Предисловие

Пособие состоит из семи глав и приложения, в котором приведены базовые сведения из школьного курса математики, необходимые для ее дальнейшего изучения.

Основные разделы книги (главы 1-7), позволяющие ускоренно повторить математику по программе 10-11 классов без обращения к другим источникам, включают краткое изложение теории (определений, свойств, теорем, формул), решение большого количества примеров и задач, наиболее типичных для данного раздела и в то же время подчеркивающих тесную связь разделов, а также набор заданий для самостоятельного решения, снабженных ответами и указаниями к решению (там, где это необходимо).

Подбор задач в пособии способствует развитию математического мышления, логики рассуждений, творческого подхода к решению задач, восприятию математики как целостной науки, обладающей универсальным аппаратом решения задач и доказательств утверждений.

Значительное внимание уделено алгоритмизации решений, в том числе и задач с параметрами, вызывающих наибольшую трудность при решении. Мы стремились к тому, чтобы благодаря ясности и доступности изложения материала, краткости записи с использованием современной символики пособие можно было использовать для самостоятельной подготовки школьников к ЕГЭ, выпускным и вступительным экзаменам, педагогическому составу средних и средних специальных учебных заведений для систематической работы с учащимися, а также лицам, заинтересованным в повторении курса математики в течении краткого периода времени.

Авторы

Глава 1

РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Основные теоретические сведения

При построении чертежа нужно знать, что

изображения фигур выполняются в параллельной проекции (направление проектирования — произвольное);

изображения параллельных прямых — параллельные прямые;

изображения перпендикулярных прямых, как правило, нс перпендикулярны;

изображения равных (неравных) отрезков, лежащих на параллельных прямых, — равные (неравные) отрезки;

изображения как равных, так и неравных отрезков, лежащих на непараллельных прямых — вообще говоря, неравные отрезки;

— величины углов, как правило, нс сохраняются.

£. При построении многогранников и их сечений следует учитывать, что

если две плоскости имеют две общие точки, то прямая, соединяющая их, является линией пересечения данных плоскостей;

если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны;

если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой;

через прямую, параллельную данной плоскости, можно провести только одну плоскость, параллельную данной;

отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны;

если две пересекающиеся в точке О прямые пересечены двумя параллельными плоскостями соответственно в точ-

ках Л и Л1, В и Bi, то

АО _ ВО

ол? ™ оЖ’

— если две прямые пересечены тремя параллельными плоскостями соответственно в точках Лд Лд, Л3 и By В2, Дз, то

Л1Л2 __ В1В2

Л2Л3 В2В3 ’

— если все боковые ребра пирамиды образуют равные углы с основанием, то:

все боковые ребра равны;

около основания можно описать окружность;

высота пирамиды проходит через центр этой окружности;

— если все боковые грани пирамиды наклонены к основанию под одним и тем же углом а, а высота проходит через некоторую точку О основания пирамиды, то:

высоты всех боковых граней равны;

в основание пирамиды можно вписать окружность, а се центром будет точка О;

^осн = Дюк * COS СК.

Последняя формула верна также для площади проекции (Дф) и площади проектируемой фигуры (S'):

Дф = S • cos a,

a — угол между ними (имеется в виду ортогональная проекция).

При построении углов нужно знать, что

— углом м,ежду двум,я пересекающим,ися неперпендикулярным,и прям,ым,и называют величину меньшего из углов, образованных этими прямыми;

— угол между параллельными прямыми равен нулю;

— углом, м,ежду скрещивающим,ися прям,ым,и называется угол между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся прямым;

™ углом, м,ежду прям,ой и плоскостью, не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и се ортогональной проекцией на эту плоскость;

— угол м,ежду двум,я пересекающим,ися плоскостям,и (двугранный угол) измеряется линейным, углом, (последний образуют перпендикуляры к ребру двугранного угла, исходящие из одной точки и лежащие в его гранях);

— уГЛЫ со взаимно параллельными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые;

— углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые.

- При рассмотрении взаиммо перпендикулярных прямых и плоскостей используются следующие определения и свойства:

прямая и плоскость называются взаиммо перпендикулярными, если прямая перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости;

если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в плоскости, то эта прямая и плоскость взаимно перпендикулярны;

чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость (теорема о трех перпендикулярах);

если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости;

если две плоскости взаимно перпендикулярны, то прямая, проведенная в одной из них перпендикулярно линии пересечения этих плоскостей, перпендикулярна другой плоскости;

— если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны плоскости 7, то и линия их пересечения перпендикулярна

При определении расстояния мхжду фигурамт нужно знать, что

расстояние от точки до плоскости, нс содержащей эту точку, равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость;

расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от произвольной точки прямой до данной плоскости;

— расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоянию от произвольной точки одной из них до другой плоскости.

При изучении вписанных и описанных фигур следует помнить, что

для того, чтобы около призмы можно было описать цилиндр, необходимо и достаточно, чтобы призма была пря-

мая и около ее основания можно было описать окружность;

чтобы в призму можно было вписать цилиндр, необходимо и достаточно, чтобы призма была прямая и в се основание можно было вписать окружность;

чтобы около пирамиды можно было описать конус, необходимо и достаточно, чтобы боковые ребра пирамиды имели равные длины;

чтобы в пирамиду можно было вписать конус, необходимо и достаточно, чтобы в основание пирамиды можно было вписать окружность, а высота пирамиды проходила через центр этой окружности;

чтобы около пирамиды можно было описать сферу, необходимо и достаточно, чтобы около основания пирамиды можно было описать окружность;

чтобы около призмы можно было описать сферу, необходимо и достаточно, чтобы призма была прямая и около се основания можно было описать окружность;

около любой правильной пирамиды можно описать сферу;

в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;

чтобы в призму можно было вписать сферу, необходимо и достаточно, чтобы в перпендикулярное сечение призмы можно было вписать окружность, а высота призмы равнялась диаметру этой окружности;

в правильную призму можно вписать сферу тогда и только тогда, когда се высота равна диаметру окружности, вписанной в основание.

Свойства хорд, секугцих, касательных и углов, образованных ими:

если к окружности из одной точки М проведены касательная МА и секущая МВ, пересекающая окружность в точках В и С, то

МЛ2 = МВ • МС;

если к окружности с центром в точке О проведены из одной точки М две касательные МА и МВ, то: МА = МВ' О ALMA, OBLMB-, LOMA = ZOMB;

если через точку, взятую внутри круга, проведены две хорды, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды;

величина угла, образованного касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине угловой величины дуги, заключенной между его сторонами;

величина вписанного в окружность угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается;

величина угла с вершиной внутри круга равна полусумме угловых величин дуг, заключенных между его сторонами и между продолжениями сторон;

величина угла, образованного двумя секущими, с вершиной вне круга, равна полу разности угловых величин большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами;

перпендикуляр из центра сферы на секущую прямую проходит через середину хорды;

плоскость, проходящая через центр сферы и перпендикулярная хорде, проходит через середину хорды;

если две прямые пересекаются в точке М и касаются сферы соответственно в точках К и L. то МК = ML;

если две прямые пересекаются в точке М и одна из них касается сферы в точке К а другая пересекает се в точках А и В, то

МА • МВ = МК2;

если две прямые пересекаются в точке М и пересекают сферу соответственно в точках А, В и CL D^ то

МА • МВ = МС • MD

(точка М может лежать как внутри, так и вне сферы).

Дополнителънме сведения из планиметрии:

медианы треугольника, пересекаясь, делятся в отношении 2:1, считая от вершины;

диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам;

диагонали ромба взаимно перпендикулярны;

две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны;

высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу;

биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам;

дуги, заключенные между параллельными хордами, равны;

равные дуги стягиваются равными хордами;

вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой;

отрезки двух параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными прямыми, равны;

диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам;

в равнобедренном треугольнике:

углы при основании равны;

высота, проведенная из вершины, противолежащей основанию, является медианой и биссектрисой;

в выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны;

около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180°;

центр вписанной в треугольник окружности совпадает с точкой пересечения его биссектрис;

центр описанной около треугольника окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам;

центры окружностей, вписанной в равнобедренный треугольник и описанной около него, лежат на высоте, проведенной к основанию;

центры вписанной в многоугольник и описанной около него окружностей лежат на его оси симметрии (если она существует);

центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, совпадает с серединой гипотенузы;

если около трапеции можно описать окружность, то трапеция является равнобочной;

величина дуги окружности радиуса г, соответствующей центральному углу а, равна га;

отношение периметров подобных многоугольников равно отношению длин соответственных сторон;

отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия;

теорема синусов:

°= Ь = С = 2Д;

sin Л sin В sin С '

— теорема косинусов:

с2 = а2 + Ь2 — 2abcos С,

где а, Ь, с — стороны треугольника АВС, противолежащие соответственно углам А, В, С; R — радиус описанной окружности.

Основные формулы.

Планиметрия

Прямоугольный треугольник (а, b — катеты, с ™ гипотенуза; а и 3 — углы, противолежащие соответственно катетам а и ф г, R — радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей; h — высота, опущенная из вершины прямого угла; S — площадь, тс — медиана, опущенная на гипотенузу):

222, оЬа + Ь-с

а + b = с ; h = —; г =;

с2

S = — = —; R = - = тГ = с sin а = btga = ccos/3 = bctg Д.

2) Правильный треугольник (а — сторона):2) Правильный треугольник (а — сторона):

2) Правильный треугольник (а — сторона):

2) Правильный треугольник (а — сторона):

Треугольник (р ™ полупериметр):

S = Vp^P "" а)(Р "" Жр "" с) т

Р

та = - V2Ь2 + 2с2 — а2 ; S = -ab sin С.

Параллелограмм (а, b — стороны, dy d2 — диагонали; а — острый или прямой угол параллелограмма, /3 — угол между диагоналями, ha и Нь — высоты, опущенные соответственно на стороны а и Ь):

S = ah,a = bhb = ^d\d^ sin /3 = absin a; d2 + d^ = 2(a2 + b2);

2d2

a = b,a =90°S= a2 = —; d = aV2;

a = b,a ф90°=4> S= ah = a2 sin a = ^ 2 ;df + d| = 4a2;

а ф b,a =90°S= ab = ™d^ sin /3.

Трапеция (m ™ средняя линия; a, b основания, h ™

высота):

Окрулсность (I — длина окружности; S — площадь

круга):2

I = 2tvR; S = ivB2, SceKT = -у,

где a — радианная мера центрального угла.

Стереометрия

Q — площадь основания; S — площадь боковой поверхности; Т — полная поверхность; V — объем; Н — высота; К — апофема; Р — периметр; L — образующая; R, г — радиусы оснований.

Конус: S = tvRL, Т = тгЩК + L\, V = ЗкН^Н.

Усеченный конус: S = тг(Р + ЦВ, Т = tt(R + r)L + tvR^ + + тгг2; V = ™тгН(П2 + г2 + Rr).

Цилиндр: S = 2тг RH, Т = 2txR^R + Н\ V = kR^H.

Правильная пирамида: S = —Ph, Т = -Ph + Q; У = ^QH-

Правильная усеченная пирамида: S = -(Р + p)h, Т = = |(р +р) • h + 8 + s; V = Ц(Р + / + VF • Л, где Р, Р и f, F — соответственно периметры и площади оснований пирамиды.

Куб-. 8 = 4а2, Т = 6а2; V = а3.

Прямая призма: S = РН, Т = РН + 2Q; V = QH.

Прямоугольный параллелепипед: S = РН, Т = РН + 2Q; V = abc = QH, где а, Ь, с ™ длины ребер.

Наклонная призма: V = QH; S = Pl, Т = Pl + 2Q, где Р — периметр перпендикулярного сечения, I — боковое ребро.

Шар: Т = 4тгЯ2, V = ^ттЯ3; Тсект = 7rR(2h + а), Кект =

= ^Ц^; ScerM = 27tRh, Тсегм = Tv(2Rh + а2), VcerM = РцЗа2 43 !6

4- /г2) = —тгЛОР — О, гДе ° — РаДиУс основания шарового сегмента, h — его высота (стрела).

Рекомендуем все приведенные утверждения проиллюстрировать с помощью чертежей.

Задачи

Планиметрия

В треугольнике АВС медиана АМ перпендикулярна медиане BN. Найти площадь треугольника АВС, если АМ = т, BN = п (рис. 1).

Решение. Проведем из вершины В высоту ВК. Тогда Sabn = ^ВК ■ AN,

Sabc = ^ВК • АС = ^ВК ■ 2AN = В К • AN.

Следовательно,

122

SAbc=^Sabn=^AO-BN=AO-BN = -AM-BN^-mn.

2

Ответ: —тп.

Доказать, что площадь треугольника со сторонами а, 6, с и радиусом та вневписанной окружности, касающейся стороны а и продолжений двух других сторон, выражается формулой

о Ь + с - а

S = о • та.

Решение. Учтем, что (рис. 2) ВМ = ВК, CN = СК. Тогда ВМ+CN^aи

Sabc = SanOM ” ^8вмо ” ^ScNO =

= SaoM + SaoN ™ ^SbMO ™ ^ScNO =

= |ra . (с + BM) + ^ pb + CN)-2.^ra-BM-2. ^a ■ CN =

= Aa - (b + c - a).

Найти длину медианы m треугольника ABC. проведенной из вершины Сесли длины сторон, лежащих против вершин Л, В и С, равны соответственно а, 6, с.

Решение. Обозначим: ф = АСМА (СМ — медиана). По

теореме косинусов найдем (рис. 3):

Ответ:Ответ:

Ответ:

Ответ:

В прямоугольном треугольнике АВС из вершины С прямого угла проведена высота CD. Точка D находится на расстояниях т от Л С и п от В С. Найти длины катетов Л С и В С (рис. 4).

Решение. Проведем DM ВАС и DNABC. CNDM ™ прямоугольник (DM || CN, DN || СМ, АС = 90°).

По условию DM = т, DN = п. Обозначим АС = Ь, ВС = а.

Поскольку DM2 = СМ • МА и DN2 = CN-NB,to

2/,\т2 + П2

т = (о — п) • п о =,

'п

2хт2 + и2

п = (а — тп) • тп => а = 'm

nnmmm2 + 2 m2 + ?i2 Ответ: , .

n

n

m

m

Доказать, что площадь треугольника АВС через длины его сторон а, Ь, с и радиус R описанной окружности выражается так:

Решение. Площадь треугольника АВС можно найти через длины двух сторон си Ъ и угол между ними С:

S = -absin С.

Из теоремы синусов:

а Ъsin Лsin Ва Ъsin Лsin ВТогдаТогда1 / сЧ ■ и1 / сЧ ■ иabc4r:abc4r:PC = 2R^c = 2RsmC sin С = С- sin С2R

а Ъ

sin Лsin В

а Ъ

sin Лsin В

Тогда

Тогда

1 / с

Ч ■ и

1 / с

Ч ■ и

abc

4r:

abc

4r:

Найти площадь трапеции, основания которой равны 28 см и 16 см, а диагонали 17 см и 39 см (рис. 5).

Решение. Проведем СЕ || BD.

Пусть СК = h — высота трапеции.

ТогдаРис. 5

с ВС PAD г DE + AD АЕ с

OABCD = 2 *= 2 *== ^АСЕ‘

По формуле Терона

Sage = V50 ■ 33 • 11 ■ 6 = 330 (см2).

Ответ: 330 см2.

В окружности радиуса г = 2 см по одну сторону от центра проведены две параллельные хорды, стягивающие дуги в 60° и 120°. Их концы соединены. Найти площадь полученной трапеции (рис. 6).

Решение. Из условия задачи следует, что

ZBOC = 60°, ZAOD = 120°.

Проведем радиус ОМ перпендикулярно хордам. Тогда ZBOM = ZMOC = 30°, ZAOB = ZCOD = 30°, и ZKAO = 30°.

Поскольку О В = ОС = г, то ВОС — равносторонний треугольник и ВС = г;

AD = 2ЛК = 2ЛО • cos 30° = 2г • ^ = гV3;

h = NK =NO-ОК =h = NK =NO-ОК =

h = NK =NO-ОК =

h = NK =NO-ОК =

Площадь трапеции 8 определим по формуле

ВС С AD . тСт\Д гВС С AD . тСт\Д гРис. 6Рис. 6

ВС С AD . тСт\Д г

ВС С AD . тСт\Д г

Рис. 6

Рис. 6

К двум окружностям радиусов В и г, находящимся в положении внешнего касания, проведены их общие касательные — внутренняя и две внешние. Найти длину отрезка внутренней касательной, заключенного между внешними касательными (рис. 7).

Решение. Через точку М проведены две касательные к окружности радиуса г ^МА и MD). Тогда МА = MD. Аналогично МВ = MD' поэтому

MN = AID = АМ + МВ = АВ.

Проведем OiO || АВ. Тогда О\ АВС ™ прямоугольник, в нем АВ = 01 С. Значит, MN = OiO. Из прямоугольного треугольника ОуСО^ находим:

ОхС = ^O'O^ — OsC2 = уДп + ММ-С == 2VRt .

Ответ: 2 VВт.

В сектор радиуса В с центральным углом а вписан круг. Найти его радиус (рис. 8).

Решение. Отметим, что O^ALOyA и ААОуО^ = АО^ОуВ = = — . Обозначим искомый радиус через г и рассмотрим прямоугольный треугольник ОуАОр.

22R sin ™1 /тг1 + cos ^- -R sin ™1 /тг1 + cos ^- -R sin —9 /тг а cos2 т - т\44R sin —9 /тг а cos2 т - т\44О^А = OiC^sin — => т = (R—т) sin — => г

2

2

R sin ™

1 /тг

1 + cos ^- -

R sin ™

1 /тг

1 + cos ^- -

R sin —

9 /тг а cos2 т - т

\44

R sin —

9 /тг а cos2 т - т

\44

R sin —

°™vv-"V

2 cos2 — — —\447

В треугольнике, углы которого равны а, /3 и у, определить угол между медианой и высотой, проведенными из вершины угла у (рис. 9).

Решение. Пусть СМ — высота, СК — медиана, а искомый угол АКСМ = ф. Так как АК = КВ^ то

АМ ™ МВ = АК + КМ ™ (КВ ™ КМ') = ЖМ,

где АМ = CM ctg а, МВ = CM ctg /3, КМ = CM tg ф. Поэтому имеем уравнение:

CM ctg а — CM ctg /3 = 2СМ tg ф => tg ф =CM ctg а — CM ctg /3 = 2СМ tg ф => tg ф =ctg а — ctg /3ctg а — ctg /322Рис. 9Рис. 9ctga —ctg/?ctga —ctg/?Ответ: arctgОтвет: arctg

CM ctg а — CM ctg /3 = 2СМ tg ф => tg ф =

CM ctg а — CM ctg /3 = 2СМ tg ф => tg ф =

ctg а — ctg /3

ctg а — ctg /3

2

2

Рис. 9

Рис. 9

ctga —ctg/?

ctga —ctg/?

Ответ: arctg

Ответ: arctg

Из точки Л к окружности радиуса г проведены касательная АВ и секущая АСпроходящая через ее центр, причем Л С = 2 АВ. Найти расстояние от точки Л до центра окружности (рис. 10).

Решение. Обозначим точку пересечения окружности секущей через D. Как известно,

АВ2 = АС • AD.

АС = г + О A, AD^OA™ г,АС = г + О A, AD^OA™ г,АВ =АВ =г + О А2г + О А2Учтем, что

АС = г + О A, AD^OA™ г,

АС = г + О A, AD^OA™ г,

АВ =

АВ =

г + О А

2

г + О А

2

Тогда

/г + ОЛ\ 2V 2 )/г + ОЛ\ 2V 2 )= (г + О А) (О А ™Т)^ОА == (г + О А) (О А ™Т)^ОА =5— Г.5— Г.Ответ:Ответ:5353

/г + ОЛ\ 2

V 2 )

/г + ОЛ\ 2

V 2 )

= (г + О А) (О А ™Т)^ОА =

= (г + О А) (О А ™Т)^ОА =

5

— Г.

5

— Г.

Ответ:

Ответ:

5

3

5

3

Стереометрия1. Найти угол между ребром правильного тетраэдра и плоскостью грани, не содержащей это ребро.Решение. DO — высота тетраэдра, АО — проекция ребра AD на плоскость АВС. обозначим через а угол между ребром AD и плоскостью АВС (рис.П). Найдем этот угол. Обозначим через а длину ребра тетраэдра:АВ = DB = ВС = АС = AD = DC = а.Стереометрия1. Найти угол между ребром правильного тетраэдра и плоскостью грани, не содержащей это ребро.Решение. DO — высота тетраэдра, АО — проекция ребра AD на плоскость АВС. обозначим через а угол между ребром AD и плоскостью АВС (рис.П). Найдем этот угол. Обозначим через а длину ребра тетраэдра:АВ = DB = ВС = АС = AD = DC = а.Имеем:Имеем:

Стереометрия

1. Найти угол между ребром правильного тетраэдра и плоскостью грани, не содержащей это ребро.

Решение. DO — высота тетраэдра, АО — проекция ребра AD на плоскость АВС. обозначим через а угол между ребром AD и плоскостью АВС (рис.П). Найдем этот угол. Обозначим через а длину ребра тетраэдра:

АВ = DB = ВС = АС = AD = DC = а.

Стереометрия

1. Найти угол между ребром правильного тетраэдра и плоскостью грани, не содержащей это ребро.

Решение. DO — высота тетраэдра, АО — проекция ребра AD на плоскость АВС. обозначим через а угол между ребром AD и плоскостью АВС (рис.П). Найдем этот угол. Обозначим через а длину ребра тетраэдра:

АВ = DB = ВС = АС = AD = DC = а.

Имеем:

Имеем:

АО = R =АО = R =cos а =cos а =АОADАОAD

АО = R =

АО = R =

cos а =

cos а =

АО

AD

АО

AD

Ответ: arccos—^—.

Высота правильной треугольной призмы АВСА\В\С\ равна стороне основания. Найти угол а между диагональю АВ\ и плоскостью Л Л1 CqС (рис. 12).

Решение. Построим проекцию прямой АВ\ на плоскость ЛЛ1(71(7. Проведем B\M_LA\C\. Плоскость А^В^С^ перпенди-

кулярна плоскости ЛЛ1<71<7 => В\М±пл.ЛЛ1С1С. Тогда АМ — проекция АВ\ на плоскость ЛЛ1С71<7. Следовательно, ZB^AM = = а. Обозначим ЛЛ1 = АВ = а. Из прямоугольного треугольника АМВ\ имеем:

ВХМаРЗV6

sin а = —— =,

АВХ2aj2 4

так как АВ\ = ал/2 и В\М =

Ответ: arcsin ——.

4

Рис. 13Рис. 13

Рис. 13

Рис. 13

Высота правильной четырехугольной пирамиды QABCD и сторона ее основания равны а. Найти расстояние d между прямой АВ и плоскостью QCD (рис. 13).

Решение. Через вершину Q пирамиды и середины М и N сторон основания проведем плоскость QMN^ которая будет перпендикулярна плоскости QDC. Проведем MPZQN => => МРТпл. QCD. Поэтому MP = d. Рассмотрим треугольник QMN:

QO, МР — его высоты;

MN = QO = а;

QN = VWTON^ =

Sqmn = ^MN • QO = X-QN .MP^d = MP = ^Z-P2 =

2а 2aV5

2aV5

Ответ: —z—.

В основании пирамиды лежит прямоугольник, периметр которого равен Р. а острый угол между его диагоналями равен а. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом (3. Найти объем пирамиды.

Решение. QO — высота пирамиды, ОД ОВ, ОС, OD ™ проекции боковых ребер пирамиды на плоскость основания (рисЛ4). Следовательно,

ZQAO = ZQDO = ZQCO = ZQBO = /3.

По условию ZAOB = ZCOD = а. Обозначим ОС = OD = х. Поскольку Р = = 2 АВ + 2ВС, то АВ + ВС = ^. Учтем, р2

что АВ2 + ВС2 + 2АВ ■ ВС = — и

АВ2 + ВС2 = 4Л,

Sabcd = АВ • ВС = ^АС • BD • sin а = 2х2 sin а.

Тогда имеем:

4т-2 + 4х2 si4т-2 + 4х2 siр2Тр2Т.2.2Р2Р2Р2Р2ррН = х tg (3Н = х tg (3PtgpPtgp

4т-2 + 4х2 si

4т-2 + 4х2 si

р2

Т

р2

Т

.2

.2

Р2

Р2

Р2

Р2

р

р

Н = х tg (3

Н = х tg (3

Ptgp

Ptgp

Наконец,

V = ^Sabcd • Н = - • 2ж2V = ^Sabcd • Н = - • 2ж2sin а • В =sin а • В =F3 sin a tg 3F3 sin a tg 3

V = ^Sabcd • Н = - • 2ж2

V = ^Sabcd • Н = - • 2ж2

sin а • В =

sin а • В =

F3 sin a tg 3

F3 sin a tg 3

F3 sin a tg 3

Ответ: 7^сйГ-

192Л <

Треугольник со сторонами Ь, с и углом между ними а вращается вокруг оси, проходящей через вершину угла а и одинаково наклоненной к сторонам b и с (рис. 15). Определить объем тела вращения.

Решение. Объем V тела вращения равен объему Vq усеченного конуса (или цилиндра, если b = с), полученного от враще-

ния трапеции (или прямоугольника) ОО\ВС^ без объемов двух конусов ¥ц¥2, полученных от вращения треугольника АО\В и треугольника АО С. По условию

ZBAO\ = ZCAO = 90° - |Щ ZOVBA = ZOCA = |.

Учтем,чтоVo=д7^^2+ ^2+ Rt^H+ И\¥2=^R^H,

1QQQ

П = дяг а, гдеН= о sin —,R =о cos —,h=с sin—,г = с cos —.

ОДДДД

Подставляя в соотношение V = Vq — ¥1 — ¥2, после преобразова

Найти высоту правильной четырехугольной пирамиды, полная поверхность которой равна У, а плоский угол при вершине равен а (рис. 16).

Решение. По условию ABCD — квадрат, ZDQC = = ZAQD = ZAQB = ZBQC = а.

Проведем QE — апофему боковой грани: QEZDC. ОЕпроекция QE на плоскость основания. По теореме о трех перпен-

1OL

дикулярах OEZDC. Тогда ОЕ = - * -AIR а ADQE = Поэтому

S = AD2 I 4 - pc - QE = AD2 \ -1ЛЕ ■ Р ств -в-

А1>2 =5 „. AD =5 „ .

1 + ctg -^ 1 + ctg -

Поскольку

ТОТОa AD аQE = DEctg - = — ctg - =a AD аQE = DEctg - = — ctg - =SS1 + ctg 21 + ctg 2а2а2QO = VQE2 - ОЕ2QO = VQE2 - ОЕ2Очевидно, ctg —— 1>и^и< — < — ^0<(Т<—.2242Очевидно, ctg —— 1>и^и< — < — ^0<(Т<—.2242

ТО

ТО

a AD а

QE = DEctg - = — ctg - =

a AD а

QE = DEctg - = — ctg - =

S

S

1 + ctg 2

1 + ctg 2

а

2

а

2

QO = VQE2 - ОЕ2

QO = VQE2 - ОЕ2

Очевидно, ctg —— 1>и^и< — < — ^0<(Т<—.

2242

Очевидно, ctg —— 1>и^и< — < — ^0<(Т<—.

2242

АВ =АВ =AD ™ ВС2 cos 60°AD ™ ВС2 cos 60°

АВ =

АВ =

AD ™ ВС2 cos 60°

AD ™ ВС2 cos 60°

В конус вписана пирамида QABCD^ основанием которой

служит трапеция ABCD. Известно, что ABAD = 60°, ВС = За.,

AD = 8а., SO = 7а. (ВС, AD - основания трапеции, QO — высота пирамиды). Найти площадь боковой поверхности конуса (рис. 17).

Решение. Учтем формулу S = = kRL. Найдем R и L. Поскольку пирамида вписана в конус, то трапеция АВ CD — равнобочная, тогда

По теореме косинусов найдем

BD = V64а2 + 25а2 — 2 • 5а. • 8а. cos 60° = 7а..

Центральный угол BOD и вписанный в окружность угол BAD связаны соотношением ZBOD = 2ZBAD = 120°. Поэтому

BD2 sin 60°BD2 sin 60°В ь = х/QO2 + О В2 = \/49лУ^ =

BD

2 sin 60°

BD

2 sin 60°

VsV з уз

Таким образом,Таким образом,7а 14а98 о

Таким образом,

Таким образом,

S = тг •= — ла .

уз азз

о2

Ответ: —тш .

Задание для самостоятельного решения

Планиметрия

В равнобочной трапеции ABCD боковая сторона равна а. Диагональ делит угол а при нижнем основании пополам. Найти площадь трапеции.

Ответ: 2а2 sin a cos2 — •

Большее основание AD трапеции ABCD равно 5 см, боковая сторона АВ равна 3 см. Найти площадь трапеции, если В DRAB, АС— биссектриса угла BAD.

Ответ: 9,6 см2.

Доказать, что площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла, образованного их пересечением.

a2 sin В sin С

Доказать, что площадь треугольника равна,

2 sin Л

или 2Я2 sin Л sin В sin С, где а. Ь, с — стороны, Л, В. С — углы треугольника, К — радиус описанной окружности.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к боковой стороне, равна h и образует угол а с другой боковой стороной. Найти длину основания.

Ответ: —-—у/2(1 — sin.

cos а

В треугольнике со сторонами 13 см, 14 см, 15 см найти площадь треугольника, заключенного между высотой и биссектрисой, проведенными к стороне, средней по длине.

Ответ: 9 см2.

Длина гипотенузы прямоугольного треугольника относится к длине биссектрисы острого угла как V3 : 1. Найти острые углы треугольника.

Ответ: 60°; 30°.

Через точку М, удаленную от центра окружности на расстояние Ь, проведена секущая МА так, что она делится окру ж-

ностью пополам: МВ = В А. Найти длину секущей МЛ, если радиус окружности равен г.

Ответ:

Вычислить площадь круга, вписанного в равнобочную трапецию, если длины ее оснований равны а и Ь.

Ответ: —ab.

4

Окружность проходит через вершины В. С и D трапеции АВ CD и касается стороны АВ в точке В. Найти длину диагонали BD^ если длины оснований трапеции равны а и Ь.

Ответ: Vab.

В прямоугольном треугольнике АВС угол С прямой, / тг \'

ZA = аJ, точка D — середина гипотенузы, точка В\

симметрична точке В относительно CD. Найти ZAB\C. тг

Ответ: — +

Через точку, лежащую внутри треугольника АВС. проведены три прямые, параллельные его сторонам. При этом образовались три треугольника, подобных данному, с площадями 81,82,83. Найти площадь треугольника АВС.

Ответ: (ЛЧ + ЛЧ + ЛЧ)2-

К двум окружностям радиусов В и г, внешне касающимся друг друга, проведены общие внешние касательные. Найти площадь трапеции, ограниченной этими касательными и хордами, соединяющими точки касания.

SBrVBr

Ответ:.

Периметр ромба равен 2р, сумма длин его диагоналей равна т. Найти площадь ромба.

99

ТГГ — р

Ответ: -.

4

Ромб с острым углом а и стороной а разделен отрезками, исходящими из вершины этого угла, на 3 равновеликие части. Найти длины этих отрезков.

Ответ: — У13 + 12cos о.

К окружности радиуса В из одной точки проведены две касательные, составляющие между собой угол 2а°. Найти площадь криволинейного треугольника, заключенного между касательными и дугой окружности.

Ответ: Я2 ^ctga° Указание. Учесть, кК2а лом а равна —-ЗоиОтвет: Я2 ^ctga° Указание. Учесть, кК2а лом а равна —-Зои7Г ТТЛ \

Ответ: Я2 ^ctga° Указание. Учесть, кК2а лом а равна —-

Зои

Ответ: Я2 ^ctga° Указание. Учесть, кК2а лом а равна —-

Зои

- 2 + 180/

что площадь сектора с центральным уг-

Стереометрия

2Qcos2 (^ - ^2Qcos2 (^ - ^Ответ: —;sin фОтвет: —;sin фsin фsin фВ правильной тг-угольной пирамиде площадь основания равна Q^ а высота составляет с каждой боковой гранью угол ф. Найти боковую и полную поверхности пирамиды.

2Qcos2 (^ - ^

2Qcos2 (^ - ^

Ответ: —;

sin ф

Ответ: —;

sin ф

sin ф

sin ф

В основании прямой призмы лежит трапеция, вписанная в полукруг радиуса R так, что большее ее основание совпадает с диаметром, а меньшее стягивает дугу, равную 2а. Найти объем призмы, если диагональ грани, проходящей через боковую сторону основания, наклонена к основанию под углом а.

о ■/ тг

Ответ: л sin 2а * cos — — — .

\42/

Через середины двух смежных сторон основания правильной четырехугольной призмы проведена плоскость, пересекающая три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом а. Найти площадь сечения и его острый угол, если сторона основания призмы равна а.

Ответ: ; 2 arctgfcos л).

о cos а

Определить объем конуса, если в его основании хорда, равная а, стягивает дугу а^ а высота конуса составляет с образующей угол /3.

тга3 ctg 3

Ответ:

24 sin3

Развертка боковой поверхности конуса является круговым сектором с углом а и хордой а. Найти объем конуса.

а2а3\/47г2 — а2

Ответ: .

192тг2 sin3 —

В прямой призме ABCDA\B\C\D\ с острым углом А основания ABCD^ равным а. и отношением проведена плоскость через вершины А, В\ и середину ребра ВС под углом /3 к основанию. Площадь полученного сечения равна S. Найти объем призмы.

. a 2S3cos3

Ответ: 4 sin — sin р 1 /:

2 V sin а

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с высотой Ip проведенной из вершины прямого угла. Одна

боковая грань пирамиды перпендикулярна плоскости основа

ния, а две другие наклонены к нему под углами а и /3. Найти

Ответ:Ответ:12tga • tg /312tga • tg /3объем пирамиды, если все ее боковые ребра равны.

Ответ:

Ответ:

12tga • tg /3

12tga • tg /3

В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар. Расстояние от центра шара до бокового ребра равно d. Найти объем пирамиды, если двугранный угол при основании пирами

ды равен а.

ТЦ2(ЪнДаЛ

Ответ:□ •

3^tga-tg^

В основании пирамиды — прямоугольный треугольник, в котором отношение медианы, выходящей из вершины прямого угла, к одному из катетов равно к. Все боковые ребра пирамиды равны I и наклонены к плоскости основания под углом а. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей

вершину пирамиды.вершину пирамиды.Ответ:Ответ:Z2 cos а8к2Z2 cos а8к2через среднюю линию основания, параллельную гипотенузе, и

вершину пирамиды.

вершину пирамиды.

Ответ:

Ответ:

Z2 cos а8к2

Z2 cos а8к2

sin2 а + (4fc2 — 1) cos2 а .

В конус вписана полусфера, большой круг которой лежит на плоскости основания конуса. Найти угол при вершине конуса, если полная поверхность его относится к боковой поверхности полусферы, как 18:5.

51

Ответ: 2 arcsin — или 2 arcsin —. 66

В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник со стороной, равной V3. Высота SO пирамиды пересекает ее основание в точке, удаленной от АС на 1. Синус угла ОВА относится к синусу угла ОВС^ как 2:1. Площадь грани SAB равна ^^" • Найти объем пирамиды.

Уз

Ответ:

4

Глава 2

ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

В этом разделе рассматриваются алгоритмы решения типичных задач на составление уравнений и истем, которые можно условно разбить на следующие группы.

Задачи на выполнение совместной работы.

Задачи на десятичное представление числа.

Задачи на движение.

Задачи на проценты.

Задачи на смеси.

Задачи на прогрессии.

Задачи на выполнение совместной работы

При решении задач на выполнение совместной работы следует учитывать, что количество исполнителей и время, затраченное на ее выполнение, связаны обратно-пропорциональной зависимостью. Объем работы принимается за единицу (если он не задан по условию).

Если, например, С — время одного исполнителя на выполнение всей работы, а ^2 — время второго также на выполнение всей

1

работы, то — — производительность первого, а — — производи™ тельность второго исполнителя (объем работы, выполненный за единицу времени).

_ Л л

Тогда — + —— производительность двух исполнителей

при совместной работе, а j™^™время, затраченное обо-

Vi +

ими исполнителями на всю работу при совместном ее выполнении) .

К задачам на выполнение совместной работы относятся и задачи, связанные с наполнением емкостей.

За 24 дня две бригады строителей, работая совместно, сдали в эксплуатацию 5 однотипных объектов. Сколько дней понадобится каждой бригаде на постройку одного такого объ-

екта, если известно, что вторая бригада может сдать объект в эксплуатацию на 4 дня раньше первой?

Решение. Пусть х дней — время, необходимое первой бригаде на постройку одного объекта, тогда (х — 4) дня — время второй. Части работы, выполняемые каждой из бригад за 1 день /.ч11

(производительности бригад), равны соответственно — и -—-,

11XX™

а —|- — производительность первой и второй бригад вме-

х х ™ 4

сте. По условию имеем:

- +. 24 = 5_ 68ж + 96 = 0 ж, = 12, ж9 = 1,6.

х х — 4 у

Заметим, что решение х = 1,6 не удовлетворяет условию задачи, т. к. обе бригады, работая совместно, могут сдать объект за 24 : 5 = 4,8 (дня), а одна из бригад не может выполнить работу быстрее, работая отдельно.

Ответ: 12 дней, 8 дней.

Двум рабочим поручено изготовить партию одинаковых деталей. После того, как первый рабочий проработал 7 ч, а 5

второй 4 ч, оказалось, что выполнено — всей работы. Проработав совместно еще 4 ч, они установили, что осталось выполнить — всей работы. За сколько часов каждый рабочий, работая 107

отдельно, может выполнить всю работу?

Решение. Пусть х ч — время первого рабочего, а у ч — время второго на всю работу.

По условию задачи имеем:

(115(745

х у 9I х у 9 Г х = 18,

'1 Л .Л Л 17 Щ 117[ У = 24.

7*—h 4— + 41 —h ) — ——h —

I x у \x у у 1 о I х у (1

Ответ: 18 ч; 24 ч.

Бассейн наполняется водой из двух кранов. Сначала пер- выи кран был открыт — того времени, которое нужно для наполнения бассейна только вторым краном. Затем второй кран был открыт — того времени, которое нужно для наполнения бассейна только первым краном. После этого оказалось, что

наполнено — бассейна. Сколько времени нужно для наполнения 1 о

бассейна каждым краном в отдельности, если оба крана вместе наполняют бассейн за 3 ч 36 мин?

Решение. Пусть х ч — время, необходимое первому, а у ч — время, необходимое второму крану на наполнение бассейна. За

один час первый кран наполнит — часть бассейна, а второй — 1Ж

— часть. у

По условию задачи имеем:

1 у1 X

3 х3 у

11 _ j^

ху18

1318’1318’х2 = 9, У2 = 6.х2 = 9, У2 = 6.18z

13

18’

13

18’

х2 = 9, У2 = 6.

х2 = 9, У2 = 6.

Ответ: Один кран наполняет бассейн за 9 ч, другой — за 6 ч.

Два трактора за 2 ч совместной работы вспахали одно поле и пятую часть второго, площадь которого в три раза больше площади первого поля. Второй трактор, работая отдельно, может вспахать второе поле на 4 ч быстрее первого трактора. За сколько часов может вспахать второе поле каждый трактор в отдельности?

Решение. Пусть х — производительность первого трактора, у — второго; 1 — объем работы по вспашке первого поля. По условию имеем:

4= 5’31/ — Зх = 4ху4= 5’31/ — Зх = 4ху2ж + 2у = 1 + |, D

4

= 5’

31/ — Зх = 4ху

4

= 5’

31/ — Зх = 4ху

33-4

ж у

4

12/4\

4х = 5 " У’ Юу2 + 7у - 6 = О4х = 5 " У’ Юу2 + 7у - 6 = ОУ1 = 2а;1У1 = 2а;145451 _ 32 “ 10’1 _ 32 “ 10’Зу- — + Зу = 4 --уЬ/ э\ Э/

4

х = 5 " У’ Юу2 + 7у - 6 = О

4

х = 5 " У’ Юу2 + 7у - 6 = О

У1 = 2а;1

У1 = 2а;1

4

5

4

5

1 _ 3

2 “ 10’

1 _ 3

2 “ 10’

6 /X

?/9 = — — (не удовлетворяет условию).

иuо 3

На вспашку второго поля первый трактор затратит о : — =

= 10 (ч), а второй 3 : - Ответ: 6 ч; 10 ч.

Трое рабочих должны выполнить некоторое задание. Третий их них выполняет задание на. 1 ч быстрее второго. Работая втроем, они выполняют работу за. 1 ч 20 мин. Первый и второй рабочие за. 2 ч совместной работы выполняют такой же объем работы, как третий за 2,5 ч. За. сколько времени может выполнить все задание каждый рабочий в отдельности?

Решение. Пусть х — производительность первого рабочего, у — второго, г — третьего; 1 — вся работа. По условию задачи

имеем:

4х

+ у+ г) =

< 2(х + у) = 2,5г,

Найдем время, затраченное каждым рабочим на. выполнение всего задания:

П = ™ = 6, to = - = 4, ts = - = 3.XуZ

Ответ: 6 ч; 4 ч; 3 ч.

Задачи на десятичное представление числа

При решении задач на. десятичное представление натурального числа, следует помнить, что форма, его записи, применяемая нами в вычислениях, в десятичной системе счисления имеет вид:

1Опао+ КЮ1^ + 10п"2а2 + ...+ Юап-! + а„,

где an, an-i, аит^..., щ, ag — цифры его единиц, десятков, сотен и т. д.

Например,

327 = 3 • Ю2 + 2 ■ 10 + 7; 5248 = 5 • 103 + 2 • 102 + 4 • 10 + 8.

Отметим некоторые приемы при решении подобных задач на. примере двузначного числа. (Юх + г/).

Записать число, состоящее из тех же цифр, но записанных в обратном порядке: (Юг/ + х).

Записать число, полученное из данного (10х + г/) приписыванием цифры х справа:

ЮОх + Юг/ + х.

Записать число, полученное из данного (Юх + у) приписыванием цифры х слева:

ЮОх + Юх + у.

Записать число, полученное из данного числа, х отбрасыванием цифры х, которой оно оканчивается:

х — X

10 *

Записать число, полученное из данного пятизначного числа, х отбрасыванием цифры х, с которой оно начинается: х — ЮОООх.

Шестизначное число начинается с цифры 2. Если ее перенести с первого места, на. последнее, сохраняя порядок остальных цифр, то новое число будет втрое больше исходного. Найти исходное число.

Решение. Пусть х — пятизначное число, следующее в исходном шестизначном числе за. цифрой 2, тогда. (2 • 105 + х) — исходное число, а. (Юх + 2) — новое число, полученное из исходного переносом цифры 2 в конец его записи. По условию имеем:

3 • (2 . Ю5 + ж) = 10а; + 2,

600000 + За; = 10а; + 2,

Тж = 599998,

х = 85714.

Ответ: 85714.

Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном будет 3, а в остатке 9. Если же из квадрата, суммы цифр этого числа, вычесть произведение его цифр, то получится данное число. Найти это число.

Решение. Пусть х ™ цифра, десятков, а. у ™ цифра, единиц искомого числа. Тогда. (Юх + у) — искомое двузначное число.

По условию имеем:

Юх + у = Зхт/ + 9,J Юх + у = Зхт/ + 9,

(х + yY — ху = Юх + у [ х + у2 + ху = Юх + у

=> х? + у2 + ху = Зхт/ + 9 =^ (х — у)2 = 9,

или: 1) х — у = 3 х = у + 3, 2) х — у = —3 х = у — 3. Подставляя в первое уравнение системы, найдем: у = 3 или

7

у = — —. Второе значение не удовлетворяет условию задачи.

Поэтому искомое число равно 63.

Ответ: 63.

Если из трехзначного числа, вычесть число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, получится 297. Цифра. десятков этого числа, есть среднее геометрическое цифр его сотен и единиц. Найти это трехзначное число.

Решение. Пусть х — цифра, сотен, у — цифра, десятков, а. х — цифра, единиц искомого числа. Тогда. (ЮОх + Юу + х) — искомое число, а. (ЮОх + Юу + х) — число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. По условию задачи имеем:

Г ЮОх + Юу + х — (ЮОх + Юу + х) = 297,

[ У = XZ

J 99х — 99х = 297, J х — х = 3,

[ т/2 = XX[ у2 = (3 + х)х

22=А X2 + Зх — у2 = 0 =А Х1;2 =

2

2

Чтобы получить результат, придется вместо у подставлять в последнюю формулу цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. При этом х должно быть натуральным числом из промежутка [1; 9], так как 0 в начале записи числа, не допускается. Непосредственный подсчет показывает, что единственно возможные значения таковы: у = 2, х = 1, х = 4.

Ответ: 421.

Задачи на движение

При решении этих задач движение считается равномерным, т.е. 8 = pt (если не оговорены другие условия). Следует также помнить, что если расстояние между точками А и В равно 8 и через время t тела, встречаются, то при их движении в одном направлении (рис. 18) можно записать уравнение (щ > hq):

p\t — p^t = S,

8 откуда, t = —, а. при движении в противоположных направ

лениях (рис. 19):

8

Pit + P^t = 8, t =,

Р\ + Р2

где р\ и ро — скорости тел, движущихся из точек А и В соответственно.

Аналогично — при движении по замкнутому контуру (в случае окружности 8 = 1 = Ъгг или 8 = 360°).

А В Вл s вРис. 18Рис. 19А В Вл s вРис. 18Рис. 19

А В Вл s в

Рис. 18Рис. 19

А В Вл s в

Рис. 18Рис. 19

Два. спортсмена, бегут по замкнутой дорожке стадиона. Скорость каждого постоянна. На. пробег всей дорожки один тратит на. 25 с меньше другого. Начиная пробег с общего старта, одновременно и в одном направлении, они оказываются рядом через 2 мин 30 с. Через какое время они встретятся, если побегут с общего старта, одновременно в противоположных направлениях?

Решение. Пусть х м/с и у м/с — скорости соответственно первого и второго спортсменов (считаем, что х > у). Обозначим через 8 длину дорожки. По условию задачи имеем:

150ж - 150у = S, |Д150ж - 150у = S, |Д= 25,

150ж - 150у = S, |Д

150ж - 150у = S, |Д

'У _ 1

S 150’

+ 25 • - - 3750 = 0.

s

Обозначим — = Т. Тогда, получаем уравнение: Г2 + 25Т — х

— 3750 = 0 =^ 7/ = 50, Т^ = —75 (противоречит условию). Таким

SS

образом, — = 50, — = 75.

хУ

Чтобы ответить на. вопрос задачи, учтем, что при движении в противоположных направлениях справедлива формула, (t — время, через которое спортсмены встретятся):

S S1,

t —ос 11Vе)*

X + У 55

50755075

Ответ: 30 с.

Два спортсмена начали пробег с общего старта, по замкнутой дорожке стадиона, на дистанцию 3,2 км. Один из них проходит каждый круг на. 10 с быстрее второго. Когда, победитель пришел к финишу, другому осталось бежать еще целый круг. Найти длину дорожки, если победитель закончил дистанцию за. 9 мин 20 с.

Решение. Пусть х м — длина, беговой дорожки. Тогда.

3200 - х,3200 ,

——-— м/с — скорость проигравшего спортсмена, =—м/с —

боибои

скорость победителя. По условию задачи составляем уравнение:

жх ,560ж7 а; 1П_П_

320040“3200 -х 40“

5607

=> 7ж2+400ж — 1280000 = 0,

х\ = 400,х\ = 400,3200Ж2 = - —3200Ж2 = - —(не удовлетворяет условию).(не удовлетворяет условию).

х\ = 400,

х\ = 400,

3200

Ж2 = - —

3200

Ж2 = - —

(не удовлетворяет условию).

(не удовлетворяет условию).

Ответ: 400 м.

Из пункта. А в пункт В, расстояние между которыми 170 км, с интервалом 30 мин вышли два. пассажирских поезда. Одновременно со вторым из В вышел скорый поезд, который встретил первый пассажирский поезд в 80 км от А, а. через 12 мин после этого он встретил второй пассажирский поезд. Найти скорость скорого поезда, если скорости пассажирских поездов одинаковы.

Решение. Пусть х км/ч — скорость пассажирского, а у км/ч — скорость скорого поезда. По условию задачи имеем:

_ = _ + 80 _ 90•2 1 20 ^1 Г ж = 40, 0,2(т+^) = 0,5т ж ж 2 [ У — 60.

Ответ: 60 км/ч.

Из пункта. А в пункт В, расстояние между которыми 400 км, выехал автобус. Через некоторое время из А выехал автомобиль и догнал автобус в 160 км от Л. В пункт В автомобиль прибыл на. 1 час 48 минут раньше автобуса. Если бы автомобиль и автобус выехали из А одновременно, то через 3 часа, расстояние между ними составило бы 90 км. На. сколько времени раньше выехал автобус из пункта. Л?

Решение. Пусть х км/ч — скорость автобуса, у км/ч — скорость автомобиля, t ч — разность времен их выезда. По условию задачи имеем:

160400хX-160400хX-УЗж = 90УЗж = 90f у = х + 30,240 _ 2409

160

400

х

X-

160

400

х

X-

У

Зж = 90

У

Зж = 90

IГ5

(из второго уравнения

, вычтено первое)

= ЧЧ + Ш ж2 + ЗОж - 4000 = 0, ж + 305

Ж] = 50, Ж9 = — 80 (не удовлетворяет условию).

Из первого уравнения находим:

_ 160160 _ 6

* “ "50" ~ "80" “ 5'

Ответ: 1 ч 12 мин.

Задачи на проценты

При решении задач на. проценты нужно помнить, что процент — это сотая часть числа, взятого количества, вещества, объема, и т. п.

Шестьдесят экземпляров первого тома, и семьдесят пять второго стоят 4050 руб. В случае 15%-й скидки на. первый том и 10%-й — на. второй за. то же количество книг пришлось бы

уплатить 3555 руб. Сколько стоит один экземпляр каждого тома книги?

Решение. Пусть х руб. — цена, одного экземпляра, первого тома, а. у руб. — второго тома, книги. По условию задачи имеем:

J 60т + 75?/ = 4050,

| 60(® - 0,15®) + 75(у - 0, Юу) = 3555

У х = 30, I У = 30.У х = 30, I У = 30.J 60т + 75у = 4050, у 4т + 5?/ = 270, Щ 51® + 67,5у = 3555 Щ 34® + 45у = 2370

У х = 30, I У = 30.

У х = 30, I У = 30.

Ответ: 30 руб., 30 руб.

При продаже двух антикварных изделий, приобретенных магазином за. 225 руб., получено 40% прибыли, причем при продаже первого изделия получено 25 % прибыли, а. второго ™ 50 % прибыли. Определить цену изделий, по которой их приобрел магазин.

Решение. Пусть т руб. — цена, первого, а. у руб. — цена, второго изделия при их покупке магазином. Тогда 1,25 т руб. и 1,5?/ руб. — цена, изделий при продаже магазином. По условию задачи имеем:

У 1,25т + 1,5т/ = 1,4 • 225, у 1,25т + 1,5?/ = 315, уж = 90, р + у = 225, Щж + у = 225, Ду = 135.

Ответ: 90 руб., 135 руб.

Вкладчик на. свои сбережения в банке получил через год 15 руб. начисления процентных денег. Добавив 85 руб., он оставил деньги еще на. год. По истечении года, вклад с процентами составил 420 руб. Какая сумма, была, положена, в банк первоначально, и какой процент дает банк в год?

Решение. Пусть т руб. — первоначальный вклад в банк, а. ?/ % — начисление за. один год. По условию задачи имеем: J (ж+ 15) + 85+ (Ж + ^^ 85-у = 420,

У 100т + 100?/ + ху = 32000, Ут + у = 305,у тт/ = 1500у тт/ = 1500

(посторонние решения отброшены).

Ответ: 300 руб., 5%.

Сумма квадратов двух чисел равна. 325. Если первое число уменьшить на. 70%, а. второе — на. 40%, то сумма, полученных чисел будет равна. 12. Найти значения чисел после уменьшения.

Решение. Пусть х — первое, а у — второе число. После уменьшения первое число будет равно 0,3 ж, а. второе 0,6 г/. По условию имеем:

ж2 + у2 = 325,J ж2 + у2 = 325,J х\ =6, J хо = Ю,

0,3т + 0,6т/ =12{ х + 2у = 40{ ух = 17, { уо = 15.

Ответ: {1,8; 10,2} или {3; 9}.

Задачи на смеси

При решении этих задач следует учитывать, что смесь (сплав, раствор и т.п.) различных веществ представляет собою однородную массу, каждая часть которой содержит столько же процентов каждого вещества, что и весь объем в целом. При этом рассматривается математическая модель реального процесса, а. не сам процесс образования смеси, т. е. потери вещества, реакции, появление посторонних элементов не учитываются.

Имеются два. сплава, золота, и серебра; в одном количество этих металлов находится в отношении 2:3, в другом — в отношении 3:7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5:11?

Решение. Пусть для образования нового сплава, нужно взять х кг от первого сплава, и у кг — от второго. По условию имеем (проследим количественное содержание золота, в сплавах) :

{

х + у = 8,Г у = 8ж,,

5х+1оуЫб’8 I 5х +10^8

Ответ: 1 кг; 7 кг.

Некоторый сплав состоит из двух металлов, входящих в отношении 1:2, а. другой содержит те же металлы в отношении 2:3. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27?

Решение. Пусть было взято х частей первого сплава и г/ частей второго. По условию задачи имеем:

12

З'с ' 5*17

2327'

З'г ' 5s

Поскольку требуется найти две неизвестные величины из одного уравнения, поделим числитель и знаменатель дроби, стоящей в левой части уравнения, на. у:

1 х 2

3 Д + 5 = 17

2 а; 327'

3 Д + 5

Отсюда, находим

х 9

'У 35"

Ответ: на. каждые 9 частей первого сплава, нужно брать 35 частей второго.

В сосуде было 10 л соляной кислоты. Часть соляной кислоты отлили и сосуд дополнили таким же количеством воды. Затем снова, отлили такое же количество смеси и дополнили сосуд таким же количеством воды. Сколько литров отливали каждый раз, если в результате в сосуде оказался 64%-й раствор соляной кислоты?

Решение. Пусть х л — количество жидкости, отливаемой из сосуда, каждый раз. Тогда, после первого отливания и добавления воды в растворе стало (10 — х) л кислоты и х л воды, а. в 10 — х

каждом литре смеси —^ л кислоты.

После того, как во второй раз отлили х л смеси, в сосуде осталось

- К)10

литров кислоты. Учитывая, что полный объем (10 л) составляет 100%, получаем процентное содержание кислоты в смеси:

• 100%,• 100%,(10-а;)2

• 100%,

• 100%,

что составляет по условию 64%, т. е.

(Ю - ж)2 = 64 ж = 2.

Ответ: 2 л.

Имеются два. раствора, поваренной соли различной концентрации. Если слить вместе 100 г первого и 200 г второго раствора, то получится 50%-й раствор. Если же слить 300 г первого и 200 г второго раствора, то получится 42%-й раствор. Определить концентрации этих растворов.

Решение. Пусть концентрация первого раствора — х%, а второго — у %. По условию задачи имеем:

(^.100+ ^.200- 0,5.300,=

bfoo-3001 ТОО™- 0'42'500'

J х + 2 г/ = 150, J х = 30, | Зж + 2у = 210, =Д у = 60.

Ответ: 30%; 60%.

Из бака, наполненного чистым спиртом, вылили часть спирта и долили тем же количеством воды. Затем вылили столько же литров смеси. В баке осталось 49 л чистого спирта. Вместимость бака. 64 л. Сколько литров спирта, вылили в первый раз и сколько во второй?

Решение. Пусть х л спирта, отлили из бака в первый раз. В баке осталось (64 — х) л спирта, а. после добавления воды — 64 - х

л спирта, в каждом литре смеси.

п -64 - ж

Во второй раз отлили . Д • х л спирта. В сосуде осталось 64

64 - ж (64 - ж)2

литров чистого спирта, что по условию равно 49 л, т. е.

Ответ: 8 л; 7 л.

Задачи на прогрессии

Основные формулы:

-+а 1, «2 , аз , ап (арифметическая прогрессия)

«2 = «1 + Ф

аз = «2 + d = «1 + 2d,(1)

«п = «п-1 + d = «1 + (п ™ l)d;

«п—1 4” «п+1 ап™к 4” «n+fe

-2-2,

(2)

«1 4" «п = ак 4" Пп —fe+1 >

(3)

Ьп=2

(4)

Ь\,ЬъЬг, ...,Ьп (геометрическая прогрессия)

Ьч = Ь\- q,

b3 = b2-q = bv q,

(5)

bn = bn-\ -q = bi-qn(6)

bi • bn — b^ • Ьп_^_д,(7)

bn = bn-i * bn+i = Ьпщ • bnp^,(8)

_ bxqu ™ bi _ bi - bxqn _ bx - bn • q.

q-11 -q 1-q

33r bx, b%, Ьз,..., bn,...\q\ < 1 (бесконечно убывающая геометрическая прогрессия)

Найти сумму всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на, 4 дают в остатке единицу.

Решение. Числа, при делении которых на, 4 в остатке получают единицу, имеют вид 4к + 1.

Из них двузначными будут числа, удовлетворяющие неравенству:

998

10 4к + 199 => 9 4к С 98 => - к ,

т. е. все числа, вида, 4к + 1, при к = 3,4, 5,24.

Они образуют арифметическую прогрессию, в которой «1 = = 13, ан = 97, d = 4, п = 22. Поэтому

s22 = 13 2 97 -22 = 1210.

Ответ: 1210.

Между числами 1 и 256 вставить три средних геометрических.

Решение. Средним геометрическим двух чисел а и b называется положительное число ж, удовлетворяющее условию:

Из формулы (8) следует, что речь в задаче идет о геометрической прогрессии: 1, &2 Фз Ф4 ? 256:

Г Ь2 = п 4 = 4,

1 . у = 256= 4 г b3 = 1 • 42 = 16,

[ ъ4 = 1 • 43 = 64.

Ответ: 4; 16; 64.

Три числа, составляют геометрическую прогрессию. Если из третьего числа, вычесть 4, то числа, составят арифметическую прогрессию. Если же из второго и третьего членов полученной арифметической прогрессии вычесть по единице, то снова, получится геометрическая прогрессия. Найти эти числа.

Решение. Пусть Ьх,Ь2,Ьз — искомые числа. По условию имеем:

-Н- Ьг,Ь2,Ьз;+Ь], Ь2, Ьз — 4;4+ bi, Ь2 — 1, Ьз — 5-Н- Ьг,Ь2,Ьз;+Ь], Ь2, Ьз — 4;4+ bi, Ь2 — 1, Ьз — 5Ь2 = bi • Ьз, 2Ь2 = bi + Ьз — 4, bj - 2b2 + 1 = b? - 5biЬ2 = bi • Ьз, 2Ь2 = bi + Ьз — 4, bj - 2b2 + 1 = b? - 5bi5bi + 125bi + 12Ь? = bi • Ьз, 4bi — Ьз + 5 = 0, +> 2b2 = 5bi + 12Ь? = bi • Ьз, 4bi — Ьз + 5 = 0, +> 2b2 = 5bi + 12Г ь2 = bl • Ьз,2b^ = О + Ьз — 4, ю>[ 2Ь2 = 5bi + 1Ь| = 4Ь| + 5ЬьЬз = 4bi +5, ю>2Ь2 = 5bi + 1Г ь2 = bl • Ьз,2b^ = О + Ьз — 4, ю>[ 2Ь2 = 5bi + 1Ь| = 4Ь| + 5ЬьЬз = 4bi +5, ю>2Ь2 = 5bi + 1= 4b? + 5bi ^ 25b? + lObi + 1 = 16b? + 20bi= 4b? + 5bi ^ 25b? + lObi + 1 = 16b? + 20biЬ? = bi • Ьз, 2b2 = bi + Ьз — 4, (b2 - I) = Ь1 ■ (Ьз - 5)

-Н- Ьг,Ь2,Ьз;

+Ь], Ь2, Ьз — 4;

4+ bi, Ь2 — 1, Ьз — 5

-Н- Ьг,Ь2,Ьз;

+Ь], Ь2, Ьз — 4;

4+ bi, Ь2 — 1, Ьз — 5

Ь2 = bi • Ьз, 2Ь2 = bi + Ьз — 4, bj - 2b2 + 1 = b? - 5bi

Ь2 = bi • Ьз, 2Ь2 = bi + Ьз — 4, bj - 2b2 + 1 = b? - 5bi

5bi + 12

5bi + 12

Ь? = bi • Ьз, 4bi — Ьз + 5 = 0, +> 2b2 = 5bi + 1

2

Ь? = bi • Ьз, 4bi — Ьз + 5 = 0, +> 2b2 = 5bi + 1

2

Г ь2 = bl • Ьз,

2b^ = О + Ьз — 4, ю>

[ 2Ь2 = 5bi + 1

Ь| = 4Ь| + 5Ьь

Ьз = 4bi +5, ю>

2Ь2 = 5bi + 1

Г ь2 = bl • Ьз,

2b^ = О + Ьз — 4, ю>

[ 2Ь2 = 5bi + 1

Ь| = 4Ь| + 5Ьь

Ьз = 4bi +5, ю>

2Ь2 = 5bi + 1

= 4b? + 5bi ^ 25b? + lObi + 1 = 16b? + 20bi

= 4b? + 5bi ^ 25b? + lObi + 1 = 16b? + 20bi

10bi + 1=0.

bi = 1 Ь2 = 3, Ьз = 9.

1749

Ь, - g Ь2 - д. ЬЗ - у

1 7 49

Ответ: 1; 3; 9 или -; -; —.

Найти третий член бесконечно убывающей геометриче- 8

ской прогрессии, сумма, которой равна, —, а, второй член равен

Решение. По условию задачи имеем:

bi _ 8

51’ =+10b?-16b,-8 = 0^5b?-8bi-4 = 0,

2 = 18’2 = 18’6, ■ '1 -

2 = 1

8’

2 = 1

8’

Произведение второго и четвертого членов арифметической прогрессии равно 40, а, сумма, первого и пятого ее членов равна, наименьшему значению функции /(ж) = 34 + 8т — ж2 на, отрезке [—2; 3]. Найти прогрессию, если известно, что все члены ее положительны.

Решение. 1) Найдем наименьшее значение функции /(ж) на отрезке [—2; 3]:

ЛО = 8-2Ж;

= 0^8-2ж = 0^ж = 4^ [-2;3];

/(-2) = 14, /(3) = 49 min = /(-2) = 14.

Найдем прогрессию, следуя условию задачи:

Г «2 • <4 = 40,Г («1 + d)(«i + 3d) = 40,

|^ сц 4" 0,5 = 14,|^ 2п1 4" 4d = 14,

J4 + W + 3d2 = 40, g _ d2 = Q = ±3, у ах = 7 — 2d,

d = 3 ах = 13^^1,4,7,10,13,...

d=-3^«i = 1-4-13,10,7,4,1, —2,

Ответ: -41,4,7,10,13,....

Задание для самостоятельного решения

Двум рабочим было поручено выполнить некоторое задание, причем второй рабочий приступил к работе позже первого. Через 1 час после того, как второй рабочий приступил к работе, им осталось выполнить — всего задания. Производительность второго рабочего на, 20 % больше производительности первого. По окончании работы выяснилось, что каждый выполнил половину всего задания. Определить время совместной работы рабочих.

Ответ: 2 ч 30 мин.

Первый рабочий выполняет некоторую работу на, 3 дня дольше, чем второй и на 4 дня дольше, чем третий. Первый и второй рабочие, работая вместе, выполняют эту работу за, столько же дней, что и третий. Определить время выполнения работы каждым рабочим в отдельности.

Ответ: 6 дней; 3 дня; 2 дня.

Два насоса, должны перекачать 44 м3 воды, причем первый насос был включен ранее второго. Через полтора, часа, после того, как был включен первый насос, насосы перекачали 11,5 м3 воды. Второй насос перекачивает в час на, 3 м3 воды больше первого. По окончании работы оказалось, что второй насос перекачал воды на, 20 % больше. Сколько воды перекачивает в час каждый насос?

Ответ: 5 м3; 8 м3.

Если двузначное число разделить на, сумму его цифр, то в частном получится 4, а в остатке 3. Если же это число разделить на произведение его цифр, то в частном будет 3, а в остатке 5. Найти это число.

Ответ: 23.

Трехзначное число оканчивается цифрой 2. Если ее перенести в начало записи числа, то полученное число будет на, 18 больше первоначального. Найти это число.

Ответ: 202.

Два, автомобиля, двигаясь по кольцевой дороге с постоянными скоростями в одном направлении, оказываются рядом через каждые 56 мин. При движении с теми же скоростями в противоположных направлениях автомобили встречаются через каждые 8 мин. За, какое время проедет кольцевую трассу каждый автомобиль?

56

Ответ: 14 мин; — мин.

Указание. Длину трассы обозначить через S м. Если х м/мин

/„8 S

и у м/мин — скорости автомобилей, то наити нужно — и количества минут, затраченных ими на путь S.

Пешеход и велосипедист отправляются из пункта, А в пункт В одновременно. В пункте В велосипедист поворачивает обратно и встречает пешехода, через 20 мин после начала, движения. Не останавливаясь, велосипедист доезжает до Л, поворачивает обратно и догоняет пешехода, через 10 мин после первой встречи. За, какое время пешеход пройдет путь от Л до В?

Ответ: 1 ч.

Сумма квадратов двух чисел равна, 325. Если первое число уменьшить на, 70%, а, второе на, 40%, то сумма, полученных чисел будет равна, 12. Найти значения чисел после их уменьшения.

Ответ: {1,8; 10,2} или {3; 9}.

В 0,5 т руды имеется некоторое количество железа. После удаления из нее 0,2 т примеси, которая содержит в среднем

12,5% железа, процент содержания железа в оставшейся руде увеличился на, 20. Какое количество железа, было в руде первоначально?

Ответ: 212,5 кг.

От двух кусков сплава, с различным процентным содержанием меди, массой т кг и п кг, было отрезано по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков был сплавлен с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в обоих сплавах стало одинаковым. Какова была, масса, каждого из отрезанных кусков?

тй

Ответ: кг.

m nt tt

Показать, что выражения (а + ж)2, а2 + ж2, (а — ж)2,... составляют арифметическую прогрессию, и найти сумму п ее первых членов.

Ответ: (а2 + (3 — п)ах + ж2) • п.

Найти арифметическую прогрессию, в которой сумма первых п членов равна, ЗиЛ

Ответ: 4-3, 9, 15, 21,

Найти четыре числа, составляющих геометрическую прогрессию, в которой сумма, крайних членов равна, 27, а, произведение средних равно 72.

Ответ: уу 3, 6, 12, 24 или -у- 24, 12, 6, 3.

Число членов геометрической прогрессии четно. Сумма, всех ее членов, стоящих на, четных местах, в 3 раза, больше суммы членов, стоящих на, нечетных местах. Найти знаменатель прогрессии.

Ответ: 3.

Определить бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, в которой второй член равен 6, а, сумма членов равна — суммы квадратов ее членов.

Ответ: ДУ 12; 6; 3;

Три числа, составляют геометрическую прогрессию. Их можно рассматривать также как первый, второй и седьмой члены арифметической прогрессии. Найти эти числа, если их сумма, равна, 93.

Ответ: уу 3,15,75 или уу 31,31,31.

Три числа, составляющих арифметическую прогрессию, дают в сумме 15. Если к ним прибавить соответственно 1, 4 и 19, то получатся три числа, составляющих геометрическую прогрессию. Найти эти числа.

Ответ: -У2, 5, 8 или -У26, 5,-16.

Глава 3

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Основные формулы

sin2 a + cos2 a = 1;

(1)

tg a • ctg a = 1;

(2)

1 , to.21.

(3)

1 1 L Clq ?

cosz a

12

(4)

1 | C L ^ Clq ,

sin a

sin(

Ъ + /3) = sin a cos /3 + cos a sin /3;

(5)

sin(

'a — /3) = sin a cos /3 — cos a sin /3;

(6)

cosl

'a + /3) = cos a cos /3 — sin a sin /3;

(7)

cosl

'a — /3) = cos a cos /3 + sin a sin /3;

(8)

toVa + ^ =.

(9)

1 - tg a tg 3

(10)

sin 2a = 2 sin a cos a;

(И)

cos 2a = cos2 a — sin2 a;

(12)

to-2a =° *

(13)

1 — tgz a

sin 3a = 3 sin a — 4 sin3 a;

(14)

cos 3a = 4 cos3 a — 3 cos a;

(15)

sin

. o n . a + /3 a ™ /3

z"v I Q1T1 /*3 V Q1T1 *

(16)

Cl |1JL1JLС

.. д n a + 3 . a-P

sm a — sin p = 2 cos —-— sin —-—;

(17)

„ „ a + 3 a

cos a + cos p = 2 cos —cos —

n q . a + 3 • «

cos a — cos p = —2 sin —-— sin —

(18)

tg a + tg 3

sin (a + /3)

cos a cos /3 ’

(20)

sin (a — /3)

tga - tg/3

cos a cos /3 ’

(21)

cos a cos p = — (cos

(a + /3) + cos(a

-ЗГ(22)

sin a cos /3 = - (sin

(a + /3) + sin(a

-33;(23)

sin a sin /3 = ™(cos<

"a — /3) — cos(a

+ Я);(24)

1 — cos 2a

sin2 a =

2’

(25)

1 + cos 2a

cos2 a =

2’

(26)

1 — cos 2a

tg2 a =

1 + cos 2a ’

(27)

cos 2 a =

2 cos2 a — 1;

(28)

cos 2a =

1 — 2 sin2 a;

(29)

_ a

2tg к

sin a =

2 .

.о ot ’

(30)

1 + tg2 2

1 - tg2 К

cos a =

2

(31)

1 + tg2 -

Напомним также, что

smacos a11

tga = , ctga = , sec a = , cosec a = ; (32)

cos asin acos asin a

., /1 — cos 2asin a = ± у^., /1 — cos 2asin a = ± у^,1 + cos 2acos a = ± i _,1 + cos 2acos a = ± i _(33)(33)

., /1 — cos 2a

sin a = ± у^

., /1 — cos 2a

sin a = ± у^

,1 + cos 2a

cos a = ± i _

,1 + cos 2a

cos a = ± i _

(33)

(33)

sin 2a/1 — cos 2a

tga = ж™tga = ±y ——

sin 2a™)sin 2a™)1 + cos 2aV 1 + cos 2a

sin 2a

™)

sin 2a

™)

Формулы приведения

Эти формулыЭти формулы±Q ± —^ , (±Q ± л)±Q ± —^ , (±Q ± л)позволяютпозволяютвыразить функции углов , (±а ± 2л) через функции

Эти формулы

Эти формулы

±Q ± —^ , (±Q ± л)

±Q ± —^ , (±Q ± л)

позволяют

позволяют

угла, а по следующему правилу.

Если аргумент тригонометрической функции содержит ± — 3

или А—л, т0 эти слагаемые можно отбросить с заменой названия функции (синус меняется на косинус и наоборот, тангенс на котангенс и наоборот); если аргумент содержит ±л или ±2 л, то при их отбрасывании название функции не меняется. Знак

результата, определяется знаком заданной функции, при этом а считается острым углом (хотя формулы приведения справедливы для любого а). Например:

(35)(35)

(35)

(35)

При преобразованиях функций по формулам приведения удобно использовать таблицу:

Функция

Аргумент x

тг

ТГ

тг — а

тг + а

Зтг

Зтг

2тг — а

sin х

cos а

cos а

sin а

— sin а

— cos а

— cos а

— sin а

COST

sin а

— sin а

— cos а

— cos а

™ sin а

sin а

cos а

tg х

ctg а

— ctg а

-tga

tga

ctg а

— ctg а

-tga

ctg X

tga

-tga

— ctg а

ctg а

tga

-tga

— ctg а

Примеры

2 sin ™ + sin a

2+ 2 а

— = ctg 4 ’

1 +tga + tga 2

5—=tg а;

+ ctg а + ctg2 а

в) sec

= 2 sec 2а;

Решение.

sin(2a + /3)

sin а

n / ox Sin 9

2 cos(a + /3) = sin a

n . a .

2 sm ™ + sin a

2 sin — — sin a

2sin^l

9 a

ctg 4

cos 2

2,m-(l-,„-

1 +tga + tg2a 2

6) -j-——— = tg

1 + ctg a + ctg a

n . a n . a a

2 sin — + 2 sin — cos —

2 sin — — 2 sin — cos —

2 a (26)

1 4

о a

' 4

о 2 a

2cOS 42«

TTpa = ct§ 4

2 sin2 —4

4

о a о a

ctg - = ctg

1 + tg а + tg2 а

.2

1tga

1

tg2 a

(1 + tg a + tg2 a) tg2 atg2 a + tg a + 1

tg2 a => tg2 a = tg2 a.

в) secв) sec= 2 sec 2а =^-

в) sec

в) sec

2

COSCOScos 2a ’

COS

COS

учтем, что cos

= cos

1

cos

2

cos 2 a

sin

2

2(35)

cos 2a

222

2

2

(5)(5)n / ox Sin /3 — 2 cos(a + /3) = sman / ox Sin /3 — 2 cos(a + /3) = sma

(5)

(5)

n / ox Sin /3 — 2 cos(a + /3) = sma

n / ox Sin /3 — 2 cos(a + /3) = sma

sin(2a + /3)_.sin/?

—C— - 2 cos(a + /3) =

sin asin a

sin a cos (a + /3) + cos a sin (a + /3)

sin a cos(a + /3) + cos a sin(a + /3)—2 cos(a + /3) sin a sin /3 sin asin a

sin(a + /3) cos a — cos(a + /3) sin a

sin a

sin/3 (6) sin(a +/3 — a) sin/3 sin/3 sin/3 sin asin asin a sin a sin a

Преобразовать в произведения:

1 — \/2 cos a + cos 2a;

cos a + sin 2a — cos 3a;

cos 2a + sin 2a • tg a;

1 —™ sin2 2a — sin2 8 — cos4 a.

4

Решение.

1 — V2 cos a + cos 2a '=^ 2 cos2 a — V2 cos a =

(19)

cos a + sin 2a — cos 3a = 2 sin 2a sin a + sin 2a =

= 2 sin 2a ( sin a += 2 sin 2a ( sin a += 2 sin 2a ^sin a + sin —= 2 sin 2a ^sin a + sin —(16)(16)= 4 sin 2a sin ^ д —= 4 sin 2a sin ^ д —

= 2 sin 2a ( sin a +

= 2 sin 2a ( sin a +

= 2 sin 2a ^sin a + sin —

= 2 sin 2a ^sin a + sin —

(16)

(16)

= 4 sin 2a sin ^ д —

= 4 sin 2a sin ^ д —

cos 2a + sin 2a • tg a = cos 2a + sin 2a =

cos a

cos 2a • cos a + sin 2a • sin a (8) cos a

(И)(И)cos acos a

(И)

(И)

1 ™ ™ sin2 2a — sin2 8 — cos4 a

1-22• 24

= 1 — sin a cos a — sin /3 — cos a =

= (1 — sin /3) — cos2 «(sin2 а + cos2 «) = cos2 3 — cos2 a '=^

l+cos2/3 l+cos2« cos 2/3™ cos 2« (19) . ,_ . ,

Q ™ Q =0= sm(«+/3)sin(«™/3).

Вычислить значения выражений:

a) sin2 2« — cosa) sin2 2« — cossin(2« - -); bsin(2« - -); bv3 cos58° — cos32°sin 110° cos 68° — cos 70° cos 22° 7v3 cos58° — cos32°sin 110° cos 68° — cos 70° cos 22° 7223 + 4 cos 2« ’3 + 4 cos 2« ’если tg« = 0,2;если tg« = 0,2;r) sin4 a + cos4 «, если sin « — cos « = -;r) sin4 a + cos4 «, если sin « — cos « = -;д) tg —, если sin« = —0,28, a EРешение.a) sin2 2« — cos f ™ 2см sin (2cд) tg —, если sin« = —0,28, a EРешение.a) sin2 2« — cos f ™ 2см sin (2c7Г \ (23)7Г \ (23)sin — + sin . bsin — + sin . b

a) sin2 2« — cos

a) sin2 2« — cos

sin(2« - -); b

sin(2« - -); b

v3 cos58° — cos32°

sin 110° cos 68° — cos 70° cos 22° 7

v3 cos58° — cos32°

sin 110° cos 68° — cos 70° cos 22° 7

2

2

3 + 4 cos 2« ’

3 + 4 cos 2« ’

если tg« = 0,2;

если tg« = 0,2;

r) sin4 a + cos4 «, если sin « — cos « = -;

r) sin4 a + cos4 «, если sin « — cos « = -;

д) tg —, если sin« = —0,28, a E

Решение.

a) sin2 2« — cos f ™ 2см sin (2c

д) tg —, если sin« = —0,28, a E

Решение.

a) sin2 2« — cos f ™ 2см sin (2c

7Г \ (23)

7Г \ (23)

sin — + sin . b

sin — + sin . b

. 2911= Sin Z« — - + - Sin42. 2911= Sin Z« — - + - Sin42. 2 911 л (12)

. 2911

= Sin Z« — - + - Sin

42

. 2911

= Sin Z« — - + - Sin

42

= sin z« ™ — + ™ cos 4« =42

= sin2 2« — - + - cos2 2« — - sin2 2« =

422

1 . 9O 1 2o

= - Sin^ Z« + - COS Z« ™ ™ = ™.

2244

V3 cos 58° — cos 32°

sin 110° cos 68° — cos 70° cos 22°

в) Имеем согласно (31):

1 - tg2 а cos 2а =о— =

1 + tg2 а

1 -0,04 _ 0,96 _ 12

1+0,04 ” 1,04 ” 13’

тогда^

3 + 4 cos 2а

_ 2 _ 26

-48 - 87'

13

г) По условию

sin а — cos а = - =0 (sin а — cos а)2 = т sin^ a — 2 sin a cos a+

2 х74

+ cos2 a = - => 1 — sin 2a = - ^ sin 2a = -.

444

Тогда

sin4 а + cos4 а = ((sin2 а)2 + (cos2 а)2 + 2 sin2 a cos2 а) —

П•99/.99\9п •99i8Ш^ 2а

2 sin^ a cos^ а =(snV а + cos^aj —2 sin^ a cos^ а =1-— =

9

,162 = ”

232 32'

д) По условию

ЗлЗл а

Учитывая это,Учитывая это,1 — cos а а /1 — cos а1 — cos а а /1 — cos аимеем согласно (34):

Учитывая это,

Учитывая это,

1 — cos а а /1 — cos а

1 — cos а а /1 — cos а

fg о ==Ь V то™’

2 у Н cos а 2 у 1 + cos а где

cos а = ± Vl — sin2 а =^ cos а = + д/1-—= 0,96.

ДЖ _V 096 - ”7"ДЖ _V 096 - ”7"Поэтому

ДЖ _

V 096 - ”7"

ДЖ _

V 096 - ”7"

/1—0,96tg 2 - V 1 + 0,96

Тригонометрические уравнения.

Обратные тригонометрические функции

При решении тригонометрических уравнений используются формулы решений простейших тригонометрических уравнений, к которым приводятся исходные уравнения:

sin ж = а =Е х = (—1)п arcsina + ли, н Е Z, |а| 1; (36) cos х = а =Е х = ± arccos а + 2 тгп, н Е Z, |а| ^ 1; (37) tg х = а =Е х = arctg а + тгп, н Е Z; (38) ctg х — а х — arcctg а + тгп, п Е Z. (39)

Отметим, что

(40)(41)(42)(43)(40)(41)(42)(43)2’2)’2’2)’arcsin(—а) = — arcsina;

(40)

(41)

(42)

(43)

(40)

(41)

(42)

(43)

2’2)’

2’2)’

arccos(—а) = тг — arccos а; arctg(-a) = — arctg а;

arcctg(—а) = тг — arcctg а.

Напомним определения:

arcsina — угол, расположенный в промежутке синус которого равен a (|a| ^ 1);

arccos a — угол, расположенный в промежутке [О;тг], косинус которого равен a (|a| ^ 1);

Рис. 20Рис. 20arctg а — угол, расположенный в про

Рис. 20

Рис. 20

межутке—; — J , тангенс которого равен а;

arcctg а — угол, расположенный в промежутке (О;тг), котангенс которого равен а.

Для определения значений тригонометрических функций углов 30° и 60° удобно использовать прямоугольный треугольник с катетами, равными 1 и ДЗ , гипотенузой, равной 2, и зависимости между его элементами (рис. 20). Например,

sin 30°sin 30°ПС _ 1ВС ” 2’ПС _ 1ВС ” 2’tg30° =tg30° =АСАВАСАВcos 30° =-^; ctg 30° =cos 30° =-^; ctg 30° =АВ "вс АВ "АСАВ "вс АВ "АС

sin 30°

sin 30°

ПС _ 1

ВС ” 2’

ПС _ 1

ВС ” 2’

tg30° =

tg30° =

АС

АВ

АС

АВ

cos 30° =

-^; ctg 30° =

cos 30° =

-^; ctg 30° =

АВ "вс АВ "АС

АВ "вс АВ "АС

Для угла 45°: sin 45° = cos 45° =,tg45° = ctg 45° = 1.

Графики функций (рис. 21-24) наглядно показывают, что

sin(—ж) = — sinx; cos(—ж) = cost;

tg(—т) = — tgx;ctg(—т) = — ctgT.tg(—т) = — tgx;ctg(—т) = — ctgT.

tg(—т) = — tgx;ctg(—т) = — ctgT.

tg(—т) = — tgx;ctg(—т) = — ctgT.

Рис. 25Рис. 25

Рис. 25

Рис. 25

Кроме графиков, удобно использовать единичную окружность и оси, на которых откладываются значения тригонометрических функций: ось Оу — ось синусов, ось Ох — ось косинусов, прямая х = 1 — ось тангенсов, прямая у = 1 — ось котангенсов (рис. 25).

Например, отметим (на основном периоде) углы, для которых a) sin ж = б) tgx = — 2; в) ctgx = — 1 (рис. 26).

Обратные тригонометрические функции у = arcsinx (ж Е Е [—1; 1]), у = arccosT (т Е [—1; 1]), у = arctgx (х Е R), у = = arcctg х (х Е R) являются обратными соответственно к функ

циям у = sinx, у = cost, у = tgx и у = ctgx на промежутках

для синуса и тангенса и (0; тг) для косинуса и котангенса, т. е. на промежутках, где эти функции являются взаимно

однозначными .однозначными .Рис. 26Рис. 26

однозначными .

однозначными .

Рис. 26

Рис. 26

6)6)

6)

6)

Запишем еще несколько формул, связывающих значения обратных тригонометрических функций:

arcsin x

7Г

= ™ — arccos x;

(44)

arccosx

TV

= ™ arcsin x;

(45)

arctg x =

TV

= ™ — arcctg x;

(46)

arcctg x

TV

= ™ arctg x.

(47)

Примеры

Вычислить:

х fиЦ А (. 1

a) sin I arcsin - I; б) cos I — arcsin - I ; в) tg I arcsin -

r) cos(arctg V3 + arcctg V3); д) tg(arctg a + arcctg b).

Решение.

. /. 1 A def 1

sin ( arcsin - I = -.

/3/3/ 1A /1

/3

/3

, A - 1в) tg I arcsin -, A - 1в) tg I arcsin -11/3/333cos I — arcsin — I = cos I arcsin —

, A - 1в) tg I arcsin -

, A - 1в) tg I arcsin -

1

1

/3

/3

3

3

г) cos(arctg V3 + arcctg V3) '=^ cos ™ = 0.

(9) tg(arctg a) + tg(arcctg b)

Д) tg(arctga + arcctg b) = —-———-—- =

1 — tg(arctg a) ■ tg(arcctg b)

11

ctg(arcctg 6) a + ™

11i _ b — a *

1 - a •. T_ 1 i

ctg(arcctg b) u

Вычислить:

a) arccos(cos25°); 6) arccos(sin2); в) arccos(cos 11);

r) arcsin(sin 11).

Здесь 2 и 11 — радианные меры углов.

Решение.

arccos(cos 25°) = 25°, т. к. 25° € [0; 180°].

arccos(sin2) = arccos (sin=

= arccos= arccos2222

= arccos

= arccos

2

2

2

2

arccos(cos И) = arccos(cos(—11)) = агссоз(со8(4л — И)) = = 4л — 11, т. к. 4л — 11 Е [0; л].

arcsin(sin 11) = arcsin(sin(l 1 — 4л)) = 11 — 4л, т. к. 11 —

Доказать тождества:

х n 1254

2 arctg - + arctg - = arctg —;

37

2 arcsin - = arccos —.

525

0000Решение.а) Учтем, что4<-<<|<^°<Решение.а) Учтем, что4<-<<|<^°<1 arctg -2 arctg -1 arctg -2 arctg -44n 12 Зтг2 arctg - + arctg - < —,n 12 Зтг2 arctg - + arctg - < —,00’ 4 )54 тг агсЧ29< 2-’ 4 )54 тг агсЧ29< 2-

0

0

0

0

Решение.

а) Учтем, что

4<-<

<|<^°<

Решение.

а) Учтем, что

4<-<

<|<^°<

1 arctg -

2 arctg -

1 arctg -

2 arctg -

4

4

n 12 Зтг

2 arctg - + arctg - < —,

n 12 Зтг

2 arctg - + arctg - < —,

0

0

’ 4 )

54 тг агсЧ29< 2-

’ 4 )

54 тг агсЧ29< 2-

Следовательно, левая и правая части данного тождества являются углами из промежутка (О;тг), а значения тангенса в каждой точке этого промежутка (кроме х = —) являются един-

ственно возможными. И наоборот, каждое значение тангенса (кроме нуля) принимается в единственной точке этого интервала. Поэтому, если тангенс левой части равен тангенсу правой части, то левая часть равна правой.

Итак, вычислим тангенс от левой и правой частей данного

тождества:

Л 12\/54 \ (9)

tg I 2 arctg - + arctg - I = tg I arctg — I

tg I 2 arctg - I + tg I arctg - I

7 ГХ 72

1 — tg I 2 arctg - I * tg I arctg -

54 Ш)

29

2 tg I arctg - I 2

7 П "*" з

- tg2 I arctg - J

2tg (arctg Ы

У И И

- tgz I arctg - I

54

29

2

3

18

5475_ 5454 _ 54

29_ p 292929'

45

б) Учтем, что углы, стоящие в левой и правой частях данного тождества, совпадают тогда и только тогда, когда равны их

синусы, т. к. между промежутком

, в котором они распо

ложены, и множеством значений функции у = sin ж, х Е существует взаимно-однозначное соответствие. Тогда

sin

3

2 arcsin -г

5

= sin

7 arccos — 25

Замечание. При ства использовалисьЗамечание. При ства использовалисьдоказательстве последнего тожде- формулы sin а = ±v 1 — cos2 а и

Замечание. При ства использовались

Замечание. При ства использовались

cos а = ± у 1 — sin2 а. В обоих случаях выбран знак плюс из-за п /• 3 / п /7 /

того, что и < arcsin - < - и U < arccos — < —.

52252

Решение тригонометрических уравнений

Для решения тригонометрических уравнений применяют различные приемы. Отметим некоторые из них.

Приведение уравнения к зависимости между различными функциями от одного аргумента.

Приведение уравнения к зависимости между одинаковыми функциями одного аргумента.

Приведение уравнения к алгебраическому с помощью замены переменной.

Приведение уравнения к однородному относительно sin ж, cos х.

Приведение уравнения к виду:

sin х = sin -у ЕР х = (—Хуьу + лп, н Е R; (48) б) cos х = cos у ЕР х = ^у + 2тгтг, н Е R; (49) в) tg х = tgy ЕР х = у + лп, н Е R. (50)

Введение вспомогательного аргумента в уравнениях

a sin ж + b cos х = с, а У 0, b ^ 0, с У 0, а2 + Ь2 с2

по схеме:

ааsin х Н, cos х =sin х Н, cos х =

а

а

sin х Н, cos х =

sin х Н, cos х =

sin аsin аcos а

sin а

sin а

С..

= ;-=^ sin a sin х + cos (X COS X =

cc

=.- =^ COSLT СИ =. n

V a? + №V a? + b2

Решение последнего уравнения находится по формуле (37):

са

х = ± arccos- + arcsin- + 2тгп, n Е Z.

V а? + Ь2V а? + Ь2

Разложение на множители.

Выделение полного квадрата.

Примеры

tg2 8 т = 4 sin2 4т;

cos 4т = —2cos2t;

cos2 х + 3 sin2 х + 2 ДЗ sin т cos т = 1;

sin х — cos х — 4 cos2 х sin т = 4 sin3 т;

sin 2т + ДЗ cos 2т = 1;

sin Зт = cos 2т;

sin4 х + cos4 х = cos 4т.

Решение.

7Г7Г ТТТ1

ОДЗ: 8т Д — + лп; т Д — 3——, n Е Z. Воспользуемся прие-

2loo

мом приведения функций к одному аргументу:

sin2 8т(п) 4 sin2 4т cos2 4т . .

—4 sirp 4Ж = 0 —л4 sin2 4т = 0 =>

cos^ 8тcos^ 8т

, о , / cos2 4т — cos2 8т \ Л

4 sin ' 4т | тг™= 0

\ cos2 8т /

1) sin2 4т = 0 4т =1) sin2 4т = 0 4т =2) cos2 4т — cos2 8т = 0 =>2) cos2 4т — cos2 8т = 0 =>тгк1 + cos 8т2тгк1 + cos 8т2к е г,к е г,— cos2 8т = 0 =>— cos2 8т = 0 =>

1) sin2 4т = 0 4т =

1) sin2 4т = 0 4т =

2) cos2 4т — cos2 8т = 0 =>

2) cos2 4т — cos2 8т = 0 =>

тгк

1 + cos 8т

2

тгк

1 + cos 8т

2

к е г,

к е г,

— cos2 8т = 0 =>

— cos2 8т = 0 =>

=Е 2 cos2 8т — cos 8т 1 = 0

cos 8т = 1 => 8т = 2тт т = ——, п Е Z.

4

cos 8т = — — ^> 8т = ± arccos f ™™ у + 2лш,

8х = ± f тг — arccos 2 у + 2лт,

2л

8х = ±— + 2ivm,

л ivm

X = ±— 4- —т Е Z.

124

Сравнивая полученные решения с ОДЗ, запишем ответ. ivnтгivm

Ответ: ——, п Е ж. ± — Н—, т Е Z.

4124

cos 4х = —2 cos2 х =Е cos 4х + 2 cos2 х = 0

2 cos2 2т — 1 + cos 2т + 1 = 0 cos 2т(2 cos 2т + 1) = 0 =>

1)2)1)2)cos 2т = 0 2т = — + тгп х = — +242 cos 2т + 1 = 0 cos 2т = — - =Е х =cos 2т = 0 2т = — + тгп х = — +242 cos 2т + 1 = 0 cos 2т = — - =Е х =ттТ’ neZ-ттТ’ neZ-±— + ivk, к Е Z.±— + ivk, к Е Z.

1)

2)

1)

2)

cos 2т = 0 2т = — + тгп х = — +

24

2 cos 2т + 1 = 0 cos 2т = — - =Е х =

cos 2т = 0 2т = — + тгп х = — +

24

2 cos 2т + 1 = 0 cos 2т = — - =Е х =

тт

Т’ neZ-

тт

Т’ neZ-

±— + ivk, к Е Z.

±— + ivk, к Е Z.

Z.Z._Л ЛП „11

Z.

Z.

Ответ: — + —, n Е Z; т =+ лл, к Е

cos2 х + 3 sin2 х + 2 VS sin x cos x = 1

=> cos2 x + 3 sin2 x + 2 VS sin x cos x — sin2 x — cos2 x = 0. ()

Это однородное уравнение второго порядка относительно sinx и cost. Решается делением на старшую степень одной из функций.

Пусть cos2 X ^ 0.

sin х — cos х — 4 cos2 х sin х = 4 sin3 х =^sin х — cos х — 4 cos2 х sin х = 4 sin3 х =^=Ф> sin х — cos х — 4 sin x(cos2 x + sin2 x) = 0 =^оa11=G 3 sin x + cos x = 0 =^ tg x = — — =G x = — arctg - + m,=Ф> sin х — cos х — 4 sin x(cos2 x + sin2 x) = 0 =^оa11=G 3 sin x + cos x = 0 =^ tg x = — — =G x = — arctg - + m,n G Z.n G Z.Ответ: — arctg - + тп, n G Z.Ответ: — arctg - + тп, n G Z.Умножим обе части уравнения наУмножим обе части уравнения на1112"12"1Д17Г7Г1- sin 2ж Н—— cos 2ж = - => cos — sin 2ж + sin — cos 2х = — оо1Д17Г7Г1- sin 2ж Н—— cos 2ж = - => cos — sin 2ж + sin — cos 2х = — оо(5)(5)^sin(2x+|) = |^2x+| = (-ir^sin(2x+|) = |^2x+| = (-ir1arcsin - + ^-п,1arcsin - + ^-п,п G Z,п G Z,

sin х — cos х — 4 cos2 х sin х = 4 sin3 х =^

sin х — cos х — 4 cos2 х sin х = 4 sin3 х =^

=Ф> sin х — cos х — 4 sin x(cos2 x + sin2 x) = 0 =^

оa11

=G 3 sin x + cos x = 0 =^ tg x = — — =G x = — arctg - + m,

=Ф> sin х — cos х — 4 sin x(cos2 x + sin2 x) = 0 =^

оa11

=G 3 sin x + cos x = 0 =^ tg x = — — =G x = — arctg - + m,

n G Z.

n G Z.

Ответ: — arctg - + тп, n G Z.

Ответ: — arctg - + тп, n G Z.

Умножим обе части уравнения на

Умножим обе части уравнения на

1

1

1

2"

1

2"

1Д17Г7Г1

- sin 2ж Н—— cos 2ж = - => cos — sin 2ж + sin — cos 2х = — оо

1Д17Г7Г1

- sin 2ж Н—— cos 2ж = - => cos — sin 2ж + sin — cos 2х = — оо

(5)

(5)

^sin(2x+|) = |^2x+| = (-ir

^sin(2x+|) = |^2x+| = (-ir

1

arcsin - + ^-п,

1

arcsin - + ^-п,

п G Z,

п G Z,

2ж = (—I) g-g+тгп, nGZ, ж=(-1) —-- + — nGZ"

Ответ: — — + kix k G 7д — + ттг, т G Z.

12'4

•(48)

sin Зх = cos 2х =G sin Зх = sin(— — 2х) W

=G Зх = (—1)п • (™ — 2х) + xn, п G Z

п = 2к, Зх = ™ — 2х + 2тгк х =+ -^тгк, к G Z

2105

п = 2к + 1, Зх =+ 2х + 2'тгк + х х = ™+2х/с, к 6 Z.

Ответ: + 2wk. к G "h; — + ™wk, к G Z. 27105

sin х + COS X = cos 4х>

/ * 2 \2 , /2 \2 , Q • 220-22

(sin х) + (cos х) +2 sin xcos x™2sin XCOS х =

= 1 - 2 sin2 2ж У 1 -_ 1 + 2 sin2 2ж = 0

3 sin2 2х. п'тт „

= О =G sin^ 2х = 0 2х = х-п, х = —, п G Z.

Ответ: —, n G X.

Тригонометрические неравенства

Методы решения тригонометрических неравенств основываются на тех же приемах, что и решение тригонометрических уравнений и обычных алгебраических неравенств.

Учитывая периодичность тригонометрических функций, множество решений неравенства определяется сначала на основном отрезке длиной в период, а затем распространяется на всю числовую ось.

Основной отрезок выбирается так, чтобы один из его концов попал в область определения обратной тригонометрической / Л Л \

функции, т. с. (0; л) илив зависимости от вида функ

ции.

При решении неравенств можно использовать единичную окружность, но решение с помощью графика функции является более наглядным и помогает избежать неверного определения углов, что нс всегда просто при использовании единичной окружности.

Примеры

sin от < -;sin от < -;ввд) sin2 ж > Ед) sin2 ж > Е2,4 J|<L2,4 J|<LуЗcos 2т > —г) ctS К + ИуЗcos 2т > —г) ctS К + Ие) 2 cos2 ж + cos т — 3 < 0;е) 2 cos2 ж + cos т — 3 < 0;

sin от < -;

sin от < -;

в

в

д) sin2 ж > Е

д) sin2 ж > Е

2,4 J|<L

2,4 J|<L

уЗ

cos 2т > —

г) ctS К + И

уЗ

cos 2т > —

г) ctS К + И

е) 2 cos2 ж + cos т — 3 < 0;

е) 2 cos2 ж + cos т — 3 < 0;

ж) 4cos2(360° + ж) ^ cos2(90° + ж) + — cos(270° + 2ж).

Решение.

Построим графики функций у = sint, у = —. Множество значений t, где t = Зт, для которых синусоида расположена под

1~

прямой у = —, является решением данного неравенства.

Из рис. 27 видно, что в качестве основного промежутка дли-

ной 2тг удобно выбратьной 2тг удобно выбратьвенства в этом случаеЛ . 1котором — = arcsm — Евенства в этом случаеЛ . 1котором — = arcsm — Е3 л л I

ной 2тг удобно выбрать

ной 2тг удобно выбрать

венства в этом случае

Л . 1

котором — = arcsm — Е

венства в этом случае

Л . 1

котором — = arcsm — Е

—— ;? т- к- множество решений нера-

/ 7 л л \

определяется интервалом ——; т , в \ о о /

Рис. 27Рис. 27

Рис. 27

Рис. 27

Учитывая периодичность, запишем решение на всей числовой оси:

7 ЛЛ7 ЛЛ

—— + 2лп < t < ™ 3- ^"гп =Ф> —— + 2лп < Зх < л + 2лп, ОООо

72л2_

+ охп < ж < То +п Е

1оа1оа

л ( ^^Ответ: ™лл \ 18л ( ^^Ответ: ™лл \ 182222™лп; — + -лп , n Е Z. а 1о а /™лп; — + -лп , n Е Z. а 1о а /

л ( ^^

Ответ: ™лл \ 18

л ( ^^

Ответ: ™лл \ 18

2

2

2

2

™лп; — + -лп , n Е Z. а 1о а /

™лп; — + -лп , n Е Z. а 1о а /

■уЗ

Множеством решений неравенства, cost > гДе = = 2х, на основном отрезке [—тг;тг] длиной 2л является интервал g" J ? т-к- соответствующие точкам из этого интервала

значения функции у = cost (рис. 28).значения функции у = cost (рис. 28).расположены над прямой у = -^—расположены над прямой у = -^—Рис. 28Рис. 28

значения функции у = cost (рис. 28).

значения функции у = cost (рис. 28).

расположены над прямой у = -^—

расположены над прямой у = -^—

Рис. 28

Рис. 28

Учитывая периодичность, запишем решение неравенства на всей числовой оси:

— л + 2л'п < t < ™ + 2л'п — л + 2л'п < 2х < л + 2л?г, ОООо

лл

< ж < ТК + xn’ п Е

Ответ:Ответ:лп; Г2 ’ П ^ ^'лп; Г2 ’ П ^ ^'Учитывая определение абсолютной величины, запишем неравенства, эквивалентные данному:

Ответ:

Ответ:

лп; Г2 ’ П ^ ^'

лп; Г2 ’ П ^ ^'

Рис. 29Рис. 29Решаем с помощью графиков. Построим графики функций -у = -1, у = 1, у = tg t, где t = 2т + - (рис. 29).

Рис. 29

Рис. 29

В этом примере в качестве основного промежутка, длиной л, / л л \ у

равной периоду тангенса, выбираем Любое значение аргумента t из этого промежутка является арктангенсом соответствующего значения тангенса.

- "Т + ЛП ^ t С "Г44- "Т + ЛП ^ t С "Г44444444— — + тгп 2т— — + тгп 2тОтвет:Ответ:Л ЛПT],neZ.Л ЛПT],neZ.w-n „п е Z.w-n „п е Z.г) Согласно определению абсолютной величины данное неравенство эквивалентно двум следующим:г) Согласно определению абсолютной величины данное неравенство эквивалентно двум следующим:2 + з)™1 или2 + з)™1 или2323

- "Т + ЛП ^ t С "Г

44

- "Т + ЛП ^ t С "Г

44

4

4

44

44

— — + тгп 2т

— — + тгп 2т

Ответ:

Ответ:

Л ЛП

T],neZ.

Л ЛП

T],neZ.

w-n „

п е Z.

w-n „

п е Z.

г) Согласно определению абсолютной величины данное неравенство эквивалентно двум следующим:

г) Согласно определению абсолютной величины данное неравенство эквивалентно двум следующим:

2 + з)™1 или

2 + з)™1 или

23

23

Решаем с помощью графиков (рис. 30; t = — + —).

межуткамимежуткамиОчевидно, множество решений неравенств определяется про-

межутками

межутками

ЛЛ 3

и < t ™ и -л ^ t

44

3 Г. А. Сахабиева, В. А. Сахабиев

На всей числовой оси имеем: тгж тг тг

ТГП < t ^ — + ТГП, ТГП < — +^ т + тг-п,

74234'

ТГТГX2X212 +12 +

ТГ

ТГ

X

2

X

2

12 +

12 +

2ТГ

+ 2тгп < т ^ — — + 2лп, п Е Z;

3о

33жтг

Т'ТГ + ТГП < t < ТГ +— ТГ + ТГП < 7” +< тг + ТГП,

4'423

Ответ:Ответ:п Е Z.д) sin2 жп Е Z.д) sin2 ж5656512512ж 22 <+ хп’ж 22 <+ хп’4— ТГ + 2лП, п Е Z.4— ТГ + 2лП, п Е Z.тгл + 2тт; + 2irn Uотгл + 2тт; + 2irn Uо"54\—л + 2тг7т; — тг + 2лп ), о3Г"54\—л + 2тг7т; — тг + 2лп ), о3Г11 — cos 2т 122> 211 — cos 2т 122> 2

Ответ:

Ответ:

п Е Z.

д) sin2 ж

п Е Z.

д) sin2 ж

5

6

5

6

5

12

5

12

ж 2

2 <+ хп’

ж 2

2 <+ хп’

4

— ТГ + 2лП, п Е Z.

4

— ТГ + 2лП, п Е Z.

тг

л + 2тт; + 2irn U

о

тг

л + 2тт; + 2irn U

о

"54\

—л + 2тг7т; — тг + 2лп ), о3Г

"54\

—л + 2тг7т; — тг + 2лп ), о3Г

11 — cos 2т 1

22> 2

11 — cos 2т 1

22> 2

Зл™—h kiv,к Е 71.4Зл™—h kiv,к Е 71.47Г_ Зтг

Зл

™—h kiv,к Е 71.

4

Зл

™—h kiv,к Е 71.

4

+ 2/сл < 2т < — + 2/сл, "7 + /сл

224

Ответ: ( — +/стг; ——6 кп |, к Е Z. \44 у

так:так:с) Обозначим у = cost. Тогда, данное неравенство запишется

так:

так:

2у2 + у-3<0^2(у-1)(у + |)<0.

Последнее неравенство решаем методом интервалов (рис. 31):

3232< У << У << COST< COST

3

2

3

2

< У <

< У <

< COST

< COST

Очевидно, что решением неравенства является любое ж G Ж

кроме ж = 2лп.

Ответ: (2лп; 2л(п + 1)), n Е Z.

ж) 4cos(360° + И < cos2(90° + Л + | cos(270° + 2ж)

4 cos2х4 cos2х3 , sin" х + — Sln3 , sin" х + — Sln

4 cos2х

4 cos2х

3 , sin" х + — Sln

3 , sin" х + — Sln

sin2 ж + 3 sin ж cos ж — 4 cos2 ж ^ 0 — однородное неравенство. (*)

Рис. 31Рис. 31Рис. 32Рис. 32

Рис. 31

Рис. 31

Рис. 32

Рис. 32

УУ2244С ж ^ arctg(—4) + лт,2 IС ж ^ arctg(—4) + лт,2 I

У

У

2

2

4

4

С ж ^ arctg(—4) + лт,

2 I

С ж ^ arctg(—4) + лт,

2 I

1) Пусть COS2 Ж = О, Т. с. Ж = ^ + ЛП.

(*) => sin2 ж 0 это неравенство справедливо при любых ж.

Следовательно, решением исходного неравенства, является множество

Итак, ж G т Е Z, к G Z.Итак, ж G т Е Z, к G Z.лт; — arctg 4 + тгт^ U ^ + л/с; ^ + nkj,

Итак, ж G т Е Z, к G Z.

Итак, ж G т Е Z, к G Z.

Отложим полученные в решении интервалы на числовой оси (рис. 33). Очевидно, они разделяются только точками ™ + л'П.

Злу arctg 42Злу arctg 42Рис. 33Рис. 33^ZzZz^ZZzZ^.>.

Злу arctg 4

2

Злу arctg 4

2

Рис. 33

Рис. 33

ту^ лу - arctg 4 ж

42

Учитывая, что точки — + лп также являются решениями исходного неравенства, можно записать:

г 6 ^ + тгп; (л — arctg 4) + лп] .

Ответ: | у + тт; (л — arctg 4) + лп |, п 6 Z.

Задание для самостоятельного решения

Доказать тождества:

б)б)1 — sin а !— cos аsin2 а — 11 — 2 cos2 о.1 + sin 2qcos 2 a1 — sin а !— cos аsin2 а — 11 — 2 cos2 о.1 + sin 2qcos 2 a1 + cosec a 3i ,= etg a;1 + sec a1 + cosec a 3i ,= etg a;1 + sec acos2 а — 1cos2 а — 1111 — sin2 a cos2 а1 — sin2 a cos2 аг) sin а + sinг) sin а + sin2л \.— I + sin2л \.— I + sin

б)

б)

1 — sin а !

— cos а

sin2 а — 1

1 — 2 cos2 о.

1 + sin 2qcos 2 a

1 — sin а !

— cos а

sin2 а — 1

1 — 2 cos2 о.

1 + sin 2qcos 2 a

1 + cosec a 3

i ,= etg a;

1 + sec a

1 + cosec a 3

i ,= etg a;

1 + sec a

cos2 а — 1

cos2 а — 1

1

1

1 — sin2 a cos2 а

1 — sin2 a cos2 а

г) sin а + sin

г) sin а + sin

2л \.

— I + sin

2л \.

— I + sin

2 4Л2 4ЛV1 + COS Об + V1 — COS 06

2 4Л

2 4Л

V1 + cos a — V1 — cos a

e) sin6 a + cos6 a + 3 sin2 a cos2 a = 1.

в) 1 + 5 sin 2а —Sjn Q д cos qг sin а — cos ав) 1 + 5 sin 2а —Sjn Q д cos qг sin а — cos а3—, если tga = ™2;cos 2а2, если sin a cos ft = -, ft Е53—, если tga = ™2;cos 2а2, если sin a cos ft = -, ft Е5q .3 г тг ]tg —, если sin ft = ft Е ;sin2 а + sin2 /3 — 2 sin а sin /3 cos(q — /3), если sin(a — /3) = -;q .3 г тг ]tg —, если sin ft = ft Е ;sin2 а + sin2 /3 — 2 sin а sin /3 cos(q — /3), если sin(a — /3) = -;3 — 4 cos 2а + cos 4аV2--—, если tga =3 + 4 cos 2а + cos 4а2х 1 л 1 о 3/- cos+ - cos 2а + -, если cos ex — \о2оу12Ответ: a) —; б) 1 — q2; в) 2; г) 3; д)Вычислить:) sin I - arctg а I при а = 1; а = — 1;3 — 4 cos 2а + cos 4аV2--—, если tga =3 + 4 cos 2а + cos 4а2х 1 л 1 о 3/- cos+ - cos 2а + -, если cos ex — \о2оу12Ответ: a) —; б) 1 — q2; в) 2; г) 3; д)Вычислить:) sin I - arctg а I при а = 1; а = — 1;1 A 1 A 44; Ж) 4; 3) 9'1 A 1 A 44; Ж) 4; 3) 9') cos ^arcsin ^—2^ ’./ arccos а + arcsin а) cos ^arcsin ^—2^ ’./ arccos а + arcsin аь V 2г) arccos (sin 10);д) arcsin(sin 10);е) arccos (cos( —-ь V 2г) arccos (sin 10);д) arcsin(sin 10);е) arccos (cos( —-1;1;Ответ: a) ^ д) Зтг-10; e) ^.Ответ: a) ^ д) Зтг-10; e) ^./3/35?Г5?Г22

в) 1 + 5 sin 2а —

Sjn Q д cos q

г

sin а — cos а

в) 1 + 5 sin 2а —

Sjn Q д cos q

г

sin а — cos а

3

—, если tga = ™2;

cos 2а

2

, если sin a cos ft = -, ft Е

5

3

—, если tga = ™2;

cos 2а

2

, если sin a cos ft = -, ft Е

5

q .3 г тг ]

tg —, если sin ft = ft Е ;

sin2 а + sin2 /3 — 2 sin а sin /3 cos(q — /3), если sin(a — /3) = -;

q .3 г тг ]

tg —, если sin ft = ft Е ;

sin2 а + sin2 /3 — 2 sin а sin /3 cos(q — /3), если sin(a — /3) = -;

3 — 4 cos 2а + cos 4аV2

--—, если tga =

3 + 4 cos 2а + cos 4а2

х 1 л 1 о 3/

- cos+ - cos 2а + -, если cos ex — \

о2оу

12

Ответ: a) —; б) 1 — q2; в) 2; г) 3; д)

Вычислить:

) sin I - arctg а I при а = 1; а = — 1;

3 — 4 cos 2а + cos 4аV2

--—, если tga =

3 + 4 cos 2а + cos 4а2

х 1 л 1 о 3/

- cos+ - cos 2а + -, если cos ex — \

о2оу

12

Ответ: a) —; б) 1 — q2; в) 2; г) 3; д)

Вычислить:

) sin I - arctg а I при а = 1; а = — 1;

1 A 1 A 4

4; Ж) 4; 3) 9'

1 A 1 A 4

4; Ж) 4; 3) 9'

) cos ^arcsin ^—2^ ’

./ arccos а + arcsin а

) cos ^arcsin ^—2^ ’

./ arccos а + arcsin а

ь V 2г) arccos (sin 10);д) arcsin(sin 10);е) arccos (cos( —-

ь V 2г) arccos (sin 10);д) arcsin(sin 10);е) arccos (cos( —-

1;

1;

Ответ: a) ^ д) Зтг-10; e) ^.

Ответ: a) ^ д) Зтг-10; e) ^.

/3

/3

5?Г

5?Г

2

2

Доказать тождества:

х n 1132

2 arctg - + arctg ™ = arctg —;

arcsin3x = arccos4x.

Ответ: а) 4; ™1; б)Ответ: а) 4; ™1; б)15*15*

Ответ: а) 4; ™1; б)

Ответ: а) 4; ™1; б)

1

5*

1

5*

Решить уравнения: /Зл

a) cos 3x = 2 sin ( — + x ]

х . 44

sin х + cos х = -;

cos х — -^ sin х = cos Зх;

sin5x = sin7x;

5 sin 2х — 13(sin х + cos х) + 13 = 0.

Замечание. Последнее уравнение можно решить заменой sin х + cos х = t, sin 2x = t^ — 1.

7ГЛ

Ответ: a) — + тгтц n G Z; ±— + лт, m E Z;

) — — + лп, n E Z; arctg2 + лт, m E Z; в) ±— + —n E Z;

47 62

.. Л

r) лп, n E Z; (—l)m — + лт, m E Z;

'7Г7V TH7Г 7Г

д) it E Z; — + m E Z; e) ±— + T + 2wn, it E Z.

1267 44

. Решить неравенства:

| cos 3x| ^ -;

|tg($+ ^ | < V3;

sin2 х + sin 2х + cos2 х;

5 cos2(360° + х) ^ sin2(180° + х) + 2sin2x;

sin 2х > V2 sin2 х + (2 — V2) cos2 х, 0 < х < 2л;

| sinx| > cos2 х;

cos лх + sin Глх — — ) > 0.

"1arccos - —"1arccos - —U arccosU arccosтг + 2 тгп; — arccos - + 2 тгп U

"1

arccos - —

"1

arccos - —

U arccos

U arccos

1 пп 1

- + 2тгп; тг — arccos - + 2тгп , n 6 Z;

Г 77Г I

™—7г + тт; —+тт , п Е Ж

. / и. 19тг. \

+ 4тгп; —h 4тгп L п Е Z;

у ООу ■■

\ Г ^^7Г1

р) ™ + птг; — + птг , п € Z; оо

— + тгп; — arctg 5 + тгп U — + тгп; — + тгп ) ? п € Z;

2J 1427

тт + arcsinтт + arcsin5 - 15 - 122; тг(п + 1) arcsin; тг(п + 1) arcsin5 - 15 - 122, п € Z;, п € Z;е

тт + arcsin

тт + arcsin

5 - 1

5 - 1

2

2

; тг(п + 1) arcsin

; тг(п + 1) arcsin

5 - 1

5 - 1

2

2

, п € Z;

, п € Z;

/17\

з) 2п — -; 2п + - L п € Z.

\Оо /

Глава 4

ПРОИЗВОДНАЯ.

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

Основные теоретические сведения

Рассмотрим числовую функцию одной переменной у = /(х).

Величина, равная (рис. 34) пределу отношения приращения функции Аг/ к приращению аргумента Ах при Ах 0 называется производной функции у = /(х) в точке х:

r Дупт ——△ж^о Ахr Дупт ——△ж^о Ах(1)(1)/(ж + Дж) -/(ж) deflim - =

r Ду

пт ——

△ж^о Ах

r Ду

пт ——

△ж^о Ах

(1)

(1)

Множество функций, имеющих непрерывную производную в каждой точке интервала (а; Ь) обозначают через С1 (а; ЬфМножество функций, имеющих непрерывную производную в каждой точке интервала (а; Ь) обозначают через С1 (а; Ьф△ж^ОАх

Множество функций, имеющих непрерывную производную в каждой точке интервала (а; Ь) обозначают через С1 (а; Ьф

Множество функций, имеющих непрерывную производную в каждой точке интервала (а; Ь) обозначают через С1 (а; Ьф

Из определения (1) следуют правила дифференцирования:

(и ± ФУ = и1 ± Ф;

и * и — и * ии * и — и * и(2)(2)(и • гф = ф • v + и • Ф;

и * и — и * и

и * и — и * и

(2)

(2)

Ф = 0 (с = const);

Хх = 1’

(с * и)' = с * Ф;

Здесь и = п(х), с = и^хф

Для сложной функции у = /(п(х)) имеем:

(3)(3)1/ = /z • nzeVJ (I X

(3)

(3)

Таблица производных для сложных функций

(ЩУ = аи“_| • Ц;

О = ™™=о * и-т1\U)О = ™™=о * и-т1\U)

О = ™™=о * и-т1

\U)

О = ™™=о * и-т1

\U)

(sinn)z = cosn • пД

(cos иф = — sin и • ДД

(tgn)z =9 • ит = sec2 и • иД

v 7 cos2n хх

(ctg иф =• и?ж = — cosec2 и • пД sin2 п '

(аи,ф = аи • Inn • гф, (а = const, а > 0, а Д 1);

а = е => (еиф = еи • пД

(loga Щ =(loga Щ =и In аи In аии(arcsinn)7 = ™(arccosn)z =(arcsinn)7 = ™(arccosn)z =(arctgn)z = ™(arcctgn)z =(arctgn)z = ™(arcctgn)z =V1 — и21V1 — и21• им,• им,.2.2

(loga Щ =

(loga Щ =

и In а

и In а

и

и

(arcsinn)7 = ™(arccosn)z =

(arcsinn)7 = ™(arccosn)z =

(arctgn)z = ™(arcctgn)z =

(arctgn)z = ™(arcctgn)z =

V1 — и2

1

V1 — и2

1

• им,

• им,

.2

.2

Исследование функции с помощью производной

Монотонность фуннщин у = /(х):

у1 > 0 на (а; Ь) ^> /(х) возрастает на ^а; Ьф

yf < 0 на (а; Ь) => /(х) убывает на (а; Ьф

Экстремум функции:

/(х) — /(хо) < 0 хо — точка максимума;

/(х) — /(xq) > 0 =^ хо — точка минимума,

где х — точка, лежащая в окрестности хд.

Условия существования экстремума функции в точке хд. а) Необходимое условие (рис. 35): у\хф^ = 0 или у\хф) нс суще™ ствует (в частности, обращается в бесконечность).

Точки, лежащие внутри области определения функции, в которых выполняются необходимые условия экстремума, назы-

б) Достаточное условие (рис. 36) смена знака yf при переходе через критическую точку.

В точках разрыва функция нс имеет экстремумов.

На рис. 35 точки хд, хз,хд

являются точками максимумарис $$

функции, Х2, хд, хд — точками'

минимума; в точках хц Х7 экстремума нет (объясните, почему).

Чтобы найти точки экстремума функции у = /(х), нужно:

найти D(y) — область определения функции;

вычислить у\х) и найти критические точки, лежащие внутри В(цД

исследовать знаки у?Д^ слева и справа от каждой критической точки.

Замечание. В качестве достаточного условия экстремума функции можно использовать знак уДх) в критической точке хд:

уДхо) > О =Г хд — точка минимума;

уДхф) < О =г хд — точка максимума.

Выпуклость функции у = /(х) на интервале (адЬ):

уП q на ^ ^ J Д) выпукла вниз;

ум < 0 на (а; Ь) =4> /(х) выпукла вверх.

Точки перегиба функции — это точки, в которых кривая меняет направление выпуклости (точки (хо; у о) и (хд; гц) на рис. 37).

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции у = /(х) на отрезке [п;Ь].

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции у = /(х), непрерывной на отрезке [а; Ь^ нужно:

внутри [а; Ь] найти все критические точки функции;

вычислить значения /(х) в этих точках и в точках х = сц X = ф

— выбрать самое большее и самое меньшее из них — соответственно наибольшее и наименьшее значения функции на [а;Ь].

Замечание. Если функция у = f(x) имеет на отрезке [а; Ь] точки разрыва, то наибольшее и наименьшее значения она может достигать и в них.

Обгцая схема исследования функции с помогцью производной.

Область определения функции (D(t/)).

Множество значений функции (Е^у)).

Периодичность; четность:

у(—х") = уфф =Д функция четная, график симметричен относительно Оу;

у(—х") = —уфф =Д функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

Точки пересечения с осями координат. Интервалы знакопосто- янства функции.

Исследование по первой производной уфхф

промежутки возрастания (г/ > 0) и убывания (yf < 0) функции;

точки экстремума (max; min).

Исследование по второй производной у^фф:

промежутки выпуклости функции вниз (уП > 0) и вверх

(у" < 0);“

точки перегиба.

Асимптоты:

вертикальные — в точках разрыва функции;

наклонные: у = кх + К где

к = lim ; b = lim (/(х) — кх)

X^XOQ XX^XOQ'

(случаи х -л +оо и х — ое рассматриваются отдельно).

Уравнение касательной к кривой у = /(х) в точке (хо;уо):

у yo+y'aQ) ■ а - х0).(4)

Примеры

Доказать, что (V^Y = Решение.

(^Y = lim — —

v 7v 7 Дж^оAx

= lim Дж^о Ax • (v x + Ax — x limДж^о Ax • (ух + Ax + Дх)= lim Дж^о Ax • (v x + Ax — x limДж^о Ax • (ух + Ax + Дх)11lim ,Дж^о ж + Ах +lim ,Дж^о ж + Ах +11

= lim

Дж^о Ax • (v x + Ax — x lim

Дж^о Ax • (ух + Ax + Дх)

= lim

Дж^о Ax • (v x + Ax — x lim

Дж^о Ax • (ух + Ax + Дх)

1

1

lim ,

Дж^о ж + Ах +

lim ,

Дж^о ж + Ах +

1

1

/хлза) у = 4Н + у\7х7/хлза) у = 4Н + у\7х7б)у= У(4ж + 7)3;б)у= У(4ж + 7)3;

/хлз

а) у = 4Н + у

\7х7

/хлз

а) у = 4Н + у

\7х7

б)у= У(4ж + 7)3;

б)у= У(4ж + 7)3;

Доказать, что (x/ = Зх2. Решение.

1 (х + Ах)3 — х3 lim'

Дж^оАх

lim :: =

Дж^оАх

= Jim$((x + Ах)2 + х(х + Ах) + х2) = Зх2.

в) у = -\/Зж + 4 • etg5 7ж;

г) У =е) У =г) У =е) У =4х + I V 5х — 8 ’ In4 In Зхsin 52ж4х + I V 5х — 8 ’ In4 In Зхsin 52жfl)y = 2sin3aMog:>;

г) У =

е) У =

г) У =

е) У =

4х + I V 5х — 8 ’ In4 In Зх

sin 52ж

4х + I V 5х — 8 ’ In4 In Зх

sin 52ж

Решение.

= 4 • (ж5) + у (ж4) - 3 •=

= 20ж4 + Р3 + 21ж"8 = 20ж4 + |ж3 +

61= ((*г i 7)3)'= |(*г i 7) »-4=

в) ^V3x+4 • ctg5 7х^ = ^V3x+4^ • ctg5 7x+V3x+4 • ^ctg5 7x^

2V3^T4 b8 V sin2 7x/

3 ctg5 7x 35V3x + 4 • ctg4 7x 2V3x + 4sin2 7x

/ /4x+TV_1(4x+iy*(5x-8) - (4x+l)-(5x-8y _

r)J " X+T(5ж - 8)2=

2V 5ж - 8

/5ж - 8 4 • (5ж — 8) — (4ж + 1) • 5 _

“ 2 V 4ж + 1(5ж - 8)2“

_ 1 /5ж - 8 20ж - 32 - 20ж - 5 _ 37 /5ж - 81

“ 2 V 4ж+ 1(5ж - S)2~ “TV 4ж+ 1 " (5ж- S)2"

д) (2sinЗж ■ log42ж)' = 2sinЗжIn2.3cosЗж ■ log^2ж+

+ 2sin Зж • 41og^ 2ж • ^Р^ -2 = 3.2sin Зж ■ In 2 ■ cos Зж • log^ 2ж+

+ 4.2sin&.log^ 2ж-—

b X In 5

/ In4 In 3x \

I sin 52ж j

4 In3 In 3x•• — -3-sin 52ж — In4 In Зх-cos 52ж*52ж - In 5-2

_In dx 3x=

sin2 52ж

4 In3 In 3x • , o • sin 52ж — 2 In4 In 3x • 52ж In 5 • cos 52ж

_ X In ox

sin2 52ж

2arcsin0,4 2arcsin0,4Вычислить значение производной функции у = /(ж) в заданной точке жд:

2arcsin0,4

2arcsin0,4

ж0 = 1;

б)у = —еД ж0 = С2.ж

Решение.

б) у (ж) = —е = —• е + — • е =

'уж / уж/х \/

1122 /1 \

=Л' + -еж • 2ж = еж 2 -;

пр 2гр\пр 2/

Найти промежутки монотонности функций:

а) у = —Ж—; б) у = Xх • (ж2 + 2ж - 1). logl ж

2

Решение.

1) Найдем область определения функции:

D(y) = (0; 1) U (1; +оо).

Вычислим у1(ж):

log 1 X ™ ж • г

/_\х In - log 1 ж—log 1 е logi —

I I =2 =22 =2 \е/

\ logl ж /logl Xlogl Жlogl ж

X 2 /222

Найдем точки, лежащие в О(у\ в которых у\х^ равна нулю или не существует (обращается в бесконечность):

у\х^ = 0 => logi ) = 0 => — = 1, х = е Е D(y);

у1^ = оо => log| х = 0 => х = 1 Щу\2

Методом интервалов (рис. 38) исследуем знак у\х\.

О) о1е

Рис. 38

(учитываем, что основание логарифма — < 1).

Ответ: функция возрастает на интервалах (0; 1) и (1;е), убывает на интервале (е; +оо).

l)D(y)=R.

Щ) = е5ж(ж2 + 2ж - 1) + е5ж(2ж + 2) = е5ж(5ж2 + 12ж - 3).

чДх) = о с5И5ж2 + 12ж - 3) = 05ж2 + 12ж - 3 = 0;

Ж] =Ж] =€ D(p,€ D(p,-6- СяЖ2 = =-6- СяЖ2 = =€ МЛ€ МЛ4) Исследуем знак р методом интервалов (рис. 39; е5ж > > 0, ж G D^py.4) Исследуем знак р методом интервалов (рис. 39; е5ж > > 0, ж G D^py.

Ж] =

Ж] =

€ D(p,

€ D(p,

-6- Ся

Ж2 = =

-6- Ся

Ж2 = =

€ МЛ

€ МЛ

4) Исследуем знак р методом интервалов (рис. 39; е5ж > > 0, ж G D^py.

4) Исследуем знак р методом интервалов (рис. 39; е5ж > > 0, ж G D^py.

Ответ: функция возрастает на интервалах (™оо;—

в) у =в) у =^ ; +оо), убывает на интервале ( ^ 6. Определить точки экстремума функциий: У = ।— . б) у = х2 ™ 5х — 271п(ж — 4);

в) у =

в) у =

— 2ж2 — 1 на отрезке [ 1; 4].

Решение.

а) 1) В(у) = (—оо; 0) U (0; +ое).

1 23х1 23х243 _ ж6 729" ж4 — Зж4 '

1 23х

1 23х

•6 — 729 = 0 => жу = —3 € В(у^ Ж2 = 3 € B(_yY

Исследуем знак ^/(ж) (рис. 40):

П11ПП11ПшахшахО \ точка разрываО \ точка разрываРис. 40Рис. 40(В(Взз

П11П

П11П

шах

шах

О \ точка разрыва

О \ точка разрыва

Рис. 40

Рис. 40

(В

(В

з

з

Ответ: тшах = -3, б) О Му) = (4;+оо).Ответ: тшах = -3, б) О Му) = (4;+оо).^min — 4.272т2 - 13т - 7^min — 4.272т2 - 13т - 7

Ответ: тшах = -3, б) О Му) = (4;+оо).

Ответ: тшах = -3, б) О Му) = (4;+оо).

^min — 4.

272т2 - 13т - 7

^min — 4.

272т2 - 13т - 7

"" х — 4 ж — 4'

^/(ж) = 0 => 2ж2 — 13ж — 7 = 0 => Ж1 = —0,5 ^ BBY ^2 = = 7 € в\у\, /(ж) = оо ^ ж — 4 = 0 => ж = 4 ^ В(у).

Исследуем знак у\х) (рис. 41):

Рис. 41Рис. 41

Рис. 41

Рис. 41

Ответ: жтт = 7.

1) Р(у) = н,[1;4] сМу).

у\й = ж3 — 4т.

у\х) = 0^т3-4т = 0^т, = 0^ [1;4], т2 =-2 ^ [1;4], т3 = 2е[1;4].

Исследуем знак у\х) (рис. 42):

X 124 ж

min

Рис. 42

Ответ: жтт = 2.

Определить промежутки выпуклости и точки перегиба функций:

а) у = 2ж2 — ж; б) у = —еж.

Решение.

a) 1) Р(у) = R.

у'(ж) = 4ж — 4ж3.

у"(ж) = 4- 12ж2.

у"(ж) = 0^4- 12ж2 = 0 ж2 = |;

уЗ

Ж1 = —g- € D(y), ж2 = — Е DpY

Ответ:Ответ:3 ’ 33 ’ 35) Исследуем знак yzz(x) (рис. 43):5) Исследуем знак yzz(x) (рис. 43):точкаточкаточкаточкаперегибаперегибаперегибаперегибаРис. 43Рис. 4359'59'функция выпукла вверх на промежуткахфункция выпукла вверх на промежуткахV3 иV3 и, выпукла вниз на промежутке, выпукла вниз на промежуткеТочки перегибаТочки перегибаб) 1) D[y} = (—се; 0) U (0; +оо).б) 1) D[y} = (—се; 0) U (0; +оо).2) у'(ж) =+-е*. XZ X2) у'(ж) =+-е*. XZ X

Ответ:

Ответ:

3 ’ 3

3 ’ 3

5) Исследуем знак yzz(x) (рис. 43):

5) Исследуем знак yzz(x) (рис. 43):

точка

точка

точка

точка

перегиба

перегиба

перегиба

перегиба

Рис. 43

Рис. 43

5

9'

5

9'

функция выпукла вверх на промежутках

функция выпукла вверх на промежутках

V3 и

V3 и

, выпукла вниз на промежутке

, выпукла вниз на промежутке

Точки перегиба

Точки перегиба

б) 1) D[y} = (—се; 0) U (0; +оо).

б) 1) D[y} = (—се; 0) U (0; +оо).

2) у'(ж) =+-е*. XZ X

2) у'(ж) =+-е*. XZ X

исследуем знак yz(x) (рис. 44):

(у")

(у)0\7 ж

/\ точка x^V

разрыва

Рис. 44

Ответ: Функция выпукла вверх на промежутке (—ос;0), выпукла вниз на промежутке (0; +ос). Точек перегиба нет.

Найти наибольшее значение функций:

у = 9 — дУх2 на отрезке [—3; 3];

у = 2™ж^ на отрезке [—2; 2].

Решение.

р D(P = RP-3;3KD(P.

VX) = (9 - хр' = -|+ = -++ у'(х) = 0 => И— = 33 -фх3 -фх

= 0 ^> решений нет; у^х) = ос =^ х = 0 Е [—3; 3];

у(—3) = 9 — ^9; уф) = 9 ™ наибольшее значение на [-3;3];у(3) = 9-4Л

Ответ: max у (ж) = у (0) = 9.

1)Р(у) = Н;[-1;2]сДу).

у'^ = 2-ж2 • In 2 ■ (-2т) = -х ■ 21-ж2 • In 2; у'РР = 0 т = = 0е [-1;2].

у(—^) = -; уф) = 1 — наибольшее значение на [—1; 2];

У(2) = jg-

Ответ: maxt/(x) = уф) = 1.

9. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = = х + cos2 х на отрезке [0; тг].

Решение.

D(jy)=^ \_0;фсП(у).

угф) = 1+2 cos х • (— sin х) = 1 — sin 2х;

у\х) = 01 — sin 2х = 0 sin 2х = 1 =>

2х = (—l)n arcsin 1 + тгп, n Е Z;

х =х =(-1)ф +(-1)ф +7ГП7ГПи Е Z;и Е Z;

х =

х =

(-1)ф +

(-1)ф +

7ГП

7ГП

и Е Z;

и Е Z;

п = 0 => хх = ™ Е [0; л];

при всех других значениях п корни в заданный промежуток [0; тг] не попадают.

t/(0) = 1 — наименьшее значение на [О;тг];

/ тг \тг 1 тг + 2

у (4) = 4 + 2 = 4

уф) = тг + 1 — наибольшее значение на [О;тг].

Ответ: шахуф) = уф) = тг + 1; minуф) = уф) = 1. [О;тг][О;тг]

Из всех прямоугольников заданного периметра Р выбрать прямоугольник наибольшей площади.

Решение: Математическая постановка этой задачи приводит к отысканию наибольшего значения функции 8 = х • у при условии, что 2 т + Zy = Р. где через х и у обозначены длина и ширина прямоугольника.

Итак,

ж Еж Е8 = х • у, с _ Р — 2х

ж Е

ж Е

Р~2Р~22х + 2у = Р ^S~x 2

Р

~2

Р

~2

Найдем наибольшее значение функции 8ф) на отрезке

по указанной выше схеме.

2) 8\х)2) 8\х)881) D(S) = R,1) D(S) = R,С D(S\С D(S\Рх — 2ж22Рх — 2ж223) 5(0) = 0; 83) 5(0) = 0; 8^ - 2х; S\x) = 0^|-2ж = 0^^ - 2х; S\x) = 0^|-2ж = 0^наибольшее значение нанаибольшее значение на

2) 8\х)

2) 8\х)

8

8

1) D(S) = R,

1) D(S) = R,

С D(S\

С D(S\

Рх — 2ж2

2

Рх — 2ж2

2

3) 5(0) = 0; 8

3) 5(0) = 0; 8

^ - 2х; S\x) = 0^|-2ж = 0^

^ - 2х; S\x) = 0^|-2ж = 0^

наибольшее значение на

наибольшее значение на

Следовательно, х =Следовательно, х =р _Р-2П _р4 ’ У -2“ 4 'р _Р-2П _р4 ’ У -2“ 4 '

Следовательно, х =

Следовательно, х =

р _Р-2П _р

4 ’ У -2“ 4 '

р _Р-2П _р

4 ’ У -2“ 4 '

Р

Ответ: наибольшую площадь имеет квадрат со стороной —.

Исследовать функции и построить графики:

ab = бН = * • еж.

Решение.

1) D(y) = (—ос; —3) U (—3; 3) U (3; +ос).

Е^ = R.

уХд = / У—п = ^—П = у(ж) ^ функция четная, ее хр — У tz — У

график симметричен относительно Оу.

Точки пересечения с осями координат.

^,2 g

Ох: у = 0 =>к = 0 => нет решений;

х2 — У

Интервалы знакопостоянства функции (рис. 45):

Рис. 45

5) Исследование по у\х) (рис. 46):

разрываразрываразрываразрываРис. 46Рис. 46

разрыва

разрыва

разрыва

разрыва

Рис. 46

Рис. 46

z/т2 + 9 V/2т(т2— 9) — 2т(т2+ 9) V —36т

У (ж) =VЛ^Э) =V(X - 9)2)= (ж2-9)2-

у^х) = 0 => —36т = 0 ^> т = О Е DQy);

у1^ = ос ^> (т2 — 9)2 = 0 т2 — 9 = 0, т = ±3 ^ В^уУ

Исследование по ум^ (рис. 47):

разрыва разрыва

„/ —36ж V —36(ж2 — 9)2 + 72ж(ж2 — 9) • 2ж

У = V (ж2 - 9)2 ) =(ж2 - 9)4=

_ —36ж2 + 324 + 144ж2 _ 108ж2 + 324

(ж2 — 9)3(ж2 — 9)3

ум^ = 0 => 108х2 + 324 = О ^> решений нет;

гум^ = оо => (ж2 — 9)3 = 0 => х = ±3 ^ В^уУ

Точек перегиба функция не имеет.

Асимптоты

вертикальные: х = — 3; х = 3;

наклонные: у = кх + Ь, где

к = lim САф = О, b = lim1;

ж^±ос X\XZ — У)ж^±ос xz — У

у = 1 — наклонная асимптота.

Строим график данной функции (рис. 48):

б) 1) В(у) = (—оо;+оо).

Е(у) = R. _

уХХ = XX - е х уХХ / уХ\ уХХ / -уХУ Функция ни четная, ни нечетная.

Точки пересечения с осями координат.

С Ох; у = 0 => х = 0.

С Оу; х = 0 =4> у = 0.

Интервалы знакопостоянства функции (рис. 49):

0ж

Написать уравнение касательной к кривой у = tg2ж, 7Г

проведенной через точку с абсциссой жо =

Решение: Уравнение касательной имеет вид (4).

В данном случае

8 ЗГЗ - 2тг

7-Ж +_

39

ж3 — 1

Найти точку кривой у = 3, касательная в которой

параллельна оси Ох.

Решение. Учтем, что угловой коэффициент касательной удовлетворяет условию

к = V(H = tga,

где а — угол между касательной и осью Ох. В данном случае а = О,

ж3 ™ 1V Зж2(ж3 + 1) — Зж2(ж3 — 1)6ж2.

ж3 + 1 /(ж3 + I)2(ж3 + I)2 ’

6^2

y\H = tgO => -з;^-g = 0 ^ ж0 = 0; у(ж0) = у(0) = -1. И + ХУ

Следовательно, (0; -1) — искомая точка.

Ответ: (0; -1).

Написать уравнения касательных к кривым у = ж2, х = = у^, проходящих через точки их пересечения.

Решение.

Найдем точки пересечения кривых у = ж2 и ж = у^ из системы уравнений:

9 у = xz2 ж = yz9 у = xz2 ж = yz=^ у = у4 ^ у( 1 - у3) = о=^ у = у4 ^ у( 1 - у3) = оУ1 = 0 Ж1 = 0, у2 = 1 ^> Ж2 = 1.

9 у = xz

2 ж = yz

9 у = xz

2 ж = yz

=^ у = у4 ^ у( 1 - у3) = о

=^ у = у4 ^ у( 1 - у3) = о

Запишем уравнения касательных к каждой кривой, проходящих через точку (1; 1).

у = ж2; ж0 = 1; у0 = 1; VX) = 2ж, у'Г =

=> у = 1 + 2(х — 1)2х, или у = 2х — 1;

ж = у2; ж0 = 1; Уо = 1.

Поскольку точка (1; 1) лежит в первой четверти, то используем уравнение верхней ветви параболы:

) у = 1 + 1(ж - 1)2ж, или у = 1ж +

Запишем уравнения касательных к каждой кривой, проходящих через точку (0; 0):

у = ж2; ж0 = 0; уо = 0; у'(ж) = 2ж; у'(0) = 0;

у = 0.

ж = у2; ж0 = 0; уо = 0.

В этом случае удобнее использовать уравнение касательной к кривой х = ф^ в виде

ж = жо + ж'(уо) • (у - уо);(5)

С(у)=2у;ж'(0) = 0;

ж = 0.

Ответ: х = 0; у = 0; 4 = 2х — 1; у = —х + -.

Найти точки кривой у = х2 + 5х + 4, в которых касательная проходит:

через начало координат;

параллельно прямой у = — 7х + 4.

Решение.

Будем считать, что хо — абсцисса точки данной кривой, касательная в которой проходит через начало координат, тогда

=^ у = жо + 5жо + 4 + (2жо + 5)(ж - жо).

Найдем хо, учитывая, что точка (0; 0) лежит на касательной:

0 = хо + 5хо + 4 + (2хо + 5)(—xq)

=> Хд + 5хд + 4 — 2xq — 5xq = 0 => —xq + 4 = 0 => хо = i2.

Задание для самостоятельного решения

Следовательно, условию удовлетворяют точки (—2; —2) и (2; 18).

Учтем, что если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны, т. е.

Кас = уЧ^о) = 2х0 + 5Кас = уЧ^о) = 2х0 + 5• = -7упр *• = -7упр *=> 2хо + 5 = —7=>хо = —6.=> 2хо + 5 = —7=>хо = —6.

Кас = уЧ^о) = 2х0 + 5

Кас = уЧ^о) = 2х0 + 5

• = -7

упр *

• = -7

упр *

=> 2хо + 5 = —7=>хо = —6.

=> 2хо + 5 = —7=>хо = —6.

г) у = sin4(x2 + 1);г) у = sin4(x2 + 1);д) У = loggVSxMS;д) У = loggVSxMS;е) -у = cos6(InЗх);е) -у = cos6(InЗх);ж) у =ж) у =5х + 4 \Зх - 7 J5х + 4 \Зх - 7 J4. еЗж+5.4. еЗж+5.4 + cos5х4 — cos5х4 + cos5х4 — cos5х2. Вычислить yf(xo):2. Вычислить yf(xo):з X7ГB)t/ = tg' -, жо= 2’з X7ГB)t/ = tg' -, жо= 2’111 X б)у=—, х0 = е;хж2 - 9m^^r-g.0=1.111 X б)у=—, х0 = е;хж2 - 9m^^r-g.0=1.Ответ: а)Ответ: а)Сг~: б) 0; в) 3; г)Сг~: б) 0; в) 3; г)925'925'

г) у = sin4(x2 + 1);

г) у = sin4(x2 + 1);

д) У = loggVSxMS;

д) У = loggVSxMS;

е) -у = cos6(InЗх);

е) -у = cos6(InЗх);

ж) у =

ж) у =

5х + 4 \

Зх - 7 J

5х + 4 \

Зх - 7 J

4

. еЗж+5.

4

. еЗж+5.

4 + cos5х

4 — cos5х

4 + cos5х

4 — cos5х

2. Вычислить yf(xo):

2. Вычислить yf(xo):

з X7Г

B)t/ = tg' -, жо= 2’

з X7Г

B)t/ = tg' -, жо= 2’

111 X б)у=—, х0 = е;

х

ж2 - 9m^^r-g.0=1.

111 X б)у=—, х0 = е;

х

ж2 - 9m^^r-g.0=1.

Ответ: а)

Ответ: а)

Сг~: б) 0; в) 3; г)

Сг~: б) 0; в) 3; г)

9

25'

9

25'

Тогда уо = 10.

Ответ: а) (-2;-2) и (2; 18); б) (-6; 10).

Задание для самостоятельного решения

Найти производные данных функций:

\1 х2

а) V 2х + 4 Н— ~;

3 х2

у = 2Ж • sin 5х;

Найти точки экстремума функций:

а)у = ж4 - 2ж2 - 5; б) у = — + ^.

Ответ: а) минимум при х = ±L максимум при х = 0; б) минимум при х = ±2.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции у =

х 8

= — Н■ на отрезке

Ответ: min у(х) = у(~ 1) = —8, 5; ^max^ т/(.т) =t/(—4) = —4.

Определить множество значений функции у = 2cos3x — — 9 cos 2 т — 18 cos х.

Ответ: —25; — .

Указание. Учесть, что множеством значений данной функции является множество всех ее значений, заключенных между минимумом и максимумом в D^y\

Найти значения параметра а, при которых касательная к кривой у = х^ + 2ах — 1 в точке с абсциссой х = 2:

проходит через точку (1; 1);

параллельна прямой у = —8ж + 4.

Ответ: а) 3; б) -10.

Найти угол, который образует касательная к кривой у = = 6т3 — 9т2 + 1, проведенная через точку (0; 1), с осью Ох.

Ответ: 0.

Найти промежутки выпуклости функции у = х^ — Зж + 1.

Ответ: функция выпукла вверх на промежутке (—оо;0), выпукла вниз на промежутке (0; +ос).

Найти точки перегиба функции у = ж6 — 2ж3.

Ответ: (0;0) и (М4;0,64).

Исследовать функции и построить графики:

а) у = х • In ж;б) у = ж2 — -ж4;

у = |ж3 — Зж + 2|;г) у = ж2 — ^|ж|3.

Указание. В примерах в) и г) учесть определение модуля функции:

1ЮЛ-|/(ж)<0

и исследовать в каждом случае отдельно (соответственно при /(ж) > 0 и /(ж) < 0).

Глава 5

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕУРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Основные теоретические сведения

Показательная функция, у = аж, где а > 0, а ^ 1, определена на множестве всех действительных чисел (х Е R) и принимает значения на множестве положительных чисел (аж > 0).

Свойства показателвной функции зависят от значения основания а (рис. 53).

Очевидно, что:

у = аж — возрастающая функция при а > 1 и убывающая при 0 < а < 1;

аж0 при х —оо, а > 1; аж 0 при х +оо, 0 < а < 1;

аж+оо при х +оо, а > 1; аж +оо при х —оо,

0<а<1.

Свойства показательной функции:

атаУ = ах+У^(1)

(2)

— = ат,(3)

(а^)У = о^у(4)

Гаг = Щ(5)

а0 = 1, а1 = а.(6)

Логарифмическая функция у = Iogax, где а > 0, а ^ 1, определена на множестве положительных чисел (х > 0) и принимает значения на множестве всех действительных чисел (— — ос < logaT < +сю).

Свойства логарифмической функции зависят от значения основания а (рис. 54).

Очевидно, что:

у = logax — возрастающая функция при а > 1 и убывающая при 0 < а < 1;

logaT -л Щос при х -л +ос, а > 1, logaT -л Щоо при т 0, 0 < а < 1;

Iogax -л — ос при х -л 0, а > 1, logax -л — сю при ж -л +ос, 0<а<1.

Свойства логарифмической функции:

й1о5аЖ def

(7)

loga« = 1,

(8)

log»1 = 0,

(9)

logX = X,

(10)

!°ga- = -logax, X

(И)

• У) = 1оёаж + 1°ёаУ-

(12)

1X

loga- = bg^ - logay>

(13)

\ogaxp = plogax,

(14)

^gaPx = Pgax,

(15)

19

logoffу = - logoff, p

(16)

logaPX = loga$,

(17)

iog^ = ^, 0 >04/1) log6a

(18)

logax =,

logx«

(19)

= ^log^

(20)

Отметим, что показательная и логарифмическая функции являются взаимно обратными. Поэтому их графики — кривые, симметричные относительно биссектрисы у = х первой и третьей четвертей (при равных значениях а) (рис. 55).

Показательные уравнения

Решение показатедъних уравнений осуществляется различными приемами. Наиболее распространенные из них:

приведение к одному основанию степени:

= а^^ О /(х) = р^х);

приведение к одному показателю степени:

сД3^ =/(^) = 0;

логарифмирование обеих частей уравнения по основанию с (с > 0, с ^ Г):

аД3^ = Д^ О /(х) • logca = фД) • logcb;

приведение к алгебраическому уравнению

квадратному: сха2ж + соаж + сз = 0 Дж = т/);

однородному второго порядка: с\сД + С2«ж • Ьж + сДж = 0

О =

п™й степени: cianx + слаД™^ж + ... + снаж + cn+i = 0 Дж = у);

однородному порядка n: ci«nx + сосД™1^33?)33 + ... +

спажД1™^ж + сп+фпж = 0 (а Ь, ^^ = Д

Примеры

Решитв уравнение:

2Ж = 5;

2х2™1 - З^2 = ЗжМ - 2^+2;

64 2УЮ4о7 = 1;

Юх + 25х = 4,25 • 50х;

(УтТУЖу + ф7 - 048 У = 14;

5Ж ■ W^ = 500.

Решение.

2Ж = 5 ^ log2(2rr) = log25 => х = log25.

Ответ: log25.

П-х - Зж2 = З^2"1 - Y4" У 2$П 4.2$2 = 3$П у 3х2

9 22 *29 22 *24 ох234 ох23/п\Ж2 о

9 2

2 *2

9 2

2 *2

4 ох2

3

4 ох2

3

(з) = 27$2 = 3 ж = ±V3.

Ответ: — V3 ; V3 .

в) 64 2^2^^в) 64 2^2^^._— 40ж । д1 => 2^^+6 =._— 40ж । д1 => 2^^+6 =1 =>1 =>ж2 - 40ж + 14424ж2 - 40ж + 14424= 0^= 0^

в) 64 2^2^^

в) 64 2^2^^

._— 40ж । д

1 => 2^^+6 =

._— 40ж । д

1 => 2^^+6 =

1 =>

1 =>

ж2 - 40ж + 144

24

ж2 - 40ж + 144

24

= 0^

= 0^

=> ж2 — 40ж + 144 = 0 => Ж] = 36, жд = 4.

Ответ: 4; 36.

Юж + 25ж = 4,25 • 50ж => Юж — 4,25 • 5ж • Юж + 5ж = 0.

Последнее уравнение является однородным уравнением второго порядка относителвно 5ж и Юж. Решаем делением обеих частей на 5ю

2^ - 4,25 • 2х + 1 = 0 у2 - 4,25у + 1 = 0,

= 4 => ж == 4 => ж =17- V48 '17- V48 'где у = 2 ж, у > 0. Решая, находим у\ = 4, у<2, = —, 2^

= 4 => ж =

= 4 => ж =

1

7- V48 '

1

7- V48 '

1 , 11

Ответ:Ответ:1 12’ 2'1 12’ 2'= 2'~ =4^'/ = 2'

Ответ:

Ответ:

1 1

2’ 2'

1 1

2’ 2'

Поскольку (7 + V48 )(7 — \/48 ) = 1, то 7 + \/48 = Тогда уравнение можно переписать так:

/ ,1 х. + fV7-V4s) - 14 = 0^у2-14у+1 =0,

р7_ V48) V )

где у = ^ V7 — V48 ^ , у > 0. Решая квадратное уравнение, находим:

= 7^= 7 + V48== 7^= 7 + V48=

= 7^

= 7 + V48=

= 7^

= 7 + V48=

Ответ: 2; ™2.

5Ж •= 500 => 5Ж • 2^ = 500.

Прологарифмируем обе части последнего уравнения по основанию 2. Получим:

5Ж • 2 ж ) = log2500 => xlog25 3= log24 + log2125 =>

/x

Зх — 31

=> xlog25 3= 2 + 31og25 => (x — 3)(log25 + -) = 0 =>

=> xi = 3, x2 = ™log52.

Ответ: 3; log50,5.

Определить, сколько решений имеет уравнение 2ж2 — 3 + + е2ж™ж2 = ж4.

Решение. Перепишем данное уравнение так:

= ж4 — 2ж2 + 3.

Обозначим

(ж) =у2(3) = ж4 - 2ж2 + 3

и решим данную задачу графически. Для этого построим схематично графики функций т/1(ж) и у^х^ используя исследование функции по производной (рис. 56, 57).

MX = DM = R; ЕМ = R+

MX = е^х2 • (2 - 2ж); у\М = 02 - 2ж = 0 ж = 1.

Рис. 56

уМ = е-

MX = Х - 2ж2 + з, DM) = R;

т/Ю) = 4ж3 — 4ж; уХХ = 0 =^ 4ж3 — 4ж = 0 =^ ж = 0; ж = ±1.

Рис. 57

у2(±1) = 2, у(0) = 3.

Строим графики функций ^/1(ж) и у^х) (рис. 58).

Очевидно, что кривые имеют две точки пересечения. Поэтому данное уравнение имеет два решения.

Ответ: два корня.

Логарифмы. Логарифмические уравнения

При решении задач с применением формул (7)-(20) следует учитывать области определения левых и правых частей этих формул, т. к. они не всегда совпадают. Например, если в формуле

logo л = ploga$

считать р = 2?i, п Е N, то в левой части х ^ 0, а в правой х > 0. Так,

logax2 = 21ogax, если ж > 0,logax2 = 21oga(—х), еслих < 0.

Поэтому при решении обязательно учитывать область допустимых значений х (ОДЗ) или делать проверку.

Приемы решения логарифмических 'уравнений различны, но можно указать наиболее распространенные из них:

приведение логарифмов, стоящих в левой и правой частях уравнения, к одному основанию:

loga/10) = loga/2(^) => /Д) = /2(ж)

(следует учитывать, что /1(х) > 0, ДД) > 0);

приведение исходного уравнения к виду

loga/O) = ЛЯ аЛ^ = /Ю;

Nc^M =ь НЛЬ = НЯ,

приведение логарифмического уравнения к алгебраическому

а) квадратному: Мо^ДЯ + ^ogJU) + с3 = 0 (у = loga/(O); б) n-й степени: cilog"/(4 + с^одДУЬ) + ... + сМ&аЛЯ + +0.

4 Г. А. Сахабиева, В. А. Сахабиев

Примеры

Вычислить:

a) 5log54; б) З1^; в) 49log73; г) 7loS4916; д) 2^83^;

е) 5logV2 -1 (cos i -sin I) -1оё^ -1 (cos i+sin i).

Решение.

51О«54 Ш 4.

3^ (=} 3loS3 Ш 7.

49i°g73 T) 4glog499 Л g

r) 71og4916 (T ylog74 T 4

los916 logs4 cig1) ,. C7-)

д) 2 *°832 v=! 2*°832 = 2log24 = 4.

e)5logV2-ie)5logV2-i(cosf-sin^-log^^fcosf+sinl) T) 5logV2-(cosf-sin^-log^^fcosf+sinl) T) 5logV2-cos ^ — sin ^cos ^Tsin ^ cos ^ — sin ^cos ^Tsin ^

e)5logV2-i

e)5logV2-i

(cosf-sin^-log^^fcosf+sinl) T) 5logV2-

(cosf-sin^-log^^fcosf+sinl) T) 5logV2-

cos ^ — sin ^

cos ^Tsin ^

cos ^ — sin ^

cos ^Tsin ^

cos f1 + sin ___.cos f1 + sin ___.a) \/ 102"2lg625 - 64 • 3"21og925a) \/ 102"2lg625 - 64 • 3"21og925(2ЦЗ)(2ЦЗ)100405 1g 625100405 1g 62564321og92564321og925

cos f

1 + sin ___.

cos f

1 + sin ___.

a) \/ 102"2lg625 - 64 • 3"21og925

a) \/ 102"2lg625 - 64 • 3"21og925

(2ЦЗ)

(2ЦЗ)

100

405 1g 625

100

405 1g 625

64

321og925

64

321og925

COS -TT—Sin -77

_ ^loSV2 - I (cos|+ain^)2 _ 51OgV2

1V2 1V2(V2™1)

= 5 ogV2-i s+vT = 5 ogV2-i ^(v^+ixvs-i) = 5logv2-iT2-i) = 5

Вычислить:

У10М^б25Тб4?7^1<>725 ;

log32 - log43• log54• log65•log76•log87;

/ log 100»bg100b \ ^°Sab(arb)

б !§ a • ft.

Решение.

6425642565"65"(14 Ц15) / 10064(Z) /100

64

25

64

25

6

5"

6

5"

- У lQlg25 ” 31og325 “ У "25"

./ 4^10021 log^oobX ^Og^CLPb) / lg ^^у^\ 21ogab(d+6)

( b ^ • а х^ь 1=' I b ig» • a igь j='

= Pbpg»b^+b^ (2 a, + b.

Упростить выражения:а) ((logba + log^b + 2)? + 2y - loga6 - logba, aУпростить выражения:а) ((logba + log^b + 2)? + 2y - loga6 - logba, a6)6)138122^+3^^2138122^+3^^24094092\S257\_ 125iog256.2\S257\_ 125iog256.

Упростить выражения:

а) ((logba + log^b + 2)? + 2y - loga6 - logba, a

Упростить выражения:

а) ((logba + log^b + 2)? + 2y - loga6 - logba, a

6)

6)

13

8122^+3^^2

13

8122^+3^^2

409

409

2\

S257\

_ 125iog256.

2\

S257\

_ 125iog256.

Qx°Sba « b 2б?°®а^+ * yog^a+l _|_ a^xogab •

I 2521°S4925 4- 21og21og21og2«21°Sa4 ] • 4™ °S3 — 6i2

1 — alogab - loga ^2lo6ba ) log^b , log^1 — alogab - loga ^2lo6ba ) log^b , log^д)д)^21og6log0b _ ] •^21og6log0b _ ] •- bga6 - logba =- bga6 - logba =log^tlog^tlogg + 21og4 + 1logg + 21og4 + 1logab - \ogabb Решение.logab - \ogabb Решение.2- logab - log6a =2- logab - log6a =2- logab - log6a =2- logab - log6a =(log^Hjy log^a(log^Hjy log^alogba + -—^—h 2log6alogba + -—^—h 2log6alogSg + 21og^ + 1log^ologSg + 21og^ + 1log^olog^alog^a- logab - log6a =- logab - log6a =- bgab - logba =- bgab - logba =2- logab - \ogba =2- logab - \ogba =

1 — a

logab - loga ^2lo6ba ) log^b , log^

1 — a

logab - loga ^2lo6ba ) log^b , log^

д)

д)

^21og6log0b _ ] •

^21og6log0b _ ] •

- bga6 - logba =

- bga6 - logba =

log^t

log^t

logg + 21og4 + 1

logg + 21og4 + 1

logab - \ogabb Решение.

logab - \ogabb Решение.

2

- logab - log6a =

2

- logab - log6a =

2

- logab - log6a =

2

- logab - log6a =

(log^Hjy log^a

(log^Hjy log^a

logba + -—^—h 2log6a

logba + -—^—h 2log6a

logSg + 21og^ + 1log^o

logSg + 21og^ + 1log^o

log^a

log^a

- logab - log6a =

- logab - log6a =

- bgab - logba =

- bgab - logba =

2

- logab - \ogba =

2

- logab - \ogba =

logb-a + 1log?logb-a + 1log?- logbti - г—— log6«- logbti - г—— log6«logb« + 1 - logbQ - 1!og?logb« + 1 - logbQ - 1!og?

logb-a + 1log?

logb-a + 1log?

- logbti - г—— log6«

- logbti - г—— log6«

logb« + 1 - logbQ - 1!og?

logb« + 1 - logbQ - 1!og?

13

81iog59 , gbsvg3 /2\

-I (V?)log257 - 1251oS2s6 I =

409 V '/

409 V/

25 + 6V6 /__625-216.

=^• 25 — 6 V 6 —= 1.

409\/409

в) a10^»^ • b — 2aloga6+1 • Ь1о§ьа+1 4- a^io8ab + 1 =

= a21og»b • ab^b^1 = a21oga6 . ab _ 2ab . aloga6 . blog6a =

= ab3 — ^a^b3 + a3b = abQ? — Sab + a) = ab(a — b)^.

2521og4925 + 21og21og21og2a21°Sa4J • 4 log34 — a2

_ (25log257 + 21og2(log2(log216))) . (4log43)"2 - a2

_ (7 + 21og2(log24)) ■ g - a2 _ 9 • j - a2

log.25 = 2" 25=> х = 5.

log4x = х ф

|,,»='3 -i > о:

Решить уравнения:

log5log3log4ж = 0;

Д8(ж + 14) + log8(ж + 2) = 2;

ДЖС5 + ^Ж(5ж) = (log^VB)2 + 2,25;

3

log3ж - log9x + log81x =

2

log3x • log9$ ■ log27ж • logs! ж = у

lg(lg ж) + lg(lg ж3 - 2) = 0;

log10ж + logyTQЖ + log э^ж ++ log 1о^ж = 5,5.

Решение:

log5log3log4ж = 0 => log5(log3(log4ж)) = log5l =>

log3(log4.T) = 1 У log3(log4x) = log33

=> ^4ж = 3 Ш ж = 43, ж = 64.

Проверка: log51og3log464 = log51og33 = log5l = 0.

0 = 0^ верно.

log8(x + 14) + log8(x + 2) = 2 log8(x + 14) (x + 2) = 2 Ш x2 + 16x + 28 = 64 x2 + 16x — 36 = 0 =y x\ = —18, x3 = 2.

Проверка: x\ = —18 => log8(—4) + log8(—16) = 2.

Очевидно, что x\ = —18 не является корнем исходного уравнения, т. к. логарифм определен только для положительных чисел.

Х9 = 2 log816 + log84 = 2 log864 = 2bg882 = 2 =у

=> 2 = 2 => верно.

Ответ: 2.

bgz V5 + loga.(5ж) = (logics)2 + 2,25 (У

|logx5 + log,.5 + logжж = Ilog25 + 2,25

135

=> 71og25 - -log^S + - = 0 => log25 — 6 log^S + 5 = 0 =>

=> log^S = 5 => ад = v 5 , 1одж5 = 1 => т2 = 5.

Проверка: х\ = Г5 =^- log5_V5 + log 5 (5^5) = по or 5 С Г\2 91734

= (log ^ V5)- + 2,25- + 6 = 1-\ + -^ — = — ^ верно.

ж2 = 5 log5V5 + log525 = (log5V5 )2 + 2,25 =0 + 2 = 1 + 9510

+ 42 = Т ВерН°'

Ответ: 5; Уб.1

bg3T - log9T + logs 1 ж = 4 ^ Ns^ - 2^зж + 41о8зж = 4

pog^ = 4 log3a: = 1 => х = 3.

Проверка: log33 - log93 + log813 = -=>1-- + - =3Проверка: log33 - log93 + log813 = -=>1-- + - =33434= 4 ВерНО'= 4 ВерНО'Ответ: 3.Ответ: 3.д) ОДЗ: х :,1д) ОДЗ: х :,10; log3T • log9T • log27T • logs 1 ж =0; log3T • log9T • log27T • logs 1 ж =21оёзж •21оёзж •О 1О 121324213242 т)3 2 ГТ = з2 т)3 2 ГТ = з

Проверка: log33 - log93 + log813 = -=>1-- + - =

3

Проверка: log33 - log93 + log813 = -=>1-- + - =

3

3

4

3

4

= 4 ВерНО'

= 4 ВерНО'

Ответ: 3.

Ответ: 3.

д) ОДЗ: х :

,1

д) ОДЗ: х :

,1

0; log3T • log9T • log27T • logs 1 ж =

0; log3T • log9T • log27T • logs 1 ж =

21оёзж •

21оёзж •

О 1

О 1

21

324

21

324

2 т)

3 2 ГТ = з

2 т)

3 2 ГТ = з

1 4/ log3^ = 2, log3T =-2,

log3x = lb => <^ q=> x\ = 9, X9

1^To"1^To"lg(lg t) + lg(lg t3 - 2) = 0 У lg(3 lg2 x - 21g x) = 0 У 3 lg2 x — 2 lg x = 1 => 3 lg2 x — 2 lg x — 1 = 0 =>

1

^To"

1

^To"

Igx = 1, Igx = — — => rri = 10, T2

Проверка*. x\ = 10 => Iglg 10 + lg(lg 1000 — 2) = 0^>0 = 0^> => верно.

XI = ^-1=- =^ lg(lg IO"3) + lg(lg 10”1 - 2) = 0 lg fO + vlO/

+ lg(—3) = 0 => xp не является корнем исходного уравнения.

Ответ: 10.

ОДЗ: ж > 0; log10x + log^x + log ^ж ++ log 1о^ж =

(15)

= 5,5 => log10a; + 2log-юж + 3^10ж + ... + 10^10ж = 5,5 =>

(1 + 2 + 3 + ... + 10) log]QЖ = 5,5 =^ (1 + 2 + 3 + — + 10)ж =

= 5,5 => Ц4^ ■ 10 • 1оё10ж = 5,5/ 1о81°ж = 10’ ж =

( ж > 0

Ответ: лУТО.

Решить уравнения:

logT(125x) • logLx = 1;

log^9 + log^729 = 10;

УТёдШУ - log8VX = 0;

5log jX + log 9 x3 + Slogg^X2 = 2.

Решение.

ОДЗ: x > 0, x 1;к^ж(125ж) • log^x = 1 =>

=> (1оёж125 + log3.ж)log^5ж = 1 =>

(^ + 9 " l^8^ ” 1 = 0 |log5X + T^8^ - 1 = ° logs® + 31og5x -4 = 0^| ^8б q ~ \ log5'z - 1 ’

Ответ: 5: Ж'

ОДЗ: ж > 0, ж ^ 1; logx9 + 1оёз,2729 = 10

=> log.9 + log.27 = 10ж = *№3 ж = V3.

Ответ: л/З.

ОДЗ : ж < 0; y21og8(—ж) — log8VX = 0 =>

=> У2кёдТу = log8(-ж) 21og8(-ж) = log^-ж) =>

logs (-ж) (logs(-ж) - 2) = 0<j^ logs(-0 = 2

=> ™х = 1,= 64 => х\ = — 1, Ж9 = —64.

Ответ: -1; — 64.

Замечание. Здесь \ХХ = —ж, т. к. область допустимых значений х в уравнении совпадает с промежутком (—оо;0).

ОДЗ : х > 0, ж / 9, х / ^; Slog $ ж + log эх3 + Slogg^x2 = 2 =>

гЫтжQlogTxlog„x n A

=> 5 XX ++ 16i n 9 -2 = 0=^

log^g log^^log^X-

5316_ 2 = 0

— log$9 + log,. 9 - 1 log^g + 2

. 16

I 1or,,9l.)g,9 I 2

=> 4 + 21oga,9 + 16 - 161og$9 - 4 + 41oga,9 - 2^9 + 21og29 = 0

logx9 = 4, log,, 9 = 2, x > 0, x 9, x 7^ -logx9 = 4, log,, 9 = 2, x > 0, x 9, x 7^ -

logx9 = 4, log,, 9 = 2, x > 0, x 9, x 7^ -

logx9 = 4, log,, 9 = 2, x > 0, x 9, x 7^ -

=> x = V9, x = V9 => xi = V3, X9 = 3.

Ответ: -V3; 3.

Показательные и логарифмические неравенства

При решении показательных и логарифмических неравенств используются обычные правила преобразования неравенства в

равносильное ему:

НХ > зО) • XX > к • aXY к > 0;

f^ > gQx) О к • /(х) < к • д(х), к < 0;

XX > XX > ° fn(X > gnXY N, а также свойства показательной и логарифмической функций:

а^ж^ > а9^ XX /(х) > д(х), а > 1;

аДж^ > а9^ XX /(х) < ^(х), 0 < а < 1;

^ogaXX > bgay(x) О /(ж) > д(х) > 0, а > 1;

^ogmXX > ^адкХ 0 < ф(х) < cX$Y а < 1.

Примеры

Решить показательные неравенства:

X) 2V5’

е7ж-4 _ ।

l+IO?O:

(х — 2)2ж" ?ж > р

25 • Т - 10ж + 5Ж > 25.

Решение.

— убывающая функция)— убывающая функция)Ответ:Ответ:

— убывающая функция)

— убывающая функция)

Ответ:

Ответ:

9Ж + 2 • 6Ж > 3 • Л 32ж + 2 • Зж ■ 2Ж - 3 • 2Ж > 0

(поделили обе части неравенства на22ж, 22ж > 0)

=> у2 + 2у - 3 > 0, где у ==> у2 + 2у - 3 > 0, где у =Рис. 59Рис. 59Рис. 60Рис. 60

=> у2 + 2у - 3 > 0, где у =

=> у2 + 2у - 3 > 0, где у =

Рис. 59

Рис. 59

Рис. 60

Рис. 60

Данное неравенство проще решать методом интервалов, учитывая, что его левая часть может менять знак только в точках разрыва или в точках, где она обращается в нуль (рис. 60):

1) х + 10 = 0 ж = —10 — точка разрыва функции

2) в2) в,7ж™4 _ И,7ж™4 _ ИОтвет: х Е (™ос; —10) UОтвет: х Е (™ос; —10) U"47"4747'47'г) Множество решений заданного неравенства является объеди-г) Множество решений заданного неравенства является объеди-нением множеств решений двух систем неравенств (1) и эквивалентных данному:нением множеств решений двух систем неравенств (1) и эквивалентных данному:(2),(2),т-2 > 1, 2т2 - 9т > 0т-2 > 1, 2т2 - 9т > 03,3,3,3,92929292

2) в

2) в

,7ж™4 _ И

,7ж™4 _ И

Ответ: х Е (™ос; —10) U

Ответ: х Е (™ос; —10) U

"4

7

"4

7

4

7'

4

7'

г) Множество решений заданного неравенства является объеди-

г) Множество решений заданного неравенства является объеди-

нением множеств решений двух систем неравенств (1) и эквивалентных данному:

нением множеств решений двух систем неравенств (1) и эквивалентных данному:

(2),

(2),

т-2 > 1, 2т2 - 9т > 0

т-2 > 1, 2т2 - 9т > 0

3,

3,

3,

3,

9

2

9

2

9

2

9

2

И

Г 0<ж-2< 1, J 2 < ж < 3,

П [ 2т2 - 9т < 0 t Л2т - 9) < 0

( 2 < т < 3,

Ответ: (2; 3) UОтвет: (2; 3) U

Ответ: (2; 3) U

Ответ: (2; 3) U

(2Ж — 1)(5Ж — 25) < 0.(2Ж — 1)(5Ж — 25) < 0.Рис. 61Рис. 61

(2Ж — 1)(5Ж — 25) < 0.

(2Ж — 1)(5Ж — 25) < 0.

Рис. 61

Рис. 61

д) 25 • Т - 10ж + 5Ж > 25 => 25 • Т - 10ж + 5Ж - 25 > 0 =>

25(2Ж - 1) - 5Ж(2Ж - 1) > 0 => (2Ж - 1)(25 - 5Ж) > 0 =>

Последнее неравенство решаем методом интервалов (рис. 61), учитывая, что левая часть обращается в нуль при х = 0, х = 2.

Ответ: (0; 2).

Решить логарифмические неравенства:

a) logi lg(x2 — 6)0; б) 2 lg2(—ж) — Igx2 — 4 < 0;

3 — 1

в) logi—— 1; г) х1ж+5 < а5х, 0 < а < 1;

ж ж — 1

О^ия с о.

Юж~8-5

Решение.

log| lg(x2 ------------- 6) > 0 щ>

Г ж2 — 6 > О,Г х2 — 6 > О,

=> г lg(x2 — 6) > О, => J lg(x2 — 6) > 1g 1,

| logo lg(x2 — 6) > 0| log^(lg(x2 — 6)) ^ log^ 1

(учтем, 4Tolog|X— убывающая функция, algx— возрастающая)

J х2 — 6 > 1,| х2™6^ 10J х2 — 6 > 1,| х2™6^ 10f x2 — 6 > о,

J х2 — 6 > 1,

| х2™6^ 10

J х2 — 6 > 1,

| х2™6^ 10

=> < х2 — 6 > 1,

[ lg(x2 — 6)1

(x™ V?)(x + V?) >0, (x — 4)(x + 4) ^0(x™ V?)(x + V?) >0, (x — 4)(x + 4) ^0(рис. 62).(рис. 62).////// л^ух^х^////// л^ух^х^™4 ™V7 V? 4™4 ™V7 V? 4

(x™ V?)(x + V?) >0, (x — 4)(x + 4) ^0

(x™ V?)(x + V?) >0, (x — 4)(x + 4) ^0

(рис. 62).

(рис. 62).

////// л^ух^х^

////// л^ух^х^

™4 ™V7 V? 4

™4 ™V7 V? 4

Рис. 62

Ответ: [—4; — V7) U (V7 ;4].

ОДЗ: x > 0 => x < 0;

21g2(—x) — 21g(—x) — 4 < 0 =>

2p - 2y - 4 < 0, у = lg(-$)

=> 2(y - 2)(y + 1) < 0 => -1 < у < 2 (рис. 63);

- 1 < lg(-x) < 2 ^ 1g 10 1 < lg(-x) < 1g 102

< -x < 100-100 < x <

Основание логарифма — переменная величина. Поэтому данное неравенство эквивалентно совокупности двух систем (1) и (2):

Подчеркнем, что при решении неравенств знаменатель не отбрасывается. Неравенства в системах решаются методом интервалов с учетом всех значений х, где числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль (рис. 64, 65).

Рис. 64

Рис. 65Рис. 65Ответ:Ответ:

Рис. 65

Рис. 65

Ответ:

Ответ:

ОДЗ: х > 0; ж^ 1. Поскольку данное неравенство является показательно-логарифмическим, то обе его части лучше прологарифмировать по основанию а, учитывая, что они положи

тельны:

ж1оё«ж+5 < Хх => (logox + 5)logax > logaa5 + logax =>

=^ l°g(p + 41oga® - 5 > 0 => y2 + 4y - 5 > 0, где у = logax.

Рис. 66Рис. 66

Рис. 66

Рис. 66

Согласно рис. 66 имеем:

у < -5 logox < -5 ^ logaT < logaa 5 => х > а

У > Ю \ogax > 1 ^ loga® > logaa => 0 < х < а.

Ответ: (0;a) U (а 5;+ое).

х 8,5,

Д) ОДЗ:Д) ОДЗ:Д4 Д х е (4; 5) и (5; 8,5) U (8,5; 9).

Д) ОДЗ:

Д) ОДЗ:

9 — х > 0.

Знаменатель дроби положителен при любых значения х, сле-

довательно,довательно,logz_4(9-T) < 0.logz_4(9-T) < 0.

довательно,

довательно,

logz_4(9-T) < 0.

logz_4(9-T) < 0.

Множество решений последнего неравенства найдем как со

вокупность решений двух систем (1) и (2):

Д х-4 > 1, Г х > 5, о

С1) 9-т< 11 т>8

Учитывая ОДЗ, получаем решение х Е [8; 8,5) U (8,5; 9).

Г 0 < х — 4 < 1, Г 4 < х < 5,, г

(2 < Q . 1S /о4 < х < 5.

Поскольку полученный интервал входит в ОДЗ, то получаем окончательный ответ.

Ответ: (4; 5) U [8; 8,5) U (8,5; 9).

Задание для самостоятельного решения

Вычислить:

а) 0,51о§о.254. б) iOg981Xf; в) 3”^:

. ctg ft I 1 - tg ft

3 °S^cos ft”sin ft + °S^ cos ft+sin ft .

toga tg 1° • loga tg 2° ... loga tg 89°.

811

Ответ: a) 2; б) -; в) -; г) -; д) 0.

Решить уравнения:

1/П1 /IV

а) 2х = б) 3® = 5; в) 5® = - ; г) -= -2.

’4 7' ДУ \2)

Ответ: а) -2; б) log35; в) 0; г) нет решений.

Решить уравнения:

а) 4 • 2®+1 - 3®+2 = 2®+4 - 3®+3; б) 3 • 4^ - 13 • 12^ + 4 • 36^ = 0;

в) У1255Х = 5®V-4). г) 5®-1 + 5 • 0,2®"2 = 26.

Ответ: а) ™2; б) log4-; 1; в) 0; 25; г) 1; 3.

Решить уравнения:

log23 • log34 • log45 • log56... logx(x + 1) = 7.

tog3x + log9T + log8 ]x = 7.

log^.216 + log2a;64 = 3.

Ответ: a) 127; 6) 81; в) 4;.

Решить уравнения:

10r2 lg2 жт3 lg ж

a) —^з— = П(Г; б) 1о8'з(ЗЖ - 0 ■ 1овз(3:е+2 - 9) = 3.

в) logs^1’5®"2-5 + 21’5®"0’5 - 0,01 • 53®+1) = Зт - 1.

,281

Ответ: а) 0,1; 100; ДО; б) log34; tog3—; в) -.

Решить неравенства:

а) log^O > log^S; б) logi® > log 15;

в) log3(3"- l).log3(3^-9) >3;

r) logs-xC + 4)(2х + 3 • 2-х)21°б2ж-1оё2(д+6) > 1.

Ответ: a) (l;+oc); 6) (0; 5]; в) (0;log328 — 3) U (log34;+oo);

r) [0;l)U(l;2); д) (3;+m).

7. Решить неравенства:

.2

ж+1,5

a

б) 2 • 3х + 9 • 4х > 12х + 18; в) (0, (4Д2-1 > (0, (6))ж2+6;

г) (ж - 5)(24х2 - 1) < 0; д) ж°'51°еодД-3 ^ 0;53-2,5iog0,5x.

е) 5’og-W > 25; ж) 25loSsx + Tog520 < 30.

Ответ: a) (-1; 3); б)

1;2 ; в) [-2^;2v^J; в)

Т5:

д) оИ ; е)о

U (2; 6); ж) [0,2; 5].

Глава 6

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Задачи с параметрами — это, как правило, задачи исследовательского характера, решение которых основано на знании школьного курса математики и на творческом подходе. Однако определенные алгоритмы здесь тоже существуют, что мы и продемонстрируем на следующих примерах.

Примеры

Найти все значения параметра а, при которых решения (ж, у) системы уравнений

Зж + у = а,2ж — у = 9

удовлетворяют условию х > у.

Решение. Из данной системы уравнений найдем ж и щ

5 ’2а-275 ’2а-27Зж + у = а, 2ж — у = 9Зж + у = а, 2ж — у = 9( а + 9

5 ’

2а-27

5 ’

2а-27

Зж + у = а, 2ж — у = 9

Зж + у = а, 2ж — у = 9

Искомые значения параметра являются решениями неравен-

Ответ: а Е (—ос,36).

Найти все значения параметра а, при которых любое решение неравенства

входит в область определения функции у = 1п(9 — 16а4ж2).

Решение. 1) Найдем множество решений данного неравенства:

1 \ 2(ж — I)2/ 1 \ (3 —ж)2/ 1 \ 2(ж — I)2/ 1 \ (3 —ж)2

3/\9уМз)\3у

12Зж2 - 2ж - 5

2(х- I)2(3-х)22(х- 1)2(ж-3)2

3(ж + 1) ^х — |^

2(х- 1)2(х-3)2

Рис. 67Очевидно (рис. 67), что х Е [—1; 1) U ^1; |].2) Найдем область определения функции у = 1п(9 — 16а4т2):9 16а4ж2 > 0(34а2ж)(3 + 4а2ж) > 0.Согласно рис. 68 имеемРис. 67Очевидно (рис. 67), что х Е [—1; 1) U ^1; |].2) Найдем область определения функции у = 1п(9 — 16а4т2):9 16а4ж2 > 0(34а2ж)(3 + 4а2ж) > 0.Согласно рис. 68 имеем

Рис. 67

Очевидно (рис. 67), что х Е [—1; 1) U ^1; |].

2) Найдем область определения функции у = 1п(9 — 16а4т2):

9 16а4ж2 > 0(34а2ж)(3 + 4а2ж) > 0.

Согласно рис. 68 имеем

Рис. 67

Очевидно (рис. 67), что х Е [—1; 1) U ^1; |].

2) Найдем область определения функции у = 1п(9 — 16а4т2):

9 16а4ж2 > 0(34а2ж)(3 + 4а2ж) > 0.

Согласно рис. 68 имеем

X Е I ~ 9 , "3 9 ) , а и.

33 ж4 а24 а2Рис. 6833 ж4 а24 а2Рис. 68////^////4////^////435 3т4а234д235 3т4а234д2V 4а2 4а2у

33 ж

4 а24 а2

Рис. 68

33 ж

4 а24 а2

Рис. 68

////^////4

////^////4

35 3т

4а234д2

35 3т

4а234д2

Рис. 69

Множество решений неравенства по условию должно войти в область определения функции т/(ж) (рис. 69), т. е. параметр а должен удовлетворять условиям:

4а2’ I 4а2’35

5| 354а23

О > 3W > 3

2933

=> а < — =>-= < а <.

20-V^O-V^O

полученный промежуток.полученный промежуток.Ответ: а ЕОтвет: а Е3333Отметим, что D(t/) = R при а = 0, поэтому а = 0 входит в

полученный промежуток.

полученный промежуток.

Ответ: а Е

Ответ: а Е

33

33

Найти все значения параметра а, при которых не существует критических точек функции

у = 3(а — 2)(cos2 — — sin2 —) + 3(а + 1)ж + sin 10.

Решение. Преобразуем данную функцию, учитывая, что

9 Ж . о ЖЖ """"

cos — — sin — = cos —:

42

у = 3(а — 2) cos — + 3(n + 1)ж + sin 10.

Поскольку в данном случае критические точки функции — это решения уравнения ^(ж) = 0, то

Дж) = 0-3З——Г sin |+ 1) = о =>

а — 2 . ж ,„. х 2(а + 1)

Для существования критических точек необходимо и достаточно потребовать выполнения условия:

2)2)а 2а 22(а + 1) а + 4с < 1 =уа™2 "а™22(а + 1) а + 4с < 1 =уа™2 "а™22(а+ 1) а ™ 22(а+ 1) а ™ 2Рис. 70Рис. 70< L< Lа Е [^4; 2) (рис. 70);а Е (™сю; 0] U (2; +оо) (рис. 71).а Е [^4; 2) (рис. 70);а Е (™сю; 0] U (2; +оо) (рис. 71).Рис. 71Рис. 71

2)

2)

а 2

а 2

2(а + 1) а + 4

с < 1 =у

а™2 "а™2

2(а + 1) а + 4

с < 1 =у

а™2 "а™2

2(а+ 1) а ™ 2

2(а+ 1) а ™ 2

Рис. 70

Рис. 70

< L

< L

а Е [^4; 2) (рис. 70);

а Е (™сю; 0] U (2; +оо) (рис. 71).

а Е [^4; 2) (рис. 70);

а Е (™сю; 0] U (2; +оо) (рис. 71).

Рис. 71

Рис. 71

Найдем пересечение полученных множеств (рис. 72): -402а

Очевидно, критические точки функции существуют при а Е 6 [—4; 0]. Следовательно, при а ^ [—4; 0] они не существуют.

Ответ: (—ос; —4) U (0;+ос).

Найти множество всех значений параметра а, при которых функция

у = sin 2т — 8(а + 1) sin ж + (4а2 + 8а — 14)ж

является возрастающей на всей числовой прямой и не имеет критических точек.

Решение. Чтобы функция у = /(ж) была возрастающей и не имела критических точек, необходимо и достаточно, чтобы при всех ж 6 ( — ос, ос) выполнялось неравенство:

СО) > 0,

т. е.

2 cos 2ж — 8(а + 1) cos ж + 4а2 + 8а — 14 > 0 =>

=> 4 cos2 ж — 8(а + 1) cos ж + 4а2 + 8а — 16 > 0 =>

=^ cos2 ж — 2(а + 1) cos ж + (а2 + 2а — 4) > 0.

Обозначим cos ж = t, \t\ ^ 1. Тогда приходим к условию

ф(1?) = t2 — 2(а + l)t + (а2 + 2а — 4) > 0, t Е [—1; 1].

Следовательно,

ул = min > 0.

Учтем, что

ф^!) = 0 о t = а + 1,и найдем наименьшее значение т функции ф^) на отрезке

771 =771 =ф( — 1) = а2 + 4а — 1 ф(а + 1) = -5ф( 1) = а2 — 5ф( — 1) = а2 + 4а — 1 ф(а + 1) = -5ф( 1) = а2 — 5при а + 1— 1,при — 1 < а + 11,при а + 1— 1,при — 1 < а + 11,при а + 11при а + 11

771 =

771 =

ф( — 1) = а2 + 4а — 1 ф(а + 1) = -5

ф( 1) = а2 — 5

ф( — 1) = а2 + 4а — 1 ф(а + 1) = -5

ф( 1) = а2 — 5

при а + 1— 1,

при — 1 < а + 11,

при а + 1— 1,

при — 1 < а + 11,

при а + 11

при а + 11

{

а2 + 4а — 1 при а ^ —2,

—5при — 2 < а 0,

а2 — 5 при а 0;

6 I а <~ ^ 1 > 0’ => а € (—сю; —2 — V5) (рис. 73);

1 “ > О’ ^a^(V5; +оо) (рис. 74).

+"^>++Г^+

.////////о1(////////>ZZZZZZZZp1<////////>

™2 ™ V5 ™2+ V5 «™ V5 О V5 «

Рис. 73Рис. 74

Ответ: а Е (—ос; —2 — V5) U (V5; +ос).

Найти все значения параметра а, при которых уравнения 2ж2 — (За + 2)ж + 12 = 0 и 4ж2 — (9а — 2)ж + 36 = О имеют общий корень.

Решение. Задачу можно переформулировать так: найти решение (ж, а)

( 2ж2 — (За + 2)ж + 12 = 0,[ 4ж2 - (9а - 2)® + 36 = 0.

Умножив первое уравнение на (—3) и сложив со вторым, получим:

—2ж2 + 8ж = 0 =4 жу = 0; хд = 4.

При х = 0 система решений не имеет, т. к. уравнения преобразуются в неверные равенства 12 = 0и36 = 0. При ж = 4 находим а = 3 (из любого уравнения).

Ответ: а = 3.

При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения

ж2 + ж V а2 — 4а — а — 2 = 0

принимает наименьшее значение?

Решение. 1) Учтем, что а2 - 4а > 0 44 а Е (—оо;0] U U [4; +ос).

Найдем сумму квадратов корней данного уравнения, используя теорему Виета (корни существуют, т. к. D = а2 + 8 > 0):

xf + ж| = (Ж1 + Ж2)2 — 2жЩ2 =

= ( - VT^Tf - 2(-а - 2) = а2 - 2а + 4.

Найдем наименьшее значение функции

у(а) = а2 — 2а + 4, а Е (—ос; 0] U [4; +ос).

Поскольку

у(а) = 2а — 2 = 0^а = 1 ^ (—оо;0] U [4; +ос).

то наименьшее значение функция у (а) может принимать либо при а = 0 (на промежутке (—ос; 0] она убывает), либо при а = 4 (на промежутке [4;+ос) она возрастает). Сравнив 1/(0) = 4 и 1/(4) = 12, получаем ответ.

Ответ: а = 0.

При каких целых отрицательных п функция /(ж) =

= cos пх • sin —ту- удовлетворяет условию /(ж) = /(ж + 5тг) для всех х Е Rf

Решение.

15ж

/(ж) = /(ж + 5тг) => cos пж • sin -^у- =

/ г х • 15(ж + 5тг)

= cos п(ж + отг) • sin 9, ж 6 R.

Используем метод «выгодной точки»: если равенство выполняется при всех х Е R, то и при ж = 0. Тогда

г . 75х n. 75х п 75

COS О7ГП • Sin ту = иSin ту = U= ГГЦ

m E Z => т? = 1 или n2 = 25.

По условию n < 0. Поэтому из последних уравнений находим: ni = — 1; П2 = ™5. Оба значения удовлетворяют условию задачи (проверьте самостоятельно).

Ответ: ni = — 1; П2 = ™5.

Найти все значения параметра а, при которых система

(3-2«2)^ + (з + 2V2)y — За = ж2 + 6х + 5,

1/2 — (а2 — 5а + 6)ж2 = 0,

—6 ж 0

Решение. Учтем, что (3 — 2 V2) • (3 + 2 V2) = 1, т. е.

(3-272^ = (3 + 2л/2)у.

Поскольку во второе уравнение системы входит у2, то можно использовать «симметрию» данных в условии выражений: если (жо;^/о) — решение данной системы, то и (жо;—т/о) — также ее решение. Единственность решения обеспечивается требованием УО = 0.

Пусть у = 0. Тогда данная система эквивалентна следующей:

Г 2 — За = ж2 + 6ж + 5, Г а = —Х, => \ ж2(а2 — 5а + 6) = 0,=> < а = 2,

[ —6 ж 0( а = 3.

Проверим каждое из полученных значений параметра:

Г (3^2\Д)УГ (3 + 2V2)у + 3 = ж2 + 6ж + 5,

1) а = — 1 => < У — 12ж2 = 0, | ж 0.

В левой части первого уравнения системы стоит сумма двух взаимно обратных чисел. Она больше или равна 2. Поэтому ' (3 - 2V^ y + (з + 2V2 У + 3^5,

< т/2 — 12ж2 = 0,

ж2 + 6ж + 55 при ж € [—6; 0]

=> (0; 0) — единственно возможное решение.

2) а = 2 д2) а = 2 дГ (3^2\ЖУ< У = о,[ —6 х 0J ж = —3, ( У = 0Г (3^2\ЖУ< У = о,[ —6 х 0J ж = —3, ( У = 0+ (3 + 2V2 )У — 6 = ж2 + 6т + 5,+ (3 + 2V2 )У — 6 = ж2 + 6т + 5,=> ( —3;0) — единственное решение.=> ( —3;0) — единственное решение.

2) а = 2 д

2) а = 2 д

Г (3^2\ЖУ

< У = о,

[ —6 х 0

J ж = —3, ( У = 0

Г (3^2\ЖУ

< У = о,

[ —6 х 0

J ж = —3, ( У = 0

+ (3 + 2V2 )У — 6 = ж2 + 6т + 5,

+ (3 + 2V2 )У — 6 = ж2 + 6т + 5,

=> ( —3;0) — единственное решение.

=> ( —3;0) — единственное решение.

3)3)а = 3 =Га = 3 =Г(3 - 2Vsy + (3 +- 9 = Т2 + 6т + 5.у2 = о, —6 ж 0(3 - 2Vsy + (3 +- 9 = Т2 + 6т + 5.у2 = о, —6 ж 0ж2 + 6ж + 12 = 0,ж2 + 6ж + 12 = 0,

3)

3)

а = 3 =Г

а = 3 =Г

(3 - 2Vsy + (3 +- 9 = Т2 + 6т + 5.

у2 = о, —6 ж 0

(3 - 2Vsy + (3 +- 9 = Т2 + 6т + 5.

у2 = о, —6 ж 0

ж2 + 6ж + 12 = 0,

ж2 + 6ж + 12 = 0,

у2 = о, —6 ж 0у2 = о, —6 ж 0=^ нет решений.=^ нет решений.

у2 = о, —6 ж 0

у2 = о, —6 ж 0

=^ нет решений.

=^ нет решений.

Ответ: щ = — 1; «2 = 2.

Найти все значения параметра а, при которых любое решение неравенства

аж2 + (1 — а2)ж — а > О

по модулю не превосходит двух.

Решение. Решим уравнение ах2 + (1 — а^х — а = 0:

а2 — 1 ± Va4 — 2а2 + 1 + 4а2 а2 — 1 ± (а2 + 1)

Ы= 2a

1

х\ = а, Ж2 = —.

а

Графиком квадратного трехчлена, стоящего в левой части данного неравенства, является парабола. Ясно, что любое его решение будет по модулю не больше двух, если а < 0

Рис. 75Рис. 75Ответ: а ЕОтвет: а Е(рис. 75) и (поскольку а < х < —)

Рис. 75

Рис. 75

Ответ: а Е

Ответ: а Е

При каких значениях параметра а среди решений неравенства

logl 3logl 33 |ж — 120|ж — 1163 |ж — 120|ж — 116—log3(121 -ж) + logi—log3(121 -ж) + logi|ж- 118| (ж — 116)121 -ж|ж- 118| (ж — 116)121 -ж< а< а

logl 3

logl 3

3 |ж — 120|ж — 116

3 |ж — 120|ж — 116

—log3(121 -ж) + logi

—log3(121 -ж) + logi

|ж- 118| (ж — 116)121 -ж

|ж- 118| (ж — 116)121 -ж

< а

< а

содержится единственное целое число?

Решение. Найдем область допустимых значений ж, входящих в аргументы логарифмов левой части неравенства:

' 3 |ж — 120|ж — 116’< 121-ж >0,|ж- 118| (ж — 116)<121 -ж >' 3 |ж — 120|ж — 116’< 121-ж >0,|ж- 118| (ж — 116)<121 -ж >' ж ф 118,< ж / 120, (рис. 76)., 116 < ж < 121.' ж ф 118,< ж / 120, (рис. 76)., 116 < ж < 121.

' 3 |ж — 120|

ж — 116’

< 121-ж >0,

|ж- 118| (ж — 116)

<121 -ж >

' 3 |ж — 120|

ж — 116’

< 121-ж >0,

|ж- 118| (ж — 116)

<121 -ж >

' ж ф 118,

< ж / 120, (рис. 76).

, 116 < ж < 121.

' ж ф 118,

< ж / 120, (рис. 76).

, 116 < ж < 121.

Следовательно, среди решений неравенства может быть либо Ж1 = 117, либо Ж2 = 119. Для определения значений параметра а приходим к условиям:

если х\ = 117 — единственное целое решение данного неравенства, то

J log^S |ж1 — 1201 |ж1 — 1181 < а,

I logi 3 Ц2 - 120| |ж2 - 118| > а

{

log 1 3 • 3 • 1 < а, ( Л

13 q 1 1 \/1=^>—2<а^—1;

logyd-l-l^a1

зk

если Ж2 — 119 — единственное целое решение данного неравенства, то

J log^S |ж 1 — 1201 |ж] — 1181а,

1оёД|ж2 - 120| |ж2 - 118| < а

( logi 3 - 3 - 1 > а, Г а < -2,

Л 13 Q 11 /\10.

I logio • 1 • 1 < а I а > — 1

I зk

Ответ: а Е (—2; 1].

При каких значениях параметра а множество значений

функции^22

/(ж) = 27-3 ^-=+1 - 1

принадлежит промежутку [0; 2186] для всех значений ж? Решение. По условию задачи имеем:

х^—Р-фаж —2,о

0 < 27 • 3 --+1 - 1 < 21860 < 3+ - 1 < 2186

ДаЖ.оа;2фа-г-2|-з„

1 < 3^^7+ < 21873° < 3^^+ ф ЗЖ

о ж2 + аж - 2

=л -3 < ^ < 4 л>

жz — х + 1

(учтем, что х2 ж + 1 > 0 при любом ж, т. к. D = 1 — 4 < 0)( Зж2 - (а + 4)ж + 6 ^ 0, х € R, Г (а + 4)2 - 72 < 0,| 4ж2 + (а - 3)ж +0,ж € R, (а - З)2 - 16 < 0 =

Л 4 ут2<а< 4 VT1.4+v^

— 1 ^ а ^ 7

Ответ: а Е [— 1; ™4 + V72 ].

Задание для самостоятельного решения

При каких значениях а решением неравенства а-а)2а-2)(т + 3) < О

будет отрезок?

Ответ: а Е [—3; 2].

При каких значениях а графики функций у = (а + 5) ж2 — — 7 и у = (За + 15) ж — 4 не имеют общих точек?

Ответ: аЕдч~5].

Найти множество значений а, при которых уравнения

sin 2ж(8ш 2ж — 1) = О

и2

(а + 3) sin 2ж — sin 2ж • cos 4ж — (а + 4) sin 2ж = О равносильны.

Ответ: а Е (—ос, — 7] U {—5} U (—3; +ос).

Определить, при каких значениях параметра а минимум функции у = аж + |ж2 — 4ж + 3| больше 1.

Ответ: а Е (1; 4 + 2 V2 ).

При каких значениях параметра а функция

3

Vx2 + 2ж + 7

убывает на отрезке [4а; а + 5]?

/ 1 5\

Ответ: а Е I — —; — 1.

При каких значениях параметра а уравнение 4 cos ж + + cos 2ж = а имеет решение?

Ответ: а Е [—3; 5].

Найти множество всех значений параметра а, при каждом из которых неравенство

а2 + 2а — sin2 ж — 2а cos ж > 2

выполняется для любого ж Е R.

Ответ: а Е (—ос; —2 — V6) U (V2; +ос).

Найти множество всех значений параметра а, при каждом из которых функция

/(ж) = 8(2а + 1) cos ж — sin 2ж + (16а2 + 16а — 18)ж

является возрастающей на всей числовой прямой и не имеет критических точек.

Найти все значения параметра а, при которых существует хотя бы одно решение системы

J х2 + (2 + 5а) х + 4а2 + 2а < О,

1 х2 + а2 = 4.

Ответ: а Е ^\/2 ; — ^^j U (0; \/2).

Найти множество всех пар чисел (а; Ь), для которых при любых х Е R справедливо равенство:

a(cos х — 1) + Ь2 = cos(ax + Ь2) — 1;

a In х + Ь = ln(ax + Ъ^.

Ответ: а) (0;0); (1;0); б) (1;0).

Найти все значения параметра a (a > 0), при которых

а

(2 — 4х + 3x2)dx а.

0

Ответ: а = 1.

Найти все значения параметра a (a > 0), при которых площадь фигуры, ограниченной параболой

У = ж2 - 2ж УА 2 2 + 3

и прямой

у = —Зж

будет наименьшей.

Ответ: a = 1 .

Найти все значения параметра а, при которых неравенство 4Ж — а-2ж — а + 3^0 имеет хотя бы одно решение.

Ответ: а Е [2; +ш).

При каких значениях параметра а уравнение ж2 - 2a х х sin (cos х) + 2 = 0 имеет единственное решение?

1

Ответ: a =

sin 1

Указание. Использовать необходимое условие существования единственного решения, как в примере 8 (принцип «симметрии» данного выражения).

Найти все пары чисел а и Ь, при которых неравенство |2х2 + ах + b| > 1 не имеет решений на отрезке [1; 3].

Ответ: а = —8, b = 7.

Указание. Использовать метод «выгодной точки».

При каких значениях параметра а множество решений

неравенства х + уж2™ 2ах > 1 содержит отрезокнеравенства х + уж2™ 2ах > 1 содержит отрезокг1г1??

неравенства х + уж2™ 2ах > 1 содержит отрезок

неравенства х + уж2™ 2ах > 1 содержит отрезок

г1

г1

?

?

Ответ: а Е (—ос; — 1).

Найти все значения параметра р, при которых уравнение

(р-4)-9ж + (р + 1).3- + (2р- 1) = 0

не имеет решений.

Ответ: р ЕОтвет: р ЕU [4; +ос).U [4; +ос).

Ответ: р Е

Ответ: р Е

U [4; +ос).

U [4; +ос).

Найти значения а, при которых сумма корней уравнения

ж2 + 2К2 - За)ж - (6а3 - 14а2 + 4) = 0 принимает наибольшее значение.

Ответ: «1 = 1; «2 = 2.

Найти все значения а, при которых система ж2 + 2т + а 0, х2 — 4х — ба < 0

имеет единственное решение.

Ответ: сд = 0; «2 — 1

Найти все значения а, при которых уравнения sinx = = а - 3 и л/ж + 3 = 2а + 1 равносильны.

Ответ: а ЕОтвет: а Е1\2/1\2/

Ответ: а Е

Ответ: а Е

1\

2/

1\

2/

Найти все значения параметра а, при которых системы

х + 2р = 2 — а,

—х + ар = а — 2а2,

Г х2 — р4 — 4х + 3 = 0,

[ 2х2 + р2 + (а2 + 2а — 11)х + 12 — 6а = 0.

равносильны.

Ответ: «1 = —2; а^ = — 1.

Найти все значения параметра а, при которых всякое решение неравенства

(0,5) 2(^)2(0,25) (3-)2

Ответ: а Е —Ответ: а Е —ЗД 3V5ЗД 3V5входит в область определения функции /(х) = 1g(9 — 16н4х2).

Ответ: а Е —

Ответ: а Е —

ЗД 3V5

ЗД 3V5

Глава 7

ВЕКТОРЫ И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕПРИЛОЖЕНИЯ

Основные теоретические сведения

Вектором называется направленный отрезок (рис. 77). Обозначается вектор АВ, а , а. Точка Л — начало вектора, точка В — конец. Расстояние АВ называется модулем (длиной) вектора АВ, обозначается |ЛВ|, |Т7| , а.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным (или орт-вектором). Вектор, длина которого равна нулю, называется Рис- 77 нулевым ^9 У Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и сонаправлены (одинаково направлены). В дальнейшем будем рассматривать ненулевые векторы (если иное не оговорено специально).

Векторы, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой, называются коллинеарными.

Векторы, параллельные одной плоскости или лежащие в одной плоскости, называются компланарными.

Взаимно перпендикулярные векторы называются ортогональными.

Действия с векторамикак направленными отрезками

Суммой двух векторов а и b называется вектор а + + b , соединяющий начало вектора а с концом вектора b при условии, что векторы расположены так, что конец вектора а является началом вектора b .

Сумма двух неколлинеарных векторов может быть найдена и по «правилу параллелограмма»: вектор а + b является диагональю параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах, исходящей из их общего начала (рис. 78).

Суммой п векторов ац a2v ап называется вектор а 1 + а 2 + • • • + а п ? соединяющий начало вектора a i с концом а п. при условии, что все векторы — слагаемые расположены так, что конец предыдущего слагаемого является началом следующего (рис. 79).

Произведением вектора а на число А 6 R называется вектор Л а длина которого равна | А | • | а |, сонаправленный с а при А > 0 и противоположно направленный при А < 0.

Разностью двух векторов а и b называется вектор а — b = а + (—1) b . Аналогично определяется вектор Ь — а : b — а = b + (—1) а . Векторы а — Ь и Ь — а являются противоположно направленными. Разность двух неколлинеарных векторов может быть найдена и по «правилу параллелограмма»: вектор а и b является диагональю параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах, соединяющей конец вектора b с концом вектора ~а (рис. 80, 81).

Сумма векторов и произведение вектора на число подчиняются обычным законам алгебры:

l)apb = bpa (переместительный закон);

( а + Ь ) + с = а + ( Ь + с ) (сочетательный закон);

"а + 0 =

и

1) А1(А2 а ) = (А1А2) а (сочетательный закон);

Ai а + А2 а — (Ai + А2) аAV + A b = А(”а> + b )Ai а + А2 а — (Ai + А2) аAV + A b = А(”а> + b )(распределительные законы);(распределительные законы);

Ai а + А2 а — (Ai + А2) а

AV + A b = А(”а> + b )

Ai а + А2 а — (Ai + А2) а

AV + A b = А(”а> + b )

(распределительные законы);

(распределительные законы);

О =

Очевидно, что для коллинеарности векторов а и b необхо

димо и достаточно выполнение условия:

b = АТю

Учитывая правила сложения векторов и умножения вектора на число, можно составлять линейные комбинации векторов а 1, а 2,... , а п вида:

п

Ai а 1 + А2 а 2 + • • • + Ап а п = ^ ^ А^ а р

г=1

Если равенство

А) а ] + А2 а 2 + • • • + Хп а п = в(1)

возможно лишь при равенстве одновременно всех А^ нулю, то векторы а 1, а2,.-- ап называются линейно независимими. Если равенство (Г) возможно хотя бы при одном значении Ад отличном от нуля, то ад а 2,, а п — линейно зависимее век™ тори.

Проекцией вектора а на ось е называется величина | а | х х cos 99, т. е.

пр^> а = | а | • cos р,(2)

где р — угол между а и е .

Упорядоченная пара линейно независимых векторов плоскости называется базисом. Любой третий вектор плоскости является линейной комбинацией базисных векторов.

Например, если (ед е 2) — базис на плоскости, то любой вектор а на плоскости представим в виде:

а = (аж, а^) = ах в j + а^ в 2*(3)

Аналогично, в трехмерном пространстве:

а = (аж, а^, а2) = ах в j + а^ в 2 Д а2 в 3,(4)

где ( е 1,^2, в 3) — базис пространства (т. е. упорядоченная совокупность трех линейно независимых векторов).

Коэффициенты аХ) ау при базисных векторах в формуле (3) и аЖ) ау, az — в формуле (4) называются координатами вектора а в заданном базисе. Они являются проекциями вектора а на оси координат (рис. 82, 83).

В прямоугольной декартовой системе координат базисные . —^ —^. —^ —^ —^

векторы обозначают так: ( г ; j ) — на плоскости; ( г ; j ; к ) — в пространстве. Поэтому а = аж г + ау j — на плоскости, а = ах г + ау j + azk — в пространстве.

Скадярным произведением векторов а и b называется величина>>

• b = |"Ф| • | b | cos 99,(5)

где ф — угол между а и b .

Свойства скалярного произведения:

а • b = b • а ;

а • b = | а | • пр^ b = | Ь | • пр^ а =>

а • b = О О а ± b ;

а • а ^ О, причем=

= "Ф2 = 1^12 — скалярный квадрат вектора "ар

КI(7)

Обозначив через о, /3, 7 углы между вектором а и осями координат, можно выразить проекции а на От, Оу^ Oz через cos о, cos/3, cosy — направдяюсцие косинусы вектора а :

аж = | а | • cos о, ау = | а | • cos /3, az = | а | • cos 7.(8)

Отсюда — формулы отыскания косинусов углов между вектором а и осями координат:

cos а = cos р = cosy =

I a II a II а I

Поскольку

\"а\ = а^ Д а^Д (А ,(10)

то очевидно, что

cos2 а + cos2 /3 + cos2 у = 1,

т. е. (cos а, cos/3, cosy) — координаты единичного вектора, сона- правленного с а .

Действия с векторами,заданными в системе координат

ю ™ ^аВ Др аи) 1™а Д b = (аж ± Ьж; ау ± Ьд az ± bz)

6 = ^Ьж,Ьу,Ь^ JДа = (Хах, Доу, Доу).

а * b ахЬх Д ауЬу Д azbz.(11)

Координаты вектора АВ с началом в точке а(то, t/o? ^0) и концом в точке В (ту у\, 21) определяются так:

АВ = Д - т0; yi - уо; 21 - г0).

Условие коллинеарности векторов а и b :

t = xi?^U = 5l = ^ (pm-ytWOY (12) bx byа

Условие ортогональности векторов ни b :

а • b = 0 =7 ажЬх + Uyby + azbz = 0.(13)

Угол меоюду векторами а и b определяется по формуле:

I11। yyyyzyiууздгзд|

(14)

5 Г. А. Сахабиева, В. А. Сахабиев

Работа силы, F при перемещении точки ее приложения пря-

—>

молинейно вдоль вектора S вычисляется по формуле:

(15)(15)А = F ■ S.

(15)

(15)

У1, 2]), B^2,Z2), вформулам:У1, 2]), B^2,Z2), вформулам:отношении А =отношении А =—— определяются по О В—— определяются по О Вж0 =ж0 =Х1 + Лт21 + АХ1 + Лт21 + Ау\ + N^ И + ^^2№ = ~' "0 = ЛыГу\ + N^ И + ^^2№ = ~' "0 = ЛыГ(16)(16)Координаты точки ОДо; уо^ zq) деления отрезка АВ^ A(xi, АО

У1, 2]), B^2,Z2), в

формулам:

У1, 2]), B^2,Z2), в

формулам:

отношении А =

отношении А =

—— определяются по О В

—— определяются по О В

ж0 =

ж0 =

Х1 + Лт2

1 + А

Х1 + Лт2

1 + А

у\ + N^ И + ^^2

№ = ~' "0 = ЛыГ

у\ + N^ И + ^^2

№ = ~' "0 = ЛыГ

(16)

(16)

Рис. 84Рис. 84

Рис. 84

Рис. 84

Примеры

В треугольнике АВС медианы пересекаются в точке О ^у у

(рис. 84). Найти сумму векторов О А + О В + ОС.

Решение. Достроим треугольник АО С до параллелограмма AOCD. Очевидно, ОР = О А + ОС. Кроме того, имеем: |ОВ| = |SO| (по свойству медиан треугольника), |OD| = 2|5О| (по свойству диагоналей параллелограмма). Следовательно, |ОВ| = IODL но О В и —

ОР — противоположно направленные векторы. Поэтому OD = —ОВ. Тогда ОА + ОВ +ОС = (ОА + ОС) + ОВ = = OD + OB = ~е.

Ответ: 9 .

Найти |Д — b — "Ф|, если |"Ф| = 1, | b | = 3, |Д| = 5, Z(^) = 60°, /(Д , Д) = 90°, Z^,^) = 120°.

Решение. Учитывая формулы (2)^(4), имеем

= АУй44У2УРД|р8бРУтУУГ9Р4У|г^

= ^Т^ЮмРТЛЛГРТлТТ = 3V3.

Ответ: 3V3.

Найти проекцию вектора 3 а + b на вектор а — b если "а = (2; 1; — 1), 7 = (3;0;2).

Решение. Зная координаты векторов а и b , найдем

3 V + b= 9i+3j — к,

а — b = — г + j — ок.

По формуле (9) определяем

ту (3 а + b , а - b )

зСПизСПипр^ -д(3 а + о) =- =

зСПи

зСПи

_-9+3+3

Ответ:.

Пример 4. В точках Л(2;1;0) и В(—1;2;1) приложены параллельно направленные силы F\ и F^ соответственно, причем |F11 = 2 Н, |^21 = 4 Н. Найти равнодействующую силу F и точку О ее приложения.

Решение. Равнодействующая сила F сонаправлена с силами F\ и F2, а ее модуль равен сумме их модулей (рис. 85):

\F\ = 1Ы + Й = 2 + 4 = 6(H).

Координаты (xo.Uo^o) точки приложения О равнодействующей силы определяются по формулам (16):

Хо =Хо =хд + Ххв1 + Ахд + Ххв1 + АУо =Уо =UA + Хув1 + АUA + Хув1 + А2О =2О =2,4 + Xzb1 + А2,4 + Xzb1 + А

Хо =

Хо =

хд + Ххв

1 + А

хд + Ххв

1 + А

Уо =

Уо =

UA + Хув1 + А

UA + Хув1 + А

2О =

2О =

2,4 + Xzb

1 + А

2,4 + Xzb

1 + А

4— = 2. Поэтому имеем4— = 2. Поэтому имеемАО №1 где А = —— = -^- ов |Н|

4

— = 2. Поэтому имеем

4

— = 2. Поэтому имеем

2 + 2(-1) п 1 + 2-250 + 2-12

Х°~1+2“ °’ Уо- 1 + 2 -3’ 20 - 1 + 2 “ 3'

/ 5 2А

Ответ: 6 Н; О I 0; -; - ].

в точках Л(4; 5;в точках Л(4; 5;Доказать, что треугольник в вершинами

в точках Л(4; 5;

в точках Л(4; 5;

— 8), В(1; 2; —3) и С(3; 5; 0) является прямоугольным. Решение. Найдем векторы

ЛВ = (-3;-3;5), ВС = (2; 3; 3), СЛ = (1; 0; —8)

и вычислим их скалярные произведения:

ВС • СЛ = 2 • 1 + 3 • 0 + 3 • (-8) = 2 - 24 = ™22;

СЛ * АВ = П (-3) + 0 * (-3) + (-8) * 5 = -3 - 40 = ™43;

ЛВ-ВС=(™3)-2 + (-З)-З + 5-3= - 6 - 9 + 15=0 ZABC^W.

Найти координаты единичного вектора b , сонаправлен- ного с вектором а = (4;0;3).

Решение. Поскольку вектор b сонаправлен с а , то Ь = = АД, А > 0.

Отсюда

Ч| = |А| •1 = |А| - V42 + О2 + З2 Д Д о А| A = T

/4 з\

Следовательно, b = -Д = ( —; 0; — ).

/4 ЗА

Ответ: b = ( — ;0;—

у

Найти разложение вектора Д = (9;4) по базису ("р\™д^ где "р = (2;-3)Д = (1;2).

Решение. Разложение вектора а по базису (р , q) имеет вид (2):

Д = Ai "р + A2V1

где (Ар Аз) — координаты вектора а в базисе р , q . Найдем Ai и A3, учитывая координаты данных векторов:

(9; « - Л, (2; -3) + Л2( 1; 2)4

=> 7А1 = 14 => Ai = 2, А2 = 5.

Ответ: 11 = 2 р^ + 5”ф.

Найти координаты вектора х . зная, что х • а = —5, "х • b = — 11, "х • Д = 20, если "а = (2; — 1; 3), b = (1; — 3; 2), Д = (3;2;-4).

Решение. Пусть ~х = (АьАз;А3). Применим формулу вычисления скалярного произведения через координаты векторов (11):

{

^ * ф *+ Г 2А1 — Аз + ЗА3 — —5, 1с • b = — 11, => \ Ai — ЗАз + 2Аз = —11, "х • "Д = 20 I ЗА 1 + 2А2 — 4А3 = 20.

Для решения системы трех уравнений с тремя неизвестными выразим Ai и А2 через A3 из первых двух уравнений.

Получим:

Ai = ЗА2 - 2А3 - И, A2 = 2Ai+3A3 + 5 =

= 6А2 4А3 22 + ЗА3 + 5 = 6А2 А3 17 => -5А2 = ™А3 17 =>

=> Аз ==> Аз =A3+175A3+17535174

=> Аз =

=> Аз =

A3+17

5

A3+17

5

=> Ai = -А3 + —— 2А3 -11 = -^А3 -

ОО00

Подставим полученные выражения Ai и Аз в третье уравне

211221122 +^_4Аз = 20^5Аз 52 +^_4Аз = 20^5Аз 5ние системы:

2112

2112

2 +^_4Аз = 20^

5Аз 5

2 +^_4Аз = 20^

5Аз 5

од уо

=> -— = — => А3 = -2 => А] = 2; Аз = 3.

5Аз 5

Ответ: "х = (2;3;— 2).

Вектор а , у которого абсцисса вдвое больше ординаты, образует с базисным вектором к угол 135°. Найти его координаты, если |Д■| = W2.

Решение. Обозначим а = (ж; -у; 2). По условию х = 2?/, поэтому а = ^у;у;гУ Как известно,

% = прОг7?=|7?| • cos7 => 7=5V2 cos 135° = 5C2-(—-^-у= — 5.

Итак, 7? = (2^,7, ^5).

Найдем 1/ из условия |7?| = 5^2- Имеем:

у4у2 + у2 + 25 = 5V25у2 + 25 = 50, 5у2 = 25, у = ±75.

Ответ, "а \ = (275 ; 75 ; — 5); "а^ = (—2д/5; 75; — 5).

Вычислить длины диагоналей d\ и d^ параллелограмма, построенного на векторах + 2 b и 7? — 3 5 , если |7?| = 2V2 , |Т| = 3, Z(^^) = 45°.

Решение. Из определения суммы и разности векторов известно, что они являются диагоналями параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах. Обозначим их соответственно d i и d 2 ■ Имеем

d 1 = (57? + 2 b ) + (7? — 3 b ) = 67? — b ,

d 2 = (57? + 2 b ) — (7? — 3 b ) = 47? + 5 b .

Тогда

| d 11 = |67? — b I = \j (67? — b^ • (67? — b ) =

= ?3672- 127-7 + 72 =

= уТТт^ТдТзуТТддТТ^ =

= О88 - 12-272 •3-cos45° + 9 = 7225 = 15;

|72| = |47 + 571 = 7(47 + 57) • (47 + 57) =

= ?1672 + 407-7 + 2572 = 7593.

Ответ: 15, V593.

Задание для самостоятельного решения

В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найти сумму векторов OA + OB + OC + OD.

Ответ: 0 .

В треугольнике О АВ даны векторы О А = а и О В = b . > > > >

Найти векторы МА, MB, MN, ON, где М и N ™ соответственно середины АВ и ОВ.

Ответ: МА = 2 ^ ~" ^\ МВ = —(b — Д), MN = ”2"^’ ON = 3b.

Даны три вектора: р = (3; —2; 1), ~Д = (—1; 1;—2), Д = = (2; 1; — 3). Найти разложение вектора с = (11, —6, 5) по базису (У, V, Л).

Ответ: Д = Np — ЗД + Д.

Найти пр™у( а + b ), если а = 3 i — 6 j — к , b = г + + 4 j — 5 к , Д = 3 г — 4 j + 12 к .

Ответ: —4.

Вычислить работу силы F = (3;—5;2), когда точка ее приложения перемещается из начала в конец вектора S = (2;

5; П

Ответ: 17.

Даны вершины Л(5;—8), В(—3;3), С(3; 5) треугольника АВС. Найти длину медианы, проведенной из вершины А.

Ответ: 13.

Найти угол между векторами а = (4;™1;1) и b =

= (2;1;2).''

Ответ: —.

4

Найти углы между вектором а = (—2; 3; 1) и осями координат.

231

Ответ: cosq =cosS =; cosy = .

V14Д4VU

Найти координаты единичного вектора, сонаправленного с вектором а = (™2;3;1). Результат сравните с предыдущей задачей.

Образуют ли векторы Д i = (18; 1) и Д2 = (7; ™9) базис на плоскости?

Ответ: образуют.

Даны координаты точек Л(—3;2; —1), В(2; —1;—3), С(1;- — 4;3), В(-1;2;-2). Найти |2ЛВ + ЗСВ|.

Ответ: V521 .

При каком значении т векторы а = (4; m — 1; ш) и b = = (—2; 4; 3 — ш) перпендикулярны?

Ответ: mi = 3; m2 = 4.

Известно, что \~а\ = 2, а а = 45°, 3 = 60°, у = 120° ™ углы вектора а с осями координат. Вычислить его проекции на

координатные оси.

Ответ: (V2; 1; — 1).

Даны вершины Л(щ; щ), ВД2; 7/2) и СДз; уз) однородной треугольной пластины. Найти координаты ее центра тяжести (он находится в точке пересечения медиан).

/Ж1+Ж2 + Ж3 У1+У2 + ш\

Ответ: I ; V

—

Найти единичный вектор b одновременно перпендикулярный оси О г и вектору а = (—3;4;2).

Ответ: b = - г + - 7 .

Выяснить, есть ли среди внутренних углов треугольника АВС тупой угол, если Л(—3;2), В(5;—4), С(1; — 1).

Ответ: /ЛОВ — тупой.

Длины ненулевых векторов а и b равны. Найти угол между ними, если известно, что векторы р = а + 2 b и q = = 5 а — 4 b взаимно перпендикулярны.

Ответ: 60°.

—

Три силы F1, F 2 и F 3, приложенные в одной точке, имеют взаимно перпендикулярные направления. Определить равнодействующую силу F, если | F11 = 2 Н, | F 21 = 10 Н, | F 31 = 11 Н.

Ответ: 15 Н.

Вычислить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах а =2 р — 3 q и b = 3 р + 4 q если известно, что | р | = 2, | q | = 3, а угол между ними равен ^.

Ответ: Д139 и V487.

Могут ли векторы а = (7; 6; —6) и b = (6; 2; 9) служить ребрами куба? Если да, то найти третье ребро.

Ответ: да; ”с = (±6; =р9; =р2).

Найдите проекцию вектора S = (4; —3;2) на ось, составляющую с осями координат равные углы.

Ответ: ±V3.

ABCDAxBxCxDx - куб; ААХ = т, AD = , АВ = К — середина ССх^ В — середина AD. Выразить вектор КР через m, n, I .

Ответ: —-m — - п '

Найти вектор х , зная, что х X а , х X b , х • с = 10, если ^ = (2; —3; 1)? "b = (1; —2; 3)? "с = (1; 2;—7).

Ответ: (7; 5; 1).

Вычислить работу, производимую равнодействующей трех сил F1 = (3; —4; 2), F2 = (2; 3; —5) и F з = (—3; —2; 4) при прямолинейном перемещении точки ее приложения из положения А(5; 3; —7) в положение В (4; — 1; —4).

Ответ: 13.

Вычислить (2 е i — 5 е 2) * (3 е i + е 2), если е i и е 2 — единичные векторы и |1щ + "еО, = V3.

15

Ответ: —.

Приложение

Формулы сокращенного умножения:

а2 — Ъ2 = (а — Ъ) (а + Ь);

(н + Ь^ = а^ + 2нЬ + Ъс

(а — b)2 = а2 — 2аЬ + Ъ2;

(а + Ь)3 = а3 + За2Ъ + ЗаЬ2 + Ь3;

(а - bf = а3 - За2Ь + ЗаЬ2 - Ь3;

а "А™ Ь — (а Я" Ь^(щ/ — ab Н™ Ь );

а3 — Ь3 = (а — b)(a2 + ab + Ь2);

(а + Ь)п = аи + ттС^ЬА—^™аи™2Ь2 + ... + Ьп (бином Ньютона);

аи -Ъп = (а - ЬЖ™1 + ап™2Ь ++ аГ™2 + Г™ху

Свойства степеней:

а0 = 1 (а^О); а1 = а;

а™ = ^атТ; а^ = № (а 0);

= ат • ап; аш™п = — (а / 0);

ат.Ът_<аьТ. —(Ь/0);

Свойства радикалов (а ^ 0):

( \КТ = а’ а VaM+q = qP УЯ;^/ ’л/а =;

Vab = ^ Vb о г оу,

Определение модуля:

। । f ж, ж > 0, м f /(ж),/(ж) > О,

11 —Ж, Ж < 01^ К VI 1 _дж) /(ж) < 0.

Например,Например,sin |ж|sin |ж|sin ж, ж О,sin ж, ж О,sin(—ж), ж < Оsin(—ж), ж < Оsin ж, ж ^ О, — sin ж, ж < Оsin ж, ж ^ О, — sin ж, ж < О(рис. 86; учли, что дш(-ж) = -эшж).(рис. 86; учли, что дш(-ж) = -эшж).J sin ж, sin ж О, 1 — sin ж, sin ж < ОJ sin ж, sin ж О, 1 — sin ж, sin ж < О(рис. 87).(рис. 87).

Например,

Например,

sin |ж|

sin |ж|

sin ж, ж О,

sin ж, ж О,

sin(—ж), ж < О

sin(—ж), ж < О

sin ж, ж ^ О, — sin ж, ж < О

sin ж, ж ^ О, — sin ж, ж < О

(рис. 86; учли, что дш(-ж) = -эшж).

(рис. 86; учли, что дш(-ж) = -эшж).

J sin ж, sin ж О, 1 — sin ж, sin ж < О

J sin ж, sin ж О, 1 — sin ж, sin ж < О

(рис. 87).

(рис. 87).

Свойства многочленов.

Обозначим через Рп(ж) многочлен n-й степени относительно ж, т. е.

Рп С-^) а(Н Ч" а । х Ч" ... Ч" а^—1 ж Ч" п-^ >

(но, «1, а2,..., ап — коэффициенты многочлена).

Если многочлен Рп(ж) с целыми коэффициентами имеет р

рациональный корень -, то р — делитель ап, a q — делитель oq. q

Если жо — корень многочлена Рп(ж), то

Р^х) = (ж ™ ж0) • Рп_1(ж).

Если жц ж2,..., хп — корни многочлена Рп(ж), то

Рп(х) = н0(ж - Ж1)(ж - ж2)(ж - жп);

п = 2 => аж2 + Ьх + с = а(ж — Ж1)(ж — ж2).

Деление многочлена на многочлен.

При делении многочлена на многочлен слагаемые в делимом и делителе располагают по убывающим степеням. Затем старший член делимого делят на старший член делителя, результат записывают в частном. Далее процесс деления аналогичен делению чисел, но каждый раз результат деления старших членов прибавляется к первому слагаемому (а не приписывается рядом, как при делении чисел).

Например,

4т5 + 14ж3 — ж2 + 6ж — 3 ж2 + 3

4ж5+ 12ж34ж3 + 2ж — 1

2ж3 — ж2 + 6ж

2ж3+ 6ж

0

Графики функций.

а) у = kx + b — прямая, параллельная прямой у = кх (рис. 88);

б) у = аж2 + Ьх + с ™ парабола (рис. 89; D = Ь2 — 4ас);

Рис. 89

у =гипербола, (рис. 90).

у = ж3 ™ кубическая парабола, (рис. 91).

у = фт — степенная функция у = хк, к = - (рис- 92).

^ — степенная функция у = хк к = — (рис. 93).

у = Vx3 ™ полукубическая парабола, (рис. 94).

При построении графиков функций нужно знать, что

график функции у = —/(т) симметричен графику функции у = f(x) относительно оси От;

график функции у = /(—т) симметричен графику функции у = f(x) относительно оси Оу;

график функции у = /(ж — а) представляет собой сдвинутый вдоль оси Ох на, величину а график функции у = /(ж);

график функции у = /(ж) + ^представляет собой сдвинутый вдоль оси Оу на величину b график функции у = /(ж);

график функции у = кДх) есть растяжение (при к > 1) графика функции у = /(ж) в к раз (или сжатие при к < 1 в —

к

раз) вдоль оси Оу\

график функции у = f(ax) представляет собой растяжение (при а < 1) графика, функции у = /(ж) в — раз (или сжатие при а > 1 в а раз) вдоль оси Ож;

7)/(—ж) = /(ж) у = Дх^ — четная функция, ее график симметричен относительно Оу\

/(—ж) = —/(ж) =Ф у = /(ж) — нечетная функция, ее график симметричен относительно начала, координат (0,0).

Решение алгебраических уравнений.

Квадратное уравнение:

—b ± Vb2 — 4ас

2а

Ж1 + Ж2 =,

с а (теорема, Виета);

Ж1 • Ж2 = -

а

Ж1 + ж2 =

Ж1 • Ж2 = q.

Биквадратное уравнение:

ах4 + Ьх^ + с = 0 ~=/ az2 + bz + с = О.

(а / О)

аНп + Ъхп + с = О ~=^ aZ + bz + с = О.

(а ^ О, -п € N)

Возвраттые уравнения (четвертого порядка):

ах4 + Ьх^ + ст2 + ХЬх + А2а = О =Ф az2 + bz + с — 2аА = О

(а ^ О, А ^ О)

(замена переменной х на z производится после деления обеих частей исходного уравнения на ж2: это возможно, т. к. х = 0 нс является его корнем).

Уравнения. содержащие знак модуля:

1/1И1 ± bNI ±± |/п(ж)| = О

Цг(х). i = l,n — целые функции) решают методом интервалов. Для этого на числовой оси откладывают нули функций /1(х), ^(т),, /п(^) и на каждом из полученных промежутков

записывают и решают уравнение, эквивалентное данному, без знаков модуля, учитывая определение |/фт)|, г = 1,п. Ответом является объединение множеств решений, полученных на, каждом интервале.

Замечания.

Если функции fi(xX г = 1,п являются дробно-рациональными, то при разбиении числовой оси на, интервалы следует учитывать нули их числителей и знаменателей.

При решении уравнения, в котором под знаком модуля находится выражение, также содержащее знак модуля, следует сначала, освободиться от внутреннего модуля, а, затем от внешнего.

Если под знаком модуля стоит неотрицательное выражение, то знак модуля можно отбросить.

При разбиении числовой оси на, интервалы нужно учитывать ОДЗ переменной в данном уравнении.

Иррациональные уравнения (уравнения, содержащие неизвестную величину под знаком корня) решают одним из следующих способов:

возведением обеих частей уравнения в степень, равную показателю степени корня (предварительно, если это возможно, следует корень оставить в одной части уравнения, а, все остальные слагаемые перенести в другую);

введением новых переменных:

'О^Тй + ^+7(0 = й) - { ^^ ^ ь

и = Да - /(ж), г> =+ /(ж);

3)3)2У7(ж) = 9^ ^ 1 ^ ^ °’

3)

3)

(n€N)XfUMg^MY

Замечание. При решении иррациональных уравнений указанными способами могут появиться посторонние корни. Поэтому нужно сделать проверку полученных решений, подставив их в исходное уравнение.

Примеры

Решить уравнения:

ж4 + 5х3 + 15х - 9 = 0;

2т4 - 7ж3 7х +

ж3 - 2х2 + 5х + 26

ж3 — 5ж2 + 17х — 13’

(ж2 + ж + 4)2 + 8ж(ж2 + х + 4) + 15х2 = 0.

Решение:

а) ж4 + 5ж3 + 15ж — 9 = 0 => (ж4 — 9) + 5ж(ж2 + 3) = 0 =>

=4- (ж2 + 3)(ж2 — 3 + 5ж) = 0=>ж2 + 3 = 0=> решений нет;

Сделаем замену z = х 4—, тогда х

В результате получим:

2(г2 - 2t) - 7 г = 02 г2 - 7г - 4 = 0

21 = 4 => х Н— = 4 ж2 — 4® + 1 = 0 =>- ж = 2 ± V3;

х

11 п 9

г9 — _ж _|— — _2х“ + х + 2 = О =+ решений нет.

х2

Ответ: 2 + V3 ; 2 — V3 .

Разложим числитель и знаменатель дроби на, множители, установив (подбором), что х = —2 является корнем числителя, а ж = 11 — корнем знаменателя.

Из свойств многочленов следует, что числитель дроби делится без остатка, на, (х + 2), а, знаменатель — на (ж — 1):

х3 ™ 2х2 + 5х + 26 х + 2

х3 + 2х2х2 — 4х + 13

4х2 + 5х

4х2 — 8х;

Ш +26

13х +26

О

х3 — 5х2 + 17х — 13 х — 1

х3 ™ х2х2 ™ 4х + 13

4х2 + 17х

Ш ™ 13

13х - 13

О

Тогда, данное уравнение можно переписать так:

(ж + 2)(®2 - 4® + 13)® + 2

7гт+л+ = ° ^Г = 0 ^- ® = -2, х ^ 1

(® — 1)(®2 — 4® + 13) х — 1

Ответ: ^2.

(х2 + т + 4)2 +8х (х2 + х + 4) + 15х2=0^у2 + %ху + 15х2 = 0^>

у2 + 2у • 4х + (4х)2 — (4х)2 + 15х2 = О =Ф (у + 4х)2 — х2 = О

(у + 4х — х^у + 4х + х) = О =Ф (у + Зх)(у + 5х) = О =Ф

(х2 + х + 4 + Зх)(х2 + х + 4 + 5х) :== О

(х2 + 4х + 4)(х2 + 6х + 4) = О

х2 + 4х + 4 = О или х2 + 6х + 4 = О =Ф

Xi = — 2, Х2 = —3 + V5 , xg = —3 — V5 .

Ответ: —3 — V5 ; - 2; —3 + VS .

Решить уравнения:

|х — |4 — х|| — 2х = 4;

|х — 3| + |х + 2| — |х — 4| = 3;

|х2 - 4х| + 3

х2 + \х — 5|’

Vх + 3 ™ 4 V^ —”Т + vVVplVV5V^-^T = 1.

Решение.

Учтем, что

Г 4 — х, 4 — х О, | х — 4, 4 — х < О.

Поэтому данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

Г 4 — х О,J х 4,

| \х ™ 4 + х| — 2х = 4 ^ [ |2х — 4| — 2х = 4

=Ф реше-=Ф реше-( 4 — т 0( т 4

=Ф реше-

=Ф реше-

\ |х - х + 4| - 2х = 4| 4 - 2х = 4

ний нет.

Решаем первую систему, в которой

2х — 4, 2х — 4 О, 4 — 2х, 2х — 4 < 0.

Она, равносильна, совокупности двух следующих систем:

х 4, 2x^4х 4, 2x^42х ™ 4 ™ 2х = 42х ™ 4 ™ 2х = 40,0,х 4, х^2, ^4 = 4х 4, х^2, ^4 = 4решений нет (последнее равенство невозможно)решений нет (последнее равенство невозможно)

х 4, 2x^4

х 4, 2x^4

2х ™ 4 ™ 2х = 4

2х ™ 4 ™ 2х = 4

0,

0,

х 4, х^2, ^4 = 4

х 4, х^2, ^4 = 4

решений нет (последнее равенство невозможно)

решений нет (последнее равенство невозможно)

ии2) 42) 42ж - 4 < О,2ж - 4 < О,4 — 2х — 2х = 44 — 2х — 2х = 4ж ^ 4,х < 2, =ф х = 0.х = 0ж ^ 4,х < 2, =ф х = 0.х = 0

и

и

2) 4

2) 4

2ж - 4 < О,

2ж - 4 < О,

4 — 2х — 2х = 4

4 — 2х — 2х = 4

ж ^ 4,

х < 2, =ф х = 0.

х = 0

ж ^ 4,

х < 2, =ф х = 0.

х = 0

Ответ: 0.

По определению абсолютной величины имеем:

Гт — 3, ж — 3 0, । Jx + 2, х + 2 0, }-(ж-3), ж — 3 < 0; |х 'ж + 2 < 0;

J ж — 4, ж — 4 0,у —(ж — 4), ж — 4 < 0.

В точках ж = — 2, ж = 3, ж = 4 одно из выражений, стоящих под знаком абсолютной величины, меняет знак. Отмстим их знаки на, каждом из интервалов числовой оси следующим образом (рис. 95):

(ж - 3)

-

-

+

+

0+2)

-

+

+

+

О - 4)

-

-

-

+

-2

3

4

X

Рис. 95

Данное уравнение на, каждом интервале перепишем соответственно знакам выражений:

х Е (—оо; —2),

—ж щ3^ж^2 + х^4 = 3^х = —6 € (—ос; —2);

хЕ [—2; 3),

—х + 3 + ж + 2 + х — 4 = 3^х = 2б [—2; 3);

хЕ [3;4),

ж — 3 + х + 2 + х — 4 = 3 =Ф ж = - ^ [3; 4);

ж 6 [4; +ос),

ж — З + ж + 2 — х + 4 = 3^х = 0^ [4; +оо).

Ответ: —6; 2.

Согласно определению абсолютной величины т — 4т, т2 — 4т О, — (т2 — 4т), т2 — 4т < О,

т — 5,т - 5 О,

— (т — 5), т — 5 < О, данное уравнение равносильно следующим (рис. 96):

О2 - 4ж)+;-;+;+

О45

Рис. 96

х Е (—ос; 0) U [4; 5),

т2 — 4т + 3. т2 — 4т + 3 — т2 + т — 5_

—9^ = 1 ^ 9= = (Ю

Xz — X + DXz — X + D

€ (—ос;0);€ (—ос;0);2е [0;4), ; с |0;4);2е [0;4), ; с |0;4);2

€ (—ос;0);

€ (—ос;0);

2е [0;4), ; с |0;4);

2е [0;4), ; с |0;4);

хЕ [0;4),

—т2 + 4т + 3.—т2 + 4т + 3 — т2 + т — 5_

9= 1 ^ 9F = О =

т^ — т + эт^ — т + b

Т1 =

Т2 =

т € [5; +ос), т2 + т ™ 5 ^ 0,

т2 — 4т + 3 т2 — 4т + 3 — т2 — т + 5

т2 + т ™ 5т2 + т ™ 5

=Ф X ==Ф X =[5; +оо).[5; +оо).

=Ф X =

=Ф X =

[5; +оо).

[5; +оо).

Тогда, исходное уравнение примет вид:

=Ф ^/{Т^^р + (z — З)2 = 1 =Ф (г — 2| + (г — 3| = 1.

Последнее уравнение решаем, учитывая знаки выражений (z — 2) и (,г — 3) на, каждом из полученных интервалов (рис. 97):

С^З)j;+

23ж

Рис. 97

z € (—ос; 2),

—с + 2 — с + 3 = 1 =+ —2с = —4 =+ z = 2 — граничная точка, интервала, проверка, показывает, что z = 2 является решением уравнения;

zE [2; 3),

z — 2 — z + 3 = 1 ^ 1 = 1 ^ решениями являются все точки zE [2; 3);

z Е [3; +ос),

с — 2 + с — 3 = 1 ^^z^^^z^^E [3; +ос).

Объединяя полученные множества, решений, получаем z Е Е [2;3], т.е.

2 < СГШ <3^4<ж-1<9^5<ж<10.

Ответ: [5; 10].

Решить уравнения:

xjх + 34 — \Jx = 1;

VI1^ + 3 — V2 — х — V9x + 7 + х/х — 2 = 0;

V^ ™ 3 — V^ + 9 = V^ ™ 2 .

Решение.

а) ОДЗ: х Е R.

способ. Возведем обе части уравнения в куб:

(ДГ+34 - ^СШз)3 = 1 =>

=> х + 34 -ЗУ(т + 34)(т-3) (^т + 34 - ДШЗ) -х + 3=1^

37 - З^ТМХ^З) = 1 => У (ж + 34)(ж - 3) = 12

=> (х + 34)(х — 3) = 1728 => х\ = 30, Х2 = —61.

способ. Введем замену переменных:

х + 34 = у3,

х — 3 = х3.

Исходное уравнение равносильно системе

ж + 34 = у3, ж — 3 = г3, у - г = 1ж + 34 = у3, ж — 3 = г3, у - г = 1^ - ,г3 = 37,^ - ,г3 = 37,

ж + 34 = у3, ж — 3 = г3, у - г = 1

ж + 34 = у3, ж — 3 = г3, у - г = 1

^ - ,г3 = 37,

^ - ,г3 = 37,

- х)(у2 + yz + X2) = 37,- х)(у2 + yz + X2) = 37,у2 + yz + X2 = 37,у2 + yz + X2 = 37,(у - х)2 + 3yz = 37,(у - х)2 + 3yz = 37,у - г = 1( у = 4,> <илиI х = 3у - г = 1( у = 4,> <илиI х = 3yz = 12, у - г = 1yz = 12, у - г = 1ДД Ж1 = 30, ж2 = -61.ДД Ж1 = 30, ж2 = -61.

- х)(у2 + yz + X2) = 37,

- х)(у2 + yz + X2) = 37,

у2 + yz + X2 = 37,

у2 + yz + X2 = 37,

(у - х)2 + 3yz = 37,

(у - х)2 + 3yz = 37,

у - г = 1

( у = 4,

> <или

I х = 3

у - г = 1

( у = 4,

> <или

I х = 3

yz = 12, у - г = 1

yz = 12, у - г = 1

ДД Ж1 = 30, ж2 = -61.

ДД Ж1 = 30, ж2 = -61.

Ответ: ™61; 30.

б) ОДЗ: <б) ОДЗ: <2 — ж > 0, 9х + 7 0,2 — ж > 0, 9х + 7 0,

б) ОДЗ: <

б) ОДЗ: <

2 — ж > 0, 9х + 7 0,

2 — ж > 0, 9х + 7 0,

По ОДЗ единственно возможным решение является х = 2. Проверим подстановкой в уравнение:

0 = 0 (верно).

Ответ: 2.

(ж —2 > 0

Левая часть данного уравнения отрицательна, при любом х Е Е ОДЗ (Дх + 9 > Дх — 3), а, правая — положительна. Поэтому уравнение решений нс имеет.

Решение алгебраических неравенств.

Рациональные неравенства приводятся к виду

с помощью алгебраических преобразований, приводящих данное неравенство к равносильному:

/Ю > д^ /Ю - дХ) > 0;

/(х) > о(х) О kf(xd > kg(xY к > 0;

/(х) > д(х) О кДх) < kg^Y к < 0;

/(х) > д(х) > 0 о /п(х) > gn(xY п ^ N.

При решении неравенств вида (*), если /(х) = ^у-у, знаменатель не отбрасывается, т. к. он, вообще говоря, не является знакопостоянной функцией (при решении уравнений вида

-7: = и знаменатель можно отбросить, исключив точки, где /2(х)

он обращается в нуль, из ОДЗ).

Неравенства (*) решаются методом интервалов: на числовой оси откладывают точки разрыва функции /(х) (точки, в которых ее знаменатель обращается в нуль) и корни /(х) (точки, в которых /(х) = 0). На каждом из полученных интервалов определяют знак /(х). Объединение промежутков, где /(х) сохраняет указанный в неравенстве знак, дает ответ. Корни функции /(х) включаются в ответ, если неравенство нестрогое.

Неравенства^ содержащие знак модуля вида

1ЛЮ1 ± 1ЛЮ1 ± - ± 1ЛЮ1 > о X о,> о, < 0),

(Д(х), i = 1, п — целые функции) решаются методом интервалов аналогично решению рассмотренных выше уравнений (7г).

Схема решения некоторых частных видов неравенств, содержащих. знак модуля:

о\Г/(х) <g(xY, , Гf(—xd<g(xY

/ х < g(x) о < <ли < Д пх7

J j1х ч v1х < и;

ШХ\ > g(4fYO > g^и /О) < -gUY

WY < g(U -gX) < /О) < gUY

\K\x\Y < g(x) | 4 0Ub<0.

।, J<gOY

| p(x) < 0.

г) Иррациональные неравенства решаются приведением к равносильным с учетом ОДЗ и правил преобразования неравенства в равносильное:

"Лвл < LWP n g n фД ЛД v

2п+У7ю < мЦойь п е n /а) < д^

СПл < gXY n G N о ? д(Л > о, [ /а) <

2"\/7м < двч n g n /а) < уп+,а);

т \\ДО, , ( Дж) < О,

f(x) > д^Х^ П е N О < . - - 2пг \л.

v J v 7 J[ /(ж) > g n^x) [0;

2п+У7аУ > gUY n G N /a) > gwUY

Примеры

Решить неравенства:

а) (ж™ 1)(ж + 5)(ж-3) > 0;

- 2)(.с + 3)<( r +- 7)

X — Зж — 18

ж2 — 13ж + 42’

(ж + 6)2 (ж + 6)2.

ж — 1 ж + 1 ’

(ж2 + 2ж - З)2

Д) (ж2 - 2ж + З)2"

Решение.

Применяем метод интервалов. Находим корни функции f(x) = (ж — Г) (ж + 5) (ж — 3) и откладываем их на числовой оси (рис. 98):

Рис. 98Рис. 98

Рис. 98

Рис. 98

Ответ: ж Е (—5; Г) U (3; +оо).

Находим корни функции, стоящей в левой части неравенства, приравнивая к нулю числитель дроби:

(ж - 2)(ж + 3)4(ж + 4)5О - 7) = 0

Ж1 = 2, Ж2 = —3, жз = —4, Ж4 = 7,

и точки разрыва, приравнивая к нулю ее знаменатель:

ж2(ж — 5)3 = 0 => Ж5 = 0, ж6 = 5.

Обратим внимание на то, что сомножители, входящие в /(ж) в четных степенях, на знак не влияют (рис. 99):Обратим внимание на то, что сомножители, входящие в /(ж) в четных степенях, на знак не влияют (рис. 99):Рис. 99Ответ: ж Е [—4; 0) U (0; 2] U (5; 7].Рис. 99Ответ: ж Е [—4; 0) U (0; 2] U (5; 7].ж2 — Зж — 18в) ж2 - 13ж + 42ж2 — Зж — 18в) ж2 - 13ж + 42< 0^< 0^(ж — 6) (ж + 3)(ж —6) (ж —7)(ж — 6) (ж + 3)(ж —6) (ж —7)0^0^ж + 3х — 7ж + 3х — 70, ж 6.0, ж 6.

Обратим внимание на то, что сомножители, входящие в /(ж) в четных степенях, на знак не влияют (рис. 99):

Обратим внимание на то, что сомножители, входящие в /(ж) в четных степенях, на знак не влияют (рис. 99):

Рис. 99

Ответ: ж Е [—4; 0) U (0; 2] U (5; 7].

Рис. 99

Ответ: ж Е [—4; 0) U (0; 2] U (5; 7].

ж2 — Зж — 18

в) ж2 - 13ж + 42

ж2 — Зж — 18

в) ж2 - 13ж + 42

< 0^

< 0^

(ж — 6) (ж + 3)

(ж —6) (ж —7)

(ж — 6) (ж + 3)

(ж —6) (ж —7)

0^

0^

ж + 3

х — 7

ж + 3

х — 7

0, ж 6.

0, ж 6.

Откладываем на числовой оси корни и точки разрыва функции, стоящей в левой части неравенства (рис. 100):

Рис. 100Рис. 100

Рис. 100

Рис. 100

Ответ: ж Е [—3;6) U (6; 7).

(ж + 6)2(ж + 6)2(ж + 6)2(ж + 6)2 >

ж — 1 ж + 1 ж — 1ж + 1

2(ж + 6)2 (ж - Г) (ж + Г)2(ж + 6)2 (ж - Г) (ж + Г)ж < —1,X ^ — 6ж < —1,X ^ — 6ж > 1ж > 1(рис. ЮГ).(рис. ЮГ).

2(ж + 6)2 (ж - Г) (ж + Г)

2(ж + 6)2 (ж - Г) (ж + Г)

ж < —1,

X ^ — 6

ж < —1,

X ^ — 6

ж > 1

ж > 1

(рис. ЮГ).

(рис. ЮГ).

Рис. 101Ответ: х Е (—ос; —6) U (—6; — Г) U (1; +ос).Рис. 101Ответ: х Е (—ос; —6) U (—6; — Г) U (1; +ос).(ж + 2ж — З)2

Рис. 101

Ответ: х Е (—ос; —6) U (—6; — Г) U (1; +ос).

Рис. 101

Ответ: х Е (—ос; —6) U (—6; — Г) U (1; +ос).

(ж2 ™ 2ж + З)2

(ж2 + 2ж — З)2(ж2 ™ 2ж + З)2(ж2 + 2ж — З)2(ж2 ™ 2ж + З)2((ж2 + 2ж —3)(ж2 — 2ж+3)) ((ж2 + 2ж —3) + (ж2 —2ж+3))

(ж2 + 2ж — З)2

(ж2 ™ 2ж + З)2

(ж2 + 2ж — З)2

(ж2 ™ 2ж + З)2

3- (рис. 102).3- (рис. 102).Рис. 102Рис. 102(Ж-2ж+3)2

3

- (рис. 102).

3

- (рис. 102).

Рис. 102

Рис. 102

Отметим, что функция, стоящая в левой части неравенства, точек разрыва не имеет, т. к.

ж2 — 2ж + 3 = 0 D = Ь2 — 4ас = —8 < 0 корней нет.

Ответ: ж €Ответ: ж €и{0}.и{0}.

Ответ: ж €

Ответ: ж €

и{0}.

и{0}.

(х-1)-;-;+i

С-2)-;+;+i

(ж-з)-1-1-1

+ +

+

X

Рис. 103

Данное неравенство решаем на каждом промежутке, заменяя его на равносильное согласно таблице:

х Е (—ос; —2),

- х + 1 + 2 Д + 2) - ЗД - 3) - 4 0-2ж + 10 0

=^ж — 5^0^ж^5.

Решений нет, т. к. множество значений [5; ос) не пересекается с промежутком (—ос;—2).

х Е t[-2; Г),

— х + 1 — 2(ж + 2) — 3(ж — 3 ) — 4 ^ 0 => —6ж + 20 =>

^> Зж — 1 ^ 0 ^> ж ^ ^.

Итак,Итак,' хЕ [-2; Г)' хЕ [-2; Г)3) хе [1;3),3) хе [1;3),

Итак,

Итак,

' хЕ [-2; Г)

' хЕ [-2; Г)

3) хе [1;3),

3) хе [1;3),

ж — 1 — 2(ж + 2) — 3(ж — 3 ) — 40 => —4ж 0 => ж 0.

Итак,Итак,х Е [1; 3)х Е [0; +ос)х Е [1; 3)х Е [0; +ос)=> х Е [1; 3).=> х Е [1; 3).

Итак,

Итак,

х Е [1; 3)

х Е [0; +ос)

х Е [1; 3)

х Е [0; +ос)

=> х Е [1; 3).

=> х Е [1; 3).

х Е [3; +ос),

х — 1 — 2(ж + 2) + 3(ж — 3) — 40 ^> 2ж — 18^0=^ж^9.

Итак,Итак,х Е [3; +оо)ж Е (—ос; 9]х Е [3; +оо)ж Е (—ос; 9]=> х Е [3; 9].=> х Е [3; 9].

Итак,

Итак,

х Е [3; +оо)

ж Е (—ос; 9]

х Е [3; +оо)

ж Е (—ос; 9]

=> х Е [3; 9].

=> х Е [3; 9].

Объединяя полученные множества решенийОбъединяя полученные множества решенийполучаем ответ.получаем ответ.[1;3)и[3;9],[1;3)и[3;9],

Объединяя полученные множества решений

Объединяя полученные множества решений

получаем ответ.

получаем ответ.

[1;3)и[3;9],

[1;3)и[3;9],

Ответ:Ответ:з:9з:9

Ответ:

Ответ:

з:9

з:9

б) Учтем, что

|2ж - 7ж - 4| =

I 2ж2 - 7ж - 4,2ж2 - 7ж - 4

— (2ж2 - 7ж - 4), 2ж2 - 7ж - 4 < О

ж2 + 5ж,ж2 + 5ж > 0 (ж € (—оо; —5] U [0; +оо)),

— (ж2 + 5ж), ж2 + 5ж < 0 (ж € (—5; 0)).

Отметим знаки функций, стоящих под знаком абсолютной величины, на числовой оси (рис. 104):

Ж1Д =Ж1Д =12 ± л/160212 ± л/1602= 6±2л/10.= 6±2л/10.(2^ ™ 7ж - 4)+■+■ - ■-■+

Ж1Д =

Ж1Д =

12 ± л/160

2

12 ± л/160

2

= 6±2л/10.

= 6±2л/10.

Согласно рис. 105 имеем: ж G [4; 6 + 2vTO).

О///////////^^/////>

-56 - 2V164 6 + 2V10 Ж

Рис. 105

х Е (™5; —0,5],

2х2 — 7х — 4 <Зх2 — 2х — 4 < 0,

1212Согласно рис. 106 получаем: ж Е

1

2

1

2

s 1 - У1з i 1 + УТз

323

Рис. 106

3) ж G3) ж G

3) ж G

3) ж G

—2ж2 + 7ж + 4 < —ж2 — 5ж ж2 — 12ж — 4 > 0,

Ж1,2 =Ж1,2 == 6±2VW.= 6±2VW.

Ж1,2 =

Ж1,2 =

= 6±2VW.

= 6±2VW.

Из рис. 107 видно, что ж Е

■3^-| 6-2V16 о■3^-| 6-2V16 о6 + 2066 + 206

■3^

-| 6-2V16 о

■3^

-| 6-2V16 о

6 + 206

6 + 206

Рис. 107

4) ж € [0;4),

—2ж2 + 7ж + 4 < ж2 + 5ж => Зж2 — 2ж — 4 > О,

Ж1д =Ж1д =6633

Ж1д =

Ж1д =

6

6

3

3

Согласно рис. 108 имеем: _ I ^; 4 I.

О 1 + V13 4

ззз

з

з

Рис. 108

Объединяя полученные множества решений, получаем ответ.

/1 _ л/Тз\\

Ответ: ^; 6 — 2ДГ6 U —у; 6 + 2 V10 .

Учитывая определение абсолютной величины:

ж — 4,ж — 4 0 (ж 4),

™(ж — 4), ж 4 < 0 (ж < 4),

приводим решение данного неравенства к решению двух равносильных ему неравенств:

H;-i).

Ответ: [—2; —Г).

ОДЗ: ж — ж — 20^0=>жЕ (—ос; —4] U [5; +ос).

Вспомним, что в резулвтате возведения обеих частей неравен

ства в квадрат получается неравенство, равносильное данному, если обе его части неотрицательны. Левая часть неравенства (арифметический корень) неотрицательна при любом х Е ОДЗ. Рассмотрим два случая:

Г) ж + 2^0=>ж^ —2,

Итак,Итак,' ж е [-2; +ос)' ж е [-2; +ос)24\ ^ решений нет.24\ ^ решений нет.^>5ж + 24<0^>ж€^>5ж + 24<0^>ж€а/ж2 — ж — 20 > х + 2 о х2 — х — 20 > (ж 4- 2)2

Итак,

Итак,

' ж е [-2; +ос)

' ж е [-2; +ос)

24\ ^ решений нет.

24\ ^ решений нет.

^>5ж + 24<0^>ж€

^>5ж + 24<0^>ж€

Обозначим у = х2 + 2т. Тогда 5т2 + Юх + 1 = Ьу + 1,

V5т2 + Юх + 17 — х2 — 2х О V^U + 1“ У'

ОДЗ: 5у + 1 > 0 у > и,

Рассмотрим (как в предыдущем примере) два случая: 1)7-у>0^у<7.

Убу + 1 > 7 - у Ф> 5у + 1 > (7 - у)2 у2 - 19у + 48 < 0 у е [3; 16] е ОДЗ,

но по предположению у Е (™оо;7]. Следователвно, решением является множество у Е [3; 7].

7 - у < 0 => у > 7.

у5Д+17 — у при любом у Е ОДЗ, т. е.

, у Е (7;+оо)

Объединяя полученные множества решений, имеем

у Е [3; +ос) =>т2 + 2т^3=>т2 + 2т — ЗД0=>

х Е (—ос; —3] U [1; +ос).

Ответ: (—ос; —3] U [1;+ое).

.Г 25 - X2О,ГX ЕЬ5; 5]

ОДЗ:5 9А5\0; 5.

|+ 7т0|х Е(™ос; —7]U[0; +оо)

Обе части неравенства положительны. Возведем их в квадрат:

25 - ж2 + 2^^(25 - ж2) (ж2 + 7ж) + ж2 + 7ж > 9

2^(25 - жД(ж2 + 7ж) > -7ж - 16.

Заметим, что

х Е [0; 5] => ™7х 16 < 0.

Следовательно, неравенство выполняется для всех х Е [0;5].

Ответ: [0; 5].

САХАБИЕВА Галина АлександровнаСАХАБИЕВ Виталий Ансарович

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ

Редактор В. С. АроловичОригинал-макет: И.Г. АндрееваОформление переплета: А.Ю. Алехина

Подписано в печать 16.06.05. Формат 60x90/16. Бумага офсетная.

Печать офсетная. Усл. печ. л. 10. Уч.-изд. л. 11,0. Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»

117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90

E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;

http://www.fml.ru

Отпечатано с готовых диапозитивовв ФГУП «Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ»140010, г. Люберцы, Московская обл., Октябрьский пр-т, 403

ISBN 5-9221-0615-5

1. Найти сумму всех двузначных натуральных чисел.

1

1. Доказать тождества:

2 gm — — sin q4

cos 2а cos 2а

= 2<=

sin(90° + 20°) cos 68° — cos(90° — 20°) cos(90° — 68°)

(используем формулы приведения и равенства cos 30° = ——, 1

Sin 30° = -)

2(cos 30° • cos 58° — sin 30° • sin 58°)^2 cos 88°

cos 20° • cos 68° — sin 20° • sin 68°cos 88°

2. Упростить данные выражения: sin a — cos a + cos^ a

32(1 — cos a) ’

6) etg a + etg 2a + cosec 2a;

в) 2 sin2 06 + V3 sin 2a ™ 1.

Ответ: a) cos2™; 6) 2etga; в) 2sin

3. Вычислить значения выражений:

. . 5л \2

а) sin I 2a + — j, если tg a = -;

6) sin 2a, если sin a — cos a = q;

1(( 13^

б) arccos - + arccos I I = arccos I I.

6. Решить уравнения:

a) 4 arctg(x2 — Зж — 3) — тг = 0;

4. Найти промежутки убывания функции у = хеш Ответ: (0; 1).

5. Найти промежутки монотонности функции t/ = x4 —2х2 —5.

Ответ: функция возрастает на интервалах (—1;0) и (1;+оо), убывает на интервалах (—ос; — 1) и (0; 1).

6) log32 • log43 • log54• log65• log76• log87 (=

log23 log24 log25 log26 log27 log28 log28 3"

2ж2(4ж — 6)(ж2 — 2ж + З)2

(ж2 + 50+■-j jj

-5104 х

УДК 51

ББК 22.1

С 22

Сахабиева Г. А., Сахабиев В. А. Учебное пособие по математике. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 160 с. - ISBN 5-9221-0615-5.

Пособие состоит из семи глав и приложения. Каждая глава включает краткое изложение основных положений теории по соответствующей теме, алгоритмы решений типичных задач, в том числе задач повышенной сложности, наиболее часто встречающихся в экзаменационных заданиях, задач с параметрами и др. В приложении даны краткие сведения из школьного курса математики, необходимые для ее успешного изучения.

Для учащихся средних и средних специальных учебных заведений, для преподавателей и лиц, заинтересованных в повторении школьного курса математики в течение краткого периода времени, для подготовки к выпускным экзаменам, ЕГЭ и поступлению в вуз.

© ФИЗМАТЛИТ, 2005

ISBN 5-9221-0615-5ISBN 5-9221-0615-5© Г. А. Сахабиева, В. А. Сахабиев, 2005

ISBN 5-9221-0615-5

ISBN 5-9221-0615-5

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие. .......................................5

Глава 1. Решение геометрических задач .............6

Основные теоретические сведения .....................6

Задачи ..........................................13

Задание для самостоятельного решения .................24

Глава 2. Задачи на составление уравнений. ..........28

Задачи на выполнение совместной работы ...............28

Задачи на десятичное представление числа ..............31

Задачи на движение ................................34

Задачи на проценты ................................36

Задачи на смеси ...................................38

Задачи на прогрессии ...............................41

Задание для самостоятельного решения .................44

Глава 3. Тригонометрические функции. .............47

Основные формулы ................................47

Формулы приведения ...............................49

Примеры ........................................49

Тригонометрические уравнения. Обратные тригонометрические функции...................................54

Примеры ........................................56

Решение тригонометрических уравнений ................59

Примеры ........................................60

Тригонометрические неравенства......................63

Примеры ........................................63

Задание для самостоятельного решения .................68

Глава 4. Производная. Приложения производной . . . . .72

Основные теоретические сведения .....................72

Таблица производных для сложных функций. ............73

Исследование функции с помощью производной. ..........73

Примеры ........................................76

Задание для самостоятельного решения .................89

Глава 5. Показательные и логарифмические уравне

ния и неравенства. ..............................91

Основные теоретические сведения .....................91

Показательные уравнения ...........................93

Примеры ........................................94

Логарифмы. Логарифмические уравнения ...............97

Примеры ........................................98

Показательные и логарифмические неравенства. .......... 104

Примеры ........................................ 104

Задание для самостоятельного решения ................. ПО

Глава 6. Задачи с параметрами. .................... 112

Примеры ........................................ 112

Задание для самостоятельного решения ................. 121

Глава 7. Векторы и их геометрические приложения. . . 125

Основные теоретические сведения ..................... 125

Действия с векторами как направленными отрезками ...... 125

Действия с векторами, заданными в системе координат. . . . . 129

Примеры ........................................ 130

Задание для самостоятельного решения ................. 134

Приложение ........................................ 138