Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
| I. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХВЫРАЖЕНИЙ
Тригонометрические функции числового аргумента
I, Вы уже знакомы с радианной мерой углов. Каждый угол плоскости является центральным углом окружности с центром н гю вершине. Угол в 1 радиан — это такой центральный угол, длине дуги которою равна радиусу окружности (рис. 1). Ра- лнанпли и градусная меры связаны зависимостью 180° = л ра-
/шип; угол и п равен -^п радиан.
Ирн радианном измерении углов упрощается ряд формул. Тян, для окружности радиуса г длина / ее дуги в а радиан на- яицигея но формуле
/ = аг; (1)
Мощидь S сектора круга радиуса г, дуга которого содержит а
рилнаи, такова:
(2)(2),25=ат-
(2)
(2)
формулы (1) и (2)формулы (1) и (2),, лгп
формулы (1) и (2)
формулы (1) и (2)
проще аналогичных формул t=-^
—— для вычисления длины дуги окружности и площади
rriaopa, дуги которых (величиной п°) измерены с помощью |радусной меры. Наличие у радианной меры ряда преимуществ (<м также п. 20) привело к тому, что в тригонометрии предпо-
ч inn ют пользоваться радианной, а не градусной мерой.
Hi курса алгебры VIII класса вы знаете, как определяется поворот на угол в а радиан, где a — произвольное действительное число. Знакомы вам и определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса числового аргумента. Напомним их.
11роведем окружность произвольного радиуса R с центром в начале координат. Пусть при повороте с центром О на угол а начальный радиус
з
О А переходит в радиус ОВ (рис. 2, а), а х и у — абсцисса и ордината точки В. По определению
sina=-^-; cos а—tga=—; ctga=—.(3)
RR ь х ь ух
В курсе алгебры отмечалось, что значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса зависят только от а и не зависят от R. Поэтому можно считать, что R = \. Это позволяет несколько упростить определения.
Окружность радиуса 1 с центром в начале координат будем называть единичной окружностью. Ордината точки Ра единичной окружности, полученной при повороте точки Ро(1; 0) на угол а радиан, называется синусом угла а, а абсцисса этой точки — косинусом угла а (рис. 2,6). Тангенсом угла а назы- sin acos а
вается отношение , а котангенсом а — отношение ——,
cos аsin а
. sin а , cos а т. е. ща =, ctga = -—.
cos аsm а
Пример. Найдем значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла Координаты точки Р^п. (рис. 3) нетрудно з
найти, воспользовавшись свойством прямоугольного треугольни- 1з/З
ка с углом 30°: х =——, у=-^. Поэтому 2л -V3 2л I , 2лдг . 2л 1
slnT 2 ; C0ST="T: *ёТ = -^; с‘8т=-ТГ
синуса, косинуса, тангенса верхней строке следующейсинуса, косинуса, тангенса верхней строке следующейАналогично находятся значения и котангенса углов, указанных в таблицы*:
синуса, косинуса, тангенса верхней строке следующей
синуса, косинуса, тангенса верхней строке следующей
Далее мы считаем, что все углы измерены в радианной мере и шелому обозначение рад, как правило, опускается. Договорив- ннк ь считать единицу измерения углов (1 радиан) фиксированной, мы получаем, в частности, возможность рассматривать тршонометрические функции числового аргумента. Например, синус числа х — это синус угла в х радиан; косинус числа х— Косинус угла в х радиан и т. д.
Для решения ряда задач полезно иметь представление о линии тангенсов. Проведем касательную / к единичной окружности в точке Р^ (рис. 4). Пусть а — произвольное число, для- которого cos а^ЛО. Тогда точка Ра (cos a; sin а) не лежит на оси ординат п, следовательно, прямая ОРа пересекает / в некоторой тонко Та с абсциссой I. Найдем ординату этой точки.
Для этого заметим, что прямая ОРа проходит через точки f>(0, О) и Ра (cos а; sin а) и, значит, имеет уравнение t/=xtg а. Абсцисса точки Та, лежащей на этой прямой, равна 1. Из урав- пспни прямой ОРа находим, что ордината точки Та равна tg а.
И । лк, ордината точки пересечения прямых ОР су угла а. Поэтому прямую I и называют
Сопоставив каждому действительному
(или косинус), получим функцию z/ = sin (/ -cosx). Каждая из них определе- ня на всей числовой прямой.
< Юлнсгью значений функций синус и ш и и нус является отрезок [ — 1; I ], по- скольку и ординаты, и абсциссы шчек единичной окружности прини- миют вес значения от —1 до 1.
'а и / равна танген- линией тангенсов, числу х его синус'а и / равна танген- линией тангенсов, числу х его синусх (соответственнох (соответственноЧисловые функции, заданные равенствами y = tgx и t/ = ctgx, называют соответственно тангенсом и ко- тпнгснсом. Областью определения функции тангенс является множество всех чисел х, для которых cos .с-^О, т. е. все числа х, не равные
'а и / равна танген- линией тангенсов, числу х его синус
'а и / равна танген- линией тангенсов, числу х его синус
х (соответственно
х (соответственно
у-Ч-лл (л пробегает множество Z всех целых чисел). Область определения котангенса состоит из всех чисел х, при которых sin ху=0, т. е. из всех чисел, не равных лл, где n^Z.
Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая. Докажем это для функции tg х. Пусть у0 — произвольное действительное число. Рассмотрим точку Т (1; у0\ Как было показано выше, tgZ_TOx = y0. Следовательно, функция tg х принимает любое действительное значение t/0, что и требовалось доказать.
Свойства тригонометрических функций, известные вам из курса VIII класса, приведены в разделе «Материал для повторения». Здесь выделим два из них.
Для любого х из области определения соответствующей тригонометрической функции справедливы равенства:
sin ( — х) = — sin х; cos ( —x) = cos х;tg( —*) = —tgx; ctg ( —х)= —ctg х.
sin (х + 2ли) = 5ш х; cos (x4-2nn) = cos х;tg (x + nn)-=t'g x; ctg (x + лл) = ctg x
(n — произвольное целое число).
Построим график функции синус на отрезке [0; 2л]. Для этого отметим на оси ординат точки (0; — 1) и (0; 1), а на оси абсцисс — точку с абсциссой 2л (обратите внимание: длина отрезка [0; 2л] приближенно равна 6,28). Разделим отрезок [0; 2л] на 16 равных частей и построим окружность радиуса 1 с центром в произвольной точке оси абсцисс (рис. 5). Для построения точки графика с абсциссой а воспользуемся определением синуса: найдем точку Ра на построенной окружности и проведем через Ра прямую, параллельную оси абсцисс (рис. 5). Точка пересечения этой прямой и прямой х = а искомая, так как ее ордината совпадает с ординатой точки Ра, а по определению sin а равен ординате Ра.
На рисунке 5 показано построение 16 точек графика. Соединяя их плавной кривой, получаем эскиз графика синуса на отрезке [0; 2л]. Для построения графика синуса вне этого отрезка заметим, что sin (x-|-2nn) = sin х. Поэтому во всех точках,
•Рис. 5.
1»1Л||*Н1инцн#1С11 пл 2кп от произвольного значения хо из отрезка |п, Ул |, значения синуса совпадают и, следовательно, графин । ипусл не леей прямой получается из графика на отрез- М' |0, 2л | с помощью параллельных переносов вдоль оси Ох (пирена и влево) на 2л, 4 л, 6л и т. д. (рис. 6). График синуса пн 1Ы1111ОНЯ сцнусошки!.
Дли unciроеппи графика функции y = cosx вспомним, что го* у*»1п ^*4""j") hi следовательно, значение косинуса в про- н |ноЛ1.||оП точке .v0 равно значению синуса в точке х0 + -^_- .hu означает, что точка графика косинуса, имеющая произ- Hwu-nyio абсциссу Хо, получается из точки с абсциссой х0+у- |рнфика синуса с помощью параллельного переноса на расстоянии ? и отрицательном направлении оси Ох. Поэтому график функции y — cosx— это синусоида, сдвинутая вдоль оси Ох ил влево (рис. 7).
Построение графика тангенса на интервале (—^; -^) (рве. 8) аналогично построению, описанному в случае синуса. ( 1|Н1чсч1ие функции y = tgx находится с помощью линии танген- |нц ) Вследствие тождества tg (x-|-^) = tg х график тангенса ил всей прямой (рис. 9) получается из графика на интервале ( £-; —-) параллельными переносами вдоль оси Ох (вправо Я влево) на л, 2л и т. д. График функции tg х называют танген- inihhifl.
Рис. 7.
Рис. 8.
График котангенса приведен на рисунке 10.
▼* Синус, косинус, тангенс и котангенс называют часто основ-ными тригонометрическими функциями. Иногда рассматривают
♦ Значками ▼ выделен необязательный материал.
Рис. 10.Рис. 10.
Рис. 10.
Рис. 10.
и me две основные тригонометрические функции — секанс и ко- мше (обозначаются соответственно sec и cosec):
11
sec а =, cosec а=-.
cos аsin а
Для того чтобы понять, почему основных тригонометрических функций именно 6, заметим, что тригонометрические функции острого угла а можно определить как отношения сторон прямоугольного треугольника с острым углом а (рис. 11). Таких <>। ношений 6:
ab . а * b
sin а=—; cos а=—; tg а=—; etg а=—;
сс ьь а
sec а =4-; cosec а =—. ▼bа ▼
Упражнения
I.Я.I.Я.Я,4.Я,4.Выразите в радианной мерс величины углов: п) 135°; б) 36°; в) 250°; г) 330°.
I.
Я.
I.
Я.
Я,
4.
Я,
4.
Выразите в градусной мере величины углов: fl) -^-л; б) —|-л; в) 1; г) 5.
С помощью калькулятора (или таблиц) найдите радианные
меры углов: а) 17°; б) 43°24'; в) 139°; г) 158°36'. С помощью калькулятора (или таб
лиц) найдите градусные меры углов: л) 0,5585; б) 0,8098; в) 3,1416; г) 4,4454.
В какой четверти находится точка Ра, если:
<0 а=т;б)
в) а = 5,2л;г) а =—3,1л?
6*. На какой угол надо повернуть минутную стрелку часов, чтобы перевести часы: а) вперед на 6 мин; б) назад на 6 мин? (Часы разрешается переводить только по часовой стрелке.)
Известны величина а дуги (в радианах) и радиус г содержащей эту дугу окружности. Вычислите длину / дуги, если: а) г=1, а —2; б) г = 1, а = 0,1; в) г=4, а=^; г) г = 10.
Вычислите площадь сектора, если известны радиус г круга и величина а центрального угла сектора (в радианах): а) г=1, а = 2; б) г=1, а=0,1; в) г = 4, а=^; г) г=10.
а) Точка движется по окружности радиуса 30 см со скоростью 600 м/мин. Выразите ее угловую скорость в радианах
в секунду.
10.И.12.13.14.10.И.12.13.14.Найдите угловую скорость часовой, минутной и секундной стрелок (в радианах в минуту).
10.
И.
12.
13.
14.
10.
И.
12.
13.
14.
Постройте точки Ра единичной окружности для углов а, указанных в первой строке таблицы на с. 5, и проверьте правильность заполнения этой таблицы.
cos х = 1;cos х = 1;б) ^; в)б) ^; в)Может ли косинус быть равным: а) 0,67;6) -]|; в) ^; г) ^ ?
cos х = 1;
cos х = 1;
б) ^; в)
б) ^; в)
Может ли синус быть равным: а) —2,5;
Укажите все значения х, для которых: a) sinx = 0; б) cosx = 0; в) sinx=l; г) д) sinx= —1;е) cosx= —1.
Укажите все значения х, для которых:
a) tgx = 0; б) ctgx = 0; в) tgx=l; г) tgx= —1;
д) ctgx=l; е) ctgx= —1.
На миллиметровой бумаге постройте единичную окружность, а затем углы ©с, такие, что:
a) sin сс = 0,;б) cosa = 0,2;в) sin а =—0,7;
г) cos а = — 0-4;д) tga = 0,5;е) tga = l,4;
ж)tga=—0,6; з) tga=—2.
Найдите значения sin a, cos a, tg а и ctg a, если:
a) a=—20л; б) а=^-л; в) а=^р; г) а=—^.
С помощью калькулятора (или таблиц) найдите значения sin a, cos a, tg а и ctg a, если a равно: а) 0,19; б) -0,9; в) 1,37; г) -2,7.
С помощью калькулятора (или таблиц) найдите значения sin a, cos a, tg а и ctg a, если a равно: а) 19°; б) 111°; в) 12°24';г) 100°25'.
IU Определите знаки значений sin a, cos а, tg а и etg а, twin а равно:
. 38х 12 х 7
н) у л; б) —л; в) —л; г) —^-л.
|П Определите знак выражения:
и) till 70° cos 70° tg 100°; б) sin 130° cos (—15°) tg (—100°);
и) sin I cos 3 tg 7; r) sin 8 cos 0,2 tg ( — 6,2).
IL 11.-iПлите числовое значение выражения:
sin 0 + 3 cos у- + sin2 -^-; б) 3 sin-^2 cos О + tg2 у-;
sin2 ^-+ctg ^- + 2 cos3 л; г) sin2 ^ — cos2 ^-+д/3 tg ^ . I'/, Найдите числовое значение выражения:
) 3 sin (2a+-jA —2 cos (За—при a=-£-;
4 cos ^3a—£-)+tg (-£-+«) при a=-^-;
sin2 (a—^-)+3 tg (2a —^ при a=^- ;
r) cosi(a+-^-)tg (2a—^ при a=^-.
13, Пользуясь калькулятором (или таблицей), найдите значения функции, выбирая значения аргумента с шагом 0,3, и постройте на миллиметровой бумаге график функции у па отрезке [0; 2л|:
л) i/ = sinx; б) z/ = cosx; в) y = tgx; г)* r/ = ctgx.
14. Найдите приближенно, пользуясь соответствующим графиком:
а) sin 0,6; б) cos 0,9; в) tg 1,2; г)* etg 0,3.
•6е. Д«>кажите, что: а) точки Ра и Рр симметричны относительно оси Ох тогда и только тогда, когда а = 2ли —р, n^Z; П) точки Ра и Рр симметричны относительно оси Оу тогда и только тогда, когда a=(2n + l) л — р, n^Z; в) точки Ра и Рр симметричны относительно начала координат тогда и только тогда, когда а = (2п + 1)л + Р, n^Z.
Основные формулы тригонометрии
Из курса алгебры VIII класса вам известны многие формулы i рш опометрии. Для того чтобы повторить их, выполните упраж- 111 ппи, приведенные в этом пункте (формулы см. в разделе «Ма- К'рпнл для повторения»).
▼ Новыми для вас являются формулы половинного аргумента:
a , -. /1 —cos aх
smT=±^i—2—•О
a _+cos aсо5т=±-у^—,(2)
Рис. 13.Рис. 13.1 — cos а1 + cos а1 — cos а1 + cos аи котангенсаи котангенсаРис. 14.Рис. 14.Рис. 12.Рис. 12., аtgT, аtgT(3)(3)Применяя эти формулы, мы ставим знак плюс или минус перед корнем в зависимости от того, какой знак имеет левая часть. Если известно, в какой четверти расположен угол а, то сделать это нетрудно — см. примеры в конце пункта. Известные из VIII класса правила определения знаков тригонометрических функций вы можете вспомнить, рассмотрев рисунки 12—14.
Рис. 13.
Рис. 13.
1 — cos а
1 + cos а
1 — cos а
1 + cos а
и котангенса
и котангенса
Рис. 14.
Рис. 14.
Рис. 12.
Рис. 12.
, аtgT
, аtgT
(3)
(3)
Для вывода формул (1) и (2) запишем формулу двойного аргумента cos 2/ = cos2 t — sin2 t, подставив вместо t значение у-:
2 a -2a
COS a = cos — — sin —.
Выражая правую часть этого равенства только через синус
2y-+cos2-f-= 1, ^L-I22y-+cos2-f-= 1, ^L-I2или только через косинус с помощью формулы sin
2y-+cos2-f-= 1, ^L-I
2
2y-+cos2-f-= 1, ^L-I
2
находим:.2
ОтсюдаОтсюда. 2 asin у. 2 asin у2 ОСCOS T2 ОСCOS T1 — cos a21 + cos a:21 — cos a21 + cos a:2(4)(4)(5)(5)cosa=l — 2 sin — или cos a = 2 cos
Отсюда
Отсюда
. 2 asin у
. 2 asin у
2 ОС
COS T
2 ОС
COS T
1 — cos a
2
1 + cos a
:2
1 — cos a
2
1 + cos a
:2
(4)
(4)
(5)
(5)
Из формулы (4) следует формула (1), а из (5) —формула (2). Разделив почленно равенство (4) на (5), получаем, что
(6)(6)I 2 Ct 1 —cos a° 21 + cos a ’
(6)
(6)
откуда следует формула (3).
Умножая числитель и знаменатель правой части равенства
(7)(7)sin у
(7)
(7)
aCOSy
и* V пи •- , находим:
о . а а2 sin — cos уо . а а2 sin — cos уО 2 а2 cos’ -О 2 а2 cos’ -sin а1 + cos а ’sin а1 + cos а ’sin а1 + cos а "sin а1 + cos а "(8)(8)
о . а а
2 sin — cos у
о . а а
2 sin — cos у
О 2 а
2 cos’ -
О 2 а
2 cos’ -
sin а
1 + cos а ’
sin а
1 + cos а ’
sin а
1 + cos а "
sin а
1 + cos а "
(8)
(8)
рИИПЬ инрИИПЬ инАнидтично, умножая числитель и знаменатель правой части
рИИПЬ ин
рИИПЬ ин
(9)(9)па 2 sin у-, приходим к формуле. а 1 —cos а
(9)
(9)
2 sin а
•Ш-рму'ihi (Н) и (9) менее удобны при вычислении tgy-, чем формули (Л), поскольку их правые части содержат и sin а, Il nit и, п пряная часть формулы (3) —только cos а. С другой • Тороны, формулы (8) и (9) не содержат знаки ± и корня и О нпк< норых случаях имеют преимущество перед формулой (3).
Пример 1. Найдем sin без помощи таблиц:
(перед корнем стоит знак плюс, поскольку -у—угол I четвер- 1Н н, следовательно, sin-y->0).
Пример 2. Найдем значение tg^ без помощи таблиц. О
Заметим, что у-— угол II четверти. Поэтому tg —<0 и, сле- днилтельно, 1°
= ~Л^|Ь-Л/^|^=-л/^2^
Пример 3. Найдем sin у-, cos у- и tgy-, если известно, что cos а = 0,8 и 0<а<—.
Угол ~ находится в первой четверти, и, значит, sin-^->-0,
cos^->0, tg — >0. Поэтому
sin ^=^/^^^^0» 0,3162,
cos ^=^J^^=^[o5« 0,9486,
‘s^^r^T”»»' ▼
Упражнения
Формулы, связывающие тригонометрические функцииодного аргумента
Могут ли синус и косинус одного и того же аргумента
быть равными соответственно: а) 0,6 и —0,8; б) —0,4 и 0,7;
^ и 21; г) О и 0; д) 1 и -1; е) ^ и —!|?
6) cos a =——, — <а<л;r) ctg a= — 7,-у-<:а<2л;e) tg a= —2, 0<a<^.^■<а<2л;1,. 3л6) cos a =——, — <а<л;r) ctg a= — 7,-у-<:а<2л;e) tg a= —2, 0<a<^.^■<а<2л;1,. 3лПо данному значению одной из тригонометрических функций и интервалу, в котором находится а, найдите значения других трех основных тригонометрических функций: a) sin а =-|-, 0<«•<—;
6) cos a =——, — <а<л;
r) ctg a= — 7,-у-<:а<2л;
e) tg a= —2, 0<a<^.
^■<а<2л;
1,. 3л
6) cos a =——, — <а<л;
r) ctg a= — 7,-у-<:а<2л;
e) tg a= —2, 0<a<^.
^■<а<2л;
1,. 3л
в) tg а = ^, л<а<^;
v „•2 Зл. Q
д) sin а =——, —<а<3л;
Вычислите:
+» если cos а=7Т и
1 1+ctgcc13
££Ц±£^, если cosa=- ctg а
Докажите, что при 0<а<у справедливы равенства:
ч ~yl —sin2 a cos a~v A +cos a-» /1 —cos a2
' sin a~2 ’ 1 — cos a* 1 +cos a
yl —cos a.1
Упростите выражение* (30—32).
cos a — sin a ctg a; tg2 a —sin2 actg2 a — cos2 acos a — sin a ctg a; tg2 a —sin2 actg2 a — cos2 aa) cos a tg a — sin a;6)
cos a — sin a ctg a; tg2 a —sin2 a
ctg2 a — cos2 a
cos a — sin a ctg a; tg2 a —sin2 a
ctg2 a — cos2 a
в) cos4 a (1 +tg2 a) + sin2 a; r)
2 sin p — 1.gк I — 2 cos2<p
sin p + cos P*cos q) — sin<p’
2 cos2 x— 1.x 1,1
2sin2x—1’*1 + sin у '1 — sin -y
sin2 / — sin / + cos4 /;
cos2 x — cos4 лг + sin4 x;
sin2 a —sin2 p —cos2 P + cos2 a;
sin2 a sin2 p + cos2 a cos2 P + sin2 a cos2 P + cos2 a sin2 p.
Формулы приведенияФормулы приведенияПриведите к значению тригонометрической функции аргумента, принадлежащего отрезку |о; -^-р
Формулы приведения
Формулы приведения
а) sin ; б) cos ;в) tg (—— V г) sin — V
д) tg 800°; е) sin (-405°); ж) cos ( — 600°); з) ctg(- 945°).
Докажите тождество:
а) sin ^-+a )=cos ^—ар б) tg (л —a) = ctg ^-+а Р
Упростите выражение:
а) 2 tg у — tg(y — n) + ctg (у— z/p
s'n (~“) tg(90° — a) - cos a .sin(180° —a) ctg asin(90° + a)’
x tg (180° - a) cos (180° - a) tg (90° — a) .
7 sin (90° + a) ctg (90°+a) tg (90° +a) ’
x tg (270° — a) sin 130° cos 320° sin 270°
RM. a)RM. a)6)6)
RM. a)
RM. a)
6)
6)
, л , , 4лtg 15+ g 15
л 4л
^te-^teis
, 2л , 5л
, , . 2л 5л ’ 1+1еТ*вТ2
Упростите выражение:Упростите выражение:sin 50° —sin 10°.sin 20°’sin 50° —sin 10°.sin 20°’01. Докажите тождество:01. Докажите тождество:sin a + sin 3a cos a + cos 3asin a + sin 3a cos a + cos 3atg 2a;tg 2a;6)6)в)в)sin a 4-2 sin 2aЦ-sin 3a cos aЦ-2 cos 2a + cos 3asin a 4-2 sin 2aЦ-sin 3a cos aЦ-2 cos 2a + cos 3a= tg 2a;= tg 2a;= ctg a;= ctg a;0202sin cp = 2 sin2 (—£1\42sin cp = 2 sin2 (—£1\422tgy г) sinx =l+<g2y2tgy г) sinx =l+<g2y,1 + COSJ t 21 1 — cos у2B) kz^-tg2' 14-smx °,1 + COSJ t 21 1 — cos у2B) kz^-tg2' 14-smx °9cos у;9cos у;ЛX42ЛX4287*. г87*. г
Упростите выражение:
Упростите выражение:
sin 50° —sin 10°.
sin 20°’
sin 50° —sin 10°.
sin 20°’
01. Докажите тождество:
01. Докажите тождество:
sin a + sin 3a cos a + cos 3a
sin a + sin 3a cos a + cos 3a
tg 2a;
tg 2a;
6)
6)
в)
в)
sin a 4-2 sin 2aЦ-sin 3a cos aЦ-2 cos 2a + cos 3a
sin a 4-2 sin 2aЦ-sin 3a cos aЦ-2 cos 2a + cos 3a
= tg 2a;
= tg 2a;
= ctg a;
= ctg a;
0
2
0
2
sin cp = 2 sin2 (—£
1\42
sin cp = 2 sin2 (—£
1\42
2tgy г) sinx =
l+<g2y
2tgy г) sinx =
l+<g2y
,1 + COSJ t 2
1 1 — cos у2
B) kz^-tg2
' 14-smx °
,1 + COSJ t 2
1 1 — cos у2
B) kz^-tg2
' 14-smx °
9
cos у;
9
cos у;
ЛX
42
ЛX
42
87*. г
87*. г
tg22° + tg23° . x tg72° —tg42° 1—tg22° tg23° ’7 1-Hg 72° tg 42° '
Вычислите cos (a 4-P), если:
sin cc=^-, cos p = —|-, -^<а<л, -^<р<л;
sin a = sin P=k-* 0<a<-^-, 2р<р<л.
Вычислите sin (a 4-P), если:
cos «=ц|, sin p = —|- и 0<a<-^-, л<р<^;
cos a = cos p = — у- и -^<а<л, л<р<^.
Вычислите tg(x4-i/) и tg(x — у), если:
а) tg А-= 1,2 и tg z/= 0,7; б) tg х = — 0,2 и tg у = 1,5.
Упростите выражение:
а) sin a cos 3a — cos a sin 3a; 6) cos 4a cos a + sin 4a sin a;
в) cos (a+-^-)4-cos (a—^)ir) sin (p4~^)—sin (p — 20.
Докажите тождество:
a) 1+1£_!е L tg f^-+ф ) ; 6) £°e+sin.<=tg(2L+<V
в) ^2+4 = tga + tgP;
cos a cos p °&
r) cos (a + P) cos (a — P) — sin (a + p) sin (a — p) = cos 2a.
Известно, что sin a = 0,6 и 0<a<-^. Вычислите: a) sin 2a; 6) cos 2a; в) tg 2a; r) ctg 2a.
Известно, что cos p=—А. и sin p>0. Вычислите:
a) sin 2p; 6) cos 2p в) tg 2p; r) ctg 2p.
Докажите равенство;
a) sin ^"cos T^~~5~i6) 1 —4 sin2 p cos2 p = cos2 2p.
Упростите выражение: Л 2tg|2
а) ; б) 1—2 sin2 ср 4-cos 2ср; в) cos 4x4-2 sin2 2х;
1-tg2 —
ь 12
г) (cos2/4-2 sin / cos/ — sin2/)2.
Преобразуйте в произведение выражение:
а) sin 50° 4-sin 70°; б) cos 27°-|-cos 63°;
в) sin —sin—; г) cos^ — cos^.
Вычислите, не пользуясь калькулятором или таблицами:
а) cos 105°4-cos 75°; б) cos 15° — cos 75°;
в) sin^-sin^;г) cos^+cos^.
16
cos (a 4- P) 4- cos (a — P)sin (a4- P)4-sin (a — p)
tg(a4-P)-tg a —tg P^. л tgatg(a4-p)
Формулы половинного аргумента
02*, Найдите sin -|-, cos у- и tg -^ если:
а) cos а =——, л<а<—; б) cosa=—, — <а<2л. ОЗ*. Вычислите, не пользуясь калькулятором или таблицами:
sin-^-; б) cos ^; в) tg-^-; г) sin ; д) cos-^;
оОО1Z1Z
е) tg^.
64*. Докажите тождество: а) 1 4~sin р = 2 cos2
1-tg T
В ) COS X == 1+t^T
НН*. Упростите выражение:
;--c°^ ctg2 Ц--sin2 <p;
’ 14-cosip & 24
Г) i+l^Cf-f)'
ПС. Преобразуйте в произведение выражение:
а) 1 4-sin ср-}-cos ср;б) 1—sin ср4-cos ср;
l-f-sincp — cos ср;г) 1—sin ср —cos ср.
Известно, что a4-P4-V —л, причем а, р и у положительны. Докажите тождество (57—59).
sin a4-sin P4~sin у = 4 cos-^-cos-|-cos-^-;
sin a + sin р —sin у = 4 sin y-sin-|-cos-^-;
cos a + cos P + cos v = 1 + 4 sin —sin -2-sin —:
222
r) cos a 4- cos P — cos v=4 cos —cos —sin -^1.
*222
58*. a) tga + tg p + tg Y = tgatg ptgy;
ctg-^4-ctg-|-4-ctg^=ctg-^ctg-|-ctg^
59*. a) sin 2a + sin 2p + sin 2y —4 sin a sin p sin y;
cos 2a 4-cos 2P4-cos 2y = — 1—4 cos a cos p cos y;
cos2 a 4- cos2 P 4- cos2 у — 1 — 2 cos a cos p cos y;
sin2 a + sin2 p4-sin2 у = 2 4-2 cos a cos p cos y.
§ 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
Функция
С понятием функции вы познакомились в курсе алгебры VI—VIII классов. При изучении начал анализа удобно принять следующее определение.
Функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу х из множества D сопоставляется некоторое вполне определенное число у.
Функции обозначаются обычно латинскими (а иногда греческими) буквами. Рассмотрим произвольную функцию f. Число у, соответствующее числу х, называют значением функции f в точке х и обозначают f (х). Область определения функции f обозначают D (/). Множество, состоящее из всех чисел f (х), где х принадлежит области определения функции f, называют областью значений функции f и обозначают Е (/).
Пример 1. С помощью формулы
fto=VT^ (1)
каждому х из отрезка [—1; 1] сопоставляется (ставится в соответствие) значение f (х). Например:
№=71^=1; f(l)=0;f(-l) = 0.
Поэтому естественно считать, что эта формула задает функцию, область определения которой — отрезок [—1; 1]. Область значений этой функции — отрезок [0; 1] (рис. 15). Коротко можно записать:
D (f) = [-l; 1], Е (/)=[0; 1]
I
Чаще всего функцию задают с помощью какой-либо формулы При этом если не дано дополнительных ограничений, то ' об пастью определения функции, заданной формулой, считают множество всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.
Пример 2. Формула
■^Нг
имеет смысл при всех х^О, поэтому областью определения функции f (х) = —считают множество всех не равных нулю действительных чисел. Область ее значений совпадает с областью определения и является объединением интервалов (—оо;0) и (0; оо).
Объединением двух множеств А и В называется множество, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из множеств А и В. Объединение Л иВ обозначается так: Ди 5. Например, объединением отрезков [0; 2] и [1; 3] является отрезок [0; 3].
Символом U удобно пользоваться для обозначения числовых множеств, которые можно представить в виде объединения числовых промежутков. Так, ответ в примере 2 можно записать так:
D^=E (f) = (-oo;0)U(0; оо).
Пример 3. Область определения функций / (x) = sin х и / (x) = cos х — вся числовая прямая:
D(sin) = (—оо; оо); D (cos) = (—оо; оо).
Область значений этих функций — отрезок [—1; 1]:
IE(sin)=[-1; 1]; E(cos) = [-1; 1].
Область определения функ-у
UHHz/ = tgx—объединение всех‘у=[х]
• интервалов видаj-.-о
(—Т+лИ: Т+лП )’2:,
где n^Z, а область ее значений— вся числовая прямая:1Т" 1 ’ т
£'(tg) = (—оо; оо)._2 -/
Пример 4. Целой частью ——£—j
числа х (обозначается [х]) на-'
читается наибольшее целое чис- до, не превосходящее х. Поставив в соответствие каждому дей- ствительному числу х его целую иметь, получим функцию f (х) =
*{х], область определения кото-Рис. 16.
рой — множество R действительных чисел, а область значений — множество Z целых чисел (рис. 16).
Разность х — [х] называют дробной частью числа х и обозначают {х}. График функции /(х) = {х) изображен на рисунке 17.
Обычно для обозначения чисел из области определения функции f выбирают определенную букву, называемую независимой переменной или аргументом; чаще всего это буква х. Условившись об этом, вместо оборота «функция f, заданная формулой /■(х) —х2» для краткости говорят «функция f (х)=х2» или просто «функция х2». Для обозначения соответствующих значений функции чаще всего выбирают букву у. Сделав этот выбор, можно, например, говорить «функция у=х2». Однако следует понимать, что равенства f(x)=x2, f(y} = y2, u=z2 определяют одну и ту же функцию.
V Функцию f с областью определения D и областью значений Е называют также отображением множества D на множество Е. Можно сказать, например, что формула (1) задает отображение f отрезка [— 1; 1] на отрезок [0; 1]. Тем самым слова «функция» и «отображение» являются синонимами.
Нередко рассматривают функции (отображения), область определения или область значений которых не являются числовыми множествами. С такими примерами, по существу, вы уже встречались на уроках геометрии. Например, площадь многоугольника при фиксированной единице измерения площадей — это функция, область определения которой — множество многоугольников плоскости, а область значений — множество неотрицательных действительных чисел (площадь 0 имеют «вырожденные многоугольники», например отрезок).
Движение (преобразование подобия), переводящее фигуру F в фигуру Е\ также является отображением (функцией): область определения — фигура F, а область значений — фигура F'.
Понятие «отображение» относится к числу основных понятий всей математики. С его помощью можно дать такое определение функции: функцией с областью определения D и областью значений Е называется отображение множества D на множество Е, при котором каждому элементу множества D соответствует один вполне определенный элемент множества Е, а каждый элемент множества Е поставлен в соответствие некоторому (хотя бы одному) элементу множества D. ▼
Графиком функции f называют множество точек (х; //) координатной плоскости, где у = Цх\ а х «пробегает» всю область определения функции /. Для того чтобы подмножество
Цпордипатной плоскости являлось графиком какой-либо функ- инн, необходимо, чтобы это подмножество имело не более одной 1|бщгн точки с любой прямой, параллельной оси Оу. Например, множество, изображенное на рисунке 18, не является графиком функции, так как оно содержит две точки с одной и той же Абсциссой а, но разными ординатами Ь\ и 62. Если бы мы сочли цто множество графиком функции, то пришлось бы считать, что tut функция имеет при х = а сразу два значения Ь\ и 62, что противоречит определению функции.
Часто функцию задают графически — предъявляют ее график. При этом для любого Хо из области определения легко нлйти соответствующее значение уо функции (рис. 19).
Функцию f называют возрастающей на множестве Р, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции. Другими словами, функция f возрастает на множестве Р, если для любых х\ и х2 из множества Р, шких, что xi>x2, выполнено неравенство f (xi)> f (х2).
Функцию / называют убывающей на множестве Р, если большему значению аргумента из этого множества соответст- мует меньшее значение функции, т. е. для любых х\ и х2, принадлежащих множеству Р и таких, что Xi>x2, выполнено неравенство I (xi) < f (х2).
Пример 5. Функция y=xn(/z€7V) возрастает при нечетном п на всей числовой прямой. При четном п функция у-х” возрастает на промежутке [0; оо) и убывает на промежутке (— оо ; 0].
Докажем сначала, что функция у=хп возрастает на про- межутке [0; оо) при любом натуральном п. Пусть Х|>х2^0. 1<>гда по свойству степени х">х2. Теперь рассмотрим случай четного п. Пусть x2<Xi^0, тогда —х2>—xi^O, и потому ( — х2)л>(— Х|)п, т. е. х2>хь Этим доказано убывание на ( — оо; 0] функции у = хп при четном п.
Осталось рассмотреть случай нечетного п. Если x2<0<xi, 10 х"*<0<Сх?. Если х2<Х[^0, то —х2>—xi^O, и потому { v2)n>( — х,)" т. е. — х2> — х?, откуда следует, что х2<хь Мы Видим, что для нечетного п из неравенства x2<xi следует не-
^ х^ х
^ х
^ х
равенство х^Сх1}. Итак, функция у = хп при нечетном п возрастает на всей числовой прямой.
Пример 6. Докажем, что если функция f возрастает на всей числовой прямой, то функция у = —f (х) убывает на всей числовой прямой.
Пусть xi>x2, тогда в силу возрастания функции f выполнено неравенство f (xt)>f (х2), откуда — f (xf) < — f (х2). Итак, для любых действительных Х\ и х2, таких, что х\ >х2, выполнено неравенство — f to)< —f to), а это и означает, что функция у— —f (х) убывает.
Пример 7. Функция f (х) = (х] (дробная часть х) возрастает на каждом промежутке [л; п4"1), где п— любое целое число (см. рис. 17).
При исследовании функций на возрастание и убывание надо указывать промежутки возрастания и убывания максимальной длины. Так, можно было бы сказать, что функция f (х) = (х] возрастает на промежутках [и; п 4-0,5]. Это верно, но такой ответ неполон.
Рассмотрим функции, области определения которых симметричны относительно начала координат, т. е. вместе с произвольным числом х область определения содержит и число (—х). Для таких функций определены понятия четности и нечетности.
Функция f называется четной, если для любого х из ее области определения f( — x) = f(x) (рис. 20). Функция f нечетна, если для любого х из области определения f (— х) =—f (х) (рис. 21).
Пример 8. Функция f (х) = х4 четная, а функция g (х)=х3 нечетная. Действительно, область определения каждой из них (это вся числовая прямая) симметрична относительно точки О и для любого х выполнены равенства
f (—*) = (—to4=x4 = f to,g ( —х) = (—х)3 = —х3 = — g (х).
Графики функций х4 и х3 изображены на рисунках 22 и 23.
При построении графиков четных и нечетных функций будем пользоваться следующими известными вам свойствами.
График четной функции симметричен относительно оси орди-
i а график нечетной функции симмет- hi>n относительно начала координат.
„3 I „
Пример 9. Функция f (х)= — чет-
X—X
и •♦•*, hik как ее область определения сим- Mi «рична относительно начала координат I (шт состоит из всех чисел, отличных от I, 0 и 1) и для всех x^D (/) выполнено ряпсиство
А')
( —х)3 + ( —х) — х3 —X х3+х ( —х)3— ( — х)X —X3х3—х>
I рафик этой функции симметричен отно- инглыю оси Оу (рис. 24).
Пример 10. Функция f (х) = х-ф^- к^четная (докажите это самостоятельно). 1!с график симметричен относительно напила координат (рис. 25).
Пример И. Основные тригонометрические функции синус, тангенс и котан- н*не являются нечетными, а косинус — четной функцией. Поэтому графики сину- се, тангенса и котангенса (см. рис. 6, U, 10) симметричны относительно начала косинуса (см. рис. 7) — относительно оси
координат, а график ординат.
..2 I
Пример 12. Функция f(x)=—~ при всех х^ — 1 сов- 1тдлст с нечетной функцией g(x)=x. Однако f не является ни питой, ни нечетной функцией, так как ее область определения
не симметрична относительно точки О: 1 входит в область определения f, а — 1 нет.
Пример 13. Функция f (х) = х2-|-х не является ни четной, ни нечетной. Ее область определения симметрична относительно точки О, но, например, f (1) = 2, f (— 1) = 0, т. е. при х = 1 не выполнено ни равенство f (l) = f(—1), ни равенство f (1)= —f (—1).
Упражнения
60.60.61.61.Найдите значения функции в указанных точках: a) f (х)-х-Ь^- в точках 1, —1, 10, 2/; б) g (х) = -\/х2 + 1в точках 0, 1, —-1, 3t;
60.
60.
61.
61.
зз4 л’4 л’<р (0=2 sin 4/ в точках -^-, л, 1, —х;
з
з
4 л’
4 л’
<p(z) = 3cos (z—^-) в точках -^-, —^, 1, Z-{ х г \/ х, если х^О,
f(x)—x—sА
' ' ' '[ —х, если х<0.
Найдите значения f (0), /( —3)', f (2), f (Z2);
Г 1, если х>0,
Ц^= \ 0, если х = 0,
V — 1, если х<0.
Найдите значения f (2), f (— 3), f (Z2).
Найдите область определения функции, заданной формулой:
f (х) = ах-^Ь; б) f (x) = ax34-6x2 + cx + tZ;
h^^V^-m; г) f to=Vх2- * •
Д) fM=-^: e) f W=—
f W=——;3) f W=—■—7 •
' 4 7 COS2 X ' I X f cos x_ 1
Найдите область значений функции, заданной формулой:
а) fW=l;.б) f(x) = x;в) /(х) = д/х;
г) f(x) = "V^H; д) fW = sin2x;е) f(x) = cos2x;
ж)* f(x) = [x2];3)*f(x)= j
x2+—I
Найдите область определения и область значений функций, графики которых изображены на рисунке 26, а — в.
а) Основание треугольника равно а, а высота к. Параллельно
данному основанию треугольника проведена прямая, отсекающая от него треугольник с высотой х. Выразите основание и площадь отсеченного треугольника как функции от х.
Параллельно дйагонали квадрата со стороной а проведена прямая (рис. 27), пересекающая квадрат. Задайте зависимость между площадью S отсекаемой фигуры и расстоянием х
07.
ОН.
пт этой прямой до вершины Л квадрата. Найдите область опре- деления функции S (х). Начертите ее график.
Является ли графиком функции фигура, изображенная: а) на рисунке 28; б) на рисунке 29?
Постройте график функции:
t/ = x24-2x —3;
у = х^— 5x4-6;
д) у=х3-Н; е) у = (х—I)3; ж) у=л/х;з) у=л]х—\.
Нарисуйте эскиз графика какой- либо функции:
возрастающей на промежутке (— оо; 2] и убывающей на промежутке [2; оо);
возрастающей на промежутках (—оо; —2] и [0; 1] и убывающей на промежутках [ — 2; 0] и [1; оо).
Найдите промежутки возраста-ния и убывания функции (69—70).
69. а)
/ (х) = —3x4*2;
f(x) = x— 2;
f (х)= —^-х24-2;
f (х)= —2х24-6х —7.
70. а)
f(x)=^-l; f W = )x;
Yj
1
/
0.
/
х!
а)
У'
1
1
0.
XI
б)
71
6)
Рис. 26.
б) f(x) = г) fW =
Докажите следующие утверждения (71—73).
а) Функция f (х)=х2 является возрастающей на промежутке [0; сю) и убывающей на промежутке (—оо;0];
функция f(x)=— является убывающей на каждом из промежутков (—сю; 0) и (0; сю), но не на их объединении.
а) Если функция f возрастает на промежутке /, то функция kf (при ^>0) тоже возрастает на этом промежутке; б) если функция f возрастает на промежутке /, то функция kf (при /г<0) убывает на этом промежутке.
а) Функция f возрастает на множестве Р тогда и только тогда, когда разности Xi—хг и f (xi)— f (хг) имеют одинаковые знаки для любых Xi и хг из множества Р(Х15^Хг); б) функция f убывает на множестве Р тогда и только тогда, когда разности Xi—хг и f (xi)—f (х2) имеют разные знаки для любых xi и х2 из множества Р(х\^=х2\
Докажите четность функции:
а) х2 + х4;б) ~24-2;в) д/х24-1;г) |х3|;
д) sin х2;е) sin |х|;ж) cos 2х;з) |x|-|-cosx.
Докажите нечетность функции:
а) х34-х; б) р-; в) — ^ х ; г) х5 — х;
д) sinx3; е) tg 5х; ж) i-^2*;3) &^±£^<
хsin х cos х
Какие из указанных ниже функций являются четными, какие нечетными, а какие не являются ни четными, ни нечетными (76—77)?
a) sinx + ctgx; б) |sinx|; в) x4 + tg2x+l;
г) x34-tg2x-|-l.
a) cosx — tgx; б) ^±^И; в) sin xcosxtgx+1;
г) (x24-l)sinx.
1
а) Докажите, что функция у=— является четной, и постройте ее график.
Докажите, что функция У=~^- является нечетной, и постройте ее график.
а) Постройте в одной и той же системе координат графики функций У=^ У =~+2 и У=~х—21 (Предварительно найдите значения этих функций в точках 4=3, ±2, ± 1, ±-|-.) б) Докажите, что график функции f(x) + & получается из графика функции f (х) параллельным переносом вдоль оси ординат на расстояние b вверх (если Ь>0) или вниз (если b <0).
[ 80. а) Постройте в одной и той же системе координат графики функций у=—, у=—^ и </=-3-5 (предварительно найдите iзначения этих функций в точках + 1; +3; + 4; ±-2~1
Докажите, что график функции f(x —а) получается из
I графика функции f (х) параллельным переносом вдоль оси абсцисс на расстояние а вправо (если а>0) или влево | (если d<0).
I4. Исследование функций
Начиная с VI класса вы строили графики функций «по точкам». Во многих случаях этот метод дает хорошие результаты, если, конечно, отметить достаточно большое число точек. Однако I при этом приходится составлять большие таблицы значений функ- 1 ций, а главное, можно не заметить существенных особенностей функции и в итоге ошибиться при построении графика.
Предположим, например, что, вычислив значения функции в 15 точках и отметив соответствующие точки графика на координатной плоскости, мы пришли к рисунку 30. Естественно предположить, что эскиз графика близок к непрерывной кривой, проходящей через все эти точки (рис. 31). Однако «настоящий» график (естественно, также проходящий через эти точки) может быть совершенно не похож на этот эскиз (рис. 32, 33).
Для того чтобы избежать ошибок, надо научиться выявлять I характерные особенности функции, т. е. предварительно провести
1) Найдем область определения функции. В данном случае D (f) — вся числовая прямая, поскольку знаменатель х2± 1 не об-1) Найдем область определения функции. В данном случае D (f) — вся числовая прямая, поскольку знаменатель х2± 1 не об-ее исследование. Посмотрим па примере функции f(x)= *— какие вопросы полезно включить в такое исследование.
1) Найдем область определения функции. В данном случае D (f) — вся числовая прямая, поскольку знаменатель х2± 1 не об-
1) Найдем область определения функции. В данном случае D (f) — вся числовая прямая, поскольку знаменатель х2± 1 не об-
Рис. 33.Рис. 33.
Рис. 33.
Рис. 33.
ращается в нуль. Следовательно, каждой точке оси абсцисс соответствует некоторая точка графика.
Заметим, что функция f (х) четная: для любого x^R
И-^^Тх=^^
Поэтому достаточно исследовать функцию и построить ее график при х^О — после этого остается отразить построенный график от
носительно оси ординат.
Найдем точки пересечения графика f с осями координат. Ось ординат график f пересекает в точке (0; / (0)). Значение f (0) равно 1. Поэтому график проходит через точку (0; 1).
случае уравнениеслучае уравнениеffДля того чтобы найти точки пересечения графика функции / с осью абсцисс, надо решить уравнение f (х) = 0. В данном
случае уравнение
случае уравнение
f
f
—=0 не имеет корней и, значит, график х +1
не пересекает ось абсцисс.
Выясним, на каких промежутках f принимает положительные, а на каких — отрицательные значения. На этих промежутках — их называют промежутками знакопостоянства функции — график функции лежит выше (соответственно ниже) оси абсцисс. В данном случае, поскольку при любом х значение x2-J- 1 положительно, f(x)>0 на всей числовой прямой.
Существенно облегчают построение графика f сведения о том, на каких промежутках функция f возрастает или убывает
(эти промежутки называют промежутками возрастания или убывания функции). Докажем, что для рассматриваемой функции промежуток возрастания — это (—со; 0], а промежуток убывания — [0; сю).
Пусть Xi и х2— два значения из промежутка [0; оо), причем Х1>Х2. Поскольку Х1 И Х2 положительны, ТО ИЗ условия Х1>Х2 следует: х?>х21 xi + l>x2+l и, наконец,
111
1
1
2 j
ha к, I (xi)<f (хг), т. e. f убывает на промежутке [0; oo).
Ila промежутке (— oo; 0] функция f возрастает. Доказа- Тульство проводится аналогично (можно также воспользоваться йутностью f).
Найдем значения функции в точках, в которых возрастание (меняется убыванием или наоборот. В нашем случае имеется лишь (яша точка, принадлежащая одновременно и промежутку возрастания, и промежутку убывания,— это точка с абсциссой 0 и ординатой f (0)= 1.
Заметим, наконец, что при неограниченном увеличении I i значение х2-ф! неограниченно возрастает, а поэтому значение
I
I ^, напротив, приближается к нулю.
11олученных в ходе исследования сведений о функции —?— х2+ 1 достаточно для построения ее графика.
Построим точку графика (0; 1). Мы установили, что [0; оо)— промежуток убывания функции f. Поэтому правее точки с абсцис- । ой 0 график f рисуем в виде кривой, которая «идет вниз» (рис. 34). Так как /(х)>0 при любом х, эта кривая не может । пуститься ниже оси абсцисс, причем (см. п. 7 исследования) при продолжении вправо график неограниченно приближается к иги абсцисс. Остается воспользоваться четностью функции f: график f получаем, симметрично отразив построенную для х^О кривую относительно оси ординат (рис. 35).
На рисунке 36 изображен график функции f(x) = x3 —Зх,
Пос। роение которого основано на следующих результатах исследо- Ппппя этой функции. (Исследование проведите самостоятельно; воспользуйтесь решением задачи 84, г.)
Функция f (х) = х3— Зх определена на всей числовой прямой.
/ (х) = х3 —Зх — нечетная функция, поэтому достаточно по- • * роить ее график при х^О, а затем отразить его относительно мочала координат.
Точка пересечения графика f с осью ординат — это точка (0, О). График / пересекает ось абсцисс в точках (0; 0), ( — д/З; 0) и
Рис. 36.Рис. 36.(л/3; 0). Строя график f, мы должны провести искомую кривую через эти точки.
Рис. 36.
Рис. 36.
Значения f положительны, если х>д/3 или —л/3-<х<.0,— на промежутках (д/3; оо) и (— д/3; 0) график f лежит выше оси абсцисс, f (х) отрицательна на промежутках (— оо; д/3) и (0; д/З) — здесь график лежит ниже оси абсцисс.
Промежутками возрастания функции f являются промежутки [ 1; оо) и (— оо; — 1 ]. Промежуток убывания — отрезок [— 1; 1].
Точками, в которых возрастание функции сменяется убыва
нием (или наоборот), являются точки с абсциссами —1 и 1: f(l)=-2, f(—1) = 2.
При неограниченном увеличении |х| значения |f| неограниченно возрастают (см. рис. 36).
Как видно из рассмотренных примеров, при построении графиков важно найти точки, в которых возрастание функции сменяется убыванием и наоборот (в случае функции
функцииназываютфункцииназываютf to"^^! такой точкой является точка 0; для f (х)=х3 —Зх мы нашли две точки: — 1 и 1). Такие точки
функции
называют
функции
называют
точками максимума и минимума.
Определение. Точка хо называется точкой минимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности точки хо выполнено неравенство f (x)^f (ху) (рис. 37).
Определение. Точка Хо называется точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности точки Хо выполнено неравенство f (x)^f (х0) (рис. 38).
В окрестности точек максимума (точки xi, х2, х3— рис. 39)
Г график функции, как правило, имеет вид «холма», а в окрестности к точек минимума график функции изображается в виде «впадины» (ем. рис. 39, точки х4, х5 и хе— точки минимума).
Для точек максимума и минимума принято общее название —^ [ их называют точками экстремума, а значения функции в этих I точках — экстремумами функции.
Далее при исследовании функций мы будем придерживаться I описанной схемы. В общем случае схема исследования предусматривает решение следующих задач.
F
1) Найти область определения данной функции f.
Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование (является ли функция f: а) четной или не- : четной; б) периодической).
Вычислить координаты точек пересечения графика f с осями I координат.
Найти промежутки знакопостоянства функции f.
Выяснить, на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает.
Найти точки экстремума функции и вычислить значения / в этих точках.
Исследовать поведение функции f при больших (по моду- ' лю) значениях аргумента.
Необходимо заметить, что этот план имеет примерный харак- Yep. Например, функция f (х)=-^- не определена в точке 0 и при построении ее графика надо исследовать поведение f при зна- ' чениях х, близких к нулю. Часто тот или иной этап исследования приходится опускать. Однако по возможности в ходе исследования функций желательно придерживаться этой схемы.
Наиболее трудным этапом исследования функций является, . как правило, поиск промежутков возрастания (убывания), а г также точек экстремума. В следующей главе вы познакомитесь 1 с общим методом решения этих задач, основанным на применении понятий математического анализа.
Упражнения
Укажите промежутки возрастания и убывания, точки максимума и минимума функций, графики которых изображены на рисунках 40—43.
Проведите исследование функции по общей схеме и постройте ее график (82—84).
82. a) f (х) = 2х-|-3;
в) f (х) = х2 —Зх + 2;
б) Цх)= — Зхф-2; г) f (х)=3—х —2х2.
83. a) f(x)=2-+l;
бМЮ=4з;■
в) fw=^;
д) f«=4^r:
е) Щ)=4тГ"
84. a) f (х) = х4+2х2 + 1;
б) f(x) = x4 — 2x2;
в) f (х) = х34~Зх;
г) /(х) = х3 —Зх.
§ 3. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВАТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
5. Периодичность тригонометрических функций
Вы уже знаете, что для любого числа х выполнено равенство sin (у + 2л) = 51п х. Отсюда следует, что значения синуса совпадают во всех точках, отличающихся на 2лп, где п — произвольное целое число. Это свойство функции синус называется периодичностью, а число 2л — периодом синуса.
Вообще, говоря о периодичности функции f с периодом Т, предполагают, что Т^О, а область определения f вместе с каждой точкой х содержит и все точки, получающиеся из х параллельными переносами вдоль оси Ох (вправо и влево) на расстояние иГ (п — любое натуральное число). При этом допущении определение периодической функции формулируется так.
Определение. Функцию / называют периодической с периодом Ту^О, если для любого х из области определения f значения этой функции в точках х и хфТ равны, т. е.
f (x^-T^f (х).
С примерами периодических функций вы уже знакомы. По Скольку sin (хф-2л) = 5!п х и cos (х + 2л) = cos х для любого дей ствитсльного х, синус и косинус — периодические функции с периодом 2л. Тангенс и котангенс — периодические функции с периодом л, так как tg (хф-n) = tg х и etg (хф-n) = ctg х.
Очевидно, что если функция f — периодическая с периодом Т, то при любом целом п^=й число пТ тоже период этой функции. Например, при п = 3, воспользовавшись несколько раз определением периодической функции, находим:
Нх + ЗП=Н(х + 27-) + Л = Н* + 2П = Н(х+Л + Л =
=Цх+П=Нху
Докажем, что
наименьший положительный период функций sin х и cos х равен 2л.
Как уже отмечалось, 2л является периодом этих функций. Поэтому остается доказать, что положительное число, меньшее Кн, не может быть их периодом.
Если Т — произвольный период косинуса, то cos(a + T) = »cos а при любом а. Полагая a—О, находим cos Г = cos 0 = 1. Наименьшее положительное число /, для которого cos Т = 1, есть 6л (рис. 44).
V Эяказ 355 33
Пусть Т — произвольный положительный период синуса. Тогда sin (а + ^) = sin а при любом а. Полагая а=-^-, получаем sin ^7'4--^)= sin-^-= 1. Но sinx=l только при х=-^-+ -}-2лп (nEZ). Поэтому Т = 2лп. Наименьшее положительное число вида 2лц есть 2л.
Для функций tg х и ctg х наименьшим положительным периодом является число л.
Если Т — положительный период тангенса, то tg Т = = tg (04- Г) = tg 0 = 0. Так как на интервале (0; л) тангенс нулей не имеет, Т^л. Ранее доказано, что л — период функции tg х и, значит, это есть наименьший положительный период тангенса. Для функции ctg х доказательство аналогично.
Периодичностью основных тригонометрических функций мы уже фактически пользовались при построении их графиков. Справедливо следующее общее утверждение: для построения графика периодической функции с периодом Т достаточно провести построение на отрезке [0; Г] и затем полученную кривую параллельно перенести на расстояния пТ вправо и влево вдоль оси Ох (рис. 45), где п — любое натуральное число.
Действительно, пусть (хо; уо) — точка графика периодической функции f. Тогда точка Хо4-иГ при любом целом п принадлежит области определения f (см. замечание в начале пункта) и вследствие периодичности f справедливо равенство Цхо-V-nT) — =^хо^ = уо- Значит, точка (хо + пТ; уо\ полученная при параллельном пе’рёносе точки (хо; z/o) вдоль оси Ох на расстояние пТ, тоже принадлежит графику f.
Справедливо следующее утверждение.
Если То — наименьший положительный период функции [, то все периоды этой функции кратны То, т. е. если Т — любой период f, то
Т = пТо,
где п — целое число, не равное нулю.
Докажем это методом от противного* Предположим, что суще-
т
ствуст такой период Т\ функции f, что — не есть целое число. То
Тогда™ гр । 1
У А
Oc/<7q, a n — целое число. Но To и Ti — периоды функции , и потому для любого х из области определения f числа хф-Л и j-/ = (x-j-7'i) — пТо принадлежат области определения f и
естьТо-естьТо-f (х + О=f (х + Т. - п70) = f (х + Г!)=f (х).
есть
То-
есть
То-
4м получили, что положительное число /, меньшее То, период функции f. Это противоречит предположению, что
лпменьший положительный период функции f. Следовательно,
лше допущениелше допущениеТх
лше допущение
лше допущение
неверно ицелое число, w
Тот
Упражнения
Является ли периодической функция:
a) fW==l; б) f(x) = x2;в) f(x)=^; г) f(x) = {x}?
Пользуясь периодичностью, четностью и нечетностью тригонометрических функций и другими свойствами, представьте в виде значений тригонометрических функций от аргумента, выраженного наименьшим возможным положительным числом градусов или радиан:
a) sin 405°; б) cos -у- ; в) tg 3333°; г) ctg (—^- л);
д) cos (—1985°); е) sin(—-^у ж) tg —^^ л; з) cos ~-.
Даны функции:
a) z/=*sin 2х; б) t/ = xcosx; в) y = tg2x; г) t/ = cos-^-;
Д) У = 4.
Укажите среди них периодические и найдите наименьший положительный период каждой из них.
Найдите наименьший положительный период функции (88—89).
a) cos 2х; б) sin ^-; в) tg 4х; г) cosx + sinx.
89.f)0.89.f)0.a) cos (Зх—2);a) cos (Зх—2);б) sinб) sinНа каждом из рисунков 46—49 приведена часть графика некоторой функции, имеющей период Т. Продолжите графикНа каждом из рисунков 46—49 приведена часть графика некоторой функции, имеющей период Т. Продолжите график
89.
f)0.
89.
f)0.
a) cos (Зх—2);
a) cos (Зх—2);
б) sin
б) sin
На каждом из рисунков 46—49 приведена часть графика некоторой функции, имеющей период Т. Продолжите график
На каждом из рисунков 46—49 приведена часть графика некоторой функции, имеющей период Т. Продолжите график
Может ли периодическая функция возрастать на всей числовой прямой?
6. Исследование функции t/ = sinx
Исследование синуса (так же, как и других основных тригоно- . метрических функций) проведем по схеме, описанной в п. 4.
Область определения синуса — вся числовая прямая, а , область значений — отрезок [ — 1; 1 ]:
D(smV=R, £(sin) = [—1; I].
а) Синус — нечетная функция:
sin (—х) = —sin х для всех x^R.
Синус — периодическая функция с периодом 2л: sin (x + 2n) = sin х для всех x^R
(как показано в п. 5, 2л — наименьший положительный период синуса).
Нулями синуса являются точки
х = лл, где n^Z.
Укажем промежутки знакопостоянства синуса: это интервалы (2лл; л4-2лп), на которых значения синуса положительны, и интервалы (л4-2лл; 2л4-2лп)— здесь синус принимает отрицательные значения, n^Z.
Промежутки возрастания синуса — отрезки
—^+2лл; -^—|-2лп^ где n^Z;
промежутки убывания — отрезки
^+2л/г; ^-4-2лл| где n^Z.
Синус имеет максимумы, равные 1, в точках
—Ь2лп, где «£2; минимумы, равные— 1, в точках
^-+2лл, где n^Z.
Доказательства первых четырех свойств даны в предыдущих пунктах (повторите их). Поэтому остается доказать свойства 5 и 6.
Докажем, что на промежуткахДокажем, что на промежуткахл2"л2"]-2л/?;]-2л/?;л2"л2"2 л п2 л псинуссинус
Докажем, что на промежутках
Докажем, что на промежутках
л
2"
л
2"
]-2л/?;
]-2л/?;
л
2"
л
2"
2 л п
2 л п
синус
синус
возрастает. В силу периодичности синуса доказательство доста-
и и х2 из этого отрезка, таких, что xi<X2, применяя формулу разности синусов, находим:
sin х2 —sin Xi =2 cos ^|^ sin —-^ .(1)
Из неравенства —^-^Х| <хг ^-^-следует, что
'Поэтому cos^y^-2>0, sin *■2 Х| >0 и, следовательно, правая часть равенства (1) положительна, т. е. sin xi<sin Х2. Тем самым «оказано, что синус возрастает на указанных промежутках. Аналогично доказывается, что промежутки ^+2лч; у-+2лл1 пиляются промежутками убывания синуса (проведите это рассуждение самостоятельно).
Свойство 6 — очевидное следствие свойства 5. Достаточно заметить, например, что точки -|—|-2лл являются общими концами ‘промежутков возрастания и убывания синуса, причем в этих тонких возрастание сменяется убыванием. Значение синуса в этих точ- Лих равно 1.
Проведенное исследование функции y = sinx позволяет построить график этой функции (рис. 50), который ранее мы строили цо точкам.
УУпражнения
02. Найдите область определения функции:
а) ——-—-;б) —— ; в) sin х2; г) sin—.
03. Найдите область значений функции:
a) sin 2х; б) 2 sin х; в) sin2 Зх; г) -^-sin2 х.
04 Найдите промежутки знакопостоянства и нули функции: я) sin 2х; б) — sinв) -J—; г) sin2 х.
2sin х '
Расставьте в порядке возрастания числа:
sin 20°, sin 100°, sin ( — 30°), sin ( — 250°), sin 170°;
sin 1,8; sin 2,3; sin ; sin (— 1); sin (—л\
Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
a) sin Зх; б) sin ( — * + “[■);в) sin( —2х);
г) sin (2х—— 1.
Найдите множество чисел, удовлетворяющих данному уравнению или неравенству. Отметьте на единичной окружности точки Р(, для которых соответствующие значения удовлетво
ряют данному соотношению:
з/З11
a) sin t=^; б) sin t = —^ * в) s’n ^<^^-; г) s*n ^ —«г ’ 98. Найдите множество чисел, удовлетворяющих данному уравне
нию или неравенству. Постройте график синуса и на оси абсцисс покажите множество точек х, являющихся решениями соответствующего уравнения или неравенства:
з/Зз/2з/Зз/2
a) sin х= —^; б) sin ^=у-; в) sin х^у-; г) sin х>> —-у.
99. Исследуйте функцию и постройте ее график:
a) sin 2х; б) sin (х—^);в) sin (х4--^ ); г) sin
\4 /X 6 /3
Исследование функции z/ = cosx
Сформулируем основные свойства косинуса.
Область определения функции y = cosx— вся числовая прямая, а область значений — отрезок [—1; 1]:
D (cos) = R, Е (cos) = [—1; 1].
а) Косинус — четная функция:
cos ( —x) = cos х для всех x^R.
Косинус — периодическая функция с периодом 2л:
cos (х 4-2л) = cos х для всех x^R
(2л — наименьший положительный период косинуса).
Нулями косинуса являются точки
х=у—Нлл, где n£Z.
Промежутками знакопостоянства косинуса являются интервалы —у4-2лп; у-4~2ллУ на которых значения косинуса положительны, и интервалы (у-4~2лп, у-4~2лл^— здесь косинус принимает отрицательные значения, n^Z.
Промежутки возрастания косинуса — отрезки [ — л 4"2л/г; 2л/г], где n^Z;
промежутки убывания — отрезки
[2л/г; л + 2л;г], где n^Z.
*6. Косинус имеет максимумы, равные 1, в точках х = 2л/г, где n^Z;
точками минимума косинуса являются точки х = л-]-2л/г, где n^Z,
и которых значения косинуса равны —1.
Доказательство свойств 5 и 6 можно провести примерно так | Же, как и в предыдущем пункте (надо применить формулу Ьпзности косинусов). Проще воспользоваться формулой приве- (л \
z+"2")- Из нее сразу следует, например, что промежутками возрастания косинуса являются промежутки, по- *учснные из промежутков возрастания синуса сдвигом на £- влево. Как уже отмечалось в п. 1, из этой формулы вытекает, что график
■Осп нуса (рис. 51) есть синусоида, сдвинутая влево на
Упражнения
Найдите область определения функции:
а) _1—; б) —; в) cos х2; г) cos—.
Найдите область значений функции:
а) — cos 2х; б) 2 cos х; в) cos2 х4-1;
I г) -y-cos2 X 4-1 -
|02. Найдите промежутки знакопостоянства и нули функции:
a) cos Зх; б) cos в) ——; г) cos2 х. 2 cos х
10». Расставьте в порядке возрастания числа:
cos 20°, cos ( — 30°), cos 70°, cos 170°, cos 135°, cos (—100°);
COS 1,2, COS ( — 0,1), COS у-Л, cos (— *1), cos —£ , cos 3.
б) cos (хб) cos (хв) cos (~ув) cos (~уНайдите промежутки возрастания и убывания функции:
б) cos (х
б) cos (х
в) cos (~у
в) cos (~у
a) —cos Зх;
г) cos ^2х—. \4 /
Найдите множество чисел, удовлетворяющих данному уравнению или неравенству. Отметьте на единичной окружности точки Pt, для которых-соответствующие значения t удовлетво
ряют данному соотношению:
a) cos/=^-; б) cos / = — ^; в) cos/C^-;
г) cos t^ —^-.
Найдите множество чисел, удовлетворяющих данному уравнению или неравенству. Постройте график косинуса и на оси абсцисс покажите множество точек х, являющихся решениями соответствующего уравнения или неравенства:
л/З
a) cosx = -^; б) cosx=—-у, в) cosx^-y-;
г) cos х< —у.
Исследуйте функцию и постройте ее график:
a) cos 2x4-2; б) cos (х—в) cos (х-4- —
\4 /X 4 /
г) cos —.
Исследование функции y—tgx
Сформулируем основные свойства тангенса.
Область определения тангенса — множество всех действительных чисел, кроме чисел вида -^4-лп, где n^Z; область значений — вся числовая прямая.
а) Тангенс — нечетная функция:
tg (—х) = — tg х для всех x^D (tg).
Функция tg х периодическая, ее период равен л: tg (я-Т n) = tg х для всех x^-D(tg)
(л— наименьший положительный период тангенса).
Нули тангенса — точки
х = лп, где n^Z.
Промежутками знакопостоянства тангенса являются интервалы (ли; у4-лп), на которых тангенс положителен, и интервалы—Рлп; лп), на которых тангенс принимает отрицатель
ные значения, n^Z.
Тангенс возрастает на промежут
ках —^-+ л/г; ~^+ л/г J, где n^Z.
Функция y = tgx не имеет экстремумов.
Новым является только свойство 5. Докажем его. В силу периодичности тангенса доказательство достаточно провести для интервала (—^~'Т*)'
Пусть X, и Х2 — произвольные числа из этого интервала, такие, что х2>-х\. Надо доказать, что tgX2>tgXi.
,, sin х2 sin xi
sin X2 COS X| — sin X| COS X2 sin (X2 —Xi)
COS X| COS X2COS X| COS X2
По предположению —^-<Xi СхгС-^-. Поэтому cosxi>0, cosx2>0. А так как 0<х2 — Х|<л, то и sin (хг — Х|)> 0. Следовательно, tg хг — tgxt>0, т. е. tgX2>tgxb что и требова
лось доказать.
График тангенса изображен на рисунках 52 (—^-<х«<-^-^.и ^"
Рассмотрим подробнее поведение функции tg х в окрестности точки ^-. Если ^<у и х приближается к ~, то соответствующие значения tg х положительны и неограниченно возрастают (как говорят, «стремятся к бесконечности»). Действительно, при этом sin х приближается к 1, a cos х к 0 и поэтому тангенс Дsin х \ ,
(tg х — ) будет принимать положительные неограниченно воз-
уCOS X /
растающие значения.
Аналогичные рассуждения показывают, что при приближении хку справа (т. е. при х>-у) значения тангенса неограниченно возрастают по модулю, но отрицательны (говорят, что тангенс «стремится к минус бесконечности»).
В соответствии с этим замечанием график функции тангенс при х, стремящемся к -^—Ням, приближается к прямой х~^—рлн, причем при x<L^—рлн график «неограниченно поднимается вверх», а при х>^—Или «неограниченно опускается вниз». Эту особенность поведения тангенса можно понять из рассмотрения трафика (см. рис. 53).
Упражнения
Найдите область определения функции:
a) tgб) 2tg( —2х); в) -Д— ; г) -—-—-.
Найдите область значений функции:
a) tg 2х; б) 4tgy; в) —tg2 х; г) ytg2x+l.
Найдите промежутки знакопостоянства и нули функции:
a) tg Зх; б) —tg-|-;в) tg2x; г) — tg2x+l.
Расставьте в порядке возрастания числа:
tg 10°, tg 100°, tg( —20°), tg(-110°), tg 200°;
tg 2, tg 4, tg 6, tg ( — 8), tg у, tg у л.
Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
tg2x; б) tg ( —х+у); в) — tg (х+у); г) tg у. 113. Найдите множество точек, удовлетворяющих данному урав
нению или неравенству. Отметьте на единичной окружности точки Pt, для которых соответствующие значения t удовлетворяют данному соотношению:
<tg / = 1; б) tg/=—д/З; в) tg/<V3; г) tg/^ —1. 114. Найдите множество чисел, удовлетворяющих данному урав
нению или неравенству. "Постройте график тангенса и на оси абсцисс покажите множество точек, являющихся решениями соответствующего уравнения или неравенства:
a)*tgx= —1,; б) tgx=V3; в) tg х< — д/З; г) tg х^ 1. 115. Исследуйте функцию и постройте ее график:
tg 2х; б) tg(x + y); в) ~ tg (х+у); г) tg (у+л).
Исследование функции r/ = ctgx
Основные свойства котангенса таковы.
Область определения котангенса — множество всех действительных чисел, кроме точек лп, где n^Z; область значений котангенса — вся числовая прямая.
а) Котангенс — нечетная функция:
ctg ( —х) = — ctg х для всех x^D (ctg).
Функция r/ = ctgx периодическая, ее период равен л: ctg (хф-л) = ctg х для всех хС D (ctg)
(л — наименьший положительный период котангенса).
Нулями котангенса являются точки
~—рл/i, n^Z.
Промежутки знакопостоянства — интервалы (л/z, -^—К ли)* на которых котангенс положителен, и интервалы (——К ял, ли), на которых котангенс отрицателен, n^Z.
Котангенс убывает на промежутках (ли, л-фли), n^Z.
Функция y = ctgx не имеет экстремумов.
График котангенса изображен на рисунке 54.
"Упражнения
116*. Найдите область определения функции:
a) ctg (л— f);б) ctg (-2*); в) ^ ; г) ^Д-у.
117*. Найдите область значений функции:
ctg2x; б) 3 ctg у-; в) ctg2 х; г) yctg2x+l.
118*. Найдите промежутки знакопостоянства и нули функции:
a) ctg 2х;a) ctg 2х;— ctg^-;— ctg^-;ctg2 х; г) ctg2 х Т-1.ctg2 х; г) ctg2 х Т-1.
a) ctg 2х;
a) ctg 2х;
— ctg^-;
— ctg^-;
ctg2 х; г) ctg2 х Т-1.
ctg2 х; г) ctg2 х Т-1.
119*.120*.121*.119*.120*.121*.ctg 315°;ctg 315°;Расставьте в порядке возрастания числа: a) ctg 10°, ctg 100°, ctg ( — 20°), ctg (—110°),
119*.
120*.
121*.
119*.
120*.
121*.
ctg 315°;
ctg 315°;
ctg 2, ctg 4, ctg 6, ctg 8, ctg -y-, ctg
Найдите промежутки возрастания и убывания функции: a) ctg 2х; б) ctg ( —х4~) ; в) —ctg (^у-) ; г) ctg2 х. Найдите множество точек, удовлетворяющих данному уравнению или неравенству. Отметьте на единичной окружности точки Р(, для которых соответствующие значения / удовлетворяют данному соотношению:
a) ctg t = — 1; б) ctg / = -^;в) ctg / <д/3; г) ctg / ^ 1.
122*. Найдите множество чисел, удовлетворяющих данному уравнению или неравенству. Постройте график котангенса и на оси абсцисс покажите множество точек, явля
ющихся решениями соответствующего уравнения или не
равенства:
a) ctgx=l; б) ctgx = V3; в) ctg х< —д/З; г) ctgx^l. 123*. Исследуйте функцию и постройте ее график:
a) ctg 2х; б) ctg ^х—^; в) — с^(х + "^-)* г) ctg2 2х.
§ 4. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙИ НЕРАВЕНСТВ
10. Арксинус, арккосинус и арктангенс
Начнем с одного важного утверждения (его называют теоремой о корне), которым удобно пользоваться при решении уравнений.
Теорема. Пусть функция f возрастает (или убывает) на промежутке I, а число а — любое из значений, принимаемых f на этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=a имеет единственный корень в промежутке I.
Доказательство проведем для возрастающей функции (в случае убывающей функции рассуждения аналогичны). По условию теоремы число а — значение функции [, принимаемое на промежутке /, т. е. в промежутке / существует такое число Ь, что f(b) = a. Покажем, что b— единственный корень уравнения f (х) = а. Допустим, что на промежутке / есть еще число сфЬ, такое, что f (c) = a=f (b). Тогда или c<Lb, или с>6. Но функция f возрастает на промежутке /, поэтому либо f (c)<j (Ь\
либо f(c)>H^)- Это противоречит равенству Цс> = 1 (Ь\ Следовательно, сделанное предположение неверно и в промежутке /, кроме числа Ь, других корней уравнения f(x) = n нет.
Как вы знаете, функция синус возрастает на отрезке |—^-; -^-j и принимает все значения от — 1 до 1. Следовательно, по теореме о корне для любого числа а, такого, что IflKL в промежутке |—^; -^-j существует единственный корень b уравнения sinx = a. Это число b называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а (рис. 55). Итак,
арксинусом числа а называется акое число из отрезка |—^-; "у*]* чт0 ег0 синус равен а.
Пример 1. Найдем arcsin -у.
Г1
arcsin—, так как sin—=— и — б — —; — .
24424^122]
Пример 2. Найдем arcsin —— у
Угол ^из промежутка—у; тт]). синус которого есть
^-, равен —у. Поэтому arcsin Г—^”) =—^"
Значение арксинуса можно находить по таблицам (или пользуясь калькулятором). Чтобы найти arcsin а, находят с помощью таблицы значений синуса угол в а°, лежащий в пределах — 90°^а°^90°, для которого sin а = а. Затем выражают а° в радианах (при этом пользуются таблицей перевода градусной меры углов в радианную).
Пример 3. Найдем arcsin 0,9063. Согласно таблицам
10,9063» sin 65°,
I65° » 1,1345 (рад),
Iarcsin 0,9063 » 1,1345.
так как cos-^- = —-^ итак как cos-^- = —-^ и/ д /2 \Зл\ Г / т*/ д /2 \Зл\ Г / т*ллл7л7что его тангенс равен а.что его тангенс равен а.Пример 6. arctg 1 = -^-, так как tg-^-= 1Пример 6. arctg 1 = -^-, так как tg-^-= 1”1<”1<л л X у )*л л X у )*
так как cos-^- = —-^ и
так как cos-^- = —-^ и
/ д /2 \Зл
\ Г / т*
/ д /2 \Зл
\ Г / т*
л
л
л
7
л
7
что его тангенс равен а.
что его тангенс равен а.
Пример 6. arctg 1 = -^-, так как tg-^-= 1
Пример 6. arctg 1 = -^-, так как tg-^-= 1
”1<
”1<
л л X у )*
л л X у )*
Функция косинус убывает на отрезке [0; л] и принимает все значения от —1 до 1. Поэтому для любого числа а, такого, что |а|^1, в отрезке [0; л] существует единственный корень b уравнения cosx = a. Это число b на
зывают арккосинусом числа а и обозначают arccos а (рис. 56).
Арккосинусом числа а называется такое число из отрезка [0; л], что его косинус равен а.
Пример 4. arccosтак как
26
со5т=4и^г°; л1-
Пример 5. arccos ^£[0; л].
На интервале —^-; -^-J функция тангенс возрастает и принимает все значения из R. Поэтому для любого числа а в интервале ^—~; -2-) существует единственный корень b уравнения tgx = a. Это число b называют арктангенсом числа а и обозначают arctg а (рис. 57). Итак,
арктангенсом числа а называется такое число из интервала
ПримерПримерarctg ( —д/3)= —^-, так как tg (—|-) = — д/З
Пример
Пример
▼ 5. Функция котангенс на интервале (0; л) убывает и принимает все значения из R. Поэтому для любого числа а в интервале (0; л) существует единственный корень b уравнения ctg х. = а. Это число b называют арккотангенсом числа а и обозначают arcctg а:
арккотангенсом числа а называется такое число из интервала (0; л), что его котангенс равен а.
Пример 8. arcctg -^=4-, так как ctg -4-=-^ и 4-6(0; л).
33 ^ 3
Пример 9. arcctg (-д/3)=-^, так как ctg^- = —д/З и ^€(0; л).
Упражнения
Вычислите (124—131).
a) arcsin 0; б) arcsin 1; в) arcsin ( — 1); г) arcsin-!-■ I д) arcsin^; е) arcsin (—^); ж) arcsin (—^ ).
a)arcsin 0,3024;б) arcsin 0,4305;
в)arcsin 0,3033;г) arcsin 0,7801.
a)arccos 0;б)arccos 1; в) arccos (—1);г) arccos-^ч
|д)arccos ——уе)arccos^; ж) arccos^—^)-
a)arccos 0,2164;б)arccos 0,8771;
в) arccos 0,6081; г) arccos 0,5666.
a) arctg 0; б) arctg (—1); в) arctg ^3; г) arctg —;
д) arctg ( ' V3 /
110. a) arctg0,3541; б) arctg 2,300; в) arctg( —5); г) arctg 10. 130*. a) arcctg 0; б) arcctg 1; в) arcctg (—1);
) г) arcctg д/З; д) arcctg (—^f)‘ )3I*. a) arcctg 0,7080;б) arcctg 6,386;
в) arcctg 5;г) arcctg (—10).
|32. Вместо звездочки поставьте знак равенства или неравенства.
чтобы получилось верное соотношение:
б) arcsin (--i-)*arccos ^;г) arctg ( —V3)*arcsin f—Lб) arcsin (--i-)*arccos ^;г) arctg ( —V3)*arcsin f—L1л/3
б) arcsin (--i-)*arccos ^;
г) arctg ( —V3)*arcsin f—L
б) arcsin (--i-)*arccos ^;
г) arctg ( —V3)*arcsin f—L
a) arcsin — *arccos ;
в) arctg l*arccos -|-;
Вычислите (133—135).
133. a) arcsin 4-arccos—; '22
\
— 2 )~rarccos (— 2 /'
Iв) arcsin 4-arccos V
Fr) arcsin ^—^^+arccos ^.
IM. a) arctg д/3 + arctg (—1);6) arctg + arctg 1;
:в) arctg (—1) +arcsin r) arctg д/3 +arccos:в) arctg (—1) +arcsin r) arctg д/3 +arccos
:в) arctg (—1) +arcsin r) arctg д/3 +arccos
:в) arctg (—1) +arcsin r) arctg д/3 +arccos
135*. a) arcctg д/3 4~ arctg-\/3;
arctg (—7^) +arcctg ( — д/З);
arcctg 7$ 4" arctg ^—^)*
arcctg ( —73) + arctg (—^) •
Докажите, что для любых чисел Xi и хг из отрезка [-1; 1] из неравенства Х[<Х2 следует неравенство:
a) arcsin Xi < arcsin хг; б) arccos Xt > arccos Х2.
Докажите, что для любых чисел Х| и хг из неравенства
Х|<Х2 следует неравенство:
a) arctg Xi < arctg хг; б) arcctg Х[ > arcctg хг.
Расставьте в порядке возрастания числа (138—139).
a) arcsin 0,8; arcsin (— 0,3); arcsin 0,9;
arcsin ( — 0,5); arcsin (— 0,7); arcsin 0,2;
arccos 0,4; arccos (— 0,2); arccos (— 0,8);
arccos 0,9; arccos ( — 0,7); arccos 0,6.
a) arctg 100; arctg 1; arctg 0,3;
arctg (—100); arctg ( — 2); arctg (—1);
B)*arcctg 12; arcctg 1; arcctg 0,2;
r)* arcctg ( — 20); arcctg (—10); arcctg (—1).
140*. Докажите равенства:
= — для любого X.6) arccos (cos 12);г) arcctg (ctg ( — 3)).= — для любого X.6) arccos (cos 12);г) arcctg (ctg ( — 3)).arcsin хД-arccos x=-^- для любого x£[ — 1; 1 ];
= — для любого X.
6) arccos (cos 12);
г) arcctg (ctg ( — 3)).
= — для любого X.
6) arccos (cos 12);
г) arcctg (ctg ( — 3)).
arctg x + arcctg x 141*. Найдите значение:
a) arcsin (sin 10);
arctg (tg 2);
11. Решение простейших тригонометрических уравнений
Начнем с уравнения
cos t = a, (1) где а — произвольное действительное число. Исследуем, сколько решений имеет это уравнение в зависимости от значения а и каковы они.
Очевидно, что если |а|>1, то уравнение (1) не имеет решений, поскольку |cos/|^l для любого t.
Пусть |а|^1. Надо найти все такие числа I, что cos/=a. На отрезке [0; л] существует в точности одно решение уравнения (1) —это число arccos а.
Косинус — четная функция, и, значит, на отрезке [ — л; 0] уравнение (1) также имеет в точности одно решение — число — arccos а. Итак, уравнение cos/ = a на отрезке [ — л; л] длины 2л имеет два решения: f=±arccosa (совпадающие при а=1).
Г Вследствие периодичности функции y = cos t все остальные грсшения отличаются от этих на 2л/? (n^Z\ т. е. формула корней [уравнения (1) такова:
jf = ±arccos а+ 2л/г, n^Z.ЭД
Г (Обратите внимание: этой формулой можно пользоваться только при iа| ^ 1.)
Решение уравнения (1) можно проиллюстрировать на еди- | личной окружности. По определению cos t — это абсцисса точ- ки Pt единичной окружности. Если |а|<1, то таких точек дне (рис. 58, а); если же а = 1 или а= — 1, то одна (рис. 58, б).
При а = 1 числа arccos а и —arccos а совпадают (они рав- №ы нулю), поэтому решения уравнения
Icos / = 1
■ринято записывать в виде
[/ = 2л«, n^Z.
I «Особая» форма записи решений уравнения (1) принята [для а = — 1 и а =0:
|cos / = — 1 при / = л4~2лп, n^Z;
Icos/ = 0 при 1=^--\-шг, n^Z.
■ Пример 1. Решим уравнение
ICOSX—
I По формуле (2)2
*х = ±arccos -£-4~2л«, n^Z.
Поскольку arccos-^-=-^-, приходим к ответу
х = ±-^~ + 2лп, n^Z.
Пример 2. Решим уравнение
cos х = —0,2756.
По формуле (2) x=±arccos(— 0,2756)4-2лл. Значение arccos ( — 0,2756) находим с помощью калькулятора: оно приближенно равно 1,8500. Итак,
х=±хо4-2лп (n^Zy где хо~ 1,8500.
Пример 3. Решим уравнение
Л \л/3
2х—— )= —
4 /2
По формуле (2)
2х—— =± arccos Г—4"2лп, n^Z,4\2 /
т. е.
2х—— = ±-1-л4-2лп,4и
откуда
л . 5л .
х=—±—4~лп, n^Z. о1Z
Уравнение. ,,о\
rsin t = a(о)
не имеет решений при |а|>1, так как |sin/|^l для любого I. При |а| ^ 1 на отрезке £—^-; -^-j уравнение (3) имеет в точности одно решение /i = arcsin<z. На промежутке Г-^-; -у- j функция sin х убывает и принимает все значения от —1 до 1, поэтому уравнение (3) имеет и на этом отрезке один корень. Из рисунка 59, а видно, что -этот корень есть число /2, равное л — arcsin а. Действительно,
sin f2 = sin (л — Zi) — sin t\—a.
Кроме того, поскольку —^-^z,^^-, имеем: —F^~^^Т" и л—— ^л— ч^л+у, т. е. число г2 принадлежит отрезку f л Зл 1
ПР т J'
Итак, уравнение (3) на отрезке —р^г] имеет Два Ре' шения: fj = arcsina и /2 = л — arcsin а (совпадающие при а = 1). Учитывая периодичность синуса (с периодом 2л), получаем такие формулы для записи всех решений уравнения:
/ = arcsin а4"2л/г,(4)
1 = л — arcsin а4-2л/г, n^Z.(5)
Удобно решения уравнения (3) записывать не двумя, а од- к<П формулой:
t = (— 1)* arcsin о + л&, k^Z.(6)
Кнк нетрудно убедиться, при четных к = 2п из формулы (6) {Вводим все решения, записанные формулой (4); при нечетных 6»2н-|-1 —решения, записываемые формулой (5).
Решение уравнения (3) удобно иллюстрировать на единичной 1th ру ж пости (рис. 59). По определению sin/ есть ордината Й|1Чкн Pt единичной окружности. Если |о|<1, то таких точек йне (рис. 59, о); при а=±1 одна (рис. 59, б).
Если о=1, то числа arcsino и л —arcsin а совпадают (л \
•«ни равны — к поэтому решение уравнения
sin / = 1
||||Цпято записывать так:
/=-2-+2лл, n^Z.
При а =— 1 и о = 0 принята следующая запись решений:
sin t— — 1, если /= —£-4~2лп, n^Z,sin/ = O, если / — ли, n^Z.
Пример 4. Решим уравнение
■sin /^.
|1о формуле (6) х=(—l)fc arcsin ^-|-л&, k^Z, т. е.
х=(_1)^ + лА, k^Z.
Пример 5. Решим уравнение
sinx = 0,3714.
Согласно формуле (6)
х = (—1)" arcsin 0,37144-лп, n^Z.
С помощью калькулятора находим: arcsin 0,3714 ^0,3805. Пример 6. Решим уравнение
sinsin(х л \ д/2
sin
sin
1 нГ/ — ““Г’
По формуле (6)
■^—75-=(—^ arcsin (—^) + л£, k^Z.■^—75-=(—^ arcsin (—^) + л£, k^Z.Так как arcsinТак как arcsinx = -^-(-l)*-^4^, k^Z.x = -^-(-l)*-^4^, k^Z.
■^—75-=(—^ arcsin (—^) + л£, k^Z.
■^—75-=(—^ arcsin (—^) + л£, k^Z.
Так как arcsin
Так как arcsin
x = -^-(-l)*-^4^, k^Z.
x = -^-(-l)*-^4^, k^Z.
3. При любом t в интервале ^3. При любом t в интервале ^^-; у-у имеется в точности^-; у-у имеется в точности
3. При любом t в интервале ^
3. При любом t в интервале ^
^-; у-у имеется в точности
^-; у-у имеется в точности
т. е.т. е.
т. е.
т. е.
одно такое число t, что tg t = a, — это arctg а. Поэтому уравнение
(7)(7)tg t = a
(7)
(7)
имеет на интервале —£"• 1Г/ длины л в точности один корень. Так как тангенс — периодическая функция с периодом л, остальные корни уравнения (7) отличаются от найденного на ли (n£Zy
t = arctg а + лп, n^Z. (8)
Решение уравнения tg/ = a удобно иллюстрировать, рассматривая линию тангенсов (рис. 60). Напомним, что tg t — это ордината точки Tt пересечения прямой ОР(, с линией тангенсов (см. п. 1). Для любого числа а на линии тангенсов есть лишь одна точка с ординатой а (точка Т (1;а)). Прямая ОТ пересекается с единичной окружностью в двух точках; при этом интервалу ^—5-; -^-) соответствует точка Ptiправой полуплоскости, такая, что t\= arctg а.
Пример 7. Решим уравнение
tgx = V3-
lb) формуле (8) находим решение x = arctg д/Зф- лн n^Z, тик как arctg д/3=-^-, приходим к окончательному ответу:
Х = — + ЛД2, П t
Пример 8. Решим уравнение
tgx = 5,177.
, Из формулы (8) следует, что
% = arctg 5,177-Рли, n^Z.
С помощью калькулятора находим: arctg 5,177^ 1,3800.
Пример 9. Решим уравнение
ctg х= — V3.
Это уравнение равносильно уравнению
■торсе решаем с помощью формулы (8):
х = arctg (— )+лп = —^- + лп, n^Z.
х /6
Упражнения
Решите уравнения (142—150).
14». а)
cos х = ^\ б) cos х=-^\ в) cos х= ——; г) cos х= —-^
143, а)
1•д/З \-1х •д/З
Sin Х = —; б) Sin х— 2 ’ В) Sin Х~2~* г) siru,= "2'
[144* а)
tgx=l; б) tgx=-^-; в) tgx= — 1; г) tgx= — -^.
148. а)
ctgx=l; б) ctgx=-p; в) ctgx= —1; г) ctgx=—р. д/Зд'З
ЦП. а)
147. а)
sin х= —0,6; б) cos х = 0,3; в) tg х= —3,5; г) ctg х = 2,5. cos 2х=-^-; б) sin 4х = 0; в) tg3x=l; г) tg4x = 3.
Нм п)
51П (4 Г 2 :б) C0S 5 ”2 ;
■ и)
tg (3 )—73’Г) ctg-|-=l.
149. a) sin (x —-^-)=^;6) cos(l—x) = 0;
B) tg (4—"t)=V3;г) sin ^—l)=0.
151*. Докажите, что все решения уравнения ctg/ = a находятся по формуле / = arcctg;a + лп, n^Z.
12. Решение простейших тригонометрических неравенств
Решение неравенств, содержащих тригонометрические функции, сводится, как правило, к решению простейших неравенств
вида
sinx<a, cosx^a, tgx>a и т. п.
Рассмотрим на примерах способы их решения. Пример 1. Решим неравенство
sin /<—.
2
(1)
Это неравенство означает, что все точки. Pt единичной окружности при значениях t, удовлетворяющих данному неравенству, имеют ординату, меньшую -~. Множество всех таких точек — дуга /, выделенная на рисунке 61 (причем концы дуги /, имеющие ординату -^-, не входят в рассматриваемое множе
ство, поскольку они не удовлетворяют условию: ординаты ихне меньше, а равны -^-у- Запишем условие принадлежности
точки Р( выделенной
дуге. Концы дуги / — точки Рп и Р5л.
с" 6
Замечая, что Р^ — Р 7л, получаем, чтоё" б"
решения неравенства (1), принадлежащие промежутку [—-|-л;-^-] длины 2л, таковы:
(Обратите внимание: неравенства строгие, поскольку строгим является исходное неравенство.) Вследствие периодичности синуса остальные решения получаются добавлением к найденным чисел вида 2 л и, где n^Z, т. е. окончательный ответ таков:
^ л, условие принадлежности Ра дуге^ л, условие принадлежности Ра дуге2л2л- 2л- 2л3з'3з'(4)(4)Вследствие периодичностиВследствие периодичностикосинусакосинусаНеравенства (3) отличается от значений,Неравенства (3) отличается от значений,любое другое решение удовлетворяющих соот-любое другое решение удовлетворяющих соот-Ношению (4), на 2лн, т. е.Ношению (4), на 2лн, т. е.множествомножестворешений неравенстварешений неравенства(3) состоит из чисел а, таких, что(3) состоит из чисел а, таких, что2л2л33а^^ 4-2ли, n^Z.а^^ 4-2ли, n^Z.
^ л, условие принадлежности Ра дуге
^ л, условие принадлежности Ра дуге
2л
2л
- 2л
- 2л
3з'
3з'
(4)
(4)
Вследствие периодичности
Вследствие периодичности
косинуса
косинуса
Неравенства (3) отличается от значений,
Неравенства (3) отличается от значений,
любое другое решение удовлетворяющих соот-
любое другое решение удовлетворяющих соот-
Ношению (4), на 2лн, т. е.
Ношению (4), на 2лн, т. е.
множество
множество
решений неравенства
решений неравенства
(3) состоит из чисел а, таких, что
(3) состоит из чисел а, таких, что
2л
2л
3
3
а^^ 4-2ли, n^Z.
а^^ 4-2ли, n^Z.
В_?^ + 2ли</<^- + 2ли, n^Z.
■6и
III р и м е р 2. Решим неравенство
cos2/> —|-.(2)
Обозначив 2/ через а, немного упростим исходное нера- |»псгво:
cosa^—-^.(3)
Эго неравенство означает, что все точки Ра единичной окружности при значениях а, удовлетворяющих условию (3), ■еннот абсциссы, большие или равные —— (рис. 62). Все эти
^очки лежат правее прямой х=—|- или на самой этой пря- циП. Значит, множество всех таких точек есть дуга, выделен- liwii на рисунке 62. В отличие от предыдущего примера концы ц(1н дуги входят в искомое множество: абсциссы этих концов бцнны -у- и, значит, удовлетворяют неравенству (3).
| Заметим, что концы дуги / — точки Ргл и Р_2л- Ограничива- Т ~ з
Игь пока рассмотрением углов а, лежащих в пределах от —л / можно записать так:
2л"Ул У"2л"Ул У"4-2лн<2/<^4-2лн<2/<^
2л
"У
л У"
2л
"У
л У"
4-2лн<2/<^
4-2лн<2/<^
■ Переходя снова к переменной t, поручаем ответ:
Пример 3. Решим неравенство tgf^l.(5)
Вследствие периодичности тангенса
неравенство достаточно решить для /£ (—^-;-^-у- Если /— решение неравенства (5), то ордината точки Tt линии тангенсов (см. п.1), равная tg t, должна быть больше или равна 1. Все такие точки лежат на луче АТ (рис. 63). Соответствующие точкам Tt этого луча точки Pt единичной окружности заполняют дугу, выделенную на рисунке 63. Для точек Pt этой дуги выполняется неравенство
Чтобы выписать ответ, остается учесть периодичность тангенса:
+ л/гt<-— 4-ли, n£Z.
42
Упражнения
Решите неравенство (152—158).
a) sinx<^; б) sin х^^; в) sinx<—^;
г) sinx^0,055.
a) cosx>^y-; б) cos х^-^-; в) cosx>—^;
г) cos х> 0,7900.
a)tgx<V3; б) tgx^-^; в) tgx<—V3; г) tgx>10.
a) ctgx>—; б) ctgx^l; в) ctgx^ —;
г) ctg х< — 5.
a) sin2x>-^-; б) cos^<^; в) tg(—1-)<1;
г)* Ctg^^ — 100.
a) Sin(^-x)<^; б) 2 cos (2x4--^)<V3;
в) V3 tg (у- —х)^ 1;г)* ctg (—2х+-^-)^ 1.
а) sin х cos у- + sin -у- cos х^-^-; б) 2 sin х cos х^^;
х . л, лх tgx + tg2x - .
в) sin — cos x4-cos — sin x^ 1; г) , , -L-,—— ^ 1.
661— tg x tg 2x
13. Примеры решения тригонометрических уравненийи систем уравнений
В п. 11 было показано, как решать простейшие тригонометрические уравнения. Решение более сложных тригонометрических уравнений требует знания формул, выражающих свойства тригонометрических функций. Рассмотрим некоторые при
меры.
Пример 1. Решим уравнение
6 sin2 х —5 sin х-р 1 =0.(1)
Введем новую переменную у=$тх. Тогда уравнение (1) можно будет записать в виде
бу2 —5у 4-1=0.
Мы получили квадратное уравнение. Его корнями служат У=у и у=^-. Следовательно, sin х = у- или sinx=y. В пер- вом случае получим решение
х = (—1/arcsin у 4-л^, т. е. х=( — 1/у-p л&. k^Z.
Во втором случае имеем:
х = ( — l)w arcsin у 4- лт, т. е. х = ( — 1)т х04~ л^, ^£2, где хо = a resin у «0,34.
Пример 2. Решим уравнение
6 cos2 х — 5 sin х4-5 = 0.
Заменяя cos2 х на 1—sin2x, приходим к квадратному уравнению относительно sin х:
6(1 —sin2 х) —5 sin х4-5 = 0, откуда — 6 sin2 х —5 sin х4-11 =0, т. е.
6 sin2 х4-5 sin х — 11 =0.
Как и в примере 1, введем новую переменную, обозначив sinx = y. Тогда 6у24*5у—11=0, откуда у=1 или у =—-^-.
6
Уравнение sinx =—у не имеет решений, так как | —у | >1. 1 Решая уравнение sinx=l, находим
х = у4-2л^; k^Z.
f Пример 3. Уравнение
cos 2x4* sin х = 0
также сводится к квадратному уравнению, если cos 2х заменить выражением 1—2 sin2 %, а потом sin х обозначить через у (доведите решение до конца).
Пример 4. Решим уравнение
tg х + 2 ctg х = 3.
Обозначим tg х через у. Поскольку с^Л'=^тр получаем
уравнение
Оно приводится к квадратному уравнению у2 — Зу + 2=0 (при условии у#=0). Его корни: у = 2 иу=1.
tgx = 2, x = arctg 2 + л/г, т. е. х = хо4-л^, k^Z, где х0 = = arctg 2^1,11.
tgx=l, х=-^- + л^, k^Z.
Пример 5. Решим уравнение
(2)(2)3 sin2 к — 4 sin х cos x-{-cos2 х = 0.
(2)
(2)
Значения аргумента, при которых cos х = 0, не являются решениями этого уравнения, так как если cos х = 0, то должно выполняться равенство 3sin2x = 0, а косинус и синус не могут быть одновременно равными нулю. Поэтому можно обе части уравнения разделить на cos2 х (или на sin2 х) и при этом получить уравнение, равносильное уравнению (2):
3 tg2 х —4 tg х+ 1 =0,
откудаоткудаtg х= 1 или tgx=y-.tg х= 1 или tgx=y-.
откуда
откуда
tg х= 1 или tgx=y-.
tg х= 1 или tgx=y-.
Следовательно,
х = 2L 4- ди, n^Z, или x = arctg-^- + лп, n^Z.
Пример 6. Уравнение
sin2 х — sin 2х = 0
после замены sin 2х на 2 sin х cos х приводится к уравнениюsin2 х — 2 sin х cos х = 0.
Разложим левую часть на множители: sin х (sin х —2 cos х) = 0.
откуда sin х = 0, т. е. х = лп, n^Z, или
sin х —2 cos х = 0, tg х = 2, т. е. x = arctg 2 +ли, n^Z,х = Хо + ли, n^Z, где xe = arctg 2« 1,11.
Как и в примере 5, можно было разделить обе части; уравнения на cos2х и получить уравнение
tg2 х —2 tg х = 0.
Если же делить на sin2 х, то нужно учесть, что те х, при которых sin х = 0,— решения данного уравнения. Поэтому к корням полученного после деления на sin2х уравнения
Ictgx — 4- = 0
надо добавить корни уравнения sin х = 0.
Многие другие уравнения, например уравнение sin2 х— [—sin х cos x + cos2 х = 0 или уравнение sin3 х + 2 sin2 х cos х — — 3 sin х cos2 х4-2 cos3 х = 0 и т. п., также решаются делением левой и правой частей уравнения на косинус (или синус) в степени, равной степени уравнения. Предварительно надо проверить, являются ли значения х, для которых cosx = 0 (sin х = 0 при делении на sin" х), решениями данного уравнения. Так, уравнения второй степени делят на cos2 х (или sin2 х), а третьей — на cos3 х (или sin 3 х). Потом заменой tg х (или ctg х) на у получают алгебраическое уравнение.
Пример 7. Решим систему уравнений
( sin х = 2 sin у.
Из первого уравнения находим: у = х-^-." Тогда 2 sin z/= = 2 sin (х—) = 2 (sin х cos — cos х sin ~ ) = 2(sinx" +
/з \
Ч-у-cos х j=sin х + д/З cos х, второе уравнение системы примет вид: sin х — sin x + V3 cos x, откуда cos x = 0, x = у 4- л/z, где n^Z. Далее находим:
5л л . 5л7л „
У = Х-=у4-лнз"=л,г—ё". «6^-
Ответ: х=-^- + лл, у = яп — nPZ. 2J6
Упражнения
Решите уравнения (159—166).
а) 1+cos x + cos 2х = 0;б) 3 — cos2 х —3 sin х = 0;
в) 4 sin х = 4 — cos2 х;г) tg x-j-ctg х = 2у-.
160.160.161.161.а) в) а)а) в) а)221 —cos х —2 sin -|-;1 —cos х —2 sin -|-;б)б)б)б)162.162.163.163.в)а) в)а)в)а) в)а)cos 2х = 2-^ sin х;cos 2х = 2-^ sin х;cos x + sin x = 0;6)3 cos2 x = 4 sin x cos x— sin2 x;cos x + sin x = 0;6)3 cos2 x = 4 sin x cos x— sin2 x;в)в)53 cos x 4-4253 cos x 4-422;2;б)б)164.164.а)а)в)в)3^/2 sin x — 13_5 tg x4~843^/2 sin x — 13_5 tg x4~84б)б)2 '2 '165.165.а)а)Olli A —I*1,5 sin x+ 3’Olli A —I*1,5 sin x+ 3’б)б)в)в)166.166.а)а)6tgx + 2:15sin x+ 16tgx + 2:15sin x+ 13 —tg х;3 —tg х;11 —2 sin11 —2 sinх;х;в)в)167.167.tg ^+ 1tg ^+ 12 ctg х— 1;2 ctg х— 1;, , /7л \ , tg tg AJ= 1 3 cos x —2 sin 2x = 0., , /7л \ , tg tg AJ= 1 3 cos x —2 sin 2x = 0.53 sin x4-4253 sin x4-422 ’2 ’уЗ sin х — cos х = 0.cos2 х — 3 sin х cos x = — 1;г) 4 cos2 x — 7 sin 2x = 2.= 2;уЗ sin х — cos х = 0.cos2 х — 3 sin х cos x = — 1;г) 4 cos2 x — 7 sin 2x = 2.= 2;3^2 cos x— 13_5 ctg x4-82V5 ctg x4- 52 cos x4"71,5 cos x4~33^2 cos x— 13_5 ctg x4-82V5 ctg x4- 52 cos x4"71,5 cos x4~34 "4 "= 2;= 2;6 o .-3 — ctg x.ctgx4-266 o .-3 — ctg x.ctgx4-26б)б)—11—2 cos x; COS X4-1—11—2 cos x; COS X4-11010Решите систему уравнений: а) ( sin x + cos i/=0.Решите систему уравнений: а) ( sin x + cos i/=0.tg х4-2tg х4-2— 3 —ctg х.— 3 —ctg х.2 *2 *в)в)X —£/ =X —£/ =113 *3 *cos2 лх — соз2л1/ = 0;cos2 лх — соз2л1/ = 0;СведенияСведенияииб)б)sin х cos sin у cossin х cos sin у cosу —0,25,х = 0,75;у —0,25,х = 0,75;лT’лT’tgxtg//= —tgxtg//= —з историиз истории
160.
160.
161.
161.
а) в) а)
а) в) а)
2
2
1 —cos х —2 sin -|-;
1 —cos х —2 sin -|-;
б)
б)
б)
б)
162.
162.
163.
163.
в)
а) в)
а)
в)
а) в)
а)
cos 2х = 2-^ sin х;
cos 2х = 2-^ sin х;
cos x + sin x = 0;6)
3 cos2 x = 4 sin x cos x— sin2 x;
cos x + sin x = 0;6)
3 cos2 x = 4 sin x cos x— sin2 x;
в)
в)
5
3 cos x 4-4
2
5
3 cos x 4-4
2
2;
2;
б)
б)
164.
164.
а)
а)
в)
в)
3^/2 sin x — 1
3_
5 tg x4~8
4
3^/2 sin x — 1
3_
5 tg x4~8
4
б)
б)
2 '
2 '
165.
165.
а)
а)
Olli A —I*
1,5 sin x+ 3’
Olli A —I*
1,5 sin x+ 3’
б)
б)
в)
в)
166.
166.
а)
а)
6
tgx + 2:
15
sin x+ 1
6
tgx + 2:
15
sin x+ 1
3 —tg х;
3 —tg х;
11 —2 sin
11 —2 sin
х;
х;
в)
в)
167.
167.
tg ^+ 1
tg ^+ 1
2 ctg х— 1;
2 ctg х— 1;
, , /7л \ , tg tg AJ= 1 3 cos x —2 sin 2x = 0.
, , /7л \ , tg tg AJ= 1 3 cos x —2 sin 2x = 0.
5
3 sin x4-4
2
5
3 sin x4-4
2
2 ’
2 ’
уЗ sin х — cos х = 0.
cos2 х — 3 sin х cos x = — 1;
г) 4 cos2 x — 7 sin 2x = 2.
= 2;
уЗ sin х — cos х = 0.
cos2 х — 3 sin х cos x = — 1;
г) 4 cos2 x — 7 sin 2x = 2.
= 2;
3^2 cos x— 1
3_
5 ctg x4-8
2
V5 ctg x4- 5
2 cos x4"7
1,5 cos x4~3
3^2 cos x— 1
3_
5 ctg x4-8
2
V5 ctg x4- 5
2 cos x4"7
1,5 cos x4~3
4 "
4 "
= 2;
= 2;
6 o .
-3 — ctg x.
ctgx4-26
6 o .
-3 — ctg x.
ctgx4-26
б)
б)
—11—2 cos x; COS X4-1
—11—2 cos x; COS X4-1
10
10
Решите систему уравнений: а) ( sin x + cos i/=0.
Решите систему уравнений: а) ( sin x + cos i/=0.
tg х4-2
tg х4-2
— 3 —ctg х.
— 3 —ctg х.
2 *
2 *
в)
в)
X —£/ =
X —£/ =
1
1
3 *
3 *
cos2 лх — соз2л1/ = 0;
cos2 лх — соз2л1/ = 0;
Сведения
Сведения
и
и
б)
б)
sin х cos sin у cos
sin х cos sin у cos
у —0,25,х = 0,75;
у —0,25,х = 0,75;
л
T’
л
T’
tgxtg//= —
tgxtg//= —
з истории
з истории
Задачи, которые теперь решаются при помощи тригонометрических функций, возникли давно. Особенно серьезные требования к умению решать такие задачи в древности предъявляла астрономия. Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников, составленных из лежащих на сфере дуг больших кругов. Они неплохо справлялись с более сложными задачами, чем задачи на «решение» плоских треугольников, которыми вы занимались в VIII классе.
Вместо наших таблиц тригонометрических функций древние математики составляли таблицы длин хорд, стягивающих дуги заданной длины. Самые ранние такие таблицы, составленные
греческими математиками еще в III—II вв. до н. э., не дошли до нас. Наиболее древние сохранившиеся таблицы длин хорд были составлены в Александрии астрономом Птолемеем (II в. н. э.). Они содержат длины хорд окружности с шагом 30'. Длины хорд записаны в виде трехзначных шестидесятеричных дробей, т. е. в виде
а , b ( с60 ' 605 ‘ 60*’где а, Ь, с — целые числа от 0 до 59.
Тригонометрические функции sin, cos, tg, ctg, sec, cosec как отношения длин отрезков, проведенных в окружности, встречаются у индийских и арабских математиков в V—X вв. Индийский математик Ариабхата (конец V в.) знал формулу sin2 а + cos2 а = 1 и даже формулу для синуса, косинуса и тангенса половинного угла, которые служили ему для составления таблиц этих функций.
В Западной Европе тригонометрия активно развивалась в XV—XVI вв. Ряд результатов принадлежит французскому математику Ф. Виету (1540—1603). С возникновением дифференциального исчисления были найдены формулы для производных тригонометрических функций. Они по существу были известны уже И. Ньютону. Их геометрический вывод можно найти у Котеса (1682—1716). Достаточно ясные представления о поведении тригонометрических функций при изменении аргумента от —оо до +оо встречаются у Д. Валлиса (1616—1703). Но, вообще говоря, математики до Л. Эйлера (1707—1783) не проявляли в этом отношении большой последовательности и в связи с отдельными задачами ограничивали область определения тригонометрических функций различным образом. Не было ясности и в отношении того, что имеется в виду: числовые функции числового аргумента или зависимость длин отрезков от величин углов или длин дуг.
Современный вид теория тригонометрических функций приобрела только у Л. Эйлера, в частности в его книге «Введение в анализ бесконечно малых» (1748).
Вопросы и задачи на повторение
1) Что такое угол в 1 радиан? Запишите формулы, связывающие радианную и градусную меры.
Переведите в радианную меру угол: а) 360°; б) —180°; в) 18°; г) 1°.
Переведите в градусную меру угол:
а) л рад; б) у- рад; в) —у- рад; г) 1 рад.
1) Что такое единичная окружность? Дайте определения синуса и косинуса угла а.
Найдите (не пользуясь калькулятором или таблицами) значения sin а и cos а, если а равно:
а) А; б) ~л; в) —|-л; г) 30°; д) 570°; е) -240°.
(Предварительно постройте на единичной окружности точку Р„.)
Найдите значения sin а и cos а с помощью калькулятора или таблиц, если а равно:
а) 23°24'; б) 102°8'; в) 1,2; г) —0,7.
1) Дайте определения тангенса и котангенса угла а. При каких значениях а определены tg а и ctg а? Что такое линия тангенсов?
Найдите (не пользуясь таблицами и калькулятором) значения tg а и ctg а, если а равно:
а) 30°; б) 45°; в) ~л; г) -j-л; д) --~л.
Найдите значения tg а и ctg а с помощью калькулятора или таблиц, если а равно:
а) 39°12'; б) 146°7'; в) 1,7; г) —0,4.
1) Запишите формулы, связывающие значения тригонометрических функций одного аргумента.
Упростите выражение:
а) 1 +tg2 а; б) 1 +ctg2 а; в) (sin а + cos а)2; г) (sin а — cos а)2.
Докажите тождество:
. cos a 14-sinasin a 14-cosa
* 1 —sin a cos а1 —cos a sin а
1) Укажите знаки sin a, cos a, tg а и ctg а в зависимости от того, в какой координатной четверти лежит а.
Определите знак:
а) sin 11°; б) sin-у-л; в) cos 112°; г) cos (——•);
д) tg 100°; е) tg (—^-л); ж) ctg (—100°); з) ctg 8.
По данному значению одной из тригонометрических функций и интервалу, в котором находится а, найдите значения других трех основных тригонометрических функций:
а) sina=-^-, —СаСл; б) cos а=у-, ОСаС-^-;
в) tga=y-, лСаС-у-; г) ctga=—3, у<а<2л.
1) Сформулируйте мнемоническое правило для запоминания формул приведения. Запишите несколько формул приведения.
Приведите к значению тригонометрической функции острого угла:
а) sin 231°; б) cos ( — 500°); в) tg (—^-л^; г) cos^n.
Упростите выражение: a) sin^+cos^+tg^L;
б) sin (180°-a) cos (180° +а) tg(-q)
sin (а-270°) ctg («+у )cos (-а—£ )
1) Запишите формулы косинуса, синуса, тангенса суммы (и разности).
Вычислите (не пользуясь таблицами) значение синуса, косинуса и тангенса:
а) 7^ ^) ^^° (воспользуйтесь тем, что — =—_;
75° = 45° + 30°).1234
Докажите тождество:
sin(a + -^) +sin(a—^ = ^sina;
tg« + tg(60°-a) _
’ i-tgatg(60°-a)
X sin (a 4- В) ,. ._
^^^“-Hgp;
г) cos 2a cos 3a —sin 2a sin 3a = cos 5a.
1) Запишите формулы двойного аргумента.
Вычислите sin 2a, cos 2a, tg 2a и ctg 2a, если известно что:
a) cosa=— и 0<a<-£-; б) sina=||- и cosacO.
Упростите выражение:
а) Г—tg- a @ cos2 a — *)*б) *—(cos a —sin a)2.
1) Запишите формулы суммы и разности косинусов (синусов).
Вычислите, не пользуясь таблицами:
а) cos 117° +cos 63°; б) sin 225° — sin 75°;
в) Sin^+sin^; г) eos^-cosi.
Упростите выражение:
а) ^<7• б) Sln (т+“)+5,п ("3—а)
Докажите тождество:
в)в)0*. 1)2)0*. 1)2)cos a 4- cos 3a , n
в)
в)
0*. 1)
2)
0*. 1)
2)
—— ■— = ctg 2a;
sin a 4-sin 3ab
sin 2a4-sin 4a-|-sin 6a = 4 sin 3a cos 2a cos a.
Запишите формулы половинного аргумента.
I Злз и ТI Злз и ТНайдите sin —, cos -у, tg -^- и ctg -^-, если известно, что:
I Злз и Т
I Злз и Т
; б) sin a= — 4- и л<а<4- л. о2
Упростите выражение:
х sin а . а -2l+c°sa+~2 а ~ ?
а) -ctg — sin а; б) —!tg — cos а.
' 1 -pcos а Б 2’ 1 —cos а 6 2
1) Что такое функция, ее область определения и область значений?
Найдите область определения функции:
а) у=^"х; б) У-^.^ У=^-
г> у=;^т; д) у=йЬ-
Найдите область значений функции:
а) У=-^;б) z/=-L + l; в) у = х2—\;
г) ^ = 2sinx+l; д) y = tg2x;е) y = cos2 х.
1) Что такое график функции?
Является ли множество точек, изображенное на рисунке 64, графиком какой-либо функции?
Постройте график функции:
а) у= — 2x4-3; б) У=^|-[; в) у = х2 — <1х; г) y=xjx-V\.
1) Дайте определения возрастающей и убывающей функции.
Найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции, график которой изображен на рисунке 65.
Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
а) у=— 3x4-1; б) у=—^; в) ^ = 2х24-4х; г) у=х\
1) Дайте определения точек экстремума (точек максимума и точек минимума) функции. Что такое экстремум функции?
Укажите точки максимума и минимума функции, график которой изображен на рисунке 65.
Найдите точки максимума и минимума функции:
а) у = (х-3)2 + 2;6) y=l-(x-2f;
в) t/ = sin х;г) у = tgx.
1) Какие задачи решаются в ходе исследования функции?
Проведите исследование функции:
a) y — x2 — 4x + 3;6) z/ = cosx —2;
в) y = 2 sin x + 1; r) y=— y-.
Постройте графики этих функций.
I) Дайте определения четной и нечетной функции. Каким свойством обладают графики четной и нечетной функции? 2) Выясните, какая из указанных ниже функций является четной, а какая нечетной:
а) у = х2;б) у=х5;в) У=-|-;
F г) у = х + х3;д) У = ^;е) у=к|.
Какие из функций являются четными, какие нечетными, какие не являются ни четными, ни нечетными:
a) f(x) = sin3x;б) g(x) = xsinx;
в) h(x')=^-^-;г) ц (х) = х + cos х?
1) Дайте определение периодической функции. Что такое период функции? Каким свойством обладает график периодической функции?
Какой наименьший положительный период имеет функция: a) z/ = sin х; б) y = cosx; в) z/ = tgx; г) z/ = ctgx?
Найдите наименьший положительный период функции:
a) f(x) = sin2x;б) g(x) = cos-y;
в) /z(x) = tg-^—{-1;г) u (х) = cos (4х + 1).
1) Перечислите основные свойства синуса, косинуса и тангенса.
Пользуясь свойством соответствующей функции, докажите неравенства:
sin 290° <sin 310° <sin 370° <sin 400° <sin 430°;
cos (— 317°) > cos (— 280°) > cos (— 213°) > cos (— 193°);
tg (- 253°)<tg (-200°)<tg (- 175°)< t g (— 147°)< <tg(-112°);
r) sin 4,7<sin 5,1 <sin 5,6<sin 6,2 <; sin 7<sin 7,8.
Постройте график функции (сделав параллельный перенос синусоиды вдоль оси абсцисс):
a) y = sin(x—-у); б) у = cos (х+у-) .
1) Сформулируйте теорему о корне.
Дайте определение арксинуса числа. Для каких чисел определен арксинус?
Вычислите:
a)arcsin0; б) arcsinl; в) arcsiny-; г) arcsin^ —^).
I) Дайте определение арккосинуса числа.
Для каких чисел определен арккосинус?
Вычислите:
1(1
a) arccos 0; б) arccos 1; в) arccos —; г) arccos ^ —
1) Дайте определение арктангенса числа.
Для каких чисел определен арктангенс?
Вычислите:
a) arctg 0; б) arctg 1; в) arctg ( — 1);г) arctg д/З.
1) Запишите формулы для решения простейших тригонометрических уравнений: sin х=а, cosx=a, tgx=a.
При каких а простейшие тригонометрические уравнения имеют решения?
С помощью единичной окружности укажите углы а, являющиеся решениями уравнения:
a) sin a = 0,7;б) cos ос =—0,3;
в) tga=—2;г) sin а =—0,4.
Решите уравнение:
cos2 х — sin2x=l;б) 4 sin х cos х=-^\
2 sin2 х + 3 sin х = 2; г) 2 cos2 х — 5cosx=3;
tg2 х —4 tg х + 3 = 0; е) 6 sin2 х —4 sin х cos х= 1.
Укажите с помощью единичной окружности углы а, являющиеся решениями
б) cos х .б) cos х .а) sin a> —Х—;
б) cos х .
б) cos х .
в) tg a<3;
Дополнительные упражнения к главе I
Может ли синус (косинус) быть равным:
а) -—; б) а4Ла) -—; б) а4Л11ааГ) ^(а>о, Ь>0)? а + ЬГ) ^(а>о, Ь>0)? а + Ь
а) -—; б) а4
Л
а) -—; б) а4
Л
1
1
а
а
Г) ^(а>о, Ь>0)? а + Ь
Г) ^(а>о, Ь>0)? а + Ь
а)в)а) б) в)г)а) б) в) г)а)в)а) б) в)г)а) б) в) г)
а)
в)
а) б) в)
г)
а) б) в) г)
а)
в)
а) б) в)
г)
а) б) в) г)
Упростите выражение (169—172).
tg2 a l+ctg2a. gx ctg р —ctg a .
l+tg2a ctg2 a ’tga — tg ₽
tgp + tga .x sin a sin p ct
ctgP4*ctga’' cos a cos p
1 +tg2 <p —tg2 Ф (cos2 ф + 1);
(1 +sin2 ф) ctg2 ф — 1 — ctg2 ф;
E2^L^_ctg2a^^ sin a sin p
^ЦЫ-ctgpcos p. sin p
(3 sin x + 2 cos x)2 + (2 sin x —3 cos x)2;
tg2 x —sin2 x —tg2 x sin2 x;
(tg ф + l)2 + (tg Ф— l)2 + (ctg ф+ l)2 + (ctg ф— I)2;
A^n^TT^+ctg'pH^cos7^^
172 a) cos g"^sin a •6) s*n P~cos P
sina—cos a *sinp4-cosp
Вычислите значение выражения 3 cos a+2 sin a если:
2 cos a —3 sin a *
a) tga = ^-;6) ctga=-l-;
в) tga=—1-;r) tga=—2.
Дано: sin/ + cos/ = m. Выразите через тл
a) sin t cos /;6) sin3 Z + cos31.
Дано: tg ф + ctg ф = /и. Выразите через m;
a) tg^ + ctg2<p;6) tg3 <p + ctg3 ф.
а) Дано: cos2 a —sin2 0 = 0,5. Найдите sin2 a —cos2 0.
Дано: sin2 a + cos2 0> 1. Докажите, что cos2a + + sin2 0< 1.
Докажите тождества (177—184).
sin2 a sin2 0 + sin2 a cos2 0 + cos2 a = 1.
(tg a + ctg a)2—(tg a —ctg a)2 = 4.
-x sin2 a . 2 cos2 a .9«
a) —21——sin2a = l;
tg2 a ctg2 a
6)6)— 4 sin / cos21* n . ,.
6)
6)
— = 1 — 2 sin t cos t.
(sin /4-cos if
180. a)180. a)cos3/ — sin3/,.,, — ,-=cos t — sin t;1 4-Sin / cos /cos3/ — sin3/,.,, — ,-=cos t — sin t;1 4-Sin / cos /6)6)cos3 /-f-sin3 /1 — sin / cos /cos3 /-f-sin3 /1 — sin / cos /= cos f + sin t.= cos f + sin t.
180. a)
180. a)
cos3/ — sin3/,.,
, — ,-=cos t — sin t;
1 4-Sin / cos /
cos3/ — sin3/,.,
, — ,-=cos t — sin t;
1 4-Sin / cos /
6)
6)
cos3 /-f-sin3 /
1 — sin / cos /
cos3 /-f-sin3 /
1 — sin / cos /
= cos f + sin t.
= cos f + sin t.
181а) Л/ ~COS f — *sin ^ • -Д/1 — sin / 1 cos /1
*l+cos/ 1 4-cos/’*1+sin /14-sin /
(sin a + tg a) (cos a+ctga) = (l + sin a)(l + cosa).
sin3 a (1 + ctg a) + cos3a(1 +tg a) = sina + cosa.
184.184.2 sin / cos / sin /4-cos /2 sin / cos / sin /4-cos /= sin t + cos t.= sin t + cos t.если sin />cos t.если sin />cos t.Vi —2 sin / cos / t
184.
184.
2 sin / cos / sin /4-cos /
2 sin / cos / sin /4-cos /
= sin t + cos t.
= sin t + cos t.
если sin />cos t.
если sin />cos t.
sin2/—cos2/*
С помощью формул приведения замените значением тригонометрической функции острого угла:
а) cos 108°; б) sin 250°; в) tg 165°; г) cos 317°;
д) sin (—157°); е) tg(—144°).
Приведите к значению тригонометрической функции угла первой четверти:
1 а) sin^; б) COS^.; в) ctg^L; г) sin^.
Приведите к значению тригонометрической функции положительного угла, меньшего 45°:
а) cos 89°; б) tg 68°; в) sin 71°; г) ctg 47°.
Приведите к значению тригонометрической функции наи- . меньшего положительного аргумента:
* а) 5‘п^: б) cos 2-1-л; в) tgг) cos
•\ о /\3 /
189.189.190.190.Вычислите без таблиц и калькулятора: a) sin 75° cos 75°;10 ctg 135° sin 210° cos 225°;2 sin^225° —ctg 330° tg 405°;r) sin 167° sin 107° +sin 257° sin 197°.Вычислите без таблиц и калькулятора: a) sin 75° cos 75°;10 ctg 135° sin 210° cos 225°;2 sin^225° —ctg 330° tg 405°;r) sin 167° sin 107° +sin 257° sin 197°.191.191.Упростите выражение:a) cos (л — a) ctg (-£—a);. 2 /З.Ч \—Sin2 y— +xу1—sin2(n + x)Докажите тождество:1\4 1 2 /6 \42Упростите выражение:a) cos (л — a) ctg (-£—a);. 2 /З.Ч \—Sin2 y— +xу1—sin2(n + x)Докажите тождество:1\4 1 2 /6 \42cos (л —p)tg( —a)cos (л —p)tg( —a)cos2 (л — a)cos2 (л — a)i /3л1 — cos I —— ai /3л1 — cos I —— a6)B)6)B)sin a —sin 3a cos a — cos 3asin a —sin 3a cos a — cos 3a= —ctg 2a;= —ctg 2a;sin (x — л) tgsin (x — л) tgctg (л —x)ctg (л —x)
189.
189.
190.
190.
Вычислите без таблиц и калькулятора: a) sin 75° cos 75°;
10 ctg 135° sin 210° cos 225°;
2 sin^225° —ctg 330° tg 405°;
r) sin 167° sin 107° +sin 257° sin 197°.
Вычислите без таблиц и калькулятора: a) sin 75° cos 75°;
10 ctg 135° sin 210° cos 225°;
2 sin^225° —ctg 330° tg 405°;
r) sin 167° sin 107° +sin 257° sin 197°.
191.
191.
Упростите выражение:
a) cos (л — a) ctg (-£—a);
. 2 /З.Ч \
—Sin2 y— +xу
1—sin2(n + x)
Докажите тождество:
1\4 1 2 /6 \42
Упростите выражение:
a) cos (л — a) ctg (-£—a);
. 2 /З.Ч \
—Sin2 y— +xу
1—sin2(n + x)
Докажите тождество:
1\4 1 2 /6 \42
cos (л —p)tg( —a)
cos (л —p)tg( —a)
cos2 (л — a)
cos2 (л — a)
i /3л
1 — cos I —— a
i /3л
1 — cos I —— a
6)
B)
6)
B)
sin a —sin 3a cos a — cos 3a
sin a —sin 3a cos a — cos 3a
= —ctg 2a;
= —ctg 2a;
sin (x — л) tg
sin (x — л) tg
ctg (л —x)
ctg (л —x)
r) sin2 (a - 630°). = । + cos (a _ gooy
' 14-sin( —a)v
Докажите, что следующие функции являются четными:
х i_2 „.| . |х X—tgx х sin X COS X
а) tg х, б) x+cosx в) =—; г) ——.
*'х — sinx * 2tgx + x
Докажите, что следующие функции являются нечетными: X - X. 5X3 IXsin х + х
а) sin—;б) tg5x;в)x^ + sinx;г)———.
Объясните, почему указанные ниже функции не являются ни четными, ни нечетными. Периодические ли они?
а) д/х; б) ”~[! в). х+1; г) х2 + ^+1; д) sin x+cosx.
б) Вычислите sinб) Вычислите sinа) Вычислите sinf-y+a^ , если sina=-|- и 0<а<-тр
б) Вычислите sin
б) Вычислите sin
^—а) , если tga = 2 и л<а<-у-.
Вычислите cos(a + 0), если:
\9• о 40Зл л о
a) cos а = ——, sin 0 = —, л<а<—, — <р<л;
198.198.201.201.202.203.204.205.202.203.204.205.cos a cos p — cos (a + p) . cos (a — P) — sin a sin pcos a cos p — cos (a + p) . cos (a — P) — sin a sin p6)в)6)в)ctg a ctg p — 1;ctg a ctg p — 1;cos (a + P) sin a sin pcos (a + P) sin a sin pa)6)a)6)a)6)a)6)
198.
198.
201.
201.
202.
203.
204.
205.
202.
203.
204.
205.
cos a cos p — cos (a + p) . cos (a — P) — sin a sin p
cos a cos p — cos (a + p) . cos (a — P) — sin a sin p
6)
в)
6)
в)
ctg a ctg p — 1;
ctg a ctg p — 1;
cos (a + P) sin a sin p
cos (a + P) sin a sin p
a)
6)
a)
6)
a)
6)
a)
6)
79
Дано: tga = —, tgP = —. Найдите:
a) tg(a + P); 6) tg(a — p); в) ctg(a + p); r) ctg(a-P). Докажите равенство:
sin 32° cos 15° + cos 32° sin 15° = sin 26° cos 21 ° +
4-cos 26° sin 21°.
Упростите выражение:л 2л л . 2л
а ) Sin 35° cos 20° — cos 35° sin 20° .- sin — cos — — cos — sin —
cos 44° cos 29° + sin 44° sin 29° ’' Зл л Зл л"
Cos14Cosn+sinT4SinH
sin (a 4-p) 4-sin (a —P) cos (a + P) + cos (a — P) '
Докажите тождества (201—207).
a) sin (x + -y- )=—(sin x + cos xY \4 /
cos (x + " )=~(cos x — sin x\
\ 4 / -^
sin (a — P) sin (a + p) = cos2 p — cos2 a, cos (a + P) cos (a —p) = cos2 p —sin2 a;
sin+x)-cos (y + ^Jtg2 (r + a)-1
a) —7^г\=^gx; - 6) = sin 2a.
sin+ xj + cos + xjtg2 ^+a j+1
a) 'fg-iKS- = ,6) ( 2a_,=_lg=_
I4-tg4atg3a e6B cos 2a
a) cos 2“ — cos « — sin a .gv 1—cos 2a 4-sin 2a
4-sin 2a cos a 4* sin a* 14-cos 2a4-sin 2a ®
(sin X cos r/ + cos X sin f/)2 + (cos x cos y — sin x sin t/)2 = 1; sin3 x(l —ctg x) + cos3 x(tg X— l) = sin x — cos x. tg (т+т)-‘е (т-f )=2|g^.
cos a I / л a\
1 4-sin a ° \ 42 / '
208*. Найдите sin -|-, cos y-, tg -|- и ctg y- , если:
sin a = 0,8 и 0<a< —,
132
tga = 3y- и 180°<a<270°.
,69
Представьте в виде произведения (209—210).
a) sin2 х — sin2 у, б) tg2a — tg2 0.
а) cos x + cos 2x + cos Зх + cos 4x;
sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x.
в) y-+sin a;e) — cos2 a.в) y-+sin a;e) — cos2 a.Следующие выражения преобразуйте в произведение введением вспомогательного аргумента (например, l=sin-^-^:
в) y-+sin a;
e) — cos2 a.
в) y-+sin a;
e) — cos2 a.
a) 1+sina; б) ^—sin a;
г)—sin 35°; д) —sin2 а;
212*. Пользуясь формулами, выражающими sin a, cos a, Iga, ctg а через tg у- (см. № 240), найдите:
sin a, cos a, tg а и ctg a, если tg y-=3;
sin 2a, tg 2a, cos 2a и ctg 2a, если tg a=—.
Решите уравнение (213—217).
а) 3 cos 2x = 7 sin x; 6) 2 cos 2x = 7 cos x.
a) sin4 у—cos4y-=y-; 6) cos4 x —sin4 x=^.
a) cos2 x + 4 sin2 x = 2 sin 2x;6) sin2 x — ^ sin 2x = cos2 x.
a) 4 (1+cos x) = 3 sin2-|-cos y-;
4(1—cos x) = 3 sin y-cos2 y-.
a) sin x + sin 3x = 0;6) sin 5x —sin x = 0;
в)' cos 2x — cos 6x = 0;r) cos 4x-|-cos 2x = 0.
Решите неравенство (218—223).P
a) — sin2xH—— sin2 2x<cos 2x; 44
sin x (cos x — sin x) <. 2.
a) cos2 x +cos2 2x +cos2 3x-f-cos2 4x^2;
cos2x^cos3x— cos 4x.
а) д/З tg2 x —4 tg х + д/3>0;
V3 ctg2 x — 4 ctg х + д/3>0;
4sin2x —2(д/2—1) sin x —д/2<0;
4 cos2 x + 2 (д/2 — 1) cos x —д/2<0.
a) -— x+3c2- гл 4cosx+3 9
3 cos x +1з cos x _|_ ।
a) —^—<11—2 sin x; 6) —^—< 11 — 2 cos x.
sinx+l' cosx+1
a) —2 , <2 —tgx; 6) -- 2--..>2 — ctg x.
tgx-H °Ctgx+lb
70. .
225.
Проверьте равенство:
a) arccos 0 + arcsin ^-=—; б)
(\_/2
— 2 )+ arcsin 2 =^;
arccos (— 1)4-arccos 1 = л;
г) arcsin -^—|-arccos -^-=-^-
Вычислите без таблиц и калькулятора:
arcsin -^+ arcsin -^-;
arcsin (—^4-arccos ( Докажите тождество (226 a) cos (arcsin х)=д/1—х2;
tg (arcctg х)=-^-;
a) cos(arctgx) =—1:
V1 +х2
в) cos (arcctg x) = JL= ;
"VH-x2
arcsin 4-arccos /22
—^); r) arctg (—l)4-arctg д^.
-227).
6) sin (arccos x) = "\/l —x2;
r) etg (arctg x)=-^-.
6) sin (arctg x)= r—= »
Vl+x2
r) sin (arcctg x) = r^^*
Докажите, что при всех допустимых значениях выполнено
неравенство
sin x-Hg х ^^ cos х -pctg х ''"
Докажите тождество (229—234).
cos6 04-sin6 р = 1 — 3 sin2 Р cos2 Р;
3 (sin4 р 4-cos4 р) — 2 (sin6 P4-cos6 р) = 1.
. 1 1 +<r2 «.
’ l+sinacosa 14-tga + tg2a*
6) ^^^=1 W«4-tg2^^^
а)
б)
sin2 <p cos <p —sin ф cos <p+sin у = 1 _^_ cos ^ _|_ fg (p;
COS <p (1 —cos qi)2Д2£1й1^р+д£^зД1^!£—Т_£1к1зе II12 cos2 q)-|-sin2 <p—1cos2 <p cos2 q> sin2 <p
sin <P — v^ cospcosy
sin (y —a) cos у cos a
sin (a —P)q cos a cosp
a) ‘K^+^-'K^-'Usin 2x; 6) etg4~tg -5-=2 etg a. ' Ig (45°+ x)+tg (45 — x)< s 2 Б 26
^»-sin3a=_ct 2a
cos ct — cos 3a
L Упростите выражение (235—237).
14-sin 2x .1 — sin 2x
(sin x-f-cos x)2 *(sin x — cos x)2
VI4-cos <p1 — cos <pVI4-cos <p1 — cos <pa) 1 — 8 sin2 / cos2/;6) 2 cos2—1.
VI4-cos <p
1 — cos <p
VI4-cos <p
1 — cos <p
237 a) 1 +cos 4x+sin 4x •б) -л/1-COS(p 1
I — cos 4x4-sin 4x ** 1 4" cos <p
Найдите значения sin 4a и cos 4a, если tg2a = 8.
Найдите значение sin 4a, если tga = 3.
Докажите формулы:
sin acos p=-^-(sin (a + 0)H-sin (a —P));
cos a cos P = y- (cos (a — P) 4- cos (a + P)); в) sin a sin p=y(cos (a — P) — cos (a + P));
e)e)sin asin atg atg aCt 2tgy1 +tg2-a2tgTCt 2tgy1 +tg2-a2tgTд) cos a =д) cos a =l-tg2yl-tg2yж) ctg a =ж) ctg a =*-tgz4rё 2•WyI i 2 a-tg Ta2tgT*-tgz4rё 2•WyI i 2 a-tg Ta2tgTПри решении упражнений 241—249 используйте формулы изПри решении упражнений 241—249 используйте формулы изупражнения 240.упражнения 240.241.242.243.244.241.242.243.244.Преобразуйте выражение (241—243).а) cos 40° cos 50°;^) cos 1^со5 1^*в) sin^sin^^; г) sin 105° sin 15°-4-.242444а)sin (x4--y)sin (х—^;б)sin (a +у-) sin (a—^;в)cos (х + р) cos (х— Р);г)sin (x-f-a) sin (х — a).а)4 sin 30° sin 20° sin 10°;6)4 cos 60° cos 20° cos 10°;в)4 sin 25° cos 15° sin 5°;r)8 cos 1° cos 2° cos 4° cos 8°.Преобразуйте выражение (241—243).а) cos 40° cos 50°;^) cos 1^со5 1^*в) sin^sin^^; г) sin 105° sin 15°-4-.242444а)sin (x4--y)sin (х—^;б)sin (a +у-) sin (a—^;в)cos (х + р) cos (х— Р);г)sin (x-f-a) sin (х — a).а)4 sin 30° sin 20° sin 10°;6)4 cos 60° cos 20° cos 10°;в)4 sin 25° cos 15° sin 5°;r)8 cos 1° cos 2° cos 4° cos 8°.Представьте в виде, удобном для вычисления без таблиц, и вычислите (244—246).а) 2 sin 22°30' cos 7°30'; б) cos 45° cos 15°.Представьте в виде, удобном для вычисления без таблиц, и вычислите (244—246).а) 2 sin 22°30' cos 7°30'; б) cos 45° cos 15°.
e)
e)
sin a
sin a
tg a
tg a
Ct 2tgy
1 +tg2-a2tgT
Ct 2tgy
1 +tg2-a2tgT
д) cos a =
д) cos a =
l-tg2y
l-tg2y
ж) ctg a =
ж) ctg a =
*-tgz4r
ё 2
•Wy
I i 2 a
-tg T
a
2tgT
*-tgz4r
ё 2
•Wy
I i 2 a
-tg T
a
2tgT
При решении упражнений 241—249 используйте формулы из
При решении упражнений 241—249 используйте формулы из
упражнения 240.
упражнения 240.
241.
242.
243.
244.
241.
242.
243.
244.
Преобразуйте выражение (241—243).
а) cos 40° cos 50°;^) cos 1^со5 1^*
в) sin^sin^^; г) sin 105° sin 15°-4-.
242444
а)sin (x4--y)sin (х—^;б)sin (a +у-) sin (a—^;
в)cos (х + р) cos (х— Р);г)sin (x-f-a) sin (х — a).
а)4 sin 30° sin 20° sin 10°;6)4 cos 60° cos 20° cos 10°;
в)4 sin 25° cos 15° sin 5°;r)8 cos 1° cos 2° cos 4° cos 8°.
Преобразуйте выражение (241—243).
а) cos 40° cos 50°;^) cos 1^со5 1^*
в) sin^sin^^; г) sin 105° sin 15°-4-.
242444
а)sin (x4--y)sin (х—^;б)sin (a +у-) sin (a—^;
в)cos (х + р) cos (х— Р);г)sin (x-f-a) sin (х — a).
а)4 sin 30° sin 20° sin 10°;6)4 cos 60° cos 20° cos 10°;
в)4 sin 25° cos 15° sin 5°;r)8 cos 1° cos 2° cos 4° cos 8°.
Представьте в виде, удобном для вычисления без таблиц, и вычислите (244—246).
а) 2 sin 22°30' cos 7°30'; б) cos 45° cos 15°.
Представьте в виде, удобном для вычисления без таблиц, и вычислите (244—246).
а) 2 sin 22°30' cos 7°30'; б) cos 45° cos 15°.
а) sin 52°30' sin 7°30'; б) sin-у sin у.
а) cos ^ cos-^-; б) 8 cos 10° cos 50° cos 70°.
Понизьте степень тригонометрической функции в выражении:
а) 2 cos2 х; б) 2 sin2 х; в) 2 cos2 х cos 2х; г) cos^ х sin2 х; д) sin2 6х; е) cos2 4х.
Докажите тождество:
2 sin 4х sin 2x + cos 6x = cos 2х;
sin3 х cos2 x = 4~sin x —J- sin 5x4~— sin 3x; olb16
B)B)sin 5x cos 3x cos 6x=-y(sin 14x4-sin 2x4-sin 8x — sin 4x).
B)
B)
Верно ли равенство sin 20° sin 40° sin 60° sin 80°=—?
Решите уравнение (250—251).
a) sinsin —x)=l;
X 6/\ 6/
COS—Px )H-cos —x)=l.
4/\ 4/
a) 3 sin x + 4 cos x = 2;6) 5 sin x+12 cos x= 13;
в) sin x — 2 cos x = 1;r) 2 sin x-|-cos x = 2.
Решите неравенство:
a) |sin x| + |cos x| ^ 1; 6) tg x + ctg х^д/3 + — - л/З
Докажите формулы:
arcsin ( — а) = — arcsin а при любом а£[—1; 1];
arctg( —а) =—arctg а при любом а;
arccos ( — а) = л — arccos а при любом а£[— 1; 1];
arccos ti=^— arcsin а при любом а£[— 1; 1].
Глава II
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
ПРОИЗВОДНАЯ
Приближенное вычисление значений функций
Напомним сначала определения, известные из курса алгебры.
Абсолютной погрешностью приближенного значения х числа а называется модуль разности между числом и его приближенным значением. Таким образом, абсолютная погрешность приближенного равенства х«а есть число |х— о|.
Если абсолютная погрешность приближенного значения х числа а не превосходит Л, т. е. |х— а|^Л, то х называют приближенным значением числа а с точностью до h.
Пример 1. -^-«0,33 с точностью до 0,01;
д/2« 1,4142 с точностью до 0,0001;
л «3,14159265 с точностью до 0,00000001.
Вообще, десятичные приближения действительного числа х с точностью до 10-п являются приближенными значениями числа х с точностью до 10“", т. е.
Хп~Х И Хп~Х с точностью до 10 ".
Часто при вычислении значения функции f в точке а приходится находить значение функции f не в самой точке а, а в близкой к ней точке х. Например, если а = л, то для вычислений берем х«3,14 или х«3,1416 и т. д. При решении подобных задач необходимо уметь оценивать точность проводимых вычислений. Приведем два примера.
Пример 2. Рассмотрим такую задачу: измерить длину стороны данного квадрата и вычислить его площадь, используя результаты измерения.
Пусть точное значение длины стороны квадрата равно а. Тогда точное значение площади S есть а2. В результате измерения получим некоторое приближенное значение х длины стороны: x = a-\-kx, где |Лх| — абсолютная погрешность изме-
рения. Поэтому площадь будет вычислена с абсолютной погрешностью:
I AS | = |х2 — а21 = |(а + Ах)2 —а2| = 12аДх + (Ах)21.
Из этого равенства видно, что при повышении точности измерения, т. е. при всех очень маленьких 1 Ах |, слагаемые 2аДх и (Ах)2 малы и поэтому соответствующее значение площади будет мало отличаться от а2. Например, если а=^8, то, проводя измерения с точностью до 1 м, 1 дм, 1 см, 1 мм и т. д., мы получим следующие значения длины стороны и точности измерения длины стороны (в метрах), площади и абсолютной погрешности ее вычисления (в квадратных метрах):
Длина стороны
Точность измерения длины стороны
Площадь*
Абсолютная погрешность при вычислении площади
3
1
9
1
2,8
0,1
7,84
0,16
2,83
0,01
8,009
0,009
2,828
0,001
7,9976
0,0024
2,8284
0,0001
7,99985
0,00015
2,82843
0,00001
8,000016
0,000016
Попробуем установить, с какой точностью должна быть измерена длина стороны квадрата, для того чтобы добиться наперед заданной точности h при вычислении площади S квадрата.
Договоримся сразу считать, что измерения проведены с точностью не менее 1 м, т. е. |Ах|^1. Тогда
|AS| = |(2а + Дх) Дх| = |2а + Дх| |Дх| <(2а + 1)1 Дх|.
Допустим, что мы хотим добиться точности h при вычислении площади квадрата. Для этого достаточно провести измерения с такой точностью, что (2а + 1)|Ах| ^ft, т. е. |Дх|^ ^2а^рТ (и* конечно» lA^l^l). Так, в рассмотренном примере а=-^й и точность Л = 0,001 будет заведомо достигнута, если взять |Дх|^^, так как в этом случае
|Дх1 1 — 0,001 0,001^7000 2-3+1 ^2^8+1 •
Пример 3. Пусть координата материальной точки, движущейся по прямой, в момент времени / равна s(/) = 2/2. Найдем мгновенную скорость точки в момент /=1 с.
Перемещение точки за промежуток времени [1; 1+ Л/] длительности Д/ (при Д/>0) равно
s (1 +A/)-s (1) = 2 (1 + Д02-2 = 4Д/ + 2 (Д/)2,
а ее средняя скорость на этом промежутке есть
Уср(Д/)=1^У^£=4+2Л/.Уср(Д/)=1^У^£=4+2Л/.(1)(1)
Уср(Д/)=1^У^£=4+2Л/.
Уср(Д/)=1^У^£=4+2Л/.
(1)
(1)
Формула (1) верна и при отрицательных Д/: перемещение точки за промежуток [1 -f-Д/; 1] равно s(l)— s (1 + Д/)= —-4Д/— — 2 (Д/)2, а длительность этого промежутка равна — Д/.
В качестве значения мгновенной скорости хотелось бы взять vcp (0), но это значение не определено (на 0 делить нельзя!). Однако ясно, что при всех малых IД/1 значения иср (Д/) с наперед заданной точностью приближаются числом 4, так как тогда мало и слагаемое 2Д/. Действительно, чтобы обеспечить (наперед заданную) точность h в приближенном равенстве пср (Д/)«4, достаточно взять |2Д/|<й, т. е. выбрать промежуток времени
- h длительности, не превосходящей —.
Принято говорить, что функция f (х) стремится к пределу L при х, стремящемся к а, если можно обеспечить любую наперед заданную точность h приближенного равенства f (х)«L за счет уменьшения погрешности |Дх| = |х — а| в значении аргумента. Короче: приближенное равенство f(x)«L при х~а может выполняться с любой точностью. Вместо слова «стремится» в записи принято ставить стрелку:
f (x^L при х-*а.
Это же записывают иначе:
lim f (x) = L. х-^а
Значок lim — сокращенная запись латинского limes, которое в переводе означает «предел». Запись lim f(x) = L читается: «пре- х-^а
дел f (х) при х, стремящемся к а, равен L».
В рассмотренных выше примерах 2 и 3 было показано, что
S(x)-^8при х^-^(т- е- lim, S(x) = 8);
иср (Д/)->4 при Д/^0(т. е. Umucp (Д/) = 4).
Пример 4. Пусть f (х) = kx + b (k и b — постоянные). Дока жем, что
f (х) -*- ка + b при х -^ а.
Найдем абсолютную погрешность приближенного равенства Цх^«ка-^-Ь. Она равна
If (х) — ka — b\ = | к (а 4- Ах) + Ь — ка — Ь\ = |/г| | Дх|.
При к = 0 имеем даже точное равенство. Если же к^О, то равенство f (х)« ка-\-b выполнено с любой наперед заданной точностью И, если взять IAxICt^-.
Пусть функции f (х) и g (х) при х-^а имеют пределы Л и В соответственно. Это означает, что приближенные равенства f (х)« «А и g (х)« В выполняются с любой точностью при всех х, достаточно близких к а. Но если мы умеем находить приближенные значения чисел Л и В с любой точностью, то с любой точностью можно вычислить и значения А-\-В, АВ и -^- (при В^О). Например, для вычисления суммы А -\- В с точностью h достаточно вычислить каждое из слагаемых с точностью до -^- и сложить их. Поэтому справедливы следующие правила вычисления пре- I белое (их доказательство не входит в курс средней школы).
Пусть f (х)-^-А и g (х)-*В при х^-а. Тогда при х^а:
О ЦхНб(х^АА-В;
f^g^AB;
^-*4(приВ=#0).
Упражнения
Найдите десятичные приближения по недостатку и по избыт- |ку с точностью до 0,1; 0,0! и 0,001 для числа:
а) 0,2664; б) -1,27; в) г) —
а) Проверьте, что числа 2,6 и 2,7 являются десятичными приближениями числа д/7 с точностью до 0,1 по недостатку и избытку соответственно.
Проверьте, что числа 2,23 и 2,24 являются десятичными приближениями числа д/5 с точностью до 0,01 по недостатку и избытку соответственно.
а) Известно, что х = 0,5638413..., у = 1,3411825... . Найдите пять первых десятичных знаков суммы х-\-у.
Известно, что х = 2,5475781... , у = 1,3292160... . Найдите пять первых десятичных знаков разности х—у.
Найдите с точностью до 0,001:
а) -^+7-: б) -|-+V7; в) V3 + V5; г) -До-^.
Свободно падающее тело за время t проходит расстояние S=^-(/ измеряется в секундах, S — в метрах). Найдите
мгновенную скорость тела в момент времени: а) / = 2с; б) t; в) в момент, когда тело пройдет расстояние 1 м; г) в момент, когда тело пройдет расстояние S (g = 9,8 м/с2).
Участок земли имеет форму прямоугольника со сторонами 15 и а. С какой точностью надо измерить сторону а прямоугольника, чтобы вычислить с точностью до 10-2 его: а) периметр; б) площадь?
Укажите наибольшее 6, при котором для всех точек х=/= — 2 из 6 — окрестности точки (— 2) с точностью до h выполняется приближенное равенство f(x)sy—4 для /1=0,1; 0,01; 0,001, если: a) f(x) = 3x + 2; б) f(x)~^-^-
В момент / после начала движения тело, брошенное вверх с начальной скоростью ц0, находится на высоте h ^ = uot—^L (и0 измеряется в метрах в секунду, / — в секундах). Найдите мгновенную скорость тела в момент времени: а) /=1 с; б) /; в) в момент, когда тело достигнет наибольшей высоты; г) в момент падения тела на землю.
npe-npe-Известно, что f(x)^-l, a g (х) -*• —3 при х -> 2. Найдите предел, к которому при х -* 2 стремится функция:
npe-
npe-
a) fW + gW; б) Hx>g(xy в) — ЦхУ г) 2f(x) — 3g(xy
Известно, что limf(x) = 3; limg(x)=—2. Найдите х-*—1х-*—1
дел, к которому при х -> — 1 стремится функция:
а> ?$; 6) РИ;а> ?$; 6) РИ;2f(x) + 3g(x) ., 2f2 (x)-5g(x)
а> ?$; 6) РИ;
а> ?$; 6) РИ;
3f(*)-gW *’ fW+^g^ "
Пусть limf(x) = X, limg(x) = B. Докажите, пользуясь пра- x^-ax^a
вилами вычисления пределов, что:
Игл С/(х) = СД, где С — постоянная;
Пт у (х) — g (х)) =А — В. х-*а
Дана функция fto=^2^7- Докажите, что при х->2 справедливы утверждения:
а) х3->23; 3x2-^3-22; б) х3-Зх2-^23-3-22;
в) х2-2х + 7-*22-2.2 + 7;г) f (х W (2).
266*. Дана дробно-рациональная функция f(x)=^-^, где р (х) и q (х)— многочлены, причем р ^ = аохп А-а-\хП~ +••• + -\-ап—\x-\-ап\ q ^х^ = Ьохт -\~Ь\Хт 1 -|-...-}-6m_ ix-J-6m. Докажите, что при х->а справедливы утверждения: а) х‘-*а‘ для любого натурального /; б) Сх'^Са*, где С — постоянная; t^N; в) р (х)-^р (dy г) f (x)-*-f (а), если q (а) =# 0.
I15. Приращение функции
। Часто нас интересует не значение какой-либо величины, а ее изменение. Например, согласно закону Гука сила упругости пружины пропорциональна удлинению пружины; работа есть изменение энергии; средняя скорость — это отношение перемещения к промежутку времени, за который было совершено это перемещение, и т. д.
При сравнении значения функции f в некоторой фиксированной точке хо со значениями этой функции в различных точках х, лежащих в окрестности хо, удобно выражать разность f (х)— f (хо) через разность х — Хо, пользуясь понятиями «приращение аргумента» и «приращение функции». Объясним их смысл.
Пусть х — произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки хо. Разность х— хо называется приращением независимой переменной (или аргумента') в точке х0 и обозначается Дх. Таким образом,
Дх = х— хо,
откуда следует, что х = х04-Дх.
Говорят также, что первоначальное значение х0 «получило приращение Дх». Вследствие этого значение функции f изменится на величину
f И — f Ы = / (хо + Дх) — f (хо).
Эта разность называется приращением функции f в точке хо, соответствующим приращению Дх, и обозначается символом Д/ (читается «дельта эф»), т. е. по определению
Af = / Uo + Дх) — f (хо), откуда
if (х)~f (-^0 +Ax) = f (хо) +Af.
! Обратите внимание на то, что при фиксированном хо приращение Л/ есть функция от Дх.
Af называют также приращением зависимой переменной и обозначают через Ду для функции y=f(x\
Пример 1. Найдем приращения Дх и Д/ в точке х0, если 1[(х) = х2, х0 = 2 и: а) х=1,9; б) х = 2,1.
Дх = х —Хо= 1,9 —2= —0,1.
Af = f (1,9) — f (2) = 1,92-22 = -0,39.
Дх = х — хо = 2,1—2 = 0,1.
Af = f(2,l)-f(2) = 2,l2-22 = 0,41.
Пример 2. Дан куб с ребром а. Найдем погрешность АГ в вычислении объема этого куба, если при измерении длины ребра была допущена погрешность Дх.
По определению приращения х = а + Дх, тогда
д V = V (х) - V (а)=(а + Дх)3 - а3 = За2Дх + За (Дх)2 + (Дх)3.
мгновенную скорость тела в момент времени: а) / = 2с; б) t; в) в момент, когда тело пройдет расстояние 1 м; г) в момент, когда тело пройдет расстояние S (^ = 9,8 м/с2).
Участок земли имеет форму прямоугольника со сторонами 15 и а. С какой точностью надо измерить сторону а прямоугольника, чтобы вычислить с точностью до 10~2 его: а) периметр; б) площадь?
Укажите наибольшее 6, при котором для всех точек хф — 2 из 6 — окрестности точки (— 2) с точностью до Л выполняется приближенное равенство f(x)«—4 для /г = 0,1; 0,01; 0,001, если: a) f(x) = 3x + 2; б) f (х)=* ~~.
В момент / после начала движения тело, брошенное вверх с начальной скоростью v0, находится на высоте h ^ = vot —~ (vo измеряется в метрах в секунду, / — в секундах). Найдите мгновенную скорость тела в момент времени: а) /=1 с; б) I; в) в момент, когда тело достигнет наибольшей высоты; г) в момент падения тела на землю.
Известно, что f(x)->l, a g(x)-> — 3 при х-> 2. Найдите предел, к которому при х -> 2 стремится функция: a) fW+ &(*); б) f(x)-g(x); в) — ЦхУ, г) 2f(x)~ 3g(x).
Известно, что limf(x) = 3; Нт^(х)= — 2. Найдите пре- X* — 1х-* — 1
дел, к которому при х -*- — 1 стремится функция:
а> ^: 6) mа> ^: 6) m2H%) + 3g(x) . х 2f2(x)-5g(x)
а> ^: 6) m
а> ^: 6) m
3f(x) —g(x) ’/(x) + 2g(x)
Пусть Нт/(х) = Д, limg(x) = B. Докажите, пользуясь пра- х~*ах->а
вилами вычисления пределов, что:
lim Cf (х) = СД, где С — постоянная;
lim (f (х) — #(х))=Д — В. х-^а
Дана функция f W=^2^+7 * Д°кажите> чт0 ПРИ ^^ справедливы утверждения:
а) Л3-^23; Зх2-*3-22; б) х3 —Зх2-*23-3-22;
х2-2х + ?-*22-2.2 + 7; г) f (xW (2).
266*. Дана дробно-рациональная функция f(x)=^-^, где р (х) и q (х)— многочлены, причемр (x) = tiox" + aix"-1-)-...+
+ an— ix + ап\ q {х} = Ь<^хт-\-b\xm 1+ .„4-6m —ix4-6m.
Докажите, что при х-*а справедливы утверждения:
а) х‘->а‘ для любого натурального t; б) Сх1-*Са‘, где С — постоянная; t^N; в) р(х)-*р(а); г) f (x)->f (а), если q ^фй.
15. Приращение функции
Часто нас интересует не значение какой-либо величины, а ее > изменение. Например, согласно закону Гука сила упругости пружины пропорциональна удлинению пружины; работа есть изменение энергии; средняя скорость — это отношение перемещения к промежутку времени, за который было совершено это перемещение, и т. д.
При сравнении значения функции / в некоторой фиксированной точке хо со значениями этой функции в различных точках х, лежащих в окрестности хо, удобно выражать разность f (х)— f (хо) через разность х— хо, пользуясь понятиями «приращение аргумента» и «приращение функции». Объясним их смысл.
Пусть х — произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки хо- Разность х —хо называется приращением независимой переменной (или аргумента) в точке хо и обозначается Дх. Таким образом,
Дх = х— хо,
откуда следует, что х = х0 + Дх.
Говорят также, что первоначальное значение х0 «получило приращение Дх». Вследствие этого значение функции / изменится на величину
fU) — f (хо) = f (хо + Дх) — f (хо).
Эта разность называется приращением функции f в точке хо, соответствующим приращению Дх, и обозначается символом Д/ (читается «дельта эф»), т. е. по определению
Af = f (хо + Дх) — / (х0), откуда
fW = f (хо + Дх) = f (х0) + Д/.
Обратите внимание на то, что при фиксированном х0 приращение Л/ есть функция от Дх.
Д/ называют также приращением зависимой переменной и обозначают через Ду для функции у = Цх).
Пример 1. Найдем приращения Дх и Д/ в точке х0, если f (х) = х2, х0 —2 и: а) х=1,9; б) х=2,1.
Дх=х —хо= 1,9 —2=—0,1.
Д/ = /(1,9) —f (2)= 1,92 — 22=—0,39.
Дх = х —хо = 2,1—2 = 0,1.
'Д/ = /(2,1) —f (2) = 2,12 —22 = 0,41.
Пример 2. Дан куб с ребром а. Найдем погрешность ДУ в вычислении объема этого куба, если при измерении длины .ребра была допущена погрешность Дх.
По определению приращения х = а + Дх, тогда
I Д V = V (х) — V (а) = (а + Дх)3 — а3 = За2Дх + За (Дх)2 + (Дх)3.
Геометрический смысл приращений Дх и ^y можно понять, рассмотрев рисунок 66.
Прямую /, проходящую через любые две точки графика функции f, называют секущей к графику /. Угловой коэффициент к секущей, проходящей через точки (х0; z/o) и (х; у\ равен ^~*° • Его удобно выразить через приращения Дх и \у (см. рис. 66):
к = tg а .
6 Ах
Напомним, что угловой коэффициент прямой у = кх-\-Ь равен тангенсу угла а, который эта прямая образует с осью абсцисс.
Упражнения
Для функции у = 2х + 5 найдите: а) х и ^y1 если х0 = 3 и Дх = 0,2; б) х и ^y, если хо = 4 и Дх = 0,06; в) ^y, если х0 = 4 и Дх=0,1; г) \у, если хо = 7 и Дх = 0,01.
Для функции у=х2 найдите приращения Дх и ky, если:
а)х = 2,5 ихо = 2;б)х = 3,9 и хо = 3,75;
в)х = — 1,2и х0= —1;г)х = — 2,7 и хо = —2,5.
Для функции у=— найдите ^y1 если:
а)хо = 9, Дх = 0,06;б)хо = 4,О2, Дх = 0,02;
в)хо = 5,О6,Дх=—0,3;г)хо = 6, Дх=—0,02.
Выразите приращение функции в точке хо через хо и Дх, если:
а) у = 5 — Зх; б) y = 2^[x\ в) f(x) = 3x2; г) f(x) = 2x — х2.
Найдите f (хо + Дх), f (х0 + kx) — f (хо), L^2_+_^£^, если:
a) f(x)=x2i б) f (х') = ах-^-Ь\ в) f (х) = ах2 + ^ + с;
г) f(x) = x3.
Найдите угловой коэффициент секущей к графику функции у = х2, проходящей через точки (хо; z/o) и (х04-Дх; у04-Ду), если:
а) хо=1, Дх = 0,1;б) хо=1, Дх=—0,1;
в) хо=1, Дх = 0,001; г) хо=1, Дх=—0,0001.
Найдите угловой коэффициент секущей к графику функции у = х3 проходящей через точки (хо; z/o) и (х0-|-Дх; t/o + Az/), если:'
а) хо —2, Дх = 0,1;б) хо = 2, Дх = 0,01;
в) хо = 2, Дх = 0,001;г) хо = 2, Дх = 0,0001.
а) Докажите признак возрастания: функция f возрастает на промежутке / тогда и только тогда, когда для любых двух значений х и х + Ах(Дх#=0) из промежутка / выпол- > нено условие ^>0-
' б) Сформулируйте и докажите аналогичный признак убывания функции на промежутке L
275*. Пользуясь признаками возрастания (убывания) функции (см. предыдущее упражнение), найдите промежутки возрастания (убывания) функции:
a) f(x) = 2x + 3;б) g(x) = 7 — 5х;
в) р(х) = х2;г) g(x) = 3 —х2.
]16. Понятие о производной.
{Касательная к графику функции
Графики практически всех известных вам функций изображались в виде «гладких» кривых (см., например, график функции у = х2—рис. 67, а). С другой стороны, график функции z/= |х| (рис. 68) не является «гладкой» кривой в окрестности точки (0; 0). Проанализируем, как геометрически устроена «гладкая» кривая, на примере графика функции у=х2 при значениях, близких к 1. Для этого составим таблицу ее значений с шагом 0,1 на промежутке [0,5; 1,5].
X
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1.0
и
1,2
1.3
1,4
1,5
х2
0,25
0,36
0,49
0,64
0,81
1,00
1.21
1,44
1,69
1,96
2,25
а затем с шагом 0,01 на промежутке [0,95; 1,05]:
X
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
х2
0,9025
0,9216
0,9409
0,9604
0,9801
1,00
1,0201
1,0404
1,0609
1,0816
1,1025
2х — 1
0,9000
0,9200
0,9400
0,9600
0,9800
1,00
1,0200
1,0400
1,0600
1,0800
1,1000
Д
0,0025
0,0016
0,0009
0,0004
0,0001
0,00
0,0001
0,0004
0,0009
0,0016
0,0025
Увеличим единицу масштаба, принятую при построении графика у = х2 (см. рис. 67, а), сначала в 10, а затем в 100 раз и, воспользовавшись таблицами, построим на миллиметровой бумаге график Этой функции на отрезках [0,5; 1,5] (рис. 67,6) и [0,95; 1,05] (рис. 67, в). Мы видим, что при значениях аргумента, близких к 1, график практически не отличается от отрезка прямой
Рис. 67.Рис. 67.
Рис. 67.
Рис. 67.
у = 2х—1 (см. две нижние строки второй таблицы, где Д — абсолютная погрешность приближенного равенства х2« «2х—1). Так, на отрезке [0,95; 1,05] абсолютная погрешность приближенного равенства х2« «2х—1 не превосходит 0,0025, а на отрезке [0,995; 1,005] — не превосходит 0,000025, т. е.
точки графика как бы «выстраиваются» вдоль прямой у = 2х— 1. Действительно, Д = «= |х2 —(2х—1)| =(х—I)2, при этом |х — 1|^0,05 для всех х нз отрезка [0,95; 1,05] и |х—11^0,005 для всех х из отрезка [0,995; 1,005].
К аналогичным выводам можно прийти, рассматривая другие Точки параболы у = х2. Представим себе, например, что график >той функции в окрестности .начала координат изображен на большом листе бумаги, причем отрезок [ — 0,001; 0,001] изображается отрезком длиной 2 м. Значение у в точках —0,001 и 0,001 равно 0,000001. В принятом масштабе длина отрезка [0; 0,000001] равна 1 мм. Поэтому график функции у=х2, рассмотренный на этом промежутке, лежит в очень вытянутом ^прямоугольнике с основанием 2 м и высотой 1 мм, т. е. практически не отличается от отрезка оси абсцисс.
Иначе дело обстоит с графиком функции у= [х| в окрестности (Точки 0: не существует прямой, приближающей график функции у=|х| в окрестности точки 0 (и слева, и справа).
Возникает естественная задача. Допустим, что график функции [ (х) — гладкая кривая в точке х0, т. е. неограниченно приближается к отрезку некоторой прямой / при уменьшении окрестности точки хо, в которой рассматривается график. Определим точное положение /.
Координаты одной точки прямой / известны — это точка 1Жо; / (хо)). Поэтому остается найти угловой коэффициент прямой /. Способ его вычисления основан на следующих соображениях.
Рассмотрим в качестве примера функцию у = х2. Ее график I и малой окрестности точки хо близок к отрезку некоторой прямой L ^Поэтому угловые коэффициенты секущих, проходящих через Точки (хо; X2) и (х; х2), близки к угловому коэффициенту /, если х Мало отличается от хо.
Угловой коэффициент /г (Дх) секущей (см. п. 15) равен где Ду— приращение функции у=х2 в точке х0, соответствующее приращению Дх. Например, при хо=1 справедливо равенство
к (Дх) = ^=(1±^^1= 2^+-(М2 =2 + Дх (Дх^О).ДхДхДх
Но 2 4-Дх-*2 при Дх-* 0 (действительно, абсолютная
погрешность приближенного равенства 2 + Дх»2 равна |Дх| и приближенное равенство выполняется с любой наперед заданной точностью h при всех Дх, для которых |Дх|<Л).
Следовательно, ^ стремится к числу 2 при Дх ->- 0, т. е.
при Дх -> 0.
Ах
Таким образом, угловой коэффициент прямой /, проходящей через точку (1; 1), равен 2. Уравнение этой прямой, как и предполагалось выше, таково: у = 2х—1.
Прямую, с которой практически сливается график функции f в некоторой окрестности точки хо, называют касательной к графику функции f в точке (х0; f (х0)). А угловой коэффициент этой касательной называют производной функции f в точке хо.
Мы показали таким образом, что производная функции / (х) = х2 в точке 1 равна 2, а уравнение касательной к графику f в этой точке есть у = 2х— 1.
Найдем теперь производную функции у = х2 в произвольной точке хо:
к <AA =^- = to+ML^ = 2ЦАх + (Ах)’ = 2^
^xkx&х
Но 2х0 + Лх —>-2х0 при Дх-> 0. Поэтому ^ -► 2хо при Дх-> 0, т. е. производная функции у = х2 в произвольной точке хо равна 2хо. Коротко это записывают так:
(х2)' = 2х.
Упражнения
Составьте таблицу значений функции у=х2 — х на отрезке 0,5; 1,5] с шагом 0,1, а затем с шагом 0,01 на отрезке 0,95; 1,05]. Пользуясь этими таблицами, постройте график функции у = х2— х на миллиметровой бумаге. Постройте на этом же чертеже график функции i/ = 2x—1.
Найдите значение производной функции у = ^х — 3 в точке: а) 1; б) 3; в) а; г) х0.
Найдите значение производной функции у=х2— х в точке: а) -1-; б) 1; в) —^-; г) х0.
Докажите, что значение производной линейной функции y = kx-\-b в любой точке х равно угловому коэффициенту прямой, являющейся графиком этой функции. Каково уравнение касательной к графику функции y = kx-Vb, проходящей через точку графика с абсциссой Хо?
Для функции y = -Lx2 вычислите значения — в точке х0=— 2Ах2
при Дх, равном —, —, 4г, 4г, —, ——.
г14 8 16 32 100 1000
. К какому числу стремится отношение ^ для функции У=" при Дх -> 0 в точке:
а) х0=1; б) х0=-^-; в) х0 =—^-; г) х0 = х?
Определение производной.
Примеры вычисления производной
В предыдущем пункте вы познакомились с понятием произ- юдной и нашли производную функции у = х\ Дадим общее определение.
Определение. Производной функции f в точке х0 назы- 1ается число, к которому стремится отношение
М _ f (хо + Дх) —f (х0)
АхАх
ри Дх, стремящемся к нулю.
Производная функции f в точке хо обозначается f' (хо) читается: «эф штрих от хо»), т. е. по определению
f' (х0)= lim Дх -* Оf' (х0)= lim Дх -* Оf (хо + Дх) —f (хо)Ахf (хо + Дх) —f (хо)Ах
f' (х0)= lim Дх -* О
f' (х0)= lim Дх -* О
f (хо + Дх) —f (хо)Ах
f (хо + Дх) —f (хо)Ах
Функцию, имеющую производную в точке Хо, называют дифференцируемой в этой точке. Пусть D\ — множество точек, в которых функция / дифференцируема. Сопоставляя каждому шслу x^D\ число V (х), получим функцию с областью определения D\. Эта функция называется производной функции y = f(x) и обозначается /'(х) (или просто f', у').
Нахождение производной данной функции f называется дифференцированием.
Основной результат предыдущего пункта можно теперь сфор-
ее произ-ее произ-мулировать так:
ее произ-
ее произ-
2х, т. е.2х, т. е.водная равнаводная равнафункция х2 дифференцируема в любой точке х, и
2х, т. е.
2х, т. е.
водная равна
водная равна
(х2)' = 2х.
Приведем примеры вычисления производных некоторых функций.
Пример 1. Найдем производную функции y = kx-VC к и С — постоянные).д
Пусть хо — произвольная точка. Найдем отношение —.
Ду^к (хр + Ах) + С) — ^кх0 4~ С) к Кх
АхАхДх
Следовательно, ^ —> к при Дх —*-0 (см. пример 4 из п. 14) поэтому у'=к для любой точки хо. Итак,
(кх + С)' = к.
Из этой формулы, полагая 6 = 0, а затем к = \ и С = 0, получаем следствия.
Производная постоянной функции равна нулю:
С' = 0.
Производная функции у — х равна 1:
х' = 1.
Пример 2. Докажем, что (х3)'= 3х2.
Выразим отношение приращения функции х3 в произвольной точке хо к соответствующему приращению Дх:
= Зхо + Зхо Дх + (Дх)2.= Зхо + Зхо Дх + (Дх)2.Ду (х0 + Ах)3 — Хб Зх2 Дх + Зхр (Дх)2 + (Дх)3
= Зхо + Зхо Дх + (Дх)2.
= Зхо + Зхо Дх + (Дх)2.
ДхДхДх
При Дх -> 0 слагаемые (Дх)2 и Зх0Дх также стремятся к нулю.Поэтому сумма Зх0Дх + (Дх)2 стремится к нулю при Дх -> 0. Итак,~ -* Зх2 при Дх -> 0, т. е. (х3)'= 3х2.
\'1
—j = —/г (х ^ 0).
При любом хо#=О
Ду _ / 11 \ 1 __ х0 — х0 — Дх 1
Дх \хо + Дх х0 / Дх Дх-хр (хр + Дх)х0(х0 + Дх)
——>. Поэтомухр + Дх хр——>. Поэтомухр + Дх хрЕсли Дх-> 0, то хо + Дх-*хо,
——>. Поэтому
хр + Дх хр
——>. Поэтому
хр + Дх хр
111
—7г-т-т>=Г при Дх -> 0
Хр (Хр + Дх)Хр - ХрХр 1
Итак, ^ стремится к пределуИтак, ^ стремится к пределу— при Дх -*- 0. Это означает, хр— при Дх -*- 0. Это означает, хр
Итак, ^ стремится к пределу
Итак, ^ стремится к пределу
— при Дх -*- 0. Это означает, хр
— при Дх -*- 0. Это означает, хр
11
1
1
Во всех приведенных примерах функции имели производную в каждой точке области определения. Далее мы увидим, что многочлены, как и любые рациональные функции, а также тригонометрические функции, дифференцируемы во всех точках своей области определения. Не следует, однако, думать, что вообще любая функция имеет производную в каждой внутренней точке области определения. Приведем пример.
Пример 4. Найдем производную функции f (х) = |х|:
/ (х)= |х| =|/ (х)= |х| =|х, если х^О,х, если х^О,— х, если х<0.— х, если х<0.
/ (х)= |х| =|
/ (х)= |х| =|
х, если х^О,
х, если х^О,
— х, если х<0.
— х, если х<0.
Рассмотрим график этой функции (см. рис. 68). Для любого х>0 в некоторой окрестности точки Хо>О функция |х| равна х, поэтому производная |х| в таких точках равна х', т. е. |хГ = 1 при положительных значениях х. Так как |х| = —х при х<0, то |хГ = — 1 при отрицательных х. Как отмечалось в предыдущем
эта функция не имеет производной в точке 0. Итак,
не существует при х = 0,
V Докажем (методом от противного), что функция |х| не имеет производной в нуле.
Допустим, что эта функция имеет производную в точке 0, т. е.
стремится к некоторому пределу Л при Ах -► 0. Тогда
ВыбираяВыбираяприближенное равенство -^ Л верно с любой наперед задан-
Выбирая
Выбирая
ой точностью h при всех Ах, достаточно близких к 0. <1, находим, что для таких Ах верно неравенство
I Af (°)
I Ах
В частности, при Ах>0
Для Ах < 0Для Ах < 0(1)
Для Ах < 0
Для Ах < 0
(2)
Неравенства (1) и (2) противоречивы. Следовательно, наше допущение о существовании производной функции |х| в нуле неверно. ▼
Упражнения
Пользуясь определением производной, найдите значения производной функции:1
a) h (х) = ах + b в точках 2 и 4; б) / (х)=—в точках 1 и 4.
Для функции f(x) = -\/^ найдите:
I а) /'(1); 6) г (4); В) г (25); г) Г to
|84*. Для функции g‘to = -r найдите:
La) g'(i); б) g'(—iy в) 5'(2);г) g'(x\
IПользуясь определением, найдите производную функции
(285—286)..
|85.а)3 —2х; б) Ц-х —7;в) х2 + 2х;г) 3 —2х —х2.
|86.а)ах2 + 6х + с;б)х3;в) х3 —х;г) -рг.
|67*. Докажите, что:
а)(х4/= 4х3;б)(—rx<) ="2х3;
х/ г~3 г~\/ 1 \z3
В) (л^У^-у* г) ) = ——.
z' Vx z 2 ух
Правила вычисления производных
Существует несколько правил вычисления производных.
Если функции и и и дифференцируемы в точке хо, то их сумма дифференцируема в этой точке и
(и-^ и)' = и' -^-и'
Коротко говорят: производная суммы равна сумме производных.
Для доказательства вычислим сначала приращение суммы функций в рассматриваемой точке хо:
А (и 4- и) = (и (х0 + Ах) + и (х0 + Ах)) — (и (х0) + у (*о)) == (и (хо + Ах) — и (хо)) + (и (х0 + Ах) — и (х0)) = А и + А и.
А (и + v)ku . Au
Следовательно, —4—!—-=л—Нт—.
АхАх Ах
Функции и и v дифференцируемы в точке х0, т. е. при Ах -* О
Ли . Аи , > и',-> V'. NxАх
Тогда —^—^ -* и' + о' при Ах -> 0 (см. правила вычисления пределов, п. 14), т. е. (u + и)' = и' + и'.
Лемма. Если функция f дифференцируема в точке хо, то Af -► О при ^x -* 0, т. е. ) (х0 + Ах) -> f (хо) при Ах ->- 0.
Действительно, А/ = ^‘ Ах -► V (х<у)-0 = 0 при Ах-* 0, так как
^ -* Г М, а Ах -> 0.
Итак, Af -> 0 при Ах ->- 0, т. е. для дифференцируемых функций f (хо + Ах) ->- f (хо) при Ах -*- 0.
Если функции и и v дифференцируемы в точке хо, то их произведение дифференцируемо в этой точке и
(uv)' = и' и + ии'
(значения функций и их производных вычисляются в точке х0). ▼ Для доказательства найдем сначала приращение произведения:
Д (ии) = и (хо 4- Ах) и (хо 4- Дх) — и (хо) и (хо) =
= (и (хо) + Au) (у (хо)4- Ду) — и (х0) и (хо) =
= и {хо) V (Хо)4~Ли и (х0) 4~ W (хо)-Аи4~ Дм ^X) — U (х0) и (хо) =
= Au v (хо)4~Ц (хо) Аи4-Д« Аи.
Отсюда
—и Ы + и W -т-4- Дм т- •
Ах Ах 4 7' ' Ах Ах
В силу дифференцируемости функций и и v в точке хо при Дх ^- О имеем:
AuАхAuАх-* и', Д.и -* 0. Дх-* и', Д.и -* 0. Дх
Au
Ах
Au
Ах
-* и', Д.и -* 0. Дх
-* и', Д.и -* 0. Дх
Поэтому
А (цу)
Ах4 ’' ’' 1’
т. е. (ииУ = и'и + ии', что и требовалось доказать. ▼
Следствие. Если функция и (х) дифференцируема в хо, а С — постоянная, то функция Си дифференцируема в этой точке и
(СиУ = Си'.
Коротко говорят: постоянный множитель можно выносить за знак производной.
Для доказательства воспользуемся правилом 2 и известным из 1. 17 фактом: С'=0.
и \ и'и— цу'и \ и'и— цу'Если функции и и v дифференцируемы в точке хо и функция v не равна нулю в этой точке, то частное — также дифференцируемо в Хи и
и \ и'и— цу'
и \ и'и— цу'
VVу7
V
V
(значения функций и их производных вычисляются в точке хо). ▼ Выведем сначала формулу
у'
VVу7"
V
V
Для этого найдем приращение функции —:
1° (хо) — у (х0 + Ах)1° (хо) — у (х0 + Ах)— Ду— Ду
1° (хо) — у (х0 + Ах)
1° (хо) — у (х0 + Ах)
— Ду
— Ду
у 7 V (хо + Дх) Отсюдау 7 V (хо + Дх) Отсюдау(хо) у (х0) у (Хо + Ах) у (хо) (и (хо) + Ду)у(хо) у (х0) у (Хо + Ах) у (хо) (и (хо) + Ду)ДуАхДуАх
у 7 V (хо + Дх) Отсюда
у 7 V (хо + Дх) Отсюда
у(хо) у (х0) у (Хо + Ах) у (хо) (и (хо) + Ду)
у(хо) у (х0) у (Хо + Ах) у (хо) (и (хо) + Ду)
Ду
Ах
Ду
Ах
АхАху (хо) (и (хо) +Ду)у (хо) (и (хо) +Ду)При Дх -> 0 имеем:При Дх -> 0 имеем:ДуДхДуДхи' (в силу дифференцируемости ии' (в силу дифференцируемости и
Ах
Ах
у (хо) (и (хо) +Ду)
у (хо) (и (хо) +Ду)
При Дх -> 0 имеем:
При Дх -> 0 имеем:
Ду
Дх
Ду
Дх
и' (в силу дифференцируемости и
и' (в силу дифференцируемости и
п точке хо), Ди-> О (по доказанной лемме). Поэтому
АхАх— у'У-У— у'У-УУ-», т. е.УУ-», т. е.УУУу'у7у'у7
Ах
Ах
— у'
У-У
— у'
У-У
У
-», т. е.
У
У
-», т. е.
У
У
У
у'
у7
у'
у7
где для краткости положено и(х0) = и в правых частях равенств.
Теперь, пользуясь правилом нахождения производной произведения функций, находим производную частного:
Пример 1. Применяя доказанные правила, а также формулы п. 17, найдем производные функций:
Решение.
fit (_х\ — -(^ (^+1)-х2(х3+1)/ _ 2х(х3+1)-лг2((х3У+Г)
’ x^+i/(хЧо2(^+ТР—
= 2х (х3 + 1) — х2 (Зх2 + 0) __2хЧ-2х-Зх« _ 2х—х*
(хЧ!?(r’+Tj2(^W’
Формула для вычисления производной степенной функции х", где п— произвольное натуральное число, большее 1, такова: (хпу = nxn~'.(1)
Формула производной функции х2 уже известна: (х2)' = 2х.
Пользуясь формулой дифференцирования произведения, получаем:
И' = (х2. хУ = (х2у. х + X2 (х/ = 2х. X + X2.1 =Зх2,^‘
W = (х? - хУ = (х3)/ • х + х3 (хУ = Зх2 • х + х? • 1 = 4х3.
Заметим теперь, что
(Vy = 2%2-'; (х3у = Зх3-'; (х*)' = 4х4-', т. е.
для л = 2, 3 и 4 формула (1) доказана. Продолжая аналогичные вычисления, убеждаемся в справедливости формулы (1) для л = 5, 6 и т. д.
▼ Докажем, что формула (1) верна для любого натурального п> 4.
Допустим, что формула (1) верна при п = к, т. е. что(х*)' = kxk~'.
Покажем, что тогда формула (1) верна при л = £4-1. Действительно,
(хк+ 'У = (х* - хУ = (хку х + хк (хУ = кхк" * • х + хк = кхк-\- хк == (£ + 1)х\
Поэтому из того, что формула (1) верна при л = 4, следует, что она верна и при л = 5, но тогда она верна и при п = 6, а следовательно, и при п = 7 и т. д. до любого натурального п (строгое
доказательство основано на методе математической индукции — см. упр. 678). ▼
Если п = 1 или п = 0, то при х^О эта формула также справед- днва. Действительно, по формуле (1) 'при х^О
(х1)'= 1 -х1-1 = 1 *х° = 1.
(хоу=О.х°-1=О,
что совпадает со значениями производных функций х и 1, уже известными из предыдущего пункта.
Пусть, наконец, п — целое отрицательное число, тогда и= — т, где т — число натуральное. Применяя правило дифференцирования частного и пользуясь уже доказанной для натуральных т формулой (1), получаем при х#=0:
i =--Y=-zl^^= —пгхт~' = —т—-—=
I= — тх~т~' = пхп~1.
I Таким образом,
I для любого целого п и любого х (х^О при л^1)
I(хпу = пхп-'.
I75
I П р и м е р 2. Найдем производные функции: а) х ; б) Зх-.
I Решение.
а) (х-5)'= — 5х~5-1 = — 5х~6;
I б) (Зх7-^=3(х7)'-5(х-3У = 3-7-х6-5(-3)х-4 = L21x6 + ^.
Упражнения
" Найдите производную функции (288—295).
а) х10; б) 2х7; в) х-5; г) Зх-3.
а)^; б) ^;в) ^; г)А..
а)8-Д; б) 3-Д^;в) -1—;г)^.
Л'Х-\jX_
J91. а)х7-Зх2-х + 5;б)2х,0-х8 + Зх3;
к в)2х6—-;г)Зх4.
Гхх•
[192. a) 7x5 + 2Jx; б) ———х Vx;
2х
кв)*—^—H-Vx^ir)*xVx 7: ^-•
Рх V*"Vx X
*+2х . Зх 2 . х Зх —2 .\ 1 7х
i"3- а) 3^57 •’ 4-6, • П 1-9, •
»Н. a) (x+l)V^: б) (2х-1)^; в) ^; г) ^у.
a) ^-i б) ^ ; в)* (3 + x2) (2 —V?);
r)* (2—^-+л^)(7-х2).
Вычислите производные функции f в указанных точках (296—297).
f(x) = x2 — Зх в точках:
а) 0; б) — 1;в) х;г) х+1.
f (х) —в точках:
а) 0; б) — 3;в) х; г) 2/.
Для функции f(x) = x — 4-д/х найдите:
а) Г (4); б) Г (0,01); в) р (х); г) /'(2-х).
Производная сложной функции
Начнем с примера.
П р и м е р 1. Пусть требуется вычислить по заданному значению х соответствующее значение 2 функции h, заданной формулой
2 = h (х) = -д/1 —X2.
Для этого надо сначала вычислить по заданному х значение </ = /(х)=1 —х2, а затем уже по этому у вычислить
z = g^=-Jy.
Итак, функция / переводит х в у, а функция g переводит у в z. Говорят, что h есть сложная функция, составленная из функций g и /, и пишут:
h M=g№.
Чтобы вычислить значение сложной функции h (х) = g (f (х)) в произвольной точке х, сначала вычисляют значение у «внутренней» функции f в этой точке, а затем g (у).
Какова область определения сложной функции g (f (х))? Это — множество всех тех х из области определения функции f, для которых f (х) входит в область определения функции g.
В рассматриваемом примере областью определения функции f является вся числовая прямая. Значение Я (х) определено, если значение f (х) принадлежит области определения функции g^=4y. Поэтому требуется, чтобы выполнялось неравенство i/^O, т. е. 1—х2^0, и, значит, область определения функции g (f (х)) — это отрезок [ — 1; 1 ].
В предыдущих пунктах вы научились находить производные рациональных функций, в частности многочленов. Однако задача вычисления производной функции f (х) = (2x4-3)*00, хотя и сводится к нахождению производной многочлена, требует очень
большого объема работы: надо представить (2х + 3)100 в виде многочлена и продифференцировать 101 слагаемое полученной суммы. Можно заметно упростить решение этой и других задач, доказав правило вычисления производной сложной функции.
Если функция I имеет производную в точке хо, а функция g имеет производную в точке уо = Цхо), то сложная функция h (х) = g (f (х)) также имеет производную в точке хо, причем
h'M = g' У МУ Г (хо)).(1)
▼ Для доказательства формулы (1) надо (как и раньше) при Дх^О рассмотреть дробь ^ и установить, что ^ -> g' (у0) f' (х0) при Дх -► 0. Введем обозначения ^y = f (хо + Дх) — f (х0) = Af. Тогда ДА = А (х0 + Дх) — А (х0) = g (f (х0 + Дх)) — g(f (х0)) -g(yo~i- -j-^y) — g(yo) = ^g и ky->0 при Дх->0, так как f дифферен- •цируема в точке хо. Далее доказательство мы проведем только для таких функций f, у которых Д/^О в некоторой окрестности точки хо. Тогдаg' МТ М ПРИ Ах0,
Ах Ду Дх Ду Ах* 1 4 / г
так как ^->- Г (хо) при Ах-> 0, а ^-* g' (М при Ау-> 0, что выполнено при Ах->-0 (как это отмечалось выше). ▼
П р и м е р 2. Вернемся к поставленной выше задаче и найдем производную функции А (х) = (2х4-3)100.
Функцию А можно представить в виде сложной функции h^ = g(f (х)), где g^=yxo°, у = /(х) = 2х + 3.
Так как Д(х) = 2, g' (у) = Ю0у",
А' (х) = 2 • 1ООу 99 = 200 (2х + 3)".
■ ПримерЗ. Найдем производную функции А (х)=73х2 + 1. I Так как A (x) = g (f (х)), где y = f (х) = Зх2-|-1, g(y)=^y> kg' (у)= -1— и у' =V (х) = 6х, получаем
IМу
Iк j 2^ 2V3F+T V3P+T ■
гУпражнения
Найдите область определения функции (299—300).
а) у = 79 — х2;б) у = 7х2 — 0,25;
к в) у=—1=^-;г) у = —
a) y^^—^Jx; б) y = ~Vv+1;
Заданы функции f(x) = 2 —х—х2; g(x)=Vx; ^(х)=7^з"- Задайте с помощью формул функции:
a) f(gM);б) g(i№ в) f (р (х));
г) P(J№ д) g(j)№ е) p(g(x)\
Представьте функции, заданные в упражнениях 299, 300, как сложные функции, составленные из более простых функций.
Найдите такую функцию f, что f(g(x)) = x, если:
a) g^=x\ х>0; б) g^=^fx; в) g(x)=-y;
г) g(x) = 2x; д) g(x) = 3x + 2; е) g (х) = х2+1, х<0.
Найдите производную функции (304—307).5
а) (2х-7)н; б) (3 + 5х)'°;в)(7х-1)-3; г) (-1-х+ 2) .
a) V2x + 3;б) \3-™х;
в) у/5х^=8; г) л^Г^Лх.
а) д/4х2-1; б) "у1-х2 + 7;
в) д/9х2— 16; г) х/7 — Зх3.
а) (5х-2),3-(Зх + 7)20;б) (Зх- 1),5 + (2х + 3)4;
в) —8 —V4*2 —3: г) д/9 + 2х— Vo,5x2 —2.
Производные тригонометрических функций
Докажем, что функция синус имеет производную в любой точке и
(sin х/ = cos х.(1)
Применяя формулу sin a —sin 0 = 2 cos ^~ - sin ” 2~ , находим:
(
Ах \ . Ах Хо+-тг )sm~5" ,2 /2
ДхАхАх
. Ахsmy
Ах
Для вывода формулы (1) достаточно показать, что:
Дх
2
-* cos Хо при Дх ->- 0.
Опираясь на эти утверждения, получим формулу (1). Действительно, при Дх -* О
. Ах
A sin х2/. Ах X «
— = тCOS 1Хо4—о" )~К 1 *COS Х° =
Ах АхX 2 /
= COS Хо.
▼ Утверждения а) и б), на которые мы опирались выше, имеют наглядный геометрический смысл.
Отложим на единичной окружно
сти от точки Рй в обе стороны дуги Р0Л и Р0В длины -^- (рис. 69). Тогда длина дуги АВ равна |Дх|, а длина хорды АВ равна
АВ v>ABАВ v>ABsin-sin--> 1 при Дх -> 0.-> 1 при Дх -> 0.2 J sin J. При малых |Дх| длина хорды АВ практически не отличается от длины стягиваемой ею дуги АВ. (Этим фактом вы уже пользовались в курсе геометрии при выводе формулы длины окружности. Действительно, при больших п верно, как известно, приближенное равенство Рп^С, где Рп — периметр правильного вписанного л-угольника, а С — длина окружности. Значит, длина стороны такого многоугольника приближенно равна длине дуги, которую эта сторона стягивает.) Следовательно,
АВ v>AB
АВ v>AB
sin-
sin-
-> 1 при Дх -> 0.
-> 1 при Дх -> 0.
Рассматривая рисунок 69, замечаем, что длина хорды АВ меньше длины дуги АВ, т. е.
2sin^l<2.^.
Воспользовавшись формулой разности косинусов и этим Неравенством, находим:
cos (Х0+-77-)—cos хо = — 2 sin — sin (хоЧ—— )
X 2 /II4\4/1
<|2sin^|<^.
Отсюда следует, что приближенное равенство cos (х0+-^^« «cosxo выполняется с любой заданной точностью h. при всех |Ах| < 2/z, а это и означает, что cos (хо + ^~) -*■ cos хо при Дх -*• ().▼
Пример. По формуле дифференцирования сложной функции (sin (ах + Ь^У =а cos (ах 4- by
. Выведем формулы дифференцирования косинуса, тангенса и Котангенса:
(cos хУ = — sin x.(cos хУ = — sin x.(tg хУ =(tg хУ =1cos2 X1cos2 X(ctg xy =(ctg xy =1sin2 x1sin2 x(2)(3)(4)(2)(3)(4)
(cos хУ = — sin x.
(cos хУ = — sin x.
(tg хУ =
(tg хУ =
1
cos2 X
1
cos2 X
(ctg xy =
(ctg xy =
1
sin2 x
1
sin2 x
(2)
(3)
(4)
(2)
(3)
(4)
(Каждая из этих формул справедлива в любой точке области определения соответствующей функции.)
Вывод формулы (2) основан на равенствах cosx = = sin (у—х), cos (—x)=sin х и правиле дифференцирования сложной функции:
(cos хУ = (sin х= — cos х)= —sin х.
Чтобы доказать формулы (3) и (4), применим формулу для нахождения производной частного и выведенные формулы производной синуса и косинуса:
,,., / sin х V sin' х cos х —cos' х sin х cos2x + sin2x1.
t\ cos х /cos2 XCOS2 Xcos2 X
, ,/cosx Vcos'x sin x —sin'X COS X
(ctg x) = —: I =—=
V b /\ sin X /Sin X
— sin2 x — cos2 x1
. 2• 2•Sin Xsin X
Упражнения
Найдите производную функции (308—314).
а)а)а)а)а)а)в)а)в)а)а)а)а)а)а)в)а)в)y-sin х; б) 4 cos х; в)sin Зх; б) sin (— 2х);cos 2х; б) cos (— Зх); в)tg2x; б) tg( — Зх); в)y-sin х; б) 4 cos х; в)sin Зх; б) sin (— 2х);cos 2х; б) cos (— Зх); в)tg2x; б) tg( — Зх); в)sin x-|-cos х; в) 5 sin 2х;sin x-|-cos х; в) 5 sin 2х;—ycos 4х;3tg-y; г)—ycos 4х;3tg-y; г)г) tgx + ctgx.г)—ys*n 3-^-г) tgx + ctgx.г)—ys*n 3-^-г) 3 COS 1уХ—i-tg 2х.2 6г) 3 COS 1уХ—i-tg 2х.2 6ctg 5х; б) —ctg( —2х);в) 4 ctg у-;sin ^y-x-f- л у, б) sin (ух);/ 1\х / л । \cos (ух —л);г) cos(y+*)-ctg 5х; б) —ctg( —2х);в) 4 ctg у-;sin ^y-x-f- л у, б) sin (ух);/ 1\х / л । \cos (ух —л);г) cos(y+*)-г) —7 ctg-у.г) —7 ctg-у.sin (2х-|—— 1;tg (Зх —7);sin (2х-|—— 1;tg (Зх —7);б) cos (ух—1Г) Ctg (^4-^-)б) cos (ух—1Г) Ctg (^4-^-)
а)
а)
а)
а)
а)
а)
в)
а)
в)
а)
а)
а)
а)
а)
а)
в)
а)
в)
y-sin х; б) 4 cos х; в)sin Зх; б) sin (— 2х);
cos 2х; б) cos (— Зх); в)
tg2x; б) tg( — Зх); в)
y-sin х; б) 4 cos х; в)sin Зх; б) sin (— 2х);
cos 2х; б) cos (— Зх); в)
tg2x; б) tg( — Зх); в)
sin x-|-cos х; в) 5 sin 2х;
sin x-|-cos х; в) 5 sin 2х;
—ycos 4х;
3tg-y; г)
—ycos 4х;
3tg-y; г)
г) tgx + ctgx.
г)—ys*n 3-^-
г) tgx + ctgx.
г)—ys*n 3-^-
г) 3 COS 1уХ
—i-tg 2х.
2 6
г) 3 COS 1уХ
—i-tg 2х.
2 6
ctg 5х; б) —ctg( —2х);в) 4 ctg у-;
sin ^y-x-f- л у, б) sin (ух);
/ 1\х / л । \
cos (ух —л);г) cos(y+*)-
ctg 5х; б) —ctg( —2х);в) 4 ctg у-;
sin ^y-x-f- л у, б) sin (ух);
/ 1\х / л । \
cos (ух —л);г) cos(y+*)-
г) —7 ctg-у.
г) —7 ctg-у.
sin (2х-|—— 1;
tg (Зх —7);
sin (2х-|—— 1;
tg (Зх —7);
б) cos (ух—1
Г) Ctg (^4-^-)
б) cos (ух—1
Г) Ctg (^4-^-)
315. Найдите, в каких точках обращается в нуль производная функции:
a) f(x) = 2sinx— x; 6) g (x) = cos x + ^-x;
в) / (x) = sin x-J-cos x; r) g(x) = tgx— 2x.
Найдите производную функции (316—317).
a)x sin x; 6) x2 cos x;B)sin2x;
r)tg2 x; д) sin2 x4-cos2 x;e)tgx4*ctgx.
a)cos 2x sin x + sin 2x cosx;6)sin 2/cos / — sin /cos2/;
в)cos 3t cos 2/ -ф sin 3/ sin2/;r)cos / cos 2/ —sin tsin2/.
§ 6. ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ, ГЕОМЕТРИИИ ФИЗИКЕ
Метод интервалов
В п. 14 отмечалось, что при вычислении значения функции f ь точке а часто приходится вычислять значение f не в самой Точке а, а в близкой к пей точке х. Именно с такой ситуацией мы, как правило, сталкиваемся при проведении приближенных Вычислений.
Существуют, однако, функции, при вычислении значений Которых в точках х, близких к хо, мы получим значения, заметно отличающиеся от f (х0). Рассмотрим, например, значения функции /(х) = {х) ({х} — дробная часть числа х; график {х} изображен па рис. 70) в точках, близких к точкам хо = «, где п — натуральное число. Так, для точки хо = 2 справедливо равенство
f(2) = {2} = 0.
Мы не можем вычислить значение этой функции, например с точностью до 0,5, вычисляя значение f в точках, близких к Хо = 2: при отрицательных значениях Ах, близких к нулю, |т| будет близка к 1 и абсолютная погрешность |{х} — {2}| будет [больше 0,5.
Этот пример показывает, что не всегда приближенное равенство f(x)^f(a) выполняется с большой точностью, если х вы- . брано близко к а.
Функцию Д для которой приближенное равенство f(x)^f(cz) выполняется с любой, наперед заданной точностью для всех х, Достаточно близких к а, называют непрерывной в точке а.
Иными словами, функция f не-у 1
прерывна в точке а, если ма- / / Л / / / / ^ым изменениям аргумента в / / / / / / / ягой точке отвечают малые из--^—^—* п<——^—*
,~О 1х
вменения функции. Это же можно выразить иначе: функция fРис. 70
N Лпказ 35597
непрерывна в точке а, если Af -> О при Ах - 0, или
f W -> / (а) при х -> а. Т)
Функцию, непрерывную в каждой точке некоторого промежутка 7, называют непрерывной на этом промежутке (промежуток 1 называют промежутком непрерывности функции f). При переходе от одной точки этого промежутка к близкой ей точке значение функции меняется мало, и график f на этом промежутке представляет собой непрерывную линию, которую можно* «нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги».
Как было показано в п. 18, функция, дифференцируемая в точке а, непрерывна в этой точке. Все рациональные и тригонометрические функции дифференцируемы во всех точках своих областей определения. Следовательно, эти функции непрерывны в каждой из этих точек и поэтому приближенные равенства /(x)^f(a) выполняются с любой точностью для всех х, достаточно близких к а.
Например, из дифференцируемости функции f(x) = x2 на всей прямой, а функции /(х)=— на промежутках (—оо;0) и (0; оо) вытекает непрерывность этих функций на соответствующих промежутках (рис. 71, 72).
Замечание. Обратное утверждение, однако, неверно. Примером функции, непрерывной в точке нуль, но не дифференцируемой в этой точке, является функция |х|. Непрерывность этой функции в точке 0 очевидна: А1х|<А для любого h">0, если |х| <h. В п. 17 было показано, что функция |х| не дифференцируема в точке 0.
Во многих случаях удобно пользоваться следующим свойством непрерывных функций.
Если на интервале (а; Ь^ функция f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак.
Действительно, допустим, что ——у"Т^уг^ут^у*^- ^цйдутся такие точки xi и х2Z; ;23
интервала (а; Ь\ чторис 74
f (xi)<0, a f (х2)>0.
Тогда непрерывная кривая, соединяющая точки Л(хь/(х|)) и В (х2; f (х2)), разделенные прямой у = 0, пересекает эту прямую в некоторой точке хз данного интервала (рис. 73)*, т. е. [ (хз) = 0. Это противоречит условию: функция f не обращается на интервале (а; Ь) в нуль.
На этом факте (его полное доказательство приводится в курсах математического анализа) основан метод решения неравенства с одной переменной, называемый методом интервалов. Опишем его.
Пусть функция f непрерывна на интервале 1 и обращается в нуль в конечном числе точек этого интервала. Этими точками ] разбивается на интервалы, в каждом из которых f сохраняет постоянный знак. Чтобы определить этот знак, достаточно вычислить значение функции в какой-либо одной точке для каждого такого интервала. Этот знак удобно отмечать на координатной прямой.
Пример. Решим неравенство
Функция
|fto-^TT
непрерывна в каждой точке своей области определения (это дробно-рациональная функция) и обращается в нуль в точках — 1 и 1. Область определения этой функции — вся числовая прямая, за исключением нулей знаменателя, т. е. точек 2 и 3. Эти точки и точки — 1 и 1 разбивают область определения f на 5 промежутков (рис. 74). На рисунке отмечен знак f в каждом из соответствующих интервалов. Неравенство (2) нестрогое, поэтому точки — 1 и 1 (нули функции f) включаются в соответствующие промежутки. Рассматривая рисунок 74, можно выписать ответ: решение неравенства — объединение промежутков (— оо; — 1]; [ 1; 2) и (3; оо).
Упражнения
Укажите промежутки непрерывности функции:
а) х3 —2х;х х2 — 5x4-6 .'х3 —8Решите методома) х3 —2х;х х2 — 5x4-6 .'х3 —8Решите методомб)г)б)г)х4 — 2х 4* 5
а) х3 —2х;
х х2 — 5x4-6 .
'х3 —8
Решите методом
а) х3 —2х;
х х2 — 5x4-6 .
'х3 —8
Решите методом
б)
г)
б)
г)
х24-1*
х34-8
х24-2х '
интервалов неравенство (319—321).
а) (х-1)(х-2)(х-3)<0; б) (х+1) (х-4) (х+8)>0;
(х 2)(х-4)х (х-3)(х4-1)
(х 4- 3) (х — 1)(х 4- 3) (х — 4)
а) х2 — 5х + 4>0; б) х2 —Зх —4<0;
в) х4-10х2 + 9<0; г) х4-5х2-6>0.
321*. а) (х2-1)(х3-1)(х4-1)>0; б) ^"^t^Hx-T) <0;
(х —2) (х4-1)
в) Т^Г^д+^ТГ’г) V*2 — 4(х —3)<0.
Касательная к графику функции
С понятием касательной к графику вы уже знакомы (п. 16). Дадим точное определение этого понятия.
Касательной к графику функции" f, дифференцируемой в точке хо, называется прямая, проходящая через точку ^хо\ f (хо)) и имеющая угловой коэффициент р (хо).
Как и в случае параболы, график функции f, дифференцируемой в точке хо, в малой окрестности точки Хо практически не отличается от отрезка касательной. Действительно, существование производной Д (хо) означает, что для малых Дх
А/ДхА/ДхГ И,Г И,
А/
Дх
А/
Дх
Г И,
Г И,
е. угловой коэффициент ^ секущей, проходящей через точки (х0; f (хо)) и (хо + Дх; f (хо + Дх)), практически равен угловому коэффициенту касательной (рис. 75). Это и означает, что точки (х; f (х)) при малых Дх очень близки к касательной.
Условие ^ -*■ f' (хо) при Дх -> 0 позволяет дать геометрическое определение касательной. И касательная /, и любая из секущих проходят через точку А (хо; f (хо)) графика. Для того чтобы однозначно задать прямую, проходящую через данную точку А, достаточно указать ее угловой коэффициент. Угловой коэффициент ~ секущей при Дх ->- 0 стремится к угловому коэффициенту касательной f' (хо). Поэтому говорят, что касательная есть предельное положение секущей при Дх -*- 0.
Имея в виду геометрическое определение касательной, мы получим, что существование производной функции / в точке хо
эквивалентно существованию невертикальной касательной в точке (хо; f (хо)) графика, причем угловой коэффициент этой касательной равен Р (хо). В этом состоит геометрический смысл производной.
Пусть нам задан график дифференцируемой функции. Для практического построения касательной к графику f в точке А (х0; f (хо)) надо, поворачивая линейку вокруг точки А, найти такое ее положение, при котором график возможно теснее примыкает к краю линейки. Зафиксировав линейку в этом положении, проводим касательную.
Построим приблизительно касательные к графику функции f в точках Xi, Х2, х3 (рис. 76) и отметим углы, которые образуют эти касательные с осью абсцисс. По определению касательной производная функции f в точке Хо равна тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс. Мы видим, что угол ai острый, угол аз тупой, а прямая / параллельна оси Ох, т. е. угол между / и осью абсцисс равен нулю. Тангенс острого угла положителен, а тупого отрицателен, поэтому
Г(х,)>0, г М = 0; Г(хз)<0.
Построение касательных в отдельных точках позволяет более точно строить эскизы графиков функций. Так, например, для построения графика функции синус предварительно находим, что в точках 0, у и л производная синуса равна 1, 0 и — 1 соответ
ственно. Построим прямые, проходящие через точки (0; 0),
1, 0 и — 1 соответ-1, 0 и — 1 соответ-^у-; Q и (л; 0) с угловыми коэффициентами ственно (рис. 77). Остается вписать в полученную трапецию, образованную этими прямыми и осью Ох, график синуса так, чтобы при х, равном 0, у- и л, он касался соответствующих прямых.
1, 0 и — 1 соответ-
1, 0 и — 1 соответ-
Отметим, что график синуса в достаточно большой окрестности нуля Прак-
0,02,0,02,тически не отличим от прямой у = х. Пусть, например, масштабы по осям выбраны так, что единице соответствует отрезок в 1 см. - Тогда
0,02,
0,02,
sin 0,5^0,479425, т. е. |sin 0,5—0,51
; и в выбранном масштабе это соответствует отрезку длины 0,2 мм. i Поэтому график функции y = smx в интервале ( — 0,5; 0,5) будет отклоняться от прямой (в вертикальном направлении)
: У = х не более чем на 0,2 мм, что примерно соответствует толщине проводимой линии.
Выведем теперь уравнение касательной к графику функции / в точке Л (х0; f (х0)).
Уравнение прямой с угловым коэффициентом р (хо) имеет вид: У = Г W-x-V-b.
Для вычисления b воспользуемся тем, что касательная ; проходит через точку А:
f М = Р (хорхо-рЬ, откуда b =f (х0) — р (х0)-х0
и, значит, уравнение касательной таково:
илиУ = Г Ых — р (xo)-xo + f (хо)
У = f (-Vo) + Г М (х — Хо).(1)
Пример 1. Найдем уравнение касательной к графику функции f(x) = x3— 2х2-ф-1 в точке с абсциссой 2.
В этом примере х0 = 2, f (x0) = f (2) = 23 —2-22+ 1 = 1, р (х) = = 3х2 — 4х, Р (xo) = f, (2) = 3-2—4-2 = 4. Подставляя эти числа в уравнение (1), получаем уравнение касательной:
у = 1 + 4 (х — 2), т. е. у = 4х — 7.
Пример 2. Выведем уравнение касательной к параболе у = х2 в точке с абсциссой хо.
Решение. Имеем:y(x0) = xl
у' (хо) = 2хо.
Подставляя эти значения в уравнение (1) касательной, получаем:
У = хо + 2хо (х — хо),т. е. z/ = 2xox —X2.
Например, при Хо=1 получаем касательную, имеющую уравнение i/ = 2x—1.
Найдем координаты точки Т пересечения касательной к параболе в точке А (хо; х2) с осью Ох (рис. 78). Если (xi; 0)— координаты точки Г, то, поскольку Т принадлежит каса-
тельной (и, значит, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной), имеем:
0 = 2хоХ| — хо.
Если Хот^О. то xi=-y-.
Полученный результат дает простой способ построения касательной к параболе в любой ее точке Л (кроме вершины): достаточно соединить точку А с точкой Г, делящей отрезок оси Ох с концами 0 и хо пополам: прямая АТ — искомая касательная.
Геометрический смысл производной позволяет дать наглядную иллюстрацию многих фактов математического анализа. Приведем пример.
Рассмотрим функцию [, дифференцируемую в каждой точке некоторого промежутка; а и b — произвольные точки из этого промежутка. Проведем через точки A (a; [ (а)) и В (b; f (Z?)) прямую АВ и рассмотрим прямую /, не имеющую общих точек с графиком / и параллельную прямой АВ. Будем перемещать эту прямую / по направлению к графику f так, чтобы она оставалась параллельной Л8. Зафиксируем положение /о этой прямой в момент, когда у пес появятся общие точки с графиком f. Из рисунка 79 видно, что любая из таких «первых» общих точек — точка касания прямой /о с графиком f. Обозначим абсциссу этой точки через с. Тогда.,
Г M = tg а,
где а — угол между прямой /о и осью абсцисс. Но /ЦЛВ, поэтому угол а равен углу наклона секущей АВ, т. е.
LПс) = ,е«=Ы>.
Мы показали, что на интервале (а; Ь) найдется такая точка с, что (рис. 80)
IгЫ-М.
Эта формула называется формулой Лагранжа.
Упражнения
Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функ
ции f в указанной точке:
a) f(x) = V, М( —3;9); б) Цх) = х3, М( —2; —8);
в) f(x)=^^, Af (0; 0); г) f(x)=-^-, М(1; -2).
Под каким углом пересекаются с прямой Ох в каждой из точек пересечения следующие кривые (укажите тангенс этого угла):
a) f (х) = х2-Зх + 2;б) f(x) = x3-3x?
Под каким углом пересекается с прямой Оу кривая:
а) У=^х — I)2; 6) t/=—L-?
Напишите уравнение касательной к графику функции / в точках с указанной абсциссой:
б) у=х3, х = 2;г) У=Чх, х = 4.б) у=х3, х = 2;г) У=Чх, х = 4.a) Их^=х\ х= —1, х = 0, х = 1;
б) у=х3, х = 2;
г) У=Чх, х = 4.
б) у=х3, х = 2;
г) У=Чх, х = 4.
в) У——. х= —1. х=1; X
Формулы для приближенных вычислений
Рассмотрим такую задачу: вычислить приближенное значение sin 1°, не пользуясь таблицами или калькулятором.
В курсе геометрии с помощью свойств прямоугольных треугольников были найдены значения синусов углов в 30°, 45°, 60° и т. д. Однако общего способа вычисления синусов углов, который можно было бы применить в данном случае, мы пока не знаем. Можно, правда, заметить, что угол в 1° близок к нулю, и, воспользовавшись непрерывностью синуса (это вытекает из доказанной в п. 20 дифференцируемости синуса в любой точке), взять в качестве приближенного значение синуса в нуле:
sin l°^sin 0° —0.
Найдя теперь значение sin 1°, получаем приближенное равенство:
sin 1°^0,0174524.
Следовательно, полученное со ссылкой на непрерывность функции синус приближение довольно грубо — оно отличается от истинного значения почти на 0,02.
Существенно большую точность дает применение в этом случае ' общей формулы для приближенного вычисления значения функции /, дифференцируемой в хо. Для вывода такой форму- (лы заметим, что при Дх, мало отличающихся от нуля, график f (х) на малом отрезке [хо —/1; xo + /z] примыкает к касательной к графику /, проходящей через точку (хо; / (хо)). Поэтому значения f (х) на этом отрезке мало отличаются от значений линейной функции, графиком которой служит эта касательная. Уравнение (касательной известно:
У = f W + Г (хо) (х — Хо).
Следовательно, при малых Дх значения [ (х) приближенно могут быть найдены по формуле
f (x) «f (х0) + Г М Дл.(1)
Если точка хо такова, что значения f (хо) и Д (хо) нетрудно ■ вычислить, то формула (1) позволяет находить значения f (х) при х, достаточно близких к хо- Так, в рассматриваемой выше задаче естественно взять в качестве точки Хо значение 0, поскольку углы в 0° и 1° мало отличаются. Значения f (хо) и Д (х0) известны: f (0) = 0; Д (x)=cos х, и поэтому f' (0) = 1. Переведя 1° в
радианную меру, находим, что 1 ° =-^-«0,0174533. По форму- , ле (1) получаем:
sin 1°^0+1—«0,0174533.
1 ои
Это значение отличается от найденного менее, чем на 0,000001, т. е. абсолютная погрешность приближения sin 1 °«0,0174533 меньше 0,000001.
Выведем приближенные формулы
|УГ+Д?«1+фДх(2)
1(1 + Дх)"« 1 + «Дх, п — целое число.(3)
Для вывода формулы (2) возьмем функцию f(x) = ^/x и воспользуемся приближенной формулой (1) при хо=1 и х = хо + + Дх = 1 + Дх. Имеем: Цхо) = л/\ = Х и р (х^-^—, "откуда 2 -ух
Щхо^р ^=-^— = 4-. В силу формулы (1) 2-/Г 2
f(x)=VT+^-i+^.
Пример 1. Вычислим приближенные значения: a) V1 >06; б) дД>08. Воспользуемся формулой (2):
7Д06= д/Т + 0,06 « 1 4™0,06= 1,03;
<4.08 = 2 <Г02«2 (1 4~-0,02) = 2,02.
Для вывода формулы (3) рассмотрим функцию f (%) = %" и воспользуемся приближенной формулой (1) при хо=1 и х = хо + kx = 1 + Дх. Имеем: f (хо) = 1 ” = 1 и [' (х) = пхп“1, откуда f' (xo) = f' (l)=n • I”-1 = п. В силу формулы (1)
f (х) = (1+Дх)л«1+пДх.
Пример 2. Вычислим приближенное значение (1,001) |0°.
Понятно, что непосредственное возведение числа 1,001 в степень 100 потребует очень больших вычислений. Существенно упрощает дело применение формулы (3). Полагая в этой формуле Дх = 0,001 и п = 100, находим:
1,001100 = (1 +0,001)1ОО^1 + 100-0,001 = 1,10.
Значение 1,00110°, вычисленное с помощью калькулятора, равно 1,10512.
Пример 3. Вычислим приближенное значение ,"™-^ ■
Воспользуемся формулой (3) при и =—30:
+^=(1 -0.003)-” »1+(-30) (-0,003)= 1+0,09 = 1,09.
Упражнения
Вычислите с помощью формулы (1) приближенные значения:
a) sin 0,02; б) tg 0,02; в) sin —0,04^; г) cos (-^-+0,02)
Вычислите с помощью формулы (2) приближенные значения: a) V1.004; б) VO94; в) 7§6; г) 715^4.
Вычислите, пользуясь формулой (3), приближенные значения:
а) 1,ОО2100; б) О,99820; в) 1.0003200; г) 2,99750.
Найдите приближенные значения (329—331).
329' а) (1.003)20 •б^ (0.998)40 ’В) 0,9994 ’ Г) ^дЙ
a) sin 31°; б) sin 29°; в) cos 61°; г) cos 59°.
a) tg31°; б) tg 29°; в) tg 44°; г) tg 46°.
Производная в физике и технике
Напомним, как определялась скорость движения в курсе физики. Рассмотрим самый простой случай: материальная точка движется по координатной прямой, причем задан закон движения, т. е. координата х этой точки есть известная функция х (/) времени L За промежуток времени от Zo до f0 + AZ перемещение точки равно х(/о + Д/) — x(t0') = ^x1 а ее средняя скорость
"еР(А0=+ (1)
При Д/<0 формула (1) также верна: перемещение равно г (/о) — х (/о + А/)= — Дх, а продолжительность промежутка времени равна —ДЛ
Обычно характер движения бывает таким, что при малых Д/ средняя скорость практически не меняется, т. е. движение с большой степенью точности можно считать равномерным (см. пример 3 п. 14). Другими словами, значение средней скорости при Д/->0 стремится к некоторому вполне определенному значению, которое и называют мгновенной скоростью и (t0) этой точки в момент времени /0. Итак,
^И^^^М при Д/->0.
Но по определению производной
I^ -*х' (^ при Д/->0.
Поэтому считают, что мгновенная скорость и (/) определена (только) для любой дифференцируемой функции х (/), при этом
(2)(2)и ^ = х' (/).
(2)
(2)
Коротко говорят: производная от координаты по времени есть скорость. В этом состоит механический смысл производной.
Мгновенная скорость может принимать как положительные, так и отрицательные значения и, конечно, значение 0. Если скорость на каком-либо промежутке времени (/,; /2) положительна, то точка движется в положительном направлении, т. е. координата х (/) растет с течением времени, а если и (/) отрицательна, то координата х (() убывает.
▼ В более сложных случаях точка движется на плоскости или в пространстве. Тогда скорость — векторная величина и с помощью формулы (2) определяют каждую из координат вектора и (t\ ▼
Аналогичное положение и с ускорением движения. Скорость и движения точки есть функция от времени t, т. е. u = v(t\ А производная этой функции называется ускорением движения:
а = и' (/).
Коротко говорят: производная от скорости по времени есть ускорение.
Пример 1. Рассмотрим падение материальной точки. Если координатную прямую направить вертикально вниз, а начальное положение материальной точки совпадает с 0, то, как известно
£t2£t2из физики,
£t2
£t2
х 72 '
Тогда скорость падения точки в момент времени / равна
и =
а ускорениеа ускорениеa=№=ga=№=g
а ускорение
а ускорение
a=№=g
a=№=g
есть величина постоянная.
Рассмотрим более общий случай.
Пример 2. Пусть зависимость от времени координаты точки, движущейся по прямой, выражается формулой
х ^ = -^-Р 4* уо^ 4- Хо,
где а^О, п0 и хо— постоянные. Найдем скорость и ускорение движения.
Решение. Найдем скорость этого движения:
и=х' (^)=^-/24-Уо/4~Яо) =2--^-/ + ио = а/4-Уо.
Так как нам известна скорость движения как функция времени, мы можем найти ускорение этого движения:
и' (/) = (а/4-и0), = а.
Мы видим, что ускорение при движении по квадратичному закону постоянно и равно а. Если а>0, то это равноускоренное движение, если же а<сО, то равнозамедленное. Отметим также, что и0 = и (0), а хо = х (0).
В главе III мы докажем, что если при движении по прямой ускорение а постоянно, то движение происходит по квадратичному закону:
X (/) = у-/2 4- UOt 4- Хо, где по — начальная скорость точки, а хо — начальная координата.
Пусть y = f (х) — произвольная дифференцируемая функция. Тогда мы можем рассмотреть движение материальной точки по координатной прямой, совершаемое согласно закону x = f^t\ Механический смысл производной позволяет дать наглядную интерпретацию теорем дифференциального исчисления.
Пример 3. Пусть f и g — две дифференцируемые функции. Рассмотрим следующее (относительное) движение по прямой. Дана подвижная система координат, связанная с поездом, начало которой (кабина машиниста) движется относительно начала неподвижной системы координат (станции) по закону х\ = Ц(). В подвижной системе координат (поезде) материальная точка совершает движение по закону хг (t) = g (/)• Тогда координата х этой точки относительно неподвижной системы координат равна х = Х14-Х2, а ее скорость равна и [t) = x' (t). С другой стороны, по закону сложения скоростей
V (t) = U1 (/) 4- п2 (/) = XI (/) 4- Х2 (О-
Итак, мы получили с помощью механического смысла произ- ной известную формулу:
Пример 4. Пусть материальная точка движется по коор- [атной прямой согласно закону
Тогда ее средняя скорость на промежутке а ^/^6 равна
^ср^ср„Н^-Ца')„Н^-Ца')b —ab —a
^ср
^ср
„Н^-Ца')
„Н^-Ца')
b —a
b —a
Мгновенная скорость и (/) в точках промежутка [а; Ь] не может быть все время меньше (больше) средней. Значит, в какой-то юмеит /о€ [а; 6] мгновенная скорость равна средней, т. е. най- щтся такое / о Е [а; 6], что
u^=m =u^=m =b —ab —a(3)(3)
u^=m =
u^=m =
b —a
b —a
(3)
(3)
Итак, мы получили механическую интерпретацию формулы Лагранжа.
С помощью производных функций, характеризующих физиче- жие явления, задаются и другие физические величины. Например, мощность (по определению) есть производная работы по времени. Рассмотрим еще один пример.
Пример 5. Пусть дан неоднородный стержень, причем из- зестна масса т (/) любого его куска длины / (/ отсчитывается >т фиксированного конца стержня). Хотя стержень неоднороден, естественно полагать, что плотность его небольшой части 'на участке от / до / + Д/) примерно одна и та же, причем, чем меньше Д/, тем в меньших пределах на этом участке изменяется плотность. Поэтому за характеристику распределения плотности стержня в зависимости от / принимают линейную плотность d (/) = т/ (/).
С другими примерами применения производной в физике и механике вы познакомитесь в ходе решения задач.
V П р и м е р 6. Выведем свойство параболы, имеющее применения в оптике и технике.
Поверхность, получающаяся при вращении параболы у = ах2 вокруг оси Оу, называется параболоидом вращения. Представим себе, что внутренняя поверхность параболоида — зеркальная поверхность и это параболическое зеркало освещается пучком лучей света, параллельных оси Оу.
Рассмотрим сечение этого зеркала плоскостью а, проходящей через ось Оу. Это сечение представляет собой такую же параболу у = х2 (ось Ох выбираем в плоскости сечения, а=1). Согласно законам оптики отраженный луч света будет лежать в плоскости а, причем этот луч образует с касательной к параболе такой же угол, как и падающий луч МА (рис. 81).
Мы докажем, что все лучи, параллельные оси Оу, после отражения пересекутся в одной точке осн Оу.
Обозначим через F точку пересечения произвольного отраженного луча с осью Оу. Прямая АТ — касательная к параболе в точке А. Из законов отражения света (см. рис. 81) сразу следует, что Z_TAM = Z_FAP. Но луч МА параллелен оси Оу, поэтому Z..FPA = Z_ ТАМ (как углы с соответственно параллельными сторонами). Следовательно, Z_FPA = = Z_FAP, т. е. треугольник FPA равнобедренный и FA=FP. Точка А (хо; уо) ле
жит на параболе, поэтому у0 = х2. Уравнение касательной АТ имеет вид: у = 2хох — х2, из него найдем ординату ур точки Р: ур = 2хо-О — хо, т. е. ур=—у0. Если ординату точки F обозначим у, то FP —у + </о. Длина FA = д/хо + (z/o — yf, и поэтому (вспомним, что FA = FP) верно равенство (у А-Уо) = х2 А* (уо — у) ,
т. е. у^ A-^yyo-Fyo = yo-Vyo — 2 у у 0 А-у2, откуда 4уу0=у0 и (поскольку z/o^O) у = -7-.
Это и означает, что все лучи, параллельные оси параболического зеркала, после отражения сходятся в одной точке, которую называют фокусом параболического зеркала (точку F называют также фокусом параболы у = х2).
На этом свойстве основано устройство параболических телескопов. Лучи от далеких звезд приходят к нам в виде параллельного пучка. Изготовив параболический телескоп и поместив в его фокус фотопластинку, мы получаем возможность усилить световой сигнал, идущий от звезды. Этот же принцип лежит в основе создания параболических антенн, позволяющих усилить радио
сигналы.
Если же поместить в фокусе параболического зеркала источник света, то после отражения от поверхности зеркала лучи, идущие от этого источника, не будут рассеиваться, а соберутся в узкий пучок, параллельный оси зеркала. Этот факт находит применение при изготовлении прожекторов и фонарей, различных проекторов, зеркала которых изготавливают в форме параболоидов. ▼
Упражнения
Человек удаляется со скоростью 8 км/ч от подножия башни высотой 60 м. Какова скорость его удаления от вершины башни, когда он находится на расстоянии 80 м от ее основания?
Вращение тела вокруг оси совершается по закону
<р(/) = 3/2-4/ + 2.
Найдите угловую скорость ю (/) в произвольный момент времени / и при / = 4(ф— угол вращения в радианах, ю — скорость в радианах в секунду, t — время в секундах).
. Маховик, задерживаемый тормозом, за время t поворачивается на угол ф (/) = 4/ — 0,3/2. Найдите: 1) угловую скорость ш (/) вращения маховика в момент времени / = 2с; 2) в какой момент времени маховик остановится (ф(/) — угол в радианах, t— время в секундах).
Пусть точка движется прямолинейно по закону х(/) = 2/3-Н — 1.
Найдите ускорение в момент времени L В какой момент времени ускорение будет равно: а) 1 см/с2; б) 2 см/с2 (% (/) — перемещение в сантиметрах, / — время в секундах)? Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону х(/) = = /2 + /-[-1. Координата х измеряется в сантиметрах, время / — в секундах. Найдите: а) действующую силу; б) кинетическую энергию Е тела через 2 с после начала движения. Пусть известно, что для любой точки С стержня АВ длиной 20 см, отстоящей от точки А на расстоянии / см, масса куска стержня АС в граммах определяется по формуле m (/) = З/2 + 5/. Найдите линейную плотность стержня: а) в середине отрезка АВ; б) в конце В стержня.
Найдите силу F, действующую на материальную точку с массой т, движущуюся прямолинейно по закону
х (/) = 2/3 —/2 при 1 = 2.
Точка движется прямолинейно по закону x(/) = ^ Пока
жите, что ее ускорение пропорционально кубу скорости.
Пусть точка движется прямолинейно по закону х (0 =
+ 3/2 — 5 (время измеряется в секундах, координата — в метрах). Найдите: а) момент времени t, когда ускорение точки равно нулю; б) с какой скоростью движется в этот момент точка.
По прямой движутся две материальные точки по законам Х|(/) = 4^2 —3 и х2(0 = ^3- В каком промежутке времени скорость первой точки больше скорости второй точки?
§ 7. ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙК ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
Признак возрастания (убывания) функции
В п. 4 вы видели, что одна из основных задач исследования
функции — это нахождение промежутков ее возрастания и убывания. Такое исследование легко провести с помощью производной. Сформулируем соответствующие утверждения.
Достаточный признак возрастания ф у н к- ци и. Если f' (х)>0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на 1.
Достаточный признак убывания функции. Если f' (х) <0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на 1.
Доказательство этих признаков проводится на основании формулы Лагранжа (см. п. 22). Возьмем два любых числа xi и х2 из интервала /. Пусть Х| <х2 По формуле Лагранжа существует число с Е (хь х2), такое, что
№)-/м=Г(а (|)
х2 —Л1 х ’
Число с принадлежит интервалу I, так как точки xi и х2 принадлежат /. Если Д>0 на /, то р^>0 и потому f (xi)<f (х2) — это следует из формулы (1), так как х2— xi>0. Этим доказано возрастание функции / на /. Если же f'<0 на /, то р (с)<0и потому f (xi)>f (х2)— следует из формулы (1), так как х2 — xi>0. Этим доказано убывание функции $ на /.
▼ Наглядный смысл признаков ясен из таких физических рас- суждений (рассмотрим для определенности признак возрастания). Пусть движущаяся по оси ординат точка в момент времени / имеет координату у = [ (/). Тогда скорость этой точки в момент времени / равна /' (/) (см. п. 24). Если /'(/)>0 в каждый момент времени / промежутка /, то точка движется в положительном направлении оси ординат, т. е.
если Ч</2, то / (/1) < / (/2).
Это означает, что функция / возрастает на промежутке /. ▼ Пример 1. Найдем промежутки возрастания (убывания) и построим график функции
f (х) = х— х3.
Решение. Данная функция определена на множестве всех действительных чисел. Из равенства
Г (х)=1-3х2
следует, что /' (х)>0, если 1 —Зх2>0. Решая это неравенство методом интервалов (рис. 82), получим, что f' (х)>0 на интервале / 11 \.
—— ; —у и, значит, на этом интервале [ возрастает.
Аналогично f' (х) <С 0 на интервалах ( — оо;L ) и ( —; сю поэтому на этих интервалах / убывает.
Рис. 82.Рис. 82.Далее вычислим значения fДалее вычислим значения f
Рис. 82.
Рис. 82.
Далее вычислим значения f
Далее вычислим значения f
2з V32з V333/ уз2/ уз2На координатной плоскостиНа координатной плоскостиотметим точки М (отметим точки М (2'З ’ Зл2'З ’ Злиии нарисуем гра-и нарисуем гра-фик функции, возрастающейфик функции, возрастающейнанающей на интервалахющей на интервалах— оо;— оо;интервале ^1 \/ 1интервале ^1 \/ 11 \—) и убыва-1 \—) и убыва-— ) и 'з/— ) и 'з/— i 00 л/З— i 00 л/З
2
з V3
2
з V3
3
3
/ уз
2
/ уз
2
На координатной плоскости
На координатной плоскости
отметим точки М (
отметим точки М (
2
'З ’ Зл
2
'З ’ Зл
и
и
и нарисуем гра-
и нарисуем гра-
фик функции, возрастающей
фик функции, возрастающей
на
на
ющей на интервалах
ющей на интервалах
— оо;
— оо;
интервале ^
1 \/ 1
интервале ^
1 \/ 1
1 \
—) и убыва-
1 \
—) и убыва-
— ) и 'з/
— ) и 'з/
— i 00 л/З
— i 00 л/З
Из рисунка 83 видно, что функция f примера 1, непрерывная в точках —— и —, возрастает на отрезке —
Уз УзL Уз уз J
и убывает на промежутках ^—оо; —-^j и [^; 00 ) •
Замечание 1. Если функция f непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то его можно присоединить к этому промежутку (как точки —^и -^ в примере 1).
-уЗ д/З
Мы примем этот факт без доказательства.
Замечание 2. Для решения неравенств f'>0 и Д<0 удобно пользоваться следующим приемом: точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f' сохраняет постоянный знак. Его можно определить, вычислив значение р в какой-нибудь точке промежутка. В случае, когда р
непрерывна на этих промежутках, законность применения такого приема следует из п. 21.
Пример 2. Найдем промежутки возрастания (убывания) и построим график функции
f(x) = 2x+X .
Решение. Область определения данной функции — объединение промежутков ( — оо; 0) и (0; оо);
If'to=2-^-,
и р (х) = 0 при х = 1. Точки 0 и 1 разбивают область определения функции f на три интервала (— оо; 0), (0; 1) и (1; оо). Согласно замечанию 2 в каждом из них р сохраняет постоянный знак. Знак производной в каждом из этих интервалов отмечен на рисунке 84.
Следовательно, данная функ-01
цпи возрастает на интервалахРис. 84.
(—оо;0) и (1; оо). Поскольку f непрерывна в точке 1, то эту точку можно (в силу замечания 1) присоединить к промежутку, на котором функция / возрастает. Окончательно получаем, что f возрастает на промежутках (— оо;0) и [1; оо). Далее, /'(х)<0 на интервале (0; 1) и поэтому (с учетом замечания 1) f убывает на промежутке (0; 1].
Точка 0 не входит в D (f), однако при стремлении х к 0 слагаемое р- неограниченно возрастает. Поэтому и значения f неограниченно
возрастают. В точке 1 функция принимает значение 3.
Отметим теперь на координатной плоскости точку М (1; 3) и нарисуем график функции, возрастающей на промежутках (— оо; 0) и [1; оо) и убывающей на промежутке (0; 1] (рис. 85).
Определите (342—345).a) f(x) = 3x+l;в) f ^=-^-х—\;Определите (342—345).a) f(x) = 3x+l;в) f ^=-^-х—\;промежуткипромежуткивозрастания и убывания функциивозрастания и убывания функцииб) г)б) г)a) 1^=—; б) q ^ =г> "М^-одГТ ' 344. а) и(х) = х2;у (х) = 5х2 — Зх 4- 1;345. a) /z(x) = x3 —27х;в) h (х) = х3 + Зх2 — 9х+ 1;a) 1^=—; б) q ^ =г> "М^-одГТ ' 344. а) и(х) = х2;у (х) = 5х2 — Зх 4- 1;345. a) /z(x) = x3 —27х;в) h (х) = х3 + Зх2 — 9х+ 1;g (х) = -4x4-2;^ И = —Гх —2--^ W-^-;g (х) = -4x4-2;^ И = —Гх —2--^ W-^-;f« = (x-l)2;f (х) = х2 — 2x4-5.и (х) = х2 (х —3);г) g(x) = 2-9x + 3x2-x3.f« = (x-l)2;f (х) = х2 — 2x4-5.и (х) = х2 (х —3);г) g(x) = 2-9x + 3x2-x3.Упражнения
Определите (342—345).
a) f(x) = 3x+l;
в) f ^=-^-х—\;
Определите (342—345).
a) f(x) = 3x+l;
в) f ^=-^-х—\;
промежутки
промежутки
возрастания и убывания функции
возрастания и убывания функции
б) г)
б) г)
a) 1^=—; б) q ^ =
г> "М^-одГТ ' 344. а) и(х) = х2;
у (х) = 5х2 — Зх 4- 1;
345. a) /z(x) = x3 —27х;
в) h (х) = х3 + Зх2 — 9х+ 1;
a) 1^=—; б) q ^ =
г> "М^-одГТ ' 344. а) и(х) = х2;
у (х) = 5х2 — Зх 4- 1;
345. a) /z(x) = x3 —27х;
в) h (х) = х3 + Зх2 — 9х+ 1;
g (х) = -4x4-2;
^ И = —Гх —2-
-^ W-^-;
g (х) = -4x4-2;
^ И = —Гх —2-
-^ W-^-;
f« = (x-l)2;
f (х) = х2 — 2x4-5.
и (х) = х2 (х —3);
г) g(x) = 2-9x + 3x2-x3.
f« = (x-l)2;
f (х) = х2 — 2x4-5.
и (х) = х2 (х —3);
г) g(x) = 2-9x + 3x2-x3.
Критические точки функции,ее максимумы и минимумы
Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Эти точки играют важную роль при построении графика функции, поскольку только они могут быть точками экстремума функции (рис. 86 и 87). Сформулируем соответствующее утверждение — его называют теоремой Ферма.
х — Хох — ХоООX—ХОX—ХО
х — Хо
х — Хо
О
О
X—ХО
X—ХО
Необходимый признак экстремума. Если точка Жо является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f', то она равна нулю: f' (хо)=О.
Достаточно доказать, что если f' (хо)^О, то точка х0 не может быть точкой экстремума. По определению производной
С любой наперед заданной точностью h для всех х, достаточно близких к хо. Если Д (хо)>0, то, взяв h<.V W» получим, что
для всех х» достаточно близких к хо. Теперь заметим, что если х>хо, то f (x)>f (хо) и, значит, хо не является точкой максимума. Взяв точку х такую, что х<хо, получим f(x)<f (х0), и, следовательно, хо не может быть и точкой минимума f. Случай f' (х0)<0 разбирается аналогично.
Важно отметить, что теорема Ферма есть лишь необходимое ‘условие экстремума: из того, что производная в точке Хо обращается в нуль, не обязательно следует, что в этой точке функция имеет экстремум. Например, производная функции х3 обращается и нуль в точке 0, но экстремума в этой точке функция не имеет (рис. 88).
, До сих пор мы рассматривали критические точки, в которых производная равна нулю. Рассмотрим теперь критические точки, в которых производная не существует. В этих точках функция уакже может иметь или не иметь экстремум.
1 Пример 1. Рассмотрим функцию f(x)=|x| (рис. 89). Эта (функция не имеет производной в 0. Значит, это критическая точка. Очевидно, что в точке 0 функция имеет минимум.
Пример 2. Рассмотрим функцию f (х) = 2х-|- |х| (рис. 90). 1По графику видно, что в точке 0 эта функция не имеет экстре- k 115
Рис. 88.Рис. 88.
Рис. 88.
Рис. 88.
мума. В этой точке функция не имеет и производной.
В самом деле, если предположить, что функция f имеет в точке О производную, то / (х)— 2х также имеет производную в 0. Но f (х)— 2х=|х|, а функция |х| в точке 0 не дифференцируема (см. п. 17), т. е. мы пришли к противоречию. Значит, функция I в точке 0 производной не имеет.
Из теоремы Ферма следует, что при нахождении точек экстремумов функции требуется в первую очередь найти ее критические точки. Но, как видно из рассмотренных примеров, вопрос о том, действительно ли данная критическая точка есть точка экстремума, требует дополнительного исследования. При этом часто помогают такие достаточные условия существования экстремума в точке.
Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке хо, a f' (х) >0 на интервале (а; х0) и f' (х) <0 на интервале (хо/ 6), то точка хо является точкой максимума функции f.
Удобно пользоваться упрощенной формулировкой этого признака: если в точке хо производная меняет знак с плюса на минус, то хо есть точка максимума.
Доказательство. Производная f' > 0 на интервале (а; х0), а функция f непрерывна в точке хо, следовательно (см. п. 25), функция / возрастает на промежутке (а; х0] и потому f(x)<f(x0) для всех х из интервала (а; хо).
На промежутке [х0; Ь) функция f убывает (доказательство аналогично) и потому f(x)<f(x0) для всех х из интервала (хо; Ь\
Итак, f (x)<f (хо) для всех х^хо из интервала (а; Ь\ т. е. хо есть точка максимума функции f.
▼ Признак максимума имеет простой механический смысл. Мы можем считать, что f (х) — это координата точки, движущейся по оси Оу, в момент времени х, a f' (х) — скорость точки в этот момент. По условию скорость точки за промежуток времени, предшествующий хо, положительна. Поэтому в течение этого времени точка двигается в положительном направлении, она поднимается по оси Оу до точки [ (хо), т. е. f (x)<f (х0) при х<х0. В момент х0 точка на мгновение останавливается (ее скорость в этот момент равна нулю или не определена), а затем начинает опускаться по оси (по условию скорость f' (х) меньше нуля при х>хо), т. е.
л у=Зх-х3л у=Зх-х3Рис. 91.Рис. 91.Т / (х) < I (хо). Итак, в окрестности хо имеем |f(x)<f(xo). Точка хо — точка макси- [мума.- ▼ | Признак минимума ф у н к- [ ц и и. Если функция f непрерывна в точке хо, а I' (х)<0 на интервале (а; х0) и (' (х)>0 на интервале (хо; 6), то точка Хо является точкой минимума функции f.
л у=Зх-х3
л у=Зх-х3
Рис. 91.
Рис. 91.
Удобно пользоваться упррщенной формулировкой этого признака: если в точке хо производная меняет знак с минуса на плюс, то хо есть точка минимума.
Доказательство этого признака аналогично доказательству признака максимума (полезно провести его самостоятельно).
Пример 3. Найдем точки экстремума функции f (х) = 3х —х3.
Производная этой функции, равная 3 — Зх2, определена во всех точках и обращается в нуль в точках — 1 и + 1. В точке — 1 производная меняет знак с минуса на плюс (Д <0 при х< — 1 и If'>0 при — 1<х<:1). В точке +1 производная меняет знак с плюса на минус. Пользуясь признаками максимума и минимума, получаем, что точка —1 является точкой минимума, а точка + 1 —точкой максимума функции f. График функции изображен ’на рисунке 91.
!
Упражнения
Найдите критические точки приведенных ниже функций, выяснив, какие из них являются точками максимума, а какие—точками минимума (346—348).
a)f(x) = 2x-7;б)f (х) =-у — ^-х;
Iв)g (х) = -^-х2 — Зх;г)g (х) = 4 — 2х + ?х2.
a)f(x)=^-+-y;б)Цх^ = ^^;
в)g(x) = x2—^-х4;г)g (х) = 2х3 + 6х2— 18х+ 120.
a) u(x) = V^i б) v(x)=V^M;
i в)*( —1 прих^ —1,
L f (х)= J х при — 1<х<1,
II 1 при х^ 1;
г г)*— 2х при х^ — 2,
I 1М=« х2 при — 2<х<2,
Г6 —х при х^2.
।Исследуйте функцию на возрастание (убывание) и экстрему-
tмы (349—350).
a) f(x) = 4x2 — 6x;(q^, g (x)=-^-x2 — 3x;
b) f(x) = x3 + 3x2; r) g(x) = l+x — x3.
а) ы(х) = ^1;6) и M = ^~3 •
’' ' 1—4x7 V J 2л + 4 ’
^)=™^; D ^W=^.
Исследуйте функцию на возрастание (убывание) и экстремумы и постройте ее график:
a) /(х)=6х5+15х’+10х3; б) g (x) = x* (х- 12)2;
в) ,w=^3:г) gW^*’^^2'
Примеры применения производнойк исследованию функций
Вы уже знаете (п. 4), что построение графика функции лучше начинать с ее исследования, которое состоит в том, что для данной функции f: 1) находят ее область определения; 2) выясняют, является ли функция f четной или нечетной, периодической. Далее находят: 3) точки пересечения графика / с осями координат; 4) промежутки знакопостоянства; 5) промежутки возрастания и убывания; 6) точки экстремума и значения f в этих точках. На основании такого исследования строится график функции.
Исследование функций на возрастание (убывание) и на экстремум удобно проводить с помощью производной. Для этого сначала находят производную функции f и ее критические точки, а затем выясняют, какие из них являются точками экстремума.
Пример 1. Исследуем функцию
f (х) = Зх5-5х3 + 2
и построим ее график.
Проведем исследование по указанной схеме.
D (f)=R, так как f — многочлен.
Функция / не является ни четной, ни нечетной (докажите это самостоятельно).
3),4) График f пересекается с осью ординат в точке (0; / (0)), т. е. в точке (0; 2). Чтобы найти точки пересечения графика / с осью абсцисс, надо решить уравнение Зх5 —5х3 + 2 = 0, один из корней которого (х = 1) легко находится. Другие корни (если они есть) могут быть найдены только приближенно. Поэтому для данной функции остальные точки пересечения графика с осью абсцисс и промежутки знакопостоянства мы находить не будем (как уже отмечалось в п. 4, приведенная схема имеет примерный характер).
,6) Найдем производную функции /:
Г (х) = 15х4 — 15х2 = 15х2 (х2 — 1).
* Заметим, что f'(x) = O, если х2(х2 —1) = 0, т. е. при значениях аргумента, равных 0, — 1 и 1. Размариваемая функция имеет три критические точки.'
Составляем таблицу:
X
(— оо; — 1)
-1
(-1;0)
0
(0; 1)
1
(|; °°)
Г W
+
0
—
0
—
0
+
f(x)
4
2
0
/
max
min
Г
В первой строке этой таблицы указаны в порядке возрастания критические точки функции и ограниченные ими промежутки. Но второй строке отмечены знаки производной на этих проме- 1 шутках. (На каждом таком интервале знак производной не । меняется, его можно найти, определив знак производной в какой- Либо точке рассматриваемого интервала.) В третьей строке запи- глны выводы о ходе изменения данной функции: « ^ » — возрастает, « х » — убывает, а в четвертой — о виде критических точек (пп. 5 и 6 приведенной выше схемы). Критическая точка 0 функции I / не является точкой экстремума, поэтому в четвертой строке iиблицы она не отмечена. Заметим, что вывод о ходе изменения функции на промежутке между критическими точками часто можно сделать, сравнив значения функции на концах этого промежут- 'ьл (вместо определения знака производной). Например, / (0)<f (—1) (2<4), поэтому на промежутке (— 1;0) функция убывает (и, следовательно, f' ^0 на этом промежутке).
Строим график функции (рис. 92). Это построение удобно Вести по промежуткам, которые указаны в таблице. Например, и таблице указано, что f убывает на интервале (0; 1). Функция f непрерывна в точках 0 и 1 (так как она непрерывна всюду), Следовательно, она убывает на отрезке [0; 1]. Поэтому рисуем I рафик убывающим на отрезке [0; 1] от значения / (0) = 2 до зна- «нння f (1) = 0. При этом касательные к графику в точках 0, ±1
Рис. 92.Рис. 92.должны быть горизонтальными — во вто- pnii строке таблицы сказано, что в этих Точках производная равна нулю. Анало- нишо строится график и на остальных промежутках.
Рис. 92.
Рис. 92.
Пример 2. Исследуем функцию синус и построим ее график. Эта функция нпрсделена и непрерывна на всей число- ш.н прямой. Но так как она периодиче- |цпя с периодом 2л и нечетная, доста-
Рис. 93.Рис. 93.точно провести ее исследование на отрез ке [0; л].
Рис. 93.
Рис. 93.
Производная этой функции (sin'x = = cos х) определена всюду и обращается в нуль на отрезке [0; л] в точке —. Эта точка является критической. Заполняем таблицу:
X
0
К)
л
Т
/ л \ кт *л/
л
sin' х
1
+
0
—
— 1
sin х
0
1
0
max
Пользуясь проведенным исследованием, строим график функции i/ = sin х на отрезке [0; л]. На рисунке 93 в точках с абсциссами 0, у и л проведены касательные с угловыми коэффициентами 1, 0 и — 1 соответственно (см. табл.) для более точного построения графика. Ввиду того что функция синус нечетна и имеет период 2л, ее график симметричен относительно точки 0 и переходит в себя при параллельных переносах вдоль оси Ох на расстояние 2л. График функции y = sinx на всей области определения R приведен на рисунке 50.
Пример 3. Найдем число корней уравнения
2х3 —Зх2— 12х— 11 =0.
Рассмотрим функцию f (х) = 2х3 —Зх2—12х—11. Ее область определения D (/) = (—оо;оо). Для отыскания критических точек функции f найдем ее производную: Д (х) = 6х^— 6х—12- Эта производная обращается в нуль в точках х= —1 и х = 2.
Заполним таблицу:
X
(—оо; —1)
— 1
(-1:2)
2
(2; со)
Г W
+
0
—
0
+
fto
л
— 4
— 31
/
max
min
На промежутке ( — оо; — 1] функция возрастает от — оо до
•1, поэтому на этом промежутке уравнение f(x) = O корней не Имеет; на промежутке [—1; 2} уравнение также не имеет кор- Hrft, так как на этом промежутке f убывает от —4 до —31; наконец, на промежутке [2; оо) функция f возрастает от —31 ^о бесконечности, поэтому на этом промежутке уравнение *(х) = 0 имеет в точности один корень. Итак, уравнение
2х3 —Зх2—12х—11 =0
«мост один корень (и этот корень принадлежит интервалу У; °°))-
Упражнения
Исследуйте квадратичную функцию и постройте ее график
(352—353).
a) f (х) = х2 —2х + 8;б) f (х)= — х2 + 5х —4;
в) g (х) = х2 + х + 1;г) g ^ = х2 — 6х + 9.
а) f(x)=—lV + 3x-4,5; б) f (х)=--|-х2 + х + ^-;
B)gW=_Z_^_^; r)g(x)=Z+^+Z.
Исследуйте функцию и постройте ее график (354—356)
|54. а) / (х)= — х3+ 3х — 2;в) g (х) = х3 + Зх + 2;а) / (х) = х4 —2х34-3; в) g (х) = Зх5 — 5х3;a) fto—?:g (х) = X V2—X ;|54. а) / (х)= — х3+ 3х — 2;в) g (х) = х3 + Зх + 2;а) / (х) = х4 —2х34-3; в) g (х) = Зх5 — 5х3;a) fto—?:g (х) = X V2—X ;б) f(x) = 3x2 —х3;g (х) = ^-х3 + х2 — Зх.б) f (х) = х4 —2х2 —3;г) g (х) = 9х5 + Зх3.6)fW-^;г) g(x) = x2Vl +-V .б) f(x) = 3x2 —х3;g (х) = ^-х3 + х2 — Зх.б) f (х) = х4 —2х2 —3;г) g (х) = 9х5 + Зх3.6)fW-^;г) g(x) = x2Vl +-V .
|54. а) / (х)= — х3+ 3х — 2;
в) g (х) = х3 + Зх + 2;
а) / (х) = х4 —2х34-3; в) g (х) = Зх5 — 5х3;
a) fto—?:
g (х) = X V2—X ;
|54. а) / (х)= — х3+ 3х — 2;
в) g (х) = х3 + Зх + 2;
а) / (х) = х4 —2х34-3; в) g (х) = Зх5 — 5х3;
a) fto—?:
g (х) = X V2—X ;
б) f(x) = 3x2 —х3;
g (х) = ^-х3 + х2 — Зх.
б) f (х) = х4 —2х2 —3;
г) g (х) = 9х5 + Зх3.
6)fW-^;
г) g(x) = x2Vl +-V .
б) f(x) = 3x2 —х3;
g (х) = ^-х3 + х2 — Зх.
б) f (х) = х4 —2х2 —3;
г) g (х) = 9х5 + Зх3.
6)fW-^;
г) g(x) = x2Vl +-V .
Решите квадратичное неравенство (357—358).
а)2 + х —х2>0;б)х2 — 2х + 3>0;
в)х2 + 8х + 16 < 0;г)— х2 + 6х — 9 ^ 0.
а)2х2 + 6х + 5>0;б)6х2 + х-2<0;
в)0,Зх2+х +0,3^0;г)-yX2 + pV-l>0.
Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
f (х)= 1 — 1,5х —Зх2 —2,5х3; б) g (х) = х3 — 6х2 + 15х — 2;
в) й(х)=х5-|-х3-х-2; г) g(x)=^—^—6х+1. Исследуйте тригонометрическую функцию и постройте ее график (360—361).
1б(). a) f (х)=-|-sin Зх; б) g (х) = 2 cos -^-;
h ^= — tg (4х + л) ;h ^= — tg (4х + л) ;3 (x)=-l-sin (2х—^>3 (x)=-l-sin (2х—^>a) f (x) = sin х+ cos х;f (х) —sin2x + sin х;a) f (x) = sin х+ cos х;f (х) —sin2x + sin х;g (x) = sin х — tg к;g (x) = COS2X —COS X.g (x) = sin х — tg к;g (x) = COS2X —COS X.362. а) Докажите,362. а) Докажите,что функция / (х) = 3 cos ^х+у-^ + 4х возчто функция / (х) = 3 cos ^х+у-^ + 4х возрастает на всей числовой прямой.растает на всей числовой прямой.
h ^= — tg (4х + л) ;
h ^= — tg (4х + л) ;
3 (x)=-l-sin (2х—^>
3 (x)=-l-sin (2х—^>
a) f (x) = sin х+ cos х;
f (х) —sin2x + sin х;
a) f (x) = sin х+ cos х;
f (х) —sin2x + sin х;
g (x) = sin х — tg к;
g (x) = COS2X —COS X.
g (x) = sin х — tg к;
g (x) = COS2X —COS X.
362. а) Докажите,
362. а) Докажите,
что функция / (х) = 3 cos ^х+у-^ + 4х воз
что функция / (х) = 3 cos ^х+у-^ + 4х воз
растает на всей числовой прямой.
растает на всей числовой прямой.
Докажите, что функция f (х) = sin х —2х+ —убывает на всей числовой прямой.3
Наибольшее и наименьшее значения функции
Решение многих практических задач часто сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции. В курсах анализа доказывается теорема Вей ерш трасс а, утверждающая, что непрерывная на отрезке [а; Ь] функция / принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения, т. е. существуют точки отрезка [а; 6], в' которых [ принимает наибольшее и наименьшее на [а; Ц значения.
Для случая, когда функция f не только непрерывна на отрезке [а; 6], но имеет на этом отрезке лишь конечное число критических точек, укажем правило отыскания наибольшего и наименьшего значений f.
Предположим сначала, что f не имеет на отрезке [а; Ь] критических точек. Тогда (см. п. 25) она возрастает или убывает на этом отрезке (рис. 94, 95) и, значит, наибольшее и наименьшее значения функции f на отрезке [а; 6] — это значения f в концах а и Ь.
Пусть теперь функция f имеет на отрезке [а; Ь] конечное число критических точек. Эти точки разбивают отрезок [а; 6] на конечное число отрезков, внутри которых критических точек нет. Поэтому (см. предыдущий абзац) наибольшее и наименьшее значения функции f на таких отрезках принимаются в их концах, т. е. в критических точках функции или в точках а и Ь.
Таким образом, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.
Рис. 95.Рис. 95.
Рис. 95.
Рис. 95.
Рис. 96.
Пример 1. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции у (х) = х3— 1,5х2 — 6x4- 1 на отрезке [ — 2; 0].
Решение. Сначала найдем критические точки. Так как производная у' = 3х2 — Зх — 6 определена для любого х, остается решить уравнение z/' = 0. Решая его, находим: у' = 0 при х= — 1 ■ х = 2.
Теперь нужно выбрать наибольшее и наименьшее из чисел у(_2)= —1, у [ — 1) = 4,5 и г/ (0) = 1 (критическая точка х = 2 не Принадлежит рассматриваемому отрезку). Ясно, что наименьшее значение достигается в точке — 2 и равно — 1, а наибольшее — * точке — 1 и разно 4,5. Коротко это записывается так:
L max у М — у (— 1) = 4,5; min д$=у(— 2) =— 1.
I |-2: 0] [-2; 0]
Пример 2. Из квадратного листа жести со стороной а надо Изготовить открытую сверху коробку, вырезав по углам (рис. 96) квадратики и загнув образовавшиеся кромки. Какой должна быть сторона основания коробки, чтобы ее объем был максимальным?
Решение. Обозначим через х длину стороны основания ■пробки. Тогда длины сторон вырезанных квадратиков равны « (а—х), а объем коробки равен
I ^а—х^х2.
Ло смыслу задачи число х удовлетворяет неравенству 0<х<п, i е. принадлежит интервалу (0; а\ Таким образом, нам надо ■нити наибольшее значение функции
■ V(x) = -|-(a —х)х2
на интервале (0; а\ Но правило отыскания наименьших и наи больших значений функции было сформулировано для отрезка Функция V (х) непрерывна на всей числовой прямой, поэтому будем искать ее наибольшее значение на отрезке [0; а] и по том сделаем выводы для решаемой нами задачи. Находим крити ческие точки функции:
V ^ = ах — -|-х2, ах—5-х2 = 0, т. е. х = 0 или х=—а, 223
Так как V(0) = 0 и V (а) = 0, свое наибольшее на отрезке значение функция V достигает при х=-|-а, т. е.
max V(x)=V (2-о) = Ааз[0; а]X 3/27
Наибольшее значение функции достигается внутри отрезка [0; а], следовательно, и внутри интервала (0; а\ Итак, сторона осно-
о вания коробки должна быть —а.
V ПримерЗ. Пусть материальная точка движется из точки М нижней полуплоскости в точку N верхней полуплоскости (рис. 97) так, что в нижней полуплоскости ее скорость постоянна и равна Ui, а в верхней — ц2. По какому пути должна двигаться точка, чтобы на весь путь затратить минимум времени?
Решение. Если и| = у2, то искомый путь есть отрезок MN. Если же и\Фи2, то точка должна двигаться по ломаной M0N, причем положение точки О следует определить так, чтобы на путь M0N было затрачено наименьшее время. Пусть отрезок МО точка проходит за время /i, a ON — за время /2. Проведем отрезки ММ' Л-M'N', NN' Д_М'N' и положим
х = М'О, hx=MM\ hi = NN\ l=M’N'.
Тогда путь MON будет пройден за время
fl U2U!V1
По смыслу задачи число х удовлетворяет неравенству 0^х^/, т. е. принадлежит отрезку [0; /]. На этом отрезке надо найти наименьшее значение функции / (х). Ищем критические точки функции:
^* х*1—х X 1—х
у' Ч^А-х1 у2 '^ + (/^хр —vi-MO U2-ON ’
t' (х) = 0, если ^:L_£=^Li т с путь ТОчки должен быть таким, что (см. рис. 97)
Рис. 97.Рис. 97.sin a У|/ . \
Рис. 97.
Рис. 97.
sin p U2' '
Покажем, что критическая точ- Ма только одна. Для этого вычислим производную функции Г(х):
«1 (V^T-Rc)3 и^Иа-^-Ц—хуУ Пиа положительна, следовательно, функция V (х) возрастает и может иметь только один нуль в точке х0. Так как
то I' <0 на (0; хо) и /' >0 на (хо; /), т. е. производная в точке хо меняет знак с минуса на плюс — это точка минимума.
Фактически найти точку хо можно только приближенно.
В курсе физики вы узнаете, что именно по закону (1) преломляются лучи света при переходе из одной среды в другую (угол а называется углом падения, а угол 0 — углом преломления). Таким образом, луч света распространяется по такому пути, при котором время его распространения будет наименьшим. В этом состоит известный из физики принцип Ферма. ▼
Упражнения
Найдите наименьшее и наибольшее значения функции f (x) = .r4-8x2-9
на отрезке: а) [—1; 1]; б) [0; 3].
Материальная точка совершает прямолинейное движение по закону s (/) = 5/ + 2/2—|-/3, где s (/)—путь в метрах и t — время в секундах. В какой момент времени скорость движения точки будет наибольшей и какова величина этой наибольшей скорости?
Покажите, что из всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.
Докажите, что из всех прямоугольных треугольников с заданной гипотенузой наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник.
|67. Данное положительное чи<ю разложите на два слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.
Открытый бак, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, должен вмещать 13,5 л жидкости. При каких размерах на его изготовление уйдет наименьшее количество материала?
Буровая вышка расположена в поле в 9 км от ближайшей точки шоссе. С буровой надо направить курьера в населенный пункт, расположенный по шоссе в 15 км от упомянутой точки шоссе (считаем шоссе прямолинейным). Скорость курьера на велосипеде по полю 8 км/ч, а по шоссе 10 км/ч. К какой точке шоссе ему надо ехать, чтобы в кратчайшее время достичь населенного пункта?
29. Гармонические колебания
Производную от производной f' функции / называют второй производной функции / и обозначают f" (читается: «эф два штриха»). Например,
sin' х = cos х\ sin" x = cos'x = —sin x,
cos' x = —sin x; cos" x = —sin' x = —cos x.(1)
Вторая производная помогает более подробно исследовать поведение функции. Первая производная есть скорость изменения функции, а вторая производная есть скорость изменения этой скорости.
Анализируя формулы (1), можно заметить, что вторые производные функций sin и cos отличаются от самих функций только знаком. Иначе говоря, обе эти функции удовлетворяют при всех значениях аргумента t уравнению
Г'^=-т
В физике, в частности в механике, большую роль играют функции /, которые удовлетворяют уравнению
/"(/)=-со2/(О,(2)
где со — положительная постоянная.
Разберем задачу из механики, приводящую к уравнению такого вида. Пусть к шарику массы m прикреплена расположенная горизонтально пружина, другой конец которой закреплен (рис. 98, а), и пусть в состоянии равновесия координата х центра шарика равна нулю. При перемещении центра в точку с координатой х^О возникает сила, стремящаяся вернуть шарик в по-
Рис. 98.Рис. 98.
Рис. 98.
Рис. 98.
Можсние равновесия. Согласно закону Гука эта сила пропорцио- [ Цельна перемещению х, т. е.
।F=—kx,
■ ГАС к — положительная константа (рис. 98, б). По второму закону [ Ньютона F = та, поэтому, учитывая, что при движении по прямой I ускорение есть вторая производная от координаты, имеем: кта ^=тх" ^ = F = — кх (f), т. е.
x"W=-—x(ty
IГП
I Иначе говоря, движение центра шарика под действием сил [упругости подчинено уравнению (2) при ы = -\/—.
V т
Говорят, что физическая величина, изменяющаяся во времени IB соответствии с уравнением (2), совершает гармоническое коле- [ бание. Само уравнение (2) называют дифференциальным уравне- 1нием гармонических колебаний.
Проверим, что при любых постоянных Л, со и ф функция / (/)=Л cos (со Z + ф)(3)
ifCTb решение уравнения (2). В самом деле, пользуясь формулой |для производной сложной функции, получаем: |fz W——Лео sin (wt-}-ф),
IГ W = — Л со2 cos (со/ 4- ф) = — СО2/ (/).
' Верно и обратное: любое решение уравнения (2) есть функция 'вида (3), причем обычно выбирают Л^О, ф£[0; 2л]. Доказательство этого выходит за рамки школьного курса.
Ясно, что максимальное значение модуля функции f, задаваемой формулой (3), равно Л. Константу Л называют амплитудой колебания, константу со — угловой частотой колебания, а кон-
^танту ф — начальной фазой колебания.
Графики гармонических колебаний — синусоиды. Например, Jia рисунках 99, 1Q0 изображены графики гармонических колебаний t/=l,5cos ^х—|- ) и у = 3 cos (2х4-4).
Подробнее с гармоническими колебаниями вы познакомитесь в [курсе физики X класса.
у=1,5соз(^х-^)у=1,5соз(^х-^)6637П637П6
у=1,5соз(^х-^)
у=1,5соз(^х-^)
6
6
37П6
37П6
Упражнения
Проверьте, что функция у (/) является решением данного дифференциального уравнения:
У (О = 3 cos (2/ + л); у" = — ^у;
£/(/)=4 sin (-L/_^; y"=__Ly;
У (0 = 2 cos 4/; z/"+16£/ = 0;
</(0=3-sin (0.1Z+1); у"-{-0,01 г/= 0.
Напишите дифференциальное уравнение гармонического колебания:
а) х = 2 cos (2/— 1);б) х = 6,4 cos (о,П+у-) ;
в) х = 4 sin (з/ — ^ ;г) х = 0,71 sin (0,3/ — 0,7).
Укажите амплитуду, начальную фазу и угловую частоту колебания, преобразовав правую часть к виду Л cos (ш/ + <р):
</(0 = 0,8 sin^-/4~n);
У (0= —4 cos (2/——); \6 /
У (0 = 2 sin -^-cos / + 2 sin / cos —; о6
t/(/) = 3--^-cos 2/4-3 ^sin 2/.
Найдите какое-нибудь отличное от нуля решение дифференциального уравнения:
а) у"=-25у;б) у"= —Ly; в) 4у" + у = 0;г) 2-у" + 4у = 0.
Сведения из истории
I Переломным в истории математики явился XVII в. Декарт Ьеги в употребление метод координат для изучения расположен- ||шх в плоскости кривых. Развитие естествознания привело к ■•обходи мости исследования изменения функций, в особенности Ц^пкций, выражающих зависимость координат движущихся тел И других физических величин от времени. Производная прнме-
I Цплась при нахождении экстремумов функций, касательных к [ je.i шпобразным линиям и т. п. Первые работы Декарта, Паскаля й Ферма уже содержали в себе по существу правила нахождения Производных от любых многочленов.
В настоящее время математическим анализом называют часть Ьмтематики, которая изучает дифференциальное и интегральное исчисление (с элементами интегрального исчисления вы познакомитесь в X классе). Систематическое учение о производных — /шфференциальное исчисление — было развито немецким мате- митиком и философом Г. Лейбницем (1646—1716) и ипглийским математиком и основателем современного матема- 1 плоского естествознания И. Ньютоном (1643—1727).
Современное определение числовой функции, в котором это Понятие освобождалось от способа задания, было дано незави- (имо друг от друга русским математиком Н. И.* Лобачевским и 1834 г. и немецким математиком Л. Дирихле в 1837 г. Основная идея этих определений заключалась в следующем: не существенно, каким образом каждому х поставлено в соответствие Определенное значение f (х), важно только, что это соответствие [установлено.
Современное же понятие функции с произвольными областями Определения и значений (не обязательно числовыми), а также 'современная терминология и обозначения сформировались по существу совсем недавно — в первой половине текущего столетия.
Наглядный смысл понятия предела функции был ясен математикам XVII в. Они умели фактически правильно находить преде- ды. Но строгие определения понятий предела последовательно- ‘Сти и предела функции, сохранившиеся до наших дней, были Даны лишь в 1821 г. французским математиком О. Коши (1789—1857) и далеко не сразу были всеми поняты.
Определение предела функции, по Коши, формулируется так: «Число А называется пределом функции / (х) при х, стремящемся ‘к а, если для любого числа е>0 можно подобрать такое число 6>0, что ^(х)— Л|<е для всех х, удовлетворяющих неравенству 0< |х— а| <6».
Эта формулировка есть точное содержание высказывания, по- [Мсщенного в п. 14: приближенное равенство f(x)«A при х^а может выполняться с любой наперед заданной точностью. Действительно, абсолютная погрешность приближенного равенства Нх^А есть выражение |/(х) — Д|. То, что приближенное ра-
венство Цх^«А при х«а может выполняться с любой, на перед заданной точностью означает следующее: какую бы точность вычислений мы ни задали (она задается положительным числом е, где е — греческая буква «эпсилон», ее принято употреблять но традиции), можно подобрать такую границу для абсолютных погрешностей приближенных равенств х^а— ее обозначаю! положительным числом б (6 — греческая буква «дельта»), что при 0< |х —al <б погрешность приближенного равенства f ^х^А не выйдет за пределы заданной точности вычислений, т. е. |/ (х)- -А|<е.
Приведем, например, доказательство правила (см. п. 14): если f (х)->Л и g (х^-^В при х-^а, то f (x)-f-g (х)-»-/!+В при х->а.
Возьмем любое положительное число е. Тогда число -у->б и потому (по определению Коши):
из условия f (х)->Л при х-*а следует, что можно подобрать число б|>-0, такое, что„
Ifto-^Kf(И
для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х— a|<6i;
из условия g (хУ^-В при х->а следует, что можно подобрать число бг>0, такое, что
\ё^-В\<-^(2)
для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х — а| <62.
Обозначим через 6 наименьшее из чисел 61 и 62. Тогда дли любого х, удовлетворяющего неравенству 0<|х — al <6, выпол йены неравенства (1) и (2); для этих х имеем:
I (f to+g И) Н^+8) I = 1 ГО - >1)+te И - 8) I <
<|f(x)-^I + lg(x)-B|<^-+^-=8.
Этим доказано, что f (x) + g (х)->Л +В при х->а.
Остальные правила (для произведения и частного) доказы ваются аналогично.
Яркие характеристики глубины переворота в математике, происшедшего в XVII в., дали Карл Маркс и Фридрих Энгельс Энгельс писал: «Поворотным пунктом в математике была дс картова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика». Но начальный период развития новых ветвей математики, связанных с понятиями функции, бесконечно малых величин, пределов и производных, был оха рактеризован Марксом как «мистический».
Лозунгом многих математиков XVII в. был: «Двигайтесь вперед, и вера в правильность результатов к вам придет».
Только после работ Коши в течение XIX в. начала матема тического анализа получили логическое обоснование. Для этого, в частности, была необходима строгая теория действительных чисел. А она была развита только во второй половине XIX п Вейерштрассом, Дедекиндом и Кантором.
Вопросы и задачи на повторение
Приближенное равенство х^а выполнено с абсолютной погрешностью h. Что это означает?
Найдите с точностью до 0,001:г
«) 4“4: 6> ^+2; в> V?—^. г) "V-C
Выпишите десятичные приближения с недостатком и и избытком для числа 4,2537481... с точностью до: а) 1; б) 0,1; в) 0,01; г) 0,00001.
Что означает запись f (х) -► L при х -*- а?
Сформулируйте правила вычисления пределов.
К какому числу стремится функция f (Дх) при Дх -> 0, если:.
а) /(Дх) = (2 + Дх)г-4; б) f^^-^-l;
НДх) = 1±^;г) /(Дх)--^^5")?
Что такое приращение аргумента и приращение функции?
В чем состоит геометрический смысл приращений Дх и Д/?
отношения V-?
Дх
Найдите ~ (в точке х0), если:
fto=^-; б) f(x) = x2 —х; в) f(x) = x3 + x.
Дайте определение производной функции в точке.
Пользуясь определением, найдите производную функции / в точке хо, если:
a) f (х) = 2х — 1, х0= — 4; б) / (х) = х2, х0= — 3;
») и^=^, Хо = 3; г) f(x) = 7^T, Хо = 2.
Найдите производную функции:
а) f(x) = x2; б) f(x) = 3x + x2; в) f(x)=-^+l.
1)2)3)а)а)л)ж)I)1)2)3)а)а)л)ж)I)Сформулируйте правила вычисления производных.
1)
2)
3)
а)
а)
л)
ж)
I)
1)
2)
3)
а)
а)
л)
ж)
I)
Чему равна производная функции хл (л — целое число)? Найдите производную функции:
f (х) = х3 — 2х2 + 1;г2№)=7Тз1 f(x) = (8-5x)M; f (x)=sin Зх; Дайте определениеf (х) = х3 — 2х2 + 1;г2№)=7Тз1 f(x) = (8-5x)M; f (x)=sin Зх; Дайте определениеf (х) = (х4-2) sin х;
f (х) = х3 — 2х2 + 1;
г2
№)=7Тз1 f(x) = (8-5x)M; f (x)=sin Зх; Дайте определение
f (х) = х3 — 2х2 + 1;
г2
№)=7Тз1 f(x) = (8-5x)M; f (x)=sin Зх; Дайте определение
f (я) = х V^+C°s х;
^^^■(О + т^'’
в точке, нав точке, на3) f(x) = 4tg5x.
в точке, на
в точке, на
функции, непрерывной
промежутке.
Опишите метод интервалов.
Решите неравенство:
«) (х-1)(х+2)(х + 3)>0; б) ■7>т^Г+^
. V16 х(4 х)(х4-2)
в) гг+7х+ 10^0; г) (2 sin х — 1) (2 cos2 х — 1) < 0
I) Какая прямая называется касательной к графику функ ции f в точке (х0; f (хо))? В чем состоит геометрическим смысл производной?
Запишите уравнение касательной к графику функции f, проходящей через точку (х0; / (х0)).
Напишите уравнение касательной к графику функции / при х = хо, если:
а) /(х) = х2, х0=—р;б) f(x) = ^-, х0 = 2;
в) /(x)=sinx, х0 = л;г) / (x)=cos х, х0=-^.
1) Запишите общую формулу для приближенного вычисления значения функции, дифференцируемой в точке х0.
Выпишите формулы для приближенного Вычисления значений функции: a) f (х) = хп; б) f (x) = cos х; в) f (x)=Vl + *•
Вычислите приближенные значения:
а) д/эЖ; 6) -(| 00'0|)„ ; в) (0,999)'5; г) cos 29°.
1) В чем состоит механический смысл производной?
Тело движется по прямой согласно закону х (/). Каковы его мгновенная скорость и ускорение в момент времени /?
Найдите скорость и ускорение точки, если:
а) х(/)=5/— /2; б) x(Z) = cosoZ (со — постоянная).
1) Запишите формулу Лагранжа.
Сформулируйте признак возрастания (убывания) функции.
Исследуйте на возрастание (убывание) функцию:
а) у = х* — 4х;б) р^ ;
в) i/ = x24--p;г) t/ = 2 sin x + cos 2х.
И. 1) Что называют критической точкой функции?
Сформулируйте признаки максимума (минимума) функции.
Исследуйте на максимум и минимум функцию:
а) у = х4 —2х2;б) у=^^,
в) у = х2 + —1г) i/^=2 sin х +cos 2х.
1) Опишите схему исследования функции.
Исследуйте с помощью производной функцию:
a) f(x) = 2x — х2 — 8;б) f (х) = 2х2 + Зх—1.
Исследуйте по общей схеме функцию / и постройте ее график: а) /(х) = х2—р; б) / (х)= sin2 х —sin х.
1) Сформулируйте правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
a) f(x) = 3x2 —х3 на [— 1; 4]; б) f(x) = x — sin 2х на [б;-р|.
4. 1) Дайте определение второй производной функции. Что такое дифференциальное уравнение гармонического колебания?
Проверьте, что функция у ^ является решением данного дифференциального уравнения:
t/(/) = 2cos(/—у), у"= — у\
</(0 = 3 sin (0,3/+1), у"-У 0,09у = 0.
Напишите дифференциальное уравнение гармонического колебания:
a) x = 2cos(/— 1); б) x = 2sin(0,4/— 7).
Дополнительные упражнения к главе II
f (t/) = 2t/3 + 3(/2— 2t/+l. Найдите:
a) т, б) Г (0); в) /'(-1); г) Г(2х-1).
f (х)=-^-х4+-^-х3—^-х2 — х. Найдите:
№ б) ПО); В) Г(1); г) Г ^.
* Докажите правило нахождения производной суммы конечного числа функций.
Докажите правило нахождения производной для произведения трех функций и, и, w;
(и-и- wY — и' • и • w + и • и' • w + и • и • w*.
и(2)=пУ~- Найдите:
а) и' (z)', б) и' (х — 3); в) и' (0); г) и' (z2).
f(0=^r Найдите:
a) m б) Г (4); в) /Д1); г) f' ^.
^(х)^^^. Найдите:
-Д 4-2
a) g'(x); б) ^(4); в) g' (1); г) g' (х2).
а) /z(«)=^=^y^. Найдите h' (и\
и(х)=р—7- + ^-- Найдите и' (х).
23
Найдите и' (а), если и (а) = ^г+^г •
Найдите Ф'(и), если Ф (v)=-v+ Зи-5.
Постройте график функции у = -уТхТ (х — 3).
Найдите производную функции (383—384).
а) и (х) = (х2 —2х + 3) (Зх2 + 2х+1);
f (х) = (ах + £>) (сх2 + ^х + е);
f (у) = (Зу+1)(</-3). Найдите f' (х), f' (0); Г (2);
g («) = 6w2 (5zz3+l). Найдите g' {у\ g' (0), g' (— 1).
384. a)б) в)384. a)б) в)y = ^3 — 2x;
384. a)
б) в)
384. a)
б) в)
f ^ = ^^+7^- Найдите f' (t), V ^Y
r) £ ^= V^q4 • Найдите g' (x\ g' (2).
В какой точке графика функции у = -^х касательная наклонена к оси абсцисс: а) под углом в 45°; б) под углом в 60°?
Постройте график какой-нибудь функции, у которой в заданной точке хо:
a) f(^o) = O и f' (хо) = О; б) f (хо) = О и Г^<0; в) f k))=0 и (х0)>0.
Найдите промежутки возрастания (387—392).
«И-^-
f (х) = 2х2 -4- Зх -}- 4.
g(x) = 3x24-2x+l.
390. §^=-^х3-^х2-2х-2.
5(х) = 3х2 —2х+ 1.
Нх) = х+—.
X
(убывания) функции(убывания) функцииИсследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функцию (393—395).
(убывания) функции
(убывания) функции
s(/)=—394. «(/^V^T- 395. Нх)--^4^-
-н
При помощи производной постройте график функции (396—404).
y = x2(x-2f.397. у = х* — ^х2.398. у = х3 - Зх2 - 9х.
399. t/ = x3 + 3x2+1.400. (/=—+——х2.
43
^(-^(х-б)3.402. у^.*^!.
у=х л7 — х\ 404. у = д/х + д/4 — х.
Исследуйте квадратичную функцию и постройте ее график а) <р(х) = Зх2 + 4х + 2;б) / (х)=^-х2 —Зх + 4;
в) g (х)= — Зх2 + 5х — 4;г) ц (х)= — ^-х24-2х + 5.
По виду графика квадратичной функции (рис. 101, а, б, в^ определите знаки коэффициентов а, Ь, с и дискриминанта
Рис. 101.Рис. 101.
Рис. 101.
Рис. 101.
Решите неравенство (407—408).
07.07.а)а)в)в)Зх2 — 2х — 1 <0; х2-2х+1^0;Зх2 — 2х — 1 <0; х2-2х+1^0;8.8.а) 4х2 + 4х4-1>0;в) 9х4 — 10?+ 1^0;а) 4х2 + 4х4-1>0;в) 9х4 — 10?+ 1^0;б) 6х2 + х —2^0;г) ——х2 —2х + 5>0. 4б) Зх2 + 7х-7>0;г) 4х4+Юх2 —66^0.б) 6х2 + х —2^0;г) ——х2 —2х + 5>0. 4б) Зх2 + 7х-7>0;г) 4х4+Юх2 —66^0.
07.
07.
а)
а)
в)
в)
Зх2 — 2х — 1 <0; х2-2х+1^0;
Зх2 — 2х — 1 <0; х2-2х+1^0;
8.
8.
а) 4х2 + 4х4-1>0;
в) 9х4 — 10?+ 1^0;
а) 4х2 + 4х4-1>0;
в) 9х4 — 10?+ 1^0;
б) 6х2 + х —2^0;
г) ——х2 —2х + 5>0. 4
б) Зх2 + 7х-7>0;
г) 4х4+Юх2 —66^0.
б) 6х2 + х —2^0;
г) ——х2 —2х + 5>0. 4
б) Зх2 + 7х-7>0;
г) 4х4+Юх2 —66^0.
09.09.Исследуйте функцию и a) g (х) = 3х^ —2х2+ 4; в) и (х) = х3 — Зх2 + 2;Исследуйте функцию и a) g (х) = 3х^ —2х2+ 4; в) и (х) = х3 — Зх2 + 2;постройте се график:б) А(х) = 3х4 — Зх2 + 5;-г) ьу(х) = х3 + х.постройте се график:б) А(х) = 3х4 — Зх2 + 5;-г) ьу(х) = х3 + х.
09.
09.
Исследуйте функцию и a) g (х) = 3х^ —2х2+ 4; в) и (х) = х3 — Зх2 + 2;
Исследуйте функцию и a) g (х) = 3х^ —2х2+ 4; в) и (х) = х3 — Зх2 + 2;
постройте се график:б) А(х) = 3х4 — Зх2 + 5;
-г) ьу(х) = х3 + х.
постройте се график:б) А(х) = 3х4 — Зх2 + 5;
-г) ьу(х) = х3 + х.
10.11.12.13.14.15.IG.10.11.12.13.14.15.IG.17.17.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
IG.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
IG.
17.
17.
Найдите наименьшее и наибольшее значения функции g (х) = = х3 — 3х2 + 3 на отрезке: а) [— 1; 1]; б) [1;3].
Найдите наименьшее и наибольшее значения функции h (х)= = 2х3 —9х2 + 2 на отрезке: а) [—1; 1]; б) [1; 3].
Из всех прямоугольников, вписанных в полукруг (одна сторона прямоугольника лежит на диаметре полукруга), найдите прямоугольник наибольшей площади.
Найдите отношение высоты к диаметру конуса, который при заданном объеме имеет наименьшую боковую поверхность.
Как согнуть кусок проволоки данной длины /, чтобы площадь ограниченного ею прямоугольника была наибольшей? Какой из равнобедренных треугольников с заданным периметром 2р имеет наибольшую площадь?
Представьте число 10 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
Число 8 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма их кубов была наименьшей. В равнобедренный треугольник с основанием 20 см и высотой 8 см вписан прямоугольник, одна из сторон которого лежит на основании треугольника. Какова должна быть высота прямоугольника, чтобы он имел наибольшую площадь?
Найдите число, которое в сумме со своим квадратом дает этой сумме наименьшее значение.
Лодка находится на расстоянии 3 км от ближайшей точки Л берега. Пассажир лодки желает достигнуть села В, находящегося на берегу на расстоянии 5 км от А Лодка движется со скоростью 4 км/ч, а пассажир, выйдя из лодки, может в час пройти 5 км. К какому пункту берега должна пристать лодка, чтобы пассажир достиг села в кратчайшее время?
Из всех цилиндров заданного объема 16л м3 найдите цилиндр с наименьшей площадью полной поверхности.
Концы отрезка АВ длиной 5 м скользят по координатным осям. Скорость перемещения конца А равна 2 м/с. Каков модуль скорости перемещения конца В в тот момент, когда конец А находится от начала координат на расстоянии 3 м?
Длина вертикально стоящей лестницы равна 5 м. Нижний конец лестницы начинает скользить с постоянной скоростью 2 м/с. С какой скоростью опускается в момент времени / верхний конец лестницы, с каким ускорением?
Неоднородный стержень АВ имеет длину 12 см. Масса его части АМ растет пропорционально квадрату расстояния точки М от конца А и равна 10 г при ЛЛ1 = 2 см. Найдите: 1) массу всего стержня АВ и линейную плотность в любой его точке; 2) линейную плотность стержня в точках А и В.
Тело, масса которого т, движется прямолинейно по закону s (#) = а/2 +13/+ 7 (а, Р, у — постоянные). Докажите, что сила, действующая на точку, постоянна.
Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот был сделан колесом за 8 с. Определите угловую скорость колеса через 48 с после начала вращения.
Тело с высоты 10 м брошено вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. Определите: а) на какой высоте от поверхности земли оно будет через 1 с; б) через сколько секунд тело достигнет наивысшей точки и на каком расстоянии от земли? (Считать g=10 м/с2.)
Круглый металлический диск расширяется при нагревании так, что его радиус равномерно увеличивается на 0,01 см/с. С какой скоростью увеличивается его площадь в тот момент, когда его радиус равен 2 см?
Лампа подвешена на высоте 12 м над прямой горизонтальной дорожкой, по которой идет человек, рост которого равен 1,8 м. С какой скоростью удлиняется его тень, если он удаляется со скоростью 50 м/мин?
Из всех прямоугольников, вписанных в окружность, найдите прямоугольник наибольшей площади.
Глава HI
ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
§ 8. ПЕРВООБРАЗНАЯ
Определение первообразной
Вспомним пример применения дифференцирования в механике. Если в начальный момент времени / = 0 скорость тела равна 0, т. е. и (0) = 0, то при свободном падении тело к моменту времени / пройдет путь
sW = ^.(1)
Дифференцированием находим скорость:
s'(/) = v (/) = g/.(2)
Второе дифференцирование дает ускорение:
и'(^a^g,(3)
т. е. ускорение постоянно.
Формула (!) была найдена Галилеем экспериментально. Но более типично для механики другое положение: задан закон, которому подчиняется ускорение а (/) (в нашем случае оно постоянно); требуется найти, закон изменения скорости о (/) и найти координату s (/). Иными словами, по заданной производной функции и' (t\ равной а (/), надо найти и (/), а затем по производной s' (f), равной и (/), найти s (/).
Для решения таких задач служит операция интегрирования, обратная операции дифференцирования. С ней мы познакомимся ,о этой главе.
Определение. Функция F называется первообразной для функции / на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка
kF'(x)=f(x).(4)
Пример 1. Функция F (х)=^- есть первообразная для функции f(x) = x на интервале (—оо; оо), так как
Легко заметить, что 4^ + 7 имеет ту же самую производную х2. Поэтому и функция ^—|-7 есть первообразная для х2 па R. Ясно, что вместо 7 можно поставить любую постоянную. Таким образом, мы видим, что задача нахождения первообразной имеет бесконечно много решении. В следующем пункте вы увидите, как найти все эти решения.
Пример 2. Для функции f(x)=— на интервале (0; оо) л[х
первообразной является функция F(x) = 2"V^, так как
F- (*)=(2^)' =2 .-L-X^f (x)2ух "\х
для всех х из этого интервала. Так же как и в примере 1, функция 2д/^+С при любой постоянной С есть первообразная для функции — на том же интервале (0; оо).
▼ Пример 3. Функция F (х) =—не является первообразной для функции f(x)=— -—■ на промежутке (—оо; оо), так как равенство F'(x) = f(x) не выполнено в точке 0.
Однако в каждом из промежутков ( — оо; 0) и (0; оо) функция F является первообразной для f.
При решении многих задач приходится иметь дело с несколько более общим случаем. Например, для функции f(x) = 3-\/x на интервале (0; оо) первообразной будет функция F (х) = 2х^/х. Эта функция F не определена при х<0, и потому нельзя говорить о производной F в нуле. Однако AF (0) = 2Лхд/Ах при Лх>0 и AF (0)->0 при Ах->0 и Ах>0. Поэтому говорят, что функция F есть первообразная для функции f на промежутке [0; оо), в который точка х = 0 уже включается. В общем случае положение аналогично: функцию F называют первообразной для функции f на промежутке [а, Ь\ если F'=f в интервале (а, 6) и ^F (а)-*0 при Лх->0 и Ах>0. Функцию F называют первообразной для функции f на промежутке (а; ^], если F'=f на интервале (а, 6) и AF (Ь^-*0 при Ах->0 и Ах<0. Аналогично определяется первообразная в общем случае и для других промежутков. ^
Упражнения
Докажите, что функция F есть первообразная для функции f на указанном промежутке (430—433).
a) F(x)=x5; f(x) = 5x4; хб (—00; оо);
F (х) = sin х + 3; f (х) = cos х; х б (— оо; оо );
F(x)=-^-x~3; f (х)=—х-4; хб (0; оо);
F (х) = 4 —cos х; f (x) = sin х; хб (—оо;оо).
a) F (x) = 4x^Jx; f (x) = 6^Jx; x^ (0; oo);
F^ = tgx—^; f(x)=—L-; xe- n
'' v ' b v x 1 cos2x к 2 2/
| в) F (х) = 0,4д^— 5; f (x^^fx5; x^ (0; oo);
I r) F(x) = 3-ctgx; f(x)=-l^; x€ (0; л).
a) F(x)=-^; f (x)=^ xE (0; oo);
I 6) F (x^^; f (x)=—1—; x^ ( — oo ; 0);
|у —XVW
| в) T7 (x)= 14 —-^-; f (x) = ^-; x€ (0; oo);
I r) F (x) = 9 — -Ь f W = 4-; ^E (-oo; 0).
a) F (x)~ —x'2; f(x)=x; x^R\
F(x)=yX7; f (x)=x6; x^R;
I в)F (x) = sin2 x\f (x) = sin 2x; x^R;
I r)F (x) = sin 3x;f (x) = 3 cos 3x; x^R.
Найдите первообразную для функции f на R (434— 435).
a)f(x) = 2-y; б) f (х^х; в) f^=x3;т)f(x) = x\
,435. a)f (х) = sin х;б) f(x) = cosx; в)f(x) = sin5x;
г) /(x) = cos7x?
В31. Основное свойство первообразной
Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. При решении этой задачи важную роль играет признак постоянства -функции.
Если Fz(x) = 0 на некотором промежутке I, то функция F — постоянная на этом промежутке.
Доказательство. Зафиксируем некоторое хо из промежутка /. Тогда для любого числа х из этого промежутка в силу формулы Лагранжа можно указать такое число с, заключенное между х и хо, что
F(x)-F(xo') = Fz (с)(х-х0).
Так как с^1 (с лежит между числами х и хо из этого промежутка), F' (с) = 0 (по условию) и, значит,
F(x)-T’(xo) = O.
Итак, для всех х из промежутка /
F (x) = F (хо),
т. е. функция F сохраняет постоянное значение.
Докажем теперь основное свойство первообразных.
Общий вид первообразных для функции f (х) на промежутке 1 есть
F (х)+С,(1)
где С — произвольная постоянная, a F (х) — одна из первообразных для функции f (х) на промежутке I.
Поясним это утверждение, в котором кратко сформулированы два свойства первообразной: 1) какое бы число ни поставить в выражение (1) вместо С, получится первообразная для f (х) на промежутке I; 2) какую бы первообразную Ф (х) для / на промежутке / ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка / будет выполнено равенство
Ф^ = Р (х) + С.
Доказательство. 1) По условию функция F — первообразная для функции f на промежутке I. Следовательно,
F'^ = f^
для любого х^1, поэтому
(f И + Q' = ^ И+С'=f И+0=f X*),
т. е. F^-^C— первообразная для функции f (х).
Пусть Ф (х) — одна из первообразных для функции f на том же промежутке /, т. е.
ф' W=f W
для всех х£1. Тогда
(Ф (х) - F (х^' = Ф ' (х) - F' (х) = f (х) - f (х) = 0.
Отсюда следует в силу признака постоянства функции, что разность Ф (х) — F (х) есть функция, постоянная на промежутке /.
Таким образом, для всех х из промежутка /
Ф (х) — F(x) = C, т. е. Ф (х) = F (х) + С,
что и требовалось доказать.
Основному свойству первообразных можно придать геометрический смысл: графики любых двух первообразных для функции f получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу (рис. 102).
Пример 1. Точка движется по прямой с постоянным ускорением а. В начальный момент /о=О точка имеет начальную координату хо и начальную скорость ио. Найдем координату х (/) точки как функцию от времени.
Так как х' (t) = v (/) и и' ^ = а {t\ из условия al^ = a получаем:
v' (t)=a.
Отсюда следует, что
v ^ = at-VC\.(2)
Подставляя /о = О в (2), находим: С1 = у0 и, значит.
Следовательно,
(3)(3)а/2
(3)
(3)
Х^ — 2
Чтобы найти С2, подставим в (3) значение /о = О. Получим С2 = х0. Итак,
х (О=^~ + уо/+-^о.
Пример 2. Найдем для функции ^ первообразную*, гра- фик которой проходит через точку М (9; —2).
Любая первообразная функции записывается в виде з/х
Графики этих первообразных изображены на рисунке 103.
Координаты точки М (9; —2) графика искомой первообразной должны удовлетворять уравнению 2д/94-С =—2.
Отсюда находим, что С =—8. Следовательно, искомая первообразная такова: F(x) = 2V^— 3.
Ниже приводится таблица первообразных для некоторых функций:
Функция
к (постоянная)
хп
( n^Z \ \rt ^ — 1 )
1
sin х
COS X
1
cos2 X
_1
sin2 х
Общий вид
> первообразной
кх -|- С
уП + 1
Гн + С
2^+С
— COS х + + с
sin х + С
tgx + C
— etg x + + c
* Для краткости при нахождении первообразной функции / промежуток, на котором задана f, обычно не указывают. Имеются в виду промежутки возможно большей длины. Так, в рассматриваемом случае естественно считать, что функция f(x)=-i-_ задана на интервале (0; оо).
л/х
Проверьте правильность заполнения этой таблицы самостоятельно.
Упражнения
Проверьте, что функция F есть первообразная для функции f:
F (x) = sin х — х cos х; f (х) = х sin х;
F (x) = cos х 4-х sin х; f (х) = х cos х;
в) F (х) = у/х2 + 1; fWв) F (х) = у/х2 + 1; fW
в) F (х) = у/х2 + 1; fW
в) F (х) = у/х2 + 1; fW
Найдите для функции f первообразную, график которой проходит через заданную точку М (437—438).
a) f (х)=х3; М(2; 1);a) f (х)=х3; М(2; 1);б) Ш=-4- ' COS Xб) Ш=-4- ' COS X437.
a) f (х)=х3; М(2; 1);
a) f (х)=х3; М(2; 1);
б) Ш=-4- ' COS X
б) Ш=-4- ' COS X
f (x) = sin х; М (0; 3); г) f (х)= — 2; М (3; 5).
a) f (х)=^-; М (-у; 3 ) ; б) f (x) = cos х; М (-^; 0 ) ;
в) Цх)=л[х; м(9; 10); г) f(x)=-^; М (4; 4). ух
Для функции f найдите первообразную F, принимающую заданное значение в указанной точке:
а) ГИ = Л f (3) = 0;б) fM=-X; F(l)=-1;
в) f(x) = sinx; F(n)=7;г) /№=4^: ^(т)— —1.
Три правила нахождения первообразных
Правила отыскания первообразных похожи на соответствующие правила дифференцирования.
Если F есть первообразная для f, a G — первообразная для g, то F\-G есть первообразная для f-Vg-
Действительно, так как F'=f и G' = g, по правилу вычисления производной суммы имеем:
(F+G)' = F' + G'=f+g.
Если F есть первообразная. для f, а к — постоянная, то kF есть первообразная для kf.
Действительно, постоянный множитель можно выносить за знак производной, поэтому
(kFY = kF' = kf.
Если F (х) есть первообразная для функции f (х), а к и b — постоянные, причем к^0, то -^-F (kx^-b) есть первообразная для функции f (kx-[-b).
S
Действительно, по правилу вычисления производной сложной |ункции имеем:
(^F ^кх + b^ =^F' (kx-Vb>k=f (kx + 6).
Приведем примеры применения этих правил.
Пример 1. Найдем общий вид первообразных для функции х3+4~. хчх4
Так как для функции х одна из первообразных есть —, а для функции р- одной из первообразных является функция ——, по правилу 1 находим: для функции х +^г одной из пер- х4 1х4 1
вообразных будет функция ——. Ответ: ——h С.
Пример 2. Найдем одну из первообразных для f (x) = 5cosx.
Так как для функции cos х одна из первообразных есть sin х, применяя правило 2, получаем ответ: 5 sin х.
Пример 3. Найдем одну из первообразных для функции sin (Зх— 2).
Для функции sin х одной из первообразных является — cos х, поэтому по правилу 3 искомая первообразная равна
—^-cos (Зх —2).
Пример 4. Найдем одну из первообразных для функции
1(7-Зх)5 1
Так как для функции ~ первообразной является функция
—^ , по правилу 3 искомая первообразная равна
— 11
— 3*4(7—Зх)4 12(7 —Зх)4'
Пример 5. Материальная точка массы 2 кг движется по оси Ох под действием силы, направленной вдоль оси. В момент времени / эта сила равна F ^ — 3(— 2. Найдите закон х (/) движения точки, если известно, что при / = 2с скорость точки равна 3 м/с, а координата x=I (F— сила в ньютонах, /— время в секундах, х— путь в метрах).
к Решение. Согласно второму закону Ньютона
F = та.
Поэтому ускорение а=— и
Ia(/)=-L=A./_i.
w m 2
Скорость точки у (/) есть первообразная для ее ускорения а (/), поэтому
u^ = ^t2-t-A-Ci.
Постоянную Ci находим из условия у (2) = 3:
-|-4 —2 + С,=3, т. е. С,=2 и
v (/)=^=_# + 2.
Координата х (/) есть первообразная для скорости у (/), поэтомух(/)=1/з 2-/2 + 2/ + С2
Постоянную С2 находим из условия х(2)=1:
~8-^-4+4 + С2=1, С2=—3.
Итак, закон движения точки
*(<) = ^3—^2 + 2/-3.
Упражнения
Найдите общий вид первообразных для функции (440— 442).
a) 5л:2— 1; б) р—4 sin х; в) кх-^b; г) ах2-^Ьх-\-с.
а) 1— cos Зх; б) --^ ; в) —|— ; г) 7 sin—||—.
•sin2 Зх ' cos2 5х *3 cos 2 4х
а) —j=; б) —X-; в) ■ А ; г) 8(11-Зх)5.
-^^2V2x + 7(5х-7)37 v ’
Камень брошен вверх с поверхности земли. Пренебрегая сопротивлением воздуха и считая ускорение силы свободного падения £«9,8 м/с2, найдите: 1) наибольшую высоту подъема камня в зависимости от начальной скорости уо; 2) скорость камня в самом верхнем положении; 3) время, через которое камень упадет на землю, если скорость измеряется в метрах в секунду.
444*. Найдите путь, пройденный точкой за промежуток времени от / = 0 до / = 5с, если скорость точки меняется по закону у = 9,8/— 0,003/2. Найдите ускорение этой точки в конце пути (скорость измеряется в метрах в секунду).
445*. Скорость движущейся точки меняется по закону у = — Rt -V-a^rT. Найдите путь, пройденный этой точкой за промежуток времени от / = 0 до / = 4, и ее ускорение в конце пути.
Материальная точка массы т движется по оси Ох под действием силы, направление которой параллельно этой | оси. В момент времени / эта сила равна F (t\ Найдите за- Iкон х (Г) движения точки, если известно, что при / =/0 ско-
Iрость точки равна Уо, а ее координата равна хо (F (/) изме-
ряется в ньютонах, t — в секундах, и — в метрах в секунду, I пг— в килограммах). Решение проведите при следующих I числовых данных:
a) F (/) = 6— 9/, /о—L уо = 4, хо=—5, т=3;
I б) F^=^-, to=T’ ио==1, %0 = 2’5’ m = S’
Iв) F(/)=14sin/, /о = л, fo = 2, х0 = 3, т = 7;
|г) F(/)=18cos/, /о = 0, ^о=—5, ло = 9, т=6.
§ 9. ИНТЕГРАЛ
33. Площадь криволинейной трапеции
Пусть на отрезке [а; Ь] оси Ох задана непрерывная функция /, не меняющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [а; &] и прямыми х = а и х = Ь (рис. 104), называют криволинейной трапецией. Различные при- ^гры криволинейных трапеций приведены на рисунках 105—108.
При вычислении площадей криволинейных трапеций пользуется следующей теоремой.
Теорема. Пусть f — непрерывная и неотрицательная на отрезке |д; 6] функция, S — площадь соответствующей криволинейной трапеции (см. рис. 104). Если F есть первообразная для j на отрезке [а; Ь], то
b S=F(b)-F (а). (1)
г Доказательство. Рассмотрим функцию S (л), опреде- фонную на отрезке [а; 6]. Если х=а, то S (а) = 0. Если а^х^Ь, fo S (л) — площадь той части криволинейной трапеции, которая расположена левее вертикальной прямой, проходящей через точ- HV М (х; 0) (рис. 109). Отметим, что S (6) = S (S — площадь кри- ^илинейной трапеции).
Докажем, чтоДокажем, чтоS'^ = f(x\S'^ = f(x\(2)(2)Действительно, чтоДействительно, чтопо определению производной надо доказать,по определению производной надо доказать,AS W^xAS W^x■> f (х) при Ал -* 0.■> f (х) при Ал -* 0.(3)(3)
Докажем, что
Докажем, что
S'^ = f(x\
S'^ = f(x\
(2)
(2)
Действительно, что
Действительно, что
по определению производной надо доказать,
по определению производной надо доказать,
AS W^x
AS W^x
■> f (х) при Ал -* 0.
■> f (х) при Ал -* 0.
(3)
(3)
Выясним геометрический смысл числителя AS (х). Для простоты рассмотрим случай Ах>0. Поскольку AS (x) = S (х + Ах) — — S (х), то AS (х)—площадь фигуры, заштрихованной па ри сунке 110. Возьмем теперь прямоугольник той же площади AS (х), опирающийся на отрезок [х;х-|-Лх] (рис. 111). Верхняя сторона прямоугольника пересекает график функции (в силу ее непрерывности) в некоторой точке с абсциссой г£[х; х-f-Ах| (иначе его площадь будет или больше AS (х), или меньше). Следовательно, высота прямоугольника равна / (с). По формуле площади прямоугольника имеем: AS (х) = / (с) • Ах, откуда ^^)—^ (с). Эта формула верна и при Ах<0. Поскольку точка с
I’llI’llИтак, _^ I ^Итак, _^ I ^М>кнт между х и х4-Лх, то с ст реки гея к х при txx-^^. Тан как функция f непрерывна, f (c^-^f (х)
I’ll
I’ll
Итак, _^ I ^
Итак, _^ I ^
1рн Дх -* 0.
Формула (2) доказана.
Мы получили, что функция S (х) < гь первообразная для функции (л). Поэтому в силу основного пойства первообразных для всех (|ц; Ь] имеем:
S(x)=F^C, де С — некоторая постоянная, a F (х) — одна из первообраз- |ых для функции f. Для нахождения С подставим х = а:
F(a)+C = S(a) = 0,
(4)(4)куда С= — F (а). Следовательно,S^=F(x)-F(a\
(4)
(4)
V Поскольку площадь криволинейной трапеции равна S (6), Ьодставляя в формулу (4) х — Ь, получим:
S = S (Ь^Р (Ь^ — Р (а\
у Пример. Вычислим площадь S криволинейной трапеции, Ограниченной графиком функции f(x) = x^ и опирающейся на от- ■ резок [1; 2] (рис. 112).
i Решение. Для функции Цх) = х2 первообразной является Iх3
ГОункция F(x) = —.
к Следовательно, ■93 I3 7
■s=f^-f^=^—L-=-L.
V Вы видели, что вычисление производной функции в большинстве случаев связано лишь I трудностями вычислительного характера, ('ложнее обстоит дело с нахождением первообразных. Так, не сразу ясно, имеет ли дан- |<мн функция первообразную или не имеет. II связи с этим отметим, что любая непрерыв- |шя на промежутке I функция имеет на этом Оромежутке первообразную. Некоторое разъ- м- пение этого факта дает доказательство формулы (2), приведенное выше. Однако перво- ■бразные некоторых функций нельзя записать помощью изучаемых в школе функций. Так ■Остоит дело, например, с функцией V^H- 1- ▼
Упражнения
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (447 448)
а) у=х2\ у = 0; х = 3: б) t/ = cosx; у = 0; х = 0; х = ^-;
в) i/ = sinx; у = 0; О^х^л; г) У = ^; у = 0; х=1; х = ?
а) у = 2х — х2; у = 0;б) t/ = (x + 2)2; z/ = 0; х = 0;
в) У=Л-; y = 4;x = S;г) у = х3; у = 0; х = 1.
34.34.Интеграл. Формула Ньютона — Лейбница
34.
34.
Существует другой подход к задаче вычисления площади криволинейной трапеции.
Для простоты будем считать функцию / неотрицательной и непрерывной на отрезке [а; Ь^; тогда площадь S соответствую щей криволинейной трапеции можно приближенно подсчитан, следующим образом.
Разобьем отрезок [a; Ь] на п отрезков одинаковой длины точ ками xo = g<xi <хг< ..-.<хи-1 <хи = 6, и пусть
&x = ^-^-—xk —хк-1, где h = V 2, .... п — I, п.
равнаравнаf (Xk_^-^X = ^-^f (хк_\\f (Xk_^-^X = ^-^f (хк_\\На каждом из отрезков [ха-ьх^] как на основании построим прямоугольник высоты f (хк-\\ Площадь этого прямоугольника
равна
равна
f (Xk_^-^X = ^-^f (хк_\\
f (Xk_^-^X = ^-^f (хк_\\
а сумма площадей всех таких прямоугольников (рис. 113) равна
S„=^tf(xo) + f(x,) + ... + f(x„_,)).
В силу непрерывности функции f объединение построенных прямоугольников при большом п, т. е. при малом Дх, «почти совпадает» с интересующей нас криволинейной трапецией. По этому возникает предположение, что Sn~S при больших п и это приближенное равенство выполняется с любой точностью. Ко ротко говорят: «Sn стремится к S при п, стремящемся к беско вечности» — и пишут Sn -* S при п -* оо.
Предположение это правильно. Более того, для любой непре рывной на отрезке [а; Ь] функции f (не обязательно неотрица тельной) доказано, что Sn стремится (при п -*- оо ) к некоторому числу. Это число называют (по определению) интегралом функ
ь
ции f от а до b и обозначают J f (х) dx, т. е.
а
ь
при rt -^ ОО ,при rt -^ ОО ,j f (х) dx а
при rt -^ ОО ,
при rt -^ ОО ,
(читается: «интеграл от а до b эф от икс дэ икс»). Числа а и b шзываются пределами интегрирования: а — нижним пределом, ', — верхним. Знак $ называется знаком интеграла. Функция f называется подынтегральной функцией, а переменная х — переменной интегрирования.
Итак, если f (х)>0 на отрезке [a; Ь], то площадь S соответствующей криволинейной трапеции выражается формулой
6
(2)
а
V Для приближенного вычисления интеграла можно рассматривать суммы Sn. Лучше, однако, воспользоваться суммами
Sn=~ (Zo) + f C^O+f (^2)+ —+ f (^л-1) + -9~/ (xn$\ ,
Слагаемые которых равны в случае положительной функции / площадям трапеций, «вписанных» в криволинейную трапецию И ограниченных ломаными, как это изображено на рисунке 114.
Действительно, применяя формулу' площади трапеции, полу-
Маем:
f(xo) + f(x.) b-a ЦххН-fUd b-a
2п '2п *
I = ^(Tf to+f to+f to+- • +Tf to) • vСравнивая формулы площади криволинейной трапецииь
S = F(b)—F(a) и S^f^dx.а
Делаем вывод: если F — первообразная для f на [а; Ц, то
k^f (х) dx = F (b) — F (а\(3)
Формула (3) называется формулой Ньютона — Лейбница Она верна для любой функции f, непрерывной на отрезке [а; /#| Рассмотрим примеры применения формулы Ньютона — Лейп ница.
Пример 1. Вычислим
2
j x2dx.
— i
Поскольку для функции х2 первообразной является функ х3 ция —,
2
f о, 23(-1)3 Q
Д xdx=T-4^ = 3.
6, т. с. а6, т. с. ащенно обозначать F(хщенно обозначать F(хДля удобства записи приращение функции F принято сокра
6
, т. с. а
6
, т. с. а
щенно обозначать F(х
щенно обозначать F(х
F(b)-F(a) = F(x)\b. а
Пользуясь этим обозначением, формулу Ньютона — Лейб ница обычно записывают в виде
ьь
\ito dx= F(x)| .(.1)
Пример 2. Пользуясь введенными обозначениями, получим
ЛЛо= —cos л — ( —cos 6) = 2.о= —cos л — ( —cos 6) = 2.Л
Л
Л
о= —cos л — ( —cos 6) = 2.
о= —cos л — ( —cos 6) = 2.
sin xdx = —cos х о
Замечание. Данное нами определение интеграла нс позволяет говорить, например, об интеграле от — 1 до 2 функ
1л.
ции -г, так как эта функция не является непрерывной на отрез
ке [—1; 2]. Заметим также, что функция
—— не является первообразной для функ х 1
ции — на этом отрезке, поскольку точка О.
принадлежащая отрезку, не входит в об ласть определения функции ^-.
У=Х—х и z/ = 3— 2х — х2.У=Х—х и z/ = 3— 2х — х2.Пример 3. Вычислим площадь фи гуры, ограниченной линиями
У=Х—х и z/ = 3— 2х — х2.
У=Х—х и z/ = 3— 2х — х2.
Нарисуем эти линии (рис. 115) и най
И абсциссы точек их пересечения из уравнения
I —л=3 — 2л— х2.
шля это уравнение, находим: л=1 и х= —2. Искомая площадь жег быть получена как разность площадей криволинейной инсции BADC и треугольника ВАС. По формуле (2)
33— 2— 2влос= $ (3 —2х — х2) dx — (3x — х2 — 2
3
3
— 2
— 2
—1 з—1 з3-(-2) + (-2)2 + L^=9;3-(-2) + (-2)2 + L^=9;
—1 з
—1 з
3-(-2) + (-2)2 + L^=9;
3-(-2) + (-2)2 + L^=9;
S^bc^AB-BC^-^ —
9
Следовательно, площадь заштрихованной фигуры равна —:
S—Sbadc—5^ПАС= 2~-
Замечание. Удобно расширить понятие интеграла, по- гая по определению при а^Ь
bа
bbf (л) dx = —f (х) ^х.
b
b
a
При таком соглашении формула Ньютона — Лейбница ока- а
вается верной при произвольных а и b (в частности, j f (л) ^х = 0) а
Упражнения
Вычислите интеграл (449—451).Вычислите интеграл (449—451).4Я. а)4Я. а)0. а)0. а)ix4dx;— iЛ\ dx1—~2 »J sin Xix4dx;— iЛ\ dx1—~2 »J sin Xб)б)2cos xdx;Л2cos xdx;Лб)б)в)в)Л~ У10\ f dxa) \ -r;J xIВычислитеЛ~ У10\ f dxa) \ -r;J xIВычислите2 з у dx J ^ 22 з у dx J ^ 2в)в)б)б)4f dxJ -Vx14f dxJ -Vx166В) ) 1В) ) 1ЛT ( dxJ cos2X ’0ЛT ( dxJ cos2X ’0C dxJ x5"УC dxJ x5"Уdxdx22— 2— 2О5 sin xdx.— лО5 sin xdx.— л2[ dxj (2x4-1/*— 12[ dxj (2x4-1/*— 1(предварительно сделав рисунок) площадь фигуры, ограниченной линиями (452—453).(предварительно сделав рисунок) площадь фигуры, ограниченной линиями (452—453).4hZ. a) ^ = л:3, л=1, л = 3, у — 0;4hZ. a) ^ = л:3, л=1, л = 3, у — 0;б) у — х\ y — G, л=1;б) у — х\ y — G, л=1;
Вычислите интеграл (449—451).
Вычислите интеграл (449—451).
4Я. а)
4Я. а)
0. а)
0. а)
i
x4dx;
— i
Л
\ dx
1—~2 »
J sin X
i
x4dx;
— i
Л
\ dx
1—~2 »
J sin X
б)
б)
2
cos xdx;
Л
2
cos xdx;
Л
б)
б)
в)
в)
Л
~ У
10
\ f dxa) \ -r;
J x
I
Вычислите
Л
~ У
10
\ f dxa) \ -r;
J x
I
Вычислите
2 з у dx J ^ 2
2 з у dx J ^ 2
в)
в)
б)
б)
4
f dx
J -Vx
1
4
f dx
J -Vx
1
6
6
В) ) 1
В) ) 1
Л
T ( dx
J cos2X ’
0
Л
T ( dx
J cos2X ’
0
C dx
J x5"
У
C dx
J x5"
У
dx
dx
2
2
— 2
— 2
О
5 sin xdx.
— л
О
5 sin xdx.
— л
2
[ dx
j (2x4-1/*
— 1
2
[ dx
j (2x4-1/*
— 1
(предварительно сделав рисунок) площадь фигуры, ограниченной линиями (452—453).
(предварительно сделав рисунок) площадь фигуры, ограниченной линиями (452—453).
4hZ. a) ^ = л:3, л=1, л = 3, у — 0;
4hZ. a) ^ = л:3, л=1, л = 3, у — 0;
б) у — х\ y — G, л=1;
б) у — х\ y — G, л=1;
в) // = 2 + х —х2, t/ = 0;г) y = cos х, у = 0, |х|^-"-
а) у = х2, у = 2х;б) у — х2, у = х3;
У=^» У = х, х = 2;г) у = л[х, у = х.
Докажите, что если функция f (х) непрерывна на отрезке
6
[а; Ь] и f(x)^0, то $ f(x)dx= — S, где 5 — площадь cooi ветствующей криволинейной трапеции.
ЬсЬ
Докажите, что J f (х) dx = \ f (х) t/x + J f (х) dx. аас
Покажите, что интеграл
6
5 f (х) dx
функции, график которой изображен на рисунке 116, равен 51 — S2 + S3 (криволинейные трапеции, имеющие площади Si, 5г, 5з, заштрихованы).
Докажите формулу вычисления производной от интеграла с переменным верхним пределом интегрирования:
X ($Н'И'=нд а
где f (х) — функция, непрерывная на интервале, содержа
щем точки а и х.
Пусть материальная точка движется по прямой со скоростью у (/). Докажите, что ее координату х (/) можно най-
ти по формуле х(/) = Хо-|-5 у (О ^^ /о
где хо = х(/о)— начальная координата точки.
Пусть материальная точка
Рис. 116.Рис. 116.движется по прямой с ускорением а (/). Докажите, что ес скорость и (/) можно найти по формуле
Рис. 116.
Рис. 116.
у (О=уо + $ а ^ dt,to
где и0 = у (/0)—начальная скорость точки.
35 ▼. Вычисление объемов тел
F Пусть задано тело объемом V, причем известно следующее: [имеется такая прямая (рис. 117), что, какую бы плоскость, перпендикулярную этой прямой, мы ни взяли, нам известна площадь S сечения тела этой плоскостью. Но плоскость, перпендикулярная оси Ох, пересекает ее в некоторой точке х. Следо- олтельно, каждому числу х (из отрезка [а; Ь], см. рис. 117) [поставлено в соответствие единственное число S (х) — площадь речения тела этой плоскостью. Тем самым на отрезке [а; &] за- днна функция S (х\ Если функция S (х) непрерывна на отрезке [а; 6], то справедлива формула
ь
IV=\S(x)dx.(1)
га
Полное доказательство этой формулы дается в курсах математического анализа, а здесь остановимся на наглядных сообра- ^кениях, приводящих к ней.
| Разобьем отрезок [cz; Ь] на п отрезков равной длины точка- |ми хо = а <xi <LX2*<...<Cxn-i <Lb=xn, и пусть
IДл =^5- = хк — хк-\, h=\, 2, .... п
[(см. п. 34). Через каждую точку Хк проведем плоскость ак, перпендикулярную оси Ох. Эти плоскости разрезают заданное [тело на слои (рис. 118, 119). Объем слоя, заключенного между плоскостями a^-i и а*, при достаточно больших п приближенно [равен площади S(x*._i) сечения, умноженной на «толщину слоя» кДх, и потому
|V« S (хо) Д% +S (xi) Д^ + .. + S (хл-1) ^x= Vn.
[Точность этого приближенного равенства тем выше, чем тоньше [слои, на которые разрезано тело, т. е. чем больше п. Поэтому
—> V при п-^ оо. Но по определению интеграла
Lь
IVn -> 5 ^ W ^Х ПРИ ^ ->- ОО .
Пример 1. Докажем, что объем шара радиуса R равен
Рис. 117.Рис. 118.
4 з-yлR . Проведем ось Ох через центр шара О (рис. 120). Каждая плоскость, перпендикулярная оси Ох и пересекающая отрезок [ — R; /?] этой оси в точке х, дает в сечении с шаром круг радиуса ■^R^ — x^. Площадь этого кругаS (х) = л (V^2 —х2)2 = л (R2 — х2).Следовательно, по формуле (1)4 з-yлR . Проведем ось Ох через центр шара О (рис. 120). Каждая плоскость, перпендикулярная оси Ох и пересекающая отрезок [ — R; /?] этой оси в точке х, дает в сечении с шаром круг радиуса ■^R^ — x^. Площадь этого кругаS (х) = л (V^2 —х2)2 = л (R2 — х2).Следовательно, по формуле (1)RV = J л (R2 — x2) dx = л (R2xRV = J л (R2 — x2) dx = л (R2x—х3 з—х3 зRR— R— R=A-nR\=A-nR\— R— R
4 з
-yлR . Проведем ось Ох через центр шара О (рис. 120). Каждая плоскость, перпендикулярная оси Ох и пересекающая отрезок [ — R; /?] этой оси в точке х, дает в сечении с шаром круг радиуса ■^R^ — x^. Площадь этого круга
S (х) = л (V^2 —х2)2 = л (R2 — х2).Следовательно, по формуле (1)
4 з
-yлR . Проведем ось Ох через центр шара О (рис. 120). Каждая плоскость, перпендикулярная оси Ох и пересекающая отрезок [ — R; /?] этой оси в точке х, дает в сечении с шаром круг радиуса ■^R^ — x^. Площадь этого круга
S (х) = л (V^2 —х2)2 = л (R2 — х2).Следовательно, по формуле (1)
R
V = J л (R2 — x2) dx = л (R2x
R
V = J л (R2 — x2) dx = л (R2x
—х3 з
—х3 з
R
R
— R
— R
=A-nR\
=A-nR\
— R
— R
Пример 2. Докажем, что объем конуса высоты Н и радиуса основания R равен -^-nR2H.
22Проведем ось Ох через вершину конуса О перпендикулярно его основанию (рис. 121). Каждая плоскость, перпендикулярная оси Ох и пересекающая отрезок [0; Щ этой оси в точке х дает в сечении с конусом круг радиуса ^х. Площадь этого круга
2
2
2
Следовательно, по формуле (1) н 9
V=W4) х2 dx=tt4F^\K=^R2H.О0
Пример 3. Докажем, что объем пирамиды с высотой Н и площадью основания S равен -^-HS, а объем усеченной пирамиды высоты Н с площадями оснований S и s равен -уН (S + s + VSs).
Пусть точка О — вершина пирамиды (рис. 122). Проведем через точку О ось Ох перпендикулярно основанию пирамиды. Основания усеченной пирамиды пересекают ось Ох в точках а и Ь. Каждая плоскость, перпендикулярная оси Ох и пересекающая отрезок [а; Ь] этой оси в точке х, дает в сечении много
угольник, подобный многоугольнику — основанию пирамиды. Поэтому площадь сечения
S (х) равна кх\
и в частности,
s = S ^ = ка2 и S=S ^ = hb2.
Объем усеченной пирамиды вычисляем по формуле (1):
Рис. 121.Рис. 121.V = $ hx^dx = ^-x3 аV = $ hx^dx = ^-x3 аRRККРис. 122.Рис. 122.I 6^ /ьЗ „3\ Ь — аL=-(6 -“)=—I 6^ /ьЗ „3\ Ь — аL=-(6 -“)=—В случае пирамиды $ = 0 и мы приходим к формуле V=-^-HS.
Рис. 121.
Рис. 121.
V = $ hx^dx = ^-x3 а
V = $ hx^dx = ^-x3 а
R
R
К
К
Рис. 122.
Рис. 122.
I 6^ /ьЗ „3\ Ь — а
L=-(6 -“)=—
I 6^ /ьЗ „3\ Ь — а
L=-(6 -“)=—
Пример 4. Пусть криволинейная трапеция опирается на отрезок [а; bj оси Ох и ограничена сверху графиком функции f, неотрицательной и непрерывной на отрезке [a; Ь]. При вращении этой криволинейной трапеции вокруг оси Ох получаем тело (рис. 123), объем которого находится по формуле:
ь
(2)(2)V=$ л/2 (х) dx.а
(2)
(2)
Действительно, каждая плоскость, перпендикулярная оси Ох и пересекающая отрезок [а; Ь] этой оси в точке х, дает в сечении с телом круг радиуса f (х) и площади S(x) = nf2(x) (рис. 124). Отсюда по формуле (1) получается формула (2).
Упражнения
y = x24-Y, x — G, х=1, y = G; б) у=1—х2, y = G;y = x24-Y, x — G, х=1, y = G; б) у=1—х2, y = G;а)а)г) У =г) У =VIVIРис. 123.Рис. 123.х, х = 1, х = 4, у = 0.х, х = 1, х = 4, у = 0.Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
y = x24-Y, x — G, х=1, y = G; б) у=1—х2, y = G;
y = x24-Y, x — G, х=1, y = G; б) у=1—х2, y = G;
а)
а)
г) У =
г) У =
VI
VI
Рис. 123.
Рис. 123.
х, х = 1, х = 4, у = 0.
х, х = 1, х = 4, у = 0.
Найдите объем тела, полученного при вращении вокру| оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:
z/ = x + 2, у—Х, х = 0, х = 2;
i/ = 2x, z/ = x + 3, х = 0, х=1;
у = х2, у = х;г) у = л[х, у=х.
Найдите объем шарового сегмента радиуса R и высоты //
Выведите формулу для объема шарового сектора, радиус которого R, а угол в осевом сечении а.
Выведите формулу для объема усеченного конуса высо ты Н с радиусами оснований R и г.
Сведения из историиь
В п. 34 мы определили интеграл j f (х) dx как число, к кото- рому стремятся суммы Sn = L f (xfc) Ах при и-*оо (т. е. Ах->0, 2 — знак суммы).
Такое определение интеграла не требует предварительного знакомства с понятием производной и опирающимся на него понятием первообразной. Математики XVII и XVIII вв. не пользовались понятием предела. Они говорили вместо этого о «сумме бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых». Например, площадь криволинейной трапеции (рис. 125) они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длины f (х), которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине / (х) dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме
S = X f (х) dxa<x<b
бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме — нули, но нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.
На такой (кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной) основе И. К е п л е р в своих сочинениях «Новая астрономия» (1609) и «Стереометрия винных бочек» (1615) правильно вычислил ряд площадей (например, площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (разрезая тело на бесконечно тонкие пластинки). Эти исследования были продолжены Б. Кавальери (1598—1647).
Сохраняет свое значение и в наше время сформулированный Б. Кавальери принцип, введенный им при некоторых дополнительных предположениях. Объясним принцип Кавальери на при мере. Пусть требуется найти площадь фигуры, изображенной на рисунке 126, где кривые, ограничивающие фигуру снизу и сверху, имеют уравнения y = f (х) и y — f (х)+С.
Представляя себе нашу фигуру состоящей из «неделимых»,
Рис. 125Рис. 125
Рис. 125
Рис. 125
по терминологии Кавальери, бесконечно тонких столбиков, замечаем, что все они имеют общую длину С. Передвигая их в вертикальном направлении, мы можем составить из них прямоугольник с основанием Ь — а и высотой С. Поэтому искомая площадь равна площади полученного прямоугольника, т. е.
S = Si = С (6 — а).
Общий принцип Кавальери для площадей плоских фигур формулируется так. Пусть прямые некоторого пучка параллельных пересекают фигуры Ф1 и Ф2 по отрезкам равной длины (рис. 127). Тогда площади фигур Ф1 и Фг равны*. Аналогичный принцип действует в стереометрии и оказывается полезным при нахождении объемов.
В абстрактном виде интеграл ь 5 f (х) dx а
был определен Лейбницем как «сумма всех ординат» точек гра- 'фика функции (имеется, конечно, в виду, что ординаты умножены па «бесконечно малое» приращение dx абсциссы). Современное обозначение интеграла по существу восходит к Лейбницу, ко-
* В духе рассуждений математиков XVIII в. мы опускаем оговорки, без которых утверждение не совсем точно.* В духе рассуждений математиков XVIII в. мы опускаем оговорки, без которых утверждение не совсем точно.
* В духе рассуждений математиков XVIII в. мы опускаем оговорки, без которых утверждение не совсем точно.
* В духе рассуждений математиков XVIII в. мы опускаем оговорки, без которых утверждение не совсем точно.
торый суммы обозначал большой буквой S. Название «интеграл» принадлежит ученику Лейбница Я- Бернулли.
Таким образом, интеграл сначала появился независимо от производной. Поэтому было большим открытием установление связи между операциями дифференцирования и интегрирования, которая в общем виде была найдена Лейбницем и Ньютоном: если
P^ = f(x\(1)
ТОг
F^=\f^dzA-C.(2)
а
Обратно, из (2) вытекает (1).
Систематическое исследование интегрирования элементарных функций было завершено Эйлером в его книге «Интегральное исчисление». Вскоре выяснилось, что далеко не все интегралы от элементарных функций выражаются через элементарные функции. Великий русский математик П. Л. Чебышев (1821 —1894) полностью исследовал этот вопрос для некоторых классов иррациональных функций (так называемых дифференциальных биномов) .
Современное понятие определенного интеграла как предела интегральных сумм принадлежит О. Коши.
Вопросы и задачи на повторение
1) Дайте определение первообразной.
Является ли функция F (х)=—первообразной для функ- 1х
ции f (х)= — -^ на промежутке:
а) (-5; -1); б) [2; 10]; в) [-17; -3); г) (-7; 5)?
Является ли функция F первообразной для функции / на заданном промежутке:
F (х) = х^ — х, Цх) = 2х—\ на R;
F(x) = x\ f (х) — 3х2 на R;
F(x) = tgx, f (х) ——V- на
F(x) = cosx, f(x)= — sin х на R?
1) Сформулируйте признак постоянства функции. Сформулируйте основное свойство первообразной.
Выпишите общий вид первообразных для функции:
f(x) = k (k — постоянная);
f (х)—кх-^-Ь (k и b— постоянные);
f (х)—ха (а — целое число, а^ — 1);
f (x) = sin х; д) f(x) = cosx;e) f (х)=—; ж) f (х)=-Д-.
Д
Найдите первообразную F для функции f, принимающую заданное значение в данной точке:
a) Цх^Зх-З, F^ = 5;6) f(x)=sinx; F^ = 2.
1) Сформулируйте три правила нахождения первообразных.
Найдите общий вид первообразных для функции:
в) f(x)=sin3xв) f(x)=sin3x= ,10 cos 2х.= ,10 cos 2х.Найдите для функции f первообразную, график которой проходит через точку А:a) f(x)=-VT+T, Л(0; -3); б) f (x)=V2 cos х, А (-^; -2)..4. 1) Какую фигуру называют криволинейной трапецией? Сформулируйте теорему о вычислении площади криволинейной трапеции.Приведите примеры криволинейных трапеций.Изобразите криволинейную трапецию и найдите ее площадь:Найдите для функции f первообразную, график которой проходит через точку А:a) f(x)=-VT+T, Л(0; -3); б) f (x)=V2 cos х, А (-^; -2)..4. 1) Какую фигуру называют криволинейной трапецией? Сформулируйте теорему о вычислении площади криволинейной трапеции.Приведите примеры криволинейных трапеций.Изобразите криволинейную трапецию и найдите ее площадь:а) у = sin х, у = 0, х = -^-, х = в) у=(х—I)2, у = 0, х = 3;а) у = sin х, у = 0, х = -^-, х = в) у=(х—I)2, у = 0, х = 3;у = х\ у = 0, х = 1, х = 2; г) у = 4х— х3, у = 0, х^О.у = х\ у = 0, х = 1, х = 2; г) у = 4х— х3, у = 0, х^О.Г) Что называется интегралом?Запишите формулу Ньютона — Лейбница. Вычислите инГ) Что называется интегралом?Запишите формулу Ньютона — Лейбница. Вычислите интсграл:тсграл:^dx; б) $ sin xdx; в)^dx; б) $ sin xdx; в)Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у — х2, у = 3х; б) у = 6 — х— х , у = 0.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у — х2, у = 3х; б) у = 6 — х— х , у = 0.Дополнительные упражнения к главе IIIДополнительные упражнения к главе IIIНайдите общий вид первообразных для функции (465—466). 465. а) 7 —4х;б) х2 + 4х —7;|в) ах3 + bx2 + сх + d (а, Ь, с и d — постоянные);г) 2 sin -у + 3 cos 6х.Найдите общий вид первообразных для функции (465—466). 465. а) 7 —4х;б) х2 + 4х —7;|в) ах3 + bx2 + сх + d (а, Ь, с и d — постоянные);г) 2 sin -у + 3 cos 6х.466. а) (3_|_2х)4466. а) (3_|_2х)4в) Зх3 о — ; г) -7—Н—”гч— •’cos 8х* (х4-3) sin Зх467. Найдите для функции / первообразную, график которой проходит через заданную точку:в) Зх3 о — ; г) -7—Н—”гч— •’cos 8х* (х4-3) sin Зх467. Найдите для функции / первообразную, график которой проходит через заданную точку:а) f (*)="U М (9; ^ б) ^^ = л/х ,а) f (*)="U М (9; ^ б) ^^ = л/х ,-3);-3);fW = ^T’fW = ^T’М(— 1; 5); г) f (х) =М(— 1; 5); г) f (х) =a) f(.x)=\-x-x2; б) Нх)--^^;
в) f(x)=sin3x
в) f(x)=sin3x
= ,10 cos 2х.
= ,10 cos 2х.
Найдите для функции f первообразную, график которой проходит через точку А:
a) f(x)=-VT+T, Л(0; -3); б) f (x)=V2 cos х, А (-^; -2).
.4. 1) Какую фигуру называют криволинейной трапецией? Сформулируйте теорему о вычислении площади криволинейной трапеции.
Приведите примеры криволинейных трапеций.
Изобразите криволинейную трапецию и найдите ее площадь:
Найдите для функции f первообразную, график которой проходит через точку А:
a) f(x)=-VT+T, Л(0; -3); б) f (x)=V2 cos х, А (-^; -2).
.4. 1) Какую фигуру называют криволинейной трапецией? Сформулируйте теорему о вычислении площади криволинейной трапеции.
Приведите примеры криволинейных трапеций.
Изобразите криволинейную трапецию и найдите ее площадь:
а) у = sin х, у = 0, х = -^-, х = в) у=(х—I)2, у = 0, х = 3;
а) у = sin х, у = 0, х = -^-, х = в) у=(х—I)2, у = 0, х = 3;
у = х\ у = 0, х = 1, х = 2; г) у = 4х— х3, у = 0, х^О.
у = х\ у = 0, х = 1, х = 2; г) у = 4х— х3, у = 0, х^О.
Г) Что называется интегралом?
Запишите формулу Ньютона — Лейбница. Вычислите ин
Г) Что называется интегралом?
Запишите формулу Ньютона — Лейбница. Вычислите ин
тсграл:
тсграл:
^dx; б) $ sin xdx; в)
^dx; б) $ sin xdx; в)
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у — х2, у = 3х; б) у = 6 — х— х , у = 0.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у — х2, у = 3х; б) у = 6 — х— х , у = 0.
Дополнительные упражнения к главе III
Дополнительные упражнения к главе III
Найдите общий вид первообразных для функции (465—466). 465. а) 7 —4х;б) х2 + 4х —7;
|в) ах3 + bx2 + сх + d (а, Ь, с и d — постоянные);
г) 2 sin -у + 3 cos 6х.
Найдите общий вид первообразных для функции (465—466). 465. а) 7 —4х;б) х2 + 4х —7;
|в) ах3 + bx2 + сх + d (а, Ь, с и d — постоянные);
г) 2 sin -у + 3 cos 6х.
466. а) (3_|_2х)4
466. а) (3_|_2х)4
в) Зх3 о — ; г) -7—Н—”гч— •
’cos 8х* (х4-3) sin Зх
467. Найдите для функции / первообразную, график которой проходит через заданную точку:
в) Зх3 о — ; г) -7—Н—”гч— •
’cos 8х* (х4-3) sin Зх
467. Найдите для функции / первообразную, график которой проходит через заданную точку:
а) f (*)="U М (9; ^ б) ^^ = л/х ,
а) f (*)="U М (9; ^ б) ^^ = л/х ,
-3);
-3);
fW = ^T’
fW = ^T’
М(— 1; 5); г) f (х) =
М(— 1; 5); г) f (х) =
468. График одной из первообразных для функции проходи i через точку (9; 15), а второй — через точку (1; 1). График какой из первообразных расположен выше?468. График одной из первообразных для функции проходи i через точку (9; 15), а второй — через точку (1; 1). График какой из первообразных расположен выше?Вычислите интеграл (469—471).Вычислите интеграл (469—471).зз470. a) $(l+2x)9cfx;о3dx470. a) $(l+2x)9cfx;о3dx2л2лЛ471*. а) $ sin2 xdx;— л2лj sin Зх cos оЛ471*. а) $ sin2 xdx;— л2лj sin Зх cos об) cos2 nxdx, n^N; о 2л5xt/x; г) J sin kx sin тх dx; m^N, k^N. об) cos2 nxdx, n^N; о 2л5xt/x; г) J sin kx sin тх dx; m^N, k^N. оВычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (472— 473).Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (472— 473).472. а)в)472. а)в)У =U У = 0; х=\, х = 4;У=^ у = 7 — 3х;У =U У = 0; х=\, х = 4;У=^ у = 7 — 3х;У=^ У = 0, х=1, х = 5, г) у = 2 — х — х2, у = 0.У=^ У = 0, х=1, х = 5, г) у = 2 — х — х2, у = 0.
468. График одной из первообразных для функции проходи i через точку (9; 15), а второй — через точку (1; 1). График какой из первообразных расположен выше?
468. График одной из первообразных для функции проходи i через точку (9; 15), а второй — через точку (1; 1). График какой из первообразных расположен выше?
Вычислите интеграл (469—471).
Вычислите интеграл (469—471).
з
з
470. a) $(l+2x)9cfx;о
3
dx
470. a) $(l+2x)9cfx;о
3
dx
2л
2л
Л471*. а) $ sin2 xdx;— л2л
j sin Зх cos о
Л471*. а) $ sin2 xdx;— л2л
j sin Зх cos о
б) cos2 nxdx, n^N; о 2л
5xt/x; г) J sin kx sin тх dx; m^N, k^N. о
б) cos2 nxdx, n^N; о 2л
5xt/x; г) J sin kx sin тх dx; m^N, k^N. о
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (472— 473).
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (472— 473).
472. а)
в)
472. а)
в)
У =U У = 0; х=\, х = 4;
У=^ у = 7 — 3х;
У =U У = 0; х=\, х = 4;
У=^ у = 7 — 3х;
У=^ У = 0, х=1, х = 5, г) у = 2 — х — х2, у = 0.
У=^ У = 0, х=1, х = 5, г) у = 2 — х — х2, у = 0.
473. а) у = х2, у=2х — х2; б) у = х2п, у=\;
в) у=х2 — 2хф-2, z/ = 2 + 4x —х2.
474*. Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: а) У = х2 х = 0, х=1, у = 0; в) у = х\ х = 0, х=1, у = 0; б) у = х , х=1, х = 3, у = 0;г) у = х\ х = 0, х=1, у = 0.
475. Докажите равенство:
ьbb
$ У (x) + g (х)) dx=\ f (х) dx-V~\ g (я) dx; аciа
bb
kf (x) dx = k j f (x) dx (к — постоянная); aa
hb-Vc
) 5 f (^x + c^dx = -|" J ^ M^x, где к и с — постоянные, к ^ 0.
Пользуясь формулой Ньютона — Лейбница, покажите, что интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, т. е.
$ f (х) dx=\ f (/) dt=\ f(z) dz =
77*. Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг
оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:
z/=sinx, х = 0, х = л, у = 0;в) у — х2, у = х;
z/ = cosx, х = 0, x = dLi у = 0; г) х2-Ну — bf = а2, Ь>а.
78*. Докажите, что функция F есть первообразная для функции
f на указанном промежутке:
F(x)=|x|, f(x)=l, х€(0, оо);
F (х) = |х|, / (х)= — 1, х£( — оо ; 0);
F^=x.^, f(,x)=\x\, xeR.
79*. Докажите:
J f (x)dx^0, если f (х)^0 на отрезке [а, Ь\;
j f (х) dx^ j g (х) dx, если /(х)<£(х) на отрезке [а; 6];
а+Т
$ f М dx = ^ f (х) dx при любом а, если f (х + Т) = f (х)
для всех x^R.
80*. Докажите:
j f^dx = 0, если f( — х)= — f (х) для всех х из отрезка
[ — а; а] '.
$ f (х) dx = 2 j f (х) dx, если f( —x) = f(x) для всех х из
Глава IV
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯФУНКЦИИ
§ 10. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ СТЕПЕНИ
Корень л-й степени и его свойства
С понятием квадратного корня из числа а вы уже знаки мы: это такое число, квадрат которого равен а. Аналогично определяется корень л-й степени из числа а, где п — произвол!» ное натуральное число, большее I.
Определение. Корнем п-й степени из числа а называете)!
такое число, л-я степень которого равна а.
Пример 1. Корень третьей степени из числа 27 равен 3. так как З3 = 27. Числа 2 и —2 являются корнями тестон степени из числа 64, поскольку 26 = 64 и ( —2)6 = 64.
Согласно данному определению корень п-й степени из числа а — это произвольное решение уравнения хп=а. Число корнем этого уравнения зависит от л и а. Рассмотрим функцию f ^=хп. Как известно, на промежутке [0, оо) эта функция при любом п возрастает и принимает все значения из проме жутка [0; оо). По теореме о корне (п. 10) уравнение хп = а для любого а£[0; оо) имеет неотрицательный корень и притом только один. Его называют арифметическим корнем п-й степени из числа а и обозначают ^[а; число п называют показателем корня, а само число а — подкоренным выражением.
Определение. Арифметическим корнем п-й степени и i
которогокоторогочисла а называют неотрицательное число, л-я степень
которого
которого
равна а.Пример 2. Найдем значения: а) 3/8; а) 3/8 = 2, так как 23 = 8 и 2 > 0;равна а.Пример 2. Найдем значения: а) 3/8; а) 3/8 = 2, так как 23 = 8 и 2 > 0;
равна а.
Пример 2. Найдем значения: а) 3/8; а) 3/8 = 2, так как 23 = 8 и 2 > 0;
равна а.
Пример 2. Найдем значения: а) 3/8; а) 3/8 = 2, так как 23 = 8 и 2 > 0;
При четных л функция /(х) = хп четна. Отсюда следует, чю если а>0, то уравнение хп = а, кроме корня хх=1\[а, имеем также корень х2=—^[а. Если л = 0, то корень один: х = 0; если а<0» то это уравнение корней не имеет, поскольку четная степень любого числа неотрицательна.
Итак, при четном п существуют два корня п-й степени из любого положительного числа а; корень п-й степени из числа 0 равен нулю; корней четной степени из отрицатель ных чисел не существует.
Пример 3. Уравнение х4 = 81 имеет два корня: это числа и —3. Таким образом, существуют два корня четвертой тиени из 81. При этом V^T — это неотрицательное число, т. е.
/К1" = 3, а —3= —V8T.
Пример 4. Положительным корнем уравнения х4 = 3 являет- л число \/3. Это число (так же, впрочем, как и число —V^)
иррационально. Его десятичные знаки можно вычислять последо-
■нтельно:
1'<V3<2, так как 14<3<24;
1,3<^3<1,4, так как 1,34<3< 1,44, и т. д.
пУбедитесь, что V^ = 1,31607...)
При нечетных значениях п функция f(x)=xn возрастает на всей числовой прямой; ее область значений — множество всех действительных чисел. Применяя теорему о корне, находим, мто уравнение хп = а имеет в точности один корень при /побом а и, в частности, при а<0. Этот корень для любого Значения а (в том числе и а отрицательного) обозначают -\Га.
Итак, при нечетном п существует корень п-й степени из мюбого числа а и притом только один.
. Для корней нечетной степени справедливо равенство п\]—а = — л/а.
| В самом деле,
I(_^ = (_ Ху.^у = _ Х.а=_а<
е. число — Sfa есть корень п-й степени из —а. Но такой корень при нечетном п единствен. Следовательно, ^— а = —^.
Равенство V—а= —^а (при нечетном п) позволяет выразить корень нечетной степени из отрицательного числа через арифметический корень той же степени. Например, V—71=—^7\, 1/^27= — W=— 3.
l Замечание 1. Для любого х
IпГп$ 1^1, если п четно;
I х, если п нечетно
((докажите это свойство самостоятельно).
Замечание 2. Как вы уже знаете, корень второй степени из числа называют кадратным корнем, а показатель 2 корня при записи опускают (например, корень квадратный из 7 обозначают просто у7)- Корень третьей степени называют кубическим корнем.
i П р и м е р 5. Решим уравнения: а) х5 = — 11; б) я8 = 7.
По определению корня п-й степени число х — корень пятой степени из —И. Показатель корня — нечетное число 5, поэтому такой корень существует и притом только один: это ty—11. Ответ записывают так: х= — \/ТТ.
По определению корня и-й степени решением уравнение z8 = 7 является число V?- Так как 8 — число четное^— V? также является решением данного уравнения. Итак, Х1=^7, ^2= — Ч?- Ответ можно записать так: x=±V7.
2. Сформулируем и докажем основные свойства арифметических корней п-й степени.
Для любых натуральных чисел п и к, больших 1, и любых неотрицательных чисел а и b выполнены равенства:
1°. 5М =Ча-ЧЬ.
2°.=
N b *\[b'
3°. д^ = пЧа.
4°. ^4°. ^п^Г^кп^Г^к
4°. ^
4°. ^
п^Г^к
п^Г^к
5°. v<? =№/.
Докажем свойство 1°. По определению ЧаЬ — это такое неотри
цательное число, п-я степень которого равна ab. Число Ча-Ч^ неотрицательно. Поэтому достаточно проверить справедливость равенства (Ча-Ч^У = ab, которое вытекает из свойств степени с натуральным показателем и определения корня п-й степени:
(^ • W = №У • №у = ab.
" (ЧД)Л = а— (.W — b ’" (ЧД)Л = а— (.W — b ’-\/Ча ^ 0 и-\/Ча ^ 0 иАналогично доказываются следующие три свойства:
" (ЧД)Л = а
— (.W — b ’
" (ЧД)Л = а
— (.W — b ’
-\/Ча ^ 0 и
-\/Ча ^ 0 и
OVV^)^—((^№LУУ=№У=а;
Ча >0 и (ЧаУк=((Ч^УУ = ак.
Докажем теперь свойство 5°. Заметим, что п-я степень числа (Ча/ равна ак;
((Ча/у = (Ча/п = №УУ = ак.
По определению арифметического корня (Ча/ ~4ak (так как С-лй/^О).
Приведем примеры применения свойств 1° — 5° к решению задач на преобразование числовых выражений, содержащих корни.
Пример 6. Преобразуем выоажения: а) Ч^'Ч^* б) у 5-^-; в) ЧЧЛ г) 2VT28; д) V1283-
По свойству 1° Ч^*Ч^ — Ч^ = ^*
лЙ>^=|г4 (свойство 2");
VW — *W (свойство 3°);
по свойству 4° 2А/128 = 2\/27 = V2;
применяя свойство 5°, находим: V1283 = (V128)3 = 23 = 8.
Докажем следующее свойство арифметического корня.
. Для любых чисел а и Ь, таких, что 0^а<Ь, выпод- яется неравенство
Ча<ЧБ.
чточтоПроведем доказательство методом от противного. Допустим, Ча^ЧЬ. Тогда по свойству степеней с натуральным пока
что
что
зателем кЧаУ^кЧьУ, т. е. а^Ь. Это противоречит условию
< Ь.
Пример 7. Сравним числа V2 и \3-
Представим ^5 и V3 в виде корней с одним и тем же показателем: V2 = W^ 'W. a ^3='V33='W (при этом мы воспользовались свойством 4°). Из неравенства 32 >27 и свойства 6° следует, что *^/32 >*V27, и, значит, \/2>^/3.
Пример 8. Решим неравенство х6>20.
Это неравенство равносильно неравенству л6 — 20 >0. Так как функция х6 — 20 непрерывна, можно воспользоваться методом интервалов. Уравнение х6 — 20 = 0 имеет два корня: ^20 и —V20- Эти числа разбивают прямую на три промежутка. Решение данного неравенства — объединение двух из них: (- оо; — ^0) и (V20; оо).
Упражнения
Проверьте справедливость равенства:
a) V16 = 2; б) V^=-l:в) V625 = 5; г) *Vf=L
Д) *V6 = 0;е) lVT624 = 2;ж) V343 = 7;
з) V^243=-3.
Верно ли равенство:
а) Vй — 6^2=3 — ^2;
483. Вычислите:a) W; б) Ч-Ю ;483. Вычислите:a) W; б) Ч-Ю ;в) V19^-50=77-2;
483. Вычислите:
a) W; б) Ч-Ю ;
483. Вычислите:
a) W; б) Ч-Ю ;
Упростите:
a) (-УПУ; б) (W; в) (зу^з)=;
г) У^З7; д) 7^37; е) Уб^.
Найдите значение числового выражения (485—487).
a) VI6-625; б) ^8*343; в) V32-243; г) V0,00001 -32;
д) V24-9;е) V48-27; ж) ^160-625; з) V75^45.
a) W-W; б) Vio-V^; в) V9-V9; г) V^.^B;
488. Пользуясь таблицами или калькулятором, найдите прибли женное значение корня:488. Пользуясь таблицами или калькулятором, найдите прибли женное значение корня:
488. Пользуясь таблицами или калькулятором, найдите прибли женное значение корня:
488. Пользуясь таблицами или калькулятором, найдите прибли женное значение корня:
Какое из чисел больше: а) ^2 или ^3;V1.8 или 1;12 /Т,—утг нли ‘^олV-0,2 или 0;Сравните числа:Какое из чисел больше: а) ^2 или ^3;V1.8 или 1;12 /Т,—утг нли ‘^олV-0,2 или 0;Сравните числа:д) V—2 И V—4;ж) V— 5 И V—3;д) V—2 И V—4;ж) V— 5 И V—3;
Какое из чисел больше: а) ^2 или ^3;
V1.8 или 1;
12 /Т,—
утг нли ‘^ол
V-0,2 или 0;
Сравните числа:
Какое из чисел больше: а) ^2 или ^3;
V1.8 или 1;
12 /Т,—
утг нли ‘^ол
V-0,2 или 0;
Сравните числа:
д) V—2 И V—4;
ж) V— 5 И V—3;
д) V—2 И V—4;
ж) V— 5 И V—3;
VtT;б) V1W;в) VTT; г) V10J7;
д) V2?8; е) V13;ж) V^O; з) VW.
\/0?2 или Vo^3;
*V0,8 или 1;
"\^" или *V0,43;
4-^ или (VI)2?
V5 и ^/500;
л<3 и V№;
V-В и V^;
V-0.4 и V—0,3.
Найдите первые два десятичных знака (после запятой) числа:
a) V7; б) V3; В) V5; г) V2.
Вынесите множители за знак корня (а>0, 6>0):
a) V4«;б) -\Г18&;в) ^б^с;г) V^i
д) V3265"; е) Уб4а»Ь";ж) У-128а7; з) V6?W.
493. Внесите493. Внеситемножительмножительпод знак корня (а>0, 6>0):под знак корня (а>0, 6>0):б) 3V5;б) 3V5;вве) -^V3;е) -^V3;ж) — a&V~4; 3ж) — a&V~4; 3Избавьтесь от иррациональности в знаменателе (приведите к.виду а^Ь, гдеИзбавьтесь от иррациональности в знаменателе (приведите к.виду а^Ь, гденое):\ 5а) TVное):\ 5а) TV6> ^6> ^х з х юд) ^: е) Wх з х юд) ^: е) Wа — рациональное число, аа — рациональное число, аb — натураль-b — натураль-А7 .х15В)V49*Г)^25"х20х6ж)—;з)- гV40V27-25А7 .х15В)V49*Г)^25"х20х6ж)—;з)- гV40V27-25Представьте в виде ^ число:ia)V^iб)\faAja; в)^а2 V^;|г)‘V^;д)ХЧ^\ е)V16^-Решите уравнение (496—498).а)х3 = 4;б)х3 + 4 = 0;в) х4=10;г)х6 = 5;д)х5 = 3;е)х10— 15 = 0;ж) х6 —64 = 0; з)х7 + 128 = 0.Представьте в виде ^ число:ia)V^iб)\faAja; в)^а2 V^;|г)‘V^;д)ХЧ^\ е)V16^-Решите уравнение (496—498).а)х3 = 4;б)х3 + 4 = 0;в) х4=10;г)х6 = 5;д)х5 = 3;е)х10— 15 = 0;ж) х6 —64 = 0; з)х7 + 128 = 0.а) 16х4—1=0;
493. Внесите
493. Внесите
множитель
множитель
под знак корня (а>0, 6>0):
под знак корня (а>0, 6>0):
б) 3V5;
б) 3V5;
в
в
е) -^V3;
е) -^V3;
ж) — a&V~4; 3
ж) — a&V~4; 3
Избавьтесь от иррациональности в знаменателе (приведите к.виду а^Ь, где
Избавьтесь от иррациональности в знаменателе (приведите к.виду а^Ь, где
ное):
\ 5
а) TV
ное):
\ 5
а) TV
6> ^
6> ^
х з х юд) ^: е) W
х з х юд) ^: е) W
а — рациональное число, а
а — рациональное число, а
b — натураль-
b — натураль-
А7 .х15
В)V49*Г)^25"
х20х6
ж)—;з)- г
V40V27-25
А7 .х15
В)V49*Г)^25"
х20х6
ж)—;з)- г
V40V27-25
Представьте в виде ^ число:
ia)V^iб)\faAja; в)^а2 V^;
|г)‘V^;д)ХЧ^\ е)V16^-
Решите уравнение (496—498).
а)х3 = 4;б)х3 + 4 = 0;в) х4=10;г)х6 = 5;
д)х5 = 3;е)х10— 15 = 0;ж) х6 —64 = 0; з)х7 + 128 = 0.
Представьте в виде ^ число:
ia)V^iб)\faAja; в)^а2 V^;
|г)‘V^;д)ХЧ^\ е)V16^-
Решите уравнение (496—498).
а)х3 = 4;б)х3 + 4 = 0;в) х4=10;г)х6 = 5;
д)х5 = 3;е)х10— 15 = 0;ж) х6 —64 = 0; з)х7 + 128 = 0.
в) 0,02х—1,28 = 0;
б) 0,01х3+Ю = 0;хо 33 2 пг)12--х2= 0.'44б) 0,01х3+Ю = 0;хо 33 2 пг)12--х2= 0.'44a) -^=5; б) Vx=-0,7; в) V*=0; г) V* = 2-
б) 0,01х3+Ю = 0;
хо 33 2 п
г)12--х2= 0.
'44
б) 0,01х3+Ю = 0;
хо 33 2 п
г)12--х2= 0.
'44
Решите уравнение с помощью подстановки t~\[x или /=^/х:
а) <х- 3\/х + 2 = 0;б) V^+V^^2;
I в) л[х— 5\/х + 6 = 0;г) V^ — 5^/х = 6.
Решите неравенство:
а)х3<5; б)х4<3;в)х7>11;г)х10>2;
д)V^>2; е)\[х<.—1;ж)V^^3;з)V^^— 2.
При каких значениях а верно равенство:
а)-\/иг=—п;б) л[а5=а\в)\[с?=а;
502. Упростите выражение:а) л^, где а>0;в) V^, гДе «^0;Iд) W;►ж) ^/а^— Vo47, п>0;502. Упростите выражение:а) л^, где а>0;в) V^, гДе «^0;Iд) W;►ж) ^/а^— Vo47, п>0;г)л/<? = \а\;д) V^— 1°1;е)Ч^=— а^
502. Упростите выражение:
а) л^, где а>0;
в) V^, гДе «^0;
Iд) W;
►ж) ^/а^— Vo47, п>0;
502. Упростите выражение:
а) л^, где а>0;
в) V^, гДе «^0;
Iд) W;
►ж) ^/а^— Vo47, п>0;
Найдите значение выражения:
a) V^a^-Vm^; б) V9-V65-V9 + -V65;
в) VI0 + V73-V10—V73;г) -У^У17? +УГ?.
V4-V17
Представьте в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня:
1. ^х 3х а-д^ х b —V?
а) — —; б) ————; в) ^: г) —;
V3+V2 V? -V5 a + V22b —/5
ЗаЧаА-\ГьЗаЧаА-\Гьх1X 2х 2
За
ЧаА-\Гь
За
ЧаА-\Гь
д) ^-t® ' е) Vs+Vf ж) ТЩь'1
Иррациональные уравнения
Уравнения, в которых переменная содержится под знакомкорня, называют иррациональными. Таково, например, уравнение^—2 = 0.
Приведем примеры решения иррациональных уравнений. Пример 1. Решим уравнение
(1)(1)д/х2 —5 = 2.
(1)
(1)
Возведем обе части этого уравнения в квадрат: х2 — 5 = 4.
Отсюда следует, что
х2 = 9, т. е. х = 3 и х= — 3.
Проверим, что полученные числа являются решением уравнения (1). Действительно, при подстановке их в это уравнение получаются верные равенства
73^5 = 2 и д/(-3)2 —5 = 2.
Следовательно, х = 3 и х = — 3 — решения уравнения (1).
Пример 2. Решим уравнение
"дД=х — 2.(2)
Возведем в квадрат обе части уравнения (2): х — х2 — 4x4-4.
После упрощений получаем квадратное уравнениех2 — 5х 4- 4 = 0,
корни которого суть х=1 и х = 4. Проверим, являются ли
полученные числа решениями заданного уравнения (2). При подстановке числа 4 в уравнение (2) получаем верное равенство д/4 = 4 — 2. При подстановке же числа 1 получаем в правой части — 1, а в левой части — число 1. Следовательно, число 1 не является решением уравнения (2) — говорят, что это посторонний корень (полученный в результате принятого способа решения этого уравнения). Решением уравнения (2) является только число 4.
Пример 3. Решим уравнение
V^^^V^-(3)
Возведем обе части этого уравнения в квадрат:
х2 — 2 = х.
Получаем квадратное уравнение
х2 — х — 2 = 0,
корни которого суть х= — 1 и х = 2. Сразу ясно, что число — 1 не является корнем уравнения (3), так как обе части этого уравнения не определены при х— — 1. При подстановке в уравнение (3) числа 2 получаем верное равенство д/22— 2 = -д/2. Следовательно, решением уравнения (3) является только число 2. Число — 1 есть посторонний корень.
Пример 4. Решим уравнение
з/х —6=л^ — х.(4)
Возводя в квадрат обе части этого уравнения, получаем: х— 6 = = 4 —х, 2х=10 и х = 5. Подстановкой убеждаемся, что число 5 не является корнем уравнения (4). Поэтому уравнение не имеет решений.
Мы видим, что при решении иррациональных уравнений полученные решения требуют проверки, потому, например, что неверное равенство при возведении в квадрат может дать верное равенство. В самом деле, неверное равенство 1 = — 1 при возведении в квадрат дает верное равенство 12 = (—I)2.
Иногда гораздо удобнее решать иррациональные уравнения, используя равносильные переходы. Например, по определению корнем 2п-й степени из f называется такое цеотрицательное число g, что g2n = f. Другими словами, уравнение 2!\[f= g равносильно системе
|( 52п = А(5)
1I g>0,(6)
т. е. чтобы решить уравнение 2l\/f = g, надо решить уравнение (5) и проверить для его корней выполнение условия (6).
Пример 5. Решим уравнение ^х —2 = х —8.(7)
По определению квадратного корня уравнение
(8)(9)(8)(9)-\jx — 2 = х — 8 равносильно системе
(8)
(9)
(8)
(9)
х — 2 = (х —8)2, х— 8^0.
Решаем уравнение (8), равносильное уравнению х2 —17х + 66 = 0.
Его корни суть 11 и 6, но условие (9) выполняется только для х=11. Поэтому уравнение (7) имеет один корень х=11.
Пример 6. Решим систему уравнений
V^+V5 = 4,х-|-// = 28.
Положив ц=А]х и п = ^, приходим к системе
ы4-у =4,t?4-u3 = 28.
Разложим левую часть второго уравнения па множители: м3 + У3 = (и + и) (н2 — UU + у2)-
Из первого уравнения следует, что и + v = 4. Поэтому система (10) равносильна системе
Г u-Vu = 4t
I и — ни 4-и =7.
Подставляя во второе уравнение значение и, найденное из первого (и = 4—и), приходим к уравнению
и2 — и(4 — и) + (4— и)2 = 7, т. е. и2 — 4и + 3 = 0.
Полученное квадратное уравнение имеет два корня: нг=1 и Н2 = 3. Соответствующие значения и таковы: ui=3 и и2=1. Переходя к переменным х и у, получаем:
V^=«i, т. е. Х1 = н?=1; yi = u3 = 27; х2 = н2 = 27; у2 = ^ = 1.
Ответ: (1; 27); (27; 1).
Упражнения
505. а) в)505. а) в)V13-x2 = 3;х —д/хНН =5;V13-x2 = 3;х —д/хНН =5;Решите уравнение (505—507).
505. а) в)
505. а) в)
V13-x2 = 3;
х —д/хНН =5;
V13-x2 = 3;
х —д/хНН =5;
б) д/х2 — 4х—1=2;
г) 4H-V2x + 3=x-2.
506.506.a)a)V^+ 1 л/^ + 6 = 6;V^+ 1 л/^ + 6 = 6;6)6)Мхл^ — x = 2x;Мхл^ — x = 2x;в)в)д/х2 + 2x + 10 = 2x — 1;V2x2 + 5x + 1 = x — 1;д/х2 + 2x + 10 = 2x — 1;V2x2 + 5x + 1 = x — 1;^2 + х+ 1 =x —4;г) V17 + 2x — 3x2 = x + 1.^2 + х+ 1 =x —4;г) V17 + 2x — 3x2 = x + 1.Решите систему уравненийa) { x-Vy= 1,I x3 + y3 = 7;в) I xAu4=9,((£+y)x 2Q.УX1 f 14( —+—=X’1 Nx \У°I xy—^;Решите систему уравненийa) { x-Vy= 1,I x3 + y3 = 7;в) I xAu4=9,((£+y)x 2Q.УX1 f 14( —+—=X’1 Nx \У°I xy—^;(508—509).Г x2 + xy = —2, I y2_|_xy = 3;r) f ^4 + y4 = 82, I xy = 3.(508—509).Г x2 + xy = —2, I y2_|_xy = 3;r) f ^4 + y4 = 82, I xy = 3.o) f МхМу-а-МхЧу= 12, I xy = 64;o) f МхМу-а-МхЧу= 12, I xy = 64;Мх + У + Mx —у = 6, M(xVy? (x—yf=8, x>y;Мх + У + Mx —у = 6, M(xVy? (x—yf=8, x>y;x у
506.
506.
a)
a)
V^+ 1 л/^ + 6 = 6;
V^+ 1 л/^ + 6 = 6;
6)
6)
Мхл^ — x = 2x;
Мхл^ — x = 2x;
в)
в)
д/х2 + 2x + 10 = 2x — 1;
V2x2 + 5x + 1 = x — 1;
д/х2 + 2x + 10 = 2x — 1;
V2x2 + 5x + 1 = x — 1;
^2 + х+ 1 =x —4;
г) V17 + 2x — 3x2 = x + 1.
^2 + х+ 1 =x —4;
г) V17 + 2x — 3x2 = x + 1.
Решите систему уравнений
a) { x-Vy= 1,
I x3 + y3 = 7;
в) I xAu4=9,
((£+y)x 2Q.
У
X1 f 14
( —+—=X’
1 Nx \У°
I xy—^;
Решите систему уравнений
a) { x-Vy= 1,
I x3 + y3 = 7;
в) I xAu4=9,
((£+y)x 2Q.
У
X1 f 14
( —+—=X’
1 Nx \У°
I xy—^;
(508—509).
Г x2 + xy = —2, I y2_|_xy = 3;
r) f ^4 + y4 = 82, I xy = 3.
(508—509).
Г x2 + xy = —2, I y2_|_xy = 3;
r) f ^4 + y4 = 82, I xy = 3.
o) f МхМу-а-МхЧу= 12, I xy = 64;
o) f МхМу-а-МхЧу= 12, I xy = 64;
Мх + У + Mx —у = 6, M(xVy? (x—yf=8, x>y;
Мх + У + Mx —у = 6, M(xVy? (x—yf=8, x>y;
x2 + Sy2 = 16.
Степень с рациональным показателем
Вам уже знакомо понятие степени числа с целым показателем. Напомним свойства таких степеней.
Для любых чисел а, b и любых целых чисел тип справедливы равенства:
а"' • ап = аа"' • ап = а"; а'п: ап = а"1 п ^а^ 0);
а"' • ап = а
а"' • ап = а
(а^^а""1;
, _ хП
а1 =а; а0 = 1 (а=£ 0).
Отметим также следующее свойство:
если т>п, то ат>ап при а>1 и а?<ап при 0<п<1.
В этом пункте мы обобщим^ понятие степени числа, придав смысл выражениям типа 20,3, 8 7 , 4 2 и т. д. Естественно при этом дать определение так, чтобы степени с рациональными показателями обладали теми же свойствами (или хотя бы их частью), что и степени с целым показателем. Тогда, в частности, п-я
т
степень числа ап должна быть равна ат. Действительно, если свойство
^q = aP4
выполняется, то
тт
^апу = ап П = ат,
Последнее равенство означает (по определению корня н-й т
степени), что число ап есть корень n-й степени из числа ат.
Таким образом, приходим к следующему определению.
Определение. Степенью числа а> О с рациональным
т
показателем г=—, где т — целое число, ап — натуральное
(л> 1), называется число ^ja™.
Итак, по определению
т
а^=^"1.(1)
Степень числа 0 определена только для положительных показателей; по определению (У = 0 для любого г>0.
Пример 1. По определению степени с дробным показателем
77
7
7
Пример 2. Найдем значения числовых выражений 83; з2
8И и 128у.
Воспользовавшись определением степени с дробными показателем и свойствами корней, имеем:
12
83 = V8 = 2; 81 4 =\№=(W)3 = 33 = 27; _ 2
128 7= V128^ =(V128)"2=2-2 = -l-.
Замечание 1. Из определения степени с дробным показателем сразу следует, что для любого положительного а и любого рационального г число аг положительно.
Замечание 2. Любое рациональное число допускает раз- -т тк,
личные записи его в виде дроби, поскольку — = — для любого натурального к. Значение аг также не зависит от формы записи рационального числа г. В самом деле, из свойств корней следует, что
тктткт
ткт
ткт
При а<0 рациональная степень числа а не определяется, и это не случайно. Если бы мы сочли верной формулу (1) и для с<0, то, например, значение (— 8)3 равнялось бы V—8, т. е.
12
— 2. Но, с другой стороны, —=—, и поэтому должно выполняться равенство
12
-2 = (-8)3 =(-8)6 =V(-8)5 = W=2.
Покажем теперь, что при сформулированном выше определении степени с рациональным показателем сохраняются основные свойства степеней, верные для целых показателей (разница заключается в том, что приводимые далее свойства верны только для положительных оснований).
Для любых рациональных чисел г и s и любых положительных а и b справедливы равенства:
к1°.ar-as = ar+s.
I2°.a':as = ar-s.
3°. №s = ars.
Г4°.W = ar-br.
Для доказательства этих свойств надо воспользоваться определением степени с рациональным показателем и доказанными в п. 36 свойствами корней. Докажем, например, свойства 1°,
3° и 4°. Пусть г=~^ и s=-^-, где п и q— натуральные числа, а т и р — целые. Тогда
tz'-a^V^'V^^V^-^^^Vt^^^a-^ = </+s;
I/ п1р
(ау = ^^07 = \ ^Т=п!\^ = апч = аг$;
(aby -v^r =\[777 = ^-^ = аг • Ьг.
Свойства 2° и 5° доказываются аналогично (проведите соответствующие рассуждения самостоятельно).
Пример 3. Найдем значение выражения (V40-24):5 4 Имеем:
131 23+21 +2
V40-2T:5~ 4 ^V^^-S7^4 = 27 4 -54 4=21-51 = 10.
Пример 4. Преобразуем выражения: I I
аЧ-ЬЧ .а^-ь2'1
'22’а^ + а^б^ + б1'4 "
а* +6 4
Имеем:
1111Illi;I
а)а)aLzll_(£2£HLi£_(£Lz±iH£i±^ .
а)
а)
111111L*,
a4+b4 a4 + b4a4+b4
al,2_62J_^0.4)3 „^0,7)3
a0'8 + аилЬ°-7 + b1 -4(au-4)2 + W + (b°-7)2
Отметим следующие два свойства степеней с рациональными показателями.
6°. Пусть г — рациональное число и Q<_a<_b. Тогда
аГ<^ЬГ при г>0,ar->br при г<0.
7°. Для любых рациональных чисел г и s из неравенства r> s следует, что
ar^>as при а> 1, аг <_ as при 0 < а < 1.
Докажем свойство 6°. Если г>0, то г можно записать в
виде г = —, где m и п— натуральные числа. Из неравенства ^<_а<_Ь и свойств степени с целым показателем следует, что Qm<^bm. По свойству корней (свойство 6°, п. 36) из этого нера
венства получаем
^Ja^c^fb^, т. е. аг<Ь'.
В случае г-с О проводится аналогичное рассуждение.
Для доказательства свойства 7° приведем сначала рациональные числа г и s к общему знаменателю: г = — и s = —, пп
где п — натуральное число, а m и р — целые. Из неравенства г > s следует, что т^> р. Если а > 1, то а п = д/a > 1, и по свойству степени с целым показателем 11
(a Т>(аТ
lmIp
Остается заметить, что ^апу = ап =аг и (апу = ап = as.
Случай 0<а<1 разбирается аналогично.
Пример 5. Сравним числа Х[& и 2 3.
Запишем ^ в виДе степени с рациональным показателем:
2--23
35 •35 •^8 = 25. По свойству 7° получаем 23>25, так как
35 •
35 •
Пример 6. Сравним числа 2300 и З200.
2зоо _ ^3)100g2зоо _ ^3)100gloo. з200 (З2)1009>0°loo. з200 (З2)1009>0°Запишем эти числа в виде степеней с одинаковым показателем:
2зоо _ ^3)100g
2зоо _ ^3)100g
loo. з200 (З2)1009>0°
loo. з200 (З2)1009>0°
Так как 8 <9, по свойству 6° получаем: glOO^glOO т е 2300<320°.
512.512.a) VH;б) \^\в) ч^;г)W4д) Wiе) V7-";ж) V2”15;з)'Чь-1.a) Чл^а;б) 3-V34?;в) ^ах\г)-L'V(35):(65c);д) V^-Vo5;е) \с?«\[сгэж) "V °2 ^з)\'а3 Чат.a) VH;б) \^\в) ч^;г)W4д) Wiе) V7-";ж) V2”15;з)'Чь-1.a) Чл^а;б) 3-V34?;в) ^ах\г)-L'V(35):(65c);д) V^-Vo5;е) \с?«\[сгэж) "V °2 ^з)\'а3 Чат.УпражненияУпражнениярациональным по-рациональным по-ссвиде степенивиде степениввказателсмказателсм510.510.511.511.числа:числа:виде корня извиде корня изПредставьтеПредставьтевыражениевыражениеввПредставьте выражение (510—511).Представьте выражение (510—511).Д а) 77;з д) а8;Д а) 77;з д) а8;б)б)е)е)41,25._ 2 2б" 3:41,25._ 2 2б" 3:Аж)Аж)3-213-21_ 25 ._ 25 .22b 3 с7;b 3 с7;2,г) 2-8";32з) а* *.Ь^.2,г) 2-8";32з) а* *.Ь^.
512.
512.
a) VH;
б) \^\
в) ч^;
г)
W4
д) Wi
е) V7-";
ж) V2”15;
з)
'Чь-1.
a) Чл^а;
б) 3-V34?;
в) ^ах\
г)
-L'V(35):(65c);
д) V^-Vo5;
е) \с?«\[сгэ
ж) "V °2 ^
з)
\'а3 Чат.
a) VH;
б) \^\
в) ч^;
г)
W4
д) Wi
е) V7-";
ж) V2”15;
з)
'Чь-1.
a) Чл^а;
б) 3-V34?;
в) ^ах\
г)
-L'V(35):(65c);
д) V^-Vo5;
е) \с?«\[сгэ
ж) "V °2 ^
з)
\'а3 Чат.
Упражнения
Упражнения
рациональным по-
рациональным по-
с
с
виде степени
виде степени
в
в
казателсм
казателсм
510.
510.
511.
511.
числа:
числа:
виде корня из
виде корня из
Представьте
Представьте
выражение
выражение
в
в
Представьте выражение (510—511).
Представьте выражение (510—511).
Д а) 77;
з д) а8;
Д а) 77;
з д) а8;
б)
б)
е)
е)
41,25.
_ 2 2б" 3:
41,25.
_ 2 2б" 3:
А
ж)
А
ж)
3-2
1
3-2
1
_ 2
5 .
_ 2
5 .
2
2
b 3 с7;
b 3 с7;
2,
г) 2-8";
32
з) а* *.Ь^.
2,
г) 2-8";
32
з) а* *.Ь^.
НайдитеНайдитезначение числового выражения (513—514).значение числового выражения (513—514).
Найдите
Найдите
значение числового выражения (513—514).
значение числового выражения (513—514).
513.513.а)а)_5 1642^82:_5 1642^82:б) 2430Л;1 ч2б) 2430Л;1 ч2з!в) 8 3-810,25;1з!в) 8 3-810,25;1Ж)Ж)(100 000)0-3'-(0,000 001)3 ;(100 000)0-3'-(0,000 001)3 ;0,50,511514.514.а)а)4 1З:3°;84 1З:3°;8б)б)(^3)У2^:(5\^);(^3)У2^:(5\^);77774:243'4:243'22
513.
513.
а)
а)
_5 164
2^82:
_5 164
2^82:
б) 2430Л;
1 ч2
б) 2430Л;
1 ч2
з!
в) 8 3-810,25;
1
з!
в) 8 3-810,25;
1
Ж)
Ж)
(100 000)0-3'-(0,000 001)3 ;
(100 000)0-3'-(0,000 001)3 ;
0,5
0,5
1
1
514.
514.
а)
а)
4 1
З:3°;
8
4 1
З:3°;
8
б)
б)
(^3)У2^:(5\^);
(^3)У2^:(5\^);
7
7
7
7
4:243'
4:243'
2
2
Какое из чисел больше:a) V^ или З43;-А2в) ^^ 7 или -\^-214;д) З600 или 5400;Какое из чисел больше:a) V^ или З43;-А2в) ^^ 7 или -\^-214;д) З600 или 5400;е) 4 4 или 5 5 ?е) 4 4 или 5 5 ?Какое из выражений имеет смысл:2_ 21а) 53;б) 5 3;в) О7;4_ 1г) 0"у;д) (-3)4;е) (-3) 7?Какое из выражений имеет смысл:2_ 21а) 53;б) 5 3;в) О7;4_ 1г) 0"у;д) (-3)4;е) (-3) 7?Найдите область определения выражения:i_22_1а) л'3; б) х 4; в) (х—I)5; г) (х+1) 7Найдите область определения выражения:i_22_1а) л'3; б) х 4; в) (х—I)5; г) (х+1) 7518. При каких значениях переменной518. При каких значениях переменной(азУ = а;г) (а4)4=-а;(азУ = а;г) (а4)4=-а;(а3)3 = а;10Д) (а°-7)7=а;(а3)3 = а;10Д) (а°-7)7=а;а верно равенство:в) (а3)3=—а;е) («Т1^?а верно равенство:в) (а3)3=—а;е) («Т1^?
Какое из чисел больше:
a) V^ или З43;
-А2
в) ^^ 7 или -\^-214;
д) З600 или 5400;
Какое из чисел больше:
a) V^ или З43;
-А2
в) ^^ 7 или -\^-214;
д) З600 или 5400;
е) 4 4 или 5 5 ?
е) 4 4 или 5 5 ?
Какое из выражений имеет смысл:
2_ 21
а) 53;б) 5 3;в) О7;
4_ 1
г) 0"у;д) (-3)4;е) (-3) 7?
Какое из выражений имеет смысл:
2_ 21
а) 53;б) 5 3;в) О7;
4_ 1
г) 0"у;д) (-3)4;е) (-3) 7?
Найдите область определения выражения:
i_22_1
а) л'3; б) х 4; в) (х—I)5; г) (х+1) 7
Найдите область определения выражения:
i_22_1
а) л'3; б) х 4; в) (х—I)5; г) (х+1) 7
518. При каких значениях переменной
518. При каких значениях переменной
(азУ = а;
г) (а4)4=-а;
(азУ = а;
г) (а4)4=-а;
(а3)3 = а;
10
Д) (а°-7)7=а;
(а3)3 = а;
10
Д) (а°-7)7=а;
а верно равенство:
в) (а3)3=—а;
е) («Т1^?
а верно равенство:
в) (а3)3=—а;
е) («Т1^?
Упростите выражение и вычислите его значение (519—520).
_1_2
1 \ ~ 0,75q । Q.75 । / 1 \ 3( 1 \ 5
a) 273 +(-L)— 250,5; б) 81 ^VW “ к 32/
в) (2,5L5 + 0^L5):(V^5+V63); г) 3~ 3 VL5:(0,25V216V9).
Упростите выражение (521—522).
1
ко ।\ а ^ •ч х2 — 4
а) ао,5+6о,5.б) —^-;
а3 + Ь3—а3&3г3+2г3+4
122. a) (V^+О^—У^") * .(x + V^ + xV^)-1| n))2: №« .(V*4)3 (V^v^y)123. Разложите на множители:122. a) (V^+О^—У^") * .(x + V^ + xV^)-1| n))2: №« .(V*4)3 (V^v^y)123. Разложите на множители:111б) (х2 А-у2У-(4хуУ;111б) (х2 А-у2У-(4хуУ;а)Д)з)а)Д)з)З + З2; б) 4 —^2.(3z)2-(5z)2;З + З2; б) 4 —^2.(3z)2-(5z)2;11 1 1Х^у^ -Х^ -у^\.11 1 1Х^у^ -Х^ -у^\.111143; в) а— а2; г) (az)3 + (оу)3;111111с) с2+с4; ж) а + а 2 +Ь 2а2 -Vb2;111143; в) а— а2; г) (az)3 + (оу)3;111111с) с2+с4; ж) а + а 2 +Ь 2а2 -Vb2;
122. a) (V^+О^—У^") * .
(x + V^ + xV^)-1
| n))2: №« .
(V*4)3 (V^v^y)1
23. Разложите на множители:
122. a) (V^+О^—У^") * .
(x + V^ + xV^)-1
| n))2: №« .
(V*4)3 (V^v^y)1
23. Разложите на множители:
111
б) (х2 А-у2У-(4хуУ;
111
б) (х2 А-у2У-(4хуУ;
а)
Д)
з)
а)
Д)
з)
З + З2; б) 4 —^2.
(3z)2-(5z)2;
З + З2; б) 4 —^2.
(3z)2-(5z)2;
11 1 1
Х^у^ -Х^ -у^\.
11 1 1
Х^у^ -Х^ -у^\.
1111
43; в) а— а2; г) (az)3 + (оу)3;
111111
с) с2+с4; ж) а + а 2 +Ь 2а2 -Vb2;
1111
43; в) а— а2; г) (az)3 + (оу)3;
111111
с) с2+с4; ж) а + а 2 +Ь 2а2 -Vb2;
§ 11. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯФУНКЦИИ
Показательная функция
Зафиксируем положительное число а и поставим в соответ-т
вие каждому числу -^- число
ап. Тем самым получим число-
1Ы видим, что1Ы видим, чтополучающиесяполучающиесяРис. 128.Рис. 128.
1Ы видим, что
1Ы видим, что
получающиеся
получающиеся
Рис. 128.
Рис. 128.
пую функцию f(x') = ax, опре- (еленную на множестве Q ра- шюнальных чисел и облада- Ьщую перечисленными в п. 38 Свойствами. При а=1 функция ах постоянна, так как • = 1 для любого рационального X.
Нанесем несколько точек графика функции 2х, предвари- гльно вычислив с помощью Вплькулятора значения 2х на Црезке [ — 2; 3] с шагом У- (рис. 128, а), а затем с шагом
(рис. 128,6). Продолжая
Высленно такие же построения11
шагом —, — и т. д., 32
|)чки мож-но соединить плавной фимой, которую естественно питать графиком некоторой
5)5)6)6)Рис. 128.Рис. 128.
5)
5)
6)
6)
Рис. 128.
Рис. 128.
функции, определенной и возра- , 1 .нощей уже на всей числовой |рямой и принимающей значе- т
пня 2" в рациональных точках (рис. 128, в). Построив юстаточно большое число точек । рафика функции(рис.
а, б), мы увидим, что ана- югичными свойствами облагает и эта функция (отличие состоит в том, что функ- / 1 Xх
пня ) убывает на R, рис. 129, в).
Эти наблюдения подсказы- нлют, что справедливо следующее предложение.
Для любого положительного иола а существует, и притом юлько одна, функция, определенная на всей числовой прямой, возрастающая при о>1 (убывающая при 0 < а < 1) и m принимающая значения а п при m рациональных значениях х=— аргумента. Эту функцию на- нывают показательной функцией с основанием а (обозна- ниют axY Графики функции для некоторых значений а изображены на рисун- ir 130.
V Наметим схему доказатель- (ina сформулированного предло- । пия в случае а>-1.
Функция ах должна быть “ 1растающей. Поэтому при лю- Пик рациональных и и г2, тайн, что Г\<_х«СГ2, значение ах и ж но удовлетворять нера- •*< яствам
аг'<_ах <_аг\
Выбирая значения г, и г2, приближающиеся к х, можно заметить, что и соответствующие значения оГ| и о'2 будут мало отличаться. Можно доказать, что существует, и притом только одно, число у, которое больше всех аг' для всех рациональныi Г|<х и меньше всех аГг для всех рациональных г2>х. Эт число у по определению есть ах.
Например, вычислив с помощью калькулятора значении функции 2х в точках хп и х„, где хп и х'п — десятичные приблн жения числа х=-^, мы обнаружим, что, чем ближе хп и х’п к V3, тем меньше отличаются 2Лп и 2х".
Так как 1<-\^<2‘,
2'=2<2^<22 = 4.
1,7 •<-\/3 < 1,8 и, значит,
2'-7« 3,2490096 < 2 ^< 218« 3,4822022.
Аналогично, рассматривая следующие десятичные приближе ния д/З по недостатку и избытку, приходим к неравенствам:
2173«3,3172782 <2^<2к74«3,3403517;
21-732 «3,3218801 <2^<2*-733 «3,3241834;
21-7320 «3,3218801 <2^<2к7321 «3,3221104;
2к73205 ~ 3,3219952 <2^<2k73206 «3,3220182;
21 ■732050 « 3,3219952 < 2 ^< 2к732051« 3,3219975.
Значение 2^, вычисленное на калькуляторе, таково:
2^« 3,321997.
После того как определена показательная функция, надо до называть ее основные свойства. ▼
Перечислим основные свойства показательной функции у = а' (их доказательство выходит за рамки школьного курса).
Область определения функции ах — множество R действи
тельных чисел.
Область значений функции ах (при а #=1) —множество
R + всех положительных действительных чисел. При о=1 функция ах при всех л постоянна: она равна 1.
При о>1 функция ах возрастает на всей числовой прямой; при 0<а<1 функция ах убывает на множестве R (рис. 131).
При любых действительных значе ниях х и у справедливы равенства
ахау = ах+у; 5_=ах"У-
ау
(aby=aV; ^=-$;
^у = а*у.
Эти формулы называют основными свойствами степеней.
Свойства 3) и 4) означают, что для функции ах, определимой на всей числовой прямой, остаются верными свойства функции ах, которая сначала была определена только для рациональных х (см. свойства 1°—7°, п. 38).
Упражнения
124. Изобразите схематически график функции:124. Изобразите схематически график функции:а) у = 5х; б) ^ = 0,Зх; i
124. Изобразите схематически график функции:
124. Изобразите схематически график функции:
825.Вычислите:
8^:23*б*
24а.2^?-3|-'6;'*
(h^;е)
*ж) (5^.з)
Какое из чиселбольше:
а) \~2 ) ИЛИ З^5’
в) 5-0,4^ или 2-2,5-0,5;
Упростите выражение:
а) а"*-; \ а /
I в) а"^• ахл;л!а?^\
д) W^
I^-Х^д^-д^-Х .
(а2^ + а^+аЗ^)-|1
Укажите область значений а) 3х;б) 0,7х;в) 1
д) 2|х|;е) 0,7|х|;ж)3J
б) Ь-^:^^”'^;г) zn*V?Tj^;е) ^^s^Vs.з) VwMV-функции:;;г) 0х;— 1;з) 2 —0,7х.б) Ь-^:^^”'^;г) zn*V?Tj^;е) ^^s^Vs.з) VwMV-функции:;;г) 0х;— 1;з) 2 —0,7х.|29. Вычислите с точностью до 0,0001 (пользуясь таблицами или калькулятором) значения:
б) Ь-^:^^”'^;
г) zn*V?Tj^;
е) ^^s^Vs.
з) VwMV-
функции:
;;г) 0х;
— 1;з) 2 —0,7х.
б) Ь-^:^^”'^;
г) zn*V?Tj^;
е) ^^s^Vs.
з) VwMV-
функции:
;;г) 0х;
— 1;з) 2 —0,7х.
а) 101-7 и 101’8; б) 101'73 и 101-74; в) 10'-732 и 1О’-7ЭЗ; г) 101’7320 и 10'-732’.
Найдите, пользуясь полученными результатами, значение 10^ с точностью до 0,01.
Решение показательных уравнений и неравенств
Рассмотрим простейшее показательное уравнение
ах = ас,
где а>0 и а^ 1. Функция ах на промежутке (—оо; оо) возра стает при а> 1 (убывает при 0<а<1) и принимает все поло жительные значения. Применяя теорему о корне (п. 10), по лучаем, что уравнение (1) при любом положительном а, отличном от 1, имеет единственный корень. Очевидно, что этим кор нем является число с (рис. 132).
Пример 1. Решим уравнение
7х-2_^д
Заметим, что 49 = 72, а ^/49 = 73. Поэтому данное уравт ние можно записать в виде
27х-2 = 7з.
Следовательно, корнями данного уравнения являются только о 2о 2
такие числа х, для которых х— 2 = —, т. е. х = 2-^. Отве!
о 2
х=2—.
Пример 2. Решим уравнение
5x2-2,-i==25
Перепишем его в виде
5*а — 2х— 1^2
Корнями этого уравнения являются только такие числа л, для которых х2— 2х—1=2. Приходим к квадратному уравнению, корни которого — числа 3 и —1. Ответ: 3; — 1.
Рис. 132.
■ Пример 3. Решим уравнение
I6x+'4-35.6x-,=7L
I Заметим, что 6х+1 =36-6х-1. Поэтому данное уравнение мож- )и> записать в виде 36-6Х“1 4*35-6х-1 = 71, т. е. 71 -6Х—*=71, Ьткуда 6х-1 = 1, х— 1 =0 и х= 1. Ответ: 1.
[ Примера Решим уравнение
I4х —5-2х 4-4 = 0.
' Сделаем замену переменной / = 2Х. Заметим, что 4х = (2Х)2 = /2. Поэтому данное уравнение принимает вид
|/2 —5/4-4 = 0.
i Найдем решения этого квадратного уравнения: /| = 1 и /г = 4. Решая уравнения замены 2Х=1 и 2Х = 4, получаем: х = 0 и х = 2. Ответ: 0; 2.
Решение простейших показательных неравенств основано мл известном свойстве функции ах: эта функция возрастает при 0>1 и убывает при 0<а<1.
, П р и м е р 5. Решим неравенство
I0,57"3х<4.
* Пользуясь тем, что 0,5-2 = 4, перепишем заданное неравен- ггво в виде
L0,57-3х<0,5-2.
’ Показательная функция 0,5' убывает, так как 0,5 <1. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству 7 — Зх>—2, Ьткуда х<_ 3. Ответ: (— оо; 3).
к Пример 6. Решим неравенство
I6*Ч2х>63.
Показательная функция 6' возрастает, так как 6>1. По- Ьтому данное неравенство равносильно неравенству х24-2х>3. решением этого неравенства, а, следовательно, и исходного, слу- Ькит объединение интервалов (—оо; —3) и (1; оо).
Пример 7. Решим неравенство
I\9/ зх+гго^и-
-^ L тогда Г— )=^2 и неравенство
■срепишется в виде
к<2-^<+з<о.
Решением этого квадратичного неравенства служит интервал (-5-; 9^, т. е. все числа /, удовлетворяющие неравенству -^— </<9. Следовательно, решением данного неравенства являю i
9, и толь9, и толься числа х, удовлетворяющие неравенству у<^)
9, и толь
9, и толь
ко такие числа. Но -= I— L 9= , а функция (-^) убывает, поскольку -^-<1. Поэтому решением неравенства -^-< <(-3-) <9 будут числа х, удовлетворяющие неравенству 1 > %> — 2. Ответ: ( — 2; 1).
531. а) 2'=1;б) л'=1;в) 3'!-5'-|0 = 1;г) (-L)'1"9^!;д) ^=9;е) ^^=36;531. а) 2'=1;б) л'=1;в) 3'!-5'-|0 = 1;г) (-L)'1"9^!;д) ^=9;е) ^^=36;Упражнения
531. а) 2'=1;б) л'=1;в) 3'!-5'-|0 = 1;
г) (-L)'1"9^!;д) ^=9;е) ^^=36;
531. а) 2'=1;б) л'=1;в) 3'!-5'-|0 = 1;
г) (-L)'1"9^!;д) ^=9;е) ^^=36;
Решите уравнение (530—534).530. а) 4' = 64;б) 3'=81; в) 25'=^.; г) 8'= 16;Решите уравнение (530—534).530. а) 4' = 64;б) 3'=81; в) 25'=^.; г) 8'= 16;
Решите уравнение (530—534).
530. а) 4' = 64;б) 3'=81; в) 25'=^.; г) 8'= 16;
Решите уравнение (530—534).
530. а) 4' = 64;б) 3'=81; в) 25'=^.; г) 8'= 16;
В) V8X-, = V4^; г) 2х5х = 0,1 .(10х-1)5; / . х х2 + 2х—5
д) З^-'-^в!;е) (-L)=25;
ж) 2х+х-°-5 = 4^;з) (-у-)=^_
533. а) 4х+*4-4х = 320;б) 2-3x+I — 4-Зх~2 = 150;
7х+2 + 4.7х-‘ = 347; г) (4У"‘ “+ ‘ =4,8.
\ о /\ о /
534. а)в)534. а)в)Зх4-З3-Х=12;Зх4-З3-Х=12;б) 2-Зх+,4-2.32-х = 56;
534. а)
в)
534. а)
в)
Зх4-З3-Х=12;
Зх4-З3-Х=12;
4лт+16= 10-2^2.
Решите неравенство (535—539).
Г) (УЗ)'<А;з) ^<49.Г) (УЗ)'<А;з) ^<49.а) 2Х>^-; б) (AV<1; в) (0,3/>0,09; Д) (0,2/>Ц.; е) Ц->27;ж)0,52х<1;
Г) (УЗ)'<А;
з) ^<49.
Г) (УЗ)'<А;
з) ^<49.
■36. а)
1 д)
1 ж)
23~5х<8;б)0,42х+'>0,16;
32~х>27;г)0,75-2х^0,49;
103*+2>Ю0;е)45-2х^0,25;
(0,3)7+4х> 0,027;з)0,65"2х <0,36.
[В37. а)
3^<3х+6.б) о,78~х2>О,72х;
/,_Ly2”^(r4l;г) юх2-12>юх;
\ 6 /\ О /
2'> (4) ;е> (-) >4'^
,.1/ ,+ 2
1 ж)
О.пзх-г^,з) 2-84-5х<(—).
Х16/
538. а)
4х - 10 • 2х + 16 < 0;б) 0,04х - 26 • (0,2)х 4-25^0;
1 В)
9'-^т+4>°;г) 25‘-4-5'-5>О.
кз9. а)
2«“>Ш;б) 31х+3<Л2-^ ■
\2 /*’\9 / *
(^■Г<(л/5Г+3'75; г) (^у^в.^-^.
41. Понятие об обратной функции
В ходе исследования различных функций вы неоднократно решали такую задачу: вычислить значение функции f по данному значению хо аргумента. Часто приходится рассматривать и обратную задачу: найти значения аргумента, при которых функция f Принимает данное значение уо.
Рассмотрим два примера.
Пусть f (x) = kx-Vb (k 5^0). Чтобы найти значения аргумента х, при которых j (х)=уо, надо решить уравнение f(x')=yo, L е. уравнение
кх 4- b = у о.
Решая его, находим, что при любом у0 оно имеет решение I притом только одно:
„ — ^° —&к '
Для функции f(x)=x2 уравнение f ^=уй при ^о>О имеет два решения: Х[ — \Уо, х2 =—л{уо (если уо = О, решение одно: Хо = О).
Функцию, принимающую каждое свое значение в единственной точке области определения, называют обратимой. Таким образом, при к 5^0 функция f ^х)=кх-^Ь обратима, а функция f(x)=x2 [(определенная на всей числовой прямой) не является обратимой. L 185
Замечание. Из определения обратимой функции сразу следует, что если функция f обратима, а число а принад лежит области значений Е (/), то уравнение f(x)=a имеет реже ние и притом только одно.
Пусть f — произвольная обратимая функция. Для любого числа i/o из ее области значений Е (f) имеется в точности одно значение хо, принадлежащее области определения D (f), такое, что f(x0) = z/0. Поставив в соответствие каждому z/0 это значе ние Хо, получим новую функцию g с областью определения Е (/) и областью значений D (f). Например, для обратимой функ ции f (х) = кх4-b (к#^0) значение новой функции g в произвольной точке у о задается формулой
8М=^.
Выбирая для аргумента функции g привычное обозначение х, находим, что
8^=^.
Определение. Функцию g, которая в каждой точке х области значений обратимой функции f принимает такое значение у, что f (у) =х, называют обратной к функции f.
Как показано выше, функцией, обратной к функции f(x) — = kx-^-b (£=^0), является функция g^=^^-. Рассмотрим другой пример.
Пример 1. Докажем, что функция f(x)=x3 обратима, и выведем формулу, задающую функцию y=g(x\ обратную к f.
По определению обратной функции сначала надо доказать,
Рис. 135.Рис. 136.
'что уравнение Цу)=х при любом значении х имеет единственное 1-решение у. В данном случае это уравнение таково:
Гу3=х.
Юно имеет единственное решение у=^х при любом х (см. и. 36). Поэтому функция f (х)=х3 обратима и обратной к ней является функция
g ^=Мх.
Графики этих функций изображены на рисунках 133 и- 134.
Если задан график обратимой функции f, то график функции g, обратной к f, нетрудно построить, пользуясь следующим утверждением.
График функции g, обратной к функции f, симметричен графику f относительно прямой у=х.
Докажем это свойство. Заметим, что по графику функции [ можно найти графически значение обратной к f функции g в произ- ! вольной точке а. Для этого нужно взять точку с координатой а не на горизонтальной оси (как это обычно делается), а на вертикальной (рис. 135).
Из определения обратной функции следует, что значение g (а) равно b (см. рис. 135) .
Таким образом, если считать, что выбрана несколько необычная система координат (аргумент откладывается на вертикальной оси, а значения функции — на горизонтальной), то можно 1 сказать, что график обратной к f функции g — это график функции f (построенный в обычной системе координат). Для того чтобы изобразить график g в привычной системе коор- 1динат, надо отразить график f относительно прямой у=х (рис. 136).
Теорема (об обратной функции). Если функция f возрастает (или убывает) на промежутке I, то она обратима. Обратная к f функция g, определенная в области значений f, также является возрастающей (соответственно убывающей).
Рис. 137Рис. 137▼ Доказательство. Положим для определенности, что функция f воз растающая. Обратимость функции f — очевидное следствие теоремы о корне (п. 10). Поэтому остается доказать, что функция g, обратная к f, возрастает на множестве Е (f).
Рис. 137
Рис. 137
Пусть Х| и х2 — произвольные значения из Е ([), такие, что х, > х2, и пусть У1=бМ» У2 = §(х2\
По определению обратной функции Х\=ЦуО И Х2 = Цу2\
Воспользовавшись условием (f — воз'ра
стающая функция), находим, что допущение ул^у2 приводит к выводу Hy^^f (у2\ т. е. xi^x2. Это противоречит предпо
ложению х\ > х2. Поэтому у\ > у2, т. е. из условия Xi > х2 следует, что g (Х|)> g (х2).
Именно это и требовалось доказать. ▼
Пример 2. Как отмечалось выше, функция Цх) = х2 не является обратимой. Однако функция f*, определенная на про межутке [0; оо) формулой /*(%) —х2, возрастает на этом промежутке и, значит, имеет обратную. Обратной к функции f* явля ется функция -ух. Графики этих функций изображены на ри сунке 137.
Вообще функция хп при любом натуральном п возрастает на промежутке [0; оо) и поэтому имеет обратную. Обратной к функции хп является функция ^Jx. Графики функций хп при некоторых значениях п и обратных к ним функций *\[х изобра жены на рисунках 138, 139.
Упражнения
Выведите формулу, задающую функцию g, обратную к данной функции f. Укажите область определения и область значений функции g:
а) f (х) = 2х + 1;
б) f(x) = -^x—1;
в) f (х)= —2х + 1;
г) Ж — 2 х 1;
д) №=-^,е) Ж=^;
ж) f (х) = 2х2 (*^0);з) f^G-^+l-
641. Составьте таблицу значений функции f (х) на отрезке [— 1; 1] с шагом 0,1 и затем постройте на миллиметровой бумаге график этой функции на отрезке [—1; 1]. Постройте график функции, обратной к f (х):
a) f(x) = 2x3+l;б) f(x)=-2x3+L
Рис. 141.Рис. 141.Рис. 143.Рис. 143.
Рис. 141.
Рис. 141.
Рис. 143.
Рис. 143.
По заданному графику функции f найдите значения обратной к f функции g в точках —2, 1 и 3. Постройте график функции g, укажите ее область определения и область значений:
a) fto=hto (рис. 140);б) f(*)=f2(*) (рис. 141);
в) fM—fs(x) (рис. 142);г) f(x) = f4(x) (рис. 143).
Докажите, что функция f имеет обратную на указанном промежутке. Постройте график функции, обратной к f:
a) f (х) = х2 + L х^О; б) f (х) = х, х£( — оо; оо);
в) f (х)=^, х^О;г)f (х) = х34- 1, хС(—<х>; оо);
д) f(x)=sinx, хЕ[ —-^-;-^]; е) f(x) = cosx, х£[0; л];
ж) f (x)=tgx, хе(—у ;-^; з) f (x) = ctg х, хЕ(0; л).
«Логарифмическая функция
Показательная функция f(x)=ax при а> 1 возрастает на R, а при 0<а<1 убывает на R; область ее значений — множество R + . Следовательно, она обратима (п. 41) и для нее определена обратная функция g (х), область определения которой — множество /?+ положительных чисел, а область значений — множество R. Эту функцию называют логарифмической с основанием а и обозначают g(x) = logax. Логарифмическую функцию с основанием 10 обозначают 1g.
По определению функции g, обратной к f, ее значение g (х) есть такое число у, что f(y) = x. В данном случае </ = logax, a f (у) = а9 = а'°еаХ. Итак,
aloe°z=x для любого х>0.(1)
Иными словами, логарифм числа х по основанию а есть показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить х.
Тождество а’°еаХ=х (где х>0, а>0 и а=/=1) называют основным логарифмическим тождеством.
Пример 1. Найдем значение: a) log2 32; б) log50,04.
Заметим, что 32 = 25, т. е., для того чтобы получить число 32, надо 2 возвести в пятую степень. Следовательно, log2 32 = 5.
Заметим, что 0,04 = А-=5-2, поэтому logs 0,04 =—2.
Пример 2. Найдем логарифм числа -^- по основанию -^3.
Заметим, что (д/3)~4=-1-. Поэтому по определению логарифма log^--l-= —4.
' Пример 3. Найдем число х такое, 1з
что: a) log8x=-y; б) log, 8=——.
Воспользуемся основным логарифмическим тождеством:
1
| а) х = 8‘°е8Л = 8^ = 2;
б) ^|О^8 = 8, т. е. х"* =8, 4
Iп з 1
Г откуда х = 8= 75 •
Функция g (х) = loga х как обратная к функции f {х) — ах (возрастающей при
д> 1 и убывающей при 0<а<1) возрастает при а> 1 и убывает при О-сж 1 на всей области определения. График функции
^ = logax симметричен графику функции у — ах относительно прямой у = х, поскольку эти функции взаимно обратны. Графики логарифмической функции при разных основаниях приведены на рисунке 144.
Основные свойства логарифмической функции вытекают из свойств показательной функции и теоремы об обратной функции. Перечислим их.
Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел: D(loga) = Z?+.
Область значений логарифмической функции — множество всех действительных чисел: Е (loga) = /?.
Логарифмическая функция на всей области определения /?+ возрастает при а>1 и убывает при 0<е<: 1.
к 4. При любом а>0 (а^ 1) выполнены равенства:
logj=0;
logaa=l;
loga (ху) = loga х 4- logo у при х>0, у>0;
logo —=logax- logo у при х>0, ^>0;
для любого числа х>0 и любого p^R
logo ХР = р loga X.
Свойства 1—3 доказаны выше. Доказательство свойств 4 (а—д) (их называют основными свойствами логарифмов) будут ^Приведены в следующем пункте.
Пример 4. Найдем область определения функции f(x)= -= logs (4 — 5х).
Область определения логарифмической функции f (Z) = loge t — множество /?+. Поэтому заданная функция определена только для тех х, при которых 4 — 5х>0, т. е. при х<0,8. Следовательно, областью определения заданной функции является интервал (—ею; 0,8).
Рис. 145.Рис. 145.Пример 5. Найдем об ласть определения функции f (х) = log2 (х2 — Зх — 4).
Рис. 145.
Рис. 145.
Как и в предыдущем при мере, функция f определен.i
для всех тех х, при которых х2 — Зх — 4>0. Решая это квадратное неравенство, получаем, что D (f) — объединение интервалов (— оо; — 1) и (4; оо).
Пример 6. Найдем область определения функции
f (x)=log7-~^.
Решая методом интервалов неравенство
2х -р 3
5-7х
находим (рис. 145), что D (f)=^ — -у'» у)
Упражнения
Найдите логарифм по основанию а числа, представленноюНайдите логарифм по основанию а числа, представленноюв виде степени с основанием ав виде степени с основанием аа) 32 = 9;г) з-'=Ъж) 5°=1;а) 4/16 = 2;г) V8l=3;з81 4 = 27;а) 32 = 9;г) з-'=Ъж) 5°=1;а) 4/16 = 2;г) V8l=3;з81 4 = 27;З3 = 27;Д) 2-3=-Г;92=3.V125 = 5;д) 27у=9;з) 125 3 =25.З3 = 27;Д) 2-3=-Г;92=3.V125 = 5;д) 27у=9;з) 125 3 =25.(544—545).34 = 81;е) 5*2 = 0,04;д/49 = 7;2е) 325 = 8;(544—545).34 = 81;е) 5*2 = 0,04;д/49 = 7;2е) 325 = 8;
Найдите логарифм по основанию а числа, представленною
Найдите логарифм по основанию а числа, представленною
в виде степени с основанием а
в виде степени с основанием а
а) 32 = 9;
г) з-'=Ъ
ж) 5°=1;
а) 4/16 = 2;
г) V8l=3;
з
81 4 = 27;
а) 32 = 9;
г) з-'=Ъ
ж) 5°=1;
а) 4/16 = 2;
г) V8l=3;
з
81 4 = 27;
З3 = 27;
Д) 2-3=-Г;
92=3.
V125 = 5;
д) 27у=9;
з) 125 3 =25.
З3 = 27;
Д) 2-3=-Г;
92=3.
V125 = 5;
д) 27у=9;
з) 125 3 =25.
(544—545).
34 = 81;
е) 5*2 = 0,04;
д/49 = 7;
2
е) 325 = 8;
(544—545).
34 = 81;
е) 5*2 = 0,04;
д/49 = 7;
2
е) 325 = 8;
Проверьте справедливость равенства (546—547).
a) log2 16 = 4; б) logs 125 = 3; в) log3 4=—41 г) log3 2^
=—5; д) log? 343 = 3; е) logs 0,04=—2; ж) logic 1 = 0.
з) 1g 0,01 =-2.
a) log । 9=—2; б) logo.5 4=—2; в) log^8 = 6;
г) ,оё2л^ 128=4; д) logo,2 0,008 = 3; е) log0,2 125= — 3.
ж) log /л 27=—6;’з) log^0,2=— 2.
Упростите выражение, пользуясь основным логарифмическим тождеством:
а) 2'°е27; б) l,7loeij2; в) 3,8log3-811; г) л|ое”5-2.
Найдите число х (549—552).
a) log5x = 2;6)log3x =— 1;B)log7x = 2;
r)log4x=—3;A)logj,x=—3;e)log^x = 0;
2
ж) log । x = — 3;3) log i x = 2.
67
a) logx 81 =4;в) logx 0,25= — 2;BL a) log, V2 = — 4;в) logx-^- = — 1;a) logxV2=-bв) logx ’ b 93a) logx 81 =4;в) logx 0,25= — 2;BL a) log, V2 = — 4;в) logx-^- = — 1;a) logxV2=-bв) logx ’ b 936) logx27 = 3;Г) logv8^=-|-.6) logx 16= —0,8;r) logx 0,64 =—2.6) logx 16 = 0,8;r) logx 16=-|-.6) logx27 = 3;Г) logv8^=-|-.6) logx 16= —0,8;r) logx 0,64 =—2.6) logx 16 = 0,8;r) logx 16=-|-.
a) logx 81 =4;
в) logx 0,25= — 2;
BL a) log, V2 = — 4;
в) logx-^- = — 1;
a) logxV2=-b
в) logx ’ b 93
a) logx 81 =4;
в) logx 0,25= — 2;
BL a) log, V2 = — 4;
в) logx-^- = — 1;
a) logxV2=-b
в) logx ’ b 93
6) logx27 = 3;
Г) logv8^=-|-.
6) logx 16= —0,8;
r) logx 0,64 =—2.
6) logx 16 = 0,8;
r) logx 16=-|-.
6) logx27 = 3;
Г) logv8^=-|-.
6) logx 16= —0,8;
r) logx 0,64 =—2.
6) logx 16 = 0,8;
r) logx 16=-|-.
Найдите область определения функции (553—555).
a) log3(x —5);б) log0-3 (7 — Зх);в) log7(2x-f-3);
г) log„(10 —5х);д) log5(9—х2);е) logo.i (х2 — 4);
ж) IogvTo (6 + ^—х2); з) log^ (х2 —2х —3).
$4. a) loge^; б) log, ^±5.;
=) 1оео.»|^;г) ^.i^-
Изобразите схематически график функции:
a) z/=log2x;б) ^ = log^x;
в) z/ = logo,3x;г) t/ = logwx.
Основные свойства логарифмов
Докажем свойства 4 (а—д) логарифмической функции, сфор- улированные в предыдущем пункте (напомним, чтоп>0, а^ 1):
loga 1=0, так как а0 = 1 для любого а.
loga а = 1, так как а'=а.
Докажем, что для любых положительных чисел х и у ioga (xt/) = loga X-f-loga у.
Короче говорят так: «логарифм произведения равен сум мп логарифмов».
Для доказательства воспользуемся основным логарифм и ческим тождеством:
х=а'°6аХ, у=а'°еаУ.(Н
Перемножая почленно эти равенства, получаем: ху = ах°8аХ*ах°8аУyloga^ + loggl/
т. е. ху = а'°8аХ+Хо8аУ. Следовательно, по определению логарифмаloga (xy)=\oga х + loga у-
Докажем, что для любых положительных чисел хин logo у = logo X — logo у.
Короче говорят так: «логарифм частного равен разности логарифмов».
Для доказательства воспользуемся равенствами (1)
- VvJoga *
— = _= ЦХоЕа X- logfl у
Уaloga У
Следовательно, по определению логарифма
logo у = bga х — logo у.
Д) Для любого числа х>0 и любого действительного р 4QXp=p logo X, т. е. логарифм степени равен произведению показателя этой стг пени на логарифм основания этой степени.
Воспользуемся основным логарифмическим тождеством: x=alog°\ поэтому хр = (ах°6аХ')Р =ар1°8аХ.
Следовательно, по определению логарифма logo хр=р logo л
Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразований выражений, содержащих логарифмы. Докажем, например, формулу перехода от одного основания логарифма к другому основанию:
.logb X
logax = -.
log» a(.)
Эта формула верна, если обе ее части имеют смысл, т. г при х>0, а>0 и а=#1, ^>0 и /?^1.
По правилу логарифмирования степени и основному логариф- ическому тождеству получаем:
. е.. е.logs x = logs (aloefl*) = loga x-logs a,logb x = logo x • logb a.
. е.
. е.
Разделив обе части этого равенства на logb ct, приходим к формуле (2).
С помощью формулы перехода можно найти значение логарифма с произвольным основанием а, имея таблицы логарифмов, Составленные для какого-нибудь одного основания Ь. Наиболее употребительны таблицы десятичных и натуральных логарифмов (десятичными называют логарифмы по основанию 10, с натуральными логарифмами вы познакомитесь в п. 45).
Пример 1. Найдем logo,3 7.
L Пользуясь калькулятором (или таблицами), находим;
1g 7^0,8451 и 1g 0,3^0,4771 -1 = -0,5229.
Следовательно, по формуле (2)
lgo3 71,6162.
ь ’—0,5229
Пример 2. Известно, что log2 5 = a и log2 3 = b. Выразим
logo 300 через а и Ь.
Пользуясь основными свойствами логарифмов, получаем:
Iog2 300 = log2 (3 • 52 • 22) = log2 3 4* 2 log2 5 4-2 log2 2 = b 4- 2а 4* 2.
Пример 3. Выразим логарифм по основанию 2 выражения ta3 через логарифмы по основанию 2 чисел а и Ь. (Коротко говорят: прологарифмируем данное выражение по основанию 2.)
Пользуясь основными свойствами логарифмов, получаем:
,4
I iog2 (8а3 Ajb*)=l°g2 (23 • а3 • b 7) = 3 log2 24-3 log2 а 4—у log2 b = = 34-3 log2a4-y log2 b.
Пример 4. Найдем х, если
logs х = logs 7 4-2 logs 3 — 3 logs 2.
Сначала преобразуем правую часть данного равенства, пользуясь основными свойствами логарифмов:
Ilogs X = logs 7 4- logs з2 — logs 23 = logs ^ = logs ~,
..6363
V C. logs X = logs -g- и потому ^= g •
V195
Пример 5. Найдем значение выражения
1g 28 —1g 7
Пользуясь основными свойствами логарифмов, преобразуем числитель и знаменатель этой дроби:
1g 72 —lg 9 = lg -Z2 = lg 8 = 3 1g 2;
1g 28 —1g 7 = lg ^-=lg 4 = 2 Ig 2.
Следовательно,
lg 72 —lg9 _31g 2_ 3
Ig28 —Ig7 2 Ig 22"
Пример 6. Что больше: log2 3-|-log2 7 или log2(34-7)?
По основному свойству логарифмов
log2 3 + log2 7 = log2 21.
А так как
log2(3 4-7) = log2 10 и 10<21,
а основание логарифма 2 (2> 1), то
log2 10<log2 21, следовательно,
log2 3 + log2 7 > log2 (3 + 7).
Упражнения
Известно, что logs2 = a и logs 3 = 6. Выразите через а и Ь: г) logs 12; б) logs 1,5; в) logs 72; г) logs 30.
Прологарифмируйте по основанию 3:
О#9*—•/ 10 \ —0,2
а) 9а4 V»; 6) А,; в) (V^)3; г) U-\ .
Прологарифмируйте по основанию 10:
а) (100с ^ d2~2 б) -^-;
В) ^2;г)-^ .
р 6 ^ 5г 3 /0,3
Вычислите без таблиц и вычислительных инструментов:
logi2 44-logi2 3; б) log3 2 + log3 4,5; в) log2 7 — log2-^-; г) lg8 + lg 125; д) lg 13 —lg 130;e) logs 3 +logs 12;
ж) log^ 2 4-logs 6,25; з) log^ 25-log3 7Ц-.
160. Докажите, что:
logj3 + log3 -|< — 2;
B) 4 logs 7_ у logs 4.IM. Найдите x, если:B) 4 logs 7_ у logs 4.IM. Найдите x, если:2
B) 4 logs 7_ у logs 4.
IM. Найдите x, если:
B) 4 logs 7_ у logs 4.
IM. Найдите x, если:
р) 2 log2 5_ 5 l°g2 3e
а) б) в)а) б) в)logs x = logs 1,5 + logs 8;
а) б) в)
а) б) в)
log7 x=log7 12 —log7 4;
logo.s x = 2 logo.s 6 — logo.s 12;
log„ x = 3 logn4 — 2 log„ 6.
Найдите значение выражения:
в) logo.3 9 —2 logo.3 Ю;в) logo.3 9 —2 logo.3 Ю;а) -^Т; б) log2 11 — log2 44;
в) logo.3 9 —2 logo.3 Ю;
в) logo.3 9 —2 logo.3 Ю;
Ig8 + lgl8
’ 2lg2 + lg3'
Что больше:
а)б)а)б)log3 4+log3 7 или log (4 +7);
а)б)
а)б)
log5 2 +logs 1,5 или logs (2+1,5);
logo,? 3 + logo.7 4 или logo.7 (34-4);
logo.e l,3 + log0.6 1,2 или logo.s (1,3+1,2)?
Решение логарифмических уравнений и неравенств
Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнениеloga x — b.
Функция logQ х возрастает (или убывает) на промежутке ГО; сю) и принимает на этом промежутке все действительные значения (рис. 146). По теореме о корне (п. 10) отсюда следует, Что для любого b данное уравнение имеет и притом только одно решение. Из определения логарифма числа сразу следует, что аь является таким решением.
Рис. 146.
Пример 1. Решим уравнение
log2 (х24-4х + 3)=3.
Данному уравнению удовлетворяют только те значения х, для которых выполнено равенство
х2 + 4х + 3 = 23.
Мы получили квадратное уравнение х2 + 4х — 5 = 0. Его корни - числа 1 и —5. Следовательно, решением данного уравнения являются два числа 1 и —5.
Пример 2. Решим уравнение
log5 (2х + 3) = logs (х + 1 )•
Это уравнение определено только для тех значений х, при которых выполнены неравенства 2х + 3>0 и х+1>0. Для этих х данное уравнение равносильно уравнению 2х + 3 = х+1 Отсюда находим х = — 2. Число х = — 2 не удовлетворяет, однако, неравенству х4-1>0. Следовательно, данное уравнение корней не имеет.
Пример 3. Решим уравнение
logx (х2 —2х + 2)= 1.
Этому уравнению удовлетворяют только такие числа х, для которых выполнены два неравенства х>0 и х^ 1 (х — основание логарифмической функции) и одно равенство
т. е.т. е.х2 —2х-{-2 = х1,х2 — Зх + 2 = 0.
т. е.
т. е.
Полученное квадратное уравнение имеет корни 1 и 2. Но х=1 нс может быть решением данного уравнения. Следовательно, решением данного уравнения является только число 2.
Пример 4. Решим неравенство
logj (5 —2х)> —2.(1)
з
Число —2 равно log i 9. Поэтому данное неравенство можно переписать в виде "з
log2 (5 — 2х)> log2 9-(2)
зз
Функция log 1 t определена при ^>0 и убывает на /? + ,
так как —<1. Следовательно, неравенству (2) удовлетворяют
только такие числа х, для которых выполнено условие 0<5 —2х<9, откуда — 2<х<2,5.
Итак, решение данного неравенства есть интервал ( — 2; 2,5).
Пример 5. Решите уравнение
log! х — log ^ х — 3 = 0.
Перейдем во втором слагаемом к основанию 5 и сделаем мену переменной Z = logsx, тогда
log^ = ^=4 = 2f.
logs -у5
виде /2 —2/ —3 = 0.виде /2 —2/ —3 = 0.2
виде /2 —2/ —3 = 0.
виде /2 —2/ —3 = 0.
Теперь данное уравнение перепишется в
Корни этого квадратного уравнения Зи —1. Решая уравнения замены log5x = 3 и log's х =— 1, находим: х = 53=125 и
= 5-'=0,2.
Пример 6. Решим систему уравнении
II log2 X — 4 = log2 3 — Iog2 у.
Первое уравнение системы равносильно уравнению х2 + у2 = 100, х 3
а второе — уравнению ~[д=”» причем х>0 и у>0. Таким образом, мы приходим к системе, состоящей из двух уравнений х2 + у2 = Ю0, ху = 48, и двух неравенств х>0 и у">0. Вычитая почленно из первого уравнения удвоенное второе уравнение, получаем:
х2 +у2 —2xt/ = 4,
. е.
откудаоткуда(х_у)2 = 4,
откуда
откуда
х —у = 2
или
X — у= —2.
Следовательно, у=х — 2 или у = х-{-2. Подставляя эти выражения для у во второе уравнение системы, получаем: а) если у = х — 2, то
ххх (х —2) = 48, 2_2х —48 = 0
х
х
х = 8 или х= —6.
Так как х>0, оставляем корень х = 8 и тогда у = 6;
если у = х + 2, то
Iх(х + 2) = 48;
бх2 + 2х —48 = 0,
Вх= — 8 или х = 6.
Но так как х>0, х = 6 и тогда у = 8.
Итак, данная система уравнений имеет два решении а) х —8, у = 6; б) х = 6, у = 8.
Заметим еще, что с помощью логарифмов можно записан, корень любого показательного уравнения вида ах = Ь, где 6? и (чего мы не могли еще сделать, решая примеры в п. 40) Этот корень имеет вид: x = logo£.
Пример 7. Решим уравнение 5|-3х = 7.
По основному логарифмическому тождеству 7 = 5log57 и уран нение записывается в виде
51 — 3* — 5 *°85 7
откуда 1—3x = log57 и х=-^|- logs 7.
Упражнения
Решите уравнение (564—566).
564. а)2Х= 10;б)(0,3)х = 7;
9х = 0,7;г)10х = л;
log3x = 2;е)logo,4 х= —1;
1g х= — 2;з)log9x =—^
a) log2(3 —х)=0; б) logo.3 (5 + 2х)= 1;
в) log 1 (2х —4)=—2; г) logn (x24-2x+3) = log„ 6. "з
а) 32~5х=7;б) 0,24~х=3;
в) 5Х = 7;г) Зх’+4х=9.
Решите неравенство (567—570).
a)log3x>2;б)log? х< 0,1;
в)log0,?x>5;г)logo,2x<—2.
а)3х<5;б)0,8х<11;
в)1,72х-*>7;г)0,32-х> 12.
a) log2 (х2 —х —4)<3; в) 1g (х2 — х + 8)> 1;
a) lg2 х + 2 1g х>3;
В) 4х —2х<2;
571. Что больше:
log3 5 или log? 4;
в) log2 10 или logs 30;
б) log3(12-2x-x2)>2;
г) logn (х+1)+logn х< logn 2
б) log2 х — log2 х<6;
logo.s 2 или logs 3;
г) log3 10 или logs 57?
572. Выразите 1g х
а) х
а
^ *
б) х2 = а
в) ^х = а42 ^Ьд v г) Mx'a=vРешите уравнение (573—575).
у Iga
573. a) logo x = logQ 3 + loga 5; в) loga X = log^2 + log2 д) ig2x=i;
б)
3;
е)
ж)
logs x + logo.2 х = 2;
loga x=loga 12 — 2 loga 2;
logo ^+4“ loga 2 = loga2 3;
log2 x —logs X —2 = 0;
logi (x+ 1)—log2(x+ 1) = 5.
4
574. а) в)
x'g^lOOOO; xlog2X-2_.g.
б)
X‘og5x=i25x2; y1og3X—3 — _j_ ЛQ •
575. а)
в)
_L-=l-
Ig x — 6 1g x + 2
|0£2Х+мЬ=5;
б)
г) 2 log^x + logx-y^3-
Решите систему уравнении
(576—579).
ig x+ig у = 1;
ig(x2 + y2)=2» 10g48 X+ l°g48 У— 1 -
3
logs (X —z/)=2.
577. а) ( 3х + 3^=12,
б)
log 2 з log2 з
в)
lg (х —y)+lg (х + у)=2 —1g 5;
3
х — log2 У = ^
3
г) ( 32х —2У = 725, J у.
( 3^-2 2 =25.
578. а)
у — logs х= 1, ху = 312;
б) ( 3"-9Х = 81,
I lg(x + y)2-lg^ = 2 !ё3’
в)
2 logs (2у — х — 12) = logs кУ — *) + 1о§5 кУ + х);
1
Igy— i *gyH lg2y-2' = 5.
*— = 2
579. a) ( 2cosx+2cosy=5, 6) f 92tgx+cosy=3, <,1I QcosyRjtgx—9.
I 2 cosy4-
( logs sin %+ logs sin y — — 2, I log3 cos x + logs cos у = 1 — logs 4;
/ . x cos у
f 3C0SX=(^
J V 3/
I logs (sin x — cos y) + log2 (sin x + cos y) = — 1.
§ 12. ПРОИЗВОДНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙИ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЙ
45. Производная и первообразная показательной функции
В предыдущих пунктах графики показательной функции изображались в виде гладких линий (без изломов), к которым в каждой точке можно провести касательную. Но существование касательной к графику функции в точке равносильно ее дифференцируемости в этой точке. Поэтому естественно предположить, что показательная функция дифференцируема во всех точках.
Нарисуем несколько графиков функции а* для а, равного 2; 2,3; 3; 3,4 (рис. 147), и проведем (мысленно) к ним касательные в точке с абсциссой 0. Углы наклона этих касательных к оси абсцисс приблизительно равны 35, 40, 48 и 51° соответственно, т. е. с возрастанием а угловой коэффициент касательной к графику функции ах в точке М (0; 1) постепенно увеличивается от tg35 0 до tg51°. Представляется очевидным, что, увеличивая а от 2 до 3, мы найдем такое значение а, при котором угловой коэффициент соответствующей касательной равен 1 (т. е. угол наклона равен 45°). Вот точная формулировка этого предложения (мы принимаем его без доказательства):
Существует такое число, большее 2 и меньшее 3 (это число обозначают буквой е), что показательная функция у = ех в точке 0 имеет производную, равную 1, т. е.
Дх .
-^1 при Дх-+0.(1)
Теорема 1. Показательная функция ех дифференцируема в каждой точке и
Доказательство. Найдем сначала приращение функции у = ех в точке Ло:
^y = еХо+Лх — еХо
_ gXo^X
— еХо=еХо^х
Рис. 147.
Ау^ е^(е^-1)_ АхАхАу^ е^(е^-1)_ АхАхПользуясь условием (1), находим:
Ау^ е^(е^-1)_ АхАх
Ау^ е^(е^-1)_ АхАх
е ~ ■ -^еХо при Дх->0.
Ах
По определению производной отсюда следует, что у' = ех, т. е. (еху = ех при любом .г.
Пример 1. Найдем производную функции е5х;
(е5ху=е5х (5ху = 5е5х.
Замечание. Доказано, что число е иррационально к
поэтому
записывается в
виде
бесконечной
десятичной
непериоди-
ческой дроби. С помощью электронных вычислительных машин найдено более двух тысяч десятичных знаков числа е. Первые знаки этой дроби таковы:
е = 2,71828... .
Функцию ех часто называют экспонентой и обозначают ехр х (читается: «эксп от икс»).
Так как число е положительно и отлично от 1, можно рассматривать логарифм по основанию е.
Определение. Натуральным логарифмом (обозначается In) называется логарифм по основанию е:
lnx = logex.(2)
По основному логарифмическому тождеству для любого положительного числа а
е’па=а.
Поэтому любая показательная функция ах может быть записана в виде
^^Iny^xlna(3)
Выведем формулу производной показательной функции при произвольном значении а.
Теорема 2. При любом положительном а функция ах дифференцируема в каждой точке х и
(ах)' =ак In а.(4)
Доказательство. Из формулы (3) по теореме о производной сложной функции получаем, что функция аА(а>0) дифференцируема при любом х и
^' =^ех ln °У = ех ln ° In а = ах In а.(5)
Следствие. Показательная функция ах непрерывна в каждой точке своей области определения, т. е. при любом п>0 и любом хо имеем:
ах^-ах° при х->-хо.
Это вытекает из дифференцируемости показательной функции и леммы о непрерывности дифференцируемой функции (см. с. 88).
Пример 2. Найдем производные функций 2А и 5~3\
По формуле (4) имеем:
(2А)' = 2Чп2,(5"37=( — 3)-5-ЗА In 5.
Пример 3. Исследуем функцию у = хех на возрастание (убывание) и экстремум.
Найдем производную этой функции:
у' = (хехУ = х’ех + х kexY — £х + хех = ех (1 + х).
Так как ех>0 для любого х, то знак у' совпадает со знаком (l-j-х). Следовательно, г/'>0 на промежутке (— 1; оо), поэтому у возрастает на промежутке [— 1; оо). На промежутке (—оо ; —1) име-
см усм уО, поэтому у убывает на проме-
см у
см у
жутке ( — ОО ;жутке ( — ОО ;— 1]. В точке хо =— 1 про-
жутке ( — ОО ;
жутке ( — ОО ;
изводная меняет знак с минуса на плюс, и, значит, х0 =—1 является точкой минимума.
Эскиз графика функции приведен на рисунке 148.
Из теорем 1 и 2 следует теорема 3.
Теорема 3. Функция ех есть первообразная для функции ех на R. Функция есть первообразная для функции а на R.
Действительно, 1п а — постоянная и поэтому
— (a7=-J— aqn Q = ax
\ In a j In a 4 * In a
при любом x. Этим доказано, что ° есть первообразная для
функции а* на R. А из равенства (еху = ех для всех х следует, что ех есть первообразная для функции ех на R.
Пример 4. Найдем первообразные для функций: а) 5х; б) 4-2х; в) 4е3х — 10-0,6 х.
Пользуясь теоремой 3 и правилами нахождения первообразных, выписываем ответы:
а)а)в)в)5х.4-2^.
а)
а)
в)
в)
In 5’1п2’
3In 0,6
Пример 5. Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями
г/= 3х, у = 0, х=— 1, х = 2.
In 3In 32S=^ ^Xdx= In 3— 193~*2S=^ ^Xdx= In 3— 193~*In 33 In 3In 33 In 3Рис. 149.Рис. 149.Указанная фигура есть криволинейная трапеция (рис. 149). Поэтому ее площадь S находим по формуле площади криволинейной трапеции:'
In 3
In 3
2
S=^ ^Xdx= In 3
— 1
93~*
2
S=^ ^Xdx= In 3
— 1
93~*
In 33 In 3
In 33 In 3
Рис. 149.
Рис. 149.
Упражнения
580. Найдите по таблице натуральных логарифмов (или с помощью калькулятора):
a) In 3; б) In 56; в) In 47; г) In 1,7.
Найдите производную функции (581—582).
а)е3х;б)е-2х\д)е2—Зе91х;е)е5х4-4е^;a)2xcos х;б)7 2 tg Зх;д)Х2+Г6)2Х+5Х *а)е3х;б)е-2х\д)е2—Зе91х;е)е5х4-4е^;a)2xcos х;б)7 2 tg Зх;д)Х2+Г6)2Х+5Х *ех2; г) е3-5х; Xж) 1,74+1; з) 35г-7.25-7\ех2; г) е3-5х; Xж) 1,74+1; з) 35г-7.25-7\в)ж)в)ж)х3е х;хв 4х4-5 ’х3е х;хв 4х4-5 ’"^ Ctg 5^X 0,3-хз) —.V*4-0.5"^ Ctg 5^X 0,3-хз) —.V*4-0.5
а)е3х;б)е-2х\
д)е2—Зе91х;е)е5х4-4е^;
a)2xcos х;б)7 2 tg Зх;
д)Х2+Г6)2Х+5Х *
а)е3х;б)е-2х\
д)е2—Зе91х;е)е5х4-4е^;
a)2xcos х;б)7 2 tg Зх;
д)Х2+Г6)2Х+5Х *
ех2; г) е3-5х; X
ж) 1,74+1; з) 35г-7.25-7\
ех2; г) е3-5х; X
ж) 1,74+1; з) 35г-7.25-7\
в)
ж)
в)
ж)
х3е х;
хв 4х4-5 ’
х3е х;
хв 4х4-5 ’
"^ Ctg 5^
X 0,3-хз) —.
V*4-0.5
"^ Ctg 5^
X 0,3-хз) —.
V*4-0.5
Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремум функцию:
а) хе х; б) хе5х; в) х22 х; г) х40,7х.
Напишите уравнение касательной к графику функции f в точке с абсциссой х0, если:
a) f(*)=ex, хо = О; б) f(x) = 3x, х0=1.
Найдите первообразную для функции:
а) 4х;б) 7-ех;в) 5-Зх;г) 2-0,9х —5,6х;
д) е2х;е) 2-,0х;ж) 125~7х;з) 2,34+5х.
Вычислите интеграл: 1112
a) t 2xdx; б) j 0,5xdxв) j 4х dx ; г) j 9xdx.
— 20—I£
- "2
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
У = ех, у = 0, х = 0, х = 1;
у = 2\ у=0, х= —1, х—2;
у — ех, у = е2хз х= 1;
у = Зх, у = 9х, х=\.
Производная логарифмической функции
Докажем, что при любом х>0 выполнено равенство ln'x=-L.(1)
По основному логарифмическому тождеству х = е|пх при всех положительных х, т. е. в этом равенстве справа и слева стоит одна
и та же функция (определенная на /?+). Поэтому производные функций х и е|пх равны, т. е.
IV = (elnx)/(2)
[Производную правой части вычисляем по правилу нахождения производной сложной функции и теореме 1 (п. 45):
I(еХпгу = elnx•ln, х = х 1п' х,
а х' = 1.
Подставляем найденные производные в равенство (2):
11=х1п'х, откуда 1п'х=-^-.
▼ Остается только объяснить, почему можно пользоваться правилом нахождения производной сложной функции. Для этого надо показать, что логарифмическая функция дифференцируема в каждой точке. Графики функций у = \о^,ах и у=а* симметричны относительно прямой у=х. Так как показательная функция дифференцируема в любой точке, а ее производная не обращается в нуль, график показательной функции имеет негоризонтальную касательную в каждой точке. Поэтому и график логарифмической функции имеет невертикальную касательную в любой точке. А это равносильно дифференцируемости логарифмической функции на ее области определения. ▼
Пример 1. Найдем производные функций: а) 1п(54~2х), б) logs х; в) logz (2х).
| а) (1п(5 + 2х))'=т2_.2=тА7;
I б) (Ю^х/^^-)^-^;
I \ л о v / 1и 2хХ '21
в) (logz 2х/=(-т-—) =———=—.
I 4 °*\ In 7 / 2х In 7 х In 7
Пример 2. Исследуем функцию у—х2 In х на возрастание, убывание, экстремум и построим ее график.
Функция определена при х>0. Найдем производную этой функции:
Iу' = 2х In х + х2 — = 2х In х4-х = 2х(In х-1——.
х1\1 2/
। Так какх>0, знак у' совпадает со знакомый х-|—^ . Отсюда следует, что у'>0 на промежутке f~; со) и поэтому на про-
г 1 х .1 X
межутке —; оо ) функция возрастает; на промежутке ( 0; —)
производная у' отрицательна, поэтому у убывает на промежутке
( 0; -^ I . В точке -^ производная меняет знак с минуса на плюс, V -yeJ-уе
значит, это точка минимума.
Эскиз графика функции приведен на рисунке 150.
Формула (.1) показывает, что для функции -^— на промежутке
(0; оо) любая первообразная может быть записана в виде
(3)(3)In х + С.
(3)
(3)
Функция -L имеет первообразную и на промежутке (— оо; 0),
это функция 1п( — х\ Действительно,
(ln(-x))'=-L.(-l)=A.(4)
Так как |х|=х при х>0 и |х| =—х при х<0, мы доказали, что на любом промежутке, не содержащем точку 0, первообразной для функции -^- является функция In |х|.
Пример 3. Для функции ^-^ первообразные равны In |х + 3| 4-С (на любом промежутке, не содержащем точку —3).
Для функции —^ общий вид первообразных-i-In |5х4-7|-|-С
(на любом промежутке, не содержащем точку —^-).
Пример 4. Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями у=А-, у = 0, х=1, х = 2 (рис. 151).
Поскольку In х при х>0 есть первообразная для — , площадь интересующей нас криволинейной трапеции равна
S = ln 2 —In 1 = In 2.
Упражнения
Найдите производную функции (588—589).
8. а) 1п 2х;б) log0,3 х;в) log? (2 + Зх); г) logo.2 (9 + 5х);
д) log2 7х; с) 1п(14-3х); ж) 1п 6х;з) х3 In х.
89. а) -^; б) --^р—; в) 1g Зх; г) -фс \g х.
90*. Напишите уравнение касательной к графику функции f в точке с абсциссой хо, если?
a) f(x)=lnx, х0=1;б) f (х)= In х, хо = 3;
в) Нх)= 1g х, хо=1;г) f (х)= log3 х, х0 = 9.
1.1.Исследуйте на возрастание (убывание) и на экстремум
1.
1.
XIn XXIn Xфункцию:*
X
In X
X
In X
a) xlnx; б) х In х; в) ——
92.92.Найдите одну из первообразных для функции:Найдите одну из первообразных для функции:93.93.а) х + 5 ’ б) 3+2х ’ В) Вычислите интеграл:а) х + 5 ’ б) 3+2х ’ В) Вычислите интеграл:3323Xx-f-23Xx-f-7х С dxа) )Т17х С dxа) )Т1аС dxJ хаС dxJ х1Г dx1Г dx3 —2х ’3 —2х ’оС dx' J 0,5х + 3 '— 4оС dx' J 0,5х + 3 '— 4
92.
92.
Найдите одну из первообразных для функции:
Найдите одну из первообразных для функции:
93.
93.
а) х + 5 ’ б) 3+2х ’ В) Вычислите интеграл:
а) х + 5 ’ б) 3+2х ’ В) Вычислите интеграл:
3
3
23
Xx-f-
23
Xx-f-
7
х С dx
а) )Т1
7
х С dx
а) )Т1
а
С dx
J х
а
С dx
J х
1
Г dx
1
Г dx
3 —2х ’
3 —2х ’
о
С dx
' J 0,5х + 3 '
— 4
о
С dx
' J 0,5х + 3 '
— 4
694. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)а)У = 0У = 0б)б)У = 0У = 0у=— , х=1, х = 3;и=— , х = 2, х —5;° Xу=— , х=1, х = 3;и=— , х = 2, х —5;° X
а)
а)
У = 0
У = 0
б)
б)
У = 0
У = 0
у=— , х=1, х = 3;
и=— , х = 2, х —5;
° X
у=— , х=1, х = 3;
и=— , х = 2, х —5;
° X
у = 0, у—-р, х = 4, х=10;
у = 0, у=-^-, х = 0,3, х=1.
Степенная функция и се производная
Вы уже знаете, что для любого действительного числа р каждого положительного х определено число хр. Тем самым на промежутке (0; оо) при фиксированном р определена функция f, заданная формулой
jfW=xp.
$)та функция называется степенной (с показателем степени о). Если р>0, то степенная функция определена и при х = 0, поскольку 0р = 0. При целых р степенная функция определена и для /•<0. При четных р это функция четная, а при нечетных р — нечетная. Поэтому исследование степенной функции достаточно проводить только на промежутке (0; оо).
В предыдущих разделах курса были получены формулы для производной функции хр лишь при "целых показателях степени, а также р=А-_ Теперь нам остается вывести формулу для про изводной степенной функции при произвольном действительном показателе степени р:
W = px»-‘.(I)
Действительно, так как х = е|п\ то хр = ерХпх. Отсюда по правилу вычисления производной сложной функции получаем:
(хру = (ер ,n V = ер ln \р 1 п хУ = хр • р • ^ = рхр“1.
Формула (1) доказана.
При рсО степенная функция убывает на промежутке (0;оо), поскольку (хУУ = рхр-1 <0 при х>0. Кроме того, надо учесть, что при х = 0 степенная функция равна 0 и хр->0 при х->0 и х>0. Поэтому точка 0 присоединяется к промежутку возрастания, т. е. при р>0 степенная функция возрастает на промежутке [0; оо). Примеры графиков степенной функции при различных р приведены на рисунках 152—154.
Выведем приближенную формулу
(14-Дх)°«1+аДх(2)
(приближение тем точнее, чем меньше Дх).
Рассмотрим функцию f(x)=xa и воспользуемся приближенной формулой
f(x)«f(xo) + №o)Ax,(3)
известной из п. 23, при хо=1 и х=14-Дх. Имеем: f(xo)=f(l)=l и /,(х) = ахо-1, откуда /,(хо)=/,(1)=а-la-1 =а. По формуле (3)
f(x)=(l 4-Дх)а« 1 + аДх.
Чаще всего эту формулу применяют для вычисления корней. Полагая а=-4-, находим:
Пример. Вычислим приближенные значения:
a) W8;
V2^03; в) ‘V1000.
Воспользуемся формулой (4): £
VLO8=(1+O,O8)4 «14-5-0,08=1,02;
V2^=\A^(7^^^
1
1 0,03 \ 3 ’ 27 /
3,0011.
Значение ^27,03 с восемью знаками после запятой таково: 17^3 «3,0011107.
в) Заметим, что 2,0= 1024. Имеем:
,Vl№ = ,^j2re^^=2Aj 1-^«2-^1--^) «1,995.
Из формулы (1) следует, что производной степенной функции f(x) = xp является степенная функция (f'(х) = рхр~'). Иначе бстоит дело с первообразной степенной функции.
При р^= — 1 общий вид первообразной степенной функции
(х)=хр, как легко проверить, таков: F (х) =
{- С. При р = — 1,
как известно, первообразной функции f является
функция вида
Упражнения
Изобразите схематически график функции производную:i
a) f^ = x^; б) £(х)=хл; в) и^=х-е;
>96. На рисунке 155 построены графики функций
и найдите ее
г) и(х) = х0,1 У = лЯ У = Мх
У —r V А КА ^и/■—
Найдите по графику значения -у/2, уЗ. V3-
Найдите значения ~у2, ^3, А/З, пользуясь таблицами или калькулятором.
Вычислите приближенные значения -^2, ^3 и \/3, поль
зуясь формулой (4). Указание: 2= 1,42 + 0,1439.
3= 1,43 +0,256;
г) Сравните полученные результаты.
Вычислите с помощью формулы (4) приближенные значения: ££
а) (8-3)3; б) V8T; в) V625<3; г) 484.
Найдите приближенные значения:
a) VW; б) V30; в) Voo; г) ^з.
Найдите общий вид первообразных функции:
1 а) у = х2-7; б) у = х^; в) у=—5-х-^; г) Зх-1.
ОО. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: к а) ^' = 0, у=х^, х = 0, х=1;
у = 0, у=-~1 х —3, х = 5;
I в) </ = 0, z/ = x~°*8, х=1, х=32;
I г) у = х^\ У=^ х=-у-
Дифференциальное уравнение показательного ростаи показательного убывания
Решение многих задач физики, техники, биологии и социаль- |ых наук сводится к математической задаче нахождения функ- ^й f, удовлетворяющих дифференциальному уравнению
Г(х)=Щх),(1)
де к — некоторая константа.
Зная формулу производной показательной функции, легко ргадаться, что решением уравнения (1) является любая функ- >ня вида
|Н^=Сеь«,(2)
де С— постоянная. Так как С произвольно, у дифференциального равнения (1) бесконечно много решений.
Докажем, что других решений, кроме функций вида (2), урав- ение (1) не имеет. Для этого рассмотрим произвольную функцию , удовлетворяющую уравнению (1), и вспомогательную функцию ।F^ = t^e"kx.(3)
Ьйдем производную функции F\
F' ^ = Г ^ e-kx-V№ к6^'=V W е-кх-Ц ^ е'кх. 1одставляя kf(x) вместо f' (х) из уравнения (1), получим:
F' (x) = kf (х) е"кх-М (х) е-^ = 0.
h равенства производной функции F нулю следует, что F(x’)=C ри всех х. Из (3) получаем:
f (х) е~кх = С, откуда Цх^=Секх,
то и требовалось доказать.
Замечание. В приведенных выше рассуждениях мы пред- Олагали, что функция f определена и удовлетворяет уравне- ию (1) на всей числовой прямой. В конкретных задачах часто риходится рассматривать функции, удовлетворяющие уравнению I) только на некотором промежутке. Естественно, что в таком слу- ле формула (2) будет давать общее решение задачи только на ромежутке, на котором выполняется уравнение (1).
Смысл дифференциального уравнения (1) заключается в кт. что скорость изменения функции в точке х пропорциональп• значению самой функции в этой точке. Это уравнение nai mi встречается при решении практических задач.
Пример 1. (Радиоактивный распад.) Пусть в начальниц момент времени масса радиоактивного вещества равна
m(O) = mo.Hi
Известно, что скорость уменьшения массы вещества т (/) < и временем t пропорциональна его количеству, т. е. что выполнени уравнение
m\t^= —кт (/),
где £>-0. По установленному выше т^=Се-к*.
Константа С находится из условия (4). А именно при /=о то = т^=Се-к‘° = С, т. е. С — т0.
Окончательно получаем:
т (f)=moe~kt.(5)
Рассмотренный пример типичен: чтобы выделить из бесконечно го числа решений дифференциального уравнения одно, обычно требуется еще ввести «начальные условия» (в нашем случае эго условие (4)).
Промежуток времени Т, через который масса радиоактивно го вещества уменьшается в два раза, называют «периодом полу распада» этого вещества. Зная Т, можно найти к. Так как
m (T)=-Lmo, т. е. moe-kT=-Lm^ имеем:
Следовательно, еАГ=2, кТ = \п 2, откуда
Например, для радия 7^1550 лет. Поэтому (если время измеряется в годах)
/г = ^«0,000447.
Через миллион лет от начальной массы радия то останется только
щ (Ю6)^/??0е 447^0,6-10-l94m0-
▼ Пример 2. Пусть население страны возрастает на 2% год. С неплохим приближением можно считать, что зависимость сленности населения страны 5 = 5 (/) от времени (исчисляемого годах) подчинена уравнению
S' (0=0,025 (О следовательно, задается формулой S(O=Soeo•O2,, > 5о = 5 (0) — численность населения в начальной дате наших счетов.
Пример 3. Пусть тело, имеющее в начальный момент вре- пи температуру Го, помещено в среду температуры Тх. Естествен- , что при ТО<ТХ тело будет постепенно нагреваться, а при *>Ti — охлаждаться.
Предположим (хотя это и довольно грубое приближение к Аствительности), что скорость изменения температуры тела Т (/) опорциональна разности температур. Это значит, что
Г ^=-к(Т-Тх\(6)
гобы найти решение уравнения (6), рассмотрим функцию
f № = Т VW:
з (6) следует:
r^-MW-
щее решение этого уравнения имеет вид: f^=Ce-kt.
недовательно.недовательно.Т(^=Се-мТ(^=Се-м(7)(7))ри / = 0 имеем:)ри / = 0 имеем:То= Г (0)= Се-*0То= Г (0)= Се-*0
недовательно.
недовательно.
Т(^=Се-м
Т(^=Се-м
(7)
(7)
)ри / = 0 имеем:
)ри / = 0 имеем:
То= Г (0)= Се-*0
То= Г (0)= Се-*0
куда
Окончательно получаем, что решение уравнения (6), удовлет- ряющее начальному условиюОкончательно получаем, что решение уравнения (6), удовлет- ряющее начальному условиюмест вид:мест вид:Т№ = Т0, ’ I /Т 7 \ „ — ktТ№ = Т0, ’ I /Т 7 \ „ — kt(8)(8)(9)(9)
Окончательно получаем, что решение уравнения (6), удовлет- ряющее начальному условию
Окончательно получаем, что решение уравнения (6), удовлет- ряющее начальному условию
мест вид:
мест вид:
Т№ = Т0, ’ I /Т 7 \ „ — kt
Т№ = Т0, ’ I /Т 7 \ „ — kt
(8)
(8)
(9)
(9)
Рис. 156.Рис. 156.На рисунке 156 изображены схема in чески графики функций
Рис. 156.
Рис. 156.
T=T(t\
соответствующие различным начальным значениям То. Все они при /, стремящем» и к бесконечности, приближаются к стации парному решению
(КМ(КМT(/)=7i,
(КМ
(КМ
которое получается при To = Tt> т. е. при условии, что в начальный момент тело имеет температуру он ружающей среды, у
Вы встречаетесь с дифференциальными уравнениями третий раз. Напомним два предыдущих случая.
При вертикальном движении под действием силы тяжеши координата точки z единичной массы удовлетворяет дифферен циальному уравнению
^^ = 6-(И)
Общее решение этого уравнения имеет вид:
2(/) = 2o+Vo/+-f-/2,(12)
где
20 = 2 (0), и0 = 2х (0).(13)
Задав 2о и ио, мы получим уже единственное решение.
При гармонических колебаниях в соответствии с диффе ренциальным уравнением
t/"(0=—<*>W)(Ы)
общее решение имеет вид: у (/) = Л cos (со/ + tp),(15)
где Лид) — произвольные константы. Но эти константы можно определить, если заданы начальные условия
у(О)=уо, у' (О) = ио.
Эти примеры позволяют понять, насколько мощным аппара том исследования являются дифференциальные уравнения. Очень часто элементарные законы, управляющие каким-либо процессом, записываются в -виде дифференциальных уравнений, а для того чтобы выяснить, как процесс развертывается во времени, приходится эти дифференциальные уравнения решать.
Упражнения
Докажите, что функция у = 5е3х-удовлетворяет уравнению У' = ^.
Докажите, что функция у=7е 2х удовлетворяет уравнению у' = —2у.
Докажите, что функция у = 3е-7х удовлетворяет уравнению у' = —7у.
604*. От т мг радия С через t мин радиоактивного распада осталось п мг. Найдите период полураспада радия С.
605*. К началу радиоактивного распада имели 1 г радия А. Через сколько минут его останется 0,125 г, если его период полураспада равен 3 мин?
606*. Период полураспада радиоактивного вещества равен 1 ч. Через сколько часов его количество уменьшится в 10 раз?
607*. Вычислите, какая доля радия останется через 1000 лет, если период его полураспада равен 1550 лет.
608*. Докажите, что если функция f имеет производную на R и для любых двух значений %i и х2 выполняется равенство f (Xf +x2)=f (xi)f (x2), то f(x) = eax или f (x) = 0 для x^R.
609*. Одно тело имеет температуру 200°, а другое 100°. Через 10 мин остывания этих тел на воздухе с температурой 0° первое тело остыло до температуры 100°, а второе — до 80°. Через сколько минут температуры тел сравняются?
610*. Два тела имеют одинаковую температуру 100°. Они выне- k сены на воздух (его температура 0°). Через 10 мин температура одного тела стала 80°, а второго 64°. Через сколь- I ко минут после начала остывания разность их температур будет равна 25°?
611*. Моторная лодка движется со скоростью 30 км/ч. Какова скорость лодки через 3 мин после выключения мотора? к(Воспользуйтесь тем, что скорость лодки и (/) удовлетво-
Iряет дифференциальному уравнению o'(t)=—kv (С) (где
I ^==~з~’ и — скорость в метрах в минуту!.
Сведения из истории
Дробные показатели степени и наиболее простые правила действий над степенями с дробными показателями встречались n XIV в. у французского математика Н. О р е с м а (1323—1382). Франц Н. Ш ю к е (XV в.) рассматривал степени с отрица-
I
тельными и нулевым показателями.
Немецкий математик М. Ш тифе ль (1486—1567) ввел название «показатели» (exponenten) и дал определение а°=1 при с5^0. Сопоставляя натуральные числа с натуральными степенями одного и того же основания, он для этого частного случая
пришел — log b.пришел — log b.к соотношениям log (ab)= log a + logк соотношениям log (ab)= log a + logb,b,log "=loga —log "=loga —
пришел — log b.
пришел — log b.
к соотношениям log (ab)= log a + log
к соотношениям log (ab)= log a + log
b,
b,
log "=loga —
log "=loga —
Логарифмы были введены (независимо друг от друга) английским математиком Дж. Непером (1550—1617) и швейцарским математиком И. Бюрги (1552—1632). Теорию логарифмов развил Непер. Он разработал способы вычисления арифметических выражений с помощью логарифмов и составил подробные таблицы логарифмов. Таблицы Непера мало отличались от современных таблиц натуральных логарифмов. Десятичные логарифмы были введены английским математиком Г. Бриггсом (1556—1630). Лейбниц еще в конце XVII в. с помощью правил логарифмирования решал показательные уравнения. Использование таблиц логарифмов, а позже логарифмической линейки значительно упростило вычисления, и они долго были одним из основных средств вычислений. Французский математйк Лаплас говорил, что изобретение логарифмов удлинило жизнь вычислителей.
Вопросы и задачи на повторение
1) Дайте определение корня п-й степени из числа. Что такое арифметический корень n-й степени?
Найдите значение:
a) V-27; б) 4/625; в) V2^; г) д/^ «> №".
Решите уравнение:
а) х3=125; б) л4 = 64;в)х5=—г)х4=-16.
1) Сформулируйте основные свойства арифметических корней.
Преобразуйте выражение:
Какое из чисел больше:
а) ^/б или ^/5; б) ^ или ^/3;
в) V128 или V4; г) 2'00 или 10020?
1) Дайте определение степени с рациональным показателем и сформулируйте основные свойства таких степеней.
Найдите значение:
-LL2 --_L L
а) 16 4; 6) (^)4; в) ((-^)3) 3 г) ^64:2 5(210)6.
Какое из чисел больше:
5_ 23
a) V16 или 24; б) 3 3 или 9 Г;
в) 0,37 или 0,3 7; г) 5 3 или 5-0,6?
, 1) Сформулируйте основные свойства показательной функции.
Постройте график функции:
а) у = У\ б) £/=(4") ; в) У=6Х> г> ^(4") *
Какое из чисел больше:
20Л или 2 3; б) 1,2"^ или 1,2^;
в) или ("2) ’ г) 0’3" ИЛИ ^’^ ?
. 1) а) Найдите корни уравнения ах = ас (а>0, а=#\у
Решите неравенство ах~>ас (рассмотрите два случая: 0<а< 1 и а> 1).
Решите уравнение:
а) 27х = 9 Г;б) Зх+2-Зх = 72;
в) 0У+"-2'5 = л^;г) 9х+3 + Зх+2=18.
Решите неравенство:
а) 3’<-Ь б)(4-)'+‘>4; в)5',+ |>-Ь; г) 0,2«’+'>5.
. 1) Что такое обратная функция? Приведите примеры функции и ей обратной. Сформулируйте теорему об обратной функ
ции.
Сформулируйте свойство графика обратной функции. Постройте график функции f и обратной к ней функции, если: a) f(x)=2x+3;б) f(x)=x3;
в) f(x)=x2, х>0;г) f (х)=х2, х<0.
Задайте формулой функцию, обратную к функции /, если: a) f(x)=-3x + 2; б) f (x)=x3+1;
в) ^x)=rh; Г) t^=x\x^.
. 1) Дайте определение логарифмической функции и сформулируйте ее основные свойства.
Постройте график функции:
a) £/ = log4x; б) t/ = log5x; в) r/ = log£x; г) y = log^x.
54
Какое из чисел больше:
a) logs 5 или log3 6; б) logj_5 или log^G; зз
в) 1g 7 или 3 1g 2; г) logs 3 или logs 2?
. 1) Сформулируйте основные свойства логарифмов.
Прологарифмируйте по основанию а выражение:
a) 16Ь7№, а = 2;б) JL-, а= 10;
VTootr*
в) 27-V, а = 3;г) —--, а = 0,7.
сс^с
Найдите х, если:
log5 x = log5 l,54--|-log5 8;
lgx=14-2 lg3-Aig 125;
log2x = 2 1og25—|-log2 84-log2 0,2;
r) logs x = 5 logs 74—| logs 271 logs 16.
9. 1) а) Укажите все корни уравнения log„x = 6 (а>0, a^l). б) Решите неравенство
logax>loga с
(рассмотрите два случая: 0<а<1 и а>1).
Решите уравнение:
a) log2 (х — 15) = 4; б) 1g (х2 —2х —4)= lg 11;
в) 1п2(х — 2) = 4; г) lg2 х4-2 1g х=8.
Решите неравенство:
a) log0.6X>2;б) log7x<l;
в) 1пх^—3;г) Igx^—2.
1) Что такое число е? Какую производную имеет функция у=ех? у — ах?
Найдите производную функции:
a) f(x) = e2x; б) g^=e-^; в) и (х) = 3е7х~';
г) и (х) = 5 —2е4-3х*
Найдите общий вид первообразных для функции:
а) /(х) = е2х; б) g^=e~3x; в) « (x)=5e0-7x;
г) и(х) = е5х — 7е-4х.
1) Какую производную имеет функция In х? Найдите общий вид первообразных для функции -V
Найдите производную функции:
а) 1пЗх; б) 1п(7 —2х).
Найдите общий вид первообразных для функции:
а) ^х)="^; б) g^="^-
1) Какую производную имеет степенная функция хр?
Постройте график функции:
а) У = х7; б) у = х-4; в) y = xQ^\г) у = х^.
(Найдите производную данной функции.)
Найдите приближенное значение:
a) V32.02; б) V^O.
IДополнительные упражнения к главе IV
I Изобразите схематически график функции (612—613) 612. а) y = 0Jx; б) */=(-7) *. в) ^ = logo.6x; г) z/ = log„x. 613.a)y = lg( —х);б) y=lg(x —3);
в)y = lg(^ + 3);г) t/ = lgx + 3.
Решите уравнение (614—619).
а)У = 7;б)2Х-7Х= 10;
|в)53-2х = 4;г)0,з‘ ^=53х.
a) In (4 + 2х —х2) = 0;б) 1п(2х + 3е)=1;
в) In (х2 — х 4~ 2)=In 4; г) In (х2 + 3х+1)=1п 11.
а) е'-х = ех; б) ех-\=-^; в) 2‘-х = 5; г) 25-3х = 74.
a) log3x= —1;б) logs х = logs 7;.
|в) logs х=—logs 7;г) log2 х = 3 —log2 7.
a) log 1 х = 3;б) logo,3X = 2;
2"
в) logs (logs х) = 0; г) log4(log2x) =—^-.
a) log2 sin х+1 =0;б) log3 (2Х+1) = 2;
в) In (0,5 4-х) = In 0,5 —In х;г) logx 2 4-log2 х = -|-.
a) 2sinx=l; б) 4COSX=2; в) 8х4- 18х = 2-27х;
г) 25х—10х = 2-4х.
Вычислите:
a) log3 2-log4 3*...*logn 10; б) logs 16, если logi2 27 = a.
Решите неравенство (622—625).
[622. a) lg x4-lg (х—l)<lg 6; б) logo.s х> log2 (3 —2х);
в) logx2>0;г) log2_x3<0.
а) 1пх>2; б) 1пх<5; в) 1пх<—3; г) log3x^—2.
а) >1;б) 0,7х<0,49;
(в) о,2'>^;г) 4<27-
а) 1,72-”<7; б) 2'<4;
k 4<2+x/10lg9-
logo Ь = \oga'br.logo Ь = \oga'br.Докажите формулу:
logo Ь = \oga'br.
logo Ь = \oga'br.
a) logo b =—-— ; б) ' ъ log» а ’
Решите уравнение (627—630).
a) logx 3 — log, 5 = 2; б) logx-2 (х2 —6x4-Ю)= 1;
в) 2 log?-^х = log? (9 — 2х); г) 1g (4,5— х)= 1g 4,5—1g х.
a) -^-Ig (2х —1)= 1 — lg V-^ —9;
log2 х = 4 — 3 logs х;
logs Vх — 5 + logs -^2x^—3 = 1;
Г> 5^+ 1^=1*
a)x,og2X=16;б)x,og3X~2 = 27;
в)xlgx=100x;г)x,ogsX=125x2.
a)log4 x + logx2 2=1; б) logs х-log? х= logs 7;
в)logs х + log? х = logs 35; г) 1g х 4-logx10 = 2,5.
Решите неравенство (631—634).
a) logo.3(2,3 — 2х)<1; в) logo (24-х)>0,5;a) logs (3 —х)< — 1;в) logo.a (2 —5х)>2;a) logx 17>log* 11;в) logx 0,5 < log, 7;а) 1п(34-2х-х24-е2):в) 1g х — 1 <2 log, Ю;a) logo.3(2,3 — 2х)<1; в) logo (24-х)>0,5;a) logs (3 —х)< — 1;в) logo.a (2 —5х)>2;a) logx 17>log* 11;в) logx 0,5 < log, 7;а) 1п(34-2х-х24-е2):в) 1g х — 1 <2 log, Ю;logo.? (Зх —2)> 1;log9 (2 4-х)<0,5.logo.? (1 4-2х)>2;г) lg(4-3x)>2.logx 2> logx 5;logx 0,8 > logx 3.2; б) In2 х — 2<ln х;logo,2 log2^2 >0*logo.? (Зх —2)> 1;log9 (2 4-х)<0,5.logo.? (1 4-2х)>2;г) lg(4-3x)>2.logx 2> logx 5;logx 0,8 > logx 3.2; б) In2 х — 2<ln х;logo,2 log2^2 >0*
a) logo.3(2,3 — 2х)<1; в) logo (24-х)>0,5;
a) logs (3 —х)< — 1;
в) logo.a (2 —5х)>2;
a) logx 17>log* 11;
в) logx 0,5 < log, 7;
а) 1п(34-2х-х24-е2):
в) 1g х — 1 <2 log, Ю;
a) logo.3(2,3 — 2х)<1; в) logo (24-х)>0,5;
a) logs (3 —х)< — 1;
в) logo.a (2 —5х)>2;
a) logx 17>log* 11;
в) logx 0,5 < log, 7;
а) 1п(34-2х-х24-е2):
в) 1g х — 1 <2 log, Ю;
logo.? (Зх —2)> 1;
log9 (2 4-х)<0,5.
logo.? (1 4-2х)>2;
г) lg(4-3x)>2.
logx 2> logx 5;
logx 0,8 > logx 3.
2; б) In2 х — 2<ln х;
logo,2 log2^2 >0*
logo.? (Зх —2)> 1;
log9 (2 4-х)<0,5.
logo.? (1 4-2х)>2;
г) lg(4-3x)>2.
logx 2> logx 5;
logx 0,8 > logx 3.
2; б) In2 х — 2<ln х;
logo,2 log2^2 >0*
logo.2(%4-2);g 3—х ‘log? (64- X —X2);log2.5 (x5 4-6x4-9).logo.2(%4-2);g 3—х ‘log? (64- X —X2);log2.5 (x5 4-6x4-9).в) lg cos х; г). loga |х|.в) lg cos х; г). loga |х|.
logo.2(%4-2);
g 3—х ‘
log? (64- X —X2);
log2.5 (x5 4-6x4-9).
logo.2(%4-2);
g 3—х ‘
log? (64- X —X2);
log2.5 (x5 4-6x4-9).
в) lg cos х; г). loga |х|.
в) lg cos х; г). loga |х|.
Найдите область определения функции (635—637).
a)loga(x—1);б)
в)logn(4—х);г)
a)log2 (%2 —2х —3);б)
в)log ± (х2 —4x4-6);г)
4
а) In6) In sin х;
Зх + 5
Пользуясь таблицами десятичных логарифмов, найдите (638—639).
a) logo.? 5,3; б) log3j0,17; в) logn е; г) logi9 23.
a) VL7; б) ^; в) 2,3^; г) ел.
Какое из чисел больше:
а) logl 1 или log^; б) 10g23 ИЛИ Iog32;
1У 33
I в) 10ё73'или logs 9;г) log2 Ю или logs 90?
I Вычислите производную функции (641—647).
а) е9х; б) Зе~2х;в) -^; г) 3х.
а) 5"4х; б) -^;в) 92"5х; г) 5х sin 2х. ,
а) —^-;б) ^tgx; в) -^; г) —гр.
COS Xух
a) esln,; 6) е""; в) 35l=x; г) 72,“'\
a) log3x; б) lg5x; в) lg(3+4x); г) log9(3 —2х).
а) х31пх; б) 3х In (5х); в) ]п (?ху , г) у^уу •
a) In (sin х); б) In (tg х); в) logn (х3 + 4 хД+5);
г) lg (sin Зх4-2Х).
Напишите уравнение касательной к графику функции f в точке с абсциссой хо:
а) ^(х) = е2х, хо=О; б) f(x)=10r, хо=1;
| в) f(x)=ln(2x), хо=-^; г) fM" 1g (Зх), Хо=-у.
Постройте график функции (649—651).
649*. a) f(x) = ln2x;б) g(x) = exsinx;
в) f(x)=xV; г) p(x)=xlogix. •
[650*. а) «(^=-7^7; б) vW = tg3x-3tgx;
I в) и^=-^; г) ш(х) = 1п3х-3 1пх.
[б51*. a) p(x)=3 1ogix —loglx;б) g (х)= 1п ^ :
| В) iW=^;Г) f(x)=-^r.
, Найдите первообразную для функции (652—653).
652. а) ууу ; б) 5х+у > в) з—2х ’ г) 7—5х ‘
1 653. а) б) V^; в) 777» г) хЛ- 8х
654. Вычислите интеграл:
а)а)2О2О1-21-2dx3x4-7 ’dx3x4-7 ’dx2x4*3линиями:dx2x4*3линиями:-2-4
а)
а)
2О
2О
1-2
1-2
dx
3x4-7 ’
dx
3x4-7 ’
dx
2x4*3
линиями:
dx
2x4*3
линиями:
) —; г)
-3-2
Вычислите площадь фигуры, ограниченной а) У=~- У — 0, х = 2, х = 10;
У=^, У = 3, х = 2;
2
У = — , у=х-\-\, х = 3;
У=^-. x-Vy = 4.
ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ
Докажите, что любое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
Докажите, что при обращении рационального числа в бесконечную десятичную дробь (при помощи деления) не может получиться период (9).
Докажите, что любая бесконечная периодическая десятичная дробь есть запись некоторого рационального числа.
Докажите иррациональность числа 3,272772777277772... I (после первой двойки стоит одна семерка, после второй — две, после третьей — три и т. д., после п-й двойки стоит п семерок и т. д.).
Докажите иррациональность числа (660—661).
а) д/2; б)В) ^; г) 1g 5; д) 1g 43.
a) V3 + V5; б) V2 + V3; в) -^-V-^-V-^.
Докажите, что если натуральное число а не является полным квадратом, то л/а — иррациональное число.
Разложите на множители:
а) х4 + 4;б) ^-Vy^-V^-x^-^-Vz^;
в) (^ + у + 2)3 — ^3 — У3 — ^; г) х34-у3 + z3 — Sxyz.
Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
X1.-х1.X1
3 V2 + V3 *Л^ + л/З+л/ь’ В V2 + V5 + W
Докажите, что никакое рациональное число г нельзя представить в виде
г = к -^+р у/З,где к и р — целые числа, отличные от нуля.
Докажите, что числа д/2, д/З и д/5 не могут быть никакими (не обязательно соседними) членами одной арифметической или геометрической прогрессии.
8 Заказ 355225.и
Докажите формулу:
Ул+уй =-/а±з|!Ё^+-^^
Ул—Ув =дД±^^5_-дД^^^ .
Упростите выражение:
^67-42 у/2 + V19 —6 V2;
^51-4^-747 — 4^;
^94 - 42 Д5 +7129 -56 75-
При решении № 669 и 670 воспользуйтесь определением предела последовательности:
Пт ал=Л, Л -► ОО
если для любого числа е>0 можно подобрать такой но мер N, что
\ап — А | <е
при всех n > N.
Докажите теорему: если для любого п
Qn^bn^Cn и lim ал = Нт сп = А,Л -* ООЛ -> ОО
то существует и lim bn, также равный А.
Последовательность называют бесконечно малой, если се предел равен нулю. Докажите, что: а) сумма двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой, б) произведение ограниченной последовательности (т. е. та кой, что |ал| <М для любого и, где М — некоторое число) на бесконечно малую является бесконечно малой; в) равен ство.
lim ап = А Л -* ОО
выполняется тогда и только тогда, когда последовательност!. Ьп = ап — А бесконечно мала.
Докажите теоремы о пределе суммы, произведения и частно го последовательностей, пользуясь результатом задачи 670.
Функцию / называют бесконечно малой в точке а, если lim f (x) —0. х -> а
Сформулируйте и докажите теоремы, аналогичные теоремам задачи 670 для бесконечно малых функций.
Докажите теоремы о пределе суммы, произведения и частного двух функций, пользуясь результатом задачи 672.
Вычислите предел последовательности:
а) Пт Г 1_.2-.,...2^LV б) lim (2.^.^.^,..2^2).
75. На основании определения предела докажите равенство: а) Нт -^ = 0;б) Нт ^= (^>0); в) Нт ^=1.
Л — ОО 2Л — ООЛ — ОО
Вычислите предел функции:
а)а)Нт -^S^-; х-5 73x4-85 — 10Нт -^S^-; х-5 73x4-85 — 10, . ।.2 — 7х—зб) Нт ——=х-7 7x4-9—4, . ।.2 — 7х—зб) Нт ——=х-7 7x4-9—4
а)
а)
Нт -^S^-; х-5 73x4-85 — 10
Нт -^S^-; х-5 73x4-85 — 10
, . ।.2 — 7х—з
б) Нт ——=
х-7 7x4-9—4
, . ।.2 — 7х—з
б) Нт ——=
х-7 7x4-9—4
77. Докажите, что если77. Докажите, что еслисуществует Нт хп,л —► оосуществует Нт хп,л —► оото существует ито существует и
77. Докажите, что если
77. Докажите, что если
существует Нт хп,л —► оо
существует Нт хп,л —► оо
то существует и
то существует и
Him _ДД_£1+^++_ , равный Нт хп.
Л—•* ОО
Решение задач 678—682 основано на принципе математической индукции, который часто принимают за одну из аксиом арифметики. Этот принцип формулируется так.
Если предложение, зависящее от натурального числа п: а) верно для некоторого начального значения п = по и б) из допущения, что оно верно для п = к, где к^п0— произвольное натуральное число, вытекает, что предложение верно и для п = &+1, го предложение верно для любого натурального п^по. .. Докажите методом математической индукции равенство:
а) б) в)а) б) в)12 . 22 + 32 +_|_ „г = „.п + ПРл+О,
а) б) в)
а) б) в)
12 + 32 + 52+ ^^„^г^^К^^Ш^^ 1 з _,_ 33 _|_ 53 _|_ _|_ (2/i — 1 ) = л (2л2 — 1);
1 • I! 4-2.21+3-3!4-... 4-п • п? =(л+ 1)!— 1, где п\ = 1 - 2.3 -...-п;
. 1.1.1, ।1 п
Д' 4-5 ' 5-6 ' 6-7(«4-3) («4-4)4(л-Н)
е) 22 + 62 + ... + (4/г-2)2^-^^-Ц^
х 7.7,7..7.1
I-8 * 8-15 ' 15-22 '‘ (7л — 6)(7л4* lj*~ 7л4-1
Докажите методом математической индукции, что для любою натурального числа п:
а) 62л 1 4- 1 кратно 7;а) 62л 1 4- 1 кратно 7;б) 4п4~15л— 1 кратно 9;б) 4п4~15л— 1 кратно 9;б) 33'1+2 + 24"+1 кратно 11;г) 72п — 1 кратно 48.б) 33'1+2 + 24"+1 кратно 11;г) 72п — 1 кратно 48.
а) 62л 1 4- 1 кратно 7;
а) 62л 1 4- 1 кратно 7;
б) 4п4~15л— 1 кратно 9;
б) 4п4~15л— 1 кратно 9;
б) 33'1+2 + 24"+1 кратно 11;
г) 72п — 1 кратно 48.
б) 33'1+2 + 24"+1 кратно 11;
г) 72п — 1 кратно 48.
Докажите методом математической индукции, что п прямых плоскости делят плоскость не более чем на 1 + - —^ - ча стей.
Докажите методом математической индукции, что п плоскостей делят пространство не более чем на (п + 1) (п2 — п 4-6)
——!—^—— частей.
Докажите, что для любого числа М найдется такое натуральное п, что сумма
^т+т-Ь""^
будет больше М.
Для функции f(x) = x |х| найдите f' (0).
Докажите, что функция f(x) = Vrr не имеет производной в точке 0.
Найдите способ построения касательной к графику функции у=х\ аналогичный примеру 2 из п. 22.
688.689.688.689.По эскизу графика квадратичной функции у = ах2 + Ьх + с определите знаки коэффициентов а, b и с и дискриминанта D (рис. 157). Опишите способ нахождения знаков а, Ь, с и D в общем виде.
688.
689.
688.
689.
Найдите л-ю производную функции ————- .
что:что:Среди функций вида f(x) = ax + 6 найдите все такие,
что:
что:
f (f (x)) = f (х) для любого х;
f(f(x)) = x для любого х.
Найдите функции /2 (х) = / (/ (х)), /з(х) = /(/(/(х))) и т. д., f„(x) = = f (f (f—(f М)—)) и укажите область
л раз
определения fn (х), если:
f(x) = 3 —х;
fW".
fW--^.
Обратима ли функция х — 2 {х}?
Рис. 159.Рис. 159.
Рис. 159.
Рис. 159.
692. Среди функций вида: а) у найдите все, совпадающие с692. Среди функций вида: а) у найдите все, совпадающие сб\ .. axybax-yb '“ cx-yd *
692. Среди функций вида: а) у найдите все, совпадающие с
692. Среди функций вида: а) у найдите все, совпадающие с
обратными к самим себе.
Докажите, что график любой дробно-линейной функции у = ^^ (при с 5^0 и ad — Ьс#=0) может быть получен из графика у — -|- параллельным переносом. Укажите коэффициент к.
Дан график функции / (рис. 158—159). Постройте эскиз графика функции:
а) У = /( —2х);б) t/ = f(|x|);в) t/=|f(x)|;
г) У = Нх—хУд) У= — f( — 1х|);е) ^=77—
(для функции, заданной на рисунке 159, f (0) = 1).
Приведите пример обратимой функции, определенной на отрезке [0; 1] и имеющей две точки экстремума.
Докажите, что любое кубическое уравнение х3 4-ах2 4* Ьх 4- 4-е —0 имеет хотя бы один действительный корень.
Докажите, что существует в точности одна невертикальная прямая /, проходящая через заданную точку М параболы у = ах2 + Ьх + с и не имеющая с параболой других общих точек. Докажите, что прямая / есть касательная к параболе в точке М.
Докажите, что треугольник, образованный касательной к гиперболе ху = а2 и осями координат, имеет постоянную площадь, равную 2а2, а точка касания является центром окружности, описанной около этого треугольника.
Изобразите па координатной плоскости множества точек Мк, где Мк (k = 0, 1, 2,...) — множество точек М (х; у\ таких, что из точки М (х; у) можно провести в точности к касательных к параболе у = х2.
Докажите, что если функция / дифференцируема в каждой точке числовой прямой и для любых значений Х| и х2 выполнено равенство f (xi+х2) = f (xt) + f (х2), то f' (х)— постоянная.
Докажите, что многочлен степени п имеет не более чем л корней и не более чем (л—1) точек экстремума.
Докажите, что каждое свое значение многочлен степени п принимает не более чем п раз.
Пусть /?(х)=-^-^дробно-рациональная функция (л - степень р ^х\ т — степень q (х)). Докажите, что:
R (х) каждое свое значение принимает не более чем при к = тах(т, п) значениях х;
R (х) имеет не более чем ^т-\-п—I) точку экстремума если гп^п, и не более чем (т-фл — 2) точек экстремума если /л = л.
Выведите формулы производных обратных тригонометри ческих функций:
a) arcsin'х =— 1• б) arccos'х =--;
Vi — х2-V1 —х2
в) arctg' х=—Up ;г) arcctg'х=——Ц-.
1 "Г-*1 ф-л
Докажите тождество:
arcsin х-|-arccos х=-у;
arctg x + arcctg х = ^-.
Докажите, что любая функция с симметричной относительно точки 0 областью определения представляется, притом единственным образом, в виде суммы четной и нечетной функций.
На рисунках 160—162 изображена часть графика периодической функции, определенной на всей числовой прямой. Каким может быть период функции f? (Укажите все возможные значения периода.)
Дополните (если это возможно) графики функций, изображенных на рисунках 163—165, до графиков периодических функций с наименьшим положительным периодом Т, являющихся при этом:
четными;
нечетными.
709.710.709.710.Существуют ли периодические функции, у которых: а) все рациональные числа являются периодами, а все иррациональные — нет; б) все иррациональные числа являются периодами, а все рациональные — нет?
709.
710.
709.
710.
При каких п функция f может иметь в точности п точек экстремума, если известно, что f:
четная;
нечетная;
периодическая функция?
Докажите, что функция f не является периодической:
a) f (х) = cos х• cos (% л^\б) f (x) = cos x-f-cos (х -^\
в) f(x) = sinx2;г) f(x) = sin-Vx.
Докажите, что сумма двух непрерывных периодических функций, не имеющих общих периодов, не является периодической (считайте, что обе функции определены на всей числовой прямой).
Докажите, что sin 47° 4-sin 61°— sin 11° — sin 25° = cos 7°.
Упростите:
sin x4-sin 2x4-sin 3x4-...4-sin их;
cos x 4-cos 5x 4- cos 9x -f-... 4- cos (4n — 3) x.
Известно, что
Z_C= 180°, aZ_C= 180°, asin Вsin Cb csin Вsin Cb c
Z_C= 180°, a
Z_C= 180°, a
sin Вsin Cb c
sin Вsin Cb c
Докажите, что
a2 = b2 4- c2 — 2bc cos A
(Z-A, Z_B и Z_C не обязательно положительные).
Докажите, что выражение
a sin х4-6 cos х
можно представить в виде
A cos (х -}- <р),
где А=-\/а24-Ь2.
Докажите, что если стороны а, b и с треугольника образуют арифметическую прогрессию, то ctg-^-, ctg-^- и ctg-у также образуют арифметическую прогрессию.
Докажите, что, для того чтобы sin % и cos х одновременно были рациональными, необходимо и достаточно, чтобы tg -|- был рационален.
Докажите, что:
16 cos 20° cos 40° cos 60° cos 80°= 1;
cos2 3 4-cos2 1—cos 4 cos 2= 1.
Пусть при движении по прямой тело массы т в точке с координатой х обладает потенциальной энергией и (х). Докажите, что:
координата х (/) тела при движении по прямой удовлетворяет дифференциальному уравнению
тх" ^=—и' (х);
потенциальная энергия и материальной точки массы т, совершающей гармоническое колебание х" =—со2х, равна
, где k = mto2 (положите ы(0) = 0).
Докажите, что полная энергия
£=—4-м (х)
материальной точки массы т, движущейся по прямой согласно второму закону Ньютона, сохраняется (и (х)— потенциальная энергия).
Пусть Xf (/) и х2 (/) — два решения уравнения
х"^=-^ х<1\
Докажите, что функции х( (/) — х2 (/) и kxt (/), где к — произвольное число, также являются решениями этого уравнения.
Докажите, что существует решение уравнения
X" (/) = — to2 X (/),
имеющее вид:., , . ,
х = Д cos (со/4-гр),
удовлетворяющее начальным условиям х(0) = х0, х'(0)=и0 724. Пользуясь результатами задач 722—723, докажите, что любое решение дифференциального уравнения
х"(/)=-со2х (/)
может быть записано в виде
х — A cos (со/4- ср)..-•- *|
Рис. 166.Рис. 166.Пусть точка Р (/) равномерно движется по окружности числовой плоскости радиуса А с центром в начале координат против часовой стрелки, проходя м радиан за единицу времени. Пусть вектор ОР в начальном положении ОРо образует угол <р с положительным направлением оси Ох (рис. 166). Покажите, что координата проекции точки Р (/) на ось Ох совершает гармоническое колебание, и определите соответствующие константы А, о и ср.
Рис. 166.
Рис. 166.
26.26.27.27.28.28.Используя результат задачи 725, покажите, что сумма двух гармонических колебаний с общей частотой является гармоническим колебанием той же частоты.
26.
26.
27.
27.
28.
28.
Докажите, что сумма двух гармонических колебаний с общей частотой является гармоническим колебанием той же частоты, пользуясь результатом задачи 722.
Докажите, что сумма двух гармонических колебаний
Xi (/)= А 1 COS (toi/ + ф1) И X2(t)= Л2 COS (сОг^ + фг) будет периодической функцией тогда и только тогда, когда отношение частот есть рациональное число г, т. е.
<01 = Г.
(02
Пусть f (х) — многочлен степени не выше 3. Докажите, что
f (х) dx =^~^ (Ух + 4^2 + Уз),
где у1=/(а), y2=f^^^ , Уз = ЦЬ\
Капля воды с начальной массой М падает под действием силы тяжести и равномерно испаряется, теряя ежесекундно массу т. Какова работа сил тяжести за время от начала падения капли до ее полного испарения?
Какую минимальную работу по преодолению силы тяжести надо произвести, чтобы насыпать кучу песка в форме конуса высоты Н и радиуса основания /?? Плотность песка равна р, и его поднимают с плоскости основания конуса.
Однородная треугольная пластинка с основанием а = 40 см и высотой h = 30 см вращается вокруг основания с постоянной угловой скоростью о) = 5л с-1. Найдите кинетическую энергию пластинки, если ее толщина d = 0,2 см, а плотность материала, из которого изготовлена пластинка, равна р = 2,2 г/см3 (толщиной пластинки пренебречь).
Найдите центр масс однородного полукруга радиуса R 734. Найдите центр масс однородного полушара радиуса R 735. Докажите, что работа, которая производится против силы выталкивания воды при погружении однородного тела в воду, равна pgVh, где р — плотность воды, g — ускорение свободного падения, h — глубина погружения центра масс части тела, находящейся в воде, V — ее объем.
Вычислите интеграл:
28 R —Г 3 /
а) \ —-■ х dx; б) р у I —|- dx;
°лЛ+р
2
в) (cos2 хД-cos4 х) sin х dx. л
™ 2"
Найдите производную функции f(x) = x\
Исследуйте функцию и постройте ее график:
а) У = ^‘. б) у = х2е х; в) у = ^\пх; г) у = | (х)—1-
Найдите область значений функции:
a) cos2 х —cos х; б) 3 cos х —4 sin х —2;
в) 4Х + 2Х;г) хх(х>0).
в) лГх^у > И;д) М<М;в) лГх^у > И;д) М<М;Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:
в) лГх^у > И;
д) М<М;
в) лГх^у > И;
д) М<М;
б) k + yl + 1^—^1 =4;
' ху-1 у—1 *
е) И >{*/}•
С помощью интегралов найдите предел:
XI- 1 / ■ л ,. 2л .. (п — 1)л\
lim — I sin |-sin|-...4-sin-—);
Л—>- oo П \ППП /
Кт„(тгг+^+-+^):
Пт-^±^.(р>0);
—I—11 \
—-1—Ь — 4—1I
(n + iy 1 (п-ргу 11 (л+пу /
Сколько действительных корней имеет уравнение:
а) х3 — 4х2 — Зх4-5 = 0; б) х3 —9х = а (а — параметр)?
Докажите, что числоДокажите, что числорационально.
Докажите, что число
Докажите, что число
При каких основаниях а существуют числа х, равные своему логарифму (т. е. выполняется условие х — loga х) ? При каких значениях параметров (а, b и С) определен интеграл:
636
Л dxГ dx . С dx
а) \—б) \—fв) \•
' Jх—2Jх—СJх+С
а0а
МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Действительные числа
1°. С натуральными числами 1, 2, 3,... и целыми (0, ±1, ±2, ±3,...) вы знакомы из курса начальной школы. Числа, которые можно представить в виде г=-^-, где п — натуральное число, а т — целое, называют рациональными. Арифметические действия над рациональными числами (в том числе и целыми) осуществляются по известным правилам.
Любое рациональное число г—~^ можно представить в виде бесконечной десятичной дроби:
г— ±оо, Oi<72 ... ап.„.
где а0 — целое неотрицательное число; П|, а2 си, ... — цифры. Для этого надо разделить числитель дроби на ее знаменатель. Например, при обращении числа -^ в бесконечную десятичную дробь находим:
110101
10177)89108
808
909
~ТГ0
101
808
Полученная дробь 1,08910891... — периодическая, так как остатки от деления (это 9,90,92,11,9...), а, следовательно, и цифры частного (1,0, 8, 9...) периодически повторяются. Повторяющуюся группу цифр называют периодом дроби; при записи период заключают в круглые скобки. В данном случае дробь 110 = 1,08910891... записывается в виде -|^- — 1, (0891). В общем
случае при делении также получается периодическая десятичная дробь. (В самом деле, остаток от деления целого числа на натуральное п может быть равен 0,1,..., п—1, т. е. существуют в точности п—1 различных ненулевых остатков от деления на п. Следовательно, в процессе деления на п «столбиком» когда-то пстрстится остаток, уже встречающийся ранее. Затем остатки, л значит, и цифры в частном будут периодически повторяться; при этом длина периода не больше п—1.) Если при делении пстрстится остаток 0, то получим конечную десятичную дробь, которую также можно записать в виде бесконечной периодической дроби, дописывая справа бесконечную последовательность нулей. Например,
А = о,3125 = 0,3125000... = 0,3125 (0).
В процессе деления не могут получиться бесконечные десятичные дроби с периодом (9). Такие дроби исключают из рассмотрения, т. е. не считают их записью действительного числа.
Таким образом, любое рациональное число можно предста- пить в виде бесконечной периодической десятичной дроби, не имеющей периодом (9). Верно и обратное: любая бесконечная периодическая десятичная дробь есть представление некоторого рационального числа. Один из способов обращения бесконечных периодических дробей в обыкновенные описан далее.
2°. Как известно из курса геометрии, длина диагонали квадрата со стороной 1 должна выражаться положительным числом, квадрат которого равен 2 (это число обозначают V2)* Докажем методом от противного, что такого рационального числа не существует.
т-гтт,т2 2 п
Пусть г — ~, гДе ~несократимая дробь и -^ = г — (г>0, поэтому т и п— натуральные числа). Из равенства ш2 = 2п2 получаем, что т — четное число, т. е. т—^к. Подставляя в равенство т2 = 2л2 вместо т число 2^, находим: 4&2 = 2п2, т. е. п* — 2/г2. Отсюда следует, что п — также четное число. Получили противоречие: дробь -^-сократима (на 2).
Действительные числа, не являющиеся рациональными, назы- иают иррациональными. Любое иррациональное число а можно представить в виде бесконечной десятичной дроби. Эта дробь не может быть периодической (в противном случае а — рациональное число). Верно и обратное: любая бесконечная десятич- п. 1я непериодическая дробь есть представление некоторого иррационального числа.
Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел. С арифметическими операциями над действительными числами вы знакомы (см. также с. 238). В ходе проведения вычислений, встречающихся на практике, действи-
тельные числа округляют с требуемой точностью и оперируют < конечными десятичными дробями.
3°. Для обозначения числовых множеств приняты следующий символы:
N — множество натуральных чисел;
Z — множество целых чисел;
Zo — множество целых неотрицательных цисел;
Q — множество рациональных чисел;
Qo — множество неотрицательных рациональных чисел;
R — множество действительных чисел;
R+— множество положительных действительных чисел.
Как легко проверить, эти числовые множества удовлетворяю! следующим соотношениям:
NclZclQclR.
Основные законы арифметических действийи свойства неравенств. Формулы сокращенного умножения
1°. Для любых действительных чисел а, b и с справедливы еле дующие равенства:
а-\-Ь = Ь -\-а (переместительный закон сложения);
(а-|-6) + с = а + (Ь+ с) (сочетательный закон сложения),
ab = ba (переместительный закон умножения);
(ab) с = а (be) (сочетательный закон умножения);
(а-^Ь) с = ас + be (распределительный закон).
Из этих законов следуют аналогичные свойства для вычита ния и деления, например:
(a — b) с = ас — be, (a-V-b):c = a:c-y-b:c.
Из любых двух разных действительных чисел одно больше другого (правила сравнения приведены на с. 296). Если число и больше числа b (обозначается а*>Ь), то говорят также, что Ъ меньше а (Ь <а).
2°. Перечислим основные свойства неравенств:
если а">Ь и Ь>с, то а>с, где а, Ь, с — любые действи тельные числа.
Если а>Ь (а и Ь.— любые действительные числа), то
а-\-О b -Vс, где с — любое действительное число;
aObc, где с — любое положительное действительное число;
ас<.Ьс, где с — любое отрицательное действительное число.
Из приведенных выше свойств числовых неравенств можно по
лучить такие следствия:лучить такие следствия:д) мы од) мы оесли а">Ь и сесли а">Ь и сb— с (теоре-b— с (теоре-почленном сложении и вычитании числовых неравенств);почленном сложении и вычитании числовых неравенств);е)е)пустьО d.пустьО d.а, Ь, с и d — произвольные положительные числа,тогда ac^-bd и ~5~>” (теоремы о почленном ум-а, Ь, с и d — произвольные положительные числа,тогда ac^-bd и ~5~>” (теоремы о почленном ум-ножении иножении иделении числовых неравенств с положительнымиделении числовых неравенств с положительными1ленами).3°. С помощью свойств арифметических1ленами).3°. С помощью свойств арифметическихзываютсязываютсяследующиеследующиеизвестныеизвестные«формулы«формулыдействий легко дока- сокращенного умнодействий легко дока- сокращенного умножения»жения»венныхвенныхкоторые частопреобразований:которые частопреобразований:применяютсяприменяютсяприпривыполнении тождест-выполнении тождест-
лучить такие следствия:
лучить такие следствия:
д) мы о
д) мы о
если а">Ь и с
если а">Ь и с
b— с (теоре-
b— с (теоре-
почленном сложении и вычитании числовых неравенств);
почленном сложении и вычитании числовых неравенств);
е)
е)
пусть
О d.
пусть
О d.
а, Ь, с и d — произвольные положительные числа,тогда ac^-bd и ~5~>” (теоремы о почленном ум-
а, Ь, с и d — произвольные положительные числа,тогда ac^-bd и ~5~>” (теоремы о почленном ум-
ножении и
ножении и
делении числовых неравенств с положительными
делении числовых неравенств с положительными
1ленами).
3°. С помощью свойств арифметических
1ленами).
3°. С помощью свойств арифметических
зываются
зываются
следующие
следующие
известные
известные
«формулы
«формулы
действий легко дока- сокращенного умно
действий легко дока- сокращенного умно
жения»
жения»
венных
венных
которые частопреобразований:
которые частопреобразований:
применяются
применяются
при
при
выполнении тождест-
выполнении тождест-
а2 — Ь2 = (а — Ь") (а + Ь), а3 — Ь3 = (а — b) (а2 4- ab + Ь2), а3 + Ь3 = (а 4- Ь) (а2 -аЬ-\- Ь2), (а + bf — а2 4- 2аЬ 4- Ь2, (а — Ь)2 = а2 — 2аЬ 4- Ь2, (а 4- ЬУ = а3 4- За26 4- ЗаЬ2 4- Ь\ (а — bf = а3 — За2Ь 4- ЗаЬ2 — Ь3.
Числовая прямая и числовая плоскость
Из курса алгебры вы знаете, что действительные числа удобно изображать точками координатной прямой. На уроках геометрии в VII классе вы изучали, как вводятся координаты на плоскости н как по координатам двух точек прямой (плоскости) можно найти расстояние между этими точками. Напомним соответствующие формулы.
Теорема 1. Для любых двух точек А (хл) и В (хв) координатной прямой расстояние
АВ= |хв — хл|.
Прим£р1. Найдем расстояние между точками Л ( — 7,1) к В (4,3).
По теореме 1 расстояние
АВ = |хв — х А\.
По условию
хА= — 7,1, хв=4,3, следовательно,
ЛВ= 14,3 —( —7,1)|,
ЛВ = 11,4.
Ответ: 11,4.
Теорема 2. Для любых двух точек А ^хх; у\) и В (хо; у) координатной плоскости расстояние
Ав ^^x^xv^V^y^-y^
Пример 2. Найдем расстояние между точками А ( —О 2- 2 (>) и В (0,3; 1,4).v ’
По теореме 2 расстояние
АВ = д/(х2 — х । )2 + (у 2 — yif.
По условию X] = — 0,2,^1 = 2,6,
-^2 = 0,3,у2= 1,4,
следовательно,
АВ = ->/(0,3 — (— 0,2))2 + (1,4- 2,6)2,
^ = -Vo752 + (- 1,2)2, X
дв=Л/1Ж
ДВ=1,3.
Ответ: 1,3.
Установленное взаимно однозначное соответствие между дей ствительными числами х и изображающими их точками М (х) ко ординатной прямой позволяет, говоря о числах, пользоваться геометрической терминологией.
Будем считать координатную прямую расположенной горизонтально, а за положительное направление на ней выберем направление слева направо. Тогда неравенство х<.у означает, что точка М (х) лежит слева от точки М (у\ Удобно говорить, что само число х ле^ит левее числа у. Если х<_г<Су или y<Lz<_x, то говорят (в обоих случаях), что число z лежит между числами х и и. Число . ,
\у — 1,
выражающее расстояние между точками М (х) и М (</), удобно называть просто расстоянием между числами х и у.
Само множество R всех действительных чисел называют числовой прямой*, а его элементы (т. е. числа) — точками числовой прямой.
Простейшие множества в R называются промежутками. Перечислим их.
Отрезок с концами а и b (обозначается [а; 6]) есть множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству а^х^Ь.
Интервал с концами а и b (обозначается (а; ЬУ) есть множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству a<_x<Lb.
Полуоткрытые промежутки с концами ^ ^7* "анТ**
а и Ь:
|щ 6) — множество всех чисел х, удовлет-Рнс 167-
воряющих неравенству а^.х<_Ь\
^а\ 6] — множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству а<.х^Ь.
Число Ь — а называют длинойЧисло Ь — а называют длинойпромежутка с концами а и Ь.промежутка с концами а и Ь.
Число Ь — а называют длиной
Число Ь — а называют длиной
промежутка с концами а и Ь.
промежутка с концами а и Ь.
Бесконечные интервалы:
(а; оо)—множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству х>а;
(—оо; Ь) — множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству х<_Ь.
Бесконечные промежутки (замкнутые):
|щ со)— множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству х^а;
(—оо; 6]—множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству х^б.
Интервал вида (а — 6; а + 6), где 6>0, называют также ^-окрестностью точки а (рис. 167). Можно сказать, например, чго все десятичные приближения по недостатку и по избытку к числу -\/2. начиная с третьего (т. е. приближения -д/2 с точностью до 10“" при п^З), попадают в 6-окрестность точки -д/2 при 6 = 0,001.
Точку а называют внутренней точкой области определения функции D (/), если можно подобрать 6-окрестность точки а, целиком входящую в D (f).
Пример 3. Пусть промежуток / = [3; оо) есть область определения некоторой функции. Тогда точка 7 — внутренняя точка промежутка /, так как интервал (5; 9) есть 2-окрестность точки 7 и целиком входит в /.
По аналогии с числовой прямой множество упорядоченных пар действительных чисел называют числовой плоскостью, а любую упорядоченную пару действительных чисел — точкой числовой плоскости. Числовую плоскость принято обозначать символом R2 (читается: «эр два»). На одной и той же плоскости можно многими способами изображать точки числовой плоскости, которая сама по себе при этом не меняется — она остается просто множеством пар действительных чисел.
К точкам числовой плоскости также можно применять геометрическую терминологию. Например, множество точек (х; y^R\ координаты которых удовлетворяют уравнению
ах-\-Ьу-\-с = ^
(хотя бы одно из чисел а или b отлично от нуля), естественно назвать прямой, так как изображением этого множества на координатной плоскости является прямая.
Множество точек (x;y)£R2, координаты которых удовлетво
ряют неравенству
x2-Vy2^r2 (г>0),
изображается на координатной плоскости кругом радиуса г с центром в начале координат. Поэтому такое подмножество числовой плоскости также называется кругом радиуса г с центром в точке О (0; 0).
Приближенные вычисления
1°. Абсолютной погрешностью приближенного значения х числа а называется модуль разности числа и его приближенного значения, т. е.
|х — д|.
Если известно, что абсолютная погрешность приближенного значения х числа а не превосходит h, то говорят, что а равно х с точностью до h. Коротко записывают это так:
a = x±/z.
Пример 1. При взвешивании на рычажных весах при наличии гирь 1 г, 2 г, 5 г, 10 г, 20 г и т. д. (указаны самые маленькие гири) мы находим массу предметов с точностью до 0,001 (массу измеряем в килограммах).
Относительной погрешностью приближенного значения х числа а называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения, т. е.
|х—а||х| •
Пример 2. Абсолютная погрешность приближенного значения 0,3 числа -~ равна
l-L_03l=J-
I 330'
а относительная погрешность равна
Обычно точное значение абсолютной погрешности неизвестно, а известна точность приближения h. В этом случае мы можем оценить (сверху) относительную погрешность: она не превосходит ~. При оценке относительной погрешности полученный результат округляют в большую сторону (т. е. заменяют приближенным значением по избытку), оставляя одну значащую цифру.
Пример 3. Расстояние от Земли до Луны равно / = 384 000 + 500 км.
Оценим относительную погрешность данного измерения.
Относительная погрешность не превосходит
= 0,00130208...« 0,002 = 0,2 %.
Относительная погрешность, как правило, достаточно малая величина, ее обычно выражают, как в примере 3, в процентах.
2°. Значащими цифрами числа называют все его цифры, кроме нулей, стоящих вначале.
Пример 4. В числе 0,00634 — три значащие цифры: 6, 3, 4, а в числе 40,10— четыре значащие цифры: 4, 0, 1, 0.
Стандартным видом числа а называют его запись в виде произведения Л>-10", где 1^6 <10 и п— целое число.
Пример 5. Запишем в стандартном виде числа 23 100 000; 0,07635; 0,03-10~4. Имеем: 23 1 00 000 = 2,31 -107; 0,07635 = = 7,635-!0-2; 0,03-10”4 = 3-Ю”6.
Цифру m в записи приближенного значения называют верной, если абсолютная погрешность приближения не превосходит единицы того разряда, в котором стоит цифра т.
Пример 6. Известно, что 0 = 2,35 + 0,25. В записи приближенного значения 2,35 верной является только цифра 2.
Обычно в записи приближенных значений чисел стараются оставить только верные цифры. При этом в математических таблицах и справочниках границу абсолютной погрешности не указывают.
Пример 7. По четырехзначным математическим таблицам В. М. Брадиса находим:
sin 23° = 0,3907.
Подразумевается, что абсолютная погрешность выписанного значения синуса не превосходит 0,0001.
Пример 8. Согласно одному из справочников масса Солнца равна 1,990-1030 кг. Подразумевается, что приведенное значение имеет точность 0,001 • 1Оз0= 1027.
3°. Абсолютная погрешность суммы и разности не превосходит суммы абсолютных погрешностей исходных данных. Относительная погрешность произведения и частного не превосходит суммы относительных погрешностей исходных данных.
Например, если о = 2,35+ 0,01 и 6 = 5,61+0,01, то а^-Ь = = 7,96 + 0,02, 6-0 = 3,26 + 0,02, 1^2^35+бПС01_ , о^
~,2,35-5,612,35 ~ 5,61 •
куда |о6 —2,35-5,611<0,01-5,61+0,01-2,35<0,08, т. е.
о6 = 13,2 + 0,1.
Проценты
Процентом называют одну сотую часть целого (принятого за единицу). Для нахождения числа А, составляющего р% от числа М, пользуются «формулой процентов»:
100"( )
Эту же формулу используют для решения еще двух задач: а) за даны числа А и М, требуется узнать, сколько процентов от М составляет А (т. е. найти р); б) известно, что число А состав ляет р% от числа М, требуется найти число М (Д и р заданы).
Пример 1. Рабочий за смену изготовил 96 деталей вместо положенных по плану 80 деталей. На сколько процентов он пере выполнил план?
Требуется определить, сколько процентов число 96 — 80=16 составляет от числа 80. По формуле (I) получаем, что искомое число р равно:
Р=-^^-=20.
Пример 2. Извести что число учащихся, посещающих факультатив по литературе, равно 80% от числа учащихся, посещающих факультатив по математике. Сколько процентов составляет число посещающих факультатив по математике от числа посещающих факультатив по литературе?
Пусть число учащихся, посещающих факультатив по математике, равно пг, а факультатив по литературе — /. По условию (см. формулу (1))
,m-80 п о
,=Ч6сГ=0'8т-
Требуется определить, сколько процентов число m составляет от числа / = 0,8m. По формуле (1) получаем:
п о/ m - *00% m • *00% । 9 г о/
Р/оI0,8m—
Пропорции
Пропорцией называют равенство вида
а с
~b"~~d'
где а, b, с, d — некоторые числа, причем 65^0, d^0.
Числа а и d называют крайними членами пропорции, а числа b и с — средними членами пропорции.
Основное свойство (верной) пропорции: произведение средних членов пропорции равно произведению ее крайних членов.
Пример. В треугольнике АВС со сторонами ДВ=10, ВС= 14 биссектриса угла АВС делит сторону АС на две части, одна из которых на 2 больше другой. Найдем сторону АС треугольника.
Обозначим меньшую из двух частей через х. Пользуясь тем, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам, найдем х из пропорции
х + 214
х — 10 "
В силу основного свойства пропорции 10(х + 2) = 14х, откуда
х = 5 и ДС = х4-(^ + 2)=12.
Последовательности
Числовую функцию f, область определения которой — множество натуральных чисел, называют бесконечной числовой последовательностью (или просто последовательностью). Значение этой функции в точке п обозначают Д, а саму последовательность — (Д). (Для обозначения последовательностей чаще всего выбирают первые буквы латинского алфавита: (ал), (6Д (Сп) и т. д.)
Существуют два основных способа задания числовых последовательностей: 1) с помощью формулы и-го члена; 2) рекур- рентно, при этом задают k первых членов последовательности, и формулу, выражающую (при всех п"^\) an+k через к предыдущих членов (чаще всего к=\ или к = 2).
Пример 1. Формула а„ = 2п задает последовательность четных натуральных чисел.
Пример 2. Рекуррентная формула а, = 1, а2 = 1, и а„ + 2 = *=ап4-ап + 1 при п>1 задает бесконечную числовую последовательность:
ai = l, а2=1, аз = 2, а4 = 3, as = 5, ас —8, 07=13, ... .
Эту последовательность называют последовательностью Фибоначчи.
Иногда рассматривают конечные числовые последовательности — числовые функции, заданные на множестве п первых натуральных чисел.
Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом d, называют арифметической прогрессией. Это число d называют разностью арифметической прогрессии.
Арифметическую прогрессию с первым членом Qi и разностью d можно задать рекуррентно: th задано и an + 1 = a„4-j при л > 1.
Последовательность (ал) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда для любого л >> 1 выполнено равенство
QnQnOn— I + Qn-y I~2On— I + Qn-y I~2
Qn
Qn
On— I + Qn-y I
~2
On— I + Qn-y I
~2
(1)(2)(2 *(1)(2)(2 *Для арифметической прогрессии (ал) an — ax +(л — 1) d, S„ = 11±^.n,
(1)
(2)
(2 *
(1)
(2)
(2 *
■ 2a।-,-(/! — l)d лЛ,
где d— разность прогрессии, a Sn— сумма ее первых л членов
Пример 3. Найдем формулу л-го члена и сумму первы.х 100 членов арифметической прогрессии с первым членом а1 = 3 и разностью d= — 1.
По формуле (1) получаем:
ап = th + (« — 1) d = 3 + (^— !)•(— 1) = 4 — л.
Итак, ал = 4 — л.
По формуле (2)
аа_ с+яп _ 34-4 —п“22_ с+яп _ 34-4 —п“22откудаоткуда
а
а
_ с+яп _ 34-4 —п
“22
_ с+яп _ 34-4 —п
“22
откуда
откуда
SIOo=:^-— 100= -93-50= -4650.
П р и м е р 4. Известно, что сумма первых л членов арифмети ческой прогрессии с первым членом 24 и разностью —2 равна 100 Найдем л.
По формуле (2') получаем:
100 = 2224±(-2Н^
т. е.
л2 —25л + 100 = 0, откуда л = 5 или л = 20.
Числовую последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествую щему члену, умноженному на одно и то же отличное от нуля число q, называют геометрической прогрессией Это число q назы вают знаменателем прогрессии.
Геометрическую прогрессию с первым членом Ьх и знаменателем q можно задать рекуррентно: bi^O задано и Ьп+\ = «—bnq при п ^ 1.
Последовательность (6Л) является геометрической прогрессией Тогда и только тогда, когда для любого п"> 1 выполнено равенство
bn = bn—] Ьп +1 •
Для геометрической прогрессии (6П) bn = bxqn"x;^
^Ч*ХSn=^^\(4)
при q= 1
S„ = nbx,(4')
1де q— знаменатель прогрессии, a Sn— сумма ее первых п членов.
Пример 5. В геометрической прогрессии Ьз = 8, Ь5 = 2. Требуется найти сумму ее первых 7 членов.
По формуле (3) имеем:
f 6i<72 = 8,I Ь^ = ^.
Разделив второе из полученных уравнений почленно на первое, получим ^2 = 0,25, откуда q = 0,5 или ^=—0,5, a bx=S\q2 = 32. По формуле (4) при <7 = 0,5 получаем:
л при q= —0,5
„32 ((~2") -1)_ 32'(~Т28)_ 43
1,“3— 2"
Суммой S бесконечной геометрической прогрессии при |^| < 1 называют число S, к которому стремится Sn при п-^-со, при этом
s=-^.<5>
Пример 6. Обратим бесконечную периодическую дробь 0 = 0,31212121212... = 0,3(12) в обыкновенную.
Запишем а в виде
10 ' 1000100000 '
По формуле (5) при 6|=-^_, q — _L получаем:
12
12 ।12।_ Ю00122
1000100000— I — 990
100
Следовательно, a=— 4———_" + 4 __ юз 10165330330 ‘
Степени и корни
большим I,из которыхбольшим I,из которыхСтепенью числа а с натуральным показателем п, называется произведение п множителей, каждый равен а:
большим I,из которых
большим I,из которых
ап = а-а-аап = а-а-ааа
ап = а-а-а
ап = а-а-а
а
а
п множителей
Степенью числа а с показателем 1 называется само число а а* =а.
Степенью числа а^0 с показателем 0 называется число 1
а0 = I
Степенью числа а^0 с целым отрицательным показате лем п называется число —— : а-
апапа-па-пОсновные свойства 6#=0, m^Z, n^ZyОсновные свойства 6#=0, m^Z, n^Zy1
ап
ап
а-п
а-п
Основные свойства 6#=0, m^Z, n^Zy
Основные свойства 6#=0, m^Z, n^Zy
степеней с целым показателем (а 5^0,
am.ап = ат + п;
ат;ап = ат-п;
(am)n = amn;
^aby = anbn;
(a:b)n = an:bn.
При а = 0 (и 6 = 0) все эти свойства также верны в случае, когда определены обе части выписанных равенств.
Пример 1. Требуется упростить выражение
(гУх-уу^зг^^буУ*
и вычислить его значение при х = 2, у=^/3.
Пользуясь свойствами степеней с целыми показателями, получаем:
(27х~2//6)8 • (З2х3)5: (6z/2)24 =
= (З3)8 • (л-2)8 • (г/6)8 • (25)5 • (х3)5: (2 - З)24: (z/2)24 =
о24 „-16 ,,48 л25 „15.924.024 . „48
*■— О * -X-* У * Z * vL • Z е V е у —~
Итак, данное выражение не зависит от у (важно только, что •#-0), его значение при х = 2 равно 1.
Арифметическим квадратным корнем из числа а называется Такое неотрицательное число Ь, квадрат которого равен а. Для арифметического квадратного корня из а принято обозначение фи Таким образом, b=^Ja, если Ь2=а и Ь^О. Легко видеть, «но V^ существует только для неотрицательных а.
Свойства арифметического квадратного корня:
л[с?= |а|;
->Jab =л/а-л]Ь, где а^О, Ь"^0;
в)в)—~ц, где а^О, 6>0.—~ц, где а^О, 6>0.
в)
в)
—~ц, где а^О, 6>0.
—~ц, где а^О, 6>0.
Пример 2. Вынесем а и b из-под знака корня: -^aFb^.
Если а = 0, то указанное выражение равно 0. Если же а^О, то 6^0 (так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным). Имеем:
л[а^=:лР5^= 1<з31;
3/^= ^b2-b = V^ •-Ajb — b->jb
(так как Ь^О), поэтому
^_( 0 при а —О,“I |а3| b л^Ь при а#=0.
Пример 3. Внесем а под знак корня: а \Sb.
Если а^О, то а=\а\ ^л/а^; если же а <0, то а =— |а| = » —"Vo2". Итак,
-фЗа2Ь при а^О (если а = 0, то 6^0),— д/За2^ при а<0.
Пример 4. Представим л[аЬ в виде произведения.
Под знаком корня должно стоять неотрицательное число, поэтому ab"^O. Рассмотрим два случая: 1) а^О и Ь^О;
V) а^О и Ь^.0.
В первом случае по свойству б) имеем ~^ab —л/й'^/Ь
Во втором случае сначала представим ab в виде произвел’’ ния неотрицательных чисел: ab = ( — а)-( — Ь)— и только потом
воспользуемся свойством б):
^ = ^2a^Z7^=^T^
Итак,
л/а-л[Ь при а^О, Ь^О,у-а-\ — Ь при а ^ О, b ^0.
Прямая пропорциональность
Прямой пропорциональностью называют функцию вида у = к\, где к — некоторое действительное число, отличное от нули (к называют коэффициентом пропорциональности).
Для любых двух пар соответственных значений переменных (хь у\) и (х2; 1/2), где хь х2, У\, у? отличны от нуля, верно равенство
Ух =У1 = ь
Х| х2
Пример 1. Путь, пройденный телом при движении по при мой с постоянной скоростью, прямо пропорционален времени движения.
Пример 2. Пусть переменная у пропорциональна пере менной х с коэффициентом к\, а переменная z пропорциональна переменной у с коэффициентом к^. Тогда переменная z пропор циональна переменной х с коэффициентом kik2.
В самом деле, z — к2у = к2к\х.
Графиком функции у = кх является прямая, проходящая чс рез начало координат, с угловым коэффициентом к (тангеш угла наклона прямой к оси Ох равен к).
Докажем это. Проведем прямую через начало координат О и точку А (1; к). Для любой точки М (х; у), принадлежащей пря
мой ОА (рис. 168), векторы ОА и ОМ
параллельны. Поэтому вектор ОМ полу чается из вектора ОА умножением па число х, т. е. ОМ = хОА. Координаты вектора ОМ есть х и у. Коордп наты вектора О А есть I и к, поэтому координаты вектора хОА есть х и к\ Сравнивая координаты векторов ОМ и хОА, получаем: у = кх. Итак, доказано, что координаты х и у любой точки прямой ОА удовлетворяют равенству у = кх. Теперь надо доказать, что любая точка графика функции у = кх лежит hi
прямой ОА. Для этого проведем через точ- ■у (х; 0) прямую, параллельную оси Оу. ’1га прямая пересекает прямую ОА в точке М (х; у). Но выше было доказано, что для Щчек прямой ОА выполнено равенство ^'-kx. Следовательно, точка М принад- иадлежит графику функции у=кх. Точка А лежит на линии тангенсов, поэ- тому A = tgcc, где а — величина угла между прямой ОА и осью абсцисс.
Пример 3. На рисунке 169 изображены графики функций у = кх при разных *(/г=±0,5; ±3; ±1).
Пример 4. Площадь треугольника ровна 0,5 ah, поэтому для треугольников, у которых две вершины лежат на одной из
Рис. 169.Рис. 169.параллельных прямых, а третья — на дру-
Рис. 169.
Рис. 169.
1<)й из этих прямых (рис. 170), площадь прямо пропорциональна длине основания с коэффициентом пропорциональности k = 0,5h (А— расстояние между этими прямыми). Это следует из приведенной выше формулы S = 0,5ah. Длина основания треугольника — положительная величина, поэтому график данной зависи
мости— открытый луч (рис. 171).
Пример 5. Площадь сектора
(S="W(S="Wкруга радиу-круга радиу-С« R прямо пропорциональна радианной мере дуги сектора с коэффициентом пропорциональности k=-^-R2 (гл^ R— радиус сек-
(S="W
(S="W
круга радиу-
круга радиу-
юра). Графиком дайной зависимости служит отрезок с концами 0(0,0) и М (2л; лR2) (рис. 172).
ти3
Пример 6. Кинетическая энергия — материальной точки массы т прямо пропорциональна и2 (квадрату скорости точки) С к=-^-т.
Если переменная у пропорциональна переменной х с коэффициентом пропорциональности к, то переменная х (при к^0) пропорциональна переменной у с коэффициентом пропорцио- 1 цельности —. к
Обратная пропорциональность
Обратной пропорциональностью называют функцию вид.»
где к — некоторое действительное число, отличное от нуля. Числи к называют коэффициентом обратной пропорциональности.
Ни одна из переменных х и у нс может принимать значения о И область определения, и область значений этой функции есть множество всех действительных чисел, отличных от нуля.
Для любых двух пар соответственных значений переменных (хь z/i) и (х2; i/2) верно равенство
//I _ {/2
Х2
так как yvxt = у2х2 = к.
Пример 1. При равномерном движении по прямой время, затрачиваемое телом на прохождение заданного пути, обратно пропорционально скорости движения.
Если переменная у обратно пропорциональна переменной * с коэффициентом пропорциональности к, то переменная х об ратно пропорциональна переменной у с тем же коэффициентом обратной пропорциональности.
Графиком функции у =^- является кривая, состоящая из двух
ветвей. График функции У = "~ называется гиперболой.
Пример 2. На рисунке 173 изображены графики функ при разных к ( к = ± 1; + 2; ±4-)
Отмстим, что гиперболой па зывают также любую кривуш, получающуюся из графика .к
функции У=” ПРИ помощи движений.
Пример 3. Графики функ ций у =-1—1-2 и У = -^ (Р»« 174—175) являются гипербола ми, так как они получают» я из графика функции у=— на раллельным переносом.
График функции у = — при
Рис. 174.Рис. 174.
Рис. 174.
Рис. 174.
*>0 расположен в I и III координатных углах (рис. 176), а при *<0— во II и IV координатных углах (рис. 177).
Так как функция у = -^ нечетная, то ее график симметричен относительно начала координат.
Рис 178.Рис 178.
Рис 178.
Рис 178.
Функция у=— непрерывна на полупрямых (—оо; 0) и (0; оо). В точке х = 0 функция не определена.
Пример 4. Функция у = -^- убывает на промежутгае (— оо; 0) и (0; оо) (рис. 178), а функция // = 3 ——L— возрастай на промежутках (— оо ; — 1) и (— 1; оо) (рис. 179).
Линейная функция
Линейной функцией называется функция вида у — kx -\-Ь,
где k и b — некоторые числа.
Область определения линейной функции — вся числовая прямая R. Область значений при к^=0— также вся числовая прямая R. При к=0 область значений состоит из одной точки h
Линейная функция 1^х^=кх-^-Ь дифференцируема на всей числовой прямой. Так как ее производная в каждой точке ран на к, то при /г > 0 функция f возрастает на ( — оо; оо), при к< И функция f убывает на (—оо; оо), а при к = 0 функция постони ная.
При к = 0 каждая точка является критической точкой фуни ции, так как в каждой точке производная равна 0; при ^=/ и критических точек нет.
Линейная функция не имеет экстремумов при к=#0.
Графиком линейной функции служит прямая с угловым коэф фициентом к. При /г^О эта прямая есть образ графика при мой пропорциональности у = кх при параллельном перено» г (рис. 180).
Если y = kx-V*b, то говорят, что переменная у линейно за висит от переменной х. При этом если k^Q, то и х линейно за висит от у, поскольку тогда х=—у——.
к к
На рисунках 181 —183 изображены графики линейных функ
цпй при различных к и b (рис. 181 при к = 1 и b= + 1; + 0,6; ±3; рис. 182 при к = 0,6 и b= — 1; 0; 1; 2,5; рис. 183 при к= — 2 н Ь = — 1, к = — 0,5 и Ь = 4\
Прямые у = кхх-\-Ь\ и у = к2х-^Ь2 параллельны тогда и только тогда, когда к\=к2 (рис. 184).
Эти прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда кхк2 =— 1 (объясните почему, рис. 185).
Прямые с одним и тем же коэффициентом b проходят через одну точку — точку М (0; Ь') (рис. 186).
Любая прямая, не параллельная оси ординат, служит графиком некоторой линейной функции (см. рис. 180). Коэффициент b равен ординате точки пересечения этой прямой с осью ординат, коэффициент к — тангенсу угла между прямой и осью Ох.
Если Mv (хь у^ и М-2 (х2; Уг) — две точки прямой, то
Х2 — Х1
(рис. 187).
Линейным уравнением с двумя переменными х и у называют уравнение вида ах + by + с = 0, где а, b и с — действительные числа. Если а и b одновременно не обращаются в нуль, то гра-
фиком этого уравнения является пряма» «вертикальная» прямая х = —— при Ь- О (рис. 188), и график линейной функции У =рХ|- При Ь^О (уГЛОВОЙ КОЭф фициент к = ——) .ь /Любая прямая плоскости есть график некоторого линейного уравнения.Графики линейных уравнений при pa i личных а, b и с изображены на рисунке 18чфиком этого уравнения является пряма» «вертикальная» прямая х = —— при Ь- О (рис. 188), и график линейной функции У =рХ|- При Ь^О (уГЛОВОЙ КОЭф фициент к = ——) .ь /Любая прямая плоскости есть график некоторого линейного уравнения.Графики линейных уравнений при pa i личных а, b и с изображены на рисунке 18ч12. Квадратный трехчлен12. Квадратный трехчлен1°. Разложение квадратного трехчлена на множители. Функ поу = ах2 4- Ьх + с,.е а, Ь, с — некоторые действительные числа, причем а =#0, на [вают квадратичной, а выражениеах2 + 6x4- с1°. Разложение квадратного трехчлена на множители. Функ поу = ах2 4- Ьх + с,.е а, Ь, с — некоторые действительные числа, причем а =#0, на [вают квадратичной, а выражениеах2 + 6x4- сзывают квадратным трехчленом.Преобразуем квадратный трехчлен:зывают квадратным трехчленом.Преобразуем квадратный трехчлен:ВыражениеВыражение62 — 4ас62 — 4ас
фиком этого уравнения является пряма» «вертикальная» прямая х = —— при Ь- О (рис. 188), и график линейной функции У =рХ|- При Ь^О (уГЛОВОЙ КОЭф фициент к = ——) .
ь /
Любая прямая плоскости есть график некоторого линейного уравнения.
Графики линейных уравнений при pa i личных а, b и с изображены на рисунке 18ч
фиком этого уравнения является пряма» «вертикальная» прямая х = —— при Ь- О (рис. 188), и график линейной функции У =рХ|- При Ь^О (уГЛОВОЙ КОЭф фициент к = ——) .
ь /
Любая прямая плоскости есть график некоторого линейного уравнения.
Графики линейных уравнений при pa i личных а, b и с изображены на рисунке 18ч
12. Квадратный трехчлен
12. Квадратный трехчлен
1°. Разложение квадратного трехчлена на множители. Функ по
у = ах2 4- Ьх + с,
.е а, Ь, с — некоторые действительные числа, причем а =#0, на [вают квадратичной, а выражение
ах2 + 6x4- с
1°. Разложение квадратного трехчлена на множители. Функ по
у = ах2 4- Ьх + с,
.е а, Ь, с — некоторые действительные числа, причем а =#0, на [вают квадратичной, а выражение
ах2 + 6x4- с
зывают квадратным трехчленом.
Преобразуем квадратный трехчлен:
зывают квадратным трехчленом.
Преобразуем квадратный трехчлен:
Выражение
Выражение
62 — 4ас
62 — 4ас
зывают дискриминантом квадратного трехчлена и обозначаю! свой D, т. е.
D = b2— 4ас.
Если D^O, то (1) можно разложить на множители:
где xiгде xi— b — л[и—4ас— b — л[и—4ас2a2a— b 4-4ас, Х2=2а— b 4-4ас, Х2=2а
где xi
где xi
— b — л[и—4ас
— b — л[и—4ас
2a
2a
— b 4-4ас
, Х2=
2а
— b 4-4ас
, Х2=
2а
Окончательно получаем:
(2)(2)ах2 -V bx -V с = а (х — х\) (х —хг).
(2)
(2)
2 b2 — 4ac4а2
при всех действительных значениях х, поэтому ах2 + Ьх 4- с^О ни при каком действительном х. Отсюда следует, что выражение ах2 + ^х + с нельзя разложить на линейные множители, т. е. нельзя представить в виде
(рх + у) (ex + f),
так как это произведение обращается в нуль при х= —^- и х= ——.
е
2°. Корни квадратного уравнения. Квадратным уравнением называют уравнение вида
(3)
при а^О-
При Ь2 — 4ас^0 уравнение (1) равносильно уравнению tz (х—xi) (х—х2) = 0,(4)
где xi и х2— выражения, полученные в п. 1°. Так как произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю, то полученное уравнение имеет корни x = xi и х=Х2. Эти корни совпадают при Ь2 — 4ас = 0.
При Ь2 — 4ас<0 уравнение (3) не имеет действительных корней, так как в этом случае выражение ах2 4-^x4- с не обращается в нуль (см. п. 1°).
Итак, при £)<0 уравнение ох24-^4~с = 0 не имеет действительных корней, при D = 0 имеет один корень х=—^, при О>0 имеет два действительных корня, которые принято записывать одной формулой:
—Ьа^Ь2— 4 ас, г\
Таким образом, число действительных корней квадратного уравнения зависит от знака дискриминанта D.
Пример 1. Дискриминант квадратного уравнения
6х2 — х — 1=0
равен I2 — 4*6-(—1) = 25>0, поэтому данное уравнение имеет
У Заказ 3552 57
два корнядва корня— 6 ±V&2— 4ас— 6 ±V&2— 4ас2а2а1±52-61±52-6т. е.т. е.
два корня
два корня
— 6 ±V&2— 4ас
— 6 ±V&2— 4ас
2а
2а
1±52-6
1±52-6
т. е.
т. е.
11
х. = —гих2=-_
Кроме того, квадратный трехчлен 6х2 — х— I можно разложим, на множители:
6х2— х— 1 = б(х + -|-)(х6х2— х— 1 = б(х + -|-)(х-)=(Зх4-1)(2х-1).-)=(Зх4-1)(2х-1).
6х2— х— 1 = б(х + -|-)(х
6х2— х— 1 = б(х + -|-)(х
-)=(Зх4-1)(2х-1).
-)=(Зх4-1)(2х-1).
Пример 2. Дискриминант квадратного уравнении 2х2— 3x4-2 = О отрицателен, так как D = 32— 4-2-2=—7<0 Поэтому данное уравнение не имеет действительных корней и трехчлен 2х2 —3x4-2 нельзя разложить на линейные множители
Пример 3. Уравнение 9х24- 12x4-4 = 0 имеет один кореш.
2
х= ——, так как его дискриминант равен нулю:
D= 122 —4 • 9-4 —0.
Разложение трехчлена 9х2 4- 12x4- 4 на множители имеет вил
9х24-12х4-4 = (Зх4-2)2.
Формулу корней квадратного уравнения с «четным» вторым коэффициентом Ь — ^к удобнее записывать в таком виде:
— k±^k2 — аса
Для приведенного квадратного уравнения, т. е. при а=1, полу чаем формулу
6262±л/ш±л/ш2— С.2— С.О')О')
6
2
6
2
±л/ш
±л/ш
2
— С.
2
— С.
О')
О')
Пример 4. Для решения уравнения 3х2 — 2х — I =0 удобно воспользоваться формулой (5'):
1+ур-3.(-1)1±2
33 ’
т. е.
Xi = 1; х2 = — —
3°. Теорема Виета. Найдем сумму и произведение корней уравнения ах2 + Ьх 4- с = 0;
,— b — V&2 —4ас । —6 +V62 —4ас— b — b 6 .
+ *2 =+й2Г“= "•
/ — b — -J^2 —4ас \ / — 64--\/^2 —4ас \
J2а2а) =
(— 6)2 — (УЬ2 — 4ас)2 4ас _ с 4а24а2 а
Итак, справедлива теорема: сумма корней квадратного уравнения ах2Л-Ьх-\-с = ^ равна —^-, а их произведение равно ■—.
Пример 5. Уравнение 5х2—11x4-4 = 0 имеет два корня, так как его дискриминант положителен (£) = 41>0). Сумма этих корней равна — ^=2L=^-, а произведение равно -g-.
Для составления квадратного уравнения с заданными корнями и в некоторых случаях для решения уравнений применяют теорему, обратную теореме Виета:
Произвольные числа х\ и х2 служат корнями квадратного уравнениях2 — (Xi 4-^2) Х4-Х1Х2 = О.
Для доказательства достаточно подставить значения х = х\ и х=Х2 в это уравнение.
Пример 6. Числа 0,2 и 4,5 служат корнями уравнения х2 _ (0,2 4- 4,5) х 4- 0,2 - 4,5 = 0, т. е. уравнения х2— 4,7x4- 0,9 = 0.
Заметим, что уравнение х2 —4,7x4-0,9 = 0 равносильно уравнению а (х2 — 4,7x4- 0,9) = 0, где а — любое отличное от нуля действительное число; например, при а=10 получаем уравнение Юх2 —47x4-9=0.
4°. График квадратичной функции.
График квадратичной функции имеет »ид, изображенный на рисунке 190, и намывается параболой.у11
Приравнивая к нулю производную \/
у' = 2ах4~ b квадратичной функции, полу- \/
чаем, что эта функция имеет одну критиче- \/
скую точку хо= —- Точка графика с та-——Т/^
кой абсциссой называется вершиной\/
Параболы, ордината этой точки равна\ у
/Ь\2 ../ Ь\ .— ь24-4ас
—2а)2а)*С — 4а *Рис. 190.
При а>0 «ветви» параболы направлены вверх, а при ж О вниз. Каждый из этих двух случаев разбивается на три подслучая в зависимости от числа корней уравнения.
Расположение графика по отношению к оси абсцисс во всех шести подслучаях изображено на рисунке 191.
Пример 7. По виду графика квадратного трехчлена опредс лим знаки коэффициентов а, Ь, с и дискриминанта D (рис. 192)
ь- полуь- полуВетви параболы направлены вниз, поэтому ц<0. Абсцисса вершины параболы хо положительна, так как вершина параболы
ь
- полу
ь
- полу
находится в правой полуплоскости. Из формулы хо =
а<0, 6>0, ЖО, D = 0.а<0, 6>0, ЖО, D = 0.чаем, что числа а и b разных знаков, т. е. Ь>0. Ордината точки пересечения графика с осью Оу равна c = f (0); она отрицательна, поэтому с<0. Наконец, график имеет одну общую точку с осью абсцисс (касается этой оси), т. е. уравнение ах2 + Ьх + с = 0 имес1 один корень и, следовательно, D = ^ Итак,
а<0, 6>0, ЖО, D = 0.
а<0, 6>0, ЖО, D = 0.
5°. Решение квадратичных неравенств
Проще всего квадратичные неравенства решать при помощи метода интерва лов (см. п. 21).
Полезно, однако, помнить, что знак квадратного трехчлена совпадает со зна
ком коэффициента при х2 на всей числовой прямой, кроме промежутка между корнями (если действительные корни существуют) .
Пример 8. Корнями квадратного трехчлена
2х2 — Зх — 5
являются числа — 1 и 2,5. Так как коэффициент при х2 положителен (он равен 2), то 2х2 — Зх — 5>0 на промежутках (—оо; —1) н (2,5; оо) и 2х2 — Зх —5<0 на промежутке (— 1; 2,5).
Пример 9. Неравенство —х2 + 3х—11>0 не имеет решений, так как трехчлен —х2 + 3х—11 не имеет действительных корней (его дискриминант D=— 35 отрицателен и коэффициент при х2 отрицателен).
Пример 10. Множество решений неравенства
— х2 + 3х— 11 <0 есть вся числовая прямая.
Пример 11. Множество решений неравенства
16х2 — 24х + 9<0
состоит из одной точки х = -|- (так как D = 242— 16-9-4 = 0 и корни уравнения 16х2 — 24x-f-9 = 0 совпадают: xi = X2 = -|-Y
Выражения с переменными
1°. Выражения, содержащие переменные, могут принимать разные значения в зависимости от значений переменных. Значения двух выражений с переменными при одних и тех же значениях переменных называют соответственными значениями выражений, например соответственными значениями выражений cos х и 2х при х = 0 будут значения 1 и 0.
Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.
Равенство, верное при всех допустимых значениях входящих и него переменных, называется тождеством.
Два выражения, принимающие равные соответственные значения при всех допустимых для них значениях переменных, называют тождественно равными, а замену одного выражения другим, ему тождественно равным,— тождественным преобразованием выражения.
Например, In |х| = -^-1п (х2) есть тождество при всех отличных от нуля действительных числах.
Пример 1. Выражения ^- и — тождественно равны при всех х=#0 и любых у.
2°. Многочлены. Произведение числовых множителей и нату ральных степеней переменных называют одночленом.
Для приведения одночлена к стандартному виду перемножаю! все входящие в одночлен числовые множители, а произведении одинаковых переменных (или их степеней) заменяют степенью этой переменной. Числовой множитель называют коэффициентом од ночлена. Сумму показателей степеней переменных называют ст г пенью одночлена.
Пример 2. Чху^х^у^Х •( — а) — одночлен от переменных х, у. а с коэффициентом —147 степени 8(1+2 + 3+14-1=8). Стаи дартный вид его: — 147x4t/3a.
Многочленом называют сумму одночленов. Для приведения многочлена к стандартному виду каждый из входящих в него одночленов заменяют одночленом стандартного вида и приводя! подобные члены. Степенью многочлена называют наибольшую из степеней одночленов, составляющих многочлен после приведения его к стандартному виду.
Пример 3. Стандартный вид многочлена
ху2ху3 + Зху2х — ^ух2у^ + Зх2!/5 — 2х2у
это Зх2у2 — 2х2у, а его степень равна 4.
Произведение одночлена на многочлен равно сумме произвело ний одночлена на каждый член многочлена.
Пример 4. ЪЬу (x3 + 2xz/+ b2y)==2bx3y-{-^bxy2-Y^y2.
Произведение двух многочленов равно сумме произведения каждого члена первого многочлена на каждый член второго много члена.
Пример 5. (х2 —Зх+1) (х—2) =
= х2-х + х •( —2) + ( —Зх)-х + ( —Зх)-( —2)+1 «х+1 •( —2) ==х3— 2х2 — Зх2 + 6х+х— 2 = х3 — 5х2 + 7х—2.
Многочлены называют также целыми алгебраическими вы ражениями.
Разложить многочлен на множители означает представить его в виде произведения многочленов или одночлена на многочлен. При этом используются следующие приемы.
Вынесение общего множителя за скобки.
Пример 6. 9ах2 — 6а2х=3ах (Зх—2а).
Группировка.
Пример 7.х3 — Зх2 + х+1=х3 — х2 — 2х2 + 2х— х+1 =
=х2 (х— 1) — 2х (х— 1) — (х— 1) = (х— 1) (х2 — 2х— 1).
Разложение квадратного трехчлена на множители (см. п. 12).
Тождества сокращенного умножения.
Корнем многочлена с одной переменной называется значение переменной, при котором многочлен обращается в нуль.
3°. Дроби. Дробью называют выражение, имеющее вид -р где а и b — некоторые выражения (числовые или выражения с переменными). Областью определения дроби служит множество
шлчений переменных, при которых определено каждое из выражений а и Ь и Ь#=0.
Основное свойство дроби. Равенство ^-=~ яв- be b
—V^t1^—г является тождествомX2—1X—1—V^t1^—г является тождествомX2—1X—1дяется тождеством на множестве значений переменных, при которых определены обе части этого тождества.
—V^t1^—г является тождеством
X2—1X—1
—V^t1^—г является тождеством
X2—1X—1
рациональных в ы р а ж е-рациональных в ы р а ж е-Пример 8. Равенство при всех x=# ± 1.
рациональных в ы р а ж е-
рациональных в ы р а ж е-
Преобразование
и и й. На множестве значений переменных, при которых определены левые и правые части написанных ниже равенств, эти
равенства являютсяравенства являютсяа> —а> —b abb abdпdпcd ’ап .Ьп ’cd ’ап .Ьп ’тождествами:ас ad .6> --"d^-тождествами:ас ad .6> --"d^-а"bа"bс ad-\-bcd bdс ad-\-bcd bd
равенства являются
равенства являются
а> —
а> —
b ab
b ab
d
п
d
п
cd ’
ап .
Ьп ’
cd ’
ап .
Ьп ’
тождествами:
ас ad .
6> --"d^-
тождествами:
ас ad .
6> --"d^-
а
"b
а
"b
с ad-\-bc
d bd
с ad-\-bc
d bd
Уравнения, неравенства, системы
1°. Уравнения и неравенства с одной переменной. У равнением (неравенством) с одной переменной называется равенство (неравенство), содержащее эту переменную. Переменную в уравнении (неравенстве) часто называют неизвестным.
Корнем (или решением) уравнения с одной переменной называется значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.
Пример 1. Число 5 — корень уравнения х2 = 25, а число 1 не является корнем этого уравнения.
Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.
Пример 2. Число 4 — решение неравенства х2<25, а число — 8 не является решением этого неравенства.
Решить уравнение (неравенство) — значит найти все его решения (или доказать, что их нет).
Два уравнения (неравенства) с одной переменной называются равносильными, если множества их решений совпадают (другими словами, если они имеют одни и те же решения). При краткой записи решения вместо слова «равносильно» часто ставят знак о.
Прим е<р 3. Уравнения Зх—6 = 0 и (х— 2)2 = 0 равносильны, так как каждое из них имеет один корень х=2; можно записать: Зх — 6 = 0 о (х — 2)2 = 0. Уравнение х=0 равносильно неравенству х2^0, т. е. х = 0 о х2^0.
При решении уравнений и неравенств с одной переменной пользуются основными правилами и приемами, сформулированными ниже. Пусть выражение С (х) определено на всей числовой прямой. Тогда верны следующие утверждения.
1) Если к обеим частям уравнения (неравенства) прибавши одно и то же выражение С (х), то получится уравнение (нерп венство), равносильное данному.
1а) Следствие. Любое слагаемое можно переносить и i одной части уравнения (неравенства) в другую с противопо ложным знаком, после этого получается уравнение (неравенство) равносильное данному.
Пример 4. Неравенства х — 1 >0 и х — 1 + 1 >0+ 1 равно сильны. Уравнения х + — =— и х=—— равносильны. Однако
X XX X
если выполнить вычитание в правой части последнего уравнения, то получим уравнение х = 0, не равносильное этим уравнениям (оно имеет корень х=0, а уравнения х4——=— и х=—— не
XXXX
имеют корней). Дело в том, что при вычитании мы расширили об ласть определения уравнения.
2а) Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же выражение С (х), не обращающееся в нуль ни при каком х, то получится уравнение, равносильное данному.
26) Если обе части неравенства умножить (или разделить) но одно и то же выражение С (х), положительное при всех х, то по лучится неравенство, равносильное данному.
2в) Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и то же выражение С (х), отрицательное при всех х, и знак неравенства изменить на противоположный, то получится нера венство, равносильное данному.
Пример 5. Решим неравенство 9— 5х>0. Имеем: 9— 5х> 0 о- —5х> —9 о х< 1,8. Ответ: (— оо; 1,8).
П р и м е р 6. Обе части уравнения (х—2) (х+2) = 2 (х —2) нельзя разделить на выражение (х—2), так как это выражение об ращается в нуль при х=2. При делении будет потерян корень х=2. Исходное уравнение имеет два корня 0 и 2, а получен ное после деления на (х —2) уравнение х+2=2 имеет один ко рень 0.
Если выражение С (х) определено не всюду или в некоторых точках не выполнены условия, наложенные на С (х) в правилах 1 и 2, то аналогичные правила формулируются сложнее. Например, уравнение
fW. л
равносильно системе
I g(x)^0.
Пример 7. Решим уравнение -^т4—Ц= ^ "у- • Имеем: X I,т 1 X~1 X 1
1 ।1Зх2 — 1 ,, x — 1 —|— x —|— 1 — Зх2 4- 1 f|
x2-ix2-i-
—3r!+2x+l, f3x2 —2z—1=0,
?=]^^IV-l^O ^
I x= 1 или x= —— » о
Ответ: x= —
I»: 6
2°. Уравнения и неравенства с несколькими переменными. Так называются уравнения и неравенства, содержащие две или большее число переменных. Чаще всего встречаются уравнения и неравенства, содержащие две или три переменных. Решением уравнения (неравенства) с двумя переменными называется упорядоченная пара значений этих переменных, обращающая это уравнение (неравенство) в верное числовое равенство (неравенство). Если в уравнение (неравенство) входят переменные х и у, то принято на первом месте писать значение переменной х, а на втором — значение у.
Пример 8. Пара (2; 1) является решением уравнения х2 + у = 5, а пара (1; 2) —нет.
В общем случае необходимо указывать, значение какой из переменных стоит на первом месте, а какой — на втором.
Пример 9. Уравнение (ы + 2)2 + (/ —3)2 = 0 имеет единственное решение (/; м)=(3; —2). Или можно записать так: и= — 2, /=3.
Аналогично определяется решение уравнения (неравенства) с тремя и более переменными. Например, решением уравнения с тремя переменными называют упорядоченную тройку чисел, при подстановке которых вместо соответствующих переменных уравнение обращается в верное равенство. Если это переменные х, у и z, то принято на первом месте записывать значение х, на втором — значение у, а на третьем — значение z. В остальных случаях, как правило, нужно указывать порядок, в котором записываются значения переменных.
Два уравнения (неравенства) с несколькими переменными называются равносильными, если они содержат одни и те же переменные и имеют одинаковые решения (т. е. множества соответствующих пар, троек и т. п. совпадают).
Правила преобразования уравнений (неравенств) с несколькими переменными совершенно аналогичны правилам 1 и 2 для уравнений (неравенств) с одной переменной.
пп*—у*—уример 10. Уравнениях2 — у = 1 иг2 = у+1 равносильны (по правилу, аналогичному правилу 1а)). Неравенства и х—у<. 3 (t/2+ 1) равносильны (см. правило 26)).
п
п
*—у
*—у
, . , „ ^.v v uziiDiM переменными вовсе не имеет решений). Поэтому принято каждое решение /хо; уо) уравнения < неравен ства) с двумя переменными х и у изображать точкой с координата ми(хо; t/о) на координатной плоскости. Множество всех таких точек называют графиком этого уравнения (соответственно множеством решений неравенства).Пример И. На рисунках 193 и 194 изображены графики уравнений х=у2 й х2 = у\ а на рисунках 195 и 196 — множества решений неравенств х2 + </2^9 и х*>у2.Пример 12. Графиком линейного уравнения 2х4-3у=—5 является прямая (рис. 197). Построить ее проще всего по, . , „ ^.v v uziiDiM переменными вовсе не имеет решений). Поэтому принято каждое решение /хо; уо) уравнения < неравен ства) с двумя переменными х и у изображать точкой с координата ми(хо; t/о) на координатной плоскости. Множество всех таких точек называют графиком этого уравнения (соответственно множеством решений неравенства).Пример И. На рисунках 193 и 194 изображены графики уравнений х=у2 й х2 = у\ а на рисунках 195 и 196 — множества решений неравенств х2 + </2^9 и х*>у2.Пример 12. Графиком линейного уравнения 2х4-3у=—5 является прямая (рис. 197). Построить ее проще всего подвум точкам: при х = 0 у —двум точкам: при х = 0 у —у = ^ х =у = ^ х =555/З-. т. е. одна точка / 0;5/З-. т. е. одна точка / 0;,53,532". т. е. вторая точка2". т. е. вторая точка5\2» 0 Y Можно брать и5\2» 0 Y Можно брать иРис. 196.Рис. 196.Уравнения (неравенства) с двумя и более переменными, как правило, имеют бесконечно много решений (хотя уравнение примера 9 имеет всего одно решение, а неравенство х2 + ц2 4- w24-
, . , „ ^.v v uziiDiM переменными вовсе не имеет решений). Поэтому принято каждое решение /хо; уо) уравнения < неравен ства) с двумя переменными х и у изображать точкой с координата ми(хо; t/о) на координатной плоскости. Множество всех таких точек называют графиком этого уравнения (соответственно множеством решений неравенства).
Пример И. На рисунках 193 и 194 изображены графики уравнений х=у2 й х2 = у\ а на рисунках 195 и 196 — множества решений неравенств х2 + </2^9 и х*>у2.
Пример 12. Графиком линейного уравнения 2х4-3у=—5 является прямая (рис. 197). Построить ее проще всего по
, . , „ ^.v v uziiDiM переменными вовсе не имеет решений). Поэтому принято каждое решение /хо; уо) уравнения < неравен ства) с двумя переменными х и у изображать точкой с координата ми(хо; t/о) на координатной плоскости. Множество всех таких точек называют графиком этого уравнения (соответственно множеством решений неравенства).
Пример И. На рисунках 193 и 194 изображены графики уравнений х=у2 й х2 = у\ а на рисунках 195 и 196 — множества решений неравенств х2 + </2^9 и х*>у2.
Пример 12. Графиком линейного уравнения 2х4-3у=—5 является прямая (рис. 197). Построить ее проще всего по
двум точкам: при х = 0 у —
двум точкам: при х = 0 у —
у = ^ х =
у = ^ х =
5
5
5/
З-. т. е. одна точка / 0;
5/
З-. т. е. одна точка / 0;
,5
3
,5
3
2". т. е. вторая точка
2". т. е. вторая точка
5\
2» 0 Y Можно брать и
5\
2» 0 Y Можно брать и
Рис. 196.
Рис. 196.
другие значения переменных: при у=Х х=—4, т. е. одна тчка ( — 4; 1), при у= — 1 х= * —1, т. е. вторая точка (-1; -1).
3°. Системы уравнений и неравенств. Пусть задано несколько уравнений (или нера- иенств, или уравнений и нера- аснств) с одними и теми же переменными и пусть при этом гребуется найти решения, об- щие для всех уравнений (не
равенств). В этом случае говорят, что задана система уравнений (соответственно неравенств, уравнений и неравенств). Решением
системы, например, с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных, обращающая каждое из уравнений (неравенств), входящих в систему, в верное равенство (неравенство) . Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что решений нет. Аналогично определяются системы с одной переменной, с тремя и более переменными.
Пример 13. Решим систему неравенств с одной переменной:
Ответ: (— оо; — 1).
При решении систем уравнений пользуются следующими правилами преобразования систем в равносильные (для определенности считаем, что переменных две, для систем с тремя и более переменными правила аналогичны).
Правило подстановки: если одна из переменных системы выражена через остальные (т. е. одно из уравнений системы имеет вид: у=Цх)\ то пРи подстановке выражения f(x) вместо у во все остальные уравнения системы получается равносильная данной система.
Правило замены: если одно из уравнений системы заменить на равносильное, то получится система, равносильная исходной.
Правило сложения: если к одному из уравнений системы добавить почленно другое уравнение, умноженное на некоторое число, то получится система, равносильная исходной.
Пример 14. Решим системуПример 14. Решим системух । у __ 13У х 6х । у __ 13У х 6
Пример 14. Решим систему
Пример 14. Решим систему
х । у __ 13
У х 6
х । у __ 13
У х 6
Пользуясь правилом замены, получаем:
{
_х ■ у 13/ х . у 13/ х . 5—х 13
у х 6 ’о< у'х 65 —X*х 6*
х + у = 5 I ^=5 — х I у = Ь — х.
Решим первое уравнение:
х2+(5—х)2 _ 13/ 6 (х2 + (5 — х)2) = 1 Зх (5 — х),
х(5—х) 6( х (5 — х)#=0
или х = 2.или х = 2.Г х2—5х 4-6 = 0, 1х(5—х)у=0<>х
или х = 2.
или х = 2.
Пользуясь тем, что у = 5— х, находим: у = 5—3 = 2 и // = 5 — 2 = 3 Ответ: (2; 3), (3; 2).
4°. Системы линейных уравнений. Будем считать, что в каждом из уравнений системы
(1)(1)a\x-Vbvy = C\,02-^4” Ь^у = С2
(1)
(1)
с двумя переменными хотя бы один из коэффициентов при переменных отличен от нуля. Графиками таких уравнений являются две прямые на плоскости. Возможны три случая взаимного расположения двух прямых на плоскости: 1) прямые пересекаются (система имеет одно решение, рис. 198); 2) прямые параллельны и не имеют общих точек (система не имеет решений, рис. 199); 3) прямые совпадают (система имеет бесконечно много решений, рис. 200).
Пример 15. При каком значении параметра а система
Г x-Vy= 1,
I ах —4t/ = 3
имеет решение?
При решении этой задачи воспользуемся геометрическим смыслом системы линейных уравнений. Угловой коэффициент прямой.
шдаваемой первым уравнением, равен —1, а угловой коэф- фнциент прямой, задаваемой вторым уравнением системы, равен -^. Поэтому при -^5^ — 1,
т. е. при а#^—4, эти прямыеX "/ X
пересекаются и, следователь- -4х-4у=зХ.X.
но, система имеет единственноечХ^
решение. При а= — 4 эти пря-X.
мые параллельны (так как имеют равные угловые коэффи-Рис. 201.
циенты) и не совпадают
(рис. 201) и, следовательно, система не имеет решений. О т- в е т: При й^ —4.
Для решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными чаще всего пользуются правилом сложения или правилом подстановки.
Пример 16. Решим систему
f 2x + 3z/=3,I Зх—у = 10.
Прибавив к первому уравнению системы второе, умноженное па 3, получим систему, равносильную заданной:
11х=33, Зх—у = 10.
Из первого уравнения системы находим, что х=3, а затем находим из второго уравнения у=3х —10, откуда у=— 1. О т в е т: (3; — 1).
Другой способ решения основан на правиле подстановки. Из второго уравнения системы находим: у = 3х—10. Подставляя вместо у в первое уравнение системы Зх— 10, получаем систему, равносильную заданной:
2x + 3(3x-10) = 3, у=3х — 10.
Из первого уравнения находим, что х=3, а затем из второго, что z/ = 3-3—10= — 1.
▼ Иногда рассматривают геометрическую иллюстрацию систем трех линейных уравнений с тремя переменными. (В каждом из уравнений хотя бы один из коэффициентов при переменных считается отличным от нуля — в этом случае уравнение определяет плоскость в пространстве.) Из-за трудностей исследования взаимного расположения трех плоскостей в пространстве, заданных своими уравнениями, эта иллюстрация большого практического значения не имеет. ▼
Преобразование графиков функций
Часто график одной функции можно получить из графика другой с помощью геометрических преобразований. Такими геометрическими преобразованиями являются параллельные переносы вдоль осей координат, сжатия и растяжения к осям.
Рассмотрим в отдельности каждое преобразование.
1°. Параллельный перенос графика вдоль оси ординат. График функции g, где
g^ = f (х) + а,
получается из графика функции f с помощью параллельного переноса на вектор г (0; а) (рис. 202). Если число а положительно, то график параллельно переносится вдоль оси ординат вверх,
а если а отрицательно, то вниз.
Пример 1. График квадратного трехчлена у=х?-\-3 получается из графика функции у — )? параллельным переносом на 3 единицы вверх вдоль оси ординат (рис. 203), а график функции у—х?— 5 — на 5 единиц вниз.
2°. Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс. На рисунке 204 изображены три графика — графики функций f, g и h. При этом g (x)=f (%4-а) и h(x)=f (х-^-Ь\ График функции g получается из графика функцйи /
Рис. 202.Рис. 202.Рис. 203.Рис. 203.параллельным переносом на вектор г( — а; 0). На рисунке 204 для функции g (х) число а равно 2, а для функции h (х) число b равно — 3.
Рис. 202.
Рис. 202.
Рис. 203.
Рис. 203.
Пример 2. График квадратного трехчлена y = ^x-\-df получается из графика у = х2 параллельным переносом на вектор г (— а; 0) (рис. 205, а = 2,5 и а =—3,5).
Возьмем любую точку (х; t/) на графике функции f. Координаты этой точки удовлетворяют равенству y = f(x\ При параллельном переносе на вектор Т(— а; 0) точка (х; у') перейдет в точку (х —а; у\ Координаты полученной точки удовлетворяют равенству y — f(x—а + п), т. е. y=g^x — а). Следовательно, после параллельного переноса точка (х; у) оказывается на графике функции g. Аналогично проверяется, что каждая точка графика функции g получается после этого переноса из некоторой точки графика функции f.
Пример 3. На рисунке 206 график квадратного трехчлена g(x)=(x— З)2— 2
У-У-Рис. 205.Рис. 205.
У-
У-
Рис. 205.
Рис. 205.
смещен параллельно оси ординат на 2 вниз и параллельно оси абсцисс на 3 вправо по отношению к графику f(x)=x . Таким образом, график функции g получен из графика функции / параллельным переносом на вектор г (3; —2).
Пример 4. Преобразовав квадратный трехчлен к виду2 ।।। Ь \262 —4ас
у=ах24-Ьх + с = а^х4--^-)^—,
получим, что график функции у = ах2 4- Ьх + с получается из графика функции у = сиг с помощью параллельного переноса на вектор г/--;—^^^ ) * График функции у=ах2 симмет
ричен относительно оси ординат (так как это четная функция). Следовательно, график функции у = ах2 + Ьх + с симметричен относительно образа оси ординат при этом переносе, т. е. прямой
▼ 3°. Растяжение и сжатие графика к оси абсцисс. На рисунке 207 изображены графики трех функций f, g и h. При этом g^=a^x\ где а>1, и h^=b^x\ где 0<£<1. От умножения всех значений функции f на число tz> 1 ординаты всех
Рис. 209.Рис. 209.точек графика функции f упс личиваются в а раз и получа ется растяжение графика ш оси абсцисс в а раз. От ум ножения всех значений фу ни ции / на число Ь, 0<6<1 ординаты всех точек графика функции f уменьшаются в раз и получается сжатие гра фика к оси абсцисс в -~ pa i
Рис. 209.
Рис. 209.
Пример 5. График функ ции // = 2х2 (рис. 208) получа ется из графика функции у=х2 растяжением графика от осп абсцисс в 2 раза, а график функции у = 0,5х2— сжатием к осп абсцисс в 2 раза.
получается из графика функции f растяжением в а раз при а> 1 от оси ординат и сжатием в -^- раз к оси ординат при 0<о-<1 (рис. 209).получается из графика функции f растяжением в а раз при а> 1 от оси ординат и сжатием в -^- раз к оси ординат при 0<о-<1 (рис. 209).Рис. 211.Рис. 211.шДшшРис. 212.шДшшРис. 212.Действительно, после указанного растяжения (сжатия) точка с координатами (х; у^ переходит в точку с координатами (ох; у\ Если точка (х; у) принадлежит графику функции f, то у = ^х\ т. е.4 = /\—J=gWа это означает, что точка (ох; у^ лежит на графике функции g. Аналогично проверяется, что каждая точка графика функции g получается растяжением (сжатием) из некоторой точки графика функции f.Пример 6. График функции z/ = {0,5x) (рис. 210) получается из графика функции t/ = (x} (рис. 211) растяжением в 2 разаДействительно, после указанного растяжения (сжатия) точка с координатами (х; у^ переходит в точку с координатами (ох; у\ Если точка (х; у) принадлежит графику функции f, то у = ^х\ т. е.4 = /\—J=gWа это означает, что точка (ох; у^ лежит на графике функции g. Аналогично проверяется, что каждая точка графика функции g получается растяжением (сжатием) из некоторой точки графика функции f.Пример 6. График функции z/ = {0,5x) (рис. 210) получается из графика функции t/ = (x} (рис. 211) растяжением в 2 раза4°. Растяжение и сжатие графика к оси ординат. График функции
получается из графика функции f растяжением в а раз при а> 1 от оси ординат и сжатием в -^- раз к оси ординат при 0<о-<1 (рис. 209).
получается из графика функции f растяжением в а раз при а> 1 от оси ординат и сжатием в -^- раз к оси ординат при 0<о-<1 (рис. 209).
Рис. 211.
Рис. 211.
шДшш
Рис. 212.
шДшш
Рис. 212.
Действительно, после указанного растяжения (сжатия) точка с координатами (х; у^ переходит в точку с координатами (ох; у\ Если точка (х; у) принадлежит графику функции f, то у = ^х\ т. е.
4 = /\—J=gW
а это означает, что точка (ох; у^ лежит на графике функции g. Аналогично проверяется, что каждая точка графика функции g получается растяжением (сжатием) из некоторой точки графика функции f.
Пример 6. График функции z/ = {0,5x) (рис. 210) получается из графика функции t/ = (x} (рис. 211) растяжением в 2 раза
Действительно, после указанного растяжения (сжатия) точка с координатами (х; у^ переходит в точку с координатами (ох; у\ Если точка (х; у) принадлежит графику функции f, то у = ^х\ т. е.
4 = /\—J=gW
а это означает, что точка (ох; у^ лежит на графике функции g. Аналогично проверяется, что каждая точка графика функции g получается растяжением (сжатием) из некоторой точки графика функции f.
Пример 6. График функции z/ = {0,5x) (рис. 210) получается из графика функции t/ = (x} (рис. 211) растяжением в 2 раза
от оси ординат, а график функции у —{2х} (рис. 212) сжатием п 2 раза к оси ординат.Пример 7. График квадратного трехчленау = 2х2 + 2х+ 1,5(рис. 213), т. е.y = 2(x4--^-j +1,получается из графика функции у = х2 следующими преобразованиями:растяжением в 2 раза от оси абсцисс;параллельным переносом на вектор г (0; 1);параллельным переносомна вектор г( ——; 01 (вместоот оси ординат, а график функции у —{2х} (рис. 212) сжатием п 2 раза к оси ординат.Пример 7. График квадратного трехчленау = 2х2 + 2х+ 1,5(рис. 213), т. е.y = 2(x4--^-j +1,получается из графика функции у = х2 следующими преобразованиями:растяжением в 2 раза от оси абсцисс;параллельным переносом на вектор г (0; 1);параллельным переносомна вектор г( ——; 01 (вместоРис. 213.Рис. 213.б) и в) можно сразу сделатьб) и в) можно сразу сделатьпараллельный перенос на вектор г^—^-; 1^ .Пример 8. График гармонического колебания у = = 3 cos (2x4-4), т. е. у = 3 cos (2 (х4-2)), получается из графика косинуса следующей последовательностью преобразований:сжатием в 2 раза к оси ординат (рис. 214);параллельным переносом на вектор г( — 2; 0) (рис. 215);параллельный перенос на вектор г^—^-; 1^ .Пример 8. График гармонического колебания у = = 3 cos (2x4-4), т. е. у = 3 cos (2 (х4-2)), получается из графика косинуса следующей последовательностью преобразований:сжатием в 2 раза к оси ординат (рис. 214);параллельным переносом на вектор г( — 2; 0) (рис. 215);Рис. 214.Уy=cos(2x*4)Рис. 214.Уy=cos(2x*4)•Рис. 215.
от оси ординат, а график функции у —{2х} (рис. 212) сжатием п 2 раза к оси ординат.
Пример 7. График квадратного трехчлена
у = 2х2 + 2х+ 1,5
(рис. 213), т. е.
y = 2(x4--^-j +1,
получается из графика функции у = х2 следующими преобразованиями:
растяжением в 2 раза от оси абсцисс;
параллельным переносом на вектор г (0; 1);
параллельным переносом
на вектор г( ——; 01 (вместо
от оси ординат, а график функции у —{2х} (рис. 212) сжатием п 2 раза к оси ординат.
Пример 7. График квадратного трехчлена
у = 2х2 + 2х+ 1,5
(рис. 213), т. е.
y = 2(x4--^-j +1,
получается из графика функции у = х2 следующими преобразованиями:
растяжением в 2 раза от оси абсцисс;
параллельным переносом на вектор г (0; 1);
параллельным переносом
на вектор г( ——; 01 (вместо
Рис. 213.
Рис. 213.
б) и в) можно сразу сделать
б) и в) можно сразу сделать
параллельный перенос на вектор г^—^-; 1^ .
Пример 8. График гармонического колебания у = = 3 cos (2x4-4), т. е. у = 3 cos (2 (х4-2)), получается из графика косинуса следующей последовательностью преобразований:
сжатием в 2 раза к оси ординат (рис. 214);
параллельным переносом на вектор г( — 2; 0) (рис. 215);
параллельный перенос на вектор г^—^-; 1^ .
Пример 8. График гармонического колебания у = = 3 cos (2x4-4), т. е. у = 3 cos (2 (х4-2)), получается из графика косинуса следующей последовательностью преобразований:
сжатием в 2 раза к оси ординат (рис. 214);
параллельным переносом на вектор г( — 2; 0) (рис. 215);
Рис. 214.
Уy=cos(2x*4)
Рис. 214.
Уy=cos(2x*4)
10 Заказ 355273
растяжением в 3 раза от оси абсцисс (рис. 216).
Вообще графики гармонического колебания у = А cos (cox + q) получаются из графика косинуса такой последовательностью преобразований: 1) сжатием в со раз к оси Оу; 2) параллель ным переносом на вектор г^—^-; б) ; 3) растяжением в А ра * от оси Ох. ▼
Формулы сложения для тригонометрических функций
Возьмем на единичной окружности точки Ра, Рр, Ра-» и Р» (рис. 217). Выпишем координаты этих точек (пользуясь опре делением синуса и косинуса):
Ра (cos a; sin а), Рр (cos Р; sin Р),Ра-р (cos (а — р); sin (а — р)),Ра (cos a; sin а), Рр (cos Р; sin Р),Ра-р (cos (а — р); sin (а — р)),(I)(I)Ро(1;О).
Ра (cos a; sin а), Рр (cos Р; sin Р),Ра-р (cos (а — р); sin (а — р)),
Ра (cos a; sin а), Рр (cos Р; sin Р),Ра-р (cos (а — р); sin (а — р)),
(I)
(I)
Поскольку дуги РаРр и Ра^рР0 равны, то равны и длины отрезков РаРр и Ра_рР0. Запишем это, пользуясь формулой расстояния между точками, задан ными своими координатами (см. (1))
V(cos a —cos p)2 + (sin а —sin Р)2 =
= V(cos (а — Р) — 1 )2 + sin2 (а — р):
Возведем обе части этого равенства
в квадрат и выполним преобразования, учитывая тождество cos2 /4-sin2 /= 1:
cos2 а —2 cos а cos P + cos2 P4-sin2 a —2 sin a sin P4-sin2p =
= cos2 (a —p) —2 cos (a —P)4- 1 4*sin2 (a — p);
(cos2 a4-sin2 a)4~(cos2 p4-sin2 p) — 2 (cos a cos P4~sin a sin P) =
= (cos2 (a — P) 4* sin2 (a — p)) — 2 cos (a — P) 4* 1;
2 — 2 (cos a cos p 4- sin a sin p) = 2 — 2 cos (a — p),
откуда получаем формулу косинуса разности:
cos (a — Р) = cos a cos p 4* sin a sin p.(2)
Из равенств
cos (— p) = cos p и sin (— P) = — sin p
и формулы (2) следует:
cos (a 4- P) = cos (a — (— P)) = cos a cos (— P) 4- sin a sin (— P) == cos a cos p — sin a sin p.
Итак, формула косинуса суммы имеет вид:
cos (a 4- Р) = cos a cos p — sin a sin p.(3)
Пользуясь формулами
—a) =sin a, sin ( -9a) —cos a,
которые следуют из формул (2) и (3), получаем:
sin (a4-p) = cos ((-^— a) — р) =
= cos^—a) cos P4-sin^—a) sin p =
= sin a cos P4*cos a sin p.
Следовательно, sin (a4~P) = sin a cos P4~cos a sin p.(4)
Из формулы (4) получаем:
sin (a — P)=sin (a4-(- P)) = sin a cos (— P)4-cos a sin ( — P) =
= sin a cos p — cos a sin p.
Следовательно,
sin (a —P) = sin a cos p —cos a sin p.(5)
Из формул (3) и (4):
। / I m sin (а + Р) sin а cos p + cos а sin рcos(a + P)cos a cos р —sin a sin р
Поделив в этом равенстве числитель и знаменатель правой • на cos a cos 0, получим:
l-tgatgp
части(6)части(6)tg(a —0) = tg (a + (-0)) =tg(a —0) = tg (a + (-0)) =tga + tg( —p)1— tgatg( — p)tga + tg( —p)1— tgatg( — p)tga-tg p1 +tg a tg P ‘tga-tg p1 +tg a tg P ‘Наконец,
части
(6)
части
(6)
tg(a —0) = tg (a + (-0)) =
tg(a —0) = tg (a + (-0)) =
tga + tg( —p)1— tgatg( — p)
tga + tg( —p)1— tgatg( — p)
tga-tg p
1 +tg a tg P ‘
tga-tg p
1 +tg a tg P ‘
Следовательно,
tg (a —0) =tg (a —0) =tg a~tg p1+tgatg p "tg a~tg p1+tgatg p "(7)(7)
tg (a —0) =
tg (a —0) =
tg a~tg p
1+tgatg p "
tg a~tg p
1+tgatg p "
(7)
(7)
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1°. Длина дуги и площадь сектора. Длина С окружности радиуса R равна 2л/?. Длина дуги в а радиан равна a.R, где R — радиус соответствующей окружности.
Площадь 5 круга радиуса R равна л/?2. Площадь сектора, а/?2
дуга которого содержит а радианов, равна —— (JR — радиус дуги).
2°. Знаки значений тригонометрических функций (рис. 218).
Знаки синусаЗнаки косинусаЗнаки тангенса
и котангенса
Рис. 218.
3°. Формулы, связывающие тригонометрические функции одного аргумента.
sin a-{-cos а = 1;
Itga^-^” ; ctga = -^_;
cos а & sin а
tg а ctg а — 1;
।tg2 а -{- 1 =— ; ctg2 а + 1 = —— .
■°cos а °sin а
4°. Тригонометрические функции двойного аргумента,
sin 2а =2 sin а cos а;
cos 2a = cos2 а —sin2 а= 1 —2 sin2 а = 2 cos2 а —1;
^=^
5°. Тригонометрические функции половинного аргумента.
;®°* Формулы суммы и разности косинусов и синусов,
sin a + sin р = 2 sin —+р cos —^ ;
sin a — sin p =2 sin —~p. cos —2P';
cos a4-cos p = 2 cos —^ cos —~p ;
cos a —cos p = —2 sin—+p sin -~^- .
7°. Формулы приведения.
и
у +«
л 4-a
3л , T + a
— a
л
л— a
3л
sin и
cos a
— sin a
— cos a
—sin a
cos a
sin a
— cos a
cos и
— sin a
— cos a
Sin a
cos a
sin a
— cos a
— sin a
tg и
— ctg a
tg a
— ctg a
— tg a
ctg a
— tg a
ctg a
ctgu
— tg a
ctg a
— tg a
— ctg a
tg a
— ctg a
tg a
8°. Основные свойства степеней с действительными пока* вателями. Для любых положительных а и b и действительных X и у справедливы равенства:
а°=1;
ах.а« = а^и\
ах-.ау = ак-и\
(а*у/ = а^;
д) (aby = axbx-.
9°. Основные свойства логарифмов. Для любого а>0, а^1, справедливы равенства:
logo 1 =0;
logQa=l;
logo (xt/) = logo х + loga у при х>0, #>0;
logay^logaX —l°gay ПрИ Х>0, 1/>0;
logo хр = р logo х при х>0, p^R;
logs х = при х>0, ^>0, 6#=1;
° log» О г
alogoX=^ при х>0 (основное логарифмическое тождество).
10°. Формулы дифференцирования.
С' = 0; (х/=?1; (x“) = axa~’ при a^l; sin'x = cosx;
cos' х = —sin х; tg' х =—L— ; ctg' x =Д—;
(exy = ex; (axy = ax In a; In' x = -p;
(f+gy=r+g'; (f • gy=rg+urv Ш=cf';
I(■?■)'=г^"; (f (kx+b^'=kf'{kx+b>’
a<gW=r (g^y-g^x).
11°. Первообразные.
/(4
Xе (a^-1)
sin x
COS X
1 cos’x
1
sin2 x
1
X
ex
0х
FVxHC
^+l+c
— cos Ar+C
sin x+C
tgx + C
—ctgx + C
In Ixl+C
e* + C
&a+C
ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ ВСЕГО КУРСА
746. Упростите:
747.748.747.748.749.749.
747.
748.
747.
748.
749.
749.
Докажите, что п4 + 2/г3 — п2 — 2п делится на 24 при n^N. Два куска латуни имеют массу 30 кг. Первый кусок содержит 5 кг чистой меди, а второй кусок 4 кг. Сколько процентов меди содержит первый кусок латуни, если второй содержит меди на 15% больше первого?
Время, затрачиваемое автобусом на прохождение расстояния 325 км, в новом расписании движения автобусов сокращено на 40 мин. Найдите среднюю скорость движения автобуса по новому расписанию, если она на 10 км/ч больше средней скорости, предусмотренной старым расписанием.
Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде равна 15 км/ч, прошла вниз по течению реки 139-^— км и вернулась обратно. Найдите скорость течения реки, если на весь путь затрачено 20 ч.
Поезд должен был пройти 220 км за определенное время. Через 2 ч после начала движения он был задержан на 10 мин, и, чтобы прийти вовремя в пункт назначения, он увеличил скорость на 5 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда.
Две бригады комсомольцев, работая совместно, закончили посадку деревьев на учебно-опытном участке за 4 дня. Сколько дней потребовалось бы на выполнение этой работы каждой бригаде отдельно, если одна из бригад могла бы закончить посадку деревьев на 6 дней раньше другой?
Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Найдите длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200 м2.
К раствору, содержащему 40 г соли, добавили 200 г воды, после чего его концентрация уменьшилась на 10%. Сколько воды содержал раствор и какова была его концентрация?
Водонапорный бак наполняется двумя трубами за 2 ч 55 мин. Первая труба может его наполнить на 2 ч скорее, чем вторая. За сколько времени каждая труба, действуя отдельно, может наполнить бак?
По окружности, длина которой 60 м, равномерно и в одном направлении движутся две точки. Одна делает полный оборот на 5 с скорее другой и при этом догоняет вторую точку каждую минуту. Определите скорости точек.
На строительстве Байкало-Амурской магистрали (БАМ) бригада строителей за несколько дней должна была по плану переместить 2160 м3 грунта. Первые три дня бригада выполняла ежедневно установленную норму, а затем каждый день перевыполняла норму на 80 м3, поэтому уже за день до срока бригада переместила 2320 м3 грунта. Какова по плану дневная норма бригады?
В двузначном числе цифра единиц на 2 больше цифры десятков. Само число больше 30 и меньше 40. Найдите это число.
Из двух жидкостей, плотность которых соответственно 1,2 г/см3 и 1,6 г/см3, составлена смесь массой 60 г. Сколько граммов взято каждой жидкости и какова плотность смеси, если ее 8 см3 имеют массу такую же, как масса всей менее тяжелой из смешанных жидкостей?
Укажите верные цифры в записи приближенного значения числа:
а) 3,83 + 0,01; б) 1,380-104 + 0,001 • 104;
в) 7,441+0,1; г) 2,3-10”5 + 0,2-10""5.
761.761.Вычислите a-Vbc, если а^3,71; 6^0,017; с^ 2,3199.
761.
761.
Пользуясь формулой
МлМлв) 3.0014.в) 3.0014.(1 + х)п « 1 + пх, вычислите приближенно: а) 1,0025; б) 2,0063;
Мл
Мл
в) 3.0014.
в) 3.0014.
С АО Е В
-4ч1111♦1—•—।11>■
2,5 21,510,5 00,511,5 22,5 3
Рис. 219.
Докажите, что ^/7 не является рациональным числом.
Найдите сумму чисел ^2 и с точностью до 0,01.
Докажите, что 1g 3 не является рациональным числом.
Вычислите без таблиц 1g 5* lg20 + (lg 2)2.
Что больше:
х 47
— или— ;
IS'0®3*0 или 10|ою'5?
Найдите координаты точек Д, В, С (рис. 219).
Найдите расстояние между точками координатной прямой:
а) Л (1,5) и В (-2); б) Д(-10,3) и В (6,2);
в) Д(-3,6) и В (0);г) А (-5,7) и В (-7,1).
Запишите в виде уравнения (или неравенства) условие, которому удовлетворяет координата точки А (х) координатной прямой, и решите его, если известно, что:
а) |ЛВ| =5, где В (5);б) |ДВ| <3,5, где В(-1);
в) |ЛВ|<0,2, где В(-4,5);г) |ЛВ|<^, где В(-12).
Найдите расстояние между точками координатной плоскости:
А (2; 5) и В(-1; 1);
Л (— 1; 0) и В(1;0);
С (7; 9) и О (-5; 4);
С (0,44; 2,54) и D(-0,56; 1,54).
Запишите в виде уравнения (или неравенства) условие, которому удовлетворяют координаты точки А (х; у) координатной плоскости, если известно, что:
а) |ДВ|=5, где В (0; 0);б) |ДВ|^5, где В (0; 0);
в) |ЛВ | = 1, где В (2; 3);г) |ЛВ| > 1, где В (2; 3).
Найдите множество решений (773—775).
а) |х|=5;б) |х| <5;
в) |х|^5;г) |х—10| =4.
а) |х-10|<4; б) |х-10|>4; в) х2>4.
а) х2<5; б) (х-1)2<9; в) (х-{-2)2<1.
Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию (776—779).
а) х(у — 1) = 0; б) (х —2) (у + 3) = 0;
в) ху>0;г) ху<0.
а) (х — 2)у>0;б) х>0, у> —1;
в) ^£=0;г) (2x + 3t/)(x —4у) = 0.
х— 1
а) |х —3|<1;б) |х| <1, Ы<1;
в) |х|>1, 1у1>1;г) |х-2|<1, 1у + 3|<1.
а) х2 + </2 = 4;б) х2 + </2<4;
в) x2 + t/2>4;г) (х-1)2 + (</-1)2<9.
Дано: fW=~rzV Найдите f (^-Г)'
Найдите сумму членов бесконечной геометрической прогрессии:
а) ЬпЦ—М;б) 6„=(—sinx) ;
в) bn=(^SX при а^Ь\ г) bn = tgn х, где 0<х<^-. у а + о /4
Запишите в виде обыкновенной дроби:
а) 1,2(27); б) 2,(41); в) 0,(428571); г) 0,3(148).
Какой четверти принадлежит угол:
1200°; б) —1000°; в) 3,5л;
a-j-—л, где 0<а<-^-,
а — л, если а — угол III четверти;
а —Зл, если 0<а<-у?
Какой четверти принадлежит число х, если:
a) sinx = 4cosx; б) sin х —cos х= 1,2?
„sin 110° sin 250° + cos 540° cos 290° cos 430°
Вычислите ——•
cos 1260
Найдите sin x, если cos x= t и m>0. .3 3л q
Вычислите cos x, если sinx =— и —<.х<_2л.
Вычислите cos x, если sinxtgx =—.
, a3
Вычислите tg —, если cos a= —g-.
Вычислите tg а, если tgy-=^.
Вычислите без таблиц значений тригонометрических функций значение sin 46° с точностью до 0,00!, если cos 32° » 0,848. Указание, sin 46° = sin (30° 4- 16°).
Дано: sin а = - “-- . cosa>0.
V^+ь2
Найдите tg а.
Докажите следующие формулы приведения:
sin (2л — а)——sin а; б) sin^-^—а) =—cos а;
со5(л + а)=—cos а;г) sin (л — a) = sina;
cos( — + al = sin а;е) cos ( — += — sin a.
Докажите, что sin (аф-л/г) = (—l)fe sin a, k^Z.
VI — cos a.1 + cos aVI — cos a.1 + cos aДокажите тождество:
VI — cos a.
1 + cos a
VI — cos a.
1 + cos a
a < 2 л.a < 2 л.VI +cos a o_
a < 2 л.
a < 2 л.
—== 2 cig а, если л<
1 — cos a °
Решите неравенство:
х2—14х4-15>0; в) Зх2 —5х —2^0;
х2 — Зхфб^О; г) 2х2 — 9х — 3<0.
Найдите область определения функции:
а) у= 1g (Зх2 — 4x4-5),б) t/ = lg (5х2 — 8х — 4);
в) f (х) = V3x2 — 4х 4- 5; г) f (х) = V64-7x —Зх2.
Заданы корни квадратного уравнения: Xi = l—-\/3 и X2=14-V^- Напишите уравнение.
Найдите сумму кубов корней уравнения х24-2х —2 = 0.
Какой вектор переводит параболу у = 2х2 в параболу у = 2(х —З)2?
Найдите с помощью производной координаты вершины параболы:
а) у = Зх24-6x4-20;б) у — 2х2— 8x4-5.
Напишите уравнение параболы, получающейся из параболы у=—2х2 с помощью следующих двух преобразований: а) растяжение в 2 раза от оси Оу; б) параллельный перенос г (0; 2).
Напишите уравнение параболы, которая получается из параболы у=А-х2 параллельным переносом г ( — 2; 3).
По графику функций, изображенных на рисунках 220—223, ответьте на вопросы:П
Каковы промежутки возрастания функции?
Каковы промежутки убывания функции?
Рис. 223.
Укажите точки, в которых функция имеет максимум или минимум. Какие значения принимает функция в этих точках? 4. Каковы наибольшее и наименьшее значения этих функций на отрезке [—2; 2]?
В каких точках функция не является непрерывной и каковы значения функции в этих точках?
На каких промежутках функция непрерывна?
Укажите точки, в которых производная равна нулю.
Какие из функций могут быть периодическими с периодом, меньшим 3, чему равен их наименьший положительный период?
Какие из этих функций четные и какие нечетные?
Исследуйте функцию и постройте ее график:
а) у = (х—I)3 —3(х —1);б) у = А+Л._
Постройте график функции (806—807).
a) y = 2Ig(x —2);б) у = 3 ln(x + -l) 4- 1;
в) </=-|-cos( 2х—4-1; г) w = £^-hS21£^ X4 /sjn x-COS X ’
д) У=2-^з'
а) у = (1,5х-1};б) </ = {1,5 (х- 1)};
в)в)У =У =У =У =sin x-ctg х|;
в)
в)
У =
У =
У =
У =
ctg х
1'
808.808.sin х
808.
808.
Найдите наименьший положительный период функции:
a) f(x) = 3{x4-0,25)4-1;
р (x) = sin 1,5x4-5 cos 0,75х;
Исследуйте на четностьИсследуйте на четность<7W = (1— 2х).
Исследуйте на четность
Исследуйте на четность
(нечетность) функцию (809—810).
a) </ = cos -^^ ; б) t/ = sin *g_* в) </ = x3sinx; г) </=х3 —х2.
a) y = sin-^-;б) y=tg ^f I
в) у = 1п(х + ^+Т);г) y = lg| 4^7
811*. Вычислите предел:
a) Пт . с”х ; б) Пт ^-^^ . .
я sinx + cosx ' я sin2x — cos 2х
812*.Докажите, что функция t/ = sinx непрерывна в любой точке.
Найдите производную функции:
a) у = 2х6 — 3,8х5 + х — -^\б) У = ^х^;
в). t/ = (x+l)sinx —xcos2x;г) y = 2tgx-!gx;
45х4 —ЗОх2
(8х2-3)2 ‘
Путь s точки М в зависимости от времени / выражается формулой s — 2/3 + 6/— 1 (где s измеряется в метрах, t — в минутах). Найдите скорость и ускорение точки М в момент времени / = 3 мин.
Докажите возрастание (или убывание) функции на R;
у = — 0,2х5 + 0,5х4 — х3 + х2 — х;
у=х3— Зх2 + Зх + 21;
у = 0,8х5 — х4 + Зх3 + 2х2 + 4х.
Напишите уравнение касательной к графику функции z/ = x2 + 2x в точках пересечения этого графика с осью абсцисс ив точке с абсциссой х=1,5.
Задайте формулой функцию, обратную функции f (х). Для обратной функции укажите область определения и область значений. Выясните, возрастает она или убывает:
a) fW=^;6) /№ = ^1в) Г« = ^
г) f(*) = 2'+l;д) /(x) = 10g3(x + 2);е) f(x) = lg^.
Найдите промежутки возрастания (убывания) и точки максимума и минимума (818—820).
818.
а) в)
У =
У =
2х+ 1.
1 -Зх’ хех;
2х — 1
6>2—4л'
г) у = 2х2-4х.
819.
а)
У —
6 In х е
X ’
б) у=х — In х;
в)
У =
6х .
Х-pi ’
г) у = 2 sin х + 3 cos х.
820.
а)
У =
х In х;
б) у = cos 2х — 2 cos х.
Найдите наибольшее значение функции на R:
а) у = 18х2 + 8х3 — Зх4;б) у = — 2х4 + 3х2 — 6.
Какое положительное число, будучи сложенным с обратным ему числом, дает наименьшую сумму?
Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен 72 см3, причем стороны основания относились бы
как 1:2. Каковы должны быть размеры всех ребер, чтобы полная поверхность была наименьшей?
На окружности дана точка А. Провести хорду ВС па раллельно касательной в точке А так, чтобы площадь треугольника АВС была наибольшей.
Каков должен быть угол при вершине равнобедренного тре угольника заданной площади, чтобы радиус вписанного в этот треугольник круга был наибольшим?
Объем правильной треугольной призмы равен V. Какова должна быть сторона основания, чтобы полная поверхность призмы была наименьшей?
Требуется изготовить коническую воронку с образующей 7 = 20 см. Какова должна быть высота воронки, чтобы ее объем был наибольшим?
Найдите высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R.
В конус, радиус основания которого R и высота Н, требуется вписать цилиндр, имеющий наибольшую полную поверхность. Найдите радиус цилиндра.
Около данного цилиндра описать конус наименьшего объема(плоскости оснований цилиндра и конуса совпадают).
Найдите высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиуса R.
Найдите высоту конуса наименьшего объема, описанного около полушара радиуса R, так, чтобы центр основания конуса лежал в центре шара.
Из круглого бревна диаметром 40 см требуется вырезать балку прямоугольного сечения с основанием b и высотой И. Прочность балки пропорциональна bh2. При каких значениях b и h прочность балки будет наибольшей?
Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Определите размеры окна, имеющего наибольшую площадь при заданном периметре.
По двум улицам движутся к перекрестку две машины с постоянными скоростями 40 км/ч и 50 км/ч. Считая, что улицы пересекаются под прямым углом, и зная, что в некоторый момент времени автомашины находятся от перекрестка на расстоянии 2 км и 3 км (соответственно), определите, через какое время расстояние между ними станет наименьшим.
Картина высотой 1,4 м повешена на стену так, что ее нижний край на Г,8 м выше глаз наблюдателя. На каком расстоянии от стены должен встать наблюдатель, чтобы его положение было наиболее благоприятно для осмотра картины (т. е. чтобы угол зрения по вертикали был наибольшим)?
Статуя высотой 4 м стоит на колонне, высота которой 5,6 м. На каком расстоянии должен встать человек ростом (до уровня глаз) 1,6 м, чтобы видеть статую под наибольшим углом?
Три пункта Л, В, С не лежат на одной прямой, причем / ЛВС = 60°. Одновременно из точки Л выходит автомобиль, а из точки В — поезд. Автомобиль движется по направлению к В со скоростью 80 км/ч, поезд — к пункту С со скоростью 50 км/ч. В какой момент времени (от начала движения) расстояние между поездом и автомобилем будет наименьшим, если АВ — 200 км?
На странице текст должен занимать 384 см2. Верхнее и нижнее поля должны быть по 3 см, правое и левое — по 2 см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?
Расходы на топливо для парохода делятся на две части. Первая из них не зависит от скорости и равна 480 р. в час. А вторая часть расходов пропорциональна кубу скорости, причем при скорости 10 км/ч эта часть расходов равна 30 р. в час. Требуется определить, при какой скорости общая сумма расходов на 1 км пути будет наименьшей.
Решите неравенство:
а)а)(х—1)(х —2)> Qх— 3(х—1)(х —2)> Qх— 3б) (х~3)(х 5-<0;' х —2б) (х~3)(х 5-<0;' х —2
а)
а)
(х—1)(х —2)> Q
х— 3
(х—1)(х —2)> Q
х— 3
б) (х~3)(х 5-<0;
' х —2
б) (х~3)(х 5-<0;
' х —2
в)в). х2 + 5х + 4Г' х'-бх-б^. х2 + 5х + 4Г' х'-бх-б^х2 + 2х — 3~> о* х2 — 2х + 8
в)
в)
. х2 + 5х + 4
Г' х'-бх-б^
. х2 + 5х + 4
Г' х'-бх-б^
д) (х_ 1) (х_2) (х —3) (х —4)<0;
е) х4 — Зх2 + 2 ^ 0.
Найдите первообразную функции (842—844).
a) f(x) = x + -^;б) f(x) = ^;
в) f (х) = 2 sin х-]-cos Зх; г) f (х) = х-5 + х-2.
а) /И = ^;б) /№=3^;
в) fW=^:г) Дх)=2х+з.г.
a) fto=^^^£::^; 6)f(x) = x3 + A
Найдите функцию, производная которой равна 2х —3 и значение которой в точке 2 равно 2.
Материальная точка движется по координатной прямой со скоростью v (/) = sin t cos t. Найдите уравнение движения точки, если при /=-^- ее координата равнялась 3.
Найдите уравнение кривой, проходящей через точку (2; 3), если угловой коэффициент се касательной в точке с абсциссой х равен Зх2.
848. Вычислите:
лл
Уб"
a) J cos xdx\ б) $ (cosЗх— sin 2х) dx.
лл
У12
Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
у = 0,5х2 —3x4-2 и у = х — 4;
у = х2 — 5x4-4 и у = 2х — 2;
у = 8—ух2 и у = 3,5;
у = х2 — 3x4-4 и у = х4-1;
У=-^ и У = 6-х.
Докажите неравенство:
a) mH^4, m>0; б) ——^ 1
в) 4-4- —>2, а>0, 6>0; о а
г) tg x + ctg х>2, 0<х<4;
е) (1 -]-sin <p4-cos ф) (1 — sin ф + cos ф) (1 Н-sin ф —cos ф)Х X(sin ф4-соз ф— 1)^ 1.
Решите уравнение (851—854).
а) —=—--12^=3;6) <х—4^+^+*=°
’ ^/^П-^Д1-^х-V2 + X
a) tg5x-cosx = 0;б) tg4,cosx = 0;
в) sin 2x4-sin Зх = 0;г) sin x4-cos 2х = 0.
а) 3 sin 3x4-4 cos Зх=—5;
5 sin 2х—12cos2x=13;
4 cos ( 2х—+ 12 sin2 ( 2х—= 11»
4sin^3x—4)+7cos2^3x—^^^Д-'
а) |2х-5| = |7-2х|; б) |х-2| =2 |3-х|;
в) х24-1х|-2 = 0;г) х2-3 |х|4-2 = 0.
Решите неравенство (855—856).
855. а) |3х — 2,5| >2;
б) |5-2x|<l;
r) 2x2 —5 |x|+3>0.
в) х2 —4 |х|4-3>0;
856.
а> х+3>36> 1-
В> 2+х>2’Г> х-
-Зх
-2x*
■X
4*^
^1;
,_2_
* 3 '
Решите систему уравнений (857—859).
857.
а) 1
f х —Зу=1,
[ 2х-^у = 4-^-;
6)
(2x 4- 3y = — 1, I 5x4-4y=l;
B) ,
f 7x — 2y = — 1, I 3x — 3y= 12.
858.
a) j
f Зх — 9у = 12, l4x—12z/=16;
6)
f 2x4-6z/ = 5,
I x4-3t/ = 2,5;
в) J
4x — 6z/ = 8, . x— l,5y = 2.
859.
a) j
f х + 2у = 7,
I 2x + 4y = 9;
6)
f 5x — 8t/ = 0, lx— 1,6^ = 1;
b) j
rx4-y = 7, . 2x 4- 2.y = 11.
При каком значении параметра а система:
a) J ах — Зу = 4, б) 1х4-ау = 2,в) Гх4-1,5у=4,
I —Л- 13х — 2у = 6;14^ + 6г/ = а
3 ’
имеет бесконечно много решений?
При каком значении параметра а система:
a) t2x-Vay = 3, б) (х — у = 3,в) (х—у = 2,
13х — 5t/ = 6;\ax-V2y= — 6;\2х — 2у=а
не имеет решений?
Можно ли указать значение параметра а, при котором система имеет решение:
a) fx— 5у = 7,б) (х-Ь2у = а, в) Г Зх — 2у = 6,
\ах-\-у= — 3;l2x4-4t/ = 5;1ах-4-</=—3?
Решите систему уравнений (863—867).
а) Г х + у + 2=—2, б) Г x-V2y — z = 7, { x-y-V2z=—7, ч 2х—y-Vz = 2, к 2х4-3у — 2=1;I Зх —5^4-22=—7;
в) [ x — y — z = 5,г) f x — 3y + z = 7,
{ 2x4-y + 3z = 3,{ Зх + у — 22 = 3,
I х —4t/ —62 = 7;I х + 7у —42 = 0.
а) ( -^=2,б) ( —+JL=]3
( (х—1)2 + </2=1;[ х + у = 5.
а) [(х + 0,2)2 + (//4-0,3)2=1, б) /х-у=1, lx4-t/ = 0,9;|х3 —1/3 = 7;
в) ( —=г) {х3Л-у3 = 35,
I t/2 —х —5 = 0;1*+у = 5.
a) f (x— y) (x2 — y2) = 45, 6) ( x2y3=16,
x4-r/ = 5;1 x3y2 = 2;
в) ( хХ+хУ=12» r) J^-, + y-' = 5,
1 x2y3—x3z/2 = 4;{ х-2 + у~2= 13.
a) f x34-y3 = 7, 6) ( x3-Vy3 = 9,
I x3y3 = — 8;1 xy = 2;
в) Г х2 + у4 = 5, г) ( x2 —xy = 28,
xy2 = 2;( f/2 — xy = — 12.
Решите систему неравенств:
• a) ( 2 (Зх—1)<3(4х4-1)4-16, I 4 (2 4-х) <3x4-8;
x I 2 . у\ . 3x 20 , 639’
£H x x—1 V 9 2’
0,5x<2 —x;
„ x+1x+4x—1 Q
23^4
l,5x — 2,5 <x.
Решите систему уравнений:
/ 4xi — 2х24-Зх3 —4x4 = 14,
I 2xi — 3x2 — 2x3 — x4= — 1,
I x i 4~ 4x2 4- 2x4 = — 1, 2xi—x24-x3 = 4;
( Xi 4-2x2 —x3 —2x4= — 6, I 3xi—x2 4* Зх3 4~ X4 = 4, I 2xi 4-x2 —2x3 = 2, 2x2 — x3 4“ 3x4 = 3.
Докажите, что две любые параболы подобны.
ПРИЛОЖЕНИЕ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Математический анализ возник в XVII веке. Но полное его обоснование было дано лишь в конце девятнадцатого столетия, когда вслед за теорией пределов, созданной О. К о ш и (см. с. 129), сразу в нескольких формах немецкими математиками Р. Дедекиндом (1831 —1916), К. Вейерштрассом (1815—1897) и Г. Кантором (1845—1918) была построена теория действительного числа.
Первые представления о числах складывались постепенно под влиянием практики. С давних пор числа употреблялись при счете и измерении величин.
Ответ на вопрос «Сколько элементов содержит данное конечное множество?» всегда выражается либо натуральным числом, либо числом нуль. Следовательно, множество
{0; 1; 2; 3; ,...}
всех неотрицательных целых чисел обслуживает все потребности счета.
Иначе обстоит дело с измерением величин. Расстояние между двумя пунктами может равняться 3,5 километра, площадь комнаты 16,45 квадратного метра и т. д.
Величины бывают разных родов. Приведем два примера.
Расстояния между точками, длины отрезков, ломаных и кривых линий — это величины одного и того же рода. Их выражают в сантиметрах, метрах, километрах и т. д.
Длительности промежутков времени тоже величины одного и того же рода. Их выражают в секундах, минутах, часах и т. д.
Величины одного и того же рода можно сравнивать между собой и складывать:
1 м>90 см; 350 м4-650 м=1 км;
3000 с<1 ч;2 ч4-3 ч = 5 ч;
1 кг >720 г;500 г + 500 г=1 кг.
Но бессмысленно спрашивать, что больше: 1 метр или 1 час, и нельзя сложить 1 метр с 30 секундами. Длительность про-
межутков времени и расстояния — величины разного рода. Складывать и сравнивать величины разного рода нельзя.
Величины можно умножать на положительные числа и нуль. В результате умножения величины а на неотрицательное число х получается величина Ь = ха того же рода. Приведем несколько примеров:
5-20 см = 100 см = 1 м;
0,01 • 20 см = 0,2 см = 2 мм;
0*20 см =0 см.
Приняв какую-либо величину е за единицу измерения, можно с ее помощью измерить любую другую величину а того же рода. В результате измерения получим, что
а = хе, где х— число.
Это число х называется числовым значением величины а при единице измерения е. Числовое значение величины зависит от выбора единицы измерения. Если, например, длина комнаты имеет числовое значение 5,6 при единице измерения в 1 м (е= 1 м), то эта же длина имеет числовое значение 560 при единице измерения в один сантиметр (е=1 см).
Пусть числовые значения величин а и b при одной и той же единице измерения е равны х и у, т. е.
а = хе, Ь = уе.
Если 6 #=0, то отношение -^- называют отношением величины а кЬ.
Таковы простейшие сведения о величинах. Приведенное описание понятия величины опиралось на понятие числа. Но исторический путь был иным: положительные действительные числа появились как отношения величин (а точнее, как отношения длин отрезков).
С открытием несоизмеримости диагонали единичного квадрата с его стороной стало ясно, что отношение длин отрезков не всегда может быть выражено не только натуральным, но и рациональным числом. Для того чтобы числовое значение каждого отрезка при фиксированной единице измерения было определено, требовалось введение новых чисел — иррациональных.
Все практические измерения величин имеют лишь приближенный характер. Их результат с требуемой точностью можно выразить при помощи рациональных дробей или более специальным образом при помощи конечных десятичных дробей. Например, измеряя диагональ квадрата со стороной в 1 м с точностью до одного сантиметра, мы обнаружим, что ее длина приближенно равна 1,41 м. При измерении с точностью до одного миллиметра получим, что эта длина приближенно равна 1,414 м.*
Но в математике часто отвлекаются от приближенного характера практических измерений. Последовательный теоретический подход к измерению длин отрезков приводит к необходимости рассмотрения бесконечных десятичных дробей. (Именно такими дробями представляются числа
у = 0,666...; V2= 1,41421356...; л = 3,14159265358...)
Отношение длины любого отрезка к длине отрезка, принятого за единицу измерения, всегда может быть выражено числом, представимым в виде бесконечной десятичной дроби.
Полная теория действительных чисел довольно сложна и не входит в программу средней школы. Но с одним из способов ее построения мы познакомимся в общих чертах.
Принимают:
каждому действительному числу соответствует (в качестве его записи) бесконечная десятичная дробь:
Х = ±0o,0i0203...0n...;
каждая бесконечная десятичная дробь является записью действительного числа.
Но при этом естественно считать десятичную дробь, заканчивающуюся бесконечной последовательностью девяток, лишь второй записью числа, выражающегося десятичной дробью, заканчивающейся бесконечной последовательностью нулей:
0,9999...= 1,0000...; 12,76599999...= 12,76600000...
Такое соглашение поясним примером:
0,(9) =3-0,(3)=3.1/3=1.
Только исключив из рассмотрения десятичные дроби с девяткой в периоде, получаем взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством бесконечных десятичных дробей.
Число по— это целая часть положительного числа х, а
х— do=0,ai aza^.- ап... —
дробная часть числа х.
Число
Хц — Оо, Cl\Q2...Ctn
называют десятичным приближением х с точностью до 10"*” по недостатку, а число
Хп = х„+ 10~"
называют десятичным приближением с точностью до 10“п по избытку для числа х = оо,010203...оп....
Если число х отрицательно, т. е.
х = —ао,а\а2аз .,ап..., то полагают
х'п= — а0,а\а2аз...a,t и хл = Хп—10-л.
Вводят правило сравнения двух действительных чисел. По определению число х меньше числа у, если хотя бы при одном п выполнено неравенство
Хл <\ Упз
где х„ и уп—десятичные приближения с точностью до 10~" по недостатку для чисел х и у. (Мы воспользовались тем, что правило сравнения конечных десятичных дробей уже известно.)
Определяют арифметические действия над действительными числами (при этом также пользуются тем, что эти действия уже определены для конечных десятичных дробей).
Суммой двух действительных чисел х и у (обозначается х + у) называют такое действительное число z, что при любом п выполнены неравенства
Хп + Уп < х + у < х'п + у'п.
В курсах математического анализа доказывается, что такое число существует и определяется единственным образом.
Аналогично, произведением двух неотрицательных чисел х и у называют такое число z (обозначается ху), что при любом п выполнены неравенства
ХпУп^Ху<ХпУп.
Такое число существует и определяется однозначно. Для действительных чисел разных знаков, воспользовавшись тем, что произведение неотрицательных чисел |х| и |г/1 уже определено, полагают ху =— |х| |</|; в остальных случаях ху=\х\ 11/1. (Как обычно, модулем каждого из чисел ao,aia9...an... и — a0,a\a2...a,i... называют число ао,а\а2...ап... .)
Вычитание определяется как действие, обратное сложению: разностью х — у чисел х и у называется такое число z, что y-\-z = x, а деление — как действие, обратное умножению: частным х:у называется такое число z, что ух = х.
Показывают, что неравенства и арифметические операции, определенные указанным в п. 3 образом, сохраняют основные свойства, присущие им в множестве рациональных чисел. Перечень этих свойств приведен в «Материалах для повторения».
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ
Глава
1
.. Зл 25л „. ,_. о . 180°
1. а) —; в) 2. а) 120°; в) 410Л
3. а) 0,2967; в) 2,4260. 4. а) 32°;
в) 180°. 6. а) —^-; б) —23,8л. 7. а) 2; в) 8. а) 1; в) 22. 9. б) рад/мин; — рад/мин; 2л рад/мин. 11. а) Да; в) нет. 12. а) Нет; в) да. 13. а) лл, n^Z; в) -^-4-2лл, n^Z; д) —-^-+2лл, n^Z. 14. а) лл, n^Z; в), д) -^-Ц-лл, n^Z. л/2
а) 0; 1; 0; не определен; в) ——; ——; 1; 1. 17. а) 0,1889; 0,9820;
0,1923; 5,2000; в) 0,9800; 0,1994; 4,9131; 0,2035. 18. а) 0,3256; 0,9455; 0,3443; 2,9044;
в) 0,2147; 0,9767; 0,2199; 4,5483. 19.минус. 20. а) Минус; в) минус. 21.в) 0,2147; 0,9767; 0,2199; 4,5483. 19.минус. 20. а) Минус; в) минус. 21.Все плюс; в)Все плюс; в)минус,минус,а) 0,5; в) —0,5. 22. а)а) 0,5; в) —0,5. 22. а)26.26.4а), в) Да. 27. a) cos а— —;4а), в) Да. 27. a) cos а— —;tg^=-p ct£a =tg^=-p ct£a =3s ’>3s ’>coscos55л/52л/5а= — —; ctga=—1 Д) cosa=—; tga=——; ctga =—-.55л/52л/5а= — —; ctga=—1 Д) cosa=—; tga=——; ctga =—-.30.30.а) 0; в) 1.а) 0; в) 1.31. a) sin р —cos Р; в) — 1. 32. a) cos2/; в)31. a) sin р —cos Р; в) — 1. 32. a) cos2/; в)плюс, минус,плюс, минус,2 ’'sin а = —2 ’'sin а = —28.28.а)а)12Тз:512Тз:50. 33. а)0. 33. а)12 "л12 "л— cos —; 6— cos —; 6в) — с(в-^; д)в) — с(в-^; д)ctglT: ж)ctglT: ж)Л— sin—. 35. а) 2 tg у, в) 1. 36. а)Л— sin—. 35. а) 2 tg у, в) 1. 36. а)37. а)37. а)1; в) 0,5.1; в) 0,5.38. a) £3; в)38. a) £3; в)1. 39. а)1. 39. а)2525а) 0,96; б)а) 0,96; б)х• 5л=) V^sm^.х• 5л=) V^sm^.7-0,28; б) -1. 41. а) 11-;о uZ7-0,28; б) -1. 41. а) 11-;о uZ2470,28; в)т;г)^.2470,28; в)т;г)^.££л/249. а) 0; в) —50. a) cos <р; в)л/249. а) 0; в) —50. a) cos <р; в)—; —5. 53. а) - £26cos2 <р; в) 0;—; —5. 53. а) - £26cos2 <р; в) 0;V2-V2V2-V222■; в) л/2— 1; д)■; в) л/2— 1; д)42. а)42. а)— sin 2а;— sin 2а;г)г)2256.56.Уг+уз V6+-V2Уг+уз V6+-V25У. 52. а) ;л/265У. 52. а) ;л/262244. 55. a) sin2 у;. 55. a) sin2 у;а)а)2 £2 cos 4y-cos2 £2 cos 4y-cosл<рТ2л<рТ2в) 2V2 sin -ycosв) 2V2 sin -ycosлл424260. д)60. д)2;2;— 2;— 2;10,1; 2/4-2.; в) 0; 0;10,1; 2/4-2.; в) 0; 0;2 sin 4; — 2 sin 4х. 61. а) 0; 3; 2; /2.2 sin 4; — 2 sin 4х. 61. а) 0; 3; 2; /2.62. a) R;62. a) R;R; д) R; ж) множествоR; д) R; ж) множество
в) 0,2147; 0,9767; 0,2199; 4,5483. 19.
минус. 20. а) Минус; в) минус. 21.
в) 0,2147; 0,9767; 0,2199; 4,5483. 19.
минус. 20. а) Минус; в) минус. 21.
Все плюс; в)
Все плюс; в)
минус,
минус,
а) 0,5; в) —0,5. 22. а)
а) 0,5; в) —0,5. 22. а)
26.
26.
4
а), в) Да. 27. a) cos а— —;
4
а), в) Да. 27. a) cos а— —;
tg^=-p ct£a =
tg^=-p ct£a =
3s ’>
3s ’>
cos
cos
55л/52л/5
а= — —; ctga=—1 Д) cosa=—; tga=——; ctga =—-.
55л/52л/5
а= — —; ctga=—1 Д) cosa=—; tga=——; ctga =—-.
30.
30.
а) 0; в) 1.
а) 0; в) 1.
31. a) sin р —cos Р; в) — 1. 32. a) cos2/; в)
31. a) sin р —cos Р; в) — 1. 32. a) cos2/; в)
плюс, минус,
плюс, минус,
2 ’'
sin а = —
2 ’'
sin а = —
28.
28.
а)
а)
12
Тз:5
12
Тз:5
0. 33. а)
0. 33. а)
12 "л
12 "л
— cos —; 6
— cos —; 6
в) — с(в-^; д)
в) — с(в-^; д)
ctglT: ж)
ctglT: ж)
Л
— sin—. 35. а) 2 tg у, в) 1. 36. а)
Л
— sin—. 35. а) 2 tg у, в) 1. 36. а)
37. а)
37. а)
1; в) 0,5.
1; в) 0,5.
38. a) £3; в)
38. a) £3; в)
1. 39. а)
1. 39. а)
25
25
а) 0,96; б)
а) 0,96; б)
х• 5л
=) V^sm^.
х• 5л
=) V^sm^.
7
-0,28; б) -1. 41. а) 11-;
о uZ
7
-0,28; б) -1. 41. а) 11-;
о uZ
247
0,28; в)т;г)^.
247
0,28; в)т;г)^.
£
£
л/2
49. а) 0; в) —50. a) cos <р; в)
л/2
49. а) 0; в) —50. a) cos <р; в)
—; —5. 53. а) - £26
cos2 <р; в) 0;
—; —5. 53. а) - £26
cos2 <р; в) 0;
V2-V2
V2-V2
2
2
■; в) л/2— 1; д)
■; в) л/2— 1; д)
42. а)
42. а)
— sin 2а;
— sin 2а;
г)
г)
2
2
56.
56.
Уг+уз V6+-V2
Уг+уз V6+-V2
5
У. 52. а) ;л/26
5
У. 52. а) ;л/26
2
2
4
4
. 55. a) sin2 у;
. 55. a) sin2 у;
а)
а)
2 £2 cos 4y-cos
2 £2 cos 4y-cos
л<р
Т2
л<р
Т2
в) 2V2 sin -ycos
в) 2V2 sin -ycos
л
л
42
42
60. д)
60. д)
2;
2;
— 2;
— 2;
10,1; 2/4-2.; в) 0; 0;
10,1; 2/4-2.; в) 0; 0;
2 sin 4; — 2 sin 4х. 61. а) 0; 3; 2; /2.
2 sin 4; — 2 sin 4х. 61. а) 0; 3; 2; /2.
62. a) R;
62. a) R;
R; д) R; ж) множество
R; д) R; ж) множество
всех действительных чисел, кроме чисел вида -^--]-лл, где n^Z. 63. а) 1; в) [0; оо);
д) [0; 1]; ж) множество Zo (всех неотрицательных целых чисел). 65. б) D(S) =
=[0; aV2], S (х)=*=[0; aV2], S (х)=*а —х при О^х^—^—,а —х при О^х^—^—,(ад^ —х)2 при ^^-<х<,ал^..(ад^ —х)2 при ^^-<х<,ал^..69. а)69. а)Убывает на (— оо; оо);Убывает на (— оо; оо);
=[0; aV2], S (х)=*
=[0; aV2], S (х)=*
а —х при О^х^—^—,
а —х при О^х^—^—,
(ад^ —х)2 при ^^-<х<,ал^..
(ад^ —х)2 при ^^-<х<,ал^..
69. а)
69. а)
Убывает на (— оо; оо);
Убывает на (— оо; оо);
в) возрастает на (—оо; 0]; убывает на [0; оо). 70. а) Убывает на (—оо; 0) и на (0; оо); в) возрастает на [0; оо). 76. а) Нечетная; в) четная. 77. а) Ни четная, ни нечетная; в) четная. 82. а) Возрастает на R; в) убывает на ( —оо; 1,5} возрастает на [1,5; оо); минимум в точке 1,5. 83. а) Убывает на (—оо; 0) и на (0; оо); экстремумов нет; в) возрастает на (—оо; 0), убывает на (0; оо); экстремумов нет. 84. а) Убывает на (—оо; 0], возрастает на [0; оо); минимум в точке 0; б) убывает на (—оо; — 1] и на [0; 1]; возрастает на [— 1; 0] и на [1; оо). Указание. Функция f четна, поэтому достаточно провести исследование для х^0; при таких х имеем: f (х2)—f (xi)=(x2 — х2) (xi+x2 — 2), и если Х2>хь то xi —х2>0, поэтому /(х2)>/(х^ при xi-4-х2 —2>0; отсюда следует, что f возрастает на промежутке [1; оо) (так как х2 + Xi — 2 > 0 при х2 > Xi ^ 1) и убывает на промежутке [0; 1] (так как х2 + х2 —2<0 при 0<xi<x2^l); в) возрастает на промежутке (—оо; оо); г) возрастает на промежутках (—оо; -1] и [1; оо), убывает на промежутке [— 1;1].
Указание. Функция f нечетна, поэтому достаточно провести исследование для х^0, при таких х имеем: f (х2) — f (xi)=(x2 — Xi) (Х2 + Х1Х2 + Х2 — 3), и если x2>xi, то f(x2)>f(xi) при x2 + xiX2+x2 — 3>0; отсюда следует, что f возрастает на промежутке [1; оо) (так как х2+Х|Х2 + х2 —3>0 при x2>xi>l) и убывает на промежутке [0; 1] (так как xi + xix2+-*i — 3<0 при 0^xi<X2^1); учитывая нечетность /, получаем, что / возрастает на промежутке (—оо; —1) и убывает на промежутке [ — 1; 0], а следовательно, и на промежутке [—1; 1]. 85. а) Да; в) нет. 86. a) sin 45°; в) — ctg 3°; д) —cos 5°; ж) — ctg87. а) л; в) -^-; д) любое число, отличное от 0. 88. а) л; в)
2лл
а) —; в) 2л. 91. Нет. 92. а) Множество всех чисел, кроме вида -2-4-2лл, n£Z;
в) R.в) R.93.93.а) [— h 1]; в) [0; Ч 94. a) sin2x>0 на промежутках (ял; -^-4-л л),а) [— h 1]; в) [0; Ч 94. a) sin2x>0 на промежутках (ял; -^-4-л л),n€Z;n€Z;sin 2х<0sin 2х<0нанапромежуткахпромежуткахл । "+»-;л । "+»-;ялялл ^Z;л ^Z;sin 2х = 0sin 2х = 0ллпри х==‘2*» п^-ллпри х==‘2*» п^-такие же, как у функции sin ( — 250°); sin 100°. 96.такие же, как у функции sin ( — 250°); sin 100°. 96.; в) нулей нет, промежутки f(x)=sinx. 95. a) sin ( — 30°);; в) нулей нет, промежутки f(x)=sinx. 95. a) sin ( — 30°);з накопостоянстваз накопостоянствал6л6л € Z; убывает нал € Z; убывает наа) Возрастает на промежутках[л , 2лл я , 2:"б" + “з-: ^ Н—а) Возрастает на промежутках[л , 2лл я , 2:"б" + “з-: ^ Н—sin 170°; sin 20°; 2ялsin 170°; sin 20°; 2ял3 ’3 ’л £ Z;л £ Z;
в) R.
в) R.
93.
93.
а) [— h 1]; в) [0; Ч 94. a) sin2x>0 на промежутках (ял; -^-4-л л),
а) [— h 1]; в) [0; Ч 94. a) sin2x>0 на промежутках (ял; -^-4-л л),
n€Z;
n€Z;
sin 2х<0
sin 2х<0
на
на
промежутках
промежутках
л । "+»-;
л । "+»-;
ял
ял
л ^Z;
л ^Z;
sin 2х = 0
sin 2х = 0
лл
при х==‘2*» п^-
лл
при х==‘2*» п^-
такие же, как у функции sin ( — 250°); sin 100°. 96.
такие же, как у функции sin ( — 250°); sin 100°. 96.
; в) нулей нет, промежутки f(x)=sinx. 95. a) sin ( — 30°);
; в) нулей нет, промежутки f(x)=sinx. 95. a) sin ( — 30°);
з накопостоянства
з накопостоянства
л
6
л
6
л € Z; убывает на
л € Z; убывает на
а) Возрастает на промежутках
[л , 2лл я , 2:
"б" + “з-: ^ Н—
а) Возрастает на промежутках
[л , 2лл я , 2:
"б" + “з-: ^ Н—
sin 170°; sin 20°; 2ял
sin 170°; sin 20°; 2ял
3 ’
3 ’
л £ Z;
л £ Z;
в) убывает на промежуткахв) убывает на промежуткахЛл I—— 4-лл; —+ лл|, n^Z; возрастает на проме-Лл I—— 4-лл; —+ лл|, n^Z; возрастает на проме-
в) убывает на промежутках
в) убывает на промежутках
Лл I
—— 4-лл; —+ лл|, n^Z; возрастает на проме-
Лл I
—— 4-лл; —+ лл|, n^Z; возрастает на проме-
л жутках — -f-лл;X Г 4я i ов) I —д+2лл;л жутках — -f-лл;X Г 4я i ов) I —д+2лл;ЗяЗяЗл Iл4л— -|-лл1, n^Z. 98. а) х=——4-2лл и х = -^- + 2лл, n^Z;Зл Iл4л— -|-лл1, n^Z. 98. а) х=——4-2лл и х = -^- + 2лл, n^Z;44, n^Z. 100. а) Множество, n^Z. 100. а) Множествовсех действительныхвсех действительных
л жутках — -f-лл;
X Г 4я i о
в) I —д+2лл;
л жутках — -f-лл;
X Г 4я i о
в) I —д+2лл;
Зя
Зя
Зл Iл4л
— -|-лл1, n^Z. 98. а) х=——4-2лл и х = -^- + 2лл, n^Z;
Зл Iл4л
— -|-лл1, n^Z. 98. а) х=——4-2лл и х = -^- + 2лл, n^Z;
4
4
, n^Z. 100. а) Множество
, n^Z. 100. а) Множество
всех действительных
всех действительных
[-1; 1]; в) [1; 2].cos3x<0 на[-1; 1]; в) [1; 2].cos3x<0 на
[-1; 1]; в) [1; 2].
cos3x<0 на
[-1; 1]; в) [1; 2].
cos3x<0 на
чисел, кроме чисел вида —+лл, n^Z; в) R. 101. а) х/ л , 2ллл , 2лл\„ _
a) cos3x>0 на ( —; -^-4—5-1 ,n^Z;
л 2лл л 2лл б4 з~;л 2лл л 2лл б4 з~;нулейнулейn£Z; cos3x = 0 при х==4г+"х-, n^Z; в)о о
л 2лл л 2лл б4 з~;
л 2лл л 2лл б4 з~;
нулей
нулей
нет, промежутки знакопостоянства такие же, как у функции f (x) = cos х. 103. б) cos 3; cos ^; cos ^; cos 1,2; cos(—1); cos ( — 0,1). 104. а) Возрастает 4 о
[
2ллл 2лл"1Г л , 2лл 2лл1
-о—; т + "о~ •убывает на I —Х- + -Х-; -х- , n^Z\ в) возра
О D О JL V оо J
стает на [—Зл + 6лл; блл], n^Z; убывает на [блл; Зл + 6лл], n^Z. 105. а) /=±-^- + 2лл, n^Z; в) -^- + 2лл</<^+2лл» n^Z. 106. а) х= = ±4г + 2лл, л^2; в) -7 + 2лл^/^^ + 2лл, n^Z. 108. а) х=/=-^-4-лп, о444
(лл л , лл\_ _, .„/л , ллтг+"^) • n^Z; ^3х<0 на ( —Х-+-о 3 b о/\о о(лл л , лл\_ _, .„/л , ллтг+"^) • n^Z; ^3х<0 на ( —Х-+-о 3 b о/\о о, n£Z; tg3x = 0 при, n£Z; tg3x = 0 приллллn^Z;n^Z;в)в)tg2x>0 на (^; -^-(л+1)) . n£Z; -tg2x = 0 при х=лл, n^Z.tg2x>0 на (^; -^-(л+1)) . n£Z; -tg2x = 0 при х=лл, n^Z.n^Z; в) х=^^, п€^. 109. a) R; в) (— оо; 0]. 110. a) tg3x>0 на лл
(лл л , лл\_ _, .„/л , лл
тг+"^) • n^Z; ^3х<0 на ( —Х-+-о 3 b о/\о о
(лл л , лл\_ _, .„/л , лл
тг+"^) • n^Z; ^3х<0 на ( —Х-+-о 3 b о/\о о
, n£Z; tg3x = 0 при
, n£Z; tg3x = 0 при
лл
лл
n^Z;
n^Z;
в)
в)
tg2x>0 на (^; -^-(л+1)) . n£Z; -tg2x = 0 при х=лл, n^Z.
tg2x>0 на (^; -^-(л+1)) . n£Z; -tg2x = 0 при х=лл, n^Z.
a) tg 100°; tg( —20°); tg 10°; tg 200°; tg(—110°). 112. а) Возрастает на
(
л । лл л , лл\.( Зл .л \
——+ -^-; —+ -2 ) , fi^Z; в) убывает на (—- + лл; -^- + лл1, n^Z.
а) /=-^-+лл, n^Z; в) —^- + лл </<-^- + лл, n^Z. 114. а) х=—^-4-лл,
n£Z; в) —^- + лл<х< —^- + лл, n£Z. 116. а) х=/=-^- + лп, n^Z; в) х#=^, n£Z.
а) I?; в) [0; оо). 118. a) ctg2x>0 на Г^ ; -^+-^"J . л€^; ctg 2х<0 на
Л . ЛП Л ЛМ \_Л ЛИ _ х «о
-г^-к; t + ^I’ n^Z; ctg2x = 0 при х=—4-—, n^Z; в) ctg2x>0 на пл; ■у + лЛ^ и ^-^-Ч-лл. л + лл^ 1 n^Z; ctg2x = 0 при х=-^-+лл, n^Z.
119. б) ctg 6; ctg^^J ; ctg 2; ctg 8; ctg-^-; ctg 4. 120. а) Убывает на /лл л , лл\/Зп 15л\( -у; —Н—-) , n^Z; в) возрастает на I — 4-Злл; ——|-Злп1 , n£Z. 121. a) t = = —^- + лл, n^Z; в) -^-ф-лл </<л + лл, n^_Z. 122. а) х = ~ + лл, n^Z;119. б) ctg 6; ctg^^J ; ctg 2; ctg 8; ctg-^-; ctg 4. 120. а) Убывает на /лл л , лл\/Зп 15л\( -у; —Н—-) , n^Z; в) возрастает на I — 4-Злл; ——|-Злп1 , n£Z. 121. a) t = = —^- + лл, n^Z; в) -^-ф-лл </<л + лл, n^_Z. 122. а) х = ~ + лл, n^Z;. 5л .в) -^-+лл<X Лу; ж). 5л .в) -^-+лл<X Лу; ж)n^Z. 124. а) 0; б)n^Z. 124. а) 0; б)лт;лт;в)в)л7л7\ яг) т;\ яг) т;лл4 '4 '125.125.а) -^-; б) 0; в) л;а) -^-; б) 0; в) л;б)б)0,5009; в) 0,6554; г)0,5009; в) 0,6554; г)а) 0,3072; б). л . 2лг) у; д) -у;0,9685. 128. а)а) 0,3072; б). л . 2лг) у; д) -у;0,9685. 128. а)0,4451; в)0,4451; в)\ лт; ж)0; б) -\ лт; ж)0; б) -0,3081;0,3081;5л"6 ' л5л"6 ' л127.127.г)г)а)а)лт*лт*0,8949.0,8949.1,3526;1,3526;Д)Д)—£. 129. а) 0,3403; б)—£. 129. а) 0,3403; б)1,1606; в) -1,3734; г) 1,4713. 130. а)1,1606; в) -1,3734; г) 1,4713. 130. а)г> х:6> т;г> х:6> т;в)в); г) -?■; д) §. 131. а) 0,9547; б) 0,1728; в) 0,2147; г) 3,0247. 132. а) 4 о о; г) -?■; д) §. 131. а) 0,9547; б) 0,1728; в) 0,2147; г) 3,0247. 132. а) 4 о оРавно;Равно;б)б)меньше; в) меньше; г) меньше. 133. а) -^-; б) -^-; в)меньше; в) меньше; г) меньше. 133. а) -^-; б) -^-; в)2 ’2 ’11лТ2 ; г)11лТ2 ; г)л—6"’л—6"’
119. б) ctg 6; ctg^^J ; ctg 2; ctg 8; ctg-^-; ctg 4. 120. а) Убывает на /лл л , лл\/Зп 15л\
( -у; —Н—-) , n^Z; в) возрастает на I — 4-Злл; ——|-Злп1 , n£Z. 121. a) t = = —^- + лл, n^Z; в) -^-ф-лл </<л + лл, n^_Z. 122. а) х = ~ + лл, n^Z;
119. б) ctg 6; ctg^^J ; ctg 2; ctg 8; ctg-^-; ctg 4. 120. а) Убывает на /лл л , лл\/Зп 15л\
( -у; —Н—-) , n^Z; в) возрастает на I — 4-Злл; ——|-Злп1 , n£Z. 121. a) t = = —^- + лл, n^Z; в) -^-ф-лл </<л + лл, n^_Z. 122. а) х = ~ + лл, n^Z;
. 5л .
в) -^-+лл<
X Л
у; ж)
. 5л .
в) -^-+лл<
X Л
у; ж)
n^Z. 124. а) 0; б)
n^Z. 124. а) 0; б)
лт;
лт;
в)
в)
л
7
л
7
\ яг) т;
\ яг) т;
л
л
4 '
4 '
125.
125.
а) -^-; б) 0; в) л;
а) -^-; б) 0; в) л;
б)
б)
0,5009; в) 0,6554; г)
0,5009; в) 0,6554; г)
а) 0,3072; б)
. л . 2лг) у; д) -у;
0,9685. 128. а)
а) 0,3072; б)
. л . 2лг) у; д) -у;
0,9685. 128. а)
0,4451; в)
0,4451; в)
\ л
т; ж)
0; б) -
\ л
т; ж)
0; б) -
0,3081;
0,3081;
5л
"6 ' л
5л
"6 ' л
127.
127.
г)
г)
а)
а)
л
т*
л
т*
0,8949.
0,8949.
1,3526;
1,3526;
Д)
Д)
—£. 129. а) 0,3403; б)
—£. 129. а) 0,3403; б)
1,1606; в) -1,3734; г) 1,4713. 130. а)
1,1606; в) -1,3734; г) 1,4713. 130. а)
г> х:
6> т;
г> х:
6> т;
в)
в)
; г) -?■; д) §. 131. а) 0,9547; б) 0,1728; в) 0,2147; г) 3,0247. 132. а) 4 о о
; г) -?■; д) §. 131. а) 0,9547; б) 0,1728; в) 0,2147; г) 3,0247. 132. а) 4 о о
Равно;
Равно;
б)
б)
меньше; в) меньше; г) меньше. 133. а) -^-; б) -^-; в)
меньше; в) меньше; г) меньше. 133. а) -^-; б) -^-; в)
2 ’
2 ’
11л
Т2 ; г)
11л
Т2 ; г)
л
—6"’
л
—6"’
,л5л,л,7л _лл,х2л
а)—; б)— ;в)—; г)— .135. а)—; б) —; в) 0;г)—.
1 Z1 Z1 Z1 ZДО
а)Зл—10;б) 4л—12;в)2 —л;г) л — 3. 142. а) ±-^- + 2лл,n^Z;
в)±у + 2лп.л67.143.а)(-1)"Л + лл,n^Z;в)(-1)п + *^-+Лп.
л^2. 144. а) -^- + лл1 ^EZ; в) —^- + лл, n^Z. 145. а) -^- + лл, n^Z; в) —^-4-лл, n^Z. 146. а) (—1)пхо + лл, n^Z, Xo = arcsin ( — 0,6)» —0,6435;
в) —Xq + лл, n^Z, xo = arctg 3,5» 1,2925. 147. а) ±-^- + лл, n^Z; в) ут> + лр n^Z. 148. а) (—1)пл + 4лл, n^Z; в) —^-4-Злл, n^Z. 149. а) "у + + (— 1)" -т + лл, n^Z; в) лл, n^Z. 150. а) ^ + (—1)" Д+ n£Z; в) ^ + 2лл, n£Z. 152. а) —^ +2л/?<х<-^- + 2л^, k^Z; в) —^4-2л£<;х<—^- + 2л£, k^Z. 153. а) —^- +2л/г<х<-^-+2л^, k^Z, в) —^ + 2л^<х<^4-2л/г, k^Z.
а) —^- + л^<х<-у + лк, k^Z; в) —^ + л/г<х<—у + л/г, k^Z. 155. а) л^<х<^ + л&, k^Z; в) -^-+ л/г ^ х-< л + л^, k^Z. 156. а) -^ + лк< <х<^ + л^ /^Z; в) —у4-2лк<х<л + 2лк, k^Z. 157. а) -^ + 2л/:< <х<^? + 2лЛ, k^Z; в) —^- + л^<х<-^ + лк, k^Z. 158. а) — ^ + 2ЛЛ^ <х< —-^ + 2л/г, k^Z; б) -^ + л/г < х ^ ^ + л/?, k^Z; в) (— оо; оо); г) ^ + л^<х<-^- + л6, + л/г^х<-^- + л^ и ^ + л6<х<^ + л^, k^Z.
Решение. —-—- ■ ——=tg Зх при х, принадлежащих области оп- 1 — tg х tg 2х
ределения левой части неравенства. Таким образом, нужно решить нера
венство 1g 3x^1 и исключить "~р + "?Г • t^Z. Отметим с межутков, состоящих из[л я\—; — 1ллчаем: — + лл ^Зх<-^- + лп, Для тою чтобы исключитьвенство 1g 3x^1 и исключить "~р + "?Г • t^Z. Отметим с межутков, состоящих из[л я\—; — 1ллчаем: — + лл ^Зх<-^- + лп, Для тою чтобы исключитьиз полученного множества точки вида —+ л/, помощью линии тангенсов один из прозначений /(/ = 3х), удовчетворяющих ие-
венство 1g 3x^1 и исключить "~р + "?Г • t^Z. Отметим с межутков, состоящих из
[л я\
—; — 1
лл
чаем: — + лл ^Зх<-^- + лп, Для тою чтобы исключить
венство 1g 3x^1 и исключить "~р + "?Г • t^Z. Отметим с межутков, состоящих из
[л я\
—; — 1
лл
чаем: — + лл ^Зх<-^- + лп, Для тою чтобы исключить
Используя периодичность тангенса, полу- n^Z, откуда "12"^~3 ^Х<Т + "3" ’”^Z’
указанные выше точки, удобно рассмотреть
промежутки длины л (и добавить лк, k£ZY tgSx^l при Уг+яК . л , , 5л , , _ л , ,3л5л ,.
^х< — -4-лк, — 4-лк^хС-тг + лк, —- + лк<_х<-=- + лк. Исключаем числа вида 61224о
лл ЗлЗл
-g-H-n^, -^- + л/г, -^- + л/?, k^Z. В данном случае это числа вида —+ л&.
k^Z. 159. а) ±^ + 2л/г, y + ^, k^Z; б) у + 2л/г, k^Z. в) у + 2л/?, k(.Z; г) ai + лб, аг + лб, k^Z, ai = arctg 2» 1,11; a2 = arctg -^-»0,46.
ai =а =ai =а =a) ±-g-+4n^, л + 2л6, k^Z; 6) ai+л/г, аг + л^г, k^Z, = arctg-—тр™^—0,55; K2 = arctg AA)^~ 1,02; в) а + 2л&, k^Z,
ai =
а =
ai =
а =
=2 arctg A~ 1,18; г)-^4~л6, ( — 1/хо4-л^, k^Z, xo = arcsin 0,75 «0,85. 161. a) 2nk, л + 4л&, k^Z; б) л 4-2л/?, 4л/?, k£Z; в) (—1/хо4-л^, k£Z, xo=arcsin A~q,34; г) -^-4-л/?, k^Z. 162. a) —т-4* л/?, k£Z; б) -^-4-лб, а + л^, k^Z, a = arctg2; в) -^-4-л&, а + л/?, k£Z, a = arctg 3« 1,25; r) ai+л/?, а2 + л/?, k^Z, ai = = arctg - ^^ « — 1,43; a2 = arctg—-A^^- «0,11. 163. a) ±^ + 2л^.
k^Z; в) (-1/.Л_|_л^, k^Z. 164. a) —^ + ^, k^Z; в) у + л/?, k^Z. 165. a) у + 2л/?, k^Z; в) л/?, -^- + nfc, k£Z. 166. a) (~1)‘-р + ^> k^Z; в) ±а + л&, k^_Z, a = arctg-V2~0,96. 167. a) (( — 1/~^- + лк; ±^ + 2лл); U— 1)* + ," + л^; ±А4-2лп), к, n^Z- в) (A__L; A-^AV k^Z; \ b 3 / \ 2 b 2 b /
г) ^хо + л^; -^—Xo — лк) ; ^Х14-л^; -^—xi — л^ , k^Z; Xo = arctg — «0,46, Xi = arctg A~032. 168. a) Нет; в) да (кроме случая а = & = 0). 169. a) tg2 а;
•О tg а tg р. 170. a) cos2 <р; в) — 1. 171. а) 13; б) 0; в)•О tg а tg р. 170. a) cos2 <р; в) — 1. 171. а) 13; б) 0; в)g. 2Q -; r) Isin p + cos PI. sin 2фg. 2Q -; r) Isin p + cos PI. sin 2ф6)6)Д)Д)пг (3 — т2)2— sin 23°.пг (3 — т2)2— sin 23°.(а—г); б) tg(p——). 173. а) 8; в) —. 174. а). 175. а) т2—2; 6)m(m2—3). 176. а) —0,5. 185. а) — sinl8°; в)186. a) sin-^-=cos-A в) — tg 187. a) sin 1°; в) 441о(а—г); б) tg(p——). 173. а) 8; в) —. 174. а). 175. а) т2—2; 6)m(m2—3). 176. а) —0,5. 185. а) — sinl8°; в)186. a) sin-^-=cos-A в) — tg 187. a) sin 1°; в) 441опг2 — 12 '-tgl5°;пг2 — 12 '-tgl5°;cos 19°.cos 19°.188. a) cos^; в) tgy . 189. а) А; б)188. a) cos^; в) tgy . 189. а) А; б)^; в) 14-V3; г) 0,5. 190. а)^; в) 14-V3; г) 0,5. 190. а)— sin а;— sin а;
•О tg а tg р. 170. a) cos2 <р; в) — 1. 171. а) 13; б) 0; в)
•О tg а tg р. 170. a) cos2 <р; в) — 1. 171. а) 13; б) 0; в)
g
. 2Q -; r) Isin p + cos PI. sin 2ф
g
. 2Q -; r) Isin p + cos PI. sin 2ф
6)
6)
Д)
Д)
пг (3 — т2)2
— sin 23°.
пг (3 — т2)2
— sin 23°.
(а—г); б) tg(p——). 173. а) 8; в) —. 174. а)
. 175. а) т2—2; 6)m(m2—3). 176. а) —0,5. 185. а) — sinl8°; в)
186. a) sin-^-=cos-A в) — tg 187. a) sin 1°; в) 441о
(а—г); б) tg(p——). 173. а) 8; в) —. 174. а)
. 175. а) т2—2; 6)m(m2—3). 176. а) —0,5. 185. а) — sinl8°; в)
186. a) sin-^-=cos-A в) — tg 187. a) sin 1°; в) 441о
пг2 — 1
2 '
-tgl5°;
пг2 — 1
2 '
-tgl5°;
cos 19°.
cos 19°.
188. a) cos^; в) tgy . 189. а) А; б)
188. a) cos^; в) tgy . 189. а) А; б)
^; в) 14-V3; г) 0,5. 190. а)
^; в) 14-V3; г) 0,5. 190. а)
— sin а;
— sin а;
,„ tg.x, l95. ^; 6) ^5. ,96. a) ,; 6) _1|. ,97. a) 2±2^; 6) 7 198. a) б) -^; в) -^; r) -83. 200. a) tg 15” = 2—^; 6) -tg-£;
40oO/ 1/
*) tgatgP; r) tga. 208. a) VO^; 2V^2; 0,5; 2; 6) A; — 5534
a) sin (*+ y) sin (x—y). 210. a) 4 cos-^ cos x cos ^; 6) 4 cos -^ cos x sin ^.
a) 2 sin -2“?^Л cos 2“- ■ -= 2 cos2 ^-.- Л; 6) 2sin(30°—cos(30°4—^); 444'\\2/
h) 2 sin 4“ + л cos ^“ Л; r) 2 sin 5° cos 40°; д) sin (60°4-a) sin (60° —a);
Оо
Ч 4 Ч 479474
sinta + SO^sintc-SO-). 2!2. а) ^; —; -т; -^ 6) ^; 55; ^; Зт. 213. а) (—1)*хо4~л£, k^Z, хо = а resin А «0,34. 214. а) ±^4~2л^, k^Z;
б) ±у^+ nk, k£Z. 215. a + nA, k^Z, a = arctg 0,5 « 0,46. 216. а) л4-2лА; ±a | +4nfe, k^Z, a—2 arc cos-^-« 2,46. 217. a) ^, k^Z\ в) ^, k^_Z. 218. a) —— |
+л^<х<-^- +nft, k^Z; 6) R. 219. a) -у+лКх<у-М, -^- + лА^х
ЗлТоЗлТо7л107л10Зл тЗл тл2"л2"л"2л"2лб"лб"
Зл
То
Зл
То
7л
10
7л
10
Зл т
Зл т
л
2"
л
2"
л
"2
л
"2
л
б"
л
б"
+ 2пк, k^Z. 221. Указание, a) sin х>-^ или sin х< —^-; б) —y<cos х-
у. 222. Указание, а)у. 222. Указание, а)22-у. 223. Указание-у. 223. Указание
у. 222. Указание, а)
у. 222. Указание, а)
2
2
-у. 223. Указание
-у. 223. Указание
a) tg х< — 1 или 0<tg х< 1; б) — 1 <ctg х<0 или ctg х> 1. 225. а) -^-; в) -” 235. а), б) 1. 236. a) cos 4/; б) cos/. 237. a) ctg 2х; б) —--—.238.^; —-
_Ism q>|6565
2411-V311
— —. 241. а) — cos 10°; б) —; в) г) 0. 242. а) —— cos 2х; б) —— cos (2а |
4* -у/ ; В) -у (cos 2х +cos 20); г) -у (cos 2а —cos 2х). 243. a) cos 10°-—-; б) ™ | 4-cos 10°, в) cos 35°4-cos 5°—cos 15°--^-; г) cos l°4~cos 3°4-cos 5°4-cos 7° -| 4-cos 9°4-cos 11 °4-cos 13°4-cos 15°. 244. a) 0,54- V° 5 — 0.25^3; б) -^~ 245. a) ^^—-; 6) ^^—-. 246. a) ^^ *; б) V^- 247. a) I-|-cos2x; б) 1—cos 4л, в) 0,54-cos 2x4-0,5 cos 4x; r) cos 4x; д) cos 12x; e) 0,54-0,5 cos 8* о о22
Да. 250. a) (—1)*а4-л£, k^Z, a = arcsin —^«0,62. 251. а) «14-2л^, а24 4-2л&, k^Z, C|=2arctg-—^^-«—0,52; 0 = 2 arctg-—^^«1,80; в) -^4
4-2л£, а-|-2л£, k^Z, а = 2 arctg ( —3)« —2,50. 252. a) R; б) л/г<х^-^-4 4-л^, -у 4* л/г ^ x <-^-4-л£, k^Z.
Глава II
а) 0,2 и 0,3; 0,26 и 0,27; 0,266 и 0,267; б) —1,3 и —1,2; —1,27 и —1,26, в) 0,8 и 0,9; 0,83 и 0,84; 0,833 и 0,834. 256. а) 1,90502; б) 1,21836. 257. а) 0,905; б) 3,046; в) 3,968; г) 1,748. 258. а) 19,6; б) gt; в) V2g«4,43, г) ^. 259. а) 0,005; 6) ^«0,0007. 260. а) 1; ^ ^. 262. а) -2. в) — L 263. а) —у; в) 0. 264. a) lim Cf (х)= lim С-Hm f (х)=С*Л, б) lim(/ (x)-g (x))=lim(/ (x)4-(-l).g (х))=Нт°/ (х)4- Пт ^-l>g (х)) = Л4
х->а х-*а х-^а х->а
4-(— 1) Нт £(х)=Л4-(— 1)-В=Л—В. 266. Указание, а) Примените правило х-*а
о пределе произведения; б) примените, результат упражнения 264, а; в) при мените правило вычисления предела суммы и результат задачи б; г) примените правило о пределе частного. 267. а) 3,2; 0,4; в) 0,2. 268. а) 0,5; 2,25; б) 0,15;
1,1475; г) 0,2; 1,04. 269. а) 13591 б) 804; в) зш07 1 г) lgQ6. 270.
а) — ЗДх; б)а) — ЗДх; б)2Дх2Дх; в) 6хоДх + 3 (Дх)2; г) Дх ( —2 —2хо—Дх).; в) 6хоДх + 3 (Дх)2; г) Дх ( —2 —2хо—Дх).
а) — ЗДх; б)
а) — ЗДх; б)
2Дх
2Дх
; в) 6хоДх + 3 (Дх)2; г) Дх ( —2 —2хо—Дх).
; в) 6хоДх + 3 (Дх)2; г) Дх ( —2 —2хо—Дх).
а) Хо + 2х0Дх + (Дх)2; 2х0Дх + (Дх)2; 2х0 + Лх; б) ахо + аДх + 6; а Ах; а; г) х? + + Зх^Дх + Зх0(Дх)2 + (Дх)3; Зх^Дх + Зх0(Дх)24-(Дх)3; Зх2 + Зх0Лх + (Дх)2. 272. а) 2,1; б) 1,9; в) 2,001; г) 1,9999. 273. а) 12,61; б) 12,0601; в) 12,006001; г) 12,00060001. 275. б) Убывает на всей числовой прямой; г) возрастает на (—оо; 0], убывает на [0; оо). 277. а) 2; в) 2. 278. б) 1; г) 2хо — 1. 282. а) а; а; б) —1;
-1.283. г)-1.283. г)О
-1.283. г)
-1.283. г)
284. б) 2; г)т. 285. а) — 2; в) 2x4-2. 286. а) 2ак-^Ь\ х
в) Зх2-1; г)в) Зх2-1; г)в). 7в). 711—р- 288. а) Юх9; в) —^-. 289. а) —^291. а) 7х6 —6х—1; в) 12х5+-р. 292. ;—р- 288. а) Юх9; в) —^-. 289. а) —^291. а) 7х6 —6х—1; в) 12х5+-р. 292. ;14в)г.290. а)—;х '7х14в)г.290. а)—;х '7х33Xs 2Xs 2в) 0. 294. а)в) 0. 294. а)3 , 3 г . ^+т^г) tLStil; в)3 , 3 г . ^+т^г) tLStil; в)з2з266х\х295. а)х\х295. а)29615_4 (14-О2’29615_4 (14-О2’а) -3;а) -3;298. б)298. б)в) 2х— 3.в) 2х— 3.— 19; г)— 19; г)300. а) [0; 4]; в) (- оо; 2)U(2; 3]. 301.300. а) [0; 4]; в) (- оо; 2)U(2; 3]. 301.35x4-^; б) -1-4-'х °. Н .а) (3 —5х/’+ 4х —35x4-^; б) -1-4-'х °. Н .а) (3 —5х/’+ 4х —293.293.х2 (1-х2)х2 (1-х2)в)в)287. а) -1;91--—. 299.72^287. а) -1;91--—. 299.72^б) —5; в)б) —5; в)а) [ —3;3];а) [ —3;3];в)в)5(24-х)2 ;(-2; 2).5(24-х)2 ;(-2; 2).72—х —х2; в) 272—х —х2; в) 2хх —3хх —3
в) Зх2-1; г)
в) Зх2-1; г)
в)
. 7
в)
. 7
1
1
—р- 288. а) Юх9; в) —^-. 289. а) —^
291. а) 7х6 —6х—1; в) 12х5+-р. 292. ;
—р- 288. а) Юх9; в) —^-. 289. а) —^
291. а) 7х6 —6х—1; в) 12х5+-р. 292. ;
14
в)г.290. а)—;
х '7х
14
в)г.290. а)—;
х '7х
3
3
Xs 2
Xs 2
в) 0. 294. а)
в) 0. 294. а)
3 , 3 г . ^+т^г) tLStil; в)
3 , 3 г . ^+т^г) tLStil; в)
з
2
з
2
6
6
х\х
295. а)
х\х
295. а)
2961
5
_4 (14-О2’
2961
5
_4 (14-О2’
а) -3;
а) -3;
298. б)
298. б)
в) 2х— 3.
в) 2х— 3.
— 19; г)
— 19; г)
300. а) [0; 4]; в) (- оо; 2)U(2; 3]. 301.
300. а) [0; 4]; в) (- оо; 2)U(2; 3]. 301.
35x4-^; б) -1-4-'х °
. Н .а) (3 —5х/’
+ 4х —
35x4-^; б) -1-4-'х °
. Н .а) (3 —5х/’
+ 4х —
293.
293.
х
2 (1-х2)
х
2 (1-х2)
в)
в)
287. а) -1;
9
1--—. 299.
72^
287. а) -1;
9
1--—. 299.
72^
б) —5; в)
б) —5; в)
а) [ —3;3];
а) [ —3;3];
в)
в)
5(24-х)2 ;
(-2; 2).
5(24-х)2 ;
(-2; 2).
72—х —х2; в) 2
72—х —х2; в) 2
х
х —3
х
х —3
х2 .2 —х —х2 .(х —З)2’ Г) -1-х-х2’ А)х2 .2 —х —х2 .(х —З)2’ Г) -1-х-х2’ А)— • е) -^—. 303. a) Цх)-^; в) f (х)*~37^-3— • е) -^—. 303. a) Цх)-^; в) f (х)*~37^-3
х2 .2 —х —х2 .
(х —З)2’ Г) -1-х-х2’ А)
х2 .2 —х —х2 .
(х —З)2’ Г) -1-х-х2’ А)
— • е) -^—. 303. a) Цх)-^; в) f (х)
*~37^-3
— • е) -^—. 303. a) Цх)-^; в) f (х)
*~37^-3
и)и)в)в)1; Д) Цх)=^. 304. а) 28(2х —7)13; в) -21 (7х-1)"4. 305. а) —1хо+2х1; Д) Цх)=^. 304. а) 28(2х —7)13; в) -21 (7х-1)"4. 305. а) —1хо+2х5275х—835275х—834 г■■ 306' а) "Тг^ч; в)74х — 14 г■■ 306' а) "Тг^ч; в)74х — 14х4хТбх-8 74х2 —3Тбх-8 74х2 —3г)г)119х79х2 — 16х9х79х2 — 16х. 307. а) 65(5х-2)|2-60(Зх + 7)19;. 307. а) 65(5х-2)|2-60(Зх + 7)19;79 + 2х 2^0,5х2 — 279 + 2х 2^0,5х2 — 2. 308. а) -^ cos х;-в) cos х —sin х.. 308. а) -^ cos х;-в) cos х —sin х.2309. a) 3 cos Зх; в) 10cos2x. 310. а) — 2 sin 2х; в) 2 sin 4х. 311. а) 2 - ;2309. a) 3 cos Зх; в) 10cos2x. 310. а) — 2 sin 2х; в) 2 sin 4х. 311. а) 2 - ;15в) . 312. а) ; в)', хsin2 5хcos2 —15в) . 312. а) ; в)', хsin2 5хcos2 —91 y 1 х— . 313. а) —2-cosT; в) TsinT. Sln 291 y 1 х— . 313. а) —2-cosT; в) TsinT. Sln 2314. а) 2 cos ^2x+4-J; в)314. а) 2 cos ^2x+4-J; в)33cos2 (Зх — 7)"cos2 (Зх — 7)"315. а) ±-^-4-2л6, h^Z; б) sinx=4".315. а) ±-^-4-2л6, h^Z; б) sinx=4".е. х=Т- + 2л/г или х=^ + 2л£, k^Z; в) tgx=l, т. 66е. х=Т- + 2л/г или х=^ + 2л£, k^Z; в) tgx=l, т. 66е. х=-^- + л6, k£Z;4е. х=-^- + л6, k£Z;4
и)
и)
в)
в)
1; Д) Цх)=^. 304. а) 28(2х —7)13; в) -21 (7х-1)"4. 305. а) —1хо+2х
1; Д) Цх)=^. 304. а) 28(2х —7)13; в) -21 (7х-1)"4. 305. а) —1хо+2х
5275х—8
3
5275х—8
3
4 г
■■ 306' а) "Тг^ч; в)
74х — 1
4 г
■■ 306' а) "Тг^ч; в)
74х — 1
4х
4х
Тбх-8 74х2 —3
Тбх-8 74х2 —3
г)
г)
1
1
9х79х2 — 16х
9х79х2 — 16х
. 307. а) 65(5х-2)|2-60(Зх + 7)19;
. 307. а) 65(5х-2)|2-60(Зх + 7)19;
79 + 2х 2^0,5х2 — 2
79 + 2х 2^0,5х2 — 2
. 308. а) -^ cos х;-в) cos х —sin х.
. 308. а) -^ cos х;-в) cos х —sin х.
2
309. a) 3 cos Зх; в) 10cos2x. 310. а) — 2 sin 2х; в) 2 sin 4х. 311. а) 2 - ;
2
309. a) 3 cos Зх; в) 10cos2x. 310. а) — 2 sin 2х; в) 2 sin 4х. 311. а) 2 - ;
15
в) . 312. а) ; в)
', хsin2 5х
cos2 —
15
в) . 312. а) ; в)
', хsin2 5х
cos2 —
91 y 1 х
— . 313. а) —2-cosT; в) TsinT. Sln 2
91 y 1 х
— . 313. а) —2-cosT; в) TsinT. Sln 2
314. а) 2 cos ^2x+4-J; в)
314. а) 2 cos ^2x+4-J; в)
3
3
cos2 (Зх — 7)"
cos2 (Зх — 7)"
315. а) ±-^-4-2л6, h^Z; б) sinx=4".
315. а) ±-^-4-2л6, h^Z; б) sinx=4".
е. х=Т- + 2л/г или х=^ + 2л£, k^Z; в) tgx=l, т. 66
е. х=Т- + 2л/г или х=^ + 2л£, k^Z; в) tgx=l, т. 66
е. х=-^- + л6, k£Z;
4
е. х=-^- + л6, k£Z;
4
г) Т+У’ kEZ- 3161 а) sinx+xcosx; в) 2 sin х cos x = sin 2х; д) 0. 317. a) 3cos3x; в) —sin Л 318. a) R; в) (—оо;2) и (2; оо). 319. а) (—°o;l)U U (2; 3); в) (-оо; -3) U (1; 2) 1Ж «>). 320. а) (-оо; 1] U [4; оо); в) [-3; -1JU U[l; 3]. 321. а) х=-1, х^1; б) х<-1, 3^х<7; в) (-оо; -1) U [1 —V2; 0) U U (1; 1 +72]; г) (-оо; -2) U (2; 3). 322. а) -6; в) 1. 323. а) —^- в точке (1; 0),
4* в точке (2;0). 324. а) 45°. 325. в) у=— Зх-6 и у=— Зх + 6; г) у = 0,25х+1.
326. a) 0,02; б) 0,02; в) 0,48д/2; г) у —0,01 «0,8560. 327. а) 1,002; б) 0,997, в) 5,01; г) 3,98. 328. а) 1,2; в) 1,06; г) З5о-О,95. 329. а) 0,94; б) 1,08; в) 1,0006. г) 0,98. 330. а) ± + ^-«0,5151; в) ±-^«0,4849.331. а) 1 |
4—« 0,6006; в) 1—^«0,9651. 332. 6,4 км/ч. 333. (6/ —4) рад/с; 20 рад/с 13590
211
1) 2,8 рад/с; 2) бу с. 335. 12/ см/с; а) — с; б) — с. 336. а) 0,04 II
а) 65 г/см; б) 125 г/см. 340. а) 6 с; б) 18 м/с. 341. 0</<у. 342. а) Возра стает на R; в) возрастает на R. 343. а) Убывает на (—оо;0) и на (0; оо), в) возрастает на (—оо;3) и на (3; оо). 344. а) Убывает на (—оо;0], возрастаем на [0; оо); в) убывает на (— оо; 0,3], возрастает на [0,3; оо). 345. а) Возрастает па (—оо; — 3] и на [3; оо), убывает на [ — 3; 3]; б) возрастает на (—,оо;0] и па [2; оо), убывает на [0; 2]; в) возрастает на (—оо; —3] и на [1; оо), убывает па [—3; 1]; г) убывает на (—оо; оо). 346. а) Критических точек нет; в) минимум в точке 3. 347. а) Максимум в точке — 3, минимум в точке 3; в) максимум в точках —1 и 1, минимум в точке 0. 348. а) Критических точек нет; в) х = — 1 точка минимума; х=1—точка максимума, любое х из объединения промс жутков (—оо; —1) и (1; оо) — критическая точка, являющаяся одновременно и точкой минимума, и точкой максимума. 349. а) Убывает па промежутке (31Г 3\3
— оо; — ; возрастает на промежутке —; оо) ; минимум в точке -^ ,
в) возрастает на промежутках (—оо; —2] и [0; оо), убывает на промежутке [—2; 0]; максимум в точке —2, минимум в точке 0. 350. а) Убывает на проме
/1'
жутках I — оо; —
и
1
—; оо 4 ’
критических точек нет; в) убывает на проме
жутках (—оо;0) и [3,2; оо), возрастает на промежутке (0; 3,2]; максимум в точке 3,2. 351. а) Возрастает на (—оо; оо); б) возрастает на [0; 8] и на [12; оо), убывает на (—оо;0) и на [8; 12]; х = 0 и х=12 — точки минимума, х = 8 точка максимума; в) график функции приведен на рисунке 224; г) возрастав на (—оо; 0] и на [2; оо), убывает на [0; 1) и на (1; 2]; х = 0—точка максимума.
х=2 — точка минимума. 352. б) Возрастает на (—оо;2,5], убывает на [2,5; оо).
х=2,5— точка максимума. 353. г) Убывает на — оо;
х= —~точка минимума. 354. а) Убывает на О
1 1
—— .возрастает на о J
1
8‘ °°
(—оо; —1] и на [1; оо), возра
стает на [—1;1]; х= — I —точка минимума, х=1— точка максимума, б) график функции изображен на рисунке 225; в) возрастает на (—оо; со) 355. а) График функции изображен на рисунке 226; г) возрастает на (—оо; со) 356. а) График функции изображен на рисунке 227; б) возрастает на [—1;3|. убывает на (—оо; —1] и на [3; оо); х= — 1 —точка минимума, х = 3 — точка
максимума, график функции изобра жен на рисунке 228; в) возрастает п i
4"
00 ’ т] ’
убывает на
4
х——точка максимума; г) возра
3
стает на
вает на
—4]
и на [0; оо), убы
4х =-точка
5
максимума, х = 0 — точка минимума 357. а) ( —1;2); в) 0. 358. a) R, в) 1—3; —— . 359. а) Убывает ни
(—оо; оо); б) возрастает на (—оо; оо). 360. а) Воз- Г л 2л/г л . 2лк"
растает на промежутках
k^Z, убывает на промежутках
6^3’6 " л 2л/г л ,1> 3~’ "2
A^Z; х
л , 2л/г
3 J * 2пк ~3J ’
л
6 1 2nk
3
■, k^Z,— точки максимума, х =
6 1 3
вает на промежутках
, k^Z,— точки минимума, в) убы- / л . л/г л . лк\ , , „
84’8
361. а) Возрастает на промежутках
Зл
Т
-^•4-2л/г 4
^4~2л/г 4
, k£Z, убывает на промежутках -^-4-2лк;
мума.
? , k^Z; х=^- + 2лк, k^Z,— точки макси- Зл
х =-4-2л/г, k^Z,— точки минимума;
4
в) возрастает на промежутках
у+2^1 ;
—£ + 2nfe;
6
Г-^ + 2л/г;—£ + 2nfel , k^Z, убы-
Lb2 J
вает на промежуткаху + 2л/г; ^ + 2л/г] , I
—^+2я^ ’
kh максимума, x =
Л
CZ; х=—4-лп, n^Z,— точ-
4~ + 2л& и х = — ^ + 2л6,оо
k^Z,— точки минимума. 362. б) Указание. f'(x)=cosx—2<0 для любогохСЛ 363. a) min f (х)=
=f(-l)=f(l)=-16;
max f (x)=f (0) = — 9;
б) min f M = f (2)= —25; max f (x) = f (3)=0. 364. 1 c, [0; 3][0; 3]
7 м/с. 365. Указание. Докажите, что
S2 = h3 (2R — h), где h — высота треугольника, a R— радиус описанного круга. Далее можно искать максимум функции S (Л), но вычисления проще, если воспользоваться тем, что площадь максимальна, когда ее квадрат максимален, и искать максимум квадрата площади. 367. Слагаемые должны быть равными. 368. 15 см — высота, а 30 см — длина стороны основания бака. Указание. Выразите полную поверхность S бака через а и V (V — объем) и найдите
4V
наименьшее значение функции S(a) = a2+—. 369. В точку, удаленную на 3 км от населенного пункта и на 12 км от ближайшей к буровой точки шоссе 371. а) х"= —4х; в) х"=-9х. 372. а) Л=0,8; Ф=у; «=у! в) Л = 2.
Ф=у: (о= 1. 373. Общий вид решений: а) у = А cos (5< + ф); в) у = А cos (0,5/ + ф)
374. a) 6x2 + 6x-2; в) —2. 375. б) — 1; г) /6-Н4-/2 —L 378. а)374. a) 6x2 + 6x-2; в) —2. 375. б) — 1; г) /6-Н4-/2 —L 378. а)б)б)16 х х 16„х ^+10^-1 .(Ю-Зх)^ В) 61 r) (T^W* > 4^(f+l)a *Z2 + 1O|Z|-157.5x2 + 20|xl-3"4H(?W 38°- б) 64’ ° 2|х| (|х|+2)2- 38L й)16 х х 16„х ^+10^-1 .(Ю-Зх)^ В) 61 r) (T^W* > 4^(f+l)a *Z2 + 1O|Z|-157.5x2 + 20|xl-3"4H(?W 38°- б) 64’ ° 2|х| (|х|+2)2- 38L й)23 .)200 *23 .)200 *16(1-Зг)1'16(1-Зг)1'8 *8 *— 2и3 4* би2 —12^4-207— 2и3 4* би2 —12^4-207
374. a) 6x2 + 6x-2; в) —2. 375. б) — 1; г) /6-Н4-/2 —L 378. а)
374. a) 6x2 + 6x-2; в) —2. 375. б) — 1; г) /6-Н4-/2 —L 378. а)
б)
б)
16 х х 16„х ^+10^-1 .
(Ю-Зх)^ В) 61 r) (T^W* > 4^(f+l)a *
Z2 + 1O|Z|-157.5x2 + 20|xl-3
"4H(?W 38°- б) 64’ ° 2|х| (|х|+2)2- 38L й)
16 х х 16„х ^+10^-1 .
(Ю-Зх)^ В) 61 r) (T^W* > 4^(f+l)a *
Z2 + 1O|Z|-157.5x2 + 20|xl-3
"4H(?W 38°- б) 64’ ° 2|х| (|х|+2)2- 38L й)
23 .
)200 *
23 .
)200 *
16
(1-Зг)1'
16
(1-Зг)1'
8 *
8 *
— 2и3 4* би2 —12^4-20
7
— 2и3 4* би2 —12^4-20
7
б)б)9 д_ 16_25^ ? Z9 д_ 16_25^ ? Z?2 —383. а) 12х3—12х2 4* 12x4*4; б) Засх2 Д
б)
б)
9 д_ 16_25^ ? Z
9 д_ 16_25^ ? Z
v и
4-2(cd + 6c)^+(ae + M); в) 6х—8; -8; 4; г) 150t/4 + 12y; 0; 138. 384х 214/3-3/2 + 2/12/ 11 \
(24-х2) V2+* з—2х г-^/^^Н^Т VH 42'
387. Возрастает на (—оо; —1) и на (—1; со). 388. Возрастает на
[ — 0,75; со), убывает на ( — со; —0,75]. 389. Возрастает на[ — 0,75; со), убывает на ( — со; —0,75]. 389. Возрастает на1—; оо3 ’1—; оо3 ’^, убывав^, убывавнана— оо;— оо;-^- . 390. Возрастает на (—оо; —2] и на [1; со), убывает ин-^- . 390. Возрастает на (—оо; —2] и на [1; со), убывает ин[ — 2; 1]. 391. Возрастает на[ — 2; 1]. 391. Возрастает на1 . 00 • 31 . 00 • 3. 392. Возрастает. 392. Возрастаетна (—00; — 1] и на [1; со), убывает на [—1;0) и на (0; 1]. 393. / = 0— точка мак симума; возрастает на (—оо;0], убывает на [0; со). 394. Возрастает на [1; ею), убывает на (—со;—I]; экстремумов нет. 395. х = 0— точка максимума, возрастает на [—|г|;0], убывает на [0; |г|]. 398. График изображен на рина (—00; — 1] и на [1; со), убывает на [—1;0) и на (0; 1]. 393. / = 0— точка мак симума; возрастает на (—оо;0], убывает на [0; со). 394. Возрастает на [1; ею), убывает на (—со;—I]; экстремумов нет. 395. х = 0— точка максимума, возрастает на [—|г|;0], убывает на [0; |г|]. 398. График изображен на рисункесунке229. 403. График изображен на рисунке 230. 406. а)с>0; В<0; в) с<0; 6<0; с<0; Z)>0. 407. а) Г-229. 403. График изображен на рисунке 230. 406. а)с>0; В<0; в) с<0; 6<0; с<0; Z)>0. 407. а) Г-в) 1.в) 1.408. а)408. а)1°°;21°°;2UU2' °°2' °°; в); в)33и у; 1 • 409.и у; 1 • 409.
[ — 0,75; со), убывает на ( — со; —0,75]. 389. Возрастает на
[ — 0,75; со), убывает на ( — со; —0,75]. 389. Возрастает на
1
—; оо
3 ’
1
—; оо
3 ’
^, убывав
^, убывав
на
на
— оо;
— оо;
-^- . 390. Возрастает на (—оо; —2] и на [1; со), убывает ин
-^- . 390. Возрастает на (—оо; —2] и на [1; со), убывает ин
[ — 2; 1]. 391. Возрастает на
[ — 2; 1]. 391. Возрастает на
1 . 00 • 3
1 . 00 • 3
. 392. Возрастает
. 392. Возрастает
на (—00; — 1] и на [1; со), убывает на [—1;0) и на (0; 1]. 393. / = 0— точка мак симума; возрастает на (—оо;0], убывает на [0; со). 394. Возрастает на [1; ею), убывает на (—со;—I]; экстремумов нет. 395. х = 0— точка максимума, возрастает на [—|г|;0], убывает на [0; |г|]. 398. График изображен на ри
на (—00; — 1] и на [1; со), убывает на [—1;0) и на (0; 1]. 393. / = 0— точка мак симума; возрастает на (—оо;0], убывает на [0; со). 394. Возрастает на [1; ею), убывает на (—со;—I]; экстремумов нет. 395. х = 0— точка максимума, возрастает на [—|г|;0], убывает на [0; |г|]. 398. График изображен на ри
сунке
сунке
229. 403. График изображен на рисунке 230. 406. а)с>0; В<0; в) с<0; 6<0; с<0; Z)>0. 407. а) Г-
229. 403. График изображен на рисунке 230. 406. а)с>0; В<0; в) с<0; 6<0; с<0; Z)>0. 407. а) Г-
в) 1.
в) 1.
408. а)
408. а)
1
°°;2
1
°°;2
U
U
2' °°
2' °°
; в)
; в)
3
3
и у; 1 • 409.
и у; 1 • 409.
х=0 — точка максимума, x="gточка минимума; возрастает ил
Г4\Г 4 1
(—оо;0] и на I—; оо I, убывает на |0;у1; б) х = 0—точка максимума,
Получим: S(r)=2nr2+^X Приравнивая S'(г) = 4лг—^- нулю, получаем: У=2лг3, т. е. г3 = 8. Убеждаемся, что точка г = 2— точка минимума функции S(r). Далее, К = 2лг3 = лг2А, откуда h = 2r. 421. |У| = 1;5 м/с. 422. ■■-.." - м/с;
100"\2Ь 4/
—— м/с2. 423. 1) 360 г; 5х г/см; 2) 0; 60 г/см. 425. Зл рад/с. 426. а) 45 м;
-7(25 —4/2)3150
4 с; 90 м. 427. 0,04 л см2/с. 428. -р^- м/мин. 429. Квадрат.
Глава III
4. а) 2,5x4-С; в) — 4-С. 435. а) — cosx4-C; в) —g-cos 5x4-С/437. а) ——3;
tgx—1; в) — cos х4-4; г) -2x4-11. 438. а) — 2р+5; б) sinx—1;
2 г-г-х31
— хл/х— 8; г) 2\х. 439. а) ——9; б) — — 2; в) —cosx4-6; г) tgx —2.
440. a)
—я + С; б) —- + 4cosx4-C; в) ^L-^-bx-V-C; г) ол2
ах3 Ьх2
123
441. a) x-ysin3x + C; б) —— ctg3x+C; в) — tg5x + C;
3
г)
+ytg4x + C. 442. а) —^/Зх-2 + С; б) 5V2x + 7 + С; в)
г) —1(И-Зх)с + С. 443. 1)2) 0; 3) ^ • 444.
I 2! — ! -
— 21 cos у4~ 5(5x-7)z+ *
445. 8/? 4-1^
446. а)
4
I3 , 71
2 + 2
в) x(/) —3 — 2 sin t; r) x (1)= —3 cos / — 5/+ 12. 447.
г) у. 448. а)
взять функцию
450. a) -L ; б)
V3
б) -1-; в) 4,5;
42
Г 6> 2Т' ^; =)
-2,5; в) 1,5;
г) 2. 453. a)
Указ
24:
Г) -2.
а и и е.
г) т-
451. a)
В качестве
122,375 м; 9,77 м/с2.
б) х(0=5/ + у- 2;
а) 9; б) 1; в) 2; первообразной удобно
2
449. а) —; б) 1; в) 1; г) 0.
0,9; б) 2; в) 2; г) 0,4. 452. а) 20;
^~3*’ ^ Т2 ‘ Р е ш е н и е- Из уравнения х2=х3
находим абсциссы точек пересечения графиков функций у=х2 и у=х3; это
х = 0 ।
х3 J1 ~ 3 1°
и х—1. Искомая площадь равна (рис. 232)3 =) x2dx —-\ x3dx =
об
х1
Т
1
0 3
412 ’
: в) 1; г) —. 454. Рассмотрим криволинейную
трапецию, ограниченную линиями у= — f (х), у = 0, х = а и х = Ь (рис. 233). Эта криволинейная трапеция симметрична исходной трапеции, поэтому ее площадь равна площади исходной трапеции, а так как — f (х) непрерывная не-
ь
отрицательная функция, то S = $ ( —f (х)) dx, откуда S =
ъ
b
— 5 f (x) dx, t. e. $ f (x) dx =
= S. 455. Jf (x)dx = F (b)-F (а) и J f (x) dx-Ц f (x) dx = F (c)-F (a) + F (6)- Qac
-F(c) = F^-F(ay 457. (J f (f) dt)'=(F (x)-F (a)Y=F' (x)-O=f (x). 458. Дей-
ствительно, x'(l) = (xo4-) v («)du)' =0ф-у (/) (см. № 457) их(О)=хо + ( v(u)du = 'о<0
, л\ 28л16л, л
= Хо + О=хо. 460. а) — ; б) — ; в) — ;
. 15л ; г) —
50л2л
. 461. а) — ; б) Ил; в) — ; о
У*
Рис. 232.
b x
y=f(x)
Рис. 234.
-^ 462. ^^R-H\ 463. ^^„^464. ± л//(^Ч^ + г2).
а) 7х-2х2 + С; б) 4 + 2х2-7х + С; г) -10 cos 4+4 sin 6х + С. 466. а) —к(з + 2х)-3 + С; б) -^V?-3x+С; в) 1,5х2 —1- tg 8х + С; г) -T+-4ctg3x + C. 467. а) 2-^-5; б)12; в) -2V3-x + 9;
X -г О ОX
г) tg х — 3. 468.б) у: в) 2; г)[ 1 ^dx+ ) (2х — 1/ -г) tg х — 3. 468.б) у: в) 2; г)[ 1 ^dx+ ) (2х — 1/ -На 10; первый. 469. а) 3; б) ^ ; в) 9V3; г) 2^/3. 470. а)На 10; первый. 469. а) 3; б) ^ ; в) 9V3; г) 2^/3. 470. а)21 D ( *+1T- Реше""е- Ip^Tiy21 D ( *+1T- Реше""е- Ip^Tiy1(2х1(2х-1.5.1-1.5.12f x— 0,5+ 1,5! (2x—I)31 22f x— 0,5+ 1,5! (2x—I)31 222710—I20710—I20f 0,5dx iC^iyf 0,5dx iC^iy
г) tg х — 3. 468.
б) у: в) 2; г)
[ 1 ^dx
+ ) (2х — 1/ -
г) tg х — 3. 468.
б) у: в) 2; г)
[ 1 ^dx
+ ) (2х — 1/ -
На 10; первый. 469. а) 3; б) ^ ; в) 9V3; г) 2^/3. 470. а)
На 10; первый. 469. а) 3; б) ^ ; в) 9V3; г) 2^/3. 470. а)
2
1 D ( *+1T- Реше""е- Ip^Tiy
2
1 D ( *+1T- Реше""е- Ip^Tiy
1(2х
1(2х
-1.5.1
-1.5.1
2
f x— 0,5+ 1,5
! (2x—I)3
1 2
2
f x— 0,5+ 1,5
! (2x—I)3
1 2
2
2
710—I
20
710—I
20
f 0,5dx iC^iy
f 0,5dx iC^iy
3/1X1
——(—— 1 ) =— . 471. а) л; б) л. Указание. Воспользуйтесь формулой о \/2
cos2nx= --4—— ; в) 0. Решение. ^ sin Зх cos 5xdx=4 $ (sin 8х —sin2x) dx = оо
cos 4л—cos 0cos 4л—cos 0sin kx sin тх =sin kx sin тх =1/11\ 12"1 /1i /
cos 4л—cos 0
cos 4л—cos 0
sin kx sin тх =
sin kx sin тх =
= 2\ — 8"cos8x + "2 C0S Ч!0 =1V—g-(c°s 16л“cos0)+y(
——(0 — 0) = 0; г) л при к = гп, 0 при fe^m. Указание.
=4 (cos (& — m) х —cos (k + ш) x) (при k = m это выражение равно 2L COs 2кх\
472. а) 2; б) графиков из472. а) 2; б) графиков из2। *zz
472. а) 2; б) графиков из
472. а) 2; б) графиков из
0,8; в) —. Указание. Найдите абсциссы точек пересечения 2 42
уравнения —2 = 7—Зх, откуда Xi = l, х2 = 2, хз =—^"; г) 4,5.
473. а) б) о~ТТ ; в) 9- 474- а) + б) 48,4л; в) + г) 4- 475. а) Пусть F (х)— первообразная для / (х), G (х)—первообразная для g (х). Тогда F (х) + G (х) — первообразная для f (х) + g (х). Поэтому j (/ (х) + g (х)) dx = = (^(x)+G(x))| + f (b)+G(b)-F(a)-G(a)=F(b)-F(a) + G (b) - G (n) =
bbb•I ^t
= $/(x)dx + jg(x)dx; в) $ / (Лх + с) dx=— F (/гх + с) I = — F ^kb + c) — aaaKK
|1I кЬ+ci kb + c
—— F(ka 4-c) = — /"(0 . , =— \ f^dt. 476. По формуле Ньютона — Лейб- ккI еа+ск kaJ+c
ница все эти интегралы равны F (Ь) — F (а), где F— первообразная для функции f.
л? 2л
а) —; б) —; в) — ; г) 2л2а2Ь. 478. в) При Хт^О равенство F' (x) = f (х) прове-
F (X\ — F
ряется легко; при х —0 имеем: F' (0)= Игл= lim |х| = |0| =/(0). 479.
х-*0 хх->-0
а) По формуле Лагранжа —Ч— = F* (с)>0, так как сС(а; Ь\ поэтому
b — а
F (b) — F (а)^ 0, т. е. ^/(x)dx^0; б) воспользуйтесь результатом предыдущей а
задачи и тем, что
»»»
J g (х) dx-\f (х) dx = \(g ^—f (х)) dx; ааа
в) так как (F(x±7)— F (x)Y=f (х±Г)— f(x) = O, то по признаку постоянства функции F (х4-Т) — F (х) = С; для определения постоянной С подставим в это
т
равенство х=0; получим: C=F (0±Т)— F (0) = ^ f (у) dy; таким образом, для лю- о
т
бого х верно равенство F (x + T^—F (х) = ^ { (у) dy, в частности при х=а получаем: о
а + 7Т
F (а + Г)—F (а) = $ f (у) dy = \f (у) dy.ао
a) (F (х) — F (—х))' = [ (x) — f ( —х) ( — !) = [ (x)—f (х) —0. поэтому F(x) —
— F (— х) = С. Подставляя х = 0, находим: С = 0. .Итак, F (a) — F ( — а) = 0, т. е. ^f(x)dx = 0; б) указание. Покажите, воспользовавшись признаком постоянства функции, что F(x)±F( —х)=С, причем C = F (0) + F ( — 0) = 2F (0) и, следовательно, F ^—F(—х) = 2 F (х)— F (0)) для любого х, в том числе и для х=а; в) указание. Воспользуйтесь результатом задачи 479 б) и неравенствами /W^lfWI и — f(x)d/(x)|.
Глава IV
а), в) Да; б), г) нет. 483. а) 3; в) 3; д) —|-; ж) у. 484. а) И; в) —729; д) 21. 485. а) 10; в) 6; д) 6; ж) 10. 486. а) 3; в) 3; д) 3; ж) 2. 487. а) 2; б) 1; в) 1,25; г) -^. 488. а) 8,4261; б) 3,6346; в) 2,2240; г) 2,1666; д) 1,2936; е) 1,3780; ж) 1,4678; з) 1,3375. 489. а) Второе; в) первое; д) первое; ж) второе. 490. а) Первое больше; в) первое больше; д) первое больше; ж) первое меньше. 491. а) 2,64; в) 1,70. 492. а) 2^; в) 4Vc; Д) 26-^26; ж) — 2сАДс?; з) а3\с\\^. 493. a) V12; в) V2; д) ^Р"; ж) V^a^; з) \Г5сГьи. 494. а) -|--\/3; в) V?; д) у4/108; ж) 24/250. 495. а) *^7; в) 2V^"; д) ^5. 496. а) ^4; в) ±4/10; д) V3; ж) ±2. 497. а) ±у ; в) ±2. 498. а) 25; в) 0. 499. а) 1; 16; б) 1; в) 64; 729; г) 46 656. 500. а) (—оо;^5); в) [VH"; со); д) (8; оо); ж) [0; 81]. 501. а) а<0; в), г) при всех а; е) при а = 0. 502. а) а; б) лГ^а; г) — а; е) |а|; з) 2а. 503. а) 2; в) 3; г) -4. 504. a) V3-^; в) ^^ ; д) _(^+^6±^);
2(а2 4- aMb±V^)
”—а3—6* б05, а) -2; 2; в) 8: г) IL 5061 а) 3; б) 0; °'4; в> 10: г> 5-
507. а) 3; б) 0; в) 0; г) 2. 508. а) (2; — 1), (—1;2); б) ( —2; 3), (2; — 3); y;yj; г) (3; 1), (1;3), (-3;-1), (—1; —3). 509. а) (1;9), (9; 1); б) (1; 64), (64; 1); в) (12; 4), (34; -30);г)(; —V
VV13 V13/
(7=-;7=). (2; -2), (-2;2). 510. а) II2; в) 37; д) 53; ж) 2"3; X -у131
2/3x7*226
b ,3. 511. а) (32а)2; в) (т-^Д ; д) а6 ; ж) а4; з) а7. 512. а) ^40Г; \OD ЬоО/v
./2^VI. 9 .Д) 625*./2^VI. 9 .Д) 625*; з) 4-. 514. a) 4V3; в) А .72V^ *_.. 515. а) Второе; в) равны; д) первое; е) вто; з) 4-. 514. a) 4V3; в) А .72V^ *_.. 515. а) Второе; в) равны; д) первое; е) второе. 516. а), б), в), д) Имеют; г), е) нет. 517. а) [0; оо); в) [1; оо); г) (—1; оо). 518. а) а>0; б) а>0; в) а = 0; г) а^О; е) а=#0. 519. а) 12; в) 1,9. 520. а) у; б) ‘V32; в) у; г) 2V18. 521. а) а0-5 —б0-6; б) —4—; в) а3+63!рое. 516. а), б), в), д) Имеют; г), е) нет. 517. а) [0; оо); в) [1; оо); г) (—1; оо). 518. а) а>0; б) а>0; в) а = 0; г) а^О; е) а=#0. 519. а) 12; в) 1,9. 520. а) у; б) ‘V32; в) у; г) 2V18. 521. а) а0-5 —б0-6; б) —4—; в) а3+63!Рис. 234.Рис. 234.г)г)1z"3 —2. 522. а)1z"3 —2. 522. а)^+4х+у; в) х 6 у *2; д/х-1^+4х+у; в) х 6 у *2; д/х-1уа. 523. а) 1।уа. 523. а) 1।V3(V3+i);V3(V3+i);в) л[а (^/а — 1); д) V* (V3 —л/5); ж) (V^+V^) (л/й + 0"» з) (х 3—l)(t/ 3 — 1). 524. а) График изображен на рисунке 234. 525. а) 1; б) 81; г) 54; е) V^; з) у. 526. а) Второе; в) первое. 527. а) а; в) а1,3; д) а2; ж) a^+l; з) |хя — у”|. 528. а) (0; оо); в) 1;в) л[а (^/а — 1); д) V* (V3 —л/5); ж) (V^+V^) (л/й + 0"» з) (х 3—l)(t/ 3 — 1). 524. а) График изображен на рисунке 234. 525. а) 1; б) 81; г) 54; е) V^; з) у. 526. а) Второе; в) первое. 527. а) а; в) а1,3; д) а2; ж) a^+l; з) |хя — у”|. 528. а) (0; оо); в) 1;(0; 1]; з) (-(0; 1]; з) (-оо; 2). 529. г) 53,9510 и 53,9634; 10^« 53,96. 530. а) 3; в) —0,5;оо; 2). 529. г) 53,9510 и 53,9634; 10^« 53,96. 530. а) 3; в) —0,5;д) 6; ж) —0,5. 531. а) 0; в)~1 ±VT5 533 а) 3. в)д) 6; ж) —0,5. 531. а) 0; в)~1 ±VT5 533 а) 3. в)5±V65. ..у— ; Д) 4; ж)5±V65. ..у— ; Д) 4; ж)17-4. 532. а) 2; в) -у; д) -2; 3;17-4. 532. а) 2; в) -у; д) -2; 3;1. 534. а) 1; 2; в) 2. 535. а) (-1; оо); в) (-оо;2):1. 534. а) 1; 2; в) 2. 535. а) (-1; оо); в) (-оо;2):(— оо; 2); ж) (0; оо).(— оо; 2); ж) (0; оо).536.536.а) [0; оо); в) (— оо; — 1); д) (0; оо); ж) (— оо;а) [0; оо); в) (— оо; — 1); д) (0; оо); ж) (— оо;1).1).537.538.540.537.538.540.а) (—2; 3); в)а) (1;3); в) (1; оо).а) (—2; 3); в)а) (1;3); в) (1; оо).., х х—1a) g W= -у-., х х—1a) g W= -у-539. а) (—оо; — 3)U(1; оо); В) (—оо; — 7,5)U( — 0,5; оо).539. а) (—оо; — 3)U(1; оо); В) (—оо; — 7,5)U( — 0,5; оо).■; E^=D^=R; д) g(x)=-y; Е ^=D (g)=(- оо; 0)U■; E^=D^=R; д) g(x)=-y; Е ^=D (g)=(- оо; 0)UU(0;U(0;оо); ж) g(x) =оо); ж) g(x) =у; E(gH(lH; оо).у; E(gH(lH; оо).544. а) 2; в) 4; д) -3; ж) 0. 545. a) logl6 2=у; 123
./2^
VI
. 9 .
Д) 625*
./2^
VI
. 9 .
Д) 625*
; з) 4-. 514. a) 4V3; в) А .
72V^ *
_.. 515. а) Второе; в) равны; д) первое; е) вто
; з) 4-. 514. a) 4V3; в) А .
72V^ *
_.. 515. а) Второе; в) равны; д) первое; е) вто
рое. 516. а), б), в), д) Имеют; г), е) нет. 517. а) [0; оо); в) [1; оо); г) (—1; оо). 518. а) а>0; б) а>0; в) а = 0; г) а^О; е) а=#0. 519. а) 12; в) 1,9. 520. а) у; б) ‘V32; в) у; г) 2V18. 521. а) а0-5 —б0-6; б) —4—; в) а3+63!
рое. 516. а), б), в), д) Имеют; г), е) нет. 517. а) [0; оо); в) [1; оо); г) (—1; оо). 518. а) а>0; б) а>0; в) а = 0; г) а^О; е) а=#0. 519. а) 12; в) 1,9. 520. а) у; б) ‘V32; в) у; г) 2V18. 521. а) а0-5 —б0-6; б) —4—; в) а3+63!
Рис. 234.
Рис. 234.
г)
г)
1
z"3 —2. 522. а)
1
z"3 —2. 522. а)
^+4
х+у; в) х 6 у *2; д/х-1
^+4
х+у; в) х 6 у *2; д/х-1
уа. 523. а) 1।
уа. 523. а) 1।
V3(V3+i);
V3(V3+i);
в) л[а (^/а — 1); д) V* (V3 —л/5); ж) (V^+V^) (л/й + 0"» з) (х 3—l)(t/ 3 — 1). 524. а) График изображен на рисунке 234. 525. а) 1; б) 81; г) 54; е) V^; з) у. 526. а) Второе; в) первое. 527. а) а; в) а1,3; д) а2; ж) a^+l; з) |хя — у”|. 528. а) (0; оо); в) 1;
в) л[а (^/а — 1); д) V* (V3 —л/5); ж) (V^+V^) (л/й + 0"» з) (х 3—l)(t/ 3 — 1). 524. а) График изображен на рисунке 234. 525. а) 1; б) 81; г) 54; е) V^; з) у. 526. а) Второе; в) первое. 527. а) а; в) а1,3; д) а2; ж) a^+l; з) |хя — у”|. 528. а) (0; оо); в) 1;
(0; 1]; з) (-
(0; 1]; з) (-
оо; 2). 529. г) 53,9510 и 53,9634; 10^« 53,96. 530. а) 3; в) —0,5;
оо; 2). 529. г) 53,9510 и 53,9634; 10^« 53,96. 530. а) 3; в) —0,5;
д) 6; ж) —0,5. 531. а) 0; в)
~1 ±VT5 533 а) 3. в)
д) 6; ж) —0,5. 531. а) 0; в)
~1 ±VT5 533 а) 3. в)
5±V65. ..
у— ; Д) 4; ж)
5±V65. ..
у— ; Д) 4; ж)
17
-4. 532. а) 2; в) -у; д) -2; 3;
17
-4. 532. а) 2; в) -у; д) -2; 3;
1. 534. а) 1; 2; в) 2. 535. а) (-1; оо); в) (-оо;2):
1. 534. а) 1; 2; в) 2. 535. а) (-1; оо); в) (-оо;2):
(— оо; 2); ж) (0; оо).
(— оо; 2); ж) (0; оо).
536.
536.
а) [0; оо); в) (— оо; — 1); д) (0; оо); ж) (— оо;
а) [0; оо); в) (— оо; — 1); д) (0; оо); ж) (— оо;
1).
1).
537.
538.
540.
537.
538.
540.
а) (—2; 3); в)
а) (1;3); в) (1; оо).
а) (—2; 3); в)
а) (1;3); в) (1; оо).
., х х—1
a) g W= -у-
., х х—1
a) g W= -у-
539. а) (—оо; — 3)U(1; оо); В) (—оо; — 7,5)U( — 0,5; оо).
539. а) (—оо; — 3)U(1; оо); В) (—оо; — 7,5)U( — 0,5; оо).
■; E^=D^=R; д) g(x)=-y; Е ^=D (g)=(- оо; 0)U
■; E^=D^=R; д) g(x)=-y; Е ^=D (g)=(- оо; 0)U
U(0;
U(0;
оо); ж) g(x) =
оо); ж) g(x) =
у; E(gH(lH; оо).
у; E(gH(lH; оо).
в) log49 7=y; д) log27 9=у; ж) log8i 27 =у.
а) 7; в) И. 549. а) 25; в) ^; д) 8; ж) 216.
8
а) 3; в) 2. 551. а) уу; в) 9. 552. а) 4; в) 729. 553. а) (5; оо); в) (—1,5; оо); д) ( —3; 3); ж) (-2; 3). 554. а) (-1; 2); в) (-1; у). 555. г) График изображен на рисунке 235. 556. а) 2аЦ-Ь; б) Ь — а; в) 3a + 2b; г) 1+а-|-Ь.
12
а) 2-|-4 logs |a| 4—— logs b; в) — logaa-f* 9°1&
+т^1оёзЬ;* г) — 2 logs |a|-h-т-logs 6-
2111
a) -y-y igc—g lgd;B) 1+y Igp-lgy. 559. a) 1; в) 4; г)3; д) — 1; ж) 2. 561. a) 12; в) 3. 562. a) 2; в) 2. 563. а) Первое; в) второе.
564. а) 1 +log2 5«3,3219; в) logg 0,7564. а) 1 +log2 5«3,3219; в) logg 0,7x 2 —log3 7566. a) 5x 2 —log3 7566. a) 5-0,1623; д) 9; ж) 0,01. 565. а) 2; в) 6,5.
564. а) 1 +log2 5«3,3219; в) logg 0,7
564. а) 1 +log2 5«3,3219; в) logg 0,7
x 2 —log3 7
566. a)
5
x 2 —log3 7
566. a)
5
1,100.1,465;2,334;1,100.1,465;2,334;0,046; б) 4 — logo.2 3«4,683; в) ±Vl°gs 7; V*°g5 7
1,100.
1,465;
2,334;
1,100.
1,465;
2,334;
7. а) (9; оо); в) (0; 0,16807); г) (25; оо). 568. а) (—оо; х0\ x0 = log35 б) (х0; оо), x0 = logo,8 11«;—10,746;в). (х0; оо), хо = ^^у-У-
(х0; оо), х0 = 2 — logo.a 12«4,064. 569. б) (-3; 1); г) (0, 1). 570. а) (0;
0,001)0(10; оо); в) (—оо; 1]. 571. a) logs 5; в) log2 10. 572. а) у lg a —IgA; г-64
3^2 1g а + у 1g 6. 573. а) 15; в) у; д) 10; 0,1; ж) 25; 0,2. 574. а) 100; 0,01;
8; 0,5. 575. а) 100; 108; в) 2. 576. а) (2; 5); (5; 2); в) (6; 8); (8; 6).
; в) (16; 20).; в) (16; 20).а) (1; 2); (2; 1); в) (4,5; 0,5). 578. а) (27; 4);-з) ;
; в) (16; 20).
; в) (16; 20).
\о 1/
+ лА; 2л/—^-+ лА; 2л/—^-
+ лА; 2л/—^-
+ лА; 2л/—^-
-|- л/?;
— лА + л/) ; (—^- + лА + л/; —— л^ /\ Оzb
21—
а) Зе3х; в) 2хех ; д) уе 2 -273е9,х;
— sin х); в) (Зх2 —х3) е~х; д) е 1•
) ; k, l£Z; в) (-^" + л^ + л^ — )\ 66
А, /€7. 580. а) 1,0986; в) 3,8501.
ж) — In 1,7-1,7 4. 582. а) 2х (In 2 cos х—
6х (In 3-1п 2)+15х(1п 3 —In 5)
е) Tax I схх2"•
з)
.2
. 583. а) Возрастает на промежутке (— оо; 1],
убывает растает
Г 2
I т—~; °°
Lin 2
на промежутке [1; со); б) убывает на промежутке (—оо; —0,2], воз- на промежутке [ — 0,2; оо); в) убывает на промежутках (—оо; 0] и
, возрастает на промежутке
; 0] и
4
-: оо
1п 0,/
E2 1
0; -—; г) убывает на промежутках
°Г „4 1
возрастает на промежутке
4/4
точке 0 функция имеет минимум, в точке —-——максимум I —^—^у
In 0,7j ’ B
4х
584. а) у = х+1; б) у = 3 + 3 In 3 (х-1). 585. а) уу+С; б) 7ех+С;
5 6хр2х1 25-7х1 75
-нГзд + С; д) Т + С; ж> -т1^+с- 586' а> lih»2,525'
г)
в)
«11,211 .
2.0,9х ТгГад
3,75
с2 1
«2,705. 587. а) е — 1« 1,718; в) — — с + у
In 4
3
Д)
в)
1,476. 588. а) —в)
1 х In 2(2 +3х) In 7
1 X 1 X 2/. , QI х coo х I — ln x 3 (x2+1) —2x (5 + 3x) In (5 + 3x) xkFT’ ж)т; 3) X (1 +3ln ,Y S89. a) —^ 6) ->^^lyA
■=1K£; r) 2lge + lgt 590s=4 + ln3_1; a) s =
x In 10 X3' 33
—'Se^—0. г) -/-2+^—'Se^—0. г) -/-2+^
—'Se^—0. г) -/-2+^
—'Se^—0. г) -/-2+^
(х— 9). 591. а) Убывает на промежутке (0; е '], возрастает на промежутке [е-1; оо), в точке е~* функция имеет минимум; б) график функции изображен на рисунке 236; возрастает на промежутках (0; е-2] и [1; оо), убывает на промежутке [е-2; 1]; г) убывает на промежутках (0; 1) и (1; е], возрастает на промежутке [е; оо), в точке с функция имеет минимум.
3
a) In |х + 5|; в) у In |7х+Н. 593. a) In 7« «1,946; в) 0,5 1п 5«0,805. 594. а) 1пЗ«1,099; в) In 5-1п 2«0,916.595. f' (х)=^3х^-';
6) g,(x')=—xn, график изображен на рисунке 237; в) и'(х')=—сх
график изображен на рисунке 238; г) v'(x)=0,lx
в) —х’+ С; г) 3 In |xl+С. 600. а)—!=V2-1;b)
2V2+1
599. a) ^х37 + С;
5; г) In 2-|-(V3- 1).
604.
t In 2
In x — уд/п
ш e н и e. Пусть
605. 9 мин. 606. /=-Д-« 3,322 ч. 607. «0,06395.Ig2
Д(0) = а. Тогда /'(x)= lim ^t^—LW = Дх->0 kX
608. Pc-
- Цл)у) fMf(0) ^r №=a, (4 Поэтому
Дх->0 Ax Ax->0 Ax
f(x)=CV“, где C — некоторая постоянная. Далее, f (0) = Cea"° = С и, следовательно, С2 = С • С = f (0) • f (0) = f (0 + 0) = С, т. e. C^ = C, откуда C — 0 или C=l. Итак, Цх')=сах или f (x) = 0. Проверкой убеждаемся, что для
ФУНКЦИЙ у = CGX И Z/ = 0 при ЛЮбыХ Х| И Х2 выпол- 10 1" 2 няется равенство / (xt 4~x2)=f (xi) / (хг). 609.-:—г+~ 10 1" 2g
«14,57 (мин). 610. , —4^-«31,06 (мин). 611. ,1,2а
500е «3,37 (м/мин). 612. График изображен на рисунке 239.614. a) log3 7« 1,7712;
г) г Й-0.2849. 615. а) -1; 3; б) -е;
6 1g 5 + 1g 0,3
в) -1; 2; г) -5; 2. 616. а) 0,5; б) 1пЗ« 1,0986; г) ^Д12£11~ -2,076. 617. б) 7; г) у. 618. б) 0,09; в) 5; г) V2. 619. а) (-1)1у + л/г, k^Z; б) 3; в) 0,5; г) <2; 4. 620. а) лк, k^Z; б) ±у + 2л6, k^Z; в) 0; г) log2,5 2«0,7565. 621. a) logn 2« «0,2891; б) -^j^ 6221 а) (1; 3): б) (0; °-5>и U(l; 1,5); в) (1; оо); г) (1; 2). 623. а) (е2; оо); в) (0; е-3). 624. а) (-оо; 0); в) (-оо; 2).
Рис. 238.
б) (-0,5; -0,255); в) (0,382;б) (-0,5; -0,255); в) (0,382;—2 +2л6; у + 2л^, k^Z\ г) (-оо; 0)U(0;в) 0,8736; г) 1,0649. 639. а) 1,112; в) 3,248;—2 +2л6; у + 2л^, k^Z\ г) (-оо; 0)U(0;в) 0,8736; г) 1,0649. 639. а) 1,112; в) 3,248;второе. 641. а) 9еЭх; в) —35е-6х.второе. 641. а) 9еЭх; в) —35е-6х.643. а)643. а)2х(1п 2 cos x4-sin х)2х(1п 2 cos x4-sin х)2—C0S2 X2—C0S2 X64-2. а)tgx64-2. а)tgxоо). 638. а) —4,6757; б) —1,5662;23,14. 640. а), б), г) первое; — 4 In 5-5“4х; в) — 10 In 3-92*6х. , Vx . 4х +sin 2х । s—; в)^;COS X4y-\/r<iin2 уоо). 638. а) —4,6757; б) —1,5662;23,14. 640. а), б), г) первое; — 4 In 5-5“4х; в) — 10 In 3-92*6х. , Vx . 4х +sin 2х । s—; в)^;COS X4y-\/r<iin2 уг)г)23((х4 + 3)1п2-12х3:23((х4 + 3)1п2-12х3:'3(x44-3)^1-2>ln 7-72ctgx.n. 645. a) sin X'3(x44-3)^1-2>ln 7-72ctgx.n. 645. a) sin X644. а)644. а)cosxesmx; б)cosxesmx; б). cos, x51n3-35tg* — sin хе ; в),cos x. cos, x51n3-35tg* — sin хе ; в),cos x9647. a) ctgx; 6) • - - ; в)9647. a) ctgx; 6) • - - ; в)1х In 31х In 3. 41ge* ' 3 + 4х '. 41ge* ' 3 + 4х 'х cos х In (7х) — sin хх cos х In (7х) — sin хх In8 7хх In8 7х646. а) Зх2 in х + х2;646. а) Зх2 in х + х2;; г); г)2x(V^+3)22x(V^+3)23x2Vx 4- 2 1g e (3 cos 3x4-2x In 2) д/х (x3 4- 4^+ 5) In 11 * Г sin 3x4-2х3x2Vx 4- 2 1g e (3 cos 3x4-2x In 2) д/х (x3 4- 4^+ 5) In 11 * Г sin 3x4-2х
б) (-0,5; -0,255); в) (0,382;
б) (-0,5; -0,255); в) (0,382;
—2 +2л6; у + 2л^, k^Z\ г) (-оо; 0)U(0;в) 0,8736; г) 1,0649. 639. а) 1,112; в) 3,248;
—2 +2л6; у + 2л^, k^Z\ г) (-оо; 0)U(0;в) 0,8736; г) 1,0649. 639. а) 1,112; в) 3,248;
второе. 641. а) 9еЭх; в) —35е-6х.
второе. 641. а) 9еЭх; в) —35е-6х.
643. а)
643. а)
2х(1п 2 cos x4-sin х)
2х(1п 2 cos x4-sin х)
2—
C0S2 X
2—
C0S2 X
64-2. а)tgx
64-2. а)tgx
оо). 638. а) —4,6757; б) —1,5662;
23,14. 640. а), б), г) первое; — 4 In 5-5“4х; в) — 10 In 3-92*6х. , Vx . 4х +sin 2х । s—; в)^;
COS X4y-\/r<iin2 у
оо). 638. а) —4,6757; б) —1,5662;
23,14. 640. а), б), г) первое; — 4 In 5-5“4х; в) — 10 In 3-92*6х. , Vx . 4х +sin 2х । s—; в)^;
COS X4y-\/r<iin2 у
г)
г)
23((х4 + 3)1п2-12х3:
23((х4 + 3)1п2-12х3:
'3(x44-3)^1
-2>ln 7-72ctgx.
n. 645. a) sin X
'3(x44-3)^1
-2>ln 7-72ctgx.
n. 645. a) sin X
644. а)
644. а)
cosxesmx; б)
cosxesmx; б)
. cos, x51n3-35tg* — sin хе ; в),
cos x
. cos, x51n3-35tg* — sin хе ; в),
cos x
9
647. a) ctgx; 6) • - - ; в)
9
647. a) ctgx; 6) • - - ; в)
1
х In 3
1
х In 3
. 41ge
* ' 3 + 4х '
. 41ge
* ' 3 + 4х '
х cos х In (7х) — sin х
х cos х In (7х) — sin х
х In8 7х
х In8 7х
646. а) Зх2 in х + х2;
646. а) Зх2 in х + х2;
; г)
; г)
2x(V^+3)2
2x(V^+3)2
3x2Vx 4- 2 1g e (3 cos 3x4-2x In 2) д/х (x3 4- 4^+ 5) In 11 * Г sin 3x4-2х
3x2Vx 4- 2 1g e (3 cos 3x4-2x In 2) д/х (x3 4- 4^+ 5) In 11 * Г sin 3x4-2х
а) (х6; со), Хо = —^11 ~-0,5557; г) (0; оо). 627. a) ЛО; б) 4; в) 3; г) 1,5; 3.
а) 13; б) А; з; в) 6; г) 001; 0001
а) 0,25; 4; б) у; 27; е) 0,1; 100; г) 0,2; 125.
а) 2; б) у; 7; в) 7; г) V10; 100.
а) (—оо; 1); в) (1; оо). 632. а) (2,8; 3); 0,4); г) (—оо; —32). 633. а) (1; оо); б) (0; 1);
(1; оо); г) (0; 1). 634. а) (-1; 3); б) (е*1; е2); в) (0; 0,l)U(l;.100); г) (1 —V5; - 1)U U(2; 1+V5). 635. а) (1; оо); в) (—со; 4). 636. а) (—оо; -1)0(3; со); б) ( — 2; 3);
——; 2J ; б) объединение всех
промежутков вида (2л£; л + 2л&), k£Z; в) объединение всех промежутков вида
а) у = 2х4- 1; б) у= 10 (In 10-х4~ 1 —In 10); в) у = 2х — I; г) у = 3х lg е —1g е.
а) Убывает на промежутке (0; 1], возрастает на промежутке [1; оо); б) воз-
k^Z, убывает наk^Z, убывает напромежуткахпромежуткахрастает на промежуткахрастает на промежуткахЗл у4-2лА, k^Z,Зл у4-2лА, k^Z,k£Z;k£Z;в точкахв точкахфункция имеетфункция имеетмаксимумы.максимумы.лв точках —— 4-2л/г, k^Z,— минимумы; г) воз-лв точках —— 4-2л/г, k^Z,— минимумы; г) воз-растает на промежутках (0; 4 1п 2]убывает на промежутке [4 ln2; 1],растает на промежутках (0; 4 1п 2]убывает на промежутке [4 ln2; 1],^0,1353). 650. а) ках (0; е-1] и [е; межутке [е-1; е];Г Зл жутках —-4-ля;—-^-4-л/tl , k^Z,4 J^0,1353). 650. а) ках (0; е-1] и [е; межутке [е-1; е];Г Зл жутках —-4-ля;—-^-4-л/tl , k^Z,4 JУбывает наУбывает наI промежут-I промежут-оо), возрастает на про- б) возрастает на проме-оо), возрастает на про- б) возрастает на проме-убывает на промежуткахубывает на промежутках, k^Z; функция имеет мак-, k^Z; функция имеет мак-
k^Z, убывает на
k^Z, убывает на
промежутках
промежутках
растает на промежутках
растает на промежутках
Зл у4-2лА, k^Z,
Зл у4-2лА, k^Z,
k£Z;
k£Z;
в точках
в точках
функция имеет
функция имеет
максимумы.
максимумы.
л
в точках —— 4-2л/г, k^Z,— минимумы; г) воз-
л
в точках —— 4-2л/г, k^Z,— минимумы; г) воз-
растает на промежутках (0; 4 1п 2]убывает на промежутке [4 ln2; 1],
растает на промежутках (0; 4 1п 2]убывает на промежутке [4 ln2; 1],
^0,1353). 650. а) ках (0; е-1] и [е; межутке [е-1; е];
Г Зл жутках —-4-ля;
—-^-4-л/tl , k^Z,
4 J
^0,1353). 650. а) ках (0; е-1] и [е; межутке [е-1; е];
Г Зл жутках —-4-ля;
—-^-4-л/tl , k^Z,
4 J
Убывает на
Убывает на
I промежут-
I промежут-
оо), возрастает на про- б) возрастает на проме-
оо), возрастает на про- б) возрастает на проме-
убывает на промежутках
убывает на промежутках
, k^Z; функция имеет мак-
, k^Z; функция имеет мак-
симумы в точках —— + nfe; k^Z, минимумы в точках --\-пк, k£Z; в) убывает на промежутках (0; 1] и [е2; ос), возрастает на промежутке [1; е2]; в точке 1 функция имеет минимум, в точке в2—максимум; г) возрастает на промежутках (0; е_|] и [е; оо), убывает на промежутке [в-1; el 651. а) Убывает на промежутках (0; 1] и [4; оо), возрастает на промежутке [1; 4J; б) 'График функции изображен на рисунке 240; в') возрастает на промежутке (— оо; 3], убывает на промежутке [3; оо); о точке 3 функция имеет максимум, критическая течка 0 не является точкой экстремума; г) возрастает на промежутках (—оо; — 1] и [0; 11 убывает на промежутках [— 1; О] и [1; оо). «52. а) 1п|х + 71+С; б) 0,6 1п|5х+11+С; в) — 2,5 1п|3 —2х| + С;
ю
г) —0,8 ln|7-5x|+С. 653. а) 4-1п|х|+С; б) 0,7х7+С; в) Ю^+С; О
х”+1In 7
-^тр+С. 654. а) 1п2«0,6931; б) -у-«0,6486; в) In 2-In 3«—0,4055; г) 0,5 In 5 « 0,8047. 655. a) In 5« 1,6094; б) 3—3 In 2«0,9206; в) 6 — 2 In 3« «3,8028; г) 4 — 3 In 3« 0,7042.
Задачи повышенной трудности
У на з а н и е. Воспользуйтесь тем, что при делении на q существует в точности q— 1 различных ненулевых остатков, поэтому при обращении рационального числа ~ в бесконечную десятичную дробь остатки, а следовательно, и цифры в частном будут повторяться с периодом не более q — 1. 657. Указание. 11усть р — остаток, начиная с которого при обращении — в бесконечную десятичную дробь в частном получаются только девятки. Тогда 1>—>1 —10-* п
для любого натурального к. 658. Указание. Бесконечная периодическая десятичная дробь есть сумма конечной десятичной дроби и суммы бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 10*, где к — число цифр в периоде. 659. Пусть к — длина периода этой дроби. Рассмотрим к цифр, начиная с цифры, следующей за А-й двойкой. Все эти цифры — семерки, поэтому период дроби должен быть равен (77...77), что неверно: в этом случае все следующие к цифр
цифры должны быть равны семи. 660. в) Предположим, что ^3=—, где p£Z, q^N, —несократимая дробь. Тогда 3=-^, т. е. p3 = 3q\ откуда следует, что р делится на 3. Подставляя р = 3т в равенство p3 = 3q\ получаем: 27m3 = 3q3, т. е. 9т? = q3. Из последнего равенства видно, что q делится на 3. Получили противоречие: дробь -^- сократима на 3; д) предположим противное: 1g 43=—, при этом так как lg43>0, то можно считать, что р и q — натуральные числа.
р
Из равенства lg43=— получаем: 1О’ = 43, откуда 10р = 43’, а это равенство ложно: его левая часть делится на 5, а правая — нет. 661. а) Пусть -\j3~V-^j5—r, ^2g где ,г — рациональное число. Тогда 3+2--V3'V^ + 5 = г2, откуда -/15=—-—, что противоречит иррациональности -/15; в) пусть -/2+-/3 + -/5=г, где г рационально. Тогда -/5 = г — ~^2 — -/3, откуда 5 = г2+ 2 + 3 — 2г^]2 — 2г-/3 + 2-\/б. Далее, г2 — 2r^j3 = 2г^2 — 2/б, поэтому г4 + 12г2 — 4r3^= 8г2 + 24—16г^ и г4 + 4г2— —24=,(4г3— 16г) -/З, что противоречит иррациональности-/3 (так как4г3— 16г + 0). 664. Указание, а) «Избавьтесь» сначала от ^3; б) сначала умножьте числитель и знаменатель на -/2 + -/3—\^; в) воспользуйтесь результатом за-
дачи 663 г). 666. Пусть -^2, д/3 идачи 663 г). 666. Пусть -^2, д/3 и5 соответственно (т+ D-й, (л 4- 1)-й и (р+ 1)-й члены геометрической прогрессии. Тогда 2 = />2^2m, 3 = 62<7 , 5 = Ь^2р, где 6j>0 и ?>0 — первый член и знаменатель геометрической прогрессии. Отсюда получаем: = о2 <т~ ") JL — д2 («-р)=( —
дачи 663 г). 666. Пусть -^2, д/3 и
дачи 663 г). 666. Пусть -^2, д/3 и
35 v ’\ 3 7\ 5у
_ 3<п р)+(т л) еслн q<A, то обе части
= q1 ^п~^= q1 ^п~^= ^2 (т~ п) <п—р) н 2Л—р • 5'= ^2 (т~ п) <п—р) н 2Л—р • 5'пые числа (так как ш>л>р), причем левая вая — нет. Получаем противоречие с теоремой
= q1 ^п~^
= q1 ^п~^
= ^2 (т~ п) <п—р) н 2Л—р • 5'
= ^2 (т~ п) <п—р) н 2Л—р • 5'
этого равенства — натурал ь- часть делится па 2, а пра- о единственности разложенияэтого равенства — натурал ь- часть делится па 2, а пра- о единственности разложениянатурального числа на простые множители. Если же ^> 1, то предварительно надо переписать последнее равенство в виде 2р-п5п-т = Зр-т. 668. а) 6; б) W—^7". в) д/5. 669. При достаточно больших п будут (для заданного е>0) выполнены неравенства Л-е<а„<Л + е, А — е<с„<Д+е; но тогда ^п^сп<Л + е и сп^ап>>А—е, т. е. А— е<Ьп<_А + е, откуда |6Л—Д|<е. 670. б) Выберем е>0, тогда при достаточно больших и для бесконечно малой
этого равенства — натурал ь- часть делится па 2, а пра- о единственности разложения
этого равенства — натурал ь- часть делится па 2, а пра- о единственности разложения
|ал| < —, поэтому при|ал| < —, поэтому припоследовательности (ал) будет выполнено неравенство
|ал| < —, поэтому при
|ал| < —, поэтому при
тех же п имеем: |алал| С--М = е. 671. Указание. Сначала докажите, что сходящаяся последовательность ограничена. Далее, например, для произведения имеем: ап = А + ап, Ьп = В + Рл, где А и В — пределы последовательностей ал и Ьп, Un и р„ — бесконечно малые последовательности, поэтому апЬп = (А + ал) (В + ₽л) = = алРл + Дрл4-Вал + ДВ; так как последовательность ал₽„ + .4рл + Вал —бесконечно малая (см. задачи 670 а) н б)), то в силу задачи 670 в) lim (anb„) = AB. 674. а) 0;
5
б) 4. 676. а) —; б) —2. 677. Решение. Докажем, что для произвольного е>0 найдется такой номер N, что для всех n> N будет выполнено неравенство !^1 +*2 ... +*л. |
I| <.£, где Д = limxn. Рассмотрим такой номер N\, что
|хА —Л| С — при к> N[. Тогда при n>> Nx имеем: I —Х1+Х2+ "~ +Хпд I _ 2IлI
I (xj — Л) + (х2 — Л)+ ... +(хл — Л) I I *14-*24- ... 4-XyV) — NXA .
= —--— ^ _|_
n — Nx е n — Nx £ в^1+^2+ ••• 4--^ — N\A
4у"! Т<Т- Далее, lim= 0, по-
П ^П Z Zл->-оо7Z
этому при n>N, где N>Ni — некоторое число, выполняется неравенство
। *14-*г4- ••■ 4-^/Vj — NXA ip।1■,1
I1I eI ^14~ ^2 + ... + ^n . I
• <лг • Следовательно, !!!—"—Л <
I лI
1^i+x2+ ... +^W] — NXA 1 e e e
C J 1 4--2'<-2"4--2" = e. 679. а) Указание. Вос
пользуйтесь равенством sin ((Л-f- 1) x) = sin (Ax) cos x + sin x cos (kx\ 680. б) Указание. Обозначим число 3^n+24-24n+* через Bn. Тогда Вл + 1 = 16B„4-11 •З3л+2 делится на 11, если Вп делится на 11. 681. Предварительно следует показать, что п точек, расположенных на прямой, делят ее на и 4-1 частей. Далее:
а) при и=1 утверждение справедливо, так как 1
1*2——=2 и одна прямая1*2——=2 и одна прямаяделит плоскость к прямых делятделит плоскость к прямых делятна две части; б) пусть утверждение верно для п = к, т. е. плоскость не более чем на 14—— частей. Докажем,
1*2
——=2 и одна прямая
1*2
——=2 и одна прямая
делит плоскость к прямых делят
делит плоскость к прямых делят
что утверждение верно для n = fc4-l. Выберем одну из к 4-1 прямых и будем ее в дальнейшем считать (Л4-1)-й. В силу предположения индукции оставшиеся к прямых разделят плоскость не более чем на 14LT-/ частей; (^4-1)-я
прямая пересечет некоторые нз оставшихся к прямых и потому разделится
точками пересечения не более чем на (&+1) частей. Каждая из полученных частей прямой разобьет одну из имевшихся частей плоскости на две, т. е.
к имевшимся не более чем Н—- частям плоскости добавится еще не
более чем &+1. Всего получим не более чем Н^Н^+0^ — 1(частей). 682. При n = 1 утверждение справедливо, так как
..(п+1)(п2-п+6)_
одна плоскость дел'йт пространство на две части и ^=2 при
мые пересечения не более к, и вмые пересечения не более к, и вп = 1. Предположим, что утверждение справедливо для п = к, и докажем его справедливость для п = £ + 1. Выберем одну из плоскостей и рассмотрим пря- этой плоскости с остальными к плоскостями. Этих прямых
мые пересечения не более к, и в
мые пересечения не более к, и в
62 + & + 2 чем на скостей разделят62 + & + 2 чем на скостей разделятсилу задачи 681 они делят выбранную плоскость не более частей. В силу предположения индукции оставшиеся к пло- ,(6 + 1) (А2-6+6)„ v
62 + & + 2 чем на
скостей разделят
62 + & + 2 чем на
скостей разделят
пространство не более чем на частей. Каж
дая часть выбранной плоскости может разделить одну из имевшихся частей
(6+1) (62 —6+6) , к2-^к
пространства на две. Всего получим не более чем12
(6 + 2)(62 + & + 6)(6 + 2)(62 + & + 6)6(п + 1)(п2—п+6)6(п + 1)(п2—п+6)(частей), что совпадает со значением выражения(частей), что совпадает со значением выражения6к имеем: -^гт6к имеем: -^гтпри п=6 + 1. 683. Указание. Для любого натуральногопри п=6 + 1. 683. Указание. Для любого натурального2е2е1 А.2^+12^ А12^ "^1 А.2^+12^ А12^ "^11112t4a~2 '2t4a~2 '
(6 + 2)(62 + & + 6)
(6 + 2)(62 + & + 6)
6
(п + 1)(п2—п+6)
6
(п + 1)(п2—п+6)
(частей), что совпадает со значением выражения
(частей), что совпадает со значением выражения
6
к имеем: -^гт
6
к имеем: -^гт
при п=6 + 1. 683. Указание. Для любого натурального
при п=6 + 1. 683. Указание. Для любого натурального
2е
2е
1 А.
2^+12^ А12^ "^
1 А.
2^+12^ А12^ "^
1
1
1
1
2t4a~2 '
2t4a~2 '
к слагаемых
684. 0. 685. Указание.684. 0. 685. Указание.х — 0хх — 0ха эта функция неа эта функция не
684. 0. 685. Указание.
684. 0. 685. Указание.
х — 0х
х — 0х
а эта функция не
а эта функция не
имеет предела при х, стремящемся к нулю. 686. Надо соединить точку (хо; хо) с точ
b мулы Хо= —^b мулы Хо= —^Если ветви параболы определяется из фор- Знак с определяетсяЕсли ветви параболы определяется из фор- Знак с определяетсякой ^А^; 0^ оси абсцисс. 687. а>0, 6>0, с>0, D>0. направлены вверх, то а>0, если вниз, то а<0. Знак b
b мулы Хо= —^
b мулы Хо= —^
Если ветви параболы определяется из фор- Знак с определяется
Если ветви параболы определяется из фор- Знак с определяется
где хо — абсцисса вершины параболы.
из равенства с = у(0). Наконец, знак дискриминанта D зависит от числа общих точек параболы и оси абсцисс: если точек пересечения две, то Z)>0, если общая точка одна (т. е. парабола касается оси), то D = 0, если общих точек нет, то D<0. 688. (_1Г.„|(р—^-^^-L^.). Указание. ?^у= =—Ц-. 689. a) f (x)=b или f (х)=х; б) f (х)=х или f(x) — b — х. 690. а) х
при четном п, 3 —х при нечетном п, область определения — R; б) х при четном п, А при нечетном и, область определения (для любого п) — множество всех отличных от нуля действительных чисел; в) х при п вида 36, р--^ при и вида 36 + 1 и ——- при п вида 36 + 2; О (/)=(—оо; 1)U(1-» °°) ПРИ п = 1 и £)(/„) = = (—оо; 0)U(0; 1)U(1; °0) при п^2. 691. Да. 692. а) А, а^0; б) х или (При Ьс^ —а2). 696. Указание. Докажите, что при достаточно боль- сх —а
ших х левая часть этого уравнения положительна, а при достаточно больших по модулю отрицательных х — отрицательна. 697. Уравнение прямой, проходя-
щей через точку (хо; Цо) параболы и имеющей угловой коэффициент к, следующее: у=у0-|-А (х —х0), где уо=ахо4-Ьхо + с. Абсциссы общих точек этой прямой и параболы находятся из уравнения ах2 + Ьх + с = у04-к (х— х0). Это урав
нение квадратное и имеет один корень, если его дискриминант обращается в нуль, откуда к — 2ахо + Ь = у\хо\ 699. Л1о — «внутренность» параболы у — >?. Mi — сама парабола, М2—внешняя часть параболы, Мь при к^З пусто. 701. Воспользуйтесь методом математической индукции и теоремой Лагранжа (из теоремы Лагранжа следует, что между двумя корнями многочлена имеется корень производной этого многочлена). 702. Пусть Р (х) принимает р раз значение А, р>п. Тогда многочлен Р (х)— А имеет степень п и имеет более п корней, что противоречит результату предыдущей задачи. 703. а) Если R (х)=» = С, то С — корень многочлена степени не выше к, так как тогда р ^—Cq (х)= = 0, а р (х)— Cq (х) — многочлен степени не выше к. 704. а) Обозначим через / функцию f (x) = sin х. Тогда по формуле производной обратной
. Далее, так как sin (arcsin х)=tnл 4—2* ’б) аналогично задаче а) по-. Далее, так как sin (arcsin х)=tnл 4—2* ’б) аналогично задаче а) по-(так как на промежутке(так как на промежуткефункции arcsin' х=—т-.:—=;;
. Далее, так как sin (arcsin х)=
tnл 4
—2* ’
б) аналогично задаче а) по-
. Далее, так как sin (arcsin х)=
tnл 4
—2* ’
б) аналогично задаче а) по-
(так как на промежутке
(так как на промежутке
/ (arcsin х) cos (arcsin х)
[ЛЛ *1гх2
2*' "2" ’ Т0 cOS (arcsln Z)= V1 —*1
косинус неотрицателен). Итак, arcsin'х =;
1 лучаем: arccos х =—-—
— sin (arccos х) ^\ _х2
[0; л] сннус неотрицателен, то sin (arccos x)=Vl —х2); в) аналогично задаче а)
получаем: arctg' x = cos2 (arctg х). Далее, так как tg (arctg х)=х, то cos2(arctg х)=
■■■ 2 ,т—т=т~;—Окончательно получаем: arctg' х=, *-» . 705. а) Р е-
i+tg (arctg х) 14-х2&14-х2'
ш е н и е. Обозначим arcsin х4-arccos х через и (х). Тогда u'(x) = arcsin'x4-
4-arccos'х=— —- ■; __.—=0. Следовательно, u(x)=C, где С — постоян-
VT^5 Vi-x
ная. Для того чтобы найти эту постоянную, достаточно вычислить и (0).
Имеем: С = и (0) = arcsin 04-arccos 0 = 04--5- = -„-. Для окончания доказатель- 22f (—х)
ства надо проверить равенство в точках х=±1. 706. f(x) = —^-4-
, /(*)-/(-*)ж2
4-=——s^-. первое слагаемое — четная функция, второе—нечетная.
21
707. а) Т>2; б) 7 = 3, Т">То, где 70^6~—; в) Т">Т0, где Т0«4,4. 708. Нельзя
дополнить: б) до четной; а) и б) до нечетной функции. 709. а) Да (например, функция Дирихле — значение этой функции равно 1, если х рационально, и 0, если х иррационально); б) нет, так как в этом случае \2 и 1 — ^2
должны быть периодами этой функции, а их сумма 1 — нет. 710. а) При любом и; б) при четном л; в) таких п нет. 711. а) Указание. Значение 1 функция принимает только в одной точке — точке 0; б) указание. Значение 2 функция принимает только в одной точке — точке 0; г) указание. «Расстояние» между, двумя соседними нулями функции Х|=л2А2 и х2 = л2 (£-4-1)2 будет больше любого положительного Т при достаточно больших к: х2 —xj = уд2
= л2 (2&4-1)> Г при £>„»-. 712. Указание. Непрерывная, перио- 2л
дическая, определенная на всей числовой прямой функция достигает своего наибольшего (и наименьшего) значения. 713. Решение, (sin 47° 4-sin 61°)—
— (sin 11’4-sin 25°) = 2 sin 54° cos 7° —2 sin 18° cos 7° = 4 cos 7°sin 18° cos 36° = 4sin 18°cos 18°cos36°2 sin 36° cos 36°sin 72°__
=cos 7°—= cos7 ■—= cos 7° ■ . —---- = cos 7°.
cos 18°cos 18°sin 72°
sin — nx Sin — (л4~ 1) X
a) :——. Указание. Умножьте и разделите каждое
sin С,5х
слагаемое на sin 0,5х и примените формулу преобразования произведения си- „ sin 2пх cos (2п — 1) х
нусов в разность косинусов; б) ■ • Указание. Умножьте
и разделите каждое слагаемое на sin 2х. 715. Указание. Так как sin А = sin А
= sin (л — В — С)=sin В cos C + cos В sin С, то из соотношения
=—-—= получаем: a — b cos С + с cos В. Аналогично 6 = acosC +
+с cos Л и с=а cos В 4-b cos А. Теперь осталось умножить первое из полученных соотношений на а, второе на —6, третье на —си сложить все три равенства. 717. Указание. Воспользуйтесь теоремой синусов. 718. У к а- 2tgy‘-^Т
з а н и е. Воспользуйтесь формулами sin х =, cos х и
l+tg2yl+tg2y
tg —=-—cos—. 719. а) Указание. Замените cos 60° на , а затем ум- 2 sin x2
ножьте и разделите полученное выражение на sin 20° и примените три раза формулу синуса двойного аргумента. 720. а) Зафиксируем какую-нибудь точку хо. При перемещении тела из точки с координатой хо в точку с координатой х
X
была совершена работа, равная $ f(z)dz, где f (х)— действующая на тело сила.
С другой стороны, как известно из курса физики, эта работа равна и(х0)—к(х).
**#
Таким образом, u (х0)—u (х)= f (z) dz, поэтому (и (х0) — и (х))'= ( J f (z) dz ) , xoxo
t. e. — u' (x)=f (x). Далее, согласно второму закону Ньютона f (х) = ma (х), т. е. тх" (/)= — и' (х). 721. Решение. По формуле производной сложной / шх'^ '
функции получаем: Е' (/)=( —g) + (ы (х (0))' = тх' (0 X"W + и' (х) х' (0 =
=x'(/)(mx" (t) —/ (х)) —х' (/)-0 = 0. 724. Указание. Рассмотрите любое решение x(f) этого уравнения. Пусть х(0) = х0, х'(О) = ио. Возьмем решение Xi (0 дифференциального уравнения с этими же начальными данными, имеющее вид: Xi (/)=Л cos (<о< + ф) (см. задачу 723). Тогда хг^ = х^Г) — Х1^С) также решение этого уравнения (см. задачу 722) с начальными данными хг(0) = 0, хг(0) = 0. _ тхг2 (/) ,
И в силу задачи 721 полная энергия при этом движении равна 0: —-ь
, mco2xi (/) _п
-4-——=0, откуда, в частности, следует, что xz(/) = 0. 727. Указание.
Достаточно доказать, что сумма Xi(Z)4-xz(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению х" (/)= —со2х (/), т. е. что (xf (/)4-хг (0)"= — “2 (*i (О + ^г (/))• 729. Указание. Проверьте формулу для функций у=1, У=х« У=* и У=*
730., где g — ускорение свободного падения. 731.—— . Решение.
6m12
Затраченная на преодоление силы тяжести работа равна приращению потенциальной энергии песка. Объем усеченного конуса высоты Дх, ограниченного плоскостями, проведенными параллельно основанию на расстоянии х и х+’Дх от него, равен (с точностью до величин порядка Дх2) S (х) Дх, где S (х) — площадь сечения конуса плоскостью, параллельной основанию, проведенной на расстоянии х от нее. Приращение потенциальной энергии песка, заключенного в этом усеченном конусе (с точностью до величин порядка Дх2), равна Д£«pxS (х) ^Дх. Для определения S (х) рассмотрим осевое сечение конуса (рис. 241). Высота треугольника РСТ, проведенная к стороне РТ, равна Н — х. Из подобия тре-
РТ НхАВ (Нх)
угольников РСТ и АВС получаем: . D =—ту—. откуда РТ =у;, АН пп
S(x) = n(0,5 PT)2 = nR2-—у^' . Обозначим через Е (х) потенциальную энергию песка в усеченном конусе, ограниченном основанием и плоскостью (параллельной основанию), проведенной
си \ I- Л£ npR2x (Н— х)2 па высоте х. Тогда £ (х)= hm —=———-£ п
Лл—о Дх//°
//С
-2//х2 + х3) dx-2//х2 + х3) dxр2 "°-^ 6 J U^x — 2//х2 + х3) dx =р2 "°-^ 6 J U^x — 2//х2 + х3) dx =лр/?2/ Н2х2 2//х3, х4\ | "2~ +тЛо =лр/?2//4121 \ ivpR2H2gIP g Т~Т^Т/ НГ-лр/?2/ Н2х2 2//х3, х4\ | "2~ +тЛо =лр/?2//4121 \ ivpR2H2gIP g Т~Т^Т/ НГ-732.732.———= 495 000 л2 (эрг). Решение. Масса———= 495 000 л2 (эрг). Решение. Массачасти пластинки, отмеченная па рисунке 242, приближенно равна pydkx; у находим из подобия треугольников АВС и PQC: у=^Р—^. Так как толщиной пластинки мы пренебрегаем, то линейная скорость каждой точки этой части (с точностью до величин порядка Дх) равна юх, а приращение Д£ кинетической энергии за счет этой части (с точностью до величин порядка Дх2) равно padм2х2 (h —х) Д х—. Обозначим через Е (х) кинетическую энергию части BQPA. Тогда £'(х) =части пластинки, отмеченная па рисунке 242, приближенно равна pydkx; у находим из подобия треугольников АВС и PQC: у=^Р—^. Так как толщиной пластинки мы пренебрегаем, то линейная скорость каждой точки этой части (с точностью до величин порядка Дх) равна юх, а приращение Д£ кинетической энергии за счет этой части (с точностью до величин порядка Дх2) равно padм2х2 (h —х) Д х—. Обозначим через Е (х) кинетическую энергию части BQPA. Тогда £'(х) =^. Д£pad и2 х2 (h — х) Лх-ч-оДх^. Д£pad и2 х2 (h — х) Лх-ч-оДх2/12/1Наконец,Наконец,иА = ЕДН)-Е^ = \еЦх^х=\^-g(H2x-
-2//х2 + х3) dx
-2//х2 + х3) dx
р2 "°
-^ 6 J U^x — 2//х2 + х3) dx =
р2 "°
-^ 6 J U^x — 2//х2 + х3) dx =
лр/?2/ Н2х2 2//х3, х4\ | "
2~ +тЛо =
лр/?2//4121 \ ivpR2H2g
IP g Т~Т^Т/ НГ-
лр/?2/ Н2х2 2//х3, х4\ | "
2~ +тЛо =
лр/?2//4121 \ ivpR2H2g
IP g Т~Т^Т/ НГ-
732.
732.
———= 495 000 л2 (эрг). Решение. Масса
———= 495 000 л2 (эрг). Решение. Масса
части пластинки, отмеченная па рисунке 242, приближенно равна pydkx; у находим из подобия треугольников АВС и PQC: у=^Р—^. Так как толщиной пластинки мы пренебрегаем, то линейная скорость каждой точки этой части (с точностью до величин порядка Дх) равна юх, а приращение Д£ кинетической энергии за счет этой части (с точностью до величин порядка Дх2) равно padм2х2 (h —х) Д х
—. Обозначим через Е (х) кинетическую энергию части BQPA. Тогда £'(х) =
части пластинки, отмеченная па рисунке 242, приближенно равна pydkx; у находим из подобия треугольников АВС и PQC: у=^Р—^. Так как толщиной пластинки мы пренебрегаем, то линейная скорость каждой точки этой части (с точностью до величин порядка Дх) равна юх, а приращение Д£ кинетической энергии за счет этой части (с точностью до величин порядка Дх2) равно padм2х2 (h —х) Д х
—. Обозначим через Е (х) кинетическую энергию части BQPA. Тогда £'(х) =
^. Д£pad и2 х2 (h — х) Лх-ч-оДх
^. Д£pad и2 х2 (h — х) Лх-ч-оДх
2/1
2/1
Наконец,
Наконец,
733.733.padto2x2 (h — x)_ padto2 / x3hx4\ I h padw2h3
733.
733.
2hX— 2/i \ 3Т/I о 24
Центр масс однородного полукруга расположен на его осн симмсгрии па расстоянии — от центра круга (рис. 243). Решение. Пусть центр полукруга совпадает с на
чалом координат, а ось симметрии полукруга — с осью Ох. Разобьем отрезок [0; /?] оси Ох на п равных частей длины Дх точками хь х2, .... хп_1 и проведем прямые x = xi, х=х2 x=x„_l Масса части полукруга, ограниченной пря
мыми х=х, и х = х, +) (хо = О, xn = R\ приблизительно равна 2Дхр x[R^ — х^ (р — плотность полукруга). Заменим каждую такую часть материальной точкой такой же массы, расположенной на оси Ох в точке с координатой х,. По формуле координат центра масс конечной системы материальных точек этот центр лежит на оси Ох в точке с координатой
2n,2n,имеет относительно этой оси координатуимеет относительно этой оси координату^рл/Р2-^ Дх + 2рд//?2 — х? Д х + ... +2pV/?2 —х2_ i Дх
2n,
2n,
имеет относительно этой оси координату
имеет относительно этой оси координату
Числитель этой дроби _ есть интегральная сумма для функции 2xp-'v^2 — *1 знаменатель — интеграль-Числитель этой дроби _ есть интегральная сумма для функции 2xp-'v^2 — *1 знаменатель — интеграль-Rпая сумма дтя функции 2pV^2 —?• Далее, 2 $ л] R2 — x2dx= оRпая сумма дтя функции 2pV^2 —?• Далее, 2 $ л] R2 — x2dx= о= 0,5л/?2 как площадь полукруга радиуса R.= 0,5л/?2 как площадь полукруга радиуса R.RДля вычисления $ 2x-^R2 — x*dx сначала отметим, з очто ((/?2-x2)2)' = y(-2jx VH1 поэтому вкачестве первообразной для функции 2х -\R2 — х"RДля вычисления $ 2x-^R2 — x*dx сначала отметим, з очто ((/?2-x2)2)' = y(-2jx VH1 поэтому вкачестве первообразной для функции 2х -\R2 — х"з2-можно взять функцию F (х) =—— (R2 — х2)2. Сле-Rдовательно,$ 2x^R2 — х2 dx = F (R) — F (0)=оз2-можно взять функцию F (х) =—— (R2 — х2)2. Сле-Rдовательно,$ 2x^R2 — х2 dx = F (R) — F (0)=о(9\ о—з/ =1Г ^3" Таким(9\ о—з/ =1Г ^3" Такимобразом, переходяобразом, переходяк пределу при Дх^О, получаем:к пределу при Дх^О, получаем:X = Пт х'Ах-^ОX = Пт х'Ах-^Оу л/?2у л/?24/?Зл4/?Зл734. Центр масс однородного полушара радиуса734. Центр масс однородного полушара радиусаRR3 „метрии на расстоянии — R от центра шара (рис.о3 „метрии на расстоянии — R от центра шара (рис.олежит на его оси сим-244). Решение. Выбележит на его оси сим-244). Решение. Выбе
Числитель этой дроби _ есть интегральная сумма для функции 2xp-'v^2 — *1 знаменатель — интеграль-
Числитель этой дроби _ есть интегральная сумма для функции 2xp-'v^2 — *1 знаменатель — интеграль-
R
пая сумма дтя функции 2pV^2 —?• Далее, 2 $ л] R2 — x2dx= о
R
пая сумма дтя функции 2pV^2 —?• Далее, 2 $ л] R2 — x2dx= о
= 0,5л/?2 как площадь полукруга радиуса R.
= 0,5л/?2 как площадь полукруга радиуса R.
R
Для вычисления $ 2x-^R2 — x*dx сначала отметим, з о
что ((/?2-x2)2)' = y(-2jx VH1 поэтому вкачестве первообразной для функции 2х -\R2 — х"
R
Для вычисления $ 2x-^R2 — x*dx сначала отметим, з о
что ((/?2-x2)2)' = y(-2jx VH1 поэтому вкачестве первообразной для функции 2х -\R2 — х"
з
2-
можно взять функцию F (х) =—— (R2 — х2)2. Сле-
R
довательно,$ 2x^R2 — х2 dx = F (R) — F (0)=
о
з
2-
можно взять функцию F (х) =—— (R2 — х2)2. Сле-
R
довательно,$ 2x^R2 — х2 dx = F (R) — F (0)=
о
(9\ о
—з/ =1Г ^3" Таким
(9\ о
—з/ =1Г ^3" Таким
образом, переходя
образом, переходя
к пределу при Дх^О, получаем:
к пределу при Дх^О, получаем:
X = Пт х'
Ах-^О
X = Пт х'
Ах-^О
у л/?2
у л/?2
4/?
Зл
4/?
Зл
734. Центр масс однородного полушара радиуса
734. Центр масс однородного полушара радиуса
R
R
3 „метрии на расстоянии — R от центра шара (рис.
о
3 „метрии на расстоянии — R от центра шара (рис.
о
лежит на его оси сим-
244). Решение. Выбе
лежит на его оси сим-
244). Решение. Выбе
рем систему координат так, что начало координат находится в центре шара, а ограничивающая полушар плоскость совпадает с плоскостью Оху (рис. 245). Из теоремы Пифагора следует, что радиус круга, являющегося сечением полушара плоскостью z = t, равен V^5 — ^- Разобьем полушар на диски ширины Д/. Центр диска, ограниченного плоскостями z = t и г = / + Д/, лежит на оси Oz в точке с координатой, равной / (с точностью до величин порядка Д/), так как этот диск имеет Oz осью симметрии. Масса Дт такого диска равна pV (р — плотность полушара, V— объем диска), т. е. Дт«рл-(^2— /2) Д/. При нахождении центра масс можно считать каждый диск материальной точкой массы, равной массе диска и расположенной в центре масс этого диска. По формуле координат центра масс конечной системы материальных точек получаем, что центр масс полушара лежит на оси Oz в точке, координата z которой приблизительно равна
г (М\—. Г”РЛ (^у^Д^ + ^РЛ^2 —<?) Д< + - +tn-ipn (Я2 —/л-p Д/
2 р^ц^^УдТТр^^^ТТГд^’
где к = кЫ. Числитель полученной дроби представляет собой интегральную сумму для функции pnt (R2 —t2\ знаменатель—интегральную сумму для функции рл (R2— г). Чем меньше Д/, тем точнее эта дробь выражает координату центра масс полушара, иными словами, эта координата есть lim z (Д/). При
R"R
Д/-»-О числитель стремится к $ рл/ (/?2 — t^dt, знаменатель — к ) рл (/?2 —/2) d/. rоо
Рл/(/?2-/2)а/рл(^--т) у/?4-т^4 з
—_—— =---— — R.
)Рл(Я2 — t2)dlpn^R?t— yj | ° Я — уЯ736 a) —1356.
x
Решение. Сделаем замену /=1+у. Тогда х = 4/ —4, 5 —х = 9 —4/. По формуле замены найдем нижний и верхний пределы интегрирования: 1+-1-0=1 и 1+4-28 = 8.321
44
Таким образом, искомый интеграл равен
27 12 I 8 / 27 12 \ Т^-5^)| ,=4(^-(4-1)--(32-1)) = 4 (40,5 — 74,4)= —135,6;
б) — 1— . Указание.
Сделайте замену переменной по формуле у=1——.
737. хх(1 4-in х). Указание. х,=е,1п* 738 Графики функций изображены на рисунке 246 а—г 739. i а) [-0,25; 2]; б) [-7; 3); в) (0; оо);
г) [^ (см.
1
х = е
' ; оо). У к а з а н и е. Так как (Xх)' = xr (I 4- In х)задачу 737), то критическая точка одна:. В этой точке функция имеет минимум.
Множества изображены на рисунках 247 (для п. а)), 248 (для п. д)) и 249 (для п. е)).
а) —; б) In 2, Указание: Вынесите — л।п
за скобку; в) ——. 742. а) 3; б) при — 6^3<а<6^/3 — три корня, при а= ±6-^/3 —
два корня, при остальных а — один корень. 743. Указание. Возведением в куб докажите,
корень уравнения х3— 5х—12 = 0, а это уравнение имеет только один действительный корень.
1
744. При 0<а<1 и 1 <.а<е*. 745. а) При 1б<2* и ( 6>2*; б) C6(-oo;0)U(3; оо); в) при la<-C la>-C, \b<-C и I 6> —С.
Рис. 248.
Задачи на повторение всего курса
746. а) х+1;б) -4, ^0,/>-4; в) -а0-6-2а~'-6
при а=^1; г) --_г при а#= 1. 748. 25%. 749. 75 км/ч.
"Vs
750. 4 км/ч. 751. 55 км/ч. 752. 6 и 12 дней. 753. 140 м. 754. 160 г, 20%. 755. 5 ч, 7 ч. 756. 4 м/с, 3 м/с. 757. 240 м3. 758. 35. 759. 12 г, 48 г, 1,5 г/см3.
760. а) 3; 8; 3; б) все; в) 7; 4. 761. 3,75. 762. а) 1,01; б) 8,072; в) 81,108. 764. 2,53. 766. 1.
4
767. а) - ; б) равны. 769. а) 3,5, г) 1,4. "=Т
770. б) |х+И<3,5. 771. а) 5; г) ^. 772. б) ?Ч-?<25; г) (z-2)2+(y-3)2>l. 773. б) (-5; 5); г) 6; 14. 774. б) (— оо; 6)U(14; оо). 775. [—V5; V^J 777.б)Множествоизображенонарис.250.
778.г)Множествоизображенонарис.251.
779. г) 780. а
в) 7=• г) 1—"7• /oz- aI ‘oni о;
a —2Vo5 + 61—tgx2299
q17
в) г) " 784. а) I или III; б) II. 785. — 1.
754
786.787. -L. 788.-. 789. ±2.
1+т ^До4
790. — 2^2. 791. 0,719. 792. ~. 796. а) (—оо;
7-^4)и(7+з^4; оо); б) (-оо; оо); в) £ -у 1 ^ 1 ./9-7Г0594-V105\
г) f 2 ; _L2 J . 797. а) R; б) (-оо; -0,4)U(2; оо);. в) R, г) (-yi з) . 798. ?-2х-2 = 0. 799. —20. 800. (3; 0). 801. а) (-1; 17): б) (2; -3). 802. £/=2-0,5?.
803. у=0,5 (z4-2f 4-3. 805. Графики изображены
Круг радиуса 3 с центром в
2л[аЬ
781. а) — 2—;
х
точке
б) . 5
sin X
2 — sin х *_ „41
Рис. 251.
на рисунке 252 а, б. 806. б) График изображен на рисунке 253; г) графин совпадает с графиком функции у = 2 при *=#-?р k^Z, при х=^, k^Z, фуни ция не определена. 807. Графики изображены на рисунке 254 (в пп. в) и
г) графики совпадают). 808. а) 1; б) ^; в) 0,5809. а) Ни четная, ни нечетная; б) нечетная
в) четная; г) ни четная, ни нечетная. 810. а) б) Ни четная, ни нечетная; в), г) нечетная 811. а) V2; б) —V2. 813. а) 12х5 —19*4 I.
б)
5
в) (х+1) cos x/sin х—cos2 x/sin 2n,
r) 2tgx-lge [
2 1g/ .
COS X
Д)
60x (3 — x2)(8x2 —3)3
814. 60 м/мии; 36 м/мин2. 816. y=—2x —1 y=2x; y=5x — 2,25. 817. a) y — l,5x+1,5; boi
растает на всей числовой прямой; б) у=1/—- , убывает на промежутках (—оо;0) и (0; оо), в) У="^2* г> y = log2(x-1); д) у = У-2.
Рис. 252.
б)
е) у =12.. . 818. а) Функция возрастает на
промежутках
— оо;
постоянна в области определения, т. е. у =—0,5при х#=0,5; в) функция убывает на промежут-
ке
возрастает на промежутке
[—Г, оо). В точке — 1 функция имеет минимум; г) функция убывает на промежутке (—оо;2]; возрастает на промежутке [2; оо). В точке 2 функция имеет минимум. 819. а) Функция возрастает на промежутке (0; е], убывает на промежутке [е; оо). В точке е функция имеет максимум (рис. 255); б) функция убывает на промежутке (0; 1); возрастает на промежутке [1; оо). В точке 1 функция имеет минимум; б) функция убывает на промежутках (—оо; —1) и (—1; 0]; возрастает на промежутке [0; оо). В точке 0 функция имеет
минимум. При х =— 1 функция не определена; при х -► — 1 неограниченно растет |у|; г) функция возрастает на промежутках [хо — л + 2л&; хо + 2л6], k^Z; убывает на промежутках [хо4*2лА;
Хо4~л + 2£л], k^Z; в точках вида Хо + 2л£, k^Z,
мумы; в точках вида
Хо + л + 2лЛ, k^Z,
функция имеет макси-
функция имеет минимумы;
2 x0 = arctg —
на промежутке
0,59. 820. а)
— ; оо^ . Ве /
/1 I
Функция убывает на промежутке I I ; возрастает
точке — функция имеет минимум; б) в точках лб, k£Z, е
функция имеет максимумы; в точках 2л/г±-у , k^Z, функция имеет минимумы.
7821. а) у(3)=135; б) -4 —О7821. а) у(3)=135; б) -4 —О-V3при х=4^—-V3при х=4^—. 822. 1. 823. 3 см, 6 см, 4 см.. 822. 1. 823. 3 см, 6 см, 4 см.
7
821. а) у(3)=135; б) -4 —
О
7
821. а) у(3)=135; б) -4 —
О
-V3
при х=4^—
-V3
при х=4^—
. 822. 1. 823. 3 см, 6 см, 4 см.
. 822. 1. 823. 3 см, 6 см, 4 см.
824. На расстоянии 1,5/? от точки касания. 825. — . Решение. Пусть основание
треугольника имеет длину 26, а угол при основании 2а. Тогда (рис. 256) r = O// = //C-tg а = 6 tg а. Выразим b через заданную площадь S треугольника:
S=0,5 AC-BH = b-b tg 2а, откуда Ь2=—2—. Будем искать наибольшее значение
у={/,5х-/}yh у = {/,5(х-/)}
//////// шл///.0/ х1х
о)б)
Рис. 254.
квадрата радиуса
S tg2 a S(l- " 2 tg а
r2 = b2 tg2 а =
2 tg а
1 —tg2 а
5
=— (tg а—tg3 а). Обозначим tg а —
— tg3 а через и (а). Нужно найти наибольшее значение функции и (а) л! . , ,1
на отрезке
3 tg2 а 1 — 3 tg2 а cos2 а соз2 а
.I
tga=±—, т. е. при
т.
A^Z. Из точек такогол
‘ ' cos а и' (а) = 0 при
, л
а = лк±— , О
вида только
одна
— лежит на Ь
резке. Далее,
данном от-="(-?)-0.
и
2,
—=. Таким образом, наи- Зд/З
Угол при вершине равен л — 4а=-^-.
большее значение и (а) на отрезке
л 1Л
I 0; — I достигается приа = — .
L 4 Jо
826. V4V- 827. ^см. 828. —. Р е-
д/зд/з
ш е н и е. Рассмотрим осевое сечение цилиндра, вписанного в шар радиуса R (рис. 257). По теореме Пифагора из треугольника ДОВ находим: АВ2 = АО2 —ВО2, к2
т. е. r2=R2—— , где г — радиус основания цилиндра, h — его высота; V — n.r2h =
= л
А3\
— ) . Требуется определить наибольшее значение функции V (h) =
= R(r2H-^\4
на отрезке [0; 2/?]. V' (h)=n ( R2—
. V' =0 при ЗЛ2=4/?2,
т. е. при h=2B Так как
У(0)=У(2/?) = 0, а V
2/?
то функция V (/г) достигает наибольшего значения при h =829. Решений нет
при R^0,5// и г = 0.5HR :(Н—R) при R <0,5//. 830. R = 1,5г. 831. 4R. 832. H=R^. Решение. Пусть около полушара радиуса R описан прямой круговой конус. Рассмотрим осевое сеченне конуса (рис. 258). Из подобия треугольников ДОС и
Рис. 258.
ОВ-С получаем:
х _R д///2 4-х2 Н
2 H2R2 откуда * — ^-^г'.
У(Д) = уЛХ2Д =
—•у л^
2 Н1
H^—R
т; Г(//) =
^#№-RW-h^ ^=(/,.-3//=^) .
yP-Rty=3(H2-R2y*
V'(Я) = 0 при Н-Р-л^З. Остается проверить, что при этом значении Н функция 40
V (Н) достигает наименьшего значения на промежутке (0; оо). 833. 6=— см.
Л = 40Л = 402РР23
Л = 40
Л = 40
— см. 834. R =——г; Н =7. 835. —— ч. 836. 2,4 м. Решение.
3л4-4л4-4410
Пусть наблюдатель находится на расстоянии х от стены в точке О (рис. 259). Требуется узнать, при каком х будет наибольший Z_EOB\ Z_EOB = Z-EOA— — Z-BOA, поэтому
3,2 1,8 у у1 4х
tg ДЕОВ-^ЕОА-^ВОА)— ^—ф^.
1 4
X X
Обозначим х2_^5 75 чсРез f W- Так как 0^ Z.EOB ^-^ и на промежутке [0; -у ) тангенс возрастает, то достаточно найти х, при котором f (х) принимает наибольшее значение на промежутке [0; оо).
pto ^+5,76)-*.2х1.4(5.76-ф .
1 w(?+W—'(?+W ■' '
при х=2,4. На промежутке (2,4; оо) f'-cO, поэтому при х£(2,4; оо) f (х)</(2,4). Аналогично /(х)</(2,4) для х^[0; 2,4[. Итак, при х = 2,4 функция / достигает г-27
наибольшего значения на промежутке [0; оо). 837. 4 \2 м. 838. 1— ч. 839. Длина
страницы 30 см, ширина 20 см. Р е ш е н и е. Пусть длина страницы равна х. Тогда 384
текст представляет собой прямоугольник со сторонами х — 6 и ——-. Ширина
384 , , страницы равна -—^+4,384 , , страницы равна -—^+4,площадь равнаплощадь равна384хх — 6384хх — 64-4х. Требуется определить4-4х. Требуется определить
384 , , страницы равна -—^+4,
384 , , страницы равна -—^+4,
площадь равна
площадь равна
384хх — 6
384хх — 6
4-4х. Требуется определить
4-4х. Требуется определить
на промежутке (6; оо);на промежутке (6; оо);
на промежутке (6; оо);
на промежутке (6; оо);
наименьшее значение функции f (х) = —^ 4-4х f (х)=384 --^—6)-2-+4 = ^ _ 6)2 ■ + 4; Г^=0 при 4 (х —6)2=384-6, т. е. при х=30. При этом ши- 384
рина страницы равна ——-4-4 = 20. 840. 20 км/ч.
Решение. Вторая часть расходов равна Ах3, где через х обозначена скорость парохода, к — коэффициент пропорциональности. Для определения к подставим х=10, тогда 30=1000А, откуда А = 0,03. Пароход пройдет 1 км пути за -^- ч. За это время расходы будут равны 480- —4-0,03х3-^-. Требуется определить наименьшее значение функции / (х)=^^4-0,03х2 на промежутке (0; оо); fr (х)=—р—р0,06х; /'(х)=0
s 480„
при х =^g, т- е- при ^=20. Легко проверить, что в этой точке достигается наименьшее значение функции. 841. а) (1; 2)U(3; со); б) (— oo;2)U и(3;5); в) (-оо; -3] U [1; оо); г) (-4; - 1)U(-1; 6); д) (1;2)U(3;4);
х2
l-^, “Пи!!;^)- 842. а) — 4-1п |хЦ-С на любом промежутке, lie содержа-
з
щем 0; б) у-^х24-С; в) у sin Зх — 2 cos х4-С; г) —^"х<—х-14-С.
3. а) 3 In lz-f-41+С на любом промежутке, нс содержащем точку —4;
1зп3
—— ctg2x-}-C; в) ytg2x4-C; г) х2 + х3 + С. 844. а) —-—- + С при х^1;
—^х4+^ + С. 845. х3 —Зх + 4. 846.—1-cos 2/4-3. 847. у=х3 —5.
44-V24
а) ^=2 ; б) I^^L^. 849. а) 5-1-; б) 20-|; в) 18; г) 1-1-; д) 12-212duo
— 5 In 5^3,953. 851. а) 15; б) у • 852. а) ^ , где k^Z; б) 2л6; у 4-л&, где k^Z;
^ ; л4-2л^, где k^Z; г) у 4-2лЛ; (“1)*+1 у+ л^, где k^Z. 853. а) ^у-^4-
, где k^Z, a = arccos -^-^0,64; б) Л °4~ лА, где k^Z, a = arctg -11^0,395; dи212
л , а , , л а 7лла 2лк 2лк а
=) 8-+-2+я‘;-8—2 +лй: П + л‘;"‘-24’где<!ег:г)Т+’з“;’3““; ^+^;где 6£Z, а-arccos (-^-I.C-L 854. а) 3; С) 2^-; 4;
— 1; 1; — 2; 2. 855. а) (—оо;-1-Jj[l,5; оо); б) (2; 3); в) (— оо; -3)U(-1; 1)U и(3; оо); г) (-оо; - 1,5]U[-1; 1]U[1.5; оо). 856. а) ( —3,5; -3); б) (о;у); в) (-оо; — 2)U(4; оо); г) (-оо; 3,4)U(4; оо). 857. а) (з;у); б) (1;-1); в) (— 1; —3). 858. а) (Зу4-4; у\ где y^R; б) (2,5 —Зу; у), где y^R; в) (1,5у4-2; у), 21
где y^R. 859. а), б), в) 0. 860. а) 3; б) ——; в) 16. 861. а) — 3— ; б) таких
значений нет; в) a^R, а=/=4. 862. Да, при: а) а=/=—0,2; б) а==2,5; в) a^R.значений нет; в) a^R, а=/=4. 862. Да, при: а) а=/=—0,2; б) а==2,5; в) a^R.863. a) ( — 3; 2; — 1); б) (2; 3; 1); в), г) 0. 864. а) (0,4; 0,8); б) (2; 3);а) (0,4; 0,5); (0,6; 0,3); б) (2; 1); (-1; -2);. в) (4; -3); (4; 3); г) (2; 3);а) (4; 1); (1;4); б) (0,5; 4); в) (1;2); г) (у; 4):867‘ а) <2;863. a) ( — 3; 2; — 1); б) (2; 3; 1); в), г) 0. 864. а) (0,4; 0,8); б) (2; 3);а) (0,4; 0,5); (0,6; 0,3); б) (2; 1); (-1; -2);. в) (4; -3); (4; 3); г) (2; 3);а) (4; 1); (1;4); б) (0,5; 4); в) (1;2); г) (у; 4):867‘ а) <2;(3; 2).(3; 2).(3; 2).(3; 2).-1);-1);(-1;2); б) (1;2); (2; 1); в) (1;^); (1; -^); (2; 1); (2; -1); г) (7; 3); (-7;(-1;2); б) (1;2); (2; 1); в) (1;^); (1; -^); (2; 1); (2; -1); г) (7; 3); (-7;; в); в); г) 0. 869. а) (1;0;2;; г) 0. 869. а) (1;0;2;-3).-1);-3).-1);
значений нет; в) a^R, а=/=4. 862. Да, при: а) а=/=—0,2; б) а==2,5; в) a^R.
значений нет; в) a^R, а=/=4. 862. Да, при: а) а=/=—0,2; б) а==2,5; в) a^R.
863. a) ( — 3; 2; — 1); б) (2; 3; 1); в), г) 0. 864. а) (0,4; 0,8); б) (2; 3);
а) (0,4; 0,5); (0,6; 0,3); б) (2; 1); (-1; -2);. в) (4; -3); (4; 3); г) (2; 3);
а) (4; 1); (1;4); б) (0,5; 4); в) (1;2); г) (у; 4):867‘ а) <2;
863. a) ( — 3; 2; — 1); б) (2; 3; 1); в), г) 0. 864. а) (0,4; 0,8); б) (2; 3);
а) (0,4; 0,5); (0,6; 0,3); б) (2; 1); (-1; -2);. в) (4; -3); (4; 3); г) (2; 3);
а) (4; 1); (1;4); б) (0,5; 4); в) (1;2); г) (у; 4):867‘ а) <2;
(3; 2).
(3; 2).
(3; 2).
(3; 2).
-1);
-1);
(-1;2); б) (1;2); (2; 1); в) (1;^); (1; -^); (2; 1); (2; -1); г) (7; 3); (-7;
(-1;2); б) (1;2); (2; 1); в) (1;^); (1; -^); (2; 1); (2; -1); г) (7; 3); (-7;
; в)
; в)
; г) 0. 869. а) (1;0;2;
; г) 0. 869. а) (1;0;2;
-3).
-1);
-3).
-1);
б) (1; -2; -1; 2).
ОБОЗНАЧЕНИЯ, ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ В УЧЕБНОМПОСОБИИ
N
— множество всех нату
Z
ральных чисел
— множество всех целых
Zo
чисел
— множество всех неотри
Q
цательных целых чисел
— множество всех рацио
R
нальных чисел
— множество всех действи
R +
тельных чисел, числовая прямая
— множество всех положи-
R2
• тельных действительных чисел — числовая плоскость
[а; б]
— замкнутый промежуток
(а; 6)
(отрезок) с концами а и b, a<Cb
— открытыйпромежуток
(интервал) с концами а и b, a<cb
(а; 6], [а; 6)— полуоткрытые промежутки с концами а и Ь, а<_Ь
(а; оо),
[а; оо), (— оо; Ь\
(—оо; b\ —бесконечные промежутки
(—оо; оо)—бесконечный промежуток, числовая прямая
а—обозначение вектора
(а — 6; а4-6) — 6-окрестпосгь точки а [х]—целая часть числа х
(х)—дробная часть числах
|х|—модуль (абсолютнаяве
личина) числа х
/И
— значение функции / в точке x
от
— область определения функции /
ст
— область значений функции /
Ьх
— приращение агрумента х
ми, м
— приращение функции f в точке Хо
Г (Хо)
— производная функции f в точке хо
sin
— функция синус
cos
— функция косинус
tg
— функция тангенс
etg
— функция котангенс
e
— число е, основание показательной функции, для которой (^у = ек
loga
— логарифм с основанием а
1g
— десятичный логарифм
In
— натуральный логарифм (логарифм с основанием е)
max f
— наибольшеезначение
[a; 6]
функции / на отрезке [щ 6]
min f
— наименьшее значение
[a; 6]
функции f на отрезке
6
[а; 6]
Sf Wdx
— интеграл функции f в
a
пределах от а до b
arcsin a
— арксинус числа а
arccos a
— арккосинус числа а
arctg a
— арктангенс числа а
arcctg a
— арккотангенс числа а
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная погрешность 74
аргумент функции 20
арифметическая прогрессия 245
, разность 245
, сумма п первых членов 246
, формула и-го члена 246
арккосинус 46
арккотангенс 46
арксинус 45
арктангенс 46
Бесконечные интервалы 241
— промежутки 241
Внутренняя точка 241
выражение с переменными 261
Гармонические колебания 127
, амплитуда 127
, начальная фаза 127
, угловая частота 127
геометрическая прогрессия 246
бесконечная, сумма 247
, знаменатель 246
, сумма и первых членов 247
, формула и-го члена 247
геометрический смысл производной 101
гипербола 252
график квадратичной функции 259
— косинуса 7
— котангенса 8
— линейной функции 254
— логарифмической — 191
— показательной — 179
— синуса 6
— тангенса 7
— уравнения 266
— функции 20
графическое задание функции 21
Дискриминант квадратного трехчлена 256 дифференциальное уравнение гармонических колебаний 127
показательного роста и показательного убывания 213 дифференцирование функции 85
длина дуги 3
— промежутка 241
допустимые значения переменных 261
достаточный признак возрастания функции 112
убывания функции 112
дробь 262
— десятичная 236
периодическая 236
—, основное свойство 263
Единичная окружность 4
Законы арифметических действий 238 знаки значений тригонометрических функций 12
Интеграл 148
интегрирование 137
интервал 240
Касательная к графику функции 100
квадратный трехчлен 256
концы промежутка 241
корень квадратного трехчлена 257
— n-й степени из числа 162
арифметический 162
— уравнения 263
посторонний 169
косинус 4
котангенс 4
коэффициент прямой пропорциональной зависимости 250
— обратной252
криволинейная трапеция 145 критическая точка функции 114
Линия тангенсов 5
логарифм натуральный 204
Мгновенная скорость 107
метод интервалов 99
механический смысл производной 107 многочлен 262
Независимая переменная 20
необходимый признак экстремума 115
неравенства квадратичные 260
— логарифмические 197
— показательные 182
— тригонометрические 54
— числовые 238
Область значений функции 18
—определения функции 18
обратная пропорциональность 252
общий вид первообразных 140
объединение множеств 19
одночлен 262
окрестность точки 241
основное логарифмическое тождество 190
— свойство первообразной 139
основные свойства логарифмов 193 степеней с действительным показателем 181
относительная погрешность 242
отрезок 240
Парабола 259
первообразная 137
период косинуса 33
— котангенса 34
— синуса 33
— тангенса 34
площадь сектора 3
правила вычисления производных 88
— нахождения первообразных 142
— преобразования систем неравенств
в равносильные 264
уравнений264
предел функции 76
пределы интегрирования 149
преобразование графиков функций 270
приближенное значение числа 74
признак максимума функции 116
признак минимума функции 117
принцип математической индукции 227
приращение аргумента 79
приращение функции 79
производная 85
— вторая 126
— логарифмической функции 206
— показательной функции 202
— постоянной 86
— произведения 89
— произведения постоянной на функцию 89
— сложной функции 93
— степенной функции 210
— суммы 88
— тригонометрических функций 94
— частного 89
промежуток 240
— бесконечный 241
— возрастания функции 28
— знакопостоянства функции 28
— полуоткрытый 241
— убывания функции 28
пропорция 244
процент 244
прямая пропорциональность 250
Равносильность неравенств 263
— систем уравнений (неравенств) 267
— уравнений 263
равносильные неравенства с нескольки
ми переменными 265
— уравнения265
радиан 3
разложение квадратного трехчлена на множители 256
расстояние между точками 239
решение квадратичных неравенств 260
— неравенства 263
— уравнения 263
Секущая 80
синус 4
синусоида 7
система неравенств 267
— уравнений 267
линейных 268
сложная функция 92
степень многочлена 262
— одночлена 262
схема исследования функции 31
Тангенс 4
тангенсоида 7
теорема Венерштрасса 122
— Виета 259
— об обратной функции 187
—, обратная теореме Виета 259
— о корне 44
— Ферма 114
тождественные преобразования выражений 261
тождество 261
точка критическая 114
— максимума 30
— минимума 30
— экстремума 31
тригонометрические неравенства, решение 54
— уравнения и системы уравнений, решение 57
Угловой коэффициент касательной 100
прямой 80
уравнение иррациональное 168
— квадратное 257
— линейное 255
— логарифмическое 197
— показательное 182
— с несколькими переменными 265
— с одной переменной 263
— тригонометрическое 48
Формула корней квадратного уравнения 257
приведенного 258
— косинуса разности 275
суммы 275
— Лагранжа 104
— Ньютона — Лейбница 148
— перехода к логарифмам с другим основанием 194
— площади криволинейной трапеции 149
— синуса разности 275
суммы 275
— тангенса разности 276
сумма 276
формулы дифференцирования 279
— половинного аргумента И
— приведения 278
—, связывающие тригонометрические функции одного аргумента 277
— сложения для тригонометрических функций 275
— сокращенного умножения 239
— суммы и разности косинусов и синусов 278
функция 18
— возрастающая 21
— дифференцируемая 85
— дробная часть 20
— линейная 254
— логарифмическая 190
— непрерывная в точке 97
— непрерывная на промежутке 98
— нечетная 22
— обратная 186
— периодическая 33
— показательная 179
— сложная 92
— степенная 209
— убывающая 21
— целая часть 19
— четная 22
Числа действительные 237
— иррациональные 237
— натуральные 236
— рациональные 236
— целые 236
число е 202
числовая плоскость 241
— последовательность 245
— прямая 240
Экстремум функции 31
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Преобразования тригонометрических выражений 3
Тригонометрические функции числового аргумента—
Основные формулы тригонометрии 11
Основные свойства функций 18
Функция
Исследованиефункций27
§ 3. Основные свойства тригонометрических функций33
Периодичность тригонометрических функций—
Исследованиефункцииy = sin х36
Исследованиефункцииy = cosx 38
Исследование функции y = tgx 40
Исследование функции y=ctgx 43
§ 4. Решение тригонометрических уравнений и неравенств44
Арксинус, арккосинус и арктангенс —
И. Решение простейших тригонометрических уравнений . ...48
Решение простейших тригонометрических неравенств . ...54
Примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений 57
Сведения из истории 60
Вопросы и задачи на повторение61
Дополнительные упражнениякглаве /66
Глава II
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
§ 5. Производна» 74
Приближенное вычисление значений функции—
Приращение функции 79
Понятие о производной. Касательная к графикуфункции...81
Определение производной. Примеры вычисленияпроизводной85
Правила вычисления производных88
Производная сложной функции92
Производные тригонометрических функции94
§ 6. Применения производной к приближенным вычислениям, геометрии и физике97
Метод интервалов —
Касательная к графикуфункции.100
Формулы для приближенных вычислений104
Производная в физикеи технике106
§ 7. Применения производной к исследованию функций111
Признак возрастания (убывания) функций —
Критические точки функции, ее максимумы и минимумы . . .114
Примеры применения производной к исследованию функций . .118
Наибольшее и наименьшее значения функции122
Гармонические колебания126
Сведения из истории129
Вопросы и задачи на повторение131
Дополнительные упражнения к главеН133
Глава III.ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
§ 8. Первообразная 137
Определение первообразной —
Основное свойство первообразной 139
Три правила нахождения первообразных142
§ 9. Интеграл 145
Площадь криволинейной трапеции—
Интеграл. Формула Ньютона — Лейбница148
Вычисление объемов тел153
Сведения из истории156
Вопросы и задачи на повторение158
Дополнительные упражнения к главе Ш159
Глава IV
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
5 10. Обобщение понятия степени 162
Корень и-й степени и его свойства—
Иррациональные уравнения168
Степень с рациональным показателем171
Показательная и логарифмическая функции177
Показательная функция—
Решение показательных уравнений инеравенств182
Понятие об обратной функции185
Логарифмическая функция190
Основные свойства логарифмов193
Решение логарифмических уравнений и неравенств ....197
Производная показательной и логарифмической функций...202
Производная и первообразная показательной функции...—
Производная логарифмической функции206
Степенная функция и ее производная209
Дифференциальное уравнение показательного роста и показатель-' пою убывания213
Сведения из исюрии217
Вопросы и задачи ни повторение218
Дополнительные упражнения к главе IV221
Задачи повышенной трудности225
Материал для повторения236
Задачи па повторение всего курса280
Приложение293
Ответы и указания к упражнениям297
Обозначения, встречающиеся в учебном пособии329
Предметный указатель330
Андрей Николаевич КолмогоровАлександр Михайлович АбрамовБорис Ефимович Вейц и др.
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
Учебное пособиедля 9 и 10 классовсредней школы
Зав. редакцией Р. А. ХабибРедактор Л. Н. БелоновскаяМладшие редакторы Л. И. Заседателева, Л. Е. Козырева, Е. А. СафроноваПереплет художника Б. Л. НиколаеваХудожественный редактор Е. Н. КарасикТехнические редакторы В. Ф. Коскина, Л. М, АбрамоваКорректоры Л. А. Ежова, Н. В. Красильникова
ИБ № 10269
Подписано к печати с диапозитивов 26.05.86. Формат 60X90'/ie. Бумага типографская № 1.
Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 21 +форзац 0,25. Усл. кр.-отт. 21,69. Уч.-изд. л. 18.72 + форзац 0,35. Тираж 2 950 000 экз. Заказ № 355. Цена 35 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение* Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии н книжной торговли. 129846, Москва, 3-й проезд Марьиной рощн, 41. Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Росглавполиграфпрома Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59.
Сведения о пользовании учебником
№
Фамилия и имя ученика
Учебный год
Состояние учебника
в начале года
в конце года
1
2
3
4
5
е = 2,71828е = 2,71828Loga1 = ОLoga a = 1Loga1 = ОLoga a = 1loga(xy) = logax + logay Logoxv ylog„xloga(xy) = logax + logay Logoxv ylog„x
е = 2,71828
е = 2,71828
Loga1 = О
Loga a = 1
Loga1 = О
Loga a = 1
loga(xy) = logax + logay Logoxv ylog„x
loga(xy) = logax + logay Logoxv ylog„x
а) 10 ctg 135° sin 225° cos 315°;
Вычислите (37—38).
87. л) cos 0,3л sin 0,2л + sin 0,3л cos 0,2л;
\3 Л•Л•OJT
б)cos —cos—sin—sin—;
155155
в) cos 35° sin 65° — sin 35° cos 65°;
б) cosa=-|-, sinp = -^-, -^-<а<2л, -^-СРСл.О1 о ДД
197. Вычислите sin (а — р), если:
sina=——, cosp=——, —<а<2л, л<р<-у;
I р^= ^т)' =4"^Y=T,3x2=?=f W
1Г1 nlГ1\
х= ±—-—точки минимума; возрастает на I ;0 и на 1—- ; оо I, убываем^2L -V2 J42/
на (— оо;и на |0;Д^|; в) график изображен на рисунке 231; г) функ
ция возрастает на R. 410. a) max g(x) = g(0) = 3; min g (x) = g (—1) = — 1, [-1; 11[-!;•]
6) max? M = g (3)=3; min g M = g (2) = — 1. 411. a) min A(x) = A(—1)= — 9;
[i;3][1;3][-I;!)
max ft (x) = ft (0)=2; 6) min h (x) = h (3) = — 25; max ft (x) = A (1)= —5. 412. Cto- [-1:1][i:3][1.3]
рона, лежащая на диаметре, в 2 раза больше другой стороны. 413. 1 :\2. 414. Прямоугольник должен быть квадратом. 415. Равносторонний. 416. а) 10 = 54*5; б) 8=44*4. 417. 4 см. 418. —0,5. 419. К точке отрезка АВ, удаленной от В на 1 км. 420. Решение. S = 2nr2 Д-2лгК. Из формулы
V = nr2h выразим ft и подставим полученное значение в выражение для S.
АЛГЕБМИНМАНАЛИЗА
—
910
y=f (X)
f (Xi) = tgdi >0 f'(x2)=tgd2<0
АЛ№А И НАШ АНАЛИЗА
УЧЕБНОЕПОСОБИЕДЛЯ 9 — 10 КЛАССОВСРЕДНЕЙШКОЛЫ
Под редакцией
А. Н. Колмогорова
Допущено
Министерством просвещения СССР
Издание седьмое
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1987
ББК 22.14я72Л45ББК 22.14я72Л45
ББК 22.14я72Л45
ББК 22.14я72Л45
А. Н. КОЛМОГОРОВ,
Л. М. АБРАМОВ,
Б. Е. ВЕЙЦ,
О. С. ИВАШЕВ-МУСАТОВ,
Б. М. ИВЛЕВ, С. И. ШВАРЦБУРД
Алгебра и начала анализа: Учеб, пособие для А45 9—10 кл. сред, шк./ А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Б. Е. Вейц и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.—7-е изд.— М.: Просвещение, 1987.—335 с.: ил.
4306020400—133103(03)—874306020400—133103(03)—87инф. письмо —87инф. письмо —87ББК 22.14я72-|-22.16я72ББК 22.14я72-|-22.16я72
4306020400—133
103(03)—87
4306020400—133
103(03)—87
инф. письмо —87
инф. письмо —87
ББК 22.14я72-|-22.16я72
ББК 22.14я72-|-22.16я72
© Издательство «Просвещение», 1980
© Издательство «Просвещение», 1986, с изменениями
Глава I