урд? заменить или на числа — 1,. . . , — 1, 3, . . . , 3, или на числа —1, — 1, . . . , — 1, 3, . . . , 3, а; а 6 (—1; 3).
Учитывая условие (2.4) получим, что возможен только второй случай, причем к = ° ^ ^ +1735, где к — количество — 1. Так как ° ^ ^ Е Z и а Е (—1; 3), то а = 2.
Таким образом, наибольшее значение выражения жР + . . . + жРд7 равно
1736 + 260 • З12 + 212 = 189М8
З6
Пусть
О1 + . . . + OnZ X
~=(2-5)
Если ai = а2 = • • • = ®п = V, ТО
cos ai cos а2 • • • cos ап (tg ai + . . . + tg an) = cos71 p • n • tg p =
= n • sin (p cos71 1 (p = nJ sin2 ip (cos2 pp 1 =
Л1 . 2 COS2 ф COS2 ф
= n \ (n — l)n-1 sin2 p. . .
Vn — 1 n — 1
(n - l)^/2 n(™-2)/2(n - l)^/2 n(™-2)/2
(n - l)^/2 n(™-2)/2
(n - l)^/2 n(™-2)/2
Если at / aj при некоторых г и j (г / j\ то среди этих чисел найдутся два таких числа, одно из которых больше у?, а другое меньше р (см. упр. 1.10).
Пусть это числа ai и а^ причем а\ < р < а^. Таким образом, заменяя ai на р^ а а 2 на ai + а 2 — ^ получаем новую последовательность чисел р, ai + а2 — ^, аз,... , ^п, Для которых верно (2.5), а так как
COS ai COS а2 = I (cos(ai + a2) + COs(qi — a2)) <
< I (cos(ax + a2) + cos(2(/? - (ax + a2))) = cos^cos^x + a2 - ^),
TO
cos Qi cos Q2 • • • cos an(tg Qi + . . . + tg an) =
= sin(ai + a^) cos аз . . . cos an + cos ai cos a^ cos аз . . .
. . . cos an(tg аз + . . . + tg an) < sin(ai + a^) cos аз . . . cos an +
+ cos у? cos(ai + а2 - y?)(tga3 + . . . + tgan) =
= COS p cos(ai + CE2 — ^) COS a^ . . .
. . . cos an(tg p + tg(ai + a2 - ^) + tga3 + • • • + tgan).
Действуя с полученными числами у?, ai + a2 — у?, a3, . . . , an аналогичным образом, получим новую последовательность, в которой р будут равны уже два члена. Повторив эти действия самое большее п — 1 раз, получим последовательность в, которой п — 1 членов будут равны у?, а n-й равен пр — (п — 1)у? = ^, т. е. опять равен р.
Таким образом, мы получили
COS Qi COS Q2 . . . COS Qn(tg Qi T . . . T tg Ol^ <
< cosn p • П • tg p ^< cosn p • П • tg p ^n(™~2)/2n(™~2)/2
< cosn p • П • tg p ^
< cosn p • П • tg p ^
n(™~2)/2
n(™~2)/2
Из доказательства видно, что рассматриваемое неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда Qi = а2 = . . . = ап = = р. где р = arctg —. 1.
-1
2
Докажем, что если ж, у 0, х + у - и к 2, к Е N, то ж^(1 - ж) + ук(1 - у) < (ж + y)fc(l - ж - у).(2.6)
Если ж + у = 0, то (2.6) верно; если ж + у ф 0, то
< 1 - ж - у.< 1 - ж - у.(ж + у)2(1 - ж - у) + жу(3(ж + у) - 2)(ж + у)2
< 1 - ж - у.
< 1 - ж - у.
Пусть ж^+1 ^ xi ^ 0, г = 1, . . . , п — 1, жх + . . . + хп = 1 и п ^ 3; тогда
(п - 2)жх + (п - 2)ж2 < (ж3 + . . . + жп) + (ж3 + . . .+ жп) = 2-2Ж1 -2ж2,
поэтому У^ ж^ (1 — жД ^ а^.
г = 1
Замечание. Заметим, что
ах = шах(2ж(1 — ж)) = а^ = шах(ж(1 — ж)) =
[0;1] V V Н 2’[0;1] V V Н 4
a^ = шах(ж(1 — ж)(1 — 2ж(1 — ж))) = ^,
а4 = шах(ж(1 — ж)(1 — Зж(1 — ж))) = ^,
а^ = шах (ж(1 — ж) — 4(ж(1 — ж))2 + 2(ж(1 — ж))3) = 5—~
[0;1]17
(См. также упр. 12.12.)
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Докажите следующие неравенства (1-4).
1 + Ж1 1 + Ж21 + Хп 1 -|- ^Ie^x^^^
< Ж1, Ж2, . . . , жп ^ 1, п ^ 2.
_/а2 + 6 2 + с2 + d2 _ з/abc + abd + acd + bed,.„
\ \ , где a, b. c. d > 0.
у4/ у41111
n I 2 2 2
3.3.У
3.
3.
9 ^ xy + yz + zx < , где x + у + z = xyz, x^ y^ z > 0.
. X 1 + Ж1 1 + Ж2 1 +/,
a). . . > (n +
7 Ж1 Ж2XH X
Ж1 + ж2 + . . . + Xn = 1, n > 2.
Докажите, что из всех выпуклых n-угольников, вписанных в данную окружность, наибольшей будет площадь правильного п-угольника.
Докажите, что из всех выпуклых n-угольников, вписанных в данную окружность, наибольшим является периметр правильного п-угольника.
Докажите, что из всех выпуклых многоугольников, вписанных в данную окружность, наибольшей является сумма квадратов сторон правильного треугольника.
Пусть ж г > 0 (г = 1,2,... , п) — действительные числа, причем Ж1 + ж2 + . . . + хп = 1 (п 4). Докажите, что для любого А (0 < А < п) справедливо следующее неравенство:
/ 111 А лп2 - А
Ж1Ж2 . . . Жп1h . . . н АЖ1Ж2 . . . жп с —.
\Ж1 Ж2Хп/п
Докажите, что для любых двух треугольников с углами а, /3, 7 и «1, Дх, 71 имеет место неравенство
cos ai , cos/31 , cos 71 . ., ., ,
—1Н ; С ctg а + ctg р + ctg 7.
sin о sin /3 sin 7
Докажите, что
ЕЕ
( ^ 1 , • • •, п.)(^Iv'-^n)
(наборы (й, ^2, • • • , in) получаются в результате всех возможных перестановок чисел 1, 2, . . . , п), где
3/1,3/2, . . . ^п > 0, ах ^ а2ап,
а1 С 61, 0-1 + 0-2 С ^1 + 62, • • • ? 0-1 + ... + CLn — 1 С 61 + • • • + bn — 1?
ai + ... + ап = 61 + ... + 6П.
Докажите неравенство
п (п-161 + a^bs + . . . + aHbH) р (di + а^ + • • • + ан) (61 + 62 + • • • + 6П), если известно, что из условия а^ < а < aj следует, что Ь^ ^ Ь^ где
di + а% + • • • + апа = .
п
Пусть функция / определена и убывает в области (—ос;+ос), и кроме этого она нечетная.
Докажите неравенство
/ (a) JW + f (6) / (с) + / (а) / (с) < О, где а + b + с = 0.
Пусть числа ai, а^^ . . . , ап удовлетворяют следующим условиям:
ах ^ а^ С • • • С &п;
ai + а2 + • • • + dn = О*,
|(Zi| + . . . + |an| = S.
Докажите неравенство ап — ai —.
Пусть п — заданное целое число, причем п ^ 2.
Найдите такое наименьшее постоянное (7, при котором неравенство
XjXj^X^ + X С1 7 ^ < 3^ п17 7 п
выполняется для всех неотрицательных чисел жх, . . . , хп.
Выясните, когда для полученного значения С выполняется равенство.
Докажите, что:
а) h . . . + — < 1, где s = Xi + . . . + хп, хгх2 . • •
+ 8 — Ж11 + 8 — Хп
хп = 1 и жх, ж2- • • • , хп > 0;
.!1
, а™ + . . . + a^_! + nai . . . ап а™ + . . . + а^_2 + «п + па^ . . . ап "^' ' '
+ ^г—. п . < , где ai, а2, • • • , ап > 0.
а2 + . . . + ап + nai . . . an ai . . . ап
§ 3. МЕТОД ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СООТНОШЕНИЙ МЕЖДУ СРЕДНИМИ АРИФМЕТИЧЕСКИМИ, ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ, ГАРМОНИЧЕСКИМИ И КВАДРАТИЧНЫМИ
При решении некоторых задач и при доказательстве неравенств целесообразно использовать соотношения между средними арифметическим, геометрическим, гармоническим и квадратичным, которые для двух положительных чисел выражаются следующими неравенствами:
(3.1)(3.1)
(3.1)
(3.1)
2 где выражение —-- + - а b2 где выражение —-- + - а bс ^ Ь. Используяс ^ Ь. Используячто с ^ aDчто с ^ aDСкладывая неравенства (3.3)Складывая неравенства (3.3)л \а b си (3.4), получим — + - + — осал \а b си (3.4), получим — + - + — оса^ 3.^ 3.
2 где выражение —-
- + - а b
2 где выражение —-
- + - а b
с ^ Ь. Используя
с ^ Ь. Используя
что с ^ aD
что с ^ aD
Складывая неравенства (3.3)
Складывая неравенства (3.3)
л \а b с
и (3.4), получим — + - + — оса
л \а b с
и (3.4), получим — + - + — оса
^ 3.
^ 3.
называется средним гармоническим чисел а и 6,
ab — средним геометрическим^ —-— — средним арифметическим^
— средним квадратичным.
Доказательства неравенств (3.1) приведены в §1 (упр. 1.2-1.4).
Заметим, что в (3.1) равенства имеют место тогда и только тогда, когда а = Ь.
Пример 3.1. Доказать неравенство у Нh -3, где а, 6,
оса
с > 0.
Доказательство. Без ограничения общности можно принять,
(3.2)
получим
т + - ^ 2,(3.3)
о а
b । с b (с - а) (с - Ь)
и —|1 = —-0; следовательно,
с а аас
(3.4)
Пример 3.2. Доказать неравенство
где а > О, b > 0, с > 0.
Доказательство. Без ограничения общности можно принять, что а ^ b ^ с. Справедлива следующая цепочка неравенств:
bа + сbа + с
b
а + с
b
а + с
Равенство имеет место, если а = b + с, b = а = с; последнее _аbс _
невозможно. Следовательно, \ h \h \ г > 2. ’ V b + с V с + а у а + b
Второй способ. Воспользуемся неравенствами
2_ 2а
b + с а b + с ’ а
2_2Ь
а + с а + 6 + с ’
2_2с
а -|- b а b сс
Складывая эти неравенства, получаем
Знак равенства имеет место, если во всех трех неравенствах имеется знак равенства, что возможно при выполнении условия
_ а _ b _ сb + с а + с а + 6’
это противоречит условию примера. Таким образом,
— + а/^ +
b + с у с + а
Соотношения (3.1) обобщаются на случай положительных чисел ai,. . . , ап следующим образом:Соотношения (3.1) обобщаются на случай положительных чисел ai,. . . , ап следующим образом:где выражениягде выражения
Соотношения (3.1) обобщаются на случай положительных чисел ai,. . . , ап следующим образом:
Соотношения (3.1) обобщаются на случай положительных чисел ai,. . . , ап следующим образом:
где выражения
где выражения
называются соответственно средним гармоническим средним геометрическим средним арифметическим и средним квадратичным чисел «1,. . . , ап. Равенства в соотношениях (3.5) имеют место тогда и только тогда, когда ai = а^ = . . . = ап.
Пример 3.3. Доказать неравенство
чг < yai...a„,
+ . . . +
(Zi(Z77,
где ai > 0, ..., ап > 0.
Доказательство. Используя неравенство
Ж1 + Ж2 + • • • + ЖппЖ1 + Ж2 + • • • + Жпп^У ХуХ1^ . . . Хп^У ХуХ1^ . . . Хп
Ж1 + Ж2 + • • • + Жп
п
Ж1 + Ж2 + • • • + Жп
п
^У ХуХ1^ . . . Хп
^У ХуХ1^ . . . Хп
для положительных чисел х^ = —, г = 1, . . . , п (упр. 2.1), получим неравенствог
п\/aia^ . . . ап
откуда и получается данное неравенство.
„«1 + . . . + апЗамечание. пдовательно,„«1 + . . . + апЗамечание. пдовательно,\ па^а^ • • • ап ^ ^1 5 сле~Н ... Н(Zi(Z77,\ па^а^ • • • ап ^ ^1 5 сле~Н ... Н(Zi(Z77,/А / 11 \2(ai + . . . + ап) (h . . . И) ^ п . хатап//А / 11 \2(ai + . . . + ап) (h . . . И) ^ п . хатап/
„«1 + . . . + ап
Замечание. п
довательно,
„«1 + . . . + ап
Замечание. п
довательно,
\ п
а^а^ • • • ап ^ ^1 5 сле~
Н ... Н
(Zi(Z77,
\ п
а^а^ • • • ап ^ ^1 5 сле~
Н ... Н
(Zi(Z77,
/А / 11 \2
(ai + . . . + ап) (h . . . И) ^ п . хатап/
/А / 11 \2
(ai + . . . + ап) (h . . . И) ^ п . хатап/
Пример 3.4. Решить системуПример 3.4. Решить систему\/1 + Ж1 + ^/1 + Ж2 + • • • + \/1 + ж 100 — 100V^ — Ж1 + \/1 — Ж2 + . . . + \/1 — ж 100 = 100\/1 + Ж1 + ^/1 + Ж2 + • • • + \/1 + ж 100 — 100V^ — Ж1 + \/1 — Ж2 + . . . + \/1 — ж 100 = 100Решение. Воспользовавшись неравенствомРешение. Воспользовавшись неравенствомппai + . . . + апai + . . . + ап(3.7)(3.7)
Пример 3.4. Решить систему
Пример 3.4. Решить систему
\/1 + Ж1 + ^/1 + Ж2 + • • • + \/1 + ж 100 — 100
V^ — Ж1 + \/1 — Ж2 + . . . + \/1 — ж 100 = 100
\/1 + Ж1 + ^/1 + Ж2 + • • • + \/1 + ж 100 — 100
V^ — Ж1 + \/1 — Ж2 + . . . + \/1 — ж 100 = 100
Решение. Воспользовавшись неравенством
Решение. Воспользовавшись неравенством
п
п
ai + . . . + ап
ai + . . . + ап
(3.7)
(3.7)
(упр. 2.2) для чисел 0. + «1,..., у/1 + «юо и 0. - жъ ..., yi - «юо, получим
(3.8)(3.8)\/1 + Ж1 + . . . + уб + Жюо </100 + (Ж1 + . . . + Жюо)
(3.8)
(3.8)
166V 166
100 - (ж1 + . . . + жюо)100100 - (ж1 + . . . + жюо)100\А — Ж1 + . . . + V1 — жюо
100 - (ж1 + . . . + жюо)
100
100 - (ж1 + . . . + жюо)
100
166
Из полученных неравенств и заданной системы получаем. . + Жюо Д 1loo ’ Vх 166
Получилось, что Ж1 + . . .+жюо = 1, откуда следует, что в неравенстве
имеет место только равенство, т. е. ^1 + Ж1 = . . . = ^/1 + жюо, 1
ИЛИ Ж1 = . . . = Жюо = J^-
Не трудно убедиться непосредственной подстановкой, что полученные числа удовлетворяют данной системе.
Соотношения между средними арифметическим и средним геометрическим позволяют решить некоторые задачи на нахождение максимальных и минимальных значений.
Замечание 1. Среднее арифметическое положительных чисел ai,. . . , ап с одним и тем же средним геометрическим имеет минимальное значение, когда ai = ... = ап.
Замечание 2. Среднее геометрическое положительных чисел ai,. . . , ап с одним и тем же средним арифметическим имеет максимальное значение, когда ai = ... = ап.
Пример 3.5. Среди треугольников с заданной площадью найти тот, у которого наименьший периметр.
Решение. Обозначим стороны искомого треугольника а,Ь, с (а, 6, с > 0), периметр — 2р.
Используя формулу Герона и неравенства из упр. 2.1, получим
s = \Мр - аНр- Ь) (р - с) <
(р - а) + (р- 6) + (р - с))3
откуда получаем 2р 2 у 3S з/З .
Равенство имеет место, когда а = b = с. Таким образом, из всех треугольников с заданной площадью наименьший периметр — у рав
ностороннего.
Пример 3.6. Среди треугольников с заданным периметром 2р найти тот, у которого наибольшая площадь.
Решение. Обозначим площадь искомого треугольника через S, а стороны через а, 6, с (а, Ь^с > 0). По формуле Герона
s = Vp- VQp-^ (р-ь) (p-cY
Найдем наибольшее значение выражения (р — а) (р — 6) (р — с).
Так как (р — а) + (р — 6) + (р — с) = р постоянно, то согласно замечанию 2 произведение (р — а) (р — 6) (р — с) принимает наибольшее значение тогда, когда р — а = р — b = р — с^ отсюда получаем, что а = = b = с. Таким образом, из всех треугольников с заданным периметром 2р наибольшая площадь у равностороннего треугольника.
УПРАЖНЕНИЯ
Докажите следующие неравенства (3.1-3.28).
(а + 6) (а + с) (6 + с) > 8abc, где а, 6, с > 0.
(а + 6 + с — с/) (6 + с + с/ — а) (с -\- d -\- а — 6) (с/ + а + 6 — с) < < (а + 6) (6 + с) (с + d) (d + а), где а, 6, с, d > 0.
а) а3 + 63 + с3 + ЗаЬс а^Ь + аб2 + Ь^с + с^Ь + а^с + ас2, где а,Ь, с > 0;
(1 + ДД (1 + -т-) f1 + “тт) > 25’ где а^Ь,с> 0.
V Ь + с/\ а + с;\ а + Ь/
*^-12 < -18^-, где а > 1.
1g а 1g (а+ 1)
abc (а + b — с) (а + с — 6) (6 + с — а), где а^Ь^ с > 0.
^8 + ?/8^j|^, если зс-\-у = 1.
/1 \ 2/1 \ 225
( аН—) +(&+т)если а, b > 0 и а + b = 1.
\а/\о/2
/1 \2/1 \2 (п +1)
( жх Н) + ... + (жпН), если Ж1,...,жп>
\Ж1/\ жп/п
> О и жх + . . . + хп = 1.
а4 + Ь4 + с4 > abe (а + 6 + с).
ж2 + у2 2 у/1! (х — у),еслиху = 1.
д/ 6(21 + 1 + д/ 6(2-2 + 1 + \/ 6(2-3 + 1 + д/ 6(2-4 + 1+д/ 6(2-5 + 1
V^iесли di, . . . , (15 > 0 иai + .. . + (25 = 1.
6(2 + 4b + 5с > 5 y/ab +7 у/ас+ 3 y/bc, гдеа,6, с0.
2 (а4 + Ь4) + 17 > 16а6.
„111111,
ЗЛ4. —1—— Н— > - + т + где а, Ь, с
b + с — а а — b + с а + b — с а b с
стороны некоторого треугольника.
-^Т)>6", гдепёЫ, 6 > 0.
п + 1 /
(
1 \1\п+1
1 + -) <(1 +г) , где n G N;
п /\ п + 1/
х п+1,1\ пТ^
И— )> (И> гДе £ N.
nJ \ п +1/
^ < где п = 2,3,4,.
а) п (п + I)1/" < п + Sn, где Sn = 1 + ^ + ... + ^, п =
!,3,4,.П
п - Sn > (п — 1)п1^1-”), где Sn = 1 + | + ... + —, п =
272
(qn — 1) (^n+1 + 1) > 2nqn (q — 1), где q > 1, n G N.
a) a? + b2 + c2 + d2 + ab + ac + ad + be + bd + cd ^ 10, где a, b^c, d > 0, abed = 1;
। 1i 1 Л / f 14-abcV,
o) (2+1— 1 \b-\1 c H1 + ; , где a, b, c >
V b ) V с ) V a )\2 V^c)
> 0.
n д/(21 . . .an - (n - 1) n ^(21... an-i < an, где ai > 0, г = 1,. . . , n, ri = 3, 4,. . .
^/(2i . . . an + л^/bi . . . bn + . . . + л^/ki . . . kn
С V(^i + 61 + . . • + &i) (02 + 62 + . . • + ^2) • • •(ап + 6П + . . • + &п), где ох, . . . , ап, 6Ъ . . . , Ьп,. . . , къ . . . , кп > 0.
oi + д/O1O2 + \/O1O2O3 +. . . + Vai • • • ап е (oi + . . . + оп),
где оь . . . , оп ^ 0.
пак — кап < п — к, где п > к, п^к Е N, о > 0.
3.25.3.25.оЖ1-Ж2Ж1 + Ж2оЖ1-Ж2Ж1 + Ж2а®2~®3а«п-«11h • • • Н ж2 + ЖзЖп + Ж1а®2~®3а«п-«11h • • • Н ж2 + ЖзЖп + Ж12, где о > О,2, где о > О,Xi >Xi >
3.25.
3.25.
оЖ1-Ж2
Ж1 + Ж2
оЖ1-Ж2
Ж1 + Ж2
а®2~®3а«п-«1
1h • • • Н ж2 + ЖзЖп + Ж1
а®2~®3а«п-«1
1h • • • Н ж2 + ЖзЖп + Ж1
2
, где о > О,
2
, где о > О,
Xi >
Xi >
> 0, г = 1, . . . , п.
^/^1 + 1 + ^/ж2 + 1 + . . . + ^/жп + 1 ^ п + 1, где жь . . .
... , хп > О, Х1 + ... + хп = р. р е N, р > 1.
а) (1 + ol)h ^ 1 + па. где а ^ — 1, п € N (неравенство Бернулли);
в случае п > 1 (1 + а)п > l-Ena, где а / 0 и а^ — 1, п Е N.
cos t sin t ^ X .
16
Найти наименьшее значение функции
У (ж) = — 1 Н1
в области [0; 1), где п Е N, п > 1.
Найти наименьшее значение функции / (ж) = ахт Н—^ в области (О, (X)), где а^Ь > 0; т^ п Е N.
Найти в области [о; 6] (0 < о < 6) такую точку жо, в которой функция / (ж) = (ж — о)2 (62 — ж2) принимает свое наибольшее значение в этой области.
Найти наибольшее значение произведения xyz^ если известно, что ж, у^ z > 0 и 2ж + л/Зу + тг^ = 1.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = = —, где о, 6 > 0.
ах + о
Найти наибольшее значение функции:
. v/ж2 + 6ж + 8 + 12^ДаЕЕгУаЕП)
а) у = —:б) у = —9.
’ж + 3’' а3«2 + 4
Пусть сумма всех шести ребер треугольной пирамиды РАВС равна S^ a ZAP В = ZBPC = ZCPA = 90°. Найти среди таких пирамид пирамиду с наибольшим объемом.
( х + у = 2,
Решить систему уравнений <
[ ху — z2 = 1.
!
х + у + z = 3, х2 + у2 += 3.
Заданы числа а, 6, с, d. в такие, что
Г а + 6 + с + с/ + е = 8,
[ а2 + Ь2 + с2 + d2 + е2 = 16.
Найти наибольшее значение е.
Наити наименьшее значение выражения11, если Ж2 х4 Жб
1 Ж1 ^2 ^з Ж4 Ж5 Же 1000.
Решить уравнение х4 + у4 + 2 = 4ху.
_„ху xz yz о
Решить в целых числах уравнение11= 3.
РЕШЕНИЯ
Используя неравенство (3.2) для положительных чисел а и 6, а и с, b и с, получим неравенства с положительными членами
а + b2а + b2V^b,V^b,а + с2а + с2
а + b
2
а + b
2
V^b,
V^b,
а + с
2
а + с
2
b + с + d — а, d + а + b — с, с + d + а — 6, d + а + b — с,b + с + d — а, d + а + b — с, с + d + а — 6, d + а + b — с,
b + с + d — а, d + а + b — с, с + d + а — 6, d + а + b — с,
b + с + d — а, d + а + b — с, с + d + а — 6, d + а + b — с,
(а + Ь) (а + с)(Ь + с) перемножив которые почленно, получим ——-——- аос.
Три множителя в левой части неравенства положительны. Если только один множитель в левой части не положителен, то доказательство очевидно. Рассмотрим случай, когда все четыре множителя положительны. В этом случае воспользовавшись неравенствами (3.2) для пар чисел
а + b + с — d и а + b + с — d и b + с + d — а и с + d + а — b и
получим следующие неравенства с положительными частями:
V (а + 6 + с — d) (6 + с + d — а) <
= b + с,= b + с,((а + b + с — d) + (Ь + с + d — а))
= b + с,
= b + с,
2
V (а -\- b -\- с — d) (d -\- а -\- b — с)
. ((а + b + с - d) + (d + а + b - с))С ~~
V (Ь -\- с -\- d — а) (с -\- d -\- а — Ь)
, ((Ь + с + d - а) + (с + d + а - Ь))
С —— = с +
У (с Т d Т а — 6) (с/ Т а Т 6 — с) <
((с -\- d -\- а — 6) + (о? + а + 6 — с)),
С —— = а + а,
Перемножив почленно эти неравенства, получим заданное неравенство.
а) Данное неравенство эквивалентно неравенству
abc ^ (а + 6 — с^а + с — 6)(6 + с — а)
(см. упр. 3.5.).
Данное неравенство эквивалентно неравенству
Ylabc + а3 + Ь3 + с3 > аЬ + Ь^а + с2 а + а? с + Ь^с + с26, доказательство которого следует из неравенства упр. 3.3, а).
Рассматриваемое неравенство эквивалентно неравенству
lg (а - 1) 1g (а + 1) < lg2 а (а > 1).
Когда 1g (а — 1) ^ 0, имеем
1g (а - 1) 1g (а + 1) С 0 < 1g2 а.
Если же 1g (а — 1) > 0, то, воспользовавшись неравенством (3.2), получим неравенство
следующие верные неравенства с положительными частями: /гт / (а Тб — с) Т (а Тс —
V (а + b - с) (а + с - 6) <= а,
/7——г—7—г (а + 6 - с) + (6 + с - а) ,
у (а + о - с) (6 + с - а) < = Ь,
/7—:... ,, г (а + с - Ь) + (6 + с - а)
у (а + с - Ь) (6 + с - а) < = с.
Перемножив почленно полученные неравенства, придем к заданному неравенству.
Имеем
х -V у > /ж -А- у у > р A-у у > /х -\- уу _
2\2) V 2/\ 2 / “ 128'
Так как а Т b = 1, то из (3.2) получим -^ ^ 4. Следовательно, согласно неравенству (3.7)
> f + У _ ^
Так как жх Т . . . Т хп = 1, то из (3.6) получим, что — Т . . . . . . Нп. Используя неравенство (3.7), получим
Из неравенств (3.9) и (3.10) получается, что
а4 + Ь4 + с4 > abc (а + b + с) .
Воспользовавшись тождеством ж2 + у2 = (ж — у)2 + 2ху и условием ху = 1, получим ж2 + у2 = (ж — у) + (з/2)2 ^ 2 ^/2 (ж — у).
Для любого значения А согласно неравенству (3.2) имеют место неравенства
(ба; + 1) + А2 ^ 2А УбаГ+Т, г = 1,2,..., 5.
Складывая полученные неравенства и учитывая условие ay-Va^-Va^-V + Q4 + а^ = 1 для Л > 0, получим
11 + 5А22А
В случае
имеем
5
V55 > 52 V6at + 1.
г = 1
3.12. Воспользовавшись неравенством (3.2), получим
5 л/ab + 7 л/ас + 3 V^
5 (а+ 6)7 (а + с) 3 (6 + с)
——- Н^—- Н^—- = 6а + 4Ь + 5с
3.13. Так как а4 + Ь4 2а2 Ь2, то
2 (а4 + Ь4) + 17 > 4а252 + 17 > 4 (а2Ь2 + 4) > 16а6.
3.14. Записав неравенство (3.6) для чисел
1
b + с — а
111 ,, и ;, а — о + с b -V с — а а + о — с
11
; и ; а — о + с а + b — с
получим
Складывая почленно полученные неравенства, получим заданное неравенство.
3.15. 1 + 6 + . . . + b > (n + 1) ^л./Ь^^ откуда получается заданное
неравенство п
iPnby^1 п + 1 7
а) Записав для чисел ^1 + ^ , . . . , ^1 + ^ , 1 неравенство
из упр. 2.1, получим
илиилип+1п+11п + 11п + 1
или
или
п+1
п+1
1
п + 1
1
п + 1
) записав для чисел 1-..... 1, 1 n+1п+V) записав для чисел 1-..... 1, 1 n+1п+Vнеравенство изнеравенство изупр. 2.1, получимупр. 2.1, получимп+1п+1илиили3.17. Согласно неравенству из упр. 2.1 имеем3.17. Согласно неравенству из упр. 2.1 имеем
) записав для чисел 1-..... 1, 1
n+1п+V
) записав для чисел 1-..... 1, 1
n+1п+V
неравенство из
неравенство из
упр. 2.1, получим
упр. 2.1, получим
п+1
п+1
или
или
3.17. Согласно неравенству из упр. 2.1 имеем
3.17. Согласно неравенству из упр. 2.1 имеем
п <п <1 + 2 + . . . + 71п1 + 2 + . . . + 71п
п <
п <
1 + 2 + . . . + 71п
1 + 2 + . . . + 71п
a) Sn + п — п + 1 + ” + ••. Н— — 2 + — + — + .. . 2ТЬ2 о
, п + 1 п/ 3 4 п + 1п/——-
• • • Н> п • л/2 •-•-•...= п • ^n + 1;
пу 2 3пv
п -£„-- + - + ...+ — >
——- = (п — 1) п1^1 + п——- = (п — 1) п1^1 + п
——- = (п — 1) п1^1 + п
——- = (п — 1) п1^1 + п
Воспользовавшись тождеством
+ -1 = (9-1) (q^ + q^ + .-. + I)
и условием q > 1, получим неравенство, эквивалентное заданному неравенству,
(q”-1 + +"2 + • • • + 1) (9n+1 + 1) W- (3.11)
Согласно неравенству из упр. 2.1 в случае п > 1 имеем
qn 1 + Qn 2 + . . . + 1 > п • ^q”-1 • q"-2 •...• 1 = nq^n 1^2,++1 + 1 > 2<++1>/2.
Перемножая полученные неравенства, получим (3.11).
а) а2 + Ь2 + с2 + d2 + ab + ас + ad + be + bd + cd
> 10 •= 10 • *^/(abed)5 = 10.
Так как а, 6, с > 0, то по крайней мере два множителя левой части неравенства положительны (см. упр. 1.9, а)). В случае, если только один множитель не положителен, неравенство очевидно. Рассмотрим случай, когда все три множителя правой части неравенства положительны.
Заметим, что
3 + ЗаЬс = b (а — 1 ++ с Гб — 1 + -) + a fc — 1 + -) +
\о/ \с) \а)
, /,1\А, 1\ ,/,1\
+ be ( а — 1 +у )+ ас( b —1 Н— ) + ab( с —1 Н— ) .
\б/\с)\а)
Воспользовавшись неравенством из упр. 2.1, получим неравенство
3 + ЗаЬс 6 у а^№е^ ^а — 1 + ^ ^b — 1 + ^ (с — 1 + ^^ ,
которое эквивалентно заданному неравенству.
3.22.
kik-iкп
ai + bi + . . . + ki а2 + 62 + . . . + к2 ап + Ьп + . . . + кп
/ai।CL2
п \ di + bi + . . . + ki а2 + b2 + . . . + к2
ккагагbibiai 4" bi 4" • • • 4" kiI /d2ai 4" bi 4" • • • 4" kiI /d2ппkikidi 4" bi 4" • • • 4" ki^2di 4" bi 4" • • • 4" ki^2(12 + ^2 + • • • + ^20-2 + ^2 + • • • + &2
к
к
аг
аг
bi
bi
ai 4" bi 4" • • • 4" ki
I /d2
ai 4" bi 4" • • • 4" ki
I /d2
п
п
ki
ki
di 4" bi 4" • • • 4" ki
^2
di 4" bi 4" • • • 4" ki
^2
&2\ .. 1 (ап
(12 + ^2 + • • • + ^2 .
к.к.3.23. Заметим, что_ 13.23. Заметим, что_ 11111^1 ^ 1—у ^1 4- 7—7 «1 + . . . Нз———- di,1-22-3п (n + 1)^1 ^ 1—у ^1 4- 7—7 «1 + . . . Нз———- di,1-22-3п (n + 1)222222гза2 + Г4а2 + --- + ^т)а2’ а'гза2 + Г4а2 + --- + ^т)а2’ а'п^п^b,
к.
к.
3.23. Заметим, что
_ 1
3.23. Заметим, что
_ 1
1
1
1
1
^1 ^ 1—у ^1 4- 7—7 «1 + . . . Нз———- di,
1-22-3п (n + 1)
^1 ^ 1—у ^1 4- 7—7 «1 + . . . Нз———- di,
1-22-3п (n + 1)
2
2
2
2
2
2
гза2 + Г4а2 + --- + ^т)а2’ а'
гза2 + Г4а2 + --- + ^т)а2’ а'
п
^
п
^
следовательно,
0-1 + 0-2 + . • . + (1- di di 4" 2(12/ У"1 Уз0-1 + 0-2 + . • . + (1- di di 4" 2(12/ У"1 Узai + 2а2 + . . . + какai + 2а2 + . . . + какai 4" 2а2 Ч- • • • 4" паai 4" 2а2 Ч- • • • 4" паДокажем, что еДокажем, что е' ' к (к 4-1)ai 4" 2a2 4" • • • 4" как' ' к (к 4-1)ai 4" 2a2 4" • • • 4" какк (к 4-1)к (к 4-1)(«1... а^)1^ (/г = 1,..., п).(«1... а^)1^ (/г = 1,..., п).Действительно, согласно неравенству из упр. 2.1Действительно, согласно неравенству из упр. 2.1(11 4" 2а2 4" • • • 4" как \/(112(12 . ~как(11 4" 2а2 4" • • • 4" как \/(112(12 . ~какк (к + 1)к (к + 1)к 4-1к 4-1УУ zXl/k^(«1...^) ' .УУ zXl/k^(«1...^) ' .Х/к\ 1Остается доказать, что —7 > -, к + 1 еТаким образом, получилось, чтоХ/к\ 1Остается доказать, что —7 > -, к + 1 еТаким образом, получилось, чтоилиили(L 1 \ к) (см. упр. 7.18).(L 1 \ к) (см. упр. 7.18).Ъек=1Ъек=1ai 4" 2а2 4" • • • 4" какai 4" 2а2 4" • • • 4" какк (к + 1)к (к + 1)52 (“1 ' • •к=152 (“1 ' • •к=1Теперь докажем, что в заданном неравенстве заменить в на меньшее число нельзя. Действительно, пустьТеперь докажем, что в заданном неравенстве заменить в на меньшее число нельзя. Действительно, пустьк=\к=\принимая а к = ^ (к = 1, . . . , п), получимпринимая а к = ^ (к = 1, . . . , п), получимк=1к=1у 1 > Vк=1к=8у 1 > Vк=1к=8ее
0-1 + 0-2 + . • . + (1- di di 4" 2(12
/ У"1 Уз
0-1 + 0-2 + . • . + (1- di di 4" 2(12
/ У"1 Уз
ai + 2а2 + . . . + как
ai + 2а2 + . . . + как
ai 4" 2а2 Ч- • • • 4" па
ai 4" 2а2 Ч- • • • 4" па
Докажем, что е
Докажем, что е
' ' к (к 4-1)
ai 4" 2a2 4" • • • 4" как
' ' к (к 4-1)
ai 4" 2a2 4" • • • 4" как
к (к 4-1)
к (к 4-1)
(«1... а^)1^ (/г = 1,..., п).
(«1... а^)1^ (/г = 1,..., п).
Действительно, согласно неравенству из упр. 2.1
Действительно, согласно неравенству из упр. 2.1
(11 4" 2а2 4" • • • 4" как \/(112(12 . ~как
(11 4" 2а2 4" • • • 4" как \/(112(12 . ~как
к (к + 1)
к (к + 1)
к 4-1
к 4-1
УУ zXl/k
^(«1...^) ' .
УУ zXl/k
^(«1...^) ' .
Х/к\ 1
Остается доказать, что —7 > -, к + 1 е
Таким образом, получилось, что
Х/к\ 1
Остается доказать, что —7 > -, к + 1 е
Таким образом, получилось, что
или
или
(L 1 \ к
) (см. упр. 7.18).
(L 1 \ к
) (см. упр. 7.18).
Ъе
к=1
Ъе
к=1
ai 4" 2а2 4" • • • 4" как
ai 4" 2а2 4" • • • 4" как
к (к + 1)
к (к + 1)
52 (“1 ' • •
к=1
52 (“1 ' • •
к=1
Теперь докажем, что в заданном неравенстве заменить в на меньшее число нельзя. Действительно, пусть
Теперь докажем, что в заданном неравенстве заменить в на меньшее число нельзя. Действительно, пусть
к=\
к=\
принимая а к = ^ (к = 1, . . . , п), получим
принимая а к = ^ (к = 1, . . . , п), получим
к=1
к=1
у 1 > V
к=1к=8
у 1 > V
к=1к=8
е
е
(здесь использовалось неравенство из упр. 14.18).С другой стороны, согласно неравенству из упр. 7.17 для к = 3, 4, . . . имеем(здесь использовалось неравенство из упр. 14.18).С другой стороны, согласно неравенству из упр. 7.17 для к = 3, 4, . . . имеемкк2> к^2> к^откудаоткудаследовательно,следовательно,(3.13)(3.13)Из (3.12) и (3.13) следует, чтоИз (3.12) и (3.13) следует, что
(здесь использовалось неравенство из упр. 14.18).
С другой стороны, согласно неравенству из упр. 7.17 для к = 3, 4, . . . имеем
(здесь использовалось неравенство из упр. 14.18).
С другой стороны, согласно неравенству из упр. 7.17 для к = 3, 4, . . . имеем
к
к
2
> к^
2
> к^
откуда
откуда
следовательно,
следовательно,
(3.13)
(3.13)
Из (3.12) и (3.13) следует, что
Из (3.12) и (3.13) следует, что
Переходя к пределу, получим, что е ^ с (см. упр. 7.15 и 7.16).
п — /с + /сап = 1 + . . . + 1 + а^Ла^ > п — кк
п • ^1. . . 1 • а™ . . .= пак ,
к
откуда п — к ^ nak — кап.
° 1 2° 1 2а®2-жза®2-жзЖ1 + Ж2 Ж2 + Ж3Ж1 + Ж2 Ж2 + Ж3Q1жп + Ж1Q1жп + Ж1/®1~®2®2-®3па а^ п \V Ж1 + Ж2 Ж2 + Ж3/®1~®2®2-®3па а^ п \V Ж1 + Ж2 Ж2 + Ж3Хп + Ж1Хп + Ж1пV(^l + ж2) (ж2 + Жз) • • • (жп 4- Ж1)пV(^l + ж2) (ж2 + Жз) • • • (жп 4- Ж1)2^Жг2^ЖгИспользуя неравенство из упр. 2.1 для чисел х^ + 1 и 1,1, . . . , 1 (г = 1, 2,. . . , п), получимр-1V®z + 1 = V(^ + l)-l-l...l < ($i + т) + (р " т) •1 = 1 + ^iVV \/ s^,ррр — 1следовательно,Используя неравенство из упр. 2.1 для чисел х^ + 1 и 1,1, . . . , 1 (г = 1, 2,. . . , п), получимр-1V®z + 1 = V(^ + l)-l-l...l < ($i + т) + (р " т) •1 = 1 + ^iVV \/ s^,ррр — 1следовательно,^/#1 + 1 + ^/^2 + 1 + . . . + ^\/хп + 1 ^ (1 + — ) + ^1 + — ) + . . .^/#1 + 1 + ^/^2 + 1 + . . . + ^\/хп + 1 ^ (1 + — ) + ^1 + — ) + . . ., Л , Хп\Ж1 + Ж2 + . . . + Жп. . + П= п +V Р ), Л , Хп\Ж1 + Ж2 + . . . + Жп. . + П= п +V Р )= п + 1.= п + 1.а) Так как 1 + а ^ 0, то достаточно доказать неравенство для случая 1 + па ^ 0. Согласно неравенству из упр. 2.1а) Так как 1 + а ^ 0, то достаточно доказать неравенство для случая 1 + па ^ 0. Согласно неравенству из упр. 2.1V(l + ^)-l...l <V(l + ^)-l...l <п — 1следовательно, 1 + па < (1 + а)п.См. решение упр. 3.27, а).п — 1следовательно, 1 + па < (1 + а)п.См. решение упр. 3.27, а).l + na + 1 + ... + l = 1 + а.пl + na + 1 + ... + l = 1 + а.пп > 1,п > 1,_2COS t COS t COS\ /cos6 t sin2 t = 27 —(1 - cos2 t) <_2COS t COS t COS\ /cos6 t sin2 t = 27 —(1 - cos2 t) </ cos2t271 —2—/ cos2t271 —2—cos2 t ( cos2 t3+34cos2 t ( cos2 t3+34124+ 1 — COS t \124+ 1 — COS t \2744’2744’
° 1 2
° 1 2
а®2-жз
а®2-жз
Ж1 + Ж2 Ж2 + Ж3
Ж1 + Ж2 Ж2 + Ж3
Q1
жп + Ж1
Q1
жп + Ж1
/®1~®2®2-®3
па а
^ п \
V Ж1 + Ж2 Ж2 + Ж3
/®1~®2®2-®3
па а
^ п \
V Ж1 + Ж2 Ж2 + Ж3
Хп + Ж1
Хп + Ж1
п
V(^l + ж2) (ж2 + Жз) • • • (жп 4- Ж1)
п
V(^l + ж2) (ж2 + Жз) • • • (жп 4- Ж1)
2^Жг
2^Жг
Используя неравенство из упр. 2.1 для чисел х^ + 1 и 1,1, . . . , 1 (г = 1, 2,. . . , п), получим
р-1
V®z + 1 = V(^ + l)-l-l...l < ($i + т) + (р " т) •1 = 1 + ^i
VV \/ s^,рр
р — 1
следовательно,
Используя неравенство из упр. 2.1 для чисел х^ + 1 и 1,1, . . . , 1 (г = 1, 2,. . . , п), получим
р-1
V®z + 1 = V(^ + l)-l-l...l < ($i + т) + (р " т) •1 = 1 + ^i
VV \/ s^,рр
р — 1
следовательно,
^/#1 + 1 + ^/^2 + 1 + . . . + ^\/хп + 1 ^ (1 + — ) + ^1 + — ) + . . .
^/#1 + 1 + ^/^2 + 1 + . . . + ^\/хп + 1 ^ (1 + — ) + ^1 + — ) + . . .
, Л , Хп\Ж1 + Ж2 + . . . + Жп
. . + П= п +
V Р )
, Л , Хп\Ж1 + Ж2 + . . . + Жп
. . + П= п +
V Р )
= п + 1.
= п + 1.
а) Так как 1 + а ^ 0, то достаточно доказать неравенство для случая 1 + па ^ 0. Согласно неравенству из упр. 2.1
а) Так как 1 + а ^ 0, то достаточно доказать неравенство для случая 1 + па ^ 0. Согласно неравенству из упр. 2.1
V(l + ^)-l...l <
V(l + ^)-l...l <
п — 1
следовательно, 1 + па < (1 + а)п.
См. решение упр. 3.27, а).
п — 1
следовательно, 1 + па < (1 + а)п.
См. решение упр. 3.27, а).
l + na + 1 + ... + l = 1 + а.
п
l + na + 1 + ... + l = 1 + а.
п
п > 1,
п > 1,
_2COS t COS t COS\ /
cos6 t sin2 t = 27 —(1 - cos2 t) <
_2COS t COS t COS\ /
cos6 t sin2 t = 27 —(1 - cos2 t) <
/ cos2t
271 —2—
/ cos2t
271 —2—
cos2 t ( cos2 t
3+3
4
cos2 t ( cos2 t
3+3
4
124
+ 1 — COS t \
124
+ 1 — COS t \
27
44’
27
44’
I/ 3V33V3
откуда cos t sint <, следовательно, cos t sint <.
1616
Используя неравенство (3.2), получим
/(Ж) = (1 + Ж)"1/п + (1-Ж)-1/п^
> 2 ^/(1Гжг^Ч1^-жг^> 2 ^/(1Гжг^Ч1^-жг^2VTT?«52VTT?«5
> 2 ^/(1Гжг^Ч1^-жг^
> 2 ^/(1Гжг^Ч1^-жг^
2VTT?«5
2VTT?«5
так как ж 6 [0,1). С другой стороны, / (0) = 2, следовательно наименьшее значение функции / (ж) равно 2.
Представим функцию / (ж) в виде
/ (ж) = (т + п)/ (ж) = (т + п)1т + п1т + пахпахпbтхbтх
/ (ж) = (т + п)
/ (ж) = (т + п)
1
т + п
1
т + п
ах
п
ах
п
b
тх
b
тх
Используя неравенство из упр. 2.1, получим
/ (ж) ^ (т + п)/ (ж) ^ (т + п)ап6ап6п тп тгде равенство имеет место при ^~ пгде равенство имеет место при ^~ пb^, т.е. когда ж = тхb^, т.е. когда ж = тхт + п I Ьпт + п I ЬпОтвет, min /(ж) = / (ж0) = (т + п) т+\ ЛгЦд, (0,+оо)\ п тОтвет, min /(ж) = / (ж0) = (т + п) т+\ ЛгЦд, (0,+оо)\ п тгде ж0 =где ж0 =
/ (ж) ^ (т + п)
/ (ж) ^ (т + п)
ап6
ап6
п т
п т
где равенство имеет место при ^~ п
где равенство имеет место при ^~ п
b
^, т.е. когда ж = тх
b
^, т.е. когда ж = тх
т + п I Ьп
т + п I Ьп
Ответ, min /(ж) = / (ж0) = (т + п) т+\ ЛгЦд, (0,+оо)\ п т
Ответ, min /(ж) = / (ж0) = (т + п) т+\ ЛгЦд, (0,+оо)\ п т
где ж0 =
где ж0 =
Представим функцию / (ж) в виде
/(ж) =/(ж) =(ж — а) (х — а) а (6 — х) 0 (6 + ж)
/(ж) =
/(ж) =
а0
где а^0 > 0. Используя неравенство из упр. 2.1, получим
4 ^/(ж — а) (ж — а) а (6 — ж) /3 (6 + ж) <
< (ж — а) + (х — а) + а (6 — ж) + 0 (Ь + х) =
= (2 — а + Р) х + (а + Р) b — 2а.
Правая часть этого неравенства не будет зависеть от ж, если а — — Р = 2, а равенство имеет место, когда ж — а = а (Ь — ж) = 0 (Ь + ж). Отсюда получим равенства
а =а =ж — а6 — ж 7ж — а6 — ж 7ж — а6 + ж 7ж — а6 + ж 7
а =
а =
ж — а
6 — ж 7
ж — а
6 — ж 7
ж — а
6 + ж 7
ж — а
6 + ж 7
подставляя которые в равенство а — 0 = 2 получим квадратное уравнение 2ж2 — ах — Ь2 = 0, которое имеет единственный положи- „а + л/аУ^№
тельный корень жо = . Нетрудно показать, что жо Е
а + V^2 + Sb24а + V^2 + Sb24О т в е т. жо =О т в е т. жо =Е [а, 6]. Следовательно, / (ж) достигает наибольшего значения в точке ж о области [а, 6].
а + V^2 + Sb2
4
а + V^2 + Sb2
4
О т в е т. жо =
О т в е т. жо =
Представим произведение xyz в виде
ху% =ху% =12V37T12V37T) (2ж) (V^y) (^2)) (2ж) (V^y) (^2)
ху% =
ху% =
12V37T
12V37T
) (2ж) (V^y) (^2)
) (2ж) (V^y) (^2)
и запишем неравенство из упр. 2.1 для чисел 2ж, л/Зу и тг^:
хуг = (2ж)( V^/X?^)хуг = (2ж)( V^/X?^)12тг V312тг V3154тг V^’154тг V^’где равенство имеет место, когда 2ж = ^Зу = тг^. Воспользовавшисьгде равенство имеет место, когда 2ж = ^Зу = тг^. Воспользовавшисьусловием 2х + л/Зу + тг^ = 1, получимусловием 2х + л/Зу + тг^ = 1, получим_ 1“ 6’_ 1“ 6’1 д = 3 л/З1 д = 3 л/З1Зтг1Зтг
хуг = (2ж)( V^/X?^)
хуг = (2ж)( V^/X?^)
1
2тг V3
1
2тг V3
1
54тг V^’
1
54тг V^’
где равенство имеет место, когда 2ж = ^Зу = тг^. Воспользовавшись
где равенство имеет место, когда 2ж = ^Зу = тг^. Воспользовавшись
условием 2х + л/Зу + тг^ = 1, получим
условием 2х + л/Зу + тг^ = 1, получим
_ 1
“ 6’
_ 1
“ 6’
1 д =
3 л/З
1 д =
3 л/З
1Зтг
1Зтг
Ответ. 54тг V3
Заметим, что:
когда х< 0,имеем/ (ж)<0;
когда х> 0,имеем/ (ж)>0;
когда ж= 0,имеем/ (ж)=0.
Отсюда следует, что функция / (ж) принимает свое наибольшее значение в области (0, +оо), а наименьшее значение — в области (—оо, 0).
Первый способ. Неравенство (3.2) для чисел аж2 и b имеет вид
ах2 + b2ах2 + b2|ж| • л/аВ^|ж| • л/аВ^(3.14)(3.14)
ах2 + b
2
ах2 + b
2
|ж| • л/аВ^
|ж| • л/аВ^
(3.14)
(3.14)
где равенство имеет место, когда аж2 = Ь. Из неравенства (3.14) следует, что когда ж > 0, имеем
ж <1
12 у/аЬ^ нечет12 у/аЬ^ нечетаж2 + 1^2 л/ab
1
2 у/аЬ^ нечет
1
2 у/аЬ^ нечет
Отсюда получается, что наибольшее значение /(ж), равное
функция принимает в точке ж = ^^- Так как функция /(ж)
ная, то ее наименьшее значение, равное — ^, достигается в точке
с функцией g(ж) = —^-, где а^Ь > 0. Эта функция принимает ах Н—с функцией g(ж) = —^-, где а^Ь > 0. Эта функция принимает ах Н—Второй с п о с о б. В области (0, +оо) функция /(ж) совпадает
с функцией g(ж) = —^-, где а^Ь > 0. Эта функция принимает ах Н—
с функцией g(ж) = —^-, где а^Ь > 0. Эта функция принимает ах Н—
ж
свое наибольшее значение в точке, в которой функция h (х) = ах Н— принимает свое наименьшее значение.ж
Так как произведение ах • — = ab постоянно, то сумма ах Н жж
имеет наименьшее значение в случае, когда ах = —, т. е. когда х =
Таким образом, получили, что в области (0,+оо) функция /(ж) .
принимает наибольшее значение в точке ж = у — и оно равно '
Наименьшее значение функции /(ж) находится аналогично первому способу.
„ х ы V (ж + 2) (ж + 4) + 12
а) Имеем у = ——, следовательно, когда
ж ^ —2, имеем
Зж + 4Зж + 43(3ж2 + 4)3(3ж2 + 4)Заметим, чтоЗаметим, что4У “ 154У “ 15212 96когда ж +1 = -ж + - , т. е. когда 55212 96когда ж +1 = -ж + - , т. е. когда 552 = 13'2 = 13'V (25ж + 50) (ж + 4) + 12 . / 25ж + 50 + ж + 4. _\ 1
Зж + 4
Зж + 4
3(3ж2 + 4)
3(3ж2 + 4)
Заметим, что
Заметим, что
4
У “ 15
4
У “ 15
212 96
когда ж +1 = -ж + - , т. е. когда 55
212 96
когда ж +1 = -ж + - , т. е. когда 55
2 = 1
3'
2 = 1
3'
4
Следовательно, наибольшее значение функции у равно — 15
Пусть РА = ж, РВ = у. PC = z. В этом случае
S = х + у + 2+Уж^+у2+^^-1-^+Уг^Гж^ и Vpabc = g xyz.
Так как
а + 622а6,
то
S^xA-yA-zA- V^ ( V^y + V^ + V^) ^
3 ^/xyz + 33 ^/xyz + 322з/ //V Vxy Vyz Vxz.з/ //V Vxy Vyz Vxz.
3 ^/xyz + 3
3 ^/xyz + 3
2
2
з/ //
V Vxy Vyz Vxz.
з/ //
V Vxy Vyz Vxz.
i / s \3s
откуда - II ^ V. и так как в случае х = у = z =
6 ^3(1 + ^) У ' ’3(1+V2)
1/ s V
6\3(1 + V2)/ ’
— наибольший. 3(1 + V2)— наибольший. 3(1 + V2)то объем пирамиды с ребрами х = у = z
— наибольший. 3(1 + V2)
— наибольший. 3(1 + V2)
Воспользовавшись неравенством (3.2), получим 1 ^ z2 + 1, откуда z = 0, х = у = 1.
2.2.2/.।\2
п ож A-yA-z^ A-yA-z)
Заметим, что в неравенстве — имеет
место равенство, так как х + у + z = 3 и х1 + у2 + z2 = 3.
Следовательно, х = у = z = 1 (см. решение упр. 2.2).
Ответ. (1,1,1).3.38. Согласно неравенству (упр. 2.2)Ответ. (1,1,1).3.38. Согласно неравенству (упр. 2.2)2 . ,2 .2 .,2а -р о А- с А~ d2 . ,2 .2 .,2а -р о А- с А~ d44a A- b А- с A- d4a A- b А- с A- d422
Ответ. (1,1,1).
3.38. Согласно неравенству (упр. 2.2)
Ответ. (1,1,1).
3.38. Согласно неравенству (упр. 2.2)
2 . ,2 .2 .,2
а -р о А- с А~ d
2 . ,2 .2 .,2
а -р о А- с А~ d
4
4
a A- b А- с A- d
4
a A- b А- с A- d
4
2
2
16 — е2 > /8 — е\4\ 4 /
следовательно, 5е2 — 16е ^ 0, откуда 0 ^ е ^ ^.
,616
Когда а = о = с = а = -, имеем в = —, поэтому наибольшее
16 значение в равно —.
Имеем
Ж1 + Жз + Ж5 ж2 ж4 ЖбЖ1 + Жз + Ж5 ж2 ж4 Жб1 + Ж2 + Ж4 ж2 ж4 Жб1 + Ж2 + Ж4 ж2 ж4 Жб2 з/ 1 ж2 ж4 ^ У ж2 ж4 Жб2 з/ 1 ж2 ж4 ^ У ж2 ж4 Жб310'310'
Ж1 + Жз + Ж5 ж2 ж4 Жб
Ж1 + Жз + Ж5 ж2 ж4 Жб
1 + Ж2 + Ж4 ж2 ж4 Жб
1 + Ж2 + Ж4 ж2 ж4 Жб
2 з/ 1 ж2 ж4 ^ У ж2 ж4 Жб
2 з/ 1 ж2 ж4 ^ У ж2 ж4 Жб
3
10'
3
10'
Когда Ж1 = 1, Х2 = Ю, жз = 10, ж4 = 102, х^ = 102, Жб = Ю3, имеем
Ж1 + Жз + Ж5Ж2 Ж4 ЖбЖ1 + Жз + Ж5Ж2 Ж4 Жб310’310’
Ж1 + Жз + Ж5
Ж2 Ж4 Жб
Ж1 + Жз + Ж5
Ж2 Ж4 Жб
3
10’
3
10’
Ж1 Жз , Ж5 следовательно, наименьшее значение выражения11рав-
2ж2 Ж4 Жб
но 10’
Запишем неравенство из упр. 2.1 для чисел ж4, у\ 1, 1:
ж4 + ?/4 + 1 + 1>4 ^/х4у4 1-1 = 4| ж | • \у\ ^ Аху; следовательно, х4 + у4 + 2 = 4 ^/х4у\ откуда х4 = у4 = 1. Ответ. (1,1), (-1,-1).
Имеем (ж?/)2 + (з/^)2 + (жг)2 = 3xyz^ следовательно, xyz > > 0. Однако хуz 6 Я, поэтому хуz ^ 1. Согласно неравенству из упр. 2.1
^xyz = (ж?/)2 + (^)2 + (жг)2^xyz ^/xyz3xyz^
следовательно, хуz = 1 и в неравенстве (2.1) имеет место равенство, поэтому (ж?/)2 = (т/г)2 = (жг)2. Итак ж2 = у2 = z2 = 1.
Ответ. (1,1,1), (1,—1,—1), (-1,1,-!), (-1,-1,!).
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Докажите следующие неравенства 1-16.
., . арbq11
ab <1, если —|— = 1, а. Ь, р, а > 0, числа р и а
рqР q
рациональные.
/
(14— ) > 2, где n е N.
(1 + <2,1) (1 + <2,2) . . . (1 + ап) С 1 + jy + • • • + -^-, где S = ai + + «2 + • • • + ап; ^г > 0 (г = 1, 2, ... , п).
fl + fl + fl +>64,где а, 6, с > 0, а + b + с = 1.
V ад \ Ьд \ с)
^/а^Т^ + Х/а?^4^ > За — 1, где а > 0, п > &, п, к Е N.
”ЧГ7n + 1 — ап(п+!)/2 Где а > 0; а ф 1. а — 1)
nan+1 + 1 > ап (n + 1), где а > 0.
(л^к + >Ук + 1) (>Ук -\- 1 + ^//с + 2) . . . ( у/п + ^/n + 1) > (Vn- Vk^V^^r Vk- 1) + 2,
где п > к^ к Е N. di а2 .. ап—1а-п„ /.1х
1h . . . 41> п, где ai > 0 (г = 1, . . . , п).
а2 азan ai
ап+1 н7-С;г > п + 2, где 0 <
ai (d2 — «1) (»з — 02) .. . (»n+i — ап)
< ак < ак^± (к = 1, . . . , п).
1 +<, 1, где О С ж < 1.
2 у! — ж
12. sin2a12. sin2a2Зо — О3 ’2Зо — О3 ’7ГТ7ГТ
12. sin2a
12. sin2a
2
Зо — О3 ’
2
Зо — О3 ’
7Г
Т
7Г
Т
13.13.4 _abсdтНh~7Н—осdе4 _abсdтНh~7Н—осdееаеа
13.
13.
4 _abсd
тНh~7Н—
осdе
4 _abсd
тНh~7Н—
осdе
е
а
е
а
abcde ф О.
14.14.1999z^xl9991999z^xl99919997^x1999 а b с19997^x1999 а b сddтНЬгдео с d атНЬгдео с d аО.О.х аг + as15. а) \hV азгде ai,. . . , ап > 0 их аг + as15. а) \hV азгде ai,. . . , ап > 0 и> п ^2.> п ^2.
14.
14.
1999z^xl999
1999z^xl999
19997^x1999 а b с
19997^x1999 а b с
d
d
тНЬгде
о с d а
тНЬгде
о с d а
О.
О.
х аг + as
15. а) \h
V аз
где ai,. . . , ап > 0 и
х аг + as
15. а) \h
V аз
где ai,. . . , ап > 0 и
> п ^2.
> п ^2.
\ XU£33999-1гх
в) 2+;2+;2 > —9 , где я +у +z2 = 1 и ж,у,г > 0.
1 — х 1 — у 1г
X 71\/1\/х п
• 1 ап >• 1 ап >— 1) (— 1). . . ( — 1)> ( п2— 1) ,где ai,.
• 1 ап >
• 1 ап >
> О И 0-1 + 0-2 + ... + ап — 1.
Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения
(1 + и) (1 + 71) (1 + w) ,
7
если 0 < и, V, w ^ —, и + и + w = 1.
16
Найдите наибольшее значение выражения xpyq^ если х + у = = а, х^у > 0 и р, q Е N.
Найдите наибольшее значение выражения а + 2с, если для любого ж, где |ж| < 1, ах2 + Ьх + с < —. 1.
VI - Ж2
1И X,//2 12. Когда а = V2, b = 0, с = —:V2Н7= С —/•V2 V1 - ж21И X,//2 12. Когда а = V2, b = 0, с = —:V2Н7= С —/•V2 V1 - ж2Указание. ПринявУказание. Приняв< 2 V V2®2< 2 V V2®2= — —^, получим а + 2с проверить, что для |ж| < 1= — —^, получим а + 2с проверить, что для |ж| < 1
1
И X
,//2 1
2. Когда а = V2, b = 0, с = —
:V2
Н7= С —/•
V2 V1 - ж2
1
И X
,//2 1
2. Когда а = V2, b = 0, с = —
:V2
Н7= С —/•
V2 V1 - ж2
Указание. Приняв
Указание. Приняв
< 2 V V2®2
< 2 V V2®2
= — —^, получим а + 2с проверить, что для |ж| < 1
= — —^, получим а + 2с проверить, что для |ж| < 1
Докажите, что (1 + - ) (14— ) (14— ) > 2 14,. , ,
где а, 6, с > 0.
Указание. (1 + — ) (14— ) (14— ) — 2 + т 41h 7 4— \ о/ у с/ у а/о а с о с а
тт1 + од 1 4- 021 + a-n-t-iII
Докажите, что --. . > п , где —1 <
1 - од 1 - а2 1 - ап-н
< 0-1,0-2, • • • , G-n+1 < 1 и 0-1 4“ • • • 4“ Gz-n+l Т1 — 1.
Указание. 1 + а^ ^ (1 — di) + ... + (! — o^-i) + (1 — at+i) + • • •
• • • Н- (1^n+i)’
Докажите, что
(а 4~ Ь^(6 4~ с)^(с 4~ d^^d 4~ ci^ 16а^b^1 с^1 d^1 ^а + ^ + с 4~ d^
где а, 6, с, d > 0.
Указание, (а + b + с + d)2, =
= (а + b)(b + с) + (а + b)(d + а) + (b + с)(с + d) + (с + d)(d + а).
4 Н.М. Седракян, А.М. Авоян
МЕТОД ПРИМЕНЕНИЯ НЕРАВЕНСТВА КОШИ-БУНЯКОВСКОГО
В данном параграфе будут рассмотрены некоторые неравенства, для доказательства которых будет применено неравенство Коши- Буняковского.
Сначала докажем его для чисел «1, «2? &i, 62.
Пусть даны векторы а (а^; а^) и b^bx'-^Y Из школьного курса математики известно, что а • b = а^Ьх + а^Ь^ = |а| • \b\ cos (а; Ь).
Оценим модуль скалярного произведения а • Ь:
\а • Ь\ = |5| • \Ь\ • |cos (а; Ь)\ < |а| • \Ь\.
С другой стороны,
\а • Ь\ = |«161 + а262| С |а| • \b\ = a^-V а^ • ^i + ^2, или
(aibi + d262) ^ (а^ + а^) (Ь^ + Ь^) .(4-1)
Это неравенство является частным случаем неравенства Коши-Буня- ковского для чисел ах, а2, bx, Ь2-
Заметим, что в (4.1) равенство имеет место тогда и только тогда, когда ахb^ — а^Ьх = 0.
Обобщение неравенства (4.1) на числа ах, а2,. •., ап, bx, Ь2, •. •, Ьп, которое называется неравенством Коши-Буняковского, имеет вид
(«1 + «2 + ... + а^) (Ь^ + Ь^ + . . . + Ь^
(^axbx + a2b2 + . . . + anbn) • (4-2)
Докажем неравенство (4.2) для случая, когда
ах, а2,... ,anibx,b2,... ,Ьп 0.
Первый способ. Пусть
= У (di + . . . + а^) (61 + . . . + b^Y
где k = 1, 2, . . . , п. В этом случае
Яй + 1 = ^(«1 + • • • + «fe + «fe + 1) (Ь1+--- + Ьк+ bl + i) =
^^а1 + • • • + ак ■ ^1 + • • • + 6^ + «*+i^+i) = жк + ак+1Ьк+1-
Таким образом, получим x^i ^ х^ + а-к^\Ьк^\- где к = 1,2,... . . . , п — 1.
Складывая полученные неравенства, получим
ДДТ?~|Т|ДД4~?ТДУ «161 + ... + апЬп,
ИЛИ
(^1 + . . . + а2) (Ь^ + . . . + b^ ^ (aibi + . . . + апЬп) .
Теперь обсудим случай, когда числа cii, а-^ ..., ап, bi, 62, ..., bn являются произвольными действительными числами. В этом случае
(а1 + • • • + ап) (^1 + • • • + ^п) =
= (|^1|2 + . . . + |an|2)(|6i|2 + . . . + |6n|2) > (|ai6i| + . . . + |ап6п|)2 >
Д |(Zi6i + . . . + an6n| = (aibi + . . . + anbn) .
Второй способ.
(«1 + . . . + а^) (62 + . . . + 62) — (gm61 + . . . + апЬп)2 =
= У (aibj - biQj)2 0.
i,j = l;i>j
Рассмотрим примеры.
Пример 4.1. Доказать неравенство sin a sin Д + cos a + cos Д С 2.
Доказательство. Справедливо
sin a sin Д + 1 • cos а + 1 • cos Д <
С V sin 2 а + cos 2 а + I2 з/ sin 2Д + cos 2Д + I2 = \/2 ^/2 = 2.
Пример 4.2. Доказать неравенство а3 + 63 > а2 + 62, если а > 0, b > 0 и а2 + 62 > а + Ь.
Доказательство. Имеем
(а3 + 63)(а + 6) = ((аЗ/2)2 + (63/2)2) ((а1/2)2 + (61/2)2) ^
^а1/2 + Ь^2Ь2/2)2 = (а2 + 62)2.
Посколькуl Т0 й3 + ^3 > П2 + 62.
а2 ^Ь2 а^Ь ’
УПРАЖНЕНИЯ
Докажите неравенства 4.1-4.19, 4.22, 4.23.
а2 + Ь2 + с2 > 14, если а + 2Ь + Зс > 14.
ab + УСГ^о^ДТ^2) 1; если |d| < 1, \Ь\ ^ 1.
з/с (d — с) + з/с (6 — с) ^ Vab^ где а, b > с > 0.
а з/d2 + с2 + b з/б2 + с2 < а2 + Ь2 + с2.
+ —U + —U <- + | + -, где а > 0, 6 > 0, с > 0.
^Ьс л/сау/abа b с
3/d(d + с — 6) + Vb^a + b — с) + V^ + с — d) < < V (а2 + ь2 + С2) (а + 6 + с), где а, Ь, с — стороны некоторого треугольника.
. - /\ / 111 А 9
(di + а2 + . . . + ап)1h . . . Н^ п , где di, d2,... \ а^й2dn /
• • • , dn > 0.
4 g а1 + . . . + ап > / ai + . . . + ап \
did2 + d2d3 + . . . + dgdio + diodi ^ —1, если d2 + d2 + . . . . . . + d20 = 1.
a) x4 + y4 ^ x^y + xy3;
x4 + Ж2 + . . . + X4 ^ X3X2 + Ж2Жз + . . . + x^_xxH + Ж^Ж1, где n > 2.
(|di|3 + . . . + |dn|3) < (d2 + . . . + d2) .
3 (d2 + b2 + c2 + x2 + y2 + ^2) +
+ 6 ^/ (d2 + 62 + с2) (ж2 + ?/2 + ^2) > ^a -V b -V с-V x -V у -V .
a2 + b2 + c2 > ab + be + ac.
(di + d2 + . . . + dn) (dj + d^ + . . . + d^) > (d^ + d2 + . • . + d^) (d^ + d2 + • . • + d^), где di, d2, . . . , dn > 0.
a) 3/d + 1 + x/2d-3 + з/50 - 3d 12;
a + b + c < abc + 2, где a2 + b2 + c2 = 2.
f^2f УТ аг ^УТ a^ где kDn E ND di, . . . , an >
xz=l7 xz=l 7Z=1
> 0.
a + ^ + c ^ ^abc^ где a. b. c > 0.
Q al + • • • + аП \ f al + 0-2 + • • • + О,П A, txt
> , где n, к E N, di, . . .
n\J
• • • dn ^ 0.
fl +) fl +) >5, где 0 < a < У
\ sin ce / \ cos a /1
Найти расстояние точки A(x^yo) от прямой, задаваемой уравнением ах + by + с = 0 (d2 + 62 ^ 0).
Найти наименьшее значение выражения (M-V)2+ (V2-M2 -,
если 0 < п < ^/2, v > 0.
). ж2+(^^) + ...+ (^^^) <4(ж2 + ... + Ж2).
а)1h . . . Н! ^ 4 (h . . . Н); di di + а2di + • • • + ап \ ахап /
12по / 11 А
б)1h ... Н ^ 2 (где di,
di di + d2di + . . . + an \dian /
d2, . . . , an > 0.
РЕШЕНИЯ
Из (4.2) имеем
(d2 + 62 + c2) (I2 + 22 + 32) > (d + 2b + 3c)2 > 142, откуда d2 + 62 + c2 > 14.
ab + a/(1 — a2)(l — b^ <
*) Это неравенство является частным случаем неравенства Харди
где р > 1, di > 0 (г = 1, . . . , п).
7с^а — с) + 7с(6 — с) = л/с /а — с + /Ь — с л/с
а /а2 А- с2 + /b2 А- с2 b
< \]а2 А- \ /Ь2 + с2)2 ^W^ = а2 + 62 + с2.
л/b л/с л/с /а /а л/b \ \Ь с а/ \с а Ь/ 111
—I " а о с
Заметим, что
з/о (о + с — 6) + /Ь (а + b — с) + а/с (Ь + с — а) =
= л/ с/а + с-Ь)/а + с- 6)+
+ х/Ь^а А-b - с) л/аА-Ь - с + 7С(^ + с - а) 7(6 + с - а) <
< 7 (а (а + с — 6) + 6 (а + 6 — с) + с (6 + с — а)) х
х 7 (а + с — 6) + (а + 6 — с) + (6 + с — а) =
= 7(а2 + 62 + с2) (а + 6 + с).
+ • • •+
\ х з/аг /X х/ап / /
(/ 1/ 1\22
> I ^ai—F= + ... + Van^^= ) = и • х лу а^х/а-п,'
(а2 + . . . + а2) (I2 + .^. + I2) > (di + . . . + ап)2, откуда
а^ + • • • + а^ ^ / di + . . . + dn \
п\ п ) *
|did2 + . . . + (Igdio + diodi| ^
откуда 0-10-2 + . . . + O9O10 + OiqO-1 —1.
4.10.4.10.а) ж4 + у4 = -\/ж4 + у4 Уж4 + у4 > Уж4 + у4 У2ж2у2 =
4.10.
4.10.
=(ж2)2 + (у2)2(жу)2 + (жу)2 > ж3у + жу3.
б) Имеемб) Имеем
б) Имеем
б) Имеем
|ж^Ж2 + ж2ж3 + . . . + Ж^Жп + Ж®Ж1| >
> Ж^Ж2 + Ж2Ж3 + ... + х^1_1хп + Ж®Ж1.
(|«?| + ... + |«з I)2 = (Н а2 + ... + К| а2)2 <
(а2 + . . . + a2) (af + . . . +(а2 + . . . + а2^^f =
= (а2 + ... + а2)3,
Левая часть неравенства равна
3(^0^+^+^+ V®2 + у2 +22)2 — в.
Согласно неравенству из упр. 4.8 имеем
в^з(уГ(^1±г)2+ уцн+pi^
ab + Ьс + са < з/ (а2 + 62 + с2) (62 + с2 + а2) = а2 + 62 + с2.
Имеем
(ai + . . . + а^ (а^ + . . . + а^) =
= ((\Ai)( \Ап) ) ((\А0 + • • • + (V^) )
Аналогично, (а^ + . . . + а^) (af + . . . + а^) > (af + . . . + а^ )2.
Перемножая полученные неравенства, получим
(ai + . . . + ап) (а^ + . . . + а^) > (а^ + . . . + а^) (а^ + . . . + а^) .
а) Имеем
• ^q +~1 + 1 • ^2q — 3 + 1 • ^50 — 3d
< 7 (I2 + I2 + I2) ((V« + I)2 + ( V2» - З)2 + (УбО^З^)2) = 12.
Имеем
a (be - 1) + (Ь + с) • 1 < V (°2 + (Ь + с)2) ((be - I)2 + I2) =
= VW^-b^TTW+^cTb^ с 2,
так как ос
Обозначим ^^ af = Ag. Из неравенства (4.2) получим г=1
^«^-.=('s(«r,,''2)2Xf:*“<",)/2>2b
> (i>№/2 • а^-1/2=А2к.
Аналогично, получим
Ак • Ак-2 А^_Т,Ak-i • Ак-з А^_^^
А2 • Ао ^ А^, А1 • А-1 > Ад. Перемножая полученные неравенства, получим Ак^х • А_у ^ Ак • Ао, или
(а + b + с) (6 + с + а) = (( у/а) + (л/b) + ( у^) ) х х ((Vbf + (V^f + (\А)2)
(л/ab + л/bc + л/ас/ ( л/с + V^ + /b/( /abc + /abc + /abc)
(а + 6 + с) (1 + 1 + 1) ^ (л/а + л/b + \/с) •
Перемножая полученные неравенства, получим
[а + b + с) abc^ или у abc.
Имеем
Ак • Ак-2 А^_пAk-i • Ак-з А^._2^
А2 • Ад ^ А^ откуда получаем
Ак • Ад ^ Ak-i • Ai,Ак-х • Ао > Ак-2 * Ai,
А2 • Ao Ai • Ai,Ai • Ао Ао • Ai.
Перемножая полученные неравенства, получим А к • А§ ^ Ао • А^ или a^ + ... + а1^ /ai + ... + an\Kк
(^j . Здесь Ак = >.
г=1
= (1 + V2)2 >= (1 + V2)2 >5.5.
= (1 + V2)2 >
= (1 + V2)2 >
5.
5.
Пусть M (х, у) — некоторая точка прямой, задаваемой уравнением ах + by + с = 0. Определим наименьшее значение расстояния АМ = (х — жо)2 + (?у — Уо)- Согласно неравенству (4.1)
(а2 + Ь2) ((ж - ж0)2 + (у - Уо)2) > (а (ж - ж0) + b (у - Уо))2 ,
откуда -Уа2 + 62 ^ (ж - ж0)2 + (у - уо)2 |аж + by - аж0 - Ьу0\, или
Г, .2 . /^2 . |аж0 + 6у0 + с|
v (ж — жо) + VU — Уо) ^ J/—• ^ последнем неравенстве ра-
vу а2 + Ь2
ж - Жо У - Уо
венство имеет место, когда = —:—.
аb
Решая систему
{
ах + by + с = 0,
ж - Жр _ у - Уо
аb ’
аж0 + Ьу0 + с ,, ах0 + Ьу0 + с ,
получим Ж = -а272Ь Жо, У = -Ь272И Уо.
а + bа + b
Таким образом, расстояние точки А от данной прямой равно
|аж0 + Ьу0 + с|
Va2 + b2
Имеем
(и —+ (л/2 — п2 —=2 — 2 (ии + -—+ v2 +>
\V/\ v v /J
у х v\\v J Jуи/у х v\\v J Jуи/
у х v\\v J Jуи/
у х v\\v J Jуи/
Когда v = 3, и = 1, имеем (п — и)2 + ^/2 — и2 — — j =4 + 4 = 8, следовательно, наименьшее значение данного выражения равно 8.
ЧД + 1 + ^ЧД + 1 + ^ч + 7,4 Л +1 + ^чДч^ч + 7,4 Л +1 + ^чДч^х + чДчД(V -г + чД^чух + чДчД(V -г + чД^чуХмчтгомэоцХмчтгомэоц> I — ^уЛ^ OlLH ‘^эж^моу> I — ^уЛ^ OlLH ‘^эж^моу
ЧД + 1 + ^
ЧД + 1 + ^
ч + 7,4 Л +1 + ^чДч^
ч + 7,4 Л +1 + ^чДч^
х + чДчД
(V -г + чД^чу
х + чДчД
(V -г + чД^чу
Хмчтгомэоц
Хмчтгомэоц
> I — ^уЛ^ OlLH ‘^эж^моу
> I — ^уЛ^ OlLH ‘^эж^моу
Ч + чД^ - ч + ^чД + ^ > Ут-чДНчэ ч >
•х-чД^ = (т - ЧД -чД^ + "- + (^ -^Л)^ + (т -^)к + I =
WQQWJI -WOE^dgO ГМИЬютХУЭТГЭ Ч^Е^МОУ ОНУХб^ЭН OlL^WQQWJI -WOE^dgO ГМИЬютХУЭТГЭ Ч^Е^МОУ ОНУХб^ЭН OlL^чЛ ^А—h • • • + Vy < ЛчЛ ^А—h • • • + Vy < Лх^чДчД(чД -х + чДЧх^чДчД(чД -х + чДЧ
WQQWJI -WOE^dgO ГМИЬютХУЭТГЭ Ч^Е^МОУ ОНУХб^ЭН OlL^
WQQWJI -WOE^dgO ГМИЬютХУЭТГЭ Ч^Е^МОУ ОНУХб^ЭН OlL^
чЛ ^А
—h • • • + Vy < Л
чЛ ^А
—h • • • + Vy < Л
х^чДчД(чД -х + чДЧ
х^чДчД(чД -х + чДЧ
OiLh Ч^Е^МОП ОНЬО^^ЗОУ (g*^) ^З^ЭНЭЭ^бЭН ^З^ЭЧИ'Э^Е^МОУ Kiry
' ^(^^ + ' • ' + ^О + Тр) <
< (^ + --- + ^ + l)(^^ + ---+^^ + io)
(^‘^) ХаюнэачзсЬн ohdwjoq
(s^) •7,(s^) •7,OlLH ‘тэжтзмоуOlLH ‘тэжтзмоу=/у + • • • + Ту=/у + • • • + ТуА / Л «Л 7 Т X г + ЧЛ 'ЧЛ- < (чЛ 7у + ’ ' " + ^Л 7° + 7°) "Ч ^Л"А / Л «Л 7 Т X г + ЧЛ 'ЧЛ- < (чЛ 7у + ’ ' " + ^Л 7° + 7°) "Ч ^Л"711 71 7711 71 7
(s^) •
7,
(s^) •
7,
OlLH ‘тэжтзмоу
OlLH ‘тэжтзмоу
=/у + • • • + Ту
=/у + • • • + Ту
А / Л «Л 7 Т X г + ЧЛ 'ЧЛ
- < (чЛ 7у + ’ ' " + ^Л 7° + 7°) "Ч ^Л"
А / Л «Л 7 Т X г + ЧЛ 'ЧЛ
- < (чЛ 7у + ’ ' " + ^Л 7° + 7°) "Ч ^Л"
711 71 7
711 71 7
‘онч^э^зоУэтго
мээми *^*Vмээми *^*V
мээми *^*V
мээми *^*V
8585огояээоякн^д-птох vdmoHddvddH -кпнэнэзлгпДи (юшэ]/\[ -^§
85
85
имеем
Р < к + х/к2 + к - 2 л/к + 1,
V& + 1+ Vk
ИЛИ
2А( л/к + 1 - л/к) < к + Vk2 + k -2^+1,
ИЛИ
2 л/к(к + 1 + Vk2 + к) - (к + 1 + Vk2 + к) < 4к Vk, откуда 2 х к — 1 < ,.
vк + 1 + V^Vk
Докажем, что множитель 4 в правой части данного неравенства нельзя уменьшить. Пусть неравенство
имеет место при любых Ж1,. . . , жп. Выбирая ж^ = —т^ (^ = 1, • • • , п),имеет место при любых Ж1,. . . , жп. Выбирая ж^ = —т^ (^ = 1, • • • , п),Используя неравенство из упр. 14.16, можем написатьИспользуя неравенство из упр. 14.16, можем написать1111откуда 4 — 8откуда 4 — 8Переходя к пределу, получимПереходя к пределу, получимс.с.limlimlim с,lim с,так как согласно упр. 7.15 и 7.16так как согласно упр. 7.15 и 7.16тельно, 4 ^ с.тельно, 4 ^ с.= о,= о,следова-следова-
имеет место при любых Ж1,. . . , жп. Выбирая ж^ = —т^ (^ = 1, • • • , п),
имеет место при любых Ж1,. . . , жп. Выбирая ж^ = —т^ (^ = 1, • • • , п),
Используя неравенство из упр. 14.16, можем написать
Используя неравенство из упр. 14.16, можем написать
11
11
откуда 4 — 8
откуда 4 — 8
Переходя к пределу, получим
Переходя к пределу, получим
с.
с.
lim
lim
lim с,
lim с,
так как согласно упр. 7.15 и 7.16
так как согласно упр. 7.15 и 7.16
тельно, 4 ^ с.
тельно, 4 ^ с.
= о,
= о,
следова-
следова-
4.23. б) Имеем
! ! / 1\1/1 1\। ! / !1 \
ах ах \2 / ах \23 /ах \п (п + 1) /
11
п (П + откуда
Докажем, что
ах азак ) ук2 (& + 1)2/ ах + . . . + ак 1
/\ / 12к \А- 1)
или (di + . . . + ак) \1h . . . Н>. Имеем
ху di ^2ак у 2 (2к + 1)
/ Iо2к2\
(di + . . . + ак^ [1h . . . Н1 ^
\did2ак у
1, АГ^Т _k\k + lf A3(fe + 1)2
ciiуак I 4 2 +1)
Таким образом,
1 WiF1 WiFках + а^ + . . . + акках + а^ + . . . + ак
1 WiF
1 WiF
к
ах + а^ + . . . + ак
к
ах + а^ + . . . + ак
Теперь докажем, что множитель 2 в правой части данного неравенства нельзя уменьшить. Действительно, пусть
12п
1.h • • • Н.. ах ах а2ах + • • • + ап
Возьмем ак = к (к = 1, 2, . . . , п), в этом случае
2жп+12ОСп2жп+12ОСп^ с?^ с?
2жп+12
ОСп
2жп+12
ОСп
^ с?
^ с?
где хп = 1 + - + ... +
2п
Следовательно, 2 Пш ( ^±1) с, или 2 с.
71—^ОО \ Х-п Хп /
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Докажите неравенства 1-7.
(sin ai + . . . + sin an)2 + (cos «i + . . . + cos an)2 C n2.
ai + . . . + o,n у
> x/ai...an, где ax, . . . , an > 0.
^aibi + . . . + ^anbn^/di + . . . + nn Vbi + ... + bm где
CLi^ bi 0 (z = 1,. . . , n).
(ж2т/3 - ж^у^ + (Ж17/3 - ж3?/1)2 + (Ж1Т/2 - ^2z/i)2 <
с (ж? + ж^ + ж2) ^Ух + Уг + у1) .
= 1,. . . , п).= 1,. . . , п).
= 1,. . . , п).
= 1,. . . , п).
ai biai bi
ai bi
ai bi
~’ где ж^у{> 0 (z = 1,. . . , п).
уг //
г = 1zг = 1 '
ах + by + cz +
2
> - (а + b + с) (ж + у + z\
Найти расстояние точки А (х^у^ zq) до плоскости, задаваемой уравнением ах + by + сг + d = 0 (а2 + Ь2 + с2 ф 0).
Докажите:
тождество
(diCi Т . . . Т ^n^n)(^i^i Т • • • Т bndn^
— (aidi + . . . + andn)(biCi + . . . + bncn) =
^ ^ ^i^k akbi)(cidk ckdiY
l^i<k^n
неравенство
(diCi + . . . + ancn)(bidi + . . . + bndn)
(a±di + . . . + andn)^biCi + . . . + bncn);
здесь bidi > 0 (z = 1, . . . , n) или bidi < 0 (z = 1, . . . , n) и
< &2 << dn Cl ^ C2 ^^ Cn
b^bn 1 di d^dn
Докажите, что
(Р191 - Р292 - • • • - РпЯпТ (Pl - Р2 - • • • - РпШ1яАь
если Pl > Р2 + • • ■ + Р^, 91 ^ 92 + • • • + Яп-
Найти наибольшее и наименьшее значения выражения
V^2 + (т/ - I)2 + Vl^^P^y2
Докажите, что
V^^^+IeF+I^V^A^yTA^ a/x^A^x^A^z2 +
+ л,/х2 А- ху А- у2 Vх2 A- xz A- z2 (ж + у + ^)2.
Указание. Справедливо
х/ж2 + ж?/ + ?/2 з/^/2 + 2/^ + ^2 =
§ 5. МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННЫХ
При доказательстве некоторых неравенств целесообразно произвести замену переменных.
Пример 5.1. Доказать неравенства — - у^ -. 2(1 + ж ) (1 + у )2
Доказательство. Пусть ж = tgа, у = tg(3. В этом случае (ж + у)(1 - жу) _ (tga + tg/3) (1 - tgatg/3) _ (1 + ж) (1 + у2)(1+tg2a) (1+ tg2/3)
sin (a + /3) cos (a + /3)
Пример 5.4. Доказать, что если а, 6, с > О и abc = 1, то
< 1.< 1.111
< 1.
< 1.
1 4- а 4- b 1 4- b 4- с 1 4- а 4- с
Доказательство. Пусть ^/а = ж, ^/b = у. у/с = z, в этом
случае
.1xyz / xyzz
xyz = 1, = < з = :
l + a + 6 Xyz + х + у xyz + ху (ж + у) х + у + z
аналогично получим, что
/ х1/ у
^ и ^ .
1 + b + с х + у + z 1 + а + с х + у + z
Следовательно,
—-—+—-—+—-— < —-—+—у-—+—-—
+ а + b 1 + 6 + с 1 + а + с х + у + z х + у + z х + у + z
Пример 5.5. Доказать, что если жх,. . . , хп > 0 и ——h . . .
1«2ж",11
...Н= п, то Ж1 + -^ + ... Н> 1 + - + ... Н—.
жп2п2п
Доказательство. Пусть ж^ = 1 + Уг^ где у г > — 1. Имеем
(жх + . . . + жп)h . . . 4,
\Ж1хп;
откуда ух + . . . + уп 0.
Согласно неравенству Бернулли (упр. 3.27, а)), учитывая вышесказанное, получим
Ж2ж^ .11.11
Ж1 + у + ... + —>1 + - + ... + - + У1+У2 + ...+Уп>1+2 + -- - + -,
Ж2.11
следовательно, жх + — + ... 41 + - + ... 4— •
TtTt
Пример 5.6. Доказать, что если а^^ а-^^ . . . ^ ап ^ \ и п ^ 2, к 2, к е N, то
к/7к/7 (п - 1)(п-1)Л к/
yai — 1 + ...+ у ап — 1 < (-п-кА/к— у а1 • • • °
Доказательство. Пусть b^ = \/(n — 1)(g^ — 1), где г = 1, 2, ... п и b^ < 1,. . . , b^ < 1, а Ь^г 1,. . . , 6^ > 1. Тогда согласно неравенствам из упр. 10.6 и 11.14 имеем
п /\ п у \ п у \ п у
bi + 62 + . . . + bn \ ^ n/bi + 62 + . . . + bn \ ^ n/
bi + 62 + . . . + bn \ ^ n/
bi + 62 + . . . + bn \ ^ n/
^ - 1^n- l)ai .
Заметим, что 1 4= , г = 1, 2,.. . , п; следовательно,
пп
(тг-1Уп-^/к к/ , к/—-
откуда ' ^п-к^к— V Q1 •••an^ V°i^а^-Х.
УПРАЖНЕНИЯ
Докажите неравенства 5.1-5.5, 5.8-5.12.
4 < а2 + b2 + ab + з/4 — а2 з/9 — 62 С 19, где О С а С 2 и О с b с 3.
п з/m — 1 + т у/п — X mn, где m, п 1.
з/т2 — п2 + ^/2тп — п2 т^ где т > п > 0.
ж > з/ж — 1 + з/ж (з/ж — 1), где ж 1.
1 4—+ . . . 4—= > п \ -, где n е N.
V 2V п V п + 1
х - У < 11 + ху з/з'х - У < 11 + ху з/з'Докажите, что среди любых семи чисел можно найти два чис
х - У < 1
1 + ху з/з'
х - У < 1
1 + ху з/з'
ла х, у, для которых справедливо неравенство
Докажите неравенство из упр. 4.3.
8 \а ~ Ь\\а - с| + \Ь - с|
■ ' угт^л/гт^ уТТ^УГТ^ V1 + 62 V1 + с2 ‘
а) ^(«1 + 61)... (an + 6n) > ^ai • • •ой + V^i • ■ •
aibidnbn /(&i + . . . + ап) (bi + . . . + bn)
;h . . . 4— < Дх /,где
di + biап + bn \^ai + . . . + ап) + (oi + . . . + bn)
di, bi > 0, г = 1, 2, . . . , п.
5 Н.М. Седракян, А.М. Авоян
2 ^ 2 + 2 7 ГДе
(Ж1 4- Ж2) (pi + 7/2) - (^1 + ^2) Х1У1 - ^1 Х2У2 - ^2
Ж1, Ж2 > 0 И Х1Р1 — ^1 > О, Х^р^ — ^ > 0.
а) з/а — 1 + ^/b — 1 + ^/с — 1 < -^= л/abc^ где а^ с 4> 1;
з/а — 1 + \/б — 1 + ^/с — 1 + лУd — 1^ ^ -Уabed., где а, Ь. с.
d > 1.
к а? + . . . +/ аг + . . . + ап \м
> , где к е N и ai, . . .
п\ п /
• • • 7 а^ > 0.
На интервале [а, а + 4] задана дифференцируемая функция / (ж). Докажите, что существует точка ж о (жо € [а, а + 4]) такая, что
/' (ж0) < 1 + /2 (ж0) .
Пусть функция / (ж) определена на отрезке [а, 6], / (ж) > О, ж е (а, Ь) и / (а) = / (Ь) = 0, / (ж) + f" (х) > 0 для всех ж Е [а, Ь^. Докажите, что b — а > тг.
Докажите, что если а ^ ^ b ^ |, то
(
2/2 \ 2/ 2 . ,2. 1
а — о \ > а + о а + о
Докажите неравенство
п
Ж1 + ж2 + . . . + Хп С -,
где Жх + Ж2 + • • • + ж^ = 0 и Xi е [—1,1], г = 1, 2,. . . , п.
Докажите неравенство
хрz Зх/З
2 ~Н2 ~Н2л 7
1 + Ж 1 + р 1 + 24
где ж2 + р2 + 2? = 1.
РЕШЕНИЯ
Пусть а = 2cos а, 6 = ЗсобД, где а,Дб [о, ^] • Тогда
а2 + b2 + ab + з/4 — а2 з/9 — 62 =
= 4 cos 2а + 9 cos 2Д + 6 cos a cos Д + 6 sin a sin Д =
= 4cos 2 а + 9 cos 2/3 + 6 cos (а — /3) С 4 + 9 + 6 = 19. С другой стороны,
6 sin a sin /3^6 sin 2 а или 6 sin a sin /3^6 sin 2/3.
Если 6 sin а sin/3 ^ 6 sin 2а, то
4 cos 2 а + 9 cos 2/3 + 6 cos a cos /3 + 6 sin a sin /3
4 cos 2а + 6 sin 2а + 9 cos 2/3 + 6 cos a cos /3^4, если же 6 sin a sin/3 ^ 6 sin 2/3, то
4 cos 2а + 9 cos 2/3 + 6 cos a cos /3 + 6 sin a sin /3 > 6,следовательно, в обоих случаях а2 + b2 + ab + з/4 — а2 з/9 — 52 ^ 4.
_ _ т т11~ Г „ 7Г \
Пусть т = ^, п = ^, а, р € О, — 1; в этом случае
cos a cos /3L 2 /
sin а 1 sin /3
п л/m—1 + m V1 _ cos 2/3 coso cos 2 о cos/3 _ sin 2o+sin 2/3 < mn127
To cos a cos p следовательно, n ^m — 1 + m 3/n — 1 mn.
Пусть — =sina, где aE (0, Тогда m\2 /
Vm2 — n2 + ^mn — n2 _ m cos a + m 3/2 sin о — sin 2 о _ mm
= cos a + \/2 sin a — sin 2a = cos a + 3/sin a + sin a (1 — sin a)
> cos a + 3/ sin a ^ cos 2 a + sin 2 a = 1, следовательно, 3/m2 — n2 + ^/2mn — n2 m.
5.4. Пусть х =
1
где a е [0, —
). Тогда данное неравенство
27
cos а
приведется к виду
1
> tg a НJ cos а у
' 1 — cos а
2"
cos а
cos а '
или
1 > sin a cos a + 3/cos a (1 — cos a).(5-1)
Согласно неравенству (3.2)
^/ cos a (1 — cos a) < |,sin a cos a < |,
где равенства не выполняются одновременно. Теперь, складывая эти неравенства, получим неравенство (5.1).
Сначала докажем, что
V кл/ п + 1 — к V п + 1
где к = 1, 2, . . . , п.
Пусть к = (п + 1) sin 2а, где 0 < а < —. Тогда
Поскольку
Пусть хк = tga/e, где -- < ак < -, к = 1, 2,. . . , 7. Разде- Г 7Г 7Г1„
лим интервал I— —, — I на шесть равных частей. Согласно принципу Дирихле из ак хотя бы два принадлежат одному отрезку, следовательно, U С$ —; учитывая последнее, получим
У^ХгХз 6 V г6 6 Уз
Вводя обозначения а = —^2“, Ь= —^2“, где а,ДЕ(0, cos о cos Д\2 J
нетрудно после нескольких эквивалентных преобразований получить очевидное неравенство sin (а + Д) 1.
Вводя обозначения a = tga, 6 = tg Д, с = tg7, неравенство приведем к виду
|sin (а — /3)| < |sin (а — 7)| + |sin (/3 — 7)! .
Доказать последнее можно следующим способом:
|sin (а — Д)| = |sin (а — 7) cos (7 — Д) + sin (7 — Д) cos (а — 7)! <
< |sin (а — 7) cos (7 — Д)| + |sin (7 — Д) cos (а — 7)! <
С |sin (а - 7)| + |sin (7 - Д)| .
5.9. а5.9. а= tga^ (^ = 1,2, ...,п). После некоторых= tga^ (^ = 1,2, ...,п). После некоторыхпреобразований получимпреобразований получиму sin ai . . . sin 2an + у cos 2qi . . . cos 2an 1.
5.9. а
5.9. а
= tga^ (^ = 1,2, ...,п). После некоторых
= tga^ (^ = 1,2, ...,п). После некоторых
преобразований получим
преобразований получим
Используя неравенство из упр. 2.1, найдем
5 / sin 2oi + . . . + sin 2oai . . . cos 2an ^
n
cos 2oi + . . . + cos 2о
n
б) Пустьб) Пусть,2 ,261 tg «161 tg2oi + 61,2 ,261 tg «161 tg2oi + 61= 1, 2,.. . , п). В этом случае имеем
б) Пусть
б) Пусть
,2 ,2
61 tg «1
61 tg2oi + 61
,2 ,2
61 tg «1
61 tg2oi + 61
,2 ,2
У bt sin2QiУ bt sin2Qibi cos 2bi cos 2/ • 2, ,sinМножитель b^bа I 2\ cos/ • 2, ,sinМножитель b^bа I 2\ cos. 2Sin 12 COS. 2Sin 12 COSв левой части этого неравенствав левой части этого неравенстване больше множителя 6^ bj (tg 2а^ + tg 2 aj) в правой части неравенства, т. е.не больше множителя 6^ bj (tg 2а^ + tg 2 aj) в правой части неравенства, т. е.sin ^ai 1 sin 2< cos 2 о j cos2это справедливо, поскольку/ • 2.2, . 2( sin aitg ai + tg aj -2h\ cos a asin ^ai 1 sin 2< cos 2 о j cos2это справедливо, поскольку/ • 2.2, . 2( sin aitg ai + tg aj -2h\ cos a atg2a* Н- tg2^;tg2a* Н- tg2^;. 2sin a32cos ai. 2sin a32cos ai/ • 2• 2\2_ (sin ai — sin aj)/ • 2• 2\2_ (sin ai — sin aj)2222cos at • cos а^cos at • cos а^0.0.bn tg on
У bt sin2Qi
У bt sin2Qi
bi cos 2
bi cos 2
/ • 2
, ,sin
Множитель b^bа I 2
\ cos
/ • 2
, ,sin
Множитель b^bа I 2
\ cos
. 2
Sin 1
2 COS
. 2
Sin 1
2 COS
в левой части этого неравенства
в левой части этого неравенства
не больше множителя 6^ bj (tg 2а^ + tg 2 aj) в правой части неравенства, т. е.
не больше множителя 6^ bj (tg 2а^ + tg 2 aj) в правой части неравенства, т. е.
sin ^ai 1 sin 2< cos 2 о j cos2
это справедливо, поскольку
/ • 2
.2, . 2( sin ai
tg ai + tg aj -2h
\ cos a a
sin ^ai 1 sin 2< cos 2 о j cos2
это справедливо, поскольку
/ • 2
.2, . 2( sin ai
tg ai + tg aj -2h
\ cos a a
tg2a* Н- tg2^;
tg2a* Н- tg2^;
. 2sin a3
2cos ai
. 2sin a3
2cos ai
/ • 2• 2\2
_ (sin ai — sin aj)
/ • 2• 2\2
_ (sin ai — sin aj)
2
2
2
2
cos at • cos а^
cos at • cos а^
0.
0.
Пусть ^i = д/Х1У1 sin a, ^2 = VХ2У2 sin (3. Тогда данное неравенство приводится к виду
xipi cos 2о + х^у^ cos 2/3 + xiy^ cos 2а + x^yi cos 20 + В
< 11
Ж17/1С0820Ж2Т/2 COS 2/3 ’
где В = (^ х±у2 sin а — л^у^у^ sin /З)2. Заметим, что
С 2 777772 7277(5-2)
Ж17/1СО8 0 + Ж27/2СО8 /3 + Ж17/2СО8 а + Х^У^ COS /3
с другой стороны,
(xiyi cos 2 а + х^у^ cos 2/3 + х^у^ cos 2а + x^yi cos 2/3)
112 IТоЖ17/1 COS аЖ 2 7/2 COS /3112 IТоЖ17/1 COS аЖ 2 7/2 COS /3x^ys cos 2/3 2Xiyi cos а2( Ж1 cos а27Ж2 cos /3x^ys cos 2/3 2Xiyi cos а2( Ж1 cos а27Ж2 cos /32
11
2 IТо
Ж17/1 COS аЖ 2 7/2 COS /3
11
2 IТо
Ж17/1 COS аЖ 2 7/2 COS /3
x^ys cos 2/3 2
Xiyi cos а
2
( Ж1 cos а
27
Ж2 cos /3
x^ys cos 2/3 2
Xiyi cos а
2
( Ж1 cos а
27
Ж2 cos /3
Х1У1 cos а
27 +
Ж27/2 COS /3
(2 о
Х2 cos /3
2
Ж1cos о
следовательно, получим неравенство
8
xiyi cos 2 а + x^ys cos 2/3 + xiy^ cos 2o + x^yi cos 2/312 Ж17/1СО8 aИз (5.2) и (5.3) следует данное неравенство.5.11. Пусть а = —7^, b = —^—, с = — cos о cos /3 cos 7xiyi cos 2 а + x^ys cos 2/3 + xiy^ cos 2o + x^yi cos 2/312 Ж17/1СО8 aИз (5.2) и (5.3) следует данное неравенство.5.11. Пусть а = —7^, b = —^—, с = — cos о cos /3 cos 711Х^У^ COS 2/3Х^У^ COS 2/3. (5.3). (5.3),1, а = —, где а.cos 2 у?,1, а = —, где а.cos 2 у?
xiyi cos 2 а + x^ys cos 2/3 + xiy^ cos 2o + x^yi cos 2/3
1
2 Ж17/1СО8 a
Из (5.2) и (5.3) следует данное неравенство.
5.11. Пусть а = —7^, b = —^—, с = — cos о cos /3 cos 7
xiyi cos 2 а + x^ys cos 2/3 + xiy^ cos 2o + x^yi cos 2/3
1
2 Ж17/1СО8 a
Из (5.2) и (5.3) следует данное неравенство.
5.11. Пусть а = —7^, b = —^—, с = — cos о cos /3 cos 7
1
1
Х^У^ COS 2/3
Х^У^ COS 2/3
. (5.3)
. (5.3)
,1
, а = —, где а.
cos 2 у?
,1
, а = —, где а.
cos 2 у?
Pi Ъ ф Е
Заданное неравенство принимает следующий вид:
tgа + tg/3 + tg7 <,
у 3 cos a cos /3 cos 7
или
cos a cos /3 cos 7 (tg a + tg /3 + tg 7) <
Так как
cos a cos /3 cos 7 (tg a + tg /3 + tg 7) =
= sin (a + /3) cos 7 + cos a cos /3 cos 7 = B, то, воспользовавшись неравенством (4.1), получим
В < 3/ (sin 2 (a + /3) + cos 2a cos 2/3) (cos 27 + sin 27) =
= 3/sin 2 (a + /3) + cos 2a cos 2/3.
Теперь докажем, что sin2 (а + Д) + со82асо82Д С $• Действительно, sin 2 (а + Д) + (| (cos (а — Д) + cos (а + Д))) = sin 2 (а + Д) +
+ ^ cos 2 (а — Д) + | cos (а — /3) cos (а + Д) + ^ cos 2 (а + /3) <
С sin2 (а + /3) + J + ||cos (а + Д)| + ^ cos2 (а + /3) =
= -|cos2 (а + £) + | + ||cos (а + £)| =
3 Л / mi 1\244
= -- (|cos (а + ^)| -+-<-.
Данное неравенство примет вид
3 л/З
М = cos a cos 3 cos 7 cos ср (tg а + tg (3 + tg 7 + tg (p)
Нетрудно показать, что
M = sin (а + Д) cos 7 cos у? + sin (7 + у?) cos a cos Д.
Согласно неравенству (3.2)
/cos 7 + cos 2. , х / cos а + cos Д
М ^ sin (а + /?) (^^^) + sin (7 + ^) (
Так как
cos х + cos и х + и х — и
где х,у е [б,где х,у е [б,тотоcoscosж + 7/2ж + 7/2- = COS —-— cos —-—
где х,у е [б,
где х,у е [б,
то
то
cos
cos
ж + 7/
2
ж + 7/
2
М sin (а + Д) cos 2 ^ ^ ^ 7- sin (7 + у?) cos 2 Q ^ ^ =
= 2 cos= 2 cosа + Д 7 + ^ cos -—а + Д 7 + ^ cos -—а + Д 7 + р , . 7 + р a-Vp\sin —-— cos —h sin —-— cos —-—1 =
= 2 cos
= 2 cos
а + Д 7 + ^ cos -—
а + Д 7 + ^ cos -—
„ a + Д 7 + p . 0 + Д + 7 + У?2^ + Д + 7 + ^
= 2 cos ——— cos ' sinJ< 2 cos H x
2224
. a + Д ++ p .30 + Д + 7 + У? . о + Д + 7 + у?
x sinJ = 4 cos H sin , 1-
244
3 a/33 л/3
Так как cos3/sin / < (cm. ynp. 3.28), то M <.
Пусть 611 + -^- + ftn _ a^ Qi = a-\- Xi (i = 1^ . . . n). Тогда из условия a + Xi > 0 получим, что — > — 1, следовательно, согласно
неравенству Бернулли
+ -)%! + к —(г = 1, . . . , п\
\ а 7av
откуда
(а + xt)k ак + kak-1Xi.
Складывая полученные неравенства, получим
(а + «1)* + (а + х-1)к + ... + (а + х^
^ пак + как~г (Ж1 + ... + жп) = пак, поскольку Ж1 + . . . + хп = ах + . . . + ап — па = 0.
к ।\ к ,,, х к
mах + . . . + ап / ai + . . . + ап \
1аким образом, ^ .
п\ п 7
Докажем от противного. Предположим, что для любого х € € [a, a + 4] f (ж) > 1 + /2 (ж).
Пусть arctg / (ж) = g (ж), откуда -^ < g(x) < ^. Получим
g (ж) >1
cos g (ж) cos g (ж)
откуда g' (х) > 1. А это означает, что функция g (х) — х не убывает. Следовательно, g (6) — b ^ g (a) — а, или
g(b) - g (a) ^ b - a,(5.4)
где b = a + 4.
Так как g(b), g(a) € (“^ Д), TO
g(b) -g(a) < 7Г.(5.5)
Из неравенств (5.4) и (5.5) и условия b — а = 4 следует тг > 4, что неправильно. Следовательно, существует жо такое, что жо € [а, а + 4] И /' (жо) < 1 + /2 (ж0).
Без ограничения общности можно предположить, что а = 0 (в противном случае рассмотрим функцию / (ж — а); в этом случае необходимо доказать, что b > тг. Пусть 6 ^ тг. Рассмотрим функцию
F (ж) = — ^f (ж) cos ^ж + /' (ж) sin ^ж
на отрезке [0,6]. Заметим, что F (0) = F (Ь) = 0, следовательно, согласно теореме Ролли существует с € (0, Ь) такое, что F' (с) = 0.
Однако
F' ^) = ^f (с) «in ^ + f" (с) sin ^с = sin ^с (^f (с) + /" (с)
> sin ^с(/ (с) + ГМ) > 0.
Получили, что F' (с) > 0, что противоречит равенству F' (с) = 0. Следовательно, наше предположение неверно и, таким образом, 6 > тг.
Без ограничения общности можно предположить, что а ^ Ь.
Пусть n = 6tga, принимает видПусть n = 6tga, принимает вид6262где — а < —. В этом случае данное неравенство
Пусть n = 6tga, принимает вид
Пусть n = 6tga, принимает вид
62
62
cos2o1^ sin а + cos а
илиили4 cos 4 acos а2 cos а
или
или
6cos22q > 2cos3q( \/2 — sin а — cos а).
Для доказательства последнего достаточно показать, что для а из
областиобластиимеет место неравенствоимеет место неравенство
области
области
имеет место неравенство
имеет место неравенство
| cos 22q > 2 cos За( \/2 — sin а — cos а), которое эквивалентно неравенству
„9 / 7Г \ . 9 /7Г \„ ГТ q / .. /7Г
2 cos 2 ( а + — ) sin 2 ( а + — ) > 2 V 2 cos За (1 — sin ( а + —
\4/\4/ v\4
или
> 2 ^/2 cos За (1 — sin (а + ^^ .
Последнее справедливо, так как разность его правой и левой частей 2 (1 — sin ^а + ^^ (sin 2 (а + ^ + sin 3 (а + ^ — ^/2 cos За) > 0, так как
Пусть a^=sinQt- Имеем
^2 (3 sin а^ — 4 sin 3аД = ^^ sin За^, г=1г=1
пп1 П
следовательно, ^^ ж^ = ^^sina^ = $ У^ sin За^ С
г = 1г = 1г=1
Без ограничения общности можем считать, что х^у^ % ^ 0. Действительно, достаточно заметить, что
ж/ к| \у\ |Д
1 + ж2 1 + у2 1 + г2 1 + |ж|21 + |т/|21 + 1Д2’
\х\^\у\^\^ = 1.
Пусть ж = tga, y = t^3^ ^ = tg7, где а,Д,7б [б, ^] • Имеем ху + yz + xz У ж2 + у2 + z2
(упр. 4.13), следовательно,
tgatg^ + tg Д tg 7 + tg 7 tg а У 1,
откуда
tga + tg/3L871-tgatg^ ’
ИЛИ
tg(a + ^) < tg ^ -7) ,
поэтому a + 3 У — 7, t. e. a + ^ + 7 У ^.
Заметим, что
= | (sin 2a + sin 2Д + sin 27)= | (sin 2a + sin 2Д + sin 27)ж у z
= | (sin 2a + sin 2Д + sin 27)
= | (sin 2a + sin 2Д + sin 27)
2 "Г ! .2 "Г ! .2
1 + X 1 + у 1 + ^
I • 3 sinI • 3 sin2a + 2Д + 2732a + 2Д + 2733 . 7Г2 Sm 33 . 7Г2 Sm 3зуз4зуз4
I • 3 sin
I • 3 sin
2a + 2Д + 27
3
2a + 2Д + 27
3
3 . 7Г
2 Sm 3
3 . 7Г
2 Sm 3
зуз4
зуз4
(см. ynp. 11.1).
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Докажите неравенства 2-13.
Дано, что а2 + b2 = 1. Докажите следующие неравенства:
а) \а + Ь\< у^;б)\а — Ь\ у^;
в) |ab| <|;г)|a26 + аЬ?\ <
|жу -V (1 -ж2)(1 - у2)| < 1, где|ж|< 1, |у|< 1.
yi -ж2 + V1 -у2< 2^/i - (^у^)’где 1Ж11у111
^ж + ^ аrcctgж > 1, где ж > 0.
5.5.2cos а + cos /32cos а + cos /37Г37Г3226.6.«11 — di«11 — di«21 — (12«21 — (12О-П1 ОдО-П1 Одп (di + . . . + ап)где 0 ^ ai71 - (di + . . . + dn)п (di + . . . + ап)где 0 ^ ai71 - (di + . . . + dn)
5.
5.
2
cos а + cos /3
2
cos а + cos /3
7Г
3
7Г
3
2
2
6.
6.
«1
1 — di
«1
1 — di
«2
1 — (12
«2
1 — (12
О-П
1 Од
О-П
1 Од
п (di + . . . + ап)
где 0 ^ ai
71 - (di + . . . + dn)
п (di + . . . + ап)
где 0 ^ ai
71 - (di + . . . + dn)
. . . , dn < 1.
„11137 М7
. и. и. с -, где a,b,c>0, а + о + с
VTT^^’ ’
= abc.
где а > 0.где а > 0., 1ж - у\ + Уу - ^1 > 1ж - ^1
где а > 0.
где а > 0.
* 1 + d|a? — у\ 1 + d|?/ — Д 1 + d|a? — Д’
2ж (1 - ж2) 2у (1 - у2) 2г (1 - г2) жуг
"(1 + ж2)2(1 + У2)2(1 + г2)21 + ж2 1 + у2 1 + г2’
где х. у, z > 0.
i/di + «2 + • • • + an С V^( V^i — V^) +
+ v^( \f^ ~ ^ +... + V^( V^ — V&n+i), где ai a2 ^ ... ^ an an+i = 0.
1 + di 1 + d21 + an
ai, d2, . . . , an > 0.
a + b + c — 2 ^/abc ^ ab + be + ca — 2abc^ где 0 C a, 6, c < 1.
i/a (i - &) (i - c) + v^o^-^Jo^-^J + v^o^-^Jo^-^)
где 0 < a, 6, c < 1.
Найдите все возможные значения выражения х2у + y^z + z^x при условии, что х + у + z = 0 и х2 + у2 + z1 = 6.
Последовательность (/гп) задана следующим образом:
^1 — 2’^п+1 — у2(^ — 1, 2, . ..
Докажите, что h^ + h^ + • • • + hn ^ 1,03.
Докажите, что
((ж + у)(у + г)(ж + г))2 > жуг(2ж + у + г)(2у + z + ж)(2г + ж + у), где ж, у, z ^ 0.
Указание. Если ж2 + у2 + %2 ф 0, то можно считать, что ж + + у + z = 1. Пусть ж = tgatg^, у = tg^tg7, г = tgatg7, где а + Р + 7 = ^ Тогда нужно доказать, что
((1 - ж)(1 - у)(1 - г))2 > жуг(1 + ж)(1 + у)(1 + г).
17. Докажите, что
где п ^ 3, ai,. . . , ап ^ 0 и cti + а^ + . . . + ап = 1.
Указание. 5/ап-1 = ж + t, у/а^ = х — Д в этом случае ж
—^, и левая часть неравенства не больше ^(п — 2)(1 — 2ж2) + 2ж.
Докажите, что max(di, . . . , ап) ^ 2, где п > 3, <2] + . . . . . . + ап п. а2 + . . . + а2 > п2.
Указание. Пусть сц = 2 — bi и bi > 0, г = 1, . . . , п. Тогда bi + . . . + bn ^ п, Ь^ + . . . + Ь^ — 4(61 + . . . + 6П) ^ п(п — 4), следовательно,
(6 - 4)(6i + . . . + 6П) > п(п - 4), где b = max (bi,. . . , bn\
ab(l —— b) 1„
Докажите, что ——где 0 < а < 1, 0 < 6 < 1.
(1 — ab)4
У к а з а н и е. Пусть а = sin2 a, 6 = sin2^, аД Е ^0, ^.
МЕТОД ИСПОЛЬЗОВАНИЯ свойств
СИММЕТРИИ И ОДНОРОДНОСТИ
При доказательстве некоторых неравенств целесообразно использование свойств симметрии и однородности выражений.
Пример 6.1. Доказать неравенство
ж (ж - z)2 + у (у - z)2 (ж - z) (у - z) (ж + у - z),(6.1)
где х ^ 0, у 0, г 0.
Доказательство. Преобразовав неравенство (6.1) к виду 3 I 3 I 3222222,0\ п
х + у + z — х у — х z — у х — у Z — Z х — z у + 6xyz ^ О, получим для переменных x^y^z симметричное неравенство. Следовательно, можем считать, что х ^ z ^ у; в этом случае
х (х - z)2 + у (у - z)20 > (ж - z) (у - z) (х + у - z) ,
откуда
ж (ж - z)2 + у (у - z)2 (ж - z) (у - z) (ж + у - z).
Пример 6.2. Доказать неравенство
(aibici + aibici + ... + anbncn)3 <
< (a3 + ... + a3) (63 + ... + 63) (c3 + ... + c3), где ai > 0, bi > 0, Ci > 0 (z = 1, 2,. . . , n).
Доказательство. Заметим, что если переменные ai, «2,••• ... , an заменить на переменные Хах^ Ай2, . . . , Хап. где А — любое положительное число, то получим эквивалентное неравенство. Поэтому А можем выбрать так, что (АаД3 + . . . + (Хап)3 = 1.
Из сказанного следует, что без потери общности можем считать, что а3 + . . . + а3 = 63 + . . . + ^3 = с3 + . . . + с3 = 1, следовательно, остается доказать, что а^Ь^сх + . . . + anbncn 1.
Действительно, имеем
(упр. 2.1). Складывая полученные неравенства, приходим к неравенству axbxcx + . . . + anbncn < 1.
О ГТabc
Пример б.З. Доказать неравенство d с + м а^ с + у а^^ > > 2, где а > О, b > 0, с > 0.
Доказательство. Без потери общности можем считать, что а + b + с = 1. Заметим, что ^^ а ^ 2а^ причем равенство имеет 1
место, когда а = -. Следовательно,
а1 — аа1 — ас1 — сс1 — с
а
1 — а
а
1 — а
с
1 — с
с
1 — с
> 2а + 26 + 2с — 2.
УПРАЖНЕНИЯ
Докажите следующие неравенства.
abc ^ (а + b — с) (Ь + с — а) (а + с — 6), где а > О, b > 0, с > > 0.
(aibi + . . . + anbn) ^ (а2 + . . . + а2) (Ь2 + . . . + Ь^).
(а + 6)2 (а2 + 62)2 . . . (ап + 6n)2 ^ (an+1 + bn+1)n, где а > О, b > 0.
(а^ + ^2 + • • • + ап)^ ^ (af + . . . + а^)а, гДе 0 < Р < а, «1, . . . , ап > 0.
6.6.6.6.а > 0, b > 0, с > 0, d > 0.а > 0, b > 0, с > 0, d > 0.гдегде
6.6.
6.6.
а > 0, b > 0, с > 0, d > 0.
а > 0, b > 0, с > 0, d > 0.
где
где
_ з / abc + abd + acd + bed // ab + ас + ad + be + bd + cd
у, где
a > 0, b > 0, c > 0, d > 0.
2 лУab -\- be -\- ас < з/З ^/(b + c) (c + a) (a + 6), где a > 0, b >
> 0, c > 0.
8 (ж3 + у3 + z3)2 > 9 (ж2 + yz) (у2 +(z2 + xy\ где ж > 0,
у > 0, z > 0.
а) 4а3 + 463 + 4c3 + 15abc 1;
а3 + 63 + с3 + abed min -; - + —J, где а, 6, с > О и а + b + + с = 1.
« 11«1 + аъ + . . . + ап 1 / а2 + . . . + а^ (1 \ п /
> - \h 1Vа1а2 • • - ап,
пп \ п\nJ v
где а^ > О (г = 1, 2, . . . , п), п ^ 2.
а4 + Ь4 + с4 + d4 + 2abcd J a2b2 + а2с2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 + + c2d2, где а, 6, с, d О.
+ . . . +> 1, где а^ bi > О (г = 1, . . . , п), и
(а2 + ...+а2)3 = 62 + -.. + 62.
РЕШЕНИЯ
Без ограничения общности можем считать, что а ^ b ^ с. Остается заметить, что данное неравенство эквивалентно неравенству
(Ь — с)2 (Ь + с — а) J а (а — Ь) (с — а) .
Последнее получается следующим образом:
(Ь — с)2 (Ь + с — а) > 0 > а (а — Ь) (с — а) .
Если а2 + . . . + а^ / 0 и Ь2 + . . . + Ь^ / 0, то без ограничения общности, можем считать, что а2 + . . . + а? = 1, Ь2 + . . . + b^ = 1.
Имеем —ai ^i ^ aibi ^ ^lJ^l ^ = 1,2,..., п). Складывая эти неравенства, получим — 1 ^ а^Ь^ + . . . + anbn 1, откуда
(aibi + . . . + anbn)2 С 1 = (^i + . . . + а^ (6^ + . . . + 6^) .
Если а2 + . . . + а^ = 0 или Ь2 + . . . + Ь^ = 0, то доказательство очевидно.
Без ограничения общности можно считать, что an+1 + 6n+1 = = 1. Следовательно, 0 < а < 1, 0 < b < 1 и аг-\-Ьг ^ an+1 + bn4"T = 1 (г = 1, . . . , п). Из последнего получим
(а + bf {а2 + b^f ... (ап + bnf 1 = (ап+1 + 6п+1)п .
Без ограничения общности можем считать, что af +... + а^ = = 1, откуда 0 < ai С 1 (г = 1, . . . , п). Из условия а > 3 получаем а“ а? (г = 1, . . . , п), следовательно,
а^ + . . . + а“ < а^ + . . . + а^ = 1, откуда
H + ... + a“)/3<l = (af + ... + ^)“.
Без ограничения общности, можем считать, что а + Ь + с = 1. Заметим, что если 0 < х < 1, то —-—~Д-" ’ следовательно,
Ь + с с + а а + b 1 — а 1 — b 1с
> 9а - 196 — 1 9с - 1 _ 3
4+4+4” 2'
Без ограничения общности можем считать, что а + Ь + с + d = = 1. Имеем
у Ь 4- с 4- dу Ь 4- с 4- d/ dу а 4" Ь 4" с 4-/ dу а 4" Ь 4" с 4-
у Ь 4- с 4- d
у Ь 4- с 4- d
/ d
у а 4" Ь 4" с 4-
/ d
у а 4" Ь 4" с 4-
J + \+ \> 2а + 26 + 2с + 2d = 2.у 1 — 6 V 1 - с V 1 - аJ + \+ \> 2а + 26 + 2с + 2d = 2.у 1 — 6 V 1 - с V 1 - а6.7. Без ограничения общности можем считать, что d = 1. Исполь6.7. Без ограничения общности можем считать, что d = 1. Используя неравенства из упр. 2.1 и 2.2, имеемзуя неравенства из упр. 2.1 и 2.2, имеем
J + \+ \> 2а + 26 + 2с + 2d = 2.
у 1 — 6 V 1 - с V 1 - а
J + \+ \> 2а + 26 + 2с + 2d = 2.
у 1 — 6 V 1 - с V 1 - а
6.7. Без ограничения общности можем считать, что d = 1. Исполь
6.7. Без ограничения общности можем считать, что d = 1. Исполь
зуя неравенства из упр. 2.1 и 2.2, имеем
зуя неравенства из упр. 2.1 и 2.2, имеем
з / abc + ab 4- Ьс 4- асз / abc + ab 4- Ьс 4- ас/ / ab + Ьс + асN V/ / ab + Ьс + асN V4- ab + Ьс + ас4- ab + Ьс + ас
з / abc + ab 4- Ьс 4- ас
з / abc + ab 4- Ьс 4- ас
/ / ab + Ьс + ас
N V
/ / ab + Ьс + ас
N V
4- ab + Ьс + ас
4- ab + Ьс + ас
Необходимо доказать неравенствоНеобходимо доказать неравенство(Ь 4- с) (а 4- Ь) (а 4- с) А(Ь 4- с) (а 4- Ь) (а 4- с) А8Зх/з8Зх/з
Необходимо доказать неравенство
Необходимо доказать неравенство
(Ь 4- с) (а 4- Ь) (а 4- с) А
(Ь 4- с) (а 4- Ь) (а 4- с) А
8Зх/з
8Зх/з
4
ab + Ьс + ас 4- а + Ь + с аЬ 4- Ьс + ас 4- V3 (а^ A bc-V- ас) 6V6
Докажем, что В ^ А.
Пусть ab 4- Ьс 4- ас = 3t2. В таком случае нетрудно убедиться, что неравенство В ^ А эквивалентно неравенству (t — I)2 (t 4- 2) ^ 0.
Без ограничения общности, можем считать, что
(6-2)(6-2)ab 4- Ьс 4- ас = 1.
(6-2)
(6-2)
Пусть а = tga, Ь = tg/З, с = tg7, где а, /3,7 € ^0, — J. Из
1cos о cos /3 cos 7 '1cos о cos /3 cos 7 'условия (6.1) получим а 4- /3 4- 7 = ^ следовательно,
1
cos о cos /3 cos 7 '
1
cos о cos /3 cos 7 '
(6 4- с) (а 4- Ь) (а + с) =
Остается доказать, что cos a cos /3 cos 7 ^Остается доказать, что cos a cos /3 cos 7 ^3 V 3о тг
Остается доказать, что cos a cos /3 cos 7 ^
Остается доказать, что cos a cos /3 cos 7 ^
——, если а + р + 7=—.
Действительно, оценим произведение cos a cos /3 cos 7:
cos a cos /3 cos 7 =
= I (cos (a + Д) + cos (q — /3)) cos 7 I (1 + sin 7) cos 7 =
= I ^iTTiTTTnnT) = Ar V (l + sin7)3 (3-3 sin 7) <
z2 у 3
<1/1 + sin 7 + 1 + sin 7 + 1 + sin 7 + 3 — 3 sin 74 2 _ 3 л/З
Без ограничения общности можем считать, что
ж3 + т/3 + ^3 = 1.(6.3)
В этом случае имеем
А = (ж2 + yz^ (у2 + ж^) (z2 + ху) = 2 ^xyz^j21 -Vxyz-Vx3y3 -Vy3 z3 -V z3 х3. Так как ж3 + у3 + г3 = 1, то
1зз 3 3/ Т у Т z )1
xyz с - и х3у3 + y3z3 + £3Ж3 с ~=з’
.2118
следовательно, ^^д + з + з = д*
а) Докажите, что после раскрытия скобок в правой части неравенства 4а3 + 463 + 4с3 + \babc А (а + b + с) получим эквивалентное неравенство
а3 + Ь3 + с3 + ЗаЬс А а?Ь + а? с + Ь^а + Ь^с + с2а + с^Ь^ которое уже было доказано (см. пример 6.1).
15
б) Если d А —, то в этом случае
а3 + Ь3 + с3 + abed А а3 + Ь3 + с3 + abc =
4
гп j 15Если d < —- 4гп j 15Если d < —- 4= ^ (4а3 + 463 + 4с3 + 15а6с) > ^.
гп j 15
Если d < —- 4
гп j 15
Если d < —- 4
127127опять согласно 6.10, а) и неравенству
1
27
1
27
// / а Т b Т с \
аЬс 37
имеем
откудаоткуда27 (а3 + 63 + с3) - 3 ^ ^ (1 - 27а6с),
откуда
откуда
27 (а3 + Ь3 + с3) - 3 d (1 - 27а6с),
6 Н.М. Седракян, А.М. Авоян
илиилиа3 + 63 + с3 + abed ^ ^ + ^-
или
или
Без ограничения общности можем считать, что а^а^ . . . ап = = 1. Необходимо доказать, что
+ 2aia2 + . . . + 2aian_i + 2&ian + . . . + 2an_i&n (n — 1) ,
(n - 1)(n - 1)или
(n - 1)
(n - 1)
+ 2aia2 + • • • + 2di(in_i +
+ 2aian + . . . + 2an_ian > n (n - 1) .
Доказательство последнего получается с использованием неравенства из упр. 4.1:
^1^2 + «Хаз + . . . + aian_i + агап + . . . + an_ian
> ^(aia^Ta^y^ = С„.
Без ограничения общности можем считать, что а ^ b ^ с ^ ^ d ^ 0. Имеем
А = а4 + Ь4 + с4 + d4 + 2abcd — a2b2 — а2 с2 — a2d2 — b2c2 — b2d2 — c2d2 = = (a2 — b2)(a2 — c2 — d2^V2bcd^a — b)-\-(b2-\-cd — c2 — d2)2 -\-2cd(c — d)2 = = (a — b) (a(a2 — d2) — b(c — d)2)^a(a-b)(ab — c2)-\-(b2-\-cd — c2 — d2)2-\- + 2cd(c — d)2.
Так как a — b ^ 0, a(a2 — d2) ^ b(a — d)2 ^ b(c — d)2 и ab ^ c2^ to, следовательно, A > 0.
Пусть ^/bi = Ci^ г = 1, . . . , n. Тогда
C6 + ... + c6 =(a?+ ^ + a2}333
al ,, an 1
и нужно доказать, что —^ + . . . Н—3-1.
Без ограничения общности можем считать, что а2 + . . . + а^ = 1, тогда cf + . . . + с^ = 1.
Согласно неравенству (8.4) (см. § 8) имеем
3344
6^1 .. 6zn а^ап
з^ • • • -г у-г • • • I- у
Ciс^ а^с^апсп
> (а1 + • • • + a^)_ 1 > 1
aic^ -h . . . -h а^с^aic^ И- . . . И- а-^с^
так как согласно неравенству (4.2) (см. §4)
1 = («1 + • • . + а^(с^ + . . . + с^) > («ic3 + . . . + апс^ ;
а3а3
следовательно, aic^ + . . . + апс^ ^ 1, а значит, -—Н . . . + -^ ^ 1.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Докажите следующие неравенства.
(а — Ь)2 ^ (а — с) (с — Ь).
х In % — In у In z — In ж In у — In ж
а) - < < —-, где 0 < ж < у < z:
г — уz — жу — ж
abbccdda ^ bacbdcad1 где 0<a^b<c<d.
—+—+
Ж2 + Жз + • • • + Хп Ж1 + Жз + Ж4 + • • • + Жп
* * * Ж1 + Ж2 + • • • + Ж„-1 п - 1 ’
где п 2, Ж1, ж2,. . .^х^ > 0.
а3 + 63 + с3 + ^abc ^ ^ (а + b + с)3, где а, 6, с > 0.
а2 (2Ь + 2с — а) + 62 (2а + 2с — Ь) + с2 (2а + 2Ь — с) > 9а6с, где а, Ь, с — длины сторон некоторого треугольника.
а) л/ага^ .. .ап + УбТ^ТТб^ <
У(йГ^-^Гд®2^н^2У^^^г7+^пУ,
где а^ bi > 0, г = 1, 2,. . . , п;
^/(п + 1)! — ^/п! > 1, где п > 2, ri Е N;
в) V^Vh > 1 + -^=, гдеV Г пв) V^Vh > 1 + -^=, гдеV Г пп ^ 2, п € N, Cl = 1, Г2 = 2,п ^ 2, п € N, Cl = 1, Г2 = 2,Fn+2 — ^n+1 + Fn, п — 1, 2,...;Fn+2 — ^n+1 + Fn, п — 1, 2,...;
в) V^Vh > 1 + -^=, где
V Г п
в) V^Vh > 1 + -^=, где
V Г п
п ^ 2, п € N, Cl = 1, Г2 = 2,
п ^ 2, п € N, Cl = 1, Г2 = 2,
Fn+2 — ^n+1 + Fn, п — 1, 2,...;
Fn+2 — ^n+1 + Fn, п — 1, 2,...;
V^>2(1 + ^t7)’ где п = 2’3’---;
(1 + «1)(2 + а2) • • • (п + ап) ^ пп^2, где п > 2, ах,. . . , ап > 0, ^1^2 • • • ^72 1"
х2(х2 — I)2 + у2(у2 — I)2 — (ж2 — 1)(т/2 — 1)(ж2 + у2 — 1) > 0.
ж2(ж — I)2 + у2(у — I)2 + z2(z — I)2 + 2xyz(x + у + % — 2) > 0.
Указание. Докажите, что
ж2(ж - I)2 + у2(у - I)2 + z2(z - I)2 + 2жуг(ж + у + z - 2) =
= ж2(ж - I)2 + (у(у - 1) - z(z - I))2 + 2xyz(x + у - 1)(ж + z - 1).
(«1 -Ж2)(Ж1 -Ж3)(Ж1 -Ж4)(Ж1 -ж5) + («2 -®1)(®2-®з)(ж2 -Ж4)X х(ж2 - ж5) + ... + (ж5 - Ж1)(ж5 - ж2)(ж5 - ж3)(ж5 - ж4) ^ 0.
0 < ab+bc+ac — abc С 2, где а, 6, с ^ 0 и а2 + 62 + с2 + аЬс = 4.
Указание. Заметим, что min(a, 6, с) ^ 1, и без ограничения общности можно считать, что (а — l)(b — 1) ^ 0.
§ 7. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ
В данном параграфе будут рассмотрены неравенства, при доказательстве которых удобно пользоваться методом математической индукции, в основе которого лежит следующий принцип.
Данное утверждение справедливо для всех натуральных значений п, которые не меньше р, если:
оно справедливо в случае п = р;
из справедливости данного утверждения для произвольного п = = к (к ^ р) следует его справедливость для п = к + 1.
Пример 7.1. Доказать неравенство 111 И
где п > 1, п € N.
Доказательство. В случае п = 2 имеем — > —. J3030
Предположим, что данное неравенство справедливо при п = к, т. е.
11111п
Покажем, что данное неравенство справедливо также в случае п = = А: + 1.
При п = к + 1 неравенство принимает следующий вид:
11111
ДГ+ТУ+Т + 2ТГ+1У+2 + • • • + ДГ+1)"+"(АГ+1)30'
Прибавляя к обеим сторонам (7.1) выражение 11111
ЗА: + 1 + ЗА:+ 2 + ЗА: + 3 “ 2А: + 1 “ 2А: + 2 ’ получим
111111111
2А: + 3 + ' 1 1 + ЗА: + 330 + ЗА: + 1 + ЗА: + 2 + ЗА: + 3 “ 2А: + 1 “ 2А: + 2 ’
Таккак з^Т + з^ + з^-^ТТ-2^>0 (упр‘1Л9)’ то
2А: + 33/г + 330
Таким образом, оба условия метода математической индукции удовлетворены. Следовательно, данное неравенство справедливо для натуральных значений п (n > 1).
Пример 7.2. Доказать неравенство
(7-2)(7-2)111-1
(7-2)
(7-2)
Н2 + " * " “I2 < 1’
223п
где п = 2, 3,. . .
Доказательство. Если это неравенство попытаться доказать аналогично примеру 7.1, то это нам не удастся. Как при доказательстве этого неравенств, так и при доказательстве некоторых других неравенств метод математической индукции целесообразно применить к другому неравенству (строгому или расширенному), из которого следует справедливость данного неравенства.
Для доказательства данного неравенства докажем неравенство
122122(7.3)(7.3)
1
22
1
22
(7.3)
(7.3)
из которого следует справедливость (7.2).
При п = 2 получим следующее правильное неравенство: 1
2'
Предположим, что неравенство (7.3) справедливо при п = к (к ^ ^ 2), и покажем, что оно справедливо в случае п = к + 1. При п = к
имеем неравенство
Прибавив к обеим частям этого неравенства2, получим нера
венство
111_ 11
22 + ‘ ‘ + к2 + (к + I)2 < к + (к + I)2 '
Так как 1 — — Н^ < 1 — --, то имеет место неравенство
к (к + if к + 1р
111
последнее совпадает с рассматриваемым неравенством в случае п = = к + 1, следовательно, данное неравенство справедливо для всех натуральных значений п, которые не меньше 2.
Часто встречаются неравенства, при доказательстве которых метод математической индукции применяется в несколько ином виде:
доказывается справедливость данного неравенства для натуральных значений п, равных ni, П2, . . . , п/.,. . ., где ni < П2 < • • . • . . < пк < . . .;
из справедливости данного неравенства при произвольном п = к (к ^ 2) следует, что оно справедливо при п = к — 1.
Пример 7.3. Доказать неравенство
Ж1...Ж„(1 - жД . . . (1 - ж„)
(жт + . . . + хпУ ((1 - жД + . . . + (1 - х^У ’
где 0 < Жг < | (г = 1, . . . , п).
Доказательство. Сначала докажем неравенство для значений п, равных 2, 4, 8,16,. . . , 2^,. . .
При п = 2 имеем справедливое неравенство
Ж1Ж2 <(1 - жД (1 - Ж2)
(жТ + ж2)2((1 - жД + (1 - жД)2
(упр. 1.20).
Предположим, что в случае п = 2^ данное неравенство справедливо. Докажем его справедливость при п = 2fc+1. Имеем
Ж1Ж2. . .ХрХр-\-1. . .Х^р
(ж1 + . . . + Хр + жр+1 + . . . + ж2р)2р
Ж1. . .ХрХр-Ц. . .Ж2р
(ж1 4" . . . Н- Жр) (жр+i 4" • • • 4" ж2р)
(ж1 4" • • • 4" ^р) (жр+i 4" • • • 4" Х2р) ,(1 жД . . . (1 хpj
(жТ + . . . + X2pfP((1 - жД + . . . + (1 - Хр^У
( Ж1 + . . . + Жр Жр+1 + . . . + ж2р ^
(1 — Жр+Д . . . (1 — Ж2р)рр
((1 — Жр+1) + . . . + (1 — Х2р)У/ Ж1 + . . . + Жр Жр+1 + . . . 4- Ж2р\2
\ \ рр/ /
(1 - жД . . . (1 - Ж2р)((1 - жД + . . . + (1 - Хр)У ((1 - Жр+1) + . . . + (1 - Х2р)У
(1 - Ж1) . . . (1 - Ж2р)((1-жД+ ... + (1-ж2р))2р’
где р = 2^. Таким образом, получили неравенство
Ж1 . . . ж2р <(1 - жД . . . (1 - Ж2р)
(Ж1 + . . . + ж2р)2р ((1 - Ж1) + . . . + (1 - ж2р))2р ’ следовательно, в случае п = 21 данное неравенство доказано. Теперь докажем, что если данное неравенство справедливо для ш, то оно выполняется также в случае т — 1, где т ^ 2. Имеем
Ж1 . . . жт(1Ж1) . . Д1 жт)
(Ж1 + ... + жт)т ((1-Ж1) + ... + (1~Жт)Г '
Принимая хт = —— , где согласно упр. 1.10 хт -,
получим
Ж1+ Хт_ 1
Ж1 . . . X т — 1 т — 1
I Х1 4" . . . 4" Хт — 1 4"I
т — 1'
(1 - жД . . . (1 - Жт-1) 1
< 2т — 1'
(А\ । (1Ж1 + ... + жт_1\\ 7
Ц1 - Ж1) + . . . 4- (1 - Хт-1) + откуда и следует
Ж1 . . . Хт — 1<(1 жД . . . (1 Хт — 1^
' ((1-ж1) + ... + (1-жт_1))т-1'
УПРАЖНЕНИЯ
Докажите неравенства 7.1-7.4, 7.6, 7.7, 7.10, 7.11, 7.13-7.20.
\ II I+ \/4а + 1
а) уа+уа + ...+ уа< , где а 0;
24... Дг < 3, где п > 2, n € N.
«1 + 3^2 + • • • + (2п - 1) ®2 < («1 + ... + ж„)2, где ®i ^ ... ...0.
a) |sin (ж1 + . . . + хп)\ < |sina?i| + . . . + |sinж^|;
sin (ж1 + . . . + х^ ^ sin Ж1 + . . . +sin жп, где Ж1,. . . , хп G [0, тг].
Доказать, что:
если функция /(ж) определена в области [0, а) (или [0,+оо)) и для произвольных х ^ у ^ z из этой области, / (ж) — / (у) + + / (^) ^ / (ж — у + z) и / (0) ^ 0, то для любых чисел а > > Ж ] ^ Ж2 ^ . . . ^ жп ^ 0 имеет место неравенство
^ /Гж1 - ж2 + Жз - • • • + (-1)”-1 ж„1
tg«i — tg Ж2 +tg£3 - . . . + (-1)" 1tgXn^
tg pi - я2 + я3 - ... + (-1)”-1 Xn
где - > Ж1 > ж2 > ®3 > ... > ж„ > 0;
aj - a^ + аз _+ (-l)n l an ^ (ai - a2 + ... + (-1)"-1 an) ,
где ai ^ a2 ^ • • • ^ cin ^ 0, r ^ 1.
(жх + ж2 + . . . + ж5)2 > 4 (жхж2 + ж2ж3 + ж3ж4 + ж4ж5 + ж5Ж1), где Ж1,. . . , Ж5 > 0.
- (я?1 + . . . + хп) < (ж1 + 2ж2 + . . . + пхп) • тах(ж1, . . . , хн\ где жь . . . , хп ^ 0.
Доказать теорему 11.1 (§ 11).
Доказать теорему 11.2 (§ 11).
а) «1 + «2 + • • • + an ^ па1 • • • ат где а1 ^ а2 ^ • • • ^ ^п ^ 1;
ах + «2 + . . . + а1^ ^ пах . . . а^ где 0 С сц С ^2 С • • • С ап С 1
222
—- + —- + ... + —-— ^ 4 ((1п — ^1), где а^, • • •) ci^ > 0. ai а2an_i х
Доказать:
если функция /(ж) определена в области / и является выпуклой (см. § 11), то
(ж2 + Ж1) (/ (ж2) - / (жД) + (ж3 + ж2) (/ (ж3) - / (ж2)) + . . .
. . . + (хп + Хп—1) (/ (жп) / ^Хп_ 1))(хп + Ж1) (/ (жп) / (я?1)) 7
где п ^ 2, Ж1 < ж2 < . . . < жп, Ж1, . . . , жп € I;
неравенство a y/b + b у/с + с у/а ^ а у/с + b у/а + с y/b^ где а b с 0;
неравенство ж^ж^3 • • • ж®1 > ж^ж^2 . . . ж^-^^, где хп хп_1 ^ . . . ^ Ж1 > 0, п > 3;
неравенство
а (с — b)b (а — с)с (Ь — а)
(с + 6) (2а + b + с) (а + с) (26 + а + с) (6 + а) (2с + 6 + а) ’
где а ^ b ^ с > 0.
гдегде1 о ai + . . . + an-i ai + . . . + an+i „ ai + . . . + ап
где
где
7.Io.- I2
a-k + ttfe+2 .2а/с+1?a-k + ttfe+2 .2а/с+1?n — 1n + 1n
a-k + ttfe+2 .
2а/с+1?
a-k + ttfe+2 .
2а/с+1?
к = 1, . . . , n — 1, n ^ 2.
a) (ai + а3 + ... + a2n-i) « > “° + “^^ ^ + ^ , Т№ Qk ak-i + afc+i (^ = 1; 2,. . . , 2п - 1), n € N.
+ а2 + ... + а2п + 1
, з ,, 2n-i >, гДе ° > °, n € N.
а -|- а -|- . . . -|- атт,
1 + | + • • • + ^ > In (n + 1), где п Е N.
1 + -Д + ... + —< 3 - ^=, где n € N.
2 у 2п V пVп
(1 + а)п ^ 1 + па + П ^^—— а2, где а ^ 0, п Е N.
к\ > (, где к Е N.
\ е )
У^ |sin 2гж| С 1 + ^^п, гДе п = 0,1,2,... г=0
_COs2oCOS nd 1// 7Г
cos а Нh . . . Н> — -, где п Е N, 0 С а < —.
2п22
Каждое число ai, а-^ • • • , ап больше 1 и |a/.+i — а^ | < 1 при
1 < к < п — 1. Докажите, что сумма11h . . . Н1 (Z2 аз 04ап аг
меньше 2п — 1.
Пусть 1 = Ж1 ^ ж2 С • • • С ^n+i. Докажите, что:
х д/ж2 - Ж1 ,, V^n+l - Хп V4n - 3
h . . . Н< , где п Е
$2Хп-\-12
h ... Н< 1 + - + ... + ^-, где х2, «з
Ж2Жп + 12-п
• • • 1 «Ет «^п+1 ^ N.
Докажите, что если «1,. . . , ап > 0, Д1,. . . , Дп > 0 и ai + . . . + ап Д1 + . . . + Дп тг, то
cos от sin aicos от sin aicos an sin aHcos an sin aHcos/31cos/3n
cos от sin ai
cos от sin ai
cos an sin aH
cos an sin aH
sin ai ' ' ' sin ап
РЕШЕНИЯ
Данное неравенство справедливо при п = 1: - ^ —Пред- 2V4
положим, что оно справедливо в случае п = к. и покажем его справедливость в случае п = к + 1.
712^ - 1/1
При п = к имеем неравенство - •. . . ——— С —,. Умножая
*22А:х/зГ+Т
,2(fe + l) —1
обе части этого неравенства на —7-77—^—, получим неравенство
2/г — 1 2/г +1 <12А: + 1
' ' " ' ’ 2k ' 2k + 2 ^зк + 1 ' 2k + 2 ’
2/с + 11, ч
и, учитывая, что(уПр. 1.21), получим
1 2к - 1 2 (к + 1) - 1 <1
2*"'’ 2к * 2(6 + 1)^3 (6 + 1) + 1 ’
Следовательно, данное неравенство справедливо для любых натуральных значений п.
а) Данное неравенство справедливо в случае n = 1:
1+ уТоТТ
2
Предположим, что неравенствоПредположим, что неравенствокк1 + V 4а + 121 + V 4а + 12справедливо. Посколькусправедливо. Поскольку
Предположим, что неравенство
Предположим, что неравенство
к
к
1 + V 4а + 1
2
1 + V 4а + 1
2
справедливо. Поскольку
справедливо. Поскольку
то данное неравенство справедливо также в случае п = к + 1, следовательно, оно будет справедливо при любом натуральном п.
У к У п и р = п — кУ к У п и р = п — кНеравенство у & у (^ + 1). . . у^п < к + 1, где 1 к Е N, докажем методом математической индукции по
У к У п и р = п — к
У к У п и р = п — к
(п считаем постоянным).
В случае р = 0 имеем неравенство д/п < n + 1, доказательство которого очевидно. Предположим, что оно справедливо в случае р = = п — т, и покажем его справедливость в случае р = п — m + 1 = п — — (т — 1).
Действительно, в случае р = п — т имеем неравенство
т + 1) . . . з/п < m , откуда и получаем неравенство
(m — 1)(m + 1). . . з/n < з/ (m — 1) (m + 1) < т.
Следовательно, неравенство ^k \J~{k + 1). . . л/п < к + 1 справедливо при значениях 1 ^ к ^ п; к Е N.
Когда к = 2, получаем неравенство 24 . . . ^п < 3,
которое совпадает с данным неравенством.
В случае n = 1 получаем справедливое неравенство ж^ ^ Жр Предположим, что неравенство
ж^ + 3^2 + . . . + (2А; - 1) ж^ ^ (Ж1 + . . . + ж^)2
справедливо. Прибавляя к обеим частям этого неравенства (2& + 1) ж^+1, получим неравенство
ж^ + Зж2 + . . . + ^2 к - 1) ж^ + ^2 к + 1) ж^+1 <
< (ж1 + ... + ж/.)2 + (2/г + 1) ж^+1. (7.4)
Докажем неравенство
(Ж1 + ... + Ж/.)2 + (2/г + 1) ж^+1 < (Ж1 + ... + Ж/-+1)2 ,(7.5)
которое эквивалентно
(2/г + 1) ж^+1 < (Ж1 + ... + ж/.+1)2 - (Ж1 + ... + жд;)2 =
— (2 (^l^/г) 4“ ^А?+1) ^/г + 1,
или справедливому неравенству
О < ж^+i (2 (ж1 + . . . + хк^ - 2/сж/г+1) =
= 2ж/г_|_1 ((^1 ж/г + 1) + • • • + (ж/г Ж^-i-i)) , так как согласно условию задачи 0 ^ хк^1 С ^t (i = 1,к).
Следовательно, из (7.4) и (7.5) получаем неравенство
ж^ + ЗЖ2 + . . . + (2к - 1) ж^ + (2к + 1) ж^+1 < (жх + . . . + ж/.+1)2 ,
которое является заданным неравенством при п = к + 1. Таким образом, данное неравенство справедливо при любом натуральном значении п.
а) В случае п = 2 имеем |sin (жх + а?2)| С |sin a?i| + |sin жз|. Действительно, так как sin (жх + Ж2) = sin Ж1 cos Ж2 + sin Ж2 cos Ж1 и |cos а| 1, то
|sin (ж1 + Ж2)| С |sin Ж1 cos Ж2, + |sin Ж2 cos Ж11 ^ |sin Ж11 + |sin ж2| •
Предположим, что данное неравенство имеет место в случае п = = к. и покажем, что оно будет справедливо также в случае п = к + 1. Действительно, имеем
|sin ((жх + . . . + жД + ж^Д! |sin (ж1 + . . . + жк)\ + |sin ж^+i | < с |sin Ж11 + . . . + |8тж&+1| .
Поскольку при ж Е [0, тг] sin ж ^ 0, то согласно п. а) данного упражнения получаем
sinЖ1 + . . . + sinжп ^ |sin (жх + . . . + жп)| ^ sin (жх + . . . + жп) .
а) Сначала докажем данное неравенство для значений п = = 1, 3, 5, 7,..., 2А; + 1,...
В случае n = 1 имеем неравенство / (жД ^ / (жД.
Предположим, что данное неравенство имеет место в случае п = = 2к — 1, и покажем, что оно имеет место и в случае п = 2к + 1. Имеем
/ (яД - / (ж2) + ■•• + / (ж2Л:-1) > / (Ж1 - Ж2 + ®3 - . . . + Ж2£-1) ,
следовательно,
/ (Ж1) - / (ж2) + ••• + / (ж2Л:-1) - / (ж2к) + / (ж2к+1)
^ / (Ж1 - Ж2 + Жз - . . . + Ж2*-1) - / (ж2*) + / (ж2А:+1) •
Заметим, что
Ж1 ^ Ж = Ж1 - Ж2 + Ж3 - . . . + Ж2/.-1 > у = ж2/. > z = Ж2к+1 ^ О,(ж - у = (Ж1 - Ж2) + (ж3 - Ж4) + . . . + (ж2*-1 - Ж2к)).
Следовательно, / (ж) - / (у) + / (г) ^ / (ж - у + г).
Таким образом,
/ (Ж1) - / (ж2) + ... + / (ж2/.-1) - / (ж2к) + / (ж2*+1)
> / (Ж1 - Ж2 + Ж3 - . . . + Ж2Й-1) -
- / (Ж2к) + / (ж2А:+1) > / (Ж1 - Ж2 + Жз - . . . + Ж2к-1 - Ж2/. + Ж2А:+1) ,
откуда следует, что данное неравенство справедливо в случае произвольных нечетных п.
Теперь рассмотрим случай п = 2&. Пусть Ж1 ^ ж2 ^ . . . ^ ж^. Выберем ж2/е+1 = 0; в этом случае
/ (®1) - / (ж2) + / («з)/ («2*) + / (0) >
> / (Ж1 - Ж2 + Ж3 - . . . - Ж2А + 0) ,
ИЛИ
/ («1) - / (яД + / (ж3) - f (ж2/г) ^ / (Ж1 - Ж2 + Ж3 - . . . - ®2А:) , так как / (0) ^ 0.
Докажем, что
tg х - tg у + tg г ^ tg (ж - у + z),
где ^>x^y^z^0.
Неравенство запишем в виде
tg ж - tg у tg (ж - у + z) - tg Z, или
sin (ж — у)sin (ж — у)
cos ж cos у cos z cos (ж — у + г)'
Когда х = у, доказательство очевидно; если же х ^ У, т0 данное неравенство эквивалентно неравенству
cos г cos (ж — у + г) > cos х cos у^
которое справедливо, так как 0% у < ^ и 0 ж — у z
Рассмотрим функцию / (ж) = tgж. Поскольку / (0) = 0 и имеет место условие из упр. 7.5, а), то данное неравенство справедливо.
Решение получается из неравенств из упр. 7.5, а) и упр. 9.34.
Докажем более общее неравенство
(Ж1 + . . . + жп)2 > 4 (Ж1Ж2 + ж2ж3 + . . . + хп-1Хп + хпх^,(7.6)
где п ^ 4, Ж1,. . . , жп > 0.
В случае п = 4
(ж1 + . . . + ж4)2 > 4 (Ж1Ж2 + ж2ж3 + ж3ж4 + Ж4Ж1),
так как
(ж1 + . . . + ж4)2 - 4 (Ж1Ж2 + ж2ж3 + Ж3Ж4 + Ж4Ж1) =
= (Ж1 - ж2 + ж3 - ж4)2 > 0.
Предположим, что (7.6) справедливо в случае п = к^ и покажем, что оно справедливо также в случае п = к + 1.
Пусть max(;ri,...,^+i) = Жр В этом случае
(Ж1 + . . . + (^_2 + Xi-X^ + Xi + • • • + ^ + i)2 > 4(Ж1Ж2 + Ж2Ж3 + • • •
• • • 4“ Xi — з (ж^ —2 4“ Xi — i) 4“ (ж^ —2 4“ Xi — i) Xi 4“ XiXi-^Y 4“ . . . 4~ X kX кд-х 4~
+ Хк^1Х1) > 4(Ж1Ж2 + Ж2Ж3 + . . . + Жг-зЖг-2 + X^Xi + Xi-^Xi +
+ XiXW + . . . + ХкХМг + хмгх^ 4(жХЖ2 + Ж2Ж3 + . . . + Жг-З^г-2 + 4~ Xi — 2Xi — i 4“ Xi — ^Xi 4“ XiXi-^ 4“ • • • 4“ XkXk^x 4“ Xk+iXi)
(считаем, что xq = хк_ц, x~i = xk\
В случае n = 1 получается справедливое неравенство | х^ < ^ Жр Предположим, что данное неравенство справедливо в случае п = к. и покажем, что оно справедливо также в случае п = к + 1.
В случае п = к имеем
12
- (^1 + . . . + хк) < (Ж1 + 2ж2 + . . . + кхк) шах (жь . . . , хк) .
Прибавляя к обеим частям этого неравенства выражение
2
xk^i (ж1 + . . . + хк) 4у^,
получим слева жениеполучим слева жение2 (*^1 4~ • • • 4~ хк_^х^ ?2 (*^1 4~ • • • 4~ хк_^х^ ?а в правой части получим выра-а в правой части получим выра-
получим слева жение
получим слева жение
2 (*^1 4~ • • • 4~ хк_^х^ ?
2 (*^1 4~ • • • 4~ хк_^х^ ?
а в правой части получим выра-
а в правой части получим выра-
(Ж1 + 2ж2 + ... + кхк) тах(ж1,..., х^ + хк+г (хг + ... + х^ + ^^, которое не больше (жх + 2x2 + • . • + (к + 1) xk_^i) max (жх,. . . , xk_^iY Действительно, так как
max (^1,. . . , хк) max (^i,. . . , ж/e+i) = с,
2 Ж/е + 1ж/е + 1 с?
ТО
(ж1 + 2ж2 + . . . + кхк) max (жх,. . . , хп) +2
xk-vi (a?i + . . . + хк) 4^^ С
< (ж1 + 2x2 + . . . + кхк) • с + xk^i • кс + x^i • с =
= (Ж1 + 2x2 + . . . + кхк + (к + 1) хк^1) • с. Следовательно, данное неравенство справедливо при любых натуральных значениях п.
Сначала докажем, что для любых чисел Ж1, . . . , хп из области / имеет место неравенство
/ (Ж1) + ... + / (жп)п/ (Ж1) + ... + / (жп)п(7-7)(7-7)
/ (Ж1) + ... + / (жп)п
/ (Ж1) + ... + / (жп)п
(7-7)
(7-7)
В случае п = 2 неравенство (7.7) совпадает с условием теоремы (11.1).
Предположим, что в случае п = к неравенство (7.7) справедливо, и покажем, что оно справедливо также в случае п = к + 1.
Рассмотрим выражение
/ (Щ + • •. + / (ж.) + / (Ж)т) + (к - 1) / р^4!^1) = А :
А = U (ж1) + ••• + / (х^ + / (жк-ц) +
+ kf+ kf
+ kf
+ kf
Ж1 + . . . + xwк + 1
Таким образом, получили
ц^+...+цЖк+1н^-1н(Ж1\+^ >
/ J V Г+1)’
откуда /М±_1л+Я^±1)++ ^+iу
к + 1J \ к + 1/
Следовательно, неравенство (7.7) доказано.
Теперь докажем неравенство (11.3). Пусть сц = — (г = 1,2, . . .
Qi
... , п), где Pi^ Qi 6 N. Обозначим наименьшее общее кратное чисел
Qi, ^27 • • • 7 Qn через q. В этом случае — = —, где Ц Е N. Qi Q
Оценим левую сторону рассматриваемого неравенства:
/ / \ I\h f (ат) Т • • • Т Inf (хп) „
<^if (ат) + . . . + anf (хп) = = В.
Применяя неравенство (7.7) к числам
Ж1,...,Ж1, Ж27 • • • 7 ж27 • • • 7 ЖП,...,ЖП,
общее число которых равно q^ так как «1 + . . . + an = 1, получим
г> \[ 11X1/2Ж2 И- • • • И- ^п^пА р /..\
ВJ = / (a^i + . . . + апхп) .
В случае п = 2 неравенство (11.7) совпадает с условиями теоремы 11.2 (11.5).
Предположим, что неравенство (11.7) справедливо в случае п = к и покажем, что оно справедливо также в случае п = к + 1, т. е.
31 f («1) + • . • + 3kf (a-к) + Зк-Vlf (ak-Vl) ^ / (31al + • • • + /З/e+id/e+i) , где 31, . . . ,3м о и 31 + . . . + Зк+1 = 1, a di, . . . , an E I.
Действительно,
31 f (al) + . . . + 3kf (&к) + Зк-Vlf (ak-Vl) =
= (3i +... + 3k)(a , ^ , /□ /(ai) + • • • +।/(ak)A +
+... + Pkpi +... + Pk/
+ 3k^lf («/v + 1) > (31 + • • • + 3k) f+
\ pi т • • • т Pk /
+ Зк+lf («/v + 1) ^ / ((31 + • • • + 3k) ^ / ,1+ 3k-Vlak-^-A =
= / (31al + . . . + 3k&k + 3 k-^l^k-Vl) • Здесь мы воспользовались неравенством (11.7) при п = к, заменив Хг на а а; на ——— (г = 1, . . . , к).
Следовательно, неравенство (11.7) имеет место при любом натуральном значении п.
а) В случае п = 1 получается справедливое неравенство ai ^ ai. Предположим, что в случае п = к данное неравенство справедливо, и покажем, что оно справедливо также в случае п = А; + 1.
При п = к имеем ai + а^ + . . . + а^. ^ kai . . . ак-
С другой стороны, согласно условию задачи имеем 1 ^ d/e+i- Перемножив эти два неравенства, получим
«1 + «2 + • • • + ак ^ ^ai . . . акакд-1.
Согласно условию имеем также справедливое неравенство
^/г-|-1 ^ ^1 • • • ^/г + 1*
Складывая полученные неравенства, имеем
di + d2 + . . . + d^ + d^^ kai. . .dfc+i + di. . .dfc+i = (k + 1) di. . .dfc+i Следовательно, данное неравенство справедливо при любом натуральном значении п.
В случае n = 1 получается справедливое неравенство di ^ di. Предположим, что данное неравенство справедливо в случае п = к, и покажем, что оно справедливо также в случае п = к + 1.
7 Н.М. Седракян, А.М. Авоян
В случае п = к имеем tii + а^ + • • • + ак ^ ^ai . . . а^.
С другой стороны, согласно условию задачи имеем 1 ^ ак^у. Перемножив эти два неравенства, получим
а1 + а2 + • • • + ак ^ ка^ . . . akCik-vx-
Согласно условию имеем также справедливое неравенство ak+i ^1 • • • &к+1* Складывая полученные неравенства, имеем
(11 + а2 + 1 * 1 + ак + ак + 1 ^ (к + 1) dl • • • dfc + l-
Таким образом, данное неравенство справедливо при любом натуральном значении п.
В случае п = 2 имеем справедливое неравенство
2
— ^ 4 («2 — di) (а2 — 4aia2 + 4а^ = («2 — 2di)2 ^ 0). ат
Предположим, что данное неравенство справедливо в случае п = к, и покажем, что оно справедливо также в случае п = к + 1.
В случае п = к имеем неравенство
^ 4(а* - d).^ 4(а* - d).а| + Дз ++ Ок
^ 4(а* - d).
^ 4(а* - d).
(11 d2d/c-1
2 йкак-\2 йкак-\а2 । Q3 (11(12а2 । Q3 (11(12Прибавив к обеим частям этого неравенства 4(a*+i — ак\ получим
2 йк
ак-\
2 йк
ак-\
а2 । Q3 (11(12
а2 । Q3 (11(12
4 (a*+i - ак) ^ 4 (afc+1 - d).
Остается показать, что
22а2 । а3(11(1222а2 । а3(11(1222ак । акуУ ак — 1ак22ак । акуУ ак — 1ак222222— Н—- + • • • Н—h 4 (a^+i — а^ .(11 d2ak-i— Н—- + • • • Н—h 4 (a^+i — а^ .(11 d2ak-i
22
а2 । а3
(11(12
22
а2 । а3
(11(12
22
ак । акуУ ак — 1ак
22
ак । акуУ ак — 1ак
22
22
2
2
— Н—- + • • • Н—h 4 (a^+i — а^ .
(11 d2ak-i
— Н—- + • • • Н—h 4 (a^+i — а^ .
(11 d2ak-i
Действительно, неравенство эквивалентно справедливому неравенст- 2
ву ^^ > 4 (d+i - akY или (afc+i - 2а*)2 > 0. ак
Таким образом, данное неравенство справедливо при любом нату
ральном значении п.
а) В случае п = 2 имеем справедливое неравенство (ж2 + Ж1) (/ (ж2) - / («1)) ^ («2 + «1) (/ (®2) - / (®1)) .
В случае п = к имеем неравенство
(ж2 + Ж1) (/ (ж2) - / («1)) + (ж3 + ж2) (/ (ж3) - / (ж3)) + . . .
... + (ж* + Ж*_1) (/ (ж*) - / (ж*_1)) ^ (ж* + Ж1) (/ (ж*) - / (Ж1)) . Прибавляя к обеим частям этого неравенства
(ж*+1 + ж*) (/ (ж*+1) - / (ж*)),
получим
(«2 + «1) (/ У2) - / У1)) + Уз + ®2) (/ Уз) - / Уг)) +...+(ж* + ®*_1) (/ (хк) ~ f (ЖА_1)) ++ Ук+1 + $к) U ($k+l) - / ($кУ)
> (хк + Ж1) (/ (х^ - f У1)) + (Жй+1 + хк) (f (хк+1) - / (ж*)) .
Для доказательства справедливости неравенства в случае п = к +1 достаточно доказать следующее неравенство:
(хк + «1) (/ (хк) - / («1)) + (ж*+1 + х^ (J (жА+1) - / (хк\) >
($к+1 + ®1) (/ У*+1) - / У1)) ,
или
Уь+1 - Хк) f (Ж1) + (ж* - Ж1) / У*+1) ^ (ж*+1 - Ж1) / (хк).(7.8)
Поскольку функция / (ж) выпуклая, то
Ж/с+1 ЭС к р /\ . ЭС к„ / ч
J V^lH/ № + 1) ^
Хк^У - Ж1 Х 7 Хк^У - Ху Х 7
\ р (Хк-\-У ЭС кХк Ж1\„ / ч
\хк+у - Ху хк+у - Ху т
откуда и получим неравенство (7.8).
Следовательно, мы доказали справедливость данного неравенства в случае п = к + 1. Таким образом, данное неравенство справедливо при любом натуральном значении п (n > 1).
Неравенство а) данного упражнения можно переписать в следующем виде:
$nf ($1) + X1J (х2) + Ж2/ (ж3) + ... + жп_1/ (ж„)
> $2f («1) + ®з/ («2) + . . . + Xnf (®п-1) + ®1/ («п) , где, принимая / (ж) = — ^/ж, получим
а(- Ус) + с(- Уб) + Ь(- Уа) > 6(- Ус) + а(- Уб) + с(- Уа);
отсюда
а ^/с + с ^/b + b у/a b у/с + a y/b + с ^/а.
Рассмотрим функцию / (ж) = — In ж. Согласно неравенству а) данного упражнения имеем
жп (- 1ПЖ1) + Ж1 (- 1пж2) + ... + ж„_1 (- 1пж„)
ж2 (- In Ж1) + ... + ж„ (- In Ж„_1) + Ж1 (- In жп),
или
грЖТЪ грУСУгр^ТЪ—У / грж2 грЭСзгрЖТЪ грЖУ
Рассмотрим функцию
х _ ж _ 1 /11
(а + b + с — х)(а + b + с + ж) 2 \а-V b-V с — х а + b + с + ж
11
(а + b + с — ж)2 (а + b + с + ж)2
Если 0 х а, то
J।।хЗ /।।
[а + о + с — х) [а + о + с + х) откуда
af (с) + с/ (6) + bf (а) ^ bf (с) + af (6) + с/ (а),
ИЛИ
Сьа
а (а + b) (а + b + 2с) С (а + с) (а + с + 26)(6 + с) (6 + с + 2а)
> h са
(а + b) (а + b + 2с) ^ ^ (а + с) (а + с + 2Ь) С (6 + с) (6 + с + 2а)'
7.13. Заметим, что данное неравенство эквивалентно неравенству (ai + ... + an-i) п (п + 1) + (ai + . .. + an-i) п (п — 1) +
+ (а„ + a„+i) n (п - 1) > 2 (п2 - 1) («1 + ... + an_i) + 2 (п2 - 1) ап, ИЛИ
2 («1 + ... + an_i) + апЛ-1П (п - 1) > (п2 + п - 2) ап, (7.9) которое докажем методом математической индукции.
В случае п = 2 получаем справедливое неравенство 2«1 + 2а3 ^ ^ 4^2- Предположим, что оно справедливо также в случае п = к:
2 (di + . . . + a^-i) + к ^к — 1) ctk^ri ^ {^ + к — 2) а^^(7.10)
и докажем, что оно справедливо также в случае п = к + 1.
Добавив к обеим частям неравенства (7.10) выражение
2ак + (к + 1) как^ - к (к - 1) акл_Т, получаем
2 («1 + . . . + ak_i + ак) + {к + 1) как^-2.
(к2 + к)ак + (к2 + к) ак+2 - к (к - 1) ak^i =
— ^к Я- к) ^ак Я- d/g-i-2) к ^к 1) d/g-i-x
> (/с2 + к) • 2ak^i - к (к - 1) а№ = (к2 + Зк) ак^. Таким образом, получили
2 («1 + . . . + ak_i + ак) + (& + !) как^2 (к2 + Зк) акд_у.
Следовательно, неравенство (7.9) справедливо при всех натуральных значениях п.
7.14. а) Данное неравенство запишем в виде
^1 + ^3 + • • • + ^2п-1 ^^1 + ^3 + • • • + ^2п-1 ^п(п + 1)п(п + 1)(do + d2 + . . . + ^2n)(do + d2 + . . . + ^2n)
^1 + ^3 + • • • + ^2п-1 ^
^1 + ^3 + • • • + ^2п-1 ^
п
(п + 1)
п
(п + 1)
(do + d2 + . . . + ^2n)
(do + d2 + . . . + ^2n)
и докажем его методом математической индукции..
В случае n = 1 имеем справедливое неравенство di > .
Предположим, что данное неравенство справедливо в случае п = = к. и докажем, что оно справедливо также в случае п = к + 1, т. е.
имеем справедливое неравенство
di + d3 + . . . + d2/e-l ^di + d3 + . . . + d2/e-l ^^1 (dQ + d2 + • . • + d2/e) ,^1 (dQ + d2 + • . • + d2/e) ,
di + d3 + . . . + d2/e-l ^
di + d3 + . . . + d2/e-l ^
^1 (dQ + d2 + • . • + d2/e) ,
^1 (dQ + d2 + • . • + d2/e) ,
ИЛИ
di + d2 + • . • + d2/e-l + d2/e + l ^di + d2 + • . • + d2/e-l + d2/e + l ^^1 (dQ + d2 + • . • + d2/e) + d2/e + l.^1 (dQ + d2 + • . • + d2/e) + d2/e + l.
di + d2 + • . • + d2/e-l + d2/e + l ^
di + d2 + • . • + d2/e-l + d2/e + l ^
^1 (dQ + d2 + • . • + d2/e) + d2/e + l.
^1 (dQ + d2 + • . • + d2/e) + d2/e + l.
Докажем неравенство
кк -1- 1
, . (dQ + d2 + . • . + d2/c) + d2/c + l ^ lio (a0 + a2 + • • • + a^k + CL^kVlp или
/ч к + 1
a2fc+1 ДПЖ+2) («о + 02 + ... + а2/=) +а2к+2.
тт\ О-2 к + d2fe + 2r
Поскольку d2/e+i -, то последнее неравенство будет
доказано, если мы докажем неравенство
(d2fe + d2fe+2)1/..\ .к + 1
ДТИЖ+2) («о + . . . + 02/=) +O2fc+2,
или
^(^ + 3)Цк^1).,,,
2 а2к2 а2кА-2 do + d2 + . • . + «2^-2, для доказательства которого снова воспользуемся методом математической индукции.
В случае к = 1 получаем справедливое неравенство 2d2 — d4 ^ do, так как
di + аз 1 / do + d2 d2 + d4 \
й22+'
Пусть в случае к = т имеем справедливое неравенство т (т + 3)т (т + 1).
2 а<2т2 a2m + 2 do + • • • + d2m-2, откуда т (т + 3) m (m + 1),,
5 d2m5 d2m+2 + а^т ^ do + d2 + . . . + d2m-2 + а^т-
Остается доказать неравенство
т (т + 3)т (т + 1)
2^2т2^2т+2 Т ^2т
(m + 1) (ш + 4)(т + 1) (ш + 2)
С2fl2m+22a,2m+4?
ИЛИ
Гт + 1Ит + ^л(m + 1)(m + 2)(m + 1) (m + 2)
(m + 1) (m + 2) CL^m-^ 2 a<2m 2 a2m+4 7
которое справедливо.
Пусть a^ = — ak. Так как в этом случае — ak,
то согласно неравенству а) данного упражнения имеем
32n —1122п
— а — а — ... — а > — 1 — а — ... — а пп + 1’
откуда
Т а Т . . . Т а ti Т 1
।, 2n —1~ '
а Т а Т . . . Т а^
В случае п = 1 имеем справедливое неравенство 1 > In 2. Предположим, что оно справедливо в случае п = &, т. е. имеет место неравенство
1 + — Т • • • Т ^ > In (& + 1) .
Прибавляя к его обеим частям ^ ^ ^ 7 получим
1 + 2 + - + Тн1 >ln(fc + 1) + m-
Теперь докажем неравенство
ln(fc + 1) + —^ > In (/г + 2), которое эквивалентно неравенству
^n^ + ^-ln^ + l^lnf^M,
или 1 > In ( ). Отсюда е > ( ), так как
lim (1 += е,
n^oo \ TL /
и И Н—1 монотонно возрастает (см. упр. 3.16, а)).
В случае n = 1 имеем справедливое неравенство 1^1. Предположим, что оно справедливо в случае п = к^ т. е. имеет место
неравенство
добавив к обеим частям которого , получим
(А; + 1) у к Д-1
111/ о 21
2 у2кл/к (А; + 1) V& + 1 V& (А; + 1) V& + 1
212
Остается доказать, что 3 — —Н,< 3 — —,.
Vk (к +1) у&п уг+т
Действительно, так как $ —,=, то
к + 1 у к (к + 1) + к
122_ 2(УА; + 1 - Ук) _
(к + 1) У* + 1 Vk Vk+i Vk V + 1)”
_2
- УГУУТИ Vk + 1 + Vk)'
Следовательно, получили, что данное неравенство справедливо при любом натуральном значении п.
В случае п = 1 получается справедливое неравенство 1 + + q ^ 1 + а. Предположим, что данное неравенство справедливо в случае п = к и покажем, что оно справедливо также в случае п = = А; + 1.
кк (к — 1)
Когда п = к, имеем (1 + а) ^ 1 + А:аН—-а2. В этом случае
(1 + а)^1 > (1 + а) (1 + ка + ^ ^—— а2) =
-I , / 7 , 1 \, к (к + 1)2 , к (к - 1) з 1, к (к + 1) 2
— 1 + (А? + 1)аН-а Н-а 1 + (А? + 1)аН-О' .
Таким образом, получили, что ।\&+1 \ I I i\ । (к +1)2
(1 +> 1 + (А; + 1) а Н—- а ,
следовательно, данное неравенство справедливо при любом натураль
ном значении п.
2
В случае к = 1 получим справедливое неравенство 1 > -.
Предположим, что данное неравенство справедливо в случае к = т //тР1\т\
I т. е. m! > I)), и докажем, что оно выполняется также при
// I И \ 77l+lx
1\ । Т 2 \\
к = ш+1 I т. е. что справедливо неравенство (ш + 1)! > II I.
Имеем т\ > I1 . Следовательно,
(7.11)(7.11)( г^ + цт+1
(7.11)
(7.11)
(т + 1)! > • е.
• /1/1
Поскольку lim (14— ) = е и последовательность (14— ) воз- n—>оо \TL /\П /
растающая (см. упр. 3.16,а)), то
/1 \m+1
е>(, + ;Ы ■(7J2>
Перемножая неравенства (7.11) и (7.12), получим
(7^ + 2Am+1
(m + !)!>(—) .
Следовательно, данное неравенство справедливо при всех натуральных значениях к.
Сначала докажем, что
(7.13)(7.13)3 V з
(7.13)
(7.13)
|sin ж| + |sin 2ж| ^.
Действительно, имеем
2|sinж| + |sin2ж| <
В случае п = 0 |sin ж| ^ 1.
Предположим, что доказываемое неравенство справедливо в случае п ^ &, т. е.
|sinж| + |sin 2ж| + . . . + |sin2na:| С 1 + п
при любом значении х. Докажем, что оно справедливо также при п = = /с + 1.
Рассмотрим два случая.
. л/з
|sin ж| , в этом случае
|sin х \ + (|sin2ж| +. . .+ 1814 2^ • 2ж|) < -^ + 1 + -^к = 1 + -^ (к + 1) .
Когда |sin ж| >, из (7.13) получим
|sin ж| + |sin 2ж| < з/з,
следовательно,
|sinж| + |sin2ж| + (|sin4ж| + . . . + |sin2/e-1 • 4ж|) <
< Vs + i + ^^-i^i + ^-^ + i)- Значит, данное неравенство справедливо при всех натуральных значениях п.
7.20 Рассмотрим функцию
„ , хcos 2аcos па
1Д°Ч = cos а Н-h . . . Н—
в области [о? ^ > и пусть она принимает свое наименьшее значение в этой области в точке ап.
Рассмотрим следующие случаи.
ап = 0. В этом случае fn(a) ^ + ^ + • • • + ^ >
а„ = ^. В этом случае /„(а) > /„ ^) > -|, так как
!* (У=Л (У = -1+1 • л ® = л ® = ~1 + G ~ i)
И т. д.
0 < ап < ^. В этом случае f^a^ = 0, т. е.
— sin ап — sin 2ап — . . . — sin пап = 0,
откуда получаем
2 sin ^ sin ап + . . . + 2 sin ^ sin пап = 0,
следовательно,следовательно,О^п cos — = cosО^п cos — = cos(пап + ^) .(пап + ^) .
следовательно,
следовательно,
О^п cos — = cos
О^п cos — = cos
(пап + ^) .
(пап + ^) .
Из последнего равенства получаем
sin — = ± sinsin — = ± sin(пап + ^) ,(пап + ^) ,
sin — = ± sin
sin — = ± sin
(пап + ^) ,
(пап + ^) ,
поэтому
cos пап = coscos пап = cos. О^п пап + —. О^п пап + —О^п .•cos + sinО^п .•cos + sin. О^п \ • О^п пап + — ) sin — =. О^п \ • О^п пап + — ) sin — =
cos пап = cos
cos пап = cos
. О^п пап + —
. О^п пап + —
О^п .•
cos + sin
О^п .•
cos + sin
. О^п \ • О^п пап + — ) sin — =
. О^п \ • О^п пап + — ) sin — =
2 ^п I •2 ^ti п= cos — ± sin — > 0.2 ^п I •2 ^ti п= cos — ± sin — > 0.
2 ^п I •2 ^ti п
= cos — ± sin — > 0.
2 ^п I •2 ^ti п
= cos — ± sin — > 0.
Таким образом,
fn(^) ^ f п — 1(^п) — COS Qn Т . . . Тfn(^) ^ f п — 1(^п) — COS Qn Т . . . Тcos (п — 1)а;Т1Лcos (п — 1)а;Т1Л12’12’
fn(^) ^ f п — 1(^п) — COS Qn Т . . . Т
fn(^) ^ f п — 1(^п) — COS Qn Т . . . Т
cos (п — 1)а;
Т1Л
cos (п — 1)а;
Т1Л
1
2’
1
2’
Поскольку ап € ^0, —J и для п — 1 утверждение справедливо, при п = 1 имеем /i(q) = cos а 0 > — |.
При п = 2 имеем
£2 _ 2(а1 ~ аз)2 < 2 + 1
(Z2 ai01020102
Пусть п ^ 3. Рассмотрим два случая.
Существует г € {2, . . . , п — 1} такое, что
(7-14)(7-14)(^г О^ — 1)(&г&г+1)^5
(7-14)
(7-14)
тогда1<h 2, так как
Oi ®г+1®г+1
(at - ai-i)(ai - ai+i) < |а» - a»—11 • |a» - a»+i| < 1 < a,a,+i.
Тогда из сказанного и по индуктивному предположению имеем
«1 । «2»2 аз«1 । «2»2 азОг Йг+1Ог Йг+1'n —1 । OnOn О1'n —1 । OnOn О1
«1 । «2
»2 аз
«1 । «2
»2 аз
Ог Йг+1
Ог Йг+1
'n —1 । On
On О1
'n —1 । On
On О1
<— + ... + —+ — + ^±1 + ... + —+ 2 < 2(n—1) —1 + 2 = 2n —1, (Z2Oi-l Oi^i Oi^2Oi
так как из условий (7.14) следует, что
|^г — 1 ^г+11 ^ ГПах(|п^ (Z^_X|, |tt^ (l^+ll) < 1*
Если (а^ — ai_i)(ai — &г+1) < 0, г = 2,. . . , п — 1, то тогда либо ai < 02 < . . . < аП1 либо ai > 02 > . . . > ап. В первом случае
(Z1(Z т^ — 1— + ... + L +02On(Z1(Z т^ — 1— + ... + L +02On^ < 1 + ... + !+^ <2п-1, О1 ^v*(Z1
(Z1(Z т^ — 1
— + ... + L +
02On
(Z1(Z т^ — 1
— + ... + L +
02On
п — 1
так как ап = (ап - an_i) + (ап_Т - an_2) + . . . + (a2 - aj + ai < паТ. Во втором случае
^ + ... + ^1 + ^ < 2 + ... +2+1 < 2п-1, 02On О1 'v"
п — 1
так как Oi = O^l + |«г+1 — ^г| < ^г+1 + 1 < 2(1г+1, г = 1, . . . , п — 1.
а) В случае п = 1 нужно доказать, что — -, или
(ж2 - 2)2 > 0.
Предположим, что неравенство верно для п = &, и докажем, что оно верно при п = к + 1, где к Е N. Нужно доказать, что если
1 = Ж1 < ж2 <1 = Ж1 < ж2 <^/г + 1 ^ ^/г+2,^/г + 1 ^ ^/г+2,
1 = Ж1 < ж2 <
1 = Ж1 < ж2 <
^/г + 1 ^ ^/г+2,
^/г + 1 ^ ^/г+2,
ТОТОУ^2 - Ж1 Уж3 - Ж2УХк^2 ~ Хк^1Х2ХзЖ&+2У^2 - Ж1 Уж3 - Ж2УХк^2 ~ Хк^1Х2ХзЖ&+2ужи2ужи2
ТО
ТО
У^2 - Ж1 Уж3 - Ж2УХк^2 ~ Хк^1
Х2ХзЖ&+2
У^2 - Ж1 Уж3 - Ж2УХк^2 ~ Хк^1
Х2ХзЖ&+2
ужи
2
ужи
2
Для к + 1 чисел 1 ^ —Х2Для к + 1 чисел 1 ^ —Х2Хк^$ имеемЖ2Хк^$ имеемЖ2/ Жу-2Ж^ + 1V Ж2 Х2/ Жу-2Ж^ + 1V Ж2 Х2Ж2Ж2Хк^2Хк^2V4k - 32V4k - 32следовательно,следовательно,
Для к + 1 чисел 1 ^ —
Х2
Для к + 1 чисел 1 ^ —
Х2
Хк^
$ имеем
Ж2
Хк^
$ имеем
Ж2
/ Жу-2Ж^ + 1
V Ж2 Х2
/ Жу-2Ж^ + 1
V Ж2 Х2
Ж2
Ж2
Хк^2
Хк^2
V4k - 3
2
V4k - 3
2
следовательно,
следовательно,
Х2 - Ж1Х2 - Ж1ж3 - Х2ж3 - Х2Хк-\-2 ХкА-1Хк-\-2 ХкА-1Ж2Ж2ХйХйХкА-2ХкА-2
Х2 - Ж1
Х2 - Ж1
ж3 - Х2
ж3 - Х2
Хк-\-2 ХкА-1
Хк-\-2 ХкА-1
Ж2
Ж2
Хй
Хй
ХкА-2
ХкА-2
(см. неравенство (4.1)).
Получили, что данное неравенство справедливо также в случае п = к + 1, следовательно, оно будет справедливо при любом натуральном п.
\ D1У *^^ Х1 1
о) В случае n = 1 имеем $ - < 1.
Предположим, что неравенство верно для п = к. и докажем, что оно верно при п = к + 1, где к Е N. Пусть 1 = Ж1 С ж2 С • • • ... ^ ж кл-1 ^ ж кА-2 — натуральные числа; тогда имеем
УЖ2 — Х1х2УЖ2 — Х1х2I Ужз — Ж2 || У ХкА-2 — ХкА-1
УЖ2 — Х1х2
УЖ2 — Х1х2
ХзXkA-2
( 11 \ / 11
\Ж1 + 1ж2/\ж2 + 1ж3
/11 \111
• • • + (—7 + . . . Н) С 7 + 7 + . . . Н.
V Ж/е-|-11Ж/g—|—2 /23Ж/g—|—2
ЕСЛИ Ж& + 2 С (k + I), ТО
1/ 11/ 111
+ 3 + ‘ ‘ + С 2 + ‘ ’ + (fe + 1)2 <+ 2 + --' + (fe + i)2’
следовательно, неравенство верно при п = к + 1.
Если ж/е+2 > (к + I)2, то
V Xk+2 — Ж/г + 1
Ж& + 2
VХк^2 — 1
Ж& + 2
Vk2 + 2к (k^lf 1
Тогда получим
л/ж2 — Ж1ж2л/ж2 — Ж1ж2V^fc + l X к । V X к-\-2 Ж/g-j-i <
л/ж2 — Ж1
ж2
л/ж2 — Ж1
ж2
Ж/г + 1Хк-\-2
< 1 + ^ +... + Д + V^±EH^±I <
2к2,Xk+2
1 + 5 + "'1 + -' + Р1 + 5 + "'1 + -' + Р1 Vk1 + 2Л 11 Ik +1
1 + 5 + "'
1 + -' + Р
1 + 5 + "'
1 + -' + Р
+ А2 + (к + 2)2+ 2 + ‘ ’ + к2 + (к + 2)2
1_ 1111
‘+^П + ”' + Д+17+2 + 3 + ---+(ГЙГ
2& + 1
Итак данное неравенство справедливо также в случае п = к + 1, следовательно, оно будет справедливо при любом натуральном п.
Жп + 1Жп + 1Замечание. Если 1 = Ж] ^ Ж2 С ••• С Хп ^ жп+1 —
Жп + 1
Жп + 1
COS 31 | COS/32 sin ai sin a2
cos ai 1 cos a2 sin ai sin a2 *
Пусть ар и «2 — постоянные числа. Рассмотрим выражение
COS Ж1 sin алCOS Ж1 sin алcos ж 2 sin а2cos ж 2 sin а2
COS Ж1 sin ал
COS Ж1 sin ал
cos ж 2 sin а2
cos ж 2 sin а2
где «1+«2 С Ж1+Ж2 ^ тг, Ж1,Ж2 ^ 0. Пусть это выражение принимает
наибольшее значение при яр = Д1, ж2 = ^2-
Пусть ар ^ ар; тогда можно считать, что /31 С /32- Действительно, в противном случае имеем, что cos/31 < cos/З2, следовательно,
илиили(cos /31 — cos /32)(sin ар — sin Qi) < 0,
или
или
Если
/31 = 0, то
cos/31 + sin ai
cos/32 cosai
cosa2
sin a2 sin ai
sin ai
2 sin
sin a2
cos(ai + a2) cosai
cos a2 _
sina2sinai
cti . /aiA
sin a2
• 2 ^1./.X
sinsin (ai + a2)
< 0
_ s 2
sin a2
ai .
cos sin a2
cos /31 sin ai
+ cos /32 sin a2
cos /З2 sin ai
+ cos/31 sin a2
Если 0 < /31 ^ /З2, то при уменьшении значения /31 выражение cos/31 COS/324? . 4?
—h — увеличится, поэтому pi + P2 = op + ар. Докажем, что sinai sin a2
sin/31 _ sin/32
sinai sina2*
Действительно, заметим, что функция
cos(/31 + ж) COs(/32 - ж)sin aisin a2
на отрезке [—/3i,/32] принимает наибольшее значение в точке х = 0, sin/31 , sin/32 ~
следовательно, по теореме Ферма т (0) = —;1—; = 0.
sinai sina2
Лемма. Если ар,. . . , аП1 /31,. . . , Дп > 0, ар + . . . + ап = /31 +
+ . . . + /Зп < 7Г и
sin/31 == sin/Зп =, х
sin ai ' ' ' sin an 7V •/
то A = 1.
Доказательство. Пусть А 7^ 1, тогда можно считать, что А < 1. Пусть ар ^ «2 С • • • С с^п? тогда из (7.15) следует, что
/31 < /З2 < • • • < /Зп и /31 < «1,. . . , /3n-i < ан_1 < —.
Заметим, что
sin(/3i + /З2) = A(sin Qi cos /З2 + sin q2 cos /31) >
> A(sin Qi cos «2 + sin q2 cos Qi) = A sin(Qi + Q2)- Аналогично получим, что
sin((/3i + /32) + /З3) = sin(/3i + /32) cos /З3 + sin /З3 cos(/3i + /32) >
> A(sin(Qi + Q2) cos /З3 + sin q3 cos(/3i + ^2)) >
> A(sin(Qi + Q2) cos Q3 + sin Q3 cos(qi + Q2)) = A sin(Qi + Q2 + Q3) и т. д. Вообще, sin(/3i + . . . + Pn-i) > Asin(Qi + . . . + Qn-i).
Следовательно, . / a x sin/3n . Sin(y? - pn) > Sin(y? - Qn), Sin Qn
где p = Qi + . . . + an = /31 + . . . + Pn- Поэтому
sinQnsin(y? - pn) > sin/3nsin(y? - Qn),
или
sin an sin p cos Pn — sin an sin Pn cos p >
> sin Pn sin p cos an — sin Pn sin an cos p, siny?sin(Qn - pn) > 0.
Так как 0 < p С тг, то p ^ тг и sin p > 0; тогда an — Pn > 0, значит, Qn > pn.
Таким образом Qi > /31, . . . , Qn-i > Рп-ъ <^п > Рп, но тогда Qi + + . . . + Qn > /3i + . . . + /Зп, что неверно, следовательно, A = 1. Лемма доказана.
Так как sinQi=sin/3i и sin Q2 = sin/З2, то Qi =/31 и Q2 =/32,
= —, значит,= —, значит,покажем, чтопокажем, чтоИЛИ Q1 = /31 И тг — Q2 = /З2 (Qi + Q2 = «1 + тг — Q2, Q2 «2 = P^Y
= —, значит,
= —, значит,
покажем, что
покажем, что
Следовательно,
COS/31 । COS/З2 _ COSQ1 I COSQ2
sincei sin Q2 sincei sin Q2 '
Пусть теперь n ^ 3 и неравенство верно для п — 1, оно будет справедливо и для п. Пусть 0 < Qi ^ Q2 * постоянные числа. Рассмотрим выражение
COS Ж1sin Q1COS Ж1sin Q1cos хп sin Qn ’
COS Ж1
sin Q1
COS Ж1
sin Q1
где Ж1, Ж2, • • • , жп ^ 0 и Qi + . . . + ап ^ Ж1 + . . . + хп ^ тг, и пусть это
выражение принимает наибольшее значение при Ж1 = Р^^. . . , жп = = Рп. Тогда Pi ^ Р^ С • • • С Рп (см. случай п = 2). Можно считать /31 > 0, в противном случае для п — 1 имеем
cos /З2sin(Qi + q2)cos /З2sin(Qi + q2)cos /З3sin q3cos /З3sin q3++ cos pn' * ' sin Qn++ cos pn' * ' sin QnCOs(qi + Q2) sin(Qi + q2)COs(qi + Q2) sin(Qi + q2)+ ...++ ...+COS Otn sin Qn 'COS Otn sin Qn '
cos /З2sin(Qi + q2)
cos /З2sin(Qi + q2)
cos /З3sin q3
cos /З3sin q3
++ cos pn
' * ' sin Qn
++ cos pn
' * ' sin Qn
COs(qi + Q2) sin(Qi + q2)
COs(qi + Q2) sin(Qi + q2)
+ ...+
+ ...+
COS Otn sin Qn '
COS Otn sin Qn '
Заметим, что
cos/З2cosoiCOS02 cos/З2cos(oi + О2)/
sinoisin о2sin оцsin о2sin(oi + o2)sin (04 + o2)'
Действительно, так как
„ ( 11\11
COS Р2 ~;—7Г С ~г
\sinoi Sin (О1 + 02) / Sin 02 Sin(oi + 02)
(«2 + («1 + «2) С 0^1 + «2 + «з С 7Г, 8ш(«1 + «2) ^ sin «2)7 то достаточно показать, что
~1;SinoiSin O2~1;SinoiSin O2sin(oi + o2)sin(oi + o2)1 — COS О1 1 — COS 021 — cos(oi + 02) . n
~1;
SinoiSin O2
~1;
SinoiSin O2
sin(oi + o2)
sin(oi + o2)
или
/«1«2 V oti012
v2 2 /22
Последнее неравенство верно, так как О < —, — < —.
Складывая неравенства (7.16) и (7.17) получим неравенство для п.
Таким образом, имеем 0 < Д1 С З2 С • • • С Зтм при уменьшении
„cos 31cos3n
значении pi выражение —h . . . Н—; увеличится, поэтому sin oisin ап
sin/Зп sin апsin/Зп sin ап«1 + . . . + ап — 31 + . . . + Зп. Тогда sin 31 _
sin/Зп sin ап
sin/Зп sin ап
sin 01
(см. случай п = 2), следовательно, согласно лемме ai = З21 • • • ^тг = = Зп- Задача решена.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Доказать следующие неравенства (1-18).
/а2ai\(а^а2\/ апan_i\апаг
++...+<, где
\aiа2)\а2as/х^п—1 ^п )^1^п
О < «1 С «2 С • • • С «п
(1 + «1) (1 + а2) . . . (1 + а^З ^ 1 + ^1 + . . . + ап, где «1,. . . , ап > > —2 и «1, . . . , ап одного знака.
С < D < 2С, где С = (аг - б^2 + ... + (ап - 6„)2 , D =
/7 \2 ।. / i \2 ।. /, \2 , ai + а2 + . . . + ak
— («1 — On) +. . . + («2 — bn) +. .Ок —
(k = 1, . . . , п\
^ > n+^/n + 1, где п 3, п Е N.
„l\k , k k2 , „ z м
(1Н—) <1Нгде к < п. n.kEN.
X nJп п
232к
1--+^-^ + .--+(^>0, где UN.
8.8.<2i + as + . • • + а^к<2i + as + . • • + а^кai + . . . + аппai + . . . + апп<2& + 1 + • • • + Ginп — к<2& + 1 + • • • + Ginп — кгде ат <где ат <
8.
8.
<2i + as + . • • + а^к
<2i + as + . • • + а^к
ai + . . . + апп
ai + . . . + апп
<2& + 1 + • • • + Ginп — к
<2& + 1 + • • • + Ginп — к
где ат <
где ат <
< «2 < • • • < + ■ п > к, п, к Е N.
Qj — 02 + • • • — °2п + °2п+1 > («1 - «2 + . • . - О2п + О2п+1)2, ГДв
О1 > а2 > ... > а2п+1 > о (п = 0,1,...).
Ж1 + Ж1 (ж2 - Ж1) + ж2 (ж3 - ж2) + ... + ж„-1 (ж„ - Жп-1) <
(п — 1) ж„ + 2ж„ + п — 12т2
1 • 22 • З3 • . .. • пп > (2п)!, где п 5, п Е N.
19 (2mi)! (2т2)!(2т„)! s
— • — • . . . • — + 2 , Где 7721, 777-2, • • • 7 тп Е Zq И
7721!772 2!772п!
7721 + 7722 + ... + ^n = S.
111727
? Н—- + . . . Н7 <,=, где а, b > 0 и
а + 6 а + 2dа + по а (а 4-nb)
72 Е N.
71-1
У^ —7 • , 1 < 4, где 72 ^ 2, 72 Е N. п - к 2fc-1
к=1
a) fl + —) < 1 + — + где к, п Е N и (к — I)2 < п; X П)722?2
) (1 + - ) (1 + —)<(Ц—- )(1 + ——v ), где 72 Е N.
\ nJ \4п)\72 + 17\4(72 + 1)7
16. ^2|СО82гж| >г=0V216. ^2|СО82гж| >г=0V2где 72 Е N.где 72 Е N.
16. ^2|СО82гж| >
г=0V2
16. ^2|СО82гж| >
г=0V2
где 72 Е N.
где 72 Е N.
Sin 720/ ^ 0, где 72 Е 1л и 0 + а72Sin 720/ ^ 0, где 72 Е 1л и 0 + а72COS 720!.АТ ^ — 1, где 72 Е N.72COS 720!.АТ ^ — 1, где 72 Е N.72
Sin 720/
^ 0, где 72 Е 1л и 0 + а
72
Sin 720/
^ 0, где 72 Е 1л и 0 + а
72
COS 720!.АТ
^ — 1, где 72 Е N.
72
COS 720!.АТ
^ — 1, где 72 Е N.
72
, sin2o
a) sin а Н—
хcos2o
cos а Нh .
где 0 < Ж1 ^ Ж2 Сгде 0 < Ж1 ^ Ж2 СЖ1Ж2.ЖпЖ2Ж3.Ж1
где 0 < Ж1 ^ Ж2 С
где 0 < Ж1 ^ Ж2 С
“Г “Г . . . “г“Г “Г . . . “г .
Ж2Ж3Ж1Ж1Ж1Хп
^ жП7 п > 2.
Для любого натурального п > 1 найти минимальное значе- ai biап Ьп
ние С, если неравенство:—Н . . . Н— < С выполняется для (Zi Н- biа-п Н- On
любых положительных чисел di, . . . , аП7 61, . . . , 6П7 удовлетворяющих равенству ах + • • • + ап = by + • • • + bn.
8 Н.М. Седракян, А.М. Авоян
§ 8. О ПРИМЕНЕНИИ ОДНОГО НЕРАВЕНСТВА
Рассмотрим следующие примеры.
Пример 8.1. Доказать двойное неравенство
12<111111<
a-\-b-\-c-\-d^a-\-b а + с а + d b + с b + d с + d
3/1111\
^ 7 (Ь 7 ^ь Л ) ?
4 \аbсdj
где а > О, b > 0, с > О, d > 0.
Доказательство. Нетрудно убедиться, что
- +(8.1)
ж у ж + у
где х > 0, у > 0.
Применяя несколько раз неравенство (8.1), получим
з(- + | + - + ^) : \а Ь с d;
\а о/ \а с/\с d;
^(а + б । а + с । а + d ' 6 + с ' 6 + d ' c + d)’
(а + b । с + о?) + *
\a-\-c b-Vd) \a + d b + c) a + b + c + d
Пример 8.2 похож на предыдущий.
Пример 8.2. Доказать неравенство
111>9
а-V b b-V а-V с 2 (а + b + с)7 где а, 6, с > 0.
Доказательство. Оказывается, что
(8-2)(8-2)- + - > 9
(8-2)
(8-2)
ж у ж + у 1
где х^у>0 (убедитесь сами).
Поэтому
111>41>9
а b b -V а -V с а -V b -V b -V а -V с 2 (а + b + с)'
Доказательства этих двух примеров очень похожи друг на друга. Возникает мысль: возможно ли, что справедливо неравенство
22/,\2
(8-3)(8-3)(И । ft2 > (а1 + as) bi bs bi + bs
(8-3)
(8-3)
где 6i, 62 > О?
Неравенство (8.3) легко приводится к неравенству вида a^bs . «261 . о “Гh —Г— ^ 2(11(12, bi bs
/«1«2 \
которое очевидно причем равенство имеет место при — = — .
\0162 /
Теперь не представляет труда доказать методом математической индукции обобщение неравенства (8.3) 222/...\2
I £2 ., Щг > (а1 + ^2 + • • • + dn)
bi bsbn bi + bs + . . . + bn 1;
где bi > 0 (г = 1, 2, . . . , п).
Замечание. В неравенстве (8.4) равенство имеет место тогда и aiasап
только тогда, когда — = — = . . . = —.
0102Ь-п
Получилось очень красивое неравенство. Однако оказывается, что это одна из форм записи неравенства Коши-Буняковского. Действи
тельно, произведя замену Xi = —и yi = ущ, получим неравенство Коши-Буняковского
^ + Х^ + . . . + ж^) (У1 + у1 + . . . + ^) > (Х1У1 + . . . + XnUnf •
Оказывается, что при решении некоторых неравенств форма записи (8.4) более удобна.
Попробуем получить более общее неравенство. Запишем а^ как произведение двух множителей.
Доказывая полученное неравенство при п = 2, получим новые условия. Оказывается, что при выполнении условий
«1 в2 > ап bi > bs >> Ьп
Ci CsСп Ci CsС^
Qi bi
можно говорить, что — и — имеют одинаковую упорядоченность и
Ci > 0 (i = 1, 2,. . . , п)
справедливо следующее неравенство:
г = 1г = 1
г = 1
г = 1
Когда сц = Ь^ неравенство (8.5) сводится неравенству (8.4).
Для доказательства неравенства (8.5) нам необходим следующий факт: если
did2ап /.1 „\
— > — > . . . > — (ci > 0, г = 1, 2,..., п),
ClС2Сп
ТО
ai + - - • ak
Cl + . . . + ск
для всех значений к = 1, 2, . . . , п (см. упр. 1.11).
Докажем неравенство (8.5) методом математической индукции по п. Когда п = 2, имеем неравенство
aibi । a^b^С1 с2aibi । a^b^С1 с2(ai + d2) (bi + 62)С1 + с2(ai + d2) (bi + 62)С1 + с2
aibi । a^b^С1 с2
aibi । a^b^С1 с2
(ai + d2) (bi + 62)
С1 + с2
(ai + d2) (bi + 62)
С1 + с2
или
(С1С2 - а2С1) (61С2 - 62С1) > о,
„did2Ь162
которое получается из условии—Э—и—Э—
С1С2С1с2
Пусть (8.5)справедливов случаеп = к. Имеем
С11Ь1 । d2^2 ।। &кЬк 1 CLkyibkyi
Cl C^CkCk + 1
(di + . . . + ak^ (bi + . . . + bk^ 1 с,&+16&+1 ci + . . . + CkCk+l
Из вышеуказанного факта и выполнения неравенства, полученного при п = 2, следует, что
ak+ibk+iCk^lak+ibk+iCk^l(di + d2 + . . . + ак) (bi + 62 + • • • + bk^Cl + C2 + . . . + Ck
ak+ibk+i
Ck^l
ak+ibk+i
Ck^l
bi— имеют противоположbi— имеют противополож(di + . . . + ttfe+i) (bi + . . . + 6fe+i)ci + . . . + Ck^l
bi
— имеют противополож
bi
— имеют противополож
Аналогично можно доказать, что если — и
Сг
ные упорядоченности, то неравенстве (8.5) меняется знак неравенства:
(8.5')(8.5')
(8.5')
(8.5')
Замечание. При выполнении условий «1 ^ а^ ^ ... ^ аП1 bi ^ Ь^ ^ . . . ^ Ьп и 0 < ci ^ С2 С • • • С Сп справедливы условия
неравенства (8.5) и, следовательно, это неравенство справедливо.
Из неравенств (8.4) и (8.5) получаются следующие известные неравенства:
пппппп^^СцЬг г=1г=1г=1^^СцЬг г=1г=1г=1(8-6)(8-7)(8-6)(8-7)где ai ^ а2 ^ • . • ^ ап и by ^ Ь2 ^ . • . ^ Ьп (неравенство Чебышева). Оказывается, что неравенство (8.5) является некоторой формой записи классического неравенства.После замены а^ = CiX^ bi = Ciy^ Р^ =— оно приводится кг = 1одному из вариантов записи неравенства Чебышева; если х^ и yi имеют одинаковые упорядоченности, ^ v Р^ = 1, Р^ > 0, то для %гРг имеет место неравенство Мх • Му ^ М (ху). г=1Получилось, что неравенство Коши-Буняковского является частным случаем неравенства Чебышева.где ai ^ а2 ^ • . • ^ ап и by ^ Ь2 ^ . • . ^ Ьп (неравенство Чебышева). Оказывается, что неравенство (8.5) является некоторой формой записи классического неравенства.После замены а^ = CiX^ bi = Ciy^ Р^ =— оно приводится кг = 1одному из вариантов записи неравенства Чебышева; если х^ и yi имеют одинаковые упорядоченности, ^ v Р^ = 1, Р^ > 0, то для %гРг имеет место неравенство Мх • Му ^ М (ху). г=1Получилось, что неравенство Коши-Буняковского является частным случаем неравенства Чебышева.УПРАЖНЕНИЯУПРАЖНЕНИЯДоказать неравенства 8.1-8.8.Доказать неравенства 8.1-8.8.8.1.8.1.Ж1 + ж2 + ж3 > 3ж2 + ж3 Жз + Ж1 Ж1 + ж2 2 7Ж1 + ж2 + ж3 > 3ж2 + ж3 Жз + Ж1 Ж1 + ж2 2 7где Ж1, ж2, ж3 > 0.где Ж1, ж2, ж3 > 0.8.2.8.2.а । b с dт—— + —— + —1—- > 2, где a, b,c,d> 0.b-V с cA-d d + а а + bа । b с dт—— + —— + —1—- > 2, где a, b,c,d> 0.b-V с cA-d d + а а + b8.3.8.3.Ж1 । ж2 ।। Жп—1। жпЖ2 + Ж4 Жз + Ж1 ' ' ' Жп + жп_2 Ж! + Жп-1Ж1 । ж2 ।। Жп—1। жпЖ2 + Ж4 Жз + Ж1 ' ' ' Жп + жп_2 Ж! + Жп-1> 2, где п ^ 4> 2, где п ^ 4и Ж1, ж2, . . . , жп > 0.и Ж1, ж2, . . . , жп > 0.3133।।аbсаУЬус—99 + —99 + —99, где а. Ь.а? + ab + b262 + Ьс + с2 с2 + са + а2 3с > 0.1h . . . Н— > -, где р — периметрр — 2ai Р — ^а2р — 2ап п — 23133।।аbсаУЬус—99 + —99 + —99, где а. Ь.а? + ab + b262 + Ьс + с2 с2 + са + а2 3с > 0.1h . . . Н— > -, где р — периметрр — 2ai Р — ^а2р — 2ап п — 2
ппп
ппп
^^СцЬг г=1г=1г=1
^^СцЬг г=1г=1г=1
(8-6)
(8-7)
(8-6)
(8-7)
где ai ^ а2 ^ • . • ^ ап и by ^ Ь2 ^ . • . ^ Ьп (неравенство Чебышева). Оказывается, что неравенство (8.5) является некоторой формой записи классического неравенства.
После замены а^ = CiX^ bi = Ciy^ Р^ =— оно приводится к
г = 1
одному из вариантов записи неравенства Чебышева; если х^ и yi имеют одинаковые упорядоченности, ^ v Р^ = 1, Р^ > 0, то для %гРг имеет место неравенство Мх • Му ^ М (ху). г=1
Получилось, что неравенство Коши-Буняковского является частным случаем неравенства Чебышева.
где ai ^ а2 ^ • . • ^ ап и by ^ Ь2 ^ . • . ^ Ьп (неравенство Чебышева). Оказывается, что неравенство (8.5) является некоторой формой записи классического неравенства.
После замены а^ = CiX^ bi = Ciy^ Р^ =— оно приводится к
г = 1
одному из вариантов записи неравенства Чебышева; если х^ и yi имеют одинаковые упорядоченности, ^ v Р^ = 1, Р^ > 0, то для %гРг имеет место неравенство Мх • Му ^ М (ху). г=1
Получилось, что неравенство Коши-Буняковского является частным случаем неравенства Чебышева.
УПРАЖНЕНИЯ
УПРАЖНЕНИЯ
Доказать неравенства 8.1-8.8.
Доказать неравенства 8.1-8.8.
8.1.
8.1.
Ж1 + ж2 + ж3 > 3
ж2 + ж3 Жз + Ж1 Ж1 + ж2 2 7
Ж1 + ж2 + ж3 > 3
ж2 + ж3 Жз + Ж1 Ж1 + ж2 2 7
где Ж1, ж2, ж3 > 0.
где Ж1, ж2, ж3 > 0.
8.2.
8.2.
а । b с d
т—— + —— + —1—- > 2, где a, b,c,d> 0.
b-V с cA-d d + а а + b
а । b с d
т—— + —— + —1—- > 2, где a, b,c,d> 0.
b-V с cA-d d + а а + b
8.3.
8.3.
Ж1 । ж2 ।। Жп—1। жп
Ж2 + Ж4 Жз + Ж1 ' ' ' Жп + жп_2 Ж! + Жп-1
Ж1 । ж2 ।। Жп—1। жп
Ж2 + Ж4 Жз + Ж1 ' ' ' Жп + жп_2 Ж! + Жп-1
> 2, где п ^ 4
> 2, где п ^ 4
и Ж1, ж2, . . . , жп > 0.
и Ж1, ж2, . . . , жп > 0.
3133।।
аbсаУЬус
—99 + —99 + —99, где а. Ь.
а? + ab + b262 + Ьс + с2 с2 + са + а2 3
с > 0.
1h . . . Н— > -, где р — периметр
р — 2ai Р — ^а2р — 2ап п — 2
3133।।
аbсаУЬус
—99 + —99 + —99, где а. Ь.
а? + ab + b262 + Ьс + с2 с2 + са + а2 3
с > 0.
1h . . . Н— > -, где р — периметр
р — 2ai Р — ^а2р — 2ап п — 2
многоугольника со сторонами ах^ a2l... ^ ап (п ^ 3). 8.6.1—51—5 > где abc = 1 и а, о,
а3 (Ь + с) 63 (а + с) с3 (а+ 6)2’’ ’
с > 0.
8 (ж3 + у3 + z3)2 > 9 (ж2 + yz) (у2 + xz) (г2 + жу), где ж, у, г > 0. (Пх/Пх/Пх/ п \
п 52а’) 52ь^ („ 52Ci) 52d^)
г = 1 7 х7 х7 х г = 17
г=1
где 0 < ах < d2 С • • • С «п, О С bx < b2 С • . • С Ьп, О С ci < с2 С . . . ... С сп,. . . , 0 с dx С d2 < . . . < dn.
Рассматривается последовательность с положительными членами (ж/Д, где 1 = жо ^ Ж1 ^ ж2 ^ . . . ^ жп ^ . . . Докажите, что существует такое п, что для любой такой последовательности (жк)
^ + ^ + ... + ^^ > 3,999 Ж1 Ж2Хп
Из внутренней точки М заданного треугольника АВС проведены перпендикуляры М Ах^ МВ^ МСх к прямым ВС. С А и АВ соответственно. Для какой внутренней точки М треугольника АВС
ВС СА АВ о выражение —h —h принимает наименьшее значение:
Пусть С — точка пересечения медиан треугольника Д1Д2Дз, а С — окружность, описанная около треугольника Ai Д2Дз. Прямые САх^ СА2 и С Аз пересекают второй раз окружность С в точках Вх^ В2 и Вз соответственно. Докажите, что
С Ах + GA2 + С Аз < GBx + СВ2 + GB3.
(dl — (12 + • • • + tt2fe-l — tt2fe)22 (di + d2 + . . . + d2fc)(dl — (12 + • • • + tt2fe-l — tt2fe)22 (di + d2 + . . . + d2fc)Докажите неравенство
(dl — (12 + • • • + tt2fe-l — tt2fe)22 (di + d2 + . . . + d2fc)
(dl — (12 + • • • + tt2fe-l — tt2fe)22 (di + d2 + . . . + d2fc)
di + о2 + . . . + а2к — 2А: 2\/й^а2Т7Та2^
где & G N и di, a2, . . . , a2k > 0.
Докажите, что
V«i«2 + V«1«з + . • . + Van-idn С — С —-— («1 + а2 + . . . + an), где n > 2, di,. . . an > 0 и ——h . . . + ——— = n - 1.
1 + di1 + an
РЕШЕНИЯ
В похожих примерах часто бывает удобно вместо у написать 2О
а
— . 1о есть ab
2
Ж1Ж2Ж3 _ ЖТ
Ж2 + Ж3 Ж3 + Ж1 Ж1 + Ж2 Ж1 (Ж2 + Ж3)
ж|жз >(Ж1 + ж2 + ж3)> 3 Ж2(ж3 + Ж1) Жз (Ж1 + ж2)2 (Ж1Ж2 + Ж2Ж3 + Ж3Ж1)2
(здесь мы воспользовались неравенством Ж1Ж2 + Ж2Ж3 + Ж3Ж1 ж2 + + «2 + Жз)’
Имеем
2,22,2
аоса
а (Ь + с) b (с + d) с (d + а) d (а + Ь)
> (а + b + с + d)>2
ab + 2ас + ad + be + 2bd + cd '
Для доказательства последнего неравенства достаточно раскрыть скобки в выражении (а + b + с + d}2 и воспользоваться неравенствами а2 + с2 > 2ас, b2 + d2 2bd.
Имеем
222
Учитывая замечания к неравенству (8.5), получим
di • 1р — 2didi • 1р — 2di«2 * 1йп ' 1р - 2а2' * ' р - 2dn«2 * 1йп ' 1р - 2а2' * ' р - 2dn(di + d2 + • • • + Дп) ппр - 2 (di + а2 + . . . + dn)(di + d2 + • • • + Дп) ппр - 2 (di + а2 + . . . + dn)пп — 2'пп — 2'
di • 1
р — 2di
di • 1
р — 2di
«2 * 1йп ' 1
р - 2а2' * ' р - 2dn
«2 * 1йп ' 1
р - 2а2' * ' р - 2dn
(di + d2 + • • • + Дп) ппр - 2 (di + а2 + . . . + dn)
(di + d2 + • • • + Дп) ппр - 2 (di + а2 + . . . + dn)
п
п — 2'
п
п — 2'
8.6. Имеем
ж+<+<;
a (b + с) b (а + с) с (а + Ь) '
/1 1 1V
(А)
\dос)
" 2 (ab + bc-V ас)
_ ab + Ьс + ас > 3^/d62c2 _ 3
“22- 2'
8.7. Имеем
S (| (а;2 + у2 + z2)) ■ I8-8)
С другой стороны, согласно неравенству (8.4)
3.3.344
ж + у + z _ жу
Воспользовавшись неравенством (8.4), получим
222Xq । Ху ।।1Ж1 Ж2 ' ' ' Хп222Xq । Ху ।।1Ж1 Ж2 ' ' ' Хп(Жр + Ж1 + . . . + Жп-1)2Ж1 + Ж2 + • • • + Хп(Жр + Ж1 + . . . + Жп-1)2Ж1 + Ж2 + • • • + Хп
222
Xq । Ху ।।1
Ж1 Ж2 ' ' ' Хп
222
Xq । Ху ।।1
Ж1 Ж2 ' ' ' Хп
(Жр + Ж1 + . . . + Жп-1)2
Ж1 + Ж2 + • • • + Хп
(Жр + Ж1 + . . . + Жп-1)2
Ж1 + Ж2 + • • • + Хп
Докажем, что существует натуральное число по такое, что при п > > по Кп 3,999.
Действительно,
(ж0 + Ж1 + . . . + жп-1)2 - 3,999 (ж1 + ж2 + . . . + Хп) =
= (1 - (Ж1 + ж2 + . . . + жп-1))2 + 0,001 (Ж1 + ж2 + . . . + хп-у) - — 3,999жп > 0,001 (п — 1) хн — 3,999жп > 0,
когда п ^когда п ^3,9990,0013,9990,001+ 1. Таким образом, по можно принять равным 4000.+ 1. Таким образом, по можно принять равным 4000.
когда п ^
когда п ^
3,999
0,001
3,999
0,001
+ 1. Таким образом, по можно принять равным 4000.
+ 1. Таким образом, по можно принять равным 4000.
Преобразовав выражение и используя неравенство (8.4), по
лучим
ВС2 сл2 лв2
ВС MAi + С А • МВ1 + АВ • МС1 /
(ВС + С А + ABf=4р2=9р
ВС • MAi + CA-МВ1 +АВ ■ MCi 2S г'
„ВС СА АВ
Следовательно, наименьшее значение выражения ——-—h ,, „ + ’кМАу МВт МСу
г2рВССААВ
будет равно —, когда ———. = ———„= ———, т.е. когда рВС • МАу САМВу АВ • МСу
МАу = М By = МСу; значит, М является центром окружности, вписанной в треугольник АВС.
Обозначим через Л^, А^ А'^ и ai, а2, аз середины и длины
сторон Л2Лз, Л1Л3, Л1Л2 соответственно.
Пусть ау ^ а2 ^ аз; нетрудно доказать, что GA^ ^ GA^ ^ GAy.
Имеем | САг • ВхА^ = С^, откуда GBX = ^i + “^ .
242 ОСтЛ1
Таким образом, остается доказать, что
11—ЗСЛ1 ЗСЛ2 ЗСЛз11—ЗСЛ1 ЗСЛ2 ЗСЛз^ GAy + GA^ + GA3.^ GAy + GA^ + GA3.
11—
ЗСЛ1 ЗСЛ2 ЗСЛз
11—
ЗСЛ1 ЗСЛ2 ЗСЛз
^ GAy + GA^ + GA3.
^ GAy + GA^ + GA3.
Воспользовавшись неравенством (8.5), получим
dy а2 аза^ + а2 + аз 3 (СтЛ^ + СА^ + СА^
ЗСАу + ЗСЛ2 + ЗСАз САу + СЛ2 + СА^ САу + СЛ2 + СА^ /
GAy + GA^ + GA3
Согласно неравенству упр. 2.1 имеем
Vaia2 + уУaia2 + уУа^а^ + ^/0304 + . . . + уУа^-уа^ + уУа^-уа^
2к 2\/а^а^ . . . а^
следовательно,
«1 + «2 + • • • + Й2/с — 2к 2\j&1&2 • • • ^2/с ^ ( V^ — V^) + • • •
. / / /\2 (di - d2)2.. (d2fe-l - d2fe)2 .
• • • + ( V^2fc —1 - V ^2^) —, -^="2 + • • • + J. 2 >
( у di + у d2;( у d2fe — 1 T у d2fe)
> (di — d2)211 (d2fe-i — a^k)2
2 (di + d2)2 (d2fe-i + d2fc)
Теперь, используя неравенство (8.4), получим
(di — d2 + . . . + d2fe-i — d2fc)2 (di + d2 + . . . + d2fc)(di — d2 + . . . + d2fe-i — d2fc)2 (di + d2 + . . . + d2fc)(di — d2)211 (d2fe-i — d2fe)2
(di — d2 + . . . + d2fe-i — d2fc)2 (di + d2 + . . . + d2fc)
(di — d2 + . . . + d2fe-i — d2fc)2 (di + d2 + . . . + d2fc)
2 (di + d2)2 (d2fe-i + d2fe)
Таким образом,
о/ 2к/\ (di - d2 + . . . + d2fe-i - d2fe)2
di + (Z2 + • • • + a^k — 2k a^a^ . . . a^k ^ ~~~;
2 (di + d2 + . . . + d2fc)
Имеем
n — 1 =n — 1 =11 + di11 + di112 n2 nследовательно,следовательно,n — 12n — 1271—. Заметим, что71—. Заметим, что1 =1 =di1 + didi1 + didndn22
n — 1 =
n — 1 =
1
1 + di
1
1 + di
1
1
2 n
2 n
следовательно,
следовательно,
n — 1
2
n — 1
2
71
—. Заметим, что
71
—. Заметим, что
1 =
1 =
di
1 + di
di
1 + di
dn
dn
2
2
следовательно, ^ > \Aia2 + \Aia3 + • • • + V^-i^
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Доказать неравенства 1-19.
•, nY•, nY
•, nY
•, nY
an+1 = di, ai > 0 (г = 1, 2, .
(JL±1?
где Ж1 + ж2 + • • • + хп = 1, Xi > О
3. а Т b Т с ^
с > 0.
2 । ,2,2.22.2
а + b ( о + с | а + с2с 1 2d 1 2Ь
,3
d 6 с
Н1—-, где а, ос ас ао
4.
а)
dl61
di + 61
d2^211 a-rtb-n,
a^ + 62dn + bn
< (di + . . . + dn) (bi + . . . + bn)(di + . . . + dn) + (bi + . . . + bn) ’
где ai, bi > 0 (i = 1, 2, . . . , n);
^\ cti “h bi ।। an -|- bn
V ai-V bi-V aaibian + bn + aanbn
22
nn
ci (di + . . . + dn) + 2n a (bi + . . . + bn) + 2n ’
где ai, bi > 0 (i = 1, 2, . . . , n), a > 0;
ввгде ai > 0, bi > 0 (i =где ai > 0, bi > 0 (i == l,2,...,n);= l,2,...,n);
в
в
где ai > 0, bi > 0 (i =
где ai > 0, bi > 0 (i =
= l,2,...,n);
= l,2,...,n);
bi + . . . + bn \ bi + . . . + bn + 2 /bi + . . . + bn \ bi + . . . + bn + 2 /> n,> n,\ C1д) «1 • 61\ C1д) «1 • 61n2 (ci 4- . . . + Cn)(di + . . . + dn) (bi + . . . + bn) ’C o, i, j e {1, 2,. . . , n}.n2 (ci 4- . . . + Cn)(di + . . . + dn) (bi + . . . + bn) ’C o, i, j e {1, 2,. . . , n}.где ai,где ai,bibiЖТЖ2 .. Xn-1 . Xn . nЖ2 + Жз Жз + Ж4Xn + Ж1 Ж1 + Ж2 2п = 6, Xi > 0 (г = 1, 2, . . . , п).ЖТЖ2 .. Xn-1 . Xn . nЖ2 + Жз Жз + Ж4Xn + Ж1 Ж1 + Ж2 2п = 6, Xi > 0 (г = 1, 2, . . . , п).где п = 5 илигде п = 5 или6.6.(1 + ai) (1 + а^ . . . (1 + ан\(1 + ai) (1 + а^ . . . (1 + ан\
bi + . . . + bn \ bi + . . . + bn + 2 /
bi + . . . + bn \ bi + . . . + bn + 2 /
> n,
> n,
\ C1
д) «1 • 61
\ C1
д) «1 • 61
n2 (ci 4- . . . + Cn)(di + . . . + dn) (bi + . . . + bn) ’C o, i, j e {1, 2,. . . , n}.
n2 (ci 4- . . . + Cn)(di + . . . + dn) (bi + . . . + bn) ’C o, i, j e {1, 2,. . . , n}.
где ai,
где ai,
bi
bi
ЖТЖ2 .. Xn-1 . Xn . n
Ж2 + Жз Жз + Ж4Xn + Ж1 Ж1 + Ж2 2
п = 6, Xi > 0 (г = 1, 2, . . . , п).
ЖТЖ2 .. Xn-1 . Xn . n
Ж2 + Жз Жз + Ж4Xn + Ж1 Ж1 + Ж2 2
п = 6, Xi > 0 (г = 1, 2, . . . , п).
где п = 5 или
где п = 5 или
6.
6.
(1 + ai) (1 + а^ . . . (1 + ан\
(1 + ai) (1 + а^ . . . (1 + ан\
di + bi ।। dn + bn
di + bi + naibian + bn + nanbn
di + . . . + dn
2 \ di + . . . + an + 2
где ai, bi > 0 (i = 1, 2, . . . , n);
где аг, а2, . . . , ап > 0.
. —h т Н— С ;h1где а, Ь, с —
а о с а + b — с о + с — а а + с — о
стороны некоторого треугольника.
аbсd > 2 г £ b -|- 2с -|- 3(/ с -|- 2(/ -|- 3d d -|- 2d -|- ЗЬ а -|- 26 -|- Зс 3
а, Ь, с, d > 0.
22
+ -
1 + Ж2 + Жз + . . . + Жп 1 + Ж1 + Ж3 + • • • + Жп ж2
1 + Ж1 + ж2 + . . . + жп-1 Зп - 2
где Ж1, Ж2, . . . , хп > 0 и Ж1 + ^2 + . . . + хп = 2, п ^ 2.
Ху + ^2 + . . . + ж^ > Ж1 + ж2 + . . . + хп, где к е N и Ж1^2 . . . хп = 1; Хг > 0 (г = 1, 2, ... , п).
л/а^ + V^ + . . . + л/а^ < ai + а2 + . . . + аП) где а^ > О
(г = 1, 2, . . . , п) и а^а^ . . . ап = 1.
13. а)13. а)(x^y)z(х + у^2 + г2(x^y)z(х + у^2 + г24г4г + Зж + Зу ’4г4г + Зж + Зу ’где х^ у^ zгде х^ у^ z> 0;> 0;где а^Ь^с > 0;где а^Ь^с > 0;(6 + с — а)2 (с + а-6)2 (а + b - с)23(Ь + с)2 + а2 (с + а)2 + Ь2 (а + Ь)2 + с2 5’(6 + с — а)2 (с + а-6)2 (а + b - с)23(Ь + с)2 + а2 (с + а)2 + Ь2 (а + Ь)2 + с2 5’где Ж1, Ж2, . . . , хп > 0, п ^ 3.где Ж1, Ж2, . . . , хп > 0, п ^ 3.15(^1 +...+ ап) <2 (ai + . . . + ап) (12, . . • , ап > 0, п ^ 3.15(^1 +...+ ап) <2 (ai + . . . + ап) (12, . . • , ап > 0, п ^ 3.а2а пtt2 + а^ аз + 04ai + а2 ’а2а пtt2 + а^ аз + 04ai + а2 ’где аъгде аъ9.99.99.9ж + уу + гг + ж■*■”•6 .3 3 .6 "I 6~3 3 .6 "I 6~3 3”6ж + Ж у + у у + у Z + Z г + г ж + жг > 0 и xyz = 1.9.99.99.9ж + уу + гг + ж■*■”•6 .3 3 .6 "I 6~3 3 .6 "I 6~3 3”6ж + Ж у + у у + у Z + Z г + г ж + жг > 0 и xyz = 1.> 2,> 2,где х, у,где х, у,. Жу% Зх/з1 + ж 1 + у 1 + Z 4. Жу% Зх/з1 + ж 1 + у 1 + Z 4где х2 + у2 + z2где х2 + у2 + z21.1.18‘ (1 + т/)(1 + г) + (1 + жЦ1 + г) + (1 + т/)(1 + ж) ^ 4’ ГД6 ^ г > 0 и xyz = 1.18‘ (1 + т/)(1 + г) + (1 + жЦ1 + г) + (1 + т/)(1 + ж) ^ 4’ ГД6 ^ г > 0 и xyz = 1.зl332.12.2ig abса + b + сb -|- 2с с -|- 2а а -|- 263зl332.12.2ig abса + b + сb -|- 2с с -|- 2а а -|- 263где а,Ь, с > 0.где а,Ь, с > 0.
13. а)
13. а)
(x^y)z
(х + у^2 + г2
(x^y)z
(х + у^2 + г2
4г
4г + Зж + Зу ’
4г
4г + Зж + Зу ’
где х^ у^ z
где х^ у^ z
> 0;
> 0;
где а^Ь^с > 0;
где а^Ь^с > 0;
(6 + с — а)2 (с + а-6)2 (а + b - с)23
(Ь + с)2 + а2 (с + а)2 + Ь2 (а + Ь)2 + с2 5’
(6 + с — а)2 (с + а-6)2 (а + b - с)23
(Ь + с)2 + а2 (с + а)2 + Ь2 (а + Ь)2 + с2 5’
где Ж1, Ж2, . . . , хп > 0, п ^ 3.
где Ж1, Ж2, . . . , хп > 0, п ^ 3.
15(^1 +...+ ап) <
2 (ai + . . . + ап) (12, . . • , ап > 0, п ^ 3.
15(^1 +...+ ап) <
2 (ai + . . . + ап) (12, . . • , ап > 0, п ^ 3.
а2а п
tt2 + а^ аз + 04ai + а2 ’
а2а п
tt2 + а^ аз + 04ai + а2 ’
где аъ
где аъ
9.99.99.9
ж + уу + гг + ж
■*■”•6 .3 3 .6 "I 6~3 3 .6 "I 6~3 3”6
ж + Ж у + у у + у Z + Z г + г ж + ж
г > 0 и xyz = 1.
9.99.99.9
ж + уу + гг + ж
■*■”•6 .3 3 .6 "I 6~3 3 .6 "I 6~3 3”6
ж + Ж у + у у + у Z + Z г + г ж + ж
г > 0 и xyz = 1.
> 2,
> 2,
где х, у,
где х, у,
. Жу% Зх/з
1 + ж 1 + у 1 + Z 4
. Жу% Зх/з
1 + ж 1 + у 1 + Z 4
где х2 + у2 + z2
где х2 + у2 + z2
1.
1.
18‘ (1 + т/)(1 + г) + (1 + жЦ1 + г) + (1 + т/)(1 + ж) ^ 4’ ГД6 ^ г > 0 и xyz = 1.
18‘ (1 + т/)(1 + г) + (1 + жЦ1 + г) + (1 + т/)(1 + ж) ^ 4’ ГД6 ^ г > 0 и xyz = 1.
зl332.12.2
ig abса + b + с
b -|- 2с с -|- 2а а -|- 263
зl332.12.2
ig abса + b + с
b -|- 2с с -|- 2а а -|- 263
где а,Ь, с > 0.
где а,Ь, с > 0.
Найти наименьшее значение выражения
555
Ж2 ж2 + ж3 + . . . + хпЖ1 +Жз+ . . . +Ж„' ' 'Ж1 + ж2+. . . + Жп-1 ’
гдеп3и Ж1, . . . ,хп >0,ж^ + ... + ж^ =1.
Доказать, что
2п 111<Зп +1
Зп + 1п + 1п + 2* ' *2п4(п +1)’
где п 6 N.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА
Пусть требуется доказать неравенство
/(ж) ^ g^(9.1)
в интервале [а, 6] = I или [а, +оо) = /, где функции /(ж) и g(x) определены и непрерывны в области I.
Теорема 9.1. Если функции /(ж) и g(ж) дифференцируеми в области /, /(а) ^ g(a) и в области I h'(x) ^ 0, где h(x) = /(ж) — — g(x), то в I имеет место неравенство (9.1).
Доказательство. Если в области / h'(ж) ^ 0, то функция h(ж) в этой области не убывает и, следовательно, h(ж) ^ /г (а) в каждой точке ж области /, т.е. /(ж) — g(ж) ^ f(a) — g(a) 0, откуда /(ж)g^.
Замечание. Если в области / h' (ж) > 0 (ж / а), то для ж 6 / и ж > а /(ж) > g(ж).
Пример 9.1. Доказать неравенство 2ж+1 > ж + 2, когда ж ^ 1.
Доказательство. Рассмотрим функцию h(x) = 2ж+1 — ж — 2 в области [1, +оо).
Имеем /г(1) = 1 и Е(х) = 2ж+1 In 2 — 1. Функция у = 2Ж возрастает в области [1,+ос), тогда /г'(ж)4 In 2 — 1 > 0.
Следовательно, когда ж ^ 1, имеем /г(ж) ^ /г(1), или 2ж+1 ^ ж + 3, поэтому 2ж+1 > ж + 2.
Пример 9.2. Доказать неравенство
п=1т=1
Доказательство. Рассмотрим функцию
в области [0,+оо). Имеем к к
xhr (х) = У^ ^У^ хтат • жпап^ = (жах + • • • + ж^а/.)2 > 0, п = 1т=1
следовательно, для ж > 0 h'(x)0, поэтому /г(1)/г(0) = 0, т. е.
к / кn
х л атап । д
Теорема 9.2. Если f(b) ^ g(b) и в области I /г'(ж) ^ 0 (h(x) = = /(ж) — g^Y то в I имеет место неравенство (9.1), где I = [а, Ь\ или I = (—ОО, 6].
Доказательство. Если в области / hr(ж) ^ 0, то функция /г(ж) в этой области не возрастает и принимает свое наименьшее значение в точке ж = Ь. Но h(b) ^ 0, следовательно, для любого ж из / /г(ж) > 0.
То есть в области / f(x) — g(ж) ^ 0, или, что то же самое, /(ж) > g(x).
Теорема 9.3. Если для любого х из области I имеет место неравенство (9.1), то имеет место также неравенство
|/(t)dt > jg(t) dt,(9.2)
где I = \аД или / = [а, + ос).
Доказательство. Если имеет место неравенство (9.1), то имеет место и неравенство Е^х) G\xY где Е\х^ = /(ж), G'(x) = g(ж) и F(a) = G^ = 0.
Отсюда следует, что также имеет место неравенство F(x) ^ G^xY откуда, принимая F(x) = j f(t) dt, G(x) = j g(t) dt, получим неравенство (9.2).
Пример 9.3. Доказать неравенство
1п(28шж) > |ж(тг — ж) — ^тт2;
/ 7Г 7Г\ когда же
Доказательство. Рассмотрим неравенство ctgж > ^ — ж, справедливость которого следует из известного неравенства tg а > а ( 0 < а < — \ с заменой а на ( — — ж 1.
Интегрируя рассматриваемое неравенство, получим
ln(2 sin ж) > | ж(тг — ж) — ^ тг2.
УПРАЖНЕНИЯ
Доказать неравенства 9.1-9.22.
За3 + 7639а62, где а, 60.
9.2. 2П-19.2. 2П-1+ у)п, где ж, у+ у)п, где ж, уп Е N:п Е N:2х\ 1Жa) cos ж > 1—;2х\ 1Жa) cos ж > 1—;sin жsin ж2424зз3! ’3! ’cos ж ^cos ж ^2!4! ’2!4! ’г) sin жг) sin ж
9.2. 2П-1
9.2. 2П-1
+ у)п, где ж, у
+ у)п, где ж, у
п Е N:
п Е N:
2
х\ 1Ж
a) cos ж > 1—;
2
х\ 1Ж
a) cos ж > 1—;
sin ж
sin ж
24
24
з
з
3! ’
3! ’
cos ж ^
cos ж ^
2!4! ’
2!4! ’
г) sin ж
г) sin ж
где ж ^ 0 (используйте справедливое неравенство sin ж С ж).
ж — sin ж < 1 — cos ж ж ^/2 — sin ж, где 0 ж ^ ^-.
tgж + sinж^2ж, где 0 ж < —.
9.6.9.6.где ж ^ 0, п Е N.где ж ^ 0, п Е N.ж2п + 1ж2п + 2
9.6.
9.6.
где ж ^ 0, п Е N.
где ж ^ 0, п Е N.
ж2п+12п + 1’ж2п+12п + 1’2ti + 1 2ti + 2
ж2п+1
2п + 1’
ж2п+1
2п + 1’
23
< 1п(1 + ж)<Ж-у + у- ...+
ln(cos ж) — ^-, где 0 ж < ^-.
. ж(тГ - ж)7Г
sin ж <где 0 С ж <
t 3
tgж^-^ < ж, где 0 С ж < ^.
(ж + ^ arcctgж > 1, где ж > 0.
Д— Н^— + ... + ^- < 1пЗ, где п € N. п + 1 п + 2Зп
3 cos ж sin ж 3тг
< < , где 0 < ж < —.
1 + 2 cos ж ж 4 — cos ж2
арbq11
ab <1где a.b.p.q>^. —|— = 1.
рqр q
ар-Ьр а^-Ь"к п
9*14, ар + Ьр > ^ТР7’ ГД6 а > Ь > °’ Р > П*
(1 + ж^1^ — (1 + ж^ < ж, где ж > 0, t 2.
ab < еа + 6(ln b — 1), где b 1.
n। (1пж)2\ж2 -1
2 + -—In ж < , где ж > 1.
\3/ж
2sina: + 2СО8Ж 3, где 0 < ж < ^.
^— <lk + ^k + ... + nk < (1+-)"P—г, где n,k e N.
к + 1\ nJ к + 1
a) ( — ) < n!, где n 6 N; \e/
n! < n (—) , где n 7, n E N.
(aa + Ьа)т/а > ^a^ + Ь^у/^У где a, b > 0, 0 < се < Д.
Вычислите целую часть числа -—= + -—= + . . . + о ^4 Уб УТо^
Докажите неравенство
2 Зу2 4Уз(n + l)Vn
где п Е N, п ^ 2.
Докажите неравенство Бернулли:
(1 + ж)а > 1 + сеж, если а >1, ж > — 1, ж ф 0;
(1 + ж)а < 1 + сеж, если 0 <се < 1, ж > — 1, ж ф 0.
Пусть /(ж) = ах sin ж + а^sin 2ж + . . . + an sin пж,гдеai,...
... , an — действительные числа, ап — натуральное число.Известно,
что |/(ж)| ^ |sin ж| для всех действительных чисел ж. Докажите, что |di + 2а^ + . . . + nan| 1.
Докажите неравенства 9.27-9.32.
ж2 > (1 + ж) 1п2(1 + ж), где ж > —1.
п+Уп + 1 < Уп, где п > 3, п Е N.
aib® + a^b^ + . . . + anb® ai + . . . + ап^ где а^, Ь^ > 0, г = 1,2,. . . ,п, Ь^1 ...b^ = 1, ж > 0.
/ж + 1\ж+11
жж > а ( ), где - < ж, а > 0.
\а + 1/’ а ’
9 Н.М. Седракян, А.М. Авоян
pi +«2 + ... + «„ А /р
\п/\п/
й2, . . . , ап > 0, а Р^ aD 3 ^ 9.
a) x/ab <°, где а, b > 0, ар Ь\
N In а — In b 2
6)^<НЖ + 1)< ^^у. где ж > 0;
х 2/1\ 2ж + 1
г) хг < In 1 И— < ———, где х > 0:
2ж + 1Vх)2ж(ж + 1)
д) \х — у\ ^ |In х — In у\, где 0 < ж, у ^ 1;
х ,1 In х — In ие) In - < -У $ - Ух ,1 In х — In ие) In - < -У $ - Угде 0 < у < х < 1;где 0 < у < х < 1;
х ,1 In х — In и
е) In - < -
У $ - У
х ,1 In х — In и
е) In - < -
У $ - У
где 0 < у < х < 1;
где 0 < у < х < 1;
х /1\1пж - In?/
ж In Н— < , где х. у > 0 и х + у < 1.
\у/ х - у
32к3!(2&)!32к3!(2&)!> О,> О,2
32к
3!(2&)!
32к
3!(2&)!
> О,
> О,
а) Докажите неравенство 1 — х + —— где к Е N.
б) Докажите, что если многочлен n-й степени Р(х) неотрицателен при любом значении ж, то Р(ж) + Р'(ж) + Р"(ж) + . . . + P^\x) р О при всех значениях ж.
Докажите неравенство аГ — br + сТ ^ (а — b + с)г, где а > ^ 6 ^ с ^ 0 и г ^ 1.
РЕШЕНИЯ
Рассмотрим функцию h(a) = За3 + 7b3 — 9аЬ2 в области [О, +схэ). В случае b > О
/г(0) = 7Ь3 > 0, h\a) = 9а2 - 9Ь2 = 9(а - Ь)(а + Ь).
Функция h(a) в области [0,6] убывает, а в [6, +оо) возрастает, и так как h(b) = ЗЬ3 + 7b3 — 9Ь3 = Ь3 > О, то h(a) > 0 в области [О, +схэ), следовательно, За3 + 7b3 > 9аЬ2. В случае b = 0 очевидно, что За3 + 7b39аЬ2.
Рассмотрим функцию h(y) = 2П х(жп + уп) — (ж + у)п в области [0,+ос). Имеем
h\y) = n^S"-1 - n(x + у)""1 = <W-1 - (ж + у)""1);
^Ч^/) = 0, если у = х, h'(y) < О при О С У < ж и h'(y) > О при у > х. Это означает что на [0, ж] h(y) убывает, а на [ж,+оо) возрастает, и так как h(x) = 0, то в области [0, +оо) h(y) ^ 0, т. е. S™-1^ ^уп) > (х^у)п.
jcost dt оjcost dt о
jcost dt о
jcost dt о
9.3. а) Воспользуемся неравенством sin ж ^ ж, интегрируя которое,
получим
XXоо
ррXXXXх2
sin t dt ^ t dt или — cos t ^ — , t. e. — cos ж + 1—
JJIo 2 Io2
00
или
2
cos ж 1 — ^-.(9.3)
б) Согласно теореме 9.3 для неравенства (9.3) имеем
откуда следует справедливость данного неравенства.
в) Из неравенства б) согласно теореме 9.3 можем написать
откуда и получается данное неравенство.
г) Доказательство получается из п. в) и теоремы 9.3.
Оценим разность sin ж —cos ж. Учитывая, что sin ж + cos ж = = у 2 sin I ж + — к нетрудно заметить, что в случае U ж — имеет место неравенство 1 sin ж + cos ж ^/2, интегрируя которое, получим
XXX
^ dt,^ dt,11 dt < | (cos t + sin t) dt < |ooо
^ dt,
^ dt,
откуда и получаем ж ^ sin ж — cos ж + 1 ^ ж aJ2.
Согласно неравенству (3.2) имеем
1COS Ж н2“ COS X1COS Ж н2“ COS X12“ COS X12“ COS X
1
COS Ж н2“ COS X
1
COS Ж н2“ COS X
1
2“ COS X
1
2“ COS X
| (cost +о| (cost +о
| (cost +о
| (cost +о
а согласно теореме 9.3 имеет место также неравенство
dt f 2 dt,cos t/ J
0
откуда получается данное неравенство.
Сначала покажем, что
1 - ж + ж2 - . . . + ж2п - ж2п+1 с —1— <1-ж + ж2-... + ж2п, (9.4) 1 + жv 7
где ж ^ 0.
Воспользовавшись формулой для суммы геометрической прогрессии, получим
ж > 0,ж > 0,1 -< 1 < 1 + ж^
ж > 0,
ж > 0,
1 + ж 1 + ж 1 + ж
или 1 — ж2п+2 ^1^1 + ж2п+1.
Из теоремы 9.3 и двойного неравенства (9.3) получим данное.
/^2 \ '
Поскольку (1п(со8ж))' = — tgж, ( — ~ j = — Ж? Т0 И3 неРа" /7Г \
венства — tgж —ж ( 0 ж < — I и теоремы 9.3 получим данное неравенство.
Рассмотрим функцию F(x) = sin ж — Ж^^ в области [о, ^ и функцию G(x) = Пж) = cos ж + ж — в области [о, -^]. Поскольку G\x^ ^ 0, то в случае ж С ^ имеем С(ж) С G ^^ или ^'(ж) = cos ж + ж — ^ < 0, и так как ж > 0, то ^(ж) > 7Д0) = 0. Таким образом, sin ж — ^^ ^ ^ ^'
t 3 ЖГ 7Г \
Рассмотрим функцию /(ж) = ж —tgж^— в области |0, — V Имеем /' (ж) = 1 — (tg ж)' + tg2 ж (tg ж)' = tg4 ж > 0, следовательно, t 3
/(ж) > /(0) = 0, т.е. ж tg ж^.
Докажем, что в случае ж > 0 имеем arcctgж > —~
1 + ж
Рассмотрим функцию /(ж) = arcctgжв области (0, +схэ);
1 + ж
11 — ж22
/'(ж) = -ТТ^ "" (Л , 2x2 = - м , 2x2 < °, Значит, функция /(ж) 1 + ж (1 + ж )(1 + ж )
в области (0, Тсхэ) убывает, следовательно, /(ж) > 0, Пш / (ж) = 0.
Имеем
пЦ-кп+к
А; = 1, 2,..., 2п,А; = 1, 2,..., 2п, аж < —аж.
А; = 1, 2,..., 2п,
А; = 1, 2,..., 2п,
J п + кJ ж
n+/c —1n-Vk — 1
откуда
1
1
1
Зп
1 ,
— ах +
п+2
' 1 ,
— dx + . ..+
Зп
1 ,
— ах =
Зп
Зп —1
I Зп
= 1п ж = 1п 3.
9.12. Сначала докажем, что в
случае О
7Г
2
sin ж
3cos ж
1 + 2 cos ж ’
7ГI
tg ж + 2 sin ж > Зж.
Действительно, рассмотрим функцию /(ж) = tgж + 2 sin ж — Зж.
Тогда / (0) = 0, и производная функции в области
положи-
тельна. Так как cos ж ^ —? т0 согласно неравенству из упр. 2.1
cos ж
~21" 2 COS Ж — 3 = ^1" C0S Ж + C0S Ж — 3
COS жcos ж
з cos ж • cos ж з — Q
Vcos 2ж
Следовательно, функция /(ж) в области
возрастает, откуда
sin ж3
Неравенство < в области
ж 4 — cos ж
эквивалентно
неравенству 4 sin ж — sin ж cos ж < Зж, для доказательства которого рассмотрим функцию /Дж) = 4 sin ж — sin ж cos ж — Зж в заданной области. Так как
^'(ж) = 4 cos ж — cos 2ж — 3 = 4 cos ж — 2 cos 2ж — 2 = —2(cos ж — I)2 < 0
0, + ) функция F (ж) убывает, следовательно, F (ж) <
<F№ = a. '
жР-1 ья-1
9.13. Рассмотрим функцию /(ж) = —-—Iв области (0, +оо): р ООС
р - 1 жр 2 bq 1
Р b qX2
х - bq
2—, следовательно, /Дж) > 0 при qbx
: ж < bq/p.
ХР bqили1жб, откуда в случае9.14. Обозначим ^ через с._ ср - 1 ап - bn _ сп - 1” ср + Г ап + Ьп “ сп + ГРассмотрим функцию /(ж) = 2сж1пс „= —-2 > Ф следовательно,(с +1)области возрастает, значит, в случХР bqили1жб, откуда в случае9.14. Обозначим ^ через с._ ср - 1 ап - bn _ сп - 1” ср + Г ап + Ьп “ сп + ГРассмотрим функцию /(ж) = 2сж1пс „= —-2 > Ф следовательно,(с +1)области возрастает, значит, в случг(Ж) = 1+Л-|X Xг(Ж) = 1+Л-|X X(х — I)2 In2 X(х — I)2 In2 X
ХР bq
или1жб, откуда в случае
9.14. Обозначим ^ через с.
_ ср - 1 ап - bn _ сп - 1
” ср + Г ап + Ьп “ сп + Г
Рассмотрим функцию /(ж) = 2сж1пс „
= —-2 > Ф следовательно,
(с +1)
области возрастает, значит, в случ
ХР bq
или1жб, откуда в случае
9.14. Обозначим ^ через с.
_ ср - 1 ап - bn _ сп - 1
” ср + Г ап + Ьп “ сп + Г
Рассмотрим функцию /(ж) = 2сж1пс „
= —-2 > Ф следовательно,
(с +1)
области возрастает, значит, в случ
г(Ж) = 1+Л-|
X X
г(Ж) = 1+Л-|
X X
(х — I)2 In2 X
(х — I)2 In2 X
Таким образом, в области (0, bq/p\ функция убывает, а в области [Ь^+оо) возрастает. Следовательно, функция/(ж) принимает свое наименьшее значение при ж = bq^p, т. е.
'^у-1Ь^_ _ 1 1
pb qxpb qxpb + qb4^ р + q
pb qx
pb qx
х = а получим данное неравенство.
. ар-Ьр
В этом случае с > 1 и —= ар + Ьр
!Ж - 1
ж ^ ^ в области (—ос,+ос): /Дж) = функция /(ж) в рассматриваемой
ср - 1
ге р> п /(р) > рп), т.е. -р— >
сп + 1'
Нетрудно доказать, что данное неравенство эквивалентно ।/ ж + V^2 +4
неравенству (1 + ж ) ' ^ —, доказательство которого сле-
дует из у пр. 9.21 и неравенства (1 + ж )4 ^ —
Рассмотрим функцию /(ж) = ех + 6(ln b — 1) — xb в области (—ос,+оо): /Дж) = ех — 6, следовательно, функция /(ж) в области [1п6,+оо) возрастает, а в области (—ос, In 6] убывает. Поэтому в случае ж = In b функция примет свое наименьшее значение, т. е. /(ж) > /(In 6), откуда /(а) > е1п 6 + 6(ln b — 1) — b In b = 0.
ж2 — 1In3 х
Рассмотрим функцию /(ж) =2 In ж— в области
[1,+ос). Имеем
Для выяснения знака функции /Дж) рассмотрим знак функции , А (« - I)2. 2„ к
5\ж) — In ж в заданной области:
Теперь рассмотрим функцию F(x) =2 In ж в области [1, +ос).
а Ж +Х2(ж-!) п1
Поскольку г (ж) = 2= ^ Ф то б случае ж 1
ЖЖ ж
^(ж) > 7Д1) = 0, следовательно, g/(ж) > 0, откуда g(ж) > g(l) = О, и, наконец, /Дж) 0, т. е. /(ж)/(1) = 0.
Рассмотрим функцию /(ж) = 281ПЖ + 2СО8Ж — 3 в области
Имеем /Дж) = 2СО8Ж cos ж 1п2(281ПЖ СО8Ж — tgж) 0, так как 2sin ж-cos ж _ ^ж 0.
Действительно, рассматривая функцию /Дж) = sin ж — cos ж —
— log2 tg ж в области ^0, ^], получим
F^x^ = cos ж + sin ж;—— =
sin ж cos ж In 2
1/ V2 . / тг\ . „1 \
= sin ж + - Sin 2ж - —— С
sin ж cos ж \ 2\4/m2/
sin ж cos ж \ 2sin ж cos ж \ 21 У2
sin ж cos ж \ 2
sin ж cos ж \ 2
следовательно, F(x) F = 0, или 281ПЖ СО8Ж — tgж 0.
Таким образом, /Дж) > 0, значит, /(ж) > /(0) = 0.
В случае — С ж $ — / I — — ж ) ^ 0; воспользовавшись тождеством /(ж) = / ^ — ж), получим /(ж) ^ 0.
Имеем
23п+1п+1
1^ + 2к + . . . + пк <| xkdx + | xkdx + . . . + j xkdx = j xkdx = 12ni
к + 1 li к + 1 к + 1 ^ к + 1\ n) к + 1'
Аналогично имеем
12пп
1к + 2к + . . . + пк >| xkdx + j xkdx + . . . + | xkdx = j xkdx = о1n-lо
in+ + 1
“ A: + 1 Io ” r+T‘
а) Имеем
In 2 + In 3 + . . . + In п >
23пп
> | In х dx + j In x dx + . . . + j In x dx = j In x dx =
12n —11
in
= (x In x — x) | = n In n — n + 1 > n In n — n,
следовательно, n! >
б) Нетрудно проверить, что 7! < 7^-^ • Пусть n ^ 8. Имеем
9n+l
In 2 + In 3 + . . . + In n < In 7! + | In x dx + • . • + j In x dx = In 7! +
8n
n + l pI n+l
+ In x dx = In 7! + (ж In x — ж) < (n + 1) (In (n + 1) — 1) —
8
— 8 (In 8 — 1) + 8 In 7 — 7 < (n + 1) In n — n, или n! < n ) (cm. ynp. 3.16,6)).
Рассмотрим функцию /(ж) = (aH^)1^ вобласти (0,+оо). Имеем
ж 1 ж । 1 ж 11 ж 1/ ж . 1Ж\аж+Ьж
н/х = (ах + Ьх\1/х а In а +6 In 6 — 1п(а +6 )7ж2(аж + ьх)’
Рассмотрим функцию F(t) = t In t + c In с — (t + c) ln(t + с) в области (0, с], где с > 0:
F'(t) = 1 + In £ — 1 — ln(t + с) = In Q ^ ) < In 1 = 0,
следовательно, F(t) F(c) = 2c In c — 2c In 2c < 0.
Пусть аж bx. Приняв c = ax t = bx, получим аж1паж + + bx In bx — (ax + bx) 1п(аж + bx) < 0, следовательно, /'(ж) < 0, т. e. функция /(ж) в области (0,+оо) убывает, следовательно, в случае У > а > 0
(а^^Ь01)1^ > (а^Ь9)1^.
9.22. Рассмотрим функцию /(ж) =9.22. Рассмотрим функцию /(ж) =(ж + d')a+b(ж + d')a+bв областив области(0, +оо).(0, +оо).ИмеемИмеем^^(ас?- 6ж),^^(ас?- 6ж),следовательно, еслиследовательно, если0 < ж <0 < ж <
9.22. Рассмотрим функцию /(ж) =
9.22. Рассмотрим функцию /(ж) =
(ж + d')a+b
(ж + d')a+b
в области
в области
(0, +оо).
(0, +оо).
Имеем
Имеем
^^(ас?- 6ж),
^^(ас?- 6ж),
следовательно, если
следовательно, если
0 < ж <
0 < ж <
adadО, а когда ж > ^, то /'(ж) < 0. Таким образом,
ad
ad
функция /(ж) в областифункция /(ж) в областивозрастает, а в области [^, +оо)
функция /(ж) в области
функция /(ж) в области
убывает. Следовательно, в точке ж = ^ функция принимает своенаибольшее значение. Таким образом, /(ж) ^ / (^) ’ следовательно,
сили —г
(cpd)a^b
-^^ откуда получаем-^^ откуда получаем9.23. Имеем9.23. ИмеемАналогично имеем такжеАналогично имеем также106 + 1106 + 1а + ^\а+6
-^^ откуда получаем
-^^ откуда получаем
9.23. Имеем
9.23. Имеем
Аналогично имеем также
Аналогично имеем также
106 + 1
106 + 1
= [ -^ ^ = | ^(w6 +1)2 - | гЛё > |У10^-|У1б =
J ^ X2 ’ ''2 т 2 ’2
4
= I Ю4 - | х/16 = 1500 - | УТб = 14996 + ^ЦТ^ > 14996.
Таким образом, 14996 <+ . . . + о ,< 14997, следовательно,
^/4
целая часть данного числа равна 14996.
Имеем
о ^“IТ • • • Н7= <
23V24^3(n + l)Vn
1111111
< —Н7=Н7= Н7=Н7=Н7= + . . . Н
^3V2 4уЗ5у45V56V6
а) Рассмотрим функцию
/(ж) = (1 + ж)° — 1 — ах
в области (—1, Too). Поскольку /'(ж) = а(1 Т ж)а-1 — а и а > 1, то в случае — 1 < ж < 0 /'(ж) < 0, следовательно, /(ж) > /(0) = 0, и в случае ж > 0 /'(ж) > 0, следовательно, /(ж) > /(0) = 0.
См. решение п. а).
Имеем — |sinж| ^ /(ж) ^ |зтж|.
Когда 0 < ж < ^, имеем —sin ж /(ж) С sin ж, откуда
sin ж < /(ж) < sin жж ж ж ’
следовательно, sin ж/(ж)sin ж ,.
— 1 = — lim < lim Т lim = 1 (ж > 0).
ж^О Ж ж^О Ж ж^О Жх 7
С другой стороны,
lim ^^ = lim ^^—= /'(0) = сц + 2а2 + . . . + п • ап.
ж—>0 Жж—>0ж - 0х 7
Таким образом, получили, что — 1 ^ ai Т 2а2 + . . . + п • ап ^ 1.
Когда ж ^ 0, данное неравенство эквивалентно неравенству
Ж ^ 1п(1+ж), для доказательства которого рассмотрим функцию
Ж + 1ж
/(ж) =.— 1п(1 + ж) в области (—1,+оо).
+ ж
Поскольку /'(ж) =1———0, то в случае ж 0 /(ж)
2уж + 1(ж + 1)
>/(0) = 0.v v 7
Когда — 1 < ж ^ 0, данное неравенство эквивалентно неравенству
/ (ж) < / (0) = 0.
Рассмотрим функцию /(ж) = —^— в области (0, +оо).
Поскольку /'(ж) = -—У^, то в области (е, +ос) функция /(ж) ж
убывает, следовательно, в случае п + 1 > п 3 /(n + 1) < /(п), или п + 1) Innп+1/—
, откуда +уп + 1 <
Сначала докажем, что при ж ^ 0 /(ж) = bx — 1 — х In b ^ О, так как /'(ж) = 1п6(6ж — 1). Когда b 1, то In 6 О и bx — 1 О, следовательно, /Дж) ^ 0. Когда 0 < b < 1, то In 6 < 0 и Ьх — — 1^0, следовательно, /Дж) ^ 0. Таким образом, получили, что /Дж) ^ 0, т.е. /(ж) ^ /(0), таким образом, Ьх ^ 1 + ж1п6, откуда можем получить
атЬх а2Ьх ^ . . . ^ апЬх
П1(1 + ж In 6Д + 6X2(1 + ж In 62) + . . . + ап(1 + ж In 6П) =
= G1 + ^2 + • • • + Пп + ж In^l1^2 • • • ^тГ^ = G1 + ^2 + • • • + О-п*
Данное неравенство эквивалентно неравенству
1/\Т1
ж In ж>In а +(х + 1) In-.
v 7 а +1
Рассмотрим функцию
/(ж) = ж In ж — In а — (ж + 1) In Ж а + 1
в области Г-,+оо\ /Дж) = In Ж^а ^ ^ > 0, когда ж > следо- La /ж + 1а
вательно, функция /(ж) в заданной области возрастает, значит, при
Т №)>+)="■
Рассмотрим функцию
]п «1 + • • • + «п
Т) =
в областях (—ос,0) и (0,+оо). Имеем
а^ In «1 + . . . + а® In ап _ ^ а^ + . . . + а®
жж (t^i Т Т ci^j
di In di + . . . + ап In ап а^ + . . . + ап |n а1 + • • • + <xn А g ппп / ^ ^
так как функция f(t) = t Inf в области (0; +ос) выпуклая. Действительно, f'(t) = Inf + 1 и f"(t) = I > 0.
Следовательно, когда а ^ У > 0 или 0 > а ^ /3, имеем
А когда а > 0 > /3, имеемА когда а > 0 > /3, имеем
А когда а > 0 > /3, имеем
А когда а > 0 > /3, имеем
а) Без ограничения общности можем принять, что а ^ Ь. В этом случае данные неравенства эквивалентны неравенствам
х — 1
Исследуем функцию /(ж) = In ж — 2 • —в области [1, +оо).
(х — I)2
Имеем /Дж) = —> 0 (ж > 1), следовательно, в области х(х + 1)
< In у. Для доказа- о< In у. Для доказа- оВзяв ж = —, получим неравенство —- оаbВзяв ж = —, получим неравенство —- оаb[1,+ос) функция /(ж) возрастает и при ж > 1 /(ж) > /(1) = 0.
< In у. Для доказа- о
< In у. Для доказа- о
Взяв ж = —, получим неравенство —- оа
b
Взяв ж = —, получим неравенство —- оа
b
тельства второго неравенства обозначим у^ = ж и в области [1, +оо) исследуем следующую функцию: g^x^ = 2 In ж — ж + —.
(ж — I)2
g(x) в областиg(x) в областиИмеем g/(ж) = — < 0 (ж > 1), следовательно, функция
g(x) в области
g(x) в области
[1,+ос) убывает: g(x) < g(l) = 0, т. е. In р <
б) Возьмем из упр. 9.32, а),б) Возьмем из упр. 9.32, а),b = 1. Воспользовавшись неравенствомb = 1. Воспользовавшись неравенствомимеем2жимеем2жОстается заметить, чтоОстается заметить, чтож(ж + 2)2(ж + 1) 'ж(ж + 2)2(ж + 1) '
б) Возьмем из упр. 9.32, а),
б) Возьмем из упр. 9.32, а),
b = 1. Воспользовавшись неравенством
b = 1. Воспользовавшись неравенством
имеем
2ж
имеем
2ж
Остается заметить, что
Остается заметить, что
ж(ж + 2)
2(ж + 1) '
ж(ж + 2)
2(ж + 1) '
в) Взяв а = ж, b = 1 и воспользовавшись неравенством y/ab <в) Взяв а = ж, b = 1 и воспользовавшись неравенством y/ab <а — b/— х — 1In ж 1
в) Взяв а = ж, b = 1 и воспользовавшись неравенством y/ab <
в) Взяв а = ж, b = 1 и воспользовавшись неравенством y/ab <
< ;;—г? имеем Jx< , откуда < —
In а — In оv In жж — 1
Vx(x + 1)Vx(x + 1)ж + (ж + 1)2ж + (ж + 1)2Взяв а = х + 1, b = х и воспользовавшись неравенством из упр. 9.32, а), имеем
Vx(x + 1)
Vx(x + 1)
ж + (ж + 1)
2
ж + (ж + 1)
2
2, ж+11
< 1П < ,: .
2ж + 12ж(ж + 1)' а + b—-— для чисел2ж + 12ж(ж + 1)' а + b—-— для чисели у ии у и2ж + 1ж Уж(ж + 1)
2ж + 1
2ж(ж + 1)' а + b
—-— для чисел
2ж + 1
2ж(ж + 1)' а + b
—-— для чисел
и у и
и у и
Остается заметить, что —,=
у ж(ж + 1)
Написав неравенство :—-—-—- In а — In о
а - b приняв во внимание, что :—- > О, имеем
In а — In о
I х - у \ х^у
или
2
|1пж — Inу| >• |ж - у| > |ж - у|,
так как 0 < х, у < 1, а х = у; получим справедливое неравенство.
Пусть / = (0,1], Xi = у, х^ = х^ жз = 1 и /(ж) = — In ж. Тогда из неравенства из упр. 7.12, а) следует, что
ж In у — In у ^ у In ж — In ж > у In у — In ж.
Согласно неравенству из упр. 9.25,6) имеем
Л + 1V^ < ! + х-у = ж
X у/У у"
1 Л 1 \ In ж — In у откуда получаем- J < —-—-—.
а) Обозначим
22 Аз
Ыж) = 1-ж + ^-...+к = 0, 1,
Когда ж 0, имеем Pk(x) > 0.
Теперь докажем, что когда ж > 0, имеем р^(х) — е-ж > 0. При к = 0 имеем справедливое неравенство р^х^ — е-ж = 1 — е-ж > 0. Предположим, что при к = п (когда ж > 0) неравенство рп(ж) — — е-ж > 0 справедливо, и покажем, что оно справедливо и в случае к = п + 1. (То есть имеет место неравенство рп+1(ж) — е-ж > 0.)
Действительно, пусть /(ж) = рп+1(ж) —е-ж; в этом случае /"(ж) = = рп(х) — е-ж > 0, когда ж > 0. Следовательно, /Дж) > /ДО) = 0, значит, в случае ж > 0 /(ж) > /(0) = 0. Таким образом, получили, что Рк(х) > е-ж, когда ж > 0. Следовательно, при ж > 0 имеем Рк^ > 0.
Поскольку для всех ж р(ж) ^ 0, то п — четное число. С другой стороны, многочлен /Дж) = Р(ж) + Р'(ж) +. . .+ Р(пДж) имеет степень п. Нетрудно доказать, что F(x) имеет наименьшее значение. Пусть min F(x) = F(жo), в таком случае ^Джо) = 0. Таким образом, ( —оо, + оо)
Р'Ы = Р'^ + Р"(ж0) + • • • + РНЫ + Р(п+1)Ы =
= р'(жо) + Р"Ы + • • • + Р^Ы = о,
а Р(ж0) = РИ + Р'Ы + Р"Ы + • • ■ + РНЫ = РЫ > 0, следовательно, F(x) ^ F(xq) ^ 0, т. е. F(x) ^ 0 для всех значений ж.
Взяв Р(ж) = ^ ^, получаем
2п2n —1
(М! + (2п — 1)! + • • • + 1 > 0
(упр. 9.33, а)).
Рассмотрим функцию
/(ж) = ар — bp + хр — (а — b + ж)г
в области [0,6]:
/Дж) = тхр-1 — т^а — b + ж)г-1 = тхр-1 (1 — (1 + “^“^) С 0,
так как -—- ^ 0 и г — 1 ^ 0, и, значит, в области [0, 6] функция /(ж) не возрастает, поэтому /(ж) ^ /(6) = 0, т. е. /(с) ^ 0 или ар — bp + ср (а — b + сУ.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Доказать неравенства 1-13, 16-18.
2 sin ж — + ух — — J cos ж, где 0 < ж < —.
2.2.РРxq — 1qxq — 1qгде р > q > 0.где р > q > 0.з. у^- Т \/2 т... Т лУ^п- >з. у^- Т \/2 т... Т лУ^п- >2 зп2 зп^/п, где n Е N.^/п, где n Е N.
2.
2.
Р
Р
xq — 1q
xq — 1q
где р > q > 0.
где р > q > 0.
з. у^- Т \/2 т... Т лУ^п- >
з. у^- Т \/2 т... Т лУ^п- >
2 зп
2 зп
^/п, где n Е N.
^/п, где n Е N.
еж > же, где х > 0.
6 ’6 ’л / 7Г где 0 < а < -.л / 7Г где 0 < а < -.
6 ’
6 ’
л / 7Г где 0 < а < -.
л / 7Г где 0 < а < -.
2 sinа + tg а> За, где0< а < —.
_. sin2a? sin3a?„„
sin х Н-1— > 0, где 0 < х < тг
—т—— <—-(Ь + а) + 1, где 0 < а < b < с.
о — а 2с
. sin a sin (3тг
Ю. > ГД6 0<а<Р<2-
х tga tg/3Q -К
— < —, где 0 < а < /3 <
и 2.Ti
— х < sin х < ж, где 0 < х < —.
тг2
(sinж)-2 < ж-2 + 1^, где 0 < ж < ^.
тг2
ж3тг
а) tgж > ж + —, где 0 < ж < -;
< 0,6, где 0 << 0,6, где 0 <б) ж cos ж
< 0,6, где 0 <
< 0,6, где 0 <
^ cos ж, где 0 < ж^ cos ж, где 0 < жтг
^ cos ж, где 0 < ж
^ cos ж, где 0 < ж
I’
рп и qn являются периметрами правильных п-угольников, соответственно вписанных и описанных относительно окружности радиусом ^. Разделим промежуток (p-n^q-n) на три равные части. В какой части находится число тг?
Найдите такие действительные значения ж, при которых аж ^
^ ха, где ж ^ 0 и а ^ 1.
где а, 6, с > 0;где а, 6, с > 0;а -|- bа с > 2(6 -|- 1)(с -|- 1)
где а, 6, с > 0;
где а, 6, с > 0;
а -|- b -|- 2п6 а -|- с -|- 226с -|- 36 -|- с -|- 27
б)б)а + 6а -|- 6 -|- 2(z6а + 6а -|- 6 -|- 2(z6с-\- dа + сс + d + 2cd а + с + 2с-\- dа + сс + d + 2cd а + с + 2b^db -|- d -|- 2b^db -|- d -|- 2^ 2, где а, 6, с,^ 2, где а, 6, с,
б)
б)
а + 6а -|- 6 -|- 2(z6
а + 6а -|- 6 -|- 2(z6
с-\- dа + с
с + d + 2cd а + с + 2
с-\- dа + с
с + d + 2cd а + с + 2
b^db -|- d -|- 2
b^db -|- d -|- 2
^ 2, где а, 6, с,
^ 2, где а, 6, с,
d > 0.
хр + х р + ^ С (х + х х)р + 2, где х>0 и р 2.
1е3(ж2-1)
a) In ж >—, где х > 1;
'ж2 + 4ж + 1
б> 1па-1п6<з(2^+—)’ где а>0, Ь>0, а^б.
МЕТОД ИСПОЛЬЗОВАНИЯ свойств ФУНКЦИИ
Пусть требуется доказать неравенство
/(Ж1, ж2,...,ж„ > g($i, ж2,..., Жп)
при некоторых значениях переменных жх, Ж2,. . . , жп.
Преобразовав это неравенство к виду
/(ж17 ж2, . . . , жп) - g(жx, ж2,. . . , жп) > 0, исследуем зависимость от ж^ (1 ^ г ^ п) функции
ГЫ = /(ж17 ж2, . . . 7 жп) - g^17 ж2,. . . 7
(переменные жх, Ж2, • • • , ж^-х7 ж^+х, . . . 7 хп рассматриваются как постоянные).
Пример 10.1. Доказать неравенство
(х^ + х^ + . . . + ж^) cos ^^ 1 > жхж2 + ж2ж3 + . . . + ХП_1ХП1
где n 6 N, п > 2.
Доказательство. Рассмотрим функцию
Г (жх) = cos % . х^ - Ж2Ж1 + (жз + . . . + ж^) cos % . - п + 1п + 1
Ж2Ж3 . . . Жп_хЖп.
Она принимает свое наименьшее значение при жх = , сле-
2 cos —-—
n + 1 довательно,
ГЫ =
/ 2 ,2 ,,2 \\ г-г I Ж2 I
= (жх + ж2 + . . - + жп) cos ——- -Ж1Ж2-. . .-Хп_1Хп ^ Ь .
п + 1\ о/
у 2 cos/
п + 1
Нетрудно доказать, что
Ж2Ж3 . . . Жп —1ЖП
Рассмотрим квадратичную функцию лучим
СЫ = FСЫ = Fпо-по-(sin
СЫ = F
СЫ = F
по-
по-
sin
п + 1
X COS - - Ж3Ж4 - . . . - Хп_!Хп. п + 1
sinsinГ(Ж1) > СЫ ^Г(Ж1) > СЫ ^(п + 1)тг72 + 1(п + 1)тг72 + 1_ .72 7Г7Г2 sincos_ .72 7Г7Г2 sincosх^ COSх^ COS7Гп + 17Гп + 1= О,= О,72 + 172 + 172 + 172 + 1Проведя аналогичные рассуждения для переменных жз,. . . , жп, получим
sin
sin
Г(Ж1) > СЫ ^
Г(Ж1) > СЫ ^
(п + 1)тг
72 + 1
(п + 1)тг
72 + 1
_ .72 7Г7Г
2 sincos
_ .72 7Г7Г
2 sincos
х^ COS
х^ COS
7Г
п + 1
7Г
п + 1
= О,
= О,
72 + 1
72 + 1
72 + 1
72 + 1
следовательно,
(ж2 + х^ + . . . + ж2) cos % 1 > Ж1Ж2 + . . . + Хп-1Хп.п + 1
При доказательстве некоторых неравенств можно использовать следующие свойства функций.
1°. Если функция /(ж) определена в области [а, 6] и убывает в области [а, с], а в области [с, Ь\ возрастает, тогда в области [ф е] функция /(ж) принимает свое наибольшее значение в одной из граничных точек области [с/, е] (а ^ d < в ^ Ь).
2°. Если функция /(ж) определена в области [а, Ь\ и в области [а, с] возрастает, а в области [с, 6] убывает, то в области [с/, е] функция /(ж) принимает свое наименьшее значение в одной из граничных точек области [ф е] (а d < в Ь\
Нетрудно заметить, что если функция /Дж) в области [а, Ь\ возрастает, то функция / (ж) в области [а, Ь\ принимает наибольшее значение в точках а или 6, а если /Дж) убывает в области [а, 6], то функция /(ж) в области [а, Ь\ принимает наименьшее значение в точке а или Ь.
Эти свойства функций можно использовать при доказательстве
некоторых неравенств.
Пример 10.2. Доказать неравенство
а2 + Ь2 + с2 < а2Ь + Ь2с + с2а + 1,
где 0 а, 6, с < 1.
Доказательство. Рассмотрим функцию / (а) = а2(1 — Ь) — — с2 а + Ь2 + с2 — be2 — 1 в области [0,1].
Если b ф 1, то /(а) является квадратным трехчленом по а, ветви графика которого направлены вверх. Следовательно, функция /(а) принимает наибольшее значение в одной из точек на концах отрезка [0,1]. Поскольку
/ (0) = Ь2 + с2 - b2c - 1 = (1 - с) (b2 - (1 + с)) с 0,
/ (1) = 1 - b - с2 + Ь2 + с2 - Ь2с - 1 = b (6 - 1) - Ь2с + 0,
то на отрезке [0,1] /(а) ^ 0, что и требовалось доказать.
Если b = 1, то доказательство проводится аналогично.
Пример 10.3. Доказать неравенство
Ж1 + Ж2 + Ж3 - Ж1Ж2 - Ж2Ж3 - Ж3Ж1 < 1,
где 0 < xi < 1, г = 1, 2, 3.
Доказательство. Рассмотрим монотонную функцию
/(ж) = ж + ж2 + ж3-жж2-ж2ж3-жж3 = ж(1-ж2-ж3) + ж2 + ж3-ж3ж2, которая принимает наибольшее значение в одной крайних точек отрезка [0,1]:
/ (0) = ж2 + ж3 - ж2ж3 = 1 + (1 - ж3) (ж2 - 1) < 1,
/ (1) = 1 - ж3 - ж2 + ж2 + ж3 - ж2ж3 = 1 - ж2ж3 С 1.
Следовательно, на отрезке [0,1] / (ж) ^ 1 или же /(жД = Ж1 + ж2 + + Ж3 - Ж1Ж2 - ж2ж3 - Ж3Ж1 < 1.
УПРАЖНЕНИЯ
Доказать неравенства 10.2-10.10.
Докажите, что если неравенство |аж2 + bx + с| ^ 1 имеет место для всех чисел отрезка [—1,1], то для этих ж имеет место также неравенство |сж2 — Ьх + а| + 2.
(а + b + с)2 < 4 (ab + Ьс + ас), где а, b и с — стороны некоторого треугольника.
-—-—- 4-—- 4—- + (1 — а)(1 — b)(l — с) < 1, где
6 + c + l c + a + l a + 6 + l v А А 7
0 < а, Ь, с < 1.
(a-\-b-\-c-\-d-\-e) (—h — 4h 4—C 25+6
\a b c a e)где 0 < p < a, b, c, d, e < q.
< а„, 61 < 62 << а„, 61 < 62 <(неравенство Чебы(неравенство Чебышева), где ai < 0,2 С> 0, г = 1,. . . , п;шева), где ai < 0,2 С> 0, г = 1,. . . , п;< Ь„, 57 mi = 1, т^ >г=1< Ь„, 57 mi = 1, т^ >г=1
< а„, 61 < 62 <
< а„, 61 < 62 <
(неравенство Чебы
(неравенство Чебы
шева), где ai < 0,2 С
> 0, г = 1,. . . , п;
шева), где ai < 0,2 С
> 0, г = 1,. . . , п;
< Ь„, 57 mi = 1, т^ >г=1
< Ь„, 57 mi = 1, т^ >г=1
(
П\ / п\п
57miai) ( 57 mibi)57 miaibi, где at < а2 < ... < ап,
г = 17 -г = 17 г = 1
6162 ^ . . . ^ Ьт У^ ТП{ = 1, тп{ > 0, г = 1,. . . , п.
г = 1
(1 + 0-1) (1 + а^^ . . . (1 + ап^ ^ 1 + 0-1 + 0-2 + . . . + п-п, !ДС ^ъ ^2, • • • , ап —2 и числа di, (12, . . . , ап одного знака.
. _ _ zх / 11 \/ (а + bf 9
(жх + . . . + хп) (Н...Нv . / п2, где жь . . .
v7 \Ж1жп/4а6
... , хп Е [а, 6], 0 < а < Ь.
(1 - а) (1 - 6)(1 - с) (1 - а - 6 + с)
- > тгде 0 < а < с < Ь.
abс(а + 6-с)77
а + b < 1.
——h „ 1 , > ——1где 1 < а < m < b.
1 + а 1 + b 1 + m т + ab' m
10.10. abc ^ ^ (ра + qb + тс) ,10.10. abc ^ ^ (ра + qb + тс) ,где а, 6, с > 0, p^q^r Е ^0, -где а, 6, с > 0, p^q^r Е ^0, -а +а +
10.10. abc ^ ^ (ра + qb + тс) ,
10.10. abc ^ ^ (ра + qb + тс) ,
где а, 6, с > 0, p^q^r Е ^0, -
где а, 6, с > 0, p^q^r Е ^0, -
а +
а +
+ 6 + с = р + д + г = 1.
РЕШЕНИЯ
Имеем
\сх2 — Ьх + а\ |сж2 — с| + |с — Ьх + а\ =
= |с|(1 — х2) + |с — Ьх + а\ < |с| + |с — Ьх + а\.
Если х = 0, то из неравенства \ах2-\-Ьх-\-с\ ^ 1 следует, что |с| ^ 1. Таким образом, \сх2 — Ьх + а| 1 + |с — Ьх + а|.
Остается заметить, что функция / (ж) = |с — Ьх + а| на отрезке [—1,1] принимает наибольшее значение в одной из крайних точек. Следовательно,
f (ж) < шах(/ (—1) , / (1)) = max(|с + 6 + а|,|с — 6 + а|) < 1,
т. е. |сж2 — Ьх + а| < 1 + 1 = 2.
Поскольку а^ b и с — стороны треугольника, то \Ь — с| < < а < b + с. Без ограничения общности можем считать, что b ^ с.
Рассмотрим функцию / (а) = (а + 6 + с)2 — 4 (ab + Ьс + ас) в области [6 — с, b + с].
Имеем f (а) = а2 —2а (Ь + с)+62+с2 — 2Ьс. Графиком этой функции является парабола с ветвями направленными вверх. Следовательно, в заданной области f(a) принимает свое наибольшее значение в одной из точек b — с, b + с;
/ (Ь — с) = 4с (с — Ь) < 0,/ (6 + с) = —4Ьс < 0.
Таким образом, в области (b — с, b + с) f(a) < 0.
Рассмотрим функцию
/ (а) = L ° , +^—7 +^—7 + (1 - а) (1 - 6) (1 - с)
J v ' b + с + 1 с + а + 1 а + b + 1 х ,х ,х '
в области [0,1]. Очевидно, что производная
Г И -с)
о + с + 1 (с + а + 1) (а + о + 1)
в области [0,1] возрастает, следовательно, она обладает свойством 1°, т. е. /(d) принимает наибольшее значение в одной из точек 0 или 1.
Мы фактически доказали, что функция f(a) принимает наибольшее значение в одной из точек а = 0, а = 1. Заменив а на 0 или 1 и далее рассматривая полученную функцию как функцию 6, получим, что она тоже принимает наибольшее значение в одной из точек b = 0, b = 1 соответственно.
Поскольку рассматриваемое неравенство симметрично относительно а, 6 и с, то получим, что выражение в левой части неравенства примет наибольшее значение в случае одного из троек (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1). Во всех случаях левая часть данного неравенства равна 1.
Рассмотрим функцию
„ 7 X 7,, X / 11111 \
/ (d) = (a-\-b-\-c-\-d-\-e) ( —h — 4h — 4— ) ,v 7 v7 b c d e)
или / (a) = Aa-V — + ЛВ + 1, где Л = у + - + ^ + -, В = b-\-c-\-d-\-e. ab c d e
Поскольку f' (a) = A2 (В > 0), to f(a) возрастает в области a
[p, q], следовательно, она принимает наибольшее значение в одной из точек р^ q. Из сказанного ясно, что / (d) ^ шах(/ (р) , / (q)).
Теперь рассмотрим функцию
g(6) = (p + 6 + c + ^ + e)(- + -Hh - + - )
\р b с а е /
или h (b) = (а + b + с + d + е) ( —h т Нh -; Н— ) на отрезке \р, q].
х 7 х7 \q ос а е/L J
Аналогично получим, что
g(6) < max(g(p),g(g)) и h(b) < max (/г(р),/i(q)) .
Продолжая эти рассуждения относительно переменных с, d и е, получим, что выражение принимает свое наибольшее значение в том случае, когда некоторые из переменных равны р. а остальные — q.
Таким образом,
/ (а) — (а + 6 + c + cZ + e) (—Н - Нh — Н—С х 7 х7 \а b с d е)
С утр + пн) \т —h п - , ' \ р q/
где т, п ^ 0, т + п = 5, т^пЕ Z.
Теперь докажем неравенство
zх /т п\ _Гр Га \
(тр + nq) (h - ) < 25 + 6 а/А/ -•
\р q/ \Vq V р/
Действительно,
т2 + и2 + 2^ + 2^ 25 + V /?У
q рV V q V р J
(т + п)2 + тп (- + - — 2^ < 25 + 6 (- + - — 2^ ,
х 7\q р 1\q р J
25 + mnf^ + ^-2)25 + 6 f-+ - — 2) ,
Vq Р /\q р )
так как нетрудно заметить, что тп ^ 6.
Замечание. Неравенство из упр. 10.4 обобщается следующим образом.
2 71 Т’/ 22 71 Т’/ 2гдегдеДокажите, что если 0 < р < «1, а^^. . . , ап < q^ то имеет место неравенство
2 71 Т’
/ 2
2 71 Т’
/ 2
где
где
, n = 2k (k = 1,2,...),
-Д1, n = 2A' + l (fe = 0,l,2,...)
Сначала ознакомьтесь с упр. 10.7.
а) Рассмотрим функцию
/(ж) = ( т^х + / v тп,{Сц I (^ m^j I — / v т,{€цЬ{ — m^xb^
г=1;г^27'г=17г=1;г^2
в области [oi, аз]. Поскольку /(ж) — линейная функция, то она свое наибольшее значение принимает в одной из точек ai, а^. В выражении М = /(«2) заменим а 2 на ai или аз и в полученном выражении заменим аз на ж и аналогично докажем, что это выражение принимает наибольшее значение в одной из точек oi, а 4. Продолжая эти рассуждения для чисел 04, ... , an~i, 62,63,..., 6n-i, получим
М < (aoi + Pan^bx + dbn) — ka^bx — (а — k)axbn —
- (5 - a + к) апЬп - (/3 + а - 5 - к) апЬх, где «(7)— сумма тех т^, соответствующие которым а^ (Ьр заменили на ai (61) и а + /3 = 1, 7 + 5 = 1, & = min(a,7).
Имеем
М ^ a^axbx + (aJ — a) axbn + (/З7 — /3 — а + 5) anbx +
+ (/35 — 5 + a) anbn — ka^bx + kaxbn + kanbx — kanbn =
= a^axbx - a^axbn - a^aHbx + ayanbn - к (аг - an) (bx - bn) = = («7 - k) (ax - an) (bT - bn) < 0, так как к = а или к = ^ и 0 ^ a, 7 ^ 1.
б) Запишем неравенство а) этого упражнения для чисел ах ^ ^ a2 С • • • С <^п и — Ьх ^ —^2 С • • • С —Ьп- Получим
(
п\/ п\п
52 т»а») (52т< ^-Ь^)52т<о«
г = 17^г=17г = 1
умножив обе части последнего на — 1, получим рассматриваемое неравенство.
Если ai, а2, . . . , an > 0, то в этом случае достаточно раскрыть скобки в левой части неравенства.
Если —2 ^ ai, а2,... an < 0, рассмотрим функцию
/(ж) = (1 + ж)(1 + а2) • ■ • (1 + ап) - 1 - ж - а2 - ... - ап
на отрезке [—2,0]. Поскольку это линейная функция, то она принимает свое наименьшее значение в области в одной из точек —2, 0.
Нетрудно убедиться, что из указанных фактов следует, что выражение (1 + ai) . . . (1 + an) — 1 — ах — а^ — ... — ап принимает наименьшее значение в том случае, когда некоторые из чисел равны —2, а остальные — 0. Таким образом, когда ах = . . . = ап = 0, имеем
(1 + ai) ... (1 + ап) - l-ai-a2-...-an = l- l = 0.
Если некоторые из чисел равны —2, получим
(1 + di) . . . (1 + ап) — 1 — ах — а^ — • • • — ап = (—1)^ — 1 + 2k ^ О, где к — количество —2.
Рассмотрим функцию
/(ж) = (ж + ж2 + . . . + жп) ( - Нh . . . н \Ж Ж2Хп
в области [а, 6]. Эту функцию можно записать в виде
/(ж) = 1 + — + Вж + ЛВ,v 7X
где А = ж2 + . . . + хн, В =h . . . Н.
Ж2Хп
Д
Поскольку /'(ж) = В2 (В > 0), то /'(ж) возрастает на [а, 6], х
следовательно, она принимает наибольшее значение в одной из то
чек а, Ь. Отсюда /(жх)шах(/(а),/(6)).
Аналогично, рассматривая функцию
g(ж) = (Ь + х + ж3 + . . . + жп) + - + — + . . . + —) , \О Ж Жзхп/
или
/ XX 111 А
g(x) = (а + ж + ж3 + . . . + хп) н1h . . . н \а жжзжп /
в области [а, 6], получим g(ж2) ^ max(g(a), g(b)).
Повторяя то же самое для переменных жз,. . . , жп, получим, что /х / 11 Аг
выражение (жх + . . . + хп) I1 примет наибольшее зна
чение, когда часть переменных будет равна а, а остальная часть — Ь.
Примем жх = . . . = Хк = а, ж^+х = . . . = хп = Ь.
/7 XLX , П - А / (а + Ь)22
Остается доказать, что (ка + (п — кюн —|:— < -—-—т2— • п .
v v 7 7b ) 4аЬ
Справедливость последнего вытекает из эквивалентного ему неравенства ((п — 2к)а — (п — 2к^Ь^0.
Рассмотрим функцию f(x) = ————b + ж) вобласти ж(а + о — ж)
[a, bY Нетрудно убедиться, что
/ (ж) = ( — 1) ( —I) + 1.
v 7 \а + b / \ж а + b — х )
ИмеемV V И V 7 I1 следовательно
KllVlt/t/lvl J I <Z/ j —2 /\2\КJ11 t3jlt>rlO^
x (a + b — ж) \a -\- b /
функция / (ж) убывает в области [а, ^ ^ ^] ? а в области [^ ^ ^ ? ^] возрастает. Это означает, что в области [а, Ь\ /(ж) принимает наибольшее значение в одной из точек а, Ь.
Поскольку f (а) = / (6) = ——^^——, то
/(ж) </(ж) <(1 - а) (1 - 6)ab(1 - а) (1 - 6)ab
/(ж) <
/(ж) <
(1 - а) (1 - 6)
ab
(1 - а) (1 - 6)
ab
где, приняв ж = с, получим заданное неравенство.
Рассмотрим функцию
, .111ab
f (ж) = 1г = hlг
v 1 + ж ^ ab 1 + ж ж + ab х
в области [а, 6].
Так как /' (ж) = ——, то в области [а, V^l (ж + 1) (ж + ab)
функция /(ж) убывает, а в [ y/ab, Ь\ возрастает, следовательно, /(ж) С шах(/(п), /(6)).
Поскольку / (а) = /(&)= ^ ^ ^ + ^ ^ ^ и а < т < 6, то / (т) <
1 + а + 1 + b'
Заметим, что | — q ^ р С |; тогда для функции /(р) = = pa + qb + (1 — р — q^c имеем
/(p)>min [/(1-ф /(!)] =
= mm - - q а + qb + - с, -а + qb + - - q с >
. /111,111
> mm - а + - с; - b + - с; - а + - b .
^ следователь-^ следователь-2С; 26+2С; 2а+262С; 26+2С; 2а+26Пусть min но,
^ следователь-
^ следователь-
2С; 26+2С; 2а+26
2С; 26+2С; 2а+26
pa + qb + re | (а + с) > (а + с) 2 (а + с) (1 - (а + с)) = = 2 (а + с)2 b > Babe.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Докажите неравенства 2-13, 15-20.
Известно, что 0 ^ р ^ 1, 0 ^ г ^ 1 и что также имеет место тождество (рж + (1 — p)y)(rx + (1 — г)у) = ах2 + Ьху + су2. Докажите,
L4
что одно из чисел а^Ь^с не меньше -.
жх + . . . + хп - жхж2 - ж2ж3 - • • • - хп-1Хп - хпхх <, где
О С Xi < 1, г = 1, . . . , п и п ^ 3, п € N.
(жх + ж2 + . . . + жп + 1)2 > 4(ж2 + . . .A-x^Y где жъ . . . , хп е [0,1].
О < b < bi < В, г = 1,. . . , п.
а2Ь2 + Ь2с2 + с2а2 > |(а4 + Ь4 + с4), где а, 6, с — стороны некоторого треугольника.
а) х2 + у2 + z2 + ху + yz + zx + х + у + z > 0;
ху(1 — z) + yz(l — х) + xz(l — у) < 1, где 0 ^ ж, у, z < 1.
2n > (1 + ai) . . . (l + an) + (l-ai) . . . (1-ап) ^ 2, где 0 ^ Qi < 1, г = 1, . . . , п.
2°+6 + 26+с + 2с+° < 1 + 2°+6+с+1, где а, Ь, с > 0.
min [(а — Ь)2^ (Ь — с)2, (а — с)2] < а ^ ^ ^ С •
а4 + ab + Ь2 ^ 4а2Ь + с?Ь^ где а, b ^ 0.
аВ + ЬС + сА < к2, где а, Ь^ с, А, В^ С > 0 и а-\-А = Ь-\-В = = с^С = к.
(1 - жхж2 . . . хп)т + (1 - у?)(1 - у^ > 1, где 0 yi,
Xi + yi = 1, г = 1, 2, . . . , n, m G N.
13.13.be + 1 ca + 1 ab + 1be + 1 ca + 1 ab + 1где a^b^c E [0,1].где a^b^c E [0,1].
13.
13.
be + 1 ca + 1 ab + 1
be + 1 ca + 1 ab + 1
где a^b^c E [0,1].
где a^b^c E [0,1].
Докажите, что периметр любого четырехугольного сечения правильного тетраэдра с ребром а меньше За.
Вас + Bbd За2 + 362 + Зс2 + Зс/2 + ab + be + cd + da. где О^а^б^с^б/.
17.17.2 । ,22х а + о —сJ а + b — с2 । ,22х а + о —сJ а + b — с^ а + b — 2, где 2 ^ а, 6, с ^ 3;^ а + b — 2, где 2 ^ а, 6, с ^ 3;б)б)a^ + а2 — ®3 ai + а^ — азa^ + а2 — ®3 ai + а^ — аза^ + а^ — а4 а2 + аз — а4а^ + а^ — а4 а2 + аз — а4+ . . . ++ . . . +а2 + а2 — а^ ап + ai — а2а2 + а2 — а^ ап + ai — а2
17.
17.
2 । ,22
х а + о —сJ а + b — с
2 । ,22
х а + о —сJ а + b — с
^ а + b — 2, где 2 ^ а, 6, с ^ 3;
^ а + b — 2, где 2 ^ а, 6, с ^ 3;
б)
б)
a^ + а2 — ®3 ai + а^ — аз
a^ + а2 — ®3 ai + а^ — аз
а^ + а^ — а4 а2 + аз — а4
а^ + а^ — а4 а2 + аз — а4
+ . . . +
+ . . . +
а2 + а2 — а^ ап + ai — а2
а2 + а2 — а^ ап + ai — а2
^ 2ах + 2а2 Ч- • • • Ч- 2an — 2п,
где п ^ 3, 2 ^ ai < 3, г = 1, . . . п.
1 а(с- d) 2d
- <——- < 2, где 1 < а, с, d < 2.
2 b(d - с) + 2с
а7 — /З20, где «7 — 2ЬР + са = 0 и ас — Ь2 > 0.
(«1 + а% + • • • + ап — by — Ь^ — . . . — Ьп^2 +
+ 2|«1&2 — ^2^i| + 2|ai&3 — ^з^1| + • • . + 2\an_ybn — anbn_y\ ^\a2-b2\^\a2-b2\^...^\a2n - b2nH
+ 2|ai«2 — ^1^2! + 2|ai«3 — ^1^з| + • • • + 2|an_ian — bn_ybn\D где ay^ a^^ • . • ^ an^ by^ b^^ . • . ^ bn > 0 и n ^ 2.
§ 11. МЕТОД ПРИМЕНЕНИЯ НЕРАВЕНСТВА ЙЕНСЕНА
Теорема 11.1 *). Если имеет место неравенство
22(И.1)(И.1)соответственносоответственно22(И.2)(И.2)
2
2
(И.1)
(И.1)
соответственно
соответственно
2
2
(И.2)
(И.2)
для любых чисел а и b из области D(J) = /, то для любых «1,. . . ... ,ап € Q+, где ах + . . . + ап = 1, и любых чисел жх,. . . ,хп Е I имеет место неравенство**)
o^if (жД + . . . + anf (хп) > / (ахЖ1 + . . . + апхп) (11.3)
^соответственно Qi/ (жх) + . . . + aHf (хп) ^ / (qx^x + . . . + анхн)\. (И.4)
Пример 11.1. Доказать неравенство
COS Ж1 + . . . + COS Жп/ Ж1 + . . . + хп
С cos Iп\ п
где жъ . . . ,хп Е [О,
Доказательство. Докажем, что для любых чисел a^b Е € [0, -^-j имеет место условие (11.2) теоремы (11.1), т. е.
cos а + cos b2cos а + cos b2coscosа + b2 ’а + b2 ’
cos а + cos b
2
cos а + cos b
2
cos
cos
а + b
2 ’
а + b
2 ’
„ „cos а + cos b а + b а — b / а + b _
Действительно, - = cos —-— cos —-— С cos —-—. Счи
тая, что Qi = . . . = ап = —, и воспользовавшись неравенством (11.4), получим
— (COS Х1 + . . . + cos хп) < cos п\ п
Теорема 11.2***). Если для любых чисел а и b из интервала D(f) = I и любых а, Д таких, что а^Р ^ 0, а + Д = 1, имеет место неравенство
(И.5)(И.5)af (а) + Д/ (6) > / (аа + РЬ)
(И.5)
(И.5)
*) Доказательство см. в упр. 7.8.
) Это неравенство называется неравенством Йенсена.
***) Доказательство см. в упр. 7.9.
[соответственно af (о) + Pf (6) ^ / (аа + Д6)],(11.6)
то для любых «1,...,ап, Ж1,...,жп имеет место неравенство
«1/ («1) + ■ • • + ап/ (ж„) ^ / (О1Ж1 + ... + а„ж„)(11.7)
[соответственно aif (a?i) + ... + a^f (жп) ^ / (ai^i + ... + апжп)], (П.8)
где «1,. . . ,ап ^ 0, Qi + • •• + an = 1, a жх,. . . ,хп 6 I.
Заметим, что если в области I функция /(ж) удовлетворяет условию (11.5), то будем говорить что она в этой области выпуклая, а если удовлетворяет условию (11.6), то будем говорить, что функция вогнутая.
Теорема 11.3. Если для /(ж) функции в области D(J) = / имеет место условие
Г (ж) о(11.9)
[соответственно /" (ж)^0],(11.10)
то имеет место также условие (11.7) [соответственно (11.8)].
Доказательство. Пусть имеет место условие (11.9). Сначала докажем, что имеет место (11.5).
Действительно, воспользовавшись формулой конечных приращений находим, что
а/ (жД + Д/ (ж2) - / (аж1 + Дж2) =
= a(f (жД - / (ажх + ДжД) + Д (/ (ж2) - / (ажх + ДжД) =
= af' (сД (жх - ажх - Дж2) + Д/' (с2) (ж2 - axi - ДжД =
= аД (/' (сД - /' (сД) (ж2 - жД = a^f" (с) (с2 - сД (ж2 - жД,
где жх < ci < ажх + Дж2 < с2 < ж2 и щ < с < с2.
Следовательно, знак левой части совпадает со знаком /" (с), что означает, что (11.5) справедливо.
Согласно теореме 11.2 справедливо также (11.7).
Пример 11.2. Доказать неравенство
(
п\ / п \ к—1/ Пх к
г=1 77\i=1/
где ci > 0, г = 1, . . . , н и к (0,1).
Доказательство. Рассмотрим функцию / (ж) = хк в области (0,+оо). Поскольку f" (ж) = к (к — 1) ж^-2 > 0, то, приняв оц =
= -^—, ж^ = I — ) , где г = 1, . . . , п, согласно теореме 11.3 получим
E
k*
сз
3=1
откуда и получается данное неравенство.откуда и получается данное неравенство.УПРАЖНЕНИЯУПРАЖНЕНИЯДокажите неравенства 11.1-11.21.Докажите неравенства 11.1-11.21.-81ПЖ1 + . . . + 81ПЖп ,. Ж1 + • • • + Хп < sinппЕ [0, тг].-81ПЖ1 + . . . + 81ПЖп ,. Ж1 + • • • + Хп < sinппЕ [0, тг].где жх,...,жп Егде жх,...,жп ЕЦ.2. а + ^ + С < ^а/(а+b+c) . ^Ь/(а+b+c) . ^с/(а+b+c) < а "V Ь -\- С 3а 4- b 4- сгде a,b,c Е N.Ц.2. а + ^ + С < ^а/(а+b+c) . ^Ь/(а+b+c) . ^с/(а+b+c) < а "V Ь -\- С 3а 4- b 4- сгде a,b,c Е N... _ Ab — с\А с — а\Аа — Ь\ ..(1 4)(14— )(14)< 1,где а, 6, с —V а / \ b / у с /стороны некоторого треугольника и а, 6, с Е Q.a2b (а — b) + b2c (Ь — с) + с2а (с — а) > 0, где а,Ь, с — стороны некоторого треугольника... _ Ab — с\А с — а\Аа — Ь\ ..(1 4)(14— )(14)< 1,где а, 6, с —V а / \ b / у с /стороны некоторого треугольника и а, 6, с Е Q.a2b (а — b) + b2c (Ь — с) + с2а (с — а) > 0, где а,Ь, с — стороны некоторого треугольника.a?b + b3c + с3а ^ a2bc + b2ca + ^ab^ где а, 6, с > 0.a?b + b3c + с3а ^ a2bc + b2ca + ^ab^ где а, 6, с > 0.(1 + ^ (1 + -^ (1 + ^ > 64, где х^ у^ z > 0 и ж + у + z = = 1.(1 + ^ (1 + -^ (1 + ^ > 64, где х^ у^ z > 0 и ж + у + z = = 1.
откуда и получается данное неравенство.
откуда и получается данное неравенство.
УПРАЖНЕНИЯ
УПРАЖНЕНИЯ
Докажите неравенства 11.1-11.21.
Докажите неравенства 11.1-11.21.
-81ПЖ1 + . . . + 81ПЖп ,. Ж1 + • • • + Хп
< sin
пп
Е [0, тг].
-81ПЖ1 + . . . + 81ПЖп ,. Ж1 + • • • + Хп
< sin
пп
Е [0, тг].
где жх,...,жп Е
где жх,...,жп Е
Ц.2. а + ^ + С < ^а/(а+b+c) . ^Ь/(а+b+c) . ^с/(а+b+c) < а "V Ь -\- С 3а 4- b 4- с
где a,b,c Е N.
Ц.2. а + ^ + С < ^а/(а+b+c) . ^Ь/(а+b+c) . ^с/(а+b+c) < а "V Ь -\- С 3а 4- b 4- с
где a,b,c Е N.
.. _ Ab — с\А с — а\Аа — Ь\ ..
(1 4)(14— )(14)< 1,где а, 6, с —
V а / \ b / у с /
стороны некоторого треугольника и а, 6, с Е Q.
a2b (а — b) + b2c (Ь — с) + с2а (с — а) > 0, где а,Ь, с — стороны некоторого треугольника.
.. _ Ab — с\А с — а\Аа — Ь\ ..
(1 4)(14— )(14)< 1,где а, 6, с —
V а / \ b / у с /
стороны некоторого треугольника и а, 6, с Е Q.
a2b (а — b) + b2c (Ь — с) + с2а (с — а) > 0, где а,Ь, с — стороны некоторого треугольника.
a?b + b3c + с3а ^ a2bc + b2ca + ^ab^ где а, 6, с > 0.
a?b + b3c + с3а ^ a2bc + b2ca + ^ab^ где а, 6, с > 0.
(1 + ^ (1 + -^ (1 + ^ > 64, где х^ у^ z > 0 и ж + у + z = = 1.
(1 + ^ (1 + -^ (1 + ^ > 64, где х^ у^ z > 0 и ж + у + z = = 1.
4т=т= 47=7= 47=где a.b.c.d > 0.
уб+ус уб+уо? ус+уо?
1^ тп. где m.n.p.q > 0 и —|— = 1.
р qр q
^/а (а + с — Ь) + л/b (а + b — с) + л/с (Ь + с — а) <
< V (а2 + ь2 + с2) (а + b + с),
где а, b и с — стороны некоторого треугольника.
• • • i CL-n, СХ,• • • i CL-n, СХ,сп > 0 и 0 < к < 1.сп > 0 и 0 < к < 1.где ai, а2. • • •где ai, а2. • • •11.13.11.13.от—di + 02 + . . . + апот—di + 02 + . . . + ап02О1 — 02 + • • • + Оп02О1 — 02 + • • • + Оп
• • • i CL-n, СХ,
• • • i CL-n, СХ,
сп > 0 и 0 < к < 1.
сп > 0 и 0 < к < 1.
где ai, а2. • • •
где ai, а2. • • •
11.13.
11.13.
от
—di + 02 + . . . + ап
от
—di + 02 + . . . + ап
02
О1 — 02 + • • • + Оп
02
О1 — 02 + • • • + Оп
пп — 2 ’пп — 2 ’On
п
п — 2 ’
п
п — 2 ’
Oi + 02 + • • • + оп—1 — ап
где «1, «2, • • • 5 «п — стороны некоторого п-угольника.
IXIX /£м\т
, где (h,..., dn, Ьъ ..., bn > О
п п \ п I
и т > 2.
11.15.11.15.а)а)Ж1 + ж2 + ж3 > 3 ж2 + ж3 Жз + Ж1 Ж1 + Жз 2’Ж1 + ж2 + ж3 > 3 ж2 + ж3 Жз + Ж1 Ж1 + Жз 2’где Ж1, ж2, ж3 > 0;где Ж1, ж2, ж3 > 0;б)б)Ж1 । Ж2 ।।Жп —1। ХпЖ2 + Жп Жз + Ж1 ' ' ' Жп 4- Жп-2 Ж1 4- Жп-1Ж1 । Ж2 ।।Жп —1। ХпЖ2 + Жп Жз + Ж1 ' ' ' Жп 4- Жп-2 Ж1 4- Жп-12,2,где п ^ 4,где п ^ 4,
11.15.
11.15.
а)
а)
Ж1 + ж2 + ж3 > 3 ж2 + ж3 Жз + Ж1 Ж1 + Жз 2’
Ж1 + ж2 + ж3 > 3 ж2 + ж3 Жз + Ж1 Ж1 + Жз 2’
где Ж1, ж2, ж3 > 0;
где Ж1, ж2, ж3 > 0;
б)
б)
Ж1 । Ж2 ।।Жп —1। Хп
Ж2 + Жп Жз + Ж1 ' ' ' Жп 4- Жп-2 Ж1 4- Жп-1
Ж1 । Ж2 ।।Жп —1। Хп
Ж2 + Жп Жз + Ж1 ' ' ' Жп 4- Жп-2 Ж1 4- Жп-1
2,
2,
где п ^ 4,
где п ^ 4,
Ж1,. . . , хп > 0.
11.16.11.16.|£ + У + £ _ У I у Z X X|£ + У + £ _ У I у Z X Xху + yz + xz\ ж + у + Z )ху + yz + xz\ ж + у + Z ), где, гдеж, У,ж, У,
11.16.
11.16.
|£ + У + £ _ У I у Z X X
|£ + У + £ _ У I у Z X X
ху + yz + xz\ ж + у + Z )
ху + yz + xz\ ж + у + Z )
, где
, где
ж, У,
ж, У,
z — стороны некоторого треугольника.
11.17. а)о, b^c^d > 0;11.17. а)о, b^c^d > 0;аb -\- с -\- dаb -\- с -\- dь-+с-+d— а + с + d а + b + d а + b + сь-+с-+d— а + с + d а + b + d а + b + с43’43’гдегде
11.17. а)
о, b^c^d > 0;
11.17. а)
о, b^c^d > 0;
а
b -\- с -\- d
а
b -\- с -\- d
ь-+с-+d— а + с + d а + b + d а + b + с
ь-+с-+d— а + с + d а + b + d а + b + с
4
3’
4
3’
где
где
б)б)О102 + оз + . . . + апО102 + оз + . . . + ап02 oi + оз + . . . + ап02 oi + оз + . . . + ап
б)
б)
О1
02 + оз + . . . + ап
О1
02 + оз + . . . + ап
02 oi + оз + . . . + ап
02 oi + оз + . . . + ап
О1 + 02 + • • • + Оп — 1О1 + 02 + • • • + Оп — 1пп — 1 ’пп — 1 ’
О1 + 02 + • • • + Оп — 1
О1 + 02 + • • • + Оп — 1
п
п — 1 ’
п
п — 1 ’
где п > 1, oi, az, . . . ,ап > 0.
11.18.11.18.ааbedc-\-d~^a-\-d~^a-\-bbedc-\-d~^a-\-d~^a-\-b^ 2, где a, b,c,d > 0.^ 2, где a, b,c,d > 0.11.19. а + b + с <11.19. а + b + с <а,Ь,с > 0.а,Ь,с > 0.11.20.11.20.а -|- ab -|- bа -|- ab -|- b2 . ,2,2.22.23,33а + b b + с с + а а b с 2с2а26beсаab"Ь^с3а + 6 + с"Г 72 . 7 . 2 "Г “2 .. 2о ’6 + Ьс + с с + са + а62 . ,2,2.22.23,33а + b b + с с + а а b с 2с2а26beсаab"Ь^с3а + 6 + с"Г 72 . 7 . 2 "Г “2 .. 2о ’6 + Ьс + с с + са + а6гдегдегдегде
11.18.
11.18.
а
а
bedc-\-d~^a-\-d~^a-\-b
bedc-\-d~^a-\-d~^a-\-b
^ 2, где a, b,c,d > 0.
^ 2, где a, b,c,d > 0.
11.19. а + b + с <
11.19. а + b + с <
а,Ь,с > 0.
а,Ь,с > 0.
11.20.
11.20.
а -|- ab -|- b
а -|- ab -|- b
2 . ,2,2.22.23,33
а + b b + с с + а а b с 2с2а26beсаab"
Ь^с3а + 6 + с
"Г 72 . 7 . 2 "Г “2 .. 2о ’
6 + Ьс + с с + са + а6
2 . ,2,2.22.23,33
а + b b + с с + а а b с 2с2а26beсаab"
Ь^с3а + 6 + с
"Г 72 . 7 . 2 "Г “2 .. 2о ’
6 + Ьс + с с + са + а6
где
где
где
где
а, 6, с > 0.
11.21.11.21.а + 6 с + dа + 6 с + dа + Ьа + Ьb, где a, b,c,d > 0.b, где a, b,c,d > 0.
11.21.
11.21.
а + 6 с + d
а + 6 с + d
а + Ь
а + Ь
b
, где a, b,c,d > 0.
b
, где a, b,c,d > 0.
Рассмотрите последовательность с положительных членами (жп), в которой 1 = жо ^ Ж1 ^ Ж2 ^ . . . ^ жп ^ . . . Докажите, что существует такое п, что для любой такой последовательности (жп)
222
^ + ^ + ... +^ 3,999.
Ж1Ж2Хп
Из внутренней точки М треугольника АВС проведены перпендикуляры МАх, М Вх, МСх к сторонам ВС, С А и АВ соответственно. Для какой точки М треугольника АВС величина ВС СА АВо
—И—Ипримет наименьшее значение:
МАх МВт МСх
^bi^ (52 йг)гЕЛгЕЛ^bi^ (52 йг)гЕЛгЕЛПусть «1, . . . , ап, 61, . . . , 6П > 0 и J С {1, . . . , п}. Извест
^bi^ (52 йг)
гЕЛгЕЛ
^bi^ (52 йг)
гЕЛгЕЛ
но, что для любого Jно, что для любого J, где т Е N. Докажите, что
но, что для любого J
но, что для любого J
РЕШЕНИЯ
Для любых чисел a,b Е [0, тг] имеет место условие
sin а + sin 62sin а + sin 62sin —-sin —-
sin а + sin 6
2
sin а + sin 6
2
sin —-
sin —-
„ „sin а + sin 6. а + 6 а — 6 / . а + 6 „
Действительно, = sin—-—cos—-—sin—-—. Взяв
Qi = . . . = ап = — и воспользовавшись неравенством (11.4), полу-
1 / .. ч . Хх И- • • • И- х-п,
ЧИМ — (sin Ж1 + . . . + sin хп) ^ sin пп
11.2.lg а + lg 6211.2.lg а + lg 62Поскольку для любых чисел а, b > 0 имеет место неравенство
11.2.
lg а + lg 62
11.2.
lg а + lg 62
. а + bаb
—-—,ТО,ВЗЯВQi= ,,Qo=,,Q3=
62 771аШс12a + b +c13
сa + b + c7сa + b + c7согласно неравенству (11.4) имеем Qilgn + Q2 1g6 +
с
a + b + c7
с
a + b + c7
+ q3 1g c < 1g (qi« + a^b + Q3c), откуда
2 । ,2 ।2
аа/(а+Ы-с) ^b/(а+Ы-с)(а+Ь+с) a rO tC
a + b + c '
Теперь рассмотрим функцию / (ж) = ж In ж в области (0,+оо). Поскольку ^" (ж) = — > 0, то для функции / (ж) имеет место (11.7). Взяв qx = q2 = Q3 = |, имеем
- (a In а + b In b + с In с) - (а + b + с) In;
акЬ с( а + Ь + с\а+Ь+с
откуда а b с II , или
аа/(а+6+с) ^6/(а+6+с) Сс/(а+6+с) > а Р Ь -\- С
11.3. Пусть /(ж)=^Ж, Ж1 = 1 + ^ ^ С, Ж2 = 1 + С ^ °, ж3 = 1 + а — bаbс
Н, Qi = :, Q2 = ,, Q3 = ,; ПОЛУЧИМ
с ’ а-V b-V са-\-b-\-са + b + с7 J
Г1 А। b - с\/с — а\/q — 6\1
. , . а 1g Ц+ b 1g П—- + с 1g П<
а Т b Т с L х а *х b /х с / J
Г аb — с\ bс — а\
' *g La + » + с I1 ++ а + 6 + с I1 ++
+ —— )], а + b + с \ с / J
,1 х а, ,х b ,1 х с
(л I Ь-с\ / с-а\ / а-Ь\
откуда 1 Н1 Н:—1 Н^ 1.
\ a J у b / \ с /
.4. Рассмотрим функцию / (ж) = ж2. Нетрудно проверить, что для любых чисел тип имеет место неравенство
q/ (m) + Pf (n) > / (am + Pn) где q, P ^ 0, a + P = 1.
Согласно теореме 11.2 = с, Ж2 = b^ хз = a, получимСогласно теореме 11.2 = с, Ж2 = b^ хз = a, получимимеет место неравенство (11.7), где, взяв Ж1 = а + с — bb + с — аа + b — с
Согласно теореме 11.2 = с, Ж2 = b^ хз = a, получим
Согласно теореме 11.2 = с, Ж2 = b^ хз = a, получим
Qi = :, а 2 — :, Q3 — :,
^а + с — b ' а + b + с^а + с — b ' а + b + с+ 62+ 62b + с — а а + b + сb + с — а а + b + с+ а2+ а2а + b — с а + b + са + b — с а + b + са + b + са + b + са + b + с
^а + с — b ' а + b + с
^а + с — b ' а + b + с
+ 62
+ 62
b + с — а а + b + с
b + с — а а + b + с
+ а2
+ а2
а + b — с а + b + с
а + b — с а + b + с
11 Н.М. Седракян, А.М. Авоян
ас + с2 — be + b2 + be — ab + а2 + ab — ас\ 2
откуда
с2 ((а + с)2 — Ь2) + Ь2 ((Ь + с)2 — а2) + а2 ((а + Ь)2 — с2) +
(а2 + Ь2 + с2)2 , или а26 (а — Ь) + 62с (6 — с) + с2 а (с — а) > 0.
У ка з а н и е. Принять /(ж) = ж2, Ж1 = а + 6 —с, Ж2 = а+ .,, .а6с
+ с-Ь, ж3 = о + с - а, «1 =, а2 =... , «з =... •
а + о + са + о + са + о + с
Второй способ. Заметим, что
а3 b + Ь^с + с3 а — (a2bc + b2ca + c2ab) =
= ab (а — с)2 + Ьс (Ь — а)2 + ас (Ь — с)2 + 0.
3ж + у + Z3ж + у + ZРассмотрим функцию / (t) = In (1 + ^ в области (0, +оо). Поскольку Iм (t) = ^ — ^ ^^з > 0, то имеет место неравенство (11.7). Взяв «1 = «2 = «3 = |, ^1 = Ж, ^2 = Ц) ^3 = + получим
3
ж + у + Z
3
ж + у + Z
-ln(l + -)+ln(l + -)+ln(l + -) > In (1 +
3 L V ж/ V yj \ zj\ V
откуда, приняв во внимание, что х + у + z = 1, получим
3ж + у + z3ж + у + z
3
ж + у + z
3
ж + у + z
Рассмотрим функцию / (ж) = — в области (0,+ос). По-
1 /11\2
скольку имеет место неравенство - —Нт ^ г, то согласно 2 \ а о / а -|- о
теореме 1, взяв Ж1 = ^/а + ^/b^ х^ = л/а + ^/с, жз = ^/а + л/d^ Ж4 = уь+ уё, ж5 = Уб+ У^, ж6 = уё+ У^; аг = а2 ... = а6 = ^, получим данное неравенство.
Рассмотрим функцию /(ж) = 1пж в области (0,+ос). Поскольку ^н (ж) = —^ < 0, то имеет место (11.6) неравенство, где, ж
1
взяв а = -, /3 = -, а = mp, b = п4^ получим данное неравенство.
Рассмотрим функцию / (ж) = ^/ж в области (0,+ос). Нетрудно проверить, что для функции / (ж) имеет место условие (11.10).
„а + с - bВзяв Q1 = :,а + b + с'„а + с - bВзяв Q1 = :,а + b + с'а + b — с0^2 = —7а + о + са + b — с0^2 = —7а + о + сс + Ъ — а,
„а + с - b
Взяв Q1 = :,
а + b + с'
„а + с - b
Взяв Q1 = :,
а + b + с'
а + b — с
0^2 = —7
а + о + с
а + b — с
0^2 = —7
а + о + с
«з = ————, Ж1 = а, ж2 = о, а + b + с
$з = с, приведем неравенство (11.8) к данному виду.
Замечание. При а = 9, b = 4, с = 1 неравенство неверно.
Пусть с^ + . . . + с2 ф 0. Рассмотрим функцию / (ж) = с2fa А 2
Поскольку f,f (х) > 0, ТО, ВЗЯВ а^ =у, Хг = ( — ) ,
С1 + . . . + Сп\Сг /
ж2.гдеж2.гдег = 1,. . . , п, согласно теореме 11.3 получим
ж2.
где
ж2.
где
откуда и получается данное неравенство.
Когда ci = С2 = . . . = сп = 0, получим очевидное неравенство.
Доказательство аналогично примеру 11.2 с учетом того, что Г И <0.
Доказательство аналогично примеру 11.2 с заменой к на р И Сг на Ь^.
Рассмотрим функцию / (ж) = ^ в области (0,+ос).
Взяв Хг = ai + . . . + ai-i — а^ + . . . + аГИ а^ = —, где
di + . . . + ап
г = 1,. . . , п (11.7), получим
at>
di + . . . + ап di + . . . + a-i—i — ai + . . . + ап г = 1
> (di + . . . + ап) —,
at (ai + . . . + at—i — at + . . . + dn)
г=1
откуда
di + . . . + ai—i — di + . . . + an
z=l
।। x21. П
+ . . . + an)222 \_ 9 7
(di + . . . + an) — 2 (di + . . . + an) ^
так как п (a^ + . . . + a2) (ai + . . . + an)2 (cm. ynp. 2.2).
В неравенстве примера 11.2, приняв С{ = 1, получим
откуда, взявоткуда, взяв, т, та^ = d^ получим — ^^ d'^а^ = d^ получим — ^^ d'^т]1!т]1!Аналогично получим также неравенство
откуда, взяв
откуда, взяв
, т
, т
а^ = d^ получим — ^^ d'^
а^ = d^ получим — ^^ d'^
т]1!
т]1!
т/2т/2Почленно перемножая полученные неравенства и воспользовавшись
т/2
т/2
неравенством из упр. 11.10, получим
Рассмотрим функцию / (ж) = — в области (0,+оо).
) Взяв = —, г = 1,2,3, имеем
Ж1 + Ж2 + Ж3
Ж11+ Ж21+ Жз1>
Ж1 + Ж2 + Жз Ж2+Жз Ж1 4- Ж2 +Ж3 Ж1 + Ж3 Ж1 + Ж2+ Ж3 Ж1 + Ж2
>1
—(ж2 + Жз) н—(Ж1 + Жз) н—(Ж1 + Ж2)
Ж1 + Ж2 + ЖзЖ1 + Ж2 + ЖзЖ1 + Ж2 + Ж3
Ж1,Ж2откуда — 1—Ж2 + Жз Ж1 + ЖзСогласно неравенствуЖ1,Ж2откуда — 1—Ж2 + Жз Ж1 + ЖзСогласно неравенству+ ^2 + Ж3 ^ Ж1Ж2 + Ж2Ж3 + Ж1Ж3, имеем+ ^2 + Ж3 ^ Ж1Ж2 + Ж2Ж3 + Ж1Ж3, имеем_ Жз >(Ж1 + Ж2 + Жз)2Ж1 + Ж2 2 (Ж1Ж2 + Ж2Ж3 + Ж1Ж3) Ж1 + Ж2 + Жз /Ж!+ж2 + Ж3\23V 3/ ’_ Жз >(Ж1 + Ж2 + Жз)2Ж1 + Ж2 2 (Ж1Ж2 + Ж2Ж3 + Ж1Ж3) Ж1 + Ж2 + Жз /Ж!+ж2 + Ж3\23V 3/ ’илиилиж2 +ж2 +
Ж1,Ж2
откуда — 1—
Ж2 + Жз Ж1 + Жз
Согласно неравенству
Ж1,Ж2
откуда — 1—
Ж2 + Жз Ж1 + Жз
Согласно неравенству
+ ^2 + Ж3 ^ Ж1Ж2 + Ж2Ж3 + Ж1Ж3, имеем
+ ^2 + Ж3 ^ Ж1Ж2 + Ж2Ж3 + Ж1Ж3, имеем
_ Жз >(Ж1 + Ж2 + Жз)2
Ж1 + Ж2 2 (Ж1Ж2 + Ж2Ж3 + Ж1Ж3) Ж1 + Ж2 + Жз /Ж!+ж2 + Ж3\2
3V 3/ ’
_ Жз >(Ж1 + Ж2 + Жз)2
Ж1 + Ж2 2 (Ж1Ж2 + Ж2Ж3 + Ж1Ж3) Ж1 + Ж2 + Жз /Ж!+ж2 + Ж3\2
3V 3/ ’
или
или
ж2 +
ж2 +
/ I |\212.2.2о
(Ж1 + Ж2 + Жз) _ 1 ЖТ + Ж2 + Ж3 ।> 3
2 (Ж1Ж2 + Ж2Ж3 + Ж1Ж3)2 Ж1Ж2 + Ж2Ж3 + Ж1Ж32’
Ж1ж2 . жз . 3
откуда11
ж2 + Жз Ж1 + Жз Ж1 + ж2 2
) Взяв ai = 7—г. г = 1,имеем
(Ж1+...+жп)’’’ ’
Ж1 1 Ж2 1+Жп
Ж1 + . . . + Жп Ж2 + Жп Ж1 + . . . + Жп Ж1 + Жз ' ' ' Ж1 + . . . + Жп
1 >1
Ж1 4- Жп-1 Ж1 (ж2 + жп) + Ж2 (жз + Ж1) + . . . + ЖП (Ж1 + Жп-1) ’
Ж1 + . . . + Жп
откуда
Ж1ж2Жп
Ж2 + жпЖ1 + ЖзЖ1+жп-1
(ж1 Н- . . . Н- хп)
Ж1Ж2 + Х1Хп 4- Ж2Жз + Ж2Ж1 + . . . + Хп (Ж1 + Жп-1)
_ (Ж1 + . . . + жп)2
2 (Ж1Ж2 + ж2ж3 + . . . + xn-ixn + хпХ1)
(см. решение упр. 7.6).
Следовательно, ——1h . . . И2. Ж2 + Хп Х1 + ЖзЖ1 + жп-1
Пусть А = —|1^ 0. Рассмотрим функцию
у Z х х у Z
/ (ж) = — в области (0,+оо). Возьмем
у A-z - ху + х - zz + x-y
«1 = ,«2 = ,«3 = •
у + z + ху + z + ху + z + х
В этом случае
/у A-z -х । х А- у -z । z А- х- у\>1
х + у + zXухz J х2 А- у2 + z2
х А- у A- z
или 6 — А—222 7 откуда
22х + у + Z
2
2
Л / 9У^ °22 .2Л / 9У^ °22 .21 -1 -ху + XZ + yz\
Л / 9У
^ °22 .2
Л / 9У
^ °22 .2
1 -
1 -
х + у + z )
Нетрудно показать, что ху + xz + yz > | (ж2 + у2 + z2\ следовательно, А < 1.
б) Имеем
ат1
(11 + . . . + CL-rt (Х2 + • • • + CLn
di + . . . + an di + аз + . . . + anai + . . . + an di + . . . + an_i
1
«1 («2 + . . . + а-п^ + a2 (ai + аз + . . . + ап) + . . . + an (ai + . . . + ап — i) ’
ai + . . . + ап откуда
(z2 + . . . + anai + . . . + ап_1
> (ai + . . . + ап)2 п
(аг + . . . + (Xn)2 — (tx2 + . . . + (х2) тх — 1 поскольку п (а2 + . . . + а2) (di + . . . +.
Имеем
а1b1с1
а + b +с + d b + са + b + с +d с +d а + b + с +d d + а
с111
"^a-\-b-\-c-\-da-\-b а (6 + с) + 6 (с + d) + с (d + а) + d (а + 6) ’
а -\- b -\~ с -\- d
откуда
а b с d(а + b + с + d)2„
111^ —— ^ 2,
b + с с + d d + а а + b ab + ас + be + bd + cd + ас + ad + db
поскольку
(а + b + с + с/)2 — 2 (ab + ас + be + bd + cd + ас + ad + bd) =
= (а — с)2 + (b — d)2 ^ 0.
Рассмотрим функцию / (ж) = — в области (0,+оо). Взяв аb
ах — а^ — —————г, а2 — с^з — 777—гл™—г? Q4 — Q5 — 2 (а + b + с)2 (а + b + с)
сссaabb
(а + b + с)abbсса
получим
alblblcl
2 (a -|- b -|- с) c 2 (a -|- b -|- с) c 2 (a -|- b -|- c) a 2 (a -|- b -|- c) a abbc
, c 1 । a 1 >1 _
2 (a + b + c) b 2 (a + b + c) ^ 2c + 2а + 26 сa 2(a + 6 + c)
Второе неравенство получается аналогично:
1111 / 2 . ,2\2/ 2 .2\21 / 2 , ,2\2
/ с2^_ ,> 1 (a -Vb )1 (a +с )1 (с + 6 ) =
I 6а ас j 2 2abc 2 2abc 2 2abc с6
2 । , 22 . , 22.22.2, 2 .2 , 2 .22 . , 22 .2
а + bа + b а + са + с b + сb + с>а + 6 а + с
= 2с 2а6426 2ас4 2а 26с/ 2сh 26
,2
6 + С
2а
Рассмотрим функцию / (ж) = — в области (0,+оо). Взяв
2.22
_ а_ b_ с
а1 —2 . , 2 .2 1 а^ —222 7 а3 —2 . , 2 .2 7
а + b +са + b +са + b +с
а2 + ab + b2b2 + Ьс + с2с2 + са + а2
Ж1 = , ж2 = г, ж3 = ,
аЬс
получим
а2 + Ь2 + с2 а2 + ab + b2 а2 + b2 + с2 Ь2 -V be -V с2
аЬ
а + о + с с + ас ± а с
1
а3 + a2b + ab2 + 63 + Ь2с + Ьс2 + с3 + с2а + а2с 1
а2 + Ь2 + с2
ИЛИ
з133/ 2 , ,2 , 2\2
а । о । с > (а + о + с )_
а2 + ab + b2 b2 + Ьс + с2 с2 + ас + а2 (а + Ь + с) (а2 + Ь2 + с2)
_ а2 + Ь2 + с2 а + Ь + с
а + Ь + с3'
Рассмотрим функцию / (ж) = — In ж в области (0,+оо).
Она выпуклая, следовательно, л ( а с b d\ а . с b . d — In I 1 -7 СГ Г Т
\а + b а а + b b / а + b а а + b b
или
/а + Ь\а+ь/а\а /Ь\ь
\c + d)кс/ '
Замечание. Если ai,. . . , ап, 61,. . . , 6П > 0, то
(жо + Ж1 + . . . + жп-1)2Ж1 + ж2 + . . . + Жп-1 + Жп(жо + Ж1 + . . . + жп-1)2Ж1 + ж2 + . . . + Жп-1 + ЖпX (ж0 + Ж1 + . . . + Жп-1) >X (ж0 + Ж1 + . . . + Жп-1) >
(жо + Ж1 + . . . + жп-1)2
Ж1 + ж2 + . . . + Жп-1 + Жп
(жо + Ж1 + . . . + жп-1)2
Ж1 + ж2 + . . . + Жп-1 + Жп
X (ж0 + Ж1 + . . . + Жп-1) >
X (ж0 + Ж1 + . . . + Жп-1) >
Рассмотрим функцию / (ж) = — в области (0,+оо).
Взяв а^ = (г = 1, 2,получим
Жо + Ж1 + . . . 4- Жп-1 х7
222
Жо ।।।
Ж1ж2* ' * Жп
Жо1_
Жо + Ж1 + . . . 4- Жп-1 Ж1
ЖО
Теперь докажем, что существует такое натуральное ng, для которого при n > ng получим кп ^ 3,999.
Действительно,
(ж0 + Ж1 + . . . + жп-1)2 - 3,999 (Ж1 + ж2 + • • • + жп-1 + жп) >
> 0,001 (п — 1) жп — 3,999жп > 0,
когда п > о оо1 + 1, т. е. можно принять, что ng = 4000.
Рассмотрим функцию / (ж) = — в области (0,+оо). Взяв
, _ вс , _ СА , _ Ав
ai “ ВС + АС + АВ’ “2 “ ВС + АС + АВ’ аз “ ВС + АС + АВ’
Ж1 = МАу. $2 = МВу^ хз = МС\. получим
ВС С А АВ ( ВС 1
МАт + МВт + МС1 - ХВС + ДС + ДВ МАт +
С А1А В1 \ ,л
+ ВС АС АВ МВт + ВС АС АВ МСт) С С +
ВС СА АВМАт + МВт + МСтВС СА АВМАт + МВт + МСт(ВС + АС + ABf^BCMАг + АСМВХ + АВМС^ = '^=‘2^-,
ВС СА АВМАт + МВт + МСт
ВС СА АВМАт + МВт + МСт
следовательно, наименьшее значение выражения
равно ^-, и это значение достигается, когда МАу = М By = МСу.
Без ограничения общности можем считать, что di ^
^ а2 ^ . . • ^ ап. Согласно упр. 14.10, а) имеем
^2 aibi — by(ay — а2) + (by + 62)(а2 — а3) + . . . г = 1
. . . + (by + . . . + bn_y)(an_y — а^ + (by + . . . + bn)an^ следовательно,
^^ djbi а^(ау — а2) + (di + a2)m(a2 — а3) + . . . г = 1
. . . + (di + . . . + an_y)m(ап_у — dn) + (di + . . . + an)man = A.
Поскольку функция f(x) = xm выпуклая в области [0,+оо), то — =^а1а7 + (°2 "аз)(а1 + а2)т + • • •
. • - + ^"a-\ai + ... ++ ^(ttl + ... + а„)™
didi
ai(ai — d2)«1ai(ai — d2)«1(di + . . . + an-i^an-i аг(di + . . . + an-i^an-i аг(di + d2)(d2 - аз) di(di + d2)(d2 - аз) didi + d2 + • • • + andidi + d2 + • • • + andiТаким образом, получили, чтоТаким образом, получили, что/2.2..2\2m2 (ai + а2 + . . . + dn)Z2m —2аТ/2.2..2\2m2 (ai + а2 + . . . + dn)Z2m —2аТdi + d2 + . . . + апdi + d2 + . . . + ап
ai(ai — d2)«1
ai(ai — d2)«1
(di + . . . + an-i^an-i аг
(di + . . . + an-i^an-i аг
(di + d2)(d2 - аз) di
(di + d2)(d2 - аз) di
di + d2 + • • • + andi
di + d2 + • • • + andi
Таким образом, получили, что
Таким образом, получили, что
/2.2..2\2m
2 (ai + а2 + . . . + dn)
Z2m —2
аТ
/2.2..2\2m
2 (ai + а2 + . . . + dn)
Z2m —2
аТ
di + d2 + . . . + ап
di + d2 + . . . + ап
✓ п \ 2
Следовательно, I ^^ а^Ь^ 1(а? + а^ + • • • + an)m+1 •
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Докажите, что если а, Д, 7 — углы треугольника, то:
a) cos а + cos Д + cos 7^2’
б)б)> 12;> 12;111
б)
б)
> 12;
> 12;
. 2 О • 2 Р .2^
sin — sin — sin —
222
в)в)cos —2cos —21Д cos —21Д cos —2++17 cos —217 cos —2>2^;>2^;
в)
в)
cos —
2
cos —
2
1
Д cos —
2
1
Д cos —
2
+
+
1
7 cos —
2
1
7 cos —
2
>2^;
>2^;
гг11
г
г
sin — sin — sin 22
Докажите, что если q, Д, 7 — углы некоторого остроугольного
треугольника, то:
\/1 + 8 cos2 а । vT + 8 cos2 Д । V1 т 8 cos2 7 > ^
sin asin Дsin 7
111
17 Н^ 6.
cos otcos рcos 7
Докажите, что если для выпуклого четырехугольника ABCD . ZA . АВ . Z_C . £D 1
прямоугольник.прямоугольник.имеет место соотношение sin —— sin —— sin —— sin ——- = -, то это 22224’
прямоугольник.
прямоугольник.
Докажите неравенство
Ж1 । Ж2 ।।Жп —1 ।
Ж2 + Ж3 Ж3 + Ж4 ' ' ' Жп + Ж1 Ж1 + Ж2
где Xi > 0, г = 1, . . . , п, 3 ^ п ^ 6.
Докажите, что из всех выпуклых n-угольников, вписанных в данную окружность, наибольшую площадь имеет правильный.
Докажите, что из всех выпуклых n-угольников, вписанных в данную окружность, наибольший периметр имеет правильный.
п псц02.. апп
Докажите неравенство -h -h. . . + - $ ,
1 + жат 1 + ХО21 + хап п + ж
где ai,. . . , ап 0, х > 0, ai + . . . + ап = 1.
Докажите неравенство
sin a sin /3 + sin /3 sin 7 + sin 7 sin 5 + sin 5 sin a < 2,
где q +/3 + 7 + J = 7Г, q,/3,7,J>0.
Пусть Ж1,Ж2,...,жп — любые действительные числа.
Докажите, что когда А ^ 2 или А < 0, имеет место неравенство
✓ п х А/2
У^ |±Ж1 ± ж2 ± . . . ± хп\Х 2п( У^ ж? ;
ч=1'
Докажите, что когда 0 < А < 2, имеет место неравенство
/ п х А/2
У/ |±Ж1 ± ж2 ± • • • ± ж„|А < 2" ( У/ ж? ) 4=1
(в левой части производится суммирование по всем комбинациям знаков + и —).
Докажите неравенство / 2,2 \ 2/ 2 . ,2, ,
I а — о \ > а + о а + о
где а > -,-.
Докажите неравенство
а) Докажите неравенство
ai$i + . . . + апхп > ж"1 . . . х^, где «1 + . . . + ап = 1, Xi > 0, ai 0, г = 1, 2, . . . , п.
Пусть aij 0 и ^Д aij = 1, ^Д Qij = 1 (г, J = 1, 2, . . . , п). г=1j=l
Докажите, что
(ацЖ1 + «12^2 + . . . + а1пХп) («21^1 + «22^2 + . . . + a^n) • • •
. . . ^aniXi + а^х^ + • • • ~Н ClnnХп) ^ Ж1Ж2 • . • Хп, где жх, ж2, . . . , хп ^ 0.
Докажите неравенство
(их + vy + uiz^ux + wy + uz)(wx + uy + uz)
(y + z - x)(z + X - y)(x + У - z), где и + v + w = 1, n, v, u)^ x^ y^ z 0.
Докажите, что
/(i - ж)(1 - y^-^-уМ^ /(1 _ y)(i _ z)ai-y)(i-^)/x
l г Jx )X
/(l-z)^-^)^1-^^-^256
Ч у JЭ 81 ’
где x, у, z > 0 и х + у + z = 1.
Найти наибольшее и наименьшее значения выражения:
п —1
V——, где жх, Ж2, . . . , хп > 0, п>3
НЕРАВЕНСТВА, СВЯЗАННЫЕ
С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМИ
В данном параграфе будут рассмотрены неравенства, связанные с последовательностями (в частности, заданными рекуррентными соотношениями), которые доказываются различными способами.
УПРАЖНЕНИЯ
ж
Докажите, что если жп+1 = хп 4у и 0 < Ж1 < 1, то п
последовательность (жп) ограниченна.
Докажите, что если ai = 1, ап =4—, п = 2, 3, . . .
2— 1
... , 10, то 0 < аю - У2 < Ю"370.
В последовательности (tzn) и^ = 1, un+i = an+ — (n 1). Докажите, что 14,2 < июо < 14,22.
(п 1).(п 1).В последовательности ni = 1, nn+i = ип 4^
(п 1).
(п 1).
Докажите, что 30 < П9000 < 30,01.
Докажите, что если по = 0,001, nn+i = nn(l — пп) (п ^ 0), то «1000 < ^.
12.6.12.6.Дана последовательность ai =Дана последовательность ai =1, «п + 1 ~ "^ ^1, «п + 1 ~ "^ ^
12.6.
12.6.
Дана последовательность ai =
Дана последовательность ai =
1, «п + 1 ~ "^ ^
1, «п + 1 ~ "^ ^
12.8. Пусть жх G [0,1)12.8. Пусть жх G [0,1)(п = 1,2,...).(п = 1,2,...).если хп = 0,если хп ф 0если хп = 0,если хп ф 0
12.8. Пусть жх G [0,1)
12.8. Пусть жх G [0,1)
(п = 1,2,...).
(п = 1,2,...).
если хп = 0,
если хп ф 0
если хп = 0,
если хп ф 0
(п = 1, 2, . . .). Докажите, что эта последовательность неограниченна.
Известно, что ао = ап = 0 и at > 0 (г = 1, 2, . . . , п — 1),
"1 4” «S + l 7 ATQ
— > as cos — , n, к G N, n > 2.
Докажите, чтоДокажите, что
Докажите, что
Докажите, что
Fi Fz
f; + f;
где Fi = F2 = 1 и Fn+2 = F„+i + Fn (n = 1, 2,...).
Пусть n > 2 — целое число. Найдите наименьшее значение суммы «о + <И + • • • + ат если ад, «1, . . . , ап — неотрицательные числа, причем ад = 1 и сц а^х + «г+2, г = 0,1, . . . , п — 2.
п — 1ж” — 57 жп3=0п — 1ж” — 57 жп3=0Докажите, чтоДокажите, чтоДана последовательность положительных чисел Ж1, Ж2, • • • ... , жп, . . ., удовлетворяющих условиям
п — 1
ж” — 57 жп
3=0
п — 1
ж” — 57 жп
3=0
Докажите, что
Докажите, что
(п = 1,2,.).
Пусть а^ ах^ а-^ . . . ^ ап^ . . . — бесконечная последовательность положительных чисел. Докажите, что неравенство 1 + ап > > д/2,7ап_1 верно для бесконечного числа п.
^ап, п = 1,2, . . .^ап, п = 1,2, . . .Дана последовательность ап = шах(жп(1 — ж) + (1 — ж)пж)
^ап, п = 1,2, . . .
^ап, п = 1,2, . . .
(n = 1, 2, . . .). Докажите, что an+i
РЕШЕНИЯ
. Методом математической индукции докажем, что
п = 1, 2, 3,. . .п = 1, 2, 3,. . .
п = 1, 2, 3,. . .
п = 1, 2, 3,. . .
В случае n = 1 имеем справедливое неравенство
Пусть данное неравенство справедливо в случае п = &, т. е. Xk С кхх
$ 2=2=. 1огда докажем, что оно справедливо также в
(1 - уж1)& + V Ж1
случае п = к + 1, т. е.ДА^КЦж! .
v^)(^ + i)+
кхх
1ак как хъ^х = жь Ат и хъ С то
+ к2 (l-v^>+V^
кхх _|_Ж1_
к^г ^(1 - V^i) + v^i (^С1 - v^i) + v^)2
= Ж1= Ж1&2(i — v^i) + У^ + Ж1&2(i — v^i) + У^ + Ж1(^(1 - v^) + vW(^(1 - v^) + vW(к + 1)Ж1(1 - у^Ж + !) +(к + 1)Ж1(1 - у^Ж + !) +v^’v^’
= Ж1
= Ж1
&2(i — v^i) + У^ + Ж1
&2(i — v^i) + У^ + Ж1
(^(1 - v^) + vW
(^(1 - v^) + vW
(к + 1)Ж1
(1 - у^Ж + !) +
(к + 1)Ж1
(1 - у^Ж + !) +
v^’
v^’
поскольку
к + 1fe2(l - УУ) + к Уж? + Ж1
к(1 - УУ) + 1 &2(1 - Уж?)2 + 2£(1 - УУ) УУ + жт
УУ(1 - УжГ)2
(&(1 - УУ) +1)(/г2(1 - УУ)2 + 2/^(1 - УУ) УУ + жД
Таким образом, оба требования индукции выполняются, следовательно, для любого натурального значения п справедливо неравенство
О < жп ^О < жп ^ПХ1< ПХ1 _ Ж1
О < жп ^
О < жп ^
(1 - уу)п + уу n(i - уу) 1 - уу
т. е. последовательность (жп) ограниченна.
. Докажем, что ап — л/2 > 0, где п = 2, 3, . . .
(
2 \/2г-
ан_\ Н) ^ \ ап-1 = откуда
i / Уi
ап — У2 0. Равенство не имеет места, так как все члены последова
тельности — рациональные числа, следовательно, ап — у/2 > 0.
Теперь рассмотрим последовательность Ьп = ап — У^. Имеем
^П ^п^П ^пУ2 = 0,5У2 = 0,52 А&п-1 НI.е,п_1 /2 А&п-1 НI.е,п_1 /у/2 =у/2 =4-i -2y/2an i + 22ti-n—14-i -2y/2an i + 22ti-n—1
^П ^п
^П ^п
У2 = 0,5
У2 = 0,5
2 А
&п-1 НI
.е,п_1 /
2 А
&п-1 НI
.е,п_1 /
у/2 =
у/2 =
4-i -2y/2an i + 2
2ti-n—1
4-i -2y/2an i + 2
2ti-n—1
2an_i2an—i
>2
откуда 6П < —
2 V2 31ь^
Поскольку 62 = «2 — V^ = о — V^ < Тл И ^П < ”7"’ т0 2102у2
ь3 << 1 ь4 <1
3 2V2 1022V2’4 104(2 V2)22 V2’
и, продолжая таким образом, получим, что
^ю <^ю <1111028 (2 У2)2? (2у/2)261111028 (2 У2)2? (2у/2)261111ю256 (2У2)255'11ю256 (2У2)255'Теперь докажем, чтоТеперь докажем, чтою256 (2V2)255 < Ю370 ’ или 10114 < (2 ^)255 -ю256 (2V2)255 < Ю370 ’ или 10114 < (2 ^)255 -= 2382 V2. Так как 210 > 103, то 10114 < 2380 < 2382 ^2.= 2382 V2. Так как 210 > 103, то 10114 < 2380 < 2382 ^2.
^ю <
^ю <
111
1028 (2 У2)2? (2у/2)26
111
1028 (2 У2)2? (2у/2)26
1
1
11
ю256 (2У2)255'
11
ю256 (2У2)255'
Теперь докажем, что
Теперь докажем, что
ю256 (2V2)255 < Ю370 ’ или 10114 < (2 ^)255 -
ю256 (2V2)255 < Ю370 ’ или 10114 < (2 ^)255 -
= 2382 V2. Так как 210 > 103, то 10114 < 2380 < 2382 ^2.
= 2382 V2. Так как 210 > 103, то 10114 < 2380 < 2382 ^2.
Таким образом, Ью <Таким образом, Ью <«ю —«ю —^/2 < Ю"370.^/2 < Ю"370.11110256 (21/2)255 < 10370’11110256 (21/2)255 < 10370’откуда и получаемоткуда и получаем
Таким образом, Ью <
Таким образом, Ью <
«ю —
«ю —
^/2 < Ю"370.
^/2 < Ю"370.
111
10256 (21/2)255 < 10370’
111
10256 (21/2)255 < 10370’
откуда и получаем
откуда и получаем
Из условия упражнения имеем, что и^ , х = и^ + 2 4^. То есть
112 — и^ + 2 Н2 5
U-y
И3 = 112 + ^ + —2 1и2
и^ — n^_i + 2 4—2—•И?г — 1
Складывая эти равенства, получим
11^ = 212 + —2 + —2 Т • • • Н2•> ть ^ 3.(12.11)
112 H3^П —1
Так как un_y > un_2 > . . . > 112 = 2, то -^ + ^ +. . . 4—7— < ^-.
U2 U3Un_y 4
Следовательно, n Q
2n < u^ < ^n (n ^ 2).(12.12)
Из условий (12.11) и (12.12) следует, что в случае п = 100 имеем
+ 5G + 5 + --- + ^) <mi°° < 200 + 1(1 + 1+ ■ + ^)"
111
Оценим сумму - + - + . . . + — снизу и сверху:
1,675 + 0,346 + In т- + In > 4,021, ’’1234’’
1 34,, 100.
так как In — > 1 и In —— > 1: 1234
1,675 + 0,347 + In ^ + In || = 2,022 + 2 In 3 < 4,222,1,675 + 0,347 + In ^ + In || = 2,022 + 2 In 3 < 4,222,
1,675 + 0,347 + In ^ + In || = 2,022 + 2 In 3 < 4,222,
1,675 + 0,347 + In ^ + In || = 2,022 + 2 In 3 < 4,222,
так как 1пЗ < 1,1, следовательно, 201,787 < u^q < 202,111, откуда
14,2 < пюо < 14,22.
В процессе доказательства мы воспользовались неравенствами
и
1 4-4- — < 1 т
к + к + 1 ++ т к-1*
Докажем их:
и
12.4 Имеем, что+ 3Ч—Ч—где п = 1,2,... Таким
образом,
^2 — ^1+34з Ч5 , Нх и^
/Z32 = ^2 4“ ^ 43 “I 6 5
^2^2
мп+1 — мп + 3 + -3- + -в".
Складывая полученные равенства, получим
з о о/ 11 А / 11 \
мп+1 — Зп + 3(. Н—3-) + ( -g + ... Н—g-1,
следовательно, и^ , х > Зп + ^ = 3(n + 1) или nn+i > а/3(п + 1), откуда и получаем П9000 > \/3 • 9000 = 30.
С другой стороны,
пп+1 — Зп + 3(^ + ... + ^-) + (-б+... + ~б-) <
ХП!ип/ \игип/
< 3(п + 1) + 1 + 3 f -—- + . . . + ~2 2 + • • • Н22 1 =
v 7\3-23-п/\3-223)
= 3(п + 1) + 1 + f — + . . . Иf —2 + . . . И21 • v 7\2п/ 9\22п2/
Поскольку | + | + . . . + — < Inn (см. решение упр. 12.3) и
22 + 32 + • • • + п2 < ! . 2 + 2.3 + • • • +_ 1)п -
то n^+1 < 3(n + 1) + 1 + Inn Т —, следовательно,
/1 \3
^9000 < 2702 + In 9000 < 2702 + In 225 < 2727 < ( 30 + — ) .
уиииу 100/
Таким образом, ngooo < 30,01.
Так как nn+i = nn(l — пп), то
71п+1^п(171п) 'О-тг 1 'О-тг
Таким образом, 111111111
— —Ь ,— —h , . • . , —h .
U1 Uq 1 — Uq U^ Ux 1 — Ui711000^9991 ~ ^999
Складывая эти равенства, получим
111111
—h ~h • • • + — 10 + )-... + >
211000^101 — 7101 — 719991 — T1Q1 — 71999
> 103 + 1 + ... + 1 = 2000,
откуда «юоо <
В данном случае мы воспользовались неравенствами 0 < ип < 1, которые можно доказать следующим образом:
/ /71п Т (171п) \ 1 л 1 о^п+1 —2 у — 4— 0, 1, 2, . . .
Если ип ^ 0, то из равенства ип = nn_i(l — nn_i) получится, что un_i ^ 0. Продолжая таким образом, получим no С 0, которое не справедливо, следовательно, ип > 0.
12 Н.М. Седракян, А.М. Авоян
Предположим, что последовательность (ап) ограниченна, т. е. т < ап < М (n = 1, 2, 3, . . .), где М > 0, так как ап > 0.
211
Из условия задачи следует, что а^+1 — «п+1«п = —, или — = «пап
1 ГТ.
=1 2—2 • 1аким образом,
«п+1 апап+1
! _!11_ 111_ 11
"^2 2" ’"+"2 2" ’" * " ’"+"2 2*
«1«2а1а2612 аз«2«з«™ «п+iапап+1
Складывая полученные равенства, получим
1111^111 _ п
1 — 7 I 2“^ "I 2“^ + • • • Н 2 2> 774774 + • • • + -—4 — -—4 ,
«п+1 а1а2 «2«з«п«п+1ММ М
или М4 > п, что неверно, следовательно, последовательность (ап) неограниченна.
Предположим, что п < к. В этом случае т < “, следова- к п
«п—2 7* 2nn—i cos . п«п—2 7* 2nn—i cos . птельно, cos ^ > cos —. Отсюда получается
«п—2 7* 2nn—i cos . п
«п—2 7* 2nn—i cos . п
«2 > 2«i cos —,«1 + «3 > 2«2 cos —,
пп
Обе части первого неравенства умножим на sin—, второго — на . 2тг. (п — 1)тг ~
sin — и т. д., последнего — на sin. Складывая все полученные
неравенства, получим неверное неравенство 0 > 0. Следовательно, наше предположение неверно. Поэтому п ^ к.
Без нарушения общности можем считать, что хп ф 0.
Имеем Хк = I—-—1, к = 2,...,п, следовательно, х^ Е (0,1), к = 1, 2, . . . , п, и
гДе /(ж) = ^4-
Лемма. Если функция /(ж) в области I убывает, а функция х + /(ж) возрастает, то функция g(x) = ж + /(ж) + /(/(ж)) + . . . ••• + /(/(••• /(ж) • • •)) 6 области I возрастает, где т Е N.
Действительно, заметим, что функция /(/(. • • /(ж) . . .)), к € N, в
2к области / будет возрастать; следовательно, функция
2к2& + 1
в области / также возрастает, а функция g(x) = ж + /(ж) + /(/(ж)) + + /(/(/(ж))) + . . . будет суммой возрастающих функций, т. е. она в области / возрастает.
Нетрудно проверить, что функция /(ж) = ж ^ ^ в области / = [0,1] удовлетворяет условиям леммы. Таким образом, согласно лемме и (*)
имеем
Ж1 + ж2 + . . . + жп < /(ж2) + ж2 + ж3 + . . . + Жп С
с ж3 + /(ж3) + /(/(ж3)) + ж4 + . . . + Жп < . . .
. . . с жп + /(жп) + /(/(жп)) + . . . + /(/(. . . /(жп) ...))<
п — 1
< I + /(1) + НК-.. /(1) ...)) = # + # + ••• + ^Ч ^✓Г 2 ГЗ
п — 1
поскольку ! = — и / ( г ) = —'—, г = 1, 2, . . . , п — 1.
Методом математической индукции докажем следующую лемму.
Лемма. Если п ^ 2, со = 0, сп ^ 0 и с^ ^ c^+i + с^+2, г = = 1,2,. . . ,п — 2, то eg + ci + . . . + сп ^ 0.
Действительно, при п = 2 и п = 3 имеем со + ci + с2 ^ 2со = 0 и eg + ci + с2 + с3 2cq + Сз 0.
Пусть в случае п ^ к утверждение леммы верно. Докажем, что оно верно также в случае п = к + 1 (к ^ 3).
Рассмотрим два случая.
щ ^ 0; так как 0 ^ ci ^ с2 + сз, то для чисел 0, с2, сз, . . . , c/^+i выполняются условия леммы, следовательно, 0+с2 + сз + . . . + c^+i ^ 0, откуда с0 + ci + с2 + . . . + ск^х > с2 + с3 + . . . + ck^i 0.
ci < 0; имеем с2 ^ — ci > 0, для чисел 0, сз, с4, . . . , c/^+i выполняются условия леммы, следовательно, 0+сз + с4 + . . . + c^+i ^ 0, с другой стороны,
Со + С1 + С2 + Сз + . . . + С/е + 1 ^ 2со + С3 + . . . + C/^ + i ^ 0.
Лемма доказана.
Заметим, что числа С{ = а{г = 0,1,. . . , п, где Fq = п
= 0, Fi = 1 и F^ = Fi^i + Fi, г = 0,1, . . . , п — 2, удовлетворяют условиям леммы. Следовательно, eg + ci + . . . + сп ^ 0, или ад +
।\^ п।Fn—1.. Fqv
+ ai + . . . +an Д—4-h• • • + тг;с другой стороны, числа
т-7* TL* TLГ п
г п — г
а^ = ——— удовлетворяют условиям задачи, поэтому наименьшее
Fn + Fn-i + . . . + Fq значение суммы а^ + «1 + . . . + ап будет равно -.
тг
Методом математической индукции нетрудно доказать, что Fb+ -\-Fi + ... + Fn = Fn+2 — 1.
12.10. Заметим, что жх = 1 Следовательно, при п > 1 имеемПусть хп = 2 - уп, тогда 0 < — уп)п = 1. Нужно доказать, чтоИмеем уп = —— > -^ (при 'Уп,)Бернулли имеем12.10. Заметим, что жх = 1 Следовательно, при п > 1 имеемПусть хп = 2 - уп, тогда 0 < — уп)п = 1. Нужно доказать, чтоИмеем уп = —— > -^ (при 'Уп,)Бернулли имееми хп > 1 при п = 2,3,... ЖП = ^Л’ ИЛИ Ж"(2 “ Ж") = L Уп < 1 при п = 2,3,... и у„(2- ^ < Уп < ^т ПРИ п = 2,3,... г = 2, 3, . . .). Согласно неравенствуи хп > 1 при п = 2,3,... ЖП = ^Л’ ИЛИ Ж"(2 “ Ж") = L Уп < 1 при п = 2,3,... и у„(2- ^ < Уп < ^т ПРИ п = 2,3,... г = 2, 3, . . .). Согласно неравенству
12.10. Заметим, что жх = 1 Следовательно, при п > 1 имеем
Пусть хп = 2 - уп, тогда 0 < — уп)п = 1. Нужно доказать, что
Имеем уп = —— > -^ (при '
Уп,)
Бернулли имеем
12.10. Заметим, что жх = 1 Следовательно, при п > 1 имеем
Пусть хп = 2 - уп, тогда 0 < — уп)п = 1. Нужно доказать, что
Имеем уп = —— > -^ (при '
Уп,)
Бернулли имеем
и хп > 1 при п = 2,3,... ЖП = ^Л’ ИЛИ Ж"(2 “ Ж") = L Уп < 1 при п = 2,3,... и у„(2- ^ < Уп < ^т ПРИ п = 2,3,... г = 2, 3, . . .). Согласно неравенству
и хп > 1 при п = 2,3,... ЖП = ^Л’ ИЛИ Ж"(2 “ Ж") = L Уп < 1 при п = 2,3,... и у„(2- ^ < Уп < ^т ПРИ п = 2,3,... г = 2, 3, . . .). Согласно неравенству
1 = ун^ - уп)п = уп(Д + (1 - УпУГ ^ УтЛ1 + пД - уп)У
1 следовательно, уп $ —, поэтому
_ !<!1
2П - — У2n^l -2"-1
при п = 2, 3, . . .
Докажем от противного: предположим, что неравенство 1 + an > VVan-i верно для конечного числа п. Следовательно, существует натуральное число ng такое, что для всех n ^ ng 1 + -|- ап ^/2,7an—i.
Поскольку lim I 1 Н— )= е, существует натуральное число
пЛ-оо \ П/
Hi такое, что при п ^ ni (14— ) > 2,7 (е = 2,718281828. . .).
Следовательно, для п ^ т, где т = max(ng,ni), имеем 1 + ап < /п гт п 11ап ап—1„
< an_i \< «п-1, поэтому 4 < . 1аким
п 1 Vп пJ п + 1 п + 1 п
образом,
1 ат—1 атт + 1 т т + 1 ’1 ат—1 атт + 1 т т + 1 ’1ат am-\-i
1 ат—1 атт + 1 т т + 1 ’
1 ат—1 атт + 1 т т + 1 ’
т + 2 т + 1 т + 2 ’ ' * '
1^«m + fe —2«m + fe —1
’ ' ’ ’ т + к т + к — 1 т + к ’
Складывая эти неравенства, получаем
1_|_1_|_।1< am—1&m+A; —1 < ат — 1
т + 1 т + 2" " " т + к т т + к т
следовательно,следовательно,1(11 \ ^тп — 1т + 1 V 2к) т1(11 \ ^тп — 1т + 1 V 2к) тт. е. последовательт. е. последовательность чиселность чиселж/г -1 +1 +... +1ж/г -1 +1 +... +1ограниченна, что неверно, так какограниченна, что неверно, так какЖ2П — ^п -, где п € N. Действительно, Ж2П = жп +•■•+2^>Ж” + П'2^ = Жп + 2-Ж2П — ^п -, где п € N. Действительно, Ж2П = жп +•■•+2^>Ж” + П'2^ = Жп + 2-1п + 11п + 1
следовательно,
следовательно,
1(11 \ ^тп — 1
т + 1 V 2к) т
1(11 \ ^тп — 1
т + 1 V 2к) т
т. е. последователь
т. е. последователь
ность чисел
ность чисел
ж/г -1 +1 +... +1
ж/г -1 +1 +... +1
ограниченна, что неверно, так как
ограниченна, что неверно, так как
Ж2П — ^п -, где п € N. Действительно, Ж2П = жп +
•■•+2^>Ж” + П'2^ = Жп + 2-
Ж2П — ^п -, где п € N. Действительно, Ж2П = жп +
•■•+2^>Ж” + П'2^ = Жп + 2-
1
п + 1
1
п + 1
Докажем методом математической индукции. Имеем (ii = 111
= 2’ 612 = 4’ ПОЭТОМУ а2 ^ 2 а1'
11
Пусть am+i > -ат, где m Е N, докажем, что ат^ ^ат^Т.
Пусть жо С [0,1] такое, что am+i = ж^+1(1 — жо) + жо(1 — жо)т+1; тогда
ат+2 ж™+2 (1 - ж0) + ж0 (1 - ж0)™+2 =
= (ж™+1 (1 - Ж0) + ЖО (1 - ж0)т+1) (жо + (1 - Жо)) -
- жо (1 - Жо) (ж™ (1 - Жо) + Жо (1 - Ж0)т) > «т+1 “ Жо (1 - Жо) йт =
®т+1.®т+1/-«\®т+1. ^тх
—2"1"2^^ ^^о) О-т ^2"1"—
=Ьат^--ж0^
1 следовательно,
Значит, an+i |am n = 1, 2, . . .
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
В последовательности (nn) ni = 109, nn+i = ^^ ^ ^ (n 1). Докажите, что 0 < пзе — V^ Ю13.
Пусть даны действительные числа ai, «2,. . . , ап, которые удовлетворяют следующим условиям:
^1 = 0,|d2| = |(Z1 + 1|,1^3 | = 1^2 + 1|,. . . , |ап| = |^п-1 + 1|-
Докажите, чтоДокажите, чтоo-i + 0-2 + • • • + апo-i + 0-2 + • • • + аппп12'12'
Докажите, что
Докажите, что
o-i + 0-2 + • • • + ап
o-i + 0-2 + • • • + ап
п
п
1
2'
1
2'
Пусть последовательность ai, а^^ . . . ^ ап, . . . получена следующим образом: cti = 1, an+i = &™ Н—^ (n = 1, 2, . . .). Верно ли, что эта последовательность ограниченна?
Последовательность (ап) неубывающая и do = 0. Известно также, что последовательность bn = ап — an-i (n ^ 1) не возрастает. Докажите, что последовательность cn = — (n ^ 1) также не возрастает. п
Последовательность (жп) задана рекуррентным соотношением
_+ 91\45
Ж1 = 2,= —— (п = 1,2,...). Докажите, что - < хп ^ -
10жп х754
для всех n > 1.
Дана последовательность ах = 1, an+i = ^ +
2, 3, . . .). Докажите, что й250 < Ю.
Дана последовательность х^ = 2, х^х = х^ — хп + 1 (n = 1,
. . .). Докажите, что — + — + . . . + — < 1. Ж1 ж2хп
Даны последовательности (ап) и (Ьп): а\ = 1, an+i = ап + + а/й^ + 1, bn = ^ (n ^ 1). Докажите, что последовательность (Ьп) ограниченна.
Известно, что Ri = 1, Rn-vi = 1 + -5— (n ^ 1). Докажите, что
V^ ^ ^п ^ V^ 4" 1*
а2
Известно, что an+i = ап Н-. Докажите, что существует число А такое, что 0 < п(А — ап) < А3.
Дана последовательность an+i = ап + —, ао = 2. Докажите, что 12 < (Z70 < 12,25.
Даны последовательности (ап) (ап > 0, п = 1, 2, . . .) и Ху =
= 1, х^ = 2, жп+2 + апхп4_1 + хп = 0 (n = 1, 2, . . .). Докажите, что последовательность (жп) содержит бесконечное число как поло
жительных, так и отрицательных членов.
Дана последовательность ay = 1, ап = an-i Н, п =
С"п — 1
= 2,3,... Докажите, что з/2п — 1 < ап < уЗп^2.
Дана последовательность Ж1 = 2, жп+1 = что 1 — К)10 < жюо С 1 + Ю|().
$п + 9ЮЖ72,$п + 9ЮЖ72,Докажите,Докажите,а) Дана последовательность di ^ 2, an+i = а^ — 2, n = 1, 2, . . . „1111Г
$п + 9ЮЖ72,
$п + 9ЮЖ72,
Докажите,
Докажите,
Докажите, что11h . . . Н< —— \ —1.
cii 6I16I2 did2d3aia^ . . . ап 2 у 4
(а?\
Пусть а > 2 и (z0 = 1, di = a, an+i = I —^2 ) ап (n = 1,
\dn_i/
. . .). Докажите, что1h-.-H< - (2 + а — \J а2 — 4).
do diок 2
При каких значениях ху все члены последовательности жп+1 = 2ж^ — 1 (n = 1, 2, . . .) будут отрицательными.
п + 1
Дана последовательность хн = ^^ -. Докажите, что хнк_х > г=2
> кхп_\. где п, к Е N и n > 1, к > 1.
Дана последовательность
«1 = 1,«„+1 = V(«1 + ... + an)2 + 1 (п = 1,2,
1 А Г
Докажите, что1h-.-H<2,5.
di d2О-n
п — 1
Дана последовательность и^ = 1, ип = n! Нun_i^ п = п
= 2,3,... Докажите, что1< 1.
Ui U2Un
Дана монотонная последовательность (жп) положительных чисел. Докажите, что
Ж1 | ^2 || ^77,-1 । Х-п,Ж2 Жз ' ' ' Хтг Ж1Ж1 | ^2 || ^77,-1 । Х-п,Ж2 Жз ' ' ' Хтг Ж1(ж2 - Ж1)(ж3 - ж2) ., (жп - Жп-1)
Ж1 | ^2 || ^77,-1 । Х-п,
Ж2 Жз ' ' ' Хтг Ж1
Ж1 | ^2 || ^77,-1 । Х-п,
Ж2 Жз ' ' ' Хтг Ж1
> п+-—h-—h. . . + -—
Ж1Ж2Ж2Ж3ЖП-1ЖП
где п ^ 2.
А Г-Г-ГЖ2Ж77,
У к а з а н и е. Пусть — = 1 + «1, ..., = 1 + «п-1*, тогда
Ж1Хп—1
^ = (l + ai)...(l + a„_i).
§ 13. НЕРАВЕНСТВА ИЗ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
УПРАЖНЕНИЯ
Докажите неравенства 13.1-13.3.
—< л/2 Г1 — А") , где —< V2,т, и € N.
пv V 4n/nV
(пл/d + 1) |sin (тг V^n)l> 1,где n,d Е N и л/d ^ N.
Spq — ^^——, гдеS^p^q Е N;S делится наq. а при
q р
делении на р дает остаток 1 и q > р. S < pq.
Пусть т, к Е N и известно, что все простые делители числа т не превышают п и т ^ п+'+П/2. Докажите, что число т можно представить в виде произведения к натуральных чисел, каждое из которых не превышает п.
Пусть п Е N и а (п) — сумма всех делителей числа п (пример: ст (3) = 4, ст (6) = 12, сг (12) = 28). Докажите, что если о- (а) > 2а и b Е N, то о (ab) > 2аЬ.
Найдите все те числа а, для которых имеет место следующее условие: для любого натурального числа п существует целое число т
Iт\1
такое, что а< —.
I |Зп
Будем говорить, что число интересное, если оно является произведением двух простых чисел. Какое наибольшее число последовательных чисел могут быть интересными?
Докажите, что существует бесконечное число натуральных значений п, для которых S (2n) > S (2n+1), где S (а) — сумма цифр натурального числа а.
Пусть натуральное число п представлено в виде суммы натуральных чисел. Обозначим число всех таких представлений через Р (п) (например, Р(4) = 5, 4 = 4, 4 = 3 +1,4 = 2 +2, 4 = 2 + 1 + + 1, 4 = 1 + 1 + 1 + 1). Докажите, что Р (п + 1) + Р (п — 1) > 2Р (п), п = 2,3,. . .
Пусть натуральное число а разделили «уголком» на натуральное числа b и получили число со,С1С2Сз . . . Известно, что сп+] = = Сп+2 = . . . = с^к = 9 для некоторого п Е {0,1,. ..}, к Е N.
Докажите, что: а) к < —j; б) к < [1g 6].
Для каждого натурального числа п найдите наибольшее число / (п) такое, чтобы можно было из чисел 1, 2, . . . , п выбрать / (п) чисел таких, что отношение любых двух из них не равно 2.
Докажите, что натуральное число п можно представить в виде суммы квадратов т натуральных чисел, где 3[log4 п] + 5 С < т < п — 14.
РЕШЕНИЯ
Имеем неравенство
/^ т _ у^71 тп _ 2п2 — m2 >1
7171+ п( \р! п + т) ’
так как 2п2 — т2 — положительное целое число. С другой стороны, т < /2гц следовательно,
/2 Ш >_1
п п^/^п + т) п( л/2 п + 1/2 п) ‘l^/ln1
Таким образом, получили неравенство у/2 — — > ^ ^L—-, или — < < vA-А)- V 4п /
Пусть \_^dn\ = к. следовательно, к < ^dn < к + 1. Рассмотрим два случая:
к < л/d п < к + |, в этом случае
(n /"d + l)|sin тг /"dn\ = (n /"d + l)|sin тг( y/dn — k)\
(ny/d+ iXVdn -kX(2ny/d + 2)-^lA_ 2nVd + 2 > T Vdn + к yfdn + k
Здесь мы воспользовались неравенством sin ж ^ — ж, где U $ ж $ — 7Г2
(его можно доказать с помощью производных).
к + | < y/dn < к + 1, в этом случае
(п Vd + 1)1 sin 7г(& + 1 — л/5,п)\> 1-
Согласно условию задачи S можно представить в следующем виде: S = р (q — г) + 1 = pq — (рг — 1) = pq — qjD где г, j G N.
Q3- Q3Q3- Q3Имеем рг — 1 = qj и q > р, следовательно, г > j. где гИмеем рг — 1 = qj и q > р, следовательно, г > j. где гр (J + 1) — 1, илир (J + 1) — 1, или^pq-^pq-9 (Р - 1)9 - Р9 (Р - 1)9 - Р(9 - Р) j > Р - 1-(9 - Р) j > Р - 1-Отсюда получимОтсюда получим> j +1 и S = pq -> j +1 и S = pq -
Q3
- Q3
Q3
- Q3
Имеем рг — 1 = qj и q > р, следовательно, г > j. где г
Имеем рг — 1 = qj и q > р, следовательно, г > j. где г
р (J + 1) — 1, или
р (J + 1) — 1, или
^pq-
^pq-
9 (Р - 1)
9 - Р
9 (Р - 1)
9 - Р
(9 - Р) j > Р - 1-
(9 - Р) j > Р - 1-
Отсюда получим
Отсюда получим
> j +1 и S = pq -
> j +1 и S = pq -
Рассмотрим все возможные представления т = ауа^ . . . а^ где ау ^ а^ ^ . .. С ^к и а1 а2- • • • ^к £ N. Ясно, что их число конечно. Пусть т = ауа^ . . . а^ — то представление из этих
представлений, при котором а^ наименьшее.
Если а^ ^ п, то задача решена. Предположим, что а^ > п, тогда
а^ не простое число, поскольку т \ а^. Пусть р — наименьший простой делитель а^ в этом случае р V^k-
Имеем т = (раД а^ . . . а^-у ^^^ поэтому pay ^ а^ где cti
> V°.k > у^.
Таким образом, т = ai«2 ... а^-га^ > ( Уп) п = п^+1^/2, что невозможно.
Пусть числа 1 = ау < а^ < . . . < а^ = а — все делители числа а, в этом случае числа bay < Ьа^ < . . . < Ьа^ будут делителями ab, следовательно, ст (ab) ^ bay + ba^ +. . . + Ьа^ = Ьст (а) > 2аЬ.
13.6. Без ограничения общности можно считать, что а € [0,1), II г . т —поскольку а — — = На}LЗаметим, что а = 0 удовлетворяет задачи условию, достаточно13.6. Без ограничения общности можно считать, что а € [0,1), II г . т —поскольку а — — = На}LЗаметим, что а = 0 удовлетворяет задачи условию, достаточновзять твзять т0.0.туральное число I mil Гп|^-туральное число I mil Гп|^-Докажем, что если 0 < а < 1, то существует на- п такое, что для любого целого числа т имеемДокажем, что если 0 < а < 1, то существует на- п такое, что для любого целого числа т имеем
13.6. Без ограничения общности можно считать, что а € [0,1), II г . т —
поскольку а — — = На}L
Заметим, что а = 0 удовлетворяет задачи условию, достаточно
13.6. Без ограничения общности можно считать, что а € [0,1), II г . т —
поскольку а — — = На}L
Заметим, что а = 0 удовлетворяет задачи условию, достаточно
взять т
взять т
0.
0.
туральное число I mil Гп|^-
туральное число I mil Гп|^-
Докажем, что если 0 < а < 1, то существует на- п такое, что для любого целого числа т имеем
Докажем, что если 0 < а < 1, то существует на- п такое, что для любого целого числа т имеем
Если а 6 Q, то а = -, где 0<p<q^p^qEZ. Предположим, что а удовлетворяет условию задачи. Если п = q. q + 1, . . . , 2q, то числа aq = р, a (q + 1) , . . . , a2q = 2р должны принадлежать объединению областей
^р-^ 2рД) •^р-^ 2рД) •/ 11\ / , 1, 1\
^р-^ 2рД) •
^р-^ 2рД) •
(р-з;р+з)’ (р + 1”з; р + 1+зУ
Так как количество этих чисел равно q + 1, а число областей равно р + 1, то согласно принципу Дирихле существуют такие i^j G G {q, q + 1, . . . , 2q}, г ^ з^ что числа a^^aj принадлежат одной 2
области, откуда получаем а < -. С другой стороны, существует такое I € {q, q + 1, . . . D 2q^ что числа al и а (/ + 1) принадлежат различным областям, следовательно, а > Таким образом, если 12f
- < а < -, то в таком случае при п = 1 не существует целого
числа т такого, что |а — т| < -. Последнее противоречит нашему предположению.
Если а — иррациональное число, то существует ng 6 N такое, что 23
/ + - < тщ < I + -, где I Е Z (см. упр. 14.25).
Предположим, что то € Я и — ^-1 <
Если I / то, то
321
\ап0 - т0| = \ап0 - I + I - т0||/ - moH^o - Ц > 1-- = - > -.
Если же I = то, то |апо — то| = |сто — /| > - > -.
Таким образом, условию задачи удовлетворяют только целые числа.
тm I1
Второе решение. 11усть п Е N^ к^т Е Z и а< —- I п |Лп
I к I 1
и а — — < —. Если к 2m, то |& — 2m I > 1, следовательно,
I |
11mк IIк IImI11_ 1
2п | п2n |П2п || пЛ <Зп6п 2п ’
1з • г* ’1з • г* ’т^II^^ = . . .; следовательно, |а — то|т^II^^ = . . .; следовательно, |а — то|что невозможно. Пусть к = 0,1, 2, . . ., а |а —< -—^ и т^ Е Z\ тогда т0 = — = ... = значит, а = mo Е Z.
1
з • г* ’
1
з • г* ’
т^II
^^ = . . .; следовательно, |а — то|
т^II
^^ = . . .; следовательно, |а — то|
Если а Е Z то очевидно, что при m = ап имеем, что т Е Z и
Приведем пример трех последовательных интересных чисел:
33 = 3-11, 34 = 2-17, 35 = 5-7.
Докажем, что не существует четырех последовательных интересных чисел. Если таковые существуют, то одно из этих чисел будет делиться на 4, поэтому оно будет равно 4. В таком случае одно из чисел будет равно 5 или 3, которые не интересные.
Предположим, что существует конечное число натуральных п, для которых S (2n) > S (2n+1). Следовательно, существует число по такое, что для всех n ^ no, п Е N
S^ ^S^xy(13.1)
Заметим, что S (2n) ^ S (2n+1), поскольку в противном случае
2?г _ 2^+! — 2П -9, что невозможно.
Докажем следующие леммы.
Лемма 1. Если п > п0, то S (2n+6) > S (2п) + 27.
Действительно, при делении чисел 2n, 2n+1,2п+2, . . . , 2п+6 на 9 получаются такие остатки, каковыми являются семь последовательных членов периодической последовательности 1, 2, 4, 8, 7, 5, 1, 2, 4, 8, 7, 5, 1, 2, . . . Из сказанного и (13.1) ясно, что
S (2п+6) - S (2") = S (2п+6) - S (2n+5) + S (2"+5) - S (2”+4) +
+ S (2n+4) - S (2п+3) + S (2п+3) - S (2n+2) + S (2п+2) - S (2n+1) +
+ S (2n+1) - S (2n) >1 + 2 + 4 + 8 + 7 + 5 = 27.
Воспользовавшись леммой 1, методом математической индукции нетрудно доказать лемму 2.
Лемма 2. S (2n°+6/e) > S (2n°) + 27&, где к Е N.
Лемма 3. S ^2п°^6к) < 9m + 18 &, где к Е N, ат— количество цифр числа 2П°.
Действительно, имеем 2n° < 10т, где 2no+6/e < Ют+2/г, поэтому количество цифр числа 2no+6/e не больше т + 2к. следовательно, S(2^6k) < Цт^2к\
Остается заметить, что лемма 2 и лемма 3 противоречат друг другу, следовательно, наше предположение неверно.
Пусть хх^х^ ... х^ Е N, хх х^ ^ . . . ^ х^ и п = хх + +Ж2 + . . . + х^ следовательно, и + 1 = хх + х^ + • . • + Xk + 1; таким образом, можно создать взаимно однозначное соответствие между разбиениями числа п и теми разбиениями числа п + 1, которые содержат слагаемое 1. Действительно,
(жъ ж2,... , жк) —> (Ж1,Ж2, ... ,Хк, 1) .
Из сказанного ясно, что число р (п + 1) — р (п) будет равно числу разбиений п + 1, не содержащих слагаемого 1.
Если п = ух + т/2 + . . . + Ш, где ух ^ Уч ^ • • • > Ш ^ 2, то п +1 = = (ух + 1) + т/2 + . . . + Уь т-е- число разбиений п + 1, не содержащих слагаемого 1, не меньше таких же разбиений числа п. Таким образом, р (п + 1) — р (п) р (п) — р (п — 1), или р (п + 1) + р (п — 1) 2р (п), п = 2, 3 . . .
Пусть аb
•. . . Сп_\-Х сп + 2 • • •
lOtz^-i-i
с п + 1 Ь
10ап+2
^п + 2 Ь
Имеем
Ю^п+1 96 — а^-^з^ Ю^п+2 96 — ап_^з^ • • • ? Ю^п+А? 96 — а^д-^-^х где 0 < а^^ <6, г = 1, 2, . . . , к, ап+к+1 ^ О, откуда
96,
IQ < ^п + Ъ ^п + 2? • • • ? ^n-Yk < 6.
Предположим, что к > [^]; в этом случае среди чисел an+i, ап+2, . . . , ап^к какие-нибудь два окажутся равными; действительно, лд 1966
А = max an+i - пип ап и < 6 - 1 - — = — - 1,1<г</е1<г</еЮ 10
откуда А ^ [^] — 1 < к — 1, т. е. существуют р < q чисел таких, что ан^р = aH^q. Следовательно,
Юо-п+р 96 = П-п+р+1,Ю^п+р+196 = П-п+р+2 ?• • •
• • • i Ю^п+q—196 — ап_^д — ап_^р.
Складывая полученные равенства, получим а^р + . . . + an+g_x = = (q — р) Ь. что невозможно. Таким образом, к < [^].
Обозначим ап+* = 6 — 6п+у г = 1, 2, . . . , А: + 1. В этом случае 1 < b-n-Yh Ьп+2> • • • 1 Ьп-\-к < 6 И 1 ^ 6п_|_/г_|_1 < 6.
Заметим, что 6n+2 = Ю6п+1, 6п+3 = 106п+2, . . . , 6n+/e+1 = 106п+/с, следовательно, 6п+р+] = Ю^б^+х, где 10^ < Ю^б^ух < 6, или к < [1g6].
3 а м е ч а н и е. Если 6 = 10^ и а = 99 . . . 9, то у = 0, 99 . . . 9.
к1g 6
Рассмотрим множество
X = ^4aq | 4OLq С п, а Е Zq, q нечетно}.
Ясно, что отношение никаких двух элементов множества X не равно 2, следовательно, / (п) ^ |Х|, где через |Х| обозначено число элементов множества X.
Пусть У С {1)2,...,п} и |У|>|Х|, поставим любому числу а из X в соответствие пару (а, 2а). Имеем 2а X и |{(а,2а)}| = |Х|, следовательно, для какого-то а а Е Y^ 2а Е Y. Отсюда следует, что / (п) < |Х|, поэтому / (п) = |Х|.
Пусть п = 2fel + 2*2 + ... + 2fcm, где ki > &2 > • • • > кт 0. Рассмотрим следующие множества:
хо = {2^ + 2fc2 + ... + 2^ I г € {1,2,... , m} , kt четно},
Xi = {2Г1 + 2Г2 + ... + 2ri | ri > Г2 > ... > т\ > 0, г, четно
и Г1 = ki, г2 = ^2, • • •, ТЧ-1 = ki-!,rt < kiY
Ясно, что множества Xq, Xi, . . . , Хт попарно не пересекаются и X = Xq U Xi U ... U Xm, следовательно,
|-^| = |*о| + |^1| + • •. + |Хт| .
Обозначим количество четных чисел среди чисел &i, к^^ . . . , кт через А, а количество нечетных — через /1.
Имеем |Хо| = А. Докажем, что
32^ + 1 _ 232^ + 1 _ 21^| =1^| =кг нечетно,
3
2^ + 1 _ 2
3
2^ + 1 _ 2
1^| =
1^| =
кг четно.
Действительно, пусть кг четно. Заметим, что |Х^| на единицу меньше количества чисел из (2П + . . . + 2rt 2^ — 1) 1, 2,. . . , 2^, каноническое разложение которых содержит четную степень 2, т. е.
2^—2^ 1 + 2^ 2 — 2^ 3 + ... + 22 — 2 + 1 — 1 =
(_2)^+! _ т-2-1(_2)^+! _ т-2-12^ + 1 232^ + 1 23
(_2)^+! _ т
-2-1
(_2)^+! _ т
-2-1
2^ + 1 2
3
2^ + 1 2
3
В случае нечетного кг доказательство аналогично. Таким образом, , , ..22 р 2 Х-р 2 (-l)fcl+ ... + (-l)fcm
/ (n) = А + -п - -А - - = -п + —— = -п + Л—'-'-—.
ООО ОООо
Имеем п = I2 + . . . + I2 п = З2 + З2 + I2 + . . . + I2 и
п слагаемых(п-18) слагаемых
п = 22 + 22 + З2 + I2 + . . . + I2 , следовательно, число п можно
(п —17) слагаемых представить в виде суммы квадратов т натуральных чисел, где т € Е {п — 16, п — 14, п}.
С другой стороны, если п = 4^ + 4^ + 4^ + 4^ + ж2 + . . . + ж^_4, то n = 4^+1 + ж2 + . . . + ж^_4, где /с = 0,1,...; следовательно, п можно представить также в виде суммы квадратов т — 3 натуральных чисел.
Таким образом, учитывая, что п = I2 + . . . + I2, и вышесказанное,
п слагаемых
получим, что число п можно представить в виде суммы квадратов т натуральных чисел, где т Е {п, п — 3, п — 6, . . .} и т ^ ^ eg + ci + . . . + Ск^ a c^Ck-i . . . со — запись п в 4-й системе.
Следовательно, с0 + ci + . . . + с^ < 3 (к + 1) и 4^ < n < 4/е+1, откуда к = [log4n]. Для завершения решения достаточно заметить, что
{п, п — 3, п — 6, . . .} U
U {п — 14, п — 17, п — 20,. . .} U {п — 16, п — 19, п — 22,. . .} D
D {п — 14, п — 13, п — 12,. . ., 3[log4 п] + 5} .
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Докажите неравенства 1-4.
гДе a,p,QEN, л/а N и |л/а—-1^1.
I v р + q I qvI v q I
a) S (mn) S (m) S (пр где n, m E N.
S (m + n) < S (m) + S (n^ где n, m E N.
(Cm. ynp. 13.8.)
S(1981n) > 19, где n E N.
S (1998n) > 106 для всех натуральных n, начиная с какого-то числа.
Докажите, что для любого числа М существует такое натуральное п, что —> М.
Докажите, что число 52/ можно представить в виде суммы квадратов т, где I Е N и 1 т 2С
Найдите наименьшее натуральное число п, при котором при любом разбиении натуральных чисел 1, 2,. . . , п на две группы в одной из них найдутся три числа составляющих геометрическую прогрессию.
Пусть целые числа ai, «27 • • • 7 ак такие, что 1 < а^ < а^ < . . . . . . < а^ ^ п и aia^ . . . а^ не делится на а^ г = 1,2,..., к. Докажите, что к ^ тг (п), где тг (п) — количество простых чисел
не превышающих п.
Пусть к — заданное натуральное число. Докажите, что последовательность _> \ будет ограниченна тогда и только тогда, когда 5 ^кп)
к = 2а • 5^, где а^ Р Е {0,1, . . .}.
Пусть ж ^ 1 и А (ж) — наименьшее общее кратное чисел 1, 2, . . . , [ж]. Докажите, что:
где ж ^ 2;где ж ^ 2;б) А(ж) < 5Ж;б) А(ж) < 5Ж;
где ж ^ 2;
где ж ^ 2;
б) А(ж) < 5Ж;
б) А(ж) < 5Ж;
где п ^ 2,где п ^ 2,п Е N;п Е N;А^А ( — ] ^ А(п) у-у, V о /(п!)
где п ^ 2,
где п ^ 2,
п Е N;
п Е N;
А(2п) > A (n) А ( V^1^ гДе n ^ N, п > 100;
в области (п, 2п) имеется простое число, где п Е N, п > 1.
Указание, д) Докажите, что если предположить, что в интервале (п, 2п) нет простого числа, то Д(п)Д ( д/2п) • Л(2п).
Докажите, что —Н+ ... Ч< 2,78, где d(k) —
12п
количество натуральных делителей числа к.
Найдите все те числа а, для которых имеет место следующее условие: для любого натурального числа п существует целое число т
Imil
такое, что а< —.
Iп |Зп
Пусть ai С а2 С • • • С а-п — такие натуральные числа, что
никакая сумма некоторых из них не равна сумме некоторых других.
Докажите, что:
а) аг + а2 + • • • + «к %к — 1, & = 1, 2,.. . , п;
б)б)11(Zi(Z211(Zi(Z2111111 + 2 + • • • + ^Т-1111 + 2 + • • • + ^Т-
б)
б)
11
(Zi(Z2
11
(Zi(Z2
1
1
111
1 + 2 + • • • + ^Т-
111
1 + 2 + • • • + ^Т-
Пусть а^ а^^. . . , ап — различные натуральные числа. Докажите, что
^1 + ^i + • • • + ^^ ^ (^1 + 02 + • • • + ап^ •
Указание. Пусть ai < а^ < . . . < ап и ai = г + Ь^ тогда
bi < b^ <
§ 14. РАЗЛИЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
В данном параграфе рассмотрим неравенства из таких разделов математики и доказываемые такими способами, для которых не предусмотрен отдельный параграф.
УПРАЖНЕНИЯ
Докажите неравенства 14.1-14.5.
^/++6? + ... + У+Т+
У+Г++^+оп) + (6i + ... + 6П) .
14.2.14.2.(а " Ь?2(а + Ь)(а " Ь?2(а + Ь)л/ab +л/ab +(а " Ь?а + b(а " Ь?а + bгде а^Ь > 0.где а^Ь > 0.
14.2.
14.2.
(а " Ь?
2(а + Ь)
(а " Ь?
2(а + Ь)
л/ab +
л/ab +
(а " Ь?а + b
(а " Ь?а + b
где а^Ь > 0.
где а^Ь > 0.
14.3.n е N.14.3.n е N.ж2 — ж/ ^ (Ж2 — сД — № — а) , где 0 ^ а < Ж1 ^ Ж2,
14.3.
n е N.
14.3.
n е N.
I УЩ^^нТТТ^- ^ + ... + б£| <
С |ai — 6i| + ... + |а* — Ьк\,
где ai,.. . , а^, 61,. . . ,6^ > 0, п Е N.
+ —+—т= + ... + ,1—> 24.
1 + V3V 5 + V V9997 + V"99
Известно, что а2 — 4а+ 62 — 26 + 2 ^ 0, с2 — 4с+ (/2 — 2(/ + 2 ^ 0 и с2 — 4с + /2 — 2/ + 2 ^ 0. Найдите наибольшее значение выражения (а - cHf - d) + (с - е) (6 - d).
Докажите, что если последовательность положительных чисел ai, «2 7 • • • ? ат • • • неограниченна и возрастает, то для достаточно больших А: справедливо следующее неравенство:
а)1h . . . Н< к - -;
»2«3CLk^"Y2
Докажите неравенство Минковского (п\1/г/ пх1/г/ пх 1/г
г=17х г=17х г=17
где г > 1, а^ bi ^ 0, i = 1, . . . , п.
Докажите, что если функция / (ж) в области [0, +оо) возрастает и непрерывна, / (0) = 0, то j / (ж) dx + j /’ (ж) dx ^ ab^ где оо
/-1 (ж) — функция, обратная /(ж) и а, b > 0.
а) Докажите тождество
Ж1Р1 + ж2т/2 + • • • + хпрп =
= Ж1 (pi - р^ + (Ж1 + Ж2) (1/2 - Из) + (Ж1 + Ж2 + Ж3) (р3 ~ ^4) + . . .
. . . + (Ж1 + . . . + ЖП_Д (рп-1 - Рп) + (Ж1 + . . . + Жп) рп.
Докажите, что если Ж1 ^ ж2 ^ . . . ^ жп и Pi ^ p<z ^ • • • ^ Um то
Х1Рп + Х2Уп-1 + . . . + ХПР1 <
С Ж^ + Х2Рг2 + • • • + Х^ < Xipi + . . . + Хпрп, где числа Д, г^. . . , гп — это некоторое расположение чисел 1, 2,. . . ... , п.
Докажите неравенства:
а) Ж1 + . . . + жп п, где Ж1,. . . , жп > 0, Ж1 . . . жп = 1;
+11> пг
ai^a^ + 1)ап — i^an + 1) an(di + 1)1 + di • . . . • ап 7
n > 2, (n — 3)(сц — 1) > 0, di > 0, г = 1,. . . , n.
> 3(Л + 1)(М + 1)(S + 1) AMS+1’
где Л, М, S > 0;
X /111\ /111\97
г) - + А + -h ГТТ +^ 1 I А ’ гДе а^Ь^с > °-
\а b \1 + а 1 + о 1 + с/ 1 + abc
Докажите неравенство
у («1) + ... + у (ж„) > ip (yi) + ... + у (у„),
где yi У2 ^ • • • > У», Ж1 + .. . + хк > у1 + .. . + ук (к = 1,... ,п - 1), Ж1 + ... + жп = yi + ... + уп и для любого х из области / <р" (х) > О (Ж1,...,ж„,у1,...,у„ е 7).
Докажите неравенство by + . . . + bn ^ си + . . . + ап, где ат а2ап > О, Ьт аъ b^b^ «1^2, • • • ,^1^2 • • -Ьп
^ (11 6^2 • • • ^п •
Докажите, что для углов а,Д,7 остроугольного треугольника справедливо двойное неравенство
V2 < sin - + sin - + sin - С -.
Докажите, что для углов а,Д,7 тупоугольного треугольника справедливо двойное неравенство
О < Vsin а + V sin Д + ^ sin 7 < 1 + \/8.
Докажите неравенство Ц——^>2л/п —2, V2 V3 лА
где п Е N.
Докажите, что n, b,c,d > 0, если Si = a-Eb-Ec-Ed>0, S2 = ab + be + cd + ad + ac + bd > 0, S3 = abc + bed + eda + abd > 0, S4 = abed > 0.
< 3,< 3,Докажите неравенство n! < n -, где n E N и n ^ 8.
< 3,
< 3,
Докажите, что где n E N.
Докажите, что если g(x) — выпуклая функция на отрезке
Д ^2т Д ®2т+1 Д 0, ТОД ^2т Д ®2т+1 Д 0, ТО[0, «1] (см. § 1) и П1 ^ «2 ^
Д ^2т Д ®2т+1 Д 0, ТО
Д ^2т Д ®2т+1 Д 0, ТО
g M-g (а2Н§ (аз)-- • -+g (a2m+l) > g («1 - n2 + «3 - • • • + «2т + 1) •
Пусть абсолютное значение многочлена Р (х) = ах3 + Ьх2, + + ex + d на отрезке [—1,1] не превышает 1. Докажите, что |п| ^ 4.
Пусть многочлен Р (х) = хп + an_ixn-1 + . . . + «о (^ > > 1) имеет п отрицательных корней. Докажите, что а^Р (1) ^ 2п2по-
Полный граф имеет п вершин, и каждая из ребер окрашена в один из двух заданных цветов. Обозначим через I (п) число тех треугольников, стороны которых окрашены в один и тот же цвет.
Докажите, что
' к(к-1Цк-2) 3’|fe(fc-l) (4А; + 1),^к(к + 1) (4^ — 1),' к(к-1Цк-2) 3’|fe(fc-l) (4А; + 1),^к(к + 1) (4^ — 1),пппппп= 2к,= 2к,= 4к^1,= 4к^1,= 4к + 3.= 4к + 3.
' к(к-1Цк-2) 3’
|fe(fc-l) (4А; + 1),
^к(к + 1) (4^ — 1),
' к(к-1Цк-2) 3’
|fe(fc-l) (4А; + 1),
^к(к + 1) (4^ — 1),
п
п
п
п
п
п
= 2к,
= 2к,
= 4к^1,
= 4к^1,
= 4к + 3.
= 4к + 3.
п2
Граф имеет п (п ^ 3) вершин. Число его ребер больше —. Докажите, что треугольников, образованных этими ребрами не мень-
Докажите, что если а (а > 0) — иррациональное число и 0 < а < b < 1, то существует такое натуральное число п, что а < < {па} < Ь.
Пусть Ж1 + . . . + хп = 0 и Xi 6 [m, АГ], г = 1,. . . , п.
а) У^ ж2 —шАГп;г=1а) У^ ж2 —шАГп;г=1Докажите, что:
а) У^ ж2 —шАГп;
г=1
а) У^ ж2 —шАГп;
г=1
б) ^2 ж? —тМп (т2 + АГ2 + тМ\ г=1
Докажите неравенство (ж2 + у2)т ^ 2тхтут + (хт — ут)\ где т 6 N.
Докажите неравенство
cos (а — Д) cos (Д — 7) cos (7 — q) > 8 cos a cos Д cos 7, где q, Д, 7 — углы некоторого треугольника.
14 пI . 8ш2жsinnz I
Докажите неравенство sin x Hh . . . H< 3.
I2n I
Докажите неравенство
oi + 02 02 + 03 an~i + an an + oi <
22’ ' ’22
< Oi + 02 + O3 02 + 03 + 04 an + O1 + 02
33' ' '3
где 0 < di ^ «2 C • • • C cin и n ^ 3.
Докажите, что если x^y^z^O и x2 + y^* + ^2 = 1, to:
a) 1 ^ h h c —5—;
1 — yz 1 — zx 1 — xy 2
б) кб) к2.2.®+ У + г
б) к
б) к
2.
2.
X -V y% 1 + ^x 1 + xy
(14-1)(14-1)При каких значениях А неравенство а । b । с >3
(14-1)
(14-1)
Va2 + Xbc Vb2 + Хас Vc2 + Xab V1 + А верно для любых положительных чисел а,Ь, с?
РЕШЕНИЯ
Рассмотрим совокупность точек
Ai(0,0), ^2(^1, ^1), ^з(а1 + ^27 ^1 + ^2)7 •••
• • • 7 ^4п+1(а1 + «2 + • • • + ^П7 ^1 + ^2 + • • • + Ьп).
Поскольку A1A2 + Л2Л3 + . . . + АпАп^х ^ AiAn+i, следовательно,
\Ja-i + bl + ^2 + 62 + • - • + V°n + 6п >
y/ab к следующемуy/ab к следующему^ («1 + ... + an) + (61 + ... + 6П) .
y/ab к следующему
y/ab к следующему
Преобразуем выражение виду:
Таким образом, остается доказать двойное неравенство
а + b /а2 + 62 г-г
< у2h V ab < « +
/ а + b а + b„
левая часть которого очевидна, так как у —-——-— и ао > 0.
Для доказательства правой части докажем неравенство
/а2 + 62 а + b а + b /—г
или неравенство
ab.ab.2 . ,2 а + о которое также очевидно, так как у —-—
ab.
ab.
Имеем
21ЯУТ^У" + . . . + (УТ"1
((ж2 - а)1/п)п-1 + ((ж2 - а)1^”)"-2 («1 - a)1/n +.. .+((®i - а)1/п)п-1
= («2 - «У" - Я - а)1/п .
Преобразуем выражение ^/а" + ... + а£ — ^6" + ... + 6£ следующим образом:
| ^ах + ... + ак - ^ЬТ + ... + 6„| - лп-1 + лп-2в+ +вп-1 ,
где А = Да" + ... + аД В = ДдТТТТТД.
Таким образом,
\А-В\ =
д™-1 + а^-^в +... + в^-^
|di - bi|di - bi1 II tn —1аТ + . . . + ЬТАп-1 + . . . + B™”11 II tn —1аТ + . . . + ЬТАп-1 + . . . + B™”1+ . . . + \а^ — bk | |+ . . . + \а^ — bk | |—1 II tn —1Ап-1 + . . . + В™-1—1 II tn —1Ап-1 + . . . + В™-1
|di - bi
|di - bi
1 II tn —1
аТ + . . . + ЬТ
Ап-1 + . . . + B™”1
1 II tn —1
аТ + . . . + ЬТ
Ап-1 + . . . + B™”1
+ . . . + \а^ — bk | |
+ . . . + \а^ — bk | |
—1 II tn —1
Ап-1 + . . . + В™-1
—1 II tn —1
Ап-1 + . . . + В™-1
^ |«i — bi | + . . . + \а^ — bk\ ,
так как А > сц > О, В > Ь^ > 0 (г = 1,. . . , п).
Имеем
1 + уЗ 1 + уз V5 + V7 V5 + V7 V"97 + V"9911111
V"97 + V"991 + V3 уз+уб уб + У7 V7 + V9
+1+= VL11+ У^-У"^
V9997 + V9999V"99 + 71000122
, \7 - \7 ,, 710001 - V"" 7юоо1 -11оо-1
+2+ ' ' • +2 - 2 >> 48’
Точки А (а, 6), В (с, d)^ С (е, /) находятся внутри окруж
ности с центром О (2,1) и радиусом ^/З.
Рассмотрим векторы вХ = {а — c,b — d^ вд = {е — с, / — d^ и В6 = {/ — (/, с — е}. Заметим, что В^ • В6 = 0, следовательно, (в1, В^) = |90° - /3|, или 90° + /3, где ^вХ, В(5) = 3- То есть
В А • вЬ| = В A- BD ■ |cos (90° ± ^)| =
= В A- BDsin3 = BA- BCsin3 = 2S^ABC.
Таким образом,
|(a _cHf_dH(c_e^b-d)\C ^АВс < 2 ^ = ^,
так как из всех треугольников, вписанных в окружность радиусом у 3, наибольшую площадь имеет равносторонний (см. решение упр. 2.7).
Остается заметить, что выражение (а — с) (/ — d) + (с — е) (6 — d) 9 л/з
может принять значение —-—. Значит, наибольшее значение данного
выражения есть —.
а) Обозначим — = 1 + «i, — = 1 + «27 • • • 7 -^— = 1 + а^. asазак^з
В этом случае — 1 < оц а^ • • • , а^ < 0. Имеем
(1 + оц) (1 + а^ . . . (1 + а^ — .
ак-н
Так как а к неограниченна, то существует такое число к^ что в
7 \ 7 аг /
случае к ко < -, следовательно,
ак-н
12'12'- > (1 + Ql) (1 + Q2) • • • (1 + СХк) 1 + Q1 + . . . + Q/c
1
2'
1
2'
(упр. 10.о), откуда следует1h . . . Н
«2 а^ак-\-т
б) Пусть числа ki^ к^^. . . , &2-1985 такие, что
ai ।। ак^a-zttfei+iai ।। ак^a-zttfei+iкт 2,кт 2,
ai ।। ак^
a-zttfei+i
ai ।। ак^
a-zttfei+i
кт 2,
кт 2,
12’12’
1
2’
1
2’
^1±1 + ... + ^- < (к2-к0 акгз-2ak23-i
^^ + ... + ^^ < (ks - ks_0 - I (5 = 2-1985). afes_i+2aks^i2
Складывая полученные неравенства, получим
— + — + ... +< ks - S • ^ = ks - 1985.
as азaks-\-i
Следовательно, при к ^ кд
— + — + ... + ^ < к - 1985, й2 азak^i
так как ат < 1.
^т+1
У^ (°< + b»Y (ai + ^гУ”1^ + Ь^"1
г=1г=1г=1
Согласно неравенству из упр. 11.10
илиилиПри b < f(a) имеемПри b < f(a) имеем| / (ж) dx о| / (ж) dx о= S3, где 51 + 5з = а6, следовательно, ab= S3, где 51 + 5з = а6, следовательно, abьSi + 52, |/-1 ^dy = оьSi + 52, |/-1 ^dy = оДоказательство в случае b ^ f(a) аналогично.Доказательство в случае b ^ f(a) аналогично.а) Ж1 (yi - у2) + («1 + ж2) (у2 - уз) +а) Ж1 (yi - у2) + («1 + ж2) (у2 - уз) ++ (Ж1 + ж2 + ж3) (уз - у4) + . . . + (Ж1 + . . . + Ж„-1) (у+ (Ж1 + ж2 + ж3) (уз - у4) + . . . + (Ж1 + . . . + Ж„-1) (уп— 1 Уп) “Ьп— 1 Уп) “Ь+ (Ж1 + ... + ж„) у„ = Ж1У1 + (Ж1 + Ж2 - Ж1) у2 + . . .+ (Ж1 + ... + ж„) у„ = Ж1У1 + (Ж1 + Ж2 - Ж1) у2 + . . .. . . + ((Ж1 + ... + ж„) - (Ж1 + . . . + Ж„-1)) у„ = Ж1У1+ж2у2 + .. .+ж„у„.. . . + ((Ж1 + ... + ж„) - (Ж1 + . . . + Ж„-1)) у„ = Ж1У1+ж2у2 + .. .+ж„у„.б) Имеемб) ИмеемЖгУк + Ж2Уг2 + • • • + ХпУ1„ = У^ (Ж1 - Ж2) + ^уц + Уг^ (ж2 - Ж3) + . . .• • • + (Угх + Уг2 + ■ • • + У^-х) («п-1 - «п) + (Уг2 + • • • + Уг„) «п <ЖгУк + Ж2Уг2 + • • • + ХпУ1„ = У^ (Ж1 - Ж2) + ^уц + Уг^ (ж2 - Ж3) + . . .• • • + (Угх + Уг2 + ■ • • + У^-х) («п-1 - «п) + (Уг2 + • • • + Уг„) «п <
или
или
При b < f(a) имеем
При b < f(a) имеем
| / (ж) dx о
| / (ж) dx о
= S3, где 51 + 5з = а6, следовательно, ab
= S3, где 51 + 5з = а6, следовательно, ab
ь
Si + 52, |/-1 ^dy = о
ь
Si + 52, |/-1 ^dy = о
Доказательство в случае b ^ f(a) аналогично.
Доказательство в случае b ^ f(a) аналогично.
а) Ж1 (yi - у2) + («1 + ж2) (у2 - уз) +
а) Ж1 (yi - у2) + («1 + ж2) (у2 - уз) +
+ (Ж1 + ж2 + ж3) (уз - у4) + . . . + (Ж1 + . . . + Ж„-1) (у
+ (Ж1 + ж2 + ж3) (уз - у4) + . . . + (Ж1 + . . . + Ж„-1) (у
п— 1 Уп) “Ь
п— 1 Уп) “Ь
+ (Ж1 + ... + ж„) у„ = Ж1У1 + (Ж1 + Ж2 - Ж1) у2 + . . .
+ (Ж1 + ... + ж„) у„ = Ж1У1 + (Ж1 + Ж2 - Ж1) у2 + . . .
. . . + ((Ж1 + ... + ж„) - (Ж1 + . . . + Ж„-1)) у„ = Ж1У1+ж2у2 + .. .+ж„у„.
. . . + ((Ж1 + ... + ж„) - (Ж1 + . . . + Ж„-1)) у„ = Ж1У1+ж2у2 + .. .+ж„у„.
б) Имеем
б) Имеем
ЖгУк + Ж2Уг2 + • • • + ХпУ1„ = У^ (Ж1 - Ж2) + ^уц + Уг^ (ж2 - Ж3) + . . .• • • + (Угх + Уг2 + ■ • • + У^-х) («п-1 - «п) + (Уг2 + • • • + Уг„) «п <
ЖгУк + Ж2Уг2 + • • • + ХпУ1„ = У^ (Ж1 - Ж2) + ^уц + Уг^ (ж2 - Ж3) + . . .• • • + (Угх + Уг2 + ■ • • + У^-х) («п-1 - «п) + (Уг2 + • • • + Уг„) «п <
^ У1 («1 - ж2) + (У1 + У2) (ж2 - ж3) + . . .
• • * “Ь (У1 “Ь * • • “Ь Уп—1) (жп—1жп) +
+ (yi + ... + Уп) Жп = Ж1У1 + . . . + Жпу„. Второе неравенство доказывается аналогично.
1 j 1 1\ ттdl^2^п— 1
а) Пусть Ж1 = —, Ж2 = —г-«?жп-1 = , где di,
d2«3dn
d2, . . . , Cln > 0.
В этом случае хп = —. Используя неравенство из упр. 14.10,6) al 1 11
ДЛЯ чисел di,d2,...,dn И ,, ...,, получим
аг а2ап
111^1111
dih d2h • • • + dn— ^ dih d2h • • • + dn_ih an —, di d2an a-i a3an di
или n ^ Ж1 + Ж2 + • • • + xn.
Заметим, что
(1 + did2 . . . dn) f—7——— + . . . H= \di(d2 + l)dn(di + l)7
_11d2 ■ ■ • dndid2 . . . dn-i
di(d2 + l)dn(dl + l) d2 + 1dl + 1
При n ^ 3 получим
A >A >1di(d2 + 1)1di(d2 + 1)11did2did2dn(di + 1) dl + 1dn(di + 1) dl + 1d2d3d2 + 1d2d3d2 + 1didn ^didn ^
A >
A >
1di(d2 + 1)
1di(d2 + 1)
1
1
did2
did2
dn(di + 1) dl + 1
dn(di + 1) dl + 1
d2d3d2 + 1
d2d3d2 + 1
didn ^
didn ^
(d, b > 0)(d, b > 0)(14-2)(14-2)Нетрудно доказать, что числа —, b и ^ ^ р — имеют одинаковую упорядоченность, и поэтому
(d, b > 0)
(d, b > 0)
(14-2)
(14-2)
1ab > 1 а 1^
a(b + 1) d + l^dd + l b + 1
(см. упр. 14.10, б)).
Согласно (1) получим
1d2 \/1ds \/1di
1— +1— + . . . +1— di + 1 d2 + 1/\ d2 + 1d3 + 1 /\ dn + 1 di + 1
= n= n) +... + f
= n
= n
di + 1 di + 1 /\ dn + 1 dn + 1
Поэтому
(1 + dl . . . dn) f —7——— + . . . H-,—Tl
x\di(d2 + l)dn(di + l)7
При n = 2 имеем di,d2 C 1? следовательно,
(1 + did2) I /—TV H/—TV ) —
\di(d2 + 1) d2(di + 1)7
aiai + 1aiai + 1«21as + 1 ai (as + 1)«21as + 1 ai (as + 1)1as (ai + 1)1as (ai + 1)
ai
ai + 1
ai
ai + 1
«21
as + 1 ai (as + 1)
«21
as + 1 ai (as + 1)
1
as (ai + 1)
1
as (ai + 1)
ai«211
(ii + 1(Z2 4" 1 ai + 1(Z2 4" 1
Достаточно заметить, что
111 А М S
(Л + 1)(М + l)(s + 1)
11 .
Д(М + 1) + М(5 + 1) + 5(А + 1) ’
тогда остается использовать неравенство из упр. 14.11,6) при п = 3. г) Пусть
а(1 + 6) "^ 6(1 + с) "^ с(1 + а) а(1 + с) "^ с(1 + 6) "^ 6(1 4- а) тогда, поскольку
+ 1 + 1 С 1 + 1
а(1 4- 6)6(1 + с) с(1 4- а) а(1 4- а) 6(1 + 6)с(1 4- с)
(см. упр. 14.10,6)), имеем
/11 1\ / 111 \ >
\а + 6 + с/ \1 + а + 1 + б + 1 + с/
> 3 (1+1+1>9
\а(1 + 6)6(1 + с) с(1 + а)/1 4- abc
(см. упр. 14.11,6)).
Сначала докажем, что р (и) ^ р (х) + (п — х^р' (ж). Действительно, рассмотрим функцию /(ж) = р (и) — р (ж) + (ж — и)р' (ж); тогда /' (ж) = (ж — и)р,г (ж). Следовательно, в случае ж > и /(ж) возрастает, а при ж < и /(ж) убывает, т.е. /(ж) ^ f(u) = 0, или р (п) р (х) + (п — х^р' ^х\ откуда
V (Ж1) V (yi) + («1 - У1) у' (У1) ,
ф (ж„) > у> (у„) + (ж„ - уп) ф' (уп).
Получаем
Иж1) + • • • А-ф^х^ >
V (У1) + . . . + у (уп) + (Ж1 - У1) ф' (yi) + ... + (ж„ - у„) ф' ^у^ .
Теперь докажем, что (ж1 - yi) ф' (yi) + ... + (жп - у„) ф' (уп) ^ 0. Действительно, согласно тождеству из упр. 14.10, а) имеем
(Ж1 - У1) у' (yi)+.. -+(жп - у„) у' (у„) = (Ж1 - уД (у' (уД - у/ (у2))+ + («1 - У1 + Ж2 - у2) V (У2) - ^' (Уз)) +
... + (Ж1 - У1 + ж2 - у2 + ... + ж„ - у„) у' (у„) ^ 0, так как Ж1 + ж2 + ... + хк > yi + у2 + ... + ук и р’ (yfe-Д - р' (yfc) > О (к = 1, . . . , п — 1; ф' (ж) возрастает).
Таким образом, ф (жД + . . . + ^ (жп) > ф (yi) + . . . + ф ^уп\
Рассмотрим числа In «i, In а^ . . . , In ап и In6i, In62,. . .
... , In bn_i, In bf (где bf = ai * *" Qn ) и функцию у? (ж) = еж; в этом \01 . . . Оп-1 /
случае имеют место условия неравенства из упр. 14.12, следовательно,
Ф (61) + . . . + 9? ^'^ ф (аД + . . . + 9? (ап), или
61 + . . . + 6n-i + 6^«1 + . . . + ап.
С другой стороны, 6^С другой стороны, 6^«1 . . . Gift ,
С другой стороны, 6^
С другой стороны, 6^
^ 6П, следовательно, 01 . . . 0п-1
bi + . . . + bn ^ «1 + . . . + ап
14.14. Рассмотрим функцию / (ж) = — sin ^14.14. Рассмотрим функцию / (ж) = — sin ^в областив областиИмеемИмеем/ \1 . ж/ (ж) = - sin -/ \1 . ж/ (ж) = - sin -> О,> О,когда ж €когда ж €
14.14. Рассмотрим функцию / (ж) = — sin ^
14.14. Рассмотрим функцию / (ж) = — sin ^
в области
в области
Имеем
Имеем
/ \1 . ж
/ (ж) = - sin -
/ \1 . ж
/ (ж) = - sin -
> О,
> О,
когда ж €
когда ж €
Пусть а ^ 3 ^ ^; в этом случае имеем
\।\।। Q ।7Г 7Г 7Г
а > ^,« + /3>- + -,« + /3 + 7 = ^ + ^ + ^-,
U00000
следовательно, согласно неравенству из упр. 14.12 имеем или
• а , • 3 , • 7 - 3sin - +sm- +sm- < -.
С другой стороны,
7Г 7Г7Г 7Г „
следовательно,следовательно,- + ->а + 0,- + - + 0 = а + /3 + 7,
следовательно,
следовательно,
/(^) + /(^) + /(°) > /(а) + КЗ) + /(7), илиV^ < sin ^ + sin I" + sin ^.
Доказательство неравенства ^ sin a + ^ sin /3 + ^/ sin 7 > 0 очевидно. Докажем второе неравенство. Рассмотрим функцию / (ж) = = — лУ sin ж области (0, тг); в этом случае
ГЧК-ГЧК-. 2.22 sin Ж + COS Ж. 2.22 sin Ж + COS Ж4 sin ж У sin ж4 sin ж У sin ж> О,> О,
ГЧК-
ГЧК-
. 2.2
2 sin Ж + COS Ж
. 2.2
2 sin Ж + COS Ж
4 sin ж У sin ж
4 sin ж У sin ж
> О,
> О,
когда ж € (0, тг).
Поскольку в случае а ^ /3 ^ 7 \\\। I7Г 7Г 7Г
то согласно неравенству из упр. 14.12
/(а) + /(/3) + /(7) > / ® + / ® + / ( Д
или д/ sin а + V sin /3 + V sin 7 < 1 + \/8.
Второе решение. Заметим, что х + у ^ з/2(ж2 + у^^ следо- 7Г вательно при а > —
д/ sin а + V sin /3 + V sin 7 < 1 + V sin /3 + V sin 7
< i + УУ+пТн+пУ) < 1 + ^^sin^^< 1 + ^2 V2 = 1 + 7s.
Имеем
= 2( ^ - 1) + 2( V3 - 72) + ... + 2( 7« + l - 7^) == 2 7n + 1 - 2 > 2 7^ - 2.= 2( ^ - 1) + 2( V3 - 72) + ... + 2( 7« + l - 7^) == 2 7n + 1 - 2 > 2 7^ - 2.
= 2( ^ - 1) + 2( V3 - 72) + ... + 2( 7« + l - 7^) =
= 2 7n + 1 - 2 > 2 7^ - 2.
= 2( ^ - 1) + 2( V3 - 72) + ... + 2( 7« + l - 7^) =
= 2 7n + 1 - 2 > 2 7^ - 2.
Рассмотрим многочлен P (x) = (x — a) (x — b) (x — с) (ж — d). Поскольку P (x) = ж4 — 51Ж3 + S^x2 — S^x + S4 и P (n) = 0, to a4 = Sin3 — S^a? + S^a — 84.
Когда a ^ 0, имеем Sia3 — S^a^ + 83a — 84 < 0, a a4 ^ 0, и полученные неравенства противоречат тождеству, следовательно, а > > 0. Аналогично докажем, что 6, с^ d > 0.
Рассмотрим последовательность ап = ^г. В этом
случае
dn+i е1
(1 + 1)"+71
VV п
(упр. 9.32, г)), следовательно, an+i <(упр. 9.32, г)), следовательно, an+i <Далее,Далее,
(упр. 9.32, г)), следовательно, an+i <
(упр. 9.32, г)), следовательно, an+i <
Далее,
Далее,
Таким образом, ап < следовательно, в случае п ^ 8 ап < — упу 8
< 1.
Пользуясь методом математической индукции, нетрудно доказать, что 2П п2 — 1, ri Е N. Следовательно,
_ 3 22 З2п2 _ Зп
2 13 24 ' ' ' (п-1)(п + 1) “ п + 1
Пусть a,b, с Е [0, «1] и а ^ b ^ с. Когда b ^ ~у~, имеют место условия
а ^ а — b + с, а + с = (а — b + с) + 6, а — 6 + с ^ 6, следовательно, согласно упр. 2.8 g(a) + g(c) ^ g(a — b + с) + g(6), или g(a) - g(b) + g(c) > g(a - b + c).
„. . a + c
Если же b —, имеют место условия
a^b, a + c = b + (a — b + c), b ^ a — b + c, следовательно, снова g(a) + g(c) ^ g(a — b + c) + g(b).
Таким образом, и в этом случае g(a) — g(b) + g(c) ^ g^a — b + с).
Из последнего и упр. 7.5 и получим доказательство рассматриваемого неравенства (взять /(ж) = g^x) — g(0)).
Рассмотрим многочлен F(x) = а + bx + сх2 + dx3. В этом случае согласно формуле Лагранжа*)
F(x) = F(—2) (Ж + ^^ ~ ^^ ~ 2) | F(—1) (Ж + 2^ж ~ 1^ж ~ 2^ ।
। f^i^ (^+L_?M^+LJi)L?+l_?) i f(2) (^+L?M^_iLJi)L?_+iJi1
действительные числа, тодействительные числа, то*) Если Р(ж) — многочлен n-й степени, а х-i, х^, • • • , хп, хп+1 — различные
действительные числа, то
действительные числа, то
Р(х) = Р(Ж1)Р(х) = Р(Ж1)(ж - ж2) (ж - жз) . . . (ж - жп) (ж - Жп+1)(Ж1 - ж2) (Ж1 - жз) . . . (Ж1 - жп) (Ж1 - жп+1)
Р(х) = Р(Ж1)
Р(х) = Р(Ж1)
+ Р(ж2)+ Р(ж2)(ж - Ж1) (ж - жз) (ж - Ж4) . . . (ж - Жп) (ж - Жп + 1)(ж2 - Ж1) (ж2 - жз) (ж2 - ж4) . . . (ж2 - Жп) (ж2 - Жп+1)
+ Р(ж2)
+ Р(ж2)
. . . + Р(Жп + 1). . . + Р(Жп + 1)(ж - Ж1) (ж - Ж2) . . . (ж - Жп-1) (ж - Жп)
. . . + Р(Жп + 1)
. . . + Р(Жп + 1)
(Жп+1 — Ж1) (Жп+1 — Ж2) . . . (Жп+1 — Жп —1) (Жп+1 — Жп)
следовательно,
« = FW = Уг + |Г(-!) + |F(1) - У№•
С другой стороны,С другой стороны,F(x) = х^рF(x) = х^р0,0,откудаоткуда
С другой стороны,
С другой стороны,
F(x) = х^р
F(x) = х^р
0,
0,
откуда
откуда
F(2) = 8pQ), F(—2) = —8р(—^) , F(l)=p(l), F(-l) = -p(-l).
Таким образом,
4/1 \224
° =3P2“чр(-1) +3^) ”qP(2)’
О\^ /Ооо
следовательно,
, ,,4 I / 1\|2, ,2,4 . ,„xl , 4 2 2 4 ,
Ыч p (“2) + чИ-1)1 +чlp(^l+ 4 lp^l ^ч^ч^ч^ч™4
D |\^ / | ОоО О О О О
Заметим, что многочленF(x)=4ж3 — Зж удовлетворяет условию
задачи (если обозначить х = cos а, то F(x) = cos За).
Пусть корни многочлена Р(х)— числа — 61,—62, . ..,—6П, где bi > 0, г = 1, 2, . . . , п.
Имеем Р(х) = (ж + 61)(ж + 62) . . . (ж + 6П), откуда «о = 6162 • • • Ьп и tii = tig f + . . . + Y Таким образом, необходимо доказать, что х bib-n /
f т—Н . . . + 7— (1 + 61) (1 + 62) . . .(1 + 6П)2п2, п = 2, 3, . . .
X01Un /
„11п
Воспользуемся неравенством Коши -h . . . + — > —.=
blbn ^Ь1Ь2...Ьп
и 1 + bi = ^— + ...4Ц-Fbi > п? 6г ! (г = 1,...,п); п - 1 п -1^у [п - 1)
п — 1 членов получим
(т- + . . . + 7—) (1 + 61) (1 + 62) • • • (1 + 6П) > X 01Ьп /
> ri2 Н> п2 fl + (п — 1) —= 2п2.
\ п — 1 /\п — 1 /
Для завершения доказательства мы воспользовались неравенством Бернулли.
Назовем два отрезка, имеющих общую вершину птич'кой^ а сами отрезки — крыльями. Число не одноцветных треугольников равно С^ — 1(п\ Каждый не одноцветный треугольник содержит птички с разноцветными крыльями. Следовательно, число птичек с разноцветными крыльями равно 2(С3 —t(n)Y С другой стороны, если из какой-нибудь вершины выходит к отрезков первого цвета и п — — 1 — к отрезков второго цвета, то количество птичек с разноцветными
крыльями, содержащих эту вершину (оба крыла содержат эту вершину), равно к (п — 1 — к\
Заметим, что
к (п — 1 — к) < <
Отсюда получим
если п нечетно,если п нечетно,если п четно.если п четно.если п четно.если п четно.если п нечетно,
если п нечетно,
если п нечетно,
если п четно.
если п четно.
если п четно.
если п четно.
Итак, получим: когда п = 2к.
, хп (п — 1) (п — 2) п2 (п — 2) _ к (& — 1) (& — 2)
W68=3’
когда п = 4к + 1,
t (n) n (w - ^ (п - 2) _ п(п-1)2 = ^к^_ ^ (4А. + ^ . когда п = 4к + 3,
t ^ >_ п(п-1)2 = 2к ^ + ^ ^ _ ^ _
14.24 Докажем методом математической индукции. В случае п = = 3,4 утверждение задачи правильное.
Пусть утверждение задачи справедливо для п ^ к — 1 точек. Докажем, что оно справедливо также для п = к точек (& ^ 5).
Выделим два случая.
Любое ребро образует треугольник.
к2
В этом случае число образованных треугольников больше —-, еле-
довательно не меньше 1 — 1, к = 5, о, . . .
Существует ребро Л В, которое не образует треугольник. Обозначим остальные вершины графа через Л1, Л2, . . . , Л&-2. В этом случае или вершина А^ не соединена или с Л, или с В (г = 1, 2, ... , . . . , к — 2). Следовательно, число ребер с вершинами Л1, Л2,. . . , Л&-2
Г к2 А
больше I —— (к — 1) 1, поэтому число треугольников, образованных
/Г/Я Л (к2 ,, n
данными вершинами, не меньше I — — 1 1 I —[к — 1) = I.
Пусть одним из этих треугольников является А1А2А3. Если ни одна из вершин А^ не соединена ни с А, ни с В, то мы не будем рассматривать отрезок Л1Л2. В этом случае точки Ai, А^,. . . , А^-^
(к — 2)2
опять соединены -—^отрезками. Значит, существует по край
ней мере [—] — 1 треугольников, и вместе с А1А2А3 будет [—] треугольников.
Осталось рассмотреть случай, когда А соединен с вершинами Ai, Л2, . . . , Ат, а В с остальными. Если отрезок A^Aj является ребром для каких-либо (г; з\ г < j < т или т < г < j, то задача снова решена. В противном случае число ребер с вершинами Ai, А2, . . . , А^_2 не больше т^к — 2 — пг), что невозможно, так как ,.(fc-2)2
— 2 — т) < -—.
14.25. Заметим, что числа {па} отличаются друг от друга. Действительно, пусть {га} = {Ja}, г 7^ J; в этом случае га = 3 а + к, к
к € Z, откуда a = г € Q, что невозможно.
- 3
Пусть m Е N и — < min(a; Ь — алД — Ь\ Ясно что существуют такие натуральные числа г > j, что |{га} — {ja}| < ^ (достаточно разбить отрезок [0,1] на т + 1 равных частей и воспользоваться принципом Дирихле).
Следовательно, |(г — 3) a — [га] + [Jа]| < ^-, откуда {(г — j) а} <
< — или {(г — а} > 1 ——.
тj j jт
Пусть {(г — 3) а} < —, (г — j) а = х + к, к Е Z, а = {(г — j) а}.
Рассмотрим числа ж,2ж,Зж,... Одно из этих чисел принадлежит области (а, 6), пусть а < /ж < 6, I Е N.
Имеем I (г — j) а = /ж + kl, откуда {/ (г — 3) а} = lx Е (а, 6).
Пусть {(г — j) а} > 1 — —, (г — j) а = ж+&, к Е Z, х = {(г — J) а}.
Имеем 1 — ж < —. т
Рассмотрим числа 1 — ж, 2(1 — ж), . . . Одно из этих чисел принадлежит области (1 — 6,1 — а). Пусть
— 6 < /(1 — ж) < 1 — а, /(г — j)a = /ж + 1к = — /(1 — ж) + I + Ik, откуда
l(k + 1) + а — 1 < /(г — j)a < 1(к + 1) + b — 1, или а < {/ (г — j)} < b.
а) Имеем ^^ (жг — т) (^ — жг) ^ 0; следовательно,
У^ ж2 < — птМ. г=1
Заметим, что М ^ 0 ^ т: следовательно,
У^ (М (xi — т) (М3 — ж3) — т (х^ — т3) (М — х^ ^ 0, г = 1
откуда (М — т)У^ ж^ ^ -ЦМ4т-т4М\ Следовательно, когда г=1
М ф т. имеем ^^ ж^ ^ —тМп (m2 + М2 + тМ\ Когда т = М = г=1
= 0, имеем ^^ ж^ = 0 = —mMn (т2 + М2 + тМ). г=1
Имеем
(ж2 + ^т _ $2т _ ^2т =
/ 2т —2 2 .2 2т —2\ ../ 2 2т-2 .2 2т-2\
= Стух у^ж у ) + . . . + ух ух ) >
-2
С^жт7/т + С^хтут + . . . + С^-Тхтут = (2т - ^хтут Здесь мы воспользовались неравенствами
(ж2)" (y2)m"fc + (ЖТ"к ^f ^^х/х^.у^ 1Жтут,к = 1, . . . , т — 1.
Таким образом, (ж2 + у2^ — х2т — ?/2т ^ (2т — 2) xmymD или(ж2 + у2)т > (жт - ymf + 2тжтут.
В случае а,/3,7^ имеем
sin a cos(/3 — 7) = - (sin 27 + sin 2/3) > \/ sin 27 sin 2/3,
Следовательно,Следовательно,(Q A \ V sin 27 sin 2/3 откуда cos(/3 — 7) > —;
Следовательно,
Следовательно,
sin Ot
cos(q — /3) cos(/3 — 7) cos(7 — a) ^
= 8 cos a cos /3 cos 7.= 8 cos a cos /3 cos 7.л/ sin 2o sin 2/3 ^ sin ^7 sin 2/3 V^in^osin^ysin 7sin оsin/3
= 8 cos a cos /3 cos 7.
= 8 cos a cos /3 cos 7.
14 H.M. Седракян, A.M. Авоян
Пусть теперь а < /3 < — < 7. Если 7 ^ — + а или 7 ^ — + /3, то
cos(q — /3) cos(/3 — 7) cos(7 — а) > 0 > 8 cos a cos /3 cos 7.
Если же ^- + а<7<^-+/3, то
0 < — cos(7 — а) < — cos7, 0 < cos(q — /3) cos(7 — /3) < cos(/3 — а) <
< 4 cos(/3 — а) + 4 cos(q + /3) = 8 cos a cos /3, следовательно,
cos(q — /3) cos(/3 — 7) cos(7 — a) > 8 cos a cos /3 cos 7.
Рассмотрим два случая:
когда sin = 0, имеем ж = 2тгп, п Е Z и
I . sin 2жsin пж I
sin ж нh . . . н= о < 3.
I2п |
когда sin ^ ^ 0, существует такое натуральное число ш, что
1I ж I 1
< sin— 7 —•т + 1 | 2 | m
При п ^ т имеем
I . sin2a?sin ж Н-—I . sin2a?sin ж Н-—sin пхпsin пхп|sin 2ж|2|sin 2ж|2|sin пх\п|sin пх\п
I . sin2a?sin ж Н-—
I . sin2a?sin ж Н-—
sin пхп
sin пхп
|sin 2ж|2
|sin 2ж|2
|sin пх\п
|sin пх\п
|sin ж| + |sin ж| + . . . + |sin ж| m|sin ж| 2т|sin ^ | ^ 2 (14.3)
п членов
sin пх I—Iпри пsin пх I—Iпри пт.т.(см. упр. 1.13 и 7.4, а)).
sin пх I
—Iпри п
sin пх I
—Iпри п
т.
т.
„I sin(m + 1)ж
1еперь оценим выражение |^
Согласно упр. 14.10 имеем
^ + 1)жSin 71Ж. z X /11\
—h • • • Н= sin m + 1ж +
+ 1пv 7 \m + l m + 27
+ (sin(m + 1)ж + sin(m + 2)ж) (—^-—) + . . .
\m + 2 m + 3/
. . . + (sin(m + 1)ж + . . . + sin(n — 1)ж) (—- — —) + \\\7 7 \n — 1 n/
+ (sin(m + 1)ж + . . . + sin пж) —.
Следовательно,
I sin(m + 1)жI m + 1I sin(m + 1)жI m + 1sin nxnsin nxn1111+ |sin(m + 1)ж + sin+ |sin(m + 1)ж + sin7 \m + 1 m + 211m + 2 m + 3/ +। / 17 \m + 1 m + 211m + 2 m + 3/ +। / 1
I sin(m + 1)ж
I m + 1
I sin(m + 1)ж
I m + 1
sin nxn
sin nxn
1
1
1
1
+ |sin(m + 1)ж + sin
+ |sin(m + 1)ж + sin
7 \m + 1 m + 2
11
m + 2 m + 3/ +
। / 1
7 \m + 1 m + 2
11
m + 2 m + 3/ +
। / 1
■7' ' ' v\ п — 1
+ |sin(m + 1)ж + . . . + sin пх\ — С
значит,значит,111111I . ж I \m + 1 m + 2|Sm 2 II . ж I \m + 1 m + 2|Sm 2 I1n — 11n — 111sinsin1,1,I sin(m + 1)жI m + 1I sin(m + 1)жI m + 1sin nxnsin nxn(14.4)(14.4)
значит,
значит,
1
1
1
1
1
1
I . ж I \m + 1 m + 2
|Sm 2 I
I . ж I \m + 1 m + 2
|Sm 2 I
1
n — 1
1
n — 1
1
1
sin
sin
1,
1,
I sin(m + 1)ж
I m + 1
I sin(m + 1)ж
I m + 1
sin nxn
sin nxn
(14.4)
(14.4)
Здесь мы воспользовались неравенством
| sin кх + sin(/c + 1)ж + . . . + sinp;r|
1
lsinll
| sin kx-\-sm(k-\-l)x-\-. . .+ sinp;r| =| sin kx-\-sm(k-\-l)x-\-. . .+ sinp;r| =2lsinll2lsinll
| sin kx-\-sm(k-\-l)x-\-. . .+ sinp;r| =
| sin kx-\-sm(k-\-l)x-\-. . .+ sinp;r| =
2lsinll
2lsinll
Докажем его. Действительно,
2 sin — sin кх + . . . + 2 sin — sin px
1_
2 |sin
-I
2 I
cos
x — cos
х + cos
— cos
. + cos
x — cos
x — cos
2
1
Теперь, что
2 HI
2|sin||
используя неравенства (14.3) и (14.4), нетрудно
| sin х +
sin 2x ~2
sin nxn
lsinll
доказать,
Требуется доказать, что
(14.5)(14.5)д (di + tt2 + йз)(^2 + Пз + 0-4) • • • (ttn + ttl + CL2) (а! + а2)(а2 + а3) . . . (ап + аД
(14.5)
(14.5)
33ai + а2 а2 + аз аз + аг222ai + а2 а2 + аз аз + аг222Докажем (14.5) методом математической индукции, а) При п = 3
3
3
ai + а2 а2 + аз аз + аг
222
ai + а2 а2 + аз аз + аг
222
di + d2 d2 + d3 d3 + di
«1 + а2 + а3 = о+5+5
следовательно,
(di + а2 + сьз) ((^2 + аз + di)(d3 + ai + (z.2)(ai + d2)(d2 + аз)(аз + di)
g3 (di + d2) («2 + d3) (аз + ai) 222
(di + d2)(d2 + d3)(d3 + di)
Пусть n ^ 4 и неравенство (14.5) верно для п — 1 чисел. Сначала докажем неравенство (14.5) в случае, когда «1 = а2 или ап_| = ап. Когда «1 = «2, имеем
д (2d2 + d3)(d2 + d3 + d4) . . . (dn-i + an + d2)(dn + 2d2) 2d2(d2 + d3) . . . (dn-i + an^an + d2)
_ (2d2 + d3)(dn + 2d2) (d2 + d3 + d4) • • • (dn-i + dn + d2)(dn + d2 + d3) > 2d2(dn + d2 + d3)(d2 + d3) . . . (dn-i + dn)(dn + d2)
> (2aa + a3)(an + 2aa) /3\п-1 > 3 /3\"-1 > /3\n 2^2(an + a2 + a3) \2/2 \2/\2/ ’
поскольку неравенство (2а2 + аз)(ап + 2«2) ^ 3«2(«п + «2 + «з) эквивалентно неравенству (а2 — аз)(^2 — ^п) ^ 0.
Доказательство в случае an_i = ап аналогично.
Теперь докажем, что если «1 < а2 и an_i < ап, и если последовательность чисел «1, «2, • • • , cin-iD ап заменить числами а'г = «1 + х^ <^2? • • • ? CLn-h ап — х = a/n^ где 0 ^ х ^ min(d2 — ai, ан — an_i), то величина А от этого не возрастет, т. е.
АА1
А
А
(di + х + d2)(d2 + d3) . . . (dn-i + an - x)(an + di)
x (ai + a2 + a3 + x^a2 + a3 + a4) . . . (an_2 + a^-i + an - x) x
x ^an-l + an + al)^an + ^1 + «2),
или
(14.6)(14.6)(di + d2 + d3)(dn-2 + dn-i + dn)
(14.6)
(14.6)
(di + d2 + ^з)(^п-2 + dn-i + ^n)
где a = ;c- — 1 > 0, с = 0, следовательно,
(di + d2)(dn-i + an)
для доказательства (14.6) достаточно доказать его для значений х = 0 и х = «4 — «1 при п = 4, ж = а5 + «4 — а2 — «1 при п = 5, а при п ^ 6 х = а^ — ах (так как min(d2 — ^i^n — an-i) С ^2 — a i С ^4 —
й\ ^ «4 — Q1 + а^ — «2)-
В случае х = 0 доказательство неравенства (14.6) очевидно.
В случае п = 4, х = «4 — «1 необходимо доказать, что
(di + d2 + d3)(d2 + d3 + d4) > (d2 + d3 4- d4)(d2 + d3 + di)(di + d2)(d3 + d4)(d2 + d4)(di + d3)
ИЛИ («4 — di)(d3 — «2)0.
В случае n = 5, x = a^ + a 4 — a^ — ax доказательство неравенства (14.6) очевидно.
При n ^ 6, х = а% — «1 необходимо доказать, что ах + b < 0 т. е.
+ d2 + d3)(dn-2 + dn-i (di + d2)(dn~i + dn)+ d2 + d3)(dn-2 + dn-i (di + d2)(dn~i + dn)— 1) («2 — «1) +— 1) («2 — «1) +
+ d2 + d3)(dn-2 + dn-i (di + d2)(dn~i + dn)
+ d2 + d3)(dn-2 + dn-i (di + d2)(dn~i + dn)
— 1) («2 — «1) +
— 1) («2 — «1) +
йп + an_i + dn_2 — ax — a^ — аз — (di + d2 + d3)(dn-2 + dn-i + dn)
di + d2
(di + d2 + d3)(d-
или
(d3dn-2 + d3(dn-i + dn) + dn-2(di + d2))(d2 — di) /
7.v.xг I aH_2 — аз — (di + d2)(dn-i + dn)у
(ftn-i + dn — di — d2)(d3dn~2 + d3(dn~i + a^ + dn~2(di + d2))\ g (di + d2)(dn-i + dn)J ’
(азап-2 + ^з(ап-1 + an) + an-2(^i + а^У^а^, — an — ап_х) +
+ (an_2 — аз)(й1 + «2)(^n-i + an) ^ 0,
2d2^n-2(^l + «2 + ^3) +
+ («n-1 + dn)(d2^3 — «Зап-2 — ^3an-l — С13атг - &3al) C 0, 2d2^n-2(^i + «2 + ^з) С (^зап-1 + а,зап^ап_2 + aH_x + an + ax — «2);
последнее неравенство справедливо, так как
2«2«п-2 С ^Зап-2 + «З^п-2 С «З^п-1 + ^зй^,^1 + а^ + аз ^ ап_2 + ап_х + ап + ах — а^.
Взяв х = min(d2 — ^i?^n — ап-|)- получим для чисел а^, «2? • • • ... ,an-i, а'п случай а'г = а^ или ап_х = a'nD причем а'г ^
С «2 С • • • С «п-i ^ «п, следовательно,
д > («1 + «2 + аз)(а2 + аз + а^ . . . (ап + ai + 02) (di + а2)(а2 + а3) • • • ^ + ai)
и, таким образом, заданное неравенство доказано.
а) Заметим, что yz < 1, xz < 1, ху < 1, следовательно,
h h ^xA-yA-z^x + у A- z = 1; 1 — yz 1 — zx 1 — ху
х иzи + z
значит, -h-h-1. Заметим также, что yz + —-—
' 1 - yz 1 - zx 1 - ху2
2 .22 .2
/ Z + Xх А- у
xz + , ху ^ -, следовательно,
XуZXуZ
\-yz \ — zx \-хуу Pz2z2^x2X ^У
222
2ж ^.у 2г
1 + X 1 + 1/1 + Z
Кроме того, заметим, что
/22\ /жу \2(ж - у)2(ж + $/)(! - жу)
\। 21 . 2 / I 1 . 21 . 2 //1 . 2\2/1 . 2\2U’
VI + хl + i/ZVl + ж1 + 1/7(1 + X ) (1 + у )
следовательно, согласно неравенству (8.5') получим
2Z1 I 21 + z2Z1 I 21 + z
2Z
1 I 2
1 + z
2Z
1 I 2
1 + z
2ж 21/
1 + ж2 + 1 + 1/2 +
6(х + у + z)
|уз(^+++^) = ^.
Таким образом,б) Имеем
хуz < 3 у^
1 — yz 1 — zx 1 — ху 2
(см. также упр. 5.17).
222
XуZ = XуZ
1 + yz 1 + zx 1 + ху х + xyz у + xyz z + xyz ’
xyz ф 0.
Согласно неравенству (8.4)
x + у + z > (ж +1/ + zf =
1 + yz 1 + zx "Y-\-xy/x-Vy-Vz-V3xyz
_ (1 -V ху -V yz -V- zx) A- xy A- yz A- zx _
x + у + z + 3xyz
_ ж + 1/ + г + (1- ж)(1 - у)(Д - z) A- xyz A- xy + yz + zx x + у + z + 3xyz
x + у + z + xyz + xy + yz + zx
x + у + z + 3xyz
> 1,
XУZ
следовательно,следовательно,> 1.> 1. _|_ _|_
следовательно,
следовательно,
> 1.
> 1.
1 + yz 1 + zx 1 + ху
Если xyz = 0, например, х = 0, то
।2। У ।।\2 ।21
У +2 = 1,—h —h —= у + z > у + z = 1.
1 + yz 1 + zx 1 + ху
Докажем, что если ж, у, z ^ 0 и ж2 + у2 + z2 = 1, то
\ -V yz 1 + zx 1 + ху
Заметим, что если а 0, то ———1 — а + а2, следовательно,
+ а
h у-7Н < ж(1 - yz + y2z2) + у(1 - жz + ж2z2) +
+ yz 1 + zx 1 + xy
+ ж(1 — xy + X2y2) = x + у + z — Sxyz + xyz(yz + xz + xy).
Кроме того, xy + yz + zx < x2 + y2 + z2^ следовательно,
Докажем, что x + у + z — ‘Ixyz ^ ^/2, где ж, у, z ^ 0, x2 + y2 + + z2 = 1.
Действительно, пусть max(x^y^z) = z. Тогда 3z2 ^ x2-Vy2-Vz2 = = 1, следовательно, 2г2 + 2 aJ^z — 1 > 2г2 + 2 ^/^z2 — 1 > 3z2 — 1 > 0, поэтому из неравенства
4z4 - 8г2 + 4 V^z - 1 = ( V^z - l)2(2z2 + 2 V^z - 1) > 0 следует, что
/x 1 \24z4 — 8г2 + 4 xplz — 1„
ИЛИ
z(® + у)2 - (ж + у) + z3 - 2z + v^ > o,ж + у + z — ((ж + у)2 + z2 — 1) z < ^2, ж + у + z — 2жуг ^ ^2.
14.32. Докажем, что если неравенство (14.1) выполняется при всех положительных а, 6, с, то А ^ 8 или А = 0.
Действительно, если А ^ 0, то для а = 1, b = с = —, из (14.1) получаем
11>3
i/l + А/п2 Vl + nA Vl + nA V1 + А
3
Теперь при п +оо получаем 1, следовательно, А 8
Гесли А < 0, то выражение V1 + ^А не определено для п > —
Докажем, что для А ^ справедливо.Докажем, что для А ^ справедливо.8 и а, 6, с > 0 неравенство (14.1)8 и а, 6, с > 0 неравенство (14.1)Лемма 1. Если х > ^ р Действительно, имеемЛемма 1. Если х > ^ р Действительно, имеемО и хр V 9, то , 1 Ч1 vi + « yi + yО и хр V 9, то , 1 Ч1 vi + « yi + y
Докажем, что для А ^ справедливо.
Докажем, что для А ^ справедливо.
8 и а, 6, с > 0 неравенство (14.1)
8 и а, 6, с > 0 неравенство (14.1)
Лемма 1. Если х > ^ р Действительно, имеем
Лемма 1. Если х > ^ р Действительно, имеем
О и хр V 9, то , 1 Ч1 vi + « yi + y
О и хр V 9, то , 1 Ч1 vi + « yi + y
(У1 + ж + У1 + у) = 2 + ж + у + 2 У (1 + ж)(1 + у)=2 + ж + у +
+ 2^/ (1 + Ужу) + (Уж - а/у)2 ^2 + ж + у + 2(1 + Ужу) =
= (1 + ж)(1 + у) + 4 - (Ужу - I)2 > (1 + ж)(1 + у),
таким образом, V1 + х + з/1 + т/ ^ У1+"Хл/1 + р.
Лемма 2. Если х > 0, р > 0 и хр ^ 9, то
12
, Ч, V —,—.
VI + Жyjl + y/xp
Требуется доказать, что
(У1 + Ж + У1 + у)2 (1 + Ужу) > 4(1 + ж)(1 + у).
Имеем (У1 + ж + yi + у)2 (1 + ужу) > (4 + ж + у + 2ужу) (1 + ужу) (см. доказательство леммы 1). Теперь докажем неравенство
(4 + х + р + 2v^) (1 + V^y) ^ 4<Х + ^Х1 + У^
или, что то же самое, (у/ху — 3) (v^ — v^)2 ^ 0, которое очевидно. „XbcХасХаЬ
Введем следующие обозначения: х = —2", р = —5-, z = —2-; аbс
тогда х^ р. z > 0, хрz = А3. Докажем, что для А V 8
!!!>3
V1 + ж V1 + 2/ V1 + Z V1 + А
Действительно, пусть max (x,p,z) = z\ тогда z ^ А. Если хр ^ ^9, то согласно лемме 1 имеем
111113
V1 + ж -^/1 + р Vl + z yl + ж ■xjA. -\- р Vl Т А
Если же хр ^ 9, то согласно лемме 2 имеем
+ 1> 21 + 1 > 2
vi + ж yi+у/yi + ^’ymvi +а /у1 + у^д
(так как zX ^ А2 ^ 64 > 9). Складывая полученные неравенства, получаем
Теперь, так как ^/ж^ ^ 3 и V^A ^ А, то ^/ж^д/^А ^ ЗА ^ 24 > 9, следовательно, снова согласно лемме 2
1 + 1 > 2 - 2
^1 + V®y ^1 + VzA ^1 + v/жуй V1 + А
Таким образом, 1111>4
д/1 + жд/1 —|— 1/д/1 Т £д/1 Т А д/1 Т А
и неравенство (14.1) доказано.
Замечание. Аналогично можно доказывать, что если а^ а-^ . . . .. , ап > 0, п > 2, то
\п-1 , / 2 ТаЬ..т4/ П_1, 2Та11
у а^ 4" уП1^02^3 • • • ^пу ^п 4" \П1J(Zi(Z2 • • • а-н,—i
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯДокажите неравенства 1-17.Докажите неравенства 1-17.3. д/а^ + (1 — 6Z2)2 + д/а2 + (1 — аз)2 + • • •3. д/а^ + (1 — 6Z2)2 + д/а2 + (1 — аз)2 + • • •• • • 4- Van + (! - «1)2 >• • • 4- Van + (! - «1)2 >тг л/^*2тг л/^*2
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Докажите неравенства 1-17.
Докажите неравенства 1-17.
3. д/а^ + (1 — 6Z2)2 + д/а2 + (1 — аз)2 + • • •
3. д/а^ + (1 — 6Z2)2 + д/а2 + (1 — аз)2 + • • •
• • • 4- Van + (! - «1)2 >
• • • 4- Van + (! - «1)2 >
тг л/^*
2
тг л/^*
2
где п ^ 2.
д/2 4- ^4 — 2 ^J2 + . . . 4- ^2п — 2 у/(п — ijn > д/п(п 4-1), где п Е N.
(а - Ь^ а 4- b(а-Ь^
где а^Ь>0.
6. о < V4n + 2 - V^6. о < V4n + 2 - V^д/n + 1 < где ri Е N.
6. о < V4n + 2 - V^
6. о < V4n + 2 - V^
16 у п3
а) ^ос2 -\- осу -\- у2 + лУу2 -\- у г -\- г2 ^ з/ж2 + ж^ + %2;
с лУа2 -V Ь2 — ab + а лУЬ2 -V с2 — be ^ b з/а2 + с2 + ас. где а, 6, с > 0.
д/1 — cos(^3 — Ж2) + з/1 — cos(^2 — Ж1)з/1 — СО8(жз — Ж1).
33
9 < | Vai^Tldx + J ^ж4 - Idx < 9,0001. оо
333
—2+ ~2—2+ • • • + ~2—2
Ж? + Ж1Х2+ Ха Ж2 + Ж2Ж3+ Ж3Ж„+ Ж„®1 + ®1
j№ + Ж2 + • ■ • + Ж„), где жх,..., хп > 0, п ^ 3.
Ж? + 2Ж1Ж2 + 2Ж1Жз + Ж2 Ж2 + 2ж^Жз + 2Ж2Ж3 + Ж3
• • • т 4зз 4
жп Д- 2жпЖ1 И- 2a?na?! Д- ж^ о
где п ^ 3, Ж1, . . . , хп > 0.
Зп + 4П + . . . + (п + if + (п + 2)п < (п + 3)п, где п > 6 и п Е N.
131 < 1 1983 <
* 1983 <1982 < 1982'
tga: ^ ж3, где ж 6 (о, ^.
tg«i (п - 1)^2 ctgа^ где п 3, 0 < ^ < ^ г = 1,
2,...,П и У^ cos2 а^ = 1.
а3 + Ь3 + с3 + 6abc ^ ^(а + b + с)3, где а, 6, с > 0.
Ж 2+ У 2+ г 2 ^ ^У^, где ж,у, г > 0, ж2+у2 + г2 = 1.
/1\/2\/1 \/1 \
Сравнить числа ( - )+ ( - ) и |I 1).
\ з /\ з /\V2 /\V2 /
Докажите, что если a-\-b-\-c-\-d = O и а + 61987 + 61987 + + с1987 + ^1987 = 0? то ft3 + ^3 + с3 + ^3 = Q
20. Докажите, что если неравенство20. Докажите, что если неравенствосправедливо для любых положительных чисел а,Ь, то
20. Докажите, что если неравенство
20. Докажите, что если неравенство
12’12’Докажите, что если |ai| + |а2| + . . . + |Qn| < £ < ^ т0
1
2’
1
2’
|1 — (1 + о^ДХ + с^2) ... (1 + ап)| < 2s.
Функция / определена на множестве Q и /(0)/(1) < 0. Докажите, что существуют такие рациональные числа ri и г2, что
/(п) - /(г2) > (п - г2).
Найдите наибольшее значение выражения |а — 6| |6 — с| |п — с|
при условии а, 6, с ^ 0 и а + b + с < 1.
Докажите, что если а, Д, 7 — углы некоторого треугольника, а а, 6, с — его стороны, то:
0 < sin а + sin Д + sin 7^ ;
0 < 3/ sin а + V sin /3 + V sin 7 < 3
3 л/З
д) cos a cos /3 cos 7 < -;д) cos a cos /3 cos 7 < -;а2 + b2 + с2 1(а + b + с)2 < 2’а2 + b2 + с2 1(а + b + с)2 < 2’0 < sin a sin /3 sin 7$ ;
д) cos a cos /3 cos 7 < -;
д) cos a cos /3 cos 7 < -;
а2 + b2 + с2 1
(а + b + с)2 < 2’
а2 + b2 + с2 1
(а + b + с)2 < 2’
< ab + Ьс + ас < 1
4(а + b + с)23 ’
1(а + Ь) (6 + с) (а + с) 8
4(а -V b -V с)327
з уз2з уз2Докажите для углов остроугольного треугольника а, Д, 7 следующие неравенства:
з уз
2
з уз
2
2 < д/sin а + V sin Д + \/ sin 7 < 3;
I < sin2 (i) + 8™2 (f ) + 8™2 ( 2 ) <
3 r) 1 < cos a + cos 3 + cos 7 < -;
2 < cos2 (^) +cos2 (|) +cos2 (Д <
. 1/а\(0\. З1/З
-<СО8(-)СО8(-)СО8У;
з(т+2)/2 tgm a + tgm Д + tgm 7^1, где m ^1.
Докажите для тупоугольного треугольника с углами а, Д, 7 и сторонами а^Ь^с следующие неравенства:
а) 0 < sin а + sin Д + sin 7 < 1 + ^/2;
б) 0 < sin a sin Д sin 7 ^ -;б) 0 < sin a sin Д sin 7 ^ -;
б) 0 < sin a sin Д sin 7 ^ -;
б) 0 < sin a sin Д sin 7 ^ -;
+ cos a cos Д cos 7 > 2
sin о sin Д sin 7’
-12 I г 2।2 q
< а + о + с3
(а + b + с)28 ’
/ab + Ьс + ас1
16<(а + 6 + с)23’
(а + 6)(6 + с)(а + с) 8
«2 <«2 << ап и 0 < bi < b2 < . . .< ап и 0 < bi < b2 < . . .32 < (а + 6 +с)327'
«2 <
«2 <
< ап и 0 < bi < b2 < . . .
< ап и 0 < bi < b2 < . . .
Докажите, что если 0 < ni ^ ... < Ьп, то
(«1 + ^1) («2 + 62) . • . («п + bn) ^ (di + bi^ (а2 + Ьг^ . . • («п + Ьг^ ^ («1 + bn) (а2 + bn-i). . . (an_i + Ь2) (ап + 61) ,
где числа й, 22, • • • Дп являются некоторым перераспределением чисел 1, 2,.. . , п.
Для чисел а^ Ьг (г = 1, 2, . . . , п) выполняются условия предыдущего упражнения и g — неубывающая выпуклая функция (см. §11). Докажите, что
■■■ + g— gg;r +gk—) + -" + g^^) + g(;H •
Пусть g — выпуклая функция на отрезке [0, аД и g(0) ^ 0. Докажите неравенство
Пусть многочлен р(ж) = аж2 + Ьх + с удовлетворяет следующему условию: 0 ^ р(—1) ^ 1, 0 ^ р(0)1, 0р(1) ^ 1. Докажите,
9
что для любого х 6 [0,1] имеет место неравенство р(х) -.
Известно, что для трехчлена р(х) = ах2 + Ьх + с на отрезке х 6 [0,1] имеет место неравенство |р(ж)| ^ 1. Докажите, что \Ь\ ^8.
Известно, что для трехчлена р(х) = ах2 + Ьх + с на отрезке х Е [—1,1] имеет место неравенство |р(ж)| ^ 1. Докажите, что на том же отрезке справедливо неравенство |рДж)| ^ 4.
Замечание. Для любого многочлена р(х) справедливо неравенство
2 т?2
№)| < I—-тах|р(ж)|,о — а
где х Е [а, Ь\ и п — степень р(х\
Степень многочлена р(х) не превышает 2п. Известно, что для любого целого числа к Е [—n, n] |р(&)| С 1- Докажите, что для любого числа х Е [—п, п] справедливо неравенство |р(ж)| ^ 22п.
Пусть жо < жх < . . . < жп — целые числа. Докажите, что хотя бы одно из чисел |р(жо)|, |р(жх),. . . , |р(жп)| не меньше ^, где р(х) = жп + а^х™^ + а^х11-2 + . . . + ап.
Пусть на отрезке [—1,1] заданы отличные друг от друга числа жх < ж2 < . . . < ж/., к 3. Докажите, что
11
|Ж1 - Ж2||Ж1 - Жз| • • • |Ж1 - Ж/el |ж2 - Ж1||ж2 - Ж3| • • • |ж2 - Жа,| ' ' '
_2к-2.
' ' ' I^A; - Ж1ЦЖА, - Ж2| • • • |ЖА; - Ж/г-т!'
Докажите, что если а, 6, с > О, то
а + V(a + bKa + с) b + V(^+^W+^) с + У(с + а)(с + 6)
Пусть р(х) = ах3 + bx2 + сх + d и для всех х на отрезке [—1,1] имеет место неравенство |р(ж)| С 1- Докажите, что |а| + \Ь\ + + 1С1 + И
а) хх(х - р^х - г) + рх(р - х^р - г) + ^Л(^ - ж)(г - р) ^ О, где х. р, z > 0;
g(^)(/(a:) - /(?Д)(/(ж) - f(z)) + g(p)(f(p) ~ ^ШЛУ) ~ /М) + +g(z)(/(z) -/(аД)(/(;Д-/(?/)) ^ 0, гДе #(g) С (0;+ос) и функции / и g монотонны.
Полный граф имеет п вершин, каждое из его ребер окрашено одним из трех цветов. Докажите, что существует одноцветный связный подграф, имеющий по крайней мере ^ вершин.
Докажите неравенство
V^i + . . . + V^n < \А1 + С(п) у/а2 + С(п). . . Van "V" С(п),
TL — 1
где п ^ 2, аъ ..., а„ 0, С^ =-
Докажите неравенство
sin2a?sinna?
0 С sin ж Нh . . . Н< 2 V2п
где 0 < ж < -.
Указание. Если ж ^ 0, то существует натуральное число т такое, что
х/2. х < У^
2(т + 1) Sm 2 2т ‘
Пусть /: 7^ —> 7^. Докажите, что / — постоянная, если:
для любых действительных х и р имеет место неравенство |/(ж) - /(у)| < С\х - у\а, где С > 0, а > 1;
для любых чисел a, b, с^ d^ составляющих арифметическую прогрессию, имеет место неравенство |/(n) — f(d)\ ^ Д|/(с) — /(6)|, где А > 3.
§ 15. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
УПРАЖНЕНИЯ
Внутри угла задана точка М. Проведите через точку М прямую так, чтобы площадь треугольника, ограниченного этой прямой и сторонами угла, была наименьшей.
На сторонах ВС, АВ и АС треугольника АВС даны соответственно точки D, Е и F. При этом около четырехугольника л та татрггл ^def EF2
Аг Uh можно описать окружность. Докажите, что 4 — $
оавс AD
Докажите, что:
если длины трех биссектрис треугольника меньше 1, то его площадь меньше;
если длины трех биссектрис треугольника больше 1, то его площадь больше.
Докажите неравенство abA-bcA-ac ^ 4^/35, где S — площадь треугольника со сторонами а,Ь, с.
Пусть а,Ь, с — стороны некоторого треугольника. Докажите, что a2b(a — b) + b^c^b — с) + с^а^с - а) > 0.
Пусть а,Ь, с — стороны некоторого треугольника. Докажите, что а2 + Ь2 + с2 + 4abc Д |.
Докажите неравенство
А1А2А^А^An_iAnAiAn
MAi • МА2 + МА2 • МА3 ++ MAn_x • МАп МАг • МАС
где М^ Ai, . . . , Ап — отличные друг от друга точки и п Д 3. Когда имеет место равенство?
Докажите неравенство
VO Л2 + ОВ2 - 2 • О Л • ОВ • cos 2ZAOB +
+ VOB2 + ОС2 — 2 -ОВ ОС cos 2ZBOC
> Vo Л2 + ОС2 -2-ОА-ОС -cos 2ZAOC,
где О, А, В, С — отличные друг от друга точки.
На сторонах АВ и CD квадрата ABCD заданы соответственно точки U и V. Пусть прямые DU и AV пересекаются в точке В, а прямые CU и BV — в точке Q. Докажите, что:
a) PQ ^ ^^ б) Supvq ^ ^Sabcd-
В выпуклом шестиугольнике ABCDЕF противоположные стороны параллельны (АВЦВВ, BCWEF^ (7В||ВА). Докажите неравенство RaERcЕRe ^ В, где Ra^ RcRe— радиусы окружностей, описанных около треугольников FAB, BCD и DEF соответственно, а В — полупериметр шестиугольника ABCDЕF.
Внутри квадрата со сторонами равными 1 заданы квадраты со сторонами а и 6, не имеющие общих точек. Докажите, что а +
+ 6 < 1.
Правильный n-угольник со стороной b находится внутри п- угольника со стороной а и не содержит центр окружности, описанной около последнего. Докажите, что b < -.
2 cos2 —
2 п
Докажите, что для любых точек А, В, (7, В, В, F имеет место неравенство
2 (АВ2 + ВС2 + CD2 + DE2 + ЕЕ2 + FA2) > AD2 + BE2 + СЕ2.
Даны положительные числа mi, m2,. . . , тп и точки Ai,
А2,. . . , Ап. Пусть Mq — такая точка, что ^^ т^ = б, где е^ =
, г = 1, 2, . . . , п. Докажите неравенство
£mtMA, '^2miM0Ai,
где М — произвольная точка.
Даны положительные числа mi, m2,. . . , тп и точки Ai,
п — 1
А2,...,Ап, причем ^^А2,...,Ап, причем ^^mtetmtetтп,тп,
А2,...,Ап, причем ^^
А2,...,Ап, причем ^^
mtet
mtet
тп,
тп,
п — 1
... , п —1. Докажите неравенство 5 т^М А^ ^ у m^AnA^, где М —
произвольная точка.
Даны положительные числа т^ т^ . • . 7 тп и выпуклые многоугольники Л1Л2 . . . Ап и В1В2 . . . Вп, причем многоугольник В1В2 . . . Вп вписан в многоугольник А1А2 • • • Ап (Bi Е А1А2, В2 £ 6 Л2Л3, ..., Вп Е АпА1) и
AiA^m^en - шхеД = Л2Лз(тхех - т2е2) = . ..
• • • ^n^l (^п —1^п —1 ^п^п) О,
где ёг =2, . . . , n, Bn+x = Вх. Докажите неравенство
^^т^СiCуш/В/В^],г = 1г=1
где Ci G А1А2, ^2 Е ^2^3, • • • , Сп Е AnAi и Cn+i = Ci.
Внутри треугольника АВС дана точка Ма на сторонах АВ, ВС и С А — точки Р, Q и R соответственно. При этом
ZPMA, ZPMB, ZQMB, ZQMC, ZRMA, ZRMC < р
Докажите неравенство
МА + МВ + МС > 2 ^МА ■ МВ ■ cos ZAMP ■ cos ZBMP +
+ 2 VMB • MC • cos ZBMQ ■ cos ZCMQ +
+ 2 VMA • MC • cos ZAMR • cos ZCMR.
Внутри выпуклого многоугольника Лх Л2 . . . Ап дана точка М. Обозначим расстояние точки М от прямых A^A^+i через d^^ An+i = Ai, МАг = Ri^ г = 1, 2,... 7 п.
Докажите неравенство cosn — R^R^ . . . Rn ^ did^ . . . dn. n
Внутри куба с единичным ребром даны три точки. Докажите, что расстояние между какими-нибудь двумя из них не больше Д^2.
Внутри куба с единичным ребром задана пирамида ABCD. Докажите неравенство АВ • CD • d ^ 2, где d — расстояние между прямыми АВ и CD.
Треугольная пирамида находится внутри параллелепипеда. Докажите, что объем пирамиды не больше ^ объема параллелепипеда.
Куб с ребром а находится внутри куба с единичным ребром. При этом он не содержит центр единичного куба. Докажите, что а < |.
15 Н.М. Седракян, А.М. Авоян
На плоскости даны два произвольных треугольника. Пусть Р — сумма их периметров, a Q — сумма расстояний вершин одного треугольника от вершин другого. Докажите, что Р ^ Q.
Внутри квадрата с единичной стороной даны 1998 взаимно не пересекающихся кругов. Известно, что сумма их площадей не меньше |. Докажите, что существует такая прямая, что сумма длин хорд, образовавшихся при пересечении этой прямой с кругами, не меньше |.
Выпуклый многоугольник М находится внутри треугольника АВС. Докажите, что какую-нибудь из сторон многоугольника можно положить на одну из сторон треугольника так, что многоугольник М снова будет находиться внутри треугольника АВС.
РЕШЕНИЯ
Пусть прямая, проведенная из точки Мпересекает стороны треугольника в точках А и В. Проведем из точки М прямые, параллельные сторонам угла (рис. 1): МС || О В и MD || О А.
Smbd _ СМГВРSaob ОВSmbd _ СМГВРSaob ОВИмеем /ХАСМ ~ /ХАОВ и &MDB ~ АЛОВ; следовательно,
Smbd _ СМГВР
Saob ОВ
Smbd _ СМГВР
Saob ОВ
Samc Saob откуда нетрудно получить, что
[ЗаВосмп = 2 VSamcSbmd Samc + Sbmd^ или Saob ^ ^Sqcmd- Следовательно, площадь треугольника АО В будет наименьшей, когда Samc = Sbmd^ т. е. А С = М D = ОС.
На стороне АВ выберем точку Е' так, что DE'\\AC (рис. 2). При решении упр. 15.1 мы доказали, что
SabcSabc^Sae'd = 4^Sae'd = 4AD2 sin ot sin /32 sin(a + /3)AD2 sin ot sin /32 sin(a + /3)= 4ЛВ2= 4ЛВ2SedfEF2SedfEF2
Sabc
Sabc
^Sae'd = 4
^Sae'd = 4
AD2 sin ot sin /32 sin(a + /3)
AD2 sin ot sin /32 sin(a + /3)
= 4ЛВ2
= 4ЛВ2
SedfEF2
SedfEF2
откуда 4откуда 4Sdef SabcSdef SabcEF2AD2*EF2AD2*
откуда 4
откуда 4
Sdef Sabc
Sdef Sabc
EF2
AD2*
EF2
AD2*
а) Рассмотрим два случая.
Длина какой-нибудь стороны треугольника АВС меньше —
2V 3
В таком случае, если а < то
q aha5 =q aha5 =1212
q aha
5 =
q aha
5 =
1
2
1
2
тогда /Л ^ 60°. Проведем из вершины А прямую I так, чтобы она образовала со стороной АВ угол 60° (рис. 3). В таком случаетогда /Л ^ 60°. Проведем из вершины А прямую I так, чтобы она образовала со стороной АВ угол 60° (рис. 3). В таком случаеДлина каждой стороны треугольника АВС не меньше Предположим, что величина угла А этого треугольника наибольшая,
тогда /Л ^ 60°. Проведем из вершины А прямую I так, чтобы она образовала со стороной АВ угол 60° (рис. 3). В таком случае
тогда /Л ^ 60°. Проведем из вершины А прямую I так, чтобы она образовала со стороной АВ угол 60° (рис. 3). В таком случае
биссектриса угла В не меньше ВН
что невозможно.
Пусть AD — биссектриса угла А и А ^ 60°. Имеем
AD sin -—/д
§авс ^4 2ginZ/ = АВЧ^
(см. решение упр. 15.2).
При доказательстве неравенств, связанных со сторонами треугольника, иногда бывает целесообразно ввести следующие обозначения: а = т + n, b = п + к. с = т + к. где т = р — 6, п = р — с, к = р — а, причем ш, п, к > 0 (рис. 4).
Воспользовавшись неравенством (ж + у + г)2 ^ ^ху + уz + zx\ получим
ab + Ьс + ас = (m + п + к)2 + тп + пк + тк 4(mn + пк + тк)
^ 4 ^3(тп • пк -\- пк • тк + тп • тк) = 4 л/38.
Снова вводя обозначения а = т + n, b = п + к^ с = т + к^ где т = р — 6, п = р — с, к = р — а^ т. п. к > О. получим
а2Ца — b) + b^c^b — с) + с^а^с — а) = кт3 + тп3 + пк3 — птк2 —
— пкт2 — ктп2 = кт^т — п)2 + тп^п — к)2 + пк(к — т)2 А 0.
Введем обозначения а = р — к = ^ — к. с = р — b А к = ^ — — b + к, где к = р — а > 0.
Доказываемое неравенство эквивалентно неравенству (к — Ь)х х(1 — 26) ^ 0, которое очевидно, так как b < р = | и с = р — — b + к < р. т. е. к < Ь.
На луче МАг выберем точку В^ так, что МВ^ = ^^ г = 1, 2,.. . , п. Докажем следующую лемму.
АгА •
Лемма. Справедливо равенство BiBj = г J .
1V1 vA-2 * ^vl ^^j
Выделим два случая.
Лучи МАг и MAj не находятся на одной прямой. Заметим, что /ХМ Аг А а/ХМ BiBj. следовательно,= -, л \ л 7
г 3г 311 А.А. МА. MAi -MAj
о г>AtAj
откуда ВаВа = ——А .
г 3 МАг • MAj
Лучи М А г и MAj находятся на одной прямой. Имеем
BiBi = \MBi ± МВД = I ± АЛ =
31 г зХ \ М Аг MAj\
_ I МАг ± MAj I _ AiAj
| МАг • MAj | МАг • MAj '
Таким образом, заданное неравенство эквивалентно известному неравенству BiB2 + В2В3 + . . . + Bn_iBn BiBn.
Равенство имеет место, когда все точки Bi, В2,. . . , Вп находятся на одной прямой в заданной последовательности. Если М 6 B±Bn^ то в этом случае И1,И2,...,ЛП Е В±Вп^ причем нетрудно понять, что точки М^ Их, Л2,. . . , Ап находятся на одной прямой или в последовательности М^ Их, Л2,. . . , АН1 или в последовательности М^ Ап^ Ап_!,. . . , Их, или же для некоторого к в последовательности Д^, Д^-i,..., Д1, М, Дп,..., Д^+1, или в последовательности ^/с + 1, • • • 7 ^П7 ^7 ^17 • * • 7 А^.
Когда М ^ ВхВп^ около четырехугольника Л/Д1Д2Д3 можно описать окружность. Действительно,
z/A-^A^A^ + АА^МАз = АА-^А^М + АМ А2А3 + АА^М A3 =
= АМВгВз + АВгВзМ + АВ±МВз = 180°.
Так же доказывается, что около четырехугольников МД2Д3Д47 • • • ... , МАп_2Ап_1Ап можно описать окружность. Таким образом, около многоугольника МА^А^ . . . Ап можно описать окружность, при
этом М принадлежит той дуге АуАп^ которая не содержит точки ^27 • • • 7 Ап_1.
Выделим два случая.
2ZAOB ^2ZBOC < тг.
Пусть О А = а, ОВ = Ь, ОС = с, ZAOB = 7, ZBOC = а. ZAOC = 3- Рассмотрим на плоскости такие точки О', А' В' С' что О'А' = а. О'В' = b, О’С’ = с, ZA* О’В’ = 27, ZB'O'C' = 2а, ZA!O’C* = 27 + 2а.
Имеем А! В’ + В'С' > А'С', т.е.
\/а2 + 62 — 2ab cos 27 + з/б2 + с2 — 26с cos 2а >
> з/а2 + с2 — 2ас cos(27 + 2а) > \/а2 + с2 — 2ас cos 2/3.
Последнее неравенство справедливо, так как 2/3 ^ 27 + 2а ^ тг.
2у + 2а > тг, в этом случае
27 > тг — 2а.(15.1)
Без ограничения общности можем считать, что а, 7^ ^. Действительно, если а,7> ^ то рассмотрим точки О^А^С^ В^ где By и В симметричны относительно точки О. А если а > ^- 7, то рассмотрим точки О, А, В, Су, где Су и С симметричны относительно точки О.
Следовательно, учитывая (15.1) и решение для случая а), получаем
\/а2 + 62 — 2ab cos 27 + з/б2 + с2 — 26с cos 2а >
> \/а2 + 62 — 2ab cos(tt — 2а) + з/б2 + с2 — 26с cos 2а
л/а2 -\- с2 — 2ас cos(tt — 2q + 2q) = а + с > \/а2 + с2 — 2ас cos 2/3.
15.9. а) Пусть BU ^ CV. В этом случае AU ^ DV. Проведем в квадрате среднюю линию MN (рис. 5) и РРу || QQy || АВ. Заметим, что проекции РРу и QQy на15.9. а) Пусть BU ^ CV. В этом случае AU ^ DV. Проведем в квадрате среднюю линию MN (рис. 5) и РРу || QQy || АВ. Заметим, что проекции РРу и QQy наАВ не могут иметь общих точек, следовательно,АВ не могут иметь общих точек, следовательно,PQ^ AB-(PPy^QQy) =PQ^ AB-(PPy^QQy) == АВ-= АВ-^Р1^2 । Q1Q2^^Р1^2 । Q1Q2^АВАВМК KN\ _2 +МК KN\ _2 +б) Имеем Squv = Sqbc иб) Имеем Squv = Sqbc иBQ = SbqcQV Scqv"BQ = SbqcQV Scqv"следовательно,следовательно,SbuqSquvSbuqSquvАВАВРис. 5Рис. 5
15.9. а) Пусть BU ^ CV. В этом случае AU ^ DV. Проведем в квадрате среднюю линию MN (рис. 5) и РРу || QQy || АВ. Заметим, что проекции РРу и QQy на
15.9. а) Пусть BU ^ CV. В этом случае AU ^ DV. Проведем в квадрате среднюю линию MN (рис. 5) и РРу || QQy || АВ. Заметим, что проекции РРу и QQy на
АВ не могут иметь общих точек, следовательно,
АВ не могут иметь общих точек, следовательно,
PQ^ AB-(PPy^QQy) =
PQ^ AB-(PPy^QQy) =
= АВ-
= АВ-
^Р1^2 । Q1Q2^
^Р1^2 । Q1Q2^
АВ
АВ
МК KN\ _
2 +
МК KN\ _
2 +
б) Имеем Squv = Sqbc и
б) Имеем Squv = Sqbc и
BQ = Sbqc
QV Scqv"
BQ = Sbqc
QV Scqv"
следовательно,
следовательно,
Sbuq
Squv
Sbuq
Squv
АВ
АВ
Рис. 5
Рис. 5
Subcv — ^Suqv-VSbquA-Scqv 2Suqv+^ >JSbqu Scqv — ASuqv- Аналогично докажем, что Sauvd ^ ^Sypv- Следовательно,
SuPVQ — Sypv + SuQVSuPVQ — Sypv + SuQVSauvd + Subcv SabcdSauvd + Subcv Sabcd444415.10. Рассмотрим рис. 6. Имеем BE A MN и BF ^ PIC по15.10. Рассмотрим рис. 6. Имеем BE A MN и BF ^ PIC поэтомуэтомуВЕ >ВЕ >MN Г РКMN Г РК22илиили
SuPVQ — Sypv + SuQV
SuPVQ — Sypv + SuQV
Sauvd + Subcv Sabcd
Sauvd + Subcv Sabcd
4
4
4
4
15.10. Рассмотрим рис. 6. Имеем BE A MN и BF ^ PIC по
15.10. Рассмотрим рис. 6. Имеем BE A MN и BF ^ PIC по
этому
этому
ВЕ >
ВЕ >
MN Г РК
MN Г РК
2
2
или
или
2 Ra sin а ^2 Ra sin а ^(a sin /3 + / sin 7) + (с sin 7 + d sin /3)
2 Ra sin а ^
2 Ra sin а ^
2
Следовательно, Ra >
4since 4 х since
Таким же образом получаемТаким же образом получаемPc >Pc >1/» . х sin се 1, xSin/3 7 (/ + с) —h 7+ e) —,4sin 74 sin 71/» . х sin се 1, xSin/3 7 (/ + с) —h 7+ e) —,4sin 74 sin 7
Таким же образом получаем
Таким же образом получаем
Pc >
Pc >
1/» . х sin се 1, xSin/3 7 (/ + с) —h 7+ e) —,
4sin 74 sin 7
1/» . х sin се 1, xSin/3 7 (/ + с) —h 7+ e) —,
4sin 74 sin 7
RE>^RE>^sin 71sin /3 + 4sin 71sin /3 + 4sin cesin /3 'sin cesin /3 '
RE>^
RE>^
sin 71
sin /3 + 4
sin 71
sin /3 + 4
sin ce
sin /3 '
sin ce
sin /3 '
Складывая эти неравенства и воспользовавшись неравенством ж +
+ — > 2 (ж > 0), имеем ж
Ра + Рс + Ре 2^ + ^) + 2 + е) + 2 с) — Р-
Замечания. 1. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда ABCDЕF — правильный шестиугольник.
В общем случае это неравенство неверно. Например, А А = 90°, АВ = AF = 135°, АС = AD = АЕ = 120° и ВС = CD = DE = ЕЕ.
3. Рассмотрим рис. 7; Ra + Rc + Яе3. Рассмотрим рис. 7; Ra + Rc + ЯеКРМорделлы.КРМорделлы.MP NPР или -у- + -у- +MP NPР или -у- + -у- +РВ + PD + PF, а это известное неравенство Эрдёша-РВ + PD + PF, а это известное неравенство Эрдёша-
3. Рассмотрим рис. 7; Ra + Rc + Яе
3. Рассмотрим рис. 7; Ra + Rc + Яе
КР
Морделлы.
КР
Морделлы.
MP NP
Р или -у- + -у- +
MP NP
Р или -у- + -у- +
РВ + PD + PF, а это известное неравенство Эрдёша-
РВ + PD + PF, а это известное неравенство Эрдёша-
Сначала докажем следующую лемму.
Лемма. Если квадрат PQRS со стороной а вписан в прямоугольник ABCD (рис. 8), то ABCD — тоже квадрат и квадрат со стороной а можно поместить в пятиугольник ABQRD так, чтобы стороны квадрата были параллельны АВ и AD.
Действительно, рассмотрим поворот квадрата PQRS вокруг его центра О на угол 90°.
При этом точка Я перейдет в точку Q, следовательно, прямая CD перейдет в прямую ВС и, значит, точка О равноудалена от сторон CD и ВС. Аналогично получаем, что точка О равноудалена от
сторон АВ и ВС, AD и АВ. Из сказанного следует, что ABCD — квадрат с центром О.
Рассмотрим квадрат P1Q1R1S1 с центром О, стороны которого параллельны АВ и AD и PiQi = PQ (см. рис. 8).
Осуществим параллельный перенос вектором Q1Q2- При этом квадрат P1Q1R1S1 перейдет в квадрат Р' Q' R' S', который находится внутри пятиугольника ABQRD, так как, как нетрудно доказать, Q1Q2 = РР2 = SS^. Лемма доказана.
Воспользовавшись леммой, мы можем расположить квадрат со стороной а внутри квадрата со стороной 1 так, чтобы их стороны были параллельны и чтобы квадрат со стороной а снова не имел общих точек с квадратом со стороной b (рис. 9). Воспользовавшись леммой еще один раз, получим, что стороны квадратов со сторонами а и 6, не имеющих общих точек, параллельны
сторонам квадрата со стороной 1. Теперь нетрудно доказать, что а + + 6 < 1.
Сначала покажем, что окружность, описанная около правильного n-угольника со стороной 6, не имеет точек вне окружности, описанной около правильного n-угольника со стороной а. Действительно, предположим, что окружности пересекаются. На большей окружности выберем точку М так, чтобы она не была вершиной правильного n-угольника со стороной а и находилась внутри меньшей окружности.
Пусть заданы правильные n-угольники Ai А2 • • • Ап (^1^2 = ^) и В^В^ . . . Вп, причем точка М находится на малой дуге А1А2.
Имеем ZA1MA2 =—— и многоугольник А1А2 . . . Ап нахо-
п
дится внутри угла ZA1MA2.
Следовательно, многоугольник BiB2^.Bn также находится внутри этого угла.
Поэтому ZA1MA2 > m^ZBiMB^ = ^^——, что невозможно. г.З™
Обозначим радиусы этих окружностей через Ra и Rb, а центры этих окружностей — через О и Oi. Из сказанного ясно, что Ra ^ Rb + + ОО1, а поскольку О не находится внутри многоугольника В1В2 . . . ... Вп, то 001 > гь, где гь — радиус окружности, вписанной в В1В2. . • Вп.
mn naЬЬ
1аким образом, Ra > Rb + гь, или >1,
2 sin— 2 sin— 2tg —
aппп
откуда получаем, что b < .
2 cos2 —
2п
Введем обозначения А^ = а, В^ = b, С6 = с, вЙ = = d, Е ^ = е. Тогда нужно доказать, что
2(а2 + 62 + с2 + б? + е2 + (а + & + с + б/ + е) ) ^
> (а + b + с)2 + (Ь + с + df + (с + d-V е)2, а это неравенство эквивалентно очевидному неравенству
(а + с + е)2 + (а + d) + (6 + е) + (а + b + d + е) 0.
Имеем
У" тгМ А, ^ т^мАгвг = У' т^М^в + М0Х^в4 = г=1г=1г=1
ппп
= М Ao^^miei + ’^тХмАгвг = ’^miMoAt. г=1г=1г=1
Замечание. Равенство имеет место в том и только том случае, когда М = Mq.
Имеем
пп—1п—1
ггц М At^ тп^ Л4 А^в^ 1VI^77, ^ тп^в^ —
г=1г=1г=1
п — 1п — 1п — 1
= У^ mi(MlA0 + mX^ci = У2 mi A^ej = У^ п^Л„Л;. г = 1г=1г=1
Замечание. Равенство имеет место в том и только том случае, когда М = Ап.
Имеем
ппп
^^ TTl^C^C^-Vl ^ ^^z^z^z + l^z — ^ ^ ^г (^1^г+1^г + 1 ^г+1) ^г —
г=1г = 1г = 1
= У^тАгг=1= У^тАгг=1— ^ ^ ^г ^г ^г+1 ? г=1— ^ ^ ^г ^г ^г+1 ? г=1^ ^ ^г ^г ^г+1 • г=1^ ^ ^г ^г ^г+1 • г=1— ^ (^'г^г ^г ^г ~Ь ^'г ^г^г + 1 ^г) — ^ ^ П^г ^г (^г ^г ~Ь ^i^z+l) — г=1г=1
= У^тАг
г=1
= У^тАг
г=1
— ^ ^ ^г ^г ^г+1 ? г=1
— ^ ^ ^г ^г ^г+1 ? г=1
^ ^ ^г ^г ^г+1 • г=1
^ ^ ^г ^г ^г+1 • г=1
где тп^ — Tnn, ед — бп.
Таким образом, ^^ mjCjCj^
г = 1
Имеем
/ Л/ cos (ZAMР + ZBMPU12 ZAMP
cos ZAMP cos ZB MP < < cos2-,
следовательно, правая часть доказываемого неравенства не больше
/ZAMBZBMC
f 2 у МА • МВ cos -h 2 у МВ • МС cos -h
+ 2 VMA • МС cos+ 2 VMA • МС cosZAMC2ZAMC2
+ 2 VMA • МС cos
+ 2 VMA • МС cos
ZAMC
2
ZAMC
2
которое не больше MA-V M B-V МСтак как (МАх + МСх — МВх) ^ 0. Выберем точки Ах^Вх и Ci так, чтобы
\м!х\ = л/МА, \Шх\ = у/MB, \М^х\ = VMC, х ZAMBх ZBMC
(МАь МВх) = —-—,(МВЬ МС^ = —-—,
/ л j I \Z АМ С
^МАХ, МСх) = тг.
Имеем
yF^iR'i + X cosyF^iR'i + X cosZ Аг М Аг-\-12Z Аг М Аг-\-12(см. решение упр. 15.17). Пусть pi Необходимо доказать неравенство(см. решение упр. 15.17). Пусть pi Необходимо доказать неравенствоZAtMAw2ZAtMAw2г = 1,.г = 1,.п.п.
yF^iR'i + X cos
yF^iR'i + X cos
Z Аг М Аг-\-1
2
Z Аг М Аг-\-1
2
(см. решение упр. 15.17). Пусть pi Необходимо доказать неравенство
(см. решение упр. 15.17). Пусть pi Необходимо доказать неравенство
ZAtMAw
2
ZAtMAw
2
г = 1,.
г = 1,.
п.
п.
^ COS рх COS Рз • • • COS рп
где 0 < Ф1 < и 991 + у?2 + S + 99п = 7Г.
Последнее доказывается методом Штурма. Достаточно заметить, 7Г
ЧТО, если фг < — < то
COS (99г + 99. ) + COS (99г - 99_
COS фг COS <Pj = — <
COS (99г + Pj) + COS (pi + Рэ - —),.
,V।7Г \ 7Г
< — = COS I Pi + Picos —.
2\ J n / n
Пусть это точки АДж^,^,^), а вершины куба — точки (0,0,0), (0,1,0),..., (1,1,1).
Имеем Xi^pi^i 6 [0,1], г = 1,2,3. Следовательно,
Ах А^ + А2Аз + Аз А2 < 2 max (xi — жД2 +
+ 2 max (pi — pj)2 + 2 max (^ — ^j)2 С 6,
откуда min(AiД2, Д2Дз? A3Д1)V^-
Обозначим середины отрезков АВ и CD через М и N. Докажем, что АВ2 + CD2 + 2М N2 ^ 6.
Действительно, рассмотрим точки Д', В', С', D', М’, N', симметричные точкам Д, В, (7, D, М, N относительно центра куба. Рассмотрим параллелограммы D'CDC^ АВА'В' и MNM'N1. Поскольку сумма квадратов двух смежных сторон параллелограмма не больше квадрата большей диагонали этого параллелограмма, то CD2 + + NN'2 7 3 и АВ2 + ММ'2 3, следовательно, CD2 + АВ2 + + NN'2^MM'2 С 6, или СD2-\-АВ2-\-2МN2-\-2МN'2 < 6, откуда CD2 + АВ2 + 2MN2 < 6.
Таким образом,
6 > CD2 + АВ2 + 1MN2 ^ 3^/CD2 • АВ2 -2MN2, или 2 > CD • АВ ■ MN > AB CD-d.
Пусть пирамида ABCD находится внутри параллелепипеда объемом V. Из точки А проведем прямую, параллельную грани BCD. Эта прямая пересекает одну из граней параллелепипеда в точке Д1. Тогда Vabcd = Vaobcd-
Из точки Д1 проведем прямую, которая пересечет ребра параллелепипеда в точках Дз и А^. В этом случае
VaxBCd тах(Уд3всг, Vaobcd) = Va3bcd-
Если Дз принадлежит ребру Д5Д4 параллелепипеда, то
Vaobcd тах(Уд5всг, Va4bcdY
Таким образом, мы доказали, что существует такая вершина До параллелепипеда, для которой Vabcd ^ Vaobcd- Аналогично, существуют такие вершины Bq , Со и Do параллелепипеда, что
Vabcd Vaobcd Vaobocd Vaobocod Vaobocodo-
Остается заметить, что Vaobocodo равно ^ V или | V.
Нетрудно доказать, что куб ребром а и центр единичного куба находятся по разные стороны плоскости а, содержащей одну из граней куба с ребром а.
Рассмотрим два случая:
а параллельна одному из ребер единичного куба;
а не параллельна ни одному из ребер единичного куба.
В случае а) доказательство получается, если спроектировать куб с ребром а и симметричный ему куб относительно центра единичного куба на ту грань единичного куба, которая перпендикулярна плоскости а (см. упр. 15.11).
Пусть куб с ребром а находится внутри пирамиды ABC D, где А — вершина единичного куба и полупрямые АВ, AC, AD содержат
три ребра, выходящих из вершины А единичного куба, причем плоскость (BCD) совпадает с плоскостью а.
Рассмотрим плоскость (В' С' D'\ которая параллельна (BCD) и которой принадлежит одна из граней куба с ребром а, причем В' 6 Е АВ, С' Е AC, D' Е AD. Воспользовавшись упр. 15.25, получим, что куб с ребром а можно вложить в пирамиду ABC D так, что одно из его ребер будет принадлежать, например, отрезку В' С'.
Теперь рассмотрим плоскости 3 и 3' которые содержат грани куба с ребром а и перпендикулярны прямой В’С'. Воспользовавшись тем фактом, что квадрат, находящийся внутри прямоугольного треугольника, можно расположить так, что две смежные стороны квадрата находятся на катетах треугольника (доказательство этого можно получить, используя леммы из упр. 15.25 и упр. 15.11), получим, что куб с ребром а расположен внутри пирамиды ABCD, причем одна из граней куба принадлежит грани АВС. Повторяя эти рассуждения еще один раз, получим решение задачи.
На плоскости имеем точки X и Y. Возьмем произвольную прямую /о- Пусть XY составляет с прямой Iq угол а. Возьмем на прямой /0 некоторую точку О. Обозначим через 1^ образ прямой /о, получающийся при повороте плоскости вокруг точки О против часовой стрелки на угол у?. Проекции точек X и Y на прямую 1^ обозначим Х^ и Y^ соответственно. Очевидно, что X^Y^ = = XY\ cos(tp — q)|.
Отсюда получаем 7Г7Г7Г
j X^Y^ dtp = j XY|cos (tp — a)| dtp = XY j |cos (tp — a)| dtp. ooо
Справедливо равенство
ag(a)
$f ($ (^s'| f d0.bg(b)
Положив в нем а = тг, 6 = 0, g (tp) = tp — a, f (3) = |cos3V получим
XY j |cos (tp — a)| dtp = XY j |cos/3|cZ/3.0— a
Поскольку интеграл периодической функции | cos3\ с периодом тг на отрезке длины тг не зависит от положения этого отрезка, то
XY j |cos/3| d/3 = XY J|cos^| d/3 = 2XY j cos (3 d(3 = 2XY.
— a00
Получили
j X^Y^ dip = 2XY.(15.2)
о
Теперь докажем, что для произвольных треугольников АВС и АуВуСу имеет место неравенство
АВ + ВС + С А + А1В1 + ВуСу + СуАу <
ААу + АВу + АСу + ВАу + В By + ВСу + САу + СВу Т ССу.
Доказательство последнего сначала получим в том случае, когда точки А, В, (7, Ay, By Су лежат на одной прямой. Поскольку неравенство симметрично относительно троек точек А, В. С и Ay By Ci, то можно считать, что точка В находится между точками А и (7, а точка By — между точками Ау и Су. В этом случае р = 2 АС + 2 АуСу, и согласно неравенству треугольника А С ^ АВу + ВуС, АуСу ^ АуВ + ВСу, следовательно,
АС + АуСу < АВу + ВуС + АуВ + ВСу.
Аналогично имеем АС + АуСу (ААу + АСу) + (САу + (7(71). Таким образом,
Р = (АС + АуСу) + (АС + АуСу) < (АВу + ВуС + АуВ + ВСу) + + (ААу + САу + АСу + (7(7i) < Q, т. е. р < Q.
Теперь возьмем какую-нибудь прямую /о и точку О на ней. Обозначим через А у?, By?, (7у?, Aiy?, Biy?, (7iy? проекции точек А, В, (7, Ai, Bi, (71 на прямую /^, получающиеся при повороте плоскости вокруг точки О против часовой стрелки на угол у?. В этом случае, согласно неравенству полученному выше, имеем
р (у?) = А^Вр, + В(рС(р + С(рА(р + Ау^Ву^ + Ву^Су^ + Су^Ау^
А^рАу^р + А^Вур; + Ар)Сур) + В^А1^ + Вр)Вур) + Вр)Сур) +
+ Ср)Аур) + Ср)Вур) + (7^(71^ = Q (у?). Если p(ip) ^ Q(p)^ то
j Р(^) Д1Р < ^ j QV^ dlP-(15-3)
оо
Из (15.2) и (15.3) имеем
АВ + ВС + АС + ATBX + ВхСх + ATCi <
< ААТ + АВх + АСх + В Ах + ВВх + ВСх + С Ах + СВг + ССх-
Проведем координатные оси так, чтобы они проходили через стороны данного квадрата. Обозначим через /Дж) Длину отрезка, получающегося при пересечении перпендикуляра к оси Ох в точке х и г-го круга (если пересечения нет, то fi(x) = 0). В этом случае Si = 1
= J fi (ж) dx^ где Si — площадь г-го круга. Следовательно, о
1
Sx + S2 + • • • + S1988 = j (/1(ж) + • • • + /п(ж)) dx -.
О
Ясно, что существует такое число жо, что /Джо) + . . . + /Д-То) - (если такая точка не существует, то /1 (ж) + . . . + /1 (ж) < | и 1
j (Л (ж) + ... + /1 (ж)) dx <^у О
Именно для этой точки жо сумма длин отрезков, получающихся при пересечении перпендикуляра к оси Ох в точке жо и заданных
1
Достаточно решить задачу для треугольника АхВхСх- Выделим два случая (рис. 10 и рис. 11).
Рассмотрим рис. 10. Произведем поворот вокруг вершины С 2 на такой угол, при котором одна из сторон с вершинами С^ В^ А^ многоугольника М впервые станет параллельна прямым Л1В1,В1(71 и Д1С1 соответственно. Пусть и Е [^1,^2], причем их и и^ — значения и для двух описанных выше поворотов (в положительном и отрицательном направлениях). Обозначим через Ми образ, который получается при повороте многоугольника М вокруг С 2 и последующих преобразованиях подобия с центрами Ах и Вх который снова вписан в треугольник АхВхСх-
Понятно, что какие-нибудь стороны многоугольников М^ и М^ будут находиться на одной из сторон треугольника АуВуСу. Пусть С2В2 = три), А2В2 = при).
Докажем, что функция /(и) на отрезке [«1,112] принимает наибольшее значение в токах ну или и^.
Действительно, имеем
. _._ mHu^sinu nf(u) . z х
AiCi = AiB2 + B2Ci =+ Ч-^81п(^ - и),
sin asin 7
откуда
xAi Ci sin a sin уAiCi sin a sin у
HIH = ..—— = —
m sin и sin ^ + n sin(y? — u) sin a asin^upi)
где a, p и pi — постоянные. Так как при и Е [ui, ^2] /(м) > 0, т. е. sin(t4 + y?i) > 0, то sin(t4 + y?i) принимает свое наименьшее значение на отрезке [161,162] в точках ui или 712-
Случай на рис. 11 доказывается аналогично.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 1. Докажите, что периметр этого треугольника не меньше 6 л/3.
Докажите, что среднее арифметическое длин сторон выпуклого n-угольника меньше среднего арифметического длин его диагоналей, где п ^ 4.
Задан выпуклый четырехугольник с единичной площадью. Докажите, что внутри этого четырехугольника можно выбрать четыре такие точки, что площадь треугольника, образованного любой тройкой
1
этих точек, будет не меньше -.
Докажите, что на разных сторонах треугольника с площадью S существуют такие три точки, которые являются вершинами правиль-
< S
ного треугольника с площадью не больше —.
Площадь треугольника АВС равна 1, причем точки D, Е находятся на сторонах АВ и А С соответственно. Пусть отрезки BE и СD пересекаются в точке Р. Докажите, что Spde 5 ^/2 — 7, если Sbced =^Spbc-
Через точку пересечения медиан треугольника АВС проведена прямая, которая пересекает стороны ВС и А С в точках Р и Q,
2
соответственно. Докажите, что Smpq ^Sabc^ гДе М — середина стороны АВ.
Пусть Ai, Bi, Ci —точки, симметричные вершинам А, В и С треугольника АВС относительно прямых В С, А С и АВ соответственно. Докажите, что SaiBiCi < 4Sabc-
Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что у/Sabo + V^coo < V^abcd-
Биссектрисы внутренних углов А, В и С треугольника АВС второй раз пересекают окружность, описанную около АВС в точках Ai, В\ и (71 соответственно. Докажите, что AAi + ВВ^ + СС\ > > АВ + ВС + АС.
Пусть h — наименьшая высота треугольника АВС. Докажите, что внутри треугольника АВС можно расположить по крайней мере
29 квадратов со стороной — так, что никакие два из них не будут иметь общих внутренних точек.
На стороне АВ треугольника АВС вне его построен квадрат с центром в точке О. Пусть М и N— середины сторон В С и А С.
Докажите, что ОМ + ON (ВС + А (7).
Пусть та, ть и тс — медианы остроугольного треугольника со сторонами а, 6, с, а расстояния ортоцентра от вершин треугольника
2 । >2 ।2
111II1 И Т О Т С
равны da, db, dc. Докажите, что mada + mbdb + mcdc.
Пусть М — внутренняя точка треугольника А В С, причем прямые АМ, ВМ, СМ пересекают стороны ВС, АВ и А С в АМ ВМ СМ о точках Р, Q и К соответственно. Докажите, что8.
Радиус окружности, вписанной в равнобочный треугольник АВС (АВ = ВС), равен г. Докажите, что, АВ > Зг.
Диагонали А С и BD выпуклого четырехугольника ABC D пересекаются в точке О. Обозначим центры окружностей, описанных около треугольников АО В и COD, через Р и Q соответственно. иАВ ^CD
Докажите, что PQ > -.
Пусть окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон ВС, АС и АВ в точках Ai, Bi, Ci соответственно. Пусть длины малых дуг ВуСу, АуСу и АуВу равны /1, /2 и ^з
пВС AC АВ . о V5
соответственно. Докажите, что —1—-1—-—9 ——.
/1/2тг
Известно, что прямоугольный треугольник АВС можно по- 3 л/З крыть двумя единичными кругами. Докажите, что S/^abc—2—'
На плоскости заданы 111 единичных векторов, сумма которых — нулевой вектор. Докажите, что из этих 111 можно выбрать 55 таких векторов, модуль суммы которых будет не больше 1.
Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Докажите, что произведение боковых сторон трапеции не меньше произведения оснований.
В треугольнике АВС АМАС = 15°, где М — середина стороны ВС. Докажите, что А АВ С105°.
В круге диаметром 5 заданы десять точек. Докажите, что расстояние между какими-нибудь двумя точками из этих десяти не больше 2.
Прямые, содержащие боковые стороны АВ и CD трапеции ABCD, описанной около окружности, пересекаются в точке М, а диагонали АС и BD — в точке N. Докажите, что 90° < AAN D < < 90° + | ЛАМО.
Известно, что в четырехугольнике ABCD, описанном около окружности, наибольшая сторона равна AD. Прямые, содержащие стороны АВ и CD, пересекаются в точке М, а диагонали А С и BD — в точке N. Докажите, что 90° ^ AAN D ^ 90° + | AAMD
Известно, что треугольник АВС разбит на 1995 таких треугольника, что никакие два из них не имеют общих внутренних точек и в каждом из них один угол больше 120°. Докажите, что треугольник АВС можно также разбить на 1994 таких треугольника.
В выпуклом шестиугольнике ABCDЕF дано, что АВ = ВС, CD = DE, ЕЕ = FA и ААВС^АСDE^AEFА = 360°. Докажите, что Ra + Rc + Re ^ Р (см. обозначения упр. 15.10).
16 Н.М. Седракян, А.М. Авоян
Докажите, что из всех выпуклых четырехугольников со сторонами а, 6, с, d наибольшую площадь имеет тот четырехугольник, около которого можно описать окружность.
Известно, что прямоугольник ABCD можно вложить в прямоугольный треугольник так, чтобы сторона АВ находилась на гипотенузе, а также так, чтобы сторона AD находилась на гипотенузе. Докажите, что этот прямоугольник можно вложить в прямоугольный треугольник так, чтобы одна из вершин прямоугольника совпадала с вершиной прямого угла треугольника.
Докажите, что из треугольников, вписанных в окружность радиусом R, равносторонний треугольник имеет наибольшие:
площадь;
периметр;
отношение площади к полупериметру (т. е. радиус вписанной окружности);
отношение площади к квадрату полупериметра.
Известно, что прямоугольник со сторонами n, b находится внутри прямоугольника со сторонами с и d и что тах(п, Ь) > > тах(с, d). Докажите, что 2ab < cd.
В выпуклом шестиугольнике ABCDЕF противоположные стороны параллельны. Обозначим середины сторон АВ, ВС, CD, DE, ЕЕ, FA через Ay, By, Су, Dy, Еу и Еу соответственно.
Докажите, что:
из отрезков AyDy, ВуЕу, СуЕу можно построить треугольник;
|Sabdf < Sy С Sabdf, где Si — площадь треугольника со сторонами AyDy, ВуЕу и СуЕу.
Докажите неравенство
п / п \ 2/ п \ 2 п п
z=l\ ^г = 1 '^г = 1 'г=1 г=1
где |fe| < 2.
Докажите, что если а, [3,^,5 >0 и а + Д + 7 + 5 = тг, то
sin 2а + sin 2Д + sin 27 + sin 25 > 16 sin a sin Д sin 7 sin 6.
sin 2a + sin 2Д + sin 27sin 2a + sin 2Д + sin 27Докажите неравенство
sin 2a + sin 2Д + sin 27
sin 2a + sin 2Д + sin 27
+ C0S (s + s) +COS <8 + s) ’
где а^ 3^ — углы некоторого треугольника.
Докажите, что если 0 < сц < ^ г = 1, 2,.. . , п, и cos2 од + + . . . + cos2 Qn > 1, TO Qi + a-2 + . . . + an < (n - 1).
Координаты всех вершин остроугольного треугольника — целые числа, а стороны не меньше д/б5. Какую наименьшую площадь может иметь такой треугольник?
Внутри треугольника АВС взята точка М. Докажите, что сумма углов МАВ^ МВС и MCA больше меньшего угла треугольника и меньше суммы двух других углов.
а) Треугольник А^В^Сх подобен треугольнику АВС^ и его вершины лежат на разных сторонах последнего. Докажите, что
г2
ЗлуВуСт ~^$АВС-
где г и R — радиусы окружностей, соответственно вписанных в треугольник АВС и описанных вокруг треугольника АВС.
б) Докажите, что R ^ 2 г. где R и r — радиусы окружностей, соответственно описанных вокруг треугольника АВС и вписанных в треугольник АВС.
Докажите, что не существуют пять таких векторов, что угол, образованный любыми двумя из них, тупой.
Докажите, что если выпуклый n-угольник, вписанный в окружность, содержит центр окружности и длины его сторон меньше длины вписанного в эту окружность правильного пятиугольника, то площадь пятиугольника меньше площади п-угольника.
Докажите, что площадь треугольника, вписанного в окружность, меньше половины площади этого круга.
Докажите, что сумма расстояний центра тяжести треугольника от сторон треугольника не меньше трех радиусов вписанной окружности.
Докажите, что периметр остроугольного треугольника больше 4/?, где R — радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Докажите, что для любого остроугольного треугольника с площадью 1 можно найти прямоугольный треугольник с площадью не больше з^/З, в который можно вложить данный треугольник.
В квадрате со стороной 50 задана ломаная такая, что для любой точки А внутри квадрата существует какая нибудь точка В
на ломаной, что АВ С 1- Докажите, что длина ломаной не меньше 1248.
В треугольной пирамиде ABCD AD2 + ВС2 = ВD2 + АС2 = = AB2^CD2. Докажите, что какая-нибудь грань пирамиды является остроугольным треугольником.
Докажите, что площадь любого сечения куба плоскостью, проходящей через центр куба, не меньше площади грани куба.
В четырехугольнике ABCD дано АВ = 3, ВС = 2, CD = 4 и AD = 7. Точки Л/, N, К, Е являются серединами сторон АВ, ВС, CD и AD соответственно. Найдите наибольшее значение суммы MK^NE.
Решите предыдущую задачу при условии АВ = а, ВС = Ь, CD = с, AD = d.
Для векторов а, Ь, с имеет место неравенство
л -А5
cos(a,z) + cos(b,j) + cos(e,&) > -.
Докажите, что a,b, с не параллельны одной плоскости.
Заданы 101 прямоугольник, стороны которых — целые числа, не превышающие 100. Докажите, что из этих прямоугольников можно выбрать прямоугольники А, В, С такие, что их можно вложить друг в друга, т. е. А С В С С.
Докажите, что площадь правильного треугольника, вписанного в другой правильный треугольник площадью S не меньше 0,255.
Около окружности описан четырехугольник ABCD (AD||ВС). Докажите, что АВ + СD ^л/§, где S — площадь четырехугольника ABCD.
Пусть S = а + 6 + с и t = ab + Ьс + са, где а, b и с — длины сторон некоторого треугольника. Докажите, что 3t ^ S2 < 4t.
Докажите неравенство
Ism - +sm- +sm- I с tg — + ctg- + ctg- > \ZZ J \ ZZZ /
, , 2
ol /В /7
cos - + E cos - + E cos -
где a, 3, ^ — углы некоторого треугольника.
Докажите неравенство
1sin Asin Вsin С
2(а — Ь)(а — с) + (Ь — а^Ь — с) (с — а^с — 6)
где а, Ь, с — длины сторон треугольника АВС.
Докажите следующие неравенства:
(а2 + 62 — Л2)1/2 + (^2 + с2 — ^а)1/2 + (с2 + «2 — ^б)1/2 С 6Д; 35
- (ab + Ьс + са) ^ тать + тьтс + тста ^ - (ab + ЬсА- са);
х abсгт
777" + 7Г" V
lb + lc 1а + 1с 1а + 1ь
х la . lb . lc x 3
b + с a + c a + b 4
Здесь la — биссектриса угла А треугольника co сторонами a,b,c, a ha и ma — высота и медиана, опущенные на сторону а соответственно.
На верхней стороне параллельной оси Ох любого из п прямоугольников, стороны которых параллельных координатным осям, построены равные им прямоугольники. Докажите, что площадь фигуры, получающейся при объединении этих 2п прямоугольников, не больше 25, где 8 — площадь фигуры, получающейся при объединении п прямоугольников.
На плоскости заданы 2п точек, никакие три из которых не принадлежат одной прямой. Докажите, что существуют по крайней мере п прямых таких, что каждая из них проходит через две из заданных точек и что по каждую сторону от нее имеется п — 1 точек.
На плоскости заданы точки Ai, А^,. . . , Ап. Докажите, что:
существует прямая I такая, что сумма ^^ mjhj(l) минимальна, г=1
где через /гД/) обозначено расстояние точки Ai от прямой /, а т^ — постоянные положительные числа;
прямая I совпадает с одной из прямых AiAj.
В выпуклом шестиугольнике ABCDЕF известно, что АВ = = ВС, CD = DE, EF = FA.
Докажите неравенствоДокажите неравенствоВС DE FA3
Докажите неравенство
Докажите неравенство
"BE + "DA + ЁС2’
Пусть внутри треугольника АВС задана точка М. Докажите, что
тЦМА, МВ, МС) + МА + МВ + МС < ААг + ВВг + ССЪ где Ai, Bi, Ci — середины сторон ВС, АС, АВ соответственно.
Пусть 01 и О2 — центры окружностей, вписанных в треугольники AyBiCi и А^В^С^ соответственно, a pi и р<2— их периметры. Докажите, что
Pl + Р2Pl + Р2О1О2
Pl + Р2
Pl + Р2
Ai Л2 + BiB2 + С1С2 2max(pi,p2)’ где 01 и О2 не совпадают.
§ 16. СТО ИЗБРАННЫХ НЕРАВЕНСТВ
Докажите следующие неравенства.
х^ + ... + х^ > х^ + ... + х„, где Ж1 . . . хп ^ 1.
«1 + . . . + ап < п, где си cos х + а^ cos 2х + . . . + ап cos пх ^ —1 для любого значения х.
ж2 + ж3 + . . . + хп > 2Ж + Зж + ... + пж , где х ^ п. п ^ 2, n е N.
0,785п2 — п < ^/п2 — 1 + з/п2 — 22 + . . .
. . . + ^п2 — Дп — I)2 < 0,79п2, где n Е N.
тах(ж, у, z) — тт(ж7 y^z) ^ - у а2 — 36, где х + у + z = а, ху + yz + zx = 67 ж7 у, Z > 0.
(С1 + ...+ ап)(^-1) < У2а^+?77+^а^, где ai,...,an> > 0.
яУ1 + ... + жУ1 (n-l)(^- + ... + ^Y где —Д + ---
. . . Н= 1, к 2, к Е N, Ж17. . . 7 жп > 0.
+ $п
ху + уж > 1, где х^ у > 0.
max П |ж — аД ^ 108n max П |ж — аД. 0^я<2^10<ж<1ДД
(1 — рп)т + (1 — qm)n 1, где р + q = 1, p^q^ ^^ т^т Е N.
^^ ^д^ <1, где p.k.qjEN, kA-l^pA-q.
1О ( ai V ।।V \ n
+ . . . + > где
\ a2 + . . . + an /\ai + . . . + an-i /^ — 1)
n ^ 2; 0 < к < 1 и di7. . . 7 an > 0.
(ab-\- bc-E ac) |1 — ^^| < ^ab — || + |&c— |-| + |ac — ^|, где a, b, c > 0.
n(l + a2n) ^ a2n-1 + a2n-2 + . . . + a2 + a7 где n E N.
y/Vluvw + n2 + v2 + w2 ^ 1, где n7y7w^O7 и + ж + w = 1.
(
а b с\ 7111,.,_
у Н1— ) ^ а-\-Ь-\-с-\h т + - , где abc = 1, а, 6, с > 0.
b с а)abc
17111<111
+ а + b 1 + b + с 1 + а + с 2 + а 2 + b 2 + с1 ^ abc = 1, а^Ь, с > 0. 2 zх
a-\-b-\-c-\-d- (^ab + ас + ad + be + bd + cd), где а, 6, с, d 0
и 2 (ab + ас + ad + be + bd + cd) + abc + abd + acd + bed = 16.
(
n \ P
г=1
л/a — 1 + ^b — 1 + ^/c — 1 < ^abc + с, где a, b, c 1.
Sp + Sq - Spq < 1, где S„ = 1 + ^ + ... + 1.
a^ ^ 0 (г = 1,. . . , n), где ai = an = 0, a^-i + a^i < 2а/. (к = 2,. . . n — 1).
a4 + b4 + c4 — 2 (a2b2 + b2c2 + a2c2) + abc (a + b + c) > 0, где а, 6, c ^ 0.
a4 + b4 + c4 — 2 (a2b2 + b2c2 + a2c2) + 3 ^abc)4^0, где a, b^
c > 0.
a/7 - — > —, где - — > 0, m e Z, n € N. v n mnv n
з/а2 + «2 + аз + \AF+^F+^4 + • • • + V^F+^F+^2 \/^ (al + • • • + an)«
(5di + 4«2 + 2a3) ^/3
-\Уa2 + 2^23 лУa^ Ч- 2a^ + 7 ^У^а2 + a^-
E x, arctg Xi ^ In 2, где Xi ... xn = 1, Xi,..., xn > 0.
где n > 1, n € N.где n > 1, n € N.29 Vl^_ < 13-... (2n-l)y/3 1
где n > 1, n € N.
где n > 1, n € N.
2 yTi 2 • 4 • . . . • 2n 2 ^/27
(ai - a2) («i - a3) (ai - a4) (ai - a5) +
+ («2 - «1) («2 - аз) («2 - a4) (a2 - a5) + ...
... + (a5 - ai) (a5 - a2) (a5 - a3) (a5 - a4) ^ 0.
n(n-l)f 11111
(1h . . . 41h . . . 4h
2 yaia^ а^азaian а^а^а^а^
1\ V 1111
• • • 4) ^ 4 ( ——1—h . . . 4—1—h . . .
G-n—idn /\ai + а2 oi + азсц + ап а2 + о-з
11 v
• • • 4h • • • 4)
ti-2 Т апО-тг —1 + Отг /
где аь ..., ап > 0.
| V2 - ^| > ^, где p€Z, q&N.
ат + ап тт + п”, где а = ——m Пп—, т, п € N. т + п
34.34.ао + . . . + ап 611 + ... + Отг-1 > ЙО + • • • + Йтг-1 Й1 + . . . + ап п + 1п — 1пп
34.
34.
п > 1, ai > 0 (г = 0,1, . . . , n), а[_да^А < а? (г = 1,. . . , п — 1).
^3 (ab -V bc-V- ас) (9 (а + b + с)2 + ab + Ьс + ас) <
С 9 ((d + Ь + с)3 + abc),
где а, 6, с 0.
sin2«i + . . . + sin2ап ^ ^, где «1,. . . , ап > 0, «1 + . . . . . . + OLn = 7Г.
(а + b + Зс) (а + ЗЬ + с) (3d + b + с) + 8 (ab + Ьс + ас + abc)
где а^Ь^с > 0, ^/a + ^/5 + ^/с = 1.
5? ai > J (1 + ^ + • • • + ^), гДе «1,..., а„ > 0 и У^а; > г=1г=1
> л/к (к = 1,. . . , п).
sin (ж1 + ж2) + sin (ж2 + ж3) + . . .
. . . + sin (xn_i + хп) + sin (жп + Ж1) > 2, где п 3, n 6 N, Ж1,. . . , жп > 0, xi + • • • + хп = ^-.
а3 + 63 + с3 > d2 (2с — Ь) + 62 (2d — с) + с2 (26 — d), где а^Ь^с >
( —di + d2 + d3 + d4) (di — d2 + d3 + d4) (di + d2 — d3 + d4) X
где ai, а^^ аз, а4 > 0.где ai, а^^ аз, а4 > 0.44.44.^^ак^к^^ак^кс В (|di| + 2\ап\), где |&i + • • • + Ьк\ С В (к =с В (|di| + 2\ап\), где |&i + • • • + Ьк\ С В (к =k=i= 1,. . . , n), ai ^ Абеля).k=i= 1,. . . , n), ai ^ Абеля).«2 С • • • С ап или ai ^ а^ ^ . . . ^ ап (неравенство«2 С • • • С ап или ai ^ а^ ^ . . . ^ ап (неравенствоaiai45.^ а^45.^ а^^^акЬк к=1^^акЬк к=1< ВаТ, где |^i + ... + Ьк\< ВаТ, где |^i + ... + Ьк\< В, (к = 1, . . . , п)< В, (к = 1, . . . , п)ии^ . . . ^ ап ^ 0 (неравенство Абеля).^ . . . ^ ап ^ 0 (неравенство Абеля).
где ai, а^^ аз, а4 > 0.
где ai, а^^ аз, а4 > 0.
44.
44.
^^ак^к
^^ак^к
с В (|di| + 2\ап\), где |&i + • • • + Ьк\ С В (к =
с В (|di| + 2\ап\), где |&i + • • • + Ьк\ С В (к =
k=i
= 1,. . . , n), ai ^ Абеля).
k=i
= 1,. . . , n), ai ^ Абеля).
«2 С • • • С ап или ai ^ а^ ^ . . . ^ ап (неравенство
«2 С • • • С ап или ai ^ а^ ^ . . . ^ ап (неравенство
ai
ai
45.
^ а^
45.
^ а^
^^акЬк к=1
^^акЬк к=1
< ВаТ, где |^i + ... + Ьк\
< ВаТ, где |^i + ... + Ьк\
< В, (к = 1, . . . , п)
< В, (к = 1, . . . , п)
и
и
^ . . . ^ ап ^ 0 (неравенство Абеля).
^ . . . ^ ап ^ 0 (неравенство Абеля).
х («]. + «2 + аз - а4) < 8 (а^а^ + а^з),
к кк т , к/
« Е Е^ « тМЕО (ЕЧ.) ■ где „ > 1. т=1 п=\sm п=1т=1
Р
—I— = 1, ai, bi0, г = 1, . . . , п (неравенство Гильберта).
(ai ++ ак\Р / р \р р
Х(к) ^(^т/ Ха^где р х’ О1’а2’--- к=1к=1
... , ап ^ 0 (неравенство Харди).
(X ^/е^ ^ ^" (Е<Е к2а2к^ (неравенство Карлесона). к=\к=1к=1
a) bi ^ л/Ь^- б) b^. ^ bk_ibk^i, где к = 2,. . ., п - 1, Ьк = 1
— -ДГ&1&2&3- • -ak-iak + «1 «2• • -ak-iak4-i + . . . + aia^. . .ak_ian + . . .
. . . + an_k4_ian_k^2 . . . ап (к = 1,...,п) и ai,. . . , ап > 0 (неравенство Ньютона).
^/Ь^ ^ к^"^/Ьк4-1 (к = 2,. . . ,п — 1), где Ьк определены в предыдущей задаче (неравенство Мерсенна).
1 ^ X лж«= < ^ где n е N,
у 1 + Жо + . . . + Хг-1 ^Хг + . . . + Ж„
жд = 0, Xi > 0, г = 1,...,п и У^ Xj = 1.
г=1
52.% > 0.52.% > 0./111\9
52.
% > 0.
52.
% > 0.
(хи + уz + xzA 5- Н5- Н5- ) > где х, у,
\(ж + у) (у + z) (x + z) /4
21/241/4 ... (2")1/2” < 4, где n € N.
Ип — 2atx^
2 > XiX^ ^ + > , где п > 2, сц, . . . , ап. ху. . . .
J п — 11 — ai
... , хп > 0 и «1 + . . . + ап = Ху + . . . + хп = 1.
N
^^ «2^3 • • • ^n < 1? где N ^ 2 — натуральное число, ап = п=2
= р^1 + . . . + р^\ а ру р2^ . . • , Рк — все различные простые делители натурального числа п.
56. £ V^г (^п+1^г)г=156. £ V^г (^п+1^г)г=1где ху +где ху +
56. £ V^г (^п+1^г)
г=1
56. £ V^г (^п+1^г)
г=1
где ху +
где ху +
+ ж2 + • • • + хп = Жп+1 И Ху, Х^ • • • , хп > О
а2х ++ с2^ > d2, где x,p,z > 0, — + - + - < 1 и
X р Z
a, b, с, d — стороны некоторого четырехугольника.
Су^ < 52 Ж2< (Ж2г+1 - ®2г-1) <, ГДв 0 = Ж1 < Ж2 < . . .
г=1
. . . < Ж2п+1 = 1 И Жг + 1 — х^ ^ h, г = 1, 2, . . . , 2п.
I / (.ТП Ч- nV. ,2
2 • п!< кт + т) , где п т и т.п Е N.
(т — n)\ v7
л/а -\- b — с + л/b -\- с — а + л/с -\- а — b л/а + л/b + л/с^ где а^Ь^ с — стороны некоторого треугольника.
loga (loga 6) + log& (log6 c)+logc (logc a) > 0, где 1 < a < b < c.
^р^х-у^ < p(x2)p(y2), где p (ж) = aoxn + a^”-1 + ... + an, ^0 ? ^1, • • • ? ^n 0*
51—5о1—оо С ——, где a. b.
а6 + о + abc о + с + abc с + tz + abc abc
с > 0.
I l I L гДе a^bEZ^ a b.
(p3 + x) (^3 + p) (x3 + ^) > 125ж?/^, где x^ p^ z ^ 2.
111 \1 /1 11 \
661 -(1 + о + • • • + 57 >_ 9 + 7 + -- - + 7_b гДе n E
n + 1 \32n — 1/ n \242n/
E N и n ^ 2.
444 х
£х^ max I ^2 жй ^2 — р где ^1,Ж2,жз,Ж4 > 0 и г=1^г=1г=1'
Ж1Ж2Ж3Ж4 = 1.
ж у69.число.70.ж у69.число.70.^т^Гр^^ > Vх - ^ + Vn - ^ + \А - ГДе x^y^z > 1 и h = 2.
ж у
69.
число.
70.
ж у
69.
число.
70.
х — х—т ^ 0, где х — отличное от 0 действительное ж х
tg Q0 tg ад . . . tg ап ^ nn+1, где а0, «х, . . . , ап Е (о, ^ и
tg ~ ^J + tg+ . . . + tg> П - 1.
VHUlIII^. 1998 Где n > 2,, xn > 0 и
n l
111 _ 1
Xi + 1998 + ж2 + 1998 + ' ' ' + xn + 1998 “ 1998'
111
x0 Hh . . . Hh . . . H^ xn + 2n, где
Жо Ж1Ж1 Ж2Х^г — 1 X
73.73.Xq > Xx /*.../* Xn.
73.
73.
-^ 1, где a.b.c > 0. b -|- 2c c -|- 2a a -|- 26
an^ гДе < «i + ctj при любых
zj = l,2,...П
u2
nn+2 + un 2 Hr^-1-, где n E N и Ui = 1, u^ = 2, nn+2 = 1,2,...
max (di, . . . , an) 2, где n > 3, ax + . . . + an n и a^ + . . .
7 (pq + qr + rp^ ^ 2 + 9pqr, где p, q, г ^ 0 и p + q + r = 1.
33
Ж1Ж2
Ж2 + ж| + Ж4 + Ж5 + Жб + 5 Ж1 + ж| + Ж 4 + Ж5 + Жб + 5
Ж1 + Ж2 + Хз + ж4 + Ж5 + 55 ’
где 0 < Ж1, ж2, • • • , ж6 < 1.
(а + 36) (6 + 4с) (с + 2а) > бОабс, где О С а < 6 < с.
ж3 + р3 < 2, где х^ у > 0 и ж2 + р3 > ж3 + у4.
^ + ^ + ^ хк + ук + zk, где к 2, к € N и x,y,z>0, X у Z
xyz = 1. - НV-^xA-yA-z. xyz
где Xi <где Xi <82 т2 + т2 4-+ т2 > (Зи + Ш^ + ^г + .-. + Лп)
где Xi <
где Xi <
< х2 < . . . < хп и жх, . . . , хп Е N.
83.83.п — 1 + Х1 п — 1 + Ж2 ' ' ' п — 1 А- хпп — 1 + Х1 п — 1 + Ж2 ' ' ' п — 1 А- хп< 1, где хъ х2, • • .< 1, где хъ х2, • • .
83.
83.
п — 1 + Х1 п — 1 + Ж2 ' ' ' п — 1 А- хп
п — 1 + Х1 п — 1 + Ж2 ' ' ' п — 1 А- хп
< 1, где хъ х2, • • .
< 1, где хъ х2, • • .
. . . , Хп > О И ЖХЖ2 • • • хп = 1.
111
.1h . . . Н1h . . . Н, где ху,..., хп, yi, . . . Ж1 Ж2хпУ! у2Уп
,уп > ^ Х1У1 < х2у2 < . • . < Хпуп и Xi А" х-2 А" . . . А- Хк ^ У1 А"
+ У2 + • • • + Ук, к = 1,2,... ,п.
а3 + Ь3 + с3 > а + Ь + с, где а, 6, с > 0 и ab + Ьс + ас < Babe.
52 (l°t ~ + + 16< ~ М) < 52 1а*“М l^Z<J^nl<Z,J<n
а^а^ + а2«з + • • • + «n«i ^ «2«1 + «з«2 + • • • + «1«„, где ах < + а2 + . . . + ап.
х^у + y^z + z^x—, где ж, у, z О и х + у + z = 1.
1+1+ —где а,Ь,с > О и а2 + 62 + с2 = 3.
1 + ab 1 + be 1 + са 2
2г 22q
аbс3
* (а + Ь) (а + с) (6 + с) (6 + а) (с + а) (с + Ь) 4’ ГД6 а' ' с > О.
р (ж2 + у2) р (^ху^ где р (t) = t2 — 4t и xDy 1. + Q\ п
n! < () , где п Е N.
\ 16 /
п+1п
1 - X1 - X Г
— > Сх, где О < ж < 1.
п+1п V 1
94.94.д/п < 2, где пд/п < 2, где п>2, п Е N.>2, п Е N.
94.
94.
д/п < 2, где п
д/п < 2, где п
>2, п Е N.
>2, п Е N.
л/a2 A- ab А- Ь2 А- л^b2 А- Ьс А- с2 + с2 А- са А- а2
3 ^ab А- Ьс А- ас, где а, Ь, с > О.
О < а <О < а <7Г.7Г.sin па ^ О, где п Е N, sin а + sin2a + . . . + sin па < О и
О < а <
О < а <
7Г.
7Г.
sin (n + 1) а О, где п € N, sin а + sin 2а + . . . + sin па ^ О
и О < а < л.
• 2• 3 •> sin asm —sin• 2• 3 •> sin asm —sin, где О <, где О <99- Ек=199- Ек=1cos (п — к) хcos (п — к) хcos (п + к) хcos (п + к) хккк=1к=1кк6, где п > 2, п Е N.6, где п > 2, п Е N.100 Ек=1100 Ек=1cos (п — к) хкcos (п — к) хкcos (п + к) хcos (п + к) хк=1к=1кк2, где п ^ 2, п Е2, где п ^ 2, п Еsin 2/3 sin ^ sin а < 3 и а + /3 < л
• 2• 3 •
> sin asm —sin
• 2• 3 •
> sin asm —sin
, где О <
, где О <
99- Е
к=1
99- Е
к=1
cos (п — к) х
cos (п — к) х
cos (п + к) х
cos (п + к) х
к
к
к=1
к=1
к
к
6, где п > 2, п Е N.
6, где п > 2, п Е N.
100 Е
к=1
100 Е
к=1
cos (п — к) хк
cos (п — к) хк
cos (п + к) х
cos (п + к) х
к=1
к=1
к
к
2, где п ^ 2, п Е
2, где п ^ 2, п Е
е N и 0 С х < ^.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Василевский А.Б. Методы решения задач. — Минск: Высшая школа, 1974.
Гальперин Г. А., Толпыго А.К. Московские математические олимпиады. — М.: Просвещение, 1986.
Кюршак Й. и др. Венгерские математические олимпиады. — М.: Мир, 1976.
Маршалл А., Олкин И. Неравенства, теория мажоризации и ее приложения / Пер. с англ. — М.: Мир, 1983.
Сборник задач киевских математических олимпиад. — Киев: Вища школа, 1984.
Тоноян Г.А. Избранные теоремы и задачи по математике. — Ереван: Луйс, 1970 (на арм. яз.).
Физико-математические олимпиады. — М.: Знание, 1977.
Харди Г, Литтльвуд Д. Полна Г. Неравенства / Пер. с англ. — М.: 1948.
Gazeta matematika, Bucuresti, 1978-1986.
Квант, М., 1970-1997.
Korepiskolai matimatikai lapok, Budapest, 1972-1984.
Математика и физика в школе, Ереван, 1972-1984 (на арм. яз.).
Математика в школе, М., 1970-1996.
Математика, Софиа, 1975-1986.
Matematyka, Warszawa, 1974-1985.
Mathematik in der Schule, Berlin, 1967-1986.
Crux with Mathematical Mayhem, Ottawa (Ontario), 1998-2000.
Учебное издание
СЕДРАКЯН Наири Моликович,А ВОЯН Амбарцум Мамиконович
НЕРАВЕНСТВА. МЕТОДЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
Редактор Е. Ю. ХоданОригинал-макет Е. Ю. МорозоваОформление обложки А. Ю. Алехиной
ЛР № 071930 от 06.07.99. Подписано в печать 11.07.02.
Формат 60x90/16. Бумага типографская. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 16. Уч.-изд. л. 16. Тираж 3000 экз.
Заказ тип. №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИ К «Наука/Интерпериодика»
117864 Москва, Профсоюзная, 90
Отпечатано с готовых диапозитивовв ФГУП «Ивановская областная типография»153008, г. Иваново, ул. Типографская, 6
ISBN 5-9221-0273-7
*) В упр. 1.1-1.6 равенства имеют место тогда и только тогда, когда а = Ь.
22
следовательно, Ж1 + ж2 < — < п 3
Таким образом, если числа жх, . . . хп мы заменим числами 0, Ху + + ж2, ж3, . . . , жп, то их сумма опять будет равна 1. При этом
^Ж^(1-Жг) < (Ж 1 + Ж2)к (1 -Ж1-Ж2)+Жз (1-Ж3) + . . . +Ж*(1-Ж„). г=1
Повторяя эти действия конечное число раз, приходим к случаю п = 2, т. е.
^2Ж?(1 — жг) Хк(1 — ж) + (1 — х)кх^ г = 1
а4 + Ь4 + с4 ^ а2Ь2 + Ь2с2 + с2а2.(3.9)
Опять согласно неравенству (3.2) имеем
а^ + Ъ2с2 > 2ab2c, b2c2 + с2а2 > 2аЪс2, с2а2 + а2Ъ2 > 2а2Ъс. Складывая эти неравенства, получим
- ж + -
55 _
2 " 15(3ж2 +4) ~ 15 " V 2"
COS (X COS /3 COS (X COS /3. /।।1 • о । \
= — = sin (a + p) cos (a + p) = - sin2(a + pp
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть а = ж + -, о = у + -, с = z + -, в этом случае
а3 = ж3 + ж2 + | + ^, Ь3 = у3 +у2 + | + ^,c3 = z3 + z2 + |+^следовательно,
a3 + 63 + с3 = ж2 (1 + ж) + у2 (1 + у) + z2 (1 + г) + ж + у + 2 Д = = ж2 (1 + ж) + у2 (1 + у) + Z2 (1 + 2:) + Д , 1,
так как ж, у, z > — - > — 1.
bn tg an T 677,
(61 tg 2 an + . . . + bn tg 2an) (61 + . .. + 6n)
(61 tg 2oi + . . . + bn tg 2on) + (61 + .. . + 6n) что эквивалентно следующему неравенству:
bi
жт + ж2 +Жп >
Ж1 (ж2 + Жп) Ж2(жз + Ж1)жп (Ж1 + Жп-1)
>(Ж1 Ч- Ж2 Ч- • • • Ч- Жп)
3 ,2 , .72 + , 3 , ,2. , 2 ^3~2.2
а + a b + ab b Ч- b с + Ьс с + с а + са
/ 2 . , 2 .2\2. , .
[а + b Ч- с )а + о + с
(а + b + с) (а2 + Ь2 + с2)3
/2 ।। 2 \ (а 4" Ь + с)
(здесь было использовано неравенство а + b + с —, т. е.
неравенство (8.6) при п = 3).
8.5. Без нарушения общности можно предположить, что ai ^ ^ а^ ^ ... ^ ап^ тогда 0 < р — 2«1 < р — 2а^ ^ . . . С р — 2ап.
3 (ж3 + у3 + Z3)2 > (ж2 + у2 + Z2)3 .(8.9)
Из (8.8) и (8.9) получаем
(ж2 + yz) (у2 + жг) (z2 + жу) < | (ж3 + у3 + z3)2 .
8.8. Воспользовавшись неравенством Чебышева, получим
1. 2V> V^, гдеai^-awг=1г=1
б) — + — + ... +< к - 1985.
I 2 2
(di + d2)(dn-i + dn)
(di + d2 + d3 + #)(dn_2 + dn_i + an - ж)
(di + Ж + d2)(dn-i + dn - Ж)
Заметим, что последнее неравенство можно записать в видеах2 + Ьх + с < 0,
3 + х + у + z
УДК 517.1
ББК 22.161
С28
Седракян И. М., А в о я н А. М. Неравенства. Методы доказательства / Пер. с арм. Г. В. Григоряна. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 256 с. - ISBN 5-9221-0273-7.
В книге объяснены некоторые методы доказательства неравенств, и эти методы применены к доказательству неравенств различных типов. Ее можно применять при внекласной работе и при подготовке к математическим олимпиадам.
Выпущена на ярмянском языке в 1998 г. (г. Ереван, “Наири”).
Для преподавателей и учащихся старших классов средней школы.
Ил. 11. Библиогр. 17 назв.
© ФИЗМАТЛИТ, 2002
ISBN 5-9221-0273-7ISBN 5-9221-0273-7© Н.М. Седракян, А.М. Авоян, 2002
ISBN 5-9221-0273-7
ISBN 5-9221-0273-7
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие3
Простейшие неравенства 5
Использование метода Штурма14
Метод использования соотношений между средними арифметичес
кими, геометрическими, гармоническими и квадратичными . ... 27
Метод применения неравенства Коши-Буняковского50
Метод замены переменных 63
Метод использования свойств симметрии и однородности 77
Применение метода математической индукции85
О применении одного неравенства114
Использование производной и интеграла126
Метод использования свойств функций145
Метод применения неравенства Йенсена156
Неравенства связанные с последовательностями 172
Неравенства из теории чисел184
Различные неравенства193
Геометрические неравенства223
Сто избранных неравенств247
Список литературы 255