Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
В большинстве задач письменных вступительных экзаменов в вузы предлагается решить уравнения, неравенства или системы уравнений. В этой книге систематизируются основные способы их решения. При этом, в отличие от пособий, где дается классификация уравнений и неравенств по типам входящих в них функций (алгебраические, показательные, логарифмические и т.п.), в этой книге первостепенное внимание уделено методам решения, и каждый метод рассматривается на примерах, включающих различные типы функций. Книга должна выработать у читателя уверенное владение основными приемами решения уравнений и неравенств, что, по мнению авторов, создаст прочный фундамент математической подготовки читателя.
Изучаемые в книге приемы решения задач классифицированы по степени сложности. Обучение им ведется на многих примерах различной трудности, по большей части взятых из практики вступительных экзаменов в вузы. Каждый параграф сопровождается значительным числом упражнений тренировочного характера, ставящих своей целью закрепить теоретические положения этого параграфа, а также упражнений, развивающих идеи, изложенные в основном тексте книги.
ГЛАВА I
УРАВНЕНИЯ
Пусть даны две функции у = /(ж) и у = g(xy Если надо найти все числа а из области, являющейся пересечением областей существования этих функций, для каждого из которых выполняется равенство / (а) = g(a), то говорят, что требуется решить уравнение
/(ж) = g(x)
или что дано уравнение /(ж) = g(x).
Процесс решения уравнения обычно состоит из ряда преобразований, имеющих целью заменить данное уравнение одним или несколькими более простыми уравнениями. Получающиеся в конце концов простейшие уравнения легко решаются, что позволяет найти и решения исходного уравнения.
Чтобы это нахождение было возможным, необходимо при выполнении каждого преобразования контролировать множество решений получающихся уравнений. Для этого обычно ограничивают допустимые преобразования двумя типами.
К первому относятся равносильные преобразования, т. е. такие, при выполнении которых множество корней исходного уравнения не меняется. Если в процессе решения применялись только равносильные преобразования, то множество решений исходного уравнения состоит из корней простейших уравнений, полученных в конце.
Второй тип составляют так называемые преобразования-следствия, которые могут приводить лишь к расширению множества корней. При использовании таких преобразований можно гарантировать, что все корни исходного уравнения содержатся среди корней найденной в процессе решения совокупности простейших уравнений. В этом случае все корни отсеиваются с помощью проверки.
Дальше в этой главе будет показано, какие преобразования уравнений относятся к первому типу, а какие — ко второму Будет показано, как решать уравнения при помощи этих преобразований.
В § 2 - 4 настоящей главы почти не рассматриваются тригонометрические уравнения. Они содержатся в § 5, где их решения разбираются с помощью изложенных ранее и других приемов.
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ
Область допустимых значений и корни уравнений. Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения /(ж) = g(x) называется общая часть (пересечение) областей существования функций у = /(ж) и у = g(x), т. е. множество всех числовых значений неизвестного ж, при каждом из которых имеют смысл (т. е. определены) левая и правая части уравнений.
Любое число х из ОДЗ уравнения называется допустимым значением для данного уравнения. Так, например, для уравнения
ж2 - 1 = О
ОДЗ есть множество всех действительных чисел;
для уравнения
ОДЗ есть множество всех неотрицательных чисел;
для уравнения
1g X = V™X
ОДЗ есть пустое множество.
Для уравнения
у/4х2 — 1 = V1 ™ 16х4
ОДЗ есть множество всех х, для которых одновременно неотрицательны оба подкоренные выражения: 4х2 — 10, 1 — 16х40, т. е. ОДЗ в этом
случае состоит из двух чисел: 1/2и—1/2.
Число а из ОДЗ уравнения f(x) = g(x) называется решением (корнем) этого уравнения, если при подстановке его вместо х в уравнение получается верное числовое равенство f(a) = g(a).
Так, например, число х = 2 является корнем уравнения
log2(2£ + 4) - log4 2ж = log2(3£ - 2),
поскольку при х = 2 левая и правая части этого уравнения равны 2.
Решить уравнение f(x) = g(x) — значит найти все его корни или доказать, что уравнение не имеет корней, т. е. что не существует ни одного числа а из ОДЗ уравнения, удовлетворяющего условию f(a) = g(a), т. е. что множество решений уравнения пусто.
Если множество всех корней уравнения f(x) = g(x) состоит из к различных чисел ад, х^,.. •, хь то говорят, что это уравнение имеет к корней.
Если множество всех корней уравнения f(x) = g(x) состоит из одного числа ад, то говорят, что это уравнение имеет единственный корень хь
При решении конкретного уравнения полезно знать его ОДЗ, так как иногда ее нахождение позволяет доказать, что уравнение не имеет решений, а в некоторых случаях непосредственная подстановка чисел из ОДЗ в уравнение позволяет найти корни уравнения.
Так, например, для уравнения
V2 — ж = log3(x — 2)
область допустимых значений состоит из всех ж, одновременно удовлетворяющих условиям 2 — ж^Оиж — 2>0, т. е. ОДЗ есть пустое множество. На этом решение уравнения и завершается, так как установлено, что уравнение не имеет корней.
Для уравнения
л/х = ж
область допустимых значений состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям ж > 0 и (—ж) ^ 0, т. е. ОДЗ состоит из единственного числа х = 0. Подставляя это значение х в уравнение, получаем, что х = 0 — единственный его корень.
ОДЗ уравнения
л/х = V—ж + 1
состоит из единственного числа х = 0. Подставляя это значение в уравнение, получаем, что его левая часть равна 0, а правая — равна 1, т. е. получаем, что уравнение не имеет решений.
Нахождение ОДЗ уравнения не всегда обязательно. Так, например, уравнение -^ж2 + ж + 1 + ж2 = —2 не имеет корней, поскольку при любом значении ж из его ОДЗ (мы ее не находили) левая часть уравнения неотрицательна, а правая — отрицательна.
Иногда при решении уравнений бывает полезно не вычислять ОДЗ явно, а задать ее неравенством или системой неравенств.
Например, если надо решить уравнение
\/ж5 — ж4 + 1 = 1,(1)
то для нахождения ОДЗ не обязательно решать неравенство
ж5 - ж4 + 10.(2)
Можно лишь сказать, что ОДЗ уравнения (Г) есть множество решений неравенства (2). Решать такое неравенство сложно и в данном случае не нужно. Как будет показано дальше, можно, и не решая неравенство (2), найти все корни уравнения (Г): жх = 0 и Ж2 = 1.
Корни простейших уравнений. В этом пункте приведены решения некоторых простейших уравнений.
Алгебраическим уравнением степени п называется уравнение /(ж) = 0, левая часть которого — функция /(ж) — является многочленом степени п, т. е.
/(ж) = аохп + «хж71™1 + - - - + ап, а0 0.
К простейшим таким уравнениям относятся уравнения
ж2т = b и ж2т+1 = К
где т — данное натуральное число. Приведем их решения.
a2m = b, т — натуральное число. При b < 0 уравнение не имеет корней. При b = 0 уравнение имеет единственный корень ж = 0. При b > 0 уравнение имеет два корня:
ад =
a2m+1 = Ь, т — натуральное число. При любом Ъ уравнение имеет единственный корень, обозначаемый ад = 2m^Vb.
Приведем решения простейших показательных и логарифмических уравнений.
аж = b (а > 0, а 7^ 1). При b > 0 уравнение имеет единственный корень ж = loga b. При 6^0 уравнение корней не имеет.
loga ж = b (а > 0, а ф 1). При любом b уравнение имеет единственный корень ж = аъ.
Очень часто встречаются уравнения, содержащие знаки квадратного корня и модуля. Приведем решения простейших из таких уравнений.
i/a = Ь. При b ^ 0 уравнение имеет единственный корень ж = Ь2. При b < 0 уравнение корней не имеет.
\ж\ = Ь. При b > 0 уравнение имеет два корня ад = b и ад = —Ь. При b = 0 уравнение имеет единственный корень ж = 0. При Ъ < 0 уравнение корней не имеет.
Приведем теперь решения простейших тригонометрических уравнений.
sin а = Ь. При b < — 1 уравнение корней не имеет. При b = — 1 решения уравнения есть ж = —тг/2 + 2тт, п Е Z. При — 1 < b < 1 решения уравнения есть ж = (—l)n arcsin b + тт, п Е Z. При b = 1 решения уравнения есть ж = тг/2 + 2тт, п Е Z. При b > 1 уравнение корней не имеет.
cos а = Ъ. При Ъ < — 1 уравнение корней не имеет. При b = — 1 решения уравнения есть ж = тг + 2тт, п Е Z. При — 1 < b < 1 решения уравнения есть а = ± arccos b + 2тт, п Е Z. При Ь = 1 решения уравнения есть а = 2тт, п Е Z. При b > 1 уравнение корней не имеет.
tg ж = К При любом b (™ос < b < +оо) решения уравнения есть
а = arctg b + тт, п Е Z.
ctg ж = Ь. При любом b (—сю < b < +оо) решения уравнения есть а = arcctg b + тт, п Е Z.
При решении тригонометрических уравнений иногда числа arcsin b, arccos 6, arctg b, arcctg b могут быть явно вычислены.
Например, так как arcsin 1/2 = тг/6, то решения уравнения sin а = 1/2 можно записать в виде
а = (—1)п arcsin - + ttti^ п Е Z,
но лучше их записать в виде
а = (—1)п— + 7гп, -п Е Z.
6
Приведем табл. 1 и 2 для явных вычислений arcsin b, arccos b, arctg b, arcctg b (см. с. И).
Таблица 1
6 = 0
b = 1/2
b = V2/2
Ь= V3/2
ь = 1
arcsin b
0
7г/б
тг/4
7Г/3
тг/2
arccosb
1
7Г / 3
тг/4
7г/б
0
Таблица 2
Ь = 0
ь = Сз/з
b = 1
b = V3
arctg b
0
7г/б
тг/4
7Г/3
arcctgb
тг/2
7Г/3
тг/4
7г/6
При записи решений тригонометрических уравнений часто пользуются формулами
arcsin (—а) = — arcsina, |а| ^ 1;
arccos (—а) = тг — arccos а, |а| ^ 1;
arctg (—а) = — arctga, |а| < ос;
arcctg (™а) = 7г — arcctg а, |а| < ос.
Так, например, решения уравнения sin х = —1/2 можно записать в виде
х = arcsin + 7гп, п G Z.
или, используя формулу arcsin ( — 1/2) = — arcsin (1/2), в виде
х = (—l)n+1 arcsin | + 7гп, п G Z, или в виде
х =l)n+1— + 7m, ti G Z.
76
Заметим, что простейшие тригонометрические уравнения имеют бесконечное множество решений, которое часто называют «серией решений». При записи зависящей от буквы серии решений тригонометрического уравнения, обязательно надо писать, какому множеству чисел принадлежит эта буква.
Уравнение-следствие. Пусть даны два уравнения
Л(Д = gi^ и МУ = g^y.
Если любой корень первого уравнения /1(ж) = gi(^) является корнем второго уравнения /2 (ж) = g2 (ж), то второе уравнение называется следствием первого уравнения. Таким образом, при переходе к следствию не происходит потери корней.
Рассмотрим некоторые примеры.
Уравнение
(х I)2 = (2ж + I)2(1)
является следствием уравнения
х™1 = 2хУ1,(2)
поскольку единственный корень уравнения (2), равный —2, является корнем уравнения (1).
Заметим, что уравнение (1) имеет еще один корень х = 0, не являющийся корнем уравнения (2).
Уравнение
ж2 + 2ж = 6 + Зж(3)
является следствием уравнения
log2 (ж2 + 2ж) = log2 (6 + Зж),(4)
поскольку очевидно, что любой корень уравнения (4) удовлетворяет уравнению (3).
Заметим, что уравнение (3) имеет корень х = —2, не являющийся корнем уравнения (4).
Уравнение
ж - 2 = ж2 + 2ж - 8(5)
является следствием уравнения
ж2 + 2ж — 8
поскольку очевидно, что любой корень уравнения (6) является корнем уравнения (5).
Заметим, что уравнение (5) имеет корень х = 2, который не является корнем уравнения (6).
Уравнение
ж + 1 = (ж+1)2(7)
является следствием уравнения
ж + 1 3— = (ж + I)2 3—,(8)
хх
поскольку очевидно, что любой корень уравнения (8) является корнем и уравнения (7).
Заметим, что уравнение (7) имеет корень ж = 0, который не является корнем уравнения (8).
Утверждения о том, когда одно уравнение является следствием другого
Пусть п — натуральное число, тогда уравнение fn(x) = gn(x) есть следствие уравнения /(ж) = g(ж).
Если а > 0 и а ф 1, то уравнение /(ж) = g(x) есть следствие уравнения loga /(ж) = Aogagiy\
Уравнение /(ж) = g(x)p(x) есть следствие уравнения f(x)/g(x) = = РУ-
Уравнение /(ж) = g(x) есть следствие уравнения /(ж) = g(x) + + НД + уууу
Эти утверждения часто формулируют иначе.
При возведении в натуральную степень обеих частей уравнения можно приобрести посторонние корни (при этом не происходит потери корней).
При потенцировании обеих частей уравнения можно приобрести посторонние корни (потери корней не происходит).
При освобождении уравнения от знаменателя можно приобрести посторонние корни (потери корней не происходит).
Замена в уравнении выражения р(х) У (—р(х)) нулем может привести к появлению посторонних корней (потери корней не происходит).
Подчеркнем, что если при решении уравнений применялось хотя бы одно из утверждений 1 - 4, то в конце решения необходима проверка: является ли корень уравнения-следствия корнем исходного уравнения, так как могли появиться посторонние корни. Отметим, что не всегда при замене уравнения на его следствие появляются посторонние корни. Например, при замене уравнения х2 = 1 уравнением х4 = 1 посторонних корней не появилось, так как исходное уравнение и уравнение-следствие имеют одни и те же корни xi = 1 и хд = ™1, и только эти корни.
4. Равносильные уравнения. Пусть даны два уравнения fi(x) = = gi(x) и /2 (ж) = g2(^). Если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения, а любой корень второго уравнения является корнем первого уравнения, то такие два уравнения называются равносильными (или эквивалентными).
Например, уравнения
(ж I)2 = О, ж - 1 = О
равносильны, так как множество корней каждого из этих уравнений состоит из единственного числа х = 1. Уравнения
sin х = 0, cos2 х = 1
равносильны, так как множество корней каждого из них есть х = тт, п 6 Z.
Отметим, что если каждое из двух уравнений является следствием другого, то такие два уравнения равносильны.
Замена одного уравнения другим уравнением, ему равносильным, называется равносильным переходом от одного уравнения к другому
Утверждения о равносильности уравнений
Уравнения /(ж) = g(x) и /(ж) — g^x) = 0 равносильны.
Уравнения /(ж) = g^x) и /(ж) + a = g^x) + а равносильны для любого числа а.
Уравнения /(ж) = g^) и а/(ж) = ag(x) равносильны для любого числа а ^ 0.
Уравнения а^ж^ = ag^ и /(ж) = g(ж) равносильны для любого фиксированного положительного и нс равного единице числа а.
Уравнения /(ж) = g(x) и /(ж) = ф(х) равносильны, если для любого действительного числа жо справедливо равенство g(жo) = ^(жо).
Свойство 5 может быть сформулировано и так: если функции у = 92 (ж) и у = g(x) тождественно равны, то уравнения /(ж) = g(x) и /(ж) = 9? (ж) равносильны.
Напомним, что две функции у = /(ж) и у = g(ж) называются тождественно равными, если для любого действительного числа ж0 значения функций у = /(ж) и у = g^ равны, т. е. /(ж0) = g(x0).
Отметим, что утверждение 1 позволяет рассматривать вместо уравнения /(ж) = g(ж) равносильное ему уравнение /(ж) — g(ж) = 0. Поэтому в дальнейшем в теоретической части преимущественно рассматриваются уравнения вида Е(ж) = 0.
1.5. Равносильность уравнений на множестве. Пусть даны уравнения /х(ж) = gl(ж) и /2 (ж) = g2(ж) и некоторое множество М.
Если любой корень первого уравнения, принадлежащий множеству М, удовлетворяет второму уравнению, а любой корень второго уравнения, принадлежащий множеству М, удовлетворяет первому уравнению, то эти уравнения называются равносильными на множестве М.
Например, уравнения
^х = 1, ж4 = 1
не являются равносильными на множестве всех действительных чисел, так как первое уравнение имеет единственный корень х-^ = 1, а второе имеет два корня ж2 = 1 и жз = — 1. Но эти уравнения равносильны на множестве всех неотрицательных чисел, так как каждое из них имеет на этом множестве единственный корень ж = 1.
Приведенные выше утверждения 1 - 4 о равносильности уравнений справедливы и на любом множестве. Приведем теперь другие утверждения о равносильности уравнений на множестве.
Утверждения о равносильности уравнений на множестве
Пусть п — натуральное число и на некотором множестве М функции у = /(ж) и у = g(x) неотрицательны. Тогда на этом множестве М уравнения /(ж) = g(x) и /п(ж) = gn(x) равносильны.
Пусть фиксированное число а таково, что а>0иа^1, ина некотором множестве М функции у = /(ж) и у = g(ж) положительны; тогда на этом множестве М уравнения /(ж) = g(ж) и loga /(ж) = logag(ж) равносильны. В частности, если Ъ > 0, то уравнения ah^ = b и h(ж) = loga Ъ равносильны.
Пусть функция у = ф^ определена и не обращается в нуль ни в одной точке множества М. Тогда на этом множестве М уравнения /(ж) = g(x) и 1(х)ф(х) = g(x^(x) равносильны.
Уравнения /(ж) = g^x) и /(ж) = ф^х) равносильны на множестве М, если для любого числа ж0 из М справедливо равенство g^0) = Ф^х^).
Это свойство может быть сформулировано и так: уравнения/(ж) = g^x) и /(ж) = ф^х) равносильны на множестве М, если функции у = g(x) и у = ф(х) тождественно равны на М.
Напомним, что две функции /(ж) и g(x) называются тождественно равными на множестве М, если для любого ж из множества М их значения совпадают.
Отметим, что часто множество М совпадает либо с ОДЗ уравнения /(ж) = g(ж), либо с множеством всех действительных чисел.
1.6. Совокупность уравнений. Пусть даны уравнения
МО = МЖ\ MO^gMY /пЮ = 5пЮ, •
где уравнений или конечное число, или их бесконечно много.
Обозначим через Q область, являющуюся пересечением областей допустимых значений всех этих уравнений. Если нужно найти все числа а из области Q, каждое из которых является корнем хотя бы одного из этих уравнений, то говорят, что дана совокупность уравнений
hy) = gMY МО = §М^ /п(Д = &г(Д,
и область Q называют областью допустимых значений (ОДЗ) заданной совокупности уравнений. При этом, если уравнений бесконечно много, то говорят, что дана бесконечная совокупность уравнений. Число а из ОДЗ этой совокупности называется корнем (или решением) этой совокупности, если оно является корнем хотя бы одного уравнения совокупности. Решить совокупность уравнений — это значит найти множество всех ее корней. Если это множество окажется пустым, то говорят, что совокупность уравнений не имеет решений.
Проиллюстрируем введенные понятия.
Областью допустимых значений совокупности уравнений
V^2 ™ 4 = 0, log2 ж = О(9)
является пересечение областей допустимых значений уравнения V^2 ™ 4 = 0 и уравнения log2 ж = 0, т. е. множество всех ж, удовлетворяющих системе неравенств
ж2 - 4 О,
ж > 0.
Следовательно, ОДЗ совокупности уравнений (9) есть множество всех ж ^ 2. Решением совокупности уравнений (9) является только ж = 2, так как множество решений уравнения V^2 ™ 4 = 0 состоит из жх = 2 и ж2 = —2, а решение уравнения log2 ж = 0 есть жз = 1, но условию ж ^ 2 удовлетворяет только жд = 2.
Говорят, что уравнение F(x) = G(x) равносильно совокупности уравнений
на множестве М, если множество корней уравнения, принадлежащих множеству М, совпадает с множеством корней совокупности уравнений, принадлежащих множеству М.
Например, уравнение
(ж + 3)(т + ^х - 1)0 - 2) = О(10)
и совокупность уравнений
ж —1 = 07ж —2 = 0(И)
равносильны на множестве всех положительных чисел, так как на этом множестве они имеют своими корнями только числа тд = 1 и Ж2 = 2. Однако это уравнение и совокупность уравнений не являются равносильными на множестве всех действительных чисел, поскольку, кроме корней ад = 1 и ж2 = 2, уравнение (10) имеет еще корни ад = — 2 и тд = ™3, не являющиеся корнями совокупности уравнений (И).
При решении уравнений часто пользуются следующим утверждением: Уравнение
О (ж) • ОД • • ■ • • Fm^ = 0
равносильно на своей ОДЗ совокупности уравнений
F-Дх)^ ^О) = 05 .... Fm(x) = Q.
Например, уравнение
(ж — 1)(ж + 2)(ж2 + 2) = 0
равносильно на множестве всех действительных чисел совокупности уравнений
х — 1 = 0, х + 2 = 0, т2 + 2 = 0.
Уравнение
(т2 — 1) • Дх = 0
равносильно на своей ОДЗ, т. е. на множестве неотрицательных чисел, совокупности уравнений
т2 — 1 = 0,= 0.
Упражнения
Найти область допустимых значений уравнения; проверить, являются ли числа то, тд и тд корнями уравнения.
(т + I)2 = х + 1, т0 =-1, тд = 0, т2 = 2.
= 1, то = -2, тд = 0, т2 = 2.
X" + X
-±- =1, тд = —2, Ti = — 1, Т2 = 0.
ж2 + Зж + 2’
х 3= т2 3, тд = —1, тд = 0, Т2 = 1.
ж + 1ж + 1
121
ж 3— = х 3—, жо = — 1, жх = О, Ж2 = 1. XX
Уж + 3 = 2, жо = — 1, жх = О, Ж2 = 1.
Уж (ж + 1) = О, Жо = -1, Ж1 = —1/2, ж2 = О.
л/х - ^х РХ = О, жо = —1, жх = —1/2, Ж2 = О.
= Уж 1, ^o = ™1, ^1 = О, ж2 = 1.
Уж - Т + У1 — ж = log2 ж, ж0 = —1, жх = 0, ж2 = 1.
У (ж + 1)2ж2(ж2) = |ж||ж + 1| Уж 2, жо = ^1, жх = О, Ж2 = 2.
ж Уж — 5 = 2ж, жо = О, Ж1 = 1, Ж2 = 9.
ж У ж + 5 = 2|ж|, жо = —9, жх = —1, Ж2 = 0.
|ж — 1| = 2ж + 1, жо = —2, жх = О, Ж2 = 1.
|ж — 1| = |2ж + 1|, жо = — 2, жх = О, Ж2 = 1/2.
Объяснить, почему следующее уравнение не имеет решений.
У2 - ж = -1.17) log2 (-ж) + log2 (ж) = 1.
У ж + 2 — У ж + 3 — 2.уТ^У 4- УУ^7! = 1.УЗ - ж = ^5(ж - 3).|ж2 + 1| 4- |ж2+ 4ж 5|У2ж 4" 5 4" У ж 4" 2 = 0.Уж — 4 = У—1 — ж.10У^+ у^Тб = 2.У ж + 2 — У ж + 3 — 2.уТ^У 4- УУ^7! = 1.УЗ - ж = ^5(ж - 3).|ж2 + 1| 4- |ж2+ 4ж 5|У2ж 4" 5 4" У ж 4" 2 = 0.Уж — 4 = У—1 — ж.10У^+ у^Тб = 2.|2ж - 3| = ™2.
У ж + 2 — У ж + 3 — 2.
уТ^У 4- УУ^7! = 1.
УЗ - ж = ^5(ж - 3).
|ж2 + 1| 4- |ж2+ 4ж 5|
У2ж 4" 5 4" У ж 4" 2 = 0.
Уж — 4 = У—1 — ж.
10У^+ у^Тб = 2.
У ж + 2 — У ж + 3 — 2.
уТ^У 4- УУ^7! = 1.
УЗ - ж = ^5(ж - 3).
|ж2 + 1| 4- |ж2+ 4ж 5|
У2ж 4" 5 4" У ж 4" 2 = 0.
Уж — 4 = У—1 — ж.
10У^+ у^Тб = 2.
з$2™5ж+6 = -2.
|ж — 2| + |ж — 3| = 0.
= 1.25) sin ж = ж2 4- 2ж 4- 4.
- V^6 = 2.
2ж2+х = 1ж2.
? ж 4- - = У™ ж — 1.
V х
УЙГ+зДаТ^Г + х4х/Ъ^х = 3.
(ж2 + X + 1)(ж2 + 2ж + 3) = 1.
log5 (ж + 1) + 21og5 (ж - 1) = log5 О - ®2) + L
2 log3 (4 + ж2) = log2 (1 - (ж + З)2).
log4 ( ж2 + 1 4^— ) = log4 (2 - V® + 3).
logx/2 (Зж — Уж — 2) = 1 — log3 (ж2 — 2ж — У1 — ж).
log2 (2 + Уж) + log2 (1 + ж2) = 0.
log1/3 (ж - 3) - log1/3 (ж + 6) = log1/3 (ж - 2).
log2 (ж8 + 2) - log2 (4 + ж2) = log5 (2 + Щ(1 - ж)).
СЬ — х + V® — 2 = (ж — 1)2(ж — 6).
(ж + 2)(4 - ж) (С»Л4 + 1) = 5.
Объяснить, почему следующие два уравнения не являются равносильными.
Уж — 1 = ™2, ж — 1 = 4.44) ж2 + ж 4- V^ = V^? $2 + ж = 0.
(Ж+ 2)0 + 1) = ж + 2 = L
х 4- 1
(ж 4- 1)(ж 4- 3) = ж 4- 3, ж 4-1 = 1.
ж + — =ж5 + —, ж = ж5.48)= 0, ctgж = 0.
ж2ж2tgж
tgж = 0,—-— = 0.
etg ж
50)3i°g3(^2-^+3) = ж_ 3) ж2 _ 4ж + з = ж _ з
Уж + 3 = У2ж + 8, ж + 3 = 2ж + 8.
log2 (ж + 1) = log2 (2ж + 4), ж + 1 = 2ж + 4.
log"(ж + З)2 = 4,"ж + 3 = 4.54) У (ж + I)2 = 2,
Vх+1 • Уж 4- 2 =0, У(ж +1)(ж + 2) = 0.
^ж2(ж - 1)(ж + 2) = 0, |ж|У(ж - 1)(ж + 2) = 0.
Уж—3(ж2 + 3) = 4ж Уж — 3,ж2 + 3 = 4ж.
(ж2-2ж)2^ = 8 •2^, ж2 -2ж = 8.
|ж + 1| = |2ж — 3|, ж + 1 = 2ж — 3.
У2ж2 — ж — 6 = 3, Уж — 2 • У2ж + 3 = 3.
(ж + 2)4 = (2ж)4, ж + 2 = 2ж.
2УаГ+5 = ж + 2, 4(ж + 5) = (ж + 2)2.
log7 (ж2 — 4) = log7 (4ж — 7), ж2 — 4 = 4ж — 7.
64)tgж = tg2ж, ж = 2ж.
ж 4" 1 — 2.
.7Г7Г
65) sin ж =sin—,ж =—.
66
66)
67)
68)
V Ж ЖУж
sin ж • cos ж = cos2 ж, tg ж = 1.
tg Ж - 1/7Г \
— = 1, tg ж= 1.
tgж + 1\4/
tg 2ж — ctg ж = 0, 2tgж
1 — tg2 ж tg ж
о о о Q3(1-tg2 ж)
sin 2ж — 3 cos 2ж = 3,-
1 + tg2 Ж 1 + tg2 ж
х sin4 ж — 1„
= 1, соз2ж = — 1.
cos4 ж
EEEL = 1 А/^ж1 = 1.73) V^2 -4
У2ж - 1 V 2ж - 1Уж^2
= 3.
= 1,
Уж 4” "2 — 1-
74) log3 ж + log3 (2ж + 3) = 2, log3 ж(2ж + 3) = 2.
log5 ж - log5 (2ж + 5) = 0, log5 —— = 0.
2ж + 5
log2 (ж2 4- Зж) = 2, log2 ж 4- log2 (ж 4- 3) = 2.
2 log3 ж = 3, log3 ж2 = 3.
—-— + - =,- ж = 8.
2 — Уж 2 2Уж — ж
х = (У1 4- х 4- 1)(У10 4- х ™ 4), ж(У1 4- х — 1) = ж(У10 4- х — 4).
^2х - 1 + W^T = 1, (2х - 1)(ж - 1) = (1 - ж)3.
-у/ж2(ж — 1) = Ж — С^т Ж\/ж — 1 = Ж — д/х.
Уж + 2 + V2 ж = 2 .+
2 — У2 — ж ж''
Уж2 — 1 = (ж 4- 5) У Ж + 1, |ж — 1|=ж + 5.
V ж — 1
2 — ж
2!°82 (5^-6) = _-ц 5ж — 6 = —1.
ж • 42+ж =х-44-\ 2 + ж = 4 — ж.
(ж - 1)3:с = ((ж - 1)3Ж)2, 1 = (ж - 1)3Ж.
Объяснить, почему следующие два уравнения равносильны.
91) (ж + 2)(ж2 + 1) = О,93) —С_ = _Л— ж2 + 2 ж2 + 295) ж = 4, Уж = 2.97) Уж + 1 = УЗ - ж,91) (ж + 2)(ж2 + 1) = О,93) —С_ = _Л— ж2 + 2 ж2 + 295) ж = 4, Уж = 2.97) Уж + 1 = УЗ - ж,(ж + I)2 = 0, ж + 1 = 0.89) VT+2 = 2, ж + 2 = 4.
91) (ж + 2)(ж2 + 1) = О,
93) —С_ = _Л— ж2 + 2 ж2 + 2
95) ж = 4, Уж = 2.
97) Уж + 1 = УЗ - ж,
91) (ж + 2)(ж2 + 1) = О,
93) —С_ = _Л— ж2 + 2 ж2 + 2
95) ж = 4, Уж = 2.
97) Уж + 1 = УЗ - ж,
ж + 2 = 0.ж = ж2.ж + 1 = 3 — ж.ж + 2 = 0.ж = ж2.ж + 1 = 3 — ж.ж2 + 5 = ж + 5, ж2 = ж.
ж + 2 = 0.
ж = ж2.
ж + 1 = 3 — ж.
ж + 2 = 0.
ж = ж2.
ж + 1 = 3 — ж.
92)|ж + 1|=3, (ж + I)2 = 9.
ж2 + 1 = 0, ж2 + 2 = 0.
log2 ж2 = 4, log2 |ж| = 2.
Уж = У^ж, ж4 = 0. 99)sinx = 0, tgж = O.
100) Уж • Уж — 1 = О, ж3 = 1.101) Уж2 = 4, |ж| = 2.
^2 _ 1103)™ =6, ж + 1 = 6.Ж ™ 1^2 _ 1103)™ =6, ж + 1 = 6.Ж ™ 1102) Уж2 + ж + 1 = 1, log2 (1 + ж2(1 + ж)2) = 0.
^2 _ 1
103)™ =6, ж + 1 = 6.
Ж ™ 1
^2 _ 1
103)™ =6, ж + 1 = 6.
Ж ™ 1
Указать, какое из двух следующих уравнений является следствием другого.Указать, какое из двух следующих уравнений является следствием другого.Уж — 3 + УЗ - ж = log5 (ж — 2), (ж — З)2 = 0.
Указать, какое из двух следующих уравнений является следствием другого.
Указать, какое из двух следующих уравнений является следствием другого.
ж2 + ж + i = ж2 + ж = 0.
ж2—4 = 0, ^-4 + V^2-VT^=0.
ж2 ~4ж + 3 = 1, ж2 — 4ж + 3 = ж — 3.
ж — 3
ж2 ~2ж + 3 = 1, ж2 — 2ж + 3 = 3 — ж.
Щ(ж - 1) =ж2 — 4 = Зж,Щ(ж - 1) =ж2 — 4 = Зж,3 — ж
Щ(ж - 1) =
ж2 — 4 = Зж,
Щ(ж - 1) =
ж2 — 4 = Зж,
■1, ж(ж ™ 1) = 1.
ж2 — 4 Зж
111) ж2 - 4 = Зж,П2) У ™ —= 0,111) ж2 - 4 = Зж,П2) У ™ —= 0,V4 — ж2 V4 — ж2ж2 — 4Зж
111) ж2 - 4 = Зж,
П2) У ™ —= 0,
111) ж2 - 4 = Зж,
П2) У ™ —= 0,
V10 — ж2V10 - ж2
ж4 — 4ж2 = 0.
ж
ИЗ) Уж2 + 5ж + 6 = 2, ж2 + 5ж + 6 = 4. 114) log2 (ж + 2)2 = 1,2 log2 (ж + 2) = 1.
log2 (ж + 1) + log2 (ж + 3) = log2 3, (ж + 1)(ж + 3) = 3.
У ж2 + ж — 5 = Уж™ 1, ж2 + ж ™ 5 = ж — 1.
УУ™1(ж2 + 3) = V^5 • 4ж, ж2 + 3 = 4ж.
З1083 (==2-4^+3) = ж _ 3j ж2 - 4ж + 3 = ж - 3.
119)181ж-^) =1,=
\4 /tg ж + 1
2tgg =0, 81п2ж = 0.121)— = 0, ctga: = 0.
+ tg2 жtg ж
122)3Ж^Ж = Зх™(^)2, ж2 - ж = 1 - ж.
123) ж2 — 4 = 4ж — 7, log2 (ж2 — 4) = log2 (4ж — 7).
124)
sin4 ж — 1
COS4 X
= 1,
cos 2ж = — 1.
Являются ли следующие два уравнения равносильными на данном множестве М?
ж2 - ж4-— = —-—, ж2 = ж; М = {ж : ж ф ^1}.
х + 1 х + 1
ж3 — ж4 4-— = —-—, ж3 — ж4 = 0; М = {ж : ж 1}.
1 — х 1 — х
(ж2 - 1)(ж + 2) = 0, ж2 - 1 = 0; М = {ж : ж 0}.
|ж — 1| = 2ж + 4, ж —1 = 2ж + 4; М = {ж : ж^ 1}.
|ж2 — 1| — |ж| + |2ж + 3|= 4ж — 6, ж2 — 1 — ж +2ж + 3=4ж — 6;
М = {ж : ж Е [0,1)}.
log2 (ж2 — 4) = log2 (4ж— 7), ж2 — 4 = 4ж — 7;М ={ж: ж > 2}.
2^~7) =1 2х —14 = х2 — 6х — 7; М ={х : х2-6х - 7 / 0}.
ж2 — 6ж — 7
| 8шж| = | созж|, sin2 ж = cos2 ж; М = {ж : ж Е Юр
= 0, sin 2х = 0; М = {х : х G Я}.
cos Зж • cos 5ж
tg ж • ctg ж - 8ш4ж = 0, 8ш4ж = 0; М = {ж : ж ф к/2 + тгп, и Е Г}.
= 2ж — 3 = 5 — 2ж; М = {ж : ж — целое число}.
' ж — 1 ж — 1
= —2, ж — 1 = —2; М = {ж : ж — целое число}.
ж + 1
Найти область допустимых значений совокупности уравнений.
2х - 1 = 3, х2 — 4х + 5 = 0.138) Vx2 - 8 = 0, х + 2 = 0.
Vx2 -9 = 0, log3 х = 0.
V® + 2 = 0, log2 (х — 1) = 0, —-— = 1.
"ж — 3
V^ + 1 * cos ж = 0, ™—— = 1.
л/(ж — 1)2(ж — 2) = 1, tgж = 1.
д/ж2(ж -- 1)2(ж — 3) = 2, ж2 — 4ж + log2 ж = log2 ж.
2С1-*2 = 1, log5 X = -1, ctg ^ = 0.
sin жsin ж 4~ 1sin жsin ж 4~ 1= 0.= 0.. j 4 = 2,— = 1.146) tgx • ctgx • sin2x = 0,
sin ж
sin ж 4~ 1
sin ж
sin ж 4~ 1
= 0.
= 0.
уж + 2ж
„ _ sin 2ж „. / тг \„
147j = о, sin I ж 4) = 0.
sin ж 4- cos жу 4 /
хСх^Т = 0, ДхДх^Щ = 0>1 = х
ж2 + ж — 2
Vsinж = 0, -УсовЗё = 0, sin ж — cos ж = 0.
log2 ж + log2 (—ж) = 1, ж2 = 3.
Равносильны ли уравнение а) и совокупность уравнений б) на множестве М2 151)а)(ж + 3)(ж-2) = 0; б) ж + 3 = 0, ж - 2 = 0; М = {ж : ж Е R}.
а) (ж+ 3)(ж — 2) = 0;б) ж + 3 = 0,ж-----------2 = 0;М = {ж : ж 0}.
а) (ж+ 1)Уж = ж + 1;б) ж + 1 = 0,^/x= 1;М = {ж : ж 0}.
а) (ж+ 1)уж = ж + 1;б) ж + 1 = 0,уж= 1;М = {ж : ж G Я}.
а) Уж2(ж ™ 1) = 0; б) |ж| = 0, Уж — 1 = 0; М = {ж : ж 0}.
а) Уж + 1 = ж — 1; б) (ж — I)2 = ж + 1, ж — 3 = 0;
М = {ж : ж ^1}.
а)Уж + 1 = ж — 1; б) (ж — I)2 = ж +1, ж —3 = 0; М = {ж : ж ^ 1}.
а) = ; б) 2ж + 1 = 0, ж = 1;
ж2 + ж + 1 ж2 + ж + 1
М = {ж : ж ^2}.
а) |ж ™ 3| = (ж ™ З)2; б) ж - 3 = 0, ж - 3 = 1; М = {ж : ж 3}.
а) = -; б) У1 -■■■■■■■■■■ ж2 = 0, 2ж + 5 = Зж + 7; 2ж + 5 Зж + 7
М = {ж : |ж| < 1}.
a)= Ж1ПД5 б) V41 - ж2 = 0, ж = 2ж + 5;
ж2ж + 5
М = {ж : |ж|1}.
а) У (ж2 — 5ж + 6) (ж2 — ж) = 0; б) Уж2 — 5ж + 6 = 0, Уж2 — ж = 0;
М = {ж : ж 2}.
а) У (ж2 — ж)(ж — 3)(ж + 4) = 0; б) Уж2 — ж = 0, Уж — 3 = 0,
Уж — 4 = 0; М = {ж : ж G RY
a) log2 ж2 = 1; б) ж — У2 = 0, (ж + У2) = 0; М = {ж : ж G RY
a) log2 ж + log2 (ж + 2) = log2 3; б) ж + 3 = 0, ж — 1 = 0;
М = {ж : ж > 0}.
РАВНОСИЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ
Уравнения, не являющиеся простейшими, с помощью различных преобразований стараются привести к простейшим уравнениям или их совокупности.
В этом параграфе рассматриваются лишь равносильные преобразования уравнений.
Простейшие преобразования уравнений. При решении уравнений часто приходится пользоваться утверждениями 1 - 5 п. 1.4 о равносильности уравнений.
Пример 1. Решить уравнение
3^+2 = 27,
Решение. Поскольку 27 = З3, то данное уравнение, согласно утверждению 4 п. 1.4, равносильно уравнению ж + 2 = 3, которое на основании утверждения 2 п. 1.4 равносильно уравнению ж + 2 + (—2) = 3 + (—2). Это уравнение имеет единственный корень Ж1 = 1. Следовательно, и исходное уравнение имеет единственный корень Ж1 = 1.
Ответ. Ж1 = 1.
Пример 2. Решить уравнение
ж3+3ж + 1 = 1+ ж3.(1)
Решение. На основании утверждения 1 и. 1.4 уравнение (1) равносильно уравнению
(ж3+3ж +1) - (1+ ж3) = 0.(2)
Учитывая, что функция у = (ж3 + Зж + 1) — (1 + ж3) тождественно равна функции у = Зж, получаем, на основании утверждения 5 п. 1.4, что уравнение (2) равносильно уравнению Зж = 0, имеющему единственный корень Ж1 = 0. Следовательно, исходное уравнение (1) также имеет единственный корень Ж1 = 0.
Ответ. Ж1 = 0.
В рассмотренном примере 2 утверждение 5 п. 1.4 использовано при приведении подобных членов в алгебраическом уравнении.
Тождественные преобразования типа приведения подобных членов возможны и для других уравнений, в которые входят функции, определенные для всех действительных ж; к таким функциям относятся, в частности, функции у = аж, у = sin х,у = cos ж.
Пример 3. Решить уравнение
6 • 2Ж - 5 • Т = 2.(3)
Решение. Так как функция у = 6 • 2Ж — 5 • 2Ж тождественно равна функции у = 2Ж, то уравнение (3) равносильно уравнению
2Ж = 2,
имеющему единственный корень Ж1 = 1. Следовательно, уравнение (3) также имеет единственный корень Ж1 = 1.
Ответ. Ж1 = 1.
В дальнейшем при применении тождественных преобразований вместо слов «данное уравнение равносильно уравнению» будем часто писать «данное уравнение перепишем в виде».
Преобразования, связанные с применением тождественных равенств. Решение уравнений с применением тождественных равенств основано на утверждении 5 п. 1.4 о равносильности уравнений. Это утверждение позволяет использовать для проведения равносильных преобразований уравнений различные тождественные равенства, т. е. формулы, справедливые при всех действительных значениях переменного ж.
Примерами таких тождественных равенств являются, например, формулы сокращенного умножения, формула х/х? = |ж|, формулы аа^ = = аааР, аа : аР = аа~^ (а")^ = аа^ (а >0, а 7^ 1).
Приведем некоторые примеры.
Пример 4. Решить уравнение
(1-ж)(1 + ж)(1+ж2) = |.(4)
Решение. Применяя формулы сокращенного умножения, преобразуем левую часть уравнения (4):
(1 — ж)(1 + ж)(1 + ж2) = (1 — ж2)(1 + ж2) = 1ж4.
Следовательно, уравнение (4) равносильно на основании утверждения 5 и. 1.4 уравнению 1 — ж4 = 1/2, которое на основании утверждений 2 и 3 и. 1.4 равносильно уравнению ж4 = 1/2. Решения простейшего уравнения ж4 = 1/2, а следовательно, и исходного есть жх = 1/^2 и ж^ = ™1/ ^2.
Ответ. жг = ж2 =
Пример 5. Решить уравнение
(1 — ж)(1 + ж + ж2) + 2 — 2ж3 = 0.
Решение. Применяя формулу сокращенного умножения, получим уравнение
1 - ж3 + 22ж3 = 0,
равносильное исходному Перепишем это уравнение в виде 3 — Зж3 = = 0. Последнее уравнение на основании утверждений 2 и 3 п. 1.4 равносильно простейшему уравнению ж3 = 1. Решение этого уравнения, а следовательно, и исходного есть жх = 1.
Ответ, жх = 1.
Пример 6. Решить уравнение
3|ж| — 2V^ = 4.
Решение. Воспользовавшись тождеством хГж2 = |ж |, перепишем исходное уравнение в виде 31 ж | — 21 ж | = 4 или в виде | ж | = 4. Решения этого уравнения, а следовательно, и исходного есть Ж1 = 4 и ж2 = ™4.
Ответ, жх = 4, ж2 = —4.
Пример 7. Решить уравнение
3-2ж+1 +=21.
Решение. Поскольку 2ж+1 = 2 • 2Ж, 2Ж+2 = 4 • 2Ж, то исходное уравнение можно переписать в виде
tE 2Ж +
или в виде 2Ж = 3. Единственное решение жх = log2 3 последнего уравнения является решением исходного уравнения.
Ответ, жх = log2 3.
Решение алгебраических уравнений. Уравнение первой степени аож + ах = 0, «о / 0, имеет единственный корень ж0 = ™ai/a0.
Квадратное уравнение
аж2 + Ьж + с = 0, а / 0:(5)
при D = Ъ2 — 4ас < 0 корней не имеет;
при D = Ь2 — 4ас = 0 имеет единственный корень xq = —Ъ/2а, или, как иногда говорят, два совпадающих корня хх = х2 = ж0, при этом
ах2 + Ьх + с = а^х — жд)2;
при D = Ь2 — 4ас > 0 имеет два различных корня
хх = 2ахх = 2аж2 =—2 аж2 =—2 а
хх =
2а
хх =
2а
ж2 =—
2 а
ж2 =—
2 а
при этом
ах2 + Ьх + с = а(х — хх)(х — х2\
Для корней квадратного уравнения (5) справедлива теорема Виета.
Если хх и х2 — корни квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = 0, то сумма корней равна —Ь/а. а произведение корней равно с/а, т. е.
,Ъс
жх + ж2 = Хх • Ж2 = аа
Верно и обратное утверждение: если числа хх и х2 удовлетворяют условиям хх + ж2 = ™Ъ/а и хх • ж2 = с/а, то они являются корнями квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = 0.
Этими фактами мы дальше будем пользоваться.
Существуют формулы, дающие решение алгебраических уравнений третьей и четвертой степени, однако они применяются редко. Что же касается алгебраических уравнений более высоких степеней, то таких общих формул, дающих решение уравнения, вообще не существует.
Основным методом решения алгебраических уравнений Р(х) = 0, степени большей чем 2, является метод разложения левой части уравнения на множители и замены уравнения Р(х) = 0 на равносильную ему совокупность уравнений. Если
Р(х) = Q(x)R(x),
где Q(x) и R(x) — многочлены, то уравнение
Р(х) = 0
равносильно совокупности уравнений
9(ж) = 0, R(x) = 0.
Это утверждение остается справедливым и в случае разложения многочлена Р(х) в произведение не только двух, но и большего числа множителей.
Пример 8. Решить уравнение
(ж — 1)(ж2 + 5ж + 4) = 0.
Решение. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений ж — 1 = 0, х2 + 5ж + 4 = 0.
Решение первого уравнения этой совокупности есть хх = 1. Решения второго уравнения есть ж2 = —1 и ж3 = —4. Итак, данное уравнение имеет три корня: хх = 1, ж2 = —1, ж3 = —4.
Ответ, жх = 1, ж2 = жз = —4.
Не всегда левая часть алгебраического уравнения уже разложена на множители. Поэтому рассмотрим несколько способов разложения многочлена на множители.
Одним из распространенных способов разложения многочлена на множители является применение формул сокращенного умножения.
Пример 9. Решить уравнение
(ж + I)3 — 8 = 0.
Решение. Применяя формулу а3— Ь3 = (а —Ь)( а2+ аЬ+Ь2), исходное уравнение перепишем в виде
[(ж + 1) - 2][(ж + I)2 + 2(ж + 1) + 4] = 0
или в виде
(ж — 1)(ж2 + 4ж + 7) = 0.
Отсюда следует, что исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
х — 1 = 0, ж2 + 4ж + 7 = 0.
Поскольку квадратное уравнение ж2 + 4ж + 7 = 0 корней не имеет, то решением совокупности уравнений, а значит, и исходного уравнения является Хх = 1.
Ответ. Xi = 1.
Иногда при разложении левой части уравнения Р^ = 0 на множители бывает полезным следующее утверждение.
Если многочлен
/(ж) = айхп + ... + an„ix + ап
имеет целые коэффициенты и рациональный корень а = p/q, а ^ 0, где дробь p/q — несократимая, то свободный член ап делится на р, а коэффициент при старшем члене «о делится на q.
Отсюда, в частности, следует, что при а0 = 1 все рациональные корни многочлена /(ж) являются целыми числами.
С помощью этих утверждений можно, перебирая пары делителей чисел «о и ап, найти все рациональные корни многочлена /(ж).
Если каким-либо способом подобран корень х = а многочлена Рп(х) степени п, то многочлен Рп(х) можно представить в виде
Рп(х) = (ж - а)Рп™1(х^
где Рп„х(ж) — многочлен степени п — 1.
Многочлен Pn_i (ж) можно найти либо делением «уголком» многочлена Рп(ж) на двучлен х — а, либо группировкой слагаемых многочлена Рп^) и выделением из них множителя х — а.
Пример 10. Решить уравнение
ж3 + ж2 ™ ж + 2 = 0.
Решение. Так как коэффициенты многочлена Р3(ж) = ж3 + ж2 — — ж + 2 — целые числа, то его целые корни, если они есть, являются делителями числа 2, т. е. целые корни данного многочлена могут быть только среди чисел 1, ^1, 2, ^2. Легко проверить, что число (^2) является корнем многочлена Р^ж\ Следовательно, данный многочлен Р^ж^ делится на двучлен ж (^2) = ж + 2. Произведем деление многочлена Р^ж^ на двучлен «уголком»:
ж3 + ж2 — х + 2 х + 2
ж3 + 2ж2ж2 ™ ж + 1
- ж2 - ж + 2
— ж2 — 2ж
ж + 2
ж + 2
О
Следовательно,
ж3 + ж2 — ж + 2 = (ж + 2)(ж2 — ж + 1).
Итак, исходное уравнение равносильно уравнению
(ж + 2) (ж2 — ж + 1) = 0(6)
или совокупности уравнений
ж + 2 = 0, ж2 — ж + 1 = 0.
Поскольку квадратный трехчлен ж2™ж + 1 = 0 корней не имеет, то единственный корень уравнения (6), а значит, и исходного уравнения есть ж i = — 2.
Ответ. Ж1 = —2.
Пример И. Решить уравнение
ж3 + Зж2 + ж — 5 = 0.
Решение. Рассмотрим многочлен
Р3(ж) = ж3 + Зж2 + ж — 5.
Поскольку делители его свободного члена есть числа 1, — 1,5 и ^5, то целые корни данного уравнения, если они есть, находятся только среди этих чисел. Подставляя ж = 1 в многочлен, имеем Р3(1) = 0. Итак, многочлен Р3(ж) имеет корень ж = 1. Выделим множитель (ж — 1) группировкой слагаемых. Имеем
ж3 + Зж2 + ж^5 = ж3 — ж2 + 4ж2 — 4ж + 5ж — 5 = (ж — 1)(ж2 + 4ж + 5).
Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравненийж — 1 = 0, ж2 + 4ж + 5 = 0.
Решение ее, а значит, и исходного уравнения есть жх = 1.
Ответ. Ж1 = 1.
Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям. Довольно часто встречаются уравнения
/(ж) = о,
где /(ж) = p(g(x)) — сложная функция, являющаяся суперпозицией двух функций у = g(x^ и у = p(g), причем p(g) — квадратный трехчлен: p(g) = = ag2 + bg + с. В таких случаях уравнение /(ж) = 0 записывают в виде
a-lg^W1 + b(g^ + c = О
и называют квадратным уравнением относительно g^xY Для решения такого уравнения решают сначала квадратное уравнение
at2 + bt + с = 0.(7)
В случае, если дискриминант D = Ь2 — 4ас этого уравнения положителен, то уравнение (7) имеет два корня tx и t2, и в этом случае уравнение /(ж) = 0 равносильно совокупности уравнений
gO) = ti, g^ = t2.
Если D = 0, то уравнение (7) имеет единственное решение to = ^b/2a, и в этом случае уравнение /(ж) = 0 равносильно уравнению
2 а
Если же D < 0, то уравнение (7), а значит, и уравнение f^ = 0 не имеют решений.
Пр и м е р 12. Решить уравнение
2(log2 ж)2 - 3 log2 ж - 5 = 0.
Решение. Поскольку квадратное уравнение
2у2 Зу 5 = 0
имеет два корня yi = 5/2 и у2 = — 1, то исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений
1оё2ж = 5/2, log2 ж = -1.
Уравнение log2 х = 5/2 имеет решение хх = 25/2, а решение уравнения log2 х = —1 есть Х2 = 1/2.
Следовательно, исходное уравнение имеет два корня хх = 25/2иж2 = 1/2.
Ответ, хх = 25/2, ж2 = 1/2.
Пример 13. Решить уравнение
4Ж - 2ж+1 -3 = 0.
Решение. Перепишем исходное уравнение в виде
(2Ж)2 2 • 2Ж 3 = 0.
Квадратное уравнение у2 — 2у — 3 = 0 имеет два корня ух = Зиу2 = ™1, поэтому исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений
Уравнение 2Ж = 3 имеет единственное решение ад = log2 3. Уравнение 2Ж = — 1 решений не имеет, так как 2Ж положительно для любого действительного числа х.
Следовательно, исходное уравнение имеет единственное решение Х1 = log2 3.
Ответ, xi = log2 3.
Преобразования, связанные с суперпозицией функций. В этом пункте будут рассмотрены уравнения
/(ж) = о,(8)
где /(ж) = p(g(a?)) — сложная функция, являющаяся суперпозицией двух функций у = g^ и у = p(g), причем функция у = p(g) — не обязательно квадратный трехчлен относительно g.
Для решения таких уравнений сначала решают уравнение
рХ) = °-
Если это уравнение не имеет корней, то не имеет решений и уравнение p(g(a?)) = 0. Если множество корней (конечное или бесконечное) уравнения p(t) = 0 есть С, t2, ... , Сг, - - - , то уравнение p(g(a?)) = 0 равносильно совокупности уравнений
g^ = tx, g^=t2,.g(x) = tn, ...(9)
Множество всех корней совокупности (9) совпадает с множеством всех корней уравнения (8).
Пример 14. Решить уравнение
. /4.\1
sin —тг sina? = -.
V3 /2
Решение. Поскольку уравнение sin t = 1/2 имеет решения t=(^l)fc7r/6 + 7r/0, к Е Z, то исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
-TTsina? =к Е Z.
36
Перепишем эту совокупность в виде
sin = (^keZ.(10)
Из уравнений этой совокупности будут иметь решения лишь те, для которых
1(
Легко видеть, что этому условию удовлетворяют лишь значения к равные 0, 1 и ^1. Следовательно, только три уравнения:
•1•5.7
Sill х = —^ Sill х = —^ Sill X = —,8'8'8
из совокупности (10) будут иметь решения, а остальные уравнения решений иметь не будут. Решая уравнения (11), находим множество решений исходного уравнения:
Хх = (™1)п arcsin | + ли, n G. 5
х2 = (^l)m arcsin - + тгш, m G
жз = (™l)p+1 arcsin - + тгр, p G Z. '8
■15
Ответ, xx = (™l)n arcsin - + тгп, n G Z; x^ = ( —l)m arcsin - +
+ 7rm, m G Z; x^ = (™l)p+1 arcsin ™ + тгр, p G Z.
Частными случаями суперпозиции p(/) являются функции у = |/ (ж)| Та и у = у/Лл) + а’ где а — некоторое число.
Для решения уравнения
= А
сначала решают уравнение |t| = А, которое при А < 0 решений не имеет, при А = 0 имеет единственное решение tx = 0, а при А > 0 имеет два решения: ti = Ant^ = ™А.
Таким образом, уравнение |/(ж)| = А при А > 0 равносильно совокупности уравнений
/(ж) = А, /(ж) = -А.
При А = 0 оно равносильно уравнению /(ж) = 0, а при А < 0 решений не имеет.
Пример 15. Решить уравнение
|5ж2 - 3| = 2.
Решение. Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
5ж2 - 3 = 2, 5ж2 - 3 = ™2.
Первое из этих уравнений имеет два корня хх = 1 и ад = ^1- Второе уравнение также имеет два корня: х^ = 1/V5 и Х4 = ™1/V5. Следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня:
хх = 1, Х2 = ™1, а?з = 1/V5, Х4 = ™1/V5.
Ответ, хх = 1, Х2 =хз = 1/V5, Х4 = ™1/V5.
Для решения уравнения
сначала решают уравнение Vt = А, которое при А < 0 решений не имеет, а при Л ^ 0 имеет единственное решение t = Л2. Таким образом, уравнение ^д^у = ^ ПрИ у| о равносильно уравнению /(ж) = Л2, а при Л < 0 решений не имеет.
Пример 16. Решить уравнение
+ 5т + 10 = 2.
Решение. Данное уравнение равносильно уравнению
т2 + 5т + 10 = 4
или уравнению
т2 + 5т + 6 = 0.
Решениями этого уравнения, а значит, и исходного уравнения являются Т1 = — 2 И Т2 = —3.
Ответ. Ti = —2, Т2 = —3.
Упражнения
Решить уравнение.
(т I)2 = 1. 2) (2т + I)3 = 8. 3) т4 ™ 4т2 +4=1. 4) 2ж+3 = 4.
52ж+1 = 25. 6) V^2 = 1. 7) VI - 4т = 5.
log1/3 (ж - 1) = 2. 9) log2 ж = 4. 10)|ж-2| = 1.
|1 — Зж| = 4. 12) |(ж - I)2 + 1| = 2. 13) |3ж2 — 20| = 7.
|43 - 2ж21 = 7. 15) Vж2 - 6ж + 9 = 1.
ж4 - (2ж2 + Зж + 7) + ж2 + ж + 4 = — 2ж - ж2 + 11.
3{10 - 2[3ж - 2(ж - 5) + 7ж]} = Зж - 4.
Зж ~ 4 + (ж_+ДЙ21Д = ^++Д
344'
3 • 22ж - 4 = 8. 20) 4Ж-1 + 4Ж + 4$+1 = 84.
3(log2 ж — 1) + 5(21og2 ж — 1) = 5.
(ж2 + ж)2 - (ж2 - ж)2 = 1. 23) (ж3 - 1) + 2(ж - 1) = 0.
(1 + ж)(1 — ж)(1 + ж2) = -15.
(1 - 2ж)(1 + 2ж + 4ж2) = ж3. 26) Сж2 - |ж| + 5ж+1 = 3.
3 cos2 ж + ж — Зж + 4 = 1 — 3 sin2 ж.
8|ж + 1| - Зд/ж2 + 2ж + 1 = 5.
Vж4 + 6ж2 + 9 + л/16ж4 + 8ж2 + 1 = 9.
2Vж4 +4ж2 +4 - Vж4 + 2ж2 + 1 = 18.
ж2 -4ж - 5 = 0. 32) ж2 - 6ж + 9 = 0. 33)2ж2 + 4ж + 7 = 0.
ж4 -7ж2 +6 = 0. 35) (ж2 - I)2 + 3(ж2-1) =0.
(ж2 + ж - 2) (ж2 + ж - 3) = 12.
(ж +1)(ж + 2)(ж + 3)(ж + 4) = 24.
(ж +1)(ж + 2)(ж + 3)(ж + 4) = 35.
ж - 5д/ж + 6 = 0. 40) ж2 + 13 - 2^ж2 + 13 = 35.
41)41 - ж2 - 2V41 - ж2 = 15. 42) ж2 - 24 - 15 = 2Vж2 - 24.
3д/logs ® - 1°ёз Зж - 1 = 0. 44) 5д/1+/ж - 4 = log2 4ж.
5д/logs ® - 1°8з 9ж = 4- 46)9Г 3=4. 47) 4Г 13 | 2'г 2.
— = 2 • (0,ЗГ +3. 49) 16^ = 102z • (4 + 3- (0,4)Т
lOO1
1 = 4х 2 • (25 'г + 9). 51)52^3 = —+
Q) = 65 2'1 - 12. 53) (log5 ж)2 + | (1 + log5 ж) - 2 = 0.
2(log3 ж)2 - 7(1 + log3 ж) + 3 = 0.
(log4 ж)2 + i (2 + log4 ж) - 4 = 0.
2ЖТ4 у®+4 23ж 73ж57) 0^ЖТ^ ^2ж + 3 ^5® । ^5®
зж+3 - 7Ж+3 = з2ж - 72ж59) 4log9 ж — 6 ■ 2log9 ж | 2log3 27 = 0
25log2 ж 6 • 5log2 ж + 51/21og2 4 = 0.
3 • 9log4 х - 10 • 3log4 ж + log2 8 = 0.
4log3 ж - 5 • 2log3 ж + 2log3 9 = 0.
9 ^ - 2 • 3 ^ = 3. 64) х3 - Зх2 + 4х = 0.
(х + I)3 + (х - I)3 = 0. 66) х3 + 2х2 - ;г - 2 = 0.
х3 + 4 = Зх2. 68) х5 - Зх3 + х = 0. 69) 2х3 + Зх2 - Зх + 3 = 0.
2х4 - 9х3 + 4х2 + 21х - 18 = 0.
2х5 + Зх4 - 5х3 - 5х2 + Зх + 2 = 0.
(х4 + 2х3 - 2х2 - 6х + 5)(ж2 - Зх + 6) = 0.
(х2 — х)4 — 5(х2 — х)2 • х2 + 6х4 = 0.
х6 - 8х4 + 19х2 - 12 = 0.
(х2 - Зх + 1)(х2 + Зх + 2) (ж2 - 9х + 20) = -30.
РАВНОСИЛЬНОСТЬ УРАВНЕНИЙ НА МНОЖЕСТВЕ
Иногда, рассматривая уравнение, можно из каких-либо соображений сразу выделить область, содержащую все его корни, отбросив участки числовой прямой, в которых заведомо корней быть не может. Допустим, что преобразования, выполняемые в процессе решения, сохраняют равносильность уравнений на этой выделенной области. Обозначим ее для определенности буквой М. Тогда, решив получившееся в конце концов простейшее уравнение или совокупность простейших уравнений и отобрав среди найденных чисел только те, которые лежат в М, можно утверждать, что отобранные числа составляют множество всех решений исходного уравнения.
Отметим также, что можно быть уверенным в сохранении равносильности уравнений на множестве М, если преобразования выполнялись по правилам 1-9, указанным в п. 1.5.
Эти общие замечания мы поясним ниже рядом конкретных примеров. Разбираясь в каждом из них, полезно сравнивать ход рассуждений с высказанным выше общим планом решения.
Отметим, что очень часто бывает удобно взять в качестве М область допустимых значений уравнения.
ЗЛ. Приведение подобных членов уравнения. Нужно быть внимательным при уничтожении подобных членов, если эти подобные члены определены не на всей числовой прямой, ибо при этом преобразовании могут появиться посторонние корни.
Пример 1. Решить уравнение
х2 + V^2 ™ 1 — (ж + Vж2 ~ 1) = 0.(1)
Решение. ОДЗ уравнения (1) состоит из всех чисел, удовлетворяющих неравенству х2 — 1 ^ 0, т. е. ОДЗ состоит из двух промежутков —оо < х ^ — 1 и 1 ^ х < +оо. На этом множестве функция
у ™ х2 У V— (ж + Vх2 — 1) тождественно равна функции
2У = X ™ X.
Поэтому исходное уравнение равносильно на этом множестве (см. п. 1.5, утверждение 9) уравнению
ж2 - ж = 0.(2)
Это уравнение имеет два корня х^ = 0 и яд = 1. Из них только яд = 1 лежит в рассматриваемом множестве. Следовательно исходное уравнение имеет единственный корень х х = 1.
Ответ. яд = 1.
Заметим, что уравнения (1) и (2) не равносильны на всей числовой прямой, второе из них имеет еще корень х = 0.
Освобождение уравнения от знаменателя. Лишние корни могут появиться и при освобождении от знаменателя.
Пример 2. Решить уравнение
х2 — Зх + 22х2 — Зж + 1
Решение. ОДЗ уравнения состоит из всех чисел, отличных от корней уравнений ж2 — Зх + 2 = 0 и 2х2 ™ Зж + 1 = 0, т. е. от чисел 1, 2, 1/2.
На этой области обе функции у = х2 — Зх + 2 и у = 2ж2 — Зх + 1 определены и отличны от нуля. Поэтому (см. п. 1.5, утверждение 9), умножив уравнение (3) на произведение знаменателей, получим уравнение
2ж2 - Зж + 1 = ж2 - Зж + 2,(4)
равносильное исходному уравнению на его ОДЗ. После приведения подобных членов получаем уравнение х2 — 1 = 0, имеющее два корня х^ = 1 и хх = — 1, из которых только один яд = — 1 лежит в ОДЗ исходного уравнения.
Ответ, яд = — 1.
Отметим, что уравнения (3) и (4) не равносильны на всей числовой прямой.
Тождественные преобразования уравнения на множестве. При решении уравнений часто приходится пользоваться утверждением 9 п. 1.5 о равносильности уравнений на множестве. При этом важную роль играют различные равенства, являющиеся тождествами лишь на каких-то множествах.
Рассмотрим некоторые примеры.
Тождества с радикалами. Если функция у = /(ж) определена и неотрицательна на множестве М, то на М справедливо тождество
(чТУР = fOY
Очень часто замена функции у = (^//(х))2 на функцию у = /(ж), выполняемая без учета области, где у = /(ж) неотрицательна, приводит к ошибкам.
Пример 3. Решить уравнение
(Уж2 - 7ж + 10)2 = 2ж2 - 9ж + 7.
Решение. Область допустимых значений этого уравнения состоит из всех чисел, удовлетворяющих неравенству ж2 — 7х + 10 ^ 0, т. е. является объединением двух промежутков ж ^ 2 и ж ^ 5. Обозначим ОДЗ через М. На множестве М справедливо тождество
(УУЛтГПо)2 = ж2 - 7ж + 10.
Поэтому исходное уравнение равносильно на множестве М уравнению
ж2 - 7ж + 10 = 2ж2 - 9ж + 7(5)
или уравнению
ж2 — 2х — 3 = 0.
Последнее уравнение имеет два корня жх = — 1 и т?2 = 3. Из них множеству М принадлежит только хх = — 1. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень яд = — 1.
Ответ. яд = —1.
Заметим, что замена исходного уравнения уравнением (5) приводит к появлению постороннего корня х = 3. Действительно, при х = 3 левая часть заданного уравнения равна 2, а правая его часть равна —2.
Решая уравнения, содержащие радикалы, следует быть внимательными при замене функций f^ ■ \/ g^ на у7f^g^x) и у7/(ж)/у^ж) на V jXx)/g(x) соответственно, а также при обратных заменах. Область существования функций у = л/f(x)g(x) и у = ^/ f(x)/g(x) может быть шире областей существования функций у = f^ • \/g^ и у = у7 f^/^g^x), поэтому, например, функции у = у/f(x) • g(x) и у = у7/(ж) • л/ g(x) могут не быть тождественно равными.
Пример 4. Решить уравнение
Vx ™ I •+ 2 = y/(^^lj(^l^) + (ж + 5)(х — 3).(6)
Решение. ОДЗ уравнения (6) есть множество всех х ^ 1. На этой области выполняется тождество
— 1 •+ 2 = ^(х ™ 1)(х + 2),
так что уравнение (6) равносильно на множестве х ^ 1 уравнению
V(ж - 1)(ж + 2) = -\/(ж - 1)(ж + 2) +3)(7)
3 М.К. Потапов и др.
и, значит, (см. п. 3.1) уравнению
(ж + 5) • (ж — 3) = 0.
Получившееся уравнение имеет два корня х^ = ™5 и яд = 3, из которых в множество ж ^ 1 попадает только яд = 3. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень яд = 3.
Ответ. яд = 3.
Заметим, что функции у = Vх ™ 1 ' Vх + 2 и у = у (я? — 1)(я? + 2) не являются тождественно равными, так как имеют различные области существования: первая из них определена на промежутке 1 ^ х < +оо, а вторая — на двух промежутках —оо < х -2 и 1 х < +оо. Поэтому уравнение (7) имеет два корня яд = —5 и яд = 3, в чем легко убедиться подстановкой, а уравнение (6) — лишь один корень х = 3. Формальный переход от уравнения (6) к уравнению (7) привел бы к появлению постороннего корня х = —5.
Основное логарифмическое тождество. Не всегда допустима замена функции у = alog» ^ж) на функцию у = f(x\ Область существования функции у = alog» J^ включает в себя лишь те х из области существования у = f^x\ где выполнено неравенство /(я?) > 0. Поэтому замена в уравнении функции у = alog® ^ж^ на функцию у = /(я?) может привести к появлению посторонних корней. Если же в точках множества М функция у = у (ж) принимает только положительные значения, то равенство
aIogafD =
является тождеством на М и эта замена есть равносильное преобразование на М.
Пример 5. Решить уравнение
2iog2 = 2ж ™ 7.
Решение. ОДЗ уравнения состоит из чисел х, удовлетворяющих неравенству х — 4 > 0, т. е. х > 4. На ОДЗ выполняется тождественное равенство 2log2 (ж™4) = ж — 4, поэтому исходное уравнение равносильно на ОДЗ уравнению
х — 4 = 2х — 7.
Единственный корень этого уравнения х = 3 не лежит в ОДЗ исходного уравнения. Значит, исходное уравнение не имеет решений.
Ответ. Решений нет.
Тождества с логарифмами. При решении уравнений, содержащих логарифмические функции, иногда применяются различные преобразования, сводящие заданное уравнение к виду, удобному для потенцирования уравнения, т. е. к виду
1оё0/(ж) = 1о8а£(Д
Так, применяется замена функции у = loga /(я?) + logag(x) на функцию У = !°ga(/(x) • g^M функции у = log0/(x) - logag(^) на функцию
У = og„ -Д Функции у = 2^1oga J0) на функцию у = loga (КРУ •
Выполняя такие преобразования, следует помнить, что они сохраняют равносильность уравнений на некотором множестве М только в том случае, когда все входящие в уравнения функции определены на М.
Пример 6. Решить уравнение
log2 (ж - 1) + log2 ж = 1.
Решение. Область допустимых значений данного уравнения состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям х^1>0их>0, т. е. ОДЗ есть промежуток 1 < х < +оо. На ОДЗ исходное уравнение равносильно уравнению log2 ((ж — 1)х) = 1 или уравнению ж2 — ж = 2. Последнее уравнение имеет два корня: яд = 2 и х^ = — 1. Из них ОДЗ принадлежит только яд, значит, яд = 2 является единственным корнем исходного уравнения.
Ответ. яд = 2.
Пример 7. Решить уравнение
/4\/2\
log2- log2= 6.(8)
у 1 — X2 )у 1 — X2 )
Решение. ОДЗ уравнения (8) состоит из всех х, удовлетворяющих одновременно условиям х ф 0 и 1 — х2 > 0 и, следовательно, является объединением двух промежутков — 1 < х < 0 и 0 < х < 1. На ОДЗ исходное уравнение равносильно уравнению
/42\
logo : = о,
у 1 — х2 1 — X2 ) т. е. уравнению
log2 ж2 = 6.(9)
Потенцируя это уравнение, а затем решая квадратное уравнение х2 = 26, находим два корня яд = 8 и х^ = —8 уравнения (9). Ни один из них не входит в ОДЗ исходного уравнения, и, значит, исходное уравнение решений не имеет.
Ответ. Решений нет.
Подчеркнем, что уравнения (8) и (9) не равносильны, они имеют различные области допустимых значений и, как следствие, различные множества корней.
Иногда используют тождества
loga U р = loga 1/1+ l°ga |g|,
loga - = 10g« l/l -10ga IsN
\g;
справедливые в той части области существования функций у = /(ж) и у = g(x), где выполнено неравенство f(x) ■ g^x) > 0, а также тождество
loga Д™ = 2mloga|/|,
где т — натуральное число, выполняющееся на той части области существования функции /(ж), где /(ж)0.
Пример 8. Решить уравнение
log2 х4 + log2 ж2 = 6.
Решение. ОДЗ данного уравнения состоит из всех х ф 0. На ОДЗ исходное уравнение равносильно уравнению
41og2 |ж| + 21og2 |ж| = 6,
т. е. уравнениют. е. уравнениюlog2 |ж| = 1,log2 |ж| = 1,
т. е. уравнению
т. е. уравнению
log2 |ж| = 1,
log2 |ж| = 1,
которое в свою очередь равносильно уравнению |ж| = 2.
Решение этого уравнения есть яд = 2 и^ = —2. Оба эти значения входят в ОДЗ исходного уравнения и поэтому являются его решениями.
Ответ. яд = 2, х2 = —2.
Пример 9. Решить уравнение
log2 - log2 = -2.
1 — х21 — X2
Решение. ОДЗ данного уравнения состоит из двух промежутков 0<х<1и—оо<х<—1. На ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению
log2 |ж| - log2 |1 - ж2| - log2 |ж|3 + log2 11 — ж21 = -2, т. е. уравнению
log2 |ж| - log2 |ж|3 = -2,
которое в свою очередь равносильно уравнению
log2 |ж| = 1.
Решение последнего уравнения есть ж2 = 2 и^! = -2. Значение х2 = 2 не входит в ОДЗ исходного уравнения, поэтому не может являться решением исходного уравнения. Значение яд = — 2 входит в ОДЗ исходного уравнения и является единственным его решением.
Ответ. яд = —2.
Приведение логарифмов к одному основанию. Часто в уравнениях бывают заданы логарифмические функции при различных основаниях. Обычно в этом случае все логарифмы приводят к одному основанию с помощью тождества
= logcqlogc b
справедливого при положительных а, Ь, с, а также при b ф 1, с ф 1. Полу
чившееся уравнение решают с помощью изложенных выше приемов. Пример 10. Решить уравнение
/ з \т31г™
log2 ж + log3 - - log3 — = _ + log2 7ж.
хх /V 32
Решение. Областью допустимых значении данного уравнения является множество 0 < х < +оо. На ОДЗ исходное уравнение равносильно уравнению
log2 ж + (1 - log3 ж) - 31og3 ж + | = | + | log2 ж.
Перейдем в логарифмах к логарифмам по основанию 3. Получим уравнение
logs ®logs 2 ’logs ®logs 2 ’(1-1оёзж) + ^3 — Зlog3ж = |
logs ®
logs 2 ’
logs ®
logs 2 ’
logs22
равносильное исходному на его ОДЗ. Последнее уравнение можно переписать так:
1 - 4 log3 ж +1 - 4 log3 ж +1212logs ® = Q logs 2logs ® = Q logs 2
1 - 4 log3 ж +
1 - 4 log3 ж +
1
2
1
2
logs ® = Q logs 2
logs ® = Q logs 2
Теперь очевидно, что на множестве 0 < ж < +оо исходное уравнение равносильно уравнению
(8 log3 2-1) log3 ж = 2 log3 2.
Это уравнение имеет единственный корень Ж1 = -. Это число
logs 4
лежит в ОДЗ исходного уравнения и, следовательно, является его решением.
„8 log3 2 - 1
logs 4
Замена уравнения совокупностью уравнений. Напомним, что уравнение
ЛЮ • Ы^ • • • • • fay = о
равносильно совокупности уравнений
/х(ж) = 0,/2(ж) = О,/х(ж) = 0,/2(ж) = О,/„(ж)= О/„(ж)= О
/х(ж) = 0,/2(ж) = О,
/х(ж) = 0,/2(ж) = О,
/„(ж)= О
/„(ж)= О
только на ОДЗ уравнения.
Пример И. Решить уравнение
(ж2 — 4) • л/х = 0.
Решение. Область допустимых значений уравнения состоит из всех х, удовлетворяющих неравенству х 0. На этом множестве данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
уГ = 0, ж2 4 = 0.(10)
Первое уравнение этой совокупности имеет один корень: яд = 0, а второе — два корня: яд = 2 и яд = —2. Из них в ОДЗ исходного уравнения входят только яд = 0 и яд = 2. Они и являются решениями исходного уравнения.
Ответ. яд = 0; х^ = 2.
Подчеркнем, что формальное объединение множеств решений уравнений (10) приводит к появлению постороннего корня.
Сокращение уравнения на общий множитель. Иногда при решении уравнения/ X „, X / X , X
р^х) - /(ж) = р^х) ■ g(x)
от этого уравнения переходят к уравнению
/(ж) = g(p,
т. е. сокращают уравнение на общий множитель — функцию у = р^х\ забывая о том, что при некоторых значениях х функция у = р(х) может обращаться в нуль или не иметь смысла. Это ошибка может привести как к потере корней исходного уравнения, так и к приобретению посторонних корней.
Например, переходя от уравнения х3 = х к уравнению х2 = 1 (т. е. сокращая исходное уравнение на х\ мы, как легко видеть, теряем корень Xi = 0 исходного уравнения, а переходя от уравнения \/х — 3 ■ х2 = = 2Vx — 3 к уравнению х2 = 2 (т. е. сокращая исходное уравнение на общий множитель V^ ™ 3), мы приобретаем два посторонних корня х^ = х/2 и х2 = ™ V2, но теряем корень хз = 3.
Подобные уравнения надо решать следующим образом:
найти ОДЗ уравнения р(рс)Цх) = p^g^x);
переписать уравнение в равносильном виде
ДД • [/(ж) - g(ж)] = 0;
перейти от этого уравнения к равносильной ему на ОДЗ исходного уравнения совокупности уравнений
= 0, /(ж) - я(ж) = 0;
решить эту совокупность уравнений на ОДЗ исходного уравнения; множество всех корней этой совокупности, каждый из которых принадлежит ОДЗ исходного уравнения, и есть множество всех корней исходного уравнения.
Пример 12. Решить уравнение
(х2 + 2х) log2 х = 8 log2 х.(И)
Решение. ОДЗ уравнения состоит из всех х > 0. Перепишем исходное уравнение в виде о
На ОДЗ это уравнение равносильно совокупности уравнений log2 х = 0, х2 + 2х — 8 = 0.
Корень первого уравнения этой совокупности есть яд = 1, корнями второго уравнения являются х2 = 2ияд = — 4. Из этих чисел в ОДЗ исходного уравнения входят лишь яд = 1 и х2 = 2. Следовательно, решениями исходного уравнения являются xi = 1 и яд = 2.
Ответ. яд = 1, яд = 2.
Подчеркнем, что сокращение уравнения (11) на общий множитель log2 х приводит к уравнению
х2 + 2х = 8, имеющему два корня х2 = 2иж3 = —4. При этом яд = —4 не удовлетворяет уравнению (11), а корень яд = 1 теряется.
Возведение обеих частей уравнения в четную степень. Отметим еще раз, что возведение в четную степень обеих частей уравнения сохраняет равносильность уравнений на множестве М, если:
обе части уравнения определены на множестве М;
обе части уравнения неотрицательны на множестве М.
Пример 13. Решить уравнение
Сж-2 = С2ж - 1.(12)
Решение. ОДЗ уравнения состоит из чисел ж, удовлетворяющих неравенствам ж ™ 20 и 2ж - 10, т. е. имеет вид х 2. На ОДЗ обе
части уравнения (12) определены и неотрицательны, поэтому (см. п. 1.5, утверждение 6) оно равносильно на ОДЗ уравнению
(уТ^2)2 = У*2х - I)2,
т. е. уравнению
х — 2 = 2х — 1.
Это уравнение имеет единственный корень яд = — 1, не принадлежащий ОДЗ исходного уравнения. Значит, исходное уравнение решений не имеет.
Ответ. Решений нет.
Отметим, что формальное возведение в квадрат уравнения (12) приводит к появлению постороннего корня яд = — 1 вследствие того, что на множестве (—оо, +оо) нарушается первое из двух указанных условий.
Пример 14. Решить уравнение
ДГ^+Т = 2® - 1.(13)
Решение. Так как левая часть уравнения (13) принимает только неотрицательные значения, то все решения уравнения (13) должны удовлетворять неравенству 2х — 10, т. е. лежать в области х 1/2. Обозначим для
краткости эту область буквой М. Обе части исходного уравнения определены и неотрицательны на множестве М. Значит, это уравнение равносильно на М уравнению
^VPPvvf = (2® - I)2,
т. е. уравнению
2®2 + 1 = 4®2 - 4® + 1.(14)
Это уравнение имеет два корня: х^ = 0 и яд = 2. Из них в М лежит только яд = 2. Значит, исходное уравнение имеет единственный корень яд = 2.
Ответ. яд = 2.
Заметим, что ОДЗ уравнения (13) совпадает со всей числовой прямой и на ОДЗ нарушается второе из указанных выше условий. Уравнения (13) и (14) не равносильны на ОДЗ, второе из них имеет корень яд = О, подстановка которого в (13) дает неверное равенство %/Т = — 1.
Пример 15. Решить уравнение
V3 - 3® = 2® + 1.
Решение. ОДЗ уравнения состоит из чисел ж, удовлетворяющих неравенству 3 — Зж ^ 0, т. е. неравенству ж ^ 1. Кроме того, для решений должно выполняться неравенство 2ж +10, т. е. неравенство ж —1/2. Обозначим
буквой М множество — 1/2 ж 1. Все искомые решения лежат в М. На множестве М обе части исходного уравнения определены и неотрицательны, поэтому оно равносильно на М уравнению
(V3 - Зж)2 = (2ж + I)2,
т. е. уравнению
3 — Зж = 4ж2 + 4ж + 1.
Это уравнение имеет два корня жх = 1/4 и ж 2 = —2. Из них в М лежит только жх = 1 /4. Значит, исходное уравнение имеет единственный корень жх = 1 /4.
Ответ, жх = 1/4.
При решении более сложных задач возведение в степень может применяться неоднократно. Однако всякий раз нужно следить за соблюдением условий 1) и 2).
Пример 16. Решить уравнение
Va: — 1 + У2ж + 2 = 4.
Решение. ОДЗ уравнения состоит из всех ж, удовлетворяющих условию ж 1. Так как на ОДЗ обе части исходного уравнения неотрицательны, то, возведя его в квадрат, получим уравнение
ж - 1 + 2\/ж - 1 • С2ж + 2 + 2ж + 2 = 16,(15)
равносильное исходному на его ОДЗ. Перепишем уравнение (15) в виде
2х/ж- 1 • \/2ж + 2 = 15 - Зж.(16)
Заметим, что на ОДЗ выражение 2 д/^ — 1 • С2ж + 2 неотрицательно, а выражение 15 — Зж может принимать значения разных знаков, поэтому ни одно ж из множества ж > 5 не может являться решением уравнения (16), а значит, и исходного уравнения.
При 1 ^ ж ^ 5 обе части уравнения (16) определены и неотрицательны, поэтому на этом множестве уравнение (16), а значит, и исходное уравнение равносильны уравнению
4(ж —1)(2ж + 2) = (15-Зж)2,
т. е. уравнению
ж2 - 90ж + 233 = 0.(17)
Решения уравнения (17) есть Ж2 = 45 + 16 V7 и Ж1 = 45 — 16V7. Оба эти значения ж входят в ОДЗ исходного уравнения, однако условию 1 ^ ж ^ 5 удовлетворяет только значение жх = 45 — 16 V?, следовательно, только оно и является решением исходного уравнения.
Ответ, жх = 45 — 16 V7.
Преобразования, связанные с логарифмированием уравнения. Пусть а — положительное число, отличное от единицы. Рассмотрим уравнение
/(ж) = g(p.
Замена этого уравнения на уравнение
loga /(ж) = loga g(x)
называется логарифмированием уравнения.
При логарифмировании уравнения возможна потеря корней, например, при переходе от уравнения х = ж3 к уравнению log2 х = log2 ж3 корни жх = 0 и ж2 = — 1 уравнения ж = ж3 теряются, а корень жз = 1 остается. Поэтому формальное применение преобразования логарифмирования иногда приводит к уравнению, не равносильному исходному. Логарифмировать уравнение можно только на множестве М-той части ОДЗ, где обе части исходного уравнения положительны. При этом на множестве М уравнения /(ж) = g(x) и loga /(ж) = loga g(x) равносильны.
Часто преобразование логарифмирования применяется к уравнениям
где а > 0, а 7^ 1. При этом пользуются тем, что обе части этого уравнения положительны на его ОДЗ.
Пример 17. Решить уравнение
2^+2 . ^ж + 2 23ж _ ^Зж
Решение. Используя свойство степени, перепишем уравнение в виде
10ж+2 = 103ж.
Поскольку при любом действительном ж обе части уравнения положительны, то оно равносильно уравнению
ж + 2 = Зж,
имеющему единственный корень жх = 1. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень жх = 1.
Ответ. Ж1 = 1.
Преобразования, связанные с потенцированием уравнения. Рассмотрим уравнение
1о8а/Ю =l°ga^)-(18)
Замена этого уравнения уравнением
/(ж) = gO)(19)
называется потенцированием уравнения. Как уже отмечалось (см. п. 1.5, утверждение 7), уравнения (18) и (19) будут равносильными на некотором множестве М, если функции у = /(ж) и у = g(ж) определены и положительны на М.
Пример 18. Решить уравнение
log3 (ж2 - 7) = log3 (Зж - 3).(20)
Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех ж, удовлетворяющих одновременно условиям ж2 — 7 > 0 и Зж — 3 > О, т. е. ОДЗ есть множество V? < ж < +ос. На этом множестве исходное уравнение равносильно уравнению
.г27 = З.г 3.(21)
Множество всех решений последнего уравнения состоит из двух чисел Ж1 = 4 и ж2 = — 1. Поскольку число ж2 = — 1 не принадлежит ОДЗ исходного уравнения, а число жх = 4 ему принадлежит, то жх =4 является единственным корнем исходного уравнения.
Ответ, жх = 4.
Подчеркнем, что формальный переход от уравнения (20) к уравнению (21) влечет за собой появление лишнего корня ж2 = — 1.
Решение уравнений, содержащих абсолютную величину. Нужно четко представлять, что в области существования функции у = /(ж)
{
/(ж) для тех значений ж, при которых /(ж)0,
—/(ж) для тех значений ж, при которых /(ж) < 0.
При решении уравнений, содержащих функцию |/(ж)|, обычно область допустимых значений М разбивают на две части Mi и М^. В первой из них выполняется неравенство /(ж)0, а во второй /(ж) < 0.
Затем решают заданное уравнение отдельно в области Mi, пользуясь тождеством |/(ж) | = /(ж), а затем в области М2, где справедливо тождество |/(ж)| = —/(ж). Объединяя множества решений из Mi и из М2, получают множество решений исходного уравнения.
Пример 19. Решить уравнение
12ж —- 31 = ж + 2.
Решение. Точка ж = 3/2 разбивает числовую ось на два промежутка: 1) ж < 3/2; 2) ж /2. Решим исходное уравнение на каждом из этих промежутков.
На промежутке 3/2 ^ ж < +ос выражение 2ж — 3 положительно, поэтому на этом промежутке исходное уравнение равносильно уравнению
2ж — 3 = ж + 2,
имеющему единственное решение xi = 5. Поскольку это значение жх принадлежит рассматриваемому промежутку, то жх = 5 является решением исходного уравнения на промежутке 3/2 ж < +ос.
На промежутке —ос < ж < 3/2 выражение 2ж — 3 отрицательно, поэтому |2ж — 3| = — (2ж — 3) и исходное уравнение на этом промежутке равносильно уравнению
— (2ж — 3) = ж + 2, т. е. уравнению
-Зж = -1,
имеющему единственный корень ж2 = 1/3. Этот корень принадлежит
промежутку —ос < х 3/2. Значит, на этом промежутке исходное уравнение имеет единственный корень х^ = 1/3.
Следовательно, решениями исходного уравнения являются хх = 1/3 и х2 = 5.
Ответ, хх = 1/3, х^ = 5.
Может случиться так, что в уравнение входит несколько функций под знаком модуля. Тогда ОДЗ уравнения разбивают на большее количество областей, в каждой из которых все функции, входящие в заданное уравнение под знаком модуля, принимают или только неотрицательные, или только неположительные значения. Затем в каждой из выделенных областей решают заданное уравнение, пользуясь указанным выше тождеством, и, объединяя множества решений, полученных в каждой области, находят множество решений исходного уравнения.
Пример 20. Решить уравнение
\х + 1| — |2ж — 3| = х — 5.
Решение. Для освобождения от знаков абсолютной величины разобьем числовую ось на три области: первую, в которой ^ 3/2, вторую, в которой — 1 < х < 3/2, и третью, в которой х — 1.
В первой области |ж + 1| = х + 1, |2ж — 3| = 2х — 3, и поэтому исходное уравнение перепишется так:
х + 1 - (2ж — 3) = х - 5.
Полученное уравнение имеет решение хх = 9/2. Это значение хх = 9/2 попадает в рассматриваемую область и, значит, является решением исходного уравнения.
Во второй области |ж + 1| = х + 1 и |2ж — 3| = — ^х — 3), поэтому исходное уравнение перепишется так:
х + 1 + (2ж — 3) = х — 5.
Полученное уравнение имеет решение х^ = —3/2. Это значение не попадает в рассматриваемую область и, значит, не является решением исходного уравнения.
В третьей области \х + 1| = — (ж + 1) и |2ж — 3| = — (2ж — 3), поэтому исходное уравнение перепишется так:
— (ж + 1) + (2ж — 3) = ж — 5.
Это уравнение решений не имеет, значит, и исходное уравнение не имеет решений на множестве ж — 1.
Следовательно, решением исходного уравнения является жх = 9/2.
Ответ, жх = 9/2.
Пример 21. Решить уравнение
|5ж - 13| - |6 - 5ж| = 7.
Решение. Для освобождения от знаков абсолютной величины разобьем числовую ось натри области: первую, в которой ж ^ 13/5, вторую, в которой 6/5 < ж < 13/5, и третью, в которой ж 6/5.
В первой области |5ж — 131 = 5ж — 13, |6 — 5ж| = —(6 — 5ж), и поэтому исходное уравнение перепишется так:
5ж - 13 + (6 - 5ж) = 7.
Это уравнение решений нс имеет, значит, и исходное уравнение не имеет решений на множестве ж 13/5.
Во второй области |5ж — 13| = — (5ж — 13) и |6 — 5ж| = —(6 — 5ж), поэтому исходное уравнение перепишется так:
—5ж + 13 + 6 — 5ж = 7.
Полученное уравнение имеет решение жх = 6/5. Это значение ж не попадает в рассматриваемую область и, значит, не является решением исходного уравнения.
В третьей области |5ж — 13| = — (5ж — 13) и |6 — 5ж| = 6 — 5ж, поэтому исходное уравнение перепишется так:
—5ж + 13 — 6 + 5ж = 7.
Этому уравнению удовлетворяют все ж из промежутка (—ос, +ос). Следовательно, решением исходного уравнения являются все ж из третьей области, т. е. все ж из промежутка — ос < ж 6/5.
Ответ, —ос < ж ^ 6/5.
Отметим, что особенностью предыдущего примера является то, что его решением является не одно число или несколько чисел, а целый числовой промежуток.
Из утверждения 6 п. 1.5, в частности, следует, что уравнения |/(ж)| = = IgWI и /2(ж) = ркР равносильны на любом множестве М, где определены функции у = /(ж) и у = g(ж). Этим утверждением часто пользуются при решении уравнений.
Пример 22. Решить уравнение
|ж + 2| = |2ж — 1|.
Решение. ОДЗ данного уравнения состоит из всех действительных чисел. Данное уравнение равносильно уравнению
|ж + 2|2 = |2ж — 1|2,
т. е. уравнению„„
2)2 = Щ
или уравнениюо
Зя2 8ж 3 = 0.
Корнями этого уравнения, а следовательно, и исходного являются жх = 3 и ж2 = -1/3.
Ответ. Ж1 = 3, ж2 = —1/3.
Упражнения
Решить уравнение.
ж4 — Уж2 — 4 — (9ж2 — Уж2 — 4) = 0.
я2 - 5ж + 5 +_ 1.
ж — 2 ж — 2
log9(2ж + 3) — log9(2ж + 3) = х + 3.
4)—2i. 5)Ж±А = 1. 6) Зж~7 =4"5Ж.
2ж2 — ж — 3 ж2 — Зж — 4 ж2 — 4ж2 + ж + 12ж2 + 2ж + 2
Ж + 4= Ж + 4 . 8) Ux1 - 4ж + 1)2 = 2ж2 - 7ж + 3.
' ж2 — ж — 2 ж2 + ж — 2
(Уж2 + ж — 2)" = ж2 + 4ж + 4. 10) Уж2 (ж — 2) = х.
Уж2 + ж — 2 = Уж2 — ж + 2. 12) Уж2 (ж — 1)2(ж — 3) = ж(1 — ж).
4УжТб = ж + 1. 14) Уб ™ ж2 = ж ™ 1. 15) Уж2 +8 = 2ж + 1.
У1 + 4ж — ж2 = ж — 1. 17) У4 + 2ж — ж2 = ж — 2.
ж + У2ж2 - 14ж + 13 = 5. 19) (ж + 1)Уж2 + ж ™ 2 = 2ж + 2.
(ж — 1)Уж2 — ж — 6 = 6ж — 6.
3(4ж + 3)У16ж + 17 = (4ж + 3)(8ж + 5).
У2ж 4 ™ УУ^З = УЗж 11.
_ у2ж_2 = Уж + 3 — у^.
(ж + I)2 - У1 - ж2 = —^==. 25) (16 - ж2)УЗ^ = 0.
(9 6ж + ж2) • У2^У = 0. 27) (log2 (1 ж)) • У4 ™ ж2 = 0.
Ml 10g2 (ж - 3) = 2 log2 (ж - 3). 29) ^±^±1 =.
ж2 + ж — 2 ж2 + ж — 2
logs (ж + 3) = log5 О® - 7)- 31) log3 ™ = log3
log2 (ж - 1) + log2 ж = 1. 33) log3 ж + log3 (ж + 2) = 1.
log2 (ж2 — 3) — log2 (6ж — 10) + 1 = 0.
log2 - log2 МР = _2. 36) 2(lgж)2 + (1 - V2) 1gж2 = 2^2. 1 — ж21 — ж2
3(log3 ж)2 + (V5 - 2) log3 ж3 - 6V5 = 0.
(log5 О2 + 2^2 = 3(2 + V2) log5
31og8 (ж - 2) = log2 V2® - 1.
1о81/2 (з - |) + 1о& У -
О logi/з (ж - 3) = - logs л/Зж + 1.
21g (ж + 1/2) - 1g (ж - 1) = 1g (ж + 5/2) + 1g 2.
^ж ™ 1g (ж ™- 1g (ж +- 1g (ж += 0.
2 V 2/ V 2/2 V 82
1g (^ж + 011g (ж + 6) = 1g ^ж|^ ™ 1g ж.
2 + 1g (1 + 4ж2 - 4ж) - 1g (19 + ж2) = 2 lg (1 - 2ж).
221g (2 + ж) = 1g (36 + ж2)1g (4 + ж2 + 4ж).
47)log5 —47)log5 —1—h21—h2logs®logg 3/V®logs®logg 3/V®log3 V® - 2 =log3 V® - 2 =(log3ж)^log2 ^) + log2 ^-.(log3ж)^log2 ^) + log2 ^-.|(log2 (Зж - 4)6) log2 ж2 = 8(log2 V®)2 + (log2 (Зж - 4)2)2.ж2 + 4|ж - 3| - 7ж + 11 = 0. 51) ж2 - 4|ж + 1| + 5ж + 3 = 0.|(log2 (Зж - 4)6) log2 ж2 = 8(log2 V®)2 + (log2 (Зж - 4)2)2.ж2 + 4|ж - 3| - 7ж + 11 = 0. 51) ж2 - 4|ж + 1| + 5ж + 3 = 0.
47)log5 —
47)log5 —
1
—h
2
1
—h
2
logs®logg 3/V®
logs®logg 3/V®
log3 V® - 2 =
log3 V® - 2 =
(log3ж)^log2 ^) + log2 ^-.
(log3ж)^log2 ^) + log2 ^-.
|(log2 (Зж - 4)6) log2 ж2 = 8(log2 V®)2 + (log2 (Зж - 4)2)2.
ж2 + 4|ж - 3| - 7ж + 11 = 0. 51) ж2 - 4|ж + 1| + 5ж + 3 = 0.
|(log2 (Зж - 4)6) log2 ж2 = 8(log2 V®)2 + (log2 (Зж - 4)2)2.
ж2 + 4|ж - 3| - 7ж + 11 = 0. 51) ж2 - 4|ж + 1| + 5ж + 3 = 0.
ж2 - 2|ж + 1| - Зж - 5 = 0. 53) |3ж - 8| = 6 + |3ж - 2|.
1 + 17ж — 111 = |7ж - 121. 55) |ж - 3| + |ж + 2| - |ж - 4| = 3.
|3 — ж| + |2ж + 4| — |ж + 1| = 2ж + 4.
НЕРАВНОСИЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ
А. Переход к следствию
Одним из часто используемых приемов решения уравнений является замена уравнения его следствием, т.е. другим уравнением, вообще говоря, более простым, содержащим среди своих корней все корни предшествующего уравнения. Выполнив цепочку таких преобразований, получают одно или несколько простейших уравнений, среди корней которых содержатся все корни исходного уравнения. Решив эти простейшие уравнения, можно найти некоторое множество чисел — корней простейших уравнений, из которого с помощью проверки отбираются затем все корни исходного уравнения. Проверка, т.е. подстановка чисел, среди которых содержатся решения, в исходное уравнение, является неотъемлемой частью такого способа решения уравнений. Иногда он оказывается удобнее, чем выполнение равносильных преобразований (см. § 3).
В § 1 указаны наиболее часто используемые преобразования, приводящие к следствию.
Приведение подобных членов уравнения.
Пример 1. Решить уравнение
ж2 + V^2 ™ 1 ™ (^ж + V^2 ~ 1^) = 0.
Решение. Приведя подобные члены в этом уравнении, приходим к уравнению
ж2 — х = 0,(1)
являющемуся следствием исходного уравнения. Решения уравнения (1) есть х^ = 0 и Xi = 1. Подставляя эти числа вместо х в исходное уравнение, убеждаемся, что Ж1 = 1 ему удовлетворяет, а ж 2 = 0 ему не удовлетворяет, т.е. является посторонним корнем. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень жх = 1.
Ответ. Ж1 = 1.
Освобождение от знаменателя.
Пример 2. Решить уравнение
2ж + 1_
2ж2 + 5ж + 1
Решение. Умножая обе части заданного уравнения на знаменатель 2ж2 + 5ж + 1 левой его части, приходим к уравнению
2ж + 1 = 2ж2 + 5ж + 1
— следствию исходного (см. п. L3, утверждение 3). Его решения есть жi = — 1 и ж 2 = — 1/2. Подставляя эти числа в исходное уравнение, убеждаемся, что жх = — 1 ему удовлетворяет, а Ж2 = — 1/2 есть посторонний корень.
Ответ, жх = — 1.
Возведение в степень. Пусть п — натуральное фиксированное число. Как отмечено в § 1, уравнение /п(ж) = gn(ж) есть следствие уравнения /(ж) = g(ж). При переходе от уравнения /(ж) = g(ж) к уравнению /п (ж) = gn (ж) не происходит потери корней, однако могут возникнуть посторонние корни.
Пример 3. Решить уравнение
V ж2 + 6ж + 8 =+ 2.
Решение. Возведя обе части исходного уравнения в квадрат и заменяя (уж2 + 6ж + 8) и (у/ж + 2) на подкоренные выражения, получим уравнение
ж2 + 6ж + 8 = ж + 2,(2)
являющееся следствием исходного уравнения. Множество всех корней уравнения (2) состоит из двух чисел жх = —2 и ж2 = —3. Поскольку в процессе решения уравнения проводилось возведение уравнения в квадрат и замена квадрата корня подкоренным выражением, то могли появиться посторонние корни, поэтому необходима проверка. Проверка показывает, что корень ж2 = —3 не является корнем исходного уравнения, а корень жх = —2 является корнем исходного уравнения.
Ответ, жх = —2.
Иногда прием возведения в степень можно использовать несколько раз.
Пример 4. Решить уравнение
\/4ж — 1 — х/ж^МЗ = 3.
Решение. Если возвести обе части данного уравнения в квадрат, то получим уравнение
4ж — 1 — 2\/4ж — 1 -— 2 + ж — 2 = 9,
т.е. уравнение
2^4ж - 1 • V^2 = 5ж - 12.
Возводя это уравнение в квадрат, имеем уравнение
4(4ж- 1)(ж-2) = (5ж — 12)2,
т.е. уравнение
9ж2 - 84ж + 136 = О,
являющееся следствием исходного. Корнями этого уравнения являются ж2 = (14 —2V15)/3 и жх = (14 + 2х/15)/3. Проверить значения этих
корней не так просто, поскольку надо доказать или опровергнуть равенства
Л 14-2^^ _ /14-2У15_2 = 3(
V з V зk
L 14 +™/14 + 2VT5 ~ = 3
Преобразуем подкоренные выражения:
4 142V151 _538V15_15924V15_ /12 - уПА 2 ,
3~3~9\3/
142V152 _ 82V1524 ™ бУ15 /3УпЛ2 ,
4 14 + 2у1512 +У15\ .
* 3\ 3 /
14 + 2V15 _ 2 - ( 1+V15A
3\3/ '
Поэтому левая часть равенства (3) равна
12 — У15V15™3г 2V15
— + з
33
а левая часть равенства (4) равна
12 + V153 + У15 _ 3
3” ’
т.е. Xi = (14 + 2\/Т5)/3 является корнем исходного уравнения, а ж 2 нс является.
14 + 2У15
Ответ. Ж1 =.
3
Этот пример показывает, что иногда удобнее пользоваться методами, изложенными в § 3. Но бывает и обратная ситуация.
Пример 5. Решить уравнение
Решение, уравнениеРешение, уравнениеVж3 — ж + 5 = Vж3 + ж2 — 1.
Решение, уравнение
Решение, уравнение
Если возвести данное уравнение в квадрат, то получим ж3 - ж + 5 = ж3 + ж2 - 1,
являющееся следствием исходного. Это уравнение после приведения подобных членов может быть переписано в виде
ж2 + ж — 6 = О,
откуда следует, что оно имеет два корня: жх = 2 и ж2 = — 3. Подстановка этих чисел в исходное уравнение показывает, что жх = 2 является его корнем, а ж2 = ™3 — посторонний корень.
Ответ, жх = 2.
Заметим, что ОДЗ уравнения, заданного в этом примере, определяется неравенствами
ж3 — ж + 5 О, ж3 + ж2 — 1 О
и явное ее вычисление затруднительно.
Потенцирование уравнений. Пусть а — фиксированное положительное число, отличное от 1. Рассмотрим уравнение
loga/(a:) = logag(x).(5)
Замена этого уравнения уравнением
/(ж) = g(x)(6)
называется потенцированием. Как отмечено в § 1, уравнение (6) есть следствие уравнения (5). При потенцировании уравнения потерять корни нельзя, но можно приобрести посторонние корни.
Пример 6. Решить уравнение
log3(l-^) = log3 .(7)
2 - ж
Решение. Потенцируя данное уравнение, получим уравнение
Освобождаясь от знаменателя, получаем уравнение
(1 — ж) (2 — ж) = 6
или уравнение
ж2 - Зж - 4 = 0.(9)
Решениями этого уравнения являются жх = -1 и Ж2 = 4. Поскольку в процессе решения исходного уравнения применялось потенцирование уравнения (7) и освобождение от знаменателя в уравнении (8), то последнее из уравнений — (9) является следствием исходного. Проверка показывает, что число ж2 = 4 не является корнем исходного уравнения, а число жх = — 1 ему удовлетворяет. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень Ж1 = — 1.
Ответ, жх = ^1.
Решение следующего примера с помощью равносильных преобразований потребовало бы значительных усилий для нахождения ОДЗ заданного уравнения.
Пример 7. Решить уравнение
log2 (^ж2 — V^2 ™ 4 + ж + 2^ = log2 (^ж4 — V^2 ™ 4 + ж — 10^ .
Решение. Потенцируя исходное уравнение, получаем его следствие — уравнение
ж2 — у/^2 ™ 4 + ж + 2 = ж4 — у/^2 ™ 4 + ж — 10.
Следствием этого уравнения является уравнение ж4 - ж2 - 12 = 0,
4 М.К. Потапов и др.
решениями которого являются ж i = 2иж2 = ^2. Поскольку в процессе решения применено потенцирование уравнения и уничтожение противоположных членов Дж2 “ 4 и — Vж2 “ 4, то необходима проверка.
Проверка показывает, что оба найденных числа являются корнями исходного уравнения.
Ответ. Ж1 = 2, ж 9 = —2.
Преобразования, связанные с квадратными корнями. Если при решении уравнения заменить:
функцию у = Д/(ж) • ДДж) на функцию у = у/ДжДДа?);
л // (ж)/ f
функцию у = на функцию у =;
VgMV ОТ
то могут возникнуть посторонние корни.
Пример 8. Решить уравнение
VT+T ■ Г2Ж-5 = 2.(10)
Решение. Заменим исходное уравнение уравнением
С(ж + 1)(2ж-5) = 2,(11)
являющимся следствием уравнения (10). Найдя корни уравнения (11), надо проверить, какие из них являются корнями уравнения (10).
ОДЗ уравнения (11) состоит из двух промежутков ж ^ — 1 и х ^ 5/2. На своей ОДЗ уравнение (И) равносильно уравнению
(ж + 1)(2ж-5) = 4.(12)
Уравнение (12) имеет два корня: Ж1 = 3 и ж 9 = —3/2. Так как эта корни входят в ОДЗ уравнения (11), то они являются его решениями.
Проверкой убеждаемся, что Ж1 = 3 удовлетворяет уравнению (10), а ж2 = —3/2 уравнению (10) не удовлетворяет. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень: Ж1 = 3.
Ответ, жх = 3.
Отметим, что уравнение (11) проще решить, возведя его в квадрат, т.е. перейдя к его следствию. Приведенное выше решение уравнения (11) подчеркивает, что лишние корни возникли при переходе от уравнения (10) к уравнению (11).
Преобразования, связанные с логарифмическими формулами. Пусть а — положительное число, не равное единице, ап — натуральное число. Если при решении уравнения заменить:
функцию у = loga /(ж) + loga Дж) на функцию
У = togat/M -5(ж)];
функцию у = loga /(ж) - loga g^ на функцию у = loga -^; g(^)
функцию у = 2nloga /(ж) на функцию у = loga[/(ж)]^n;
функцию у = ^а[/(ж) • g(ж)] на функцию
У = l°go |/(ж)1 + l°go |g(a^)|;
функцию у = loga —- на функцию у = loga |/(ж)| - loga ^(ж)|;
функцию у = aloga ^ж^ на функцию у = /(ж);
то могут возникнуть посторонние корни.
Пример 9. Решить уравнение
2 log3 ж = log3(a? + 6).(13)
Решение. Заменим уравнение (13) уравнением
log3x2 = log3(x + 6):(14)
являющимся следствием уравнения (13). Поэтому, найдя корни уравнения (14), надо проверить, какие из них являются корнями уравнения (13).
ОДЗ уравнения (14) состоит из всех ж > ™6, ж 0. На этой области уравнение (14) равносильно уравнению
ж2 = ж + 6,
имеющему два корня Ж1 = 3 и ж-2 = —2. Оба эти корня принадлежат ОДЗ уравнения (14) и поэтому являются его корнями. Проверкой убеждаемся, что Ж1 = 3 удовлетворяет уравнению (13), а Ж2 = —2 ему не удовлетворяет. Следовательно, уравнение (13) имеет единственный корень жх = 3.
Ответ, жх = 3.
Отметим, что уравнение (14) можно решить, потенцируя его без учета ОДЗ, т.е. переходя к его следствию. Приведенное выше решение уравнения (14) подчеркивает, что лишние корни возникли при переходе от уравнения (13) к уравнению (14).
В заключение заметим, что можно привести примеры и других преобразований уравнения, приводящих к его уравнению-следствию. Подчеркнем, что в каждом таком случае проверка найденных корней является неотъемлемой частью решения уравнения.
Б. Потеря решений уравнения
В предыдущих пунктах были рассмотрены некоторые неравносильные преобразования уравнений, которые могут привести к приобретению корней.
Однако имеются и преобразования, которые могут привести к потере корней. Такие преобразования проводить недопустимо, ибо если посторонний корень можно отбросить после проверки, то потерянный корень никак нельзя восстановить.
Отметим некоторые из таких преобразований.
Замена при решении уравнения:
функции у = Vf^ ' S'M на функцию у = У/(ж) • ^(ж);
1//(ж),
функции у = л на функцию у =;
vwO
функции у = V f-^ • gkP на функцию у = |/(ж)|У£(ж); может привести к потере корней исходного уравнения.
Приведем примеры.
Уравнение
У(3ж +8)0 + 3) = 2(15)
имеет два корня жх = -4ижо = —5/3, а уравнение
У Зж + 8 • уж + З = 2(16)
имеет единственный корень жз = —5/3.
При замене уравнения (15) уравнением (16) произошло сужение ОДЗ и поэтому корень жх = —4 уравнения (15) был потерян. Такое «решение» уравнения (15) недопустимо.
Уравнение
V (ж + 1)2ж = ж + 1(17)
имеет два корня Ж1 = -1 ижз = 1, а уравнение
|ж + 1| Vx = ж + 1(18)
имеет единственный корень жз = 1.
При замене уравнения (17) уравнением (18) произошло сужение ОДЗ, и поэтому корень Ж1 = — 1 уравнения (17) был потерян. Такое «решение» уравнения (17) недопустимо.
Пусть а — фиксированное число такое, что а > 0 и а / 1, п — натуральное число.
Замена при решении уравнения:
функции у = loga /2п(ж) на функцию у = 2nloga /(ж);
функции у = loga f^g^ на функцию у = loga /(ж) + loga g(p;
функции у = loga -ДЭ на функцию у = loga /(ж) - loga g^;
функции у = /(ж) на функцию у = alog»
может привести к потере корней исходного уравнения.
Приведем примеры.
Уравнение
1оёз(ж-2)2 = 2(19)
имеет два корня Ж1 = — 1 и ж 9 = 5, а уравнение
21оёз(ж-2) = 2(20)
имеет единственный корень жз = 5.
При замене уравнения (19) уравнением (20) произошло сужение ОДЗ, и поэтому корень уравнения (19) Ж1 = — 1 был потерян. Такое «решение» уравнения (19) недопустимо.
Уравнение
к^2ж(ж+1) = 1(21)
имеет два корня хх = 1 и ж2 = —2, а уравнение
log2 х + log2 (ж + 1) = 1(22)
имеет единственный корень жз = 1.
При замене уравнения (21) уравнением (22) произошло сужение ОДЗ, и поэтому корень ж2 = — 2 уравнения (21) был потерян. Такое «решение» уравнения (21) недопустимо.
К потере корней уравнения может также привести:
логарифмирование уравнения;
сокращение обеих частей уравнения на общий множитель (об этом уже говорилось в § 3);
применение некоторых тригонометрических формул (об этом речь будет в § 5) и некоторые другие.
Подчеркнем еще раз, что применение преобразований, при которых возможна потеря корней уравнения, недопустимо.
Упражнения
Решить уравнение.
по 1/
ж — ж2 + ^ж = ^ж — 2. 2) 2ж — ж3 4Ы жI + ж = 0.
''ж \ ж /
Уж2 + 3 + log2 ж = 2 + log2 ж.
Уж2 + 3 + log2 ж = 2 + i log2 ж2.
Уж2 + 3 + log2 ж2 = 2 + log2 ж2.
ж3 - — = 0. 7)= 1. 8) _2_ + 1.
жж2 — 6ж — 73 — ж 2ж(3 — ж)
(ж-4)(ж-3) = 0ж(ж + 4)= ж + 4
' ж2 — 2ж — 8' log2(l-™ж2)log2(l--ж2)
^ + 3^log2^ + 5) ™ 31 - о 12) л/ж •- 1
' ж2 — 5ж + 6
«ж^З •14) ^Ях - 3) •= ^(ж _ 3).
ж — 3ж — 3
«жТ2 • «ж^З = «6. 16) (ж2 + 4ж + 3) • 3^ = 0.
34 — ж2(ж2 — 7ж) = 8V4 — ж2.
log2(ж2 - 12) = log2(3;r - 8).
log3 = 1°8з —— • 20) log5 (ж - 1) = log5 ж2 — ж1 + ж
21^ 1о®2 ( _ з2_ ж ) = log2<'1 -
log2 (ж + 1) + log2 ж = 1. 23) 1g ж + ^(ж - 3) = 1.
log2(K + 3) + log2(ж - 1) =.
logs 2
log3(x + 4) + log3(x - 1) = Ц.
bg2 3
1 + lg(l + a? - 2ж) - lg(l + ж2) = 2 lg(l - ж).
1 + lg(l + ж2 + 2ж) - lg(6 + ж2) = 2 lg(l + ж).
28)log2(ж2 + 3) + log1/2 5 = 21og1/4(a: - 1) - log2(z + 1).
^3(ж2 — 6) — ^3(ж — 2) — 1 = 0.
1о8з(Зж - 8) = 2 - ж. 31) log7(6 + 7-у = 1 + ж.
(log2(2x — 7)) — 3 + ж = 0.
log2((—2ж + 4)(2 - ж)) - log2((2 - ж)(3 - ж)) = 2.
log1/2 + log1/2(x - 2) + 2 = 0.
1о82((2ж + 3)(2 - ж)) - log2(2 - ж) = 3.
|ж — 1| = 2ж + 4. 37) 21ов2(:=2-^+3) = ж - 3.
V(log2 ж) + ж = V(log2 ж) + ж2 - 2.
^1/3(ж4 - 17ж2 + log2 ж) = log1/3((log2 ж) + 19ж2).
log3 (ж2 — Уж2 — 8 + 1) = log3 (ж4 — Уж2 — 8 — 24ж + 1) .
Уж + 11 = ж - 1. 42) 2V®T5 = ж + 2. 43) У2ж2 + 8ж + 7 - ж = 2.
ж + У2ж2 - 7ж + 5 = 1. 45) Уб - 4ж - ж2 = ж + 4.
ж2 - ж = 1 - (уж)2. 47) (ж + 1)У16ж + 17 = (ж + 1)(8ж - 23).
(ж + 2)У16ж + 33 = (ж + 2)(8ж - 15).
УжТЗ- У2ж - 1 = УЗж- 2 50) УУ+Т + У4ж + 13 = УЗж + 12.
ЗУж+~3 - Уж^2 = 7. 52) УжТ7 • УЗж - 2 = ЗУж^Т • уТТ2.
Уж6 — 2ж5 + 4ж + 1 = ж3 — ж2 + 1.
У1 - 4ж + 2 = У(2ж + I)2 - 8ж.
У11ж + 3 — У2 — ж — У9ж + 7 + Уж — 2 = 0.
ж = (Уж + 4 + 2) (У2ж + 6 — 3).
ж = (У1 + ж + 1) (У1 + ж + ж2 — ж — 7).
У ж2 + Зж + 4 — У ж2 + Зж + 1 = 1.
59^ У1 + ж + У1 - ж _
УХ 4- ж — УХ — ж ж
Уж2 - 1 = (ж+ 7)61) У2ж - 1 + УаУИ; = 1.
У ж - 1
Объяснить, почему второе уравнение не есть следствие первого.
(ж + 1)2(ж2 + 5ж + 7) = (ж + I)2 и ж2 + 5ж + 7=1.
(ж — 3) Уж2 ™ Зж + 2 = ж — 3 и Уж2 ™ Зж + 2 = 1.
У(ж + 2)2 = 2 и ж + 2 = 2.
V2ж2 ™ ж ™ 6 = 3 и — 2 • л/2ж + 3 = 3.
/2ж31
а= 1 и —_= 1.
V ж — 2Vх ™ 2
^/(ж — 1)2(ж — 3) = ж — 1 и |ж — 11-\/ж — 3 = ж — 1.
ж27 = 6ж и ж27ж = 3log3 6ж.
log3 ж4 = 4 и 4 log3 х = 4.
log1/2((2K - 1)(3ж - 1)) = 0 и log1/2(2x - 1) + log1/2(3« - 1) = 0.
log2 -—- = 1 и log2(® - 4) - log2(« - 2) = 1.
ж ™ 2
log2((a) — 2)(2ж)) — log2 -—- = 4 и log2 2ж = 2.
'2ж
(3 + ж)V3 — ж = (3 — ж) V3 + x и —- = -—
'V3 + ж 3 + ж
^/ж(ж — 1) — ^ж(ж — 2) = ^ж(ж — 3) и Vх — 1 — Vх — 2 = Vх — 3.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Для решения уравнений, содержащих тригонометрические функции, применимы все рассмотренные в § 2 и § 3 равносильные преобразования общего характера. Преобразования, допускающие появление посторонних корней, обычно не используются. Это связано с тем, что множество решений тригонометрического уравнения, как правило, состоит из одной или нескольких бесконечных серий решений и преобразования, для которых получающееся уравнение является следствием предыдущего, могут приводить к появлению бесконечного множества посторонних корней.
Разложение на множители. Часто используется прием, связанный с разложением на множители левой часта уравнения F(x) = 0 и заменой его на равносильную совокупность уравнений.
Пример 1. Решить уравнение
2 sin х cos х = sin х — cos х + -.
2
Решение. Перенесем правую часть данного уравнения налево и преобразуем получившееся выражение следующим образом:
2 sin х cos х — sin х + cos х — - = 2 sin х (cos х —+
2V 27
+ f cos ж —= (2 sinx + 1) Гсобж —.
V 2/ k7 V 2/
Отсюда получаем, что исходное уравнение равносильно уравнению
(2 sinх + 1) fcosx —= 0
v7 V 2/
или совокупности уравнений
2sin.T+l=0 И СО8Ж=™.(1)
Множество решений первого из уравнений совокупности (1) есть х = = (—l)n+1 — _g ХП) п х. Решения второго уравнения совокупности (1) 6
таковы: х = ±™ + 2лA:, k Е Z. Обе эти серии решений являются решениями
исходного уравнения.
Ответ, ж = (—1)п+х — д- 7гп, п Е Z; х = ± — + 2тг&, к Е Z.
6'3
В случае если среди сомножителей левой части уравнения
АМ • ... • /„(ж) = 0(2)
есть функции, определенные не на всей числовой прямой, нужно проявлять особую осторожность, так как формальная замена уравнения (2) совокупностью уравнений
Л(ж) = 0, ./„(ж) = О
может привести к появлению посторонних корней.
Пример 2. Решить уравнение
COS Зж • tgж = 0.(3)
Решение. Обозначим область допустимых значений этого уравнения
буквой М. Множество М состоит из всех чисел х-п Е Z. Уравне
ние (3) равносильно на М совокупности двух уравнений:
со8 3ж = 0 и tgж = 0.(4)
Множество решений первого уравнения совокупности (4) есть серия
х = — р —^ -п Е Z. Из этих чисел множеству М принадлежат только 63
х = ±— + тгк, к Е Z.
6
Решения второго уравнения совокупности (4) есть х = тпп, т Е Z, и все они содержатся в множестве М.
Ответ, ж = ± — Р тгк, к Е Z; х = тип, m Е Z.
6
Заметим, что первое из уравнений совокупности (4) имеет серию решений
х = ™ Р тгк, к Е Z, не удовлетворяющих исходному уравнению.
Замена переменных. Уравнение Р(зшж) = 0, где Р^ — многочлен, и аналогичные ему решаются заменой переменной так же, как в п. 2.4.
Пример 3. Решить уравнение
2 V2 sin2 ж — ^4 + V2) sin ж + 2 = 0.(5)
Решение. Так как квадратное уравнение
2VV -(4 + V2)y + 2 = 0
имеет корни yi = V2h?/2 = 1/2, то уравнение (5) равносильно совокупности уравнений
sin ж = V2 и sin ж = 1/2.
Первое из этих уравнений решений не имеет, так как | sin а | ^ 1 для любого действительного а. Решениями второго уравнения являются
Ж = ( —1)П^ + ТГП, п Е Z.
Ответ, ж = (—1)п^ + тгп, п Е Z.
Уравнения вида P(sina:, cos ж) = 0. Встречаются уравнения вида
Р(бШЖ,СО8ж) = 0,(6)
где Р(у, с) — многочлен от двух переменных у и с.
Уравнения, в которые sin ж входит только в четных степенях. Если в уравнение (6) sin ж входит только в четных степенях, то, заменив sin2 ж на 1 — cos2 ж, можно получить уравнение вида
Q(cosx) = 0,(7)
где Q^ — многочлен от одной переменной. Уравнение (7) решается так, как это указано в п. 5.2.
Аналогично следует поступать и в случае, когда уравнение (6) содержит cos ж только в четных степенях.
Пример 4. Решить уравнение
cos2 ж + sin ж — 1/4 = 0.
Решение. Воспользовавшись формулой cos2 ж = 1 — sin2 ж, исходное уравнение можно переписать в виде
sin2 ж — sin ж — 3/4 = 0.(8)
Поскольку квадратное уравнение
у - у - 3/4 = 0
имеет корни ух = 3/2 и у^ = —1/2, то уравнение (8) равносильно совокупности уравнений
sin ж = 3/2 и sin ж = —1/2.
Первое из этих уравнений решений не имеет, так как | sin а | ^ 1 для любого действительного а. Решениями второго уравнения, а значит, и исходного
являются ж = ( —l)n+1— + тгп, n Е Z. v 6
Ответ, ж = ( —l)n+1—+ тгп, n Е
Отметим, что если в уравнении (6) имеются и sin ж и cos ж в нечетных степенях, то указанный прием неприменим.
Уравнения, в которых Р{у, с) — однородный многочлен. Уравнение a cos ж + 6 sin ж = 0, а ^ 0, 6^0,(9)
не имеет решений вида тг/2 + тгп, п Е Z. Все его решения содержатся в множестве М, состоящем из чисел ж ^ тг/2 + тгп, п Е Z. Функция cos ж
определена и отлична от нуля на этом множестве, поэтому (см. § 1), разделив уравнение (9) на cos ж, получим уравнение
6tg ж + а = О,(10)
равносильное на М, а следовательно, и на всей числовой прямой уравнению (9). Решая простейшее уравнение (10), находим множество решений уравнения (9).
Пример 5. Решить уравнение
V5 sin ж = cos ж.
Решение. Поскольку исходное уравнение не имеет решений вида ж = тг/2 + тгп, n Е X, то cos ж ^ 0 на множестве М, состоящем из чисел х ^ тг/2 + тгп, п Е Z. Разделив исходное уравнение на Убсовж, получим уравнение
х 1 tg^ =
равносильное исходному на множестве М, а значит, и на всей числовой пря
мой. Решения этого уравнения, а значит, и исходного есть ж = arctg + тгп, у5
п Е Z.
Ответ, ж = arctg —+ тгп, п Е Z.
Рассмотрим уравнение (6), где Р(у, г) — однородный многочлен от неременных у и с, т.е. имеет вид
Р(у, 2) = аоуп ++ ... + an-iyz"-1 + anzn. (11)
В этом случае при по ^ 0 уравнению (6) не удовлетворяют числа жо = = тг/2 + тгп, п Е Z, поскольку Р(зшжо, со8Жо) = «о sinn ж о = (—1)пао ф Ф 0, и, значит, все его решения содержатся в множестве М, состоящем из чисел ж ф тг/2 + тгп, п Е Z. Разделив уравнение (6) на cosn ж, как и в п. 5.3 Б), заключаем, что уравнение (6) в рассматриваемом случае равносильно уравнению
F(tgж, 1) = 0.
Последнее уравнение решается приемом, изложенным в п. 5.2.
Пример 6. Решить уравнение
5 sin4 ж — cos4 ж = 4 sin2 ж cos2 ж.
Решение. Для решений этого уравнения выполняется условие cos ж ф 0, поэтому, разделив уравнение на cos4 ж, получим уравнение
5 tg4 ж — 4 tg2 ж — 1 = 0,(12)
равносильное исходному уравнению. Поскольку квадратное уравнение 5с2 ™ 4с — 1 = 0 имеет два корня ci = 1 и С2 = —1/5, то уравнение (12), а следовательно, и исходное равносильны совокупности уравнений
tg2 ж = 1 и tg2ж = —1/5.
Второе уравнение этой совокупности решений не имеет. Решениями уравнения tg2 ж = 1, а значит, и исходного уравнения являются ж = ±тг/4 + тгп, п Е Z.
Ответ, ж = ± — + тгп, n Е Z.
4
Уравнения вида P(sin ж, cos ж) = D, в которых Р(у^ 2) — однородный многочлен. К рассматриваемым в п. б) уравнениям легко свести уравнение вида
A sin2 ж + В sin ж cos ж + С cos2 ж = D, D ^ О,
если воспользоваться тождеством D = В (sin2 ж + cos2 ж). Получившееся в результате уравнение
A sin2 ж + В sin ж cos ж + С cos2 ж = В (sin2 ж + cos2 ж)
может быть решено с помощью указанных выше рассуждении. Так можно действовать и в общем случае Р(бтж,со8ж) = В, если многочлен (11) имеет четную степень: п = 2k. Достаточно заменить В на выражение В (sin2 ж + cos2 ж)^.
Пример 7. Решить уравнение
-V— sin 2ж = ^V5 — 1) cos2 ж + 1.
Решение. Данное уравнение перепишем в виде
(1+сз)sin ж cos ж = ^ V5 — 1) cos2 ж + sin2 ж + cos2 ж.
Решения этого уравнения удовлетворяют условию cos ж ^ 0, поэтому, разделив обе его часта на cos2 ж, получим уравнение
(1 + Vs) tg ж = Vs + tg2 ж
или уравнение
tg2 ж -+ Vs) tg ж + Vs = О,
равносильное исходному Квадратное уравнение с2 — (V3 + 1) 2 + VS = О имеет корни 21 = 1 и 22 = Vs. Поэтому исходное уравнение равносильно совокупно ста двух уравнений:
tg ж = 1 и tg ж = V3.
Решая эта простейшие уравнения, получаем ответ задачи: ж = тг / 4 + тгп, п Е Z; ж = тг/З + кк, к Е Z.
Ответ, ж = — + тгп, п Е Z; ж = — + к Е Z.
43
Уравнения вида
a sin ж+ ^cos х = с, а / 0, >/0.(13)
Случай с = 0 уже разобран в п. 5.3. Приводимый ниже способ решения уравнения (13) годится для всех значений с, в том числе и для с = 0.
Уравнение (13) равносильно уравнению
а ., Ьс
sin х 3—== COS X = ^=^=.
V«2 + Ь2 V«2 + Ь2 V«2 + Ь2
Выберем угол р, 0 < р < 2тг, так, чтобы
Ясно, что такой угол всегда можно выбрать, если а ^ 0 и b ^ 0. Тогда уравнение (14) может быть переписано в виде
.,.с
sin х • cos р + COS X • Sin р =
Va2 + ь2 или в виде
81п(ж + V?) =°(15)
V а2 + о2
Мы воспользовались здесь формулой для синуса суммы двух углов. Если |с| > Va2 + b2, то уравнение (15), а значит, и уравнение (13) решений не имеют. В случае |с|V«2 + Ь2, решая простейшее уравнение (15), находим
множество решений уравнения (13):
х = —р + ( —I)77 arcsin+ тгп, п Е Z.
V 7V«2 + b2
Пример 8. Решить уравнение
cos3x = 1 — V3sin3x.
Решение. Данное уравнение можно переписать в виде
- cos Зх 3sin Зх = -
222
или, поскольку sin тг/6 =1/2, costt/6 = V3/2, в виде
sin — cos Зх + cos — sin 3x = -.
662
Пользуясь формулой для синуса суммы двух углов, получаем уравнение
sinsin_ 1
sin
sin
™ 2’
равносильное исходному Отсюда Зх + тг/6 = тг/6 + 2тгп, п Е Z, или Зх + + тг/6 = 5тг/6 + 2тгк, к Е Z. Следовательно, получаем две серии решений: 2тгп „2тг , 2тгк .„
х = , п Е Z* х =1, к Е Z.
393
~2тгп „2тг , 2тгк ,„
Ответ, х =, п Е Z; х =1, к Е Z.
393
Пример 9. Решить уравнение
3sinx + 5 cosx = 4.
Решение. Разделив обе части уравнения на V32 + 52 = %/34, имеем
уравнениеуравнениеV34 равносильное исходномуV34 равносильное исходному3.,54sin X 3cos X =3.,54sin X 3cos X =3434(16)(16)
уравнение
уравнение
V34 равносильное исходному
V34 равносильное исходному
3.,54
sin X 3cos X =
3.,54
sin X 3cos X =
34
34
(16)
(16)
Положим ф = arcsin 5/V34, тогда sin(/; = 5/V34 И COS (/7 = 3/V34. Уравнение (16) можно переписать в виде .4
sin(x +
V34
Решая это уравнение, находим, что
4
х + ф = arcsin ™™= + тгп, п Е Z.
v }V34
Следовательно, решениями исходного уравнения являются
45
х = ( —l)n arcsin ™™= — arcsin + тт, п Е Z.
V34V34
45
Ответ, х = (—I)77 arcsin—7= ™ arcsin—7== Я-тгп, п Е Z.
У34У34
Равносильные преобразования уравнений с применением тригонометрических формул. Если в уравнение входят тригонометрические функции от различных аргументов или долей аргумента х, например cos 2х, sin х, sin - и т.д., то обычно с помощью тригонометрических тождеств все 4
функции, входящие в уравнение, приводятся к одному и тому же аргументу. Затем используются приемы, изложенные в пп. 5.1 - 5.4. Перечислим некоторые из часто встречающихся тождеств:
формулы двойного и половинного аргументов
sin 2а = 2 sin a cos a, cos 2а = cos2 а — sin2 а;
21 + cos 2а .21 — cos 2а
cos а =, sin а = :
22
формулы для синуса и косинуса суммы и разности углов sin(a ± /3) = sin a cos /3 ± cos a sin /3, cos(a ± /3) = cos a cos /3 ^ sin a sin /3;
формулы для суммы или разности синусов и косинусов углов
., . Q о . а ± /3 а ЯР /3
sin а ± sin р = 2 sin— cos-,
22
. п Q а + /3 а - /3
cos а + cos /3 = 2 cos- cos-,
22
д . а - /3 . а + /3
cos а — cos р = sin— sin—;
22
формулы приведения
. /тг \
sin — — а = cos а,\2/
/ 7Г\.
cos — ™ а = sina.
\2/
С помощью этих формул получаются и другие формулы приведения. Например,
sin ( а + ™ J = sin ( — —) = cos(™a) = cos а.
\2/\2 V V
/, Зтг\ / тг\/ 7Г \.
cos а Н= cos а= cosа = sin а.
\2 /\2/\2/
Рассмотрим несколько задач, в решении которых используются указанные тождества.
Пример 10. Решить уравнение
4 cos3 х + 3 V5 sin 2х = 8 cos х.
Решение. Используя формулу синуса двойного угла, исходное уравнение можно переписать в виде
4 cos3 х + 6 V2 sin х cos х — 8 cos х = 0
или в виде
cos х ^2 cos2 х + 3 V5 sin ж — 4^ = 0.(17)
Поскольку cos2 х = 1 — sin2 х, то уравнение (17) можно переписать в видеcos х ^2 sin2 х — 3 V5 sin х + 2^ = 0.
Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений cosx = 0 и 2sin2 ж — 3\/2sinx + 2 = 0.(18)
Первое из уравнений совокупности (18) имеет решения х = тг/2 + тт, п Е Z. Так как квадратное уравнение 2t2 — ^V^t + 2 = 0 имеет корни И = и £2 = V2/2, то второе уравнение совокупности (18) равносильно совокупности уравнений
sinx = V2 и sinx = —-.2
Первое из этих уравнений решений не имеет, поскольку |sina| + 1 для любого действительного числа а. Решениями второго уравнения являются х = ( —1)т^ + тип, т е Z.
Итак, решениями исходного уравнения являются х = тг/2 + тгп, п Е Z, и х = ( —1)т^ + тгт, т Е Z.
Ответ, х = — + тгп, п Е Z: х = ( —1)т — + тгт, т Е Z.
2} 4
Пример 11. Решить уравнение
cos2 хН— + 4sin хН— = -.
V 3/ V 3/2
Решение. Используя формулу для косинуса двойного угла cos 2 (х + тг/З) = 1 — 2 sin2 (х + тг/З), исходное уравнение перепишем в
виде
2 sin2 (х + —) — 4 sin (х + — ) + - = 0.(19)
\3/\3/2
Так как квадратное уравнение 2у^ — 4у + 3/2 = 0 имеет корни ух = 3/2 и 2/2 = 1/2, то уравнение (19) равносильно совокупности уравнений
./7Г\3./ тг \1
sin х 3— = - и sin х 3— = -. \3/2\3/2
Первое уравнение совокупности решений не имеет, так как | sina| ^ 1 для любого действительного числа а. Решениями второго уравнения совокупно
сти являются х = (—1)п — — — + тгп, п Е Z. Значит, эти и только эти х 63
являются решениями исходного уравнения.
Ответ, х = ( —1)п — — — + тгп, n Е Z.
63
Пример 12. Решить уравнение
(
Утг \
2хJ = sin(4x + Зтг).
Решение. Так как cos (2х — 7тг/2) = — sin2х и sin(4x + Зтг) = = — sin 4х, то исходное уравнение можно переписать в виде
sin 2х = sin4x.
Поскольку sin 4х = 2 sin 2х cos 2х, то последнее уравнение равносильно совокупности уравнений
sin2x = 0 и cos2x = l/2.(20)
Первое из уравнений совокупности (20) имеет решения х = тгк/2, к Е Z. Второе уравнение имеет решения х = ±тг/6 + тип, т Е Z. Множество решений исходного уравнения является объединением множеств решений уравнений совокупности (20), т.е. исходное уравнение имеет решения х = тг&/2, к Е Z; х = ±тг/6 + тип, т Е Z.
7Г к। 7Г
Ответ. х = —, к Е Z; х = ±—3 титц т Е Z.
26
Пример 13. Решить уравнение
—5 cos 4х = 2 cos2 х + 1.
Решение. Используя формулы cos2 а = -—■у-— и cos 4а = = 2 cos2 2а ™ 1, перепишем исходное уравнение в виде
10 cos2 2х + cos 2х — 3 = 0.
Квадратное уравнение 10//2 + у ™ 3 = 0 имеет корни ух = 1/2 и //2 = ™3/5. Поэтому исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
о 1о 3
cos2x=- и cos2x=—.
5
Первое уравнение совокупности имеет две серии решений: х = тг/6 + + тгр, р е Z; х = —тг/6 + тгд, q Е Z; второе — также две серии: х = (1/2) arccos (—3/5) + тгт, т Е Z; х = — (1/2) arccos (—3/5) + тг/, I Е Z. Объединение найденных серий и составит множество решений исходного уравнения.
7Г1/" 3 \
Ответ, х = ±—Н тгк, к Е Z: х = ±™ arccos — + тгп, п Е Z.
62V 5/
Пример 14. Решить уравнение
sin(x — 60°) + 2 cos(x + 30°) = 0.
Решение. Так как
cos(x + 30°) = sin(90° — (ж + 30°)) = sin(60° — х) = — sin(x — 60°), то исходное уравнение равносильно уравнению
sin(x — 60°) = 0,
решениями которого являются х = 60° + 180° • п, п Е Z.
Ответ, х = 60° + 180° • п, п Е Z.
Пример 15. Решить уравнение
Решение. Так как
. / 7Г\V31 .
sinх\ = — cos хsin х,
\3/22
то исходное уравнение можно переписать в виде
COS Ж = 1.
Это уравнение, а следовательно, и исходное уравнение имеет решения х = 2тгк, к Е Z.
Ответ, х = 2/кк, к Е Z.
Пример 16. Решить уравнение
sin 2х + sin 6ж = 3 cos2 ^х.
Решение. Применив формулу сложения синусов, исходное уравнение запишем так:
2 sin 4х cos 2ж = 3 cos2 2х
или, поскольку sin 4х = 2 cos 2х sin 2ж, так:
cos2 2х • (3 — 4 sin 2х) = 0,
откуда получаем, что исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
9
sin 2х = - и cos" 2х = 0.
4
13
Решениями первого уравнения совокупности являются х = (™l)m- arcsin - +
, таг „тг , тгк .„
+ т е решениями второго уравнения являются жк Е Z.
Их объединение и дает множество решений исходного уравнения.
~тг irk .„(—1)т. 3 , тгш„
Ответ, х = —I, k Е Z; х = -—-— arcsin —I, т Е Z.
42242
Пример 17. Решить уравнение
cos ^2х + ^ + cos ^2ж — ^ + 4 sinx = 2 + V5(l — sin ж).
Решение. Применяя формулу суммы косинусов, перепишем данное уравнение в виде
2 cos 2х cos — + 4 sin х = 2 + V2 — V2sin х.
4
Применяя формулу косинуса двойного угла, перепишем это уравнение в виде
2 V2 sin2 ж — (4 + V2) sin х + 2 = 0.(21)
Так как квадратное уравнение
2 V2t2 - (4 + V2) t + 2 = 0
имеет корни fi = v^nfa = 1/2, тоуравнение (21) равносильно совокупности уравнений
sinx = V2 и sinx = -.
2
Первое из этих уравнений решений не имеет, так как | sin а | ^ 1 для любого действительного числа а. Решениями второго уравнения являются
х = ( —1)п — + тгп, п Е Z.
6
Ответ, х = ( —1)п — + тгп, п Е Z.
7 6
Пример 18. Решить уравнение
sin5x — 1 = 2sinxcos4x.
Решение. Применяя формулу 2 sin a cos /3 = sin(a + /3) + sin(a — /3), перепишем уравнение в виде
sin5x — 1 = sin5x + sin(—Зх)
или в виде
sin3x = 1.
Решениями этого уравнения, а значит, и исходного являются х = тг/6 + 2тгп/3, п Е Z.
тг 2тгп „
Ответ, х = —I, п Е Z.
63
5 М.К. Потапов и др.
Сделаем общее замечание, касающееся решения тригонометрических уравнений.
Некоторые тригонометрические уравнения можно решить различными методами и не всегда при различных способах решения форма записи ответа будет одинаковой. Особенно часто это происходит, если в записи ответа участвуют arcsin a, arccos 3, arctg 7 или arcctg р. Между обратными тригонометрическими функциями существуют определенные соотношения, поэтому разные формы записи ответа могут быть приведены друг к другу. Так, например, если решать уравнение из примера 5 с помощью метода, описанного в п. 5.36), вводя угол р так, что
.1
cos р = —, sin р =— ,
V 6V 6
то получится ответ х = arccos у | + ^ п Е Z, внешне отличающийся от ответа, полученного в примере 5: х = arctg +тгп, п Е Z. Можно доказать,
что arccos
Преобразования уравнений с применением тригонометрических формул, справедливых на некотором множестве. Иногда при решении тригонометрических уравнений приходится использовать формулы, справедливые лишь на некотором множестве М действительных чисел, а не для всех значений х. К таким формулам относятся, например, формулы:
'1/ 7Г\
tgх = I х ^ ™тц п Е Z\;
ctg ж \2/
ctgх = (х ф —тр п Е Z];
t^x \2/
. .~2tgЖ /, 7Г„
Sin 2Х = Ж Фh 7ГП, п Е Z Ц~ tg2 ж,
.„1 — tg2 Ж /, 7Г ,„
cos 2х = 7— ж Ф —Н та, п Е Z
l + tg2ж V 2.
tg 2ж =
А. /. х tgx + tga
tg(x + а) = -7
1 — tg ж tg а
ж) tg(x - а) = Д ^а1 + tg ж tg аctg ж + ctg аж) tg(x - а) = Д ^а1 + tg ж tg аctg ж + ctg ах Дп Е Z2ар-Е тгш, ж Е Z2х — а ^ —|- тг/, I € Z 2/^ ж ^ тгк, k Е Z ^ а Ф тгш, п Е Zу х + а ф тгж, ж Е Z )х Дп Е Z2ар-Е тгш, ж Е Z2х — а ^ —|- тг/, I € Z 2/^ ж ^ тгк, k Е Z ^ а Ф тгш, п Е Zу х + а ф тгж, ж Е Z )
ж) tg(x - а) = Д ^а
1 + tg ж tg а
ctg ж + ctg а
ж) tg(x - а) = Д ^а
1 + tg ж tg а
ctg ж + ctg а
х Дп Е Z
2
ар-Е тгш, ж Е Z
2
х — а ^ —|- тг/, I € Z 2/
^ ж ^ тгк, k Е Z ^ а Ф тгш, п Е Z
у х + а ф тгж, ж Е Z )
х Дп Е Z
2
ар-Е тгш, ж Е Z
2
х — а ^ —|- тг/, I € Z 2/
^ ж ^ тгк, k Е Z ^ а Ф тгш, п Е Z
у х + а ф тгж, ж Е Z )
х , /\ Ctg ж ctg а + 1и) с18(ж - а) = —2^ ctg ж — ctg ах , /\ Ctg ж ctg а + 1и) с18(ж - а) = —2^ ctg ж — ctg ах ф тгк^ к Е Z
х , /\ Ctg ж ctg а + 1
и) с18(ж - а) = —2^ ctg ж — ctg а
х , /\ Ctg ж ctg а + 1
и) с18(ж - а) = —2^ ctg ж — ctg а
а ^ 7гп, п Е Z
у х — а ф тг/, / Е Z )
В скобках указаны те значения х и а, при которых эти формулы справедливы.
Применяя каждую из этих формул на том множестве Mi из ОДЗ решаемого уравнения, на котором эти формулы являются тождествами, получим уравнение, равносильное исходному на множестве Mi. Решив полученное уравнение и отобрав его корни, которые принадлежат множеству Mi, найдем все корни исходного уравнения на этом множестве Мх. Затем надо еще найти решение уравнения на той части ОДЗ — множестве М2, — которая остается после выделения из ОДЗ множества Mi. Как правило, на этом множестве М2 факт наличия корней или установления, что их нет, проверяется подстановкой значений х из М2 в уравнение.
Пример 19. Решить уравнение
sin х — ctgж/2 = 0.
Решение. ОДЗ данного уравнения есть множество всех действительных чисел, кроме чисел х = 2тгп, п Е Z. При решении будем заменять синус и котангенс через тангенс половинного угла, поэтому надо выделить множество, на котором справедливы используемые формулы.
Разобьем ОДЗ исходного уравнения на два множества: Mi — множество всех х из ОДЗ, где справедливы формулы
. 2tgж/2,1
sin х = —22 и ctgx/2 =
l + tg2жtgж/2
и М2 — оставшаяся часть ОДЗ. Тогда Mi есть множество всех действительных чисел, кроме чисел х = 2тгп, n 6 Z, и ж = тг + 2тгш, ж Е Z, и М2 — множество чисел ж = тг+2тгт, m Е Z. На множестве Mi исходное уравнение равносильно уравнению
2tgж/2^ = о
l + tg2ж/2 tgж/2 ’
т.е. уравнению
tg2 ж/2 = 1.
Множество всех решений этого уравнения есть серия х = тг/2 + ип, п Е Z. Вся эта серия принадлежит множеству Mi, т.е. является решением исходного уравнения на множестве Mi.
Решим уравнение на множестве М2. Подставляя числа х = тг + 2тгш, т Е Z, в исходное уравнение, получаем, что любое ж = тг + 2тгш, т Е Z, также является его решением. Следовательно, множеством всех решений исходного уравнения на множестве М2 является серия х = тг + 2тгш, т Е Z.
Объединяя решения, найденные на множествах Mi и М2, получим, что решением исходного уравнения являются две серии:
ж = — + 7гп, п Е Z\ ж = тг + 2тхт, т Е Z.
2'
Ответ, ж = — + тт, п Е Z; ж = тг + 2тгш, т Е Z.
2
Пример 20. Решить уравнение
tg 2х + sin 2ж = Ц ctg х.
Решение. ОДЗ исходного уравнения состоит из всех х таких, что х ф тг/4 + тгт/2, т Е Z, и х ф та, п Е Z. Воспользуемся формулами
^2х = -Г- U ^ - + —, q е Z, х ^ - +тгр, р е ZX ,
1 ж V 422/
sin2x = 2tgffр ^\/22)
1 + tg2 ж V 2/v у
.1/, 7Г , ,
ctgx = х Г I Е Z ] .
\2/
Разобьем ОДЗ исходного уравнения на два множества: Мх — множество всех х из ОДЗ, на которых справедливы формулы (22), и М2 — множество всех х из ОДЗ без множества Mi.
Легко видеть, что множество Мх состоит из всех х таких, что х ^ тг/4 + + тгт/2, т Е Z и х ф 1x1)2,1 Е Z. Множество М2 состоит из х = тг/2 + тгр, р Е Z.
На множестве Mi исходное уравнение равносильно уравнению
2 tg ж । 2tga? _ 161
1 — tg2 х 1 + tg2 ж 15 tg ж или уравнению
4 tg4 ж — 15 tg2 ж — 4 = 0.
Поскольку биквадратное уравнение
4/ - 15у2 -4 = 0
имеет два корня: рх = 2 и р2 = —2, то на множестве Mi исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
tgx = 2 и tgx = —2,
имеющей две серии решений:
х = arctg 2 + k Е Z; х = — arctg 2 + тгз, s Е Z.
Так как обе эти серии входят в множество Mi, то они обе являются решениями исходного уравнения.
Решим исходное уравнение на множестве М2. Для этого надо проверить, какие из чисел х = тг/2 + irp.p Е Z, являются его решениями. Подставляя эти числа в исходное уравнение, убеждаемся, что они ему удовлетворяют. Следовательно, все эти числа являются решениями исходного уравнения.
Объединяя решения на множествах АД и М2, находим решения исходного уравнения.
Ответ, х = arctg2 + М, к Е Z; х = —arctg2 + Trs, s Е Z; ж = — + тгр, р Е Z.
Заметим, что если при решении уравнения формально применить любую из формул а) - з) так, что левая часть этой формулы будет заменена правой частью, то возможна потеря корней исходного уравнения. Поэтому такие замены недопустимы.
Если при решении уравнения формально применить любую из формул а) - з) так, что правая часть этой формулы будет заменена левой, то возможно приобретение посторонних корней. Поэтому после такой замены необходима проверка найденных корней.
Упражнения
Решить уравнение.
sin 2ж 4—=2) cos= —. 3) sin х = -.
\4/2\32 /24
cos2 х = -. 5) sin4 х = |. 6) tg2 х = 1. 7) tg3 х = -.
ctg2 ж = 3. 9) sin 2ж cos Зж = 0. 10) 4 sin ж cos ж = V5.
sin 2ж cos 2ж cos 4ж = ^. 12) cos ж + sin ж = 1.
8
sin2 x + cos2 x = 1. 14) sin 2ж — cos 2ж = 0.
cos2 Зж — sin2 Зж = 1. 16) sin4 ж — cos4 ж = 1.
3 sin2 x — cos2 ж — 1 = 0. 18) 2 sin2 ж ™ 3 = —6 cos2 x.
2 cos2 Зж — cos Зж = 0. 20) V2 sin2 5ж — sin 5ж = 0.
sin 2ж = V^ sin x. 22) 2 sin ж + 3 sin 2ж = 0.
3 cos ж + 2 sin 2ж = 0. 24) sin - + cos - = 1.
42
cos — = 2 cos — — 1. 26) 1 — 2 sin — = cos —.
3663
cos 7ж + cos 9ж = 0. 28) sin Зж — sin 11ж = 0.
29) cos ж + cos 2ж + cos Зж = 0. 30) cos ж + cos 7ж = cos Зж.
31) созЗж — cos 5ж = sin ж. 32) зшЗж + зш5ж = зш4ж.
. ж
г- . Зж
. 5ж _
33)
Sill\
2
/2 sinh sin — = 0.
22
тг \/2тг \
34)
sin ^ж —
—— Sill
6/'
ж 4= cos
V3 /
35)
cos ^ж —
тг \
—cos
3/
/ТГ \I
ж= Sill
\6/’
36)
sin | ж +
7г\ ,. I
™ 1 + Sill
, тг\./
ж 4— 1 = sin 1
5 sin ж + 6 sin 2ж + 5 sin Зж + sin 4ж = 0.
sin 8ж — 1 = 2 sin ж cos 7ж. 39) 1 + sin 4ж = 2 sin ж cos Зж.
2 sin ж sin Зж = соз2ж. 41) cos(50° — ж) cos(40° + ж) = -.
4
7 cos 6ж — 8 sin 6ж = 10.
= 1.= 1.— ) — 3 8ш(тГ —
= 1.
= 1.
2 /
= соз(3ж + тг).
Зтг
2
+ cos 6ж = 1.
2 cos ж + 3 cos 2ж = 3. 55) sin ж + cos 2ж + 1 = 0.
2 cos ж + 4 cos - + 1 = 0. 57) 4 sin2 ж — 4 cos ж — 1 = 0. '2'
cos 4ж — 3 sin 2ж + 1 = 0. 59) 17 sin —V17 cos Зж = 0.
cos - — V8 cos - = 0. 61) cos2 2ж — 5 cos2 ж = — 1. '48
Зтг).Зтг).cos ^2ж — —^ = зш(4ж + Зтг). 63) sin ^Зж — —^ = 8ш(6ж
Зтг).
Зтг).
9^ \
= 8111(4ж
2 /
V3(l + 2 cos ж) + cos I 2ж +
/^(зшж — 1) = 4(зшж —
2 sin ж 4— 1+2 cos ( - '\3/\2
— 5тг).— 5тг).— ) = 3 sin 4 )— ) = 3 sin 4 )V2 sin— yo sin1=
— 5тг).
— 5тг).
— ) = 3 sin 4 )
— ) = 3 sin 4 )
'\ з 3/\ 36/
/Зж/ж 2тг\
= 2 sin— 2 cos — 4.
V 26/\63 /
sin 2ж + sin 6ж = 3 cos 2ж. 70) sin ж + sin Зж + 4 cos ж = 0.
sin2 2ж + cos2 ж = 1. 72) cos 2ж ™ sin 2ж = 1 ™ cos ж — sin ж.
cos 2ж = 1 ™ 2 sin ж + V3 sin 2ж.
sin 2ж + cos 2ж = 1 + V6 sin ж.
2 — cos 2ж + 2V2 cos ( ж + - ) = 0.
'V 2 /
5 + 2 cos 2ж — 4V5 sin | ж + - | = 0.
'V 2 /
sin2 2ж — cos2 ж + - = 0. '4
2 cos ж cos 2ж — (1 — 2 V2) sin 2ж = 2 (1 ™ V2) cos ж.
3 V5 sin 2ж = 10 sin ж — 4 sin3 ж.
2 cos 2ж + cos2 - — 10 cos= ™ cos ж.
2\ 2/22
sin2 - + - cos 2ж + 2 = 4 sin ( ж — ™
22V 2
_ .2тг\ _ ./Зж тг\
= 2 sin1— 2 sin1.
\53 /\ 56/
зш2(1,5ж) + sin2 ( — — 2,5ж j = sin2 5,5ж + sin2 ( — — 6,5ж
cos Зж + sin 7ж = 2 sin2 ( ™™ ) — 2 cos2
'\42 /
2 cos2 [ — + Зж ) = 1 + sin 4ж + 2 sin 5ж cos2 ж.
cos2 ( — + 5ж | = sin2 ж cos 9ж + cos2 ( — + 4ж
\4/\4,
sin2 Г — + 7ж j = 8ш2(12ж — 3)соз(2ж — 3) + cos2 | — + 3,5ж
cos 4ж = sin2 ж — -. 92) —5 cos 4ж = 2 cos2 ж + 1.
2 sin2 2ж + sin2 4ж = -. 94) 8 cos4 ж = 11 cos 2ж — 1.
4 sin4 ж + 7 cos 2ж = 1. 96) cos6 ж + sin6 ж = — cos 2ж — -.
''82
cos8 ж — sin8 ж = cos2 2ж + - cos 2ж. 98) sin ж ctg ж = 0.
'2
sin ж tg ж cos ж ctg ж = 0. 100)—^—^— = 0. 101)——— = 0.
— cos жcos ж — sin ж
cos ж(tgж + 1) = 0. 103) cos 2ж tg [ ж + — j = 0.
(
7Г \1 — fcr2 Ж
ж) = 0. 105) + 3cos 2ж = —4.
3 )1 + tg2 ж
sin2 ж — 5 sin ж cos ж + 6 cos2 ж = 0. 107) 3 sin ж cos ж + cos2 ж = 2.
Уз^шж + ctg ж = 0. 109) cos ж tgж = 0.
3tg2 ж — 8cos2 ж + 1 = 0. Ill) ctg2 ж — 8sin2 ж = 1.
8ОЭ
114)114)cos жcos ж1 — sin ж1 — sin ж1 + 2 sin2 ж — 3^2зшж + зш2ж = 1 + sin ж. 115): = 1.1 + 2 sin2 ж — 3^2зшж + зш2ж = 1 + sin ж. 115): = 1.2 sin ж cos ж — 12 sin ж cos ж — 1tg 2ж + sin 2ж = - ctg ж. 113) cos 2ж = 2 tg" ж — cos" ж.
114)
114)
cos ж
cos ж
1 — sin ж
1 — sin ж
1 + 2 sin2 ж — 3^2зшж + зш2ж = 1 + sin ж. 115): = 1.
1 + 2 sin2 ж — 3^2зшж + зш2ж = 1 + sin ж. 115): = 1.
2 sin ж cos ж — 1
2 sin ж cos ж — 1
116) = 1. 117) tg Зж = tg 5ж.118) ctg Зж = ctg 5ж.
cos 6ж
(1 — tgж)(l + зш2ж) = 1 + tgж.
( 1 + tg2 - I ( sin4ж cos 5ж — sin ™ cos ™ж | =
' V2 / V22/
1/ . 5 ж . ..
= sin ™ж cossin 5ж cos 4ж
cos2 —
2
§ 6. УРАВНЕНИЯ, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ
НА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНАХ В ВУЗЫ
6Л. Решение уравнений с применением различных приемов. При решении многих уравнений, предлагаемых на вступительных экзаменах в вузы, приходится применять комбинации различных приемов, описанных выше.
Пример 1. Решить уравнение
= ^y^+l _ ур^+1 + 6^ _ 18,(!)
Решение. ОДЗ уравнения (1) состоит из всех ж, удовлетворяющих условиям ж2 — 30, ж О, т.с. ОДЗ есть промежуток \/3 ж < +ос. Пере
пишем уравнение в виде
е/о.(2)
Уравнение (2) равносильно на ОДЗ исходного уравнения совокупности уравнений
—з = о и gV^T _ зС^т _ 6 = о.(з)
Решение первого уравнения совокупности (3) есть жх = 9. Это число входит в ОДЗ исходного уравнения и, следовательно, является единственным решением первого уравнения совокупности (3) на множестве \Д ^ ж < +ос.
Дж решения второго уравнения обозначим 3 V^™^ через у, тогда второе уравнение совокупности (3) запишется в виде
у2 - у - 6 = 0.(4)
Уравнение (4) имеет два корня yi = ^2 и у 2 = 3. Это означает, что второе уравнение совокупности (3) равносильно на ОДЗ исходного уравнения совокупности уравнений
= -2 и 3V^ = 3(5)
Первое уравнение совокупности (5) решений нс имеет. Второе уравнение равносильно на множестве V3 ж < ос уравнению ^ж2 ™ 3 = 1 или уравнению ж2 = 4. Последнее уравнение имеет два корня: ж2 = 2 и ж3 = —2. Из этих чисел только ж2 = 2 входит в множество V3 ^ ж < ос и поэтому явжстся единственным решением второго уравнения совокупности (5) на ОДЗ исходного уравнения. Объединяя решения на множестве V3 ^ ж < ос первого и второго уравнений совокупности (3), получим, что множество решений исходного уравнения состоит из двух чисел: жх = 9 и ж2 = 2.
Ответ, жх = 9, ж2 = 2.
Пример 2. Решить уравнение
^l/2+log3 cos ж । 01/2 _ gl/2+logg sin ж
Решение. ОДЗ данного уравнения состоит из всех чисел ж, одновременно удовлетворяющих неравенствам sin ж > 0 и cos ж > 0. В этой области
данное уравнение равносильно такому:
V3 cos х + \/б = 3 sin ж.
Получившееся уравнение можно переписать так:
V5 .1V2
— sin хCOS X = —,
222
или, воспользовавшись формулой для синуса разности двух углов, в виде
. /7Г \
sin ж — — = —.\6/2
Последнее уравнение имеет две серии решений:
х = — + — + 2тгп, п Е Z] х = — + — + 2тгт, т Е Z.
6464
Из этих решений решениями исходного уравнения будут те, которые входят в ОДЗ исходного уравнения, т.с. тс, которые удовлетворяют неравенствам cos х > 0 и sin х > 0. Легко видеть, что это только все числа из первой серии.
Значит, исходное уравнение имеет одну серию решений:
х = — + 2тгп, п Е Z.
12
5тг„
Ответ, х =Н 2тгп, п Е Z.
12
Пример 3. Решить уравнение
| sinх\ = sinх + 2 cosх.
Решение. Для освобождения от знака абсолютной величины разобьем числовую ось на две области: первую, в которой sin ж ^ 0, и вторую, в которой sin ж < 0. В первой области | sinж| = sin ж и исходное уравнение переписывается
sin ж = sin ж + 2 cos ж
или
cos ж = 0.
Решениями последнего уравнения будут ж = тг/2 + тгт, т Е Z. Из этих значений ж надо выбрать те, которые лежат в рассматриваемой области, т.с. там, где sin ж ^ 0. Легко видеть, что такими значениями ж будут лишь ж = тг/2 + 2тгп, п Е Z.
Во второй области | sin ж | = — sin ж и исходное уравнение перепишется
— sin ж = sin ж + 2 cos ж
или
sin ж + cos ж = 0.
Переписав это уравнение в виде
V2 sin (х + —) = 0,
\4/
находим его решения: х = —тг/4 + тг/, Z Е Z. Из этих значений в рассматриваемой области лежат лишь х = —тг/4 + 2irk, k Е Z. Следовательно, решениями исходного уравнения будут
х = ™ — + 2тг/е к Е Z; х = — + 2тгп, п Е Z. 42
Второе решение. Возведя в квадрат обе части уравнения, получим уравнение
sin2 х = sin2 х + 4 sin х cos х + 4 cos2 х
или
cos x(sin х + cos ж) = 0.
Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
cos ж — 0 и sin ж + cos ж = 0.
Первое уравнение имеет решения х = тг/2 + т^к, к Е Z, второе уравнение имеет решения х = тг/4 + тг/, Z Е Z. Поскольку при возведении в квадрат могли появиться посторонние корни, необходимо сделать проверку. Непосредственная подстановка показывает, что решениями исходного уравнения будут лишь
х = — + 2тгп, п Е Z; х = — — + 2тгт, т Е Z.
24
Ответ, ж = — + 2тт, п Е Z; х = — — + 2тгт, т Е Z.
24
Пример 4. Решить уравнение
2 sin+ —) =+ 8 sin 2х cos2 2ж.
V 4/
Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат, получим уравнение
4 sin2 ^Зж + ^ = 1 + 8 sin 2ж cos2 2х.(6)
Все корни исходного уравнения являются корнями уравнения (6), но не обязательно все корни уравнения (6) будут корнями исходного уравнения. Поэтому после нахождения корней уравнения (6) из них надо отобрать те, которые будут корнями исходного уравнения. Применяя известные формулы, имеем
sin2 (зж += г-^^ + тг/г) = 1 (1 + sinfeX
8 sin 2ж cos2 2ж = 4 cos 2ж(2 sin 2х cos 2ж) =
= 4 cos 2х sin 4ж = 2(sin 6ж + sin 2х).
Поэтому уравнение (6) можно переписать как
2 + 2 sin 6ж = 1 + 2 sin 6ж + 2 sin 2х
или как
sin 2х = |.(7)
Последнее уравнение имеет две серии решений:
ж = — + тгп, п Е Z: х = — + к Е Z. 1212
Так как уравнение (7) равносильно уравнению (6), то надо проверить, все ли его решения будут решениями исходного уравнения.
Подставляя найденные значения х в правую часть исходного уравнения, получаем число 2. Для х = тг/12 + тт, п Е Z, левая часть исходного уравнения равна
2 sin ( Зж + — ) =2 sin ( — + Зтгп ) = 2 cos тгп.
V 4/\2/
Если п — четное число, то 2 cos тш = 2, если п — нечетное число, то 2 cos тгп = ^2. Значит, из первой серии решениями исходного уравнения являются лишь числа
х = р 2ттт, тп. Е Z.
12
Для х = 5тг/12 + -кк, к Е Z, левая часть исходного уравнения равна
2 sin (зх + —) =2 sin f — + Зтг аА = ^2 cos тгк. \4/\2/
Если к — четное число, то —2costtA = —2, если к — нечетное число, то
—2 costtA = 2. Следовательно, из второй серии решениями исходного урав
нения являются лишь числа
X = |^ + (2Z + 1)тг, I Е Z.
Ответ, ж = — + 2тгт, тп Е Z; х = — + (2Z + 1)тг, I Е Z.
1212 k 7
Пример 5. Решить уравнение
2 (^cos 2ж + cos ™ J + logi/2 (^п ж + cos 2 ) = ^’
Решение. ОДЗ исходного уравнения состоит из всех значений х, одно
временно удовлетворяющих условиям
cos 2х + cos - > и и sin х + cos - > 0.22
Поскольку
logl/2 ^sinж + cos ^ = — log2 ^sinx + cos ^ то исходное уравнение можно записать в виде
log2 (cos 2х + cos -log2 (cos 2х + cos -= log2 I sin x + cos -= log2 I sin x + cos -
log2 (cos 2х + cos -
log2 (cos 2х + cos -
= log2 I sin x + cos -
= log2 I sin x + cos -
Потенцируя его, получим уравнение
cos 2х + cos - = sin x + cos -,(8)
227
равносильное исходному уравнению на его ОДЗ. Так как cos 2х = 1 2 sin2 х, то уравнение (8) можно записать в виде
2 sin2 х + sin х ™ 1 = 0.
Поскольку квадратное уравнение 2t2 + t ™ 1 = О имеет корни /у = 1/2 и f2 = ™1, то уравнение (8) равносильно совокупности уравнений
sin ж = — 1 и sin ж = 1/2.
Решения уравнения
sin ж = — 1(9)
нс являются решениями исходного уравнения, так как для любого решения уравнения (9) имеем
., ж0 1 , cos Ж0 . л
8ШЖп + cos — = — 1 Н
22
т.с. ж0 нс входит в ОДЗ исходного уравнения. Уравнение
sin ж = 1/2(10)
имеет две серии решений
жх = — + 2тгп, п 6 Z, и ж2 = — + 2тгп, п Е Z. 66
Проверим, какие из этих решений входят в ОДЗ исходного уравнения. Легко видеть, что
Q , Ж1 ■, Ж1 1/ 7Г \
cos 2x1 + cos — = sin xi + cos — = - + cos — + тг/с =
222\12/
= - +1Г cos — = cos — +1Г cos —.
212312
Так как cos тг/З < cos тг/12, то при к = 21 получим, что
cos —hcos — > 0,
312
а при к = 2Z + 1 получим, что
cos(^1) cos — < 0.
312
Следовательно, из первой серии решений уравнения в ОДЗ исходного уравнения входят
ж = — + 4тг/, I Е Z.
6
Они и будут решениями исходного уравнения.
Также легко видеть, что
о. ж2 1 ./ 5?Г\
cos 2ж2 + cos — = sin Ж2 + cos — = - + cosн 7ГП =
222\12/
= il)n cos — = cos — + l)n cos —.
21123 v12
Так как 0 < cos 5тг/12 < cos тг/З, то при любом п Е Z
тг ।\ п5тг „
cos —h (—1) cos — > 0.
312
Следовательно, все решения второй серии решений входят в ОДЗ исходного уравнения и являются его решениями.
Ответ, ж = ™ + 4тг/, I Е Z; ж = — + 2тгп, п Е Z.
66
Уравнения с дополнительными условиями. В некоторых задачах требуется найти решения уравнения, удовлетворяющие дополнительным условиям. Как правило, такие задачи сводятся к решению уравнения и отбору корней, удовлетворяющих этому условию. Приведем соответствующие
примеры.
Пример 6. Найти все корни уравнения |х2 + х — 1| = 2х — 1,
V3 удовлетворяющие неравенству х < —.
Решение. Квадратный трехчлен х2 + х — 1 имеет корни x-i = —^■
и х2 =и х2 =+ V 5v 3
и х2 =
и х2 =
-, причем как легко видеть, х2 > —. Будем решать исход-
и 22 и 22• < —'3 *В области• < —'3 *В области22квадратныйквадратныйтрехчлен ж2 + ж — 1трехчлен ж2 + ж — 1неотрицателен, так что |ж2 + х — 1| = ж2 + ж ™ 1 можно переписать в видех2 + х — 1 = 2х — 1,неотрицателен, так что |ж2 + х — 1| = ж2 + ж ™ 1 можно переписать в видех2 + х — 1 = 2х — 1,и исходное уравнениеи исходное уравнениенос уравнение отдельно в областях — ос < ж
и
22
и
22
• < —
'3 *
В области
• < —
'3 *
В области
2
2
квадратный
квадратный
трехчлен ж2 + ж — 1
трехчлен ж2 + ж — 1
неотрицателен, так что |ж2 + х — 1| = ж2 + ж ™ 1 можно переписать в виде
х2 + х — 1 = 2х — 1,
неотрицателен, так что |ж2 + х — 1| = ж2 + ж ™ 1 можно переписать в виде
х2 + х — 1 = 2х — 1,
и исходное уравнение
и исходное уравнение
или в видеили в видене лежит в области — ос < х ^не лежит в области — ос < х ^-. Значит, исходное уравнение не-. Значит, исходное уравнение не
или в виде
или в виде
не лежит в области — ос < х ^
не лежит в области — ос < х ^
-. Значит, исходное уравнение не
-. Значит, исходное уравнение не
х2 — х = 0.
Полученное уравнение имеет два корня: х^ = 0 и Х4 = 1, ни один из которых
™ 1 ™ Уб2™ 1 ™ Уб2или в видеили в виде
™ 1 ™ Уб
2
™ 1 ™ Уб
2
или в виде
или в виде
имеет корней в области — ос < х
В области- < х < — квадратный трехчлен х2 + х — 1 отри
цателен, так что |ж2 + х 1| = — (ж2 + х™1),и исходное уравнение можно переписать в виде
—х2 — х + 1 = 2х — 1,
х2 + Зх ™ 2 = 0.
Это квадратное уравнение имеет два корня х^ = - и ж6 =
™3 +V17
= -, из которых, как легко проверить, только корень х^ принад-
™ i ™ УбУз
лежит множеству < х < —.
23
ыV3
Итак, исходное уравнение имеет в множестве х < — только один ко-
рень х =.
„2— 3 + V17
Ответ, хх =.
2
Пример 7. Найти все решения уравнения
^cos 2ж । ^cos2 ж
принадлежащие отрезку [3/4; 1].
Решение. Перепишем исходное уравнение в виде
^2 cos2 ж —1 । ^cos2 ж
Обозначив 4cos2 ж через t, будем иметь уравнение
i t - 3 = 0.
4
Корни этого квадратного уравнения ti = ^6, ip = 2. Значит, исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнении
4COS2 Ж =и 4COS2 Ж = 2.
Первое уравнение этой совокупности решений нс имеет, так как число (—6) не входит в область значений показательной функции. Второе уравнение равносильно уравнению cos2 х = 1/2, которое, в свою очередь, равносильно совокупности уравнений
V2V2
COS X = И COS X = —.
22
Решениями первого из этих уравнений являются х = ±— + 2тг/с, k Е Z, решениями второго — х = ±^ + 2тгп, п Е Z.
Среди найденных чисел имеется только одно, лежащее на отрезке [3/4; 1], 7Г а именно х = —.
4
Ответ, х = —. 4
Пример 8. Найти все решения уравнения | sin(2x — 1)| = cos ж, удовлетворяющие условию \х\ 2тг.
Решение. Искомыми значениями х будут тс решения уравнения sin2(2x — 1) = cos2 ж,(1)
нение (1) в виденение (1) в видекоторые удовлетворяют условиям cos х Ои|ж| 2тг. Решим уравнение (1). Пользуясь формулами синуса и косинуса половинных углов, перепишем урав-
нение (1) в виде
нение (1) в виде
1 — cos(4x — 2) _ 1 + cos 2ж
222
2
2
или в виде
cos(4x — 2) + cos 2х = 0.
Применяя формулу суммы косинусов, перепишем его в виде
2 cos(x — 1) cos(3x — 1) = 0.
Последнее уравнение, а следовательно, и уравнение (1) равносильны совокупности двух уравнений
cos(x — 1) = 0 и cos(3x — 1) = 0.
ТГ ™4 2„
Первое из этих уравнении имеет решения х = —-4 тт, n Е Z; решения 7Г + 2 ТГ к
второго уравнения: х =1, к Е Z. Выберем из этих решений числа,
63''
удовлетворяющие условию cos х 0. Имеем
/ ТГ + 2\/ 1 х п тг + 2
COS4 7ГП = (— 1) cos .
V 2/ v 72
Так как cos 77 + 2 < 0, то из первой серии неравенству cos 0 удовлетворяют числа, соответствующие нечетным п (п = 2/ +1), т.е. числа х =2 -у 2тг/,
I Е Z. Из них в область |х| ^ 2тг попадают только те, для которых Z = —1 и 1 л - тг + 2 Зтг + 2тг + 2 тг^ ,7_
I = 0, т.е. и. Вторая серия1, к Е Z, может быть
2263
разбита на шесть серий с периодом 2тг:
тг -4 2„Зтг + 2
х —4 2тгт:х =4 2тгт-
66
X
_ 5тг + 2
6
+ 2тгт;
7тг + 2-
х =+ 2тгт;х = -
6
™ тг + 2 о
4 2тгт;
6
X
^Зтг + 2 , о
=+ 2^т\
6
где всюду т Е Z. Поскольку
тг + 2 п
cos > 0,cos
6
^L±3 <0
cos
5тг + 2
0,
6’
6
7тг + 2 п
™ тг + 2Q
cos
— Зтг + 2
> 0,
6
6’
6
то неравенству cos х ^ 0 удовлетворяют только числа из трех серий:
тг + 2„
х =4 2тгт, т Е Z\
6
— 'л 2
х =4 2тгг. г Е Z;
6
- Зтг + 2
х = 4 2тгд, q Е Z.
Из них в область |а?| + 2тг попадают только те, для которых т = — 1, л л 1 л 1 -Птг + 2 тг + 2— тг + 2 Птг + 2
m = 0; г = 0, г = 1, а = 0, а = 1, т.е.,,,,
,6666'
— Зтг + 2 9тг + 2
6’6■
— тг _|_ 2 Зтг 4“ 2 =Ь Птг + 2 zb тг + 2 — Зтг + 2 9тг 4" 2 Ответ. ,,,,,.
2'2'6'6'6'6
Пример 9. Найти все решения уравнения
2 — V3 cos 2а? + sin 2а? = 4 cos2 За?, удовлетворяющие неравенству cos ^2х — ^ > 0. Решение. Воспользовавшись тем, что
2 cos2 За? = 1 + cos 6а? и — cos 2а? — - sin 2а? = cos f 2а? + — , 22V 6/
перепишем исходное уравнение в виде
2 — 2 cos ^2а? + ^ = 2 + 2 cos 6а?.(2)
Уравнение (2) равносильно такому:
/ТГ \
cos 6а? + cos 2а? + — = 0V6/
или такому:
2 cos f 4а? + — cos f 2а? —— = 0.\12/ V 12/
Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
cos (4а? + ™ ) = 0 и cos ( 2а? — ™ ) = 0.V 12/\12/
Эти уравнения имеют решения соответственно а? = ^ + ^9 k е Z, и х = ^ + ^, п Е Z. Найденные серии решений составляют множество решений исходного уравнения.
Теперь выберем из них тс, которые удовлетворяют условию cos f2a? — —) > 0. V 4/
„5тг , тг/? ,_ тг \/ 5тг , тг/? тг \
Пусть а?=, к Е Z; тогда cos 2х=cos=
J 484 'V 4/\2424/
= cos ^™^ + "™) • Легко видеть, что условию задачи удовлетворяют следующие подмножества первой серии решений исходного уравнения,
6 М.К. Потапов и др.
получающиеся при к = 4т мк = 4т + 1:
5тг48 5тг485тг48 5тг484тгт 5тг ,„
5тг
48 5тг
48
5тг
48 5тг
48
=^т m Е Z;
448
тг(4т + 1)17тг ,~
—L =р ^т m Е Z.
448
„7ТГ , 7ГП~7Г \/ 7тг ,7Г
Пусть ж =1, и Е Z, тогда cos 2ж= cosк тт
J242 'V 47 V124
= cos ( —к тт) = cos — cos тт — sin — sin тт =• -. Условию задачи
\3733'2
удовлетворяют решения, соответствующие четным значениям п, т.е. полагая п = 2Z, получим, что условию задачи удовлетворяет следующее подмножество второй серии решений исходного уравнения: х = ™^ + тг/, I Е Z.
Значит, ответ к задаче дают следующие три серии решений:
х =к тггт т Е Z: х =к тгт п Е Z: х =к I Е Z. 484824
z-х5тг 17тг 7 тг,
Ответ, х =^тгт, т Е Z; х =к ли, n Е Z; х =к л/, 48'48''24'
I Е Z.
Часто встречаются задачи, в которых требуется решить уравнение, но его решение приводит к решению другого уравнения с дополнительным условием.
Пример 10. Решить уравнение
cos жcos ж= I cos ж |.= I cos ж |.
cos ж
cos ж
= I cos ж |.
= I cos ж |.
Решение. Правая часть исходного уравнения и знаменатель левой части неотрицательны. Поэтому решение данного уравнения должно удовлетворять неравенству cos х 0. Но | cos х | = cos х для таких ж, и поэтому задача может быть переформулирована так: найти все решения уравнения
(3)(3)cos ж7? = COS Ж.(ж + 3/2)2’
(3)
(3)
удовлетворяющие условию cos х 0.
Область допустимых значений уравнения (3) состоит из всех ж, кроме 3
х = Уравнение (3) равносильно на своей ОДЗ совокупности уравненийcos ж = 0 и= 1.
(ж + 3/2)2
Первое уравнение этой совокупности имеет серию решений ж = ™ + ^т,
715 П
т Е Z, второе уравнение имеет два корня xi = и х^ = —. Выясним теперь, какие из найденных решений удовлетворяют условиям cos ж 0 и 3 .
ж (они и будут решениями исходного уравнения).
Ясно, что любое из решений ж = — + ™, т Е Z, удовлетворяет этим тг3_
условиям, так как — + тгт не равно --ни для одного целого т. Так как О < - < —, то cos f —= cos- > 0. Значит, ж = — - удовлетворяет 22\2 722
условиям cos ж 0 и х Ф т.е. является корнем исходного уравнения.
Так как —тг < — < —, то cos — < 0 и х = — не является корнем 22' V 2/2
исходного уравнения. Итак, исходное уравнение имеет решения х = — - и
X =к 7ГП, П Е Z.
2
Ответ, х = — -; х = — + тт, п Е Z. 2'2
Решение уравнений нестандартными способами. При решении некоторых уравнений знание ОДЗ уравнения и применение некоторых оценок позволяет найти все его корни или доказать, что их нет. Приведем примеры.
Пример И. Решить уравнение
V х3 + 2 + V^3 — 2 = 1.
Решение. ОДЗ этого уравнения определяется условиями ж3 + 20 и
ж3 — 2 ^ 0, т.е. состоит из всех х, принадлежащих промежутку -^2 ^ ж < < +оо. Для таких х выражение \/ж3 ™ 2 неотрицательно, а выражение V^3 + 2 больше или равно 2, поэтому выражение V^3 + 2 + V^3 — 2 больше или равно 2. Следовательно, левая часть исходного уравнения не меньше двух; его правая часть равна 1, т.е. ни для каких х равенство невозможно.
Ответ. Решений нет.
Пример 12. Решить уравнение
log2(4x — х2) = х2 — 4х + 6.
Решение. ОДЗ этого уравнения определяется условием 4х — х2 > 0, т.е. ОДЗ есть промежуток 0 < х < 4. Поскольку на ОДЗ имеем log2(4$ - ж2) = log2(4 - (ж - 2)2) < log2 4 = 2
И
ж2 - 4ж + 6 = (ж - 2)2 + 2 > 2,
то исходное уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда х одновременно удовлетворяет двум уравнениям:
log2(4x — х2) = 2 и х2 — 4х + 6 = 2.
Решение второго из этих уравнений есть х = 2, которое удовлетворяет первому уравнению и входит в ОДЗ исходного уравнения. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень ад = 2.
Ответ. Xi = 2.
Пример 13. Решить уравнение
(ж2 + 2ж + 3)(2ж4 - 4ж2 + 3) = 2.
Решение. Перепишем уравнение в виде
((ж + I)2 + 2)(2(ж + 1)2(ж - I)2 + 1) = 2.
Поскольку для любого х имеем (х + 1)2 + 2 V 2 и 2(х + 1)2(х ™ I)2 + 1 V 1, то данное уравнение равносильно уравнению (х + I)2 = 0. Решение этого уравнения, а следовательно, и исходного есть xi = —1.
Ответ, яд = — 1.
На вступительных экзаменах иногда предлагается решить уравнение, которое внешне выглядит как стандартное уравнение, но для решения которого нужны нестандартные рассуждения. Приведем несколько таких примеров.
Пример 14. Решить уравнение
/1 + 2жУ1^+2ж2 = 1_
V 2
Решение. Исходное уравнение можно переписать в виде
/i + 2®vr^ = х _ 2ж2V 2
откуда следует, что все его решения удовлетворяют неравенству 1 — 2ж20,
т.е. лежат в области— V х Г —=. Легко проверить, что для всех этих х
V2V 2'
справедливо равенство
откуда следует, что уравнение (1) на этой области может быть записано в виде
V2V2(2)
V2
V2
Так как на множестве — ^= V х V — справедливо неравенство 1 — 2х2 V 0, то на этом множестве 1 — ж2 V х2, V1 — ж2 |х|. Значит, на этом множестве х + VI — ж2 V 0, и уравнение (2) можно переписать в виде
£±угн^ = 1_2ж2, V2£±угн^ = 1_2ж2, V2(3)(3)
£±угн^ = 1_2ж2, V2
£±угн^ = 1_2ж2, V2
(3)
(3)
На рассматриваемом множестве 1 — 2х2 = (V1 — ж2 + ж) (V1 — ж2 — ж), поэтому уравнение (3) преобразуется к такому:
Теперь получаем, что на множествежТеперь получаем, что на множествеж1™^ исходное уравнение1™^ исходное уравнение
Теперь получаем, что на множествеж
Теперь получаем, что на множествеж
1
™^ исходное уравнение
1
™^ исходное уравнение
равносильно совокупности двух уравнений:равносильно совокупности двух уравнений:V1 ™ Ж2 = иV1 ™ Ж2 = и(4)(4)
равносильно совокупности двух уравнений:
равносильно совокупности двух уравнений:
V1 ™ Ж2 = и
V1 ™ Ж2 = и
(4)
(4)
Решения первого уравнения лежат в области —1 ^ х ^ 0. На этой области оно равносильно уравнению
которое имеет в области — 1 ^ х ^ 0 единственный корень I I. Следо
вательно, первое уравнение из совокупности (4) имеет единственный корень
х 1. Нах 1. На1
х 1. На
х 1. На
Все решения второго уравнения (4) лежат в области — — этой области оно равносильно уравнению
-12221
1 — х2 = х2 Н ™ х Н—,
V22
которое можно записать в виде
2ж2 + С2ж -1=0.
2
Это уравнение в области — —Это уравнение в области — —1 имеет единственный корень х^ =1 имеет единственный корень х^ =
Это уравнение в области — —
Это уравнение в области — —
1 имеет единственный корень х^ =
1 имеет единственный корень х^ =
=. Следовательно, второе уравнение совокупности также имеет
4
единственный корень х^ =. Итак, совокупность уравнении (4) име-
4'
ет два корня:
44(5)(5)1
4
4
(5)
(5)
Х1 =7= И Хо =
V2
Оба они, как легко проверить, лежат в области — — х — и потому являются решениями исходного уравнения. Множество решений исходного уравнения состоит из двух чисел (5).
1V2
Ответ. Xi =™, х^ =.
V2'4
Пример 15. Решить уравнение
^^Vc+Vs^ 2х — 2) = log2+v^(a? — 2х — 3).
Решение. Обозначим у = log2+^(х2 — 2х — 3), тогда
иих2 - 2х - 3 = (2 + V3)^
и
и
х2 - 2х - 2 = (2 + V3)^ + 1.
Поэтому исходное уравнение можно переписать в виде
Так как (2 + VS)^ + 1 > 0 при любом у, то уравнение (6) равносильно уравнению
(2 + V3)y + 1 = (2^2+ СЗ^.
Так как ^У2 + УЗ^ > 0 для любого у, то это уравнение равносильно уравнению
(g±У 1= 1
Поскольку= У 2 ™ Уз, то уравнение (7) можно переписать в виде
УУ22у= 1.у= 1.(8)(8)Так какТак как22222= 1,2= 1,
У
У
2
2
у
= 1.
у
= 1.
(8)
(8)
Так как
Так как
2
2
2
2
2
= 1,
2
= 1,
то ^ = 2 есть решение уравнения (8). Покажем, что уравнение (8) не имеет других решений.
Так как —-—2неравенстваТак как —-—2неравенства1 И 21 И 21, то для у > 2 справедливы1, то для у > 2 справедливыУУ22
Так как —-—
2
неравенства
Так как —-—
2
неравенства
1 И
2
1 И
2
1, то для у > 2 справедливы
1, то для у > 2 справедливы
У
У
2
2
2 у2 у2;= х 22;= х 2
2 у
2 у
2;
= х 2
2;
= х 2
откуда получаем, чтооткуда получаем, чтоУУ222= 1.2= 1.
откуда получаем, что
откуда получаем, что
У
У
2
2
2
= 1.
2
= 1.
Это равенство означает, что никакое у > 2 не может быть решением уравнения (8).
Если у < 2, то справедливы неравенства
откуда получаем, что
/ V2 +| V2 ™> ( у2 +У^\ [ / V 2 - Уз \
V 2/\ 2/\27\2/ ™ '
Это неравенство означает, что никакое у < 2 не может быть решением уравнения (8).
Итак, уравнение (8), а следовательно, и равносильное ему уравнение (6) имеют единственный корень у у = 2.
Следовательно, решение исходного уравнения свелось к решению урав™ нения
It^^+vs^" — 2х — 3) = 2.(9)
Потенцируя его, приходим к уравнению
ж2 - 2ж - 3 = (2 + Сз)2,(10)
равносильному уравнению (9).
Корни уравнения (10) есть
Ж1 = 1 + TnTwi И Ж1 = 1 - 711 + W3.
Следовательно, и исходное уравнение имеет два этих корня.
Ответ. яд = 1 + V11 + 4Уз, ж2 = 1 — V11 + 4УЗ.
Пример 16. Решить уравнение
х4 — х3 + х2 — х + 1 = 0.
Решение. Разобьем числовую прямую на промежутки х < 0, 0 С х < 1, ж 7 1 и докажем, что на каждом из этих промежутков исходное уравнение решений не имеет.
В самом деле, при х < 0 имеем ™х3 > 0, ™х > 0, и поэтому для таких х верно х4 — х3 + х2 — х + 1 > 0 и, значит, на этом промежутке исходное уравнение решений не имеет. При 0 У х < 1 имеем—ж+1 > Оих2 — х3 > 0, поэтому для таких х верно х4 — х3 + х2 — х + 1 = ж4 + (™х3 + х2) + +(™х + 1)>0, и, значит, на этом промежутке исходное уравнение решений не имеет. При х 1 имеем х4 ж3, ж2 хи поэтому х4 — х3 + х2 — — ж + 1 = (ж4 — ж3) + (х2 — х) + 1 > 0, и, значит, на этом промежутке исходное уравнение решений не имеет.
Второй способ. Умножим обе части исходного уравнения на х + 1, получим уравнение
(х + 1)(ж4 — х3 + х2 ™ х + 1) = 0
или уравнение
х5 + 1 = 0,(11)
являющееся следствием исходного. Уравнение (И) имеет единственный ко™ рень х = —1, который не удовлетворяет исходному уравнению. Следователь™ но, исходное уравнение решений не имеет.
Третий способ. Очевидно, что ж = 0 не есть решение исходного уравнения. Поэтому, разделив исходное уравнение на ж2, получим уравнение
ж2-ж + 1-- + —=0,(12)
Ж ж2 равносильное исходному.
Обозначим ж + - через у, тогда у2 = ж2 + — + 2. Поэтому уравне- жж2
ние (12) можно переписать в виде
'/2'/1 = 0.
— и2— и2Последнее уравнение имеет два корня:
— и
2
— и
2
ш =
Следовательно, уравнение (12), а значит, и исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
и2и21122(13)(13)
и
2
и
2
1
1
2
2
(13)
(13)
2, и так как 22, и так как 22, то среди2, то среди22Если ж > 0, то ж Н— 'ж
2, и так как 2
2, и так как 2
2, то среди
2, то среди
2
2
положительных ж ни одно из уравнений совокупности (13) решений не имеет.
г?л । 1 / о1 + V5*1х/5 о
Если ж < 0, то ж + - и так как —-— > —-— > —2, то среди
отрицательных ж также нет решений совокупности уравнений (13).
Заметим, что каждое из уравнений совокупности (13) равносильно соответствующему квадратному уравнению, не имеющему решений.
Ответ. Исходное уравнение решений не имеет.
Пример 17. Решить уравнение
sin ж + 8ш5ж = 2.
Решение. Поскольку | sin ж | ^ 1 и | sin 5ж | ^ 1, то исходное уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда ж одновременно удовлетворяет двум уравнениям . .
8ШЖ=1 И 8И15ж = 1.
Решения первого уравнения есть ж = —Н 2тг А:, к Е Z. Легко видеть, что все они удовлетворяют второму уравнению, следовательно, являются решениями исходного уравнения.
Ответ, ж = — + ^к, к Е Z.
Иногда на вступительных экзаменах предлагается решить уравнение, нестандартное по внешнему виду. Для решения таких уравнений обычно применяются свойства функций, входящих в это уравнение.
Пример 18. Решить уравнение
2 е + 2“ж = 2 cos2 ( ГУя ) .(14)
V 6 /
Решение. ОДЗ уравнения (14) состоит из всех х. Так как 2Ж + 2™ж ^ 2
и 2 cos ( ^ 2 для любых х, то уравнение (14) имеет решения тогда
\6/'
и только тогда, когда х одновременно удовлетворяет двум уравнениям:
2$ + 2”ж=2 и 2cos2 (= 2.
V 6 у
Первое из этих уравнений имеет единственное решение яд = 0, которое удовлетворяет и второму уравнению. Следовательно, уравнение (14), а значит, и исходное уравнение имеет единственный корень яд = 0.
Ответ. яд = 0.
Пример 19. Решить уравнение
log2 х = 3 — х.(15)
Решение. ОДЗ уравнения (15) состоит из всех х > 0. Очевидно, что х = 2 есть решение уравнения (15). Покажем, что других решений это уравнение не имеет. Действительно, если х > 2, то правая часть уравнения (15) меньше 1, а левая — больше 1, т.е. среди х > 2 нет решений уравнения (15).
Если же 0 < х < 2, то левая часть уравнения (15) меньше 1, а правая — больше 1, т.е. среди этих х также нет решений уравнения (15).
Ответ, х = 2.
Уравнения, содержащие неизвестную в основании логарифма. Если в основании логарифма есть х, то при определении ОДЗ уравнения надо учитывать, что основание логарифма всегда больше нуля и не равно единице.
Пример 20. Решить уравнение
1_ 13
^°gl —2х29\4*
4 log2(l — 2ж2)4
Решение. Область допустимых значений исходного уравнения состоит из всех х, удовлетворяющих одновременно условиям 1 — 2я?2 > 0, 1 — 2я?2 1, х > 0, т.е. ОДЗ имеет вид 0 < х < V2/2. Так как на ОДЗ
11 1м о 2\33 1о
Л^Я?1/19 2\4/1 °§1 —2х2 2?
44log9(l 2ж^)4
то исходное уравнение равносильно на ОДЗ такому:
1оё1-2$2 Ж = 11оё1_2ж2(1 - 2ж2) - 11оё1_2ж2 2.
Умножая обе части последнего уравнения на 4, получаем уравнение
411 - 2ж2
ИьлГ Ж = Ьё^зж2 ",
потенцируя его, имеем уравнение
8®4 = 1 — 2®2,(1)
равносильное исходному уравнению на его ОДЗ. Уравнение 8z2 + 2z — 1 = = 0 имеет корни ci = ™|; ^2 = ™- Значит, уравнение (1) равносильно совокупности двух уравнений:
121
X =и X =24
_.1
Первое уравнение не имеет корней, а второе имеет корни ад = - и 12
Таким образом, множество решений уравнения (1) состоит из двух этих чисел. Из них только ад входит в ОДЗ исходного уравнения. _„1
Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень ад = -. „12
Ответ. ад = 2
Пример 21. Решить уравнение
^§Зж+7(^ + 12ж + 4а;2) + ^§2ж+з(^*^2 + 23ж + 21) = 4‘ Решение. Поскольку
9 + 12® + 4®2 = (2® + З)2
б®2 + 23® + 21 = (3® + 7)(2® + 3),
то область допустимых значений исходного уравнения состоит из всех ж, одновременно удовлетворяющих условиям
2ж + 3>0, 2х + 3^1, Зх + 7 > 0, Зх + 7 ^ 1, т.е. ОДЗ состоит из двух промежутков:
— < X < и — 1 < X < +оо.
2
На ОДЗ исходное уравнение равносильно уравнению
2+ 3) + log2a.+3(3® + 7) + 1 = 4.(2)
Обозначим log3a.+7(2x + 3) через 2. Тогда уравнение (2) можно переписать в виде
2z + - = 3.(3)
Уравнение (3) равносильно уравнению 2с2 — Зс + 1 = 0 и потому имеет
корни ci = | и с2 = 1. Следовательно, исходное уравнение на своей ОДЗ
равносильно совокупности двух уравнений:
^§Зж+7(2*^ + 3) = | и 1оёзЖ+7(2ж + 3) = 1.
Первое уравнение этой совокупности равносильно на ОДЗ уравнению (2ж + З)2 = Зж + 7.
Это уравнение имеет два корня жх = и ж2 = -2, из которых только 4
жх = -- лежит в ОДЗ исходного уравнения. Второе уравнение равносильно на ОДЗ уравнению
2ж + 3 = Зж + 7.
Последнее уравнение совокупности имеет корень жз = —4, не лежащий в ОДЗ исходного уравнения. Следовательно, исходное уравнение имеет един™ ~1
ственныи корень жх = —.
1
Ответ, жх =
4
Пример 22. Решить уравнение
Q ,1/75ж11\
' 4 ж /
Решение. Область допустимых значений данного уравнения состоит из всех х, удовлетворяющих одновременно следующим условиям х > О, 75ж11[44
х ^ 2, —:>0, те. ОДЗ состоит из двух промежутков: * — < х < 2
4 жV 75
и 2 < х < +оо. Так как на ОДЗ
+ 17= 3 + ^ж/2 32 = l°g®/2 ^^Л
то исходное уравнение равносильно на своей ОДЗ уравнению
л з 1/ 75ж11 \
logx/2 4ж = 1оёж/2 I —
или уравнению
16ж4 - 75ж2 + 44 = 0.(4)
Квадратное уравнение 16с2 — 75с + 44 = 0 имеет корни сх = 4 и с2 = —.
16
Значит, уравнение (4) равносильно совокупности двух уравнений:
9.911
х" = 4 и хЭ = —.
16
Это означает, что уравнение (4) имеет четыре корня: жх = 2, ж2 = ™2, ж3 =
Vn ™vn тvn
= , х4 = . Только один из них, а именно х^ = , содержится
4'44
в ОДЗ исходного уравнения. Таким образом, исходное уравнение имеет един™
ственныи корень х^ =.
о VT1
Ответ, х =.
4
Если же в уравнении переходят к логарифму по основанию, содержащему ж, то может произойти сужение ОДЗ, а следовательно, и потеря корня. Так, например, переходя от уравнения
(5)(5)10g2a: Ж2 + 10g4a; Ж2 = О
(5)
(5)
к уравнению
ж2 + l°g* ж2 = 0,log, 2ж log, 4ж ’
видим, что уравнение (6) при х = 1 не имеет смысла, в то время как х = 1 является корнем уравнения (5). Поэтому при переходе в уравнении к логарифмам по некоторому основанию h(x\ содержащему ж, вначале надо проверить, не являются ли те значения х, при которых h(ж) = 1, решением исходного уравнения, а затем уже переходить к этому основанию.
Пример 23. Решить уравнение
log^/2 ж2 - 141og16, ж3 + 401og) r Сж = 0.(7)
Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех х, удовлетворяющих одновременно условиям х > 0, ж ^ 2, х ^ |, х ^ ^. Будем решать это уравнение, переходя к логарифмам по основанию х. Но прежде, чем сделать этот переход, надо проверить, является ли ж = 1 корнем исходного уравнения. Подставляя 1 вместо х в уравнение (7), получаем, что х = 1 есть его корень. Переходя теперь в уравнении (7) к логарифмам по основанию ж, получим уравнение
log, ж2 _14 log, ж3 + 40log,^^0;(8)
log ±ж log, 16ж log, 4ж
ж 2
равносильное исходному на множестве
ж > 0, ж + 2, ж / |, ж / ж / 1.(9)
Уравнение (8) на этом множестве можно переписать так:
_4220
1 - 1оёж 21+4 log$ 21 + 2 log$ 2
На множестве (9) имеем 1 — log$ 20, 1 + 4 log$ 20, 1 + 2 log$ 2^0,
поэтому на нем уравнение (10) равносильно уравнению
2(1 + 41og, 2)(1 + 21og, 2) - 42(1 - log, 2)(1 + 2 log, 2) +
+ 20(1 — log, 2)(1 + 41og, 2) = 0, которое можно записать в виде
2(log, 2)2 + 3 log, 2 — 2 = 0.(11)
Квадратное уравнениеКвадратное уравнение2у2 + Зу - 2 = 02у2 + Зу - 2 = 0
Квадратное уравнение
Квадратное уравнение
2у2 + Зу - 2 = 0
2у2 + Зу - 2 = 0
имеет два корня: ух = - и у 2 = —2. Поэтому уравнение (11) равносильно совокупности двух уравнений:
1о8ж2 = ^ и log, 2= 2.(12)
Первое уравнение этой совокупности имеет единственный корень ж2 = 4, а второе уравнение — единственный корень хз = —. Поэтому совокупность уравнений (12), а значит, и уравнение (11) имеют два корня Х2 = 4, жз = -у-. Так как оба эти корня входят в множество (9), то они являются решениями исходного уравнения.
Следовательно, исходное уравнение имеет три корня: Ж1 = 1, ж2 = 4, V2 •
Ответ. Ж1 = 1, ж2 = 4, ж3 =
6.5. Уравнения, содержащие неизвестную в основании и показателе степени. Если х входит в основание и показатель степени, то принято считать, что основание степени должно быть больше нуля. Это надо учитывать при нахождении ОДЗ уравнения.
Например, ОДЗ уравнения
Х^23 = Q
состоит из всех х > 0. Легко видеть, что это уравнение не имеет решений, так как для х > 0 имеем жж+2 >0иж + 3>0, откуда жж+2 + х + 3 > 0 для любого х > 0.
Далее будем в основном рассматривать уравнения двух типов:
Кх^Н =
КО6^ = h(xpx\
Рассмотрим уравнение типа I.
Используя свойство 7 равносильности уравнений (см. п. 1.4, § 1), получаем, что для любого числа а (а > 0, а ф 1) уравнение I на его ОДЗ, т.е. на множестве тех х, для которых /(ж) > 0 и g(x) и Цх) имеют смысл, равносильно уравнению
(13)(13)2Ю !oga /(ж) = Цх^ loga КО-
(13)
(13)
Замена уравнения I уравнением (13) называется логарифмированием уравнения I.
ер 24. Решить уравнение
. 1= (Зх - 5pSi/2M+5x-x2X
- 5
Решение. Область допустимых значений уравнения состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям
Зж - 5 > О,
2 + 5ж — ж2 > 0.
5
Решая эту систему неравенств, находим, что ОДЗ есть интервал - < ж <
„ 5 + V33 „,
< . Пользуясь формулами
lOg|/2-I= ^log-I и= (Зж - 5)"1/2,
перепишем исходное уравнение в виде
(Зж-бЩ/МЗж-бД10^2^-^.
Логарифмируя это уравнение, например, по основанию 2, получим уравнение
log2(3® - 5) = Д log5(2 + 5ж - ж2) ■ log2(3a; - 5),(14)
равносильное исходному уравнению на его ОДЗ. Уравнение (14) можно пере™ писать в виде
log2(3x - 5) • (log5(2 + 5ж - ж2) - 1) = 0,
откуда следует, что оно равносильно на ОДЗ совокупности двух уравнений: log2(3x — 5) = 0 и log5(2 + 5ж ™ ж2) = 1.
Первое уравнение имеет единственный корень жх = 2, который входит в ОДЗ исходного уравнения. Второе уравнение равносильно на ОДЗ квадратному о кк5 + -/13
уравнению 2 + 5ж — ж = 5, которое имеет два корня: ж2 = и
ж3 =-. Из этих чисел в ОДЗ лежит только ж2 = -.
n95 + уЛз
Ответ. Ж1 = 2, ж2 = -.
Уравнение типа I можно решать и иначе: заменить уравнение I совокупностью уравнений
g(ж) = Л(ж) и /(ж) = 1,
равносильной уравнению I на его ОДЗ.
Пример 25. Решить уравнение
(1^Ж2)О+ж)2 =(1^ж2)(8^2)(ж+2)>
Решение. ОДЗ уравнения состоит из всех таких значений ж, для которых 1 — ж2 > 0, т.е. ОДЗ есть множество всех ж из промежутка — 1 < ж < 1. На этом множестве исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
(2 + ж)2 = (8ж — 2)(ж + 2) и 1 — ж2 = 1.
Решениями этой совокупности являются жх = 4/7, ж2 = 0 и жз = —2. Из этих х множеству —1 < х < 1 принадлежат Ж1 = 4/7 и х^ = 0. Эти значения х и есть решения исходного уравнения.
Ответ. жх = 4/7, х^ = 0.
Рассмотрим уравнение типа II.
Используя свойство 6 равносильности уравнений (см. п. 1.4), получаем, что для любого числа а (а > 0, а ^ 1) уравнение II на его ОДЗ, т.е. на множестве тех ж, для которых одновременно /(ж) > 0 и h(x) > 0 и g(x) имеет смысл, равносильно уравнению
g(O loga /(ж) = g(x) loga Ыр.(15)
Замена уравнения II уравнением (15) также называется логарифмированием уравнения II.
Пример 26. Решить уравнение
(ж2 + Ж + 1)ж2-5ж+6 = (ж + 3)^2-5$+6.
Решение. ОДЗ исходного уравнения состоит из всех ж, одновременно удовлетворяющих условиям
Jж2 4- х 4-1 > 0,
(ж 4 3 > 0,
т.е. ОДЗ есть множество всех х из промежутка —3 < ж < 4оо. Логарифмируя обе части уравнения, например, по основанию 2, получим уравнение
(ж2 — 5ж 4 6) ^2(ж2 4 ж 4 1) = (ж2 — 5ж 4 6) ^2(ж 4- 3), равносильное исходному на его ОДЗ. Полученное уравнение можно переписать в виде ,,
(ж2 - 5ж 4 6)(log2(ж2 4ж + 1) - log2(ж 4- 3)) = 0,откуда следует, что оно равносильно на его ОДЗ совокупности двух уравнений:ж2 — 5ж 4 6 = 0 и ^2(ж2 + ж + 1) — ^2(ж 4 3) = 0.
Первое уравнение имеет два решения Ж1 = 2 и ж2 = 3, входящие в ОДЗ исходного уравнения. Второе уравнение равносильно на ОДЗ уравнению х2 4 ж 4" 1 = ж 4 3,
имеющему два корня ж3 = V2 и Ж4 = V™2, из которых в ОДЗ исходного уравнения входит только жз = V2. Итак, решениями исходного уравнения являются жх = 2, ж2 = 3 и жз = V2.
Ответ, жх = 2, ж2 = 3, жз = V2.
Уравнение типа II можно решать и иначе: заменить уравнение II совокупностью уравнений g($) = Q и
равносильной уравнению II на его ОДЗ.
Пример 27. Решить уравнение
(1 4 ж2 4- совж)^1^2 = (1 4 ж2 4 8шж)^Ьж2.
Решение. Область допустимых значений этого уравнения состоит из всех ж, одновременно удовлетворяющих условиям
+ х2 + cos х > О,
+ ж2 + sin ж > О,
- х2 О,
т.е. ОДЗ есть множество всех х из промежутка — 1 ^ ж ^ 1. На этом множестве исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
у 1 - ж2 = 0 и 1 4 х2 4 cos х = 1 4 х2 + sin х.
Решениями этой совокупности уравнений являются
Ж1 = 1,$2 = и х = ~ + тгп, л Е Z.
4
Из этих х множеству х 1 принадлежат жх = 1, ж2 = ^1, х^ = ™ и
х4 = — —. Они и являются решением исходного уравнения.
4
Ответ, = 1, ж2 = жз = —, Х4 =.
44
.6. Уравнения с параметрами. На вступительных экзаменах довольно часто предлагается решить уравнение с параметром. Это означает, что надо для каждого значения параметра решить соответствующее уравнение.
Пример 28. Для каждого значения параметра а решить уравнение
\/21 | — ж2 = а.
Решение. При а < 0 уравнение, очевидно, решений не имеет. При а = 0 исходное уравнение, очевидно, имеет три корня: жх = 0, ж2 = 2, ж3 = -2.
Пусть а — фиксированное положительное число. Тогда данное уравнение равносильно уравнению
2|ж| — ж2 = а2
или уравнению
|ж|2 - 2|ж| + а2 = 0.(1)
Дискриминант квадратного трехчлена с2 — 2 с 4 а2 равен 4 — 4а2. Поэтому при а > 1 квадратное уравнение
с2 - 2с 4- а2 = 0(2)
не имеет решений, а значит, не имеет решений и уравнение (1).
Если а = 1, то уравнение (2) имеет единственный корень с = 1, и тогда уравнение (1) равносильно уравнению | ж | = 1 и имеет два корня: жх = 1 и ж2 = -1.
Если 0 < а < 1, то уравнение (2) имеет два корня: с i = 1 + уТ^о2 и с2 = 1 — V1 — а?* Следовательно, в этом случае уравнение (1) равносильно совокупности двух уравнений:
|ж| = 1 + \/\ — а2 и |ж| = 1 — \/\ — а2.(3)
Так как числа ci, ^2 неотрицательны, то первое уравнение совокупности уравнений (3) имеет два решения:
ад,2 = ±(1 + Vl - а2)
и второе уравнение — два решения:
Ж3Д = ±(1 — V1 ™•
Ответ. Если а < 0, то решений нет; если а = 0, то три решения: жх = О, Х2 = 2, хз = —2; если 0 < а < 1, то четыре решения: хц2 = = ± (1 + V1 ™ в2), ж3)4 = ± (1 — V1 ™ в2); если а = 1, то два решения: яд = 1, х2 = ^1; если а > 1, то решений нет.
Часто встречаются задачи с параметрами, в которых требуется найти все те значения параметра, при каждом из которых уравнение или имеет решения, или имеет указанное число решений, или имеет решения, удовлетворяющие некоторому условию.
Пример 29. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
5 sin ж + 2 cos х = а
имеет решение.
Решение. Так как V52 + 22 = %/29, то найдется угол ф, для которого 5.25
cos ф = -^=, sin ф = -^=, например ф = arccos -^=. Тогда у29у29у29
sin х + 2 cos х = V29(cos ф sin х + sin ф cos х) = V29 sin(x + ^) и исходное уравнение можно переписать так:
sin(x + ^) =(4)
Уравнение (4) имеет решения тогда и только тогда, когда ^ 1, т.е. когда
-729 < а < 729-29
Ответ. ™V29 а \/29.
Пример 30. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
|1 — ах\ = 1 + (1 — 2а)ж + ах2
имеет один корень.
Решение. Пусть а = 0, тогда исходное уравнение можно переписать в виде
= 1 +
7 М.К. Потапов и др.
откуда ясно, что при а = О исходное уравнение имеет только один корень: хо = 0. Следовательно, а = 0 удовлетворяет условию задачи.
Пусть а ^ 0. Выясним, сколько корней имеет исходное уравнение на каждой из областей 1 ™ ах 0 и 1 — ах < 0. Если 1 — ах 0, то исходное уравнение можно переписать в виде
ах2 + (1 — а)х = 0,(5)
откуда видно, что при а = 1 уравнение (5) имеет только один корень хо = 0, который удовлетворяет условию 1 — ах ^ 0. Следовательно, при а = 1 исходное уравнение имеет в области 1 — ах > 0 только один корень.
Если а ^ 1, то уравнение (5) имеет два корня:
nа - 1
Ж1 = 0 и х2 = ,
" а
первый из которых удовлетворяет условию 1 — ах ^ 0.
Рассмотрим, при каких а второй корень удовлетворяет условию 1 — ах ^
0. Для этого надо решить неравенство 1 — а • -—- + 0. Решение этого а
неравенства есть а + 2.
Следовательно, если а ^ 0, а ^ 1, но а + 2, то в области 1 — ах ^ 0 исходное уравнение имеет два корня. Поэтому все а, такие, что а ^ 0, а ^ 1, а 2, не удовлетворяют условию задачи.
Если же а = 1 или а > 2, то исходное уравнение имеет в области 1 — ах 0 только один корень. Рассмотрим есть ли при этих а корни исходного уравнения, лежащие в области 1 — ах < 0.
Если 1 — ах < 0, то исходное уравнение можно переписать в виде ах2 + (1 — За)х + 2 = 0.(6)
Дискриминант этого уравнения
£> = (1 - За)2 4•2 ■ а = 9а2 14а I 1.
При а > 2 этот дискриминант положителен. Следовательно, уравнение (6) имеет два корня:
За — 1 + VDЗа — 1 — VD
ЯД = И X 2 = •
2а2а
Очевидно, что корень яд удовлетворяет условию 1 — ах < 0. Действительно,
За - 1 + VD 1 ГП
1 — axi = 1- =+ 3(а —< 0,
так как при а > 2 в квадратных скобках стоит положительное число.
Следовательно, при а > 2 исходное уравнение имеет, по крайней мере, два корня и поэтому ни одно а > 2 условию задачи не удовлетворяет.
Если а = 1, то дискриминант уравнения (6) D = —4 < 0, и поэтому в области 1 — ах < 0 исходное уравнение не имеет корней. Следовательно, при а = 1 исходное уравнение имеет только один корень: х = 0.
Итак, условию задачи удовлетворяют только а = 0 и а = 1.
Ответ, а = О, а = 1.
Пример 31. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
log3(9® + 9а3) = х(7)
имеет два решения.
Решение. Пусть а — некоторое фиксированное число. Область допу™ стимых значений данного уравнения состоит из всех чисел х, удовлетворяю™ щих неравенству
9Ж + 9а3 > 0.
Значит, если а ^ 0, то ОДЗ совпадает с множеством всех действительных чисел, если а < 0, то ОДЗ есть множество х > logg(—9a3).
На ОДЗ исходное уравнение равносильно уравнению
9Ж + 9а3 = Зж.
Обозначив Зж через t, получим квадратное уравнение
(8)(8)Г — t + 9а3 = 0.
(8)
(8)
Дискриминант полученного уравнения равен 1 — 36а3. Поэтому если 1 — 36а3 < 0, т.е. если а > 1/^36, то квадратное уравнение (8) не имеет корней. Но тогда не имеет их и исходное уравнение.
Если а = 1/ ^36, то уравнение (8) имеет единственный корень Н = 1/2. Это значит, что исходное уравнение равносильно на своей ОДЗ уравнению
Зж = 1/2, которое имеет единственный корень х = log3 |. Не проверяя,
входит или нет этот корень в ОДЗ исходного уравнения, приходим к выводу, что при а = 1/ ^36 исходное уравнение имеет не более одного корня.
Если а < 1/ ^36, то уравнение (8) имеет два корня:
,1 -- 36а3,1 +“ 36а3
Н и
Значит, в этом случае исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
- 71 - 36а3_ 1 + 71 - 36а3
О — Ио — .У
2
гг / л1- Зба3
При а 0 выполнено неравенство0, и первое уравнение
совокупности (9) решений не имеет. Тогда исходное уравнение равносильно на своей ОДЗ второму уравнению (9), которое имеет единственное решение
.1 + 71-36а3
х = log3. Следовательно, при а 0 исходное уравнение
имеет не более одного решения.
Если а удовлетворяет неравенствам 0 < а < 1/ ^36, то совокупность урав-
„,1 V1 ™ 36а3,1 + V1 ™ 36а3
нении (9) имеет корни жх = log3-и ж 2 = log3-.
В этом случае ОДЗ исходного уравнения совпадает с множеством всех действительных чисел и, значит, исходное уравнение имеет два корня: жх и х^.
Ответ. 0 < а < 1 / ^36.
Пример 32. Найти все значения параметра а, при каждом из которых
уравнениеуравнениеЮж — 15а = 13 ™ 5аж + 2аЮж — 15а = 13 ™ 5аж + 2а
уравнение
уравнение
Юж — 15а = 13 ™ 5аж + 2а
Юж — 15а = 13 ™ 5аж + 2а
имеет корень, который больше 2.
Решение. При любом значении параметра а исходное уравнение равносильно уравнениюо
/ । о а17а+13
ж(а + 2) =.(10)
При а = — 2 уравнение (10) запишется в виде
0 - ж = —0 - ж = —215 ’215 ’
0 - ж = —
0 - ж = —
21
5 ’
21
5 ’
и теперь очевидно, что при а = — 2 исходное уравнение не имеет решений. Следовательно, а = —2 не удовлетворяет условию задачи.
решение:решение:При любом значении параметра а ^ ^2 уравнение (10) имеет одно
решение:
решение:
17а + 13
5(а + 2) '
Следовательно, условию задачи удовлетворяют те и только те а (а ^ ^2), которые являются решениями неравенства
17“ + 13 > 2.(11)
5(а + 2)
Неравенство (11) равносильно неравенству
17а + 13 2
5(а + 2)
которое можно переписать в виде
- •> о.
5 « + 2
Решая неравенство (12), получаем, что множеством его решений являются два промежутка а < -2 иа > 1.
Следовательно, условию задачи удовлетворяют только а из этих двух промежутков.
Ответ, а > 1, а < —2.
Упражнения
Решить уравнение.
1) |2ж - 3| = 3 - 2ж. 2) 4 - 5ж = |5ж - 4|.
|5ж 18|111 5ж| = 7. 4) 116 - 9ж||9ж 5| = 11.
ж2 — 4ж + |® — 3| + 3 = 0. 6) ж2 + 6® + |® + 2| + 8 = 0.
ж2 - 6|ж - 2| - 8® + 11 = 0. 8) (®2 - ж)2 - |ж2 - ж| - 6 = 0.
|ж2 - 3| + |ж2 - 1| = 2. 10) ж2 + 13 - 2Уж2 + 11 = 26.
ж2 — ж — 3 + V®2 — ж — 1 = 4.
2ж2 + 3|ж| + У2ж2 + 3|ж| + 9 = 33.
жУЗбж + 1261 = 18ж2 - 17®.
Ж + V1 + Ж2 Ж — V1 + Ж2
V® + 3 — 4Vж —^ + У® + 8 — 6 Уж —^ = 1
У®П + УТ^ж = 2. 17) ^7®^+ Уж^2 = У2ж - 3.
У(8 —ж)2 + У(ж + 27)2 = У(8-®)(® + 27).
Зл/iogT® - log3(3®) -1 = 0.
5yiog2 ж - log2(4®) -4 = 0.
(log2 ж)2 = 2 (1 + Уз) log2 Уж.
2 log9(3x — 1) = log3 V^ + 3.
1 + lg(l + ж2 - 2x) - lg(l + x2) = 2 lg( 1 - x\
21g 0 + 0 = lg(l - x) + 1g 0 - 0 + 1g 2.
log2(l x2) + hg2(^4 - 1) = 0. 26) log2 f-) = 1.
\ | ж — 1J — 1 /
log3 (—^—) = 0. 28)log5(|® - 3| - 2) = -1.
4/1 V
-(log3(5® - 6)3)2 - (log3(5$ - 6)3) log3 ж6 = -6 (log3 - ) .
3\x /
-(log6(4® - 5)3)2 = (logв(4ж - 5)3) loge ж2 - 2 6og6 -) .
9\ x J
log9(®2 - 5® + 6)2 = 2 1 log^ 4—*- + log3 |ж - 3|.
2log3 — - 1£?з(уМ = 2. 33) 21g® = _ lg ж +2—
27 log5 ^/x1g ж — 11g ж ™ 1
6M^-Hlog32-2 = 2 + log32 ж
1оё32 ж ™ 2
x2 log6— x log1/6(5x2 — 2x — 3) = x2 + ^x.
x2 log2x2 log1/2(2 + Зж) = x2 - 4 + 2 log^ ± ——™
2У7 _ 21™^ = x_ 38) 5|4^-6| = 253$-4
25|1™2ж| = 54-6rc. 40) 38ж™2 = д|3ж™у
g^^1/2 — 9Ж = з2х 2 —- 5Ж™1//2
ДЭ^ 92^+5 _ дж+9/2 _ ^ж + 7/2 _ д$+4
4log9 ж — 6 • 2log9 ж + 2log3 27 = 0.
9 • 41/ж + 5 • 61/ж = 4 • 91/ж. 45) 5 • 251/ж + 3 • 101/ж = 2 • 41/ж.
log6(5 + 6-ж) = ® + 1.
S^c • 4Ж + 5 • г®*1 + 2^® = 22ж+2 + ^V® • 2Ж + 4.
ж2 • 2ж+1 + 2^+31+2 = ж2 • 2|ж-31+4 + 2Ж-1.
logg^ — 1) • log3(3z+1 — 3) = 6.
log3(4 • Зж-1 — 1) = 2® — 1. 51) sin® • sin3® + cos4® = 0.
- — x/7Г \/7Г \
cos ж+ sin ж+ cos 2x = 1.
\6/\3/
8 sin2 x — 7 cos2 x = 8. 54) sin Зж + sin 5ж = sin 4x.
55) sin 7x — sin 3x = sin 2ж.55) sin 7x — sin 3x = sin 2ж.57) cos 5x + cos 7ж = cos x.57) cos 5x + cos 7ж = cos x.58) cos 3x — sin 2x — cos x = 0.58) cos 3x — sin 2x — cos x = 0.59) cos59) cos2тг32тг3+ cos X+ cos X66cos x + sincos x + sin+ 1 = 73(1 + 2 cos x).+ 1 = 73(1 + 2 cos x).A/ X7Г2 cos —I— —2 cos\38/\612A/ X7Г2 cos —I— —2 cos\38/\612+ 3 sin+ 3 sin62) sin4 x + 5 cos 2ж + 4 = 0.62) sin4 x + 5 cos 2ж + 4 = 0.63) 4 sin x + V3 sin 2ж = 2 cos 2ж sin x.63) 4 sin x + V3 sin 2ж = 2 cos 2ж sin x.2 sin2 ( 5ж+ ” |= 1 + sin(3 + 2ж) + 2 sin2 ( 4x —~ )cos ( 6ж +-\4/\2/\22 sin2 ( 5ж+ ” |= 1 + sin(3 + 2ж) + 2 sin2 ( 4x —~ )cos ( 6ж +-\4/\2/\22 tg2 x + 4 cos2 x = 7.cos(3 + 2ж) + sin 9x = 2 sin2 ( - + — ) — 2 cos2 ( - — 5ж ). \42 /\2/9 ctg2 x + 4 sin2 x = 6. 68) 8 sin4 x — 13 cos 2ж = 7.sin2 6x + 5 sin2 Зж = 2. 70) 2 cos4 x + 1 = 3 cos 2x.sin8 x ™ cos8 x = i cos2 2x ™ cos 2x. 72) cos6 x ™ sin6 x = — cos2 2x.228sin3 x + cos3 x = 1 + - cos ( 2x + — ).2\2 /tg 2x — 4 sin x cos x = 4 sin2 x.4 sin2 x + 2л/3 sin 2x 4—= 5.tg 2x2\• 217ж . 5ж ж \+ tg 2x) I sin —x cos4 sin — cos — 1 =\4444/( . x 5ж . 7ж 21 )1= I sin — cossin — cos — x 1 •.\4444 / cos2 2ж2 tg2 x + 4 cos2 x = 7.cos(3 + 2ж) + sin 9x = 2 sin2 ( - + — ) — 2 cos2 ( - — 5ж ). \42 /\2/9 ctg2 x + 4 sin2 x = 6. 68) 8 sin4 x — 13 cos 2ж = 7.sin2 6x + 5 sin2 Зж = 2. 70) 2 cos4 x + 1 = 3 cos 2x.sin8 x ™ cos8 x = i cos2 2x ™ cos 2x. 72) cos6 x ™ sin6 x = — cos2 2x.228sin3 x + cos3 x = 1 + - cos ( 2x + — ).2\2 /tg 2x — 4 sin x cos x = 4 sin2 x.4 sin2 x + 2л/3 sin 2x 4—= 5.tg 2x2\• 217ж . 5ж ж \+ tg 2x) I sin —x cos4 sin — cos — 1 =\4444/( . x 5ж . 7ж 21 )1= I sin — cossin — cos — x 1 •.\4444 / cos2 2ж. 9. x Зжsin" 5ж sin "x cos x ™ sin - cos — \22. 9. x Зжsin" 5ж sin "x cos x ™ sin - cos — \22/ . 3 x= sin - X cos —V 22/ . 3 x= sin - X cos —V 22+ sin x cos 7x+ sin x cos 7x(1 + ctg2 5ж).(1 + ctg2 5ж).56) cos ж — 2 cos 3x + cos 5ж = 0.
55) sin 7x — sin 3x = sin 2ж.
55) sin 7x — sin 3x = sin 2ж.
57) cos 5x + cos 7ж = cos x.
57) cos 5x + cos 7ж = cos x.
58) cos 3x — sin 2x — cos x = 0.
58) cos 3x — sin 2x — cos x = 0.
59) cos
59) cos
2тг
3
2тг
3
+ cos X
+ cos X
6
6
cos x + sin
cos x + sin
+ 1 = 73(1 + 2 cos x).
+ 1 = 73(1 + 2 cos x).
A/ X7Г
2 cos —I— —2 cos
\38/\612
A/ X7Г
2 cos —I— —2 cos
\38/\612
+ 3 sin
+ 3 sin
62) sin4 x + 5 cos 2ж + 4 = 0.
62) sin4 x + 5 cos 2ж + 4 = 0.
63) 4 sin x + V3 sin 2ж = 2 cos 2ж sin x.
63) 4 sin x + V3 sin 2ж = 2 cos 2ж sin x.
2 sin2 ( 5ж+ ” |= 1 + sin(3 + 2ж) + 2 sin2 ( 4x —~ )cos ( 6ж +-
\4/\2/\2
2 sin2 ( 5ж+ ” |= 1 + sin(3 + 2ж) + 2 sin2 ( 4x —~ )cos ( 6ж +-
\4/\2/\2
2 tg2 x + 4 cos2 x = 7.
cos(3 + 2ж) + sin 9x = 2 sin2 ( - + — ) — 2 cos2 ( - — 5ж ). \42 /\2/
9 ctg2 x + 4 sin2 x = 6. 68) 8 sin4 x — 13 cos 2ж = 7.
sin2 6x + 5 sin2 Зж = 2. 70) 2 cos4 x + 1 = 3 cos 2x.
sin8 x ™ cos8 x = i cos2 2x ™ cos 2x. 72) cos6 x ™ sin6 x = — cos2 2x.
228
sin3 x + cos3 x = 1 + - cos ( 2x + — ).
2\2 /
tg 2x — 4 sin x cos x = 4 sin2 x.
4 sin2 x + 2л/3 sin 2x 4—= 5.
tg 2x
2\• 217ж . 5ж ж \
+ tg 2x) I sin —x cos4 sin — cos — 1 =
\4444/
( . x 5ж . 7ж 21 )1
= I sin — cossin — cos — x 1 •.
\4444 / cos2 2ж
2 tg2 x + 4 cos2 x = 7.
cos(3 + 2ж) + sin 9x = 2 sin2 ( - + — ) — 2 cos2 ( - — 5ж ). \42 /\2/
9 ctg2 x + 4 sin2 x = 6. 68) 8 sin4 x — 13 cos 2ж = 7.
sin2 6x + 5 sin2 Зж = 2. 70) 2 cos4 x + 1 = 3 cos 2x.
sin8 x ™ cos8 x = i cos2 2x ™ cos 2x. 72) cos6 x ™ sin6 x = — cos2 2x.
228
sin3 x + cos3 x = 1 + - cos ( 2x + — ).
2\2 /
tg 2x — 4 sin x cos x = 4 sin2 x.
4 sin2 x + 2л/3 sin 2x 4—= 5.
tg 2x
2\• 217ж . 5ж ж \
+ tg 2x) I sin —x cos4 sin — cos — 1 =
\4444/
( . x 5ж . 7ж 21 )1
= I sin — cossin — cos — x 1 •.
\4444 / cos2 2ж
. 9. x Зж
sin" 5ж sin "x cos x ™ sin - cos — \22
. 9. x Зж
sin" 5ж sin "x cos x ™ sin - cos — \22
/ . 3 x
= sin - X cos —
V 22
/ . 3 x
= sin - X cos —
V 22
+ sin x cos 7x
+ sin x cos 7x
(1 + ctg2 5ж).
(1 + ctg2 5ж).
78) (1 + ctg2 ж) ( sin -х cos 2х — sin - cos — =\244 // . 9 х .3= sin -х cos —4 sin 2x cos -x78) (1 + ctg2 ж) ( sin -х cos 2х — sin - cos — =\244 // . 9 х .3= sin -х cos —4 sin 2x cos -x79) V3tg2ir -3tg 2ж79) V3tg2ir -3tg 2ж\4= 0. 80) 2COS 2ж2.2COS2ж\4= 0. 80) 2COS 2ж2.2COS2ж44221 sin21 sin2= 0.= 0.81) 2В‘п2ж81) 2В‘п2ж112.2sin 2ж2.2sin 2ж= 0.= 0.
78) (1 + ctg2 ж) ( sin -х cos 2х — sin - cos — =
\244 /
/ . 9 х .3
= sin -х cos —4 sin 2x cos -x
78) (1 + ctg2 ж) ( sin -х cos 2х — sin - cos — =
\244 /
/ . 9 х .3
= sin -х cos —4 sin 2x cos -x
79) V3tg2ir -
3tg 2ж
79) V3tg2ir -
3tg 2ж
\4
= 0. 80) 2COS 2ж
2.2COS2ж
\4
= 0. 80) 2COS 2ж
2.2COS2ж
4
4
2
2
1 sin2
1 sin2
= 0.
= 0.
81) 2В‘п2ж
81) 2В‘п2ж
1
1
2.2sin 2ж
2.2sin 2ж
= 0.
= 0.
51/2 I 51/2+log5sin ж = i5V2+iog15 cos ж
3™1/2б-1/2+1оёб sin ж = 2”1/2+1°S2 cos ж
§4^ 2g1/2+log6 sin ж _____ 21/2+log2 cos x
| tg x | = tg x. 86) | cos x | = cos x — 2 sin x.
COS X
| ctg x| = ctg x 4. 88) 1 + 21 cos x| sin x = 0. sin x
89) 41 sin x\ + 2 cos 2x = 3.89) 41 sin x\ + 2 cos 2x = 3.
89) 41 sin x\ + 2 cos 2x = 3.
89) 41 sin x\ + 2 cos 2x = 3.
i/37 ™ 48 ctg x = 8 ctg x ™ 5. 94) ^/13 — 18tgx = 6 tg x — 3.
V5 - 2 sin x = 6 sin x ™ 1. 96) ^10 — 18 cos x = 6 cos x — 2.
/3 + 4^6 - (16V3 - 8^2) cos x = 4 cos x — V^.
^9 - 4/3 - (16 - 8/3) sin x = 4 sin x — 3.
^9 - 6^2 - (12 - 8^2) cos ж + 2V2 = 2V2cos$ + l.
^2 +V6- (6V2-2V3)sin x = 2 sin x ™ V2.
2 sin x — ^3 = (V2 — 4/I2) Vsin x.
^3tgx — 1 = (^3 — 1) ytg x.
^8 cos ж — 1 = (V2 — ^^) У cos x.
tg x — ^3 = (™ 1) Vtg x. 105) -^2 ™ 3 cos 2x = Vsin x.
^/1 + 4 cos 2x =™ 4 cos x. 107) ^/3 + 4 cos 2x = -^2 cos x.
V1 ™ 4 sin x = V^ ™ 4 cos 2x. 109) V^ sin x + cos 2x + 2 cos x = 0.
л/2 cos x sin 2x = V^ sin x P 4 sin 2x.
у 5cosх — cos2 ж + 2sinx = 0.
у 2 sin x sin 2ж =5 cos x У 4 sin 2x.
cos —Mg 2x —_2cos —Mg 2x —_2logs ( cos - + 3 tg x - -—- ) = log1/6
cos —Mg 2x —
_2
cos —Mg 2x —
_2
Найти все корни уравнения 2|ж2 + 2х — 5| = х — 1, удовлетворяющие неравенству х < V2.
Найти все корни уравнения 1 + х + |х2 — х — 3| = 0, удовлетворяющие неравенству х + V14/3 > 0.
Найти все корни уравнения |х2 + 2ж — 4| + 2х — 6 = 0, удовлетворяющие неравенству х + V18 < 1.
Найти все решения уравнения 2 + sin 12 ж — 2 cos Sx = 0, принадлежащие отрезку [™тг/6, тг/6].
Найти все корни уравнения 2 — cos 9х+2 cos 6х = 0, принадлежащие отрезку [™7тг/18,тг/18].
Найти все корни уравнения 4cos2$ у 4COS ж = 3, принадлежащие отрезку
cos2 ж
Найти все корни уравнения 9sin ж 3 • I - )= 6, принадлежащие
V з /
отрезку [—2, — 3/2].
2V3—, принадлежащие2V3—, принадлежащиеНайти все корни уравнения sin х cos — + cos х sin — = ^ 7 принадлежащие отрезку [Мтг/2, тг].
2
V3
—, принадлежащие
2
V3
—, принадлежащие
Найти все корни уравнения cos х cos — + sin х sin — = 55
1—, принадлежащие 21—, принадлежащие 2отрезку [—тт/4, 9тг/4].
1
—, принадлежащие 2
1
—, принадлежащие 2
Найти все корни уравнения sin х cos — — cos х sin — = 77
отрезку [—тг, Зтг/2].
Найти все решения уравнения cos х cos — — sin х sin — = — -, удовлетво- 882
ряющие условию —тг у х тг. 2
Найти все решения уравнения cos х cos ™ + sin х sin — = - 7 удовлетворяю-
772
щие условию ™тг/2 ^ х ^ 2тг.
Найти все решения уравнения cos 7х — -^3 sin 7х = — V2, удовлетворяющие условию 0,4тг < х < 6тг/7.
Найти все решения уравнения V2 cos 8ж + V2 sin 8ж = — 1, удовлетворяющие условию Зтг/8 < х < 0,7тг.
Найти все решения уравнения д/З cos 7ж + sin 7х = — V2, удовлетворяющие условию 5тг/7 < х < 1,1тг.
Найти все решения уравнения V2cos8x — V2sin8x = — Уз, удовлетворяющие условию 0,6тг < х < 7тг/8.
Найти все решения уравнения | cos х\ + sin(2x + 3) = 0, удовлетворяющие условию |ж| Зтг/2.
Найти все решения уравнения | cos(2x — 3)| = sin ж, удовлетворяющие условию |ж| 2тг.
Найти все решения уравнения | sin ж| + соз(2ж + 1) = 0, удовлетворяющие условию |ж| Зтг/2.
Найти все решения уравнения log2 | tg х\ + log48£^Ц— = д, удовле-
2 cos х + sin х
творяющие условию 9/4 ^ х ^ 3.
Найти все решения уравнения 21og5 | ctgж| — log1 /5 —: = 0,
5 sin х — 4 cos х
удовлетворяющие условию 3,3 ^ х ^ 4.
Найти все решения уравнения 1 — 5 sin х + 2 cos2 х = 0, удовлетворяющие условию cos х ^ 0.
Найти все решения уравнения 8 sin х + 5 = 2соз2ж, удовлетворяющие условию cos х 0.
Найти все решения уравнения 4 — 5 cos х — 2 sin2 х = 0, удовлетворяющие условию sin х 0.
Найти все решения уравнения 2соз2ж — 4 cos х = 1, удовлетворяющие условию sin х ^ 0.
Найти все решения уравнения 2 — д/З cos 2ж + sin 2ж = 4 cos2 Зж, удовлетворяющие условию cos { 2 ж — — ] > 0.
у 4 /
Найти все решения уравнения
/з7г\/ 97г\/зтгА. /бтгЗж
cos - х 4— + cos - х 4— = 2 sin - хsin у 23/у 26/\28/\ 82
удовлетворяющие условию sin ™х < 0.
2
3 г™ 39 ж
Найти все решения уравнения 2 + cos 2 $ + V 3 sin - х = 4 sin" —, удовле- 224
творяющие условию sin ( - + — ) > 0. у 24 /
Найти все решения уравнения
./ 7ГЖ \/ 7ГЗЖ \( X7Г \( X7Г \
sin+ sin1= 2v 2 coscos —|,
\42/\42 /\24/\24/
удовлетворяющие условию cos I — 4- — 1 < 0.
Решить уравнение.
—| sin х\ = 0. 149) (х — 2)1 cos х| = cos х.
(х - 4)2
( х 4— 1 | sin^l + 8шж = 0. 151) у 9 — ж2 (2 sin 2тпт + 5 cos тгх) = 0.
V25 — 4ж2(3 sin 2тгж + 8 cos тле) = 0.
V49 — 4ж2 ( sin тех + 3 cos — х ) = 0.
sin2a? _sin ж .
= cos ж. 155) = 1 — cos ж,
+ sin ж1 + cos ж
Зш2ж1 — СО8Ж
= 2 sin ж. 157) = 2.
1 — COS Ж/ 7Г + Ж \
cos
V 2 /
1 + 2 sin2 ж — 3V2 sin ж + sin 2ж
2 sin ж cos ж — 1
cos ж I 3 V2 — 2 cos ж ] — 2 sin ж cos ж — 1
= -1.
sin 2ж — 1
2 sin2 ж + 3 V2 sin ж — sin 2ж + 1
ж2(ж I)28(жI)2 + ж2 = 0.
ж(5 — х^х^х + 1) + 5 — ж) = Цх + 1).
(ж2 — 6ж — 9)2 = ж(ж2 — 4х — 9). 192) ж4 =—-
'6ж — 1
ж2 + 4ж + 6 । ж2 + 6ж + 12ж + 2ж + 3ж2 + 4ж + 6 । ж2 + 6ж + 12ж + 2ж + 3ж2 + 2ж + 2 ж2 + 8ж + 20
ж2 + 4ж + 6 । ж2 + 6ж + 12
ж + 2ж + 3
ж2 + 4ж + 6 । ж2 + 6ж + 12
ж + 2ж + 3
ж + 1ж + 4
^- + ^ = 10^-1). 195) ^32^±^ =^.
3 ж2 \3 ж/ж2 — 6ж + 15 ж2 — 8ж + 15
\/х — 2 + V^ + 1 = 3. 197) (V1 + ^ + 1) (\Л + х + 2ж + 5) = х.
Vx2 + Зж + 9 Vx2 + Зж + 4 = 1. 199) Зж”2 + 5Ж™2 = 34.
logg ж + (ж — 1) log2 х = 6 — 2ж. 201) ^ж — 2 + ^4 — ж = 2.
sin ж = ж2 + ж + 1. 203) 2 sin ж = 5ж2 + 2ж + 3.
2cos2 —— = 2“ + 2"Z 205)Z1 + / sin:c = 2
6V sin ж V ж2 ™ ж ™ 22
sin8 ж + cos8 ж = 1. 207) cos9 ж + sin4 ж = 1.
sin6 ж + cos10 ж = 1. 209) sin41 ж + cos70 ж = 1.
Vsin 4ж + Vcos 4ж = 1. 211) Vsin5 ж + Vcos5 ж = ^2.
sin ж + sin 9ж = 2. 213) cos ж — cos - = 2. 2
cos тгж = ж2 — 4ж + 5. 215) log2 ж = 3 ж. 216) log1/3 ж = ж — 4.
Q^ = ж + 4. 218) V® + V^x + V®2 - Зх = V2. ж2 5о
—= х - 2 cos(7® + 3). 220) 8 - ж • 2* + 23~т - х = 0.
(4ж — ж2 — 3) log2(cos2 ivx + 1) = 1.
2-^’-2' log2(4« -1B2 - 2) = 1.
ЗтгЗтгlog1/3(3 + | sin3 ж|) = 2|J=3I _ 2.
Зтг
Зтг
= Sill ж.= Sill ж.22log2(3 - | sin®|) = t 225) log3 . 2тгlog6 И +logw 5
= Sill ж.
= Sill ж.
2
2
sin = .
227) log3 ^4 -227) log3 ^4 -ж2 + 6ж + 132^2
227) log3 ^4 -
227) log3 ^4 -
cos — ^ = дшж. 228) |2ж — V1 ™ 4ж21 = ^2(8ж2 — 1).
^-^ЗТЦАр = x _ 8ж2. 230) |ж + ^1_ж2| = у2(2ж2 - 1).
1о82/С^^(ж2 + 4ж - 2) = 1о61/(2-^)(ж2 + 4® - 3)-
232^ log2C2w4;r2 + 2ж - 2) = log2+V3(>r2 + 2® - 3).
log2/C^V5(®2 - 4ж - 4 = loSi/(2- V3)(®2 - 4ж - 3).
log,., 3 = 2. 235) 1оёх.+2 3 = 2. 236) 1о8ж+1 (ж2 - Зж + 1) = 1.
237) log,(2®2 - 3® - 4) = 2. 238) log, — = -1.
6 — 5ж
log,2 ——2 =240) (logsin, cos®)2 = 1.
— 2|2
log1/(8cos2 $) sin® = |. 242) log,+1(®2 + ® - 6)2 = 4.
log(,_6)2(®2 - 5® + 9) = |.
log(,_2)2 (4 - 4® + ®2) = 2 + log(,_2)2 (® + 5)2.
log1-2,(6®2 - 5® + 1) - log1_3,(4®2 — 4® + 1) = 2.
log5,2i(10®2 - 7® + I)4 = 2 + log2,+1(25®2 - 10® + 1).
247) log3_4,2(9 — 16®4) = 2 +247) log3_4,2(9 — 16®4) = 2 +248) log2,2_1 (®2248) log2,2_1 (®21log2(3 - 4®2)
247) log3_4,2(9 — 16®4) = 2 +
247) log3_4,2(9 — 16®4) = 2 +
248) log2,2_1 (®2
248) log2,2_1 (®2
1log3(2®2 - 1)
log2_2,2 (2 - ®2 - ®4) = 2 - -.
®§4/з(2 - 2®2)
log3,+7(9 + 12® + 4®2) + log2,+3(6®2 + 23® + 21) = 4.
log1_2,(6®2 - 5® + 1) - log1_3,(4®2 - 4® + 1) = 2.
253) 31og8(® + 1) = 8 + 31og,+1 8.11253) 31og8(® + 1) = 8 + 31og,+1 8.112 log4 (3® - 2) + 2 log3,_2 4=5.
253) 31og8(® + 1) = 8 + 31og,+1 8.
11
253) 31og8(® + 1) = 8 + 31og,+1 8.
11
1/
254) 3 += log,,. —
logs?)®/2)\ 4
255)255)1logn(®/3)1logn(®/3)- з = log,/3- з = log,/3256) log2,256) log2,logse)2®)logse)2®)
255)
255)
1
logn(®/3)
1
logn(®/3)
- з = log,/3
- з = log,/3
256) log2,
256) log2,
logse)2®)
logse)2®)
257) Vlog, V7® • log7 ® = -1.257) Vlog, V7® • log7 ® = -1.258) л/log, 5® • log6 ® = - V2.258) л/log, 5® • log6 ® = - V2.
257) Vlog, V7® • log7 ® = -1.
257) Vlog, V7® • log7 ® = -1.
258) л/log, 5® • log6 ® = - V2.
258) л/log, 5® • log6 ® = - V2.
259) log, 2® = ^log, 2®=. 260) log,[log2(4^ - 6)] = 1.
2 log, 3 + log3, 3 + 3 log9, 3 = 0.
(log^ ® + 2) log16, 4 = log, 4 • log4
log^(® + I® - 2|) = log,(5® - 6 + 5|® - 2|).
logV2^zT(2® - 3) = 21og8 4 + log2 -^.
265) (log, 2)(log2, 2)(log2 4®) = 1. 266) log,/2 8 + log,/4 8 = ^-log2 X2 ™ 4(log3 ®)| log, 3 - log2 3| = log, 3® - log2 9 + log3 ® • log2 3.265) (log, 2)(log2, 2)(log2 4®) = 1. 266) log,/2 8 + log,/4 8 = ^-log2 X2 ™ 4(log3 ®)| log, 3 - log2 3| = log, 3® - log2 9 + log3 ® • log2 3.log1/2 x + log^ Qlog1/2 x + log^ Q- - log1/2 X- - log1/2 X2 1O&2 1O&12'12'
265) (log, 2)(log2, 2)(log2 4®) = 1. 266) log,/2 8 + log,/4 8 = ^-
log2 X2 ™ 4
(log3 ®)| log, 3 - log2 3| = log, 3® - log2 9 + log3 ® • log2 3.
265) (log, 2)(log2, 2)(log2 4®) = 1. 266) log,/2 8 + log,/4 8 = ^-
log2 X2 ™ 4
(log3 ®)| log, 3 - log2 3| = log, 3® - log2 9 + log3 ® • log2 3.
log1/2 x + log^ Q
log1/2 x + log^ Q
- - log1/2 X
- - log1/2 X
2 1O&
2 1O&
1
2'
1
2'
269) 2 log,_2 73 + (® - 4)4 log3(® - 2) = (® - 4)2 log,_2 3 + 2 log3 V® - 2.
(ж - З)2 log2(ж - 1) + 2 log,., V2 = (х - З)2 log^ 2 + 2 log2 V^I.
21og3(® - 2)2 + (ж - 5)2 loga:_2 3 = 21с^ж_2 9 + (ж - 5)2 log3(® - 2).
272)
273)
274)
1
V2x - 11
V4x - 31
V2^3
= (2ж
= (4x — Зу°ё1/9(2 + 5ж™ж2)
= (2x
275) |ж + Ip2
ж2-18ж + 56
I1ж2 —7ж + Ю
= 1. 276) |1оёж/2 2|= 1.
277) log2™
6
= 1. 278)= 4.
279) ®2-lg2 x-lg3;2 - | = 0. 280) ж ^ = (V^T-
tx^2-3"2 = 1. 282) (ж2 + ж + ф2-^/2 = 1.
|ж — l|lg211-181:2 = |ж — 1|3. 284) (1 + ж2)21е+3 = (1 + ж2)4*-3.
231sin2 ж
,.Sin Ж81ПЖ-|—1
| cos х\ 22 = 1. 286)= (1 — ж2) sin$ + 1.
cos2 ж
(4 -ж2) 1 + СО8Ж =, 288) (sin^)^2"^ = (со8ж)ж2”\
л/4 — х2
289)^lgsinx = 1. 290) х2sin®”cos2 = 1/x.
/ Ч \ Iж + 71/9\|ж2—Зж + 2|
291)(8тж)-8т1:-1 = с182ж. 292) (-)= (")
293) IS11 - 2 • 3-^|i°g4(^+2)-iog2S = L 294) (tg$)cos21c = (с1ёж)81пж
(sin x + cos^)™13$ = (sinx + cosx)5”x\
(cos^)sina; = (8шж)СО5Ж.
297)
^ж2 + Зж-10 cos(-)+2-= 1.
24соз(ж/2)
298)
299)
ctg(l)
2ctg(ж/2)
-у/8 ж — ж2 —б
= 1.
10 sin (—64^
sin(a?/2)
300) (1 + x + x2 + sin х)2ж 1 =
^ж2 — 12ж + 6
= 1.
(1 + x + x2 + sin x)2 ж.
Для каждого значения параметра а решить уравнение.
х — 1 = а + 2х + 3. 302) ах = 1. 303) ах = х + 2.
3 04) (а — 1)х + 2 = а + 1. 3 05) а2х = х + 1 + а. 306) (2х — I)2 = а.
ах2 = 1 — а. 308) ах2 — х + 3 = 0. 309) \х — 2| = а.
|х — а\ = а. 311) \х ™ а\ = х — 2. 312) |х ™ а\ = х — а.
\ах — 1| = ах — 1. 314) а — |х| = 1 — а2х.
(ж I)2 + (ж af = 0. 316)= 2а + 3. 317) у^П+П = 2.
Vх У а = а- 319) log2 ж = 2 — а. 320) ^3(аж) = 2.
321)22ж1 = 2а + 3. 322) 3 sin ж = 4a™ 7.
2 cos (^ж + — ^ = a2 — 3a. 324) sin2 ж = a — 4.
tg(2ж — 5) + a2 = 1 — 3a. 326) actg(ж — 7) = 2 + a.
(a2 — 1) tg я = a — 1. 328)—^—= 3. 329) Г±Г = 0.
a — 2xx + 2
Л±Л_ = о. 331) +Д“+±^±Д = о.
x — 2a'x + 3a
2ж2 - (a - 1)ж + a + 1 = 0. 333) аж2 + 2ж + 1 = 0.
(а + 1)ж + 2(а + 1)ж + а — 2 = 0.
(1 + а2)ж2 + 2(ж а)(1 + аж) + 1 = 0.
ж|ж + 1| = а. 337) |ж + а\ ™ |2ж — а, + 21 = а.
|ж — а| + |ж + а + 1| = 3. 339) ж + V1 ~ ж2 = от
Vж2 — 1 + ж = а. 341) ж 4; Ж = а.
\/ж2 ™ 1
аж4 — ж3 + а2ж — а = 0. 343) (аж — I)3 + (а + 1)3ж2 = 0.
ж4 + ж3 За2ж2 2а2ж + 2а4 = 0.
4а3ж4 + 4а2ж2 + 32ж + а + 8 = 0 (а 0).
^log^ аж loga ж = — V2 (а > 0, а ф 1).
(lg sin ж)2 — 2а lg sin ж — а2 + 2 = 0.
(loga sin ж)2 + loga sin ж — а = 0 (а > 0, а ф 1).
[1 + (а + 2)2] 1о6з(2я - я2) + [1 + (За - I)2] logll (1 - у) =
= 1о8з(2я-я2)+1о811)1-
[1 + (а - I)2] 1о§6(4я - 4я2) + [1 + (4а + З)2] log5(l - Зя2) =
= log6(4$ - 4я2) + log6(l - Зя2).
Для каждого значения параметра а определить число решений уравнения.
|2ж — 3| = а. 352) |ж + 1| = ж — а (а—1).
|я — 2| = ая. 354)|я-4| = -. 355) V® = $ + а.
X
V1 ж2 = |аж|. 357) Vх ™ 1 =ах- 358)ж4 —2ж2 +1= а.
|ж2 — 2ж — 3| = а. 360) VaT^a= 3 — ж.361)||2ж|—6|=ж + а.
у/а2 ™ ж2 = 1 — ж. 363) х/ах =1 + ж.
ж4 + (1 — 2а)ж2 + а2 — 1. 365)Vх ™ Vх™ а = а-
—— + -2— = 1. 367) log2 я4 + loga я2 = 1.
х — а ж + а
11—ж2 — 4ж + а.—ж2 — 4ж + а.193
1
1
—ж2 — 4ж + а.
—ж2 — 4ж + а.
22я 43 = а - 3. 369) я2 - -я - 1
2
2
loga я + ja + loga я| log^ а = a log^ а.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение.
а^х - 1) = \х\. 372) ||т| - 1| = ™|а - х\ + 1.
4 sin х + 9 cos х = а. 374) V? — ж + х, х — 3 = а.
^2ж + а = х. 376) а^1 + х + - ^1 + х = ^х.
81|ж+11 - 2 ■ 91ж+11 + а = 0. 378) 1оёж2^х(т + а) = 1.
log100 ж2 = log^ 10- (lg 10а - |tg 11).
[1 + (За - 2)2] log3(—4ж - 4ж2) + [1 + (а + I)2] log7(l - 2ж2) =
= log3(—4т — 4т2) + log7(l — 2т2).
Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 6 — За + 4ах = 4а + 12т имеет корень, меньший 1.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 14т + 8а = 8 + 2ат + За имеет корень, больший 1.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение т2 — 4ах + 4а2 + За + 1 = 0 не имеет решений.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение т2 — 4ах + 4а2 + а + 3 = 0 не имеет решений.
Найти все целые значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет решения. Найти все эти решения.
5 — 4 sin2 т — 8 cos2 - = За. 386) 2 — 2 cos 2т = За + 4 sin х.
2 sin2 х + 6 cos2 - = 5 — 2а. 388) 2 — 8 sin - cos - — 2 cos 2т = 4а. '222
Найти все значения параметра а из интервала (2,5), при каждом из которых существует хотя бы одно число т из отрезка [2,3], удовлетворяющее уравнению
log2(3 — | sin ат |) = cos [ тгт \6
Найти все значения параметра а из интервала (5,16), при каждом из которых существует хотя бы одно число х из отрезка [1,2], удовлетворяющее уравнению
131312 / axЗтг
1
3
1
3
1 — cos1
\ 28
Найти все значения параметра а из интервала (2,7), при каждом из которых существует хотя бы одно число х из отрезка [1,2], удовлетворяющее уравнению
1 I i • 2 / тг5тг
logo 1 + sin —x H
\\212
Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет единственное решение.
(ж — 2)а = |ж|. 393)— а = 2 — ж. 394) л/ах = ж 4- 2.
|а + ж| = 1 + -х. 396) (3 + 2а — а2)л/х = а — 3. '4
1 - ||ж| - 1| = |а - ж| + 1. 398) V^ - 2) + 1 = 1 - 2С
( ii£ ) + 2а • ii£ + 1 = 0. 400) 144|1:| - 2 • 12^ + а = 0.
log1/2 (4“ •= 0. 402) ж2 ++ Г1_ + 36 = 0.
\ х + 1 /Vsina cos а
ж2 + -Г- + -2— + 2^2 = 0. 404) ж2 - Г==2^2 = 0.
Vsina cos ауИпа cos а
ж2 + —+ 12^3 = 0. 406) ж|ж + 2а| + 1 - а = 0. Vsina cos а'
|ж + 2| — |ж — 2| = -х + а. 408) |1 — аж| = 1 + (1 — 2а)ж + аж2.
|(а + 1)ж — 2| = (1 + а)ж2 — 2аж + 2. 410) ^(аж) = 2^(ж + 1).
Для каждого значения параметра а найти все значения ж, удовлетворяющие уравнению, и найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет только один корень.
(ж — 3)(ж + 1) + 3(ж — 3)./———— = (а - 1)(а + 2).
V ж — 3
(ж — 2)(ж — 4) -5(z--2)J— = (а-2)(а + 3).
'V ж 2
(ж - 5)(ж - 1) + 3(ж - 5)0 —- - (а + 1)(а - 2) = 0.
V ж — 5
(ж + 2)(ж + 4) + 5(ж + 2)0^2 _ (а + 2)(а - 3) = 0.
V ж + 2
Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет два различных корня.
|ж + 11 — 2аж = 1 — ж. 416) ||ж| — 2| = ^ж + а.
2
аж2(1 + ж2) = 1. 418) ж2 2аж + а2 + 2а 4 = 0.
(За — 1)ж2 + 2аж + За — 2 = 0. 420) (2а + 1)ж2 — аж + а — 2 = 0.
|ж + 2| ™ |ж — 2| = — ж + а. 422) |ж — V^l = & ™ 3.
^(аж) = 2 ^(ж + 1). 424) ж3 ™ ж212 + а| + аж = а|2 + а|.
V1 ™ ж2 = (а — V^)2• 426) ж2 + 4ж — 2|ж — а| + 2 = а.
log2(4a: — а) = ж. 428) ж + log1/2(4® 4- а3) = 0.
ж + 1оё1/3(9ж2а) = 0.
Для каждого значения параметра а найти все ж, удовлетворяющие уравнению и найти все значения параметра а, при каждом из которых это уравнение имеет два решения.
шт2 = 1 + |ж|. 431) (ж + 1)|ж 1| а = 0. 432) ^2ж + а = ж.
V^2 — 2а = а — 1. 434) V^2 + а2 = ж + а.
log2(|a^ — ж2) = 0. 436) loga ж + ^а(ж — 2) = 1.
4Ж - 2ж+1 • а - 2Ж + а(а + 1) = 0
loga2_x2 [(аж)2 - 1] = 1. 439) -У|ж| + 1 - л/\х\ = а.
|ж + 3| — а|ж — 1| = 4. 441) |ж — 2| + а|ж + 3| = 5.
а|ж + 3| + 2|ж + 4| = 2. 443) 3|ж 2| а|2ж + 3| = 21/2.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет три различных корня. Найти эти корни.
ж4 - ж2 + а2 - За = 1. 445) ||2ж| - 4| = ж + а.
1о8^(ж2 - 2ж + 3) + г^'2^ 1оё1/3(2|ж - а| + 2) = 0.
ж - а = 2|2|ж| - а2|. 448) ж - | = 2|2|ж| - а2|.
ж — - = 9|9|ж| — а2|. 450) ж — - = 4[4[ж| — а2|.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет больше положительных корней, чем отрицательных.
(ж — а)2[а(ж — а)2 — а — 1] = — 1.
[(ж — а — I)2 — 2](ж — а — I)2 = а2 — 1.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет больше отрицательных корней, чем положительных.
[(жа)2 2а 4](ж а)2 = ™2а 3.
(ж + 2а)2[(ж + 2а)2 — а — а4] = —а5.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 112ж| — 4| = ж 4- а имеет не менее трех корней.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение на заданном
отрезке имеет нечетное число различных корней.
456) I а456) I аоНтГЖ* — cos 4оНтГЖ* — cos 4= 0,= 0,Е [-2,3].Е [-2,3].457) a457) a458) a458) a459) a459) a~ 29 7Г Ж \„— Зж + cos V3 — аж = 0,/13тГЖ \.ж + cos у8 + аж = 0,4 /15 7Г Ж ।„5ж — cos у 5 + аж = 0,2 /~ 29 7Г Ж \„— Зж + cos V3 — аж = 0,/13тГЖ \.ж + cos у8 + аж = 0,4 /15 7Г Ж ।„5ж — cos у 5 + аж = 0,2 /€ [-1,5].€ [-1,5].Е [-5,2].Е [-5,2].ж Е [-3,1].ж Е [-3,1].
456) I а
456) I а
оНтГЖ
* — cos 4
оНтГЖ
* — cos 4
= 0,
= 0,
Е [-2,3].
Е [-2,3].
457) a
457) a
458) a
458) a
459) a
459) a
~ 29 7Г Ж \„
— Зж + cos V3 — аж = 0,
/
13тГЖ \.
ж + cos у8 + аж = 0,
4 /
15 7Г Ж ।„
5ж — cos у 5 + аж = 0,2 /
~ 29 7Г Ж \„
— Зж + cos V3 — аж = 0,
/
13тГЖ \.
ж + cos у8 + аж = 0,
4 /
15 7Г Ж ।„
5ж — cos у 5 + аж = 0,2 /
€ [-1,5].
€ [-1,5].
Е [-5,2].
Е [-5,2].
ж Е [-3,1].
ж Е [-3,1].
8 М.К. Потапов и др.
ГЛАВА II
НЕРАВЕНСТВА
Пусть даны две функции -у = /(ж) и у = g(ж). Если надо найти все числа а из области, являющейся пересечением областей существования этих функций, для каждого из которых выполняется неравенство /(а) > g(a), то говорят, что стоит задача решить неравенство
/СО > g^
с одним неизвестным ж, или что дано неравенство /(ж) > g(x).
Аналогично формулируются задачи: решить неравенство /(ж) < g(ж), решить неравенство /(ж) g(ж), решить неравенство /(ж) g(ж).
Отметим, что множество решений неравенства /(ж) ^ g(ж) состоит из решений строгого неравенства /(ж) > g(ж) и решения уравнения /(ж) = g(ж). Поэтому в дальнейшем часто мы будем формулировать утверждения для строгих неравенств, имея в виду, что случай нестрогих неравенств может быть сведен к этому случаю.
Как уже отмечено, при решении уравнений в основном используются два метода. Первый из них основан на выполнении равносильных преобразований (вообще говоря, на некотором множестве). Второй же использует переход к уравнениям, являющимся следствиями исходного, и обязательную проверку, т.е. отбор среди найденных чисел искомых корней с помощью подстановки этих чисел в исходное уравнение.
При решении неравенств второй способ, как правило, не используется. Ведь множество решений неравенства чаще всего есть бесконечное множество, и в связи с этим проверка решений бывает затруднительной. Основной метод решения неравенств есть его упрощение с помощью преобразований, равносильных, вообще говоря, на некотором множестве М. В результате исходное неравенство оказывается равносильным на М совокупности систем простейших неравенств, каждая из которых может быть решена непосредственно.
В § 2 рассматриваются преобразования, равносильные для всех действительных ж; в § 3 — преобразования, равносильные на некотором множестве М; § 4 посвящен решению неравенств, предлагавшихся на вступительных экзаменах в вузы.
Отметим, что решение тригонометрических неравенств не входит в программу вступительных экзаменов в вузы и поэтому здесь не рассматривается.
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
ПРОСТЕЙШИЕ НЕРАВЕНСТВА
Область допустимых значений и множество решений неравенства. Областью допустимых значений (ОДЗ) неравенства / (ж) > g^ (/(ж) < g^x\f^ ^ g(x\f(x) ^ g(x)) называется общая часть (пересечение) областей существования функций у = /(ж) и у = g(x), т.е. множество всех числовых значений неизвестного х, при каждом из которых имеют смысл (т.е. определены) левая и правая части неравенства.
Любое число х из ОДЗ неравенства называется допустимым значением для данного неравенства.
Так, например, для неравенства
ж — ж3 > 2ж + 2
ОДЗ является множеством всех действительных чисел, для неравенства
+ 2 > 3
ОДЗ есть множество всех чисел, удовлетворяющих условию ж ^ — 2, а для неравенства
log2 х >
ОДЗ является пустым множеством.
Число а из ОДЗ неравенства называется решением неравенства, если при подстановке его вместо неизвестного в неравенство оно превращается в верное числовое неравенство.
Например, число х = 1 является решением неравенства
+ 8 — Vx >+ 1,
так как при х = 1 левая его часть равна 2, правая равна V2 и поэтому получаем верное числовое неравенство 2 > V2.
Решить неравенство - это значит найти множество всех его решений.
Если множество всех решений неравенства есть пустое множество, то говорят, что данное неравенство не имеет решений.
Нахождение ОДЗ неравенства позволяет в некоторых случаях доказать, что неравенство не имеет решений, и часто позволяет упрощать процесс решения неравенства.
Так, например, ОДЗ неравенства
х/х — 8 + V 4 — х > Vx
есть пустое множество, поэтому неравенство не имеет решений.
Решениями неравенства
V^2 + 5ж + 6 > — 2
являются все х из его ОДЗ, поскольку для таких значений левая часть неравенства неотрицательна, а правая отрицательна.
ОДЗ неравенства
состоит из всех ж, удовлетворяющих условию ж ^ 0. Для таких значений ж имеем, что
2ж"+ж1 и —1.
+
Следовательно, все ж из ОДЗ, т.е. все ж ^ 0, являются решениями исходного неравенства.
Решение простейших неравенств. В этом пункте приведем решения некоторых простейших неравенств.
Алгебраическим неравенством степени п называется неравенство /(ж) > 0 (/(ж) < 0, /(ж)0, /(ж)0), в котором функция -у = /(ж)
является многочленом степени п, т.е.
/(ж) = аохп + П1ЖП-1 + ... + ап, а0 0.
К простейшим таким неравенствам относятся неравенства х"т > b и ®2m+1 > b,
где т — данное натуральное число.
Приведем их решения.
ж2т+1 > Ь, т— натуральное число.
При любом b множество решений неравенства есть промежуток 2т+1/7 // .
VO < ж < +оо.
ж2т+1 < 6, т — натуральное число.
При любом b множество решений неравенства есть промежуток 2т+1/7
—оо < Ж < Vo.
ж2т > Ь, т— натуральное число.
При b < 0 множество решений неравенства совпадает с множеством всех действительных чисел: — оо < ж < +оо.
При b ^ 0 множество решений неравенства состоит из двух промежут- 2 т /72 т /7,
КОВ —ОО < Ж < — V О И V О < X < +оо.
ж2т < Ь, т — натуральное число.
При b < 0 и при b = 0 неравенство не имеет решений.
При b > 0 множество решений неравенства состоит из промежутка 2m/72т/7
— V о < Ж < V о.
Приведем решения простейших показательных неравенств.
(Г > b, а > 1.
При b < 0 и b = 0 множество решений неравенства совпадает с множеством всех действительных чисел: — оо < ж < +оо.
При b > 0 множество решений неравенства есть промежуток loga b < < х < +оо.
ах < b, а > 1.
При b < 0 и b = 0 неравенство не имеет решений.
При b > 0 множество решений неравенства есть промежуток — оо < < ж < loga b.
а® >Ь, 0 < a < 1.
При b < 0 и b = 0 множество решений неравенства совпадает с множеством всех действительных чисел: — оо < ж < +оо.
При b > 0 множество решений неравенства есть промежуток —оо < < ж < loga b.
аж < Ь, 0 < а < 1.
При b < 0 и b = 0 неравенство не имеет решений.
При b > 0 множество решений неравенства есть промежуток loga b < < ж < +оо.
Приведем еще решения простейших логарифмических неравенств.
loga ж > b, а > 1.
При любом b множество решений неравенства есть промежуток аь < < ж < +оо.
loga х < b, а > 1.
При любом b множество решений неравенства есть промежуток 0 < < ж < аь.
loga ж > Ь, 0 < а < 1.
При любом b множество решений неравенства есть промежуток 0 < < ж < аь.
loga х <Ъ, 0 < а < 1.
При любом b множество решений неравенства есть промежуток аь < < ж < +оо.
Равносильность неравенств. Пусть даны два неравенства. Если любое решение первого неравенства является решением второго неравенства, а любое решение второго неравенства является решением первого неравенства, то такие два неравенства называются равносильными, иными словами, если множества решений двух неравенств совпадают, то эти неравенства называются равносильными.
Например, неравенства
ж2 > 0 и х4 > 0
равносильны, так как множество решений каждого из них есть объединение двух промежутков: — оо < ж < 0 и 0 < х < +оо. Неравенства
Уж > 1 и ж2 > 1
не являются равносильными, так как, например, число ж = — 2 является решением неравенства ж2 > 1, но не является решением неравенства Уж > 1.
Подразумевается, что если каждое из неравенств не имеет решений, то такие два неравенства равносильны.
Замена одного неравенства другим неравенством, ему равносильным, называется равносильным переходом от одного неравенства к другому
Пусть даны два неравенства и некоторое множество М. Если любое решение первого неравенства, принадлежащее множеству М, является решением второго неравенства, а любое решение второго неравенства, принадлежащее множеству М, является решением первого неравенства, то такие два неравенства называются равносильными на множестве М.
Например, неравенства
ж+1+-^ж+- и ж + 1 жжж
не являются равносильными на множестве всех действительных чисел, но равносильны, например, на промежутке —ос < х < 0.
Неравенства
уж> 1 И X > 1
не являются равносильными на множестве всех действительных чисел, но равносильны на множестве положительных чисел.
Отметим, что если каждое из двух неравенств не имеет решений на множестве М, то такие неравенства также называются равносильными на множестве М.
Замена одного неравенства другим неравенством, равносильным ему на некотором множестве М, называется равносильным переходом на множестве М.
Утверждения о равносильности неравенств
Неравенства /(ж) > g^ и /(ж) — g(x) > 0 равносильны.
Неравенства /(ж) > g(x) и /(ж) + а > g(ж) + а равносильны для
любого числа а.
Неравенства /(ж) > g(x) и а/(ж) > од(ж) равносильны для любого положительного числа а.
Неравенства /(ж) > g(ж) и а/(ж) < ag(x) равносильны для любого отрицательного числа а.
Неравенства аДж^ > аё^ и /(ж) > g(ж) равносильны для любого фиксированного числа а из промежутка (1, +оо).
Неравенства аД1^ > аё^ и /(ж) < g(ж) равносильны для любого фиксированного числа а из промежутка (0,1).
Если функции -у = р(ж) и у = g(x) тождественно равны, то неравенства /(ж) > g^ и /(ж) > р(ж) равносильны.
Пусть п - натуральное число и на некотором множестве М функции у = /(ж) и у = g^ неотрицательны. Тогда на этом множестве неравенства /(ж) > g(ж) и (/(ж))п > (g(ж))n равносильны.
Пусть а - фиксированное число из промежутка (1, +оо) и на некотором множестве М функции у = /(ж) и у = g^) положительны. Тогда на этом множестве равносильны неравенства
НО > g(O и loga /(ж) > loga g^Y
Пусть а — фиксированное число из промежутка (0,1) и на некотором множестве М функции у = /(ж) и у = g^ положительны. Тогда на этом множестве равносильны неравенства
/(ж) > g(x) и loga /(ж) < loga g^Y
И. Пусть на множестве М, содержащемся в ОДЗ неравенства /(ж) > g(ж), функция у = р(ж) положительна. Тогда на этом множестве равносильны неравенства
/(ж) > g(p и > g(xX,x\
Пусть на множестве М, содержащемся в ОДЗ неравенства /(ж) > g(ж), функция -у = р(ж) отрицательна. Тогда на этом множестве равносильны неравенства
/(ж) > g^ и /(я)у>Ю < g^pxY
Если функции у = ф^ и у = g(ж) тождественно равны на множестве М, то неравенства /(ж) + ^(ж) > 0 и / (ж) + g(ж) > 0 равносильны на множестве М.
Отметим, что утверждение 1 позволяет рассматривать вместо неравенства /(ж) > g^ равносильное ему неравенство /(ж) — g^ > 0. Поэтому в дальнейшем в теоретической части преимущественно рассматриваются неравенства вида F^ > ^.
1.4. Системы неравенств. Пусть дано m неравенств/Дж) > gl(ж),... ..., /т(ж) > gm(ж). Обозначим через Q область, являющуюся пересечением областей допустимых значений всех этих неравенств. Если нужно найти все числа а из области Q, каждое из которых является решением каждого из этих неравенств, то говорят, что дана система т неравенств
АО) > gx^
<. . . . .
fm (ж) gm (ж)
и область Q называют областью допустимых значений (ОДЗ) этой системы. Число а из ОДЗ системы неравенств называется решением этой системы, если оно является решением каждого из неравенств системы. Решить систему неравенств - это значит найти множество всех ее решений. Если это множество окажется пустым, то говорят, что система неравенств не имеет решений.
Например, число х = 5 является решением системы неравенств
{
ж2 + 1 > Ж,
1/ж > 1/ж2 — 1.
Решением системы неравенств
Г ж2 > 0,
[ ж4 > 0
является любое отличное от нуля действительное число.
Система неравенств
| ж2 > 1,
\ X > 1,
[ ж2 + 1 < 0
не имеет решений, так как неравенство ж2 + 1 < 0 не имеет решений. Систему неравенств обычно решают следующим образом: сначала решают каждое неравенство на ОДЗ этой системы, т.е. находят множества
решений каждого из этих неравенств на ОДЗ системы, затем находят множество, являющееся пересечением всех этих множеств. Это множество и будет множеством всех решений системы неравенств.
Две системы неравенств называются равносильными, если множества их решений совпадают.
Заметим, что замена в системе одного из неравенств равносильным неравенством приводит к системе, равносильной исходной. Например, равносильны системы неравенств
ж + 3 > 2ж - 5, I (ж + 3) - (2ж - 5) > 0, ж2 < 2| ж2 < 2.
Совокупность неравенств и систем неравенств. Пусть дано к систем неравенств
ЛЮ > 51(ж),Мж) > 81(ж),ЛЮ > 51(ж),Мж) > 81(ж),ЫО > gkP,РР > 8кР-ЫО > gkP,РР > 8кР-(1)(1)
ЛЮ > 51(ж),
Мж) > 81(ж),
ЛЮ > 51(ж),
Мж) > 81(ж),
ЫО > gkP,
РР > 8кР-
ЫО > gkP,
РР > 8кР-
(1)
(1)
Обозначим через Q область, являющуюся пересечением областей допустимых значений всех этих систем. Если нужно найти все числа а из области Q, каждое из которых является решением хотя бы одной из этих систем, то говорят, что дана совокупность к систем неравенств и область Q называют областью допустимых значений (ОДЗ) совокупности систем неравенств (1). Число а из ОДЗ совокупности систем неравенств (1) называют решением этой совокупности, если оно является решением хотя бы одной системы неравенств из совокупности (1).
Так, например, числа ж = 0 и ж = 2 являются решениями совокупности систем неравенств
ж > 1, ж2 > 1,ж > 1, ж2 > 1,ж 1/2,ж > ж4 — 2ж — 1,ж 1/2,ж > ж4 — 2ж — 1,(2)(2)
ж > 1, ж2 > 1,
ж > 1, ж2 > 1,
ж 1/2,
ж > ж4 — 2ж — 1,
ж 1/2,
ж > ж4 — 2ж — 1,
(2)
(2)
так как оба они входят в ОДЗ совокупности (2) и ж = 0 есть решение второй системы совокупности (2) (заметим, что ж = 0 не является решением первой системы совокупности (2), а ж = 2 не является решением второй системы совокупности (2)).
Решить совокупность систем неравенств (1) это значит найти множество всех ее решений; если это множество оказывается пустым множеством, то говорят, что совокупность систем неравенств (1) не имеет решений.
Отметим, что если каждая из к систем (1) состоит только из одного неравенства, то говорят, что дана совокупность к неравенств.
Говорят, что неравенство /(ж) > g(ж) равносильно совокупности систем неравенств (1), если множество решений неравенства /(ж) > g(ж) совпадает с множеством решений совокупности систем неравенств (1).
Замена неравенства /(ж) > g^ равносильной ему совокупностью систем неравенств (1) называется равносильным переходом от неравенства к совокупности систем неравенств.
Например, неравенство
(ж + 2)(ж2 - 1) > О равносильно совокупности систем неравенств
Иногда приходится совершать переход от неравенства к совокупности систем неравенств на каком-то множестве М. Говорят, что неравенство /(ж) > g(ж) равносильно на множестве М совокупности систем (1), если любое решение неравенства /(ж) > g(ж), принадлежащее множеству М, является решением совокупности (1), а любое решение совокупности (1), принадлежащее множеству М, является решением неравенства /(ж) > g(ж).
Например, неравенство
(log2®)(® + 1)(ж - 2) > О
на множестве ж > О равносильно совокупности систем неравенств
[ log2 ж > О, и [ log2 ж < О,[ ж - 2 > 0[ х - 2 < 0.
Систему неравенств
f Цж) < g^X
2Ю < /(ж)
часто записывают в виде двойного неравенства /г(ж) < g(x) < /(ж).
Упражнения
Найти область допустимых значений неравенства.
Зж3 - ж2 + ж4 - 1 > 0. 2) ^жЛД±Д < о, ж2 + 1
4)ж2_1>ж_1, 5) ^ж + 2 > ж + 1.
(ж — 1)жжж
V^ — 3 + V7 — ж > V^- 7) V3 — ж + V^ ™ 7 > 1.
V^2(^ ™ 1) 1- 9) V^2 ж “™ 1 + х > 1.
--- > V1 + ж + х + 2. 11) log3(2x — 3) > 2.
log1/2(x - 3) - log1/3(x - 3) + ж2 - Зж 4.
(2ж - 5) • Сж • log5 ж ^ 0. 14) log2(log1/3(ж + 1)) > 1.
log^ ж 4-— >2. 16) V^2 ™ 1 > •
log^ хlog2 ж - 1
НТ + —Ц > о. 18) log2(2* - 1) - log4(l - 3*) < 0.
жуж — 1 I ж — 21
V42:c - 2 • 4* + 1 - Дж + 1 < 0. 20) — > 2.
2Ж — 12ж+1 — 1
2i)2log2x ™ |ж + 1| < 4.
Vx2 ™ 6ж + 9 +— ж2 — 9 > log1^5(x3 — 18ж + 28).
Уж2 (ж — 1)2(ж — 2) — log7 У—ж + 2 > 0.
— <1. 25) > —.
log3(9 — Зж) — 3У1 — х + Уж У1 — х ™ V® Vx
Доказать, что следующее неравенство не имеет решений.
У2ж — 4 + ж2 < — 1. 27) log2(—ж) + 3 log2 ж > ж + 1.
Уж + 2 — Уж + 4 > 2. 29) У1 — ж + Уж — 1 > 0.
|ж^г| Д 31) 5ж2™4ж+7 < ™1/2. 32) |ж ™ 1| + |2ж + 3| Д 0.
У2 ^ж + у^4 Д ^7. 34) |ж2 + 1| + |ж2 - 4ж + 7| Д 1.
хДж2 - 4ж + 3 + Дб - 4ж + ж2 < 3/2.
Дж2 — ж + 1 Н—1— < 2.
Уж2 ™ ж + 1
дт+Уст+з < Ддт+г.
> 1 + Дж2 - 2ж + 3.
ж2 2ж + 3
3g^< 1_ 40) Дг + Дж + 5 < 2,2.
'1 + |ж — 3|'
(ж2 + ж + 4)(ж2 + 2ж + 3) < 1. 42) Дж + X > С^2ж - 1.
V ж
До + зД^Л + Ж8С5-Ж < 3.
1о§8(ж + 2) + 31о§в(ж - 2) > log5(4 - ж2) + 1.
2 log3(4 + ж2) < log2(l - (ж + З)2).
log2 ^ж2 + 1 +0 < log2 (2 -+ б).
log4 (2 + V$) + log2(l + ж2) < 0. 48) 2^ + 3^ + 4^+1 ^ 5.
Сб - ж + Сж - 2 < (ж - 1)2(ж - 6). 50) V® + 3 + 1У9 - ж < V3.
V4 + ж + ^16 — ж < 2. 52) Vx + V3 — ж + у/ж2 — 5ж > V3.
|С2|ж| - 1| • log2(2 - 2ж2) > 1.
3“|:с“2^ • log2(4$ - ж2 - 2) > 1.
Дж2 + 1 + Дж4 — ж2 + 1 < 2 Дж® + 1.
Являются ли равносильными следующие неравенства?
|(® + 2) > |(2® — 4) и ® + 2 > 2® — 4.
—3(2® — 7) < —3(® + 5) и 2® - 7 > ® + 5.
ж + 1 Н-— <43-—и х + 1 < 4.
ж — 6 ж — 6
х + 2^— < —х + 5— и х + 2 < —х + 5.
ж — 1ж — 1
60)®2>1 и ^—>0. 61)(ж—1)>0 и ®(® — 1) > 0. ж — 1''
ж — 1 > 0 и V^ ™ 1 > 0. 63) ж2 > ж4 и ж2 < 1.
ж(ж2 + 1) > 2(ж2 + 1) и ж — 2 > 0. 65) ж2 < ж4 и ж2 > 1.
< о и (®-3)(®+2) < 0. 67)^<>0 и (®+4)(®-1) > 0.
ж + 2''ж — 1'
(Зж - I)2 < (ж + З)2 и Зж - 1 < ж + 3.
|ж + 1| > |ж| и (ж + I)2 > ж2. 70) (2ж + I)2 > 1 и |2ж + 1| > 1.
|1 ™ ж| 1 и 1 — ж ^ 1. 72) у/(ж — I)2 < Уж2 и ж — 1 < 2ж.
V(^™3)2 > У(2ж + 1)2 и |ж ™ 3| > |2ж + 1|.
ж5 > 1иж > 1.75)-1и 1 ж.
ж
ж2 > 1иж > 1.77) Ж™3> О и ж - 3 > 0.
(ж 4)2
Ж™2 > О и ж - 2 > 0. 79) ж + 1 < 0 и ж + 1 < 0. (ж 4- I)2(ж — 2)2
80)—> о и (—) > 0. 81)—-—<0 и (—-—) < 0.
УжУж + 1\+ 1 /
^<2 и 2®2 - 11® + 15 > 0.
ж2 5ж + 6
— < О и ® < 0. 85) — < О и ® < 0. Жж
V3® - 2 >-1 и 3® -2 > 1. 87) V® + 2 < -3и ® + 2 < 9.
V2® - 3 >2и 2® - 3> 4. 89) Д®2 + 2 <2 и®2 + 2 < 4.
V2® — 1 >V1— 3® и2® — 1 ^ 1 — 3®.
> 1 и Vж + 1 > уж. 92) —^ 3 и 4 ^ 3.
у'жу7 ж 1V ж 1
2^^1 и1. 94) Vx^ • Vx^l > 1 и ® > 2.
Vx + 3ж + 3
V® + 2 • V® - 2 < i и 4 Д®2 - 4 < 1.
уУуяУ^Т) < 1 и | | Уж — 1 < 1.
ж2 + Уж > ж + Уж и ж2 > ж.
V^-C-^ > 0 и £211 > о. ж — 4ж — 4
log2(ж + 1) > log2(2ж — 5) и ж + 1 > 2ж — 5.
log3 5^2^1 н log3(Зж + 2) — log3(ж + 3) У 1.
ж + 3'
101)^2ж2 > 1 и 21og2 |ж| > 1.
log2/5(ж + 4) (ж ™ 2) У 2 и log2/5(ж + 4) + log2/5(ж ™ 2) < 2.
log3 ж + 1 у lOg3 х^х у 1) у 1 и log3(ж + I)2 У 1.
ж
2log2 ж + ж2 > 1 и ж2+ж>1.
log7 ж° > log7 (ж + 1 + v 1 — ж)log2 ^41 + iOg2 2^_ ^ о и 2жж + 2Г1< ? иV ж + 1 ж + 2 V ж — 1log7 ж° > log7 (ж + 1 + v 1 — ж)log2 ^41 + iOg2 2^_ ^ о и 2жж + 2Г1< ? иV ж + 1 ж + 2 V ж — 1и ж3 > ж5 + 1 + У1 — Ж.
log7 ж° > log7 (ж + 1 + v 1 — ж)
log2 ^41 + iOg2 2^_ ^ о и 2жж + 2
Г1< ? и
V ж + 1 ж + 2 V ж — 1
log7 ж° > log7 (ж + 1 + v 1 — ж)
log2 ^41 + iOg2 2^_ ^ о и 2жж + 2
Г1< ? и
V ж + 1 ж + 2 V ж — 1
ж У 2.
4ж2 - 15ж - 250
(ж + 1)(ж + 2) (ж - 1)
108)2ж2-1Г < 21-(Щ2 и ж2-ж<1-ж.
(2ж — 3) log5(l + ж2) У (ж + 1) log5(l + ж2) и 2ж — 3 У ж + 1.
ПО) ж > (У1 + ж + 1) (У10 + ж — 4) и
ж (У1 + ж — 1) > ж (У10 + ж — 4).
Являются ли равносильными следующие неравенства на заданной области М?
111) ж2 — ™ ж ™
1
и ж2 ж, М = {ж: ж У 0}.
ж
ж
112) ж2 — - ж —
1
и ж2 Уж, М = {ж: ж > 0}.
ж
ж
113) Уж + 1 > ж
и
ж + 1 > ж2, М = {ж: ж У 0}.
114) Уж + 1 > ж
и
ж + 1 > ж2, М = {ж: ж У — 1}.
115) ж2 > 1 и ж > 1, М = {ж: ж У 0}.
Уж — 1 < У2 — ж и ж — 1 < 2 — ж, М = {ж: ж Е [1, 2]}.
—— > 1 и 1 > ж + 2, М = {ж: ж > —2}. ж+ 2
118)—— >1и К х + 2, М = {ж: х < -2}.
ж + 2
ж2 — log2 ж > 2ж — log2 ж и ж2 ™ 2ж > 0, М = {ж: ж > 0}.
Уж — 1™ V^2 ™ ж + ж < 2ж + 3 иж < 2ж + 3, М = {ж:ж 1}.
2^ > 2^^ и уж >1уЯ М = {ж: же Я}.
Уж(ж + 2) > Уж(2ж — 5)иж + 2 >2ж — 5,М = {ж:ж>0}.
Пж(ж + 2) > Уж(2ж — 5)иж + 2 >2ж — 5,М = {ж:ж0}.
log2(ж + 1) + ^2(ж — 2) > 1 и log2(ж + 1)(ж - 2) > 1,
М = {ж: х > 2}.
^(ж - 1)(ж + 2) ^2 и УУ^Т • УУ+2 2, М = {ж: ж 1}.
^х^х — 2) > ж и |ж|Уж ™ 2 > ж, М = {ж: ж = 0}.
ж + 3 > 0 и ж + 3 > О, М = {ж: ж е Я}.
(ж+ 2)21J
- 1 ■ V®Ts > 0 и м = ж
ж2 + 1ж2 4- 1
129)21оё2($2™ж) > 1 и ж2-ж>1, M = {x:x>iy
(—4 — ж) log4(l + ж2) > (2 + ж) log4(l + ж2) и —4 — ж > 2 + ж,
М = {ж: ж 6 RY
Являются ли равносильными неравенство и система неравенств?
131) Уж + 2 > ж и
132) Уж + 2 > ж и
133) Уж + 2 < ж и
ж + 20,
(ж + 2) > ж2.
ж + 2 > ж2, ж > 0.
{ж + 2 ^ 0, ж > О, ж + 2 < ж2.
134) ж + Уж — 2 < Уж — 2 + ж2 и
ж ™ 2 ^ О, ж < ж2.
^ж±^ > 0 и
х + 3
ж О,
(ж + 4) (ж + 3) > 0.
ж + 3 > О, ж + 4 > 0.
V$- VT^I > 1
0^Ж±22 < о
х + 5
> о
ж — 2
ж 1, ж(ж — 1) ^ 1.
(ж + 3)2 > О,
(ж — 2)(ж + 5) < О
(ж + 3)2 > О,
(ж -2)2 > 0.
140) |ж+2| > х и
142) V^G^-3) < 1
И
143) log3(2® - 3) + к^3(ж - 1) >
1
141) |ж+2| < х и
И
(2ж-3)(ж-1) >3.
144) V^2 ™ 4(ж2
И
,2
,2
145) Vж2 “ 4(ж2
И
,2
™ 4 ^ 0,
,2
Являются ли равносильными неравенство и совокупность систем неравенств?
146) Уж + 2 > х и
147) (ж-2)(ж + 3) ^ 0
и
х + 3 ^ 0,
148) (ж-2)(ж + 3)
и
X + 3 ^ 0.
149) рЧ® - 5) >
ж - 7
И
150) | ж2 -ж| < 1
И
,2
,2
,2
151) 1g |ж — 4| > 2
И
lg($ - 4) >
2,
lg(4 - ж) > 2.
152) —-
Зж + 2
И
Зж + 2 < 0,
(ж ™ 2)(ж - 1) > (ж - 2)(2ж + 5) и
О,
2ж + 5,
Уж2 + жУж2 + жИИт.е. неравенствут.е. неравенствуах > —Ь.ах > —Ь.(4)(4)
Уж2 + ж
Уж2 + ж
И
И
т.е. неравенству
т.е. неравенству
ах > —Ь.
ах > —Ь.
(4)
(4)
. с ,х У Ж2 4- ж „ о
<2 и
ж — 2
(ж + 3)(ж + 2) > о и
ж + 2
Vx + 2 - ЖгТЗ < 1
' ж + 2 О,
< Уж + 2 Vx + 3,
(Уж + 2 — Уж + 3)" < 1,
РАВНОСИЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НЕРАВЕНСТВ
Неравенства, не являющиеся простейшими, с помощью различных преобразований стараются привести к простейшим неравенствам. В этом параграфе рассматриваются лишь равносильные преобразования неравенств, т.е. преобразования, сохраняющие равносильность неравенств для всех действительных х.
Алгебраические неравенства первой степени. Неравенства вида ах + b > 0(1)
и
ах + b < 0,(2)
где а У 0, называются алгебраическими неравенствами первой степени.
Заметим, что если а < 0, то, умножив неравенство (1) на ( —1), получим на основании утверждения 4 § 1, равносильное ему неравенство
ах + У < 0,(3)
где а’ = -а и У = —Ь и аг > 0, т.е. неравенство вида (1) при а < О умножением его на (— 1) можно привести к виду (3), где а? > 0. Аналогично можно поступить и с неравенством типа (2), если в нем а < 0. Поэтому будем рассматривать решение неравенств (1) и(2) при а > 0.
На основании утверждения 1 § 1 неравенство (1) равносильно неравенству ах + b + (—6) > —6,
Так как а > 0, то на основании утверждения 3 § 1 неравенство (4) равносильно неравенству
т.е. неравенству
Следовательно, все ж > —Ь/а будут решениями неравенства (1) (при а > 0).
Аналогично показывается, что при а > 0 все ж < —b/а будут решениями неравенства (2).
Пример 1. Решить неравенство
(5)(5)—2ж + 3 < 0.
(5)
(5)
Решение. На основании утверждения 1 § 1 неравенство (5) равносильно неравенству
3 < 2ж
т.е. неравенствут.е. неравенству2ж > 3.2ж > 3.(6)(6)
т.е. неравенству
т.е. неравенству
2ж > 3.
2ж > 3.
(6)
(6)
На основании утверждения 3 § 1 неравенство (6) равносильно неравенству
Следовательно, все ж > - будут решениями исходного неравенства.
3
Ответ. - < ж < +ос.
Простейшие преобразования неравенств. При решении неравенств часто приходится пользоваться утверждениями 1 — 7 § 1 о равносильности неравенств.
Пример 2. Решить неравенство
(7)(7)5™2ж+1 < 54
(7)
(7)
Решение. На основании утверждения 5 § 1 неравенство (7) равносильно неравенству
-2ж + 1 < 4,
которое, в свою очередь, на основании утверждения 1 § 1 равносильно неравенству
1 - 4 < 2ж,
т.е. неравенствут.е. неравенству2ж > -3.2ж > -3.(8)(8)
т.е. неравенству
т.е. неравенству
2ж > -3.
2ж > -3.
(8)
(8)
Неравенство (8) на основании утверждения 3 § 1 равносильно неравенству
3
2
Следовательно, все ж > —3/2 будут решениями исходного неравенства. 3
Ответ.< ж < +ос.
2
Пример 3. Решить неравенство
ж5 — 2ж + 2 > 1 + ж5 — ж.(9)
Решение. На основании утверждения 1 § 1 неравенство (9) равносильно неравенству
(ж5 - 2ж + 2) - (1 + ж5 - ж) > 0.(10)
Учитывая, что функция у = (ж5 — 2ж + 2) — (1 + ж5 — ж) тождественно равна функции у = (1 — ж), получаем на основании утверждения 7 § 1, что неравенство (10) равносильно неравенству
1 - ж > 0,
которое на основании утверждения 1 § 1 равносильно неравенству
1 > ж,
т.е. неравенству
Следовательно, все ж < 1 будут решениями исходного неравенства.
Ответ, —ос < ж < 1.
В примере 3 утверждение 7 § 1 использовалось при приведении подобных членов в алгебраическом неравенстве. Тождественные преобразования типа приведения подобных членов возможны и для других неравенств, в которые входят функции, определенные для всех действительных ж; к таким функциям относится, в частности, функция у = ах, а > 0, а ф 1.
Пример 4. Решить неравенство
У(11)
/ 1 \ ж — 2/ 1 \ х _/ 1 \ х
Решение. ПосколькуиЗ ж,тонеравен-
ство (И) равносильно неравенству
которое на основании утверждения 1 § 1 равносильно неравенству
чу ж<2-1121
Так как функция у = 9 •Так как функция у = 9 •тождественно равна функции утождественно равна функции у
Так как функция у = 9 •
Так как функция у = 9 •
тождественно равна функции у
тождественно равна функции у
, то неравенство (12) равносильно неравенству
9 М.К. Потапов и др.
11которое на основании утверждения 3 § 1 равносильно неравенству
1
1
(13)
1/1 \ ^ёх/зС1/4).
Так как - = j, то неравенство (13) на основании утверждения 5
§ 1 равносильно неравенству
,1
ж > 1оё1/з
Так как log1//3 ™ = log3 4, то приходим к выводу, что все х > log3 4 будут
решениями исходного неравенства.
Ответ. log3 4 < х < Too.
В дальнейшем при применении тождественных преобразований вместо слов «данное неравенство равносильно неравенству» будем часто писать «данное неравенство перепишем в виде».
Преобразования, связанные с применением тождественных равенств. Решение неравенств с применением тождественных равенств основано на утверждении 7 § 1 о равносильности неравенств. Это утверждение позволяет использовать различные формулы, справедливые при всех действительных значениях х, например формулы сокращенного умножения, основное тригонометрическое тождество, формулы степеней и т.д.
Приведем некоторые примеры.
Пример 5. Решить неравенство
(1 — ж) (1 + ж + ж2) -2 + 2» > 0.(14)
Решение. Применяя формулу разности кубов, получаем, что неравенство (14) равносильно неравенству
1 - » - 2 + 2» > 0.
Перепишем это неравенство в виде
» - 1 > о
или в виде
ж3 > 1.(15)
Простейшее неравенство (15), а следовательно, и исходное неравенство имеют решениями все х > 1.
Ответ. 1 < х < +ос.
Пример 6. Решить неравенство
5 • 2ж+2 - 3 • 2Ж < 9 • 2Ж + 4.(16)
Решение. Поскольку 5 • 2ж+2 = 20 • 2Ж, то неравенство (16) можно переписать в виде
20 • 2Ж — 3 • 2Ж — 9 • 2Ж < 4
или в виде
или, наконец, в видеили, наконец, в виде(17)(17)
или, наконец, в виде
или, наконец, в виде
(17)
(17)
Простейшее неравенство (17), а следовательно, и исходное неравенство имеют решениями все х < — 1.
Ответ, —оо < х < — 1.
Квадратные неравенства. Квадратными неравенствами называются неравенства вида
ах2 + Ьх + с > 0(18)
(19)(19)ах2 + Ьх + с < О,
(19)
(19)
где а ф 0.
Как и в п. 2.1, эти неравенства можно привести к случаю, когда а > 0.
Множество решений неравенств (18) и (19) зависит от дискриминанта
D = Ь2 — 4ас, а в случае D 0 и от корней
хг =хг =2а2аж2 =ж2 =2а2а
хг =
хг =
2а
2а
ж2 =
ж2 =
2а
2а
квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенств (18) и (19). Дискриминант D часто называют дискриминантом неравенств (18) и (19).
Рассмотрим решение неравенства (18) в случае, когда а > 0, D = Ь2 — — 4ас > 0. Тогда квадратный трехчлен ах2 + Ьх + с имеет два различных корня
ж _ 2аж _ 2аи $2 = 2аи $2 = 2а(20)(20)
ж _
2а
ж _
2а
и $2 = 2а
и $2 = 2а
(20)
(20)
таких, что хх < х^. В этом случае, как известно, справедливо тождественное равенство
ах2 -Р Ьх + с = а(х — xi)(x — ж2).
Поэтому неравенство (18) равносильно на основании утверждения 7 § 1 неравенству
а(х — xi)(x — ж2) > 0.(21)
Так как а > 0, то на основании утверждения 3 § 1 неравенство (21) равносильно неравенству
(ж - жД(ж - ж2) > 0.(22)
Отметим на координатной оси точки xi и ж2 (рис. 1). Очевидно, что про
изведение (ж — жД(ж — ж2) для любого ж > ж2 положительно, для любого ж из промежутка хх < х < ж2 отрицательно, для любого ж < жх положительно. Откуда следует, что решениями неравенства (22) будут все ж из
двух промежутков х < жх и ж > х^. Так как неравенство (22) равносильно неравенству (18), то только эти х будут решениями неравенства (18).
Аналогично показывается, что решениями неравенства (19) при а > О, D = Ь2 — 4ас > 0 будут все х из промежутка xi < х < х^ где х^ и х^ определены формулами (20).
Пример 7. Решить неравенство
-ж2 + 5ж - 6 < 0.(23)
Решение. Умножая неравенство (23) на (—1), перепишем его в виде
ж2 - 5ж + 6 > 0.(24)
Так как дискриминант неравенства (24)
D = Ъ2 — 4ас = 1 > 0, то трехчлен ж2 — 5ж + 6 имеет два корня: хх = = 2 и ж2 = 3. Поэтому неравенство (24) равносильно неравенству
(ж-2)(ж-3) > 0.(25)
Отметив на координатной оси точки хх = 2 и Ж2 = 3, видим, что решениями неравенст
ва (25) являются все числа из двух промежутков: ж > 3 и ж < 2 (рис. 2).
Заметим, что нахождение решений неравенства (24) можно проиллюстрировать, используя график функции у = ж2 — 5ж + 6 (рис. 3).
Ответ, —оо < ж < 2, 3 < ж < +оо.
Рассмотрим решение неравенства (18) в случае, когда а > 0, D = 0. Тогда квадратный трехчлен аж2 + Ьх + с имеет два совпадающих корня:
b
хх = ж2 == ж0.
2а
В этом случае, как известно, справедливо тождественное равенство аж2 + Ьх + с = а(ж — жо)2.
Поэтому неравенство (18) можно переписать в виде
а(ж - ж0)2 > 0.(26)
Так как а > 0, то неравенство (26) равносильно неравенству
(ж — ж0)2 > 0,
которое, очевидно, справедливо для любого ж, кроме ж = жо.
Аналогично показывается, что неравенство (19) при а>0и!) = 0не имеет решений.
Пример 8. Решить неравенство
4ж2 - 4ж + 1 > 0.(27)
Решение. Так как дискриминант неравенства (27)
D = Ь2 - 4ас = 0,
то перепишем неравенство (27) в виде
4 (ж -> 0.(28)
Очевидно, что неравенство (28) справедливо для всех ж, кроме х = 1/2. К этому же выводу мы приходим, рассматривая график функции у = 4ж2 — - 4ж + 1 (рис. 4).
Ответ. — оо < ж < - < ж < +ос.
2 2
Рассмотрим решение неравенства (18) в случае, когда а > О, D < 0. Тогда квадратный трехчлен ах2 + Ьх + с не имеет корней. В этом случае, как известно, справедливо тождественное равенство
ах2 + Ьх + с = аах2 + Ьх + с = а
ах2 + Ьх + с = а
ах2 + Ьх + с = а
Поэтому неравенство (18) можно переписать в виде
аа(29)(29)
а
а
(29)
(29)
Рис. 4Рис. 4> 0.> 0.
Рис. 4
Рис. 4
> 0.
> 0.
Так как а > 0, D < 0, то очевидно, что для любых ж неравенство (29) справедливо. Поэтому решениями неравенства (18) будут все действительные ж.
Рис. 5
Аналогично показывается, что неравенство (19) при а > 0, D < 0 не имеет решений.
Пример 9. Решить неравенство
5ж2 - 6ж + 2 > 0.(30)
Решение. Так как дискриминант неравенства (30) D = Ь2 - 4ас= -4 < 0,
то перепишем неравенство (30) в виде
(31)
Очевидно, что неравенство (31) справедливо для всех ж. К этому же выводу приходим, рассматривая график функции у = 5ж2 — 6ж + 2 (рис. 5).
Ответ, —оо < ж < +оо.
Приведенные выше решения неравенств можно свести в табл. 3.
Таблица 3
Неравенство
Дискриминант и корни
График трехчлена аж2+Ьж+с
Множество решений неравенства
ах2 +6ж+с>0, а > 0
D > 0,
Ж1 < Ж2
д
^ОС < Ж < Ж1, ж2 < ж < +оо
г' Ж2 Х
D = 0, в этом случае Ж0 = Ж1 = ь = Ж2 = 2а
X
— ос < Ж < Жо, Жо < ж < +оо
Жо
D < 0, корней нет
— сю < Ж < +сю
0Ж
аж2+6ж+с<0, а < 0
D > 0,
Ж1 < Ж2
д
X
Ж1 < Ж < Ж2
^Z ж2 Ж
D = 0, в этом случае Жо = Ж1 = Ь = Ж2 = 2а
решений нет
0
Жож
D < 0, корней нет
!
решений нет
0ж
Неравенства, сводящиеся к квадратным неравенствам. Довольно часто встречаются неравенства вида /(ж) > 0, где /(ж) = p(g(ж)) — сложная функция, составленная из двух функций -у = g(ж) и у = p(g), причем p(g) — квадратный трехчлен p(g) = ag2 Г bg Г с. В таких случаях неравенство /(ж) > 0 записывают в виде
(32)(32)a(g(x))2 + b(g(x)) + с > 0, а/О,
(32)
(32)
и называют квадратным неравенством относительно g(^). Неравенство (32) решают следующим образом. Сначала находят дискриминант D = Ь2 — 4ас квадратного трехчлена at2 4- bt + с. Возможны следующие четыре случая.
Если а < 0 и D ^ 0, то неравенство (32) не имеет решений.
Если а < О, D > 0, а С и ^2 ™ корни квадратного трехчлена at2 4~bt + c, причем ti < ^2, то неравенство (32) равносильно двойному неравенству
Ь < g(ar) < ti-
Еслиа > 0,D > O,aZi и t? - корни квадратного трехчлена at2 + bt + с, причем ti ^2 (если D = 0, то С = t^Y то неравенство (32) равносильно совокупности неравенств
g(X <
Если a > 0 и D < О, то множество решений неравенства (32) совпадает с областью определения функции -у = g(x\
Пример 10. Решить неравенство
ж4 - Юж2 + 16 > 0.
Решение. Обозначив ж2 через у, получим неравенство
у2 - Юу + 16 > 0.(33)
Так как квадратное уравнение у2 — Юу + 16 = 0 имеет корни ух = 2 и у2 = 8, то неравенство (33) можно записать в виде
(у — 2)(у — 8) > 0,откуда очевидно, что это неравенство равносильно совокупности неравенству < 2 и у > 8.
Поэтому исходное неравенство равносильно совокупности неравенств ж2 < 2 и ж2 > 8.
Решением неравенства ж2 > 8 являются все ж из двух промежутков ж > V8 и ж < — V8. Решениями неравенства ж2 < 2 являются все ж из промежутка — х^ < ж < х^. Следовательно, множество решений исходного неравенства состоит из промежутков — оо < ж < — V8, — V2 < ж < V2hV8 < ж < +оо.
Ответ, —оо < ж < — V8, — V2 < ж < V2, х^З < ж < +оо.
Пример И. Решить неравенство
(log2 ж)2 - 3 log2 ж + 2 > 0.
Решение. Обозначив log2 ж через у, перепишем данное неравенство в виде у2 — Зу + 2 > 0. Множество решений этого неравенства состоит из двух промежутков — оо < у < 1 и 2 < у < +оо. Следовательно, исходное неравенство равносильно совокупности двух простейших логарифмических неравенств:
log2 ж < 1 и log2 ж > 2.
Множество решений первого неравенства есть промежуток 0 < ж < 2.
Множество решений второго есть промежуток 4 < ж < +ос. Объединение этих промежутков и дает множество всех решений исходного неравенства. Значит, множество всех решений исходного неравенства состоит из двух промежутков: 0<ж<2и4<ж< +ос.
Ответ. О < ж < 2, 4 < ж < +ос.
Метод интервалов. Часто при решении алгебраических неравенств используется метод интервалов, который состоит в следующем.
Пусть надо решить неравенство
(ж — ад)(ж — «2)... (ж — а») > 0, (34) где од, од,..., ап — фиксированные числа такие, что ад < «2 < ... < ап. Тогда поступают следующим образом: на координатную ось наносят числа ад, «2,... , ап, в промежутке справа от наибольшего из них ставят знак «плюс», в следующем за ним справа налево промежутке ставят знак «минус», затем — «плюс», затем — «минус» и т.д. (рис. 6). Тогда множество всех ре-
«1 «2^-2 «п-1 «п ж-1“4 Ж
Рис. 6Рис. 7
шений неравенства (34) будет объединением всех промежутков, в которых поставлен знак плюс.
Отметим, что объединение всех промежутков, где поставлен знак минус, будет множеством всех решений неравенства
(ж ад)(ж ™ ад) ... (ж а») < О, где ах < а^ < ... < ап.
Пример 12. Решить неравенство
(ж + 1)(ж-4)(2ж-3) > 0.(35)
Решение. Перепишем неравенство (35) в виде
2[«- (-1)] (ж- -) (ж-4) > 0.
з
Отметим на координатной оси числа (—1), - и 4 и расставим знаки плюс и
минус так, как указано на рис. 7. Решениями неравенства (35) будут все ж из объединения промежутков 4 < ж < +ос и — 1 < ж < 3/2.
Ответ. < ж < 3/2, 4 < ж < +ос.
Пример 13. Решить неравенство
(ж4 - 1)(2 - 5ж) > 0.
Решение. Поскольку данное неравенство можно переписать в виде
—5(ж2 4- 1)(ж — 1)(ж + 1) ^ж — |^ > 0
и так как (ж2 + 1) > 0 при любом ж, то оно равносильно неравенству
(ж — 1)(ж + 1) (ж) < 0.
Применяя метод интервалов (рис. 8), находим
решения последнего неравенства, а значит, иРис‘
исходного неравенства: это есть объединение двух промежутков: —ос < < ж < — 1 и 2/5 < ж < 1.
Ответ, —оо < ж < — 1, 2/5 < ж < 1.
Обобщенный метод интервалов. Иногда встречаются неравенства вида /(ж) > 0, где
/(ж) = (ж - «Э^Зж - «Ф • • • (ж - ап)к", «1 < а2 < ... < ап.
Здесь ^i, к^ -. -, кп — целые положительные числа, часть из которых больше 1. Такие неравенства также могут быть решены с помощью так называемого обобщенного метода интервалов, если несколько уточнить правило расстановки знаков, а именно: в промежутке справа от ап — наибольшего из корней многочлена / (ж) — ставят знак «плюс», а затем, двигаясь справа налево, при переходе через очередной корень оц меняют знак, если ki — нечетное число, и сохраняют знак, если ki — четное число.
Пример 14. Решить неравенство
ж(ж + 1)(ж — 2)2 > 0.
Решение. Отметив на координатной оси корни — 1, 0, 2 многочлена ж(ж + 1)(ж — 2)2, расставим знаки «плюс» и «минус» на интервалах между
-102 жРис. 9-102 жРис. 90|12 ж0|12 жРис. 10Рис. 10
-102 ж
Рис. 9
-102 ж
Рис. 9
0|12 ж
0|12 ж
Рис. 10
Рис. 10
корнями, пользуясь указанным выше правилом (рис. 9). Множество решений исходного неравенства состоит из трех интервалов: (—ос; — 1), (0; 2); (2; +оо).
Ответ, —ос < ж < — 1, 0 < ж < 2, 2 < ж < +ос.
Такое же правило расстановки знаков следует соблюдать и при решении неравенства / (ж) < 0, где /(ж) — многочлен.
Пример 15. Решить неравенство
(4ж2 — 4ж + 1)(ж2 — 4ж + 4) (ж2 — ж) < 0.
Решение. Многочлен /(ж), стоящий в левой части неравенства, может быть разложен на множители следующим образом:
/(ж) = (2ж — 1)2(ж — 2)2ж(ж — 1),так что исходное неравенство может быть переписано в виде(ж - 0)(ж - 1/2)2(ж - 1)(ж - 2)2 < 0.
Множество решений этого неравенства состоит из двух промежутков (рис. 10): 0 < ж < 1/2, 1/2 < ж < 1.
Ответ. 0 < ж < 1/2, 1/2 < ж < 1.
Рациональные неравенства. Решение неравенства
где Р^х\ Q^x\ R(x) и Т^ — многочлены, в общем случае проводится следующим образом. Неравенство (36) заменяется равносильным неравенством
Р(ж) R^ > 0
или, после приведения дробей левой части к общему знаменателю — многочлену D(x), — заменяется равносильным неравенством
> О,(37)
которое, в свою очередь, равносильно неравенству
Ф(х)П(х) > 0.(38)
Решение этого неравенства проводится методом интервалов. Иной путь состоит в замене неравенства (38) равносильной ему совокупностью систем неравенств
f Ф(ж) >0, f Ф(ж) < 0,
<и <
I D^ > 0 I D^ < 0
и последующим решением каждой из них.
Заметим, что иногда метод интервалов применяют сразу к неравенству (37), не переходя к неравенству (38).
Пример 16. Решить неравенство
ж — 5ж + 6
(ж + 4)(ж + 1)
Решение. Поскольку корни квадратного трехчлена ж2 — 5ж + 6 равны 2 и 3, то исходное неравенство можно переписать в виде
(ж + 4)(ж + 1)
Неравенство (39) равносильно неравенству
(ж + 4)(ж + 1)(ж - 2)(ж - 3) < 0.(40)
Решим неравенство (40) методом интервалов. На координатной оси (рис. 11) наносим точки —4, —1, 2 и 3.
Пример 17. Решить неравенство 2ж - 3 > 1 4 — х х
Решение. Перенося правую часть неравенства налево и приводя слагаемые к общему знаменателю, получим неравенство
2ж2 ™ 2ж ™ 4ж (4 — ж)
равносильное исходному Поскольку корнями квадратного трехчлена ж2 — — ж — 2 являются жх = — 1 и ж2 = 2, то неравенство (41) равносильно неравенству
> 0,< 0.(42)находим, что множество всех> 0,< 0.(42)находим, что множество всех(ж + 1)(ж - 2)ж (4 ж)
> 0,
< 0.(42)
находим, что множество всех
> 0,
< 0.(42)
находим, что множество всех
или неравенству
(ж + 1)(ж - 2) (ж — 0)(ж — 4)
-1 024 жРис. 12-1 024 жРис. 12Применяя метод интервалов (рис. 12), решений неравенства (42), а следовательно, и исходного неравенства состоит из двух промежутков: -1<ж<0и2< < ж < 4.
-1 024 ж
Рис. 12
-1 024 ж
Рис. 12
Ответ. — 1 < ж < 0, 2 < ж < 4.
Нестрогие неравенства. Все неравенства, рассмотренные выше в этом параграфе, были строгими. Для решения аналогичных неравенств, но нестрогих, надо к найденным решениям строгого неравенства добавить корни соответствующего уравнения.
В частности, решение неравенства
ах + b ^ 0 (а > 0)(43)
состоит из решений неравенства
ах + b > 0,(44)
рассмотренного вп.21,и решения уравнения
ах + b = 0.(45)
Так как решение уравнения (45) есть ж = —b/а, а решениями неравенства (44) являются все ж > —Ь/а, то решениями неравенства (43) являются все ж —Ь/а.
Аналогично решения неравенства
аж2 + Ьх + с ^ 0,
п— Ь — VOЬ + л/О
где а > 0,1) = ст — 4ас > 0, Ж1 =, ж2 = , составляют
2а2а
два промежутка: ™ос < ж жх и Ж2 ж < +ос.
Приводим примеры решения нестрогих неравенств.
Пример 18. Решить неравенство
(46)(46)4Ж - 3 • 2Ж - 4 ^ 0.
(46)
(46)
(47)(47)Решение. Обозначив 2Ж через у. получим неравенство у2 - Зу - 4 > 0.
(47)
(47)
промежутка:промежутка:Решениями квадратного уравнения у2 — Зу — 4 = 0 являются yi = — 1 и у2 = 4. Решениями квадратного неравенства у2 — Зу — 4 > 0 являются ?/<—1и?/>4. Следовательно, решения неравенства (47) составляют два
промежутка:
промежутка:
—оо < у ^ —1 и 4 ^ у < +оо.
Поэтому неравенство (46) равносильно совокупности двух неравенств: 2Ж у -1 и 2Ж ^ 4.
Первое из этих неравенств не имеет решений, а второе имеет решениями все х 2.
Ответ. 2 х < +оо.
ЗОж — 9ж — 2ЗОж — 9ж — 225(ж + 2).25(ж + 2).Пример 19. Решить неравенство
ЗОж — 9
ж — 2
ЗОж — 9
ж — 2
25(ж + 2).
25(ж + 2).
Решение. Перенося левую часть неравенства направо и приводя слагаемые к общему знаменателю, получим неравенство
25ж2 — ЗОж — 91 , _
; < о,(48)
равносильное исходному. Поскольку корнями квадратного трехчлена 25ж2— — ЗОж —91 являются ж i = —1,4 и Ж2 = 2,6, то неравенство (48) равносильно
неравенствунеравенству(ж - 2,6)(ж + 1,4)ж - 2(ж - 2,6)(ж + 1,4)ж - 2(49)(49)
неравенству
неравенству
(ж - 2,6)(ж + 1,4)ж - 2
(ж - 2,6)(ж + 1,4)ж - 2
(49)
(49)
Множество решений неравенства (49) состоит из всех решений уравнения
= 0 ж — 2
и всех решений неравенства
(ж-2,6)(ж + 1,4) < 0(^
ж — 2
Уравнение (50) имеет решения жх = -1,4 и Ж2 = 2,6. Применяя метод интервалов (рис. 13), получаем, что множество 2^222^^всех решений неравенства (51) состоит из двух -2,6 ж промежутков ж < -1,4 и 2 < ж < 2,6. Объ- рис ^единяя множество решений уравнения (50) и
'множество решений неравенства (51), получа
ем, что множество решений исходного неравенства состоит из двух промежутков: ж -1,4и2 < ж 2,6.
Ответ, —сю < ж ^ 1,4, 2 < ж ^ 2,6.
Системы неравенств. В § 1 уже было написано, как обычно решают системы неравенств. В этом пункте будет только проиллюстрирован этот метод решения на нескольких простых примерах. В следующих параграфах системы неравенств будут возникать при решении неравенств.
Пример 20. Решить систему неравенств
Зж — 7 < 0,2 - х > 0.
2 г хРис. 14(53)2 г хРис. 14(53)Решение. Решения первого из неравенств системы (52) составляют промежуток—оо < х < 7/3, решения второго — промежуток—оо < х < 2. Общей частью этих промежутков (рис. 14) является промежуток — оо < ж < 2. Все х из промежутка —оо < х < 2 являются решениями системы (52).
2 г х
Рис. 14
(53)
2 г х
Рис. 14
(53)
Ответ. — оо < х < 2.
Пример 21. Решить систему неравенств ж2 - 6ж + 8 < 0, ж2 — 8ж + 150.
Решение. Решения первого неравенства системы составляют промежуток 2 < ж < 4, решения второго — промежуток 3 ^ ж ^ 5. Общей
Г Д™»™ ^ :::-^
2345 ж -23
ж < 4. Всеж < 4. ВсеРис. 15Рис. 16
ж < 4. Все
ж < 4. Все
частью этих промежутков (рис. 15) является промежуток 3 эти х являются решениями системы (53).
Ответ. 3 ж < 4.
(54)(54)Пример 22. Решить систему неравенств J ж2 — ж — 6 < 0, | ж - 50.
(54)
(54)
Решение. Решения первого неравенства системы (54) составляют промежуток — 2 < ж < 3, решения второго - промежуток 5 ж < +оо. У этих промежутков (рис. 16) нет общих точек, поэтому система неравенств (54) не имеет решений.
Ответ. Нет решений.
Упражнения
Решить неравенство.
1) 2ж - 7 > 0. 2) 1 — 9ж > 0. 3) 2 - Зж > 1 - 4ж.
iх + -х - 1 < -х - i. 5) 0,2(ж - 1) + 0,5(Зж - 9) > - - 2.
'2337'3
2ж + (2ж + 3) - (4ж - 1 + 2ж - 3 - (7 - 4ж)) < 0.
(1 - ж)(1 + х) > 2ж - ж2 + 0,3.
(1 + ж) (ж2 — ж + 1) — ж3 + Зж + 4 > 2ж — 6.
2(1 - ж)(1 + ж)(1 + ж2) < — 2ж4 + 3.
10)ж2 >4. 11)2ж2<3. 12)Зж2 + 2>0. 13)7ж2 + 5<0.
2ж2 - 4ж2 + 3 > 6ж2 + 7 - (2ж2 4- 3) - 4. 15) ж2 + 2ж - 3 > 0.
ж2 - 4ж + 4 > 0. 17) ж2 - 6ж + 9 ^ 0. 18) 1 - Зж2 + 4ж < 0.
19)ж2>1 —ж. 20) ж2 + 1 < Зж - ж2 - 3. 21) 2ж2 - Зж + 1 > 0.
(ж - 2)(2ж + 1) < 1 - ж + ж2. 23) (2ж - 3)(2ж + 2) + 1 > 0.
(Зж - 4)(2ж - 7) < (ж + 2)(1 - Зж). 25) (1 - ж2)ж + 1 > ж(2ж2 + 1).
2ж4 — 3 > 5 — Зж4. 27) (1 - ж3)(2 + ж) < ж(2 - ж2) - ж(1 - ж2).
2ж4 + 3 — (ж + 4)ж < ж(ж — 4) — 2ж2 + 8. 29) (ж — 2)(ж + 3) > 0.
(2ж+1)(ж - 2) < 0. 31)ж2 - 4ж - 5 > 0.
(ж - 1)(ж + 2)(ж + 3) < 0. 33) (ж + 4)(2ж + 3)(3ж - 1) > 0.
(2ж - 1)(ж+ 3)(ж - 4)> 0.35) (2ж - 1)(ж + 3)(ж - 4)< 0.
(2ж - 1)(ж+ 3)(ж - 4)< 0.37) (2ж - 1)(ж + 3)(ж - 4)> 0.
(ж — тг)(ж2— 9)(ж + тг)< 0.39) (2 — ж)ж (2 — ж)(3ж— 1).
(Зж + 2)(ж2 - 5ж + 6) > (Зж + 2)(ж2 - ж - 2). 41) ж3 - 8 > 0.
ж5 + 1 < 0. 43) ж3 — Зж2 + ж < 0. 44) ж3 — Зж2 + ж — 5 ^ 0.
ж3 + 2ж2 + ж + 2 > 0. 46) 2ж3 + Зж2 - Зж - 2 < 0.
ж2(ж - 2) < 0. 48) (2ж + 1)2(ж + 1)(ж + 2) < 0.
(ж2 - ж)2(ж2 - 4) > 0. 50) (ж - 1)(ж2 - 1)(ж3 - 1)(ж4 - 1) > 0.
(ж - I)4 - (ж + I)4 < 0.
(ж + 3)(3ж - 2)5(7 - ж)3(5ж + 8)4 < 0.
(ж2 - Зж + 2)2(ж3 - Зж2)(4 - ж2)0.
(ж - 1)2(ж + 2)4(ж - 4)2 < 0.
2ж5 + Зж4 - 5ж3 - 5ж2 + Зж + 2 < 0.
< 0. 57)о. 58)> о.
ж — 14 — жж + 1
(ж + 3)(ж2)06()) рх1J3 о
(ж + I)2ж + 2
(^D^ + ^ + l)3^^-1)4 <о
ж5(ж2 — 1)(2 — Зж)4(ж + 7)3(10 — ж)5
(ж + 3)4(2ж + З)2 <(ж + 3)4(2ж + З)2 >
4з'4з'(1 — ж)3(1 — ж)3
4
з'
4
з'
— > х. 66) 2 — х > . 67) < . 68)
4ж1 — х Зж + 5 Зж + 53 ж
б9)ж±2>ж + 4, ?о) ж2+7ж6 <71)2-^<ж_
ж — 1 ж — 3ж1 — ж
(ж — 3)(ж — 4) ж — 4
(ж2 + Зж)(2ж + 3) -> 0.
7х < 343. 75) 5Ж > 3125. 76) 32ж + 1 < 0. 77) 4Ж+2 + 8 > 0.
78)2- Q^ +3>0. 79)<3-2ж-4.
80) 1252~3з: < у/22 8!) I® + 3 • 22z — 5 ■ 22:с > 22:с - 3.
82)Q^ < 2 (|) ” 36^3^ + 9Х <32х+1+ 1,41.
84)42ж+3 ^ 5 . 24*-i + 185) 31og2 я < —2. 86) 21og1/7 я - 3 > 0.
21g х — 3(4 lg х + 1) > 7 lg х — 4.
(3 log2 x — 1) log2 x — 3 log2 x 5.
(21og1/2x - 4) - 31og1/2x - 5 > 1 + 21og1/2x.
x4 - 5x2 + 6 > 0. 91) x4 -x2 -6 < 0.
3 log| x + 2 log3 x — 4 < 0. 93) 5 log2/3 x — 3 logj/g x + 1 > 0.
lg4 a — 13 lg2 x + 36 > 0. 95) log2 x + 3 log2 x ^ | log4v^ 16.
96) 4х + г*4-1 - 6 < 0. 97) 2 • 4х + 4 < 33 • 21'.
98)4ж+1 - 16ж < 21og48. 99) 25ж — 221og4 6-1 < 10- 5*-1.
100) 2 • З2®2 + 4 < Зж2+2. 101) 3 • 93-1:2 - 4 • З3-^2 + 1 < 10.
Решить систему неравенств.
Ю2)
104)
2ж + 3 > х — 4,
Зж - 2 < 5.
—4 — 2ж > 1 — Зж,
5ж + 2 < 3 + ж.
ЮЗ)
5ж — 3 > 1 — 2ж,
2 — Зж > - — Ьх.
2
105) <
8ж — 2 < ж — 1, 2х2 х + 1.
х 1ж ™ 52ж2 - 360.х 1ж ™ 52ж2 - 360.107)107)
х 1
ж ™ 52
ж2 - 360.
х 1
ж ™ 52
ж2 - 360.
107)
107)
(ж + 1)(х - 2) > 0
ж — 6
(ж+ 5)> 0
(4 — ж) (ж — 3)
108)
2(ж- 1) -3(ж-4) > ж+ 5,
Зж 4
ж2 + 4ж + 4
109)
X2 - 4 < 0,
ж + 1 > 0,
- — ж > 0. 2
110)
111)
Зж2 — 7ж + 8ж2 + 1
Зж2 — 7ж + 8ж2 + 1
9ж2 — 9ж + 1 < 0.
ж2 — 5ж + 6.
113)
Зж + 4 < 0, ж2 + 4ж — 4
(2ж2 — ж) (ж2 + 1) — ж2 — 1
114)114)116) <118) ।119) <116) <118) ।119) <117) <117) <32ж < 7-Зж +91og39.32ж < 7-Зж +91og39.
114)
114)
116) <
118) ।
119) <
116) <
118) ।
119) <
117) <
117) <
32ж < 7-Зж +91og39.
32ж < 7-Зж +91og39.
ж4 — Зж3 — ж2 — ж — 2 О, ж42ж3 + ж28ж12 О.
9Ж - 10 • Зж + 9 < О,
™ < 2+
жЖ — 1
ж — 22ж — 3
ж + 2 4ж — 1 ’
ж4 - Юж2 + 16 > 0.
3^+2 + 9ж+1 _ 810 > 0, ^зж + 4^3ж + 3 > 0.
{
ж3 - 5ж2 + Юж - 12 < О, ж2 - 4ж + 3 > О, ж2 — 6ж + 80.
4 — ж2
ж Э ,
3 — х
!g2 ж + lg2 ж ™ 2 О, 4Ж 3.2х < 4.
§ 3. РАВНОСИЛЬНОСТЬ НЕРАВЕНСТВ НА МНОЖЕСТВЕ
В этом параграфе рассматриваются преобразования неравенств, сохраняющие равносильность неравенств лишь на некотором множестве.
ЗЛ. Приведение подобных членов. При замене функции у = (<p(x) + Г(—ф(хУ)) на нуль, т.е. при приведении подобных членов, нужно быть очень внимательными, если эти подобные члены определены не на всей числовой прямой.
Пример 1. Решить неравенство
(ж2 + log2 ж) - (1 + log2 ж) < 0.(1)
Решение. ОДЗ неравенства (1) состоит из всех х > 0. На этой области функция у = (log2 х — log2 ж) тождественно равна нулю. Поэтому на основании утверждения 13 § 1 на этой области неравенство (1) равносильно неравенству
ж2 - 1 < 0.(2)
Множеством решений неравенства (2) является промежуток — 1 ^ х ^ 1. Из этих х в ОДЗ неравенства (1) входят лишь х из промежутка 0 < х ^ 1. Эти значения и будут решениями неравенства (1).
Ответ. 0 < х 1.
Заметим, что если бы мы заменили нулем функцию у = (log2 х — log2 ж), не учитывая ОДЗ неравенства (1), то мы бы приобрели лишние решения неравенства (1).
Разложение на множители. Неравенство вида
/(ж)у(ж) > 0(3)
выполняется для тех и только для тех ж, для которых значения /(ж) и Ф(ж) отличны от нуля и имеют одинаковые знаки. Поэтому неравенство (3)
равносильно совокупности систем неравенств
/(ж) > 0,f /(ж) < О,
Ф^ > ОI <^(ж) < 0.
Аналогично неравенство
КОРО < °(4)
равносильно совокупности систем неравенств
/(ж) > 0,f /(ж) < 0,
9?(ж) < 0I ф^ > 0.
Пример 2. Решить неравенство
(4ж2 + 8ж - 5) • log2 ж > 0.(5)
Решение. Неравенство (5) равносильно совокупности систем неравенств
4ж2 + 8ж — 5 > 0,,
log2 ж > 0
и
4ж2 + 8ж — 5 < 0,, .
log2 ж < 0.
Множество решений первого неравенства системы (6) составляют два про™ межутка: ™оо<ж<—-и- < ж < +оо. Множество решении второго неравенства системы (6) есть промежуток 1 < ж < +оо. Множество реше™ ний системы неравенств (6) есть общая часть множеств решений ее первого и второго неравенств, т.е. есть промежуток 1 < ж < +оо.
Множество решений первого неравенства системы (7) есть промежу™ ток _ _ < ж < _. Множество решении второго неравенства — промежуток 0 < ж < 1. Множество решений системы (7) есть промежуток 0 < ж < ™.
Объединяя множества решений системы (б) и системы (7), получаем множество решений исходного неравенства.
Ответ. 0 < ж < -, 1 < ж < +оо.
2
В случае когда в неравенстве вида (3) один из сомножителей, например Ф(ж), положителен на некотором множестве М, неравенство вида (3) на основании утверждения 2 § 1 равносильно на М неравенству /(ж) > 0.
Пример 3. Решить неравенство
(3 — ж) V^2 — — 2 > 0.
Решение. Область допустимых значений данного неравенства состоит из всех ж, удовлетворяющих условию ж2 - ж - 2 > 0 и, значит, состоит
10 М.К. Потапов и др.
из двух промежутков ж ^ — 1 и ж ^ 2. Точки ж = — 1, ж = 2 не удовлетворяют неравенству так как в них левая часть обращается в нуль. На множестве М, состоящем из двух промежутков ж < — 1 и ж > 2, функция у = V^2 — ж — 2 положительна, значит, на этом множестве исходное неравенство равносильно неравенству ж — 3 < 0. Множество решений последнего неравенства, содержащихся в М, состоит из двух промежутков -оо < ж < -1 и 2 < ж < 3, которые и составляют множество решений исходного неравенства.
Ответ. —сю < ж < — 1, 2 < ж < 3.
Так же, как выше, показывается, что неравенство вида м>0 у(ж)
равносильно совокупности систем неравенств
/(ж) > 0,[ /(ж) < 0,
<^(ж) > 0I ^(ж) < 0,
а неравенство вида
/М < о
равносильно совокупности систем неравенств
/(ж) > 0,[ /(ж) < 0,
<^(ж) < 0I <^(ж) > 0.
Отметим еще, что решение нестрогих неравенств вида (3) или (4), или (8), или (9) сводится к решению соответствующих уравнений и строгих неравенств.
Пример 4. Решить неравенство
МугЮЦТ^ > 0ж2 — 4ж — 5
Решение. Множество решений этого неравенства состоит из решений уравнения
!ЭэДхЛ2£ = 0(10)
ж2 — 4ж — 5
(И)(И)и решений строгого неравенства
(И)
(И)
ж2 — 4ж — 5
Из (10) следует, что log^(ж — 3) = 0, т.е. что ж = 4. Проверкой убеждаемся, что жх = 4 есть корень уравнения (10).
Неравенство (11) равносильно совокупности двух систем неравенств:
(1оё^(ж - З))2 > о, ж2 — 4ж — 5 > 0(1оё^(ж - З))2 > о, ж2 — 4ж — 5 > 0(log^z - З))2 < 0, ж2 — 4ж — 5 < 0.(log^z - З))2 < 0, ж2 — 4ж — 5 < 0.(12)(12)
(1оё^(ж - З))2 > о, ж2 — 4ж — 5 > 0
(1оё^(ж - З))2 > о, ж2 — 4ж — 5 > 0
(log^z - З))2 < 0, ж2 — 4ж — 5 < 0.
(log^z - З))2 < 0, ж2 — 4ж — 5 < 0.
(12)
(12)
Вторая из этих систем решений не имеет, так как не имеет решений неравенство (log^y — З))2 < 0.
Неравенство (log^y ™ З))2 > 0 выполняется для всех х > 3, кроме х = 4. Неравенство ж2 — 4ж — 5 > 0 имеет решением два промежутка: -оо < ж < -1и5 < ж < +оо. Следовательно, первая из систем (12) имеет множество решений - промежуток 5 < х < +оо.
Итак, множество решений исходного неравенства состоит из точки х = 4 и интервала (5; +оо).
Ответ, х = 4, 5 < х < +оо.
Пример 5. Решить неравенство
- 5> 0
bg^/sO - 4) - 1 / '
Решение. ОДЗ неравенства определяется условиями ж — 5 ^ 0, ж — 4 > 0, ж - 4 Уз, т.е. ОДЗ состоит из чисел ж^5иж^4 + Уз. Число 5 входит в ОДЗ и, очевидно, удовлетворяет исходному неравенству, т.е. является его решением. Будем далее искать решения, отличные от ж = 5.
В области ж>5иж^4 + Уз функция у = Уж — 5 положительна, следовательно, в этой области исходное неравенство равносильно неравенству
ЬёУзУ - 4) - 1
или неравенству
iog^^ - 4) - 1 > 0.
Множество решений последнего неравенства есть ж > 4 + Уз. Все эти числа содержатся в области ж>5иж^4 + Уз. Значит, все они являются решениями исходного неравенства.
Ответ, ж = 5, 4 + Уз < ж < +оо.
Освобождение от знаменателя. Рассмотрим неравенство вида
У; >(13)
где у = /(ж), у = р(ж) и у = g(ж) - некоторые функции. Умножая обе части неравенства (13) на ^(ж), т.е. освобождаясь от знаменателя, получим неравенство
/(ж) > g^p=c\(14)
вообще говоря, не равносильное исходному неравенству (13).
Например, неравенства
- > 1 и 1 > ж ж
не равносильны, ведь каждое отрицательное число будет решением второго неравенства, но не первого.
Пользуясь утверждением Но равносильности неравенств из § 1 (п. 1.2) можно утверждать, что если функция у = ф(х) определена на множестве М
ю*
и положительна, то неравенства (13) и (14) равносильны на М. Если жефункция у = ф(ж) определена и отрицательна на М, то, как следует изутверждения 12 (§ 1, п. 1.2), неравенство (13) равносильно на М неравенству/(ж) < g(x)<p(x).
Поэтому неравенства вида (13) часто решают следующим образом.
Находят ОД3 неравенства (13).
ОДЗ разбивают на две области Mi и М2: Mi — та часть ОДЗ, где функция у = ф(ж) положительна, а М2 — та часть ОДЗ, где функция у = 99(ж) отрицательна.
На множестве Мх находят решения неравенства /(ж) > 9?(ж^(ж), равносильного на этом множестве исходному неравенству
На множестве М2 находят решения неравенства /(ж) < 99(ж)g(ж), равносильного на этом множестве исходному неравенству
Объединяя множества всех решений, найденные на множествах Мх и М2, получаем множество всех решений исходного неравенства.
Неравенства вида (13) можно решать и иначе: перенеся функцию у = = g(ж) в левую часть неравенства и приводя затем левую часть к общему знаменателю, получают неравенство
/(ж) - g(x>(x)
ж) равносильное неравенству (13). Неравенство (15), как показано в предыдущем пункте, равносильно совокупности двух систем неравенств:
^,<|К(16)/(ж) - g(x>(x) < 0.^,<|К(16)/(ж) - g(x>(x) < 0.9?(ж) > О,
^,<|К(16)
/(ж) - g(x>(x) < 0.
^,<|К(16)
/(ж) - g(x>(x) < 0.
/(ж) - g(xXx') > О
Объединяя множества решений каждой из систем (16), получаем решение неравенства (13).
Приведем примеры решения неравенств этими способами.
Пример 6. Решить неравенство
< 2.(17)
1log2 ж
Решение. ОДЗ неравенства (17) состоит из двух промежутков 0 < ж < < 2 и 2 < ж < +оо. Разобьем ОДЗ на две области: Мх, где 1 — log2 ж > 0, т.е. Mi есть множество 0 < ж < 2, и М2, где 1 — log2 ж < 0, т.е. М2 есть множество 2 < ж < +оо. На множестве Мх неравенство (17) равносильно неравенству
log2a: < 2(1 - log2 ж).(18)
Переписав неравенство (18) в виде
(19)(19)12
(19)
(19)
1°ё2 ж < ”,
получим простейшее логарифмическое неравенство. Решениями неравенства (19) являются все ж из промежутка 0 < ж < х^4. Все эти ж находятся
в Мх. Поэтому решениями исходного неравенства на множестве Mi являются все х из промежутка 0 < ж < х^.
На множестве М2 неравенство (18) равносильно неравенству
log2 ж > 2(1 — log2 ж).(20)
Перепишем неравенство (20) в виде
9 1°ё2Ж>”-(21)
Решениями простейшего неравенства (21) являются все ж > ^4. Из этих х в М2 входят лишь х > 2. Именно эти х и будут решениями исходного неравенства на множестве М2. Объединяя решения, найденные на множествах Мх и М2, получаем, что решения исходного неравенства составляют два промежутка: 0 < х < х^4 и х > 2.
Ответ. 0 < х < х^, 2 < х < +оо.
Пример 7. Решить неравенство
(22)(23)(22)(23)X + 5 /1
(22)
(23)
(22)
(23)
< х + 1.
Ж — 1
Решение. Перепишем неравенство (22) в виде
(ж + 5) — (ж + 1)(ж — 1) < 0
Ж — 1
Неравенство (23) равносильно совокупности двух систем неравенств:
ж — 1 > 0,J х — 1 < 0,
ж + 5 < (ж + 1)(ж — 1),( ж + 5 > (ж + 1)(ж — 1).
Первая система после тождественных преобразований может быть записана так: ж 1 > 0, ж2 — ж — 6 > 0.
Квадратный трехчлен ж2 — ж — 6 имеет корни Ж1 = —2 и ж2 = 3, и множество решений первой системы неравенств, как легко видеть, есть промежуток (3; +оо).
Вторая система может быть переписана в виде
ж - 1 < 0,
ж2 — ж — 6 < 0.
Множество ее решений есть промежуток —2 < ж < 1.
Итак, множество решений исходной системы состоит из двух промежутков: (—2; 1) и (3; +оо).
Ответ. —2 < ж < 1, 3 < ж < +оо.
Заметим, что неравенство (23) может быть решено способом, изложенным в п. 2.8.
Отметим, что первый из приведенных выше способов часто применяется тогда, когда функция 99 (ж) > 0 на всей ОДЗ неравенства (13).
Пример 8. Решить неравенство
22ж+1+2(24)
Решение. Так как функция у = 22ж+3 положительна для всех ж, то неравенство (24) равносильно неравенству
(22ж+х + 2)22ж+321.(25)
Перепишем неравенство (25) в виде
4 . (22ж+1)2 + 8 • 22ж+1 - 210.(26)
Поскольку квадратный трехчлен 4т/2 4- By — 21 имеет корни ух = —7/2 и У2 = 3/2, то множество решений неравенства 4т/2 + By — 21 ^ 0 состоит из двух промежутков у —7/2 и у ^ 3/2. Значит, множество решений неравенства (26) будет объединением множества решений неравенства 22ж+х—7/2 и множества решений неравенства 22ж+13/2. Первое из
этих неравенств не имеет решений, а множество решений второго есть промежуток ж ^ | log2 3 — 1. Поэтому множество решений неравенства (26), а значит, и исходного неравенства есть тот же самый промежуток.
Ответ. | log2 3 — 1 ж < +ос.
Сокращение на общий множитель. Пусть дано неравенство вида ^(ж)/(ж) > (p(x)g(x).(27)
Замена этого неравенства неравенством /(ж) > g(x), т.е. сокращение обеих частей неравенства (27) на функцию у = р (х), часто является грубой ошибкой, так как полученное неравенство может не быть равносильным исходному.
Например, замена неравенства ж2 > ж неравенством ж > 1, т.е. сокращение обеих частей неравенства ж2 > ж на х, приводит к тому, что теряются все отрицательные числа ж, являющиеся решениями неравенства ж2 > ж.
Неравенства вида (27) решаются следующим образом.
Неравенство (27) записывается в виде
-ё(Д) > °
и заменяется совокупностью систем неравенств
{
р^ >0,I ^(х) < 0,
/М - g(x) > 0| /(т) - g(x) < 0,
равносильной, как показано в п. 3.2, исходному неравенству (27). Множество решений этой совокупности систем и будет множеством решений исходного неравенства (27).
Пример 9. Решить неравенство
(Зт + 2) log2(x + 1) > (5т - 2) log4(x2 + 2т 4 1).
Решение. Область допустимых значений этого неравенства имеет вид х > — 1. На ОДЗ справедливо тождество
log4(ж2 + 2х + 1) = log4(ж + I)2 = log2(ж + 1).
Поэтому исходное неравенство может быть переписано так:
[(Зж + 2) - (5т - 2)] log2(ж + 1) > 0.
Отсюда следует, что оно равносильно на ОДЗ совокупности систем неравенств
f 1°&Э' + 1) > 0, и f log2(® + 1) < о,
Зж + 2 > —5ж — 2 > 0Зж + 2 < —5ж — 2 < 0.
Первая из этих систем равносильна системе
Г х + 1 > 1,
( х < 2
и потому множество ее решений есть промежуток 0 < х < 2.
Аналогично система неравенств
|0(2д)
I х > 2
равносильна второй из систем (28). Так как система (29) не имеет решений, то не имеет их и вторая из систем (28). Следовательно, множество решений исходного неравенства есть промежуток 0 < х < 2.
Ответ. 0 < х < 2.
Отметим, что если на некотором множестве М функция у = ф(ж) положительна, то неравенство (27) на основании утверждения 11 § 1 равносильно неравенству
/(ж) >
Аналогично, на основании утверждения 12 § 1, если на множестве М функция у = ф (ж) отрицательна, то неравенство (27) равносильно неравенству /(ж) < g(ж).
Пример 10. Решить неравенство
V6 + ж — ж2 V6 + ж — ж22ж + 5ж + 4
Решение. Область допустимых значений исходного неравенства состоит из всех ж, одновременно удовлетворяющих условиям 6 + ж — ж2 0, 2ж + 5 ф 0 и х + 4 ф 0, т.е. ОДЗ есть промежуток —2 ж 3.
Если х = —2 или х = 3, то 2ж + 5 ^ 0, ж + 4 ^ 0, 6 + ж — ж2 = 0. Поэтому при ж = —2 и при ж = 3 обе части исходного неравенства равны нулю. Следовательно, ж = ™2 и ж = 3 — решения исходного неравенства.
Пусть, далее, ж из промежутка —2 < ж < 3. Для любого ж из этого промежутка имеем ж + 4 > 0, 2ж + 5 > 0, 6 + ж — ж2 > 0. Поэтому на
множестве —2 < ж < 3 исходное неравенство равносильно неравенству
ж + 4 ^ 2ж + 5.
Решениями этого неравенства являются все ж из промежутка ж ^ — 1. Из этих значений ж в множество —2 < ж < 3 входят ж из промежутка —2 < < ж ^ — 1. Они будут решениями исходного неравенства на множестве —2 < ж < 3. Следовательно, решениями исходного неравенства являются все ж из промежутка —2 ж — 1 и х = 3.
Ответ. —2 ж ^1, ж = 3.
Отметим, что иногда деление (или умножение) обеих частей неравенства на некоторую положительную функцию, даже не являющуюся общим делителем левой и правой частей, также может привести к упрощению
неравенства.Пример 11. Решить неравенствонеравенства.Пример 11. Решить неравенство5® - Зж+Решение. Поскольку 3$+1 = 3 • Зж, 5'5® - Зж+Решение. Поскольку 3$+1 = 3 • Зж, 5'2(5Ж-1 - Зж22(5Ж-1 - Зж21.5Ж зж-251.5Ж зж-25- -зж, 9- -зж, 9то, раскрывая скобки и перенося члены неравенства из левой части в правую и из правой в левую, получим неравенство, равносильное исходному:то, раскрывая скобки и перенося члены неравенства из левой части в правую и из правой в левую, получим неравенство, равносильное исходному:
неравенства.
Пример 11. Решить неравенство
неравенства.
Пример 11. Решить неравенство
5® - Зж+
Решение. Поскольку 3$+1 = 3 • Зж, 5'
5® - Зж+
Решение. Поскольку 3$+1 = 3 • Зж, 5'
2(5Ж-1 - Зж2
2(5Ж-1 - Зж2
1.5Ж зж-2
5
1.5Ж зж-2
5
- -зж, 9
- -зж, 9
то, раскрывая скобки и перенося члены неравенства из левой части в правую и из правой в левую, получим неравенство, равносильное исходному:
то, раскрывая скобки и перенося члены неравенства из левой части в правую и из правой в левую, получим неравенство, равносильное исходному:
(30)(30)— • 5Ж > —— * Зж59 °
(30)
(30)
Так как Зж > 0 для любого ж, то, разделив неравенство (30) на - • Зж,
получим неравенствополучим неравенство(31)(31)
получим неравенство
получим неравенство
(31)
(31)
равносильное неравенству (30). Так как 5/3 > 1, то множеством решений неравенства (31), а значит, и исходного неравенства являются все ж из промежутка ж > 3.
Ответ. 3 < ж < +ос.
Возведение в степень. Замена неравенства /(ж) > g(ж) неравенством (/(ж))п > (g^))n, т.е. возведение обеих частей неравенства в натуральную степень, может привести к грубым ошибкам, так как может оказаться, что эти неравенства не равносильны. Например, замена неравенства ж2 > ж неравенством ж4 > ж2 приводит к тому, что теряется часть решений неравенства ж2 > ж, составляющая промежуток — 1 ^ ж < 0.
При возведении в степень обеих частей неравенства нужно пользоваться утверждением 8 § 1 о равносильности неравенств.
Наиболее часто возведение обеих частей неравенства в степень проводится в тех случаях, когда неравенство содержит радикалы. Самыми простейшими среди неравенств, содержащих радикалы, являются неравенства
> g(x) и У7Д) < g(p, где п 2.
Начнем рассмотрение со случая п = 2.
Рассмотрим неравенство
VM) < g(p.(32)
Обычно неравенства типа (32) решают следующим образом:
Находят ОДЗ неравенства.
Разбивают ОДЗ на два множества Mi и М2:
Mi — та часть ОДЗ, где функция у = g(x) неотрицательна,
М2 — та часть ОДЗ, где функция у = g(x) отрицательна.
Так как на М2 нет решений неравенства (32), а на Mi обе части неравенства (32) неотрицательны, то на Mi решают неравенство /(ж) < g2(ж), равносильное на Mi неравенству (32).
Все решения неравенства /(ж) < g2^), попавшие в множество Mi, и будут решениями неравенства (32).
Пример 12. Решить неравенство
■\/3 + 2ж — ж2 < 1 — х.(33)
Решение. ОДЗ неравенства (33) состоит из промежутка — 1 ^ ж ^ 3. Разобьем ОДЗ на два множества: Mi — ту часть ОДЗ, где 1 — ж 0, и М2 — ту часть ОДЗ, где 1 — х < 0; тогда Mi есть промежуток — 1 х ^ 1, а М2 — промежуток 1 < х 3.
На множестве М2 нет решений неравенства (33). На множестве Mi обе части неравенства (33) неотрицательны, поэтому неравенство (33) равносильно на этом множестве неравенству
3 + 2ж — х2 < (1 — ж)2, т.е. неравенству
х2 - 2х - 1 > 0.(34)
Решения неравенства (34) составляют два промежутка —ос < х < 1 — V2 и 1 + V2 < х < +оо. Из этих значений х множеству Mi принадлежат х из промежутка — 1 х < 1 — V2. Следовательно, эти х являются решениями исходного неравенства.
Ответ. — 1х < 1 ™ V2.
Неравенства вида (32) можно решать и иначе. Все решения неравенства (32) должны удовлетворять условиям
Дж) > 0 и g(ж) > 0.(35)
Если М — область, задаваемая неравенствами (35) (в частности, это означает, что функции у = /(ж) и у = g^x) определены на М), то по сформулированному выше утверждению, неравенство (32) равносильно на М неравенству / (ж) < g2 (ж). Таким образом, можно утверждать, что неравенство (32) равносильно системе неравенств
'> о,
< g(ж) > 0,(36)
< /(ж) < g^p.
Пример 13. Решить неравенство
+ 2 < 3 — х.
Решение. Как указывалось, это неравенство равносильно системе неравенств
х + 2 О,
3 - х > О, х + 2 < (3 — х)2.
После упрощений система может быть переписана так: М х < 3, х2 — Чх + 7 > 0.
Множество решений неравенства ж2 — 7ж+7 > 0 состоит из двух промежутков: х < | ^7 — V21) и х > | ^7 + V21). Поскольку | ^7 + V21^ > 3 и
-2 < | (7-V21) < 3,то множество решений системы (37), а значит, и исходного неравенства есть промежуток — 2 х < | ^7 — V21^.
7 — V21
Ответ. — 2 ^ х < .
2
Рассмотрим неравенство
ЭТИ > g($Y(38)
Обычно неравенства типа (38) решают следующим образом.
Находят ОДЗ неравенства.
Разбивают ОДЗ на два множества Mi и М2:
Mi — та часть ОДЗ, где функция у = g^x) неотрицательна,
М2 — та часть ОДЗ, где функция у = g^x) отрицательна.
Все х из М2 являются решениями неравенства (38).
На Mi решают неравенство /(ж) > ^(ж), равносильное на Mi неравенству (38).
Объединяя множества решений, найденные на Mi, с множеством М2, получаем множество решений неравенства (38).
Пример 14. Решить неравенство
+ 6ж — 5 > 8 — 2ж.
Решение. ОДЗ этого неравенства есть промежуток 1 ^ ж ^ 5. Разобьем его на два промежутка: 1^ж^4и4<ж^5.
Для ж из множества 1 ^ ж ^ 4 обе части исследуемого неравенства определены и неотрицательны. Следовательно, на этом множестве исходное неравенство равносильно неравенству
—ж2 + 6ж — 5 > (8 — 2ж)2
или неравенствуили неравенству5х2 — 38 т + 69 < 0.5х2 — 38 т + 69 < 0.
или неравенству
или неравенству
5х2 — 38 т + 69 < 0.
5х2 — 38 т + 69 < 0.
Множество решений последнего неравенства есть промежуток 3 < ж < 4-.
5 Из этих ж множеству 1 ж 4 принадлежат х, удовлетворяющие условию 3 < ж ^ 4; они и являются решениями исходного неравенства.
Для ж из множества 4 < ж ^ 5 левая часть данного неравенства неотрицательна, а правая отрицательна. Значит, все ж из множества 4 < ж ^ 5 являются решениями исходного неравенства. Следовательно, множество решений исходного неравенства является объединением множеств 3 < ж ^ 4 и 4 < ж ^ 5, т.е. решением исходного неравенства является промежуток 3 < ж 5.
Ответ. 3 < ж 5.
Неравенство вида (38) можно решать и иначе. Все решения этого неравенства должны удовлетворять условию
/(ж) > 0.
Обозначим через Mi множество точек, удовлетворяющих системе неравенств Г /(ж) > о, ( g(ж) < 0,
а через М2 — множество решений системы
Г /(О > о,
( g(ж) > 0.
Очевидно, каждая точка из множества Mi есть решение неравенства (38). На множестве М2 обе части неравенства (38) определены и неотрицательны. Поэтому на М2 это неравенство равносильно неравенству / (ж) > g2 (ж).
Из сказанного следует, что неравенство (38) равносильно совокупности систем неравенств
> 0, ёЩ < 0> 0, ёЩ < 0( /(ж) > 0,
> 0, ёЩ < 0
> 0, ёЩ < 0
и 1 ё(ж) > 0,I КР > PPY
Заметим, что во второй системе первое неравенство /(ж) ^ 0 есть следствие последнего неравенства /(ж) > ^(ж), так что первое неравенство можно опустить, не нарушая равносильности. Окончательно получаем, что неравенство (38) равносильно совокупности систем неравенств
(39)(39)/(ж) > 0,и f g(ж) > 0,
(39)
(39)
g(ж) < 0[ /(ж) > g2(ж
Пример 15. Решить неравенство
V2r^^3 > 2 — ж.
Решение. Заданное неравенство равносильно совокупности систем неравенств
[ 2ж — 30,[ 2 — х О,z
<и <о(40)
[2-ж<0[ 2х - 3 > (2 - х)2.
Множество решений первой системы есть промежуток х > 2.
Вторая система после упрощений может быть переписана так:
J х 2,( х2 — 6ж + 7 < 0.
Поскольку решения неравенства ж2 — 6ж + 7 < 0 составляют промежуток 3 — V2 < х < 3 + V2 и так как 3 — V2 < 2 < 3 + V2, то множество решений второй системы неравенств (40) имеет вид 3 — V2 < х 2.
Объединяя найденные множества решений систем (40), получаем промежуток х > 3 — V2 — множество решений исходного неравенства.
Ответ. 3 — V2 < х < +ос.
Заметим, что замена неравенств (32), (38) равносильными им совокупностями систем неравенств (36) и (39) может проводиться при любом четном п ^ 2. Нужно только показатель степени 2 в системах заменить на п = 2к.
В случае же нечетного п ситуация намного проще. Так как при п = = 2т + 1 функция у = хп монотонно возрастает на всей числовой прямой, то неравенства
2m+y?M<gM и н^<^т+Ч^ равносильны. Равносильными будут также неравенства 2m+y/M>gM и
Наконец заметим, что вместо того, чтобы запоминать совокупности систем (30) и (39), можно запомнить лишь способ, каким они были получены и применять его в каждой конкретной ситуации.
В более сложных неравенствах прием возведения в степень может использоваться неоднократно.
Пример 16. Решить неравенство
Решение. ОДЗ неравенства определяется условиями 1 — х ^ 0, ж ^ 0, т.е. представляет собой отрезок 0 х 1. Заданное неравенство можно переписать в виде
и так как обе части последнего неравенства определены и неотрицательны на отрезке 0 ^ х ^ 1, то оно равносильно на этом отрезке неравенству
/ /х 2/1 \
(Vi - ж) > (,
т.е. неравенствут.е. неравенству
т.е. неравенству
т.е. неравенству
2^1
1 — х > х Ч— x/х Ч—.
УЗ 3
1313Последнее неравенство после упрощений может быть записано в виде
1
3
1
3
(41)
Все решения получившегося неравенства, принадлежащие отрезку 0 У У х У 1, удовлетворяют также условию 1/3 — х > 0, т.е. лежат в множестве 0 У х < 1/3. Таким образом, все решения исходного неравенства принадлежат промежутку 0 У х < 1/3. На этом множестве обе части неравенства (41) определены и неотрицательны. Следовательно, на промежутке 0 У х < 1/3 неравенство (41) равносильно неравенству
Решения последнего неравенства составляют два промежутка: х <
и х > . Из них в область 0 У х < 1/3 попадают только числа из
6
3 _
промежутка 0 У х < . Итак, множество решений неравенства (41),
6
попадающих в отрезок 0 У х У 1, а следовательно, и множество решений
л // V5
исходного неравенства имеет вид О У ж < .
6
3 — Уб
Ответ. О У х < .
6
(42)(42)Потенцирование неравенств. Пусть а некоторое положительное число, отличное от единицы. Замена неравенства
(42)
(42)
toga/M < bga^)
в случае а > 1 неравенством
/(ж) < gOX
а в случае 0 < а < 1 неравенством
/(ж) > g(ж)
называется потенцированием неравенства (42).
В общем случае переход от неравенства (42) к неравенству /(ж) < g^x) либо к неравенству /(ж) > g(x) неравносилен. Например, замена неравенства log2 х < log2 ж2 неравенством х < х2 есть неравносильный переход, ведь числа х < 0, являющиеся решениями неравенства х < ж2, не являются решениями неравенства log2 х < log2 х2.
При решении неравенств вида (42) пользуются утверждениями 9 и 10 § 1.
Согласно этим утверждениям неравенства вида (42) решают следующим образом.
Находят ОДЗ неравенства.
Решают неравенство на ОДЗ, учитывая, что потенцирование есть равносильное преобразование на этом множестве.
Пример 17. Решить неравенство
log3(a;2 - 1) < 1.
Решение. Область допустимых значений неравенства состоит из всех ж, удовлетворяющих условию ж2 — 1 > 0, т.е. ОДЗ есть объединение двух промежутков —ос < ж < — 1 и 1 < ж < +оо. На этой области исходное неравенство равносильно неравенству
ж2 ™ 13,
которое удовлетворяется только для ж из промежутка —2 ^ ж ^ 2. Из этих ж в ОДЗ попадают лишь ж из двух промежутков —2 ^ ж < — 1 и 1 < ж ^ 2. Следовательно, все ж из этих промежутков являются решениями исходного неравенства.
Ответ. —2 ж < — 1, 1 < ж 2.
Пример 18. Решить неравенство
logsin^/з^2 — Зж + 2) > 2.
Решение. Область допустимых значений неравенства состоит из всех ж, удовлетворяющих условию ж2 — Зж + 2 > 0, т.е. ОДЗ состоит из двух промежутков: —ос <ж<1и2<ж< +ос. Поскольку sin тг/З = V3/2 < < 1 и 2 = 2 log^2 V3/2 = log^2 3/4, то исходное неравенство на ОДЗ равносильно неравенству
ж2 — Зж + 2 <
4 или неравенству
4ж2 - 12ж + 50.(43)
Решения неравенства (43) составляют промежуток 1/2 ^ ж ^ 5/2. Поскольку 1/2 < 1 и 5/2 > 2, то множество решений исходного неравенства состоит из двух промежутков: 1/2 ж < 1и2<ж^5/2.
Ответ. - < ж < 1, 2 < ж < 22
Иногда неравенство
kga/M < 1оёа£(ж)
заменяют при а > 1 равносильной системой неравенств
Г ж^ > °,
1 g^ >
или при 0 < а < 1 равносильной системой неравенств
Г g(ж) > о,
1 /(ж) > g(p
Пример 19. Решить неравенство
log2 > -1.
Решение. Множество решений этого неравенства состоит из решений уравнения
log2 = -1(44)
Ж - 1
и решений неравенства
log2 > -1.(45)
Ж - 1
Уравнение (44) равносильно уравнению ж _ 1 ж - 1 ” 2 ’
имеющему единственный корень Ж1 = — 1. Неравенство (45) равносильно, как указывалось выше, неравенству
ж 1
ж - 12 ’
множество решений которого состоит из двух промежутков ж < — 1 и ж > 1.
Присоединяя к этому множеству точку ж у = — 1, получаем искомое множество решений заданного в условии неравенства.
Ответ, —ос < ж ^ — 1, 1 < ж < +ос.
Прием с потенцированием неравенств может применяться неоднократно.
Пример 20. Решить неравенство
logs kgg/ie^2 - 4ж + 3) < 0.
Решение. Данное неравенство равносильно двойному неравенству 0 < loggд6(ж2 - 4ж + 3)1,
которое, в свою очередь, равносильно двойному неравенству
1 > ж2 -4ж + 39/16.
Последнее неравенство можно переписать в виде следующей системы неравенств:
Г ж2 — 4ж + 3 < 1,
( ж2 — 4ж + 39/16.
Множество решений первого неравенства этой системы есть промежуток 2 — V2 < ж < 2 + V2, множество решений второго неравенства состоит из двух промежутков: ж 3/4 и ж 13/4. Так как 2 — V2 < 3/4 и 13/4 < 2 + V2, то множество решений системы неравенств, а значит, и исходного неравенства состоит из двух промежутков: 2 — V2 < ж ^ 3/4 и 13/4 ж < 2 +V2.
Ответ. 2 - V2 < ж 3/4, 13/4 ж < 2 + Vi
Иногда, для того чтобы привести неравенство к виду (42), надо сделать различные преобразования, тождественные на ОДЗ исходного неравенства или на каком-либо ином множестве.
Пример 21. Решить неравенство
!ogi/2(4 - ж) > log1/2 2 - log1/2(;c - 1).
Решение. Область допустимых значений неравенства состоит из всех ж, удовлетворяющих условиям 4 — ж > 0 и ж — 1 > 0, т.е. ОДЗ является интервалом 1 < ж < 4. На этом интервале исходное неравенство равносильно неравенству
1°Si/2(4 - ж) (ж - 1) > log1/2 2
или неравенству
(4 — ж)(ж — 1)2.
Решения последнего неравенства составляют два промежутка: —оо < ж ^ ^ 2 и 3 ^ ж < +оо. Из этих решений в интервале 1 < ж < 4 содержатся лишь ж из двух промежутков 1<ж^2и3^ж<4. Значит, множество всех решений исходного неравенства состоит из двух промежутков: 1 < ж 2 и 3 ж < 4.
Ответ. 1 < ж 2, 3 ж < 4.
Если в неравенстве присутствуют логарифмические функции с различными основаниями, то, как правило, удобно бывает привести их к одному основанию с помощью тождества
_ 1°ёсаlogc b’
где а > 0, b > 0, с > 0, с 1, b 1.
Пример 22. Решить неравенство
Решение. Область допустимых значений данного неравенства состоит из всех ж, удовлетворяющих условиям ж > 0, ж ^ 1. На этом множестве справедливо тождество
1 _ 1
log1/49T2 log7 ж
Поэтому исходное неравенство на своей ОДЗ равносильно неравенству log7 ж + -Д— > 2.(46)
Обозначив log7 ж через у, неравенство (46) можно переписать в виде
или в виде
> 0.(47)
Решения неравенства (47) составляют промежуток 0 < у < +оо. Следовательно, данное в условии задачи неравенство на своей ОДЗ равносильно неравенству log7 х > 0. Последнему неравенству удовлетворяют все числа х из области х > L Все они лежат в ОДЗ исходного неравенства и потому являются его решениями.
Ответ. 1 < х < +оо.
Логарифмирование неравенств. Пусть а — фиксированное положительное и отличное от единицы число. Замена неравенства
/(ж) < g(ж)(48)
неравенством
к^Дж) < logag(S)(49)
при а > 1 либо неравенством
loga/(®) > logag(ж)(50)
при 0 < а < 1 называется логарифмированием неравенства (48).
В общем случае такой переход от неравенства (48) к неравенствам (49) или (50) неравносилен. Однако если функции у = /(ж) и у = g(x) одновременно положительны на ОДЗ неравенства (48), то при a > 1 неравенства (48) и (49) равносильны, а при 0 < а < 1 неравенства (48) и (50) также равносильны (см. утверждения 9 и 10 § 1).
Наиболее часто логарифмирование неравенств применяется в случае, когда
/(ж) =g^x) = agl^\
где число а таково, что а > 0 и а ф 1. При этом применяются утверждения 5 и 6 § 1.
Пример 23. Решить неравенство
Решение. Данное неравенство можно переписать в виде
2®—i р
Логарифмируя по основанию 2 это неравенство, получим, что оно равносильно неравенству
Перенесем правую часть этого неравенства налево и приведем получившееся в левой части неравенства выражение к общему знаменателю. В результате получим неравенство
> о,(51)
Ж
равносильные исходному. Дискриминант квадратного трехчлена ж2 — ж + 4 отрицателен (он равен (—15)). Значит, числитель неравенства (51)
11 М.К. Потапов и др.
положителен при любом действительном ж, и поэтому это неравенство равносильно неравенству
- > 0;
множество решений последнего неравенства есть промежуток х > 0.
Ответ. 0 < х < +оо.
Пример 24. Решить неравенство
2\ -40ж2
^4ж2-Зж + 1/2 < / 4 \
/ 1 х — 40ж2,2
Решение. Так как j = 340ж , то данное неравенство перепишется в виде
^4ж2-Зж + 1/2 < ^40ж2
Поскольку 3 > 1, то это неравенство равносильно неравенству
4ж2 — Зж + - < 40ж2
2 или неравенству
36ж2 + Зж - | > 0.(52)
Корнями квадратного трехчлена Збж2 + Зж — 1/2 являются xi = — 1/6 и ж2 = 1/12. Поэтому множество решений неравенства (52), а следовательно, и исходного неравенства есть два промежутка: —оо < ж < —1/6 и 1/12 < ж < +оо.
_11
Ответ. — оо < ж < —, — < ж < +оо.
612
Решение неравенств, содержащих неизвестную под знаком абсолютной величины. Для решения таких неравенств обычно избавляются от знаков абсолютных величин.
Для освобождения от знаков абсолютной величины надо отметить на координатной оси все точки, в каждой из которых меняет знак хотя бы одна из функций, находящихся в неравенстве под знаком абсолютной величины. Таким образом, координатная ось разбивается на некоторое число промежутков. На каждом таком промежутке неравенство заменяется на другое неравенство, не содержащее знаков абсолютной величины и равносильное исходному неравенству на этом промежутке. Каждое из полученных неравенств решается, и из полученного множества решений отбираются числа, лежащие на рассматриваемом промежутке. Они и будут решениями исходного неравенства на этом промежутке. Наконец, для того чтобы выписать все решения исходного неравенства, объединяют все его решения, найденные на этих промежутках.
Пример 25. Решить неравенство
ж2 — |5ж — 3| — ж < 2.
Решение. Для освобождения от знаков абсолютной величины разобьем координатную ось на две области: первую, в которой 5ж — 30, и
вторую, в которой 5ж — 3 < 0, и будем искать решения исходного неравенства в каждой из этих областей отдельно.
В первой области 15 ж — 31 = 5ж — 3 и исходное неравенство перепишется
Так:2 г I о
х — ох + 3 — х < 2.
Решения этого неравенства образуют интервал 3 — V8 < ж < 3 + V8. Из этого множества в рассматриваемую область х ^ 3/5 попадает промежуток 3/5^ж<3 + V8. Все эти х и будут решениями исходного неравенства в первой области.
Во второй области |5ж — 3| = — (5ж — 3), и исходное неравенство перепишется так:
ж2 + 4ж — 5 < 0.
Множество решений этого неравенства есть интервал —5 < ж < 1. Из этого множества в рассматриваемую область ж < 3/5 попадает интервал —5 < ж < 3/5. Все эти ж и будут решениями исходного неравенства во второй области. Поскольку множество решений исходного неравенства является объединением множеств решений в первой и во второй областях, т.е. объединением двух промежутков —5 < ж < 3/5 и 3/5 ж < 3 + V8, то это множество есть интервал —5 < ж < 3 + V8.
Ответ. —5 < ж < 3 + V8.
Пример 26. Решить неравенство
|5ж — 13| — |6 — 5ж| ^7.
Решение. Для освобождения от знаков абсолютной величины разобьем координатную ось на три области: первую, в которой ж ^ 13/5, вторую, в которой 6/5 < ж < 13/5, и третью, в которой ж 6,5.
В первой области |5ж ™ 13| = 5ж — 13, |6 — 5ж| = —(6 — 5ж), и поэтому исходное неравенство перепишется так:
5ж - 13 + (6 - 5ж) ^ 7.
Это неравенство решений не имеет, значит, и исходное неравенство решений не имеет на множестве ж 13/5.
Во второй области 15ж —131 = — (5ж —13), |6 — 5ж| = — (6 —5ж), поэтому исходное неравенство перепишется так:
—5ж + 13 + 6 — 5ж 7.
Множество решений этого неравенства есть промежуток ж ^ 6/5, который не пересекается с интервалом 6/5 < ж < 13/5. Значит, и во второй области исходное неравенство не имеет решений.
В третьей области |5ж — 13| = —(5ж — 13), 16 — 5ж | = 6 — 5ж, поэтому исходное неравенство запишется так:
—5ж + 13 — 6 + 5ж 7.
Этому неравенству удовлетворяет любое действительное число, а значит, 11*
и любое число из третьей области х 6/5. Следовательно, множество решений исходного неравенства есть промежуток ж ^ 6/5.
Ответ, —оо < х ^ 6/5.
Неравенства вида
(53)(53)|/(ж)| > |g(z)| и |/(Д| < |g($)|
(53)
(53)
можно решать предложенным выше методом, т.е. освобождаться от знаков абсолютной величины на промежутках. Однако иногда бывает проще заменить неравенства вида (53), соответственно, равносильными им неравенствами
Р^>^^ и Н^<^^х\
Пример 27. Решить неравенство
|ж2 + х\ > |ж2 — х\.
Решение. Данное неравенство равносильно неравенству
т.е. неравенству
Решениями этого неравенства, а значит, и исходного являются все х из промежутка х > 0.
Ответ. 0 < х < +оо.
Иногда возведение в квадрат неравенства, содержащего абсолютную величину, можно проводить на некотором множестве М.
Пример 28. Решить неравенство
21 ж + 1| > х + 4.
Решение. Все х из области х < — 4 удовлетворяют данному неравенству, так как для любого такого х в левой его части будет находиться неотрицательное число, а в правой — отрицательное. На множестве х ^ — 4 обе части неравенства неотрицательны, значит, оно равносильно на этом множестве неравенству 4 (ж + I)2 > (ж + 4)2 или неравенству ж2 > 4. Последнему неравенству на множестве ж — 4 удовлетворяют все ж из двух промежутков — 4 ^ ж < —2 и 2 < ж < +оо. Объединяя найденные решения, получаем, что множество решений исходного неравенства состоит из двух промежутков — оо < ж < — 2 и 2 < ж < +оо.
Ответ. —оо < ж < —2, 2 < ж < +оо.
Упражнения
Решить неравенство.
ж3 — V1 Г х > х — V1 Г х. 2) ж3 — V2 + ж < ж — V2 + ж.
ж2 + Зж 32— у §ж _ 5. 4) iOg2 (ж у 3) ™ iOg2 (ж у 3) у ж у 5 у о,
2ж 52ж 5
log3 ж2 — 2 log3 |ж| + 2ж < 3. 6) (ж — 3) V^2 + ж ™ 2 > 0.
(1 — ж) V^ ™ ж2 + 6 < 0. 8) (4ж2 — 8ж — 5) log3(a? + 1) < 0.
(2Ж — 4)(ж2 — 2ж —3) > 0. 10) ^Vs^ 3)10 П) 41°ё4(®0
ж2 — 5ж + 6ж2 — Зж — 4
12Н$ + ЗНрНЗ> 0. 13) 4 + 3)V^+^ 0
(2 + ж)44 - ж45Т7ж > 0. 15) (2 + ж) 4(4 - ж)(5 - ж) > 0.
ЗРЕ1 >0. 17)— <0. 18) 1о§з(ж + 2) < 0.
^Тз(ж-4)-1log3(9 —Зж) —3log2(ж —3)
< 0. 20)> 0. 21) 1о§зЖ < 3.
logi/2(x2 - 1)Зж - 1l-log3$
2'2Z + 1!23) —> . 24) 2Ж + —— > 7.
’ 2Ж — 12Ж — 11 - 2х”1' 2Ж — 1
7я+з > 7,52^-1, 26) Зж - 2Ж+4 > Зж-1 - 55 • 2Ж"2.
7^^ ^$ + 2 । ^$ + 1 । g® > уж/24-3 । уж/24-2 ।. ух/24-1
52а:+1 + 6ж+1 > 30 + 5Ж • 30+ 29) 3 • 9Ж - 29 • 6Ж-1 + 22ж-1 < 0.
4ж2 + З^1 + ж • 3^ < 2ж2 • 3^ + 2ж + 6.
(ж — 1) log2 ж > (2ж + 3) log2 ж. 32) 4^(3ж — 1) > 4^(2ж + 4).
ж2 + 1 > 4ж2^) V8 — 2ж — ж2V8 — 2ж — ж2
1g ж1g жж + 102ж + 9
V12 + ж ™ ж2 V12 + ж ™ ж2,/ I о /
^ . 36) V® + 2 > ж. 37) уж + 2 g^ ж.
х -112ж-9
ж + 1 > 42 +ж. 39) 42ж + 2 > ж - 3.
42ж2 - 4ж - 7 - ж + 1 > 0. 41) V(® - 4)(5ж + 4) < 2(2ж - 7).
48 + ж • 48 - ж < ж. 43) J
V 2 — ж
44)43-ж + 4ж + 1 > 1/2. 45) 4ж + 1 > 1 + 4ж - 1.
4ж + 2 + 4ж - 5 > 45-ж. 47) 47ж - 13 - 43ж - 19 > 4бж - 27.
48) 4ж - 5 - 49-ж -1^0.48) 4ж - 5 - 49-ж -1^0.
48) 4ж - 5 - 49-ж -1^0.
48) 4ж - 5 - 49-ж -1^0.
2/тХ101550)22:с< ( - 1. 51)2/тХ101550)22:с< ( - 1. 51)53)3ж+153)3ж+154)54)ж4"6/ж> 128ж4"6/ж> 12859)59)58) 62ж+4 З3ж • 2ж+8.58) 62ж+4 З3ж • 2ж+8.1о8з 1о81/5(®2™4/5)1о8з 1о81/5(®2™4/5)60) (l^S)1-108^ < (0,64)2+logV260) (l^S)1-108^ < (0,64)2+logV2
2/тХ1015
50)22:с< ( - 1. 51)
2/тХ1015
50)22:с< ( - 1. 51)
53)3ж+1
53)3ж+1
54)
54)
ж4"6/ж
> 128
ж4"6/ж
> 128
59)
59)
58) 62ж+4 З3ж • 2ж+8.
58) 62ж+4 З3ж • 2ж+8.
1о8з 1о81/5(®2™4/5)
1о8з 1о81/5(®2™4/5)
60) (l^S)1-108^ < (0,64)2+logV2
60) (l^S)1-108^ < (0,64)2+logV2
61)logij5——- < 0. 62) log8(®2 — 4ж +3) < 1. 63) log1/2 5г + 4 > tg —
ж - 2ж - 24
ж — 1
64) log1/2 log3 > 1. 65) log5(log4(log3 ж)) > 0.
66) logjl1 + 5 • 2Ж + 2) > 2. 67) log1/2 ^4Ж + 2Ж - |) > 1.
1g > 1g. 69) log1/3 yr — 2ж > sin.
' ж + 4 ж + 26
log16 ж + log4 ж + log2 ж > 7. 71) 21og4(2ж2 + 3) < к^2(ж2 + 6).
log1/2 ж > log1/3 ж. 73) ^(ж - 1) + ^(ж - 2) < 1g 6.
logVз(ж + 1) - logVз(ж - 1) > log3 4.
lg V5ж — 4 + lg Vt + 1 > 2 + 1g 0,18.
^(ж2 + 6ж + 9) + ^(ж - 1) > ^(ж + 3).
log3(ж — 3) + | < | log3(2ж2 — 6ж + 7).
7 — Зж
log^ ^ + 9 - log1/V2(a: + 2) > - log1/2 4.
log9 ( —— ) + 11о8э(ж2 - 13® + 50) > 0.
\ ж — 6 /2
log,/3 (ж2 - 6ж + 18) - 2 log,/3 (ж - 4) < 0.
х ,8шЗтг/4 1 , .,
log2(3 - ж) - log2— > - + log2(® + 7). 5 — ж 2
ж2 — 5|ж| + 6 < 0. 83) ж2 + |6ж - 5| < 0. 84) ж2 + ж - 10 < 2|ж - 2|.
|ж2 - 1| - 2ж < 0. 86) |ж2 + Зж| + ж2 - 2 > 0.
|ж + 1| > 2|ж + 2|. 88) |3 - ж| + |2ж + 4| - |ж + 1| > 2ж + 4.
89)89)ж + 2ж — 1ж + 2ж — 1> 3. 90)> 3. 90)2ж - 1ж + 22ж - 1ж + 2^ 4.^ 4.91) |2ж2 - 9ж + 15|20.91) |2ж2 - 9ж + 15|20.
89)
89)
ж + 2
ж — 1
ж + 2
ж — 1
> 3. 90)
> 3. 90)
2ж - 1
ж + 2
2ж - 1
ж + 2
^ 4.
^ 4.
91) |2ж2 - 9ж + 15|20.
91) |2ж2 - 9ж + 15|20.
92) ж~ ^^^ ^^ < 0 93) ^ж ^ ж' < 1 94) ж~ 'ж^ ^^ ' ж2 — 6ж + 9|3 — ж| + 2' ж —3
НЕРАВЕНСТВА, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ
НА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНАХ В ВУЗЫ
Решение неравенств с применением различных приемов. При решении многих неравенств, предлагаемых на вступительных экзаменах в вузы, приходится применять несколько различных приемов, описанных выше.
Пример 1. Решить неравенство
11 • 3х”1 - 31
4- 9Ж - 11 • З^™1 - 5
Решение. Перенесем правую часть данного неравенства налево и приведем все члены неравенства к общему знаменателю. В результате получим неравенство
11 ■ З*-1 - 31 - 20 • 9^ + 55 •+ 25 > Q
4 • 9Ж — 11 ■ З^"1 -5 равносильное исходному. Обозначив Зж через у, неравенство (1) можно переписать в виде
60у2 - ббу + 18 < 0
12у2 - Пу - 15 или в виде
(у - 1/2) (у - 3/5) < 0(
(у + 3/4) (у - 5/3) " ’М
Множество решений неравенства (2) есть объединение множества решений уравнения
(у - 1/2) (у - 3/5) _ 0
(у+ 3/4) (у-5/3)
и неравенства
(у - 1/2) (у - 3/5) <0 (у+ 3/4) (у-5/3)
Уравнение имеет решения yi = 1/2 и у2 = 3/5. Пользуясь методом ин-
_ з 1з4 25Рис. 17_ з 1з4 25Рис. 175353тервалов (рис. 17), находим, что множество решений последнего неравенства есть два промежутка
_ з 1з
4 25
Рис. 17
_ з 1з
4 25
Рис. 17
5
3
5
3
З/Ч < » < 1/2. 3/5 < , < 5/3.
Следовательно, множество решений неравенства (2) есть два промежутка
4Таким образом, исходное двойных неравенств:44Таким образом, исходное двойных неравенств:4неравенствонеравенствоЗж < - и2Зж < - и2355 У 3равносильно совокупности двух355 У 3равносильно совокупности двух3 < г < 5533 < г < 553
4
Таким образом, исходное двойных неравенств:
4
4
Таким образом, исходное двойных неравенств:
4
неравенство
неравенство
Зж < - и2
Зж < - и2
35
5 У 3
равносильно совокупности двух
35
5 У 3
равносильно совокупности двух
3 < г < 5
53
3 < г < 5
53
12’12’
1
2’
1
2’
Множество решений первого неравенства есть промежуток —оо < ж
log3 множество решении второго— промежуток log3 - ж < log3
Значит, множество решений исходного неравенства есть два промежутка:
1 3 / 1 5bg3 у < ж < log3 -.
Ответ.Ответ.— ОО— ОО< bg3 ™,< bg3 ™,1 3/1 5log3 ™ж<log3531 3/1 5log3 ™ж<log353о3
Ответ.
Ответ.
— ОО
— ОО
< bg3 ™,
< bg3 ™,
1 3/1 5
log3 ™ж<log3
53
1 3/1 5
log3 ™ж<log3
53
Пример 2. Решить неравенство
7-ж - 3 ■ 71+ж > 4.
Решение. Обозначив 7х через у, исходное неравенство можно переписать в виде
- — 21у > 4.
У
Перенося все члены этого неравенства в левую часть и приведя их к общему знаменателю, получим, что оно равносильно неравенству
21у2 + 4у - 1 < 0
У
На множестве у > 0 (нас интересуют только эти значения у, поскольку у = 7х) последнее неравенство равносильно неравенству
21у2 + 4у - 1 < 0.
Это неравенство имеет решения —1/3 < у < 1 /7. Из них в множество у > 0 входят лишь у из промежутка 0 < у < 1/7. Следовательно, неравенство, данное в условии задачи, равносильно неравенству 7х < 1/7. Множество решений этого неравенства, а значит, и исходного неравенства есть х < — 1.
Ответ, —оо < х < — 1.
Пример 3. Решить неравенство
V51 — 2ж — ж2 <
1 — ж
Решение. Область допустимых значений исходного неравенства состоит из всех ж, одновременно удовлетворяющих условиям ж ^ 1 и 51 — 2ж — ж2 0, т.е. ОДЗ состоит из двух промежутков — 1 — л/52 ^ж<1и1<ж^-1 + V52.
Так как 1 — ж > 0 для любого ж из промежутка — 1 — л/52 ж < 1, то на множестве — 1 — л/52 ^ ж < 1 исходное неравенство равносильно неравенству
V51 — 2ж — ж2 < 1 — ж.
На множестве — 1 — л/52 ж < 1 обе части этого неравенства неотрицательны, поэтому оно на этом множестве равносильно неравенству
51 — 2ж — ж2 < 1 — 2ж + ж2,
которое равносильно неравенству
ж2 > 25.
Решения этого неравенства есть ж > 5 и ж < —5. Из этих значений ж промежутку — 1 — л/52 ж < 1 принадлежат ж из промежутка — 1 — л/52 ж < — 5. Следовательно, все ж из этого промежутка являются решениями исходного неравенства.
Так как 1 — ж < О для любого ж из множества 1 < ж < -1+Гй, то левая часть исходного неравенства неположительна для любого ж из этого множества, а это означает, что все эти ж также являются решениями исходного неравенства. Объединяя множества решений, найденные на промежутках 1 < ж л/52 — 1 и — 1 — л/52 ж < 1, получаем множество решений исходного неравенства.
Ответ. — 1 — л/52 ж < —5, 1 < ж — 1 + л/52.
Пример 4. Решить неравенство
72(5® + 24) - Г5Ж + 7 > V5^7.
Решение. Область допустимых значений неравенства определяется из условия 5Ж — 70, те. является промежутком log5 7 ж < +оо.
Исходное неравенство равносильно неравенству
У2(5Ж + 24) > VXX7 +- 7.
Так как на ОДЗ обе части этого неравенства неотрицательны, то после возведения его в квадрат получим неравенство
2(5Ж + 24) > 5Ж + 7 + 5Ж - 7 + 2Х52ж - 49, равносильное на ОДЗ исходному неравенству. Последнее неравенство можно переписать так:
24 > \/52ж - 49.
Так как обе части этого неравенства неотрицательны на ОДЗ, то после возведения в квадрат получим неравенство
576 > 52ж - 49, равносильное исходному на ОДЗ.
Множество всех решений последнего неравенства есть промежуток —оо < ж ^ 2. Из этих чисел решениями исходного неравенства будут лишь те, которые попадают в ОДЗ исходного неравенства, т.е. в промежуток log5 7 ^ ж < +оо. Значит, множество всех решений исходного неравенства есть отрезок log5 7 ж 2.
Ответ. log5 7 ж 2.
Пример 5. Решить неравенство
б'0®3< L
Решение. Область допустимых значений данного неравенства состоит из всех ж > — 2. Так как основание степени в исходном неравенстве больше единицы, то исходное неравенство равносильно на ОДЗ неравенству
Основание логарифма в этом неравенстве больше единицы, значит, оно равносильно на множестве ж > — 2 неравенству
< 1.(3)
На множестве ж > — 2 неравенство (3) равносильно неравенству
2 < х + 2,
множество решений которого состоит из всех х > 0. Все эти х входят в множество ж > — 2, следовательно, все они являются решениями исходного неравенства.
Ответ. 0 < х < +оо.
Пример 6. Решить неравенство
1оё1М(6ж+1 - 360 > -2.
Решение. Исходное неравенство равносильно двойному неравенству
или, что одно и то же, системе неравенств
J gx+i _ 36Ж > 0,[ 6ж+1 - 36ж 5.
Обозначив 6Ж через у, эту систему можно переписать так:
( бу - у2 > 0,
1 бу - у2 < 5.
Множество решений первого неравенства есть промежуток 0 < у < 6. Множество решений второго неравенства состоит из двух промежутков: у ^ 1 и у ^ 5. Таким образом, решениями системы (5) являются все у из областей 0<у^1и5^г/<6. Значит, система (4) равносильна совокупности двух двойных неравенств:
0 < 6Ж ^1, 5 6Ж < 6,
или, что одно и то же, совокупности двух систем неравенств: f 6Ж > 0,J 6Ж 5,
| 6Ж 1,( 6Ж < 6.
Множество решений первой системы есть промежуток ^оо < х ^ 0, множество решений второй — промежуток log6 5 х < 1. Значит, множество решений исходной системы состоит из двух промежутков: —сю < х 0, log6 5 х < 1.
Ответ. —оо < х0, log6 5 х < 1.
Пример 7. Решить неравенство
y/bg9(3x2 — 4х + 2) + 1 > log3(3x2 - 4х + 2).
v^ +1 > Nv^ +1 > NРешение. Поскольку log3(3x2 — 4х + 2) = 21og9(3x2 — 4х + 2), то, обозначив log9(3x2 — 4х + 2) через у, перепишем исходное неравенство в виде
v^ +1 > N
v^ +1 > N
или в виде
vy > 2y i.(6)
Отрицательные значения г/, очевидно, не удовлетворяют этому неравенству Для у из промежутка 0 ^ у < 1/2 правая часть неравенства (6) отрицательна, а левая неотрицательна; значит, все эти у будут решениями неравенства (6). Для у ^ 1/2 обе части неравенства (6) неотрицательны, поэтому после возведения в квадрат получим неравенство
У > (2у - I)2,(7)
равносильное неравенству (6) на множестве у ^ 1/2. Решениями квадратного неравенства (7) будут все у из промежутка 1/4 < у < 1. Из них условию у ^ 1/2 удовлетворяют только у из промежутка 1/2 ^ у < 1. Все эти у будут решениями неравенства (6) на множестве у ^ 1/2. Объединяя найденные решения, получаем, что решениями неравенства (6) будут все у из промежутка 0 ^ у < 1. Поэтому исходное неравенство равносильно двойному неравенству
О log9 (Зж2 — 4х + 2) < 1.
Потенцируя его, приходим к двойному неравенству
1 Зж2 - 4ж + 2 < 9
или к системе неравенств
J Зж2 - 4ж + 2 ^ 1,
| Зж2 - 4ж + 2 < 9,
равносильной исходному неравенству. Множество решений первого неравенства этой системы состоит из двух промежутков: 1 ж < +сю и —сю < ж ^ 1/3. Множество решений второго неравенства системы есть промежуток — 1 < ж < 7/3. Следовательно, множество решений системы, а значит, и множество решений исходного неравенства состоит из двух промежутков: — 1 < ж 1/3 и 1 ж < 7/3.
Ответ. — 1 < ж 1 ж < -.
3"3
Пример 8. Решить неравенство
log5(ж2 - 4ж - п)2 - ^Дж2 - 4ж - II)3 > 0
2 — 5ж — Зж2
Решение. Область допустимых значений данного неравенства состо- итиз всех ж, удовлетворяющих условиям ж2 — 4ж —11 > 0 и 2 — 5ж — Зж2 / О, т.с. является объединением трех промежутков: —сю < ж < —2, —2 < ж < < 2 — V15, 2 + V15 < ж < +сю. Поскольку в этой области
log,^2 - 4Ж - II)3 = 31об5(Ж2-4Ж-11)
bg5 11
И
^5(ж2 — 4ж — II)2 = 2^5(ж2 — 4ж — 11),
то исходное неравенство равносильно на своей ОДЗ такому:
з \ . log5Q2 - 4ж - 11) < 0™
log5 11 / Зж2 + 5ж — 2
Из справедливости неравенства 121 < 125 следует, что И2 < 53 или
11 < 53/2. Отсюда log5 11 < - и 2— < 0. Поэтому неравенство (8)
2 log5 И
равносильно такому:
bg5(^2 ~ 4ж - И) > 0
Зж2 + 5ж2*
Последнее неравенство равносильно на ОДЗ исходного неравенства совокупности двух систем неравенств:
Зж2 + 5ж — 2 > 0,J Зж2 + 5ж — 2 < 0,
ж2 — 4ж — 11 1| ж2 — 4ж — 11 1.
Множество решений первой системы состоит из двух промежутков:
—сю < ж < —2,6 ж < +оо.(9)
Все эти числа лежат в ОДЗ исходного неравенства. Множество решений второй системы есть интервал —2 < ж < 1/3. Из этих чисел в ОДЗ исходного неравенства попадают только числа из промежутка
-2 < ж < 2 - V15.(Ю)
Объединяя множества решений (9) и (10), получаем, что множество всех решений исходного неравенства состоит из трех промежутков: —оо < ж <
< —2, —2 < ж < 2 — V15, 6 ж < +оо.
Ответ, —оо < ж < —2, —2 < ж < 2 — V15, 6 ж < +оо.
Пример 9. Решить неравенство
Решение. Для освобождения от знаков абсолютной величины разобьем координатную ось на промежутки
—оо < ж < —3,—3 ^ ж < —2,—2 ^ ж < +оо
и будем решать исходное неравенство на каждом из этих промежутков отдельно.
Если—оо < ж < —3, тож + 3 < 0и2 + ж < 0. Значит, |ж + 3| = — (ж + 3),
|ж + 21 = — (ж + 2) и исходное неравенство имеет вид
Последнее неравенство равносильно неравенству
(ж + 5)(ж + 1)0
ж + 4
Множество решений неравенства (И) есть объединение множества решений уравнения
(ж + 5)(ж + 1) = 0
ж + 4
и неравенства
(ж + 5)(ж + 1)0,12х
ж + 4
Уравнение имеет решения ж = — 5 и х = — 1. Пользуясь методом интервалов (рис. 18), находим, что множество решений неравенства (12) состоит из двух промежутков: — 5 < ж < — 4 и — 1 < ж <
< +оо. Следовательно, множество решений 2>уру^ _ неравенства (И) состоит из двух промежут- -5-4-1 ж
ков: -5 С ж < -4и-1 < ж < +оо. Из этих
чисел в области —сю < ж < —3 лежат числаРис- ^
из промежутка —5 ж < —4. Значит, в области —оо < ж < —3 множество всех решений исходного неравенства есть промежуток —5 ж < —4.
Если -3 ж < -2, то ж + 30 и ж + 2 < 0. Значит, |ж + 3| = ж + 3,
|ж + 2| = — (ж + 2) и исходное неравенство имеет вид
+ Р(13)
ж + 3 — 1
Неравенство (13) может быть записано в виде
з + (ж + 2)2 >0ж + 2’
откуда очевидно, что оно нс имеет решений в области —3ж < —2. Значит,
исходное неравенство не имеет решений в области —3 ж < —2.
Если —2ж < +оо, то ж + 3 > 0 и ж + 20. Значит, |ж + 3| = ж + 3,
|ж + 2| = ж + 2, и исходное неравенство имеет вид
Это неравенство равносильно неравенству
ж2 + 4ж + 1
ж + 2
Множество решений неравенства (14) есть объединение множества решений уравнения ж2 + 4ж + 1 = 0 и неравенства
ж2 + 4ж +1z х
—2—V3-2 -2+V3 X
Уравнение имеет решения ж = — 2 — л/з иРис- 19
х = —2 + л/З. Пользуясь методом интервалов
(рис. 19), находим, что множество решений неравенства (15) состоит из двух промежутков: ™оо<ж<™2™ л/з и —2 < ж < — 2 + -\/3. Следовательно, множество решений неравенства (14) состоит из двух промежутков:
—оо<ж^—2 — л/з и —2 < х ^ — 2 + V5. Из этого множества в область —2 ^ х < +оо попадает лишь промежуток —2 < х ^ — 2 + V3. Значит, в области —2 х < +оо множество всех решений исходного неравенства есть промежуток ^2 < х —2 + V3. Объединяя решения, найденные на областях —сю < х < —3, —3 х < —2, —2 х < +оо, находим, что множество всех решений исходного неравенства состоит из двух промежутков: —5 х —4 и —2 < ж —2 + -\/3.
Ответ. —5 х < —4, —2 < ж—2 + V3.
Неравенства с дополнительными условиями.
Пример 10. Найти все решения неравенства
39
cos - — 4ж — ж 0,2
принадлежащие интервалу< ж < 0.
5
93
Решение. Корни квадратного трехчлена ж + 4ж — cos - есть жх = /з"/з”
= —2 + 04 + cos - и ж2 = —2 — 0 4 + cos -. Поэтому множество решений данного неравенства имеет вид ж2 ж жх. В этом множестве нужно выбрать точки, принадлежащие интервалу< ж < 0. Так как
О < - < —, то cos ™ > 0 и, значит, жх > 0. Покажем, что точка ж2 при™ 21
надлежит интервалу< ж < 0. Неравенство ж2 < 0 очевидно. Для 5~
21тг 3 тг
доказательства неравенства — ™ < ж2 воспользуемся тем, что — < - < —
тг 1
и, следовательно, cos - < cos — = ™. Тогда
. ,3„/, , 1„3V2
+cos -> -2- а/4 + -= -2—.
2V 22
„„3V221
Осталось проверить, что справедливо неравенство ™2> ——
22
или, что равносильно, неравенство V 2 < —. Последнее неравенство спра™ 15
(
22 \48421
— ) = > 2. Итак,< ж2 < 0 и искомое
1572255
множество имеет вид ж2 ж < 0.
ж < 0.ж < 0./3
ж < 0.
ж < 0.
Ответ. — 2 — 4 4 + cos ™
V2
Пример 11. Найти все решения неравенства
log1/3 vT+6 < log1/3(x + 4)(16)
такие, что ж + 1/2 есть целое число.
Решение. Область допустимых значений неравенства (16) состоит из всех ж, удовлетворяющих одновременно условиям ж + 6 > 0 и ж + 4 > О, т.с. ОДЗ состоит из всех ж, принадлежащих промежутку ^4 < ж < +оо. На ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству
+ 6 ж + 4.(17)
Поскольку на ОДЗ ж + 4 > 0, то неравенство (17) равносильно на ОДЗ неравенству
ж + 6 (ж + 4)2, которое можно записать в виде
ж2 + 7ж + 100.(18)
Так как корнями квадратного трехчлена ж2+7ж+10 являются (—5) и (—2), то все ж из промежутка —5 ^ ж — 2 являются решениями неравенства (18). Из этих ж в ОДЗ входят только ж из промежутка —4 < ж ^ —2. Они и являются решениями неравенства (16).
Теперь для решения задачи надо найти такие значения ж из промежутка ^4 < ж ^ —2, для которых число ж + 1/2 целое, иначе говоря, найти целые числа п = ж + 1/2, удовлетворяющие условию —4 < п + 1/2—2.
Такими числами являются числа -3 и -2. Следовательно, условию задачи
удовлетворяют числа ж = —3- и ж =
Ответ, жх = —3-, Ж2 = -2-.
2
Решение неравенств нестандартными способами. При решении неравенств иногда знание ОДЗ и применение некоторых оценок позволяет быстро найти решение неравенства.
Пример 12. Решить неравенство
V^2 ™ 4ж + 3 + 1^) log3 ~ + ~ (^а/8ж — 2ж2 — 6 + 1^0.(19)
Решение. Область допустимых значений исходного неравенства состоит из всех ж, удовлетворяющих одновременно условиям
ж > 0, ж2 — 4ж + 30, 8ж — 2ж2 — 6^0.(20)
Разделив третье неравенство (20) на (—2), получим, что условия (20) можно записать в виде
ж > 0, ж2 — 4ж + 30, ж2 — 4ж + 30.
Отсюда ясно, что ОДЗ состоит из всех ж, удовлетворяющих условиям
ж > 0 и ж2 — 4ж + 3 = 0.(21)
Поскольку корнями квадратного уравнения (21) являются х^ = 1 и ж2 = 3, каждое из которых положительно, то ОДЗ исходного уравнения состоит из х = 1 и х = 3. Так как решения исходного неравенства лежат в ОДЗ, то его решения находятся среди чисел х = 1 и х = 3.
Пусть х = 1. Подставляя это значение в исходное неравенство, получаем logs | + 1 = -1 + 1 = О,
т.е. значение х = 1 является его решением.
Пусть х = 3, тогда левая часть исходного неравенства равна
logs I + I = !°gs 3 - | = logs
Поскольку 27 > 25, т.е. З3 > 52, то 3 > 52/3 и —^— > 1, т.е. log5 —^— > 52/352/3
> log5 1 = 0. Следовательно, значение х = 3 нс является решением исходного неравенства.
Ответ, х = 1.
Иногда на вступительных экзаменах предлагается решить неравенство, нестандартное по внешнему виду Для решения таких неравенств обычно пользуются свойствами функций, входящих в это неравенство.
Пример 13. Решить неравенство
61 + log2(2 + ж)
2ж + 1х
Решение. Область допустимых значений данного неравенства состоит из всех х, удовлетворяющих условиям х > —2, х ф —1/2, ж / 0. Таким образом, эта область состоит из трех промежутков: —2 < ж < —1/2, — 1/2 < ж < 0, 0 < ж < +оо. Рассмотрим данное неравенство на каждом из этих промежутков отдельно.
Пусть —2 < ж < —1/2. Тогда, учитывая, что ж отрицательно на этом интервале, получаем, что исходное неравенство равносильно неравенству
log2(2 + x)>(22)
Легко видеть, что на этом интервале справедливы неравенства
log2(2 + ж) < log2 - < 1,= 2— > 2.
’2 22ж + 1 2ж + 1
Значит, неравенство (22), а вместе с ним и исходное неравенство нс имеет решений на интервале —2 < ж < —1/2.
Пусть —1/2 < ж < 0. Очевидно, что на этом интервале 1 + log2(2 + 3"
+ж) > l+log2 - > 0 и, следовательно, правая часть исходного неравенства
отрицательна. В то же время для любого ж из рассматриваемого интервала 6 п ~1
имеем > 0. Значит, для всех ж из интервала — - < ж < 0 исходное 2ж + 12
неравенство справедливо.
Пусть х > 0. На этом множестве исходное неравенство равносильно неравенству
log2(2 + ж) < |Т/-.(23)
Очевидно, что на этом множестве справедливы неравенства
= 2— <2,1 < log2(2 + ®).
2® + 12® + 1’
Отсюда следует: 1) неравенство (23) не имеет решений на том множестве, где log2(x + 2) ^ 2, т.е. неравенство (23) не имеет решений на множестве х ^ 2; 4т — 1
2) неравенство (23) нс имеет решений на том множестве, где1.
Учитывая, что в рассматриваемом случае х > 0, получаем, что неравенство (23) нс имеет решений на множестве 0 < х ^ 1. Остается найти решения неравенства (23), принадлежащие интервалу 1 < х < 2. Но на этом интервале 4ж-1 =23<3 = 7
2т + 1 2т + 155
Покажем теперь, что справедливо числовое неравенство
7
log23>l.(24)
5
Действительно, поскольку 35 > 27,тоЗ > 27/5, откуда и очевидна справедливость неравенства (24). Итак, на интервале 1 < х < 2 имеем log2(2 + ж) > log2 3 > | >7
5 2т + 1
Значит, неравенство (23) нс имеет решений на интервале 1 < х < 2. Подводя итог, получаем, что множество решений исходного неравенства есть интервал —1/2 < х < 0.
Ответ. —1/2 < х < 0.
4.4. Неравенства, содержащие неизвестную в основании логарифма. Если в основании логарифма есть х, то при определении ОДЗ неравенства надо учитывать, что основание логарифма всегда больше нуля и не равно единице. Кроме того, надо учитывать, что свойства логарифмов при основании, большем чем единица, одни, а при основании, меньшем чем единица, другие.
Поэтому неравенства вида
Ну($) /(ж) < ёИ(25)
решаются обычно следующим образом.
Находят ОДЗ неравенства.
ОДЗ разбивают на два множества Mi и М2:
Мг — та часть ОДЗ, где р(ж) > 1,
М2 — та часть ОДЗ, где 0 < ^(ж) < 1.
На Мх решают неравенство /(ж) < ^(ж), равносильное на множестве Mi неравенству (25).
12 М.К. Потапов и др.
На М2 решают неравенство /(ж) > g(x\ равносильное на множестве М2 неравенству (25).
Объединив решения, найденные на Mi и М2, получают решение исходного неравенства (25).
Из сказанного также следует, что неравенство (25) равносильно совокупности систем неравенств
/ Z L„) " '< L(26)
о < /(ж) < g(ж)( /(ж) > g(ж) > 0.
Это позволяет решать неравенства вида (25) переходом к равносильной совокупности неравенств (26).
Приведем решение неравенств этими двумя способами.
Пример 14. Решить неравенство
2ж + 2/5„
logT — > 0.
х 5(1ж)
Решение. Поскольку свойства логарифмов зависят от основания, то рассмотрим два случая: 1) х > 1; 2) 0 < х < 1.
Пусть х > 1; для этих х исходное неравенство равносильно неравенству
2ж + 2/5 > 1.(27)
5(1 — ж)
Неравенство (27) равносильно неравенству
2^ + 2/5 т > Q
5(1ж)’
которое можно переписать так:
7ж ™ 23/5 Q5(1 — ж)
Решая это неравенство методом интервалов, получаем, что его решения составляют промежуток 23/35 < х < 1. Этот промежуток нс имеет общих точек с областью х > 1. Значит, в случае 1) исходное неравенство нс имеет решений.
Пусть 0 < х < 1; для этих х исходное неравенство равносильно двойному неравенству
Q < 2ж + 2/5 < L5(1 — ж)
Это двойное неравенство равносильно системе неравенств
{
2ж + 2/5 Q
5(1 — ж)’
7ж - 23/5Q
5(1 — ж)
Решая каждое из этих неравенств методом интервалов, получаем, что множество решений первого неравенства есть промежуток —1/5 < ж < 1, а множество решений второго — два промежутка: ж > 1 и ж < 23/35. Значит, множество решений системы есть промежуток —1/5 < ж < 23/35. Из этого промежутка в область 0 < ж < 1 попадает лишь промежуток О < ж < 23/35. Это и есть множество решений исходного неравенства.
_ п 23
Ответ. О < ж < —.
35
Пример 15. Решить неравенство
^ж+1(ж2 + ж - 6)2 > 4.
Решение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:
J ж + 1 > 1,
| (ж2 + ж — 6)2 (ж + I)4
и
f 0 < ж + 1 < 1,
[ 0 < (ж2 + ж - б)2 (ж + I)4.
Заметим, что в первой системе нс написано неравенство (ж + I)4 > О, поскольку оно вытекает из неравенства ж + 1 > 1.
Решим сначала первую систему Второе неравенство этой системы равносильно каждому из следующих неравенств:
(ж2 + ж - 6)2 - (ж + I)4 ^ О,
(ж2 + ж — 6 — (ж + 1)2)(ж2 + ж — 6 + (ж + I)2) О,(-ж - 7)(2ж2 + Зж - 5) О,(ж+ 7) (ж - 1)(ж + 5/2)0.
Решая последнее неравенство, получаем, что его решениями являются два промежутка: —оо < ж — 7и — 5/2 ж 1. Решения первого неравенства первой системы образуют промежуток 0 < ж < +оо. Значит, множество решений первой системы есть промежуток 0 < ж 1.
Теперь решим вторую систему Неравенство
(ж2 + ж - б)2 ^ (ж + I)4
равносильно неравенству
(ж + 7)(ж — 1) (ж + 5/2) ^0.
Множество решений этого неравенства состоит из двух промежутков: —7 ж ^5/2 и 1 ^ ж < + оо. Множество решений неравенства 0 < ж + 1 < 1 есть промежуток — 1 < ж < 0. Неравенство (ж2 + ж — б)2 > 0 справедливо для всех ж, кроме тех, для которых ж2 + ж — 6 = 0, те. кроме ж = 2 и ж = — 3. Теперь очевидно, что вторая система неравенств решений нс имеет.
Множеством решений исходного неравенства является объединение множеств решений первой и второй системы, т.е. промежуток 0 < х ^ 1.
Ответ. 0 < х 1.
.5. Неравенства, содержащие неизвестную в основании и показателе степени. Если х входит в основание и показатель степени, то принято считать, что основание степени должно быть больше нуля. Это надо учитывать при нахождении ОДЗ неравенства. Кроме того, надо учитывать, что свойства степеней при основании, большем единицы и меньшем единицы, разные.
Далее, будем рассматривать неравенства вида
(28)
где ф^ ^а, и Цх) ^6, а и b — числа. Неравенства вида (28) решают обычно следующим образом.
Находят ОДЗ неравенства (обязательно учитывая, что должно быть /(ж) > 0 иg(ж) > 0).
Логарифмируют неравенство (28), т.е. заменяют неравенство (28) равносильным ему при а > 1 на ОДЗ неравенством
k>ga Дж) < h^lo^g^.
Затем решают это неравенство на ОДЗ неравенства (28). Найденные решения и дадут решения неравенства (28).
Пример 16. Решить неравенство
(2Ж । з . 2“ж)21°ё2 ^-iog2(x+6)।
Решение. Область допустимых значений неравенства состоит из всех х, удовлетворяющих условию х > 0. Обе части неравенства, как легко видеть, положительны на множестве х > 0. Поэтому, логарифмируя обе его части по основанию, большему чем 1, например по основанию 2, получим неравенство
(2 log2 х log2(x + 6)) log2(2" + 3 • 2~ж) > 0,(29)
равносильное исходному неравенству на ОДЗ. Так как в области х > 0 имеем
2Ж + 3 • 2™ж > 2Ж > 1,
то к^2(2ж + 3•2~ж) > 0 для х > 0 и неравенство (29) равносильно на множестве х > 0 неравенству
2 log2 ж — log2 (ж-|-6) > 0
или неравенству
ж2 > ж + 6.(30)
Корнями квадратного трехчлена ж2 — ж — 6 являются Ж1 = —2 и жг = 3. Поэтому решения неравенства (30) составляют два промежутка: —оо < <ж<-2иЗ<ж< +оо. Из этих чисел в области х > 0 лежат только числа из множества х > 3. Следовательно, решения исходного неравенства составляют промежуток 3 < х < +оо.
Ответ. 3 < х < +оо.
Пример 17. Решить неравенство
1
- logo ж 1„
>2^(1О82Ж)‘.(31)
Решение. ОДЗ этого неравенства есть промежуток 0 < х < +оо. Обе части неравенства (31) положительны на ОДЗ. Логарифмируя неравенство (31) по основанию 2, получим неравенство
(1log2 ж) (1®82 ж) - 2 > |(log2 ж)2.(32)
Перепишем неравенство (32) в виде
(1с^2ж)2>8.(33)
Неравенство (33) равносильно совокупности двух неравенств:
log2 х 2V2 и log2 х—2V2.(34)
Первое из неравенств совокупности (34) имеет решениями все х 22V^, а второе - все х из промежутка 0 < х ^ ^^V^ Объединение этих решений дает решение исходного неравенства, так как все эти х входят в его ОДЗ.
Ответ. О < х 2“2v^, 22л^ ж < +оо.
(35)(36)(35)(36)Отметим, что неравенство
(35)
(36)
(35)
(36)
равносильно совокупности систем неравенств
/(ж) > 1, и / ° <
Дж) < g(ж)( рх) > g(x)
и потому его решение сводится к решению систем неравенств (36). Пример 18. Решить неравенство
(ж2 - 1)2+ж > (ж2 - 1(37)
Решение. Неравенство (37) равносильно совокупности систем неравенств
ж2 — 1 > 1,
2 + х > 5ж — 3 и
О < ж2 - 1 < 1,
2 + х < 5ж — 3.
Множество решений первого неравенства системы (38) состоит из двух промежутков: —00 < х < — V2 и V2 < х < +оо. Решениями второго являются все х < 5/4. Поэтому решения системы (38) составляют промежуток ™оо < х < ™V2.
Первое неравенство системы (39) можно переписать в виде
к ж2к ж2< 2,< 2,
к ж2
к ж2
< 2,
< 2,
откуда следует, что его решениями являются все ж из двух промежутков: — V2 <ж<-1и1<ж< V2. Решениями второго являются все ж > 5/4. Поэтому решения системы (39) составляют промежуток 5/4 < ж < V2.
Объединяя решения системы (38) и (39), получаем решение исходного неравенства.
Ответ, —оо < ж < — V2, 5/4 < ж < V2.
Отметим еще, что неравенство
№))*> >(40)
равносильно совокупности систем неравенств
/ уЮ>о, и ( ^)<о,
[ /Ю > gl^ > 0[ g^ > /(ж) > о
и потому его решение сводится к решению систем неравенств (41).
Пример 19. Решить неравенство
(ж2 + ж + l)^5^6 > (ж + 2)ж2-5ж+6.(42)
Решение. Неравенство (42) равносильно совокупности систем неравенств
f ж2 - 5х + 6 > 0,, .
| ж2 + х + 1>х + 2>0
и
f ж2 — 5х + 6 < 0,, .
<9(44)
|^ xl2 > х2 I х!1 > 0.
Первое неравенство системы (43) имеет решениями все ж < 2 и все ж > 3. Второе неравенство можно записать в виде системы неравенств ( ж > —2, [ ж2 > 1,
которая имеет решениями все ж > 1 и все ж из промежутка — 2 < ж < < — 1. Следовательно, решения системы (43) составляют два промежутка: —2 < ж < — 1 и 3 < ж < +оо.
Первое неравенство системы (44) имеет решениями все ж из промежутка 2 < ж < 3. Второе неравенство можно записать в виде системы неравенств
J ж2 + ж + 1 > 0,
| ж2 <
которая имеет решениями все ж из промежутка — 1 < ж < 1. Следовательно, система (44) не имеет решений.
Поэтому решения исходного неравенства совпадают с решениями системы (43).
Ответ. —2 < х < — 1, 3 < х < +оо.
Неравенства с параметрами. На вступительных экзаменах часто предлагается решить неравенство с параметром. Это означает, что надо для каждого значения параметра решить соответствующее неравенство.
Пример 20. Для каждого значения параметра а решить неравенство а2 - 9ж+1 - 8 • Зж • а > 0.
Решение. Если а = 0, то данное неравенство имеет вид -9ж+1 > 0
и не выполняется ни для одного х.
Пусть а — некоторое число, отличное от нуля. Обозначив Зж через t, исходное неравенство можно переписать так:
9/2 + Bat - а2 < 0.(45)
Квадратный трехчлен 9£2 + Bat — а2 имеет корни ti = —а и /д = Э. Если а — положительное число, то Н < t^ и множество решений неравенства (45) имеет вид — а < t < |а. Это значит, что при каждом положительном а исходное неравенство равносильно двойному неравенству —а < Зж < |а, а следовательно, множество его решений есть промежуток — оо < х < < log3 ^. Если а — отрицательное число, то t^ < Н и множество решений неравенства (45) имеет вид |а < t < —а. Это значит, что при каждом отрицательном а исходное неравенство равносильно двойному неравенству |а < Зж < —а и, следовательно, множество его решений есть промежуток —оо < х < log3(—а).
Ответ. При а = 0 неравенство не выполняется ни для одного х; при а > 0 неравенство выполняется для х из промежутка— оо < х < —2 + log3a; при а < 0 неравенство выполняется для х из промежутка — оо < х < log3 (—а).
Пример 21. Для каждого неотрицательного значения параметра а решить неравенство
а3х4 + 6а2х2 — х + 9а + 30.
Решение. Если а = 0, то данное неравенство перепишется в виде -х + 30,
откуда следует, что множество его решений есть промежуток — оо < х ^ 3.
Пусть теперь а — фиксированное положительное число. Преобразуем левую часть данного неравенства следующим образом:
а3х4 + 6а2х2 — ж + 9а + 3 = а(а2х4 + бах2 + 9) — х + 3 =
= а^ах2 + З)2 — х + 3 = а^ах2 + З)2 — ж2) + ах2 — ж + 3 =
= а^ах2 + 3 — х^ах2 + 3 + ж) + ах2 — х + 3 =
= ^ах2 — ж + 3)(а2х2 + ах + За + 1).
Дискриминант квадратного трехчлена а2х2 + ах + За + 1 равен D = = —а2(12а + 3). Так как а — положительное число, то отсюда ясно, что D отрицателен. Следовательно, исходное неравенство равносильно неравенству
ах2 — ж + 3 V О,(46)
так как квадратный трехчлен а2 х2 + ах + За +1 положителен для любого х.
Дискриминант квадратного трехчлена ах2 — ж + 3 равен 1 — 12а. Следовательно, при а V 1/12 этот дискриминант не положителен, и поэтому множество решений неравенства (46), а следовательно, и исходного неравенства, есть вся координатная ось. В случае же, если 0 < а < 1/12, то множество решений неравенства (46) состоит из двух промежутков:
1 - V1 - 12а 1 + VI ™ 12а_
оо < х V -, - V ж < +оо. Эти промежутки
составляют и множество решений исходного неравенства при а из промежутка 0 < а < 1/12.
Ответ. Если а = 0, то —оо < х < 3; если 0 < а < —, то 12'
1 - VI - 12а1 + VI - 12а1
оо < х V и V х < +оо, если а > —,
22'12'
то —ОО < X < +оо.
Часто встречаются задачи с параметром, в которых требуется найти те значения параметра, при каждом из которых неравенство имеет хотя бы одно решение, или имеет указанное число решений, или имеет решения, удовлетворяющие некоторому условию.
Пример 22. Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство
logi/tt ^д/ х2 Г ах Гб + 1^) ■ log5(x2 + ах + 6) + logtt 3^0 имеет одно решение.
Решение. Прежде всего отметим, что числа а, удовлетворяющие условию задачи, нужно искать среди чисел а таких, что а > 0, а / 1, иначе не имеют смысла логарифмы, входящие в неравенство. Поскольку при а > 0, а / 1 и любом положительном у справедливы равенства
1о81/« У =log„ 3=——,
log3 alog3 а
то данное в условии задачи неравенство можно переписать в виде
- log3 Ц/х- + аж + 5 + 1) logs (ж2 + аж + 6) + 1 > Q log3 а/
Будем искать значения а, удовлетворяющие условию задачи сначала для а из промежутка 0 < а < 1, а затем из промежутка 1 < а < +оо.
Для каждого а, принадлежащего промежутку 0 < а < 1, неравенство (47) равносильно неравенству
log3 ^ Vх2 + ах + 5 + 1^ log5(x2 + ах + 6)1.(48)
Это неравенство можно переписать в виде
log3 (Vu + 1) log5(u + 1) > 1,
где и = ж2 + ах + 5. Функция /(u) = log3 (уТ + 1) log5(u + 1) определена на множестве и ^ 0, монотонно возрастает на этом множестве, так как каждый из множителей log3 (Va + 1) и log5(u + 1), очевидно, монотонно возрастает и неотрицателен. Кроме того, /(4) = log3 3 • log5 5 = 1. Значит, неравенство (48) можно записать в виде /(и)/(4). Так как /(и)
монотонно возрастает на множестве и ^ 0, то неравенство /(и) ^ /(4) равносильно на этом множестве неравенству и ^ 4. А это означает, что неравенство (48) равносильно неравенству
х2 + ах + 54.
Множество решений этого неравенства бесконечно. Поэтому для любого а из области 0 < а < 1 исходное неравенство имеет бесконечно много решений, т.е. среди этих а нет чисел, удовлетворяющих условию задачи.
Для любого а, принадлежащего промежутку 1 < а < +оо, данное в условии задачи неравенство равносильно неравенству
log3 х2 + ах + 5 + 1^) • log5(x2 + ах + 6)1.
Из сказанного выше относительно функции /(и) следует, что последнее неравенство равносильно двойному неравенству
0^х2 + ах + 5^4
или системе неравенств
Г х2 + ах + 50,,
ж2 + йж + 1<0(49)
Если дискриминант второго неравенства D = а2 — 4 отрицателен, то оно, а значит, и система (49) не имеют решений. Следовательно, искомые значения параметра а находятся среди чисел а, удовлетворяющих неравенствам Г а2 — 4 О, [ а > 1,
т.е. лежат в области а 2.
Если а > 2, то различные корни
хх =хх =™ а ™ V»2 — 42™ а ™ V»2 — 42Ж9 =Ж9 =— а + Va2 — 42— а + Va2 — 42
хх =
хх =
™ а ™ V»2 — 4
2
™ а ™ V»2 — 4
2
Ж9 =
Ж9 =
— а + Va2 — 4
2
— а + Va2 — 4
2
квадратного трехчлена второго неравенства системы (49) удовлетворяют первому неравенству системы (49), так как х2 + axi + 5 = х2 + axi + 1 + + 4 = 4>0их2 + ах^ + 5 = 4 > 0. Следовательно, данное в условии задачи неравенство имеет не менее двух решений (жх и х^).
Если же а = 2, то второе неравенство системы (49), а значит, и исходное неравенство имеют единственное решение х = — 1. Следовательно, условию задачи удовлетворяет лишь а = 2.
Ответ, а = 2.
Пример 23. Найти все значения параметра а, при каждом из которых существует хотя бы одно решение неравенства
х2 + (5а + 2)ж И- 4а2 -4- 2а <4 0, удовлетворяющее условию ж2 + а2 = 4.
Решение. Среди чисел а таких, что |а| >2 нет ни одного значения а, удовлетворяющего условию задачи, ибо при любом таком а уравнение ж2 + а2 = 4 не имеет решений. При а = 2, а также при а = — 2 уравнение ж2 + а2 =4 имеет единственное решение х = 0, которое не удовлетворяет неравенству Значит, а = 2 и а = -2 также не удовлетворяют условию задачи. Итак, если есть а, удовлетворяющие условию задачи, то они таковы, что |а| < 2, и для любого такого а уравнение ж2 + а2 = 4 имеет два корня:
Xi = — V4 ™ а2 и Ж2 = V4 — а2.
Рассмотрим теперь квадратный трехчлен
Q(x) = х2 Г (5а + 2)х + 4а2 + 2а,
он имеет дискриминант D = (За + 2)2. Если а = —2/3, то D = 0 и квадратный трехчлен Q(x) ни для одного х не может быть отрицательным. Значит, а = —2/3 не удовлетворяет условию задачи. Если а ^ —2/3, то D > 0 и квадратный трехчлен Q(x) имеет два различных корня. Значит, при а ф —2)3 квадратный трехчлен принимает отрицательные значения для любых х, расположенных между корнями трехчлена Q(x).
Итак, если есть число а, удовлетворяющее условию задачи, то оно таково, что |а| <2, а — 2/3 и хотя бы одно из чисел жх и ж 2 лежит между корнями трехчлена <9(ж). Отметим, что корни квадратного трехчлена О(ж) удобно записать в виде
— (5а + 2) — |3а 4™ 2|— (5а 4™ 2) 4™ |3а 4™ 2|
тогда очевидно, что х^ < х4.
Теперь вопрос задачи можно переформулировать так: при каких значениях параметра а, удовлетворяющего условиям |а| < 2 и а ^ —2/3, хотя бы одно из чисел жх и ж 2 лежит между числами жз и Ж4. Ясно, что искомое
множество значений является объединением множеств решений из области |а|<2иа^—2/3 двух систем неравенств:
™ (ба + 2) ™ За + 2 < __ ^2
2V’
- х/4 - а2 < ™ ^а + 2) + За + 2
12’
— (5а + 2) — |3а + 2|
< -(5а + 2) + |За + 2|(51)
V2'
Решим на области |а| < 2 и а ф —2/3 отдельно систему (50) и систему (51). На множестве —2 < а < —2/3 система (50) может быть переписана в
виде
J —а < — V4 —
[ —~ а2 < 4а — 2,
или в виде
J— а2 < а,
[ 4а + 2 < ^4 — а?.
Очевидно, что эта система неравенств на множестве —2 < а < —2/3 решений не имеет, так как на этом множестве левая часть первого неравенства неотрицательна, в то время как правая часть отрицательна.
На множестве —2/3 < а < 2 система (50) может быть переписана в
виде
J ^4а2 <4 ™ а2
( — V4 — а2 <
или в виде
/ V4-a2 < 4а+ 2, 1/ Л2(И)
1 а < у 4 — а2.
На рассматриваемом множестве обе части первого неравенства положительны, и поэтому оно равносильно неравенству
4 - а2 < 16а2 + 16а + 4
или неравенству
17а2 + 16а > 0.
Последнее неравенство имеет решения а > 0 и а < —16/17, и, значит, множество решений первого неравенства системы (52), содержащихся в промежутке —2/3 < а < 2, имеет вид
(53)(53)216 п п
(53)
(53)
- < а <и 0 < а < 2.
317
Второму неравенству системы (52) удовлетворяют все а из области —2/3 < а < О, так как в этой области левая часть неравенства отрицательна, правая же положительна. В области 0 ^ а < 2 обе части второго неравенства системы (52) неотрицательны и, значит, оно равносильно неравенству а? < 4 — а? или а2 < 2. Множество решений последнего неравенства, содержащихся в области 0 ^ а < 2, имеет вид 0 а < \/2. Итак, множество всех решений второго неравенства системы (52), содержащихся в области —2/3 < а < 2, есть промежуток
-| < а < V2.(54)
Из (53) и (54) следует, что множество решений системы (50) из области |а| < 2 и а ф —2/3 является объединением двух промежутков:
и 0 < а < V2.(55)
317
Решим теперь систему (51). На множестве —2 < а < —2/3 ее можно переписать в виде
J —а< -\/4 ™
[ \А — а2 < —4а — 2.
На рассматриваемом множестве левые и правые части обоих неравенств полученной системы положительны. Поэтому она равносильна системе
J а2 < 4 — а2,
| 4 — а2 < 16а2 + 16а + 4
или системе
J а2 < 2,( 17а2 + 16а > 0.
Множество решений последней системы неравенств имеет вид — V2 < < а < —16/17 и 0 < а < V2. Часть этого множества, содержащаяся в области —2 < а < —2/3, имеет вид — V2 < а < — 16/17.
На множестве —2/3 < а ^ 2 система (51) может быть переписана в виде
Г -4а - 2 <- а2,, х
1/ (56)
1 V4 — а2 < —а.
На множестве 0 < а < 2 второе неравенство полученной системы, а значит, и системы (51) решений не имеет. Действительно, правая часть этого неравенства на рассматриваемом множестве отрицательна, а левая неотрицательна.
На множестве —2/3 < а ^ 0 обе части второго неравенства системы (56) неотрицательны, и, значит, оно равносильно неравенству 4 — а2 < а или а2 > 2. Это неравенство не имеет решений в области —2/3 < а 0.
Итак, на множестве —2/3<а<2 система (51) решений не имеет и множество всех решений системы (51) из области |а| < 2 и а ф —2/3 имеет вид
(57)
Объединяя (55) и (57), находим требуемое множество значений параметра а: -V2 <а< —16/17, 0 < а < V2.
Ответ. — V2 < а < — —, 0 < а < V2.
17'
Иногда на вступительных экзаменах предлагается решить систему неравенств с параметром.
Пример 24. Найти все значения параметра а, при каждом из которых существует хотя бы одно общее решение у неравенств
ж2 + 4аж + За2 > 1 + 2а и ж2 + 2аж ^ За2 — 8а + 4.
Решение. Условие задачи можно переформулировать следующим образом: найти все значения а, при каждом из которых система неравенств
( ж2 + 4аж + За2 — 2а — 1 > О,z х
<(58)
[ ж2 + 2аж — За2 + 8а — 4 О
имеет хотя бы одно решение. При фиксированном значении а корни квадратного трехчлена ж2 + 2аж — За2 + 8а — 4 есть жх = —а + 2|а — 1| и Ж2 = — а — 2|а — 11, поэтому множество решений второго неравенства системы (58) есть множество
—а — 2|а — 1| ж —а + 2|а — 1|.(59)
Найдем все значения а, при которых система (58) не имеет решений. Обозначим квадратный трехчлен ж2 + 4аж + За2 — 2а — 1 через /(ж). Если система (58) не имеет решений, то одновременно выполнены неравенства
/Ы ^ 0, Дж2) ^ 0,(60)
в противном случае хотя бы одно из чисел ад или ж 2 было бы решением системы (58). С другой стороны, если выполнены неравенства (60), то числа ад, Ж2, а значит, и все множество (59) лежит между корнями (включая корни) квадратного трехчлена /(ж). Это значит, что для каждого решения жо второго неравенства системы (58) выполнено неравенство f^o) ^ 0, т.е. система (58) не имеет решений.
Итак, система (58) не имеет решений тогда и только тогда, когда одновременно выполнены неравенства (60). Легко видеть, что
/(жх) = 4а2 — 4а|а — 1] — 10а + 3,
/(Ж2) = 4а2 + 4а|а — 1] — 10а + 3.
Рассматривая два случая а > 1 и а < 1, приходим к выводу, что система
неравенств (60) равносильна системе
4а2 — 4а(а — 1) — 10а + 3^0,
4а2 + 4а(а — 1) — 10а + 3^0
или системе
—6а + 3^0, 8а2 — 14а + 3—6а + 3^0, 8а2 — 14а + 3^ 0.^ 0.(61)(61)
—6а + 3^0, 8а2 — 14а + 3
—6а + 3^0, 8а2 — 14а + 3
^ 0.
^ 0.
(61)
(61)
Множество решений первого неравенства системы (61) есть промежуток 1/2 ^ а < +оо, множество решений второго неравенства системы (61) есть отрезок 1/4 ^ а ^ 3/2; поэтому множество всех решений системы (61) есть промежуток 1/2 а 3/2.
Таким образом, система (58) не имеет решений тогда и только тогда, когда а принадлежит промежутку 1/2 ^ а ^ 3/2. Значит, если а < 1/2 или а > 3/2, и только в этом случае, система (58) имеет хотя бы одно решение.
Ответ, а < 1/2, а > 3/2.
Упражнения
Решить неравенство.
1) l°g1/8(3ar + 4) > log27 81. 2) log1/4(2a: + 3) > log9 27.
log(a?2 — Зж + 3)0. 4) log3(5a:2 + 6ж + 1)0.
| logi/sC-T - Зж + 1) < 1. 6) log5/s ^2ж2 ж j
7)logsin„/i2 ^e - ж + ||)0. 8)21og3(2Z2 + ж - 1) > log3 4.
logo,з (ж2 + ж + 31) < log0,з(Юж + 11).
Ю)^1/3(ж2 - 6) Nog,, ж2 > 0. 11)1о8з(2ж2 + 1) < 21о8д(ж2 + 5).
| ^(ж — 9) + 1g л/2ж — 1 ^ 1.
1 + 1о81/2(Зж2 + 2) > log2 -р-.
| lg(x2 — Юж + 25) + lg(x2 — 6ж + 3) > 2 ^(ж — 5) + 11g 25.
^(ж - 2) + ^(ж + 2) < lg(4x + 1).
log1/2(x - 1) + log1/2(x - 2)
17)21оё25((1 + ж)(3 - ж)) - |1о8^(1 + ж) > log1/5 |.
log3((a? + 2)(ж + 4)) + log1/3(o; + 2) < | log^ 7.
1g Vж - 30 + 18(ж + 30) > l + 21g2.
2
log12/11(log1/2(z2 + Зж - 4)) < 0.
log27/4i(log5(o:2 - 2ж - 3)) > 0. 22)log1/2 ж < log1/4;r.
| log5 - | log Vs ж > L 24) log1/3(log5 ж) > 0.
25) 5‘25) 5‘. 26) 23ж • Зж - 231С-1 • Зж+1 + 288 > 0.
25) 5‘
25) 5‘
7J; - 5ж+2 < 2 • 7:с"1 - 118 • 5Ж-1. 28) Зж+2 + 7” < 4 • 7Ж-1 + 34 • 3‘
9Z - 2Z ■ V5 > 4V2 • 2z+1 - З23^1.
5lgx — з^®-1 > 31gж+i _ ^ig$-i
log3(13 ™ 4х) > 2. 32) log5(26 - 3х) > 2.
logi/4(®2-3s + l)
33)33)< 934) 5logi/2(log2(3 °S3 —3®+iog3 9))।
33)
33)
3logl/2(log2(102 lg ^-Sx + logg 81))| g^ ж + 7 <।
x + 3
4 ж2Зж ™ 1
ж ^ . 38) log1/3 < -1.
3 — жж + 2
,ж-315ж + 4 5тг
log1/4 > —. 40) log1/2 > tg —.
' ж + 32' ж - 24
,, х , ж2 - 4ж + 6ж2 - 4ж + 3Зтг
log1/2- < 0. 42) log^- < 2ctg —.
43) log2 ^±^tS < 2 44) ...^g~3.!^±3 (ж —1)(7 —ж)^ж —1
45) — + —™— > 1.
1g ж1 — 1g ж
47) —h 2Ж < 0.
1 -
46) —-— + —-— < 1.
5 ™ 1g ж 1 + 1g ж
2ж-2 + 152ж+1 - 12 • 5Ж + 43
5(»5 2. 51>2+“
6 • 132ж - 13®+! + 622ж+х + 2Ж - 15
52)log0i52- + i > 0. 53)552)log0i52- + i > 0. 53)56ж — 66ж — 6
52)log0i52- + i > 0. 53)5
52)log0i52- + i > 0. 53)5
6ж — 6
6ж — 6
3х -8ж + 2 >6. 57)log1/2(x + 1) > 1оё2(2-ж).
log^^ + 27) - log7r(16 - 2ж) < log7r ж.
log2(5 - 4ж) + log1/2(2ж - ж2)2.
^3((ж + 2)(ж - 3)) ^ 4^9(2ж + 1) - log^ 7.
^4(2ж2 + ж + 1) - ^2(2ж - 1)- tg
21og1/2(ж - 2) - log1/2(ж2 - ж + 2)1.
;3-ж у_ 251//log3 5;3-ж у_ 251//log3 5З2" < 7.3" + 91og3 9. 64) log3 ж - log2 ж < | log1/(2V2) 4.
;3-ж у_ 251//log3 5
;3-ж у_ 251//log3 5
65) 107" 1 + 6 • 101 7г - 5 < 0. 66)
67) log2(6 - ж) + 21og1/Vg(6 - ж) + log3 27 > 0.
71) 1g4 ж — 51g2 ж + 6 < 0.71) 1g4 ж — 51g2 ж + 6 < 0.4/2 ж-4/2 ж-
71) 1g4 ж — 51g2 ж + 6 < 0.
71) 1g4 ж — 51g2 ж + 6 < 0.
4/2 ж-
4/2 ж-
/,5 \ 2
(log2 ж)4 - I log1/2 — ) -20 log2 ж + 148 < 0. у4 /
log|(x - ж2 + 2) + 31og1/2(x - х2 + 2) ^ ^2.
74) 45+4ж - 15 .74) 45+4ж - 15 .+ 8>0. 75) logly^g(5‘+ 8>0. 75) logly^g(5‘9 —ж29 —ж2/ \ 3+4ж
74) 45+4ж - 15 .
74) 45+4ж - 15 .
+ 8>0. 75) logly^g(5‘
+ 8>0. 75) logly^g(5‘
9 —ж2
9 —ж2
76)log|/^(3
ж + log2(9 - 2Ж) < 3. 83) log2(4a: + 4) < ж + 1о§2(2ж+1 - 3).
^(2" - 1) • log0i5(2:c+1 - 2) > -2.
log3(3" - 1) • 1о81/3(Зж+2 - 9) > -3.
^±^Кд^^^ > о. 87)(ж + 2)2(ж-1)2^8>0.
(ж + 1)3(ж — 2)2
(3* - 3)(ж2 - 5ж + 6) < 0. 89) (4ж2 - 16ж + 7) 1о8з(ж - 3) > 0.
(5ж - 2ж2) 1о81/5(|ж| - 2) > 0. 91) 12§1/41±31 > 0.
ж. Р—^
V ж + 3
,.log3 ——
У'1 ж2 (log3 ^L1 + 2 ) < 0. 95)—
у ж /1 ж ™ 2
°^2;
ж + 2
\/2ж 3 0 9?) 2жу+3ж < 0
1о8^(ж2 - Зж + 3)' lg(z + 2)
|ж + 2|-И > 099) log2(3-2^-2-2) > 0
1о§о,з к - 21ж2 — 4ж1о§о,з к - 21ж2 — 4жV4 — ж3ж
1о§о,з к - 21ж2 — 4ж
1о§о,з к - 21ж2 — 4ж
100х ^7-18(-8ж-ж2) lg(x + 3)
l°gl,7102)l°gl,7102)9ж2 - 19ж2 - 1< 0. 103) ————2Ж - 8< 0. 103) ————2Ж - 8
l°gl,7
102)
l°gl,7
102)
9ж2 - 1
9ж2 - 1
< 0. 103) ————
2Ж - 8
< 0. 103) ————
2Ж - 8
ж + 1 - log3 9жх 105^ 1 - 2ж + log2 6ж 2
'1 — log3 х’ ж — 2
- ж - ж2^(4ж2 ж)
Юо) ^ .10/)
2ж — 7ж — 51g 2ж
^з^з±53з±31331 > 1
log2($ + 2)/
bg2(®^-2a^-7)^-bg3(®2-2®^^ Q
Зж2 — 13ж + 4’
п0^ ^о^ж-^^ж^тД^^^> 0
112) ||3 - 2ж| - 1|2|ж|.112) ||3 - 2ж| - 1|2|ж|.3 + ж — 2ж2
112) ||3 - 2ж| - 1|2|ж|.
112) ||3 - 2ж| - 1|2|ж|.
log3(ж2 — 7ж + 12) log3 20
|ж - 1| - |ж - 2| < 1. 114) |ж + 1| + )ж + 2| ^ 2.
115) ж2 - |Зж + 2| + ж > 0.115) ж2 - |Зж + 2| + ж > 0.|ж3 - 1| < ж2 + ж + 1.
115) ж2 - |Зж + 2| + ж > 0.
115) ж2 - |Зж + 2| + ж > 0.
Н7)^^Н7)^^1. 118)-1. 118)-
Н7)^^
Н7)^^
1. 118)-
1. 118)-
119)|ж-2| <119)|ж-2| <,®■ 120) |ж2 - 4| - |9 - ж2| ^ 5.
119)|ж-2| <
119)|ж-2| <
12h^—1-ж2 — ж — 212h^—1-ж2 — ж — 2| 'X о о
12h^—1-
ж2 — ж — 2
12h^—1-
ж2 — ж — 2
I 2ж2 — |ж| — 2
log3 (^ N + 3\0
124)log1/3(3 - ж2) > log1/3(4^| - 2). 125)1с^4(ж2 - 5) < log4f^| - з).
12б)| 1g ж- 1| < 1. 127) | log2 ж — 2| < 1. 128) V®2+®-2
V3 — ж — \/ж + 1 >130) log1^3 V®2 — 2ж > sin 9Т
log4 (2- Vж + 3) < 2cos—. 132)-——^- < 0. '31 - V^T2
/ , \ V^+4/ i \ V^2+Зж+4
133)V^+^<12. 134) (-)>(3)■
log2 (\/ж + 3 — ж — 1) ^ 0. 136) log1/5 ^y/®2 — 2 — ж + 1
4:c+V^-^ _ 5.2Ж+V^2-2-1 > 6.
ж + 13 + 6|4 - VO^I > 0. 139) ж - 9 < 7|4 - V$T9\.
/ / I 0
V4 - V1 - ж - V2 - ж > 0. 141) J—— + 2 > ж.
V ж
ж + 3 ™ 4V^ —3 + ж + 8 ™ 6Vж —3 1.
13 M.K. Потапов и др.
V25 — ж2 + V^2 + ж > 3.
Vx2 + Зж + 2 - V^2 -ж + 1 < 1. 146) V^2 + 17 - ^ж2 + 17 > 6.
147) ^/ж + 2 + Vж — 1 +147) ^/ж + 2 + Vж — 1 +\J х — 2V'ж — 1 2.\J х — 2V'ж — 1 2.™ ж2 — V25 — ж2 ж. 149) ж VЮ — ж2 > ж2 — 6.
147) ^/ж + 2 + Vж — 1 +
147) ^/ж + 2 + Vж — 1 +
\J х — 2V'ж — 1 2.
\J х — 2V'ж — 1 2.
V^2 + 2ж + 1 + V^2 ™ 2ж + 1 < V9ж2 + 12ж + 4.
Vb^2 + Юж + 17 - |ж2 + 2ж|. 152) V — - - < - - -
V ж2 4 ж 2
4- V2 ™ ж < 2. 154)< Vl + 2ж - 1.
д/2 — жд/2ж + 9
V^°g2 4ж — Vl°g2 ж 1- 1^0 ^ ^ Г4х—3
JVfhjV^> 1158) Jftil^^< 1
log2 (V4ж + 5 + 1)2 l°go,5 (Vж + 3 + 5)2
713^5 < у/2(13^+12) - VlS* + 5.
V(№ +9) 7№ + 12 - V^15"1 “ 9)'
< 1. 163)< 1. 163)ж2 - 1V13 — ж2ж2 - 1V13 — ж21И1 < 1. 162) 3 ж
< 1. 163)
< 1. 163)
ж2 - 1
V13 — ж2
ж2 - 1
V13 — ж2
1 — жд/15 — ж
3(4ж2 9) < 2ж + 3. 165) НГНГИ < 1.
д/Зж2 — 3ж
1 ” 71 ” 8$2 < 1. 167) 1 " V1 - 8(1о&жР < L
2ж’2 log2ж
УЕЕШН! <169) V%P^V^+CT4V5^ +> 5
!ogo,5 ж - 1
1 к/2ж2 - Зж + 3\,2ж2 - Зж + 3
dlog4 I 1 + 1 > log2.
log5 ^ V2 + ж ™ ж2 + 4^)
25log-, /к ,—.+ 2.д/2 + ж ж2 + д/1 ж + 325log-, /к ,—.+ 2.д/2 + ж ж2 + д/1 ж + 31 + д/ж2 — 1 + д/ж2 — Зж + 21 + д/ж2 — 1 + д/ж2 — Зж + 2log1/4 ^Vж2 ™ Зж + 2 + v^ + 1^) < log4
25
log-, /к ,—.+ 2.
д/2 + ж ж2 + д/1 ж + 3
25
log-, /к ,—.+ 2.
д/2 + ж ж2 + д/1 ж + 3
1 + д/ж2 — 1 + д/ж2 — Зж + 2
1 + д/ж2 — 1 + д/ж2 — Зж + 2
log1/3 ^9ж - ж2 + 3j > log3^^^^=^ _ з.
v7д/9ж — ж2 + д/5 — ж2 + 2
8^1 - 2“= + 22а=-2 > 22ж - 2ж+2 + 7.
V^vy^ > 9 - 3\
8 - 3^ ■ Тз^-б^Г^2^2 > 22х - 4 • 6® + 7 • 32ж.
3 • 2ж+2 • Тз^З^Тэ-22^"2 > 4 - 3 • 2Х^ + 17 • 2?х.
С4= - 2Ж - 6 > 8 - 2Ж.
Решить систему неравенств.
|2ж + 7| - |Зж + 5| > О,|2ж + 7| - |Зж + 5| > О,179) <<<<179) <<<<х — 1V4 — Зж ж,х — 1V4 — Зж ж,VQ- 8)(2 - ж)VQ- 8)(2 - ж)1°§о,з1°§о,з2^-з2^-з; J - 3 log2 ж + 2; J - 3 log2 ж + 2180)180)ж2 + 2|ж + 3| - 10 < О, |ж2 — 4ж| + 3 > ^ ж2 + |ж — 5|ж2 + 2|ж + 3| - 10 < О, |ж2 — 4ж| + 3 > ^ ж2 + |ж — 5|
|2ж + 7| - |Зж + 5| > О,
|2ж + 7| - |Зж + 5| > О,
179) <
<
<
<
179) <
<
<
<
х — 1
V4 — Зж ж,
х — 1
V4 — Зж ж,
VQ- 8)(2 - ж)
VQ- 8)(2 - ж)
1°§о,з
1°§о,з
2^-з
2^-з
; J - 3 log2 ж + 2
; J - 3 log2 ж + 2
180)
180)
ж2 + 2|ж + 3| - 10 < О, |ж2 — 4ж| + 3 > ^ ж2 + |ж — 5|
ж2 + 2|ж + 3| - 10 < О, |ж2 — 4ж| + 3 > ^ ж2 + |ж — 5|
х — Vx — 2 > 0.
2+1> 1
<<<<2 4. ^4 _ ж2 2 — V4 — ж2 х ’ — 2 • ^4™ х2 0.
<
<
<
<
V х4 — 2ж2 + 1 > 1 — ж, Уж2 25 • ^25 ж2 0.
Найти область определения функции.
у = 1g Ж6:1 + 8 . 187) у = ЦхНх - 2). ж2 9ж + 20
у = -^ж2(ж — 1)2(ж — З)5. 189) у = lg(l — ^(ж2 — 5ж + 16)).
у = J ?Т±J. 191) у = Jig (з-V^H).
у ж2 — 2ж + 3v
у = y/log2(25 • 2Ж — 10ж + 5Ж ™ 25). 193) у = ^Ао^Д^-^2)".
Г ж^8ж2 - 2ж - 1 Зж-1
у = i/log1/2. 195) у =log2.
Vж — 1ж — 1ж + 1
у = JlogTTnogJgyiogJ^.
у = \lvS "198) у = A/i^Jog^f.
У logj; 4 log,. 82VЖ - 1
/ logoj®-1) 0003 Гл 1
у = J’ 2. 200) у = Jlog0 з-.
у+ 2ж + 8V ж + 5
20Пу=
V™1 + 5ж ™ 6ж2
Решить неравенство.
Зж2(ж - 4)2 < 32 - 5(ж - 2)2. 203) (ж + З)4 + (ж + 5)4 > 4.
ж4 - Зж2 + 6ж + 13 > 0. 205) (ж - 1)ж(ж + 2)(ж + 1) < 3.
ж4 - ж3 - Юж2 + 2ж + 4 > 0. 207) ж4 - 4ж3 - Юж2 + 37ж - 14 < 0.
ж(ж + 1)(ж - 1)(ж + 2) > 24.
(ж2 + ж + 5)2 + Зж(ж2 + ж + 5) + 2ж2 > 0.
ж2 +< 5.
(ж+ 2)2
211)1 + 2ж211)1 + 2ж2233212)212)2 + Зж 3 + 4ж112 + Зж 3 + 4ж1145ж + 4145ж + 41213) ^ж< Д1 —ж2. 214)213) ^ж< Д1 —ж2. 214)3 + ж 4 + ;2ж2+33 + ж 4 + ;2ж2+3115 4- ж 6 4- ж115 4- ж 6 4- ж215) 2 cos4 —6215) 2 cos4 —6216)216)
211)
1 + 2ж
211)
1 + 2ж
2
2
3
3
212)
212)
2 + Зж 3 + 4ж
11
2 + Зж 3 + 4ж
11
4
5ж + 4
1
4
5ж + 4
1
213) ^ж< Д1 —ж2. 214)
213) ^ж< Д1 —ж2. 214)
3 + ж 4 + ;
2ж2+3
3 + ж 4 + ;
2ж2+3
11
5 4- ж 6 4- ж
11
5 4- ж 6 4- ж
215) 2 cos4 —
6
215) 2 cos4 —
6
216)
216)
loge [(4+Vs)" - (V5-2)"] > 1.
Дж2 — 5ж + 6 + ж + VЮж — 2ж2 — 12 + 3 log. -3.
'2
(2 + V®2 - 7ж + 12 ) 0 - 1) < ^14ж - 2ж2 - 24 + 2) log^
V®2 - 7ж + 10 + 9 log4 | > 2 + Д14ж - 20 - 2ж2 -13.
ГП222)
ж — 13 — 2жж 2ж — 1
Д+Д+Е. <6224) 2- + -з; , log3(62. _ ж2 _ 6) г
ж 1 2ж 1
| V2|$ + 1| - 1| • ^2(-2ж2 - 4ж) > 1.
Найти все решения неравенства, принадлежащие заданному промежутку.
ж4 + ж3 + ж2 — 4ж 0, — 1 ^ ж ^ 1.
ж4 — ж2 — ж — 1 < 0, ™оо < ж 1.
ж2 + (ж + 1) sin —3 + ж2.
62
229) ж ^ sin тг229) ж ^ sin тг8Ш7Г8Ш7Г330 ^ ж ^ 1.0 ^ ж ^ 1.
229) ж ^ sin тг
229) ж ^ sin тг
8Ш7Г
8Ш7Г
3
3
0 ^ ж ^ 1.
0 ^ ж ^ 1.
(ж — log3 75) (ж — log2 22) > 0, 3 ж 4.
ж2 + 2ж + cos 5 < 0, —2 ж —1/3.
591
tg - + 6ж — ж2 > О, - ж 6.
24
971
ж2 — 2ж + sin - ^ О,< ж < 2. 2'3
Решить неравенство.
log3z2+1 2 < 7 235) log^ 0,3 > 0.
2ж — 5
- logz2_2z_10 2 log8i 3-
log($_1)($+2) 4 ^ log1/3tgy.
14
log 2ж + 1 2 < - logsinK/3
2 log5 Vx - 2 > log,. |. 240) log1/3 | + log, 3^2.
log3(7 - ж) < ^ log2V2 ^ + log7_z 9.
2 log1/4(;r + 5) > | log1/(3V3) 9 + log,,-— 2.
logV3z+1 4 > 2 — log3z+1 —.
log6z2_5z+1 2 > 1°8^/6z2_Bz+1 2-
log., 3 - log4z 3 > 0. 246) log4/z 2 > log2 ж.
logz/2 8 + logz/4 8 < ^g ^2 _ 4'
(logz 2)(log2z 2)(log2 4ж) > 1.
log2_z(x - 3) > -3. 250) logz > 0.
4 — 4x
log< 0. 252) logz > o.
logz+1 (ж2 - |ж - 1^) > 0. 254) log2/3|z_2| 21""2 > 0.
log зж жж + 1 > 0. 256) logz+5/2 > 0.
\2/z \2x-37
257)
1о8^_^(ж2 - Зж + 1) > 0.
1о8з2_2 f—|ж-1Н < 0. 260) log,, (2ж-|) >2.
\2/\4/
log,(ж + 2) > 2. 262) log, (;^) > L
log,2 (ж2 - 4ж + 3) > 1. 264) log(,+1)2 (ж + 3) > 1.
log, (ж2 + Зж — 3) > 1. 266) logg,2 (6 + 2ж — ж2) ^ |.
log,_3(ж2 — 4ж)2 < 4. 268) ^(,_6)2(ж2 - 5ж + 9) > |.
log, ^ж2 — 4^ > 4. 270) log1+,4 ^ж4 + ж2 + |^ < 1.
log,2 j^-^ > |. 272) log,/6 (log, Ve-ж) > 0.
log,(16 - 6ж - ж2) > 1. 274) log25 _ ,2 24 ~ ^ ~> 1.
14
log,,+6| (log, (ж2 - ж - 2)) > 1. 276) log 2. (4 - ж) > -1.
1 + Ж2
log,+1/, (ж2 - -L - 4) > 1. 278) logk| p9 - ж2 - ж - 1) > 1.
log,(log,)!" - 6)) < 1. 280) log,. (- . 22ж+1 + -) ^ 1.
log, (2ж) > log2, ж.
log,+4(5;r + 20) < log,+4(;r + 4)2.
log3 V5 — 2ж • log, 3 < 1.
„ _ ,, ж (log. ж)(2 logo ж)
log5 ж + log, - < .1S5A83_/.
3log3 ж
log,(2o;) < ^/log^rS). 286) (log2 ж) • y^log, Qv»^ < 1-
2ж - 1
l®^2"31-2 < 1. 288) ж 3-^ > 1. 289) (ж2 + ж + 1)ж < 1.
(ж2 - ж - I)312"1 < 1. 291) |ж - Тр+з:-2 > 1.
|ж + 11^2-=-2 < L 293) |ж - 2|loS4(^+2)-iog2 = < L
ж2-10®2 ж+21о81/2 з= > 1. 295) | log,/2 j^-T.+io < L
296)296)log2 I6log2 I6x2-18$ + 56x2-18$ + 56> 1.> 1.297) ж18 ж > Юж lg ;“ + 3.297) ж18 ж > Юж lg ;“ + 3.
296)
296)
log2 I
6
log2 I
6
x2-18$ + 56
x2-18$ + 56
> 1.
> 1.
297) ж18 ж > Юж lg ;“ + 3.
297) ж18 ж > Юж lg ;“ + 3.
ж1082 ж + 16ж" 1082 ж < 17. 299) ж1821-3181+1 > 1000.
300) ж18 Ж-1 > 100. 301)ж2-18Ж < —. 302)ж1/18Ж-
303) \^ж^°82 v^ > 2. 304) ж3 > 2151og2v^V3.3lo8vs3.
ж4 • 71OS ^ 5 < 5-logi/-5.
(З^2 I 3™Ж)3 1Og4 ж™1оё4(ж(2ж + 3)) < 1
(2х | 23^х)2 log2^x+3^log2^x+9} < 1
(4 • Зж + 3-ж)31°ёз(ж-1)-1°8з((ж™1)(2ж+1))
Для каждого значения параметра а решить неравенство.
ах > 1. 310) 12 — ах > Зж + 4. 311) а2 — х — ах > 1.
ах2 - 2 < 0. 313) ах2 + 1 0. 314) (а + 1)ж2 ™ 20.
315)ж - 2 fl - -) < ДГ±Г.317)аж>-.
\ а / Зах + 1х
> о. 319) ЗмХЗММ < о. 320)+ ж < ——.
х + 2ах + Заа ™ 11 ™ а
(«-!> + “ + ! >а 322)^±1>^.
х — 1ах — 1 а — 1
аж - Г - ")“ > 0324) аж2 + ж + 1 > о 325) ж2 + ож + 1 > о.
а2 — ах — 1
ж2 + ж + а > 0. 327) аж2 + (а + 1)ж + 1 > 0. 328) —— > 1.
X X — 1
329) \х + а\ < 1. 330) |2ж — За| 2. 331) |ж| х — а.
\х +2|<х + а.333) \х — а\^ х+ 1.334) \х + а\ >х + а.
\х —а\^х + 3.336) ||ж| — 1| ^х + а.337) |ж2 — 1|> а.
338) |ж| +1>\ах\.339) |2ж — 4|^ х+ а.340) \х — 2| >|2ж —а\.
341) |ж —11ах. 342) \х + 3| <ах. 343)\х — а\ х — 2а.
344) \х + а\ х — 2а. 345) \ах\ > 1 + ж.
346) |ж2 — 1| ах. 347) |ж2 — 1| < а. 348) |ж2 + а| ж.
2|ж — а| < 2аж — ж2 — 2. 350) |2ж + а| > - + |ж — а\.
а
11 — |ж| | < а — ж. 352) ж|ж — 1| ^ а.
|ж — а| — 2а > |ж — За|. 354) |ж + 2а| + |ж — а| < Зж.
|ж — За| — |ж + а| < 2а.
a + 4“2> 0. 357) |ж + 2а| < —.
|ж — 2а||ж 2а|
ж2 + |ж| + а > 0. 359) |ж| • |ж + 1| < аж.
|ж2 — а| — |ж2 — 2а| < 1. 361) V2 + ж > а + 1.
3 62) V2ж ™ 3 < 4 — а. 3 63) V1 — ж > За — 2. 3 64) V^ + 2™ а.
(1 — а)У2ж + 1 < 1. 366) |ж| + 1 > Уж + а.
|ж| + 1 Уж + а. 368) |ж| + 1 > Уаж.
ДГ — ж2 > аж. 370) Уж — а ж + 2. 371) У а — ж > 2ж + 1.
Vа2 ™ ж2 < |ж| + 1- 373) Уж + а Уа — ж.
1 — |ж| Vх2 — а2. 375) \ах\ < V^2 ™ а'2-
\/ах. ж + 1. 377) 2Уж + а > ж + 1. 378) ж + V^2^^ < °-
Vа2ж2 > ж + 1. 380) аУж + 1 > 1. 381) ж + л/4 ™ х2 < а.
™ х2 < ж + а. 383) \/х2 + а2 > ж + а.
^а Г х + ^а — х > а. 385) у а + V® + у а ™ V^ ^ v2.
V^ax - ж2 > а - ж. 387) А/^^ < а- 1. 388) 2* > а - 1.
З* < 1 - 2а. 39°) Ц|) - а) (2Ж + 3) > 0. 391) 9^ - а2 < 0.
log2 ж < а + 2. 393) (log2 ж — l)(log2 ж + а) > 0.
(log3 ж + а) (log3 - - 2^ > 0. 395) (3® + а)(Зж - 2а) < 0.
а2 - 2 ■ 4ж+1 - а ■ 2ж+1 > 0.
42*+1а2 _ 65.4^-1 . а + 1 > о.
4ж+1 • а2 - 33 ■ 2Ж • а + 8 > 0.
--±- > 0.
ж2 — а2
— > ах + 3, а > 0, а ф 1.
+ 2аж а2ж
4/loga -—™ <1, а > 0, а 1.
> -1, а > 0, а / 1.
loga Ж3 + 1 loga х - 1
^^ < 1, а > 0, а + 1.
loga х - 1 loga ж2 - 1
logja2 + 1) < 0, ж > 0, а 1.
—> 1, а > 0, а ^ 1.
loga х
4о3ж4 4“ 4а"ж" 4™ 32ж 4~ а, 4~ 80, о 0.
16а3ж4 + 8а2ж2 + 16ж + а + 40, а 0.
с? ж^ 4™ 2а" ж" — 8ж 4™ о 4™ 40, а 0.
2 logx а + logax +3 loga2x а > 0, а > 1.
410)log$+a2<log$4, 0 < « < 1/4.
ж1оёа ж+1 > а2ж, а > 0, а / 1.
(аж)х 1, |а| < ос.
> а2х ™ ™ах ™ 2, а > 0, а 1.
2аж - 12
^+ > 1, а > 0, а ^ 1.
loga ж2 + 1 loga ж - 2
-2— < 11, 0 < а < 1.
loga ж loga ж - 12
+ < 1, 0 < а < 1.
5 - bga ж 1 + loga ж
loga (V25 - ж2 - 1) > 10gQ(|®| + 1), а > 0, а 7^1.
loga ж > 61og$ а ™ 1, 0 < а < 1.
а > 1.а > 1.log°(35 $3) > з. loga(5 - ж)
а > 1.
а > 1.
loga^ — 1) + loga х > 2, a > 0, а 1.
3 loga ж + 6~ log^ + 23 loga ж + 6~ log^ + 2а > 0, а ф 1.а > 0, а ф 1.
3 loga ж + 6
~ log^ + 2
3 loga ж + 6
~ log^ + 2
а > 0, а ф 1.
а > 0, а ф 1.
logjl - %а7ж^2(1 - х\ а > О, а ^ 1.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство имеет хотя бы одно отрицательное решение.
3 — |ж — а| > ж2.424) ж2 < 4 ™ |ж — а|.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство имеет хотя бы одно положительное решение.
425) 2 > |ж + а| + ж2.426) ж2 + |ж — a| < 1.
Для каждого значения параметра а решить систему неравенств.
427) <429) <427) <429) <431)431)ж2 + 2ж + а 0,ж2 + 2ж + а 0,ж2 — 4ж — 6а ^ 0.ж2 — 4ж — 6а ^ 0.433)433)ж 10,ж 10,434)434)435)435)436)436)ж + 3 < За + 1.ж + 3 < За + 1.ж2 + а2 < 1,ж2 + а2 < 1,ж2 — а2 > 0.ж2 — а2 > 0.ж2 + 4ж + 3 + а < 0, 2ж + а + 6 > 0.ж2 + 4ж + 3 + а < 0, 2ж + а + 6 > 0.432)432)(1 — а)ж — а х 2(1 а) ж — 8 ^ аж.(1 — а)ж — а х 2(1 а) ж — 8 ^ аж.^ 0,^ 0,2ж2 + аж + 4, < 4,ж2 ж + 12ж2 + аж — 6 > — 6.Ж2 — ж + 12ж2 + аж + 4, < 4,ж2 ж + 12ж2 + аж — 6 > — 6.Ж2 — ж + 1а(ж — 2) ж — 3,8(а + 1)ж > 8аж + 9.а(ж — 2) ж — 3,8(а + 1)ж > 8аж + 9.аж х 1 2ж + 3а™234’ж(а 10)а(ж + 2)— + а > — — 5ж — 6.22аж х 1 2ж + 3а™234’ж(а 10)а(ж + 2)— + а > — — 5ж — 6.22
427) <
429) <
427) <
429) <
431)
431)
ж2 + 2ж + а 0,
ж2 + 2ж + а 0,
ж2 — 4ж — 6а ^ 0.
ж2 — 4ж — 6а ^ 0.
433)
433)
ж 10,
ж 10,
434)
434)
435)
435)
436)
436)
ж + 3 < За + 1.
ж + 3 < За + 1.
ж2 + а2 < 1,
ж2 + а2 < 1,
ж2 — а2 > 0.
ж2 — а2 > 0.
ж2 + 4ж + 3 + а < 0, 2ж + а + 6 > 0.
ж2 + 4ж + 3 + а < 0, 2ж + а + 6 > 0.
432)
432)
(1 — а)ж — а х 2(1 а) ж — 8 ^ аж.
(1 — а)ж — а х 2(1 а) ж — 8 ^ аж.
^ 0,
^ 0,
2ж2 + аж + 4,
< 4,
ж2 ж + 1
2ж2 + аж — 6
> — 6.
Ж2 — ж + 1
2ж2 + аж + 4,
< 4,
ж2 ж + 1
2ж2 + аж — 6
> — 6.
Ж2 — ж + 1
а(ж — 2) ж — 3,
8(а + 1)ж > 8аж + 9.
а(ж — 2) ж — 3,
8(а + 1)ж > 8аж + 9.
аж х 1 2ж + 3
а™234’
ж(а 10)а(ж + 2)
— + а > — — 5ж — 6.
22
аж х 1 2ж + 3
а™234’
ж(а 10)а(ж + 2)
— + а > — — 5ж — 6.
22
437)437)
437)
437)
0 < х < 1.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых существует хотя бы одно решение неравенства
ж2 — (За + 1)ж + 2а2 + 2а < 0,
удовлетворяющее условию ж + а2 = 0.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых существует хотя бы одно решение неравенства
2 . А3 \а2а
ж + 1а ж 4< 0,
\2 /22
удовлетворяющее условию ж = а2 — 1/2.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых существует хотя бы одно решение неравенства
ж2 + (2 — За)ж + 2а2 — 2а < 0,
удовлетворяющее условию аж = 1.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств имеет единственное решение.
441) <"’442)441) <"’442)ж2 + 2ж + а 0,
441) <"’442)
441) <"’442)
Найти все значения параметра а, при каждом из которых решения системы
неравенств образуют на числовой прямой отрезок длины 1.
443)443)ж2 + 6ж + 7 + а 0, ж2 + 4ж + 74а.ж2 + 6ж + 7 + а 0, ж2 + 4ж + 74а.444) <444) <ж2 — 2ж а — 1,ж2 — 2ж а — 1,ж2 — 4ж 1 — 4а.ж2 — 4ж 1 — 4а.Найти все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств неНайти все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств неимеет решений.имеет решений.445)446)447)445)446)447)(ж — а) (аж — 2а — 3)0,(ж — а) (аж — 2а — 3)0,аж 4.аж 4.аж2 + (а — 3)ж + 2/а — 2а 0, аж а2 — 2.аж2 + (а — 3)ж + 2/а — 2а 0, аж а2 — 2.а2 ж + 2ааж 2 + а2а2 ж + 2ааж 2 + а2аж + а > 5/4.аж + а > 5/4.(1 а)ж — а ж 2(1 а) ж — 8 аж.(1 а)ж — а ж 2(1 а) ж — 8 аж.
443)
443)
ж2 + 6ж + 7 + а 0, ж2 + 4ж + 74а.
ж2 + 6ж + 7 + а 0, ж2 + 4ж + 74а.
444) <
444) <
ж2 — 2ж а — 1,
ж2 — 2ж а — 1,
ж2 — 4ж 1 — 4а.
ж2 — 4ж 1 — 4а.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств не
Найти все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств не
имеет решений.
имеет решений.
445)
446)
447)
445)
446)
447)
(ж — а) (аж — 2а — 3)0,
(ж — а) (аж — 2а — 3)0,
аж 4.
аж 4.
аж2 + (а — 3)ж + 2/а — 2а 0, аж а2 — 2.
аж2 + (а — 3)ж + 2/а — 2а 0, аж а2 — 2.
а2 ж + 2а
аж 2 + а2
а2 ж + 2а
аж 2 + а2
аж + а > 5/4.
аж + а > 5/4.
(1 а)ж — а ж 2(1 а) ж — 8 аж.
(1 а)ж — а ж 2(1 а) ж — 8 аж.
ГЛАВА III
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Основные определения. Пусть даны два многочлена R(x^ у) и Q(ж, у) относительно х и у. Говорят, что дано алгебраическое уравнение
Д(ж,у) = <2(ж,у)(1)
с двумя неизвестными х и у, если требуется найти вес пары чисел (х0; у о), для каждой из которых справедливо числовое равенство R(x0; yQ) = Q(x0; у о). Каждая такая пара чисел (х0 \ у0) называется решением уравнения (1). Решить уравнение (1) — это значит найти множество всех его решений.
Если множество всех решений уравнения (1) состоит из к пар действительных чисел (ад; уД, (ж2; У2^ - - - Джк-уД, то говорят, что уравнение (1) имеет к решений.
Например, уравнение
(ж2+у2)((ж+1)2+у2) = ()
имеет два решения: (0; 0) и (—1; 0). Уравнение
ж2_ q
имеет единственное решение (0; 0).
В случае если множество всех решений уравнения (1) есть пустое множество, то говорят, что уравнение (1) не имеет решений.
Например, уравнение
ж2 + у2 = -2
решений не имеет.
Пусть даны два алгебраических уравнения с двумя неизвестными:
у) = <5(ж, у) и Т(ж, у) = Дж, у).
Эти уравнения называются равносильными, если совпадают множества их решений.
Справедливы следующие утверждения.
Уравнения R(x,y) = Q(x,y) и R(x,y) — Q(x,y) = 0 равносильны.
Уравнения R(x, у) = Q(x,y) и R(x, у) + Р(х, у) = Q(x,y) + Р(х, у), где Р(х^ у) — любой многочлен относительно х и у, равносильны.
Уравнения R^x^y^ = Q(x,y) и aR(x3y) = aQtpyy) равносильны для любого отличного от нуля числа а.
Из этих утверждений, в частности, вытекает, что каждое алгебраическое уравнение R(x^ у) = Q(x,y) с двумя неизвестными хну можно заменить равносильным ему уравнением
РУ,у) = 0,(2)
где Р(х3 у) — многочлен относительно х и у.
Пусть даны многочлены Р(х, у) и Q(x, у) относительно х и у. Говорят, что дана система двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными хну
Г Р(ж,у) = 0,
\= 0,
если требуется найти все пары чисел (х^уо), каждая из которых является решением каждого из уравнений (3). Пара чисел (хд; уо) называется решением системы уравнений (3), если одновременно справедливы два числовых равенства Р(х0; у0) = 0 и Q(x0; у0) = 0. Решить систему уравнений (3) — это значит найти множество всех се решений.
Говорят, что дана совокупность m алгебраических уравнений с двумя неизвестными хну
Р1(х,у) = 0, Р21лл) = 0,Рт(х,у) = (3,(4)
где Pi(x, у\ -. - , Рт(г у) — многочлены относительно х и у, если требуется найти все пары чисел (хд; у о ), каждая из которых является решением хотя бы одного из уравнений (4). Каждая такая пара чисел (л?оЛо) называется решением совокупности (4). Решить совокупность уравнений (4) — это значит найти множество всех се решений.
Говорят, что уравнение (2) равносильно совокупности (4), если совпадают множества всех решений уравнения (2) и совокупности уравнений (4).
Например, уравнение
х2 — 4?/2 = 0
равносильно совокупности уравнений
х — 2у = 0 и х + 2у = 0.
Говорят, что дана совокупность к систем двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными
Г О(ж,у) = 0,( Рк(х,у) = 0,, ,
I <Э1(ж,у) = 0,| Qfe(a?,y)=O,
где Р^х, у) и Qi^x. у) (г = 1, 2,..., к) — многочлены относительно х и у, если требуется найти все пары чисел (хд; уо), каждая из которых является решением хотя бы одной из систем уравнений (5). Каждая такая пара чисел (хоЛо) называется решением совокупности систем уравнений (5). Решить совокупность систем уравнений (5) — это значит найти множество всех ее решений. Система уравнений (3) равносильна совокупности систем уравнений (5), если совпадают множества их решений.
Например, система уравнений
Г х2 — у2 = 0,
( х + 2у + 1 = О равносильна совокупности систем
( х — у = 0,( х + у = 0,
[ х + 2у + 1 = О И ( х + 2у + 1 = 0.
Пусть даны система алгебраических уравнений с двумя неизвестными (3), а также система
г вххр = о,
где Жру у) и 8(х, у) - многочлены относительно х и у. Две системы алгебраических уравнений (3) и (6) называются равносильными, если совпадают множества их решении.
Например, системы уравнений
х — у = 0,( (х2 + 1)(ж — у) = 0,
х2 4- у2 = 1И [ х2 + у2 = 1
равносильны.
Утверждения о равносильности систем уравнений.
Если изменить порядок уравнений системы (3), то полученная система равносильна системе (3).
Если одно из уравнений системы (3) заменить на равносильное уравнение, то полученная система равносильна системе (3).
Если первое уравнение системы (3) заменить уравнением, равным сумме первого уравнения, умноженного на некоторое отличное от нуля число а, и второго уравнения, умноженного на некоторое число /3, то полученная система уравнений равносильна системе (3); другими словами, для любых /3 и а (а ^ 0) две следующие системы уравнений равносильны:
Р(х,у) = 0,^Г аР(х,у) У PQ(x,y) = 0,
QO,y) = 0И | Q(x,y^ = 0.
Пусть в системе уравнений (3) одно из уравнений записано в виде, где в левой части стоит одно из неизвестных, например х в первой степени, а в правой части — многочлен относительно у. Тогда говорят, что неизвестное х выражено через неизвестное у. Если неизвестное х выражено из первого уравнения системы (3), то, подставив во второе уравнение системы (3) вместо х этот многочлен от у, получим систему, равносильную системе (3), другими словами равносильны следующие системы:
х = RAX( х = R(y),
Q(x,y) = 0 И | Q(R(y),y) = 0.
Если первое уравнение системы (3) равносильно совокупности к алгебраических уравнений
О (ж, у) = 0, .Ркр,у) = 0,
то система (3) равносильна совокупности к систем уравнений
Р1(ж,у)=0,( Рк(х,у)=0,
Q^x,y^=0,(<9(ж,у) = 0.
Отметим, что аналогичные определения и утверждения можно привести и для алгебраических уравнений и систем уравнений с более чем двумя неизвестными.
1.2. Система двух уравнений первой степени. Так называется система уравнений
aix + Ьру = ci,
а2х + Ь2у = с2,
где а^ + bl 0, а| + 6|0.
Основными методами решения таких систем являются метод подстановки и метод линейного преобразования.
Метод подстановки основан на утверждении 4 о равносильности систем уравнений.
Рассмотрим решение системы уравнений этим методом.
Пример 1. Решить систему уравнений
2ж + у = 3,
Зх - 4у = 10.
Решение. Из первого уравнения системы находим у = 3 — 2х. Данная система равносильна системе
у = 32ж,
Зж — 4у = 10.1
Подставляя 3 — 2х вместо у во второе уравнение, получим на основании утверждения 4, что исходная система равносильна системе
у = 3 — 2х,
Зх - 4(3 - 2х) = 10, которую после тождественных преобразований можно переписать так:
У = 3^ж,(2)
Подставляя 2 вместо х в первое уравнение системы (2), найдем после тождественных преобразований, что она равносильна системе
У = -1,
х = 2.
Следовательно, исходная система имеет единственное решение (2;—1).
Ответ. (2; — 1).
Метод линейного преобразования системы основан на утверждении 3 о равносильности систем алгебраических уравнений.
Рассмотрим решение системы уравнений этим методом.
Пример 2. Решить систему уравнений
Зж + у = -2, 2х — Зу = —5.
Решение. Умножив первое уравнение системы на (—2), а второе на 3, получим систему
—6ж — 2у = 4, 6х — 9у = —15, равносильную исходной.
Складывая первое и второе уравнения этой системы, получим на основании утверждения 3 о равносильности систем уравнений систему
-И./=-11, 6х — 9у = —15, равносильную исходной.
Умножив первое уравнение этой системы на (—1/11) и разделив второе на 3, получим систему
у = 11(3)
2ж - Зу = -5,v '
равносильную исходной.
Умножив первое уравнение системы (3) на 3 и складывая затем полученное уравнение со вторым уравнением системы (3), имеем систему
У = 1, 2ж = -2, равносильную исходной. Отсюда следует, что исходная система имеет единственное решение (—1; 1).
Ответ. (—1;1).
При решении системы двух линейных уравнений первой степени возможны три ситуации:
система имеет единственное решение;
система имеет бесконечно много решений;
система решений нс имеет.
Приведем пример системы, имеющей бесконечно много решений, и пример системы, которая решений не имеет.
Пример 3. Решить систему уравнений
х + у = 1, Зх + Зу = 3.
Решение. Поделив второе уравнение системы на 3, получим систему х + у = 1, X 4- у = 1,
равносильную исходной системе. Эта система состоит из двух одинаковых уравнений:
х + У = 1.
Полагая х = t, где t ™ любое действительное число, находим, что у = 1 — t. Следовательно, решениями данной системы являются все пары (t; 1 — t), t е R.
Ответ, (t; 1 ™ t), t С R.
Пример 4. Решить систему уравнений
х — 2у = 5,
2х — 4у = 8.
Решение. Разделив второе уравнение на 2, получим систему
х — 2у = 5,
х — 2у = 4,
равносильную исходной. Эта система противоречива, так как нс существует чисел xq и уо таких, чтобы одна и та же их линейная комбинация хо — 2г/о равнялась одновременно и 5, и 4. Следовательно, исходная система решений нс имеет.
Ответ. Решений нет.
Метод подстановки. Метод подстановки в основном применяется в тех ситуациях, когда в одно из уравнении системы одна из неизвестных входит только в первой степени. Тогда, применяя утверждение 4, находим решение системы.
Пример 5. Решить систему уравнений
2ж2^2 _ Жу 2х + Зу = 7,
X + у = 2.
Решение. Данная система равносильна системе
2х2 + (2 xf - х(2 - х) + 2х + 3(2 ж) = 7, У = 2 - х.
или, после тождественных преобразований, системе
Г 4х2 — 7х + 3 = 0, ( у = 2 - х.
Первое уравнение системы (4) имеет два корня: ад = 1 и х2 = 3/4. Поэтому система (4), а значит, и исходная система имеет два решения ад = 1, у± = 1 и х2 = 3/4, у2 = 5/4.
Ответ. (1; 1), (3/4; 5/4).
Пример 6. Решить систему уравнений
J х — у = 6,[ ж3 - у3 = 126.
Решение. Из первого уравнения получаем у = х — 6. Подставляя ж — 6 вместо у во второе уравнение, получим уравнение
ж3 - (ж - 6)3 = 126,
которое можно переписать в виде
ж2 — 6ж + 5 = 0.
Последнее уравнение имеет два корня: жх = 1 и ж2 = 5, следовательно, система имеет два решения: жх = 1, ух = ™5; ж2 = 5, у<2 = —1.
Ответ. (1; —5), (5; — 1).
Иногда при решении системы алгебраических уравнений приходится делать подстановку нс только вместо какого-то одного неизвестного, но и вместо целого выражения, зависящего от нескольких переменных. Равносильность системы при этом сохраняется.
Пример 7. Решить систему уравнений
' у — х = 5,< zx = (z — 4)у + 30,2гж = (2^ — 4)у.
Решение. Данная система равносильна системе
{
у — х = 5,
z(y — ж) — 4у + 30 = 0,(5)
2z(y — ж) — 4у = 0.
Заменяя во втором и третьем уравнениях у — ж на 5, получим систему
{
у — х = 5,
bz - 4у + 30 = 0,(6)
10^ — 4у = 0,
2у52у5равносильную исходной. Из третьего уравнения системы (6) следует, что
2у
5
2у
5
(7)
Подставляя 2у/5 вместо z во второе уравнение системы (6), получим уравнение 2у — 4у + 30 = 0, которое имеет единственное решение у = 15. Подставляя 15 вместо у в уравнение (7) и в первое уравнение системы (6), находим, что z = 6, ж = 10.
Ответ. (10; 15; 6).
14 М.К. Потапов и др.
Линейные преобразования систем. В следующих примерах метод линейного преобразования используется для того, чтобы получить систему, равносильную исходной и включающую уравнение, зависящее только от одной переменной, или уравнение, в которое одна из переменных входит в первой степени, что в дальнейшем позволит сделать подстановку
Пример 8. Решить систему уравнений
Г 2ж2 + у2 — 4х + 2^ = 1,
[ Зж2 ™ 2у2 ™ 6ж 4у = 5.
Решение. Умножим первое уравнение на 2 и сложим со вторым; тогда получим систему
Г 7ж2 - 14ж = 7,
[ Зж2 — 2у2 — 6ж — 4у = 5, или систему
Г ж2 - 2ж - 1 = 0.
[ Зж2 2у2 6ж — 4у = 5,'
равносильную исходной.
Умножим первое уравнение системы (8) на 3 и вычтем из второго. Получим в результате систему уравнений
Г ж2 - 2ж - 1 = 0,, .
t -V - 4у + 3 = 5,W
равносильную исходной.
Первое уравнение системы (9) имеет корни Ж1 = 1 + V2 и ж 9 = 1 — V2. Второе уравнение имеет единственный корень у = ^1. Следовательно, исходная система уравнений имеет два решения: Ж1 = 1 + V2, Ух = — 1; ^2 = 1 - А ш = -1.
Ответ. (1 + V2; —1); (1 — \/2; —1).
Иногда надо применять и метод линейного преобразования и метод подстановки.
Пример 9. Решить систему уравнений
Г Зж2 + 2у2 - Зж + Бу = 3,
[ 4,5ж2 + Зу2 — Зж + 8у = 7.
Решение. Заменяя второе уравнение системы суммой первого уравнения, умноженного на 3, и второго, умноженного на (—2), получим, что исходная система равносильна системе
Г Зж2 + 2у2 — Зж + Бу = 3,
[ у = 5 Зж,
или системе
Зж2 + 2(5 - Зж)2 - Зж + 5(5 - Зж) = 3, у = 5 — Зж.
Первое уравнение системы (10) имеет два корня: ti = 2 и то = 12/7. Поэтому система (10) имеет два решения: ti = 2, yi = — 1 и T9 = 12/7, У2 = -1/7.
Ответ. (2; — 1); f —
7 V 777
Пример 10. Решить систему уравнений
Г Зт2 + 2ту — 9т — 4у + 6 = 0, [ 5т2 + 2ху — 12т — 4у + 4 = 0.
Решение. Заменяя первое уравнение системы разностью первого уравнения системы и второго уравнения, получим, что исходная система уравнений равносильна системе
Г ™2т2 + Зт + 2 = 0,
[ 5т2 + 2ху — 12т — 4у + 4 = 0.
Первое уравнение этой системы имеет два корня: ti = 2 и Т2 = —1/2. Подставляя 2 вместо т во второе уравнение системы (11), получаем, что оно удовлетворяется при любом значении у. Следовательно, система (11), а значит, и исходная система имеют решение вида (2; у), где у — любое действительное число. Подставляя (—1/2) вместо т во второе уравнение системы (П), получаем, что у = 9/4. Следовательно, исходная система имеет еще одно решение (—1/2; 9/4).
Второе решение. Данную систему уравнений можно переписать в виде
Г (т-2)(Зт + 2</-3)=0,
( (т — 2)(5т + 2у — 2) = 0,
откуда следует, что ей удовлетворяют все пары чисел (2, у), где у — любое число. Для х ф 2 система (12) равносильна системе уравнений
Г Зт + 2t/— 3 = 0,
[ 5т + 2у - 2 = 0,
имеющей единственное решение х = —1/2, у = 9/2.
Ответ. (—1/2;9/4), (2; у), где у — любое действительное число.
Метод разложения на множители. Часто для понижения степени уравнений, входящих в систему, используется прием разложения одного из уравнений на множители и замена системы уравнений равносильной ей совокупностью систем уравнений.
Пример 11. Решить систему уравнений
J т3 — у3 = 19(т — у),[ т3 +7(т + у).
Решение. Из тождества
т3 - у3 - 19(т - у) = (т - у)(т2 + ху у™ if ------------ 19)
Г х" + ху + у" ™ 19 = 0, 1 ж3 + у3 = 7(ж + у).Г х" + ху + у" ™ 19 = 0, 1 ж3 + у3 = 7(ж + у).следует, что заданная система уравнений равносильна совокупности уравнений
Г х" + ху + у" ™ 19 = 0, 1 ж3 + у3 = 7(ж + у).
Г х" + ху + у" ™ 19 = 0, 1 ж3 + у3 = 7(ж + у).
х — у = О, т3 Гу3 = 7(т + у),
Так как
т3 + у3 ™ 7(т + у) = (т + у)(т2 - ху р 7),
то совокупность (14) равносильна в свою очередь совокупности трех систем
х — у = О,Г т2 + ху + у2 ™ 19 = О,
х3 Г у3 = 7(х Г yY [ х + у = О,
т2 + ху + у" 19 = О, т2 — ху + у2 — 7 = 0.
Решая первые две системы из (15) методом подстановки, находим, соответственно, их решения: (0; 0), (V7; V7Y (—V7; ™\/7Y (V19; — V19), (-V19;Vl9).
Для решения третьей из систем (15) умножим первое из входящих в нее уравнений на 3 и вычтем из результата второе уравнение. Из тождества
3(т2 + ху Гу2 ™ 19) - (т2 - ху + у2 - 7) =
= 2(т2 + 2ху Гу2 ™ 25) = 2((т + yf - 25) =
= 2(т Гу ™ 5)(т + у + 5)
следует, что третья система (15) равносильна совокупности систем
х + у — 5 = 0,Г х + у + 5 = 0,
х2 ху + у2 7 = 0,[ х2 ху + у2 ™ 7 = 0.
Решая каждую из них методом подстановки, находим их решения соответственно: (2; 3), (3; 2), (-2; -3), (-3;
Итак, исходная система имеет девять решений.
Ответ. (0;0), (V7; х/Д (-V7; -Г\ (V19; -V19), (-V19; V19), (2; 3), (3,2), (—2; —3), (—3; —2).
Пример 12. Решить систему уравнений
10т2 + Ьу2 — 2ту ™ 38т ™ бу + 41 = 0, Зт2 — 2у2 + бху — 17т — бу + 20 = 0.
Решение. Преобразуем, выделяя полный квадрат по т, многочлен, стоящий в левой части второго уравнения данной системы с целью
разложения его на множители:
Зж2 - 2у2 + бжу - 17ж - бу + 20 =
= 3 (ж2 + 2 ■ —ж + РУ17)4 _ 2у2 - бу + 20 -
\6 V 6/ /
- 3= 3 (ж+ ^^У - -(49у2 - 98у + 49) =
к 6/ V 6/ 2V’
= А((6ж + 5у-17)2-(7у-7)2) =
= ^(6ж + 12у - 24)(6ж - 2у - 10) = (ж + 2у - 4)(3ж - у - 5).
Теперь понятно, что данная система уравнений равносильна следующей совокупности систем уравнений:
10т2 + 5у2 2жу ™ 38т ™ бу + 41 = 0,
ж + 2у — 4 = О и
10т2 + 5у2 — 2ту — 38т — бу + 41 = О,
Зт — у — 5 = 0.
Каждая из этих систем имеет единственное решение то = 2, уо = 1. Значит, исходная система имеет единственное решение то = 2, уо = 1.
Ответ. (2; 1).
Использование однородности одного из уравнений. Рассмотрим применение метода линейного преобразования и метода подстановки на примере решения системы двух уравнений с двумя неизвестными, когда одно из уравнений этой системы есть однородное уравнение второй степени, т.е. уравнение
ат2 + &ту + су2 = 0.
Итак, рассмотрим систему
аж2 + бжу + су2 = 0,, .
Р(ж,у) = 0,( ;
где Р(т, у) - многочлен относительно х и у.
Если а = 0, то в силу равенства Ьху + су2 = у (6т + су), система (16) равносильна совокупности двух систем
у = 0,Г Ьх + су = 0,
Р(т,у)=0,[ Р(т,у) = 0,
решаемых методом подстановки. Поэтому далее будем считать, что а ^ 0.
Первое уравнение данной системы имеет решение х = 0, у = 0 и при а ф 0 не имеет других решений, у которых у = 0.
Будем дальше искать решения, у которых у ф 0.
Если Ь2 — 4ас < 0, т.е. если квадратный трехчлен at2 + bt + с не имеет корней, то первое уравнение системы (16) в силу равенства (для у ^ 0)
2,7,22ах + Ьху Г су = у2,7,22ах + Ьху Г су = у+ С+ С
2,7,22
ах + Ьху Г су = у
2,7,22
ах + Ьху Г су = у
+ С
+ С
имеет единственное решение х = 0, у = 0.
Если эта пара чисел (0; 0) удовлетворяет второму уравнению системы (16), т.е. выполнено равенство Р(0,0) = 0, то система имеет единственное решение (0; 0). В случае же Р(0,0) ^ 0 исходная система не имеет решений.
Если Ъ2 — 4ас > 0 и уравнение at2 + bt + с = 0 имеет корни р и р (возможно, р = Р), то из равенства
at2 -Ybt Г с — a(t — tx^t — 1^
следует (для у ^ 0) тождество
ах2 + Ьху + су2 = у2ах2 + Ьху + су2 = у2
ах2 + Ьху + су2 = у2
ах2 + Ьху + су2 = у2
и, значит, исходная система равносильна совокупности систем
Г х — tiy = 0,Г х — Гу = 0,
[ Р(х,у) = 0,[ Р(ж,у)=0,
каждую из которых можно решить методом подстановки. Пример 13. Решить систему уравнений
Г 2т2 — ху — у2 = 0,
[ ж2 + у2 + Зу х = 4.
Решение. Поскольку ж = 0иу = 0не являются решением данной системы и квадратное уравнение 2f2 — t — 1 = 0 имеет корни р = 1 и р = = —1/2, то исходная система равносильна совокупности систем уравнений
Г х — у = 0,Г 2х + у = 0,
[ ж2 + у2 + Зу — х = 4[ ж2 + у2 + Зу — х = 4.
Решая первую систему методом подстановки, получаем, что она равносильна системе
j X = у,
[ ж2 + ж — 2 = 0, множество решений которой, а значит, и исходной состоит из двух пар чисел: Ж1 = 1, ух = 1, Ж9 = ^2, у о = ™2. Решая вторую систему методом подстановки, получаем, что она равносильна системе
Г у = ™2ж,
[ 5ж2 — 7ж — 1 = 0,
..7 +V69
множество решении которой есть также две пары чисел: тз = —™—,
^7^V697^7^69^7 + 7^9
Итак, исходная система имеет четыре решения: (1; 1), (^2; ™2), /7 + Уб9.7 769А /7™ Уб9.7 + 769А
V Ю ’5 у’ \ 10 ’57
^9 — 7 — VбэА /7 ™ V69 — 7 + V69\
Ответ. (1; 1 , ^2; -2 , : , ; .
\ 1057 \ 1057
Отметим, что подобные же рассуждения применимы и в случае, когда система включает однородное уравнение степени, большей чем два.
Иногда для решения системы сначала применяют способ линейного преобразования системы, чтобы сделать одно из уравнений однородным.
Пример 14. Решить систему уравнений
Г ж2 — 4ху + у2 = 3,
I У2 - Зжу = 2.
Решение. Умножив первое уравнение на 2, второе на 3 и из первого уравнения вычтя второе уравнение, будем иметь систему
Г 2т2 + ху — у2 = 0,
| У2 - Зжу = 2, равносильную исходной, в которой одно из уравнений однородное. Поскольку корнями квадратного уравнения
2t2 + i - 1 = 0
являются^ = — 1и^2 = 1/2, то данная система равносильна совокупности систем
Г х = —у,Г 2т = у,
[ у2 Зту = 2 И [ у2 Зту = 2.
Решениями первой системы этой совокупности являются (—l/x/2; 1/V2), (1 / V2; 1 / V2), а вторая система решений не имеет.
Итак, множество решений исходной системы есть две пары чисел (-1/V2; 1/C2), (1/V2; -1/V2).
сх (11 А ( 11
Ответ..
\ v 2 V 2\ V 2 V 2 )
Симметрические системы уравнений. Многочлен Р(т, у) называется симметрическим, если он не изменяется от перестановки букв х и у, т.е. если выполняется равенство Р(т, у) = Р(у, х) для любых х и у.
Например, симметрическими будут многочлены
Ж3 + у3, ж2у + жу2, (ж + 1)(у + 1).
Систему уравненийСистему уравненийР(х,у) = О, <ЭО, у) = ОР(х,у) = О, <ЭО, у) = О(17)(17)
Систему уравнений
Систему уравнений
Р(х,у) = О, <ЭО, у) = О
Р(х,у) = О, <ЭО, у) = О
(17)
(17)
будем называть симметрической, если оба многочлена Р(т,у) и Q(x,y) являются симметрическими многочленами.
Для решения симметрических систем уравнений часто используют прием, основанный на введении новых переменных с помощью равенств
и = х + у,
V = х • у.
Каждый симметрический многочлен Р(х^ у) может быть записан как многочлен от новых переменных и их. Например:
х2у + ху2 = ху^х + у) = и • V,х3 + у3 = (ж + у)3 — Зху(х + у) = и3 — Зшд(ж + 1)(у + 1) = ху + х + у + 1 = х + и + 1.
Уравнения, переписанные в переменных и иг, как правило, имеют меньшую степень, и новая система уравнений относительно и и х решается проще, чем исходная. Решив новую систему, можно затем найти решения (ж; у) исходной системы с помощью равенств (18).
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 15. Решить систему уравнений
ху + х + у = 1, ж2 + у2 = 6.
Решение. Вводя неизвестные гиге помощью равенств (18), находим
ху + х + у = и + г,х2 Г у2 = (ж + у)2 — 2ху = и2 — 2г.
Так что исходная система уравнений может быть переписана в виде Г г + г = 1, ( г2 — 2г = 6.
Заменяя второе уравнение получившейся системы суммой его и удвоенного первого уравнения, приходим к системе и + х = 1, г2 + 2г — 8 = О,
равносильной системе (19). Система уравнений (20) имеет два решения: (2; — 1) и (—4; 5). Таким образом, исходная система уравнений равносильна совокупности двух систем уравнений:
х + у = 2, ху = -1,х + у = 2, ху = -1,х + у = -4, ху = 5.х + у = -4, ху = 5.
х + у = 2, ху = -1,
х + у = 2, ху = -1,
х + у = -4, ху = 5.
х + у = -4, ху = 5.
Первая из систем (21) имеет два решения: (1 + V2; 1 — V2) и (1 — V2; 1 + V2), а вторая система решений не имеет.
Ответ. (1 + V2; 1 - V2), (1 - V2; 1 + V2).
Рациональные системы уравнений. Так называются системы уравнений вида
Г Р1(х,у) = Qp^-yY
1= Q-X^yY
где РДад у) и Q^x^ у), г = 1,2, — рациональные дроби, т.е. частные многочленов от переменных х и у.
Решение рациональной системы уравнений, как правило, сводится к решению некоторой алгебраической системы уравнений, получающейся из исходной домножением на подходящий многочлен. После того как найдены все корни алгебраической системы уравнений, следует отбросить те из них, которые обращают в нуль знаменатель хотя бы одной из рациональных функций, входящих в систему. Оставшиеся решения алгебраической системы составят множество решений исходной системы рациональных уравнений.
Пример 16. Решить систему уравнений
' ж2 + ?/2 _ 5
< ху 2 ’х2 — у2 = 3.
Решение. Умножив первое уравнение заданной системы на 2ху, получим алгебраическую систему уравнений
Г 2ж2 + 2у2 - 5ту = О,
1 ж2 - У = 3,
не имеющую решением пару чисел (0; 0). Квадратное уравнение 2Г — 5t + + 2 = 0 имеет корни О = 2 и О = 1/2. Поэтому для у ^ 0 справедливо тождество
(
/ \ 2/ х\
2 ( - ) - 5 ( - ) +2 | =
\У/\У/)
= V (--2) 0-0 = Д-2у)(2ж-у), \У / \У
и, следовательно, система уравнений (22) равносильна совокупности систем
Г ж — 2у = 0,Г 2т — у = О,
[ т2 — у2 = 3, [ т2 — у2 = 3.
Методом подстановки легко убедиться, что первая из этих систем имеет решения (2; 1), (—2; — 1), а вторая система решений не имеет. Ни одна из двух найденных пар чисел не обращает в нуль знаменатель ху рациональ-
ной функции -±-, входящей в систему. Следовательно, исходная систе- ху
ма уравнений имеет два решения: (2; 1) и (—2; — 1).
Ответ. (2; 1), (—2; — 1).
Пример 17. Решить систему уравнений
!
х + у = 1/с, у Г 2 = 1/ж, 2 + X = 1/у.
Решение. Умножая уравнения заданной системы, соответственно на 2, х и у, получим алгебраическую систему уравнений
' Х2 + у 2 = 1,
< ху Г Х2 = ф(23)
. xy + У2 = 1.
Вычитая первое уравнение системы (23) из второго и третьего уравнений, получим систему уравнений
' z(y + ж) = 1,
< у(ж — г) = 0,(24)
. ж(у - г) = О,
равносильную системе (23).
Поскольку все решения исходной системы удовлетворяют условию ху2 Ф 0, то из (24) следует, что для любого решения исходной системы должны выполняться равенства
х = у = z.
Подставляя х вместо у и 2 в первое уравнение системы (24), приходим к квадратному уравнению
2ж2 = 1,
имеющему корни жх = l/vT ^2 = — 1/V2- Отсюда следует, что все решения системы (23), удовлетворяющие условию ху2 Ф 0, имеют вид (1/V5; 1/V2; 1/V2), (™1/V2; ™1/V5; ^флДф Ими и исчерпывается множество решений заданной системы уравнений.
Иногда удачная замена некоторого выражения новой неизвестной позволяет свести задачу к решению алгебраической системы уравнений.
Пример 18. Решить систему уравнений
{
2+3_1
2ж — ух — 2у2
2 1_
2ж — ух — 2у18
Решение. Обозначим —-— через и и —-— через и. В новых обо™ 2ж — ух — 2у
значениях данная система имеет вид
2и + Зи = -, 2
Решая эту линейную систему уравнений, находим и = 1/12, и = 1 /9. Этим доказано, что все решения исходной системы удовлетворяют уравнениям
2ж ™ у = 12,х — 2у = 9.
Этим уравнениям удовлетворяет единственная пара чисел a^i = 5 и ^ = = — 2. Подставляя найденные числа в исходную систему, убеждаемся, что они составляют ее решение.
Ответ. (5; ™2).
Иногда алгебраическую систему уравнений можно свести к рациональной системе подстановкой.
Пример 19. Решить систему уравнений х2 - 4лш + у2 = 3,,
У2 - Зжу = 2.
Решение. Легко видеть, что никакая пара чисел х = а и у = 0 не удовлетворяет второму уравнению исходной системы. Поэтому любое решение этой системы (ж; у) таково, что у него у Ф 0. Будем решать исходную систему при условии, что у Ф 0. Но тогда из второго уравнения системы имеем
(26)
Подставляя вместо ж в первое уравнение системы, получим уравнение Зу
9у2 J \ Зу ) J
На множестве у Ф 0 это уравнение равносильно уравнению
—2у4 - 7у2 + 4 = 0.(27)
Поскольку квадратное уравнение 2t2 + 71 — 4 = 0 имеет корни Н = —4 и О = 1/2, то уравнение (27) равносильно совокупности уравнений
у2 = -4 и у2 = 1/2.
Первое из этих уравнений решений не имеет, а второе имеет два решения: ух = 1/V5 и у2 = ™1/V2. Оба этих решения удовлетворяют
условию у ф 0. Подставляя эти значения у в (26), находим, что xi = = ™1/V^ и ж2 = 1/V2. Следовательно, исходная система имеет два решения: (1/V2; ™1/V2) и 1/V^).
/11Ответ. ;7/11Ответ. ;71 11 1
/11
Ответ. ;7
/11
Ответ. ;7
1 1
1 1
ж+2г/—3<0ж+2г/—3<0Рис. 20Рис. 20
ж+2г/—3<0
ж+2г/—3<0
Рис. 20
Рис. 20
Геометрическая интерпретация алгебраического уравнения.
А) Если на плоскости введена прямоугольная система координат АОУ, то уравнение Р^х. у) = 0, где Р^х. у) — многочлен, определяет некоторое множество точек координатной плоскости, координаты х и у каждой из которых являются решением этого уравнения. Так, например, на координатной плоскости каждое уравнение первой степени с двумя неизвестными
ах + by + с = 0 (а2 + Ь2 0)
есть уравнение некоторой прямой и обратно, каждая прямая на плоскости задается некоторым уравнением первой степени с двумя неизвестными. В частности, уравнение х — d = 0 является уравнением прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку A^dp 0); уравнение у — d = 0 есть уравнение прямой параллельной оси абсцисс, проходящей через точку В(0; d); уравнение
у = кх + d^ к ф 0,
является уравнением прямой, проходящей через точку В^Ь) и образующей с положительным направлением оси ОХ угол, тангенс которого равен к.
Прямая ах + by + с = 0 (а2 + Ь2 ^ 0) разбивает плоскость на две полуплоскости; для точек (жх; yi) одной полуплоскости выполняется неравенство axi + byi + с > 0, а для точек (жз;^) другой полуплоскости выполняется неравенство ах2 +
+ Ьу^ + С < 0.
Так, например, прямая х + 2у — — 3 = 0 разбивает плоскость на две полуплоскости I и II (рис. 20). Для точек полуплоскости I выполняется соотношение х + 2у — 3 > 0, а для точек полуплоскости II выполняется соотношение ж + 2?/ — 3 < 0.
Пример 20. Изобразить на плоскости ХОТ множество точек, координаты которых одновременно удовлетворяют соотношениям
ж + у 'Г 1 и ж — у ^ 2.
Решение. Множество точек, координаты которых удовлетворяют соотношению ж + у = 1, есть прямая I (рис. 21); множество точек, координаты которых удовлетворяют соотношению ж — у = 2, есть прямая II (рис. 22).
Прямая ж + у = 1 разбивает плоскость на две полуплоскости а и р. Для точек полуплоскости а выполнено соотношение х + у > 1. Значит, множество
Рис. 21Рис. 21
Рис. 21
Рис. 21
Рис. 23Рис. 23х О,у-i С О,х О,у-i С О,во второйво второй
Рис. 23
Рис. 23
х О,
у-i С О,
х О,
у-i С О,
во второй
во второй
точек плоскости XOY, для которых х + у ^ 1, есть множество, заштрихованное на рис. 21 (включая и точки, лежащие на прямой х + у = 1). Прямая х у = 2 разбивает плоскость XOY на две полуплоскости у и 5. Для точек полуплоскости 7 выполнено соотношение х — у < 2. Значит, множество точек плоскости XOY, для которых х у 2, есть множество, заштри
хованное на рис. 22 (включая и точки, лежащие на прямой х — у = 2). Пересечение двух этих заштрихованных множеств на рис. 21 и на рис. 22 и есть множество точек плоскости, координаты которых одновременно удовлетворяют условиям хАу^1их™у^2 (рис. 23), т.е. это есть угол АВС вместе с его границей.
Пример 21. Найти площадь фигуры, которая задается на координатной плоскости условием
И + |у - 1| < 4.
Решение. Каждая точка плоскости лежит в какой-то из четырех областей, задаваемых неравенствами:
х О,
У - 1 О,
Упростим теперь в каждой из этих областей неравенство, данное в условии задачи. В первой области оно примет вид
х + (у — 1) ^ 4, или х + у ^ 5;
х + (1 — у) ^ 4, или у — х ^ —3;
в третьей
+ (у ™ 1) ^ 4, или у ™ х ^ 5;
и в четвертой
—х + (1 — у} ^ 4, или х + у ^ —3.
Следовательно, данная в условии задачи фигура является объединением четырех множеств, задаваемых неравенствами
' х О,< У > С. х + у < 5;' х О,< У > С. х + у < 5;X ^У СX ^У СО,1,О,1,У - ж ^ -3;У - ж ^ -3;' ж О,< У > 1,' ж О,< У > 1,' х О,< У < 1, < х + у —3.' х О,< У < 1, < х + у —3.
' х О,
< У > С
. х + у < 5;
' х О,
< У > С
. х + у < 5;
X ^
У С
X ^
У С
О,
1,
О,
1,
У - ж ^ -3;
У - ж ^ -3;
' ж О,
< У > 1,
' ж О,
< У > 1,
' х О,
< У < 1, < х + у —3.
' х О,
< У < 1, < х + у —3.
У СУУ СУ6 — 2ж,2 + 2ж.6 — 2ж,2 + 2ж.(28)(28)
У С
У
У С
У
6 — 2ж,
2 + 2ж.
6 — 2ж,
2 + 2ж.
(28)
(28)
Изобразим теперь каждое из множеств на плоскости XOY (рис. 24).
Первое множество есть прямоугольный треугольник, ограниченный пря
мыми х = 0, у = 1 и х + у = 5; катеты этого треугольника лежат на прямых ж = 0 и ?/ = 1 и имеют длины, равные 4. Следовательно, его площадь равна
-■4-4 = 8. 2
Остальные три множества также являются прямоугольными треугольниками, полученными симметричным отображением первого треугольника: а) второй — относительно прямой
Рис. 24У = 1; б) третий — относительно
прямой х = 0; в) четвертый — относительно точки (0; 1) — точки пересечения прямых ж = 0 и у = 1. Данная
в условии задачи фигура складывается из этих четырех треугольников и поэтому ее площадь равна 4 • 8 = 32.
Ответ. 32.
Пример 22. Найти площадь фигуры, которая задается на координатной плоскости системой неравенств
у 6 — 2|ж|,у 2 + 2|ж|.
Решение. Для того чтобы нарисовать заданную фигуру, разобьем координатную плоскость XOY на две полуплоскости: первую, в которой х ^ 0, и вторую, в которой х < 0. Часть фигуры, лежащая в первой полуплоскости, задается неравенствами
Для точек второй полуплоскости |ж| = ™ж, и поэтому часть фигуры,
(29)(29)лежащая в этой полуплоскости, задается неравенствами Г у С 6 + 2ж, [ у 2 — 2ж.
(29)
(29)
Итак, заданная фигура состоит из двух частей: первая состоит из тех точек плоскости (ж; у), координаты которых удовлетворяют условиям
ж > О, 2 + 2ж С у С 6 — 2ж;
вторая состоит из тех точек плоскости (ж; у), координаты которых удовлетворяют условиям
ж < О, 2 — 2ж С у С 6 + 2ж.
Рассмотрим первую часть. Прямые
у = 6 — 2ж и у = 2 + 2ж
пересекаются в точке В(1;4). Эти прямые пересекают ось ОУ соответственно в точках А(0; 6) и 0(0; 2). Теперь легко видеть, что первая часть
фигуры есть треугольник АВС- (рис. 25). Аналогично показывается, что вторая часть фигуры есть треугольник ADC, где точка D(™1;4) есть точка пересечения прямых у = 6 + 2ж и у = 2 — — 2ж. Таким образом, заданная в условии задачи фигура есть четырехугольник ABCD. Стороны АВ и DC этого четырехугольника лежат на прямых у = = 6 — 2жи?/ = 2 — 2ж, а стороны AD и ВС — на прямых у = 6 + 2ж и у = = 2 + 2ж. Поскольку прямые у = 6 — 2ж и у = 2 — 2ж и прямые у = 6 + 2ж и ^ = 2 + 2ж параллельны, то четырех
угольник ABCD есть параллелограмм. Очевидно, что диагонали его АС и BD перпендикулярны. Следовательно, ABCD — ромб и площадь его
равна ||ЛС| • \BD\ = | ■ 4 ■ 2 = 4.
Ответ. 4.
Пример 23. Найти площадь фигуры, которая задается на координатной плоскости условием
2|ж| + \у + 2ж + 1| С 5.
Решение. Каждая точка координатной плоскости лежит в какой- ни- будь из четырех областей, задаваемых системами неравенств:
О,О,ш. СУ’ . „ iv-[ у + 2ж + 1 > 0;ш. СУ’ . „ iv-[ у + 2ж + 1 > 0;ж С О,у + 2ж + 1 С 0;J ж < О,| у + 2ж + 1 С 0.ж С О,у + 2ж + 1 С 0;J ж < О,| у + 2ж + 1 С 0.
О,
О,
ш. СУ’ . „ iv-[ у + 2ж + 1 > 0;
ш. СУ’ . „ iv-[ у + 2ж + 1 > 0;
ж С О,
у + 2ж + 1 С 0;
J ж < О,
| у + 2ж + 1 С 0.
ж С О,
у + 2ж + 1 С 0;
J ж < О,
| у + 2ж + 1 С 0.
При этом граничные точки областей мы включили в каждую из этих областей.
Упростим теперь в каждой из этих областей неравенство, данное в условии задачи. В первой области оно примет вид
2ж + у + 2ж 5 или 4ж + у — 40;
(30)
во второй
2ж — у — 2ж — 1 ^ 5 или у ^ —6;
(31)
в третьей
—2ж + у + 2ж + 15 или у 4;
(32)
и в четвертой
—2ж — у — 2х — 1^5 или 4ж + у + 6 ^ 0.
(33)
Выясним, какое множество точек координатной плоскости удовлетворяет условию (30) в области I.
При решении будем пользоваться утверждением: всякая прямая ах + + by + с = 0 делит плоскость на две полуплоскости такие, что результат
подстановки в выражение ах Г by Г с координат любой точки, лежащей по одну сторону от этой прямой, положителен, а результат подстановки координат любой точки, лежащей по другую сторону от этой прямой, отрицателен.
Рассмотрим на координатной плоскости XOY три прямые:
1)^+2ж+1 = 0; 2) ж = 0; 3)4хГу™4 = = 0. Первая и вторая из них пересекаются в точке А(0; ^1), вторая и третья — в точке В(0;4), первая и третья — в точке €7(5/2; —6) (рис. 26). Так как прямая 3) пересекает ось ОХ в точке М(1; 0), то точка 7V(l/2; 0) лежит внутри треугольника АВС. Результат подстановки координат точки N в выражение ?/+2ж+1 положителен, в выражение х — положителен, в выражение 4ж + у — 4 — отрицателен. Поэтому любая точка, лежащая
внутри треугольника АВС и на его сторонах, удовлетворяет условию (30)
и лежит в области I. Следовательно, множество точек, удовлетворяющих условию (30) в области I, есть треугольник АВС.
Аналогично показывается, что множество точек, удовлетворяющих условию (31) в области II, есть треугольник ACD, где D(0; ^6); множество точек, удовлетворяющих условию (33) в области III, есть треугольник ADF, где F(—5/2; 4) — точка пересечения прямых у + 2ж + 1 = 0 и 4ж + + у + 6 = 0; множество точек, удовлетворяющих условию (34) в области IV, есть треугольник ABF. Объединение этих четырех множеств и дает
фигуру, задаваемую исходным неравенством. Полученная фигура является параллелограммом, так как прямые ^ = 4и^/=™6 параллельны и прямые 4ж + у = 4 и 4ж + у = —6 также параллельны. Поскольку высота этого параллелограмма равна расстоянию между прямыми у = 4 и у = ™6, то она равна 10. Так как прямые у = —6 и у = —2ж — 1 пересекаются в точке (5/2; —6), то длина основания этого параллелограмма равна 5/2.
Следовательно, искомая площадь равна - • 10 = 25.
Ответ. 25.
Б) Уравнение
(ж - а)2 + (у - Kf = Я2
на координатной плоскости определяет окружность радиуса R с центром в точке Л (а; Ь).
Окружность разбивает плоскость на два множества: множество точек (ж0; у0), для которых (ж0 — а)2 + (у о — b}2 < R\ является внутренностью круга с центром в точке Л (а; 6), радиус которого равен R (рис. 27); мно-
Рис. 28Рис. 28
Рис. 28
Рис. 28
жество точек (жх; yi\ для которых (жх — а)2 + (;щ — b)2 > R2, является внешностью круга с центром в точке Л (а; 6), радиус которого равен R (рис. 28).
Пример 24. Найти площадь фигуры, которая задается на координатной плоскости следующими условиями
Г ||ж-у| - |у- 1|| = ж — 2у + 1, [ (ж - I)2 + (у - I)2 < 1.
Решение. Обозначим ж — у через а и 1 — у через Ъ. Тогда данное в условии задачи равенство запишется в виде
||а|-|&||=а + Ь.(34)
Найдем все пары чисел а и Ь, удовлетворяющих этому равенству. Рассмотрим два случая.
15 М.К. Потапов и др.
Предположим, что а ^ 0. Тогда равенство (34) переписывается в виде
|а ™ |6| | = а + Ь.(35)
Если b > 0, то равенство (35) перепишется в виде | а —61 = а + b и, очевидно,не может выполняться. Следовательно, 6 ^ 0 и равенство принимает вид|а + 6| = а + 6,
откуда находим, что аГЬ ^ 0. Итак, все пары чисел (а; Ь), удовлетворяющие равенству (34) и условию а 0, лежат в области, задаваемой неравенствами
{
а 0,
b С 0,(36)
а + b 0.
Легко видеть, что и, обратно, любая пара чисел, удовлетворяющая неравенствам (36), удовлетворяет также равенству (34).
Рассмотрим теперь пары (а; Ь), удовлетворяющие равенству (34) и условию а ^ 0. Если 6 < 0, то правая часть равенства (34) будет отрицательной, что, конечно, не может выполняться. Значит, 6 ^ 0 и равенство (34) принимает вид
| ™ а — Ь\ = а + 6,
откуда следует, что а + b ^ 0. Поэтому все пары чисел (а; 6), удовлетворяющие равенству (34) и условию а 0, лежат в области, задаваемой неравенствами
{
а 0,
а + b 0.
Любая пара чисел, удовлетворяющая этим неравенствам, будет, как легко видеть, удовлетворять и равенству (34). Следовательно, пары чисел (ж; у), удовлетворяющие данному в условии задачи равенству, есть те и только те пары чисел, которые удовлетворяют одной из следующих двух систем неравенств:
{
х — у 0,Г ж -0,
1 - у С 0, J 1 - у 0,
х — 2у + 1 ^ 0;< х — 2у + 1 ^ 0.
Проведем на координатной плоскости (рис. 29) прямые 1 — у = 0, х — —у = Оиж—2?/+1 = 0. Они пересекаются в точке К(1; 1). Тогда все точки, координаты которых удовлетворяют первой системе неравенств, будут лежать внутри и на сторонах угла, обозначенного на рис. 29 цифрой I, а все точки, координаты которых удовлетворяют второй системе неравенств, будут лежать внутри и на сторонах угла, обозначенного на рис. 29 цифрой П. Неравенству, данному в условии задачи, удовлетворяют точки круга, т.е. точки, лежащие внутри и на окружности радиуса 1 с центром в точке
К(1; 1). Следовательно, фигура, площадь которой надо найти, состоит из
двух секторов АКБ и СКВ, Очевидно, что в силу симметрии площадь сектора СКВ равна площади сектора ЕКВ, и поэтому искомая площадь равна площади сектора ЕКА. Сектор ЕКА образуется прямыми х ™ у = 0 и 1 — у = 0. Прямые х — у = 0и1 — у = 0 проходят через центр окружности и угол между ними ра- 360°
вен = 45°, поэтому площадь сектора
ЕКА равна 1/8 части площади круга с радиусом 1 и с центром в точке К (I; 1), т-е- равна тг/8.
Ответ, тг/8.
Упражнения
Решить систему уравнений.
О /1*2)
| Зт — у = б.
3)О-2У = 1,5,I
I 2ж - 4у = 3.I
Зт + у = 5, 2х — у = 1. х — 2у = 3, Зт — бу = 5.
5)
х + 2у + z = 8,
2х + у + % = 7,
х + у + 2z = 9.
х + у у- % = о,
х — у + z = 2,
Зт + у + z = — 2.
х + у — 2z = 1,
х — 2у + z = 1,
ж — бу + 13^ = 1.ж + 2х/= 1,t2х2 — Зху + у2 = 6.ж - у = 3,(ж2 у2^х + у) = 147.ж3 + Зжу2 = 14,у3 + Зж2у = 13.'ж — бу + 13^ = 1.ж + 2х/= 1,t2х2 — Зху + у2 = 6.ж - у = 3,(ж2 у2^х + у) = 147.ж3 + Зжу2 = 14,у3 + Зж2у = 13.'15)15)2ж = 4, ж2 + 1 = 5.2ж = 4, ж2 + 1 = 5.
ж — бу + 13^ = 1.
ж + 2х/= 1,t
2х2 — Зху + у2 = 6.
ж - у = 3,
(ж2 у2^х + у) = 147.
ж3 + Зжу2 = 14,
у3 + Зж2у = 13.'
ж — бу + 13^ = 1.
ж + 2х/= 1,t
2х2 — Зху + у2 = 6.
ж - у = 3,
(ж2 у2^х + у) = 147.
ж3 + Зжу2 = 14,
у3 + Зж2у = 13.'
15)
15)
2ж = 4, ж2 + 1 = 5.
2ж = 4, ж2 + 1 = 5.
7) х — у + 3^ = 1,8) Зх + у — z = 3,
— 5т — у + 2z = 0.
J X + у = 5, ( ж3 + у3 = 215.
Ж2 +жу = 2,' 1 У2 + $У = 2.
у2 Р ху = 15,х2 + ху = 10.
х + ух = 1, X = Зу + 1.
18)
ж2 + у - 2 = 0, ж + у2 — 2 = 0.
ж2 + 3 = 2жу, 6ж2 - 11у2 = 10.
22)22)жу = 2, у = ж2 + 1.жу = 2, у = ж2 + 1.(ж - у)(ж2 - у2) = 45,(ж - у)(ж2 - у2) = 45,ж + у = 5.ж + у = 5.
22)
22)
жу = 2, у = ж2 + 1.
жу = 2, у = ж2 + 1.
(ж - у)(ж2 - у2) = 45,
(ж - у)(ж2 - у2) = 45,
ж + у = 5.
ж + у = 5.
ж + у ж-у ’I ж + у2 = 5,
1=( у + $2 = 3.
ж + у х — у 5
ж3 - у = О,( ж2 + жу = 10,
ж2 + у2 - 2 = 0.~( ж3 + ж2у = 20.
ж 3’( ж2 - у2 = 2(ж + у),
ж + у = 3' ’ | ж2 + у2 = 8.
232’
ж3 =5ж + Зу,_„х f ж2 — у= 23,__х[ ж3 + у3 =7(ж + у),
,М’28) {„ я ’29) У„ ah
у3 = Зж + 5у.| ж2 • у = 50.1 ж2 + у = 10.
ж3 - у3 = 8(ж - у),\ ж2 — у2 + Зу = О,
ж2 + у2 = 8.|^ ж2 + Зжу + 2у2 + 2ж + 4у = 0.
ж2 - у + ж - у2 = 14,( ху + ж - у = 3,
(ж — у)(ж2 — у2) = 24.| ж2у — жу2 = 2.
ж3 + ж3у3 + у3 = 12,J (ж - у)(ж2 + у2) = 447,
т + ху + у = 0.I ху(х — у) = 210.
(ж - I)2 + у2 = 2,( (ж2 + 1)(у2 + 1) = 10,
(ж - 2)2 + (у - I)2 = 2.| (ж + у)(жу - 1) = 3.
ж2 + у2 = 13, Г ж2+у2 = 34,
ж3 + у3 = 19.х + у + ху = 23.
Ж4 + у4 = 17,^Г 2ху - х - у = -7,
ж + у = 3.1 Зху + х — у = —23.
Зж2 - у2 - 12т + 4у = -11,J 5т2 - Зу2 + Юж - 12г/ = 17,
4т2 + 2г/2 — 16т — Зу = —18.' [ 2т2 + у2 + 4т + 4у = —2.
2ху + у2 — 4х — Зу + 2 = 0,f Зу2 + ху — 2т + у — 5 = О,
ху + Зу — 2т — 141/ + 16 = 0.|^ 2т2 — ху — Зт — у — 5 = 0.
5т2 + у2 + х — 2у = 1,J 2т2 — 4у2 — 1,5т + у = О,
5т2 + 2,5г/2 + Зт — 4у = 4.Зт2 — бу2 — 2т + 2у = 0,5.
Ill( X у _ 3
х у 3650) < у х 2
ху2 — х2у = 324.т2 + у2 = 45.
51)
53)
55)
56)
57)
59)
62)
64)
66)
68)
70)
- + - = 5, J ж у 1 — + — = 13. 1 ж2 у2
52) 1
' 2®2 - у2 = 31, ж2 + 4у2 _
ху
2жу
<У
= 34,
54) 1
ж3 + 4у = у3 + 16ж, 1 + ж21
®у - 3- У
= 12.
< 1 + у2 5
J ж2 — 2ж1/ + 2^/2 + 2ж — Зу + 10 = 0, 2ж2 — Чху + З^/2 + 13ж — 4у — 7 = 0.
J 2ж3 + х2у + 4ж2 — 4ху — ху2 + Зу — 6х + у2 = О, [ Зж2 + Зху — 2ж — Зу — 1 = 0.
ху + yz = 18,х + у + z = 2,
xz + zy = 20,58) < ху + yz + xz = —3,
ух + xz = 8.[ xyz = 0.
х + у + z = 1,
ху + xz + zy = —4,
2(ж + у) = ху, ху + yz + xz = 108, xyz = 180.
ж3 + у3 + z3 = 64, ж2 + у2 + z2 = 10, ж + у + z = 4.
ж(ж + у + z) = 1, у(х PyPz) = 2, z(x + у + z) = 3.
ж2 + ху + у2 = 37, ж2 + xz + z2 = 28, у2 + yz + z2 = 19.
60)
65) <
67) <
69)
ж3 = yz, у3 = zx, z3 = ху.
61) <
ж + у + z = 13,
х(уР z) = 27, y(z + ж) = 32, z(x + у) = 35.
ж2 + у2 + z2 = 91,
у2 = XZ.
ж + у + Z =
13
3 ’
13
3 ’
xyz = 1.
ху + xz = 2 + ж2, ху + yz = 3 + у2, xz + yz = 4 + z2.
Изобразить на плоскости XOY множество всех точек (ж; у), координаты ж и у каждой из которых удовлетворяют заданному условию.
2ж — Зг/ + 1 = 0. 72) Зж - 5 = 0. 73) 1 - Гу = 0.
у ™ |ж| + 1 = 0. 75) \у\ ™ х = 2. 76) 1 + 2|г/| + ж = 2 ™ Зж.
1-|у|+ж = ж-2. 78) у + |ж| — |ж + 2| = 0. 79)^=-^.
|ж| +|у| =1.81) |ж - 1| + |у| = 2.82) |ж + 1| + |у -3|=1.
|ж| —|у| =1.84) |у| - |ж| =1. 85)|ж| + ж = |у| + у.
|ж + у — 1|+|ж — у + 1| = 0.87) |®+ у — 1| — |® — у+1|= 0.
\у\ =^2(Ы- ж). 89) |ж| +|у| + 11— ж — у| = 1.
4
|ж — у| + |ж + у| = 4. 91) |2у - 1| + |2у + 1| + ^И = 4-
|ж| + |у| + ^{|ж - у| + |ж + у|} = V2 + 1.
||ж| + ||у| - 3| - 3| = 1. 94) |у - ж| + ж + у = 2.
х + у — \у — ж| = 4. 96) ж + у2 = 0.
(ж ™ I)2 + (у + 2)2 = 0. 98) ж2 + у2 = 4.
ж2 + 2ж + у2 ™ 4у ™ 3 = 0. 100) ж2 + 4жг/ — 5г/2 = 0.
ж2 + х2у2 у2 ™ 1 = 0. 102) |х/2 - 1| = |ж + у\.
(8Ш7г(|ж| + |г/|)) •™ ж2 — у2 = 0.
1 — ж2 — у2 = у/(1 ™ ж2 ™ у2)2 + (у ™ ж2)2.
Ю5) | - |у| =106) (ж2 + у2 -
х (ж2 + (у + 2)2 - 0 ((ж + 2)2 + (у - 2)2)((ж - 2)2 + (у - 2)2) х
" + (у + 2)2" + (у + 2)22\+ (у + 2)2 =0.2\+ (у + 2)2 =0.
" + (у + 2)2
" + (у + 2)2
2\
+ (у + 2)2 =0.
2\
+ (у + 2)2 =0.
logx у = 2. 108) \у — 8тж| = у Г sin ж.
|у - |ж|| = |ж| + 1. 110) у2(у - 1)(у + 1) = ж2(ж + 1)(ж - 1).
ж + 2у — 3 > 0. 112) ж + 2у — 3 < 0. 113) |ж| + |у| — 1 > 0.
114)|ж-у|<2. 115)|ж-у|>2. 116)ж2-у2>0.
117)ж2+у2>4. 118) ж2 + (у — I)2 < 2. 119) 1 < 4(ж2 + у2) < 16.
1 < |ж - 1| < 2. 121) 1 < |у + 2| < 3. 122) |ж| - |у| > 1.
|ж| + |у| < 3. 124) |ж + 1| + |у - 1| > 3.
|ж + у| + |ж - у| < 2. 126) ж2 + у2 - 2|ж| - 2|у| < 2.
|ж2 + у2 - 2j < 2(ж + у). 128) ж2 + у2 < 2(|ж| - |у|).
4 < ж2 + у2 < 2(|ж| + |у|). 130) logjlog,, ж) > 0.
134)134)2ж — г/ > 0.2ж — г/ > 0.|ж + 21/| = 2,|у| < 1,|ж + 21/| = 2,|у| < 1,( ж2 + г/22ж,136) У ’ | ж 1.( ж2 + г/22ж,136) У ’ | ж 1.137)137)у2 < 1,ж — у/1 — у2 i5 о, ж + \у\ - 4 ^ 0.у2 < 1,ж — у/1 — у2 i5 о, ж + \у\ - 4 ^ 0.1с>1/зЙ + 7^ х) 1оё1/з^1с>1/зЙ + 7^ х) 1оё1/з^139)139)141)141)|ж + у\ + |ж — у\ 4, |ж| ^ 1,у у ж2 — 2ж + 1.|ж + у\ + |ж — у\ 4, |ж| ^ 1,у у ж2 — 2ж + 1.I®! + |у| < з, l°g2(2y —ж2 +4) > log2(y + 1).I®! + |у| < з, l°g2(2y —ж2 +4) > log2(y + 1).IN - |у|I > С kl + |у| < 2.IN - |у|I > С kl + |у| < 2.142)142)к + У| + к ” У| < 2, |ж + у| ^ 2V2, |ж - у| < 2V2.к + У| + к ” У| < 2, |ж + у| ^ 2V2, |ж - у| < 2V2.
134)
134)
2ж — г/ > 0.
2ж — г/ > 0.
|ж + 21/| = 2,
|у| < 1,
|ж + 21/| = 2,
|у| < 1,
( ж2 + г/22ж,
136) У ’ | ж 1.
( ж2 + г/22ж,
136) У ’ | ж 1.
137)
137)
у2 < 1,
ж — у/1 — у2 i5 о, ж + \у\ - 4 ^ 0.
у2 < 1,
ж — у/1 — у2 i5 о, ж + \у\ - 4 ^ 0.
1с>1/зЙ + 7^ х) 1оё1/з^
1с>1/зЙ + 7^ х) 1оё1/з^
139)
139)
141)
141)
|ж + у\ + |ж — у\ 4, |ж| ^ 1,
у у ж2 — 2ж + 1.
|ж + у\ + |ж — у\ 4, |ж| ^ 1,
у у ж2 — 2ж + 1.
I®! + |у| < з, l°g2(2y —ж2 +4) > log2(y + 1).
I®! + |у| < з, l°g2(2y —ж2 +4) > log2(y + 1).
IN - |у|I > С kl + |у| < 2.
IN - |у|I > С kl + |у| < 2.
142)
142)
к + У| + к ” У| < 2, |ж + у| ^ 2V2, |ж - у| < 2V2.
к + У| + к ” У| < 2, |ж + у| ^ 2V2, |ж - у| < 2V2.
Найти площадь фигуры, которая задается на координатной плоскости XOY
следующим условием.
|ж - 2| + |у| < 2. 144) |ж| + |2 - у| < 3.
145) |3 - ж| + |у| < 1. 146) |ж + 1| + |2у - ж - 1| < 6.
147) |у - 2ж - 1| + 2|ж| < 3. 148) |2у + ж + 1| + |ж + 1| < 4.
149)149)У < 4 - |ж|, у 1 + -|ж|.У < 4 - |ж|, у 1 + -|ж|.УУУУ> 3 + 4|ж|.> 3 + 4|ж|.151)151)у < 5 - 2|ж|, у > 2 - -|ж|.2у < 5 - 2|ж|, у > 2 - -|ж|.2
149)
149)
У < 4 - |ж|, у 1 + -|ж|.
У < 4 - |ж|, у 1 + -|ж|.
У
У
У
У
> 3 + 4|ж|.
> 3 + 4|ж|.
151)
151)
у < 5 - 2|ж|, у > 2 - -|ж|.
2
у < 5 - 2|ж|, у > 2 - -|ж|.
2
152)153)154)152)153)154)155) г/= 2155) г/= 211жж2,4|У + 4|.Ж2,4|У + 4|.Ж156)156)1х1х1 ж1 жжж
152)
153)
154)
152)
153)
154)
155) г/= 2
155) г/= 2
1
1
ж
ж
2,
4|У + 4|.
Ж
2,
4|У + 4|.
Ж
156)
156)
1
х
1
х
1 ж
1 ж
ж
ж
||ж — у| — |ж — 1|| = у — 2ж + 1, (ж - I)2 + (у - I)2 < 4.
Ik - у| - |у - 2Н = Ж - 2У + 2, (ж - 2)2 + (у - 2)2 < 3.
||ж - у| - |у + 1|| = 2у - ж + 1,
(ж+1)2 + (у + 1)2<2.
Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты каждой из которых удовлетворяют заданному условию, и среди точек этого множества найти все точки, у каждой из которых координата у принимает наименьшее значение.
Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты каждой из которых удовлетворяют заданному условию, и среди точек этого множества найти все точки, у каждой из которых координата у принимает наибольшее значение.
333333157)у = 4- у- - -2158) 2у + у- - =4- --1.157)у = 4- у- - -2158) 2у + у- - =4- --1.
3
3
3
3
3
3
157)у = 4- у- - -2158) 2у + у- - =4- --1.
157)у = 4- у- - -2158) 2у + у- - =4- --1.
НЕАЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
В этом параграфе описываются некоторые методы решения систем уравнений, содержащих радикалы, логарифмические и показательные функции.
Метод подстановки. Пусть дана система двух уравнений с двумя неизвестными. Как и в случае алгебраических систем уравнений, если одно из уравнений содержит одну из неизвестных в первой степени, то, выразив из этого уравнения эту неизвестную через другую неизвестную, можно подставить это выражение во второе уравнение. Тем самым задача сведется к решению уравнения с одним неизвестным.
Пример 1. Решить систему уравнений
Г У = 4^ + 2,
[ 2Ж+2 + 2у + 1 = 0.U
Решение. Из второго уравнения системы находим, что
У=-|-2ж+1.(2)
Подставляя — 1 /2 — 2ж+1 вместо у в первое уравнение системы (1), получаем уравнение
/ 1\ 2
(2ж+1 ) = 4Ж + 2,
V 27
которое можно переписать в виде
3 • 22ж + 2 • 2Ж - | = 0.(3)
Поскольку квадратное уравнение
ЗЛ += 0
4
имеет два корня сд = 1/2 и с2 = —7/6, то уравнение (3) равносильно совокупности уравнений
Пример 2. Решить систему уравнений
Г log1/2 ж + 2У+1 = 3,[ 41og1/2 ж + 4У = 32.
Решение. Обозначим log^ х через и и 2У через и. Поскольку 2у+1 = = 2t> и 4s = и2, то исходная система запишется в виде
Г и + 2ж = 3,, .
{ 4и + г? = 32.(
Из первого уравнения системы (4) находим, что и = 3 — 2гн Подставляя 3 — 2ж вместо и во второе уравнение системы (4), получаем уравнение 4(3 — 2ж) + ж2 = 32, которое можно переписать в виде
v2 - 8и - 20 = 0.
Это квадратное уравнение имеет два корня гд = 10 и гд = —2. Следовательно, система (4) имеет два решения: гр = —17, гд = 10 и м2 = 7, гд = — 2, а это означает, что исходная система равносильна совокупности систем
f log1/2a: = 7, J log1/2® =-17,
[ 2" = -2[ 2У = 10.
Первая из этих систем решений не имеет, решение второй системы совокупности (5) есть ж = 217, у = log2 10.
Ответ. (217; log2 10).
Пример 3. Решить систему уравнений
{
2 г^ж у = log2 4ж2,
116(6)
vT+T = log2—.у
х2
Решение. Обозначим ^ж + у через и и log2 ж2 через гн Тогда
216
log2 4ж = 2 + гр log2 = 4 - жх2
и систему (6) можно записать в виде
J 2и = г) + 2,( и = 4 —
Эта система имеет единственное решение и = 2ри = 2. Поэтому система (6) равносильна системе уравнений
Г ^ж + у = 2,
I log2 Ж2 = 2,
имеющей два решения: xi = 2, yi = 30 и ж2 = —2, у2 = 34.
Ответ. (2; 30), (-2; 34).
Пример 4. Решить систему уравнений
ж3 - Су = с
5ж6 — 8ж3уу + 2у = 2.
Решение. Обозначив ж3 через и и Уу через у, данную систему уравнений можно переписать в виде
(7)(7)( и ™ V = 1,
(7)
(7)
( Ьи2 — ^ии + 2 г/2 = 2.
Из первого уравнения находим и = г;+1. Подставив г;+1 вместо и во второе уравнение, получим уравнение г/2 — 2г; — 3 = 0. Это уравнение имеет два корня: гд = -1 и ^ = 3. Соответствующие значения и будут их = 0 и и^ = 4. Следовательно, система (7) имеет два решения:
их = 0,[ иэ = 4,
Щ = — 1( V2 = 3.
Значит, исходная система равносильна совокупности двух систем уравнений г ж3 = 0Г ж3 = 4
I СУ =I СУ = 3.
Первая система этой совокупности не имеет решении, а вторая имеет единственное решение х = -^4, у = 9.
Ответ. (х^4;9).
Переход к следствию. Пусть имеются две системы уравнении, которые условно будем обозначать I и II. Говорят, что система II является следствием системы уравнении I, если каждое решение системы I будет также решением системы II. Это определение аналогично определению из гл. 1, § 1.
Предположим, что требуется решить некоторую систему уравнении. Будем проводить над этой системой некоторые преобразования, имея целью ее упрощение. При этом получится ряд систем, последняя из которых имеет простейший вид и может быть решена непосредственно. Если в процессе преобразований каждая новая система уравнений является следствием предшествующей, то можно утверждать, что все решения исходной системы содержатся среди решений самой последней из систем (говорят еще, что потери корней не произошло). Подставляя все решения последней системы в исходную, можно отобрать среди них решения исходной системы. И можно утверждать, что иных решений исходная система не имеет. К сожалению, многообразие различных ситуаций не позволяет описать все преобразования, сохраняющие корни систем уравнений. Мы здесь ограничимся лишь некоторыми простейшими примерами.
Пример 5. Решить систему уравнений
Уж+у-1 = 1, х ж у | 2 = 2у - 2.
Решение. Возведя обе части каждого из уравнений данной системы в квадрат, получим систему
(8)(8)х + у — 1 = 1,
(8)
(8)
X - у + 2 = 4 г/2 - Ъу + 4.
Все решения исходной системы являются решениями системы (8), но не обязательно все решения системы (8) будут решениями исходной системы, поэтому после нахождения решений системы (8) из них надо отобрать те, которые будут решениями исходной системы.
Из первого уравнения системы (8) получаем х = 2 — у. Подставим 2 — у вместо х во второе уравнение. Получим квадратное уравнение
V - зу = о,
корни которого ух = 0, у^ = 3/2. Значит, система (8) имеет два решения: хх = 2, ух = 0; ж2 = 1/2, у^ = 3/2. Непосредственная проверка показывает, что единственным решением исходной системы является пара чисел (1/2; 3/2).
Ответ. (1/2;3/2).
Пример 6. Решить систему уравнений
log2(x2 + у2) = 5,
2 log4 ж + log2 у = 4.
Решение. Так как для решений данной системы
2 log4 ж = log2 ж и log2 ж + log2 у = log2 жу,то все решения данной системы содержатся среди решений системыж2 + У2 — 32,
жу = 16.U
Умножив второе уравнение этой системы на 2 и вычитая результат из первого уравнения, найдем, что (ж — у)2 = 0 или х = у. Подставив х вместо у во второе уравнение системы (9), получим, что х2 = 16, и теперь легко найдем два решения этой системы: хх = 4, ух = 4 и х^ = —4, у^ = —4. Проверкой убеждаемся, что пара чисел хх = 4,ух =4 является решением исходной системы, а пара чисел ж2 = ™4, у^ = ™4 не является ее решением, поскольку область существования функции у = log2 х состоит из положительных чисел.
Ответ. (4; 4).
Рассуждения с числовыми значениями. Предлагаемый здесь способ решения систем уравнений обычно применяется в тех ситуациях, когда трудно следить за равносильностью преобразований уравнений системы. По существу, это есть иное оформление метода, изложенного в и. 2.3.
Пусть дана система уравнений, для простоты, с двумя неизвестными х и у, содержащая, вообще говоря, любые функции:
Л (ж, у) = О,.Ыж,У) = 0.
Решение этой системы проводится следующим образом. Предполагается, что пара чисел (жо; Х/о) является решением системы (10). Тогда справедливы числовые равенства
/1(жо,Уо) = о,
/2(^0, Уо) = 0.
Из них с помощью различных преобразований могут быть получены новые соотношения между жо и уо или какие-нибудь ограничения на них. Окончательный набор соотношений удается получить таким, что ему удовлетворяет лишь конечное множество легко вычисляемых пар чисел (жт; т/i), (ж2; ^2), • • ■, (жп; Уп)* Из них с помощью подстановки в заданную систему уравнений можно отбросить все лишние пары и отобрать все ее решения.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 7. Решить систему уравнений
ж — у + уж2 - ^У2 — ж5 •= о.
Решение. Пусть пара чисел (жо; У о) есть решение этой системы. Тогда справедливы числовое неравенство
Д - 4уо > 0(11)
и числовые равенства
®о - Уо + /^ - 4Уо = 2 и жо ■ /^ - 4Уо = °-
Из второго равенства следует, что либо ж о = 0, либо ж о = 21/о,либожо = ^2г/о- Если жо = 0, то, учитывая неравенство (11), получаем, что 1/0 = 0.
Если жо = 21/о, то из первого равенства получаем, что 2?/о — уо = 2, т.е. у о = —2, но тогда жо = 4.
Если жо = —2?/о? то из первого равенства получаем, что — 2?/о ™ У о = 2, т.е. уо = —2/3, но тогда жо = 4/3.
Итак, если пара чисел (ж0; уо) есть решение исходной системы, то она содержится среди следующих трех пар чисел: (0;0), (4; 2), (4/3; —2/3). Подставляя эти пары чисел в уравнения системы, убеждаемся, что первая пара не удовлетворяет первому уравнению системы, а вторая и третья удовлетворяют обоим уравнениям системы, следовательно, являются ее решениями.
Ответ. (4; 2), (4/3; —2/3).
Пример 8. Решить систему уравнений
Г ж + log2 у = у log2 3 + log2 ж,1 ж log2 72 + log2 ж = 2у + log2 у.
Решение. Пусть (жо;уо) — решение данной системы. Тогда справедливы числовые равенства
Жо+log2y0 = yolog23+ к^2ж0,,12>
ж0 log2 72 + log2 ж0 = 2у0 + log2 у0-
Складывая почленно эти равенства, получаем после приведения подобных членов, что справедливо равенство
ж0 (4 + 2 log2 3) = у0(2 | log2 3)
или равенство
yQ = 2ж0-
Подставляя 2жо вместо у о в равенство (12), получаем, что справедливо равенство
ж0 + log2(2£0) = 2ж0 log2 3 + log2 ж0,
12
откуда находим, что xQ = ; но тогда уо = . Итак, если
21°§2 3 — 12 log2 3 — 1
данная система имеет решение, то это решение есть пара чисел (х^руо), 11.
где xq = , уо = . Подставляя найденную пару чи-
2 log2 3 — 12 log2 3 — 1
сел в оба уравнения исходной системы уравнений, убеждаемся, что она действительно является ее решением.
о11
Ответ. : .
\ 2 log2 3—1 2 log2 3 — 1 у
Указанный прием может использоваться для доказательства того, что полученная в результате преобразований система уравнений является следствием исходной системы.
Пример 9. Решить систему уравнений
Г (14™ 2 log|Xy| 2) • logx_|_y l^^/l1?
х — у = 2V5.
Решение. Пусть (ж0; у о) — решение данной системы уравнений. Тогда справедливы равенства
(1+ 21og|$oyo| 2)-^жо+уо |жоУо| = 1, ж0-у0 = 2СЗ, (13) откуда вытекает, что хо и уо удовлетворяют условиям
о < (ж0 + у0) / 1, |жоуо| / 1, ЖоУо / о,
но тогда bg^+yo |жоуо| = "",
и потому первое из равенств (13) можно переписать так:
1 + 21og|XoJ/o| 2 — log|Xoyo|(ж0 + уо^
отсюда 4|жоХ/о | = ^о + ^/о* Значит, каждое решение исходной системы уравнений является решением системы уравнений
f 4|жу| =ж + у,
) ж — у = 2V5,
т.е. эта система является следствием исходной системы.
Подставляя х — 2x^3 вместо у в первое уравнение системы (14), получим уравнение
4|ж(ж-2Сз)| =2ж-2СЗ.(15)
Так как левая часть уравнения (15) неотрицательна при любом ж, то все решения уравнения (15) удовлетворяют условию 2х — 2x^30, т.е. х Vs.
Для освобождения от знака абсолютной величины в уравнении (15) разобьем область х х/З на два промежутка: х/З х < 2x^3 и 2V3 < X < +ос, и будем решать уравнение отдельно в каждом из этих промежутков.
В области х/З х < 2x^3 справедливо неравенство х ^ж — 2х^Г) < 0. На этом множестве уравнение (15) можно переписать в виде
™2ж— 2л/3^ = х — х/З,
или в виде
2ж2 - (ЭСз - 1Д - Сз = 0.
Получившееся квадратное уравнение имеет корни
3 + 2V3о
Xi = и хэ = V3 ™ 2,
2~
о3 + 2V3
из которых в область V3 х < 2V3 попадает только хх =-. Значит,
в области х/З ^ х < 2x^3 уравнение (15) имеет единственный корень хх.
В области х ^ 2x^3 справедливо неравенство х у - 2V3) > 0; на этом множестве уравнение (15) можно переписать в виде
2ж (ж - 2л/з) = ж - V5,
или в виде
2ж2 - (4 - V5 + 1) ж + V3 = 0.
„-3 + 2^3„ ,
Это квадратное уравнение имеет корни ж3 =и Х4 = 2 + у
Из них в область х ^ 2x^3 попадает только ж 4 = 2 + х/З. Значит, в области х ^ 2x^3 уравнение (15) имеет единственный корень Х4 = 2 + \Д.
Итак, уравнение (15) имеет два корня xi = ?2^dl^ и Х4 = 2 + V3.
Значит, система уравнений (14) имеет два решения: (xyyi) и (^45^4), и потому все решения исходной системы уравнений содержатся среди пар / ч / х3 + 2^33^2\/3 Q
чисел \xyyi) и (ж4;^4), где, ух = ; х4 = 2 + х/3,
?/4 = 2 — х^. Так как Х4У4 = 1, то пара чисел (^451/4) не удовлетворяет
первому уравнению исходной системы. Подставляя числа хх и ух в оба уравнения исходной системы, убеждаемся, что пара чисел (ад; ух) является ее решением.
3 + 2V3 3-2^3 Ответ. , .
22
Пример 10. Решить систему уравнений
1-2/5 1оёж у _2/5
У—,
1 + log, (1) = log^ 4.
Решение. Пусть (х^; i/o) — решение данной системы. Тогда справедливы равенства
1-2/5 log у0 2/5
%= ж0 ,
+ log$o (1 - ~) = 1оё^0 4-
\ Xq /
Из справедливости этих равенств вытекает, что х^ > 0, х^ Ф 1, у^ > 0, ж0 > 31/0- Прологарифмировав первое равенство по основанию х^ и пропотенцировав второе, получим, что справедливы равенства
(i-flog yo)log у0 = |, ж0 — Зуо = 4.(16)
Обозначив logX0 у о через с, из первого равенства (16) получаем уравнение
х ™ Зу = 4,bg^ = |-х ™ Зу = 4,bg^ = |-Это квадратное уравнение имеет корни сх = 2 и с2 = 1/2. Таким образом, каждое решение исходной системы уравнений является решением одной из систем уравнений:
х ™ Зу = 4,bg^ = |-
х ™ Зу = 4,bg^ = |-
(17)(17)J х ™ Зу = 4,
(17)
(17)
I bg^ у = 2,
Из второго уравнения первой системы (17) находим, что у = ж2. Подставляя ж2 вместо у в первое уравнение, получаем уравнение
х — Зж2 = 4.
Но это квадратное уравнение корней не имеет. Значит, первая из систем (17) не имеет решений.
Решим вторую систему (17). Из второго уравнения находим, что х = у2.
Подставляя у2 вместо х в первое уравнение, получаем уравнение
у2 Зу 4 = 0.
Это уравнение имеет корни ух = 4 и у2 = — 1- Тогда соответствующие им по формуле х = у2 числа хх и х^ таковы: хх = 16 и ад = 1. Числа
хх = 16 и yi = 4 удовлетворяют системе. Числа ж 2 = 1 и у 2 = — 1 не удовлетворяют второму уравнению системы. Значит, вторая система (17) имеет единственное решение.
Следовательно, если исходная система уравнений имеет решение, то этим решением может быть только пара чисел жх = 16, у± = 4. Подставляя эти числа в уравнения исходной системы, видим, что они действительно являются ее решением.
Ответ. (16;4).
Рассмотренный выше прием может также использоваться с равносильными преобразованиями.
Пример 11. Решить систему уравнений
Г 2^х_ж(-жу - 2ж + у + 2) + log2+y($2 - 2ж + 1) = 6,
I ^х_ж(у + 5) - log2+y (ж + 4) = 1.
Решение. Данная система уравнений может быть переписана так:
Г 21оЙ1_Э(1-;к)(у + 2)) М
I !ogi-$(y + 5) - log2+y(a: + 4) = 1.
Если (жо; уо) —решение системы (18), то справедливы неравенства 1-ж0>0, 1-ж0^1, з/о + 2 > 0, ?/0 + 2^1, 2/о + 5 > 0, ж0+4 > 0, т.е. если (ж0; уо) —решение системы (18), то число у о удовлетворяет условиям уо > 2, у о ф — 1, а число жо — условиям —4 < жо < 1, жо 0. Поэтому будем искать решения системы (18) среди пар чисел (ж; у), удовлетворяющих условиям
—4 < ж < 1, ж ф 0, у > —2, у ф —1.
Первое уравнение системы равносильно на рассматриваемой области уравнению
logi-Ду + 2) + logy+2(l - ж) = 2.
Обозначив log1_x(?/ + 2) через %, последнее уравнение можно переписать так:
= 2.
Это уравнение имеет единственный корень 2 = 1. Значит, первое уравнение системы равносильно в рассматриваемой области уравнению
1оё1-ж(у + 2) = 1
или уравнению
У = -X - 1.
Следовательно, система (18) равносильна на рассматриваемой области системе
Г у = -х - 1,
t 1°81-®(у + 5) - log2+y(x + 4) = 1.
Подставляя (—ж — 1) вместо р во второе уравнение системы (19), получим уравнение
1°61-ж(4 - ж) - 1оё1-ж(ж + 4) = 1.
Это уравнение равносильно на рассматриваемой области уравнению
^1_ж(4 - ж) = log^Jl - ж)(ж + 4)
или уравнению
4 — х = (1 — х^х + 4),
которое имеет два корня: жх = -2 иж2 = 0. Из первого уравнения системы (19) находим рх = 1 и р^ = — 1. Из найденных пар чисел в рассматриваемую область входит только пара жх = —2, рх = 1. Она и является единственным решением исходной системы.
Ответ. (—2; 1).
Упражнения
Зу + 2tgж = 4, 2у + Зtgж = 1.Зу + 2tgж = 4, 2у + Зtgж = 1.Решить систему уравнений. r f 3 • 2Ж ™ log2 1/= 2,
Зу + 2tgж = 4, 2у + Зtgж = 1.
Зу + 2tgж = 4, 2у + Зtgж = 1.
1 2".log2i/ = L
28г/ + 4^3 cos ж = 1.28г/ + 4^3 cos ж = 1.ж log2 3 + log2 у = yA- log2 Ж, ж log3 12 + log3 x = у + log3 y.
28г/ + 4^3 cos ж = 1.
28г/ + 4^3 cos ж = 1.
J Зж 2^2 = 77,
। ^ж/2 _ ^у2H = у
1g 3 • ^(Зж) = 1g 2 lg(2x/),1g ж • lg 2 = lg 1/ • lg 3.1g 3 • ^(Зж) = 1g 2 lg(2x/),1g ж • lg 2 = lg 1/ • lg 3.61g Уж + 3 • 2У = 5, 10^ж + 3-4^ = 17.61g Уж + 3 • 2У = 5, 10^ж + 3-4^ = 17.11) < ь '12)1 у + 41g ж = 28.11) < ь '12)1 у + 41g ж = 28.8) I (lg^)2| ^(жг/) = 2.( 1g2 ж + 1g2 у = 100,[ 1g ж 1g г/ = 2.ж+ 3^ = 2, Г ж + 3^=18, Зж + 9^ = 18.1 у + ЗУт = 18.8) I (lg^)2| ^(жг/) = 2.( 1g2 ж + 1g2 у = 100,[ 1g ж 1g г/ = 2.ж+ 3^ = 2, Г ж + 3^=18, Зж + 9^ = 18.1 у + ЗУт = 18.
1g 3 • ^(Зж) = 1g 2 lg(2x/),
1g ж • lg 2 = lg 1/ • lg 3.
1g 3 • ^(Зж) = 1g 2 lg(2x/),
1g ж • lg 2 = lg 1/ • lg 3.
61g Уж + 3 • 2У = 5, 10^ж + 3-4^ = 17.
61g Уж + 3 • 2У = 5, 10^ж + 3-4^ = 17.
11) < ь '12)
1 у + 41g ж = 28.
11) < ь '12)
1 у + 41g ж = 28.
8) I (lg^)2
| ^(жг/) = 2.
( 1g2 ж + 1g2 у = 100,
[ 1g ж 1g г/ = 2.
ж+ 3^ = 2, Г ж + 3^=18, Зж + 9^ = 18.1 у + ЗУт = 18.
8) I (lg^)2
| ^(жг/) = 2.
( 1g2 ж + 1g2 у = 100,
[ 1g ж 1g г/ = 2.
ж+ 3^ = 2, Г ж + 3^=18, Зж + 9^ = 18.1 у + ЗУт = 18.
хр = 8.
16)16)2Ж + 2У = 3, х + у = 1.
16)
16)
1
2^
— = 200,
ж + у = 1.
16 М.К. Потапов и др.
2х Г у = х2 Г у2 = 12, 2Ж-2У = 2561
Зж + у = у2 — ж2 + 26,
2ж™3у = 64.
bgs 8 = у + 1,I hgy х + log$ у = 2,
ху = 6 — х.' 1 ж2 — у = 20.
ж — у у — X2 2+ 2 2= 2,5,lg(2® - у) + 1 = lg(y + 2ж) + 1g 6.ж — у у — X2 2+ 2 2= 2,5,lg(2® - у) + 1 = lg(y + 2ж) + 1g 6.®Лу УЛ®®Лу УЛ®25)25)2 з + 2 6 — 6,х2 + by2 = бху.2 з + 2 6 — 6,х2 + by2 = бху.glog7(®-4y) _ ।дх-^у _ у , 2ж-2у _ gglog7(®-4y) _ ।дх-^у _ у , 2ж-2у _ g27)27)+ Vy 4———<v^ + V^+ Vy 4———<v^ + V^658 ’658 ’х + у = 34.х + у = 34.
ж — у у — X
2 2+ 2 2= 2,5,
lg(2® - у) + 1 = lg(y + 2ж) + 1g 6.
ж — у у — X
2 2+ 2 2= 2,5,
lg(2® - у) + 1 = lg(y + 2ж) + 1g 6.
®Лу УЛ®
®Лу УЛ®
25)
25)
2 з + 2 6 — 6,
х2 + by2 = бху.
2 з + 2 6 — 6,
х2 + by2 = бху.
glog7(®-4y) _ ।
дх-^у _ у , 2ж-2у _ g
glog7(®-4y) _ ।
дх-^у _ у , 2ж-2у _ g
27)
27)
+ Vy 4———
<v^ + V^
+ Vy 4———
<v^ + V^
65
8 ’
65
8 ’
х + у = 34.
х + у = 34.
/ log3 ж + log3 = °’31) / 2Ж *4" = 32’
[ ж + у = 2.| ^(ж - у)2 - 21g2 = 0.
/ СГЙГ = з, 33) (+= 6, ( (ж — у) = 1.) Ж2 + g^2 _ g^y
J 2ж “ у = 7’35) J ж + у = 100’
[ log2($ + y) - 21og2(y + 1) = -1.| lg$-lgy = lg4.
36)p.»"37Jl-.= .,(.r L
[ lg($ + y)- -1g® = 21g3.[ log^yC^ + y) = o.
38)/ 1о8^(3ж + 2У) = 2-3m / log4 ® + log4 у = 1 + log4 9,
| logJ/(2® + 3y) = 2.' | ж + у = 20.
/ ме + ^ = 2,
[ log2 ж - 4 = log2 3 - log2 y.
{
bg0-5(y - x) + logo 5 - =
ж2 + у2 = 8.
4?) J 1о8з(2ж-У + 2) = 2,
( log2(® + y)-bgv2(y+!) =
/ 1Og3 X + 1Og3 y = 2 + log3 7’
[ ^4(ж + у) = 2.
f Ю^^^+у) = 50,
\
1 lg(® - y) + lg(® + y) = 2 - 1g 5.
48)49)51)53)54)56)57)58)59)60)61)63)65)67)48)49)51)53)54)56)57)58)59)60)61)63)65)67)
48)
49)
51)
53)
54)
56)
57)
58)
59)
60)
61)
63)
65)
67)
48)
49)
51)
53)
54)
56)
57)
58)
59)
60)
61)
63)
65)
67)
3^ • 641/ж = 36,Г 4ж+у = 2^™ж,
1 /46) <,.
5У . 5121^ = 200.4 41ов^ж = у4 _ 5.
Г 8- (^2)'“^ = (0,5)у“3,
( logs (ж - У) + 1°8з(3ж + 2у) = 3.
logg (ж9 + 1) - logs (у - 2) = о, log2(ж2 - 2у2 + 10у + 7) = 2.
1 + ж" + ху/
ГТ7 = 2 — У, J 3 log27 ж + 2 log9 у = 3 log3 2,
жУ+4ж _ ^5(у-ж/3) ж3 = у-1.жУ+4ж _ ^5(у-ж/3) ж3 = у-1.28 - 7у(хуУ = у 228 - 7у(хуУ = у 273) <73) <
жУ+4ж _ ^5(у-ж/3) ж3 = у-1.
жУ+4ж _ ^5(у-ж/3) ж3 = у-1.
28 - 7у
(хуУ = у 2
28 - 7у
(хуУ = у 2
73) <
73) <
Гж2—5ж+6Г ж2+7ж + 12 = 1
69) <’70)9
I х + у = 5. I х + у = 6.
1
X1J
(хуу.х6ж=у\ х2у = 1.
Уж + 31/ + 1 = 2,
У2ж у -Г 2 = Чу 6.
Уж — 21/ + 3 = 31/ — 2ж — 1.
У Юж2 — ху — 2у2 = 2(1/ — 1), 2ж + у = 2.
ж + у — V4у2 — ж2 = 4,
у9 У4у2 — ж2 = 0.
ж2 - У^У = 36>
у2 — х-^ху = 72.
79) { ж ~ у + С^П = 1,^ ж7 ■ С4ж2 — у2 = 0.
(2Ж + 1)2у+1 = 9,
V® + У2 = ж + у.
82) <
( Же + V5) 1g ж = 11g у,
.2
(Ж? + Vy) !gy = - !g®-
83)
2-^/ж - 2^/у = З^жу, х — у = 63.
85)85)Уж31/ + Уж1/3 = 5 Уб.Уж31/ + Уж1/3 = 5 Уб.
85)
85)
Уж31/ + Уж1/3 = 5 Уб.
Уж31/ + Уж1/3 = 5 Уб.
| Уж31/ — Уi/3 ж = ™24, 84) J v у у.
I Ужу + 5 = у - ж.
86) / V$jMv=y
1 л/ж + 5 + ^/у + 3 = 5.
87)
Уж2 + 1/2 + V^xy = 8V^,
Уж + vy = 4-
88)88)ху = ^6.ху = ^6.V3-blogjT^y) = ^(1 - у),V3-blogjT^y) = ^(1 - у),
88)
88)
ху = ^6.
ху = ^6.
V3-blogjT^y) = ^(1 - у),
V3-blogjT^y) = ^(1 - у),
(13ж41/2 — 6ж2 — 6у)х.л/у = 356, (5ж4!/2 — 6ж2 — 6у)х.л/у = 100.
90)90)91)91)
90)
90)
91)
91)
4УГ = ^, \4?2^+2
Х^жТТ + V4® + 2у + 5 = V2® + 2у + 4.
log2(10 - Зж) + log1/2(2ж - 5у) = 0, ^2ж + у + 1 - д/11 - Зж = д/4ж + 2у - 12.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Системы уравнений, содержащие тригонометрические функции, решаются приемами, изложенными в § 2. Особенность состоит в том, что, как правило, такие системы имеют бесконечное множество решений, записываемое в виде серий решений, зависящих от целочисленных параметров.
Рассмотрим некоторые примеры.
Метод подстановки. Распространенным способом решения систем, содержащих тригонометрические функции, является метод подстановки.
Пример 1. Решить систему уравнений
' tgж • tgy = 5 — 2\/б,
<,7Г
ж Т-р =
Решение. Из второго уравнения у = тг/4 — х. Подставляя тг/4 — ж вместо у в первое уравнение, получаем уравнение
tg;r • tg= 5 ™ 2V6.(1)
Так как
то уравнение (1) перепишется в виде
/7Г\УЗ
cos 2ж — — ™
\4 /2
22- = 5 - 276.(2)
/у2
cos 2ж — — +
\4/2
Уравнение
= 5 - 2V6= 5 - 2V6
= 5 - 2V6
= 5 - 2V6
имеет единственный корень z = хрр, следовательно, уравнение (1) равносильно уравнению
7Г\
cos 2ж — — =V 4/2
Это уравнение имеет две серии решений:
жх = — + ™п 6 Z: х-2 = — — ™ -\- тгт, m Е Z.
812812
Тогда находим соответствующие значения у:
У1 = — —-— тгп, п Е Z; ?/? = — + ™т Е Z.
812812
5тГ7Г7Г
Ответ, жх =к 7гп, щ =тгп, ti Е Z; ж2 =к тгт, 242424
?/2 = — — m Е Z.
24
Введение новых неизвестных. Иногда используется прием введения новых неизвестных.
Пример 2. Решить систему уравнений
{
4 sin у — 6\/2 cos ж = 5 + 4 cos у^ cos 2ж = 0.
Решение. Обозначим cos ж через и и sin?/ через и. Тогда соз2ж = = 2 cos2 ж — 1 = 2и2 — 1, cos2 у = 1 — sin2 у = 1 — ж2 и данную систему можно переписать в виде
J 4ж2 + 4ж - 6V2u -9 = 0,, .
[ 2?? - 1 = 0.U
Из второго уравнения системы (3) находим ui = 1 /л/2, и2 = — 1/л/2. Подставляя tit = 1/V2 в первое уравнение системы (3), получаем
4ж2 + 4ж - 15 = 0.(4)
Уравнение (4) имеет корни жх = 3/2, v2 = —5/2. Это значит, что пары чисел (1/ \/2; 3/2), (1/ \/2; —5/2) будут решениями системы (3). Подставляя и2 = - 1/V2 в первое уравнение системы (3), получаем
4ж2 д. 4v _ з = о,
откуда жз = 1/2, Ж4 = —3/2. Значит, система (3) имеет еще два решения: (—1/\/2; 1/2), (-l/V2;-3/2).
Итак, множество решений исходной системы уравнений является объединением множество решений следующих четырех систем уравнений:
уравнений совпадает с множеством решений системы
{
cos ж = ™1/V2, sin?/ =1/2,
откуда следует, что исходная система имеет решения
ж = ±^ + 2тт, п € Z; у = ( —— + тгт, т Е Z.47 6
Ответ, ж = ±^ + 2тгп, п Е Z; у = ( —1)т^ + тгт, m € Z.
Пример 3. Решить систему уравнений
sin 2ж) —tg 5?/ = -,
tg" by + ^3 — v2j sin(—2ж) = -.
Решение. Введем обозначения sin(—2ж) = и, tgby = v. Тогда систему можно переписать в виде
'23^2 -1
и ™ ( 3 ™ V 2 ) ж =,
(6!
ж + 3 — у 2 п = .
V /2
Вычитая из первого уравнения этой системы второе, получаем систему
„" (з V5)»-
'/ х 2(7)
и2 — и2 — (3 — л/2(ж + и) = О,
равносильную системе (6). Перепишем систему (7) в виде
и ™ 3 ™ V 2 Н = ,
V /2
(и + ж) ^п ™ ™ 3 + -\/2^ = 0.
Последняя система равносильна совокупности двух систем:
( 2 AЗу^™1
и ™ 3 — у 2 ж =.
< V /2
ж =
(8)
( 23V2 - 1
и ™ 3 ™ V 2 м; = ,
/ V /2
I и = и ™ 3 +
Решим первую систему. Подставляя (—п) вместо и в первое уравнение, получаем уравнение
и ™™ V2J - = О,
которое имеет корни ui = —, и^которое имеет корни ui = —, и^. Таким образом, первая. Таким образом, первая
которое имеет корни ui = —, и^
которое имеет корни ui = —, и^
. Таким образом, первая
. Таким образом, первая
система совокупности (8) имеет решения
Решим вторую систему из (8). Подставляя п — 3 + V2 вместо и в первое уравнение, получаем уравнение
2 ко к о ।— л
п ™™™ 3 += О
или
2 Л /У , 23-15^2„
и — 3 — V2 и 4= 0.
V /2
Последнее уравнение не имеет корней, так как его дискриминант D отрицателен:
D=U- V2V - 2 f23- I5V2) = 24V2 - 35 < 0.
Следовательно, вторая система совокупности (8) не имеет решений, и потому все решения системы (6) исчерпываются решениями первой системы. Итак, система, данная в условии, равносильна совокупности двух систем:
./2sin(—2ж) = —,к V2tg5y = —./2sin(—2ж) = —,к V2tg5y = —sin(—2ж) =sin(—2ж) =tg5^ =tg5^ =™6 +у^2™6 +у^222
./2
sin(—2ж) = —,
к V2
tg5y = —
./2
sin(—2ж) = —,
к V2
tg5y = —
sin(—2ж) =
sin(—2ж) =
tg5^ =
tg5^ =
™6 +у^2
™6 +у^2
2
2
™6 + У22™6 + У22
™6 + У2
2
™6 + У2
2
Вторая система этой совокупности решений не имеет, так как
< — 1. Решая первую систему, получаем:
илиили—2ж = ( —1)п^ + 7гп, п Е Z,
или
или
х = (^l)n+1™ - Z^ п еv 782
by = — arctg Ь тг/у к E Z^
или
У = -- arctg — + у, k Е Z.
+ 7ГП ~1, у2 7гк ,„
Ответ, ж = ( —1) +, п Е Z; у = — arctg, к Е Z. v 782525
Рассуждения с числовыми значениями. При решении тригонометрических систем применяют рассуждения с числовыми значениями.
Пример 4. Решить систему уравнений
{
Vsin ж ■ cos у = О, 2 sin2 ж — cos 2?/ — 2 = 0.
Решение. Пусть (жо; у^ есть решение исходной системы; тогда выполняются равенства
f у sin ж0 • cos Уо = о,,„ч
1 2 sin2 жо — cos 2^/о — 2 = 0.
Из первого равенства следует, что либо sin ж о = 0, либо cos у о = 0. Если 8шжо = 0, то из второго равенства заключаем, что cos2i/o = —2, чего не может быть. Следовательно, cos^/o = 0, т.е. уо = тг/2 + тгт, m € Z, но тогда, так как cos 2у0 = — 1 и должно выполняться неравенство sin жо ^ 0, из второго равенства (9) следует, что 8шж0 = 1/V2, т.е. ж0 = (—1)^тг/4 + + тгк, к Е Z.
Итак, если пара чисел (жо; у^ — решение системы, то
m € Z.m € Z.жо = ( — 1)к™ + ^к^ к Е Z; уо = ^ + тгт,
m € Z.
m € Z.
Легко проверить, что все пары чисел (ж; у), где
ж = ( —l)fc — + тгк^ к Е Z; у = — + тгт, т Е Z^ v 7 42
действительно являются решениями исходной системы уравнений.
Ответ, ж = ( — 1)^™ + ^к, к Е Z, у = ^ + тгт, т Е Z.
Пример 5. Решить систему уравнений
..1
sin ж • sin у = -,<4
< Зtgж = ctg ?/.
Решение. Пусть пара чисел (жо; уо) есть решение данной системы уравнений. Тогда справедливы равенства
3 sin жо _ cos i/ocos жо sin i/o3 sin жо _ cos i/ocos жо sin i/o3COS Жо • COS Уо = -.43COS Жо • COS Уо = -.4..1
3 sin жо _ cos i/ocos жо sin i/o
3 sin жо _ cos i/ocos жо sin i/o
3
COS Жо • COS Уо = -.
4
3
COS Жо • COS Уо = -.
4
Sill ж0 • sin у0 = - ,
4
из которых следует, что
..1
Sill Жо • sill Уо = -
4
Складывая и вычитая эти равенства, найдем, что
СОб(ж0 - Уо) = 1, СОбДо + Уо) = |.
Значит, числа ж о и у о таковы, что для некоторых к и т (к Е Z, т Е Z) справедливы равенства
жо - Уо = ^к,жо - Уо = ^к,Гуо = ±- + 2тгш.Гуо = ±- + 2тгш.
жо - Уо = ^к,
жо - Уо = ^к,
Гуо = ±- + 2тгш.
Гуо = ±- + 2тгш.
(10)(11)(10)(11)Ответ.Ответ.Xi = тг/б + ^(к + т),У1 = тг/б + тг^т — к),Xi = тг/б + ^(к + т),У1 = тг/б + тг^т — к),х^ = —тг/б + и^к + т)^ у2 = —тг/б + тг(т - к),х^ = —тг/б + и^к + т)^ у2 = —тг/б + тг(т - к),
(10)
(11)
(10)
(11)
Ответ.
Ответ.
Xi = тг/б + ^(к + т),
У1 = тг/б + тг^т — к),
Xi = тг/б + ^(к + т),
У1 = тг/б + тг^т — к),
х^ = —тг/б + и^к + т)^ у2 = —тг/б + тг(т - к),
х^ = —тг/б + и^к + т)^ у2 = —тг/б + тг(т - к),
Отсюда
ж0 = — + тг^к + т) и уо = — + тг(т — к) 66
или
жо = — — + тг(к Гт) и уо = — — + тг(т — к).66
Итак, каждая пара чисел (хо, у о), удовлетворяющая исходной системе уравнений, имеет вид (10) или (11) с некоторыми целыми к и т. Легко видеть, что любая такая пара чисел есть решение исходной системы уравнений и, значит, все решения имеют вид (10) или (И), где к Е Z,m Е Z.
к Е Z, т Е Z.
Упражнения
Решить систему уравнений. I cos4т + sin2у = —2, I х — у = 2тг.Решить систему уравнений. I cos4т + sin2у = —2, I х — у = 2тг.I 3 sin3T + cos у = —4, | x + у = Зтг/2.I 3 sin3T + cos у = —4, | x + у = Зтг/2.3)3),,2V3tg® - tgy = -,,2V3tg® - tgy = -Т — у = тг/2. cos2 х + cos2 у = 3/4, х + у = 2тг/3.Т — у = тг/2. cos2 х + cos2 у = 3/4, х + у = 2тг/3.tgT + tgy = 1, х + у = тг/4.tgT + tgy = 1, х + у = тг/4.8)8)J 3 cos 4x + sin 3y = 4, | 2т + Зу = Зтг/2.j cos2 x + sin4 у = 3/4, 6) <( т + у = тг/2.sin ж _ 3sin у 2х + у = тг/2.J 3 cos 4x + sin 3y = 4, | 2т + Зу = Зтг/2.j cos2 x + sin4 у = 3/4, 6) <( т + у = тг/2.sin ж _ 3sin у 2х + у = тг/2.
Решить систему уравнений. I cos4т + sin2у = —2, I х — у = 2тг.
Решить систему уравнений. I cos4т + sin2у = —2, I х — у = 2тг.
I 3 sin3T + cos у = —4, | x + у = Зтг/2.
I 3 sin3T + cos у = —4, | x + у = Зтг/2.
3)
3)
,,2V3
tg® - tgy = -
,,2V3
tg® - tgy = -
Т — у = тг/2. cos2 х + cos2 у = 3/4, х + у = 2тг/3.
Т — у = тг/2. cos2 х + cos2 у = 3/4, х + у = 2тг/3.
tgT + tgy = 1, х + у = тг/4.
tgT + tgy = 1, х + у = тг/4.
8)
8)
J 3 cos 4x + sin 3y = 4, | 2т + Зу = Зтг/2.
j cos2 x + sin4 у = 3/4, 6) <
( т + у = тг/2.
sin ж _ 3
sin у 2
х + у = тг/2.
J 3 cos 4x + sin 3y = 4, | 2т + Зу = Зтг/2.
j cos2 x + sin4 у = 3/4, 6) <
( т + у = тг/2.
sin ж _ 3
sin у 2
х + у = тг/2.
9)<9)<1 — t g ж; = tgy,1 + tg хX + у = Тг/б.1 — t g ж; = tgy,1 + tg хX + у = Тг/б.sin(T + у) = 0, X2 Гу2 = 2,sin(T + у) = 0, X2 Гу2 = 2,11)11)cos х • cos у ™ 1 = 2 sin - • sin у • cos -,22cos х • cos у ™ 1 = 2 sin - • sin у • cos -,22у — 2т = тг.у — 2т = тг.
9)<
9)<
1 — t g ж
; = tgy,
1 + tg х
X + у = Тг/б.
1 — t g ж
; = tgy,
1 + tg х
X + у = Тг/б.
sin(T + у) = 0, X2 Гу2 = 2,
sin(T + у) = 0, X2 Гу2 = 2,
11)
11)
cos х • cos у ™ 1 = 2 sin - • sin у • cos -,
22
cos х • cos у ™ 1 = 2 sin - • sin у • cos -,
22
у — 2т = тг.
у — 2т = тг.
12)14)16)18)20)21)22)24)25)26)27)28)29)30)31)32)12)14)16)18)20)21)22)24)25)26)27)28)29)30)31)32)sin/~LГtg.v + ctgy = 3,
12)
14)
16)
18)
20)
21)
22)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
12)
14)
16)
18)
20)
21)
22)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
о||ж — у| = 7г/3.
|®| + |у| =3.I1 У| '
sin ж + sin у = 8ш(ж + у),J х + зш(ж + у) = 3/2,
|ж| + |у| = 1.| Зж — sin(^ + у) = 5/2.
соз(2ж + 6 sin2 у) = 1,J sin х + cos у = 0,
Зж — 3sin2 у = —10.sin2 ж + cos2 у = 1/2.
sin ж • cosy = 1/4,f sin ж • cos у = —1/2,
sin у • cos ж = 3/4.1 tgж•ctgy = l.
cosy • cos ж = —1/4,
tgy = ctg ж.
sin у • cos ж + sin ж = 0,
2 cos2 у + sin у • sin ж = cos 2у • cos ж.
ctg ж + sin 2y = sin 2ж,^^ I 4tgж = 3tg2y,
2 sin у • 8ш(ж + у) = cos ж.1 2 sin ж • соз(ж — у) = sin у.
ctg ж + sin 2 у = sin 2ж,
2 sin у • sin (ж + у) = cos ж.
1 + 2 cos 2ж = 0,
Vo cos у + 4 sin ж = 2 V3 ( 1 + sin2 у).
2 V5 cos ж + 6 sin у = 3 + 12 sin2 ж,
4 Vs cos ж + 2 sin у = 7.
sin ж • cos 2y + sin у • cos 2ж + sin у = 1,
2 cos 2ж + 8 cos ж • cos у + 7 = 4 sin у.
cos ж • cos 2y + sin у • cos 2ж + 2 cos ж = 1,
cos 2ж + 3 cos 2y + 8 sin у = 8 + 4 sin ж • cos y.
2 V5 cos ж + 6 sin у = 3 + 12 sin2 ж,
4 Vs cos ж + 2 sin у = 7.
2(5 + 2 Vo) sin ж + 2 cos у = 2 V5 cos 2ж — 5 V2 — 3V3,
2(3 + V6) sin ж + 2 cos у + 3V2 + VS = 0.
sin2 Зж + (4 — VS) ctg(—7y) = 2 Vs — 3/4,
ctg2( —7y) + (4 — VS) sin Зж = 2 VS — 3/4.
, V+I — 2, _ .V26-1
cos 4ж 4tg(—2y) = ,
2'4
. 2z 9 x V26 - 2.+26 -1
(™2y)соз4ж = .
Vsinж • cosy = О,Vsinж • cosy = О,log2 21 ™ 1l°g2 21log2 21 ™ 1l°g2 21tgЗж = tg-— 2tgЗж = tg-— 2
Vsinж • cosy = О,
Vsinж • cosy = О,
log2 21 ™ 1
l°g2
21
log2 21 ™ 1
l°g2
21
tgЗж = tg-— 2
tgЗж = tg-— 2
—===== (sin2 ж + ctgу - 1) = О,
^€08(71/4 — Ж)
91
cos" ж Ч— tg у — 1 = 0.
2 sin2 ж — cos 2у — 2 = 0.
lg ctg ж + lg ctg у = О, ctg у = —.V 2 sin хlg ctg ж + lg ctg у = О, ctg у = —.V 2 sin хIgtg® + Igtgy = 0,2 tg ж = —-—.cos уIgtg® + Igtgy = 0,2 tg ж = —-—.cos у
lg ctg ж + lg ctg у = О, ctg у = —.
V 2 sin х
lg ctg ж + lg ctg у = О, ctg у = —.
V 2 sin х
Igtg® + Igtgy = 0,
2 tg ж = —-—.
cos у
Igtg® + Igtgy = 0,
2 tg ж = —-—.
cos у
tg - + tg - - ctg - = 0,tg$-tgz = 3,
222
cosfr-u-O - 1/238) tgytgz = 6,
, ',Ж + у + ^ = 7Г.
= loga^^ 2 • ^2(ж + y),21
/X •™ 2)Try . Try
V 2 sin = cossin —.
222
2ж + 3 log41./,7r ^^ =2ж + 3 log41./,7r ^^ =43 log8 Vy43 log8 Vy
2ж + 3 log41./,7r ^^ =
2ж + 3 log41./,7r ^^ =
43 log8 Vy
43 log8 Vy
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ, РЕШАЕМЫЕ
НЕСТАНДАРТНЫМИ МЕТОДАМИ
К нестандартным мы относим задачи, в решении которых используется какая-либо специфическая идея, т.е. идея, связанная с данной конкретной задачей. Трудно дать рецепты решения подобных задач. Каждая из них требует определенной фантазии, выдумки, «озарения». Все это, конечно, возможно лишь на базе прочно усвоенных методов решения типичных задач. Поэтому мы приводим здесь лишь отдельные примеры, показавшиеся нам наиболее характерными.
Системы уравнений, в которых неизвестных больше, чем уравнений. Как правило, количество неизвестных в системе уравнений и количество уравнений совпадают. Но иногда бывают задачи, где число уравнений меньше числа неизвестных. В таких случаях обычно структура уравнений скрывает какие-либо дополнительные ограничения на неизвестные. В следующей задаче по одному уравнению от двух неизвестных удастся построить равносильную ей систему двух уравнений и найти все се решения.
Пример 1. Найти все пары чисел (ж; у), удовлетворяющие уравнению 8 cos х ■ cos у • cos(x — у) + 1 = 0.
Решение. Так как
2 cos х • cos у = cos(x + у) + соб(ж — у),
то справедливо тождество
8 cos х • cos у • cos(x — у) + 1 = 4 cos2 (ж — у) +
+ 4 соз(ж + у) • соз(ж — у) + 1 = [2 соб(ж — у) + соб(ж + т/)]2 +
+ 1 — cos2(x + у) = [2 cos(x — у) + соз(ж + ?/)]2 + sin2(x + у), из которого следует, что заданное уравнение выполнено тогда и только тогда, когда пара чисел (ж; у) удовлетворяет системе уравнений
2 соз(ж — у) + соб(ж + у) = 0,, .
8ш(ж + у) = 0.
Из второго уравнения этой системы следует, что х + у = ли, ti Е Z, т.е. у = —х + ли, п Е Z. Подставляя выражение -ж + лп вместо у в левую часть первого уравнения системы (1), находим, что она равна
2 соз(2ж — ли) + cos лп = ( —l)n(2 cos 2ж + 1),
т.е. первое уравнение системы (1) превращается в уравнение
2 cos 2ж + 1 = 0.
Это уравнение имеет решения х = ±л/3 + лАу к Е Z. Следовательно, все решения исходного уравнения содержатся среди пар чисел
Xi = л/3 + лАу к Е Z^ух = —л/3 + лт, т Е Z;
х2 = —л/3 + лАу к Е Z, у2 = л/3 + лт, т Е Z.
Проверкой убеждаемся, что все эти пары чисел удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ. ( — + лАу — — + лт ), ( — — + лАу — + лт k.mEZ. КЗ37 К 33/
В следующей задаче от одного уравнения с двумя неизвестными удастся перейти к его следствию: системе двух уравнений с двумя неизвестными, что затем приводит к решению задачи.
Пример 2. Найти все пары чисел (ж; у), удовлетворяющие уравнению
= Уз + 2ж - ж2 cos2 + ™ti (2)
2V 2 72х 7
Решение. Пусть пара чисел (жо; 2/о) удовлетворяет условию задачи, т.е. пусть для нес выполнено равенство
g±7=2^2=«Е = Уз+ 2хо-^ cos2 f^L^>) + УнЪZ«й.
Используя формулы cos а = 2 cos2 ™ — 1 и sin2 а = 1 — cos2 а, это равенство можно записать в виде
5 + 2cos2f^^) -1 =
2 V 27
= ^3 + 2ж0 - ж2 • cos2 (~^~^) + | - | СО62(ж0 - Уо) или в виде
cos2 (‘Е° 2 У°) (\/4 - (ж0 - I)2 - 2) = ^ С082(ж0 - Уо). (3) Если cos ^2_^2 — о, то соз(жо — уо) = 2 cos2 (”^^') — 1 = —1, что противоречит равенству (3). Значит, cos —/ 0 и cos —> 0. Если ж0 7^ 1, то 4 — (ж0 — I)2 < 4 и у4 — (жд — I)2 — 2<0. Но тогда левая часть равенства (3) отрицательна, а правая неотрицательна, что невозможно. Следовательно, жд = 1. Теперь из (3) следует, что соз(жд — уд) = 0, т.е. все решения уравнения (2) удовлетворяют системе уравнений
х =
соз(ж — у) = 0.
Из второго уравнения находим, что
у — 1 = тг/2 + ли, п Е Z, или
У = 1 + 7Г/2 + 7ГП, п Е Z.
Проверкой убеждаемся, что любая пара чисел х = 1, у = 1 + тг/2 + тгп при любом целом и удовлетворяет условию задачи.
Ответ. (1; 1 + — + тгп ), п Е Z. \2)
В случае когда количество неизвестных в системе больше числа уравнений, система может иметь бесконечное множество решений. Встречаются задачи, где нс требуется найти это бесконечное множество, а лишь определить в нем решения с некоторыми специальными свойствами.
Пример 3. Среди всех четверок чисел (ж; у; г; ж), удовлетворяющих системе уравнений
ж2 + у2 = 3, г2 + ^2 = 25? хх + у 2 = 5V3, найти такие, при которых выражение х+г принимает наибольшее значение.
Решение. Из тождества
(ж2 + у2)(г2 + г2) = (жг + уз)2 + (xz — уж)2
следует, что для любого решения (ж; у] г; v) заданной системы уравнений должно выполняться равенство
Уг - yv)2 = 3 • 25 - (5V3)2 = О, или
xz — ух = 0.
А так как
(ж + z)2 + (у - х)2 = (ж2 + у2) + (г2 + х2) + Xxz - ух) = 28,(4)
то для любого решения справедливо неравенство
(ж + z)2 ^ 28, или х + z ^ V28.
Найдем теперь решения, при которых
х + г = V28.(5)
Из (4) следует, что для этих решений должно выполняться равенство х = = у. Пользуясь равенством (5), из последнего уравнения заданной системы находим
5^35^3
х = у = =
х + z V28
т т2 о 2 92 2 625/ с \
Но тогда х = 3 — у = —, z= 25 — х = -^ и с учетом (5) получаем
Какое-либо дополнительное ограничение в условии задачи, например целочисленность неизвестных, также способствует решению в случае, если переменных больше, чем уравнений.
Пример 4. Найти все тройки целых чисел ^xpw), удовлетворяющих уравнению
3(u - З)2 + 6у2 + 2w3 + 3v2w2 = 33.
Решение. Пусть (uo;vq;wo) — тройка чисел, удовлетворяющая условию задачи, тогда
3(м0 - З)2 + 6-Го + 2wg + 3^w^ = 33,(6)
откуда следует, в частности, что 3(u0 — З)233, т.е. (п0 — З)211.
Поскольку (п0 — З)2 является квадратом целого числа мд — 3, то (п0 — З)2 равно либо 0, либо 1, либо 4, либо 9. Перепишем равенство (6) в виде
3(п0 - З)2 + (w2 + 2)(3^ + 2) = 37.
Если (п0 - З)2 = 0, то (wq + 2)(3'Ug + 2) = 37. Так как ш^ + 2 и Зх^ +2 — целые числа, большие 1, а 37 — простое число, то последнее равенство выполняться нс может. Значит, (ng — З)2 ^ 0.
Если (п0 — З)2 = 1, то (wq + 2)(3'Ug + 2) = 34. Поскольку Wg + 2 + 2, Зг^ + 2 > 2 и Wq + 2, 3'Ug +2 — целые числа, то либо
+ 2 = 2,3i>q + 2 = 17,1 ’
либо
w2 + 2 = 17,3vg + 2 = 2.
Из второго равенства (7) находим, что Vq = 5, что невозможно, поскольку -ио — целое число. Из первого равенства (8) находим, что Wg = 15, что также невозможно, поскольку wg — целое число. Значит, (п0 — З)2 ^ 1.
Если (п0 - З)2 = 4, то (wg + 2)(3'Uq + 2) = 25 и так как Wg + 2 + 2, 3'Ug + 2 + 2, то отсюда следует, что
Wg + 2 = 5, 3vg + 2 = 5.
Из первого равенства (9) находим, что Wg = 3, что невозможно. Значит, (м0 - З)24.
Если (п0 - З)2 = 9, т.е. если мд = 6 или и^ = 0, то
(w2 + 2)(3v2 + 2) = 10.
Так как Wg + 2 + 2 и З-Гд +2 + 2, то отсюда следует, что либо
(10)(11)(10)(11)Wg + 2 = 5, 3vg + 2 = 2
(10)
(11)
(10)
(11)
либо
Wg + 2 = 2, 3v§ + 2 = 5.
Из первого равенства (10) следует, что Wg = 3, что невозможно. Из равенств (И) получаем, что либо wg = 0, vq = 1, либо wg = 0, гд = — 1. Итак, тройка чисел ng, гд, wg, удовлетворяющая условию задачи, может быть лишь среди чисел четырех троек: (6; 1; 0), (6; — 1; 0), (0; 1; 0), (0; — 1; 0). Легко видеть, что все эти тройки чисел удовлетворяют условию задачи.
Следовательно, исходному соотношению удовлетворяют четыре тройки чисел: (6; 1; 0), (6; -1; 0), (0; 1; 0), (0; -1; 0).
Ответ. (6; 1;0), (6;-1; 0), (0; 1; 0), (0;-1; 0).
Использование неравенств при решении систем уравнений. Часто уравнения системы приводят к ограничениям на неизвестные в виде неравенств. Выделение этих дополнительных условий, возникающих в ходе решения задачи, и использование их совместно с заданными уравнениями иногда позволяет легко найти все решения системы.
Пример 5. Решить систему уравнений
Г х2у2 — 2х + у2 = О,
[ 2ж2 — 4х + 3 + у3 = О.
Решение. Пусть (ж0, уо) — решение данной системы. Тогда справедливы числовые равенства
^оУо - 2жо + Уо = О,2а/ - 4ж0 + 3 + уд = 0.
Запишем первое равенство в виде
2 2 Ж о/1 о \
(1J>
Из неравенства (1 — ж0)2 ^ 0 следует неравенство
2 ж о </
Учитывая это неравенство, из равенства (13) заключаем, что у® ^ 1, т.е. что Ы < 1-
Второе из равенств (12) запишем в виде
2(Жо - I)2 + 1 + Уо = 0.(14)
Так как |?/о| ^ 1, то 1 + у^ ^ 1 — |2/о |3 ^ 0. Следовательно, равенство (14) может выполняться только в случае (жо — I)2 = 0 и 1 + у^ = 0, т.е. для х0 = 1 и уо = -1.
Итак, показано, что только пара чисел (1; — 1) может быть решением исходной системы. Легко видеть, что действительно эта пара чисел xq = 1 и у о = — 1 удовлетворяет исходной системе уравнений. Следовательно, исходная система уравнений имеет единственное решение: х^ = 1, у о = — 1.
Ответ. (1; —1).
Пример 6. Решить систему уравнений
{
у3 — 9ж2 + 27ж — 27 = 0, г3 - 9г/2 + 27у ™ 27 = 0, х3 - 9г2 + 27г - 27 = 0.
Если ввести обозначение f(t) = t2 — 3t + 3, то систему можно переписать в виде
Г ^з = д/(ж)?
\ г3 = 9/(2/),
( ж3 = 9/(г).
Первое решение. Из равенства
i2-3i + 3= (< — 3/2)2 + 3/4
17 М.К. Потапов и др.
следует, что функция у = /(f) принимает наименьшее значение, равное 3/4, в точке t = 3/2. Поэтому если (ж0, у о, гд) решение данной системы, то з 27327327
УО >20 > —,.
Поскольку 27/4 > (3/2)3, то ж0 > 3/2, у0 > 3/2, г0 > 3/2. В области t > 3/2 функция /(f) монотонно возрастает. Таким образом, если (жд, уо, го) — решение данной системы, то все три числа жд, у о, го лежат в области монотонного возрастания функции /(f). Рассмотрим два случая.
Пусть х0 Уо. Так как х0 > 3/2 и у0 > 3/2, то /(ж0) Дуо). Из первых двух уравнений системы получаем, что у^ ^ гд, т.е. у о ^ го. Так как у о > 3/2 и г0 > 3/2, то отсюда следует, что /(^/д) ^ /(-^о) или гд ^ Жд, т.е. го ^ жд. Итак, получили цепочку неравенств жд ^ у о ^ го ^ ж0, которая означает, что ж0 = у о = г0.
Пусть ж0 у0. Так как ж0 > 3/2 и у0 > 3/2, то /(ж0)/(Ы-
Подобно первому случаю, находим, что у^ ^ гд или у0 ^ г0. Отсюда следует, что /(г/о)/(-^о) или гд Жд, го ж0. Опять получаем, что
ж0 = уо = г0.
Итак, показано, что любое решение системы (жд;^/д;гд) таково, что ж0 = у о = го. Поскольку любое решение системы (жд; у о; го) должно превращать все уравнения системы в верные числовые равенства, то, полагая ж0 = у о = го = fg, получаем, что все уравнения системы превратились в одно и то же равенство (fo — З)3 = 0, которое справедливо только при одном значении fo, а именно при f0 = 3. Значит, система имеет единственное решение (3; 3; 3).
Второе решение. Так как квадратный трехчлен f2 — 3f + 3 положителен при всех f, то для любого решения (жд^о^о) данной системы получаем, что у^ > 0, гд > 0, Жд > 0 или ж0 > 0, у о > 0, гд > 0. Складывая все три равенства: у^ = 9/(жд), гд = 9/(г/д), Жд = 9/(гд), находим, что
(Жо - з)3 + (уо - з)3 + Со - З)3 = 0.(15)
Возможны два случая: ж о ^ 3 и 0 < ж о < 3.
Если жо ^ 3, то из последнего уравнения системы находим, что 9гд — 27г00. Так как г0 > 0, то отсюда получаем, что г0 3. Из
второго уравнения получаем теперь, что 9г/д — 27 у о ^ 0, откуда у о ^ 3. Итак, жд ^ 3, у о ^ 3, гд ^ 3. Сумма неотрицательных чисел равняется нулю тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю, поэтому из (15) следует, что жд = уо = гд = 3. Итак, если (жд, уо, гд) —решение системы, то ж о = у о = гд = 3. Проверкой убеждаемся, что действительно тройка чисел (3; 3; 3) есть решение системы.
Если ж0 < 3, то, подобно первому случаю, находим, что г0 < 3. Затем из второго уравнения получаем, что у о < 3. Итак, в этом случае одновременно жд < 3, уо < 3, гд < 3, что противоречит равенству (15). Значит, доказано, что данная система имеет единственное решение жд = = у0 = г0 = 3.
Ответ. (3;3;3).
Системы уравнений с дополнительными условиями. Встречаются системы, включающие помимо уравнений какие-либо и иные ограничения на неизвестные. Например, это могут быть условия положительности неизвестных, какие-либо неравенства между ними, условия целочисленности решений и т.д.
Пример 7. Найти все решения системы уравнений
' д42ж)3,
< (2z - у)(у + 2) = 9 < ж2 + z2 = 4ж,
удовлетворяющие условию z ^ 0.
Решение. Пусть (жд, у о, zq ) — решение системы, удовлетворяющее условию 20 ^ 0. Тогда справедливы числовые равенства
' у0 + 2 = (3 - ж0)3,
< (2z0 - уо)(уо + 2) = 9 + 4у0,(16)
.= 4ж0.
Выделив во втором равенстве полный квадрат относительно yos а в третьем — относительно жд, перепишем эти равенства в виде
Г (3 - ж0)3 = у0 + 2,< (уо + 3 - 20)2 =- 22'0,
I (^-2)2 = 4-22.
Отсюда ясно, что должны быть справедливы неравенства 2g — 22g ^ 0 и 4 — 2д ^ 0. Кроме того, zq ^ 0. Итак, если (жд, уо, 2g) — решение исходной системы, удовлетворяющее условию zo ^ 0, то должны выполняться неравенства,,,
' 20(20 - 2) ^0,
< -2202,
, 200.
Этим неравенствам удовлетворяют только два числа: zq = 0 и 2о = 2, но тогда из равенств (16) получаем, что либо ж0 = 4, у о = — 3, zo = 0, либо жд = 2, у о = — 1, 2g = 2. Легко видеть, что тройка чисел ж о = 4, у о = — 3, 2о = 0 и тройка чисел ж о = 2, у о = — 1, zo = 2 удовлетворяют исходной системе уравнений и условию 20 ^ 0. Значит, исходная система имеет два решения, удовлетворяющих условию 2 ^ 0, а именно: (4; —3; 0) и (2; — 1; 2).
Ответ. (4; —3; 0), (2; — 1; 2).
Пример 8. Найти все решения системы уравнений
(1 J13 I 131
уС™ +- у = ™ +ж +
х I 616ж
удовлетворяющие условию ж < 0 и у > 0.
Решение. Пусть пара чисел (жо, у о) удовлетворяет условиям задачи; тогда для нее справедливы следующие равенства и неравенства:
Уо +Уо +ж0ж0113I 131
Уо +
Уо +
ж0
ж0
+ — + Ж0 — Уо — — + ж0 3,
1616Жо
Уо +жо = жо < 0, у0 > 0.
36
Обозначим а = у о +1 /ж0, b = 13/6 + ж0 — у о; тогда первое из этих равенств можно записать в виде
|а| + |6| = а + Ь.
Из свойств абсолютных величин вытекает, что это равенство выполняется тогда и только тогда, когда а Д 0 и 6 Д 0, а это означает, что справедливы неравенства
Уо + — Д 0 и — + ж0 - уо ^ 0.ж06
Перепишем их в виде у о > — 1/жо, у о Д 13/6 + жо, откуда следует, что справедливо неравенство
Поскольку жо < 0, то это неравенство можно переписать в виде
Д + 1^0 + 1 < 0.(17)
6
Далее, так как 0 < уо Д 13/6 + жо, то у^ Д (13/6 + жо)2 и, следовательно,
2 ।2 / 2 ,А 2
^о + Уо Д жо + — + жо •
\ 6/
Поскольку ж о + у о = —, то справедливо неравенство
или неравенствоили неравенство2 , 13, 1 . пЖо 3Жо + 1 Д 0.62 , 13, 1 . пЖо 3Жо + 1 Д 0.6(18)(18)
или неравенство
или неравенство
2 , 13, 1 . п
Жо 3Жо + 1 Д 0.
6
2 , 13, 1 . п
Жо 3Жо + 1 Д 0.
6
(18)
(18)
913
Сравнивая неравенства (17) и (18), приходим к выводу, что ж 5 + — ж0 +1 = 0, '6
т.е. что жо есть одно из чисел ж^ = — 3/2 и ж^ = — 2/3. Но тогда из условий
жо + Уо = Ц и Уо > 0 получаем, что у^ = 2/3 и уС = 3/236
Итак, каждая пара чисел (жо; у о), удовлетворяющая условиям задачи, на™ ходится среди следующих двух пар чисел: (—3/2; 2/3) и (—2/3; 3/2). Про™ веркой убеждаемся, что обе эти пары удовлетворяют всем условиям задачи.
Ответ. (—3/2;2/3), (—2/3; 3/2).
Системы уравнений с параметрами. Системы уравнений с параметрами мы относим к нестандартным задачам, так как в них приходится решать, как правило, бесконечное множество систем уравнений, соответствующих бесконечному множеству значений параметров данной задачи.
Пример 9. Для каждого значения параметра а решить систему уравнений
ах + 2у = а + 2,
2аж + (а + 1)у = 2а + 4.
Решение. При любом фиксированном а из первого уравнения систе- а + 2 — ах „
мы находим -у = -. Подставляя это выражение во второе уравне
ние системы, находим, что исходная система при любом фиксированном а равносильна системе уравнений
г а + 2 — ах
<2’(19)
а(а — 3)ж = (а + 2)(а — 3).
Если а = 0, то система (19) несовместна. Если а = 3, то система (19) имеет 5 ™ 3d
бесконечно много решений вида ж = d, у = —-—где d — любое число.
Если а 0 и а 3, то система (19) имеет единственное решение ж = 'а
у = 0.
Ответ. Если а ф 0 и а 3, то ж = а + 2, у = о* если а = 3, то ж = d, а
5 - 3d , Dп.
у = —-—, где d Е К; если а = 0, то решении нет.
Пример 10. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений
ж2 + у2 = 1,ж + у = а
имеет единственное решение.
Решение. Пусть а — некоторое число, удовлетворяющее условию задачи, и (жо; у о) — единственное решение данной системы уравнений. Очевидно, что пара чисел (уо? жо) также будет решением системы. Следовательно, жо = уо и из первого уравнения системы получаем, что либо жо = уо = 1/V2 и тогда а = 2/V2 = V2, либо жо = уо = — 1 /\/2 и тогда а = — V2. Решая систему уравнений при а = V2 и а = —V2, убеждаемся, что и в том и в другом случаях она не имеет решений, отличных от уже указанных.
Второе решение. Исходная система уравнений равносильна при любом фиксированном а системе уравнений
у = а — х, х2 + (а — ж)2 = 1.
Эта система будет иметь единственное решение только тогда, когда второе ее уравнение будет иметь единственный корень. Перепишем второе уравнение в виде
2х2 — 2ах + (а2 — 1) = 0.
Это квадратное уравнение имеет единственный корень тогда, когда равен нулю его дискриминант D = 4а2 — 8 (а2 — 1), т.е. когда а = V2 или а = = — V2. Таким образом, исходная система имеет единственное решение в случае, когда а = +V2. При остальных значениях параметра а она либо имеет два решения, либо не имеет решений.
Ответ. «1 = V2, ао = ™V2.
Пример 11. Найти все значения параметра а, при каждом из которых имеет хотя бы одно решение система уравнений
V 2V 212A/cos — - 7 +V 212A/cos — - 7 +V 224A/cos — + 13V 224A/cos — + 13V 2= И -= И -
V 2
V 2
12A/cos — - 7 +
V 2
12A/cos — - 7 +
V 2
24A/cos — + 13
V 2
24A/cos — + 13
V 2
= И -
= И -
2(х2 + (у — а)2) — 1 = 2dх2 + (у — ар — ™.
Решение. Пусть а^ — такое значение параметра а, при котором система имеет хотя бы одно решение. Пусть (ж0; ур — решение исходной системы при а = «о • Это означает, что справедливы равенства
5 ±Zj4 Cud UV 25 ±Zj4 Cud UV 212a/cos^-7V 212a/cos^-7V 2+ 24a/cos^ + 13V 2+ 24a/cos^ + 13V 2sin ~ 2yo ~3sin ~ 2yo ~3(20)(20)
5 ±Zj4 Cud U
V 2
5 ±Zj4 Cud U
V 2
12a/cos^-7
V 2
12a/cos^-7
V 2
+ 24a/cos^ + 13
V 2
+ 24a/cos^ + 13
V 2
sin ~ 2yo ~
3
sin ~ 2yo ~
3
(20)
(20)
2(я?о + (yo - «о)2) - 1 = 20^ + (yo - a0)2 - Т (21)
Перепишем эти равенства в более удобном виде. Для этого сначала освободимся от знака абсолютной величины в первом равенстве. Предварительно заметим, что правая часть равенства (20) не превышает 11. Если ^cos ^^ + ™, то левую часть равенства (20) можно переписать в виде 24^cos ™™ + 11,
откуда видно, что она не меньше, чем 11. Следовательно, в этом случае равенство (20)справедливо тогда и только тогда, когда одновременноcos ™™=0
. 7г(ж0 - 21/0-1)л 5/7Г1/0,7
и sin --= 0. Если —<лcos-^-+—, то левуючасть равен-
312V212
ства (20) можно переписать в виде 48^cos ™™ + 1, откуда видно, что в этом случае левая часть больше, чем 21. Следовательно, в этом случае равенство (20) не справедливо. Если ™ < ^cos ^™, то левую часть равенства (20) можно переписать в виде 24у^cos ™™ + 15, откуда видно, что в этом случае левая часть больше, чем 29. Следовательно, в этом случае равенство (20) не справедливо.
Итак, равенство (20) справедливо тогда и только тогда, когда одновременно справедливы равенства
cos ^ = 0,(22)
siii= о.(23)
Перепишем равенство (21) в виде
Со + (Уо - «о)2 - Д - ЕС + (уо - «о)2 - 7 I 7 = 04 у44
или в виде
х 2
С + (уо - аоу - += °-
откуда видно, что равенство (21) справедливо тогда и только тогда, когда справедливо равенство
Д + (уо - «о)2 = 1-(24)
Равенство (22) означает, что
у0 = 2к + 1, к Е Z.(25)
Но тогда из равенства (23) получаем, что
жд = 3 + 4к + 3m, к Е Z, т Е Z.(26)
Равенство (26) означает, что жо — целое число, но тогда из (24) получаем, что ж0 есть либо 0, либо 1, либо — 1.
Если жд = 0, то из (26) имеем к = ———-. Так как к Е Z, т Е Z, 4
то т = —41 — 1, но тогда к = 31; I Е Z и из равенства (25) получаем, что Уо = 6/ + 1, а из равенства (24), что либо ао = 6/, либо «о = 6/ + 2,I Е Z.
Если жо = 1, то из (26) имеем к = . Так как к Е Z, т Е Z,
'4
то m = — 4Z — 2, но тогда к = 3Z + 1 и из равенства (25) получаем, что у о = 6Z + 3, а из равенства (24), что а0 = 61 Г 3, где I Е Z.
— Зп! — 4
Если жо = — 1, то из (26) имеем к =. Так как к Е Z, т Е Z, то
'4
т = —4Z, но тогда к = 3Z — 1 и из равенства (25) получаем, что у^ = 6Z — 1, а из равенства (24), что «о = 6Z — 1, где I Е Z.
Итак, если а^ — значение параметра а, при котором исходная система имеет хотя бы одно решение, то либо ао = 6Z, либо ао = 6Z + 2, либо «о = 61 + 3, либо «о = 6Z — 1, где Z Е Z. Подставляя эти значения ао и соответствующие им найденные выше значения жо и у^ в исходную систему, получим верные равенства.
Следовательно, все эти значения а = а^ удовлетворяют условию задачи, и из предыдущего рассуждения следует, что нет других значений а, удовлетворяющих условию задачи.
Ответ, а = 61 — 1, а = 6Z, а = 61 + 2, а = 61 + 3, I Е Z.
Упражнения
Найти все пары натуральных чисел m и п, удовлетворяющие уравнению.
п2 — 3mn + 2m2 = 3. 2) n(m2 + 1) = 34. 3) m + n = тп.
ла ЗП™Х +9зп
= tg —h т • — . 5) - cos тгт = —.
п2\ 42/2п!
Найти все пары целых чисел ж и у, удовлетворяющие уравнению.
ж + у = ху. 7) ж2 — 4ж^/ = 4?/2. 8) ж2 + 23 = у2.
ж2 — Зух + 2у2 = 3. 10) х(у2 + 1) = 48.
И) ж3 + ж2у + у3 = 0. 12) I® — 1| + |у — 2| = 1.
Найти все пары чисел (ж; у), удовлетворяющие уравнению.
ж2 + у2 = 2у-1. 14) ж2 + 4у2 - 4ж - 12у + 13 = 0.
2ж2 + Ьу2 — бху + бу — 2ж + 5 = 0.
5ж2 + Юу2 + 2ху + 6ж + 4у + 2 = 0.
sin2 ж + cos2 у — 2 sin ж + cos у + 5/4 = 0.
ж2 + у2 + X += 2. 19) ж4 - 2ж3 + ж2 + у2 - 4у + 4 = 0.
ж2 у2
Ужу-Л + Щ - жу = 2жу - ж2 - у2.
^ЛЖ = 1°61/з(9у2 - 18у + Ю) + 2.
cos- ху
л/l^y2 + ^Хр х2 = \/4р х2 Г у2.
21+2и^^^- жУ) = ж2 + у2 + 2ху - 2ж - 2у + 5.
24)|1 + tg2 у \ + |1 + sin2 ж| = 2.
У1 - ж2 - у2 = у/1 + (ж2 + 2у2 + sin2 ху") + (ж - yf.
log2(2 + у2) = 8ш2(ж + 2). 27) (ж2 - 4ж + 6)(у2 + 8у + 19) = 6.
(ж4 - 2ж2 + 3) (у4 - Зу2 + 4) = 3,5. 29) 2ж cos у = 1 + ж2.
sin2 5ж + (ж — у + I)2 = 0. 31) sin ж • cos Зу = 1.
cos у = 2 + sin 2х. 33) arcsin(x(ж + у)) + arcsin(y(x + у)) = тг.
ж2 2х sin ху + 1 = 0. 35) ж2 + 4х cos(xy) = 0.
/\ 2 /\ 2
I sin х 3— I + I cos х 3I = 12 3— sin ^/.
\sin2 х /\cos2 х /2
tg4 х + tg4 у + 2 ctg2 x • ctg2 у = 3 + sin2(ж + у).
cos ж + cos 2/ — cos(x + у) = 3/2. 39) sin ж + cos(x + у) = 2.
tg2 x + 2tgx(sin^/ + cos^) + 2 = 0. 41) cosir — у2 — уА/ ™ ж2 ™ 1 = 0.
у — | sec x\ —= 0. 43) 2^—2 cos x + ^y — x2 — 1 = 0.
= ™y2 + 2y - 2.= ™y2 + 2y - 2.= y2 - 4y + 5. 45) З^/2)
= ™y2 + 2y - 2.
= ™y2 + 2y - 2.
l + tg2(s/2)l + ctg2($/2)
1 - с!ё(ж/2)1 + ctg2(ir/2)1 - с!ё(ж/2)1 + ctg2(ir/2)= y2 - 4y + 5.= y2 - 4y + 5.
1 - с!ё(ж/2)
1 + ctg2(ir/2)
1 - с!ё(ж/2)
1 + ctg2(ir/2)
= y2 - 4y + 5.
= y2 - 4y + 5.
1У2 ^2^ + 2’1У2 ^2^ + 2’/ 91
1
У2 ^2^ + 2’
1
У2 ^2^ + 2’
log2I cos"xy 3;
"\cos2xy
tg2 7г(х + у) + ctg2 тг(х + у)
4(3 V4ж — x2 sin2 -—^ J + 2cos(x + y) = 13 + 4cos2(x + y).
12 V^ ™ ж2 — 5 cos2 ( ™—™ j =17 + 8cos(x — 2y") ™ 4sin2(x — 2yY
\/^ ™ 2x ™ x2 sin2(2x — y) + cos(4x — 2y) = 1 + ■■■■—■——^M
5 2™7F45 2™7F4+^+ (5 sin2 x ™ 6 sin x • cos x ™ 9 cos2 x + 3 ^ЗЗ^ =
5 2
™7F
4
5 2
™7F
4
= (arcsinx)2 + (arccosx)2
sin2 x + 10 sin x • cos x + 11 cos2 x — 2 ^301 j =
= 5тг2 — 4 arcsin2 у — 4 arccos2 y.
sin2 x + 4 sin x - cos ж — 3 cos2 x — 3 х/Тб^ =
7 з . зз
= ™7Г — arcsin у ™ arccos y.
^2 sin2 г/ — 10 sin у • cos у + 6 cos2 у + 2 х^П^ =
= 8 arcsin3 x + 8 arccos3 x ™ 7тг3.
Найти все тройки целых чисел (ж; у; с), удовлетворяющие уравнению.
(х ™1ХУ™ ^2 = 2. 57) х2 + (у 1)2(г2 + 1) = 0. '
2х2 + у2 + 7z2 + 2х2у242г + 33 = 0.
5ж2 + у2 + Зг2 2yz = 30.
4ж2 + Зу2 + 5с2 - 24у - 1 = 0.
Найти все тройки чисел (ж; у; z), удовлетворяющие уравнению.
(ж - у + I)2 + у2 + (ж Г2у - Зс)2 = 0.
(ж - yf + (ж + у + I)2 + ж2 + у2 + z2 - 2ху + 2жс - 2yz = 0.
ж2 + у2 + z2 — ху — yz — zx = 0.
12ж2 + Зу2 + 8с2 + Syz + 12ж — 4z — By + 5 = 0.
5ж2 + Зу2 + 2z2 + 2ху + 2жс 4yz + 2у 2z + 1 = 0.
2ж2 + Зу2 + 3z2 — 6ж?/ — 2жс + 5yz = 0.
1 + (ж2 + у2 + I)2 = (ж2 + у2 + 1)(1 - ж2 - у2 ™ z2 + 2с).
Решить систему уравнений.
,о. Г 2ж2 + 1 = у - |зтж|, оо) <99
2^1 + |ж| = у + ж2, ж2 + у2 = 1.2^1 + |ж| = у + ж2, ж2 + у2 = 1.74)74)76)76)УЩЛЩГу2 + УщИщГу2 = 2, ж2 + у2 = sin2 ж.УЩЛЩГу2 + УщИщГу2 = 2, ж2 + у2 = sin2 ж.х + V1 ™ У2 =х + V1 ™ У2 =2ж =2ж =2у =2у =у1 + у2 ’у1 + у2 ’sin ж + sin у = sin3 ж + cos3 у + 1, sin2 ж + sin2 у = sin4 ж + sin4 у.sin ж + sin у = sin3 ж + cos3 у + 1, sin2 ж + sin2 у = sin4 ж + sin4 у.2у3 + 2ж2 + Зж + 3 = 0, Г у3 — 6ж2 + 12ж — 8 = 0,2г3 + 2у2 + Зу + 3 = 0,75) 5 z3 - бу2 + 12у - 8 = О,2ж3 4™ 2^" 4~ 3^ 4™ 3 = 0.^ ж3 — 6^2 4* 12^ — 8 = 0.у3 4- 2ж2 4- 6ж 4-12 = О,Л 4- 2у2 + бу + 12 = О,ж3 4- 2Л 4- 6г 4-12 = 0.|2ж 4- у| 4- log2(|y| - 2ж 4- 5) - 20 = О,(2ж 4- у)2 - 7(2ж 4- y)log3(|y| - 2ж 4- 5) - 81ogg(|y| - 2ж 4- 5) = 0.|ж - у| - logi(|ж| 4- у 4- 1) 4- 6 = О,(ж - у)2 - 6(ж - y)log2(^| 4- у 4- 1) 4- 51og2(^| 4- у 4-1) = 0.2у3 + 2ж2 + Зж + 3 = 0, Г у3 — 6ж2 + 12ж — 8 = 0,2г3 + 2у2 + Зу + 3 = 0,75) 5 z3 - бу2 + 12у - 8 = О,2ж3 4™ 2^" 4~ 3^ 4™ 3 = 0.^ ж3 — 6^2 4* 12^ — 8 = 0.у3 4- 2ж2 4- 6ж 4-12 = О,Л 4- 2у2 + бу + 12 = О,ж3 4- 2Л 4- 6г 4-12 = 0.|2ж 4- у| 4- log2(|y| - 2ж 4- 5) - 20 = О,(2ж 4- у)2 - 7(2ж 4- y)log3(|y| - 2ж 4- 5) - 81ogg(|y| - 2ж 4- 5) = 0.|ж - у| - logi(|ж| 4- у 4- 1) 4- 6 = О,(ж - у)2 - 6(ж - y)log2(^| 4- у 4- 1) 4- 51og2(^| 4- у 4-1) = 0.79) / ®2 - ®У2 + 4 = 0, | ж2 + у2 + 4 = 4ж + 2у.79) / ®2 - ®У2 + 4 = 0, | ж2 + у2 + 4 = 4ж + 2у.ж2 + 4ж2у2 + 4у = 0, 4ж3 — 4у2 — 4у — 5 = 0.ж2 + 4ж2у2 + 4у = 0, 4ж3 — 4у2 — 4у — 5 = 0.у2 - ху + 1 = 0,ж2 + 2ж = -у2 — 2у — X.у2 - ху + 1 = 0,ж2 + 2ж = -у2 — 2у — X.82)82)УУzz= у.= у.1 tg'$ + y- = 1.
2^1 + |ж| = у + ж2, ж2 + у2 = 1.
2^1 + |ж| = у + ж2, ж2 + у2 = 1.
74)
74)
76)
76)
УЩЛЩГу2 + УщИщГу2 = 2, ж2 + у2 = sin2 ж.
УЩЛЩГу2 + УщИщГу2 = 2, ж2 + у2 = sin2 ж.
х + V1 ™ У2 =
х + V1 ™ У2 =
2ж =
2ж =
2у =
2у =
у
1 + у2 ’
у
1 + у2 ’
sin ж + sin у = sin3 ж + cos3 у + 1, sin2 ж + sin2 у = sin4 ж + sin4 у.
sin ж + sin у = sin3 ж + cos3 у + 1, sin2 ж + sin2 у = sin4 ж + sin4 у.
2у3 + 2ж2 + Зж + 3 = 0, Г у3 — 6ж2 + 12ж — 8 = 0,
2г3 + 2у2 + Зу + 3 = 0,75) 5 z3 - бу2 + 12у - 8 = О,
2ж3 4™ 2^" 4~ 3^ 4™ 3 = 0.^ ж3 — 6^2 4* 12^ — 8 = 0.
у3 4- 2ж2 4- 6ж 4-12 = О,
Л 4- 2у2 + бу + 12 = О,
ж3 4- 2Л 4- 6г 4-12 = 0.
|2ж 4- у| 4- log2(|y| - 2ж 4- 5) - 20 = О,
(2ж 4- у)2 - 7(2ж 4- y)log3(|y| - 2ж 4- 5) - 81ogg(|y| - 2ж 4- 5) = 0.
|ж - у| - logi(|ж| 4- у 4- 1) 4- 6 = О,
(ж - у)2 - 6(ж - y)log2(^| 4- у 4- 1) 4- 51og2(^| 4- у 4-1) = 0.
2у3 + 2ж2 + Зж + 3 = 0, Г у3 — 6ж2 + 12ж — 8 = 0,
2г3 + 2у2 + Зу + 3 = 0,75) 5 z3 - бу2 + 12у - 8 = О,
2ж3 4™ 2^" 4~ 3^ 4™ 3 = 0.^ ж3 — 6^2 4* 12^ — 8 = 0.
у3 4- 2ж2 4- 6ж 4-12 = О,
Л 4- 2у2 + бу + 12 = О,
ж3 4- 2Л 4- 6г 4-12 = 0.
|2ж 4- у| 4- log2(|y| - 2ж 4- 5) - 20 = О,
(2ж 4- у)2 - 7(2ж 4- y)log3(|y| - 2ж 4- 5) - 81ogg(|y| - 2ж 4- 5) = 0.
|ж - у| - logi(|ж| 4- у 4- 1) 4- 6 = О,
(ж - у)2 - 6(ж - y)log2(^| 4- у 4- 1) 4- 51og2(^| 4- у 4-1) = 0.
79) / ®2 - ®У2 + 4 = 0, | ж2 + у2 + 4 = 4ж + 2у.
79) / ®2 - ®У2 + 4 = 0, | ж2 + у2 + 4 = 4ж + 2у.
ж2 + 4ж2у2 + 4у = 0, 4ж3 — 4у2 — 4у — 5 = 0.
ж2 + 4ж2у2 + 4у = 0, 4ж3 — 4у2 — 4у — 5 = 0.
у2 - ху + 1 = 0,
ж2 + 2ж = -у2 — 2у — X.
у2 - ху + 1 = 0,
ж2 + 2ж = -у2 — 2у — X.
82)
82)
У
У
z
z
= у.
= у.
83)85)87)90)92)94)83)85)87)90)92)94)\ху — 2| = 6 — ж2, 2 + Зу2 = 2ху.х4 + / = 2,\ху — 2| = 6 — ж2, 2 + Зу2 = 2ху.х4 + / = 2,84)86) <84)86) <у2 - \ху\ +2 = 0, 8 - ж2 = (ж + 2у)2.у2 - \ху\ +2 = 0, 8 - ж2 = (ж + 2у)2.ж2 + ху + 2у2 = 16.ж2 + ху + 2у2 = 16.х2 + У = 1,[ xly = 2,[ х + у + z = 2,ж5 + у = 1.ху — z = 1.2ху — z =4.ж + у + С = 1,J Ж2 + у2 + 2? = ху + yZ + ZX,Ж2+у2 + Л=1. У°ж3 +у3 + -3 = 1.tg2 ж + ctg2 ж = 2 sin2 у, ^^ Г ж1о§8 + i/log8 ж = 4, sin2 у + cos2 2=1.1 log4 ж — log4 у = 1.х2 + У = 1,[ xly = 2,[ х + у + z = 2,ж5 + у = 1.ху — z = 1.2ху — z =4.ж + у + С = 1,J Ж2 + у2 + 2? = ху + yZ + ZX,Ж2+у2 + Л=1. У°ж3 +у3 + -3 = 1.tg2 ж + ctg2 ж = 2 sin2 у, ^^ Г ж1о§8 + i/log8 ж = 4, sin2 у + cos2 2=1.1 log4 ж — log4 у = 1.ж2 + 2ж sin у + 3 cos у = 0,ж2 + 2ж sin у + 3 cos у = 0,arcsin I —h sin у j = у\2/3arcsin I —h sin у j = у\2/3ж2 tg2 y(tg2 у - 2) = 1 - 2®, arctg(®tgy) = 2у.ж2 tg2 y(tg2 у - 2) = 1 - 2®, arctg(®tgy) = 2у.96) Найти все пары чисел (ж; у), удовлетворяющие уравнению96) Найти все пары чисел (ж; у), удовлетворяющие уравнению- у)2 - (ж - у)4 = У2 - 2®2- у)2 - (ж - у)4 = У2 - 2®2и условиюи условиюу 4ж4 + 4?/ж2 +2у 4ж4 + 4?/ж2 +2
83)
85)
87)
90)
92)
94)
83)
85)
87)
90)
92)
94)
\ху — 2| = 6 — ж2, 2 + Зу2 = 2ху.
х4 + / = 2,
\ху — 2| = 6 — ж2, 2 + Зу2 = 2ху.
х4 + / = 2,
84)
86) <
84)
86) <
у2 - \ху\ +2 = 0, 8 - ж2 = (ж + 2у)2.
у2 - \ху\ +2 = 0, 8 - ж2 = (ж + 2у)2.
ж2 + ху + 2у2 = 16.
ж2 + ху + 2у2 = 16.
х2 + У = 1,[ xly = 2,[ х + у + z = 2,
ж5 + у = 1.ху — z = 1.2ху — z =4.
ж + у + С = 1,J Ж2 + у2 + 2? = ху + yZ + ZX,
Ж2+у2 + Л=1. У°ж3 +у3 + -3 = 1.
tg2 ж + ctg2 ж = 2 sin2 у, ^^ Г ж1о§8 + i/log8 ж = 4, sin2 у + cos2 2=1.1 log4 ж — log4 у = 1.
х2 + У = 1,[ xly = 2,[ х + у + z = 2,
ж5 + у = 1.ху — z = 1.2ху — z =4.
ж + у + С = 1,J Ж2 + у2 + 2? = ху + yZ + ZX,
Ж2+у2 + Л=1. У°ж3 +у3 + -3 = 1.
tg2 ж + ctg2 ж = 2 sin2 у, ^^ Г ж1о§8 + i/log8 ж = 4, sin2 у + cos2 2=1.1 log4 ж — log4 у = 1.
ж2 + 2ж sin у + 3 cos у = 0,
ж2 + 2ж sin у + 3 cos у = 0,
arcsin I —h sin у j = у
\2/3
arcsin I —h sin у j = у
\2/3
ж2 tg2 y(tg2 у - 2) = 1 - 2®, arctg(®tgy) = 2у.
ж2 tg2 y(tg2 у - 2) = 1 - 2®, arctg(®tgy) = 2у.
96) Найти все пары чисел (ж; у), удовлетворяющие уравнению
96) Найти все пары чисел (ж; у), удовлетворяющие уравнению
- у)2 - (ж - у)4 = У2 - 2®2
- у)2 - (ж - у)4 = У2 - 2®2
и условию
и условию
у 4ж4 + 4?/ж2 +
2
у 4ж4 + 4?/ж2 +
2
Найти все пары чисел (ж; у), удовлетворяющие уравнению 4у2 - 2ж2 = V^(x + 2уУ - (ж + 2у)4
и условию ж4 + 2 + 4у (ж2 — 1).
Найти все пары чисел (ж; у), удовлетворяющие уравнению
У6 + У3 + 2ж2 = ^/xy^^^
и условию 4ж?/3 + у^ + - + 2ж2 + -^1 + (2ж уУ.
Найти все пары чисел (ж; у \ удовлетворяющие уравнению лУ^х^у*2 ™ ж4!/4 = у5 + ж2(1 ■ ж)
и условию + (ж + Ур + ж(2^3 + ж2) + 0.
Найти все пары чисел (ж; у), удовлетворяющие уравнению 2|ж2-2ж-3|-1оё2 3 = Уз^+^4
и условию 4|t/| — \у — 1| + (у + З)2 + 8.
Найти все пары чисел (ж; у), удовлетворяющие уравнению ^|$2-5$+4|-log5 2 _ 2'У™3
и условию 3|у| ™ \у + 1| + (у — 2)2 + 3.
Найти все пары чисел (ж; у), удовлетворяющие уравнению 4l®2+8® + 12Hlog4 7 =
и условию \у — 3| — 31^/1 — ^у + I)2 > 1.
Найти все пары чисел (ж; у\ удовлетворяющие системе уравнений
и условию ж > 0.
Найти все пары чисел (ж; у), удовлетворяющие системе уравнений
- sin(l — у + ж2) cos 2ж = cos(?/ — 1 — ж2) sin ж cos ж,
<2
t log2.t2?'i2:c 1=1-Х
и условию у — 1 — ж2 + 2ж 0.
Найти все пары чисел (ж; у), удовлетворяющие системе уравнений
Г log2 ж • logs 2 + 1 = 0,
1 sin ж • cos у = 1 — cos ж • sin у
и условию ж + у < 8.
Найти все пары чисел (ж; у\ удовлетворяющие системе уравнений
( ^sin$+tgy _ |
y-sin2 ж+tg2 У
И УСЛОВИЯМ 0 < Ж < 7Г, 0 < у < 7Г.
Найти все пары чисел (ж; у), удовлетворяющие системе уравнений
4
tg"(® - у) - — tg(® - у) + 1 = О,
.1
sin ж =
2
И УСЛОВИЯМ 0 Ж 7г/2, — 7Гу 0.
Найти все пары чисел (ж; у\ удовлетворяющие системе уравнений
{
Sin Ж = 2
cos у
1 з/
sin ж • = v 196 — 2
cos у
И условиям 0 < Ж < 7Г, ™тг/2 < у < тг/2.
Найти все пары чисел (ж; у), удовлетворяющие системе уравнений
2 ,2
ж Су
и условиям ж > 0, у > 0.
Найти все пары чисел (ж; у\ удовлетворяющие системе уравнений
1 ж + -
У
+
10
3
2 ,2
х Су
82
9
х + у
и условиям ж > 0, у < 0.
Найти все пары чисел (ж; у\ удовлетворяющие системе уравнений
13133
ж +Р X + у =к у + ”,
2 .2
Ж +У
22у
145
4
и условиям ж < 0, у < 0.
Найти все пары чисел (ж; у\ удовлетворяющие системе уравнений
^^3 + 1^ (1 + соя(жу) • 8ш(жу)) = ^^3 + 1 ^ sin2 ху + cos 2жу, 2 22 I 1 а
х у -у +1 = 0
1,2 Л
и условиюк у + 6.
"ж2
Найти все пары чисел (ж; у), удовлетворяющие системе уравнений
I (3 соз(ж^) — зт(ж^)) • 8ш(жу) = 2 соз(2ж^ + ж) • cos ж + 2 sin2 (ж?/ + ж),
I у3 - ху + 1 = 0
и условию 4?/6 — Зху + 2^0.
Найти все пары чисел (ж; у\ удовлетворяющие системе уравнений ж2 — Зху + 6ж — 1 = 0,
у2 — ху — 2 = 0
и условию ху > 0.
Найти все пары чисел (ж; у), удовлетворяющие системе уравнений у2 — 4жу + 4у — 1 = 0,
Зж2 ■ 2ху — 1 = 0
и условию ху > 0.
Найти все пары чисел (ж; у), удовлетворяющие системе уравнений
У sin х = log2У sin х = log2у sin X
У sin х = log2
У sin х = log2
1 + зу '
(бу2 + 2y)(4sin"(бу2 + 2y)(4sin"Хх +4СО82^ = 25у2 +6у + 1
(бу2 + 2y)(4sin"
(бу2 + 2y)(4sin"
и условию |у| < 1.
Найти все пары чисел (ж; у), удовлетворяющие системе уравнений
(3 — у2) cos2 ж = log3(3 — у2) cos2 ж = log3(у2 + 8у)(32+(у2 + 8у)(32+8 + у
(3 — у2) cos2 ж = log3
(3 — у2) cos2 ж = log3
(у2 + 8у)(32+
(у2 + 8у)(32+
у(1 — sin3 ж)
З2cos4 2ж-4) = 2у2 + 16у + 64
и условию 1 < у < 10.
Найти все пары чисел (ж; у), удовлетворяющие системе уравнений
2у cos ж = log3
( (y2+y)(32-cos21: + 3-2sin20 = V + 2y + l
и условию |у|1/2.
Найти все пары чисел (ж; у), удовлетворяющие системе уравнений ' (2 — ж)(3ж — 2^) = 3 — z^
< у3 + Зу2 = ж2 - Зж + 2,
z2 Су2 = 6z
и условию ^ ^ 3.
Найти все тройки чисел (ж; у; z\ удовлетворяющие системе уравнений
Г (ж + З)3 = 3 - 2у,
\ Л + 4у2 = 8у,
[ (2с — ж) (ж + 3) = 5ж + 16
и условию z 'Г 0.
Найти все тройки чисел (ж; у; z), удовлетворяющие системе уравнений
Г 2(у - 2)(у - z) = z-2,
< 4ж2 + z2 = 4с,
[ 8ж3 + z = Зжу
и условию ^ ^ 2.
Для каждого значения параметра а определить число решений системы уравнений.
I 2ж ™ ау = 5,I аж + у = 1.I аж + у = а3
У 1123)'124)9’
I Зу — 6ж = —15.' I х + ау = а .I ж + ау = 1.
ж2 + у2 = 1.ж2 + у2 = 1.,2 ,2 _ 2,2 ,2 _ 2
ж2 + у2 = 1.
ж2 + у2 = 1.
,2 ,2 _ 2
,2 ,2 _ 2
,2 .2
129) J ^^^А130)129) J ^^^А130)х2 — у2 = а2, (ж2 + у2)2 = 4а2ху.х2 — у2 = а2, (ж2 + у2)2 = 4а2ху.
129) J ^^^А130)
129) J ^^^А130)
х2 — у2 = а2, (ж2 + у2)2 = 4а2ху.
х2 — у2 = а2, (ж2 + у2)2 = 4а2ху.
ах — у = а, а2х + ay = а + 1.ах — у = а, а2х + ay = а + 1.ах — 4у = а + 1, 2ж + (а + 6)у = а + 3.^+^=1’ 136JЗж + 2у = 3.|ах — 4у = а + 1, 2ж + (а + 6)у = а + 3.^+^=1’ 136JЗж + 2у = 3.|ах + у = О, х + ау = 0.ах + у = О, х + ау = 0.,2 |2 _2,2 |2 _2
ах — у = а, а2х + ay = а + 1.
ах — у = а, а2х + ay = а + 1.
ах — 4у = а + 1, 2ж + (а + 6)у = а + 3.
^+^=1’ 136J
Зж + 2у = 3.|
ах — 4у = а + 1, 2ж + (а + 6)у = а + 3.
^+^=1’ 136J
Зж + 2у = 3.|
ах + у = О, х + ау = 0.
ах + у = О, х + ау = 0.
,2 |2 _2
,2 |2 _2
Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений
имеет хотя бы одно решение.
х I ж + ay =
131)У ’
I ах + Зау = 2а — 3.
X2 + у2 = 1, ж2 + ху + у2 = а.X2 + у2 = 1, ж2 + ху + у2 = а.11ogo 1 + - = 2 - loga у, \ У/
X2 + у2 = 1, ж2 + ху + у2 = а.
X2 + у2 = 1, ж2 + ху + у2 = а.
log,, X + logo у = 4.
{
(l°ga ж) ( ——" + log3 у ) = log3 ж, log3 ж • log2(ж + у) = 2 log2 ж.
J Vж2 + 2ху + у2 + Vж2 - 2ху ™ у2 = 4, ^0) < гр™. 9
x/х2 р у^ = а.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений нс имеет решений.
х + ау = —2, Зж + 9т/ = 6.х + ау = —2, Зж + 9т/ = 6.ах — 4у = а + 1, 2ж + (а + 6)у = а + 3.ах — 4у = а + 1, 2ж + (а + 6)у = а + 3.
х + ау = —2, Зж + 9т/ = 6.
х + ау = —2, Зж + 9т/ = 6.
ах — 4у = а + 1, 2ж + (а + 6)у = а + 3.
ах — 4у = а + 1, 2ж + (а + 6)у = а + 3.
н Г 2ж + (9а2 - 2)у = 6а - 2,
,2 ,22,2 ,22—4ж + ay = 1 + а, (6 + а)х + 2у = 3 + а.
,2 ,22
,2 ,22
Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение.
146)
148)
2аж Су — а 4- 1, ж + Зау = а + 4. а2ж + у + z = 1,
J аж + а2у = а3, ^^0 123
I а х ™ ау = а .
149)
ж2 Су2 = 5,
ж + у + a? z = 1.
(2.2
150) Ж +У
1 х + 2у = 1.
151)
154)
156)
158)
160)
162)
164)
166)
167)
168)
169)
2 ,2
ж + т/ = а,
х — у = а.
ах2 + у = 2,
х + у = 1.
х + у = 2,
х + у + z = а.
152)
xyz Г z = а^ xyz2 + z = —2, ж2 + у2 + z2 = 4.
у = ах + 1.
|®| + |у| = 1, |ж - а| + |у| = 2.
2ж + 2(а — 1)у = а — 4, 21 ж + 1| + ау = 2.
ж2 + ay = 1,
Зж + 2т/ = 3.
аж + (а — 1)у = 2 4- 4а, 3|ж| + 2т/ = а — 5.
ж-у = а(1 + жу),I ж-у = 1 + жу,
101 ) X..
2 + ж + у + ху = 0.[ (у - а)ж + (2а - 3)у = а.
а(ж + у) - жу + 1 = 0,I ж + у + жу + 1 = 0,
ху — ж 4- у = 2.I (а + 1)ж 4- (2а — 1 — ж)у = а + 1.
ж2+у2=а,[ 2^1 4- |ж| = у 4- ж2 4- а,
• 2 о 165) 42.21
ж — Sin 7/ = 3.I Ж +т/ =1.
|ж2 — 5ж + 4| — 9ж2 — 5ж 4- 4 4- Юж|ж| = у, ж2 — 2(2а — 1)ж 4- За(а — 2) = 0.
|ж2 + 5ж + 4| — 9ж2 + 5ж + 4 — Юж | ж | = у, у2 — 2(2а 4~ ^у 4~ За(а + 2) = 0.
аж2 4- а — 1 = у — | 8шж|, tg2ж + y2 = 1.
жу = а, arctgж = —V у.
(|ж| 4- 1)а = у Г cos ж, sm х Г у = 1.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений
имеет два решения.
f ж2 Гу2 = 2(1 +а), [ (ж + у)2 = 14.
ж2 + у2 = 2а,
1 ху = а.
173)
(ж — у)2 = 6а — 14, ж2 Су2 = 3(2 +а).
|ж2 + 7ж + 6| + ж2 — 5ж + 6 — 12|ж| = 0, ж2 — 2(а + 2)ж + а(а + 4) = 0.
|4у| = |ж| - ж, ^ - а| + |у| = 1.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений
J cos(y — 6) — 2 cos ж = О,
( !og2(ay - У2) = 21og4(-®) - log1/2(3y)
имеет нечетное число решений.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет хотя бы одно решение. При каждом таком значении а найти все решения системы уравнений.
2 cos ж + a sin у = 1,
177)177)log2 sin у = (log, а) • loga(2 — Зсовж),
177)
177)
toga z + loga ^ - 1) = 0.
(а — 2) sin ж + cos у = 1,
178)178)logo (2 COS у) = (logo z)log.(l + 7sin®),
178)
178)
( ал
log^ ;— = L
\ 5 — a /
a cos у + sin ж + 1 = 0,
179)179)l°gz(-l — 4sin®) = (log. a) log,, (1 + 2 cos у), loga z + loga = 0.
179)
179)
\ a J
a sin ж + (1 — 2a) cos у = 2,
180)180)logo(l - 2sin®) = (loga z) log. cosy,
180)
180)
Найти все целые значения параметра п, при каждом из которых система уравнений имеет решения. При каждом таком значении п найти все решения.
f 6ж2 + 24у(ж + у) + 2(3п - 2)ж + 4(3п - 2)у + 3 = 0,
' |^ 4(ж2 + у2) + (4п + 2)у + 2п2 = 8жу + (4п + 2)ж + 5/2.
f ж(ж + 2у - 4) + 4п2 = 8 + 4у - у2,
’ | у2 - 2у + 2 = 4ж(у - ж - 1) + 2(п2 + п).
)/4^Ж УпУ^У + ^ + 2) + 2п2 =°’
'|^у(2ж — у— 4) + 12п2 = ж2 — 4ж + 12п + 8.
Гж2 - 4(2ж - 2 - 2п - п2) = 2/(8 - 2ж - у),
|ж2 - 12ж+ 40 + у (у ™ 2ж + 12) = 4п(п + 1).
Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет бесконечно много решений.
/ ^ + ^=1’186) / 3ж + ^ = 3’
I 4ж — 2у = а.I ах + Зу = 3.
18 М.К. Потапов и др.
(а - 2)ж + 27у = 9/2, 2ж + (а + 1)у = -1.х + у — 1 = О, у — 2 — |ж — а| = 0.ж2 + ху — бу2 = 0, у — |аж| = 0.(а - 2)ж + 27у = 9/2, 2ж + (а + 1)у = -1.х + у — 1 = О, у — 2 — |ж — а| = 0.ж2 + ху — бу2 = 0, у — |аж| = 0.188) ж + ^ = 2’
(а - 2)ж + 27у = 9/2, 2ж + (а + 1)у = -1.
х + у — 1 = О, у — 2 — |ж — а| = 0.
ж2 + ху — бу2 = 0, у — |аж| = 0.
(а - 2)ж + 27у = 9/2, 2ж + (а + 1)у = -1.
х + у — 1 = О, у — 2 — |ж — а| = 0.
ж2 + ху — бу2 = 0, у — |аж| = 0.
Y Зж — 2у = 6.
/ (Ж-«)(Ж + У) = °,[ ж + у - |у - ж| = 2.
„ I ж2 = (ж — а)у,
|2) I V )У,
I у — ху = 9аж.
I® - у\ = 1,
I® + у| = а.
Для каждого значения параметра а решить систему уравнений.
195) ж + ^ = 1’
I аж + у = 2а.
{2ж + Зу = 5,
ж — у = 2, ж + 4у = а.
х I ж2 = (ж —
200)2 k
I у ™ ху = 9аж.
аж + у = а,;
196) < У ’197) <
I ж + ау = а .I <
{ах + у + 7 = 1,
ж + ay + z = 1,
ж + у + az = 1.
901) / ^К» ® + 1о8и У = 5/2,| ж + у = а2 + а.
х + Зау = 1, ах — Зау = 2а + 1.
I жу = 4, 202) < ,л \2
(bg« Ж) + (10ga у)
|(l°ga 4)2.
X Ру = 2, у - |ж - а\ = 1.
\х + у\ = х - у + а, |ж - у\ = х + у + а.
206) <207) <
х5 + у° = а5.|
908) / 2V^+y2 - 4|а|ж + 1 :
' |^ \а\4|а|у = 0.
/ (2-+ 1) ■ 2^+1 =,
" '^ж2 + у2 = ж + у.
717) < 8™ж +=
' 1 sin 2ж + sin 2у = sin 2а.
214) /=215
I sin у • cos ж = а.
ах + ау + (а + 1)^ = а, 205) ах + ау + (а — 1)^ = а, ж + (а + 2)7 = 1 — а.
f ж2 — у2 = а2, I (ж2 + у2)2 = 4а2жу.
tgж = actgж, tg 2ж = a cos у.
' | У'х/ж2 + у2 + ay + 1 = 0.
( у^х2 + у2 - 2ау -3 = 0,
' 1 жу/ж2 + у2 = 2аж.
713) { 8™Ж + cosy = 2°2’
' 1 sin ж • cosy = а2 (а2 — 4).
J sin ж • cos 2у = а2 + 1, I cos ж • sin 2у = а.
(arctgж)2 + (arccosy)2 = тг2а,
arctg ж + arccos у = тг/2, а — целое число.
2ж — у = 3,2ж — у = 3,ах — у = 5,ах — у = 5,х + Чу = а, 2ж ™ у = 5,х + Чу = а, 2ж ™ у = 5,Найти все значения параметра а, для каждого из которых все решения системы уравнений удовлетворяют заданному условию.Найти все значения параметра а, для каждого из которых все решения системы уравнений удовлетворяют заданному условию.2ж + у = а + 2,2ж + у = а + 2,х — 2у = а.х — 2у = а.I sin 223)I sin 223)
2ж — у = 3,
2ж — у = 3,
ах — у = 5,
ах — у = 5,
х + Чу = а, 2ж ™ у = 5,
х + Чу = а, 2ж ™ у = 5,
Найти все значения параметра а, для каждого из которых все решения системы уравнений удовлетворяют заданному условию.
Найти все значения параметра а, для каждого из которых все решения системы уравнений удовлетворяют заданному условию.
2ж + у = а + 2,
2ж + у = а + 2,
х — 2у = а.
х — 2у = а.
I sin 223)
I sin 223)
222) { о Л ' | Зж + у = 0,
)
331 /, 1 \ 2
х — ay =,
ж3 + ах2у + ху2 = 1, х + у = 0.
| 8тж| = a sin у,
ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
На вступительных экзаменах довольно часто предлагаются так называемые текстовые задачи. Главное при решении таких задач — записать словесные условия при помощи уравнений или неравенств.
Для этого необходимо внимательно (и, возможно, не один раз) прочитать условие задачи с тем, чтобы стало понятным ее содержание, затем, при очередном прочтении условия задачи, нужно постепенно вводить неизвестные и сразу записывать связи между известными и неизвестными величинами в виде уравнений или неравенств. Ниже на ряде примеров будет показано, как это делается. Для удобства мы выделяем некоторые наиболее типичные ситуации, встречающиеся в текстовых задачах («на движение», «на работу», «на проценты», «на смеси» и т.д.).
Отметим, что иногда из полученной системы уравнений или неравенств требуется найти лишь одну неизвестную или некоторую комбинацию неизвестных. При этом не обязательно находить значения всех неизвестных, что может быть сделано далеко не всегда.
Задачи «на движение». При решении задач «на движение» обычно вводятся в рассмотрение s — путь, и — скорость, t — время, необходимое для прохождения этого пути, после чего составляются уравнение или система уравнений.
Пример 1. Из пункта А в пункт В выехал грузовой автомобиль. Через 1 ч из пункта А в пункт В выехал легковой автомобиль, который прибыл в пункт В одновременно с грузовым автомобилем. Если бы грузовой и легковой автомобили одновременно выехали из пунктов Ан В навстречу друг другу, то они бы встретились через 1 ч 12 мин после выезда.
Сколько времени провел в пути от Л до В грузовой автомобиль?
Решение. Обозначим через х км/ч скорость грузового автомобиля, а через S км расстояние между пунктами АиВ. Расстояние от Л до В грузовой автомобиль проехал за S/x ч, а легковой автомобиль — за (5/ж — 1) ч.
S
Следовательно, скорость легкового автомобиля равна -^——- км/ч. Если бы автомобили одновременно выезжали из пунктов Ан В навстречу друг другу, то из условия, что они встретятся через 1- ч, получаем уравнение
Поскольку х > 0, то, разделив это уравнение на х, получим равносильное ему уравнение
6 Л + S/x \ _ S
5 \ S/x — 1) х
Обозначая S/x через f, приходим к уравнению
бГ - 17# + 6 = О,
которое имеет корни В = 3 и ^2 = 2/5. Из условия задачи следует, что грузовик провел в пути от А до В больше одного часа, следовательно, условию задачи удовлетворяет только В = 3.
Ответ. 3 ч.
Пример 2. Из пункта А в пункт В доставлена почта. Сначала ее вез мотоциклист; проехав 2/3 расстояния от пункта А до пункта В, он передал почту ожидавшему его велосипедисту, который и доставил ее в пункт В (время, потребовавшееся на передачу почты, считается равным нулю). При этом почта была доставлена из пункта А в пункт В за промежуток времени, необходимый, чтобы проехать от пункта А до пункта В со скоростью 40 км/ч.
Известно, что если бы мотоциклист и велосипедист выехали из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу, то они встретились бы через промежуток времени, необходимый для проезда от пункта А до пункта В со скоростью 100 км/ч. Найти скорость мотоциклиста, считая, что она больше скорости велосипедиста.
Решение. Обозначим через S км расстояние между пунктами АпВ; пусть х км/ч — скорость мотоциклиста, а у км/ч — скорость велосипедиста.
22 S1
Путь -5 км мотоциклист проехал за - • — ч, а путь -5 км велосипедист 33 ж3
15(2S 15 А
проехал за - • —ч. Почта из Л в В была доставлена за--—Н -• —ч,
3 у\3ж 3у)
и это время по условию задачи должно равняться — ч. Поэтому имеем первое уравнение
2 S + 1 5£
3 ж3 у40
Если бы мотоциклист и велосипедист выехали навстречу друг другу, то rS
они встретились бы черезч, и это время по условию задачи должно хТу
S „
равняться ч. Поэтому имеем второе уравнение
S S
х + у 100
Для нахождения х и у получим, после деления правой и левой частей каждого из уравнений на S (S 0), систему
' 2 11 1 _ 1
3 х3 у 40 ’
' 1 _
х + у 100
Из второго уравнения имеем у = 100 — х. Подставляя 100 — х вместо у в первое уравнение системы, получим уравнение
Зж 3(100™ ж) 40
on100 ттon200
которое имеет корни = 80 и х^ = Но тогда ух = 20 и у 2 =
Легко видеть, что найденные пары чисел xi = 80, ух = 20 и х^ = ^^, 200. _
у 2 = являются решениями системы уравнении. Так как по условию задачи скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста, то условию задачи удовлетворяет только одно решение системы, а именно жх = 80, ух = 20. Следовательно, скорость мотоциклиста равна 80 км/ч.
Ответ. 80 км/ч.
Задачи «на работу». При решении задач «на работу» обычно приходится рассматривать части всей работы, выполняемые в тот или иной срок. Рассмотрение частей всей работы позволяет просто составить систему уравнений.
Пример 3. Для разгрузки парохода выделено две бригады грузчиков. Если ко времени, за которое может самостоятельно разгрузить пароход первая бригада, прибавить время, за которое может самостоятельно разгрузить пароход вторая бригада, то получится 12 часов. Определить эти времена, если их разность составляет 45 % времени, за которое обе бригады могут разгрузить пароход совместно?
Решение. Пусть первая бригада может самостоятельно разгрузить пароход за х часов, а вторая — за у часов. Тогда
(1)(1)ж + у = 12.
(1)
(1)
Первая бригада делает за час 1/ж часть всей работы, а вторая — 1/у часть всей работы. Поэтому, работая вместе, они за час делают (1/ж + 1 /у) часть всей работы. Значит, работая вместе, они затратят на всю работу - ч. Пусть для определенности первая бригада работает мед- (1/ж + 1/у)
леннее, т.е. пусть ж > у. Тогда ж — у ч составляют 45 % от ч,
45 хуX — у — • ——100 х +45 хуX — у — • ——100 х +1/ж + 1/у или
45 ху
X — у — • ——
100 х +
45 ху
X — у — • ——
100 х +
(2)
Получили систему двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными х и у. Решим ее.
Из уравнения (1) находим, что у = 12 — х. Подставляя 12 — х вместо у во второе уравнение (2), получаем уравнение относительно х:
9ж(12-ж)
ж — 12 + ж = — • —-,
2012
которое можно переписать так:
Зж2 + 124ж - 960 = 0.
20
Это уравнение имеет два корня: Ж1 = —48 и ж2 = —. По условию задачи
п2016г
х > 0. Значит, х = а тогда у = — . Итак, первая бригада может
7r 1
разгрузить пароход за 6- ч, а вторая — за 5- ч.
1
Ответ. 6 - ч, 5 - ч.
3
Пример 4. Три автоматические линии выпускают одинаковую продукцию, но имеют разную производительность. Производительность всех трех одновременно действующих линий в 1,5 раза выше производительности первой и второй линий, работающих одновременно. Сменное задание для первой линии вторая и третья линии, работая одновременно, могут выполнить на 4 ч 48 мин быстрее, чем его выполняет первая линия; это же задание вторая линия выполняет на 2 ч быстрее по сравнению с первой линией. Найти время выполнения первой линией своего сменного задания.
Решение. Обозначим через х ч, у ч, z ч время, за которое соответственно первая, вторая и третья линии могут выполнить сменное задание ._1111
первой линии. Тогда за 1 ч они могут выполнить соответственно -, -, - х у z часть сменного задания для первой линии. Производительность всех трех
одновременно действующих линий в 1,5 раза больше производительности первой и второй линий, работающих одновременно, поэтому
(3)(3)
(3)
(3)
За один час вторая и третья линии, работая одновременно, выполнят - + - у часть сменного задания для первой линии. Значит, для того чтобы выпол
нить все сменное задание для первой линии, им потребуетсяч,
1/у +
причем по условию задачи
124
= х.(4) 1/^ + 1/^5
Из условия задачи также следует, что
(5)(5)У = % - 2.
(5)
(5)
Получили систему трех уравнений (3), (4) и (5) с тремя неизвестными, из которой надо найти только одну неизвестную х. Из второго уравнения (4)
11системы находим —|— =У 211системы находим —|— =У 21511
11
системы находим —|— =
У 2
11
системы находим —|— =
У 2
. Подставляя вместо —I—
х - 24/5У
в левую часть уравнения (3), а также ж — 2 вместо у в правую часть уравнения (3), получаем уравнение
- + 5 = 1.
ж 5ж — 242 \ж ж — 2 у
После преобразований уравнение (б) можно переписать в виде 5ж2 - 43т + 24 _ 0 ж(ж-2)(5ж-24)’
откуда получаем, что уравнение (б) имеет два корня Ж1 = 8 и жо = 3/5. Из условия задачи следует, что ж > 2. Значит, условию задачи удовлетворяет лишь Xi = 8.
Ответ. 8 ч.
Пример 5. Две бригады рабочих начали работу в 8 ч. Сделав вместе 72 детали, они стали работать раздельно. В 15 ч выяснилось, что за время раздельной работы первая бригада сделала на 8 деталей больше, чем вторая. На другой день первая бригада делала в час на одну деталь больше, а вторая бригада в час на одну деталь меньше. Работу бригады начали вместе в 8 ч и, сделав 72 детали, снова стали работать раздельно. Теперь за время раздельной работы первая бригада сделала на 8 деталей больше, чем вторая, уже к 13 ч. Сколько деталей в час делала каждая бригада?
Решение. Пусть первая бригада делала в час х деталей, а вторая бригада — у деталей; тогда за час они вместе делали х + у деталей и
72 детали сделали зач. Следовательно, раздельно в первый день они ж + у
72/72 \
работали 7 —ч. За это время первая бригада сделала 7 —" х
хГу\х + у)
(72 \
деталей, а вторая бригада сделала 7— у деталей, и из условия
\X + у J
задачи вытекает, что
Во второй день первая бригада делала в час х + 1 деталей, а вторая бригада делала в час у — 1 деталей. Так как обе бригады в час делали опять 72
х + у деталей, то 72 детали они сделали за —— ч и раздельно работали X + у
72/72 \
5 — ч. За это время первая бригада сделала 5 — (ж + 1)
х + у\ х Г у J
(72 \
деталей, а вторая бригада сделала 5— И у + 1) деталей, и из
\ х + у J
условия задачи вытекает, что
/7? \\
5 -(ж + 1) - 5 -Цу^1) = ^
\X + у)\X Гу J
) (ж — у) = 8, )(® - у + 2) = 8.) (ж — у) = 8, )(® - у + 2) = 8.Итак, для нахождения ж и у получили систему уравнений
) (ж — у) = 8, )(® - у + 2) = 8.
) (ж — у) = 8, )(® - у + 2) = 8.
(7)
Обозначим= 2, х — у = и; тогда система (7) запишется в виде х + у
= 8,.
(5 — з)(и + 2) = 8.1 J
Перепишем эту систему так:
7и = 8 + zu^
5п + 10 — 2^ = 8 + uz.
Отсюда ясно, что эта система равносильна системе
7и = 8 + uz^
Би + 10 — 2z = 7и.
Из второго уравнения z = 5 — и. Подставляя 5 — и вместо z в первое уравнение, получаем уравнение 7 и = 8 + rt(5 — и), которое имеет два
корня: ^1 = 2 и ^2 = ™4. Тогда zi = 3 и £2=9. По условию задачи х > у, т.е. и = х — у > 0. Следовательно, для нахождения х и у имеем систему уравнений
{
ж - у = 2,
—= 3. ж + у
Решение этой системы яд = 13, уi = 11. Легко видеть, что эти х и у удовлетворяют условию задачи. Следовательно, первая бригада делала за час 13 деталей, а вторая — 11 деталей.
Ответ. Первая бригада делала за час 13 деталей, а вторая —11 деталей.
Задачи «на проценты». Экономические задачи, т.е. задачи, в которых речь вдет о вкладах в банк под тем или иным процентом, вызывают большие трудности. На самом деле, в понятии процента нет ничего трудного. Надо только помнить, что один процент есть одна сотая часть числа.
Пример 6. Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определенный процент (свой для каждого банка). В начале года 5/6 некоторого количества денег положили в первый банк, а оставшуюся часть — во второй банк. К концу года сумма этих вкладов стала равной 670 денежным единицам, к концу следующего года — 749 денежным единицам. Было подсчитано, что если бы первоначально 5/6 исходного количества денег положили во второй банк, а оставшуюся часть — в первый банк, то по истечении одного года сумма вкладов в эти банки стала бы равной 710 денежным единицам. В предположении, что исходное количество денег первоначально целиком положено в первый банк, определить величину вклада по истечении двух лет.
Решение. Обозначим через х денежных единиц первоначальную сумму денег, через а — процент, на который возрастает сумма за год в первом банке, а через /3 — процент, на который возрастает сумма за год во втором банке. К концу первого года сумма вклада в первом банке стала
» 5 Л , а \,1 Л , /3 \
равной -ж Щ, во втором банке -х 1 + -— , а к концу второго 6 X 10076 X 1007J 1
5Л, а \21А, 3 V ы
года соответственно -ж Щи -х 1 + -— . Из условия задачи 6X 10076X 1007 J
имеем, что сумма вкладов к концу первого года составляет 670 денежных единиц, а к концу второго года — 749 денежных единиц, поэтому имеем
(Ю)(Ю)5656
(Ю)
(Ю)
5
6
5
6
_5Если во второй банк положить -х_5Если во второй банк положить -х„ -1денежных единиц, а в первый банк -х 6„ -1денежных единиц, а в первый банк -х 6
_5
Если во второй банк положить -х
_5
Если во второй банк положить -х
„ -1
денежных единиц, а в первый банк -х 6
„ -1
денежных единиц, а в первый банк -х 6
5 /а \
денежных единиц, то сумма вкладов к концу года составила бы - ж (1 Ч—■— ) + 6 V100/
1/ о \
+ -жJ, что равнялось бы 710 денежным единицам. Поэтому
(11)(11)
(11)
(11)
Для нахождения ответа в задаче надо из системы трех уравнений (9), (10) и (11) найти две неизвестные х и а. Для этого поступим следующим образом. Уравнения (9) и (11) перепишем так:
6-670х '6 • 710х6-670х '6 • 710х
6-670
х '
6 • 710
х
6-670
х '
6 • 710
х
Из получившейся системы уравнений найдем, что
х [ о _ 660 х ( /3 _ 720100 х100 х
660. а 720, , /3
Подставляя — вместо 1 Чи вместо 1 Ч—-— в уравнение (10),
х100 х100
приходим к уравнению
имеющему единственный корень х = 660, и тогда 1 + ^^ = ^^ = 1,1. Если исходное количество денег положить на два года в первый банк, то к концу второго года величина вклада составит
X- (1 + — ) = 660- 1Д2 = 726
V 100/ денежных единиц.
Ответ. 726 денежных единиц.
Задачи «на смеси» и «на сплавы». Задачи на смеси и на сплавы вызывают психологические трудности, связанные с нечетким пониманием химических процессов, возможно происходящих при смешении. Надо иметь в виду, что в задачах такого рода, предлагаемых на вступительных экзаменах, никаких химических процессов, влияющих на количественные соотношения задачи, не происходит.
Пример 7. Имеется два раствора серной кислоты в воде: первый — сорокапроцентный, второй — шестидесятипроцентный. Эти два раствора смешали, после чего добавили 5 кг чистой воды и получили двадцатипроцентный раствор. Если бы вместо 5 кг чистой воды добавили 5 кг восьмидесятипроцентного раствора, то получился бы семидесятипроцентный раствор. Сколько было сорокапроцентного и шестидесятипроцентного растворов?
Решение. Обозначим через х кг количество сорокапроцентного и через у кг — количество шестидесятипроцентного растворов. Если сольем х кг сорокапроцентного раствора, у кг шестидесятипроцентного раствора и 5 кг чистой воды, то получим раствор весом в (ж + у + 5) кг, который по условию содержит 20 % кислоты. Поскольку в х кг сорокапроцентного раствора находится 0,4 кг кислоты, а в у кг шестидесятипроцентного раствора находится 0,6 кг кислоты, то в (ж + у + 5) кг находится (0,4ж + 0,6у) кг кислоты, что составляет 20 % от (ж + у + 5) кг, т.е. имеем уравнение
0,4ж + 0,6у = 0,2 • (ж + у + 5).
Если вместо 5 кг воды добавить 5 кг восьмидесятипроцентного раствора, то получим раствор весом (ж + у + 5) кг, в котором будет (0,4ж + 0,6у + 4) кг кислоты, что составляет 70 % от (х + у + 5) кг, т.е. имеем уравнение
0,4ж + 0,бу + 4 = 0,7 • (х + у + 5).
Итак, для нахождения х и у получили систему уравнений
( 0,4ж + 0,бу = 0,2 • (ж + у + 5),
[ 0,4ж + 0,бу + 4 = 0,7 • (х + у + 5), которую можно записать в виде
( х + 2у = 5,
[ Зх + у = 5.
Решением этой системы является пара чисел х = 1 и у = 2. Следовательно, было 1 кг сорокапроцентного и 2 кг шестидесятипроцентного растворов серной кислоты.
Ответ. 1кг сорокапроцентного и 2 кг шестидесятипроцентного растворов.
Пример 8. Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй — 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определить, сколько килограммов олова содержится в получившемся новом сплаве.
Решение. Обозначим через х кг количество олова, содержащегося в получившемся новом сплаве, а через у кг — количество цинка, содержащегося в первом сплаве. Так как получившийся новый сплав весит 400 кг и в нем 30 % цинка, то он содержит цинка |™™ • 30 = 120 кг, а тогда во втором сплаве цинка (120 — у) кг. По условию задачи процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково, поэтому имеем
3L . юо = —~У- • 100.
150250
Из этого уравнения находим, что у = 45. Поскольку первый сплав содержит
40
40% олова, то в 150 кг первого сплава олова будет ^^ - 150 = 60 кг, а во
втором сплаве олова будет (ж — 60) кг. Поскольку второй сплав содержит
250
26% меди, то во втором сплаве меди будет |^ • 26 = 65 кг. Во втором сплаве олова содержится (ж — 60) кг, цинка 120 — 45 = 75 кг, меди 65 кг и, так как все это весит 250 кг, то имеем ж ™ 60 + 75 + 65 = 250, откуда х = 170 кг.
Ответ. 170 кг.
Задачи с целыми неизвестными. На вступительных экзаменах часто предлагаются задачи, в которых речь идет о количествах деталей, карандашей и т.п., т.е. в этих задачах неизвестные, обозначающие эти количества, являются натуральными числами. Поэтому при решении таких задач могут возникнуть системы уравнений или неравенств, которые из-за целочисленности неизвестных имеют, тем не менее, единственное решение.
Пример 9. После деления некоторого двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 7 и в остатке 6. После деления этого же двузначного числа на произведение его цифр в частном получается Зив остатке 11. Найти это двузначное число.
Решение. Обозначим через х и у соответственно число десятков и число единиц искомого двузначного числа. Тогда для нахождения х и -у из условия задачи имеем следующую систему уравнений:
(12)(12)Юж + у = 7(ж + у) + 6, Юж + у = Зжу + 11.
(12)
(12)
Из первого уравнения этой системы находим, что х = 2у + 2. Подставив 2у + 2 вместо х во второе уравнение системы (12), получим уравнение
2у2 - Бу - 3 = 0,
которое имеет корни ух = 3 и у^ = ™1/2. Итак, система (12) имеет два решения: хх = 8, ух = 3 и х^ = 1, № = -—1/2. Так как у есть значение числа единиц двузначного числа, то остается единственная возможность х = 8, у = 3. Проверкой убеждаемся, что двузначное число 83 удовлетворяет условию задачи.
Ответ. 83.
Пример 10. Производительность первого автомобильного завода не превышает 950 машин в сутки. Производительность второго завода первоначально составляла 95 % от производительности первого завода. После ввода дополнительной линии второй завод увеличил производство машин в сутки на 23 % от числа машин, выпускаемых в сутки на первом заводе, и стал их выпускать более 1000 штук в сутки. Сколько автомобилей за сутки выпускал каждый завод до реконструкции второго завода? Предполагается, что каждый завод в сутки выпускает целое число машин.
Решение. Обозначим через х количество машин, производимых в сутки первым заводом. Тогда второй завод до реконструкции производил 95ж
в сутки ^^ машин, а после ввода дополнительной линии стал выпускать
100 loo машин* ^3 У~ задачи следует система неравенств ' х 950,
<23$ > 1()00(13)
I 100100
Множество решений этой системы есть промежуток ^^^^^ < ж 950. 23ж 95ж
Так как числа |у и уу должны быть целыми, то х должно делиться на 100 и быть из указанного промежутка, поэтому х = 900. Следовательно, первый завод выпускает в сутки 900 автомобилей, а второй завод до реконструкции 95
выпускал — • 900 = 855 автомобилей.
100
Ответ. 900 и 885.
Пример 11. В двух ящиках находится более 29 одинаковых деталей. Число деталей в первом ящике, уменьшенное на 2, более чем в 3 раза превышает число деталей во втором ящике. Утроенное число деталей в первом ящике превышает удвоенное число деталей во втором ящике менее чем на 60. Сколько деталей в каждом ящике?
Решение. Обозначим через х число деталей в первом ящике, а через у число деталей во втором ящике. Тогда согласно условию имеет место система неравенств
' х + -у > 29,
< х — 2 > Зу,. Зх ^2у < 60.
Перепишем эту систему в виде
{
х > 29 — у^
х > N + 2^(14)
20 + -у > х.
3
Отсюда следует, что справедливы неравенства
20 + |у > 29 - у,(15)
20 + |у > Зу + 2.(16)
27
Неравенство (15) можно переписать в виде у > ™, а неравенство (16) в ' '5
54 _5427 с 2
виде у < Так как у = 7-, у = 5- и у — натуральное число, то у
может быть равен либо б, либо 7. Если у равен б, то система неравенств
перепишется в виде
{
х > 23,
х > 20,
х < 24.
Ясно, что нет натуральных чисел х, удовлетворяющих ей. Пусть у = 7. Тогда система (14) перепишется в виде
' х > 22,
< х > 23,
ж < 24-,I 2
откуда следует, что существует единственное натуральное число х = 24, ей удовлетворяющее. Следовательно, в первом ящике 24 детали, а во втором ящике 7 деталей.
Ответ. В первом ящике 24 детали, а во втором ящике 7 деталей.
Пример 12. В магазине продаются красные и синие карандаши. Красный карандаш стоит 17 копеек, синий карандаш — 13 копеек. На покупку карандашей можно затратить не более 4 р. 95 к. При закупке число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей более чем на пять. Необходимо закупить максимально возможное суммарное количество красных и синих карандашей, при этом красных карандашей нужно закупить как можно меньше. Сколько красных и синих карандашей можно закупить при указанных условиях?
Решение. Обозначим через т число красных карандашей, которых можно закупить при указанных условиях, а через и число синих. Так как красный карандаш стоит 17 к., а синий стоит 13 к. и так как на покупку всех карандашей можно затратить не более 4 р. 95 к., то
17m + 13п ^ 495.(17)
Так как число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей более чем на пять, то
|т - п| ^ 5.(18)
Так как тип — число закупленных карандашей, то
т 0 и п ^ 0.(19)
Теперь выясним, какое наибольшее значение может принимать при условиях (17), (18) и (19) число
р = т + п(20)
— суммарное количество купленных карандашей. Из (20) имеем п = р — т; подставляя это значение п в (17), (18) и (19), получим систему неравенств
' 4m + 13р ^ 495,
—5 2m — р 5, 0 ^ m ^ р.
Перепишем эту систему в виде
/ 495 - 13рт
4
< Р ™ 5р + 5(21)
22
0 ^ m ^ р.
Теперь ясно, что система (21) имеет решения, если справедливы неравенства
' Р — 5495 — 13р
24’
0 < 495 - 13р
<4’(22)
0 р.
Перепишем эту систему в виде
р
Р
13
—5 р,, 0 р,
откуда видно, что множество решений системы (22) составляет промежу- 2
ток 0 р 33-. Следовательно, в условиях задачи наибольшее возможное суммарное количество красных и синих карандашей, которое можно купить, есть 33. При р = 33 система неравенств (21) перепишется в виде {т ^ 33/2,
14 ^ т ^ 19, О ^ т ^ 33,
откуда видно, что при р = 33, наименьшее т равно 14, а тогда и = 19. Ответ. 14 красных карандашей и 19 синих.
Упражнения
Из пункта А в пункт В выехал велосипедист, а через четверть часа вслед за ним выехал автомобиль. На половине пути от Л до В автомобиль догнал велосипедиста. Когда автомобиль прибыл в пункт В, велосипедисту оставалось проехать еще треть пути. За какое время велосипедист проехал путь от А до В, если известно, что скорости велосипедиста и автомобиля постоянны на всем пути от пункта А до пункта В?
Два бегуна стартовали один за другим с интервалов в две минуты. Второй бегун догнал первого на расстоянии 1 км от точки старта, а пробежав от точки старта 5 км, он повернул обратно, и встретился с первым бегуном. Эта встреча произошла через 20 минут после старта первого бегуна. Найти скорость второго бегуна.
Расстояние между двумя городами скорый поезд проходит на 4 часа быстрее товарного поезда и на 1 час быстрее пассажирского. Известно, что скорость товарного поезда составляет 5/8 скорости пассажирского и на 50 км/ч меньше скорости скорого. Найти скорости товарного и скорого поездов.
От пристани А вниз по течению реки одновременно отплыли пароход и плот. Пароход, доплыв до пристани В, расположенной в 324 км от пристани А, простоял там 18 часов и отправился назад в А В тот момент, когда он находился в 180 км от А, второй пароход, отплывший из А на 40 часов позднее первого, нагнал плот, успевший к этому моменту проплыть 144 км. Считая, что скорость течения реки постоянная, скорость плота равна скорости течения реки, а скорости пароходов в стоячей воде постоянны и равны между собой, определить скорости пароходов и скорость течения реки.
Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда пешеход и велосипедист находились в одной точке, мотоциклист был на расстоянии 6 км позади них. В тот момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход отставал от них на 3 км. На сколько километров велосипедист обогнал пешехода в тот момент, когда пешехода настиг мотоциклист?
В гору ехал автомобиль. В первую секунду после достижения пункта А он проехал 30 м, а в каждую следующую секунду он проезжал на 2 м меньше, чем в предыдущую. Через 9 сек после того, как автомобиль достиг пункта А, навстречу ему выехал автобус из пункта В, находящегося на расстоянии 258 м от пункта А. В первую секунду автобус проехал 2 м, а в каждую следующую секунду он проезжал на 1 м больше, чем в предыдущую. Какое расстояние проехал автобус до встречи с автомобилем?
Города А, В, С, В, расположенные так, что четырехугольник АВ CD — выпуклый, соединены прямолинейными дорогами АВ, ВС, CD, AD и АС. Их длины соответственно равны 6, 14, 5, 15 и 15 км. Из одного из этих городов одновременно вышли три туриста, идущие без остановок с постоянными скоростями. Маршруты всех туристов различны, причем каждый из них состоит из трех дорог и проходит через все города. Первый и второй туристы перед прохождением третьих дорог своих маршрутов встретились в одном городе, а третий закончил маршрут на 1 час раньше туриста, закончившего маршрут последним. Найти скорости туристов, если скорость третьего больше скорости второго и на ™ км/ч меньше скорости первого, причем скорости всех туристов заключены в интервале от 5 км/ч до 8 км/ч.
Три бригады работают с одинаковой производительностью, прокладывая рельсовые пути. Первая и третья бригады, работая совместно, прокладывают 15 км путей в месяц. Три бригады вместе укладывают в месяц путей в два раза больше, чем вторая и первая бригады при их совместной работе. Найти, сколько км путей
укладывает в месяц третья бригада, если известно, что вторая бригада совместно с третьей уложили некоторый участок пути в четыре раза быстрее, чем его уложила бы одна вторая бригада.
Экскаваторщик получил задание выкопать две траншеи одинаковой глубины на различных участках строительной площадки. Экскаватор сначала вырыл первую траншею длиной 5 м, потом доехал до второго участка и вырыл вторую траншею длиной 3 м. Время, затраченное на прокладку первой траншеи, на 1 час 12 минут меньше, чем время, затраченное на переезд экскаватора и рытье второй траншеи. Если бы производительность экскаватора была в 4 раза меньше, то время, затраченное на прокладку первой траншеи, равнялось бы времени переезда экскаватора с одного места работы на другое. Определить длину траншеи, выкапываемой экскаватором за один час.
Три сенокосилки участвовали в покосе травы с поля площадью 25 га. За один час первая сенокосилка скашивает 3 га, вторая — на b га меньше первой, а третья — на 26 га больше первой. Сначала работали одновременно первая и вторая сенокосилки и скосили 11 га, а затем оставшуюся часть площади скосили, работая одновременно, первая и третья сенокосилки. Определить значение b (0 < b < 1), при котором все поле скошено за 4 часа, если работа велась без перерыва.
Двум бригадам общей численностью 18 человек, было поручено организовать в течение трех суток непрерывное круглосуточное дежурство по одному человеку. Первые двое суток дежурили члены первой бригады, распределив между собой это время поровну. Известно, что во второй бригаде три девушки, а остальные юноши, причем девушки дежурили по одному часу, а все юноши распределили между собой остаток дежурства поровну. При подсчете оказалось, что сумма продолжительностей дежурств каждого юноши второй бригады и любого члена первой бригады меньше девяти часов. Сколько человек в каждой бригаде?
Имеется три сплава. Первый сплав содержит 30% никеля и 70% меди, второй — 10 % меди и 90 % марганца, третий — 15 % никеля, 25 % меди и 60 % марганца. Из них необходимо приготовить новый сплав, содержащий 40 % марганца. Какое наименьшее и какое наибольшее процентное содержание меди может быть в этом новом сплаве?
Имеется два слитка золота с серебром. Процентное содержание золота в первом слитке в два с половиной раза больше, чем процентное содержание золота во втором слитке. Если сплавить оба слитка вместе, то получится слиток, в котором будет 40 % золота. Найти, во сколько раз первый слиток тяжелее второго, если известно, что при сплавке равных по весу частей первого и второго слитков получается слиток, в котором содержится 35 % золота.
Из сосуда, до краев наполненного чистым глицерином, отлили 2 литра глицерина, а к оставшемуся глицерину добавили 2 литра воды. После перемешивания снова отлили 2 литра смеси и долили 2 литра воды. Наконец, опять перемешали, отлили 2 литра смеси, и долили 2 литра воды. В результате этих операций объем воды в сосуде стал на 3 литра больше объема оставшегося в нем глицерина. Сколько литров глицерина и воды оказалось в сосуде в результате проделанных операций?
Для составления смеси из двух жидкостей А и В были взяты два сосуда: первый емкостью 10 литров, второй — 20 литров. Сначала в оба сосуда было налито
19 М.К. Потапов и др.
всего 15 литров жидкости Л. Затем первый сосуд был дополнен доверху жидкостью В и было произведено перемешивание. После этого второй сосуд был дополнен доверху смесью из первого сосуда. После того, как в первый сосуд было добавлено жидкости Л столько, сколько было в него ее налито сначала, отношения количества жидкости Л ко всему объему имеющейся жидкости в сосуде для первого и второго сосудов стали равными. Сколько литров жидкости Л было налито первоначально в первый сосуд?
В два различных сосуда налиты растворы соли, причем в первый сосуд налито 5 кг, а во второй — 20 кг. При испарении воды процентное содержание соли в первом сосуде увеличилось в р раз, а во втором сосуде — в q раз. О числах р и q известно только, что pq = 9. Какое наибольшее количество воды могло при этом испариться из обоих сосудов?
Рота солдат прибыла на парад в полном составе прямоугольным строем по 24 человека в ряд. По прибытии оказалось, что не все солдаты могут участвовать в параде. Оставшийся для парада состав роты перестроили так, что число рядов стало на 2 меньше прежнего, а число солдат в каждом ряду стало на 26 больше числа новых рядов. Известно, что если бы все солдаты участвовали бы в параде, то роту можно было бы выстроить так, чтобы число солдат в каждом ряду равнялось числу рядов. Сколько солдат было в роте?
Груз вначале погрузили в вагоны вместимостью по 80 тонн, но один вагон оказался загружен не полностью. Тогда весь груз переложили в вагоны вместимостью по 60 тонн, однако понадобилось на восемь вагонов больше и при этом все равно один вагон остался не полностью загруженным. Наконец, груз переложили в вагоны вместимостью по 50 тонн, однако понадобилось еще на пять вагонов больше, при этом все такие вагоны были загружены полностью. Сколько тонн груза было?
Магазин радиотоваров продал в первый рабочий день месяца 105 телевизоров. Каждый следующий рабочий день дневная продажа возрастала на 10 телевизоров, и месячный план продажи 4000 телевизоров был выполнен досрочно, причем в целое число рабочих дней. После этого ежедневно продавалось на 13 телевизоров меньше, чем в день выполнения месячного плана. На сколько процентов был перевыполнен месячный план продажи телевизоров, если в месяце 26 рабочих дней.
В школьной газете сообщается, что процент учеников некоторого класса, повысивших успеваемость во втором полугодии, заключен в пределах от 2,9 % до 3,1 %. Определить минимальное число учеников в таком классе.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
ГЛАВА I
Y) х Е R; жо и жх — корни. 2) ж Е R, ж ф 0, ж ф — 1; жо и Ж2 — корни. 3) ж Е R, х ф — 1, ж ф — 2; Ж2 — корень. 4) ж Е R, х ф — 1; жх и Ж2 — корни. 5) х Е Rsx ф 0; Ж2 — корень. 6) ж Е R, жо и Ж2 — корни.
7) —ос <ж ^ — 1, 0^ж < +оо; жо и Ж2 — корни.8) ж ф0; Ж2— корень.
ж ф 1, Ж2— корень.10) ж = 1; Ж2 — корень.11)жф2; Ж2— корень.
ж ф 5; Ж2— корень.13) ж ф —5; Ж2 — корень.14)жЕ R; жх — корень.
ж Е R; жои жх — корни.
На ОДЗ уравнения левая его часть положительная и потому не может равняться ( — 1).
ОДЗ уравнения есть пустое множество.
Для любых ж из ОДЗ уравнения: Vж + 2 < ^ж + 3, т.с. на ОДЗ разность Vж + 2 — Vж + 3 отрицательна и потому нс может равняться двум.
Абсолютная величина любого числа не может быть отрицательным числом.
ОДЗ уравнения содержит единственное число ж = 1, которое нс является корнем этого уравнения.
3^ > 0 для любого действительного числа г.
ОДЗ уравнения есть пустое множество.
Так как |ж — 21 ф 0 и |ж — 3| ф 0, то |ж — 2| + |ж — 3| = 0 тогда и только тогда, когда одновременно ж — 2 = 0 и ж — 3 = 0, что невозможно.
Так как |ж2 +1| ф 1 и |ж2 + 4ж — 5| ф 0, то |ж2 +1| + |ж2 + 4ж — 5| = 1 тогда и только тогда, когда одновременно ж2 + 1 = 1 и ж2 + 4ж — 5 = 0, что невозможно.
Воспользоваться неравенствами sin ж ^ 1 и ж2 + 2ж + 4 = (ж +1)2 + 3 ф 3.
Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда одновременно выполняются равенства 2ж + 5 = 0 и ж + 2 = 0, что невозможно.
ОДЗ уравнения есть пустое множество.
На ОДЗ уравнения у/ж — 4 < — 2, ф—X — ж ф 0.
Воспользоваться неравенствами 2Ж +1 ф 2, 1 — ж2 1.
На ОДЗ уравнения фх + 5 ф V5, 10у/ж ф 0.
Для ж из ОДЗ уравнения ж + - < —2, фх + - < — ^2 < — 1.
хV х
На ОДЗ уравнения ^10 + 3 V^2 ™ 1 > 3, ж4 • V5 — ж ф 0.
9/ i \2 з з
Воспользоваться неравенствами ж" + ж + 1 = ( ж Ч— I + - ф -,
\2/44
ж" 4™ 2ж 4™ 3 — (ж 4™ 1)" 4™ 2 У 2, (ж" 4™ ж 4™ 1)(ж" 4™ 2ж 3) У — 4> 1.
4
ОДЗ уравнения есть пустое множество.
На ОДЗ уравнения log3(4 + ж2) > 1, log2(l (ж + З)2) < 0.
На ОДЗ уравнения
ж" + 1 4у 2,2 - Vx + 3 У 2,
ж2 + 1
log4 ( ж2 + 1 4— ) У log4 (2 - Уж + 3) <
\ж2 + 1/2'72
Значит, равенство имеет место тогда и только тогда, когда одновременно ж2 + 1 +
4— = 2 и 2 - Уж + 3 = 2, что невозможно.
ж2 + 1
ОДЗ уравнения есть пустое множество.
Так как на ОДЗ уравнения 2 + Уж > 2 и 1 + ж2 > 1, то log2 (2 + Уж) + + log2(l + ®2) > 1 + 0= 1 > 0.
На ОДЗ уравнения справедливо неравенство ж — 3 < ж + 6, а следовательно, и неравенство log1/з(ж — 3) > log1/з(ж + 6). Таким образом, левая часть исходного уравнения положительна, а правая отрицательна.
На ОДЗ уравнения 4 + ж2 > ж8 + 2 и потому log2(4 + ж2) > log2(ж8 + 2). Таким образом, левая часть исходного уравнения отрицательна, а правая положительна.
На ОДЗ уравнения Уб — ж + Уж — 2 > 0, а (ж — 1)2(ж — 6) < 0.
На ОДЗ уравнения его левая часть отрицательна.
ж = 5 — корень второго, но не корень первого уравнения.
ж = — 1 — корень второго, но не корень первого уравнения.
ж = — 1 — корень второго, но не корень первого уравнения.
ж = ^3 — корень первого, но нс корень второго уравнения.
ж = 0 — корень второго, но не корень первого уравнения.
ж = — — корень второго, но нс корень первого уравнения.
2
ж = 0 — корень первого, но нс корень второго уравнения.
Ж1 = 2, Ж2 = 3 — корни второго, но не корни первого уравнения.
ж = —5 — корень второго, но не корень первого уравнения.
ж = — 3 — корень второго, но не корень первого уравнения.
ж = —7 — корень первого, но не корень второго уравнения.
ж = — 3 — корень первого, но нс корень второго уравнения.
ж = ^2 — корень второго, но не корень первого уравнения.
ж = 0 — корень первого, но не корень второго уравнения.
ж = 1 — корень второго, но не корень первого уравнения.
ж = — 2 — корень второго, но нс корень первого уравнения.
ж = 2/3 — корень первого, но не корень второго уравнения.
ж = —5/2 — корень первого, но не корень второго уравнения.
ж = — 2/3 — корень первого, но не корень второго уравнения.
ж = — 4 — корень второго, но нс корень первого уравнения.
ж = 1 — корень второго, но не корень первого уравнения.
ж = три, и Е Z, п У 0, — корни первого, но не корни второго уравнения.
ж = ( —1)п—к тгп, и Е Z, п ф 0, — корни первого, но не корни второго
6
уравнения.
67) ж = — + тгп, и Е267) ж = — + тгп, и Е2ж = —4 — корень первого, но не корень второго уравнения.
67) ж = — + тгп, и Е
2
67) ж = — + тгп, и Е
2
Z, — корни первого, но не корни второго уравнения.
ж = — + тгп, п Е Z, — корни второго, но не корни первого уравнения.
ж = — + тгп, и Е Z, — корни первого, но не корни второго уравнения.
ж = —к тгп, п Е Z, — корни первого, но не корни второго уравнения. 2
ж = — + тгп, п Е Z, — корни второго, но не корни первого уравнения.
ж = 0 — корень второго, но не корень первого уравнения.
ж = — 1 — корень второго, но не корень первого уравнения.
ж = — 3 — корень второго, но не корень первого уравнения.
ж = —5 — корень второго, но не корень первого уравнения.
ж = — 4 — корень первого, но не корень второго уравнения.
ж = -зУз — корень второго, но не корень первого уравнения.
ж = 4 — корень второго, но не корень первого уравнения.
ж = 0 — корень второго, но не корень первого уравнения.
ж = 0 — корень второго, но не корень первого уравнения.
ж = 0 — корень первого, но не корень второго уравнения.
ж = 0 — корень второго, но не корень первого уравнения.
ж = — 1 — корень первого, но не корень второго уравнения.
ж = 0 — корень второго, но не корень первого уравнения.
ж = 1 — корень второго, но не корень первого уравнения.
ж = 0 — корень первого, но не корень второго уравнения.
ж = 1 — корень первого, но не корень второго уравнения.
88)-104). В задачах 88—104, как это легко проверить, множества решений первого и второго уравнений совпадают.
Второе. 106) Первое. 107) Второе. 108) Уравнения равносильны. 109) Второе. ПО) Первое. 111) Уравнения равносильны. 112) Второе. 113) Уравнения равносильны. 114) Первое. 115) Второе. 116) Второе.
Никакое из уравнений не является следствием другого.
Второе. 119) Первое. 120) Второе. 121) Второе. 122) Второе. 123) Первое. 124) Второе. 125) Да. 126) Нет. 127) Нет. 128) Да. 129) Нет. 130) Да. 131) Да. 132) Да. 133) Нет. 134) Да. 135) Да. 136) Нет. 137) хЕ R.
142) ж = 1, ж > 2, ж ^ - + тгп,142) ж = 1, ж > 2, ж ^ - + тгп,—сю < ж —2VX 2V^ ж < +сю. 139) ж > 3.140) 1 < ж <
142) ж = 1, ж > 2, ж ^ - + тгп,
142) ж = 1, ж > 2, ж ^ - + тгп,
< 3, ж > 3.141) — 1 < ж < 0, 0 < ж < +сю.
•п = 1,2,3,...•п = 1,2,3,...143) ж = 1, ж 3.143) ж = 1, ж 3.0 < ж < 1, ж У —, ж У —.
•п = 1,2,3,...
•п = 1,2,3,...
143) ж = 1, ж 3.
143) ж = 1, ж 3.
1515
146) ж У — п, п Е Z.2146) ж У — п, п Е Z.2—сю < ж ^ —4, — 2 < ж < 0, 0 < ж < +сю.
146) ж У — п, п Е Z.2
146) ж У — п, п Е Z.2
ж ф — — + тгп, и Е Z. 148) 1 < ж < +оо. 149) 2тгп У ж ^ — + 2тгп,
'4''2
и Е Z.
Пустое множество. 151)Да.152)Да.153)Да.154)Да.155)Нет.
Нет. 157) Да. 158) Да/ 159) Да. 160) Да. 161) Нет. 162) Да. 163) Нет. 164) Да. 165) Да.
§2
1)0;2. 2)1. 3)-V3,-1,1,СЗ. 4)-1. 5) -. 6)3. 7)-6. 8)—. ■29
-;4. 10)1;3.11)-1;-.12)0;2. 13)-3; - 7—; 7—; 3.14)-5;
43V 3 V 3
—ЗуД 3V2; 5.15) 2; 4.16) -V14; V14.17).18) —.19)2.
516
2. 21) 2. 22) -^. 23)1. 24) 2. 25) -^. 26) log3 |. 27)3. 28)—2;0. 29)-1;1. 30)-УТ5;УТу 31)—1;5. 32) -3. 33) Нет решений. 34)-Уб;-1; 1; Уб. 35)—1;1. 36)-3; 2.
— 1; 1.Указание. Представив левую часть уравнения в виде (ж + 1) х х (ж + 4) (ж + 2) (ж + 3) = (ж2 + 5ж + 4) (ж2 + 5ж + 6), ввести новую неизвестную z = ж2 + ж + 4.
---—; --±—.39) 4; 9.40)-6; 6.41)-4; 4.42)-7; 7.
22'‘'
43)3;81. 44)16;512. 45)81. 46)log34. 47)2. 48)log0 3 3. 49)log0 44.
50) 2 — log2 3.51) 2 + log5 3. 52) 2 - log6 2.53) —; 5.54)— ;81.
5y5УЗ
55)—; 8. 56)2. 57) 1. 58) 1.59) 9; 81. 60)1; 2. 61)-; 4. 62)1; 9.
"4
3-7/2’3-7/2’63)1.64)0. 65)0.66)—2; — 1; 1.67)0; 2.68) -
3-7/
2’
3-7/
2’
В примерах 69-72 сначала подобрать целые корни.
69)-3;-;1. 70) —-;1;2;3. 71)-2;-1; -i; 1. 72)1;2;3. 73) 1 ™
22'2'2
1-х^. 0. 1 +V2. 1 +УЗ
2’ ’2’2
—2; — УЗ; —1; 1; V^; V^. Обозначив ж2 = у, переписать левую часть уравнения в виде -?/3 — 8-?/2 + 19т/ — 12 = (-у — l^-y — 2)(у — 3).
3 + V29. 3-V29. 3+ V25 + 4V30. 3- V25 + 4V30. 3 4 С25у4^.
2’2’2’2’2’
3 - V25 - 4х/зб „
. Преобразовав произведение
2
(ж2 + Зж + 2)(ж2 — 9ж + 20) = (ж + 1)(ж + 2)(ж — 4)(ж — 5) =
= (ж + 1)(ж — 4) • (ж + 2)(ж — 5) = (ж2 — Зж — 4)(ж2 — Зж — 10), получим, что данное уравнение можно переписать в виде
(ж2 - Зж + 1)(ж2 - Зж - 4)(ж2 - Зж - 10) = -30.
Обозначив ж2 — Зж — 4 через г, получим уравнение (г + 5)г(г — 6) = —30, которое можно переписать в виде (г — 1)(г2 — 30) = 0.
§3
— 3; 3.2) 3.3) Нет решений. 4) Нет решений. 5) 3.6) 18/11.
7) —4; 0.8) Нет решений. 9)—2.10)0;3.11)2.12) 0; 1.
19. Р с ш с н и с. Область допустимых значений уравнения состоит из всех ж, удовлетворяющих условию ж + 6 ^ 0, т.е. ж ^ — 6. Разобьем ОДЗ на два множества —6 < ж < — 1 и ж > — 1. В области —6 < ж < — 1 левая часть исходного уравнения неотрицательна, а правая отрицательна. Значит, в этой области уравнение решений нс имеет. Во второй области обе части исходного уравнения положительны и, значит, оно равносильно уравнению 4 (V^ + б)" = = (ж + I)2, т.е. уравнению ж2 — 14ж — 95 = 0. Корнями этого уравнения являются жх = 19 и Ж2 = —5. Из них в область ж ^ — 1 входит только корень ж = 19, который и является единственным решением исходного уравнения.
14)2.15)1.16)3.17)3.18)-2.
—3; 2. Решение. Область допустимых значений уравнения состоит из всех ж, удовлетворяющих условию ж2 + ж — 2 > 0, т.е. ОДЗ состоит из двух промежутков — сю < ж ^ — 2 и 1 ^ ж < +сю. Перепишем уравнение в виде (ж + 1)( V^2 + ж — 2 — 2) = 0. На ОДЗ это уравнение равносильно совокупности уравнений ж + 1 = 0 и V^2 + ж — 2 = 2. Решение первого из уравнений этой совокупности есть ж = — 1. Легко видеть, что это значение нс входит в ОДЗ исходного уравнения и поэтому нс является его решением. Уравнение у/ж2 + ж — 2 = 2 на ОДЗ равносильно уравнению ж2 + ж — 2 = 4. Это уравнение имеет корни ж = 2 иж = —3. Оба этих корня входят в ОДЗ исходного уравнения и, следовательно, являются его решениями.
20)-6; 7.21)-3/4; 2.22)4.
1. Решение. ОДЗ данного уравнения состоит из всех ж, удовлетворяющих условию ж > 1. Перепишем уравнение в виде
^2ж — 1 + у/ж =+ 3 + У2ж — 2.
Так как на ОДЗ обе части полученного уравнения неотрицательны, то оно равносильно уравнению
2 ж — 1 4" 2 у/ж(2ж — 1) + ж = ж + 3 + 2ж — 2-4- 2 у/ (ж -4- 3) (2ж — 2)
или уравнению
у/ж(2ж — 1) = 1 + V (ж + 3)(2ж — 2).
Так как обе части этого уравнения на ОДЗ неотрицательны, то возводя обе его части в квадрат, получим уравнение
ж(2ж - 1) = 1 + 2Ц(ж + 3)(2ж — 2) + (ж + 3)(2ж - 2), равносильное исходному уравнению на его ОДЗ. Перепишем последнее уравнение в виде
2Щж + 3)(2ж - 2) = 5 - 5ж.(1)
Так как на ОДЗ 5 — 5ж ^ 0 и 2Ц(ж + 3)(2ж — 2) ^ 0, то единственное возможное решение уравнения (1), а значит, и исходного есть ж = 1.
0. Р с ш с н и е. Область допустимых значений этого уравнения состоит из всех ж, удовлетворяющих неравенству 1 — ж2 0, т.с. ОДЗ есть множество — 1 < ж < 1. Перенося радикал -\/1 — ж2 из левой части уравнения направо и приводя получившиеся там выражения к общему знаменателю, получим на ОДЗ следующее тождество:
Ж2™ Ж2 + V1 ~ Ж2 + (1 ~ ж2)1 + V1 ™ ж2
1 + уН Ж21 + уН ™ Ж21 + уН — Ж2
Таким образом, исходное уравнение равносильно на множестве 1 ж 1 уравнению (ж + I)2 = 1 или уравнению ж2 + 2ж = 0. Последнее уравнение имеет два корня жх = —2 и ж2 = 0. Из них в ОДЗ исходного уравнения лежит только ж2 = 0, которое и является единственным решением исходного уравнения.
-4; 3.26) -3; 2.27) -2; 0.
28)4. 29) -3.30) 10.31) 3.32)2.33) 1.
2. Решение. Область допустимых значений исходного уравнения состоит из всех ж, удовлетворяющих условиям ж2 — 3 > 0 и 6ж — 10 > 0, т.е. ОДЗ есть промежуток V3 < ж < +оо (поскольку 5/3 < V3). На этой области исходное уравнение равносильно уравнению
log2(ж2 - 3) = log2log2(ж2 - 3) = log2|(6ж - 10)|(6ж - 10)
log2(ж2 - 3) = log2
log2(ж2 - 3) = log2
|(6ж - 10)
|(6ж - 10)
Потенцируя его, получаем уравнение (ж2 — 3) = Зж — 5, равносильное исходному уравнению на промежутке ж > Уз. Последнее уравнение имеет два корня жх = 2 и ж2 = 1. Из них в промежуток ж > Уз (т.с. в ОДЗ исходного уравнения) входит только жх = 2. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень жх = 2.
—2. Решение. ОДЗ уравнения состоит из всех ж, удовлетворяющих
ж
одновременно условиям > 0 и > 0, т.с. ОДЗ состоит из двух промс- 1 — ж21 — ж2
жутков 0<ж<1иж<—l.Ha ОДЗ исходное уравнение равносильно уравнению
log2 — = —2 или уравнению — = -. Решениями этого уравнения являются ж i =
"ж2ж2 4
= 2 и ж2 = — 2. Значение ж = 2 не входит в ОДЗ исходного уравнения и, значит, исходное уравнение имеет единственное решение ж = — 2.
/91
10 ; —. Решение. Область допустимых значений исходного уравнения
10
состоит из всех ж, удовлетворяющих условию ж > 0. На этой области это уравнение равносильно уравнению
21g2 ж + 2(1 - V2) 1g ж - 2V2 = 0.
Поскольку квадратное уравнение
2у2 + 2(1 - V2)y - 2V2 = О
имеет корни yi = V2 и у 2 = — 1, то исходное уравнение равносильно на своей ОДЗ совокупности уравнений 1gж = V2 и Iga: = — 1. Первое из этих уравнений имеет решение ж = 10^. Второе уравнение имеет решение ж = 1/10. Оба эти числа удовлетворяют условию ж > 0 и поэтому являются решениями исходного уравнения.
37)3^; 9.38) 5^; 25.
5. Решение. Область допустимых значений данного уравнения состоит из всех ж, одновременно удовлетворяющих условиям ж — 2 > 0, 2ж — 1 > 0, т.с. ОДЗ имеет вид ж > 2. Так как на ОДЗ
3logger - 2) = log2(® - 2) = I log2(ж - 2)2
И
log2 V2ж — 1 = - ^2(2ж — 1),
то на множестве ж > 2 исходное уравнение равносильно уравнению
log2(a; - 2)2 = log2(2ж - 1).
Последнее уравнение на области ж > 2 равносильно уравнению
(ж - 2)2 = 2ж - 1.
Переписав это уравнение в виде ж2 — 6ж + 5 = 0, найдем его корни Ж1 = 1 и Ж2 = 5. Из этих чисел в область ж > 2 входит только ж 2 = 5. Следовательно, ж2 = 5 является единственным корнем исходного уравнения.
40)-1. 41)0.
3
Решение. Область допустимых значений уравнения состоит из
всех ж, удовлетворяющих условиям ж 3— >0, ж — 1 > 0, ж + - > 0, т.с. ОДЗ
22
есть промежуток 1 < ж < +оо. На этой области исходное уравнение равносильно уравнению
/ /1 \2 \\\
1g И ЖJ I = lg ( 2 ( ж + - 1 (ж - 1) 1 .
// 5\
Потенцируя его, получаем уравнение I ж + у 1 = 2 1ж + -1(ж — 1), равносиль
ное исходному на области 1 < ж < +ос. Последнее уравнение имеет два корня жх = 3/2 и ж2 = —7/2. Из них в область 1 < ж < +оо входит только жх = 3/2. Значит, исходное уравнение имеет единственный корень ж = 3/2.
1.44)2.45)-9.46)8.47) \ —•48)1;—.49)1; 2;—.
''V 9'9
3 _ д/13 11 — V29
-;. Решение. Для освобождения от знака абсолютной
22
величины разобьем числовую ось на две области: первую, в которой ж — 30, и
вторую, в которой ж — 3 < 0 и будем искать решения исходного уравнения в каждой из этих областей отдельно.
илиилиВ первой области |ж — 3| = ж — Зи исходное уравнение перепишется так:ж2 + 4(ж — 3) — 7ж + 11 = О,
или
или
ж2 — Зж — 1 = 0.
Решениями этого уравнения являются жх =Решениями этого уравнения являются жх =3 +V1323 +V132И Ж2И Ж2. Из этих 2. Из этих 2значений только значение жх =значений только значение жх =3 +23 +2удовлетворяет условию ж — 3 ^ 0 иудовлетворяет условию ж — 3 ^ 0 и
Решениями этого уравнения являются жх =
Решениями этого уравнения являются жх =
3 +V13
2
3 +V13
2
И Ж2
И Ж2
. Из этих 2
. Из этих 2
значений только значение жх =
значений только значение жх =
3 +
2
3 +
2
удовлетворяет условию ж — 3 ^ 0 и
удовлетворяет условию ж — 3 ^ 0 и
из которых условию ж — 3 < 0из которых условию ж — 3 < 0поэтому оно является решениемпоэтому оно является решениемисходного уравнения являются Жхисходного уравнения являются Жх-1 + V5. -9- V532’2-1 + V5. -9- V532’253) - оо < ж < -.54)53) - оо < ж < -.54)55 +V53. 1 - УТз~2’2'оо < ж —.55) —6; 2.755 +V53. 1 - УТз~2’2'оо < ж —.55) —6; 2.756) 1.56) 1.
из которых условию ж — 3 < 0
из которых условию ж — 3 < 0
поэтому оно является решением
поэтому оно является решением
исходного уравнения являются Жх
исходного уравнения являются Жх
-1 + V5. -9- V53
2’2
-1 + V5. -9- V53
2’2
53) - оо < ж < -.54)
53) - оо < ж < -.54)
55 +V53. 1 - УТз
~2’2'
оо < ж —.55) —6; 2.
7
55 +V53. 1 - УТз
~2’2'
оо < ж —.55) —6; 2.
7
56) 1.
56) 1.
поэтому является решением исходного уравнения.
Во второй области |ж — 31 = —(ж — 3) и исходное уравнение перепишется так: ж2 - 11Ж + 23 = 0.
ц д/2911 — V29
Полученное квадратное уравнение имеет два корня ж 1 = иж2 =
22
удовлетворяет лишь значение ж 2 = , и
исходного уравнения. Следовательно, решениями
3 + V1311-^29
И Ж 2 =
§4
9) 3.15) 4.22) 1.9) 3.15) 4.22) 1.1)2.2)-2; 2.3)1.4)1.5) -1; 1.6)-2; 2. 7)1.8)4.
9) 3.
15) 4.
22) 1.
9) 3.
15) 4.
22) 1.
Нет решений. 11) —3.12) 1.13) Нет решений.14) —5; 0.
-1.17)—2;—1;2.18)4.19) V5 - 1. 20) 1 +21) -5.
23) 5. 24) 2.25) 2.26) —3. Решение.l + lg(l +23) 5. 24) 2.25) 2.26) —3. Решение.l + lg(l +2
23) 5. 24) 2.25) 2.
26) —3. Решение.
l + lg(l +
23) 5. 24) 2.25) 2.
26) —3. Решение.
l + lg(l +
Заменим данное уравнение уравнениемж2 — 2ж) — lg(l + ж2) = lg(l — 2ж + ж2),
являющимся следствием исходного уравнения. Следствием этого уравнения является уравнение
lg(l + ж2) = 1,
решениями которого являются два числа жх = — 3 и ж2 = 3. Поскольку в процессе решения применялась формула 2 lg(l — ж) = lg(l — ж)2 и уничтожение противоположных членов, то необходима проверка. Проверка показывает, что ж2 = ™3 является единственным решением исходного уравнения.
27)2. 28) V2.29)3.
2. Решение. Потенцируя данное уравнение, получаем уравнение
Зж - 8 = 3Зж - 8 = 32 —ж2 —ж(1)(1)
Зж - 8 = 3
Зж - 8 = 3
2 —ж
2 —ж
(1)
(1)
Умножая это уравнение на Зж и учитывая, что Зж ^ О для любого ж, получим, что уравнение
32ж - 8 • Зж - 9 = О
равносильно уравнению (1). Поскольку корнями уравнения t2 8t 9 = 0 являются числа ti = — 1 и ^2 = 9, то уравнение (1) равносильно совокупности уравнений
Зж = -1 и Зж = 9.
Первое уравнение этой совокупности корней нс имеет, так как (—1) нс принадлежит множеству значений показательной функции. Второе уравнение имеет единственный корень Ж1 = 2. Итак, уравнение (1) имеет единственный корень жх = 2. Все корни исходного уравнения содержатся среди корней уравнения (1), ибо при потенцировании уравнения нельзя было потерять корни, но можно было приобрести посторонние. Поэтому ни одно число, отличное от 2, нс является корнем исходного уравнения. Подставляя ж = 2 в исходное уравнение, находим, что левая и правая его части обращаются в нуль, т.с. ж = 2 является его корнем.
0.32) 3.33) 4.34) Нет решений. 35) Нет решений. 36) — 1.
37) Нет решений. 38)2.39)6.40) 3.41) 5.42)4.
— 1. Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению
V2ж2 + 8ж + 7 = 2 + ж.
Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим уравнение
2®2 + 8® + 7 = ж2 + 4® + 4.(2)
Все корни исходного уравнения являются корнями уравнения (2), но нс обязательно все корни уравнения (2) будут корнями исходного уравнения. Поэтому после нахождения корней уравнения (2) из них надо отобрать те, которые будут корнями исходного уравнения. Квадратное уравнение (2) имеет корни жх = — 1 и Ж2 = —3. Подставляя эти корни в исходное уравнение, получаем, что жх = — 1 является его корнем, а ж2 = ™3 нс является его корнем. Следовательно, исходное уравнение имеет один корень жх = — 1.
1.45)—1.46) 1.
— 1; 4. Решение. Область допустимых значений состоит из всех ж,
17 удовлетворяющих условию 16ж + 17 ^ 0, т.с. ОДЗ есть промежутокж < 16
< +сю. Перепишем исходное уравнение в виде
(® + 1) (V16®- 17 - 8® + 23) = 0.(3)
Это уравнение равносильно на ОДЗ совокупности уравнений
ж + 1 = 0 и V16ж + 17 = 8ж — 23.
Решение первого уравнения этой совокупности есть жх = — 1 Это число входит в ОДЗ исходного уравнения и, следовательно, является его решением. Возведя второе уравнение в квадрат, получим уравнение
16® + 17 = (8® — 23)2.(4)
Корни второго уравнения совокупности (3) содержатся среди корней уравнения (4), но нс обязательно все корни уравнения (4) будут корнями второго уравнения совокупности (3). Поэтому после нахождения корней уравнения (4) надо отобрать тс из
них, которые будут корнями второго уравнения из (3). Уравнение (4) можно переписать в виде ж2 — 6ж + 8 = 0. Корнями этого уравнения являются ж2 = 4 и ж3 = 2. Проверка показывает, что только ж2 = 4 является решением второго уравнения совокупности (3). Так как ж2 входит в ОДЗ исходного уравнения, то ж2 является корнем исходного уравнения. Итак, исходное уравнение имеет два корня Ж1 = — 1 и ж2 =4.
-2;3.
1. Решение. Возведя данное уравнение в квадрат, получим уравнение
Зж + 2 — 2V^ + 3^2ж — 1 = Зж — 2,
которое можно переписать в виде
(5)(5)+ 3^2ж — 1 = 2.
(5)
(5)
Все корни исходного уравнения являются корнями уравнения (5), но не обязательно все корни уравнения (5) будут корнями исходного уравнения. Возведя уравнение (5) в квадрат, получим уравнение
(ж+ 3)(2ж1) = 4,
которое можно переписать в виде
(6)(6)2ж2 + 5ж - 7 = 0.
(6)
(6)
Все корни уравнения (5) являются корнями уравнения (6), но не обязательно все корни уравнения (6) будут корнями уравнения (5). Квадратное уравнение (6) имеет два корня Ж1 = 1 и ж2 = —7/2. Следовательно, все корни исходного уравнения содержатся среди этих чисел. Проверкой убеждаемся, что значение Ж1 = 1 является решением исходного уравнения, а значение ж2 = — 7/2 не является. Следовательно, исходное уравнение имеет один корень жх = 1.
-1.51) 6.52) 2.53) 0; ^2.54) 5.55) 2.56) Нет решений.
3.58) — 3; 0.59) —1; 1.60) — 3; —1.61) 1.62) Потерян корень ж =
= — 1.63) Потерян корень ж = 3.64) Потерян корень ж = —4.65) Потерян
корень ж = .66) Потерян корень ж = 1.67) Потерян корень ж = 1.
2''
Потерян корень ж = — 1. 69) Потерян корень ж = —3. 70) Потерян корень ж = 0.71) Потерян корень ж = 0.72) Потерян корень ж = — 2.73) Потерян
корень ж = — 3.74) Потерян корень ж = 0.
§5
тг тт „- + —, п Е Z.82тг тт „- + —, п Е Z.82. тг2тг4тт „
тг тт „
- + —, п Е Z.
82
тг тт „
- + —, п Е Z.
82
±1, п Е Z.
'15155
. ТГ„ _,. 21 COS 2Ж
±—р тт, п Е Z. Решение. Используя формулу sin ж =
1 — cos 2ж 3_1
данное уравнение можно переписать в виде = - или cos 2ж = —
242
Решая последнее уравнение, находим 2ж = ±7—р 2тгп, п Е Z или ж = ±—h тгп, 33
п Е Z.
7Г , ТГП—7Г ТГП„, ТГП—„,1,
—|, a G Z.5) —I, a G Z.6) —I, a G Z.7) arctg 4™
'4242'42^3
+ тгп, n G 8) ± - + тгп, п G Z. 9) п Е Z; - + k Е Z. 6263
10) ( —1) —I, п Е Z. 11) ( —1)1, п Е Z. 12) ( —1)h хп,
6248844
„,X7ГП„л 7m_л 7Г7m_
a Е Z.13) хЕ R. 14) —|, a Е Z.15) —, ti Е Z.16) —I, ti Е Z.
'82322
Z + ^ п Е z. 18) ± ™ + xn, п Е Z. '423
7ГП2тгтт-т
— + —, а Е Z; ± — 4, та Е Z. Решение. Перепишем исходное
6393
уравнение в виде
созЗж • (2созЗж ™ 1) = 0,
откуда следует, что оно равносильно совокупности уравнений
cos Зж = 0 и cos Зж = -.
2
7Г 7vk
Решениями первого уравнения этой совокупности являются ж = —|, к Е Z.
63
тг2 тт
Решениями второго уравнения являются ж = ±—4 -—, п Е Z.
93
ХП1 \। ЛТП,
—, ti Е Z; (— 1) — -4", та Е Z.
5205
тгп, а Е Z; ± —h 2тгш, та Е Z. Решение. Используя формулу синуса 6
двойного угла, исходное уравнение можно записать в виде
sin ж • I cos ж) = 0.\2 /
Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений
sin ж = 0 и cos ж = —,2
первое из которых имеет решение ж = тгп, п Е Z, а второе — решение ж = ± —h 6
+ 2тгш, та Е Z.
( 1 \7f
тгп, а Е Z; ± arccos —+ 2тгА;, к Е Z. 23)h хп, п Е Z;
\ 3 /2
/1 \ m/3 \—
( —1) arcsin — + тгтп, та Е Z.
V 4/
При решении примеров 24-26 применить формулы
1 — cos а = 2 sin —;1 + cos а = 2 cos —.
22
4тгп, а Е Z;h 4тгт, т Е Z.
12тгп, п Е Z; —Зтг + бтгт, та Е Z. 26) бтгп, а Е Z; Зтг + 12тгт, та Е Z. При решении примеров 27-37 применить формулы
sin а + sin р = 2 sincos,
22
sin а — sin р = 2 sincos,
22
а + /3 а - 3
cos а + cos р = 2 coscos,
22
о о . а + /3 . а - 3
cos а — cos р = — 2 sinsin.
22
тгкт. „пп „ тг пт „
—р тгп, а Е Z;1, та Е Z. 28) —, а Е Z;1, та Е Z.
21684147
—|, n Е Z; ± — + 2тгт, га Е Z. Решение. Используя формулу
423
суммы косинусов двух углов, исходное уравнение можно переписать в виде
2 cos 2ж • cos ж + cos 2ж = 0
или в виде
cos 2ж(2 cos х + 1) = 0.
Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений
cos 2ж = 0 и cos ж = — -.
2
Первое уравнение имеет решения ж = —|, k Е Z.
Второе уравнение имеет решения ж = ±2—р 7—т Е Z.
тг тт „ , тгпт „
— + — n Е Z\ + — +, та Е Z.
63122
тгп, а Е Z;та Е Z.
244
™n, а Е Z; ± ™ + 2тгш, та Е Z.
43
^ТГТ)тг
™—, n Е Z; ± —h 2тгш, m Е Z.
34
™ + тгп; n Е Z. Решение. Применяя к левой части уравнения формулу
4
разности синусов, получим уравнение
_ . /5тг \/тг \/тг \
2 sincos ж 4— = cos ж 4— ,
\12 /V4 /V4 /
или уравнение
/. 5тг\ / тг \„
+ 2 sin — cos ж 4— = 0.
\12 / V 4 /
Так как sin — > 0, то 1 + 2 sin — ф 0 и, значит, исходное уравнение равносильно такому:
cos I ж + — | = 0.V 4/
Отсюда находим, что ж + — = — + тгп, n G Z, т.е. ж = — + тгп, n G Z.
424
— + тгп, п G Z.36) — — + тгп, п G Z.
44
—, п Е Z; ± — + 2тгш, т Е Z. Решение. Перепишем уравнение в
23
виде
5 (sin ж + sin Зж) + 6 sin 2ж + sin 4ж = 0.
Применив формулу суммы синусов к первому слагаемому и формулу синуса двойного угла к третьему слагаемому, перепишем исходное уравнение так:
10 sin 2ж cos ж + 6 sin 2ж + 2 sin 2ж cos 2ж = 0.
Это уравнение равносильно совокупности уравнений
8ш2ж = 0 и 5 cos ж + 3 + cos 2ж = 0.
Первое уравнение имеет серию решений ж = —, k Е Z. Применив формулу
2 косинуса двойного угла, второе уравнение перепишем так:
5 cos ж + 3 + 2 cos2 ж — 1 = 0.
Это квадратное относительно cos ж уравнение. Оно равносильно совокупности уравнений
СО8Ж = —- И СО8Ж=—2.
2
2тг
Уравнение cos ж = — имеет решения ж = ±h 2тгА:, к Е Z. Уравнение cos ж = 23
= — 2 решений не имеет. Следовательно, решения исходного уравнения составляют две серии:
ж = —, п Е Z^ и ж = ± — + 2тгк, к Е Z.
3
При решении примеров 38—41 применить формулы
.. „ cos(a — В) — cos(o + В)
sin а • sin р = :-,
2
„ cos(q — В) + cos(o + /3)
cos а • cos р = --,
2
.sin(o + /3) + sin(a - /3)
sin а • cos В = .
2
38)1 + ^,nG z. 39) - - +тгп, п G Z.
634
- + —, п G Z. 41) ± - + — + тгп, п G Z.
84636
При решении примеров 42-44 применить формулы
cos(a ± /3) = cos a cos /3 =р sin а sin /3,
sin(a ± /3) = sin а cos/3 ± cos а sin/3.
2тгп, n G Z. 43) 2тгп, п Е Z. 44) 2тгп, п Е Z.
При решении примеров 45^19 применить метод введения дополнительного угла.
— + тгп, п Е Z; — + тгт, т Е Z. Р е ш е и и е. Умножив обе части данного
412
1
уравнения на его можно переписать следующим образом:
sin 2ж — - cos 2ж =?
222
или, пользуясь формулой для синуса разности двух углов, в виде
•7г\V3
sin 2ж= :
\6 /2
7Г/х Т)Г7/ -а \ Т?^'Г7
откуда 2ж= ( —1)Р тгп, n Е Z, или ж =Р (™1)1, п Е Z.
631262
__ 5тг
Следовательно, исходное уравнение имеет две серии решении: ж =р тгт,
т Е Z, и ж =Р тгп, п Е Z.4. 7Г . 7Г2тГП—— ±1, пЕ Z.18123т Е Z, и ж =Р тгп, п Е Z.4. 7Г . 7Г2тГП—— ±1, пЕ Z.1812327ГПР, п20527ГПР, п205Е Z. ^™P—snEZ.’ 162Е Z. ^™P—snEZ.’ 162
т Е Z, и ж =Р тгп, п Е Z.4
. 7Г . 7Г2тГП—
— ±1, пЕ Z.
18123
т Е Z, и ж =Р тгп, п Е Z.4
. 7Г . 7Г2тГП—
— ±1, пЕ Z.
18123
27ГП
Р, п
205
27ГП
Р, п
205
Е Z. ^™P—snEZ.’ 162
Е Z. ^™P—snEZ.’ 162
arcsin49) (-l)n+1arcsin49) (-l)n+1arcsinarcsin6666+ —, tl Е Z.6+ —, tl Е Z.6
arcsin
49) (-l)n+1
arcsin
49) (-l)n+1
arcsin
arcsin
6
6
6
6
+ —, tl Е Z.
6
+ —, tl Е Z.
6
50) ( —l)n+1 arcsin - + тгп, n E Z.50) ( —l)n+1 arcsin - + тгп, n E Z.51) ™ + —, n E Z; 'к + 2тгт, m E Z.4251) ™ + —, n E Z; 'к + 2тгт, m E Z.42
50) ( —l)n+1 arcsin - + тгп, n E Z.
50) ( —l)n+1 arcsin - + тгп, n E Z.
51) ™ + —, n E Z; 'к + 2тгт, m E Z.
42
51) ™ + —, n E Z; 'к + 2тгт, m E Z.
42
тгп, n E Z: ( — 1)—I, m E Z.
62
тгп„ тст „ , ,„
— -p —, n G Z\ , та E Z\ тгАр A: G Z. 843
При решении примеров 54-61 применить формулы cos 2ж = 2 cos2 ж ™ 1, cos 2ж = 1 — 2 sin2 ж.
± arccos I ) + 2тгп, n Е Z. Решение. Воспользовавшись
\6/
формулой cos 2ж = 2 cos2 ж — 1, исходное уравнение перепишем в виде3 cos2 ж + cos ж — 3 = 0.
Так как квадратное уравнение Зт/2 + у — 3 = 0 имеет корни yi = (—1 + V37)/6 и^2 = ( —1 — V37)/6, то исходное уравнение равносильно совокупности уравненийСО8Ж = ( —1 + V37)/6 и cos ж = (-1 - С37)/6.
Решениями первого уравнения этой совокупности являются
ж = ± arccos (—12ттк, к Е Z.
\6/
Второе уравнение решений не имеет, так как | cos а| 1 для любого действительного а, а (—1 — V37)/6 < — 1. Следовательно, решениями исходного уравнения ЯВЛЯЮТСЯ/ । ^/ q у \
ж = ± arccos I ™ I + 2тгк, к Е Z.
V 6/
1
( —l)n arcsinh тгп, п Е Z.
4
V2 — 17г
± 2 arccosh 4тгп, п Е Z. 57) ±4 2тгп, п Е Z.
23
... _ /. \ ТГ ТГ П_ 2/\1 /2
( —1)1, п Е Z. 59) - • ( —1) arcsin1—тт, п Е Z.
122343
V2 - 2
± 8 arccosh 16тгп, п Е Z.
2
± — + тгп, п Е Z.62) —, п Е Z; ± — + тгт, m Е Z.
326
ТГТГП„ ,Л ЛТП„
— 4" —, п Е Z} (—1) — -Г, тп Е Z.
63183
—, n Е Z; ± ™ + тгт, m Е Z.
212
тг + 2тгп, тг Е Z. 66) ™ + тгп, тг Е Z.
’ 2
х тг 85тг 8„7тг, , ,„
6?)1—тгп, п Е Z;1—тгтп, m Е Z;h 4тг^, к Е Z.
631836
, —хЗтгп „ ,Зтг бтг^ ,„
ТГ 4, п Е Z; (-1Г+ •1, к Е Z.
2105
тг тгп( —1)т. 3 ттг
— + —, тг Е Z; — arcsin - +, m Е Z.
42242
™7гП) п Е Z; ™ ™ + лтп, m Е Z.
24
± ™ + тгп, п Е Z. 72) ( —1)п— + тгп, п Е Z; + тгтп, m Е Z.
364
тгп, п Е Z; ™ ™ + (—1)т- + тгт, m Е Z. 36
тгп, nG Z; - +i)m+1Z5 7ГШ; тп Е Z.
43
20 М.К. Потапов и др.
( —1)п — + 7гп, п Е Z. 76) ± — + 2тгп, п Е Z.
46
7гп ± arccos \ , п Е Z.
N 8
— + 7гп, п Е Z; — — + 2тгт, тЕ Z; — — 4- 2тг/, I Е Z. 266
7гп, п Е Z; ± - + 2тгт, тп Е Z.
6
(—1)п— + 7гп, п Е Z. Решение. Воспользовавшись тем, что cos2 - = 62
4- COS ж. 2/ 5тг \.
= , cos 2ж = 1 — 2 sin ж и cosж = sin ж, перепишем исходное
\ 2/
уравнение в виде
2 sin2 ж + 5 sin ж — 3 = 0.
21
Так как квадратное уравнение 2у + 5у — 3 = 0 имеет корни yi = - и у2 = —3, то 2
исходное уравнение равнозначно совокупности уравнений
sin ж = —3 и sin ж =
2
Первое из этих уравнений решений не имеет, так как |sina| ^ 1 для любого
действительного а. Решениями второго уравнения являются ж = (— 1)п — + тгп, п Е 6
Е Z. Следовательно,эти и только эти ж являются решениями исходного уравнения.
± - + 2тгп, nEZ. 82) ± — + 2тгп, п G Z. 33
—п, п Е Z. Решение. Поскольку cos2 Зж = 1 — sin2 Зж, то исходное 4
уравнение равносильно уравнению
sin2 ж — sin2 Зж = 0
или уравнению
(sin ж — sin Зж)(вшж + sin Зж) = 0.
Применяя формулы разности и суммы синусов, перепишем последнее уравнение в виде
4 sin ж cos 2ж • sin 2ж cos ж = 0.
Применяя формулу синуса двойного угла, перепишем это уравнение в виде (зш2ж)2 • соб2ж = 0.
Это уравнение равносильно совокупности уравнений
8ш2ж = 0 и соз2ж = 0.
Значит, множество решений исходного уравнения есть объединение множеств решений уравнений sin 2ж = 0 и cos 2ж = 0. Решениями первого уравнения являются ivk ,„ _7Г 7Г—
ж = —, k Е Z. Решениями второго уравнения являются ж = —|—т, тп Е Z. 242
Следовательно, решениями исходного уравнения являются две серии ж = —
2
к Е Z и ж =h , тп Е Z. Их можно записать в виде одной серии ре-
42
_7ГП„
шении: ж = —, п Е Z.
4
^7тпw2ттк,„
——, пЕ Z *,— — 2 + 7г?п,in Е Z*s—Е—Ч~—, кЕZ.
16841233
Решение. Воспользовавшись формулами синуса и косинуса половинного угла
.21 ™ COS 2а21 + COS 2q
sin a = , cos a = ,
22
перепишем исходное уравнение в виде
1 — cos(4 + 6ж) । 1 + cos (тг/2 Е 4ж)1 Е cos(4 — Юж) । 1 — cos (тг/2 — 12ж)
2222
или, после простых преобразований, в виде
8ш12ж — 8ш4ж = cos(4 — Юж) Е cos(4 + 6ж).
Применим к обеим частям получившегося уравнения формулы суммы косинусов и разности синусов. Тогда оно перепишется в виде
2 sin 4ж cos 8ж = 2 cos(4 — 2ж) cos 8ж, откуда видно, что оно равносильно совокупности двух уравнений
соз8ж = 0 и 8ш4ж = cos(4 — 2ж).(1)
Первое уравнение этой совокупности имеет решения ж = ^ + — ,ке Z. Второе уравнение можно переписать в виде
cos ( 4ж — — ) — cos(4 — 2ж) = 0\2/
или в виде
—2 sin | ж Е 2 - - J sin ( Зж ™™ 2 ) = 0.
V 4/\4/
Отсюда следует, что оно равносильно совокупности двух уравнений
sin | ж + 2 — — I = 0 и sin ( Зж — — — 2 ) = 0.\4/\4/
Решениями первого из уравнений этой совокупности являются ж = — — 2 + тгп,
„тг 2 тгт„ , ,
п Е Z, решениями второго являются ж =11, тп Е Z. множество ре-
1233
шений исходного уравнения является объединением множеств решений уравнений
совокупности (1), т.е. исходное уравнение имеет решения: ж = — + —, /г Е Z;
х =2 + тгп, п Е Z; х =11, тп Е Z.
41233
— + 5тгп, п G Z; —— + 5тгт, т Е Z; — — д 5тгА, k Е Z.
4123
Решение. Умножив обе части исходного уравнения на , перепишем его в виде
( XТГ \Уз.( XТГ \1 /./ х2тг \/ ЗжТГ \ \
- cossin= — sin 1— sin1—.
\512/2\512/V2 \\53/\56//
ТГ 1. ТГ V3„
Поскольку cos — = sin — = —, то, применив к левой части этого уравнения формулу для косинуса суммы двух углов, а к правой части — формулу для разности синусов двух углов, перепишем это уравнение в виде
/ ТГXК \2./ ТГж \/ 2ж5тг \
cos —I= — sincos1
\3512/V2\45/V 512/
или, поскольку sin || = cos I - + — |, ввиде
\45/\54/
( XТГ \2( XТГ \/ 2ж5тг \
cos —I— = — cos —I— cos1.
\54/V2\54/\ 512/
Последнее уравнение можно преобразовать так:
(х7г\ /.2/ 2ж5тг\\
cos —I—1cos1= 0:
у 54/ \V2\ 512 / /
отсюда следует, что оно равносильно совокупности двух уравнений
/22/22/ жтг \/ 2ж5тг
/2
2
/2
2
cos —I— = 0 и cos1
\54/\ 512
Первое из этих уравнений имеет серию решений ж = ™ Д- 5тгА:, к Е Z. Решая
4
второе уравнение, находим, что — + — = ±— д- 2тгп, п Е Z. Отсюда следует, что второе уравнение имеет две серии решений:
5тг , _„5тг _„
ж =h 5тгп, n Е Z] х =h отгт, т Е Z.
123
Значит, исходное уравнение имеет три серии решений:
5тг , _ т т „5тг „„5тг _„
х =h этгА:, к Е х =h Ьттп, п Е х =h отгт, т Е Z.
4123
тт „ тг тгт „
—, Ti Е Z*, — Д-, т G Z.
4328
7Г7ГП— ТГ тгт„
— 4" —, ti Е Zj — Д-, т Е Z.
12682
—, n G Z; - Д- тгт, m Е Z.89) тгп, п Е Z; ™ Д- т Е Z.
52189
тг 3 тт „1 тгт „ тг 1 -кк ,„
41, n е Я;1, m G Я;1,k Е Z.
4224122446
7Т13 X
±h тгп, nEZ; ± - arccos I) + тли, m Е Z.
62\ 4/
тг13 X
± —h тгК к Е Z; ± - arccos I — 2 ) + тгт, т Е Z.
62\ 5/
^(6к ± 1), к Е Z.94) ± — + 2тт, п Е Z. 95) ± — + тгп, п Е Z.
1264
± — + тгп, п Е Z. Решение. Выражение cos6 ж + sin6 ж запишем в виде 6
/2,• 2\/42• 2.• 4 \
(cos ж + sin ж) (cos ж — cos ж sin ж + sin ж) =
= (cos ж + sin ж)[(со8 ж + sin ж) — 3sin Ж COS Ж].
Тогда, так как sin2 ж + cos2 ж = 1, то данное уравнение равносильно уравнению
1• 221
— 3 sin ж cos ж = — cos 2ж.
82
Используя формулы sin2 ж = 1 — cos2 ж и cos 2ж = 2 cos2 ж — 1, перепишем это уравнение в виде
4929, х
cos жcos ж 4— = 0.(2)
48
299„33
Поскольку квадратное уравнение уу 4— = 0 имеет корни ух = - и ys = 4842
то уравнение (2) равносильно совокупности уравнений
323
cos ж = - и cos ж = -.
42
Уравнение cos2 ж = - решений не имеет, так как | созж| 1. Воспользовавшись
-2(1+cos2о)2
формулой косинуса половинного угла cos ауравнение cos ж =
= ” можно переписать в виде сов2ж = Отсюда 2ж =+ 2ттк, к Е Z, или
423^
ж =4™ ттк, к Е Z.
6
™(2п + 1), п Е Z. 98) ™+тгп, nEZ. 99) Нет решений. 100)™тг + 42
+ 2тгп, nEZ. 101) — ™ +тгп, п Е Z. 102) — ™ +тгп, п Е Z. 103) ™™+тгп, 4'44
nEZ. 104)2ттп,п Е Z;27rm^™,m Е Z;—^ттк,к Е Z. 105) Нет решений.36
тг1
106)arctg2+7rn, n Е Z; arctg 3+тгт, т 6 Z. 107) ™+тгп, n Е Z; arctg-+Trm, ' 42
m Е Z.
±h 2тгп, п Е Z. Решение. Область допустимых значений 4
исходного уравнения есть множество всех х, кроме х = irk, k Е Z. На этой области функция у (ж) = sin ж отлична от нуля. Поэтому, умножив данное уравнение на sin ж, получим уравнение
V5 sin2 ж + cos ж = 0,
равносильное исходному на его ОДЗ. Последнее уравнение можно переписать в виде
cos2 ж — cos ж —= 0.
/— 2/—/—д/2
Квадратное уравнение V2£ — £ — V2 = 0 имеет корни Н = у 2 и £2 =.
Поэтому исходное уравнение равносильно на своей ОДЗ совокупности двух уравнений
cos ж = у 2 и cos ж =.
2
Первое уравнение этой совокупности решений не имеет, так как V2 не входит в область
Зтт
значений функции у(х) = cos ж. Второе уравнение имеет решения ж = ±h 2тгп, '4'
n Е Z. Все они входят в ОДЗ исходного уравнения. Значит, все эти числа являются решениями исходного уравнения.
(—1)?г^ +ттп, п е Z.
НО) —I—т, т Е Z. Решение. Область допустимых значений дан™ 42
ного уравнения состоит из всех ж, удовлетворяющих неравенствам ж ^ ™ + тгк, 2
к Е Z. Функция у(х) = cos2 ж отлична от нуля на этом множестве. Умножая данное уравнение на cos2 ж и используя формулу sin2 х = 1 — cos2 ж, получим уравнение
8 cos4 ж + 2 cos2 ж — 3 = 0,(3)
равносильное исходному на его ОДЗ. Биквадратное уравнение 8£4 + 2£2 — 3 =
V2V2
= 0 имеет два корня £1 = — и £2 =. Поэтому уравнение (3) равносильно
22
совокупности двух уравнений
V2V2
cos ж = — и cos ж =.
22
Первое уравнение этой совокупности имеет две серии решений
ж =h 2тгп, п Е Z; х =h 2тгк. к Е Z.
44
Второе уравнение также имеет две серии решений
Зтт—Зтт
х =h 2тгр, р Е х =h 2ttq, q Е Z.
44
Все найденные корни принадлежат ОДЗ исходного уравнения. Поэтому все они образуют множество решений исходного уравнения. Очевидно, что это множество
можно записать в виде одной серии решений
тг тгт „
х =1, тп Е
42
± — + тгп, тг Е Z.
6
11ТГ
± - arccos —h тгп, тг Е Z;h 'ктп, тп Е Z.
23'2
± “ arccos - + ттп, n Е Z.
23
— — + 2тгп, п Е Z; 2тгт, тп Е Z. Решение. Область допустимых значе-
2
ний данного уравнения состоит из всех х, удовлетворяющих неравенству sin х ф 1.
На этой области уравнение равносильно уравнению
СО8Ж=1 — 81П Ж,
ИЛИ
2л
COS X — COS X = 0.
Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений
cos ж = О и cos ж = 1.(4)
Первое уравнение этой совокупности имеет решения ж =h тгп, n Е Z. Запишем эти решения в виде двух серий, когда тг — четное и когда тг — нечетное; соответственно имеем
хк = — + ‘bvK k Е Z, и ж^ = — + 7г(2А: + 1), к Е Z. '2'2
Для первой серии ж^ имеем sin ^— + 2тгА^ = 1, т.е. эти значения не входят в ОДЗ исходного уравнения. Для второй серии ж^ имеем sin ^ + тт(2к + 1)^ = — 1, т.е. эти значения входят в ОДЗ исходного уравнения и, значит, являются его решениями. Второе уравнение совокупности (4) имеет решения ж = 2тгт, тп Е Z. Все они входят в ОДЗ исходного уравнения и, значит, являются также его решениями.
Зтг
h 2 тгп, тг Е Z. 4'
116)™ + ™,/ 5n + 1, L тг Е Z. Решение. Область допустимых значений
205
исходного уравнения состоит из всех ж, удовлетворяющих условию cos 6ж ^ 0. Поскольку
cos 6ж = соб(4ж + 2ж) = cos 4ж • cos 2ж — sin 4ж • sin 2ж =
= (1 — 2 sin2 2ж) cos 2ж — 2 sin 2ж • cos 2ж • sin 2ж =
= соб2ж(1 — 4 sin2 2ж),
то на ОДЗ соз2ж ^ О, | зш2ж| - и | вш2ж| ^ 1. На ОДЗ исходное уравнение равносильно уравнению"
sin 4ж = cos 6ж
или уравнению
2 sin 2ж • cos 2ж — cos 2ж(1 — 4 sin2 2ж) = О,
которое можно переписать в виде
cos 2ж(2 sin 2ж + 4 sin2 2ж — 1) = 0.(5)
Так как на ОДЗ cos 2ж ф 0, то уравнение (5) равносильно на ОДЗ уравнению
4 sin2 2ж + 2 sin 2ж — 1 = 0.(6)
Поскольку квадратное уравнение 4z + 2^ — 1 = 0 имеет корни zi = и
4
™ 1 + V5_„
22 = , то уравнение (6) равносильно совокупности уравнении
4
44sin 2ж = 24sin 2ж = 24(7)(7)Так какТак какsin 2 ж =sin 2 ж =^ 1 и^ 1 и44^ 1, то любое решение^ 1, то любое решение
4
4
sin 2ж = 2
4
sin 2ж = 2
4
(7)
(7)
Так как
Так как
sin 2 ж =
sin 2 ж =
^ 1 и
^ 1 и
4
4
^ 1, то любое решение
^ 1, то любое решение
и тогда решения, найденные по формулам (8) и (9), можно записать соответственнои тогда решения, найденные по формулам (8) и (9), можно записать соответственно(8)(9)(8)(9)
и тогда решения, найденные по формулам (8) и (9), можно записать соответственно
и тогда решения, найденные по формулам (8) и (9), можно записать соответственно
(8)
(9)
(8)
(9)
совокупности уравнений (7) будет входить в ОДЗ исходного уравнения и поэтому будет являться его решением. Решение первого уравнения совокупности (7) есть серия
( —l)narcsin II
\4) 7ГП„
Ж1 =1, п Е Z.
22
Решение второго уравнения совокупности (7) есть серия
( —l)m arcsin ( ]
\4] тгтп„
ж 2 = -—I, т Е Z.
22
Можно доказать, что
(1) 13тг„17тг 7 7m тг .
в виде ж-: 7 =h тгп, п Е Z; xV =h тга, а Е Z и ж^ =Н тг/,
2020"20
I Е Z; х^ = ^ Zivk.k Е Z. Эти четыре серии решений, как легко видеть, можно
записать в виде одной серии ж =1, I ф Ьп + 1, Ц п Е Z.
205
тгп, п Е Z. Решение. Используя формулу tga = ^2Z^? перепишем cos а
исходное уравнение в виде
sinSa? sinSa?
cosЗж cos5ж
Освободившись в уравнении (10) от знаменателей, получим уравнение
sin Зж • cos 5ж = sin 5ж • cos Зж(11)
Все корни уравнения (10) являются корнями уравнения (И), но не обязательно все корни уравнения (11) будут корнями уравнения (10). Поэтому найдя корни уравнения (И) надо будет проверить, какие из них будут корнями уравнения (10). Перенеся все члены уравнения (11) в одну сторону и воспользовавшись формулой синуса суммы двух углов, получим, что уравнение (И) равносильно уравнению
sin 2ж = 0
или уравнению
2 sin ж cos ж = 0.(12)
Уравнение (12) равносильно совокупности уравнений
sin ж = 0(13)
и
COS Ж = 0.(14)
Решение уравнения (13) задается серией Ж1 = ттк, k Е Z. Решение уравнения (14) задается серией ж 2 = ™ + птг, n Е Z. Следовательно, уравнение (11) имеет две
серии решений Ж1 = тгк, к Е Z и = - + та, п Е Z. Поскольку созЗжг = = созЗтгА: = ( —l)fc ^ 0, cos 5ж1 = (—l)fc ^ 0, то первая серия является решением уравнения (10). Поскольку совЗж2 = cos (+ птг ) = 0, то ни одно решение
\ 2/
из второй серии не является решением уравнения (10). Следовательно, исходное уравнение имеет одну серию решений Ж1 = тгп, п Е Z.
— + тгп, п Е Z. 119) — — + ктг, к Е Z; тгп, п Е Z.
2'4
™(2к + 1), к Е Z; — , п 3(2m + 1), п Е Z, т Е Z.
§6
оо < ж < 3/2. Решение. Ни одно из значений ж, для которых 3 — — 2ж < 0, т.е. ни одно из ж > 3/2 не является решением исходного уравнения, так как при таких значениях ж левая часть исходного уравнения положительна, а правая отрицательна. Рассмотрим ж такие, что 3 — 2ж ^ 0. При таких ж, т.е. для ж из промежутка ж ^ 3/2 обе части исходного уравнения неотрицательны и поэтому оно равносильно уравнению
(2ж3)2 = (3 ™ 2ж)2,
которое является тождеством. Следовательно, решениями исходного уравнения являются все ж из промежутка — оо < ж 3/2.
—< $ ^ 4/5.3) — оо < ж 1/5.4) —оо < ж 5/9.
2; 3. Решение. Для освобождения от знака абсолютной величины разобьем числовую прямую на две области: первую, в которой ж — 3 ^ 0, и вторую, в которой
х — 3 < 0, и будем искать решения исходного уравнения в каждой из этих областей отдельно. В первой области | ж — 31 = ж - Зи исходное уравнение перепишется так:
ж2 — 4ж + (ж — 3) + 3 = О
или так
ж2 — Зж = 0.
Решениями этого уравнения являются Ж1 = 0 и ж2 = 3. Из них только ж2 = 3 принадлежит первой области и, следовательно, является единственным решением исходного уравнения на этой области.
Во второй области |ж — 3| = — (ж — 3) = —ж + 3 и исходное уравнение перепишется так:
ж2 — 4ж — ж + 3 + 3 = 0
или так
ж2 — 5ж — 6 = 0.
Решениями этого уравнения являются жх = 3 и ж2 = 2. Из них только ж2 = 2 принадлежит второй области, и, следовательно, является единственным решением исходного уравнения в этой области. Итак, исходное уравнение имеет два решения: хх = 2 и ж2 = 3.
-6, -2.7) ‘
4" V13 1 — V13 D„/ 2\2 I 2|2
; . Решение. Поскольку (ж — ж) = |ж — ж| , то
исходное уравнение можно переписать в виде
(|ж2 — ж|)2 — |ж2 — ж| — 6 = 0.
Обозначив |ж2 — ж| через z, получим квадратное уравнение z2 — z — 6 = 0.
Его решениями являются zi = -2 и^ = 3. Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
|ж2 — ж| = — 2 и |ж2 — ж| = 3.
Первое из этих уравнений решений не имеет, поскольку для любого ж функция у = |ж2 — ж| неотрицательна. Уравнение |ж2 — ж| = 3 равносильно совокупности уравнений
ж2 _ ж = 3 и ж2 — х = —3.
„„1 + уТз1~уТз
Решениями первого из этих уравнении являются Ж1 = и ж2 = ,
22
а второе уравнение решений не имеет. Итак, исходное уравнение имеет решения
1 + УТз1-V13
Ж1 = И Ж 2 = .
22
—3 < ж < —1,1 У ж У 3. Решение. Обозначим ж2 через z, тогда данное уравнение перепишется в виде
к ™ 3| + |^ - 1| = 2(1)
и задача формулируется теперь так: найти решение уравнения (1), удовлетворяющее неравенству z 0.
Разобьем полуось ^ ^ 0 на промежутки 0 ^ £ < 1, 1О<Зил^З. Решим уравнение (1) на каждом из этих промежутков.
Если z принадлежит промежутку 0 ^ £ < 1, то z — 3 < О, z — 1 < 0 и уравнение (1) на этом промежутке равносильно уравнению
-(z - 3) - (г - 1) = 2,
откуда z = 1. Так как z = 1 не принадлежит рассматриваемому промежутку, то на этом промежутке уравнение (1) решений не имеет.
Если z принадлежит промежутку 1 ^ ^ < 3, то z — 3 < О, z — 1 ^ 0 и уравнение (1) на этом промежутке равносильно уравнению
-(г-3) + г- 1 = 2,
которое является тождеством. Следовательно, решениями уравнения (1) на промежутке 1 ^ z < 3 являются все х из этого промежутка.
Ес ли z принадлежит промежутку z ^ 3, то^ —3 ^ 0,^ — 1 > 0 и уравнение (1) на этом промежутке равносильно уравнению
£^3 + ^ — 1 = 2,
решение которого z = 3 принадлежит рассматриваемому промежутку и, значит, является корнем уравнения (1) на промежутке z ^ 3. Итак, решение уравнения (1) есть промежуток 1 ^ z ^ 3. Следовательно, исходное уравнение равносильно уравнению 1 ж2 3, т.е. уравнению 1 ^ |ж| ^ 3. Решения этого уравнения, а, значит, и исходного уравнения принадлежат двум промежуткам: — 3 ^ х ^ — 1 и 1 ^ х ^ 3.
-5; 5.
+ V21 1™V21 D„ Г+7
;-. Решение. Обозначив -ж- 1 через z, перепишем
данное уравнение в виде
г2 - 2 + г = 4.
Решениями этого уравнения являются zx = — 3 и z^ = 2. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности уравнений
i/ж2 — ж — 1 = 2 и Vж2 ™ ж ™ 1 = — 3.
Уравнение Vж2 — ж — 1 = — 3 решений не имеет, так как при любом допустимом значении х выражение Vж2 — ж ™ 1 неотрицательно. Решениями уравнения гл;7„1 - V211 + V21
уж2-ж-1 = 2,а значит, и исходного являются хх = и ж2 = .
22
У: 3.13) 0; 3.14) 1.15) 5 ж 10. Обозначить Vж - 1 =
— 1; 7.17) 1; -; 2.18) Нет решений. Ввести новую переменную z =
3 /ж + 27
V ж + 8
3; 81. Решение. Так как log3 Зж = log3 х + 1, то исходное уравнение можно записать в виде
log3 х — 3y/log3 х + 2 = 0.(2)
Поскольку квадратное уравнение t2 — 3t + 2 = 0 имеет корни О = 1 и t2 = 2, то уравнение (2) равносильно совокупности уравнений
ViogT® = 1 и Viog+ = 2.
Первое уравнение этой совокупности имеет единственный корень Ж1 = 3, второе уравнение также имеет единственный корень ж2 = 81. Следовательно, исходное уравнение имеет два корня: Ж1 = 3 и ж2 = 81.
24; 29.21) 2; 2А 22)1.
— 3. Решение. Область допустимых значений данного уравнения есть промежуток — оо < ж < 1. В этой области уравнение равносильно уравнению
1 + 21g(l - ж) - lg(l + ж2) = 21g(l - ж)
или уравнению 1 + ж2 = 10. Последнее уравнение имеет два корня: Ж1 = — 3 и ж2 = 3, из которых в ОДЗ данного уравнения входит только Ж1 = — 3. Следовательно, только значение Ж1 = — 3 и является корнем исходного уравнения.
1/2.25) Нет решений.
—1/2; 5/2. Решение. Область допустимых значений уравнения состоит из всех ж, удовлетворяющих условию
|ж —1| —1>0.(3)
На этой области исходное уравнение равносильно уравнению
или уравнению |ж —1| = 3/2. Это уравнение имеет два корня жi = 5/2 и ж2 = —1/2. Оба эти числа удовлетворяют условию (3) и, следовательно, являются решениями исходного уравнения.
41
-7; 3. 28)-; 5-.
_; —. Решение. Область допустимых значений уравнения состоит из
всех ж, удовлетворяющих условиям ж > 0, 5ж — 6 > 0, т.е. ОДЗ есть промежуток 6/5 < ж < +оо. На ОДЗ исходное уравнение равносильно уравнению
12 log| (5ж — 6) — 3 log3 (5ж — 6) • 6 log3 ж + 6 log| ж = 0
или уравнению
2 log| (5ж — 6) — 3 log3 (5ж — 6) • log3 ж + log| ж = 0.(4)
Так как на ОДЗ log3 ж > 0, то умножив уравнение (4) на —-—, получим уравнение logs ж
о log§(5a? — 6) _ 3log3(5$-6) + х = 0logs жlogs ж
равносильное исходному уравнению.
Поскольку квадратное уравнение 2г/2 — Зг/ + 1 = 0 имеет два корня гд = 1 и г/2 = 1/2, то исходное уравнение на своей ОДЗ равносильно совокупности двух уравнений
logs (5® - 6) = logs ж и logs (от 6)| log., ж.
Первое уравнение этой совокупности равносильно на промежутке 6/5 < ж < < +оо уравнению 5ж — 6 = ж, корень которого ж = 3/2 принадлежит ОДЗ
исходного уравнения и, следовательно, является его решением. Второе уравнение равносильно на промежутке 6/5 < ж < +оо уравнению
(5ж - 6)2(5ж - 6)2или 25ж2 — 61ж + 36 = 0.или 25ж2 — 61ж + 36 = 0.
(5ж - 6)2
(5ж - 6)2
или 25ж2 — 61ж + 36 = 0.
или 25ж2 — 61ж + 36 = 0.
Решениями последнего уравнения являются Ж1 = 36/25 и ж2 = 1. Так как Ж1 входит в ОДЗ исходного уравнения, то он является его корнем; так как ж2 не входит в ОДЗ исходного уравнения, то он не является его корнем.
30)^.
3' 16
31)-. Решение. Область допустимых значений исходного уравнения состоит из всех ж, удовлетворяющих условиям ж2 ™ 5ж + 6 ^ 0, ж ™ 3 ^ 0 и ж ™ 1 > 0, т.е. ОДЗ исходного уравнения состоит из трех промежутков 1 < ж < 2, 2 < ж < 3 и 3 < ж. Перейдем в логарифмах к основанию 3, тогда исходное уравнение на своей ОДЗ равносильно уравнению
х — 1
log3 |я - 2| + log3 i® - 3| = log3 —h log3 |ж - 3|,
или уравнению
log3 \х - 2| = log3 УД.
На ОДЗ исходного уравнения последнее уравнение равносильно уравнению |ж-2| = ^.(5)
Найдем решение этого уравнения, содержащееся в промежутках: а) ж ^ 2; б) ж > 2.
а) Пусть ж ^ 2, тогда |ж — 2| = — (ж — 2) и уравнение (5) запишется так: — ж +
+ 2 = —-—. Его корень Ж1 = 5/3. Поскольку Ж1 = 5/3 принадлежит промежутку ж 2, и содержится в ОДЗ исходного уравнения, то Ж1 = 5/3 является решением исходного уравнения, б) Пусть ж > 2, тогда | ж — 21 = ж™2 и уравнение (5) запишется х — 1
так: ж — 2 = . Его корень ж2 = 3 не принадлежит ОДЗ исходного уравнения.
Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень Ж1 =
32)4=. 33)—. 34)2. 35) ^™;^2;3. 36)1; 2.
V5 1005
2. Решение. Обозначим 2^ через t. Тогда данное уравнение можно пе- ^2 2
реписать так: t — 2t-1 = 1. Это уравнение равносильно уравнению- = 0,
которое имеет два корня О = 2 и t2 = — 1. Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений 2^ = 2 и 2^ = ™1. Первое уравнение этой совокупности равносильно уравнению у^ = 1 и имеет единственный корень Ж1 = 1. Второе уравнение решений не имеет, так как — 1 не входит в область изменения показательной функции. Значит, исходное уравнение имеет единственный корень Ж1 = 1.
7
-. Решение. Область допустимых значений уравнения есть множество
5
всех действительных чисел. Поскольку на ОДЗ обе части данного уравнения положительны, то данное уравнение равносильно такому: 5'1 = 5 или
такому:
(6)(6)|4ж — 6| = 6ж — 8.
(6)
(6)
Для решения уравнения (6) разобьем числовую прямую на два множества ж ^ 3/2 и ж < 3/2. На множестве ж < 3/2 имеем |4ж — 6| = 6 — 4ж, поэтому уравнение (6) можно переписать в виде 6 — 4ж = 6ж — 8. Последнее уравнение имеет единственный корень ж 1 = 7/5, принадлежащий множеству ж < 3/2. Значит, на множестве ж <3/2 уравнение (6) имеет единственный корень Ж1 = 7/5. На множестве ж ^ 3/2 имеем |4ж — 6| = 4ж — 6, поэтому уравнение (6) можно переписать в виде 4ж — 6 = 6ж — 8. Последнее уравнение имеет единственный корень ж2 = 1, который не принадлежит множеству ж > 3/2. Значит, на множестве ж > 3/2 уравнение (6) не имеет решений. Объединяя решения, найденные на множествах ж ^ 3/2 и ж < 3/2, получаем, что уравнение (6), а значит, и равносильное ему исходное уравнение, имеет единственный 7
корень ж = -.
-.40) -.41) -.42) -
5722
9; 81. Решение. Поскольку log3 27 = 3, то исходное уравнение можно записать в виде
(2l°S9^j2^6
Так как квадратное уравнение г/2 — бу + 8 = 0 имеет два корня г/i = 2 и г/2 = 4, то исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
21оёэ ж = 2 и 2log9 ж = 4
Первое уравнение этой совокупности равносильно уравнению log9 ж = 1, которое имеет корень хх = 9. Второе уравнение совокупности равносильно уравнению log9 х = 2, которое имеет корень ж2 = 81. Значит, исходное уравнение имеет два корня Ж1 = 9 и ж2 = 81.
Решение. ОДЗ исходного уравнения состоит из всех ж 0. Для 2
каждого ж из ОДЗ 4^ж > 0, поэтому разделив исходное уравнение на 4Х/Ж, получим уравнение
(7)(7)/6/9
(7)
(7)
9 + 5-П=4 -
\4/\4
равносильное исходному уравнению на ОДЗ. Уравнение (7) можно переписать в виде
/ Q \/ Q
(8)(8)9 + 5- ( - )=4( -
(8)
(8)
\ 2/\2
Поскольку квадратное уравнение 4^2 — 5^ — 9 = 0 имеет корни %х = — 1 и
9-
^2 = - = -, то уравнение (7) равносильно совокупности уравнении
4\2 /
Первое уравнение этой совокупности имеет единственный корень ж = 1/2, входящий в ОДЗ исходного уравнения. Второе уравнение корней не имеет. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень ж = 1/2.
45)-1. 46)0. 47)1;4. 48)-|;|;3. 49)log3 10;log3 28-3. 50)0; 1.
щ 22^ п 2.52) тгп, п Е Z; (—1)п — + тгт, тп Е Z. 53) — + теп, п Е Z.
6362
—п, п Е Z; ± — 4- 2 тгт, т Е Z. Решение. Применив формулу для суммы синусов, исходное уравнение перепишем так:
2 cos ж sin 4ж = sin 4ж,
или так: 8ш4ж(2со8ж — 1) = 0.(8)
Уравнение (8) равносильно совокупности уравнений
8П14ж = 0 И СО8Ж = 1/2.
Решениями первого уравнения этой совокупности являются —, k Е Z. Решениями 4 '
второго уравнения являются ж = ± — +2тг/, I Е Z. Их объединение и дает множество 3
решений уравнения (8), а значит, и исходного уравнения.
г,г,х ТТП . ТГ 2тГП —ТТП ——
— ±к, п Е Z. 56)1, п Е Z; тгт, тп Е Z.
’ 2305'63'
ТГТГ тгт„
к тгп, п Е Z; ±1, тп Е Z.
2'183
—, n Е Z; ( —1)ш — + тгт, тп Е Z.
'26
32
-тг + тгп, п Е Z.60) ± щ 2тгп, п Е Z.
43
—— ++ 4тгп, п Е Z; —+ 12тгш, тп Е Z.
1234
™ + тгк, к Е Z.63) тгп, п Е Z; ± ™ + 2тгт, тп Е Z.
2'6
тг 1 тгп „ 3 тгт „ тг 3, ,„
— — — У —, п Е Z‘^ — 4-, тп Е Z*, — 4- — У ттк^ к Е Z.
' 1246 '8488
, тг„тг тгп„ 3 тг 2тгт„
±к тгп, п Е Z. 66)1, п Е Z;1, тп Е Z;
3' 126 '7147 '
3 — — + 2?rfc, k Е Z. 67) ± — + тт, п Е Z.
23
± —к тгп, п Е Z. Решение. Применив формулу cos 2ж = 1 — 2 sin" ж, 6
перепишем исходное уравнение в виде
8 sin4 ж — 26 sin2 ж + 6 = 0.
о1
Поскольку квадратное уравнение 4у — 131/ + 3 = 0 имеет корни ух = 3 и у 2 = 4
то исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
sin2 ж = 3 и sin2 ж = 1/4.
Уравнение sin2 ж = 3 решений не имеет, так как числа V5 и — V5 не входят в область значений функции у (ж) = sin ж. Уравнение sin2 ж = 1/4 в свою очередь равносильно совокупности уравнений sin ж = 1/2 и sin ж = —1/2. Значит, множество решений исходного уравнения есть объединение множеств решений уравнений sin ж = 1/2 и
sin ж = —1/2. Решениями первого уравнения являются ж = ( —1)п — + тт, п Е Z. 6
Решениями второго уравнения являются ж = (^l)m+1 — + тгш, т Е Z. Эти решения
можно объединить, записав их так: ж = ±— + тг^, к Е Z. Итак, решения исходного 6
уравнения ж = ±— + тгк, к Е Z. 6
— (6к ± 1), к Е Z. 70) тгп, п Е Z.
(2n + 1) —, п Е Z; ^т + 1) —, m Е Z.
4’2
(2п + 1) —, п Е Z; ± —h тгш, т Е Z. 4'6
73)2тш, n Е Z; — + 2тгш, т Е Z. Решение. Используя формулу приведения, перепишем уравнение в виде
sin3 ж + cos3 ж = 1 — i sin 2ж.
2
Поскольку
sin ж + cos ж = (sin ж + cos ж) (sin ж — sin ж cos ж + cos ж) =
= (sin ж + cos ж) ( 1 — sin 2ж | , \2/
то исходное уравнение равносильно уравнению
(sin ж + cos ж) ( 1 — i sin 2ж ) = 1 — ™ sin 2ж,
\2/2
которое в свою очередь равносильно совокупности уравнений
— ” sin 2ж = О и sin ж + cos х = 1.
2
Первое уравнение этой совокупности можно переписать в виде
sin 2ж = 2
и, следовательно, это уравнение решений не имеет, так как | sin 2а | ^ 1 при любом действительном а. Уравнение sin ж + cos ж = 1 можно переписать в виде
sin — sin ж + cos — cos ж = —
442
или, используя формулу для синуса суммы двух углов, в виде
. /тг\V2
sin ж 4—= —.
\4/2
Отсюда следует, что ж + — = ( —1)п— + тт, п Е Z. Следовательно, решениями ’44
исходного уравнения являются ж = ( —1)п— — — + тт, п Е Z.
44’
Z _[_ Z22, ть Е Z; ± — + тгш, т Е Z. Решение. ОДЗ уравнения состоит 82'6
из всех ж таких, что cos 2ж ^ 0. На ОДЗ уравнение равносильно уравнению
sin 2ж — 4 sin ж cos ж cos 2ж + cos 2ж = 4 sin2 ж cos 2ж.
жОо .21 - cos 2а
Применяя формулы 2 sin a cos а = sin 2а и sin а = , перепишем это
2 уравнение в виде
sin2ж — 2 sin2ж cos 2ж + cos 2ж = 4 • -—cos2x .
2 или в виде
sin 2ж — 2 sin 2ж cos 2ж + cos 2ж = 2 cos 2ж — 2 cos2 2ж.
Перенося все члены последнего уравнения в левую часть и производя группировку слагаемых, получаем уравнение
(зш2ж — со8 2ж)(1 — 2со8 2ж) = 0.
Следовательно, на ОДЗ исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
sin 2ж — cos 2ж = 0 и 1^2 cos 2ж = 0.
Поскольку для решения первого уравнения cos 2ж ^ 0, то первое уравнение этой совокупности равносильно уравнению
tg 2ж = 1.
Решениями этого уравнения являются ж = — + —, п Е Z. Решениями уравнения 82
1
cos 2ж = - являются ± —к тгш, т Е Z. Следовательно, решениями исходного 26
уравнения являются
ж = —|, n Е Z, и ж = ± h тгт, т Е Z.
826
21 М.К. Потапов и др.
— ™- х -ri 7Г 7Г11-— 7Г 7ГТП„
(-1 ™ 3, п Е Z;к, т Е Z.
62122
—, n Е Z; — + т G Z. Решение. Область допустимых значений 263
данного уравнения состоит из точек, удовлетворяющих неравенству cos 2ж ^ 0, или
неравенству ж 7^ — (2m + 1), m Е Z. В этой области l + tg22m = —-—, причем 4cos2 2х
функция у = 1 + tg2 2ж, очевидно, нигде не обращается в нуль. Отсюда следует, что данное уравнение равносильно на своей ОДЗ уравнению
.217. 51. ж 5ж . 721
sin —X cos -х + sin -х cos -х = sin - cossin -ж cos —X
44444444
или уравнению
. 21721. 7. х Ьх х . 5ж
sin — х cos - х + cos — х sin - X = sin — coscos — sin —.
44444444
Пользуясь формулами для синуса суммы и разности двух углов, последнее уравнение можно переписать в виде
8ш(7ж) = 8ш(-ж).(9)
Перенесем правую часть уравнения (9) налево, воспользуемся тем, что sin (—ж) = = — sin ж, а также формулой для суммы синусов двух углов. Тогда уравнение (9) примет вид
2 8ш4ж cos Зж = 0.
Последнее уравнение равносильно совокупности двух уравнений
sin 4ж = 0 и cos Зж = 0
и потому имеет следующие серии решений: ж = — n, п G Z, х = — + —, k G Z. 463
Итак, множество решений уравнения (9) имеет вид
7Г„7Г ик .—
х = —п. п G Z; х =1, к G Z.
463
Отберем теперь из найденных чисел те, которые содержатся в ОДЗ исходного урав
нения, т.е. удовлетворяют неравенствам ж 7^ — + -^, т G Z. Из первой серии 42
решений уравнения (9) в ОДЗ исходного уравнения лежат только точки ж = — с 4
Til
четными значениями п (п = 2/), т.е. точки ж = —, I G Z. Все точки второй серии 2
решений уравнения (9) содержатся в ОДЗ данного уравнения.
7Г 7ГП„ 7Г—
—I, п G Z; —к тгт, т G Z.
82'2
— + 7гп, п G Z; ™(1 + 3m,), т G Z; ™(2 + ^kY к G Z.
12''33
7Г 7Г71
79)—I, п Е Z. Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению
82
1з
— tg 2®tg 2ж
32= 32
или уравнению
3
- tg 2ж =tg 2ж.
2
Последнее уравнение равносильно уравнению tg 2ж = 1. Решениями этого уравне-
7г тгп „
ния, а следовательно, и исходного уравнения являются ж = —|, n Е Z.
82
± ™ + тгп, п Е Z. 81) (™l)n+12L + ZZ^ н Е z.
3122
— + 2тгп, п Е Z. 83) — + 2тгп, п Е Z.
612
— + 2тгп, п Е Z.85) — + 2тгп, n Е Z.
126
— + 7г(2п + 1), п Е Z.87) — + 2тгп, п Е Z.
— — + 2тгп, п Е Z; — + 2тгш, т Е Z. 89) ± — + тгп, n 6 Z. 4'4'6
± — + 4тг + 8тгп, ri Е Z.91) тгп, ri Е Z.92) тг + 4тгп, ri Е Z.
arcctg ™ + тгп, п Е Z. Решение. Обозначим ctg х через %, тогда данное
4’’
уравнение можно переписать так:
V37 - 48,г = 8,г 5.(10)
Возводя обе части уравнения (10) в квадрат, получим уравнение
1бЛ - 8г - 3 = 0,
которое имеет два корня zi = 3/4 и 22 = —1/4. Поскольку при возведении в квадрат могли появиться лишние корни, то необходимо проверить, будут ли корни zi и Z2 корнями уравнения (10). Проверка показывает, что уравнение (10) имеет единственный корень zi =3/4. Отсюда следует, что исходное уравнение равносильно
уравнению ctg х = 3/4, а потому имеет решения х = arcctg - + тгп, п Е Z. ’4’
2- тг
arctg —к тгп, п Е Z. 95)1)п—к тгп, п Е Z.
36
± — + 2тгп, п Е Z.
3
± ™ + 2тгп, п Е Z. Решение. Обозначим cos х через t. Тогда данное
уравнение можно переписать так:
уЗ + 4Сб-(1бСЗ-8С2)4 = 44-V5.(11)
Очевидно, все решения уравнения (И) должны удовлетворять неравенству 41 ™
— Уз > 0, т.е. лежать в области 1 Ту —-. Каждый корень уравнения (11) будет ’4
также корнем уравнения
3 + 4^6- (16^3-8^)4 = 1642 -8V34 + 3,(12)
полученного возведением в квадрат обеих частей уравнения (11). Уравнение (12) можно переписать так:
442 + 2(V3 - V2)4 - V6 = 0.(13)
,V2V3
Уравнение (13) имеет корни h = —- и 12 =. Корень 12 не лежит в обла-
22
сти 1— и, значит, не удовлетворяет уравнению (И). Подставим ti = — в
42
уравнение (11). Левая часть уравнения равна
Уз + 4Сб-8^6 + 8 = ^(2^2 - Сз)2 = 2V2 - Vs,
/—/—V2
правая часть также равна 2 v 2 — v 3. Значит, число h = — является единственным
корнем уравнения (11), и потому исходное уравнение равносильно уравнению
V2cos ж = —.2
Это уравнение, а значит, и исходное уравнение имеет решения ж = ±— + 2тгп, ’4
п € Z.
98) ( —1)п — + 7гп, п € Z. 99) ± — + 2тгп, а € Z.
(™1)п— + тгп, п € Z.
( —1)п — + тт, п Е Z. Решение. Область допустимых значений исход- 6
ного уравнения состоит из всех ж, удовлетворяющих условию sin ж > 0. Поскольку квадратное уравнение
2г2 - VS - (V2 - ^12)z = 0
V2У12
имеет корни %х = — и %2 =, то исходное уравнение на ОДЗ равносильно
22
совокупности уравнений
Первое из этих уравнений решений не имеет, так как Vsin ж ^ 0 для любого ж из
ОДЗ. Уравнение Vsin ж = — равносильно на ОДЗ уравнению sin ж = -, решения
22
которого ж = ( —1)п — + 7гп, п Е Z, как легко видеть, входят в ОДЗ исходного 6
уравнения, а значит, и являются его решениями.
— + 7гп, п € Z. 103) ± — + 2тт, п Е Z. 104) — + тт, п Е Z.
443
( —1)п — щ 7гп, п Е Z. Решение. Возводя обе части уравнения в квадрат, 6
получим уравнение
2 — 3cos 2ж = 8шж.(14)
Все корни исходного уравнения являются корнями уравнения (14), но не обязательно все корни уравнения (14) будут корнями исходного уравнения. Поэтому после нахождения корней уравнения (14) из них надо отобрать те, которые будут корнями исходного уравнения.
Применяя формулу cos 2ж = 1 ™ 2 sin2 ж, перепишем уравнение (14) в равносильном виде
6 sin2 х — sin ж — 1 = 0.(15)
Так как квадратное уравнение 6t2 — t — 1 = 0 имеет корни h = 1/2 и t^ = —1/3, то уравнение (15) равносильно совокупности уравнений
sin ж = 1/2 и sin ж = ™1/3.
Те значения ж, для которых sin ж = —1/3, как легко видеть, не являются решениями
исходного уравнения. Для значений ж, удовлетворяющих равенству sin ж =
2' имеем, что
2 - 3cos2® = 2 - 3(1 - 28ш2ж) = 2 — 3 (1 — 2--) > 0.
\4/
Поэтому все значения ж, удовлетворяющие равенству sin ж = -, т.е. ж = ( —1)п — + 26
+ 7гп, п Е Z, являются решениями исходного уравнения.
7г + 2тгп, п Е Z. 107) ± — + 2тт, п Е Z.
— — + 2тгп, ri Е Z.
2
5тг
К 2тгш, т Е Z. Решение. Данное уравнение равносильно уравнению 6
V5 sin ж + cos 2ж = — 2 cos ж.(16)
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим уравнение
5 sin ж + cos 2ж = 4 cos2 ж.(17)
Все корни исходного уравнения являются корнями уравнения (16), но не обязательно все корни уравнения (16) будут корнями исходного уравнения. Поэтому после
нахождения корней уравнения (17) из них надо отобрать те, которые будут корнями исходного уравнения. Поскольку cos2 х = 1 — sin2 х и cos 2ж = 1 — 2 sin2 ж, то уравнение (17) перепишется в виде
(18)(18)2 sin2 ж + 5 sin ж — 3 = 0.
(18)
(18)
Так как квадратное уравнение 2£2 + 5t — 3 = 0 имеет два корня + = - и t2 = ™3,
2
то уравнение (18) равносильно совокупности уравнений
sin ж = - и sin ж = —3.
2
Второе уравнение sin ж = — 3 решений не имеет, так как | sina| + 1 для любого действительного а. Первое уравнение имеет две серии решений жх = — + 2тт, 6
п Е Z и ж 2 = — + 2тгш, т Е Z. Теперь надо среди этих найденных решений
отобрать те, которые являются решениями исходного уравнения.
5 . 15 . 1Рассмотрим серию решений ж = — + 2тт, п Е Z. Подставляя эти значения
5 . 1
5 . 1
в исходное уравнение, получаем верное равенство И—|h 2 •= 0.
V 22 V 2 /
Следовательно, все эти ж являются решениями исходного уравнения.
Рассмотрим серию решений ж = — + 2тт, п Е Z. Подставляя эти значения в
левую часть исходного уравнения, получаем J |k V3 0. Значит, эти зна-
V 22
чения ж решениями исходного уравнения не являются. Итак, решениями исходного
5тг „„
уравнения являются ж =h 2тгш, m Е Z.
ПО) 7гп, n Е Z; — + 2тгш, т Е Z. 111) — — + 2тгт2, n Е Z. 33
— + 7гп, ri Е Z; — — 2тгш, т Е Z. 113) — + 4тгп, ri Е Z.
266
™ + 4тгш, т Е Z; — — + 2тт, ri Е Z. 115)™ + 4тт, ri Е Z.
6'66
/ 5 \у
± arccos I — - + 2тг/, I Е Z; ± arcsin —h 2тгп, п Е Z;
\ 9/9
( —l)n arcsin ™ + тт, п Е Z; ( — 1)Z+1 arcsin—+тг/, I Е Z;
/ l)m+l. arcsjn Ат 2.
13
( —l)m+1 arcsin — + 'кт, m E Z; ± arccos [ — — ) + 2?rm, m E Z;
13\ 11/
± arccosh 2тгп, и E Z\ ± arccosh 2тгр, p E Z. 1111
120) 1 — V5. 121)-2-V2.
; 0. Решение. Поскольку
24
sin 3 г = sin(2^ + z) = sin 2г cos z + cos 2г sin г = 3 sin г ™ 4 sin3 г,cos 2г = 1 — 2 sin2 г,
sin 12ж = 3 sin 4ж — 4 sin3 4ж,cos 8ж = 1 — 2 sin2 4ж.
Используя эти формулы, данное уравнение можно записать в виде
3 sin 4ж — 4 sin3 4ж + 4 sin2 4ж = 0
или в виде
зт4ж • (4 sin2 4ж — 4зш4ж — 3) = 0.(19)
Поскольку квадратное уравнение 4t2 — 4t — 3 = 0 имеет корни П = — и
то уравнение (19) равносильно совокупности уравнений
81П 4ж = 0,81п4ж =И 81п4ж =
22
Третье уравнение этой совокупности решений не имеет, поскольку | sin 4ж | ^ 1 для любого действительного ж. Решениями уравнения зш4ж = 0 являются ж = —,
k Е Z. Решениями уравнения sin 4ж = — являются ж =1, п Е Z и
2244
х = — — + ?2ZZСреди чисел —, к Е Z интервалу) принадлежит
2444\ 6 6 /
_7Г 2тгп „/ 7Г 7Г \
лишь число ж = 0, среди чисел —- +, п Е Z интервалу I —, — I принадлежит
тг5тг тгт„/ 7Г 7Г \
лишь число — —, среди чисел — — + , т Е Z интервалу, — не
24'242 '\ 6 6/
принадлежит ни одно число.
- —, - -.124) -.125) - -.
9642
—; ;. Решение. Применяя формулу синуса суммы двух
24 2424
углов, перепишем уравнение в виде
. /7г\1
sin ж 4— = -,
\8/2
откуда либо ж 4— = —к 2тгп, п Е Z, либо ж 4—
868
= — + 2тгт, тп. Е Z. Значит, 6= — + 2тгт, тп. Е Z. Значит, 6ж =h 2тгп, п Е Z и 24ж =h 2тгп, п Е Z и 2417241724+ 2тгш, т Е Z.+ 2тгш, т Е Z.Из первой серии в промежутокИз первой серии в промежутокЗтг2Зтг2ВХОДИТ ЛИШЬ Жх = , а ИЗ второй Ж 2 =24'ВХОДИТ ЛИШЬ Жх = , а ИЗ второй Ж 2 =24'17тг17тг о= и жз =2тг.17тг17тг о= и жз =2тг.242424— - НТ - 6171} 30’ 3024— - НТ - 6171} 30’ 30129) - —24129) - —243019тг243019тг24128) - —42128) - —42—.130)24—.130)24тг . ббтг42’ 42тг . ббтг42’ 424тг4тгЮтг 38тгЮтг 38тг21’ 21 ’ 2121’ 21 ’ 21Збтг. 53тг. 59тг84 ’ 84 ’ 84Збтг. 53тг. 59тг84 ’ 84 ’ 84Решение.Решение.Уравнение можно переписать в видеУравнение можно переписать в виде1_ V3 . _- cos 7жsin "х = —1_ V3 . _- cos 7жsin "х = —2222/22/221 или, учитывая, что -2двух углов, в виде1 или, учитывая, что -2двух углов, в виде= sin —, — 62= sin —, — 62= cos —, и используя формулу синуса разности 6= cos —, и используя формулу синуса разности 6ОтсюдаОтсюдалиболибоsinsin/22/22- - 7ж =6- - 7ж =62тг^, к Е Z, 42тг^, к Е Z, 4ТГ —ЗтГ „„7ж =2тгш, тп, Е Z. 64Следовательно, получаем две серии решений исходного уравнениябтг 2тгк ,„ Птг 2тгт „ж =1, к Е Z; х =1, тп. Е Z.ТГ —ЗтГ „„7ж =2тгш, тп, Е Z. 64Следовательно, получаем две серии решений исходного уравнениябтг 2тгк ,„ Птг 2тгт „ж =1, к Е Z; х =1, тп. Е Z.847847847847Теперь выберем из этих серий те решения, которые удовлетворяют условию 0,4тг < бтг < х < —.7Для первой серии имеемТеперь выберем из этих серий те решения, которые удовлетворяют условию 0,4тг < бтг < х < —.7Для первой серии имеем4бтг2тг&бтгТГ <1< ИЛИ1084774бтг2тг&бтгТГ <1< ИЛИ108477откуда к = 2, т.е. искомое решение есть жх =откуда к = 2, т.е. искомое решение есть жх =7 _ 5524бтг4тг1 8477 _ 5524бтг4тг1 847524524Для искомого ж из второй серии имеем411тг2тгтбтг77Г <1< ИЛИ -1084775Для искомого ж из второй серии имеем411тг2тгтбтг77Г <1< ИЛИ -1084775И24И243 - —243 - —24исходное уравнение имеет две серии решений
= — + 2тгт, тп. Е Z. Значит, 6
= — + 2тгт, тп. Е Z. Значит, 6
ж =h 2тгп, п Е Z и 24
ж =h 2тгп, п Е Z и 24
17
24
17
24
+ 2тгш, т Е Z.
+ 2тгш, т Е Z.
Из первой серии в промежуток
Из первой серии в промежуток
Зтг
2
Зтг
2
ВХОДИТ ЛИШЬ Жх = , а ИЗ второй Ж 2 =
24'
ВХОДИТ ЛИШЬ Жх = , а ИЗ второй Ж 2 =
24'
17тг17тг о
= и жз =2тг.
17тг17тг о
= и жз =2тг.
24
24
24
— - НТ - 6171
} 30’ 30
24
— - НТ - 6171
} 30’ 30
129) - —
24
129) - —
24
30
19тг
24
30
19тг
24
128) - —
42
128) - —
42
—.130)
24
—.130)
24
тг . ббтг
42’ 42
тг . ббтг
42’ 42
4тг
4тг
Ютг 38тг
Ютг 38тг
21’ 21 ’ 21
21’ 21 ’ 21
Збтг. 53тг. 59тг84 ’ 84 ’ 84
Збтг. 53тг. 59тг84 ’ 84 ’ 84
Решение.
Решение.
Уравнение можно переписать в виде
Уравнение можно переписать в виде
1_ V3 . _
- cos 7жsin "х = —
1_ V3 . _
- cos 7жsin "х = —
2
2
2
2
/2
2
/2
2
1 или, учитывая, что -
2
двух углов, в виде
1 или, учитывая, что -
2
двух углов, в виде
= sin —, — 62
= sin —, — 62
= cos —, и используя формулу синуса разности 6
= cos —, и используя формулу синуса разности 6
Отсюда
Отсюда
либо
либо
sin
sin
/2
2
/2
2
- - 7ж =
6
- - 7ж =
6
2тг^, к Е Z, 4
2тг^, к Е Z, 4
ТГ —ЗтГ „„
7ж =2тгш, тп, Е Z. 64
Следовательно, получаем две серии решений исходного уравнения
бтг 2тгк ,„ Птг 2тгт „
ж =1, к Е Z; х =1, тп. Е Z.
ТГ —ЗтГ „„
7ж =2тгш, тп, Е Z. 64
Следовательно, получаем две серии решений исходного уравнения
бтг 2тгк ,„ Птг 2тгт „
ж =1, к Е Z; х =1, тп. Е Z.
847
847
847
847
Теперь выберем из этих серий те решения, которые удовлетворяют условию 0,4тг < бтг < х < —.
7
Для первой серии имеем
Теперь выберем из этих серий те решения, которые удовлетворяют условию 0,4тг < бтг < х < —.
7
Для первой серии имеем
4бтг2тг&бтг
ТГ <1< ИЛИ
108477
4бтг2тг&бтг
ТГ <1< ИЛИ
108477
откуда к = 2, т.е. искомое решение есть жх =
откуда к = 2, т.е. искомое решение есть жх =
7 _ 5
524
бтг4тг
1 847
7 _ 5
524
бтг4тг
1 847
5
24
5
24
Для искомого ж из второй серии имеем
411тг2тгтбтг7
7Г <1< ИЛИ -
1084775
Для искомого ж из второй серии имеем
411тг2тгтбтг7
7Г <1< ИЛИ -
1084775
И
24
И
24
3 - —
24
3 - —
24
откудаm = 1илиш = 2. Итак, есть два решения из второй серии, удовлетворяющие
бтгПтг2тг
условию 0,4тГ < X <ЭТО Ж 2 =1и жз =
7847
. .43тг.59тг.ббтгббтг,83тг.89тг
96 ’96 ’96 '84 ’84 ’84 '
О X ТГ 6ТГ 2
)р ^^р ^^ п = п = Q,
62
тг + 6. ±7^ + 6. ± бтг + 6 , Зтг + 2 , — тг + 2137^
к = —1; 0; 1.к = —1; 0; 1.138) —.139) —.44138) —.139) —.44Птг 4тг 1_ —, 84759тг79тг83тг; ; .9696961— Зтг + 6тг = 1.136) ;2тг — 2Зтг — 2h тгк;9 тгк, 2'6Птг 4тг 1_ —, 84759тг79тг83тг; ; .9696961— Зтг + 6тг = 1.136) ;2тг — 2Зтг — 2h тгк;9 тгк, 2'62 ’2’6’2’2’
к = —1; 0; 1.
к = —1; 0; 1.
138) —.139) —.
44
138) —.139) —.
44
Птг 4тг 1_ —, 847
59тг79тг83тг
; ; .
969696
1— Зтг + 6
тг = 1.136) ;
2
тг — 2Зтг — 2
h тгк;9 тгк, 2'6
Птг 4тг 1_ —, 847
59тг79тг83тг
; ; .
969696
1— Зтг + 6
тг = 1.136) ;
2
тг — 2Зтг — 2
h тгк;9 тгк, 2'6
—h 2тгп, тг Е Z. Решение. Данное уравнение равносильно такому: 6
1 — 5 sin ж + 2(1 — sin2 ж) = 0
или
2 sin2 ж + 5 sin ж — 3 = 0.
Квадратное уравнение 2t2 + 5£ — 3 = 0 имеет корни И = -Зий = 1/2. Значит, исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений
sin ж = —3 и sin ж = 1/2.
Первое уравнение этой совокупности не имеет решений, так как при любом ж справедливо неравенство sin ж ^ — 1. Второе уравнение имеет две серии решений
6666жх = — + 2тгп, тг Е Z^ Ж2 = — + 2тгш, m Е Z.
6
6
6
6
Теперь отберем из этих решений те, которые удовлетворяют неравенству cos ж ^
0. Для любого корня из первой серии имеем созжх = cos ™—- > 0, для любого
62
корня из второй серии имеем cos ж2 = cos— = —— < 0. Значит, для любого корня 62
из второй серии неравенство cos ж ^ 0 не выполнено, а для любого корня из первой серии — выполнено. Итак, условию задачи удовлетворяют только корни первой серии.
б 2тгп, тг Е Z.142) —9 2тгп, тг Е Z.63Этгб 2тт, тг Е Z.3— + тгш, m Е Z; + тгп, тг Е Z; — + ттк, к Е Z.4848'24, , Зтг 4тгп „ 13тг 4тгт „ 7тг 4тг/с ,„б, тг Е Z;б, m Е Z;1, к Е Z.43'123 ''183™ + 4тгп, тг Е Z; — + 4тгш, m Е Z; + 4тг/, I Е Z.б 2тгп, тг Е Z.142) —9 2тгп, тг Е Z.63Этгб 2тт, тг Е Z.3— + тгш, m Е Z; + тгп, тг Е Z; — + ттк, к Е Z.4848'24, , Зтг 4тгп „ 13тг 4тгт „ 7тг 4тг/с ,„б, тг Е Z;б, m Е Z;1, к Е Z.43'123 ''183™ + 4тгп, тг Е Z; — + 4тгш, m Е Z; + 4тг/, I Е Z.333333
б 2тгп, тг Е Z.142) —9 2тгп, тг Е Z.
63
Этг
б 2тт, тг Е Z.
3
— + тгш, m Е Z; + тгп, тг Е Z; — + ттк, к Е Z.
4848'24
, , Зтг 4тгп „ 13тг 4тгт „ 7тг 4тг/с ,„
б, тг Е Z;б, m Е Z;1, к Е Z.
43'123 ''183
™ + 4тгп, тг Е Z; — + 4тгш, m Е Z; + 4тг/, I Е Z.
б 2тгп, тг Е Z.142) —9 2тгп, тг Е Z.
63
Этг
б 2тт, тг Е Z.
3
— + тгш, m Е Z; + тгп, тг Е Z; — + ттк, к Е Z.
4848'24
, , Зтг 4тгп „ 13тг 4тгт „ 7тг 4тг/с ,„
б, тг Е Z;б, m Е Z;1, к Е Z.
43'123 ''183
™ + 4тгп, тг Е Z; — + 4тгш, m Е Z; + 4тг/, I Е Z.
3
3
3
3
3
3
тг + 4тг/, I Е Z;™ Р 4тгт, т Е Z; — Р 4тг^, k Е Z.
22
5; irk, к Е Z. 149) 1; ™ + тгк, к Е Z.
- -; tvK кЕ Z. 151) ±3; + -;+-;+-.
2'2'22
± -; ±2; ±1; 0.153) ± -; ±3; ±1.
2'2
—+ 2тгп, n Е l)m+1 — + тгт, т Е Z.
26
2тгп, п Е Z; — + 2тгт, т Е Z.
2
тг + 2тгп, п Е Z; ± — + 2тгт, т Е Z.
3
Зтг + 4тгп, п Е Z.
Зтт
Ь 2тг/, I Е Z. Решение. Область допустимых значений уравнения 4
состоит из всех ж, таких, что 2 sin ж • cos ж — 1 ^ 0. Так как 2 sin ж • cos ж = sin 2ж, то ОДЗ состоит из всех ж таких, что зш2ж 7^ 1. На ОДЗ исходное уравнение равносильно уравнению
1 + 2 sin2 ж — 3 V2 sin ж + sin 2ж = sin 2ж — 1
или такому
2 sin2 ж — 3 V2 sin ж + 2 = 0.(20)
Поскольку квадратное уравнение 2^2 — 3^2^ + 2 = 0 имеет корни ^i = V2 и
V2
, то уравнение (20) равносильно совокупности уравнений
sin ж = V2 и sin ж = —.
2
Первое из этих уравнений решений не имеет, так как |sina| ^ 1 для любого
действительного а. Второе уравнение имеет решения ж = — + 2nks к Е Z и
4
ж = ^ + 2тг/, I Е Z. Проверим, какие из найденных решений входят в ОДЗ
4
исходного уравнения.
Если ж = — + 2тгк, к Е Z, то зт2ж = sin ( ™ + 4тг^ ) = 1. Следовательно,
4\2/
значения ж = ™ + 2ик, к Е Z не являются решениями исходного уравнения. 4
Если ж = ^ + 2тг/, I Е Z, то sin 2ж = sin ( — + 4тг/ | и, следовательно,
4\ 2/
эти ж являются решениями исходного уравнения.
159)h 2тгп, п € Z. 160)h 2тгп, п Е Z.
44
— + 2тгт, т Е Z.162) — + 2тг&, ^^24- 5n, k, п € Z.
4'55
— + — Д 4 5т + 2, к, т Е Z.
105
+, п Д Ы + 3, п, I Е Z.
105
( —l)fe — + тгк, к Е Z; — + 2 тгп, п ^ 0, п Е Z. Решение. Все решения
62
данного уравнения содержатся в множестве решений уравнения
2 — 3 sin ж — cos 2ж = 0.
Решим это уравнение. Воспользовавшись формулой косинуса двойного угла cos 2а = = 1 — sin2 а, перепишем это уравнение в виде
2sin2 ж — Ззшж + 1 = 0.(21)
91
Поскольку квадратное уравнение — 3£ + 1 = 0 имеет корни Н = у и /д = 1, то уравнение (21) равносильно совокупности уравнений .1..
sin ж = - и sin ж = 1.
2
Решениями этих уравнений соответственно являются
ж = (™l)fe — + ик. к Е Z и ж = — + 2тгп, п € Z.
62
Для того, чтобы выделить из этих чисел решения исходного уравнения, необходимо исключить из них числа, удовлетворяющие равенству 6ж2 — тгж — тг2 = 0, т.е. числа, совпадающие либо с Ж1 = — — либо с ж2 = — .В первой серии нет чисел 32
совпадающих с этими. Во второй серии имеется единственное число, получающееся при п = 0.
Нет решений.
— + irk, к Е Z; — — + тгп, п ф 0, п € Z.
66
( —1)п — + тгп, п Е Z; — — + 2тгт, т Д 0, т Е Z.
62
; ™2 ± V3. Поделив уравнение на ж2 0, сделать замену перемен-
НЫХ1/ = Ж + ^.170) ^1;--3--—.171)3.172) V3.173) ^2; 1 ± V3.
ж '2
—6; ^2; — 4 ± V6. Данное уравнение равносильно уравнению (ж + 1)(ж + 7) (ж + 3)(ж + 5) + 15 = 0 или такому (ж2 + 8ж + 7) (ж2 + 8ж + + 15) + 15 = 0. В этом уравнении сделать замену ж2 + 8ж + 7 = с.
\15)- -;3.
23'
176)176)- У13 - 1 ± У2У13 - 24- У13 - 1 ± У2У13 - 24. Разделить уравнение на ж2 и сделать замену ж +. Разделить уравнение на ж2 и сделать замену ж +1+ - = и.X1+ - = и.X177)177)З + Уб2З + Уб2; . Разделить уравнение на ж и сделать замену 2ж +22+ - =1.180) 1Д/Й; -!± V29 .2'2; . Разделить уравнение на ж и сделать замену 2ж +22+ - =1.180) 1Д/Й; -!± V29 .2'2.1 ± V1 + 4V2 - 1 ± V4V2-34 _2,;. Разложить выражение ж — 2 V 2ж — ж +.1 ± V1 + 4V2 - 1 ± V4V2-34 _2,;. Разложить выражение ж — 2 V 2ж — ж ++2 — У2 на множители ж 2+ж +1 — У5 и ж2 - ж - У2.+2 — У2 на множители ж 2+ж +1 — У5 и ж2 - ж - У2.± -; 4 /. Поделив2' V 2± -; 4 /. Поделив2' V 2уравнение на ж4 ф 0, сделать замену ж2 —= у.уравнение на ж4 ф 0, сделать замену ж2 —= у.; -. Сделать заме-12 2; -. Сделать заме-12 2„1ну переменной у = - 4„1ну переменной у = - 41А/А/i\/i\l5ж+ ж+ ж+ ж= ж.12/\6/К4/\3/J241А/А/i\/i\l5ж+ ж+ ж+ ж= ж.12/\6/К4/\3/J241 + Уз± у 3 + 2Уз. Раскрыть скобки, разделить уравнение на ж2, сделать1 + Уз± у 3 + 2Уз. Раскрыть скобки, разделить уравнение на ж2, сделать13 — хзамену ж 4— = у. 185) 2; 3. Обозначить = у для ж ф 2.186) —3; 4.х2 х75Сделать замену ж" — ж = z. 187) -.213 — хзамену ж 4— = у. 185) 2; 3. Обозначить = у для ж ф 2.186) —3; 4.х2 х75Сделать замену ж" — ж = z. 187) -.2. 1 + +5 ± У 2 + 2 Уб _ж2 - х + 1 V. Сделать замену I I = z.2\ ж2 /2; — 1 ± Уз. Записать уравнение в виде ж4 — 2ж2(ж — 1) — 8(ж — I)2 = 0 ж2и сделать замену = z, либо раскрыв скобки сначала подобрать целые корни, ж — 1’190)2; 1.1 А 5±Уб1ж2 - 6ж - 91—1; 9;. Сделать замену = у. 192) —1; 2;2ж’2п 5ж2+2ж + 21ж2+8ж + 200;. Заметить, что = ж + 1 /; = ж +2ж + 1ж + 1 ж + 4,4+ 44и т.д.ж + 44ж 4152; Сделать замену= z. 195) 14; 7. Сделать замену ж 4= z.33 ж'ж. 1 + +5 ± У 2 + 2 Уб _ж2 - х + 1 V. Сделать замену I I = z.2\ ж2 /2; — 1 ± Уз. Записать уравнение в виде ж4 — 2ж2(ж — 1) — 8(ж — I)2 = 0 ж2и сделать замену = z, либо раскрыв скобки сначала подобрать целые корни, ж — 1’190)2; 1.1 А 5±Уб1ж2 - 6ж - 91—1; 9;. Сделать замену = у. 192) —1; 2;2ж’2п 5ж2+2ж + 21ж2+8ж + 200;. Заметить, что = ж + 1 /; = ж +2ж + 1ж + 1 ж + 4,4+ 44и т.д.ж + 44ж 4152; Сделать замену= z. 195) 14; 7. Сделать замену ж 4= z.33 ж'ж196)3.196)3.
176)
176)
- У13 - 1 ± У2У13 - 2
4
- У13 - 1 ± У2У13 - 2
4
. Разделить уравнение на ж2 и сделать замену ж +
. Разделить уравнение на ж2 и сделать замену ж +
1
+ - = и.
X
1
+ - = и.
X
177)
177)
З + Уб
2
З + Уб
2
; . Разделить уравнение на ж и сделать замену 2ж +
22
+ - =
1.180) 1Д/Й; -!± V29 .
2'2
; . Разделить уравнение на ж и сделать замену 2ж +
22
+ - =
1.180) 1Д/Й; -!± V29 .
2'2
.1 ± V1 + 4V2 - 1 ± V4V2-34 _2,
;. Разложить выражение ж — 2 V 2ж — ж +
.1 ± V1 + 4V2 - 1 ± V4V2-34 _2,
;. Разложить выражение ж — 2 V 2ж — ж +
+2 — У2 на множители ж 2+ж +1 — У5 и ж2 - ж - У2.
+2 — У2 на множители ж 2+ж +1 — У5 и ж2 - ж - У2.
± -; 4 /. Поделив
2' V 2
± -; 4 /. Поделив
2' V 2
уравнение на ж4 ф 0, сделать замену ж2 —= у.
уравнение на ж4 ф 0, сделать замену ж2 —= у.
; -. Сделать заме-
12 2
; -. Сделать заме-
12 2
„1
ну переменной у = - 4
„1
ну переменной у = - 4
1А/А/i\/i\l5
ж+ ж+ ж+ ж= ж.
12/\6/К4/\3/J24
1А/А/i\/i\l5
ж+ ж+ ж+ ж= ж.
12/\6/К4/\3/J24
1 + Уз± у 3 + 2Уз. Раскрыть скобки, разделить уравнение на ж2, сделать
1 + Уз± у 3 + 2Уз. Раскрыть скобки, разделить уравнение на ж2, сделать
13 — х
замену ж 4— = у. 185) 2; 3. Обозначить = у для ж ф 2.186) —3; 4.
х2 х
75
Сделать замену ж" — ж = z. 187) -.
2
13 — х
замену ж 4— = у. 185) 2; 3. Обозначить = у для ж ф 2.186) —3; 4.
х2 х
75
Сделать замену ж" — ж = z. 187) -.
2
. 1 + +5 ± У 2 + 2 Уб _ж2 - х + 1 V
. Сделать замену I I = z.
2\ ж2 /
2; — 1 ± Уз. Записать уравнение в виде ж4 — 2ж2(ж — 1) — 8(ж — I)2 = 0 ж2
и сделать замену = z, либо раскрыв скобки сначала подобрать целые корни, ж — 1’
190)2; 1.
1 А 5±Уб1ж2 - 6ж - 91
—1; 9;. Сделать замену = у. 192) —1; 2;
2ж’2
п 5ж2+2ж + 21ж2+8ж + 20
0;. Заметить, что = ж + 1 /; = ж +
2ж + 1ж + 1 ж + 4
,4
+ 44и т.д.
ж + 4
4ж 415
2; Сделать замену= z. 195) 14; 7. Сделать замену ж 4= z.
33 ж'ж
. 1 + +5 ± У 2 + 2 Уб _ж2 - х + 1 V
. Сделать замену I I = z.
2\ ж2 /
2; — 1 ± Уз. Записать уравнение в виде ж4 — 2ж2(ж — 1) — 8(ж — I)2 = 0 ж2
и сделать замену = z, либо раскрыв скобки сначала подобрать целые корни, ж — 1’
190)2; 1.
1 А 5±Уб1ж2 - 6ж - 91
—1; 9;. Сделать замену = у. 192) —1; 2;
2ж’2
п 5ж2+2ж + 21ж2+8ж + 20
0;. Заметить, что = ж + 1 /; = ж +
2ж + 1ж + 1 ж + 4
,4
+ 44и т.д.
ж + 4
4ж 415
2; Сделать замену= z. 195) 14; 7. Сделать замену ж 4= z.
33 ж'ж
196)3.
196)3.
Нет решений. Умножить левую и правую части уравнения на уж + 1 — 1. 198) — 3; 0.199) 4. Рассмотреть случаи ж > 4; ж = 4 и ж < 4.
2; . Решение. ОДЗ этого уравнения есть ж > 0. Перепишем уравнение ' ’ 4
в виде
А ж ™ 1 \ 25 V
log2 ж 4 = 0,
\2 /\ 2 /
откуда очевидно, что оно равносильно на ОДЗ совокупности уравнений
1™ 1 ж — 5.ж — 1 ж ™ 5
log9 ж 4= и и log9 ж 41= 0,
22"22
т.е. совокупности уравнений
log2 ж = —2 и log2 ж = —ж + 3.
Первое уравнение имеет единственное решение ж = -. Для решения второго урав- 4
нения рассмотрим три случая ж = 2, ж < 2 и ж > 2. Используя свойства функций у = log2 ж и у = 3 — ж, получим, что это уравнение имеет единственное решение ж = 2.
201)3.
Нет решений. Записать правую часть уравнения в виде ж2 + ж + 1 =
/1 \23
= I ж 4— ) 4— и рассмотреть случаи ж ^ —тг, —тг < ж ^ 0, 0 < ж ^ тг и
\2/4’
Ж > ТГ.
Нет решений.
ж = 0. Учесть, что для любых ж справедливы неравенства 2 cos2 ™±™
6
2Ж + 2-ж2.
Нет решений.
—, тг Е Z. Заметить, что sin8 ж sin2 ж, cos8 ж cos2 ж.
2
2тгп, тг Е Z; — + тгт, m Е Z.208) —, тг Е Z. 209) — + 2тгп,
'2'22
тг Е Z; пт, т Е Z. 210) — + —, тг Е Z; ш ^ £211)™ + 2тгп, тг Е Z.
"842'
- + 2тгп, тг Е Z. 213) 4тгт, m Е Z. 214) 2.
"2
2. Рассмотреть случаи 0 < ж < 2, ж = 2 и ж > 2.
221)2.222)0.е Z. 228) —;'2 '221)2.222)0.е Z. 228) —;'2 '216)3.217)—1.218)0.219) Нет решений. 220)2.
221)2.222)0.
е Z. 228) —;
'2 '
221)2.222)0.
е Z. 228) —;
'2 '
223) 0.224) тг. 225)226) -5.227) бтгп ™ п
22
V6 + V2+2 V2™V6+2 V6 + V2
™ v v . 229)—;™—.230) ™v .
8"4824
-1±V'11 + 4V3. 232)-2 ± У14 + 4СЗ. 233) 2 ± ^14 + 4^3.
1 + V3. Решение. Область допустимых значений уравнения состоит из всех ж, удовлетворяющих условиям х — 1 > 0, ж — 1 ф 1, т.е. ОДЗ состоит из двух промежутков 1 < х < 2 и 2 < х < +оо. На этой области исходное уравнение равносильно уравнению
V3 = ж - 1,
которое имеет единственный корень ж = 1 + V3.
235)73-2.236) 4.237) 4.238)-.239) 5; Дб - 1. 240) - + 2тт,
''2' '4
п Е Z.
(—1)” — + тгп, п Е Z; (—1)т — -|- тгт, т Е Z. 242) 1.243) 1; 3.
тД±+С ^ДДУУ 245) 4 246) —. 247) ±248) ± —.
2241022
±-.
2
— -. Решение. Поскольку 9 + 12ж + 4ж2 = (2ж + З)2, а 6ж2 + 23ж +
4'
+ 21 = (Зж + 7)(2ж + 3), то область допустимых значений исходного уравнения состоит из всех ж, одновременно удовлетворяющих условиям
2ж + 3 > 0, 2ж + 3 ф 1, Зж + 7 > 0, Зж + 7 ф 1,
т.е. ОДЗ состоит из двух промежутков< ж < -1 и -1 < ж < +сю. На ОДЗ
исходное уравнение равносильно уравнению
1°ёзж+?(^ж + 3) + 1с^2ж+3(Зж + 7) + 1 = 4.(22)
Обозначим logЗJ,+7(2ж + 3) через + тогда уравнение (22) можно переписать в виде
2г + ^ = 3.(23)
Уравнение (23) равносильно уравнению
2г2 - Зг + 1 = 0
и потому имеет корни £i = 1/2 и ^2 = 1.
Следовательно, исходное уравнение на своей ОДЗ равносильно совокупности уравнений
log3x+7(2$ + 3) = 1/2,(24)
1<^+т(2я + 3) = 1.(25)
Уравнение (24) равносильно на ОДЗ уравнению
(2я + З)2 = Зя + 7.
Это уравнение имеет два корня xi = —1/4 и ж2 = ™2, из которых только xi = = —1/4 лежит в ОДЗ исходного уравнения. Уравнение (25) равносильно на ОДЗ уравнению
2ж + 3 = Зж + 7,
которое имеет единственный корень жз = —4, не лежащий в ОДЗ исходного уравнения. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень жх = -—1/4.
256) —.2262) 4;266) Нет270) -; ' 2'9 + V692*279) 1;284) 0;3.256) —.2262) 4;266) Нет270) -; ' 2'9 + V692*279) 1;284) 0;3.251)-.252) 6;™.253) 511;254)—.255)—.
256) —.
2
262) 4;
266) Нет
270) -; ' 2'
9 + V69
2*
279) 1;
284) 0;3.
256) —.
2
262) 4;
266) Нет
270) -; ' 2'
9 + V69
2*
279) 1;
284) 0;3.
'432'43
—.258) —.259)2.260) log2 3.26/3 ^
•4925^2'/3
ь 16.263) -; 0 < ж 2, ж / 1.264) -.265) 2^; 2™^.
4'22'
1
\ -3\V1
решений. 267).268) -.269) 2™; 5.
' 32(iog2 3-1)\2/\2/3
3; 4.271) 2р 5; 7.272) 1;273) 1;274) 1;
342
275)-2; 0; 2.276) 1; 4; 5.277) 3; 12; 9 ± V26.278) Нет решений.
10; 10 3. 280) 1; 8. 281)-1;1;2. 282)0; 5283 ) 2; 10 1; Ю1.
тгп, п Е Z; ( —1)т — + тгт, т Е Z. 286) 0.287) —.288) 1; — + 2тгп,
664
п Е Z. 289) 1; ™ + 2тгп, п Е Z. 290) 1; 2 тгп, п Е N, п > 0; —тг + 2тгт,
2
т Е N, т > 0.291) — + 2тгп, п Е Z, п 0.292) —1; 5.293) log2 3.
— тгп, п Е Z; arcsin —-—- + тг + 2тгт, т Е Z. 295) — + 2тгп, п Е Z;
'422
2тгт, т Е Z;—.296) — + 2тгп, п Е Z. 297) ^; 2; —5; ± ^ + 4тгп,
12' 433
Е Z; ± arccos—- + 4тгт, т / 0, т Е Z. 298) 4 ± VT6; -тг; —; arctg
2'22'3
2тг-arctg™. 299) 1; 10;-; —;2Tr-2arcsin^.3 00) 0; 1.3 01) ж = а-4
3' '3' 35
при любом а. 302) Если а / 0, то ж = ^; если а = 0, то решений нет. 303) Если а
а / 1, то ж = —7—если а = 1, то решений нет. 304) Если а / 1, то ж = 1; если
а — 1’
а = 1, то ж — любое число. 305) Если а ±1, то ж = —™—; если а = — 1, то а — 1
ж — любое число; если а = 1, то решений нет. 306) Если а > 0, то жх = 2^/11 ?
ж2 = -——; если а = 0, то ж = ™; если а < 0, то решений нет. 307) Если
22
О < а V то жх = V, ж2 =; если а V О или а > то решении
V аV а
нет. 308) Если а = 0, то х = 3; если а = —, то ж = 6; если —сю < а < 0 или
12
Л 11 + VI - 12а1 - VI - 12а1„
0 < а < —, то жх = , ж2 = ; если а > —, то решении
12аа12
нет. 309) Если а > 0, то жх = а + 2, Ж2 = 2 — а; если а = 0, то ж = 2, если а < 0, то решений нет. 310) Если а > 0, то жх = 0, ж2 = 2а; если а = 0, то ж = 0; если а < 0, то решений нет. 311) Если а > 2, то ж = а V если а = 2, то ж > 2; если 2
а < 2, то решений нет. 312) ж V а при любом а. 313) Если а > 0, то ж V ™; если а
а < 0, то ж V если а = 0, то решений нет. 314) Если а < — 1, то ж = ;
a1 а
если — 1 < а < 1, то решений нет; если а = 1, то ж > 0; если а > 1, то ж = .
1 + а2
Если а = 1, то ж = 1; если а ^ 1, то решений нет. 316) Если а ^ —, то
ж = 4а2 + 12а + 7, если а < —, то решений нет. 317) ж = 4 — а при любом а.
2
Если а V 0, то ж = а2 — а; если а < 0, то решений нет. 319) ж = 22-° при
9
любом а. 320) Если а V 0, то ж = -; если а = 0, то решений нет. 321) Если а
l + log2(2a + 3)3„= —-; если а V —, то решении нет.322) Если 1 V2,ч п. 4а — 7„5ж = ( — 1) arcsinh тгп, п Е Z; если а < 1 или а > то 32— VET3 + VE7тг .323) Еслиили 2 0^ , то ж = — — ±l + log2(2a + 3)3„= —-; если а V —, то решении нет.322) Если 1 V2,ч п. 4а — 7„5ж = ( — 1) arcsinh тгп, п Е Z; если а < 1 или а > то 32— VET3 + VE7тг .323) Еслиили 2 0^ , то ж = — — ±3
l + log2(2a + 3)3„
= —-; если а V —, то решении нет.322) Если 1 V
2
,ч п. 4а — 7„5
ж = ( — 1) arcsinh тгп, п Е Z; если а < 1 или а > то 32
— VET3 + VE7тг .
323) Еслиили 2 0^ , то ж = — — ±
l + log2(2a + 3)3„
= —-; если а V —, то решении нет.322) Если 1 V
2
,ч п. 4а — 7„5
ж = ( — 1) arcsinh тгп, п Е Z; если а < 1 или а > то 32
— VET3 + VE7тг .
323) Еслиили 2 0^ , то ж = — — ±
а > —, то ж
2
// 5
а то
2
решений нет.
223
,а2 — За.3 - V173
± arccosh 2тгА:, к Е Z; если а < , 1 < а < 2 или а > , то
2'22
решений нет. 324) Если 4 V й V то ж = ±( —l)n arcsin V& — 4 + тгп, п Е Z;
если а < 4 или а > 5, то решений нет. 325) ж = - + - arctg(l — За — а2) + тгп,
п Е Z. 326) Если а V 0, то х = 7 + arcctg 7il^ 4- 7m, п Е Z; если а = 0, то а
решений нет. 327) Если а 1,то ж = arctg —h тгп, п Е Z; если а = 1, то ж —
’а + 1
любое число, отличное от ж = — + тгт, т Е Z. 328) Если а 4 0, то ж = ™; если
23
а = 0, то решений нет. 329) Если а V —2, то ж = —а, если а = —2, то ж — любое
число, отличное от — 2.330) Если а ф 0, то ж — любое число, отличное от 0; есличисло, отличное от — 2.330) Если а ф 0, то ж — любое число, отличное от 0; еслиа = 0, то х = —а.331) Если а 0 и а ^ 3, то жх = 4а, ж2 = — 2а — 3; если а = 0,а = 0, то х = —а.331) Если а 0 и а ^ 3, то жх = 4а, ж2 = — 2а — 3; если а = 0,то х = —2а — 3; если а = 3, то х = 12.а — 1 + V а2 — 10а — 7аТО X1 = , Ж 2 = —2то х = —2а — 3; если а = 3, то х = 12.а — 1 + V а2 — 10а — 7аТО X1 = , Ж 2 = —2332) Если а < 5 — 4 V2 или а > 5 + 4^2,332) Если а < 5 — 4 V2 или а > 5 + 4^2,- 1 - V«2 - 10а - 72- 1 - V«2 - 10а - 72если 5 - 4^2 < а <если 5 - 4^2 < а << 5 + 4 V5, то решений нет; если а = 5 — 4^2, то ж = 1 — V2; если а = 5 + 4^2, то
число, отличное от — 2.330) Если а ф 0, то ж — любое число, отличное от 0; если
число, отличное от — 2.330) Если а ф 0, то ж — любое число, отличное от 0; если
а = 0, то х = —а.331) Если а 0 и а ^ 3, то жх = 4а, ж2 = — 2а — 3; если а = 0,
а = 0, то х = —а.331) Если а 0 и а ^ 3, то жх = 4а, ж2 = — 2а — 3; если а = 0,
то х = —2а — 3; если а = 3, то х = 12.
а — 1 + V а2 — 10а — 7а
ТО X1 = , Ж 2 = —
2
то х = —2а — 3; если а = 3, то х = 12.
а — 1 + V а2 — 10а — 7а
ТО X1 = , Ж 2 = —
2
332) Если а < 5 — 4 V2 или а > 5 + 4^2,
332) Если а < 5 — 4 V2 или а > 5 + 4^2,
- 1 - V«2 - 10а - 7
2
- 1 - V«2 - 10а - 7
2
если 5 - 4^2 < а <
если 5 - 4^2 < а <
1 ।г1/ лд/1 — а— 1 — V1 ™а
ж = 1 + V2.333) Если а < 1иа 0, тожх = , ж2 = ;
аа
если а = 0, то ж = — если а = 1, то ж = — 1; 2
п1— а — 1 + д/За + 3
334) Если а > — 1, то жх = , ж2 =
если а > 1, то решений нет.если а > 1, то решений нет.— а — 1 — V^a + 3— а — 1 — V^a + 32а - 1- 1, ж 2 = ; если2а - 1- 1, ж 2 = ; еслиа = — 1, то решений нет.а = — 1, то решений нет.336) Если а > 0, то xi336) Если а > 0, то xi= | (-1 + V1 + 4а), ж2 == | (-1 + V1 + 4а), ж2 =^ — 1, то решений нет. 335) Если а ф — 1, то жх
если а > 1, то решений нет.
если а > 1, то решений нет.
— а — 1 — V^a + 3
— а — 1 — V^a + 3
2а - 1- 1
, ж 2 = ; если
2а - 1- 1
, ж 2 = ; если
а = — 1, то решений нет.
а = — 1, то решений нет.
336) Если а > 0, то xi
336) Если а > 0, то xi
= | (-1 + V1 + 4а), ж2 =
= | (-1 + V1 + 4а), ж2 =
- ^ а < 0, то 4- ^ а < 0, то 4= - (—1 — V1 + 4а); если а = 0, то жх = 0 и ж2 = — 1; если
- ^ а < 0, то 4
- ^ а < 0, то 4
жх = ~ (—1 + V1 + 4а), ж2 = -1 — V1 + 4а), ж3 = — - (1 + V1 — 4а); если
а < — то ж = -1 — V1 ™ 4а).337) Если а < -, то жх = — ^(а + 2),
42 4753
242
ж2 = За — 2; если а = то ж = —; если - < а < 2, то решений нет; если 555
а = 2, то ж = 0; если а > 2, то Жх = а — 2, ж2 = -—-.338) Если а < —2, то
3
решений нет; если а = — 2 или а = 1, то ж Е [—2; 1]; если —2 < а < 1, то жх = 1
и Ж2 = — 2; если а > 1, то решений нет. 339) Если а < — 1, то решений нет, если
111а ™ V2 - а21„
а = то ж = — 1, если — 1 < а < 1, то ж = ; если а = 1, то жх = 0,
2
/-а + д/2 - а2а - д/2 - а2г-
х2 = 1; если 1 < а < v 2, то жх = , ж2 = ; если а = v 2,
22
то ж = —; если а > V5, то решений нет. 340) Если — 1а < 0 или а 1, то
V2
ж = — (а+— если а < ™1 или 0 а < 1, то решений нет.
\ а/
Если |а| ^ 2V^, то
а +д/а2 + 4 4д/Т"+ а2
если | а | < 2V5, то решений нет.
22 М.К. Потапов и др.
Если а = 0, то ж = 0; если а 0, то жх = — \Лф Ж2 = -. а
Если а = 0, то жх = 1, ж2 = — 1, если а > 0 или — - < а < 0, то
'4
— 3d — 1 3" (d 3" 1) \/4d 3" 1— 3d — 1 — (d 3" 1) д/4d 3" 1
2d3"2а3
Если а = 0, то жх = О, Ж2 = —1; если а ^ 0, то жх = ™V2|a|, ж2 = V9aL жз = — - + - V4а2 33 1, ж 4 = — - — - V4а2 33 1- Рассмотреть ле- 2222
вую часть уравнения, как квадратный трехчлен относительно а2 и разложить его на 22/ 2 , х
множители аи а — (ж + ж).
2
Если а = 0, то ж = — ^; если а = 2, то ж = — -; если 0 < а < 2, то
4'2'
— 2 — ф4 — 2d— 2 3" ф4 — 2d
жх =, ж2 =;
2d2d
если а > 2, то решений нет.
Если а > 0 и а ф 1, то ж = —. 'd2
Если а < — V2 или а ф V2, то
ж = (—l)fc arcsin Юа™ V2^2™!) ^^ k Е Z;
если — V5 ^ а ^ ^1, то
ж = (—l)m arcsin Ю^а/2^2^)т, Е Z;
если — 1 < а < V2, то решений нет.
Если 0 < а < 1, то
1 + VI + 4а
ж = (—l)fc arcsin а *2+ тгк, к Е Z,
если а > 1, то
1 - VI + 4а
ж = ( —l)m arcsin а 2+ тгт, т Е Z.
Если а = -,то ж = 1, если а ф -, то нет решений. Решение. При любом значении параметра а все искомые значения ж лежат в области, определяемой неравенствами
2ж — ж2 > 0," 1 - ж2/2 > 0,
т.е. в области 0 < ж < V2. Для любого ж из этой области выполнены неравенства
2ж - я2 = 1 - (1 - ж)2 < 1,
и, значит,
log3(2® - ж") < 0, logu Г1 — — ) < 0.
Если а ф — 2 и а -, то 3
(1 + (а + 2)2)log3(2ж - ж2) < log3(2$ - ж2),
(1 + (За - I)2) logu (1 - у < logu (1 - у ,
и данное в условии задачи уравнение может выполняться только для тех значений ж, для которых
{
log3(2x — ж2) = 0,
1°8и Р - ж2/2) = 0,
или
2ж ™ ж2 = 1,
' 1™ж2/2 = 1.
Легко видеть, что полученная система уравнений не имеет решений. Следовательно, если а ф -2 иа ^ 1/3, то нет ж, удовлетворяющих данному в условии задачи уравнению. При а = — 2 исходное уравнение может быть переписано так:
log3(2ж - ж2) + 501ogu (1 - у^ = log3(2® - ж2) + logn (1 - у) .
Получившееся уравнение равносильно на множестве 0 < ж < V2 уравнению
/ х2 \logu (1 - Y ) = °,
не имеющему на этом множестве решений. При а = 1/3 исходное уравнение принимает вид
у l°g3(2® - ж2) + logu (1 - у) = log3(2a: - ж2) + logn (1 - Х^ .
Это уравнение равносильно на множестве 0 < ж < V5 уравнению
^3(2ж — ж2) = 0,
которое в свою очередь равносильно уравнению
2ж — ж2 = 1,
имеющему единственный корень ж = 1. Этот корень лежит в множестве 0 < ж < < V2, и значит, удовлетворяет исходному уравнению.
Если а = —3/4, то ж = 1/2; если а ^ —3/4, то решений нет. 351) Если а = 0, то один корень; если а > 0, то два корня; если а < 0, то решений нет.
352) Если а. < — 1, то одно решение, если а. > — 1, то решений нет. 353) Если о- > 1 или о- = 0 или а < — 1, то одно решение; если 0 < о- < 1, то два решения; если а ^ — 1, то решений нет. 354) Если о- > 4 или а. ^ 0, то один корень; если а = 4, то два корня; если 0 < о- < 4, то три корня. 355) Если о- < 0 или а- = 1/4, то один корень; если 0 ^ а. < 1/4, то два решения; если а. > 1/4, то решений нет. 356) При любом а Е R два корня. 357) Если а = 0 или а = 1/2, то одно решение; если 0 < а. < 1/2, то два решения; если о- < 0 или а. > 1/2, то решений нет. 358) Если а < 0, то решений нет; если а = 0 или а > 1, то два решения; если а. = 1, то три решения; если 0 < о- < 1, то четыре решения. 359) Если а < 0, то решений нет; если о- > 4 или а = 0, то два решения; если а = 4, то три решения; если 0 < о- < 4, то четыре решения. 360) Если а. ^ 3, то одно решение; если а > 3, то решений нет. 361) Если а < —3, то решений нет; если а = —3, то одно решение; если —3 < а. < 3, то два решения; если а. = 3, то три решения; если 3 < о- < 6, то четыре решения; если а = 6, то три решения; если а > 6, то два решения. 362) Если 0|о| < 1/V5, то решений нет; если |о| = 1/V5, то одно
решение; если |о| > 1/V5, то два решения. 363) Если а ^ 0 или а = 4, то одно решение; если 0 < о- < 4, то решений нет; если а > 4, то два решения. 364) Если а. < — 1 или 5/4 < а. < +ос, то решений нет; если а. = — 1, то одно решение; если |о| < 1 или а = 5/4, то два решения; если а = 1, то три решения. 365) Если а. < 0, то решений нет; если 0 ^ а < 1/2 или 1/2 < а ^ 1, то два решения; если а = 1/2 или а > 1, то одно решение. 366) Если а ^ 0, то два решения; если а = 0, то одно решение. 367) Если 0 < о- < \jV^ или 1/V2 < о- < 1 или 1 < а < +оо, то два решения; если а. 0 или а = 1/^2 или а = 1, то решений нет. 368) Если а < 3, то решений нет; если а- = 3 или 4 < а- < 8, то два решения, если а = 4 или а. = 8, то три решения; если 3 < о- < 4 или 8 < а. < +ос, то четыре решения. 369) Если а < —57/32, то решений нет; если а = —57/32, то одно решение; если —57/32 < а, то два решения. 370) Если 0 < о- < 1, то два решения, если а = 1, то одно решение, если а ^ 0 или а > 1, то решений нет. 371) а < 0, а > 1. 372) -2 < а < 2. 373) |а| < 97. 374) 2 < а < 2V2. 375) а -1. 376) 0 < а < 1. 377) а < 1. 378) а > -1. 379) а 101-V5. 380) а = —1.381) —2 < а < 3.382) а < -2, а > 7.383) а > -1/3. 384)
а > —3.
Если а- = — 1, то ж = 2тгп, пЕ^иж= — + лт, т Е Z, если а =
'2
21-^7
= 0, то ж = ±-тг + 2тг/, I Е Z, если а = 1, то ж = ± arccosh 2тгр,
32
р Е Z. Решение. Применяя формулы sin2 ж = 1 — cos2 ж и cos2 - = -—, исходное уравнение запишем в виде
Г2 X /1 + СО8ж\
5 — 4(1 — cos ж) = 8 = За,
\2/
или в виде
4 cos2 ж — 4 cos ж — 3 — Зо- = 0.(26)
Рассмотрим квадратное уравнение
(27)(27)4г2 — 4^ — 3 — За = 0.
(27)
(27)
Его дискриминант равен D = 16(4 + За). Если D < 0, то уравнение (27) не имеет действительных корней. Следовательно при целых значениях а, при которых 4 + + 3а < 0, т.е. при целых о- < ™1, уравнение (27), а значит, и уравнение (26) решений не имеет.
Отметим, что не существует целых значений а, при которых D = 0. Следовательно, при целых а ^ уравнение (27) имеет два корня
1 х/4 За1 — л/4 4- Зо.
Ж1 = и ^2 =
2
Это означает, что уравнение (26) равносильно совокупности уравнений
cos ж = Ж1 и cos ж = ^2-(28)
Очевидно, что при любом целом а > 2 справедливы неравенства жх > 1 и ж 2 < — 1, и поэтому ни одно из уравнений совокупности (28) не имеет решений. Следовательно, ни при каком целом а > 2 исходное уравнение решений не имеет. Остается рассмотреть случаи а. = — 1, о. = 0 и о. = 1.
Если а = — 1, то ^i = 1 и ^2 = 0, и уравнения совокупности (28) имеют решения ж = 2xn, n Е Z, ж = х/2 + хт, т Е Z. Следовательно, а. = — 1 удовлетворяет условию задачи.
Если а. = 0, то ^i = 3/2 и ^2 = —1/2, и совокупность уравнений (5) перепишется в виде
1
cos ж = - и cos ж = —.
2
Первое из этих уравнений решений не имеет, а второе уравнение имеет решения ж = ±2х/3 + 2xZ, I Е Z. Следовательно, о. = 0 также удовлетворяет условию задачи.
Если а = 1, то £i = и ^2 = , и уравнение (26) равносильно
22
совокупности уравнений
+ V71 - V7
cos ж = и cos ж = .
2
а второе урав-а второе урав-Первое из этих уравнений решений не имеет поскольку > 1,
а второе урав-
а второе урав-
1 - V7
нение имеет решения ж = ± arccos4 2хр, р Е Z, поскольку
2
Следовательно, а. = 1 также удовлетворяет условию задачи. Итак, исходное урав
нение имеет решения при целых значениях а тогда и только тогда, когда а равно — 1, 0 или 1.
Если о. = 0, то ж = xn, n Е Z и ж =h 2xm, т Е Z; если а = 1,
2
то ж = (—+ хп, -п Е Z; если о. = 2, то ж = (—l)n+1 arcsin ——- +
62
I Е Z.
Если о. = 0, то ж = — + xn, n Е Z; если а = 1, то ж = х ± — + 2хт,
23
V41 3
т Е Z; если а = 2, то ж = х + arccosh 2xZ, I E Z.
Если а = 0, то ж = тгп, п Е Z и ж =h 2тгт, т Е Z; если а = 2, то
2
ж = — + 2тгр, р Е Z; если о- = 1, то ж = (—1V+1 arcsin —-—- + тг/, Z Е Z.
22
—; НЕ Решение. Зафиксируем некоторое число а. из промежутка
1313
2 < а- < 5. Тогда для каждого ж выполнены неравенства
cos (тгж — — j 1(29)
у 6 /'
и
| sin а,ж | ^ 1.
Из последнего неравенства следует, что
log2(3— |зтаж|) > 1.(30)
Сравнивая неравенства (29) и (30), заключаем, что данное в условии задачи уравнение выполняется тогда и только тогда, когда одновременно выполняются уравнения
cos ( тгж — - ) =1,(31)
V 6/
(32)(32)| sin ах | = 1.
(32)
(32)
Уравнение (31) имеет решения ж = - + 2n, п Е Z, из которых отрезку 2 ^ ж ^ '6
113
^ 3 принадлежит лишь жх = 2 • 1 + - = —. Таким образом при фиксированном а 66
данное в уравнении задачи уравнение имеет решение на отрезке 2 ^ ж ^ 3 в том и только в том случае, когда выполнено условие
(33)(33). 13.
(33)
(33)
sin — а = 1.
6
Следовательно, нам надо найти все решения уравнения (33), принадлежащие промежутку 2 < а- < 5.
Уравнение (33) равносильно уравнению
. 2 13,
sin —а = 1.
6
— cos — а,
ы. 2 133
Используя тождество sin —а = , это уравнение можно переписать
62
так:
cos—а=—1.(34)
Решения уравнения (34) имеют вид
а = Ax(2n + 1), n Е Z.
13
Найдем теперь все целые числа п, удовлетворяющие неравенствам
2 < —тт(2п+ 1)13 '
Это двойное неравенство можно переписать так
65Зтг65Зтг(36)(36)26।
65
Зтг
65
Зтг
(36)
(36)
— < 2n + 1 < -
6565Зтг:
65
65
Легко проверить, что 2<™<3и6<™<7. Поэтому неравенству (36) удовле-
ЗтгЗтг
творяют целые числа ni и П2, для которых 2ni + 1 = 3, 2п2 + 1 = 5, т.е. m = 1, m = 2. С помощью формулы (35) находим теперь а, удовлетворяющие условию 39тг 315тгзадачи ах = — • тг • 3 = —, а2 = —тг • 5 = .творяют целые числа ni и П2, для которых 2ni + 1 = 3, 2п2 + 1 = 5, т.е. m = 1, m = 2. С помощью формулы (35) находим теперь а, удовлетворяющие условию 39тг 315тгзадачи ах = — • тг • 3 = —, а2 = —тг • 5 = .13390)™;—;5тг.55394) а. 0; а. = 8.:13390)™;—;5тг.55394) а. 0; а. = 8.:131313131313397)о. = ±1.397)о. = ±1.™; —77™; —77а. > 1; о. = 0; а. ^ -1.393) а. = 2.а. > 1; о. = 0; а. ^ -1.393) а. = 2.1. < —4; а. = ±2; 4 < а < +ос. 396) а < — 1.399) а = --.400) а = 1.401) а421. < —4; а. = ±2; 4 < а < +ос. 396) а < — 1.399) а = --.400) а = 1.401) а42ТГ13402) а. = — + 2тгп, n Е Z; а. =h 2тгт, т Е Z; а. = —тг + 2ттк,ТГ13402) а. = — + 2тгп, n Е Z; а. =h 2тгт, т Е Z; а. = —тг + 2ттк,6618181818
творяют целые числа ni и П2, для которых 2ni + 1 = 3, 2п2 + 1 = 5, т.е. m = 1, m = 2. С помощью формулы (35) находим теперь а, удовлетворяющие условию 39тг 315тг
задачи ах = — • тг • 3 = —, а2 = —тг • 5 = .
творяют целые числа ni и П2, для которых 2ni + 1 = 3, 2п2 + 1 = 5, т.е. m = 1, m = 2. С помощью формулы (35) находим теперь а, удовлетворяющие условию 39тг 315тг
задачи ах = — • тг • 3 = —, а2 = —тг • 5 = .
13
390)™;—;5тг.
55
394) а. 0; а. = 8.:
13
390)™;—;5тг.
55
394) а. 0; а. = 8.:
13
13
13
13
13
13
397)о. = ±1.
397)о. = ±1.
™; —
77
™; —
77
а. > 1; о. = 0; а. ^ -1.393) а. = 2.
а. > 1; о. = 0; а. ^ -1.393) а. = 2.
1. < —4; а. = ±2; 4 < а < +ос. 396) а < — 1.
399) а = --.400) а = 1.401) а
42
1. < —4; а. = ±2; 4 < а < +ос. 396) а < — 1.
399) а = --.400) а = 1.401) а
42
ТГ13
402) а. = — + 2тгп, n Е Z; а. =h 2тгт, т Е Z; а. = —тг + 2ттк,
ТГ13
402) а. = — + 2тгп, n Е Z; а. =h 2тгт, т Е Z; а. = —тг + 2ттк,
6
6
18
18
18
18
k Е Z. Решение. Прежде всего отметим, что коэффициенты данного уравнения определены лишь для тех значений параметра о, которые удовлетворяют условиям coso ф 0 и sin о > 0. Для любого о, удовлетворяющего этим условиям, данное квадратное уравнение имеет единственное решение только в том случае, когда его дискриминант
S=2L_^_4.36sin a cos а
равен нулю.
Значит, искомые значения параметра а — это те и только те значения а, которые удовлетворяют условиям
(37)(37)Д__+У_4 = 0,sin a cos а,
(37)
(37)
ц cos а ф 0.
Равенство в (37) в области, определяемой неравенствами sin а > 0, cos а ф 0 равносильно уравнению
cos а
или уравнению
sinа — sin 2а. = 0.
\6/
Последнее уравнение можно переписать так:
оЗа\ / тг сЛ
2 sin cos1— = и.
у 122 / у 122/
Отсюда следует, что оно имеет две серии решений
тг 2тг^ ,„ 5тг„
а =1, k Е Z’ а =h 2тгп, п Е Z.
1836
Теперь из этих чисел надо отобрать те, которые удовлетворяют условиям cos а ф Ф 0 и sin а- > 0. Легко видеть, что все найденные числа удовлетворяют условию cos а ф 0. Далее, так как для любого п Е Z имеем sin ( — + 2тгп ) > 0, то все
V 6 /
числа о- =Н2тгп, n Е Z, удовлетворяют условиям (37). Теперь разобьем первую 6
серию решений на три серии, полагая к = 3m, к = 3m + 1, к = 3m + 2. Получим
а =h 2тгт, а = 18а =h 2тгт, а = 1813-71-25тг
а =h 2тгт, а = 18
а =h 2тгт, а = 18
h 2тгт, а =h 2тгт, т Е Z. Поскольку для любого 1818
т Е Z имеем
sin ( — + 2тгт ) = sin — > 0,у 18/18
. / 13тг. 13тг
sinh 2тгт = sin > и,\ 18/18
. / 25тг\. / 7тг\
sinh 2тгт = sin тг 4< О,
\ 18/\18/
то все числа о- =42тгтиа =Н2тгт, т Е Z удовлетворяют условиям (37), а 1818
никакое из чисел а. =h 2тгт, т Е Z, не удовлетворяет условиям (37). Подводя 18
итог, получаем, что условию задачи удовлетворяют только числа а =h 2тгп, 6
п Е Z; а =h 2тгт, т Е Z; а = —тг + 2тгАу к Е Z.
1818
™ + 2тт, п Е Z; — + 2тгк, к Е Z.404) ™ + 2тгАу к Е Z.
4212
— + 2тгк, к Е Z; ™ + 2тгт, т Е Z; ™ + 2?rZ, I Е Z.
993
а < , о- > 1. Решение. Найдем сначала при каждом значении
а все решения, а затем отберем из них те, которые дают ответ этой задачи. Для каждого фиксированного а. будем искать решения данного уравнения сначала в области ж < ™2а, а потом в области ж ^ ™2а.
Пусть ж < ™2а. На этом множестве |ж + 2а| = ™(ж + 2а-) и потому данное уравнение можно переписать в виде
Найдем дискриминант Di получившегося квадратного уравнения (38):
9/1 V
Di = 4сГ 4а + 4 = 4 а -+ 3 > 0.
V 2/
Следовательно, квадратное уравнение (38) при каждом фиксированном значении а имеет два корня
Ж1 = —а + ^/а2 а + 1 и $2 =V°2 ™ а + 1-
Выясним, лежат ли они в области ж < —^а. Корень жх лежит в этой области тогда и только тогда, когда выполнено неравенство
—а + V°2 — а + 1 < —^а
или равносильное ему неравенство
V«2 ™ о + 1 < —а.(39)
Неравенство (39) равносильно системе неравенств
—а > 0,
а — а + 1 <С а"
или
< 0,
> 1.
Последняя система неравенств решений не имеет; значит, ни при каком значении параметра а число жх не лежит в области ж < — 2а. Корень ж2 лежит в рассматриваемой области тогда и только тогда, когда выполнено неравенство
—о —2 а + 1 < — 2а
или равносильное ему неравенство
а < V®2 ™ ft + 1 •(40)
Найдем теперь все значения параметра а, при котором выполнено неравенство (40). Ясно, что неравенству (40) удовлетворяют все а из области о- < 0. В области же а > 0 неравенство (40) равносильно неравенству о-2 < а2 — а + 1 и, значит, имеет решения 0 а < 1. Итак, множество решений неравенства (40) есть промежуток о- < 1. Таким образом, в области ж < —2а исходное уравнение при а ^ 1 не имеет решений, при о- < 1 имеет единственное решение
ж2 = —а — V°2 ™ а + 1 •
Пусть ж ^ —2а. На этом множестве |ж + 2а| = ж + 2а-, и поэтому исходное уравнение можно переписать в виде
ж2 + 2аж + 1 — а = 0.(41)
Найдем дискриминант D2 получившегося квадратного уравнения
D2 = 4а2 + 4а — 4 = 4(а2 + а — 1).
Ясно, что уравнение (41) не имеет решений, если Ds < 0, т.е. если а2 + а — 1 < 0. Значит, уравнение (41) не имеет решений для а из промежутка
-1™ V5 -1 +V5
22 < а < .
2
2
Если а. не принадлежит этому интервалу, то квадратное уравнение (41) имеет корнижз = —аР у/a2 У а - 1, ж 4 = —а — \/а2 Ра™ 1,
причем жз = Ж4 при а. = и о- = . Выясним теперь, при каких
значениях параметра а найденные корни лежат в области ж > —2а. Для этого нужно решить неравенство жз ^ — 2а и ж4— 2а. Неравенство
—а + Vя2 + я — 1 —2а(42)
равносильно неравенству
V&2 + я ~ 1 Р —а
или совокупности двух систем неравенств
!
о2 + а — 1 О, J —а р О,
—а < 0,1 а2+а - 1 > о2.
V5-1
Множество решении первой системы имеет вид а р , а вторая система
2
решений не имеет. Значит, множество решений неравенства (42) есть промежуток а р , и только при этих значениях параметра а корень жз лежит в области
2
ж— 2а.
Неравенство
—а — V°2 + ° ~ 1 ™ 2 fl-
равно сильно неравенству
'х/аРРа™! fl-
или системе неравенств
А- Та — 1^0,
< а р 0,
fl- fl- 1•
Множество решении полученной системы неравенств есть промежуток у
а 1. Только при этих значениях параметра а корень ж4 принадлежит области
ж > —2а. Таким образом, при а. < —-—- данное уравнение в области ж > —2а.
2
-V5-1„ .
решении не имеет. Если а = , то уравнение в рассматриваемой области
-V5 + 1 о
имеет единственное решение жз = Ж4 = При значениях а, лежащих в
области < а у 1, исходное уравнение в рассматриваемой области имеет два
различных корня жз и ж 4. Если же о- > 1, то исходное уравнение имеет единственный корень ж3. Полученные результаты удобно собрать в следующей таблице 4:
Таблица 4
Значения параметра а
Решения данного уравнения
V5 - 1 а <
2
V5 - 1 а = 2
11
< а < 1
2
а = 1
а > 1
Ж2
ж2, ЖЗ = Ж4 (ж2 < Жз)
Ж2, Жз, Ж4 (ж3 7^ Ж4)
Жз = 0, Ж4 = --2
ЖЗ
Таким образом, искомые значения а образуют два промежутка а < и о- > > 1.
а > 3, о. < -3.408) а = 0 а = 1.409) а = ±1.410) о. < 0, а, = 4.
Если а < —2, то жх = 1 —- V(° ™ I)2 + 4, ж2 — 1 + V(a + 2)2 + 4;если — 2 а. < — -, то жх = 1 — д/(а — I)2 + 4, ж2 = 1 — V(o + 2)2 + 4; если а. = — -,
тож1 = —-;если—< а 1,тож1 =^(а + 2)2 + 4,Ж2 = 1 — V(a + 2)2 + 4;
если а. > 1, то жх = 1 + V(a — I)2 +ж2 = 1 — V(a + 2)2 + 4; при а. = —1/2
уравнение имеет только один корень ж = —3/2. Решение. Область допустимых значений исходного уравнения определяется условием -±> 0, т.е. ОДЗ состоит из ж — 3
двух областей ж > 3 и ж ^ — 1. На ОДЗ исходное уравнение равносильно уравнению 2.
(ж-3)7^1 ) + 3(®-3)7^^ - (а —1)(а + 2) = 0.(43)
ж - 3 /V ж — 3
Обозначим t = (ж — 3) 4 . Тогда уравнение (43) можно переписать в виде
ж — 3
tT И™ 3t — (fl- — l)(fl + 2) = 0.
Получившееся квадратное уравнение относительно t имеет два корня О = а — 1 и ^2 = —а — 2. Следовательно, исходное уравнение равносильно на ОДЗ совокупности двух уравнений
/q \ / ж Т 1\ / ж + 1
(ж — 3) 4 = а — 1 и (ж — 3) 4 / = —а — 2.
V ж — 3' V ж — 3
Рассмотрим на ОДЗ исходного уравнения уравнение
(45)
V ж — 3
где b — некоторый параметр. При 6 = 0 уравнение (45) имеет единственное решение ж = — 1. При 6 > О все решения уравнения (45) лежат в области ж > 3. При b > О на множестве ж > 3 уравнение (45) равносильно уравнению
(ж — 3)(ж + 1) = Ь2.(46)
Квадратное уравнение (46) имеет два корня
Ж1 = 1 ++ 62, Ж2 = 1 — V^^b2.
Так как жх > 3, а ж2 < — 1, то при b > 0 уравнение (46) имеет единственный корень Ж1 = 1 + V^ + Ь2. При b < 0 все решения уравнения (45) лежат в области ж < 3, а с учетом ОДЗ исходного уравнения, — в области ж — 1. На множестве ж ^ — 1 при b < 0 уравнение (45) равносильно уравнению (46), и так как жх > 3, а ж2 < — 1, то при b < 0 уравнение (45) имеет единственный корень ж2 = 1 —+ 62.
Итак, при b > 0 уравнение (45) имеет единственный корень жх = 1 + V^H""^ а при b 0 — единственный корень ж2 = 1 — уА + Ь2. Поэтому первое из уравнений (44) при о- > 1 имеет единственный корень жх = 1 + у 4 + (а — I)2, а при а ^ 1 — единственный корень жх —(о- — I)2. Второе из уравнений (44) при а < — 2
имеет единственный корень жх = 1 + у 4 + (а + 2)2,а при а ^ —2 — единственный корень жх = 1 — V^ + (а + 2)2. Так как множество решений исходного уравнения есть объединение множеств решений (44), то исходное уравнение при а < — 2 имеет два корня жх = 1 + V(2 + а)2 + 4 и ж2 = 1 — V(а — I)2 + 4, при а = — 2 два корня жх = 1 — V13 и ж2 = 1, при —2 < а- < 1 имеет два корня жх = 1 — V(о- — I)2 + 4 и ж2 = 1 — V(2 + а)2 + 4, при а- = 1 имеет два корня жх = — 1 и ж2 = 1 — v^3, при о- > 1 имеет два корня жх = 1 + VX®1р+ ^ и ж2 = 1 — V(2 + а)2 + 4. Легко видеть, что при а -2 и при а > 1 равенство жх = ж2 невозможно ни при каких а. Выясним, при каких значениях а. из промежутка — 2 < а < 1 выполняется равенство жх = ж2. Для этого надо решить уравнение
1 - УУТЛУ+4 = 1 - V(a + 2)2 +4, которое равносильно уравнению
V(a- I)2 + 4= V(a + 2)2 +4
или уравнению
(а — I)2 = (а + 2)2, имеющему единственный корень а = —1/2.
Итак, при любом а, кроме а = —1/2, исходное уравнение имеет два корня, а при а = —1/2 оно имеет один корень —3/2.
Если а < —3, то жх = 3 — V(° + З)2 + 1, ж2 = 3 + V(° ~ 2)2 + 1; если -3 а < -1/2, то жх = 3 + V(а + З)2 + 1 и ж2 = 3 - V(а + З)2 + 1; если а = —1/2, то ж = 3 + х/29/2; если —1/2 < а 2, то жх = 3 + (а + З)2 + 1
и ж2 = 3 + V(a — 2)2 + 1; если а > 2, то жх = 3 + V(° + З)2 + 1 и ж2 = 3 — — д/(а — 2)2 + 1. При а = —1/2 уравнение имеет только один корень.
Если а < — 1, то жх = 3 — V(а — 2)2 + 4 и ж2 = 3 + V(а + I)2 + 4; если — 1 а < 1/2, то ж 1 = 3 — V(а ™ 2)2 + 4 и ж2 = 3 — V(а + I)2 + 4; если 1/2 < а 2, то жх = 3 — лДа — 2)2 + 4 и ж2 = 3 — V(а + I)2 + 4; если а > 2, то жх = 3 + л/(а^2у^4 и ж2 = 3 — (а + I)2 + 4; если а = 1/2, то ж = 1/2. При а = 1/2 уравнение имеет только один корень.
Если а < —2, то жх = —3 + V(°' + 2)2 + 1 и ж2 = —3 — (а — З)2 + 1; если — 2 а. < |, то жт = — 3 — V(а + 2)2 + 1 и ж2 = —3 — V(а — З)2 + 1; если 1/2 < а 3, то жт = —3 — у/(а + 2)2 + 1 и ж2 — —3 — у/(а — З)2 + lj если а > 3, то жх = —3 — у/(а + 2)2 + 1 и ж2 = —3 +если а = 1/2, то
V29
ж = — 3. При а- = 1/2 уравнение имеет только один корень.
415)0 <а<1.416) \а\ < 1, о. > 2.417) о. > 0.418) о. <2.
а1а ।
< а < 1/3, - < а < . Решение. При а = 1/3 урав-
1636
нение имеет единственный корень ж = 3/2. При любом а / 1/3 данное уравнение является квадратным уравнением. Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня в том и только том случае, когда дискриминант его положителен. Дискриминант данного уравнения равен
D = (2а)2 - 4(3а - 1)(3а - 2) = -4(8а2 - 9а + 2).
Искомые значения параметра а удовлетворяют условиям
19
а ф - и 8а" — 9а + 2 < 0.
Поэтому множество значений параметра а, удовлетворяющего условию задачи со™ 9™ V17119 +VT7
стоит из двух промежутков < а. < - и - < а. < .
163316
6-2д/2316 + 2V23,о
< а < —,< а < .421) а = ±3.422) а =
7227
= 3; а = —.423) а > 4.424) а = 0; а = -1; а = -4.425) 1 < а С
4
< W. 426) а < -7/3, а > -2. 427) -1/4 < а < 0. 428) 0 < а < 1/хД. 429) -1/8 < а < 0.
В ответах к примерам №430-443 значения параметра, при которых соответ™ ствующие уравнения имеют ровно два решения, явно не выделены.
Если а > 0, то жх,2 = ±; если а. 0, то решении нет.
2 а
Если а. < 0, то ж = ™V1 ™ а; если а = 0, то ж = ±1; если 0 < а < 1, то Ж1,2 = ±V1 — « и жз = V1 + а; если а = 1, то жх = 0, ж2 = V2.432) Если
а. > 0, то ж = 1 + V1 + а; если а = ™1, то ж = — 1, если — 1 < а 0, то жх = 1 — — V1 + а и ж2 = 1 + V1 + а; если а < ™1, то решений нет. 433) Если а ^ 1, то
яд = V3a — 1 и ж2 = — V3a — 1; если а < 1, то решений нет. 434) Если а = 0, то х > 0; если а > 0, то х = 0; если а < 0, то решений нет. 435) Если \а\ = 2,
1I I \ оН + Va2 - 4|а| - Va2 -4. .
то х = 1; если |о.| > 2, то яд = —и ж2 = “; если |а| < 2,
то решений нет. 436) Если 0 < о- < 1 или а. > 1, то х = 1 + V1 + а; если а ^ 0 или а = 1, то решений нет. 437) Если а > 0, то х = log2 а и х = log2(a + 1), если — 1 < а. V 0, то х = log2(a + 1); если а. V — 1, то решений нет. 438) Если 1 < а < V2 или а > V5, то ж = ±1; если а = V5 или 0 < а V 1, то решений нет.
\21/1 \2
Если 0 < а < 1, то xi = - (а ) и х^ = — (а ) ; если а = 1, то
4 \а/4 \а/
х = 0, если а V 0 или а. > 1, то решений нет.
Если а = 1, то решением является любое значение ж из промежутка 1 < < х < +оо; если а. = — 1, то решением является любое значение х из промс- жутка -3 ж 1; если |а| < 1, то хх = и яд = 1; если |а| > 1,
а — 1
то уравнение имеет единственный корень яд = 1. Решение. Разобьем числовую ось на три промежутка: — оо < х < —3; —3 V ж 1? 1 < х < < +оо. Решим исходное уравнение на каждом из этих промежутков.
Рассмотрим промежуток — оо < х < — 3. При значении х из этого промежутка
исходное уравнение перепишется в виде
— (ж + 3) + а(х — 1) = 4
или в виде
(о.1)ж = 7 + а.,(47)
откуда видно, что при а. = 1 уравнение (4) не имеет решений. Если а. ^ 1, то уравнение (47) имеет один корень
7 ихх = .
а — 1
Теперь надо выяснить, при каких значениях а. этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку — оо < ж < — 3. Для этого надо решить неравенство
7 + а
а — 1
Перепишем это неравенство в виде
<0.а — 1
Применяя метод интервалов, получим, что решения этого неравенства составляют промежуток — 1 < а < 1. Следовательно, на множестве — оо < ж < — 3 исходное уравнение имеет один корень (48) при любом значении а. из промежутка — 1 < а. < 1 и не имеет корней при любом значении а, не принадлежащем этому промежутку.
Рассмотрим промежуток -3 ^ ж ^ 1. При значениях х из этого промежутка
исходное уравнение перепишется в виде
х + 3 + а^х — 1) = 4,
или в видеили в виде(о- + 1)ж = о- + 1,(о- + 1)ж = о- + 1,(49)(49)
или в виде
или в виде
(о- + 1)ж = о- + 1,
(о- + 1)ж = о- + 1,
(49)
(49)
откуда видно, что при а. = — 1 решением уравнения (49) является любое действительное число. Если а ^ — 1, то уравнение (49) имеет один корень х = 1. Следовательно, в рассматриваемом промежутке исходное уравнение имеет единственный корень х = 1 при любом а ^ — 1, а при а = — 1 его решением будет любое число из промежутка — 3 ^ х ^ 1.
Рассмотрим промежуток 1 < х < +оо. При значениях х из этого промежутка исходное уравнение перепишется в виде
х + 3 — а(ж — 1) = 4
или в виде
(1 — а)х = 1 — а.,(50)
откуда видно, что при о- = 1 решением уравнения (50) является любое действительное число. Если а ^ 1, то уравнение (50) имеет единственный корень х = 1, не лежащий в рассматриваемом промежутке. Следовательно, в рассматриваемом промежутке исходное уравнение не имеет корней при любом а ^ 1, а при а = 1 его решением будут любые числа из промежутка 1 < х < +оо. 441) Если а. = — 1, то —ос < х 3; если а = 1, то —3 х 2; если |о.| > 1, то х = —3; если |о.| < 1,
то Xi = —3 и яд = -——.442) Если а. = 2, то —4 х —3; если а. = —2,
й у 1
то х — 3; если |о.| > 2, то х = — 3; если Ы < 2, то яд = — 3 и ж 2 = _ 5Edll2.
2 ci
33333
443) Если а = то х ^ — если а = — то — - ^ х ^ 2; если Ы > то 22222'
I I 336а + 33
х = —; если а < то xi = — и ж 2 = .
226-4а
± х/ТЗ2
а = 'яд = 0, яд = 1, яд = — 1.445) а = 2; яд = —2, яд =
23
яд = 6; а = 4, яд = —яд = 0, хз = 8.446) а = яд = 2 — V5, ж 2 = 0,
32
3г"
хз = 2 + у 2; а = 1, яд = — 1, яд = 1, хз = 3; а = -, яд = — у 2, Х2 = У 2, хз = 2. 2
а = —2, xi = —2, яд = 6/5, хз = 10/3; а = —1/2, xi = —1/5, яд = 0, хз = 1/3. Решен и е. При о- = 0 данное уравнение имеет вид
х = 4|х|.
Поскольку у этого уравнения есть только один корень х = 0, то значение о- = 0 не удовлетворяет условию задачи.
Рассмотрим функцию
/(ж) = 2|2|х| — о2| — х + а,
где а. — некоторое фиксированное отличное от 0 число. Если х принадлежит мно- а2
жеству х , то
2,,
2|ж| — а2 = ™2х — а2 0
и
/(ж) = 2(™2х — а2) — х + а = ™5х — 2а2 + а;
если х принадлежит множеству ——ж 0, то
2|ж| — о2 = —2ж — а20 и /(ж) = 2(2ж + а2) — х + а = Зж + 2а2 + а;
если х принадлежит множеству О х —, то
2
2|ж| — о2 = 2ж — а2 < О и /(ж) = 2(^2ж + о2) — х + а = —Ьх + 2а2 + а;
а2
если х принадлежит множеству х р —, то
2
2|ж| — о2 = 2ж ™ о2 О и /(ж) = 2(2ж — о2) — х + а = Зж — 2а2 + а.
Рассматривая найденные выражения для /(ж), видим, что на промежутке — ос <
а2а2
< ж — функция f(x) монотонно убывает, на промежуткех 0 —
а2
монотонно возрастает, на промежутке 0 ж монотонно убывает и на 2
промежутке ™ х < +оо — монотонно возрастает. В частности, это означает,
2
и2 а2а2
что на каждом из промежутков — ос < жж О, 0 ж
а2_
— ж < +ос данное в условии уравнение имеет не более одного корня и что наименьшее значение функции /(ж) на множестве ж О равно / ^™^ = — ™ + + а, а на множестве ж О наименьшее значение /(ж) равно / (^—“”^ = ”—
а2
Если значение а таково, что /(0) < 0 (рис. 30), то на промежутках^
а2
^ж^ОиО^ж^ — функция /(ж) отрицательна и, значит, данное уравнение
на этих промежутках не имеет корней. Отсюда по доказанному выше следует, что данное уравнение имеет не более двух корней. Следовательно, искомые значения параметра а удовлетворяют неравенству /(0)0.
Если /(0) = 2о2 + о- = 0, то ввиду предположения, что а. ф 0, имеем а. = —
При а = — - находим
2
/ Г-—= - - - < 0, /— - < 0.
\2 /82\ 2 /82
1а2
Отсюда следует, что при а = — на каждом из промежутков —ос < ж ^и
Рис. 30Рис. 30
Рис. 30
Рис. 30
а2
— ж < +ос исходное уравнение имеет по одному корню
— 2а2 + а1Ж1 = =55— 2а2 + а1Ж1 = =552а2 — аХ2 = 2а2 — аХ2 = 331313а2Третий корень жз = 0 принадлежит как промежутку ——х 0, так и промежуткуа2Третий корень жз = 0 принадлежит как промежутку ——х 0, так и промежутку„а2_10 х —. Таким образом, значение а. = — удовлетворяет условию задачи. Далее22будем считать, что фиксированное число а (а ^ 0) удовлетворяет неравенству /(0) >> 0. Отмстим еще, что при а ^ 0„а2_10 х —. Таким образом, значение а. = — удовлетворяет условию задачи. Далее22будем считать, что фиксированное число а (а ^ 0) удовлетворяет неравенству /(0) >> 0. Отмстим еще, что при а ^ 0,2,2,2,2Если /Если /2222> 0 и поэтому функция / (ж) положительна для всех> 0 и поэтому функция / (ж) положительна для всехх (рис. 31). Но это означает, что исходное уравнение не имеет корней.х (рис. 31). Но это означает, что исходное уравнение не имеет корней.= 0, то= 0, то> 0, и поэтому функция /(ж) обращается в> 0, и поэтому функция /(ж) обращается ва2нуль лишь в точке х = — (рис. 32). Это означает, что исходное уравнение имеет один2а2нуль лишь в точке х = — (рис. 32). Это означает, что исходное уравнение имеет один2корень.корень.Рис. 33Рис. 33
— 2а2 + а1
Ж1 = =
55
— 2а2 + а1
Ж1 = =
55
2а2 — а
Х2 =
2а2 — а
Х2 =
3
3
1
3
1
3
а2
Третий корень жз = 0 принадлежит как промежутку ——х 0, так и промежутку
а2
Третий корень жз = 0 принадлежит как промежутку ——х 0, так и промежутку
„а2_1
0 х —. Таким образом, значение а. = — удовлетворяет условию задачи. Далее
22
будем считать, что фиксированное число а (а ^ 0) удовлетворяет неравенству /(0) >
> 0. Отмстим еще, что при а ^ 0
„а2_1
0 х —. Таким образом, значение а. = — удовлетворяет условию задачи. Далее
22
будем считать, что фиксированное число а (а ^ 0) удовлетворяет неравенству /(0) >
> 0. Отмстим еще, что при а ^ 0
,2
,2
,2
,2
Если /
Если /
2
2
2
2
> 0 и поэтому функция / (ж) положительна для всех
> 0 и поэтому функция / (ж) положительна для всех
х (рис. 31). Но это означает, что исходное уравнение не имеет корней.
х (рис. 31). Но это означает, что исходное уравнение не имеет корней.
= 0, то
= 0, то
> 0, и поэтому функция /(ж) обращается в
> 0, и поэтому функция /(ж) обращается в
а2
нуль лишь в точке х = — (рис. 32). Это означает, что исходное уравнение имеет один
2
а2
нуль лишь в точке х = — (рис. 32). Это означает, что исходное уравнение имеет один
2
корень.
корень.
Рис. 33
Рис. 33
23 М.К. Потапов и др.
/ X/ X
Если / f — I < 0, но / ( — — I > 0, то функция /(ж) обращается в нуль
лишь в одной точке каждого из интервалов 0 < х < — и — < х < +оо. 22
А это означает, что исходное уравнение имеет два корня (рис. 33).
Если / ^™^ < Ои/ ^- —) = 0, то функция /(ж) обращается в нуль в точ-
а2„а2_
кеи еще в двух точках: одной в интервале 0 < х < — и другой в интер- 22
а2
вале — < х < +оо (рис. 34). Следовательно, исходное уравнение имеет три корня.
2
Наконец, если /Наконец, если /< 0, то исходное уравнение имеет< 0, то исходное уравнение имеет
Наконец, если /
Наконец, если /
< 0, то исходное уравнение имеет
< 0, то исходное уравнение имеет
четыре корня (рис. 35).
Рис. 34Рис. 35Рис. 34Рис. 35
Рис. 34Рис. 35
Рис. 34Рис. 35
Итак, исходное уравнение имеет три корня в двух случаях: когда а = — и 2 когда а. удовлетворяет условиям
Г /(0) > О,
j / Р/2) < О,
( /= О,
т.с. условиям
{
а2/2 + а = О, 2а" а > О, —оГ j2 + а < 0.
Легко проверить, что этим условиям удовлетворяет лишь а = — 2.
а = -1; жт = -1/2, ж2 = 3/10, ж3 = 5/6.
а = —1/4; Ж1 = —1/20, ж2 = 0, ж3 = 1/12.
а = —3; Ж1 = -1, ж2 = 41/40, ж3 = 40/41.
а = -1/27; жх = -1/3321, ж2 = 0, ж3 = 1/3240.
а = -2; Ж1 = -1, ж2 = 15/17, ж3 = 17/15.
а = —1/8; хх = —1/36, ж2 = 0, жз = 1/120.
а ^ 1. Решение. Если а = 0, то данное уравнение запишется в виде х2 = 1. Это уравнение имеет корни ж i = 1иж2 = — 1, следовательно, в этом случае число положительных и число отрицательных корней одинаково и такое значение а. условию задачи не удовлетворяет.
Пусть а. ф 0. Обозначим ^ = (ж — а)2, тогда исходное уравнение перепишется в виде
ож2 — (о- + 1)^ + 1 = 0.(51)
Корнями уравнения (51) являются ^i = 1 и г2 = 1/а.
Если а < 0, то исходное уравнение имеет два корня хх = а + 1 и ж2 = а — 1. Легко видеть, что при — 1 < а < 0 имеем хх > 0 и ж2 < 0, при а < — 1 имеем хх < 0 и ж2 < 0, а при а = — 1 имеем хх = 0 и ж2 = — 2. Следовательно, ни при каком о- < 0 исходное уравнение не имеет положительных корней больше, чем отрицательных, т.е. никакие значения о- < 0 условию задачи не удовлетворяют.
Если о- > 0, то исходное уравнение имеет четыре корня жi = а + 1,ж2 = а —1, 11
жз = а 4, ж 4 = а.
Пусть 0 < а. < 1. Тогда хх > 0, х^ < 0, жз > 0, ж 4 < 0, т.е. при любом о-таком, что 0 < о- < 1 исходное уравнение имеет два положительных и два отрицательных корня. Следовательно, никакие значения а. из промежутка 0 < о- < 1 условию задачи не удовлетворяют.
Пусть о- = 1. Тогда хх = 2, х^ = 0, жз = 2 и ж 4 = 0, т.е. исходное уравнение имеет два положительных и ни одного отрицательного корня. Следовательно, это значение а удовлетворяет условию задачи.
Пусть о- > 1. Тогда хх > 0, ж2 > 0, жз > 0, ж 4 > 0, т.е. исходное уравнение имеет четыре положительных и ни одного отрицательного корня, т.е. все такие значения а. удовлетворяют условию задачи.
Следовательно, условию задачи удовлетворяет любое значение а + 1.
а + 0.453) ™оо < а < -1. 454) 0 < о. < +оо. 455) 2 + а + 4.
а + —4; а = 1, 8/3 + а < 4, а > 4. Р с ш е н и с. Точка х = 0 будет в приводимом ниже решении играть особую роль. Поэтому отдельно исследуем тс значения параметра а, при каждом из которых уравнение будет иметь корень х = 0. Подставляя х = 0 в уравнение, видим, что имеется только одно такое значение параметра, именно, о- = 1. Уравнение при о- = 1 имеет вид
Поскольку множитель V8 — ж нс обращается в нуль на отрезке [—2; 3], то уравнение (52) на этом отрезке равносильно такому:
х + cos = 1.(53)
4
Функция, стоящая в левой части этого уравнения, четная. Значит, уравнение (53) на отрезке [—2,2] будет иметь нечетное число корней (если жо / 0 — корень уравнения (53), то (—жо) также его корень, кроме того, имеется корень ж = 0). На множестве [2,3] уравнение (53) корней не имеет, так как на этом множестве
Итак, при о- = 1 исходное уравнение имеет нечетное число корней на отрезке [—2,3]. Значит, о- = 1 удовлетворяет условию задачи.
Отметим теперь еще раз, что при о- ^ 1 все корни исходного уравнения отличны от нуля.
Исследуем еще значение параметра а. = 0. При о- = 0 исходное уравнение имеет вид
2 I117ГЖ л
х + cos = 0.(54)
4
Уравнение (54) на отрезке [—2,2] имеет четное число корней. Это следует из четности функции, стоящей в левой части уравнения (54), поскольку вместе с корнем жо уравнение будет иметь и корень (—хо). На множестве (2, 3] уравнение (54) корней не имеет, так как на этом множестве ж2 + cos ^4—1 = 3>0. Итак, при 4
о- = 0 исходное уравнение имеет четное число корней на отрезке [—2,3]. Значит, о- = 0 не удовлетворяет условию задачи.
Теперь исследуем значения параметра а такие, что а ^ 0 и а ^ 1. При любом таком а. исходное уравнение имеет корень xi = 8/а. Выясним, при каких значениях а этот корень попадает в отрезок [—2, 3]. Очевидно, что это будет при тех о-, которые удовлетворяют двойному неравенству — 2 ^ 8/а ^ 3. Ясно, что среди положительных а это будут те, которые удовлетворяют условию а ^ 8/3, а среди отрицательных а. — те, которые удовлетворяют условию а. ^ —4. Теперь очевидно, что надо рассмотреть три области изменения параметра:
а < -4: 2.4 < а < 8/3, а ^1,а^ 0; 3. а 8/3.
Пусть а. ^ —4. Тогда исходное уравнение имеет на отрезке [—2,3] корень xi = 8/а. Рассмотрим теперь уравнение
2Птгж
х + cos = а.(55)
4
„_о ПтгжПтгж .
При а— 4 уравнение (55) корней не имеет, так как х +cos р cos р — 1.
44
Итак, исходное уравнение при любом а ^ — 4 имеет только один корень хх = 8/а. Значит, все а. ^ —4 удовлетворяют условию задачи.
Пусть —4 < а. < 8/3, о- 1, о- 0. В этом случае множитель V8 — аж не обращается в нуль на отрезке [—2, 3]. Значит, на отрезке [—2,3] исходное уравнение равносильно уравнению (55).
Уравнение (55) на отрезке [—2,2] имеет четное число корней (или не имеет их вовсе). Это следует из четности функции, стоящей в левой части уравнения (55), так как вместе с корнем хо уравнение будет иметь корень (—жо). На множестве (2, 3] уравнение (55) корней не имеет, поскольку на этом множестве имеем х2 +
+ cos ——ж2 — 1 ^4 — 1 = 3>8/3. Итак, при указанных значениях параметра
4
а исходное уравнение либо не имеет корней на отрезке [—2,3], либо имеет их четное число. Следовательно, все эти значения а. не удовлетворяют условию задачи.
Пусть а ^ 8/3. Тогда исходное уравнение имеет на отрезке [—2,3] корень жх = 8/а. Отмстим, что из корней уравнения (55) корнями исходного уравнения будут только те, которые удовлетворяют условию 8 — ах 0, т.с. те, которые удовлетворяют условию х ^ 8/а. Теперь задача может быть переформулирована
так: в области а. ф 8/3 найти вес значения а., при каждом из которых уравнение (55) имеет на промежутке [—2,8/а) четное число различных корней.
Рассмотрим несколько случаев.
Пусть а = 4, тогда уравнение (55) имеет вид
(56)(56)2 , Птгж .х + cos = 4.
(56)
(56)
4
В этом случае множество, на котором исследуется уравнение (56), таково: [—2, 2). На множестве (—2,2) уравнение (56) имеет четное число корней. Но точка ж = — 2 также удовлетворяет уравнению (56). Это легко установить подстановкой. Следовательно, при о- = 4 на промежутке [—2,8/а) уравнение (56) имеет нечетное число корней. Значит, о- = 4 не удовлетворяет условию задачи.
Пусть а > 4. В этом случае 8/а < 2 и, так как на отрезке [—2, 2] уравнение (55) имеет четное число корней условию задачи будут удовлетворять те о-, при каждом из которых уравнение (55) имеет четное число корней (или нс имеет их вовсе) на множестве [8/а, 2]. Докажем, что на множестве [8/а, 2] уравнение (55) не имеет корней. Отсюда будет следовать, что все о- > 4 удовлетворяют условию задачи. Поскольку оz211ТГЖ .82
х = 2 не является корнем уравнения (55) (о- ф 4) и а — х — cosх —
4 х
— cos У —, то достаточно доказать, что на множестве (0,2) справедливо неравенство 4
82 Птгж . _18„ 9тг Птгж Птг Итог .
х — cos > 0. Если — < х < 2, то — < < и cos < 0.
х4112424
Значит, на этом множестве имеет место неравенство
2 Птгж 82 Л
х4 х
(последнее неравенство выполнено, поскольку х < 2). Если 0 < х ^ 18/11, то R182
пользуясь монотонным убыванием функции у =- — х на множест-
X
2 . 8-11/18 У 44
ве х > 0 находим, что - — х ф ——>3 > 1 и, значит,
X18\П/9
82Птгж .Птгж .„.
х — cos > 1 — cos у 0. Итак, все о- > 4 удовлетворяют усло- х44
вию задачи.
в) Пусть 8/3 ^ а. < 4. В этом случае 8/а > 2 и подобно пункту б) достаточно найти все а, при которых уравнение (55) на множестве (2,8/а) имеет четное число различных корней (или не имеет их вовсе). Как и в пункте б), докажем, что при всех а, удовлетворяющих неравенствам 8/3 а < 4, уравнение (55) на множестве (2,8/а) не имеет корней. Поскольку на множестве (2,8/а) выполнено
~ ,2 ПтГЖ 82 Птгж
неравенство а. < 8/ж и, следовательно, а — х — cos <х — cos, 4 х4
то достаточно доказать, что на множестве (2, 3) выполнено неравенство - — ж2 — X
Птгж„ _26ПтгПтгж13тгПтгж „ „
— cos < 0. Если 2 < х < —, то < < и cos > 0. Значит,
4112424
о 2117ГЖ б 2. n z
на этом множествех — cos <х < О (последнее неравенство х4 ж
26
выполнено, поскольку х > 2). Если — х < 3, то, пользуясь монотонным
г82п82 .
убыванием функции у =х на множестве х > 0 находим, чтох XX
,8-11/2б\2448211тг$, Ита „
—<5 < — 1 и значит,х — cos < — 1 — cos
26\ 11/13х44
^ 0. Итак, все а из области 8/3 ^ а < 4 удовлетворяют условию задачи. Собирая
вместе все а, удовлетворяющие условию задачи, получаем ответ.
457) а —3, а = — 1, 3/5 а < 3.458) а—4, а = — 1,8/5 а < 4,
а > 4.459) а <7 -5, а = 1, 5/13 а < 5, а > 5.
ГЛАВА II
х Е R. 2) х Е R. 3) ™оо <ж<0;0<ж<1;1<ж< +оо. 4) — оо <ж<0;0<ж< +оо. 5) —2 ^ ж < +оо. 6) 3 ж 7. 7) Решений нет. 8) х = 0; 1 ^ х < +оо. 9) 1 ^ ж < +оо. 10) — 1 ^ ^ж<0;0<ж^1.11) 3/2 < х < +оо. 12) 3 < х < +оо. 13) 0 < х <
< +оо.14)—1 < ж< 0.15) 0 < х < 1, 1 < х < +оо.16) 1 <ж< 2;
2 < х <+оо.17) 1 <х < 2; 2 < х < +оо. 18) Решений нет.19) — 1 < ж <
< +оо.20)— оо < ж< — 1; — 1<ж<0;0<ж< +оо. 21) 0 < ж<+оо.
ж =3.23) ж =0; ж = 1.24) ™оо < ж < 2.25)0 < ж<1/2;
1/2 < ж 1.
На ОДЗ неравенства его левая часть неотрицательна, и поэтому не может быть меньшей или равной ( —1).
ддз неравенства есть пустое множество.
Для любых ж из ОДЗ неравенства разность Vж + 2 — Vж + 4 отрицательна и поэтому не может быть большей или равной двум.
ОДЗ неравенства есть единственное число ж = 1, которое не является решением этого неравенства.
Абсолютная величина любого числа нс может быть отрицательным числом.
Левая часть неравенства положительна для любого действительного числа ж и поэтому не может быть меньше, чем — .
V 2/
Так как |ж — 110 и |2ж + 3|0, то неравенство |ж — 1| + |2ж + 3|0
справедливо тогда и только тогда, когда одновременно |ж — 1| = 0 и |2ж + 3| = 0, что невозможно.
ОДЗ неравенства пустое множество.
Так как |ж2 + 1| = ж2 + 1 ^ 1 и |ж2—4ж+7| = | (ж™— 2)2+31 = (ж —2)2+33,
то |ж2 + 1| + |ж2 — 4ж + 7| ^4.
Так как 2ж2 — 4ж + 3 = 1 + 2(ж — I)21 и 5 — 4ж + ж2 = 1+
+ (ж — 2)21, то V2ж2 ™ 4ж + 3 + у/б ™ 4ж + ж2 2.
Воспользовавшись неравенством а + - ^2, справедливым для любого а > О, а
получим, что на ОДЗ неравенства его левая часть не меньше двух.
На ОДЗ неравенства обе части неравенства положительны, после возведения в квадрат получим равносильное неравенство, которое очевидно не имеет решений.
Поскольку ж2 — 2ж + 3 = (ж — I)2 + 22, то -. Поэтому для
ж2 ж 4~ 32
любого х из ОДЗ неравенства его правая часть больше или равна 1, а левая меньше или равна 1/2.
Воспользоваться неравенствами 2ж ™4ж+9 > 25, < 1.
'1 + |ж — 3|
Так как на ОДЗ неравенства \fx 0 и Уж + 5 Уб > 2,2, то на ОДЗ правая часть неравенства больше, чем 2,2.
Воспользоваться неравенствами ж2 + х + 4 > 1, ж2 + 2ж + 3 > 1.
ОДЗ неравенства есть х < 0. Для х < 0 имеем х + —-2 и поэтому
X
? х + - << -1,аДй-1 > -1.
V х
На ОДЗ неравенства ж8 • Уб — х 0, а у 10 + 3 Vж2 — 1 > 3.
ОДЗ неравенства — пустое множество.
На ОДЗ неравенства его левая часть положительна, а правая неположительна.
Поскольку log2 [ ж2 + 1 4— ] > 1 и log2 (2 — Уж + б) 1, то нера-
'" \ж2 +1 /"
венство, данное в условии, возможно, если одновременно справедливы равенства
log2 ( х2 + 1 4— J = 1 и log2 (2 — Уж + б) = 1, что невозможно.
\Ж2 + 1 /
Так как 2 + Уж 2 и 1 + х2 1, то log4 (2 + Ух) > и
log2(l + ж2) > 0. Следовательно, log4 (2 + Уж) + log2(l + ж2).
Поскольку на ОДЗ неравенства Уж > 0, то 2^1, 3^1 и 4^+14,
поэтому 2^ + 3^ + 4^+16.
На ОДЗ неравенства его левая часть положительна, а правая отрицательна.
ОДЗ неравенства есть промежуток — 3 ^ ж ^ 4. Для ж, удовлетворяющих условию — 3 ж < 0, имеем Уж + 30, У9 — ж > У9 = Уз, поэтому Уж + 3 +
+ У9 — ж > Уз. Для ж, удовлетворяющих условию 0 < ж ^ 9, имеем У9 — ж ^ 0 и Уж + 3 > Уз, поэтому Уж + 3 + У9 — ж > Уз. Для ж = 0 левая часть неравенства равна Уз + У9 = 2Уз. Следовательно, при любом ж из ОДЗ неравенства его левая часть больше Уз.
Разбить ОДЗ на две области ™4 ^ ж < 0 и 0 ^ ж ^ 16 и рассмотреть неравенство на каждой из этих областей.
ОДЗ неравенства есть ж = 0, которое не является его решением.
ОДЗ неравенства есть промежуток — 1 < ж < 1, на котором справедливы неравенства |У2|ж| — 1|1, log2(2 —2ж2) < 1. Следовательно, на ОДЗ левая часть
неравенства меньше или равна 1.
Воспользоваться тем, что на ОДЗ неравенства: з™1ж™211?
log2(4ж ж2 ™ 2)1.
Применить неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом к выражениям уж^+Т и V^4 ™ ж2 + 1
Да. 57) Да. 58) Да.
Нет, так как ж = 1 является решением второго неравенства, но нс является решением первого.
Нет, так как все — ею < ж < —1 являются решениями первого, но не являются решениями второго неравенства.
Нет, так как все — сю < ж < 0 являются решениями второго неравенства, но нс являются решениями первого.
Да.
Нет, так как, например, ж = 0 есть решение второго неравенства и нс есть решение первого.
Да. 65) Да. 66) Да.
Нет, так как, например, ж = 1 есть решение второго неравенства, но не является решением первого.
Нет, так как, например, ж = — 5 есть решение второго неравенства, но не является решением первого.
Да. 70) Да.
Нет, так как, например, ж = 5 сеть решение второго неравенства, но нс есть решение первого.
Нет, так как, например, ж = — 2 есть решение первого неравенства, но нс есть решение второго.
Да. 74) Да.
Нет, так как все ^сю < ж < 0 являются решениями первого неравенства, но не являются решениями второго.
Нет, так как все ^сю < ж < ^1 являются решениями первого неравенства, но не являются решениями второго.
Нет, так как ж = 4 есть решение второго неравенства, но не есть решение первого.
Да. 79) Да. 80) Да. 81) Да.
Нет, так как ж = 3 есть решение второго неравенства, но не есть решение первого.
Да. 84) Да.
Нет, так как ж = 0 есть решение второго неравенства, но не есть решение первого.
Нет, так как, например, ж = 2/3 есть решение первого неравенства, но не есть решение второго.
Нет, так как, например, ж = 0 сеть решение второго неравенства, но нс есть решение первого.
Да. 89) Да.
Нет, так как, например, ж = 4 сеть решение второго неравенства, но нс есть решение первого.
Нет, так как ж = О есть решение второго неравенства, но не сеть решение первого.
Нет, так как, например, ж = ^1 есть решение второго неравенства, но нс есть решение первого.
Нет, так как, например, ж = О есть решение второго неравенства, но нс есть решение первого.
Да. 95) Нет, так как, например, ж = — 2 есть решение второго неравенства, но нс есть решение первого.
Нет, так как ж = 0 есть решение первого неравенства, но нс есть решение второго.
Нет, так как все — сю < ж < О являются решениями второго неравенства, но нс являются решениями первого.
Нет, так как все — сю < ж ^ О являются решениями второго неравенства, но нс являются решениями первого.
Нет, так как, например, ж = — 1 есть решение второго неравенства, но не есть решение первого.
Нет, так как, например, ж = — 4 сеть решение первого неравенства, но нс есть решение второго.
Да.
Нет, так как, например, ж = ™5 есть решение первого неравенства, но нс есть решение второго.
Нет, так как, например, ж = 0 есть решение второго неравенства, но не сеть решение первого.
Нет, так как, например, ж = — 2 есть решение второго неравенства, но не сеть решение первого.
Нет, так как, например, ж = ^2 есть решение второго неравенства, но не есть решение первого.
Нет, так как ж = — 4 есть решение первого неравенства, но нс есть решение второго.
Да. 108) Нет, так как, например, ж = —1/2 есть решение второго неравенства, но нс есть решение первого.
Нет, так как, например, ж = 0 есть решение первого неравенства, но нс есть решение второго.
Нет, так как, например, ж = 0 есть решение первого неравенства, но нс есть решение второго.
Да. 112) Да. 113) Да.
Нет, так как, например, ж = —2/3 сеть решение первого неравенства и нс есть решение второго.
Да. 116) Да. 117) Да. 118) Да. 119) Да. 120) Да. 121) Да.
Да.
Нет, так как ж = 0 есть решение второго неравенства, но не есть решение первого.
Да. 125) Да.
Нет, так как ж = 0 является решением первого неравенства, но нс является решением второго.
Нет, так как ж = — 2 есть решение второго неравенства, но не есть решение первого.
Нет, так как, например, ж = 1 есть решение второго неравенства, но не сеть решение первого.
Да. 130) Нет, так как ж = 0 есть решение первого неравенства, но нс есть решение второго.
Нет, так как, например, ж = —3/2 есть решение неравенства, но нс есть решение системы неравенств.
Да. 134) Да. 135) Да. 136) Да. 137) Да. 138) Да. 139) Да.
Нет, так как, например, ж = — 3 есть решение неравенства, но нс есть решение системы неравенств.
Да. 142) Нет, так как ж = 0 есть решение неравенства, но нс есть решение системы неравенств.
Да. 144) Да.
Нет, так как жт = 2 и ж2 = — 2 являются решениями неравенства, но нс являются решениями системы неравенств.
Да. 147) Нет, так как ж = — 3 нс есть решение совокупности, а есть решение неравенства.
Да. 149) Нет, так как ж = 0 есть решение неравенства, но нс есть решение совокупности.
Да. 151) Да. 152) Да. 153) Да. 154) Да. 155) Да. 156) Да.
§2
1) 3,5 < ж < +сю.2) — сю < ж < 1/9.3) —1 < ж < +сю. 4) —сю <
< ж < 36/7.5) 51/41 < ж < +сю. 6) 5,5 < ж < +сю. 7) —сю < ж < 0,35.
1 < ж < +сю. 9) ж Е R. 10) —сю < ж < —2; 2 < ж < +сю. 11) — V5/2 < < ж < V3/2.12) ж Е R. 13) Нет решений. 14) — 1/V2 < ж < 1/V2.
—сю < ж < —3, 1 < ж < +сю. 16) —сю < ж < 2, 2 < ж < +сю. 17) ж = 3.
™/ 2-V7 2 + V7/ -1-V5
— сю < ж < , < ж < +сю. 19) — сю < ж < ,
332
< ж < +сю. 20) Нет решений. 21) —сю < ж < 1/2, 1 ^ ж < +сю.
22) -1 < ж < 3.22) -1 < ж < 3./1-V21 1 + V2T„
22) -1 < ж < 3.
22) -1 < ж < 3.
— сю < ж < , ж < +сю. 24) Нет
44
решений. 25) —сю < ж < -\/1/3.26) —сю < ж < — ^8/5; -^8/5 < ж < +сю.
27) у/2/Д < ж < +сю. 28) - у/^Р < х < ^5/2.29) -сю < ж < -3,
31) —сю < ж < — 1, 5 < ж < +сю.31) —сю < ж < — 1, 5 < ж < +сю.2 < ж < +сю. 30) —1/2 ^ ж ^ 2.
31) —сю < ж < — 1, 5 < ж < +сю.
31) —сю < ж < — 1, 5 < ж < +сю.
32) —сю < ж < —3; 1 < ж < +сю.34) —3 < ж < 1/2, 4 < ж < +сю.32) —сю < ж < —3; 1 < ж < +сю.34) —3 < ж < 1/2, 4 < ж < +сю.33) -4 ж <: -3/2; 1/3 ж < +сю.
32) —сю < ж < —3; 1 < ж < +сю.
34) —3 < ж < 1/2, 4 < ж < +сю.
32) —сю < ж < —3; 1 < ж < +сю.
34) —3 < ж < 1/2, 4 < ж < +сю.
35) -сю < ж < -1/3, 1/2 < ж < -4.
36) —сю < ж —1/3; 1/2 ж —4.37) —3 ж 1/2, 4 ж < +сю.
38) —тг < ж < —3, 3 < ж < тг. 39) —сю < ж 1/2; 2 ж < +сю. 40) —2/3 <
< ж < 2.41) 2 < ж < +сю. 42) —сю < ж < — 1.43) —сю < ж < 0,
-—— < ж <44) 1 ж < +сю. 45) —2 < ж < +сю. 46) —сю <
22
< ж —2; —1/2 ж 1.47) —сю < ж < 0; 0 < ж < 2.48) —2 ж —1.
49) —сю < ж ^ —2; ж = 0;ж = 1;2<ж< +сю. 50) —сю < ж < —1, —1 < ж < 1,
1 < ж < +сю. 51)0 ж < +сю. 52) —3ж 2/3; 7 ж < +сю. 53)—2
< ж < 1, ж = 2; 3 ж < +сю. 54) ж = —2, ж = 1; ж = 4. 55) —сю < ж < —2; — 1 < ж < —1/2. 56) —2 < ж < 1. 57) —сю < ж —2; 4 < ж < +сю.
58) — оо < ж < —3; — 1 < ж < 2.59) —3 ж < — 1; — 1 < ж2.60) — оо <
< ж < — 2; ж = 0; 1 < ж < +оо.61) — оо < ж —2/3; 0 < ж < 2/3; 2/3 <
<ж<1;1<ж< +оо. 62) — оо < ж < — 7; ж = 0; ж = 1; 10 < ж < +оо. 63) ж = —3; ж = —3/2;1 < ж< +оо. 64) — оо < ж < 1.65) — оо<ж < —1/2;
0 < ж < 1/2.66)—оо <ж < i(3 — V5); 1 < ж <(3 + V5).67) — оо<
< ж < —5/3; 1 < ж<+оо.68) — 2<ж<0;6<ж<+оо. 69)1 < ж <3;
— 1/2 < ж < +оо.70) —3 < ж < +оо; —2 < ж <0.71)1< ж2.
72) — оо < ж < —2; — 1<ж<3;4<ж< +оо. 73) —4 ж < —3; —3/2 ж < < 0; 1 < ж < +оо. 74) — оо < ж < —3.75) 5 < ж < +оо. 76) Нет решений;
х Е R. 78) х Е R. 79) 1 < ж < +оо. 80) 5/6 < ж < +оо. 81) — оо < < х < log43/2.82) log1/6 — < ж < +оо. 83) log9(V2 — 1,41) < ж < +оо.
36
1 \ 3//2
84) - log4 — < х < +оо. 85) 0 < х < 2"2/3.86) 0 < ж < ( - J .
2123\ / /
90) — оо < ж — V5; — V2 < ж < V2; V5 ж < +оо.91) — V5 < ж < V3.- 1 - V13- 1 + V1390) — оо < ж — V5; — V2 < ж < V2; V5 ж < +оо.91) — V5 < ж < V3.- 1 - V13- 1 + V133 з < ж < 3 з3 з < ж < 3 з0 < ж < +оо.0 < ж < +оо.— оо < < ж <— оо < < ж <
90) — оо < ж — V5; — V2 < ж < V2; V5 ж < +оо.91) — V5 < ж < V3.
- 1 - V13- 1 + V13
90) — оо < ж — V5; — V2 < ж < V2; V5 ж < +оо.91) — V5 < ж < V3.
- 1 - V13- 1 + V13
3 з < ж < 3 з
3 з < ж < 3 з
0 < ж < +оо.
0 < ж < +оо.
— оо < < ж <
— оо < < ж <
95) 0 < ж < 1/16; 2 < ж < +оо.95) 0 < ж < 1/16; 2 < ж < +оо.< —!—; —!— < ж < 100; 1000 < ж < +оо.
95) 0 < ж < 1/16; 2 < ж < +оо.
95) 0 < ж < 1/16; 2 < ж < +оо.
96) log2(V7 — 1) < ж < +оо.96) log2(V7 — 1) < ж < +оо.1000 100
96) log2(V7 — 1) < ж < +оо.
96) log2(V7 — 1) < ж < +оо.
97) — оо < ж < —3/2; 1 < ж < +оо.98) — оо <
< ж < 0; log4 3 < ж < +оо.< ж < 0; log4 3 < ж < +оо.99) — оо < ж < log5 3.100) — ^/log3 4 < ж <
< ж < 0; log4 3 < ж < +оо.
< ж < 0; log4 3 < ж < +оо.
Vhg3 4. 101)-4 ж -3;3 ж 4. 102)-7 < ж < 7/3. 103) 4/7 < < ж < +оо. 104) Нет решений. 105) —1/2 ^ ^ ж < 1/7. 106) —6 < ж < —5; 5 < ж 6. 107) Нет решений. 108) 4/3 ж < 5/2. 109) -1 < ж < 1/2. НО) 1/3 < ж < (3 + V^)/6. Ill) 1 ж 6. 112) ж < 0; 1 < < ж V2; 3 < ж < +оо. 113) —оо < ж < —2 — 2V2. 114) ж = —1. 115) ж = 3. 116) 1/2 < ж < 2. 117) 4/3 ж < 2. 118) -оо < ж
-V3; 1/4 < ж 1; 4 ж < +оо. 119)2 < ж < +оо. 120) 1/4 ж < 2.
§3
1) — 1 < ж < 0; 1 < ж < +оо. 2) —2 ж < —1; 0 < ж < 1.3)2 ^ж< 5/2;
5/2 < ж ^ 3.4) —3 < ж < +оо. 5) —оо <ж<0;0<ж^ 3/2.6) ж = —2;
ж = 1; 3 ж < +оо. 7) ж = —2; 1 ж 3.8) —1 < ж < —1/2; 0 < ж < 5/2.
9) —1 < ж < 2; 3 < ж < +оо. 10) ж = 4; 5 < ж < +оо. 11) ж = 2; 4 < ж <
14) -2 ^ ж ^ 4.14) -2 ^ ж ^ 4.< +оо. 12) —3 <ж^6;8<ж< +оо. 13) —3 ^ ж ^ 6.
14) -2 ^ ж ^ 4.
14) -2 ^ ж ^ 4.
15) —2^ж^4;5^ж< +оо. 16) ж = 5; 4 + V3 < ж < +оо. 17) 1 ж 2.
18) 3 < ж < 4.19) —оо < ж < —2, V2 < ж < —1; 1 < ж < V2; 2 < ж < +оо.
20) —оо < ж < 0, 0 < ж < +оо. 21) —оо < ж < З3//4, 3 < ж < +оо. 22) 0 <
< ж < +оо. 23) 0 < ж < log2 4/3; 1 < ж < +оо. 24) 0<ж<2;2<ж< +оо.
- оо < ж < 2 + 1087 .26) 3 < ж <+оо. 27)< ж < +оо.
2 log7 5 - 11g 5 - 1g У?
log5 Уб < x < log6 5.29) log3/2 < ж < 1.30) 0 < x < log3 2, 3/2 <
< x < +oo. 31) 0 < x < 1.32) x = 0; 5 x < +oo. 33) 0 < x < 2 — V3;
2 + V3 < x < +oo. 34) —4 x 1, x = 2.35) — 2 ж 4, ж = — 3.
-2 < ж < 2.37) 2 < ж < +oo. 38) - 1 +< ж < +oo. 39) -1 <
2
< ж < 7.40) — оо < ж < 1 —4 < ж < +oo. 41) 4 < ж < 4 — , 8 < ж <
211
<+oo. 42)2 < ж < 8. 43)3/4<ж<2. 44)-1 ^ ж ^ 3. 45)1 <ж< 5/4. 46) ж = 5.47) 19/3 < ж < 9.48)14 ^ ^<ж < 9.49) -оо < ж < 22/9.
-1/4 < ж < 1/3.51) -3/4 <ж <1/4.52) ж G Я. 53) -оо < ж <
< —1/2; 5/8 < ж < +оо. 54) — оо< ж< 0,1< ж < 6.55) — оо < ж < 0.
0^ж<1;3<ж< +оо. 57)—оо< ж<— 1; 0<ж<1;1<ж< +оо.
4 < ж < +оо. 59) 2/V5 < ж < 1; -1 < ж < -2V5.60) 0 < ж < 1/2;
32 < ж < +оо. 61)4 < ж < 6.62) — 1 < ж < 1;3 < ж < 5.63) —10/9 < ж <
< —4/5.64) — оо < ж < — V3 — 2.65) 81 < ж < +оо. 66) log2 ^^—- <
1
< ж < +оо. 67) log2 < ж < 0.68) — оо < ж < —5.69) — 1 < ж < О,
< ж < 3.70) 0 < ж<1.71) -Уз < ж < Уз.72) 0 < ж<1.73) 2<
< ж < 4.74) 1< ж<3.75) 8 < ж < +оо.76) Уб —1< ж< +оо.
3 < ж< 10.78)-2 <ж < 5/3.79) 6 <ж ^ 14.80) 4< ж<
< +оо. 81) — 7< ж<1.82) —3 < ж < —2;2< ж < 3.83)—оо<
< ж < —3 ——3 + У14 <ж<1;5<ж< +оо. 84) —-—^^ < ж <
2
< 3. 85) —1 + У2 < ж < 1 + У2. 86) —оо < ж ^ —2/3; 1/2 ж < +оо. 87) -3 < ж < ™2; ™2 < ж < —5/3. 88) -оо < ж < 1. 89) 1/4 < ж < < 5/2; ж ^ 1.90) —оо < ж —9/2, —7/6 ж < +оо. 91) —оо <
< ж —1/2; 5 ж < +оо. 92) —5 < ж < —2; 2<ж<3;3<ж<5. 93) —оо < ж < 2. 94) 3 < ж < +оо.
< ж < +сю.< ж < +сю.- 3 - V29- 3 - 3vC - 3 + ЗуС- 3 + V29
< ж < +сю.
< ж < +сю.
< х < , < х <
2222
2 < х <1 - Vb; 1 + V5<ж< 4.22)1 < ж < +оо. 23) 0 < ж< 5“в.
1 < х <5.25) — сю <х<—1/2;1/3< х < +сю. 26) — сю <х < 2.
27) — сю < х< 2.28) — сю<х< 2.29)3/2 < х < +сю. 3 0) 100< х <
3-V693-V5
< +сю. 31) —сю < х < 1.32) — сю < х < 0.33) < х <
22
3 + 7523 + 752< X << X <3 +Уб923 +Уб9234) 3 < х < +сю.34) 3 < х < +сю.35) 0 < х <35) 0 < х <3 - у!23 - у!23 + 7523 + 752
3 + 75
2
3 + 75
2
< X <
< X <
3 +Уб9
2
3 +Уб9
2
34) 3 < х < +сю.
34) 3 < х < +сю.
35) 0 < х <
35) 0 < х <
3 - у!
2
3 - у!
2
3 + 75
2
3 + 75
2
< х < 3. 36) —4 < х < 3; 1 < х < +сю. 37) 4/3 7 ж < 3. 38) — сю < х < < —2; 5/8 < х < +сю. 39) — сю < х < —9; 3 < х < +сю. 40) —10/9 < х < < —4/5. 41) 0 < х < 2; 3 < х < +сю. 42) 2 - V5 7 ж < 1; 3 < ж 7 2 + V5. 43) -3 < ж < -2; 2 < ж < 3,4.44) 0 < ж < 10.45) 1 < ж < 10.46)0 <
< ж < 1/10; 100 < ж < 1000; 105 < ж < +сю. 47) 1/4 < ж < 1/2; 1/2 < ж < < +сю. 48) 2 7 ж < +сю. 49) log5 2 < ж < +сю; log5 2/5 < ж 7 bg5 4/5. 50) —сю < ж 7 l°gi3 1/2; l°gi3 2/3 < ж < log13 3/2.51) —сю < ж < log2 5/2;
log2 7/8 7 ж < +сю.52) —сю<ж < — 1.53) —сю < ж <0. 54) — 2 7 ж <
< — 1; 1 7 ж< +сю.55) — 1<ж7 2;37ж< +сю.56) 1 < ж < +сю;
-оо < ж < -2 - 2 log3 2.57) - 1 < ж < 1; 1< ж < 2.58) 3 <
< ж < 9/2.59) 0 <ж < 1/2.60)3 < ж < 13 + 3/+61) 1 < ж < +оо.
62) 2 < ж 76.63) —сю <ж< 2.64) 0 < ж 7 1/3; 9 7 ж < +сю.
1 + 1g 21 + 1g 3
65) 7 ж 7 •66) — log2 9 < ж < +сю. 67) —сю < ж 7
77
7 -119, 1 7 ж < 6.68) logtg7r/9 -^— < ж < +сю. 69) ^ < ж 7 1.
70) 10 < ж < 104.71) 10"^ < ж < 10"Л 10^ < ж < 10^.72) 8 <
< ж < 16; 1/16 < ж < 1/8.73) 0 7 ж 7 1-74) log4 7 ж < +сю.
4
75) log5 2 7 ж < +сю; log5 3 7 ж < 1. 76) —сю < ж 7 0; log3 8 7 ж < 2. 77) 2 - 1о§2 3 < ж < 2. 78) -V7 < ж < -^3; V5 < ж < V7. 79) -3 < < ж < — 2V2; 2\/2 < ж < 3. 80) 0 < ж < 4. 81) 0 < ж ^ 1/4, 2 ^ ж < +оо. 82) —сю <ж<0;3<ж< log2 9. 83) 2 < ж < +сю. 84) log2 - < ж < log2 3.
85) log3 — < ж < log3 4.86) —5 < ж < —2; —1<ж<1;1<ж<2;2<ж<
< +сю. 87) 8 < ж < +сю. 88) —сю < ж < 1; 2 < ж < 3.89) 3 < ж < 7/2;
4 < ж < +сю.90) —3 < ж < —2; 2 < ж < 5/2; 3 < ж < +сю. 91) —1 < ж < 0.
92) -сю < ж < -3; -2 7 ж 7 0.93) -2 7 ж 7 0.94) ж = ±2; -9/8 7 ж < 0.
95) Нет решений. 96) ж = 3/2;2<ж< +сю. 97) —2 < ж < —3/2; — 1 < ж < <0. 98)-1<ж<^4. 99)2^ж<+оо. 100)-3 < ж <-2,-1 < ж < 0.
101) —оо <ж<0;1<ж<2;2<ж<3;4<ж< +оо. 102) 1/3 < ж < +оо;
-оо < ж < -1/3.103) 2 < ж < 3.104) 2 ^ ж < 3.105) 4/3 < ж < 2.
2 + ж + 3; х ==107) 1/2 < ж < +оо; 0 < ж + 1/4.108) -2 < ж +
+ —3/2; 1 < ж < +сю. 109) — оо < ж + —2; 1 + Уб <ж<4;4<ж< +оо. ПО) — оо < ж < — 1; — 1 < ж < 2 — У8; 5 + ж < +оо. 111) — оо < ж < — 1; -—— <ж<3;4<ж<8 < ж < +оо. 112) — оо < ж + 1/2.
22
— оо < ж< 2.114) — оо < ж <—1/2; —5/2 +ж < —2.115) — оо<
< ж + —2 — V2; 1+ Уз + ж < +оо.116) 0 +ж +2.117)—оо < ж <1;
1 < ж < 4.118) — 2 — V^ + ж < —2; 4 < ж +5.119) 8 <ж + 5 + У18;
— 1 + ж + 2.120)—оо < ж + — 3, 3 <ж < +оо.121) —оо < ж+ 4; —1 < ж<
< 2; 5 + ж < +оо. 122) 2/3 + ж^1;2<ж< +оо.123) —оо < ж + —2/3;
1/2 + ж + 2.124) -Уз < ж < -1; 1 < ж < Уз.125) -3 < ж < -Уб;
Уб < ж < 3.126) 1 < ж < 100.127) 3 < ж < 27.128) -оо < ж + -2;
2 < ж < +оо. 129) -1 + ж < 1 - УзТ/8. 130) -1 < ж < 0; 2 < ж < 3. 131) -3 + ж < 1.132) -1 < ж + 2.133) 0 < ж < 81.134) -4 + ж < -2,
0 < ж < +оо. 135) УУ+^ж < 1.136) -оо < ж + - V2.137) 3/2 <
<ж<+оо.138)—19 < ж + 6.139) —9 + ж < 16.140)- < ж + 1.
2
—оо < ж < — 2, 0 < ж < +оо. 142) 5 < ж < 10.143) —оо < ж < 0.
— 1 144) 0 < ж < 5, — 5 < ж < — 1.145) —оо < ж < —2; — 1 < ж < .
6
—оо < ж < —8; 8 < ж < +8.147) 1 + ж + 2.148) Нет решений.
— У2 < ж < 3.150) —оо < ж < —2; 0 < ж < +оо.151) 1 + ж < +оо;
—оо < ж —3.152)1 < ж < —.153) —оо < ж < —4+2V5.154)0 <ж<
V3
< 45/8.155)1 <ж< ^2.156)—оо < ж < 0; 1 < ж < 2.157)5 < ж <+оо.
—2 < ж <13. 159) log13 5ж1.160) log15 9ж1. 161) —5
ж < —1; 1 <ж < +оо. 162)—1 <ж< 15.163) —У13 < ж < 1, 2 ж <
< У13.164)-3/2 ^ ж ^ -1;1 <ж^ 2.165) -6ж< 0; 3 < ж 4.
?-^ж<0;0<ж<1/3.167) 2"1/V®ж<1; 1 < ж < 21/3.
2У2
2 15 < ж < 2 9; 29 < ж < +оо. 169) -1< ж < 3.170) -1 <ж < 1/2;
1 < ж < 5/2.171)0 < ж <1.172)-2 ж-1; ж = 1.173)0^ж< 2.
—оо < ж < 0; log2 3 < ж<log2 5. 175)log3 — ^ ж < +оо.176) 1 —
— log3//2 5 < ж < log3/2 3, 0 <ж< +оо. 177)— log2 7 + 1 < ж < — log2 5 + 1,
14
1 < ж < +оо.178) log2 — < ж < +оо.179) —1/2 + ж<1;1<ж<2.
1 - VT7 < ж + -2/3; 1/2 + ж < Уб - 1. 181) ж = 1. 182) ж = = 8. 183) ж = 4. 184) ж = 2. 185) Ж1 = 5; ж2 = 5. 186) -оо < ж < 2; 5 < ж < +оо. 187) ж = 0; 2 + ж < +оо. 188) ж = 0;ж = 1;3<ж< < +оо. 189) 2 < ж < 3.190) —оо <ж + 3;4^ж< +оо. 191) 1 + ж + 5.
0 < х < 2.193) О < х < 1.194) -—ж < О; 1 + ж < +оо.
— сю < х < — 1; 1/2 <ж<1;1<ж< +сю. 196) О < х < 1/4; 2< х <
< 1/2; 1 < х < 2^.197) О < х < 1/4^2, 8 < х < +сю. 198) 2 < ж < +сю.
2 ж < 4.200) 1 < ж < +сю. 201) 1/3 < ж < 1/2.
/ViO-З; - 4 +/ViO-З; - 4 +2 - 4/V3<ж<1;3<ж<2 + 4/^3. Записать неравенство в виде 3(ж(ж — 4))2 < 32 — 5(ж2 — 4ж + 4) и сделать замену ж2 — 4ж = у.
/ViO-З; - 4 +
/ViO-З; - 4 +
203) — сю < ж ^ —4 —203) — сю < ж ^ —4 —/V10 +~3 < ж < +оо. Сделать
203) — сю < ж ^ —4 —
203) — сю < ж ^ —4 —
замену ж + 4 = и и свести к квадратному неравенству от и2.
х Е R. Представить левую часть неравенства в виде (ж2 — 2)2 + (ж + З)2.
205)205)-1-Vi3 i + V13 „2 ,
205)
205)
< ж < . Сделать замену ж + ж = и.
22
— сю < ж < — 1 — V5; < ж < — 1 + V3; < ж < +сю.
22
Разложить левую часть неравенства на множители ж2 + 2ж — 2 и ж2 — Зж — 2.
™-1-V255-V17 -1 + у^95 + V17 в
< ж < , < ж < . Разложить
2222
левую часть неравенства на множители ж2 — 5ж + 2 и ж2 + ж — 7.
2 < ж < +сю, — ею < ж < —3. Сделать замену ж2 + ж = и.
ж Е R. Разделить неравенство на ж2 и сделать замену Ж + ж + 5 _
X
/\ 2
— 1 < ж < 2. Записать неравенство в виде ж2 — 4ж - —2у д [ ]
х + 2 у ж + 2 /
дж2
3< 5 и сделать замену —= и.
ж + 2ж + 2
—4/5 < ж < ^3/4; —2/3 < ж < —1/2; 0 < ж < +оо. Перенести выражс-
ниснаправо и в получившемся неравенстве привести к общим знаменателям 3 + 4ж
левую и правую его части.
< х < ™6; -5 < ж < ^4; —7/2 < ж < -3; ™2 < ж < -1.
Сгруппировать первый с восьмым, второй с седьмым и т.д. члены левой части неравенства.
0 < ж < 1.214) х Е R. Так как 2ж2 + 33 и ж4 + ж2 + 11, то левая
часть неравенства для любых ж не больше —|— < 1.
8 2.
ж = 0. Воспользоваться неравенствами 4Ж + 4™ж2 и 2 cos42.
6
2 ^ ж < +оо. Рассмотреть случаи ж < 2 и ж ^ 2.
217)1<ж<+оо. Левая часть неравенства сеть возрастающая функция, равная 1 при ж = 1.
ж = 3.219) ж = 4.220) ж = 2.
В задачах 221 - 223 рассмотреть неравенство отдельно на трех промежутках, составляющих его ОДЗ.
1 < ж < 3/2.222)0 <ж< 1/2.223) 1/2 < ж < 1.
ж = 3. Воспользоваться неравенствами 2—31 < 1, 6ж — ж2 — 6 = 3 —
- (ж - З)2 < 3.
ж = —1. Для решений неравенства должно выполняться условие log2(—2ж2 — 4ж) > 0, откуда |ж + 1| < V2/2, а тогда | х/2|ж + 1| — 1| С 1, log2(—2ж2 — 4ж) = log2[—2(ж + I)2 + 2]1, поэтому |ж + 1| = 0.
-1 < ж < 0.227) -1 < ж < 1.228) -2 < ж <-!;!< ж <
<2.229) 0 < ж 1/2.230)3 < ж < log3 75.231) 1 - ^1 - cos 5 < ж
- < 1/3.232) 1/4 < ж < 3+V9 + tg(5/2).233) 1- v/l - sin(7/2) < ж < 2.
—оо < ж < — 1; 1 < ж < +оо. 235) 1 < ж < +со. 236) 1 — 2а/3 < < ж < 1 - УП; 1 + VH < ж < 1 + 2V3; -оо < ж < 1 - V15; 1 + V15
1-у/6<ж^2- V10;l + V6<ж<2 + V10.239) 1 < ж < +оо.
1 < ж< +оо.241) -2< ж < 6; 20/3 < ж < 7.242) -4 < ж < -3,
-1 < ж <+оо.243) -1/15< ж < 0. 244) 0 < х <1/3; 1/2 < ж < 5/6.
0 < ж< 1/4;1/4 < ж <1; 1 < ж < +оо. 246)0<ж<2;2<ж<
< 4.247) 0<ж<2;4<ж< +оо. 248)< ж < 1/2; 1 < ж < 2^.
Нет решений. 250) 0 < ж < 2/7. 251) 9/2 < ж < +оо. 252) 1/3 < <ж<1;1<ж< 2. 253) - ^+ 3 < х < -1/2; ^ + 3 < ж < +оо.
44
-1 ж < 1/2; 1 ж< 2; 2 < ж < 7/2.255)0 < ж <31
-3/2 < ж < 3/2; 3/2 <ж < 8/3; -5/2 < ж <-2.257) 3 < ж< +оо;
1 < ж < 3/2; 2 < ж < 5/2.258)< жV3.259) —1/2< ж <
< 1/2; V5 < ж < 3/2.260) 3/8 < ж < 1/2; 1 < ж < 3/2.261) 1 < ж < 2.
-—-^ < ж < 1/2; 1 < ж <у/^.263) 3/4 < ж < 1, —1 < ж < +сю.
0 < ж < 1.265) <ж<1;1<ж< +оо. 266) 0 < ж < 1/3;
2 ж < 1 + V^; —1/3 < ж < 0, 1 - ^7 < ж 1.267) 4 < ж 9/2.
1 < ж < +оо; 3 < ж < 5, 7 < ж < +оо. 269) Уз/4 < ж < 1/2; V3/2 < < ж < 1.270) -1/V2 < ж < 0; 0 < ж < 1/V2.271) л/б - 1 < ж < 2;
2 < ж < 5.272) 2 < ж < 5.273) 1 < ж <~ '.274) -3 < ж < 1;
3 < ж < 4.275) —оо < ж < —7; —5 < ж —2; 4 ж < +оо. 276) 0 <
/ 3 V5 3 + V5 ,,
0 < ж < , ж < +оо.
22
279) log2 V7 < ж < log2 3.279) log2 V7 < ж < log2 3.-2^2 < ж < -1; ? (ОН - 1) < ж < 1.
279) log2 V7 < ж < log2 3.
279) log2 V7 < ж < log2 3.
— 1<ж<0;3<ж< +сю. 281) 1/2 < ж < 1/V2; 1 < х < +сю.
—4 < х < —3; 1 ж < +сю. 283) 0 < ж < 1;— 1 < ж < 5/2.
0 < ж < 1/V5; 1 < ж < 3.285) 0<ж^1/^;2^ж< +сю.
0<ж<1;4^ж^ 21+v^.287) 1 < ж < 2.288) 0 < ж < 1/2; 1 <
ж < 3. 289) -сю < ж < -1. 290) У£±1 < ж < 2. 291) -сю < ж < -2;
2
0<ж<1;2<ж< +сю. 292) -2 < ж < -1; 0 < ж < 2.293) 1 <
ж < 2; 3 < ж < +сю. 294) 0 < ж < 1/8; 1 < ж < 2.295) 0 < ж < 1;
2<ж<4;5<ж< +сю. 296) 0<ж<3;4<ж<6;6<ж<12;14<ж< < +сю. 297) 0 < ж < —= < ж < +сю. 298) 1/4 <ж<1,1<ж< igHgS iovlg57‘’
4.299) 1000 < ж < +сю. 300) 0 < ж < 1/10; 100 < ж < +сю. 301) 0 <
ж < +сю. 302) 0 < ж < 1, 1 < ж < 1v/W.303) 0 < ж < 1/4; 4 < ж < +сю.
304)<ж<1;9<ж< +сю. 305) 0 < ж < 1/5: 1 < ж ^5.306) 0 <
V3
< ж < 3.307) —3 < ж < 0.308) 4 < ж < +сю.
309) Если а > О, то 1/а < ж < +сю; если а < 0, то —сю < ж < 1/а; если
а = 0, то решений нет. 310) Если а > — 3, то — сю < ж < —-—; если а < —3, то 3 4- а
— < ж < +сю; если а = — 3, то х Е R. 311) Если а > — 1, то —сю < х < а — 1; За
если а < — 1,тоа — 1 < ж < +сю;сслиа = —1, то решений нет. 312) Если а > О,
тото; если а 0, то ж Е R.; если а 0, то ж Е R.313) Если а ^ 0, то ж Е R; если313) Если а ^ 0, то ж Е R; если
то
то
; если а 0, то ж Е R.
; если а 0, то ж Е R.
313) Если а ^ 0, то ж Е R; если
313) Если а ^ 0, то ж Е R; если
/ 2
Если а > — 1, то — сю < ж < — 4 и
—7— < ж < +сю; если а ^ — 1, то решений нет.315) Если —сю < а < 0 или
а 1
2/3 < а < +сю, то —сю < ж < 2; если 0 < а < 2/3, то решений нет. 316) Если — сю < а < 0, то —сю < ж < —1 и —1 — а < ж < +сю; если а = 0, то —сю < ж < —1 и — 1 < ж < +сю; если а > 0, то —сю < ж < — 1 — а и — 1 < ж < +сю. 317) Если а 0, то — сю < ж < 0; если а > 0, то — 1/V& < ж < 0 и l/Va < ж < +сю. 318) Если а = 0, то ж Е R, ж ^ 0, если а > 0, то —сю < ж < —2а и а < ж < +сю; если а < 0,то —сю < ж < аи —2а < ж < +сю. 319)Если а = 0,то —сю < ж < 0; если а > 0, то —сю < ж < —За и —2а < ж < а; если а < 0, то —сю < ж < а и —2а < х < —За. 320) Если а < 0 или а > 1, то —сю < ж < 0; если 0 < а < 1, то 0 < ж < +сю; если а = 0 или а = 1, то решений нет. 321) Если а < 0, то 1 4- а1 4- а
< ж < 1; если 0 < а < 1, то 1 < ж < ; если а = 1, то 1 < ж < +сю;
— а1 — а
если а > 1, то — сю < ж < и 1 < ж < +сю; если а > 0, то решении нет.
— а
Если а < 0, то — сю < ж < -; если а = 0, то ж Е R; если 0 < а < 1, а
24 М.К. Потапов и др.
то —оо <ж^1и!/а<ж< +оо; если а > 1, то - < х 1; если а = 1, то а
решений нет. 323) Если —1/2 < а < 0 или а > 1, то 1 — а < х < --; если
а
— оо < а < —1/2 или 0 < а < 1, то - < х < 1 — а; если а = 0 или а = 1
а
или а = —1/2, то решений нет. 324) Если а > 1/4, то ж Е R, если а = 1/4, то
оо < х < — 2 и — 2 < х < +оо; если 0 < а < 1/4, то ™ (—1 + V1 — 4а) < 2а
х < +оо и — оо < ж < ™ (—1 — V1 ™ 4а), если а = 0, то — 1 < ж < +оо;
если а < 0, то ™ (—1 + V1 — 4а) < ж < ™ (—1 — V1 — 4а).325) Если |а| >
2а2а
2, то — оо < ж < i(—а —и -(—а +< ж < +оо; если
2
|а| < 2, то ж Е R. 326) Если а 1/4, то — оо < ж < - (—1 — V1 — 4а) и
-™ 4а) < $ < +оо; если а > 1/4, то ж Е R. 327) Если а > 1, то
— оо < ж < — 1 и — 1/а < ж < +оо; если а = 1, то ж Е Д и ж ^ — 1; если 0 < а < 1, то — 1 < ж < +оо и — оо < ж < 1/а; если а = 0, то — 1 < ж < +оо; если а < 0, то — 1 < ж < 1/а.328) Если а > 2, то а — Va2 — 2а < ж < а + V°2 — 2а; если
— оо < а < 0, то а + V°2 ™ 2а < ж < 1;если0 ^ а ^ 2, то 0 < ж < 1. 329) — 1 —
— а < ж < 1 — а при любом а. 330) — оо < ж < и < ж < +оо
22
при любом а. 331) Если а < 0, то —оо < ж а/2; если а = 0, то 0 ж < +оо;.— а — 2
если а > 0, то ж Е R. 332) Если а > 2, то < ж < +оо; если а ^ 2, то 2
решений нет. 333) Если а— 1, то ж Е R; если а > — 1, то — оо < ж ™
2
— оо < ж < — а при любом а. 335) Если а < —3, то решений нет; если а —3, то ™™ ж < +оо. 336) Если а < — 1, то ж Е R; если а = — 1, то 2
1 ж < +оо; если — 1 < а < 1, то — оо < ж™—™; если а = 1, то — 1ж 0;
2
если а > 1, то — оо < ж337) Если а < 0, то ж Е R; если а = 0,
2
то —оо < ж < —1, —1 < ж < 1 и 1 < ж < +оо; если 0 < а < 1, то — V1 — а- < < ж < V1 — а, ^оо < ж < — V1 + а и V1 + й < ж < +оо; если 1 а < +оо, то — оо < ж < — V1+ а и V1+ а < ж < +оо. 338) Если —1 а 1, то ж Е R, если —оо < а < — 1 или 1 < а < +оо, то — < ж < —-—.339) Если
|а| - 1|а| - 1
а < — 2, то х Е R, если а = — 2, то х Е R, х / 2; если — 2 < а < 2, то — оо <
< х < -—- и а + 4 < х < +оо. 340) Если а > 4, то а 2а — 2;
3
если а = 4, то х = 2; если а < 4, то а — 2 V х V а + 2,34^ Если а < — 1, то
3
—-— V ж < +оо; если — 1 V а V 0, то —оо < ж < +оо; если 0 < а < 1, то — оо < а -4" 1
< ж V —^— и —-—ж < +оо; если а > 1, то — оо < ж V —-—.342) Если
а 4” 11 — а1 4" о
3
а > 1, то —■— < ж < +оо; если 0 V а V 1, то решений нет; если < а < 0, а — 1
_ ззз
то < ж < ; если а V — 1, то — оо < ж < .343) Если а, ^ 0, то
а + 1а 1а — 1
ж Е R; если а < 0, то -оо < ж ^ —.344) Если а = 0, то 0 ж < +оо; если
2
а > 0, то решений нет; если а < 0, то - V ж < +оо. 345) Если а = 0, то ж = 1;
2
если 0 << 1, то — оо < ж < —, еслито — оо < ж < —
1 + |а|1 + |</
// ,с л Va2 + 4- а + Va2 + 4
и < ж < +оо. 346) Если а < и, то V ж V ;
|а| — 122
ЛЛ а - Va2 + 4- а + Va2 + 4
если а = и, то Ж1 = 1, ж 2 = — 1; если а > и, то V ж V .
22
Если а V 0, то решений нет; если 0 < а < 1, то — V1 + а < х < — V1 ™ а и V1 ™ а < х < V1 + о; если а = 1, то — V1 + а <ж<0и0<ж< V1 + о;
— 3 -}- ^/1 — 4а.1 v^l — 4tt22— 3 -}- ^/1 — 4а.1 v^l — 4tt22если а > 1, то — v 1 + а < ж < v 1 + а. 348) Если — оо < а < —1/4, то — оо <
— 3 -}- ^/1 — 4а.1 v^l — 4tt
22
— 3 -}- ^/1 — 4а.1 v^l — 4tt
22
^ ж < +оо; если а = ™ 1/4, то ж = 1/2;
если 1/4 < а < +оо, то ж Е R. 349) Если |а| > V5, то а + 1 — Va-2 ™ 1 <
1 ™ VI ™ 4а21 ™ VI ™ 4а2< ж < а + 1 + Vа2 ™ 1; если |а| ^ V2, то решений нет. 350) Если а ^ 0, то ^оо < ж < а/2 и ™а/2 < ж < +оо; если а > 0, то ^оо < ж < ™7/12а и а/2 < ж < +оо. 351) Если а то решений нет; если — 1 < а 1, то — оо < ж < ™—-; если а > 1, то а + 1 < ж < +оо. 352) Если а < 0, то 22
1 ™ VI ™ 4а
2
1 ™ VI ™ 4а
2
; если а = 0, то ^оо < ж V 0 и ж = 1; если 0 < а < 1/4,
тото— оо < ж <— оо < ж <1 — V1 — 4а 1 + V1 — 4а 1 + V1 4” 4а, .
то
то
— оо < ж <
— оо < ж <
и < ж < ; если а V 1/4, 222
тото— ОО < X ^— ОО < X ^1 + V1 + 4а21 + V1 + 4а2353) Если а < 0, то — оо < х < а; если а ^ О,353) Если а < 0, то — оо < х < а; если а ^ О,
то
то
— ОО < X ^
— ОО < X ^
1 + V1 + 4а
2
1 + V1 + 4а
2
353) Если а < 0, то — оо < х < а; если а ^ О,
353) Если а < 0, то — оо < х < а; если а ^ О,
то решений нет. 354) Если а < 0, то —а < х < +оо; если а ^ 0, то решений нет. 355) Если а < 0, то — оо < х < 2а, если а = 0, то решений нет; если а > О то 0 < х < +оо. 356) Если а — 1, то 6а х < 2а и 2а < х — 2а; если
— 1 < а ^ 1, то — оо < х < ; если а > 1, то < х < +оо.— 1 < а ^ 1, то — оо < х < ; если а > 1, то < х < +оо.2222357) Если357) Если
— 1 < а ^ 1, то — оо < х < ; если а > 1, то < х < +оо.
— 1 < а ^ 1, то — оо < х < ; если а > 1, то < х < +оо.
2
2
2
2
357) Если
357) Если
а < 0, то 2СЗа < х < 2а и 2а < х < — 2^3а; если а = 0, то решений нет; если а > 0, то —2^3а < х < 2а и 2а < х < 2^3а.358) Если а < 0, то
- (—1 + V1 ~ 4а) < х < +оо и — оо <4 ж <4 — ™- ( —1 + V1 ~ 4а); если а = 0, то
х Е R, х ^ 0; если а > 0, то х Е R. 359) Если а — 1, то — оо < х а — 1; если — 1 < а < 0, то —оо < х ^ а — 1 и —1 — а < х < 0; если а = 0, то — оо < х < — 1 и — 1 < х < 0; если 0 < а ^ 1, то —оо < х < 0; если а > 1, то —оо <ж<0и0<ж<а —1.360) Если а > 1,тож Е R; если 1 ^ а < +оо,то
/1 + За/1 + За
— 4 / < х < а .361) Если а < — 1, то — 2 < х < +оо; если а = — 1,
V 2V 2
то — 2 < х < +оо; если а > —1, то (а + I)2 — 2 < х < +оо. 362) Если а 4,
363) Если а < 2/3, то363) Если а < 2/3, то-л о /(4 — а)2 + 2
363) Если а < 2/3, то
363) Если а < 2/3, то
то решении нет; если а < 4, то 3/2 х < -
— оо < х ^ 1; если а = 2/3, то —оо < ж < 1; если а > 2/3, то —оо < ж < 1 — — (За — 2)2.364) Если —2 ^ а < +оо, то —2 ^ ж < +оо; если —оо < а < —2,
то решений нет. 365) Если а > 1, то —1/2 ж < +оо; если —оо < а < 1, то
//1 А 1 А и 1“ 1 + V4a-3
< ж < — 1 .366) Если а > 1, то < ж <
2 V (1 - а)2 /2
367) Если а < 3/4, то решений нет; если367) Если а < 3/4, то решений нет; если3 — \/5 -4" 4а +оо и — а ^ ж < .
367) Если а < 3/4, то решений нет; если
367) Если а < 3/4, то решений нет; если
2
а = 3/4, то ж = 1/4; если а 1, тоа = 3/4, то ж = 1/4; если а 1, тоесли а > 1, то 0 ^ ж ^если а > 1, то 0 ^ ж ^1 + У4а - 3 V2)1 + У4а - 3 V2)1 - V4a - 3\2/1 + V4a - 3 < ® < 2/\21 - V4a - 3\2/1 + V4a - 3 < ® < 2/\2368) Если а = 0, то ж Е R; если368) Если а = 0, то ж Е R; если
а = 3/4, то ж = 1/4; если а 1, то
а = 3/4, то ж = 1/4; если а 1, то
если а > 1, то 0 ^ ж ^
если а > 1, то 0 ^ ж ^
1 + У4а - 3 V
2)
1 + У4а - 3 V
2)
1 - V4a - 3\2/1 + V4a - 3
< ® <
2/\2
1 - V4a - 3\2/1 + V4a - 3
< ® <
2/\2
368) Если а = 0, то ж Е R; если
368) Если а = 0, то ж Е R; если
0 < а < 4, то 0 ^ ж < +оо; если а = 4, то 0 ^ ж < +оо, ж ^ 1; если а > 4,
А /„ - (2 - а) -- (2 - а) + V(« " 2)2 - 4 .,
то 0 ^ ж < —— и —— ^ ж < +оо;
22
если —4 < а < 0, то — оо < ж ^ 0; если а = —4, то ж 7^ — 1, — оо < ж ^ 0; если
2 + а (2 + а)2 — 4— оо < ж ^222 + а (2 + а)2 — 4— оо < ж ^22/ л2 +а , V(2 + a)2 -4 ., „
2 + а (2 + а)2 — 4
— оо < ж ^
22
2 + а (2 + а)2 — 4
— оо < ж ^
22
а < —4, тоh — ^ ж ^ 0 и
22
369) Если а = 0, то — 1 < ж < 1; если 0 < а < +оо, то — 1 < ж < -;
если — оо < а < 0, то <ж 1.370) Если а > —7/4, то решений нет;
если а = —7/4, то ж = ^3/2; если —2 < а < —7/4, тоесли а = —7/4, то ж = ^3/2; если —2 < а < —7/4, то- 3 - V-7 - 4а- 3 - V-7 - 4а^ ж ^^ ж ^
если а = —7/4, то ж = ^3/2; если —2 < а < —7/4, то
если а = —7/4, то ж = ^3/2; если —2 < а < —7/4, то
- 3 - V-7 - 4а
- 3 - V-7 - 4а
^ ж ^
^ ж ^
— 3 + 4ао /— 3 + V”™7 — 4а_ „
; если а — 2, то — 2 < ж .371) Если
22
а < —1/2, то — оо < ж а; если а — 1/2, то — оо < ж < .
372) Если |а| < 1, то — |а| < ж < |а|; если |а| = 1, то — 1 ^ ж < 0 и 0 < ж ^ 1, если , .1™ V2a2 - 1- 1 + V2a2 - 1_
|а| > 1, то — |а| ж < и < ж |а|.37а) Если
а = 0, то ж = 0; если а > 0, то 0 ^ ж ^ а; если а < 0, то решений нет. 374) Если |а| > 1, то решений нет; если а = 1, то ж = 1 и ж = — 1; если а = 0, то —1/2 ^ ж ^
375) Если375) Если1/2; если 0 < |а| < 1, то < ж — |а| и |а| ж <
375) Если
375) Если
а = 0, то — оо <ж<0и0<ж< +оо; если |а| > 1, то решений нет; если
О < Ы < 1, то;— < ж < +оо и — оо < ж < —376) Если а = 0, то
— (2 — а) — Va2 --4а2— (2 — а) — Va2 --4а2Vl — a2V1 — а2
— (2 — а) — Va2 --4а
2
— (2 — а) — Va2 --4а
2
ж = — 1; если 0 < а ^ 4, то решений нет; если а > 4, то
< ж << ж <— (2 — а) + Va2 —4аа — 2 + Va2 —4а
< ж <
< ж <
—-; если а < 0, то — оо < ж <
22
377) Если а ^ 0, то решений нет; если 0 < а ^ 1, то — 1 — 2Va < ж < 1 + 2Va; если а > 1, то — а ж < 1 + 2-^-378) Если а 0, то решений нет; если
а2
О < а < 1/2, то < ж < 0; если 1/2 < а < 1, то —оо < ж < 0; если а > 1,
2а- 1
то —оо <ж^0и1^ж< —-—.379) Если 0 а V3/2,то решений нет,
если V2/2 < а < 1, то < ж < ; если а > 1, то
22
— а ^ ж <— а ^ ж <- 1 + V2a2 - 12- 1 + V2a2 - 12380) Если а ^ 0, то решений нет; если а > О,380) Если а ^ 0, то решений нет; если а > О,
— а ^ ж <
— а ^ ж <
- 1 + V2a2 - 1
2
- 1 + V2a2 - 1
2
380) Если а ^ 0, то решений нет; если а > О,
380) Если а ^ 0, то решений нет; если а > О,
то1 < ж < +оо. 381) Если а ^ —2, то решений нет; если — 2 < а ^ 2, а2
а - V8 - а2а - V8 - а2
то — 2 ^ ж < и — 2 ^ ж < ; если 2 < а ^ 2V2, то
22
ж 2; если а > 2V^, то —2 ж 2.382) Если а < —1, то
2
11™ а + V2 - а2гт
решении нет; если — 1 < а 1, то < ж 1; если 1 < а v 2, то
2
а - V2 ™ а2 - а + V2 - а2/т
— 1 ж < и < ж 1; если а, > V 2, то — 1ж 1.
22
383) Если а, < 0, то ж Е R; если а 0, то ж < 0.384) Если 0 < а < 2, то
—а ж а; если 2 а 4, то — - V4а — а2 < ж < - V4а — а2; если а О
22
или а > 4, то решений нет. 385) Если а < 0 или а > 1, то решений нет; если
а = 0, то ж = 0; если 0 а 1/V5, то 0 < ж а2; если - < а < 1, то 2а — 1 < 2
ж а2; если а = 1, то ж = 1.386) Если а > 0, то а [ 1j / ж 2а.
V 2 7
Если 1 < а < 1 + V3, то ^^2аУ^)если а = 1 4. т0
а2 - 2а - 23
. — 1 — V31/ а а(а2 — 2а + 2)
— оо < ж ; если а > 1 + V 3, то — оо < ж — и < ж <
23 а2 - 2а - 2
< +оо; если а ^ 1, то решений нет. 388) Если а ^ 1,тож 6 R; если а > 1, то log2(a — 1) < < ж < +оо. 389) Если а > 1/2, то решений нет; если а < 1/2, то — оо < ж < log3(l — 2а).390) Если а ^ 0, то ж Е R; если а > 0, то —оо < ж <
< log1//2 а- 391) Если а = 0, то решений нет; если а > 0, то — оо < ж < log3 а; если а < 0, то — оо < ж < log3(—а).392) 0 < ж < 2а+2, при любом а.
393) Если а = — 1, то0<ж<2и2<ж< +оо; если а < — 1, то 0 < ж < 2 и 2”а < ж < +оо; если а > — 1, то —оо < ж < 2”а и 2 < ж < +оо. 394) Если а = = 2, то решений нет; если а < 2, то 1/9 < ж < 3^а; если а > 2, то 3™а < ж < 1/9. 395) Если а = 0, то решений нет; если а > 0, то — оо < ж < log3 2а; если а < 0, то —оо < ж < log3(—2а).396) Если а > 0, то —оо < ж < log2(—а) — 2; если
а < 0, то — оо < ж < log2 (—а) — 1; если а = 0, то решений нет. 397) Если а ^ 0, то ж Е R; если а > 0, то — оо < ж < log4 —— и log4 ^ < ж < +оо. 398) Если 16аа
а 0, то ж Е R; если а > 0, то —оо < ж < —2 — log2 а и 3 — log2 а < ж < < +оо.
399) Если а ^ 0, то —оо < ж < — |а| и |а| < ж < +оо; если а = 0, то ж Е R и
ж / 0, ж / 1.400) Если а > 1, то 1 < ж < loga(l + V5); если 0 < а < 1, то
loga(l + V2) < ж < 1.401) Если 0 < а < 1, то 5—“ < ж 2; если 1 < а < 2,
то 2 ж < -—-; если а = 2, то 2 ж < +оо; если а > 2, то — оо < ж < -—- 2 — а2 — а
2 -
и 2 ^ ж < +оо. 402) Если а > 1, то —оо < ж < а 2; < ж < а,
2 + /132 - /13
а 2< ж < +оо; если 0 < а < 1, то — оо < ж < а 2, а < ж < <
2 + V132 - V2
— оо < ж < а 2,2 - V2а 2< х < +оо,— оо < ж < а 2,2 - V2а 2< х < +оо,< ж < а и — оо < ж < а 2.403) Если а > 1, то
— оо < ж < а 2,
2 - V2
а 2< х < +оо,
— оо < ж < а 2,
2 - V2
а 2< х < +оо,
2 + /2
/а < ж < а и а 2< ж < +оо; если 0 < а < 1, то
2 - V2
405) Если а > 1, то405) Если а > 1, тоа < ж < Va и — оо < ж < а 2.404) 0 < ж < 1
405) Если а > 1, то
405) Если а > 1, то
1 < ж < а; если 0 < а < 1, то а < ж < 1.406) Если а = 0, то —1/4 / ж < +оо;
если 0 < а < 2, то — оо < ж / , ^ ж < +оо; если
2а2а
а ^ 2, то — оо < ж < +оо. Разложить левую часть неравенства на множители: (2аж2 + 4ж + 1)(2а2ж2 + 4аж + а + 8).407) Если а = 0, то —оо < ж —1/4;
если 0 < а < 1, тоесли 0 < а < 1, тоОО < XОО < X™ 1 - УТ^Е12а2а™ 1 - УТ^Е12а2аУ ж < +оо; еслиУ ж < +оо; еслиа ^ 1, то х Е R. Разложить левую часть неравенства на множители: (4аж2 + 4ж +1) х х(4а2ж2 — 4ах + а + 4).408) Если а = 0, то — оо < ж ^ 1/2; если 0 < а < 1,а ^ 1, то х Е R. Разложить левую часть неравенства на множители: (4аж2 + 4ж +1) х х(4а2ж2 — 4ах + а + 4).408) Если а = 0, то — оо < ж ^ 1/2; если 0 < а < 1,тотоОО < Ж УОО < Ж У1 — У1 ™ а и 1 + У1 ™ оаа1 — У1 ™ а и 1 + У1 ™ оааУ ж < +оо; если а У 1, то ж Е R.У ж < +оо; если а У 1, то ж Е R.
если 0 < а < 1, то
если 0 < а < 1, то
ОО < X
ОО < X
™ 1 - УТ^Е1
2а2а
™ 1 - УТ^Е1
2а2а
У ж < +оо; если
У ж < +оо; если
а ^ 1, то х Е R. Разложить левую часть неравенства на множители: (4аж2 + 4ж +1) х х(4а2ж2 — 4ах + а + 4).408) Если а = 0, то — оо < ж ^ 1/2; если 0 < а < 1,
а ^ 1, то х Е R. Разложить левую часть неравенства на множители: (4аж2 + 4ж +1) х х(4а2ж2 — 4ах + а + 4).408) Если а = 0, то — оо < ж ^ 1/2; если 0 < а < 1,
то
то
ОО < Ж У
ОО < Ж У
1 — У1 ™ а и 1 + У1 ™ оаа
1 — У1 ™ а и 1 + У1 ™ оаа
У ж < +оо; если а У 1, то ж Е R.
У ж < +оо; если а У 1, то ж Е R.
Разложить левую часть неравенства на множители: (аж2 — 2ж + 1)(а2ж2 + 2аж +
410) Если< 1 — а и410) Если< 1 — а и+ а + 4).409) - < ж < -!—; —
410) Если
< 1 — а и
410) Если
< 1 — а и
ал/а а2
0 < а < 1/4, то 0 < ж < - — а — 2
1 <ж < +оо.411) Еслиа > 1, то 0 < ж < аи а^ < ж< +оо; если
0 <а < 1, то< ж <а™^.412) Если а < 0, то 1/а Уж < 0; если
а >0, то 1/а У ж < +оо;если а= 0, то решенийнет. 413)Если а > 1,
то log„ 1/2 < ж< loga(3/2+ Vs);если 0 < а < 1,то — оо < ж < loga 1/2,
з + УТТ
loga(3/2 + Уз) < ж < +оо. 414) Если а > 1, то а2 < ж < а 2 и 1/уа < з - Упз + Упз - Уп
< ж < а 2 ; если 0 < а < 1, то а 2 < ж < а2 и а 2 < ж < 1/уа. 415) 1 < ж < 1/а, а2 < ж < а. 416) 1/а < ж < +оо, а3 < ж < а2; а5 < ж < < +оо. 417) Если 0 < а < 1, то — 2 Уб < ж У -—^^ и —- У ж < 2 Уб;
22
если а > 1, то -—^5 у ж < ———-.418) 0 < ж < а2, 1 < ж < 1/а3.
22
419)2 < ж < 3.419)2 < ж < 3.\+ 4а2420) Если а > 1, то\+ 4а2420) Если а > 1, то< ж < +оо; если 0 < а < 1,< ж < +оо; если 0 < а < 1,
419)2 < ж < 3.
419)2 < ж < 3.
\+ 4а2
420) Если а > 1, то
\+ 4а2
420) Если а > 1, то
< ж < +оо; если 0 < а < 1,
< ж < +оо; если 0 < а < 1,
то 1 < ж <то 1 < ж <1 + V1 + 4а221 + V1 + 4а22421) Если а > 1, то 1/а < ж < а4; если 0 < а < 1,421) Если а > 1, то 1/а < ж < а4; если 0 < а < 1,
то 1 < ж <
то 1 < ж <
1 + V1 + 4а2
2
1 + V1 + 4а2
2
421) Если а > 1, то 1/а < ж < а4; если 0 < а < 1,
421) Если а > 1, то 1/а < ж < а4; если 0 < а < 1,
то а4 < ж < 1/а.422) Если а > 1, то loga(4 + V16 + а2) У ж < +оо; если
0 < а < 1, то loga(4 + V16 + а2) У ж У loga 2.
—13/14 < а < 3. Решение. Пусть а — некоторое фиксированное число. Данное неравенство можно переписать в виде |ж — а\ < 3 + ж2. Отсюда следует, что оно равносильно двойному неравенству — (3 — ж2) < ж — а < 3 — ж2,
или равносильно системе неравенств
ж — а < 3 — ж2, — (3 — ж2) < ж — а.
Следовательно, задача может быть переформулирована так: определить те а, при каждом из которых множество решений системы неравенств
(1)(1)ж2 у ж — 3 — а < 0, ж2 — ж — 3 + а < 0, ж < 0
(1)
(1)
содержит хотя бы одно число. Дискриминанты квадратных трехчленов ж2 + ж — 3 — — а и ж2 — ж — 3 + а равны соответственно 13 + 4а и 13 — 4а. Поэтому для того, чтобы первое и второе неравенства системы (1) имели решения, надо, чтобы были выполнены неравенства 13 + 4а > 0 и 13 — 4а > 0, т.е. —13/4 < а < 13/4. В дальнейшем будем считать, что а удовлетворяет этим неравенствам.
Обозначим через Ж1, ж2 ижз, Ж4 корни квадратных трехчленов ж2 + ж — 3 — а и ж2 — ж — 3 + а, соответственно. При этом будем считать, что Ж1 < Ж2, жз < Ж4. Так как множества решений первого и второго неравенств системы (1) имеют вид Ж1 < ж < ж2 и жз < ж < Ж4, то система (1) будет иметь решение тогда и только
/ п" 1 " V13 + 4а 1 - V13 - 4а
тогда, когда Ж1 < и и жз < и или когда < и и <
22
< 0. Первое неравенство выполнено для всех а из множества —13/4 < а < 13/4. Второе неравенство равносильно на этом множестве неравенству 1 < V13 — 4а или неравенству 1 < 13 — 4а; множество решений последнего неравенства есть промежуток —оо < а < 3. Итак, система (Г) имеет хотя бы одно решение, если параметр а принадлежит множеству —13/4 < а < Зи только в этом случае.
-4 < а < 17/4.425) - - < а < 2.426) -1 < а < 5/4.427) Если
4
а > 1/2, то а — 1 < ж < За — 2; если а ^ 1/2, то решений нет. 428) Если а = 0, то 0 < ж < 1 и — 1 < ж < 0; если 0 < |а| < 1/V^, то — V1 ™ а2 < ж < “|«| и |а| < ж < уА “ °2; если Ы 1/V2, то решений нет. 429) Если а < —1/4 о1о — 1 — V1 + 4а
или а > 2, то решении нет; если —1/4 V а V 2, то ж 1 +
+ V2 — а,.430) Если —< а < 1, то —2 — V1 — а < ж < —2 + V1 — а;
2
./™™™ 6Г"1
если — оо < а V , то < ж < — 2 + VI — а; если а р 1,
22
то решений нет. 431) Если а = 0, то ж = 0; если а / 0, то решений нет. 432) Если а = 0, то 8 V ж < +00 5 если а / 0, то решений нет. 433) Если 44
0 < а < 1, то < ж < +оо; если а > 8, то — оо < ж < ; если
40 -5а40 - 5а
оо < а V 0 или 1 ^ а ^ 8, то решений нет. 434) Если — оо < а < —4, то
а + 46 - аа + 4
< ж < 0; если 2 < а < о, то < ж < ; если о V а < +оо, 282
то 0 < ж < а + 4 • если —4 V а 2, то решений нет. 435) Если а < 1, то
2
9/8 < ж V ™—“5 если 1 V а 15/7, то 9/8 < ж < +оо; если а > 15/7, то
а — 1
——- V ж < +оо. 436) Если — оо < а < —10 или 2 < а < +оо, то — оо <
а — 1
ж <—; если а = —10, то ж Е R; если а = 2, то решений нет; если
2(а+ 10)
10 < а < 2, то—™ < ж < +оо. 437) Если а > 1, то 0 < ж < 1/а4;
2(а+ 10)
если 0 < а < 1, то 0 < х < а8.438) — 2<а< 0.439) —1/2 < а < 1.
- 1 < а < 1 ~, 1 < а < 1±^1. 440) а = 0; а = -1. 442) а = 0;
22
а = 1.443) а = 1; а = 7/4.444) а = 1/4; а = 1.445) -2 < а 0.
446) - оо < а < -1 - V5.447) а = 0, -оо < а У -1/2. 448) 1 У а У 3.
ГЛАВА III
§1
1) (1;—3).2) (1,2; 1,4).1) (1;—3).2) (1,2; 1,4).(1;2;3).(1;2;3).6) (-1;-1;2).6) (-1;-1;2).3)7)3)7)2t - 3 \ . ’ 4 / /2-15* \ 2 ’ 22t - 3 \ . ’ 4 / /2-15* \ 2 ’ 2, где у G R., где у G R.;t , где t Е;t , где t ЕНет решений.R. 8) (2; 4; 7).Нет решений.R. 8) (2; 4; 7).
1) (1;—3).2) (1,2; 1,4).
1) (1;—3).2) (1,2; 1,4).
(1;2;3).
(1;2;3).
6) (-1;-1;2).
6) (-1;-1;2).
3)
7)
3)
7)
2t - 3 \ . ’ 4 / /2-15* \ 2 ’ 2
2t - 3 \ . ’ 4 / /2-15* \ 2 ’ 2
, где у G R.
, где у G R.
;t , где t Е
;t , где t Е
Нет решений.
R. 8) (2; 4; 7).
Нет решений.
R. 8) (2; 4; 7).
9)(-1;1), ^—;- —J. 10) (6; —1); (—1; 6). 11) (5; 2), (-2;-5). 12)(1;1); ( —1; — 1). Вычесть из первого уравнения второе. 13) (2; 1). Заменить одно из уравнений суммой уравнений. 14) (2;3); (—2; —3). 15) х = 2. 16) (1;0),
(-3;-4/3).17) (1;2). Сделать замену переменных = и, =
Зх — -ух — Зу
= и. 18) (—2;—2), (1;1). Заменить одно из уравнений разностью уравнений. 19) (3; 2), (—3; —2).20) (-3;2).21) (1; 2).22) (1; 2).23) (-1;-1),
(1; 1).24) (2;3). Умножить первое уравнение на х, так как х / 0 и вычесть
/21 \
затем его из второго. 25) (1;3); I —4;—26) (2;—2), ( —2;2), (1 + V3;
-1 + V3), (1 - ГЗ;-1 - СЗ). 27) (0;0), (—V2; V2); (V5; -V5), (2^2; -2V2), (-2V2; -2V2). 28) (5; 2), (-5; 2). 29) (Гб; - V5), (-Гб; Гб), (1; 3), (3; 1), (—1; —3); (—3; —1).30) (4; 1), (1; 4).31) (2; 2), (—2; — 2); (0; 2V2),
(0; — 2V2), (—2V2;0), (2V2;0).32) (0;0). Воспользоваться равенством (ж +
+ 2у)(ж + у + 2) = ж2 + Зжу + 2у2 + 2ж + 4у.33) (73/12; -71/12).34) (1 -
- V2; -1 - V5), (1 + V5; -1 + V5), (1 + VS; VS - 1), (1 - VS; -VS - 1). 35) (1 + а/З; 1 — Vs), (1 — VS; 1 + Сз). Сделать замену переменных ж + у = w, ху = -и.36) (10; 7), (—7; —10). Сделать замену переменных х — у = и, ху =
=37):Y f38) (1; 2), (2; 1); (1;-2),
\22/\22/
(—2; 1), (—3; 0), (0; 3). Воспользоваться тождеством (ж2 + 1)(у2 + 1) = (ж + у)2+ +(жу — I)2 и сделать замену переменных ж + у = и, жу — 1 = у. 39) (—2; 3), (3;-2). 40) (3;5), (5;3). 41) (2; 1), (1;2). 42) (—2; 3), (-3;2). 43) (2; 2 — VS). 44) (-1 + А-2). 45) (-1; 3), (*; 2), где t G R. 47) (-1!2), (7/9; 10/9). 48) (1;1/2), (—3; 5/2). 49) (-12;-9), (9; 12). 50) (6;3), (—6; —3), (3; —6), (—3;6). Обозначив ж/у = г, у/ж = 1/z, решить первое уравнение относительно г. 51) (1/3; 1/2), (1/2; 1/3). 52) (Vsi; СИ), (-ГЛ; -С31),
(4;1), (—4;—1).53) (6;3), (—6; —3).54) (0; 2), (0;-2), (1;-3), (-1;3).
(2;3).
(1; t), где t £ R, (—1/9; —2/9). Данная система равносильна системе
(1 - ж)(ж + у + 3)(2ж - у) = 0,
(ж — 1)(3ж + Зу + 1) = 0.
(1;3;5), (-1;-3;-5).58) (0;-1;3), (0; 3; —1), (—1;0;3), (—1; 3; 0),
(3;0;1), (3; —1;0).59) (1;2;-2), (1;-2;2), (2;1;-2), (2; -2; 1), (-2;1;2).
(0; 0; 0), (1; 1; 1), (-1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; 1), (1; -1; -1), (—1; 1; — 1). Перемножить уравнения. 61) (3;4;5), (—3; —4; —5). Ввести новые переменныежу = и, xz = у, yz = го. 62) (1/3; 2/5; 1/6). Преобразовав
ху1yz1ZX1
уравнения: = , = , = , вве-
хУу 1/x + l/y y + z \]zy\]y x^z \]xy\]z
сти новые переменные 1/ж = и, 1/у = у 1/z = го. 63) (3;6;2), (1/3;—2; -2/3).64) (3; 6; 10), (6; 3; 10).65) (1; 3; 9), (9; 3; 1).66) (0; 0; 4); (0; 4; 0),
(4;0;0).67) (1;3; 1/3), (1; 1/3; 3), (3;1; 1/3), (3; 1/3; 1), (1/3; 3;1), (1/3; 1;3).
(1/Сб;2/Сб;3/Сб); (-1/V6; -2/V5; -3/V6).69) (10/V15; 9/V15;
4/С^), (-10/V15; -9/V15; -4/С15). 70) (10/СЗ; 1/СЗ; -8/V3), (-10/^3; — 1/V3; 8/V3), (4; 3; 2), (-4; -3; -2).
74) Рис. 3974) Рис. 3975) Рис. 4075) Рис. 4076) Рис. 4176) Рис. 41
74) Рис. 39
74) Рис. 39
75) Рис. 40
75) Рис. 40
76) Рис. 41
76) Рис. 41
77) Рис. 42
79) Рис. 44
83) Рис. 48
84) Рис. 49
90) Рис. 5590) Рис. 5591) Рис. 5691) Рис. 56
90) Рис. 55
90) Рис. 55
91) Рис. 56
91) Рис. 56
92) Рис. 57
93) Рис. 58
У
2
Л(2; 2)
02
95) Рис. 60
103) Рис. 68103) Рис. 68104) Рис. 69104) Рис. 69
103) Рис. 68
103) Рис. 68
104) Рис. 69
104) Рис. 69
117) Рис. 82
118) Рис. 83
119) Рис. 84
120) Рис. 85
121) Рис. 86
25 М.К. Потапов и др.
133) Рис. 98
135) Рис. 100
136) Рис. 101
25*
137) Рис. 102
143)8.144) 18.145)2.146)36.147) 12.148) 16.149)6.150)2.
151)6.152)тг/2.153)Зтг/8.154) тг/4.
Рис. 108; t/min = —3 при — 1 < х < 0.
Рис. 109; г/min = — 1 при х < 0.
РИС. ПО; 7/тах = 3 при 2 х3.
Рис. 111; г/тах = 5/3 при 9/5х 3.
§2
(0; 2). Обозначить 2Ж = и, log2 -у = в.
[ —— + тгп; 2 ), n 63) [ ±— + 2тт; - ); п Е Z.
\ 47\ 64/
(;1
\ 2 - log2 3 2 - log2 3 7
(9; 1). Обозначить Дх = и, у5 = v.
(4; V2), (4; — V2). Обозначить З3^2 = п, 2'у2/2 = гь
(1/3; 1/2). 8) (710»; 1/710). 9) /o v^ 5 + 726^
(10 3 10 7, (108;106).
(1/100; 36). Обозначить Ду = иД^х = v.
(2/3; log3 4).
(9; 9). Вычесть из первого уравнения второе.
(12; 3); (3; 12). Обозначить Дху = и, х + у = v.
(1; 8), (8; 1). Обозначить Дх = и, Ду = х.
(9; —4); (16; —3). Обозначить уДх = в, Дх + у2 = и.
(1; 0), (0; 1).18) (2; 6).19) (-2; 3).
(2; — 3), (3,2; —2,4). Из второго уравнения х = 2уЕ-8; подставить выражение 2у + 8 вместо х в первое уравнение системы.
(4;-1), (-38/3;-28/3).
(2; 2), (4; 1/2). Для решения системы (хо; уо) из первого уравнения следует равенство Xqo+1 = 8.
(5; 5). Для решения системы (а*о; уо) следует равенство log^ Уо =
logyo $0
Обозначить ^0 = log$0 уо.
X - у
(4; 2). Обозначить ^ = 2 2 .
X + У
(3; 3), (5; 1). Обозначить 2 6= у.
(5; 1). Обозначить 2Ж™“У = % и первое уравнение системы записать в виде х — 4у = 1.
(25; 9), (9; 25). Обозначить = л.
Дж + -Ду
(2; 3/2), (3; 1). Обозначить /ж + 3^ =
у У + 5
(2; 1), (1; 2). Обозначить \/х/у = %.30) (1; 1).
(3; 1), (1/3; 7/3).
(2; 1), (1; 2), (-—2; -—1), (—1; —2). Данная система равносильна системе
|ж + у| = 3,
или совокупности систем
|ж - у| = 1
ж + у = 3, ж - у = 1,ж + у = 3, ж - у = 1,ж + у = 3,ж - у = -1,ж + у = 3,ж - у = -1,Ж + у = -3, ж - у = 1,Ж + у = -3, ж - у = 1,ж + у = —3, ж - у = 1.ж + у = —3, ж - у = 1.
ж + у = 3, ж - у = 1,
ж + у = 3, ж - у = 1,
ж + у = 3,
ж - у = -1,
ж + у = 3,
ж - у = -1,
Ж + у = -3, ж - у = 1,
Ж + у = -3, ж - у = 1,
ж + у = —3, ж - у = 1.
ж + у = —3, ж - у = 1.
(3;3), (5;1).34) (5; 3).35) (80; 20).36) (1; 2), (16;-28).
(^У3^). 38)(5;5). 39) (2; 18), (18; 2). 40) (6; 8), (8; 6). 41) (-2; 2).42) (5; 3).43) (7; 9), (9; 7).44) (9/2; 1/2).
(3; 2). Перейти к следствию, прологарифмировав оба уравнения по основанию 2.
(1/2; -3/2). 47)(3;-3).48) (С5; 4), (-УЗ; 4).49)(1;0).
50)(2;4).51)(1;V5), (V5;l). 52) (1; 2), (-V5; 0), (1/V2; 3/V2).
(5; 0).54) (9; 3), (1/27; 729).55) (4; 1/4). 56) (16; 4).57) (2; 1).
58)(1;-1).59) (-2/5; 2/5).60) (-5/2;-1/2).61) (4; 16). 62) (9; 3),
(1/27,729). 63)(3;27).
/2±v£;2_v2V 65) (1; 1/2), (1/2; 1).
( i ( 1 + V2+V5 + 4V2 ) 4 | -1 - V2+V5 + 4V2 ) ),
■ у 2 \v / 2 \v / /
(H1 + V2-V5 + 4V2 I 4 I -1 - V2 - V 5 + 4V2 ) I.
\ 2 \v/ 2 \v/
(7; 5).68) (—;-).69) (4; 1), (2; 3), (6;-1), (3; 2).
(-4; 10), (-3; 9). (5; 1). 71) (1; 1), (2; 1/8).72) (2/3; 9/4).73) (1; 1).
74) (1;1), (l/2;4).75) (0; 1).76) (2; 2).77) (1/2; 1).
(8;-4), (8/3; 4/3).79) (-1;-2), (1/3;-2/3).80) (-2;-8).
(0; 9/4), (-3; 2), (3; -1).82) (1; 1), (16/81; 4/9).
(64; 1), ( — 1;—64).84) (1; 9).85) (4; 9), (9; 4).
(4; 1), (121/64; 169/64).87) (4; 4).
(2; 1), (1; 4). Заметить, что 13ж4г/2 ™6ж2 — бу = {Ъх4у2 — 6т2 — бу) Р^х4у2.
(3; -2).90) (—1/2; 3).91)(3;1).
§3
1) (- + тг^,- + тг^ I, k Е Z. 2) ( — + 2тг^, тг — 2тгк ), к Е Z.
\44/\2/
3)1h тгп,h тгп Vn Е Zs [h ivk,h irk 1, к E Z.
' \2424/\2424/
{ 7Г , 7Г 2, \„
4) I —h ivk,ivk Lk E Z.
\263/
/ ТГ , ТГ 1 \ТГк тхк.тгк к—к тгп,тгп к k 6 Z, п 6 Z.\26/ \62// ТГ , ТГ 1 \ТГк тхк.тгк к—к тгп,тгп к k 6 Z, п 6 Z.\26/ \62/( — + тг^, — — ivk к к Е Z.\44/( — + тг^, — — ivk к к Е Z.\44/7)7Г^, -7)7Г^, -к тгп, —тгп к к Е Z, п Е Z.4/к тгп, —тгп к к Е Z, п Е Z.4/8)8)к т:к + arcctg 5,тск — arcctg 544к т:к + arcctg 5,тск — arcctg 544,kEZ.,kEZ.(^L-E 2Lz. 10) (—1; 1), (1; —1).\ 242 242 /(^L-E 2Lz. 10) (—1; 1), (1; —1).\ 242 242 /И)И)|(2fc-l),|(4fc + l)),fcGZ.|(2fc-l),|(4fc + l)),fcGZ.(1; 2), (-1; -2), (-1; 2), (1; -2), (3; 0), (-3; 0).(1; 2), (-1; -2), (-1; 2), (1; -2), (3; 0), (-3; 0)./ тг (1)". 23V3™к — arcsin1,\ 6262тг , (-1)". 2 — 3V5р arcsinк626/ тг (1)". 23V3™к — arcsin1,\ 6262тг , (-1)". 2 — 3V5р arcsinк626п е Z.п е Z.(0; 1), (1; 0), (0; -1), (-1; 0), (1/2; -1/2), (-1/2; 1/2).(0; 1), (1; 0), (0; -1), (-1; 0), (1/2; -1/2), (-1/2; 1/2).[ 1; (—1)п — + тгп — 1 к n 6 Z. \6/[ 1; (—1)п — + тгп — 1 к n 6 Z. \6/16)16)5 !•; ± arcsin25 !•; ± arcsin2ТГ ../5—: ± arcsin л / -4V 6ТГ ../5—: ± arcsin л / -4V 6р ^п | -п Е Z.4/р ^п | -п Е Z.4/
/ ТГ , ТГ 1 \ТГ
к тхк.тгк к—к тгп,тгп к k 6 Z, п 6 Z.
\26/ \62/
/ ТГ , ТГ 1 \ТГ
к тхк.тгк к—к тгп,тгп к k 6 Z, п 6 Z.
\26/ \62/
( — + тг^, — — ivk к к Е Z.
\44/
( — + тг^, — — ivk к к Е Z.
\44/
7)7Г^, -
7)7Г^, -
к тгп, —тгп к к Е Z, п Е Z.
4/
к тгп, —тгп к к Е Z, п Е Z.
4/
8)
8)
к т:к + arcctg 5,тск — arcctg 5
44
к т:к + arcctg 5,тск — arcctg 5
44
,kEZ.
,kEZ.
(^L-E 2Lz. 10) (—1; 1), (1; —1).
\ 242 242 /
(^L-E 2Lz. 10) (—1; 1), (1; —1).
\ 242 242 /
И)
И)
|(2fc-l),|(4fc + l)),fcGZ.
|(2fc-l),|(4fc + l)),fcGZ.
(1; 2), (-1; -2), (-1; 2), (1; -2), (3; 0), (-3; 0).
(1; 2), (-1; -2), (-1; 2), (1; -2), (3; 0), (-3; 0).
/ тг (1)". 23V3™
к — arcsin1,
\ 6262
тг , (-1)". 2 — 3V5
р arcsinк
626
/ тг (1)". 23V3™
к — arcsin1,
\ 6262
тг , (-1)". 2 — 3V5
р arcsinк
626
п е Z.
п е Z.
(0; 1), (1; 0), (0; -1), (-1; 0), (1/2; -1/2), (-1/2; 1/2).
(0; 1), (1; 0), (0; -1), (-1; 0), (1/2; -1/2), (-1/2; 1/2).
[ 1; (—1)п — + тгп — 1 к n 6 Z. \6/
[ 1; (—1)п — + тгп — 1 к n 6 Z. \6/
16)
16)
5 !•
; ± arcsin
2
5 !•
; ± arcsin
2
ТГ ../5
—: ± arcsin л / -
4V 6
ТГ ../5
—: ± arcsin л / -
4V 6
р ^п | -п Е Z.
4/
р ^п | -п Е Z.
4/
^( —l)fc — + тгк; ±-тг + 2тг/^ , ^(—l)n+1 — + тгп; ±тг/3 + 2тгт^ ,
п Е Z, к Е Z, I Е Z, т Е Z.
^ — + тг(^ — I); — + тг(^ + 1)^ , ^—— + тг(^ —/); ™ + тг(^ +/)^ ,
к Е Z, I Е Z.
ТГ , ТГТП ТГ , 7ГШ \„
[к тг^ Н;V тгк, к Е Z, т Е Z. \ 4242 /
I— тг/ — —; — -к тг/ -к — I, к Е Z, I Е Z,
\ 122 122 )
(7итттгтт \„
к тгр кк р Е Z, п Е Z.
\ 122122 /
_ . . { ТГТГ1 \/ тгтг _ , \
Iк тгш;к 2?rfc , I —к тгп;к 2тг/ , \ 42/\42/
тп Е Zs к Е Zs n Е Z, / G Z.
22)22)/тгп \2тг 1 тг„
22)
22)
к тг^; — ,— ±к тг^; Я-к тгп , к Е Z, n Е Z.
\22 / \233/
23) (тгп,тг^), n Е Z, к Е Z.
24)25)26)27)28)29)30)31)32)33)34)35)36)37)38)39)40)24)25)26)27)28)29)30)31)32)33)34)35)36)37)38)39)40)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
38)
39)
40)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
38)
39)
40)
7Г , 7ГП f7Г । 2тГ 7 L 7Г I 11 гу
р ^Г — к — ±h тгк ±h тгп к п € Z, I Е Z. 22 / \233/
, n 6 Z, т Е Z., n 6 Z, т Е Z.( —1)п — 4- ^^ 4^ 4. 2тгт 34
, n 6 Z, т Е Z.
, n 6 Z, т Е Z.
± — 4- 2тгп, ( — l)k — Р ivkV п Е Z„ k Е Z.
.66/
(^1)п™ + тт. ^1)п^Т™ + (2к + 1 п> L Е Z, к Е Z. 66/
[4- 2irk, ±— + — + 2тгп ), к Е Z, п Е Z.
\ 332/
| ±— + 2тгп, ( —— + ^к ), n Е Z, к Е Z.
\ 66 г
(/4. тгттг ), п Е Z, т Е Z.
\46/
/ / х ъ тг тек 1у 3ии \——
[ ( —1— arctg1к к Е Zs п Е Z.
\93727/
/ . 7Гик1, 17ГП \„
4-1— arctg - 4к к Е Z, п Е Z.
\ 62222 /
I + 2тг/, arctg 2 + ivk ), к Е Z, I Е Z.
\ 4/
((^if^-Pivk^^TvlYkE ZJEZ.
\42/
I ™— + тгп ), к Е Z, п Е Z.
\44/
( — 4- тг^, ™ + 2тгп к Е Z. п Е Z.
\36/
I ±— +(2п — ^)тг + ™, ™2тггг + 7Г к
\ 33/
I ±™ + 7Г^, 2тгт, тг — (2m + ^)тг к к Е Z, п Е Z, m Е Z.
V 33/
( ™ + тг^, arctg 2 + тгт, — — arctg 2 — (к + т)тг ),
\44/
( — — 4- тгк, ™ arctg 2 + тгт, — + arctg 2 — (к + ш)тг к к Е Z, m Е Z.
\ 44/
I 3 [ п —п Е
V V 8/8/
( 3 ( 2?г — — ) , ™2п + - Е TV, п 3.
V V 4/4/
/ Зтг Зтг\
\ 42 /
§4
n = 5, т = 2. Воспользоваться равенствами n2 + 2m2 — 3mn = (n — 2m) x x(n — m), 3 = 1 • 3 = (—1)(—3). 2) n = 2, m = 4; n = 17, m = 1. Воспользоваться равенствами 34 = 2 • 17 =17-2.3) m = n = 2. Воспользоваться
равенством mn — m — n = (m — l)(n — 1) — 1.4) n = 1, m = 2k, k E N;n = 3,
m = 2k, k E N.
n = 2, m = 2k, k E N; n = %, m = 2k, k E N. Решение. Так как gn99
— > О для любого п и - cosTrm = (—l)m • -, то условию задачи удовлетворяют
четные т, т.е. m = 2k, k Е N. Пусть m = 2k, k E N, тогда исходное уравнение 3n93n
запишется в виде — = Рассмотрим последовательность ап = —. Так как оц = те!2те!
= 3, а2 = аз = 9/2 и ап+1 < ап для п ^ 3, то ап <9/2 для п ^ 4, т.е. условию задачи удовлетворяют m = 2k, k Е N и п = 2, п = 3.
(0;0), (2; 2).
(0,0). Записать уравнение в виде (ж — 2уУ = 8г/2, откуда |ж — 2г/| = = 2^2|г/|, что возможно для целых хну только при х = у = 0, поскольку при х ф 0 и у ф 0 число |ж — 2у | целое, а число 2у^|г/| иррациональное.
( — 11; 12), (11; — 12), ( — 11; —12), (11,12). Воспользовавшись равенствами х2 — у2 = (ж + у) (х — у) и —23 = (—1) • 23 = 1 • (—23), целочисленностью хну, найти решения совокупности систем уравнений
Jх — у = 1,J х — у = —23,J х — у =— 1,Jх — у = 23,
1х + у = 23,1 х + у = 1,1 х + у =23,1ж + г/= — 1.
(5; 2); (-5; -2); (-1; -2), (1; 2). 10) (0; 2), (1; 1), (1; 3), (2; 2). 11) (0; 0).
(24; 1), (24;-1).13)(0;1).
(2; 3/2). Записать уравнение в виде (ж — 2)2 + (2у — З)2 = 0.
(—4; — 3). Записать уравнение в виде (ж — у + I)2 + (2у — х + 2)2 = 0.
(-4/7;-1/7).17) ( 7г/2 + 2тг/г;±у+2тгтm
(1;1), (1;-1), (-1;1), (-1;-1).
(0; 2), (1; 2). Записать уравнение в виде [жЦ — 1)]“ + (у — 2)" = 0.
(1;1), (—1;—1).21) [ -(2fc + 1); 1 ), fc G
у 4/
(0,0). 23) (1;0). Воспользоваться тождествами 1 + 2х — х2 = = -(ж - I)2 + 2, х“ + у2 + 2ху - 2х - 2у + 5 = (ж + у)2 - 2(х + у) + 5 = = (ж + у - I)2 + 4.
( ivk; — + tfZ ]; ( тгт; ™ + тгр ], к Е Z, I Е Z, тп Е Z, р Е Z. ' у 4/ у 4/
(0; 0). Воспользоваться тем, что левая часть уравнения не больше 1, а правая часть не меньше 1.
(ттк — 2;0), к Е Z. Воспользоваться неравенствами log2(2 + у2) ^ 1, sin2 (ж + 2) < 1.
(2; —4). Записать левую часть уравнения в виде (х2 — 4ж + 6)(у2 + 8г/ + + 19)М(^-2)2 + 2)((г/-4)2+3).
28)28)-1;-1;. Записать левую часть. Записать левую часть
28)
28)
-1;
-1;
. Записать левую часть
. Записать левую часть
уравнения в виде (ж4 — 2т2 + 3)(р4 — Зу2 + 4) = ((ж2 — I)2 + 2) [ { у2 — - ) + -
(1; 2тгп), (—1; 2тгт), п Е Z, m 6 Z. Переписать уравнение в виде 2 cos у =
1
= - +
30)30)+ ^_iUeZ.55/+ ^_iUeZ.55/
30)
30)
+ ^_iUeZ.
55/
+ ^_iUeZ.
55/
[ 7Г_ 2тг^ \ /ЗтГ_ 7Г2тг^ \1„
I — + 2тгт I, I — + Зтгп j+ I, 11 Е Z k Е Z.
\23 / \ 233 /
( — + тг^, 2тгп ], к Е Z,n Е Z. у 4/
^”^;-^^, ^”^;^”^^. Так как |arcsint| тг/2, то все решения
уравнения есть решения системы уравнений’
| 1: — + 2тгк |— 1: — — + 2тг/ |, к Е Z, I Е Z. Записать уравнение в виде \2/ \2/
(ж — sin ху)2 + cos2 ху = 0.
(—2; тгк\ к Е Z, ^2; — + тгр^, р Е Z.
I ™ 4- 7r(2fc + 1); — + 2тгп ), к E Z, n E Z. Записать уравнение в виде
\42/
о /16\
(2 — sin" 2х) I 1 41=16 + sin у, все решения которого являются решени-
\ sin4 2х /
| sin2 2х = 1.
ями системы <
I sin у = 1.
( — (2k + 1); — (4m — 2k + 1) I, к E Z, m E Z. Записать уравнение в виде \44/
(tg2 х ™ tg2 yf + 2(tgx • tgp - ctgx • ctgp)2 = sin2(a* + y) 1.
( — + 2тгп, ™ + 2(n — к E Z, n E Z;
\33/
„_ х 4- у х - уЗаписать уравнение в виде I 2 coscos„_ х 4- у х - уЗаписать уравнение в виде I 2 coscos™| +2тгр,™™ P2(p™l>y рЕ Z, UZ. х 2™| +2тгр,™™ P2(p™l>y рЕ Z, UZ. х 22222.. 2 Ж У a+ sin = 0.2.. 2 Ж У a+ sin = 0.2
„_ х 4- у х - у
Записать уравнение в виде I 2 coscos
„_ х 4- у х - у
Записать уравнение в виде I 2 coscos
™| +2тгр,™™ P2(p™l>y рЕ Z, UZ. х 2
™| +2тгр,™™ P2(p™l>y рЕ Z, UZ. х 2
2
2
2
2
.. 2 Ж У a
+ sin = 0.
2
.. 2 Ж У a
+ sin = 0.
2
39)39), 11 Е Z, к Е Z., 11 Е Z, к Е Z.™ + 2тг^, 2тгп — — — 2тг^
39)
39)
, 11 Е Z, к Е Z.
, 11 Е Z, к Е Z.
22.
( arctg ) + тг/с, — + ^k ], к Е Z,
у V /4 у
( arctg V5 + тгп,У 2тгп I, п Е Z. у4/
(0; 1). Воспользоваться на ОДЗ неравенствами
у — х — 1^0, cos ж у ф + х ) .
(0; 1). 43) (0; 1).
( — + 2тт, 2 I, п Е Z. Воспользоваться на ОДЗ неравенствами
218(ж/2)1+tg2($/2)218(ж/2)1+tg2($/2)О, у2 - 4у 4- 51.О, у2 - 4у 4- 51.
218(ж/2)
1+tg2($/2)
218(ж/2)
1+tg2($/2)
О, у2 - 4у 4- 51.
О, у2 - 4у 4- 51.
+ 2тгп; 1J, тг Е Z. 46)(тг + 2тгп; 2), n 6 Z. 47) ^кк^ 1), к Е Z.
48) | 1;, к Е Z. 49) | 2; ±— - 2 + ^к |, к Е Z.
У 4 У\3Л
Гз; ±™ + - +, к Е Z. 51) |1;±™™2 + тг^), к Е Z.
v 62/У 4У
(—1; 2); ( —1; —2). Решение. Из определения функций у = arcsina*
и у = arccosх следует, что |ж|1. Так как | arcsinx| - иО arccosх тг
для любых значений |ж| ^ 1, то 0 ^ (arcsina*)2 ^ — и 0 ^ (arccos ж)2 ^ тг2. 4
Следовательно, для любого действительного числа ж, такого, что |ж| < 1 имеем
g(x) = (arcsina*)2 + (arccos х)2 — -тг2 0, причем g(x) обращается в нуль только 4
тогда, когда одновременно | arcsinx| = — и arccos х = тг, что возможно только при
х = — 1, рассмотрим
/(ж) = 5 sin2 х — 6 sin х • cos х — 9 cos2 +3 • ^ЗЗ.
J.21 - cos 2ж21 + cos 2ж о .
Используя формулы Sill X = И COS X = И 2 Sill х • COS X =
22
= sin 2х, это выражение можно переписать в виде
/(ж) = —2 — (7cos 2х + 3 sin 2х) + 3 • ^33.
Вводя дополнительный угол ф, получим
cos 2ж + 3 sin 2х = V58 I —— cos 2х 4— sin 2х = V58 sin(<p + 2x4,
У V58V58 У
.7
где ф = arcsin. Поэтому
V58
/(ж) = -2 - C58sin(^ + 2ж) + 3^33.
Поскольку | sin а | ^ 1 для любого действительного а, то
/(ж) = -2 - V58sin(y> + 2ж) + 3^33 > -2 - ^58 + 3^33.
Сравним числа 2 + V58 и 3 \Дз. Возводя каждое из этих чисел в третью степень, получаем, что
(2 + V58)3 = 70-/58 + 356, (З^ЗЗ)3 = 891.
Для сравнения чисел 70/58 + 356 и 891 достаточно сравнить числа 70/58 и 535 = = 891 — 356 или числа 14/58 и 107. Возводя каждое из этих чисел в квадрат, получаем числа 113 68 и 11449. Так как 11449 > 11368, то 14/58 < 107, следовательно, 70^58 < 535, откуда 70V58 + 356 < 891 и, наконец, 2 + /58 < З/ЗЗ. Итак, —2 — /58 + 3 /33 > 0. Таким образом, доказано, что /(х) > 0 для любого значения х. Тогда для любого значения у такого, что \у\ ^ 2 и любого значения х имеем /(х) • ^2 — \у\ р 0. Так как правая часть исходного равенства имеет смысл лишь для |х| ^ 1, то, подводя итог, получаем, что
- \у\ > 0, g(ж) < 0, /(ж) > 0
для любых хи у таких, что |х| ^ 1, \у\ ^ 2. Отсюда следует, что исходное равенство справедливо тогда и только тогда, когда одновременно g(x) = 0 и ^2 — \у\ = 0, т.е. тогда и только тогда, когда х = ™1и|г/| = 2. Следовательно, исходное уравнение удовлетворяется для двух пар чисел xi = — 1, yi = 2, ж2 = — 1, у 2 = —2.
(2; -1), (-2; -1). 54) (3; -1), (-3; -1). 55) (-1; 3), (-1; -3).
(2; 3; 2), (2; 4; 1), (3; 3; 1), (0; 1; 2), (0; 3; -2), (2; 1; -2), (0; 4; -1), (0; 0; 1), (2; 0; — 1), (—1; 1; 1), (—1; 3; — 1), (3; 1; — 1).
(0;l;t),wt Е R. 58) (1; 0; 1), (—1, 0,1), (1; 0; 5), (—1, 0, 5).
(1; 5, 0), (1;- 5; 0), (—1; 5; 0), (—1; —5; 0).
(1;4;3), (1; 4; — 3), (—1; 4; 3;), (—1; 4; — 3).61) (—1; 0; —1/3).
(1/2; 1/2; 0). Воспользоваться равенством
х2 + у2 — z2 — 2ху + 2x2; — 2yz = (х — у + z)2.
(t; t; t), где t E R. Воспользоваться равенством
2(x2 + у2 + 2/ ™ xy - yz - zx) = (x - y)2 + (y ™ z)2 + (z ™ x)2.
( — 1/2; 1/2; 0). Записать уравнение в виде
(х - z + 1/2)2 + (ж + у + /2 + (х - у + I)2 = 0.
(—1; 2; 3). Записать уравнение в виде
(х - у + z)2 + (2х + у)2 + (у - Z + I)2 = 0.
(0; 0; 0). Записать уравнение в виде
(2х - Зг/ - zf + (у + 2zf + z2 = 0.
(0; 0; 1). Записать уравнение в виде
—Ру +1 = [2^х— (2; — 1) ].
+ 1
(0; 1). Так как 2х2 + 1 ^ 1, то у — | sin х| ^ 1, откуда у р 1, из второго уравнения у 1, следовательно у = 1. Но тогда х должен удовлетворять равенствам 2х2 = — sin х, tg2 х = 0, откуда х = 0.
(0;1).70)(0;0).71) (0,0).72) (l/2;v^/2).
(^тг; (2/ + 1)тг), ^тг; ™ + 2/тг^, ^ + ivk^ ™ + 2тг/^, ^ + ivk; (21 + 1)тг^, k Е ZJ Е Z. Воспользоваться неравенствами sin2 х р sin4 х, sin2 у р sin4 у.
(—1; — 1; — 1).75) (2; 2; 2).76) (-2;-2;-2).77) (3; 10),
(—20; 36).78) (5; 2), (93/2; 33/2).79) (-2; 1).80) (1; —1/2).81) (-2; 1).
(0; 0; 0). Перемножить уравнения. 83) (д/б; д/б/З), ( —\/б; — л/б/З).
(2V2; — V2), (—2V2; Vs\ Умножить первое уравнение на 4 и вычесть из него второе.
85)(1;1),(—1;1),(1;—1),(—1; — 1). Умножить второе уравнение на 2 и сложить с первым уравнением.
(2; 2), (-2; -2), (2 V2; -2^2), (-2V2; 2V2).
(1;0), (0; 1). Из первого уравнения имеем ж2 ^ 1 и у2 ^ 1, но тогда ж5 х2 и у5 у2, откуда ж5 + у5 1. Следовательно, х2 = ж5, у2 = у5.
(1; 1; 0).89) (2; 2; —2). Выразив х + у из первого уравнения, возвести
затем его в квадрат и вычесть из него второе уравнение, умноженное на 2.
(1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1).
(1/^3; 1/^3; 1/v^). Первое уравнение записать в виде (ж — y)2jr ^(у — z)2 + (^ — ж)2 = 0, откуда ж = у = z.
I — (2fc + 1), — + /тг, — + тгт J, кД, т Е Z. Воспользоваться неравен-
\ 422/
ствами 2 sin2 у 2, tg2 ж + ctg2 ж 2, откуда tg2 ж = 1, sin2 у = 1.
(8; 2), (1/2; 1/8). Воспользоваться тем, что ж > 0, у > 0, а тогда ж = 81оё8Ж, у = 81оё8У
^2^ ^1? arccos |
(1/2; 0), (3; тг/6), (3; —тг/6).96) (0; 1/2), (-1; —3/2).
(-2; 3/2), (0; —1/2).98) (—1/2; -1).99) (1; -1).
( —1; —3), (3; —3). Решение. Выясним, какие числа удовлетворяют условию
4|у|-|у-1| + (у + 3)2<8,(1)
т.е. решим неравенство (1).
Для освобождения от знаков абсолютной величины разделим числовую ось на три промежутка у ^ 0, 0 < у < 1и1^г/<+ос.В области у ^ 0 имеем \у\ = —у, \у — 1| = — (г/ — 1), поэтому неравенство (1) переписывается так:
-4у + (у - 1) + (у + З)2 < 8 или у2 + Зу < 0.
Решение этого неравенства есть промежуток —3 < у ^ 0. Любое значение у из этого промежутка лежит в области у < 0, следовательно, все у из промежутка — 3 EJ у ^ 0 являются решением неравенства (1). В области 0 < у < 1 имеем |г/1 = у, \у — 1| = — (у — 1), поэтому неравенство (1) перепишется так:
4у + У - 1 + (У + З)2 ^8 или у2 + 11г/0.
Решение этого неравенства есть промежуток —11 < у ^ 0. Ни одно значение у из этого промежутка не лежит в области 0 < у < 1 и, следовательно, в этой области нет решений неравенства (1).
В области у ^ 1 имеем |г/| = у, \у — 1| = у — 1, поэтому неравенство (1) перепишется так:
4г/ - (г/ - 1) + (г/ + З)28 или у2 + ^у + 2 < 0.
Решение этого неравенства есть промежутокРешение этого неравенства есть промежуток22-9 +V732-9 +V732
Решение этого неравенства есть промежуток
Решение этого неравенства есть промежуток
2
2
-9 +V73
2
-9 +V73
2
Ни одно значение у из этого промежутка не лежит в области у > 1. Следовательно, в этой области неравенство (1) решений не имеет. Итак, решением неравенства (1) являются все значения у из промежутка —3 < у 0. Значит, второму условию задачи могут удовлетворять только такие пары чисел (ж; у), у которых у из промежутка —3 < у < 0. Поскольку
2,®2 —2ж —3| —log2 3 21— 2ж — 31 1з’
(2)(2)то данное в условии уравнение можно записать в виде 2|®2 —2ж —3| ——3
(2)
(2)
Для любого х выполняется неравенство 2^ж ™2ж™311, а для у из промежутка
—3 ^ у ^ 0 выполняется неравенство З™^™3 ^ 1. Поэтому равенство (2) возможнолишь для таких пар чисел (ж; у), для которых одновременно выполняются условия|ж2 — 2ж — 3| = 0, —у — 3 = 0,
т.е.дляу = — Зижх = — 1,Ж2 = 3. Так как у = —3 лежит в промежутке—3 ^ у ^ 0, то пары чисел (—1 : — 3) и (3; — 3) удовлетворяют условиям задачи.
(1;2), (4; 2).102) (2;0), (6;0).
\to>№V3\yV^',-V3>, 1^; — ), №-^ai\. 104) (2; 1).7 \ 22 / у 22/\to>№V3\yV^',-V3>, 1^; — ), №-^ai\. 104) (2; 1).7 \ 22 / у 22/
\to>№V3\yV^',-V3>, 1^; — ), №-^ai\. 104) (2; 1).
7 \ 22 / у 22/
\to>№V3\yV^',-V3>, 1^; — ), №-^ai\. 104) (2; 1).
7 \ 22 / у 22/
тгVtt2 + 9тг— Vtt2 + 9
Жз = ™, 2/3 = ; Ж4 =. q , 2/4 = .
Vtt2 +93Vtt2 + 93
Решение. Обозначим произведение ху через t. Тогда первое уравнение системы можно переписать в виде
(Сз + 1)(1 + cos t • sin t) = (V5 + 1) sin2 t + cos 2t(3)
или, что равносильно, в виде
(V3 + 1) (sin2 t + cos2 t + cos t - sin t) = (V3 + 1) sin2 t + cos2 t — sin2 t.
Поскольку очевидно, что решения уравнения удовлетворяют условию cos t V 0, то разделив обе части последнего уравнения на cos2 t, получим уравнение
(V3 + l)(tgi + l) = l-tg2<,(4)
также равносильное уравнению (3). Уравнение (4) равносильно совокупности уравнений
tg t— 1, tgt = — Vs,
откуда.
t = 7ГП, n G Z; t = — — + тг&, k G Z.(5)
43
Пусть теперь to — одно из найденных чисел. Рассмотрим систему уравнений
J ху = t0,
।2 22 ] а
х у — у +1 = 0.
Подставляя to вместо ху во второе уравнение, находим, что у = ± у 1 + ^н Д^66 из первого уравнения находим, что
Итак, все числа ж, у, удовлетворяющие двум уравнениям данной в условии задачи системы, имеют вид
'। to
ж = ± ,
< V1 + to(6)
у = ±
где to — одно из чисел (5), причем в этих формулах нужно одновременно брать знак плюс (+) или знак минус (—). Непосредственной проверкой легко установить, что все числа, найденные по формулам (6), где to — любое из чисел (5), удовлетворяют двум уравнениям системы.
Следовательно, осталось выбрать из чисел (5) те числа to, для которых ж и у, найденные по формулам (6), удовлетворяют условию — + 2/2 ^6, или, что то же 'ж2
самое, найти в множестве чисел (5) числа, являющиеся решениями неравенства
+ 1 + t2 < 6.(7)
26 М.К. Потапов и др.
Это неравенство равносильно неравенству
t4 ™4О -yl < 0
Поскольку корни квадратного трехчлена ^2 —4^ + 1 равны 2 + Уз и 2 ™ V5, то последнее неравенство равносильно двойному неравенству
2-ГЗ<Г<2 + Сз
или неравенству
/2-Уз< gi| < 1/2 +Уз./2-Уз< gi| < 1/2 +Уз.(8)(8)Легко проверить, что числа Н = — тг/4 и t2 = —тг/З (см (5)) удовлетворяют неравенству (8). Если же и ^ 0 или к ^ 0, то справедливы неравенстваЛегко проверить, что числа Н = — тг/4 и t2 = —тг/З (см (5)) удовлетворяют неравенству (8). Если же и ^ 0 или к ^ 0, то справедливы неравенства7Г।- 7Г5 7ГП + 7Г И> 7Г44™™рЕ337Г।- 7Г5 7ГП + 7Г И> 7Г44™™рЕ33Итак, из всех чисел (5) только два числа tiИтак, из всех чисел (5) только два числа tiи t2 =удовлетворяют 43и t2 =удовлетворяют 43неравенству (8), а значит, и неравенству (5). Соответствующие значения ж, у легконеравенству (8), а значит, и неравенству (5). Соответствующие значения ж, у легконаходятся теперь по формулам (6), они и дают ответ задачи.находятся теперь по формулам (6), они и дают ответ задачи.113) Ж1 =113) Ж1 =— 7Г— 7Г™ arctg 2y+rctg 2 ™ 1™ arctg 2y+rctg 2 ™ 1У2 = Уarctg 2 - 1.У2 = Уarctg 2 - 1.114)(1;2).115)(1;1).1 16) | Е -у 2тгп; — 1 ), п Е Z. Решение. Из второго уравнения системы \2/выразим у через х. Для краткости обозначим 4sm ж + 4COS ж через а. Тогда второе114)(1;2).115)(1;1).1 16) | Е -у 2тгп; — 1 ), п Е Z. Решение. Из второго уравнения системы \2/выразим у через х. Для краткости обозначим 4sm ж + 4COS ж через а. Тогда второеуравнение системы можно переписать в видеуравнение системы можно переписать в виде(25 - 6а)у2 + (6 - 2а)у +1 = 0.(25 - 6а)у2 + (6 - 2а)у +1 = 0.(9)(9)Докажем, что для любого решения системы не может выполняться равенство 25 — ™ ба = 0.Если это равенство имеет место, т.е. если а = 25/6, то из уравнения (9) находим, что у = 3/7. Но тогда, используя первое уравнение системы, получаем, чтоДокажем, что для любого решения системы не может выполняться равенство 25 — ™ ба = 0.Если это равенство имеет место, т.е. если а = 25/6, то из уравнения (9) находим, что у = 3/7. Но тогда, используя первое уравнение системы, получаем, что3 / •1+ У81ПЖ = bg23 / •1+ У81ПЖ = bg2у sin хl + 3t/у sin хl + 3t/= log2= log23 sin ж163 sin ж16, ,3S !о1Ь -, ,3S !о1Ь -™2.™2.
/2-Уз< gi| < 1/2 +Уз.
/2-Уз< gi| < 1/2 +Уз.
(8)
(8)
Легко проверить, что числа Н = — тг/4 и t2 = —тг/З (см (5)) удовлетворяют неравенству (8). Если же и ^ 0 или к ^ 0, то справедливы неравенства
Легко проверить, что числа Н = — тг/4 и t2 = —тг/З (см (5)) удовлетворяют неравенству (8). Если же и ^ 0 или к ^ 0, то справедливы неравенства
7Г।- 7Г
5 7ГП + 7Г И> 7Г
44
™™рЕ
33
7Г।- 7Г
5 7ГП + 7Г И> 7Г
44
™™рЕ
33
Итак, из всех чисел (5) только два числа ti
Итак, из всех чисел (5) только два числа ti
и t2 =удовлетворяют 43
и t2 =удовлетворяют 43
неравенству (8), а значит, и неравенству (5). Соответствующие значения ж, у легко
неравенству (8), а значит, и неравенству (5). Соответствующие значения ж, у легко
находятся теперь по формулам (6), они и дают ответ задачи.
находятся теперь по формулам (6), они и дают ответ задачи.
113) Ж1 =
113) Ж1 =
— 7Г
— 7Г
™ arctg 2
y+rctg 2 ™ 1
™ arctg 2
y+rctg 2 ™ 1
У2 = Уarctg 2 - 1.
У2 = Уarctg 2 - 1.
114)(1;2).115)(1;1).
1 16) | Е -у 2тгп; — 1 ), п Е Z. Решение. Из второго уравнения системы \2/
выразим у через х. Для краткости обозначим 4sm ж + 4COS ж через а. Тогда второе
114)(1;2).115)(1;1).
1 16) | Е -у 2тгп; — 1 ), п Е Z. Решение. Из второго уравнения системы \2/
выразим у через х. Для краткости обозначим 4sm ж + 4COS ж через а. Тогда второе
уравнение системы можно переписать в виде
уравнение системы можно переписать в виде
(25 - 6а)у2 + (6 - 2а)у +1 = 0.
(25 - 6а)у2 + (6 - 2а)у +1 = 0.
(9)
(9)
Докажем, что для любого решения системы не может выполняться равенство 25 — ™ ба = 0.
Если это равенство имеет место, т.е. если а = 25/6, то из уравнения (9) находим, что у = 3/7. Но тогда, используя первое уравнение системы, получаем, что
Докажем, что для любого решения системы не может выполняться равенство 25 — ™ ба = 0.
Если это равенство имеет место, т.е. если а = 25/6, то из уравнения (9) находим, что у = 3/7. Но тогда, используя первое уравнение системы, получаем, что
3 / •1
+ У81ПЖ = bg2
3 / •1
+ У81ПЖ = bg2
у sin х
l + 3t/
у sin х
l + 3t/
= log2
= log2
3 sin ж
16
3 sin ж
16
, ,3
S !о1Ь -
, ,3
S !о1Ь -
™2.
™2.
Очевидно, что получилось противоречие, которое и означает, что для любого решения системы равенство 25 — 6а = 0 выполняться не может.
Решая теперь уравнение (9) как квадратное относительно у, находим его корни:
™ (3 ™ а) + Vn2 — 16— (3 — а) — л/а2 ™ 16
25™ 6а25™ 6а25™ 6а25™ 6а2/1 = , 2/2 = —
25™ 6а
25™ 6а
25™ 6а
25™ 6а
ПосколькуПоскольку
Поскольку
Поскольку
21 л j sin2а ™ 16 = (421 л j sin2а ™ 16 = (4>2 ж^2 ^g ^sin2 ж ^cos2 ж^2
21 л j sin2
а ™ 16 = (4
21 л j sin2
а ™ 16 = (4
ТО
2.4sin2 Ж _ 32 • 4cos2 ж - 3
2/1 = ГЛ9; 2/2 = ГЛ9•
25g^4smz ж । 4cosz ж)256(4sin ж | 4COS ж)
Приведенные рассуждения показывают, что исходная система равносильна совокупности двух систем, которые назовем соответственно I и II:
у sin ж = log2у sin ж = log2-г/ sin ж1 + 31/-г/ sin ж1 + 31/2.4Sin ж _ з2/ = 25 - 6(4sin2 ж + 4cos22.4Sin ж _ з2/ = 25 - 6(4sin2 ж + 4cos2у sin ж = log2у sin ж = log2у sin ж1 + 31/у sin ж1 + 31/2 • 4cos2 ж - 32 • 4cos2 ж - 32/ = 256(4sin2 ж | 4cos2 ж)2/ = 256(4sin2 ж | 4cos2 ж)
у sin ж = log2
у sin ж = log2
-г/ sin ж
1 + 31/
-г/ sin ж
1 + 31/
2.4Sin ж _ з2/ =
25 - 6(4sin2 ж + 4cos2
2.4Sin ж _ з2/ =
25 - 6(4sin2 ж + 4cos2
у sin ж = log2
у sin ж = log2
у sin ж
1 + 31/
у sin ж
1 + 31/
2 • 4cos2 ж - 3
2 • 4cos2 ж - 3
2/ =
256(4sin2 ж | 4cos2 ж)
2/ =
256(4sin2 ж | 4cos2 ж)
Решим сначала систему I. Пользуясь вторым ее уравнением, находим
1 + 31/У1 + 31/У=3+1=3+=3+1=3+25 - 6(4sin2 ж + 4cos2 ж) _ 16 - 6 • 4cos2 ж2.4sin2 ж 32 • 4sin2 ж 32.4cos2 ж . (2 • 4sin2 ж2.4sin2 Ж 325 - 6(4sin2 ж + 4cos2 ж) _ 16 - 6 • 4cos2 ж2.4sin2 ж 32 • 4sin2 ж 32.4cos2 ж . (2 • 4sin2 ж2.4sin2 Ж 3= 2 • 4cos2= 2 • 4cos2
1 + 31/
У
1 + 31/
У
=3+1=3+
=3+1=3+
25 - 6(4sin2 ж + 4cos2 ж) _ 16 - 6 • 4cos2 ж
2.4sin2 ж 32 • 4sin2 ж 3
2.4cos2 ж . (2 • 4sin2 ж
2.4sin2 Ж 3
25 - 6(4sin2 ж + 4cos2 ж) _ 16 - 6 • 4cos2 ж
2.4sin2 ж 32 • 4sin2 ж 3
2.4cos2 ж . (2 • 4sin2 ж
2.4sin2 Ж 3
= 2 • 4cos2
= 2 • 4cos2
у sin ж1 + 31/у sin ж1 + 31/log2log2у sin ж1 + Зуу sin ж1 + Зу= l°g2 | 8ШЖ| - log2= l°g2 | 8ШЖ| - log21 + ЗуУ1 + ЗуУ= log2 I sina;! - l°g2(2 • 4COS Г == log2 I sina;! - l°g2(2 • 4COS Г == log2 | sin ж | — 1 — 2 cos2 x.= log2 | sin ж | — 1 — 2 cos2 x.
у sin ж
1 + 31/
у sin ж
1 + 31/
log2
log2
у sin ж
1 + Зу
у sin ж
1 + Зу
= l°g2 | 8ШЖ| - log2
= l°g2 | 8ШЖ| - log2
1 + Зу
У
1 + Зу
У
= log2 I sina;! - l°g2(2 • 4COS Г =
= log2 I sina;! - l°g2(2 • 4COS Г =
= log2 | sin ж | — 1 — 2 cos2 x.
= log2 | sin ж | — 1 — 2 cos2 x.
Здесь использован тот факт, что для решений системы выполнено условие у ф 0,
ибо иначе в первом уравнении не будет иметь смысла выражение log2
Подставляя теперь 2 • 4COS ж вместо в правую часть первого уравнения
У
системы, находим, что
Пользуясь условием задачи \y\ ^ 1, первым уравнением системы, а также очевидными неравенствами
(10)(10)(11)(11)log2 | sinai| 0 и cos2 X 0,
(10)
(10)
(11)
(11)
получаем, что
— 1 у sin х = log2 | sin^| — 1 — 2 cos2 ж ™1.
Теперь ясно, что все неравенства (10) и (11) в действительности являются равенствами, и должны выполняться следующие условия
у sin ж = — 1,
log2 | sinж| = 0, cos ж = 0,
или, что все равно, условия
у sin ж = — 1,I 81пж| = 1.
Если sin х = — 1, т.е. если х = — тг/2 + 2тгп, п Е Z, то у = 1. Подставляя найденные значения х и у во второе уравнение системы I, получаем неверное равенство 1 = — 1.
Если sin ж = 1, т.е. если ж = — + 2тгп, п Е Z, то у = — 1. Подставляя найденные 2
значения ж и у в оба уравнения системы I, убеждаемся, что они им удовлетворяют. Итак, система I имеет бесконечное множество решений
ж = — + 2тгп, п Е Z, 2
У =
Решим теперь систему II. Пользуясь вторым уравнением системы, подобно предыдущему находим, что
+ Зг/ , ^sin2 ж
У
Подставляя теперь 2 • 4sin ж вместо 1 ^ в правую часть первого уравнения, так
У
же как и раньше, находим, что
у sin ж = log2 | sin ж| — 1 — 2 sin2 ж.
Воспользуемся теперь условием |у| ^ 1, а также неравенствами
log2 | 8шж| 0, sin2 ж 0.
Как и ранее, получим, что
— 1 у sin ж = log2 | sin ж | — 1 — 2 sin2 ж— 1,
откуда следует, что для решений системы II должны выполняться следующие условия
у sin ж = — 1,
log2 | sinж| = 0,
sin ж = 0.
Но последние два из этих равенств не могут выполняться одновременно. Таким образом, система II решений не имеет.
(тгп;1),п Е Z. 118) (2тгп;1/2),п Е Z. 119) (2; —3; 3), (1; 0; 0).
(-2; 1; 2), (-4; 2; 0).121) (-1; 2; 2), (0; 1; 0).
Если а ^ 4, то одно решение; если а = 4, то решений нет.
Если а ф ±1, то одно решение; если а = 1, то бесконечное множество решений; если а = ™1, то решений нет.
Если а. ^ ±1, то одно решение; если а. = ±1, то бесконечное множество решений.
Если 1 < а < V5, то восемь решений; если а = V5 или а = 1, то четыре решения; если а < 1 или а > \Pz то решений нет.
Если V2/2 < |а| < 1, то восемь решений; если |а| = V2/2, или \а\ = 1, то четыре решения; если |а| > 1 или \а\ < V5/2, то решений нет.
Если а = 0 или а. = 2, то два решения; если 0 < а. < 2, то четыре решения; если а < 0 или а. > 2, то решений нет.
Если \а\ < У^, то два решения; если \а\ = V^, то одно решение; если |а| > V2, то решений нет.
Если а < -1 и а ^ — 2, то два решения; если а > 0 и а ^ 1, то два решения; если — 1 + а + 0, то решений нет.
Если а ф 0, то два решения; если а = 0, то одно решение.
а ф 0.132) а 0.133) а —4.134) При любом а есть нулевое
решение.135) а е R.136) \а\1/V^.137) Таких а нет. 138) 1/2 + а +
< 3/2.139) 0 < а <1, 1 < а< 81/4.140) 2< а < 2V2. 141) а = 3.
а = -4.143) а=-2/3.144) а =-4.145) jaj < 1/V2.146) а^
+ ±1/Сб.147) а0.148)а2 / 1.149) а = /з^-150) а = -1/3.
а = 0, а = 2.152)а =-1/4, а0.153)а = 4/3.154) а =0,
а =-1/4.155) а =-2.156)а = -1/2.157) а = 3, а =-3.158) 2/3<
< а < 3 — Сб, 3 — Сб <а < 2.159)а =7±4Сз.160) а = ±1, а = ±2/Сб.
а =1, а = 2, а =±2/V3.162) а= ±1, а= ±V5/2. 163) а = -2,
а = -1/2, а = 0.164) а = 9.165) а = 0.166) а = 1.167) а = 1.
а = 2.169) а = 1.170) а = 2.
а = -. Решение. Пусть а — искомое значение параметра и (жо; 2/о) —
решение системы. Легко видеть, что пары чисел (—жо; —уо), (уо; жо), (—уо; ™жо) также будут решениями системы. Решения (жо;уо) и (—жо; ™уо) различны, так как в противном случае жо = 0 и уо = 0, и тогда пара чисел (жо;т/о) не удовлетворяет второму уравнению системы. Решения (™уо; ™жо) и (жо;т/о) также различны. В противном случае жо + уо = 0 и опять не удовлетворяется второе уравнение системы. По условию система имеет в точности два решения, значит, решения (—жо; —уо) и (—уо; ™жо) должны совпадать, т.е. должно выполняться равенство уо = жо. Подставляя жо вместо уо во второе уравнение системы, получаем уравнение 4жо = 14, которое имеет два корня Жо = V^/2 и Жо =("1.
Значит, если при данном а пара чисел (жо; уо) решение исходной системы, то либо жо = уо = V^/2, либо жо = уо = — V^/2. В обоих случаях подставляя (жо; уо) в первое уравнение системы, получим, что 2(1 +а) = 7/2 + 7/2, т.е. получим, что а = 5/2. Значит, если а искомое значение параметра, то оно может принимать только значение 5/2. Покажем, что при а = 5/2 исходная система действительно
имеет два решения.
При а = 5/2 исходная система уравнений принимает вид
(12)(12)ж2 + у2 = 7, (ж + у)2 = 14.
(12)
(12)
Умножим первое уравнение этой системы на 2 и вычтем результат из второго уравнения. Получим систему
(13)(13)Ж2 + у2 = 7,
(13)
(13)
-(ж - у)2 = 0,
равносильную системе (12). Система (13) равносильна системе
у = ж,
2ж2 = 7,
которая имеет в точности два решения (у/7/2; -^7/2), (™-^7/2; —^/7/2). Значит, действительно, а = 5/2 и только оно удовлетворяет условию задачи.
а = 1/4.173) а = 7/3.174) а = -1; а = -2.175) а 1, а = -2.
— (4п — 3) < а ^ — (4п — 1), n G N.
0 < а < 1/4, 1/4 < а 1/3. х = ± arccos -—— + 2тг&, k Е Z,
2 3d
у = ( —l)n arcsinh 7гп, п Е Z, z = . Решение. Пусть по — такое
2 - За1 - 2а
значение параметра, что при а. = ао данная в условии задачи система имеет хотя бы одно решение. Пусть при а = ао она имеет решение (жо, Уо, ^о). Это означает, что справедливы равенства
2 cos хо + а,о sin 2/о = 1,(14)
k>gZ() sinyo = (logZ0 a0) logao(2 - 3cosar0),(15)
bg^ so + logO0 (2_ - 1) = 0,(16)
при этом естественно подразумевается, что имеют смысл все числовые выражения, входящие в эти разности. То, что входящие в равенства (14)—(16) логарифмы имеют
смысл, означает, что справедливы неравенства
о-о > 0, ао ф 1, 1 > 0,(17)
2ао
z0 > 0, z0 ^ 1,(18)
sinyo > 0,(19)
2 — 3 cos жо > 0.(20)
Переписав равенство (16) в виде
I12ао
logao го = logO0
получим, что
2ао
zo = .
1 2ао
Так как zo удовлетворяет неравенствам (18), то справедливы неравенства
2ао1 — 2ад2ао1 — 2ад> 0,> 0,1 — 2ао1 — 2ао(22)(22)
2ао
1 — 2ад
2ао
1 — 2ад
> 0,
> 0,
1 — 2ао
1 — 2ао
(22)
(22)
Применяя формулу logao М = ——, равенство (15) можно переписать в виде logzo «О'
logZ() sinyo = log2J2 - 3 cos То)
или в виде
sin уо = 2 — 3 cos жо.
Подставляя 2 — 3 cos ж о вместо sin у0 в равенство (14) найдем, что
(24)(24)1 2ад
(24)
(24)
cos ж о = ,
2 — Зад
(25)(25)но тогда из (23) получим, что
(25)
(25)
sin у0 =
(26)(26)Так как sin уо удовлетворяет неравенству (19) и так как sin уо ^ 1, то справедливо неравенство
(26)
(26)
0 <
Так как cos жо удовлетворяет неравенству (20) и так как cos жо > — 1, то справедливо неравенство
-1-11 — 2ао2 — Зао1 — 2ао2 — Зао(27)(27)
-1
-1
1 — 2ао
2 — Зао
1 — 2ао
2 — Зао
(27)
(27)
Итак, если значение параметра по удовлетворяет условию задачи, то для него справедливы неравенства (17), (22), (26) и (27). Неравенства (17) означают, что 0 < по < <1/2. Для по из промежутка (0,1/2) первое неравенство (22) справедливо, а второе означает, что ао ^1/4. Если 0 < ао < 1/2 и ао ^ 1/4, то левое неравенство (26) справедливо, а правое означает, что ао 1/3. Итак, неравенствам (17), (22) и (26) удовлетворяют все ао из двух промежутков 0 < ао < 1/4 и 1/4 < ао 1/3. Легко проверяется, что для любого такого ао справедливо неравенство (27). Следователь
но, если ао — значение параметра а — удовлетворяет условию задачи, то ао есть число либо из промежутка 0 < ао < 1/4 либо из промежутка 1/4 < ао ^ 1/3.
Как следует из проведенных выше рассуждений, для любого числа ао либо из промежутка 0 < ао < 1/4 либо из промежутка 1 /4 < ао ^ 1 /3 исходная система имеет решение (жо, уо, ^о) такое, что оно удовлетворяет равенствам (21), (24) и (25).
Следовательно, условию задачи удовлетворяют все значения а из двух промежутков 0 < а < 1/4 и 1/4 < а ^ 1/3: при каждом таком значении а исходная система имеет решения, полученные из (24), (25), (21).
178)2 а < 5/2, 5/2 < а < 5;
| ( — l)k arcsin —-h ?rfc; zb arccos 5 + a < 2тгп; —-— ), к E Z, n E Z.
\3 + 2a3 + 2a5 — a /
179) 3/2 < a < 2, 2 < a < 4;
| ( — l)karcsin———+ 2тг&; zb arccos —-b 2тгп; —-— ),кEZ,nEZ.
\2a-11 — 2a4-a/
180)4 < a < 5, 5 < a < 10;
| —l)fcarcsin1 + 2a+ ?rfc; zb arccos ———+ 2тгп, —-— ],кEZ,nEZ.
\5 a 22 5a10 a /
Решение. Перепишем исходную систему в виде
6(ж + 2у)2 + 2(ж + 2у)(3и - 2) + 3 = 0,
4(ж — у)2 — 2(ж — у)(2и + 1) + 2п2 — - = О,
затем в виде
6 V=H 2у)2 2^ - 2уГf^^Y^j + 3 = 0,
у6\6/\6/У
Лх 2n + 1/2n + lV /2n+lV\25
4 (ж - у) - 2(ж - у)к - + 2п= О
\4\ 4 /\ 4 / у2
и, наконец, в виде
6 У + 2у + У = 9п2-12п-14
;6 J , 6(2
/2n + 1 \— 4п2 + 4п + П
4 ж — у= .
V 4 /4
Теперь очевидно, что если 9п2 — 12п — 14 < 0, то первое уравнение системы (28) решений не имеет; аналогично при —4п2 + 4п + 11 < 0 не имеет решений второе уравнение системы (28). Следовательно, исходная система может иметь решения только тогда, когда и одновременно удовлетворяет условиям 9п2 — 12п — 14 ^ 0 и —4п2 + 4п + 11 > 0, т.е. в том случае, когда и есть решение системы неравенств
(29)(29)9п2 - 12п - 140,
(29)
(29)
4п2 - 4п — 11^0.
Второе из этих неравенств верно только для и из промежуткаV5 ^ п
^ - + V3. Так как и — целое число, то второе неравенство справедливо лишь для
п = — 1, п = 0, п = 1, п = 2. Легко видеть, что из этих и первому неравенству (29) удовлетворяет лишь и = — 1. Итак, только при и = — 1 исходная система может иметь решения. Выясним, имеет ли система (28) решения при п = — 1. При п = — 1 система (28) запишется в виде
(6ж + 12у — 5)2 = 7,
(4ж - 4у + I)2 = 3.W
Первое уравнение системы (30) равносильно совокупности двух уравнений
6ж + 12у — 5 = \/Т и 6ж + 12у — 5 =
Второе уравнение системы (30) равносильно совокупности двух уравнений
4ж — 4у + 1 = V3 и 4ж — 4у + 1 = — V5.
Следовательно, исходная система уравнений при п = — 1 равносильна совокупно™ сти четырех систем уравнений
6ж + 12у — 5 = V?, 4ж — 4у + 1 = VS,6ж + 12у — 5 = V?, 4ж — 4у + 1 = VS,6ж + 12у - 5 = V7, 4х — 4у + 1 = — VS,6ж + 12у - 5 = V7, 4х — 4у + 1 = — VS,
6ж + 12у — 5 = V?, 4ж — 4у + 1 = VS,
6ж + 12у — 5 = V?, 4ж — 4у + 1 = VS,
6ж + 12у - 5 = V7, 4х — 4у + 1 = — VS,
6ж + 12у - 5 = V7, 4х — 4у + 1 = — VS,
2V2 V3.4V2Уз'3 + 3 ’333 ,2^ V34V2Уз3з ;3332у^ V3,54V2Узз + з :' 3332у^ V3_5Уз3з ;1 3332V2 V3.4V2Уз'3 + 3 ’333 ,2^ V34V2Уз3з ;3332у^ V3,54V2Узз + з :' 3332у^ V3_5Уз3з ;1 333/1\3/1\3/1\3/1\3/1\3/1\3Каждая из этих систем уравнений имеет единственное решение, следовательно, исходная система при п = — 1 имеет четыре решения.
2V2 V3.
4V2
Уз'
3 + 3 ’
3
3
3 ,
2^ V3
4V2
Уз
3з ;
3
3
3
2у^ V3,
5
4V2
Уз
з + з :
' 3
3
3
2у^ V3_
5
Уз
3з ;
1 3
3
3
2V2 V3.
4V2
Уз'
3 + 3 ’
3
3
3 ,
2^ V3
4V2
Уз
3з ;
3
3
3
2у^ V3,
5
4V2
Уз
з + з :
' 3
3
3
2у^ V3_
5
Уз
3з ;
1 3
3
3
/1
\3
/1
\3
/1
\3
/1
\3
/1
\3
/1
\3
(2 - 2^5; -4V5), (2 + 2V5; 4^5), (-2^5; -2 - 4^5), (2^5; -2 + 4V5).
а =-2.186) а = 3.187) а =-7.188) а = -2/3.189)а = -1.
а = 1.191 а = ±1/2, а = ±1/3.192) а = 0.193) а. = 1.
а. = 0, а = — 2, а = 2.
Если а. У ±1, то ( -—; —-— ); если а. = ±1, то решений нет. 'у 1 — а2 1 — а2 /
Если а ^ ±1, то (0; а); если а. = 1, то (с; 1 — с), где с Е R; если а. = — 1, то (с ± 1; с), где с Е R.
Если а. У 0 и а. У — 1, то ( 2; —— ); если а. = —1, то (Зс + 1; с), где с Е R;
у За /
если а = 0, то решений нет.
Если а У —2 и а У 1, то ( —-—; —-—; —-— ); если а = 1, то (р; q;
у а -4™ 2 а -У 2 а 2 /
1 — р — q), где р Е R, q Е R; если а = —2, то решений нет.
Если а = 0, то (с; с), где с Е R; если а У 0, то (За/2; 9а/2), (За/2; —9а/2).
Если а. < — 1 и а. —2, то (—а — 1; (а ± I)2), ((а ± I)2; —а — 1); если —1 У а У 0 или а = —3, то решений нет; если а > 0 и а У 1, то (а; а2), (а2; а).
Если а > 0 и а У 1, то (8; 1/2); (1/2; 8).
Если а = 1, то (с; 2 — с), где су 1, с Е R; если а > 1, то решений нет;
.1 + а 3 — а
если а < 1, то ж =, р =.
22
Если а > 0, то (—а/2; с), где |с| У а/2; если а = 0, то (с; 0), где с У 0; если а < 0, то решений нет.
Если а ^ 0, то (1 — а; а; 0); если а = 0, то (1; с; 0), где с Е R.
207) Если а У 0, то207) Если а У 0, то; —а; —аЕсли а ф 0, то (0; а), (а; 0); если а = 0, то (с; —с), где с Е R.
207) Если а У 0, то
207) Если а У 0, то
; —а
; —а
если а = 0, то (0; 0).
I । \ 1/4|а| + У4а2 + 3 1 \_
Если |а| > 1/2, то ; - ; если 0 У \а\ у 1/2, то решении
'у 4(4о2 - 1)4/
нет.v 7
Если а > -2, то 0;— ;
у 2/
оЛ V«2 + 4\
если а = — 2, тоI;
. о а - Va2 + 4 \ / ™a + V«2™4\ /
если а < —2, то 0; , 0; , 0; .
У 2/ у2 /У2/
Если а > 4, то (0; log2 а — 2), ^log2 “ ^ 2; 0^ .
Если —сю < а < VS, то (0;а + V^2 +3); если VS ^ а < +сю, то (0; а + V°2 + 3), (0; —а — V°2 + 3), (0; V02 + 3 — а).
При любом а решения: (тгп; ( —l)fea + 'кЦ, (( — 1)па + тгп^тгк), к Е Z, п Е Z.
Если 1 — V2 а —1 + V^, то
(тгп + ( —l)n arcsin(a2 + 2а), 2тг/с ± arccos(a2 — 2а)),
(тгп + (—l)n arcsin(a2 — 2а), 2тг/с ± arccos(a2 + 2а)), п Е Z, к Е Z.
о1 А 1 - V5 .. - 1 + V5
Если а > — 1 + у 2 или а , то
22
( —l)n arcsin(a2 + а)( —l)n arcsin(a2 + а)22(—l)fc arcsin(a2 — а) + (n + к^тг , 2’
( —l)n arcsin(a2 + а)
( —l)n arcsin(a2 + а)
2
2
(—l)n arcsin(a2 + а)( —l)fe arcsin(a2 — а) + (n — к^к
22
Если a = 0, то ( —к (п + т)тг; ^п — m)— VnEZ^mEZ; если а ^ 0,
то решений нет, так как тогда а2 + 1 ^ 1, но | sin ж • cos 2у| ^ 1.
Если а > 0, а 1, 2V^ h(l ™ ^)|, то
[ arctg л/а + тгА;, ± arccos —к 2тгп ) , \а(1 — а) /
[ — arctg V^ +arccos —‘bZZу 2тт j , к Е Z, ть Е Z.
\а(а — 1)/
а = 1; если а = 1, то [ tg — (1 — V7), cos — (1 + Vz) ). у 44/
а <6.219) а < 0. 220) а < 70.221)-7/15 < а < 10/7.
-8 - Vn < а < 0, Vn + 8 < а < 8/3.
(VtF; ±VH (VtF/2; ±V7^/2). 224) a = ±1.
(тг; тг) при любом а > 0; если 1 ^ а ^ 2, то решениями являются также
тг + arcsinтг + arcsinarcsinarcsin4™ а2За24™ а2За22тг — arcsin2тг — arcsin
тг + arcsin
тг + arcsin
arcsin
arcsin
4™ а2
За2
4™ а2
За2
2тг — arcsin
2тг — arcsin
§5
45 мин. 2) 20 км/ч. 3) 50 км/ч, 100 км/ч.
Скорости пароходов равны 15 км/ч, скорость реки 3 км/ч.
2 км.
20 м. Решение. Найдем путь, пройденный автомобилем за 9 с. Поскольку в первую секунду после достижения пункта А автомобиль проехал 30 м, а в каждую следующую секунду он проезжал на 2 м меньше, чем в предыдущую, то расстояние, пройденное им в каждую секунду, составляет арифметическую прогрессию, первый член «1 которой равен 30, а разность d равна (—2). Так как путь, пройденный автомобилем за 9-ю секунду, равен ад = см + d(9 — 1) = 30 + (—2) • 8 = 14 (м), "Глai + 0-9 л ^0 + 14,
то путь, пройденный автомобилем за 9 с, равен• 9 = • 9 = 198 (м).
22
Следовательно, в тот момент, когда автобус выехал из пункта В расстояние между ним и автомобилем было равно 258 — 198 = 60 (м). За первую секунду после выезда автобуса автомобиль проедет 12 м, а автобус 2 м. Значит, они сблизятся на 14 м, т.е. им останется проехать 60 —14 = 46 (м). За вторую секунду они проедут (12 — 2) + (2 +1) = 13 (м) и им останется проехать 46 — 13 = 33 (м). За четвертую секунду они проедут (8 — 2) + (4 + 1) = 11 (м) и им останется проехать 10 м. За пятую секунду автомобиль проедет 6 — 2 = 4 (м), а автобус проедет 5 + 1 = 6 (м). Следовательно, автобус и автомобиль встретятся через 5 с после выезда автобуса из пункта В. За это время автобус проедет путь, равный 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20 (м).
щ = 7 км/ч, П2 = 6- км/ч, п3 = 6- км/ч. Решение. Обозначим скорости
32
туристов соответственно через их км/ч, П2 км/ч, и из км/ч. Тогда
Уз > ^2, их — из = “, 5 < е3 <8, 3 = 1,2,3.
Заметим сначала, что если у каких-либо туристов совпадают первые два
отрезка пути, то должны полностью совпадать и их маршруты. Ведь по условию
каждый маршрут состоит из трех отрезков и
проходит через все четыре города (рис. 112). По условию все маршруты различны. Значит, можно сделать вывод, что у любых двух туристов пути отличаются уже после прохождения первых двух дорог.
Если туристы вышли из города А, то (см. а)) кто-нибудь из них должен идти по диагонали АС, но тогда он не сможет пройти через все четыре города (его маршрут состоит только из трех отрезков), следовательно, ту
причинам не могли онипричинам не могли ониристы не могли выйти из города А. По аналогичным
причинам не могли они
причинам не могли они
выйти из города С. Итак, туристы вышли либо из города В, либо из города D.
По условию первый и второй туристы встретились перед прохождением третьих дорог, поэтому (см. а)) первый и второй туристы вышли по разным дорогам и встретились в противоположной вершине четырехугольника. Так как их > П2, то длина пути первого туриста до встречи со вторым равна | АВ\ + | AD\ = 21, а длина пути второго до той же встречи равна |BG| + \CD\ = 19. Получаем уравнение
21 _ 19
их U2
Второй отрезок пути третьего туриста совпадает с АС (см. а)), а длина всего пути равна или
\ВС\ + |СЛ| + \AD\ = 44,
или
\АВ\ + \АС\ + \CD\ = 26.
В первом случае путь третьего туриста самый длинный. Поскольку их > из, то первый турист пришел раньше третьего. Длина пути второго туриста не превосходит 34 км, г 3444
значит, время его пути не больше —, а время в пути третьего туриста равно —. Имеем
44 _4444 _ 44 - 1934
из1 V1 21 • U2 V2
их
2
Итак, в первом случае третий турист должен прийти в конечный пункт последним, но это противоречит условию задачи. Следовательно, длина пути третьего туриста равна не 44 км, а 26 км.
д) Предположим, что туристы вышли из города В. Тогда путь первого — В ADC, путь второго — BCD А, путь третьего — В ACD. Длины путей равны соответствен- 263426
но 26 км, 34 км, 26 км, а времена, затраченные на всю дорогу, равны — ч; — ч; — ч.
ихи^из
ы ч/ 34
Из в) следует, что первый турист закончил маршрут раньше второго I — < — I.
V2/
3426о 348 + 26
Пользуясь условием, находим — = 14: так как из + 8, то — + или
U2изU2 из
из ^ U2, что противоречит условию.
Итак, туристы вышли из города D, путь первого — DAB С, второго — DC В А, третьего DC АВ. Длины путей равны соответственно 35 км, 25 км, 26 км, а времена 352526
на всю дорогу равны — ч, — ч, — ч. Из в) следует, что последним пришел первый V1^2из
/ 3525/.
турист ( — > — I. Получаем систему уравнении
\ V1 U2 /
{
35 _ 126
ихиз
их - из = 1/2,
351 ,262 1935„ „_
откуда — = 14или игvi 4= 0. Корни этого уравнения равны 7 и
vivi — 1/222
5/2. По условию скорости расположены в промежутке от 5 до 8 км, значит, второй
корень не подходит. Следовательно, их = 7, из = Ш= 6-, ж2 = —Ш =
19 п„1221
= —. Легко проверить, что найденные значения скоростей удовлетворяют всем условиям задачи. 8) 9 км. 9) 15 м. 10) b = 1/2.
В бригадах было по 9 человек. Решение. Обозначим через ж число членов в первой бригаде; тогда во второй бригаде было (18 — ж) человек, причем из них (15 — ж) юношей. Продолжительность дежурства любого члена первой бригады 48
равна — ч, а продолжительность дежурства каждого юноши второй бригады равна
ж
24 — 3
ч. По условию задачи
15 — ж
15 — ж ж
Проделав очевидные преобразования, перепишем это неравенство так:
(ж — 8)(ж — 10) < 0ж(15 — ж)
Решая последнее неравенство методом интервалов, получим, что оно удовлетворяется для ж из промежутков — сю < ж < 0, 8 < ж < 10 и 15 < ж < +сю. Так как ж (число членов бригады) — целое положительное число и так как из условия следует, что ж < 15, то условию задачи удовлетворяет только одно число ж = 9.
12)40%, 43^ %.
3
2 раза.
Глицерина 0,5 л, воды 3,5 л.
15)3 л.
18 - кг. Решение. Обозначим через и кг и ж кг соответственно количество соли в первом и во втором сосудах, а через х кг и у кг количество испарившейся воды. Тогда из условия задачи имеем
иж
— ж20 — у
= р и = q,иV
илиили520
или
или
520
=Р,
— ж20 — у
Из первого равенства находим ж = 5 — количество испарившейся воды равноИз первого равенства находим ж = 5 — количество испарившейся воды равно-, а из второго у = 20. Поэтомурq-, а из второго у = 20. Поэтомурqж + у = 25 —ж + у = 25 —или, в силу равенства pq =или, в силу равенства pq =9,9,20q20qх + у = 25х + у = 25
Из первого равенства находим ж = 5 — количество испарившейся воды равно
Из первого равенства находим ж = 5 — количество испарившейся воды равно
-, а из второго у = 20. Поэтому
рq
-, а из второго у = 20. Поэтому
рq
ж + у = 25 —
ж + у = 25 —
или, в силу равенства pq =
или, в силу равенства pq =
9,
9,
20
q
20
q
х + у = 25
х + у = 25
Пользуясь неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом двух положительных чисел, находим, что
520 к 2020
™ Нр 2•J - • —р = —
р 9у р 93
201
и, значит, х + у ^ 25= 18-. Итак, в условиях задачи не может испариться
33
более 18- кг воды.
3
_520р3,
Если - = , т.е. р = -, то неравенство между средним арифметическим
р 92
и средним геометрическим обращается в равенство. При этом из первого сосуда г 552050г
испарится х = 5= - кг из второго сосуда у = 20р = — кг воды, а общее
р393
количество испарившейся воды будет равно - 3= 18-.
144 человека. Решение. Обозначим через х число рядов в роте при прибытии роты на парад. Численность роты равна 24ж солдат. После перестройки роты число рядов стало ж — 2, а число солдат в новом ряду стало 26 + (ж — 2). Для парада осталось (ж — 2) (24 + ж) солдат. Число солдат, не участвовавших в параде,
24ж — (ж — 2)(24 + ж) = —ж2 + 2ж + 48.
Корнями квадратного трехчлена —ж2 + 2ж + 48 являются Ж1 = -6 и Ж2 = 8, значит, он положителен при —6 < ж < 8. Так как ж — число рядов, то ж — число положительное, и потому 1 ж 7. Нам надо из промежутка 1 ж 7 выбрать такие натуральные ж, чтобы выражение А = 24ж являлось полным квадратом. Имеем соответственно: Л = 24 при ж = 1, Л = 48 при ж = 2, Л = 72 при ж = 3, Л = 96 при ж = 4, Л = 120 при ж = 5, Л = 144 при ж = 6, Л = 168 при ж = = 7. Среди этих чисел Л только 144 является полным квадратом. Следовательно, ж = 6, и численность роты равна 26 • 6 = 144 человека.
1750 т. Решение. Обозначим через п количество вагонов вместимостью 50 тонн, в которые был загружен весь груз. Тогда вес груза равен 50п тонн. Вагонов вместимостью 60 тонн было использовано п — 5. Так как в них был помещен весь груз и один вагон оказался не полностью загруженным, то 60 (п — 5) > 50п и 60(п — 6) < 50п. Из этих неравенств следует, что 300 < < 10п < 360 или 30 < п < 36. Поскольку п — целое число, то 31 ^ п ^ 35. Вагонов вместимостью 80 тонн при погрузке было использовано п — 13. Подобно .104
предыдущему получаем, что 80(п — 13) > 50п и 80(п — 14) < 50п или <
< п < . Так как = 34™, = 37-, а п — целое число, то 35 ^ п ^ 37.
33333
Из неравенств 31 п 35 и 35 п 37 следует, что п = 35. Значит, вес груза равен 50 • 35 = 1750 тонн.
42,3%.
33. Решение. Пусть п — число учеников в том классе, о котором сообщалось в газете, т — число учеников этого класса, повысивших успеваемость.
Тогда процент учеников, повысивших успеваемость, равен — • 100. По условию п
задачи
2,9• 1003,1.(31)
п
Из неравенства (31) следует, что m0 (т.е. т1)ипПоскольку
31
10001000г
очевидно, чтот > 32, то п 33. Итак, в классе, о котором сообщается
3131
в газете, учеников не меньше, чем 33. Теперь надо выяснить, какое минимальное число учеников все-таки может быть в классе. Легко видеть, что если в классе будет 33 ученика и один из них повысит успеваемость, т.е. если п = 33 и т = 1, то такая пара чисел удовлетворяет неравенству (31). Значит, в классе, о котором сообщается в газете, минимально возможное число учеников 33.
Справочное издание
ПОТАПОВ Михаил Константинович
ОЛЕХНИК Слав Николаевич
НЕСТЕРЕНКО Юрий Васильевич
КОНКУРСНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ
Редактор Е.Ю. Ход ан
Оригинал-макет Е.Ю. Морозова
ЛР №07193 0 от 06.07.99.
Подписано в печать 09.01.03. Формат 60x90/16.
Бумага типографская. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 26. Уч.-изд. л. 28,5.
Тираж 3000 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист»
160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3
Тел.: (8172) 72-5 5-31, 72-61-75, факс (8172) 72-60-72
E-mail: pfpv@vologda.ru http://www.vologda/^pfpv
ISBN 5-9231-0373-7
9*785923 10373 1
2 sin ж cos ж + 1
cos ж ( 2 sin ж + ЗлЛ?) ™ 2 cos2 ж — 1
161) < = 1.
sin 2ж + 1
162) ^^ = 1. i63)^lfl = i. 1б4)1^1 = -1.
sin Зжsin 6жcos Зж
6ж2 — тгж — 7Г212ж2 — 8тгж + 7Г2
167) ^siny-cos^ = 0]68) cos 2$ — sin ж = Q
12ж2 — 4тгж — тг212ж2 + 8тгж + тг2
169) ж4 — ж3 — 10ж2 + ж + 1 = 0. 170) ж3 + 4ж2 + 4ж + 1 = 0.
171) 2ж3 - 4ж2 - ж - 15 = 0. 172) ж3 + 2ж - 5^3 = 0.
173) ж2(1 + ж)2 + ж2 = 8(1 + ж)2.
174) (ж + 1)(ж + 3)(ж + 5)(ж + 7) + 15 = 0.
175) (ж - I)3 + (2ж + З)3 = 27ж3 + 8. 176) ж4 +ж3- ж2+ ж+ 1 = 0.
177) ж4 - 2ж3 - ж2 - 2ж + 1 = 0. 178) (2ж2 - Зж+1)(2ж2 +5ж + 1) =9ж2.
179) ж4 + 2ж3 - 2ж2 - 6ж + 5 = 0. 180) ж4 - 4ж3-Юж2+ 37ж - 14 =0.
181) ж4 - 2С2ж2 - ж + 2 - V2 = 0. 182) ж8 - — + — = 2ж2 | ж4 - +.
216\4/
183) (12ж - 1)(6ж - 1)(4ж - 1)(3ж - 1) = 5. 184) (ж + I)4 = 2(1 + ж4).
185) (3 - ж)4 + (2 - ж)4 = (5 - 2ж)4. 186) ж4 - 2ж3 + ж - 132 = 0.
187) ж3 - Зж = 8= 188) (ж2 - ж + I)4 - 6ж2(ж2 - ж + I)2 + 5ж4 = 0.
+ ^. Справа от точки 3 ставим знак «плюс»,
1I= 20.
4log2(:c +у 1 = 36,5?^ ( log2(y - ж) = logs(3y - 5ж),
logs ж + log2 у = log4 5.4 ж2 + у2 = 5.
logg (ж2 + 2) + log81(y2 + 9) = 2,
21og4(ir + y) - log2(® - у) = 0.
2(21ogy2 ж + ^1/а.у) = 3, Г log2($(.-ry + I)2) = 4, жу = 27.4 log4a. 2 = log4 ^жу + 1.
log2 ж ' ^(ж - Зу) = 12,
Ж • ylog* V = у5/2.
ж • 9у_а: + 2у • З-^-У = 8 ■ 3-2ж+у, Зж • 32у+ж + 2у • s^-s+i = 72 . у-у.
ж • 2ж-у+1 + 3- у • 22а:+у = 2,
2Ж . 22:с+у + 3 • у •= 1.
logi+a,(y2 - 2у + 1) + log1_г;(ж2 + 2ж + 1) = 4,
log1+a,(2y + 1) + log1_г;(2ж + 1) = 2.
^3+ж(жу + ж + Зу + 3) + 0,5^1+а(ж2 + 6ж + 9) = 3,
1°8з+ж(0,6 - у) + ^1+у(Зж + 8) = 1.
Уж*°8у " = ж5/2,б?) ( 2(2 logy2 ж + log1/a, у) = 3,
log4 у • logy(y - Зж) = 1.4 жу = 27.
IСО8Ж=1/\/2,IСО8Ж = 1/V2,
(siny = 3/2.|siny = —5/2.
§4
< ж < 3. 9) —1,1 <ж<4;5<ж< +оо. 10) Уб < ж^ 3; —3 ^ж < -Уб. 11)-2<ж<2. 12)13 ^ж<+оо. 13)--УЗ < ж < V3. 14) 7 < ж <+оо. 15)2 <ж< 5. 16)2 < ж ^3. 17)-1<ж<1. 18)-2<ж<3. 19) 50 <
М.К ПОТАПОВ
СП. ОЛЕХНИК
Ю.В. НЕСТЕРЕНКО
Конкурсные задачи по математике
МОСКВА
ФИЗМАТЛИТ
УДК 512.1(075)
ББК 22.1
П 64
Потапов М. К., О л ех н и к С. Н., Нестеренко Ю. В. Конкурсные задачи по математике: Справ, пособие. — Изд. 3-е, стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. ^416 с. — ISBN 5-9221-0373-3.
Приведены задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах в вузы. Основное внимание уделено методам решения уравнений и неравенств, систем уравнений.
Рассчитана на учащихся и учителей старших классов школ и лиц, готовящихся к вступительным экзаменам в вузы. Будет полезной учащимся подготовительных отделений вузов и преподавателям математики.
Второе издание — 2001 г.
Табл. 4. Ил. 112.
ISBN 5-9221-03 73-3ISBN 5-9221-03 73-3© ФИЗМАТЛИТ, 1992, 2001, 2003© ФИЗМАТЛИТ, 1992, 2001, 2003
ISBN 5-9221-03 73-3
ISBN 5-9221-03 73-3
© ФИЗМАТЛИТ, 1992, 2001, 2003
© ФИЗМАТЛИТ, 1992, 2001, 2003
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .............................8
Глава I. УРАВНЕНИЯ
Основные определения. Простейшие уравнения ..........8
Область допустимых значений и корни уравнений (8). 1.2. Корни простейших уравнений (9). 1.3. Уравнение-следствие (11). 1.4. Равносильные уравнения (13). 1.5. Равносильность уравнений на множестве (14). 1.6. Совокупность уравнений (15).
Упражнения .............................16
Равносильные преобразования уравнений .............21
Простейшие преобразования уравнений (21). 2.2. Преобразования, связанные с применением тождественных равенств (22). 2.3. Решение алгебраических уравнений (23). 2.4. Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям (27). 2.5. Преобразования, связанные с супер
позицией функций (28).
Упражнения .............................30
Равносильность уравнений на множестве .............31
Приведение подобных членов уравнения (31). 3.2. Освобождение уравнения от знаменателя (32). 3.3. Тождественные преобразования уравнения на множестве (32). 3.4. Замена уравнения совокупностью уравнений (37). 3.5. Сокращение уравнения на общий множитель (38). 3.6. Возведение обеих частей уравнения в четную степень (39). 3.7. Преобразования, связанные с логарифмированием уравнения (41). 3.8. Преобразования, связанные с потенцированием уравнения (41). 3.9. Решение уравнений, содержащих абсолютную
величину (42).
Упражнения .............................44
Неравносильные преобразования уравнений ............46
А. Переход к следствию .....................46
Приведение подобных членов уравнения (46). 4.2. Освобождение от знаменателя (46). 4.3. Возведение в степень (47). 4.4. Потенцирование уравнений (49). 4.5. Преобразования, связанные с квадратными корнями (50). 4.6. Преобразования, связанные с логарифмическими
формулами (50).
Б. Потеря решений уравнения ..................51
Упражнения .............................53
. Тригонометрические уравнения ..................
Разложение на множители (55). 5.2. Замена переменных (56).
Уравнения вида P(sm, cos ж) = 0 (57). 5.4. Уравнения вида a sin ж + 6 cos ж = с, а ^ О, b ^ 0 (59). 5.5. Равносильные преобразования уравнений с применением тригонометрических формул (61).
Преобразования уравнений с применением тригонометрических формул, справедливых на некотором множестве (66).
Упражнения .............................
6. Уравнения, предлагавшиеся на вступительных экзаменах в вузы . . .
Решение уравнений с применением различных приемов (73).
Уравнения с дополнительными условиями (78). 6.3. Решение уравнений нестандартными способами (83). 6.4. Уравнения, содержащие неизвестную в основании логарифма (89). 6.5. Уравнения, содержащие неизвестную в основании и показателе степени (93). 6.6. Уравнения с параметрами (96).
Упражнения .............................
Глава II. НЕРАВЕНСТВА
Основные определения. Простейшие неравенства ..........
Область допустимых значений и множество решений неравенства (115). 1.2. Решение простейших неравенств (116). 1.3. Равносильность неравенств (117). 1.4. Системы неравенств (119). 1.5. Совокупность неравенств и систем неравенств (120).
Упражнения .............................
Равносильные преобразования неравенств .............
Алгебраические неравенства первой степени (127). 2.2. Простейшие преобразования неравенств (128). 2.3. Преобразования, связанные с применением тождественных равенств (130). 2.4. Квадратные неравенства (131). 2.5. Неравенства, сводящиеся к квадратным неравенствам (134). 2.6. Метод интервалов (136). 2.7. Обобщенный метод интервалов (137). 2.8. Рациональные неравенства (138). 2.9. Нестрогие неравенства (139). 2.10. Системы неравенств (140).
Упражнения .............................
Равносильность неравенств на множестве .............
Приведение подобных членов (144). 3.2. Разложение на множители (144). 3.3. Освобождение от знаменателя (147). 3.4. Сокращение на общий множитель (150). 3.5. Возведение в степень (152).
Потенцирование неравенств (157). 3.7. Логарифмирование неравенств (161). 3.8. Решение неравенств, содержащих неизвестную под знаком абсолютной величины (162).
Упражнения .............................
Неравенства, предлагавшиеся на вступительных экзаменах в вузы . .
Решение неравенств с применением различных приемов (166).
Неравенства с дополнительными условиями (174). 4.3. Решение неравенств нестандартными способами (175). 4.4. Неравенства, содержащие неизвестную в основании логарифма (177). 4.5. Неравенства, содержащие неизвестную в основании и показателе степени (180).
Неравенства с параметрами (183).
555569731001151211276973100115121127141144141144164166164166Упражнения .............................
55
55
69
73
100
115
121
127
69
73
100
115
121
127
141
144
141
144
164
166
164
166
Глава III. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Алгебраические системы уравнений
Основные определения (203). 1.2. Система двух уравнений первой степени (206). 1.3. Метод подстановки (208). 1.4. Линейные преобразования систем (210). 1.5. Метод разложения на множители (211).
Использование однородности одного из уравнений (213). 1.7. Симметрические системы уравнений (215). 1.8. Рациональные системы уравнений (217). 1.9. Геометрическая интерпретация алгебраического уравнения (220).
Упражнения .............................
Неалгебраические системы уравнений ...............
Метод подстановки (232). 2.2. Введение новых неизвестных (232).
Переход к следствию (234). 2.4. Рассуждения с числовыми значениями (235).
Упражнения .............................
Тригонометрические системы уравнений .............
Метод подстановки (245). 3.2. Введение новых неизвестных (246).
Рассуждения с числовыми значениями (249).
Упражнения .............................
Системы уравнений, решаемые нестандартными методами . . . . .
Системы уравнений, в которых неизвестных больше, чем уравнений (252). 4.2. Использование неравенств при решении систем уравнений (256). 4.3. Системы уравнений с дополнительными условиями (259). 4.4. Системы уравнений с параметрами (261).
Упражнения .............................
Текстовые задачи ........................
Задачи «на движение» (275). 5.2. Задачи «на работу» (277).
Задачи «на проценты» (281). 5.4. Задачи «на смеси» и «на сплавы» (282). 5.5. Задачи с целыми неизвестными (284).
Упражнения .............................
203203227232227232241245250252241245250252264275264275287291287291Ответы, указания, решения ......................
203
203
227
232
227
232
241
245
250
252
241
245
250
252
264
275
264
275
287
291
287
291