Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПЛАНИМЕТРИЯ
§ 1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТЕЙШИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ
Геометрия — это наука о свойствах геометрических фигур. Слово «геометрия» греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие». Такое название связано с применением геометрии для измерений на местности.
Примеры геометрических фигур: треугольник, квадрат, окружность (рис. 1).
Геометрические фигуры бывают весьма разнообразны. Часть любой геометрической фигуры является геометрической фигурой. Объединение нескольких геометрических фигур есть снова геометрическая фигура. На рисунке 2 фигура слева состоит из треугольника и трех квадратов, а фигура справа состоит из окружности и частей окружности. Всякую геометрическую фигуру мы представляем себе составленной из точек.
Геометрия широко применяется на практике. Ее надо знать
Евклид — древнегреческий ученый (Ш в. до н. у.)Евклид — древнегреческий ученый (Ш в. до н. у.)
Евклид — древнегреческий ученый (Ш в. до н. у.)
Евклид — древнегреческий ученый (Ш в. до н. у.)
Рис. 2
и рабочему, и инженеру, и архитектору, и художнику. Одним словом, геометрию надо знать всем.
Геометрия, которая изучается в школе, называется евклидовой по имени Евклида, создавшего руководство по математике под названием «Начала». В течение длительного времени геометрию изучали по этой книге.
Мы начнем изучение геометрии с планиметрии. Планиметрия — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости.
ТОЧКА И ПРЯМАЯ
Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Точки принято обозначать прописными латинскими буквами: А, В, С, D, ... . Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: а, Ъ, с, d, ... .
На рисунке 3 вы видите точку А и прямую а.
Прямая бесконечна. На рисунке мы изображаем только часть прямой, но представляем ее себе неограниченно продолженной в обе стороны.
Посмотрите на рисунок 4. Вы видите прямые а, Ь и точки А, В, С. Точки А и С лежат на прямой а. Можно сказать также, что точки А и С принадлежат прямой а или что прямая а проходит через точки А и С.
Точка В лежит на прямой Ь. Она не лежит на прямой а. Точка С лежит и на прямой а, и на прямой Ь. Прямые а и b пересекаются в точке С. Точка С является точкой пересечения прямых а и Ь.
На рисунке 5 вы видите, как с помощью линейки строится прямая, проходящая через две заданные точки АиВ.
Основными свойствами принадлежности точек и прямых на плоскости мы будем называть следующие свойства:
Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
Прямую можно обозначать двумя точками, лежащими на ней. Например, прямую а на рисунке 4 можно обозначить АС, а прямую b можно обозначить ВС.
Задача (З)1. Могут ли две прямые иметь две точки пересечения? Объясните ответ.
Решение. Если бы две прямые имели две точки пересечения, то через эти точки проходили бы две прямые. А это невозможно, так как через две точки можно провести только одну прямую. Значит, две прямые не могут иметь две точки пересечения.
ОТРЕЗОК
Посмотрите на рисунок 6. Вы видите прямую а и три точки А, В, С на этой прямой. Точка В лежит между точками А и С, она разделяет точки А и С. Можно также сказать, что точки А и С лежат по разные стороны от точки В. Точки В и С лежат по одну сторону от точки А, они не разделяются точкой А. Точки А и В лежат по одну сторону от точки С.
Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками. Эти точки называются концами отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов. Когда говорят или пишут: «отрезок АВ», то подразумевают отрезок с концами в точках А и В.
На рисунке 7 вы видите отрезок АВ. Он является частью прямой АВ. Эта часть прямой выделена жирной линией. Точка X прямой лежит между точками А и В, поэтому она принадлежит отрезку АВ. Точка У не лежит между точками А и В, поэтому она не принадлежит отрезку АВ.
1 Число в скобках указывает номер задачи в списке Задач, приведенных в конце параграфа.1 Число в скобках указывает номер задачи в списке Задач, приведенных в конце параграфа.
1 Число в скобках указывает номер задачи в списке Задач, приведенных в конце параграфа.
1 Число в скобках указывает номер задачи в списке Задач, приведенных в конце параграфа.
Основным свойством расположения точек на прямой мы будем называть следующее свойство:
Из трех точек на прямой одна и только одна нежит между двумя другими.
ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ
Для измерения отрезков применяются различные измерительные инструменты. Простейшим таким инструментом является линейка с делениями на ней. На рисунке 8 отрезок АВ равен 10 см, отрезок АС равен 6 см, а отрезок ВС равен 4 см. Длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и ВС.
Рис. 8
Основными свойствами измерения отрезков мы будем называть следующие свойства:
Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
Это значит, что если на отрезке АВ взять любую точку С, то длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и ВС. Длину отрезка АВ называют также расстоянием, между точками А и В.
41 Задача (9). Три точки А, В, С лежат на одной пря- мой. Известно, что АВ = 4,3 см, АС = 7,5 см, ВС = 3,2 см. Может ли точка А лежать между точками В и С? Может ли точка С лежать между точками А и В? Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими?
Решение. Если точка А лежит между точками В и С, то по свойству измерения отрезков должно быть AB-V + АС = ВС. Но 4,3+ 7,5 7^3,2. Значит, точка А не лежит между точками В и С.
Если точка С лежит между точками А и В, то должно
быть АС+ВС = АВ. Но 7,5 + 3,2 + 4,3. Значит, точка С не лежит между точками А и В.
Из трех точек на прямой А, В, С одна точка лежит между двумя другими. Значит, этой точкой является В.
ПОЛУПЛОСКОСТИ
Посмотрите на рисунок 9. Прямая а разбивает плоскость на две полуплоскости. Это разбиение обладает следующим свойством. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.
На рисунке 9 точки А и В лежат в одной из полуплоскостей, на которые прямая а разбивает плоскость. Поэтому отрезок АВ не пересекает прямую а. Точки С и D лежат в разных полуплоскостях. Поэтому отрезок CD пересекает прямую а.
Основным свойством расположения точек относительно прямой на плоскости мы будем называть следующее свойство:
IV. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
Л. Задача (17). Даны прямая и три точки А, В, С, ие ( ° ) лежащие на этой прямой. Известно, что отрезок АВ пере- '—( секает прямую, а отрезок АС не пересекает ее. Пересекает ли прямую отрезок ВС? Объясните ответ.
Решение. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости (рис. 10). Точка А принадлежит одной из них. Отрезок АС не пересекает прямую. Значит, точка С лежит в той же полуплоскости, что й точка А.
Отрезок АВ пересекает прямую. Значит, точка В лежит в другой полуплоскости.
Таким образом, точки В и С ле- А жат в разных полуплоскостях. \ ^****^^^_ А это значит, что отрезок ВС пере- \ секает нашу прямую. \/
ПОЛУПРЯМАЯ**
В
А. Задача (20). Даны прямая а рис у) и точки А, X, Y, Z на этой прямой
(рис. 11). Известно, что точки Xц
и Y лежат по одну сторону от ^2./
точки А, точки X и Z тоже лежат <^
по одну сторону от точки А. Как \ д расположены точки У и Z относи- тельно точки А: по одну сторону \ или по разные стороны? Объясни-\
те ответ.
__Рис. 11
Решение. Проведем через
точку А какую-нибудь прямую Ь, отличную от а. Она разбивает плоскость на две полуплоскости. Одной из них принадлежит точка X. В той же полуплоскости лежат точки У и Z, потому что отрезки XY и XZ не пересекают прямую Ь. Так как точки У и Z лежат в одной полуплоскости, то отрезок YZ не пересекает прямую Ь, а значит, не содержит точку А. То есть точки У и Z лежат по одну сторону от точки А.
Полупрямой или лучом называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точки. Эта точка называется начальной точкой полупрямой. Различные полупрямые одной и той же прямой, имеющие общую начальную точку, называются дополнитель
ными.
Полупрямые, так же как и прямые, обозначаются строчными латинскими буквами. Можно обозначать полупрямую двумя точками: начальной и еще какой-нибудь точкой, принадлежащей полупрямой. При этом начальная точка ставится на первом месте. Например, полупрямую, которая выделена жирной линией на рисунке 12, можно обозначить АВ.
ааА♦А♦ВВ
а
а
А♦
А♦
В
В
Задача (22). На отрезке АВ взята точка С. Среди полупрямых АВ, АС, С А и СВ назовите пары совпадающих полупрямых, дополнительных полупрямых. Объясните Ответ.
Решение (рис. 13). Данные полупрямые имеют начальной точкой либо точку А, либо точку С.
Рассмотрим сначала полупрямые с начальной точкой А (полупрямые АВ и АС). Точка С лежит между точками А и В, так как по условию задачи она принадлежит отрезку АВ. Значит, точка А не лежит между точками В и С, т. е. точки В и С лежат по одну сторону от точки А. Поэтому полупрямые АВ и АС совпадающие.
Рис. 13Рис. 13
Рис. 13
Рис. 13
Рассмотрим теперь полупрямые с начальной точкой С (полупрямые С А и СВ). Точка С разделяет точки А и В. Поэтому точки А и В не могут принадлежать одной полупрямой, а значит, полупрямые СА и СВ дополнительные.
УГОЛ
Углом называется фигура, которая состоит из точки — вершины угла — и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки,— сторон угла.
На рисунке 14 вы видите угол с вершиной О и сторонами а, Ь. Угол обозначается либо указанием его вершины, либо указанием его сторон, либо указанием трех точек: вершины и двух точек на сторонах угла. Слово «угол» иногда заменяют знаком Z_. Угол на рисунке 14 можно обозначить тремя способами: Z_O, А(аЪ), ААОВ. В третьем способе обозначения угла буква, обозначающая вершину, ставится посередине.
Рис. 14Рис. 14
Рис. 14
Рис. 14
Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется развернутым.. На рисунке 15 вы видите развернутый угол с вершиной О и сторонами ОА и ОВ.
Мы будем говорить, что луч проходит между сторонами данного угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой- нибудь отрезок с концами на сторонах угла. На рисунке 16 луч с проходит между сторонами угла (об), так как он исходит из вершины угла (ab) и пересекает отрезок АВ с концами на его сторонах.
В случае развернутого угла мы считаем, что любой луч, исходящий из его вершины и отличный от его сторон, проходит между сторонами угла.
Углы измеряются в градусах при помощи транспортира. На рисунке 17 угол (ab) равен 120°. Полупрямая с проходит между сторонами угла (аб). Угол (ас) равен 90°, а угол (be) равен 30°. Угол (ab) равен сумме углов (ас) и (Ьс).
Основными свойствами измерения углов мы будем называть следующие свойства:
V. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
Это значит, что если луч с проходит между сторонами угла (ab), то угол (ab) равен сумме углов (ас) и (Ьс).
Л. Задача (25). Может ли луч с проходить между сторо- нами угла (ab), если, Z_ (ас) = 30°, Z_(cb) = 80°, A(ab) = 50°? '—гРешение. Если луч с проходит между сторонами уг
ла (ab), то по свойству измерения углов должно быть: А (ас)+ A(bc) = А(аЬ).
Но
30°+ 80° ^50°.
Значит, луч с не может проходить между сторонами угла (а Ь).
ОТКЛАДЫВАНИЕ ОТРЕЗКОВ И УГЛОВ
На рисунке 18 показано, как с помощью линейки на полупрямой а с начальной точкой А можно отложить отрезок данной длины (3 см).
Посмотрите на рисунок 19. Полупрямая а, продолженная за начальную точку А, разбивает плоскость на две полуплоскости. На рисунке показано, как с помощью транспортира отложить от полупрямой а в верхнюю полуплоскость угол с данной градусной мерой (60°).
Основными свойствами откладывания отрезков и углов мы будем называть следующие свойства:
На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
Л. Задача (30). На луче АВ отложен отрезок АС, мень- С " ) ший отрезка АВ. Какая из трех точек А, В, С лежит между —двумя другими? Объясните ответ.
Решение (рис. 20). Так как точки В и С лежат на одной полупрямой с начальной точкой А, то они не разделяются точкой А, т. е. точка А не лежит между точками В и С.
Может ли точка В лежать между точками А нС*? Если бы она лежала между точками А и С, то было бы
АВ ВС=АС.
Но это невозможно, так как по условию отрезок АС меньше отрезка АВ. Значит, точка В не лежит между точками А и С.
Из трех точек А, В, С одна лежит между двумя другими. Поэтому точка С лежит между точками А и В.
ТРЕУГОЛЬНИК
Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами.
На рисунке 21 вы видите треугольник с вершинами А, В, С и сторонами АВ, ВС, АС. Треугольник обозначается указанием его вершин. Вместо слова «треугольник» иногда употребляют знак А. Например, треугольник на рисунке 21 обозначается так: /хАВС.
Углом треугольника АВС при вершине А называется угол, образованный полупрямыми АВ и АС. Так же определяются углы треугольника при вершинах В и С.
Два отрезка называются равными, если они имеют одинаковую длину. Два угла называются равными, если они имеют одинаковую угловую меру в градусах.
Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон.
На рисунке 22 вы видите два равных треугольника АВС и AiBiCi. У них
AB = A|Bi, АС = А\С\, ВС = В\С\,АА=ААЬ AB=Z_BX, ЛС=ЛС\.
На чертеже равные отрезки обычно отмечают одной, двумя или тремя черточками, а равные углы — одной, двумя или тремя дужками.
Для обозначения равенства треугольников используется
обычный знак равенства: = . Запись Z\ABC= А.АХВХСХ читается так: «Треугольник АВС равен треугольнику АХВХСХ». При этом имеет значение порядок, в котором записываются вершины треугольника. Равенство £\АВС = аАхВхСх означает, что АА = ААХ, АВ= АВХ, ... . А равенство ААВС = &ВХАХСХ означает уже совсем другое: АА= АВХ, АВ= ААХ, ... .
Л. Задача (38). Треугольники АВС и PQR равны. Из- С / вестно, что сторона АВ равна 10 м, а угол С равен 90°.
—' Чему равны сторона PQ и угол R? Объясните ответ.
Решение. Так как треугольники АВС и PQR равны, то у них АВ=PQ, АС= AR. Значит, PQ = 10 м, AR = 90°.
СУЩЕСТВОВАНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА, РАВНОГО ДАННОМУ
Пусть мы имеем треугольник АВС и луч а (рис. 23, а). Переместим треугольник АВС так, чтобы его вершина А совместилась с началом луча а, вершина В попала на луч а, а вершина С оказалась в заданной полуплоскости относительно луча а и его продолжения. Вершины нашего треугольника в этом новом положении обозначим Ах, Вх, Сх (рис. 23,6).
Треугольник AiBiCi равен треугольнику АВС.
Существование треугольника АХВХСХ, равного треугольнику АВС и расположенного указанным образом относительно заданного луча а, мы относим к числу основных свойств простейших фигур. Это свойство мы будем формулировать так:
VIII. Какое бы ни был треугольник, существует равный ежу треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.
а)б)
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются.
На рисунке 24 показано, как с помощью угольника и линейки провести через данную точку В прямую Ь, параллельную данной прямой а.
Для обозначения параллельности прямых используется знак ||. Запись а\\Ь читается: «Прямая а параллельна прямой Ь».
Основное свойство параллельных прямых состоит в следующем:
IX. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.
Д. Задача (41). Может ли прямая, пересекающая одну f) из двух параллельных прямых, не пересекать другую? ’—' Объясните ответ.
Решение. Пусть а и b — параллельные прямые, и пусть прямая с пересекает прямую а в точке А (рис. 25). Если бы прямая с не пересекала прямую Ь, то через точку А проходили бы две прямые, не пересекающие прямую Ь: прямая а и прямая с. Но по свойству параллельных прямых это невозможно. Значит, прямая с, пересекая прямую а, должна пересекать и параллельную ей прямую Ь.
ТЕОРЕМЫ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путем рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой. Приведем пример.
Теорема 1.1. Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон.
Доказательство. Пусть прямая а не проходит ни через одну из вершин треугольника АВС и пересекает его сторону АВ (рис. 26). Прямая а разбивает плоскость на две полуплоскости. Точки А и В лежат в разных полуплоскостях, так как отрезок АВ пересекает прямую а. Точка С лежит в одной из этих полуплоскостей.
Если точка С лежит в одной полуплоскости с точкой А, то отрезок АС не пересекает прямую а, а отрезок ВС пересекает эту прямую (рис. 26, а).
Если точка С лежит в одной полуплоскости с точкой В, то отрезок АС пересекает прямую а, а отрезок ВС не пересекает (рис. 26, б).
В обоих случаях прямая а пересекает только один из отрезков АС или ВС. Вот и все доказательство.
Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы.
Условие теоремы 1.1 состоит в том, что п эямаянепррходит
ни через одну вершину треугольника и пересекает одну из его сторон. Заключение теоремы состоит в том, что эта прямая пересекает только одну из двух других сторон треугольника.
АКСИОМЫ
Утверждения, содержащиеся в формулировках основных свойств простейших фигур, не доказываются и называются аксиомами. Слово аксиома происходит от греческого слова аксиос и означает утверждение, не вызывающее сомнений.
При доказательстве теорем разрешается пользоваться основными свойствами простейших фигур, т. е. аксиомами, а также свойствами, уже доказанными, т. е. доказанными теоремами. Никакими другими свойствами фигур, даже если они нам кажутся очевидными, пользоваться нельзя.
При доказательстве теорем разрешается пользоваться чертежом как геометрической записью того, что мы выражаем словами. Не разрешается использовать в рассуждении свойства фигуры, видные на чертеже, если мы не можем обосновать их, опираясь на аксиомы и теоремы, доказанные ранее.
В геометрии наряду с такими словами, как аксиома и теорема, используется также слово «определение». Дать определение чему-либо — значит объяснить, что это такое.
Например, говорят: «Дайте определение треугольника». На это отвечают: «Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки».
Другой пример: «Дайте определение параллельных прямых». Отвечаем: «Прямые называются параллельными, если они не пересекаются». Вы уже знаете определения равенства отрезков, равенства углов и равенства треугольников.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Приведите примеры геометрических фигур.
Назовите основные геометрические фигуры на плоскости.
Как обозначаются точки и прямые?
Сформулируйте основные свойства принадлежности точек и прямых.
Объясните, что такое отрезок с концами в данных точках.
Сформулируйте основное свойство расположения точек на прямой.
Сформулируйте основные свойства измерения отрезков.
Что называется расстоянием между двумя данными точками?
Какими свойствами обладает разбиение плоскости на две полуплоскости?
Сформулируйте основное свойство расположения точек относительно прямой на плоскости.
Что такое полупрямая или луч? Какие полупрямые называются дополнительными?
Как обозначаются полупрямые?
Какая фигура называется углом?
Как обозначается угол?
Какой угол называется развернутым?
Объясните, что означает выражение: * Полупрямая проходит между сторонами угла».
В каких единицах измеряются углы и с помощью какого инструмента? Объясните, как проводится измерение.
Сформулируйте основные свойства измерения углов.
Сформулируйте основные свойства откладывания отрезков и углов.
Что такое треугольник?
Что такое угол треугольника при данной вершине?
Какие отрезки называются равными?
Какие углы называются равными?
Какие треугольники называются равными?
Как на рисунке отмечаются у равных треугольников соответствующие стороны и углы?
Объясните по рисунку 23 существование треугольника, равного данному.
Какие прямые называются параллельными? Какой знак используется для обозначения параллельности прямых?
Сформулируйте основное свойство параллельных прямых.
Приведите пример теоремы.
ф ЗАДАЧИ1
1) Проведите прямую. Отметьте какую-нибудь точку А, лежащую на прямой, и точку В, не лежащую на прямой.
Проведите две пересекающиеся прямые а и Ь. Отметьте
Многие задачи настоящего учебника взяты из школьных учебников и задачников прошлых лет, в особенности из «Геометрии» А. П. Киселева и «Сборника задач по геометрии» Н. А. Рыбкина.
Рис. 27Рис. 27точку С пересечения прямых; точку А на прямой а, не лежащую на прямой Ь; точку D, не лежащую ни на одной из прямых а и Ь.
Рис. 27
Рис. 27
Отметьте на листе бумаги две точ
ки. Проведите через них от руки прямую. С помощью
линейки проверьте правильность построения.
Могут ли две прямые иметь две точки пересечения? Объяс
ните ответ.
Для проверки правильности линейки применяют такой способ. Через две точки с помощью линейки проводят линию (рис. 27). Затем линейку переворачивают и через те же точки снова проводят линию. Если линии не совпадают, то линейка неправильная. На каком свойстве прямых основан этот способ проверки правильности линейки?
Проведите прямую а. Отметьте на прямой две какие-нибудь точки А и В. Отметьте теперь точку С так, чтобы точка А лежала между точками В и С.
Проведите прямую а. Отметьте на прямой две какие-нибудь точки А и В. Отметьте теперь какую-нибудь точку С отрезка АВ.
"Точка М лежит на прямой CD между точками С и D. Найдите длину отрезка CD, если: 1) СМ = 2,5 см, MD = = 3,5 см; 2) СМ=3,1 дм, Л1В = 4,6 дм; 3) СЛ/=12,3 м, MD = 5,8 м.
Отметьте на прямой две точки. Отметьте на глаз середину отрезка, соединяющего эти точки. Проверьте правильность построения измерениями с помощью линейки.
Три точки А, В, С- лежат на одной прямой. Известно, что АВ = 4,3 см, АС = 7,5 см, ВС = 3,2 см. Может ли точка А лежать между точками В и С? Может ли точка С лежать между точками А и В? Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими?
Точки А, В, С лежат на одной прямой. Принадлежит ли точка В отрезку АС, если АС = 5 см, ВС = 7 см? Объясните ответ.
Точки А, В, С лежат на одной прямой. Может ли точка В разделять точки А и С, если АС = 7 м, ВС = 7,6 м? Объясните ответ.
Могут ли точки А, В, С лежать на одной прямой, если АВ = 1,8 м, АС = 1,3 м, ВС = 3 м? Объясните ответ.
Могут ли три точки А, В, С лежать на одной прямой, если длина большего отрезка АВ меньше суммы длин отрезков АС и ВС? Объясните ответ.
Точки А, В, С лежат на одной прямой. Найдите длину
отрезка ВС, если АВ=2,1 м, АС = 3,2 м. Сколько решений имеет задача?;
На отрезке АВ длиной 15 м отмечена точка С. Найдите длины отрезков АС и ВС, если: 1) отрезок АС на 3 м длиннее отрезка ВС; 2) отрезок АС в два раза длиннее отрезка ВС; 3) точка С — середина отрезка АВ; 4) длины отрезков АС и ВС относятся как 2:3.
Проведите прямую и отметьте какую-нибудь точку А, не лежащую на этой прямой. Отметьте теперь две точки В и С так, чтобы отрезок АВ пересекал прямую, а отрезок ВС не пересекал ее.
Даны прямая и три точки А, В, С, не лежащие на этой прямой. Известно, что отрезок АВ пересекает прямую, а отрезок АС не пересекает ее. Пересекает ли прямую отрезок ВС*? Объясните ответ.
Даны прямая и четыре точки А, В, С и D, не лежащие на этой прямой. Пересекает ли прямую отрезок AD, если: 1) отрезки АВ, ВС и CD пересекают прямую; 2) отрезки АС и ВС пересекают прямую, а отрезок BD не пересекает;
отрезки АВ и CD пересекают прямую, а отрезок ВС не пересекает; 4) отрезки АВ и CD не пересекают прямую, а отрезок ВС пересекает; 5) отрезки АВ, ВС, CD не пересекают прямую; 6) отрезки АС, ВС и BD пересекают прямую? Объясните ответ.
Даны пять точек и прямая, не проходящая ни через одну из этих точек. Известно, что три точки расположены в одной полуплоскости относительно этой прямой, а две точки — в другой полуплоскости. Каждая пара точек соединена отрезком. Сколько отрезков пересекает прямую? Объясните ответ.
Даны прямая а и точки А, X, Y, Z на этой прямой (рис. 11). Известно, что точки X и Y лежат по одну сторону от точки А, точки X и Z тоже лежат по одну сторону от точки А. Как расположены точки Y и Z относительно точки А: по одну сторону или по разные стороны? Объясните ответ.
Отметьте две точки А и В. Проведите полупрямую АВ.
На отрезке АВ взята точка С. Среди полупрямых АВ, АС, С А, СВ назовите пары совпадающих полупрямых, дополнительных полупрямых. Объясните ответ.
Проведите из одной точки три произвольных луча. Определите на глаз углы, образуемые этими лучами. Проверьте ваши ответы, измеряя углы транспортиром. Повторите упражнение.
Луч а проходит между сторонами угла (cd). Найдите угол (cd), если: 1) А(ас) = 35°, A(ad) = 75°; 2) А(ас) = 57°, A (ad) = 62°; 3) А (ас) = 94°, A (ad) = 85°.
Может ли луч с проходить между сторонами угла (ab), если: 1) А(ас) = 30°, Л(сЬ^ = 80°, A(ab)= 50°; 2) Z.(ac) = = 100°, A (cb) = 90°; 3) угол (ас) больше угла (аЬ)?
Между сторонами угла (ab), равного 60°, проходит луч с. Найдите углы (ас) и (Ьс), если: 1) угол (ас) на 30° больше угла (Ьс); 2) угол (ас) в два раза больше угла (Ьс); 3) луч с делит угол (ab) пополам; 4) градусные меры углов (ас) и (Ьс) относятся как 2:3.
Проведите прямую. Отметьте на ней какую-нибудь точку А. Затем отметьте на глаз точку В этой прямой так, чтобы АВ = 5 см. Проверьте точность построения точки В линейкой. Повторите упражнение для: 1) АВ=3 см; 2) АВ=7 см; 3) АВ = 10 см.
Постройте на глаз углы 30°, 45°, 60°, 90°. Проверьте точность построения транспортиром. Повторите упражнение.
Существует ли на полупрямой АВ такая точка X, отличная от В, что АХ=АВ? Объясните ответ.
На луче АВ отложен отрезок АС, меньший отрезка АВ. Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими? Объясните ответ.
На луче АВ отмечена точка С. Найдите длину отрезка ВС, если: 1) АВ = 1,5 м, АС = 0,3 м; 2) АВ = 2 см, АС = 4,4 см.
Постройте на глаз треугольник с равными сторонами (равносторонний треугольник). Проверьте точность построения измерением сторон.
На стороне АВ треугольника АВС взята точка D. Чему равна сторона АВ треугольника, если AD = 5 см, а ВО = 6 см?
На стороне АВ треугольника АВС взята точка О. Чему равен угол С треугольника, если AACD—30°, а ABCD= = 70°?
Начертите какой-нибудь треугольник. Постройте от руки на глаз равный ему треугольник. Проверьте правильность построения, измеряя соответствующие углы и стороны. Повторите упражнение.
Треугольники АВС и PQR равны. Известно, что АВ = 5 см. ВС = 6 см, АС = 7 см. Найдите стороны треугольника PQR. Объясните ответ.
Треугольники АВС и PQR равны. Углы -второго треугольника известны: АР = 40°, AQ = 60°, АЯ = 80°. Найдите углы треугольника АВС.
Треугольники АВС и PQR равны. Известно, что сторона АВ равна 10 м, а угол С равен 90°. Чему равны сторона PQ и угол Я? Объясните ответ.
Треугольники ABC, PQR и XYZ равны. Известно, что
АВ = 5 см, QR = 6 см, ZX = 7 см. Найдите остальные стороны каждого треугольника.
Дан треугольник АВС. Существует ли другой, равный ему треугольник ABD?
Может ли прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, не пересекать другую? Объясните ответ.
Даны две пересекающиеся прямые. Можно ли провести третью прямую, параллельную каждой из двух данных?
Может ли прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекать каждую его сторону? Почему?
44*'. Даны четыре точки: А, В, С и D. Известно, что точки А, В, С лежат на одной прямой и точки В, С, D также лежат на одной прямой. Докажите, что все четыре точки лежат на одной прямой.
45*. Даны четыре прямые а, Ь, с и d. Известно, что прямые а, Ь, с пересекаются в одной точке и прямые b, с, d также пересекаются в одной точке. Докажите, что все четыре данные прямые проходят через одну точку.
46*. Точки А, В, С, D не лежат на одной прямой. Известно, что прямая АВ пересекает отрезок CD, а прямая CD пересекает отрезок АВ. Докажите, что отрезки АВ и CD пересекаются.
47*. Дан треугольник АВС. На стороне АС взята точка В\, а на стороне ВС — точка А ]. Докажите, что отрезки АА i и ВВ\ пересекаются (рис. 28).
48*. Отрезки АВ и CD, не лежащие на одной прямой, пересекаются в точке Е. Докажите, что отрезок АС не пересекает прямую BD (рис. 29).
49*. Докажите, что если луч, исходящий из вершины угла, пересекает отрезок АВ с концами на сторонах угла, то он пересекает: 1) отрезок АС с концами на сторонах угла; 2) любой отрезок CD с концами на сторонах угла (рис. 30).
Докажите, что две прямые либо параллельны, либо пересекаются в одной точке.
51*. Точки А и С принадлежат прямой а. На полупрямой СА отложен отрезок СВ, больший отрезка СА. 1) Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими? Объясните ответ. 2) Докажите, что точка А разбивает прямую а на две полупрямые: АВ и АС.
СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ
СМЕЖНЫЕ УГЛЫ
Определение. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
На рисунке 31 углы (ai6) и (а2&) смежные. У них сторона b общая, а стороны Ci и а2 являются дополнительными полупрямыми.
Пусть С — точка на прямой АВ, лежащая между точками А и В, а О — точка, не лежащая на прямой АВ (рис. 32). Тогда углы BCD и ACD смежные. У них сторона CD общая. Стороны СА и СВ являются дополнительными полупрямыми прямой АВ, так как точки А и В этих полупрямых разделяются начальной точкой С.
Рис. 31Рис. 32Рис. 31Рис. 32
Рис. 31Рис. 32
Рис. 31Рис. 32
Теорема 2.1. Сумма смежных углов равна 180°.
Доказательство. Пусть А(ахЬ) и Л^Ь)— данные смежные углы (см. рис. 31). Луч b проходит между сторонами ах и а2 развернутого угла. Поэтому сумма углов (ахЬ) и (агЬ) равна развернутому углу, т. е. 180°. Теорема доказана.
Из теоремы 2.1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
Из теоремы 2.1 следует также, что если угол не развернутый, то его градусная мера меньше 180°.
Задача (3). Найдите смежные углы, если один из них С ° ) в два раза больше другого.
'—1Решение. Обозначим градусную меру меньшего из
углов через х. Тогда градусная мера большего угла будет 2х. Сумма углов равна 180°. Итак,
х + 2х = 180, Зх = 180.
Отсюда х = 60. Значит, наши смежные углы равны 60° и 120°.
Угол, равный 90°, называется прямым углом.
Из теоремы о сумме смежных углов следует, что угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.
Угол, меньший 90°, называется острым углом. Угол, больший 90° и меньший 180°, называется тупым.
Прямой уголПрямой угол
Прямой угол
Прямой угол
Так как сумма смежных углов равна 180°, то угол, смежный с острым углом, тупой, а угол, смежный с тупым углом, острый. На рисунке 33 изображены три вида углов.
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ
Определение. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.
На рисунке 34 углы (aibi) и (а2Ь2) вертикальные. Стороны аг и bi второго угла являются дополнительными полупрямыми сторон а, и bi первого угла.
Теорема 2.2. Вертикальные углы равны.
Доказате льет во. Пусть (aibi) и (aibi)— данные вертикальные углы (рис. 34). Угол (ajfo) является смежным с углом (aibi) и с углом (02^2). Отсюда по теореме о сумме смежных углов заключаем, что каждый из углов (aibi) и (а^Ьз) дополняет угол (а\Ьг) до 180°, т. е. углы (aibi) и (aibi) равны. Теорема доказана.
Задача (9). Сумма двух углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равна 50°. Найдите эти углы.
Решение. Два угла, которые получаются при пересечении двух прямых, либо смежные, либо вертикальные (рис. 35). Данные углы не могут быть смежными, так как их сумма равна 50°, а сумма смежных углов равна 180°. Значит, они вертикальные. Так как вертикальные углы равны и по условию их сумма, 50°, то каждый из углов равен 25°.
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ
Пусть а и b — прямые, пересекающиеся в точке А (рис. 36). Каждая из этих прямых точкой А делится на две полупрямые. Полупрямые одной прямой образуют с полупрямыми другой прямой четыре угла. Пусть а — один из
этих углов. Тогда любой из остальных трех углов будет либо смежным с углом а, либо вертикальным с углом а. Отсюда следует, что если один из углов прямой, то остальные углы тоже прямые. В этом случае мы говорим, что прямые пересекаются под прямым углом.
Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом (рис. 37).
Перпендикулярность прямых обозначается знаком ±. Запись a_Lb читается: «Прямая а перпендикулярна прямой Ь».
Теорема 2.3. Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Доказательство. Пусть а — данная прямая и А — данная точка на ней. Обозначим через Ci одну из полупрямых прямой а с начальной точкой А (рис. 38). Отложим от полупрямой О1 угол (aib|), равный 90°. Тогда прямая, содержащая луч Ь\, будет перпендикулярна прямой а.
Допустим, что существует другая прямая, тоже проходящая через точку А и перпендикулярная прямой а. Обозначим через с, полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом Ь\.
Углы (а^Ь^ и («1С1), равные каждый 90°, отложены в одну полуплоскость от полупрямой Я!. Но от полупрямой а, в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90°. Поэтому не может быть другой прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой а. Теорема доказана.
Определение. Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра.
ь
/I
Рис. 39Рис. 39
Рис. 39
Рис. 39
На рисунке 39 перпендикуляр АВ проведен из точки А к прямой а. Точка В — основание перпендикуляра. Для построения перпендикуляра пользуются чертежным угольником (рис. 40).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО
Способ доказательства, который мы применили в теореме 2.3, называется доказательством от противного. Этот способ доказательства состоит в том, что мы сначала делаем предположение, противоположное тому, что утверждается теоремой. Затем путем рассуждений, опираясь на аксиомы и доказанные теоремы, приходим к выводу, противоречащему либо условию теоремы, либо одной из аксиом, либо доказанной ранее теореме. На этом основании заключаем, что наше предположение было неверным, а значит, верно утверждение теоремы.
Поясним это на примере доказательства теоремы 2.3. Теоремой утверждается, что через каждую точку прямой можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Допустив, что таких прямых можно провести две, мы пришли к выводу, что от данной полупрямой в данную полуплоскость можно отложить два угла с одной и той же градусной мерой (90°). А это противоречит аксиоме откладывания углов. Согласно этой аксиоме от данной полупрямой в данную полуплоскость можно отложить только один угол с данной градусной мерой.
БИССЕКТРИСА УГЛА
Определение. Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.
На рисунке 41 вы видите угол (ab). Луч с исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам:
^ac)= A(bc)=^£^.
Задача (17). Докажите, что биссектриса угла образует с его сторонами углы не больше 90°.
Решение. Как мы знаем, градусная мера любого угла не больше 180°. Поэтому половина ее не больше 90°.
ЧТО НАДО ДЕЛАТЬ, ЧТОБЫ УСПЕВАТЬ ПО ГЕОМЕТРИИ
При изучении геометрии незнание чего-либо из пройденного материала может быть причиной непонимания нового материала. Приведем пример.
Допустим, на уроке учитель доказывает теорему о равенстве вертикальных углов. Как вы знаете, в этом доказательстве используются определение смежных углов и теорема о сумме смежных углов. Если вы не знаете, какие углы называются смежными, не знаете теоремы о сумме смежных углов, то вы это доказательство не поймете. В результате этот урок будет для вас пустой тратой времени. И к вашему незнанию смежных углов прибавится незнание теоремы о равенстве вертикальных углов.
Поэтому для того, чтобы хорошо успевать по геометрии, нужно знать основные результаты изученного материала. А для этого надо повторять пройденный материал по контрольным вопросам.
Повторять пройденный материал по контрольным вопросам надо так. Прочитайте вопрос. Уясните его себе. Если тре-
буется дать определение какой-либо фигуры, мысленно дайн такое определение. Полезно сделать от руки чертеж опреде ляемой фигуры. Если в вопросе речь идет о теореме, сформу лируйте ее, уясните себе, в чем условие и заключение это1 теоремы. Сделайте от руки чертеж, иллюстрирующий содер жание теоремы. Доказательство теоремы при каждом повто рении давать необязательно.
Повторяйте пройденный материал каждый раз, когда при изучении нового материала вы обнаруживаете незнание чего- либо.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Какие углы называются смежными?
Докажите, что сумма смежных углов равна 180°.
Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.
Какой угол называется прямым (острым, тупым)?
Докажите, что угол, смежный с прямым, есть прямой угол.
Какие углы называются вертикальными?
Докажите, что вертикальные углы равны.
Докажите, что если при пересечении двух прямых один из углов прямой, то остальные три угла тоже прямые.
Какие прямые называются перпендикулярными? Какой знак используется для обозначения перпендикулярности прямых?
Докажите, что через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Что такое перпендикуляр к прямой?
Объясните, в чем состоит доказательство от противного.
Что называется биссектрисой угла?
ЗАДАЧИ
Найдите углы, смежные с углами 30°; 45°; 60°; 90°.
Могут ли два смежных угла быть оба: 1) острыми; 2) тупыми; 3) прямыми? Обоснуйте ответ.
Найдите смежные углы, если один из них в два раза больше другого.
Найдите смежные углы, если: 1) один из них на 30° бол! ше другого; 2) их разность равна 40°; 3) один из ниу 3 раза меньше другого; 4) они равны.
Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часо когда они показывают: 1) 6 ч; 2) 3 ч; 3) 4 ч?
6. Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как: 1) 2:3; 2) 3:7; 3) 11:25; 4) 22:23.
Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равен 30°. Чему равны остальные углы?
Чему равен угол, если два смежных с ним угла составляют в сумме 100°?
Сумма двух углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равна 50°. Найдите эти углы.
Один из углов, образованный при пересечении двух прямых, в 4 раза больше другого. Найдите эти углы.
Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, на 50° меньше другого. Найдите эти углы.
Найдите углы, которые получаются при пересечении двух прямых, если сумма трех из этих углов равна 270°.
Докажите, что если три из четырех углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равны, то прямые перпендикулярны.
Как с помощью линейки проверить, является ли прямым угол в чертежном угольнике (рис. 42)?
Чему равен угол между биссектрисой и стороной данного угла, равного: 1) 30°; 2) 52°; 3) 172°?
Найдите угол, если его биссектриса образует со стороной угол, равный: 1) 60°; 2) 75°; 3) 89°?
Докажите, что биссектриса угла образует с его сторонами углы не больше 90°.
18*. Докажите, что если луч исходит из вершины угла и образует с его сторонами равные острые углы, то он является биссектрисой угла.
Найдите угол между биссектрисами смежных углов.
Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.
Найдите угол между биссектрисой и продолжением одной из сторон данного угла, равного: 1) 50°; 2) 90°; 3) 150°.
22*. Из вершины О смежных углов АОВ и СОВ проведен луч OD в полуплоскость, где проходит общая сторона углов ОВ (рис. 43). Докажите, что луч OD пересекает либо отрезок АВ, либо отрезок ВС. Какой из отрезков пересекает луч OD, если угол AOD меньше (больше) угла АОВ*? Объясните ответ.
Из вершины развернутого угла (aci) в одну полуплоскость проведены лучи b и с. Чему равен угол (Ьс), если: 1) Z(ab) = 50°, Л(ас) = 70°; 2) Л(а1Ь) = 50°, А(ас) = 70°; 3) ДаЬ) = 60°, A(aiC) = ^°?
Из вершины развернутого угла (aai) проведены лучи b и с в одну полуплоскость. Известно, что Z(ab) = 60°, а А(ас)=30°. Найдите углы (a^), (die) и (Ьс).
От полупрямой АВ в разные полуплоскости отложены углы BA С и BAD. Найдите угол CAD, если: 1) / BA С = 80 °, ABAD = 170°-, 2) АВАС = 8Т, zLBAD = W; 3) АВАС = = 140°, zLBAD = W\ 4) Z_BAC = 60°, ABAD = 70°.
26*. Даны три луча а, Ь, с с общей начальной точкой. Известно, что A(ab)= А(ас) = Z.(bc)=120°. 1) Проходит ли какой-нибудь из этих лучей между сторонами угла, образованного двумя другими лучами? 2) Может ли прямая пересекать все три данных луча? Объясните ответ.
§ 3. ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теорема 3.1 (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказате л ь с т в о. Пусть у треугольников АВС и А\В\С\ АА= АА\, АВ=А\В\, АС = А\С\ (рис. 44). Докажем, что треугольники равны.
Пусть А.В.С, —треугольник, равный треугольнику АВС, с вершиной В2 на луче А\В\ и вершиной С2 в той же полуплоскости относительно прямой А\В\, где лежит вершина С\ (рис. 45, а).
Так как А\В\=А\В2, то вершина В2 совпадает с вершиной В\ (рис. 45, 5). Так как Z_B\A\C\ = Z_B2A\C2, то луч А;С2 совпадает с лучом A]Ci (рис. 45, в). Так как А)С1=А1С2, то вершина Сг совпадает с вершиной С| (рис. 45, г).
Итак, треугольник AtBtCi совпадает с треугольником А\В2С2, значит, равен треугольнику АВС. Теорема доказана.
2 Заказ 878
6)
Задача (1). Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок АС = 10 м?
Решение. Треугольники АОС и BOD равны по первому признаку равенства треугольников (рис. 46). У них углы АОС и BOD равны как вертикальные, а О А = ОВ и ОС = OD потому, что точка О является серединой отрезков АВ и CD. Из равенства треугольников АОС и BOD следует равенство их сторон АС и BD. А так как по условию задачи АС = 10 м, то и BD = 10 м.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АКСИОМ ПРИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ТЕОРЕМ
Как мы знаем, при доказательстве теорем разрешается пользоваться аксиомами и доказанными ранее теоремами. Обычно в доказательстве ссылаются не на номер аксиомы по списку, а на ее содержание. Именно таким образом мы поступали в доказательстве первого признака равенства треугольников (теорема 3.1). Разберем еще раз это доказательство, указывая аксиомы, которые в нем используются.
Доказательство начинается словами: «Пусть AiB2C2 — треугольник, равный треугольнику АВС, с вершиной В» на луче AiBi и вершиной С2 в той же полуплоскости относительно прямой А\ВХ, где лежит вершина Ci». Такой треугольник, как мы знаем, существует по аксиоме VIII.
Далее утверждается совпадение вершин Bi и В2 на том основании, что AiB|=A|B2. Здесь используется аксиома откладывания отрезков (аксиома VI).
Затем утверждается совпадение лучей А\С2 и А\С\ на том основании, что Z_B\A\C\ = Z_B2A\C2. Здесь исполь-, зуется аксиома откладывания углов (аксиома VII).
Наконец, утверждается совпадение вершин Ci и С2, так как AiC|=A2C2. Здесь снова используется аксиома VI.
Мы видим, что данное доказательство теоремы 3.1 опирается только на аксиомы.
ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теорема 3.2 (признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам). Если сторона и прилежание к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть АВС и AtBiCi— два треугольника, у которых AB = A|B|, Z_A= Z_A\ и Z_B= Z_BX (рис. 47). Докажем, что треугольники равны.
Пусть АХВ2С2 — треугольник, равный треугольнику АВС, с вершиной В2 на луче А\ВХ и вершиной С2 в той же полуплоскости относительно прямой АД, где лежит вершина Ci.
Так как АХВ2 — АХВХ, то вершина В2 совпадает с вершиной Bi. Так как Z_BXAXC2 = Z_BXAXCX и Z_AXBXC2 = = Z_A\BXC\, то луч А\С2 совпадает с лучом АХСХ, а луч ВХС2 совпадает с лучом ВХСХ. Отсюда следует, что вершина С 2 совпадает с вершиной Ci.
Итак, треугольник АХВХСХ совпадает с треугольником АХВ2С2, а значит, равен треугольнику АВС. Теорема доказана.
РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.
На рисунке 48 изображен равнобедренный треугольник АВС. У него боковые стороны АС и ВС, а основание АВ.
Теорема 3.3 (свойство углов равнобедренного треугольника). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство. Пусть АВС — равнобедренный треугольник с основанием АВ (рис. 48). Докажем, что у него АА=АВ.
Треугольник САВ равен треугольнику СВА по первому признаку равенства треугольников. Действительно, СА=СВ, СВ=СА, АС= АС. Из равенства треугольников следует, что АА = АВ. Теорема Доказана.
Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.
л\ Задача (12). Докажите, что у равностороннего тре- угольника все углы равны.
'—'Решение. Пусть АВС — данный треугольник с рав
ными сторонами: АВ = ВС = СА (рис. 49). Так как АВ = = ВС, то этот треугольник равнобедренный с основанием АС. По теореме 3.3 AC — АА. Так как ВС = СА, то треугольник АВС равнобедренный с основанием АВ. По теореме 3.3 АА= АВ. Таким образом, АС= АА= АВ, т. е. все углы треугольника равны.
ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА
Теорема 3.4 (признак равнобедренного треугольника). Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Доказательство. Пусть АВС— треугольник, в котором A А — А В (рис. 50). Докажем, что он равнобедренный с основанием АВ.
Треугольник АВС равен треугольнику ВАС по второму признаку равенства треугольников. Действительно, АВ=ВА, АВ= АА, АА = = АВ. Из равенства треугольников
следует, что АС = ВС.следует, что АС = ВС.Значит, по определению треугольник АВС равнобедренный.Значит, по определению треугольник АВС равнобедренный.Теорема доказана.
следует, что АС = ВС.
следует, что АС = ВС.
Значит, по определению треугольник АВС равнобедренный.
Значит, по определению треугольник АВС равнобедренный.
Теорема 3.4 называется обратной теореме 3.3. Заключение теоремы 3.3 является условием теоремы 3.4. А условие теоремы 3.3 является заключением теоремы 3.4. Не всякая теорема имеет обратную, т. е. если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна. Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно, неверно. Два равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными.
Jk Задача (16). Сформулируйте и докажите теорему, С 0 ) обратную утверждению задачи 12.
1—'Решение. В задаче 12 условие состоит в том, что
треугольник равносторонний, а заключение — в том, что все углы треугольника равны. Поэтому обратная теорема должна формулироваться так: если у треугольника все углы равны, то он равносторонний.
Докажем эту теорему. Пусть АВС — треугольник с равными углами: АА= АВ= АС. Так как АА = АВ, то по теореме 3.4 АС = СВ. Так как АВ= АС, то по теореме 3.4 АС = АВ. Таким образом, АВ=АС = СВ, т. е. все стороны треугольника равны. Значит, по определению треугольник АВС равносторонний.
ВЫСОТА, БИССЕКТРИСА И МЕДИАНА ТРЕУГОЛЬНИКА
Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника.
На рисунке 51 вы видите два треугольника, у которых проведены высоты из вершин В и В\. На рисунке 51, а основание высоты лежит на стороне треугольника, на рисунке 51, б — на продолжении стороны треугольника.
Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне (рис. 52, а).
Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника (рис. 52, бу
СВОЙСТВО МЕДИАНЫ РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
Теорема 3.5 (свойство медианы равнобедренного треугольника). В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Доказательство. Пусть АВС — данный равнобедренный треугольник с основанием АВ и CD — медиана, проведенная к основанию (рис. 53).
Треугольники CAD и CBD равны по первому признаку равенства треугольников. (У них стороны АС и ВС равны, потому что треугольник АВС равнобедренный. Углы CAD и CBD равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Стороны AD и BD равны, потому что D — середина отрезка АВ.) Из равенства треугольников следует равенство углов: AACD — A BCD, AADC = ABDC. Так как углы ACD и BCD равны, то CD — биссектриса. Так как углы ADC и BDC смежные и равны, то они прямые, поэтому CD — высота треугольника. Теорема доказана.
JK Задача (28). Докажите, что биссектриса равнобед- С О ренного треугольника, проведенная из вершины, противо- ’—лежащей основанию, является медианой и высотой.
Решение. Пусть АВС — равнобедренный треугольник с основанием АВ и CD — его биссектриса (рис. 54). Треугольники ACD и BCD равны по первому признаку. У них сторона CD общая, стороны АС и ВС равны как боковые стороны равнобедренного треугольника, а углы при вершине С равны, потому что CD — биссектриса. Из равенства треугольников следует равенство их сторон AD и BD. Значит, CD — медиана треугольника АВС. А по свойству медианы равнобедренного треугольника она является и высотой.
ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теорема 3.6 (признак равенства треугольников по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть АВС и AiBiCi — два треугольника, у которых АВ = АХВ\, АС=А\С\, ВС=ВХСХ (рис. 55). Требуется доказать, что треугольники равны.
Допустим, треугольники не равны. Тогда у них Z_A N= ААХ, Z-B=^ Z_BX, Z_C=^Z_CX. Иначе они были бы равны по первому признаку.
Пусть АХВХС2— треугольник, равный треугольнику АВС, у которого вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной Ci относительно прямой АХВХ (см. рис. 55).
Рис. 55
Пусть D — середина отрезка CiC2. Треугольники АХСХС2 и ВХСХС2 — равнобедренные с общим основанием СХС2. Поэтому их медианы A XD и BXD являются высотами. Значит, прямые AXD и BXD перпендикулярны прямой СХС2. Прямые AXD и BXD не совпадают, так как точки Ах, Вх, D не лежат на одной прямой. Но через точку D прямой СХС2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
А. Задача (29). У треугольников АВС и AiBiCi АВ = \ / =AiBi, АС=АХСХ, AC — АС\ =90°. Докажите, что
ДАВС = ДАХВХСХ.
Рис. 56
Решение. Пусть АВС и A|B|Ci — данные треугольники (рис. 56). Построим треугольник CBD, равный треугольнику СВА, и треугольник CiDjBi, равный треугольнику С|А|В|.
Треугольники ABD и A\B\D\ равны по третьему признаку. У них АВ = АХВ\ по условию задачи; AD = A\D\, так как AC=AiCi", BD=B\Di, так как BD — AB, B\D\ = =А\В\. Из равенства треугольников ABD и A\B\D\ следует равенство углов: Z_A= Z_A\. Так как по условию АВ = А\ВХ, АС=А\СХ, a Z_A = Z_A\, по доказанному, то треугольники АВС и AiBiCi равны по первому признаку.
КАК ГОТОВИТЬСЯ ПО УЧЕБНИКУ САМОСТОЯТЕЛЬНО
Допустим, по какой-нибудь причине, например по болезни, вы не были на уроке. Тогда материал этого урока вам придется изучить самостоятельно по учебнику. Текст учебника надо читать не спеша, по предложениям, не переходя к следующему предложению, не поняв смысла предыдущего. Рассмотрим конкретный пример — доказательство третьего признака равенства треугольников. Итак, читаем текст учебника:
«Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника...»
Чтобы понять смысл этого предложения, надо знать, что такое треугольник, его стороны и равенство сторон. Вы все это знаете, поэтому смысл прочитанного предложения вам ясен. Читаем дальше: «...то такие треугольники равны».
Чтобы понять смысл этого предложения, надо знать, какие треугольники называются равными. Но вы и это знаете. Таким
образом, смысл теоремы вам ясен. Читаем доказательство.
Доказательство. «Пусть АВС и A^iCi — два треугольника, у которых АВ = А1ВХ, АС = А\С\, ВС=ВХС\ (рис. 55). Требуется доказать, что треугольники равны.»
Здесь все ясно. Обозначаются треугольники, которые удовлетворяют условию теоремы и равенство которых надо доказать.
«Допустим, треугольники не равны».
Вы видите, что делается предположение, противоположное утверждению теоремы. Значит, в ходе дальнейшего рассужде- * ния мы должны прийти к противоречию (доказательство от противного).
«Тогда у них ЛАф ЛАХ. ЛВф ЛВХ. ЛС+ЛС\. Иначе они были бы равны по первому признаку».
Вспомните первый признак равенства треугольников. Убедитесь в том, что если выполнено хотя бы одно из равенств Z_A = Z-Av, Z_B— Z_BXl Z_C= Z_CXs то треугольники ABC и AjBiCi равны, а это противоречит сделанному предположению.
«Пусть АХВХС^— треугольник, равный треугольнику АВС, у которого вершина Сг лежит в одной полуплоскости с вершиной Сх относительно прямой AiBi (см. рис. 55)».
Здесь все ясно. Этой фразой начиналось доказательство и первого и второго признаков.
«Пусть D — середина отрезка СхСг».
Вы знаете, что такое середина отрезка.
«Треугольники АХСХС^ и ВхСхСг равнобедренные с общим основанием С1С2».
Чтобы понять смысл этого утверждения, надо знать, какой треугольник называется равнобедренным и какая его сторона называется основанием.
«Поэтому их медианы AXD и BXD являются высотами».
Смысл этого предложения вам ясен. Вы знаете, что такое медиана и высота, и знаете свойство медианы равнобедренного треугольника.
«Значит, прямые AXD и BXD перпендикулярны прямой С1С2».
Ясно.
«Прямые AXD и BXD не совпадают, так как точки А1, Вх, D не лежат на одной прямой».
Ясно. Если бы точка D лежала на прямой AiBi, то точки Ci и Сг были бы в разных полуплоскостях относительно прямой AiBi.
«Но через точку D прямой С1С2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую».
Ясно. Вы знаете такую теорему.
«Мы пришли к противоречию».
Ясно.
«Теорема доказана».
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Докажите первый признак равенства треугольников. Какие аксиомы используются при доказательстве теоремы 3.1?
Сформулируйте и докажите второй признак равенства треугольников.
Какой треугольник называется равнобедренным? Какие стороны равнобедренного треугольника называются боковыми сторонами? Какая сторона называется основанием?
Докажите, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Какой треугольник называется равносторонним?
Докажите, что если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Объясните, что такое обратная теорема. Приведите пример. Для всякой ли теоремы верна обратная?
Что такое высота треугольника?
Что такое биссектриса треугольника?
Что такое медиана треугольника?
Докажите, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Докажите третий признак равенства треугольников.
ЗАДАЧИ
Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок АС = 10 м?
Через середину О отрезка АВ проведена прямая, перпендикулярная прямой АВ (рис. 57). Докажите, что каждая точка X этой прямой одинаково удалена от точек А и В.
На стороне АВ треугольника АВС взята точка D, а на стороне AiBi треугольника AiBiCi взята точка D\. Известно, что треугольники ADC и AiDiCi равны и отрезки DB и D\B\ равны. Докажите равенство треугольников АВС и AiBtCi.
Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, между которыми нельзя пройти по прямой (рис. 58), выбирают такую точку С, из которой можно пройти и к точке А, и к точке В и из которой видны обе эти точки. Провешивают1 расстояния АС и ВС, продолжают их за точку С и отмеряют CD=AC и ЕС = СВ. Тогда отрезок ED равен искомому расстоянию. Объясните почему.
Рис. 59Рис. 60Рис. 59Рис. 60
Рис. 59Рис. 60
Рис. 59Рис. 60
1 Отмечают направление шестами-вехами.
Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О (рис. 59). Докажите равенство треугольников АСО и DBO, если известно, что угол АСО равен углу DBO и ВО=СО.
Отрезки АС и BD пересекаются в точке О (рис. 60). Докажите равенство треугольников ВАО и DCO, если известно, что угол ВАО равен углу DCO и АО —СО.
7*. Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на которые медиана разбивает угол треугольника.
Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, из которых одна (точка А) недоступна, провешивают направление отрезка АВ (рис. 61) и на его продолжении отмеряют произвольный отрезок BE. Выбирают на местности точку D, из которой видна точка А и можно пройти к точкам В и Е. Провешивают прямые BDQ и EDF и отмеряют FD = DE и DQ = BD. Затем идут по прямой FQ, глядя на точку А, пока не найдут точку И, которая лежит на прямой AD. Тогда HQ равно искомому расстоянию. Докажите.
Периметр (сумма длин сторон) равнобедренного треугольника равен 1 м, а основание равно 0,4 м. Найдите длину боковой стороны.
Периметр равнобедренного треугольника равен 7,5 м, а боковая сторона равна 2 м. Найдите основание.
Периметр равнобедренного треугольника равен 15,6 м. Найдите его стороны, если: 1) основание меньше боковой стороны на 3 м; 2) основание больше боковой стороны на 3 м.
Докажите, что у равностороннего треугольника все углы равны.
От вершины С равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ отложены равные отрезки: СА| на стороне С А
Рис. 61
Рис. 62
и СВ\ на стороне СВ. Докажите равенство треугольников: 1) CABi и СВА\; 2) АВВ\ и ВАА\.
На основании АВ равнобедренного треугольника АВС даны точки А\ и Вь Известно, что АВ\ =ВАХ. Докажите, что треугольники АВ\С и ВАХС равны.
Треугольники АССХ и ВССХ равны. Их вершины А и В лежат по разные стороны от прямой СС\. Докажите, что треугольники АВС и АВСХ равнобедренные (рис. 62).
Сформулируйте и докажите теорему, обратную утверждению задачи 12.
На сторонах АС и ВС треугольника АВС взяты точки С, и С2. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, если треугольники АВСХ и ВАС2 равны (рис. 63).
1) Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются также вершинами равнобедренного треугольника.
Докажите, что середины сторон равностороннего треугольника являются также вершинами равностороннего треугольника.
1) Начертите треугольник с острыми углами. С помощью чертежного угольника и линейки проведите в нем высоты. Повторите упражнение для треугольника, у которого один угол тупой.
Начертите треугольник. С помощью транспортира и линейки проведите в нем биссектрисы.
Начертите треугольник. С помощью линейки с делениями проведите в нем медианы.
Докажите, что у равнобедренного треугольника: 1) биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны; 2) медианы, проведенные из тех же вершин, тоже равны.
Докажите, что у равных треугольников АВС и A|B|Ci:
медианы, проведенные из вершин А и А), равны;
Рис. 63Рис. 63Рис. 64Рис. 64
Рис. 63
Рис. 63
Рис. 64
Рис. 64
биссектрисы, проведенные из вершин А и Ai, равны.
Точки А, В, С, D лежат на одной прямой, причем отрезки АВ и CD имеют общую середину. Докажите, что если треугольник АВЕ равнобедренный с основанием АВ, то треугольник CDE тоже равнобедренный с основанием CD (рис. 64).
Докажите равенство треугольников по углу, биссектрисе этого угла и стороне, прилежащей к этому углу.
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана ВМ. На ней взята точка D. Докажите равенство треугольников: 1) ABD и CBD; 2) AMD и CMD.
Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, если у него: 1) медиана BD является высотой; 2) высота BD является биссектрисой; 3) биссектриса BD является медианой.
Даны два равнобедренных треугольника с общим основанием. Докажите, что их медианы, проведенные к основанию, лежат на одной прямой.
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана BD. Найдите ее длину, если периметр треугольника АВС равен 50 м, а треугольника ABD — 40 м.
Докажите, что биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины, противолежащей основанию, является медианой и высотой.
У треугольников АВС и А(В|Ср АВ=А\В\, АС = А\С\, ZC= ZCi=90°. Докажите, что £ХАВС= &AiB,\C\.
Докажите, что у равнобедренного треугольника высота, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой.г
Треугольники АВС и ЛВС, равнобедренные с общим основанием АВ. Докажите равенство треугольников ACCi и ВСС,.
. Точки А, В, С, D лежат на одной прямой. Докажите, что если треугольники АВЕ, и АВЕ^ равнй, то треугольники CDEX и CDEi тоже‘равны (рис. 65).
Два отрезка АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников ACD и BDC.
Докажите равенство треугольников по двум сторонам и ( медиане, проведенной к одной из них.
35. Отрезки АВ и CD пересекаются. Докажите, что если отрезки АС, СВ, BD и AD равны, то луч АВ является биссектрисой угла CAD и луч CD — биссектрисой угла АС В (рис. 66).
Рис. 65Рис. 66
36*. Докажите, что в задаче 35 прямые АВ и CD перпендикулярны.
Треугольники АВС и BAD равны, причем точки С и D лежат по разные стороны от прямой АВ (рис. 67). Докажите, что: 1) треугольники CBD и DAC равны; 2) прямая CD делит отрезок АВ пополам.
Отрезки равной длины АВ и CD пересекаются в точке О так, что АО = OD. Докажите равенство треугольников АВС и DCB.
Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, исходящим из одной вершины (рис. 68).
Докажите равенство треугольников по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и углам, которые образует с ней медиана.
§ 4. СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ
Теорема 4.1. Две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Доказательство. Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Допустим, что прямые а и b не параллельны (рис. 69). Тогда они пересекаются в некоторой точке С. Значит, через точку С проходят две прямые, параллельные прямой с. Но это невозможно, так как через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Теорема доказана.
Рис. 69Рис. 70
Лч Задача (4). Прямые АВ и CD параллельны. Докажи- С 0 х те, что если отрезок ВС пересекает прямую AD, то точка ^ пересечения принадлежит отрезку AD (рис. 70).
Решение. Пусть X — точка пересечения отрезка ВС с прямой АО. Проведем через нее прямую х, параллельную прямой АВ. Она будет параллельна и прямой CD. Прямая х разбивает плоскость на две полуплоскости. Точки В и С лежат в разных полуплоскостях, так как отрезок ВС пересекает прямую х (в точке X). Точка А лежит в той же полуплоскости, что и В, а точка D — в той же полуплоскости, что и С. Поэтому отрезок AD пересекает прямую х. А точкой пересечения является точка X отрезка ВС.
УГЛЫ, ОБРАЗОВАННЫЕ ПРИ ПЕРЕСЕЧЕНИИ ДВУХ ПРЯМЫХ СЕКУЩЕЙ
Пусть АВ и CD — две прямые и АС — третья прямая, пересекающая прямые АВ и CD (рис. 71). Прямая АС по отношению к прямым АВ и CD называется секущей.
Рис. 71
Пары углов, которые образуются при пересечении прямых АВ и CD секущей АС, имеют специальные названия.
Если точки В и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой АС, то углы ВАС и DC А называются внутренними односторонним^ (рис. 71, а).
Если точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС, то углы ВАС и DCA называются внутренними накрест лежащими (рис. 71, б).
Секущая АС образует с прямыми АВ и CD две пары внутренних односторонних и две пары внутренних накрест лежащих углов. Внутренние накрест лежащие углы одной пары, например Z1 и Z 2, являются смежными внутренним накрест лежащим углам другой пары: Z3 и Z4 (рис. 72).
Поэтому если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны.
Пара внутренних накрест лежащих углов, например Z 1 и Z2, и пара внутренних односторонних углов, например Z2 и
Z 3, имеют один угол общий — Z2, а два других угла смежные: ZX и Z3.
Поэтому если внутренние накрест лежащие углы равны, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°. И обратно: если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то внутренние накрест лежащие углы равны.
ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ
Теорема 4.2 (признак параллельности прямых). Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Доказательство. Пусть прямые а и b образуют с секущей АВ равные внутренние накрест лежащие углы (рис. 73, а). Допустим, прямые а и b не параллельны, а значит, пересекаются в некоторой точке С (рис. 73, б).
Секущая АВ разбивает плоскость на две полуплоскости. В одной из них лежит точка С. Построим треугольник ВАС\, равный треугольнику АВС, с вершиной Ci в другой полуплоскости. По условию внутренние накрест лежащие углы при параллельных а, b и секущей АВ равны. Так как соответствующие углы треугольников АВС и ВАС с вершинами А и В равны, то они совпадают с внутренними накрест лежащими углами. Значит, прямая АС, совпадает с прямой а, а прямая ВС\
совпадает с прямой Ь. Получается, что через точки С и С, проходят две различные прямые а и Ь. А это невозможно. Значит, прямые а и b параллельны.
Если у прямых а и b и секущей АВ сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то, как мы знаем, внутренние накрест лежащие углы равны. Значит, по доказанному выше, прямые а и b параллельны. Теорема доказана.
Из теоремы 4.2 следует, что две прямые, перпендикулярные 'третьей, параллельны.
Если у пары внутренних накрест лежащих углов один угол заменить вертикальным ему, то получится пара углов, которые называются соответственными углами данных прямых с секущей.
Углы 1 и 2 на рисунке 74 внутренние накрест лежащие, а углы 1 и 3 соответственные.
Из равенстства внутренних накрест лежащих углов следует равенство соответственных углов, и наоборот. Отсюда получается признак параллельности прямых по соответственным углам. Именно: прямые параллельны, если соответственные углы равны.
Рис. 74 Рис. 75
Л. Задача (8). Даны прямая АВ и точка С, не лежа- ( 0 ) щая на этой прямой. Докажите, что через точку С мож- ’—' но провести прямую, параллельную прямой АВ.
Решение. Прямая АС разбивает плоскость на две полуплоскости (рис. 75). Точка В лежит в одной из них. Отложим от полупрямой СА в другую полуплоскость угол ACD, равный углу САВ. Тогда прямые АВ и CD будут
параллельны. В самом деле, для этих прямых и секущей АС углы ВАС и DCA внутренние накрест лежащие. А так как они равны, то прямые АВ и CD параллельны.
Сопоставляя утверждение задачи 8 и аксиомы IX (основного свойства параллельных прямых), приходим к важному выводу : через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую, и только одну.
СВОЙСТВО УГЛОВ, ОБРАЗОВАННЫХ ПРИ ПЕРЕСЕЧЕНИИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ СЕКУЩЕЙ
Теорема 4.3 (обратная теореме 4.2). Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
Доказательство. Пусть а и b — параллельные прямые и с — прямая, пересекающая их в точках А и В. Проведем через точку А прямую С| так, чтобы внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей с с прямыми а, и Ь, были равны (рис. 76).
По признаку параллельности прямых прямые а, и b параллельны. А так как через точку А проходит только одна прямая, параллельная прямой Ь, то прямая а совпадает с прямой а\.
Значит, внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей с параллельными прямыми а и Ь, равны. Теорема
доказана.
Из свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, следует, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Задача (13). Прямые АС и BD параллельны, причем точки А и D лежат по разные стороны от секущей ВС (рис. 77). Докажите, что: 1) углы DBG и АСВ внутренние накрест лежащие относительно секущей ВС; 2) луч ВС проходит между сторонами угла ABD; 3) углы САВ и DBA внутренние односторонние относительно секущей АВ.
Решение. 1) Углы DBC и АСВ внутренние накрест лежащие потому, что точки А и D лежат по разные стороны от секущей ВС.
Луч ВС проходит между сторонами угла ABD потому, что он пересекает отрезок AD с концами на сторонах угла (задача 4).
Углы САВ и DBA внутренние односторонние потому, что точки С и D лежат по одну сторону от секущей АВ, а именно в полуплоскости, где лежит точка X пересечения отрезков ВС и AD.
СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
Теорема 4.4. Сумма углов треугольника равна 180°. Доказательство. Пусть АВС — данный треугольник. Проведем через вершину В прямую, параллельную пря-
мой АС. Отметим на ней точку D так, чтобы точки А и D лежали по разные стороны от прямой ВС (рис. 78).
Углы DBC и АСВ равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей ВС с параллельными прямыми АС и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах В и С равна углу ABD.
А сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов ABD и ВАС. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных АС и BD и секущей АВ, то их сумма равна 180°. Теорема доказана.
Из теоремы 4.4 следует, что у любого треугольника хотя бы два угла острые.
Действительно, допустим, что у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов. Тогда у этого треугольника есть два угла, каждый из которых не меньше 90°. Сумма этих двух углов уже не меньше 180°. А это невозможно, так как сумма всех углов треугольника равна 180°. Что и требовалось доказать.
А. Задача (30). Чему равны углы равностороннего тре- \ ° У угольника?
Решение. У равностороннего треугольника, как мы знаем, все углы равны. Так как они в сумме дают 180°, то каждый из них равен 60°.
ВНЕШНИЕ УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА
Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине (рис. 79).
Чтобы не путать угол треугольника при данной вершине с внешним углом при этой же вершине, его иногда называют внутренним углом.
Теорема 4.5. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Доказательство. Пусть АВС — данный треугольник (рис. 80). По теореме о сумме углов треугольника
ZA + ZB+ZC = 180°.
Отсюда следует, что
ZA + ZB=180° —ZC.
В правой части этого равенства стоит градусная мера внешнего угла треугольника при вершине С. Теорема доказана.
Из теоремы 4.5 следует, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
Vk Задача (35). В треугольнике АВС проведена высо- Ч / та CD. Какая из трех точек А, В, D лежит между двумя другими точками, если углы А и В треугольника острые?
Решение. Точка В не может лежать между точками А и D. Если бы она лежала между точками А и D (рис. 81), то острый угол АВС как внешний угол треугольника CBD был бы больше прямого угла CDB. Точно так же доказывается, что и точка А не может лежать между точками В и О. Значит, точка D лежит между точками А и В.
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.
Так как сумма углов треугольника равна 180°, то у прямоугольного треугольника только один прямой угол. Два других угла прямоугольного треугольника острые. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 180° — 90° = 90°.
Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами (рис. 82).
КатетКатетРис. 82Рис. 82
Катет
Катет
Рис. 82
Рис. 82
Отметим следующий признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету:
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 83).
Доказательство этого признака дано в виде решения задачи 29 к § 3.
Л, Задача (43). Докажите, что в прямоугольном тре- < ) угольнике с углом 30° катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы.
Решение. Пусть АВС — прямоугольный треугольник с прямым углом С и углом В, равным 30° (рис. 84). Построим треугольник ВВС, равный треугольнику АВС, как показано на рисунке 84.
У треугольника ABD все углы равны (60°), поэтому он равносторонний. Так как AC=^-AD, a AD = AB, то АС=^-АВ. Что и требовалось доказать.
СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПЕРПЕНДИКУЛЯРА К ПРЯМОЙ
Теорема 4.6. Из любой точки, не лежаи^ей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.
Доказательство. Пусть а — данная прямая и А — не лежащая на ней точка (рис. 85). Проведем через какую-нибудь точку прямой а перпендикулярную прямую. А теперь проведем через точку А параллельную ей прямую Ь. Она будет перпендикулярна прямой а, так как прямая а, будучи перпендикулярна одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Отрезок АВ прямой b и есть перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой а.
Докажем единственность перпендикуляра АВ. Допустим,
существует другой перпендикуляр АС. Тогда у треугольника АВС будут два прямых угла. А это, как мы знаем, невозможно. Теорема доказана.
Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, называется расстоянием от точки до прямой.
Л. Задача (50). Докажите, что расстояния от любых С 0 J двух точек прямой до параллельной прямой равны.
— Решение. Пусть а и b — параллельные прямые и А, Ai — любые точки на прямой а (рис. 86). Опустим из точки Ах перпендикуляр АХВХ на прямую Ь. Отложим из точки Bi на прямой b отрезок ВХВ, равный отрезку A At, так, чтобы точки A i и В были по разные стороны прямой АВХ.
Тогда треугольники АВХАХ и ВХАВ равны по первому признаку. У них сторона АВХ общая, АА i =ВВХ по построению, а углы ВХААХ и АВХВ равны как внутренние накрест лежащие параллельных а и b с секущей АВХ.
Из равенства треугольников следует, что АВ есть перпендикуляр к прямой b и АВ = АХВХ, что и требовалось доказать.
Как видим, расстояния от всех точек прямой до параллельной прямой равны. Поэтому говорят, что параллельные прямые ра вноотстоящие.
Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от какой-нибудь точки одной прямой до другой прямой.
ИЗ ИСТОРИИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ
Первоначальные сведения о свойствах геометрических фигур люди нашли, наблюдая окружающий мир и в результате практической деятельности. Со временем ученые заметили, что некоторые свойства геометрических фигур можно вывести из других свойств путем рассуждения. Так возникли теоремы и доказательства.
Появилось естественное желание по возможности сократить число тех свойств геометрических фигур, которые берутся непосредственно из опыта. Утверждения оставшихся без дока-
Н. И. Лобачевский — русский математик (1792—1856)Н. И. Лобачевский — русский математик (1792—1856)Евклидом (330—275 «Начала*.Евклидом (330—275 «Начала*.зательства свойств стали аксиомами. Таким образом, аксиомы имеют опытное происхождение.
Н. И. Лобачевский — русский математик (1792—1856)
Н. И. Лобачевский — русский математик (1792—1856)
Евклидом (330—275 «Начала*.
Евклидом (330—275 «Начала*.
Геометрия в ранний период своего развития достигла особенно высокого уровня в Египте. В первом тысячелетии до нашей эры геометрические сведения от египтян перешли к грекам. За период с VII по III век до нашей эры греческие геометры не только обогатили геометрию многочисленными новыми теоремами, но сделали также серьезные шаги к строгому ее обоснованию. Многовековая работа греческих геометров за этот период была подытожена гг. до н. э.) в его знаменитом труде
Изложение геометрии в «Началах* Евклида построено на системе аксиом. Эта система аксиом отличается от системы аксиом, принятой в данном учебнике. Но в ней также есть аксиома параллельных.
Аксиома параллельных в отличие от других аксиом не подкрепляется наглядными соображениями. Может быть, поэтому со времен Евклида математики многих стран пытались доказать ее как теорему. Но это никому не удавалось. Наконец, в XIX веке было доказано, что это невозможно сделать. Первым, кто обоснованно высказал это утверждение, был великий русский математик Николай Иванович Лобачевский.
^ КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Объясните, какие углы называются внутренними односторонними. Какие углы называются внутренними накрест лежащими?
Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны, а сумма внутренних односторонних углов каждой пары равна 180°.
Докажите признак параллельности прямых.
Объясните, какие углы называются соответственными. Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то соответственные углы тоже равны, и наоборот.
Докажите, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую. Сколько прямых, параллельных данной, можно провести через точку, не лежащую на этой прямой?
Докажите, что если две параллельные прямые пересекаются третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
Докажите, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Докажите, что сумма углов треугольника равна 180°.
Докажите, что у любого треугольника по крайней мере два угла острые.
Что такое внешний угол треугольника?
Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Докажите, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
Какой треугольник называется прямоугольным?
Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника?
Какая сторона прямоугольного треугольника называется гипотенузой? Какие стороны называются катетами?
Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.
Докажите, что из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.
Что называется расстоянием от точки до прямой?
Объясните, что такое расстояние между параллельными прямыми.
ЗАДАЧИ
Докажите, что если некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Докажите, что если две прямые пересекаются, то любая третья прямая пересекает по крайней мере одну из этих прямых.
Дано: a||6||c||d. Докажите, что a\\d.
Прямые АВ и CD параллельны. Докажите, что если отрезок ВС пересекает прямую AD, то точка пересечения принадлежит отрезку AD (см. рис. 70).
Дан треугольник АВС. На стороне АВ отмечена точка Bi, а на стороне АС — точка Ci (рис. 87). Назовите внутренние односторонние и внутренние накрест лежащие углы при прямых АВ, АС и секущей BiCi.
Назовите внутренние накрест лежащие и внутренние односторонние углы на рисунке 72.
Отрезки AD и ВС пересекаются. Для прямых АС и BD и секущей ВС назовите пару внутренних накрест лежащих углов. Для тех же прямых и секущей АВ назовите пару внутренних односторонних углов. Объясните ответ.
Даны прямая АВ и точка С, не лежащая на этой прямой. Докажите, что через точку С можно провести прямую, параллельную прямой АВ.
Докажите, что биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных параллельными и секущей, параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых.
Отрезки АВ и CD пересекаются в точке Е и делятся этой точкой пополам. Докажите, что прямые АС и BD параллельны.
Треугольники АВС и BAD равны. Точки С и D лежат по разные стороны от прямой АВ. Докажите, что прямые АС и BD параллельны.
Угол АВС равен 80°, а угол BCD равен 120°. Могут ли прямые АВ и CD быть параллельными? Обоснуйте ответ.
Прямые АС и BD параллельны, причем точки А и D лежат по разные стороны от секущей ВС (рис. 77). Докажите, что: 1) углы DBG и АСВ внутренние накрест лежащие относительно секущей ВС; 2) луч ВС проходит между сторонами угла ABD; 3) углы САВ и DBA внутренние односторонние относительно секущей АВ.
1) Разность двух внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей равна 30°. Найдите эти углы.
2) Сумма двух внутренних накрест лежащих углов при двух параллельных прямых и секущей равна 150°. Чему равны эти углы?
Один из углов, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 72°. Найдите остальные семь углов.
Один из углов, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 30°. Может ли один из остальных семи углов равняться 70°? Объясните ответ.
Докажите, что две прямые, параллельные перпендикулярным прямым, сами перпендикулярны.
Найдите неизвестный угол треугольника, если у него два угла равны: 1) 50° и 30°; 2) 40° и 75°; 3) 65° и 80°; 4) 25° и 120°.
Найдите углы треугольника, если они пропорциональны числам: 1) 1, 2, 3; 2) 2, 3, 4; 3) 3, 4, 5; 4) 4, 5, 6; 5) 5, 6, 7.
Может ли в треугольнике быть: 1) два тупых угла; 2) тупой и прямой углы; 3) два прямых угла?
Может ли быть тупым угол при основании равнобедренного треугольника?
Найдите угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника, если угол при основании у него равен: 1) 40°; 2) 55°; 3) 72°.
Найдите угол при основании равнобедренного треугольника, если угол между боковыми сторонами равен: 1) 80°; 2) 120°; 3) 30°.
Один из углов равнобедренного треугольника равен 100°. Найдите остальные углы.
Один из углов равнобедренного треугольника равен 70°. Найдите остальные углы. Сколько решений имеет задача?
Докажите, что если один из углов равнобедренного треугольника равен 60°, то этот треугольник равносторонний.
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса CD. Найдите углы треугольника АВС, если угол ADC равен: 1) 60°; 2) 75°; 3) а.
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС и углом при вершине В, равным 36°, проведена биссектриса AD. Докажите, что треугольники CDA и ADB равнобедренные (рис. 88).
Рис. 89Рис. 89
Рис. 89
Рис. 89
В треугольнике АВС проведены биссектрисы из вершин А и В. Точка их пересечения обозначена D. Найдите угол ADB^ если: 1) ZA = 50°, ZB—100°; 2) ZA = a^ ZB=p; 3) ZC = 130°; 4) ZC — ^.
Чему равны углы равностороннего треугольника?
Под каким углом пересекаются биссектрисы двух внутренних односторонних углов при параллельных прямых?
Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 70°. Найдите углы треугольника.
Найдите углы треугольника, зная, что внешние углы при двух его вершинах равны 120° и 150°.
Два внешних угла треугольника равны 100° и 150°. Найдите третий внешний угол.
В треугольнике АВС проведена высота CD. Какая из трех точек А, В, D лежит между двумя другими, если углы А и В треугольника острые?
В треугольнике АВС проведена высота CD. Какая из трех точек А, В, D лежит между двумя другими, если угол А тупой? Обоснуйте ответ.
Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.
Сумма внешних углов треугольника АВС при вершинах А и В, взятых по одному для каждой вершины, равна 240°. Чему равен угол С треугольника?
Дан треугольник АВС. На продолжении стороны АС отложены отрезки AD=AB и СЕ = СВ (рис. 89). Как найти углы треугольника DBE, зная углы треугольника АВС?
У треугольника один из внутренних углов равен 30°, а один из внешних 40°. Найдите остальные внутренние углы треугольника.
Из вершины прямого угла треугольника АВС проведена высота BD. Найдите угол CBDS зная, что: 1) ZA —20°; 2) ZA = 65°; 3) ZA = a.
Из вершины тупого угла В треугольника АВС проведена высота BD. Найдите углы треугольников ABD и CBD, зная, что ZA = a, ZB=p.
Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом 30° катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы.
Найдите углы прямоугольного равнобедренного треугольника.
В равностороннем треугольнике АВС проведена медиана AD. Найдите углы треугольника ABD.
Высоты треугольника АВС, проведенные из вершин А и С, пересекаются в точке М. Найдите ZAMC, если ZA = 70°, ZC = 80°.
47*. В треугольнике АВС медиана BD равна половине стороны АС. Найдите угол В треугольника.
Прямая а пересекает отрезок ВС в его середине. Докажите, что точки В и С находятся на одинаковом расстоянии от прямой а.
Отрезок ВС пересекает прямую а в точке О. Расстояния от точек В и С до прямой а равны. Докажите, что точка О является серединой отрезка ВС.
Докажите, что расстояния от любых двух точек прямой до параллельной прямой равны.
Докажите, что расстояния от вершин равностороннего треугольника до прямых, содержащих противолежащие им стороны, равны.
§ 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ
ОКРУЖНОСТЬ
Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности.
Расстояние от точек окружности до ее центра называется радиусом окружности. Радиусом называется также любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром (рис. 90).
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром. На рисунке 91 ВС — хорда, AD — диаметр.
Задача (3). Докажите, что диаметр окружности, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей.
Решение. Пусть АВ — хорда окружности и С — ее середина (рис. 92). Треугольник АОВ равнобедренный с
основанием АВ. У него стороны ОА и ОВ равны как радиусы окружности. По свойству медианы равнобедренного треугольника, проведенной к основанию, отрезок ОС является высотой. Поэтому диаметр окружности, прове
денный через середину хорды, перпендикулярен хорде.
ОКРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА
is
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.
Теорема 5.1. Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через середины этих сторон.
Доказательство. Пусть АВС — данный треугольник и О — центр описанной около него окружности (рис. 93). Треугольник АОС равнобедренный: у него стороны О А и ОС
равны как радиусы. Медиана OD этого треугольника одновременно является его высотой. Поэтому центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной стороне АС и проходящей через ее середину. Точно так же доказывается, что центр окружности лежит на перпендикулярах к двум другим сторонам треугольника. Теорема доказана.
Замечание. Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, часто называют серединным перпендикуляром. В связи с этим иногда говорят, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Рис. 93Рис. 94Рис. 93Рис. 94
Рис. 93Рис. 94
Рис. 93Рис. 94
3 а д а ч а (6). Докажите, что серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются.
Решение. Пусть АВС — треугольник и а, Ь — серединные перпендикуляры к его сторонам АС и ВС (рис. 94). Допустим, прямые а и Ь не пересекаются, а значит, параллельны. Прямая АС перпендикулярна прямой а. Прямая ВС перпендикулярна прямой Ь, а значит, и прямой а, так как прямые а и Ь параллельны. Таким образом, обе прямые АС и ВС перпендикулярны прямой а, а значит, параллельны. Но это неверно. Прямые АС и ВС пересекаются в точке С. Мы пришли к противоречию. Утверждение доказано.
КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ
Прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной. При этом данная точка окружности называется точкой касания.
На рисунке 95 прямая а проведена через точку окружности А перпендикулярно к радиусу О А. Прямая а является касательной к окружности. Точка А является точкой касания. Можно сказать также, что окружность касается прямой а в точке А.
Рис. 96Рис. 96
Рис. 96
Рис. 96
Задача (8). Докажите, что касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания.
Решение. Пусть а — касательная к окружности в точке А (рис. 96). Допустим, касательная и окружность имеют, кроме точки А, общую точку В, отличную от А. Треугольник АОВ равнобедренный с основанием АВ. У него боковые стороны ОА и ОВ — радиусы окружности. Так как у равнобедренного треугольника углы при основании равны, а угол при вершине А прямой, то у этого треугольника два прямых угла. А это невозможно. Мы пришли к противоречию. Утверждение доказано.
Говорят, что две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в этой точке общую касательную (рис. 97). Касание окружностей называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от их общей касательной (рис. 97, а). Касание окружностей называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от их общей касательной (рис. 97, б).
ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В ТРЕУГОЛЬНИК
Окружность называется вписанной в треугольник, если она
касается всех его сторон.
Теорема 5.2. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.
Доказательство. Пусть АВС — данный треугольник, О — центр вписанной в него окружности, D, Е и F — точки
(рис. 98). Прямоугольные по гипотенузе и катету.(рис. 98). Прямоугольные по гипотенузе и катету.касания окружности со сторонами треугольники AOD и АОЕ равны У них гипотенуза АО общая, а катеты OD и ОЕ равны как радиусы. Из равенства треугольников следует равенство углов OAD и ОАЕ. А это значит, что точка О лежит на биссектрисе треугольника, проведенной из вершины А. Точно так же доказывается, что точка О лежит на двух других биссектрисах треугольника. Теорема доказана.
(рис. 98). Прямоугольные по гипотенузе и катету.
(рис. 98). Прямоугольные по гипотенузе и катету.
ЧТО ТАКОЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
В задачах на построение идет речь о построении геометрической фигуры с помощью данных чертежных инструментов. Такими инструментами чаще всего являются линейка и циркуль. Решение задачи состоит не столько в построении фигуры, сколько в решении вопроса о том, как это сделать, и соответствующем доказательстве. Задача считается решенной, если указан способ построения фигуры и доказано, что в результате выполнения указанных построений действительно получается фигура с требуемыми свойствами.
С помощью линейки как инструмента геометрических построений можно провести произвольную прямую; произвольную прямую, проходящую через данную точку; прямую, проходящую через две данные точки. Никаких других операций выполнять линейкой нельзя. В частности, нельзя откладывать линейкой отрезки, даже если на ней имеются деления.
Циркуль как инструмент геометрических построений позволяет описать из данного центра окружность данного радиуса. В частности, циркулем можно отложить данный отрезок на данной прямой от данной точки.
Рассмотрим простейшие задачи на построение.
ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА С ДАННЫМИ СТОРОНАМИ
Задача 5.1. Построить треугольник с данными сторонами а, Ь, с (рис. 99, а).
Решение. С помощью линейки проводим произвольную прямую и отмечаем на ней произвольную точку В (рис. 99, б).
Раствором циркуля, равным а, описываем окружность с центром В и радиусом а. Пусть С — точка ее пересечения с прямой. Теперь раствором циркуля, равным с, описываем окружность из центра В, а раствором циркуля, равным Ъ, описываем окружность из центра С. Пусть А — точка пересечения этих окружностей. Проведем отрезки АВ и АС. Треугольник АВС имеет стороны, равные а, Ь, с.
ПОСТРОЕНИЕ УГЛА, РАВНОГО ДАННОМУ
Задача 5.2. Отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу.
Решение. Проведем произвольную окружность с центром в вершине А данного угла (рис. 100, а). Пусть В и С — точки пересечения окружности со сторонами угла. Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке О — начальной точке данной полупрямой (рис. 100, б). Точку пересечения этой окружности с данной полупрямой обозначим Вь Опишем окружность с центром Bi и радиусом ВС. Точка Ci пересечения построенных окружностей в указанной полуплоскости лежит на стороне искомого угла.
Для доказательства достаточно заметить, что треугольники АВС и OB|Ci равны как треугольники с соответственно равными сторонами. Углы А и О являются соответствующими углами этих треугольников.
ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ УГЛА
Задача 5.3. Построить биссектрису данного угла.
Решение. Из вершины А данного угла как из центра описываем окружность произвольного радиуса (рис. 101). Пусть В и С — точки ее пересечения со сторонами угла. Из точек
Рис. 101Рис. 101В и С тем же радиусом описываем окружности. Пусть D — точка их пересечения, отличная от А. Проводим полупрямую AD.
Рис. 101
Рис. 101
Луч AD является биссектрисой, так как делит угол ВАС пополам. Это следует из равенства треугольников ABD и АСО, у которых углы DAB и ВАС являются соот
ветствующими.
ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА ПОПОЛАМ
Задача 5.4. Разделить отрезок пополам.
Решение. Пусть АВ — данный отрезок (рис. 102). Из точек А и В радиусом АВ описываем окружности. Пусть С и С1 — точки пересечения этих окружностей. Они лежат в разных
полуплоскостях относительно прямой АВ. Отрезок СС, пересекает прямую АВ в некоторой точке О. Эта точка есть середина отрезка АВ.
Действительно, треугольники САС, и CBCi равны по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда следует равенство углов АСО и ВСО. Треугольники АСО и ВСО равны по первому признаку равенства треугольников. Стороны АО и ВО этих треугольников являются соответствующими, а поэтому они равны. Таким образом, О — середина отрезка АВ.
ПОСТРОЕНИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ПРЯМОЙ
Задача 5.5. Через данную точку О провести прямую, перпендикулярную данной прямой а.
Решение. Возможны два случая:
точка О лежит на прямой а;
точка О не лежит на прямой а.
Рассмотрим первый случай (рис. 103).
Из точки О проводим произвольным радиусом окружность. Она пересекает прямую а в двух точках: А и В. Из точек А и В проводим окружности радиусом АВ. Пусть С — точка их пересечения. Искомая прямая проходит через точки О и С.
Перпендикулярность прямых ОС и. АВ следует из равенства углов при вершине О треугольников АСО и ВСО. Эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников.
Рассмотрим второй случай (рис. 104).
Из точки О проводим окружность, пересекающую прямую а. Пусть А и В — точки ее пересечения с прямой а. Из точек А и В тем же радиусом проводим окружности. Пусть Oi — точка их пересечения, лежащая в полуплоскости, отличной от той, в которой лежит точка О. Искомая прямая проходит через точки О и О,. Докажем это.
Обозначим через С точку пересечения прямых АВ и ОО,. Треугольники АОВ и. АО\В равны по третьему признаку.
Поэтому угол ОАС равен углу OiAC. А тогда треугольники ОАС и О\АС равны по первому признаку. Значит, их углы АСО и АСО\ равны. А так как они смежные, то они прямые. Таким образом, ОС — перпендикуляр, опущенный из точки О на прямую а.
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК
Одним из методов решения задач на построение является метод геометрических мест.
Геометрическим местом точек называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством.
Например, окружность можно определить как геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.
Важное геометрическое место точек дает следующая теорема:
Теорема 5.3. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину.
Доказательство. Пусть А и В — данные точки, а — прямая, проходящая через середину О отрезка АВ перпендикулярно к нему (рис. 105). Мы должны доказать, что:
каждая точка прямой а равноудалена от точек А и В;
на прямой а.на прямой а.каждая точка D плоскости, равноудаленная от точек А и В, лежит
на прямой а.
на прямой а.
То, что каждая точка С прямой а находится на одинаковом расстоянии от точек А и В, следует из равенства треугольников АОС и ВОС. У этих треугольников углы при вершине О прямые, сторона ОС общая, а АО=ОВ, так как О — середина отрезка АВ.
Покажем теперь, что каждая точка D плоскости, равноудаленная от точек А и В, лежит на прямой а. Рассмотрим треугольник ADB. Он
равнобедренный, так как AD=BD. В нем DO — медиана. По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведенная к основанию, является высотой. Значит, точка D лежит на прямой а. Теорема доказана.
МЕТОД ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ
Сущность метода геометрических мест, используемого при решении задач на построение, состоит в следующем. Пусть, решая задачу на построение, нам надо найти точку X, удовлетворяющую двум условиям. Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть некоторая фигура Fi, а геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, есть некоторая фигура F2. Искомая точка X принадлежит Fi и F2, т. е. является их точкой пересечения. Если эти геометрические места простые (скажем, состоят из прямых и окружностей), то мы можем их построить и найти интересующую нас точку X. Приведем пример.
Лк Задача (43). Даны три точки: А, В, С. Постройте I у точку X» которая одинаково удалена от точек А и В и находится на данном расстоянии от точки С.
Решение. Искомая точка X удовлетворяет двум условиям: 1) она одинаково удалена от точек А и В; 2) она находится на данном расстоянии от точки С. Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть прямая, перпендикулярная отрезку АВ и проходящая через его середину (рис. 106). Геометрическое место точек,
удовлетворяющих второму условию, есть окружность данного радиуса с центром в точке С. Искомая точка X лежит на пересечении этих геометрических мест.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Что такое окружность, центр окружности, радиус?
Что такое хорда окружности? Какая хорда называется диаметром?
Какая окружность называется описанной около треугольника?
Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Какая прямая называется касательной к окружности?
Что значит: окружности касаются в данной точке?
Какое касание окружностей называется внешним, какое — внутренним?
Какая окружность называется вписанной в треугольник?
Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.
Объясните, как построить треугольник по трем сторонам.
Объясните, как отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу.
Объясните, как разделить данный угол пополам.
Объясните, как разделить отрезок пополам.
Объясните, как через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой.
Что представляет собой геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек?
ф ЗАДАЧИ
Докажите, что любой луч, исходящий из центра окружности, пересекает окружность в одной точке.
Докажите, что прямая, проходящая через центр окружности, пересекает окружность в двух точках.
Докажите, что диаметр окружности, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей.
Сформулируйте и докажите теорему, обратную утверждению задачи 3.
5.5.6.7.6.7.Из точки данной окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу. Найдите угол между ними (рис. 107).
5.
5.
6.
7.
6.
7.
Из точки данной окружности проведены две хорды, равные радиусу. Найдите угол между ними. Докажите, что серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются.
Может ли окружность касаться прямой в двух точках? Объясните
ответ.Рис. 107
Докажите, что касательная к ок
ружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки
касания.
Какие углы образует хорда АВ, равная радиусу окружности, с касательной в точке А?
Найдите углы, под которыми пересекаются прямые, касающиеся окружности в концах хорды, равной радиусу.
Окружности с радиусами 30 см и 40 см касаются. Найдите расстояние между центрами окружностей в случаях внешнего и внутреннего касаний.
Могут ли касаться две окружности, если их радиусы равны 25 см и 50 см, а расстояние между центрами 60 см?
13*. 1) Точки А, В, С лежат на прямой, а точка О — вне прямой. Могут ли два треугольника АОВ и ВОС быть равнобедренными с основаниями АВ и ВС? Обоснуйте ответ. 2) Могут ли окружность и прямая пересекаться более чем в двух точках?
14*. 1) Окружности с центрами О и О, пересекаются в точках А и В. Докажите, что прямая АВ перпендикулярна прямой OOi.
Докажите, что две окружности не могут пересекаться более чем в двух точках.
15*. 1) Через точку А окружности с центром О проведена прямая, не касающаяся окружности. ОВ — перпендикуляр, опущенный на прямую. На продолжении отрезка АВ отложен отрезок ВС — АВ. Докажите^ что точка С лежит на
окружности.
Докажите, что если прямая имеет с окружностью только одну общую точку, то она является касательной к окружности в этой точке.
Докажите, что если две окружности имеют только одну общую точку, то они касаются в этой точке.
16*. 1) Из одной точки проведены две касательные к окружности (рис. 108). Докажите, что отрезки касательных МР и MQ равны.
Докажите, что через одну точку не может проходить больше двух касательных к окружности.
Одна окружность описана около равностороннего треугольника, а другая вписана в него. Докажите, что центры этих окружностей совпадают.
Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон в точках Аь В\, Ci (рис. 109). Докажите, что АСХ —АВ"У ас-вс
Постройте треугольник по трем сторонам а, b и с:
о = 2 см, Ь = 3 см, с=4 см; 2) о = 3 см, Ь = 4 см, с = 5 см;
о = 4 см, Ь = 5 см, с = 6 см.
Дан треугольник АВС. Постройте другой, равный ему треугольник ABD.
Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.
Постройте треугольник по двум сторонам и радиусу описанной окружности.
Постройте треугольник АВС по следующим данным:
по двум сторонам и углу между ними:
АВ=5 см, АС = 6 см, Z_A = 40°;
АВ=3 см, ВС = 5 см, 2.5 = 70°;
по стороне и прилежащим к ней углам:
АВ=6 см, А А = 30°, ЛВ= 50°;
АВ=4 см, Z А = 45°, Z5=60°.
Постройте треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему большей из них:
о = 6 см, Ь = 4 см, а = 70°;
о = 4 см, 5 = 6 см, (3 = 100°.
Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу при основании.
Постройте окружность, вписанную в данный треугольник.
Разделите угол на четыре равные части.
Постройте углы 60° и 30°.
Дан треугольник. Постройте его медианы.
Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.
Постройте треугольник по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и радиусу описанной окружности.
Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне (рис. 110).
Дан треугольник. Постройте его высоты.
Постройте окружность, описанную около данного треугольника.
Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету.
Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и высоте, опущенной на основание.
Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на третью сторону.
Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на одну из них.
Постройте треугольник по стороне и проведенным к ней медиане и высоте.
Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности.
Докажите, что геометрическое место точек, удаленных от данной прямой на расстояние h, состоит из двух прямых, параллельных данной и отстоящих от нее на h.
На данной прямой найдите точку, которая находится на данном расстоянии от другой данной прямой.
Даны три точки: А, В, С. Постройте точку X, которая одинаково удалена от точек А и В и находится на данном расстоянии от точки С.
На данной прямой найдите точку, равноудаленную от двух данных точек.
Даны четыре точки: А, В, С, D. Найдите точку X, которая одинаково удалена от точек А и В и одинаково удалена от точек С и D.
46*. Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон (рис. 111).
47*. Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и разность двух других сторон.
48*. Постройте прямоугольный треугольник по катету и сумме другого катета и гипотенузы.
49*. 1) Из точки А к окружности с центром О и радиусом R проведена касательная (рис. 112). Докажите, что точка С касания лежит на основании равнобедренного треугольника О АВ, у которого ОА=АВ, OB=2R.
2) Проведите касательную к окружности, проходящую через данную точку вне окружности.
50*. Проведите общую касательную к двум данным окружностям (рис. 113).
§ 6. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА
Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырехугольника.
Jk Задача (1). На рисунках 114—116 представлены \ ) три фигуры, каждая из которых состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. Какая из этих фигур является четырехугольником?
Решение. Четырехугольником является только фигура на рисунке 116, так как у фигуры на рисунке 114 точки А, В, С лежат на одной прямой, а у фигуры на рисунке 115 отрезки ВС и AD пересекаются.
Рис. 116Рис. 116
Рис. 116
Рис. 116
Вершины четырехугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями.
У четырехугольника на рисунке 117 диагоналями являются отрезки АС и BD.
Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами. Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими сторонами.
У четырехугольника на рисунке 117 противолежащими являются стороны АВ и CD, ВС и AD.
Четырехугольник обозначается указанием его вершин. Например, четырехугольник на рисунке 117 обозначается так: ABCD. В обозначении четырехугольника рядом стоящие вершины должны быть соседними. Четырехугольник ABCD на рисунке 117 можно также обозначить BCDA или DCBA. Но нельзя обозначить ABDC (В и D — не соседние вершины).
Сумма длин всех сторон четырехугольника называется периметром.
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых (рис. 118).
Теорема 6.1. Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Доказательство. Пусть ABCD — данный четырехугольник и О — точка пересечения его диагоналей (рис. 119).
Треугольники AOD и СОВ равны. У них углы при вершине О равны как вертикальные, a OD = OB и ОА = ОС по условию теоремы.
Значит, углы ОВС и ODA равны. А они являются внутренними накрест лежащими для прямых AD и ВС и секущей ВО. По признаку параллельности прямых прямые AD и ВС параллельны. Так же доказывается параллельность прямых АВ и CD с помощью равенства треугольников АОВ и COD.
Так как противолежащие стороны четырехугольника параллельны, то по определению этот четырехугольник — параллелограмм. Теорема доказана.
52. СВОЙСТВО ДИАГОНАЛЕЙ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Теорема 6.2 (обратная теореме 6.1). Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство. Пусть ABCD — данный параллелограмм (рис. 120). Проведем его диагональ BD. Отметим на
ней середину О и на продолжении отрезка АО отложим отрезок ОСь равный АО.
По теореме 6.1 четырехугольник ABC\D есть параллелограмм. Следовательно, прямая ВС\ параллельна AD. Но через точку В можно провести только одну прямую, параллельную AD. Значит, прямая ВС\ совпадает с прямой ВС.
Точно так же доказывается, что прямая DC\ совпадает с прямой DC.
Значит, точка Ci совпадает с точкой С. Параллелограмм ABCD совпадает с ABC\D. Поэтому его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана.
Задача (6). Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок ее, заключеный между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам.
Решение. Пусть ABCD — данный параллелограмм и ер — прямая, пересекающая параллельные стороны АВ и CD (рис. 121). Треугольники ОАЕ и ОСЕ равны по второму признаку. У них стороны ОА и ОС равны, так как О — середина диагонали АС. Углы при вершине О равны как вертикальные, а углы ЕАО и ECO равны как внутренние накрест лежащие при параллельных АВ, CD и секущей АС.
Из равенства треугольников следует равенство сторон: ОЕ = ОЕ, что и требовалось доказать.
СВОЙСТВО ПРОТИВОЛЕЖАЩИХ СТОРОН И УГЛОВ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Теорема 6.3. У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.
Доказательство. Пусть ABCD — данный параллелограмм (рис. 122). Проведем диагонали параллелограмма. Пусть О — точка их пересечения.
Равенство противолежащих сторон АВ и CD следует из равенства треугольников АОВ и COD. У них углы при вершине О равны как вертикальные, а ОА = ОС и OB — OD по свойству диагоналей параллелограмма. Точно так же из равенства треугольников AOD и СОВ следует равенство другой пары противолежащих сторон — AD и ВС.
Равенство противолежащих углов АВС и CDA следует из равенства треугольников АВС и CDA (по трем сторонам). У них AB = CD и BC=DA по доказанному, а сторона АС общая. Точно так же равенство противолежащих углов BCD и DAB следует из равенства треугольников BCD и DAB. Теорема доказана полностью.
Задача (18). Докажите, что если у четырехугольника две стороны параллельны и равны, то он является параллелограммом.
Решение. Пусть ABCD — данный четырехуголь
ник, у которого стороны АВ и CD параллельны и равны (рис. 123). Проведем через вершину В прямую Ь, параллельную стороне AD. Эта прямая пересекает луч DC в некоторой точке Сь Четырехугольник ABC\D есть парал-
лелограмм. Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то C\D = AB. А по условию АВ = = CD. Значит, DC = DC\. Отсюда следует, что точки С и Ci совпадают.
Таким образом, четырехугольник ABCD совпадает с параллелограммом ABC\D, а значит, является параллелограммом.
ПРЯМОУГОЛЬНИК
Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (рис. 124).
Теорема 6.4. Диагонали прямоугольника равны.
Доказательство. Пусть ABCD — данный прямоугольник (рис. 125).
Рис. 124Рис. 124
Рис. 124
Рис. 124
Утверждение теоремы следует из равенства прямоугольных треугольников BAD и CDA. У них углы BAD и CD А прямые, катет AD общий, а катеты АВ и CD равны как противолежащие стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует, что их гипотенузы равны. А гипотенузы есть диагонали прямоугольника. Теорема доказана.
« Задача (24). Докажите, что если у параллелограмма ( 6 ) все углы равны, то он является прямоугольником.
Решение. Углы параллелограмма, прилежащие к одной стороне, являются внутренними односторонними (рис. 126), поэтому их сумма равна 180°. Так как по
Рис. 126Рис. 126условию задачи эти углы равны, то каждый из них прямой. А параллелограмм, у которого все углы прямые, есть прямоугольник.
Рис. 126
Рис. 126
РОМБ
Ромб —(рис. 127).Ромб —(рис. 127).Рис. 127Рис. 127это параллелограмм, у которого все стороны равны
Ромб —
(рис. 127).
Ромб —
(рис. 127).
Рис. 127
Рис. 127
Теорема 6.5. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
Доказательство. Пусть ABCD — данный ромб (см. рис. 127), О — точка пересечения его диагоналей. По свойству параллелограмма АО = ОС. Значит, в треугольнике АВС отрезок ВО является медианой. Так как ABCD — ромб, то АВ = ВС и треугольник АВС — равнобедренный. По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведенная к его основанию, является биссектрисой и высотой. А это значит, что диагональ BD является биссектрисой угла В и перпендикулярна диагонали АС. Теорема доказана.
jr Задача (33). Докажите, что если у параллело- Г грамма диагонали перпендикулярны, то он является 1—' ромбом.
Рис. 128Рис. 128
Рис. 128
Рис. 128
Решение. Пусть ABCD — параллелограмм с перпендикулярными диагоналями и О — точка пересечения диагоналей (рис. 128). Треугольники АОВ и AOD равны по первому признаку равенства треугольников. У них углы при вершине О по условию прямые, сторона АО общая, a OB — OD по свойству диагоналей паралле
лограмма. Из равенства треугольников следует равенство сторон AB—AD. А по свойству противолежащих сторон параллелограмма AD=BC, AB = CD.
Итак, все стороны параллелограмма равны, а значит, он есть ромб.
КВАДРАТ
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны (рис. 129).
Так как стороны квадрата равны, то он является также ромбом. Поэтому квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба:
У квадрата все углы прямые.
Диагонали квадрата равны.
Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.
Задача (40). Докажите, что если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то он есть квадрат.
Решение. Так как прямоугольник есть параллелограмм, а параллелограмм с перпендикулярными диагоналями есть ромб (задача 33), то у рассматриваемого прямоугольника все стороны равны (рис. 130). По определению такой прямоугольник есть квадрат.
ТЕОРЕМА ФАЛЕСА
Теорема 6.6 (теорема Фалеса). Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне (рис. 131).
Доказательство. Пусть Аь А2, Аз— точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла и А^ лежит между Ai и Аз (рис. 131). Пусть Вь В2, Вз — соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если А1А2 = А2Аз, то В1В2—В2В3.
Проведем через точку В2 прямую ЕЕ, параллельную прямой А1А3. По свойству параллелограмма AiA2 = FB2, А2Аз = = В2В. И так как А^з — А2А3, то ЕВ2=В2Е.
Треугольники B2B1F и В2В3Е равны по второму признаку. У них B2F=B2E по доказанному. Углы при вершине В2 равны как вертикальные, а углы В2ЕВа и В2ЕВ3 равны как внутренние накрест лежащие при параллельных AiB] и А3В3 и секущей ЕЕ.
Фалес Милетский — древнегреческий ученый (VI в. до и. э.)Фалес Милетский — древнегреческий ученый (VI в. до и. э.)Задача ных частей.Задача ных частей.
Фалес Милетский — древнегреческий ученый (VI в. до и. э.)
Фалес Милетский — древнегреческий ученый (VI в. до и. э.)
Задача ных частей.
Задача ных частей.
Из равенства треугольников следует равенство сторон: В^—В2В3. Теорема доказана.
Замечание. В условии теоремы Фалеса вместо сторон угла можно взять любые две прямые, при этом заключение теоремы будет то же:
параппеяъные прямые, пересекающие две данные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой.
Иногда теорема Фалеса будет применяться и в такой форме.
. Разделите данный отрезок АВ на п рав-
Решение. Проведем из точки А полупрямую а, не лежащую на прямой АВ (рис. 132). Отложим на полупрямой а равные отрезки: AAi, А1А2, А2А3, ..., A„_iAn. Соединим точки А„ и В. Проведем через точки Аь А2, ..., An-i прямые, параллельные прямой АпВ. Они пересекают отрезок АВ в точках Bi, В2, ..., Bn_t, которые делят отрезок АВ на п равных отрезков (по теореме Фалеса).
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Теорема 6.7. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.
Доказательство. Пусть DE — средняя линия треугольника АВС (рис. 133). Проведем через точку D прямую, параллельную стороне АВ. По теореме Фалеса она пересекает отрезок АС в его середине, т. е. содержит среднюю линию DE. Значит, средняя линия DE параллельна стороне АВ.
Проведем теперь среднюю линию DF. Она параллельна стороне АС. Четырехугольник AEDF — параллелограмм. По свойству параллелограмма ED = AF, а так как AF = FB по теореме Фалеса, то ED—^-AB. Теорема доказана.
Рис. 133Рис. 134
Задача (55). Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
Решение. Пусть ABCD — данный четырехугольник и Е, F, G, Н — середины его сторон (рис. 134). Отрезок EF — средняя линия треугольника АВС. Поэтому EF\\ || АС. Отрезок GH — средняя линия треугольника ADC. Поэтому GH\\AC. Итак, EF\\GH, т. е. противолежащие стороны EF и GH четырехугольника EFGH параллельны. Точно так же доказывается параллельность другой пары противолежащих сторон. Значит, четырехугольник EFGH — параллелограмм.
ТРАПЕЦИЯ
Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами.
На рисунке 135 вы видите трапецию ABCD с основаниями АВ и CD и боковыми сторонами ВС и AD.
Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Теорема 6.8. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство. Пусть ABCD — данная трапеция (рис. 136). Проведем через вершину В и середину Р боковой стороны CD прямую. Она пересекает прямую AD в некоторой точке Е.
Треугольники РВС и PED равны по второму признаку равенства треугольников. У них CP=DP по построению, углы при вершине Р равны как вертикальные, а углы РСВ и PDE равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей CD. Из равенства треугольников следует равенство сторон: РВ — РЕ, BC=ED.
Значит, средняя линия PQ трапеции является средней линией треугольника АВЕ. По свойству средней линии треугольника PQ\\AE и отрезок
PQ=^-AE=^ADJrBC\
Теорема доказана.
Задача (60). Докажите, что у равнобокой трапеции углы при основании равны.
Решение. Пусть ABCD — равнобокая трапеция
(рис. 137). Докажем, что углы трапеции при основа
Рис. 137Рис. 137нии СВ равны.
Рис. 137
Рис. 137
Проведем через вершину В прямую, параллельную стороне АВ. Она пересечет луч ВС в некоторой точке Е. Четырехугольник АВЕВ — параллелограмм. По свойству параллелограмма ВЕ=АВ. По условию АВ=ВС (трапеция равнобокая), значит, треугольник ВСЕ равнобедренный с основанием ЕС. Углы треугольника и трапеции при вершине С совпадают, а углы при вершинах Е нВ равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых секущей. Поэтому Z_ABC= Z-BCB. Утверждение доказано.
ТЕОРЕМА О ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫХ ОТРЕЗКАХ
Теорема 6.9. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
Доказательство. Пусть стороны угла А пересекаются параллельными прямыми в точках В, С и В\, С\ соответственно (рис. 138). Теоремой утверждается, что
(*)(*)АСх _ АВхАС — АВ "
(*)
(*)
Докажем сначала равенство (*) в случае, когда существует такой отрезок длины 6, который укладывается целое число раз и на отрезке АС, и на отрезке АС\. Пусть АС — пб, АС\ = = т6 и п>т. Разобьем отрезок АС на п равных частей (дли-
ны 6). При этом точка Ci будет одной из точек деления. Проведем через точки деления прямые, параллельные прямой ВС. По теореме Фалеса эти прямые разбивают отрезок АВ на равные отрезки некоторой длины 61. Имеем:
AB=nbXl AB\ = mbx.
Мы видим, что
АСх т АВ\ тАС - п И АВ "
Значит,
АСх _АВХ
ас-Хв’
что и требовалось доказать.
Докажем теорему в общем случае (не для запоминания). До
ле, , АВхАСх АВх
пустим, что — например, что АХ/ AdAd
Рис. 138Рис. 138
Рис. 138
Рис. 138
Отложим на луче АС отрезок АС2—^—АВх (рис. 139). При этом АС2-<АСХ. Разобьем отрезок АС на большое число п равных частей и проведем через точки деления прямые, параллельные ВС.
При достаточно большом п на отрезке СХС2 будут точки деления. Обозначим одну из них через У, а соответствующую точку на отрезке ABi через X. По доказанному
AY АХ
АС АВ ‘
Заменим в этом равенстве величину AY меньшей величиной
АС2, а величину АХ большей величиной АВь Получим:
АС2 АВх АС<АВ'
Отсюда АС2<.^7'АВх. Но АС2=-^—АВх. Мы пришли к АВАВ
противоречию. Теорема доказана.
ПОСТРОЕНИЕ ЧЕТВЕРТОГО ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО ОТРЕЗКА
Задача 6.1. Даны, отрезки а, Ь, с. Построить отрезок be х =. а
Решение. Строим любой неразвернутый угол с вершиной О (рис. 140). Откладываем на одной стороне угла отрезки ОА — а и ОВ=Ь, а на другой стороне отрезок ОС = с. Соединяем точки А и С прямой и проводим параллельную ей прямую BD через точку В. Отрезок OD—х.
Действительно, по теореме о пропорциональных отрезках
О Аос
OB — OD ■
Отсюда
ОП — 0в°С — Ь*с— О А ~ а *
Таким образом, отрезок OD есть искомый отрезок х.
Замечание. Построенный отрезок х называется четвертым пропорциональным. Это название связано с тем, что он является четвертым членом пропорции а:Ъ = с:х.
Рис. 140Рис. 140
Рис. 140
Рис. 140
ф КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
6
Какая фигура называется четырехугольником?
Какие вершины четырехугольника называются соседними, какие — противолежащими?
Что такое диагонали четырехугольника?
Какие стороны четырехугольника называются соседними? Какие называются противолежащими?
Как обозначается четырехугольник?
Что такое параллелограмм?
Докажите, что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то он является параллелограммом.
Докажите, что диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Докажите, что у параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.
Что такое прямоугольник?
Докажите, что диагонали прямоугольника равны.
Что такое ромб?
Докажите, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом; диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
Что такое квадрат? Перечислите свойства квадрата.
Докажите теорему Фалеса.
Докажите, что средняя линия треугольника равна половине соответствующей стороны.
Какой четырехугольник называется трапецией?
Какая трапеция называется равнобокой?
Докажите, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
Докажите теорему о пропорциональных отрезках.
ЗАДАЧИ
На рисунках 114—116 представлены три фигуры, каждая из которых состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. Какая из этих фигур является четырехугольником?
Постройте какой-нибудь четырехугольник PQRS. Укажите его противолежащие стороны и вершины.
Сколько можно построить параллелограммов с вершинами в трех заданных точках, не лежащих на одной прямой? Постройте их.
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5 м. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма.
Расстояния от точки пересечения диагоналей параллелограмма до двух его вершин равны 3 см и 4 см. Чему равны расстояния от нее до двух других вершин? Объясните ответ.
Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок ее, заключенный между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам.
В параллелограмме ABCD через точку пересечения диагоналей проведена прямая, которая отсекает на сторонах ВС и AD отрезки BE = 2 м и AF = 2,8 м. Найдите стороны ВС и AD.
У параллелограмма ABCD АВ =10 см, ВС = 15 см. Чему равны стороны AD и СО? Объясните ответ.
У параллелограмма ABCD АА = 30°. Чему равны углы В, С, D? Объясните ответ.
Периметр параллелограмма ABCD равен 10 см. Найдите длину диагонали BD, зная, что периметр треугольника ABD равен 8 см.
Один из углов параллелограмма равен 40°. Найдите остальные углы.
Найдите углы параллелограмма, зная, что один из них больше другого на 50°.
Может ли один угол параллелограмма быть равным 40°, а другой — 50°?
Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 25° и 35°. Найдите углы параллелограмма.
Найдите все углы параллелограмма, если сумма двух из них равна: 1) 80°; 2) 100°; 3) 160°.
Найдите все углы параллелограмма, если разность двух из них равна: 1) 70°; 2) 110°; 3) 140°.
В параллелограмме ABCD точка Е — середина стороны ВС, a F — середина стороны AD. Докажите, что четырехугольник BEDF — параллелограмм.
Докажите, что если у четырехугольника две стороны параллельны и равны, то он является параллелограммом.
В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке Е. Чему равны отрезки BE и ЕС, если АВ = 9 см, АО = 15 см?
Две стороны параллелограмма относятся как 3:4, а периметр его равен 2,8 м. Найдите стороны.
В параллелограмме ABCD перпендикуляр, опущенный ив вершины В на сторону AD, делит ее пополам. Найдите диагональ BD и стороны параллелограмма, если известно, что периметр параллелограмма равен 3,8 м, а периметр треугольника ABD равен 3 м.
•"22. Постройте параллелограмм: 1) по двум сторонам и диагонали; 2) по стороне и двум диагоналям.
Постройте параллелограмм: 1) по двум сторонам и углу; 2) по диагоналям и углу между ними.
Докажите, что если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником.
Докажите, что если в параллелограмме хотя бы один угол прямой, то он является прямоугольником.
Докажите, что если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником.
Бетонная плита с прямолинейными краями должна иметь форму прямоугольника. Как при помощи бечевки проверить правильность формы плиты?
Биссектриса одного из углов прямоугольника делит сторону прямоугольника пополам. Найдите периметр прямоугольника, если его меньшая сторона равна 10 см.
В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на 4 см дальше, чем от большей стороны. Периметр прямоугольника равен 56 см. Найдите стороны прямоугольника.
Из одной точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды, которые удалены от центра на 6 см и 10 см. Найдите их длины.
В прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 6 см, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол (рис. 141). Найдите периметр прямоугольника.
В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие — на катетах (рис. 142). Чему
равны стороны прямоугольника, если известно, что они относятся как 5:2, а гипотенуза треугольника равна 45 см?
Докажите, что если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.
Докажите, что если диагональ параллелограмма является биссектрисой его углов, то он является ромбом.
Углы, образуемые диагоналями ромба с одной из его сторон, относятся как 4:5. Найдите углы ромба.
Докажите, что четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.
В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите углы ромба.
v38. Постройте ромб: 1) по углу и диагонали, исходящей из вершины этого угла; 2) по диагонали и противолежащему углу.
/39. Постройте ромб: 1) по стороне и диагонали; 2) по двум диагоналям.
Докажите, что если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то он есть квадрат.
В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого 2 м, вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите периметр квадрата.
Дан квадрат ABCD. На каждой из его сторон отложены равные отрезки: AAi =BBi =CCt =DDt. Докажите, что четырехугольник AiBxCiDi есть квадрат (рис. 143).
Диагональ квадрата равна 4 м. Сторона его равна диагонали другого квадрата. Найдите сторону последнего.
Дан квадрат, сторона которого 1 м, диагональ его равна стороне другого квадрата. Найдите диагональ последнего.
В квадрат (рис. 144) вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина
прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Найдите стороны прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна 12 м.
В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а другие две — на катетах. Найдите сторону квадрата, если известно, что гипотенуза равна 3 м.
Из данной точки проведены к окружности две взаимно перпендикулярные касательные, радиус окружности 10 см. Найдите длины касательных (расстояние от данной точки до точки касания).
Разделите данный отрезок АВ на п равных частей.
Разделите данный отрезок на указанное число равных частей: 1) 3; 2) 5; 3) 6.
Стороны треугольника равны 8 см, 10 см, 12 см. Найдите стороны треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.
Периметр треугольника равен 12 см, середины сторон соединены отрезками. Найдите периметр полученного треугольника.
Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна 3 см. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 16 см.
Как построить треугольник, если заданы середины его сторон?
Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, проходящей через середины двух его сторон.
Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
Найдите стороны параллелограмма из предыдущей задачи, если известно, что диагонали четырехугольника равны 10 м и 12 м.
У четырехугольника диагонали равны а и Ь. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
Боковая сторона трапеции разделена на три равные части и из точек деления проведены к другой стороне отрезки, параллельные основаниям. Найдите длины этих отрезков, если основания трапеции равны 2 м и 5 м.
Докажите, что у равнобокой трапеции углы при основании равны.
Чему равны углы равнобокой трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 40°?
В равнобокой трапеции большее основание равно 2,7 м, боковая сторона равна 1 м, угол между ними 60°. Найдите меньшее основание.
В равнобокой трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки 6 см и 30 см. Найдите основания трапеции.
. Меньшее основание равнобокой трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне (рис. 145). Найдите углы трапеции.
По одну сторону от прямой а даны две точки А и В на расстояниях 10 м и 20 м от нее. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до прямой а.
По разные стороны от прямой а даны две точки А и В на расстояниях 10 см и 4 см от нее. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до прямой а.
Основания трапеции относятся как 2:3, а средняя линия равна 5 м. Найдите основания.
Концы диаметра удалены от касательной к окружности на 1,6 м и 0,6 м. Найдите длину диаметра.
Средняя линия трапеции равна 7 см, а одно из ее оснований больше другого на 4 см. Найдите основания трапеции.
Высота, проведенная из вершины тупого угла равнобокой трапеции, делит большее основание на части, имеющие длины а и b (а > Ь). Найдите среднюю линию трапеции.
. Постройте трапецию по основаниям и боковым сторонам.
. Постройте трапецию по основаниям и диагоналям.
. Даны отрезки a, b, с, d, е. Постройте отрезок х=^-.
74*. 1) В треугольнике АВС проведены медианы AAi и ВВ\, которые пересекаются в точке М (рис. 146). В треугольнике
АМВ проведена средняя линия PQ. Докажите, что четырехугольник A\B\PQ — параллелограмм.
Докажите, что любые две медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Докажите, что все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
§ 7. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
КОСИНУС УГЛА
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Косинус угла а обозначается так: cos а. На рисунке 147 показан прямоугольный треугольник АВС с углом А, равным а. Косинус угла а равен отношению катета АС, прилежащего к этому углу, к гипотенузе АВ, т. е.
Теорема 7.1. Косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника.
Это означает, что у двух прямоугольных треугольников с одним и тем же острым углом косинусы этого угла равны.
Доказательство. Пусть АВС и А'В'С' — два прямоугольных треугольника с одним и тем же углом при вершинах А и А', равным а (рис. 148). Требуется доказать, что
А'С' _ АС
А'В' — АВ ‘
ВВ А'ВВ А'
ВВ А'
ВВ А'
Построим треугольник АВ1С1, равный треугольнику А'В'С', как показано на рисунке 148. Так как прямые ВС и BiCi перпендикулярны прямой АС, то они параллельны. По теореме о пропорциональных отрезках
AC, _ АС
АВх " АВ ‘
А так как по построению АС\=А'С', АВ\ — А'В', то
А'С' _ АС
А'В' — АВ ‘
Теорема доказана.
ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
Теорема 7.2 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательство. Пусть АВС — данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С (рис. 149).
AB-AD = AC2. Аналогично cos В=—=—. Отсюда AB-BD = =ВС2. Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD + DB = АВ, получим:
АС2+ВС2 = АВ (AD+DB) = AB2.
Теорема доказана.
Из теоремы Пифагора следует, что в прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы. Отсюда, в свою очередь, следует, что cosa<l для любого острого угла а. Л. Задача (11). Найдите медиану равнобедренного тре- ч у угольника с основанием а и боковой стороной Ь, проведенную к основанию.
Решение. Пусть АВС — равнобедренный треугольник с основанием АВ и CD — его медиана, проведенная к основанию (рис. 150). Как мы знаем, медиана равнобед
ренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой. Поэтому треугольник ACD прямоугольный с прямым углом D. По теореме Пифагора
AD2 + CD2=АС2, ^У -\-CD2=b2.
Отсюда
ЕГИПЕТСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Задача (17). Докажите, что если треугольник имеет стороны а, Ь, с и а2 -\-Ь2 = с2, то у него угол, противолежащий стороне с, прямой.
Решение. Пусть АВС — данный треугольник, у которого АВ = с, АС = а, ВС=Ь (рис. 151). Построим прямоугольный треугольник AiBiCi с катетами AiCi=a
и В\С\ = Ь. По теореме Пифагора у него гипотенуза А\Вi = д/а2 + Ь2 = с. Таким образом, треугольники АВС и А1В1С1 равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует, что угол треугольника АВС при вершине С прямой.
Землемеры Древнего Египта для построения прямого угла пользовались следующим приемом. Бечевку узлами делили на 12 равных частей и концы связывали. Затем бечевку растягивали на земле так, что получался треугольник со сторонами 3, 4 и 5 делений. Угол треугольника, противолежащий стороне прямой (32 + 42 = 52).
Пифагор — древнегреческий ученый (VI в. до н. э.)Пифагор — древнегреческий ученый (VI в. до н. э.)с 5 делениями, былс 5 делениями, былВ связи с указанным способом построения прямого угла треугольник со сторонами 3, 4 и 5 ед. иногда называют египет
Пифагор — древнегреческий ученый (VI в. до н. э.)
Пифагор — древнегреческий ученый (VI в. до н. э.)
с 5 делениями, был
с 5 делениями, был
ским..
ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ
Пусть ВА — перпендикуляр, опущенный из точки В на прямую а, и С — любая точка прямой а, отличная от А. Отрезок ВС называется наклонной, проведенной из точки В к прямой а (рис. 152). Точка С называется основанием наклонной. Отрезок АС называется проекцией наклонной.
Из теоремы Пифагора следует, что если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то любая наклонная больше перпендикуляра, равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.
Действительно (см. рис. 152), по теореме Пифагора
Рис. 152Рис. 152АВ2+АС2 = ВС2.
Рис. 152
Рис. 152
Отсюда видно, что ВС^>АВ. При данном АВ чем больше АС, тем больше ВС.
лк Задача (19). На стороне АВ треугольника АВС взята Г ° 2 точка X. Докажите, что отрезок СХ меньше по крайней '—мере одной из сторон АС или ВС.
Рис. 153Рис. 153
Рис. 153
Рис. 153
Решение. Проведем высоту CD треугольника. В любом случае отрезок DX меньше либо AD (рис. 153, а), либо BD (рис. 153, б). По свойству наклонных, проведенных из одной точки, отсюда следует, что отрезок СХ меньше по крайней мере одного из отрезков АС или ВС. Что и требовалось доказать.
НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА
Если точки А и В различны, то расстоянием, между ними называется длина отрезка АВ. Если точки А и В совпадают, то расстояние между ними принимается равным нулю.
Теорема 7.3 (неравенство треугольника). Каковы, бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки.
Это значит, что каждое из этих расстояний меньше или равно суммы двух других.
Доказательство. Пусть А, В, С — три данные точки. Если две точки из трех или все три точки совпадают, то утверждение теоремы очевидно.
Если все точки различны и лежат на одной прямой, то одна из них лежит между двумя другими, например В. В этом
случае АВ+ВС = АС. Отсюда видно, что каждое из трех расстояний не больше суммы двух других.
Рис. 154Рис. 154Допустим теперь, что точки не лежат на одной прямой (рис. 154). Докажем, что АВ < АС+ВС. Опустим перпендикуляр CD на прямую АВ. По доказанному АВ ^ AD -|- BD. И так как AD<AC и BD<BC, то АВ < АС+ВС. Теорема доказана.
Рис. 154
Рис. 154
Рис. 155
Заметим, что в случае, когда точки не лежат на одной прямой, в неравенстве треугольника строгое неравенство. Отсюда следует, что в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.
JR Задача (23). Докажите, что любая хорда окруж- С ° У ности не больше диаметра и равна диаметру только тогда, '—' когда сама является диаметром.
Решение (рис. 155). По неравенству треугольника АВ^ОА -\-ОВ = 2R, причем если центр О не лежит на отрезке АВ, то неравенство строгое. Равенство имеет место только в случае, когда хорда проходит через центр, т. е. является диаметром.
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ
В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
Пусть АВС — прямоугольный треугольник с прямым углом С и острым углом при вершине А, равным а (рис. 156). Согласно определению cos а равен отношению катета, прилежащего к углу а, к гипотенузе.
Синусом угла а (обозначается sin а) называется отношение противолежащего катета ВС к гипотенузе АВ1.
Тангенсом угла а (обозначается tg а) называется отношение противолежащего катета ВС к прилежащему катету АС:
Синус и тангенс угла так же, как и косинус, зависят только от величины угла.
Действительно, по теореме Пифагора
BC—JAB2 — AC4
По определению
Подставим значение ВС:
хАВ^-ас1/ АС V2
sina= АВ== V^cos2™.
Так как cos а зависит только от величины угла, то и sin а зависит только от величины угла. По определению
Разделим числитель и знаменатель на АВ:
,ВС AC sin а
tg а = —:=.
АВ АВ cos а
Отсюда видно, что и tg а зависит только от величины угла.
Из определения sin a, cos а и tg а получаем следующие правила:
Катет, противолежащий углу а, равен произведению гипотенузы на sin а.
Катет, прилежащий к углу а, равен произведению гипотенузы на cos а.
Катет, противолежащий углу а, равен произведению второго катета на tg а.
Эти правила позволяют, зная одну из сторон прямоугольного треугольника и острый угол, находить две другие стороны; зная две стороны, находить острые углы (рис. 157).
Рис. 157Рис. 157а = с Япс£ Ь =с сом а=Ь tg<A
Рис. 157
Рис. 157
Задача (47). В прямоугольном треугольнике даны гипотенуза с и острый угол а. Найдите катеты, их проекции на гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу.
Решение (рис. 158).
АС = АВ cos а = с cos а;
ВС = АВ sin а =с sin а;
BD = ВС sin а = с sin2 а;
AD = AC cos а = с cos2 а;
CD = AC sin а = е sin а cos а.
Для sin а, cos а и tg а составлены специальные таблицы. Эти таблицы позволяют по данному углу а найти sin a, cos а и tg а или по значениям since, cos а, tg а найти соответствующий угол. В настоящее время для этой цели обычно применяют микрокалькуляторы.
ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА
Одно тождество вы уже знаете:
tg а =tg а =sin а cos аsin а cos а
tg а =
tg а =
sin а cos а
sin а cos а
Докажем следующие тождества:
sin2 а4-cos2 а = 1,14-tg2a=4
' ° cos2 а ' tg2 а sin2
Возьмем любой прямоугольный треугольник АВС с углом при вершине А, равным а (рис. 159). По теореме Пифагора
ВС2 + АС2 = АВ2.
Разделим обе части равенства на АВ2. Получим:
Но —-=sina, ——=cos<z. Таким образом, АВАВ
sin2 а + cos2 а = 1.
Это равенство есть тождество. Оно верно для любого острого угла а.
Чтобы получить второе тождество, разделим обе части полученного тождества на cos2 а. Получим:
sin2 а । !11 , . 21
—5h 1 =—5— или 1 4-tg а =—з— •
cos а cos- а1 ° cos а
Если обе части тождества sin2 a 4~cos2 а = 1 разделить на sin2 а, то получим третье тождество:
1+г4-=Ц-.tg- а sin а
Значение этих тождеств заключается в том, что они позво
ляют, зная одну из величин sin a, cos а или tg а, найти две
другие.
Задача5 cos а = — .Задача5 cos а = — .(63). Вычислите значения sin а и tg а, если
Задача
5 cos а = — .
Задача
5 cos а = — .
Решение. Так как sin2 a 4~cos2a = 1, то
sin а = V1 - cos2.
’\ 10 /10
tg аtg аsin аsin аcos аcos а125 *125 *
tg а
tg а
sin а
sin а
cos а
cos а
12
5 *
12
5 *
ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА, КОСИНУСА И ТАНГЕНСА НЕКОТОРЫХ УГЛОВ
Теорема 7.4. Для любого острого угла а
sin (90° — а) = cos а, cos (90° — а) = sin а.
Доказательство. Пусть АВС — прямоугольный треугольник с острым углом а при вершине А (рис. 160). Тогда острый угол при вершине В равен 90° — а. По определению
ВСАС
Sma=-,cosa = -
sin(90°-a)=^ , cos(90° —а) = ^ v' АВ х' АВ
Из второго и третьего равенств получаем sin (90° — a) = cosa.
Из первого и четвертого равенств получаем cos (90° — a) = sin а. Теорема доказана.
Найдем синус, косинус и тангенс угла 45°. Для этого построим прямоугольный треугольник с острым углом 45° (рис. 161). Второй его острый угол тоже равен 45°, поэтому треугольник равнобедренный. Пусть катеты треугольника равны а. По теореме Пифагора гипотенуза будет а -^2. Находим:
•1л/2
sin 45 =7 = —=^т-
cos 45cos 45ааtg 45° = -^-=1.tg 45° = -^-=1.
cos 45
cos 45
а
а
tg 45° = -^-=1.
tg 45° = -^-=1.
Найдем синус, косинус и тангенс угла 30°. Возьмем равносторонний треугольник АВС (рис. 162). Проведем в нем медиану AD. Она будет биссектрисой и высотой. Поэтому треугольник ABD прямоугольный с острым углом при вершине А, равным 30°. Пусть а — сторона равностороннего треугольника. Тогда BD = ^-. По теореме Пифагора
sin 60° = cos 300 = ^; cos 60° = sin 30° = -|-;sin 60° = cos 300 = ^; cos 60° = sin 30° = -|-;tg 60 =tg 60 =sin 60° cos 60°sin 60° cos 60°
sin 60° = cos 300 = ^; cos 60° = sin 30° = -|-;
sin 60° = cos 300 = ^; cos 60° = sin 30° = -|-;
tg 60 =
tg 60 =
sin 60° cos 60°
sin 60° cos 60°
ИЗМЕНЕНИЕ СИНУСА, КОСИНУСА И ТАНГЕНСА ПРИ ВОЗРАСТАНИИ УГЛА
Теорема 7.5. При возрастании острого угла sin a u tg а возрастают, a cos а убывает.
Доказательство. Пусть а и Р — острые углы, причем а < 0. Отложим углы а и р от полупрямой АВ в одну полуплоскость (рис. 163). Проведем через точку В прямую, перпендикулярную АВ. Она пересекает стороны наших углов в точках С и D.
Так как а < Р, то точка С лежит между точками В и D. Поэтому BC-<BD. А значит, по свойству наклонных, проведенных из одной точки к прямой, AC<_AD.
mADn AD
Так как cosa = —, cosB = — , AC 1 AD
to cos a > cos p, т. e. при возраста-У
нии угла косинус убывает./
Так как sin a = л]1 — cos2 а, а/
cos а убывает при возрастании уг-/
ла, то sin а возрастает.
msin a
Так как tga =и sin a воз- cos a.
растает, a cos a убывает при возрастании a, то tg a возрастает приРис. 163
возрастании а. Теорема доказана.
^ КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
•
Дайте определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника.
Докажите, что косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника.
Докажите теорему Пифагора.
Докажите, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого из катетов.
Докажите, что cos а<1 для острого угла а.
Докажите, что если из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонные, то любая наклонная больше перпендикуляра. Равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.
Докажите неравенство треугольника.
Докажите, что в треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.
Дайте определения синуса и тангенса острого угла. Докажите, что они зависят только от градусной меры угла.
Как выражается катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол, через острый угол и другой катет?
Докажите тождества: sin2 a 4-cos2 a = 1;
l + tg2 a
cos a
; M
tg2 a
sin2 a
Докажите, что для любого острого угла а sin (90° — a) = cos а, cos (90° —а) —sin а.
Чему равны значения синуса, косинуса и тангенса углов 30°, 45°, 60°?
Докажите, что sin а и tg а возрастают при возрастании ji острого угла a, a cos а убывает.
Л ЗАДАЧИ
Постройте угол, косинус которого равен: 1) -|-; 2) -$-;
0,5; 4) 0,8.
^ 2. У прямоугольного треугольника заданы катеты а и 5. Найдите гипотенузу, если: 1) а = 3, 5 = 4; 2) а = 1, 5 = 1; 3) а = 5, 5 = 6.
У прямоугольного треугольника заданы гипотенуза с и катет а. Найдите второй катет, если: 1) с = 5, а = 3; 2) с = 13, а = 5; 3) с = 6, а = 5.
4. Две стороны прямоугольного треугольника равны 3 м и 4 м. Найдите третью сторону. (Два случая.)
Могут ли стороны прямоугольного треугольника быть пропорциональны числам 5, 6, 7?
Найдите сторону ромба, если его диагонали равны: 1) 6 см и 8 см; 2) 16 дм и 30 дм; 3) 5 м и 12 м.
Стороны прямоугольника 60 см и 91 см. Чему равна диагональ?
Диагональ квадрата а. Чему равна сторона квадрата?
Можно ли из круглого листа железа диаметром 1,4 м вырезать квадрат со стороной 1 м?
Найдите высоту равнобокой трапеции, у которой основания 5 м и 11 м, а боковая сторона 4 м.
Найдите медиану равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной 5, проведенную к основанию.
Могут ли увидеть друг друга космонавты, летящие над поверхностью Земли на высоте 230 км, если расстояние между ними по прямой равно*2200 км? Радиус Земли равен 6370 км.
13. В равностороннем треугольнике со стороной а найдите высоту.
Даны отрезки а и 5. Как построить отрезок: 1) л^сР^и; 2) д/Р^Р, а >5?
15*. Даны отрезки а и 5. Как построить отрезок x = -Jab?
Между двумя фабричными зданиями устроен покатый желоб для передачи материалов. Расстояние между зданиями равно 10 м, а концы желоба расположены на высоте 8 м и 4 м над землей. Найдите длину желоба.
Докажите, что если треугольник имеет стороны а, Ь, с и ст-\-Ь2 = с\ то у него угол, противолежащий стороне с, прямой.
Чему равен угол треугольника со сторонами 5, 12, 13, противолежащий стороне 13?
На стороне АВ треугольника АВС взята точка X. Докажите, что отрезок СХ меньше по крайней мере одной из сторон АС или ВС.
Докажите, что расстояние между любыми двумя точками на сторонах треугольника не больше большей из его сторон.
Даны прямая и точка С на расстоянии h от этой прямой. Докажите, что из точки С можно провести две и только две наклонные длины Z, если l>h (рис. 164).
Рис. 164Рис. 164
Рис. 164
Рис. 164
22*. Докажите, что прямая, отстоящая от центра окружности iz на расстояние, меньшее радиуса, пересекает окружность в двух точках.
Докажите, что любая хорда окружности не больше диаметра и равна диаметру только тогда, когда сама является диаметром.
Докажите, что точки А, В, С лежат на одной прямой, если: 1) АВ = 5 м, ВС = 7 м, АС=12 м; 2) АВ —10,7, ВС=17Д, АС = 6,4.
Докажите, что любая сторона треугольника больше разности двух других его сторон.
Может ли у параллелограмма со сторонами 4 см и 7 см одна из диагоналей быть равной 2 см?
В треугольнике одна сторона равна 1,9 м, а другая — 0,7 м. Найдите третью сторону, зная, что ее длина равна целому числу метров.
28*. Докажите, что медиана треугольника АВС, проведеннаяиз вершины А, меньше полусуммы сторон АВ и АС.
29*. Известно, что диагонали четырехугольника пересекают-
ся. Докажите, что сумма их длин меньше периметра, но больше полупериметра четырехугольника.
Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. Докажите, что сумма расстояний от любой точки плоскости до точек А, В, С и D не меньше чем OA-VOB-\-OC -\-OD.
31*. На прямолинейном шоссе требуется указать место автобусной остановки так, чтобы сумма расстояний от нее до населенных пунктов А и В была наименьшей. Рассмотрите два случая: 1) населенные пункты расположены по разные стороны от шоссе (рис. 165, а); 2) населенные пункты расположены по одну сторону от шоссе (рис. 165, б).
Рис. 165
Могут ли стороны треугольника быть пропорциональными числам 1, 2, 3?
Докажите, что в треугольнике каждая сторона меньше половины периметра.
Внутри окружности радиуса R взята точка на расстоянии d от центра. Найдите наибольшее и наименьшее расстояния от этой точки до точек окружности.
Вне окружности радиуса R взята точка на расстоянии d от центра. Найдите наибольшее и наименьшее расстояния от этой точки до точек окружности.
Могут ли пересекаться окружности, центры которых находятся на расстоянии 20 см, а радиусы 8 см и 11 см? Объясните ответ.
Могут ли пересекаться окружности, центры которых находятся на расстоянии 5 см, а радиусы 6 см и 12 см? Объясните ответ.
38*. Докажите, что в задаче 36 окружности находятся одна вне другой, а в задаче 37 окружность радиуса 6 см находится внутри окружности радиуса 12 см.
Могут ли пересекаться окружности с радиусами Bi и Я2 и расстоянием между центрами d, если Bi4-B2<d?
40*. Даны три положительных числа а, &, с, удовлетворяющие условиям а^Ь^с<_а-^Ь. Докажите последовательно утверждения:
существует прямоугольный треугольник BCD» у кото- С2 i a2_^2
рого гипотенуза ВС = а» а катет BD= 2с(рис. 166);
треугольник АВС» у которого ВС = а» АВ —с» а расстоя- ^2 _|_ ^2^2
ние BD равно —^, имеет сторону АС = b (рис. 166).
Даны три положительных числа а, Ь» с. Докажите, что если каждое из этих чисел меньше суммы двух других, то существует треугольник со сторонами а, Ь, с.
Можно ли построить треугольник со сторонами:
а — 1 см, Ь = 2 см, с = 3 см; 2) а = 2 см, & = 3 см, с = 4 см;
а = 3 см, Ь = 7 см, с=11 см; 4) а = 4 см, Ь = 5 см, с —9 см?
43*. Даны две окружности с радиусами Д1, R^ и расстоянием между центрами d. Докажите, что если каждое из чисел й|, йг Hd меньше суммы двух других сторон, то окружности пересекаются в двух точках (рис. 167).
У прямоугольного треугольника один катет равен 8 см, а синус противолежащего ему угла равен 0,8. Найдите гипотенузу и второй катет.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна а» а один из острых углов а. Найдите второй острый угол и катеты.
В прямоугольном треугольнике катет равен а, а противолежащий ему угол а. Найдите второй острый угол, противолежащий ему катет и гипотенузу.
В прямоугольном треугольнике даны гипотенуза с и острый угол а. Найдите катеты, их проекции на гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу.
1) Найдите sin 22°; sin22°36'; sin22°38z; sin 22°41'; cos 68°; cos 68°18'; cos 68°23\
Найдите угол x, если sin x = 0,2850; sin x = 0,2844; cos x = 0,2710.
Найдите значения синуса и косинуса углов: 1) 16°; 2) 24°36'; 3) 70°32'; 4) 88°49/.
Найдите величину острого угла х, если: 1) sin х = 0,0175;
sin х = 0,5015; 3) cos х=0,6814; 4) cos х = 0,0670.
Найдите значение тангенса угла: 1) 10°; 2) 40°40';
50°30'; 4) 70°15'.
Найдите острый угол х, если: 1) tgx = 0,3227; 2) tgx = = 0,7846; 3) tgx = 6,152; 4) tgx = 9,254.
Высота равнобедренного треугольника равна 12,4 м, а основание 40,6 м. Найдите углы треугольника и боковую сторону.
Отношение катетов прямоугольного треугольника равно 19:28. Найдите его углы.
Стороны прямоугольника равны 12,4 и 26. Найдите угол между диагоналями.
Диагонали ромба равны 4,73 и 2,94. Найдите его углы.
Сторона ромба 241 м, высота 120 м. Найдите углы.
Радиус окружности равен 5 м. Из точки, отстоящей от центра на 13 м, проведены касательные к окружности. Найдите длины касательных и угол между ними.
Тень от вертикально стоящего шеста, высота которого 7 м, составляет 4 м. Выразите в градусах высоту солнца над горизонтом (рис. 168).
Основание равнобедренного прямоугольного треугольника равно а. Найдите боковую сторону.
Найдите неизвестные стороны и острые углы прямоугольного треугольника по следующим данным:
по двум катетам: а) а = 3, & = 4; б) а = 9, b = 40; в) а = 20, Ь = 21; г) а = 11, Ь = 60;
по гипотенузе и катету: а) с = 13, а = 5; б) с = 25, а —7;
в) с —17, а = 8; г) с = 85, а = 84;
по гипотенузе и острому углу: а) с=2, а = 20°; б) с = 4, а = 50°20'; в) с = 8, а = 70°36'; г) с=16, а = 76°2Г;
по катету и противолежащему углу: а) а = 3, а = ЗО°27';
а — 5, а = 40°48'; в) а = 7, a = 60°3 5z; г) а = 9, а = 68°.
Упростите выражения: 1) 1 — sin2 а;
(1— cos a)(l+cos а);3) 14-sin2 а4-cos2 а;
sin а — sin a cos2 а; 5) sin4 а 4-cos4 а 4- 2 sin2a cos2 а;
tg2 a —sin2 a tg2 а;7) cos2 a 4"tg2 a cos2 а;
tg2 а (2 cos2 а 4- sin2 а -1);9)
'cos a
Вычислите значения sin а и tg а, если:
cosa = ^; 2) cos а —3) cos а = 0,6.
Найдите cos а и tg а, если:
sina=-|-; 2) sina=-^; 3) sin а = 0,8.
Постройте угол а, если известно, что: 1) cosa=^;
sin а =4" » 3) sina = 0,5; 4) tga=-|-; 5) tga = 0,7.
В прямоугольном треугольнике с гипотенузой а и углом 60° найдите катет, противолежащий этому углу.
Найдите радиус г окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной а, и радиус R окружности, описанной около него.
В треугольнике один из углов при основании равен 45°, а высота делит основание на части 20 см и 21 см. Найдите большую боковую сторону1 (рис. 169).
Рис. 168Рис. 168Рис. 169Рис. 169
Рис. 168
Рис. 168
Рис. 169
Рис. 169
У треугольника одна из сторон равна 1 м, а прилежащие к ней углы равны 30° и 45°. Найдите другие стороны треугольника.
Диагональ прямоугольника в два раза больше одной из его сторон. Найдите углы между диагоналями.
71. Диагонали ромба равны а и а^. Найдите углы ромба.
72. Какой из углов больше — а или р, если:
1)
1 sin a=—,
sin;
14
2)
2 sin a=—,
о
sm p=—;
3)
з cos a = —,
O2
COS P = -^;
4)
cos a = 0,75,
cos p = 0,74;
5)
tg a = 2,1,
tg 3 = 2,5;
6)
tg a = —,
1 Иногда в произвольном треугольнике, необязательно равнобедренном, сторона, проведенная горизонтально, называется основанием, а две другие — боковыми сторонами, как в данной задаче.
У прямоугольного треугольника АВС угол А больше угла В. Какой из катетов больше — АС или ВС?
У прямоугольного треугольника АВС катет ВС больше катета АС. Какой угол больше — А или В?
8. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ
Проведем на плоскости через точку О две взаимно перпендикулярные прямые х и у — оси координат (рис. 170). Ось х (она обычно горизонтальная) называется осью абсцисс, а ось у — осью ординат. Точкой пересечения О — началом координат — каждая из осей разбивается на две полуоси. Условимся одну из них называть положительной, отмечая ее стрелкой, а другую — отрицательной.
Каждой точке А плоскости мы сопоставим пару чисел — координаты точки — абсциссу (х) и ординату (г/) по такому правилу.
Яерез точку А проведем прямую, параллельную оси ординат (рис. 171). Она пересечет ось абсцисс х в некоторой точке Ах. Абсциссой точки А мы будем называть число х, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки О до точки А,. Это число будет положительным, если Ах принадлежит положительной полуоси и отрицательным, если Ах
Рис. 171Рис. 171Рис. 170
Рис. 171
Рис. 171
Р. Декарт — французский ученый (1596— 1650)Р. Декарт — французский ученый (1596— 1650)
Р. Декарт — французский ученый (1596— 1650)
Р. Декарт — французский ученый (1596— 1650)
принадлежит отрицательной полуоси. Если точка А лежит на оси ординат у, то полагаем х равным нулю.
Ордината (у) точки А определяется аналогично. Через точку А проведем прямую, параллельную оси абсцисс х (см. рис. 171). Она пересечет ось ординат у в некоторой точке Ау. Ординатой точки А мы будем называть число у, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки О до точки А у. Это число будет положительным, если Ау принадлежит
положительной полуоси и отрицательным, если Ау принадлежит отрицательной полуоси. Если точка А лежит на оси абсцисс х, то полагаем у равным нулю.
Координаты точки будем записывать в скобках рядом с буквенным обозначением точки, например: А (х; у) (на первом месте абсцисса, на втором — ордината).
Оси координат разбивают плоскость на четыре части — четверти: I, II, III, IV (рис. 172). В пределах одной четверти знаки обеих координат сохраняются и имеют значения, ука-
занные на рисунке.
^очки оси х (оси абсцисс) имеют равные нулю ординаты (У = 0)> а точки оси у (оси ординат) имеют равные нулю абсцис
сы (х=0). У начала координат абсцисса и ордината равны нулю.
Плоскость, на которой введены описанным выше способом координаты х и у, будем называть плоскостью ху. Произвольную точку на этой плоскости с координатами х и у будем иногда обозначать просто (х; г/). Введенные на плоскости координаты х и у называются декартовыми по имени Р. Декарта, который впервые применил их в своих исследованиях.
Задача (9). Даны точки А ( — 3; 2) и В (4; 1). Докажите, что отрезок АВ пересекает ось у» но не пересекает ось х.
Решение. Ось у разбивает плоскость ху на две полуплоскости. В одной полуплоскости абсциссы точек положительны, а в другой — отрицательны. Так как у точек А и В абсциссы противоположных знаков, то точки А и В лежат в разных полуплоскостях. А это значит, что отрезок АВ
пересекает ось у.
Ось х также разбивает плоскость ху на две полуплоскости. В одной полуплоскости ординаты точек положительны, а в другой — отрицательны. У точек А и В ординаты одного знака (положительны). Значит, точки А и В лежат в одной полуплоскости. А следовательно, отрезок АВ не пересекается с осью х.
КООРДИНАТЫ СЕРЕДИНЫ ОТРЕЗКА
Пусть A(xi; z/i) и В(хз; г/г)— две произвольные точки и С (х; z/) — середина отрезка АВ. Найдем координаты х, у точки С.
Рассмотрим сначала случай, когда отрезок АВ не параллелен оси z/, т. е. Xi=#X2. Проведем через точки А, В, С прямые, параллельные оси у (рис. 173). Они пересекут ось х в точках Ai (Xi; 0), В\ (Х2; 0), Сх (х; 0). По теореме Фалеса точка Ci будет серединой отрезка АХВХ.
Так как точка Ci — середина отрезка AxBXs то АХСХ=ВХСХ, а значит, |х —Xi | = |х —X2I. Отсюда следует, что либо х — хх — у.=х— Х2, либо X —Х| — —(х —Х2).
h
Первое равенство невозможно, так
как Xi=#X2. Поэтому верно второе.
।А из него получается формула
>х~ 2'
Если Xi = X2, т. е. отрезок АВ параллелен оси z/, то все три точ- 0 А С В1 X ки Аь Вь Сх имеют одну и ту же абсциссу. Значит, формула остает- Рис. 173ся верной и в этом случае.
Ордината точки С находится аналогично. Через точки А, В, С проводятся прямые, параллельные оси х. Получается формула
У 2
>К Задача (15). Дайы три вершины параллелограмма\ z ABCD: А (1; 0), В (2; 3), С (3; 2). Найдите координаты чет-вертой вершины D и точки пересечения диагоналей.
Решение. Точка пересечения диагоналей является серединой каждой из них. Поэтому она яйляется серединой отрезка АС, а значит, имеет координаты
х —1 + 3 _ о у — 9 + 2 — 1
2 —У 2 ~\
Теперь, зная координаты точки пересечения диагоналей, находим координаты х, у четвертой вершины D. Пользуясь тем, что точка пересечения диагоналей является серединой отрезка BD, имеем:
^^=2, ^±£=1. Отсюда х=2, у= — 1.
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ
Пусть на плоскости ху даны две точки: Ai с координатами Xi, у\ и Аг с координатами Хг, у 2* Выразим расстояние между точками А\ и Ач через координаты этих точек.
параллельные осям коор-параллельные осям коор-Рассмотрим сначала случай, когда Xi=#X2 и ух^у^. Проведем через точки Ах и А2 прямые, динат, и обозначим через А точку их пересечения (рис. 174). Расстояние между точками А и Ах равно \ух — Z/2I, а расстояние между точками А и А 2 равно |xi— Х21- Применяя к прямоугольному треугольнику АА1А2 теорему Пифагора, получим:
параллельные осям коор-
параллельные осям коор-
d? = (x^ х-^ + {у\~у^, (*) где d — расстояние между точками Ах и Аг.
Хотя формула (*) для расстояния между точками выведена нами в предположении Х\ ^х^ у\ =^ у^ она остается верной и в других случаях. Действительно, если Х]=Х2, у\^у^ то d равно \у\ — у2\* Тот же результат дает и формула (*). Аналогично рассматривается случай, когда Xi=#X2, у\=У2* При Xi = = Х2, у\ = У2 точки Ai и А2 совпадают и формула (*) дает d — 0. УК Задача (19). Найдите на оси х точку, равноудален- С J ную от точек (1; 2) и (2; 3).
Решение. Пусть (х; 0) — искомая точка. Приравнивая расстояния от нее до данных точек, получим:
(х _ 1)2 + (о _ 2)2 = (х - 2)2 + (0 - З)2.
Отсюда находим х = 4. Значит, искомая точка есть (4; 0).
УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ
Уравнением фигуры в декартовых координатах на плос
кости называется уравнение с двумя неизвестными х и z/, которому удовлетворяют координаты любой точки фигуры. И обратно: любые два числа, удовлетворяющие этому уравнению, являются координатами некоторой точки фигуры.
Составим уравнение окружности с центром в точке Ао (а; Ь) и радиусом R (рис. 175). Возьмем произвольную точку А (х; z/) на окружности. Расстояние от нее до центра Ао равно R. Квадрат расстояния от точки А до Ао равен (х —a)2 + (z/ —5)2. Таким образом, координаты х, у каждой точки А окружности удов- 1^ м летворяют уравнению
Г(х —а)2 + (гл-&)2 = .й2.(*)
Обратно: любая точка А, координаты которой удовлетворяют уравнению (*), принадлежит окружности, так как расстояние от нее до точки Ао равно R. Отсюда < (следует, что уравнение (*) дейст- 0х вительно является уравнением ок
ружности с центром Ао и радиу-
Рис. 175COM R.
Заметим, что если центром окружности является начало координат, то уравнение окружности имеет вид:
Задача (30). Какая геометрическая фигура задана уравнением
2,2
х2 + у2-\-ax -\-by-\-с = 0, ^+-7 — О0?
Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом:
Мы видим, что рассматриваемая фигура есть окружность
/ аb \о -\ / °2 I 6 2
с центром (^—— ; ——1 и радиусом R= у — + — с.
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
Докажем, что любая прямая в декартовых координатах х9 у имеет уравнение вида
ax-\-by-\-c = 0.
где а, 6, с — некоторые числа.
Пусть h — произвольная прямая на плоскости ху. Проведем какую-нибудь прямую, перпендикулярную прямой h.
и отложим на ней от точки пересечения С с прямой h равные отрезки СА| и СА2 (рис. 176).
Пусть ai, b\ — координаты точки А1 и а2, Ь2 — координаты точки А 2. Как мы знаем, любая точка А (х; у) прямой h равноудалена от точек А\ и А2. Поэтому координаты ее удовлетворяют уравнению
(х — а^ + ^у— bxf =
= (* — a2)2 + (z/ — b2f. (**)
Обратно: если координаты х и у какой-нибудь точки удовлетворяют уравнению (**), то эта точка равноудалена от точек Ai и А^ а значит, принадлежит прямой h. Таким образом, уравнение (**) является уравнением прямой h. Если в этом уравнении раскрыть скобки и перенести все члены уравнения в левую его часть, то оно примет вид:
2 (а2 —Oi) х4~2 (b2 — bi) z/ + (ai+ bi —а2 —b2) = 0.
Обозначая 2(а2 — ai) = a, 2(b2 —bi) = b, ai + bf — а2 — Ь2 — с, получаем уравнение (*). Утверждение доказано.
Задача (35). Составьте уравнение прямой, которая проходит через точки А ( — 1; 1), В(1; 0).
Решение. Как мы знаем, наша прямая имеет уравнение вида ах-\-Ьу-\-с = 0. Точки А и В лежат на прямой, а значит, их координаты удовлетворяют этому уравнению.
Подставляя координаты точек А и В в уравнение прямой, получим:
— а + Ь + с = 0, а + с = 0.
Из этих уравнений можно выразить два коэффициента, например а и Ь, через третий: а= — с, Ь = —2с. Подставляя эти значения а и b в уравнение прямой, получим:
— сх — 2с у + с = 0.
На с можно сократить. Тогда получим:
— х — 2у 4-1=0.
Это и есть уравнение нашей прямой.
КООРДИНАТЫ ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМЫХ
Пусть заданы уравнения двух прямых:
ах-\- Ьу-\-с — 0,aix4-biz/4-ci = O.
Найдем координаты их точки пересечения.
Так как точка пересечения (х; z/) принадлежит каждой из прямых, то ее координаты удовлетворяют и первому и второму уравнению. Поэтому координаты точки пересечения являются решением системы уравнений, задающих прямые. Рассмотрим пример.
Пусть уравнениями данных прямых будут:
Зх — z/ + 2 — О,
5х — 2z/4“l — 0.
Решая эту систему уравнений, находим х=—3, у= — 7. Точка пересечения прямых (— 3; —7).
Задача уравнениямиЗадача уравнениями. Докажите, что прямые, задаваемые
Задача уравнениями
Задача уравнениями
у = Ьх+1\,
у = кх^12,
при l\N=U параллельны.
Решение. Допустим, прямые не параллельны, а значит, пересекаются в некоторой точке (xi; z/i). Так как точка пересечения принадлежит каждой из прямых, то для нее
У\ = кхх +Л,
У\ = кх\-\-Ь.
Вычитая эти равенства почленно, получим 0 = Л — Z2. А это противоречит условию (Л #=/2)* Мы пришли к противоречию. Утверждение доказано.
РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ ОТНОСИТЕЛЬНО СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Выясним, как расположена прямая относительно осей координат, если ее уравнение ах-\-Ъу-\-с = 0 имеет тот или иной частный вид.
а = 0, Ъ^О. В этом случае уравнение прямой можно переписать так:
Таким образом, все точки прямой имеют одну и ту же ординату ( —|-) ; следовательно, прямая параллельна оси х (рис. 177, а). В частности, если с = 0, то прямая совпадает с осью х.
6 = 0, а =#0. Этот случай рассматривается аналогично.
Прямая параллельна оси у (рис. 177, б) и совпадает с ней, если и с = 0.
Рис. 177Рис. 177
Рис. 177
Рис. 177
с = 0. Прямая проходит через начало координат, так как его координаты (0; 0) удовлетворяют уравнению прямой (рис. 177, в).
Задача (45). Составьте уравнение прямой, которая параллельна оси х и проходит через точку (2; —3).
Решение. Так как прямая параллельна оси х, то она имеет уравнение вида
z/ + c = O.
Так как точка (2; — 3) лежит на прямой, то ее координаты удовлетворяют этому уравнению: —3 + с = 0. Отсюда с = 3. Следовательно, уравнение прямой
# + 3 = 0.
УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ В УРАВНЕНИИ ПРЯМОЙ
Если в общем уравнении прямой ах-\-Ьу-\-с = 0 коэффициент при у не равен нулю, то это уравнение можно разрешить относительно у. Получим:
Или, обозначая —^-=А, —F=^’ полУчим:
у = kx +I.
Выясним геометрический смысл коэффициента к в этом уравнении.
Возьмем две точки на прямой A(xj; у^, В (Хг; у?) (Xi<X2). Их координаты удовлетворяют уравнению прямой:
ух = кхх-\-1,у2 = кх2-\-1.
Вычитая эти равенства почленно, получим у^ — yx=k(Xi — Xj). Отсюда
Д ,У2 —У1
В случае, представленном на рисунке 178, а, ——— = tga. «2— ХХ
В случае, представленном на рисунке 178, б, "^~~ = — tg а.
Таким образом, коэффициент к в уравнении прямой с точностью до знака равен тангенсу острого угла, который образует прямая с осью х.
Коэффициент к в уравнении прямой называется угловым коэффициентом прямой.
5 Заказ 574
Рис. 178
ГРАФИН ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ
При построении графиков функций на уроках алгебры вы, наверное, заметили, что графиком линейной функции является прямая. Теперь мы докажем это.
Пусть у = ах + b — данная линейная функция. Докажем, что ее графиком является прямая.
Для данной функции если х = 0, то у = Ь, если х = 1, то у = а-\-Ь. Поэтому графику функции принадлежат точки (0; Ь) и (1; а-\-Ь). Составим уравнение прямой, проходящей через эти точки. Как мы знаем, оно имеет вид:
y = kx-\-L
Так как указанные точки графика лежат на прямой, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой:
Ь = к-0-^1,a-\-b = k*l-\-l.
Отсюда находим l = b, к = а. Итак, наша прямая имеет уравнение
у = ах-\-Ь.
Значит, уравнению прямой удовлетворяют все точки графика. То есть графиком линейной функции является прямая.
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ОКРУЖНОСТЬЮ
Рассмотрим вопрос о пересечении прямой с окружностью.
Пусть R — радиус окружности и d — расстояние от центра окружности до прямой. Примем центр окружности за начало координат, а прямую, перпендикулярную к данной, за ось х (рис. 179). Тогда уравнением окружности будет х2 + г/2=Д2, а уравнением прямой x — d.
Для того чтобы прямая и окружность пересекались, надо, чтобы система двух уравнений
х2 + y2=R2, x = d
имела решение. И обратно: всякое решение этой системы дает координаты х, у точки пересечения прямой с окружностью. Решая нашу систему, получим:
x = d, у= dh^R^ — d^.
Из выражения для у видно, что система имеет два решения, т. е, окружность и прямая имеют две точки пересечения, если R>d (рис. 179, а).
Система имеет одно решение, если R=d (рис. 179,5). В этом случае прямая и окружность касаются.
Система не имеет решения, т. е. прямая и окружность не пересекаются, если Red (рис. 179, в).
Задача (50). Найдите точки пересечения окружности х2 + у2 = 1 с прямой у = 2х + 1.
Решение. Так как точки пересечения лежат на
окружности и на прямой, то их координаты удовлетворяют системе уравнений
x2 + z/2 = l, у = 2х+1.
Решим эту систему. Подставим у из второго уравнения в первое. Получим уравнение для х;
5х2 + 4х = 0.
4
Уравнение имеет два корня Xi=0 и х2 =——. Это абсциссы точек пересечения. Ординаты этих точек получим из уравнения прямой, подставляя в него Xi и х2. Получаем
У1 = 1, у2=—з-. Итак, точки пересечения прямой и ок- о
ружности (0; 1) иружности (0; 1) и5 ’5 /5 ’5 /
ружности (0; 1) и
ружности (0; 1) и
5 ’5 /
5 ’5 /
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИНУСА, КОСИНУСА И ТАНГЕНСА ДЛЯ ЛЮБОГО УГЛА ОТ 0° ДО 180°
До сих пор значения синуса, косинуса и тангенса были определены только для острых углов. Теперь мы определим их для любого угла от 0° до 180°.
Возьмем окружность на плоскости ху с центром в начале координат и радиусом R (рис. 180). Отложим от положительной полуоси х в верхнюю полуплоскость (полуплоскость, где z/>0) угол а. Пусть х и у — координаты точки А. Значения sin a, cos а и tg а для острого угла а выражаются через координаты точки А, а именно:
cosa = —, sma=-™, tga = -^-.
Определим теперь значения sin a, cos а и tg а этими формулами для любого угла а. (Для tg а угол а = 90° исключается.)
При таком определении sin 90° = 1, cos 90° — 0, sin 180° = 0, cos 180°= — 1, tg 180° = 0.
Считая, что совпадающие лучи образуют угол 0°, будем иметь: sin0° = 0, cosO° = l, tgO° = O.
Докажем, что для любого угла а, 0° < сс < 180°, sin (180°—cc) = sin сс, cos (180° — сс) =—cos сс. Для угла ос =/=90° tg(180° — сс)= —tg сс.
Действительно, треугольники ОАВ и ОА\В\ равны по гипотенузе и острому углу (рис. 181). Из равенства треугольников
Рис. 180Рис. 180Рис. 181Рис. 181
Рис. 180
Рис. 180
Рис. 181
Рис. 181
следует, что АВ=А\В\1 т. е. у — у\; ОВ=ОВ\, следовательно, х——Хь Поэтому
sin (180° —а) = -^=-^-=8Й1 а,к к
cos (180° — а) = -^- = —-= — cos а.
Разделив почленно равенство sin (180° — a) = sin а на равенство cos (180° — а)=—cos а, получаем:
tg (180° —а) = — tg а.
Что и требовалось доказать.
^ КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
•
/1А Объясните, как определяются координаты точки.
/ 2. \ Какие знаки у координат точки, если она принадлежит
// первой (второй, третьей, четвертой) четверти?
i 3/Чему равны абсциссы точек, лежащих на оси ординат? Чему равны ординаты точек, лежащих на оси абсцисс? Чему равны координаты начала координат?
Выведите формулы для координат середины отрезка.
Выведите формулу для расстояния между точками.
Что такое уравнение фигуры в декартовых координатах?
Выведите уравнение окружности.
Докажите, что прямая в декартовых координатах имеет уравнение вида ах-\-Ьу-\-с = 0.
Как найти координаты точки пересечения двух прямых, если заданы уравнения этих прямых?
Как расположена прямая, если в ее уравнении коэффициент а = 0 (6 = 0; с —0)?
Что такое угловой коэффициент прямой и какой его геометрический смысл?
Докажите, что графиком линейной функции является прямая. t
При каком условии прямая и окружность не пересекаются, пересекаются в двух точках, касаются?
Дайте определение синуса, косинуса и тангенса для любого угла от 0° до 180°.
Докажите, что для любого угла а, 0° С а <1180°, sin (180° — a) = sin а,cos (180° — а)= — cos а,
tg (180° —а) = — tg а.
^ ЗАДАЧИ
Проведите оси координат, выберите единицу длины на
осях, постройте точки с координатами: (1; 2), (— 2; 1), (-1; -3), (2; -1).
vvи 2. Возьмите наудачу четыре точки на плоскости ху. Найдите \ координаты этих точек.
v
v
К) / Зу На прямой, параллельной оси х, взяты две точки. У одной из них ордината у = 2. Чему равна ордината другой точки?
На прямой, перпендикулярной оси х, взяты две точки. У одной из них абсцисса х = 3. Чему равна абсцисса другой точки?
^ 1 5* Из точки А (2; 3) опущен перпендикуляр на ось х. Найди- >^ч те координаты основания перпендикуляра.
Урб.уЧерез точку А (2; 3) проведена прямая, параллельная оси \к/ х. Найдите координаты точки пересечения ее с "осью у.
Найдите геометрическое место точек плоскости ху, для которых абсцисса х = 3.
Найдите геометрическое место точек плоскости ху, для которых |х| =3.
Даны точки А (— 3; 2) и В (4; 1). Докажите, что отрезок АВ
пересекает ось у, но не пересекает ось х.
Какую из полуосей оси у (положительную или отрицательную) пересекает отрезок АВ в предыдущей задаче?
IjL Найдите расстояние от точки ( — 3; 4) до: 1) оси х; 2) оси у.
123 Найдите координаты середины отрезка АВ, если:
А (1; -2), В (5; 6); 2) А (-3; 4), В (1; 2); 3) А (5; 7), В (-3; -5).
Точка С — середина отрезка АВ. Найдите координаты второго конца отрезка АВ, если: 1) А (0; 1), С ( — 1; 2); 2) А (-1; 3), С (1; -1); 3) А (0; 0), С (-2; 2).
Докажи"-'', что четырехугольник ABCD с вершинами в точках А (— 1; — 2), В (2; — 5), С (1; — 2), D (— 2; 1) является параллелограммом. Найдите точку пересечения его диагоналей.
Даны три вершины параллелограмма ABCD: А (1; 0), В (2; 3), С (3; 2). Найдите координаты четвертой верши- ^. ны D и точки пересечения диагоналей.
0.61 Найдите середины сторон треугольника с вершинами в ’ ' точках О (0; 0), А (0; 2), В ( — 4; 0).
Даны три точки А (4; — 2), В (1; 2), С ( — 2; 6). Найдите расстояния между этими точками, взятыми попарно.
Докажите, что точки А, В, С в задаче Л 7 лежат на одной У прямой. Какая из них лежит между двумя другими?
19и Найдите на оси х точку, равноудаленную от точек (1; 2) и (2; 3).
Найдите точку, равноудаленную от осей координат и от точки (3; 6).
21?^ Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках А (4; 1), В (0; 4), С ( — 3; 0), 0(1; — 3) является квад-
ратом.
Докажите, что четыре точки (1; 0), ( — 1; 0), (0; 1), (0; — 1)
на окружности, заданной уравнением x2-|-z/2 = 25?
3 26.3 26.^ 24, Найдите на окружности, заданной уравнением x24~z/2=f — 169, точки: и\л абсциссой 5; 2) с ординатой — \2уС^ г с 25?; Даны точки А (2; 0) и В (— 2; 6). Составьте уравн^ А/.v ние окружности, диаметром которой является отре- О зок АВ.
3 26.
3 26.
Найдите центр окружности на оси х, если известно, чтоНайдите центр окружности на оси х, если известно, чтоДаны точки А ( — 1; — 1) и С ( —4; 3). Составьте уравнение окружности с центром в точке С, проходящей через точку А.
Найдите центр окружности на оси х, если известно, что
Найдите центр окружности на оси х, если известно, что
и радиус окруж-и радиус окруж-<^О окружность проходит через точку (1; 4) ности равен 5.
и радиус окруж-
и радиус окруж-
28*. Составьте уравнение окружности с центром в точке (1; 2), касающейся оси х.
Составьте уравнение окружности с центром (— 3; 4), проходящей через начало координат.
*. Какая геометрическая фигура задана уравнением х24-ц24-ах4-Ьи4-с = 0, ^-4-^с>0?
31.31.зазазз.зз.3434Найдите координаты точек пересечения двух окружностей: х2 + у2 = 1, х2 +у2— 2x4-1/ —2 = 0.Найдите координаты точек пересечения окружности х2 + У2-8х — 8у4-7 = 0 с осью х.Докажите, что окружность х2 + у2 + 2ах4-1 = 0, |а| > 1, не пересекается с осью у.Докажите, что окружность х2 + у2 + 2ах = 0 касается оси у,Найдите координаты точек пересечения двух окружностей: х2 + у2 = 1, х2 +у2— 2x4-1/ —2 = 0.Найдите координаты точек пересечения окружности х2 + У2-8х — 8у4-7 = 0 с осью х.Докажите, что окружность х2 + у2 + 2ах4-1 = 0, |а| > 1, не пересекается с осью у.Докажите, что окружность х2 + у2 + 2ах = 0 касается оси у,
31.
31.
за
за
зз.
зз.
34
34
Найдите координаты точек пересечения двух окружностей: х2 + у2 = 1, х2 +у2— 2x4-1/ —2 = 0.
Найдите координаты точек пересечения окружности х2 + У2-8х — 8у4-7 = 0 с осью х.
Докажите, что окружность х2 + у2 + 2ах4-1 = 0, |а| > 1, не пересекается с осью у.
Докажите, что окружность х2 + у2 + 2ах = 0 касается оси у,
Найдите координаты точек пересечения двух окружностей: х2 + у2 = 1, х2 +у2— 2x4-1/ —2 = 0.
Найдите координаты точек пересечения окружности х2 + У2-8х — 8у4-7 = 0 с осью х.
Докажите, что окружность х2 + у2 + 2ах4-1 = 0, |а| > 1, не пересекается с осью у.
Докажите, что окружность х2 + у2 + 2ах = 0 касается оси у,
„ .ll•■гnT<-ееи- - |дniii - *ee*' --**w-^--**l“,**№*^^ - к«•■•••veiiN* ,,,w|||е_ ^
Составьте уравнение прямой, которая проходит через точ-
'Составьте уравнение прямой АВ, если: 1) А (2; 3), В (3; 2);
37.
38.
/ 39.
Составьте уравнения прямых, содержащих стороны треугольника ОАВ в задаче 16.
Чему равны координаты а и b в уравнении прямой ax-V 4-bz/=l, если известно, что она проходит через точки (1; 2) и (2; 1)?
Найдите точки пересечения с осями координат прямой,
заданной уравнением: 1) x + 2z/ + 3 = 0; 2) Зх + 4у = 12; 3) Зх — 2z/ + 6 = 0; 4) 4х — 2у —10 = 0.
Найдите точку пересечения прямых, заданных уравне- ^ ниями:
<*1) x + 2z/ + 3 = 0, 4x + 5i/ + 6 = 0;
Зх — у — 2 = 0, 2x + z/ —8 = 0;
4x + 5z/ + 8 = 0, 4х — 2у — 6 = 0.
U41*. Докажите, что три прямые x + 2z/ = 3, 2х—z/ = l и Зх + + z/ = 4 пересекаются в одной точке.
42*. Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами (1; 0), (2; 3), (3; 2).
43. Докажите; что прямые, задаваемые уравнениями у = кх-\- + Л, у = кх-\-Ь, при l\^=U параллельны.
44. Среди прямых, заданных уравнениями, укажите пары параллельных прямых: 1) x+z/ = l; 2) у = х — 1; 3) х —z/ = 2; 4) z/ = 4; 5) z/ = 3; 6) 2x + 2z/ + 3 = 0.
5. Составьте уравнение прямой, которая параллельна оси у и проходит через точку (2; —3).
Составьте уравнение прямой, параллельной оси х и проходящей через точку (2; 3).
Составьте уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку (2; 3).
Найдите угловые коэффициенты прямых из задачи 39.
Найдите острые углы, которые образует заданная прямая с осью х: 1) 2z/ = 2x + 3; 2) х V3 — у = 2; 3) х + ул[3 + +1 = 0.
Найдите точки пересечения окружности х2 + у2 = 1 с прямой: 1) z/ = 2x + l; 2) г/ = х + 1; 3) z/ = 3x+l; 4) y = kx~V
51*. При каких значениях с прямая х+г/ + с = 0и окружность x2+z/2 = l: 1) пересекаются; 2) не пересекаются; 3) касаются?
Найдите синус, косинус и тангенс углов: 1) 120°; 2) 135°; 3) 150°.
Найдите: 1) sin 160°; 2) cos 140°; 13) tg 130°.
Найдите синус, косинус и тангенс углов: 1) 40°; 2) 14°36';
70°20'; 4) 30°16'; 5) 130°; 6) 150°30'; 7) 150°33'; 8) 170°28'.
Найдите углы, для которых: 1) sin а = 0,2; 2) cos а= —0,7; tg а = — 0,4.
Найдите sin а и tg а, если: 1) cos а = -|-; 2) cos а= —0,5;
cos а=^; 4) cos а= — ^.
Найдите cos а и tg а, если: 1) sina = 0,6, 0°<а<90°;
sina=^-, 90°<а<180°; 3) sina=^, 0°<а<180°. '3/2
Известно, что tg а = — j^-. Найдите sin а и cos а.
Постройте угол а, если известно, что sin а = -|-.
Постройте угол а, если известно, что cos а = —^-.
. Докажите, что если cos a = cos р, то а = р.
. Докажите, что если sin a = sin р, то либо a = Р, либо a = = 180° —р.
§ 9. ДВИЖЕНИЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР
Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной (рис. 182).
Преобразование одной фигуры в другую называется движением, если оно сохраняет расстояние между точками, т. е. переводит любые две точки X и Y одной фигуры в точки X', Y' другой фигуры так, что XY=Х'У (рис. 183).
Замечание. Понятие движения в геометрии связано с обычным представлением о перемещении. Но если, говоря о перемещении, мы представляем себе непрерывный процесс, то в геометрии для нас будут иметь значение только начальное и конечное положения фигуры.
Рис. 184
Пусть фигура F переводится движением в фигуру F', а фигура F' переводится движением в фигуру F" (рис. 184). Пусть при первом движении точка X фигуры F переходит в точку X' фигуры F', а при втором движении точка X' фигуры F' переходит в точку X" фигуры F". Тогда преобразование фигуры F в фигуру F", при котором произвольная точка X фигуры F переходит в точку X" фигуры F", сохраняет расстояние между точками, а значит, также является движением.
Это свойство движения выражают словами: два движения, выполненные последовательно, дают снова движение.
Пусть преобразование фигуры F в фигуру F' переводит различные точки фигуры F в различные точки фигуры F' (см. рис. 182). Пусть произвольная точка X фигуры F при этом преобразовании переходит в точку X' фигуры F'. Преобразование фигуры F' в фигуру F, при котором точка X' переходит в точку X, называется преобразованием, обратным данному. Движение сохраняет расстояние между точками, поэтому переводит различные точки в различные.
Очевидно, преобразование, обратное движению, также является движением.
СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ
Теорема 9.1. Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.
Это значит, что если точки А, В, С, лежащие на прямой, переходят в точки Ai, Вь С|, то эти точки также лежат на прямой;
если точка В лежит между точками А и С, то точка Bi лежит между точками А. и С\.
Доказательство. Пусть точка В прямой АС лежит между точками А и С. Докажем, что точки Аь В,, С, лежат на одной прямой.
Если точки Ai, Вь С( не лежат на прямой, то они являются вершинами треугольника. Поэтому AiCt «<AiBi +В,С|. По определению движения отсюда следует, что АС < АВ 4-ВС. Однако по свойству измерения отрезков АС = АВ + ВС.
Мы пришли к противоречию. Значит, точка Вх лежит на прямой AiCi. Первое утверждение теоремы доказано.
Покажем теперь, что точка В, лежит между At и С,. Допустим, что точка А| лежит между точками В, и С^ Тогда АХВ\ + + А|С| =В|С|, и, следовательно, АВ+АС=ВС. Но это противоречит равенству АВ+ВС = АС. Таким образом, точка Ai не может лежать между точками В, и С,.
Аналогично доказывается, что точка Сх не может лежать между точками А, и Вх.
Так как из трех точек Ах, Вх, Ci одна лежит между двумя другими, то этой точкой может быть только Вх. Теорема доказана полностью.
Из теоремы 9.1 следует, что при движении прямые переходят в прямые, полупрямые — в полупрямые, отрезки — в отрезки (рис. 185).
Докажем, что при движении сохраняются углы между полупрямыми.
Рис. 186
Пусть АВ и АС — две полупрямые, исходящие из точки А, не лежащие на одной прямой (рис. 186). При движении эти полупрямые переходят в некоторые полупрямые А|В] и АХС\. Так как движение сохраняет расстояния, то треугольники АВС и А\В\С\ равны по третьему признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует равенство углов ВАС и BiAiCi, что и требовалось доказать.
СИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ
Пусть О — фиксированная точка и X — произвольная точка плоскости (рис. 187). Отложим на продолжении отрезка ОХ за точку О отрезок ОХ', равный ОХ. Точка X' называется симметричной точке X относительно точки О. Точка, симметричная точке О, есть сама точка О. Очевидно, что точка, симметричная точке X', есть точка X.
Преобразование фигуры F в фигуру F\ при котором каждая ее точка X переходит в точку Х\ симметричную относитель-
но данной точки О, называется преобразованием симметрии относительно точки О. При этом фигуры F иР' называются симметричными относительно точки О (рис. 188).
Если преобразование симметрии относительно точки О переводит фигуру F в себя, то она называется центрально-симметричной, а точка О называется центром симметрии.
Например, параллелограмм является центрально-симметричной фигурой. Его центром симметрии является точка пересечения диагоналей (рис. 189).
Теорема 9.2. Преобразование симметрии относительно точки является движением.
Доказательство. Пусть X и У — две произвольные точки фигуры F (рис. 190). Преобразование симметрии относительно точки О переводит их в точки X* и Y\ Рассмотрим треугольники XOY и X'OY\ Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников. У них углы при вершине О равны как вертикальные, а ОХ = ОХ', ОУ = ОУ' по определению симметрии относительно точки О. Из равенства треугольников следует равенство сторон: XY—X'Y'. А это значит, что симметрия относительно точки О есть движение. Теорема доказана.
СИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЯМОЙ
Пусть g — фиксированная прямая (рис. 191). Возьмем произвольную точку X и опустим перпендикуляр АХ на прямую g. На продолжении перпендикуляра за точку А отложим отрезок АХ', равный отрезку АХ. Точка X' называется симметрии-
ной точке X относительно прямой g. Если точка X лежит на прямой g, то симметричная ей точка есть сама точка X. Очевидно, что точка, симметричная точке X’, есть точка X.
Преобразование фигуры F в фигуру F\ при котором каждая ее точка X переходит в точку X', симметричную относительно данной прямой g, называется преобразованием симметрии относительно прямой g. При этом фигуры F и F' называются симметричными относительно прямой g (рис. 192).
Если преобразование симметрии относительно прямой g переводит фигуру F в себя, то эта фигура называется симметричной относительно прямой g, а прямая g называется осью симметрии фигуры.
Например, прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, являются осями симметрии прямоугольника (рис. 193). Прямые, на которых лежат диагонали ромба, являются его осями симметрии (рис. 194).
Л
Теорема 9.3. Преобразование симметрии относительно прямой является движением.
Доказательство. Примем данную прямую за ось у декартовой системы координат (рис. 195). Пусть произвольная точка А (х; у) фигуры F переходит в точку А? (х'; г/') фигуры F\ Из определения симметрии относительно прямой следует, что у точек А и А' равные ординаты, а абсциссы отличаются только знаком: х' = —х.
Возьмем две произвольные точки A (Xi; z/i) и В (хг; уз). Они перейдут в точки А' ( — Xi; у?) и В' ( —Х2; 1/2)-
Имеем:
АВ2 = (х2 —Х1)2 + (1/2—1/|)2,А'В'2 = (-х2 + х^ + (у2-у^.
Отсюда видно, что АВ — А'В\ А это значит, что преобразование симметрии относительно прямой есть движение. Теорема доказана.
ПОВОРОТ
Поворотом плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из этой точки,
поворачивается на один и тот же угол в одном и том же^ направлении (рис. 196). Это значит, что если при повороте около точки О точка X переходит в точку X', то лучи ОХ и ОХ' образуют один и тот же угол, какова бы ни была точка X. Этот угол называется углом поворота. Преобразование фигур при повороте плоскости также называется поворотом.
Задача (25). 1) Постройте точку Аь в которую переходит точка А при повороте около точки О на угол 60° по часовой стрелке.
Постройте фигуру, в которую переходит отрезок АВ при повороте около точки О на угол 60° по часовой стрелке.
Решение. 1) Проведем луч ОА и построим луч ОМ так, что А АОМ = 60° (рис. 197, а). Отложим на луче ОМ отрезок ОАЬ равный отрезку О А. Точка Ai является искомой.
Построим точки А\ и В\, в которые переходят при заданном повороте точки А и В, являющиеся концами отрезка АВ (рис. 197, б). Отрезок A|Bi является искомым, поскольку при повороте отрезок переходит в отрезок.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС И ЕГО СВОЙСТВА
Наглядно параллельный перенос определяется как преобразование, при котором точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние (рис. 198). Такое определение не является математически строгим, потому что в нем употребляется выражение «в одном и том же направлении», которое само нуждается в точном определении. В связи с этим параллельному переносу мы дадим другое, отвечающее тому же наглядному представлению, но уже строгое определение.
Введем на плоскости декартовы координаты х, у. Преобразование фигуры F, при котором произвольная ее точка (х; z/) переходит в точку (х + а; уД-Ьу где а и b одни и те же для всех точек (х; z/), называется параллельным переносом (рис. 199). Параллельный перенос задается формулами
х'^хД-а. у'^уД-Ь.
Эти формулы выражают координаты хД у' точки, в которую переходит точка (х; z/) при параллельном переносе.
Параллельный перенос есть движение.
Действительно, две произвольные точки A (xi; z/i) и В (х2; у2) переходят при параллельном переносе в точки A' (xj Д-а; z/i + b\ В'(х2 + «; УзД-Ьу Поэтому
AB‘z = (x2 — x1'f + (y2 — y1f,A'B'^lx^ — Xxf^-^y^ — ytf.
Отсюда АВ — А'В'. Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояния, а значит, является движением, что и требовалось доказать.
Название «параллельный перенос» оправдывается тем, что при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.
в'в'Рис. 201Рис. 201
в'
в'
Рис. 201
Рис. 201
Действительно, пусть точки A (хи z/i) и В (х2; у^ переходят в точки А* (Х| +а; ух + Ь) и В' (х2 + а; z/з + Ь) (рис. 200). Середина отрезка АВ' имеет координаты
х~ 2 ’ 2
Те же координаты имеет и середина отрезка А*В. Отсюда следует, что диагонали четырехугольника АА'В'В пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Значит, этот четырехугольник — параллелограмм. А у параллелограмма противолежащие стороны АА' и ВВ' параллельны и равны.
Заметим, что у параллелограмма АА'В'В параллельны и две другие противолежащие стороны — АВ и А'В'. Отсюда следует, что при параллельном переносе прямая переходит в параллельную прямую (или в себя).
Замечание. В предыдущем доказательстве предполагалось, что точка В не лежит на прямой АА*. В случае, когда точка В лежит на прямой АА \ точка В' тоже лежит на этой прямой, так как середина отрезка АВ* совпадает с серединой отрезка ВА* (рис. 201). Значит, все точки А, В, А', В' лежат на одной прямой. Далее,
А А'=V(xT4-a -~^i^ = \^2 + Ь2,
ВВ' = д/(х2 + а — Х2)2 + (z/2 + ь — Z/2)2 = V«2 + Ь2.
Таким образом, в этом случае точки АиВ смещаются по прямой АВ на одно и то же расстояние д/о^+Ь2, а прямая АВ переходит в себя.
СУЩЕСТВОВАНИЕхх'
И ЕДИНСТВЕННОСТЬа•
ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕНОСА
Теорема 9.4. Каковы бы ниЛ<
быяи две точки А и А', существует один и тояъко один параяяеяъный / перенос, при котором, точка А пе- ^• ,
реходит в точку А\
Доказательство. НачнемРис. 202
с доказательства существования параллельного переноса, переводящего точку А в А'. Введем декартовы координаты на плоскости. Пусть ах, а2— координаты точки А и ах, аз — координаты точки А'. Параллельный перенос, заданный формулами
х' — х-\-ах—аь у' = у -\-аз~ #2»
переводит точку А в точку А'. Действительно, при х — ах и у = — аз получаем х* — а\, у'=аз.
Докажем единственность параллельного переноса, переводящего точку А в точку А *. Пусть X — произвольная точка фигуры и X' — точка, в которую она переходит при параллельном переносе (рис. 202). Как мы знаем, отрезки ХА' и АХ* имеют общую середину О. Задание точки X однозначно определяет точку О — середину отрезка А'Х. А точки А и О однозначно определяют точку X', так как точка О является серединой отрезка АХ'. Однозначность в определении точки X' и означает единственность параллельного переноса.
Теорема доказана полностью.
/уч Задача (30). При параллельном переносе точка (1; 1) \ / переходит в точку (— 1; 0). В какую точку переходит начало координат?
Решение. Любой параллельный перенос задается формулами
x' = x-Va, у' — у + Ь.
Так как точка (1; 1) переходит в точку (—1;0), то — 1 = 1 +а, 0 = 1 + 6. Отсюда а=— 2, b= — 1. Таким
образом, наш параллельный перенос, переводящий точку (1; 1) в ( —1; 0), задается формулами х' = х —2, у' — у — 1. Подставляя в эти формулы координаты начала (х = 0, у = 0), получим х' = — 2, у' = — 1. Итак, начало координат переходит в точку ( — 2; — 1).
СОНАПРАВЛЕННОСТЬ ПОЛУПРЯМЫХ
Две полупрямые называются одинаково направленными, или сонаправленными, если они совмещаются параллельным переносом. То есть существует параллельный перенос, который переводит одну полупрямую в другую.
Если полупрямые а и Ь одинаково направлены и полупрямые Ъ и с одинаково направлены, то полупрямые а и с тоже одинаково направлены (рис. 203).
Действительно, пусть параллельный перенос, задаваемый формулами
х^х + т, у' = уД-П,(*)
переводит полупрямую а в полупрямую Ь, а параллельный перенос, задаваемый формулами
х'^х' + ть у" = у'-\-П\,(**)
переводит полупрямую b в полупрямую с.
Рассмотрим параллельный перенос, задаваемый формулами
Xм =X"V ТП-\- ТП\, ум — у-\-П-\-П\.(***)
Утверждаем, что этот параллельный перенос переводит полупрямую а в полупрямую с. Докажем это.
Пусть (х; у) — произвольная точка полупрямой а. Согласно формулам (*) точка (x + ?n; у + n) принадлежит полупрямой Ъ. Так как точка (х-\-т; у-\-п) принадлежит полупрямой Ь, то согласно формулам (**) точка (х-\-т-\- тх; у-\-п-\-пх>) принадлежит полупрямой с. Таким образом, параллельный перенос, задаваемый формулами (***), переводит полупрямую а в полупрямую с. А это значит, что полупрямые а и с одинаково направлены, что и требовалось доказать.
Две полупрямые называются противоположно направленными, если каждая из них одинаково направлена с полупрямой, дополнительной к другой (рис. 204).
л Задача (32). Прямые АВ и CD параллельны. Точки ГАЛ А и D лежат по одну сторону секущей ВС. Докажите, что *—г лучи ВА и CD одинаково направлены.
Рис. 205Рис. 205
Рис. 205
Рис. 205
Решение. Подвергнем луч CD параллельному переносу, при котором точка С переходит в точку В (рис. 205). При этом прямая CD совместится с прямой ВА. Точка D, смещаясь по прямой, параллельной СВ, остается в той же полуплоскости относительно прямой ВС. Поэтому луч CD совместится с лучом ВА, а значит, эти лучи одинаково направленье
РАВЕНСТВО ФИГУР
Две фигуры называются равными, если они движением переводятся одна в другую.
Для обозначения равенства фигур используется обычный знак равенства. Запись F = F' означает, что фигура F равна фигуре F'. В записи равенства треугольников: ДАВС =
= ДАХВХСХ — предполагается, что совмещаемые при движении вершины стоят на соответствующих местах. При таком условии равенство треугольников, определяемое через их совмещение движением, и равенство, как мы его понимали до сих пор, выражают одно и то же.
Это значит, что если у двух треугольников соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны, то эти треугольники совмещаются движением. И обратно: если два треугольника совмещаются движением, то у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны. Докажем оба эти утверждения.
Пусть треугольник АВС совмещается движением с треугольником АХВХСХ, причем вершина А переходит в вершину Ах, В — в Bi и С — в С,. Так как при движении сохраняются расстояния и углы, то для наших треугольников АВ = АХВХ, ВС = ВХСХ, АС = АХСХ, ZA=ZAX, ZB = ZBX, ZC= ZCX.
Пусть теперь у треугольников АВС и АХВХСХ АВ = АХВХ, ВС = ВХСХ, АС = АХСХ, ZA=ZAX, Z В= ZBX, ZC= ZCX. Докажем, что они совмещаются движением, причем вершина А переходит в вершину Ах, В —в Вх, С —в Сх. Подвергнем треугольник АВС преобразованию симметрии относительно прямой а, перпендикулярной к отрезку ААХ и проходящей через его середину (рис. 206). Получим треугольник АХВ2С2. Если точки Вх и В2 различны, то подвергнем его симметрии относительно прямой Ь, которая проходит через точку А । и
перпендикулярна к прямой В\Вг. Получим треугольник АхВ\Сз.
Если точки Ct и Сз лежат по одну сторону от прямой АХВХ, то они совпадают. Действительно, так как углы BiAiCi и В1А1С3 равны, то лучи А1С1 и А,Сз совпадают, а так как отрезки AiCi и Ai Сз равны, то совпадают точки С, и Сз. Таким образом, треугольник АВС движением переведен в треугольник А\ВХС\.
Если точки Ci и Сз лежат по разные стороны от прямой А]В1, то для доказательства надо еще применить симметрию относительно прямой А|В,.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
•
Какое преобразование фигуры называется движением?
Докажите, что точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.
Во что переходят прямые, полупрямые, отрезки при движении?
Докажите, что при движении сохраняются углы.
Объясните, какие точки называются симметричными относительно данной точки.
Какое преобразование называется симметрией относительно данной точки?
Какая фигура называется центрально-симметричной?
Что такое центр симметрии фигуры? Приведите пример центрально-симметричной фигуры.
Докажите, что симметрия относительно точки есть движение.
Какие точки называются симметричными относительно данной прямой?
Какое преобразование называется симметрией относительно данной прямой?
Какая фигура называется симметричной относительно данной прямой?
Что такое ось симметрии фигуры? Приведите пример.
Докажите, что симметрия относительно прямой есть движение.
Какое движение назырается поворотом?
Что такое параллельный перенос?
Какие вы знаете свойства параллельного переноса?
Докажите существование и единственность параллель-
ного переноса, переводящего данную точку в другую данную точку.
Какие полупрямые называются одинаково направленными?
Докажите, что если полупрямые а и b одинаково направлены и полупрямые b и с одинаково направлены, то полупрямые а и с тоже одинаково направлены.
Какие полупрямые называются противоположно направленными?
Какие фигуры называются равными?
ЗАДАЧИ
Докажите, что при движении параллелограмм переходит в параллелограмм.
В какую фигуру переходит при движении квадрат? Объясните ответ.
Даны точки А и В. Постройте точку В', симметричную точке В относительно точки А.
Решите предыдущую задачу, пользуясь только циркулем.
Докажите, что центр окружности является ее центром симметрии.
При симметрии относительно некоторой точки точка X переходит в точку X'. Постройте точку, в которую при этой симметрии переходит точка У.
Может ли у треугольника быть центр симметрии?
Докажите, что у параллелограмма точка пересечения диагоналей является центром симметрии.
Докажите, что четырехугольник, у которого есть центр симметрии, является параллелограммом.
10*. Даны пересекающиеся прямые и точка, не лежащая на этих прямых. Постройте отрезок с концами на данных прямых и серединой в данной точке (рис. 207).
Что представляет собой фигура, симметричная относительно данной точки: 1) отрезку; 2) углу; 3) треугольнику?
Даны точки А, В» С. Постройте точку С', симметричную точке С относительно прямой АВ.
Решите задачу 12, пользуясь только циркулем.
Чему равны координаты точки, симметричной точке ( —3; 4) относительно 1) оси х; 2) оси у; 3) начала координат?
При симметрии относительно некоторой прямой точка X переходит в точку X'. Постройте точку, в которую при этой симметрии переходит точка Y.
Рис. 208Рис. 208Рис. 207
Рис. 208
Рис. 208
Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла, является его осью симметрии.
Докажите, что прямая, содержащая медиану равнобедренного треугольника, проведенную к основанию, является осью симметрии треугольника.
Докажите, что если у треугольника есть ось симметрии, то 1) она проходит через одну из его вершин; 2) треугольник равнобедренный.
Сколько осей симметрии у равностороннего треугольника?
Докажите, что прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, являются его осями симметрии (рис. 208).
Докажите, что диагонали ромба являются его осями симметрии.
Докажите, что диагонали квадрата и прямые, проходящие через точку их пересечения параллельно его сторонам, являются осями симметрии квадрата (рис. 209).
Докажите, что прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии.
24*. Даны три попарно пересекающиеся прямые а, 6, с. Как построить отрезок, перпендикулярный прямой Ь» с серединой на прямой b и концами на прямых а и с (рис. 210)? Всегда ли задача имеет решение?
1) Постройте точку Ai, в которую переходит точка А при повороте около точки О на угол 60° по часовой стрелке.
Постройте фигуру, в которую переходит отрезок АВ при повороте около точки О на угол 60° по часовой стрелке.
Постройте фигуру, в которую переходит треугольник АВС при повороте его около вершины С на угол 60°.
Даны точки А, В, С. Постройте точку С\ в которую переходит точка С при параллельном переносе, переводящем точку А в В.
Параллельный перенос задается формулами х^х + 1, у' = у — 1. В какие точки при этом параллельном переносе переходят точки (0;0), (1;0), (0;2)?
Найдите величины а и b в формулах параллельного переноса х' = х-\-а, у' = у-\-Ъ, если известно, что: 1) точка (1;2) переходит в точку (3;4); 2) точка (2; — 3) — в точку (— 1;5); 3) точка ( —1; —3) — в точку (0; —2).
При параллельном переносе точка (1;1) переходит в точку (—1;0). В какую точку переходит начало координат?
Существует ли параллельный перенос, при котором: 1) точка (1;2) переходит в точку (3;4), а точка (0;1) — в точку (—1;0); 2) точка (2; —1) переходит в точку (1;0), а точка ( —1;3) — в точку (0;4)?
Прямые АВ и CD параллельны. Точки А и D лежат по одну сторону от секущей ВС. Докажите, что лучи ВА и CD одинаково направлены.
Докажите, что в задаче 32 лучи ВА и CD противоположно направлены, если точки А и D лежат по разные стороны от секущей ВС.
Четырехугольник ABCD — параллелограмм. Среди лучей АВ. ВА. ВС. СВ. CD. DC, AD. DA назовите пары одинаково направленных и противоположно направленных лучей.
Докажите, что отрезки равной длины и углы с равной градусной мерой совмещаются движением.
36*. У параллелограммов ABCD и A\B\C\D\ АВ=А\В\, AD = = A\D\ и ZA = ZAX. Докажите, что параллелограммы равны, т. е. совмещаются движением.
37*. Докажите, что ромбы равны, если у них равны диагонали.
Докажите, что две окружности одинакового радиуса равны, т. е. совмещаются движением.
§ 10- ВЕКТОРЫ
АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА И НАПРАВЛЕНИЕ ВЕКТОРА
Вектором мы будем называть направленный отрезок (рис. 211). Направление вектора определяется указанием его начала и конца. На чертеже направление вектора отмечается стрелкой. Для обозначения векторов будем пользоваться строчными латинскими буквами а, Ь, с, ... . Можно также обозначить вектор указанием его начала и конца. При этом начало вектора ставится на первом месте. Вместо слова «вектор» над буквенным обозначением вектора иногда ставится стрелка или черта. Вектор на рисунке 211 можно обозначить так:
а, а или АВ, АВ.
Рис. 211Рис. 212
Векторы АВ и CD называются одинаково направленными, если полупрямые АВ и CD одинаково направлены. Векторы АВ и CD называются противоположно направленными, если полупрямые АВ и CD противоположно направлены. На рисунке 212 векторы а и b одинаково направлены, а векторы а и с противоположно направлены.
Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютная величина вектора а обозначается |а|.
Начало вектора может совпадать с его концом. Такой вектор будем называть нулевым вектором. Нулевой вектор обозначается нулем с черточкой (0). О направлении нулевого вектора не говорят. Абсолютная величина нулевого вектора считается равной нулю.
РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ
Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в .начало и конец другого вектора.
Из данного определения равенства векторов следует, что равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине.
Обратно: если векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, то они равны.
Действительно, пусть АВ и CD — одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине (рис. 213). Параллельный перенос, переводящий точку С в точку А, совмещает полупрямую CD с полупрямой АВ, так как они одинаково направлены. А так как отрезки АВ и CD равны, то при этом точка D совмещается с точкой В, т. е. параллельный перенос переводит вектор CD в вектор АВ. Значит, векторы АВ и CD равны, что и требовалось доказать.
Рис. 213Рис. 213
Рис. 213
Рис. 213
Задача (2). Четырехугольник ABCD — параллелограмм. Докажите равенство векторов АВ и DC.
Решение. Подвергнем вектор АВ параллельному переносу, при котором точка А переходит в точку D (рис. 214). При этом переносе точка А смещается по прямой AD, а значит, точка В смещается по параллельной прямой ВС. Прямая АВ переходит в параллельную прямую, а значит, в прямую DC. Следовательно, точка В пе-
реходит в точку С. Таким образом, наш параллельный перенос переводит вектор АВ в вектор DC, а значит, эти векторы равны.
Пусть а — вектор и А — произвольная точка. Тогда от точки А можно отложить один и только один вектор а', равный вектору а.
Действительно, существует единственный параллельный перенос, при котором начало вектора а переходит в точку А. Вектор, в который переходит при этом вектор а, и есть вектор а'.
Для практического откладывания от данной точки (О) вектора равного данному (АВ) можно воспользоваться задачей 2.
КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
Пусть вектор а имеет началом точку Ах (х\; ух), а концом точку А 2 (х2; у г). Координатами вектора а будем называть числа Я1=хг —Xi, а2 = у2 — у\. Координаты вектора будем ставить рядом с буквенным обозначением вектора, в данном случае а(а\;а2) или просто (а,; а2). Координаты нулевого вектора равны нулю.
Из формулы, выражающей расстояние между двумя точками через их координаты, следует, что абсолютная величина вектора с координатами Сь а2 равна
Равные векторы имеют равные соответствующие координаты. И обратно: если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.
Действительно, пусть А, (х,; ух) и А2(х2; у2)— начало и конец вектора а. Так как равный ему вектор а' получается из вектора а параллельным переносом, то его началом и концом будут соответственно А^ХхА-с, y\-(-d), АЦх^-^-с1, i/2 + d). Отсюда видно, что оба вектора а и а' имеют одни и те же координаты: х2 — Хх, у2 — ух.
Докажем теперь обратное утверждение. Пусть соответствующие координаты векторов АхА2 и А'\А2 равны. Докажем, что векторы равны.
Пусть х\ и у( — координаты точки А'\, а х2, у2 — коорди-
наты точки А2. По условию теоремы х2— хх=х2— хх, 1/2— У\ = = У^ — У\- Отсюда х2 = х2 + х{ —хь у2 = у2 + у\ — У\- Параллельный перенос, заданный формулами
х' = х + х{ —х,, у' =УА-У\—У\э
переводит точку Ах в точку А', а точку А2 в точку А2, т. е, векторы AjA2 и AiA2 равны, что и требовалось доказать.
Лк Задача (7). Даны три точки: А (1; 1), В ( —1; 0), I 0 ) С (0; 1). Найдите такую точку D (х\ у^ чтобы векторы А^ и CD были равны./
Решение. Вектор АВ имеет координаты — 2, — 1. Вектор CD имеет координаты х — 0, у — 1. Так кау ДВ = = ^D, то х — 0= — 2, у —1= — 1. Отсюда находим координаты точки D: х— —2, у — 0.
СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Суммой векторов а и b с координатами ах, а2 и Ьх, 62 называется вектор с с координатами ai + bi, «2 + 62» т. е.
а(ах; a2)+b(6i; b2) = c (ах + Ьх; а2 + Ь2).
Для любых векторов а(ах; а2\ b (Ьх; Ь2\ с(сх; с2) a-\-b = b-\-a, a + (b+c) = (a + &) + c.
Для доказательства достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, стоящих в правой и левой частях равенств. Мы видим, что они равны. А векторы с соответственно равными координатами равны.
Теорема 10.1. Каковы, бы ни были точки А, В, С, имеет место векторное равенство
АВ + ВС = АС.
Доказательство. Пусть A (xi; ух\В(х2; у2\ С (х3; у3) — данные точки (рис. 215). Вектор АВ имеет координаты х2— Xi, У2 — У\> вектор ВС имеет координаты х3 —х2, уз — ys* Следовательно,, вектор АВ-\-ВС имеет координаты х3 —хь уз — ух. А это есть координаты вектора АС. Значит, векторы АВ-\-ВС и АС равны. Теорема доказана.
Теорема 10.1 дает следующий способ построения суммы произвольных векторов а и Ь. Надо от конца вектора а отложить вектор Ь', равный вектору Ь. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора а, а конец — с концом вектора Ъ\ будет суммой векторов а и b (рис. 216). Такой способ получения суммы двух векторов называется «правилом треугольника» сложения векторов.
Для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах ( «правило параллелограмма», рис. 217). Действительно, АВ +
+ ВС = АС, a BC=AD. Значит, АВ + AD = АС.
В
Рис. 217Рис. 218
Разностью векторов a(ai;a2) и b(bx; Ь2) называется такой вектор с (ci; с2), который в сумме с вектором b дает вектор а: Ь-\-с = а. Отсюда находим координаты вектора с — а—Ь:
сх=ах— Ьх; с2 = а2— Ь2.
АС—АВ = ВС.АС—АВ = ВС.Рис. 219Рис. 219
АС—АВ = ВС.
АС—АВ = ВС.
Рис. 219
Рис. 219
Задача (11). Даны векторы с общим началом: АВ и АС (рис. 218). Докажите, что АС—АВ = ВС.
Решение. Имеем АВ-\- ВС —АС. А это значит, что
Отсюда получается следующее правило для построения разности двух векторов. Чтобы построить вектор, равный разности векторов а и Ь, надо отложить равные им векторы а' и У от одной точки. Тогда вектор, начало которого совпадает с концом вектора Ъ\ а конец — с концом вектора а\ будет разностью векторов а
и b (рис. 219).
СЛОЖЕНИЕ СИЛ
Силу, приложенную к телу, удобно изображать вектором, направление которого совпадает с направлением действия силы, а абсолютная величина пропорциональна величине силы. Как показывает опыт, при таком способе изображения сил равнодействующая двух или нескольких сил, приложенных к телу в одной точке, изображается суммой соответствующих им векторов. На рисунке 220, а к телу в точке А приложены две силы, изображенные векторами а и Ь. Равнодействующая этих сил изображается вектором
с = а + Ь.
Представление силы в виде суммы сил, действующих в двух заданных направлениях, называется разложением силы по
этим направлениям. Так, на рисунке 220, а сила с разложена
в сумму сил а и b — составляющие силы с.
(рис. 220, б).надо удерживать груз чтобы он не сползал(рис. 220, б).надо удерживать груз чтобы он не сползалУдобно производить разложение вектора по двум перпендикулярным осям. В этом случае составляющие вектора
(рис. 220, б).
надо удерживать груз чтобы он не сползал
(рис. 220, б).
надо удерживать груз чтобы он не сползал
называются проекциями вектора на оси Задача (16). С какой силой F весом Р на наклонной плоскости, вниз (рис. 221)?
Рис. 221Решение. Пусть О — центр тяжести груза, к которому приложена сила Р. Разложим вектор Р по двум взаимно перпендикулярным направлениям, как показано на рисунке 221. Сила ОА перпендикулярна наклонной плоскости и не вызывает перемещения груза. Сила F, удерживающая груз, должна быть равной по величине и противоположной по направлению силе ОВ. Поэтому F = P sin а.Рис. 221Решение. Пусть О — центр тяжести груза, к которому приложена сила Р. Разложим вектор Р по двум взаимно перпендикулярным направлениям, как показано на рисунке 221. Сила ОА перпендикулярна наклонной плоскости и не вызывает перемещения груза. Сила F, удерживающая груз, должна быть равной по величине и противоположной по направлению силе ОВ. Поэтому F = P sin а.
Рис. 221
Решение. Пусть О — центр тяжести груза, к которому приложена сила Р. Разложим вектор Р по двум взаимно перпендикулярным направлениям, как показано на рисунке 221. Сила ОА перпендикулярна наклонной плоскости и не вызывает перемещения груза. Сила F, удерживающая груз, должна быть равной по величине и противоположной по направлению силе ОВ. Поэтому F = P sin а.
Рис. 221
Решение. Пусть О — центр тяжести груза, к которому приложена сила Р. Разложим вектор Р по двум взаимно перпендикулярным направлениям, как показано на рисунке 221. Сила ОА перпендикулярна наклонной плоскости и не вызывает перемещения груза. Сила F, удерживающая груз, должна быть равной по величине и противоположной по направлению силе ОВ. Поэтому F = P sin а.
УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО
Произведением вектора (а\; as) на число X называется вектор (Хаи Ха2)> т. е. (а\; as) X=(Xai; Хаз).
По определению (ai; as) Х=Х(а\; as).
Из определения операции умножения вектора на число следует, что для любого вектора а и чисел X, ц
(Х + ц) а = Ха + ца.
6 Заказ 574
Для любых двух векторов а и Ъ и числа X
X (а+Ь^Ха + ХЬ.
Теорема 10.2. Абсолютная величина вектора Ха равна Ш|а|. Направление вектора Ха при а=/=0 совпадает с направлением вектора а, если Х>0, и противоположно направлению вектора а, если Х<0. ♦
Доказательство. Построим векторы ОА и ОВ, равные а и Ха соответственно (О — начало координат). Пусть ах и а2 — координаты вектора а. Тогда координатами точки А будут числа ах и а координатами точки В будут Xai, Ха2 (рис. 222). Уравнение прямой ОА имеет вид:
ах + Ру = 0.
Так как уравнению удовлетворяют координаты точки A(ai;a2), то ему удовлетворяют и координаты точки В (Хах; Ха2). Отсюда следует, что точка В лежит на прямой О А. Координаты сх и с2 любой точки С, лежащей на полупрямой ОА, имеют те же знаки, что и координаты ах и а2 точки А, а координаты любой точки, которая лежит на полупрямой, дополнительной к О А, имеют противоположные знаки.
Поэтому если Х>0, то точка В лежит на полупрямой О А, а следовательно, векторы а и Ха одинаково направлены. Если X < 0, то точка В лежит на дополнительной полупрямой, векторы а и Ха противоположно направлены.
Абсолютная величина вектора Ха равна:
IХа| = "\/^Хах^4"(A,ti2)^" — |X| л] aV-Va^ — 1^1 Iя|.
Теорема доказана.
7k Задача (17). Даны точки А(хх;у\^ и В(х2;у^. \ f Докажите, что векторы АВ и ВА противоположно направлены.
Решение. Вектор АВ имеет координаты х2 —X] и у 2 — у\. Вектор В А имеет координаты Х]—х2 и у\ — у2* Мы видим, что АВ = ( — 1)ВА. А значит, векторы АВ и ВА противоположно направлены.
РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ДВУМ НЕКОЛЛИНЕАРНЫМ ВЕКТОРАМ
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых (рис. 223). Коллинеарные векторы либо одинаково направлены, либо противоположно направлены.
Пусть а и Ъ — отличные от нуля коллинеарные векторы. Докажем, что существует число X такое, что
Ь = Ха.
Допустим, векторы а и Ъ одинаково направлены. Векторы
одинаково направлены и имеют одну и ту же абсолютную величину \Ь\. Значит, они равны:
b = ^^a = Xa, X
В случае противоположно направленных векторов а и b аналогично заключаем, что
Ь=-1^а = Ха, Х=-М,let}|а|
что и требовалось доказать.
Пусть а и b — отличные от нуля неколлинеарные векторы.
Докажем, что любой вектор с можно представить в виде
с = Ха + ц6.
Пусть А и В — начало и конец вектора с (рис. 224). Проведем через точки А и В прямые, параллельные векторам а иЬ. Они пересекутся в некоторой точке С. Имеем:
АВ = АС-\-СВ.
Так как векторы а и АС коллинеарны, то АС —Ха. Так как векторы СВ и b коллинеарны, то СВ=цБ. Таким образом,
с = Ха + ц Ь,
что и требовалось доказать.
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Скалярным произведением векторов а^ах\а^ и b(bi;b2) называется число a\b\-\-a^b^
Для скалярного произведения векторов используется такая же запись, как и для произведения чисел. Скалярное произведение а-а обозначается а? и называется скалярным квадратом. Очевидно, а2=|а|2.
Из определения скалярного произведения векторов следует, что для любых векторов а (а,; а2), b (bi; Ь2), с (ci; с2)
(а+Ь) с=ас + Ъс.
Действительно, левая часть равенства есть (ai + bi)ci + + (»2 + ^2)с2, а правая axC\-\-a2C2-\-b\C\ + b2C2. Очевидно, они равны.
Углом между ненулевыми векторами АВ и АС называется угол ВАС. Углом между любыми двумя ненулевыми векторами а и b называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю
Теорема 10.3. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.
Доказательство. Пусть а и b — данные векторы и Ф — угол между ними. Имеем:
^а -j- b^ — (ст -|- Ь) (^--|~ Ь) — (я -j- b^a -j- (ti -j- b^b = = aa + ba + ab + ЪЪ = a2 + 2ab + b2, ИЛИ—___
|a + &|2=|a|2 + \b\2-\-2ab.
Отсюда видно, что скалярное произведение ab выражается через длины векторов а, b и а-\-Ь, а поэтому не зависит от выбора системы координат, т. е. скалярное произведение не изменится, если систему координат выбрать специальным образом. Возьмем систему координат ху так, как показано на рисунке 225. При таком выборе системы координат координа-
тами вектора а будут |а| и 0, а координатами вектора b будут l^lcosq) и | b|sin ф. Скалярное произведение
ab = |а| | b|cos ф + 011> t sin ф = | п | | b|cos <р.
Теорема доказана.
Из теоремы 10.3 следует, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.
^^ Задача (38). Докажите, что сумма квадратов диа- ( ° ) гоналей параллелограмма равна сумме квадратов его ’—' сторон.
Решение. Пусть четырехугольник ABCD — параллелограмм (рис. 226). Имеем векторные равенства
АВ + аЬ = АС,AB — AD = DB.
Возведем эти равенства в квадрат. Получим: АВ2 + 2АВ • AD + AD2 = АС2, AB2 — 2ABAD + AD2 = DB2.
Сложим эти равенства почленно. Получим:
2 АВ2 + 2 AD2 = АС2 + DB2.
Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то это равенство й означает, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, что и требовалось доказать.
Рис. 227Рис. 227РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО КООРДИНАТНЫМ ОСЯМ
Рис. 227
Рис. 227
Вектор называется единичным» если его абсолютная величина равна единице. Единичные векторы, имеющие направления положительных координатных полуосей, называются координатными векторами или ортами. Мы будем их обозначать ех (1; 0) на оси х и ег(0; 1) на оси у (рис. 227).
Так как координатные векторы отличны от нуля и не колли
неарны, то любой вектор а(ах;а2) допускает разложение по этим векторам:
а — Хв|-|“|1в2.(*)
Найдем коэффициенты X и ц этого разложения. Умножим обе части равенства (*) на вектор в]. Так как
а (ас» а^) ех =ах» в| -в] = 1, в2-в1 =0, то ах =Х.
Аналогично, умножая обе части равенства (*) на вектор е^» получим 02 = ц-_
Таким образом, для любого вектора а(ах;а2) получается разложение
а = ахех -\-a2e2.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Что такое вектор? Как обозначаются векторы?
Какие векторы называются одинаково направленными (противоположно направленными)?
Что такое абсолютная величина вектора?
Что такое нулевой вектор?
Какие векторы называются равными?
Докажите, что равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине. И обратно: одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине, равны.
Докажите, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному вектору, и только один.
Что такое координаты вектора? Чему равна абсолютная величина вектора с координатами а\, Я2?
Докажите, что равные векторы имеют соответственно равные координаты, а векторы с соответственно равными координатами равны.
Дайте определение суммы векторов.
Докажите, что для любых векторов а и b
a “J- Ь = Ь “J- а»
Докажите, что для любых трех векторов а, Ь, с a + (b + c) = (a + b) + c.
Докажите векторное равенство АВ-\-ВС = АС.
Докажите, что для получения суммы векторов а и Ъ надо от конца вектора а отложить вектор Ъ\ равный Ь. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора а, а конец — с концом вектора Ъ\ равен а + Б.
Сформулируйте «правило параллелограмма» сложения векторов.
Дайте определение разности векторов.
Дайте определение умножения вектора на число.
Докажите, что абсолютная величина вектора Ха равна Ш1#|, направление вектора Ха при а =#0 совпадает с направлением вектора а, если Х>0, и противоположно направлению вектора а, если Х<0.
Какие векторы называются коллинеарными?
Докажите, что если векторы а и b отличны от нулевого вектора и не коллинеарны, то любой вектор с можно представить в виде с — Ха + цЬ.
Дайте определение скалярного произведения векторов.
Докажите, что для любых трех векторов а, Ь, с (а + Б)с = ас + Ъс.
Как определяется угол между векторами?
Чему равен угол между одинаково направленными векторами?
Докажите, что скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.
Докажите, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.
ф ЗАДАЧИ
На прямой даны три точки А, В, С, причем точка В ле- жит между точками А и С. Среди векторов АВ, АС, ВА и ВС назовите одинаково направленные и противоположно направленные.
Четырехугольник ABCD — параллелограмм. Докажите равенство векторов АВ и DC.
Даны вектор АВ и точка С. Отложите от точки С вектор, равный вектору АВ, если: 1) точка С лежит на прямой АВ*, 2) точка С не лежит на прямой АВ.
Векторы а(2;4), &( —1;2) и c(ci;c2) отложены от начала координат. Чему равны координаты их концов?
Абсолютная величина вектора а(5; zn) равна 13, а вектора b (п; 24) равна 25. Найдите тип.
Даны точки А (0; 1), В (1; 0), С fl; 2), D (2; 1). Докажите равенство векторов АВ и CD.
Даны три точки А(1;1), В( —1;0), С (0; 1). Найдите такую точку D (х; у), чтобы векторы АВ и CD были равны.
Найдите вектор с, равный сумме векторов а и Ъ, и абсолютную величину вектора с, если: 1) а(1; —4), Ъ( — 4;8);
2) а (2; 5), Ь (4; 3)._
Дан треугольник АВС. Найдите сумму векторов: 1) АС и СВ; 2) АВ и СВ; 3) АС и АВ; 4) СА и СВ.
Найдите вектор с —а — Ъ и его абсолютную величину, если 1) а(1; -4), Ь ( —4; 8); 2) а (-2; 7),_£(4; -1).
Даны векторы с общим началом: АВ и АС. Докажите, что АС —АВ —ВС.
В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке М. Выразите векторы АВ и CD через векторы а — = АМ, Ь = ВМ (рис. 228).
Начертите три произвольных вектора а, Ь, с, как на рисун-
ке 229. А теперь постройте векторы, равные: 1) а + & + 4-с; 2) а—Ь + с; 3) — а + ^ + с*
1) Докажите, что для векторов АВ, ВС и АС имеет место неравенство |АС\ ^ IАВ\ + |ВС|._ _
Докажите, что для любых векторов а и 6 имеет место неравенство |а + Ь| ^ |а| + I Ь\.
К горизонтальной балке на двух равных нитях подвешен груз весом Р. Определите силы натяжения нитей (рис. 230).
С какой силой F надо удерживать груз весом Р на наклонной плоскости, чтобы он не сползал вниз?
Даны точки A (xu yi) и В(х2; у2). Докажите, что векторы АВ и ВА противоположно направлены.
Докажите, что векторы а(1; 2) и b(0,5; 1) одинаково направлены, а векторы с(— 1; 2) и d(0,5; —1) противоположно направлены._
Даны векторы а (3; 2) и b (0; — 1). Найдите вектор с — = — 2а + 4Ь и его абсолютную величину.
Абсолютная величина вектора Ха jpaBHa 5. Найдите X, если: 1) а( —6;8); 2) а(3; —4); 3) а (5; 12).
В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Докажите, что АМ=-^-(АВ + АС).
Точки М и N являются серединами отрезков АВ и СР соответственно. Докажите векторное равенство MN = = ^-(AC+BD) (рис. 231).
Дан параллелограмм ABCD, АС=а, DB=b (рис. 232). Выразите векторы АВ, СВ, CD и AD через а и Ь.
24*. Докажите, что у коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны. И обратно: если у двух ненулевых векторов соответствующие координаты пропорциональны, то эти векторы коллинеарны.
Даны векторы а (2; —4), b(l; 1), с(1; —2), d( —2; —4).
Рис. 231Рис. 231Рис. 232Рис. 232
Рис. 231
Рис. 231
Рис. 232
Рис. 232
Укажите пары коллинеарных векторов. Какие из данных векторов одинаково направлены, а какие — противоположно направлены?
Известно, что векторы а(1; — 1) й Ь( — 2; пг) коллинеарны. Найдите, чему равно иг.
Даны векторы а(1; 0), b(l; 1) и с( —1; 0). Найдите такие числа X и ц, чтобы имело место векторное равенство с = Ха + цЬ.
Докажите, что для любых векторов а и b (аБ)2^а2Б2.
Найдите угол между векторами а(1; 2) и Б fl; —i-Y
30*. Даны векторы а и Ъ. Найдите абсолютную величину вектора а + ^» если известно, что абсолютные величины векторов а и b равны 1, а угол между ними 60°.
Найдите угол между векторами а и а + b предыдущей задачи.
Даны вершины треугольника А(1;1); В(4;1), С (4; 5).
Найдите косинусы углов треугольника._
Найдите углы треугольника с вершинами А (0; V3), B(2;V3), с(^-;•
Докажите, что векторы a(m;n) и b ( — п; пг) перпендикулярны или равны нулю.
Даны векторы а(3; 4) и Ъ^тп; 2). При каком значении m эти векторы перпендикулярны?
Даны векторы а(1; 0) и 6(1; 1). Найдите такое число X, чтобы вектор а + ХЬ был перпендикулярен вектору а.
Докажите, что если а и b — единичные неколлинеарные векторы, то векторы а + Ъ и а — Ъ отличны от нуля и перпендикулярны.
38*. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
39*. Даны стороны треугольника а, 6, с. Найдите его медианы 7Па, mbs пгс.
Докажите, что геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух данных точек постоянна, есть окружность с центром в середине отрезка, соединяющего данные точки.
Векторы а + Ь и а—Ъ перпендикулярны. Докажите, что |а| = |Б|.
Докажите с помощью векторов, что диагонали ромба перпендикулярны.
Даны четыре точки А (1; 1), В(2;3), С (0; 4), D( — 1; 2). Докажите, что четырехугольник ABCD — прямоугольник.
Даны четыре точки А (0; 0), В(1;1), С (0; 2), О (— 1; 1). Докажите, что четырехугольник ABCD — квадрат.
Среди векторов—I" ’ 4") ’ ^(4”’4")’ с ~
d ^ -|- ; —^ найдите единичные и укажите, какие из них коллинеарны._
Найдите единичный вектор е, коллинеарный вектору а (6; 8) и одинаково с ним направленный.
Даны координатные векторы е,(1; 0) и е2 (0; 1). Чему равны координаты вектора 2е,—Зе2?
48*. 1) Даны три точки О, А, В. Точка X делит отрезок АВ в отношении Х:ц, считая от точки А. Выразите вектор ОХ через векторы ОА = а и ОВ = Ь.
Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит их в отношении 2:1, считая от соответствующих вершин.
Докажите, что проекция а вектора с на ось абсцисс с координатным вектором е, (1; 0) задается формулой
а = ке\, где к = сех.
Докажите, что проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых на ту же ось.
. ПОДОБИЕ ФИГУР
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ
Преобразование фигуры F в фигуру F' называется преобразованием. подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз (рис. 233). Это значит, что если произвольные точки X, Y фигуры F при преобразовании подобия переходят в точки X', Y' фигуры F', то X'Y' = k-XY, причем число к — одно и то же для всех точек X, У. Число к называется коэффициентом подобия. При /? = 1 преобразование подобия, очевидно, является движением.
Пусть F — данная фигура и О — фиксированная точка (рис. 234). Проведем через произвольную точку X фигуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ7, равный к -ОХ, где к — положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка X переходит в точку Х\ построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число к называется коэффициентом гомотетии, фигуры F и F7 называются гомотетичными.
Теорема 11.1. Гомотетия есть преобразование подобия.
Доказательство. Пусть О — центр гомотетии, к — коэффициент гомотетии, X и Y — две произвольные точки фигуры (рис. 235).
При гомотетии точки X и У переходят в точки X7 и Y7 на лучах ОХ и OY соответственно, причем OX7 = к- ОХ^ OY7 = = k*OY. Отсюда следуют векторные равенства
ОХ7 = кОХ, OY7 = kOY.
Вычитая эти равенства почленно, получим:
OY7-OX7 = k (OY-OX).
Так как OY7 — OX7 = X7Y7, OY — OX=XY, то X7Y7 = kXY. Значит, \X7Y7\=k |ХУ|, т. е. X7Y7 = к XY. Следовательно, гомотетия есть преобразование подобия. Теорема доказана.
Преобразование подобия широко применяется на практике при выполнении чертежей деталей машин, сооружений, планов местности и др. Эти изображения представляют собой подобные преобразования воображаемых изображений в натуральную величину. Коэффициент подобия при этом называется масштабом. Например, если участок местности изображается в масштабе 1:100, то это значит, что одному сантиметру на плане соответствует 1 м на местности.
Л^ Задача (4). На рисунке 236 изображен план усадьбы (6) в масштабе 1:1000. Определите размеры усадьбы (длину W и ширину).
Решение. Длина и ширина усадьбы на плане равны 4 см и 2,7 см. Так как план выполнен в масштабе 1:1000, то размеры усадьбы равны соответственно 2,7 X1000 см = = 27 (м), 4X1000 см = 40 (м).
СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ
Так же как и для движения, доказывается, что при преобразовании подобия три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, переходят в три точки Аь Вь Ci, также лежащие на одной прямой. Причем если точка В лежит между точками А и С, то точка В\ лежит между точками А\ и Сь Отсюда следует, что преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки.
Докажем, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.
Действительно, пусть угол АВС преобразованием подобия с коэффициентом к переводится в угол АХВ\С\ (рис. 237). Подвергнем угол АВС преобразованию гомотетии относительно его вершины В с коэффициентом гомотетии к. При этом точки А и С перейдут в точки А^ и С^. Треугольники А^ВС^ и AiBiCi равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов А^ВС^ и AjBiCi. Значит, углы АВС и A]BiCi равны, что и требовалось доказать.
ПОДОБИЕ ФИГУР
Две фигуры называются подобными, если они переводятся ДРУГ в друга преобразованием подобия. Для обозначения подобия фигур используется специальный значок: со. Запись FooF' читается так: «Фигура F подобна фигуре F'*.
Докажем, что если фигура Fx подобна фигуре F2, а фигура Р2 подобна фигуре Рз, то фигуры Рх и Рз подобны,.
Пусть Х| иУ, — две произвольные точки фигуры Fx. Преобразование подобия, переводящее фигуру Fx в F2, переводит эти точки в точки Х2, У2, для которых X2Y2 = kxXxYx.
Преобразование подобия, переводящее фигуру F2 в F3, переводит точки Х2, У2 в точки Хз, Уз» для которых Х3Уз = = k2X2Y2.
Из равенств
X2Y2 = kxXxYX) X3Y3 = k2X2Y2
следует, что ХзУз = ^1^2Х1У1. А это значит, что преобразование фигуры Ех в F^ получающееся при последовательном выполнении двух преобразований подобия, есть подобие. Следовательно, фигуры Ех и F3 подобны, что и требовалось доказать.
В записи подобия треугольников: △ АВСсо Д АХВХСХ— предполагается, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. А переходит в Ан В — в В\ и С — в С,.
Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, у подобных треугольников АВС и АХВ\СХ
ZLA—Z_AXs Z_B—Z_BX^ Z_C—Z-C\\
ABBCAC
Л1В1BiCiA1C1
ПРИЗНАН ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ДВУМ УГЛАМ
Теорема 11.2. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство. Пусть у треугольников АВС и АХВХСХ Z_A—Z_AX, Z_B= Z_BX. Докажем, что ДАВСсо со ДА1В1С1.
преобра-преобра-АВ
преобра-
преобра-
Пусть к=——. Подвергнем треугольник А1В1С1 А
зованию подобия с коэффициентом подобия к, например гомотетии (рис. 238). При этом получим некоторый треугольник А2В2С2, равный треугольнику АВС. Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то Z_A2—Z_AXt Z_B2= Z_BX. А значит, у треугольников АВС и А2В2С2 АА = = Z_A2, ДВ= Z_B2. Далее, А2В2 = кАхВх=АВ. Следовательно, треугольники АВС и А2В2С2 равны по второму признаку (по стороне и прилежащим к ней углам).
Рис. 238
Так как треугольники АХВХСХ и А2В2С2 гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники А2В2С2 и АВС равны и поэтому тоже подобны, то треугольники АХВХСХ и АВС подобны. Теорема доказана.
Рис. 239Рис. 239
Рис. 239
Рис. 239
Л< Задача (15). Прямая, параллельная стороне АВ тре- Г ^2 угольника АВС, пересекает его сторону АС в точке Аь а LJ сторону ВС в точке Вх. Докажите, что ДАВСсо /\АХВХС.
Решение (рис. 239). У треугольников АВС и АхВхС угол при вершине С общий, а углы САХВХ и САВ равны как соответствующие углы параллельных АВ и АХВХ с секущей АС. Следовательно, &АВСоо/\АхВхС по двум углам.
ПРИЗНАН ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
ПО ДВУМ СТОРОНАМ И УГЛУ МЕЖДУ НИМИ
Теорема 11.3. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
Доказательство (аналогично доказательству теоремы 11.2). Пусть у треугольников АВС и АХВХСХ АС=АСХ и AC = kAiCt, ВС = кВхСх. Докажем, что Д АВС со /\АХВХСХ.
Подвергнем треугольник АХВХСХ преобразованию подобия с коэффициентом подобия к, например гомотетии (рис. 240).
При этом получим некоторый треугольник А2В2С2, равный треугольнику АВС. Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то Z_C2 = Z_CX. А значит, у треугольников АВС и А2В2С2 Z_C= Х_Сг. Далее, А2С2 = кАхСх = АС, В2Сг = кВхСх = ВС. Следовательно, треугольники АВС и А2В2С2 равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).
Так как треугольники АХВХСХ и А2В2С2 гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники А2В2С2 и АВС равны и поэтому тоже подобны, то треугольники АХВХСХ и АВС подобны. Теорема доказана.
Л< Задача (31). В треугольнике АВС с острым углом С С” ) проведены высоты АЕ и BD (рис. 241). Докажите, что LJ △ ABC со ^.EDC.
Решение. У треугольников АВС и EDC угол при вершине С общий. Докажем пропорциональность сторон треугольников, прилежащих к этому углу. Имеем ЕС = = АС сов у, DC = ВС сову. То есть стороны, прилежащие к углу С, у треугольников пропорциональны. Значит, △ АВС со △ EDC по двум сторонам и углу между ними.
ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ТРЕМ СТОРОНАМ
Теорема 11.4. Если стороны, одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство (аналогично доказательству теоремы 11.2). Пусть у треугольников АВС и АХВХСХ AB = kA\Bx, AC = kAxCx, BC = kBxC\. Докажем, что ДАВСсо /\АХВХСХ.
Подвергнем треугольник AiB,C| преобразованию подобия с коэффициентом подобия к, например гомотетии (рис. 242). При этом получим некоторый треугольник А2В2С2, равный треугольнику АВС. Действительно, у треугольников соответствующие стороны равны:
А2В2 = кА1В1 = АВ, А2С2 = кА1С1=АС, B2C2 = kBlCl=BC.
Следовательно, треугольники равны по третьему признаку (по трем сторонам).
Так как треугольники АХВХСХ и А2В2С2 гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники А2В2С2 и АВС равны и поэтому тоже подобны, то треугольники АХВХСХ и АВС подобны. Теорема доказана.
Задача (36). Докажите, что у подобных треугольников периметры относятся как соответствующие стороны.
Р е ш е н и е. Пусть АВС и AiBiCi— подобные треугольники. Тогда стороны треугольника AiBiCi пропорциональны сторонам треугольника АВС, т. е. А]В| = = kAB, B\C\ = kBC, A{C\ = kAC. Складывая эти равенства почленно, получим:
А 1В[ -|- BiCi -|- A iCi — к (АВ-|- ВС -|-АС).
Отсюда
AiBi -|-B|C| -f-AiCiA|Bi AiCi BiCi
АВ + ВС + АС " АВ — АС — "вс" ’
т. е. периметры треугольников относятся как соответствующие стороны.
ПОДОБИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
У прямоугольного треугольника один угол прямой. Поэтому по теореме 11.2 для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу.
С помощью этого признака подобия прямоугольных треугольников докажем некоторые соотношения в треугольниках.
Пусть АВС — прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла (рис. 243).
Треугольники АВС и CBD имеют общий угол при вершине В. Следовательно, они подобны: Д АВС со дСВВ. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
ИЛИ BC=\AB-BD. Du
Это соотношение обычно формулируют так: катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
Прямоугольные треугольники ACD и CBD также подобны. У них равны острые углы при вершинах А и С. Из подобия этих треугольников следует пропорциональность их сторон: ^=^5"* или CDHAD BD.
Это соотношение обычно формулируют так: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
Рис. 243Рис. 244
Докажем следующее свойство биссектрисы треугольника: биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
Пусть CD — биссектриса треугольника АВС (рис. 244). Если треугольник АВС равнобедренный с основанием АВ, то указанное свойство биссектрисы очевидно, так как в этом случае биссектриса CD является и медианой.
Рассмотрим общий случай, когда АС^ВС. Опустим перпендикуляры AF и BE из вершин А и В на прямую CD.
Прямоугольные треугольники АСЕ и ВСЕ подобны, так как у них равны острые углы при вершине С. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:
АС _ AF ВС ~ BE *
Прямоугольные треугольники ADF и BDE тоже подобны. У них углы при вершине D равны как вертикальные. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:
AF __ АР
BE “ ВР '
Сравнивая это равенство с предыдущим, получим:
АС _ АР АС _ ВСВС "" ВР ИЛИ АР — ВР ’
т. е. отрезки AD и BD пропорциональны сторонам АС и ВС, что и требовалось доказать.
УГЛЫ, ВПИСАННЫЕ В ОКРУЖНОСТЬ
Угол разбивает плоскость на две части. Каждая из частей называется плоским углом. На рисунке 245 заштрихован один из плоских углов со сторонами а и Ь. Плоские углы с общими сторонами называются дополнительными.
Если плоский угол является частью полуплоскости, то его градусной мерой называется градусная мера обычного угла с теми же сторонами. Если плоский угол содержит полуплоскость, то его градусная мера принимается равной 360° — а, где а — градусная мера дополнительного плоского угла (рис. 246).
Рис. 245Рис. 245
Рис. 245
Рис. 245
Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу (рис. 247). Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность называется вписанным в окружность. Угол ВАС на рисунке 248 вписан в окружность. Его вершина А лежит на окружности, а -стороны пересекают окружность в точках В и С. Говорят также, что угол А опирается на хорду ВС. Прямая ВС разбивает окружность на две дуги. Центральный угол, соответствующий той из этих дуг, которая не содержит точку А, называется центральным углом, соответствующим данному вписанному углу.
Теорема 11.5. Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.
Доказательство. Рассмотрим сначала частный случай, когда одна из сторон угла проходит через центр окружности (рис. 249, а). Треугольник АОВ равнобедренный, так как у него стороны ОА и ОВ равны как радиусы. Поэтому углы АиВ треугольника равны. А так как их сумма равна внешнему углу треугольника при вершине О, то угол В треугольника равен половине угла АОС, что и требовалось доказать.
Рис. 249Рис. 249
Рис. 249
Рис. 249
Общий случай сводится к рассмотренному частному случаю проведением вспомогательного диаметра BD (рис. 249, б, в).
В случае, представленном на рисунке 249, б,
ААВС = ACBD + AABD=^- ACOD^ AAOD=^- ААОС.
В случае, представленном на рисунке 249, в, ААВС = ACBD — AABD=^- ACOD—y AAOD=^- ААОС.
Рис. 250Рис. 250ОтсюдаОтсюда
Рис. 250
Рис. 250
Отсюда
Отсюда
Теорема доказана полностью.
Из теоремы 11.5 следует, что вписанные углы, стороны которых проходят через точки А и В окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой АВ, равны (рис. 250).
В частности, углы, опирающиеся на диаметр, прямые.
ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ ХОРД И СЕКУЩИХ ОКРУЖНОСТИ
Если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S, то
ASBS = CSDS.
Докажем сначала, что треугольники ASD и CSB подобны (рис. 251). Вписанные углы DCB и DAB равны по следствию из теоремы 11.5. Углы ASD и BSC равны как вертикальные. Из равенства указанных углов следует, что треугольники ASD и CSB подобны.
Из подобия треугольников следует пропорция
DS AS
BS "CS *
AS*BS = CSDS,
что и требовалось доказать.
Если из точки Р к окружности проведены, две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то
APBP = CPDP.
Пусть точки А и С — ближайшие к точке Р точки пересечения секущих с окружностью (рис. 252). Треугольники PAD и РСВ подобны. У них угол при вершине Р общий, а углы при вершинах В и D равны по свойству углов, вписанных в окружность. Из подобия треугольников следует пропорция
РА __ PDPC “ РВ *
Отсюда PA-PB=PC-PD, что и требовалось доказать.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Что такое преобразование подобия?
Что такое гомотетия (центр гомотетии, коэффициент гомотетии)?
Докажите, что гомотетия есть преобразование подобия.
Какие свойства преобразования подобия вы знаете? Докажите, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.
Какие фигуры называются подобными?
Каким знаком обозначается подобие фигур? Как записывается подобие треугольников?
Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум углам.
Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними.
Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по трем сторонам.
Докажите, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
Докажите, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
Докажите, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
Что такое плоский угол?
Что такое центральный угол?
Какой угол называется вписанным в окружность?
Докажите, что вписанный в окружность угол равен половине соответствующего центрального угла.
Докажите свойства отрезков пересекающихся хорд и свойства отрезков секущих.
ЗАДАЧИ
При гомотетии точка X переходит в точку Х\ а точка У — в точку ¥\ Как найти центр гомотетии, если точки X, Х\ У, У' не лежат на одной прямой?
При гомотетии точка X переходит в точку X'. Постройте центр гомотетии, если коэффициент гомотетии равен 2.
Начертите треугольник. Постройте гомотетичный ему треугольник, приняв за центр гомотетии одну из его вершин и коэффициент гомотетии равным 2.
На рисунке 236 изображен план усадьбы в масштабе 1:1000. Определите размеры усадьбы (длину и ширину).
Что представляет собой фигура, подобная треугольнику?
У подобных треугольников АВС и AiBiCi ZA = 30°, АВ = 1 м, ВС = 2 м, SiCi=3 м. Чему равны угол Ai и сторона AiSi?
Докажите, что фигура, подобная окружности, есть окружность.
8*. Даны угол и внутри его точка А. Постройте окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через точку А.
9*. Впишите в данный треугольник квадрат, у которого две вершины лежат на одной стороне, а две другие вершины — на двух других сторонах.
Докажите подобие равнобедренных треугольников с равными углами при вершинах, противолежащих основаниям.
У двух равнобедренных треугольников углы между боковыми сторонами равны. Боковая сторона и основание одного треугольника равны 17 см и 10 см, основание другого равно 8 см. Найдите его боковую сторону.
У треугольников АВС и AiBiCi ZA = ZA], Z_B= Z_B\^ AB = 5 m, BC = 7 m, AiSi —10 m, AiCi=8 m. Найдите остальные стороны треугольников.
Решите задачу 12 при условии, что АВ = 16 см, ВС = = 20 см, AiBi = 12 см, AC —AiCi = 6 см.
Докажите, что высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС,
пересекает его сторону АС в точке Ai, а сторону ВС в точке В\. Докажите, что Д АВСсо д А\В\С»
В треугольник с основанием а и высотой h вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании треугольника, а другие две — на боковых сторонах (рис. 253). Вычислите сторону квадрата.
Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС» делит его сторону АС в отношении т:п» считая от вершины С. В каком отношении она делит сторону ВС?
В треугольнике АВС проведен отрезок DE» параллельный стороне АС (конец D отрезка лежит на стороне АВ» а Е— на стороне ВС). Найдите AD» если АВ = 16 см, АС = 20 см и ВВ=15 см.
В задаче 18 найдите отношение AD:BD» если известно, что АС:ВВ = 55:28.
Найдите длину отрезка DE в задаче 18, если: 1) АС = = 20 см, АВ= 17 см и ВВ=11,9 см; 2) АС= 18 дм, АВ—15 дм и AD—10 дм.
Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке Е (рис. 254). Докажите подобие треугольников ВСЕ и DAE.
Найдите отношение отрезков диагонали трапеции, на которые она разбивается другой диагональю, если основания трапеции относятся как т:п.
Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции, делит одно основание в отношении т:п. В каком отношении она делит другое основание?
В трапеции ABCD с диагональю АС углы АВС и ACD равны. Найдите диагональ АС» если основания ВС и AD соответственно равны 12 м и 27 м.
Линия, параллельная основаниям трапеции, делит одну боковую сторону в отношении т:п. В каком отношении делит она вторую боковую сторону?
Продолжения боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD пересекаются в точке Е. Найдите стороны треугольника AED» если АВ=5 см, ВС =10 см, CD=6 см, АВ=15 см.
Найдите высоту треугольника AED из задачи 26» опущенную на сторону AD» если ВС = 7 см, AD = 21 см и высота трапеции равна 3 см.
28*. Диагонали трапеции пересекаются в точке Е» а продолжения боковых сторон пересекаются в точке F. Докажите, что прямая EF делит основания трапеции пополам (рис. 255).
29*. У равнобедренного треугольника АВС с основанием АС и противолежащим углом 36° проведена биссектриса AD.
Докажите подобие треугольников АВС и CAD.
Найдите основание треугольника АВС» если его боковая сторона равна а.
Углы В и Вх треугольников АВС и AiBiCi равны. Стороны треугольника АВС» прилежащие к углу В» в 2,5 раза больше сторон треугольника АХВХСХ» прилежащих к углу Вх. Найдите АС и AiCi, если их сумма равна 4,2 м.
В треугольнике АВС с острым углом С проведены высоты АЕ и BD. Докажите, что Л ABC со &EDC.
32*. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты AD» BE» CF. Найдите углы треугольника DEF» зная углы треугольника АВС (рис. 256).
33*. Докажите, что биссектрисы треугольника DEF в задаче 32 лежат на высотах треугольника АВС.
Подобны ли два равносторонних треугольника?
Подобны ли треугольники АВС и AiBiCi, если:
АВ = 1 м, АС = 1,5 м, ВС = 2 м; А]В] = 10 см, ^^1 = 15 см, В]С1=20 см;
АВ=1 м,АС = 2 м,ВС = 1,5 м; AiBi —8 дм,
A]Ci = 16 дм, B]Ci = 12 дм;
АВ = 1 м,АС = 2 м,ВС = 1,25 м; A]B! = 10 см,
A]Ci=20 см, B]Ci = 13 см?
Докажите, что у подобных треугольников периметры относятся как соответствующие стороны.
Стороны треугольника равны 0,8 м, 1,6 м и 2 м. Найдите стороны подобного ему треугольника,'периметр которого равен 5,5 м.
Периметр одного треугольника составляет ^ периметра по- добного ему треугольника. Разность двух соответствующих сторон равна 1 м. Найдите эти стороны.
Подобны ли два прямоугольных треугольника, если у одного из них есть угол 40°, а у другого — угол, равный: 1) 50°; 2) 60°?
Основание высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, делит ее на отрезки 9 см и 16 см. Найдите стороны треугольника.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, а один из катетов равен 10 см. Найдите проекцию другого катета на гипотенузу.
Докажите, что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны.
Катеты прямоугольного треугольника относятся как т: ти Как относятся проекции катетов на гипотенузу?
Длина тени фабричной трубы равна 35,8 м; в это же время вертикально воткнутый в землю кол высотой 1,9 м дает тень длиной 1,62 м (рис. 257). Найдите высоту трубы.
В треугольник АВС вписан ромб ADEF так, что угол А у них общий, а вершина Е находится на стороне ВС (рис. 258). Найдите сторону ромба, если АВ=с и АС=Ь.
46*. Биссектриса внешнего угла треугольника АВС при вершине С пересекает прямую АВ в точке D (рис. 259). Докажите, что AD:BD=AC:BC.
47*. Докажите, что геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до двух данных точек постоянно (не равно единице), есть окружность.
Найдите дополнительные плоские углы, зная, что: 1) один из них в 5 раз больше другого; 2) один из них на 100° больше другого; 3) разность их равна 20°.
Точки А, В, С лежат на окружности. Чему равна хорда АС, если угол АВС равен 30°, а диаметр окружности 10 см?
Точки А, В, С лежат на окружности. Чему равен угол АВС, если хорда АС равна радиусу окружности? (Два случая.)
Докажите, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы.
Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два равнобедренных треугольника.
Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и высоте, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу.
На окружности отмечены четыре точки А, В, С, D. Чему равен угол ADC, если угол АВС равен а? (Два случая.)
Хорды окружности AD и ВС пересекаются. Угол АВС равен 50°, угол ACD равен 80°. Найдите угол CAD.
56*. Докажите, что у четырехугольника, вписанного в окружность, сумма противолежащих углов равна 180°.
Докажите, что геометрическое место вершин прямых углов, стороны которых проходят через две данные точки, есть окружность.
Докажите, что геометрическое место вершин углов с заданной градусной мерой, стороны которых проходят через две данные точки, а вершины лежат по одну сторону
Рис. 259Рис. 259Рис. 260Рис. 260
Рис. 259
Рис. 259
Рис. 260
Рис. 260
от прямой, соединяющей эти точки, есть дуга окружности с концами в этих точках (рис. 260).
Докажите, что острый угол между хордой окружности и касательной к окружности в конце хорды равен половине угла между радиусами, проведенными к концам хорды (рис. 261).
Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и высоте, проведенной из вершины этого угла.
Из точки С окружности проведен перпендикуляр CD к диаметру АВ. Докажите, что CD1 = AD- BD.
Докажите, что произведение отрезков секущей окружности равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки: АС • ВС = CD2 (рис. 262).
С
Рис. 261Рис. 262
Как далеко видно из самолета, летящего на высоте 4 км над Землей, если радиус Земли 6370 км?
Вычислите радиус горизонта, видимого с вершины телебашни в Останкине, высота которой 537 м.
12. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ
Теорема 12.1 (теорема косинусов). Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Доказательство. Пусть АВС — данный треугольник (рис. 263). Докажем, что ВС2=АВ2+АС2 — 2АВ-AC-cos А.
Имеем векторное равенство ВС=АС — АВ. Возводя это равенство скалярно в квадрат, получим:
ВС2 = АВ2+АС2 - 2АВ - АС,
или
ВС2 = АВ2 + АС2 - 2АВАС • cos А.
Теорема доказана.
Заметим, что АС • cos А равно по абсолютной величине проекции AD стороны АС на сторону АВ (рис. 263, а) или ее продолжение (рис. 263, б). Знак АС • cos А зависит от угла А : « + », если угол А острый, ♦ — *, если угол А тупой. Отсюда получается следствие: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон * ± * удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак «-^» надо брать, когда противолежащий угол тупой, а знак * —когда угол острый.
Задача (7). Даны стороны треугольника а, Ь, с. Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону с.
Решение. Имеем a2 = b2+c2±2c-AD (рис. 264).
Отсюда AD=±^. По теореме Пифагора
I/2l2
CD^AC^-AD1 Ь1-^--^-6
ТЕОРЕМА СИНУСОВ
Теорема 12.2 (теорема синусов). Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Доказательство. Пусть АВС — треугольник со сторонами а, 5, с и противолежащими углами а, р, у (рис. 265). Докажем, что
а Ъ сsin a sin р sin у *
Опустим из вершины С высоту CD. Из прямоугольного треугольника ACD, если угол а острый, получаем:
CD = b sin а
(рис. 265, а). Если угол а тупой, то
CD = b sin (180° — а) = Ь sin а
Итак, a sin р = b sin а. Отсюда
b аsinp sin а "
Аналогично доказывается равенство
Ъ с sin р sin у Для доказательства надо провести высоту треугольника из вершины А. Теорема доказана.
Задача (13). Докажите, что в теореме синусов каж- „ а b с„ „
дое из трех отношении: -—, -—-, равно 2Я, где
sin a sin р sin у
R — радиус окружности, описанной около треугольника.
Решение. Проведем диаметр BD (рис. 266). По свойству углов, вписанных в окружность, угол при вершине D прямоугольного треугольника BCD равен либо а, если точки А и D лежат по одну сторону от прямой ВС (рис. 266, а), либо 180° — а, если они лежат по разные стороны от прямой ВС (рис. 266, б). В первом случае BC = BD sin а, во втором ВС=BD sin (180° — а). Так как sin (180° — a) = sin а, то в любом случае a = 2R sin а. Следовательно,
—^-=2Rsin а
что и требовалось доказать.
СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА И ПРОТИВОЛЕЖАЩИМИ СТОРОНАМИ
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол.
Пусть а и b — две стороны треугольника и а, р — противолежащие им углы. Докажем, что если а > р, то а> Ь. И обратно: если а>Ь, то а>р.
Если углы аир острые (рис. 267, а), то при а > р будет
о;б)
Рис. 267
то а> Ь. Если угол а тупой (оба угла не могут быть тупыми), то угол 180° — а острый (рис. 267, б). Причем угол 180° — а больше угла р как внешний угол треугольника, не смежный с углом р. Поэтому sin a = sin (180° — a)>sinp. И мы снова заключаем, что а > Ь.
Докажем обратное утверждение. Пусть О Ь. Надо доказать, что a > р. Допустим, что а ^ р. Если a = р, то треугольник равнобедренный и а = Ь. Если а<р, то по доказанному a<Lb. В обоих случаях получается противоречие, так как по предположению а > Ь, значит a > р, что и требовалось доказать.
Jk Задача (17). Докажите, что если в треугольнике ГО есть тупой угол, то противолежащая ему сторона наиболь- 3—( шая.
Решение. В треугольнике может быть только один тупой угол. Поэтому он больше любого из остальных углов. А значит, противолежащая ему сторона больше любой из двух других сторон треугольника.
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Решение треугольников состоит в нахождении неизвестных сторон и углов треугольника по известным его углам и сторонам. Будем обозначать стороны треугольника через а, Ь, с, а противолежащие им углы через а, р, у (рис. 268).
Задача (26). 1) В треугольнике даны сторона а = 5 и два угла 3 = 30°, у = 45°. Найдите третий угол и остальные две стороны.
Решение. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то третий угол а выражается через заданные углы:
а = 180° — 3~У = 180° —30° —45° = 105°.
Зная сторону и все три угла, по теореме синусов находим две остальные стороны:
, sin В r sin 30 b — a* ——^=5ч -sina sin 105, sin В r sin 30 b — a* ——^=5ч -sina sin 105^^-«2,59,0,966’’^^-«2,59,0,966’’sin у с = а- ——Lsin аsin у с = а- ——Lsin а^«3,66.0,966^«3,66.0,966
, sin В r sin 30 b — a* ——^=5ч -
sina sin 105
, sin В r sin 30 b — a* ——^=5ч -
sina sin 105
^^-«2,59,0,966’’
^^-«2,59,0,966’’
sin у с = а- ——L
sin а
sin у с = а- ——L
sin а
^«3,66.
0,966
^«3,66.
0,966
Ф
Задача (27). 1) В треугольнике даны две стороны a = 12, Ь = 8 и угол между ними у = 60°. Найдите остальные два угла и третью сторону.
Решение. Третью сторону находим по теореме косинусов :
с = д/a2 + b2-2аЬ • cos у = д/144 + 64-2 12-8-0,500 =
= х112«10,6.
Теперь, имея три стороны, по теореме косинусов находим косинусы двух неизвестных углов и сами углы: 2_ 2
cos a = ——^0,191, откуда a ^79°, 3 = 180° — a — у^ ^41°.
Jk Задача (28). 5) В треугольнике даны две стороны Г^) о = 6, Ь = 8 и противолежащий стороне а угол a = 30°.
с Найдите остальные два угла и третью сторону.
Решение. По теореме синусов находим значение sin 3:
sin 3=—*sin a = 4--sin 30° ^0,667. r а6
Этому значению синуса соответствуют два угла: 31 ~42° и 32^138°.
Рис. 269Рис. 269Рис. 268
Рис. 269
Рис. 269
Рассмотрим сначала угол pi ^42°. По нему находим третий угол yi = 180° — а — 3^108° и по теореме синусов третью сторону
sin а sin 30°
Аналогично по углу р2~138° находим у2~12° и с2~2,49.
Замечание. Мы видим, что эта задача в отличие от предыдущих имеет два решения (рис. 269). При других численных данных, например при а ^90°, задача может иметь лишь одно решение или вовсе не иметь решений.
Лк Задача (29). 1) Даны три стороны треугольника: Г 6 2 а — 2, Ь = 3, с = 4. Найдите его углы.
г Решение. Углы находятся по теореме косинусов:
cosa = b ^с—а =-|-=0,875, откуда а^29°.
Аналогично находится cosp = 0,688, откуда 3~47° и у 180°—47°— 29° = 104°.
f КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Докажите теорему косинусов.
Докажите, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов других двух сторон ♦ + * удвоенное произведение одной из этих сторон на проекцию другой. От чего зависит знак * + * или ♦ — »?
Докажите теорему синусов.
Докажите, что в любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол и против большего угла лежит большая сторона.
ЗАДАЧИ
Стороны треугольника 5 м, 6 м, 7 м. Найдите косинусы углов треугольника.
У треугольника две стороны равны 5 м и 6 м, а синус угла между ними равен 0,6. Найдите третью сторону.
Стороны треугольника равны а, Ь, с. Докажите, что если a^-Vb^^c^, то угол, противолежащий стороне с, острый. Если a2-j-&2<c2, то угол, противолежащий стороне с, тупой.
Даны диагонали параллелограмма с и d и угол между ними а. Найдите стороны параллелограмма.
Даны стороны параллелограмма а и b и один из углов а. Найдите диагонали параллелограмма.
Стороны треугольника 4 м, 5 м и 6 м. Найдите проекции сторон 4 м и 5 м на прямую, содержащую сторону 6 м.
Даны стороны треугольника а, Ь, с. Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону с.
Найдите высоты треугольника в задаче 1.
Найдите медианы треугольника в задаче 1.
10*. Найдите биссектрисы треугольника в задаче 1.
11*. Как изменяется сторона АВ треугольника АВС, если угол С возрастает, а длины сторон АС и ВС остаются без изменений (рис. 270)?
У треугольника АВС АВ=15 см, АС= 10 см. Может ли sin р=4~?
4
Докажите, что в теореме синусов каждое из трех отноше-
нии -—,, -— равно 2Я, где В — радиус окруж-
sin a sin р sin уJ
ности, описанной около треугольника.
Как найти радиус окружности, описанной около треугольника, зная его стороны? Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 5 м, 6 м, 7 м.
Объясните, как найти расстояние от точки А до недоступной точки В (рис. 271), зная расстояние АС и углы аир.
Объясните, как найти высоту х здания (рис. 272) по углам аир и расстоянию а.
Докажите, что если в треугольнике есть тупой угол, то противолежащая ему сторона наибольшая.
В треугольнике ABC Za = 40°, ZB=60°, ZC = 80°. Какая из сторон треугольника наибольшая, какая — наименьшая?
У треугольника АВС стороны АВ= 5,1 м, ВС = 6,2 м, АС =7,3 м. Какой из углов треугольника наибольший, какой — наименьший?
Что больше — основание или боковая сторона равнобедренного треугольника, если прилежащий к основанию угол больше 60° ?
У треугольника АВС угол С тупой. Докажите, что если точка X лежит на стороне АС, то ВХ<.АВ.
У треугольника АВС угол С тупой. Докажите, что если точка X лежит на стороне АС, а точка У — на стороне ВС, то Х¥<АВ.
На стороне АВ треугольника АВС отмечена точка D. Докажите, что отрезок CD меньше по крайней мере одной из сторон: АС или ВС.
24*. Дан треугольник ABC. CD — медиана, проведенная к стороне АВ. Докажите, что если АС^ВС, то угол ACD меньше угла BCD.
25*. Докажите, что биссектриса треугольника не меньше высоты и не больше медианы, проведенных из этой же вершины.
Даны сторона и два угла треугольника. Найдите третий угол и остальные две стороны, если:
1) о = 5,3 = 30°,у = 45°;
27.
о = 20,а=75°,0 = 60°;
о = 35,₽=40°,у = 120о;
6 = 12,а=36°,3 = 25°;
с = 14,а=64°,3 = 48°.
Даны две стороны и угол между ними. Найдите остальные
28.
два угла и третью сторону, если:
о = 12,6 = 8,7 = 60°;
о = 7,6 = 23,7 = 130°;
6 = 9,с=17,а = 95°;
6 = 14,с=10,а = 145°;
о = 32,с=23,3 = 152°;
о = 24,с = 18,3 = 15°.
В треугольнике заданы две стороны и угол, противо
29.
лежащий одной из сторон. Найдите остальные углы и сторону треугольника, если:
о = 12,6=5,а =120°;
о = 27,6=9,а =138°;
о = 34,6=12,а =164°;
о = 2,6=4,а = 60°;
о = 6,6=8,а = 30°.
Даны три стороны треугольника. Найдите его углы, если:
о = 2,6=3,с = 4;
о = 7,6=2,с = 8;
о = 4,6=5,с = 7;
о = 15,6=24,с =18;
о = 23,6=17,с =39;
о = 55,6=21,с =38.
§ 13. МНОГОУГОЛЬНИКИ
ЛОМАНАЯ
Ломаной А|А2А3 ... Ап называется фигура, которая состоит из точек А], А2, ..., Ап и соединяющих их отрезков А\А^ А2А3, ..., Ап_\Ап. Точки А], А2, ..., Ап называются вершинами ломаной, а отрезки А]А2, А2А3, ..., Ап_хАп— звеньями ло-
большую, чем исбольшую, чем ис
большую, чем ис
большую, чем ис
маной. Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений. На рисунке 273, а показана простая ломаная, а на рисунке 273, б — ломаная с самопересечением (в точке В). Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев.
Теорема 13.1. Длина ломаной не меньше длины, отрезка, соединяющего ее кон^ы.
Доказательство. Пусть AiA2A3... ...Ап — данная ломаная (рис. 274).
Заменим звенья А\А2 и А^А^ одним звеном А]Аз. Получим ломаную А1А3А4 ... ».Ап. Так как по неравенству треугольника
А1А3 <CAiA2 4-А2А3,
то ломаная А1А3А4 ... Ап имеет длину, не
ходная ломаная.
Заменяя таким же образом звенья А; Аз и А3А4 звеном А1А4, переходим к ломаной AiA4A5 ... АП1 которая также имеет длину, не большую, чем исходная ломаная. И т. д. В итоге мы придем к отрезку А\Ап, соединяющему концы ломаной. Отсюда следует, что исходная ломаная имела длину, не меньшую длины отрезка А\Ап. Теорема доказана.
Л< Задача (1). Даны две окружности с радиусами С у2 В] и R2 и расстоянием между центрами d>H\^-H2. Чему 1—г равны наибольшее и наименьшее расстояния между точками X и Y этих окружностей?
Рис. 275
Решение. Для ломаной OxXYOs по теореме 13.1 О1О2^О1Х + ХУ + УО2 (рис. 275). Значит, d^R^XY^- +^2. Отсюда XY^d — R\ — Rs. Так как AC = d —R\ — Д2, то наименьшее расстояние между точками окружностей равно d —R\ — Rs.
Для ломаной XOiOsY по той же теореме XY^Rx + ^ + +Я2. Так как BD = d-VRx-VRs*» то наибольшее расстояние между точками окружностей равно d-\-Rx-\-Rs.
ВЫПУКЛЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
Ломаная называется замкнутой, если у нее концы совпадают. Простая замкнутая ломаная называется многоугольником, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой (рис. 276). Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной — сторонами многоугольника. Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника, называются диагоналями. Многоугольник с п вершинами, а значит, и с п сторонами называется п-угольником.
Плоским многоугольником или многоугольной областью называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником (рис. 277).
Рис. 276Рис. 276Рис. 277Рис. 277
Рис. 276
Рис. 276
Рис. 277
Рис. 277
Многоугольник называется выпуклым» если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. При этом сама прямая считается принадлежащей полуплоскости. На рисунке 278, а изображен выпуклый многоугольник, а на рисунке 278, б — невыпуклый. Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине.
Теорема 13.2. Сумма углов выпуклого п-угольника равна 180° (п — 2).
Доказательство. В случае п = 3 теорема справедлива. Пусть AiA2 ... Ап — данный выпуклый многоугольник и п>3 (рис. 279). Проведем п — 3 диагонали: AiA3, АХА4, ... ..., А\Ап-1. Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на п — 2 треугольника: AAiA2A3, ДА1А3А4, ... ..., дА1Ап_1Ап. Сумма углов многоугольника АхА2...Ап совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, а число этих треугольников есть п — 2. Поэтому сумма углов выпуклого п-угольника АХА2... ...Ап равна 180°-(п — 2). Теорема доказана.
Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине.
Л. Задача (9). Чему равна сумма внешних углов (4) выпуклого n-угольника, взятых по одному при каждой LJ вершине?
Решение. Сумма внутреннего угла многоугольника и смежного с ним внешнего равна 180°. Поэтому сумма всех внутренних и внешних углов равна 180° *п. Но сумма всех внутренних углов равна 180°-(п — 2). Значит, сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, равна 180°-п —180°-(п —2) = 360°.
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.
Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на некоторой окружности. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.
Теорема 13.3. Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности.
Доказательство. Пусть А и В — две соседние вершины правильного многоугольника (рис. 280). Проведем биссектрисы углов многоугольника из вершин А и В. Пусть О — точка их пересечения. Треугольник АОВ равнобедренный с основанием АВ и углами при основании, равными ^-, где а —
угол многоугольника.
Соединим точку О с вершиной С, соседней с В. Треугольники АВО и СВО равны по первому признаку равенства треугольников. У них сторона ОВ общая, стороны АВ и ВС равны как
стороны многоугольника, а углы при вершине В равны -^-. Из равенства треугольников следует, что треугольник ОВС рав
нобедренный с углом при вершине С, равным —, т. е. СО есть биссектриса угла С.
Теперь соединяем точку О с вершиной D, соседней с С, и доказываем, что треугольник COD равнобедренный и DO — биссектриса угла D многоугольника. И т. д.
В итоге получается, что каждый треугольник, у которого
одна сторона есть сторона многоугольника, а противолежащая вершина — точка О, является равнобедренным. Все эти треугольники имеют равные боковые стороны и равные высоты, опущенные на их основания. Отсюда следует, что все вершины многоугольника находятся на окружности с центром О и радиусом, равным боковым сторонам треугольников, а все стороны многоугольника касаются окружности с центром О и радиусом,
АВАВравным высотам треугольников, опущенным из вершины О. Теорема доказана.
АВ
АВ
Вписанная и описанная окружности правильного многоугольника имеют один и тот же центр. Его называют центром многоугольника. Угол, под которым видна сторона правильного многоугольника из его центра, называется центральным углом многоуголь-
ника.ника.Рис. 280
ника.
ника.
ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАДИУСОВ ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ ОКРУЖНОСТЕЙ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
Найдем радиус R описанной окружности и радиус г вписанной окружности для правильного многоугольника со стороной а и числом сторон п (рис. 281).Найдем радиус R описанной окружности и радиус г вписанной окружности для правильного многоугольника со стороной а и числом сторон п (рис. 281).Рис. 281Рис. 281
Найдем радиус R описанной окружности и радиус г вписанной окружности для правильного многоугольника со стороной а и числом сторон п (рис. 281).
Найдем радиус R описанной окружности и радиус г вписанной окружности для правильного многоугольника со стороной а и числом сторон п (рис. 281).
Рис. 281
Рис. 281
Для правильного (равностороннего) треугольника п = 3, р = ^:=60о,
r a aa a
2 sin 60° — ^/3 ’~ 2 tg 60° -
Для правильного четырехугольника (квадрата) и = 4, 1^=45% 4
д л О' Р о о — 2 sin 45°~ 2tg 45°
Для правильного шестиугольника п = 6, р=^-=30°,
73 (22 sin 30°°’ Г73 (22 sin 30°°’ Г° _° V32tg 30°— 2° _° V32tg 30°— 2
73 (2
2 sin 30°°’ Г
73 (2
2 sin 30°°’ Г
° _° V3
2tg 30°— 2
° _° V3
2tg 30°— 2
Ф
З а д а ч а (16). Найдите выражения для стороны ап правильного n-угольника через радиус R описанной около него окружности и радиус г вписанной окружности. Вычислите а„ при п = 2, 4, 6.
Решение. Поскольку R =°", то отсюда сле-
2 sinпдует:
on • 180°а„ = 2R sin.
п
В частности,
a3=R^, a^=R^2, a6 = R.
Поскольку г = —^т^> то отсюда следует: _ . Аои
п а 180°an = 2rtg—^—.
В частности,
а3 = 2гл/3, а4 = 2г, а6=—
ПОСТРОЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРАВИЛЬНЫХ
МНОГОУГОЛЬНИКОВ
Для построения правильного многоугольника, вписанного в окружность, достаточно построить его центральный угол, хг “ 360° СПо У правильного шестиугольника такой угол равен = 60 .
Поэтому для построения правильного шестиугольника одну вершину (А|) на окружности берем произвольно. Из нее как из центра радиусом, равным радиусу окружности, делаем засечку и получаем вершину А2 (рис. 282). Затем аналогично строим остальные вершины Аз, А4, А5, А6 и соединяем их отрезками.
Для построения правильного вписанного треугольника достаточно соединить через одну вершины правильного вписанного шестиугольника (рис. 283).
Для построения правильного вписанного четырехугольника (квадрата) достаточно провести через центр окружности перпендикулярные прямые. Они пересекут окружность в вершинах квадрата (рис. 284).
Рис. 284Рис. 284Для построения правильного описанного многоугольника достаточно провести касательные к окружности в вершинах правильного вписанного многоугольника. Касательные, проходящие через вершины правильного вписанного многоугольника, пересекаются в вершинах правильного описанного многоугольника (рис. 285).
Рис. 284
Рис. 284
Если в окружность вписан правильный n-угольник, то легко построить правильный вписанный 2п-угольник. На рисунке 286 показано построение правильного восьмиугольника.
ПОДОБИЕ ПРАВИЛЬНЫХ ВЫПУКЛЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
Теорема 13.4. Правильные выпуклые п-уголъники подобны. В частности, если у них стороны одинаковы, то они равны.
Доказательство. Докажем сначала второе утверждение теоремы. Итак, пустьРх: А|А2...А„, Р2: В\В^...Вп — правильные выпуклые n-угольники с одинаковыми сторонами (рис. 287). Докажем, что они равны, т. е. совмещаются движением.
Треугольники А|А2Аз и В1В2Вз равны по первому признаку. У них A|A2=BiB2, А2Аз = ВаВз и /1А|А2Аз=/1В1В2Вз«
Рис. 287
Подвергнем многоугольник Р\ движению, при котором его вершины Аь А2, Аз переходят в вершины В\, В2, Вз соответственно. Как мы знаем, такое движение существует. При этом вершина А4 перейдет в некоторую точку С. Точки В4 и С лежат по одну сторону с точкой В\ относительно прямой В2Вз. Так как движение сохраняет углы и расстояния, то АВ2ВзС = АВ2ВзВ4 и ВзС=ВзВ4. А значит, точка С совпадает с точкой В^. Итак, при нашем движении вершина А4 переходит в вершину В4. Далее таким же способом заключаем, что вершина А5 переходит в вершину В5 и т. д. То есть многоугольник Р\ переводится движением в многоугольник Р2, а значит, они равны.
Чтобы доказать первое утверждение теоремы, подвергнем сначала многоугольник Pi преобразованию подобия, например гомотетии, с коэффициентом подобия Aj = ^^-. При этом получим правильный п-угольник Р' с такими же сторонами, как и у Р2.
По доказанному многоугольник Р' переводится движением в многоугольник Р2, а значит, многоугольник Pi переводится в многоугольник Р2 преобразованием подобия и движением. А это есть снова преобразование подобия. Теорема доказана.
У подобных фигур коэффициент подобия равен отношению соответствующих линейных размеров. У правильных п-уголь- ников такими линейными размерами являются длины сторон, радиусы вписанных и описанных окружностей. Отсюда следует, что у правильных п-угольников отношения сторон, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны. А так как периметры n-угольников тоже относятся как стороны, то у правильных п-угопъников отношения периметров, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны.
Рис. 288Рис. 288ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ
Рис. 288
Рис. 288
Наглядное представление о длине окружности получается следующим образом. Представим себе нить в форме окружности. Разрежем ее и растянем за концы. Длина полученного отрезка и есть длина окружности. Как найти длину окружности, зная ее радиус? Ясно, что при неограниченном увеличении числа сторон вписанного в окружность правильного многоугольника его периметр неограни-
ченно приближается к длине окружности (рис. 288). Исходя из этого, докажем некоторые свойства длины окружности.
Теорема 13.5. Отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от окружности, т. е. одно и то же для любых двух окружностей.
Доказательство. Возьмем две произвольные окружности. Пусть Д| и Д2 — их радиусы, а Ц и Z2 — их длины.
Допустим, что утверждение теоремы неверно и —, 2Д|2/?2
например:
27?,2Д2 *W
Впишем в наши окружности правильные выпуклые многоугольники с большим числом сторон п. Если п очень велико, то длины наших окружностей будут очень мало отличаться от периметров р\ и р2 вписанных многоугольников. Поэтому неравенство (*) не нарушится, если в нем заменить 1\ на Pi, а Z2 на р2:
Pi Р2
2R^2R2 *(**)
Но, как мы знаем, периметры правильных выпуклых п-уголь- ников относятся как радиусы описанных окружностей:
Pl __ Я1
Р2 R2
Отсюда -—-=-^-. А это противоречит неравенсту (**). Теорема доказана.
Отношение длины окружности к диаметру принято обозначать греческой буквой л (читается «пи»):
Л.Л.I
Л.
Л.
2R
Архимед — древнегреческий ученый (III в. до н. э.)Архимед — древнегреческий ученый (III в. до н. э.)
Архимед — древнегреческий ученый (III в. до н. э.)
Архимед — древнегреческий ученый (III в. до н. э.)
Число л иррациональное. Приближенное значение
л ^3,1416.
Приближенное значение числа л было известно уже древним грекам. Очень простое приближенное значение л нашел Архимед: ^ . Оно отличается от точного значения л меньше чем на 0,002.
Так как -^ = л, то Длина окружности вычисляется по формуле
I = 2лЯ.
РАДИАННАЯ МЕРА УГЛА
Найдем длину дуги окружности, отвечающей центральному углу в п° (рис. 289). Развернутому углу соответствует длина полуокружности лЯ. Следовательно, углу в 1° соответствует дуга длины ^, а углу в п° соответствует дуга длины
Радианной мерой угла называется отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности. Из формулы для длины дуги окружности следует, что
т. е. радианная мера угла получается из градусной умножением на 1^5°" частности> радианная мера угла 180° равна л, радианная мера прямого угла равна -^-.
Единицей радианной меры углов является радиан. Угол в один радиан — это угол, у которого длина дуги равна радиусу (рис. 290). Градусная мера угла в один радиан равна ^^-«57°. Jk Задача (50). Найдите радианную меру углов тре- угольника АВС, если АА = 60°, АВ = 45°.
1—'Решение. Радианная мера угла А равна
60°.^—=—.180°3
Радианная мера угла В равна 45 ° • у^=^-. По теореме
о сумме углов треугольника АС = л—£—=—.
3412
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Докажите, что отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от окружности, т. е. одно и то же для всех окружностей.
По какой формуле вычисляется длина окружности?
По какой формуле вычисляется длина дуги окружности?
Что такое радианная мера угла?
Чему равны радианные меры углов 180° и 90°?
ф ЗАДАЧИ
Даны две окружности с радиусами Я, и Яг и расстоянием между центрами с?>Я1+Яг. Чему равны наибольшее и наименьшее расстояния между точками X и У этих окружностей?
Решите задачу 1 при условии, что <K.R\—Я2 (рис. 291).
Докажите, что если вершины ломаной не лежат на одной прямой, то длина ломаной больше длины отрезка, соединяющего ее концы.
Докажите, что у замкнутой ломаной расстояние между любыми двумя вершинами не больше половины длины ломаной.
Докажите, что у замкнутой ломаной длина каждого звена не больше суммы длин остальных звеньев.
Может ли замкнутая ломаная иметь звенья длиной 1 м, 2 м, 3 м, 4 м, 11 м? Объясните ответ.
Докажите, что если концы ломаной лежат по разные стороны от данной прямой, то она пересекает эту прямую (рис. 292).
Сколько диагоналей у п-угольника?
Чему равна сумма внешних углов выпуклого п-угольни- ка, взятых по одному при каждой вершине?
Углы выпуклого четырехугольника пропорциональны числам 1, 2, 3, 4. Найдите их.
Докажите, что у четырехугольника, описанного около окружности, суммы длин противолеЗкащих сторон равны.
Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внутренних углов которого равен: 1) 135°; 2) 150°?
Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый из внешних его углов равен: 1) 36°; 2) 24°?
Докажите, что взятые через одну вершины правильного 2«-угольника являются вершинами правильного «-угольника.
Докажите, что середины сторон правильного «-угольника являются вершинами другого правильного «-угольника.
Найдите выражения для стороны ап правильного «-угольника через радиус Я описанной около него окружности и радиус г вписанной окружности. Вычислите а„ при п = = 3, 4, 6.
Хорда, перпендикулярная радиусу и проходящая через его середину, равна стороне правильного вписанного треугольника. Докажите.
У правильного треугольника радиус вписанной окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности. Докажите.
Сторона правильного вписанного в окружность треугольника равна а. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность.
В окружность, радиус которой 4 дм, вписан правильный треугольник, на стороне которого построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.
Конец валика диаметром 4 см опилен под квадрат. Определите наибольший размер, который может иметь сторона квадрата.
Конец винта газовой задвижки имеет правильную трех- гранную форму. Какой наибольший размер может иметь каждая грань, если цилиндрическая часть винта имеет диаметр 2 см?
Докажите, что сторона правильного 8-угольника вычисляется по формуле а8=Я "^2— д/2, где Я — радиус описанной окружности.
Докажите, что сторона правильного 12-угольника вычисляется по формуле «12 = Я д/2 —д/з, где Я — радиус описанной окружности.
25*. Найдите стороны правильного пятиугольника и правильного 10-угольника, вписанных в окружность радиуса Я.
Сторона правильного многоугольника равна а, а радиус
описанной окружности R. Найдите радиус вписанной окружности.
Сторона правильного многоугольника равна а, а радиус вписанной окружности г. Найдите радиус описанной окружности.
Выразите сторону b правильного описанного многоугольника через радиус R окружности и сторону а правильного вписанного многоугольника с тем же числом сторон.
Выразите сторону а правильного вписанного многоугольника через радиус R окружности и сторону b правильного описанного многоугольника с тем же числом сторон.
Впишите в окружность правильный 12-угольник.
Опишите около окружности правильный треугольник, квадрат, правильный восьмиугольник.
Радиусы вписанной и описанной окружностей одного правильного n-угольника равны л иЯ|, а радиус вписанной окружности другого правильного n-угольника равен Г2. Чему равен радиус описанной окружности другого п- угольника?
Периметры двух правильных n-угольников относятся как а:Ь. Как относятся радиусы их вписанных и описанных окружностей?
Вычислите длину окружности, если радиус равен: 1) 10 м; 2) 15 м.
На сколько изменится длина окружности, если радиус изменится на 1 мм?
Найдите отношение периметра правильного вписанного 8-угольника к диаметру и сравните его с приближенным значением л.
Решите задачу 36 для правильного 12-угольника.
Найдите радиус земного шара, исходя из того, что 1 м составляет одну 40-миллионную долю длины экватора.
На сколько удлинился бы земной экватор, если бы радиус земного шара увеличился на 1 См?
Внутри окружности радиуса R расположены п равных окружностей, которые касаются друг друга и данной окружности. Найдите радиус этих окружностей, если число их равно: 1) 3; 2) 4; 3) 6 (рис. 293).
Решите предыдущую задачу, если окружности расположены вне данной окружности.
Шкив имеет в диаметре 1,4 м и делает 80 оборотов в минуту. Найдите скорость точки на окружности шкива.
Найдите длину дуги окружности радиуса 1 см, отвечающей центральному углу: 1) 30°; 2) 45°; 3) 120°; 4) 270°.
Рис. 293
Сколько градусов содержит центральный угол, если соответствующая ему дуга составляет: 1) ^-; 2) —; 3) —;
345
123
— ; 5) — ; 6) — окружности?
Какой угол образуют радиусы Земли, проведенные в две точки на ее поверхности, расстояние между которыми равно 1 км? Радиус Земли равен 6370 км.
По радиусу Я = 1 м найдите длину дуги, отвечающей центральному углу: 1) 45°; 2) 30°; 3) 120°; 4) 45°45'; 5) 6О°ЗО'; 6) 150°36'.
По данной хорде а найдите длину ее дуги, если градусная мера дуги равна: 1) 60°; 2) 90°; 3) 120°.
По данной длине дуги I найдите ее хорду, если дуга содержит: 1) 60°; 2) 90°; 3) 120°.
Найдите радианную меру углов: 1) 30°; 2) 45°; 3) 60°.
Найдите радианную меру углов треугольника АВС, если АА = 60°, АВ = 45°.
Найдите градусную меру угла, если его радианная мера равна: 1) -^; 2) f; 3) -^; 4) ^; 5) §-; 6) ^.
§ 14. ПЛОЩАДИ ФИГУР
ПОНЯТИЕ ПЛОЩАДИ
Геометрическую фигуру будем называть простой, если ее можно разбить на конечное число плоских треугольников. Напомним, что плоским треугольником мы называем конечную часть плоскости, ограниченную треугольником (рис. 294).
Примером простой фигуры является выпуклый плоский многоугольник. Он разбивается на плоские треугольники диа-
Рис. 295Рис. 295
Рис. 295
Рис. 295
гоналями, проведенными из какой-нибудь его вершины (рис. 295). В этом параграфе мы рассматриваем только плоские многоугольники и поэтому повторять каждый раз слово «плоский» не будем.
Дадим определение площади для простых фигур.
Для простых фигур площадь — это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:
Равные фигуры имеют равные площади.
Если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей ее частей.
Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице.
Если квадрат, о котором идет речь в определении, имеет сторону 1 м, то площадь будет в квадратных метрах (м2). Если сторона квадрата 100 м, то площадь будет в гектарах. Если сторона квадрата 1 км, то площадь будет в квадратных километрах, и т. п.
ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА
Найдем площадь прямоугольника со сторонами а, Ь. Для этого сначала докажем, что площади двух прямоугольников с равными основаниями относятся как их высоты.
Пусть ABCD и AB\C\D — два прямоугольника с общим основанием AD (рис. 296, а). Пусть S и Si — их площади. Докажем, что -^-=~д . Разобьем сторону АВ прямоугольника на боль
шое число п равных частей, каждая из них равна —. Пусть
т — число точек деления, которые лежат на стороне АВХ. Тогда
Отсюда, разделив на АВ, получим:
п "АВ п ' п ‘ ' '
Проведем через точки деления прямые, параллельные основанию AD. Они разобьют прямоугольник ABCD на п равных прямоугольников. Каждый из них имеет площадь ^-г Прямо- угольник ABXC\D содержит первые т прямоугольников, считая снизу, и содержится в тп + 1 прямоугольниках. Поэтому
Отсюда
т Si т । 1п Sп п
Из неравенств (*) и (**) мы видим, что оба числа ^^ и ^- заключены между — и —+ —. Поэтому они отличаются не более чем п п п
а)
на -^-. А так как п можно взять сколь угодно большим, то это может быть только при 4то и требовалось доказать.
Возьмем теперь квадрат, являющийся единицей площади, прямоугольник со сторонами 1, а и прямоугольник со сторонами а, Ъ (рис. 296, б). Сравнивая их площади, по доказанному будем иметь:
S'1S'1a SF И Fa SF И Fъ1ъ1
S'
1
S'
1
a S
F И F
a S
F И F
ъ
1
ъ
1
Перемножая эти равенства почленно, получим:
S — ab.
Итак, площадь прямоугольника со сторонами а, Ь вычисляется по формуле S—ab.
ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Пусть ABCD — данный параллелограмм. Если он не является прямоугольником, то один из его углов — А или В — острый. Пусть для определенности угол А острый, как изображено на рисунке 297.
Опустим перпендикуляр АЕ из вершины А на прямую CD. Площадь трапеции АВСЕ равна сумме площадей параллелограмма ABCD и треугольника ADE.
Опустим перпендикуляр ВЕ из вершины В на прямую CD. Тогда площадь трапеции АВСЕ равна сумме площадей прямоугольника АВЕЕ и треугольника ВСЕ.
Прямоугольные треугольники ADE и ВСЕ равны, а значит, имеют равные площади. Отсюда
следует, что площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника АВЕЕ, т. е. равна АВ-ВЕ.
Отрезок ВЕ называется высотой параллелограмма, соответствующей сторонам АВ и CD.
Итак, площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
5)5)
5)
5)
ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
Пусть АВС — данный треуголь- \/ \
ник (рис. 298). Дополним этот \/\
треугольник до параллелограмма А /\
ABCD, как указано на рисун- \ /\
ке. Площадь параллелограмма рав-\г\
на сумме площадей треугольниковАВ
АВС и CD А. Так как эти треугольники равны, то площадь па-Рис. 298
раллелограмма равна удвоенной площади треугольника АВС. Высота параллелограмма, соответствующая стороне АВ, равна высоте треугольника АВС, проведенной к стороне АВ.
Отсюда следует, что плои^адь треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту:
S=^ ah.
Докажем теперь, что плои^адь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними.
Пусть АВС — данный треугольник (рис. 299). Докажем, что
S = -^-AB* AC -sin А.
Проведем в треугольнике АВС высоту BD. Имеем
S = ^-AC-BD.
°)
Из прямоугольного треугольника ABD BD =АВ -sin а, если угол а острый (рис. 299, а), BD = АВ sin (180° — а), если угол а тупой (рис. 299,6). Так как sin (180° a) = sina, то в любом случае BD = АВ-sin а.. Следовательно, площадь треугольника 8=^-AC- АВ -sin А, что и требовалось доказать.
ФОРМУЛА ГЕРОНА ДЛЯ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА
- Задача (29). Выведите формулу Герона* для пло- /у\ щади треугольника:
S=д/Р (Р — «) (Р — &) (Р — с),
,а+Ь-|-с
где а, Ь, с — длины сторон треугольника, а р =^
полупериметр.
Решение. Имеем:
S=—ab sin у, где у — угол треугольника, противолежащий стороне с. По теореме косинусов
c2 = a2 + Z>2 — 2ab cos у.
Отсюда
Значит,
sin2y = 1 — cos2 у = (1 — cos у) (1 + cos у) =
2а6 —а2 — 62 + с2 2а6 + а2 + 62 —с2 с2—(а—6)2 (a + bf — c2 2ab2ab2ab2аЬ
= 4^р^ — о + ^ (с + ° —ь) (« + & — с) (а + &Н-с).
Замечая, что а-^-Ь-^-с = 2р, а + Ь — с = 2р — 2с, а + с — Ь = = 2р — 2Ь, с — а-\-Ь = 2р — 2а, получаем:
sin у=^ ^р^р—а^р — Ь) (р—с).
Таким образом,
S=^ab sin у=Vp (р — а) (р — &) (р — с).
1 Герои Александрийский — древнегреческий ученый, живший в I в.н.э.
ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ
Пусть ABCD — данная трапеция (рис. 300). Диагональ трапеции АС разбивает ее на два треугольника: АВС и CD А. Следовательно, площадь трапеции равна сумме площадей этих треугольников. Площадь треугольника АВС равна -у АВ-СЕ, площадь треугольника ACD равна -уDC • AF. Высоты СЕ и AF этих треугольников равны расстоянию между параллельными прямыми АВ и CD. Это расстояние называется высотой трапеции.
Следовательно, плотцадъ трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту: S=^^-h.
Рис. 301Рис. 301
Рис. 301
Рис. 301
Л< Задача (40). Докажите, что если диагонали четырех- ( ) угольника пересекаются, то площадь четырехугольника '—г равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.
Решение. Площадь S четырехугольника равна сумме площадей треугольников АВС и ADC (рис. 301):
S=1-AC-BE^^-AC-DF =
= "уАС• ВО• sin а4-^-АС-DO-sin а =
= ^АС sin а (ВО+OD)=^АС • BD • sin а,
что и требовалось доказать.
ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАДИУСОВ ВПИСАННОЙ И ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТЕЙ ТРЕУГОЛЬНИКА
А. Задача (42). Выведите следующие формулы для ра- диусов описанной (Я) и вписанной (г) окружностей тре-
3( угольника:
Р abc 2S
K-~4S’ Г~а+Ь + с ’
где а, b, с — стороны треугольника, aS — его площадь.
Решение. Начнем с формулы для R. Как мы знаем, Я = g“n ^ , где а — угол, противолежащий стороне а треугольника.
Умножая числитель и знаменатель правой части на Ьс и замечая, что — ос sin a = S, получим:
Рис. 302Рис. 302
Рис. 302
Рис. 302
Выведем формулу для г (рис. 302). Площадь треугольника АВС равна сумме площадей треугольников ОАВ, ОВС и ОСА:
С1,1,1,
S = — cr + — ar+—Ьг.
Отсюда
2S
Г =—, ,— .о b с
ПЛОЩАДИ ПОДОБНЫХ ФИГУР
Пусть F' и F" — две подобные простые фигуры. Выясним, как относятся площади этих фигур. Так как фигуры подобны, то существует преобразование подобия, при котором фигура F' переходит в фигуру F".
Рис. 303
Разобьем фигуру F' на треугольники А{, Аг, Аз, ... (рис. 303). Преобразование подобия, переводящее фигуру F' в F", переводит эти треугольники в треугольники А{', А/, Аз',... разбиения фигуры F". Площадь фигуры F' равна сумме площадей треугольников Af, Аг, ..., а площадь фигуры F" равна сумме площадей треугольников А(', Аг', ... .
Если коэффициент подобия равен к, то размеры треугольника А„' в к раз больше соответствующих размеров треугольника А„. В частности, стороны и высоты треугольника А" в к раз больше соответствующих сторон и высот треугольника А„. Отсюда следует, что
S(A'') = fe2S(A').
Складывая эти равенства почленно, получим:
S(F") = fe2S(F').
Коэффициент подобия к равен отношению соответствующих линейных размеров фигур F" и F'. Поэтому площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров.
ПЛОЩАДЬ КРУГА
Если фигура простая, т. е. допускает разбиение на конечное число треугольников, то ее площадь равна сумме площадей этих треугольников. Для произвольной фигуры площадь определяется следующим образом.
Данная фигура имеет площадь S, если существуют содержащие ее простые фигуры и содержащиеся в ней простые фигуры с площадями, как угодно мало отличающимися от S. Применим это определение к нахождению площади круга.
Рис. 304Рис. 305
Кругом называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, расстояние от которых до данной точки не больше данного. Эта точка называется центром круга, а данное расстояние — радиусом круга. Границей круга является окружность с теми же центром и радиусом (рис. 304).
Площадь круга равна половине произведения длины, ограничивающей его окружности на радиус.
Докажем это. Построим два правильных л-угольника: Р\ — вписанный в круг и Р2 — описанный около круга (рис. 305). Многоугольники Р\ и Р2 являются простыми фигурами. Многоугольник Р2 содержит круг, а многоугольник Pi содержится в круге.
Радиусы, проведенные в вершины многоугольника Pi, разбивают его на п треугольников, равных треугольнику AOD. Поэтому
SP1 — п SA0D.
Так как SAOD — АС- ОС = АС -АО -cos а, то
SPx = (пАС) АО cos а = ^ cos а,
где р — периметр многоугольника Pi, R — радиус круга. Аналогично находим площадь многоугольника Р2:
®Р2 = ^ ^BOF^
^BOF = АВ • АО =— • АО,COS а
о (п АС) АО pR™ cos а “ 2 cos а *
Итак, многоугольник Pi, содержащийся в круге, имеет площадь
SP|=—cos а,
а многоугольник Р^ содержащий круг, имеет площадь
Q pR
Ру 2 cos а
Так как при достаточно большом п периметр р отличается сколь угодно мало от длины I окружности, a cos а сколь угодно мало отличается от единицы, то площади многоугольников Р\ и Р2 сколь угодно мало отличаются от —. Согласно определению это значит, что площадь круга
5 = ^ = лЯ2, что и требовалось доказать.
Круговым сектором называется часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла (рис. 306).
Площадь кругового сектора вычисляется по формуле
S— 360
где R — радиус круга, а а — градусная мера соответствующего центрального угла.
Круговым сегментом называется общая часть круга и полуплоскости (рис. 307).
Площадь сегмента, не равного полукругу, вычисляется по формуле
о лЯ2 , о
S —"360~а±5л’
где а — градусная мера центрального угла, который содержит дугу этого кругового сегмента, а 5Д — площадь треугольника с вершинами в центре круга и концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор. Знак « — » надо брать, когда а <180°, а знак « + » надо брать, когда а>180°.
Рис. 306
8 Заказ 574
^ КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Сформулируйте свойства площади для простых фигур.
Докажите, что площадь прямоугольника равна произведению его сторон.
Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними.
Докажите, что площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
Как относятся площади подобных фигур?
Выведите формулу площади круга.
По каким формулам вычисляются площади кругового сектора и кругового сегмента?
ЗАДАЧИ
Докажите, что сумма площадей квадратов, построенных
на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе (рис. 308).
Стороны двух участков земли квадратной формы равны 100 м и 150 м. Найдите сторону квадратного участка,
равновеликого им.
Найдите площадь квадрата S по его диагонали а.
Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в ту же окружность?
Как изменится площадь квадрата,
если каждую его сторону увеличить в 3 раза?
Во сколько раз надо уменьшить стороны квадрата, чтобы его площадь уменьшилась в 25 раз?
Чему равны стороны прямоугольника, если они относятся как 4:9, а его площадь 144 м2?
Чему равны стороны прямоугольника, если его периметр 74 дм, а площадь 3 м2?
Параллелограмм и прямоугольник
имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если площадь его равна половине площади прямоугольника.
Квадрат и ромб имеют одинаковые- периметры. Какая из фигур имеет большую площадь? Объясните ответ.
Найдите площадь ромба, если его высота 10 см, а острый угол 30°.
Найдите площадь ромба, если его высота 12 см, а меньшая диагональ 13 см.
Докажите, что площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
Найдите стороны ромба, зная, что его диагонали относятся как 1 : 2, а площадь ромба равна 12 см2.
Разделите данный треугольник на три равновеликие части прямыми, проходящими через одну вершину.
* Решите предыдущую задачу, взяв вместо треугольника параллелограмм.
Чему равна площадь равнобедренного треугольника, если его основание 120 м, а боковая сторона 100 м?
Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой а.
У треугольника со сторонами 8 см и 4 см проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к стороне 8 см, равна 3 см. Чему равна высота, проведенная к стороне 4 см?
Докажите, что стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам, т. е.
Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной а.
Найдите площадь правильного треугольника, вписанного в круг радиуса R.
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его высота делит гипотенузу на отрезки 32 см и 18 см.
Чему равны катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 73 см, а площадь равна 1320 см2?
У треугольника АВС АС = а, ВС = Ь. При каком угле С площадь треугольника будет наибольшей?
Найдите площадь равнобедренного треугольника, у которого боковые стороны равны 1 м, а угол между ними равен 70°.
Найдите площадь параллелограмма, если его стороны 2 м и 3 м, а один из углов равен 70°.
* Найдите площадь треугольника по стороне а и прилежащим к ней углам аир.
Выведите формулу Герона для площади треугольника: S = ^/p (р — а) (р — Ь) (р — с), где а, Ь, с — длины сторон треугольника, ар — полупериметр.
Найдите площадь треугольника по трем сторонам: 1) 13,
15; 2) 5, 5, 6; 3) 17, 65, 80; 4), 6; 5) 13, 37,
47^; 6) 2^,3^, 1,83.
Стороны треугольника а, &, с. Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону с.
Боковые стороны треугольника 30 см и 25 см. Найдите высоту треугольника, опущенную на основание, равное: 1) 25 см; 2) 11 см.
Периметр равнобедренного треугольника равен 64 см, а его боковая сторона на 11 см больше основания. Найдите высоту треугольника, опущенную на боковую сторону.
Найдите высоты треугольника, у которого стороны равны 13 см, 14 см и 15 см.
Найдите высоту треугольника со сторонами 2 -^, 3 ^ , 1,83, проведенную к стороне 2^.
Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами: 1) 5, 5, 6; 2) 17, 65, 80 и наибольшую высоту треугольника со сторонами: 3), 6; 4) 13, 37, 47.
ООХи Хи
Найдите площадь трапеции, у которой параллельные стороны 60 см и 20 см, а непараллельные — 13 см и 37 см.
В равнобокой трапеции основания равны 10 см и 24 см, боковая сторона 25 см. Найдите площадь трапеции.
В равнобокой трапеции большее основание равно 44 м, боковая сторона 17 м и диагональ 39 м. Найдите площадь трапеции.
Докажите, что если диагонали четырехугольника пересекаются, то площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
41*. Докажите, что среди всех параллелограммов с данными диагоналями наибольшую площадь имеет ромб.
Выведите следующие формулы для радиусов описанной (7?) и вписанной (г) окружностей треугольника:
n _ abc _ 2S
~48"’ Г~а+Ь + с’
где а, Ь, с — стороны треугольника, aS — его площадь.
Найдите радиусы описанной (7?) и вписанной (г) окружностей для треугольника со сторонами: 1) 13, 14, 15; 2) 15, 13, 4; 3) 35, 29, 8; 4) 4, 5, 7.
Боковая сторона равнобедренного треугольника 6 см, высота, проведенная к основанию, 4 см. Найдите радиус описанной окружности.
Найдите радиусы окружностей, описанной около равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной Ъ и вписанной в него.
Найдите радиус г вписанной и радиус R описанной окружностей для равнобедренного треугольника с основанием 10 см и боковой стороной 13 см.
Докажите, что в прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой.
Катеты прямоугольного треугольника равны 40 см и 42 см. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей.
Докажите, что площадь многоугольника, описанного около окружности, равна половине произведения периметра многоугольника на радиус окружности.
Через середину высоты треугольника проведена перпендикулярная к ней прямая. В каком отношении она делит площадь треугольника?
Прямая, перпендикулярная высоте треугольника, делит его площадь пополам. Найдите расстояние от этой прямой до вершины треугольника, из которой проведена высота, если она равна h.
Периметры правильных n-угольников относятся как алЬ. Как относятся их площади?
Найдите площадь круга, если длина окружности I.
Найдите площадь кругового кольца (рис. 309), заключенного между двумя окружностями с одним и тем же центром и радиусами: 1) 4 см и 6 см; 2) 5,5 м и 6,5 м; 3) а и 5, а> Ь.
Во сколько раз увеличится площадь круга, если его диаметр увеличить: 1) в 2 раза; 2) в 5 раз; 3) в m раз?
Найдите отношение площади круга к площади вписанного в него: 1) квадрата; 2) правильного треугольника; 3) правильного шестиугольника.
Найдите отношение площади круга, вписанного в правильный треугольник, к площади круга, описанного около него.
Найдите отношение площади круга, описанного около квадрата, к площади круга, вписанного в него.
Найдите площадь сектора круга радиуса R, если соответствующий этому сектору центральный угол равен: 1) 40°; 2) 90°; 3) 150°; 4) 240°; 5) 300°; 6) 330°.
Дана окружность радиуса R. Найдите площадь сектора, соответствующего дуге с длиной, равной: 1) R; 2) I.
61*. Найдите площадь кругового сегмента с основанием а д/3 и высотой -^-.
Найдите площадь той части круга, которая расположена вне вписанного в него: 1) квадрата; 2) правильного треугольника; 3) правильного шестиугольника. Радиус круга R (рис. 310).
Рис. 310
10 класс
СТЕРЕОМЕТРИЯ
§ 15. АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ И ИХ ПРОСТЕЙШИЕ СЛЕДСТВИЯ
АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ
Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. В стереометрии, так же как и в планиметрии, свойства геометрических фигур устанавливаются путем доказательства соответствующих теорем. При этом отправными являются свойства основных геометрических фигур, выражаемые аксиомами. Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость.
Плоскость мы представляем себе как ровную поверхность крышки стола (рис. 311, а) и поэтому будем изображать ее в виде параллелограмма (рис. 311, б). Плоскость, как и прямая, бесконечна. На рисунке мы изображаем только часть плоскости, но представляем ее неограниченно продолженной во все стороны. Плоскости обозначаются греческими буквами а, Р, Ъ ... •
Рис. 311
Введение нового геометрического образа — плоскости заставляет расширить систему аксиом. Поэтому мы вводим группу аксиом С, которая выражает основные свойства плоскостей в пространстве. Эта группа состоит из следующих трех аксиом:
Ci. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
С?. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
Этой аксиомой утверждается, что если две различные плоскости аир имеют общую точку, то существует прямая с, принадлежащая каждой из этих плоскостей. При этом если точка С принадлежит обеим плоскостям, то она принадлежит прямой с.
Сз. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.
Это значит, что если две различные прямые а и b имеют общую точку С, то существует плоскость у, содержащая прямые а и Ь. Плоскость, обладающая этим свойством, единственна.
Таким образом, система аксиом стереометрии состоит из аксиом I—IX планиметрии и группы аксиом С.
Замечание. В планиметрии мы имели одну плоскость, на которой располагались все рассматриваемые нами фигуры. В стереометрии много, даже бесконечно много, плоскостей. В связи с этим формулировки некоторых аксиом планиметрии, как аксиом стереометрии, требуют уточнения. Это относится к аксиомам IV, VII, VIII, IX. Приведем эти уточненные формулировки.
Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости.
От полупрямой на содержащей ее плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один. *
Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.
На плоскости через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
Для удобства изложения напомним аксиому I.
I. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
СУЩЕСТВОВАНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДАННУЮ ПРЯМУЮ И ДАННУЮ ТОЧКУ
Теорема 15.1. Через прямую и не лежаи^ую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.
Доказательство. Пусть АВ — данная прямая и С — не лежащая на ней точка (рис. 312). Проведем через точки А и С прямую (аксиома I). Прямые АВ и АС различны, так как точка С не лежит на прямой АВ. Проведем через прямые АВ и АС плоскость а (аксиома Сз). Она проходит через прямую АВ и точку С.
Докажем, что плоскость а, проходящая через прямую АВ и точку С, единственна.
Допустим, существует другая плоскость а', проходящая через прямую АВ и точку С. По аксиоме С2 плоскости а и а' пересекаются по прямой. Эта прямая должна содержать точки А, В, С. Но они не лежат на одной прямой. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
Рис. 312Рис. 312
Рис. 312
Рис. 312
Задача (7). Докажите, что через прямую можно провести две различные плоскости.
Решение. Пусть а — данная прямая (рис. 313). По аксиоме I существует точка А, не лежащая на прямой а. По теореме 15.1 через прямую а и точку А можно провести плоскость, обозначим ее ai. По аксиоме С, существует точка В, не лежащая в плоскости ai. Проведем через прямую а и точку В плоскость а2. Плоскости ai и а2 различны, так. как точка В плоскости а2 не лежит на плоскости ai.
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ
С ПЛОСКОСТЬЮ
Теорема 15.2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.
Доказательство. Пусть а — данная прямая на — данная плоскость (рис. 314). По аксиоме I существует точка А, не лежащая на прямой а. Проведем через прямую а и точку А плоскость а'.
Если плоскость а' совпадает с а, то плоскость а содержит прямую а, что и утверждается теоремой. Если плоскость а' от
лична от а, то эти плоскости пересекаются по прямой а', содержащей две точки прямой а. По аксиоме I прямая а'
совпадает с а, и, следовательно, прямая а лежит в плоскости а. Теорема доказана.
Из теоремы 15.2 следует, что плоскость и не лежахцая на ней прямая либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке (рис. 315).
А. Задача (9). Даны две различные прямые, пересекаю-
2 Щиеся в точке А. Докажите, что все прямые, пересекающие 1—( обе данные прямые и не проходящие через точку А, лежат в одной плоскости.
Решение. Проведем через данные прямые а и b плоскость а (рис. 316). Это можно сделать по аксиоме Сз. Прямая с, пересекающая данные прямые, имеет с плоскостью а две общие точки М и N' (точки пересечения с данными прямыми). По теореме 15.2 эта прямая должна лежать в плоскости а.
СУЩЕСТВОВАНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТРИ ДАННЫЕ ТОЧКИ
Теорема 15.3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
Доказательство. Пусть А, В, С — три данные точки, не лежащие на одной прямой (рис. 317). Проведем прямые АВ и АС; они различны, так как точки А, В, С не лежат на одной прямой. По аксиоме Сз через прямые АВ и АС можно провести плоскость а. Эта плоскость содержит точки А, В, С.
Докажем, что плоскость а, проходящая через точки А, В, С, единственна. Действительно, плоскость, проходящая через точки А, В, С, по теореме 15.2 содержит прямые АВ и АС. А по аксиоме Сз такая плоскость единственна.
Задача (13). Можно ли провести плоскость через три точки, если они лежат на одной прямой? Объясните ответ.
Решение. Пусть А, В, С — три точки, лежащие на прямой а. Возьмем точку D, не лежащую на прямой а (аксиома I). Через точки А, В, D можно провести плоскость (теорема 15.3). Эта плоскость содержит две точки прямой а — точки А и В, а значит, содержит и точку С этой прямой (теорема 15.2). Следовательно, через три точки, лежащие на одной прямой, всегда можно провести плоскость.
ЗАМЕЧАНИЕ К АКСИОМЕ 1
Аксиома I в списке аксиом стереометрии приобретает новый смысл по сравнению с тем, который она имела в планиметрии. В планиметрии эта аксиома утверждает существование точек вне данной прямой на плоскости, в которой лежит прямая. Именно в таком смысле эта аксиома применялась нами при построении геометрии на плоскости. Теперь эта аксиома утверждает вообще существование точек, не лежащих на данной прямой. Из нее непосредственно не следует, что существуют точки вне данной прямой на плоскости, в которой лежит прямая. Это требует специального доказательства. Дадим такое доказательство.
Пусть а — плоскость и а — прямая в этой плоскости (рис. 318). Докажем существование точек в плоскости а, не ле-
Рис. 318Рис. 318жащих на прямой а.
Рис. 318
Рис. 318
Отметим точку А на прямой а и точку А' вне плоскости а. Проведем плоскость а' через прямую а и точку А'. Возьмем точку В вне плоскости а' и проведем через прямую АА' и точку В плоскость 0. Плоскости а и Р пересекаются по прямой Ь, проходящей через точку А и отличной от прямой а. Точки этой прямой, отличные от А, лежат в плоскости а вне прямой а, что и требовалось доказать.
РАЗБИЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА ПЛОСКОСТЬЮ
НА ДВА ПОЛУПРОСТРАНСТВА
Теорема 15.4. Плоскость разбивает пространство на два полупространства. Если точки Хи У принадлежат одному полупространству, то отрезок XY не пересекает плоскость. Если же точки X и У принадлежат разным полупространствам, то отрезок XY пересекает плоскость.
Доказател ь с т в о (не для запоминания). Пусть а — данная плоскость. Отметим точку А, не лежащую в плоскости а. Такая точка существует по аксиоме Ci. Разобьем все точки пространства, не лежащие в плоскости а, на два полупространства следующим образом. Точку X отнесем к первому полупространству, если отрезок АХ не пересекает плоскость а, и ко второму полупространству, если отрезок АХ пересекает плоскость а. Покажем, что это разбиение пространства обладает свойствами, указанными в теореме.
Пусть точки X и У принадлежат первому полупространству. Проведем через точки А, X и Y плоскость а'. Если плоскость а' не пересекает плоскость а, то отрезок XY тоже не пересекает эту плоскость. Допустим, что плоскость а' пересекает плоскость а (рис. 319). Так
как плоскости различны, то их пе
ресечение происходит по некоторойРис- 319
прямой а. Прямая а разбивает плос
кость а' на две полуплоскости. Точки X и Y принадлежат одной полуплоскости, именно той, в которой лежит точка А. Поэтому отрезок XY не пересекает прямую а, а значит, и плос
кость а.
Если точки X и Y принадлежат второму полупространству, то плоскость а' заведомо пересекает плоскость а, так как отрезок АХ пересекает плоскость а. Точки X и Y принадлежат одной полуплоскости разбиения плоскости а' прямой а. Следовательно, отрезок XY не пересекает прямую а, а значит, и плоскость а.
Если, наконец, точка X принадлежит одному полупространству, а точка Y — другому, то плоскость а' пересекает плоскость а, а точки X и У лежат в разных полуплоскостях плоскости а' относительно прямой а. Поэтому отрезок XY пересекает прямую а, а значит, и плоскость а. Теорема доказана.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
•
Что такое стереометрия?
Сформулируйте аксиомы группы С.
Докажите, что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.
Докажите, что если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит плоскости.
Докажите, что через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
ЗАДАЧИ
Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые АВ и CD не пересекаются.
Можно ли через точку пересечения двух данных прямых провести третью прямую, не лежащую с ними в одной плоскости? Объясните ответ.
Точки А, В, С лежат в каждой из двух различных плоскостей. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой.
Даны три различные попарно пересекающиеся плоскости. Докажите, что если две из прямых пересечения этих плоскостей пересекаются, то третья прямая проходит через точку их пересечения (рис. 320).
Даны две плоскости, пересекающиеся по прямой а, и прямая Ь, которая лежит в одной из этих плоскостей и пересекает другую. Докажите, что прямые а и b пересекаются.
Четыре точки не лежат в одной плоскости. Могут ли какие-нибудь три из них лежать на одной прямой? Объясните ответ.
Докажите, что через прямую можно провести две различные плоскости.
8*. Даны две непересекающиеся плоскости. Докажите, что прямая, пересекающая одну из этих плоскостей, пересекает и другую (рис. 321).
Даны две различные прямые, пересекающиеся в точке А. Докажите, что все прямые, пересекающие обе данные прямые и не проходящие через точку А, лежат в одной плоскости.
Докажите, что все прямые, пересекающие данную прямую и проходящие через данную точку вне прямой, лежат в одной плоскости.
Докажите, что если прямые АВ и CD не лежат в одной плоскости, то прямые АС и BD также не лежат в одной плоскости.
Даны четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько можно провести различных плоскостей, проходящих через три из этих точек? Объясните ответ.
Можно ли провести плоскость через три точки, если они лежат на одной прямой? Объясните ответ.
14*. Даны четыре точки. Известно, что прямая, проходящая через любые две из этих точек, не пересекается с прямой, проходящей через другие две точки. Докажите, что данные четыре точки не лежат в одной плоскости.
§ 16. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ
И ПЛОСКОСТЕЙ
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися (рис. 322).
А. Задача (3). Докажите, что все прямые, пересекаю- С ° ) Щие Две данные параллельные прямые, лежат в одной 1—г плоскости.
Решение. Так как данные прямые а и b параллельны, то через них можно провести плоскость (рис. 323). Обозначим ее а. Прямая с, пересекающая данные параллельные прямые, имеет с плоскостью а две общие точки — точки пересечения с данными прямыми. По теореме 15.2 эта прямая лежит в плоскости а. Итак, все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости — плоскости а.
Теорема 16.1. Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну.
Замечание. Утверждение единственности в теореме 16.1 не является простым следствием аксиомы параллельных, так как этой аксиомой утверждается единственность прямой, параллельной данной в данной плоскости. Поэтому она требует доказательства.
Доказательство. Пусть а — данная прямая и А —
Рис. 324Рис. 324точка, не лежащая на этой прямой (рис. 324). Проведем через прямую а и точку А плоскость а. Проведем через точку А в плоскости а прямую Si, параллельную а. Докажем, что прямая а,, параллельная а, единственна.
Рис. 324
Рис. 324
Допустим, что существует другая прямая аг, проходящая через точку А и параллельная прямой а. Через прямые о и о2 можно провес
ти плоскость «2. Плоскость аг проходит через прямую а и точку А; следовательно, по теореме 15.1 она совпадает с а. Теперь по аксиоме параллельных прямые си и ог совпадают. Теорема доказана.
ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ
Теорема 16.2. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.
Доказательство. Пусть прямые b и с параллельны прямой а. Докажем, что прямые b и с параллельны.
Случай, когда прямые а, Ь, с лежат в одной плоскости, был рассмотрен в планиметрии. Поэтому предположим, что наши прямые не лежат в одной плоскости. Пусть р — плоскость, в которой лежат прямые а и Ь, а у — плоскость, в которой лежат прямые а и с. Плоскости р и у различны (рис. 325). Отметим на прямой b какую-нибудь точку В и проведем плоскость yi через прямую с и точку В. Она пересечет плоскость р по прямой Ь\.
Прямая Ь| не пересекает плоскость у. Действительно, точка пересечения должна принадлежать прямой а, так как прямая Ьх лежит в плоскости р. С другой стороны, она должна лежать и на прямой с, так как прямая Ь\ лежит в плоскости yi. Но прямые а и с как параллельны^ не пересекаются.
Так как прямая Ь\ лежит в плоскости р и не пересекает прямую а, то она параллельна а, -а значит, совпадает с Ь по аксиоме параллельных. Таким образом, прямая Ь, совпадая с прямой bi, лежит в одной плоскости с прямой с (в плоскости yi) и не пересекает ее. Значит, прямые b и с параллельны. Теорема доказана.
Лк Задача (11). Докажите, что середины сторон простой) ранственного четырехугольника являются вершинами па- 5! раллелограмма (вершины пространственного четырехугольника не лежат в одной плоскости).
Решение. Пусть ABCD — данный пространственный четырехугольник (рис. 326). Пусть Аь Bi, Сн Di — сере-
дины его сторон. Тогда AtBi — средняя линия треугольника АВС, параллельная стороне AC, С\В\ — средняя линия треугольника ACD, тоже параллельная стороне АС. По теореме 16.2 прямые А\В\ и CXD\ параллельны, а значит, лежат в одной плоскости. Точно так же доказывается параллельность прямых AXDX и В\С\. Итак, четырехугольник AiBiCiDi лежит в одной плоскости и его противолежащие стороны параллельны. Следовательно, он параллелограмм.
ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
Прямая и плоскость называются параллельными, если они
не пересекаются.
Теорема 16.3. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
Доказательство. Пусть а — плоскость, а — не лежащая в ней прямая и ах — пря
Рис. 327Рис. 327мая в плоскости а, параллельная прямой а. Проведем плоскость а! через прямые а и ах (рис. 327)., Плоскости а и а, пересекаются по прямой а,. Если бы прямая а пересекала плоскость а, то точка пересечения принадлежала бы прямой ах. Но это невозможно, так как прямые а и ах параллельны. Итак, прямая а не пересекает плоскость а, а значит, параллельна плоскости а. Теорема доказана.
Рис. 327
Рис. 327
и другую.и другую.Рис. 328Рис. 328
и другую.
и другую.
Рис. 328
Рис. 328
Задача (15). Докажите, что если плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает
Решение. Пусть а и b — две параллельные прямые и а — плоскость, пересекающая прямую а в точке А (рис. 328). Проведем через прямые а и b плоскость. Она пересекает плоскость а по некоторой прямой с. Прямая с пересекает прямую а (в точке А), а значит, пересекает параллельную ей прямую Ь. Так как прямая с лежит в плоскости а, то плоскость а пересекает прямую Ь.
ПРИЗНАН ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ
Две плоскости называются параллельными, если они не'пересекаются.
Теорема 16.4. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Доказательство. Пусть а и 0 — данные плоскости, а\ и а2 — прямые в плоскости а, пересекающиеся в точке А, Ь\ и Ь2 — соответственно параллельные им прямые в плоскости р (рис. 329). Допустим, что плоскости а и р не параллельны, т. е. пересекаются по некоторой прямой с. По теореме 16.3 прямые а\ и а^, как параллельные прямым Ь\ и bi, параллельны плоскости р, и поэтому они не пересекают лежащую в этой плоскости прямую с. Таким образом, в плоскости а через точку А проходят две прямые (ai и а2), параллельные прямой с. Но это невозможно по аксиоме параллельных. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
Задача (19). Докажите, что через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости.
Решение. Пусть а и b — данные скрещивающиеся прямые (рис. 330). Через произвольную точку прямой а проведем прямую Ь', параллельную Ь, а через произвольную точку прямой b проведем прямую а', параллельную а. Теперь проведем две плоскости: одну через прямые а и Ь\ а другую через прямые b и а'. По теореме 16.4 эти плоскости параллельны. В первой из них лежит прямая а, а во второй — прямая Ь.
СУЩЕСТВОВАНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ДАННОЙ ПЛОСКОСТИ
Теорема 16.5. Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.
Доказательство. Проведем в данной плоскости а какие-нибудь две пересекающиеся прямые а и b (рис. 331). Через данную точку А проведем параллельные им прямые ах и Ь\. Плоскость Р, проходящая через прямые а^ и bt, по теореме 16.4 параллельна плоскости а.
Допустим, что через точку А проходит другая плоскость Pi, тоже параллельная плоскости а (рис. 332). Отметим на плоскости Pi какую-нибудь точку С, не лежащую в плоскости р. Проведем плоскость у через точки А, С и какую-нибудь точку В плоскости а. Эта плоскость пересечет плоскости а, Р и Pi по прямым Ь, а и с. Прямые а и с не пересекают прямую Ь, так как не пересекают плоскость а. Следовательно, они параллельны
прямой b. Но в плоскости у через точку А может проходить только одна прямая, параллельная прямой Ь. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана полностью.
JR Задача (23). Плоскости аир параллельны плос- кости у, Могут ли плоскости аир пересекаться?
() Решение. Плоскости а и р не могут пересекаться. Если бы плоскости аир имели общую точку, то через эту точку проходили бы две плоскости (а и Р), параллельные плоскости у. А это противоречит теореме 16.5.
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
Рис. "333Рис. "333Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны (рис. 333).
Рис. "333
Рис. "333
Действительно, согласно определению параллельные прямые — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Наши прямые лежат в одной плоскости — секущей плоскости. Они не пересекаются, так как не пересекаются содержащие их параллельные плоскости. Значит, прямые параллельны, что и требовалось доказать.
7k Задача (33). Даны две параллельные плоскости ai и Г а2 и точка А, не лежащая ни в одной из этих плоскостей. 3? Через точку А проведена произвольная прямая. Пусть
Xi и Xi — точки пересечения ее с плоскостями а, и а2. Докажите, что отношение длин отрезков АХ\: АХ2 не зависит от взятой прямой.
Решение. Проведем через точку А другую прямую и обозначим через У, и У2 точки пересечения ее с плоскостями ai и а2 (рис. 334). Проведем через прямые AXi и AYi плоскость. Она пересечет плоскости ai иа2по параллельным прямым Х1У, и Х2У2. Отсюда следует подобие треугольников АХ,У1 и АХ2У2. А из подобия треуголь
ников следует пропорция
АХ, = AY'
АХ2 AY2
т. е. отношения AXi :АХ2 и АУ, :АУ2 одинаковы для обеих прямых.
Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны.
Действительно, пусть ai и а2 — параллельные плоскости,
Рис. 335Рис. 335а и b — пересекающие их параллельные прямые, At, А2 и Bt, В2 — точки пересечения прямых с плоскостями (рис. 335). Проведем через прямые а и b плоскость. Она пересекает плоскости а) и а2 по параллельным прямым AtBt и А2В2. Четырехугольник А1В1В2А2 — параллелограмм, так как у него противолежащие стороны параллельны. А у параллелограмма противолежащие стороны равны. Значит, А\А2 = В\В2, что и требовалось доказать.
Рис. 335
Рис. 335
ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР НА ПЛОСКОСТИ
Для изображения пространственных фигур на плоскости обычно пользуются параллельным проектированием. Этот способ изображения фигуры состоит в следующем. Берем произвольную прямую h, пересекающую плоскость чертежа а, проводим через произвольную точку А фигуры прямую, параллельную
h. Точка At пересечения этой прямой с плоскостью чертежа будет изображением точки А (рис. 336). Построив таким образом изображение каждой точки фигуры, получим изображение самой фигуры. Такой способ изображения пространственной фигуры на плоскости соответствует зрительному восприятию фигуры при рассматривании ее издали.
Отметим некоторые свойства изображения фигуры на плоскости, вытекающие из описанного ее построения.
Рис. 337Рис. 337
Рис. 337
Рис. 337
Прямолинейные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа отрезками (рис. 337).
Действительно, все прямые, проектирующие точки отрезка АС, лежат в одной плоскости, пере-
,\\секающей плоскость чертежа а по
прямой AiCi. Произвольная точка В отрезка АС изображается точкой Bi отрезка АХСХ.
Замечание. В только что доказанном свойстве и далее предполагается, конечно, что проектируемые отрезки не параллельны направлению проектирования.
Параллельные отрезки фигуры
изображаются на плоскости чертежа параллельными отрезками (рис. 338).
Действительно, пусть АС и А'С' — параллельные отрезки фигуры. Прямые АХСХ и Л[С( параллельны, так как они получаются при пересечении параллельных плоскостей с плоскостью а. Первая из этих плоскостей проходит через прямые АС и ААь а вторая — через прямые А'С' и А'А'х.
Отношение отрезков одной прямой или параллельных прямых сохраняется при параллельном проектировании.
Покажем, например, что (рис. 339)
Ав АУвх
вс BiC, ‘
Проведем через точку В прямую A2Cs, параллельную А\С\. Треугольники ВАА^ и ВСС2 подобны. Из подобия треугольников и равенств АХВХ = А2В и ВХСХ = ВС> следует пропорция (*).
Л< Задача (37). Дана параллельная проекция треуголь- ( ° ) ника. Как построить проекции медиан этого треуголь- '—' ника?
Решение. При параллельном проектировании сохраняется отношение отрезков прямой. Поэтому середина стороны треугольника проектируется в середину проекции этой стороны. Следовательно, проекции медиан треугольника будут медианами его проекции.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Какие прямые в пространстве называются параллельными?
Какие прямые называются скрещивающимися?
Докажите, что через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну.
Докажите признак параллельности прямых.
Что значит: прямая и плоскость параллельны?
Докажите признак параллельности прямой и плоскости.
Какие плоскости называются параллельными?
Докажите признак параллельности плоскостей.
Докажите, что через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.
Докажите, что если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.
Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны.
Перечислите свойства параллельного проектирования.
ЗАДАЧИ
Докажите, что если прямые АВ и CD скрещивающиеся, то прямые АС и BD тоже скрещиваются.
Можно ли через точку С, не принадлежащую скрещивающимся прямым а и Ь, провести две различные прямые, каждая из которых пересекает прямые а и 6? Объясните ответ.
Докажите, что все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости.
Прямые а и b пересекаются. Докажите, что все прямые, параллельные прямой b и пересекающие прямую а, лежат в одной плоскости.
Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках Л1, В\ и Мх. Найдите длину отрезка ММХ, если отрезок АВ не пересекает плоскость (рис. 340) и если:
АА,=5 м, ВВХ = 7 м; 2) ААХ = 3,6 дм, BBi = 4,8 дм;
ААi=8,3 см, BBi = 4,l см; 4) ААх=а, ВВХ = Ь.
6*. Решите предыдущую задачу при условии, что отрезок АВ пересекает плоскость.
Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках Bi и С[. Найдите длину отрезка ВВХ, если: 1) CCi = 15 см, АС:ВС = 2:3;
CCi = 8,l см, АВ:АС = 11:9; 3) АВ = 6 см, АС;ССХ = = 2:5; 4) АС = а, ВС = Ь, ССх=с.
8*. Даны параллелограмм ABCD и не пересекающая его плоскость. Через вершины параллелограмма проведены параллельные прямые, пересекающие данную плоскость в точках Ах, Вх, Ci, Dx (рис. 341). Найдите длину отрезка DDX, если: 1) ААХ = 2 м, ВВХ = 3 м, ССХ = 8 м; 2) ААХ = 4 м, BBi = 3 м, CCi = l м; 3) ААх=а, ВВХ = Ь, ССх=с.
Прямые а и b не лежат в одной плоскости. Можно ли провести прямую с, параллельную прямым а и Ь?
Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АВ и ВС, параллельна прямой, проходящей через середины отрезков AD и CD.
Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма (вершины пространственного четырехугольника не лежат в одной плоскости).
. Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что прямые, соединяющие середины от-
резков АВ и CD, АС и BD, AD и ВС, пересекаются в одной точке.
Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке Ai, а сторону ВС — в точке В,. Найдите длину отрезка AiBi, если: 1) АВ = 15 см, AAi :АС = 2:3; 2) АВ = 8 см, AAt:AvC = 5;3; 3) В,С = 10 см, АВ:ВС = 4:5; 4) АА\=а, AB=b, AtC = c.
Через данную точку проведите прямую, параллельную каждой из двух данных пересекающихся плоскостей.
Докажите, что если плоскость пересекает Одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Докажите, что через любую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой.
Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по прямой а, пересекают плоскость а по параллельным прямым, то прямая а параллельна плоскости а (рис. 342).
Докажите, что если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.
Докажите, что через две скрещивающие прямые можно провести параллельные плоскости.
Через данную точку пространства проведите прямую, пересекающую каждую из двух скрещивающихся прямых (рис. 343). Всегда ли это возможно?
21*. Докажите, что геометрическое место середин отрезков с концами на двух скрещивающихся прямых есть плоскость, параллельная этим прямым (рис. 344).
Даны четыре точки А, В, С и D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что любая плоскость, параллельная прямым АВ и CD, пересекает прямые AC, AD, BD и ВС в вершинах параллелограмма (рис. 345).
Плоскости аир параллельны плоскости у. Могут ли плоскости аир пересекаться?
Плоскости а и Р пересекаются. Докажите, что любая плос- j кость у пересекает хотя бы одну из плоскостей а, р.
Докажите, что все прямые, проходящие через данную точ- | ку параллельно данной плоскости, лежат в одной плоскости.3
Через данную точку проведите плоскость, параллельную j каждой из двух пересекающихся прямых. Всегда ли это I возможно?|
Параллелограммы ABCD и ABC\DX лежат в разных плоскостях. Докажите, что четырехугольник CDD\C\ тоже параллелограмм (рис. 346).
Через вершины параллелограмма ABCD, лежащего в од-
ной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках Ai, В|, Ci, D\. Докажите, что четырехугольник AiBiC|Di тоже параллелограмм.
Через вершины треугольника АВС, лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А,, В\, С\. Докажите равенство треугольников АВС и AiBiCt.
Три прямые, проходящие через одну точку, пересекают данную плоскость в точках А, В, С, а параллельную ей плоскость в точках А,, В,, С|. Докажите подобие треугольников АВС и А\В\С\ (рис. 347).
Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку А, пересекают плоскость а в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую плоскость, параллельную а и не проходящую через точку А, тоже в вершинах параллелограмма (рис. 348).
Рис. 349Рис. 349
Рис. 349
Рис. 349
Даны две параллельные плоскости. Через точки А и В одной из плоскостей проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А| и Bi. Чему равен отрезок AiBi, если АВ = а?
33*. Даны две параллельные плоскости ai и «2 и точка А, не лежащая ни в одной из этих плоскостей. Через точку А проведена произвольная прямая. Пусть Х| и Хз — точки пересечения ее с плоскостями а, и аз. Докажите, что отношение длин отрезков AXt:AX2 не зависит от взятой прямой.
34*. Точка А лежит вне плоскости a, X — произвольная точка плоскости a, X' — точка отрезка АХ, делящая его в отношении m: п. Докажите, что геометрическое место точек X* есть плоскость, параллельная плоскости а.
35*. Даны три параллельные плоскости ai, аз, а3. Пусть Xi, Хз, Хз — точки пересечения этих плоскостей с произвольной прямой. Докажите, что отношение длин отрезков
Х\Хг;ХгХй не зависит от прямой, т. е. одинаково для любых двух прямых.
Даны четыре параллельные прямые. Докажите, что если какая-нибудь плоскость пересекает эти прямые в вершинах параллелограмма, то любая плоскость, не параллельная данным прямым, пересекает их в вершинах некоторого параллелограмма.
Дана параллельная проекция треугольника. Как построить проекции медиан этого треугольника?
Дана параллельная проекция "треугольника. Чем изобразится проекция средней линии треугольника?
Может ли при параллельном проектировании параллелограмма получиться трапеция? Объясните ответ.
Может ли проекция параллелограмма при параллельном проектировании быть квадратом?
Докажите, что параллельная проекция центрально-симметричной фигуры также является центрально-симметричной фигурой.
42*. Дана параллельная проекция окружности и ее диаметра (рис. 349). Как построить проекцию перпендикулярного диаметра?
§ 17. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ
Так же как и на плоскости, две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Теорема 17.1. Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.
Доказательство. Пусть а и b — перпендикулярные прямые, О| и б, — параллельные им пересекающиеся прямые. Докажем, что прямые ai и b> перпендикулярны.
Если прямые а, Ь, а\, Ь\ лежат в одной плоскости, то они обладают указанным в теореме свойством, как это известно из планиметрии.
Допустим теперь, что наши прямые не лежат в одной плоскости. Тогда прямые а и b лежат в некоторой плоскости а, а прямые Ci и Ь) — в некоторой плоскости ai (рис. 350). По теореме 16.4 плоскости а и ai параллельны. Пусть С — точка пересечения прямых а и b, a Ci — точка пересечения прямых а, и Ь\. Проведем в плоскости параллельных прямых а и а, прямую, параллельную прямой СС\. Она пересечет прямые а и ой в точках А и А\. В плоскости прямых b и Ь\ проведем пря-
мую, параллельную прямой СС,, иобозначим через В и Вх точки ее пересечения с прямыми b и Ьх.
Четырехугольники СААХСХ и СВВХСХ — параллелограммы, так как у них противолежащие стороны параллельны. Четырехугольник АВВХАХ также параллелограмм. У него стороны ААХ, ВВХ параллельны, потому что каждая из них параллельна прямой СС\. Таким образом, четырехугольник лежит в плоскости, проходящей через параллельные прямые ААХ и ВВХ. А она пересекает параллельные плоскости а и а, по параллельным прямым АВ и АХВХ.
Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то AS=AiSi, АС=АХСХ, ВС = ВХСХ. По третьему признаку равенства треугольников треугольники АВС и АХВХСХ равны. Итак, угол АХСХВХ, равный углу АСВ, прямой, т. е. прямые си и bi перпендикулярны. Теорема доказана.
1\ Задача (1). Докажите, что через любую точку пря- мой в пространстве можно провести перпендикулярную ( ей прямую.
Решение. Пусть а — прямая и А — точка на ней (рис. 351). Возьмем любую точку X вне прямой а и проведем через эту точку и прямую а плоскость а (теорема 15.1). В плоскости а через точку А можно провести прямую Ь, перпендикулярную прямой а.
ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения (рис. 352).
Рис. 352
Рис. 353
Теорема 17.2. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.
Доказательство. Пусть а — прямая, перпендикулярная прямым Ъ и с в плоскости а. Тогда прямая а проходит через точку А пересечения прямых Ъ и с (рис. 353). Докажем, что прямая а перпендикулярна плоскости а.
Проведем произвольную прямую х через точку А в плоскости а и покажем, что она перпендикулярна прямой а. Проведем в плоскости а произвольную прямую, не проходящую через точку А и пересекающую прямые Ь, с и х. Пусть точками пересечения будут В, С и X.
Отложим на прямой а от точки А в разные стороны равные отрезки АА1 и АА2. Треугольник AiCA2 равнобедренный, так как отрезок АС является высотой по условию теоремы и медианой по построению (AAi — АА2). По той же причине треугольник А\ВА2 тоже равнобедренный. Следовательно, треугольники А\ВС и А2ВС равны по третьему признаку равенства треугольников.
Из равенства треугольников А\ВС и А2ВС следует равенство углов А\ВХ, А2ВХ и, следовательно, равенство треугольников А\ВХ и А2ВХ по первому признаку равенства треугольников. Из равенства сторон AtX и А2Х этих треугольников заключаем, что треугольник AiXA2 равнобедренный. Поэтому его медиана ХА является также высотой. А это и значит, что прямая х перпендикулярна а. По определению прямая а перпендикулярна плоскости а. Теорема доказана.
ПОСТРОЕНИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
^к Задача (9). Докажите, что через'данную точку пря- С ^ ) мой можно провести одну и только одну перпендикуляр- 1—г ную ей плоскость.
Решение. Пусть а — данная прямая и А — точка на ней (рис. 354). Проведем через нее две плоскости и проведем в них через точку А прямые b и с, перпендикулярные прямой а. Плоскость а, проходящая через эти прямые, перпендикулярна прямой а по теореме 17.2.
Докажем, что эта плоскость единственна. Допустим, что, кроме плоскости а, существует другая плоскость а', проходящая через точку А и перпендикулярная прямой а (рис. 355). Пусть В — точка плоскости а', не лежащая в плоскости а. Проведем через точку В и прямую а плоскость. Она пересечет плоскости а и а' по различным прямым b и Ь', перпендикулярным прямой а. А это, как мы знаем, невозможно, так как на плоскости через данную точку прямой проходит только одна перпендикулярная ей прямая. Итак, плоскость, проходящая через точку А и перпендикулярная прямой а, единственна.
Рис. 354Рис. 354
Рис. 354
Рис. 354
7k Задача (11). Докажите, что через данную точку Го у плоскости можно провести одну и только одну перпен- 3( дикулярную ей прямую.
Решение. Пусть а — данная плоскость и А — точка на ней (рис. 356). Проведем в плоскости а через точку А две прямые b и с. Проведем через точку А перпендику-
лярные им плоскости. Они пересекутся по некоторой прямой а, перпендикулярной прямым b и с. Следовательно, прямая а перпендикулярна плоскости а.
Докажем, что эта прямая единственна. Допустим, что, кроме прямой а, существует другая прямая а', проходящая через точку А и перпендикулярная плоскости а (рис. 357). Проведем через прямые а и а' плоскость. Она пересечет плоскость а по некоторой прямой Ь, перпендикулярной прямым а и а\ А это, как мы знаем, невозможно. Итак, прямая, проходящая через данную точку плоскости и перпендикулярная этой плоскости, единственна.
СВОЙСТВА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
Теорема 17.3. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Доказательство. Пусть at и a2 — две параллельные прямые и a — плоскость, перпендикулярная прямой ах (рис. 358). Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой а2.
Проведем через точку А2 пересечения прямой а2 с плоскостью а произвольную прямую х2 в плоскости а. Проведем в плоскости а через точку А] пересечения прямой at с а прямую Xi, параллельную прямой х2. Так как прямая ах перпендикулярна плоскости а, то прямые ах и хх перпендикулярны. А по теореме 17.1 параллельные им пересекающиеся прямые а2 и х2 тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая а2 перпендикулярна любой прямой х2 в плоскости а. А это
перпендикулярные однойперпендикулярные однойи b — две прямые, пер-и b — две прямые, пер-
перпендикулярные одной
перпендикулярные одной
и b — две прямые, пер-
и b — две прямые, пер-
значит, что прямая а2 перпендикулярна плоскости а. Теорема
доказана.
Л1 Задача (12). Докажите, что через любую точку А Q АЛ можно провести прямую, перпендикулярную данной <1 плоскости а.
Решение. Проведем в плоскости а две пересекающиеся прямые b и с (рис. 359). Через точку их пересечения проведем плоскости Р и у, перпендикулярные прямым b и с соответственно. Они пересекаются по некоторой прямой а. Прямая а перпендикулярна прямым b и с, значит, и плоскости а. Проведем теперь через точку А прямую d, параллельную а. По теореме 17.3 она пер
пендикулярна плоскости а.
Теорема 17.4. Две прямые, и той же плоскости, параллельны.
Доказательство. Пусть а пендикулярные плоскости а (рис. 360). Допустим, что прямые а и b не параллельны.
Выберем на прямой b точку С, не лежащую в плоскости а. Проведем через точку С прямую Ь', параллельную прямой а. Прямая Ь' перпендикулярна плоскости а (теорема 17.3). Пусть В и В' — точки пересечения прямых b и Ь' с плоскостью а. Тогда прямая ВВ' перпендикулярна пересекающимся прямым b и Ь'. А это невозможно. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
9 Заказ 574
ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ
Пусть даны плоскость и не лежащая на ней точка.
Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
На рисунке 361 из точки А проведены к плоскости а перпендикуляр АВ и наклонная АС. Точка В — основание перпендикуляра, точка С — основание наклонной, ВС — проекция наклонной АС на плоскость а.
А. Задача (26). Докажите, что если прямая параллель- Г ) на плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом 3г расстоянии от плоскости.
Решение. Пусть а — данная прямая и а — данная плоскость (рис. 362). Возьмем на прямой а две произвольные точки X и У. Их расстояния до плоскости а — это длины перпендикуляров XX' и YY', опущенных на эту плоскость. По теореме 17.4 прямые XX' и YY' параллельны, следовательно, лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскость а по прямой X'Y'. Пря-
мая а параллельна прямой X'Y', так как не пересекает содержащую ее плоскость а. Итак, у четырехугольника XX'Y'Y противолежащие стороны параллельны. Следовательно, он параллелограмм, а значит, XX' = YY'.
Расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости называется расстояние от любой точки этой прямой до плоскости.
Точно так же, как в решении задачи 26, доказывается, что расстояние от любых двух точек плоскости до параллельной плоскости равны. В связи с этим расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от любой точки одной плоскости до другой плоскости.
ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ
Теорема 17.5. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.
Доказательство. Пусть АВ — перпендикуляр к плоскости а, АС — наклонная и с — прямая в плоскости а, проходящая через основание С наклонной (рис. 363). Проведем прямую СА', параллельную прямой АВ. Она перпендикулярна плоскости а. Проведем через прямые АВ и А'С плоскость 0. Прямая с перпендикулярна прямой СА'. Если она перпендикулярна прямой СВ, то она перпендикулярна плоскости 0, а значит, и прямой АС.
Аналогично если прямая с перпендикулярна наклонной СА то она, будучи перпендикулярна и прямой СА', перпендикулярна плоскости р, а значит, и проекции наклонной ВС. Теорема доказана.
Рис. 363Рис. 363
Рис. 363
Рис. 363
Jk Задача (45). Через центр вписанной в треугольник Гйр окружности проведена прямая, перпендикулярная плос- 3( кости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника.
Решение. Пусть А, В, С — точки касания сторон
Рис. 364Рис. 364треугольника с окружностью, О — центр окружности и S — точка на перпендикуляре (рис. 364). Так как радиус ОА перпендикулярен стороне треугольника, то по теореме о трех перпендикулярах отрезок SA есть перпендикуляр к этой стороне, а его длина — расстояние от точки S до стороны треугольника. По теореме Пифагора SA — = ^АО^О8^ = л^-\-О8\ где г — радиус вписанной окружности. Аналогично находим SB = = >- + OS’, SC = ХР + OS5, т. e. все расстояния от точки S до сторон треугольника равны.
Рис. 364
Рис. 364
ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.
На рисунке 365, а вы видите две перпендикулярные плоскости аир, пересекающиеся по прямой с. Плоскость у, перпендикулярная прямой с, пересекает плоскости а и р по перпендикулярным прямым а и Ь.
Любая плоскость, перпендикулярная линии пересечения перпендикулярных плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.
Действительно, если взять другую плоскость у', перпендикулярную прямой с, (рис. 365, б), то она пересечет плоскость а по прямой а', перпендикулярной с, а значит, параллельной прямой а, а плоскость р по прямой 5', перпендикулярной с и, значит, параллельной прямой Ь. По теореме 17.1 из перпендикулярности прямых а и b следует перпендикулярность прямых а' и Ь', что и требовалось доказать.
Теорема 17.6. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Доказательство. Пусть а — плоскость, b — перпендикулярная ей прямая, р — плоскость, проходящая через прямую Ь, и с — прямая, по которой пересекаются плоскости аир (рис. 366). Докажем, что плоскости аир перпендикулярны.
Проведем в плоскости а через точку пересечения прямой b с плоскостью а прямую а, перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и b плоскость у. Она перпендикулярна прямой с, так как прямая с перпендикулярна прямым а и Ь. Так как прямые а и b перпендикулярны, то плоскости аир перпендикулярны. Теорема доказана.
Л. Задача (54). Даны прямая а и плоскость а. Про- (о) ведите через прямую а плоскость, перпендикулярную 3( плоскости а.
Решение. Через произвольную точку прямой а проводим прямую b (рис. 367), перпендикулярную плоскости а (задача 12). Через прямые а и b проводим плоскость р. Плоскость Р перпендикулярна плоскости а по теореме 17.6.
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ
Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них.
Докажем, что две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые.
Действительно, пусть а и b — данные скрещивающиеся прямые (рис. 368). Проведем через них параллельные плоскости аир. Прямые, пересекающие прямую а и перпенди
кулярные плоскости а, лежат в одной плоскости (у). Эта плоскость пересекает плоскость р по прямой а', параллельной а. Пусть В — точка пересечения прямых а' и Ь. Тогда прямая АВ,
перпендикулярная плоскости а, перпендикулярна и плоскости р, так как р параллельна а. Отрезок АВ — общий перпендикуляр плоскостей а и р, а значит, и прямых а и Ь.
Докажем, что этот общий перпендикуляр единственный. Допустим, что у прямых а и b есть другой общий перпендикуляр CD. Проведем через точку С прямую Ь', параллельную Ь. Прямая CD перпендикулярна прямой Ь, а значит, и Ъ'. Так как она перпендикулярна прямой а, то она перпендикулярна плоскости а, а значит, параллельна прямой АВ. Выходит, что через прямые АВ и CD, как через параллельные, можно провести плоскость. В этой плоскости будут лежать наши скрещивающиеся прямые АС и BD, а это невозможно, что и требовалось доказать.
Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Оно равно расстоянию
между параллельными плоскостями^ проходящими через эти прямые.
ПРИМЕНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОГО
ПРОЕКТИРОВАНИЯ В ТЕХНИЧЕСКОМ ЧЕРЧЕНИИ
В черчении применяется ортогональное проектирование, т. е. параллельное проектирование прямыми, перпендикулярными плоскости проекции. Чертежи деталей машин получаются путем ортогонального проектирования на одну, две или три взаимно перпендикулярные плоскости. Эти плоскости назы-
ваются плоскостями проекций. Плоскости проекций с проекциями изображаемой детали на них совмещаются поворотом около прямых, по которым они пересекаются.
На рисунке 369 показано выполнение^ертежа болта путем проектирования на две плоскости: горизонтальную Н и вертикальную V. Чертеж болта в двух проекциях показан на рисунке 370.
Рис. 370Рис. 370
Рис. 370
Рис. 370
При выполнении чертежей деталей машин пользуются различными условностями, предусмотренными стандартом. В частности, резьба условно изображается сплошной тонкой линией, а центровые и осевые — штрихпунктирными линиями. Эти условности изображения применены на чертеже болта (рис. 370).
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ •
Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?
Докажите, что пересекающиеся прямые, соответственно параллельные перпендикулярным прямым, сами перпендикулярны.
Дайте определение перпендикулярности прямой и плоскости.
Докажите признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Докажите, что если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Докажите, что две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.
Что такое перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость?
Что называется расстоянием от точки до плоскости?
Что такое наклонная, проведенная из данной точки к плоскости? Что такое проекция наклонной?
Докажите теорему о трех перпендикулярах.
Какие плоскости называются перпендикулярными?
Докажите признак перпендикулярности плоскостей.
Что такое общий перпендикуляр скрещивающихся прямых?
Докажите, что скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые.
Что называется расстоянием между скрещивающимися прямыми?
ЗАДАЧИ
Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.
Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести две различные перпендикулярные ей прямые.
Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны (рис. 371). Найдите отрезок CD, если: 1) АВ = 3 см, ВС = = 7 см, АО = 1,5 см; 2) BD = 9 см, ВС—16 см, AD = 5 см;
AB = b, ВС = а, AD = d; 4) BD = c, ВС = а, AD = d.
4*. Стороны четырехугольника ABCD и прямоугольника AiBiCiDi соответственно параллельны. Докажите, что ABCD — прямоугольник.
Докажите, что через точку, не лежащую в данной плоскости, нельзя провести более одной прямой, перпендикулярной плоскости.
Через центр описанной около треугольника окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от вершин треугольника (рис. 372).
Рис. 372Рис. 372
Рис. 372
Рис. 372
Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая АК, перпендикулярная его плоскости. Расстояния от точки К до других вершин прямоугольника равны 6 м, 7 м и 9 м. Найдите отрезок АК.
Через вершину острого угла прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С проведена прямая AD, перпендикулярная плоскости треугольника. Найдите расстояния от точки D до вершин В и С, если АС = а, ВС = Ь, АП = с.
Докажите, что через данную точку прямой можно провести одну и только одну перпендикулярную ей плоскость.
Через точку А прямой а проведены перпендикулярные ей плоскость р и прямая Ь. Докажите, что прямая b лежит в плоскости р.
Докажите, что через данную точку плоскости можно провести одну и только одну перпендикулярную ей прямую.
Докажите, что через любую точку А можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости а.
Через вершину квадрата ABCD проведена прямая ВМ, перпендикулярная его плоскости. Докажите, что: 1) прямая AD перпендикулярна плоскости прямых АВ и ВМ; 2) прямая CD перпендикулярна плоскости прямых ВС и ВМ.
Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные плоскости а, пересекающие ее в точках С и D соответственно. Найдите расстояние между точками А и В, если АС = 3 м, BD = 2 м, CD = 2,4 м и отрезок АВ не пересекает плоскость а.
Верхние концы двух вертикально стоящих столбов, удаленных на расстояние 3,4 м, соединены перекладиной.
Высота одного столба 5,8 м, а другого — 3,9 м. Найдите длину перекладины.
Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 20 м. Найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не провисает.
Точка А находится на расстоянии а от вершин равностороннего треугольника со стороной а. Найдите расстояние от точки А до плоскости треугольника.
Из точки S вне плоскости а проведены к ней три равные наклонные SA, SB, SC и перпендикуляр SO. Докажите, что основание перпендикуляра О является центром окружности, описанной около треугольника АВС.
Стороны равностороннего треугольника равны 3 м. Найдите расстояние до плоскости треугольника от точки, которая находится на расстоянии 2 м от каждой из его вершин. 20*. В равнобедренном треугольнике основание и высота равны 4 м. Данная точка находится на расстоянии 6 м от плоскости треугольника и на равном расстоянии от его вершин. Найдите это расстояние.
Расстояния от точки А до вершин квадрата равны а. Найдите расстояние от точки А до плоскости квадрата, если сторона квадрата равна Ь.
Найдите геометрическое место оснований наклонных данной длины, проведенных из данной точки к плоскости.
Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10 см и 17 см. Разность проекций этих наклонных равна 9 см. Найдите проекции наклонных.
Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если: 1) одна из них на 26 см больше другой, а проекции наклонных равны 12 см и 40 см; 2) наклонные относятся как 1:2, а проекции наклонных равны 1 см и 7 см.
Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 23 см и 33 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 2:3.
Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от плоскости.
Через вершину прямого угла С прямоугольного треугольника АВС проведена плоскость, параллельная гипотенузе, на расстоянии 1 м от нее. Проекции катетов на эту плоскость равны 3 м и 5 м. Найдите гипотенузу.
Через одну сторону ромба проведена плоскость на расстоянии 4 м от противолежащей стороны. Проекции диа-
гоналей на эту плоскость равны 8 м и 2 м. Найдите проекции сторон.
Из концов отрезка АВ, параллельного плоскости, проведены перпендикуляр АС и наклонна#гВО, перпендикулярная отрезку АВ (рис. 373). Чему равно расстояние CD, если АВ = а, AC — b, BD = c?
Докажите, что расстояния от всех точек плоскости до параллельной плоскости одинаковы.
Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно а. Отрезок длины b своими концами упирается в эти плоскости. Найдите проекцию отрезка на каждую из плоскостей.
Два отрезка длин а и b упираются концами в две параллельные плоскости. Проекция первого отрезка (длины а) на плоскость равна с. Найдите проекцию второго отрезка.
Концы данного отрезка, не пересекающего плоскость, удалены от нее на 0,3 м и 0,5 м. Как удалена от плоскости точка, делящая данный отрезок в отношении 3:7?
Через середину отрезка проведена плоскость. Докажите, что концы отрезка находятся на одинаковом расстоянии от этой плоскости.
Через диагональ параллелограмма проведена плоскость. Докажите, что концы другой диагонали находятся на одинаковом расстоянии от этой плоскости.
Найдите расстояние от середины отрезка АВ до плоскости, не пересекающей этот отрезок, если расстояния от точек А и В до плоскости равны: 1) 3,2 см и 5,3 см; 2) 7,4 см и 6,1 см; 3) а и Ь.
37*. Решите предыдущую задачу, считая, что отрезок АВ пересекает плоскость.
Отрезок длины 1 м пересекает плоскость, концы его удалены от плоскости на 0,5 м и 0,3 м. Найдите длину проекции отрезка на плоскость.
39*. Через основание трапеции проведена плоскость, отстоящая от другого основания на расстояние а. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до этой плоскости, если основания трапеции относятся как тп:п (рис. 374).
Рис. 373Рис. 373Рис. 374Рис. 374Рис. 375Рис. 375
Рис. 373
Рис. 373
Рис. 374
Рис. 374
Рис. 375
Рис. 375
Через сторону параллелограмма проведена плоскость на расстоянии а от противолежащей стороны. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей параллелограмма до этой плоскости.
Из вершины квадрата восставлен перпендикуляр к его плоскости. Расстояния от конца этого перпендикуляра до других вершин квадрата равны а и b (а<Ь). Найдите длину перпендикуляра и сторону квадрата (рис. 375).
Из вершины прямоугольника восставлен перпендикуляр к его плоскости. Расстояния от конца этого перпендикуляра до других вершин прямоугольника равны а, Ь, с (а < с, Ь<. с). Найдите длину перпендикуляра и стороны прямоугольника.
Из данной точки к плоскости проведены две равные наклонные длиной 2 м. Найдите расстояние от точки до плоскости, если наклонные образуют угол 60°, а их проекции перпендикулярны.
Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние 1 м, проведены две равные наклонные. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если известно, что наклонные перпендикулярны и образуют с перпендикуляром к плоскости углы, равные 60°.
Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника.
К плоскости треугольника из центра вписанной в него окружности радиуса 0,7 м восставлен перпендикуляр длиной 2,4 м. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.
Расстояние от данной точки до плоскости треугольника равно 1,1 м, а до каждой из его сторон — 6,1 м. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Из вершины равностороннего треугольника АВС восставлен перпендикуляр AD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до стороны ВС, если AD = = 13 см, ВС = 6 см.
Через конец А отрезка АВ длины b проведена плоскость, перпендикулярная отрезку, и в этой плоскости проведена прямая. Найдите расстояние от точки В до прямой, если расстояние от точки А до прямой равно а.
Расстояния от точки А до всех сторон квадрата равны а. Найдите расстояние от точки А до плоскости квадрата, если диагональ квадрата равна d.
51*. Точка М, лежащая вне плоскости данного прямого угла, удалена от вершины угла на расстояние а, а от его сторон
на расстояние Ь. Найдите расстояние от точки М до плоскости угла.
52*. Дан равнобедренный треугольник с основанием 6 м и боковой стороной 5 м. Из центра вписанного круга восставлен перпендикуляр к плоскости треугольника длиной 2 м. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.
Из вершины прямого угла С треугольника АВС восставлен перпендикуляр СП к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до гипотенузы треугольника, если АВ = а, ВС = Ь, СП —с.
Даны прямая а и плоскость а. Проведите через прямую а плоскость, перпендикулярную плоскости а.
Даны прямая а и плоскость а. Докажите, что все прямые, перпендикулярные плоскости а и пересекающие прямую а, лежат в одной плоскости, перпендикулярной плоскости а.
Из вершин А и В равностороннего треугольника АВС восставлены перпендикуляры AAi и SB, к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины С до середины отрезка А|В|, если АВ = 2 м, CAV = 3 м, СВ\=7 м и отрезок А|В| не пересекает плоскость треугольника.
Из вершин А и В острых углов прямоугольного треугольника АВС восставлены перпендикуляры AAi и BBi к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины С до середины отрезка AiB|, если AiC = 4 м, AiA = = 3 м, В|С = 6 м, В,В = 2 м и отрезок А|В| не пересекает плоскость треугольника.
58*. Докажите, что если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна линии их пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости.
Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВП на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если: 1) АС = 6 м, ВП = 7 м, СП = 6 м; 2) АС = 3 м, ВП = 4 м, СП = 12 м; 3) АП = 4 м, ВС = 7 м, СП = 1 м; 4) АП = ВС = 5 м, СП = 1 м; 5) АС^а, ВП=Ь, СП = с; 6) АП — а,ВС = Ь,СП = с.
Точка находится на расстояниях а и b от двух перпендикулярных плоскостей. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей (рис. 376).
Плоскости аир перпендикулярны. В плоскости а взята точка А, расстояние от которой до прямой с (линии пересечения плоскостей) равно 0,5 м. В плоскости р проведена прямая Ь, параллельная прямой с и отстоящая на 1,2 м от нее. Найдите расстояние от точки А до прямой Ь.
Перпендикулярные плоскости аир пересекаются по прямой с. В плоскости а проведена прямая а||с, в плоскости Р — прямая b || с. Найдите расстояние между прямыми а и Ь, если расстояние между прямыми а и с равно 1,5 м, а между прямыми b и с — 0,8 м (рис. 377).
§ 18. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
ВВЕДЕНИЕ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ
Возьмем три взаимно перпендикулярные прямые х, у, г, пересекающиеся в одной точке О (рис. 378). Проведем через каждую пару этих прямых плоскость. Плоскость, проходящая через прямые х и у, называется плоскостью ху. Две другие плоскости называются соответственно xz и yz. Прямые х, у, z называются координатными осями (или осями координат), точка их пересечения О — началом координат, а плоскости ху, yz и xz — координатными плоскостями. Точка О разбивает каждую из осей координат на две полупрямые — полуоси, которые мы условимся называть положительной и отрицательной.
Возьмем теперь произвольную точку А и проведем через нее плоскость, параллельную плоскости yz (рис. 379). Она пересекает ось х в некоторой точке Ах. Координатой х точки А будем называть число, равное по абсолютной величине длине отрезка ОАХ: положительное, если точка Ах лежит на положительной полуоси х, и отрицательное, если она лежит на отрицательной полуоси. Если точка Ах совпадает с точкой О, то по-
лагаем х = 0. Аналогично определяются координаты у и z точки А. Координаты точки будем записывать в скобках рядом с буквенным обозначением точки: А (х; у; z\ Иногда будем обозначать точку просто ее координатами (х; у; z).
Лк Задача (2). Даны точки А (1; 2; 3), В(0; 1; 2), С“) С (0; 0; 3), D(l; 2; 0). Какие из этих точек лежат: 1) в 3( плоскости ху; 2) на оси z; 3) в плоскости у г?
Решение. У точек плоскости ху координата z равна нулю. Поэтому только точка О лежит в плоскости ху. У точек плоскости yz координата х равна нулю. Следовательно, точки В и С лежат в плоскости yz. У точек на оси z две координаты (х и у) равны нулю. Поэтому только точка С лежит на оси z.
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ
Выразим расстояние между двумя точками А] (xi; у,; z^ и Аг (хг; у?; 2г) через координаты этих точек.
Рассмотрим сначала случай, когда прямая А|А2 не параллельна оси z (рис. 380). Проведем через точки А| и Аг прямые, параллельные оси z. Они пересекут плоскость ху в точках А' и А2. Эти точки имеют те же координаты х, у,
что и точки Ai, Аг, а координата z у них равна нулю. Проведем теперь плоскость через точку Аг, параллельную плоскости ху. Она пересечет прямую AiAf в некоторой точке С. По теореме Пифагора
AxA^AxC^ + CAl
Отрезки С Аг и А'1Аг равны, а
А'1А^ = (хг — х1)2+(уг — у1)2-
Длина отрезка А,С равна |zi—z2|. Поэтому
А1А22 = (х2 — х^ + ^уг — y,)2+(z2 — z,)2.
Если отрезок А|А2 параллелен оси z, то AiA2=|zi— z2|. Тот же результат дает и полученная формула, так как в этом случае xi=x2, у,=у2.
Таким образом, расстояние между точками А\ и Аг вычисляется по формуле
А1 Аг =^P+X!^
Jk Задача (5). В плоскости ху найти точку D (х; у; 0), равноудаленную от трех точек: А (0; 1; —1), В(—1; 0; 1), Lj С (0; -1; 0).
Решение. Имеем:
AD2 = (х - О)2 +(у -1)2 + (0 +1)2, BD2 = (х +1)2+(у - О)2 + (0 - I)2, CD2 = (х - О)2 + (у +1)2 + (0 - О)2.
Приравнивая первые два расстояния третьему, получим два уравнения для определения х и у:
— 4у-|-1 = 0, 2х —2у + 1 = 0.
Отсюда у = ^-, х = —^. Искомая точка D( —Г ’ "Г ’ о) •
КООРДИНАТЫ СЕРЕДИНЫ ОТРЕЗКА
Пусть А\(xi; у,; Zi) и Аг (хг; уг", z2)— две произвольные точки. Выразим координаты х, у, z середины С отрезка А|А2 через координаты его концов Ai и Аг (рис. 381). Для этого проведем через точки Ai, Аг и С прямые, параллельные оси z. Они пересекут плоскость ху в точках A' (Xi; yu 0), А'г (хг; уг‘, 0) и С' (х; у; 0). По теореме Фалеса точка С' является серединой отрезка А(А2. А мы знаем, что на плоскости ху координаты сере-
Рис. 381Рис. 381дины отрезка выражаются через координаты его концов по формулам
Рис. 381
Рис. 381
2 ’ У 2
Для того чтобы найти выражение для z, достаточно вместо плоскости ху взять плоскость xz или yz. При этом для z получается аналогичная формула:
-г1 +^2
>11 Задача (9). Докажите, что четырехугольник ABCD Г ° 2 с вершинами в точках А (1; 3; 2), В (0; 2; 4), С (1; 1; 4), 1( О (2; 2; 2) является параллелограммом.
Решение. Как мы знаем, четырехугольник, у которого диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, есть параллелограмм. Воспользуемся этим для решения задачи. Координатами середины отрезка АС будут
Координатами середины отрезка BD будут
х = ^=1,у=^=2,2=^=3.
Мы видим, что координаты середин отрезков АС и BD одинаковы. Значит, эти отрезки пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, четырехугольник ABCD — параллелограмм.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИММЕТРИИ
В ПРОСТРАНСТВЕ
Понятие преобразования для фигур в пространстве определяется так же, как и на плоскости. Так же, как и на плоскости, определяются преобразования симметрии относительно точки и прямой.
Кроме симметрий относительно точки и прямой в пространстве, рассматривают преобразование симметрии относительно плоскости. Это преобразование состоит в следующем (рис. 382). Пусть а — произвольная фиксированная плоскость. Из точки X фигуры опускаем перпендикуляр ХА на плоскость а и на его продолжении за точку А откладываем отрезок АХ', равный ХА. Точка X' называется симметричной точке X относительно плос
кости а, а преобразование, которое переводит точку X в симметричную ей точку X', называется преобразованием симмет
рии относительно плоскости а.
Если точка X лежит в плоскости а, то считается, что точка X переходит в себя. Если преобразование симметрии относительно плоскости а переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости а, а плоскость а называется плоскостью симметрии этой фигуры.
Лк Задача (17). Даны точки (1; 2; 3), (0; — 1; 2), (1; 0; Го j —3). Найдите точки, симметричные данным относительно 3f координатных плоскостей.
Решение. Точка, симметричная точке (1; 2; 3) относительно плоскости ху, лежит на прямой, перпендикулярной плоскости ху. Поэтому у нее те же координаты х и у*. х = 1, у —2. Симметричная точка находится на том же расстоянии от плоскости ху, но по другую сторону от нее. Поэтому координата 2 у нее отличается только знаком, т. е. 2= — 3. Итак, точкой, симметричной точке (1; 2; 3) относительно плоскости ху, будет (1; 2; — 3). Для других точек и других координатных плоскостей решение аналогично.
СИММЕТРИЯ В ПРИРОДЕ И НА ПРАКТИКЕ
Симметрия широко распространена в природе. Ее можно наблюдать в форме листьев и цветов растений, в расположении различных органов животных, в форме кристаллических тел (рис. 383).
Симметрия широко используется на практике, в строительстве и технике (рис. 384).
ДВИЖЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
Движение в пространстве определяется так же, как и на плоскости. А именно: движением называется преобразование, при котором сохраняются расстояния между точками.
Дословно так же, как и для движения на плоскости, доказывается, что при движении в пространстве прямые переходят в прямые, полупрямые — в полупрямые, отрезки — в отрезки и сохраняются углы между полупрямыми.
Новым свойством движения в пространстве является то, что движение переводит плоскости в плоскости.
Докажем это свойство. Пусть а — произвольная плоскость (рис. 385). Отметим на ней любые три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. При движении они перейдут в три точки А', В', С', также не лежащие на одной прямой. Проведем через них плоскость а'.
Докажем, что при рассматриваемом движении плоскость а переходит в плоскость а'.
Пусть X — произвольная точка плоскости а. Проведем через нее какую-нибудь прямую а в плоскости а, пересекающую треугольник АВС в двух точках Y и Z. Прямая а перейдет при движении в некоторую прямую а'. Точки У и Z прямой а перейдут в точки У' и Z', принадлежащие треугольнику А'В'С', а значит, плоскости а'.
Итак, прямая а' лежит в плоскости а'. Точка X при движении переходит в точку X' прямой а', а значит, и плоскости а', что и требовалось доказать.
В пространстве, так же как и на плоскости, две фигуры называются равными, если они совмещаются движением.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС В ПРОСТРАНСТВЕ
Параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование, при котором произвольная точка (х; у; z) фигуры переходит в точку (х + а; y-\-b; z + c), где числа а, Ь, с одни и те же для всех точек (х; у; z). Параллельный перенос в пространстве задается формулами
х' = х + а, y' = y-\-b, z' = z + c, выражающими координаты х', у', z' точки, в которую переходит точка (х; у; z) при параллельном переносе. Так же, как и на плоскости, доказываются следующие свойства параллельного переноса:
Параллельный перенос есть движение.
При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.
При параллельном переносе каждая прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя).
Каковы бы ни были точки А и А', существует единственный параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку А'.
ik Задача (23). Найдите значения а, Ь, с в формулах ( 4 ) параллельного переноса х' = х-\-а, y' = y-\-b, z' = z + c, её- 't / ли при этом параллельном переносе точка А (1; 0; 2) переходит в точку А' (2; 1; 0).
Решение. Подставляя в формулы параллельного переноса координаты точек А и А', т. е. х = 1, у = 0, z = 2, х' = 2, у' = 1, z' = 0, получим уравнения, из которых определяются а, Ь, с:
2 = 1 + а, 1=0 + Ь, 0 = 2 + с.
Отсюда а = 1, Ь = 1, с= — 2.
Новым для параллельного переноса в пространстве является следующее свойство:
При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскость.
Действительно, пусть а — произвольная плоскость (рис. 386). Проведем в этой плоскости две пересекающиеся прямые а и Ь. При параллельном переносе прямые а и b переходят либо в себя, либо в параллельные прямые-и' и Ь'. Плоскость а переходит в некоторую плоскость а', проходящую через прямые а' и Ь'. Если плоскость а' не совпадает с а, то по теореме 16.4 она параллельна а, что и требовалось доказать.
ПОДОБИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР
Преобразование подобия в пространстве определяется так же, как и на плоскости. А именно: преобразование фигуры F называется преобразованием, подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, т. е. для любых двух точек X и У фигуры F и точек X', Y' фигуры F', в которые они переходят, X'Y' = k-XY.
Так же, как и на плоскости, преобразование подобия в
пространстве переводит прямые в прямые, полупрямые в полу
прямые, отрезки в отрезки и сохраняет углы между полупрямыми. Такими же рассуждениями, как в п. 157, доказывается, что преобразование подобия переводит плоскости в плоскости. Так же, как и на плоскости, две фигуры называются подобными, если они переводятся одна в другую преобразованием подобия.
Простейшим преобразованием подобия в пространстве является гомотетия. Так же, как и на плоскости, гомотетия относительно центра О с коэффициентом гомотетии к — это преобразование, которое переводит произвольную точку X в точку X' луча ОХ, такую, что ОХ' = к-ОХ.
Преобразование гомотетии в пространстве переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллель
ную плоскость (или в себя при к =
Действительно, пусть О — центр гомотетии и а — любая плоскость, не проходящая через .точку О (рис. 387). Возьмем любую прямую АВ в плоскости а. Преобразование гомотетии переводит точку А в точку А' на луче ОА, а точку В в точку В' на луче ОВ, причем ОА' , OB’ ,,, ,
1).1)."оТ=«’55—=А. где к — коэффициент гомотетии. Отсюда следует подобие треугольников АОВ и A'OB'. Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов ОАВ и ОА'В', а значит, параллельность прямых АВ и А'В'.
1).
1).
Возьмем теперь другую прямую АС в плоскости а. Она при гомотетии перейдет в параллельную прямую А* С'. При рассматриваемой гомотетии плоскость а перейдет в плоскость а', проходящую через прямые А'В\ А'С'. Так как А'В'\\АВ и A'C'WAC, то по теореме 16.4 плоскости а и а' параллельны, что и требовалось доказать.
УГОЛ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ
Две пересекающиеся прямые образуют смежные и вертикальные углы. Вертикальные углы равны, а смежные углы дополняют друг друга до 180°. Угловая мера меньшего из них называется углом между прямыми. Угол между перпендикулярными прямыми равен 90° по определению. Угол между параллельными прямыми считаем равным нулю.
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым.
Этот угол не зависит от того, какие взяты пересекающиеся прямые. Докажем это.
Пусть а\ и Ъ\ — пересекающиеся в точке А прямые, параллельные данным скрещивающимся прямым а и b (рис. 388). Пусть а2 и Ъ2 — другие прямые, параллельные данным и пересекающиеся в точке В. По теореме 16.2 прямые ai и а2 параллельны (или совпадают) и прямые bi и Ь2 параллельны (или совпадают).
Рис. 389Рис. 389Выполним параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку В. Так как при параллельном переносе каждая прямая переходит либо в себя, либо в параллельную прямую, то указанный параллельный перенос переводит прямую ai
Рис. 389
Рис. 389
Рис. 388
в прямую аг, а прямую Ъ\ в прямую Ьг- Так как параллельный перенос сохраняет величину угла, то угол между прямыми ах и bi равен углу между прямыми аг и Ьг. А это и требовалось доказать.
По данному ранее определению перпендикулярными называются прямые, пересекающиеся под прямым углом. Однако иногда скрещивающиеся прямые тоже называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.
Л. Задача (33). Докажите, что любая прямая на плос- Г 6 2 кости, перпендикулярная проекции наклонной на эту 3г плоскость, перпендикулярна и наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.
Решение. Пусть АВ — перпендикуляр к плоскости а, АС — наклонная и с — прямая в плоскости а, перпендикулярная ВС (рис. 389). Проведем через основание С наклонной прямую Ci||e.
По теореме о трех перпендикулярах С] перпендикулярна наклонной АС. А так как угол между прямой с и наклонной АС равен углу между прямыми АС и Ci, то прямая с тоже перпендикулярна наклонной АС.
Обратно: если прямая с перпендикулярна наклонной АС, то прямая Ci тоже перпендикулярна ей, а значит, по теореме о трех перпендикулярах и ее проекции ВС. Так как c||ci, то сЗ-ВС.
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ и плоскостью
Определим понятие угла между прямой и плоскостью.
Пусть а — плоскость и а — пересекающая ее прямая, не перпендикулярная плоскости а (рис. 390). Основания перпен
дикуляров, опущенных из точек прямой а на плоскость а, лежат
на прямой а'. Эта прямая называется проекцией прямой а на плоскость а. Углом между прямой и плоскостью называется
угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость.
Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол считается равным 90°. Если параллельна, то 0°. Так как прямая а, ее проекция а' на плоскость а и перпендикуляр к плоскости а в точке ее пересечения с прямой а лёжат в одной плоскости, то угол между прямой и плоскостью дополняет до 90° угол между этой прямой и перпендикуляром к плоскости.
Л. Задача (35). Точка А отстоит от плоскости на рас- Г ° 2 стояние й. Найдите длины наклонных, проведенных из 3Г этой точки под следующими углами к плоскости: 1) 30°;
2) 45°; 3) 60°.
Рис. 391Рис. 391Решение. Опустим перпендикуляр ААГ на плоскость (рис. 391). Треугольник А А'В прямоугольный с прямым углом при вершине А*. Острый угол этого треугольника, противолежащий катету А А', равен 30° (соответственно 45°, 60°). Поэтому в первом случае
Рис. 391
Рис. 391
наклонная АВ = -—=2А. Во вто- sin 30
ром случае АВ = h -^2, в третьем
АВ = —.
л/З
УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ
Определим понятие угла между плоскостями. Угол между параллельными плоскостями считается равным нулю.
Пусть данные плоскости пересекаются. Проведем плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым. Угол между этими прямыми называется углом между данными плоскостями (рис. 392).
Определяемый так угол между плоскостями не зависит от выбора секущей плоскости. Докажем это.
Пусть аир — данные плоскости, пересекающиеся по прямой с. Проведем плоскость у, перпендикулярную прямой с. Она пересечет плоскости а и р по прямым а и Ь. Угол между плоскостями аир равен углу между прямыми а и Ь.
Возьмем другую секущую плоскость у', перпендикулярную прямой с. Пусть а' и Ь' — прямые пересечения этой плоскости с плоскостями аир.
Выполним параллельный перенос, при котором точка пересечения плоскости у с прямой с переходит в точку пересечения плоскости у' с прямой с. При этом по свойству параллельного переноса прямая а переходит в прямую а', а прямая b — в прямую Ъ'.
Это значит, что углы между прямыми а и Ь, а' и Ъ' равны, что и требовалось доказать.
>К Задача (43). Две плоскости пересекаются под уг- ( 0 ) лом 30°. Точка А, лежащая в одной из этих плоскостей, 1—г отстоит от второй плоскости на расстояние а. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей.
Решение. Пусть аир — данные плоскости и А — точка, лежащая в плоскости а (рис. 393). Опустим перпендикуляр А А' на плоскость р и перпендикуляр АВ на прямую с, по которой пересекаются плоскости. По теореме о трех перпендикулярах А'ВА_с. Плоскость треугольника АВА' перпендикулярна прямой с и потому угол при вершине В прямоугольного треугольника АВА' равен 30°. Имеем:
АВАВАА’ . 1 пsin 30° — а* 2 — 2а
АВ
АВ
Расстояние от точки А до прямой с равно 2а.
ПЛОЩАДЬ ОРТОГОНАЛЬНОЙ ПРОЕКЦИИ МНОГОУГОЛЬНИКА
Теорема 18.1. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.
Доказательство. Рассмотрим сначала треугольник и его проекцию на плоскость, проходящую через одну из его сторон (рис. 394). Проекцией треугольника АВС является треу-
гольник АВС\ в плоскости а. Проведем высоту CD треугольника АВС. По теореме о трех перпендикулярах отрезок C,D — высота треугольника АВС,. У гол CDC, равен углу <р между плоскостью треугольника АВС и плоскостью проекции а. Имеем:
C\D = CD cos <р,
Sabc=^-AB.CD, Sabc^^AB.CxD.
Отсюда
Sabc, —Sabc cos Фф
Таким образом, в рассматриваемом случае теорема верна. Теорема верна и в случае, когда вместо плоскости а взята любая параллельная ей плоскость. Действительно, при проектировании фигуры на параллельные плоскости ее проекции совмещаются параллельным переносом в направлении проектирования. А совмещаемые параллельным переносом фигуры равны.
Рассмотрим теперь общий случай. Разобьем данный многоугольник на треугольники. Каждый треугольник, у которого нет стороны, параллельной плоскости проекции, мы разобьем на два треугольника с общей стороной, параллельной плоскости проекции, как это показано для четырехугольника ABCD на рисунке 395.
Теперь для каждого треугольника А нашего разбиения и его проекции А' запишем равенство 5Д-= SA cos <р. Сложим все эти равенства почленно. Тогда получим слева площадь проекции многоугольника, а справа площадь самого многоугольника, умноженную на cos tp. Теорема доказана.
ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
В пространстве, как и на плоскости, вектором называется направленный отрезок. Буквально так же, jtaK и на плоскости, определяются основные понятия для векторов в пространстве: абсолютная величина вектора, направление вектора, равенство векторов.
Координатами вектора с началом в точке Ai (xi; yr, Zi) и концом в точке Аз (х2; yr, z?) называются числа х2— Xi, уз— уь 22 — Zi. Так же, как и на плоскости, доказывается, что равные векторы имеют соответственно равные координаты и, обратно, векторы с соответственно равными координатами равны. Это дает основание для обозначения вектора его координатами: а (а,; аз; аз) или просто (а,; аз; а3).
ж Задача (50). Даны четыре точки А (2; 7; — 3), В (1; 0; 3), С ( — 3; —4; 5), D (— 2; 3; —1). Укажите среди век-
1—г торов АВ, ВС, DC, AD, АС и BD равные векторы.
Решение. Надо найти координаты указанных векторов АВ, ВС, ... и сравнить соответствующие координаты. У равных векторов соответствующие координаты равны. Например, у вектора АВ координаты: 1 — 2= — 1, 0 — 7 = = —7, 3 — (— 3) = 6. У вектора DC такие же координаты: — 3 — ( — 2) = —1, — 4— 3= —7, 5 — (—1) = 6. Таким образом, векторы АВ и DC равны. Другой парой равных векторов будут ВС и AD.
ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Так же, как и на плоскости, определяются действия над векторами: сложение, умножение на число и скалярное произведение.
Суммой векторов а (аг, аз; а3) и b (Ьг, Ь^; Ьз) называется вектор c(ai + bi; a2+b2; аз+Ьз).
Так же, как и на плоскости, доказывается векторное равенство
АВ + ВС = АС.
Произведением вектора a(ai; a2; а3) на число X называется вектор Ха = (Хаг, Хаз; Ха^.
Так же, как и на плоскости, доказывается, что абсолютная величина вектора Ха равна W |а|, а направление совпадает с направлением вектора а, если X > 0, и противоположно направлению вектора а, если А,<0.
уК Задача (54). Дан вектор а (1; 2; 3). Найдите колли- \ / неарный ему вектор с началом в точке А (1; 1; 1) и концом ’—г В на плоскости ху.
Решение. Координата z точки В равна нулю. Координаты вектора АВ: х — 1, у — 1, 0 —1 = — 1. Из коллинеарности векторов а и АВ получаем пропорцию
х—1 у — 1 —1123 '
Отсюда находим координаты х, у точки В:
21
Скалярным произведением векторов (ai; а^ аз)и(Ь|; 62; Ьз) называется число а\Ь\ -\-a2b2-\-a3b3. Буквально так же, как и на плоскости, доказывается, что скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между векторами.
ж Задача (59). Даны четыре точки А (0; 1; — 1), И\ В(1; — 1; 2), С(3; 1; 0), D (2; —3; 1). Найдите косинус 3( угла <р между векторами АВ и CD.
Решение. Координатами вектора АВ будут
— 0 = 1, —1 — 1 = —2, 2 —( —1) = 3;\АВ\ =Vl2 + (~2)2 + 32 = V14.
Координатами вектора CD будут
—3=—1, — 3 —1 = —4, 1 — 0=1;\CD\ =^(-l)2 + (-4)2 + l5=V18.
Значит,
— ABCD = 1 •( —1) + ( —2) ( —4)+3 • 1 = 5 .
C°S \АВ\ \CD\д/14-VlS^3
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Объясните, как определяются координаты точки в пространстве.
Выразите расстояние между двумя точками через координаты этих точек.
Выведите формулы для координат середины отрезка через координаты его концов.
Что такое преобразование симметрии относительно точки? Какая фигура называется центрально-симметричной?
Объясните, что такое преобразование симметрии относительно плоскости. Что такое плоскость симметрии фигуры?
Какое преобразование фигуры называется движением?
Докажите, что движение в пространстве переводит плоскость в плоскость.
Какие фигуры в пространстве называются равными?
Дайте определение параллельного переноса.
Перечислите свойства параллельного переноса.
Докажите, что при параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную плоскость.
Что такое преобразование подобия? Перечислите его свойства.
Какое преобразование называется гомотетией? Докажите, что преобразование гомотетии в пространстве переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость (или в себя).
Дайте определение угла между скрещивающимися прямыми.
Дайте определение угла между прямой и плоскостью.
Дайте определение угла между плоскостями.
Докажите, что площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью его проекции.
Что такое абсолютная величина вектора? Какие векторы называются одинаково направленными?
Дайте определение координат вектора с началом в точке Ai (xi; z/t; zi) и концом в точке А2(х2; z/2; 22).
Дайте определение действий над векторами: сложения, умножения на число, скалярного произведения.
ЗАДАЧИ
Где лежат те точки пространства, для которых координаты х и у равны нулю?
Даны точки А (1; 2; 3), В(0; 1; 2), С (0; 0; 3), D (1; 2; 0). Какие из этих точек лежат: 1) в плоскости ху\ 2) на оси г; 3) в плоскости z/z?
Дана точка А(1; 2; 3). Найдите основания перпендикуляров, опущенных из этой точки на координатные оси и координатные плоскости.
Найдите расстояния от точки (1; 2; — 3) до: 1) координатных плоскостей; 2) осей координат; 3) начала координат.
В плоскости ху найдите точку D (х; у; 0), равноудаленную от трех данных точек: А (0; 1; — 1), В( —1; 0; 1), С (0; -1; 0).
Найдите точки, равноотстоящие от точек (0; 0; 1), (0; 1; 0), (1; 0; 0) и отстоящие от плоскости yz на расстояние 2.
На оси х найдите точку С (х; 0; 0), равноудаленную от двух точек А(1; 2; 3), В ( — 2; 1; 3).
Составьте уравнение геометрического места точек пространства, равноудаленных от точки А (1; 2; 3) и начала координат.
Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках А(1; 2; 3), В(0; 2; 4), 0(1; 1; 4), 0(2; 2; 2) является параллелограммом.
Докажите, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, если: 1)А(0;2; — 3),В(— 1; 1; 1), С (2; —2; -1), 0(3; -1; -5); 2) А (2; 1; 3), В(1; 0; 7), С (-2; 1; 5), D( —1; 2; 1).
Докажите, что четырехугольник ABCD является ромбом, если: 1) А (6; 7; 8), В (8; 2; 6), С (4; 3; 2), О (2; 8; 4); 2) А (0; 2; 0), В(1; 0; 0), С (2; 0; 2), 0(1; 2; 2).
Даны один конец отрезка А (2; 3; —1) и его середина С (1; 1; 1). Найдите второй конец отрезка В^х; у, г).
Найдите координаты вершины О параллелограмма ABCD, если координаты трех других его вершин известны: 1)А(2; 3; 2), В(0; 2; 4), С (4; 1; 0); 2)А(1; -1; 0), В(0; 1; — 1),С(-1;0; 1); 3)А (4; 2; -1),В(1; —3; 2),С( —4; 2; 1).
Докажите, что середина отрезка с концами в точках А (а; с; —Ь) и В( —а; d; b) лежит на оси у.
Докажите, что середина отрезка с концами в точках С (а; Ь; с) и D (р; q; —с) лежит в плоскости ху.
Докажите, что преобразование симметрии относительно координатной плоскости ху задается формулами х' = х, у' = у, z'=—z.
Даны точки (1; 2; 3), (0; — 1; 2), (1; 0; —3). Найдите точки, симметричные данным относительно координатных плоскостей.
Даны точки (1; 2; 3), (0; — 1; 2), (1; 0; — 3). Найдите точки, симметричные им относительно начала координат.
Докажите, что преобразование симметрии относительно точки есть движение.
. Докажите, что преобразование симметрии относительно плоскости есть движение.
Докажите, что при движении в пространстве круг переходит в круг того же радиуса.
Докажите, что при движении в пространстве три точки, лежащие на прямой, переходят в три точки, также лежащие на одной прямой.
23.24.25.26.27.28.29.30.23.24.25.26.27.28.29.30.Найдите значения а, Ь, с в формулах параллельного переноса х' = х-\-а, y' = y-\-b, z' = z-\-c, если при этом параллельном переносе точка А (1; 0; 2) переходит в точку А' (2; 1; 0).
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
При параллельном переносе точка А (2; 1; — 1) переходит в точку А' (1; —1; 0). В какую точку переходит начало координат?
Существует ли параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку В, а точка С — в точку D, если:
А (2; 1; 0), В(1;0;1),
А ( —2; 3; 5), В (1; 2; 4), 3) А (0; 1; 2), В(-1; 0; 1), 4) А (1; 1; 0), В (0; 0; 0),
0(3;—2; 1), 0(2; — 3; 0); 0(4; -3; 6), 0(7; -2; 5); 0(3; -2; 2), О (2; — 3; 1); С (-2; 2; 1), О (1; 1; 1)?0(3;—2; 1), 0(2; — 3; 0); 0(4; -3; 6), 0(7; -2; 5); 0(3; -2; 2), О (2; — 3; 1); С (-2; 2; 1), О (1; 1; 1)?Докажите, что при параллельном переносе параллелограмм переходит в равный ему параллелограмм.
0(3;—2; 1), 0(2; — 3; 0); 0(4; -3; 6), 0(7; -2; 5); 0(3; -2; 2), О (2; — 3; 1); С (-2; 2; 1), О (1; 1; 1)?
0(3;—2; 1), 0(2; — 3; 0); 0(4; -3; 6), 0(7; -2; 5); 0(3; -2; 2), О (2; — 3; 1); С (-2; 2; 1), О (1; 1; 1)?
Четыре параллельные прямые пересекают параллельные
плоскости в вершинах параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 соответственно. Докажите, что параллелограммы ABCD и AiBiCiOi совмещаются параллельным переносом. Докажите, что преобразование гомотетии в пространстве является преобразованием подобия.
Три прямые, проходящие через точку 8, пересекают данную плоскость в точках А, В, С, а параллельную ей плоскость в точках Ai, Bi, С,. Докажите, что треугольники АВС и А|В|С| гомотетичны.
Прямая а лежит в плоскости а, а прямая b перпендикулярна этой плоскости. Чему равен угол между прямыми а и Ь?
31*. Даны три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. Чему равен угол между прямыми СА и СВ, если эти прямые образуют углы а и р с прямой АВ и а + р<90°?
Прямые а, Ь, с параллельны одной и той же плоскости. Чему равен угол между прямыми b и с, если углы этих прямых с прямой а равны 60° и 80°?
Докажите, что любая прямая на плоскости, перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.
1) Докажите, что прямая, пересекающая параллельные плоскости, пересекает их под равными углами.
Докажите, что плоскость, пересекающая параллельные прямые, пересекает их под равными углами.
Точка А отстоит от плоскости на расстояние h. Найдите длины наклонных, проведенных из этой точки под следующими углами к плоскости: 1) 30°; 2) 45°; 3) 60°.
10 Заказ 574
Наклонная равна а. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если наклонная составляет с плоскостью угол, равный: 1) 45°; 2) 60°; 3) 30°?
Отрезок длиной 10 м пересекает плоскость, концы его находятся на расстояниях 2 м и 3 м от плоскости. Найдите угол между данным отрезком и плоскостью.
Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы 45° и 30°, а между собой прямой угол. Найдите расстояние между концами наклонных (рис. 396).
Рис. 396Рис. 396
Рис. 396
Рис. 396
Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы 45°, а между собой угол 60°. Найдите расстояние между концами наклонных.
Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, проведены две наклонные под углом 30° к плоскости, причем их проекции образуют угол 120°. Найдите расстояние между концами наклонных.
Через катет равнобедренного прямоугольного треугольника проведена плоскость под углом 45° ко второму катету. Найдите угол между гипотенузой и плоскостью.
Докажите, что плоскость, пересекающая параллельные плоскости, пересекает их под равными углами.
Две плоскости пересекаются под углом 30°. Точка Л, лежащая в одной из этих плоскостей, отстоит от второй Плоскости на расстояние а. Найдите расстояние от этой Точки до прямой пересечения плоскостей.
Найдите угол между плоскостями, если точка, взятая на одной из них, отстоит от прямой пересечения плоскостей вдвое дальше, чем от второй плоскости.'
Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а их плоскости образуют угол 60°. Общее основа-
ние равно 16 м, боковая сторона одного треугольника 17 м, а боковые стороны другого перпендикулярны. Найдите расстояние между вершинами треугольников.
Равнобедренные треугольники АВС-и ABD с общим основанием АВ лежат в различных плоскостях, угол между которыми равен а. Найдите cos а, если:
АВ = 24 см, АС = 13 см, АО = 37 см, СО = 35 см;
АВ = 32 м, АС = 65 м, АО = 20 м, СО = 63 м.
Катеты прямоугольного треугольника равны 7 м и 24 м. Найдите расстояние от вершины прямого угла до плоскости, которая проходит через гипотенузу и составляет угол 30° с плоскостью треугольника.
Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найдите площадь его ортогональной проекции на плоскость, которая образует с плоскостью треугольника угол, равный: 1) 30°; 2) 45°; 3) 60°.
1) Найдите площадь ортогональной проекции треугольника АВС из задачи 46 на плоскость треугольника ABD.
Найдите площадь ортогональной проекции треугольника ABD из задачи 46 на плоскость треугольника АВС.
Даны четыре точки А (2; 7; —3), В (1; 0; 3), С (— 3; —4; 5), D( — 2; 3; —1). Укажите среди векторов АВ, ВС, DC, AD, АС и BD равные векторы.
Даны три точки А (1; 0; 1), В(_ — 1; 1; 2), С (0; 2; —1). Найдите точку D(x; у; z), если векторы АВ и CD равны.
Найдите точку D в задаче 51, если сумма векторов АВ и CD равна нулю.
Даны векторы (2; п; 3) и (3; 2; иг). При каких тип эти векторы коллинеарны?
Дан вектор а (1; 2; 3). Найдите коллинеарный ему вектор с началом в точке А (1; 1; 1) и концом В на плоскости ху.
При каком значении п данные векторы перпендикулярны:
а (2; — 1; 3), 5(1; 3; п); 2) а (п; —2; 1), b (п; — п; 1); 3)а(п; — 2; 1), Ь(п; 2п; 4); 4) а (4; 2п; — 1), b( — 1; 1; п)?
Даны три точки А (1; 0; 1), В (— 1; 1; 2), С (0; 2; —1). Найдите на оси z такую точку D (0; 0; с), чтобы векторы АВ и CD были перпендикулярны.
57*. Векторы а и b образуют угол 60°, а вектор с им перпендикулярен. Найдите абсолютную величину вектора а + 5+ + с- - - _
58*. Векторы а, Ь, с единичной длины образуют попарно ^глы 60°. Найдите угол <р между векторами: 1) а и Ь^с; 2) а и Ь—с.
Даны четыре точки А (0; 1; — 1), В(1; — 1; 2), С (3; 1; 0), D (2; — 3; 1). Найдите косинус угла ф между векторами АВ и CD.
Даны три точки А (0; 1; — 1), В(1; — 1; 2), С (3; 1; 0). Найдите косинус угла С треугольника АВС.
61*. Докажите, что угол ф между прямыми, содержащими векторы а и Ь, определяется из уравнения
|ab| = la| \b\ cos ф.
62*. Из вершины прямого угла А треугольника АВС восставлен перпендикуляр AD к плоскости треугольника. Найдите косинус угла ф между векторами ВС и BD, если угол ABD равен а, а угол АВС равен р (рис. 397).
D
Рис. 397
Наклонная образует угол 45° с плоскостью. Через основание наклонной проведена прямая в плоскости под углом 45° к проекции наклонной. Найдите угол ф между этой прямой и наклонной.
64*. Из точки вне плоскости проведены перпендикуляр и две равные наклонные, образующие углы а с перпендикуляром. Найдите угол ф между проекциями наклонных, если угол между наклонными р.
11 класс
§ 19. МНОГОГРАННИКИ
ДВУГРАННЫЙ УГОЛ
Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой (рис. 398). Полуплоскости называются гранями, а ограничивающая их прямая — ребром двугранного угла.
Плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, пересекает его грани по двум полупрямым. Угол, образованный этими полупрямыми, называется линейным углом двугранного угла.
За меру двугранного угла принимается мера соответствующего ему линейного угла. Все линейные углы двугранного угла совмещаются параллельным переносом, а значит, равны. Поэтому мера двугранного угла не зависит от выбора линейного угла.
Лк Задача (1). Из точек А и В, лежащих в гранях Г А Л двугранного угла, опущены перпендикуляры ААХ и ВВХ \г на ребро угла. Найдите длину отрезка АВ, если
ААх=а, ВВХ = Ъ, А\Вх=с и двугранный угол равен а (рис. 399).
Решение. Проведем прямые АХС\\ВВХ и ВС\\АХВХ. Четырехугольник АХВХВС — параллелограмм, значит АХС=ВВХ — Ъ. Прямая А|В| перпендикулярна плоскости
Рис. 399Рис. 399
Рис. 399
Рис. 399
треугольника AAiC, так как она перпендикулярна двум прямым в этой плоскости AAi и CAi. Следовательно, параллельная ей прямая ВС тоже перпендикулярна этой плоскости. Значит, треугольник АВС — прямоугольный с прямым углом С. По теореме косинусов
АС2=АА2 4- А\С2 — 2АА1 • AiC-cos а=а2 + b2 — 2ab cos а.
По теореме Пифагора
АВ=д!АС2 4г ВС2—д/а2 + b2 — 2ab cos а + с2.
ТРЕХГРАННЫЙ И МНОГОГРАННЫЙ УГЛЫ
Рассмотрим три луча а, Ь, с, исходящие из одной точки и не лежащие в одной плоскости. Трехгранным углом (abc) называется фигура, составленная из трех плоских углов (ab\ (Ьс) и (ас) (рис. 400). Эти углы называются гранями трехгранного угла, а их стороны — ребрами. Общая вершина плоских углов называется вершиной трехгранного угла. Двугранные углы, образованные гранями трехгранного угла, называются двугранными углами трехгранного угла.
Аналогично определяется понятие многогранного угла (рис. 401).
Л^ Задача (2). У трехгранного угла (abc) двугранный ^6 Л угол при ребре с прямой, двугранный угол при ребре b равен ф, а плоский угол (be) равен у^ф, У<^г) • Найдите два других плоских угла: а= A(ab\ р= А (ас).
Рис. 402Рис. 402
Рис. 402
Рис. 402
Решение. Опустим из произвольной точки А ребра а перпендикуляр АВ на ребро b и перпендикуляр АС на ребро с (рис. 402). По теореме о трех перпендикулярах СВ — перпендикуляр к ребру Ъ.
Из прямоугольных треугольников ОАВ, ОСВ, АОС и АВС получаем:
tg а.=АВ;ОВtg а.=АВ;ОВВС . ВСcos ф tg 7ВС . ВСcos ф tg 7tg?COS ф ’tg?COS ф ’
tg а.=АВ;ОВ
tg а.=АВ;ОВ
ВС . ВСcos ф tg 7
ВС . ВСcos ф tg 7
tg?
COS ф ’
tg?
COS ф ’
RC
tg p=AC:OC=BC tg Ф:^-^—tg Ф sin V-
Замечание.Замечание.Полученные зависимости между угламиПолученные зависимости между угламиa, p, у, <p:a, p, у, <p:
Замечание.
Замечание.
Полученные зависимости между углами
Полученные зависимости между углами
a, p, у, <p:
a, p, у, <p:
tga=31I- tgB = tg<psinY —
COS фT
позволяют, зная два угла, найти два других.
МНОГОГРАННИК
В стереометрии изучаются фигуры в пространстве, называемые телами. Наглядно (геометрическое) тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью.
Многогранник — это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников (рис. 403). Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью. Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины — вершинами многогранника.
Поясним сказанное на примере знакомого вам куба (рис. 404). Куб есть выпуклый многогранник. Его поверхность состоит из шести квадратов: ABCD, BEFC, ... . Они являются его гранями. Ребрами куба являются стороны этих квадратов: АВ, ВС, BE,... . Вершинами куба являются вершины квадратов: А, В, С, D, Е, .... У куба шесть граней, двенадцать ребер и восемь вершин.
Простейшим многогранникам — призмам и пирамидам, которые будут основным объектом нашего изучения,— мы дадим такие определения, которые, по существу, не используют понятие тела. Они будут определены как геометрические фигуры с указанием всех принадлежащих им точек пространства. Понятие геометрического тела и его поверхности в общем случае будет дано позже.
ПРИЗМА
Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников (рйсГ40б). Многоугольники называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие соответствующие вершины,— боковыми ребрами призмы.
Рис. 405Рис. 405
Рис. 405
Рис. 405
Так как параллельный перенос есть движение, то основания призмы, равны.
Так как при параллельном переносе плоскость переходит в параллельную плоскость (или в себя), то у призмы основания лежат в параллельных плоскостях.
Так как при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние, то у призмы боковые ребра параллельны и равны.
Поверхность призмы состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из параллелограммов. У каждого из этих параллелограммов две стороны являются соответствующими сторонами оснований, а две другие — соседними боковыми ребрами.
Высотой призмы называется расстояние между плоскостями ее оснований. Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы.
Призма называется n-угольной, если ее основания —
п-угольники.
В дальнейшем мы будем рассматривать только призмы, у которых основания — выпуклые многоугольники. Такие призмы являются выпуклыми многогранниками.
На рисунке 405 изображена пятиугольная призма. У нее основаниями являются пятиугольники AiA2...A5, A'iA^.-A^ XX' — отрезок, соединяющий соответствующие точки оснований. Боковые ребра призмы — отрезки AtAi, А2А2, ..., А5А$. Боковые грани призмы — параллелограммы A\A2A2A’Xl А2А^А^А’2^ ... .
ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРИЗМЫ И ПОСТРОЕНИЕ ЕЕ СЕЧЕНИЙ
В соответствии с правилами параллельного проектирования изображение призмы строится следующим образом. Сначала строится одно из оснований Р (рис. 406). Это будет некоторый плоский многоугольник. Затем из вершин многоугольника Р проводятся боковые ребра призмы в виде параллельных отрезков равной длины. Концы этих отрезков соединяются и получается другое основание призмы. Невидимые ребра проводятся штриховыми линиями.
Сечения призмы плоскостями, параллельными боковым ребрам, являются параллелограммами. В частности, параллелограммами являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани (рис. 407).
На практике, в частности, при решении задач часто приходится строить сечение призмы плоскостью, проходящей через заданную прямую g на плоскости одного из оснований приз-
Рис. 408
мы. Такая прямая называется следом секущей плоскости на плоскости основания. Для построения сечения призмы достаточно построить отрезки пересечения секущей плоскости с гранями призмы. Покажем, как строится такое сечение, если известна какая-нибудь точка А на поверхности призмы, принадлежащая сечению (рис. 408).
Если данная точка А принадлежит другому основанию призмы, то его пересечение с секущей плоскостью представляет собой отрезок ВС, параллельный следу g и содержащий данную точку А (рис. 408, а).
Если данная точка А принадлежит боковой грани, то пересечение этой грани с секущей плоскостью строится, как показано на рисунке 408, б. Именно: сначала строится точка D, в которой плоскость грани пересекает заданный след g. Затем проводится прямая через точки А и D. Отрезок ВС прямой AD на рассматриваемой грани и есть пересечение этой грани с секущей плоскостью. Если грань, содержащая точку А, параллельна следу g, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку ВС, проходящему через точку А и параллельному прямой g.
Концы отрезка ВС принадлежат и соседним граням. Поэтому описанным способом можно построить пересечение этих граней с нашей секущей плоскостью. И т. д.
Рис. 409
На рисунке 409 показано построение сечения четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через прямую а в плоскости нижнего основания призмы и точку А на одном из боковых ребер.
ПРЯМАЯ ПРИЗМА
Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. В противном случае призма называется наклонной.
У прямой призмы боковые грани являются прямоугольниками. При изображении прямой призмы на рисунке боковые ребра обычно проводят вертикально (рис. 410).
Прямая призма называется правильной, если ее основания являются правильными многоугольниками.
Боковой поверхностью призмы, (точнее, площадью боковой поверхности) называется сумма площадей боковых граней. Полная поверхность призмы равна сумме боковой поверхности и площадей оснований.
Теорема 19.1. Боковая поверхность прямой призмы, равна произведению периметра основания на высоту призмы, г. е. на длину бокового ребра.
Доказательство. Боковые грани прямой призмы — прямоугольники. Основания этих прямоугольников являются сторонами многоугольника, лежащего в основании призмы,
а высоты равны длине боковых ребер. Отсюда следует, что боковая поверхность призмы равна
S = а\1 Н- а^1 + ... + anl
где ai,..., ап — длины ребер основания, р — периметр основания призмы, al — длина боковых ребер. Теорема доказана.
Рис. 411Рис. 411
Рис. 411
Рис. 411
Задача (22). В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите боковую поверхность призмы, если периметр сечения равен р, а боковые ребра равны /.
Решение. Плоскость проведенного сечения разбивает призму на две части (рис. 411). Подвергнем одну из них параллельному переносу, совмещающему основания призмы. При этом получим прямую призму, у которой основанием служит сечение исходной призмы, а боковые ребра равны /. Эта призма имеет ту же боковую поверхность, что и исходная. Таким образом, боковая поверхность исходной призмы равна pl.
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
Если основание призмы есть параллелограмм, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани — параллелограммы.
На рисунке 412, а изображен наклонный параллелепипед, а на рисунке 412, б — прямой параллелепипед.
Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, назы
ваются противолежащими.
Рис. 412
Теорема 19.2. У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны.
Доказательство. Рассмотрим какие-нибудь две противолежащие грани параллелепипеда, например AiA2A2At и АзА^^Аз (рис. 413). Так как все грани параллелепипеда — параллелограммы, то прямая А|А2 параллельна прямой А4А3, а прямая А\А\ параллельна прямой А4А4. Отсюда следует, что плоскости рассматриваемых граней параллельны.
Из того, что грани параллелепипеда — параллелограммы, следует, что отрезки AiA4, А1А4, А2А3 и А2А3 — параллельны и равны. Отсюда заключаем, что грань A|A2A2Ai совмещается параллельным переносом вдоль ребра AtA4 с гранью А3А4А4А3. Значит, эти грани равны.
Аналогично доказывается параллельность и равенство любых других противолежащих граней параллелепипеда. Теорема доказана.
Рис. 414Рис. 414
Рис. 414
Рис. 414
ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
Теорема 19.3. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам^
Доказательство. Рассмотрим какие-нибудь две диагонали параллелепипеда, например А1А3 и А4А2 (рис. 414). Так как четырехугольники А1А2А3А4 и А2А2А3А3 — параллелограммы с общей стороной А2Аз, ТО ИХ стороны А1А4 И А2А3 параллельны друг другу, а значит, лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскости противолежащих граней
параллелепипеда по параллельным пря
мым А\А2 и А4А3. Следовательно, четырехугольник А4А1А2А3— параллелограмм. Диагонали параллелепипеда А1А3 и А4А2 являются диагоналями этого параллелограмма. Поэтому они пересекаются и точкой пересечения О делятся по
полам.
Аналогично доказывается, что диагонали А|Аз и А2А4, а также диагонали А [Аз и А3А[ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда заключаем, что все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана.
Из теоремы 19.3 следует, что точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники.
Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.
Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями). У прямоугольного параллелепипеда три измерения.
Теорема 19.4. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.
Доказательство. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA'B'C'D' (рис. 415). Из прямоугольного треугольника АС'С по теореме Пифагора получаем:
АС'2 = АС2 + СС'2.
Из прямоугольного треугольника АСВ по теореме Пифагора получаем АС2 = АВ2 + ВС2. Отсюда
АС'2 = СС'2 + АВ2 ^ВС2.
Ребра АВ, ВС и СС' не параллель
ны, а следовательно, их длины являются линейными размерами параллелепипеда. Теорема
доказана.
СИММЕТРИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
У прямоугольного параллелепипеда, как у всякого параллелепипеда, есть центр симметрии — точка пересечения его диагоналей. У него есть также три плоскости симметрии, проходящие через центр симметрии параллельно граням. На рисунке 416 показана одна из таких плоскостей. Она проходит через середины четырех параллельных ребер параллелепипеда. Концы ребер являются симметричными точками.
Если у параллелепипеда все линейные размеры разные, то у него нет других плоскостей симметрии, кроме названных.
Если же у параллелепипеда два линейных размера равны, то у него есть еще две плоскости симметрии. Это плоскости диагональных сечений, показанные на рисунке 417.
Если у параллелепипеда все линейные размеры равны, т. е. он является кубом, то у него плоскость любого диагонального сечения является плоскостью симметрии. Таким образом, у куба девять плоскостей симметрии.
ПИРАМИДА
Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника — основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания,— вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания (рис. 418).
Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами.
Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Каждая боковая грань — треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей стороной — сторона основания пирамиды.
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.
Пирамида называется n-угольной, если ее основанием является n-угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.
У пирамиды, изображенной на рисунке 418, основание — многоугольник A, Ai...Ап, вершина пирамиды — S, боковые ребра — SA|, SA-г,..., SAn, боковые грани — Д8А|Аг, Д8АгА3,... .
В дальнейшем мы будем рассматривать только пирамиды с выпуклым многоугольником в основании. Такие пирамиды являются выпуклыми многогранниками.
ПОСТРОЕНИЕ ПИРАМИДЫ И ЕЕ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
В соответствии с правилами параллельного проектирования изображение пирамиды строится следующим образом. Сначала строится основание. Это будет некоторый плоский многоугольник. Затем отмечается вершина пирамиды, которая соединяется боковыми ребрами с вершинами основания. На рисунке 418 показано изображение пятиугольной пирамиды.
Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники (рис. 419). В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два несоседних боковых ребра пирамиды (рис. 420).
Сечение пирамиды плоскостью с заданным следом g на плоскости основания строится так же, как и сечение призмы. Для построения сечения пирамиды плоскостью достаточно построить пересечения ее боковых граней с секущей плоскостью.
Если на грани, не параллельной следу g, известна какая- нибудь точка А, принадлежащая сечению, то сначала строится пересечение следа g секущей плоскости с плоскостью этой грани — точка D на рисунке 421. Точка D соединяется с точкой А прямой. Тогда отрезок этой прямой, принадлежащий грани, есть пересечение этой грани с секущей плоскостью. Если точка А лежит на грани, параллельной следу g, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку, параллельному прямой g. Переходя к соседней боковой грани, строят ее пересечение с секущей плоскостью и т. д. В итоге получается требуемое сечение пирамиды.
На рисунке 422 построено сечение четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и точку А на одном из ее боковых ребер.
УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА
Теорема 19.5. Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию, отсекает подобную пирамиду.
Доказательство. Пусть S — вершина пирамиды, А — вершина основания и А' — точка пересечения секущей плоскости с боковым ребром SA (рис. 423). Подвергнем пирамиду преобразованию гомотетии относительно вершины S с коэффициентом гомотетии
В SA ‘
При этой гомотетии плоскость основания переходит в параллельную плоскость, проходящую через точку А', т. е. в секущую плоскость, а следовательно, вся пирамида — в отсекаемую этой плоскостью часть. Так как гомотетия есть преобразование подобия, то отсекаемая часть пирамиды является пирамидой, подобной данной. Теорема доказана.
По теореме 19.5 плоскость, параллельная плоскости основания пирамиды и пересекающая ее боковые ребра, отсекает от нее подобную пирамиду. Другая часть представляет собой многогранник, который называется усеченной пирамидой (рис. 424). Грани усеченной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями; остальные грани называются
боковыми гранями. Основания усеченной пирамиды представляют собой подобные (более того, гомотетичные) многоугольники, боковые грани — трапеции.
Jk Задача (54). Боковое ребро пирамиды разделено на Г 0 четыре равные части и через точки деления проведены \_J плоскости, параллельные основанию. Площадь основания равна 400 см2. Найдите площади сечений.
Решение. Сечения подобны основанию пирамиды с коэффициентами подобия —-, -|- и -|-. Площади подобных фигур относятся как квадраты линейных размеров. Поэтому отношения площадей ^сечений к площади основания пирамиды есть ^-^) ’ (~5~) и("5”) • Следовательно, площади сечений равны
400-(^)2 = 25 (см2), 400-(-|-У = 100 (см2), 400- = 225 (см2).
ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА
Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая ее высоту. Очевидно, у правильной пирамиды боковые ребра равны; следовательно, боковые грани — равные равнобедренные треугольники.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. Боковой поверхностью пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.
Теорема 19.6. Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.
Доказательство. Если сторона основания а, число сторон п, то боковая поверхность пирамиды равна:
al иanl pl
гдеI — апофема, ар — периметр основания пирамиды. Теорема доказана.
Усеченная пирамида, которая получается из правильной пирамиды, также называется правильной. Боковые грани правильной усеченной пирамиды — равные равнобокие трапеции; их высоты называются апофемами.
7k Задача (69). Докажите, что боковая поверхность пра- ( ° ) вильной усеченной пирамиды равна произведению полу- 1—г суммы периметров оснований на апофему.
Решение. Боковые грани усеченной пирамиды — трапеции с одним и тем же верхним основанием а, нижним b и высотой (апофемой) I. Поэтому площадь одной грани равна —-(a+b)Z. Площадь всех граней, т. е. боковая поверхность, равна -^-(ап-\-Ьп)1, где п — число вершин у основания пирамиды, ап и Ьп — периметры оснований пирамиды.
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.
Существует пять типов правильных выпуклых многогранников (рис. 425): правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.
У правильного тетраэдра грани — правильные треугольники; в каждой вершине сходится по три ребра. Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду, у которой все ребра равны.
У куба все грани — квадраты; в каждой вершине сходится
Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр
Рис. 425
по три ребра. Куб представляет собой прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.
У октаэдра грани — правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра в каждой его вершине сходится по четыре ребра.
У додекаэдра грани — правильные пятиугольники. В каждой вершине сходится по три ребра.
У икосаэдра грани — правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра и октаэдра в каждой вершине сходится по пять ребер.
Задача (81). Найдите двугранные углы правильного тетраэдра.
Решение. Проведем из вершины S тетраэдра высоты SA, SB, SC его граней, сходящихся в этой вершине, и высоту SO тетраэдра (рис. 426). Если ребро тетраэдра обозначить через а, то высоты граней будут равны ^^. Из равенства высот SA, SB, SC следует равенство
1 Рис. 4261 Рис. 426отрезков ОА, ОВ, ОС. А они перпендикулярны сторонам треугольника в основании тетраэдра (по теореме о трех перпендикулярах). Отсюда следует, что точка О является центром окружности, вписанной в основание тетраэдра. Следовательно, отрезки ОА, ОВ и ОС а V3
1 Рис. 426
1 Рис. 426
равны —£—. Обозначим через ф двугранный угол при ребре, содержащем точку А. Тогда
ОАCOS^= ASОАCOS^= AS= -L Ф«70°32'. О
ОА
COS^= AS
ОА
COS^= AS
Очевидно, двугранные углы при остальных ребрах тетраэдра такие
же по величине.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Что такое двугранный угол (грань угла, ребро угла)?
Что такое линейный угол двугранного угла?
Почему мера двугранного угла не зависит от выбора линейного угла?
Объясните, что такое трехгранный угол (грани и ребра трехгранного угла).
Объясните, что такое плоские и двугранные углы трехгранного угла.
Что такое многогранник?
Какой многогранник называется выпуклым?
Что такое грань выпуклого многогранника, ребро, вершина?
Что такое призма (основания призмы, боковые грани, ребра)?
Докажите, что у призмы основания лежат в параллельных плоскостях и равны, боковые ребра параллельны и равны, боковые грани — параллелограммы.
Что такое высота призмы?
Что такое диагональ призмы?
Что представляет собой сечение призмы плоскостью, параллельной боковым ребрам, в частности диагональное сечение?
Как строится сечение призмы плоскостью, проходящей через данную прямую в плоскости основания призмы и данную точку на одной из боковых граней?
Какая призма называется прямой (наклонной)?
Какая призма называется правильной?
Что такое боковая поверхность призмы (полная поверхность призмы)?
Докажите, что боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
Что такое параллелепипед?
Докажите, что у параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны.
Докажите, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.
Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.
Какой параллелепипед называется прямоугольным? Что такое линейные размеры прямоугольного параллелепипеда?
Что такое куб?
Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.
Сколько плоскостей симметрии у прямоугольного параллелепипеда?
Что такое пирамида (основание пирамиды, боковые грани, ребра, высота)?
Что представляют собой сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину?
Что такое диагональное сечение пирамиды?
Как построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данную прямую в плоскости основания пирамиды и заданную точку на одной из боковых граней?
Докажите, что плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию, отсекает подобную пирамиду.
Объясните, что такое усеченная пирамида.
Какая пирамида называется правильной? Что такое ось правильной пирамиды?
Что такое апофема правильной пирамиды?
Докажите, что боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.
Какой многогранник называется правильным?
Перечислите пять типов правильных многогранников и опишите их.
ф ЗАДАЧИ
Из точек А и В, лежащих в гранях двугранного угла, опущены перпендикуляры А А ] и ВВ\ на ребро угла. Найдите: 1) отрезок АВ, если ААх=а, ВВ\ — Ь, АхВх — с и двугранный угол равен а; 2) двугранный угол а, если ААХ = 3, ВВХ =4, A|Bi =6, АВ = 7.
У трехгранного угла (аЬс) двугранный угол при ребре с прямой, двугранный угол при ребре b равен ср, а плоский угол (Ьс) равен у^ф, у<-^ * Найдите два других плоских угла: а = Z_(ab\ Z_(ac\
У трехгранного угла один плоский угол равен у, а прилежащие к нему двугранные углы равны ср( Ф<-^-) • Найди- те два других плоских угла а и угол р, который образует плоскость угла у с противолежащим ребром.
4*. У трехгранного угла два плоских угла острые и равны а, а третий угол равен у. Найдите двугранные углы ср, противолежащие плоским углам а, и угол Р между плоскостью у и противолежащим ребром.
Докажите, что сечение призмы, параллельное основаниям, равно основаниям.
Сколько диагоналей имеет n-угольная призма?
Постройте сечение четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через сторону основания и одну из вершин другого основания.
Постройте сечение четырехугольной" призмы плоскостью, проходящей через три точки на боковых ребрах призмы.
У призмы одно боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. Докажите, что остальные боковые ребра тоже перпендикулярны плоскости основания.
В прямой треугольной призме стороны основания равны 10 см, 17 см и 21 см, а высота призмы 18 см. Найдите площадь сечения, проведенного через боковое ребро и меньшую высоту основания.
Боковое ребро наклонной призмы равно 15 см и наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найдите высоту призмы.
12*. В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми ребрами равны 37 см, 13 см и 40 см. Найдите расстояние между большей боковой гранью и противолежащим боковым ребром.
Основанием призмы является правильный шестиугольник со стороной а, боковые грани — квадраты. Найдите диагонали призмы и площади ее диагональных сечений.
14*. В правильной шестиугольной призме, у которой боковые грани — квадраты, проведите плоскость через сторону нижнего основания и противолежащую ей сторону верхнего основания. Сторона основания равна а. Найдите площадь построенного сечения (рис. 427).
Через сторону нижнего основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, пересекающая боковые грани по отрезкам, угол между которыми а. Найдите угол наклона этой плоскости к основанию призмы (рис. 428).
В правильной четырехугольной призме через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость,
пересекающая три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом а. Сторона основания равна а. Найдите площадь полученного сечения.
В правильной четырехугольной призме площадь основания 144 см2, а высота 14 см. Найдите диагональ призмы.
В правильной четырехугольной призме площадь боковой грани равна Q. Найдите площадь диагонального сечения.
19*. Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 15, высота равна 20. Найдите кратчайшее расстояние от стороны основания до не пересекающей ее диагонали призмы (рис. 429).
В прямой треугольной призме все ребра равны. Боковая поверхность равна 12 м2. Найдите высоту.
Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы 32 м2, а полная поверхность 40 м2. Найдите высоту.
22*. В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите боковую поверхность призмы, если периметр сечения равен р, а боковые ребра равны I.
Расстояния между параллельными прямыми, содержащими боковые ребра наклонной треугольной призмы, равны 2 см, 3 см и 4 см, а боковые ребра 5 см. Найдите боковую поверхность призмы.
По стороне основания а и боковому ребру Ь найдите полную поверхность правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
Плоскость, проходящая через сторону основания правильной треугольной призмы и середину противолежащего ребра, образует с основанием угол 45°. Сторона основания /. Найдите боковую поверхность призмы.
У параллелепипеда три грани имеют площади 1 м2, 2 м2 и 3 м2. Чему равна полная поверхность параллелепипеда?
Известны углы, образуемые ребрами параллелепипеда, сходящимися в одной вершине. Как найти углы между ребрами, сходящимися в любой другой вершине?
Докажите, что отрезок, соединяющий центры оснований параллелепипеда, параллелен боковым ребрам.
В прямом параллелепипеде стороны основания 6 м и 8 м образуют угол 30°, боковое ребро равно 5 м. Найдите полную поверхность этого параллелепипеда.
В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 8 см, угол между ними 60°. Боковая поверхность равна 220 см2. Найдите полную поверхность.
В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 5 см, а одна из диагоналей основания 4 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда, зная, что меньшая диагональ образует с плоскостью основания угол 60°.
Найдите диагонали прямого параллелепипеда, у которого каждое ребро равно а, а угол основания равен 60°.
33*. Боковое ребро прямого параллелепипеда 5 м, стороны основания 6 м и 8 м, а одна из диагоналей основания 12 м. Найдите диагонали параллелепипеда.
В прямом параллелепипеде боковое ребро равно 1 м, стороны основания равны 23 дм и 11 дм, а диагонали основания относятся как 2:3. Найдите площади диагональных сечений.
Найдите диагонали прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям: 1) 1, 2, 2; 2) 2, 3, 6; 3) 6, 6, 7.
36*. Ребро куба равно а. Найдите расстояние от вершины куба до его диагонали, соединяющей две другие вершины.
В прямоугольном параллелепипеде стороны основания 7 дм и 24 дм, а высота параллелепипеда 8 дм. Найдите площадь диагонального сечения.
Найдите поверхность прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям: 10 см, 22 см, 16 см.
Найдите боковую поверхность прямоугольного параллелепипеда, если его высота й, площадь основания Q, а площадь диагонального сечения М.
Диагонали трех граней прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, равны а, Ь, с. Найдите линейные размеры параллелепипеда (рис. 430).
Основание пирамиды — равнобедренный треугольник, у которого основание равно 12 см, а боковая сторона 10 см. Боковые грани образуют с основанием равные двугранные углы, содержащие по 45°. Найдите высоту пирамиды.
Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Вычислите высоту пирамиды.
Основанием пирамиды является правильный треугольник; одна из боковых граней перпендикулярна основанию, а две другие наклонены к нему под углом а. Как наклонены к плоскости основания боковые ребра?
В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой а. Каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол р. Найдите ее высоту.
Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Все двугранные углы при основании пирамиды равны 60°. Найдите высоту пирамиды.
Основание пирамиды — параллелограмм, у которого стороны 3 см и 7 см, а одна из диагоналей 6 см; высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей, она равна 4 см. Найдите боковое ребро пирамиды.
47*. Основание пирамиды — ромб с диагоналями 6 м и 8 м; высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба и равна 1 м. Найдите боковую поверхность пирамиды.
Основание пирамиды — равнобедренный треугольник со сторонами 40 см, 25 см и 25 см. Ее высота проходит через вершину угла, противолежащего стороне 40 см, и равна 8 см. Найдите боковую поверхность пирамиды.
Основание пирамиды — квадрат, ее высота проходит через одну из вершин основания. Найдите боковую поверхность пирамиды, если сторона основания равна 20 дм, а высота 21 дм (рис. 431).
Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и две данные точки на ее основании.
Постройте сечение треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания пирамиды и данную точку на противолежащем ребре.
Постройте сечение четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и точку на одном из боковых ребер.
У четырехугольной усеченной пирамиды стороны одного основания равны 6, 7, 8, 9 см, а меньшая сторона другого основания равна 5 см. Найдите остальные стороны этого основания.
Боковое ребро пирамиды разделено на четыре равные части и через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Площадь основания равна 400 см2. Найдите площади сечений.
Высота пирамиды равна 16 м. Площадь основания равна
512 м2. На каком расстоянии от основания находится сечение, параллельное ему, если площадь сечения 50 м2? 56. В правильной треугольной пирамиде с высотой Л через сторону основания а проведена плоскость, пересекающая противолежащее боковое ребро под прямым углом. Найдите площадь сечения.
Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 7 см, а сторона основания 8 см. Найдите боковое ребро.
В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен а. Найдите двугранный угол ос при основании пирамиды.
По данной стороне основания а и боковому ребру b найдите высоту правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
По данной стороне основания а и высоте b найдите апофему правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
По стороне основания а и высоте h найдите полную поверхность правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
Найдите полную поверхность правильной шестиугольной пирамиды, если ее боковое ребро а, а радиус окружности, вписанной в основание, г.
В правильной четырехугольной пирамиде боковая поверхность равна 14,76 м2, а полная поверхность 18 м2 Найдите сторону основания и высоту пирамиды.
По стороне основания а найдите боковую поверхность правильной четырехугольной пирамиды, у которой диагональное сечение равновелико основанию.
Найдите боковую поверхность пирамиды, если площадь основания Q, а двугранные углы при основании ср.
Найдите двугранные углы при основании правильной пирамиды, у которой площадь основания равна Q, а боковая поверхность S.
Найдите сторону основания и апофему правильной треугольной пирамиды, если ее боковое ребро равно 10 см, а боковая поверхность равна 144 см2.
В правильной четырехугольной пирамиде найдите сторону основания, если боковое ребро равно 5 см, а полная поверхность 16 см2.
Докажите, что боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.
Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 7 см. Стороны оснований равны 10 см и 2 см. Найдите боковое ребро пирамиды.
Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды 4 дм и 1 дм. Боковое ребро 2 дм. Найдите высоту пирамиды.
В правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота равна 2 см, а стороны оснований 3 см и 5 см. Найдите диагональ этой пирамиды.
Стороны оснований усеченной правильной треугольной пирамиды 2 см и 6 см. Боковая грань образует с большим основанием угол 60°. Найдите высоту.
В правильной усеченной треугольной пирамиде сторона большего основания а, сторона меньшего — Ь. Боковое ребро образует с основанием угол 45°. Найдите площадь сечения, проходящего через боковое ребро и ось пирами- ды1.
Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 4 см. Стороны оснований равны 2 см и 8 см. Найдите площади диагональных сечений.
В правильной треугольной усеченной пирамиде сторона нижнего основания 8 м, верхнего — 5 м, а высота 3 м. Проведите сечение через сторону нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания. Найдите площадь сечения и двугранный угол между сечением и нижним основанием (рис. 432).
В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований 8 м и 2 м. Высота равна 4 м. Найдите полную поверхность.
Найдите полную поверхность правильной усеченной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной, если высота h, а стороны оснований а и Ъ.
Докажите, что центры граней куба являются вершинами октаэдра, а центры граней октаэдра являются вершинами куба.
1 Ось правильной усеченной пирамиды совпадает с осью соответствующей полной пирамиды.
Докажите, что концы двух непараллельных диагоналей противолежащих граней куба являются вершинами тетраэдра.
Найдите двугранные углы правильнбго тетраэдра.
82*. Найдите двугранные углы октаэдра.
Какие плоскости симметрии имеет правильный тетраэдр?
84*. Сколько плоскостей симметрии у правильного октаэдра, додекаэдра и икосаэдра?
§ 20. ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
ЦИЛИНДР
Цилиндром (точнее, круговым цилиндром) называется тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов (рис. 433). Круги называются основаниями цилиндра» а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов,— образующими цилиндра»
Так как параллельный перенос есть движение, то основания цилиндра равны.
Так как при параллельном переносе плоскость переходит в параллельную плоскость (или в себя), то у цилиндра основания лежат в параллельных плоскостях.
Так как при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние, то у цилиндра образующие параллельны и равны.
Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих.
Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.
В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой цилиндр, называя его для краткости просто цилиндром. Прямой цилиндр наглядно можно представить себе как тело, которое описывает прямоугольник при вращении его около стороны как оси (рис. 434).
Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим.
СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА ПЛОСКОСТЯМИ
Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник (рис. 435). Две его стороны — образующие цилиндра, а две другие — параллельные хорды оснований. В частности, прямоугольником является осевое сечение. Это — сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось (рис. 436).
л. Задача (2). Осевое сечение цилиндра — квадрат, пло- ( А) Щадь которого Q. Найдите площадь основания цилиндра. 1< Решение. Сторона квадрата равна -^Q. Она равна диаметру основания. Поэтому площадь основания равна
Теорема 20.1. Плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.
Доказательство. Пусть 0 — плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра (рис. 437). Параллельный перенос в направлении оси цилиндра, совмещающий плоскость 0 с плоскостью основания цилиндра, совмещает сечение боковой поверхности плоскостью 0 с окружностью основания. Теорема доказана.
ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ПРИЗМЫ
Призмой, вписанной в цилиндр, называется такая призма, у которой плоскостями оснований являются плоскости оснований цилиндра, а боковыми ребрами — образующие цилиндра (рис. 438).
JR Задача (7). В цилиндр вписана правильная шести- Q О Л угольная призма. Найдите угол между диагональю ее бо- i) ковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.
Решение. Боковые грани призмы — квадраты, так как сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу (рис. 439). Ребра призмы параллельны оси цилиндра, поэтому угол между диагональю грани и осью цилиндра равен углу между диагональю и боковым ребром. А этот угол равен 45°, так как грани — квадраты.
Рис. 440Рис. 440Рис. 441Рис. 441
Рис. 440
Рис. 440
Рис. 441
Рис. 441
Касательной плоскостью к цилиндру называется плоскость, проходящая через образующую цилиндра и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую (рис. 440).
Призмой, описанной около цилиндра, называется призма, у которой плоскостями оснований являются плоскости оснований цилиндра, а боковые грани касаются цилиндра (рис. 441).
КОНУС
Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга,— вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания (рис. 442). Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.
Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус, называя его для краткости просто конусом. Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси (рис. 443).
Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.
185. СЕЧЕНИЯ КОНУСА ПЛОСКОСТЯМИ
Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса (рис. 444). В частности, равнобедренным треугольником является осевое сечение конуса. Это сечение, которое проходит через ось конуса (рис. 445).
Рис. 446
Рис. 447
Теорема 20.2. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность — по окружности с центром на оси конуса.
Доказательство. Пусть р — плоскость, параллельная плоскости основания конуса и пересекающая конус (рис. 446). Преобразование гомотетии относительно вершины конуса, совмещающее плоскость р с плоскостью основания, совмещает сечение конуса плоскостью р с основанием конуса. Следовательно, сечение конуса плоскостью есть круг, а сечение боковой поверхности — окружность с центром на оси конуса. Теорема доказана.
д Задача (15). Конус пересечен плоскостью, парал- (А ) лельной основанию, на расстоянии d от вершины. Найди- 3f те площадь сечения, если радиус основания конуса R, а высота Н.
Решение. Сечение конуса получается из основания конуса преобразованием гомотетии относительно вершины
конуса с коэффициентом гомотетии &=-— . Поэтому ра- диус круга в сечении r — R-^. Следовательно, площадь сечения
8 = лЯ2-§. н
Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекающая конус, отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усеченным конусом (рис. 447).
ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ПИРАМИДЫ
Пирамидой, вписанной в конус, называется такая пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершиной является вершина конуса (рис. 448). Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус, являются образующими конуса.
Рис. 448Рис. 44855Рис. 449Рис. 449
Рис. 448
Рис. 448
5
5
Рис. 449
Рис. 449
уК Задача (25). У пирамиды все боковые ребра равны. С ° у Докажите, что она является вписанной в некоторый конус. 1—гРешение. Опустим перпендикуляр SO из вершины
пирамиды на плоскость основания (рис. 449) и обозначим длину боковых ребер пирамиды через /. Вершины основания удалены от точки О на одно и то же расстояние
R=^-OS\
Отсюда следует, что наша пирамида вписана в конус, у которого вершиной является вершина пирамиды, а основанием — круг с центром О и радиусом R.
Касательной плоскостью к конусу называется плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую (рис. 450).
Пирамидой, описанной около конуса, называется пирамида, У которой основанием служит многоугольник, описанный около
основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса (рис. 451). Плоскости боковых граней описанной пирамиды являются касательными плоскостями конуса.
ШАР
Шаром, называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние радиусом шара.
Граница шара называется шаровой поверхностью, или сферой. Таким образом, точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, также называется радиусом.
Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.
Шар, так же как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси (рис. 452).
СЕЧЕНИЕ ШАРА ПЛОСКОСТЬЮ
Теорема 20.3. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.
Доказательство. Пусть а — секущая плоскость и О — центр шара (рис. 453). Опустим перпендикуляр из центра шара на плоскость а и обозначим через О' основание этого перпендикуляра.
Пусть X — произвольная точка шара, принадлежащая плоскости а. По теореме Пифагора ОХ2 = ОО'2+ О'Х2. Так как ОХ не больше радиуса R шара, то О'Х ^ ^R2 — ОО'2, т. е. любая точка сечения шара плоскостью а находится от точки О' на расстоянии, не большем -\jR2 — ОО'2, следовательно, она принадлежит кругу с центром О' и радиусом -\jR2 — ОО'2.
Обратно: любая точка X этого круга принадлежит шару. А это значит, что сечение шара плоскостью а есть круг с центром в точке О'. Теорема доказана.
Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом (рис. 454), а сечение сферы — большой окружностью.
Рис. 455
Л. Задача (30). Через середину радиуса шара проведена Г у ) перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь 3? полученного сечения к площади большого круга?
Решение. Если радиус шара R (рис. 455), то радиус
круга в сечении будеткруга в сечении будет. Отношение. Отношение
круга в сечении будет
круга в сечении будет
. Отношение
. Отношение
площади этого круга к площади большого круга равно
СИММЕТРИЯ ШАРА
Теорема 20.4. Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его
центром симметрии.
Доказательство. Пусть а — диаметральная плоскость и X — произвольная точка шара (рис. 456). Построим точку X', симметричную точке X относительно плоскости а.
Плоскость а перпендикулярна отрезку XX' и пересекает-
ся с ним в его середине (в точке А). Из равенства прямоугольных треугольников ОАХ и ОАХ' следует, что ОХ' = ОХ.
Так как OX^R, то и OX'^R» т. е. точка, симметричная точке X» принадлежит шару. Первое утверждение теоремы доказано.
Пусть теперь X" — точка, симметричная точке X относительно центра шара. Тогда OX" = OX^R, т. е. точка X" принадлежит шару. Теорема доказана полностью.
КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ К ШАРУ
Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности и перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания (рис. 457).
Теорема 20.5. Касательная плоскость имеет с шаром только одну обилую точку — точку касания.
Доказательство. Пусть а — плоскость, касательная к шару, и А — точка касания (рис. 458). Возьмем произвольную точку X плоскости а, отличную от А. Так как ОА — перпендикуляр, а ОХ — наклонная, то
ОХ>ОА = Н.
Следовательно, точка X не принадлежит шару. Теорема доказана.
Прямая в касательной плоскости шара, проходящая через точку касания, называется каса тел ьной к шару в этой точке. Так как касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку, то касательная прямая тоже имеет с шаром только одну общую точку — точку касания.
Jk Задача (39). Шар радиуса R касается всех сторон ( ° ) правильного треугольника со стороной а. Найдите расстоя- ’—г ние от центра шара до плоскости треугольника.
Решение. Пусть А, В, С — точки касания шара со сторонами треугольника (рис. 459). Опустим из центра О шара перпендикуляр ОО\ на плоскость треугольника. Отрезки О А, ОВ и ОС перпендикулярны сторонам. По теореме о трех перпендикулярах отрезки OiA, О\В и О\С тоже перпендикулярны соответствующим сторонам треугольника.
Из равенства прямоугольных треугольников ОО i А, ОО i В, ОО i С (у них катет общий, а гипотенузы равны радиусу) следует равенство сторон: О\А=О\В=О\С. Следовательно, 01 — центр окружности, вписанной в треугольник. Радиус этой окружности, как мы знаем, равен ™^ . По теореме Пифагора находим искомое расстояние. Оно равно
V6^o^=^/a2-^.
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ СФЕР
Теорема 20.6. Линия пересечения двух сфер есть окружность.
Доказательство. Пусть О| и Ог — центры сфер и А — их точка пересечения (рис. 460). Проведем через точку А плоскость а, перпендикулярную прямой O1O2.
Обозначим через В точку пересечения плоскости а с прямой O1O2. По теореме 20.3 плоскость а пересекает обе сферы по окружности К с центром В, проходящей через точку А. Таким образом, окружность К принадлежит пересечению сфер.
Покажем теперь, что сферы не имеют других точек пересечения, кроме точек окружности К. Допустим, точка X пересечения сфер не лежит на окружности К. Проведем плоскость через точку X и прямую O1O2. Она пересечет сферы по окружностям с центрами Oi и Ог. Эти окружности пересекаются в двух точках, принадлежащих окружности К, да еще в точке X. Но две окружности не могут иметь больше двух точек пересечения. Мы пришли к противоречию. Итак, пересечение наших сфер есть окружность (АГ). Теорема доказана.
Лк Задача (44). Два равных шара радиуса R располо- ИА Л жены так, что центр одного лежит на поверхности дру- ^( гого. Найдите длину линии, по которой пересекаются
их поверхности.
Решение. Проведем сечение через центры шаров (рис. 461). Линия, о которой идет речь в задаче, есть окружность (теорема 20.6). Ее радиус равен высоте равностороннего треугольника ОАО\ со сторонами, равными R. Высота равна Д^ . Следовательно, длина линии равна лЯ V3.
Рис. 461Рис. 461
Рис. 461
Рис. 461
ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОГРАННИКИ
Многогранник называется вписанным в шар, если все его вершины лежат на поверхности шара. Многогранник называется описанным около шара, если все его грани касаются поверхности шара.
JV Задача (47). Докажите, что центр шара, описанного ГОЛ около правильной пирамиды, лежит на ее оси.
3( Решение. Опустим перпендикуляр ОА из центра шара О на плоскость основания пирамиды (рис. 462). Пусть X — произвольная вершина основания пирамиды. По теореме Пифагора
AX2 = OX2-OA2=R2-OA2.
Таким образом, АХ одно и то же для любой вершины основания пирамиды. А это значит, что точка А является центром окружности, описанной около основания пирамиды. Следовательно, центр шара О лежит на оси пирамиды.
О ПОНЯТИИ ТЕЛА И ЕГО ПОВЕРХНОСТИ В ГЕОМЕТРИИ
В предыдущем изложении мы неоднократно употребляли слова тело и поверхность тела, вкладывая в их содержание известные вам наглядные представления. Теперь мы дадим определение геометрического тела и его поверхности.
Точка фигуры называется внутренней, если существует шар с центром в этой точке, целиком принадлежащий фигуре. Фигура называется областью, если все ее точки внутренние и если любые две ее точки можно соединить ломаной, целиком принадлежащей фигуре. Поясним данное определение на примере шара (рис. 463).
Каждая точка шара, которая удалена от его центра на расстояние г, меньшее R, является внутренней точкой шара, так как шар с центром в этой точке и радиусом R — г содержится в исходном шаре радиуса R. Все точки шара, которые удалены от центра на расстояние, меньшее R, образуют область. В самом деле, любые две такие точки А и В соединяются отрезком АВ, все точки которого удалены от центра на расстояние, меньшее R.
Точка пространства называется граничной точкой данной фигуры, если любой шар с центром в этой точке содержит как точки, принадлежащие фигуре, так и точки, не принадлежащие ей. Для шара граничными точками являются точки, которые удалены от точки О на расстояние, равное R, т. е. граница шара есть сфера. Для каждой такой точки С можно указать в каждом шаре с центром С и радиусом г>0 точки Ci и Сг, отстоящие от точки О на расстояние, большее R, и на расстояние, меньшее R.
Область вместе с ее границей называется замкнутой областью.
Те лом называется конечная замкнутая область. Граница тела называется поверхностью тела. Шар является примером те
ла. Другими знакомыми нам примерами тел являются многогранник, цилиндр и конус.
Подобно тому как в пространстве, на плоскости вводятся понятия внутренней точки фигуры, граничной точки и области. Граничные точки области образуют границу области. В круге радиуса R точки, которые находятся на расстоянии, меньшем R, от центра, внутренние, а точки, находящиеся на расстоянии R, граничные. Круг — замкнутая область.
Плоский многоугольник — это ограниченная замкнутая область на плоскости, граница которой является многоугольником.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ •
Объясните, что такое круговой цилиндр (образующая цилиндра, основания цилиндра, боковая поверхность цилиндра).
Какой цилиндр называется прямым?
Что такое радиус цилиндра, высота цилиндра, ось цилиндра, осевое сечение цилиндра?
Докажите, что плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.
Что такое призма, вписанная в цилиндр (описанная около цилиндра)? Что такое касательная плоскость к цилиндру?
Что такое круговой конус, вершина конуса, образующая конуса, основание конуса, боковая поверхность конуса?
Какой конус называется прямым?
Что такое высота конуса, ось конуса, осевое сечение конуса?
Докажите, что плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает боковую поверхность по окружности с центром на оси конуса.
Что такое усеченный конус?
Какая пирамида называется вписанной в конус (описанной около конуса)? Что такое касательная плоскость к конусу?
Что такое шар (шаровая поверхность или сфера)?
Что такое радиус шара, диаметр шара? Какие точки шара называются диаметрально противоположными?
Докажите, что пересечение шара с плоскостью есть круг.
Какая плоскость называется диаметральной плоскостью шара? Что такое большой круг?
Докажите, что любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии; центр шара является его центром симметрии.
Какая плоскость называется касательной к шару?
Докажите, что касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку — точку касания.
Какая прямая называется касательной к шару?
Докажите, что линия пересечения двух сфер есть окружность.
Какой многогранник называется вписанным в шар (описанным около шара)?
^ ЗАДАЧИ
Радиус основания цилиндра 2 м, высота 3 м. Найдите диагональ осевого сечения.
Осевое сечение цилиндра — квадрат, площадь которого Q. Найдите площадь основания цилиндра.
Высота цилиндра 6 см, радиус основания 5 см. Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4 см от нее.
Высота цилиндра 8 дм, радиус основания 5 дм. Цилиндр пересечен плоскостью так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от этого сечения до оси (рис. 464).
5. Высота цилиндра 6 дм, радиус основания 5 дм. Концы отрезка АВ» равного 10 дм, лежат на окружностях обоих оснований. Найдите кратчайшее расстояние от него до оси.
В равностороннем цилиндре (диаметр равен высоте цилиндра) точка окружности верхнего основания соединена с точкой окружности нижнего основания. Угол между радиусами, проведенными в эти точки, равен 60°. Найдите угол х между проведенной прямой и осью цилиндра (рис. 465).
В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найдите угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.
Рис. 466Рис. 466Рис. 467Рис. 467
Рис. 466
Рис. 466
Рис. 467
Рис. 467
Высота цилиндра 2 м. Радиус оснований 7 м. В этот цилиндр наклонно вписан квадрат так, что все вершины его лежат на окружностях оснований. Найдите сторону квадрата (рис. 466).
Радиус основания конуса 3 м, высота 4 м. Найдите образующую.
Образующая конуса / наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите высоту.
Радиус основания конуса R. Осевым сечением является прямоугольный треугольник. Найдите его площадь.
В равностороннем конусе (в осевом сечении правильный треугольник) радиус основания R. Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен а (рис. 467).
Высота конуса 20, радиус его основания 25. Найдите площадь сечения, проведенного через вершину, если расстояние от него до центра основания конуса равно 12.
Радиус основания конуса R, а образующая наклонена к плоскости основания под углом а. Через вершину конуса проведена плоскость под углом <р к его высоте. Найдите площадь полученного сечения.
Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии d от вершины. Найдите площадь сечения, если радиус основания конуса R, а высота Н.
Высота конуса Н. На каком расстоянии от вершины надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна половине площади основания?
Через середину высоты конуса проведена прямая параллельно образующей /. Найдите длину отрезка прямой, заключенного внутри конуса.
18*. Образующая конуса 13 см, высота 12 см. Конус пересечен прямой, параллельной основанию; расстояние от нее до основания равно 6 см, а до высоты — 2 см. Найдите отрезок этой прямой, заключенный внутри конуса (рис. 468).
Радиусы оснований усеченного конуса 3 м и 6 м, высота 4 м. Найдите образующую.
Радиусы оснований усеченного конуса R и г, образующая наклонена к основанию под углом 45°. Найдите высоту.
Образующая усеченного конуса равна 2а и наклонена к основанию под углом 60°. Радиус одного основания вдвое больше радиуса другого основания. Найдите каждый из радиусов.
Радиусы оснований усеченного конуса 3 дм и 7 дм, образующая 5 дм. Найдите площадь осевого сечения.
Площади оснований усеченного конуса 4 дм2 и 16 дм2. Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основаниям. Найдите площадь сечения.
Площади оснований усеченного конуса М и т. Найдите площадь среднего сечения, параллельного основаниям.
У пирамиды все боковые ребра равны. Докажите, что она является вписанной в некоторый конус.
26*. В конусе даны радиус основания R и высота Н. Найдите ребро вписанного в него куба (рис. 469).
27*. В конусе даны радиус основания R и высота Н. В него вписана правильная треугольная призма, у которой боковые грани — квадраты. Найдите ребро призмы.
Полушар и вписанный в него конус имеют общее основание и общую высоту. Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию. Докажите, что площадь сечения, заключенного междзГбоковой поверхностью конуса и поверхностью полушара, равна половине площади основания (рис. 470).
Шар, радиус которого 41 дм, пересечен плоскостью на расстоянии 9 дм от центра. Найдите площадь сечения.
Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга?
Радиус шара R. Через конец радиуса проведена плоскость под углом 60° к нему. Найдите площадь сечения.
Радиус земного шара R. Чему равна длина параллели, если ее широта 60° (рис, 471)?
Город N находится на 60° северной широты. Какой путь совершает этот пункт в течение 1 ч вследствие вращения Земли вокруг своей оси? Радиус Земли принять равным 6000 км.
На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними 6 см, 8 см, 10 см. Радиус шара 13 см. Найдите расстояние от центра до плоскости, проходящей через эти точки.
Диаметр шара 25 см. На его поверхности даны точка А и окружность, все точки которой удалены (по прямой) от А на 15 см. Найдите радиус этой окружности.
36*. Радиус шара 7 см. На его поверхности даны две равные окружности, имеющие общую хорду длиной 2 см. Найдите радиусы окружностей, зная, что их плоскости перпендикулярны (рис. 472).
Дан шар радиуса Я. Через одну точку его поверхности проведены две плоскости: первая — касательная к шару,
Рис. 472Рис. 472Рис. 473Рис. 473
Рис. 472
Рис. 472
Рис. 473
Рис. 473
вторая — под углом 30° к первой. Найдите площадь сечения.
Тело ограничено двумя концентрическими шаровыми поверхностями (полый шар). Докажите, что его сечение плоскостью, проходящей через центр, равновелико сечению, касательному к внутренней шаровой поверхности (рис. 473).
Шар радиуса R касается всех сторон правильного треугольника со стороной а. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника.
Стороны треугольника 13 см, 14 см и 15 см. Найдите расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося всех сторон треугольника. Радиус шара 5 см.
Диагонали ромба 15 см и 20 см. Шаровая поверхность касается всех его сторон. Радиус шара 10 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости ромба.
Через касательную к поверхности шара проведены две взаимно перпендикулярные плоскости, которые пересекают шар по кругам радиусов гх и Гг. Найдите радиус шара R.
Шар радиуса R вписан в усеченный конус. Угол наклона образующей к плоскости нижнего основания конуса равен а. Найдите радиусы оснований и образующую усеченного конуса.
Два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности.
Радиусы шаров равны 25 дм и 29 дм, а расстояние между их центрами 36 дм. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности.
Найдите радиус шара, описанного около куба со стороной а.
Докажите, что центр шара, описанного около правильной пирамиды, лежит на ее оси.
Докажите, что центр шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит на ее высоте.
Найдите радиус шара, описанного около правильного тетраэдра с ребром а.
В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, а плоский угол при вершине равен а. Найдите радиусы вписанного и описанного шаров.
. В шар радиуса R вписана правильная треугольная пирамида с плоскими углами а при ее вершине. Найдите высоту пирамиды.
Правильная n-угольная призма вписана в шар радиуса R. Ребро основания призмы равно а. Найдите высоту призмы при: 1) п=3; 2) п=4; 3) п=6.
Сторона основания правильной n-угольной пирамиды равна а, двугранный угол при основании равен <р. Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду.
Найдите радиус шара, описанного около правильной n-угольной пирамиды, если сторона основания равна а, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом а.
§ 21. ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ
ПОНЯТИЕ ОБЪЕМА
Подобно тому, как для фигур на плоскости вводится понятие площади, для тел в пространстве вводится понятие объема. Сначала рассмотрим только простые тела. Тело называется простым, если его можно разбить на конечное число треугольных пирамид.
Для простых тел объем — это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:
Равные тела имеют равные объемы.
Если тело разбито на части, являющиеся простыми телами, то объем этого тела равен сумме объемов его частей.
Объем куба, ребро которого равно единице длины, равен единице.
Если куб, о котором идет речь в определении, имеет ребро 1 см, то объем будет в кубических сантиметрах; если ребро куба равно 1 м, то объем будет в кубических метрах; если ребро куба равно 1 км, то объем будет в кубических километрах и т. д.
треугольные пирамиды.треугольные пирамиды.Примером простого тела является любой выпуклый многогранник. Его можно разбить на конечное число треугольных пирамид следующим образом. Отметим какую-нибудь вершину S многогранника. Разобьем на треугольники все грани многогранника, не содержащие вершину S. Тогда треугольные пирамиды, для которых основаниями являются эти треугольники, а общей вершиной — точка S, дают разбиение многогранника на На рисунке 474 показано такое раз
треугольные пирамиды.
треугольные пирамиды.
биение для произвольной пирамиды.биение для произвольной пирамиды.ОБЪЕМ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
биение для произвольной пирамиды.
биение для произвольной пирамиды.
Найдем объем прямоугольного параллелепипеда с линейными размерами а, Ь, с. Для этого сначала докажем, что объемы
двух прямоугольных параллелепипедов с равными основа
ниями относятся как их высоты.
Рис. 475Рис. 475Пусть Р и Pi — два прямоугольных параллелепипеда с общим основанием ABCD и высотами АЕ и АЕ\. Будем считать для определенности, что АЕ\<.АЕ (рис. 475). Пусть V и V\ — объемы параллелепипедов. Разобьем ребро АЕ параллелепипеда Р на большое число п равных частей. Каждая из них
Рис. 475
Рис. 475
равна —. Пусть т — число точек п
деления, которые лежат на ребре АЕ\. Тогда
ОтсюдаОтсюда/ АЕ \ / * т? / f АЕ \ , . 1 х() т^АЕх () (тп + 1)./ АЕ \ / * т? / f АЕ \ , . 1 х() т^АЕх () (тп + 1).Проведем через точки деления плоскости, параллельные основанию. Они разобьют параллелепипед Р на п равных параллелепипедов.
Отсюда
Отсюда
/ АЕ \ / * т? / f АЕ \ , . 1 х
() т^АЕх () (тп + 1).
/ АЕ \ / * т? / f АЕ \ , . 1 х
() т^АЕх () (тп + 1).
Каждый из них имеет объем -^-. Параллелепипед Pi содержит первые т параллелепипедов, считая снизу, и содержится в тЦ-1 параллелепипедах. Поэтому^
Отсюда
Из неравенств (*) и (**) мы видим, что оба числа — и
-^ заключены между — и -—г~- Поэтому они отличаются не более чем на —. А так как п можйо взять сколь угодно большим, то это может быть только при ~-=-^1, что и требовалось доказать.
Возьмем теперь куб, являющийся единицей измерения объема, и три прямоугольных параллелепипеда с измерениями: а, 1, 1; a, b, 1; а, Ь, с. Обозначим их объемы V\, У2 и V соответственно. По доказанному
Vj__ аУ2 _ b V _ с
1 — 1 ’ V, — 1 ’ V2 “ 1 *
Перемножая эти три равенства почленно, получим:
V=abc.
Итак, об-ъем прямоугольного параллелепипеда с линейными размерами а, Ъ, с вычисляется по формуле V=аЪс.
J\ Задача (3). Если каждое ребро куба увеличить на Г 2 2 см, то его объем увеличится на 98 см3. Чему равно ребро LJ куба?
Решение. Обозначим ребро куба через х, тогда (х + 2)3 — х3 = 98, т. е. х2 + 2х—15 = 0. Уравнение имеет два корня: х = 3, х= —5. Геометрический смысл имеет только положительный корень. Итак, ребро куба равно 3 см.
ОБЪЕМ НАКЛОННОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
Найдем объем наклонного параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ (рис. 476).
Проведем через ребро ВС плоскость, перпендикулярную основанию ABCD, и дополним наклонный параллелепипед треугольной призмой ВВ\В2СС^С2 (рис. 476, а). Отсечем теперь от
полученного тела треугольную призму плоскостью, проходящей через ребро AD и перпендикулярной основанию ABCD. Тогда получим снова параллелепипед. Этот параллелепипед имеет объем, равный объему исходного параллелепипеда.
Действительно, достроенная призма и отсекаемая совмещаются параллельным переносом на отрезок АВ, следовательно, имеют одинаковые объемы. При описанном преобразовании параллелепипеда сохраняются площадь его основания и высота. Сохраняются также плоскости двух боковых граней, а две другие становятся перпендикулярными основанию.
Применяя еще раз такое преобразование к наклонным граням, получим параллелепипед, у которого все боковые грани перпендикулярны основанию, т. е. прямой параллелепипед.
Полученный прямой параллелепипед подвергнем аналогичному преобразованию в прямоугольный параллелепипед, дополняя его сначала призмой 1, а затем отсекая призму 2 (рис. 476, б). Это преобразование также сохраняет объем параллелепипеда, площадь основания и высоту.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений. Произведение двух измерений есть площадь основания параллелепипеда, а третье измерение — его высота.
Таким образом, у прямоугольного параллелепипеда объем равен произведению площади основания на высоту. Так как при описанном выше преобразовании данного параллелепипеда в прямоугольный каждый раз сохраняются объем, площадь основания и высота, то и у исходного параллелепипеда объем равен произведению площади основания на высоту.
Итак, объем любого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
Задача (11). В прямом параллелепипеде стороны основания а и b образуют угол 30°. Боковая поверхность равна S. Найдите его объем.
Решение. Обозначим высоту через х (рис. 477). Тогда
(2a + 2b)x = S.
Отсюда _ s х~ 2(а+Ь) '
Площадь основания параллелепипеда равна ab sin 30° =^- • Объем abS равен
4(а + Ь)
Рис. 477Рис. 477ОБЪЕМ ПРИЗМЫ
Рис. 477
Рис. 477
Рассмотрим сначала треугольную призму (рис. 478). Дополним ее до параллелепипеда, как указано на рисунке. Точка О является центром симметрии параллелепипеда. Поэтому достроенная призма симметрична исходной относительно точки О, следовательно, имеет объем, равный объему исходной призмы. Таким образом, объем построенного параллелепипеда равен удвоенному объему данной призмы.
Объем параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту. Площадь его основания равна удвоенной площади треугольника АВС, а высота равна высоте исходной призмы. Отсюда заключаем, что объем исходной призмы равен произведению площади ее основания на высоту.
Рассмотрим теперь произвольную призму (рис. 479). Разобьем ее основание на треугольники. Пусть Л — один из этих треугольников. Проведем через произвольную точку X треугольника Л прямую, параллельную боковым ребрам. Пусть ах — отрезок этой прямой, принадлежащий призме. Когда точка X описывает треугольник Л , отрезки ах заполняют треугольную призму. Построив такую призму для каждого треугольника Л, мы получим разбиение данной призмы на треугольные. Все эти призмы имеют одну и ту же высоту, равную высоте исходной призмы.
Объем данной призмы равен сумме объемов треугольных призм, ее составляющих. По доказанному объем треугольной призмы равен произведению площади ее основания на высоту. Отсюда следует, что объем исходной призмы равен:
V = Si# + S2H +... + S„H=(S! + S2 +... + 8„)Я,
где Si, S2, ..., Sn — площади треугольников, на которые разбито основание призмы, а Н — высота призмы. Сумма площадей треугольников равна площади S основания данной призмы. Поэтому
V = SH.
Итак, объем любой призмы равен произведению плоиуьди ее основания на высоту.
Л. Задача (24). В наклонной призме проведено сечение, ( ° ) перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все •—। боковые ребра. Найдите объем призмы, если площадь сечения Q, а боковые ребра равнь^.
* Решение. Плоскость проведенного сечения разбивает призму на две части (рис. 480). Подвергнем одну из них параллельному переносу, совмещающему основания призмы. При этом получим прямую призму, у которой основанием служит сечение исходной призмы, а высота равна I. Эта призма имеет тот же объем. Таким образом, объем исходной призмы равен QL
РАВНОВЕЛИКИЕ ТЕЛА
Два тела называются равновеликими, если они имеют равные объемы.
Две треугольные пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами равновелики.
Действительно, пусть треугольные пирамиды имеют равные площади оснований и равные высоты. Докажем, что они равновелики, т. е. имеют равные объемы.
Разделим высоту каждой пирамиды на п равных частей и проведем через точки деления плоскости, параллельные основаниям. Эти плоскости разбивают пирамиду на п слоев. Для каждого слоя первой пирамиды построим содержащуюся в нем призму, как показано на рисунке 481, а. Для каждого слоя второй пирамиды построим призму, содержащую слой (рис. 481, б). Призма в А-м (считая от вершины) слое первой пирамиды и прйзма, содержащая (А — 1)-й слой второй пирами -
ды, имеют равные площади оснований, так как эти основания подобны основаниям пирамид и коэффициент подобия один и тот же (-^-) • Так как у этих призм и высоты одинаковы (-^ , то они имеют равные объемы.
Пусть V| и V2 — объемы пирамид, а У? и V2 — суммы объемов построенных для них призм. Так как объем призмы в А-м слое первой пирамиды равен объему призмы (к— 1)-го слоя второй пирамиды, то сумма объемов всех призм для первой пирамиды равна сумме объемов призм всех слоев второй пирамиды, кроме последнего. Объем призмы последнего слоя равен
S—, где 8 — площадь основания пирамиды, а Н — высота. Отсюда следует, что V' = V2 — 8-^ . Так как, кроме того, Vx > V?, a VidVi, то Ух>Уг— —, или V2 — Fi^—. Это неравенство пп
выполняется при любом сколь угодно большом п. А это возможно только при Уг—Vi^O, т. е. при Vi^Vv- Поменяв ролями пирамиды, получим противоположное неравенство V2^Vi. А отсюда следует, что Vi=V2. Утверждение доказано.
ОБЪЕМ ПИРАМИДЫ
Пусть SABC — треугольная пирамида с вершиной S и основанием АВС. Дополним эту пирамиду до треугольной призмы с тем же основанием и высотой (рис. 482). Эта призма составлена из трех пирамид: данной пирамиды SABC и еще двух треугольных пирамид SCCXBX и SCBBX.
У второй и третьей пирамид равные основания— ACCiBi и £±ВХВС и общая высота, проведенная из вершины 8. Поэтому у них равные объемы.
У первой и третьей пирамид тоже равные основания — Д8АВ и &BBXS и совпадающие высоты, проведенные из вершины С. Поэтому у них тоже равные объемы.
НЫТ.НЫТ.Значит, все три пирамиды имеют. один и тот же объем. Так как сумма этих объемов равна объему призмы, то объемы пирамид рав- SH
НЫТ.
НЫТ.
Итак, объем любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:
V=^-SH./
Пусть теперь имеем любую, не обязательно треугольную пирамиду. Разобьем ее основание на треугольники Д1, Д2, .... Л п- Пирамиды, у которых основаниями являются эти треугольники, а вершинами — вершина данной пирамиды, составляют данную пирамиду. Объем данной пирамиды равен сумме объемов составляющих ее пирамид. Так как все они имеют ту же высоту Н, что и данная пирамида, то объем ее равен:
V=^-H(Sl+S2 + ... + S„)=^-SH.
Итак, объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.
ОБЪЕМ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ
Задача (44). Найдите объем усеченной пирамиды с площадями оснований Qi и Q2 (Qi>Q2) и высотой h.
Решение. Дополним данную усеченную пирамиду до полной (рис. 483). Пусть х — ее высота. Объем усеченной пирамиды равен разности объемов двух полных пирамид: одной с площадью основания Q, и высотой х, другой с площадью основания Q2 и высотой х— h.
Из подобия этих пирамид находим х:х , ) .
Отсюда х= ■■_ ' '_ . Объем усеченной пирамиды равен:
VQ1-VQ2
ОБЪЕМЫ ПОДОБНЫХ ТЕЛ
Пусть Т и Т' — два простых подобных тела. Это значит, что существует преобразование подобия, при котором тело Т переходит в тело Т'. Обозначим через к коэффициент подобия.
Разобьем тело Т на треугольные пирамиды Pi, Рг, .... Рп. Преобразование подобия, которое переводит тело Т в тело Т', переводит пирамиды Р|, Рг, ...» Рп в пирамиды Р{, Рг, .... Рп. Эти пирамиды составляют тело Т', и поэтому объем тела Т' равен сумме объемов пирамид Р(, Рг, .... Р'п.
Так как пирамиды Р' и Pi подобны и коэффициент подобия равен к, то отношение их высот равно к, а отношение площадей их оснований равно к2. Следовательно, отношение объемов пирамид равно к3. Так как тело Т составлено из пирамид Р„ а тело Т' составлено из пирамид Р/, то отношение объемов тел Т' иТ тоже равно к3.
Число к — коэффициент подобия — равно отношению расстояний между любыми двумя соответствующими парами точек при преобразовании подобия. Следовательно, это число равно отношению любых двух соответствующих линейных размеров тел Т' и Т. Таким образом, мы приходим к следующему выводу:
Объемы двух подобных тел относятся кан кубы их соответствующих линейных размеров.
/V Задача (48). Через середину высоты пирамиды про- ( ® ) ведена плоскость, параллельная основанию. В каком отно- 3? шении она делит объем пирамиды?
Решение. Как мы знаем, проведенная плоскость отсекает подобную пирамиду (рис. 484). Коэффициент подобия равен отношению
1 высот, т. е. -g-.
^(^Т)-^7-^(^Т)-^7-Поэтому объемы пирамид относятся как (^-) :1. Следовательно, плоскость делит нашу пирамиду на части, объемы которых относятся как
^(^Т)-^7-
^(^Т)-^7-
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
•
Сформулируйте основные свойства объема.
Докажите, что объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его линейных размеров.
Докажите, что объем любого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
Докажите, что объем треугольной призмы равен произведению площади ее основания на высоту.
Докажите, что объем любой призмы равен произведению площади ее основания на высоту.
Докажите, что треугольные пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами равновелики.
Выведите формулу для объема треугольной пирамиды.
Докажите, что объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.
Докажите, что объемы подобных тел относятся как кубы соответствующих линейных размеров.
ЗАДАЧИ
Три латунных куба с ребрами 3 см, 4 см и 5 см переплавлены в один куб. Какое ребро у этого куба?
Металлический куб имеет внешнее ребро 10,2 см и массу 514,15 г. Толщина стенок равна 0,1 см. Найдите плотность металла, из которого сделан куб.
Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем увеличится на 98 см. Чему равно ребро куба?
Если каждое ребро куба увеличить на 1 м, то его объем увеличится в 125 раз. Найдите ребро.
Кирпич размером 25X12X6,5 см имеет массу 3,51 кг. Найдите его плотность.
Требуется установить резервуар для воды емкостью 10 м3 на площадке размером 2,5X1,75 м, служащей для него дном. Найдите высоту резервуара.
Измерения прямоугольного параллелепипеда 15 м, 50 м и 36 м. Найдите ребро равновеликого ему куба.
Измерения прямоугольного бруска 3 см, 4 см и 5 см. Если увеличить каждое ребро на х сантиметров, то поверхность увеличится на 54 см2. Как увеличится его объем?
Чугунная труба имеет квадратное сечение, ее внешняя ширина 25 см, толщина стенок 3 см. Какова масса одного погонного метра трубы (плотность чугуна 7,3 г/см3)?
Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда, диа-
гональ которого а составляет с плоскостью основания угол а, а с боковой гранью угол 0?
В прямом параллелепипеде стороны основания а и b образуют угол 30°. Боковая поверхность равна S. Найдите его объем.
В прямом параллелепипеде стороны основания 2 -\/2 см и 5 см образуют угол 45°. Меньшая диагональ параллелепипеда равна 7 см. Найдите его объем.
Основание прямого параллелепипеда — ромб, площадь которого 1 м2. Площади диагональных сечений 3 м2 и 6 м2. Найдите объем параллелепипеда.
Решите предыдущую задачу в общем случае, если площадь ромба Q, а площади диагональных сечений М и N.
Основание наклонного параллелепипеда — квадрат, сторона которого равна 1 м. Одно из боковых ребер равно 2 м и образует с каждой из прилежащих сторон основания угол 60°. Найдите объем параллелепипеда.
16*. Грани параллелепипеда — равные ромбы со стороной а и острым углом 60°. Найдите объем параллелепипеда.
17*. Каждое ребро параллелепипеда равно 1 см. У одной из вершин параллелепипеда все три плоских угла острые, по 2 а каждый. Найдите объем параллелепипеда.
18*. В параллелепипеде длины трех ребер, исходящих из одной вершины, равны а, Ь, с. Ребра а и b взаимно перпендикулярны, а ребро с образует с каждым из них угол а (рис. 485). Найдите объем параллелепипеда.
По стороне основания а и боковому ребру b найдите объем правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырехугольной;
шестиугольной.
Деревянная плита в форме правильного восьмиугольника со стороной 3,2 см и толщиной 0,7 см имеет массу 17,3 г. Найдите плотность дерева.
Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 3,5 см, а диагональ боковой грани 2,5 см. Найдите объем призмы.
Сторона основания правильной треугольной призмы равна а, боковая поверхность равновелика сумме оснований. Найдите ее объем.
В правильной шестиугольной призме площадь наибольшего диагонального сечения 4 м2, а расстояние между двумя противоположными боковыми гранями 2 м. Найдите объем призмы.
В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите объем призмы, если площадь сечения Q, а боковые ребра равны I (рис. 486).
Боковые ребра наклонной треугольной призмы равны 15 м,
а расстояния между содержащими их параллельными прямыми 26 м, 25 м и 17 м. Найдите объем призмы. 26. Вычислите пропускную способность (в кубических метрах за 1 ч) водосточной трубы, сечение которой имеет вид равнобедренного треугольника с основанием 1,4 м и высотой 1,2 м. Скорость течения 2 м/с.
Сечение железнодорожной насыпи имеет вид трапеции с нижним основанием 14 м, верхним 8 м и высотой 3,2 м. Найдите, сколько кубических метров земли приходится на 1 км насыпи.
В прямой треугольной призме стороны оснований равны 4 см, 5 см и 7 см, а боковое ребро равно большей высоте основания. Найдите объем призмы.
Площадь основания прямой треугольной призмы равна 4 см2, а площади боковых граней 9 см2, 10 см2 и 17 см2. Найдите объем.
Основание призмы — треугольник, у которого одна сторона равна 2 см, а две другие по 3 см. Боковое ребро равно 4 см и составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите ребро равновеликого куба.
Основанием наклонной призмы является равносторонний треугольник со стороной а; одна из боковых граней перпендикулярна основанию и является ромбом, у которого меньшая диагональ равна с. Найдите объем призмы.
Чему равен объем прямой четырехугольной призмы, если ее высота h, диагонали наклонены к плоскости основания под углами а и р и острый угол между диагоналями основания равен у?
По стороне основания а и боковому ребру b найдите объем правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды
Рис. 487Рис. 487
Рис. 487
Рис. 487
а, а двугранный угол при основании равен 45°. Найдите объем пирамиды.
Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое равно b (рис. 487). Найдите объем пирамиды.
Чему равен объем правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания а, а боковые ребра взаимно перпендикулярны?
По ребру а правильного тетраэдра найдите его объем.
По ребру а октаэдра найдите его объем.
Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 9 м и 12 м, все боковые ребра равны 12,5 м. Найдите объем пирамиды.
40*. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник со сторонами 6 см, 6 см и 8 см. Все боковые ребра равны 9 см. Найдите объем пирамиды.
Одно ребро треугольной пирамиды равно 4 см, каждое из остальных 3 см. Найдите объем пирамиды.
В основании пирамиды лежит прямоугольник. Каждое боковое ребро пирамиды равно I и составляет со смежными сторонами прямоугольника углы аир. Найдите объем пирамиды.
Найдите объем пирамиды, имеющей основанием треугольник, два угла которого а и р, радиус описанного круга R. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом у.
Найдите объем усеченной пирамиды с площадями оснований Qi и Q2 (Qi>Q2) и высотой h.
В пирамиде с площадью основания Qi проведено сечение, параллельное основанию, на расстоянии h от него. Площадь сечения равна Q2. Найдите высоту пирамиды.
В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны нижнего и верхнего оснований равны а и Ь, а двугранный угол при ребре нижнего основания равен а. Найдите объем пирамиды.
Решите предыдущую задачу в случае правильной усеченной треугольной пирамиды.
Через середину высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная основанию. В каком отношении она делит объем пирамиды?
Высота пирамиды h. На каком расстоянии от вершины находится сечение, параллельное основанию и делящее ее объем пополам?
§ 22. ОБЪЕМЫ И ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
ОБЪЕМ ЦИЛИНДРА
Если тело простое, т. е. допускает разбиение на конечное число треугольных пирамид, то его объем равен сумме объемов этих пирамид. Для произвольного тела объем определяется следующим образом.
Данное тело имеет объем V, если существуют содержащие его простые тела и содержащиеся в нем простые тела с объемами, сколь угодно мало отличающимися от V.
Применим это определение к нахождению объема цилиндра с радиусом основания R и высотой Н.
При выводе формулы для площади круга были построены такие два n-угольника (один — содержащий круг, второй — содержащийся в круге), что их площади при неограниченном увеличении п неограниченно приближались к площади круга. Построим такие многоугольники для круга в основании цилиндра. Пусть Р — многоугольник, содержащий круг, а Р' — многоугольник, содержащийся в круге (рис. 488).
Построим две прямые призмы с основаниями Р и Р' и высотой Н, равной высоте цилиндра. Первая призма содержит цилиндр, а вторая призма содержится в ци-^/***<гР
линдре. Так как при неограничен- ном увеличении п площади основа- X^f Р* ний призм неограниченно прибли- \Д /\V
жаются к площади основания ци-Jy
линдра S, то их объемы неограни- ченно приближаются к SH. Соглас- но определению объем цилиндра
у=ЗН=лН2Н.
Итак, объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Рис. 489Рис. 489ОБЪЕМ КОНУСА
Рис. 489
Рис. 489
Построим два многоугольника в плоскости основания конуса: многоугольник Р, содержащий основание конуса и многоугольник Р\ содержащийся в основании конуса (рис. 489). Построим две пирамиды с основаниями Р и Р' и вершиной в вершине конуса. Первая пирамида содержит конус, а вторая пирамида содержится в конусе.
Как мы знаем, существуют такие многоугольники Р и Р\ площади которых при неограниченном увеличении числа их сторон п неограниченно приближаются к пло
щади круга в основании конуса. Для таких многоугольников объемы построенных пирамид неограниченно приближаются
к -~ SH, где S — площадь основания конуса, a Н — его высота.
Согласно определению отсюда следует, что объем конуса
V = l-SH = l-nR2H.Оо
Итак, объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту,
ОБЪЕМ УСЕЧЕННОГО КОНУСА
Задача (15). Найдите объем усеченного конуса, у которого радиусы оснований R\ и Яг (Вг<Я1), а высота Н.
Решение. Дополним данный усеченный конус до полного (рис. 490). Пусть х — его высота. Объем усеченного конуса равен разности объемов двух полных конусов: одного с радиусом основания Я1 и высотой х, другого с радиусом основания Я2 и высотой х — Н.
Из подобия конусов находим х: - . =^-, х=-^—. Объем усеченного конуса равен:
о L /<1—2\^Т1 —/12 /J
о К \ — К2 о
Рис. 490Рис. 490
Рис. 490
Рис. 490
ОБЩАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ОБЪЕМОВ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Телом вращения в простейшем случае называется такое тело, которое плоскостями, перпендикулярными некоторой прямой (оси вращения), пересекается по кругам с центрами на этой прямой. Круговой цилиндр, конус, шар являются примерами тел вращения. Найдем формулу для вычисления объема
тела вращения.
Проведем плоскость через ось тела и введем в этой плос
кости декартовы координаты х, у, приняв ось тела за ось х (рис. 491). Плоскость ху пересекает поверхность тела по линии, для которой ось х является осью симметрии. Пусть y = f[x) — уравнение той части этой линии, которая расположена над
осью х.
Проведем через точку (х, 0) плоскость, перпендикулярную оси х, и обозначим через V (х) объем части тела, лежащей слева от этой плоскости; V (х) является функцией от х. Разность V (х + А) — У (х) представляет собой объем слоя тела толщиной h, заключенного между двумя плоскостями, которые перпендикулярны оси х и проходят через точки с абсциссами х и x-Vh. Пусть М — наибольшее, а тп — наименьшее значение функции f (х) на отрезке [х, х + й]. Тогда рассматриваемый слой тела содержит
цилиндр с радиусом тп и высотой h и содержится в цилиндре с радиусом М и той же высотой h (см. рис. 491). Поэтому
лпД^ V (х + А) —V (хХлЛ12Л,
лт2 ^ У^-У^х)^,
h
При стремлении высоты h к нулю левая и правая части последнего неравенства стремятся к одной и той же величине л/" (х). Средняя же часть этого неравенства при стремлении А к О стремится к производной V' (х) функции Ffx\ Значит,
V' (х) = л/2 (х).
По известной формуле анализа ьь
V (Ь) — У (а) =^ V' (х) dx = j л/2 (х) dx, а < Ь.аа
Эта формула и дает объем части тела, заключенной между параллельными плоскостями х = а и х = Ь.
ОБЪЕМ ШАРА
Применим полученную формулу для объема тел вращения к вычислению объема шара.
Введем декартовы координаты, приняв центр шара за начало координат (рис. 492). Плоскость ху пересекает поверхность шара радиуса R по окружности, которая, как известно, задается уравнением
УУПолуокружность, расположенная над осью х, задается уравнением
У
У
Поэтому объем шара определяется по формуле
R
— RR— RR= п(к2х-^= п(к2х-^=^nR3.О=^nR3.О— R
— R
R
— R
R
= п(к2х-^
= п(к2х-^
=^nR3.О
=^nR3.О
Итак, объем шара равен -^ лК\ о
R — HR — HR — HR — H
R — H
R — H
R — H
R — H
ОБЪЕМ ШАРОВОГО СЕГМЕНТА И СЕКТОРА
Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью.
Формулу для объема шарового сегмента получаем аналогично формуле объема шара (рис. 493):
R XR X
R X
R X
где R — радиус шара, а Н — высота шарового сегмента.
Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса следующим образом. Если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента. Если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется (рис. 494). Объем шарового сектора получается сложением или вычитанием объемов соответствующих сегмента и конуса. Для объема шарового сектора получается следующая формула:
У = 4-лЯ2Я,О
где R — радиус шара, а Н — высота соответствующего шарового сегмента.
ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРА
Впишем в цилиндр правильную л-угольную призму (рис. 495). Площадь боковой поверхности этой призмы Sn = PnH, где Рп — периметр основания призмы, а Н — ее высота.
Как мы знаем, при неограниченном увеличении п периметр Рп неограниченно приближается к длине С окружности основания цилиндра. Следовательно, площадь боковой поверхности призмы неограниченно приближается к СН. Поэтому величина СН принимается за площадь боковой поверхности цилиндра.
Таким образом, плотцадъ боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле
S=CH = 2nRh,где R — радиус цилиндра, а Н — еговысота.
ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙПОВЕРХНОСТИ КОНУСА
Впишем в конус правильную л-угольную пирамиду (рис. 496). Площадь ее боковой поверхности
Sn = ^PnU
где Рп — периметр основания пирамиды, a In — апофема.
При неограниченном увеличении л периметр основания Рп неограниченно приближается к длине С окружности основания конуса, а апофема 1п — к длине I образующей. Соответственно боковая поверхность пирамиды неограниченно приближается к С у. В
связи с этим величина С — принимается за площадь боковой поверхности конуса.
Итак, площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле
S=^-Cl = nRl,
где R — радиус основания конуса, a I — длина образующей.
Аналогично для площади боковой поверхности усеченного конуса с радиусами оснований Д], Д2 и образующей I получается формула
8 = л(Д1+Д2) L
ПЛОЩАДЬ СФЕРЫ
Опишем около сферы выпуклый многогранник с малыми гранями (рис. 497). Пусть S' — площадь поверхности многогранника, т. е. сумма площадей его граней. Найдем приближенное значение площади поверхности многогранника, предполагая, что линейные размеры граней, т. е. расстояние между любыми двумя точками любой грани, меньше е.
Объем многогранника равен сумме объемов пирамид, имеющих своими основаниями грани многогранника, а вершиной — центр сферы (рис. 498). Так как все пирамиды имеют одну и ту же высоту, равную радиусу R сферы, то объем многогранника
V = ^-S'R.
О
Объем многогранника больше объема шара, ограниченного сферой, но меньше объема шара с тем же центром и с радиусом Д + е. Таким образом,
4 я№ < 4" S'R < 4- Л (R + е)3.ООО
Отсюда
4nR2<S'<4n1+4-У
X Н /
Мы видим, что площадь поверхности описанного многогранника при неограниченном уменьшении размеров его граней, т. е. при неограниченном уменьшении е, стремится к 4л/?2. Поэтому величина 4лЯ2 принимается за площадь сферы.
Итак, площадь сферы радиуса R вычисляется по формуле 5 = 4лЯ2.
Аналогично определяется площадь сферической части поверхности шарового сектора, т. е. площадь сферического сегмента, для нее получается формула
S = 2nRH, где Н — высота сегмента.
^ КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Выведите формулу для объема цилиндра.
Выведите формулу для объема конуса.
Выведите формулу для объема тел вращения.
Выведите формулу для объема шара.
Что такое шаровой сегмент? Выведите формулу для объе
ма шарового сегмента.
Что такое шаровой сектор? По какой формуле вычисляется объем шарового сектора?
По какой формуле вычисляется площадь боковой поверхности цилиндра?
По какой формуле находится площадь боковой поверхности конуса (боковой поверхности усеченного конуса)?
По какой формуле вычисляется площадь сферы?
ф ЗАДАЧИ
25 м медной проволоки имеют массу 100,7 г. Найдите диаметр проволоки (плотность меди 8,94 г/см3).
Насос, подающий воду в паровой котел, имеет два водяных цилиндра. Диаметры цилиндров 80 мм, а ход поршня 150 мм. Чему равна часовая производительность насоса, если каждый поршень делает 50 рабочих ходов в минуту?
Во сколько раз надо увеличить высоту цилиндра, не меняя его основание, чтобы объем увеличился в п раз? Во сколько раз надо увеличить радиус основания цилиндра, не меняя высоту, чтобы объем увеличился в п раз?
В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а в призму вписан цилиндр. Найдите отношение объемов цилиндров.
Найдите объем цилиндра, вписанного в правильную шестиугольную призму, у которой каждое ребро равно а.
Свинцовая труба (плотность свинца 11,4 г/см3) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм. Какова масса 25 м этой трубы?
Куча щебня имеет коническую форму, радиус основания которой 2 м, а образующая 2,5 м. Найдите объем кучи щебня.
Осевым сечением конуса является равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого 9 м2. Найдите объем конуса.
Длина образующей конуса равна I, а длина окружности основания с. Найдите объем конуса.
Образующая конуса I составляет с плоскостью основания угол а. Найдите объем конуса.
Стог сена имеет форму цилиндра с коническим верхом. Радиус его основания 2,5 м, высота 4 м, причем цилиндрическая часть стога имеет высоту 2,2 м. Плотность сена 0,03 г/см3. Определите массу стога сена.
Жидкость, налитая в конический сосуд высотой 0,18 м и диаметром основания 0,24 м, переливается в цилиндрический сосуд, диаметр основания которого 0,1 м. Как высоко будет стоять уровень жидкости в сосуде?
Равносторонний треугольник вращается вокруг своей стороны а. Найдите объем полученного тела вращения.
Прямоугольный треугольник с катетами а и b вращается около гипотенузы. Найдите объем полученного тела (рис. 499).
15*. Найдите объем усеченного конуса, у которого радиусы оснований Я, и Яг (Яг<Я1), а высота h.
Сосновое бревно длиной 15,5 м имеет диаметры концов 42 см и 25 см. Какую ошибку (в процентах) совершают, когда вычисляют объем бревна, умножая его длину на
площадь поперечного сечения в середине бревна?
Рис. 499Рис. 499Радиусы оснований усеченного конуса Я и г, образующая наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем.
Рис. 499
Рис. 499
Площадь осевого сечения усеченного конуса равна разности площадей оснований, а радиусы оснований Я и г. Найдите объем этого конуса.
Усеченный конус, у которого радиусы оснований 4 см и 22 см, и равновеликий цилиндр имеют одну и ту же высоту. Чему равен радиус основания этого цилиндра?
По данным радиусам оснований Я и г определите отношение объемов усеченного конуса и полного конуса.
Чугунный шар регулятора имеет массу 10 кг. Найдите диаметр шара (плотность чугуна 7,2 г/см3).
Требуется переплавить в один шар два чугунных шара с диаметрами 25 см и 35 см. Найдите диаметр нового шара.
Имеется кусок свинца массой 1 кг. Сколько шариков диаметром 1 см можно отлить из куска (плотность свинца 11,4 г/см3)?
Из деревянного цилиндра, высота которого равна диаметру основания, выточен наибольший шар. Сколько процентов материала сточено?
Внешний диаметр полого шара 18 см. Толщина стенок 3 см. Найдите объем материала, из которого изготовлен шар.
Сосуд имеет форму полушара радиуса Я, дополненного цилиндром. Какой высоты должна быть цилиндрическая часть, чтобы сосуд имел объем V?
Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 3 см и 9 см. На какие части делится объем шара?
Какую часть объема шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара?
Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объем общей части шаров к объему целого шара?
Диаметр шара, равный 30 см, является осью цилиндра, у которого радиус основания равен 12 см. Найдите объем части шара, заключенной внутри цилиндра.
Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности его основания равен 60 см, а радиус шара равен 75 см?
Круговой сектор с углом 30° и радиусом Я вращается около одного из боковых радиусов. Найдите объем полученного тела.
Поверхности двух шаров относятся как m:n. Как относятся их объемы?
Гипотенуза и катеты треугольника являются диаметрами трех шаров. Какая существует зависимость между их поверхностями?
Поверхность тела, образуемого вращением квадрата около стороны, равновелика поверхности шара, имеющего радиусом сторону квадрата. Докажите.
Радиус шара 15 см. Какую площадь имеет часть его поверхности, видимая из точки, удаленной от центра на 25 см (рис. 500)?
Шар радиуса 10 см цилиндрически просверлен по оси. Диаметр отверстия 12 см. Найдите полную поверхность тела.
Рис. 500Рис. 500
Рис. 500
Рис. 500
Цилиндрическая дымовая труба с диаметром 65 см имеет высоту 18 м. Сколько жести нужно для ее изготовления, если на заклепку уходит 10% материала?
Полуцилиндрический свод подвала имеет 6 м длины и 5,8 м в диаметре. Найдите полную поверхность подвала.
Из круглого листа металла выштампован цилиндрический стакан диаметром 25 см и высотойбО см. Предполагая, что площадь листа при штамповке нё изменилась, найдите диаметр листа.
В цилиндре площадь основания равна Q, а площадь осевого сечения М. Чему равна полная поверхность цилиндра?
Конусообразная палатка высотой 3,5 м с диаметром основания 4 м покрыта парусиной. Сколько квадратных метров парусины пошло на палатку?
Крыша силосной башни имеет форму конуса. Высота крыши 2 м, диаметр башни 6 м. Найдите поверхность крыши.
Площадь основания конуса S, а образующие наклонены к плоскости основания под углом а. Найдите боковую поверхность конуса.
Как относятся между собой боковая и полная поверхности равностороннего конуса (в сечении правильный треугольник?
Полная поверхность равностороннего конуса равновелика поверхности шара, построенного на его высоте как на диаметре. Докажите.
Полукруг свернут в коническую поверхность. Найдите угол между образующей и осью конуса.
Радиус кругового сектора равен 3 м, его угол 120°. Сектор свернут в коническую поверхность. Найдите радиус основания конуса.
Сколько квадратных метров латунного листа потребуется, чтобы сделать рупор, у которого диаметр одного конца 0,43 м, другого конца 0,036 м и образующая 1,42 м?
Сколько олифы потребуется для окраски внешней поверхности 100 ведер, имеющих форму усеченного конуса с диаметрами оснований 25 см и 30 см и образующей 27,5 см, если на 1 м2 требуется 150 г олифы?
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ
Через две точки можно провести только одну прямую. 7. 1) 6 см; 2) 7,7 дм; 3) 18,1 м. 10. Не принадлежит. 11. Не может. 12. Не могут. 13. Не могут. 14. 0,5 м или 5,9 м. 15.1) АС = 9 м, ВС = 6 м; 2) АС = 10 м, ВС = 5 м; 3) АС = =ВС = 7,5 м; 4) АС = 6 м, ВС = 9 м. 18. 1), 4), 6) Пересекает; 2), 3), 5) не пересекает. 19. 6 отрезков. 24. 1) 110°; 2) 119°; 3) 179°. 25. 2), 3) Не может. 26. 1) Z(ac) = 45°, Z(bc) = 15°; 2) Z(ac) = 40°, Z(bc) = 20°; 3) Z(ac)= Z(bc) = J = 30°; 4) Z(ac) = 24°, Z(bc) = 36°. 29. He существует. 31. 1) 1,2 м; 2) 2,4 см. 33. 11 см. 34. 100°. 36. PQ = 5 см, QR = 6 см, PR = 7 см. 37. ZA = 40°, ZB = 60°, ZC = 80°. 39. ВдАВС AB = 5 см, ВС = 6 см, AC = 7 см. 40. Существует. 42. Нельзя. 43. Не может. 49. 2) Указание. Соедините отрезком точки А и С и воспользуйтесь утверждением задачи 49, 1). 51. 1) См. решение задачи 30 в тексте; 2) проведите через точку А прямую, отличную от а.
150°, 135°, 120°, 90°. 2. 1), 2) Не могут; 3) могут. 4. 1) 105° и 75°; 2) 110° и 70°; 3) 45° и 135°; 4) 90° и 90°. 5.180°; 90°; 120°. 6. 1) 72° и 108°; 2) 54° и 126°; 3) 55° и 125°; 4) 88° и 92°. 7. 150°, 150°, 30°. 8. 130°. 10. 144° и 36°. 11. 65° и 115°. 12. Все углы прямые. 15. 1) 15°; 2) 26°; 3) 86°. 16. 1) 120°; 2) 150°; 3) 178°. 18. У к а з а н и е. Стороны угла лежат в разных полуплоскостях относительно прямой, частью которой является данный луч. 19. 90°. 20. Указание. Воспользуйтесь результатом задачи 19 и теоремой 2.3. 21. 1) 155°; 2) 135°; 3) 105°. 22. Указание. Воспользуйтесь теоремой 1.1. 23. 1) 20°; 2) 60°; 3) 90°. 24. Z(a,b) = 120°, Z(alc) = 150°, Z(bc) = 30°. 25. 1) 110°; 2) 175°; 3) 170°; 4) 130°. 26. 1) Не проходит; 2) не может.
Указание. Продлите медианы на их длину. 9. 0,3 м. 10. 3,5 м. 11. 1) 3,2 м, 6,2 м, 6,2 м; 2) 7,2 м, 4,2 м, 4,2 м. 22. У к а з а н и е. Воспользуйтесь свойством медианы в равнобедренном треугольнике. 25. 3) Указание. Продлите биссектрису BD на ее длину. 27. 15 м. 30. Указание. Воспользуйтесь утверждением задачи 29. 39. Указание. Продлите медианы на их длину.
Углы ABiCi и АС,В) и углы BBtCi и CCiBi внутренние односторонние, а углы ABiCi и CC,Bi и углы BB,Ci и АС,В1 внутренние накрест лежащие. 7. Углы ВС А и DBC внутренние накрест лежащие, углы САВ и DBA внутренние односторонние. 14. 1) 105° и 75°; 2) 75°. 15. Три угла по 72° каждый и четыре угла по 108° каждый. 16. Не может. 18. 1) 100°; 2) 65°; 3) 35°- 4) 35°. 19. 1) 30°, 60°, 90°; 2) 40°, 60°, 80°; 3) 45°, 60°, 75°; 4) 48°, 60°, 72°; 5) 50°, 60°, 70°. 20. Не может. 21. Не может. 22. 1) 100°; 2) 70°; 3) 36°. 23. 1) 50°' 2) 30°; 3) 75°. 24. 40°, 40°. 25. 70° и 40° или 55° и 55°. 27. 1) 80°, 80°, 20°; 2) 70°; 70°, 40°; 3) два угла равны 120°—|- а и один у а —60°. 29. 1) 105°; 2) 180° — —5" (« + Р); 3) 155°; 4) 90°+4.31. 90°. 32. 110°, 35°, 35°. 33. 60°, 30° и 90°.
/ А / С
110°. 36. Точка А. 38. 60°. 39. ZD=^-, Z£ = y, Z_DBE—Z_B-V +^^^. 40. 140°, 10°. 41. 1) 20°; 2) 65°; 3) a. 42. Углы ZXABD-. Z_A = a, AD = 90°, AB = 90° — a; углы £-.CBD: ZD = 90°, ZB = a4-8 — -90°, ZC = 180°— a — p. 44. 90°, 45°, 45°. 45. ZD = 90°, ZB = 60°, ZA=30°. 46. 150°. 47. 90°.
5.
Указание. Отложите на луче отрезок, равный радиусу. 2. Указание. См. задачу 1. 5. 1) 60°; 2) 120°. 7. Не может. 9. 30°. 10. 60° и 120°. 11. 70 см, 10 см. 12. Не могут. 13. 1) Не могут; 2) не могут. 14. 2) Указание. Воспользуйтесь доказательством от противного. 15. 2) Указание. Воспользуйтесь доказательством от противного. 3) Указание. Докажите сначала, что общая точка данных окружностей лежит на прямой, проходящей через их центры. 16. 2) Указание. Воспользуйтесь доказательством от противного. 18. Указание. Воспользуйтесь утверждением задачи 16, 1). 28. Указание. Начните с построения равностороннего треугольника. 32. Указание. В искомом треугольнике продлите медиану на ее длину. 36. Указание. См. задачу 35. 37. Указание. См. задачу 35. 38. У к а з а н и е. См. задачу 35. 39. Указание. Начните с построения высоты. 41. Указание. См. задачу 50 § 4. 42. Указание. См. задачу 41. 46. Указание. Постройте сначала треугольник, у которого одна сторона равна заданной стороне искомого треугольника, другая сторона — сумме двух других его сторон и угол между ними равен заданному углу. 47. Указание. Воспользуйтесь указанием к предыдущей задаче с той разницей, что вместо суммы двух сторон искомого треугольника надо взять их разность. 48. См. указание к задаче 46. 50. Указание. Сведите решение задачи к предыдущей, построив вспомогательную окружность, концентричную одной из данных, с радиусом, равным сумме или разности радиусов данных окружностей.
§ 6.
3. Три. 4. 10 м. 5. 3 см и 4 см. 7. BC = AD = 4,8 м. 8. AD = 15 см, СО = Ю см. 9. ZB=ZD=150°, ZC = 30°. 10. 3 см. 11. 40°, 140°, 140°. 12. 115° и 65°. 13. Не могут. 14. 60°, 60°, 120°, 120°. 15. 1) 40°, 40°, 140°, 140°; 2) 50°, 50°, 130°, 130°; 3) 80°, 80°, 100°, 100°. 16. 1) 55°, 55°, 125°, 125°; 2) 35°, 35°, 145°, 145°; 3) 20°, 20°, 160°, 160°. 19. BE = 9 см, СЕ = 6 см. Указание. Докажите, что
А АВЕ равнобедренный с основанием АЕ. 20. 0,6 м и 0,8 м. 21. AB = BD = 1,1 м, АО = 0,8 м. 28. 60 см. 29. 10 см и 18 см. 30. 12 см, 20 см. 31. 12 см. 32. 10 см и 25 см или 7,5 см и 18,75 см. 35. 80° и 100°. 37. 60° и 120°. 41. 4 м. 43. 2 м. 44. 2 м. 45. 4 м, 8 м. 46. 1 м. 47. 10 см. 50. 4 см, 5 см, 6 см. 51. 6 см. 52. 6см, 5 см, 5 см. 56. 5 м, 6 м. 57. а+ 5. 59. 3 м, 4 м. 61. 70° и 110°. 62. 1,7 м. 63. 24 см, 36 см. 64. 60° и 120°. 65. 15 м. 66. 3 см. 67. 4 м, 6 м. 68. 2,2 м. 69. 9 см и 5 см. 70. а. 71. Указание. Постройте сначала треугольник, две стороны которого равны боковым сторонам трапеции, а третья — разности оснований. 72. Указание. Постройте сначала треугольник, две стороны которого равны диагоналям
трапеции, а третья — сумме ее оснований. 73. Постройте сначала отрезок х=—, а
воспользовавшись решением задачи 6.1.
§ 7.
1) 5; 2) V2«l,4; 3) v61~7,8. 3. 1) 4; 2) 12; 3) vll~3,3. 4. 5 м или
V7 м»2,6 м. 5. Не могут. 6. 1) 5 см; 2) 17 дм; 3) 6,5 м. 7. 109 см. 8. ^ .
Нельзя. 10. д/7 м^2,6 м. 12. Могут. 13. ——. 15. Указание. Пост-
Тогда искомый отрезок з а н и е. Соедините однуТогда искомый отрезок з а н и е. Соедините однуроите сначала отрезки с =—и а — —-—.
Тогда искомый отрезок з а н и е. Соедините одну
Тогда искомый отрезок з а н и е. Соедините одну
x=<r — d. 16. VH6 м»10,8 м. 18. 90°. 20. Ука
из точек с вершиной треугольника отрезком и воспользуйтесь результатом задачи 19. 22. Указание. Воспользуйтесь результатом задачи 21. 26. Не может. 27. 2 м. 28. У к а з а н и е. Продлите медиану на ее длину. 31. 2) У казан и е. Сведите решение этой задачи к предыдущей согласно рисунку 165, б. 32. Не могут. 34. R—d, R-\-d. Указание. Воспользуйтесь неравенством треугольника. 35. d-\-R, d— R. Указание. Воспользуйтесь неравенством треугольника. 36. Не могут. 37. Не могут. 38. Указание. Сравните расстояние между центрами окружностей с их радиусами. 39. Не могут. 41. Указание. Данные числа удовлетворяют условиям задачи 40. 42.1), 3), 4) Нельзя; 2) можно. 43. Воспользуйтесь результатом задачи 41. 44. 10 см, 6 см. 45. 90° —а,
а cos а, asina. 46. 90° —а, —^—, ——. 49. 1) sin 16° =0,2756, cos 16° = tg a sin а
= 0,9613; 2) sin 24°36' = 0,4163, cos 24°36'= 0,9092; 3) sin 70°32' = 0,9428, cos 70°32' = 0,3333; 4) sin 88°49'= 0,9998, cos 88°49' = 0,0206. 50. 1) x=l°; 2) x = 30°6'; 3) x=47°3'; 4) x = 86°9'. 51. 1) tg 10° = 0,1763; 2) tg40°40' = = 0,8591; 3) tg 50°30' = l,213; 4) tg 70°15' = 2,785. 52. 1) x=17°53'; 2) x = = 38°7'; 3) x = 80°46'; 4) x = 83°50'. 53. 31°25'; 31°25'; 117°10'; 23,8 m. 54. 34°10' и 55°50'. 55. 51°. 56. 116°16' и 63°44'. 57. 29°52' и 150°8'. 58. 12 m, 45°14'. 59. 60°16'. 60. -^. 61. 1) a) 5; 36°52'; 53°8'; 6) 41; 12°41'; 77°19'; в) 29; 43°36'; 46°24'; r) 61; 10°23'; 79°37'; 2) a) 12; 22°37'; 67°23'; 6) 24; 16°16'; 73°44'; в) 15; 28°4'; 6Г56'; r) 13; 81°12'; 8°48'; 3) a) 70°; 0,68; 1,88; 6) 39°40'; 3,08; 2,55; в) 19°24'; 7,55; 2,66; r) 13°39'; 15,55; 3,78; 4) a) 59°33'; 5,92; 5,10; 6) 49°12'; 7,65; 5,79; в) 29°25'; 8,04; 3,95; r) 22°; 9,71; 3,64. 62. 1) cos2 a; 2) sin2 a; 3) 2; 4) sin3 a; 7) 1; 8) sin2 a; 9} 1 + tg6 a. 63. 1) sin a=^ , tg a=^ ;
lo5
88443
sin a = — , tg a = — ; 3) sin a = 0,8, tg a = — . 64. 1) cos a = — , tg a = — ; 1 <lodо4
R = -^. 68. 29 см или д/882 смяв 29,7 см. 69. (V3—1) мяв0,732 м; ——-яв
V3V2
яв0,517 м. 70. 60° и 120°. 71. 60°, 60°, 120°, 120°. 72. 1), 6) а; 2), 3), 4), 5) р. 73. ВС. 74. ДА.
§ 8.
3. 2. 4. 3. 5. (2; 0). 6. (0; 3). 7. Прямая, параллельная оси у. 8. Две прямые х=3 и х= —3. 10. Положительную. 11. 4; 3. 12. 1) (3; 2); 2) (— 1; 3); 3) (1; 1). 13. 1) (-2; 3); 2) (3; —5); 3) (-4; 4). 16. (0; 1), (-2; 0), (-2; 1). 17. АВ = 5, АС=10, ВС = 5. 18. Точка В. 20. (3; 3) и (15; 15). 23. (3; 4), ( — 4; 3), (0; 5). 24.(5; 12) и (5; -12); (5; -12) и (-5; -12). 25. х2 + (у-3)2 = 13. 26. (* + 4)2 + + (у-3)2 = 25. 27. ( — 2; 0) или (4; 0). 28. (х—1)2 + (у —2)2 = 4. 29. (*+3)2 + +(у-4)2 = 25. 31. (0; 1) и( -у ; -у ) . 32. (7; 0) и (1; 0). 36. 1) х4-у-5 = 0;
2) Зх + Юу — 2 = 0;38. а = Ь = ^ . 39. 1)2) Зх + Юу — 2 = 0;38. а = Ь = ^ . 39. 1)х + 6у + 13 = 0. 37. х = 0, у = 0, х4~2у —4 = 0. (-3; 0) и (о; ~|") : 2> <4; °) и <0; 3); 3) ^2- °)
2) Зх + Юу — 2 = 0;
38. а = Ь = ^ . 39. 1)
2) Зх + Юу — 2 = 0;
38. а = Ь = ^ . 39. 1)
и (0; 3); 4) (2,5; 0) и (0; -5). 40. 1) (1; —2); 2) (2; 4); 3) (0,5; —2). 41. Указание. Найдите точку пересечения двух прямых и проверьте.
. 43. 1) и 6), 2) и 3),. 43. 1) и 6), 2) и 3),лежит ли она на третьей прямой. 42.
. 43. 1) и 6), 2) и 3),
. 43. 1) и 6), 2) и 3),
и 5). 45. х = 2. 46. у = 3. 47. Зх-2у = 0. 48. 1) к =—^; 2) к= — у;
к=^ ; 4) Л = 2. 49. 1) 45°; 2) 60°; 3) 30°. 50. 2) (0; 1) и (-1; 0); 3) (0; 1) /34 \/ 2к 1 — fe2\
и I —— ; —=- I ; 4) (0; 1) и I —, 5 , , ; ,» , „ ) . 51. Прямая касается ок- \55 /''\ к2 + 1 А: 4-1 /
ружности при с = + V2, пересекает ее при |с| <у/2 и не пересекает при |с| >72. Указание. Прямая, касающаяся окружности, имеет с ней единственную общую точку, т. е. корни соответствующего квадратного уравнения должны
совпадать. 52. sin 120°=—, cos 120°=—— , tgl20°=—V3; sin 135°=—, 22
cos 135° = —tgl35° = —1; sin 150° =4-, cos 150°=-^, tgl50° =— V222V3
sin 160° = 0,3420; cos 140°=—0,7660; tg 130° = —1,192. 54. 1) sin 40° = = 0,6428, cos 40° = 0,7660, tg 40° = 0,8391; 2) sin 14°36'= 0,2521, cosl4°36' = = 0,9677, tg 14°36' = 0,2605; 3) sin 70°20' = 0,9417, cos 70°20' = 0,3365; tg 70°20'= 2,798; 4) sin 30°16' = 0,5040, cos 30°16' = 0,8637, tg 30°16' = 0,5836; 5) sin 130° = 0,7660, cos 130°=—0,6428, tg 130° =—1,192; 6) sinl50°30' = = 0,4924, cos 150°30'= -0,8704, tg 150°30'=-0,5658. 55. а,яв11°32' или 168°28'; а2^134°26'; а3^158°12/. 56. 1) sina^-^, tga = 2 V2; 2) sina =
=у, tga=-V3; 3) 57. 1) cos a = 0,8, tg a = y tga =—1 или cosa = -=V3=у, tga=-V3; 3) 57. 1) cos a = 0,8, tg a = y tga =—1 или cosa = -=V3зта=Дв, tga=l; 4) sina=-^-,V22; 2) cos a = — —, tg a =; 3)32-72512tga = l. 58. sina=—, cosa=— —.зта=Дв, tga=l; 4) sina=-^-,V22; 2) cos a = — —, tg a =; 3)32-72512tga = l. 58. sina=—, cosa=— —.•”—78'1 cos a= ,•”—78'1 cos a= ,61. Указа61. Указание. Рассмотрите сначала случай, когда оба угла а и р.острые. 62. См.ние. Рассмотрите сначала случай, когда оба угла а и р.острые. 62. См.указание к задаче 61.указание к задаче 61.
=у, tga=-V3; 3) 57. 1) cos a = 0,8, tg a = y tga =—1 или cosa = -=
V3
=у, tga=-V3; 3) 57. 1) cos a = 0,8, tg a = y tga =—1 или cosa = -=
V3
зта=Дв, tga=l; 4) sina=-^-,
V22
; 2) cos a = — —, tg a =; 3)
32-72
512
tga = l. 58. sina=—, cosa=— —.
зта=Дв, tga=l; 4) sina=-^-,
V22
; 2) cos a = — —, tg a =; 3)
32-72
512
tga = l. 58. sina=—, cosa=— —.
•”—78'
1 cos a= ,
•”—78'
1 cos a= ,
61. Указа
61. Указа
ние. Рассмотрите сначала случай, когда оба угла а и р.острые. 62. См.
ние. Рассмотрите сначала случай, когда оба угла а и р.острые. 62. См.
указание к задаче 61.
указание к задаче 61.
§ 9
В квадрат. 4. Указание. Постройте последовательно вершины С, О и Е равносторонних треугольников ABC, ACD, ADE. Точка Е искомая. 7. Не может. 9. Указание. Вершины данного четырехугольника переходят при симметрии относительно его центра в вершины. 10. Указание. Воспользуйтесь симметрией относительно данной точки. 11. 1) Отрезок; 2) угол; 3) треугольник. 14. 1) ( —3; —4); 2) (3; 4); 3) (3; —4). 19. Три. 24. Указание. Воспользуйтесь симметрией относительно прямой Ь. 28. (1; —1), (2; —1), (1; 1). 29. 1) а = Ь = 2; 2) а= — 3, 5 = 8; 3) а = 5 = 1. 31. 1) Не существует; 2) существует. 34. Одинаково направленные лучи: АВ и DC, AD и ВС, CD и BA, DA и СВ. Противоположно направленные лучи: АВ и CD, ВС и DA, DC и BA, AD и СВ.
§ 10.
1. АВ, АС, ВС одинаково направлены, ВА и каждый из векторов АВ, АС и ВС противоположно направлены. 4. (2; 4), (— 1; 2) и (с,; с2). 5. m = ± 12, п = ± 7. 8.1) с( —3; 4), |с| =5; 2) с (6; 8)Л Й =10.10.1) с (5; -12), Й =13; 2) с (-6; 8), Й=Ю. 12. АВ=а — b, CD=b — a. 14. 2) Указание. Постройте ДАВС, у которого АВ = а, ВС = Ь. Тогда АС = а + Ь. 15. — . 19. с(— 6; —8), Й=Ю.
уз
К 1 1
=^(Ь-а\ AD = ^-(a=^(Ь-а\ AD = ^-(a20. 1) ±-5-; 2) ±1; 3) ±^. 23. АВ=— (а + Ь), CD=-~ (« + »), СВ= 2о22
=^(Ь-а\ AD = ^-(a
=^(Ь-а\ AD = ^-(a
— b). 25. а и с, b и d. Векторы а и с одинаково
направлены, а b и d противоположно направлены. 26. т = 2. 27. Х = —1, ц = 0. 28. Указание. Воспользуйтесь теоремой 10.3. 29. 90°. 30. У§. Указание. |а + Ь|2 = (а + Ь)2. 31. 30°. 32. cosA=0,6, cos В=0, cosC = 0,8. 33. АА = 30°, АВ=60°, АС = 90°. 35. т=—|-. 36. 1= — 1. 39. m^l-vVVH2,
т6 = ^ У 2 (а2+с2)—Ь2, т,=-^ У2 (а2 + Ь2) —с2. 40. Указание. Восполь
зуйтесь задачей 38. 45. Единичные векторы а, си d, векторы and коллинеарны.
46. е(0,6; 0,8). 47. 2, -3. 48. 1) 0%=^-+^ .
§ 11.
Треугольник. 6. ДА = 30°, AiB, = l,5 м. 8. Указание. Постройте сначала какую-нибудь окружность, касающуюся сторон угла, и воспользуйтесь гомотетией относительно вершины угла. 9. Указание. Воспользуйтесь гомотетией относительно одной из вершин треугольника. 11. 13,6 см. 12. АС =
ah
= 4 м, BiCi = 14 м. 13. АС = 24 см, AtCi = 18 см, B,Ci = 15 см. 16. ——.
wO7О' । О
17. — . 18. 4 см. 19. — . 20. 1) 14 см; 2) 6 дм. 22. т: п. 23. п'. т. 24. АС = 18 м. п28
Указание. Треугольники ACD и СВА подобны. 25. тп'.п. 26. 15 см, 18 см. 27. 4,5 см. 29. °^~^. 30. А1С| = 1,2 м, АС = 3 м. 32. ДВ = 180° —2ДА, АЕ=180°-2ДВ, AF = 180° —2АС. 34. Подобны. 35. 1) Да; 2) да; 3) нет. 37.1 м, 2 м, 2,5 м. 38.6,5 м, 5,5 м. 39.1) Подобны; 2) не подобны. 40.15 см, 20 см.
25 см. 41. 21 см. 43. m1: п2. 4. Я4 42 м. 45.. 46. У к а з а н и е.
Проведите
через точку В прямую, параллельную прямой DC. 47. Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей. 48. 1) 300° и 60»; 2) 230° и 130°; 3) 190° и 170°. 49. 5 см. 50. 30° или 150°. 52. Указание. См. задачу 51. 54. а или 180° — а. 55. 50°. 56. Указание. Докажите сначала, что противолежащие вершины вписанного четырехугольника лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие противолежащие вершины. 60. Указание. Воспользуйтесь двумя предыдущими задачами. 63. «225,8 км. Указание. См. задачу 62. 64. «82,7 км.
§ 12.
*т-
19
35
4- 2-
V13 или у109
м.
5. Ja? + b2± 2ab cos а. 6.
2,25 м, 3,75 м. 8.
9.
V145
2
V73
м, -^— м. 10.
12^/4213
м,
увеличивается. 12. Не может. 14.
V105
2 35
12 V65
м,
м.
4. — 7/е2 + d2 ± 2 cd cos а.
м,
м,
12-^1511
12 V67
м.
15.
- - a sin a sin Р , _ _v
ie. х = —:—-——. 18. Сторона АВ наибольшая,
sin (а — Р)’
19. Угол В наибольший, угол С наименьший. 20.
24. Указание. Продлите медиану CD за точку D
м. 11. Сторона АВ
АВ = -А. А} Р . . sin (а + Р)
сторона ВС наименьшая.
Боковая сторона больше, на ее длину. 25. Указа
26. 1) а = 105°,
5 «2,59, b «17,9, 5 «65,8, а«16,7, а «13,6,
ся ся с я ся Ья
^3,66;
4 14,6; ^88,6; ^24,8; у 11,2.
7 = 45°,
а = 20°, 4) 7 = 119°,
5) 7 = 68°,
27.
1) а«79°,
Р«41°,
ся
4 10,6;
2) а«11°,
Р«39°,
ся
^28;
3) р«27°.
7«58°,
ая
к 19,9;
4) р«21°,
7«15°,
ая
у 22,9;
5) а «16°,
7^12°,
Ья
у 53,4;
6) а«130°.
7«35°,
0 =
у 8,09.
28.
1) с «8,69,
р«21°.
7 5
у 39°;
2) с «19,6,
Р«13°,
7°
у29°;
3) с«22,3,
Р«6°,
Vя
у 10°;
4) решения
не имеет;
5) с«11,4.
а«42°,
7я
у 108°
или
: с «249,
Р«138°,
Vя
у 12°.
29.
1) а «29°,
Р«47°,
7®
4104°;
2) а«54°.
Р«13°,
7я
у113°;
3) а «34°,
Р«44°,
7я
»102°;
4) а«39°.
Р«93°,
7я
^48°;
5) а«15°,
6) а«136°,
Р«11°,
7«
^154°;
Р«15°,
7»
^29°.
ние. Воспользуйтесь свойством перпендикуляра и наклонных, проведенных к прямой из одной точки, и утверждением предыдущей задачи.
§ 13.
Rt+Ri + d, Rx-Ri-d. 6. Не может. 8. 4n(n —1). 10. 36°, 72°, 108°,
144°. 12. 1) 8; 2) 12. 13. 1) 10 сторон; 2) 15 сторон. 14. Указание. У этого n-угольника все стороны равны, все углы равны. 15. Указание. У этого n-угольника все стороны равны, все углы равны. 18. Указание. Выразите
У к а з а н и е. НайдиУ к а з а н и е. Найдиоба радиуса через сторону треугольника. 19. а
У к а з а н и е. Найди
У к а з а н и е. Найди
те радиус окружности. 20. 2 л/б дм. 21. 2 ■/ 2 см. 22. -д/3 см. 24. Указание.те радиус окружности. 20. 2 л/б дм. 21. 2 ■/ 2 см. 22. -д/3 см. 24. Указание.Воспользуйтесь теоремой косинусов. 25. Указание. Сначала сдачи 29 § 11 найдите сторону 10-угольника, а затем по теоремеВоспользуйтесь теоремой косинусов. 25. Указание. Сначала сдачи 29 § 11 найдите сторону 10-угольника, а затем по теореместорону 5-угольника. аю =сторону 5-угольника. аю =Я (/5-1)Я (/5-1)2227.27.а22aR— . 28. Ь = ^2/4^4R^aа22aR— . 28. Ь = ^2/4^4R^a22.29. а =.29. а =a= = R2bRa= = R2bR26.26.помощью за- косинусов —помощью за- косинусов —- . 30. У к а з а н и е. Впиши-- . 30. У к а з а н и е. Впиши-Д |Г2те сначала правильный шестиугольник. 32.. 33. а: Ь. 34. 1) 62,8 м; 2) 94,2 м.Г16,28 мм. 36. «3,06. У к а з а н и е. Воспользуйтесь результатом задачи 23.to 3,11. Указание. Воспользуйтесь результатом задачи 24. 38. «6366,2 км.Д |Г2те сначала правильный шестиугольник. 32.. 33. а: Ь. 34. 1) 62,8 м; 2) 94,2 м.Г16,28 мм. 36. «3,06. У к а з а н и е. Воспользуйтесь результатом задачи 23.to 3,11. Указание. Воспользуйтесь результатом задачи 24. 38. «6366,2 км.
те радиус окружности. 20. 2 л/б дм. 21. 2 ■/ 2 см. 22. -д/3 см. 24. Указание.
те радиус окружности. 20. 2 л/б дм. 21. 2 ■/ 2 см. 22. -д/3 см. 24. Указание.
Воспользуйтесь теоремой косинусов. 25. Указание. Сначала сдачи 29 § 11 найдите сторону 10-угольника, а затем по теореме
Воспользуйтесь теоремой косинусов. 25. Указание. Сначала сдачи 29 § 11 найдите сторону 10-угольника, а затем по теореме
сторону 5-угольника. аю =
сторону 5-угольника. аю =
Я (/5-1)
Я (/5-1)
2
2
27.
27.
а22aR
— . 28. Ь = ^2/
4^4R^a
а22aR
— . 28. Ь = ^2/
4^4R^a
2
2
.29. а =
.29. а =
a= = R
2bR
a= = R
2bR
26.
26.
помощью за- косинусов —
помощью за- косинусов —
- . 30. У к а з а н и е. Впиши-
- . 30. У к а з а н и е. Впиши-
Д |Г2
те сначала правильный шестиугольник. 32.. 33. а: Ь. 34. 1) 62,8 м; 2) 94,2 м.
Г1
6,28 мм. 36. «3,06. У к а з а н и е. Воспользуйтесь результатом задачи 23.
to 3,11. Указание. Воспользуйтесь результатом задачи 24. 38. «6366,2 км.
Д |Г2
те сначала правильный шестиугольник. 32.. 33. а: Ь. 34. 1) 62,8 м; 2) 94,2 м.
Г1
6,28 мм. 36. «3,06. У к а з а н и е. Воспользуйтесь результатом задачи 23.
to 3,11. Указание. Воспользуйтесь результатом задачи 24. 38. «6366,2 км.
«6,3 см. 40. 1) —; 2) ; 3) -5-. Указание. Центры кругов
2+V31+V23гг-х
являются вершинами правильного п-угольника. 41. 1) К (3 4-2 ^Зу, 2)R (1 + у2)1 3) R. Указание. Центры кругов являются вершинами правильного п-угольника. 42. «351,9 м/мин. 43. 1) -^- см; 2) -^- см; 3) у- см; 4) чр см. 44. 1) 120°; 2) 90°; 3) 72°; 4) 60°; 5) 240°; 6) 270°. 45. «31". 46. 1) «0,79 м;
2) «0,52 м; 3) «2,09 м; 4) «0,80 м; 5)2) «0,52 м; 3) «2,09 м; 4) «0,80 м; 5)тг д1,06 м; 6) «2,63 м. 47. 1) -^; отг д1,06 м; 6) «2,63 м. 47. 1) -^; о2); 3)2); 3)2ла „„. Указание. По хорде и соответствующем2ла „„. Указание. По хорде и соответствующем2 v2 § 738Z 2 ^[21 „. 3 V*ному углу найдите радиус окружности. 48. 1) —; 2) —-— ; 3) —— л л2л2 v2 § 738Z 2 ^[21 „. 3 V*ному углу найдите радиус окружности. 48. 1) —; 2) —-— ; 3) —— л л2лцентраль-.Указа-централь-.Указа-
2) «0,52 м; 3) «2,09 м; 4) «0,80 м; 5)
2) «0,52 м; 3) «2,09 м; 4) «0,80 м; 5)
тг д
1,06 м; 6) «2,63 м. 47. 1) -^; о
тг д
1,06 м; 6) «2,63 м. 47. 1) -^; о
2); 3)
2); 3)
2ла „„
. Указание. По хорде и соответствующем
2ла „„
. Указание. По хорде и соответствующем
2 v2 § 738Z 2 ^[21 „. 3 V*
ному углу найдите радиус окружности. 48. 1) —; 2) —-— ; 3) —— л л2л
2 v2 § 738Z 2 ^[21 „. 3 V*
ному углу найдите радиус окружности. 48. 1) —; 2) —-— ; 3) —— л л2л
централь-
.Указа-
централь-
.Указа-
н и е. Найдите сначала радиус окружности. 49. 1) -^- ; 2) -j- ; 3) ~ . 51. 1) 90°; 2) 4 5°; 3) 22,5°; 4) 150°; 5) 70°; 6) 240°.
«180 м. 3.5 = ^-. 4. В 2Д«180 м. 3.5 = ^-. 4. В 2Д§ 14.
«180 м. 3.5 = ^-. 4. В 2Д
«180 м. 3.5 = ^-. 4. В 2Д
У к а з а н и е. Примените теорему Пифагора. 2.
раза. 5. Площадь увеличится в 9 раз. 6. В 5 раз. 7. 8 м, 18 м. 8. 12 дм, 25 дм. 9. 30°. 10. Квадрат. 11. 200 см2. 12. 202,8 см2. 14. /15 см. 17. 4800 м2. 18..
6 см. 21.22. ЗД2 V3 23 600 см2 24 55 с 48 см 25 zc = 90o
44
«0,47 м2. 27. 5,64 м2. 28. “ sin a-sin р gQ
2 sin (а 4-0)
см.4,8;658 ’см.4,8;658 ’21g-; 6) 1,4. 31. -^-^p^P^a^p—b^^p — cy 32. 1) 24 см; 2) 24 33. 13,44 см. 34. 12 см; 11,2 см; ^ см. 35. 1,344. 36. 1) 4; 2) 7,2; 3)
см.
4,8;
65
8 ’
см.
4,8;
65
8 ’
^-. 37. 480 см2. 38. 408 см2. 39. 540 м2. 43. 1) Я=^ , г = 4; 2) R =
г=1,5; 3) Н = ^-, г = "^; 4) ^ = —7^’ г = ^‘ 441 4,5 см' 45‘ R = гЛ"^’ 634 д/б 2л[4Ь^а?
а 12Ъ — а _ 16910„_
г=—-\1 ——:—. 46. R =см, г = — см. 47. У к а з а н и е. Воспользуйтесь
2 у 2 о —я243
свойством касательных, проведенных из одной точки к окружности. 48. R — 29 см,
г= 12 см. 50. 1:4. 51.— .52. а2:Ь2. 53. ч-.54. 1) 20л см2; 2) 12л м2; 3) л (а2 — ^).
V24л
1) В 4 раза; 2) в 25 раз; 3) в т2 раз. 56. 1); 2) ^л ; 3) -^Л . 57. -7-.
2 з7з зТз 4
58. 2. 59. 1) ^ 2) ^; 3) ^> 4) ^
61. а^-т) . 62. 1) (л-2) Я2; 2)
§ 15.
Можно. 8. Указание. Возьмите точку в другой плоскости и проведите через нее и данную прямую плоскость. Примените к этой плоскости аксиому параллельных. 12. Четыре плоскости. 14. Указание. Воспользуйтесь доказательством от противного.
§ 16.
Нельзя. 5.1) 6 м; 2) 4,2 дм; 3) 6,2 см; 4)^7 ■ 6.1) 1 м; 2) 0,6 дм; 3) 2,1 см;
. 8. 1) 7 м; 2) 2 м; а /. 8. 1) 7 м; 2) 2 м; а /4) '“о 61 • 7. 1) 37,5 см; 2) 9,9 см; 3) 15 см; 4) с( 1
. 8. 1) 7 м; 2) 2 м; а /
. 8. 1) 7 м; 2) 2 м; а /
а-\-с — Ь. 9. Нельзя. 13. 1) 5 см; 2) 3 см; 3) 8 см; 4). 19. Указание.
а-\-с
См. задачу 16. 20. Не всегда. У казание. См. задачу 16. 26. Решения нет,
если точка лежит в плоскости прямых. 32. AiBi=a. 35. Указание. Срав
ните отношение отрезков двух произвольных прямых: Х1Х2Х3 и Y1Y2Y3. 38. Средней линией. 39. Не может. 40. Может. 41. Указание. Отношение отрезков сохраняется. 42. Указание. Проекция перпендикулярного диаметра
проходит через середины хорд, параллельных проекции данного диаметра.
§ 17.
Указание. См. задачу 1. 3. 1) 6,5 см; 2) 15 см; 3) д/о^Т^-|-d2;
16. 9 м. 17. а16. 9 м. 17. а^™с2Ц-2д2. 7. 2 м. 8. ВП = л]а2Ц-Ь‘Н<^ СР = л1а2Л-с\ 14. 2,6 м. 15. ^3,9 м.
16. 9 м. 17. а
16. 9 м. 17. а
19. 1 м. 20. 6,5 м. 21. "уа2 — ~. 22. Окружность.
6 см, 15 см. 24. 1) 15 см, 41 см; 2) 4 см, 8 см. 25. 9 см. 27. 6 м. 28. 5 м, 3 м.
д/о^+с2 — Ь2. 31. д/b2 — а2. 32. Vb2 + c2 — а2. 33. 0,36 м или 0,44 м.
1) 4,25 см; 2) 6,75 см; 3)77 37. 1) 1,05 см; 2) 0,65 см; 3) —7 ■ 38. 0,6 м.
22
39.
атm-Vn
^т соответствует основанию, через которое проведена плоскость).
— . 41. Длина перпендикуляра \++— 7 длина стороны 77—7.
уа2 + Ь2-с2, 7’-7, <<777. 43. /2" м. 44. 2 ^2 м. 46. 2,5 м. 47. 6 м.
14 см. 49. V^+b5- 50. д/а2-^-. 51. ^2Ь^72. 52. 2,5 м. 53. д/Ь’ + с’— ^. 55. Указание. Прямые, перпендикулярные плоскости, параллельны. 56. V23 м. 57. 4 м. 59. 1) 11 м; 2) 13 м; 3) 8 м; 4) 7 м; 5) 77+7+7; 6) <7+7^-7. 60. <7+7. 61. 1,3 м. 62. 1,7 м.
§ 18.
На оси z. 3. (1; 0; 0), (0; 2; 0), (0; 0; 3); (1; 2; 0), (1; 0; 3), (0; 2; 3). 4. Расстояние от плоскости ху равно 3, от плоскости xz равно 2, от плоскости yz равно 1; расстояния от осей х, у, z соответственно равны д/13, д/То, -у/5; расстояние от начала координат равно -\/14. 6. (2; 2; 2) и (— 2; —2; —2). 7. С (0; 0; 0). 8. х + 2у + 3г = 7. 12. В(0;-1;3). 13. 1) D (6; 2; — 2); 2) 0(0; -2; 2); 3) О(-1; 7; -2). 18. (-1; -2; -3); (0; 1; -2); (-1; 0; 3). 20. Указание. См. задачу 16. 24. (—1; — 2; 1). 25. 1), 2), 4) Не существует;
существует. 30. 90°. 31. а + р или |а — р|. 32. 40° или 20°. 36. 1) — ; /3
2)у ; 3)^ . 37. 30°. 38. а ^6.39. а <2.40. За. 41. 30°. 44. 30°. 45.13 м; /409 м.
1) cosa = ^; 2) cos а = ^ . 47. 3,36 м. 48. 1) ^; 2) ^^;
3) - ^ . 49. 1) ^ м2 или 48 м2; 2) 2,5 м2 или ^^ м2. 51. О ( — 2; 3; 0). 431
0(2; 1; —2). 53. n = ^ , m"^ ' ®®” ^^ и~7 ’ ^ П = ~^’ ^ п=^ 4) п = 4.
56.60.56.60.с=1. 57. -Vlal2+lb|2+k|2+lal|b|. 58.с=1. 57. -Vlal2+lb|2+k|2+lal|b|. 58.62.62.cos ф = cos a cos р. 63.cos ф = cos a cos р. 63.1) cos ф = —= ;60°. 64. cos ф =1) cos ф = —= ;60°. 64. cos ф =2) ф = 90°.cos р — cos2 аsin2 а ‘2) ф = 90°.cos р — cos2 аsin2 а ‘
56.
60.
56.
60.
с=1. 57. -Vlal2+lb|2+k|2+lal|b|. 58.
с=1. 57. -Vlal2+lb|2+k|2+lal|b|. 58.
62.
62.
cos ф = cos a cos р. 63.
cos ф = cos a cos р. 63.
1) cos ф = —= ;
60°. 64. cos ф =
1) cos ф = —= ;
60°. 64. cos ф =
2) ф = 90°.
cos р — cos2 аsin2 а ‘
2) ф = 90°.
cos р — cos2 аsin2 а ‘
§ 19
1. 2) 60°. 4. cos ср =1. 2) 60°. 4. cos ср =6. п (п—3). 9. Указание.6. п (п—3). 9. Указание.2„ cos а
1. 2) 60°. 4. cos ср =
1. 2) 60°. 4. cos ср =
6. п (п—3). 9. Указание.
6. п (п—3). 9. Указание.
—, COS р =tg ау
cos Д
Воспользуйтесь теоремой 17.3. 10. 144 см2. 11. 7,5 см. 12. 12 см. 13. a /5, 2a,
2a2, a2 /3. 14. 3a2. 15. cos x = <3 tg . 16. ———. 17. 22 cm. 18. Q <2.
28 cos a
19.12. 20. 2 m. 21. 4 m. 23. 45 cm2. 24. 1) 3ab + ^~^ i 2) 4ab + 2a2; 3) 6ab + 3а2/3. 25. 3Z2 V3- 26. 12 m2. 29. 188 m2. 30. «262 cm2. 31. 10 cm2. 32. 2a, a 7- 33. 13 м, 9 m. 34. 2 m2, 3 m2. 35. 1) 3; 2) 7; 3) 11. 36. а"Л ■
2 м2. 38. 1464 см2. 39. 2 УЛ? + 2ОГ2. 40. д/^-±-^—~’ у “2 " ’
А^Ь ^2 ~ ' 41‘ 3 СМ' 42‘ 12 см‘ 43" ^ “'=-^ ^ “> *S «2=tg а3=^ tg а. 44. —^-^. 45. 2 -/З см. 46. 5 см, 6 см. 47. 26 м2. 48. 540 см2. 49. 10 м2.
— см, см,см. 55. 11 м. 56. Зак57. 9 см. 58. cos х =
6324 У?+ЗР
=■ 59. 1) Jb2-^ ; 2) -J Ь2-^ ; 3) Уь2-^. 60. 1)
2)~у b2 + "j-; 3) "у^+^- 611 ^ —4^ (°2 + Т^-НЗЛ2); 2) a^a + Af^+^h2);
у (а VS+V^Rft7). 62. 2r (г VS + VSa^R3). 63. 1,8 м, 4 м. 64. За2.
—^—. 66. cos<p = ^-. 67. 16 см и 6 см или 12 см и 8 см. 68. V2 см. cos ср5
9 см. 71. 1 дм. 72. 6 см. 73. 2 см. 74. —^ . 75. 20 V2. 76. 24 м2, 30°. 77. 168 м2. 78. 1) ^(о2 + Ь2 + (а+Ь) Vi^-HRRV; 2) a2 + b2^ + la + b';-jW+ia^ b^ 3) у (Уз (а2 + Ь2) + (а+b) У^+З (а-b^). 82. 109°28'. Указание. Докажите сначала, что в каждой вершине октаэдра сходятся две пары перпендикулярных ребер. Затем примените формулу задачи 4.
§ 20.
5 м. 3. 36 см2. 4. 3 дм. 5. 3 дм. 6. tg х = "тр ■ 8. 10 м. 9. 5 м. 10. ^ . 11. Я2.
2Я2 sin а. 13. 500. 14. - -® “ У1 — tg2 а tg2 ср, если а-|-ф<90о. 16. —. созф vтУ2
^. 18. 3 см. 19. 5 м. 20. Я-г. 12. а, 2а. 22. 30 дм2. 23. 9 дм2. 24. У- (V^+
+Ут)2. 26.+Ут)2. 26.29.16л м2. 31. V- . 32. лЯ. 33. да 785 км. 429.16л м2. 31. V- . 32. лЯ. 33. да 785 км. 4НЯу2 27 НЯ УЗН + Я д/2 ' ’ H+R Уз
+Ут)2. 26.
+Ут)2. 26.
29.16л м2. 31. V- . 32. лЯ. 33. да 785 км. 4
29.16л м2. 31. V- . 32. лЯ. 33. да 785 км. 4
34.12 см. 35. 12 см. 36. 5 см. 37. — . 40. 3 см. 41. 8 см. 42. УгГ+Т! 43. Я tg ^- ; 4234.12 см. 35. 12 см. 36. 5 см. 37. — . 40. 3 см. 41. 8 см. 42. УгГ+Т! 43. Я tg ^- ; 42ЯЯ2Я2Я. 45. 4л м. 46.. 45. 4л м. 46.^ , 49- д Уб^ , 49- д Уб. 50. Я =. 50. Я =аа1-tgy1-tgyа ’ sin а tgTа ’ sin а tgT51.51.,4 .1—3 sin,4 .1—3 sin22„2 а . Я„2 а . Яotg"22tg^otg"22tg^2 sin 2а • sin п2 sin 2а • sin п
34.12 см. 35. 12 см. 36. 5 см. 37. — . 40. 3 см. 41. 8 см. 42. УгГ+Т! 43. Я tg ^- ; 42
34.12 см. 35. 12 см. 36. 5 см. 37. — . 40. 3 см. 41. 8 см. 42. УгГ+Т! 43. Я tg ^- ; 42
Я
Я
2Я
2Я
. 45. 4л м. 46.
. 45. 4л м. 46.
^ , 49- д Уб
^ , 49- д Уб
. 50. Я =
. 50. Я =
а
а
1-tgy
1-tgy
а ’ sin а tgT
а ’ sin а tgT
51.
51.
,4 .
1—3 sin
,4 .
1—3 sin
2
2
„2 а . Я
„2 а . Я
otg"2
2tg^
otg"2
2tg^
2 sin 2а • sin п
2 sin 2а • sin п
§ 21.
6 см. 2. «8,4 г/см3. 4. 25 см. 5. 1,8 г/см3. 6. «2,29 м. 7. 30 м. 8. Вдвое.
«192,72 кг. 12. 60 см3. 13. Зм3. 14.15. Т2 м3. 16. —.
V 272
2 Vein За sin3 а. 18. абс у —cos 2а. 19. 1) ^-а2Ь; 2) а2Ь; 3) ® ^ а2Ь.
0,5 г/см3. 21. 3 см3. 22. ^-. 23.6 м3. 25. 3060 м3. 26. 6048 м3/ч. 27. 35 200 м3.
48 см3. 29. 12 см3. 30. 2 см. 31. А ас л(12а2— Зс2. 32. —Aj^JL 2282 tg а tg р
1) ^ 7352 —а2; 2) ^- 74b2— 2а5; 3) ^- 73 (Ь2 — а2). 34. ^-. Указание. Высота пирамиды равна радиусу окружности, вписанной в основание. 35. — Ь3. 36. —-—. 37. °. 38. ° 2^ . Указание. Разбейте октаэдр на
612 72123
две правильные четырехугольные пирамиды. 39. 360 м3. 40. 48 см3. Указа
ние. Основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды. 41. 711 см3. 42. — Z3 cos a cos р V8™2 а —cos2^.
2-у Я3 sin а sin р sin (а + р) tg у. 45.2-у Я3 sin а sin р sin (а + р) tg у. 45.43.н и43.н и2?^'—. 46. А (а3 — b3) tg а. У к а з a-
2
-у Я3 sin а sin р sin (а + р) tg у. 45.
2
-у Я3 sin а sin р sin (а + р) tg у. 45.
43.
н и
43.
н и
. l(a3-b3)tg a. 49. А.. l(a3-b3)tg a. 49. А.Toi-V& 6
. l(a3-b3)tg a. 49. А.
. l(a3-b3)tg a. 49. А.
е. Воспользуйтесь формулой задачи 44. 47
§ 22.
7.7.«0,75 мм. 2. «4500 л. 3. В п раз; в 7” раз. 4. 4:1. 5. -А ла3. 6. «61 кг.9л м3. Указание. Высота конуса равна радиусу его тгт-? -с2- 10. A nZ3 sin a cos2 a. 11. «1,6 т. 12. «0,35 м.24 л3«0,75 мм. 2. «4500 л. 3. В п раз; в 7” раз. 4. 4:1. 5. -А ла3. 6. «61 кг.9л м3. Указание. Высота конуса равна радиусу его тгт-? -с2- 10. A nZ3 sin a cos2 a. 11. «1,6 т. 12. «0,35 м.24 л36,3 м3.6,3 м3.основания. 9.основания. 9.-А-. 14. ЛД? . 16. «2%. 17. 4 1Я3-г3|. 18.|Я3 —г3!. 19. 14 см.43^+й5331-(—) , если r<R. 21. «14 см. 22. «39 см. 23. 167. 24. 33^ %.-А-. 14. ЛД? . 16. «2%. 17. 4 1Я3-г3|. 18.|Я3 —г3!. 19. 14 см.43^+й5331-(—) , если r<R. 21. «14 см. 22. «39 см. 23. 167. 24. 33^ %.
7.
7.
«0,75 мм. 2. «4500 л. 3. В п раз; в 7” раз. 4. 4:1. 5. -А ла3. 6. «61 кг.
9л м3. Указание. Высота конуса равна радиусу его тгт-? -с2- 10. A nZ3 sin a cos2 a. 11. «1,6 т. 12. «0,35 м.
24 л3
«0,75 мм. 2. «4500 л. 3. В п раз; в 7” раз. 4. 4:1. 5. -А ла3. 6. «61 кг.
9л м3. Указание. Высота конуса равна радиусу его тгт-? -с2- 10. A nZ3 sin a cos2 a. 11. «1,6 т. 12. «0,35 м.
24 л3
6,3 м3.
6,3 м3.
основания. 9.
основания. 9.
-А-. 14. ЛД? . 16. «2%. 17. 4 1Я3-г3|. 18.|Я3 —г3!. 19. 14 см.
43^+й533
1-(—) , если r<R. 21. «14 см. 22. «39 см. 23. 167. 24. 33^ %.
-А-. 14. ЛД? . 16. «2%. 17. 4 1Я3-г3|. 18.|Я3 —г3!. 19. 14 см.
43^+й533
1-(—) , если r<R. 21. «14 см. 22. «39 см. 23. 167. 24. 33^ %.
Указание. Диаметр шара равен диаметру цилиндра. 25. «2148 см3. V 2
—- Я. 27.45л см3, 243л см3. 28. 0,028. 29. 5:16. 30. 3528л см3. Указание. Разбейте указанную часть шара на цилиндр и два сегмента. 31. 112,5л дм3 или 450л дм3. 32. — лЯ3 (2—\/3). Указание. Тело является шаровым сектором. 33. л[т?;л[г?. 34. Большая поверхность равновелика сумме двух других. 35. Указание. Выразите обе поверхности через сторону квадрата. 36. 180л см2. 37. 512л см2. 38. «40,4 м2. 39. «116 м2. 40. 75 см. 41. nm-\-2Q. Указание. По площади основания найдите его радиус. 42. «25,3 м2.
«33,98 м2. 44. ———. Указание. По площади основания найдите его cos a
радиус. 45. 2:3. 46. Выразите поверхность шара и конуса через длину образующей конуса. 47. 30°. 48. 1 м. Указание. Длина окружности основания равна длине дуги сектора. 49. «1,04 м2. 50. «4,3 кг.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсцисса 120
Аксиома 18
— параллельных 16
Апофема пирамиды 309
усеченной 309
Биссектриса треугольника 38
— угла 29
Боковая поверхность конуса 322, 358
пирамиды 309
призмы 297, 300
цилиндра 320, 358
Вектор 155
— единичный 167
— нулевой 155
Вектора абсолютная величина и направление 155 — координаты 157
Векторы коллинеарные 163
Высота конуса 322
— параллелограмма 218
— пирамиды 305
— призмы 297
— трапеции 221
— треугольника 38
— цилиндра 320
Г
Геометрическое место точек 74
Геометрия 3
Гипотенуза 57
Гомотетия 174
Градусная мера дуги окружности 182
Грань многогранника 296
Д
Движение 137, 277
Двугранный угол 293
Декартовы координаты в пространстве 270
на плоскости 120
Деление отрезка пополам 72
Диагональ многоугольника 202
— призмы 297
— четырехугольника 82
Диагональное сечение пирамиды 306
—- — призмы 298
Диаметр окружности 66
— шара 327
Диаметральная плоскость шара 327
Длина* окружности 209
Доказательство 17
— от противного 28
Дуга окружности 182
К
Касательная прямая к окружности 68
к шару 329
Касательная плоскость конуса 325
цилиндра 322
шара 329
Касание двух окружностей 69
Катет 57
Квадрат 88
Конус 322
— прямой 322
— усеченный 324
Конуса осевое сечение 323
Концы отрезка 6
Координаты середины отрезка 122
Косинус угла 102
Круг 224
— большой (окружность) 326
Круговой сегмент 225
— сектор 225
Куб 309
Л
Линейный угол двугранного угла 293
Ломаная 200
— замкнутая 202
— простая 201
Луч (полупрямая) 9
— проходит между сторонами угла 11
Лучи дополнительные 9
М
Масштаб 174
Медиана треугольника 38
Многогранник 296
— выпуклый 296
— правильный 309
Многогранники вписанные и описанные 331
Многогранный угол 295
Многоугольник 202
— вписанный в окружность 204 — описанный около окружности 204
— плоский 202
— правильный 204
— выпуклый 203
Н
Наклонная 105, 258
Неравенство треугольника 106
О
Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых 262
Объем 339
— конуса 354
— наклонного параллелепипеда 342
— пирамиды 347
— призмы 344
— прямоугольного параллелепипеда 341
— цилиндра 353
— шара 356
— шарового сегмента 357
сектора 357
Объемы подобных тел 348
Окружность 65, 74
— вписанная в треугольник 69
— описанная около треугольника 66
Определение 18
Ордината 121
Орт 167
Оси координат 120, 270
Основание перпендикуляра 27, 258
Ось вращения 320, 322, 327, 355
— прямого конуса 322
— симметрии 142
— цилиндра 320
Отрезок 6
Отрезка деление пополам 72 — концы 6
П
Параллелепипед 301
— прямоугольный 303
Параллелограмм 83
Параллельность плоскостей 242
— прямой и плоскости 241
Параллельный перенос 145
Пересечение прямой с окружностью 130
Перпендикуляр к плоскости 258 — к прямой 27
Перпендикуляра существование и единственность 58
Перпендикулярность плоскостей 260 — прямой и плоскости 253
Планиметрия 4
Пирамида 305
— вписанная в конус 325
— описанная около конуса 325
— правильная 308
— усеченная 307
Плоскость 231
Площадь 216
— круга 224
— кругового сегмента 225
сектора 225
— ортогональной проекции многоугольника 283
— параллелограмма 218
— прямоугольника 218
— сферы 259
— трапеции 221
— треугольника 219, 220
Площади подобных фигур 223
Поверхность тела 332
Поворот 143
Полупрямая 9
Построение биссектрисы угла 72 — перпендикулярной прямой 73
— треугольника с данными сторонами 70
— угла, равного данному 71
Правило параллелограмма 159
— треугольника 159
Преобразование подобия 173, 279
Преобразования фигур 137
Призма 297
— вписанная в цилиндр 321
— наклонная 300
— описанная около цилиндра 322
— правильная 300
— прямая 300
Признак паралллельности плоскостей
242
прямой и плоскости 241
— перпендикулярности плоскостей 261
прямой и плоскости 254
— равенства прямоугольных треугольников 57
Признаки параллельности прямых 49, 51, 240
— подобия треугольников 176, 177, 179
— равенства треугольников 32, 35, 40
Проекция вектора на ось 161
— наклонной 105, 258
— прямой на плоскость 281
Прямая 4
Прямоугольник 86
Прямые параллельные 16
— перпендикулярные 27
— скрещивающиеся 239
Р
Равенство векторов 156
Равенство отрезков 14
— треугольников 14
— углов 14
— фигур 149
Равновеликие тела 345
Радиан 211
Радиус круга 224
— окружности 65
— цилиндра 320
— шара 326 Расстояние между параллельными прямыми 59 плоскостями 259 скрещивающимися прямыми 262 точками 7, 106, 123 — от точки до плоскости 258 — от точки до прямой 59
Разность векторов 159 Ромб 87
С
Свойства внешнего угла треугольника 56 — движения 138, 139 — пар внутренних накрест лежащих и внутренних односторонних углов 51 — параллельного переноса 145, 146, 278 проектирования 246 — перпендикуляра и наклонных 105 — преобразования подобия 175 — углов, вписанных в окружность 183, 184
Свойство вертикальных углов 26 — диагоналей параллелограмма 83 прямоугольника 86 ромба 87
Свойство длины ломаной 201 — коллинеарных векторов 163 — медианы в равнобедренном треугольнике 39 — серединного перпендикуляра 74 — средней линии трапеции 92 треугольника 91 — углов параллельных с секущей 53
Симметрия относительно плоскости 274 прямой 142 точки 140
Синус угла 108
Скалярное произведение векторов 164
Средние пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике 180
Средняя линия трапеции 92
треугольника 91
Стереометрия 231
Сумма векторов 158
Сфера 326
Т
Тангенс угла 108
Тело 332
— вращения 355
Теорема 17
— косинусов 191
— обратная 37
— о трех перпендикулярах 259
— Пифагора 103
— синусов 193
— Фалеса 89
Теоремы условие и заключение 17
Тетраэдр 305
Точка 4
— касания 68, 329
— лежит между точками 6
Точки, симметричные относительно точки 140 прямой 142
Трапеция 92
— равнобокая 92
Треугольник 14
— равнобедренный 36
— равносторонний 36
— прямоугольный 57
Трехгранный угол 294
У
Угол 10
— вписанный в окружность 183
— выпуклого многоугольника 203
внешний 203
— между векторами 165
плоскостями 282
прямой и плоскостью 281
прямыми 280 скрещивающимися прямыми
280
— острый 25
— плоский 182
— прямой 25
— развернутый 11
— треугольника 14
внешний 55
— тупой 25
— центральный 182
Угловой коэффициент прямой 129
Углы вертикальные 25
— внутренние накрест лежащие и односторонние 50
— дополнительные (плоские) 182
— смежные 24
— соответственные 52
Умножение вектора на число 161
Уравнение окружности 124
— прямой 125
Условие перпендикулярности векторов 166
Фигура центрально-симметричная 141
Фигуры подобные 175
Формула Герона 220
— для объема тела вращения 355
X
Хорда окружности 66
ц
Центр гомотетии 174
— круга 224
— окружности 65
— симметрии 141
параллелепипеда 303
Цилиндр 319
Ч
Четырехугольник 81
Ш
Шар 326
Шаровой сегмент 357
— сектор 357
СОДЕРЖАНИЕ
7 класс
ПЛАНИМЕТРИЯ
Основные свойства простейших геометрических фигур
Геометрические фигуры 3. 2. Точка и прямая 4. 3. Отрезок 6. 4. Измерение отрезков 7. 5. Полуплоскости 8. 6. Полупрямая 9. 7. Угол 10.
Откладывание отрезков и углов 12. 9. Треугольник 14. 10. Существование треугольника, равного данному 15. 11. Параллельные прямые 16.
Теоремы и доказательства 17. 13. Аксиомы 18. Контрольные вопросы 18. Задачи 19.
Смежные и вертикальные углы
Смежные углы 24. 15. Вертикальные углы 25. 16. Перпендикулярные прямые 26. 17. Доказательство от противного 28. 18. Биссектриса угла 29. 19. Что надо делать, чтобы успевать по геометрии 29. Контрольные вопросы 30. Задачи 30.
Признаки равенства треугольников
Первый признак равенства треугольников 32. 21. Использование аксиом при доказательстве теорем 34. 22. Второй признак равенства треугольников 35. Ьз.'’Равнобедренный треугольник 36. 24. Обратная теорема 37. 25. Высота, биссектриса и медиана треугольника 38. 26. Свойство медианы равнобедренного треугольника 39. 27. Третий признак равенства треугольников 40» 28. Как готовиться по учебнику самостоятельно 41. Контрольные вопросы 43. Задачи 43.
Сумма углов треугольника
Параллельность прямых 49. 30. Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей 50. 31. Признак параллельности прямых 51.
Свойство углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей 53. 33. Сумма углов треугольника 54. 34. Внешние углы треугольника 55. 35. Прямоугольный треугольник 57. 36. Существование и единственность перпендикуляра к прямой 58. 37. Из истории возникновения геометрии 59. Контрольные вопросы 60. Задачи 61.
Геометрические построения
Окружность 65. 39. Окружность, описанная около треугольника 66. 40. Касательная к окружности 68. 41. Окружность, вписанная в
треугольник 69. 42. Что такое задачи на построение 70. 43. Построение треугольника с данными сторонами 70. 44. Построение угла, равного данному 71. 45. Построение биссектрисы угла 72. 46. Деление отрезка пополам 72. 47. Построение перпендикулярной прямой 73. 48. Геометрическое место точек 74. 49. Метод геометрических мест 75. Контрольные вопросы 76. Задачи 76.
АСС
Четырехугольники
Определение четырехугольника 81. 51. Параллелограмм 83. 52. Свойство диагоналей параллелограмма 83. 53. Свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма 85. 54. Прямоугольник 86. 55. Ромб 87. 56. Квадрат 88. 57. Теорема Фалеса 89. 58. Средняя линия треугольника 91. 59. Трапеция 92. 60. Теорема о пропорциональных отрезках 93.
Построение четвертого пропорционального отрезка 95. Контрольные вопросы 96. Задачи 96.
Теорема Пифагора
Косинус угла 102. 63. Теорема Пифагора 103. 64. Египетский треугольник 104. 65. Перпендикуляр и наклонная 105. 66. Неравенство треугольника 106. 67. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике 107. 68. Основные тригонометрические тождества 109. 69. Значения синуса, косинуса и тангенса некоторых углов 111. 70. Изменение синуса, косинуса и тангенса при возрастании угла 112. Контрольные вопросы 113. Задачи 114.
Декартовы координаты на плоскости
Определение декартовых координат 120. 72. Координаты середины отрезка 122. 73. Расстояние между точками 123. 74. Уравнение окружности 124. 75. Уравнение прямой 125. 76. Координаты точки пересечения прямых 126. 77. Расположение прямой относительно системы координат 127. 78. Угловой коэффициент в уравнении прямой 128. 79. График линейной функции 130. 80. Пересечение прямой с окружностью 130. 81. Определение синуса, косинуса и тангенса для любого угла от 0° до 180° 132. Контрольные вопросы 133. Задачи 134.
Движение
Преобразования фигур 137. 83. Свойства движения 138. 84. Симметрия относительно точки 140. 85. Симметрия относительно прямой 141. 86. Поворот 143. 87. Параллельный перенос и его свойства 144. 88. Существование и единственность параллельного переноса 147. 89. Сонаправленность полупрямых 148. 90. Равенство фигур 149. Контрольные вопросы 151. Задачи 152.
. Векторы.
Абсолютная величина и направление вектора 155. 92. Равенство векторов 156. 93. Координаты вектора 157. 94. Сложение векторов 158. 95. Сложение сил 160. 96. Умножение вектора на число 161. 97. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам 163. 98. Скалярное произведение векторов 164. 99. Разложение вектора по координатным осям 167. Контрольные вопросы 167. Задачи 169.
9 КЛАСС
11. Подобие фигур
Преобразование подобия 173. 101. Свойства преобразования подобия 175. 102. Подобие фигур 175. 103. Признак подобия треу-
тальников по двум углам 176. 104. Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними 177. 105. Признак подобия треугольников по трем сторонам 179. 106. Подобие прямоугольных треугольников 180. 107. Углы, вписанные в окружность 182.
Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности 184. Контрольные вопросы 185. Задачи 186.
. Решение треугольников
Теорема косинусов 191. 110. Теорема синусов 193. 111. Соотношение между углами треугольника и противолежащими сторонами 195.
Решение треугольников 196. Контрольные вопросы 197. Задачи 198.
. Многоугольники
Ломаная 200. 114. Выпуклые многоугольники 202. 115. Правильные многоугольники 204. 116. Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников 205. 117. Построение некоторых правильных многоугольников 206. 118. Подобие правильных выпуклых многоугольников 207. 119. Длина окружности 209. 120. Радианная мера угла 210. Контрольные вопросы 211. Задачи 212.
. Площади фигур
Понятие площади 215. 122. Площадь прямоугольника 216. 123. Площадь параллелограмма 218. 124. Площадь треугольника 219. 125. Формула Герона для площади треугольника 220. 126. Площадь трапеции 221. 127. Формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника 222. 128. Площади подобных фигур 222.
Площадь круга 223. Контрольные вопросы 226. Задачи 226.
10 КЛАСС
Стереометрия
§15. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия
Аксиомы стереометрии 231. 131. Существование плоскости, проходящей через данную прямую и данную точку 233. 132. Пересечение прямой с плоскостью 234. 133. Существование плоскости, проходящей через три данные точки 235. 134. Замечание к аксиоме I 236. 135. Разбиение пространства плоскостью на два полупространства 236. Контрольные вопросы 237. Задачи 237.
§ 16. Параллельность прямых и г!лоскостей.
Параллельные прямые в пространстве 239. , 137. Признак параллельности прямых 240. 138. Признак параллельности прямой и плоскости 241. 139. Признак параллельности плоскостей 242. 140. Существование плоскости, параллельной данной плоскости 243. 141. Свойства параллельных плоскостей 244. 142. Изображение пространственных фигур на плоскости 245. Контрольные вопросы 247. Задачи 247.
. Перпендикулярность прямых и плоскостей
Перпендикулярность прямых в пространстве 252. 144. Признак перпендикулярности прямой и плоскости 253. 145. Построение перпендикулярных прямой и плоскости 255. 146. Свойства перпендикулярных прямой и плоскости 256. 147. Перпендикуляр и наклонная 258. 148. Теорема о трех перпендикулярах 259. 149. Признак перпендикулярности плоскостей 260. 150. Расстояние между скрещивающимися прямыми 262. 151. Применение ортогонального проектирования в техническом черчении 262. Контрольные вопросы 263. Задачи 264.
. Декартовы координаты и векторы в пространстве
Введение декартовых координат в пространстве 270. 153. Расстояние между точками 271. 154. Координаты середины отрезка 272. 155. Преобразование симметрии в пространстве 273. 156. Симметрия в природе и на практике 274. 157. Движение' в пространстве 277. 158. Параллельный перенос в пространстве 278. 159. Подобие пространственных фигур 279. 160. Угол между скрещивающимися прямыми 280. 161. Угол между прямой и плоскостью 281. 162. Угол между плоскостями 282. 163. Площадь ортогональной проекции многоугольника 283. 164. Векторы в пространстве 285. 165. Действия над векторами в пространстве 285. Контрольные вопросы 286. Задачи 287.
АСС
Многогранники
Двугранный угол 293. 167. Трехгранный и многогранный угол 294. 168. Многогранник 296. 169. Призма 297. 170. Изображение призмы и построение ее сечений 298. 171. Прямая призма 300. 172. Параллелепипед 301. 173. Центральная симметрия параллелепипеда 303. 174. Прямоугольный параллелепипед 303. 175. Симметрия прямоугольного параллелепипеда 304. 176. Пирамида 305. 177. Построение пирамиды и ее плоских сечений 306. 178. Усеченная пирамида 307. 179. Правильная пирамида 308. 180. Правильные многогранники 309. Контрольные вопросы 311. Задачи 312.
Тела вращения
Цилиндр 319. 182. Сечения цилиндра плоскостями 320. 183. Вписанная и описанная призмы 321. 184. Конус 322. 185. Сечения конуса плоскостями 323. 186. Вписанная и описанная пирамиды 325. 187. Шар 326. 188. Сечение шара плоскостью 327. 189. Симметрия шара 328. 190. Касательная плоскость к шару 329. 191. Пересечение ДВУХ сфер 330. 192. Вписанные и описанные многогранники 331. 193. О понятии тела и его поверхности в геометрии 332. Контрольные вопросы 333. Задачи 334.
Объемы многогранников
Понятие объема 339. 195. Объем прямоугольного параллелепипеда 340. 196. Объем наклонного параллелепипеда 341. 197. Объем призмы 343. 198. Равновеликие тела 345. 199. Объем пирамиды 346. 200. Объем усеченной пирамиды 347. 201. Объемы подобных тел 348. Контрольные вопросы 349. Задачи 349.
Объемы и поверхности тел вращения
Объем цилиндра 353. 203. Объем конуса 354. 204. Объем усеченного конуса 354. 205. Общая формула для объемов тел вращения 355. 206. Объем шара 356. 207. Объем шарового сегмента и сектора 357. 208. Площадь боковой поверхности цилиндра 358. 209. Площадь боковой поверхности конуса 358. 210. Площадь сферы 359. Контрольные вопросы 360. Задачи 360. Ответы и указания к задачам 364. Предметный указатель 375.
Учебное издание
Погорелов Алексей Васильевич
ГЕОМЕТРИЯ
Учебник для 7—11 классов средней школы
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Спец, редактор А. М. Зубков
Редактор Т. А. Бурмистрова
Оформление художника Б. Л. Николаева
Художественный редактор Ю. В. Пахомов
Технический редактор И А. Киселева Корректор Г. И. Мосякина
ИБ № 14701
Подписано к печати с диапозитивов 24. 10. 91. Формат 60x90V16. Бум. офсетная. Гарнит. Школьная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 24,0+0,25 форз. Усл. кр.-отт. 24,5. Уч.-изд. л. 19,83 + 0,42 форз.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Министерства печати и информации РСФСР. 129846, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано при посредстве В/О «Виешторгиздат»
Отпечатано Графишер Гросбетриб Пёснек ГмбХ • Эйн Мондрук-Бетриб
Gedruckt bei Graphischer GroBbetrieb PoBneck GmbH • Ein Mohndruck-Betrieb
1. Что такое ломаная, длина ломаной?
2. Докажите, что длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы.
3. Что такое многоугольник, выпуклый многоугольник?
4. Что такое плоский многоугольник?
5. Что такое угол выпуклого многоугольника при данной вершине?
6. Выведите формулу для суммы углов выпуклого многоугольника.
7. Что такое внешний угол выпуклого многоугольника?
9. Что называется центром многоугольника? центральным углом многоугольника?
10. Выведите формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей правильного п-угольника.
11. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей для правильного треугольника, четырехугольника (квадрата), шестиугольника.
12. Как построить правильный выпуклый шестиугольник, треугольник, четырехугольник, восьмиугольник?
13. Докажите, что правильные выпуклые n-угольники подобны. В частности, если у них стороны одинаковы, то они
равны.
Л.В.Погорелов
геометрия
УЧЕБНИК ДЛЯ 7—11 КЛАССОВ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Допущено Министерством образования Российской Федерации
4-е издание
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1993
ББК 22.151я72 П43
ОДОБРЕНО БЮРО ОТДЕЛЕНИЯ МАТЕМАТИКИ АН СССР,ПРЕЗИДИУМОМ АПН СССР
Учебник занял призовое местона Всесоюзном конкурсе учебников по математикедля средней общеобразовательной школы
Погорелов А. В.ч
П43 Геометрия: Учеб, для 7-11 кл. сред>щк. - 4-е Изд. - М.:Просвещение, 1993. - 383 с.: ил. - ISBN 5-09-004557-7.
ББК 22.151я72ББК 22.151я72„ 4306020500-122
ББК 22.151я72
ББК 22.151я72
П —103(03)-93ИНф' ™СЬМ0 " 931 № 71
ISBN 5-09-004557-7ISBN 5-09-004557-7(с) Погорелов А. В., 1990
ISBN 5-09-004557-7
ISBN 5-09-004557-7
7 класс