Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
Дорогие школьники!
Эта книга является дополнительным сборником задач по геометрии для тех учащихся 5—8 классов, кто интересуется математикой и ее приложениями, кто желает развить у себя умения и навыки самостоятельного решения геометрических задач, она будет полезным и интересным пособием.
В курсе геометрии восьмилетней школы вы знакомитесь с такими геометрическими преобразованиями, как поворот, центральная и осевая симметрия, параллельный перенос, гомотетия, подобие. Приведенные в книге задачи помогут вам сознательно усвоить свойства и признаки этих преобразований.
Эти задачи помогут вам также овладеть методом геометрических преобразований, который является ключом к решению большого класса задач на доказательство, построение и вычисление. В ряде случаев он дает наиболее простые и изящные решения задач (по сравнению с методами, основанными на признаках конгруэнтности и подобия треугольников).
Задачи каждого параграфа расположены группами по нарастающей степени сложности. Задачи повышенной трудности отмечены звездочкой.
Каждая группа задач предназначена для формирования определенных умений и навыков, необходимых для овладения методом преобразований. Так, в процессе решения первой группы задач вы научитесь строить образы различных фигур. Следующая серия задач научит вас «видеть» соответственные элементы на заданных соответственных при том же преобразовании фигурах. Задачи третьего вида формируют умения в построении элементов, определяющих данное преобразование, — ось симметрии, центр поворота и т. д. Задачи четвертого вида предназначены для формирования умения строить соответственные точки на произвольных фигурах.
К указанным видам задач относятся задачи 1—118, 171—234, 286—352, 410—483. Решение задач 1—118 сопровождает изучение п. 21 «Осевая симметрия», задачи 171—243 и 410—483 вы можете рассмотреть при изучении п. 19 «Поворот» и п. 20 «Центральная симметрия». Задачи 286—352 вы можете решить при изучении п. 36
«Параллельный перенос». Первые пятьдесят задач из параграфов, посвященных осевой симметрии, центральной симметрии, параллельному переносу могут быть решены учащимися пятых классов. Задачи из раздела «Гомотетия и подобие» могут быть рассмотрены при изучении пп. 62—63 «Гомотетия», «Свойства гомотетии» и. последующих разделов.
При изучении различных фигур и их свойств вы можете решать задачи, в которых обоснование различных соотношений осуществляется с помощью перемещений и гомотетии. Так, при изучении-трапеции (п. 48) мы можете решать задачи №№ 154—161, 365—371; при изучении квадрата (п. 46)— задачи №№ 149, 494, 496—500, 503, 507, 514 и т. д.; построение треугольников может быть дополнено рещением задач 140—147 и т. д.
Среди задач на перемещение и подобие вы найдете такие, которые помогут вам усвоить взаимосвязи между отдельными видами перемещений, а также перемещений и гомотетии. В сборник включены и задачи, решаемые с помощью подобий.
В конце каждого параграфа даются рекомендации, где говорится о месте данных задач в школьном курсе геометрии, подчеркиваются наиболее важные выводы, даются образцы решения задач.
В конце сборника приведены ответы, а к отдельным задачам даны либо указания к их решению, либо решения. Однако знакомиться с ними желательно либо после того, как задача решена, либо после того, как вы убедитесь, что задачу сами решить не сможете. В случае особых затруднений не стесняйтесь обращаться к учителю.
Хотелось бы, чтобы эта книга была для всех вас интересной и еще более развивала бы ваш интерес к изучению геометрии.
Книга может быть использована и учителями для организации самостоятельной учебной работы школьников. (Первое издание этой книги, вышедшей в 1975 году, было адресовано только учителям.) Редакция и автор признательны всем, кто принял участие в обсуждении книги. Все советы и замечания читателей были учтены при работе над вторым изданием, увеличено число задач на преобразование подобия, выделен параграф, посвященный понятию перемещения, заменены некоторые задачи.
§ 1. ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ
Постройте прямоугольник, не являющийся квадратом. Проверьте с помощью перегибания листа бумаги, будет ли прямая, содержащая диагональ прямоугольника, являться его осью симметрии.
Установите перегибанием листа бумаги число осей симметрии квадрата.
Сколько осей симметрии имеет окружность?
Имеет ли угол ось симметрии?
Имеет ли оси симметрии прямая? Если имеет, то сколько?
Сколько осей симметрии имеет отрезок?
Назовите известные вам предметы из окружающей обстановки, изображение которых на бумаге будет иметь ось симметрии.
Какие из следующих букв: |ДБВГДЕК) имеют ось сим*
Рис. 2Рис. 2sisiРис. зРис. зРис. 5Рис. 5
Рис. 2
Рис. 2
si
si
Рис. з
Рис. з
Рис. 5
Рис. 5
метрик? Укажите несколько слов, запись которых имеет ось симметрии.
Выберите из множества букв (задача 8) те буквы, осью симметрии которых является горизонтальная прямая, вертикальная прямая.
Написаны два слова:КОФЕ ЧАЙ
Посмотрите на эти слова через стеклянную пробирку, заполненную прозрачной жидкостью. Почему буквы в слове ЦДЙ оказались перевернуты-
ми, в слове КОФЕ нет?
И. Используя бумагу и ножницы, вырежьте несколько фигур, имеющих: а) одну, б) две, в)* три, г)* четыре оси симметрии.
Симметричны ли фигуры, изображенные на рисунке 1? Достройте фигуру, изображенную на рисунке 1, а так, чтобы она имела одну, две, четыре оси симметрии.
Прямая s является осью симметрии треугольника, изображенного на рисунке 2. Какие стороны треугольника можно убрать, чтобы оставшаяся фигура также имела прямую s своей осью симметрии?
Прямые Sj и s2 являются осями симметрии прямоугольника (рис. 3). Какие стороны прямоугольника можно убрать, чтобы оставшаяся фигура также имела прямые sx и s2 своими осями симметрии?
Перерисуйте рисунок 4 в свою тетрадь и достройте фигуру, изображенную на рисунке, так, чтобы прямая s была ее осью симметрии. Выпол- полните построение с помощью копировальной бумаги.
Начертите на листе бумаги произвольную прямую s и отметьте точку Л, не принадлежащую прямой s. Постройте (проколом) точку, симметричную точке Л относительно прямой s. Где расположена полученная точка?
Точка Л симметрична сама себе относительно прямой I. Как расположена эта точка по отношению к прямой /?
Отметьте на листе бумаги две точки и с помощью перегибания листа бумаги постройте прямую, относительно которой отмеченные точки будут симметричными.
ABD = DBG (рис. 5). Симметричны ли лучи ВА и ВС относительно прямой BD"?
Постройте два луча ОА и ОВ. Возьмите на луче ОА произвольную точку К. Постройте с помощью перегибания листа бумаги ось симметрии лучей ОА и ОВ и точку М, симметричную точке К относительно построенной оси симметрии. Где будет находиться точка Л4? Равны ли длины отрезков ОК и ОЛ4?
2_ АОС^ Z_ СОВ; | ОМ |= | O^| (рис. 6). Докажите, что точки М и К симметричны относительно прямой ОС.
Проведите на листе бумаги прямую s и отметьте точку Л, не принадлежащую этой прямой. Перегните лист по этой прямой и проколите его в точке А. Разверните лист и установите, что прямая s перпендикулярна отрезку А А' (Л'—полученная точка) и делит его пополам.
Начертите прямую / и постройте о помощью перегибания бумаги прямой угол, одна из сторон которого принадлежала бы I.
(ЛО) 1 (CD); ДОС Ф KOD; | ЛО| = = | ОЛ'| (рис. 7). Симметричны ли точки А и А’ относительно прямой СО? Измените условие задачи так, чтобы точки Л и Л' были симметричны относительно прямой СО.
Л и А' лежат на одном и том же перпендикуляре к прямой s. Можно ли считать эти точки симметричными относительно прямой s?
| ЛО |= | О А' |; ЛОВ =й ВОА' (рис. 8). Симметричны ли точки Л и Л' относительно прямой ВС? Как надо изменить условие, чтобы точки А и А' были симметричны относительно прямой ВС?
На клетчатом листе бумаги изобразите оси координат так, чтобы оси Ох и Оу совпали с горизонтальной и вертикальной линиями. Примите сторону квадратика за единичный отрезок и отметьте точки А (3; 2) и В (7; 6). Постройте ось симметрии точек Л и В одной линейкой.
Рис. 7Рис. 7Рис. 8Рис. 8Постройте точки, симметричные точкам А (2; —3); В (5; 0); С (0; —7) относительно: а) оси Ох; б) оси Оу; в) биссектрисы I и III координатных углов. Запишите координаты построенных точек.
Рис. 7
Рис. 7
Рис. 8
Рис. 8
Рис. 11
О)О)
О)
О)
Известно, что некоторая точка А (х; у) отображается осевой симметрией с осью Ох на точку А'(2;—5). Определите координаты точки А.
Точка В', симметричная точке В относительно биссектрисы I и III координатных углов, имеет координаты (—3; 7). Какие координаты имеет точка В?
Точки А (5; ...) и В (... ; —2) симметричны относительно оси Ох. Запишите их пропущенные координаты.
Точки Л (...; 7) и В (3; ...) симметричны относительно оси Оу. Восстановите пропущенные координаты точек.
Определите пропущенные координаты точек С (—2; ...) и В (4; ...), если известно, что эти точки симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов.
Точка А имеет координаты (а; Ь). Какие координаты имеют точки, ей симметричные относительно оси Ох, оси Оу, биссектрисы I и III координатных углов? Какие координаты имеет точка, симметричная точке А относительно биссектрисы II и IV координатных углов?
Определите на глаз, какая из точек Р' или Р" симметрична точке Р относительно прямой s (рис. У). Проверьте правильность ответа с помощью инструментов.
Постройте прямые, симметричные
данным прямым (рис. 10) относительно прямой s.
Верно ли высказывание: «Если а П b = О, где О € /, то St (а) = Ь». Дополните условие так, чтобы прямые а и b были симметричны относительно прямой I.
Постройте отрезки, симметричные данным (рис. 11) относительно прямой s.
Постройте лучи, симметричные данным относительно прямой s (рис. 12). Сделайте так, чтобы число построений было возможно меньшим.
Постройте углы, симметричные данным углам относительно прямой s (рис. 13). Сделайте так, чтобы число построений было возможно меньшим.
Sp ([ВС)) = [В'С') (рис. 14). Постройте образ угла АВС с помощью транспортира и линейки.
ABC =DB^C =CBiE (рис. 15). Симметрия с осью s отображает [ВС) на [В'С'). На какой угол (DB'C или С'В'Е) отобразит эта симметрия Z_ ABCS
Sp ([AC]) = [DE], ВАС = DEF, ВС A = EDF, ВАС ф BCA. Симметричны ли треугольники ABC и DEF относительно прямой р (рис. 16)?
Постройте фигуры, симметричные данным относительно прямой s (черт. 17). Какой фигурой является образ полуплоскости с границей s при симметрии с осью s? Чем является объединение (пересечение) данной полуплоскости и ее образа.
Точка Р перемещается по окружности по часовой стрелке. Какую фигуру
6)6)Рис. 17Рис. 17Рис. 18Рис. 18
6)
6)
Рис. 17
Рис. 17
Рис. 18
Рис. 18
опишет точка Р', симметричная точке Р относительно некоторой прямой? В каком направлении будет перемещаться точка Р'?
Постройте окружность, радиус которой равен 3 см, и проведите прямую s, пересекающую окружность. Постройте окружность, симметричную данной относительно прямой s. Постройте фигуру, являющуюся объединением (пересечением) данной окружности и ее образа.
Постройте треугольник АВС, у которого | ЛВ| = 7 см, | ВС\ = 6 см, | Л С | = 5 см. Отметьте на [Л В] точку X (|ВХ| = = 2 см) и на [ЛС] точку У (1СУ| = 3 см). Постройте образ треугольника АВС при симметрии с осью XV. Укажите фигуру, являющуюся пересечением (объединением) данного треугольника и его образа.
Симметричны ли фигуры, изображенные на рисунке 18, относительно прямой s?
На клетчатой бумаге укажите образы фигур (рис. 19) при симметрии с осью s. Можно ли указать образы точек при симметрии с осью /, не выполняя никаких построений (рис. 19, в)?
Нарисуйте в своих тетрадях фигуры, являющиеся объединением фигур, изображенных на рисунке 20, а, б, в, и их образов при симметрии с осью s (прямая s не принадлежит данным фигурам).
Фигура F, изображенная на рисунке 20, г, д, е, отображается симметрией с осью р4 на фигуру Fv Затем фигура Рг = = Рг (J F отображается симметрией с осью р2. Нарисуйте фигуру, являющуюся объединением фигур F2 и ее образа.
Отметьте две произвольные точки и постройте на глаз прямую, относительно которой эти точки будут симметричны.
Фигуры F и F' (рис. 21) симметричны относительно некоторой прямой. Скопируйте рисунок 21 на прозрачную бумагу и постройте на глаз ось симметрии этих фигур.
Докажите, что точки А (а; Ь) и А' (а; —Ь) можно получить одну из другой осевой симметрией с осью Ох, а точки В (с; d) и В' (—с; d)— осевой симметрией с осью Оу.
Относительно какой из координатных осей симметричны точки: а) А (7; 2) и А' (—7; 2); б) В (—3; —2) и В' (—3; 2)?
Выберите из данного множества точек {(1; 5), (3; —2), (-1; 5), (0; -7), (5; -1), (0; 7), (-2; 3), (4; 0), (0; 4), (2; 1), (1; —10)} точки, попарно симметричные относительно оси Ох, оси Оу, биссектрисы I и III координатных углов.
На рисунке 22 изображена
сеть правильных треугольников. Не /^ \р
выполняя никаких построений, ука- //^
жите:\ fр1
точки, симметричные точкам В4, \^ IГ-х
Вы Ь3 относительно прямой AJD^;^—^I ^\
образ отрезка В3С3 в результа-у1
те последовательного отражения его_/^ j
от осей B3D3 и ВхВы
ось симметрии отрезков А3В4 и
В4В5;Рис. 21
две прямые, последовательным отражением от которых отрезок С3В3 совмещается с отрезком В4В5 (С3 -> В4, В3 -»- В5);
две прямые, последовательным отражением от которых луч B3Dt совмещается с лучом С4С5.
Какие из треугольников В3В4С3, В4А4В5 и А4В5А5 (рис. 22) можно отобразить друг на друга одной осевой симметрией? Укажите оси симметрий.
На отрезках, симметричных относительно прямой s, отметьте по точке и постройте с помощью циркуля их образы при симметрии относительно оси s.
Постройте квадрат ABCD со стороной 3 см. На стороне ВС квадрата отметьте точку К так, чтобы |ВК| = 0,8 см. Постройте при помощи одной масштабной линейки образ точки К при симметрии относительно оси АС.
Отметьте на симметричных относительно оси s лучах (задача 39) по точке и постройте при помощи угольника и линейки их образы при симметрии относительно той же оси.
Известно, что Ss (F) = F* (рис. 23). Постройте с помощью угольника и линейки образы точек А и В при симметрии относительно оси s.
Отметьте на сторонах треугольника АВС по точке (задача 47) и постройте с помощью циркуля их образы при симметрии относительно прямой XY.
Известно, что Sp (А) = А' (рис. 24). Постройте с помощью одной линейки прямую,симметричную прямой а относительно прямой р.
Л = Sp (Л), В = Sp (В). Назовите все пары прямых, проходящих через эти точки и симметричных относительно оси р.
Известно, что Sp (Л) = Л'. Как построить точку, симметричную произвольной точке В (В £ (ЛЛ')), с помощью одной линейки?
Дан △ АВС. Постройте треугольник, симметричный данному относительно прямой, содержащей биссектрису угла ВАС.
С помощью осевой симметрии постройте разность сторон АВ и ВС треугольника АВС.
Постройте произвольный треугольник и его образ при симметрии относительно прямой, содержащей биссектрису одного из его внешних углов.
С помощью осевой симметрии постройте сумму сторон ВС и АС треугольника АВС.
Можно ли с помощью осевой симметрии построить разность двух углов треугольника?
Sp (а) = а', 8р (6) = Ь' (рис. 25). Назовите все пары симметричных относительно прямой р точек, образованных пересечением этих прямых.
На сторонах угла АОВ от его вершины отложены конгруэнтные отрезки ОМ и ON; ОК и OL (.К #= М, К € [ОЛ), М С [ОЛ)). Докажите, что а) \МЦ = jNKV> б) Е = [ML] П LNK1 принадлежит биссектрисе угла АОВ.
Постройте биссектрису угла с помощью одной линейки.
[ОС) — биссектриса угла ВОА; |ОЕ| = | OF|; (KE) ± (ОВ); (BL) ± (ОЛ). (рис. 26). Докажите, что (КВ) и (FL) пересекаются в точке, принадлежащей [ОС).
Начертите 2 конгруэнтных треугольника АВС и АВ'С' (В и В', С и С'— соответственные вершины), чтобы «обходы» их границ были противоположными. Докажите, что А АВС можно отобразить на А АВ'С' осевой симметрией.
Прямая задана уравнением Ах + By + С = 0. Запишите уравнение линии, симметричной данной прямой относительно оси Ох; оси Оу; биссектрисы I и III координатных углов.
Постройте прямые, симметричные прямой у = 2х + 3 относительно оси Ох; оси Оу; биссектрисы I и III координатных углов. Запишите уравнения полученных прямых.
Рис 28Рис 28
Рис 28
Рис 28
Прямые у = 2х+ ... и у = ... х—7 симметричны относительно оси Оу. Допишите уравнения этих прямых.
Прямые у=... х + 3 и у=—5х+... симметричны относительно оси Ох. Поставьте пропущенные коэффициент и свободный член в их уравнениях.
Прямая у = Зх + 7 отображается симметрией относительно оси Ох на некоторую прямую. При этом точка Д, принадлежащая прямой у = Зх + 7, отображается на точку А* (1; а). Определите координаты точки А.
Прямая / перпендикулярна биссектрисе угла АВС и пересекает ее. Докажите, что [ВЛ4]^[В7<], где Л1=/П[ВД), а К = I П [ВС).
Отрезок А'В' получен из отрезка АВ осевой симметрией (рис. 27). Как с помощью одного циркуля построить образ точки К при симметрии, отображающей [АВ] на [Д'В']?
Начертите две окружности, радиусы которых 2 см. Отметьте точку, не принадлежащую окружностям, и постройте ее образ при симметрии, отображающей одну из этих окружностей на другую, не выполняя построения ее оси.
Постройте точку, равноудаленную от точек Д и В. Принадлежит ли эта точка оси симметрии точек Д и В?
Верно ли высказывание: «Если | ДС| = | ВС|, то точки Д и В симметричны относительно любой прямой, проходящей через точку С?»
С помощью циркуля постройте несколько точек, принадлежащих одной прямой.
|ДВ| = |ВС|, |ДВ| = |DC|, BAD = 20° (рис. 28). Найти BCD.
Окр. (О^ г) f] Окр. (О2; г] = (Д; В]. Докажите, что So.o, (Д) = в.
Докажите, что прямая, подмножеством которой является медиана равнобедренного треугольника, содержащая его вершину, является осью симметрии этого треугольника. Какие свойства равнобедренного треугольника следуют из этого?
В четырехугольнике ABCD |ДВ| = ] ДО |, |ВС| = |CD|. Докажите, что 5(ЛС)(В) = D.
Верны ли утверждения:
если М € Фх П Ф2, то Sp (М) 6 Sp (Ф^ Л Sp (Ф2);
если К € Фх U Фа, то Sp (К) € Sp (ФО U 8р (ФО?
Две окружности с равными радиусами пересекаются в точках А и В. Докажите, что (ЛВ)— ось симметрии фигуры, являющейся объединением данных окружностей.
Известно, что перемещение L отлично от тождественного отображения и оставляет точки Л и В на месте. Является ли это перемещение осевой симметрией?
Каким перемещением является композиция трех осевых симметрий относительно прямых, содержащих биссектрисы углов треугольника?
Постройте острый угол и на его сторонах возьмите две произвольные точки Л и В. Постройте равнобедренный треугольник АВС так, чтобы все его вершины принадлежали сторонам угла.
Дана прямая а и отрезок АВ. Постройте равнобедренный треугольник с основанием АВ, чтобы его вершина лежала на а.
[ОЛ) (J [ОВ) = О. Постройте ось симметрии, отображающей [ОЛ) на [ОВ), используя циркуль и линейку.
. Каким перемещением является композиция трех осевых симметрий относительно срединных перпендикуляров треугольника?
Постройте образ данной прямой а при осевой симметрии, отображающей данную точку А (А € а) на данную точку В.
Постройте образ данного пятиугольника ABCDE при осевой симметрии, отображающей точку А на точку D.
На сторонах угла отложены конгруэнтные отрезки, причем расстояния от вершины угла до отрезков различны. Постройте оси двух симметрий, последовательное использование которых отобразит один из отрезков на другой.
Установите, какие из графиков функций симметричны относительно оси Оу: у = | х|, у = х, у = х2, у = х2 + 1, у = (х — I)2, у = х3 + 2, у = х2 + х, у = |х — 2|.
Как с помощью осевой симметрии получить графики функций: у = | х|, у = | 2х + 3|, у = | ах2 + 6х + с| соответственно из графиков функций: у = х, у = 2х + 3, у = ах2 + Ьх + с?
Четырехугольник ABCD имеет прямую АС осью симметрии. Какие пары его сторон должны быть конгруэнтными? Могут ли все его стороны быть конгруэнтными? Дополните условие так, чтобы это предложение не имело места.
Начертите четырехугольник ABCD так, чтобы прямые, которым принадлежат диагонали этого четырехугольника, были его осями симметрии. Если четырехугольник имеет и другие оси симметрии, то каково их взаимное расположение?
Начертите четырехугольник, который имеет только одну ось симметрии, причем ни одна из диагоналей не принадлежит оси.
Начертите четырехугольник с двумя осями симметрии, причем диагонали не принадлежат осям. Будут ли оси симметрии взаимно перпендикулярными?
Прямые AC, BD и т являются осями симметрии четырехугольника ABCD. Каково взаимное расположение прямой т и сторон четырехугольника? Имеёт ли он другие оси симметрии?
ПО. Даны прямая I и отрезки АВ и CD, расположенные в различных полуплоскостях с границей /. Постройте на этих отрезках такие точки X и Y, что St (X) = Y.
Постройте на данных окружности и прямой точки, являющиеся соответственными при симметрии с заданной осью /. Найдите такое расположение окружности и прямой, чтобы задача имела О, 1, 2 решения.
Даны прямая I и две окружности, расположенные в различных полуплоскостях с границей I. Постройте точки, симметричные относительно прямой I и принадлежащие данным окружностям.
Постройте такие множества точек, которые симметричны относительно данной прямой и являются соответственно подмножествами данных окружности и треугольника.
Дан угол АВС и прямая s, пересекающая стороны угла АВС (6 £ s). Постройте точки, симметричные относительно прямой s и принадлежащие лучам В А и ВС.
Не строя самих прямых, определите координаты точек, симметричных относительно оси Ох и принадлежащих прямым у = = 2х + 3 и у = —Зх + 1.
Запишите координаты точек, симметричных относительно оси Оу и лежащих на прямых у = —Зх + 5 и у = 7х — 4.
Найдите на прямых у = 2х — 1 и у = —5х + 3 точки, симметричные относительно биссектрисы I и III координатных углов.
Запишите координаты точек, симметричных относительно оси Ох (оси Оу) и принадлежащих прямой у = 2х + 5 и кривой у = х2 + Зх — 1.
Даны две окружности и прямая. Постройте равносторонний треугольник так, чтобы две его вершины принадлежали окружностям, а одна из высот — данной прямой.
Дан треугольник АВС и внутри него точка М. Постройте равнобедренный треугольник с вершиной в точке Л4, основанием, параллельным (АВ), и двумя другими вершинами, принадлежащими [АС] и [ВС].
Даны прямая /, прямая а и окружность F. Постройте квадрат так, чтобы две его вершины принадлежали прямой /, а две другие — прямой а и окружности F.
Постройте произвольную прямую и отметьте две точки, не лежащие на ней. Найдите на прямой такую точку, чтобы разность расстояний от этой точки до двух данных точек была бы наибольшей.
Указание. Сначала рассмотрите случай, когда точки лежат по одну сторону от прямой, затем — по разные.
На данной прямой найдите такую точку, чтобы сумма расстояний от этой точки до данных двух точек была бы наименьшей.
Дана прямая и две точки А и 6, расположенные по одну сторону от нее. Найдите на прямой такую точку С, чтобы треугольник АВС имел наименьший периметр.
Дан угол и точка М, не принадлежащая углу. Проведите
прямую, которая содержала быт •
точку М и отсекала от сторон угла■
конгруэнтные отрезки.I
На рисунке 29 изображенВ
пруд, ширина АВ которого равна*5В
10 м. Какую часть (в метрах) от-.g
ражения в пруду фабричной тру-।। х ■■■■
бы увидит наблюдатель, находя
щийся в точке 8?Рис- 29
Точки А, В, С принадле
жат внутренней области полосы с краями 1Х и /2. Постройте замкнутую ломаную А К ВС L А наименьшей длины (К £ 1ъ L £ Ц.
Впишите в данный острый угол треугольник наименьшего периметра так, чтобы две его вершины были на сторонах угла, а третья — в данной точке внутренней области угла.
Дан угол АВС и внутри него точка М ^АВС = 30°, | ВМ\ = = 10 см). Впишите в данный угол треугольник наименьшего периметра с вершиной в точке М и вычислите периметр этого треугольника.
. Дан угол АОВ и внутри него точки М и К. Соедините эти точки ломаной линией наименьшей длины так, чтобы две ее вершины лежали на сторонах угла АОВ.
. Дана выпуклая ломаная линия А0АхА2 ... Ап и точки А и В, расположенные в той же полуплоскости с границей (A^AJ, что и данная ломаная. Постройте вписанную ломаную АВгВ2 ... ВпВ наименьшей длины (точки Bv В2, ... , Вп лежат на звеньях данной ломаной линии).
На биссектрисе внешнего угла ВСК треугольника АВС взята произвольная точка Сг. Докажите, что 1СА| + |СВ| < <\СгА\ + |СГВ|.
. Докажите, что из всех равновеликих треугольников с общим основанием наименьший периметр имеет равнобедренный треугольник.
Известно, что р ± I, Sp (А) = An Sz (AJ = А2. Докажите, что прямая АА2 содержит точку О, где О = р (] I.
Окружность, центром которой является точка биссектрисы данного угла, пересекает стороны этого угла в точках А, В и С, D. Докажите, что [АВ] s [CD], [AD] ^ [ВС], (АС) || (BD).
. Дан угол с вершиной в точке А и точка ЛА, принадлежащая одной из его сторон. Найдите на другой стороне этого угла такую точку Р, что сумма расстояний от точки Р до точек М и А равна длине данного отрезка.
На высоте BD треугольника АВС имеется точка К такая, что | А/(| = ] ^C|. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.
Фигура F является объединением равнобедренного треугольника АВС (| АВ| = | ВС|) и равносторонних треугольников
АВР и BCQ (Д АРВ П А АВС = [ЛВ], Д BCQ П А АВС = = [ВС]). Докажите, что: a) (PQ) перпендикулярна биссектрисе угла В; б) [PC]^[QX].
. Дана одна из вершин треугольника и две прямые, которым принадлежат биссектрисы этого треугольника, не содержащие данной вершины. Постройте этот треугольник.
Постройте равнобедренный треугольник по углу при вершине и разности боковой стороны и основания.
Постройте треугольник по разности двух его сторон и углам, противолежащим им.
Докажите, что треугольники конгруэнтны, если сторона, прилежащий к ней угол и разность двух других сторон одного треугольника конгруэнтны соответствующим элементам другого.
Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и сумме катетов.
Докажите, что два прямоугольных треугольника конгруэнтны, если сумма гипотенузы и катета и угол между ними одного треугольника конгруэнтны соответствующим элементам другого треугольника.
Постройте треугольник по стороне, сумме двух других сторон и углу, противолежащему одной из них.
Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и разности двух других углов.
Докажите, что треугольники конгруэнтны, если две стороны и разность противолежащих им углов одного треугольника конгруэнтны соответствующим элементам другого треугольника.
Замените многоточие фразами: «необходимо и достаточно», «необходимо, но недостаточно», «достаточно, но не необходимо». Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником ... , чтобы прямые, содержащие середины противоположных сторон четырехугольника, были его осями симметрии.
Верны ли утверждения:
для того чтобы четырехугольник был квадратом, необходимо, чтобы его диагонали принадлежали биссектрисам его углов;
для того чтобы четырехугольник был квадратом, достаточно, чтобы его диагонали принадлежали биссектрисам его углов;
для того чтобы четырехугольник был квадратом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали были конгруэнтны и принадлежали биссектрисам его углов.
Будет ли четырехугольник ромбом, если диагонали этого четырехугольника принадлежат прямым, являющимся его осями симметрии.
Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, есть ромб. Верно ли обратное утверждение? Сформулируйте теорему с использованием слов: «необходимо» и «достаточно».
Верны ли утверждения:
для того чтобы параллелограмм был квадратом, необходимо
и достаточно, чтобы диагонали параллелограмма были взаимно перпендикулярны;
для того чтобы параллелограмм был прямоугольником, необходимо и достаточно, чтобы прямая, содержащая середины двух противоположных сторон параллелограмма, была его осью симметрии.
Постройте четырехугольник, если известны его четыре стороны и что диагональ принадлежит биссектрисе его угла.
Докажите, что прямая, содержащая перпендикуляр, проведенный к основанию равнобочной трапеции через ее середину, является осью симметрии этой трапеции.
Докажите, что прямая, содержащая середины оснований равнобочной трапеции, перпендикулярна основаниям. Верно ли обратное утверждение: прямая, перпендикулярная основаниям равнобочной трапеции, содержит середины этих оснований?
Докажите, что если прямая, содержащая середины оснований трапеции, перпендикулярна основаниям, то трапеция равнобочная. Верно ли обратное утверждение? Сформулируйте теорему с использованием слов «необходимо» и «достаточно».
Докажите, что точка пересечения прямых, которые содержат боковые стороны равнобочной трапеции, точка пересечения ее диагоналей и середины оснований трапеции принадлежат одной прямой.
На боковых сторонах АВ и CD равнобочной трапеции ABCD вне ее построены равносторонние треугольники АВМ и CD К. Докажите, что а) (МК) || (ЛО), [МО] as [ЛК]; б) В = (МЛ) П П (KD), Р = (АВ) П (CD), О = [ЛС] П [ВО] принадлежат одной прямой.
Докажите, что прямая, содержащая середины двух параллельных хорд окружности, проходит через ее центр.
Докажите, что всякая трапеция, вписанная в окружность, равнобедренная.
Пересечением окружности с центром О и трапеции ABCD ([ЛВ] и [СО]— ее боковые стороны) является {Л; В; С; D}. Докажите, что (АВ) f| (ОС), [ЛС] П [ВО] и точка О принадлежат одной прямой.
В окружности, центр которой не указан, проведены две параллельные, но не конгруэнтные хорды. Пользуясь только одной линейкой, разделите эти хорды пополам.
Докажите, что три окружности, центры которых не принадлежат одной прямой, могут иметь не более одной общей точки.
С помощью одного циркуля постройте точки пересечения прямой ЛВ с окружностью (рис. 30).
165*. Даны две точки Л и В и прямая I, разделяющая их. Проведите прямые а и b так, чтобы угол между ними делился бы прямой / пополам и А € а, В € Ь.
166*. Даны две прямые а и Ь и на одной из них (прямой а) точка А. Найдите на той же прямой такую точку С, чтобы расстояние от нее до прямой b было равно | ЛС|.
Каким перемещением является композиция двух осевых симметрий с общей осью?
168*. Даны три точки Л, В, С и три точки А', В', С', такие, что |ЛВ|= |Л'В'|, |ЛС|= |Л'С'| и 1ВС|= | В'С’ |. Существует ли перемещение, являющееся композицией осевых симметрий, при котором А А', В -^- В', С С'?
169*. Докажите, что отображение: (х; у) -> (х;—у) является перемещением.
170*. Докажите, что отображение: (х; у) -* (х; —у) переводит окружность в окружность.
* * *
Для решения первых 70 задач достаточно тех знаний, которые получены при изучении курса математики V класса. При решении задач 1—15 устанавливается, какие из рассматриваемых фигур имеют оси симметрии и сколько. Причем при решении первых двух- трех задач наличие у фигур осей симметрии устанавливается с помощью перегибания листа бумаги, при решении последующих задач следует давать ответы, не прибегая к непосредственному перегибанию, а производить эту операцию мысленно.
Полезна задача 12, где требуется сначала распознать среди множества фигур симметричные фигуры, а затем достроить указанную фигуру так, чтобы она имела одну, две, четыре оси симметрии. В качестве осей симметрии можно выбирать различные прямые, достраивание осуществляется на основе зрительных представлений о симметричных фигурах.
При решении последующих задач (16—31) выявл-яют некоторые свойства осевой симметрии и создается база для определения осевой симметрии. Так, при решении задач 16—17 устанавливается, что точки оси симметрии симметричны сами себе, две симметричные относительно прямой р точки лежат в различных полуплоскостях с границей р. Решения последующих задач позволяют сделать выводы, что точка пересечения двух прямых, симметричных относительно некоторой прямой, принадлежит этой прямой; биссектриса угла принадлежит его оси симметрии; ось симметрии перпендикулярна прямой, содержащей симметричные относительно этой оси точки, и делит отрезок, определяемый симметричными точками, пополам. Последнее свойство используется при построении образов фигур при осевой симметрии.
Задачи 28—34 имеют целью привлечение координатного метода к изучению осевой симметрии. Задача 34 является обобщением указанных задач, при ее решении подводится итог: симметрия с осью Ох отображает точку А (а; Ь) на точку А* (а; —Ь), симметрия с осью Оу отображает точку В (х; у) на точку В* (—х; у).
Следующая серия задач предназначена для формирования умения строить образы различных фигур при осевой симметрии.
При решении этой серии задач следует обращать внимание на рационализацию построений. Например, при построении образов углов можно выполнить построение образа вершины этого угла и использовать свойство точек оси симметрии. При построении образов углов полезно обратить внимание на следующий факт: осевая симметрия изменяет «обход» сторон угла. Этот вывод справедлив для всех фигур. Усвоение этого свойства осевой симметрии осуществляется при решении задач 41—43, 45.
Задачи 49—51 решаются на клетчатой бумаге, причем в задачах 50—51 требуется только нарисовать фигуру, всякие же построения осуществляются мысленно.
Задача 54 позволяет утверждать, что любые две точки А (а; Ь) и А' (а; —Ь) являются симметричными относительно оси Ох (результат, обратный результату задачи 34). Полученный результат используется при решении задач 55, 56. Из решения задач 34 и 54 следует, что симметрия с осью Ох есть отображение плоскости: X (х; у) -> X' (х; —у), а симметрия с осью OY есть отображение: X (х; у) -> X' (—х; у).
Координатная запись осевой симметрии используется при решении задач на композицию перемещений.
Следующая группа задач (59—85) способствует развитию умения «видеть» соответственные элементы на соответствующих образах. Причем решение подобных задач способствует и воспитанию идеи отображения плоскости на себя. Это весьма важная группа задач, решению которых следует уделить самое серьезное внимание.
В процессе решения этих задач должен быть усвоен следующий факт: если Sp (Ф) — Ф' и А ( Ф, то А' € Ф*, где А* = Sp (А). Эта идея проводится при решении последующих задач. При этом осуществляется знакомство с новыми фактами, например с построением суммы, разности двух сторон треугольника с помощью осевой симметрии, которые, в свою очередь, используются в дальнейшем.
Идея координатного метода получает дальнейшее развитие при решении задач 77—81. При решении задачи 77 устанавливается, опираясь на решение задачи 54, что образом прямой при осевой симметрии является прямая. Задачи 78—80 готовят учащихся к решению задачи 81, которая подчинена той же идее, что и предыдущие задачи.
Задачи 86—104 предназначены для формирования умения строить ось симметрии и дальнейшего развития представления о свойствах оси симметрии. Задачи этого вида являются обратными задачам на построение образов фигур, причем в эту группу включены и задачи, для решения которых используются «прямые» и «обратные» действия.
Следующая группа задач предназначена для формирования умения строить симметричные точки на произвольных фигурах. При решении этой группы задач используются умения, приобретен-
ные при решении задач предыдущих групп. В качестве примера рассмотрим решение задачи 111. Оно заключается в следующем: 1) строим прямую а', такую, что а' = Sz (а); 2) находим точки пересечения данной окружности и прямой а'; 3) строим точки, симметричные найденным точкам относительно прямой /. Пункт (1) включает в себя умение строить образы фигур, пункт (3)— умение строить симметричные точки на симметричных фигурах, весьма важным является и умение «видеть» ось симметрии.
Задачи этого вида способствуют и развитию исследовательских навыков: изменяя расположение данных фигур, будем получать различное число решений.
При решении задач 115—118 координаты симметричных точек, принадлежащих данным фигурам, находятся аналитически.
Задачи 119—168 решаются с использованием свойств осевой симметрии при изучении различных тем. Например, при изучении темы «Окружность» решаются задачи, связанные с доказательством свойств окружности, т. е. задачи 159—165. Полезны задачи, при решении которых используются как свойства осевой симметрии, так и признаки конгруэнтности треугольников (задачи 142—147).
Задача 94 знакомит учащихся с характеристическим признаком осевой симметрии, который используется при решении задач 95, 99.
Задача 170 является упражнением на применение координатной записи осевой симметрии.
ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ
Каким отображением является отображение, обратное центральной симметрии?
Постройте точки, симметричные точкам А (3; —2), В (0; 5) и С (—2; —4) относительно начала координат. Запишите их координаты.
Известно, что точка Л отображается симметрией относительно начала координат на точку А' (—3; 4). Каковы координаты точки Л?
Точки В (3; ...) и В' (... ; —1) симметричны относительно начала координат. Восстановите пропущенные координаты точек.
Точка А имеет координаты (а; 6). Какие координаты имеет точка, симметричная точке А относительно начала координат?
Точка А (—3; 4) отображается осевой симметрией с осью Оу на точку Л', которая, в свою очередь, отображается осевой симметрией с осью Ох на точку Л". Запишите координаты точек А' и Л".
Докажите, что точки А (а; Ь) и А' (—а; —Ь) можно отобразить друг на друга центральной симметрией с центром в начале координат.
Выберите из данного множества точек {(—1; 5), (3; —2), (0; 0), (5; 1), (1; —5), (7; 0), (—3; 2)} такие точки, которые попарно симметричны относительно начала координат.
Точка А имеет координаты (а; bY Запишите координаты точки, симметричной точке А относительно начала координат, и точки, полученной из точки А в результате композиции симметрий относительно осей Ох и Оу. Сравните полученные результаты.
Отметьте произвольную точку О и постройте А' = Zo (А). Проведите через точку О произвольную прямую /г и постройте Ах = Sz, (А).
Что вы можете сказать о расположении прямой /г и оси симметрии точек А* и Ах?
Можно ли центральную симметрию представить композицией двух осевых симметрий? Сколькими способами это можно сделать?
Точка Р перемещается по окружности по часовой стрелке. В каком направлении будет перемещаться Р' = Zo (Р)?
Постройте образ данного отрезка при симметрии с центром в заданной точке О (рассмотрите случаи, когда точка О не принадлежит отрезку; является внутренней точкой отрезка; является одним из концов отрезка).
Дана прямая а. Постройте а' = Zo (а) (точка О принадлежит прямой; не принадлежит прямой).
Существуют ли прямые, отображающиеся центральной симметрией на себя?
Постройте образ данного луча при симметрии с центром в заданной точке О.
Существуют ли лучи, отображающиеся центральной симметрией на себя? А точки?
Постройте угол, симметричный данному углу относительно точки О (рассмотрите случаи, когда точка О является вершиной угла; принадлежит стороне угла; не принадлежит углу; является внутренней точкой угла).
Луч В'С' симметричен лучу ВС относительно точки О. Как построить с помощью транспортира и линейки угол, симметричный углу АВС относительно точки О?
Укажите (рис. 22):
точки, симметричные точкам Ау и В3 относительно точки В3,
отрезок, на который отображается отрезок А1В2 в результате последовательного отражения его от точек В3 и С4;
центр симметрии отрезков А4А2 и С2С3.
Какие из отрезков АТА2, С2С3, В3В4, А2В3 можно отобразить друг на друга центральной симметрией? Укажите центры симметрий (рис. 22).
Какие из треугольников В3В4С3, А4В5А5 и В4А4В5 (рис. 22) можно отобразить друг на друга центральной симметрией? Укажите центры этих симметрий.
ввРис. 31Рис. 31
в
в
Рис. 31
Рис. 31
Сколько существует центральных симметрий, отображающих прямую ЛХЛ5 на прямую CjCj? Чем является множество центров симметрий (рис. 22)?
Постройте треугольник, симметричный данному относительно точки пересечения его медиан (высот). Покажите: фигуру, являющуюся объединением данного треугольника и его образа; фигуру, являющуюся пересечением данного треугольника и его образа.
Zo ([ЛС]) = [Л'С'] (рис. 31), Z. ВАС ^ Z_ В'С'А', Z_ ВСА Х_В'А'С'. Симметричны ли треугольники АВС и А'В'С' относитель
но точки О? Будут ли они конгруэнтными?
198. Постройте произвольный прямоугольник и его образ при
симметрии с центром в точке пересечения его диагоналей. Какая фигура является пересечением (объединением) данного прямоугольника и его образа?
197*. Является ли тождественное отображение центральной симметрией?
Какие фигуры, изображенные на рисунке 1, имеют центр симметрии?
Достройте фигуру, изображенную на рисунке 1, а, так, чтобы она имела центр симметрии.
Достройте фигуры, изображенные на рисунке 32, так, чтобы точка О была их центром симметрии. Выполните построения с помощью одной линейки. Какие из полученных в результате достраивания фигур имеют оси симметрии?
Фигура, изображенная на рисунке 33, имеет точку О центром симметрии. Какие линии можно убрать, чтобы оставшаяся фигура также имела точку О своим центром симметрии?
Нарисуйте фигуры, являющиеся объединением данной фигуры (рис. 34) и ее образа при симметрии с центром в точке О. Какие из полученных фигур имеют оси симметрии?
Выберите из множества цифр {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} те, которые имеют центр симметрии.
Известно, что фигура имеет две перпендикулярные оси симметрии. Следует ли из этого, что фигура имеет и центр симметрии? Верно ли обратное утверждение?
Постройте круг радиуса 3 см с центром в произвольной точке О и его образ при симметрии с центром Р (точка Р принадлежит кругу; не принадлежит кругу; является его центром). В каждом случае выделите фигуры, являющиеся пересечением (объединением) данного круга и его образа.
В каких парах фигур, изображенных на рисунке 35, можно одну фигуру получить из другой симметрией относительно точки О?
Известно, что [Л'В'] = Zo ([ЛВ]) (рис. 36). Как построить точки, соответствующие точкам М и N', с помощью одной линейки, одного циркуля?
Отметьте на центрально-симметричных лучах (задача 186) по точке и постройте их образы при данной симметрии.
Zo (/) = Г (рис. 37). Укажите образы точек Л и В; прообразы точек М и К.
Zo (а) = а'. Каково взаимное расположение прямых а и а'?
Отметьте на центрально-симметричных окружностях
а)а)А м в
а)
а)
• о
в* nJ а*
Рис. 36
0
г)
Рис. 35
Рис. 37
ААВ*В*кквва'а'Рис. 38Рис. 38
А
А
В*
В*
к
к
в
в
а'
а'
Рис. 38
Рис. 38
(задача 205) по точке и постройте точки, им соответствующие при данной симметрии.
Отметьте на сторонах центральносимметричных треугольников (задача 194) по точке и постройте образы этих точек при данной симметрии.
Отрезок А'В* является образом отрезка АВ при симметрии, центр которой не указан (рис. 38). Как построить образ точки К при симметрии, отображающей [ДВ] на [Д'В'] с помощью: а) циркуля, б) транспортира и линейки?
Постройте [ДВ] и его образ при центральной симметрии, отображающей точку А на данную точку А*. Отметьте точку К, не принадлежащую [ДВ), и постройте ее образ с помощью линейки и угольника.
Постройте две конгруэнтные окружности и найдите центр симметрии, отображающей одну из них на другую. Отметьте точку, не принадлежащую построенным окруж ностям, и постройте ее образ с помощью одной линейки.
Zo (А ДВС) = △ А'В'С’ (рис. 39). Как с помощью одной линейки построить точку пересечения высот треугольника Д'В'С', если М есть точка пересечения высот треугольника ДВС?
Прямая задана уравнением Ах + By + С = 0. Запишите уравнение линии, симметричной данной прямой относительно нача
ла координат.
Запишите уравнение прямой, симметричной прямой у = = 2х + 5 относительно начала координат.
Известно, что прямые у = Зх + ... и у = ... х + 4 симметричны относительно начала координат. Поставьте пропущенный коэффициент и свободный член в их уравнения.
Установите, что прямые у = ахЦ-Ьиу = ах — b можно отобразить друг на друга симметрией относительно начала координат.
Выберите из множества прямых |у = Зх + 1; у = —"^"И» у = -^-х — 4; у = 5; у = —5; у = —2х + 3; у =-^х + 4) пары
55 J
прямых, симметричных относительно начала координат.
Прямая у = —2х + 3 отображена симметрией с центром в начале координат на некоторую прямую. При этом точка М, принадлежащая прямой у = —2х + 3, отображена на точку М' (—3; Ь). Определите координаты точки М.
Скопируйте рисунок 40 на прозрачную бумагу и укажите центр симметрии фигур F и F* на глаз.
Сколько центров симметрий имеет прямая, ^—^Л отрезок, луч, две пересекающиеся прямые, полоса? /^>.
Даны две прямые а и Ь. Как установить, па- /\
раллельны ли они?I/
Будет ли фигура, являющаяся объедине- Х/^^Х/ нием полосы и прямой, не принадлежащей ей, иметь центр симметрии?
Постройте два отрезка АВ и CD, таких, что
[ДВ] || [СО], | ЛВ| = |СО|. Найдите центр снимет-pi
рии, отображающей один из этих отрезков на другой. /\^У\
Какому условию должны удовлетворять два / Х~”/ \ луча, чтобы один из них можно было бы получить (I
из другого с помощью центральной симметрии?\/
Начертите два луча, удовлетворяющих этому ус- ^~—/ ловию, и постройте их центр симметрии.-
Начертите два угла, таких, что один из них с' может быть получен из другого с помощью центральной симметрии, и постройте центр симметрии.
Четырехугольник ABCD является пересечением двух полос. Верно ли утверждение: середина отрезка АС является центром симметрии четырехугольника ABCD?
В каком случае имеет центр симметрии фигура, являющаяся объединением окружности и точки?
Начертите [Л В] и из его концов проведите [ЛХ) и [ВУ) так, чтобы фигура F = [ЛВ] U [>1Х] U [В У] имела: а) центр симметрии; б) центр симметрии и ось симметрии.
Отметьте три точки Л, В и С. Дополните это множество четвертой точкой D так, чтобы фигура F = {Л; В; С; D} имела центр симметрии. Рассмотрите все возможные случаи.
Может ли треугольник иметь центр симметрии?
Постройте произвольный шестиугольник, который имел бы центр симметрии. Что вы можете сказать о сторонах этого шестиугольника?
Установите, какие из графиков функций симметричны относительно начала координат: у = х + 3; у = х2; у = (х + I)2; у = х2 — 3; у = х3; у = х3 — 2; у = х.
Даны прямые а, р и точка О. Постройте на данных прямых такие точки X и Y, что Zo (X) = Y.
Даны прямая, отрезок и точка О. Постройте отрезок так, чтобы его концы принадлежали данным прямой и отрезку, а точка О была бы его серединой.
На данных луче и отрезке постройте такие точки, которые отображаются друг на друга симметрией с центром в данной точке О. Найдите такое расположение фигур, чтобы задача имела бесчисленное множество решений.
Даны окружность, прямая и точка О. Укажите точки, симметричные относительно центра О и принадлежащие данным окружности и прямой.
На сторонах данного треугольника и данном отрезке постройте такие точки, которые могут быть получены одна из другой симметрией относительно данной точки. Укажите такое расположение фигур, чтобы задача имела одно решение.
Даны две окружности и точка О. Найдите на этих окружностях точки, симметричные относительно центра О.
Постройте точки, симметричные относительно данного центра и принадлежащие сторонам данного треугольника и данной окружности. Найдите такое расположение фигур, чтобы задача имела наибольшее число решений.
Постройте произвольный угол и отметьте какую-либо точку О этого угла, не принадлежащую его сторонам. На сторонах угла найдите такие точки X и У, что [OX) U [ОУ) = (ХУ) и | ОХ| = I ОУ |.
{Л, В}— пересечение двух окружностей. Проведите прямую АМ так, чтобы | ДО | = | С А |, где D и С — точки пересечения (ДЛ4) с данными окружностями.
Верно ли утверждение: если прямая, пересекающая конгруэнтные окружности с центрами Ох и О2, содержит середину отрезка ОХО2, то окружности высекают на этой прямой конгруэнтные хорды?
На одном из краев полосы взята пара точек А и В, а на другом — пара точек С и D так, что | АВ\ = | CD | и [ЛВ) ff V.CDY Докажите, что О = [ДО] Q [ВС] является серединой каждого из этих отрезков.
В треугольнике АВС проведены медианы AAt, BBt и ССг, пересекающиеся в точке М. Точки Р, Qh R являются соответственно серединами отрезков АМ, ВМ и СМ. Докажите, что △ А^В^С^ ^
△ PQR.
Постройте треугольник по двум сторонам и медиане к третьей стороне. В каких пределах может изменяться длина медианы, если длины сторон треугольника равны а и 6?
Точки М, N, К являются серединами отрезков, одним концом которых является вершина треугольника АВС, а другим — точка пересечения его медиан. Докажите, что треугольник, вершинами которого являются точки пересечения прямых, содержащих течки М, N и К и параллельных соответствующим сторонам треугольника АВС, конгруэнтен треугольнику АВС.
Для того чтобы четырехугольник был
необходимо и достаточно, чтобы он имел центр симметрии. Вместо многоточия поставьте вид четырехугольника.
Верны ли высказывания: а) чтобы четырехугольник был ромбом, необходимо, чтобы он имел центр симметрии;
чтобы четырехугольник был ромбом, достаточно, чтобы он имел центр симметрии;
чтобы четырехугольник был ромбом, необходимо и достаточно, чтобы он имел центр симметрии.
Дополните утверждение в) так, чтобы оно было верным.
Даны две окружности и точка Р. Постройте параллелограмм так, чтобы его вершины принадлежали данным окружностям, а точка Р являлась пересечением диагоналей параллелограмма.
Прямая, содержащая точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, отсекает на его сторонах отрезки BE и DF. Докажите, что эти отрезки конгруэнтны.
Разделите параллелограмм на две равновеликие части.
Две прямые, содержащие точку пересечения диагоналей параллелограмма, пересекают его стороны соответственно в точках М и L, N и К. Докажите, что четырехугольник MNLK, — параллелограмм.
Через противоположные вершины параллелограмма ABCD проведены две пары взаимно параллельных прямых, которые образуют новый параллелограмм. С полученным параллелограммом вновь производят такое же построение и т. д. Докажите, что все полученные таким образом параллелограммы имеют один и тот же центр симметрии.
В параллелограмме ABCD проведены прямые ААг и ССг так, что DAAt = С^В (Лх € [СВ], Ст С [ЛВ]). Докажите, что четырехугольник ЛЛ^С!— параллелограмм.
На сторонах АВ и CD параллелограмма ABCD построены равносторонние треугольники так, что пересечением каждого из них с параллелограммом является соответственно [ЛВ] и [СВ]. Докажите, что вершины треугольников и точка пересечения диагоналей параллелограмма принадлежат одной прямой. Будет ли это утверждение справедливо, если треугольники будут разносторонними и конгруэнтными?
Пусть О — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Докажите, что четырехугольник, вершинами которого являются точки пересечения медиан треугольников О А В, ОВС, 0CD и ОВЛ, есть параллелограмм.
На сторонах угла от его вершины О отложены отрезки О А и 0В равной длины, серединами которых являются соответственно точки Oj и О2. Zo, (М) = Мц Zo, (М) = М3, где М — точка угла АОВ. Докажите, что [Л41Л42] ^ [ЛВ]. Будет ли утверждение справедливо, если точка М не принадлежит углу ЛОВ?
Ог, О2 и О3 — середины сторон треугольника ABC. Zot (М)= = Mlt ZoXM) = /И2, Zo, (М) = М3, где М — произвольная точка. Будет ли треугольник МгМ3М3 конгруэнтен треугольнику ЛВС? Можно ли △ УИхУИаМз отобразить на А АВС центральной симметрией? Если да, то найдите центр этой симметрии.
Справедливо ли утверждение: точки, симметричные произвольной точке М относительно середин сторон четырехугольника, являются вершинами параллелограмма?
Дан треугольник АВС и точка М. On О2, Q3 — середины отрезков АВ, ВС и AC. Zo, (М) = Л^, Z01 (AlJ = М2, Zo, (Л12) = = Л13. Докажите, что Za (М3) = М.
Постройте треугольник, зная середины его сторон.
266*. Постройте пятиугольник, зная середины его сторон.
Замените многоточие словами: «необходимо и достаточно», «необходимо, но недостаточно», «достаточно, но не необходимо». Для того чтобы замкнутая линия была окружностью..., чтобы она имела центр симметрии.
Прямая, содержащая точку К, в которой касаются две конгруэнтные окружности, пересекает окружности в точках А и В. Докажите, что | Д^| = |/(В|.
Две конгруэнтные окружности касаются в точке К. Две прямые, содержащие точку К, пересекают первую окружность, кроме точки К, в точках Д и С и вторую — в точках В и D. Докажите, что (ДС) || (BD) и [ДС] [ВО].
Из концов диаметра АВ окружности с центром О проведены противоположно направленные лучи, касающиеся окружности. На этих лучах отмечено по точке К и М так, что | Д^| = |ВМ|. Докажите, что [OK) U [ОМ) = (КМ).
Две конгруэнтные окружности Ог и О2 касаются в точке К. Три прямые, содержащие точку К, пересекают окружности (\ и О2, кроме точки К, соответственно в точках А, В, С и D, Е, F. Докажите, что треугольники АВС и DEF конгруэнтны.
Из концов диаметра ВС окружности с центром О проведены две хорды В А и CD так, что (ВД) П (CD) = 0. Докажите, что [ОД) и [ОО) = (ДО) и |О0| = |ОД|.
Около окружности описан шестиугольник с параллельными противоположными сторонами. Докажите, что противоположные стороны этого шестиугольника конгруэнтны.
274*. Противоположные стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF попарно параллельны и конгруэнтны. Какую часть площади шестиугольника составляет площадь треугольника ДСВ?
275*. На окружности даны точки Д и В, на прямой / дана точка М. Найдите на окружности такую точку X, чтобы прямые АХ и ВХ пересекали прямую I в точках, находящихся на равных расстояниях от точки М.
276*. Через точку М угла АВС, не принадлежащую его сторонам, провести секущую так, чтобы получился треугольник наименьшей площади.
Известно, что перемещение, отличное от тождественного отображения, оставляет точку А на месте, а прямые, содержащие точку А, отображает на себя. Является ли это перемещение центральной симметрией?
Верно ли утверждение Zo ° Zo ~ В?
Докажите, что SOx ° Za — SOy , где (Ox) 1 (Оу).
Докажите, что перемещение, отображающее всякий луч на противоположно направленный с ним луч, есть центральная симметрия.
281*. Докажите, что композиция трех центральных симметрий есть центральная симметрия. Запишите этот факт в обозначениях.
Три различные конгруэнтные окружности Оъ О2 и О3 касаются попарно друг друга: Ох касается О2 в точке Л; О2 касается 03 в точке В; О3 касается OY в точке С. Прямая /ь содержащая точку Л, пересекает окружности Оз и 02 соответственно в точках Мг и М2. Прямая /2 содержит точку В и пересекает окружности 02 и О3 в точках М2 и М3. Прямая /3 содержит точку С и пересекает окружности О3 и Оз в точках М3 и Л4\. Докажите, что Mt и М\— концы диаметра окружности Ov
Верны ли утверждения: a) Sa ° Zo = Zo ° Sa, где 0 € a; б) Zo2 ° Zot = Zot ° Zo2?
Докажите, что отображение: X (х; у) -> X' (—х; —у) есть перемещение.
Запишите векторное равенство, задающее центральную симметрию.
* * *
Задачи 171—196 в основном предназначены для формирования умения строить образы фигур при центральной симметрии. Построение образов фигур основывается на следующем свойстве центральной симметрии: если Zo (Л) = Л', то | ОЛ | = | ОЛ' | и Л' € (ОЛ). Указанное свойство непосредственно следует из определения симметрии относительно точки О как поворота около точки О на 180°.
Задачи 172—175 знакомят с тем фактом, что симметрия с центром в начале координат есть отображение: X (х; у) -* X' (—х; —у) и обратно, всякое отображение плоскости на себя: X (х; у) -> -* X’ (—х; —у) есть симметрия, центром которой является начало координат (задачи 177—178). Использование координатной записи центральной симметрии позволяет легко установить ее связь с осевой симметрией, а именно: центральная симметрия есть композиция двух осевых симметрий, оси которых перпендикулярны и содержат центр симметрии (задачи 176, 179—181).
Задачи 182, 185, 187, 190—193 могут быть использованы для устного решения.
При решении задач 197—203 учащиеся знакомятся с фигурами, имеющими центр симметрии. Полезны задачи на достраивание фигур до фигур, имеющих центр симметрии, на распознавание центрально-симметричных фигур (задачи 199, 200, 201, 202, 206). Некоторые из этих задач решаются на клетчатой бумаге.
Следующая серия задач (207—214) предназначена для формирования умения строить соответственные точки на заданных соответственных фигурах. Это важная группа задач, на которую следует обратить серьезное внимание.
В некоторых задачах указаны средства построения, при решении других задач учащиеся могут сами выбирать средства построения. Следует обратить внимание на рациональность решения. Например, образ данной точки (задача 211) получим как пересечение образа окружности и прямой, содержащей центр симметрии и данную точку. При решении этих задач практически используются
изученные свойства симметрии. Например, выполняя построение образа точки М (задача 207) с помощью линейки, учащиеся пользуются следующими свойствами центральной симметрии: а) М и ^1 — 20 ОЙ) принадлежат одной прямой; б) Мг € [Т^/у, где [4^] = Zo ([Л В]).
Наследующая группа задач предназначена для формирования умения строить центр симметрии данных фигур (задачи 223—236). Решение некоторых задач включает выполнение построения как образов фигур, так и центра симметрии (например, задачи 232, 233). Решение таких комбинированных задач желательно.
Задачи 217—222 предназначены для использования координатной записи центральной симметрии. Задача 217 позволяет утверждать, что центральная симметрия отображает прямую на параллельную ей прямую, причем результат получен аналитически.
При решении задач 238—243 формируется умение отыскивать симметричные точки на произвольных фигурах.
Задачи 244 и далее решаются с использованием свойств центральной симметрии.
В конце параграфа приведены задачи на композицию нескольких центральных симметрий (задачи 279, 280, 281, 282, 283).
Задача 284 решается с использованием формулы расстояний между двумя точками координатной плоскости. Эта задача позволяет аналитически показать, что отображение X (х; у) -> X' (—х, —у), т. е. центральная симметрия, есть перемещение.
§ 3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
Перечислите известные вам способы задания параллельного переноса.
Постройте образы точек А (2; 5), В (0; —7), С (3; 0) при параллельном переносе в направлении оси Ох на 3 ед. Запишите координаты построенных точек.
Постройте точки, соответствующие точкам А (0; 2), С (—3; 4), О (0; 0) при параллельном переносе в направлении оси Оу на расстояние 5 ед. Запишите их координаты.
Параллельный перенос задан парой точек: О (0; 0) -> -► М (—2; 0). Запишите координаты образов точек А (—3; 2), В (4; 1), С (0; —3).
Известно, что образом точки А при параллельном переносе, отображающем О (0; 0) на М (3; 0), является точка А' (—5; 4). Определите координаты точки А.
Точка М' (—2; 4) является образом точки М при параллельном переносе, отображающем точку О (0; 0) на точку В (0; 2). Запишите координаты точки М.
Точка А (...; 4) отображается параллельным переносом в направлении оси Ох на 1 ед. на точку А' (—3; ...). Восстановите пропущенные координаты.
Точка В' (...; —3) является образом точки В (5; ...) при
параллельном переносе, отображающем точку О (0; 0) на точку М (0; 2). Восстановите пропущенные координаты.
Установите, что одну из двух точек с одинаковыми ординатами можно отобразить на другую параллельным переносом в направлении оси Ох.
Верно ли высказывание: «Одна из двух точек с одинаковыми абсциссами может быть отображена на другую параллельным переносом в направлении оси Оу»?
Дано множество точек {(1; 3), (—3; 7), (0; 2), (—2; 4), (1; 4), (0; 7), (3; 2), (—2; 0)}. Выберите такие пары точек, что одна точка пары может быть отображена на другую точку этой же пары параллельным переносом в направлении оси Ох на 3 ед.
Из множества точек {(2; 0), (3; —1), (—5; 1), (0; 0), (—5; 3), (0; —2), (1; —1), (3; 2)} выберите пары, в которых одна точка может быть отображена на другую параллельным переносом в направлении оси Оу на 2 ед.
Каким параллельным переносом можно отобразить точку М (—3; 4) на точку М' (2; 4)? А точку М' на точку Л4?
С помощью какого параллельного переноса можно получить точку А (—3; —5) из точки В (—3; —7)? Запишите формулы этого параллельного переноса.
Назовите несколько пар точек, в которых одну точку можно отобразить на другую параллельным переносом: а) О (0; 0) -> -> М (4; 0); б) О (0; 0) -> (—2; 0).
Сколько существует параллельных переносов, отображающих прямую на себя?
Расстояние между точками А и В равно 5 см. Чему равно расстояние между точками А' и В', где А' = Т (А), В' = Т ^В^
Постройте множество точек {Alt Bn Cv ...}, симметричное данному множеству точек {А, В, С, ...} относительно данной прямой к- Проведите прямую /2> параллельную прямой к Цг П к = = 0), и постройте {А2, В2, С2, ...}, симметричное (Ап Si, Сн ...} относительно прямой /2. а) Равны ли | АА2|, |ВВ2|, |СС2| и т. д.? б) Можно ли множество точек {А, В, С, ...} отобразить на множество точек {А2, В2, С2, ...} параллельным переносом?
Известно, что Т (А) = А'. Постройте Ах = S/1 (А), где к ± (АА'). Как расположены по отношению друг к другу прямая к и прямая /2, являющаяся осью симметрии точек Аг и А'? Чему равно расстояние между прямыми к и /2, если [ АА'| = 10 см?
Можно ли параллельный перенос представить композицией двух осевых симметрий? Сколькими способами это можно сделать?
Известно, что ДАДСх = Г (А АВС). Запишите соотношения между соответственными основными элементами треугольников АВС и AxB^v
Параллельный перенос задан парой точек: А -> А' (рис. 41). Постройте образы данных отрезков при указанном переносе.
При каком условии можно отобразить один отрезок на другой при помощи параллельного переноса?
Задайте параллельный перенос парой точек и постройте образы данных лучей при заданном параллельном переносе.
Даны два сонаправленных -луча. Можно ли один из этих лучей отобразить на другой параллельным переносом?
Постройте образы прямых (рис. 42) при параллельном переносе, заданном парой точек: А Д'.
Даны две параллельные прямые. Можно ли с помощью параллельного переноса отобразить одну из них на другую?
Что можно сказать о параллельном переносе, отображающем отрезок Л В на себя? Будет ли этот вывод правильным, если параллельный перенос отображает прямую АВ на себя?
Постройте образы углов (рис. 43) при параллельном переносе, отображающем А Д'.
Каким условиям должны удовлетворять два угла, чтобы один из них можно было бы получить из другого при помощи параллельного переноса?
Начертите произвольный треугольник АВС. Постройте образ этого треугольника при параллельном переносе В -> В, где Е — середина медианы BD. Покажите фигуры, являющиеся пересечением (объединением) данного треугольника и полученного.
Постройте квадрат со стороной 5 см и его образ при параллельном переносе в направлении диагонали квадрата на 5 см. Укажите фигуры, являющиеся объединением (пересечением) данного £ квадрата и полученного.
Постройте образ прямоугольника ABCD при параллельном переносе в направлении от точки Л к точке D на расстояние, равное |CD|. Полученную фигуру отобразите параллельным переносом в направлении от точки С к точке А на расстояние, равное у|СА|. Какой фигурой будет пересечение (объединение) данного прямоугольника и полученного в результате двух переносов?
Задайте параллельный перенос парой точек. Начертите произвольную окружность и ее образ при заданном параллельном переносе.
При каком условии можно отобразить окружность на окружность параллельным переносом?
Известно, что треугольник АВС является образом фигуры, являющейся подмножеством фигуры EFKLM при параллельном
Рис. 44Рис. 44Рис. 45Рис. 45переносе (рис. 44). Достройте треугольник АВС до образа фигуры EFKLM.
Рис. 44
Рис. 44
Рис. 45
Рис. 45
На рисунке 45 изображены пары фигур. В каких парах одна фигура может быть отображена на другую параллельным переносом в указанном направлении?
На рисунке 22 задана сеть правильных треугольников. Будем рассматривать параллельные переносы на расстояние, равное длине стороны треугольника, в направлении линий сети.
а) На какие отрезки можно отобразить отрезок С2С3 указанными переносами? б) На какой отрезок отобразится отрезок ВгВй в результате двух последовательных параллельных переносов в одном направлении? в) Можно ли параллельным переносом отобразить отрезок AlA2 на отрезок А3В3? г) Существует ли параллельный перенос, отображающий треугольник С1В1В2 на треугольник А^А ^В^
[В'С'] является образом [ВС] при параллельном переносе. Как построить при помощи циркуля: а) образ точки М (М € [ВС]); б) точку, образом которой является точка N' (N' € [В'С'])?
Отметьте на данных лучах (задача 309) по точке и постройте их образы при указанных параллельных переносах.
Отметьте на данной окружности (задача 319) точку и постройте ее образ при помощи линейки и циркуля.
Постройте произвольный треугольник АВС. Отметьте какую-либо точку К и постройте образ треугольника АВС при параллельном переносе А -> К- При помощи транспортира и линейки постройте образ точки пересечения медиан треугольника АВС.
Начертите [Л В]. Отметьте точку С (С £ [Л В]) и постройте образ отрезка АВ при параллельном переносе А-^- С. Возьмите точку D, не принадлежащую прямой АВ, и постройте ее образ с помощью циркуля (транспортира и линейки).
Существует ли параллельный перенос, при котором: а) одна сторона квадрата отобразится на другую его сторону; б) одна сторона треугольника отобразится на другую его сторону?
Известно, что Т ([ЛВ]) = [СО]. Какая из точек А, В (рис. 46) является образом точки С? Покажите направление и расстояние переноса.
Сколькими переносами можно отобразить прямую на параллельную ей прямую? Отметьте точку, не принадлежащую этим прямым, и постройте ее образ при одном из возможных переносов.
Пересечением квадрата ABCD и квадрата A'B'C'D', полученного из квадрата ABCD параллельным переносом, является квадрат. Определите направление параллельного переноса.
При каком условии можно отобразить параллельным переносом данный параллелограмм на другой данный параллелограмм? Какой фигурой может быть пересечение (объединение) данного параллелограмма и его образа?
Даны две конгруэнтные окружности, а) Укажите направление и расстояние переноса, отображающего одну окружность на другую, б) Отметьте точку, не принадлежащую окружностям, и постройте ее образ с помощью циркуля и линейки.
Треугольники I, II, III, IV, V конгруэнтны (рис. 47). Какие из этих треугольников можно совместить с помощью параллельного переноса, осевой симметрии, центральной симметрии? В каждом случае, где имеют место названные перемещения, покажите направление переноса, ось симметрии и центр симметрии.
Отрезок АВ отображается параллельным переносом на отрезок А’В’, который другим параллельным переносом отображается на отрезок А”В". Можно ли [ЛВ] отобразить на [Л"В"] одним параллельным переносом? Сделайте соответствующий чертеж и покажите направление этого переноса.
Известно, что перемещение отображает луч АВ на сона- правленный ему луч А’В'. Следует ли из этого, что указанное перемещение является параллельным переносом?
Рис. 47Рис. 47
Рис. 47
Рис. 47
Рис. 46
Прямая а параллельна прямой а*, прямая b параллельна прямой V (черт. 48). Укажите направление переноса, отображающего а на а', Ъ на Ь'.
Дано множество точек (Л (5; 1), В (1; 4), С (—3; 1), D (0; 2)}. Постройте точки, являющиеся образами данных точек при параллельном переносе: О (0; 0) ->- Л4 (2; 3). Запишите их коорди
наты.
Запишите координаты точек, на которые отображаются точки Л (—2; 4), В (3; —5), С (2; 7) параллельным переносом: а) М (1; 2) -> М* (5; 4); б) Мх (2; 1) -> М\ (—3; —1).
Запишите формулы преобразования координат точек плоскости под действием вектора: a) MN (2; 3); б) M^i (—1;—2).
Какой вид будут иметь формулы, если координаты вектора MN — - (а; 6)?
Дана система координат. Отметьте точки Л и В. Запишите формулы параллельного переноса, отображающего точку Л на точку В.
Запишите уравнение прямой, на которую отображается прямая у = 2х— 1,5 под действием вектора: а) ОМ (0; 3);
ОМ' (—2; 5); в) ОМ" (3; —4).
Запишите уравнение линии, являющейся образом параболы у = х2 при параллельном переносе: х' = х + 2, у' = у.
Как получить график функции у = (х— З)2 из графика функции у = х2?
Запишите уравнение параболы, на которую отображается парабола у = х2 параллельным переносом: а) х' = х — 3, у' = у; б) х' = х — 3, у' = у + 1.
D^A 347. Как получить график функ-
^***I ции у = (х + 1,5)2 из графика
*****I функции у = X2?
/348. Запишите формулы парал-
/лельного переноса, который ото-
I бражает график функции у = х2на А "—/график функции
*•/у = х2 — 2х—3.
5•349. Запишите формулы парал-
рис 49лельного переноса, отображающе-
'го график функции у = х2 на гра
фик функции у = х2 — 4х + 10.
350*. Дано множество функций: (у = х2 + 1; у = х2; у = х; у = (х + 5)2; у = (х — З)2; у = х3; у = |х|; у = —1; у = |х+3|}. Выберите из данного множества такие пары функций, в которых график одной функции можно отобразить на график другой функции параллельным переносом в направлении оси Ох (в направлении оси Оу).
Перерисуйте рисунок 49 в тетради. Найдите на отрезках АВ и CD такие точки, которые могут быть отображены одна на другую параллельным переносом в направлении I на расстояние 2 см.
Даны прямая а и отрезок CD ([CD] ^ а\ Постройте на прямой и отрезке такие точки, которые параллельным переносом в заданном направлении на данное расстояние отображаются одна на другую.
Постройте множество всех отрезков данной длины, чтобы концы их принадлежали соответственно данным окружности и прямой и чтобы они были параллельны некоторой прямой.
Даны треугольник и луч. Постройте множество всех отрезков данной длины, чтобы они были параллельны некоторой прямой и концы их принадлежали бы лучу и сторонам треугольника. Расположите треугольник и луч так, чтобы задача имела единственное решение.
Даны окружность и отрезок. Постройте множество отрезков данной длины так, чтобы они были параллельны некоторой прямой и концы их принадлежали данным окружности и отрезку. Расположите фигуры так, чтобы задача имела наибольшее число решений.
На прямых у = Зх + 2 и у = 5х + 5 найдите такие две точки, которые находятся одна от другой на расстоянии 5 ед. и принадлежат прямой, параллельной оси Ох. Решите задачу аналитически.
Два неконгруэнтных равнобедренных треугольника расположены так, что их основания принадлежат одной прямой I. Проведите прямую Г, параллельную прямой I, так, чтобы отрезки, являющиеся пересечением прямой V и треугольников, были конгруэнтны.
Даны два круга с центрами Oj и О2. Проведите прямую,
/V/V1км1кмРис. 52Рис. 52ММИИкоторая каса-которая каса-
/V
/V
1км
1км
Рис. 52
Рис. 52
М
М
И
И
которая каса-
которая каса-
параллельную данной прямой т, так, чтобы отрезки, являющиеся пересечением этой прямой с данными кругами, были конгруэнтны.
Даны круг и угол. Проведите прямую, перпендикулярную биссектрисе угла, так, чтобы отрезки, полученные в результате пересечения этой прямой соответственно с кругом и углом, были конгруэнтны.
Фигура, изображенная на рисунке 50, образована двумя полуокружностями радиусов 2 см, параллельными отрезками АВ и CD, длина каждого из которых равна 1 см, и частью плоскости, ограниченной этими полуокружностями и отрезками. Вычислите площадь этой фигуры.
На стороне АС треугольника АВС (рис. 51) построен прямоугольник ACDE, а на сторонах АВ и ВС параллелограммы AFLB и BLKC, причем (ДЕ) ± (ДС) и | ЛЕ| = | ДЕ|. Докажите, что площадь построенного прямоугольника равна сумме площадей построенных параллелограммов.
На рисунке 52 изображены участки шоссейной и железной дорог. Какая часть участка шоссейной дороги более чем на 2 км севернее железной дороги? (Железная дорога обозначена сплошной линией, а шоссейная — пунктирной.)
Постройте треугольник, конгруэнтный данному, так, чтобы основание его принадлежало данной прямой т, а вершина —• данной прямой I.
Даны две параллельные прямые а и b (a f] b = 0) и прямая с, имеющая с прямой а одну общую точку. Постройте равносторонний треугольник с данной стороной так, чтобы его вершины принадлежали прямым а, b и с.
Постройте полосу и отметьте точку М, принадлежащую этой полосе (М не принадлежит краям полосы). Постройте такую окружность, которой принадлежала бы точка лась бы краев полосы.
В равнобедренной трапеции длина большего основания равна 20 см, длина боковой стороны равна 8 см, а величина одного из углов 60°. Вычислите длину меньшего основания трапеции.
Сумма длин оснований трапеции равна 21 см, а длины диагоналей равны 13 см и 20 см. Вычислите площадь трапеции.
Дана трапеция. Установите зависимость между разностью длин оснований и разностью длин боковых сторон.
Докажите, что две трапеции конгруэнтны, если стороны одной из них соответственно конгруэнтны сторонам другой.
Докажите, что две трапеции конгруэнтны, если основания и диагонали одной из них соответственно конгруэнтны основаниям и диагоналям другой.
Постройте трапецию ABCD, если известны длины ее оснований ВС и AD и величины углов CAD и BDA.
Прямые, которым принадлежат боковые стороны трапеции, перпендикулярны. Докажите, что длина отрезка, концами которого являются середины оснований трапеции, равна полуразности длин оснований.
Прямая, параллельная прямой, содержащей центры От и О2 двух конгруэнтных окружностей, пересекает первую окружность в точках А и В, а вторую — в точках С и Z). Определите |ДС|, если ЮА1 = 5 см и [ДВ) ft VCD).
На сторонах АВ и CD параллелограмма ABCD построены квадраты, причем квадрат со стороной АВ и параллелограмм лежат в различных полуплоскостях с границей ДВ, а квадрат со стороной CD принадлежит той же полуплоскости с границей CD, что и параллелограмм. Докажите, что расстояние между центрами квадратов равно длине стороны ВС.
На стороне АВ прямоугольника ABCD построен треугольник АВЕ. Докажите, что точка пересечения перпендикуляров, проведенных из точки D на (BE) и из точки С на (АЕ), принадлежит прямой, подмножеством которой является высота EF треугольника АВЕ.
Постройте две полосы с непараллельными сторонами. Отметьте точку К и проведите прямую так, чтобы ей принадлежала точка К и пересечением ее с полосами были конгруэнтные отрезки.
Постройте четырехугольник ABCD, если |ДВ| = 5 см, 1 AD\ = 4 см, |ОС| = 3 см, \СВ\ = 2 см и угол между отрезками АВ и DC равен 30°.
Если в треугольнике две медианы конгруэнтны, то треугольник равнобедренный. Докажите.
На берегу реки должна быть построена фабрика (рис. 53). Расстояние от фабрики до железной дороги должно не превышать 1 км. На каком участке берега может быть построена фабрика?
( 1км х, ^ |
Рис. 53Рис. 54
На рисунке 54 изображен участок морского побережья вместе с дорогой (сплошная линия) и железной дорогой (пунктирная линия). Покажите на рисунке те части побережья, которые расположены более чем на 1 км от дороги и в пределах 1 км от железной дороги.
Населенные пункты А и В разделены каналом с параллельными берегами. Где следует устроить переправу через канал (перпендикулярно его берегам), чтобы пункты А и В были соединены кратчайшим путем?
382*. Населенные пункты А и В разделены двумя каналами, каждый из которых имеет параллельные берега. Где следует устроить переправу через эти каналы, чтобы пункты Ли В были соединены кратчайшим путем?
Солдат, совершающий марш со скоростью 5 км/ч, определил с помощью компаса, что азимут направления его движения равен 65°, а азимут направления на вершину горы равен 25°. Получасом позже он снова измерил азимут направления на вершину горы, который оказался равным 290°. Как далеко был солдат от вершины горы, когда брал первое показание компаса?
Азимут направления движения баржи по каналу с прямолинейными берегами равен 27°. Скорость баржи равна 80 м в минуту. Наблюдатель установил, что за 4 минуты азимут направления на баржу изменился с 156° до 56°. Как далеко находился наблюдатель от канала?
Судно идет точно на восток и делает 12 узлов в час. В 13 ч 10 мин азимут направления на маяк был равен 70°, а в 13 ч 40 мин — 20°. Как далеко маяк находился от судна во время второго показания?
Азимут направления корабля, плывущего со скоростью 18 узлов в час, равен 145°. В 7 ч 30 мин корабль находился от маяка точно на востоке, через 20 мин азимут направления на маяк стал равным 20°. На каком расстоянии от маяка находился корабль в 7 ч 30 мин?
387*. Даны прямая I и окружность. На окружности взяты точки А и В. Найдите на этой окружности такую точку М, чтобы отрезок PQ, где Р = (ВМ) П /, Q = (А7И) Q Z, был бы конгруэнтен данному отрезку.
Докажите, что композиция двух симметрий относительно точек Ох и О2 есть параллельный перенос. Укажите направление и расстояние этого переноса.
Задайте параллельный перенос и представьте его композицией двух центральных симметрий.
390*. Докажите, что композиция двух параллельных переносов есть параллельный перенос.
Верно ли утверждение: АВ (BA (X)) = X?
392*. Докажите, что композиция четного числа центральных симметрий есть параллельный перенос. В каком случае это перемещение будет тождественным отображением?
393*. Каким перемещением является композиция четырех центральных симметрий относительно середин сторон четырехугольника?
394*. Каким перемещением является композиция центральной симметрии и параллельного переноса?
395*. Каким перемещением является композиция нечетного числа центральных симметрий?
Отображение плоскости на себя, являющееся композицией осевой симметрии и параллельного переноса в направлении оси симметрии, называется скользящей симметрией. Ось симметрии называется осью скользящей симметрии, направление переноса называется направлением скользящей симметрии.
Существуют ли точки, отображающиеся скользящей симметрией на себя?
Как можно задать скользящую симметрию?
Задайте скользящую симметрию парой соответствующих точек и направлением переноса. Отметьте точку М и постройте ее образ.
Сохраняет ли скользящая симметрия «обход» фигуры?
Даны две пары точек {Л, В} и {Д', В'}, где | ЛВ| = | А'В' |. Постройте ось скользящей симметрии, отображающей А ->■ А', В^В'.
Даны две окружности: (Of, г) и (О2; г). Существует ли скользящая симметрия, отображающая одну из данных окружностей на другую? Отметьте на окружностях соответственно по точке Л и В. Укажите скользящую симметрию, отображающую окружность (Ov, г) на окружность (О2; г), так, чтобы Л В.
402*. В треугольниках АВС и А'В'С' | АВ |=|Л'В'|; |ВС| = = |В'С'| и |ЛС| = |Л'С' |. При каком условии треугольник АВС можно отобразить на треугольник А'В'С' скользящей симметрией?
403*. Треугольники АВС и А'В'С' конгруэнтны и противоположно ориентированы. Докажите, что середины отрезков АА', ВВ' и СС' принадлежат одной прямой.
Докажите, что в скользящей симметрии композиция осевой симметрии и параллельного переноса переместительна.
405*. Докажите, что скользящую симметрию можно представить композицией центральной симметрии и осевой симметрии, ось которой не содержит центр симметрии.
406*. Докажите, что композиция трех осевых симметрий, оси которых непараллельны и не имеют общей точки, скользящая симметрия.
407*. Каким перемещением является композиция двух скользящих симметрий с параллельными осями?
408*. По одну сторону от железной дороги расположены две деревни А и В. Где надо расположить на железной дороге плат-
форму МК данной длины а, чтобы длина дороги АМКВ была наименьшей?
Запишите формулы скользящей симметрии, являющейся композицией симметрии с осью Ох и вектора MN (а; 0).
* * *
Задачи 287—300 предназначены для формирования умения строить образы точек при параллельном переносе. Большая часть этих задач решается на координатной плоскости. Задачи 287—294 способствуют усвоению того факта, что параллельный перенос в направлении оси Ох есть отображение: X (х; у) -> X' (х + а; у), где | а| — расстояние параллельного переноса, и параллельный перенос в направлении оси Оу есть отображение: X (х; у) -> -> X' (х; у + Ь), где |Ь| — расстояние, на которое осуществляется перенос. Этот вывод можно использовать при решении задач 296— 300.
Задачи, решаемые с привлечением координатного метода, полезны и тем, что они способствуют формированию умения и навыков в использовании параллельного переноса при построении графиков различных функций.
Задачи 303—305 подготавливают учащихся к следующему выводу: параллельный перенос есть композиция двух осевых симметрий, оси которых параллельны.
Задачи 307—323 предназначены для формирования умений строить образы различных фигур при параллельном переносе. При решении этих задач полезно обратить внимание на то, что параллельный перенос сохраняет «обход» (ориентацию) фигуры. Полезна задача 323, которую можно использовать для устного решения. Поучительна и задача 313, при решении которой учащиеся знакомятся с фигурами, которые отображаются сами на себя параллельным переносом. Полезно сопоставить эти фигуры с фигурами, которые отображаются сами на себя осевой (центральной) симметрией.
При решении задач 325—331 у учащихся развивается «видение» соответствующих при параллельном переносе точек на заданных соответственных при этом же переносе фигурах. Построение этих точек осуществляется с использованием заданных фигур. Некоторые из этих задач могут быть решены и учащимися V класса.
Последующая серия задач (330—338) предназначена для формирования умения выделять элементы, определяющие параллельный перенос: направление и расстояние переноса. Решение задач 336—337 подготавливает учащихся к пониманию того факта, что композиция двух параллельных переносов есть параллельный перенос, причем эта композиция переместительна.
Задачи 339—350 предназначены для вывода формул параллельного переноса и использования их. Задачи 339—340 являются пропедевтическими, в результате решения задачи 341 учащиеся зна-
комятся с формулами параллельного переноса: О (0; 0) -> Л4 (а; 6): х* = х + а, у' = у + Ь, где (х; у)— координаты данной точки, а (х*» у')— координаты ее образа. Решение задач 343—350 основано на использовании координатной записи параллельного переноса.
Задачи 351—356 предназначены для отыскания соответственных при параллельном переносе точек на заданных произвольных фигурах. Интересна задача 356. Подобные задачи можно использовать на уроках алгебры при решении систем уравнений.
Решения последующих задач осуществляются методом параллельного переноса. Решение задач 369, 370 основано на использовании параллельного переноса и признаков конгруэнтности треугольников. Полезны задачи 383—396, для решения которых используется не только параллельный перенос, но и масштаб и некоторые географические понятия.
В задачах 388—395 рассматриваются композиции параллельного переноса и других перемещений.
Задачи 396—409 служат для ознакомления учащихся со свойствами скользящей симметрии и их использованием в конкретных ситуациях.
§ 4. ПОВОРОТ
Отметьте несколько точек. Постройте их образы при повороте вокруг заданной точки на 60°, 90°, 120° по часовой стрелке (против часовой стрелки).
Каково соотношение между |ЛВ| и |Л'В'|, где А* и В*— образы точек Л и В при повороте? Откуда это следует?
Начертите отрезок и постройте его образ при повороте вокруг заданной точки на 45°, 60°, 180° против часовой стрелки; на 30°, 90°, 180° по часовой стрелке (возьмите за центр поворота внутреннюю точку отрезка; точку, не принадлежащую данному отрезку).
Постройте образ данного луча при повороте вокруг данной точки на заданный угол (возьмите за центр поворота начало луча; точку луча; точку, не принадлежащую лучу).
Постройте образ прямой при заданном повороте (за центр возьмите точку прямой; точку, не принадлежащую прямой).
Постройте образ угла (рис. 55) при повороте вокруг точки О на 55° против часовой стрелки. Укажите фигуру, являющуюся пересечением (объединением) данных углов и их образов.
Используя решение предыдущей задачи (рис. 55, б), постройте образ прямой при повороте вокруг точки, не принадлежащей этой прямой.
Постройте образы точек А (3; 0), В (—2; 0), С (5; 2), D (—1; —3) при повороте вокруг начала координат на 90° по часовой стрелке (против часовой стрелки). Запишите координаты образов точек.
Точка М (2; ...) отображается поворотом вокруг начала
Рис. 55Рис. 55
Рис. 55
Рис. 55
координат на 90° против часовой стрелки на точку М’ (—5; ...). Определите пропущенные координаты.
Восстановите пропущенные координаты точек М (—3;...) и М' (5; ...), если известно, что М' — образ точки М при повороте вокруг начала координат на 90° по часовой стрелке.
Постройте треугольник и его образ при повороте вокруг данной точки на заданный угол (за центр поворота возьмите точку пересечения медиан треугольника; его вершину; точку, принадлежащую какой-либо стороне треугольника; точку, не принадлежащую треугольнику). Покажите пересечение (объединение) треугольника и его образа.
Начертите квадрат, длина стороны которого равна 4 см. Постройте образ квадрата при повороте против часовой стрелки вокруг точки пересечения его диагоналей на 60°, 90°, 180°. Покажите фигуры, являющиеся объединением (пересечением) квадрата и его образа.
Выполните поворот окружности (0; 2 см) вокруг данной точки на заданный угол (возьмите за центр поворота центр окружности; точку, принадлежащую окружности; точку, не принадлежащую окружности).
Фигура, изображенная на рисунке 56, является объединением круга и треугольника. Постройте ее образ при повороте вокруг точки Р на 10° по часовой стрелке. Будет ли образ точки, принадлежащей пересечению круга и треугольника, принадлежать пересечению их образов?
Начертите полуплоскость с границей а и постройте ее образ при повороте вокруг заданной точки на заданный угол. Что представляет собой пересечение данной полуплоскости и ее образа?
Рис. 56Рис. 56Дан прямоугольный треугольник АВС. Простройте его образ при повороте вокруг вершины В прямого угла на 90° по часовой стрелке. Определите угол между (ДС) и (Д'С'), где [Д'С'] — образ [ДС] при указанном повороте. Чему будет равен этот угол, если △ АВС вы повернете на угол а? Изменятся ли ответы, если А АВС не будет прямоугольным?
Рис. 56
Рис. 56
Фигура ABCDE (рис. 57) пово-
о •Рис. 58о •Рис. 58
о •
Рис. 58
о •
Рис. 58
ротами вокруг центра О на х°, 2х°, Зх°, 4х°, 5х° отображается на себя. Чему равен х? Назовите образ отрезка АС при повороте на х°. Какова величина угла АКБ?
Сколько существует поворотов, отображающих квадрат на себя? Укажите центр этих поворотов.
Начертите фигуру, отличную от квадрата, которая отображается поворотами на 90°, 180°, —90° на себя.
Можно ли из равносторонних конгруэнтных треугольников составить фигуру, имеющую центр поворота?
Вычислите площадь фигуры, являющейся пересечением прямоугольника, длины сторон которого равны 5 см и 8 см, и его образа при повороте вокруг точки пересечения его диагоналей на 90°.
[ММ] является подмножеством образа фигуры, изображенной на рисунке 58, при повороте вокруг точки О. Достройте отрезок MN до образа данной фигуры. Выполните построение с помощью линейки и циркуля.
В каких парах фигур (рис. 59) одну фигуру можно отобразить на другую
поворотом вокруг, точки О?
На рисунке 22 изображена сеть правильных треугольников.
Будем рассматривать повороты вокруг точек, являющихся узлами сети, на 60° по часовой стрелке и против часовой стрелки.
На какие отрезки отображается [В2В3] поворотами вокруг точкиС2?
Отобразите [Л^з] поворотом вокруг точки Л2 на 60° против часовой стрелки, полученный отрезок отобразите поворотой вокруг точки В2 на 60° по часовой стрелке. Каким известным вам перемещением можно отобразить данный отрезок на полученный? в) Отобразите отрезок ВйАг на отрезок В^ двумя поворотами.
Каковы углы этих поворотов? г) Можно ли отрезок С1В1 отобразить на отрезок В3С2 с помощью параллельного переноса? поворота? Укажите центр поворота. Чему равен угол поворота?
Начертите треугольник АВС. Постройте треугольник, на который отображается △ АВС в результате последовательного ис- пользсйвания поворотов вокруг точек Л, В и С по часовой стрелке на величины соответственных углов.
Прямая а' является образом прямой а при повороте вокруг точки Р на угол а (рис. 60). Как построить с помощью циркуля (транспортира и линейки): а) образы точек М и К', б) точку, образом которой является точка К?
Отметьте точку, принадлежащую данному отрезку (задача 412), и постройте ее образ при указанных поворотах с помощью циркуля.
Отметьте на построенных вами образах лучей (задача 413) по точке и постройте те точки, образами которых они являются.
Постройте равносторонний треугольник АВС. а) Отметьте на [ЛВ] точку К и постройте ее образ при повороте около центра О треугольника на 120° по часовой стрелке, б) Отметьте на [ВС] и [СЛ] соответственно такие точки М и Р, что | ВМ | = | СР |. Какова величина угла МОР"?
а) Отметьте точку, принадлежащую данной окружности (задача 422), и постройте ее образ при указанном повороте с помощью циркуля (линейки и транспортира), б) Как расположены точка, ее образ при повороте вокруг точки окружности и точка пересечения окружности и ее образа, не являющаяся центром поворота?
Постройте квадрат и возьмите на его сторонах по точке. Постройте образы этих точек при повороте вокруг центра квадрата на 90° по часовой стрелке.
Даны две точки, а) Найдите множество точек, повороты вокруг которых отображают одну из них на другую, б) Постройте точку, поворот вокруг которой на 60° отображает одну из них на другую.
Дан треугольник АВС и точка М, не принадлежащая ему. Постройте на сторонах треугольника точки, повороты вокруг которых отображают точку М на точку А.
^f fC^f fC81 \dРис. 6281 \dРис. 62
^f fC
^f fC
81 \d
Рис. 62
81 \d
Рис. 62
На рисунке 61 изображены пары лучей. В каких парах один луч можно отобразить на другой поворотом? Определите центры и углы поворотов.
Отрезок CD является образам отрезка АВ при некотором повороте. Какая из точек С, D является образом точки В (рис. 62)? Чему равен угол поворота? Можно ли [Л В] отобразить на [CD] известным вам перемещением., кроме поворота?
На рисунке 63 изображены фигуры и их образы при поворотах. Определите углы поворо-
тов, не пользуясь транспортиром. Перерисуйте несколько пар в свою тетрадь и постройте центры поворотов.
Установите, что точка В (—3; 2) может быть получена из точки А (2; 3) поворотом вокруг начала координат на 90° против часовой стрелки.
Каковы формулы поворота вокруг начала координат на 90° против часовой стрелки?
Запишите формулы поворота вокруг начала координат на 90° по часовой стрелке.
Дано множество точек {(3; 1), (—2; 5), (7; 1), (1; 3), (—1; 7), (—2; 0)}. Выберите из данного множества такие пары точек, в которых одна точка может быть отображена на другую поворотом вокруг начала координат на 90° против часовой стрелки.
Выберите из множества точек {(0; —1), (3; 1), (2; 0), (—7; —3), (—5; —2), (—1; 0), (1; —3), (—3; 7)} такие пары, в которых одна точка пары может быть отображена на другую поворотом вокруг начала координат на 90° по часовой стрелке.
Запишите уравнение прямой, полученной из прямой у = = 2х — 1 поворотом вокруг начала координат на 90° по часовой стрелке (против часовой стрелки).
Найдите координаты точки пересечения прямой у = 5х—1 и образа прямой у = Зх + 2 при повороте вокруг начала координат на 90° против часовой стрелки.
453*. Выведите формулы поворота вокруг начала координат на угол а.
454*. Запишите, используя формулы поворота, координаты точек, являющихся образами точек А (3; —2), В (0; —7), С (—5; —1) и D (4; 0) при повороте вокруг начала координат на 60°; 100°; —60°.
На рисунке 64 изображены отрезки и их образы при поворотах. Постройте центры поворотов от руки. В каких парах угол поворота будет одним и тем же?
Известно, что [Л'В']— образ [ЛВ] при повороте (рис. 65). Как построить образ точки К с помощью одного циркуля?
Точка О — центр поворота, отображающего треугольник АВС на треугольник А’В’С. а) Равны ли величины углов А’ОА, В'ОВ, C'OQ б) Отметьте точку Р, принадлежащую внутренней области треугольника АВС, и постройте ее образ с помощью транспортира и линейки.
Фигура А (рис. 66) является образом фигуры В при повороте. Постройте центр этого поворота.
Рис. 65Рис. 65Рис. 66
Рис. 65
Рис. 65
Что представляет множество точек, повороты вокруг которых отображают данную прямую а на данную прямую 6?
Начертите две прямые, пересечением которых является точка. На третьей прямой, не содержащей эту точку, найти такую точку, поворот вокруг которой отображает одну из данных прямых на другую.
Постройте прямые х = 3 и у = 2. Найдите на осях Ох и Оу точки, повороты вокруг которых отображают одну из прямых на другую. Запишите их координаты.
Проведите прямые /х и t^ так, чтобы 1г Г) /2 = О. Отметьте какую-либо точку А и постройте А" = SZz(Sz (Д)). Можно ли композицию данных осевых симметрий заменить поворотом вокруг точки О?
463*. Докажите, что поворот вокруг точки О является композицией двух осевых симметрий, оси которых пересекаются в точке О.
Докажите, что центр поворота, угол которого отличен от 0° и 180° и при котором А -> Д', В -> 6', есть общая точка окружностей, которым принадлежат соответственно точки К, А, А' и К» В, В', где К = (ДВ) П (А'В'У
Известно, что поворот вокруг точки О (угол поворота отличен от 0° и 180°) отображает [ДВ] на [Д'В']. Докажите, что точка О является центром окружности, которой принадлежат точка К = (ДВ) f] (A'B'Y ее образ и точка, образом которой является точка К
Начертите два непараллельных отрезка АВ и CD, длины которых равны. Постройте центр поворота, отображающего [ДВ] на [СО] (Д-> С, B-^DY Сколько существует поворотов, отображающих [ДВ] на [СО]? А если отрезки АВ и СО параллельны?
Даны два луча. Всегда ли существует поворот, отображающий один из лучей на другой? Начертите два луча, чтобы один из них можно было бы отобразить на другой поворотом, и постройте его центр.
СFРис. 67^гую. Отметьте точку, нспринад-\лежащую окружностям,ипо-\ стройте ее образ с помощью \одного циркуля.\469. Даны две конгруэнтныеЧокружности и на каждойизнихР соответственно точки Диб. Постройте центр поворота, отображающего одну окружность на другую, чтобы при этом точка А перешла в точку В.СFРис. 67^гую. Отметьте точку, нспринад-\лежащую окружностям,ипо-\ стройте ее образ с помощью \одного циркуля.\469. Даны две конгруэнтныеЧокружности и на каждойизнихР соответственно точки Диб. Постройте центр поворота, отображающего одну окружность на другую, чтобы при этом точка А перешла в точку В.Даны две окружности, радиусы которых равны, а) Сколько существует поворотов, отображающих одну из окружностей на другую? б) Укажите точку, поворот вокруг которой на 45° отобразит одну из окружностей на дру-
СF
Рис. 67
^гую. Отметьте точку, нспринад-
\лежащую окружностям,ипо-
\ стройте ее образ с помощью \одного циркуля.
\469. Даны две конгруэнтные
Чокружности и на каждойизних
Р соответственно точки Диб. Постройте центр поворота, отображающего одну окружность на другую, чтобы при этом точка А перешла в точку В.
СF
Рис. 67
^гую. Отметьте точку, нспринад-
\лежащую окружностям,ипо-
\ стройте ее образ с помощью \одного циркуля.
\469. Даны две конгруэнтные
Чокружности и на каждойизних
Р соответственно точки Диб. Постройте центр поворота, отображающего одну окружность на другую, чтобы при этом точка А перешла в точку В.
Треугольники, изображенные на рисунке 67, конгруэнтны. Какие из этих треугольников можно отобразить друг на друга поворотом? Скопируйте рисунок в свою тетрадь и постройте центры возможных поворотов.
Постройте два конгруэнтных квадрата. Найдите центры поворотов, отображающих один из квадратов на другой.
Даны два конгруэнтных прямоугольника. Укажите центры поворотов, отображающих один из данных прямоугольников на другой.
Дан параллелограмм ABCD. Постройте точку, поворот вокруг которой отображает прямую АС на прямую BD и точку С на точку D.
Постройте произвольную прямую а и отметьте точки О и А (А £ а, О £ а). Рассмотрите поворот вокруг точки О, при котором образом прямой а является прямая, содержащая точку А.
Дан прямоугольник ABCD. Постройте центр поворота, при котором образом прямой АВ будет прямая AD, а образом точки В — точка D. Чему равен угол поворота?
На рисунке 68 изображены фигуры и их образы при некотором отображении. Какое Из перемещений: осевая симметрия (S), поворот (7?), параллельный перенос (Т)— может быть использовано для перевода фигуры в ее образ? Таблицу ваших результатов
S R Т
составьте так: а) нет нет да
В каких парах можно использовать несколько перемещений?
Перерисуйте фигуры, изображенные на рисунке 68, и в каждом случае, где имеет место осевая симметрия, поворот или
t
С
6)
перенос, укажите ось симметрии, центр поворота, направление переноса.
На данных пересекающихся прямых а и b найдите такие пары точек (одна точка пары принадлежит прямой а, другая — прямой Ь), что одна точка может быть получена из другой поворотом вокруг данной точки Р на 60° (Р =# а (] Ь).
Запишите координаты точек А и В, если известно, что они принадлежат соответственно прямым у = 2х + 3 и у = —Зх + 1, и поворот вокруг начала координат на 90° по часовой стрелке отображает точку А на точку В.
Запишите координаты точек С и D, которые принадлежат соответственно прямым у = 2х + 3 и у = —Зх + 1 и являются соответственными при повороте вокруг начала координат на 90° против часовой стрелки.
На двух данных отрезках найдите такую пару точек, что поворот вокруг данной точки на 45° отображает одну точку пары на другую.
Укажите соответственно на данных прямой и отрезке такие две точки, чтобы одну из них можно было бы отобразить на другую поворотом вокруг данной точки на 30°.
На данных окружности и прямой найти такие пары точек, что одна точка является образом другой при повороте вокруг данной точки на 72°.
Дана полоса с краями а и b и точка Р, принадлежащая этой полосе (Р ^ а, Р ^ Ь). Найдите на ее краях а и b соответственно такие точки А и В, что | РА | = | РВ\ и АР В = 90°.
Даны окружности (Ох; 3 см), (Оа; 4 см) и точка М. Найдите на данных окружностях соответственно точки А и В такие, чтобы
|ЛЛ4| = |МВ|и АМВ = 60°.
На прямых у = Зх + 1 и у = —2х + 3 найдите соответственно точки А и В, чтобы они находились на одинаковом расстоя
нии от начала координат и АОВ = 90°.
Даны окружность и треугольник. Постройте такой отрезок, чтобы концы его принадлежали данным окружности и сторонам треугольника, находились на одинаковом расстоянии от данной точки и «видны» из нее под углом 120°.
Начертите произвольный треугольник АВС и отметьте точку Р, принадлежащую внутренней области треугольника. Укажите на сторонах ВС и АС соответственно точки К и М такие, что | Р/С] =
= |КЛ4| и КРМ = 45°.
Постройте равносторонний треугольник так, чтобы одной его вершиной была данная точка Р, другая принадлежала данной прямой а, третья— прямой Ь.
Дан угол и точка А внутри него. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник, вершиной прямого угла которого
является точка Л, а две другие вершины принадлежат сторонам данного угла.
Даны окружность, квадрат и точка Р. Постройте равнобедренный треугольник РАВ (| РА | = | РВ\), вершины Л и В которого- принадлежат окружности и стороне квадрата, а АРВ = 45°.
Постройте равносторонний треугольник так, чтобы его вершины принадлежали трем данным параллельным прямым.
Дана полоса с краями а и с и прямая Ь, принадлежащая полосе. Постройте ромб ABCD так, чтобы его вершины Л, В и С принадлежали соответственно прямым а, b и с, а-Л ВС = 60°.
Постройте квадрат так, чтобы три его вершины принадлежали трем данным прямым.
Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник так, чтобы вершины его острых углов принадлежали данным окружностям, а вершиной прямого угла являлась данная точка.
В данный квадрат впишите равносторонний треугольник так, чтобы одна из его вершин совпала с вершиной квадрата, а две другие принадлежали сторонам квадрата.
На сторонах АВ и АС треугольника АВС построены квадраты ABNM и ACQP, расположенные с треугольником АВС в различных полуплоскостях соответственно с границами АВ и АС. Докажите, что: а) |Л4С| = \ВР\; б) (МС) ± (ВР).
Дан квадрат A BCD. Через центр этого квадрата проведены две взаимно перепендикулярные прямые, отличные от прямых АС и BD. Докажите, что фигуры, являющиеся пересечением этих прямых с квадратом, конгруэнтны.
499*. Отрезки, концами которых служат внутренние точки противоположных сторон квадрата, перпендикулярны. Докажите, что эти отрезки конгруэнтны.
500*. Земельный участок квадратной формы был огорожен. От изгороди сохранились четыре столба на сторонах квадрата. Восстановите границу участка.
Через центр равностороннего треугольника проведены две прямые, угол между которыми равен 60° и которые не содержат вершин треугольника. Докажите, что отрезки этих прямых, заключенные между сторонами треугольника, конгруэнтны.
На сторонах АВ и ВС треугольника АВС построены квадраты ABMN и BCPQ, причем квадрат ABMN и трегольник АВС принадлежат различным полуплоскостям с границей АВ, а квадрат BCPQ и треугольник АВС — одной полуплоскости с границей ВС. Докажите, что [MQ] ± [ЛС] и | MQ| = | ЛС|.
На сторонах АВ, ВС, CD и DA квадрата ABCD от вершин А; В, С и D отложены конгруэнтные отрезки ААЪ ВВЪ ССг и DDV Докажите, что четырехугольник Л1В1С1В1— квадрат.
Хорды одной и той же окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности. Докажите, что они конгруэнтны.
На окружности, центром которой является точка О, отмечены в одном направлении последовательно точки А, В, С и D
так, что АОВ = COD. Докажите, что | ЛС| = |ВВ|.
На сторонах равностороннего треугольника вне его построены квадраты. Докажите, что: а) фигура, являющаяся объединением треугольника и квадратов, отображается на себя поворотом вокруг точки пересечения медиан треугольника; б) треугольник, вершинами которого являются центры построенных квадратов, равносторонний.
На сторонах квадрата построены равносторонние треугольники так, что пересечением каждого из них и квадрата является сторона квадрата. Докажите, что четырехугольник, вершинами которого являются центры построенных треугольников, является квадратом.
Через центр правильного шестиугольника проведены две прямые, угол между которыми равен 60°. Докажите, что отрезки этих прямых, заключенные между сторонами шестиугольника, конгруэнтны.
Пересечением отрезков АВ и ВС является точка В, а объединением — отрезок АС. На отрезках АВ и ВС построены равносторонние треугольники АВЕ и ВЕС так, что они принадлежат одной полуплоскости с границей АС. Докажите, что а) [ЛВ] ^ ^[ЕС]; б) Z^BMN—равносторонний (М и N—середины [Л F] и [СЕ]).
На сторонах СА и СВ равностороннего треугольника АВС отложены отрезки СМ и СМ, сумма длин которых равна длине стороны треугольника. Определите МОМ, где О — точка пересечения медиан треугольника АВС.
Четырехугольник ABCD — ромб, у которого BDA = 60°. На сторонах АВ и ВС ромба отмечены соответственно точки М и N, так что | AMI = |BN\. Докажите, что △ MDN — равносторонний.
[ЛВ] и [ЕЕ] — два взаимно перпендикулярных диаметра окружности. На дуге AD отмечена точка М. Прямая, перпендикулярная прямой МО (О — центр окружности) и содержащая точку О, пересекаетдугуЕВвточкеЕ. Докажите, что A AMD ^ A DPB.
На продолжении катетов АС и АВ прямоугольного треугольника АВС отложены отрезки AD и АЕ, конгруэнтные соответственно катетам АВ и АС. Докажите, что прямая, подмножеством которой является медиана АМ треугольника АВС, перпендикулярна отрезку ED.
На сторонах АВ и АС треугольника АВС построены квадраты АВМК и ACPQ, причем квадрат АВМК и треугольник АВС принадлежат различным полуплоскостям с границей ЛВ, а квадрат ACPQ и треугольник АВС — различным полуплоскостям с границей АС. Докажите, что медиана АЕ треугольника АВС перпендикулярна отрезку KQ и | ЛЕ] = ^ | Z<Q|.
Впишите в окружность два конгруэнтных треугольника с соответственно перпендикулярными сторонами.
516*. Дан равносторонний треугольник АВС и произвольная точка М. Докажите, что длина любого из трех отрезков МА, МВ и МС не больше суммы длин двух других отрезков. В каком случае длина отрезка равна сумме длин двух других отрезков?
517*. Середины сторон квадрата ABCD
соединены с его вершинами так, какрис. 69
показано на рисунке 69. Докажите, что
пересечение полос NCLA и BMDK является квадратом.
518*. На сторонах ВС, СА и АВ треугольника АВС построены равносторонние треугольники А'ВС, В'СА и САВ так, что пере
сечением данного треугольника и построенных являются стороны треугольника АВС. Докажите, что а) [ЛА'] es [ВВ'] s [СС']; б) [ДА'], [ВВ'] и [СС'] пересекаются в одной точке.
Докажите, что 7?^ ° R» = 7?“+Р.
520*. Докажите, что композиция двух поворотов вокруг различных центров есть поворот или параллельный перенос.
521*. Установите, какими перемещениями являются следующие отображения:, а) ^ о R^, б) fi£5° = Ro°; в) Ro^ о Ro/, г) Ro®° ° Ro,° ° Ro Г- Постройте элементы, определяющие переме
щения.
522*. Докажите, что композиция поворота и параллельного переноса есть поворот. Запишите это утверждение в обозначениях.
523*. Каким перемещением является: а) 0г02 о 7?^°°; б) О^ о 0 ^оТ 0 ^^ Постройте элементы, определяющие перемещения.
524*. Верны ли утверждения: a) Ro 0 Ro = Ro 0 Ro;
6) Ro, = Ro, = Ro, = <?
525*. На сторонах произвольного треугольника ABC построены равносторонние треугольники АВС, ВСА', АВ'С так, что вершины А', В' и С принадлежат внешней области треугольника АВС. Докажите, что треугольник, вершинами которого являются центры построенных треугольников, равносторонний.
526*. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС построены квадраты так, что вершины их, отличные от вершин А, В, С, принадлежат внешней области треугольника АВС. Докажите, что треугольник, вершинами которого являются центры построенных квадратов и середина отрезка АС, прямоугольный и равнобедренный.
527*. Можно ли отобразить центральной симметрией А АВС на Д А'В'С, полученный из А АВС в результате композиции пово-
ротов вокруг вершин А, В и С соответственно на величины углов А, В, Спо часовой стрелке? Если да, то постройте центр симметрии.
* * *
Задачи 410—434 предназначены для формирования умений и навыков в построении образов различных фигур при повороте. Построение образов фигур осуществляется с помощью транспортира, циркуля и линейки на основе определения поворота. Задача 416 дает новый способ построения образа прямой. Ранее построение образа прямой осуществлялось по двум точкам. Здесь же предполагается использование перпендикуляра, проведенного к данной прямой из центра поворота: вместо прямой «поворачивают» фигуру, являющуюся объединением данной прямой и проведенного к ней из центра поворота перпендикуляра.
Задачи 418—420 подготавливают к пониманию координатной записи поворота на 90° по часовой стрелке и на 90° против часовой стрелки. При решении задачи 418 следует обратить внимание на то, что поворот вокруг начала координат на 90° против часовой стрелки отображает точку X (х; у) на точку X* (х'; у'), где х' = —у, у' = х. Аналогично поворот вокруг начала координат на 90° по часовой стрелке отображает точку X (х; у) на точку X' ^х'; у'), где х* = у; у' =—х. Полученный результат используется при решении задач 419—420.
В результате решения задачи 425 должен быть сделан следующий вывод: угол между соответственными при повороте прямыми (отрезками, лучами) равен углу поворота. Этот вывод используется при решении многих последующих задач.
Задачи 426—429 знакомят с фигурами, которые поворотом отображаются на себя. Полезны задачи 431 (на достраивание фигуры), 432 (на распознавание фигур). Задача 433 является хорошим материалом для последовательного выполнения нескольких поворотов (композиции поворотов). При решении задач этой группы следует обращать внимание на логическое обоснование выполняемых построений, на рационализацию построений.
При решении задач 434—440 формируется умение отыскивать соответственные при повороте элементы на заданных соответственных фигурах. Решение этих задач осуществляется указанными в задачах средствами с привлечением самих фигур. Рассмотрим в качестве примера задачу 439 а). Образ точки К (К принадлежит данной окружности) с помощью циркуля может быть найден следующим образом: 1) проводим дугу радиуса, равного | ОК\, с центром в точке О (О — центр поворота); 2) отмечаем точку пересечения дуги и образа данной окружности. Таких точек будет две. Выбор из этих двух точек образа точки К может быть осуществлен с привлечением следующих свойств поворота: угол между лучом ОК и соответствующим ему лучом ОК* равен углу поворота или поворот сохраняет «обход» фигур. Использование первого из указанных
свойств осуществляется путем наглядного сравнения углов КОК* и POP'у где Р и Р' — центры данных окружностей.
Задачи 441—477 предназначены для формирования умения выделять элементы, определяющие поворот: центр поворота, угол поворота. При решении этой весьма важной группы задач формируются «обратные» связи. В этой группе содержатся и комбинированные задачи, для решения которых используются различные умения: строить образы фигур, «видеть» соответственные элементы на соответственных фигурах, выделять элементы, определяющие поворот (задачи 469, 473—475). При решении задач 446—452 предполагается познакомить учащихся с координатной записью поворота на 90° по часовой стрелке и против часовой стрелки и ее использованием. Задача 453 знакомит учащихся с формулами поворота вокруг начала координат на а°.
Решения задач 441, 464, 465 дают способы отыскания центра поворота. Полезны задачи на клетчатой бумаге. Они способствуют развитию пространственного воображения учащихся. Рассмотрим задачу 445 (рис. 63, в). Интересно ее решение без использования инструментов. В этом случае ученик должен рассуждать примерно следующим образом: а) так как (ТЙЛЛ) _L(Al'TV'), то угол поворота равен 90°; б) так как N -*- N', то центр поворота принадлежит оси симметрии точек N и N'. Значит, отрезок NN' «виден» из центра под углом 90°. Используя клетчатую бумагу, можно указать центр поворота, не выполняя при этом никаких построений. Точек, которые принадлежали бы оси симметрии, и такие, что отрезок NN' «виден» из них под углом 90°, две. Для того чтобы указать из них ту, которая является центром поворота, ученик должен мысленно совершить поворот отрезка MN вокруг каждой из этих двух точек.
В задачах 478—483 осуществляется построение соответственных при повороте точек на произвольных фигурах. Задачи 479—480, 486 решаются с привлечением формул поворота.
Решение задач 484—519 основано на использовании свойств поворота.
В задачах 521—523 рассматривается композиция поворотов, а также композиция поворота и параллельного переноса. Результаты этих задач используются при решении задач 524—527.
ПЕРЕМЕЩЕНИЕ
Верно ли утверждение: отображение f перемещение, если оно: а) отображает плоскость на себя; б) отображает прямую на себя и сохраняет расстояния; в) отображает фигуру Фх на фигуру Ф2 и сохраняет расстояния; г) отображает плоскость на себя и сохраняет расстояния?
Ф = {Л; В; С; D} — множество вершин квадрата, f — отображение множества Ф на себя, при котором А 6, В Ct С -> D, D -> А. Является ли оно перемещением?
О—данная точка плоскости. Каждой точке X =# О соответствует такая точка X', что X' € [ОХ) и | ОХ* |= 2 • | ОХ|, точка О соответствует сама себе. Является ли данное отображение перемещением?
Начертите два отрезка АВ и AXBT так, что | АВ\ = | ЛхВх|. а) Установите с помощью прозрачной бумаги, что существует перемещение, при котором [ЛВ] -> [Л1В1]. б) Сколькими способами можно совместить отрезок АВ с отрезком Л1В1? в) Отметьте точку С и постройте точки, на которые отобразится точка С при перемещениях, переводящих Л в Л' и В в В'.
Постройте треугольники АВС и А'В'С' так, что |ЛВ| = = |Л'В'|, |ВС| = |В'С'|, |ЛС| = \А'С' |. а) Докажите, используя прозрачную бумагу, что существует перемещение, переводящее А АВС в △ А'В'С'. б) Отметьте точку О и постройте точку, на которую отобразится точка О при данном перемещении.
Начертите два луча I и т с общим началом О и луч /', исходящий из точки О. Используя прозрачную бумагу, постройте луч т’, на который отобразится луч т, при перемещении, переводящем луч / в луч /'. Однозначно ли определяется положение луча т'?
Докажите, что перемещение — обратимое отображение.
Докажите, что перемещение сохраняет отношение «лежать между».
Докажите, что перемещение сохраняет пересечение (Объединение) фигур.
Докажите, что перемещение отображает отрезок на отрезок, луч на луч, прямую на прямую, полуплоскость на полуплоскость, выпуклую фигуру на выпуклую фигуру.
Известно, что перемещение отображает А ЛВС на А А'В'С'. Как построить образ медиан треугольника АВС при этом перемещении?
Докажите признаки конгруэнтности треугольников.
Докажите, что A ABC s А АДС^, если | ЛВ| = | Л1В1|, А =Л1, | АО | =| Л1О1|, где [ЛО] и [ЛхОх]— биссектрисы треугольников АВС и Л1В1С1.
Докажите, что в равнобедренном треугольнике: а) медианы, проведенные к сторонам, длины которых равны, конгруэнтны; б) биссектрисы углов при основании конгруэнтны.
В А АВС величины углов Л и С равны. Точки EnD взяты так, что | АО | = | ЕС\, причем точка В лежит как между точками Е и С, так и между точками А и О. Доказать, что А ABE s А СОВ.
[ЛО] и [Л^х] — биссектрисы треугольников АВС и А^В^Сх. Доказать, что А АВС ^ А ЛхДхСх, если ] ЛВ| = 1 ЛхВх1, |ВО| = = |ВхОх1 и |ЛО| = |ЛхОх|.
Даны два конгруэнтных треугольника АВС и А^ВуСх. На сторонах АВ и АгВх отмечены точки О и Ог так, что | АО | = = HiDxl. Доказать, что A ADC ^ А АхОхСх.
При перемещении две точки А и В неподвижны. Докажите, что любая точка прямой АВ неподвижна.
Докажите, что если при перемещении три точки, не принадлежащие одной прямой, неподвижны, то и любая точка плоскости неподвижна.
Каким множеством может быть множество неподвижных точек плоскости?
Известно, что |ЛВ| = И'В'|, |ВС| =|В'С'], |ЛС| =|Л'С'| и точки Л, В, С не принадлежат одной прямой. Доказать, что существует единственное перемещение, при котором А -> А', В -* В', С'.
Точки А, В, С, не принадлежащие одной "прямой, при перемещении отображаются на точки А', В', С'. Известно, что | AD\ = = \A'D' I, |BD| = |B'D'|, | CD | = |C'D'|. Доказать, что при рассматриваемом перемещении точка D отобразится на точку D*.
Докажите, что всякое перемещение либо осевая симметрия, либо композиция двух осевых симметрий, либо композиция трех осевых симметрий.
Всякое перемещение либо поворот, либо параллельный перенос, либо осевая симметрия, либо скользящая симметрия. Доказать.
Докажите, что: а) композиция двух перемещений есть перемещение; б) композиция перемещений обладает ассоциативным свойством.
Заполните таблицу:
Вид перемещения
Род
Количество неподвижных точек
Количество неподвижных прямых
Параллельный перенос
Поворот
Тождественное отображение
Осевая симметрия
Скользящая симметрия
Используя заполненную таблицу, установите, в каком случае: а) перемещение I рода является поворотом, параллельным переносом, тождественным, отображением; б) перемещение II рода является осевой симметрией, скользящей симметрией.
Известно, что Za ° f = ) ° /д, где / — перемещение второго рода. Докажите, что / — осевая симметрия и точка А принадлежит оси симметрии.
Докажите, что координатные формулы перемещения имеют вид:
х' = х cos а — у sin а + а, у' = х sin а + у cos а + Ь, если перемещение I рода;
х = х cos а + у sin а + а, у1 = х sin а — у cos а + 6, если перемещение II рода.
Задачи 528—530 предназначены для усвоения определения перемещения, при решении задач 531—533 используется прозрачный материал, с помощью которого обосновываются требуемые утверждения. В процессе решения таких задач вырабатывается интуиция в использовании перемещений для доказательства конгруэнтности фигур (задачи 539—544). В других задачах обсуждаются свойства перемещения, способы его задания, структура перемещений, их классификация по числу неподвижных элементов, координатные формулы перемещения I рода, т. е. перемещения, не изменяющего ориентацию плоскости, и координатные формулы перемещения II рода, т. е. перемещения, изменяющего ориентацию плоскости. Композиция двух перемещений является перемещением; отображение, обратное перемещению, есть перемещение (задача 552). Множество G преобразований множества М называется группой преобразований множества М, если оно обладает свойствами: 1) если /\ С G, f2 € G, то f2 ° fi € G; 2) если f € G, то f-1 € G. Группу преобразований плоскости образует множество перемещений, множество параллельных переносов, множество поворотов вокруг одной и той же точки. Группой преобразований является множество перемещений I рода. Группу преобразований образует множество перемещений, отображающих равносторонний треугольник на себя (проверьте это!).
В целях обеспечения более четкого представления о взаимосвязи между отдельными видами перемещений приведем следующую «таблицу»:
Композиция двух осевых симметрий, оси которых пересекаются, есть поворот вокруг точки пересечения осей.
Композиция двух осевых симметрий, оси которых перпендикулярны, есть центральная симметрия относительно точки пересечения осей.
Композиция двух осевых симметрий, оси которых параллельны, есть параллельный перенос.
Композиция двух осевых симметрий относительно прямой (или совпавших прямых) есть тождественное отображение.
Композиция трех осевых симметрий, оси которых различные параллельные прямые или прямые, имеющие только одну общую точку, есть осевая симметрия.
Композиция трех осевых симметрий, оси которых не пересекаются в одной точке и непараллельны между собой, есть скользящая симметрия.
Композиция четного числа осевых симметрий есть либо поворот, либо параллельный перенос, либо тождественное отображение.
Композиция нечетного числа осевых симметрий есть либо осевая симметрия, либо скользящая симметрия.
Композиция двух скользящих симметрий, оси которых параллельны, есть либо параллельный перенос, либо тождественное отображение.
Композиция двух центральных симметрий с различными центрами есть параллельный перенос.
Композиция двух центральных симметрий с общим центром есть тождественное отображение.
Композиция трех центральных симметрий с различными центрами есть центральная симметрия.
Композиция нечетного числа центральных симметрий есть центральная симметр ия.
Композиция четного числа центральных симметрий есть либо параллельный перенос, либо тождественное отображение.
Композиция двух параллельных переносов есть параллельный перенос.
Композиция параллельного переноса и поворота есть поворот.
Композиция двух поворотов вокруг различных центров есть поворот или параллельный перенос.
Композиция двух поворотов вокруг одного центра есть поворот.
ГОМОТЕТИЯ И ПОДОБИЕ
а) Отметьте точки А и В (Д ^ В). Постройте: а = 2 АВ b = —ЗАВ. >>>-1о
Дан CD. Постройте СХ = kCD, где к = —; 1; —-. Как расположены точки X и D по отношению к точку С, если к > О, к <0, к = 1?
Отметьте произвольную точку О и множество точек {Л, В, С, DY Постройте такое множество точек {Д', В', С', D'Y что ОА' = 2ОА, OB’ = 20В, ОС' = 2ОС, OD' = 2OD.
Каждой точке X плоскости ставится в соответствие такая >•►•
точка X', что ОХ' = кОХ (к =# 0). Является ли это соответствие отображением плоскости на себя?
Постройте образы данных точек при гомотетии с центром в данной точке О и к = —1; 1; у; -у- Какая зависимость между гомотетией и центральной симметрией? При каких значениях к гомотетия является перемещением?
Докажите, что гомотетия является обратимым отображением.
Существуют ли точки, которые отображаются гомотетией сами на себя?
Назовите известные вам способы задания гомотетии.
Начертите произвольный отрезок А А' и отметьте точку О такую, что О С [ЛЛ']. Считая, что А' = Н^ (Л), вычислите коэффициент гомотетии. Чему равен коэффициент гомотетии, отображающей точку А' на точку Л?
Отметьте две точки А и В. Укажите такую точку О, чтобы 7/2 (Л) = В.
Известно, что Н^ (Л) = Аг и Н^ (УИ) = Mv Верно ли утверждение: прямая А^у параллельна прямой АМ?
Известно, что гомотетия с центром О отображает точку А на точку Л', точку В на точку В'. Где расположен: а) образ точки С, принадлежащей прямой АВ; б) образ точки К, лежащей между точками А и В?
При гомотетии фигуры Ф и L перешли соответственно в фигуры Ф' и U. Какие из следующих утверждений истинны: а) любая точка К € Ф f| L переходит в точку, принадлежащую множеству Ф' f) L'; б) для любой точки К’ С Ф' f) L* найдется точка К € Ф П L, которая при данной гомотетии переходит в К'; в) существует точка М' € Ф' f] L', которая при данной гомотетии переходит в точку, принадлежащую множеству Ф Q L; г) любая точка N С Ф (J L переходит в точку, принадлежащую множеству Ф' (J L'; д) любая точка К € Ф f] L переходит в точку, принадлежащую множеству Ф* (J L'?
Постройте образ данной прямой при гомотетии с центром в данной точке и k = ——; — (за центр гомотетии возьмите точку, принадлежащую прямой; точку, не принадлежащую прямой).
Существуют ли прямые, отображающиеся гомотетией на себя?
Постройте образы точек А (—3; 2), В (0; 5), С (3; 4) и D (—2; —3) при гомотетии с центром в начале координат и к = 2; —Г, —у. Установите координаты образов и их связь с координатами данных точек.
Запишите координаты образа точки А (а; Ь) при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом к.
Верно ли утверждение: «Точка М' (ка; кЬ^ может быть получена из точки М (а; Ь) гомотетией с центром в начале координат и коэффициентом к».
Вершины треугольника АВС имеют координаты: А (0; 2), В (—2; 3), С (—5; 4). Чему равны координаты вершин треугольника, являющегося образом треугольника АВС при гомотетии с центром в начале координат и к = 2?
Запишите коэффициенты гомотетий, отображающих: а) А (2; 3) на А’ (4; 6); б) В (0; —2) на В* (0; 4); в) С (—3; 4) на С (-; —2); г) D (—1; —2) на D* (—s _1\
\2/'\2/
Точка М* (...; 2) является образом точки М (—3; ...) при
гомотетии с центром в начале координат и к = —. Восстановите
пропущенные координаты.
Дано множество точек {(1; —2), (0; 5), (—3; 1), (7; 0), (0; 10), (2; —4), (—6; —2)}. Выберите из данного множества такие пары точек, в которых одна точка может быть получена из другой гомотетией с центром О и к = 2.
Постройте образы данных лучей при гомотетии с центром „. з 1
в данной точке и к = —; —
Постройте образы данных углов при гомотетии с центром в данной точке и к = — (за центр гомотетии возьмите точку, при
надлежащую углу; вершине угла; точку, не принадлежащую углу).
Постройте образы данных отрезков при гомотетии с ценз
тром в данной точке и к = ——; —1.
Постройте образ данного треугольника при гомотетии с центром в точке пересечения его медиан и к =.
579. Постройте треугольник и его образ при отображении,579. Постройте треугольник и его образ при отображении,являющемся композицией гомотетии с центром в данной точке и поворота вокруг вершины данного треугольника на 45°.
579. Постройте треугольник и его образ при отображении,
579. Постройте треугольник и его образ при отображении,
Начертите квадрат A BCD. Отметьте произвольную точку О и постройте образ квадрата при отображении Р = Щ о Soc.
Постройте образ фигуры (рис. 70) при гомотетии с коэффициентом, равным 2. За центр гомотетии возьмите: а) точку О; б) точку Е. Каково взаим
ное расположение полученных фигур?
Известно, что ломаная АСВ является подмножеством образа фигуры MPQDF при гомотетии с центром в точке О (рис. 71). Достройте ломаную АСВ до образа фигуры MPQDF.
Постройте образ окружности при гомотетии с к = 1,5. За центр гомотетии возьмите: а) точку окружности; б) центр окружности; в) точку, не принадлежащую окружности,
Начертите произвольный четырехугольник ABCD. Отметьте произвольную точку А^ и постройте образ
aaа' этого четырехугольника при гомотетии, отображающей точку А на точку Аъ с к = —1,5.
a
a
„/585. Прямая а' является образом прямой а
при гомотетии с центром в точке О. Как построить , образ точки М; точку, образом которой является О точка К’ (рис. 72)?
MРис.575) иMРис.575) иПостройте прямую а и отметьте точки О и А (О ^ а, А ^ а). Отобразите прямую а гомотетией с центром О так, чтобы точка А принадлежала прямой, являющейся образом прямой а. Вы- 72 числите коэффициент гомотетии.
M
Рис.
575) и
M
Рис.
575) и
Отметьте на данном луче точку (задача постройте ее образ при указанной гомотетии.
Отметьте на данном отрезке (задача 577) точку и постройте ее образ при указанной гомотетии.
Известно, что гомотетия с центром О отображает точку А на точку А'. Как построить образ точки М при данной гомотетии (Л4 £ (ЛЛ')) при помощи транспортира и линейки?
На данной окружности (задача 583) отметьте точку и постройте ее образ при указанной гомотетии. Постройте образ точки, не принадлежащей окружности. Выполните построение с помощью одной линейки.
На рисунке 73 изображено несколько треугольников. Какие треугольники гомотетичны? Постройте центры гомотетий и определите коэффициенты гомотетий.
Отрезок Л'В' является образом отрезка АВ при некоторой гомотетии (рис. 74). Постройте образ точки М при гомотетии, отображающей [ЛВ] на [Л'В']. Выполните построение с помощью линейки и транспортира.
Точка пересечения прямых а и b «недоступна». Постройте прямую, содержащую данную точку М и «недоступную» точку пересечения прямых а и Ь.
Известно, что Н^ (Л) = А* и Н^ (В) = В'. Как построить точку О? Рассмотрите случаи, когда точки Л, Л', В, В' принадлежат различным прямым; одной прямой.
АМАМ<8Рис. 74<8Рис. 74а'в'а'в'
А
М
А
М
<8
Рис. 74
<8
Рис. 74
а'
в'
а'
в'
Даны две параллельные прямые. Можно ли одну из них отобразить на другую гомотетией? Сколько существует таких гомотетий? Где располагаются центры этих гомотетий?
Даны две параллельные прямые аи b (а П Ь = 0). Найти множество центров гомотетий, отображающих прямую а на прямую Ь, с к = 2 (й = —1,5).
Прямые а и b пересекаются в некоторой точке. Существует ли гомотетия, отображающая прямую а на прямую Ь?
Даны два параллельных отрезка разной длины. Сколько существует гомотетий, отображающих один из этих отрезков на другой?
а) Лучи I и Г сонаправлены. Что представляет собой множество центров гомотетий, отображающих один из лучей на другой? б) Лучи тит' противонаправлены. Существует ли гомотетия, отображающая один из лучей на второй? Если да, то что представляет множество центров гомотетий.
Сколько центров гомотетий имеют: а) два угла с сонаправ- ленными сторонами; б) два угла с противонаправленными сторонами? Каковы коэффициенты гомотетий в обоих случаях?
Сколько существует гомотетий, отображающих окружность на неконгруэнтную ей окружность? При каких условиях центры этих гомотетий совпадают?
Что является центром гомотетии, отображающей один из вертикальных углов на другой? Каковы коэффициенты этих гомотетий?
Стороны треугольника А*В’С* являются средними линиями треугольника АВС. Постройте центр гомотетии, отображающей треугольник АВС на треугольник А'В'С', и вычислите ее коэффициент.
Треугольники, изображенные на рисунке 75, гомотетичны. Постройте центр гомотетии.
При каком условии один треугольник может быть отображен на другой гомотетией?
На рисунке 76 изображены два прямоугольника, длины сторон которых соответственно равны 3 см и 2 см; 2 см и у см. Можно ли один их этих прямоугольников отобразить на другой
^7Рис. 75^7Рис. 75
^7
Рис. 75
^7
Рис. 75
гомотетией? Если да, то постройте центры гомотетий и определите ее коэффициенты.
Всегда ли гомотетичны два прямоугольника с соответственно параллельными сторонами?
При каком условии можно отобразить гомотетией квадрат на квадрат; прямоугольник на прямоугольник; параллелограмм на параллелограмм?
Перерисуйте фигуры (рис. 77) на клетчатую бумагу, а) Постройте образ треугольника АСВ при гомотетии, отображающей точку А на точку D, точку В на точку Е. б) Постройте образ треугольника АСВ при гомотетии: А-*Е, B-^-D. Каково взаимное расположение полученных треугольников?
На прямой последовательно отложены отрезки: [ЛВ] s = [ВС] ^ [СВ] ^ [ВЕ]. а) Известно, что Нкв (Л) = Е. Чему равно 6? б) Укажите такую точку, что гомотетия с центром в этой точке и к = —2 отображает точку В на точку Е.
Начертите параллелограмм ABCD. Сколько существует гомотетий, отображающих Z_BCD на Z_DAB"> Где расположены центры и каковы коэффициенты этих гомотетий? Постройте такую точку О, что Н~т (_Z_ BCD) = Z.DAB.
о
Запишите уравнение прямой, на которую отображается прямая у = —2х + 1 гомотетией с центром в начале координат и к = 3.
Запишите координаты точек пересечения прямой у = = —5х + 1,5 и образа прямой у = х — 1 при гомотетии с центром ,2
в начале координат и к =
Дана система координат и точка А. Постройте точку А* так, чтобы она лежала между точкой А и точкой О (0; 0). Запишите формулы гомотетии с центром в точке О, отображающей А на А'.
Дана система координат и две параллельные прямые / и V (I Q V = 0). Запишите формулы гомотетии с центром в начале координат, отображающей прямую I на прямую /'.
Точка А, принадлежащая прямой у=2х+1, отображается гомотетией с центром в начале координат и к = —3 на точку А* (а; 5). Найдите координаты А.
Перерисуйте рисунок 78. Найдите на прямых а и b соответственно такие точки А и В, чтобы точку В можно было бы получить из точки А гомотетией с центром О и к 2.
На данных прямой и отрезке найдите соответственно такие точки С и D, чтобы точку С можно было получить из точки D гомотетией с центром в данной точке и к = —2.
Даны прямая и луч. Постройте на прямой и луче соответственно такую пару точек, чтобы одну точку пары можно было отобразить на другую гомотетией с центром в данной точке и к = у.
На сторонах АВ и ВС треугольника АВС постройте соответственно точки Е и М так, чтобы Н^5 (Л4) = Е, где О — точка пересечения высот треугольника АВС.
На прямой и окружности постройте соответственно такие пары точек, чтобы одну точку пары можно было отобразить на другую гомотетией, центром которой является центр окружности, а к = —.
2
На прямых у = 3х + 2иу = —2х + 4 найдите соответственно точки А и В, такие, что Я^2 (Л) = В. Решите задачу ана
литически.
На прямых у = х — 1 и у = Зх + 2 найдите соответственно точки М и К, такие, что Я^5 (Л4) = К.
Дан угол АВС и точка Р, принадлежащая этому углу (Р £ [ВЛ), Р £ [ВС)). Провести через точку Р прямую так, чтобы |Л4Р|: |РЯ| = 1:2, где М и N — точки пересечения прямой со сторонами угла АВС.
Даны две окружности и точка М. Постройте на окружностях соответственно точки Л и В, чтобы [ЛМ] [| [Л4В] = [ЛВ] и |ЛМ| : |Л4В| = 2:3.
Треугольник А'В'С' гомотетичен треугольнику АВС с коэффициентом гомотетии, равным 1,5. Периметр треугольника АВС равен 30 см. Чему равен периметр треугольника А'В'С'?
Через середину Е высоты BD равнобедренного треугольника АВС параллельно боковой стороне АВ проведена прямая, пересекающая стороны ЛС и ВС треугольника АВС соответственно в точках М и К. Вычислите периметр треугольника МКС, если периметр треугольника АВС равен 36 см.
Пересечением треугольника АВС и прямой, параллельной (ЛВ), является [ВВ]. Докажите, что точка О пересечения [CD] и [ВВ], где [CD] — медиана треугольника АВС, делит | EF\ пополам.
Длины отрезков, одним концом которых является точка А, а другим — точки прямой, разделены в одном и том же отношении. Докажите, что точки деления принадлежат одной прямой.
Точки А, В, С, D не принадлежат одной прямой и (ВС) || || (ЛО). Докажите, что О = [ЛС] f] [ВО] является пересечением окружностей, содержащих соответственно точки А, О, D и В, О, С.
На основаниях ВС и AD трапеции ABCD построены квадраты BCMN и ADEF, вершины М, N, Е, F которых принадлежат
внешней области трапеции. Докажите, что ^В] П [МВ] = О, где О = [ЛС] А [ВО].
Если на основаниях трапеции во внешней ее области построены прямоугольники, то какому условию должны удовлетворять стороны прямоугольников, чтобы имело место утверждение предыдущей задачи?
Боковые стороны АВ и CD трапеции ABCD продолжены до взаимного пересечения в точке О. Точки Е и F — середины оснований трапеции. Докажите, что точки Е, F, О принадлежат одной прямой.
Около окружности описана трапеция ABCD, меньшее основание ВС которой касается ее в точке F. Прямая MF, где М = = (ЛВ) П (CD), пересекает [ЛО] в точке К. Докажите, что К — точка касания отрезка AD и окружности, вписанной в фигуру, являющуюся объединением основания AD и продолжений сторон ВЛ и CD.
Докажите, что прямая, содержащая середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения ее диагоналей и точку пересечения боковых сторон. Верно ли обратное утверждение?
С помощью одной линейки разделите трапецию ABCD на две равновеликие части.
Точки Р и Q — середины сторон ВС и CD выпуклого четырехугольника ABCD. Прямые АР и AQ делят [ВО] на три конгруэнтных отрезка. Докажите, что- [В В] = [PQ] s [QS], где R и S — точки пересечения прямой PQ с лучами АВ и AD.
Параллельные прямые lY и /2 пересекают сторону ВА угла АВС соответственно в точках Е и К, а сторону ВС — в точках F и М. Через точки Е и К проведены прямые, перпендикулярные стороне ВА, а через точки F и М — прямые, перпендикулярные стороне ВС. Докажите, что точка пересечения прямых, проходящих через Е и F, точка пересечения прямых, проходящих через К и М, и вершина угла принадлежат одной прямой.
Пересечением двух окружностей является точка М. Через точку М проведены две прямые, которые пересекают окружности, кроме точки М, соответственно в точках А и В, С и D. Докажите, что (ЛВ) || (СО).
Даны две параллельные прямые к и /2 (к П к = 0) и точка 0(0 (/i, О (Е /2). Через точку О проведена прямая, пересекающая прямые к и /2 соответственно в точках L и М. Докажите, что отношение не зависит от выбора секущей.
Даны две окружности, радиусы которых равны 6 см и 4 см. Через точку пересечения внутренних касательных к окружностям проведена прямая, пересекающая окружности в точках А, В и С, D. Определите Ld£l>
ico I
Впишите в данный треугольник другой треугольник, стороны которого были бы параллельны трем данным прямым.
Впишите в данный треугольник квадрат, две вершины которого лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах.
Постройте треугольник:
по двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего угла;
по углу, противолежащей ему стороне и отношению длин двух других сторон;
по стороне и отношению длин трех сторон.
Постройте прямоугольник по диагонали и отношению длин его сторон.
Даны две прямые и окружность. Постройте окружность, которая касалась бы данных прямых и окружности.
647*. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника, точка пересечения его высот и центр окружности, описанной около этого треугольника, лежат на одной прямой.
648*. Две окружности касаются внутренним образом в точке О. В произвольной точке М внутренней окружности проведена к ней касательная, которая пересекает вторую окружность в точках А и
В. Докажите, что АОМ = МОВ.
Гомотетичны ли параболы у = х2 и у = 8х2? Если да, то чему равен коэффициент гомотетии?
а) Гомотетичны ли кривые у = х2 и х = у2? Будут ли они подобны?
б) Подобны ли кривые у = х2 и х = —-У2?
4
Можно ли гомотетией отобразить график функции у = —
X
на график функции у = —? Если да, то определите коэффициенты гомотетий.
Как получить график функции у = 4х2 из графика функции у = X2?
Докажите, что композиция двух гомотетий с общим центром и коэффициентами кг и кг есть гомотетия с центром в той же точке и коэффициентом к = кх • к^.
Каким отображением является Zo о Щ^
655*. Докажите, что композиция двух гомотетий с различными центрами есть гомотетия или параллельный перенос.
656*. Каким отображением является: а) Д^оД2 • б) Н^ о о Д^/3? Постройте элементы, определяющие отображения.
657*. Известно, что ZB (Л) = Ль Zc (В) = Въ ZD (С) =s Clf ZA ф) = Dv Постройте четырехугольник ABCD, считая точки Аъ Въ Си Dt данными.
658*. Пусть М и К — две точки на сторонах АВ и ВС треугольника АВС, а Е — точка, принадлежащая прямой АС. Докажите,
I AAf t IBKI IC£l .„ D
что если f—— ♦ L—f • L—1 = 1, то точки M, К и E принад- | DM I I СД I Me I лежат одной прямой.
Верны ли утверждения:
а) Любые две конгруэнтные фигуры подобны, б) любые две по- ■ добные фигуры конгруэнтны, в) любые две гомотетичные фигуры, подобны, г) любые две подобные фигуры гомотетичны?
Докажите, что отображение, обратное подобию с коэффициентом к, есть подобие с коэффициентом —
k •
Докажите, что композиция двух подобий есть подобие с коэффициентом, равным произведению коэффициентов данных подобий.
Верны ли утверждения: а) Рг о рй = Fa ° Fv, б) Г3 ° ° (Fa = F^ = (Рз ° F^ о £1?
Образует ли множество подобий группу геометрических преобразований?
Докажите, что три точки А, В, С, не принадлежащие одной прямой, и три точки А', В', С' такие, что \А'В' | = к |ЛВ|, | В'С'\ = к |ВС|, | А'С'1 = к | ЛС|, определяют единственное подобие, при котором Л -> Л', В-* В', С -* С'.
а) Докажите, что любое подобие представимо в виде композиции гомотетии и перемещения. Какие свойства подобий следуют из этого? б) Докажите, что если . В — подобие, Фт и Ф2 — какие- либо фигуры, то Г (^ f) Ф2) = F (Ф^ П F (Ф2).
Начертите треугольник АВС и постройте треугольник, подобный ему с к = 2. Проведите медиану АМ треугольника АВС и отметьте на ней точку К. Постройте образ точки К.
Даны лучи О А, ОВ и О'А'. Известно, что подобие с к = 3 переводит луч О Л в луч О' А'. Постройте луч, в который перейдет луч ОВ. Однозначно ли определяется положение луча О'В'? Почему?
Верно ли высказывание: а) все квадраты подобны; б) все равнобедренные треугольники подобны?
Точки Л, В и С, не лежащие на одной прямой, при подобии с к = 3 переходят в точки А', В' и С*. Известно, что | A'D* | = = 3-|ЛО|, |B'D'| = 3 • |ВО| и |С'О'| = 3 • |CD|. Докажите, что при рассматриваемом подобии точка D переходит в точку D\
Начертите два неконгруэнтных квадрата. Отобразите один из этих квадратов на другой при помощи гомотетии и перемещения.
Даны две неконгруэнтные окружности и на каждой из них соответственно точки Л и В. Отобразите одну из этих окружностей на другую при помощи гомотетии и перемещения так, чтобы точка А перешла в точку В.
672*. Дана система координат. Отображение плоскости каждую точку М (х; у) переводит в точку М* (2х; —2у). Докажите, что данное отображение есть подобие. Отметьте на координатной плоскости несколько точек и постройте их образы.
Даны два непараллельных и неконгруэнтных отрезка АВ и Д^. Около треугольников РААг и РВВг, где Р = (АВ) П П (АД), описаны окружности, пересекающиеся, кроме точки Р, в точке О. Докажите, что отрезок АВ можно отобразить на отрезок АД с помощью гомотетии с центром О и поворота вокруг точки О.
674*. Даны две окружности. Какую фигуру образует множество точек, являющихся центрами подобий, отображающих одну окружность на другую?
675*. Докажите, что подобие I рода, отличное от перемещения, есть композиция гомотетии с центром в некоторой точке и поворота вокруг этой же точки.
676*. Докажите, что подобие II рода, отличное от перемещения, есть композиция гомотетии с центром в некоторой точке и симметрии относительно прямой, содержащей эту точку.
Подобие I рода отображает точки А и В соответственно на точки Аг и Bv Докажите, что: а) центр этого подобия есть вторая точка пересечения окружности, определяемой точками А, В, N, и окружности, содержащей точки Аь Вь N, где N = (AAJ П П (ВВ^; б) прямая, определяемая соответственными при данном подобии точками указанных окружностей, содержит точку N.
Даны два непараллельных отрезка АВ и АД, причем |АВ|#|АДЬ Р = (АВ) n (АА) и N = (AA^ n (ВВ,). Докажите, что окружности, описанные около треугольников РААЪ PBBU ABN, AAN, имеют общую точку.
Окружности Р и 8 пересекаются в двух точках. Прямая, содержащая одну из точек пересечения окружностей, пересекает их в точках А и Av Доказать, что угол между касательными, проведенными к окружностям в точках А и Аь не зависит от выбора секущей.
В треугольнике АВС С = 90°, [CD] — высота. Доказать, что медианы АМ и CN треугольников ADC и DBC перпендикулярны.
Докажите, что композиция гомотетии и поворота с общим центром коммутативна. Обладает ли этим свойством композиция гомотетии и поворота с различными центрами?
Докажите, что композиция гомотетии, центр которой принадлежит прямой I, и симметрии с осью I коммутативна.
Если h — подобие второго рода с коэффициентом к, то № — гомотетия с коэффициентом к2.
Окружности й^ и ш2 с центрами Ot и О2 касаются окружности со в точках Аг и А2. Через точку М окружности <в проведены прямые МАХ и МАг, пересекающие шх и <о3, кроме точек Аг и А2, в точках Вг и В2. Доказать, что прямые АгА2, ВгВа и ОгО8 пересекаются в одной точке или параллельны.
685*. Квадрат A1B1C1D1 является образом квадрата ABCD (А -> Аь В ->• Вь С-> Сь D ->- Вг) при повороте вокруг центра
квадрата на угол а (а =# 180°). Докажите, что точки пересечения прямых АВ и АД, ВС и ВД, CD и СД, AD и Л1Д1 являются вершинами квадрата. Найдите обобщения этой задачи.
686*. Выведите координатные формулы подобия.
Докажите, что композиция гомотетии и параллельного переноса является гомотетией с тем же коэффициентом. Является ли гомотетией композиция параллельного переноса и гомотетии?
Окружности ©х, б)2, (о3 касаются попарно внешним образом. Пусть А — точка касания окружностей о^ и <о2; В — точка касания окружностей ш2 и а>3; С — точка касания окружностей о3 и й1. Докажите, что композиция гомотетий с центрами А, В, С, при которых о^ отображается на m2, т2 на ш3, а <о3 на Шц есть центральная симметрия. Всегда ли композиция трех гомотетий является центральной симметрией?
Можно ли с помощью одной линейки построить центры трех попарно касающихся внешним образом окружностей?
690*. Известно, что при подобии, являющемся композицией гомотетии и поворота с общим центром, существует прямая, отображающаяся на себя. Чему равен угол поворота?
691*. Доказать, что при подобии первого рода все углы между прямыми и их образами равны.
692*. На плоскости даны точки Л и В, которые в некоторой прямоугольной системе координат Оху имеют координаты: А (3; 5), В (—2; 1). Постройте оси Ох и Оу этой системы координат.
693*. Точка Р принадлежит отрезку АВ. В одной из полуплоскостей с границей (ЛВ) построены квадраты ALMP и РКСВ. Доказать, что угол между прямыми АК и LC равен 45°. Вычислите угол между прямыми АК и МВ. Найти: a) |LC| : |Л^|; б) |ЛК| : |МВ|.
694*. Четыре различные прямые a, b, с, d имеют общую точку. Точки В и С являются проекциями точки Л € а соответственно на прямые b и с, точки Вх и Сх — проекциями точки D € d на те же прямые. Доказать, что угол между прямыми ВС и ВД не зависит от выбора на прямых а и d соответственно точек Л и D.
695*. Отрезок АД является образом отрезка АВ при повороте вокруг точки О на 120°. Доказать, что расстояние между серединами отрезков ААг и ВВг равно -^ |ЛВ|.
696*. Треугольник АДСг является образом равностороннего треугольника АВС при повороте вокруг его центра на угол а. Вычислите стороны треугольника Л2В2С2, где Л2 — точка пересечения прямых ВС и ВД, В2 — точка пересечения прямых АС и АД и С2 — точка пересечения прямых АВ и АД, зная, что сторона треугольника АВС равна а.
* * *
Задача 556 является вводной. При ее решении следует обратить внимание на то, что равенство ОХ' = к • OX (к =# 0) любой точке
плоскости ставит в соответствие точку той же плоскости и, обратно, каждая точка плоскости является образом некоторой точки этой же плоскости, т. е. в этом случае мы имеем новый вид отображения плоскости на себя, называемый гомотетией.
Задачи 557—584 предназначены для выявления некоторых свойств гомотетии и формирования умения строить образы различных фигур при гомотетии. Некоторые из этих задач решаются на координатной плоскости. Задачи 563—564 способствуют усвоению следующего факта: образом прямой при гомотетии является прямая, причем при решении этих задач используется аксиома параллельности. Результат решения задачи 565, заключающийся в том, что гомотетия сохраняет пересечение и объединение фигур, широко используется при построении образов различных фигур. Полезны для овладения свойствами гомотетии задачи 561—562, задачи на достраивание, задачи на распознавание гомотетичных фигур. Следует обратить внимание и на решение задач, в которых требуется выполнить .композицию гомотетии и перемещений (задачи 579, 580). Решение этих задач дает способ построения подобных фигур.
При решении задач этой группы следует обратить внимание учащихся на существование фигур, переходящих в себя при гомотетии с к Ф 1. Такими фигурами могут быть только неограниченные фигуры. К ним относятся прямая, луч, угол.
Задачи 568—575 предназначены для усвоения координатной записи гомотетии.
При решении задачи 568 учащиеся устанавливают, что координаты образа точки при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом к получаются умножением координат данной точки на к. Этот факт и результат решения задачи 570 позволяют утверждать, что гомотетия с центром в начале координат есть отображение: X (х; у) -*• X' (х'; у'), где х' = кх, у' = ky (k — коэффициент гомотетии). Формулы гомотетии используются при решении задач 571—574, 575, 622, 623, 649—654.
Решения задач 582—590 способствуют развитию «видения» соответственных при гомотетии точек на соответственных фигурах. Эти задачи несложные, но пренебрегать ими не следует. Решение подобных задач осуществляется с помощью указанных инструментов и с привлечением образов данных фигур.
Следующая группа задач (591—611) предназначена для формирования умения выделять элементы, определяющие гомотетию. Следует подчеркнуть способы задания гомотетии: а) центром и коэффициентом; б) парой соответственных точек и центром; в) двумя парами соответственных точек; г) парой соответственных точек и коэффициентом.
В задачах 617—622 требуется отыскать на заданных фигурах соответственные при гомотетии точки. Решение этих задач опирается на предыдущие задачи и непосредственно готовит к решению
последующих задач. Решение задач 622 и 623 осуществляется аналитически, с использованием формул гомотетии.
Задачи 624—648 решаются на основе свойств гомотетии. В качестве примера рассмотрим решение задачи 637. Так как [PQ] — средняя линия треугольника BCD, то |PQ| = ^ |BD| и (PQ) || || (BDV Пусть L = [ДР) П [ВО], а М = [Д<2) П [ВО]. По условию | ВЦ =| £Л4| =| MD\. Тогда |PQ| = ^- |£Л4|. Рассмотрим гомотетию с центром в точке А и к = —. Эта гомотетия переведет точку L в точку Р, а точку М в точку Q. Эта же гомотетия отобразит точку В в точку R и точку О в точку S. Итак, отрезки RP, PQ и QS при гомотетии являются образами конгруэнтных отрезков BL, LM и MD.
Следовательно, | RP | = | PQ| = | QS |.
Задачи 653—655 знакомят учащихся с композицией гомотетий. Результаты этих задач используются при решении задач 656—658.
Задачи 659—673 предназначены для усвоения свойств преобразований подобия. В большинстве своем эти задачи способствуют уяснению взаимосвязи подобия с гомотетией и перемещениями.
Композиция гомотетии и перемещения есть подобие. Любое подобие представимо композицией гомотетии и перемещения. Всякое перемещение является подобием с коэффициентом подобия, равным 1. Таким образом, множество перемещений есть подмножество множества преобразований подобия. Любая гомотетия с коэффициентом к является преобразованием подобия с коэффициентом |^|, т. е. гомотетия есть частный случай подобия. Гомотетия с к = ±1 является перемещением, причем гомотетия с к = 1 есть тождественное отображение.
Множество преобразований подобия плоскости образует группу геометрических преобразований плоскости. В 1872 г. Ф. Клейном была высказана мысль о том, что каждая группа преобразований определяет свою геометрию. Геометрия, определяемая группой преобразований подобия, и является предметом изучения в средней школе.
Изучение преобразования подобия в средней школе занимает незначительное место. Учебное пособие «Геометрия, 6—8» ограничивается рассмотрением подобия треугольников и многоугольников. С целью расширения знаний о преобразовании подобия и формирования умения в его применении включены и более трудные задачи. Это задачи 674—696. В познавательном отношении важны задачи 675 и 676. Они знакомят с поучительными фактами: а) подобие первого рода (не изменяющее ориентацию плоскости), отличное от перемещения, есть композиция гомотетии с центром в некоторой точке и поворота вокруг этой же точки; б) подобие второго рода (изменяющее ориентацию плоскости), отличное от перемещения, есть композиция гомотетии с центром в некоторой точке и симметрии
относительно прямой, содержащей эту точку. Решения этих задач дают способ построения центра подобия и оси симметрии. Указанные факты используются при решении последующих задач. Решения многих из этих задач довольно-таки сложные, поэтому они приведены полностью.
В заключение хотелось бы обратить ваше внимание на следующее. Вы уже оценили «силу» метода геометрических преобразований и научились использовать его при решении различных задач. Однако даже после этого у вас могут возникнуть трудности с выбором преобразования, посредством которого можно получить наиболее простое решение данной задачи. В книге задачи, решаемые каким-либо методом, объединены в отдельный параграф. Его название уже подсказывает выбор нужного вида преобразования. Готовых «рецептов», которые всегда приводили бы к нужному результату, нет. Однако (может быть, вы это заметили и сами) особенности условия и требования задачи могут указать на выбор преобразования. Доказать некоторое соотношение в равнобедренном треугольнике, равнобедренной трапеции, прямоугольнике, ромбе часто удается с помощью осевой симметрии. При установлении зависимостей в равностороннем треугольнике, квадрате, окружности, при доказательстве перпендикулярности прямых эффективно использование поворота. Метод параллельного переноса дает желаемый результат при доказательстве различных соотношений в параллелограмме, трапеции, а также при построении этих фигур. Применение гомотетии возможно в тех случаях, когда в условии задачи даны параллельные отрезки разной длины, окружности с неравными радиусами.. Поэтому не спешите с выбором преобразования, прежде проанализируйте условие и требование задачи: выделите фигуры, о которых идет речь в задаче, отношения, которыми они связаны; вспомните признаки понятий, содержащихся в требовании задачи и выраженных через перемещения или гомотетию; рассмотрите связь фигур, заданных в условии, с выделенными перемещениями или гомотетией. Только после этого приступайте к использованию конкретного вида преобразования. Проиллюстрируем сказанное на задаче: «Дан квадрат ABCD. Через центр этого квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые, отличные от прямых АС и BD. Доказать, что отрезки, являющиеся пересечением этих прямых с квадратом, конгруэнтны». Для доказательства конгруэнтности отрезков может быть использовано либо перемещение, либо один из его частных видов. Поскольку в условии задачи заданы квадрат и взаимно перпендикулярные прямые, содержащие центр квадрата (поворот вокруг центра квадрата на 90° отображает его на себя), предпочтительно использование поворота вокруг центра квадрата на 90°. Теперь откройте любую страницу, выберите задачу и попробуйте решить ее с использованием приведенных рекомендаций. Повторите это еще несколько раз.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ
Нет. 2. Четыре. 3. Бесконечно много. 4. Да (прямая, которая содержит биссектрису угла). 5. Бесконечно много (сама прямая и прямые, перпендикулярные к ней). 6. Две. 10. Запись слова «КОФЕ» имеет ось симметрии. 21. Прямая ОС является осью симметрии угла АОВ. 22. Пусть О — точка пересечения прямой s и отрезка АА'. Тогда | АО | = | О А1 | и АО К = А* ОК, где К — точка прямой s, отличная от точки О (при перегибании листа бумаги точка А совпадает с точкой Д', а точка О остается на месте). 23, Воспользуйтесь результатом предыдущей задачи. 24. Нет; А'ОС = A'OD. 25. Нет.
26. Нет; АОВ = ВОА'. 28. а) Д' (2; 3), В’ (5; 0), С' (0; 7); в) Аг (—3; 2), Вт (0; 5), Ct (—7; 0). 29. А (2; 5). 30. В (7; —3). 31. А (5; 2), В (5; —2). 32. А (—3; 7), В (3; 7). 33. С (—2; 4), В (4; —2). 34. Пусть Аь Д2, Д3, А4 — точки, симметричные точке А относительно оси Ох, оси Оу, биссектрисы I и III координатных углов и биссектрисы II и IV координатных углов соответственно. Тогда Ат 1а; —6), Д2 (—а; Ь), А^ (Ь; а) и Д4 (—Ь; —а). 35. Правильность ответа можно проверить так: а) соединить точку Р с точками Р' и Р", далее выясните, какая из прямых РР' или РР" перпендикулярна прямой s, затем сравните расстояние от точки Р до прямой s и от точек Р' или Р" до прямой $; б) отметьте на прямой s две точки Ог и О2 и постройте две окружности с центрами в точках Ог и О2 и соответственно радиусами, равными | ОгР | и | ОйР |. Точка, симметричная точке Р относительно прямой s, является второй точкой пересечения окружностей. 37. Нет. Прямая I должна содержать биссектрису одного из углов, образованных при пересечении прямых а и Ь. 39, Используйте свойство точек оси симметрии. 41. Постройте [В'Д') так, чтобы А'В'С' = АВС и «обход» сторон угла А'В'С был противоположен «обходу» сторон угла АВС. 42. /_С'В'Е (см. решение предыдущей задачи). 43. Нет. 45. Окружность. Против часовой стрелки. 54. Точки А (о; 6) и Д' (а; —6) принадлежат различным полуплоскостям с границей Ох, а также прямой, содержащей точку С (а; 0) и перпендикулярной к прямой Ох, и находятся от точки С на одинаковом расстоянии. 55. а) Оу; б) Ох. 57. а) В4, А^, С2; б) [В4Д3]; в) (A4D^t г) (В3С4) и IBJ)^ или (ДзО^ и (ВвД3); д) (Д4О2) и (Д3О4). 59. Пусть К 6 [ДВ], тогда К' б [Д'В'] и ] A’ Kf | = | АК [. 60. Используйте тот факт, что (ДС) —
ось симметрии квадрата. 64. Постройте прямую, содержащую точку А' и С = р f| а. 66. Пусть М = (ДВ) П^, А = (ВЛ')Р р, тогда В1 = (Д'М) f] О (АКУ
Отобразить △ АВС симметрией относительно прямой, которая содержит биссектрису угла АВС. 71. Можно. Отобразите треугольник симметрией относительно срединного перпендикуляра той стороны треугольника, при которой расположены данные углы. 73. Точки М и К симметричны точкам N и L относительно прямой, которая содержит биссектрису угла АОВ. 74. Используйте результат предыдущей задачи. 75. Прямые КЕ и FL симметричны относительно прямой ОС. 76. Рассмотрите симметрию относительно прямой, содержащей биссектрису угла В АВ'. При указанной симметрии В -> В' и СС'. Если бы С->С\ отличную от точки С', то мы имели бы, что треугольники АВ* С и А В1 С" имеют одинаковые «обходы» сторон, конгруэнтны и различны. 77. Используя формулы осевой симметрии с осью Ох: х* = х и У = —у, получим уравнение линии, симметричной прямой Ах + By + + С = 0 относительно оси Ох: Ах' — ВУ + С = 0. Таким образом, прямая Ах + By + С = 0 отображается осевой симметрией относительно оси Ох на прямую Ах — By + С = 0. 81. Образом прямой у = Зх + 7 является прямая у = —Зх — 7. Используя тот факт, что точка А* (1; а) принадлежит прямой у = —Зх — 7, найдем, что а = —10, отсюда А (1; 10). 82. Точки пересечения прямой / со сторонами угла АВС симметричны относительно прямой, которая содержит биссектрису угла АВС. 83. Образ точки К принадлежит окр. (Д'; | АК |) и окр. (В1; | ВК |). 85. Да. 86. Нет. 87. Воспользуйтесь результатом задачи 85. 88. BCD = 20°; (BD) — ось симметрии четырехугольника ABCD. 89. Воспользуйтесь результатом задачи 85. 90. Пусть прямая содержит вершину А и точку Е — середину стороны ВС. Так как | АС | = | АВ | и | СЕ ( = | BE |, то (ДЕ) —ось симметрии треугольника. 91. Точка А находится на одинаковом расстоянии от точек В и D; далее смотрите задачу 85. 92. а) Верно; б) верно. 93. Решается аналогично задаче 91. 94. Да. Данное перемещение оставляет на месте все точки прямой АВ. Пусть М Е [ДВ], т. е. | АМ | + | МВ | = | АВ |, тогда | АМ* | + + | М'В [ = | АВ [, где М‘ — образ точки М при данном перемещении. Таким образом, М* Е [ДВ], а так как она должна находиться от точек Д и В на расстояниях, равных | АМ | и | ВМ |, то М'= М. Аналогично доказывается, что и всякая точка прямой АВ, не лежащая между точками Д и В, остается на месте. Далее, указанное перемещение отобразит полуплоскости с границей АВ одну на другую. Предположим, что некоторая точка К отображается на точку К', принадлежащую той же полуплоскости, что и точка К; тогда треугольники АКК' и ВКК* — равнобедренные, (ДЕ) ± \_КК'1 и (BD) ± LKK'l» где D — середина отрезка К К', т. е. через точку D проходят два перпендикуляра к прямой КК*. 95. Пусть О — точка пересечения биссектрис углов треугольника, а Оъ О2, О3 — основания перпендикуляров, опущенных из точки О на стороны треугольника. Указанное перемещение оставляет на месте точку О и одну из точек Оь О2, О3. Используя результат предыдущей задачи, получим, что данное перемещение является осевой симметрией. 96. Точка С есть пересечение оси симметрии точек А и В и стороны угла. Задача может иметь одно или два реше-
ния. 97. Решается аналогично задаче 96. 98. Постройте биссектрису угла АО В. 99. Осевая симметрия. Данное перемещение оставляет на месте одну из вершин треугольника и точку пересечения его срединных и перпендикуляров (см. задачу 94). 100. Постройте ось симметрии точек А и В, затем образ прямой а. 101. Смотрите решение предыдущей задачи. 102. Пусть на сторонах угла отложены отрезки АВ и CD. Постройте ось симметрии, отображающей точку А на точку С (или D), затем — ось симметрии угла DCB\ где В' — образ точки В относительно первой оси. 103. у = | х |, у = х2; у = х2 + 1. 105. [АВ] = [AD]; [ВС] = [DC]. Могут. «Четырехугольник ABCD имеет прямую АС осью симметрии и только ее». 106. Содержат точку пересечения диагоналей четырехугольника. 109. Четырехугольник ABCD — квадрат. Прямая, содержащая точку пересечения прямых АС и BD и перпендикулярная прямой, т, также является осью симметрии четырехугольника ABCD. ПО. Пусть X Е [АВ] и Sz (X) = К. Тогда точка Y должна принадлежать отрезку Аг В', являющемуся образом отрезка АВ при симметрии относительно оси /. Точка Y должна принадлежать и данному отрезку CD, т. е. Y Е [А'В'] П [CD]. Задача имеет единственное решение, если пересечением отрезков А'В' и CD является точка; не имеет решений, если отрезки А'В' и CD не пересекаются, и имеет бесконечно много решений, если один из отрезков А'В' или CD является подмножеством другого. 111. Решается аналогично предыдущей задаче. 113. Задача имеет решение в том случае, если образ данной окружности при симметрии относительно данной прямой имеет общие точки с данным треугольником. Каждое из искомых множеств точек может состоять либо из одной точки, либо из дуги (или дуг). 114, Пусть точки М и К симметричны относительно прямой s (М Е [ВА], К Е [ВС)), тогда К Е[В'А'), где [В'А') —образ [ВА) при симметрии с осью s и К = = [В'А') П [5С). Отсюда следует построение: строим [В'А') = S^^BA)), находим точку пересечения лучей В'А' и ВС и строим точку, ей симметричную. Задача имеет единственное решение, если [В'А') пересекает [ВС) и не имеет решений, если [В'А') не пересекает [ВС). 115. Пусть точки А (а; Ь) и А' (а; —Ь) симметричны относительно оси Ох и принадлежат соответственно прямым у = 2х + 3 и у = —Зх + 1. Тогда b = 2а + 3 и —b = = —За + 1. Решая полученную систему уравнений, найдем а и Ь. 116. Решается аналогично предыдущей задаче. 119. Постройте, окружность, симметричную данной окружности относительно данной прямой. Одна из вершин треугольника есть точка пересечения второй данной окружности и построенной. 120. Пусть &KMD— искомый (К Е [AC], DE[BC]), тогда прямая, содержащая точку М и перпендикулярная прямой АВ, является осью симметрии треугольника KMD. Для построения искомого треугольника поступаем следующим образом: проводим прямую I, содержащую точку М, перпендикулярно прямой АВ. Затем на сторонах АС и ВС строим точки, симметричные относительно прямой I. Для этого построим образ одной из сторон АС или ВС относительно прямой I. Положим для определенности, что [В'С'] является образом [ВС]. Тогда точка пересечения (если она существует) отрезков АС и В'С' и является одной из вершин искомого треугольника. Если точка М. принадлежит оси симметрии отрезка АВ, то искомым треугольником будет &АМВ. Если точка М не принадлежит оси симметрии отрезка АВ, то задача имеет решение в том случае, если [АС] и [В'С'] пересе-
каются. Если ZXABC— равносторонний или равнобедренный с основанием АВ и точка М принадлежит оси симметрии отрезка АВ, то задача имеет бесконечно много решений. 121. Пусть вершины В и D искомого квадрата принадлежат соответственно прямой а и окружности F, тогда В/ (6) = D. Точка D является пересечением прямой d = St (а) и окружности. Если прямая а' пересекает окружность F, то задача имеет решение (одно или два). Если прямая d не пересекает окружности F, то задача не имеет решения. 122. В случае, когда данные точки А и В лежат по одну сторону от данной прямой а и на разных расстояниях от нее, искомой точкой является точка X = = (АВ) П а; в случае, когда точки А и В лежат по разные стороны от прямой а, замените точку В точкой В’ = 8а (В). Задача не имеет решения, если расстояния от точек А и В до прямой а равны. 123. Замените одну из данных точек ее образом при симметрии относительно данной прямой. 124. Воспользуйтесь результатом решения предыдущей задачи. 125. Смотрите решение задачи 82. 126. Постройте образ отрезка ТХ при симметрии относительно прямой АВ. Лучи SA и SB будут высекать на отрезке ТХ ту часть, которую увидит наблюдатель. 127. Постройте точку В', симметричную точке В относительно прямой 1Ъ и точку С', симметричную точке С относительно прямой 12, далее смотрите решение задачи 123. 128. Постройте точки Mt и М2, симметричные точке М (М —данная точка) относительно прямых, содержащих стороны данного угла. Точки пересечения отрезка MtM2 со сторонами угла являются вершинами искомого треугольника. Периметр полученного треугольника равен длине отрезка МгМ2> периметр любого другого треугольника, одной из вершин которого является точка М, а две другие принадлежат сторонам данного угла, равен длине ломаной, соединяющей точки Мг и М2. Задача имеет единственное решение. Построим окружность с центром в середине отрезка ОМ (рис. 79), эта окружность пересечет стороны данного угла в точках Ко и Lo, [КоЬо] — средняя линия /\МгММ2. Так как 1 DtM | < | ОгМ | и Z_KoMLo — тупой, то и | D2M | < 2 • | ОгМ | = | ОМ |, т. е. [УИ1УИ2] пересечет [ОМ], а, следовательно, пересечет и стороны данного угла. 129. Периметр искомого треугольника равен длине отрезка МгМ2, где Мг = = В(ВЛ) (М) и М2 = S(BC) (М) (смотрите решение предыдущей задачи); А ВМгМ2 — равносторонний (| ВМ^ | = | ВМ2 | = | ВМ | = 10 см, М^ВМ2 = = 2 • 30° = 60°), следовательно, | Л^Ма I = Ю см. 130. Рассмотрите композицию двух осевых симметрий относительно прямых ОА и ОВ. Пусть точка М под действием указанного перемещения переходит в точку М2 и (M2/Q пересекает [ОВ) в точке L; ломаная MDLK, где D = = [ОА) П [M]L] (Mi = В(0Л) (М)), — искомая, ее периметр равен длине отрезка М2К. 131. Пусть точка А' симметрична точке А относительно прямой 0 A0Ai, точка А” симметрична точке А' относительно прямой AiA2 и, наконец, точка А(л) симметрична точке А””1 относительно прямой АпАп_^ Сначала замените точку А точкой А*, затем точку А* точкой А” и т. д. (рис. 80). 132. Построим точку В^ симмет
ричную точке В относительно прямой, содержащейРис» 79
Рис. 81
Рис. 82
биссектрису угла ВСК\ | АВг |< [ ACt | + | С^г 1 или | АС | + | СВХ | < IACJ+ + | С^ |. Учитывая, что | СВг 1 = | СВ |, | С^г | = | ВСг |, получим |СА| + + | СВ | < | СХА | + | СХВ [. 133, Вершины равновеликих треугольников с общим основанием принадлежат прямой, параллельной основанию. Пусть [АВ]—основание треугольников и С—вершина равнобедренного треугольника с основанием АВ. Построим точку Ах> симметричную точке А относительно прямой CClf где Ct — вершина произвольного треугольника, равновеликого треугольнику
АВС. Тогда 1 = 2, 2=3 (рис. 81), следовательно, 1 = 3 и [А^] U [СВ] = = [AjB]. Сумма длин боковых сторон треугольника АВС равна длине отрезка АГВ, а сумма длин боковых сторон треугольника АСгВ равна длине ломаной, соединяющей точки Ах и В. 134. AOA1+AiOA2 = 2- 90°= 180°. 135. Точки С и D симметричны точкам А и В относительно прямой, содержащей биссектрису угла. 136, Отложите на стороне угла, не содержащей точку М, отрезок AMV длина которого равна длине данного отрезка, и постройте ось симметрии точек М и УИ1е Точка пересечения построенной оси и отрезка АМХ — искомая. Задача имеет решение в том случае, если длина данного отрезка не меньше | АМ |. 137. Прямая BD является осью симметрии треугольника АВС. 138. Точки Р и Q симметричны относительно прямой, содержащей биссектрису угла АВС. 139. Обозначим данную вершину буквой А. Пусть А АВС— искомый. Тогда точки, симметричные точке А относительно данных прямых, принадлежат прямой ВС. 140. Воспользуйтесь решением задачи 68. Задача имеет единственное решение, если длина боковой стороны больше длины основания. 142. Построим точки Сх и С/, симметричные соответственно точкам С и С' относительно прямых, содержащих биссектрисы углов В и В' (рис. 82). Тогда ААСгС = Z\A'C'VC' (|АС| = |А'С'|, |AC]J = = IA'C/1, /.А = /.А'^ Так как А АСХС = АА'С/С', то существует
перемещение, при котором А -* А', С С и Сх-* С[. Указанное перемещение отобразит точку D на точку Dr (D и D' — середины соответственно отрезков СХС и С/С'), прямую т на прямую nV и прямую АСг на прямую А'Ср Точка В при этом перемещении перейдет в точку В* {В = (ДС^ П пг, В' = (Д'С/) Г\ m'Y Таким образом, при указанном перемещении VxABC-*- -+&А'В'С', следовательно, ZX АВС = ZX А'В'С*. 143. Используйте решение задачи 70. 144. При помощи симметрии относительно прямой, содержащей биссектрису внешнего угла треугольника, постройте сумму гипотенузы и катета (задача 70). Дальнейшее решение аналогично решению задачи 142. 145. Смотрите решение задачи 70. 146. Используйте решение задачи 71. 147. С помощью симметрии относительно серединных перпендикуляров сторон, к которым прилегают углы, разность которых известна, постройте конгруэнтные треугольники (задача 71). Далее рассмотрите перемещение, отображающее один из полученных треугольников на другой (см. решение задачи 142). 148. Необходимо и достаточно. 149. а) Верно; б) нет; в) верно. 151. Установите, что прямые, содержащие диагонали параллелограмма, являются его осями симметрии 152. а) Нет; б) верно. 153. Пусть четырехугольник A BCD — искомый ([ДС) — биссектриса угла Д) и В' — точка, симметричная точке В относительно прямой АС. Тогда треугольник B'CD можно построить. 154. Пусть прямая т перпендикулярна основанию ВО трапеции A BCD и проходит через середину отрезка ВС. Тогда симметрия о осью т отобразит точку В на точку С и точку А на точку D (в противном случае оказалось бы, что через точку С можно было провести два перпендикуляра к отрезку AD). 155. Прямая, содержащая середины оснований трапеции, является ее осью симметрии В противном случае, используя результат предыдущей задачи, получим, что одно из оснований трапеции имеет две середины. 156. Установите, что данная прямая является осью симметрии трапеции. 157. Воспользуйтесь результатом решения задачи 155. 158. Точки М и К симметричны относительно прямой, содержащей середины оснований трапеции. 159. Установите, что прямая, содержащая середины параллельных хорд, является осью симметрии окружности. 160. Воспользуйтесь результатом решения предыдущей задачи. 161. Прямая, содержащая точки пересечения продолжений боковых сторон трапеции и ее диагоналей, является осью симметрии окружности 162. Воспользуйтесь решением предыдущей задачи. 163. Две окружности могут иметь не более двух общих точек. Пусть Оъ О2, Од — центры окружностей, а А и В — точки пересечения окружностей о центрами Ох и О2 Точки А и В симметричны относительно прямой ОгО2. Предположим, что точки А и В принадлежат также и окружности с центром Од, плда | ДО3| = |О3В|, и точка О3 принадлежит оси симметрии точек А и В, т. е. прямой ОХО2, однако по условию точки Оъ Од, Од не принадлежат одной прямой. 164. Предположим, что точки К и М являются искомыми. Симметрия относительно прямой АВ точки К и М оставит на месте, а данную окружность О отобразит на окружность О'. Так как точки К и /И принадлежат окружности О, то их образы, т. е. эти же точки, при симметрии относительно прямой АВ, будут принадлежать и окружности Ог. Таким образом, К и М — точки пересечения данной окружности и ее образа при симметрии относительно прямой АВ. Указанным способом нельзя решить задачу в гом случае, если прямая АВ содержит диаметр окружности. Однако в дан-
Рис. 83Рис. 83ной задаче речь идет о конкретном расположении окружности и прямой. 165. Предположим, что прямые а и b — искомые (рис. 83). Симметрия относительно прямой / отобразит а на b (прямая I содержит биссектрису угла АО В), при этом А -> А'. Точки А1 и В определяют прямую Ь. Отсюда вытекает построение: строим А* = Sz (Л), отметим О = (Л'В) П к проведем прямую АО. Задача имеет единственное решение, если точки А и В находятся на различных расстояниях от прямой / и не принадлежат прямой, перпендикулярной /; не имеет решения, если точки
Рис. 83
Рис. 83
Лив находятся на одинаковых расстояниях от прямой /, но не принадлежат прямой, перпендикулярной /, или принадлежат прямой, перпендикулярной /, и находятся на различных расстояниях от нее, и имеет бесконечное множество решений, если [ЛВ]±/ и [ЛВ] делится прямой / пополам. 166. Предположим, что точка С—искомая (рис. 84). Так как | СА|=| СВ| (BE Ь\ то точки В и Л симметричны относительно прямой, содержащей биссектрису угла АСВ. Пусть ось сим
метрии точек Л и В пересекает прямую b в точке М, тогда М ЛС=90°. Отсюда вытекает построение: из точки А восстанавливаем перпендикуляр к прямой а, отмечаем точку пересечения этого перпендикуляра с прямой Ь; строим биссектрису угла АМ К, где К ^Ь. Точка пересечения построенной биссектрисы угла и прямой а является искомой. Построив биссектрису угла, внешнего углу АМ К, получим вторую точку С\ удовлетворяющую требованию задачи. 167. Тождественным отображением. 168. Рассмотрим симметрию, при которой А —> А' (прямая а — ось этой симметрии). Пусть 8а (В) = Вь 8а(С) = = Сг. Может случиться, что Вх = В* и Сг = С', тогда симметрия относительно прямой а отобразит А -* А', В -> В', С -► С'. Если Bt^= В', то рассмотрим симметрию относительно прямой Ь, при которой Вг -> В’ (рис. 85). Так как |Л'В'| = [Л'ВхЬ то прямая b содержит точку Л': Вд(Л') = А'\ 8b(Bi) = = В* и Sb (Ci) = С2. Если С2 = С t то перемещение, являющееся композицией указанных осевых симметрий, отобразит точки Л, В, С соответственно на точки А*, В', С*. Если С2#= С, то рассмотрим симметрию относительно прямой с, при которой С2 -> С\ Так как | Л'С2 | = | А'С'1 и | В'С2| = | В'С'|, то прямая с содержит точки А* и В*. Таким образом, перемещение, являющееся композицией трех осевых симметрий с осями а, 6, с, отобразит точки Л, В, С соответственно на точки А*, В\ С, т. е. Sco 8Ь о 8а (Л) = Л', Sco 8Ь о Sa (В)= = В', 8С о 8Ь о 8а (С) = С'. 169. Определите расстояние между точками
4(ai, W и В (а2, 62) и расстояние между их образами Д'^ь —6^ и В^а^ —Ь^* 170. Используйте уравнение окружности.
ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ
А* (—3; 2), В' (0; —5), С' (2; 4). 173. А (3; —4). 174. В (3; 1), В' (—3; —1). 175. А' (—а; —Ь). 176. А" (3; —4). 177. Симметрия относительно начала координат отобразит М (а; 0) на М' (—а; 0), [Л1Д] на [Л41Д1] и точку А на точку Av 179. Центральная симметрия есть композиция двух осевых симметрий. 180. Гак как |ОД'| = | ОАУ |, то О б/2, где /2 — ось симметрии точек А* и Аъ кроме этого, прямая /2 содержит биссектрису угла A'OAV Прямая lt содержит биссектрису угла AOAV Углы AOAi и А^ОА* — смежные, поэтому Ц ± 1Х. 181. Используйте результат предыдущей задачи. 185. Прямые, содержащие центр симметрии. 187. Нет. Центр симметрии. 189. Используйте свойство центральной симметрии не изменять «обход» (ориентацию)фигуры. 195. Нет. Да. 204. Да. Нет. 207. М' = (МО) П [Д'#'1 где М' — образ точки М; М' Е[А'В'], | А'М'1 = | АМ\. 208. Воспользуйтесь решением предыдущей задачи. 210. а || aL 211. Смотрите решение задачи 207. 212. Решается аналогично задаче 207. 213. а) Воспользуйтесь тем, что центральная симметрия сохраняет расстояние между точками, б) Используйте свойство центральной симметрии не изменять ориентацию фигуры 214. Воспользуйтесь тем, что: 1) точка, ее образ и центр симметрии принадлежат одной прямой; 2) центральная симметрия отображает угол на конгруэнтный ему угол 215. Центром симметрии является середина отрезка, концы которого — центры окружностей. 216. Смотрите решение задачи 207. 217. Ах + + By — С = 0 (используйте формулы центральной симметрии). 218. у = = 2х — 5 219. у = Зх — 4, у = Зх+ 4. 220. Указанные прямые параллельны, и точка О является серединой отрезка, концами которого являются точки пересечения прямых с осью Оу. 222. М (3; —3). 224. Бесконечно много; один; ни одного; один; бесконечно много 225. Отметьте на прямых а и b по точке. Примите середину полученного отрезка за центр симметрии и постройте образ прямой а. Если прямая b и образ прямой а совпадут, то а || Ь. 226. Центр симметрии — середина отрезка, концами которого являются точки пересечения прямой с краями полосы. Если прямая параллельна краям полосы, чо указанная фигура не имеет центра симметрии. 228. Лучи должны быть противонаправлены. 229. Воспользуйтесь решением предыдущей задачи. 239. Используйте решение задачи 224. 231. В том случае, если точка явля- егся центром окружности или принадлежит ей. 232. Воспользуйтесь решением задачи 228. 234. Нет. 235. Противоположные стороны шестиугольника попарно параллельны и конгруэнтны. 236. у = х3; у = х. 237. Одной из искомых точек является точка пересечения прямой b и So (а). Для нахождения второй точки воспользуйтесь решением задачи 207. В зависимости от расположения прямых So (а) и b задача можег иметь единственное решение, бесконечное множество решений и не иметь решений. 238. Решается аналогично предыдущей задаче. 244. Используйте симметрию относительно точки О. 245. Используйте симметрию относительно точки А. 246. Верно; середина отрезка OiOa является центром
а — b2а — b2предыдущей задачи. 266.предыдущей задачи. 266.
а — b
2
а — b
2
предыдущей задачи. 266.
предыдущей задачи. 266.
симметрии, отображающей одну из окружностей на другую. 247. Установите, что О = [ДР] П [ВС] — центр симметрии, отображающей отрезок АВ
на отрезок CD. 248. Треугольники АгВхСл и PQR симметричны относительно точки М 249. Рассмотрите симметрию относительно середины той стороны, длина которой неизвестна, тогда треугольник, длины сторон которого равны
а, b и 2/тг, можно построить;а, b и 2/тг, можно построить;—-—, где т — длина данной ме
а, b и 2/тг, можно построить;
а, b и 2/тг, можно построить;
дианы. 250. Установите, что точка пересечения медиан треугольника АВС является центром симметрии, отображающей треугольник АВС на треугольник построенный. 251. Параллелограмм. 252. а) Верно, б) Нет. в) Утверждение будет верным, если его дополнить так: «... и диагонали были перпендикулярными» или «... и прямая, содержащая его диагональ, была бы его осью симметрии». 253. Рассмотрите симметрию относительно точки Р. 254. Воспользуйтесь тем .фактом, что точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии. 255. Проведите прямую через центр симметрии параллелограмма. 256. Установите^ что точка пересечения диагоналей данного параллелограмма есть центр симметрии четырехугольника MNLK. 257. Используйте тот факт, что середина отрезка, концы которого принадлежат различным сторонам полосы, является ее центром симметрии и пересечением полос является параллелограмм. 258. Точки Ст и А^ симметричны относительно точки пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. 259. Вер
шины построенных треугольников симметричны относительно точки пересечения диагоналей параллелограмма. 260. Точка О — центр симметрии полученного четырехугольника. 261. Каждый из отрезков АВ и МгМ2 параллелен отрезку 0^2, а | МТМ2 | = 2 - | OjO2 | и | АВ | = 2| О]О2 |. 262. Воспользуйтесь решением предыдущей задачи. 263. Да (используй! е решение
задачи 261). 264. Так как ZOx ([ЛУИ]) = [BMJ, Zo^ ([BMJ) = [СУИ2], ZOg ([СУИ2]) = [ЛУИ3], то [ЛУИ] || ЕЛМ3] и | ЛУИ | = | ЛУИд2|, т. е. точки УИ и УИ3 симметричны относительно точки А. 265. Воспользуйтесь решением
Решается аналогично предыдущей задаче. 267. Необходимо, но недостаточно. 268. Центральная симметрия с центром К отображает точку А на точку В. 269. Точки В и D симметричны точкам Л и С относительно точки К. 270. Центральная симметрия с центром О отобразит точку А на точку В, луч АК на луч ВМ (КАО = ОВМ) и точку К на точку УИ (| А К | = | ВМ |). 271. Точки D, Е, F симметричны точкам А, В, С относительно точки К. 272. Воспользуйтесь тем, что центр окружности является ее центром симметрии, соответствующие при центральной симметрии прямые параллельны. 273. Центр окружности является центром симметрии описанного Шестиугольника. 274. Установите, что точка О пересечения диагоналей AD и BE является центром симметрии шестиугольника ABCDEF. Л^^ S^C0A=S^саЕ' s^COE=s^OEF, s^E0A= =S^ode- Складывая почленно эти равенства, по-
лучим SACE = ~ Sabcdef- 275. Пусть точка А* симметрична точке А относительно точки /И (рис 86) Тогда величина угла ВКА* известна (К—точка пересечения прямой ВХ с прямой /) Отсюда следует построение: на отрезке АВ, где А = ZMW, постройте сегмент, вмещающий угол, равный (180° — а). К — точка пересечения дуги сегмента и прямой I. Задача имеет два решения. 276. Искомая прямая т проходит через гочки, симметричные относительно точки /И и принадлежащие сторонам угла АВС. Для доказательства этого факта установите, что площадь треугольника, отсекаемого некоторой прямой I, содержащей точку /И и отличной от* прямой т, больше площади треугольника, отсекаемого прямой т. 277. Да (точка X, ее образ ¥ при данном перемещении и точка А лежат на одной прямой и |ХД| = |ДЕ|). 278. Верно. 279. Представив центральную симметрию в виде композиции осевых симметрий с осями Ох и Оу (задача 179), получим SOy о SOx о SOx = SOg, так как SOjK ° SOx о = Е. Данное утверждение можно доказать с использованием формул симметрий:
С ^ ~= ^*X —XО . XX,у О Q
5°*,у' = _у; 7-о: / = -у'; го SOx • у. = у т. е. Z0oSo,-S0j,.
Пусть перемещение L отображает всякий луч на противонаправленный луч. Отметим точку А, пусть L (Д) = А'. Возьмем точку М Ф А, тогда перемещение L отобразит точку М на точку М' (( А'М' | = | АМ | и [А'М') f| М[ЛМ)). Рассмотрим центральную симметрию, при которой А -* А*. При этой симметрии Л1 -► М'. Значит, L = Zo, где О— середина отрезка АА'_ 2^1. Первое решение Композиция указанных симметрий отображает всякий луч на противонаправленный луч. Следовательно, композиция трех центральных симметрий есть центральная симметрия (задача 280). В г о р о е решение. Пусть центрами симметрий служат точки Оъ О2, О3. Если Оь О2, О3 не принадлежат одной прямой, то указанный результат можно получить так: существует треугольник АВС, для которого точки Ot, О2, О3 являются серединами сторон (задача 265). Пусть О!—середина [ДВ], О2 — середина [ВС], О3 — середина [ДС], тогда Zo^ (ZOi (Z^ (4))) = А, а всякую прямую, содержащую точку А, композиция указанных симметрий отображает на себя. Следовательно, данное перемещение — центральная симметрия (задача 277). 282. | МХА | = = | АМ21, | М^В | = | ВЛ13|, | М8С| = | СЛ^ | (см. задачу 268). Композиция трех центральных симметрий с центрами.Д, В, С отображает точку Мх на точку Му Следовательно, точку Мх можно отобразить на точку Mt одной центральной симметрией, а так как ^ и /и[ принадлежат окружности с центром Оъ то Zo (Mi) = /Ир Значит, точки /Mj и Мх служат концами одного диаметра.
а) Верно б) Нет. 284. Используя формулу расстояний между точками координатной плоскости, докажите, что расстояние между любыми двумя ючками равно расстоянию между их образами. 285. ОХ' = —ОХ.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
А1 (5; 5), В’ (3; —7). С (6; 0). 288. А* (0; 7), В* (—3; 9), С (0; 5). 289. А* (—5; 2), В* (2; 1), С (—2; —3). 290. А (—8; 4). 291. Л1 (—2; 2). 292. А (—4; 4), А* (—3; 4). 293. В (5; —5), В' (5; —3). 294. Указанные точки принадлежат прямой, параллельной оси Ох. 295. Верно. 298. Параллельным переносом в направлении оси Ох на 5 ед., на —5 ед. 299. х' = х; у' = у + 2. 301. Бесконечно много. 302. 5 см. 303. а) | АА2 | = | 6В2 | = | СС2 | = 2а, где а — расстояние между прямыми Ц и 12\ б) Да. 304. 5 см. 305. Да (оси симметрий перпендикулярны прямой АА', расстояние между осями равно
~-| АА' |), где А' = Т (Л). 308. Отрезки должны быть параллельны и иметь оди
у = х2 и у = (х + 5)2; (у = х2 +у = х2 и у = (х + 5)2; (у = х2 +наковую длину. 310. Да. 312. Да. 313. Параллельный перенос, отображающий [Л В] на себя, есть тождественное отображение. Во втором случае любой параллельный перенос в направлении прямой АВ отображает эту прямую на себя. 315. Величины углов равны и лучи, являющиеся сторонами углов, сонаправ- лены. 320. Радиусы окружностей должны быть равными. 324. а) На отрезке В'С' отметить точку М' так, чтобы | В' М' | = | ВМ |; б) на отрезке ВС отметить точку N так, чтобы | BN | = | В* N* |. 326. С помощью линейки постройте образ точек окружности, принадлежащих линии центров данной окружности и ее образа. Затем, используя циркуль, постройте образ данной точки (рис. 87) 327. Используйте свойство параллельного переноса отображать угол на конгруэнтный ему угол 328. Постройте углы с вершинами в концах отрезка, являющегося образом отрезка АВ, и конгруэнтные углам BAD и ABD, так, чтобы «обход» треугольника ABD и «обход» его образа были одинаковыми 329. а) Да, б) нет. 332. Направлением параллельного переноса является одно из направлений диагоналей квадрата ABCD. 333. Соответственные стороны параллелограммов должны быть параллельными и конгруэнтными. 334. а) Перенос определяется центрами данных окружностей; б) используйте решение задачи 326. 336. Параллельный перенос: А-*Ап отобразит [ЛВ] на [Л"В"]. 337. Нет (перемещение является параллельным переносом, если оно любой луч отображает на сонаправленный ему луч). 378. Параллельный перенос определяется точками пересечения прямых а и Ь; а' и Ь'. 339. А' У; 4), В’ (3; 7); С' (—1; 4), D’ (2; 5). 340. а) А' (2; 6), В' (7;—3), С' (6; 9); б) Л" (—7; 2), В" (—2; —7>, С" (-3; 5). 341. а) х' = х + 2, /=у + 3; б) х' = х — 1, У = у — 2; х* = х + а, У = у + Ь. 343. а) у = 2х + 1,5; б) у = 2х + 7,5; в) у = 2х— 11,5. 344. у = (х— 2)2. 345. Параллельным переносом в направлении оси Ох на 3 ед. (х' = х + 3, У = у). 346. а) у = = (х + З)2; б) у= (х+ З)2 + 1. 347. Параллельным переносом: х* = х — 1,5, У = у. 348. х' = х + 1, У = у — 4. 349. х'= х + 2, у' = у + 6. 350. у = = (х + 5)2 и у = (х — З)2; у = х2 и у = (х — З)2; у = | х | и у = | х +3 |;
у = х2 и у = (х + 5)2; (у = х2 +
у = х2 и у = (х + 5)2; (у = х2 +
Рис. 87Рис. 871 и у = х2). 351. Так как одна из искомых точек (обозначим ее через К) принадлежит отрезку АВ, то ее образ (вторая искомая точка М) принадлежит отрезку А'В', являющемуся образом отрезка АВ при указанном параллельном переносе. Кроме того, точка М по условию принадлежит отрезку CD. Следова-
Рис. 87
Рис. 87
как отрезок CD имееткак отрезок CD имееттельно, М = [А'В'] П LCD1. При заданном расположении фигур задача имеет единственное решение. 352. Пусть параллельный перенос задан парой точек: М N (рис. 88). Тогда точка F пересечение образа прямой а и отрезка CD и ее прообраз Е определяют искомую пару точек. Если а* — образ прямой а при параллельном переносе N —>* М, то точка К пересечения прямой а” и отрезка CD и ее прообраз L определяют еще одну пару точек, удовлетворяющих требованию задачи. Если отрезок CD является подмножеством прямой а' или прямой а", то задача имеет бесконечное множество решений. В остальных случаях задача имеет не более двух решений, так
как отрезок CD имеет
как отрезок CD имеет
не более одной точки пересечения с прямой а и не более одной точки пересечения с прямой а”. Случай, когда задача имеет два решения, показан на рисунке 88. 353. Анализ. Предположим, что задача решена и [АВ] — искомый отрезок (точка А принадлежит данной окружности R, точка В — данной прямой а). Тогда точка А отображается на точку В либо при параллельном переносе М-> N, либо при параллельном переносе N -> М. Пусть, например, точка А отображается на точку В при параллельном переносе M->N (рис. 89). Так как точка А принадлежит окружности R, то точка В должна принадлежать окружности R', являющейся образом окружности R при том же параллельном переносе. Кроме того, точка В по условию принадлежит прямой а Поэтому В есть точка пересечения окружности R' и прямой а. Если точка А отображается на точку В при параллельном переносе N -> М (рис. 90), го В есть точка пересечения прямой а и окружности R\ являющейся образом окружности R при параллельном переносе N ^ М. Построение. Строим образ окружности R при параллельном переносе М -> N. Пусть В — одна из точек пересечения окружности R' и прямой а. Если точка А — прообраз точки В при параллельном переносе М -> N, то [АВ] — искомый. В этом построении параллельный перенос М -> N может быть заменен параллельным переносом N -> М. Доказательство. Так как при параллельном переносе М -> N А -* В, то [АВ] || [МАГ] и | АВ | = | MN |. Исследование. Задача имеет не более четырех решений, так как прямая а имеет не более двух точек пересечения с окружностью R* и не более
Рис. 91Рис. 91
Рис. 91
Рис. 91
двух точек пересечения с окружностью R". Случай, когда задача имеет четыре решения, показан на рисунке 91. 354. Решается аналогично задаче 353. Задача имеет единственное решение, если стороны треугольника и образы луча при параллельных переносах М -► N или N -> М имеют одну общую точку, где (МЩ — данная прямая, а | MN 1 —данная длина отрезка. 355. Наибольшее число решений равно четырем. В этом случае отрезок имее! две точки пересечения с окружностью R' и две точки пересечения с окружностью R\ где R' — образ данной окружности R при параллельном переносе М -> N и R" — образ данной окружности при параллельном переносе N -> М, где ^MN) — данная прямая, a \MN | — данная длина отрезков. 356. Пусть точка А (о, 6) принадлежит прямой у = Зх + 2, гогда координаты точки А'э принадлежащейпрямой у=—5х + 5,суть (а +5; Ь).
Следовательно,b = За + 5и b = —5 (а+ 5)+ 5.Решив эту
систему уравнений, найдем координаты искомых точек. 357. Обозначим через Ей /И основания высот данных 1реугольников (Е и М принадлежат прямой /). Рассмотрите параллельный перенос, при котором Е -* М (или М -> Е); точки пересечения равнобедренного треугольника с образом другого равнобедренного треугольника при указанном параллельном переносе определяют искомую прямую. 358. Рассмотрите параллельный перенос, определяемый основаниями перпендикуляров, опущенных из центров данных окружностей на данную прямую (рис. 92). 359. Рассмотрите параллельный перенос в направлении, перпендикулярном биссектрисе угла так, чтобы образ центра круга принадлежал прямой, подмножеством которой является биссектриса угла. Задача имеет решение, \Lесли диаметр круга не меньше длины отрезка, явля-
Ующегося пересечением угла и прямой, перпендику-
/ \лярной биссектрисе угла и содержащей центр дан-
/ного круга. Задача имеет не более двух решений.
1—360. ^ см2‘ РассмотРите параллельный перенос, при 7р\** котором центр верхнего полукруга отображаемся
А/ \ /\на центр нижнего полукруга. 361. Рассмотрите па-
\раллельный перенос, при котором точка F отобра-
/^жается на точку А. При указанном переносе
A FLK -> A ABC; SAFLB+ SLBKC = $AFKC. 362.
Рис. 93Постройте образ линии, изображающей участок
железной дороги, при параллельном переносе в указанном направлении на 2 масштабные единицы. 363. Постройте треугольник, конгруэнтный данному, так, чтобы его основание принадлежало прямой т. Затем рассмотрите параллельный перенос в направлении т, при котором вершина треугольника отобразится на точку прямой I. 364. Постройте равносторонний треугольник АВС с заданной длиной его стороны так, чтобы две его вершины А и В принадлежали соответственно прямым а и Ь. Искомым треугольником является образ треугольника АВС при параллельном переносе в направлении прямой а и отображающем вершину С на точку прямой с. 365. Постройте окружность, касающуюся краев полосы. Затем
постройте образ этой окружности при параллельном переносе в направлении краев полосы, отображающем одну из точек окружности на точку М. Задача имеет два решения. 366. Рассмотрите параллельный перенос в направлении оснований трапеции, при котором одна из ее боковых сторон отображается на отрезок, имеющий с другой ее боковой стороной общий конец. Образовавший
ся при этом треугольник — равносторонний. Длина меньшего основания трапеции равна 12 см. 367. Пусть в трапеции A BCD | AD | + | ВС | = 21 см, | АС | = 13 см, | BD | = 20 см. Постройте образ [BD] при параллельном переносе В -> С. Площадь образовавшегося треугольника ACD', где D’ = Т (D), равна площади трапеции. 368. | с — d\<\a —b\<G-Vd, где а и b — длины оснований трапеции, о и d — длины ее боковых сторон (см. решение задачи 366). 369. Пусть в трапециях ABCD и A'B’C'D’ | АВ | = | А’В' |, | ВС |=| В’С* |, | CD | = 1 C’D’ | и | DA | = | D’ А* |. Построим образ [ЛВ] при параллельном переносе В -► С и образ | А’ В’ | при параллельном переносе В’ С'. Треугольники AXCD и А^СхО’ конгруэнтны (Л т — образ точки А и Ах — образ точки Л') и, следовательно, существует перемещение, при котором ^АгСО-> ^Ах’С'О'.
При этом перемещении [ОЛ) -> С^'Л'), Л А' (| DA | = = | D' А’ |) и В -> В’. 370. Даны трапеции ABCD и А'В'C’D' ([ЛО] и [ВС], [Л'О'] и VB'C'l — основания трапеций), [CDJ— образ [BD] при параллельном переносе В -* С и [C'D/] — образ [B'D'] при параллельном переносе В' -* С, тогда /\ACDx~ ZXA'C'Dx- Перемещение, при котором £\АСОг-> Д A’CxDx» отобразит точку D наточку D' и точку В на точку В’, т. е. трапецию ABCD на трапецию A’B'C’D'. 371. Пусть [CD'] — образ [BD] при параллельном переносе В -> С, тогда Д ACD' можно построить. 372. Перенесите параллельно каждую из боковых сторон в направлении оснований так, чтобы их общим концом была середина меньшего основания. Далее рассмотрите образовавшийся при этом прямоугольный треугольник. 373. | АС | = = 5 см. Точки Л и С являются соответственными при параллельном переносе 0^О2. 374. Рассмотрите параллельный перенос В С. 375. Точка
пересечения перпендикуляров является образом точки пересечения высот треугольника АВЕ при параллельном переносе В -> С. 376. Прямая MQ,
параллельная прямой BD, искомая (рис. 93). Действительно, при параллельном переносе М В [Л4Е] -> [BD], при параллельном переносе Р В LPQ1 LBD1. Задача имеет два решения. 377. Рассмотрите параллельный перенос С В, тогда треугольник AD'B, где D’ — образ точки D, можно построить. 378. Пусть в треугольнике АВС медианы АМ и CD конгруэнтны. Параллельный перенос D -> М отобразит [DC] на [МС'], тогда Z\AMG'— равнобедренный. Далее установите конгруэнтность отрезков СМ и AD. 379. Постройте образ линии, изображающей железную дорогу, при параллельном переносе в направлении, перпендикулярном ей на указанное расстояние. 380. Постройте образ каждого луча при параллельном
переносе в направлении, перпендикулярном ему, на указанное расстояние. 381. Замените точку В точкой Въ полученной из В при параллельном переносе в направлении, перпендикулярном берегам канала, на ширину канала. 382. Постройте образ точки В при параллельном переносе, отображающем точку М на Р, затем образ точки В* при параллельном переносе, отображающем К на L (рис. 94). Путь ACDEFB — искомый. 383. S — вершина горы. Когда солдат брал первое показание компаса, он находился на луче SE (рис. 95). Получасом позже он находился на луче SM. Постройте на лучах ЗЕ и SM такие точки М' и N\ чтобы отрезок М’ N' был параллелен и конгруэнтен отрезку ОВ. 384. N — место наблюдателя. При первом наблюдении баржа находилась на луче NE, при втором — на луче NK (рис. 96). Постройте отрезок с концами на лучах NE и NK, параллельный и конгруэнтный отрезку ОВ. 385. Смотрите решение предыдущей задачи.
386. Смотрите решение задач 383, 384. 387. Пусть А'—образ точки А при параллельном переносе в направлении I на расстояние, равное длине данного отрезка (рис. 97). Тогда угол А'РВ можно построить (А'РВ = АМВ). Так как точки А и В заданы, то величина угла АМ В, опирающегося на дугу АВ, известна. Точка Р является точкой пересечения прямой I и дуги сегмента, вмещающего угол а и построенного на отрезке А*В
(a = AMBY 388. Первое решение. Центральная симметрия отображает любой луч на противонаправленный луч (задача 280), следовательно, композиция двух центральных симметрий отобразит любой луч на сонаправленный луч. Значит, композиция двух центральных симметрий — параллельный перенос. Пусть Т (Л) = Д', тогда АД' = 2 • ООг. Второе решение, ^о, = s/2 0 sit* zo2 = Sis 0 s/8> zo5 ° zot 8=1 s/8 ° s/2 0 si2 0 s/, si8 ° <>Sl = T, где Z3 = (O1O2), а Ц II Z8. 390. Композиция двух параллельных переносов отобразит любой луч на сонаправленный луч, следовательно, композиция двух параллельных переносов есть параллельный перенос. Это утверждение можно доказать и аналитически. Пусть 7^ : х' = х + аъ / = у + Ьъ Т2: хп = х’ + аа, у" = / + 62, тогда Т2 о 7Т : х” = х 4* (ai+aa), у" = у + (^ + ^з), т. е. Га о Tf — параллельный перенос. 391. Верно. 392. Используйте результат решения задач 388 и 390. 393. Композиция четырех центральных симметрий либо параллельный перенос, либо тождественное отображение (задача 392). При данной композиции центральных симметрий имеется неподвижная точка (одна из вершин), следовательно, эта композиция — тождественное отображение (параллельный перенос на нулевое расстояние). 394. Данное перемещение отображает любой луч на противонаправленный луч, следовательно, оно — центральная симметрия. Центром симметрии является середина отрезка, концами которого служит пара соответствующих при данном перемещении точек. 395. Центральной симметрией (используйте решение задач 280). 396. Нет. 397. а) Осью, направлением и расстоянием параллельного переноса; б) парой соответствующих точек и направлением; в) двумя парами соответствующих точек. 398. Пусть I — ось скользящей симметрии и 8/ (А) = Л1# Т (Л^ * Л2, т. е. скользящая симметрия отображает точку А на точку Л8. Тогда IИ (Д1Д2), а так как I содержит середину отрезка ААЪ то I содержит середину отрезка ДД2. Используя это свойство оси, постройте ось скользящей симметрии, которая принадлежит данному направлению и содержит середину отрезка, концами которого являются данные точки. Затем определите расстояние переноса. 399. Нет. 400. Ось скользящей симметрии содержит середины отрезков А А* и ВВ' (см. задачу 398). Если середины отрезков А А’ и ВВ* совпадают, то осью скользящей симметрии является прямая, содержащая середину отрезков А А' и В В** и перпендикулярная прямой АВ. 401. Скользящая симметрия должна отобразить точку 0$ в точку О3 и точку А в точку В. Для построения оси этой скользящей симметрии используйте решение задачи 400. 402. Ориентация («обход» сторон) треугольников должна быть различной (задача 399). 403. Середины отрезков АА', ВВ* и GC принадлежат оси скользящей симметрии, при которой А -*• -> Д', В -► В’ и С -> С'. 404. Пусть 5/ (Л) = Д', Т (Л') = А", а Т (Л) = = Лт и Sz Ui) = Л2, тогда | АхАй | = | А^" | и (АгА2) II (Л^), г е. А" = = Л2 405. Заменим параллельный перенос композицией двух осевых симметрий с осями Za и /8, тогда скользящую симметрию с осью Zf можно представить как композицию осевых симметрий S^oS^oS^ но S^ о 8^ — центральная симметрия относительно точки О пересечения прямых Zf и Z2, тогда Sz о о 81а о S^ = 81а о 20, причем О £ Ц. Если скользящая симметрия
представлена композицией центральной симметрии с центром О и осевой симметрии с осью Z, то осью скользящей симметрии служит прямая, содержащая данную точку О и перпендикулярная данной прямой I. Расстояние переноса равно | OOt |, где 01 = S/ (О). 406. Рассмотрим наиболее общий случай, когда никакие две из осей непараллельны Пусть осями указанных симметрий являются прямые а, Ь, с. Представим 8ь о Sa композицией
Sn 0 Sm, где п || с и тОп = аОЬ (О = a Q 6), тогда Sc о 8ь о Sa=Sc о Sn о Sm. Учитывая, что Sc о 8п= Рис. 98=Т, получим Sc о Sb ° Sa = Т о 8^. Далее, пред
ставим параллельный перенос Т композицией Т2 о Ть где 7\ —параллельный перенос в направлении, перпендикулярном пи Т2 — параллельный перенос в направлении т. Тогда Sco S^o Sa=T2 ° о Sm. Параллельный перенос Тг можно представить композицией двух осевых симметрий с осями к и I ^к || I, к f| I = 0): Тх = St о Зь- Данное перемещение 8С ° Sb о 8^= Т2° Si о Sb ° Sm, но Si о Sb о 8^ = Sd 1m || к || Z), тогда 5С о ° 8ь ° Sa = Т2 о Sd, т. е. скользящая симметрия (рис. 98). 407. Представим первое перемещение композицией центральной симметрии и осевой симметрии, а второе перемещение — композицией осевой симметрии с той же осью и центральной симметрии. Тогда композиция указанных скользящих симметрий будет представлена композицией двух центральных симметрий. Отсюда следует, что композиция указанных симметрий есть параллельный перенос. 408. Постройте образ А* точки А при скользящей симметрии, осью I которой служит прямая, изображающая железную дорогу, а расстояние переноса равно а Точка пересечения отрезка ВА* с прямой I совпадает с искомой точкой К. Точка L является прообразом точки К при указанной скользящей симметрии. 409. х' = х + а, у' = -—у.
ПОВОРОТ
Опустите из точки О перпендикуляр на прямую. 417. А* (0; — 3), В' (0; 2), С (2; —5), D’ (—3, 1); А" (0; 3), В" (0; —2) С", (—2; 5), О' (3; — 1).
418. М (2; 5), ЛГ (—5; 2). 419. М (—3; 5), М' (5; 3). 425. 90°; а; Нет. 426. х= = 72°к, где к = 0, ±1, ±2; 72°. 427. Четыре, точка пересечения диагоналей; если угол поворота равен 0°, то центром может быть любая точка плоскости. 430.
25 см*. 435. а) М' £ а* ПОкр. (Р, | РМ |); М' = У Q [PL), где MPL = а. 436. Используйте результат решения предыдущей задачи. 438. 120°. 439. а) Решается аналогично задаче 435. б) Пусть поворот, центром которого является точка Р данной окружности, отображает точку А на точку А’. Тогда РМА’ + РМА =
= 180° (М — вторая точка пересечения окружностей); ДР МА’ измеряется половиной дуги А'Р, ДРМА измеряется половиной дуги АР, но оДР = \jPMA*
{^РА’ — образ чиРАУ 441. Ось симметрии данных точек; далее, можно воспользоваться угольником с углом в 60° или построить при луче АВ угол, величина которого была бы равна 60° 445. Воспользуйтесь тем, что угол по
ворота равен углу между соответственными отрезками. 446. Образом точки А (2; 3) является точка А’ (—3; 2), т. е. точка В (задача 417). 447. х' = —у;
У = х, где (х; у) — координаты данной точки, а (х'; у') — координаты ее
образа. 448.образа. 448.Х=у, у = —х.451. у= — — х-у!у= -— х+ —
образа. 448.
образа. 448.
14521 * = 7? у =1614521 * = 7? у =161116"1116"453. Пусть точка А дтображается поворотом453. Пусть точка А дтображается поворотомвокругвокруг
1
4521 * = 7? у =
16
1
4521 * = 7? у =
16
11
16"
11
16"
453. Пусть точка А дтображается поворотом
453. Пусть точка А дтображается поворотом
вокруг
вокруг
точки К, а Ki — точка, образомточки К, а Ki — точка, образом
точки К, а Ki — точка, образом
точки К, а Ki — точка, образом
начала координат на угол а на точку А2. Если полярные координаты точки А суть (г; а^, тогда координаты точки Аа будут (г; at + а). Переходя к декартовым координатам, получим: х' = г cos (aj + а) и У = г sin (ax + a), где У и У — декартовы координаты точки Да. Используя тригонометрические формулы, получим: х' = х cos a — у sin а и у' = х sin a + у cos a. 456. Используйте тот факт, что поворот не изменяет расстояния между двумя точками и ориентацию фигуры. 457. а) Величины углов равны. 458. Используйте тог
факт, что центр поворота, при котором А -* В, принадлежит оси симметрии точек А и В. 459. Если прямые имеют только одну общую точку, то искомым множеством точек является объединение биссектрис углов, стороны которых принадлежат прямым а и Ь. Если a || b и a fl 6=0, то искомым множеством является прямая, принадлежащая полосе с краями а и b и пересекающая любой отрезок с концами на прямых а и b в его середине. Если a || b и a fl 6^ 0, то искомое множество точек есть прямая а (или 6). 460. Воспользуйтесь результатом решения предыдущей задачи. 462. Да. Компози
ция двух осевых симметрий, угол между осями которых равен а, есть поворот
около точки пересечения осей на 2a. 463. Используйте результат задачи 462.
ВКВ' = а, где а — угол поворота, отображающего точку А на А', точку В на В* (рис. 99). Тогда АКВ' = 180° — a, АКА* = 2а и ВВ' = 2а.
Следовательно, точка О, центр поворота, принадлежит как окружности, со
держащей точки А, К, А', так и окружности, содержащей точки В, К, В'.
| ОК | = | ОК* | = |О^ |, где К* — образ
которой является точка К. 466. Центр поворота есть точка пересечения осей симметрии точек Д, С и B,D\ общая точка окружностей (задача 464). Центр поворота может быть найден и при помощи комбинаций указанных способов. Два (Д -> С, В -> D и А D, В^С), если [ДВ] t [CD]. Один (центральная симметрия), если [ДВ] || || [CD]. 467. Всегда, за исключением случая, когда лучи сонаправлены. Далее можно использовать результат решения предыдущей задачи . 468. Центром поворота может быть любая точка оси симметрии
центров окружностей, далее воспользуйтесь решением задачи 441. 469. Смотрите решение задач 466 и 468. 473. Центры поворотов являются пересечением биссектрис углов, стороны которых принадлежат прямым АС и ВО, и оси симметрии точек С и D. 474. Найдите на прямой а точку Д', образом которой является точка Д (Д' £ окр. (О, | ОД |) Q а), тогда угол между лучами ОД и ОД' есть угол поворота. Задача имеет два, одно решение или не имеет его. 475. Решается аналогично задаче 473; а = 90°. 478. Постройте образ прямой а при повороте вокруг точки Р на 60° против часовой стрелки. Одной из искомых точек является точка пересечения прямой b и прямой а. Для нахождения второй точки воспользуйтесь решением задачи 435. Построив образ прямой а при повороте вокруг точки Р на 60° по часовой стрелке, получим еще одну пару точек (рис. 100). Задача имеет два решения, если, угол между прямыми а и b не равен 60°; задача имеет одно решение, если угол между прямыми а и b равен 60°. 479. Если координаты точки А суть (а; 6), то точка В имеет координаты (6; —а). Так как А принадлежит прямой у = 2х + 3, то b = 2а + 3. Так как В принадлежит прямой у = —Зх-Н, то —а = —3b + 1.
Решив систему ( b = 2а + 3, (36 = а + 1,
найдем а и Ь. 480. Решается аналогично предыдущей задаче. 481. Постройте образ одного из отрезков при повороте вокруг данной точки на 45° по часовой стрелке (против часовой стрелки). Точка пересечения образа отрезка с другим данным отрезком (если она существует) является искомой. Второй точкой является прообраз построенной точки. 482. Решается аналогично предыдущей задаче. 483. Решается аналогично задаче 481. 484. Постройте образ прямой а при повороте вокруг точки Р на 90° по часовой стрелке (против часовой стрелки). Точка В является точкой пересечения прямой b и образа прямой а. Задача имеет два решения. 485. Постройте образ одной из данных окружностей при повороте вокруг точки М на 60° по часовой стрелке (против часовой стрелки). 486. Решается аналогично задаче 479. 487. Рассмотрите поворот вокруг данной точки на 120° по часовой стрелке (против часовой стрелки). 488. Постройте образ одной из указанных сторон треугольника при повороте вокруг точки Р на 45° по часовой стрелке (против часовой стрелки). 489.
Пусть &АРВ—искомый (А ^а, В £ Ь). Так как |РД| = | РВ\ и АРВ = = 60°, то точка А отображается на точку В при повороте вокруг точки Р на 60э по часовой стрелке (или против часовой стрелки). Пусть, например, точка А отображается на точку В при повороте вокруг точки Р на 60° по часовой стрелке. Так как Д Е а, то В £ а', где а' — образ прямой а при повороте вокруг точки Р на 60° по часовой стрелке. Кроме того, точка В принадлежит прямой Ь. Поэтому В = а' П Ь. Проведенный анализ указывает построение. Построим образ прямой а при повороте вокруг точки Р на 60° по часовой стрелке, тогда В = а' П Ь. Точка А получается из точки В поворотом вокруг точки Р на 60° против часовой стрелки. Другое построение получим, заменяя поворот вокруг точки Р на 60° по часовой стрелке поворотом вокруг точки Р на 60° против часовой стрелки. Если точка Р не является точкой пересечения прямых а и b и угол между прямыми а и b отличен от 60°, то задача имеет два решения. Если угол между прямыми а и b равен 60° и 94
точка Р отлична от точки их пересечения, то задача имеет одно решение (при одном из поворотов вокруг точки Р на 60° по часовой стрелке или на 60° против часовой стрелки прямая а' не пересечет прямую Ь, так как один из углов между прямыми а* и а равен 60°). Задача имеет бесконечное множество решений, если точка Р = а П Ь, и угол между прямыми а и b равен 60°. Если же Р = a fl b и угол между прямыми а и b не равен 60°, то задача не имеет решений. 490. Смотрите решение предыдущей задачи. 491. Рассмотрите поворот вокруг точки Р на 45° по часовой стрелке (против часовой стрелки). 492. Примите какую-либо точку данных прямых за вершину равностороннего треугольника и рассмотрите поворот вокруг этой точки на 60° по часовой стрелке (против часовой стрелки). Выбирая точку прямой и принимая ее за центр поворота, получаем два конгруэнтных треугольника. Пр» выбранной точке прямой задача имеет два решения. 493. Примите точку В за центр поворота, далее смотрите решение предыдущей задачи. При выбранной точке В задача имеет два решения. 494. Решается аналогично задаче 492. 495. Постройте образ одной из окружностей при повороте вокруг данной точки на 90° и найдите точки ее пересечения с другой окружностью. Задача может иметь одно, два или ни одного решения. 498. Рассмотрите поворот вокруг вершины квадрата на 6Э\ 497. Поворот вокруг точки Л на 90э отображает [МС] на [ЕР]. 498. Используйте поворот вокруг центра квадрата на 90°. 499. При помощи параллельных переносов отобразите данные отрезки так, чтобы их образам принадлежал центр квадрата. Затем рассмотрите поворот около центра квадрата на 90°. 500. Пусть Л и С — точки, принадлежащие паре противоположных сторон, В и D точки, принадлежащие другой паре сторон. Постройте [SB'] так, чтобы [ВВ'] ± [ЛС] и |ВВ'| = |ЛС|. Точки В' и D определяют одну из сторон квадрата (см. решение задачи 499). Если B'=D, то задача имеет бесконечно много решений. 501. Используйте поворот вокруг центра треугольника на 120°. 502. Поворот вокруг точки В на 90° отображает отрезок MQ на отрезок АС. 503. Поворот вокруг центра квадрата ABCD на 90° отображает четырехугольник Л1В1С1В1 на себя. 504. Поворот вокруг центра окружности, отображающий основание перпендикуляра, проведенного из центра окружности к одной из хорд, на основание перпендикуляра, проведенного из центра окружности к другой хорде, отобразит одну хорду на другую. 505. При повороте вокруг центра окружности на угол АОС А -> В, С -> D. 506. б) Поворот вокруг центра данного равностороннего треугольника на 120° отображает треугольник, вершинами которого служат центры построенных квадратов, на себя. 507. Поворот вокруг центра квадрата на 90° отобразит четырехугольник, вершинами которого являются
центры построенных треугольников, на себя. 508. Поворот вокруг центра шестиугольника на 60° отобразит один из полученных отрезков на другой. 509. Поворот вокруг точки В на 60° по часовой стрелке отображает [ЛЕ] на [ЕС]. Этот поворот переведет точку М в точку N (|ЛД4| = |ЕА/|). 510. Поворот вокруг центра данного треугольника на 120° отображает точку N на точку М, следовательно,
|ОМ| = \ОМ\ и MON = 120°. 511. Точки М и N являются соответственными при повороте вокруг
точки D на 60°. 512. Поворот вокруг точки О на 90° отображает треугольник AMD на треугольник DPB. 513. Постройте образ треугольника АВС при повороте вокруг точки А на 90° по часовой стрелке или против часовой стрелки. Пусть при этом повороте М -> М*. Далее, используя свойство средней линии треугольника, докажите, что [АМ'} II \DEy Так как [ДМ] ± [ДМ'], то [ДМ] ± [DE]. 514. Постройте образ треугольника АВС и образ медианы АЕ при повороте вокруг точки А на 90° по часовой стрелке или против часовой стрелки. Далее используйте свойство средней линии треугольника. 515. Впишите в окружность произвольный треугольник и постройте его образ при повороте вокруг центра окружности на 90°. 516. Пусть при повороте вокруг точки А на 60° £\АВМ-^ £хАСМг (рис. 101). Тогда |ММ'|=|ДМ|, |М'С|=|ВМ|. Но | МС| < | ММ'| + + | М'С | и, следовательно, | МС| < |ДМ| + |ВМ|; |ММ'| < | МС| + + |М'С|. Поэтому | ДМ| < |МС| + |ВМ|; |М'С| <|ММ'|+|МС| и, следовательно, |ВМ| < | ДМ| + | МС |. При этом | МС| = | АМ\ + | ВМ|, если точка М' принадлежит отрезку МС. В этом случае АММ' = 60°; это означает, что точка М принадлежит дуге АВ описанной около треугольника АВС окружности. Аналогично доказывается, что |ДМ| = | МС | + |ВМ| (| ВМ| = |ДМ | + | МС |) в том случае, когда точка М принадлежит дуге ВС (дуге ДС) описанной около треугольника АВС окружности. 517. Поворот вокруг центра квадрата на 90° отобразит полосу ANCL на полосу BKDM. Так как при повороте пересечение фигур переходит в пересечение их образов, то четырехугольник, образованный пересечением полос при указанном повороте, отобразится на себя. 518. а) Используйте поворот вокруг вершин треугольника на 60°; б) так как R6^ ([С'С]) = [ВВ'], то СЕВ = 60°; СЕС = = 60° и ВЕС = 120°, где Е = [С'С] Q [SB']. Точка Е принадлежит окружностям, ожисанным около треугольников ДС'В, АВ'С и ВА'С. Далее, используя свойство вписанных углов, покажите, что АЕА' = 180°. 519. Справедливость утверждения следует из определения поворота, оно может быть доказано и представлением поворота в виде композиции двух осевых симметрий. Пусть Rq = Sta о S^ , где 1^01^ = ~~, /?^ = 8^ о SZa, где /2О/3 = ~.
Тогда RqoRo= St^S^oS^oS,^ Вц о «,=!?“+₽.520. Пусть
К^ (Л) = А' и Я^ (А') = А" (рис. 102). Представим Rq композицией
кОхОй = — 1, a Rq^ композицией
двух осевых симметрий с осями ОгО2 и /2 ^ОгОй12 = ”■): Ro^” ^ОА о^» <2 = ^г2 ° ^охо8е Тогда R^ о R^ = Si2 о Sq^q^ о SOiOg о S^ = 8 ц о 8^. Композиция двух осевых симметрий относительно различных прямых есть
либо поворот, либо параллельный перенос, следовательно, композиция двух
поворотов вокруг различных центров есть либо поворот, либо параллельный перенос. Рассмотрим два случая, а) Если р = —а (рис. 103), то прямые Zj и /2 параллельны. В этом случае S^o 8^ = Т, а следовательно, и R^ о Rq^ =
= Т. Для определения направления и величины параллельного переноса проводят прямые 1Х и /2 так, что Z1O1O2 = — и ОгОй1а = —. Направление,
перпендикулярное прямым lY и Z2, является направлением параллельного пе-
реноса, а расстояние параллельного переноса равно удвоенному расстоянию между Zj и Z2. б) Если 0 —а, то прямые Zt и Z2 пересекаются (рис. 102). В этом случае 8^ ° 8^ = Ro , а следовательно, и Rq4° Rot~ ^0 • Для построения точки О и угла поворота следует построить прямые Zx и Z2 так, что-а вбы Z1O1O2 = — и OjO2Z2 = —. Точка пересечения прямых 1Х и Z2 естьцентр поворота, угол поворота равен удвоенному углу между прямыми 1Х и Z2. Очевидно, что угол поворота равен а + р, если | а+£1^180°, и равен (а + Р) ± 360°, если |а+р|>180°. 521. а) Поворот на 90°. На рисунке 104 показано построение центра этого поворота; б) поворот на 180° (центральная симметрия). Центр симметрии, кроме указанного способа.реноса, а расстояние параллельного переноса равно удвоенному расстоянию между Zj и Z2. б) Если 0 —а, то прямые Zt и Z2 пересекаются (рис. 102). В этом случае 8^ ° 8^ = Ro , а следовательно, и Rq4° Rot~ ^0 • Для построения точки О и угла поворота следует построить прямые Zx и Z2 так, что-а вбы Z1O1O2 = — и OjO2Z2 = —. Точка пересечения прямых 1Х и Z2 естьцентр поворота, угол поворота равен удвоенному углу между прямыми 1Х и Z2. Очевидно, что угол поворота равен а + р, если | а+£1^180°, и равен (а + Р) ± 360°, если |а+р|>180°. 521. а) Поворот на 90°. На рисунке 104 показано построение центра этого поворота; б) поворот на 180° (центральная симметрия). Центр симметрии, кроме указанного способа.может быть построен и так: отметить некоторую точку А и построить ее образ А’ при Z?q25° ° R^» середина отрезка ААГ является центром поворота; в) параллельный перенос; г) R^ ^о°Э = ^ (в частностиможет быть построен и так: отметить некоторую точку А и построить ее образ А’ при Z?q25° ° R^» середина отрезка ААГ является центром поворота; в) параллельный перенос; г) R^ ^о°Э = ^ (в частностип р120° _ п—120°п р120° _ п—120°р120° в п-120° » коа 0 кср120° в п-120° » коа 0 кс= Г, то= Г, тоследовательно, Rq о Rq п120» „ г>120° „ р1204 _ рх *^0, ° ^О2 ° “о, ~_Представим поворот вокруг точки О на а композицией двух осевых симметрийследовательно, Rq о Rq п120» „ г>120° „ р1204 _ рх *^0, ° ^О2 ° “о, ~_Представим поворот вокруг точки О на а композицией двух осевых симметрийесли О3 = О'если О3 = О'522.522.Пусть R^A) = А', а Т (А') = А".Пусть R^A) = А', а Т (А') = А".ас осями lv и Z2, где Z2 перпендикулярна направлению переноса и 1^01^ = —,ас осями lv и Z2, где Z2 перпендикулярна направлению переноса и 1^01^ = —,
реноса, а расстояние параллельного переноса равно удвоенному расстоянию между Zj и Z2. б) Если 0 —а, то прямые Zt и Z2 пересекаются (рис. 102). В этом случае 8^ ° 8^ = Ro , а следовательно, и Rq4° Rot~ ^0 • Для построения точки О и угла поворота следует построить прямые Zx и Z2 так, что-
а в
бы Z1O1O2 = — и OjO2Z2 = —. Точка пересечения прямых 1Х и Z2 есть
центр поворота, угол поворота равен удвоенному углу между прямыми 1Х и Z2. Очевидно, что угол поворота равен а + р, если | а+£1^180°, и равен (а + Р) ± 360°, если |а+р|>180°. 521. а) Поворот на 90°. На рисунке 104 показано построение центра этого поворота; б) поворот на 180° (центральная симметрия). Центр симметрии, кроме указанного способа.
реноса, а расстояние параллельного переноса равно удвоенному расстоянию между Zj и Z2. б) Если 0 —а, то прямые Zt и Z2 пересекаются (рис. 102). В этом случае 8^ ° 8^ = Ro , а следовательно, и Rq4° Rot~ ^0 • Для построения точки О и угла поворота следует построить прямые Zx и Z2 так, что-
а в
бы Z1O1O2 = — и OjO2Z2 = —. Точка пересечения прямых 1Х и Z2 есть
центр поворота, угол поворота равен удвоенному углу между прямыми 1Х и Z2. Очевидно, что угол поворота равен а + р, если | а+£1^180°, и равен (а + Р) ± 360°, если |а+р|>180°. 521. а) Поворот на 90°. На рисунке 104 показано построение центра этого поворота; б) поворот на 180° (центральная симметрия). Центр симметрии, кроме указанного способа.
может быть построен и так: отметить некоторую точку А и построить ее образ А’ при Z?q25° ° R^» середина отрезка ААГ является центром поворота; в) параллельный перенос; г) R^ ^о°Э = ^ (в частности
может быть построен и так: отметить некоторую точку А и построить ее образ А’ при Z?q25° ° R^» середина отрезка ААГ является центром поворота; в) параллельный перенос; г) R^ ^о°Э = ^ (в частности
п р120° _ п—120°
п р120° _ п—120°
р120° в п-120° » коа 0 кс
р120° в п-120° » коа 0 кс
= Г, то
= Г, то
следовательно, Rq о Rq п120» „ г>120° „ р1204 _ рх *
^0, ° ^О2 ° “о, ~_
Представим поворот вокруг точки О на а композицией двух осевых симметрий
следовательно, Rq о Rq п120» „ г>120° „ р1204 _ рх *
^0, ° ^О2 ° “о, ~_
Представим поворот вокруг точки О на а композицией двух осевых симметрий
если О3 = О'
если О3 = О'
522.
522.
Пусть R^A) = А', а Т (А') = А".
Пусть R^A) = А', а Т (А') = А".
а
с осями lv и Z2, где Z2 перпендикулярна направлению переноса и 1^01^ = —,
а
с осями lv и Z2, где Z2 перпендикулярна направлению переноса и 1^01^ = —,
параллельный перенос — композицией двух осевых симметрий с осями Z2 и Z3 (рис. 105). Тогда Т о R^ = 8г$ о 8^ о S^ о 8^ = S^ о Sjj прямые ZL и Z3 пересекаются, следовательно, композиция двух осевых симметпараллельный перенос — композицией двух осевых симметрий с осями Z2 и Z3 (рис. 105). Тогда Т о R^ = 8г$ о 8^ о S^ о 8^ = S^ о Sjj прямые ZL и Z3 пересекаются, следовательно, композиция двух осевых симметрий с осями 1Х и Z3 — поворот. Центром этого поворота служит точка Ох пересечения прямых 1Х и Z3, а угол поворота равен а. Таким образом, Т о R^ = = R^ . Для построения центра поворота следует построить прямые lv l21 Z3 (их построение описано выше), точка пересечения прямых 1Х и Z3 совпадает с центром поворота. 523. а) Поворот на 90°; б) центральная симметрия. 524.рий с осями 1Х и Z3 — поворот. Центром этого поворота служит точка Ох пересечения прямых 1Х и Z3, а угол поворота равен а. Таким образом, Т о R^ = = R^ . Для построения центра поворота следует построить прямые lv l21 Z3 (их построение описано выше), точка пересечения прямых 1Х и Z3 совпадает с центром поворота. 523. а) Поворот на 90°; б) центральная симметрия. 524.Рис 104Рис 104
параллельный перенос — композицией двух осевых симметрий с осями Z2 и Z3 (рис. 105). Тогда Т о R^ = 8г$ о 8^ о S^ о 8^ = S^ о Sjj прямые ZL и Z3 пересекаются, следовательно, композиция двух осевых симмет
параллельный перенос — композицией двух осевых симметрий с осями Z2 и Z3 (рис. 105). Тогда Т о R^ = 8г$ о 8^ о S^ о 8^ = S^ о Sjj прямые ZL и Z3 пересекаются, следовательно, композиция двух осевых симмет
рий с осями 1Х и Z3 — поворот. Центром этого поворота служит точка Ох пересечения прямых 1Х и Z3, а угол поворота равен а. Таким образом, Т о R^ = = R^ . Для построения центра поворота следует построить прямые lv l21 Z3 (их построение описано выше), точка пересечения прямых 1Х и Z3 совпадает с центром поворота. 523. а) Поворот на 90°; б) центральная симметрия. 524.
рий с осями 1Х и Z3 — поворот. Центром этого поворота служит точка Ох пересечения прямых 1Х и Z3, а угол поворота равен а. Таким образом, Т о R^ = = R^ . Для построения центра поворота следует построить прямые lv l21 Z3 (их построение описано выше), точка пересечения прямых 1Х и Z3 совпадает с центром поворота. 523. а) Поворот на 90°; б) центральная симметрия. 524.
Рис 104
Рис 104
а) Верно; б) нет. 525. Пусть 0ъ О2, 03 — соответственно центры равносторонних треугольников, построенных на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС. Тогда Л^ (Л) = В, /^ (5) = С и Rx^ (С) = А, т. е. точка А неподвижна при композиции указанных поворотов. R^° о /?^°° о R^° = Т (см. задачу 522), а так как точка А отображается на себя, то данный параллельный перенос есть тождественное отображение. Далее ^0° ° ^о^ = ^012°°> пРичем точка О совпадает с точкой 03, ибо в противном о120°г>120°п120°_ г>120° р—120°=
случае Rq^ о Ro^ о Ro^ — Rq^ о Ro
= Т ф Е. Так как О = 03, то треугольник
=60°). 526. Пусть Ог—=60°). 526. Пусть Ог—OiO2Q3—равносторонний (О3О1О2 = 0х020а=
=60°). 526. Пусть Ог—
=60°). 526. Пусть Ог—
центр квадрата, построенного на стороне АВ, а О2—центр
квадрата, построенного на стороне ВС треугольника АВС. Тогда R^° (Л) = = В, R99° (5) = С, т. е. zo (Л) = С (R9^ о R9^ = R^. Центром О симметрии служит середина отрезка АС.
Следовательно, ООгО2 = 45°, ОХО2О = 45° (см. решение задачи 521), т. е.
Д01002 — прямоугольный и равнобедренный (| 00J = | ОгО2\, 0г002 = 90°).
Композиция поворотов вокруг вершин А, В и С является центральной симметрией. Центр этой симметрии — середина отрезка XX', где X— любая точка, а X'— точка, полученная из точки X в результате композиции трех поворотов вокруг вершин треугольника (в качестве точки X удобно взять точку А).
§ 5. ПЕРЕМЕЩЕНИЕ
540. Используйте перемещение, при котором Л ->- Лп В -* Вv а полуплос- скость с границей АВ, содержащая точку С, отображается на полуплоскость страницей Л1В1, содержащую точку Сх. 541. Рассмотрите перемещение, при котором А С, С ^ А, В -+ В, где В — вершина треугольника. 542. Рассмотрите перемещение, при котором А -> С, С -> А. 543. Перемещение, при котором А ->- Аи В -> Bi, отобразит точку D на точку Dt и луч BD на луч BVDV Сле
довательно, BAD = B1A1D1, но тогда А = Av Указанное перемещение отобразит [ЛС) на [ЛХСХ) и точку С на точку Cv Значит, ZxABC = △ ЛДСр 544. Рассмотрите перемещение, при. котором А ->• At, В -> Въ С -> Cv 547. Пустым множеством, точкой, прямой, плоскостью. 548. Воспользуйтесь тем, что А->А', В -> В', а-> а', где 1 Л'В'| = | ЛВ|, а а и а' — полуплоскости с границами
АВ и А'В', можно отобразить единственным перемещением, а также тем фактом, что в полуплоскости с границей А'В' содержится единственная точка, находящаяся от точек А' и В' на заданных расстояниях. 549. Воспользуйтесь предыдущей задачей. 550. Воспользуйтесь задачами 168 и 548. 551. Воспользуйтесь предыдущей задачей и задачами 301, 404, 460. 552. Покажите, что: а) композиция перемещений отображает плоскость на себя и сохраняет расстояния; б) (L3 о (L2 о о L^ (X) = ((L3 о В2) о L^ (X). 553. Перемещение I рода есть: а) поворот, если оно имеет единственную неподвижную точку; б) тождественное отображение, если оно имеет две неподвижные точки; в) параллельный перенос, если оно не имеет неподвижных точек. Перемещение II рода есть: а) осевая симметрия, если оно имеет неподвижную точку; б) скользящая симметрия, если оно не имеет неподвижных точек. Перемещение, имеющее неподвижную прямую, является тождественным отображением, если оно I рода, и осевой симметрией, если оно II рода. (Неподвижной прямой перемещения считают прямую, каждая точка которой неподвижна при этом перемещении.) 554. ZA (А) = A, f (А) = В, тогда ZA (В) = = В, т. е. В = А. Значит, / (А) = А, а потому /— осевая симметрия. 555. а) Пусть перемещение I рода L отображает точки А и В соответственно на точки А' и В'. Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы ее началом служила точка А, а положительное направление оси Ох определялось направленным отрезком АВ. Композиция поворота R^, где а — величина ориентированного угла ВАВу ([ABJ ft [А'В'), I ABJ = | А'В'|, и параллельного переноса Т: А -> Ау отобразит А -> А', В -> В'. Так как существует единственное перемещение I рода, при котором А -> А'э В В', то L = Т о RA. Далее воспользуйтесь координатными формулами поворота вокруг начала координат и параллельного переноса (задачи 453 и 342). б) Пусть L (А) = A', L (В) = В'. Выберем систему координат так же, как в первом случае. Тогда L = Т ° RA о SOx.
ГОМОТЕТИЯ И ПОДОБИЕ
Н^ = ZQ; к = ±1. 558. Докажите, что две различные точки гомотетия переводит в две различные точки. 559. Центр гомотетии, если к Ф 1. При к = 1 гомотетия есть тождественное отображение. 561. к = j *. 563. Верно.
С € (А'В'); К' лежит между А' и В'. 565. а) Да; б) да; в) нет; г) да; д) да. 567. Если к Ф 1, то это прямые, содержащие центр гомотетии. 569. A' (&а; kb^. 570. Верно; используйте решение предыдущей задачи. 571.
Д' (0; 4), В' (—4; 6), С' (—10; 8). 572. а) к = 2; б) к = — 2; в) к = — j; 1/3\
к = —. 573. М (—3; 4), М' I— — 21. 584. Воспользуйтесь решением задачи 562. 558. М'= о' П [ОМ), К — a f| [О/С). 586. Используйте тот факт, что гомотетичные прямые параллельны. 587. Смотрите решение задачи
589. М'=[0М)П[А'К), где ОА'К=0АМ. 590. Пусть окружность F* —
Рис. 107Рис. 107образ данной окружности F при гомотетии с центром в точке О (рис. 106). Отметим произвольную точку М, не принадлежащую данной окружности F, и построим ее образ при указанной гомотетии с помощью одной линейки. Для этого возьмем некоторую точку К данной окружности F и построим ее образ К' (К' £ОК fl F'). Пусть прямая КМ пересекает окружность F в точке С, образом которой является точка С'. Образ М' точки М принадлежит прямой К'С' и прямой МО, т. е. М' = (К'С') П (МО). 592. Воспользуйтесь тем, что гомотетичные прямые параллельны. 593. Воспользуемся тем, что гомотетия отображает прямую на параллельную ей прямую. Любые две параллельные прямые, пересекающие данные прямые а и Ь, можно рассматривать как соответственные при гомотетии с центром в точке пересечения прямых а и Ь. Пусть прямая т пересекает прямую а в точке А, а прямуюЬ—-в точке В (рис. 107). Прямая п, параллельная прямой т, пересекает прямую а в точке Л' и прямую b в точке В'. Пары точек А и А', Ви В' являются соответственными при гомотетии. По
Рис. 107
Рис. 107
строим точку М', соответственную точке М. Для этого проведем прямую, содержащую точку Л' и параллельную прямой АМ, и прямую, содержащую точку В' и параллельную прямой ВМ. Точка пересечения построенных прямых и является образом точки М. Следовательно, прямая ММ' и будет содержать «недоступную» точку пересечения прямых а и Ь (центр гомотетии). 594. О = [ЛЛ'] Q [ВВ'], если А, А', В, В' не принадлежат одной прямой. Если точки А, А', В, В' принадлежат одной прямой, отметьте точку К ^ (АВ) и постройте образы прямых КА и В К. 595. Да; бесконечно много; центром гомотетии может быть любая точка плоскости, не принадлежащая данным прямым. 596. Прямая, параллельная прямой а и отстоящая от нее на расстоянии, равном расстоянию между прямыми а и Ь. 597. Нет. 598. Две гомотетии. Обозначим концы первого отрезка Л и В, второго— С и D, тогда Ог = (AC) П (BD), О2 = (AD) П (ВС), где Ot и О2 — центры гомотетии. 599. а) Центром гомотетии может быть любая точка прямой, проходящей через начала лучей, за исключением точек отрезка, концами которого являются начала лучей, б) Центром гомотетии может быть любая внутренняя точка отрезка, концами которого являются начала данных лучей. 600. а; Бесконечное множество (центром гомотетии может быть любая точка прямой, содержащей вершины углов, за исключением точек отрезка, концами
которого служат вершины углов, & > 0). б) Бесконечное множес1во (центром гомотетии может быть любая внутренняя точка отрезка, концами которого служат вершины углов, к < 0). 601. Две (коэф- фициенты гомотетии равны ± > где гх, Г2
г2 — радиусы окружностей). Центры гомотетий совпадают в случае совпаде
ния центров окружностей. В этом случае центрами гомотетий является центр окружностей. Построение центров гомотетий показано на рисунке 108. 602,Центром гомотетии является вершина вертикальных углов, к < 0. 603, Центром гомотетии является точка пересечения медиан треугольника АВС, к = = — ~. 605. Если стороны треугольника параллельны. 606. Да; к = ±~ ^или 3\
к = + — L 607. Если соответственные стороны прямоугольников пропорциональ
ны. 608. Если стороны квадратов параллельны; если соответственные стороны параллелограммов параллельны и пропорциональны. 610. а) к = —3; б) точка С. 611. Бесконечное множество; центрами гомотетий являются внутренние точки отрезка АС;к<0. 512. у = —2х + 3. 613. Решите систему уравнений у = —5х + 1,5,
2
/4614. А — — \3*как А а» то/4614. А — — \3*как А а» то5 \— —615. Предположим, что Яф(А) = В (А ^ а, В ^Ь\ ТакВ ^ а', где а' ~ HytoY Кроме того, точка В по условию5 \— —615. Предположим, что Яф(А) = В (А ^ а, В ^Ь\ ТакВ ^ а', где а' ~ HytoY Кроме того, точка В по условиюпринадлежит прямой b. Поэтому 8 = 6 f| ^- 618—621, Решаются аналогия-принадлежит прямой b. Поэтому 8 = 6 f| ^- 618—621, Решаются аналогия-но задаче 615. 622. При гомотетии с центром в начале координат и А (а, Ь) ->- В (—2а, —28). Так как точка А (а, Ь) принадлежит у = Зх + 2, то b = За + 2, а так как В (—2а; —28) принадлежит у = —2х + 4, то —28 = 4а + 4 или —8 = 2а + 2. Решив систему ний Г 8 = За + 2, найдем, что а = —0,8, 8 = —0,4.[ — 8 = 2а + 2. О т в е т. А (—0,8; —0,4); В (1,6; 0,8).но задаче 615. 622. При гомотетии с центром в начале координат и А (а, Ь) ->- В (—2а, —28). Так как точка А (а, Ь) принадлежит у = Зх + 2, то b = За + 2, а так как В (—2а; —28) принадлежит у = —2х + 4, то —28 = 4а + 4 или —8 = 2а + 2. Решив систему ний Г 8 = За + 2, найдем, что а = —0,8, 8 = —0,4.[ — 8 = 2а + 2. О т в е т. А (—0,8; —0,4); В (1,6; 0,8).А = —2 прямой прямой уравне-А = —2 прямой прямой уравне-623. Решается аналогично предыдущей задаче. 624. Анализ. Предположим, что задача решена и прямая MN— искомая (рис. 109). Так как точка623. Решается аналогично предыдущей задаче. 624. Анализ. Предположим, что задача решена и прямая MN— искомая (рис. 109). Так как точкаР лежит между точками М и N и | /ИР| : | PN\ = ся на точку М при гомотетии с центром Ри k —. Но точка N принадлежит лучуВС. Следовательно, точка М принадлежит лучу В'С', на который отображается луч ВС при гомотетии с центром Р и к = — -~. Кроме того, точка М по условию принадлежит лучу ВА. Поэтому М = [ВЛ) Q [В'С'). Построение.Р лежит между точками М и N и | /ИР| : | PN\ = ся на точку М при гомотетии с центром Ри k —. Но точка N принадлежит лучуВС. Следовательно, точка М принадлежит лучу В'С', на который отображается луч ВС при гомотетии с центром Р и к = — -~. Кроме того, точка М по условию принадлежит лучу ВА. Поэтому М = [ВЛ) Q [В'С'). Построение.11: 2, то точка N отображает-: 2, то точка N отображает-Строим [В'С') = Я 2 ([ВС)). Обозначим точ-Строим [В'С') = Я 2 ([ВС)). Обозначим точ-
/4
614. А — — \3*
как А а» то
/4
614. А — — \3*
как А а» то
5 \
— —615. Предположим, что Яф(А) = В (А ^ а, В ^Ь\ Так
В ^ а', где а' ~ HytoY Кроме того, точка В по условию
5 \
— —615. Предположим, что Яф(А) = В (А ^ а, В ^Ь\ Так
В ^ а', где а' ~ HytoY Кроме того, точка В по условию
принадлежит прямой b. Поэтому 8 = 6 f| ^- 618—621, Решаются аналогия-
принадлежит прямой b. Поэтому 8 = 6 f| ^- 618—621, Решаются аналогия-
но задаче 615. 622. При гомотетии с центром в начале координат и А (а, Ь) ->- В (—2а, —28). Так как точка А (а, Ь) принадлежит у = Зх + 2, то b = За + 2, а так как В (—2а; —28) принадлежит у = —2х + 4, то —28 = 4а + 4 или —8 = 2а + 2. Решив систему ний Г 8 = За + 2, найдем, что а = —0,8, 8 = —0,4.
[ — 8 = 2а + 2. О т в е т. А (—0,8; —0,4); В (1,6; 0,8).
но задаче 615. 622. При гомотетии с центром в начале координат и А (а, Ь) ->- В (—2а, —28). Так как точка А (а, Ь) принадлежит у = Зх + 2, то b = За + 2, а так как В (—2а; —28) принадлежит у = —2х + 4, то —28 = 4а + 4 или —8 = 2а + 2. Решив систему ний Г 8 = За + 2, найдем, что а = —0,8, 8 = —0,4.
[ — 8 = 2а + 2. О т в е т. А (—0,8; —0,4); В (1,6; 0,8).
А = —2 прямой прямой уравне-
А = —2 прямой прямой уравне-
623. Решается аналогично предыдущей задаче. 624. Анализ. Предположим, что задача решена и прямая MN— искомая (рис. 109). Так как точка
623. Решается аналогично предыдущей задаче. 624. Анализ. Предположим, что задача решена и прямая MN— искомая (рис. 109). Так как точка
Р лежит между точками М и N и | /ИР| : | PN\ = ся на точку М при гомотетии с центром Р
и k —. Но точка N принадлежит лучу
ВС. Следовательно, точка М принадлежит лучу В'С', на который отображается луч ВС при гомотетии с центром Р и к = — -~. Кроме того, точка М по условию принадлежит лучу ВА. Поэтому М = [ВЛ) Q [В'С'). Построение.
Р лежит между точками М и N и | /ИР| : | PN\ = ся на точку М при гомотетии с центром Р
и k —. Но точка N принадлежит лучу
ВС. Следовательно, точка М принадлежит лучу В'С', на который отображается луч ВС при гомотетии с центром Р и к = — -~. Кроме того, точка М по условию принадлежит лучу ВА. Поэтому М = [ВЛ) Q [В'С'). Построение.
1
1
: 2, то точка N отображает-
: 2, то точка N отображает-
Строим [В'С') = Я 2 ([ВС)). Обозначим точ-
Строим [В'С') = Я 2 ([ВС)). Обозначим точ-
ку пересечения лучей В'С' и В А через М. Прямая МР— искомая. Доказательство. Обозначим точку пересечения луча ВС и прямой МР через N. При гомотетии с центром Р и к =—^[ВС)-> \BrС'), N-* М. Сле
довательно, | МР\: | PN\ = 1 : 2. Исследование. Проведем произвольный отрезок KL (К Е [ВЛ), L £ [ВС)), содержащий точку В'. Точки К и L принадлежат различным полуплоскостям с границей (В'С'). Точка
В лежит в одной полуплоскости с точкой L, ибо в противном случае (В'С') пересекла бы отрезок BL, но [BL) || (В'С'). Значит, точки К и В лежат
в различных полуплоскостях с границей (В'С'). Поэтому прямая В'С' имеет с отрезком КВ единственную общую точку. Следовательно, задача
всегда имеет единственное решение. 625. Анализ. Предположим,
что задача решена и прямая АВ—искомая (рис. 110). Так как точка
М лежит между А и В ([ЛЛ4] U [МВ] = [ЛВ]) и |ЛЛ4| : |/ИВ|=
= 2:3, то= 2:3, тогомотетия с центромгомотетия с центром2
= 2:3, то
= 2:3, то
гомотетия с центром
гомотетия с центром
М и к = — “ отобразит точку А на точку В.
Но точка А принадлежит окружности (обозначим ее через Fj). Следовательно, точка В принадлежит окружности Fp на которую отображается окружность
Ft при рассматриваемой гомотетии. Кроме того, точка В по условию принадле
жит другой данной окружности (обозначим ее через F2). Поэтому В — точка пересечения окружностей F2 и Fp Построение. Строим образ окружности
2
Ft при гомотетии с центром М и к = ——. Обозначим точку пересечения окруж
ностей Fx и F2 (если она существует) через В. Построим точку А, являющуюся прообразом точки В при рассматриваемой гомотетии. Точки А и В— ис
комые. Доказательство. Так как точка В принадлежит окруж- ности Fp то ее прообраз А принадлежит окружности Ft. Далее, Нм з ^=В,
следовательно, [AM] U [Л4В] = [ЛВ] и | АМ| : | МВ\ = 2 : 3. Исследование. Задача может иметь два решения, если окружности F*x и F2 пересекаются в двух точках (рис. ПО), одно решение, если окружности F*x и F2 имеют только одну общую точку; не иметь решения, если эти
бесконечное множествобесконечное множествоокружности не пересекаются. Задача может иметь и
бесконечное множество
бесконечное множество
решений, если окружности Fx и F2 совпадают.
Рис. ПОРис. ПОз
Рис. ПО
Рис. ПО
626. 45 см. 627. 27 см, Н^ ^АВС^ = = ZXMKC. 628. [EF]— образ отрезка. АВ при гомотетии с центром С, далее воспользуйтесь свойством гомотетии сохранять отношение расстояний. 629. Точки деления принадлежат образу данной прямой при гомотетии с центром в точке А и коэффициентом, равным дан-
ному отношению. 630. Точка О является центром гомотетии, отображаю-
I ВС I
щей [ВС] на [ЯР]. 631. Рассмотрите гомотетию с центром О и k =—.
|ДР|
Соответственные стороны прямоугольников должны быть пропорциональны. 633. Рассмотрите гомотетию с центром О, отображающую [ВС] на [ЯР]. 634. Гомотетия с центром М, при которой [ВС]->[ЯР], отобразит окружность, вписанную в трапецию ABCD на окружность, вписанную в фигуру, являющуюся объединением основания AD и продолжений сторон В Я и CD. Действительно, так как первая окружность касается лучей МА, MD и отрезка ВС, то ее образ при рассматриваемой гомотетии должен касаться образов лучей МА, MD и отрезка ВС, т. е. лучей МА, MD и отрезка ЯР. Первая окружность касается отрезка ВС в точке F, тогда точкой касания ее образа (второй окружности) с отрезком AD служит точка пересечения прямой MF с отрезком ЯР, т. е. точка К. 635. Пусть Е и F — соответственно середины оснований ВС и AD, О = [ЯВ) Q [СР) и М = [ВР] (] [ЯС]. Так как гомотетия с центром О, при которой [ВС]->[ЯР], отображает точку Е на точку F, то точки О, Е, F принадлежат одной прямой. Гомотетия с центром М, при которой [ВС]-> [РЯ], также отображает точку £ на точку F, следовательно, точки М, Е, F принадлежат одной прямой. 636. Воспользуйтесь реше-
3 нием предыдущей задачи. 637. Рассмотрите гомотетию с центром Я и А = ~.
Используйте гомотетию с центром в точке В, отображающую /г на Z2. 639. Гомотетия с центром М, отображающая одну окружность на другую, отобразит (ЯВ) на (СР). 640. При гомотетии с центром О lt -> Z2, L -> М.
|ОМ|3
Следовательно, =®41.642. Вначале постройте треугольник так,
чтобы его стороны были параллельны данным прямым, а две вершины принадлежали сторонам данного треугольника. Затем отобразите построенный треугольник гомотетий с центром в вершине данного треугольника так, чтобы все вершины оказались на сторонах треугольника. 643. Обозначим вершины данного треугольника через А, В, С, ([ЯС] — основание). Из произвольной точки ^ стороны Я В проведите перпендикуляр N' К' к основанию АС и на отрезке N'К* постройте квадрат N* К*и М*. Затем рассмотрите гомотетию с центром Я, при которой Mr М ^М ^ [ВС]). Данная гомотетия отобразит квадрат N'K'UM* на квадрат NKLM, вершины N и М которого принадлежат боковым сторонам АВ и ВС треугольника АВС, а сторона KL — основанию АС. Задача имеет единственное решение, если ни один из углов Я и С треугольника АВС не будет тупым, и не имеет решения, если один из углов Я и С—тупой. 644. а) Постройте вначале треугольник АВС так, чтобы его углы САВ и АВС были конгруэнтны данным углам, затем рассмот- \CD\
рите гомотетию с центром в точке С и ^= ——, где [CD] — высота треуголь
ника ABC, a h—длина высоты искомого треугольника; в) постройте треугольник с заданным отношением длин его сторон и преобразуйте его гомотетией с центром в одной из вершин треугольника. 646. Предположим, что окружность Ft — искомая, Ot — ее центр. Так как окружность Ft касается данных прямых lt и /2, то точка Ot принадлежит биссектри-
Рис. 112
се угла, стороны которого принадлежат прямым /^ и /2 (рис. 111). Кроме того, точки 01 и О (центр данной окружности F) являются соответственными при гомотетии с центром в точке М касания окружностей Ft и F. Эта гомотетия отобразит прямые /^ и /2 на прямые Ц и Z2, которые касаются окружности F и параллельны прямым lt и /2. Точке Р пересечения прямых It и Z2 соответствует точка Р* пересечения прямых 1Х и Z2, следовательно, М С (РР'У Отсюда вытекает построение: проводим к данной окружности касательные, параллельные данным прямым; прямая, содержащая точку их пересечения и данную точку Р, пересекает данную окружность в искомой точке касания. Центр искомой окружности есть точка пересечения прямой ОМ с биссектрисой угла между данными прямыми, параллельной прямой Р'О. Так как существуют две касательные к окружности F, параллельные прямой 1Ъ и две касательные, параллельные прямой Z2, то точка Р’ может занимать на плоскости четыре различных положения. Прямая может пересекать окружность в двух точках, следовательно, наибольшее число решений задачи равно восьми. 647. Используйте гомотетию с центром в точке пересе
чения медиан треугольника и к =—~. 648. Гомотетия с центром О (рис.
112), при которой окружность F отображается на окружность R, отобразит точку А на точку А', точку В на точку В* (образ точки А принадлежит окружности R и лучу ОА). Следовательно, (А'В') || (АВ), тогда
ОМА = ОМ^А’; ОМА = ^ ОЯМ = ^ (ОА’ + ЯМ), а
11~—-
ОМ'А' = — (ОА' + МВ'). Значит, — (ОА' + ЯМ) = —(ОЯ + МВ),
откуда А* М = МВ' Из последнего следует, что А’ОМ = МОВ' (величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опи
рается). 649. к = —-. 650. а) Нет; да. б) Да. Композиция гомотетии с центром в
1 2 кривую X = ~ у21 2 кривую X = ~ у2начале координат и к = 2 и осевой симметрии относительно биссектрисы I и
1 2 кривую X = ~ у2
1 2 кривую X = ~ у2
III координатных углов отобразит кривую у = х2 на
H^W = Хъ Ну (XJ = Ха, югда 0Хг = ^ ОХ, оХ = MX или ОХа = (к, • к2) ОХ, т. е. Х2 = Н^» (X). Задача может быть решена и аналитически. Приведем решение.
uR^, ^1 == ^1^»^2 == ^2 * ^1»
°' у< = М; "°' уг = ^ • Ут;
"о "О • у2 = (^ . fe2)y.
Это значит, что Hq* о Hq< = Н^. Из доказанного следует, что композиция двух гомотетий с общим центром обладает переместительным свойством:
»<? О Н^ = Hkd о Нд2.
Воспользуйтесь результатом предыдущей задачи. 655. Пусть Hq1 (X) = Х^ а Яо2(Х1)=Х2. Тогда ОгХг=^ • ОгХ и О2Х^ = к2 • O2Xt (1). Используя свойство
—>- >—1 ■ >- ■ >
векторов, получим: О2Х2 = ОгХг — OtO2 (2). Поставим в (I) вместо О2Хх его — ■ >— >—- >
значение из (2): О2Х2 = к2 (kT * ОгХ — ОгО2) (3). а) Если кг • к2= 1, то —►■-■ >
ХХ2 = (1 — к2) ОгО2. б) Если существует точка О, отображающаяся ком-
она определяется согласно (3) соотно-При feife2=^ 1, вычитая почленноТаким образом, если кг • к2 = 1, то О] и О2 и коэффициентами fet и к2она определяется согласно (3) соотно-При feife2=^ 1, вычитая почленноТаким образом, если кг • к2 = 1, то О] и О2 и коэффициентами fet и к2позицией данных гомотетий на себя, то шением: О2О = /?2 ^OyO — OiO2) (4). (4) из (3), получим ОХ2 = (fei^2) • ОХ. композиция двух гомотетий с центрами
она определяется согласно (3) соотно-
При feife2=^ 1, вычитая почленно
Таким образом, если кг • к2 = 1, то О] и О2 и коэффициентами fet и к2
она определяется согласно (3) соотно-
При feife2=^ 1, вычитая почленно
Таким образом, если кг • к2 = 1, то О] и О2 и коэффициентами fet и к2
есть параллельный перенос в направлении ОгО2 на расстояние, равное длине вектора (1 —к2) • OtO2. Если кг • k2^ 1, то композиция двух гомотетий с центрами Ог и О2 и коэффициентами кг и к2 есть гомотетия с коэффициентом — >
кг • к2. Центр О гомотетии определяется равенством (1 — кгк^ • ОгО = —>- ►
= (1 — k2) • ОХО2 (5), которое получается из равенства (4) заменой О9О - >—1 >- ►
на O2Ot + ОгО = О2О. Из равенства (5) следует, что точки Оь О2 и О принадлежат одной прямой. 656. а) Композиция двух гомотетий с центрами С\ и 02 и коэффициентами, равными соответственно 2 и 3, есть гомотетия с коэффициентом, равным 6. Для построения центра О гомотетии воспользуемся равенством (5) из задачи 655: (1 — 2 • 3) • OtP = (1 — 3) ОХО2 или ОТО =
Hq является образом точки 02 при го-Hq является образом точки 02 при го-Композиция гомотетии с центром Ог иКомпозиция гомотетии с центром Ог и2—>о
Hq является образом точки 02 при го-
Hq является образом точки 02 при го-
Композиция гомотетии с центром Ог и
Композиция гомотетии с центром Ог и
= —OyO2. Центр О гомотетии Hq
52
о центром О2 и коэффициентом А2 = 3
есть параллельный перенос (вектор a = —2 • 0^0^. 657. Гомотетия с цент- 1
ром Ai и к = — отображает точку Л на точку В, гомотетия с центром Bt и
Рис. 113Рис. 11316=~ отображает точку В на точку С, гомо- 1тетия с центром Cj и 6= — отображает точку С на точку D и, наконец, гомотетия с центром D1 и /г = — отображает точку D на точку А Композиция четырех гомотетий с центрами Дъ B1f Cj, Dj и /г = ~ есть гомотетия 1с коэффициентом, равным Эта гомотетия отображает точку А на себя, следовательно, точка А совпадает с центром гомотетии. Для построения точки А следует взять две произвольные точки X и К и построить их образы X' и У'16=~ отображает точку В на точку С, гомо- 1тетия с центром Cj и 6= — отображает точку С на точку D и, наконец, гомотетия с центром D1 и /г = — отображает точку D на точку А Композиция четырех гомотетий с центрами Дъ B1f Cj, Dj и /г = ~ есть гомотетия 1с коэффициентом, равным Эта гомотетия отображает точку А на себя, следовательно, точка А совпадает с центром гомотетии. Для построения точки А следует взять две произвольные точки X и К и построить их образы X' и У'при композиции указанныхпри композиции указанныхчетырех гомотетий, тогда А = (XX') П (У У). 658. Рочетырех гомотетий, тогда А = (XX') П (У У). 658. РоIMBIмотетия с центром М и к = ^^ отображает точку А на точку В, гомоте-IMBIмотетия с центром М и к = ^^ отображает точку А на точку В, гомоте-ти я с центром К и к =ти я с центром К и к =/ КС IЮ// КС IЮ/ИС| ,п„ _ |МВ|i^^j отображает точку В на точку С. Так как хИС| ,п„ _ |МВ|i^^j отображает точку В на точку С. Так как хто композиция указанных гомотетий есть гомотетия с центром Ото композиция указанных гомотетий есть гомотетия с центром Ои к =и к =|МВ||МВ|| ATS | |ЛМ| |КС|| ATS | |ЛМ| |КС||ЛС|Х |КВ||С£||ЛС|Х |КВ||С£||МД| |Кв| \АЕ\’|МД| |Кв| \АЕ\’ыW |8К|.Из равенства — . —|С£|т.. е. А = , ,„ . Но гомотетия |Л£|ыW |8К|.Из равенства — . —|С£|т.. е. А = , ,„ . Но гомотетия |Л£|еетакже отображает точку А на точку G. Следовательно,также отображает точку А на точку G. Следовательно,|СЕ| 1 а—— = 1 найдем, что |ЛЕ||СЕ| 1 а—— = 1 найдем, что |ЛЕ||С£|центром Е и 6 =I АЕI|С£|центром Е и 6 =I АЕIточка О совпадает с точ-точка О совпадает с точ-кой Е. Таким образом, точки М, К и Е принадлежат одной прямой 659. а) Да;б) нет; в) да; г) нет. 660. | А’В' |= к\ АВ |. Значит, | АВ | = — | Д'в'|. 661. ккой Е. Таким образом, точки М, К и Е принадлежат одной прямой 659. а) Да;б) нет; в) да; г) нет. 660. | А’В' |= к\ АВ |. Значит, | АВ | = — | Д'в'|. 661. к
Рис. 113
Рис. 113
1
6=~ отображает точку В на точку С, гомо- 1
тетия с центром Cj и 6= — отображает точку С на точку D и, наконец, гомотетия с центром D1 и /г = — отображает точку D на точку А Композиция четырех гомотетий с центрами Дъ B1f Cj, Dj и /г = ~ есть гомотетия 1
с коэффициентом, равным Эта гомотетия отображает точку А на себя, следовательно, точка А совпадает с центром гомотетии. Для построения точки А следует взять две произвольные точки X и К и построить их образы X' и У'
1
6=~ отображает точку В на точку С, гомо- 1
тетия с центром Cj и 6= — отображает точку С на точку D и, наконец, гомотетия с центром D1 и /г = — отображает точку D на точку А Композиция четырех гомотетий с центрами Дъ B1f Cj, Dj и /г = ~ есть гомотетия 1
с коэффициентом, равным Эта гомотетия отображает точку А на себя, следовательно, точка А совпадает с центром гомотетии. Для построения точки А следует взять две произвольные точки X и К и построить их образы X' и У'
при композиции указанных
при композиции указанных
четырех гомотетий, тогда А = (XX') П (У У). 658. Ро
четырех гомотетий, тогда А = (XX') П (У У). 658. Ро
IMBI
мотетия с центром М и к = ^^ отображает точку А на точку В, гомоте-
IMBI
мотетия с центром М и к = ^^ отображает точку А на точку В, гомоте-
ти я с центром К и к =
ти я с центром К и к =
/ КС I
Ю/
/ КС I
Ю/
ИС| ,п„ _ |МВ|
i^^j отображает точку В на точку С. Так как х
ИС| ,п„ _ |МВ|
i^^j отображает точку В на точку С. Так как х
то композиция указанных гомотетий есть гомотетия с центром О
то композиция указанных гомотетий есть гомотетия с центром О
и к =
и к =
|МВ|
|МВ|
| ATS | |ЛМ| |КС|
| ATS | |ЛМ| |КС|
|ЛС|
Х |КВ||С£|
|ЛС|
Х |КВ||С£|
|МД| |Кв| \АЕ\’
|МД| |Кв| \АЕ\’
ыW |8К|
.Из равенства — . —
|С£|
т.. е. А = , ,„ . Но гомотетия |Л£|
ыW |8К|
.Из равенства — . —
|С£|
т.. е. А = , ,„ . Но гомотетия |Л£|
е
е
также отображает точку А на точку G. Следовательно,
также отображает точку А на точку G. Следовательно,
|СЕ| 1 а
—— = 1 найдем, что |ЛЕ|
|СЕ| 1 а
—— = 1 найдем, что |ЛЕ|
|С£|
центром Е и 6 =
I АЕI
|С£|
центром Е и 6 =
I АЕI
точка О совпадает с точ-
точка О совпадает с точ-
кой Е. Таким образом, точки М, К и Е принадлежат одной прямой 659. а) Да;
б) нет; в) да; г) нет. 660. | А’В' |= к\ АВ |. Значит, | АВ | = — | Д'в'|. 661. к
кой Е. Таким образом, точки М, К и Е принадлежат одной прямой 659. а) Да;
б) нет; в) да; г) нет. 660. | А’В' |= к\ АВ |. Значит, | АВ | = — | Д'в'|. 661. к
Композиция двух подобий отображает плоскость на себя и сохраняет отношение расстояний; если | А* В* | = ку | АВ |, | A'Br | = fe2 I А'В* |, то | АпВп |= кгкг | АВ | 662. Да. 663. Да. 664, Покажите, что существует единственное отображение F = ^л*° ^» ПРИ котором А-^А*, В -► В1, С ->С\ Далее воспользуйтесь задачей 661. 665. F = Е о F = (Нк0 оН^к) о F = Hq о . ^fe «Г)= H^L, где к — коэффициент подобия F, а О — произвольная точка плоскости. 666. Постройте медиану 41Л41 треугольника АХВХСХ и отметьте на ней такую точку Хь чго АхКх =2 - | Д К | 668. а) Да; б) нет. 669. Подобие определяется заданием трех различных точек, не принадлежащих одной прямой, и их образов. 671. Пусть при гомотетии, отображающей одну из окружностей на другую, точка А перейдет в точку Дг Далее рассмотрите поворот, центром которого является центр окружности, содержащей точки At и В, и при котором АХ-*В 673. Данное отображение F= H20oS0x.
Пусть BPBt = а (рис. 113), гот да АО At = ВОВ^ = а. Поворот вокруг
точки О на а отображает [Л В] на [Л2В2]. Следовательно, LKB2 = а и (Л2В2) II II И1В1). Далее рассмотрите гомотетию с центром О и к = *^. 674. Два центра
Л и В гомотетии можем найти (задач 601). Пусть точка М является центром подобия, отображающего одну окружность на другую. Тогда |Л4О1| : |Л4О2| = к, где Ог и О2 — центры данных окружностей, т. е. [МЛ) является биссектрисой угла OtMO2 (по свойству биссектрис углов треугольника). Аналогично [МВ) — биссектриса угла, внешнего по отношению к углу ОгМО2. Угол между [МВ) и [МЛ) равен 90°, поэтому точка М принадлежит окружности с диаметром АВ. Любая точка этой окружности есть центр подобия, отображающего одну из окружностей на другую. 675. Преобразование подобия называется подобием I
рода, если оно не изменяет ориентацию плоскости. Подобие I рода определяется заданием двух пар соответственных точек. Действительно, пусть при подобии с коэффициентом к Л -> Л', В->В’, тогда образом произвольной точки X является точка X* Е окр. (Л'; /г-|ЛХ|) fl окр. (В'; fe-|BX|) такая, что треугольники АХВ и А'X’В* одинаково ориентированы. Пусть подобие F определяется двумя парами соответственных точек Л, А* и В, В', тогда |Л'В' | Ф |ЛВ|, ибо в противном случае подобие F являлось бы перемещением I рода, т. е. поворотом вокруг точки или параллельным переносом. Если (Л В) || (Л'В'), то подобие явля-
,1 Л'В' I
ется гомотетией, центром которой служит 0 = (ЛЛ ) fl (ВВ ) и к ——77Т- IЛВ I
В этом случае подобие можно рассматривать как композицию гомотетии с центром О и поворота вокруг точки О на 0°. Рассмотрим случай, когда прямые АВ и АгВ’ пересекаются в некоторой точке М. Используя результат решения задачи 673, получим, что точки Л и В можно отобразить соответственно на точки А' и
В' композицией гомотетии с центром О и поворота вокруг той же точки О. Точка О есть точка пересечения окружности, содержащей точки М, А, А', и окружности, содержащей точки М, В, В*. В этом случае подобие есть композиция го
мотетии с центром в некоторой точке и поворота вокруг той же точки. Заметим, что теорема имеет место, если подобие является поворотом вокруг точки. В этом
случае это подобие можно рассматривать как композицию гомотетии с к = 1 и поворота. Вместе с тем доказано, что при всяком подобии I рода, отличном от
параллельного переноса, существует единственная неподвижная точка. 676
Предположим, что О — центр искомого подобия, а / — ось симметрии, содер
А*А*АРис. 114АРис. 114жащая точку О (рис. 114), тогда прямая О А' должна быть симметрична прямой О А относительно оси /, а прямая OB’ — прямой ОВ, и оси I принадлежит биссектриса угла О в треугольниках АО А' и ВОВ*. Следовательно, ось I должна содержать точки Р и Q, делящие соответственно отрезки АА’ и ВВ* в отношении, равном коэффициенту подобия к;
А*
А*
А
Рис. 114
А
Рис. 114
|РА II ОД I|АВ I’
|B'Q|_|ОВ'| М'В'|
|QB||ОВ||ДВ|
(свойство биссектрисы вну|реннего угла греугольника). Точка О является точкой пересечения оси I с прямой АгА', где Ai = S/ (А).
Из сказанного следует способ построения центра подобия и оси симмег- рии, содержащей центр подобия Пусть А -> А', В -> В'. Находим точку Р, ли \А'Р\1Л'в'1 л
делящую отрезок А А в отношении к = ------- = ~—”, и точку Q, делящую I РА | I АВ I
отрезок ВВ* гакже в отношении к. Прямая PQ является осью симметрии. Далее строим отрезок BTAi, симметричный отрезку АВ относительно оси PQ. Точка О = (A'Ai) Q (PQ) — центр подобия. Композиция гомотетии с центром О и осевой симметрии с осью PQ, содержащей точку О, отобразит А -> А', В -> В*. Ясно, что прямая, содержащая точку О и перпендикулярная прямой PQ, так же как и прямая PQ, отображается при найденном подобии на себя. Таким образом, при подобии II рода существует неподвижная точка и пара взаимно перпендикулярных прямых, отображающихся при этом подобии на себя.
а). Воспользуйтесь тем, что центр М подобия обладает свойствами:
АМА^ = ВМВХ и | АМ |: | А^М | = | ВМ | : | ВХМ | б) Пусть Р и Рг—точки пересечения произвольной прямой I с окружностями, тогда &РМРг по АД/И Аг Значит, данное подобие отобразит точку Р на точку Рг. 678. Воспользуйтесь решением задачи 673 и решением предыдущей задачи 679. Точки А и Ах являются соответственными при подобии с центром в другой точке пересечения окружностей R и S. Данное подобие отобразит касательную к окружности R в точке А на касательную к окружности S в точке А(, а потому угол между касательными равен углу поворота. 680. Воспользуйтесь тем, что
\ АС |
Н D СВ 1 о ^(ЛОСВ) = ДОС А.
№ = h о fi = (Яд о Si) о (Я* о St) = (Я& о Si) о (St о Я^)=Я^ о Я*=я£.
Композиция томотетий с центрами Ai и А2, при которых «ч -► су, w -► w2, отобразит точку Ог на точку О2, а точку Вг на точку В2. Поскольку композиция гомотетий с различными центрами либо гомотетия, либо параллельный перенос (см. задачу 655), то прямые AtA2, ОХО2, ВхВг соответственно либо пересекаются в одной точке, либо параллельны. 685. Покажите, что 1
^| cosa/2|0£a/2 (А') =_ а0, где д* _ середина стороны АВ, а Ао = (АВ) Q П кА\Вх) Тогда квадрат А’В1 CD' указанным подобием отобразится на че!ы- рехугольник AQBQC0D0, а поэтому последний является квадратом.
686 F I х' = M* cos a У sin a) + °»
*| у' = Mx sin a + У cos a) + b, если
F - подобие I рода; FI ^ = М/ cos a + > sin a> + ?\
I у = k (—x sin a + у cos a) + b,
если F — подобие II рода. Воспользуйтесь тем, что F = Lo о Hq.
Пусть Н^ (X) = X', Нк0 (К) = К', Т (X') = X" , Т (Yf) = Y”, тогда ЭСУ'— kXY, X”Y" = xV'. Следовательно, XT = hXY, а потому X" = HkOt (X). Y" = Hq (К), где Ox = (XX") f| (YY"). Рассуждая аналогично, получим, что композиция параллельного переноса и гомотетии есть гомотетия.
По условию со2 = Яд1 (соО, со3 = HkB2 (со2), coj = Н1^ (<в3), тогда ^
г2 LГ3#Г1
, «2 = — — и я3 =, где гь r2, r3— радиусы окружностей (0ь со2, '1^Г3
со3. Композиция двух гомотетий с различными центрами и коэффициентами кх и &2 есть гомотетия с коэффициентом к = кх • &2, если &i • ^2 ^ 1, или параллельный перенос, если кх ♦ кй = \ (задача 655). Композиция гомотетии и параллельного переноса есть гомотетия с тем же коэффициентом (задача № 687), Поэтому композиция трех указанных гомотетий есть гомотетия, ее коэффициент равен — г • — — е= —Ь следовательно, эта гомотетия есть централь-
/\ Г2 / X Г3 /
ная симметрия.
Обозначим указанные окружности через Ф!, ф2, юз- Окружность ф2 гомотетична окружности фх при гомотетии с центром в точке Р касания этих
окружностей и кх , где г2 и гх— радиусы окружностей ф2 и ю1- Окруж-
ность ф3 гомотетична окружности ф2 ПРИ гомотетии с центром в точке М касания окружностей ф2 и ф3 и ^2 = — "• Окружность фх гомотетична окружности Г2
(о3 при гомотетии с центром в точке L Касания этих окружностей и &3 = — —.
гз Композиция указанных гомотетий есть центральная симметрия (задача 688). Следовательно, образом некоторой точки А окружности фх при гомотетии ^L 0 ^м ° ^Р будет точка той же окружности, симметричная ей относительно центра этой окружности. Образ точки А при композиции гомотетий можно построить с помощью одной линейки. Построением двух диаметров окружности (ох определится ее центр. Аналогично построение и центров двух других окружностей.
Угол поворота равен 180°.
Любое подобие первого рода, отличное от перемещения, представимо в виде композиции гомотетии с центром в некоторой .точке и поворота вокруг этой же точки (задача 675). Угол между прямой и ее образом при данном подобии равен углу поворота (задачи 673 и 677). Если подобие — параллельный перенос или поворот на 180°, тогда а' || а, где а' — образ прямой а при подобии. В этом случае будем считать угол между прямой и ее образом равным 0°.
Выберем произвольную систему координат Охххух и построим точки Ах и Вх так, чтобы их координаты в этой системе были равны данным координатам точек А и В. Треугольник АВО подобен треугольнику АХВХОХ. Существуют два подобия, отображающие точку Ах на точку А и точку Вх на точку В. Одно из них сохраняет ориентацию плоскости (подобие первого рода), другое меняет ориентацию плоскости (подобие второго рода). При этих подобиях точка 0^ отображается на точку О и на точку О', а оси Оххх и Охух — на оси Ох, Оу и О' х', О'у'. Построим треугольник АОВ так, чтобы он был одинаково ориентирован с треугольником ЛХОХВХ и подобен ему. Для этого нужно построить углы АВО и ВАО, величины которых соответственно равны углам ЛХВХОХ и ВХЛХОХ. Затем строим ось Ох так, чтобы углы АОх и ЛхОххх были одинаково ориентированы и величины их равны. После этого строим ось Оу. Аналогично можно построить систему координат О’х'у*, соответствующую подобию второго рода.
Рассмотрим подобие, являющееся композицией поворота Rp^° и гомотетии Н^. При указанном подобии А-> L, К ^ С, следовательно, [Л/<]-> ->[LC], а потому угол между прямыми А К и LC равен 45°. Из рассмотренного также следует, что |LC| : IAKI = 1^2. Очевидно, что подобие, являющееся композицией гомотетии Hvj/^ и поворота R^45°, отобразит [LC] на [МВ]. При композиции указанных подобий [ЛК] [МВ]. Композиция же указанных подобий есть подобие с коэффициентом & = 1, т. е. перемещением Rp90°. Значит, \АК\ = |МВ| и (ЛК) 1 (МВ).
Пусть О — общая точка прямых a, bt с и d. Так как ОВА = ОСА = 90°, то точки О, Л, В, С принадлежат окружности со, диаметром которой является [ОЛ]. Аналогично точки О, Въ Ct, D принадлежат окружности ^ с диаметром OD. Пусть N — вторая точка пересечения окружностей со и (Ор Примем ее за центр подобия первого рода, при котором о -> ©х (задача 679). При указанном подобии В -> Blt С -^ Clt следовательно, (ВС) -► (ВгСг>. Углы между соответственными прямыми при подобии первого рода равны (задача 691). В данном случае угол между прямой и ее образом равен углу между лучами NP и NPlt где
Р и Pi— центры окружностей о и ^ соответственно, а последний равен углу между прямыми and.
Пусть точки М и Р— соответственно середины отрезков ААХ и BBV Так как Ах = RXq°° (Л), Вх = ^о°° (В), то треугольники АОАХ и BOBt равно-
LL
|вО| _|ДО| |ОР| IОЛ4 I"следовательно,|вО| _|ДО| |ОР| IОЛ4 I"следовательно,бедренные. Я 2 о R6^ (Л) = М, Н 2 = R^° (В) = Р ^ВОР = АОМ = 60°,
|вО| _|ДО| |ОР| IОЛ4 I"
следовательно,
|вО| _|ДО| |ОР| IОЛ4 I"
следовательно,
2). Итак, подобие с коэффициентом ~ отображает [ЛВ] на [МР],
|ЛВ| = 2 |МР| или |МР| = у |ЛВ|.
Пусть О—центр равностороннего треугольника ЛВС, а Со—проек
ция точки О на сторону Л В. Если Со = Rq (Со^ то СоОС’о = а, тогда СоОС2=~. Рассмотрим композицию поворота R^2 и гомотетии с центром О и коэффициентом
а
к -. При указанном подобии Со -> С2 (Со ОС2 = —-, [0С2| : |ОСо|=
cos ос/22
ос \
= 1 : cos —V Л0->Л2, Во -> В2, где Ао и Во— проекции точки О на стороны ВС и АС соответственно. Следовательно, треугольник Л2В2С2 подобен треугольнику
Л0В0С0 с коэффициентом-. Треугольник А0В0С0 подобен треугольнику
АВС с коэффициентом —. Используя транзитивность отношения подобия, по
лучаем, что треугольник А2В2С2 подобен треугольнику ЛВС с коэффициентом, равным произведению коэффициентов указанных подобий. В данном случае
^ = —-—. Так как треугольник ЛВС равносторонний, то подобный ему тре- а
2cos-—
2
угольник А2В2С2 также равносторонний. Если сторона треугольника ЛВС а
равна а, то сторона треугольника А2В2С2 равна.
2 cos-
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Осевая симметрия 5
Центральная симметрия 22
Параллельный перенос 32
Поворот 44
Перемещение 57
Гомотетия и подобие 61
Ответы и указания к решению задач76
Геннадий Иванович Саранцев
СБОРНИК ЗАДАЧ
НА ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ПОДОБИЯ ПЛОСКОСТИ В ЗАДАЧАХ
Пособие для учащихся
Редактор Э. К. Викулина
Художественный редактор Е. Н. Карасик
i ехнические редакторы Л Е. Пухова иМ. И. Смирнова Корректор Р. Б. Штутман
ИБ № 5606
Сдано в набор 17^07.80 Подписано к печати 06.02.81. 60х901/1в* Бум типограф №3. Гарн литер. Печать высокая. Усл. печ л. 7. Уч.-изд. л. 7,78. Тираж 256000 экз. Заказ 431. Цена 20 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли Москва, 3-й проезд Марьиной рощи. 41
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Росглавполиграфпрома Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии а книжной торговли. Саратов, ул. Чернышевскою, 59.
Г.И.Саранцев
СБОРНИК ЗАДАЧ НА ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Г. И, Саранцев
СБОРНИК ЗАДАЧ НА ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ПОДОБИЯ ПЛОСКОСТИ В ЗАДАЧАХ
Пособие для учащихся
2-е издание, переработанное и дополненное
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1981
Б БК 22.151.0
С20
Рецензенты: Доктор пед. наук Ю. М. Калягин (НИИ школ МП РСФСР), заведующий кафедрой математического анализа, доктор физ.-мат. наук Н. М, Матвеев (ЛГПИ им. И. А. Герцена)
Саранцев Г. И.
С20 Сборник задач на геометрические преобразования: Пособие для учащихся.— 2-е изд., доп. и перераб.— М.: Просвещение, 1981.— 112 с., ил.
Книга представляет собой дополнительный набор задач к учебному пособию по геометрии для 5 — 8 классов. Она предназначена для учащихся 5—8 классов, желающих закрепить и углубить свои знания по геометрическим преобразованиям. Сборник задач может быть использован также учителями для организации самостоятельной работы школьников.
60601 — 417С 103(03)—8160601 — 417С 103(03)—81ББК 22.151.0
60601 — 417
С 103(03)—81
60601 — 417
С 103(03)—81
И нф. письмо—81, доп. №1 4306010400513
© Издательство «Просвещение», 1975 г,
© Издательство «Просвещение», 1981 г., с изменениями