Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
На занятиях по началам математического анализа в юношеской математической школе нам часто приходилось слышать вопрос от наших пытливых слушателей: «Где можно прочесть о функциях, пределах и производной, кроме школьного учебника?» В этой книге мы и стремимся, несколько расширив объем материала за рамки школьной программы, удовлетворить этот запрос учащихся, интересующихся математикой. Она рассчитана на участников юношеских математических школ, членов школьных математических кружков. Учитель математики найдет в ней материал для факультативных курсов и занятий математического кружка старших классов.
В первой главе мы уделяем внимание основным операциям над множествами и абсолютным величинам и их свойствам с целью выработать у учащихся навыки и умения оперировать с ними, что необходимо для усвоения общего понятия функции и изучения теории пределов, производной и вообще основ высшей математики.
Известны методические трудности, возникающие при изложении для школьников общего понятия функции, предела, производной. В преодолении этих трудностей во многом нам помогли обсуждения методики изложения отдельных вопросов, вошедших в книгу, на семинаре при математических кафедрах Ярославского государственного педагогического института. Выражаем всем участникам семинара, принявшим участие в этих обсуждениях, нашу признател ьность.
Считаем своим приятным долгом поблагодарить профессора А. М. Лопшица за просмотр отдельных глав, замечания к ним и советы.
Профессор Н. Я. Виленкин и И. Б. Вейцман в своих отзывах о рукописи высказали ряд пожеланий, способствовавших улучшению книги, за что мы выражаем им глубокую благодарность.
При работе над книгой мы пользовались различной литературой. В частности, были использованы учебные пособия:
В. Н ем ы ц к и й, М. Слудская, А. Черкасов. Курс математического анализа, I. М., ГИТТЛ., 1957.
Г. М. Фихтенгольц. Основы математического анализа. II М., ГИТТЛ., 1955.
К А. Рыбников. История математики, I. Изд-во МГУ, 1960. И. 1963.
В. М. Б р а д и с и др. Алгебра, под ред. А. И. М а р- кушевича. М., Учпедгиз, 1957.
Статьи в журнале «Математика в школе» Н. Я. Виленкина и С. И. Шварцбурда, № 1, 1961; А. Н. Ко л- могорова, № 6, 1965 и № 6, 1966.
При подборе задач и упражнений воспользовались работой И. П. Натансона «Суммирование бесконечно малых величин». М., 1960.
Авторы.
ГЛАВА I
ВВЕДЕНИЕ
§ L Понятие множества
При изучении функций нам придется пользоваться понятием множества, которое играет большую роль в со- времен ной математике.
Под множеством понимают совокупность предметов (объектов), объединенных некоторым общим признаком.
Например, мы можем говорить о множестве учащихся данной школы, множестве книг в библиотеке, множестве прямоугольников с данным периметром, множестве всех целых чисел и т. д.
Предметы, из которых составлено множество, называются его элементами. Так, в случае множества целых чисел его элементами будут числа 0, ±1, ±2, ± 3, ... .
Будем множество обозначать прописными буквами, а его элементы строчными и записывать множество с помощью фигурных скобок. Например, если т — четные положительные числа, то множество М этих чисел запишется в виде
М = {т}.
Принадлежность элемента т множеству М выражают записью т £ М. Если элемент т не принадлежит множеству М, то это записывают так: т £ М.
Например, для множества М четных положительных чисел:
2GM; 44 СМ; П^М; — S^M.
Множество может состоять из любого числа элементов. Например, множество Д корней уравнения х — Зх + + 2=0 состоит из двух элементов и может быть записано так: Д = (1, 2).
Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным. Так, множество Д — конечное множество.
Множество может не быть конечным. Такое множество называется бесконечным. Например, множество всех корней уравнения sin х = 0, т. е. множество чисел вида 6л, где к = 0, ±1, ±2, ..., множество всех целых чисел является бесконечным множеством.
Множество может не иметь ни одного элемента. Такое множество называется пустым. Например, если в классе все ученики успевают, то множество неуспевающих учеников из этого класса будет пустым. Пустым будет также множество корней уравнения cos х = 2. Пустое множество обозначается символом 0.
Множество можно задать двумя способами. Первый способ — перечисление его элементов. Например, множество участников шахматного турнира задастся списком; множество из двух чисел — Д = {1, 2} и т. п.
Этот способ применим лишь к конечным множествам (хотя и не всегда удобен).
Второй способ — указание некоторого характеристического свойства элементов именно этого множества; например: множество треугольников; множество планет солнечной системы. Иногда такой способ задания множеств выражают специальной записью. Например, в записи
А = (х/х2 — Зх + 2 = 0} показано, что множеству Д принадлежат все те элементы х, которые являются корнями уравнения х2 — Зх + 2 = 0, т. е. числа х = 1 и х = 2. Аналогично запись N = ={x/sinx = 0} показывает, что множеству N принадлежат все те числа х, которые являются корнями уравнения sin х = 0, т. е. числа вида х = 6л, где 6=0, ±1, +2, ....
множество учеников пятых классов дайной школы, В — множество всех учеников школы, то А есть часть, или подмножество, множества В, т. е. A cz В.
Другой пример. Пусть N есть множество всех натуральных чисел, а Р — множество простых чисел. Очевидно, Р cz N.
Заметим, что пустое множество и само множество М считаются подмножествами множества М.
Если Л сВ, а Вс Л, то множества А и В называют равными. Равные множества состоят из одних и тех же элементов, например, множество А — [х/х2 — Зх + 2 = 0| и множество В={1, 2| суть равные множества: А = В.
§ 2« Действия над множествами
1. Сложение и вычитание множеств
Определение. Суммой (объединением) нескольких множеств называется множество всех тех и только тех элементов, каждый из которых входит хотя бы в одно из данных множеств.
Сумма множеств А и В записывается символом A (J В. Пусть, например, А = \а, Ь, с|; В = [а, с, р, т\. Их суммой является множество С = A (J В = \а, 6, с, р, т\.
Другие примеры. Объединением множества всех черных шахматных фигур и множества всех белых шахматных фигур является множество всех шахматных фигур.
Объединением множества четных положительных чисел и множества нечетных положительных чисел является
множество всех натуральных чисел.множество всех натуральных чисел.
множество всех натуральных чисел.
множество всех натуральных чисел.
Черт. 1Черт. 1На чертеже 1 множества А и В показаны в виде заштрихованных кругов. Вся заштрихованная область представляет сумму A (J В. Можно показать, что сложение множеств обладает переместительным и сочетательным свойствами. Однако сложение множеств отличает-
Черт. 1
Черт. 1
ся от сложения чисел. Так, например, для чисел а + а = 2а, для множеств A U А = А. Если А а В, то A (J В = В. Например, если А = {квадраты}, В^ ^{прямоугольники}, то A cz В и A U В = В.
Пусть мы имеем два множества Д и В, причем множество В не обязательно содержится в А.
Определение. Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов из множества А, которые не содержатся во множестве В.
На чертеже 1 заштрихованная один раз часть круга А означает разность множеств Д и В, которая записывается так: А \ В.
Пример. Множество девочек в классе есть разность между множеством всех учеников в классе и множеством мальчиков из этого класса. Заметим, что если А \В = С, то, вообще говоря, В (J С ^ А. Убедитесь в этом на примере множеств А = {а, Ь, с} и В = {6, d, q, г}.
Пересечение множеств
Определение. Пересечением нескольких множеств называется множество всех тех и только тех элементов, которые входят в каждое из данных множеств.
На чертеже 1 область, заштрихованная дважды, представляет пересечения множеств А и В. Пересечение двух множеств А и В записывается так: A f) В.
Пример. А = (п/п=2,4,6,8,..., 2 m,...},
В ={n/n=3,6,9,...,3m,...|,
А П В = \n!n = 6,12,..., 6m,...}, т — натуральное число.
Очевидно, если Л cz В, то A f) В =А.
Приведите примеры.
Пересечение обладает переместительным, сочетательным и распределительным (относительно сложения) свойствами.
УПРАЖНЕНИЯ.
Записать множества, перечислив их элементы:
М = (п/п — положительные числа, кратные 5 и меньшие 37}.
М = \n!n — простые числа, меньшие 30).
Какие высказывания справедливы, какие несправедливы?
Если М = {четырехугольники}, то: а) ромб £ М; б) квадрат £ М; в) шестиугольник £ М\ г) окружность £ М.
Если М = {п/п — простые числа, меньшие 100}, то:
а) 2 £ М; б) 27 £_М; в) 13 £ М; г) 53 С М;
д) 81 ^ М; е) 97 $ М.
Напишите все подмножества множества Ms если М = {тетрадь, ручка, карандаш}.
Докажите, что если множество состоит из п элементов, то число всех его подмножеств авно 2П.
Укажите, какие из высказываний правильные, какие неправильные:
{ромбы! CZ {параллелограммы};
{ромбы} CZ {прямоугольники};
{параллелограммы} с: {четырехугольники};
{простые числа) CZ {нечетные числа};
\п/п = 2/г} CZ ^п/п = 2А), где k = 1, 2, 3, ... .
Найти сумму множеств в задачах 8 и 9.
А = ^п/п = 2m}, В = ^п/п = 2m}, m — натуральное число.
А = {простые числа}, В = {нечетные числа}.
Если множество А содержит п элементов, а множество В — т элементов, то в каком случае множество A (J В будет содержать т + п элементов?
Найти разности А \ В и В \ А, если А = {а, Ь, с, d) и В = {b, d, р, р, г}.
Даны два множества А = {а, 6, с, d} и В = {6, с, d, р, р, г}, убедиться в справедливости равенства А \ (В \Л) = А.
Всегда ли оно справедливо?
Найти пересечение множеств в задачах 13 и 14.
А = {прямоугольники, периметр которых больше 100}; В = {прямоугольники, периметр которых меньше 200}.
А = {простые числа, меньшие 40}; В= {нечетные числа, большие 14}.
Если N = {натуральные числа}; М = {положительные рациональные числа}; Р = {простые числа}; Q = {положительные нечетные числа}, то справедливы ли следующие высказывания:
а) Р cz Q f) N; б) Q CZ N f) М;
в) Р с: (Q П N) (J М; г) Q CZ Р Q №
Если A CZ В CZ Ct то справедливы ли высказывания:
a) A U В cz С; б) А \ С = В \ С; в) С \ В = С \ Л?
§ 3, Числовые множества
Множество рациональных чисел
Из курса арифметики известно, что всякое дробное число может быть представлено в виде десятичной периодической дроби. Например,
у =0,(6); у= 2,(142857),
при этом если число представлено в виде несократимой дроби, то в случае, когда знаменатель содержит в качестве
простых множителей только числа 2 и 5, возможны две записи в виде десятичной периодической дроби. Например,
2=—= 0,14(0) =0,13(9).
50 52-2 ' ’ ' ’
Целое число также можно изобразить двумя различными записями в виде десятичной периодической дроби. Например,
7 = 7, (ф = 6, (9).
Если условиться использЮвать одну из этих записей, то любое целое, дробное и смешанное число запишется единственным образом в виде десятичной периодической дроби. Например,
8 |=8, (428571).
Присоединив к целым и дробным положительным числам противоположные им отрицательные и число нуль, мы получим множество рациональных чисел. Каждое рациональное число можно выразить бесконечной периодической десятичной дробью, и, обратно, каждая периодическая десятичная дробь представляет рациональное число.
Множество иррациональных чисел
Не все числа могут быть изображены конечными или бесконечными периодическими десятичными дробями. Например, каждое из чисел ]/2^ ]/3^ ]/5 и т. д. не может быть представлено конечной или бесконечной периодической десятичной дробью.
Определение. Число, десятичное разложение которого есть бесконечная десятичная непериодическая дробь, называется иррациональным.
Множество всех иррациональных чисел есть бесконечное множество. Например, все числа ^п, где п — натуральное число, отличное от точного квадрата, есть иррациональные числа. Таким образом, числа К2, Кз, Кб, Кб, К? и т. д. являются иррациональными числами. Следует заметить, что иррациональные числа могут быть получены не только при извлечении корня. Так, знаменитое число л, не связанное с извлечением корня, — число иррациональное.
Множество действительных чисел и их геометрическое изображение
Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел. Если действительное число изображается конечной или бесконечной периодической десятичной дробью, то это есть рациональное число, в противном случае — иррациональное. Ясно, что множество всех действительных чисел есть бесконечное множество. Множества рациональных и иррациональных чисел являются частями этого множества.
Возьмем числовую прямую. Каждой точке числовой прямой соответствует единственное действительное число. Это соответствие может быть установлено следующим образом. Точке А числовой прямой поставим в соот- ОА
ветствие действительное ч и- Ч v°”7
ело х, выражающее рас-х
стояние от точки О (черт. 2)Черт 2
до точки А. Причем если точка А находится справа от точки О, то число х берется со знаком «плюс», в противном случае — со знаком «минус». Число х (положительное или отрицательное) называется абсциссой точки А. Это обстоятельство выражается записью А(х). Обычно через х обозначают и точку числовой прямой, и се абсциссу. Можно показать и обратное, т. е. что каждому действительному числу соответствует единственная точка числовой прямой.
Другие числовые множества
Часто приходится рассматривать задачи не для всех действительных чисел, а только для части их. Например, если в условие задачи входит 1g х, то значения х могут быть только положительными.
Особенно часто встречаются числовые множества, называемые сегментом, интервалом, полуинтервалом и полусегментом, которые важно различать.
Решим задачу. При каких значениях х выражение >^4 —"х2 представляет действительное число?
Решение. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным,- т. е. положительным или нулем: 4 — х2 > 0.
Последнее неравенство будет выполняться при х ^ —2 и х < 2. Объединив оба неравенства, получим так называемое двойное неравенство
—2 < х < 2.(1)
Итак, подкоренное выражение 4 — х2 будет неотрицательным, если х будет удовлетворять двойному неравенству (1), т. е. искомые значения х образуют множество всех чисел от —2 до 2. Говорят, что это множество представляет числовой сегмент, который записывается следующим образом: [—2; 2]. Дадим теперь определение числового сегмента.
Пусть а и b — действительные числа, причем а < Ь.
Определение. Числовым сегментом с концами а и b называется множество всех (действительных) чисел, удовлетворяющих двойному неравенству
.а < х < Ь.
ао
Записывается сегмент так: [а, Ы.
Черт, зНа числовой прямой это отрезок
ab (черт. 3).
Аналогично определяются числовой интервал, полуинтервал и полусегмент.
Определение. Интервалом с концами а, b называется множество всех чисел, удовлетворяющих двойному неравенству
а< х < Ь.
Записывается интервал так: (а, Ь).
В случае интервала х не может принять значения, равные а и Ь. При изображении интервала на числовой оси в концах его ставят стрелки, чтобы показать, что концевые точки а и b ему не принадлежат (черт. 4).
Определение. Полуинтервалом с концами а, b называется множество всех чисел, удовлетворяющих двойному неравенству:
Черт. 4Черт. 4а << х < Ь.
Черт. 4
Черт. 4
Черт. 5
Полуинтервал записывается так: (а; 61. На числовой оси это будет отрезок со стрелкой в точке а (черт. 5).
Определение. Полусегментом с концами а и b называется множество всех чисел, удовлетворяющих двойному неравенству
а < х < 6.
На числовой оси это будет отрезок со стрелкой в точке b (черт. 6).
аbЧерт. 6числами. Наличие знакааbЧерт. 6числами. Наличие знакаВ случае полуинтервала (а; 6] стрелка указывает, что х не может принять значение, равное а. В случае же полусегмента [а; 6) стрелка указывает, что х не может принять значение, равное 6.
аb
Черт. 6числами. Наличие знака
аb
Черт. 6числами. Наличие знака
Множество всех действительных чисел рассматривается как интервал (—оо; 4-т). Знаки «—ос» И «+оо» не являются
«4-ос» говорит только о том, что число х, принадлежащее интервалу (—ос; + оо), может быть больше любого положительного числа М. А наличие знака «—оо» говорит о том, что число х из интервала (—оо; +оо) может быть меньше любого отрицательного числа N.
Полусегмент 1а; +оо) есть множество всех действительных чисел х > а.
Полуинтервал (—оо; 6] есть множество всех действительных чисел х < Ь.
Пример 1. Множества всех чисел х, удовлетворяющих одному из двойных неравенств:
— 6 < х < — 3 есть— 2 < х < 1»2 < х < 4»5 < х < 8»— 6 < х < — 3 есть— 2 < х < 1»2 < х < 4»5 < х < 8»соответственно сегмент [—6; —3],
— 6 < х < — 3 есть
— 2 < х < 1»
2 < х < 4»
5 < х < 8»
— 6 < х < — 3 есть
— 2 < х < 1»
2 < х < 4»
5 < х < 8»
»интервал (—2; 1),
»полусегмент [2; 4),
»полуинтервал (5; 81.
также называют числовы- на чертеже 7.также называют числовы- на чертеже 7.Все указанные множества (их ми промежутками) изображены
также называют числовы- на чертеже 7.
также называют числовы- на чертеже 7.
-6 -J -2 0 1 2 4 58
Пример 2. Множество всех неотрицательных чисел х ^ О представляет полусегмент [0; +оо).
Абсолютная величина
Определение. Абсолютной величиной действительного числа х называется само число х, если оно положительное или нуль, и —х. если х — отрицательное число.
Обозначается абсолютная величина числа х символом | х |. Таким образом,
| х | = х, если х > 0;
|х | =—х, если х<0.
Например, | +7 | = 7; | 0 | = 0; |— 7| = —(—7) =7.
Абсолютная величина числа х геометрически выражает расстояние точки с абсциссой х от начальной точки О числовой прямой (черт. 8)
М.М0М(х)Ом/Гх^-Х 0М=1х1^
Черт. 8
Очевидно, числа х и —х имеют одинаковую абсолютную величину: | — х | — | х |. Например, | — 7 | = | 7 | = 7.
Теорема 1. Для любого действительного числа х справедливо двойное неравенство
— | х | С х < | х |.(1)
Доказательство.
Если х ^- 0, то х = | х |, — | х | < 0, поэтому х > —| х |; если х < 0, то ] х | = —х или х= —| х|. Так что всегда
-|х|<х.(2)
С другой стороны, всегда справедливо неравенство
X < | х |.(3)
В самом деле, при х > 0 | х | = х, а при х < 0 х<| х|. Объединив неравенства (2) и (3), получим двойное неравенство (1). Что и требовалось доказать.
Для дальнейшего нужно отчетливо представлять, какие значения х удовлетворяют равенству | х | = а и неравенствам
| х | < а, | х | < а, | х | > а, | х\^> а (а> 0). Очевидно, равенство | х | = а удовлетворяется лишь при двух значениях х: х = а и х = — а, которые на числовой оси изображаются двумя точками, симметричными относительно точки О.
Неравенству | х | < а будут удовлетворять все значения х, абсолютная величина которых меньше а. Эти значения х будут заполнять интервал (—а; а). Это же можно записать так:
— а < х < а
-а х 0 а
Черт. 9
Неравенству | х | < а будут удовлетворять значения х, абсолютная величина которых не больше а. Они заполняют сегмент [— а; а\, иначе —а < х < а.
Неравенству | х | > а (а > 0) будут удовлетворять все значения х, абсолютная величина которых больше а, т. е. эти значения х будут заполнять два интервала: (—оо; —а) и (а; +°°) (черт. 10).
Можно убедиться в обратном, что одновременно с двойным неравенством —а С х < а (а > 0) выполняется неравенство | х | < а, а одновременно с двойным неравенством — а < х< а (а > 0) выполняется неравенство | х | <а.
Неравенству | х | > а (я > 0) удовлетворяют значения х, абсолютная величина которых не меньше а. Они заполняют полуинтервал (—оо; —а\ и полусегмент [а; < оо).
Интервалы (—со; —а) и (а; +оо) могут быть соответственно записаны с помощью неравенств х < — я и х >я, а полуинтервал (—оо; —а] и полусегмент [а; + оо) — с помощью неравенств х < — а, х > а.
Пример 1. Указать числовые промежутки, в которых выполняются неравенства | х | < 5; | х | < 3; | х | > 2;
Р е ш е н и е. (—5; 5); [—3; 31; (—оо; —2) и (2; + оо ); (—оо; —4] и [4; +оо).
Пример 2. При каких значениях х выполняются неравенства:
а)|х — 2|<4; б) log5 |х |> 1; в) 7ln-> 1?
Решение.
Вместо неравенства | х — 2 | < 4 можно написать двойное неравенство —4 < х — 2 < 4. Отсюда
Итак, неравенство а) выполняется для значений х, удовлетворяющих последнему двойному неравенству, т. е. в интервале (—2; 6).
Положительное число | х | должно удовлетворять неравенству | х | ^ 5. А это неравенство выполняется при х > 5 и х > —5 (черт. 11).
-5
Черт. 11
Основание степени 7> 1, поэтому неравенство возможно только тогда, когда показатель положителен: | х | — 3 > 0 или | х | > 3. Последнее неравенство выполняется при х<—3 и х > 3.
Пример 3. Решить уравнения:
а) | х — 3 £= 2; б) | х2 — 9 1 = 9 — х2; в) | tg х | = = tg х + 2КЗ.
Решение.
х — 3 равно или —2, или +2, т. е. х — 3 = —2 и х — 3 = 2. Следовательно, уравнение имеет два действительных корня: Xi = 1 и х2 = 5.
| х2 — 9 | =—(х2— 9). По определению абсолютной величины это равенство возможно, если х2 — 9 < 0.
Решив последнее неравенство, найдем, что оно удовлетворяется значениями х, заполняющими сегмент [—3, 3]. Те же значения х удовлетворяют и данному уравнению.
| tg х | = tg х + 2|/3. Если х такое, что tg х ^ 0, то | tg х | = tg х и уравнение имеет вид:
tgx = tgx + 2J/3.
Это уравнение, очевидно, не имеет решений. Следовательно, корни заданного уравнения надо искать среди значений х, при которых tg х < 0. В этом случае | tg х | = = —tg х и уравнение в) примет вид: —tg х = tg х + 2J/3, или —2 tgx =2^3, и, следовательно, х=—^- + л& <к =0; ±1; ±2, ...).
Пример 4^ Решить уравнение:
(4)(4)| х — 1 I— | 2х + 5 | = Зх + 14.
(4)
(4)
Решение. Выделим на числовой оси точки, в которых выражения, стоящие под знаком абсолютной величины, обращаются в нуль. В данном случае это будут точ- 5
ки Xi = — —; х2 = 1. Этими точками числовая прямая
делится на три интервала:
5 \/ q
(—°°; -|); (-{; +1); (1; +=»).
Рассмотрим уравнение на каждом из этих интервалов,
При —оо < х < — — двучлены 2х + 5 и х — 1
отрицательны, поэтому | х — 1 | = — (х — 1) и | 2х + 51 = = —(2х + 5). Уравнение (4) примет вид: —(х—1) + 4- (2х 4-5) =3х+ 14, откуда —2х =8 и х = —4.
Кроме того, число — 4£(— оо; — —), поэтому оно являет
ся корнем уравнения (4).
5
При — — < х < 1 двучлен 2х + 5 > 0, а двучлен х — 1 < 0. Поэтому | 2х + 5 | = 2х + 5; | х — 1 | = = —(х— 1). Заданное уравнение (4) примет вид:
—(х — 1) — (2х + 5) = Зх + 14,
или —6х = 18, откуда х = —3, но мы рассматриваем урав- 5
нение на интервале (— —; 1), которому число —3 не принадлежит. Поэтому число х = —3 корнем заданного уравнения не является.
При 1 < х < 4-оо двучлены 2х 4- 5 и х — 1 положительны, поэтому | 2х + 5 | = 2х 4- 5 и | х — 1 | = = х—1. Уравнение (4) примет вид:
х — 1 — (2х 4- 5) = Зх 4- 14,или
— 4х=20, откуда х= — 5.
Но —5 g (1; 4- °°), поэтому число —5 не является кор- о5
нем заданного уравнения. Заметим, наконец, что числа — — и 1 корнями уравнения не являются. Итак, заданное уравнение (4) имеет лишь один корень х =—4.
Пример 5. Решить неравенство:
| 2х + 1 1 — I х — 2 | > 5х — 1.(5)
Решение.
Находим точки числовой оси, в которых выражения, стоящие под знаком абсолютной величины, обращаются в нуль. В данном случае это будут точки х = —у и х = 2. Рассмотрим теперь данное неравенство в интервалах (-OU-, - L); (-1; 2) и (2; +со).
В интервале (—оо; —-i-) имеем | 2х + 1 | =—(2х + + 1); | х — 21 = — (х — 2) и заданное неравенство принимает вид:
— (2х + 1) + (х — 2) > 5х — 1, или — 6х > 2, откуда х < — -^- .
С учетом взятого интервала утверждаем, что неравенству (5)
2 *2 *удовлетворяют значения х <
2 *
2 *
В интервале (—^; 2) справедливы равенства | 2х + + 1 | = 2х + 1; I х — 2 | = — (х — 2).
Неравенство (5) в указанном интервале примет вид: (2х + 1) + (х — 2) > 5х — 1,
или — 2х > О, откуда х < 0.
Учитывая взятый интервал, утверждаем, что заданному
неравенству из рассматриваемого интервала удовлетворяют значения х, образующие множество {х/—<х<0}.
В интервале (2; + оо) имеем ] 2х -4- 1 | = 2х + 1; ] х — 2 | = х — 2. Неравенство (5) принимает вид:
(2х+ 1) — (х — 2) > 5х — 1,
или —4х>— 4, откуда х< 1. Эти значения х не принадлежат интервалу (2; 4-оо), поэтому их не учитываем. Заданному неравенству удовлетворяют значения х, принадлежащие сумме множеств
{х/х < — -i| U {х/ — Х- < х < 0} = (х/х < 0},
т. е. все отрицательные числа.
Свойства абсолютных величин
Теорема 2. Абсолютная величина суммы двух чисел не больше суммы абсолютных величин этих чисел, т. е. | х т + у I < IX | + | у |.
Доказательство. По теореме 1
— | X I < X < I X |.(1)
То же самое имеем и для числа у.
— I у 1 < У < I У L(2)
Сложив почленно неравенства (1) и (2), получим неравенство
HI* |+ \у I) < х + у < (|х |+|у |).(3)
Из неравенства (3) следует, что
I X + у || х || у |(4)
(см. § 4, п. 2). Теорема доказана.
Следствие, Абсолютная величина суммы конечного числа слагаемых не больше суммы абсолютных величин этих слагаемых.
Доказательство. Пусть мы имеем п слагаемых: xt Х2, ...» хп. Надо доказать справедливость неравенства
| Хг + Х2 + ...+ Хп | <1^1+ | Х2 | + ... + | Хп |.(5)
Применим метод математической индукции. Свойство доказано для п = 2. Предположим теперь, что оно справедливо для к слагаемых# и докажем его справедливость для к + 1 слагаемых. Итак, предположим, что
l*i+х2 + «-Нх/г | | xt || x21 4h | xk I,
и рассмотрим абсолютную величину к + 1 слагаемых:
l*i + x2-V ••• + ^й+ ** + 11 — 1 (*i+ *2+ ... + х^ + x^+J . (7)
В правой части равенства (7) под знаком абсолютной величины имеем сумму двух слагаемых, поэтому в силу неравенства (4)
I (*1 + х2+ ... + x^+x^J < !х, +х2 + ... + хк\ + |*н-11 (8)
Теперь из равенства (7) и неравенств (8) и (6) следует, что
|х, + х2 + ... + хк + xfe + J < |х,| 4- tai + — + tai + ta + il-
Итак# предположив справедливость свойства для к слагаемых, мы доказали его справедливость для к + 1 слагаемых. На основании метода математической индукции следует справедливость свойства для любого конечного числа слагаемых. Теорема доказана.
Теорема 3. Абсолютная величина разности двух чисел не меньше разности абсолютных величин этих чисел, т. е.
I* — yl>|x|— |у | И |х — у|>|у| — |х|.
Доказательство. Пусть х и у — действительные числа. Напишем равенство
I х | = | (х - у) + у |.(9)
По теореме 2 настоящего параграфа
I (х — у) + у | < I х — у | + | у |.(10)
Из выражений (9) и (10) следует, что | х | < | х — у I -Ь + I у |, откуда
I х — у \> \x\-\yV(И)
Аналогично
\у-х\>\у\-\х\.(12)
Но | х — у | = | —(у — х) | ~ | у — х |, поэтому справедливо также неравенство
I я — У \ > \ У \ — I х | .(13)
Теорема доказана.
Например, | 7 — (—3) | > | 7 | — | — 3 | и
I 7 - (-3) | > | -3 | - | 7 |.
Теорема 4. Абсолютная величина произведения двух или нескольких чисел равна произведению абсолютных величин этих чисел, т. е. | хА • х2 • ...-xn| = | Xi | • |х2 |’ • | х31 •. I хг |.
Доказательство. Для случая двух сомножителей справедливость теоремы вытекает из правила умножения действительных чисел. Рассмотрим, например, случай, когда хА < 0, а х2 > 0; тогда | х4 | = —х^ | х2 | = = х2; Xf • х2 < 0, поэтому | Xi • х2 | = — (Xi • х2) = = (—xj • х2 = I Xil • |х2|. К тому же результату придем, рассмотрев другие комбинации знаков у множителей xt и х2.
Справедливость теоремы для любого конечного числа, сомножителей доказывается с помощью метода математической индукции (докажите).
Следствия.
/. Абсолютная величина степени равна степени абсолютной величины*. | хп | = | х р.
При п четном справедливо равенство | х” 1 — хп.
Теорема 5* Абсолютная величина частного двух чисел равна частному абсолютных величин делимого и делителя: 1-к!^ (у^°) I У I lyl
Доказывается эта теорема так же, как теорема четвертая для случая двух сомножителей (докажите).
Пример.
Решить уравнения:
(| х | — 1 )2 — 3 | х | — 5;
logtW-n (х2-5|х| + 10) =2.
Решение.
Так как (| х | — I)2 = | х |2 — 21 х | -f-1, то данное уравнение равносильно уравнению
|х|2 — 2|х|+1=3|х| — 5,
откуда | х |2 — 5 | х | + 6 = 0.
Решив это квадратное уравнение относительно | х |, получим | х | = 2 и | х | = 3. Откуда найдем все корни заданного уравнения:
Xi = —2; Хз = 2; х3 = —3; х4 = 3.
По определению логарифма
(|х I — I)2 = х2 — 5 |х | + 10, откуда
х2 — 2 | х | + 1 = х2 — 5 | х | + 10,
или |х | = 3 и Xt =—3; х2 — 3.
УПРАЖНЕНИЯ.
Найти численные значения выражений: I 2х + 1 I
"a L. 8 ПРИ х = 0: ± 1; ± 2; ± 3;
I 3sin х 4- 2cos х Iл
при х = 0; ± -; ±л; ± 2л.
cos Зх4
Решить неравенства:
а) |х—lj<4; б) 1х+?|>2; в) lx+2l<5;
/ 1 \И~5
г) log5|xl<l; д) log2|x—1|>1; е) 1 — 1>8.
Решить уравнения:
a) log3’x — 1|=2; б) ]cos х| = cos х 4- с при 0 = 1;!^2:—1^3; — 1.
в) | Зх — 2 1=2 — Зх; г) । ex I = сх, рассмотреть случаи с< 0, с > 0, с = 0.
Решить уравнения:
| х2 — 5х + 6 I = х2 — 5х + 6.
х2 — 3 | х) + 2 = 0.
| 2х — 3 I — I х + 1 | = 5х — 10.
Решить неравенства:
а) |^7^| < 2; б) 1х+ 1| > х + 1.
\ х2 — 8 | < 1.
| х2 4- 2х | >8.
| х — 4 | < 2х — 10.
| х — 2 I >|х4-11 — 3.
Доказать справедливость тождества:
13. Упростить выражения:
V(х — 5)2 4- V<х — 1) 2, если 1 < х < 2; г л
V(0,5 — sin х)2, если 0 < х < —.
Указание. Использовать тождество у^х2 = | х |.
ГЛАВА II
ФУНКЦИЯ
§ 5. Определение функции
Будем рассматривать числовые множества и изучать различные соответствия между элементами двух числовых множеств. Это приведет нас к понятию функции. Разберем несколько примеров.
Пример L При определенном режиме работы токарного станка с помощью специального устройства вращательное движение шпинделя влечет за собой равномерное поступательное движение суппорта.
Допустим, что при каждом обороте шпинделя суппорт перемещается на 5 мм. Тогда между числом оборотов шпинделя и длиной пути, пройденного суппортом, будет существовать определенная связь, именно такая, при которой каждому числу оборотов шпинделя будет соответствовать определенная длина пути, пройденного суппортом, т. е. одному обороту соответствует 5 мм длины, двум оборотам соответствует 2 • 5 мм длины, трем оборотам соответствует 3 • 5 мм длины и т. д.
Таким образом, если обозначить число оборотов шпинделя через п, где п = 1, 2, ..., к, и длину пути, пройденного суппортом, через /, где I = 5, 10, ..., 5& (мм), то в силу устройства станка каждому п £ (1, 2, ..., к\ будет соответствовать определенное I по правилу I = 5п, что можно записать так: ,
каждому п £ (1, 2, ..., к)
/, где / = 5п.
Пример 2. Рассмотрим таблицу кубов чисел (например,из книги В. М. Бра- диса «Четырехзначные математические таблицы», 1967, стр. 40). Выпишем часть этой таблицы для некоторых чисел N (от единицы до двух) и их кубов к.
Леонард Эйлер (1707—1783)Леонард Эйлер (1707—1783)коротко так: wmК, где К=№.коротко так: wmК, где К=№.Мы видим, что этой таблицей также устанавливается соответствие между числами верхней строки (числами N) и числами нижней строки (числами KY Именно такое соответствие, которое позволяет по N найти К (К = N3); т. е. и в этом случае соответствие между N и К мы можем записать каждому
Леонард Эйлер (1707—1783)
Леонард Эйлер (1707—1783)
коротко так: wm
К, где К=№.
коротко так: wm
К, где К=№.
Таблица 1
"1
1,00 |1,10
|!,20|
1,30
| 1,40 | 1,50 |
|1,60|
1,70) 1,80
1,90)2,0 0
К 11,00011,33111,72812,197)2,74413,37514,09614,91315,83216,85918,000
Пример 3. Возьмем логарифмическую линейку (длиной 25 см\ Рассмотрим се основную шкалу. Метки i; 1,1; 1,2; ...; 10, которые нанесены на этой шкале, образуют определенное числовое множество: N = {и} (т. е. п = 1; 1,1; 1,2; ...; 10). Согласно принципу устройства логарифмической линейки расстояние d каждой метки п от левого конца линейки определяется формулой d = т Ign (где т — модуль логарифмической шкалы, для линейки в 25 см т = 250 мм\
Следовательно, с помощью логарифмической линейки мы можем установить соответствие между числами п £ N
и числами d именно такое, при котором каждому п £ N соответствует определенное d, т. е. снова
каждому п£{л}
d, где d = mlgn.
Пример 4. Пусть имеем числовое множество X = = (х|, элементами которого являются все действительные числа, т. е. —оо <х< +оо. Пусть, далее, у = х2 4- 1. Тогда согласно этому условию каждому числу х будет соответствовать определенное число у, именно у = х2 + 1. Следовательно, опять
каждому х £ (— оо; + оо).
у, где у = х2 + 1.
Все эти четыре примера иллюстрируют определенные соответствия между элементами двух числовых множеств. Общим для этих соответствий является:
Наличие двух числовых множеств
X = (х) и У = \у\.
Задание правила, по которому каждому числу х Q X соответствует определенное число у^ У.
Подобное соответствие между элементами двух множеств называется функциональным.
В этом соответствии х называется аргументом, а у — функцией.
Определение# Если каждому числу х множества X по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное число у множества У, то говорят, что на множестве X определена функция.
Записывается это так: у — f (х), х $ X (читается: игрек равен эф от икс для х € X).
Символ f обозначает правило заданного соответствия. Это правило можно обозначать и другими символами. Например, в записи g (х) правило выражено символом g.
Определение. Множество, на котором определена функция, называется областью определения функции.
В наших обозначениях областью определения функции является множество X = (х|.
Следовательно, в каждом из разобранных четырех примеров была задана определенная функция. Запишем эти функции,сохранив нумерацию и обозначения соответствующих примеров:
/=/ (и), л=1, 2, ..., к» При этом / (л) = 5л.
К -fW, N — числа верхней строки таблицы 1. Числа К — f (ЛО находятся из этой таблицы.
d = f (л) — числа, помеченные на основной шкале логарифмической линейки. f (п) определяется по правилу устройства логарифмической шкалы; в нашем примере d = 250 lg п.
Рене Декарт (1596—1650)Рене Декарт (1596—1650)у = f(x), х С (—оо; +оо), где f (х) = х2 + 1.
Рене Декарт (1596—1650)
Рене Декарт (1596—1650)
Если у = f (х), х € X, то значения у, соответствующие конкретным значениям х Е X, называются числовыми значениями функции.
Определение. Множество всех значений функции называется множеством значений функции или ее рангом.
Например, для функции f (х) = х2 + 1, х С (—оо, + оо), значения / (1) =2; / (—2) - 5; f (0) = 1; f (/3) - 4; f (—v 2) = 3 и т. д. суть ее числовые значения. Множеством значений этой функции, т. е. ее рангом, будет полусегмент [1; +оо), так как х2 + 1 > 1 при любом х.
Для функции, заданной в примере 2 (табл. 1), / (1,70) = = 4,913; /(1, 10) =1,331 суть ее числовые значения. / (—1) для этой функции не имеет смысла, так как число N = —1 не входит в область определения функции (его лет в верхней строке таблицы).
Чему равно для этой функции /(1,90)? Что можно сказать о/ (1)? / (3)? /(КЗ)?
Ранг этой функции состоит из всех чисел второй строки.
Обращаем внимание читателя на то, что для полного задания функции одинаково важным являются ее область определения и правило соответствия между элементами множеств X и У.
Две функции будут равны только в том случае, если они определены на одном и том же множестве и если каждому значению аргумента будут соответствовать равные значения функций.
Например, функции у = х2, х^ I—1; 1] и f (и) = и?, —1 < и < 1, равны (хотя они обозначены по-разному). Наоборот, функции
f (х) = х3, х С 1—1; 11 и / (х) = х3, х ^ [0; 21, различны, так как они определены на разных числовых множествах. Для первой функции, например, символы /(1,5); /(К2) не имеют смысла, ибо числа 1, 5 и У2 £ [—1; 11. Для второй функции эти символы имеют смысл; зато для нее бессмысленны знаки / (—1); / (—0,5), так как числа —1 и —0,5 не входят в ее область определения.
Понятие функции возникло в математике в связи с потребностями практики. В XVII—XVIII вв. с развитием мореплавания, кораблестроения, машиностроения, астрономии, механики и других технических наук потребовался математический аппарат, способный описывать различные процессы и явления.
Это привело к понятию переменных величин и функций. Переменные величины встречаются уже у французского ученого XVII в. Р. Декарта в его геометрии, вышедшей в 1637 г. Введение в математику переменных величин высоко оценил Ф. Энгельс, который писал: «Поворотным пунктом в математике была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение, диалектика....».
у = х3, х Е (— со, 4- оо);у = х3, х Е (— со, 4- оо);у = —— , х + 1;X— 1у = —— , х + 1;X— 1
у = х3, х Е (— со, 4- оо);
у = х3, х Е (— со, 4- оо);
у = —— , х + 1;
X— 1
у = —— , х + 1;
X— 1
Современное определение понятия функции связано с именами нашего соотечественника Н. И. Лобачевского, который сформулировал свое определение в 1834 г., чешского математика Больцано и немецкого математика Лежен Дирихле.
Следует также заметить, что еще до Лобачевского, Больцано и Дирихле в 1807 г. французский математик Ж- Фурье, занимаясь теорией тепла, близко подошел к современному определению понятия функции. Понятие функции как соответствия встречается также у другого французского математика — Лакруа (1810).
Знакомая нам запись
функции у = f (х) была вве- Николай Иванович Лобачевский дена членом Петербургской(1792—1856)
Академии наук Леонардом Эйлером.
УПРАЖНЕНИЯ.
Пусть / (х) = х2, где х — любое натуральное число, и s (х) = = х2, где х — длина стороны квадрата, размеры которой не превосходят десяти единиц. Можно ли сказать, что в обоих случаях мы имеем одну и ту же функцию?
Используя заданные функции, получить новые функции, составленные по тому же правилу, но с другой областью определения:
[ х2, когда — 1 < х < 0, в) у=3х2, х Е1—1; 2); г) у= { 1, когда 0 < х< л,
1 cosx, когда Ж х < 2л.
Используя функцию у = Ух — 9, х Е [9; + оо), по- лучить новые функции с той же областью определения, но заданные по другим правилам.
Может ли таблица
X
1
2
3
4
5
У
2
5
2
6
7
определять функцию у ~ f (х)?
Может ли она определять функцию х = f (у)?
Объясните, почему таблица
х1 1 I 1 1зу 12 | —11 2
не определяет никакой функции. Какие значения и соответствуют в этой таблице х = 1?
Какая из следующих таблиц определяет функцию у — f (х)? Объясните, почему.
в) |х|—1|1|2|?| о ни’в) |х|—1|1|2|?| о ни’а) х |0 | 1 11 б) Н |0 11 | 2| .
в) |х|—1|1|2
|?| о ни’
в) |х|—1|1|2
|?| о ни’
у 13|3|4•1у|1|2|з| ’
Можно ли задать функцию так: / (х) = ~, х£(— со; 4- со)?
Почему число х = 3 надо исключить из множества (—со; 4-со)?
} (х) = х2 — 4, х £ [—3; 3]. Найти:
a) f (2); / (4); б) f (1 + V2); f (/=), /2 < 3; в) f (0) + 5f (2) — — f (—2); г) при каких значениях а можно найти /(а)? Найти / (а). При каких значениях h можно найти /(14- Я)? Найти f (1 4~ Л).
Найти геличину для заданных функций:
h*
а) / (х) = х2, х (—оо; 4-оо); б) / (х) = 2х2 4- 1, х £ (—со; 4-оо); в) у = х, х £ (—ос; 4-оо); г) у=с, х £ (— оо; 4-оо), с—константа.
10» Найти по выбору три произвольных значения каждой из функций:
y = ^-v-DU (-1; +«=);
у=;^’ ^(-~; -2)U(-2; 2)U(2; + «>);
У = -7 , 3R;. х^(—оо; —5)U(-5;0)Ц(0; + оо).
х (х 4- 5)
И. / (х) = I log2 I X ||. Найти:
“>'(--») с)'(-рт/«4^ ie)+,(16>-
§ 6. Примеры некоторых функций
Сначала укажем функции, расположив данные о каждой из них в следующей таблице:
№ п/п
Функции
Правило, задающее функцию
Область определения
Ранг
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Площадь S круга есть функция радиуса /?:
S = f(R)
Сумма углов S выпуклого многоугольника есть функция числа его сторон п:
S — f(n)
Величина синуса у есть функция числа х:
y = fW
Скорость V при равномерном движении есть функция времени t:
Объем шара V есть функция радиуса R;
V = t№
Общий член ап арифметической прогрессии есть функция его порядкового номера п: an = t (п)
Сила трения F есть функция силы давления р:
F — f (Р)
При равномерном движении по окружности период обращения Т есть функция числа оборотов п в единицу времени:
Т = f (п)
Сопротивление проводника R есть функция температуры /:
В прямолинейном равномерно ускоренном движении путь S есть функция времени t:
S=fto
5 = л/?2
S = л (п —2)
у = sin х
V -=С
С—постоянное
4 ул/?3
ал = at 4- + d(n~\^ аг и d—постоянные
F = кр, к—постоянное
т= — п
R-R.^^ Ч*а^)> Яо, а—постоянные
S= —4- 2 +V0/4-S0, Vo, а, So — постоянные
/? > 0
п > 3
— ОО <х< оо
/ > 0
/?>о
п=1,2,...
Р >0
п > 0
t >0
t > 0
S> 0
S > л
— 1<Z/<1
v=c
V>0
(м- +(H-l)d}
F>0
T> 0
R>Ro
s>s0
Познакомимся теперь с примерами несколько необычных, но весьма важных функций.
Пример 11. Поставим в соответствие каждому числу х его абсолютную величину. Например, 1 -> | 1 | = 1; л —> -> |л| =л; —2-> |—2| =2 и т. д. Получим функцию / (х) = | х |, определенную на множестве всех действительных чисел. Согласно определению абсолютной величины эту функцию можно записать цепью равенств:
/(x) = f х, еслих>0,I — х, если х<0.
Очевидно, f(^ = у; Ц-УЗ) = ^3; /(-0,39)=0,39;
Ц1-/Г) = И2-1 и т. д.
Так как абсолютная величина числа всегда неотрицательна, то рангом этой функции будет множество всех неотрицательных чисел [0, 4-оо).
Замечание. Читателю знакома запись корня квадратного из квадрата числа в виде абсолютной величины числа: Vа1 = |а|. Пользуясь этим, можно доказать, что функция у = | х | совпадает (тождественно) с функцией у = V хЧ Тождество У х2 = | х | в свою очередь можно применять для решения некоторых уравнений. Например, при решении уравнения У х^ = 3 можно заменить это уравнение равносильным | х 1 = 3. Корнями этого уравнения, а следовательно, и исходного будут числа х = ±3.
Пример 12. Пусть каждому числу х поставлено в соответствие наибольшее целое число, не превосходящее х. Иногда его обозначают специальным значком [х]. Например: [2] = 2; [л] = 3; [0, 11=0; [—0, 11=—1 и т. д.
При таком соответствии мы получим функцию, определенную на множестве всех действительных чисел. Называется эта функция антье х и обозначается либо у = [х], либо у = Е(х). (Мы будем придерживаться второго способа.) Вот некоторые значения этой функции: £(1,3)=1; £(/2)=1:£(--') = - 1; £(-3,1) = — 4.
Обратите внимание, что всем числам х, заключенным между соседними целыми, будет соответствовать одно и то же целое число (меньшее из них). Следовательно, рангом этой функции будет являться множество всех целых чисел.
Замечание. Соответствия между числами по правилу функции антье напоминают нам многие явления жизни. Например, движение минутной стрелки электрических часов. Вспомните, что стрелка остается неподвижной в течение определенного промежутка времени. По истечении этого промежутка стрелка скачком перемещается на определенную длину циферблата и т. д.
Некоторую аналогию с функцией антье можно заметить и при расчете стоимости железнодорожных билетов в зависимости от расстояния. Для подобных расчетов длина железнодорожной линии делится на определенные части, называемые поясами. В пределах движения по одному поясу цена билета остается постоянной и изменяется на определенную величину (скачком) при переходе в следующий пояс.
Пример 13* Рассмотрим еще одну любопытную функцию, которая была рассмотрена Дирихле. Эта функция определяется на множестве всех действительных чисел следующим образом. Каждому рациональному числу соответствует 1, а каждому иррациональному числу соответствует нуль.
уf ^ если х Ра11иональное число,
у(О, если х иррациональное число.
Таким образом, /(3) = 1; HVS^ = 0; f(— 1) = 1;
Н|)=1; /(-У^-О; /(л) = 0.
Ранг этой функции состоит из двух чисел: 0 и 1.
УПРАЖНЕНИЯ.
Самоходный комбайн с шириной захвата жатки в 6,1 м убирает поле пшеницы. Если обозначить путь, пройденный комбайном за время работы,через х, а площадь убранного участка поля через у, то можно ли сказать, что у является функцией л?
Точка М, оставаясь вершиной △ ОААЛ, движется по прямой, параллельной оси ОХ. Вместе с ней по оси ОХ перемещается ее проекция, точка А (черт. 12).
Можно ли площадь Л ДОМ рассматривать как функцию абсциссы точки М? Записать эту функцию.
Пусть N = {п} — множество натуральных чисел. Каждому и соответствует наименьшее простое число р > п. Будет ли при этом определена функция? Каковы ее область определения и ранг? -Запишите таблицу для десяти первых значений. Можно ли эту функцию полностью задать таблицей? Почему?
Определена ли функция, если при х > 0 им соответствует их квадрат, а при х < 0 — куб? Если функция определена, то какое множество является ее областью определения и как задано правило, определяющее функцию? Запишите эту функцию.
При работе на песчаной местности автомобильное колесо будет погружаться в сыпучий песок по следующей таблице:
х — число оборотов колеса в се- 1 кунду
! °
5
10
15
20
у— метка, на которую погрузится колесо вертикально, дюйм!мин
1
2
3
4
5
Можно ли считать у функцией х? Каковы ее область определения и ранг? Сколько времени пройдет до полного засасывания автомобиля (т. е. когда его ось будет на земле), если колесо будет вращаться со скоростью 10 об1сек> Размеры колеса: толщина покрышки 7,5 дюйма, диаметр колеса 20 дюймов (1 дюйм = 25,4 мм).
Привести три примера знакомых вам функций.
Найдите значения функции у=Е(х), если х = — 3; —2,5; /17; 2л; 1- 3, 256 |.
§ 7. Задание функции, ее область определения и ранг
Из определения функции следует, что функция считается заданной, если известны: 1) ее область определения и 2) правило, по которому для каждого значения аргумента можно определить единственное значение функции.
При этом несущественно, как задано это правило. Оно может быть выражено: а) математической формулой, б) таблицей, в) словесно, г) функциональной шкалой (например, логарифмической), д) в форме графика или как-либо еще.
Случаи а), б), в), г) нам уже встречались в примерах § 5, 6. С графическим заданием функции можно встретиться в технике при вычерчивании кривых каким-либо самопишущим прибором, автоматически регистрирующим ход некоторого процесса. Например, перо барографа на движущейся ленте бумаги вычерчивает определенную кривую, характеризующую изменение атмосферного давления в 34
зависимости от высоты. По этой кривой можно для каждого значения высоты в пределах рассматриваемого подъема определить приближенно соответствующее давление.
Независимо от формы выражения правила необходимо точно знать область определения функции, а часто и ее ранг. Однако иногда при задании функции не упоминают ни о том, ни о другом. Этим мысленно предполагается, что они очевидны или могут быть легко установлены. Например, если функция у = / (х) определяется таблицей, то ее область определения состоит из множества значений х в одной строке. (При этом все числа х должны быть различными.) Рангом функции в этом случае являются числа у в другой строке.
Если функция у = / (х) определяется некоторой кривой в системе координат ХОУ, то се областью определения является проекция этой кривой на ось ОХ, а рангом — проекция этой кривой на ось ОУ, т. е. в указанных случаях область определения функции, так же как и ее ранг, очевидны, ибо они определены соответствующим способом задания функции.
Когда функция задана формулой, область ее определения не указана и данная функция не связывается с конкретной задачей, то за область ее определения принимается множество всех таких значений аргумента, при которых формула имеет смысл.
В этом случае область определения функции также называется областью существования функции»
Пример 1. f (х) = Vх — 2.
Здесь область определения не указана и функция не связывается с решением конкретной задачи, поэтому областью определения данной функции будет множество всех таких значений х, при которых V х — 2 будет действительным числом. Это будет множество чисел, удовлетворяющих неравенству х — 2 > 0 или неравенству х > 2. Итак, в данном случае областью определения функции будет полусегмент [2; +оо). Например, / (102) = VЮ2 — 2 = 10. Если же будет дана функция / (х) = У х—2, 10< х <20, то она считается заданной на сегменте [10; 20], который и является ее областью определения. Здесь / (102} уже не существует, ибо число 102 не принадлежит сегменту [10; 20].
Пример 2. f (х) = х (р — х).
Решение. Если эту функцию не связывать с конкретной задачей, то областью ее определения будет вся числовая прямая — оо < х < + оо. Но если х будет, например, выражать длину одной из сторон прямоугольника с полу периметром р и, следовательно, (р — х)— длину другой стороны прямоугольника, то / (х) = х (р — х) будет выражать площадь прямоугольника как функцию х. Теперь х должен удовлетворять неравенству 0 < х < р, т. е. областью определения функции f (х) = х (р — х) в этих условиях надо считать интервал (0; р).
При отыскании ранга надо отыскивать множество всех тех чисел, каждое из которых является значением / (х) для х^Х.
В следующих трех примерах дополнить запись функций, установив их область определения X. Найти ранг R этих функций.
Примерз. У =-^75^7'
Решение. Область определения функции состоит из множества всех чисел, кроме — 1 и 2, т. е.
X = {( —оо; — 1)U(—1; 2) U (2; + оо)}.
Чтобы определить ранг, можно поступить следующим образом. Запишем данное уравнение в виде (х + 1) X X U — 2) у = х, или ух2 — х(у + 1) — 2у = 0, которое является квадратным уравнением относительно х. Решим его:
х = У + 1 ±У^У2 + 2z/ + 1 0)
Так как х — действительное число, то должно выполняться неравенство 9у2 + 2у + 1 > 0. Найдем, при каких у это неравенство справедливо. Дискриминант D квадратного трехчлена отрицателен (D = 4 — 36 < 0) ; следовательно, неравенство справедливо для всех чисел у. Поэтому согласно (1) любому у =# 0 (у стоит в знаменателе) соответствует действительное число х. Далее, из правила задания функции видно, что у = 0 соответствует х = 0 (х = 0 ( X). Следовательно, ранг R состоит из всех действительных чисел.
Ответ. у = -^—, хС((—оо, — 1)U (— 1, 2)0
(х 4- 1) (х — 2)
U (2, + оо)|.
R: (—оо, +оо).
Пример 4. у = Ig | х2 — Зх + 2 |.
Решение. В область определения этой функции войдут те и только те числа х, для которых существует логарифм. Известно, что логарифмы существуют лишь для положительных чисел. Поэтому в область определения войдут лишь числа х, для которых | х2 — Зх + 2 | > 0. Это неравенство выполняется для всех х, кроме тех, для которых х2 — Зх + 2 = 0, т. е. кроме х= 1 и х = 2. Следовательно, область определения состоит из всех действительных чисел, кроме 1 и 2, т. е. из суммы трех интервалов (—оо, 1); (1, 2); (2, +оо). Ранг функции будет состоять из логарифмов всех положительных чисел, т. е. из всех действительных чисел.
Ответ, у = 1g I х2 — Зх + 2 |,х £ {(—оо, 1) U
U (1, 2) U (2, +оо)}
R : (—оо, Ч-оо).
будет иметь определенные зна-будет иметь определенные зна-Пример 5, Пусть х — длина стороны квадрата, тогда его площадь у = ха. Площадь квадрата можно рассматривать как функцию длины х его стороны, если указать область определения этой функции. Указывая область определения функции в этом примере, мы не можем в качестве х брать все числа, ибо длина х может выражаться лишь
будет иметь определенные зна-
будет иметь определенные зна-
оо3322FF11М(х,0)Черт. 13М(х,0)Черт. 13К 5К 5положительным числом и чения (хотя, возможно, и достаточно большие). Следовательно, областью определения функции будет интервал ф^, а рангом — интервал (0, 1^.
о
о
3
3
2
2
F
F
1
1
М(х,0)
Черт. 13
М(х,0)
Черт. 13
К 5
К 5
Пример 6« На чертеже 13 изображена фигура OABCDEFKO (размеры указаны на чертеже). Если из любой точки М,
2х, если 0 < х < 2,2х, если 0 < х < 2,S(x) =S(x) =лежащей на отрезке ОК. восставить перпендикуляр до пересечения с контуром этой фигуры, то часть площади фигуры слева от этого перпендикуляра будет являться функцией абсциссы течки М. Обозначим эту функцию через S (х) и запишем ее цепью равенств;
2х, если 0 < х < 2,
2х, если 0 < х < 2,
S(x) =
S(x) =
4+3(х—2), если 2<х<4, 10 + (х —4), если 4<х<5.
Очевидно, областью определения этой функции является сегмент [0; 51, а рангом — сегмент [0; 111.
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Установить область определения и найти ранг следующих фу1. Установить область определения и найти ранг следующих функций:нкций:а) у = 2х; б) у = |3х — 2[; в) у =а) у = 2х; б) у = |3х — 2[; в) у =1х 4~ 31х 4~ 333Д) ^=3—~—о:е) У =^(*-*)(*+3); ж)у =",-/ ■■ ; з) у = lg(x2 — X — X—Z.у | X—о I-3x4-2).Д) ^=3—~—о:е) У =^(*-*)(*+3); ж)у =",-/ ■■ ; з) у = lg(x2 — X — X—Z.у | X—о I-3x4-2).
1. Установить область определения и найти ранг следующих фу
1. Установить область определения и найти ранг следующих фу
нкций:
нкций:
а) у = 2х; б) у = |3х — 2[; в) у =
а) у = 2х; б) у = |3х — 2[; в) у =
1
х 4~ 3
1
х 4~ 3
3
3
Д) ^=3—~—о:е) У =^(*-*)(*+3); ж)у =",-/ ■■ ; з) у = lg(x2 — X — X—Z.у | X—о I
-3x4-2).
Д) ^=3—~—о:е) У =^(*-*)(*+3); ж)у =",-/ ■■ ; з) у = lg(x2 — X — X—Z.у | X—о I
-3x4-2).
Для функции у = (х — I) (х — 2) определить ранг, если: а) ее область определения есть сегмент [1; 2]; б) ее область определения есть сумма полуинтервала (—оо; lj и полусегмента [2, оо).
Установить область определения функций, определенных правилами: а) у= ]Лх и (у) есть множество натуральных чисел; б) у = Vх и 0 < у < 1; в) у = Vх и {</} есть множество неотрицательных иррациональных чисел; г) у = Vх и {у} есть множество отрицательных чисел.
Указать область определения и ранг функции:
Н, если —2л<х<0,
I —1, если х = 0, и = | 0, если 0 < х < л,
I 1_
—, если х> л.
I 2
При прыжке с самолета первые tx сек. до раскрытия парашюта парашютист падает под действием силы тяжести. После того как парашют раскроется, парашютист падает с ним /2 сек. со ско- мл „
ростью у—. Будет ли пройденный парашютистом путь функцией сек
времени? Как выразить эту функцию за время, прошедшее от прыжка с самолета до приземления? Какова область определения этой функции?
Из однородных кусков, длина которых равна 1 дм» 2 дм и 1 дм и вес которых соответственно равен 2 кг, 3 кг и 1 кг, составлен один сплошной брус АВ. Будет ли вес Р отрезка АМ этого бруса являться функцией его длины х = АМ? Написать выражение для этой функции. Указать ее область определения и ранг.
Указание. См. пример 6; определите плотность каждого куска.
Функция задана таблицей
1
2
3
4
5
2
7
24
55
201
Каковы ее область определения и ранг?
В задачах 8—13 найти область существования функции:
у = У|х|—8 + KiM6.
у = 4/|х|—х+ 1g (х — 1).
Ю- У = logw 2 + З^а.
У= Vlogg х — 1 + va
X2—'
у =+.
1 —2 sinxcosx—sinx
у = J/ _L — 5 4- sin Зх.
Наибольшее и наименьшее значения функции
Пусть дано некоторое конечное числовое множество А = {аь а2» ...» ап}.
В конечном множестве чисел всегда существует наибольшее и наименьшее числа. Обозначим их соответственно через М и т и будем записывать:
М = max |аь а2» ..., ап}, т = min {аь а2» . ап\.
Если А — бесконечное числовое множество, то оно может иметь наибольшее и наименьшее числа, но может их (или одно из них) не иметь.
Примеры.
Пример 1. Множество А = \х!—4 < х С 2} имеет наибольшее и наименьшее числа, хотя и является бесконечным. Очевидно, М = 2, т = —4.
Пример 2. Множество В = \х!—4 < х < 2} не имеет ни наибольшего, ни наименьшего числа. Действительно, любое число из этого множества больше —4, а число —4 С В.
Следовательно, во множестве В нет наименьшего числа. Таким же образом можно убедиться, что в этом множестве нет и наибольшего числа.
Пример 3. Множество С = {у/у = х2+ 1, х £ (—оо; Ноо)} имеет наименьшее число. Им является число ух = \ , ибо любое у = х2 + 1 > 1 = yv Следовательно, т = 1. Наибольшего числа в этом множестве нет.
Рассмотрим функцию у = f (х), х ( X. Пусть ее рангом является множество R, т. е.
R = \у!у = fW, X £ XV
Определение. Наибольшим значением функции y^f^xY х X, называется наибольшее число во множестве ее значений, если оно существует, т. е. если у =f (х), х € X, то М = max \у/у = f (х), х £ X}.
Определение. Наименьшим значением функции y = f (х), х € X, называется наименьшее число во множестве ее значений, если оно существует, т. е. если у = f (х), х С X, то т = min \у!у = f(x), х $ X}.
Например, если у = х2, х ( (—00; +°°), то ее наименьшим значением будет число 0:
0 = min(#/y = х2].
Наибольшего значения эта функция не имеет, так как ее значения могут быть сколь угодно большими.
Наибольшее и наименьшее значения функции используются во многих практических вопросах. Общий метод отыскания этих значений основывается на использовании понятия производной, и мы разберем его позднее. Однако для некоторых функций их наибольшее и наименьшее значения могут быть найдены элементарными способами. Найти наибольшее и наименьшее значения заданных функций.
Пример 4. у = х2 — 4х + 3.
Решение. Областью определения функции является множество всех действительных чисел. Найдем ранг этой функции. Для этого решим относительно х уравнение
х^ — 4х + 3 — у = 0.
Будем иметь:
х = 2 ± V" I + у.
Так как х — число действительное, то должно выполняться неравенство
1+у ^> 0, или у^—1.
Поэтому рангом функции является полусегмент [—1, +оо), в котором число —1 является наименьшим. Наибольшего числа полусегмент не имеет. Следовательно, т = —1, наибольшего значения эта функция не имеет.
Пример 5. у = 1 ^Т*
Решение. Областью определения функции является множество всех действительных чисел. Найдем ее ранг. С этой целью решим относительно х уравнение
9х2у — х + у = 0.
Будем иметь:
18г/
Для значений у, удовлетворяющих неравенству 36у2 < < 1 (у #= 0), или, что то же самое, неравенству | у | < — 6 (у#=0), значения х будут действительными числами. Кроме того, из уравнения, задающего функцию, имеем у = 0, если х = 0. Поэтому рангом функции является множество значений у, удовлетворяющих неравенству 1 у | < —, т. е. сегмент [—- • — ]. Откуда 666
М = —, т -.
66
Иногда при отыскании наибольшего и наименьшего значений функции полезно использовать следующие теоремы, которые мы приведем без доказательства.
Теорема L Если сумма нескольких положительных величин постоянна, то их произведение будет наибольшим, когда эти величины равны между собой.
Например, если х > 0, у > 0, z > 0 и х + у + г =9, то шах {х • у • z} = 3 • 3 • 3 = 27 (здесь х = у = г = 3).
Теорема 2. Если произведение нескольких положительных величин постоянно, то их сумма будет наименьшей, когда эти величины равны между собой.
Например, если х > 0, у > 0, z > О и х • у • z = 8, то
min {х + у + z} =2+2+2=6 (здесь х = у = = 2 = lW = 2).
Для двух величин эти теоремы легко доказываются. Рекомендуем читателю это сделать.
Найти наибольшее и наименьшее значения функций.
Пример 6. у = х + —, х > 0.
X
Решение. Областью определения является интервал (0, + со). Так как при х£ (0, + со), х>0, ~ >0 и х- —= 1, то по теореме 2 сумма х+— будет XXX
иметь наименьшее значение, когда слагаемые будут равны, т. е. когда х = —, откуда х = 1. Таким образом, т = 2.
Наибольшего значения эта функция не имеет.
Пример 7. у = х2 (1 —х2), х С (0, 1).
Решение. Так как величины х2 и 1 — х2 положительны при х € (0; 1) и их сумма х2 + (1 — х2) = 1 постоянна, то их произведение имеет наибольшее значение, когда они равны между собой, т. е. когда х2 = 1 — х2, откуда х2 = ” . Следовательно, М = -^.
Наименьшего значения в интервале (0, 1) эта функция не имеет.
Пример 8. Дано множество треугольников, площадь которых равна одному и тому же числу S. В эти треугольники вписываются квадраты так, что две их вершины лежат на основании, а две другие — на боковых сторонах треугольника. Для каких треугольников площадь вписанного квадрата будет наибольшей?
Решение. Обозначим сторону квадрата через у, а основание треугольника через х (черт. 14). Очевидно, у является функцией от х. Запишем эту функцию. Из подобия треугольников ВАС и MAN имеем:
ММ = ^ или IL = h_Zl, где h = AD.
BC AD x у
Откуда у = ~xh—, но h = —, поэтому y=— x + ftx„
где x>0.
Так как 2s>0 и знаменатель х-г — положителен,
X 2s
то дробь —^ будет иметь наибольшее значение при наи- х+—
X меньшем значении знаменателя.
Но х>0, ->0их* — = 2s. Поэтому по теореме XX
второй знаменатель будет иметь наименьшее значение, когда х будет равен —, т. е. х = —, откуда х =K2s. При XX
этом значении х высота h треугольника АВС равна:
Итак, квадрат будет иметь наибольшую площадь, если он вписан в треугольник, у которого основание равно высоте. Таких треугольников будет бесконечное множество (черт. 14).
УПРАЖНЕНИЯ.
Найти наибольшее и наименьшее значения заданных функций в области их существования.
L у = Зх2 — 6х+ 12.
2. У =
4х
х2+ 2х 4- 1
л2 — Зх-4- 261 У~ х2-2х-8 "7. у = sin х + sin2 х.1ЛЪ—.4л2 — Зх-4- 261 У~ х2-2х-8 "7. у = sin х + sin2 х.1ЛЪ—.4
л2 — Зх-4- 2
61 У~ х2-2х-8 "
7. у = sin х + sin2 х.
1
ЛЪ—.
4
л2 — Зх-4- 2
61 У~ х2-2х-8 "
7. у = sin х + sin2 х.
1
ЛЪ—.
4
у = 3 cos х + 4 sin x.
4
у = x + —, x > 0. x
у = —а > 0, b > 0. а-\-Ьхг
Указание. Прибавить и
Отрезок а разделить на две части так, чтобы сумма площадей построенных на них правильных шестиугольника и треугольника была наименьшей.
В данный треугольник вписать прямоугольник с наименьшей диагональю.
Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 20. Для какого треугольника площадь будет наибольшей?
§ 9« Геометрическое изображение функции
Пусть задана функция у = f (х), х $ X. Выберем на плоскости прямоугольную систему координат ХОУ и построим в этой системе точки, координаты которых суть соответствующие значения аргумента и функции у = / (х). Множество точек с этими координатами будет изображать график заданной функции.
Определение^ Графиком функции называется множество тех и только тех точек плоскости, координаты которых суть соответствующие значения аргумента и функции.
Если функция задана формулой у = f (х), то равенство у = f (х) называется также уравнением графика этой функции. Например, у = х2 называют уравнением параболы, так как парабола является графиком функции у = х2. Соответственно у =sinx — уравнением синусоиды.
Надо иметь в виду, что практически изобразить точно график функции невозможно. Любой из наших приборов будет несовершенным для этой цели. Однако во многих случаях можно получить на чертеже геометрическое изображение функции в виде некоторого эскиза графика. Построение эскиза графика обычно и делают на практике, называя это построением графика функции. Ниже мы укажем некоторые практические приемы для построения эскиза графика. Предварительно введем определение нуля функции.
Определение. Нулем функции называется значение аргумента, при котором значение функции есть нуль.
Например, нулями функции у = х2 — 6х являются числа 0 и 6, ибо у (0) = 0 и у (6) = 0.
Чтобы найти нули функции у = sin х, нужно решить уравнение sin х = О, откуда видно, что нулями функции у = sin х будут числа х = kn, к = 0, ±1, ±2, ... ,
Чтобы построить график функции у = / (х), нужное
Выделить область определения функции. Если можно» найти ее ранг. Выяснить» является ли каждое из этих множеств конечным или бесконечным; заполняют ли точки этих множеств интервал или сегмент или расположены изолированно.
Если возможно» определить нули функции и ее наибольшее и наименьшее значения.
Составить таблицу значений у для некоторого множества значений х.
По этой таблице построить точки с соответствующими координатами.
В случае, если область определения функции и ее ранг были интервалом или сегментом, соединить в границах этих множеств нанесенные точки линией. Она и будет эскизом графика, т. е. практически графиком. Если указанные множества состояли из изолированных точек, то проводить такую линию нельзя.
График функции в этом случае будет состоять из построенных изолированных точек.
Построить графики следующих функций.
Пример 1N у = х3 при х С I—2, 2].
Решение, а) Область определения функции — сегмент [—2, 21. Ранг — сегмент [—8, 81, откуда М = = 8; т = —8.
Чтобы найти нули функции, решим уравнение х3=0. Его единственный корень х = 0 будет нулем функции.
Составим таблицу:
Построим точки с координатами (—2; —8); (—1; —1); (0; 0); (1; 1); (2; 8) и соединим их плавной линией (черт. 15). Эта линия будет графиком данной функции.
в)в)Решим его.Решим его.
в)
в)
Решим его.
Решим его.
Пример 2. у = | х |.
Решение, а) Область определения — множество всех действительных чисел. Ранг — множество всех неотрицательных чисел, откуда т = 0.
б) х = 0 — нуль функция.
х-2 | -10| 1
У2I 1Oil
г) Построим точки с координатами (—2; 2); (—1; 1); (0, 0); (1, 1). Соединим эти точки плавными линиями (черт. 16).
Пример 3. у = —^-. х — 2
Решение, а) Область определения функции состоит из чисел, для которых х — 2^0, т. е. из суммы двух йнтервалов (-оо, 2) U (2, +оо).
Чтобы определить ранг, запишем данное уравнение в виде
ху — х — 2у = 0.
Оно является уравнением первой степени относительно х:
Я (у — 1) = 2у.
2г/
- 1
В этом уравнении х — любое действительное число, не равное двум. Дробь имеет смысл при у^ 1. Следовательно, ранг функции состоит из всех чисел, кроме 1, т. е. состоит из суммы двух интервалов (—оо; 1) J (1; оо).
Единственный нуль функции —х=0.
г) Построим точки Д^— 1; -i-j; Д2 (1; —1) и т. д. и соединим их плавной линией в каждом из интервалов (—оо; 2) и (2; +оо).
Чертеж 17 иллюстрирует нужный график. Прямые х = 2 и у = 1 показывают, что кривая прерывается при х = 2 и что она не может пересечь указанных прямых, хотя расстояние от точки кривой до каждой из этих прямых неограниченно убывает. Эти прямые называются асимптотами кривой.
Пример 4. у = Е (х).
Решение.
Область определения (—оо, +©о). Ранг — множество целых чисел (состоит из изолированных точек).
Для определения нулей решим уравнение Е (х) = 0. Нули заполняют полусегмент [0, 1).
В)
График функции изображен на чертеже 18. Стрелки на концах показывают, что эти концы не принадлежат графику.
УПРАЖНЕНИЯ.
ху = .(х + 1)(х-2)«/=fW> х^Х,ху = .(х + 1)(х-2)«/=fW> х^Х,Построить графики функций в пяти первых задачах:
х
у = .
(х + 1)(х-2)
«/=fW> х^Х,
х
у = .
(х + 1)(х-2)
«/=fW> х^Х,
у = 2 — 3(n— 1), п=1, 2, 3,... . 1
у= - .
х-\- 3 ( х2, если х>0,
и — 1
(2х+1, если х<0.
где X множество натуральных чисел, а у = f (х) означает, что каждому натуральному числу х соответствует наименьшее простое число у, большее х (упр. 3, § 6).
Можно ли построить эскиз графика для функции Дирихле? Если нет, то почему?
Построить графики следующих функций: а) у = х2, х£ [—2, 1 ]; б) у = х2, х ^ [0, 2]; в) у = х2, х £ [1, 3]; г) у = х2, х С I—L 0], U 12, 3].
Может ли кривая на чертеже 19 быть графиком какой-либо функции? Каковы ее область определения и ранг?
Почему кривая на чертеже 20 не может быть графиком функции у = f (х)? Сколько точек кривой имеют одну и ту же абсциссу Xi?
Какие из кривых на чертеже 21 являются графиками функции у = f (х) и какие нет? Почему? Для функций указать область определения и ранг.
В задачах 11—19 построить графики указанных функций:
у = sin х + I sin х I, х £ [—л; 2л].
у = sin2 х + | cos х | • cos x, x £ [0; 2л].
у = M X 0.
X
у — 1 + х2 + х|х|, х G (— °°> + °°)- ' — х2, если х < О,
У =.. л
sinx, если х > —.
(2
( х2, если lx I < 1,
у = {11
I 1, если | х | > 1.
—, если — 1 < х < О,
17,,< cos х, если 0 < х < —,
1*-У =2
tg х, если — < х < — л.
22
х + |х|, если х < 1,х + |х|, если х < 1,18. у =18. у =Е(х), если х > 1.Е(х), если х > 1.j х + 2 |х |, если |х | < 1, | 1,если х = 2, 3, 4, 5, 6.
х + |х|, если х < 1,
х + |х|, если х < 1,
18. у =
18. у =
Е(х), если х > 1.
Е(х), если х > 1.
§ 10» Арифметические действия над функциями
Над функциями, как и над числами, можно производить арифметические действия.
Предположим сначала, что две функции имеют общую область определения: у = f (х), х С Хи z = 5 (х), х G X.
Определение. Суммой 8 (х), разностью D (х) и произведением F (х) двух функций у = f (х) и г = g (х) с общей областью определения X называются функции с той оке областью определения X, в которых каждому х G X соответствует для 8 (х) — сумма, для D (х) — разность и для F (х) — произведение значений f (х) и g (х) для этого значения аргумента, т. е.
8 (х) = f (х) + g (х), если х G X;
D (х) = f (х) — g (х), если х G X; F (х) = / (х) • g (х), если х £ X.
Например, если для всех действительных х =/= 0 заданы две функции [ (х) = х + j и g (х) = х2 — - , то их сум-
ма равна: S (х) = х 4- х2, х ф 0, их разность равна: D (х) = 2
= х Нх2, х ^ 0; их произведение равно: F (х) = X
= х3 + х — 1 — Д- , х 0.
X2
Аналогично определяется частное / (х) двух функций / (х) и g (х). Однако в область определения / (х), очевидно, не войдут значения х £ X, для которых делитель обращается в нуль, т. е. / (х) =, х £ Хъ где Xt — мно
жество чисел из X, для которых g (х) #= 0.
Замечание. Если области определения заданных функций различны, то арифметические действия над такими функциями можно производить лишь в общей части этих областей определения (если они ее имеют).
Поясним сказанное примерами. Найти сумму, разность, произведение и частное функций, указанных в следующих примерах:
Пример 1. у = 2х; z = х2.
Решение. Областью определения каждой из данных функций Является множество всех действительных чисел.
Ответ, у + г = 2х + х2; у — z = 2х — х2;
у • z = 2х • х2 = 2х3; У- = — _ х 0.Z X2 X
Число х = 0 мы должны исключить из области определения функции — , так как z(0) = 0. г
Пример 2. у = К1 — х2; z = V х2 — 9.
Решение. Областью определения X функции у = У1 — х2 является сегмент [—1, 1 ]. Областью определения Xt функции 2= )/х2— 9 является множество (—оо, —3] U [3, +оо). Заданные функции имеют различные области определения, пересечение которых есть пустое множество (черт. 22). Поэтому над этими функциями нельзя производить указанных действий.
-—29 x^i/—Пример 3. у=2 + —;
^ I—/^T^h I гГ и.— *
-3-10 13г = V 4 — х2.
Черт. 22Решение. В об
ласть определения функции у = 2 + — входят все числа, кроме х = 0. В об-
X
ласть определения функции у = К4 — х2 войдут числа, для которых 4— х2 > 0, т. е. числа сегмента [—2, 2]. Области определения заданных функций различны, однако они имеют общую часть. Она состоит из суммы [—2, 0) U (0, 2] (черт. 23).
12 + —„ ух2х 4- 1
Ответ. — = —;
z -/ 4 — х2 х уЛ 4 — х2
X € (-2, 0) и (0, 2).
Рассмотрим еще неарифметические действия над функциями, так называемую операцию максимума и операцию минимума.
Пусть на множестве X определены две функции у = f (х) и у = g (х). Если взять некоторое значение х £Х, например х = а, тогда воз- никает множество из двух чисел {f(a), g(a)}, для которого можно опреде- лить max ^f$, £(а)Ь*202
Очевидно, каждому значе-Черт. 23
нию х С X будет соответствовать определенное значение max {/(х), g(x)}. Поэтому возникает новая функция М (х) = max {/ (х), g (х)}, определенная на множестве X.
Так, если / (х) = cos х, g (х) = х, х 6 Ю, ^ L то функция М (х) = max {cos х, х}, где х £ [0* ~ ].
Найдем некоторые значения этой функции:
М(0) = max (cos 0, 0} = max (1, 0) = 1;
л / / Л \(ЛЛ 1( -*Г 9Л )Л
ЛИ— = max {cos—, —I = max { _l z , —=—.
\ 4 /I44 11 24 J4
На чертеже 24 жирной линией изображен график функции
М (х) = max {cos х, х}. Функцию М (х) в данной случае можно записать также следующим образом:
cos х, если 0 < х < с,
Д4 (х) =Д4 (х) =х, если с < х < —.2х, если с < х < —.2
Д4 (х) =
Д4 (х) =
х, если с < х < —.
2
х, если с < х < —.
2
Аналогично можно рассматривать min {f (х), g(x)j'
Возникает функция tn (х) = min {/ (х), g (х)), х Е X.
При /(x)^cosx и g(x) = x, где х g j^O, yj, будем иметь:m(x) = min (cos х, x}, x g ^0, -|- .
Так, tn (0) = min {1, 0} = 0;
/ Л \( Л Л )( 1Л )1
m— =min {cos —, —=min { —,—J= —.
изображенизображенV 3/l зз/123 J2
изображен
изображен
График функции m (x) = min {cos x, xj жирной линией на чертеже 25.
В данном случае
х, если 0 < х < с,
/п(х) =
cos х, если с < х < —. 2
УПРАЖНЕНИЯ.
В следующих задачах для заданных функций найти сумму, разность, произведение и частное. Указать область определения: 11, г 1
а) у=—+-; г = х; б) у = у л—1 ;г = /х + 2; в)у=—-.
X X— 1X—1
11
х = х+1; г)у= —у; г=(х —I)2; д)у = х-1; г=^-уу,.
2. Функции f (х) и g (х) определены на множестве следующей -таблицей:
X
0
1
2
3
4
0
2
1
1
2
g(X)
1
0
2
1
0
Найти: a) f (x)+g (х); б) 2f (х) — g (х); в) М (x)=max (f (x),g(x)}; г) т (х) = min (f (х), g (х)}.
Найти функции Л1 (х) И т (х), если: a) f(x) = sinx, 2
gto =—х, х $ [0, л]; б) f(x) = 2v; g(x) = x2; х £ [0, 5]; л
В) f(x) = |l-|x- HI, g^)=p x£[-L3].
Пусть т (х) = min {f (х), g (х)} и М (х) = max (f (х), g (х)}.
Доказать, что rn (х) + М (х) = 0 тогда и только тогда, когда g to = ~f to-
§ IL Образование сложной функции
Образование сложной функции связано с операцией отыскания функции от функции.
Рассмотрим следующий пример:
Пусть на сегменте [0, 2] определена функция и = 2х—1; ее рангом является сегмент [—1, 31. На сегменте (—1, 3] числовой оси OU определим другую функцию: у = и2. Так как аргумент и является функцией х, то получим функцию у = и\ где и = 2х — 1, х £ 10, 21. Эта функция называется сложной функцией от х. Здесь и играет роль промежуточного аргумента. Эту же функцию можно записать так:
у = ^х — I)2, х € [0, 21.
Определение. Пусть и = g(x), х С X, U — ранг функции и = g (х). Если для каждого и £ U определена другая функция*, у = f (и), то функция у =f [g(x)l называется сложной функцией от х.
В область определения сложной функции у = f [g (х) 1 входят те и только те значения х, для которых значения g (х) содержатся в области определения функции f (дУ Функция и = g (х) называется промежуточным аргументом, х — основным аргументом. Следующие примеры помогут уяснить смысл всех введенных понятий.
Пример 1. Пусть и = 2х, х € X. Рангом U этой функции является множество всех действительных чисел. Пусть, далее, для каждого и определена фукция у = sin и; тогда функция у = sin 2х, х £ (—оо, +оо) будет сложной функцией от х.
Пример 2. Камень, падая в жидкость, образует на ее- поверхности круги, радиусы которых изменяются со временем по формуле г = 4/. Как изменяется площадь S этих кругов со временем?
Решение. Площадь S круга является функцией радиуса: S = лг2, и нам дано, что г =4t. Следовательно, S является сложной функцией от /, заданной уравнением S = л(402, 0 < t < Т. Заметим, что, указывая область определения функции в этом примере, следует исходить из физических соображений: указать реальный промежуток времени, в течение которого протекал указанный процесс.
Пример 3. Пусть и = х2 + 2 и у = 1^1 — и2.
Из этих функций образовать сложную функцию нельзя. Поясним это. В область определения функции у войдут числа —1 < и < 1 (ибо | и | < 1). В то же время рангом функции и = х2 + 2 является множество чисел, не меньших 2, т. е. и ^ 2.
Следовательно, никакому числу х нс может соответствовать число у. Функция у = ]/1 — (х2 + 2)2 в области действительных чисел не существует.
Пример 4. Образовать сложную функцию, если
и = х2 — Зх + 1 и у = | и |.
Решение. Функция у определена при всех значениях и, а функция и — при всех х, поэтому у = | х2 — — Зх + 1 | является сложной функцией от х.
О т в е т. у = | х2 — Зх + 1 |, х £ (—оо, +оо).
Пример 5. Образовать сложную функцию, если у = = V 1 — ы2, и = —.
* +1
Указать ее область определения. Решение. Областью определения функции у являются значения ы, для которых | u | < 1. Найдем те зна- 2 чения х, для которых | u | < 1, используя и = :
х +1
1
2 I2
< 1 или — 1 < < 1, откуда х < — Зи х + 1 Iх + 1
х> 1.
Следовательно, искомое множество значений х состоит из суммы полуинтервала (—оо, —31 и полусегмента [1; 4-оо).
Ответ, у = 1/ 1 — ( 2 V » х € {(—00. —3] U f \х -V \ /
и [1, + °=)Ь
Пример 6. Образовать сложную функцию у = f \g (х) 1, если
f (х) = 3 — х2 + — и g (х) = 1 х — 31.X
Указать область ее определения. Решение. Чтобы записать выражение для / [g (%) ], следует в / (х) заменить х на g (х):
/(g(x)l = 3-^(x)]24--i-.
Ответ. y = f[g(x)] = 3 —|х —3|2+-—L-, х =# 3. |х —3 I
Пример 7. Из каких функций у = f (и) и и = g (х) может быть образована сложная функция у =sin 2 (cosx—1). Решение. Задача имеет несколько решений. Приведем три из них:
а) у = sin и, и = 2 (cos х — 1); б) у — sin 2и, и = = cos х — 1; в) у = sin (и — 2), и = 2cos х.
Наиболее естественным из них, конечно, является реше» ние а).
УПРАЖНЕНИЯ.
В задачах 1—3 образовать сложную функцию t/ = Mg tol и указать область ее определения:
у = и4 + и — 1; и = g (х) = х -+- х'2.
у = и2 — 2и; и = g (х) = С, С — константа.
В задачах 4—7 образовать сложные функции у= f [g(x)] и у = g [f(x)J. Указать их область определения:
f (х) = 2 — -^ + | х 1; g (х) = х2 — 4.
f (х) = | х |; g (х) = | х | + 4.
f (х) = | xj; g (х) = Е (х).
/ (х) = |Л х;g (х) = | х |.
Дано: f (х) = | х I. Показать, что f [f (х)] = f (х).
Дано: f (х) = Е (х). Найти f [f (х)].
Вычислить: f(x) = | Зх2 — х — 5 I для х = —1, 0, 2.
Упростить: а) у = -/ х2 + 6х + 9; б) у = I^JL.
Указание. Использовать тождество з^х2 = \ х \.
Кинетическая энергия / тела массы т, брошенного верти._ ти2
кально вверх со скоростью ио, вычисляется по формуле / =,
при этом скорость и изменяется со временем / по формуле и = ио — gt (сопротивлением воздуха пренебрегаем). Как изменяется кинетическая энергия тела, брошенного вертикально вверх* со временем?
Из каких функций у = f (и) и и = g (х) могут быть образованы нижеследующие сложные функции:
а) у = (Зх -{- I)5; б) у = sin3 х; в) у = у/cos3x^
§12., Понятие о функции нечислового аргумента
До сих пор мы рассматривали функциональные соответствия, когда элементами множеств были числа, т. е. мы говорили о функциях числового аргумента. Однака определение функции может быть распространено на множества любой природы. Покажем это на нескольких примерах.
Пример 1. Когда мы приходим в читальный зал и сдаем пальто на вешалку, то получаем соответствующий жетон с номером. Очевидно, между множеством всех пальто на вешалке и множеством жетонов, находящихся у читателей, есть функциональное соответствие. Каждому пальто соответствует жетон с определенным номером. Имеется соответствие вида пальто — жетон. Выполнение этого функционального соответствия обеспечивает своевременное получение пальто.
Пример 2.: Для решения определенных задач на электронно-счетных машинах прежде всего составляют программу, т. е. разбивают задачу на такие шаги, которые могла бы выполнить данная машина. Например, если машина может лишь складывать и умножать, то программисту надо подобрать для этой задачи путь решения, состоящий лишь из действий сложения и умножения. После того как программа составлена, дают «приказ» машине для выполнения этой программы. «Приказы» обычно записываются с помощью какого-либо кода. Например, используют числа О и 1 и с их помощью записывают соответствующее задание. Так, с помощью этих чисел число 12 может быть записано так: 12 = 1 • 23 + 1 • 22 + 0 • 2 = 1100, а число 3 — так: 3=1 -2+1 =11; и если условиться знак сложения «+» обозначить 1, то задание сложить числа 12 и 3 будет выглядеть так: 12 + 3 = 1100 111. Устройство машины предусматривает, что при чтении и выполнении этого задания единицам будет соответствовать наличие импульсного тока в рабочих лампах машин, а нулям — отсутствие такового. Следовательно, режим работы данной машины обеспечивается наличием определенного функционального соответствия между числами 0, 1, с одной стороны, и наличием и отсутствием тока в рабочих лампах машины — с другой. Соответствующая функция будет устанавливать соответствие вида: 0 -> отсутствие тока; 1 -> наличие тока.
Пример 3.: Пусть X — множество выпуклых четырехугольников, т. е. X = \х/х— выпуклый четырехугольник}, а У = {у} — множество положительных чисел. Каждый четырехугольник имеет площадь у. Поставим в соответствие
каждому четырехугольнику х его площадь у. Получим функцию y=f^» областью определения которой является множество четырехугольников.
Пример 4. Пусть X = = (х) и Y = \у\ — два множества, элементами которых являются треугольники. Поставим в соответствие каждому треугольнику х подобный ему треугольник у с коэффициентом подобия к = 2. Получим функцию у = f (х), областью определения которой является множество
Треугольников. Например, Бернард Больцано (1781 — 1848) если х — прямоугольный треугольник со сторонами
4, 5, то у = / (х) есть прямоугольный треугольник со сторонами 6, 8, 10.
Функциональные соответствия можно наблюдать в самых разнообразных явлениях жизни: в биологии, экономике, медицине и т. д. Числовые функции лишь моделируют эти жизненные явления.
Дадим теперь общее определение функции на множестве с произвольными элементами.
Рассмотрим два множества с любыми элементами:
X = И и У = {у}.
Пусть задано правило, по которому каждому элементу х € X соответствует определенный элемент у £ Y.
Возникает функциональное соответствие между элементами множества X и элементами множества Y.
Определение^ Если каждому элементу одного множества по некоторому правилу поставлен в соответствие определенный элемент другого множества, то говорят, что на первом множестве определена функция.
УПРАЖНЕНИЯ.
Можно ли составить функцию из таких множеств: множество книг в библиотеке и множество их авторов? В каком случае это можно сделать? Составьте соответствующую функцию.
Ученик, планируя свой выходной день, решил в случае дождя играть в шахматы* в случае ясной погоды кататься на лодке. Можно ли рассматривать проведение выходного дня как функцию? Какую именно? Составьте ее. Назовите элементы множеств, образующих функцию.
Рассмотрите множество городов Ярославской области и множество значков городов на подробной карте Ярославской области. Можно ли из этих множеств составить функцию?Составь- те ее.
Рассмотрите множество треугольников и множество окружностей. Можно ли из этих множеств образовать функцию? Составьте ее.
Пусть X = {х} — множество прямоугольных треугольников с равными гипотенузами* а К = {«/} — множество окружностей. Поставим в соответствие каждому прямоугольному треугольнику х окружность у, описанную около этого треугольника. Как можно записать получившуюся при этом соответствии функцию?
ГЛАВА III
ПРОСТЕЙШИЕ СПОСОБЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ
ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Так как функции в большинстве случаев описывают определенные процессы, то по характеру поведения этих функций можно судить о течении соответствующих явлений. Поэтому очень важно уметь исследовать особенности в поведении функций. Это в основном сводится к выяснению того, как изменяются значения функции с изменением аргумента.
В частности, будут ли значения функции возрастать, убывать, достигать своего наибольшего или наименьшего значения, оставаться ограниченными, если значения аргумента увеличиваются? Как будут изменяться значения функции при изменении знака у аргумента? Не будут ли значения функции периодически повторяться? и т. д. Указание общих методов исследования функций будет дано в главе VII. В настоящей главе мы познакомимся с простейшими способами исследования функций и рассмотрим некоторые приемы построения графиков функций.
§ 13. Монотонные функции
Определение. Функция у = / (х), х £ X, называется возрастающей на множестве X, если для любых двух точек Xi и х2 множества X выполняется неравенство f (х^ > > f (Xi), когда х2 > xv В случае же выполнения неравенства t (*2) ^ tM функция у — f (х) называется неубывающей.
+ Xi • х2+ Xj2. Для этого вспомним известное нера- венство —— > у а • b для двух положительных чисел+ Xi • х2+ Xj2. Для этого вспомним известное нера- венство —— > у а • b для двух положительных чисел
+ Xi • х2+ Xj2. Для этого вспомним известное нера- венство —— > у а • b для двух положительных чисел
+ Xi • х2+ Xj2. Для этого вспомним известное нера- венство —— > у а • b для двух положительных чисел
Определение. Функция у = f (х), х Е X, называется убывающей на множестве X, если для любых двух точек Xi и х2 множества X выполняется неравенство f (х2) < < f (Xi), когда х2 > xv В случае же выполнения неравенства f (х2) < < / (xi) функция у = f (х) называется невозрастающей.
Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие функции называются монотонными (монотонный — однообразный). Промежутки, в которых функции монотонны, называются промежутками монотонности этих функций.
Иллюстрируем эти определения примерами.
Пример 1. Показать, что функция у = х3, х С (—°°, +°°) возрастающая.
Решение. Пусть х2 > xv Тогда / (х2) = х23 и / (xj = Xt3. Рассмотрим:
/ (Х2) — / (Х1) = х23 — X,3 = (х2 —
— X,) (х22 + Х1 • x2+xt2). (1)
Согласно условию х2 — Xi > 0. Исследуем знак множителя х22 +
а и Ь. Запишем его для чисел xf5 + х22:
-■ >Кх2 • X2, ИЛИ X2 + х2 > 2| xj • |х2| > |xj -Ixj.
Так как х^ + х22 > 0, то независимо от знаков х, и х2 Xj2 + х22 + х4 • х2 > 0, т. е. второй множитель в правой части равенства (1) также положителен. Поэтому х23 — — х43 > 0, т. е. x23>xt3. Следовательно, функция у = = х3 является возрастающей на всей числовой прямой (черт. 26).
Пример 2. Убедиться, что функция у — а\ О < а < 1 есть убывающая функция.
Решение. Областью определения функции у = = ах является множество всех действительных чисел. Пусть х2 > хР Рассмотрим разность / (х2) — f (xj = = ах'-ах\
а^_ахх= ахх^-хг_Ху(2)
аХх > 0; аХ1 Хх < 1 для 0 < а < 1 и х2 — xt > 0,
поэтому второй множитель в равенстве (2) отрицателен, следовательно, аХг — аХх < 0, если х2 > х^ т. е. аХз < < ах\ Следовательно, а*, 0 < а < 1, х С (— °°\ + °°),
является убывающей функцией. Чертеж 27 иллюстрирует 1
это для а = — .
Пример 3. Из физики известно, что давление р газа и его объем и при постоянной температуре связаны законом р = —, где с > 0 — константа. и
Рассматривая р как функцию и, и > 0, убедиться, что она убывающая.
Решение. Пусть и2 > иР Рассмотрим разность
(3)(3)С С ^1 — ^2
(3)
(3)
и2 иг иг • у2
Числитель и знаменатель дроби в правой части равенства (3) имеют противоположные знаки. В самом деле, ^i • у2 > 0, a Ut — v2 < 0 (так как по условию у2 — ^>0). Следовательно, число в правой части равенства (3)' отрицательно, поэтому и разность ——— < 0, т. е.
функция р =— убывающая (черт. 28).
Пример 4« Убедиться, что для функции у = cos х сегмент 0 < х < л является промежутком монотонности.
Решение. Возьмем 0 < х^ < л; 0 С х2 < л; х2 > Xi и рассмотрим разность f (х2) — f (xi). Имеем:
cos х2 — cos Xi = 2 sin Ji-il/i. . sin -^i—^-.(4)
Определим знаки множителей в правой части равенства (4). По условию
0 < х4 < л; 0 < х2 < л.(5)
В результате сложения неравенств (5) при х4^=х2 получим 0 < xt + х2 < 2л, откуда 0 < %1 j^*2' < л. Следовательно, sin2El±^ > о в результате вычитания неравенств (5) при Xj =# х2 получим:
— л < х4 — х2 < л.(6)
Однако по условию х2 — х4 >0,следовательно,
х4 — х2 < 0, и поэтому на основании неравенств (6)
О
Л Л1 Хл
, откуда — - < -- - < 0, и, следовательно, sin %1 ~ - < 0. В результате согласно (4) cosx2— — cos Xi < 0, если х2 — xt > 0. Это доказывает, что у = = cos х — убывающая функция на сегменте 0 < х < л, т. е. сегмент [0, л 1 является промежутком монотонности функции у = cos х (черт. 29).
Пример 5» При нагревании воды ее температура / будет повышаться с течением времени Т. После того как t воды достигнет 100°С, ее дальнейшее повышение прекратится и начнется процесс парообразования, в течение которого температура воды будет оставаться постоянной. После превращения всей воды в пар будет происходить дальнейшее повышение температуры пара с течением времени. Очевидно, этот процесс иллюстрирует наличие неубывающей функции / = / (Г).
УПРАЖНЕНИЯ.
Показать, что функция у = х2 возрастает при х > 0 и убывает при х < 0. Имеет ли эта функция промежутки монотонности?
X = {1, 2, ..., п) (л — натуральное число), n ( X
*
у, где у — наименьшее простое, превосходящее п. Можно ли назвать функцию у = f (п) монотонной?
Можно ли показания электросчетчика рассматривать как функцию времени? Будет ли эта функция монотонной? В каком промежутке?
Будут ли функции, описывающие процессы плавления и отвердевания, монотонными? Если да, то какими?
Убедитесь, что функция у = axt а > 1, возрастающая во всей области ее определения.
Убедитесь, что функция у = | х1 возрастает при х > 0 и убывает при х < 0.
_.ля
Убедитесь, что у = sin х возрастает при —— < х < —
Является ли монотонной функция у — Е (х)?
В задачах 9—14 определить промежутки возрастания и промежутки убывания данных функций. Построить графики этих функций.
у = х2 — 2х + 6.
у = | х2 + 4х 4- 3 |.
у = — I х2 — 6х + 8 I.
12.
2^', если —оо < х < О,
13. у =13. у =cosx, еслиcosx, если
13. у =
13. у =
cosx, если
cosx, если
у = sin х • cos х, если 0 < х < л.
Ограниченные и неограниченные функции
Определение., Функция у = f (х), х € X, называется ограниченной в области ее определения, если можно указать такое положительное число к, что | / (х) | < к.
Теорема. Для того чтобы функция у = f (х) была ограничена, необходимо и достаточно, чтобы ее ранг был расположен на некотором сегменте или интервале конечной длины.
Доказательство, а) Условие необходимо. Пусть функция ограничена. Тогда выполняется неравенство \ f ^ | < к. Оно равносильно двойному неравенству —к < / (х) < к. Откуда видно, что значения ограниченной функции / (х) располагаются на сегменте [—к, &].
Условие достаточно. Пусть ранг функции у = f (х) расположен на сегменте [а, ЬА. Заключим сегмент [а, 6] в сегмент [—к, кА (черт. 30). Тогда значения
а 0а 0b Кb К
а 0
а 0
b К
b К
Черт. 30
f (х) будут также принадлежать сегменту [—к, £], т. е. будет выполнено неравенство | f (х) | < к. Это означает, что функция у = f (х) ограничена.
Функции, для которых это условие не выполнено, называются неограниченными.
Пример L Функции у = sin х, —оо<х<+оо, и у = cos х, — оо < х < + оо, ограничены, так как для каждой из них выполняется соответствующее неравенство
| sin х | < 1 и | cos х [ < 1.
Пример 2. Функция у = х2, х € I—3, 1 ], ограничена. Действительно, функция у = х2 убывает при х < 0 и возрастает при х > 0. Поэтому у (—3) > у (х) для —3 < х < 0 и у (1) > у (х) для 1 > х > 0. Кроме того, у (—3) > у (1). Следовательно, для всех х С I—3, 11 х2 < у (—3) = 9, т. е. | у | < 9.
Пример 3. Функция /(х) = —, х + 0, не ограничена, X
ибо, какое бы число k > 0 мы ни взяли, найдутся значе
ния х, такие, что \Цх)\>к. Действительно, если
0 <| х| < —, то — > к, т. е. для 0 < | х || /(х) | >6.
к| х |к
Следовательно, /(х)= — не является ограниченной*
Пример 4в Выяснить, является ли ограниченной фун
кция
У = , X $ (— оо, + оо).
Решение. Определим ранг этой функции. Перепишем заданное уравнение в виде у + ух2 = х, или ух2 — х + у = 0,
1 + ]/" 1—4г/2
и разрешим его относительно х; тогда х = —~ 2у—— . Так как х — действительное число, то 1 — 4у2 ^ 0, т. е. у2 < ” и | у | < -1 (у = 0 принадлежит рангу, так как из уравнения, задающего функцию, видно, что у = 0 при х = 0). Следовательно, функция ограничена. На чертеже 31 изображен ее график.
Черт. 31
УПРАЖНЕНИЯ.
Какие из следующих функций являются ограниченными, какие — неограниченными в их области существования:
У = tgx;б)у = х2;в)у = sin (sin х);
у = sin 1g х;д)у = logo cos х;е)у =;
X2X
у = ^77;3)у = 7+7;и)^= ^' * ^2Л1;
§ 15. Четные и нечетные функции
Предварительно введем понятие симметричного множества.
Определение. Множество М называется симметричным, если вместе с числом х оно содержит противоположное ему число (—xY
Примерами симметричных множеств являются: а) вся числовая ось (— оо, + оо); б) любой интервал (— а, а); в) множество [—3, —11 (J И, 31.
Будем рассматривать функции, определенные на симметричном множестве.
Определение. Функция у = f (х) называется четной, если f (—х) =/ (xY при всех значениях х из области определения этой функции.
Так, функция / (х) = х2— 2х\ xg (— оо, + оо), является четной. Убедимся в этом. Для этого найдем / ( — х): f (— х) = (—х )2 — 2 ( — х)4 = х2 — 2х4.
Мы видим, что / ( — х) = f (xY Следовательно, согласно определению заданная функция четная. Например, если мы знаем, что для нее / (2) = —28, то нет надобности вычислять f (— 2), ибо по свойству четности f (— 2) = — 28.
Функция у = —~ тоже четная. В самом деле,
.а-х + ах
У(~х) =
т. е. у(— х) = у(х).
Определение. Функция у — f (х) называется нечетной, если f ( —х) = —/ (х), при всех значениях х из области определения этой функции.
Так, функция f (х) — х-|- — , х ¥= О, нечетная. Действительно, /(— х) = — х + — = — (х + "У т» е. Ц—х)= = —/(X).
Например, если известно, что f (1) = 2, то по свойству нечетности функции делаем вывод, что / ( — 1) = —2.
-ах — а*х,..
Функция у =, х € (—00• + °°), нечетная.
В самом деле,
,. АГ* — 0х0х — (Гх, .
У (— х) =22 = ~ У (Х)-
Заметим, что произвольно взятая функция, определенная на симметричном множестве, не обязательно должна быть четной или нечетной. Например, функции у = о*, у = (х — З)2 не являются ни четными, ни нечетными. Однако имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Всякая функция, определенная на симметричном множестве, может быть представлена в виде суммы, четной и нечетной функций.
Доказательство. Представим функцию у =f (х) в виде суммы двух слагаемых и (х) и v (х), приняв за
и(х) =□и(х) =□/(хН-Н-х)/(хН-Н-х)тогда |(x^ =тогда |(x^ =2/(*) + /(—*)2/(*) + /(—*)и за о (х) =и за о (х) =/ W - /(—х)/ W - /(—х)/(х) — /(—X)/(х) — /(—X)222222
и(х) =□
и(х) =□
/(хН-Н-х)
/(хН-Н-х)
тогда |(x^ =
тогда |(x^ =
2
/(*) + /(—*)
2
/(*) + /(—*)
и за о (х) =
и за о (х) =
/ W - /(—х)
/ W - /(—х)
/(х) — /(—X)
/(х) — /(—X)
2
2
2
2
2
2
Докажем, что и (х) есть функция четная. В самом деле,
= и 'X).= и 'X).
= и 'X).
= и 'X).
Аналогично можно доказать, что и (х) есть функция нечетная
У(— X)У(— X)Ц- х) -/(х)2Ц- х) -/(х)2= — о(х).= — о(х).
У(— X)
У(— X)
Ц- х) -/(х)2
Ц- х) -/(х)2
= — о(х).
= — о(х).
Теорема доказана.
Можно доказать, что это представление единственное» Согласно этой теореме
ах агх ах — а*х
~212*
(х _ 3)й = ^3)44-^^ + (х-З)З-(-х-З)^
где первое слагаемое есть четная функция, а второе — нечетная. Графики четной и нечетной функций имеют особенности, которые видны из следующих теорем.
Теорема 2о График четной функции симметричен относительно оси ОУ (черт. 32).
Доказательство. Если у = f (х) — четная функция, то любые две точки на ее графике с противоположными абсциссами а и — а будут иметь равные ординаты, т. е. f (a) =f (—aY Следовательно, если чертеж перегнуть по оси ординат, то участки кривой, лежащие слева и справа от оси ординат, совпадут. Следовательно, график этой функции симметричен относительно оси ОУ, что и требовалось доказать.
Этим свойством графика четной функции пользуются при его практическом вычерчивании. Так, чтобы построить график четной функции, достаточно построить его только для х > 0 и отразить получившуюся кривую симметрично относительно оси ординат.
Теорема 3. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Доказательство. Рассмотрим на графике две точки с абсциссами х = а и х = — а (черт. 33). Так как у = f (х) — функция нечетная, то / (— а) = — f (а), т. е. координаты этих точек будут равны по абсолютной величине и противоположны по знаку, а это и означает, что график симметричен относительно начала координат, что и требовалось доказать.
Таким образом, чтобы построить график нечетной функции, достаточно построить график этой функции для х > О и отразить его симметрично относительно точки О (0, 0).
Пгимер 1. Построить график функции у =—-—,
1 + Xй X С (— ОО, 4- оо).
Решение. Заданная функция четная, так как
Поэтому достаточно построить ее график для х > 0 и отразить его симметрично относительно оси ОУ. Строим график для х > 0. Определим ранг функции. Из условия сле-
в ней знаменатель всегда не меньше числителя. Следовательно, рангом функции является полуинтервал (0, 1 ] и функция является ограниченной. Следуя общим правилам построения графиков, получаем график этой функции для х > 0, отражая его симметрично относительно оси ОУ, получаем график заданной функции (черт. 34).
Черт. 34
Пример 2. Построить график функции у = х | х |, X £ ( — оо, + оо).
Решение. Заданная функция нечетная, ибо у (—х) = = — у (х). Поэтому достаточно построить ее график для
2. Докажите следующие
% > О и отразить его симметрично относительно начала координат. Строим график для х > 0. Очевидно, для х > О у — %2. Поэтому графиком данной функции является кривая, изображенная на чертеже 35.
УПРАЖНЕНИЯ.
Какие из заданных функций являются четными, нечетными и какие не являются ни четными, ни нечетными:
а) / (х) — х2; б) f (х) = cos х;
f (х) = sin х;
f to = Д) У — 2^cos х» у 1 — X2
X + 1
е) У = х cos х; ж) у= у^-^;
з) у = х sin х; и) у = | sin х |;
к) у = Зх—1; л) у — х2, х£ (0, со); м) у = х3, х £ (—оо, 0)?
теоремы:
сумма двух четных функций есть функция четная;
произведение двух четных или двух нечетных функций есть
функция четная;
в) произведение четной и нечетной функций есть функция нечетная.
3. Представьте в виде суммы четной и нечетной функций следующие функции: а) у = х2 + 2х3; б) у = 2х;
в) у = 2х + 3;г) у = х2 + 2х + 1.
4. Почему нельзя представить в виде суммы четной и нечетной
функции следующие функции: а) у = Vх» 6) у = 1g х?
5. Построить графики следующих функций: а) у =
X2 *
б)
1
у=-7
X3
в) у = 2 ^ 2 - ; г)у = 21х|; д) у = lg 1х!; е)У = /|х|1
X2
ж) У =—Г»з) у = I X | X3; и) у = sin i х I;
14-х2
к) у = х2 4- 2 | х | 4- 1; л) у = х2 | х |.
§ 16, Периодические функции
Определение, Функция у = f(x), х ^Х. называется периодической, если существует число 1^=0, такое, что х ± I € X, и для которого выполняется равенство
Hx-Vb =№
Число I называется периодом функции.
Например, sin х = sin (х + 2л), следовательно, для функции у = sin х число 2л является периодом. Также для функции у = tg х число / = л является периодом, ибо tg х = tg (х + л).
Теорема. Если число I является периодом функции у——f (х), х£ (—оо, + оо), /по числа ±nl, где п— натуральное число, также являются периодами этой функции.
Доказательство. Докажем методом математической индукции, что числа nl (п — натуральное) являются периодами для функции у = f (х).
По условию / (х) = /(х + /), следовательно, f (х) = = / [(х + 0 + / ] = f (х + 2Z), т. е. число 2/ является периодом этой функции. Убедимся, что если верно равенство / (х) = / [х + (& — 1) /], то верно и равенство / (х) = ) (х + hV).
В силу периодичности функции имеем:
/ [х + (А: — 1)/] = / [х + (fe — 1) Z 4- Z ] = f (х + ^0.
Следовательно, f (х + &Q = / (х), т. е. kl — тоже период.
На основании метода математической индукции утверждаем, что nl (п =2, 3, ...) является периодом функции у = f (х). Легко убедиться, что числа (— пГ) являются также периодами этой функции. По доказанному nl — период для у — f (х), поэтому / (х — пГ) = f [(х — nl) + nl А = = / (х), т. е. числа (— nZ), где n = 1, 2,..., являются периодами функции у = f(x). Теорема доказана.
Таким образом, если функция у = f (х) имеет период, то она имеет бесконечное множество периодов. Если среди этих периодов есть наименьший положительный период, то его называют основным периодом данной функции. Так, например, функции у = sin х, у = cos х имеют в качестве основного периода число 2л, функции у = tg х, у = ctg х имеют основным периодом число л.
Не следует, однако, думать, что всякая периодическая функция имеет основной период. Покажем, что функция Дирихле является периодической, но не имеет наименьшего положительного периода. Напомним определение этой функции:
х ( 1, если х — рациональное число, /(*) = п
( 0, если х — иррациональное число.
Любое рациональное число г является периодом этой функции. Так как число х + г рационально при х рациональном и иррационально при х иррациональном, то
х ( 1, если х рационально, дх + г) =
( 0, если х иррационально.
Итак, f (х + г) = f (х), т. е. любое рациональное число г является периодом этой функции. Но среди положительных рациональных чисел нет наименьшего, поэтому функция Дирихле не имеет основного периода.
Из определения периодичности функции следует, что ее график будет «повторять» себя через каждый промежуток длины /, равный основному периоду. Поэтому для функции, обладающей основным периодом/, достаточно построить график на любом промежутке длины L
Пример L Убедиться, что функция у = cos 2х имеет период / = л.
Решение, cos 2 (х + л) = cos (2x + 2л) = cos 2x.
От добавления к аргументу числа л значение функции не меняется. Следовательно, / = л — период функции у = = cos 2х.
а) У = sin (6х — ^);а) У = sin (6х — ^);Пример 2. Указать правило отыскания основного периода для функции / (х) = sin ^кх + 6), зная, что sin х имеет основным периодом 2л. Пользуясь полученным пра
а) У = sin (6х — ^);
а) У = sin (6х — ^);
вилом, найти периоды функций: б) у = 3 sin (1 х — 1).
Решение, sin (Ах + b) = sin (Ах + 6 + 2л) =sin [А(х-Н + —-^ + б], т. е. f W = f (х + ^\. Следовательно, для
2л функции / (х) = sin (кх + Ь) основной период — I = —.
k
Правило. Чтобы найти основной период / функции у = sin (Ах + Ь\ нужно число 2л разделить на коэффициент при х.
Пользуясь этим правилом, найдем решения:
х , 2л л , 2л , а) I = — = т; б) 1 = —— = 4л.
о о1
Пример 3. Построить график функции у = ] sin х|, описывающей зависимость величины пульсирующего тока от времени при двухполупериодном выпрямлении.
Решение. Функция четная: у (— х) = у (х), так как | sin (— х) | = | — sin х | = | sin х |.
Функция периодическая с периодом л. Действительно, так как sin (х + л) = — sin х, то | sin (х + л) | = | sinx |, следовательно, у (х) = у (х + л). Строим график этой функции на сегменте [0, л], зная, что на этом сегменте |sinx|=sinx. Продолжив его периодически, получим график функции у = | sin х | (черт. 36).
Пример 4. Построить график функции у = 21+cos *.
Решение. Функция четная и периодическая с основным периодом 2л. Действительно, у(—х) = 21+cos (^ = = 21+cos х = у (х); у (х + 2л) = 21+C0S(Ar+2’t) = 2,+cos x = у (х).
Число 2л — основной период, ибо основной период cos х равен 2л. Заполняем таблицу:
Наносим точки с соответствующими координатами (х, у), соединяем их плавной линией и получившуюся кривую продолжаем периодически на отрезках длиной 2л влево и вправо (черт. 37).
Пример 5. Построить график функции / (х) = х — £ (х)-
Решение. Докажем, что периодом заданной функции является / = 1. В самом деле, £ (х + 1) = £ (х ) + 1 (в силу определения функции £(х)), поэтому / (х+1) = (х + 1) — —£ (х + 1) = х + 1 — £ (х) — 1 = х — £ (х) = / (х). То, что / = 1 является основным периодом этой функции, видно уже из того, что на полусегменте [0,1), длина которого равна единице, / (х) = х; следовательно, значения функции на этом полусегменте повторяться не могут. Ее график будет повторять себя на отрезке длиной, равной единице. Так как Е (х) для х, принадлежащих полусегменту [0; 1), равно нулю, то для этих значений х, /(х) = х, и графиком будет являться отрезок прямой. Общий вид графика изображен на чертеже 38. Стрелки на концах прямолинейных отрез
ков означают, что их концевые точки не принадлежат графику функции. Концевой точке такого отрезка соответствует целая абсцисса, поэтому х — Е (х) = 0.
Пример 6. Периодическая функция у = f (х) с периодом / = 2 задана следующим образом:
х3, если0 с х<1,
з 51//п
—х, если 1 < х < 2.
22
Построить ее график на полусегменте [ — 2, 4).
Решение. Построим ее график на полусегменте [О, 2). Согласно условию на сегменте [0, 11 графиком будет являться дуга кубической параболы у = х3, а на интервале 35
(1, 2) —отрезок прямой у = — х— —. В силу периодичности у (2) = у (0 + 2) = у (0) = 0. Таким образом, на сегменте [0, 21 график будет состоять из дуги параболы у = х3, отрезка прямой у = ~ х — -~ и точки А (2, 0). Па полусегментах [— 2, 0) и [2, 4) в силу периодичности график функции будет повторять себя (черт. 39).
В науке и технике часто приходится иметь дело с периодическими явлениями, т. е. такими, которые воспроизводятся в прежнем виде через определенный промежуток времени, называемый периодом. Так, часто можно наблюдать периодические движения. Например, маятник, висящий на нити, может совершать движения, точно повторяющиеся через одинаковые промежутки времени.
Движения небесных тел, например планет, совершаются периодически по эллиптическим орбитам. Действия почти всех машин и механических устройств связаны с регулярно повторяющимися движениями (вращение валов, движение поршней, шатунов и т. п.).
Аналогично величина и напряжение переменного тока принимают первоначальные значения через определенный промежуток
времени — период и т. д. Математически это означает, что координаты движущихся точек представляют собой периодические функции времени с одним и тем же периодом.
УПРАЖНЕНИЯ.
Являются ли периодическими следующие функции и чему
х з;х з;равен их основной период: а) у = | cos х |; б) у = 2sin х ; в) у = х — Е (х) + 3?
х з;
х з;
Найти основной период функций: а) у = sin
у= 3 sin (2х — —в) у = sin /2х.
4 /
Указать правило отыскания основного периода функций: У = Д cos (кх + Ь) и у = В tg (/их + с).
Периодическая функция у = f (х) с периодом / = 2 задана на полуинтервале (—1, 1] следующим образом:
У —У —х2, если 0 < х < 1.х2, если 0 < х < 1.2х + 1, если — 1 < х < О,
У —
У —
х2, если 0 < х < 1.
х2, если 0 < х < 1.
Построить ее график на сегменте [—3, 3].
Убедиться, что функция у = с является периодической. Периодом является любое действительное число. Имеет ли эта функция основной период?
В задачах 6—9 найти основной период данных функций.
у = cos2x.
у = sin х • cos х • cos 2х.
у = sin2 х + sin 4х.
у = cos 4х + sin 6х.
Доказать, что любое число, отличное от нуля, может быть периодом некоторой функции.
Указание. Рассмотреть функцию у = sin кх.
§ 17. Понятие об обратной функции
Пусть на множестве М ={ 2; 3; 3 —; 4; 5} определена функция у = Цх) таким образом, что любым двум различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции. Например,
X
2
3
1
4
с
y = f^
1
0
2
6
4
Ее рангом является множество W={1; 0; 2; 4; 6}.
Определим теперь на множестве N функцию х = ф (у) так, чтобы выполнялись условия:
Рангом функции х = ф (у) является множество М.
Значение ф (у) равно тому числу х из множества Л4, для которого данная функция / (х) принимает значение, равное у, т. е. / [ф (у) ] = у.
Например, ф (6) = 4, ибо / (4) = 6; ф (0) = 3 и т. д* (черт. 40).
М
Черт. 40
В этом случае говорят, что функция х = ф (у) является обратной для функции у = / ^xY
Дадим теперь определение обратной функции.
Пусть задана функция у = f (xY х g М = И, и ее ранг равен N = {у}, причем любым двум различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции* т. е. если х^ х2» то f (х4) f (х2 ).
Тогда обратной для этой функции называется такая функция х = ф (у), для которой*.
область определения есть множество N;
ранг есть множество М;
значениями этой функции являются числа ф (у), для которых
Мф(у)1 = у.(1)
Пример 1. Пусть
У= -^т-2. X € (-00; + ос).(2)
При Xt ^= x2 значения функции различны: yv ^ у4. Обратной для этой функции будет функция
х = ^з^’ У ^ ^—о°’ + °°^х = ^з^’ У ^ ^—о°’ + °°^(3)(3)
х = ^з^’ У ^ ^—о°’ + °°^
х = ^з^’ У ^ ^—о°’ + °°^
(3)
(3)
потому, что если подставить значения х из (3) в равенство (2), то получим тождество (1):
3
5 ^
Из определения обратной функции следует, что ф[/(х)1=ф(у) = х, т. е. чтобы получить значение обратной
функции х = ф (у) по это значение у подставить в выражение функции у = / (х) и найти соответствующее ему значение х.
Пример 2. Найти обратную функцию для функции
у = х3,0 < х < 1
(черт. 41).(4)
заданному значению у, достаточно
N y = fW x = w<y>
М
Черт. 41
Черт. 42
Решение. Здесь /(x) = xd; при лг ^ л2 /(xj ^ / U2). Ранюм функции /(х) является сегмент [0, 11.
Решив уравнение (4) относительно х, получим:
х= V у > где 0 < у < 1.(5)
Функция (5) является обратной для функции (4). В самом деле» fX^Vy^^kVyV ^ У» т- е* тождество (1) выполняется.
Понятие обратной функции распространяется и на нечисловые функции.
Пример 3. Дано множество М неравных правильных треугольников х: Д4={х} и множество N окружностей, соответственно вписанных в треугольники, у; N={y}.
Поставим в соответствие каждому треугольнику вписанную в него окружность. Получим функцию y=f(x), х^М, рангом которой является множество N окружностей у, вписанных в эти треугольники: N=\y\ (черт. 42).
Неравным правильным треугольникам отвечают различные окружности. Поэтому здесь существует обратная функция х=ф(у), определенная на множестве N, ее рангом является множество М.
Замечания.
На множестве N можно определить различные функции, рангом которых будет множество М. Но обратной из них относительно ^=/(х) будет только одна. Именно х=ф(#), для которой f [Ф G/)l = У- Например, функция х = ф (у), где ф (у) = у 2, 0 <
3 /
< у < 1, имеет своим рангом, как и функция х = у у , 0 < у < 1, тоже сегмент [0, 1]. Но обратной функцией для z/=x3, 0<х<1, она не будет. В самом деле, / [ф(1/)] = (</2)3 = у* ¥= у» если у + 0 и у^\.
Если функция х = Ф (у) является обратной относительно функции у = f (х), то функция у — f (х) в свою очередь является обратной относительно функции х = ф(#), т. е. ф[/(х)] = х. Так, в примере первом не только х= у у является обратной функцией относительно у = х8, но и у = х3 можно рассматривать как обра г- ную функцию относительно х= /" у . В самом деле, Ф [/ (х)] =
18. О существовании обратной функции.
При определении обратной функции мы требовали, чтобы для данной функции /(х) всегда при ххфхг выполнялось соотношение /(xj #=/(х2). Если отказаться от этого требования, то на множестве N нельзя определить функцию.
обратную функции у = f (х). Действительно, пусть в двух различных точках х^и х2* множества М значения функции / (х) совпадают: / (х^) = / (х2*) = у*. Если бы существовала обратная функция х = ф (у), то имели бы место равенства ф (у*) = х* и ф (у*) = х2*, что невозможно по определению функции. Так, функция у = х2, где xg [—1, 1 ], не имеет обратной, ибо в симметричных точках этого сегмента функция принимает равные значения.
и /1 \ 1
Например, у ( — -j = у ^-) = -.
Другой пример. Поезд движется со средней скоростью о км1ч. Через 2 часа поезд делает остановку на 6 мин. После чего с той же скоростью движется 54 мин. Найдем зависимость пройденного пути S от времени, отсчитываемого от нуля в часах:
S =S =' ut,2и,' ut,2и,еслиеслиО <О <tt2,2,если 2 < / <если 2 < / <2, 1,2, 1,
S =
S =
' ut,
2и,
' ut,
2и,
если
если
О <
О <
t
t
2,
2,
если 2 < / <
если 2 < / <
2, 1,
2, 1,
у (t — 0,1), если 2, 1 < / < 3.
Здесь S = / (/), t £ [0, 31. Обратная функция относительно функции S = / (<) не существует потому, что для всех значений / из сегмента [2; 2, 1 ] функция S = f (t) принимает одно и то же значение, равное 2и.
Для функций возрастающих и убывающих различным значениям аргумента xf и х2 всегда соответствуют различные значения функций / (xi) и / (х2). Поэтому справедлива теорема 1.
Теорема 1. Возрастающая (убывающая1) функция имеет обратную функцию.
Теорема 2. Если данная функция возрастает (убывает), то обратная ей функция также возрастает (убывает).
Доказательство. Пусть функция у = / (х) возрастает. По предыдущей теореме существует обратная ей функция х = ц(у). Пусть, далее, у^ и у2 — произвольные значения у, удовлетворяющие неравенству
(1)(1)(2)(2)У1 < Уг.
(1)
(1)
(2)
(2)
Утверждаем, что
Ф (Уд < Ф (Уд •
Действительно, предположим, что
Ф (У1) > Ф (Уг).(3)
Так как функция f (х) возрастает, то в силу неравенства (3) / [ф (yi) 1 > / [ф (у2) 1 (причем равенство имеет место только в том случае, когда ф (yj = ф (у2)) или (см. § 17)
У1 > Уг-(4)
Неравенства (1) и (4) противоречивы. Полученное противоречие доказывает справедливость неравенства (2). Теорема доказана.
Пример. Функция у = х5 является возрастающей на всей числовой прямой. Поэтому для нее существует обратная функция, которая также будет всюду возрастающей. Обратной функцией будет функция x=Vu В самом деле, / [ф (у)1 = (О5 =У-
. График обратной функции
Пусть х = ф (у) есть обратная функция относительно данной функции у = f (х).
В этих обозначениях обе функции будут иметь один и тот же график в системе координат ХОУ.
Только областью определения обратной функции будет являться ранг данной функции.
Перейдем в обратной функции к обычной записи: у = ф (х). Как будет расположен ее график в той же системе координат?
Теорема. Графики функций у = f (х) и ей обратной у = ф (х) расположены симметрично относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
Доказательство. Пусть точка М х^ Уо) является точкой графика функции у = / (х). Она также будет точкой графика функции
х=ф(у).(1)
График у этих функций один и тот же (черт. 43), т. е. будет справедливо равенство
*о = ф(Уо)-(2)
Возьмем теперь точку М* (у0, х0)*. Она является точкой
графика функции у = <р (х), так как, подставив сюда координаты точки М' (у0; х0), мы придем к равенству
^о = Ф (Уо). (3)
которое совпадет с равенством (2) и поэтому справедливо. Таким образом, каждой точке А1(х0; у0) графика данной функции у = f (х) соответствует точка М\у0\ х^ графика обратной функции у = ф (х). Покажем теперь, что точки М (х^, у^ и УИ^Уо» ^о) симметрично расположены относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. Прямоугольные треугольники 0QM и ОРМ' (см. черт. 43) равны. У этих треугольников QM = РМ', поэтому Z QOM =Z РОМ'. Вместе с ними будут равны ZM0B и ZB0M' (ОВ— биссектриса координатного угла). Треугольник МОМ' равнобедренный (ОМ = ОМ'), в котором биссектриса ОВ координатного угла ХОУ является также биссектрисой угла треугольника при вершине О. А в этом случае OB I ММ' и МВ = ВМ', т. е. точки М иМ' симметрично расположены относительно биссектрисы координатного угла. Теорема доказана.
Пример 1. Пусть функция у = 2х определена на всей числовой прямой. Она возрастает, поэтому обратная функция существует. Обратной ей будет функция х =-.
Действительно, здесь / (х) = 2х. Поэтому / [ф(у)] = 2Х
Теперь запишем обратную функцию в виде у^^(х): у — ^ . Ее график есть прямая, симметричная прямой у — 2х относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. Поэтому, чтобы его построить, достаточно построить точку М\ симметричную точке М (на прямой у = 2х), и через начало координат и точку М' построить прямую. Это и будет график обратной функции у =
(черт. 44).
Черт 44
Пример 2. у = х3 — функция возрастающая, обратной функцией будет функция x=V"У* График у них общий (черт. 26). Запишем теперь обратную функцию в виде у = = Ф (х): у = ^х. Ее график изображен на чертеже 45.
Пример 3. у = 2х, функция возрастает. Обратной ей будет функция х = log2y. В самом деле, / [ф (у) l=2Iog2y =у. В обычной записи обратная функция имеет вид: y=log2 х. Графики функций изображены на чертеже 46.
Черт. 46
УПРАЖНЕНИЯ.
Существуют ли для заданных функций обратные? Если да» то найти их и указать их область определения: а) у = 2Х3; б) У = 3х; в) у = ^'2г, г) у = log5 х.
у = Зх — 2, х £ (—оо; +оо), существует ли для этой функ» ции обратная? Если да, то записать ее и изобразить график.
у = х2, х £ (—оо; 0). Какая функция будет для нее об» ратной? Изобразите ее график.
Функция у = f (х) задана таблицей:
X
1
2
2,5
2,7
/т
3
y = tW
0
3
2,6
3
1
Существует ли для нее обратная функция х = ф (#)? Почему?
Кривая на чертеже 47 определяет функцию у = t (х). Имеет ли эта функция обратную?
Существуют ли для заданных функций обратные, если да» то найти их, указать область определения и построить график:
У = |х| + 1;
у= {LX’ ' X,
если — 1 < х < 0;
если
в) У =
2,
2х-1,
если
если
0 < х < 1, х=Х, г) у = /1 — |х|
На одном и том же чертеже построить графики данной функции у = t (х) и ей обратной х = <р (у):
Г—/ 1
у = 2х + 1; б) у = у/ X; В) у = — | ;
X
1
2
3
1
4
у = Нх)
2
2
1
1
4 7
2
з
§ 20. Обратные тригонометрические функции
Для всех тригонометрических функций можно выделить промежутки, в которых они будут возрастать или убывать, следовательно (согласно § 18), будут иметь обратные функции. Обычно называют главными промежутками мо- г л л 1
нотонности для у = sin х сегмент ——; — ; для у =cos х сегмент [0; л]; для у = tg х интервал ^—— ; ^ и для у = ctg х интервал (0, л).
Функции, обратные тригонометрическим функциям, называются обратными тригонометрическими.
Рассмотрим функцию у = sin х, х^ ^—^; ^|. Эта функция возрастает от — 1 до 1. Поэтому обратная ей функция будет также возрастать и иметь областью опреде-
г 11 1Г л л
ления сегмент I — 1; 1 1, а рангом сегмент —.
Эта функция называется арксинусом и обозначается х = arcsin у.
Определение. Функция, обратная функции у = sin х, где х ^. ^—у; —|, называется арксинусом.
По определению обратной функции, если в sin х вместо
х подставить arcsin у, то получим у, т. е. sin (arcsin у) = у. Точно так же, если в arcsin у вместо у подставим sin х, х ^ £— ^-; у], то получим х:
arcsin (sin х) = х.arcsin (sin х) = х.Например, sin (arcsin -^ = ~ ;
arcsin (sin х) = х.
arcsin (sin х) = х.
arcsin (sm —) = ^-, но arcsin (sin 2л) #= 2л, так как число 2л не принадлежит сегменту | —~; ^ j.
arcsin (sin 2л) = = arcsin 0=0.
По этим же соображениям
. / . 2 \1
arcsin I sin — яг 1= — л, \3/3
a arcsin fsin --)=—. \3/3
Если перейти к обычным обозначениям аргумента и функции, то названная функция может быть записана так: у = arcsin х, xQ [—1, 1],
При ЭТОМПафнутий Львович Чебышев (1821—1894)
|arcsin х| <у, т. е. функция y=arcsin х ограничена. Для функции у = arcsin х можно дать геометрическое истолкование:
arcsin х есть дуга, взятая в пределах от—до ^, — у <
< arcsin х<< arcsin х<синус которой равен числу х, где—1 < х<1.
< arcsin х<
< arcsin х<
151
Например, arcsin — = —, потому что
л 1. 1Лз л - . л V5
sin — =—;arcsin -—= —,ибо sin — =-—
622332
Чтобы получить график функции у = arcsin х, достаточно согласно § 19 соответствующую дугу синусоиды отразить симметрично относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. На чертеже 48 изображен график функции у = arcsin х.
Рассмотрим функцию у = cos х на сегменте [0, л]. Эта функция убывает от 1 до — 1 (§ 13). Поэтому обратная функция будет также убывать и иметь областью определения сегмент [— 1, 1 1, а рангом сегмент [0, л]. Эта функция называется арккосинусом и обозначается х = arc cos у.
Определение. Функция, обратная функции у = cos х, где х [0, л], называется арккосинусом.
По определению обратной функции cos (arccos у) = у; arccos (cos х) = х, если 0 < х < л. Например,
, /зЛ Кз" ///2\\ V^
cos I arccos-— = -— ; cos ' arccos —-— =— 1— ;
\2/2\ V 2 ))2
/л1л/2\2
arccos cos — I = — ; arccos cos — л = — л,
\6 /6vз/з ’
HOHOarccosarccosarccosarccos
HO
HO
arccos
arccos
arccos
arccos
Объясните почему.
Если перейти к обычным обозначениям аргумента и функции, то функция арккосинус запишется так: у = arc cos х, х £ [— 1,11, при этом 0 < arccos х < л, т. е. функция у = arccos х ограничена.
Для функции у = arc cos х можно дать геометрическое истолкование, arccos х есть дуга, взятая в пределах от О
до rs 0 < arccos х<Х косинус которой равен числу х, где-
-1<х<1.__
ттр^Зллр^З
Например, arccos -— = —, так как cos — = -— ;
г26’62
arccos — = —, потому что cos — = — . 23’J32
Для получения графика функции у = arccos х следует соответствующую дугу косинусоиды отразить симметрично относительно биссектрисы первого и третьего координат
ных углов. На чертеже 49 изображен график функции у =
= arccos х.
Функция у = tg х на интервале ^— ^ ^ возрастает от—оо до + оо. Поэтому для нее существует обратная функция, которая также возрастает и имеет областью определения всю числовую прямую (—оо, + оо), а рангом интервал ^—у, ^. Эта функция называется арктангенсом и обозначается х = arctg у.
Определение. Функция, обратная функции
1( л л \
Z/ = tgx, где х£ — 77. 77 .
называется арктангенсом. По определению tg(arctgy) = y и arctg (tg х) = х, если — у <х< ^ .
В обычных обозначениях эта функция запишется так:
y = arctgx, х^(—оо, +°°), причем |arctgx|<y, т. е. функция у=arctg х ограничена. Геометрически у = arctgx— дуга, взятая в интервале ^—у, у), тангенс которой равен х. Например, arctg 1/3 = у , потому что tgy = ]/3;
arctg(— 1) =, так как tg=— 1.
4\4 /
Графиком функции у = arctg х является тангенсоида у = tg х, отраженная симметрично относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. На чертеже 50 изображен график функции у — arctg х.
Аналогично определяется функция у = arcctg х. Для атого надо взять функцию у = ctg х на интервале (0; л),
где она убывает от + оо до — оо. Ее график изображен на чертеже 51.
Пример 1. Доказать, что функция у = arcsin х нечетная:arcsin (— х) = — arcsin х.
Доказательство. По определению функции у = arcsin х | arcsin (— х)| < и | —arcsin х | = | arcsin х|<^- Обе дуги, arcsin (—х) и arcsin х, заключены между— - и - , т. е. в одних и тех же границах. Кроме того, обе дуги имеют равные синусы. В самом деле, в силу нечетности функции у =sin х имеем sin (—arc sin х) = = — sin (arcsin х) =—x. Далее, sin [arcsin (—x)] = — x. Следовательно, — arcsin x = arcsin (— x), что и требовалось доказать.
Например, arcsin ^— ^2 j = — arcsin ^2 = — ^; arcsin (— 1) = — arcsin 1 = — ^.
Пример 2. Доказать, что функция у = arccos х удовлетворяет соотношению arccos ( — х) = л — arccos х.
Доказательство. По определению функции у = arccos х имеем 0 < arccos (— х) < л. Далее, умножив все члены двойного неравенства 0 < arccos х < л на (— 1) и прибавив к ним л, получим двойное неравенство О С л— — arccos х < л. Откуда видно, что дуги arccos (— х) и л — arccos х заключены в одних и тех же границах, именно между Ойл. Эти дуги имеют равные значения косинуса. Действительно, cos (arccos (— х)) =— х; cos (л — arccos х) = = — cos (arccos х ) = — х. Но cos х на сегменте [0, л 1 не может принять равных значений для различных значений аргумента, поэтому
arccos (— х) = л — arccos х.
тт/1 \1л2
Например, arccos (= л — arccos - = л= - л,
\2 /233
arccos — v_ = л — arccos ±_ =л — — = -л.
\2 /244
Пример 3. Найти: a) cos (arcsin х ); б) sin (arccos х).
I arcsin х | < — , 2I arcsin х | < — , 2учитывая, чтоучитывая, чтоимеемимеемокончательноокончательноРешение, а) Воспользуемся известной формулой sin2 а + cos2 а = 1, применив ее для случая а = arcsin х. Тогда sin2 (arcsin х) + cos2 (arcsin х) = 1. Так как sin2 (arcsin х) = х2, то cos2 (arcsin х) = 1 — х2. Откуда,
I arcsin х | < — , 2
I arcsin х | < — , 2
учитывая, что
учитывая, что
имеем
имеем
окончательно
окончательно
cos (arcsin х) = )/1 — х2.
cos2 (arccos х) + sin2 (arccos х) = 1.
Так как cos2 (arccos х) = х2 и 0 < arccos х < л, то имеем sin (arccos х) = V I — я2.
Пример 4. Доказать тождество arcsin х + arccos х= -.
Доказательство. По известной формуле синуса суммы имеем:
sin (arcsin х + arccos х) = sin (arcsin х) -cos (arccos x) 4- 4- sin (arccos x) • cos (arcsin x) = x- x ~ /1 —x2 • V1 —*2= = x2+ 1 —x2= 1.
Следовательно, arcsin х + arccos x = — + 2£л, к = 0, + 1; ±2,. (1)
।2
Складывая неравенства —•— < arcsin x < -^ и 0 < arccos x < л, получим — — < arcsin x + arccos x< — л;
т. e. сумма arcsin x + arccos x не может быть больше - л
и меньше — —, 2+ arccos х = ^,и меньше — —, 2+ arccos х = ^,arcsin х +arcsin х +поэтому согласно равенству (1)что и требовалось доказать.
и меньше — —, 2
+ arccos х = ^,
и меньше — —, 2
+ arccos х = ^,
arcsin х +
arcsin х +
УПРАЖНЕНИЯ.
Найти: a) arcsin 1^А ; б) arctg “4z ; в) arccos (.
_2/3\2 /
г) arcsin 1^А\ ; д) arcsin fsin — j; е) arccos (cos (— — Й ;
X 2 )\6/\ \ з//
(
лХ/Зл\
tg — : 3) arccos (cos Зл); и) arctg tg — .4 /\4 /
Указать область определения и ранг функций:
а) у = arccos (х — 3); б) у = arcsin ^-; в) у = arctg (2 — х).
Убедиться, что функция у = arctg х нечетная: arctg (—х) = —arctg х.
Убедиться, что функция у = arcctg х удовлетворяет соотношению
arcctg (—х) = л — arcctg х.
л
Я \—-al = ctg a.Я \—-al = ctg a.Доказать тождество arctg х + arcctg х = —
Я \
—-al = ctg a.
Я \
—-al = ctg a.
Указание. Воспользоваться формулой tg
§ 21« Простейшие преобразования графиков
Мы уже видели, что геометрическое изображение функций в ряде случаев дает весьма наглядное представление о поведении функции в целом. Иногда график доставляет
единственно возможное средство решения задачи. Ниже мы приведем примеры уравнений, которые можно решить лишь с помощью графика. Поэтому очень важно по возможности упрощать построение графиков, используя для этого различные преобразования.
Так, например, если известен график функции у = f (х). то нет надобности применять общие методы, чтобы построить график функции у =— f(xY достаточно кривую, изображающую график функции у = / (х), отразить симметрично относительно оси ОХ (черт. 52).
Y
Черт, 53
Или если известен график функции y^f (х), то, чтобы построить график функции у — | / (х) |, нужно участки кривой, расположенные выше оси ОХ, оставить без изменения, а участки кривой, расположенные ниже оси ОХ, отразить симметрично относительно этой оси (черт. 53).
УПРАЖНЕНИЯ.
Используя названные преобразования, построить графики следующих функций:
V у = —х2 — 1.
у = — У.
а) у= — log2 х; б) у = I log2 х |; в) у = — I log2 х |.
у = | 2х + 1 I.
а) у = | х2 — 4 |; б) у = 1 х2 — 2х + 1 I.
Пусть f (х) = 1 — | х |. Построить графики функций F (х) = = ННхИ и H^ = F YF^L
§ 22. Сложение и вычитание графиков
Мы знаем, что при сложении функций складываются их значения для одних и тех же значений аргумента. Если известны графики функций у = f (х) и у = g(x), х £ X, то, чтобы построить график функции у = f (х) + g (х), нужно сложить отрезки (с учетом их знаков), изображающие ординаты точек графиков заданных функций для одних и тех же абсцисс. Получившиеся точки с координатами (xj f W + g (x)) соединить линией; она и будет являться графиком функции — суммы: у = f (х) + g (х).
На чертеже 54 построен график функции у = х + —„ х 5^ 0, как результат сложения графиков функций
у = х и у = 1 .х
При вычитании графиков функций у = f (х) и у ~ = g (х), х g X, можно либо вычесть отрезки (с учетом их знаков), изображающие ординаты точек графиков заданных функций для одних и тех же абсцисс и таким образом получить точки, через которые проходит график разности функций: / (х) —g (х), либо заменить вычитание сложением. Для этого нужно график функции у = g (х) отразить симметрично относительно оси ОХ и затем складывать графики функций у = / (х) и у = — g (х), как было объяснено выше. Именно таким способом построен график функции у = cos х —- Зх2 на чертеже 55.
Частным случаем сложения графиков является ностро* ение графика функции у = f (х) + Л, где А — любое действительное число. Чтобы его построить, нужно графин функции у = f (х) перенести параллельно оси ОУ на А единиц масштаба вверх, если Л > 0, и вниз, если Л < 0.
Обоснование этого правила предоставляем читателю. На чертеже 56 представлен график функции у = sin х — 3,
полученный из графика функции у = sin х параллельным переносом его вниз на три единицы масштаба.
УПРАЖНЕНИЯ
Используя сложение графиков, построить графики функций)
у = хй + -^; б) у = 2х — х2;
у = arcsin х + arccos х;
у = arctg х + arcctg х; д) у = 2х + 1.
Умножение графиков и их растяжение от оси абсцисс
По заданным графикам функций у = f (х), у = g (х), х^Х, можно построить график их произведения y = f(x')X X g (х). Поясним это на примере.
Пусть на одном чертеже изображены графики функций у = х и у = sin х. Псстроим график их произведения у = = х • sin х.
Решение. Так как функция у = х • sin х четная (она является произведением двух нечетных функций), то ее график симметричен относительно оси ОУ и его достаточно построить лишь для х > 0. Пользуясь заданными графиками, отметим точки, принадлежащие графику, их произведения. Графику функции у = х • sin х будут принадлежать все точки синусоиды у = sin х с координатами ^кл; 0), где к = 0, 1, 2, ... . Действительно, при х = кл sin х = 0 и х sin х = 0. Графику функции у = х sin х будут также принадлежать точки Ак и ВА прямых у = ± х с координатами
4- 2&л; — + 2&л и л + 2&л; — —л + 2&л , \22/\22/ ’
где к = 0, 1, 2, ... .
Проверим это, например, для точек Вк.
В самом деле, для у = — х имеем:
У ^ л + 2йл^ = — /~ л + 2&л) .(1)
Если у = х sin х, то
у л + 2йл^ = л + 2^л^ -sin f — л + 2&л\21/\2 Г\2,
(2)(2)
(2)
(2)
Сравнивая выражения (1) и (2), видим, что точки Вк принадлежат и графику функции у = х • sin х. Аналогично можно проверить, что точки Ак прямой у = х принадлежат и графику функции у = х • sin х.
Отметим указанные точки на графиках прямых и синусоиды. Соединив их плавной линией и отразив ее симметрично относительно оси ОУ, получим график функции у = = х • sin х (черт. 57).
Частным случаем умножения графиков является построение графика функции у — М • f (х), где М — число. Так как графики функций у = М • f (х) и у = —М • f(x) симметричны друг другу относительно оси ОХ, то достаточно описать это построение для М >0. Все ординаты графика функции у = М • f (х) будут по абсолютной величине лри М > 1 в М раз больше (а при 0 < М < 1 в М раз мень- 100
me) ординат графика функции y = f (х) для одних и тех же значений х. Иными словами, график функции у = М • / (х) будет представлять собой растянутый (или сжатый) от оси ОХ график функции у = f(x). Чтобы его построить, нужно ординаты точек графика функции у = f (х) умножить на М, нанести на чертеж точки с координатами (х; М • f (х)) и соединить их плавной линией. Она и будет являться графиком функции у = М • f (х).
Однако график функции у = М • / (х) можно построить иначе, без предварительного вычерчивания графика функ-
Черт. 57
ции у = f (х) (чтобы не перегружать чертеж). Для этого нужно воспользоваться разными единицами масштаба на осях координат. Именно если единицу масштаба на оси ОХ оставить неизменной, а за единицу масштаба на оси ОУ взять произведение М на старую единицу масштаба, то график функции у = М f(x) (в старых единицах масштаба) совпадает с графиком функции у = f (х), построенным в новых единицах масштаба. Поэтому построение графика можно осуществлять по следующему правилу.
Правило* Чтобы построить график, функции у = М X X f (х), М > 0, нужно перейти к новым единицам масштаба. Единицу масштаба по оси ОХ оставить неизменной.
а за единицу масштаба по оси ОУ взять произведение М на старую единицу и построить график функции у = f (х) в новых единицах масштаба.
Пример U Построить график функции у =2 cos х, используя изменение единицы масштаба на оси ОУ.
Решение. Согласно правилу единицу масштаба по оси ОХ следует оставить неизменной. Так как Л4 = 2, то единицу масштаба по оси ОУ надо удвоить. Пользуясь новыми единицами масштаба, нанесем на чертеж точки,
1); (^;0)ит. д.1); (^;0)ит. д.гумента и функции угумента и функции у= cos х, т. е. точки (0;= cos х, т. е. точки (0;координаты которых равны соответствующим значениям ар
1); (^;0)ит. д.
1); (^;0)ит. д.
гумента и функции у
гумента и функции у
= cos х, т. е. точки (0;
= cos х, т. е. точки (0;
Линия, соединяющая точки с этими координатами, будет являться графиком функции у =2 cos х в старых единицах масштаба (черт. 58)*
Пример 2. Построить график функции у = —- х24-1.
Решение. Построим сначала график функции у = ^- х2, используя изменение единицы масштаба по оси ОУ. Для этого уменьшим в два раза единицу масштаба по оси ОУ, а по оси ОХ сохраним старую единицу масштаба. Пользуясь новыми единицами масштаба, построим график функ-
ции у=х2. Получим график функции у = 1 х2 в старых единицах масштаба. Отразив этот график симметрично относительно оси ОХ, получим график функции у =—^ х2. Перенеся полученный график вверх на первоначальную единицу масштаба, получим требуемый график функции у = -^ х2+ 1 (черт. 59).
УПРА ЖНЕНИЯ.
Пользуясь умножением графиков, построить графики следующих функций: а) у = х • cos х; б) у = х* • sin х; в) у = ^115, х х ^ 0.
Пользуясь изменением масштаба по оси ОУ, построить графики следующих функций: а) у = Зх2; б) у = —х2 + 1; в) у = = 2 sin х + 2.
Построить графики следующих функций: а) у = 2л? —- 2; cos х
^ у = J в) У = 2 tg х; г) у = sin^ х — 3 sin х + 2.
§ 24. Графики функции у saf^x-Vc^ и y=f<kxY
Теорема 1. График функции у = f (х + с), » + с £Х, получается из графика функции у = f (х), х £ X, посредством перемещения его параллельно оси ОХ на | с [ единиц масштаба влево, если с>>0 (и вправо, если с < 0).
Доказательство. Рассмотрим (черт. 60) графики функций
У = 7 (х), х £ X; (1) у = 7 (х + с), х + с С X. (2)
Пусть с>0, положим, х = %ь у^ =/(xj. Точка М ^х^ У^ принадлежит графику функции (1). Если х = Xi — с, то согласно выражению (2) / (Xi — с + с) = / (xj = уь т. е. точка N (Xi — с, у^) принадлежит графику функции (2). Но точка N получается из точки М смещением ее параллельно оси ОХ влево на с единиц масштаба. Следовательно, каждой точке М (хь у^ графика функции (1) соответствует точка N (xt — с, у^ графика функции (2), которая получается из первой смещением ее влево на с единиц. Поэтому и весь график функции (2) получается из графика функции (1) сдвигом его влево на с единиц масштаба. Аналогично можно показать, что при с < 0 график функции (2) получается из графика функции (1) сдвигом его параллельно оси ОХ вправо на отрезок длиной | с |. Теорема доказана.
При практическом вычерчивании графика функции у = = / (х + с) удобнее, однако, производить не сдвиг графика функции у = f (х) относительно оси абсцисс, а сдвиг начала отсчета на оси абсцисс (в том же направлении).
Черт. 60
Например, чтобы построить график функции у = 3Х*1, перенесем начало отсчета в точку Ot (—1; 0) (определив абсциссу из уравнения: х4-1=0) и построим график функции yt=3x в системе координат ХОУГ Получим график функции у=Зх+' в первоначальной системе координат ХОУ (черт. 61).
Теорема 2. График функции у =f(kx), к > 0, кх^Х, получается из графика функции у —f (х), х ^ X, посредством растяжения его в j- раз по направлению оси ОХ.
Доказательство. Рассмотрим графики функций (1) и
у = / (Ах), кх £ X, А > 0.(3)
Пусть точка М (хь уд принадлежит графику функции (1). т. е.
У1 =№).(4)
Тогда точка ^ ( ^, У^ принадлежит графику функции (3), ибо, подставив ее координаты в соотношение (3), получим равенство
У. = /(а. ^) = Цхд,
которое совпадает с (4) (черт. 62). Но ординаты точек М и N равны, а абсцисса точки N получается из абсциссы точки М умножением на —. Следовательно, каждой точке М (хь уО к
графика функции (1) соответствует точка N —, уа
\ k /
графика функции (2) с той же ординатой и абсциссой, ум
ноженной на —. Поэтому и весь график функции (2) по- к
лучается из графика функции (1) посредством его растя-
жени я в у раз по направлению оси ОХ. Что и требовалось
доказать.
При практическом вычерчивании графика функции y = f(kx) удобнее брать разные единицы масштаба по осям координат. Именно в качестве масштаба по оси ОХ брать — единицы масштаба по оси ОУ и в этом масштабе строить к график функции у = f (я). Аналогично тому, как мы это делали в § 23 при построении графика функции у^Мх Xf (х).
Построить графики следующих функций, используя изменение единицы масштаба по осям:
Пример L у = 1g |.
Решение. Единицу масштаба по оси ОУ оставим неизмененной. Так как ^ = ^ и ~ = 2, то за единицу масштаба по оси ОХ примем две единицы старого масштаба. Пользуясь новыми единицами масштаба, построим график функции y=lgx, который и будет являться графиком функции y^lg.| в старых единицах масштаба (черт. 63).
Пример 2. у = 2 sin (Зх + -).
4
Решение. Изменим единицы масштаба на обеих осях. Так как Д4 = 2, то за единицу масштаба по оси ОУ примем удвоенную первоначальную единицу. Так как к = 3 и соответственно 1 = ^, то за единицу масштаба по оси ОХ примем * первоначальной единицы. Пользуясь новыми единицами масштаба, перенесем начало координат
уравнения х, + — = 0.) 4уравнения х, + — = 0.) 4В системе координат ХО1У1 вВ системе координат ХО1У1 вв точку 0J —- -; 0). (Абсцисса точки Ох определяется из
уравнения х, + — = 0.) 4
уравнения х, + — = 0.) 4
В системе координат ХО1У1 в
В системе координат ХО1У1 в
функ- коор-функ- коор-новых единицах масштаба построим график функции
функ- коор-
функ- коор-
Ух = sin х, который и будет являться графиком \
Зх+— в первоначальной системе
4 /
динат (черт. 64).
Замечание. Полученный график имеет большое значение в физике. Формулой S = Д sin (со/ + <р) задается закон гармонического колебательного движения. При этом А — амплитуда колебания, <о — частота, (р — начальная фаза, S — величина смещения в зависимости от времени.
УПРАЖНЕНИЯ.
Используя нужные преобразования, построить графики сле-
б) у = I х I + 2х; —2 < х < 2;б) у = I х I + 2х; —2 < х < 2;дующих функций: а) у = sin (х
б) у = I х I + 2х; —2 < х < 2;
б) у = I х I + 2х; —2 < х < 2;
л
в) у = Е (х) + 1; г) у = — — arcsin х;
(
л 2х — 7 о
4- I х — 1 | — 4, если х £ 1—3, 3].
Как построить графики функций:
М = max {/(х), g (х)} и т =min (/(х), g(x))? Рассмотрите пример:
f (х) = х — 1; g (х) = 1 — ^х.
§ 25» Применение графиков функций к решению уравнений и неравенств
Пусть требуется решить уравнение / (х) — g (х). Очевидно, решениями этого уравнения будут значения х, при которых численные значения f (х) и g (х) будут равны. В связи с этим рассмотрим графики двух функций у = = f (х) и у = g (х) в их общей области определения. Абсциссы точек пересечения графиков этих функций и будут решениями заданного уравнения. Поэтому, чтобы решить уравнение / (х) = g (х), нужно построить на одном чертеже графики функций у = f (х), у = g (х) и определить абсциссы их общих точек.
Решить указанные уравнения и неравенства с помощью графиков:
Пример 1. 2* — х — 1 = 0.
Решение. Строим графики функций у = 2х и у = = х + 1 (черт. 65). Из чертежа видно, что уравнение имеет корнями числа Xi = 0 и х2 = 1.
Решение. Построим графики функций у = cos Зх и у = ^ cos 2х, используя преобразования растяжения
от осей (черт. 66). Пользуясь этим чертежом, определим абсциссы общих точек графиков, т. е. корни заданного уравнения:
Xi ^ 0,36; х2 ~ 1,40; х3 ^ 2,58.
Пример 3. х + 2 [х 1 — 3=0.
Решение. Перепишем заданное уравнение в виде 2 [х1 = 3 — хи построим графики функций у = 21 х] = = 2Е (х) и у = 3 — х (че^т. 67). Из чертежа видно, что решением уравнения является число х = 1.
Пример 4. 2r > х2.
Решение. Для удобства построения чертежа исходное неравенство заменим рав- 2Л х2 носильным - > -. 44
Строим графики функций у = = i- 2Л и у = -^-х2 (черт. 68). Из чертежа непосредственно видим, что для всех — 0,6<х<2их>4 указанное неравенство будет иметь место.
Примечание. Из чертежа 68 видно также, что показательная функция у =2* при х > 4 растет быстрее квадратной у = х2.
Пример 5< х2 > 1g х.
Решение. Рассмотрим
графики функций у = х2
и у = 1g х (черт. 69). Видим, что это неравенство справедливо при всех х > 0.
Многие кривые, изображающие графики функций, имеют боль
шое практическое применение.
Например, графики функции у = ах2, параболы используются в технике. Параболическое сечение с уравнением у = ах2 имеют прожекторы. Квадратная парабола является траекторией полета снарядов, и подобная ей парабола ограничивает так называемую «зону безопасности», т. е. пространство, в которое не может по
пасть снаряд.
Кубическая парабола у = ах3 находит применение при прокладке железнодорожных путей. Она является переходной кривой ст прямолинейного участка пути к криволинейному.
Графики функций у = — , п— целое, положительное, на
зывают гиперболами. Они также встречаются в окружающей нас жизни. Например, форму гиперболы имеют траектории некоторых небесных тел (комет). Гиперболическое сечение имеет корпус струнных музыкальных инструментов, так как гипербола является одной из кривых, ограничивающих зону слышимости. По этой же причине форму гиперболы имеют антенны радиомачт и т. д.
Графики показательной функции # = а\ а > 0, называются экспонентами. Сечение в форме экспоненты имеют духовые музыкальные инструменты: пионерский горн, флейта и др.
УПРАЖНЕНИЯ.
Построить графики функций:а) у = х + sin х;
б) у = х2 cos х; в) у = | х — 1 | — 2 I х | + I х + 1 I — 2;
3—С) У = 2 tg х; д) у = 21 3|; е) + f )b з) у = sin (sin х);л) у ^ cos 1g х; м) у = max3—С) У = 2 tg х; д) у = 21 3|; е) + f )b з) у = sin (sin х);л) у ^ cos 1g х; м) у = maxу =3 cosу =3 cosл\
3—
С) У = 2 tg х; д) у = 21 3|; е) + f )b з) у = sin (sin х);
л) у ^ cos 1g х; м) у = max
3—
С) У = 2 tg х; д) у = 21 3|; е) + f )b з) у = sin (sin х);
л) у ^ cos 1g х; м) у = max
у =3 cos
у =3 cos
2х+~ к Ж) У™ lsin(x +
и) У ~ lg sin х; к) у = tg sin х;
{sin х, —sin х}; н) у = min (х, —х}.
Решить графически уравнения: a) sin Зх = 2 sin х; б) х3 = 2х — 5; в) tg х = Зх — 2; г) 1 — 2х + [х] = 0;
д) 2х — 3 [х] 4- 3 = 0; е) 2 | х | 4- х — 1 = 0.
С помощью соответствующих графиков убедиться в справедливости следующих неравенств:а) 2* > 1 + х, х > 0;
х2
б) х > 1g х, х > 0; в) х > sin х* 0 < х ; г) cos х > 1 — —,
— оо < х < оо; д) sin х + tg х > 2х, 0 < х < —; е) >
х2
§ 26. Разные задачи
Доказать, что I I х | I = { ж|.
Решить уравнение I ах + b | = с.
Решить неравенство lx2 + 1 | > 2.
Решить неравенство I cos х I < cos х.
Доказать, что
lx+yl=l*l+iyl.
когда ху > 0.
Доказать, что I х + У I = 1 к — у | тогда и только тогда, когда по крайней мере одно из чисел х или у равно нулю.
Доказать, что K«i • «а — ^ («1 + «д» гДе а1 > 0, а2 > 0, тогда и только тогда, когда ах = а2.
Доказать, что в арифметической прогрессии или все члены рациональны, или все члены, за исключением, возможно, одного, иррациональны.
Является ли площадь прямоугольника S функцией его периметра?
Является ли высота треугольника ft функцией его площади?
Является ли диагональ d прямоугольника, вписанного в окружность радиуса R, функцией его основания?
Является ли вес тела функцией его объема?
Обозначим через у число корней уравнения sin х = 1, расположенных на сегменте [0, ^ j; является ли у функцией величины IZ Запишите эту функцию, если 0 < t < Зя.
Убедиться, что если числа xlf ха, ..., ха образуют арифметическую прогрессию с разностью d и f (х) = ах + Ь, то числа / (^i), f (ха), ...» f (хп) также образуют арифметическую прогрессию.
Дана функция
у (*) = 7.
доказать, что
№М№М—^lX I—^lX I
№М
№М
—^l
X I
—^l
X I
Дана функция
f (х) = 2^, доказать, что если числа xv х2, ..., хп образуют арифметическую прогрессию с разностью dt то числа f (xj, f (ха), ...» f (хп) образуют геометрическую прогрессию. Вычислить ее знаменатель.
Дано
f (х) = ах.
убедиться, что:
f (х + О = Их) • Г (0;
fU=.0 = fW:f(0.
Какие значения может принимать функция / (х), если Е U (*)) = / (х).
Дана функция
для каких чисел х
/ (х) = 1;
/ (х) = 7?
20. Доказать,
/ (х) = Е (Юх), € (О, И:
то
что если
/ (х) = Е (Юх),
/ U + Д = / (х) + i
21. Дана функция
Г1, если х>0,
/ (х) = <0, если х=0,
Верно ли равенство / (х) =22. Дана функция
— для всех действительных х. 1X1
, X —- 1
/ w = -—г
убедиться, что:
6) х)
— 1.
23. Пионерский отряд, двигаясь со скоростью 4 км в час, совершил трехчасовой переход. Через полтора часа был сделан получасовой привал. Выразить длину пути S как функцию времени /.
Построить график этой функции. Отсчет времени вести от нуля; указать область определения и ранг функции.
В задачах 24—30 найти область определения указанных функций.
24.
25.
у= V1 +^ + К|х + 2|-7.
У = 1АД--1 4-lg(*s 4-1).
26.
у = Кк -Ь 5| + 1 — )/ 10 — | х | + sin 2х.
27.
28.
Г I I Т ,.1Х/ 1Х •
(х4- 1)(х— 1)
■ ■-р р^х -|- 2.
lg (1 -
t/ = )ЛЗ — х 4- arcsin —-— .
„х — 3
у = arcsin —— — lg (4 — х).
Найти область определения суммы, произведения и частного функций f (х) и ф (х) (ф (х) — делитель), если
f (х) = х2 + 1 при | х | > 5,
ф (х) = х2 — 36 при —оо < х < +оо.
Может ли четная функция иметь обратную?
Существуют ли немонотонные функции, которые имеют обратные?
Доказать, что функция
ах 4- b
сх 4- d
*меет обратную в том и только в том случае, когда по крайней мере к дно из чисел а или b не равно нулю.
ГЛАВА IV
ПРЕДЕЛЫ
§ 27# Числовая последовательность
Примем за область определения функции множество всех натуральных чисел N = {1, 2, 3, ..., л) и определим на этом множестве функцию f (п). Говорят, что значения функции / (л) (взятые в порядке возрастания аргумента л)
/(1), /(2), .... Нп\ ...(1)
образуют числовую последовательность. Числа / (1), / (2),... и т. д. называются членами последовательности: / (1) — первый член последовательности, / (2) — второй член последовательности, f (20) — двадцатый.
Функцию / (л) называют также общим членом последовательности. Зная общий член последовательности, очевидно, можно написать любой член последовательности.
Пример L
Написать первые пять членов последовательности, если:
7 (») = — ;п
/ (л) = sin л л.
Решение. Положив л равным 1, 2, 3, 4, 5, получим искомые члены последовательности:
б) sin л, sin 2л, sin Зл, sin 4л, sin 5л или 0, 0, 0, 0, 0.
Этот пример показывает, что члены последовательности могут оказаться равными.
Общий член последовательности может быть задан не обязательно формулой. Его можно задать, как и всякую функцию, словесно (описательно).
Пример 2. Написать первые пять членов последовательности, если ее общий член / (л) равен n-му десятичному знаку в записи числа л в виде бесконечной десятичной дроби.
Огюстен Луи Коши (1789—1857)Огюстен Луи Коши (1789—1857)Решение. Так как л =3, 1415925..., то/(1) =1; /(2) = 4; ДЗ) = 1; f (4) =5; /(5) =9.
Огюстен Луи Коши (1789—1857)
Огюстен Луи Коши (1789—1857)
Обозначим для удобства общий член последовательности (1) через хп , т. е. хп = /(п). Теперь последовательность (1) запишется так:
•^1» -^2» •••, ^п •••>
(2)(2)где хь х2, ... — первый, второй и т. д. члены последовательности. хп, как и f (п), называется общим членом последовательности. При п = 1, 2, 3,... мы получим из общего члена первый, второй и т. д. члены последовательности.
(2)
(2)
Пример 3« Написать первый, пятый, тридцатый и сотый члены последовательности, если ее общий член равен:
х„ = 5 + (- If 5;
б) *п= {б) *п= {— и, если п — четное число,и2, если п — нечетное.
б) *п= {
б) *п= {
Решение.
a) Xi = 0, х5 = 0, х30 = 10,х100 = 10;
Xi = 1; х5 = 25; х30 = — 30; х100 = — 100.
Члены числовой последовательности можно изображать точками числовой прямой.
Пример 4, Изобразить геометрически последовательность, общий член которой равен
если п — четное число,
х = 2п + 3
п । —— , если п — нечетное число.
I п
XXr5X3 X,— I1 Н4Ч1111111 ►
0 1 23456789 10X
Черт. 70
Решение. Выпишем члены последовательности и изобразим их точками числовой прямой:
xt =5; х2 = 2; х3 = 3; х4= 2; х5 = 2^-; х6 = 2.
Все члены с четными номерами изобразятся одной и той же точкой с абсциссой х = 2 (черт. 70).
УПРАЖНЕНИЯ.
Написать первые пять членов последовательности, если: 1 +
а) хп = 2п — 6; б) хп =; в) хп = sin 5\
Написать первый, тридцатый, сороковой и сотый члены последовательности, общий член которой хп равен:
Зп— 6
а) хп = —^— ; б) хп = 7 cos пл;
хп = а + (п — 1) d; г) хп = а^^1.
Написать первые четыре члена последовательности, общий член которой хп равен n-му десятичному знаку в разложении числа V 2 в бесконечную десятичную дробь.
Изобразить точками числовой прямой последовательности, общий член которых равен:
a) xrt = 5 + (- If 3;a) xrt = 5 + (- If 3;2п + 5*„= —2п + 5*„= —_ „+(_1)ЧВ) *П —__ „+(_1)ЧВ) *П —_
a) xrt = 5 + (- If 3;
a) xrt = 5 + (- If 3;
2п + 5
*„= —
2п + 5
*„= —
_ „+(_1)Ч
В) *П —_
_ „+(_1)Ч
В) *П —_
§ 28. Ограниченные и неограниченные последовательности
Определение. Последовательность
хь х2, ..., хп, ....хь х2, ..., хп, ....(1)(1)
хь х2, ..., хп, ....
хь х2, ..., хп, ....
(1)
(1)
называется ограниченной, если все ее члены по абсолютной величине меньше некоторого положительного числа k, т. е. | хп | < к для любого п.
Если же для любого положительного числа к найдутся такие члены последовательности, абсолютная величина которых больше к, то последовательность называется неограниченной.
Пример L Последовательность с общим членом хп = 2 sin 5п ограничена, ибо для всех значений п
|хп| = 2| sin 5м | < 2.
Пример 2. Последовательность с общим членом хп=2п не ограничена. Какое бы положительное число к мы ни взяли при п > ^, хп =2п будет больше к.
Члены ограниченной последовательности расположены на интервале (— к, k) (черт. 71).
-/< х4 х2х3 0 х, х7 х6х5 хп К
Черт. 71
Определение. Последовательность (/) называется ограниченной сверху, если все ее члены меньше некоторого числа.
Если же для любого числа М найдутся члены последовательности, большие М, то последовательность называется неограниченной сверху.
Определение. Последовательность (1) называется ограниченной снизу, если все ее члены больше некоторого числа.
Если же для любого числа т найдутся члены последовательности, меньшие т, то последовательность называется неограниченной снизу.
Пример 1. Пусть Qnw (п = 1, 2, 3, ...) есть площадь правильного вписанного в окружность fe-угольника, k = п + 2 =3, 4, 5, .
Последовательность
Qi(3\ Q2(4), Q3(5),
ограничена и снизу и сверху. Она ограничена снизу уже потому, что все ее члены положительны.
Она ограничена и сверху: Qn(/t) (и = 1, 2, 3, ...) меньше, например, площади квадрата, описанного около данной окружности.
Пример 2, Последовательность 2, 4, 6, ..., 2м,... не ограничена сверху, но ограничена снизу: любой ее член больше, например, единицы.
Пример 3. Последовательность 2,—4, 6, — 8, ..., (—I)""1 2м,... не ограничена ни сверху, ни снизу.
Пример 4* Последовательность —1, —3, —5, ..., — (2м — 1), ... ограничена сверху: любой ее член меньше, например, нуля, но не ограничена снизу.
Ограниченная последовательность ограничена и сверху, и снизу, ибо все ее члены больше, чем — к. и меньше, чем к.
И обратно, последовательность, ограниченная и сверху, н снизу ограничена.
УПРАЖНЕНИЯ.
Какие из следующих последовательностей ограничены сверху, какие снизу? какие ограничены?
п2 —3
3 — 2п
3. хп —
2п2
4. хп.
п
п + 2
Зя- 1
5. хп =
—
6. хп —
Зп
п
7. хл =
2rt — 1
2м
8. хп = Уп + 1 - У^
G г —1 J__L-L 4-4- .
" n '1 . 2 1 2.3 ' 3• 4 ++ n (n + 1)
111
Указание. Записать —— в виде разности — — ———.
n(n+l)л n+1
р + 22 4- З2 + ... + л2
Ю.х„= .
хп = sin а + cos па.
2п, если четное число,
хп =. л
sin п — , если нечетное число. 2
хя=(-1)Л(п2 + 1).
х„ = (- 1)^ [(— 1)” + 1]п.
§ 29* Монотонные последовательности
Определение. Если в последовательности
Xi, %2> ^3> •••»^п» "•
каждый предыдущий член меньше последующего:
Х^ <^ Х2, ^ Х3 <^ ••• < хп <2 хД+1 <Z ... ,
то последовательность (/) называется возрастающей.
Определение. Если в последовательности (1) каждый предыдущий член больше последующего; ^ > х2 > ••• > > хп> ..., то последовательность (/) называется убываю
щей.
Пример 1. Будем строить правильные многоугольники, вписанные в окружность, последовательно удваивая число их сторон (черт. 72).
Число сторон этих многоугольников будет возрастающей пос ледовател ьностью.
Внутренние углы образуют возрастающую последовательность.
Периметры этих многоугольников образуют возрастающую последовательность.
Площади многоугольников также образуют возрастающую последовательность.
Центральные углы, напротив, образуют убывающую пос ледовател ьность.
Пример 2. Последовательность с общим членом 2м — 1»
хп =возрастающая, здесь хп<лпН для всех значении п. п
В самом деле, так как х/г+1 =В самом деле, так как х/г+1 =, 2 (м 4- 1) — 1 _ 2м + 1
В самом деле, так как х/г+1 =
В самом деле, так как х/г+1 =
2м 4- 1 2м — 1то хп+1 — х„ = —— п + 1 п2м 4- 1 2м — 1то хп+1 — х„ = —— п + 1 пм 4- 1 м 4- 1
2м 4- 1 2м — 1
то хп+1 — х„ = —— п + 1 п
2м 4- 1 2м — 1
то хп+1 — х„ = —— п + 1 п
—- — >0
(«+ О"
и справедливо неравенство хп<хп+1 (п= 1, 2, ...).
Пример 3. Последовательность с общим членом хп = — м убывающая: для всех значений п справедливо неравенство
хп > ^п+г
Пример 4. Последовательность с общим членом хп — ^—1)"7—5, т. е. последовательность —12, 2, —12, 2,..., очевидно, не будет ни возрастающей, ни убывающей.
Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными.
Замечание. К монотонным последовательностям относят также так называемые неубывающие и невозрастающие последовательности.
Определение. Последовательность (/) называется неубывающей, если x^ < х2 < х3 < ... < хп < х^ <... и невозрастающей, если х4 >х2 >х3 >... ^хл>хл+1 > ... .
У возрастающей последовательности каждый член больше предыдущего, а у неубывающей каждый член или больше предыдущего члена, или равен ему. Может даже так случиться, что все члены неубывающей последовательности будут равными.
Пример. Примем за первый член последовательности xt площадь треугольника с вершиной в точке Д1(1; 1),
за второй член х2 — площадь треугольника с вершиной в точке Л2 (2; 1) и т. д. Две другие вершины всех треугольников находятся в точках О (0; 0) и С (2; 0) (черт. 73).
Очевидно, х4 = 1; х2 = 1; ...; хп = 1; ..., получим последовательность 1, 1, 1, ... , 1, ... , которая будет являться неубывающей.
УПРАЖНЕНИЯ.
В задачах 1—11 найти, какие из указанных последовательностей являются возрастающими, убывающими, неубывающими, невозрастающими, а какие из них не являются монотонными.
1.
хп —
2^-4 п *
,^ + 2
7. хп =.
2п
2.
хп "
п + 2
8. хп = п2 — 5п 4- 6.
3.
4.
хп =
хп =
2/ИЗ п *
п + 5
9. хп = Е (1g и). (- О" 10"- п •
п» + (- 1)"п
5.
Хп —
п
л2 + 3
2/i2*
хп —
И2 + 1
§ 30. Арифметические действия над последовательностями
В § 10 мы рассмотрели арифметические действия над функциями. Так как последовательности являются функциями, определенными на одном и том же множестве — множестве всех натуральных чисел, то над ними также можно производить арифметические действия.
Будем последовательность
*ь х2, ... , хп1...(I)
записывать так:
(2) подразумевая, что п принимает значения 1, 2, 3, ... .
Определение., Суммой последовательностей {хп| и \уп\ называется последовательность IzJ, где гп = хп 4- yw (п = /, 2, ...), т. е.
Kl = (xn+y„}.
Например, суммой последовательностей {1 +(— 1)п) и { -Ц является последовательность (1 + (—1)п + — 1, т. е. (mJ(mJ
последовател ьность
Аналогично определяется разность последовательностей.
Определение. Произведением последовательностей {лп) и {yj называется последовательность {zj, где га = хп . уп (п = /, 2, 3, ...), т. е.
{z„)=(x„-t/n}.
Например, произведением последовательностей {1 4
— | является последовательность /— L П J(nJ
т. е. последовательность
0, 1, 0 1, 0
Определение. Частным последовательностей \хп\ и {t/n| называется последовательность {z№|, где г„ = — Уп
{п = 1, 2, 3, ...), rn. е.
Очевидно, сумма, разность и произведение двух последовательностей всегда существуют, а частное существует только в том случае, когда все члены последовательности (t/n|
отличны от нуля. Так, если уп = -^0 (л = 1, 2,...),
то частным последовательностей {1 + (—1)”| и
является последовательность {[1 + (— 1)"] п\, т. е. последовател ьность
О, 4, 0, 8, 0, 12, 0, 16,... .
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Найти сумму, разность, произведение и частное последовательностей (если это возможно):
Найти сумму последовательностей <} и { 1 .
Iп )(п )
Являются ли данные последовательности ограниченными? Какой будет их сумма?
Найти произведение последовательностей {х„} и {уп}, если:
f 2п, если п— нечетное число, I 5, если п — четное число;
„ _ I 1 , если п — нечетное число, Уп— \ 7F
I cos/г, если п — четное число.
Являются ли данные последовательности ограниченными? Будет ли ограниченной последовательность ^хп • </„}?
Может ли произведение двух неограниченных последовательностей быть ограниченной последовательностью?
Рассмотрите разность последовательностей {h п\ и (л|. Можно ли отсюда сделать вывод, что разность двух возрастающих последовательностей может быть убывающей? Приведите другие примеры.
$ 31. Предел числовой последовательности
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1< Возьмем ]/2 . Извлекая корень с точностью до единицы, десятой, сотой и т. д., мы получим последовательность
Хь х2, Хп, ..., где %! = 1; х2 = 1, 4; х3 = 1,41; ... .
Члены этой последовательности с ростом номера и приближаются к V2 . Так, | Xi — К2 | < 1; I х2 — К2~|< - ;
Возьмем произвольное положительное число е. Оно может быть очень малым. Возьмем, например, его равным
—— . Тогда I — V 2"| < —— ;
1Q100•|q100
|х|02 — К2|<—L < —L ;|х|/2| <—— <—^- ’
’101011Q100 ’ 1|Q102 jQioo
вообще при п > 100 I хл — V2 | <.
Итак, для взятого нами е нашлось такое натуральное число N, равное 100, что при п > N выполняется неравенства 1^-Г2 1<8.
Пример 2. Известно, что л =3,14159... . Пусть хп содержит первые п десятичных знаков этого разложения, т. е.
хх =3,1; х2 =3,14; х3 =3,141; ... .
Мы получили последовательность хь х2, ...» хп, ...» члены которой с ростом п стремятся к числу л. С ростом номера п разность хп — л по абсолютной величине, т. е. | хп — л |, становится все меньше и меньше. Так,
I xt — л! < ^ -; | х2 л I < юг * ।Хз л I <I xt — л! < ^ -; | х2 л I < юг * ।Хз л I <1ю31ю3И т. д.И т. д.
I xt — л! < ^ -; | х2 л I < юг * ।Хз л I <
I xt — л! < ^ -; | х2 л I < юг * ।Хз л I <
1
ю3
1
ю3
И т. д.
И т. д.
Поэтому и здесь, какое бы мы ни взяли положительное число е (хотя бы и очень малое), можно указать такое натуральное число N, что при n>N будет выполняться неравенство |х„ — л|<е. Возьмем, например, е= ^—
Очевидно, е > —. Но | х5 — л I < — , |хв— л| < — < —,
|х7—л||х7—л|110’ < 105110’ < 105и т. д.и т. д.
|х7—л|
|х7—л|
1
10’ < 105
1
10’ < 105
и т. д.
и т. д.
Поэтому здесь N можно взять равным 4. При п>4 всегда будет выполняться неравенство \хп—л|<е, где
11
79 837105
Если е взять меньше, чем , то, вообще говоря,
79 837
N придется взять больше 4.
Так, для е = —!— или е = —— все еще годится У, 92 38599 999
равное 4. Эти значения е все еще больше ^-. Но уже
для е =N придется взять другим, именно равным 1 292 385
6. Теперь — >е>— и I — л|< —<8, если м7, ю6 ю7 ”107
8, 9, ... , т. е. если п > N = 6.
Пример 3. Рассмотрим последовательность с общим 2п — 5
членом хп =, т. е. последовательность
п
Q 113.79 лж 1*•• • ••
234’6’7
Изобразим члены этой последовательности точками числовой прямой (черт. 74).
1 3 7 9
23 4 1672
Из чертежа видно, что члены последовательности с увеличением номера п все ближе и ближе расположены к точке 2. Покажем, что разность между членами последовательности и числом два по абсолютной величине, начиная с некоторого значения номера л, которое мы обозначим через N + 1, будет меньше любого наперед заданного положительного числа е. Положительное число е можно взять любым. В частности, его можно взять очень и очень малым. Пусть, например, е = -^. Тогда, начиная с номера N + 4- 1 = 1001, указанная разность будет меньше е = -^-. Проверим это. При п = 1001 будем иметь:
12 . 1001 - 52 I I 252 |55 =_1_
I 1001111001!1001< 1000200 *
При п = 1002:
I 2 • 1002 - 5 _ 21 = 5 < 5 — 1
[1002I 1002 < 1000200 *
Вообще при л > N = 1000:
12л 5 q I 5.51\
2 = — <= — ( л = nY
| n I п 100020017
Возьмем теперь е = —. Начиная с номера N + + 1 =4001, разность между членом последовательности и числом два по абсолютной величине будет меньше, чем 8 = ^. Проверим это. При л = 4001 имеем:
2.4001 — 5 _ 2 I = I 252 I = — < 5 = —
4001I ~ I4001' I “ 4001 < 4000 ~ 800 *
При л = 4002:
55140024000 " 800 *55140024000 " 800 *I 2-4002-5
551
40024000 " 800 *
551
40024000 " 800 *
4002
Вообще при п> N = 4000:
2п —5 п2п —5 п55 = J-п 4000 — 800 *55 = J-п 4000 — 800 *
2п —5 п
2п —5 п
55 = J-
п 4000 — 800 *
55 = J-
п 4000 — 800 *
Если бы мы взяли е равным другому положительному числу, то нашелся бы новый номер N, такой, что, начи-
ная с номера Af + 1, указанная разность была бы меньше е. Таким образом, какое бы ни взяли положительное число 8, найдется такой номер N, что при п > N, т. е. при п = N + 1, N + 2, ... и т. д., члены последовательности будут удовлетворять неравенству
I ^л — 21 < е.
В этом случае говорят, что число 2 является пределом заданной последовательности или что последовательность сходится к числу 2, и записывается это так:
ПшХд = 2, или Пт хп = 2.
П -* 4- ОО
Аналогично в примерах первом и втором числа ]^2изт являются пределами рассмотренных последовательностей.
Определение. Число а называется пределом последовательности
Х1, х2, ..., хп1 ...,(1)
если для любого положительного числа е можно найти такое натуральное число N, что для всех значений п, удовлетворяющих неравенству п> N, будет выполняться неравенство
\Хп~а\ <е,(2)
т. е. расстояние между точкой а и точками хп, номер п которых больше N, будет меньше е.
Запись:
Птхл = а, или Нт хп = а.
л -> 4"30
(ПЛ
Пример 4. Пусть хп = —- . Покажем, что после- п
довательность с таким общим членом сходится к нулю, т. е.
Пт хп = 0.
С этой целью рассмотрим разность
I пI ппп
I п
I п
п
п
Возьмем произвольное положительное число е и будем искать такое натуральное число N, чтобы при п> N вы-
полнилось неравенство | хл — 0 | < е. Для этого, очевидно, достаточно, чтобы выполнялось неравенство
£п£пе.е.
£
п
£
п
е.
е.
А оно будет выполняться, если взять п> — . Таким образом,Nнужновзятьцелымчислом,неменьшимчисла
21271
— .Например,еслие=—,то —=—= 13—и^мож-
е27е22
но взять равным 14. Действительно, при n>N = 14
xn — 0 = — < — = — < — .
n 1 n 142827
Нетрудно убедиться, что последовательности с общими
членами хп = - , xn =v—-— и многие другие также пп
сходятся к нулю. Следовательно, различные последовательности могут иметь один и тот же предел. Если последовательность не имеет предела, то она называется расходящейся. Примером расходящейся последовательности может служить последовательность с общим членом
j^ = (—1)" 5": — 5, 25, — 125,....
Члены этой последовате.льности не накапливаются около одной точки числовой прямой, поэтому она не имеет предела, т. е. расходится.
. Окрестность точки.
Возьмем на числовой прямой точку а.
Определение. Любой интервал числовой прямой с центром в точке а называется окрестностью точки а.
Для одной и той же точки можно указать сколько угодно окрестностей. Например, каждый из интервалов
(а — 1; а + 1); ^а — у; а + ^ ; (а — 2; а + 2) и т. д.
является окрестностью точки а (черт. 75).
а-г а-1 а-^ а аЦ а+1 а+г
Черт. 75
Теперь мы можем сказать, что если а = lim хп, то, какую бы мы ни взяли окрестность точки а {а —е; а + е) (черт. 76), найдется такое натуральное число N, что для всех п> N член последовательности хп будет находиться в этой окрестности. Или, что то же самое, члены последовательности х#+ь -^^+2, х^+з, ... будут находиться в этой окрестности.
а-с а хп а+в О|^ иШ
X
Черт. 76
Теорема L Последовательность не может иметь двух различных пределов.
Доказательство. Предположим, что последовательность |хп} имеет два различных предела а и Ь. Пусть, например, а < Ь. Возьмем положительное число е таким, чтобы интервалы (а — е; а + е) и (Ь — е; b + е) не пересекались (черт. 77). Так как b является пределом пос-
а-с а а+е b-c b Ь+е
Черт. 77
ледовательности {хп} , то в окрестности (Ь — е; Ь + е) будет находиться бесконечное множество членов этой последовательности. Тогда вне окрестности точки а, т. е. вне интервала ^а — е; а + е), будет находиться бесконечное множество членов последовательности {хп}. Но это невозможно, так как из определения предела последовательности следует, что вне этой окрестности может находиться лишь конечное число членов последовательности. Полученное противоречие доказывает единственность предела.
Теорема 2* Последовательность, имеющая предел, ограничена.
Доказательство. Пусть последовательность
хр х2, ... , хп,...(1)
сходится к числу а, т. е. lim хп = а.
Рассмотрим окрестность точки а, (а — е, а + е). Вне этой окрестности может находиться лишь конечное множество членов последовательности (1). Поэтому среди них существует наиболее удаленный от точки а. Обозначим его расстояние от точки а через к. Тогда все члены последовательности будут принадлежать сегменту [а — к, а -V к\
а-К а-е хп а а+е а+к(Чо ))_
X
Черт. 78
(черт. 78). Следовательно, последовательность (1) будет ограниченной.
УПРАЖНЕНИЯ.
Исходя из определения предела последовательности, доказать, , 4п—12п 4- 1 Л , sin а Л
что: а) Игл =4; б) lim = 2; в) Нт=0.
пп — 3п
Для каждой из следующих последовательностей:
напишите несколько первых членов; 2) подберите число Ь, которое могло бы быть ее пределом; 3) убедитесь, что это число b является пределом последовательности (найдите N из неравенства |х„ — 6 I <е).
а)Ы; 6)wi): в)Ы; г)(^4}:д)и+^г
Бесконечно малые последовательности
Рассмотрим последовател ьность I —^-1. Она имеет предел, равный нулю. В самом деле,
1(— О" о|-1 <-1)"| . 1 ,
I 2n I I 2n I 2/1
Зададим произвольное положительное число е и решим неравенство ^- < е относительно п; получим л> ^- .
то прито приСледовательно, если N принять равным Е ^^ , п> N будет выполняться неравенство
то при
то при
(1)
а это и означает, что заданная последовательность имеет предел, равный нулю.
Из неравенства (1) следует, что при п> N = Е ^—) будет выполняться неравенство
I (- 1)"I 2пI (- 1)"I 2п88
I (- 1)"
I 2п
I (- 1)"
I 2п
8
8
Такая последовательность называется бесконечно малой.
Определение. Последовательность {art} называется бесконечно малойу если для любого положительного числа е начиная с некоторого значения п будет выполняться неравенство
Ы<е.(2)
{2 1 п ) бесконечно малая. Решение. Зададим произвольное положительное число е и покажем, что начиная с некоторого значения п будет выполняться неравенство
|^<=.(3)
I 2 I 2Так как п > 0, то — = — , и поэтому достаточно рас-I п I псмотреть неравенство2 _— < 8.П
Решив его относительно л, будем иметь:
п>-(4)
е
Для значений п, удовлетворяющих неравенству (4), будет выполняться неравенство (3).
2
Действительно, при п > — будем иметь:
— ! — — —
n I п 2 в
Откуда следует, что последовательность есть беско
нечно малая.
Пример 2. Убедиться, что последовательность ( -±-
I п J не является бесконечно малой.
Решение. Предположим, что последовательность —} является бесконечно малой.
Пользуясь произволом выбора е, возьмем е = у . Так как мы предположили, что последовательность является бесконечно малой, то начиная с некоторого значения п должно выполняться неравенство —!— < у или неравен- п -}- 1, 1п -)- 11
ство < — , которое противоречиво, ибо> I.
п 2п
Полученное противоречие доказывает, что последова- тельность { —!— } не является бесконечно малой. I п I
Очевидно, любая бесконечно малая последовательность сходится к нулю и, обратно, последовательность, сходящаяся к нулю, является бесконечно малой.
УПРАЖНЕНИЯ.
1.3.1.3.В задачах 1—4, исходя из определения бесконечно малой последовательности, убедиться, что заданные последовательности являются бесконечно малыми.
1.
3.
1.
3.
J sin п + 2 cos п
I п
В задачах 5—6 убедиться, что заданные последовательности не являются бесконечно малыми.
5.5.2/гЧ-ЗП + 12/гЧ-ЗП + 1Зп — 6 12и JЗп — 6 12и J
5.
5.
2/гЧ-З
П + 1
2/гЧ-З
П + 1
Зп — 6 1
2и J
Зп — 6 1
2и J
Некоторые свойства бесконечно малых последовательностей
Теорема L Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Пусть |ап} и {Рп} — бесконечно малые последовательности. Докажем, что и их сумма, т. е. последовательность {ап + РпЬ является бесконечно малой. Зададим произвольное число е. Так как 5ап| и (рп) — бесконечно малые последовательности, то для положительного числа ~ найдется такое натуральное число N, об
щее для обеих последовательностей, что для всех п> N будут выполняться неравенства
1«п1<|(1)
и
IPnKf.(2)
Но
|ап + М<1«п1 + Ш.(3)
Поэтому при п> N будет выполняться неравенство
К + М <f +f = е.(4)
А это и означает, что последовательность {an + PJ есть бесконечно малая.
Замечания. 1. Методом математической индукции можно доказать справедливость теоремы для любого конечного числа слагаемых. Докажите.
2. Так как а„—р п = ап + (— рп) и последовательность {—рл} будет бесконечно малой одновременно с {рл}, то можно сказать, что разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Теорема 2. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Пусть {xj есть ограниченная последовательность, а jan) — бесконечно малая. Надо доказать, что последовательность (хп • aj есть бесконечно малая.
В силу ограниченности последовательности |хЛ| найдется такое положительное число К, что для всех значений п будет выполняться неравенство
IxJ <К.(5)
Зададим положительное число е. Так как последовательность {ап} бесконечно малая, то для положительного числа - найдется такое натуральное число N, что при К
п> N будет выполняться неравенство
|«п|<|.(6)
Л
Тогда при п > N в силу неравенств (5) и (6) будет выполняться неравенство
l^-«„l = kn|-|art|</<^ =е, т.е.Л
I хп • ап | < е (n > Ny
А это и означает, что последовательность (хп • aj есть бесконечно малая. Теорема доказана.
Следствия^
/. Так как сходяид^аяся последовательность является ограниченной, то произведение сходящейся последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Теорема 3, Чтобы последовательность {хп) имела пределом число а, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство хп = а + ап, где {an} — бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Условие необходимо. Если
limхп = а и ап = хп —а, то для любого положительного числа е найдется такое натуральное число N, что при п> N будет выполняться неравенство | ап | = | хп — я | < е, а это и означает, что последовательность (ап) есть бесконечно малая. Необходимость условия доказана.
Условие достаточно. Пусть хп = а + ал и а№}—бесконечно малая последовательность. Надо доказать, что число а является пределом последовательности {хл|. Так как {ап} —бесконечно малая последовательность, то для любого положительного числа е найдется такое натуральное число N, что при п> N будет выполняться неравенство
|ccj<e (n>N).(7)
Но хп — ап =а . Поэтому в силу неравенства(7) для всех n>N будет выполняться неравенство
I хп — а | < е,
т. е. последовательность (хл) сходится и имеет своим пределом число а. Теорема доказана.
Очевидно, теорему 3 можно так сформулировать:
Для того чтобы последовательность {хл| сходилась к числу а, необходимо и достаточно, чтобы последовательность (хл — а\ была бесконечно малой.
§ 34. Теоремы о пределах последовательностей
Теорема L Если все члены последовательности равны числу с, то последовательность сходится к этому числу.
Доказательство. Пусть все члены последовательности {хл( равны с, т. е. хп = с (п = 1, 2, 3,...). Тогда при любом значении п разность хп — с будет равна нулю: хп — с = с — с = 0, т. е. последовательность \хп — — с} = {0} является бесконечно малой. В таком случае по теореме 3 § 33 последовательность {хл} сходится к числу с, т. е. limxn = c. Теорема доказана.
Теорема 2, Если последовательности {хл| и (ул) имеют, пределы, то их алгебраическая сумма (хп + уп\ тоже имеет
предел, который равен сумме пределов данных последовательностей, т. е.
Ит(х„ ± у„) = limxn ± limyn.
Доказательство. Пусть lim хп = a, Пт уп = Ь. Тогда по теореме 3 § 33 имеем:
хп = а + «п и уп = b + p„,(1)
где {ап} и {Рп}—бесконечно малые последовательности. Таким образом,
кхп ± у„) = (а ± 6) +(а„ + рп).(2)
Последовательность |ап ± рп} является бесконечно малой, поэтому из равенства (2) в силу той же теоремы 3 §33 следует, что последовательность {хп ± уп\ имеет предел, равный а ± Ь, т. е.
lim (х„ ± у^ = lim хп ± lim уп.
Теорема доказана.
Методом математической индукции теорему можно доказать для любого конечного множества слагаемых.
Теорема 3. Если последовательности (хп) и |уп) имеют пределы, то их произведение (хп • уп\ тоже имеет предел, который равен произведению пределов данных последовательностей, т. е.
lim (хп • yn) = (lim х„) • (lim уп\
Доказательство. Рассуждая, как в доказательстве предыдущей теоремы, придем к равенству
хпУп = (« + а„) • Ф+Р„),(2)
где (ап) и (рп) — бесконечно малые последовательности. Очевидно,
х„Уп = ab + фпЬ + ар„ + «А)-(3)
Каждая из последовательностей |6ап}, {а0п} и |а„ 0П] является бесконечно малой. Поэтому последовательность \Ьап + арп + «п Рп) тоже есть бесконечно малая. В таком случае на основании теоремы 3 § 33 из равенства (3) следует, что последовательность \хп, уп} имеет предел, равный ab, т. е.
lim(x„yn) = ab,
или
li m (xnyn)=(1 i m x„) -(И m t/n).
Примечание. Методом математической индукции теорему можно доказать для любого конечного множества сомножителей. Докажите.
Следствие. Если {хп} — сходящаяся последовательность ис — произвольное число. то
lim(cxn) = climxn, т. е. постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Например, Игл (7хп) = 7 Игл хп.
Доказательство теоремы о пределе частного несколько сложнее, поэтому мы приведем ее без доказательства.
Теорема 5. Если последовательности {хп} и \уп^ имеют пределы и если уп =/=0 и Нт уп =/=0, то последовательность тоже имеет предел, причем
lim^ = 1т
Уп ^Уп
Определение. Последовательности {хп} и (yj называются равными, если все их соответствующие члены равны*. хп = уп (п = 1,2, ...).
Например, последовательности с общими членами 2ц — 5п 5
хп = и уп = 2суть равные последовательности.
Теорема 6. Если последовательности |хп} и \уп\ равны и последовательность (хп) имеет предел, равный а. то и последовательность \уп\ имеет предел, который также равен а.
Справедливость теоремы очевидна, ибо из того, что хп = а + ссп, где ( ап) — бесконечно малая последовательность, следует, что и уп = а+ ап, т. е. что lim хп = lim уп = = а.
Приведем без доказательства еще две теоремы.
Теорема 7. Если сходящиеся последовательности {хп| и \уп\ удовлетворяют условиям хп < уп. то
Птхя< Птул
(в пределе неравенство может перейти в равенство).
Теорема 8. Если последовательности {xnj, [z/nj и |z„} удовлетворяют условию
Xn<Zn<y„ U если lim xn = lim уп = а, то
Пт г„ = а.
Теоремы 6, 7, 8 выражают свойства пределов в равенствах и неравенствах.
Наглядно их можно представить следующими схемами:
хп-3пXh<ynХп<2„<Уп
4414" 4 >4
а — bа <Ьа
Пример. Найти
lim
6п2 + 8п + 2
Решение. И числитель, и знаменатель неограниченно возрастают, когда л -> + со. Для знаменателя это очевидно; для числителя же это легко усмотреть из равенства
3п2-п + 7 = г?(3— - + -\\ п п2;
поэтому теорему о пределе частного здесь сразу применить нельзя. Разделим числитель и знаменатель данной дроби на п2. В результате получим:
17
3— - + -
Зп2 — п + 7 пп2
6n2 + 8n + 2™82 *
6+- + п и2
Теперь, используя доказанные теоремы о пределах, получим:
пlimG— ~3—lim — + 71im
Пт 3n2 — n + 7 _п п2) п п2 _
6п2 + 8п + 2— , /82\ “ ,1 rtt 1
hm 6-j-— +— )6 + 8 lim —+2 lim—
\пп2/п п2
_ 3—0 + 7 -0_ £
6 + 8.0 + 2.0” 2’
УПРАЖНЕНИЯ.
Найти
: пределы последовательностей:
1.
Нт
10 я3 + Ц — 5
2п3 — 5п + 4 *
2.
Ит
п2 — 2д + 2
Зп2 + 6п+ 12’
3.
Нт
— 7п4 4- 6п2 — 1
8л4 — л + 6 '
4.
Пт
Зл2 + 8
Л2 +п—Г
5.
Пт
(л-1)(л + 5)
П2 4" П + 1’
6.
Пт
(л+1)(„2 +1) л2 (Зл + 7)
§ 35, Существование предела у монотонныхпоследовательностей
Числовая последовательность, как мы убедились, не всегда имеет предел (§ 31). Но для такого важного класса последовательностей, как монотонные, можно указать условия, при выполнении которых последовательности имеют предел. Справедливы теоремы.
Теорема 1. Возрастающая последовательность, ограниченная сверху, имеет предел.
Доказательство. Пусть последовательность чисел
ХЪ Х2, ...» хп, ...(1)
возрастает. Представим члены этой последовательности в виде бесконечных десятичных дробей. Причем для чисел, допускающих два представления, будем брать запись, содержащую бесконечно много раз цифру 9.
*1 = А» Р1Р2Р3 ••• Х2= Л2, ЦхЯгЯа--. Х3~ ^3» rWe***
где Ль Л2,... — целые части xlf х2, ...; a pb qb rb ... (/ = 1, 2,...) цифры от 0 до 9. Так как последовательность (1) ограниченная, то числа Ап не могут неограниченно возрастать. Но последовательность (1) возрастающая, поэтому члены последовательности
Аь Л2, ..., Ап, ...Аь Л2, ..., Ап, ...(2)(2)
Аь Л2, ..., Ап, ...
Аь Л2, ..., Ап, ...
(2)
(2)
после достижения некоторого наибольшего значения должны сохранять одно и то же значение. Обозначим это наибольшее число через А и предположим, что оно достигнуто в No строке. Будем те-
Карл Вейерштрасс (1815— 1897)Карл Вейерштрасс (1815— 1897)перь пробегать второй столбец Pv Я\* И»---» сосредоточив внимание на членах No и последующих строках. Если ах есть наибольшая в этом столбце после No строки, то эта цифра будет всегда повторяться после своего первого появления, которое, предположим, произошло в Nx строке, где ^1 ^ ^0 (в силу монотонности последовательности (1) эта цифра уменьшиться не может). Затем рассмотрим цифры рг, 92» /"2... третьего столбца, в котором также, начиная с некоторого целого числа N2>NU цифры будут повторяться, пусть это будет аг. Повторяя это рассуждение для 4, 5-го и т. д. столбцов, получим цифры а3, а4,... и соответствующие целые числа N3> N4, ... .
Карл Вейерштрасс (1815— 1897)
Карл Вейерштрасс (1815— 1897)
Число
есть предел последовательности (1). Действительно, зададим произвольное положительное число е и возьмем число т таким, чтобыесть предел последовательности (1). Действительно, зададим произвольное положительное число е и возьмем число т таким, чтобывыполнялосьвыполнялось1 неравенство -^^1 неравенство -^^< е.< е.Тогда для всех п > NmТогда для всех п > Nmцелая часть и первые т цифр после запятой у чисел хп и а будут совпадать, так что будет выполняться неравенствоцелая часть и первые т цифр после запятой у чисел хп и а будут совпадать, так что будет выполняться неравенство1хп—а|<1хп—а|<1КУ»1КУ»8.8.а = A, aL, аг,...
есть предел последовательности (1). Действительно, зададим произвольное положительное число е и возьмем число т таким, чтобы
есть предел последовательности (1). Действительно, зададим произвольное положительное число е и возьмем число т таким, чтобы
выполнялось
выполнялось
1 неравенство -^^
1 неравенство -^^
< е.
< е.
Тогда для всех п > Nm
Тогда для всех п > Nm
целая часть и первые т цифр после запятой у чисел хп и а будут совпадать, так что будет выполняться неравенство
целая часть и первые т цифр после запятой у чисел хп и а будут совпадать, так что будет выполняться неравенство
1хп—а|<
1хп—а|<
1
КУ»
1
КУ»
8.
8.
Откуда следует, что Игл хп = а, т. е. последовательность (1) сходится. Теорема доказана.
Пример. Последовательность периметров правильных вписанных в окружность многоугольников, число сторон которых неограниченно удваивается, есть возрастающая последовательность, все члены которой меньше периметра описанного около окружности квадрата. Поэтому она имеет предел. Этот предел называется длиной окружности.
Теорема 2. Убывающая последовательность, ограниченная снизу, имеет предел.
Например, последовательность с общим членом
убывающая:убывающая:^П *> ^п + 1 (^ 1> 2, 3, ...)
убывающая:
убывающая:
и ограничена снизу: хп > 0. Поэтому эта последователь’ ность имеет предел. Он равен нулю. (Убедитесь в этом.)
§ 36. Число е. Натуральные логарифмы
Известно большое значение в геометрии числа л. Другим не менее важным числом в математике является число е, представляющее предел некоторой последовательности.
Рассмотрим последовательность, общий член которой
(1)
Эта последовательность имеет предел.
Доказательство этого факта опирается на лемму.
(1 + а)" > 1 + яа(1 + а)" > 1 + яа(2)(2)Лемма. Для любого действительного числа а > — 1 (а #= 0) при п = 2, 3, ... справедливо неравенство
(1 + а)" > 1 + яа
(1 + а)" > 1 + яа
(2)
(2)
(3)(3)
(3)
(3)
(при п = 1 или а = 0 неравенство (2) обращается в равенство).
Доказательство. Применим метод математической индукции. При и = 2 будем иметь:
(1 + а)2 = 1 + 2а + а2 > 1 + 2а.
Теперь предположим, что неравенство (2) справедливо при п = kt и докажем его справедливость при п = к + 1.
В силу предположения (1 + a)fe > 1 + ка, поэтому
(1 + a)»+i = (1 + а)* (1 + а) > (1 + *а) (1 + а) = 1 + (й + 1)- +
+ а2£ > 1 + (А + 1) а, ибо йа2 > 0.
Докажем теперь, что последовательность (1) имеет предел.
рассмотрим вспомогательную последовательность с общим членом „ _ /1 _i_ 1\л+1, о\
Убедимся, что она убывает и ограничена снизу. В самом деле,
/п 4- 1 V+1Уп- НН/п 4- 1 V+1Уп- ННУп-1Уп-1Далее,У п-1 __УпДалее,У п-1 __УпПп Пп+гПп Пп+г(п-1)л(п+1)л+1(п-1)л(п+1)л+1(п2)^1(П2_1^+1(п2)^1(П2_1^+1п — 1п — 1пп
/п 4- 1 V+1
Уп- НН
/п 4- 1 V+1
Уп- НН
Уп-1
Уп-1
Далее,
У п-1 __
Уп
Далее,
У п-1 __
Уп
Пп Пп+г
Пп Пп+г
(п-1)л(п+1)л+1
(п-1)л(п+1)л+1
(п2)^1
(П2_1^+1
(п2)^1
(П2_1^+1
п — 1
п — 1
п
п
Но в силу неравенства (2)
(И2)п~1 (^-l^+l™1\ Л+1(И2)п~1 (^-l^+l™1\ Л+1"+1 _ Г (п2 - 1) + 1 л+1"+1 _ Г (п2 - 1) + 1 л+1п2-1п2-1i+^+D'-AtП2 — 1i+^+D'-AtП2 — 11 п/1 — 1 П — 11 п/1 — 1 П — 1
(И2)п~1 (^-l^+l™
1\ Л+1
(И2)п~1 (^-l^+l™
1\ Л+1
"+1 _ Г (п2 - 1) + 1 л+1
"+1 _ Г (п2 - 1) + 1 л+1
п2-1
п2-1
i+^+D'-At
П2 — 1
i+^+D'-At
П2 — 1
1 п
/1 — 1 П — 1
1 п
/1 — 1 П — 1
Поэтому ^> у-у ^-у (п>2) или ^> 1 и у„<уп_1, т. е. последовательность (3) убывает. С другой стороны, так как уп > О, то последовательность (3) ограничена снизу. Будучи убывающей и ограниченной снизу, последовательность (3) имеет предел. Пусть lim уп = е. Тогда имеет предел и последовательность (1), так как
lim х„ = lim - ^ = ——.^—= [jm ^,п \ п)
Следуя Эйлеру, этот предел принято обозначать буквой «е». Итак,
ее
е
е
Число е иррациональное. Вот его приближенное значение:е = 2,718281828459045.
Число е играет большую роль в естествознании и технике. Оно входит в формулировку многих законов. Приведем два примера.
Барометрическая формула. Давление воздуха уменьшается по мере удаления от земной поверхности. Оказывается, что если пренебречь влиянием температуры воздуха и влажностью его, то давление р воздуха на высоте h .» ~kil
дается формулой р=р^ , где р0 — давление воздуха на уровне моря, к — коэффициент пропорциональности. Эта формула называется барометрической. Пользуясь этой формулой, можно по давлению р определить высоту h данного места над уровнем моря, высоту самолета и т. д.
Выразим h через р:
Если давление р измеряется в миллиметрах ртутного столба, а высота h в метрах, то —!— = 18 400.
Закон охлаждения. Пусть нагретое тело с температурой Т погружено в среду с постоянной температурой То. Тело будет охлаждаться. Установлено, что скорость охлаждения пропорциональна разности температур тела и среды, причем температура тела в момент времени t равна:
Tt = T0 + (T-T0)e-“,(4)
где к — коэффициент пропорциональности скорости охлаждения. Это и есть формула, выражающая закон охлаждения тела. Она позволяет вычислить температуру охлаждающегося тела в любой момент времени t, если известны температура среды То, начальная температура тела Т и коэффициент пропорциональности к.
Пусть, например, в комнату с температурой 20° внесен кипящий чайник с температурой 100°. По истечении 20 мин. температура чайника понизилась до 60°. Через сколько минут температура чайника снизится до 30°?
Здесь То=2О°, Т= 100°; по формуле (4) имеем:
Tt = 20+(100 — 20)^, или
^ = 20+80^4(5)
Нам пока неизвестен коэффициент к. Но при / = 20 получим 60 = 20 + 80 е-к2°, или е"20* = ^. Отсюда
можно найти коэффициент к. Но здесь достаточно найти е-к. Из последнего равенства найдем:
(6)
Tt = 20 + 80Tt = 20 + 80Из равенств (5) и (6) следует:
Tt = 20 + 80
Tt = 20 + 80
(7)
Формула (7) выражает закон охлаждения чайника в зависимости от времени. При Tt = 30 из формулы (7) имеем
30 = 20+ 80 flV0, или 1=8^1^ 20 , или^lV=flУ0• \2/\2/’\2 /\2/
Откуда 1) = 3; следовательно, £=60 мин.
Число е принимают за основание логарифмов, которые называются натуральными. Натуральный логарифм числа а обозначается через In а. В высшей математике обычно употребляются натуральные логарифмы. Это приводит к упрощению многих формул. Составление таблиц натуральных логарифмов чисел также проще, чем вычисление логарифмов чисел при другом основании. Имея таблицы натуральных логарифмов чисел, нетрудно составить таблицы логарифмов чисел при другом основании, например при основании 10. В самом деле, пусть In а = х, т. е. ег = а; х известен из таблиц, 1g а = у, т.е. 10^ = ау но у пока неизвестен нам. Из последних равенств следует 10у = ех . Прологарифмируем это равенство при основании е.
у In 10 = х, или 1g а • In 10 = In а,. Ina 1.
откуда 1g а ==• п а.
J S InlO In 10
Множитель ——— один и тот же для всех по-
1п10
ложительных чисел а. Его приближенное значение равно 0,4343. Поэтому, чтобы перейти от натурального логарифма числа к д е с я-
т и ч н о м у, нужно натуральный логарифм числа умножить на 0,4343.
Например, In 2 = 0,6931, поэтому
1g 2 =0,6931 • 0,4343 =0,3010.
Число е часто встречается при вычислении пределов поел едовател ьностей.
Пример. Найти предел последовательности {хл}, где
Решение. Запишем хп в таком виде:
^ = (1+Т\ п)^ = (1+Т\ п)и найдем предел:и найдем предел:УПРАЖНЕНИЯ.УПРАЖНЕНИЯ.
^ = (1+Т
\ п)
^ = (1+Т
\ п)
и найдем предел:
и найдем предел:
УПРАЖНЕНИЯ.
УПРАЖНЕНИЯ.
В задачах 1—3 найти пределы.
/1 \л+5/1 \ л-4
lim 1+ -.3. lim 14- -
\п /\п)
lim [ 14- ~ I .4. Доказать, что lim (-1 = —.
\ п/\ п 4- 1 / е
§ 37. О стремлении аргумента к числу а
В предыдущих параграфах мы познакомились с последовательностями, представляющими собой функции натурального аргумента, и их пределами. Однако понятие предела является очень важным для функций у = f (х), определенных для всех значений х на некотором интервале или сегменте числовой прямой. Условимся такие функции называть функциями непрерывного аргумента.
Прежде чем дать определение предела функции у = f (х), когда х -> а, объясним операцию х -► а, используя знакомое нам понятие предела последовательности.
Пусть на некотором интервале или сегменте, который мы обозначим через X, определена функция г/ = / (х), х £ X. Возьмем на этом интервале точку а и выберем какую-либо последовательность из значений аргумента
хь х2, х3, ..., х^..,(1)
хп € X, для которой lim хп = а. Тогда возникает последовательность чисел \уп\ из значений функции / (х), Уп = /
Уъ Уг.-., Уп—(2)
Предположим, что lim уп = Ь. Возьмем теперь любую другую последовательность из значений аргумента {хп}, также сходящуюся к а, т. е. lim хп = а. Ей будет соответствовать последовательность \уп\ из значений функции fW, Уп =f Un)*
Будет ли последовательность уп сходящейся? Будет ли она иметь пределом число №
Ответы на эти вопросы мы получим, рассмотрев следующие примеры.
Пример L Рассмотрим функцию у = х2, хЕ(—°°; +°°), при х -> 2. Выберем последовательность, сходящуюся к 2. Например, такой будет последовательность с общим членом хп —. Ей будет соответствовать последовательность
» + 1
из значений функции ^у^ с общим членом ухп = (~^^
Запишем несколько членов этих последовательностей.
Таблица 2
п
1
2
3 1
4 i
10
Хп
1
4
3
6
4
8
5
1 20
. 11 ' 1
Уп
1
16
9
36
16
64
25
| 400
। 121
Очевидно,
lim уп = lim —= lim= 4.
(п+1)221
и ' п2
Возьмэм теперь другую последовательность {хп), также сходящуюся к 2, например последовательность с общим
— 2п 4- 3
членом хп = —-—. Соответствующая ей последователь
ность [у7[ будет иметь общий член:
/2м 4 3 24п2 4- 12п 4- 9
Найдем lim ук\
г - v 4л2 4- 12л 4- 9 р Л . 12 . 9\.
hmyn = lim = 1ип4 Н—J =4*
Мы получили тоже число 4.
Возьмем, наконец, любую последовательность {хп}, сходящуюся к 2. Пределом соответствующей ей последовательности \уп\ = Un2) будет являться число b = 4, так как
lim уп = lim (xn)2 = lim хп lim хп = 2 • 2 = 4.
Таким образом,какую бы мы ни выбрали последовательность Un) из значений аргумента, сходящуюся к 2, соответствующая ей последовательность (уп) из значений функции будет сходиться к 4.
Пример 2. Возьмем функцию Дирихле f (х\ = Л, если х — рациональное число, v 10, если х — иррациональное число,
и рассмотрим ее при х -> 0. Если выбрать последовательность Un), сходящуюся к 0, из рациональных чисел хп = гп-> 0, то все члены соответствующей ей последовательности \уп\ из значений функции будут равны единице» уп = 1, и поэтому
lim уп = 1.
С другой стороны, если выбрать последовательность (хп\ сходящуюся к нулю, из иррациональных чисел хп = in-><\ io соответствующая ей последовательность {уп} будет сходиться к нулю, потому что теперь для всех значений п значение уп будет равно нулю.
Итак, в этом случае для различных последовательностей {хп|, сходящихся к нулю, получим различные пределы для соответствующих последовательностей \уп\ (lim уп = 1 или lim уп = 0).
Пример 3. Возьмем теперь функцию f месли х ^= °>
\2, если х = 0,
и рассмотрим ее также при х -> 0.
Если мы будем выбирать последовательности |хп}, во множестве значений которых нет числа нуль, но для которых limxn=0, то соответствующие им последовательности \уп\ из значений функции будут иметь своими членами одно и то же число 1, уп = 1 (n = 1, 2, ...), и поэтому lim уп = 1.
Если все члены последовательности (хп) будут равны нулю, то, очевидно, lim хп = 0. Все члены соответствующей ей последовательности (уп) будут равны 2, и поэтому lim уп = 2.
Пусть, наконец, последовательность {хп} будет содержать бесконечное множество членов, равных нулю, и бесконечное множество членов, отличных от нуля, например
—, если п— нечетное число, х = л
0, если п — четное число.
Тогда lim хп = 0. Однако соответствующая ей последовательность \уп\ из значений функции
2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, ...
предела иметь не будет.
Итак, если среди членов последовательностей (хп), сходящихся к нулю, будет содержаться бесконечное множество нулей (случаи б и в), то соответствующие последовательности \уп\ либо будут иметь предел, равный 1 (случай б), либо вовсе не будут иметь предела (случай в).
Если же в этом примере рассматривать только такие последовательности {хп}, сходящиеся к нулю, для которых хп^0 (случай а), то все соответствующие последовательности \уа\ из значений функции будут иметь один и тот же пре-
дел, равный 1. Именно так и поступают в подобных случаях.
Эту идею мы перенесем на любые функции и будем рассматривать выражение х -> а таким образом, что х, приближаясь к а, не включает значений, равных числу а, т. е. что х может принимать значения, равные членам любой последовательности {хп}, для которой Пт хп = о, но хп #= а (черт. 79).
—4-а-е—4-а-ех—ах—а*Н**а+в X*Н**а+в X
—4-а-е
—4-а-е
х—а
х—а
*Н**
а+в X
*Н**
а+в X
Черт. 79
Основываясь на рассмотрении последовательностей (хп),. сходящихся к а, и соответствующих им последовательностей \уп\ из значений функции у = f (х), можно ввести понятие предела функции у = f (х) при х -> а. Однако при применении этого способа к решению различных задач встречаются большие трудности, которые мы постараемся обойти, дав другое определение предела функции у = f (х) при х -> а. Но для этого нам нужно сначала познакомиться с так называемыми бесконечно малыми функциями.
§ 38. Бесконечно малые функции
Введем понятие бесконечно малой функции, аналогичное ранее введенному понятию бесконечно малой последовательности.
Определение. Функция г/ = а (х) называется бесконечно малой при х -> а, если для любого положительного числа е начиная с некоторого значения х будет выполняться неравенство
|а (х) |<е.
При этом выражение «начиная с некоторого значения х» означает, что х попадает в некоторую малую окрестность точки а, т. е. | х — а | < б , где выбор б связан с выбором е.
Два важных примера.
Пример 1. Функция а (х) = 0 является бесконечно малой при стремлении х к любому числу а. В самом деле, каково бы ни было положительное число е, всегда выполняется неравенство
| а (х) | -^ | 0 | < е.
Пример 2. Функция а (х) = х — а является бесконечно малой при х -> а. Убедимся в этом. Зададим произвольное положительное число е и возьмем положительное число б равным е. Тогда, как только х окажется в окрестности (а — д; а + д), будем иметь | а (х) | = | х — а | < д = = 8, т. е. будет выполняться неравенство |а(х)|<е, а это и означает, что функция а (х) = х — а является бесконечно малой при х -> а.
Другие примеры бесконечно малых функций.
Пример 3. Дуга окружности касается оси абсцисс в начале координат. Пусть точка М (х) (черт. 80) прибли
жается к началу координат по оси абсцисс, т. е. х 0. Тогда угол г и хорда у будут убывать так, что с некоторого момента в этом процессе, т. е. при непрерывном движении точки М к точке 0, они будут по абсолютной величине меньше любого наперед заданного положительного числа е. Функции г (х) и у (х) при х -^ 0 являются бесконечно малыми.
Пример 4. Давление газа при температуре Г выражается формулой
Р = Pq fl+ — \
М1 273/
где р0 — давление газа при 0° С. Очевидно,
™273
Будем охлаждать газ, постепенно понижая температуру его до 0°. Тогда в этом процессе, т. е. при t -> 0, разность давлений р — ро будет бесконечно малой функцией.
Убедимся в этом. Возьмем положительное число е >0 и покажем, что начиная с некоторого момента будет выполняться неравенство
| р — ро 1 <е.(1)
Для того чтобы выполнялось неравенство (1), очевидно, достаточно, чтобы выполнялось неравенство
(2)
Но по смыслу задачи — t > 0, поэтому неравенство
) можно заменить неравенством
которое будет выполняться для всех t, удовлетворяющих неравенству
Итак, как только t будет достаточно близким к 0, точнее, как только будет выполняться неравенство (4), будет выполняться неравенство (1), т. е. разность р — р0 при / -> 0 действительно будет являться бесконечно малой функцией.
Пример 5. Масса радиоактивного вещества М в момент времени / определяется по формуле
где Мо — первоначальный запас радиоактивного вещества; Т — время, за которое масса 7И0 в результате радиоактив-
15$
D ного распада уменьшится вдвое (Г в называется периодом полураспада).
При увеличении времени t функция М (/) будет бесконечно малой. Пусть период полураспада Т = 1 г (суткам), а Мо = 1 (г), тогда
/1 V
Л4=(—\(5)
\2/
Возьмем произвольное положитель-
Че 81 ное число е. Тогда начиная с неко*торого момента времени t будет вы
полняться неравенство
М < е (здесь | М | = М).(6)
Так, если е = 0,5, то уже при t > 1 (суток) М < е, ибо при t > 1 в силу равенства (5) имеем:
М =f-Y< 0,5.
\ 2/
При е = 0,25 неравенство (6) будет выполняться при t > 2 (суток). Действительно, при t > 2 имеем:
M = My<(ir=o>25.
I 2 / \ 2 /1
Если е =0,001, то неравенство (6) будет выполняться при t > 10 (суток) и т. д.
Пример 6. sin х при стремлении х к нулю есть бесконечно малая функция (х берем в радианной мере).
Из чертежа 81 видно, что при 0 < х < ^ sin х < х,
т. е. | sin х| < | х |. При х >-^ это неравенство очевидно. При х < 0 имеем:
| sin х | = | —sin (— х) | = | sin (— х) | < | — х | = |х|.
Следовательно, при х #= 0 всегда | sin х | < | х [.
Будем теперь приближать х к нулю. Тогда наступит момент, начиная с которого, всегда будет выполняться неравенство | х | < е, сколь бы малым ни было заданное положительное число е. Тогда тем более будет выполняться неравенство | sin х | < е. А это означает, что sin х при х -> 0 есть бесконечно малая функция.
Свойства, доказанные нами для бесконечно малых последовательностей, сохраняются и для бесконечно малых, функций. Таким образом, справедливы теоремы.
Теорема 1. Сумма двух или нескольких бесконечно малых функций (при х -> а) есть бесконечно малая функция (при х -> aY
Теорема 2. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию (при х -> а) есть бесконечно малая функция (при х aY
Следствие. Произведение постоянной на бесконечно малую функцию есть бесконечно малая функция.
Заметим также, что произведение двух или нескольких бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
§ 39. Предел функции в точке
Используя понятие бесконечно малой функции, дадим определение предела произвольной функции / (х) при х-^а.
Определение. Число b называется пределом функции f (х) при х -> а, если разность f (х) — b есть бесконечно малая функция, когда х стремится к а, не принимая значения, равного а.
В этом случае пишут lim / (х) = b или f (х) b х -> а
при х -> а.
Говорят также, что число b есть предел функции f (х) в точке а.
Рассмотрим примеры.
Пример 1./ (х) = Зх + 1,— °0 < х < + со.
Найти lim / (х) .
X 1
Решение. Рассмотрим значения функции для значений х, близких к 1.
Таблица 3
X
0,9
0,99
0,999
1,001
1,01
1,1
/(х) = 3x4-1
3,7
3,97
3,997
4,003
4,03
4,3
Из таблицы 3 усматриваем, что, чем ближе значение х к 1, тем ближе значение функции к 4. Поэтому можно предположить, что предел заданной функции при х -> 1 равен 4. Убедимся в этом. Рассмотрим разность f ( х) — 4 = = (Зх + 1) — 4=3 (х — 1). При х -> 1 множитель х — 1 будет бесконечно малым, в таком случае произведение 3(х — 1) по теореме второй также будет бесконечно малым, т. е. разность f (х) — 4 при х -> 1 есть бесконечно малая функция, а это и означает, что предел функции при х -> 1 существует и равен 4:
lim (Зх + 1) = 4.
X -> 1
Пример 2. Найти предел функции
/(х) = + 2^!, хфО, при х->0.
X
Решение. При х = О функция не определена. Формула теряет смысл. Но предел в этой точке мы можем искать, так как при отыскании предела мы условились брать значение аргумента, отличное от а (здесь а = 0).
Составим таблицу значений функции для значений х, близких к 0.
Таблица 4
ция при х О не имеет предела. Все сказанное можно усмотреть из чертежа 82.
Пример 3. f (х) = х2, — сю < х < 4-00.
Найти lim / (х). х -2
Решение. Рассмотрим таблицу значений функции при х, близких к 2.
X
1
1,9
j 1,99
1 1,999
| 2,001
2,01
I 2,1
3,61
3,9601
13.996001
4,004001
4,0401
4,41
Убедимся, что lim / (х) =4.
Рассмотрим разность
Дх) — 4 = х2 — 4 = (х — 2) (х 4- 2).
Возьмем такие значения х, для которых |х— 2 |<1. Это будут значения х, удовлетворяющие двойному неравенству 1 < х < 3. Для этих значений х х 4- 2 удовлетворяет неравенству 3<х4-2<5,т. е. | х 4- 2 | < 5. Следовательно, в интервале (Г,3) множитель х 4- 2 будет ограниченной функцией. Первый же множитель х — 2 при х -> 2 будет бесконечно малой функцией. Поэтому произведение (х — 2) (х 4- 2) при х —> 2 будет бесконечно малым, а вместе с ним и разность / (х) — 4 при х -> 2 будет бесконечно малой.
Итак, мы показали, что lim х2 = 4. х ->2
Пример 4. Убедиться, что
lim sin х = sin а. х -*а
Решение.
.. n х -V а . х — а
sin х — sin а =2 cos —!— • sin.
22
Но 2 cos —~— есть ограниченная функция 12 cos ^^ | < 2, a sin 2Lzz_^_ — бесконечно малая при х->а. Поэтому разность sinx — sin а при х-^а есть бесконечно малая функция.
Следовательно, lim sin х = sin а. х а
Пример 5»
lim cos х = cosa,
х -♦ а
ибо разность
п . х 4- а . х — а cos х — cos а = — 2 sin —— • sin
22
есть бесконечно малая функция при х-^а.
УПРАЖНЕНИЯ.
В задачах 1—11, рассмотрев соответствующие таблицы значений функции для значений х, близких к а, догадаться, какое число b может быть пределом функции. Затем проверить это, используя определение предела функции.
lim Зх.х - 2lim(5x+6).X -* 1lim Зх.х - 2lim(5x+6).X -* 1lim (5х 4- 6).X -*— 1lim (5х 4- 6).X -*— 1lim Юх2. х -*— 1lim Юх2. х -*— 1lim (х + х2). х->3lim (х + х2). х->3lim —. хlim E (x). x*2,5lim E (x).x -*2limf(x),x «*0lim —. хlim E (x). x*2,5lim E (x).x -*2limf(x),x «*06. lim(x2—3x4-4). х -* — 26. lim(x2—3x4-4). х -* — 2где t (x) =где t (x) =x, если x > 0,x, если x > 0,0, если x < 0.0, если x < 0.
lim Зх.
х - 2
lim(5x+6).
X -* 1
lim Зх.
х - 2
lim(5x+6).
X -* 1
lim (5х 4- 6).
X -*— 1
lim (5х 4- 6).
X -*— 1
lim Юх2. х -*— 1
lim Юх2. х -*— 1
lim (х + х2). х->3
lim (х + х2). х->3
lim —. х
lim E (x). x*2,5
lim E (x).
x -*2
limf(x),x «*0
lim —. х
lim E (x). x*2,5
lim E (x).
x -*2
limf(x),x «*0
6. lim(x2—3x4-4). х -* — 2
6. lim(x2—3x4-4). х -* — 2
где t (x) =
где t (x) =
x, если x > 0,
x, если x > 0,
0, если x < 0.
0, если x < 0.
7. limx3. х -* 2
. Предел функции в точке и значение функции в точке
Иногда, читая запись lim / (х) = Ь, х -*а
мы произносим: предельное значение функции f (х) при х -> а равно Ь. Однако это выражение не означает, что и значение функции в точке а равно числу Ь. Предел функции может не совпадать со значением функции в точке. Может случиться, что одно из этих чисел не существует, в то время как другое есть.
Пример.
/ (х) = f Зх + 1, если х #= 1,t 2, если х = 1.
Найти Пт / (х).
X 1
Решение.
Пт / (х) =4 (пример 1 § 39), в то время как f (1) = 2. * •* ।
Итак, в этом примере lim f^*H\Y
Чертеж 83 иллюстрирует различные возможности связей между lim / (х) = b и / (а).
х-*а
УПРАЖНЕНИЯ.
В задачах 1—4 найти указанные пределы и сравнить их с соответствующими значениями функции. Построить графики:
1. Иш2х.
х-2
2.
Г 3, если х > 0,
< 2, если х < 0, ( 1, если х = 0.
3.
Г х2, если х V= 2,
IW =
1 1, если х = 2.
4.,I
С 2х, если х < 2,
1 1, если х > 2.
Найти limf(x).
Найти limf(x). х->2
Найти limf(x).
х->0
41. Основные теоремы о пределах функции
Теоремы о пределах функций, доказанные для последовательностей, остаются справедливыми и для функций непрерывного аргумента. Сформулируем некоторые из этих теорем.
Теорема 1. Функция не может иметь двух различных пределов при х -> а.
Теорема 2. Функция f (х) , имеющая предел при х-^а, ограничена в некоторой окрестности точки а.
Теорема 3. Предел постоянной равен этой постоянной.
Часто приходится рассматривать в одном и том же процессе (при х -> а) несколько функций, каждая из которых имеет предел. Для этих функций справедливы следующие важные теоремы, аналогичные соответствующим теоремам для последовательностей.
Теорема 4. Если функции Л (х) и /2 (я) имеют пределы при х -> а, то их сумма имеет при х -> а предел, равный сумме пределов слагаемых:
lim [/, (х) + /г (х)] = lim ft (х) + lim f2 (х). х-*ах-^ах-*а
Теорема 5. Если функции fi($ и f2 (х) имеют пределы при х а, то их произведение имеет при х -> а предел, равный произведению пределов сомножителей*.
lim [ft (х) • К (х)] = lim fi (х) • lim /2 (х). х-*а х-*а х->а
Методом математической индукции теоремы 4 и 5 обобщаются на любое конечное множество функций.
Из теоремы 5 вытекает следствие:
lim [с • f (х)] = lim с - lim f (х) = с lim / (х),
х-*ах-*а х-*ах-*а
т. е. постоянный множитель можно выносить за знак предела функции.
Теорема 6« Если функции /1 (х) и f2 (х) имеют пределы при х а, причем lim /2 (х) =# 0 и все значения f2 (х) Ф О, х-*а
limf^x) x-*alimfatox-*alimf^x) x-*alimfatox-*aто функция -^^ имеет при х -> а предел, равный част- ному пределов fi (х) и f2 (х):
limf^x) x-*a
limfato
x-*a
limf^x) x-*a
limfato
x-*a
lim=
х-а U (х)
Теорема 7. Если функции fi (х), /2 (х) и /3(х) удовлетворяют условию fi (х) < /2 (х) < /3(х) и если lim fi (х) = = lim /3(х) = b, то функция f2 (х) также имеет при х-*а предел, равный Ь:
lim /2(х) = Ь. х-*а
Пример 1. Найти limx3.
Решение. Применив теорему о пределе произведения, будем иметь:
limx3 = lim(x • х • х) = (limx) • (lim x)-(lim x) = 2-2-2 = 8. л->2x->2x-+2x->2x->2
Пример 2. Найти lim(5x2).
Решение.
lim (5x2) = 5 lim (x2) = 5(lim x) • (lim x) = 5 • 1 • 1 = 5.
X->\X->1x-*\
Пример 3. Найти lim (5х2 — 6х + 7).
Решение. Применяя теоремы о пределах, будем иметь:
Пт (5х2 — 6х + 7) = lim (5х2) — lim (6х) + Пт 7 = х-*3х-3х-^3х-*3
= 5 Пт(х2) — 6 Нтх + Пт 7 = 5(lim x)(limx) — х—#-3х-*3х**3х->3 х^З
-6Птх + Пт7 = 5- 3-3 —6-3 + 7 = 34. х-*3х-»-3
пл 1 • х2 — 5х + 6
Пример 4. lim—-.
х-*2 X — 2
Здесь предел знаменателя равен нулю, поэтому воспользоваться теоремой о пределе частного нельзя. Кроме того, и предел числителя равен нулю:
lim (х2 — 5% + 6) = lim (х2) — lim (5х) + lim 6 = 4 — 10+ х-*2х+2х-2х—2
+ 6 = 0.
Попытаемся преобразовать эту дробь. Числитель х2 — 5х + 6 = (х — 2) (х — 3).
Поэтому
х8 — 5х + 6 (х — 2) (х — 3) .
х —2х — 2’
х стремится к двум по любому закону, однако не принимая значения, равного двум. Поэтому дробь можно сократить на х — 2, т. е.
Равенство (1) справедливо при всех значениях х, отличных от двух, поэтому
lim ^^±1 Пт (х _ 3) = 2— 3 = — 1.
х-2 X—2*„2
Пример 5. lim * "t2x — 3.
^l?-3x+2
При x -> 1 и предел знаменателя, и предел числителя равен нулю. Преобразуем дробь:
х« + 2х«-3 = (х - 1) (х + 1) (х8 + 3)(х+1)(х8+3) j
х8 — Зх + 2(х — 1) (х — 2)х — 2*
следовательно, lim^l±2^ = Iim_ A
*->] x2 — Зх + 2 x-ax—2—1
УПРАЖНЕНИЯ.
Найти пределы:
1. Нт (х4 — 2х + 5).
х« + х-2
6. Нт..
x^iх—1
Х3+х2 — 11
Нт —!.
х-*—18х2 + 5
,х4 — а4
Нт.
Х-^О х о
л»+ 64 4. Нт .
х->— 4 X + 4 с гх4-16
5. Нтл .
х^—2 х + 2
х2_6х + 9
11ГПоо’
v->3х2—Зх
х2+2х + 1
НтЛ.
х-*— 1 х3 + 5х + 6
ах2 -\-Ьх-у с
Нт о ,.
Х-0 О1Х2 + Ьгх + сг
1х4 — 4х2 + 4
Нт —.
X^VT *3 —2х
§ 42. Предел функции
При X -> + оо и при X ->ОО
Пусть функцияа(х) определена на интервале (а; +оо).
Определение. Функция а (х) называется бесконечно малой при х -^ + оо, если для любого положительного числа е на оси абсцисс найдется такая точка А, правее которой будет выполняться неравенство |а (х) | < е. Чертеж 84 иллюстрирует это определение.
Если а (х) бесконечно малая при х -> + оо, то она стремится к нулю, когда х неограниченно возрастает.
Пример 1. а (х) = — есть бесконечно малая при 4х
х + оо. Если, например, е = 0,01, то при х > 25 будет выполняться неравенство
Пример 2. а(х) = ^^-, х > 0. Функция а(х) есть бес- X
конечно малая при х-^+°°- Действительно,
la(x)1_!2i!L£l = L^l<l.
I X 1 X X
Возьмем произвольное положительное число е и решим от
носительно х неравенство — < е. Получим х> -. Если хе
возьмем А = - , то при х > А будет выполняться нее
равенство — < е и тем более неравенство
I sin х 1
Пусть теперь а (х) определена на интервале (—оо; а).
Определение. Функция а (х) называется бесконечно малой при х -^ — оо, если для любого положительного числа е найдется такая точка В на оси абсцисс, левее которой будет выполняться неравенство
I а (х) |<е.
Чертеж 85 иллюстрирует это определение.
Например, а (х) =s-^ есть бесконечно малая при X
X -> — ОО.
Пусть функция/(х) определена на интервале (а; + оо).
Определение. Число b называется пределом функции f (х) при х -> + оо, если разность f (х) — b есть бесконечно малая при х -> + оо.
Записывается это так:
НтДх) = Ь.
Х-* + оо
ПримерЗ. Пусть f (х) = -?х "*"sm х-) х^О. Убедимся, что 2х
lim^x) =
х 3 Зх + sinx 3 sin х
Действительно, f(x)—!=есть бес-
22х 2 2х
конечно малая при х->+°°*
Пример 4. Найти lim —AAtAnJ— х->4-оо2х3 + 5х2
Решение. Разделим почленно числитель и знаменатель на х3 (на х в высшей степени). Получим:
5 + 1-1lim AA+_£=J_ = пт = А.
х->+оо 2х3 + 5х2х->4-оо52
24- —х
Аналогично находят предел при х -> — оо.
Например,
5 + 1+1
lim Ь1±£±1 = lim_ А
х-*-— оо 8х2 4" 7х — 2 х-*—00 о ^ ^ 8
8 + 7“?
УПРАЖНЕНИЯ.Найти пределы., V 3x4-7Нт !.л-*-|-со х 4~ 12х3 — х + 3Зх3 4- 7х 4- 1 * 5х 4- 8 cos хX *х2 4- 8х — 1УПРАЖНЕНИЯ.Найти пределы., V 3x4-7Нт !.л-*-|-со х 4~ 12х3 — х + 3Зх3 4- 7х 4- 1 * 5х 4- 8 cos хX *х2 4- 8х — 1Нт Х-* — ООНт х-*4-есНт Х-* — ООНт х-*4-есх’ + 3х + 6 о. пт-.х-*+оо 2х3 — 7х 4- 5_5sin8x— 6cos7xх’ + 3х + 6 о. пт-.х-*+оо 2х3 — 7х 4- 5_5sin8x— 6cos7x„ , 6х 4* cos 2хНт —-7.я->4-оо 2х 4- 5„ , 6х 4* cos 2хНт —-7.я->4-оо 2х 4- 5
УПРАЖНЕНИЯ.
Найти пределы.
, V 3x4-7
Нт !.
л-*-|-со х 4~ 1
2х3 — х + 3
Зх3 4- 7х 4- 1 * 5х 4- 8 cos х
X *
х2 4- 8х — 1
УПРАЖНЕНИЯ.
Найти пределы.
, V 3x4-7
Нт !.
л-*-|-со х 4~ 1
2х3 — х + 3
Зх3 4- 7х 4- 1 * 5х 4- 8 cos х
X *
х2 4- 8х — 1
Нт Х-* — ОО
Нт х-*4-ес
Нт Х-* — ОО
Нт х-*4-ес
х’ + 3х + 6 о. пт-.
х-*+оо 2х3 — 7х 4- 5
_5sin8x— 6cos7x
х’ + 3х + 6 о. пт-.
х-*+оо 2х3 — 7х 4- 5
_5sin8x— 6cos7x
„ , 6х 4* cos 2х
Нт —-7.
я->4-оо 2х 4- 5
„ , 6х 4* cos 2х
Нт —-7.
я->4-оо 2х 4- 5
*хД~ х»4-7х34- 11 *
§ 43г Предел отношения при х -> О
Докажем, что Игл ^^ = 1 (х взят в радианах). Л->0 х
Возьмем сначала х > 0 (0 < х < ^. Из чертежа 81 видно, что площадь д ОСВ < площади сектора ОСВ С Сплощади △ OCD, или
1г . АВ <lrax<-fCD.(1)
222v 7
Умножив все части двойного неравенства (1) на положи-
2АВ . CD
тельное число —, получим — < х или
sin х < х < tg х.(2)
Все члены двойного неравенства (2) разделим на sin х > 0:
Последнее равенство справедливо при любом стремлении х к нулю. В частности, х можно считать положительным. Далее, Нт 1=1. Таким образом, в двойном неравенстве (3) крайние члены имеют общий предел, равный единице. По теореме 7 о пределах (§41) -^— при х -> 0 имеет sin х 1
тот же предел. Итак, если х, оставаясь положительным, стремится к нулю, то lim —— = 1. Отсюда х-^о sinx
Далее, — четная функция, поэтому X
v sin х.1. sin х ,
lim= 1, т. e. всегда lim = 1.
x-+0 xx»o x
(x<0)
Итак, предел отношения синуса бесконечно малого аргумента к той же бесконечно малой существует и равен единице.
Пример 1.
lim= Ит 2 sm2x = 2 ljm jin2х
х-*о х х-*о 2хх-о 2х
При х->0 2х->0, поэтому lim si"2^ = 1, и мы по
лучим lim ~ п 2х = 2.х-*0 х
Пример 2.
lim 5!!111£. = lim 17 • Sinl7x = 17 Hm sin]7x = 17
Пример 3.lim^х-*о sin2xПример 3.lim^х-*о sin2x«-►О 8х х-^о 8 • 17х8 «-.о17х8
Пример 3.
lim^
х-*о sin2x
Пример 3.
lim^
х-*о sin2x
, sin 6х lim х-^о 6х. sin 2х lim г^о 2х, sin 6х lim х-^о 6х. sin 2х lim г^о 2х(sin6x\
, sin 6х lim х-^о 6х
. sin 2х lim
г^о 2х
, sin 6х lim х-^о 6х
. sin 2х lim
г^о 2х
6х 6х I Q— 1=3.
sin 2х 2х I
2х/
= 3 .1=з.
sin 4x \sin 4x \Пример 4.
sin 4x \
sin 4x \
lim _1^^L_ = Ит 2sinM^ = Ит / sin4x x->o 2x2 x->o 2x2 x-*o \ x
'A sin4x\ v sin4x\ .1 A .
4 • lim. 4 lim = 4 • 1 • 4 • 1 = 16.
< x^o 4x / \ x->0 4x /
УПРАЖНЕНИЯ.
Найти пределы.
sin Юхlimx-*o xsin 9xlim.*->o 5x. sin9xlim—.x->o sin 8xsin Юхlimx-*o xsin 9xlim.*->o 5x. sin9xlim—.x->o sin 8xlimlim10.10.1111limlim1 — cos 4x2x21 — cos 4x2x212.12.limlimlimlimlimlimlimx->alimx->asin axsin bxtg 8x3x *tg 3xsin 6x *sinx — sin asin axsin bxtg 8x3x *tg 3xsin 6x *sinx — sin ax — ax — a13.13.14.14.15.15.16.16.2 sin x cos a — sin 2a2 sin x cos a — sin 2ax — ax — alimx-*alimx-*alimlimlimlimlimlimlimlimlim x->0lim x->0limx-*0limx-*0sin2 x — sin2 asin2 x — sin2 ax — a— cos 6xx • sin 12xx — a— cos 6xx • sin 12x— cos3 xx • sin 4x *cos 4x — cos 2x5— cos3 xx • sin 4x *cos 4x — cos 2x5у/4 + sin x —^4 —sinx|Л 1 + sin x — V t — sin xу/4 + sin x —^4 —sinx|Л 1 + sin x — V t — sin x2x22x2
sin Юх
lim
x-*o x
sin 9x
lim.
*->o 5x
. sin9x
lim—.x->o sin 8x
sin Юх
lim
x-*o x
sin 9x
lim.
*->o 5x
. sin9x
lim—.x->o sin 8x
lim
lim
10.
10.
11
11
lim
lim
1 — cos 4x
2x2
1 — cos 4x
2x2
12.
12.
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
x->a
lim
x->a
sin ax
sin bx
tg 8x
3x *
tg 3x
sin 6x *
sinx — sin a
sin ax
sin bx
tg 8x
3x *
tg 3x
sin 6x *
sinx — sin a
x — a
x — a
13.
13.
14.
14.
15.
15.
16.
16.
2 sin x cos a — sin 2a
2 sin x cos a — sin 2a
x — a
x — a
lim
x-*a
lim
x-*a
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim x->0
lim x->0
lim
x-*0
lim
x-*0
sin2 x — sin2 a
sin2 x — sin2 a
x — a
— cos 6x
x • sin 12x
x — a
— cos 6x
x • sin 12x
— cos3 x
x • sin 4x *
cos 4x — cos 2x
5
— cos3 x
x • sin 4x *
cos 4x — cos 2x
5
у/4 + sin x —^4 —sinx
|Л 1 + sin x — V t — sin x
у/4 + sin x —^4 —sinx
|Л 1 + sin x — V t — sin x
2x2
2x2
§ 44. Применение предела в приближенных вычислениях
Предположим, что нас интересует значение функции f (х) в точке х0, близкой к точке а. Пусть, кроме того, нам известен предел функции в точке a: lim / (х) = Ь. Это оз- х-*а
начает, что разность / (х) — b будет бесконечно малой при х, стремящемся к а. Поэтому для значений х, близких к а,
значения функции мало отличаются от предельного значения b и их можно приближенно считать равными Ь. В частности, и / (х0) Ь.
Пример 1. Пусть нужно приближенно вычислить значение функции / (х) =8 при х = 2,0007.
х2 — 4
Значение х, очевидно, является близким к 2. Найдем предел функции в этой точке:
limf(x) = lim ——- = lim
x->2x^2 X2 — 4x^2
(x — 2) (x2 + 2x + 4)(x-2) (x + 2)(x — 2) (x2 + 2x + 4)(x-2) (x + 2)lim ^±^+± = I? = з x-2 x + 24
(x — 2) (x2 + 2x + 4)(x-2) (x + 2)
(x — 2) (x2 + 2x + 4)(x-2) (x + 2)
Следовательно, можно считать f (2,0007) ^ 3.
Пример 2. Пусть f (x) = 1 ~ cos 1Qx . Найдем прибли- 2x2
женно значение функции при х = 0,001. Число 0,001 близко к 0. Найдем предел функции в точке 0:
lim^x) = lim -—S£122£ = птх->0х->02х2х-*0
2 sin2 5х2х22 sin2 5х2х2$ sin 5х5х$ sin 5х5х= 25 lim х-*0= 25 lim х-*0sin 5х5хsin 5х5хsin5x \ gg5х /’sin5x \ gg5х /’Hm (^ . ^'i = lim (5 • ^ х-*о \ X X / х->о \ 5х
2 sin2 5х2х2
2 sin2 5х2х2
$ sin 5х5х
$ sin 5х5х
= 25 lim х-*0
= 25 lim х-*0
sin 5х5х
sin 5х5х
sin5x \ gg
5х /’
sin5x \ gg
5х /’
поэтому f (0,001) ^ 25.
УПРАЖНЕНИЯ.
Найти приближенные значения функций.
х2 -4- 1
f (х) = —-— при х = 1,003; х = 3,001.
sin х
f (х) = при х = 0,0004; х = л + 0,0008.
х
/(х)— “^^~ ПРИ х = 0,0001; х=—0,0001.
sin л*_
/(*) =при x — —0,0002.
f (x) =при x — 0,0001.
sin x
f (x) = 3*2 -6*4-8 при * = 1,0002; *= 1,9995.
§ 45. Некоторые геометрические и физические приложения теории пределов
1. Читателю знакомы приложения теории пределов в геометрии. Например, площадь круга, объем цилиндра, конуса и шара были определены, а затем вычислены как соответ-
Михаил Васильевич Остроградский (1801 — 1861)Михаил Васильевич Остроградский (1801 — 1861)ству ющие п ределы.
Михаил Васильевич Остроградский (1801 — 1861)
Михаил Васильевич Остроградский (1801 — 1861)
(Вспомните, как именно.)
Укажем другой способ использования понятия предела в решении задач, который называется методом суммирования. Главным в этом способе является отыскание пределов сумм бесконечного множества бесконечно малых слагаемых. Покажем идею этого метода на решении некоторых задач геометрии и физики.
При решении мы будем пользоваться известными формулами суммы первых п чисел натурального ряда и суммы квадратов этих чисел. Записывать
соответствующие суммы
для краткости будем с помощью специального знака 2 (греческая буква «сигма»). Таким образом,
п
£^ = 1 + 2 + 3+ ... +« = "(" + Ч. (1)
У к% = I2 4- 22 + З2 + ... + л2 =2L<fL±JH21±lL. (2)
Для уяснения этого обозначения выполните следующие упражнения:
Запишите с помощью знака 5:
а) л -f-л22 -f- лЗ2 4- ••• 4- л92; б) а 4- aq 4- aq* 4“ ■•• + aqn—X.
Пользуясь формулами (1) и (2), вычислите:
57л—1л—1
а) 2 96; б)^ в) 5 ^к- г>
к=\к = 1fe=lк-\
Геометрические задачи.
Задача 1. Вычислить объем V конуса, высота которого равна Н, а радиус основания R.
Решение. Разделим высоту конуса на п равных частей и через точки деления проведем плоскости, параллельные основанию. В результате конус разделится на слои. При большом п эти слои будут достаточно тонкими, поэтому можно считать, что ^-й слой имеет форму цилиндра с высотой - и радиусом основания хк = -R, к = 1, 2, ..., п, пп
который легко найти из подобия треугольников 80 ^В и SOA (черт. 86). Объем 6-го цилиндра найдем по известной формуле:
— л —— = л — п
к п^ п п^
Сложив объемы всех п—1 цилиндров, получим объем Уп_1 ступенчатого тела, вписанного в конус (черт. 86):
п—1
V^X Кй = ^2Я(12+22+ ... +(п-1)2) =
_ 5^1 // П (п — \) (2п — 1),£Х
Очевидно, если мы будем делить высоту конуса на большее число равных частей, то объемы соответствующих ступен-
чатых тел, которые мы обозначим через Vn_v будут принимать различные значения. Например,
ту л/?2 „2-1.3 nR2HV. =ri —— = ,
12368
V, = - лЯ2Я, ... , V9 = — лЯ2Я, ..; .(4)
227’9200V '
Числа Vi, V2, • ••, Ук_ъ... образуют последовательность. Можно убедиться, что последовательность (4) возрастающая и ограниченная сверху (V^ < лК2Щ. Следовательно, она имеет предел. Примем его за объем конуса. Тогда
V = Um ^- Н ±J^zlL^2^=
П-*ео П36
6 п-^оо \ п )\ п)3
Естественно, что мы получили знакомую формулу объема конуса. Заметим, что числа У^ V^ ..., Vn_v ... суть приближенные значения V, т. е. V ^ Vk, 6=1,2, ..., (п —1).
Задача 2. Найти площадь криволинейного треугольника, ограниченного параболой у = х2, отрезком оси ОХ и прямой х = а (т > 0) (черт. 87).
Решение. Разобьем отрезок ОА длиной а на п равных частей и через точки деления проведем отрезки, параллельные оси ОУ, до пересечения с параболой. В результате треугольник разобьется на полоски. Если п взять достаточно большим, то полоски будут мало отличаться от прямоугольников со сторонами — и ук = ^к —^2. Найдем площадь 6-го прямоугольника, которую мы обозначим 8к:
Сложив площади всех п — 1 прямоугольников, получим площадь Sn_t ступенчатой фигуры, вписанной в заданную (черт. 87).
Очевидно, и—1п—1
5= У ^ fe2 = ^ V ^2 = Д3 (” — 1)^ (2п — 1) _
п?П36
6=16=1
= а^ (п — l)(2n - 1)
_ _ - 6 * д2 ’
Числа SVS^ ...,Sn_v ... образуют возрастающую, ограниченную сверху последовательность. (Она ограничена площадью прямоугольника со сторонами О А и АВ.) Следовательно, она имеет предел, который мы назовем площадью криволинейного треугольника. Очевидно,
S - lim 5 . <1=21^=11 = 51 |im V - IV2 - -1 -
га-*со 6и26 п->оо \ П )\ П)
а3~ 3 ’
Как и в предыдущей задаче, заметим, что Sk ^8, /г = 1, 2, ..., (л — 1).
Задача 3. Определить объем V, занимаемый воздухом, находящимся под колоколом воздушного насоса, имеющего форму тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной параболой у = х2 и прямой у = Н, вокруг оси ОУ (черт. 88).
п—1п—1Решение. Разобьем высоту Н этого тела на п равных частей и через точки деления проведем плоскости, перпендикулярные оси вращения. В результате воздух, заполняющий сосуд, разделится на слои, толщина которых при достаточно большом п будет очень мала. Поэтому можно каждый слой считать приближенно цилиндром с радиусом » Н основания хь и высотой —. п
п—1
п—1
Объем цилиндра Vk = лх^2 —. Так как хк является абсциссой точки М параболы у=х2, то в силу уравнения параболы между ординатой этой точки ум = к — и абсциссой хк выполняется соотношение хк — = к — . Поэтому Ук= п — к. Сложив объемы воздуха, заключенные в каждом цилиндре, получим:
л//2л/72п (п — 1) л//2 п — 1
п2 п2 22 п *
Лг=1
За объем V примем предел этого выражения при п -> + оо: j лЯ2 п — 1 1 ЛЯ2
V = lim . =.
п-* <» L 2 п J 2
Давление жидкости
Задача 4. Определить давление р, производимое водой, наполняющей аквариум, на одну из его вертикальных стенок, имеющей длину а = 50 см, высоту Ь = 30 см (черт. 89).
Решение. Согласно закону Паскаля давление жидкости распространяется во все стороны равномерно и направлено всюду перпендикулярно к поверхности сосуда. Оно зависит только от глубины соответствующих частей поверхности. Величина этого давления на площадку равна весу столба жидкости, высота которого равна глубине этой площадки, а основание — ее площади.
Кроме того, если стенку разбить на отдельные полоски, то давление на всю стенку будет совпадать с суммой давлений на эти полоски. Этим мы и воспользуемся для решения задачи.
Чтобы подсчитать давление на стенку аквариума, мы
разобьем ее высоту b на п равных частей и через точки деления проведем отрезки, параллельные стороне а.
В результате вся стенка аквариума разобьется на тонкие горизонтальные слои в форме прямоугольников со Ь
сторонами а и —.
п
При достаточно большом п высота горизонтального слоя, равная —, будет очень малой и мы можем считать, что все п
точки fe-ro слоя находятся на одной и той же глубине, равной = — к.
п
Тогда давление воды на к-й слой приближенно будет равно:
pk«hka- = a-k.
Давление на всю стенку аквариума будет приближенно равно:
v га62 п +1 р = lim i— р2 пv га62 п +1 р = lim i— р2 п
v га62 п +1 р = lim i— р2 п
v га62 п +1 р = lim i— р2 п
За истинную величину давления принимается предел этого выражения при п->4-оо:
ab2 , b
= ао • —
22
т. е. давление воды на вертикальную стенку равно произведению площади стенки на половину ее высоты. Подставив данные, получим р = 22,50 кг.
Задача 5. Вычислить давление Р воды на плотину, имеющую форму трапеции, верхнее основание которой равно а, нижнее Ь, предполагая, что поверхность воды достигает верхнего края плотины (черт. 90).
Решение. Разделим высоту Н на п равных частей и через точки деления проведем прямые, параллельные основаниям. Трапеция разобьется на площадки. При достаточно большом п каждую из них можно принять за прямоугольник. Основание fe-ro прямоугольника равно хк, а высота —. Давление рк на площадку плотины приближен- п
но будет равно:
НН.
Pk~xk—'— к-п п
(—• к — глубина площадки). хк найдем из подобия треугольников BFD и BMN фВ || ДС):
а — b Н. b — а .
=-, откуда хк = а 4к.
Хь — Ь,, Нп
(п —k) — п
Следовательно, рк
Величина р давления воды на всю плотину приближенно будет равна:
Л—1
п2 п2 ^ 6=1п2 п2 ^ 6=1р [а +(6 — а) - к=\
п2 п2 ^ 6=1
п2 п2 ^ 6=1
л—1
ф - а) Н^ у ^ = ^ "-1 I kb - а) Н^ (п - 1)(2п-1)
+ " п3 *2 * п '6‘ п2
к=А
Чтобы найти истинную величину давления воды на плотину, найдем предел этого выражения при п -> + оо:
= Пш Г^1.+ _(^£)^ е (п - 1) (2п - m =
оо I 2 л6п2 J
= ^^а + 2Ь\
Если, например, а = 300 м, b = 150 м, Н = 20 м, то давление р будет равно:
р = ^ (300 + 2 • 150) = 40 000 (т).
Вычисление работы
Задача 6. Найти работу А, затрачиваемую на выкачивание бензина из цистерны, имеющей форму цилиндрического резервуара высотой Н и радиусом основания R. Удельный вес бензина 6 = 0,7 (черт. 91).
Если разбить цистерну на цилиндрические слои, то, как известно из физики, вся работа, необходимая для выкачивания бензина, будет равна сумме работ, затраченных на выкачивание бензина из каждого слоя. Этим и воспользуемся для решения задачи.
Решение. Разобьем цистерну на цилиндрические слои с одинаковой высотой — . Чтобы найти всю работу, необхо- п
димую для выкачивания бензина, нужно сложить работы, затрачиваемые на выкачивание бензина из каждого слоя цистерны. Будем считать, что все частицы бензина в одном
Черт. 91
слое находятся на одинаковой глубине. Тогда работа Л^, необходимая для извлечения 6-го слоя на поверхность, будет равна произведению веса этого слоя на высоту его подъема.
Вес слоя равен блТ?2 -, а высота подъема для к-го слоя п
Н г равна —к. п
Следовательно, Л. ^л£25 — к.
п2
Сумма всех этих приближений элементарных работ дает приближенное значение всей работы:
п + 1пп + 1пп
п + 1п
п + 1п
п^2
к=\
За работу Л принимается предел этой величины, при п -> + оо:
А = lim —— I = — л/?2 • л28, где 6 = 0,7.
L 2 п J 2
УПРАЖНЕНИЯ.
Найти площадь фигуры, ограниченной параболой z/ = 2x2 и прямой у=х.
Найти давление воды на боковые стенки бассейна, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, длина которого 50 м, ширина 16 Л! и глубина 7,8 м, если он наполнен доверху.
Понятие об интеграле
При решении рассмотренных задач мы пользовались следующим приемом:
Величину, подлежащую определению, представляли в виде суммы элементарных слагаемых той же природы (конус разбивали на тонкие слои; криволинейный треугольник — на узкие полоски и т. д.).
Элементарные слагаемые приближенно подсчитывали (слои конуса заменяли цилиндрами и подсчитывали их объемы; полоски криволинейного треугольника заменяли прямоугольниками и подсчитывали их площади) и составляли суммы некоторого числа п этих приближенных значений.
При возрастании числа п возникали последовательности, пределы которых принимали за значения определяемых величин.
Этот процесс и составляет основное содержание метода суммирования.
Идея метода суммирования лежит в основе одного из важнейших понятий математического анализа — определенного интеграла. Эта идея была известна математикам древней Греции. Позднее ее развили в своих трудах Кеплер («Стереометрия винных бочек», 1615 г.) и Кавальери («Геометрия неделимых», 1635 г.). Однако общих способов нахождения пределов сумм математики тогда еще не знали. Эти способы стали известны позднее, когда было введено понятие определенного интеграла, которое схематично можно описать так.
Рассматривается некоторая функция у = f (х), х € Va, frL
Сегмент [а, b ] разбивается на более мелкие сегменты (не обязательно равные) (черт. 92). На каждом сегменте выби-
Q-Xq Х1 Х^ Х;~1 Ci Х(Xq-з Ь-Xq
—I1—IН 1-Ч1Н11—
Черт. 92
рается произвольная точка с, С [х^, х} ] и составляется сумма, в качестве слагаемых которой выступают произведения
/ ^ . Ахг,
где через Лх^ обозначена длина сегмента [х^, xj, т. е. х{ — хН1 = Ах,-. Предел суммы этих слагаемых, когда длина каждого сегмента стремится к нулю, т. е.
п
Ит У/(сг) Ах;,
Ay.-* О f*
и называется определенным интегралом от функции
у = f (х) на сегменте \а, b ]. В интегральном исчислении
выясняются условия, при которых предел этих сумм существует, и даются способы его вычисления. Таким образом, определенный интеграл выступает как предел.
Понятие предела занимает одно из центральных мест в математике. Современная теория предела является результатом обобщения и совершенствования очень древних и интуитивных представлений об этом понятии. Идея предела выдвигалась Евклидом (365 г. до н. э.), Аристотелем (287—212 гг. до н. э.) и другими математиками древности. Хотя эти математики никогда не давали определения предела, они интуитивно использовали основную идею предельного перехода при отыскании площадей, ограниченных криволинейными контурами, объемов и поверхностей тел, работы, давления жидкости и т. д. Например, решение задачи об отыскании площади криволинейного треугольника, ограниченного дугой параболы у=х2 (черт. 87), было предложено Архимедом, причем идея этого решения напоминает идею современного предельного перехода (§ 45, задача 2). Позднее попытка ввести понятие предела была сделана И. Ньютоном. Он ввел специальный термин limes (предел).
О понятии предела с полной отчетливостью говорит в своих работах член Петербургской Академии наук, знаменитый математик Леонард Эйлер.
В конце XVIII в. применение предела широко пропагандировал русский математик С. Е. Гурьев. Но только в начале XIX в. понятие предела получило такое научное определение, которое можно описать с помощью математических неравенств. Это придало теории пределов необходимую строгость, позволило широко использовать ее в практических приложениях и сделало фундаментом построения современной математики. Особая заслуга в этом принадлежит французскому математику О. Коши.
ГЛАВА V
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Понятие о непрерывности функции
Рассмотрим функцию / (х) = Зх2. Ее значение при х = 1 равно трем: f (1) = 3. Пусть теперь х стремится к единице по какому угодно закону.
Тогда
lim / ( х ) = Пт (Зх2) = 3.х->1х-*1
Как видим, здесь предел функции при х, стремящемся к единице, совпадает со значением функции в той же точке. Говорят, что данная функция в точке х = 1 непрерывна.
Определение. Функция у = f (х) называется непрерывной в точке а, если предел функции в точке а существует и равен значению функции в этой точке, т. е. если
lim Цх) = f (а).(1)
х-*а
Таким образом, если в точке а функция непрерывна, то;
функция определена в точке а;
существует предел функции в точке а;
этот предел совпадает со значением функции в точке а.
Так, функция / (х) = Зх2 непрерывна в любой точке а. Действительно, функция определена на всей числовой прямой, f (а) = За2 и
lim / (х) = lim (Зх2) = За2, т. e.lim / (х) = f (а). х -*ах -* ах-* а
Пусть функция непрерывна в точке а. Тогда справедливо равенство (1). А из него следует, что при х-> а разность Дх) —/(а) будет бесконечно малой. Обратно, если 182
разность Дх) — Да) есть бесконечно малая при х -> а, то lim Дх) = Да), т. е. Дх) непрерывна в точке а.
х -*а
Например, / (х) = кх + b — линейная функция. Она определена на всей числовой прямой. Возьмем на оси абсцисс точку а, значение функции в этой точке будет равно / (а) = ка + Ь. Разность
f W —- f (я) = (kx + Ь) — (ка + Ь) = к (х — а) при х -> а есть бесконечно малая. Следовательно, линейная функция непрерывна в любой точке числовой прямой.
Функция, непрерывная в каждой точке отрезка (интервала, сегмента), называется непрерывной на этом отрезке.
Пример 1. f (х) = sin х. Функция определена на всей числовой прямой. Возьмем на этой прямой точку а. Как мы убедились раньше, lim sin х = sin а. Следовательно, х -* а
sin х есть функция, непрерывная на всей числовой прямой.
Пример 2. f (х) = cos х — непрерывная функция на всей числовой прямой (см. § 39, пример 5).
Пример 3. / (х) = tg х.
.lim sin х.
lim/ (x) = lim tgx = lim sm = -m-a- = tga, x-*ax^ax-*a cos xlim cos xcos a
x-*a
если a + -y + nk (к = 0,± 1, ± 2, .. .).
Следовательно, у = 1§хвточкеа + — +л& (&=0,±l±2. ..) есть непрерывная функция.
Пример 4. / (х) =Пример 4. / (х) =-1^, если х ф О, X2, если х = 0.-1^, если х ф О, X2, если х = 0.
Пример 4. / (х) =
Пример 4. / (х) =
-1^, если х ф О, X
2, если х = 0.
-1^, если х ф О, X
2, если х = 0.
Рассмотрим разность f (х) — f (0).
При х > 0 |х| = х и эта разность будет равна
-^ — 2= 1 —2 = — 1. х
При х < 0 | х | = — хи разность будет равна — - — 2 = — 1 — 2 = — 3.
Таким образом, разность / (х) — / (0) не будет бесконечно малой при х -> 0. Следовательно, в начале координат взятая нами функция не будет непрерывной. Говорят, что эта функция разрывна в начале координат.
Построим график функции. Точка с координатами (0,2) является точкой графика функции. В остальных точках числовой прямой функция непрерывна (черт. 93).
Y ,
2"
1 '-*-
■*н
Черт 93
Приращение аргумента и функции
Возьмем в области существования функции у = f (х) два значения аргумента а и х. Очевидно, х = а + (х — а). Разность х — а называется приращением аргумента х в точке а. Его обычно обозначают через Ах. Теперь х^а+Ах. Разность / (х)—/(а), или, что то же самое, разность f(a-r + А х) — / (а), называется приращением функции у = f (х) в точке а. Его принято обозначать через Ау:
/(а + Ах) — / (а) = А у.
Приращения аргумента и функции могут быть как положительными, так и отрицательными (черт. 94 и 95).
Пример 1. Если а = 2; х = 2, 4,
то Ах = 2,4 — 2 = ОД.
Пример 2. Если а = 2; х = 1,7, то Дх = 1, 7 — 2 = = —0,3.
Пример 3. Пусть f (х) = х2; а = — 1; х = — 0,7. Соответствующее приращение функции
А у = f (х) - f (а) = (- 0,7)2 - (- 1) 2 = = 0,49 — 1 = — 0,51 < 0.
Ду>0Ду>0
Ду>0
Ду>0
Черт. 94Черт. 95
Пример 4. Пусть f (х) = х2; а = 2; А х = 0,1, тогда приращение функции
А у = / ^ + А х) — f ( а) = (2,1)2 — 22 = 4,41 — — 4 = 0,41 > 0.
Постройте чертежи для примеров 3 и 4.
УПРАЖНЕНИЯ.
Найти Л у, если:
у = х2 + 2; а) а = 1; Ах = 0,1; Ах = —0,2; 6) а = 2; Ах =0,5; Ах =—0,1.
у = sin х; а =; Ах =; Ах= .
у6126
у = х3; а = 1; Ах = 0,1; Ах = — 0,4,
Другая форма определения непрерывности функции
В § 46 мы видели, что функция у = f (х) непрерывна в точке а тогда и только тогда, когда разность / (х) —/ (а) есть бесконечно малая при х -> а. Но эта разность есть
приращение функции в точке а (§ 47). Поэтому можно сказать, что функция у = /(х) непрерывна в точке а тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е. Д у 0 при Д х 0.
Пример. Исследовать на непрерывность в начале координат функцию
( 2х, если х<0,
( cos х, если х > 0.
Рассмотрим приращение функции Д у в начале координат, т. е. Д у = / (0 + Д х) — / (0). Заметим, что / (0)=cos 0=1.
При Дх > 0, Ду = cos (0 + Дх) — cos 0 = cos Дх— — 1 -> 1 — 1 = 0, если Дх -> 0.
При Дх < 0, Ду = 2 • Дх — cos 0 = 2 • Дх — 1 -> —1,при Дх -> 0.
Следовательно, при произвольном Дх приращение Ду не стремится к нулю, когда Дх -> 0. Функция разрывна в начале координат. График функции изображен на черте-
УПРАЖНЕНИЯ.
В задачах 1—6 исследовать на непрерывность в указанных точках данные функции. Постройте графики этих функций.
1. у — 2х + 1 в точках: а) х = 1; б) х = —1; в) х = а, где а — произвольное действительное число.
2. у = х2 + 1 в точках: а) х = —1; б) х = 2; в) х = а.
у = sin Зх в точках: а) х = 0: б) х = — — ; в) х = а.
( —х, если х < 0,
у = {
( 14-х2, если х > 0, в точках: а) х=— 2;
х = 0; в) х = 1.
1, если х < О,
5. у =5. у =х, если 0 < х < — , 2
5. у =
5. у =
л
cosx, если — < х, в точках: а)х = — 3; б)х = 0;
( 2 | х |, если | х | < 1,1 1, если | х | > 1,( 2 | х |, если | х | < 1,1 1, если | х | > 1,х = — ; г) х = л.
( 2 | х |, если | х | < 1,
1 1, если | х | > 1,
( 2 | х |, если | х | < 1,
1 1, если | х | > 1,
ах х=— 1; б) х =0; в точках:Л
в) х = 3.
у = , если х ^ 0. Как надо доопределить эту функ-
х
цию в точке х = 0t чтобы она была непрерывной в этой точке?
49. Некоторые свойства непрерывных функций
Пусть ft (х) и /2 (х) определены на одном и том же числовом отрезке. Ниже будем брать точки на этом отрезке.
Теорема L Если функции /t (х) и /2 (я) непрерывны в точке а. то их сумма (разность) есть функция, непрерывная в этой точке.
Доказательство. Функции f^ (х) и /2W непрерывны в точке а. поэтому
lim^x) =/\(а)(1)
х -*а
И
Пт/2(х) ^(а).(2)
Пусть гр (х) = /1 (х) + /2 W-
Очевидно, гр (а) = /( (а) + /2 (а).(3)
Рассмотрим предел функции гр (х) при х -> а:
lim гр (х) = lim [Д (х) + f2 (х)] = lim Д (х) + lim f2 (х) = х-*ах -*ох-*ах -*а
= fi(a)+f2(a)-
Откуда в силу равенства (3)
lim Я5 (х) = Я5 М- х-*а
А это и означает непрерывность функции ф (х), т. е. суммы Д (х) + /2 (х) в точке а.
Для разности функций доказательство проводится так же.
Теорема 2. Если функции f{ (х) и f2 (х) непрерывны в точке а, то их произведение есть функция, непрерывная в этой точке.
Доказательство полностью совпадает с доказательством теоремы первой.
Замечание. Методом математической индукции можно доказать справедливость теорем 1-й и 2-й для любого конечного числа непрерывных функций. Докажите.
Теорема 3. Если функции ^ (х) и /2(х) непрерывны в точке а и f2 (а)0, то функция
W = 777г
/2 Xх)
непрерывна в этой точке.
Теоремы 1, 2 и 3 переносятся на сегмент и интервал, т. е. сумма и произведение конечного числа функций, непрерывных на числовом сегменте (интервале), есть функции, непрерывные на этом сегменте (интервале).
Для частного теорема формулируется так:
Если функции f^x) и /2(х) непрерывны на сегменте (интервале) и функция f2(x) ни в одной точке сегмента (интервала) не обращается в нуль, то функция
непрерывна на этом сегменте (интервале).
Пример 1» Функция f(x)=x непрерывна всюду на числовой прямой, ибо f (а) — а и
lim/(x) = limx = а, т. е. lim f (х) = f (а).
х-*ах -*ах -*а
Пример 2. f (х) = xf1 = х • х • ... • х непрерывна всюду на числовой прямой, как произведение п всюду непрерывных функций, каждая из которых равна х.
Пример 3. f (х) = с • хп (с — постоянная) непрерывна всюду.
Пример 4./ (х) = аохп + av хп-х + ... + ап_х х + ап
непрерывна всюду; ее можно рассматривать как сумму непрерывных функций:
/о (х) = а0 х", Л (х) = Я1 X"-1, ..., f„_t (х) = an_t х, /„(х) = а,
т. е. любой многочлен есть всюду непрерывная функция.
Пример 5. Функция
' b^-V Ь^А- ... + b^x-V- bm
(тип — целые положительные числа) , представляющая отношение двух многочленов, непрерывна в точках, в которых знаменатель не обращается в нуль.
Например, функция
^ / у\ ^3 ~Ь Зх2 ~Ь ^х 7
И “ x4 + 6x2+ 13
всюду непрерывна потому, что числитель и знаменатель всюду непрерывны, причем знаменатель в любой точке отличен от нуля.
Пример 6. tg х = ^^непрерывная функция в точ- COS X
ках, в которых cos х 5^ О, т. е. исключая
х = ^ + л£ (k = 0; ± 1; ±2;...).
Пример 7. ctg х = ^2L — всюду непрерывная sinx
функция, исключая точки х = л к (к = 0; ± 1; ± 2;...), в которых знаменатель обращается в нуль.
Пример 8. f (х) = 2 sin х + 5 cos х непрерывна всюду на числовой прямой как сумма двух непрерывных функций.
§ 50. Свойства функции, непрерывной на сегменте
Функция, непрерывная на сегменте, обладает рядом важных свойств.
Будем рассматривать функцию / (х), непрерывную на сегменте \а, И.
Свойство 1. Функция, непрерывная на сегменте, ограничена на этом сегменте, т. е.
UWKk,(1)
где k — некоторое положительное число.
В силу неравенства (1) график функции при а<х<Ь находится в полосе, ограниченной прямыми у = к и у=—к (черт. 97).
Интересно отметить, что на интервале функция, будучи непрерывной, может быть неограниченной на этом интервале. Такой, например, будет функция у = - на интервале (0; 1). При х -* 0 справа значения функции неограниченно возрастают (черт. 98).
Свойство 2< Функция, непрерывная на сегменте, имеет на этом, сегменте наименьшее т и наибольшее М значения (черт. 99). На интервале это свойство непрерывной функции не всегда сохраняется.
Например, функция у = 2х непрерывна на интервале (0; 1), но не имеет на этом интервале ни наименьшего, ни наибольшего значения (черт. 100).
Свойство 3. Если функция непрерывна на сегменте [а, Ь) и в точке а положительна (отрицательна), а в точке b отрицательна (положительна), то хотя бы в одной точке сегмента {а, Ы функция обращается в нуль (черт. 101 и 102).
находитсянаходится
находится
находится
Пример* Доказать, что на сегменте корень уравнения
4х3 — х2 + 4х — 1 =0.
Решение. Рассмотрим функцию у = 4х3 — х2 + 4х — L
у = — 1 < О,у = — 1 < О,Она непрерывна. При х = О а при
у = — 1 < О,
у = — 1 < О,
хх222255У=4У=4>0.>0.
х
х
2
2
2
2
5
5
У=4
У=4
>0.
>0.
Г
В силу третьего свойства на сегменте 0; — найдется точка хь в которой у, а следовательно, и левая часть уравнения обратится в нуль. А это и означает, что х^ есть корень заданного уравнения.
УПРАЖНЕНИЯ.
Доказать, что на сегменте [—2; 0] находится корень уравнения х3 + 2х + 11 = 0.
Доказать, что при р > 0, q > 0 на сегменте [о; —1 находит* ся «осень уравнения х1 + рх - а = ОL
LU KUpCnb уравНслИИ ДрД ^^ Ц — V,
Исаак Ньютон (1643 — 1727)Исаак Ньютон (1643 — 1727)
Исаак Ньютон (1643 — 1727)
Исаак Ньютон (1643 — 1727)
ГЛАВА VI
ПРОИЗВОДНАЯ
§ 51. Средняя и мгновенная скорость прямолинейногодвижения
Рассмотрим прямолинейное движение некоторого тела. Очевидно, каждому моменту времени соответствует определенное значение пройденного пути^. е. путь5, пройденный движущимся телом, есть функция времени /, т. е. S = f (/). Однако это соответствие при различных движениях различно: одни тела движутся быстрее, другие — медленнее; при одних движениях тела в равные промежутки времени проходят равные отрезки пути, при других — различной длины.
Для характеристики движения введена специальная физическая величина, называемая скоростью.
Определение. Средней скоростью движения тела называется отношение пройденного пути ко времени, в течение которого этот путь пройден.
Так, если за промежуток времени t2 — tY = М тело
прошло путь As, то средняя скорость движения тела
(1)(1)As
(1)
(1)
ср ы
Например, при движении детали по конвейеру ее средняя скорость для различных промежутков времени будет одна и та же, так как отношение пути, пройденного деталью,
ко времени, в течение которого этот путь пройден, одина
0Miм20Miм2ково для различных положений детали на конвейере Мь М2, М3 (черт. 103).
0
Mi
м2
0
Mi
м2
Если Si = / s2 = f (t2y то
= vcp = const.= vcp = const.Si S2 $2Si
= vcp = const.
= vcp = const.
^1/2^2^1
s =s =Черт. 103.Черт. 103.С другой стороны, при движении свободно падающего тела средняя скорость не будет величиной постоянной. При свободном падении длина пути выражается формулой
s =
s =
Черт. 103.
Черт. 103.
^3
Черт. 104
Для различных положений падающего тела Мь М2, М3 (черт. 104) отношение пути ко времени будет различно:
S12= ^1 .S2= gt^ .s2- Sj= g (t2 + /1)
/i/i2 ’/о 2 ’Z2 —/i2
При этом движении пути, проходимые телом в равные промежутки времени, будут различны. Так, в первую секунду тело пройдет путь — м ; во вторую:
в третью:
£ • З2 g - 22
22
Движение с постоянной средней скоростью называется равномерным.
Движение, средняя скорость которого различна в различные промежутки времени, называется неравномерным.
Очевидно, при равномерном движении тело за равные промежутки времени проходит равные отрезки пути. Поэтому, чтобы охарактеризовать равномерное движение, достаточно подсчитать его среднюю скорость за любой промежуток времени. Среднюю скорость равномерного движения обычно называют просто скоростью.
При неравномерном движении тело за равные промежутки времени проходит разные отрезки пути.
Следовательно, чтобы охарактеризовать неравномерное движение тела, недостаточно подсчитать его среднюю скорость за какой-либо промежуток времени. Для этого надо ввести новое понятие — понятие мгновенной скорости, или скорости в данный момент. Предварительно поясним это понятие на примере.
Пример 1. Определить скорость тела, движущегося прямолинейно по закону s — /2 + 1 (л<), в момент времени t = 5 сек.
Решение. Сначала найдем среднюю скорость этого движения за некоторый произвольно малый промежуток времени А/, отсчитываемый от t = 5 сек. Моменту времени t = 5 соответствует путь Si = 52 + 1 = 26, а моменту времени t = 5 + kt путь s2 = (5 + А/)2 + 1 = 26 + As, откуда As = sj — st = (5 + А/)2 + 1 —(52 + 1) = 10 Д/+А/2. Следовательно, по формуле (1)
уср = = 10 +м
Далее, будем подсчитывать уср за все меньшие и меньшие промежутки времени АЛ Например, за А< = 1 сек., Д/ = 0,5 сек., А/ = 0,2 сек. и т. д. Тогда соответствующие значения vcp, равные
11 -; 10,5 — ; 10,25 — ит. д„ сек. сек сек
будут давать приближенные значения скорости и при t = 5 сек.
При этом с уменьшением М средняя скорость стремится к 10 — как к пределу, т. е.
сек
lim уср = lim — = Пт (10 + А/) = 10. д/ ->о д/ - о А/д/ - о
Этот предел и принимается за скорость рассматриваемого движения в момент t = 5 сек., что кратко можно записать так:
v (5) = 10 — .
сек
Определение. Мгновенной скоростью имгн или скоростью в момент t прямолинейного движения называется предел отношения приращения пути As к соответствующему приращению времени Ы, когда последнее стремится к нулю:
V (t) = lim •(2)
д/ - о А/
Пример 2. Тело движется прямолинейно по закону
s = 2t2 — 3t + 1 (мУ
Найти величину мгновенной скорости в моменты времени:
0 = 1 сек.; б) (2 = 2 сек.; в) t = t сек.
Решение, а) Рассмотрим промежуток времени [1; (1 + A/) L
Найдем путь As, пройденный телом за это время:
As = 2 (1 + А/)2 -3(1 + А0+1—2-12 ++ 3 • 1 — 1 = А/ + 2Д/2.
Определим среднюю скорость за промежуток времени Д/:
As = (£+2А0Д£ =2
ср А/А/1
Вычислим предел этого отношения:
lim -- = lim (1 -j- 2Д/) = 1,
AZ^O А/ д/-»о
который будет равен величине скорости в момент времени t = 1 сек.
Ответ. и(1) = 1 — .
сек
Рассмотрим промежуток времени [2; (2 + A/) L
Найдем соответствующий путь As:
As = 2 (2 + А/)2 -3(2+АО + 1—2-22 ++ 3-2—1 =5А/ + 2Д/2.
Определим отношение — :
М
^ = (5+2AW =5+2At
д/ ы
Вычислим предел этого отношения:
Пт - =Пт(5 4-2А0 = 5.
д< -О Д<м - 0
Ответ. v(2) = 5—.
сек.
Выполняем аналогичные действия в случае произвольного момента времени t:
10 (/ + АЛ;
As =2(/+ ДО2 —3 (/+ ДО + 1 — 2 • ^ + 3 • t— 1 =
=4/ А/ + 2Д/2 — ЗА/;
As _ W-3 + 2AQA. = 4Z _ з + W;
м м
lim - = Нт (4/ — 3 + 2Д/) = 4/ —3.
Д^ -*0 А/ Д* -о
Ответ, у (Л = 4/ — 3 f — V
' сек I
§ 52. Линейная плотность стержня
Пусть мы имеем стержень. Каждому его отрезку длины I будет соответствовать определенная масса т, т. е. т = f W С какой же скоростью будет изменяться масса стержня в зависимости от его длины? Чтобы ответить на этот вопрос, в физике введена специальная величина, называемая линейной плотностью.
Определение. Средней линейной плотностью стержня называется отношение массы стержня к его длине.
Средняя линейная плотность однородного стержня нс зависит от того, на каком участке стержня мы будем ее подсчитывать. Ее называют просто плотностью 6:
s тг т 2т2— тх.
ср- Г ““
Если стержень неоднородный, то средняя линейная плотность будет зависеть от того, на каких участках стержня мы будем ее подсчитывать, и, следовательно, не может вполне характеризовать скорость изменения массы стержня. Для неоднородных стержней вводится понятие плотности в данной точке. Поясним его. Пусть требуется определить плотность неоднородного стержня в точке A4t соответствующей длине Ц (черт. 105). Найдем среднюю ли-
АMiВ
Ц Д1
Черт. 105
нейную плотность участка стержня длины \l<3 Zt + AZ], где AZ — величина положительная или отрицательная. Так как масса стержня длины AZ будет равна разности ^2 — mY = Дт. где т2 = f [Z4 + AZ) и т^ = f (/J, то средняя линейная плотность стержня на этом участке равна:
$ Дтср м'и тем точнее будет характеризовать линейную плотностьстержня в точке Мь чем меньше участок мы выберем.
Определение, Линейной плотностью стержня б (Z) в точке Z называется предел отношения приращения массы Дт к приращению длины Д1, когда последнее стремится к нулю*.
b^ =lim^.(1)
д/ -о Ы
Линейная плотность характеризует скорость изменения массы стержня в зависимости от его длины.
Пример. В тонком неоднородном стержне ОМ длиной 35 см масса (в г) распределена по закону
m =2/2 + 3/,
где / — длина части стержня, отсчитываемая от точки О. Найти: 1) среднюю линейную плотность всего стержня; 2) линейную плотность в точке: а) отстоящей от точки О на 5 см и б) в конце стержня.
Решение. 1) Длина стержня I = 35 см, поэтому масса этого стержня
т = 2 • 352 + 3 • 35 = 2555 (г).
Определим среднюю линейную плотность стержня:
2555 I ^ \ср 35\ см /
Ответ. Средняя линейная плотность стержня 73 -. см
а) Рассмотрим участок стержня [5; 5 + Д/L Найдем его массу Дт:
^m = 2 (5 + Д/)2 + 3 (5 + Д/) — 2 • 52 — 3 • 5 == 23Д/ + 2Д/2.
Определим среднюю линейную плотность участка стержня:
^ср —^ср —^m _ (23 + 2AZ) AZ^m _ (23 + 2AZ) AZА/А/А/А/= 23 + 2Д/.= 23 + 2Д/.
^ср —
^ср —
^m _ (23 + 2AZ) AZ
^m _ (23 + 2AZ) AZ
А/
А/
А/
А/
= 23 + 2Д/.
= 23 + 2Д/.
Вычислим плотность стержня в точке / = 5 см.
Согласно (1)
d(5) = lim — = Нш(23 + 2Д/) = 23(—'j . AZ - О А/AZ->0\СМ /
Ответ. Линейная плотность стержня в точке I = 5 см равна 23-• см
Рассмотрим участок стержня [35 + Д/; 351 (А/< < 0, так как мы не можем выйти за пределы стержня).
Найдем его массу дт:
Дт = 2 (35 + Д/)2 + 3(35 + А/) — 2 • 35* —- 3 • 35 = 143 Д/ + 2Д/.
Определим среднюю линейную плотность на участке:
6СО= — = ^ULL^O^l = 143 _|_ 2м(—\ .
ср А/А/\см /
Вычислим линейную плотность стержня в его конце:
5(35) =lim — = lim (143 + 2Д/) = 143/—) .
AZ -О М Ы-И)\СМ /
Ответ. Линейная плотность стержня в его конце равна 143—.
СМ
Итак, чтобы найти линейную плотность 6 (/) в данной точке неоднородного стержня, масса которого т изменяется в зависимости от длины / по закону т = f W нужно вычислить
Нт где AZ = (/ + А/) — / и Дт = f (I + АО-f (О-
А/ -> о А/
53. Среднее и мгновенное значение величины тока
Представим себе электрическую цепь, в которую включен некоторый источник тока. Пусть Q — количество электричества (в кулонах), протекающее за время t через поперечное сечение проводника. Каждому значению времени t соответствует определенное значение количества электричества Q, т. е. Q = f (/)•
Для определения скорости изменения количества электричества с течением времени в физике введена особая величина, называемая величиной тока.
Определение. Средней величиной тока называется количество электричества, протекающее по проводнику в единицу времени.
Так, если за промежуток времени М ^ t^—- tt количество протекшего электричества
AQ = /Ю - /(О.
то средняя величина тока за этот промежуток времени равна:
ср- м •
В случае постоянного тока /ср будет одной и той же для любого промежутка времени АЛ Необычно называют просто величиной тока /.
Если же в цени ток переменный, то измерять скорость изменения количества электричества в различные промежутки времени с помощью /ср нельзя, так как она будет различна для различных промежутков времени. Для характеристики скорости изменения количества электричества в этом случае вводят понятие мгновенной величины тока.
Определение. Мгновенной величиной тока I $ в момент t называется предел отношения приращения количества электричества AQ ко времени М, за которое произошло это приращение, при условии, что Д^ 0:
7(0 =Пш^.(2)
А^О М
Пример. Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента t = 0, дается формулой Q=2^2 + 4^+3 (кулонов). Найти: 1) величину тока в конце третьей секунды; 2) определить скорость изменения количества электричества через 6 сек. после начального момента.
Решение. 1) Рассмотрим промежуток времени [3; 3 + AN . Найдем приращение количества электричества за этот промежуток времени:
AQ = 2 (3 + ДО2 + 4 (3 + ДО + 3 — 2 • З2-— 4 • 3 — 3 = 16Д/ + 2ДЛ2.
~ЛО
Определим отношение —:
AQ = (16 + 2AQ • М = 16 _|_ 2д/#
AtМ
Вычислим предел этого отношения при Д/ 0:
Нш(16 + 2А0= 16.
А/-* 0
Ответ. Величина тока в конце третьей секунды равна 16 ампер.
2) Рассмотрим промежуток времени [6; 6 + Д^Ь
Найдем приращение количества электричества за этот промежуток:
Д Q = 28Д/ + 2Д£2.
Определим отношение приращении —:
А/
AQ (28 + 2AQ А/ 28 4- 2 А/
А/А/ “*
Вычислим предел этого отношения при А/ ->0:
lim ^ = Пт (28 + 2Д0 = 28.
А/ ->о А/ а/ ->0
Ответ. Скорость изменения количества электричества через 6 сек. после начала движения равна 28 —.
сек,
Итак, для отыскания мгновенной величины тока надо найти
lim — , где Д^ = (t + ДО — t и А/ ->0 М
^Q = f(t + M^-fW
§ 54, Скорость изменения функции, понятиепроизводной
Если еще раз вернуться к тем задачам, которые мы рассмотрели в предыдущих параграфах, то можно заметить в них много общего. Прежде всего в каждой из них мы имели дело с некоторой функцией:
$=Н0; т=т,
определенной на некотором множестве значений соответствующих аргументов: Z, /. Далее, в каждой из этих задач мы определяли скорость изменения функции, которая описывала закон соответствия переменных. Мгновенная скорость характеризовала скорость изменения пути в зависимости от изменения времени; плотность неоднородного стержня характеризовала скорость изменения его массы с изменением длины ит. п. Наконец, при вычислении скорости изменения
©тих функций мы вычисляли один и тот же предел, именно предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:
v(0 = lim — ; 6(/)=lim—; /(/)=lim —.д/->оА/А/ -*о А/А/->оА/
Можно указать еще много задач из техники, для решения которых также необходимо отыскивать скорость изменения соответствующей функции. Например, отыскание угловой скорости вращающегося тела, отыскание теплоемкости тела при нагревании, линейный коэффициент расширения тел при нагревании, скорость химической реакции в данный момент времени и т. п. суть такие же задачи, которые требуют для своего решения нахождения скорости изменения соответствующей функции. Ввиду обилия задач, приводящих к вычислению скорости изменения функции или, иначе, к вычислению предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, оказалось необходимым выделить такой предел для произвольной функции и изучить его основные свойства. Этот предел называется производной функции.
Определение. Производной функции у = f (х) в данной точке х0 называется предел отношения приращения функции ky в этой точке к приращению аргумента kx, когда последнее стремится к нулю*.
Иш — .
Ах-*0 Ах
Заметим, что Ах может быть как положительным, так и отрицательным.
Производную функции у = f (х) в данной точке х0 обозначают значком у'^х^ или f (х0). Следовательно,
f(*o) = lim^ .(1)
дх о Дх
Пример. Вычислить производную функции у = х2 в точке х= 1.
Решение. 1) Рассмотрим два значения аргумента 1 и 1 + Ах.
Определим Ау:
Ду = (1 + Ах)2 — I2 = 2Ах + Дх\
Найдем отношение —:
Дх
^ = 2 + Ах.
Ах
Вычислим производную:
//(1) = lim (2 + Ах) = 2.
Ах-* О
Ответ. /(1) = 2.
Теперь мы можем сказать, что в задачах трех пре* дыдущих параграфов мы находили производные функций.
Так, например, в прямолинейном движении скорость v есть производная пути s(Z) по времени*, и = s'(0-
Линейная плотность 6 неоднородного стержня есть производная массы т (/) по длине*. 6 = т' (I).
Величина переменного тока I есть производная от количества электричества Q (/) по времени*. I = Q\tY
Скорость и изменения функции у ~ f(x) есть производная этой функции v = f'(xY
Если производная функции у = f (х) существует в каждой точке некоторого отрезка, то она будет являться функцией, определенной на этом отрезке. В этом случае ее обозначают значком /' (х) или у'.
Непосредственное вычисление производных
Исходя из определения производной, можно высказать следующее правило отыскания производной функции в любой точке.
Чтобы найти производную функции у = f (х), нужно*.
Рассмотреть два значения аргумента х и х + Ах, где Ах — приращение аргумента.
Определить приращение функции*.
Ау = f (х + Ах) — f (х).
Найти отношение приращения функции к приращению аргумента —.
Ах
Вычислить предел этого отношения при kx -^ 0:lim =/'(х).
дх-о Дх
В примерах 1—5 найти производные функций.
Пример 1. у = х2.
Решение. 1) Рассмотрим два значения аргумента х и х + Ах.
Определим Ау:
Ду = (х + Ах)2 — х2 = 2хАх + Ах2.
Найдем отношение —:
Дх
М = (2х + Дх)Дх _2x+Ax.
ДхДх
Вычислим предел:
Нт — = Нт (2х + Ах) = 2х.
Ах -* 0 Ах Ах О
В ы в о д: производная функции у = х2 равна у' = 2х.
Поэтому, чтобы найти значение производной в некоторой точке х0, достаточно в этой формуле положить х равным х0. Например, при х = 1 у' = 2 • 1, т. е. у' (1) = 2; при х = 5 у' (5) = 10 и т. д.
Пример 2. / (х) = х.
Решение. 1) Рассмотрим два значения аргумента х и х + Ах.
Определим соответствующее приращение функции:
М W = / (^ + Ах) — f (х) = (х + Ах) — х = Ах.
Найдем отношение приращений функции и аргумента:
^ = — = 1
Ах Ах
Вычислим предел этого отношения:
lim — = Пт 1 = 1.
Ах - 0 Ах Ах о
Вывод: производная функции у = х равна единице: х' = 1.
Пример 3. f (х) = с.
Решение. 1) Рассмотрим два значения аргумента х и х + Ах.
Определим соответствующее приращение функции Ау. Так как / (х + Ах) = f (х) = с, то ky = с — с = О (черт. 106).
Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:
^ = 2. =0.
Дх Дх
Вычислим предел этого отношения:
Пт — = Нт 0 = 0.
Дх - 0 Дх Дх о
Вывод: производная функции у = с равна нулю, т. е. производная постоянной равна нулю.
Пример 4. у = sin х.
Решение. 1) х; х + Ах.
Ду = sin (х + Дх) — sin х = sin х • cos Дх +
+ cos х sin Дх — sin х = —sin x (1 — cos Ax) +
+ cos x • sin Ax = —sin x • 2 sin2 — + cos x • sin Ax.
2
Aw .. Nx) — =— sinx • sin —7 Ax2Aw .. Nx) — =— sinx • sin —7 Ax2. Ax sin —. A. sin AxH cosxAxAx. Ax sin —. A. sin AxH cosxAxAx
Aw .. Nx
) — =— sinx • sin —
7 Ax2
Aw .. Nx
) — =— sinx • sin —
7 Ax2
. Ax sin —. A
. sin Ax
H cosx
AxAx
. Ax sin —. A
. sin Ax
H cosx
AxAx
гДх
A Sin —,.
= cosx.= cosx.ах v•. Дх 2,sin Дх
= cosx.
= cosx.
lim — sin х • sin —к cosx- дх->02 ДхДх
-т
Вывод: производная синуса равна косинусу: (sin х)' = cos х.
Пример 5*» у = cos х.
Решение. 1) х; х + Ах.
Ду = cos (х + Ах) — cosx = cos х • cos Ах — sin х- sin Ах — cos х = —cos х (1 — cos Ах) — sin х • sin Ах.
Av1 — cos Дх . sin Дх
— = — cos xsin X=
ДхДхДх
л Ах sin2 — n 2 .sin Дх 5= — cos x • 2sin x .
ДхДх
гДх
sin —
lim — =lim —cosx-sin— дх-oAx дх-о2 Дх
-2
— sinx •— sinx •sin ДхДхsin ДхДх=— sin x.=— sin x.
— sinx •
— sinx •
sin Дх
Дх
sin Дх
Дх
=— sin x.
=— sin x.
Вывод: производная косинуса равна синусу, взятому с противоположным знаком:
(cos х)' = —sin х.
Пример 6» Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента времени ^ = 0 дается формулой Q = 3£2 — 2/ + 4 (кулонов).
Найти величину тока в конце третьей секунды.
Решение. Так как величина тока есть производная от количества электричества по времени, то для решения задачи достаточно вычислить значение производной функции при t = 3, т. е. Q'(3).
Найдем Q^ty
t; t + АЛ
AQ = 3(/ + A/)2 — 2(/ + АО + 4 — (З/2 — 2/ + + 4) = 61Ы — 2А/ + ЗА/2.
— = ^LlM^^L^ = 6t — 2 4- 3At
Л/At
lim (6# — 2 + ЗАО = 6/ — 2.
Дх-0
Ответ. /(3) = 16 ампер.
УПРАЖНЕНИЯ.
Пользуясь определением, найти производные следующих функций: а) у = Зх — 1; б) у = 4ха — 5; в) у = х3; г) у = 2sinx.
§ 56« Геометрический смысл производной
Производная имеет определенный геометрический смысл.
Геометрическое истолкование производной тесно связано с понятием касательной к кривой. Пусть дана непрерывная функция у = f (х), график которой изображен на чертеже 107.
Дадим определение касательной к кривой в точке. Пусть х0 — абсцисса точки М; выберем на кривой точку Мъ абсцисса которой будет, очевидно, х0 + Ах. Через точки М и Mt проведем прямую — она будет являться секу-
щей к рассматриваемой кривой. Нетрудно видеть из чертежа, что угловой коэффициент секущей к^ равен:
Ах
Предположим теперь, что Дх -> 0, т. е. что абсцисса точки Mt приближается к абсциссе точки М, а это в свою очередь означает, что точка Мх будет стремиться к точке М, оставаясь на кривой. Секущая будет вращаться около точки М. Если при этом секущая стремится занять некоторое предельное положение МТ, для которого р-> а при Дх -> 0, то МТ называют касательной к кривой в данной точке М (х0, у0).
Определение. Касательной к кривой в точке М называют предельное положение секущей ММЬ когда точка М^ стремится к точке М, оставаясь на кривой.
Касательная представляет собой прямую, поэтому ее уравнение имеет вид:
у = кх + Ь,
где к — угловой коэффициент, который будем называть угловым коэффициентом касательной. Так как k = tg а, то из определения касательной и непрерывности функции
У = tg X (х #=\
имеем:
к = lim kv(1)
Ах -♦ О
Пользуясь производной, можно найти значение к в заданной точке кривой.
Теорема 1. Угловой коэффициент к касательной к кривой у = f (х) в точке М (х0, у^ равен значению производной функции у = f (х) при х = х0:
М'(4(2)
Доказательство. Согласно равенству (1)k= lim kv
Ах О
Из чертежа 109 видно, что
следовательно,
6 = Hm ^ = Г (x0).
Что и требовалось доказать.
Справедливо также утверждение: Если функция имеет производную в некоторой точке, то в соответствующей точке существует касательная к ее графику. Причем значение производной совпадает с угловым коэффициентом касательной.
В этом заключается геометрический смысл производной.
Зная угловой коэффициент касательной к кривой и точку касания, можно найти уравнение касательной.
Теорема 2. Уравнение касательной к кривой у = f (х) в точке М (х0, у0), где у0 = f (х0) имеет вид:
У — Уо — f4x0) (х — хй\(3)
Доказательство. Чтобы найти уравнение касательной, нужно в уравнении прямой у = kx + b определить к и Ь. Согласно выражению (2)
к = ГМ.
Чтобы найти Ь, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку М (х0, у0У Это означает, что координаты этой точки должны удовлетворять уравнению прямой, т. е.
Уо = kx0 + Ь, откуда
b =у0 — кх0 =у0 — f'(x0)x0.
Подставив найденные значения к и b в уравнение прямой, получим уравнение касательной к кривой в ее точке м (х0, у0):
У — Уо = f'(x0) (х — х0).
Пример L Найти угловые коэффициенты касательных к параболе у = 2х2 — 2 в точках, абсциссы которых соответственно равны:
Xi = 1; х2 = —2; х3 = 0.
Решение. Находим производную функции у = 2х2 — 2.
х; x -г Ax.
Ду = 2(x + Дх)2 — 2 — (2x2 — 2) = 4хДх + 2Дх2.
^ = 4х + 2Дх.
7 Ах
lim — = Пт (4х + 2Дх) = 4х.
\х - 0 Ах Дх-9
Следовательно, при х = 1 угловой коэффициент касательной равен yr (1) = 4; при
при х = 0 к = 0.
Пример 2. Написать уравнения касательных к параболе у = х2 в точках Л^!; 1); Л2 (—1, 1); Л3(0; 0). Провести эти касательные.
Решение. Находим производную функции у’ =2х. Вычисляем согласно равенству (2) угловой коэффициент касательной в точке Л4 (1; 1):
к =2 • 1 =2.
Пользуясь уравнением (3), записываем уравнение касательной к параболе в точке Л1 у — 1 = = 2 (х — 1), или
У = 2х — 1.
Чтобы построить эту касательную, используем данную точку Л^!; 1) и вспомогательную точку—точку пересечения касательной с осью ординат В (0; —1). Через эти две точки проводим прямую (черт. 108).
Аналогично записываем уравнения других касательных. Для точки Л2 (—1; 1):
к = —2; у - 1 = —2 (х + 1),
или у = —2х — 1.
Для точки Л3 (0; 0):
к = 0, у = 0 (х — 0), или у = 0.
Первую из этих касательных строим по точкам Л2 и В; второй является ось ОХ.
Пример 3. Написать уравнения касательных к синусоиде у = sin х в точках
АА / я • 1 \
1 \ 42 /2 \ 2/
Решение. Находим производную функции у = sin х;
у* = cos х.
Записываем уравнения касательных.
Для точки А. к = cos — =;
42
У 2"УГ/ л\
„ли
2 \4 /
Для точки Аг к = cos -^ = 0;
у — 1 = 0 хL или у = L\2
Черт. 109
На чертеже 109 изображена синусоида и обе эти касательные. Для проведения первой касательной мы использовали данную точку
A Ln-\4 ’2 /
и вспомогательную точку — точку пересечения касательной с осью ОУ:
В ( 0; 1 —-YL\ 2 4))
Для проведения второй касательной воспользовались тем, что она параллельна оси ОХ и проходит через точку Л2ф 1).
Из чертежа 109 видно, что касательные к некоторым кривым могут иметь с ними не только одну общую точку, как это имеет место, например, для окружности.
Умение определить направление касательной к кривой имеет большое значение в физике, так как направление касательной к кривой в любой ее точке принимается за направление линейной скорости движения тела по этой кривой. Например, если точка движется по параболе у=х2 (в сторону возрастания х) (черт. 108), то скорость ее в точке Д1(1; 1) будет иметь направление касательно^! АХВ, а в точке Д2 (—1; 1) — направление касательной А2В.
УПРАЖНЕНИЯ.
Определить направление касательной к параболе у = 1—х2 в ее точках:
ДНО; 1); ДД2; - 3); А3^; ^ .
Написать уравнения касательных к кривым: л
у = cosх в точкахА (0;1); В (— ; 0);
у =х — х3 вточкеО (0; 0);
у =х2 + 1 вточкес абсциссойх=—1;
у =х3 — х —1 в точке с абсциссойх = 1.
В каждой ли точке функция имеет производную?
Возьмем функцию
,,( х2, если х < 0,
и будем искать производную в точке х = 0 (черт. НО). Найдем сначала приращение функции
Ну = / (0 + Ах) - f (0).
В нашем примере f (0) = О2 = 0. Величина / (0 + Ах) зависит от знака Ах.
При Ах > О
f (0 + Ах) = 2 (0 + Ах) ++ 1 = 2Ах+ 1.
При Ах < О
f (0 + Ах) = (0 + Ах)2 = Ах2.
Поэтому при Ах > О
Ду 2Дх-!-1 lim — = lim — =
Ах -* 0 Ах Ах -* О Ах
= lim ^2+ -Ц . Ах-* о \ Ах/
Но этот предел не существует, ибо
при Ах -> 0 отношение — не- Ах
ограниченно возрастает, а пер
вое слагаемое сохраняет постоянное значение.
При Ах < О
Ау Ах2lim — = lim — = lim Ах = 0.Ax -* 0 Ах Дх -* 0 Ах Дх -* О
Таким образом, lim—, когда Ах стремится к нулю каким угод- Ах->0 Ах
но способом, не существует. Следовательно, в начале координат данная функция не имеет производной.
Из графика (черт. НО) видно, что функция в начале координат разрывна. Можно показать, что в любой точке, где функция разрывна, производная функции не существует.
Теорема. Если функция у = f (х) имеет производную в некоторой точке х0, то она непрерывна в этой точке.
Дано: у = f (х); f' (х) =* lim — .
дх -*0 Ах
Доказать: lim Ay = 0.
Дх -*0
Ду Доказательство. Очевидно, Ду = — • Ах, Ах поэтому
lim Ау = lim — • lim Дх = f' (х0) -0 = 0;
Дх-*0 Ах-* о Ах Ах-* о теорема доказана.
Следствие. Если функция разрывна в некоторой точке, то она не имеет в этой точке производной.
Будем искать ее производную щем примере.
Таким образом, для существования производной в точке необходимо, чтобы функция была непрерывна в этой точке.
Но ошибочно было бы думать, что непрерывная функция всегда имеет производную. На это обратил внимание уже Н. И. Лобачевский. Непрерывность функции является только необходимым условием для существования производной.
Пример. Рассмотрим функцию
,( х2, если х < О,
еслих>0.
Ее график изображен на чертеже 111.
Функция всюду непрерывна, в точке х = 0. Как и в предыду-
f (0) = О2 = 0.
Далее, при Ах > 0
I (о + Ах) = 2(0 + Ах) = 2 Ах;
при Ах < 0 f (0 + Ах) = Ах2;
при Ах > 0
Ay f(Q + Ax)-f(O) 2Ахhm — = hm= hm= 2;
Дх-*о Ах дх^оАхдх->0 Ах
при Ах < 0
\уАх2
hm — = lim —— = Um Ах = 0. дх-*оАх дх->о Ах дх-о
Аг/
Поэтому lim — , когда Ах стремится к нулю каким угодно спо- дх-оАх
собом, не существует. Следовательно, функция в начале координат не имеет производной, хотя является непрерывной в этой точке.
Функции, которые в каждой точке некоторого интервала имеют производную, называются дифференцируемыми на этом интервале.
Кривые, изображающие графики дифференцируемых функций, не имеют «углов» и «заострений», таковы, например: парабола, гипербола, синусоида и др.
Производная суммы и разности функций
Для практики вычисления производных существуют определенные правила. Допустим, что мы имеем две функции и (х) и v (х), которые имеют производные на некотором
интервале. Будем искать производные суммы и разности этих функций, т. е. производные функций
У (х) = и (х) + У (х) и у (х) = и (х) — и (х).
Теорема 1. Производная суммы двух функций, каждая из которых имеет производную, равна сумме производных этих функций.
Дано: у (х) = и (х) + у (х): u'(x)=lim — ;
Ах - о Ах
у' (х) = Пт — . дл -. о Ах
Доказать: у' (х) = [и (х) + и (х)У = и '(х) + у'(х). (1)
Доказательство. Найдем производную у\х) по общему правилу.
Lx; x + Ax.
Лу = у (x +Ax) —у (x) = и (x + Ax) + и (x + Ax)— — lu (x) + и (x) ], но так как и (x + Ax) = и (x) + Au и v (x + Ax) = и (x) + Au (черт. 112), то Ay = u (x) + + Au + и (x) + Au — u (x) — и (x), t. e. Ay == Au+Au.
Определим — = — + — .
kx Ax Ax
Вычислим lim= u'(x) + y'(x), что и тре-
дх->о\Ах Ах/
бовалось доказать.
Методом математической индукции теорему можно распространить на любое конечное число слагаемых:
[и (х) + и (х) +... + w (х) 1' = и'(х) + и' (Х)+ ... +tu'(x). Докажите.
Теорема 2, Производная разности двух функций, каждая из которых имеет производную, равна разности производных этих функций-.
[и (х) — и (х) К = и'(х) — и'(х).(2)
Пример 1. Найти производные функций: а) у = х -V + sinx; б) у = х2 — cosx + 2.
Решение.
Обозначим и (х) = х; и (х) = sin х. Тогда
u'(x) = 1; и' (х) = cos х.
По теореме 1 у' (х) = (х)' + (sin х)' = 1 + cos х.
Так как (х2)' = 2х; (cos хУ = — sin х и (2)' = 0, то по теоремам 1 и 2
у'(х) = (х2)' — (cosx)' + (2)' = 2х + sinx.
Пример 2. Найти угловой коэффициент к касательной к кривой у = х2 — х + 5 в точке, абсцисса которой х = —1.
Решение. Угловой коэффициент касательной (§ 56) к = у' (—1). Найдем у' (х), пользуясь доказанными теоремами:
у' = (х2)' — (х)' + (5)' = 2х — 1.
Вычислим у* (—1) = 2 (—1) — 1 = —3.
Следовательно,
к - — 3.
Пример 3. Найти скорость у прямолинейного движения, закон которого дан формулой s = /2 — t + 3, через 2 сек. после начала движения.
Решение. По определению у = s' (2). Найдем производную:
s' = ^г — ^ + (3)' = 2/ — 1.
Вычислим s' (2) = 2 • 2 — 1 = 3.
Ответ, у = 3 —.
сек,
УПРАЖНЕНИЯ.
Найти производные функций: а) у = cos х + 3; б) у = х2 4+ х + 5; в) у = хй — sin х.
Написать уравнение касательной к кривой у = 2х2 4- 1 в точке А (1; 3). Построить эту касательную.
В тонком неоднородном стержне масса распределяется по закону т = 2/2 4- I + 2. Найти плотность стержня в точке, отстоящей от левого конца стержня на расстоянии 3 см.
§ 59. Производная произведения и частного
Предположим снова, что мы имеем две функции и (х) и у (х), которые имеют производные на некотором интервале (а, Ь). Будем искать производные произведения и частного этих функций.
Теорема 1. Производная произведения двух функций, каждая из которых имеет производную, равна сумме произведений каждой функции на производную другой.
Дано: у (х) = и (х) • у (х);
и (х) = lim — ;дх о Ах
у' (х) = lim — .
Дх -* 0 Ах
Доказать: у' (х) = и (х)- у'(х) + и (х) • ur (х).(1)
Доказательство.
x; х + Ах.
Ду = у (х + Ах) — у (х) = и (х + Ах) у (х + Ах)— — и (х) у (х), или (см. черт. 112) Ду = [и (х) + Д и\ [у(х)+ + Ду] — и (х) у (х), т. е. Ду = и (х) Ду + и (х)Ди + + Ди • Ду.
о ~Ay мАу4^Ам 4 Ам-Ау Ау , Ам ,
Определим — = —= иНуН
АхАхАх Ах
+ — • ДУ.
Ах
Вычислим lim — = lim fu — 4- у — + Аг-о Ах дх^о Ах Ах
+ — Ду^ = Пт (и —) + Нт (у — j + Пт Ду =
Ах / дх-о\ Ах/ дх-о' Ах' Дх-»о\Ах /
Ау ,1. Ам , .. Ам р /Ау . \,
= и НтН у Нт — + Нт — • Нт — -Дх = иу 4
Дг-оАх Дх-oAx Ах ^0 Ах Дг-о \Ах/
и у 4- и'у'О = и'у 4- иу'. Теорема доказана.
Теорема 2, Производная частного двух функций, каждая из которых имеет производную, равна дроби, знаменатель которой есть квадрат делителя, числитель — разность между произведениями делителя на производную делимого и делимого на производную делителя.
Дано: у(х) = ^ '» у U) + °-- “' U) = Пт ^
о (х)дх-о Ах
х I- Ао и (х) = lim — . дх-о Ах Доказать:
0' (г) = (Ч^Х = и'^х) ° <х)— у' а)м(х),g
У V U (х))»ЧХ) ‘'
Доказательство.
х; х + Ах.
At/ = у(х + Ах) — у(х), но у(х + Ах) = 44г^ >
у (х4 Ах)
или у (х 4- ^х) = и— +А“ , следовательно.
и (х)4 Ао
и (х) 4 Ду у (х) *
После приведения к общему знаменателю и упрощения получаем окончательно
д и (х)— и (х) Ау
у2(х) + У (х)Аи
Ay Ау
М _ Ах Ах
* Ах v2 (х) + v (х) Аи *
АуАу
у(х) — — и^ —
4.4.Пт — = ПтДх->оАх Дх-0Пт — = ПтДх->оАх Дх-0и2 (х) 4- у (х) Аии2 (х) 4- у (х) АиАхАх
4.
4.
Пт — = Пт
Дх->оАх Дх-0
Пт — = Пт
Дх->оАх Дх-0
и2 (х) 4- у (х) Аи
и2 (х) 4- у (х) Аи
, Aw , Ауу (х) Пт — —w(x) lim —дх-о Ах дх->о Ах
Нт [у2 (х) 4- у (х) Ау] *
Дх->0
Вычислим lim [у2(х) 4- у (х)- Ду] = Пт у2(х) + Нт [у(х) Ду] =
Дх-*0Дх-*0Дх —О
= у2(х) + у (х) Пт Дх = у2(х).дх->о \Ах )
Следовательно,
, и'и— UD'
Пример 1, Найти производные функций: а) у = xcos х; б) у = с • х2, с — константа.
Решение, а) Согласно формуле (1)
у1 = (х cos х)' = х' cos х 4- х (cos х)',но х' = 1 и (cos х)' = — sin х, поэтомууг =1 • cos х + х (— sin х) = cos х — х • sin х;
б) у' = (сх2)7 = с’х^ 4- с (х2)' = 0 • х2 4- у • 2х = 2сх.
Пример 2. Доказать, что если у = си^х^ где с — константа и и (х) имеет производную, то
V -си\^
Доказательство. По теореме 1
уг = (си)' = си' 4- с'и = си' 4- 0 • и = си'.
Утверждение доказано. Следовательно, постоянный множитель можно выносить за знак производной.
Пример 3. Найти производную функции у = 3 sin х.
Решение. Согласно формуле (3)
у1 = (3sinx)' = 3(sinx)' =3 cosx.
Пример 4. Найти производные функций: а) у = —;
з
X2X2Решение, а) Согласно формуле (2)Решение, а) Согласно формуле (2)у =
X2
X2
Решение, а) Согласно формуле (2)
Решение, а) Согласно формуле (2)
Пример 5. Найти уравнение касательной к гиперболе и в точке М (2; —),
Решение. Зная производную функции у = — , х
у' =— — (пример 4,а), найдем:
х2
k = y'^=-V
4
Напишем уравнение касательной:
ИЛИ
§ 60. Таблица производных
В предыдущих параграфах на основании общих правил были найдены производные некоторых часто встречающихся функций:
у = х2; у — sinx; у = cosx
и т. д.
В дальнейшем при решении задач мы пользовались этими производными как готовыми формулами и это, несомненно, облегчало нам решение той или иной задачи. Поэтому ясно, что, чем больше таких формул мы будем иметь, тем легче будем использовать понятие производной в решении конкретных задач. Для лучшего запоминания этих формул они выделены в специальную таблицу, подобную хорошо знакомой читателю таблице умножения. Для того чтобы получить эту таблицу, выведем на основании общих правил производные еще некоторых функций:
у = х”; у = tg х; у = ctg х.
Производная функция у = хп, где п— натуральное число. При выводе будем использовать метод математической индукции. Если у = х, то yr = 1; если у = х2, то уг = 2х. Следовательно, можно заметить закон образования производной степенной функции. Если у = хп, то у' = п • хп-1.
Докажем, что если этот закон верен для п = к, то он верен и для п = к + 1. Пусть
(х*)' = fex^1,
найдем (х*+1)'. Для этого представим х*+1 в виде произведения х • хк и применим правило отыскания производной произведения: ^хк^' = (х • хкУ = хг • хк + х • ^хкУ = = 1 • хк + х • к • х^1 = х^(1 + ку
На основании метода математической индукции можно утверждать, что для любого натурального п имеет место формула
(х“)' = пхп-1.(1)
Можно доказать, что полученная формула верна не только для натурального п, но и для любого показателя.
22 _ 1
Например: 1. у = угх~, или у— х\ у' = ^ х3 =
= - х""^-2 .
33 3/Г *
з
у = —— , или у = х ;
3 13 1318
3 1
3 1
,з3 “”5
y' =X =X y55
3
5х Vх3
Производная функций у = tg х и у = ctg х.
Чтобы найти производную этих функций, представим их соответственно в виде:
1) tgx = s-^; 2) ctgx = —
cosxsinx
и воспользуемся правилом отыскания производной частного.
. sin х
у =—;
COSX
, /sinxV cosх* cosх — sinx*(—sinx)1
у = = = .
\cosx/cos2xcos2x
Вывод: производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса*.
(18х)' = Ц-.(2)
COS2 X
Итак,Итак,nCOSX2. у = —;sin X(— sin x) sin x — cos x • cos xsin2xnCOSX2. у = —;sin X(— sin x) sin x — cos x • cos xsin2x1sin2 х1sin2 х(ctgx)' =^—sin2x(ctgx)' =^—sin2x(3)(3)
Итак,
Итак,
nCOSX
2. у = —;
sin X
(— sin x) sin x — cos x • cos x
sin2x
nCOSX
2. у = —;
sin X
(— sin x) sin x — cos x • cos x
sin2x
1
sin2 х
1
sin2 х
(ctgx)' =^—
sin2x
(ctgx)' =^—
sin2x
(3)
(3)
Выпишем формулы производных основных функций в виде таблицы:
Фун кцияПроизводи ая
1.
У =с
у' =0
2.
У = х"
д' = пх""1
3.
у = sinx
у' = cos х
4.
у = COS X
д' = — sinx
5.
У = tgx
t1
У = —V
cos2x
6.
у = ctg X
, 1
sin2 х
Пользуясь этой таблицей, а также правилами отыскания производных суммы, разности (§ 58), произведения и частного (§ 59), можно отыскивать производные различных функций.
Примеры.
Найти производные следующих функций:
у = З/2 — 5/4; у' = (З/2)' — (5/4)' = 3 • 2/ — 5 • 4/3 = = 6/ — 20/.
У = 4; У =2 ^3У = 2.(-3)х"4 = -Л X3X4
х=1 + / + Ы3 + 7; х' = -4+1 + 18^.
. ,/ = w О + ^-а+хТ /7
91+х3’9(1+х3)2
-JL (1 -I- х3) — Зх2 /7 2/х _1 — 5Xs
=(1+х3)2~ 2/7(1+х3)2’
у = 2 sin х —-; у' = 2cos х + 4.
у = ctgx + 3 cosx— 21g2;
,1 о .14-3 sin3x
у =3 sin х =—.
sin2xsin2x
УПРАЖНЕНИЯ.
Найти производные следующих функций:
1.
11
У ” X + X2"
4.
х (л:2 + 1)
2.
X х+ 1
5.
2/+ 1
VT ■
3.
х = (/ — /2 - Р + 1) sin t.
6.
sinx
„ sin ф 4- 1
У = "•
— COS ф
у = (2х2 — а)3, а — постоянное.
Указание. Возвести в куб.
у - (х2 + I)4.
Ю. у = (хУ х — tgx) (х + Зх5).
,x+sinx
у =.
— COS X
§ 6L Производная сложной функции
В §В §мы познакомились с понятием сложной функции.
В §
В §
Научимся теперь отыскивать ее производную.
Рассмотрим сложную функцию y=f lg(^)L где и = g (х) — промежуточный аргумент, ах — основной аргумент. Поскольку в образовании сложной функции у участвуют два аргумента и и х, то будем указывать, по какому именно аргументу взята производная при помощи соответствующего значка внизу. Именно производную функции у (х) по х будем обозначать:
ух= Нт ^;
дх-оАх производные функций у (и) по и и и (х) по х будем соответственно обозначать:
v А у ' v Ам 1 hm —^ = уи и пш — = «х .
А и -*0 A UА х-0 А X
Прежде чем формулировать правило отыскания производной сложной функции, постараемся заметить, как будет зависеть скорость изменения сложной функции от скорости изменения промежуточного и основного аргументов. Пусть, например, промежуточный аргумент u —g(x) растет быстрее х в два раза. Это означает, что ^=2. Пусть, далее, функция у = f (и) растет быстрее и в три раза, т. е. у'и = 3. Какова же скорость изменения сложной функции у = f [g (х) 1 по отношению к изменению основного аргумента х? Эта скорость будет равна произведению скорости изменения функции по отношению к про-
межуточному аргументу и скорости изменения промежуточного аргумента по отношению к основному, т. е. в данном примере равна 2-3 = 6. Следовательно, мы можем предполагать, что у'х = yh • их . Действительно, это правило справедливо для производной любой сложной функции. Ограничимся доказательством для случая возрастающей (убывающей) функции и (х).
(1)(1)Теорема. Если возрастающая (убывающая) функция и •= g (х) имеет производную их и функция у = f (и) имеет производную уи\ то производная сложной функции у = f [g (х) ] по аргументу х равна произведению этих производных.
(1)
(1)
Ух = У и* • »х-
Дано: у = f \g (х) ]; g (х) = и;
lim АУ = у^ ; lim ^ = и’х .
Au-*oAm и Ах-оАх
Доказать:
lim — = у = уXlim — = у = уX• и• и
lim — = у = уX
lim — = у = уX
• и
• и
Доказательство. Пусть аргумент х получил приращение Дх, тогда промежуточный аргумент и получит приращение Дм. В силу возрастания (убывания) функции м(х) Дм#=0, если Дх=И=0. А так как м (х) получит приращение Дм, то функция у (х) также получит приращение Д#. Образуется такая цепочка приращений: Дх -> Дм->Д#. Причем так как функция и = g (х) имеет производную, то она непрерывна. Следовательно, при Дх -> О Дм -> 0. (2) Найдем у/. Так как
то, умножив и разделив отношение — на Дм 0, получимто, умножив и разделив отношение — на Дм 0, получиму' = Пт —,х А х •♦ 0 А X
то, умножив и разделив отношение — на Дм 0, получим
то, умножив и разделив отношение — на Дм 0, получим
Следовательно, ух = yj • их, что и требовалось доказать.
Найти производные сложных функций.
Пример 1. у = sin/nx, tn — число.
Решение, у = sin и, и = тх. Согласно формуле (1)
yj = (sin и)ц (тх)х = cos и • т = т cos тх.
Пример 2. у = sin х2.
Решение, у = sin и, и = х1;
ух = (sin и)/ • (х2)/ = cos и • 2х = 2х cos х2.
Пример 3. у = cos2 х.
Решение, у = и2, и = cos х;
ух = (и2)/* (cos ^х = 2ц (—sin х) = —2 cos х • sin х== — sin 2х.
Пример 4. у = tg Зх.
Решение, у = tg и, и = Зх; следовательно,
г1QQ
у/ = (tg uV . (Зх). = -2- = -2-.
cos2 и cos2 Зх
Пример 5. у = (1 + х)л.
Решение, у = ип, и = 1 + х;
у/ = <unSu • (1 + х)х = пи^Л = п(1 + ху-1.
Пример 6. Найти скорость гармонического колебательного движения, если s = 2 sin ^t. При каком значении/ эта скорость будет равна нулю?
Решение. Искомая скорость у равна у = у/. Чтобы найти у/, выделим в сложной функции
у = 2 sin — /
*3
промежуточный аргумент и;
и = 2sinu, и = — t.у3
Теперь воспользуемся правилом (1) отыскания производной сложной функции, получим:
у/ = 2 cos и • — = — cos — /.
333
Таким образом,
2t
v = — cos —.
33
Чтобы узнать, когда скорость равна нулю, надо решить уравнение:
|cos2=0; 1 = (2^ + 1)^-; / = (26 + 1) • |я о ооZZ
(k — целое число).
Ответ. Скорость гармонического колебательного дви- 2/3
жения у = — cos у равна нулю при / = -- (2& + 1) л, где к — целое число.
УПРАЖНЕНИЯ.
Найти производные сложных функций.
.2
у = cos — X.
у = sin3x.
у-Х^.
^. у = (1 4-х2)4.
у = х (х2 4- I)3.
р = (1 — 6)Л (^ — число).
У -•
х = (f _ /2 4- /3_2)8.
у = У"\—х.
у = sin3 2х.
у = sin2 х + 3 (х 4” I)3.
у = (tg3x+ 1)7.
у = ]Лах2 + дх + с, а, Ь, с — постоянные.
у = (sin 5х + cos 5х)10.
у = |Л 1 + х 4- sin3x + /х3— х4-1.
Найти скорость гармонического колебательного движения» если
S = 4 sin ^й! 4- <р).
§ 62, Формула бинома Ньютона
Биномом Ньютона называют формулу, по которой можно находить любую степень двучлена — бинома. Знакомые формулы квадрата суммы, куба суммы и т. д. являются частными случаями формулы бинома для показателей
степени, равных двум, трем. Используя понятие производной, можно получить формулу для отыскания любой степени бинома. В этом параграфе мы ограничимся выводом формулы для натуральной степени бинома.
Теорема. Если п — натуральное число, то
(1 + ху = хп + пх"-1 + п^М хп—2 + ... + пх + 1.(1)
Доказательство. Так как (1 + хУ представляет собой произведение /г равных множителей (1 + х), то в результате их перемножения получим многочлен степени п с коэффициентом при старшем члене, равном единице. Расположим этот многочлен по убывающим степеням п, обозначив неизвестные коэффициенты через Аъ Л2 Лп. Итак, имеем:
(1 + х)" = х" + А^-1 + А^2 + ... +Лп-1х + Ап. (2)
Для того чтобы получить формулу (1), нужно выразить эти коэффициенты через п. Выразим их.
Тождество (2) справедливо для любого х, в частности для х = 0. Полагая в нем х = 0, найдем
Л„ = 1.
Найдем теперь производные от обеих частей тождества (2), используя правило дифференцирования сложной функции (пример 5, § 61). Получим тождество, справедливое при всех значениях х:
п (1 + х) ”-1 = пх”-1 + Л! (п — 1) х"-2 +Л2 (п — 2)хп-3-|-
+ ... + An_v(3)
Полагая в тождестве (3) х = 0, найдем А^:
Ап-1 = «•
Далее, найдем производные от обеих частей тождества (3), опять используя результат примера 5, § 61, получим:
п (п — 1) (1 + х)п-2= п (п — 1) х^-Ь
+ (n— 1) (п- 2) Л^"3 + ... + 2 Л„_2.(4)
Полагая в тождестве (4) х = 0, найдем:
._ П (п - 1)
ап-2 — о •
Чтобы найти коэффициент Лп_3, нужно найти производную от обеих частей тождества (4) и в полученном тождестве положить х = 0; далее, найти производную от обеих частей получившегося тождества и снова рассмотреть результат при х = 0 и т. д. При этом нам потребуется найти п — 1 последовательных производных, в результате мы выразим все коэффициенты правой части равенства (2) через п. Подставив их значения в тождество (2), получим формулу бинома Ньютона (1).
Обычно формулу бинома записывают несколько иначе, используя обозначение пХ. С учетом этого формула бинома Ньютона может быть написана так:
(1 + хУ-
= 1 + пх + ”(”~- X2 +Х3 ++ х". (5)
Следствие 1.
(а + tip = ап + па"-гЬ + —^-а"*^ + ... + Ьп. (6)
Доказательство. Так как (а + Ь)п = ап (1 + —Г, \ а / то, положив в формуле (5) х равным —, получим: а
{a\by^an [1 +п- + -^-^-? + ... +М\я].
L а 2!\ а /\ а) J
Раскрывая квадратные скобки в правой части, получим (6). Заметим, что в формуле (5) коэффициент при х* (k = 1,2п) равен
n (п — 1)... [n — (Ze — I)) .
Ze!
Следствие 2. Сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2":
+ A ” (” ~ 0 ■। п(п — 1)(п-2). ... .1 =2., ,_
1!2!"Гп!’ 1 7
Доказательство. Полагая в формуле (5) х = 1, получим равенство (7).
§ 63. Применение формулы бинома Ньютонав приближенных вычислениях
Заметим предварительно, что
(1-х)"=[1 + (-х)Г= 1-^+ -^^х3-
_п(п-анп^)хз _р_^_ (_ |yi «(«- О-1^. (1)
3!я!
Если в равенствах (1) и (5) из § 62 число х является малым по сравнению с единицей, то, отбросив члены, содержащие х2, х3, ..., хп, получим приближенные равенства:
(1 ± Х)я А? 1 ± ПХ.(1 ± Х)я А? 1 ± ПХ.(2)(2)
(1 ± Х)я А? 1 ± ПХ.
(1 ± Х)я А? 1 ± ПХ.
(2)
(2)
При этом абсолютная погрешностьПри этом абсолютная погрешностьI «(«- ^^I 2!I «(«- ^^I 2!+ I ^:^-~9 хз | + + I хп |. Так+ I ^:^-~9 хз | + + I хп |. Таккак для малых хкак для малых хтото| х® | > | х3 | > ... > | хя |,| х® | > | х3 | > ... > | хя |,+ пЛп-1Нп-2) + . + ЛХ2+ пЛп-1Нп-2) + . + ЛХ2Согласно равенству (7) из § 62 сумма биномиальных коэффициентов, начиная с третьего, равна 2я — п — 1, поэтомуСогласно равенству (7) из § 62 сумма биномиальных коэффициентов, начиная с третьего, равна 2я — п — 1, поэтому
При этом абсолютная погрешность
При этом абсолютная погрешность
I «(«- ^^
I 2!
I «(«- ^^
I 2!
+ I ^:^-~9 хз | + + I хп |. Так
+ I ^:^-~9 хз | + + I хп |. Так
как для малых х
как для малых х
то
то
| х® | > | х3 | > ... > | хя |,
| х® | > | х3 | > ... > | хя |,
+ пЛп-1Нп-2) + . + ЛХ2
+ пЛп-1Нп-2) + . + ЛХ2
Согласно равенству (7) из § 62 сумма биномиальных коэффициентов, начиная с третьего, равна 2я — п — 1, поэтому
Согласно равенству (7) из § 62 сумма биномиальных коэффициентов, начиная с третьего, равна 2я — п — 1, поэтому
д < (2я— л — 1) х3.д < (2я— л — 1) х3.(3)(3)
д < (2я— л — 1) х3.
д < (2я— л — 1) х3.
(3)
(3)
Заменяя в равенствах (2) х через —, получим:
/1 ± -Г « 1 + п • - = 1 ± X,
\ п /п
откуда, извлекая из обеих частей корень степени п, получим приближенные равенства:
(4)
Оценка погрешности здесь требует знания формулы бинома Ньютона для дробного показателя, поэтому ее не делаем.
Формулы (2) и (4) используются в приближенных вычислениях.
Примеры* В примерах 1 и 2 найти приближенно величину степени и оценить погрешность.
Пример 1. (1,001)*.
Решение. Согласно формуле (2) имеем: (1,001)4= (1 + 0,001)* да 1 + 4 • 0,001 = 1,004.
Чтобы оценить погрешность, воспользуемся неравенством (3). В нашем примере х = 0,001 и я = 4, поэтому б < (24— 4 — 1) • 0,0012 = 0,000011.
Ответ. (1,001)* » 1,00400.
Пример 2. (1,002)5.
Решение. (1.002)5 = (1 + 0,002)$да 1 + 5 • 0,002 = = 1,010.
Погрешность б < (25—5 — 1) (0.002)2 = 26-0,000004 = = 0,000104.
Ответ. (1,002)8да 1,0100.
В примерах 3—5 вычислить приближенно значения корней, пользуясь формулами (4).
Пример 3. /1Ж = /1+0,07 » 1 + ^ » 1,023.
Пример 4. /10248 = /104 4- 248 = ]/ Ю4 (1 -^ ^) = = 1° К 1 +w” 10(1 + 4^5) = 1° (1+°.0062) = Ю.062-
Пример 5./99 = V100 (1 — 0,01)» 10 (1—0,005)=9,95.
УПРАЖНЕНИЯ.
Найти приближенно величину степени и оценить погрешность.
а) (1,002)3; б) (0,999)4; в) (1,001)«.
Вычислить приближенно значения корней:
а) /101; б) /1002; в) /999.
§ 64» Понятие о производных высшего порядка
Пусть / (х) = х4 — Зх2 + 2х + 1, тогда /' (х) = 4х3 — — 6х + 2.
Производная /'(х) есть в свою очередь функция, которая имеет производную. Найдем эту производную. Это будет производная от производной. Она называется производной второго порядка и обозначается так: f\x) (читается: эф два штриха от икс).
Очевидно, f'M = 12 х2 — 6.
От производной второго порядка мы можем искать новую производную, это будет производная третьего порядка:
f" (х) - 24 х.
Следующая производная называется производной четвертого порядка. В данном случае она равна:
/"" (Х) = fiv (х) = 24.
Таким же образом, если это возможно, ищутся производные пятого, шестого и т. д. порядков.
Производная второго порядка имеет весьма важное практическое применение.
Пусть дано прямолинейное движение с законом движения s = f (О, скорость этого движения в момент времени t равна первой производной от пути по времени у = s' (О, или у = f^ty Если у не постоянная (движение неравномерное), то можно рассматривать «скорость изменения скорости», которая называется ускорением движения в момент времени t и обозначается обычно через а (ty Чтобы найти ускорение a^ty надо найти производную от скорости, т. е. найти вторую производную от s (£):
а^ - у'(0 = s4t\(1)
Таким образом, ускорение а прямолинейного движения есть вторая производная пути по времени;
Производные высшего порядка используются также при вычислении приближенных значений функции и в других вопросах.
Пример 1» Найти четвертую производную от функции у = COS X.
Решение, у = cos х; у' = — sin х; у" = — cos х; у'" = sin х; ylv = cos х.
Пример 2. Найти у", если у = sin (х2 + 1). решение, у’ = cos (х2 + 1) • 2х;
у" = — sin (х2 + 1) • 4х2 + 2 cos (х2 + 1).
Пример 3. Закон прямолинейного движения записывается формулой s = 4/3 — /2 + 1.
Найти ускорение прямолинейного движения в моменты времени
G = 1 сек, <2 = 4 сек.
Решение. Скорость в момент t равна:
и (0 = s' (О = 12/2 — 2t.
Ускорение в момент / согласно формуле (1) равно: а (О = и' (О = 24/ — 2.
Ответ. а(1)-22—!а(4) = 94— .
сек,2сек2
УПРАЖНЕНИЯ.
Найти четыре последовательных производных функции у = х5 — Ух3 + 12х2 — 4х + 5.
Найти пять последовательных производных функции
у = sin х.
Вычислить их значения при х = 0 и при х = ".
Найти вторую производную функции у = cos2 х.
Закон прямолинейного движения определяется формулой
S =2/2 — 3/ + 1.
Найти ускорение этого движения в любой момент времени. Как называется это движение?
Понятие о дифференциале функции
Наряду с понятием производной важную роль играет понятие дифференциала функции. Оно дает способ приближенного вычисления приращений функции, необходимых для решения многих задач. Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1, При нагревании металлического шара его радиус х увеличился на величину Дх. На какую величину увеличится первоначальный объем шара?
Решение. Первоначальный объем шара
48
у0 = — лх3.0 з
После нагревания объем будет равен:
у = у л (х + ^3.
Увеличение объема представится разностью у — у0, т. е. приращение объема
Ду= у Л [(X + Дх)3— X3], или
Ду — 4лх2 • Дх + 4лх • Дх2 + у лДх3. (1)
Таким образом, приращение объема Ду состоит из трех слагаемых. Первое из них является линейным относительно Дх, а остальные два содержат Дх в высших степенях. Очевидно, при малых Дх значение второго и третьего членов будет мало по сравнению с первым. Например, если в равенстве (1) х = 5 см, Дх = 10 2 , то Ду = 4л • 25 • 10"2 4- 4л • 25 • 10'4 + | л • 25-10-6 (си3).
Если мы ограничимся при измерениях сотой долей сантиметра, то
Ду ж л (сж3),
а вторым и третьим членами мы можем пренебречь. Таким образом, первое слагаемое в правой части (1) является главным, поэтому приращение объема шара Ду приближенно равно:
Ду « 4л х2 • Дх.(2)
Геометрически Д у— объем части шара, ограниченной двумя концентрическими сферами, подобно скорлупе ореха, а 4л х2 • Дх — объем цилиндра с площадью основания, равной поверхности шара 4л х2 и высотой Дх. Поэтому приближенное равенство (2) означает, что объем слоя, заключенного между двумя концентрическими сферами,
может быть заменен объемом соответствующего цилиндра, при этом погрешность будет достаточно малой. Кроме того, очевидно также, что выражение приращения Див форме (2) проще, чем в форме (1).
Пример 2. Найти приращение функции у = х2.
Решение. Ду = (х + Дх)2 — х2, т. е.
Ду = 2х • Дх + Дх2.(3)
Мы видим, что для этой функции ее приращение состоит из двух частей: линейной относительно Дх и члена, содержащего Дх во второй степени. При малых по абсолютной величине значениях Дх главную роль в приращении функции будет играть первый член 2х • Дх.
Действительно, например, при х = 2 и Дх = 0,01 в силу равенства (3) Ду = 2 • 2 • 0,01 + (0,01)2, или
Ду = 0,04 + 0,0001.
Если вычисления вести с точностью до 0,01, то вторым слагаемым 0,0001 можно пренебречь.
Так же будет обстоять дело вообще для всех Дх, достаточно малых по абсолютной величине. Поэтому в равенстве (3) для таких значений Дх вторым слагаемым можно пренебречь и мы получим приближенное равенство:
Ду ^ 2х • Дх.(4)
Итак, в обоих этих примерах можно приближенно приращение функции заменить более простым выражением, линейным относительно Дх (см. выражения 2 и 4). Посмотрим, как при этом будет вести себя погрешность, если Дх будет стремиться к нулю. Обозначим погрешность через а.
В первом примере (см. равенство 1) погрешность равна:
а = Ди — 4лх2Дх = 4лх • Дх2 + - лДх3.
3
При этом
4
4 лхАх2 + т л Ах3lim — = lim= 0.
Ах » 0 Ах Ах -> оАх
Во втором примере (см. равенство 3) погрешность равна: а = Ду — 2х • Дх = Дх2.
И снова
lim - = lim — = 0.
Az->oAx дх-о Ax
Теперь мы можем сказать, что в рассмотренных примерах приращение функции представлено в виде суммы двух членов: линейного относительно Ах, обозначим его через
А • Ах, и такого члена а, что lim — = 0, Дх->0 Ах
е.
ky = А • Ах + ос,(5)
причем lim — = 0.
Дх->0 Ах
Таким свойством обладают многие функции. Найдите, например, приращения функций у = х3, у = х + х + 1 и вы убедитесь в этом.
Можно доказать, что вообще для того, чтобы приращение функции у = f (х) в точке х можно было представить в виде (5), необходимо и достаточно, чтобы в точке х существовала производная функции у = f (х).
При этом f^x) = А, т. е.
Ау = f'W 1 Ах + а,(6)
где lim — = 0. Если вернуться к нашим примерам, то
Дх->0 Ах
увидим, что в первом у = — лх3, у' = 4лх2 и
Ду = 4лх2 • Дх + а,
где а= |4лх2 + — л Ах 1 Ах2,
Нт ^ =0.
Дх-0 Ах
Во втором у= х2, у’ = 2х и Ду = 2хДх + а, где
а = Дх2, lim — = 0.
Дх~*0 Ах
Дифференциал функции y = f(x) является главной частью ее приращения. Он обозначается символом dy и читается: де игрек. Следовательно,
dy = f' (х) Ах.(7)
По формуле (7) можно найти дифференциал функции в любой точке, в которой существует производная. Например:
у = х3, dy = d (х3) = (х3)' Ах = Зх3- Ах,d (5х2 + 1) = (5х2 + 1)' Ах = Юх- Ах, de = с' • Ах = О,
d (ах3 + Ьх + с) = (ах3 + Ьх + с)' Ах =
= (Зах2 + 6) Ах,d sin х = (sin х)'Ах = cos х • Ах, d cos х = (cos хУ &х=
= — sin х Ах.
Геометрический смысл дифференциала.
Дифференциал имеет простой геометрический смысл (черт. 113). Пусть у = f (х) —функция, которая имеет
производную в некоторой точке х0; Ах — произвольное приращение аргумента. Если МА — касательная к графику функции у = f (х) в точке М, то tga = f'(x0) (§ 56). Поэтому из Ам АВ имеем АВ = tga • МВ, или
АВ = /'(х0) • Ах.(8)
Сравнив равенства (8) и (7), видим, что дифференциал функции в точке х0 выражается отрезком АВ, т. е. вели-
чина дифференциала есть приращение ординаты касательной к графику функции. Причем Ду может быть больше dy (черт. 113); может быть меньше dy или равно ему (черт. 114), но всегда отличается от него на слагаемое, предел отношения которого к Дх при Дх -> О равен нулю. Если пренебречь этим слагаемым, то получим приближенное равенство
Ду « dy.(9)
УПРАЖНЕНИЯ.
Найти дифференциал функции у = Зх2 + 1: а) в точке х = 1, «ели Ах = 0,02; Ах = —0,02; б) в точке х = 2, если Ах = —0,0001; Ах = 0,00003.
В задачах 2—7 найти дифференциалы заданных функций в точке х.
у = sin х + cos х.
у = х3 • sin х.
у = Зх5 + 6х2 — 8х + 1.
у= tgJ х. sin х 7.•
айти приращение и дифференциал функции у = ях2 при х = 2; Ах = 0,01 и сравнить их между собой.
Применение дифференциала в приближенныхвычислениях
С помощью приближенного равенства (9) предыдущего параграфа можно получить формулу для приближенного вычисления значений функции. Выведем эту формулу. Пусть
дана функция у = f (х), которая имеет производную в некоторой точке х0, и пусть Ах — приращение аргумента. Тогда Аг/ = / (х0 + Ах) — f (х0) и
dy = f(^0) Ьх.
В силу равенства (9) § 65 / (х0 + Ах) — f(x0) ss f(xo) Ах, или / (х0 + Ах) ^ / (Хд) + f'^ А х.(1)
Формулой (1) можно воспользоваться для приближенного вычисления значений функции при значении аргумента, равном х0 + Ах.
Пример 1. Вычислить приближенно sin 31°.
Решение. Представим 31° в виде суммы 30° + Iе «л . л
или в радианной мере как — + — .
।—гЛ ал.л 1
Приняв х0= — и Ах = — , получим sin — = —;
d sin х = cos х • Ах, или a sin х = cos — • — = —- X ’61802
X 0,017 = 0,015.
Согласно формуле (1) получим sin 31°^ 0,500 + 0,015 = = 0,515.
О т в е т. С точностью до 10~3 sin 31° » 0,515.
Пример 2. Вычислить приближенно (с точностью до 0,1) (1,1)3.
Решение. Очевидно, (1,1)3 можно рассматривать как значение функции у = х3 при х = 1,1. Поэтому рассмотрим функцию у = х3, а значение х = 1,1 представим в виде суммы х0 = 1 и Ах = 0,1.
Вычислим значение дифференциала функции при данном приращении:
dy = (х3)' Ах = Зх2 • Ах; dy = 3 • I2 • 0,1 = 0,3.
По формуле (1) получим (1,1)3 ^ 1 + 0,3 = 1,3.
О т в е т. С точностью до 10"1, (1,1)3 ^ 1,3.
УПРАЖНЕНИЕ.УПРАЖНЕНИЕ.Вычислить жен но:Вычислить жен но:прибли-прибли-а) tg 46°; б) cos 59°;а) tg 46°; б) cos 59°;в) (М)4; г)в) (М)4; г)(0,9)2—1(0,9)2-t 1 *(0,9)2—1(0,9)2-t 1 *Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646— 1713)работаны частные приемы решенияГотфрид Вильгельм Лейбниц (1646— 1713)работаны частные приемы решения
УПРАЖНЕНИЕ.
УПРАЖНЕНИЕ.
Вычислить жен но:
Вычислить жен но:
прибли-
прибли-
а) tg 46°; б) cos 59°;
а) tg 46°; б) cos 59°;
в) (М)4; г)
в) (М)4; г)
(0,9)2—1
(0,9)2-t 1 *
(0,9)2—1
(0,9)2-t 1 *
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646— 1713)
работаны частные приемы решения
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646— 1713)
работаны частные приемы решения
Раздел математики, в котором изучаются способы вычисления производных и дифференциалов и их применение к исследованию функций, называется дифференциальным исчислением. Введение производных и дифференциальное исчисление в целом явились важным этапом в развитии математики. Ф. Энгельс писал:
«Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение».
Дифференциальное исчисление возникло не сразу. В XVII в, были вы- задач дифференциального
исчисления — задачи на определение касательных к кривым, задачи на нахождение максимальных и минимальных значений переменных величин (Р. Декарт, П. Ферма). Особенно велики были в этом заслуги Ферма, но он все же не выделил основных понятий дифференциального исчисления — понятий производной и дифференциала. Это было сделано великим английским ученым И. Ньютоном и несколько позднее немецким философом и математиком Г. Лейбницем. Ньютон пришел к понятию производной при определении скорости движения в данный момент по заданному пути. Это сказалось и на терминологии Ньютона. Ньютон считал аргументом функции время. Функцию времени он называл флюентой (текущей), а производную рассматривал как скорость течения (изменения) функции и называл ее флюксией.
Лейбниц приводит определение дифференциала и правила дифференцирования в работе, посвященной отысканию касательных к кривым, максимумов и минимумов. В разработке дифференциального исчисления вместе с Лейбницем участвовали швейцарские математики братья Бернулли. В 1696 г. французский математик Лопиталь опубликовал первый учебник по дифференциальному
исчислению. В дальнейшем развитии дифференциального исчисления большие заслуги принадлежат Л. Эйлеру. В своих курсах «Введение в анализ» и «Дифференциальное исчисление» ок систематизировал (почти весь) материал по дифференциальному исчислению XVIII в., выдвинул в качестве основного понятия дифференциального исчисления производную и развил учение о функции.
В первой четверти XIX в. благодаря введению понятия предела чешский ученый Б. Больцано и французский математик О. Коши придали дифференциальному исчислению современный вид. Наряду с дифференциальным исчислением Ньютон и Лейбниц разработали интегральное исчисление. Если дифференциальное исчисление позволяет найти экстремальные значения функции, построить касательную к кривой, определить скорость движения в данный момент, то интегральное исчисление позволяет определить расстояние по скорости, вычислить работу, произведенную переменной силой, найти длину кривых, площади фигур, объемы тел, давление жидкости (например, воды на плотину) и т. д.
Дифференциальное и интегральное исчисления являются основами важнейшего раздела современной математики, называемого математическим анализом.
ГЛАВА VII
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ
Признаки возрастания и убывания функции
В § 13 было введено понятие возрастающей и убывающей функции. Пользуясь производной, можно указать необходимые и достаточные признаки возрастания и убывания функции.
Теорема 1» Если функция, имеющая производную для всех значений аргумента из интервала (а; Ь), возрастает в этом интервале, то производная в точках интервала (а; 6) принимает либо положительное значение, либо в отдельных точках равна нулю.
Доказательство. Пусть в интервале (а; 6) функция у — f (х) возрастает. Возьмем на интервале точку х (черт. 115). Дадим аргументу такое приращение Дх,
а х х+дхb
Черт. 115
чтобы точка х + Ах принадлежала этому интервалу (а; Ь\ Так как функция / (х) возрастает, то при Ах > О,
Ду = / (* + Дх) — f (х) > О,
а при Дх < О
Ду = f (х + Дх) — f (х) < 0.
В обоих случаях отношение — будет положительным.
Ах
По условию в каждой точке интервала функция имеет производную, поэтому lim — =f\x).
Дх->0 Ах
Но предел положительной переменной не может быть отрицательным числом. Поэтому fz(x)>0, причем, как это можно доказать, точки, в которых производная обращается в нуль, не могут заполнить никакого отрезка, лежащего в интервале (a; b). С этой оговоркой теорему можно считать полностью доказанной.
Так же доказывается следующая теорема.
Теорема 2. Если функция, имеющая производную для всех значений аргумента из интервала (а; Ь), убывает в этом интервале, то производная в точках этого интервала принимает либо отрицательное значение, либо в отдельных точках равна нулю.
На чертеже 116 изображен график возрастающей функции. Если на этом графике взять произвольную точку и провести через нее касательную, то 0<а < ^-. Поэтому Г (x) = tga>0.
На чертеже 117 для графика убывающей функции имеем у < a < л и поэтому /' (х) = tg a < 0.
Доказанные теоремы выражают необходимые признаки возрастания и убывания функции. Важны особенно для приложений также и обратные теоремы, выражающие достаточные признаки возрастания и убывания функции. Приведем их без доказательства.
Теорема 3. Если производная функции в интервале (а; 6) положительна или в отдельных точках равна нулю, то функция в интервале (а; Ь) возрастает.
Теорема 4. Если производная функции в интервале (а\ Ь) отрицательна или в отдельных точках обращается в нуль^ 246
то функция в интервале (а; Ь) убывает.
Если производная в точке положительна, то касательная к графику функции в соответствующей точке образует с положительным направлением оси абсцисс острый угол. Кривая поднимается вверх, функция возрастает.
В случае отрицательного значения производной касательная образует с осью абсцисс тупой угол (меньший л). Кривая опускается вниз, функция убывает.
Пример 1, у = х3; у' = Зх2.
Жозеф Луи Лагранж (1736— 1813)Жозеф Луи Лагранж (1736— 1813)Производная всюду, кроме начала координат, положительна. Поэтому функция у = х3 всюду возрастает (черт. 118).
Жозеф Луи Лагранж (1736— 1813)
Жозеф Луи Лагранж (1736— 1813)
Пример 2, у = х2; у' = 2х. При х < 0 у' < 0, а при х > 0 уг > 0.
Поэтому слева от начала координат функция у = х2 убывает, а справа возрастает (черт. 119).
Пример 3. у = tgx при — у <х< ^ , yr = sc2 х > 0.
Следовательно, ^ = tgx в интервале [-; —) воз
растает.
Доказательство теорем 3 и 4 опирается на весьма интересную и важную теорему Лагранжа, которую называют также теоремой о среднем или формулой конечных приращений. Приведем формулировку этой теоремы.
Теорема Лагранжа. Если функция у = f (х) непрерывна на сегменте [а, bl и внутри него имеет производную» то найдется такое значение х = с (о < с < ^), пр и котором выполняется равенство
tW-Ца^ Г <c^b-а\ (1)
Например, вычислим значение с в формуле Лагранжа для функции у = х2 на сегменте [0, 2].
Так как /' (х) = 2х, то по формуле (1) находим, что
22 О2 = 2с (2 — 0),
откуда получаем с = 1.
Значение аргумента с в формуле (1) иногда называют «средним» значением а < с < Ь.
Поэтому и теорему Лагранжа нередко называют теоремой о среднем, имея в виду среднее значение производной V (с).
Равенство (1) называют также формулой конечных приращений.
Если его переписать в виде
= ^(С)((2)
b — а
то оно может быть выражено словами: отношение приращения функции / (&) — f (а) к приращению аргумента b — а равно производной от заданной функции, вычисленной при некотором значении аргумента, заключенном между а и Ь.
Формула (2) имеет интересный геометрический смысл: если в каждой точке дуги кривой существует касательная, то на дуге всегда найдется такая точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей эту дугу. На чертеже 120 касательная в точке М параллельна хорде АВ.
Пользуясь теоремой Лагранжа, докажите:
Теоремы 3 и 4.
Если функция / (х) во всех точках некоторого отрезка имеет производную, равную нулю, то / (х) — постоянная.
§ 68< Интервалы монотонности
Функция может в одних интервалах возрастать, в других убывать. Интервалы, в которых функция возрастает или убывает, называются интервалами монотонного изменения функции. В частном случае вся область существования
функции может оказаться одним промежутком монотонности. Так, например, это имеет место в случае функции У = х3.
Пример 1« Найти интервалы монотонного изменения функции:
У = ^ к4— 2х2+ Зх 4- 1-
Первое решение.
Ищем производную: у' = х2 — 4х 4- 3 .
Она непрерывна. Найдем точки, в которых производная обращается в нуль. С этой целью решим уравнение
х2 — 4х 4- 3 = 0.
Его корни: х i= 1; х2 = 3. Следовательно,
/ = (х-1) (х-3).
Разобьем числовую прямую на интервалы (— оо; 1); (1; 3); (3; 4-°°)- В каждом из них в силу непрерывности производной ее знак не меняется; определим его. Результат удобно записать в виде следующей таблицы:
Таблица 6
X
(—оо, 1)
(1.3)
(3, 4-0°)
у'
4-
—
+
У
возрастает
убывает
возрастает
Второе решение.
у'= х2 — 4х 4- 3.
Найдем сначала интервалы возрастания функции. Для этого надо знать, где производная положительна. С этой целью решим неравенство х2 — 4х 4- 3 > 0 или неравенство (х — 1) (х — 3) > 0. Придем к интервалам (— оо , 1) и (3, + оо). Из того же неравенства найдем, что в интервале (1; 3) производная отрицательна, следовательно, в нем функция убывает. График функции изображен на чертеже 121.
Черт. 121
Пример 2. у = sin х, если 0 < х < 2л;
/лл3
и = cos х; cos х = 0; х1 = —; х9 = — л.
122
Интервал (0; 2л) разбивается на три интервала
\ «/ *^3\/ 3А \
и;„ ;——л— л2л
\2 /\22УV 2У
(см. табл. 7).
Таблица 7
X
(°, -)
к 2/
/ л 3 \
/з п \ — л, 2л
\2У
У'
+
—
+
У
возрастает
убывает
возрастает
УПРАЖНЕНИЯ.
Найти интервалы возрастания и убывания функций: 1. у — х — х2.
§ 69, Максимум и минимум функции
Пусть функция у = f (х) непрерывна на сегменте [а, 61. Тогда, как мы знаем (§ 49), она имеет наименьшее и наибольшее значения, которые часто представляют практический интерес. Так, f (х) может выражать количество воды, протекающей по каналу в единицу времени. Спрашивается, при каком поперечном сечении канала расход воды будет наибольшим. Или f (х) может выражать количество жести, необходимой для изготовления цилиндрического бака. Спрашивается, когда расход жести будет наименьшим и т. д. Решение таких задач связано с рассмотрением теории максимума и минимума функции, к которой мы и перейдем.
Пусть функция f (х) определена на некотором интервале (или сегменте).
Определение. Функция у = f (х) имеет при х = с, с £ (а, Ь) максимум, если в некоторой окрестности точки с при х + с выполняется неравенство
КФ > f (х), (1)
т. е. если значение функции в точке с больше всех значений функции в этой окрестности и справа, и слева от точки с (черт. 122).
Определение. Функция у = / (х) имеет при х = с минимум, если в некоторой окрестности точки с при хфс выполняется неравенство
f(c)<f (x), (2)
т. e. если значение функции в точке с меньше всех значений функции в этой окрестности и справа, и слева от точки с (черт. 123).
На латинском языке слова «максимум» и «минимум» означают «наибольшее» и «наименьшее» значения. Здесь эти термины имеют специальный смысл. Ими характеризуется поведение функции, вообще говоря, только в достаточно малой окрестности точки.
Поэтому их иногда называют локальным минимумом и локальным максимумом. Как видно из чертежа 124, одна
Черт. 124
и та же функция может иметь несколько максимумов и минимумов, причем минимум может оказаться даже больше максимума. Поэтому их нельзя отождествлять с наибольшим и наименьшим значениями функции в области ее определения (§ 8).
В точках cb с3, с5, с7 (черт. 126) функция имеет максимум, в точках с2, с4, с6, с8 — минимум, причем минимум в точке с8 больше максимума в точках с3 и с5.
Максимум и минимум функции называют экстремумом функции (экстремум — крайнее).
Точки, в которых функция имеет экстремум, называются точками экстремума функции. Так, на чертеже 126 точки сь с2, с3, ..., с8 есть точки экстремума функции.
Пример 1. Функция / (х) = ах2 + Ьх + с (а, 6, с — постоянные) имеет экстремум в точке х=. А имен- 2а
но минимум, если а > 0, и максимум, если а < 0.
В самом деле, гНс. '2а/ 4а
Рассмотрим теперь разность
После выделения полного квадрата из квадратного трехчлена имеем:
Знак этой разности совпадает со знаком а. Поэтому если а > 0, то для всех значений х, лежащих в любой окрестности точки х =— ^-, выполняется неравенство
и, следовательно,
Аналогично при а < О получим f(—^ > f М Для всех значений х, лежащих и справа, и слева от точки ь
X = — — . 2а
Это единственный экстремум данной функции.
Пример 2« Функция / (х) = 2 — х4 в точке х = 0 имеет максимум. Здесь f (0) = 2 и при х 0,
f (х) — f (0) = (2 — х4) - 2 = — х4 < 0.
Следовательно, здесь в любой окрестности начала координат выполняется неравенство /(0)>/ (х), т. е. в точке х — 0 функция имеет максимум, равный /(0) = 2. График функции изображен на чертеже 125.
Пример 3, Функция /( х) = 2 — 2 |х | в точке х = 0 имеет максимум. Здесь f (0) = 2 и при х т^ 0 f(x)-f(O) = — 2 | х |.
Следовательно, в любой окрестности начала координат выполняется неравенство / (0) > / (х), т. е. в точке х = 0 функция имеет максимум f (0) = 2. График функции изображен на чертеже 126.
Теория максимума и минимума функции может быть полностью обоснована только с помощью производной. На основе этого понятия мы можем найти необходимые и достаточные условия экстремума функции.
§ 70. Необходимое условиесуществованияэкстремума функции
Пусть на интервале (а; Ь) определена функция у = /(х).
Теорема. Если функция имеет производную в каждой точке интервала {а; Ъ^ то в точке экстремума производная равна нулю.
Доказательство. Пусть точка с из интервала (а; Ь) есть точка экстремума функции. Надо доказать, что Г (с) = 0.
Предположим, что экстремум в точке с является максимумом. В таком случае для всех достаточно малых по абсолютной величине значений Дх будет выполняться неравенство f (с) > / (с + Дх), или, что то же самое,
/ (с + Ал) - f (с) < 0.
Функция имеет производную в каждой точке интервала, в частности и в точке с. Поэтому
lim(1)
Дх->0Ах
Рассмотрим два случая.
Пусть Дх>0, тогда L^Jl_^jzJ1E) <0, Ах
ибо числитель и знаменатель имеют противоположные знаки. Но предел отрицательной переменной не может быть положительным числом, поэтому в силу равенства (1)
lim ^£+ДхЬНс) = р (с) < 0>(2)
Дх->о Ах
Дх>0
Пьер Ферма (1601 — 1665)Пьер Ферма (1601 — 1665)Пусть теперь Дх<0, f (с 4- Дх) — f (сл п тогда ———' > О,
Пьер Ферма (1601 — 1665)
Пьер Ферма (1601 — 1665)
Дх
ибо числитель и знаменатель отрицательны. Предел положительной переменной не может быть отрицательным числом, поэтому
lim Цс4- М- fto =
Дх->0 Ах
Дх<0
= №)>о.(3)
Итак, одновременно должны выполняться два неравенства
/'(С) < 0 и Л(с) > 0.
Откуда следует, что в точке максимума производная необходимо равна нулю: f(c) = 0.
Аналогично рассматривается случай минимума. Теперь числитель f (с + Ах) — / (с) при достаточно малом по абсолютной величине Ах будет положителен. Проведите рассуждения. Теорема доказана.
Нули производной, т. е. точки, в которых /'(х) = 0, называются стационарными точками функции / (х). Таким образом, если функция имеет производную, то ее экстремум надо искать в стационарных точках. Другими словами, если производная функции существует и не обращается в нуль, то функция экстремума не имеет.
Может случиться, однако, что функция будет иметь экстремум в тех точках, в которых она не имеет производной. Например, функция, изображенная на чертеже 126, не имеет производной в точке х = 0, однако она имеет в ней максимум (§ 69, пример 3).
Следовательно, функция может иметь экстремум только в стационарных точках или в точках, где ее производная не существует.
Пример L Рассмотрим функцию f (х) = х2 на интервале (— 1; 1) (черт. 127). В начале координат она имеет
минимум. Ее производная в точке х равна /Дх)=2х. В начале координат /ДО) = 0.
Пример 2. Теперь рассмотрим функцию / (х) = х2 в интервале (1; 2). Ее производная f\x) = 2х в этом интервале существует, но ни в одной точке интервала (1; 2) не обращается в нуль. Следовательно, на этом интервале функция экстремума не имеет (черт. 128).
Пример 3. Найти экстремум функции f (х) = у х3 + 4- 8х — 1.
Функция всюду имеет производную f(x) = х2 + 8. Будем теперь искать стационарные точки функции. Для этого нужно найти нули производной, т. е. решить уравнение х2 + 8 = о
Это уравнение действительных корней не имеет. Заданная функция не имеет стационарных точек. Значит, функция не имеет ни максимума, ни минимума.
Доказанное условие существования экстремума функции является только необходимым, но недостаточным, т. е. в стационарной точке функция может и не иметь экстремума.
Например, пусть f (х) = х3. Начало координат является стационарной точкой этой функции: /'(х) = Зх2 и /ДО) = 0 . Но в этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. В самом деле, разность
при х > О положительна, а при х < О отрицательна, поэтому нельзя указать такой окрестности начала координат, в которой бы выполнялось или неравенство (I), или неравенство (2) § 69 (черт. 129).
Это обстоятельство заставляет искать достаточные условия существования экстремума функции.
§ 7L Достаточные условия существованияэкстремума
Теорема 1. Пусть функция у = f (х) имеет производную в каждой точке некоторого интервала (а; 6) и пусть точка х = с этого интервала есть стационарная точка функции. Тоеда, если в некоторой окрестности точки с слева от точки с производная положительна, а справа от точки с производная отрицательна, то в точке с функция имеет максимум.
Доказательство. Так как функция имеет производную в каждой точке интервала (а; 6), то она непрерывна в этом интервале (§ 57).
В интервале (с — 6; с) производная f\x) положительна, а в интервале (с; с + 6) отрицательна (черт. 130). В
а с-5 f(x)>o с fM<0 од b
* II■■ В —
X
Черт. 130
таком случае в интервале (с — 6; с) функция / (х) возрастает и поэтому при х £ (с — 6; с)
ибо функция непрерывна в интервале (а; 6). В интервале (с; с + 6), f (х) < 0, функция / (х) убывает, поэтому в силу непрерывности функции f (с) > f (х), когда х находится в интервале (с; с + 6).
Таким образом, в окрестности (с — 8; с + 8) выполняется неравенство f (с) > / (х), т. е. в точке с функция / (х) имеет максимум (черт. 131). Аналогично доказывается теорема 2.
Теорема 2, Пусть функция у = f (х) имеет производную в каждой точке интервала (а; 6) и пусть точка х = с этого интервала есть стационарная точка функции. Тогда если в некоторой окрестности точки с слева от точки с производная отрицательна, а справа положительна, то в точке с функция имеет минимум (черт. 132).
Теорема 3« Если в некоторой окрестности стационарной точки х = с производная функции как справа, так и слева
от точки с имеет один и тот же знак, то функция в точке с экстремума не имеет.
Доказательство. Пусть в окрестности ^ct—д; с + 6) производная как слева, так и справа от точки с имеет один и то же знак, например «плюс». Тогда функция в этом интервале будет возрастать и при х < с будет выполняться неравенство f (х) < f (с), а при х">с — неравенство f (х) > / (с) (черт. 133). В точке с функция не имеет экстремума.
Если же в окрестности (с — 6; с + 6) производная /' (х) и слева, и справа от точки с будет отрицательна, то функция
будет убывать в этом интервале и f (с) не может быть экстремумом функции (черт. 134).
Примечание. В случае непрерывной функции теоремы 1, 2 и 3 справедливы также для точек, в которых производная не существует.
2
Пример. / (х) = х 3,(х) = 2 х з =2 при х ^ 0
3З^х
В начале координат производная не существует. Слева от точки х = О производная f' (х) <0, а справа f (х) > 0. Поэтому в точке х = 0 функция имеет минимум, равный f (0) = 0 (черт. 135).
Правило нахождения экстремума функции.
Теоремы параграфов 70 и 71 приводят к следующему правилу отыскания экстремума функции у = f (х), имеющей производную. Для этого нужно:
Найти производную функции.
Найти стационарные точки, т. е. решить уравнение
Г М = 0.
Определить знак производной в окрестности каждой стационарной точки.
Для этого в случае непрерывной производной (а у нас в основном будут такие случаи) рассматриваем соседние стационарные точки cv, с, с2 (черт. 136). Нас интересует
X
Черт. 136
экстремум функции в точке с. Смотрим, какие знаки имеет производная f'(x) в какой-нибудь точке Xt интервала ^с<, с) и точке х2 интервала (с; с2). Если знаки f (х) в этих интервалах различны, то функция / (х) в точке х = с имеет экстремум. При этом максимум, если в левом интервале производная положительна, а в правом отрицательна, и минимум — в противоположном случае.
Если же в обоих смежных интервалах производная f'(x) имеет один и тот же знак, то в стационарной точке х = с функция f (х) экстремума не имеет.
Найти экстремум следующих функций.
Пример 1. / (х) = |- х3 — х2 — 4х + L Решение.
Ищем производную /'(х) = 2х2 — 2х — 4.
Находим нули производной из уравнения
2х2 — 2х — 4 = 0, или х2 — х — 2 = 0.
Корни этого уравнения Xi = — 1; х2 = 2. Следовательно, имеются две стационарные точки х4 = — 1 и х2 = 2.
Область определения функции — вся числовая прямая — разбивается стационарными точками на три интервала ( — ос; — 1); (— 1; 2) и (2; + оо).
Замечаем также, что производная непрерывна на всей числовой прямой. Обратимся сначала к первой стационарной точке. Возьмем слева от точки — I, т. е. в интервале ( — оо, — 1), произвольную точку, например — 2. В этой точке /'(— 2) = 8 > 0. Значит, вообще слева от стационарной точки — 1 производная положительна. Возьмем теперь произвольную точку в правом смежном интервале, т. е. в интервале (—1,2), например точку О. В этой точке /'(0) = — 4 < 0. Значит, в интервале (—1; 2) производная отрицательна. Итак, слева от стационарной точки х = — 1 производная положительна, а справа (в интервале (— 1; 2)) отрицательна. Поэтому / ( — 1) есть максимум функции. Его значение
1)тах=31.
Переходим к следующей стационарной точке х = 2.
В смежном интервале слева (—1; 2), как мы уже видели, производная отрицательна. Возьмем в интервале справа произвольную точку, например 3. /'(3) = 8 > 0. Следовательно, справа от точки х = 2 производная положительна. / (2) есть минимум функции; его значение
f(2)min = —5 |.
Эти результаты запишем в виде таблицы:
Таблица 8
X
(—00,-1)
х =— 1
(-1, 2)
х = 2|
(2, Н-оо)
Г (X)
+
0
—
0
+
Кх)
возрастает
И—0=з^ максимум
убывает
2 №)—5з минимум
возрастает
График функции изображен на чертеже 137.
Пример 2. / (х) = -|- х3 — 4x4-1.
Решение. f'^x) = х2 — 4; из уравнения х2 — 4=0 находим Xj = — 2; х2 = 2.
Функция имеет две стационарные точки. Производная непрерывна, поэтому в интервалах (—оо; —2), (—2; 2) и (2; + оо) она сохраняет постоянный знак.
Далее, f (— 3) = 5 > 0, /' (0) = — 4 < 0, поэтому / (— 2) есть максимум функции; он равен
f(-2)max = 61.
Далее,
/'(0) = — 4 < 0, а /'(3) = 5 > 0.Поэтому / (2) есть минимум, его значениеf(2)min=-41.
Составим таблицу:
Таблица 9
X
(—00 > —2)
х =— 2
(-2, 2)
х = 2
(2, +оо)
гм
+
0
—
0
+
возрастает
Д—2)= 6-~ максимум
убывает
Д2)=—4 -^ минимум
возрастает
Пример 3./ (х) = (х — I).
Решение, /'(х) = 3 (х — I)2;
3(х _ 1)2 = 0;
х = 1— стационарная точка. Производная непрерывна. Далее,
/'(0) = 3 > 0; f'£) = 3 > 0.
Производная и слева, и справа от стационарной точки имеет один и тот же знак. Следовательно, в точке х = 1 экстремума нет. А так как других стационарных точек нет и производная существует всюду, то данная функция экстремума не имеет.
УПРАЖНЕНИЯ.
Найти экстремумы заданных 1. у = 2Х3 — 9х2 — 24х.
2. у = х — 2х2.
функций:
у = —— .
х 4- 1
х2 — 7х 4- 6
у = — .
У х - 10
у = sin х — cos х, если —л < х < л.
§ 72. Отыскание наибольшего и наименьшегозначений функции
Пусть функция у — f (х) непрерывна на сегменте [а; 61. Тогда она имеет на этом сегменте наибольшее и наименьшее значения, которые могут быть соответственно максимумом и минимумом функции (черт. 138), но могут и не быть ими.
В этом случае наибольшее и наименьшее значения функции принимаются на концах сегмента (черт. 139).
Поэтому, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на сегменте, можно поступать следующим образом.
Найти стационарные точки (нули производной) и точки сегмента, в которых производная не существует.
Найти значения функции в этих точках и на концах сегмента. Наибольшее и наименьшее из этих чисел и будет соответственно наибольшим и наименьшим значением функции на сегменте.
Правило упрощается, если функция имеет единственный экстремум.
Теорема. Если функция, непрерывная на сегменте (или интервале'), имеет единственный экстремум, то в случае максимума это будет ее наибольшее значение, а в случае минимума — наименьшее (черт. 140 и 141).
Доказательство. В самом деле, если бы при единственном экстремуме, например минимуме в точке с, функция имела наименьшее значение в другой точке с^, то на сегменте [с; с^ ] она имела бы во внутренней точке этого сегмента наибольшее значение в некоторой точке с2, которое представляло бы максимум функции, что невозможно в си-
лу нашего предположения (черт. 142). Аналогично проводятся рассуждения в случае единственного максимума. Рассмотрите этот случай.
Пример L Найти наименьшее и наибольшее значения функции / (х) = х2 — 2х + 3 на сегменте [0; 2].
Решение. Функция имеет единственный экстремум (минимум) в точке х = 1, которая принадлежит сегменту [0; 21. Поэтому f (1) = 2 есть наименьшее значение данной функции на сегменте Ю;21. Далее, f (0) - 3; f (2) - 3. Наибольшее значение функции равно трем и достигается оно на обоих концах сегмента (черт. 143).
Пример 2* Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (х) = х3 — Зх2 + 1 на сегменте I- 1;4].
Решение. Найдем производную функции
f (х) = Зх2 — 6х.
Она существует во всех точках. Найдем стационарные точки, решив уравнение Зх2— 6х = 0. Ими являются числа Xi =0 и х2 = 2.
Теперь составим таблицу значений функции в стационарных точках и на концах сегмента:
Из таблицы видно, что наименьшее значение функции равно — 3, а наибольшее 17.
УПРАЖНЕНИЯ.
Найти наименьшее и наибольшее значения следующих функций:
у—\ — — х2 на сегменте [—2; 2].
у = 4—у х2 на сегменте ( —2; Ц.
у = sin 2х на сегментах:
а) [0; л]; б) ,0;.
у = Зх2 — х3 на сегментах:
а) [-1; 31; б) [0; 4].
§ 73» Дальнейшие примеры
При отыскании наибольших и наименьших значений в задачах с конкретным содержанием необходимо сначала выбрать аргумент и записать формулой соответствующую функцию, исходя из условия задачи. Затем найти наибольшее и наименьшее значения этой функции.
Задача L Какой из прямоугольников с периметром 2р имеет наибольшую площадь?
Решение. Прямоугольников с данным периметром бесконечное множество. Надо найти из них прямоугольник с наибольшей площадью.
Следовательно, исследуемой функцией является площадь прямоугольника. Запишем эту функцию: S=x • у (черт. 144). Но по условию задачи 2х + 2у = 2р. или х + у = р. Поэтому одну из переменных можно выразить через другую, например у выразить через х и подставить найденное значение у в выражение для S. Теперь S будет функцией одного переменного х. Так как у = р — х, то S = х (р — х) и исследуемая функция имеет вид: S = рх — х2, причем
единственный экстре- п IР\Р1максимум ^ ( g )4функции (см. § 72).единственный экстре- п IР\Р1максимум ^ ( g )4функции (см. § 72).Итак, при х — у площадьИтак, при х — у площадьбудет наибольшей. Найдембудет наибольшей. НайдемЧерт. 144Черт. 144р рвысоту У — р — 2 " 2 ’р рвысоту У — р — 2 " 2 ’т.т.е. х = у. Искомый прямо-е. х = у. Искомый прямо-
единственный экстре- п IР\Р1
максимум ^ ( g )4
функции (см. § 72).
единственный экстре- п IР\Р1
максимум ^ ( g )4
функции (см. § 72).
Итак, при х — у площадь
Итак, при х — у площадь
будет наибольшей. Найдем
будет наибольшей. Найдем
Черт. 144
Черт. 144
р р
высоту У — р — 2 " 2 ’
р р
высоту У — р — 2 " 2 ’
т.
т.
е. х = у. Искомый прямо-
е. х = у. Искомый прямо-
О < х < р. Будем искать максимум этой функции. Проделав знакомые нам вычисления, найдем, что S имеет мак-
симум при х = ^ . Причем это мум. В таком случае найденный является и наибольшим значением
U О
угольник представляет квадрат со стороной ~
Задача 2. Из круглого бревна диаметра d требуется выпилить балку с прямоугольным сечением так, чтобы, находясь в горизонтальном положении, она оказывала наибольшее сопротивление на изгиб. Известно, что это сопротивление пропорционально произведению ширины балки на квадрат высоты.
Решение. Выберем в качестве аргумента х ширину балки (черт. 145), исследуемой функцией будет являться сопротивление /. Запишем эту функцию.
По условию задачи сопротивление f = kxy\ где к — коэффициент сопротивления.
Далее, х2 + у2 = d2, или у2 = d2 — х2. Поэтому f = кх (d2 — х2), или f = к (xd2 — х3), причем 0 < х < d. Получили функцию, зависящую только от одного переменного х. Исследуем ее на экстремум:
Нх) = k(d2- Зх2);
к (d4 — Зх2) = 0;d
х =
Уз
(берем только положительный корень, ибо по смыслу задачи х>0). Область определения функции (0; d) разбивается на два интервала
Причем производная в этой области непрерывна.
Возьмем в интервале (0; ^=) точку х = у . В этой точке
f'(£\ = kl d2— 3-1 = к id4 — -1 > 0.\з/ k з») k з/
~/ dВ интервале {;точке~/ dВ интервале {;точкеd ) возьмем точку х =d ) возьмем точку х =— d. В этой 3— d. В этой 3
~/ d
В интервале {;
точке
~/ d
В интервале {;
точке
d ) возьмем точку х =
d ) возьмем точку х =
— d. В этой 3
— d. В этой 3
/' (-d = к (d2 — 3• -2 )= к id4— —d3 ) < 0.
Следовательно, f^^Следовательно, f^^есть максимум функции. Так какесть максимум функции. Так каккз) к за/ к з /
Следовательно, f^^
Следовательно, f^^
есть максимум функции. Так как
есть максимум функции. Так как
это единственный экстремум, то в то же время он является наибольшим значением функции. Следовательно, сопротивление балки на изгиб будет наибольшим при
d
х = ——
Уз '
Найдем у; у4 = d2 — р
Замечание. Чтобы указать на поперечном сечении бревна нужные х и у, надо диаметр АС (черт. 146) разделить на три равные части и из точек деления К и L провести перпендикуляры к диаметру АС в противоположные стороны от АС до пересечения их с окружностью в точках В и D. Прямоугольник ABCD имеет стороны
АВ = — = х; ВС= V1 d = u.v з v з
Действительно,
ЛВ2 = АК • АС = у d2 = х2,
ВО = КС .АС = —(р = и*. 3 9
Задача 3. Из кружка жести радиуса R вырезается сектор и из оставшейся части круга делается коническая воронка. При каком угле вырезаемого сектора объем воронки будет наибольшим?
Решение. Обозначим через х центральный угол оставшегося сектора (черт. 147) и примем его за аргумент. Длина оставшейся дуги окружности АВС равна Rx. Пусть
Черт. 146Черт. 146
Черт. 146
Черт. 146
г — радиус основания воронки. Длина окружности основания воронки равна 2лг. С другой стороны, она равна Rx, т. е. 2лг = Rx.
Отсюда г = — . Высота воронки Н= VR1 —- г4 (черт. 148). 2л
Объем воронки равен:
и = — х2 /4 л2— х2,24л2 г’
или и = —— /4л2х4— х6, 24л2
где 0 < х < 2л.
Множитель перед радикалом постоянен, и будет наибольшим, когда подкоренное выражение будет наибольшим.
Следовательно, достаточно исследовать на экстремум функцию
/(х) = 4л2 х* — х6.
В результате найдем (проделайте вычисления), что / (х) имеет максимум при
х = 2л j/ Л « 0,816 • 2л (радиан).
Максимум совпадает с наибольшим значением f (х). Но тогда и и будет иметь наибольшее значение. Угол вырезанного сектора 2л — х 66°.
Задача 4. Пароход выходит из пункта А в пункт в и затем обратно в пункт С (черт. 149). При какой скорости
ААС В
А
А
Черт. 149
течения в направлении от Л к В пароход пройдет путь АВС в кратчайшее время?
Решение. Обозначим расстояние от пункта А до пункта В через а, расстояние от В до С через Ь. Скорость парохода при отсутствии течения пусть будет и, а искомая скорость течения х. Пусть, далее, t — время указанного движения. Тогда
t = —1— (0 < х < и).
V + X V — X
Ищем минимум этой функции:
t\ = — Н— ;
' (v 4- х)2 (у — х)2
(у — х)2 (у + х)2а (у — х)2— 6 (у + х)2(у2 — х2)2
откуда находим:
Va — Vb,,.
=о (а > Ь).
I уьv7
По смыслу задачи при найденном значении х функция
и 4-х и —х
имеет минимум. Этот единственный минимум является в то же время наименьшим значением функции. Следовательно, искомое значение скорости течения равно
У a — VbX =У.
V а 4- У b
Задача 5- Скорость у течения воды в канале глубиной 1,10 м на различных глубинах выражается приближенно формулой
у = — 62,5 Л2 + 50/i + 40, 0 < h < 1,10,
где h — глубина слоя воды в метрах, у — скорость течения в м!мин. На какой глубине скорость течения будет наибольшей?
Решение. Исследовав функцию у = — 62,5Я2 + + 50Л + 40 на экстремум, найдем, что у (0,4) есть максимум, у (0,4) = 50 -^—.
J хмин
Это единственный экстремум, следовательно и наибольшее значение функции. Итак, на глубине 0,4 м скорость течения будет наибольшей и будет равна 50 м/мин.
Прежде чем перейти к следующим задачам, приведем некоторые сведения из гидравлики.
Поперечное сечение потока воды в канале называется живым, сечением канала; будем обозначать его и его площадь буквой s.
Количество воды, протекающее через s в единицу времени, называется расходом канала.
Длина части границы живого сечения, соприкасающейся с боковыми стенами и дном канала, называется смоченным периметром. Обозначим его через Рс. На чертеже 150
Рс = АВ-V ВС 4- CD.
Черт. 151
Задача 6. Поперечное сечение канала имеет форму прямоугольника. Какими должны быть размеры его живого сечения при заданной площади S живого сечения, чтобы расход канала был наибольшим (черт. 151).
Указание. При данной площади живого сечения наибольший расход имеет тот канал, у которого смоченный периметр будет наименьшим.
Решение. Очевидно, живое сечение имеет та кже форму прямоугольника. Обозначим АВ через ^ "• ВС через у.
ТогдаРс = х + у; S = ^ .
2s
ПоэтомуРс~хД—.
Ищем наименьшее значение этой функции. Исследовав ее на экстремум, найдем, что Рс (]/2S) есть минимум, совпадающий с наименьшим значением Рс. Итак, при х = у = |Л25 расход воды будет наибольшим. Высота живого сечения канала должна быть в два раза меньше его ширины.
Задача 7. Поперечное сечение канала имеет форму равнобедренного треугольника. При каких размерах этого сечения расход воды будет наибольшим, если площадь этого сечения равна S (канал считаем наполненным доверху).
Решение (черт. 152). Пусть х = AD = DC; у= BD. Смоченный периметр будет равен:
Рс- АВ + ВС = 2 Ух^+ у^.
Канал наполнен доверху, поэтому живое сечение совпадает с поперечным сечением канала и, следовательно, 8= х -у. Теперь мы можем представить Рс как функцию х:
Смоченный периметр будет наименьшим, когда будет наименьшим подкоренное выражение. Исследуем на экстремум функцию
fW = x2+ ^ (x>0).
Она имеет единственный экстремум (минимум) при х = V"S. При этом значении х и смоченный периметр будет иметь наименьшее значение, а расход канала будет наибольшим.
Найдем у. Он равен:Найдем у. Он равен:
Найдем у. Он равен:
Найдем у. Он равен:
т. е. у = х. Далее,
Z ABD = Z DBC = —; Z АВС= - . 42
Поперечное сечение канала (и живое сечение) должно иметь форму прямоугольного равнобедренного треугольника.
Задача 8. По горизонтально положенной круговой трубе течет вода. Выяснить, каким будет уровень воды в трубе, когда средняя скорость течения будет наибольшей (черт. 153).
Указание. Средняя скорость течения в трубе будет наибольшей, если будет наибольшим отношение площади живого сечения к смоченному периметру.
Решение. Обозначим радиус трубы через г.
Рс = \_vACB = ф • г.
Живое сечение 5 = пл. сектора АСВОА + пл. АДОВ, т. е. S = у г2ф-f-у г2 sin (2л—ф), или
о г2 /. х л , л S г sinqA
S = — (ф — sin ф) 0 < ф с 2л, — = — 1 .
2 YYРс 2 \ <р /
Исследуем на экстремум функцию /(ф) = у^1 —?UL5Lj:
г, / хг ф • cos Ф — sin ф
Г (ф) = —- . —— ; решим уравнение
ф СОЗф — 5Шф = 0, или tg ф — ф = 0.
По справочнику находим ф ^ 4,49 радиана, или ф ^ 265°. Далее убеждаемся, что при ф ^ 265° отношение — имеет максимум, совпадающий с его наибольшим значением. Следовательно, и средняя скорость течения в трубе при этом значении ф будет наибольшей. Определим теперь уровень h воды в трубе, соответствующий ф ^ 265°. Пользуясь чертежом 153, имеем:
/.2л — ф/.ф \
h = г + г cos — = г 1 — cos ,
2\2 / ’
т. е. окончательно h = г (1 — cos 132° 30').
УПРАЖНЕНИЯ.
В круг радиуса R вписать прямоугольник с наибольшей площадью.
Требуется сделать коробку, объем которой должен равняться 108 СЛ13. Коробка открыта сверху и имеет квадратное дно. Каковы должны быть ее размеры, чтобы на ее изготовление пошло наименьшее количество материала?
Найти высоту Н конуса наибольшего объема» который можно вписать в шар данного радиуса R.
Известно, что высота Н тела, брошенного под углом а к горизонту с начальной скоростью и0, вычисляется по формуле
gt2
Н = и0 t sin а—,
где t — время движения тела. Определить время подъема тела на наибольшую высоту; определить величину наибольшей высоты тела над землей.
Дальность полета S тела, брошенного под углом а к горизонту с начальной скоростью и0, вычисляется по формуле
и02 sin 2а
s= .
g
Найти угол а, при котором дальность полета будет наибольшей. Найти величину наибольшей дальности полета.
В треугольник с основанием а и высотой h вписан параллелограмм наибольшей площади. Найти основание этого параллелограмма.
Для какого числа разность между ним и его квадратом является наибольшей?
Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 15 см. Как надо выбрать их длину, чтобы гипотенуза была наименьшей?
Из полосы жести надо сделать открытый желоб, имеющий в сечении форму равнобедренной трапеции, меньшее основание которой равно а, а боковая сторона равна с. Найти наибольшее значение площади сечения.
Требуется сделать цилиндрическую цистерну без крышки наибольшего объема при заданной поверхности.
§ 74. Отыскание экстремума функции с помощьювторой производной
Если функция у — f (х) в стационарной точке имеет вторую производную, которая в этой точке отлична от нуля, то ею можно воспользоваться при нахождении экстремума функции. Предположим, что в стационарной точке функция имеет вторую производную, отличную от нуля. Покажем, что в этом случае функция в стационарной точке имеет экстремум. Рассмотрим два случая.
/"(с) > 0. По определению производной второго порядка
г (с) = lim Us+Axh^TW. ,(1)
Дх-*оАх
Нос — стационарная точка функции f (х), поэтому /'(с) = = 0 и равенство (1) примет вид:
Г (с) = lim ЖМ_ .(2)
Дх-* 0Ах
По предположению Р(с) > 0, поэтому при достаточно малых по абсолютной величине значениях Дх правая часть в равенстве (2) будет больше нуля:
Г (с + Ах) n
Из неравенства (3) следует, что если Дх<0, то /7(с+Дх)<0; если же Дх 0, то f\c + Дх) > 0.
Другими словами, в некоторой окрестности точки с слева от точки с производная функции отрицательна, а справа положительна. А это означает, что в стационарной точке функция имеет минимум (см. § 71).
/"(с) < 0. Рассуждая так же, как в случае 1, убедимся, что в стационарной точке с функция имеет максимум.
В результате мы получили второе правиле для отыскания экстремума функции в стационарной точке.
Чтобы узнать, имеется ли экстремум в стационарной точке х = с, нужно найти вторую производную функции и вычислить ее значение в этой стационарной точке. Если f" (с) #= N= 0, то / (с) есть экстремум функции. Причем это максимум, если /” (с) < 0, и минимум, если /" (с) > 0.
Найти с помощью второй производной экстремум следующих функций.
Пример 1« у = - ^ + х3 + х2 + 4.
4
Находим первую производную у' = х3 + Зх2 + 2х.
Ищем стационарные точки функции, для чего решаем уравнение
х3 + Зх2 + 2х = 0, или
х (х2 + Зх + 2) = 0.
Откуда Xi = 0; х2 = — 1; х3 = —2.
Находим вторую производную у" = Зх2 + 6х + 2.
Определяем знак второй производной в каждой из стационарных точек:
у" (_ 2) = 3 • 4 + 6 (- 2) + 2 > 0, поэтому у (— 2) = 4 есть минимум функции;
у" (_ 1) = 3 _ 6 + 2= — 1 < 0,
поэтому у (—1) = 4- есть максимум функции;
4
у" (0) =2> 0, поэтому у (0) = 4 есть минимум функции. Составим таблицу:
Таблица 10
X
-2
—1
0
у'
0 1
0
0
у"
+
—
+
У
у(_2) = 4- минимум
у(-1) = 4у - 4 максимум
у(0) = 4 — минимум
Пример 2. у = хг + —, х + 0.
/ = 2х-^;
2x3 ~ 16 = 0 или х3 — 8 = 0.
X2
Стационарная точка х = 2.
у" = 2 + — . Очевидно, у" (2)>0.
х3
О т в е т. у (2) = 12 есть минимум функции.
УПРАЖНЕНИЯ.
Исследовать с помощью второй производной на экстремум следующие функции:
f (х) = х3 — 7,5х2 + 18х + 1.
f (х) == х2(1 х)2.
f (х) = 2 sin х + sin 2х, х £ [0; 2л].
у= у х3 + -^ , х ^ 0.
При каких значениях а, b и с функция у—^ + ах2 + Ьх + с имеет максимум в точке х = т и минимум в точке х = п.
Закон изменения величины переменного тока / со временем выражается формулой i = 1 sin со t (/ — амплитуда). Через какие промежутки времени после начала работы генератора мгновенная сила тока будет достигать максимумов и минимумов? Чему они будут равны? Какова продолжительность периода такого тока?
Примечание. Значение круговой частоты содля промышленного тока равно 100 л герц.
§ 75. Построение графика функциис помощью производной
При построении графика функции необходимо предварительно провести исследование функции. При этом полезно придерживаться следующей схемы.
/. Найти область определения функции, если она заранее не указана,
Найти нули функции и выделить промежутки, в которых она сохраняет знак.
Исследовать функцию на четность и нечетность.
Исследовать функцию на периодичность.
Определить интервалы монотонности функции.
Исследовать функцию на экстремум.
Найти пределы функции (если возможно) при х -> ± 00.
Пример 1« f (х) = х3 — х2.
Решение.
Область определения функции — вся числовая прямая.
Найдем нули функции. Для этого решим уравнение х2 (х — 1) = 0; Xi = 0; х2 = 1.
Далее, при х < 1 f (х) С 0; при х >1 f (х) > 0.
f ( - х) Ф f (х) ; f (- х) - f (х).
Функция не является ни четной, ни нечетной.
Функция непериодическая.
Найдем теперь интервалы монотонности функции:
f'(x) = Зх2 — 2х; Г(х) = х (Зх — 2).
Решаем неравенства х (Зх — 2) > 0 и х (Зх — 2) < 0.
При х < О f (х) > О — функция возрастает. В промежут- 2 \
ке (0; у L очевидно, f'(x) < 0 — функция убывает. При х > у f(x) > 0 — функция снова возрастает.
Исследуем функцию на экстремум. В точке х = О функция имеет максимум, равный нулю: f (0)max = 0.
n2.4
В точке х =минимум, равный:
3V > Г27
Делаем сводку результатов:
Таблица 11
X
х < 0
х = 0
о<.<|
2
3
2 х> 3
У'
+
0
—
0
+
У
возрастает
f (0) =0 — максимум
убывает
2\4
327 “
минимум
возрастает
lim / (x) = lim (x3 — x2) = + oo. X -* ± co x *- ± OO
Строим график функции; он изображен на чертеже 154. Заметим, что в начале координат производная равна нулю. Касательная к графику в этой точке совпадает с осью абсцисс и пересекает график в точке А (1; 0).
Пример 2. у = х2 — 2 | х | + 3.
Решение.
Областью определения данной функции является вся числовая прямая.
При х > 0 у = х2 — 2х + 3 = (х — I)2 + 2 > 0 и, очевидно, справа от начала координат функция нулей не имеет.
Функция четная: у (— х) = у (х).
Поэтому ее график симметричен относительно оси ординат. В силу этого достаточно построить график справа от начала
координат и затем симметрично отобразить полученную кривую относительно оси ОУ. Но при х > О
у = х2 — 2х + 3.
Функция непериодическая.
При х > 0 у" = 2х — 2 = 2(х — 1).
В интервале (0; 1) у'<_ 0 — функция убывает, а при х > 1 z/ > 0 — функция возрастает.
у' = 2 (х - 1); у' (1)- 0; у" (1) > 0; у (1) = 2 есть минимум функции. Построив график при х > 0, симметрично отображаем его относительно оси ОУ (черт. 155).
Примечание. В точке В (0; 3) функция не имеет производной; в этой точке нет и касательной к кривой.
Пример 3„ f (х) = 2 cos х — cos 2х.
Решение.
Область определения функции — вся числовая прямая.
Существует бесконечно много промежутков, в которых функция сохраняет положительный знак, а также бесконечно много промежутков, в которых функция сохраняет отрицательный знак.
Функция четная, ибо f (— х) = f (х).
Функция периодическая, ее период равен 2л — это наименьшее общее кратное периодов слагаемых (cos х имеет период, равный 2л; cos 2х — период, равный л). В силу периодичности достаточно построить график на
отрезке длины 2л, а затем периодически его продолжить. Учитывая четность функции, удобно за основной отрезок взять сегмент [—л; л], построить график на сегменте [0; л 1, отразить его симметрично относительно оси ординат, а затем уже воспользоваться периодичностью функции.
Исследуем функцию на экстремум:
у’ — 2 sin х + 2 sin 2х;
— sin х + sin 2х = 0: sin х (1 — 2 cos х) = 0;
имеем два уравнения sin х = 0; cos х = -.
л3л3Ищем корни этих уравнений, расположенные на сегменте [0; л]. Корни первого уравнения х = 0; х = л;
л
3
л
3
Исследуем на экстремумИсследуем на экстремумкорень второго уравнения х =
Исследуем на экстремум
Исследуем на экстремум
функцию в точках Ойл, выйдя, таким образом, несколько за пределы сегмента [0; л]. Воспользуемся второй производной:
у" = — 2 cos х + 4 cos 2х;
у" (0) = —2 + 4 > 0; у (0) = 1 есть минимум;
у" (л) = 6 > 0; у (л) = —3 есть минимум;
у"у"—) = — 3 < 0; у — ^ = — есть максимум.
у"
у"
График функции изображен на чертеже 156.
Читатель помнит, что последний график встречался при сложении гармонических колебаний. В § 24 мы строили
аналогичные графики, используя известные преобразования графиков. Знание производной дало возможность строить этот график непосредственно.
УПРАЖНЕНИ Я.
Построить графики функций:
у = х2 + 2 | х I + 3.
у = х3 — Зх.
у = 4Х3 — Зх4.
у = Зх2 — х3.
у = х2 (х — 2)2.
у = х4 — Юх2 + 9.
у = х4 + 32х.
у = 2 sin х + sin 2х.
§ 76. Доказательство неравенств
Используя понятие производной, можно доказывать некоторые неравенства. При этом используется признак возрастания и убывания функции, связанный с соответствующим знаком производной. Покажем это на примерах.
Пример L Доказать неравенство cos х + х sin х > 1, где 0 < х < — е 2
Решение. Возьмем вспомогательную функцию f (х) = cos х + х sin х — 1.
Область ее определения — вся числовая прямая; кроме того, она непрерывна.
Заметим, что /'(х) = х cos х > 0 при 0 < х < у.
Следовательно, f(x) возрастает в интервале ^0; ^. Но Д0)=0. Поэтому в силу непрерывности
f(x)>0, когда 0<х<-^.
Таким образом, cos х + xsin х — 1 > 0, или cosx + xsinx> 1, при 0 <х<Л
Пример 2, Доказать, что если х > 0, то при а > 1 выполняется неравенство (1 + х)а > 1 + ах.
Решение. При х = О имеем равенство. Рассмотрим вспомогательную функцию f (х) = (1 + хУ — (1 + ах). Она непрерывна, f (0) — 0.
Пх) = а (1 + ху-1 — а =а [(1 + ху-' — 1] > 0 (х > 0).
Поэтому / (х) при х > 0 возрастает. Но / (х) непрерывна и / (0) = 0, следовательно, f (х) > 0 при х>0 и а> 1. Таким образом, при х > 0 и а > 1 имеем:
(1 + хУ — (1 + а х) > 0, или (1 + х)“ > 1 + а х.
Пример 3. Доказать неравенство
(1)
Решение. Рассмотрим непрерывную функцию f (х) = cos х — 1 + ^; f (0) = 0; f' (х) = х — sin х > 0 при х > 0. Следовательно, / (х) возрастает при х > 0. Но f (0) = 0. Поэтому при х > 0 f (х) > 0, т. е.
cosx — 1 Н—>0,
2’
ИЛИ
cosx> 1
УПРАЖНЕНИЯ.
Доказать справедливость неравенств:
Указание. Воспользоваться неравенством (1).
Указание. Воспользоваться неравенством (2).
Указание. Воспользоваться неравенством (3).
Замечание. Из неравенств (2) и (4) следует двойное не
равенство
Если примем sin х % х — —, то ошибка будет меньше, чем —• 6J120
_л
Так, для 0 < х< — ошибка будет меньше, чем
И <—<—?— = 5.10-=.
120 < 120 “ 120 • 243100 • 200
х24-2
,-- > 2, где — оо
Указания, а) Функция f (х)= ^/-^ j непрерывна.
Эта функция четная, поэтому достаточно доказать справедливость неравенства при х > 0.
ха1
< —- при — ОО < X < + оо .
1 -{- х42
Указание. Воспользоваться четностью и непрерывнос
ТЬЮ функции f (х) = ,_^”е РассмотРеть производную этой функции на полусегментах [0; 1) и [1; +оо).
лл
sinx + tgx > 2х, где 0 < х <~ (при 0 < х < —, f' (х) > 0).
Зная, что производная функции In (1 + х) равна —— , до
казать неравенство х > In (1 + х) при х > 0.
х > 6.х $ {х/ х < 2).13. а) 4; б) sinx— 0,5, если х0,5 — sin х, если х £ <х / 0 < х <х > 6.х $ {х/ х < 2).13. а) 4; б) sinx— 0,5, если х0,5 — sin х, если х £ <х / 0 < х <
х > 6.
х $ {х/ х < 2).
13. а) 4; б) sinx— 0,5, если х
0,5 — sin х, если х £ <х / 0 < х <
х > 6.
х $ {х/ х < 2).
13. а) 4; б) sinx— 0,5, если х
0,5 — sin х, если х £ <х / 0 < х <
ОТВЕТЫ
2. 3. а) Справедливо; б) несправедливо; в) несправедливо; г) справедливо.
Всего будет 8 подмножеств, одно из которых совпадает с М, а другое является пустым.
а) Правильное; б) неправильное; в) правильное; г) неправильное; д) неправильное.
А = ( п / п = 2тк т = 1, 2, ... .
A (J В = {2} (J \п!п= 2tn— 1}, tn = 1, 2,... .
Если пересечение множеств А и В будет пустым.
А \В = {а, с}, В\А = {р, q, г}.
А П В={прямоугольники, периметр которых больше 100, но меньше 200}.
А П В = {17, 19, 23, 29, 31, 37}.
а) Несправедливо; б) справедливо; в) справедливо; г) несправедливо.
а) Справедливо; б) справедливо; в) несправедливо.
4. 2. а) —3 < х < 5;
б) х £ {х/х < — 9} (J {х/ х> —5};в) —7 < х < 3;
г) х${х/~5<х<0} и {х/0 <х<5}; д) х£ {х/х < +1} U {х> 3};
е) —2 < х < 2.
2
a) Xi = —8, х2 = Ю; в) х < —; г) при с >0 х> 0; при
с = 0 х — любое действительное число, при с <0 х < 0.
X е {*/ х< 2} и {х / х > 3}.
Корни уравнения —2, —1, 1, 2.
2
а) х £ {х / х < —2} U {х /—— < х < оо}.
хс{х/-3<х<-Й) Щх/ V 7< х < 3).
х (х/х<—4} U (х/х> 2).
(I л 5)(I л 5)х = 1,5.
(I л 5)
(I л 5)
5. 5. Потому что в ней х = 1 соответствуют два различных значения: у = 2 и у = —1.
Нельзя, f (3) не существует.__
a) f (2) = 0; / (4)—не существует; б) f (1+ 1^2) = 2^2 — 1, f //2) = /4 __ 4; в) —4; г) для । д । < з f (а) = а2 — 4;
| 1 + h | < 3; f (1 + h) = h2 + 2/i — 3.
a) 2а + h; 6) 2/i2 + 6ah + 6а2; в) 1; г) 0.
a) 3; в) 8.
§ 6. 1. Да. 2. S = х, х £ (0, +оо).
Область определения — множество натуральных чисел; ранг — множество простых чисел.
1 ' 2 • 3 | 4 5 6 | 7 | 8 9 10 |Т^з" VilT WTFiTTTrТГ
Нельзя: оба множества бесконечны.
( х2, если х > 0, 4. а = <
I х3, если х < 0.
Да; область определения: (0, 5, 10, 15, 20), ранг: (1, 2,
3, Л 5), 5 — . ’6
—3; —3; 4; 6; 3.
7. 1. а) X: (—оо, +оо); R : (—оо, + оо);
X : (—оо, -j-oo); R : (—оо , + оо);
X : (-оо, 3) U (-3, +оо);^ : (—оо, 0) U (0, +оо);
X : (-оо, 0) (J (0, 2) [J (2, +оо); 7? ; (—эо, +3] U (0, оо);
X : (-оо, -1) (J (-1, 2) U (2, +°о); R : (-оо, +оо);
X : (—оо, —3] (J [1, +оо); R : [0, оо);
X : (—оо, 3) Н (3, +оо); R : (0, + оо);
X : (—оо, 1) (J (2, +оо); R : (—оо, +<х>).
а) [— ^, 0]; б) [0, +оо).
а) Множество квадратов целых чисел; б) (0, 1); в) множество положительных чисел, не являющихся квадратами; г) (—оо, 0).
X : [— 2л, оо); R : {—1, 0, ^, 1).
(gP
5.S^=5.S^=—, если 0 < t < tv
5.S^=
5.S^=
_ + v (t — t^, если /, < / < ^ + t4e 2
Область определения: [0, /t + М»
2x, если 0 < x < 1,
6.6.PW =PW =—-—, если I < x < 3,
6.
6.
PW =
PW =
, 2 + x, если 3 < x < 4, X : [0,4]; R : [0,6].
X:{х/х <— 8}[JVx] х>8).
QV.у/у1 )
10*X:(x/—1<x< 0 } U{*/ 0<X<1).
X:{x/—oo < x <—5}(J{x /—5< x<—2) (J
(J {x / 2 < x < 5) (J {x / 5 < x < +oo}.
X: вся числовая ось, исключая точки множества
6 = 0,±1,±21)< 5 )*6 = 0,±1,±21)< 5 )*^- + 2 /ел| (J (“£ + 2Лл| U (~ + кп о Jib J \ 4
6 = 0,±1,±2
1)
< 5 )*
6 = 0,±1,±2
1)
< 5 )*
X : 1х / — 7 < X < ol и Ь / 0 < X 15J (
. 1. т = 9.
М = 1.
т = —5, М = 5.
т = 4.
т = —-—М = —7-=.
2 У ab%У ab
т и М не существуют.
т = —-; М = 2.
4
Стороны шестиугольникаВысота прямоугольника уДля равнобедренного.Стороны шестиугольникаВысота прямоугольника уДля равнобедренного.а равны у. a^hа равны у. a^hah2ah2—-, основание х=/г2 + а2А24-я2'—-, основание х=/г2 + а2А24-я2'
Стороны шестиугольника
Высота прямоугольника у
Для равнобедренного.
Стороны шестиугольника
Высота прямоугольника у
Для равнобедренного.
а равны у. a^h
а равны у. a^h
ah2
ah2
—-, основание х=
/г2 + а2А24-я2'
—-, основание х=
/г2 + а2А24-я2'
§ 10.1. а) — + —-— + х, х 0, х =^ 1;
‘X X — 1
11
— Ч; — X, х^О, х+ 1;
X X — 1
(— 4Ц) х, х + 0, х ^ 1;
\Х X— 1/
(— Ч—Л —. х =А0, X* 1;
\ XX — 1 / X
б) Ух—1 ± Ух + 2, X : [1, оо); У(х—1) (х+2),
Х:(-оо, -2) U[l, оо);Х:(-оо, -2) U[l, оо);Х:(-о.,-2) U11.4-OO); ]/^=-^
Х:(-оо, -2) U[l, оо);
Х:(-оо, -2) U[l, оо);
11
в) ; + х 4- 1, х =£ 1;; — х — 1, х ^ 1;
X ^ 1, X ^ — 1.X ^ 1, X ^ — 1.X — 1х — 1
X ^ 1, X ^ — 1.
X ^ 1, X ^ — 1.
<— Г Х * *’ (х—1)(х+ 1; ’
sin x,
3. a)
M (x) =
если 0 < x < ” 2
2л
если -^ < х < л.
2
m (x) =
— x, если О < х < ”
2
л
sin x,
если -5 2
(2х, если х2, если
О < х < 2,
т (х) =
2х, если х2, если 2х, если х2, если
О < х < 2,
в)М(х)=
т(х) =
11 — |x -
2
"2*
111,
если
если
Н -^-ИЬ
2
2 ’
| 1 — 1х — 1 11,
2
2*
|l-|x-l|L
2
2’
И — I 11 ь
2
I 2*
если
если
если
если
если
если
если
если
_ 2
2
2
2 <
2 <
2
2
2’
<т
2
2 ’
2
2
2
— A < x < 1 22
2<X<T
22’
I < x < 3.
§ 11. 1. у = (x 4- X-2)4 + (X + X-2) — 1, X ^ 0. x— 1
2. у = —— , x ^ 1, x ^ 0.
у = с2 — 2г, X ! (—оо, Ч-оо).
f [g (х)1 = 2"Ч- I х2 — 4 |, х ^ ± 2;
х2—4
g [/ (х)] = [2 — ^ Ч- 1 х |]2 — 4, х + 0.
Hg (х)1 = 1 I х I Ч-4 |;Х(—оо, оо); g [f (х)] = | х | Ч-
+ 4; X : (—оо, 4~оо).
f Vg W j = I E (x)|, X : (—oo, +oo); g [ f (x) 1 = E (| x |);
X*. (—oo, 4~oo).
„7. / [g (x) ] = /1 x |; X : (—00, 4-°°); g [/ (x)] = | V x |;
X: [0, Ч-00).
Hf(x)l = E [E (x] = E^
1; 5; 5._
a) |x4-3|;6) El.
Ix|
/= т^~^Е\
2
1. Можно, если каждая книга принадлежит лишь одному автору.
Да.
Да.
f (х)— окружность, диаметр которой равен гипотенузе, а центр совпадает с серединой гипотенузы.
. 1. Имеет.Да.Да. 0 < t < Т.Да. Процесс плавления — неубывающая, процесс отверде. 1. Имеет.Да.Да. 0 < t < Т.Да. Процесс плавления — неубывающая, процесс отвердевания — невозрастающая.вания — невозрастающая.5.7.5.7.При х2 > хгПри х2 > хгСчитаем х2 >Считаем х2 >,х2—х1 xt , x2—xtЛи а > 1 а = а (а 1 — 1) > 0... о Хх + х2 . х2 — Xixv sinx2 — sinx1 = 2cos • sin,х2—х1 xt , x2—xtЛи а > 1 а = а (а 1 — 1) > 0... о Хх + х2 . х2 — Xixv sinx2 — sinx1 = 2cos • sinТак как хъПоэтому cosТак как хъПоэтому cos*1 + х2 ' 2*1 + х2 ' 2> о.> о.— и х2 ф xv то — л < хг + х2 < л.Далее, — л < х2 — х, < л,— и х2 ф xv то — л < хг + х2 < л.Далее, — л < х2 — х, < л,
. 1. Имеет.
Да.
Да. 0 < t < Т.
Да. Процесс плавления — неубывающая, процесс отверде
. 1. Имеет.
Да.
Да. 0 < t < Т.
Да. Процесс плавления — неубывающая, процесс отверде
вания — невозрастающая.
вания — невозрастающая.
5.
7.
5.
7.
При х2 > хг
При х2 > хг
Считаем х2 >
Считаем х2 >
,х2—х1 xt , x2—xtЛ
и а > 1 а = а (а 1 — 1) > 0.
.. о Хх + х2 . х2 — Xi
xv sinx2 — sinx1 = 2cos • sin
,х2—х1 xt , x2—xtЛ
и а > 1 а = а (а 1 — 1) > 0.
.. о Хх + х2 . х2 — Xi
xv sinx2 — sinx1 = 2cos • sin
Так как хъ
Поэтому cos
Так как хъ
Поэтому cos
*1 + х2 ' 2
*1 + х2 ' 2
> о.
> о.
— и х2 ф xv то — л < хг + х2 < л.
Далее, — л < х2 — х, < л,
— и х2 ф xv то — л < хг + х2 < л.
Далее, — л < х2 — х, < л,
но по условию 0 < х2 — хг < л, sin— > 0.
Да.
Убывает в интервале (—оо, 1); возрастает в интервале (1, + оо).
Возрастает в интервалах (—3, —2) и (—1, +оо).
Убывает в интервалах (—оо, —3) и (—2, —1).
Возрастает в интервалах (—оо, 2) и (3, 4).
Убывает в интервалах (2, 3) и (4, +оо).
Возрастает при х < 0. Убывает при х > 0.
л2 ’л2 ’л
л
2 ’
л
2 ’
Возрастает при х > —. Убывает при х <
!\
/ лУбывает в интервале —, \ 4/ лУбывает в интервале —, \ 4з \4 /з \4 /Возрастает в интервалах О, —) и —л, л . \4 /\ 4/
/ л
Убывает в интервале —, \ 4
/ л
Убывает в интервале —, \ 4
з \
4 /
з \
4 /
14. Ограниченные: в), г), и), к).
15. 1. Четные: а), б), г), д), з), и). Нечетные: в), е).
3. а) х2 — четная, 2Х3 — нечетная, 2х + 2-х2х — 2-х
— четная, - — нечетная, 2х является их сум
мой; в) 2х — нечетна^ 3 — четная; г) х2 + 1 — четная, 2х — нечетная,
§16. 1. а) I = л; б) I = 2л; в) I = 1.
2л
2. а) 6л; б) л; в) г—*.
Зт6. л.7.-.2л.л.Зт6. л.7.-.2л.л.У 2 л т*
Зт6. л.
7.-.
2
л.
л.
Зт6. л.
7.-.
2
л.
л.
§ 19. 1. а) у=^/"^; хц— ОО, оо); б) у = 1og3x, Х:(0, + оо);
X2
У =Х:(—ОО, + оо); г) у = 5х; Х;(—оо, оо).
х 2
у = ——; Х:(—оо, +оо).
у = -/7; Х:[0, + оо).
Нет, у (2) = у (2, 7) = 3.
а) Нет; б) имеет; в) нет, у (1) = у ^—^ = 2.
л л 5л х л х л х л
§ 20. 1. .)6); .) Т. г) - л) -. .)
Л,л
ж)—;з)л; и) ——.
44
а)Х:[2, 4]; R : [0, л]; б)Х:[-2, 2]; R-. [- ^, ^];
(
Л л \
§23. 1. а) Графику принадлежат точки косинусоиды л
у = cos х с координатами ((26 + 1) —, 0) и точки прямых у = ± х с координатами (2&л, 2&л) и ((2/г + 1)л, —(2А + 1)л), к = 0, 1, 2,... Функция нечетная;
б) графику принадлежат точки синусоиды у = sin х с координата- (л
— + 2&л , ^ + 2£л) j и ^3 + 26л, — ^3 у+26л^ к—^% 1, 2... Функция нечетная.
л
§24. 1. а) Ось ОУ перенести вправо на — единиц масштаба и
построить в новых координатах ХОхУх синусоиду ух = sin х; в) ось ОХ поднять вверх на единицу и построить график функции у—Е (xt); д) за единицу масштаба по оси ОУ принять отрезок, в шесть раз больший единицы масштаба на оси ОХ. В этих различных единицах масштаба построить косинусоиду у = cos х; е) за единицу масштаба оси ОУ принять отрезок, в четыре раза больший л
единицы масштаба на оси ОХ. Ось ОУ перенести вправо на — еди- 6
ниц. В системе координат ХОхУх построить график синусоиды ух = sin х и отразить его симметрично относительно оси ОхХ.
§25. 1. в) Рассмотреть функцию на интервалах (—оо, —1), (—1, 0), (0, 1) и (1, + °о); г) за единицу масштаба на оси ОУ принять 3
отрезок, равный — единицы масштаба по оси ОХ. В этих единицах
л6л6масштаба построить графики функции у = tg х; д) за единицу масштаба по оси ОХ взять отрезок, равный утроенной единице масштаба по оси ОУ. В этих единицах масштаба построить график функции у = 2х при х > 0 и затем воспользоваться четностью функции; е) за единицу масштаба по оси ОУ принять отрезок, в шесть раз больший
л
6
л
6
ВВединицы масштаба по оси ОХ. Ось ОУ перенести влево на
В
В
системе координат ХОхУх построить в этих различных единицах масштаба косинусоиду ух = cos х;
определена везде, нечетная, нули в точках х = /гл, к=0, ± 1, ±2,...» периодическая, с периодом /=2л,ограничена числом
к = sin 1. При х = (2/г + 1)— у = ±sin Г, и) определена в интервалах, в которых sin х > 0, т. е. в интервалах (2/гл, (2/г + 1)л), к = 0, ±1, ±2...., всегда неположительна; при х = (4/г + 1) — у = 0, при х -> 2/гл и при х -> ^.к + 1)л у -> —ос.
с — b — с — b
§ 26. 2. хх = ; х2 = — (с > 0).
аа
X £ (-ОО, -1] и [1, +оо).
— “■ 4“ 2 л/? ^ х ^-f- 2л& (^ = 0, ± 1, ± 2, .. .)•
Нет.2
Нет.
Является.
Является.
Является. I °» если ° < ^ < у>
если — < t <3л.
2
Целочисленные.
а) 0,1 < х < 0,2; б) 0,7 < х < 0,8.
Нет.
3
4/, если 0 < t < —,
3
если — < / < 2,
2
4/ — 2, если 2 < t < 3,
область определения: [0, 31; ранг [0; 10].
X : (—оо; —9] (J [5; +оо).
X : [—8; 0) U (0; 8].
+ оо).+ оо).X : [—10; 10].
+ оо).
+ оо).
30. X : [1; 4].
32. Нет.
33. Существуют.
§ 27. 1. в) sin 5, sin 25, sin 125, sin 625, sin 3125.
6) —7, 7, — 7, 7.
4, 1, 4, 2.
. 1. Ограничена.
Ограничена.
Ограничена.
Ограничена.
Ограничена снизу, но не ограничена сверху.
Не ограничена ни снизу, ни сверху.
Ограничена сверху, но не ограничена снизу.
. 1. Возрастающая.
Убывающая.
Неубывающая.
Немонотонная.
„ „ ,«— 1)" + n ((- 1)" - h
§30. 1. a) —— к Г к
I n J ( n J
Iх"! n + 5.
о) частное 1 —к где xn = ——, a yn= sin n
му, что при n = ЮЛ (Л = 1, 2, 3, ...) yn = 0. f 3 )
2. < —к Заданные последовательности I п J
(- 1)”л2
{(-i)n);
л
Ю’
не существует пото-
не ограничены, сумма
их ограниченная последовательность.
^* \.хпУп\ = {гл}»
где = J2» если п — нечетное число, гп |5 cos л, если л — четное число.
Может. 5. Можно.
171
.1. 5.2. —. 3. — —. 4. 3. 5. 1. 6.-.
383
§36. 1. 6. 2. е. 3. е.
точке 29. —.С13.точке 29. —.С13.40. 2. Предел не существует. 3. f (2) = 1, предел в равен 4. 4. / (2) не существует.
точке 2
9. —.
С1
3.
точке 2
9. —.
С1
3.
11
. 1. 80. 2. —3. 4а8. 5. —32. 6. 3. 7. 0. 8. 0.
10. 0.
1. 3. 2. ^-. 3. 5. 4. 0. 5. —. 6. 0. 7.
32
99а8
1.10.2.-.3.-.4. 4. 5.-.6.-.
Оо06
331
8. cos а. 9. 2 cos2 а. 10. sin 2а. 11. —. 12. —. 13. —6. 14. —
/5 40 '/5 40 '16.16.286
/5 40 '
/5 40 '
16.
16.
5
1. f (1,003) « 1; f (3,001) % — . 2. f (0,0004) % 1; f (л+
а) Непрерывна; б) разрывна; в) непрерывна.
а) Непрерывна; б) разрывна; в) разрывна; г) непрерывна.
а) Непрерывна; б) непрерывна; в) непрерывна.
Положить ее в начале координат, равной 5.
§ 55. а) 3; б) 8х; в) Зх2; г) 2 cos х.
§ 56. 1. О, arctg(—4), - —.
4 л
. а) у = 1, х + У — ~ = 0; б) у = х; в) у = — 2х; г) у =2х—3.
8. 1. а) —sin х; б) 2х + 1; в) 2х — cos х. 2. у = 4х — 1.
3 СМ
.121
+ у — /2 - t3 + 1) cos t.+ у — /2 - t3 + 1) cos t.- 2х3 + Зх2 + 14. —. 5.(1 - х)2- 2х3 + Зх2 + 14. —. 5.(1 - х)24/ - 13/ у'Г '4/ - 13/ у'Г '
+ у — /2 - t3 + 1) cos t.
+ у — /2 - t3 + 1) cos t.
- 2х3 + Зх2 + 14. —. 5.
(1 - х)2
- 2х3 + Зх2 + 14. —. 5.
(1 - х)2
4/ - 1
3/ у'Г '
4/ - 1
3/ у'Г '
Л sin3x — cos3x „ 6. —. 7.sin2x • COS2XЛ sin3x — cos3x „ 6. —. 7.sin2x • COS2Xcos ф — sin ф — 1(1 — COS ф)2cos ф — sin ф — 1(1 — COS ф)2. 8. 12x (2x2—a)2. 9. 8x (x2+l)3.. 8. 12x (2x2—a)2. 9. 8x (x2+l)3.
Л sin3x — cos3x „ 6. —. 7.
sin2x • COS2X
Л sin3x — cos3x „ 6. —. 7.
sin2x • COS2X
cos ф — sin ф — 1(1 — COS ф)2
cos ф — sin ф — 1(1 — COS ф)2
. 8. 12x (2x2—a)2. 9. 8x (x2+l)3.
. 8. 12x (2x2—a)2. 9. 8x (x2+l)3.
xsinx ^ 2cosx+cosx*sinx—x (1 +2sinx)
(l—cosx)2* *(2 4-sin x)2*
22
t410. 3sin2x-sin 4x. 11. sin2x+t410. 3sin2x-sin 4x. 11. sin2x+61. 1. — — sin —x. 2. 3 sin2 x cosx. 4. 8x(x2 + l)3. 5. (x2 455
t4
10. 3sin2x-sin 4x. 11. sin2x+
t4
10. 3sin2x-sin 4x. 11. sin2x+
+ I)2 • (7x2 + 1). 6. — к (1 — O)^1. 7.
+ З/2) у - t3 + t3 - 2)7. 9. ”L_
Sax + b^Vax^-Vbx-^c *Sax + b^Vax^-Vbx-^c *2 у 1—x
Sax + b^Vax^-Vbx-^c *
Sax + b^Vax^-Vbx-^c *
+ 9(x+l)2. 12. 21 tg2x-sc2x(tg3x +l)e. 13.
14-3 sin2 x • cos x
14. 50 • cos Юх (sin 5x 4- cos 5x)8. 15. —- -2 +
3 у (14-x4-sin3x)2
Зх2 — 1
+ 7."1,'"(х»-х+1)6-
. 1. a) 1,00600; 6) 0,99600. 2. a) 10,05; в) 9,997.
§ 64. 1. yW= 120x.3. —2cos 2x. 4. a = 4~~ ; Равномерно
ускоренным.
65. 1. a) 0,12; —0,12; б) —0,0012; 0,00036. 2. (cos x—sinx)xAx.
Ax
(3x2 sinx + x3cosx) Ax. 4. (\5х+\2х— 8)Ax. 5. — —. x2
(x cosx—sin x)Ax
6. 3tg2x sc2xAx. 7. ;.
. 1. a) 1,03; 6) 0,51; в) 1,4; г) —0,1; рассмотреть функцию х3 — 1
у= — при х==0,9= 1 —0,1.
* х2 + 1
§68. 1. Возрастает в интервалах^— "2-1 J И \ в интервалах — оо, — "^™) и ^ ^~^" )•Возрастает на всей числовой прямой.§68. 1. Возрастает в интервалах^— "2-1 J И \ в интервалах — оо, — "^™) и ^ ^~^" )•Возрастает на всей числовой прямой.У22 ’У22 ’+ °°)» убывает+ °°)» убываетВозрастает в интервалах 0, — иВозрастает в интервалах 0, — и/л тервале —,\ 4/л тервале —,\ 43—л43—л4л, л), убывает в ин-л, л), убывает в ин-
§68. 1. Возрастает в интервалах^— "2-1 J И \ в интервалах — оо, — "^™) и ^ ^~^" )•
Возрастает на всей числовой прямой.
§68. 1. Возрастает в интервалах^— "2-1 J И \ в интервалах — оо, — "^™) и ^ ^~^" )•
Возрастает на всей числовой прямой.
У2
2 ’
У2
2 ’
+ °°)» убывает
+ °°)» убывает
Возрастает в интервалах 0, — и
Возрастает в интервалах 0, — и
/л тервале —,
\ 4
/л тервале —,
\ 4
3
—л
4
3
—л
4
л, л), убывает в ин-
л, л), убывает в ин-
Возрастает в интервалах (—ос, —1) и (2, + оо), убывает в интервале (—1, 2).
Всюду возрастает.
Всюду возрастает.
§ 71. 1. у (—1) =13 — максимум, у (4) = —112 — минимум.
У (—1) = у (1) = —1 — минимум, у (0) = 0 — максимум
у ^— j = 181 — = максимум, у (12)= — 144 — минимум.
у (0) = 0 — минимум, у (—2) = —4 — максимум.
у (4) = 1 — максимум, у (16) =25 — минимум.
/ л\ г—/3\ г—
у I—- I = —У 2 — минимум, у I — л I = У 2 — максимум.
. 1. М = 1 достигается при х = 0; т = —1 достигается при х = —2 и х = 2.
М = 4 достигается при х = 0; т = 2 достигается при х= —2.
л
а) М=1 достигается при х = — ; т = —J достигается при
a) M = 4 достигается при х= —1 и х = 2; т = 0 достигается при х = 0 и х = 3; б) М = 4 достигается при х = 2;
т = —16 достигается при х = 4.
§ 73. 1. 2R4. 2. х = 6см, h = 3cM. 3. Н =—R. 4. / =
•2g
//наибольшее —~. 5. а = —, ^наибольшее =.
2g4g
Основание параллелограмма должно равняться средней линии треугольника. 7. —.
Катеты равны 7 ™см- Треугольник равнобедренный.
5наибольшее = Х^ЦЗа Л-У^+бс^Г^—а^а^аЧ7^"
Радиус основания цистерны должен равняться ее высоте.
при х= ^, минимум при х = 0 и х= 1.л5при х = —, минимум при х= —л.при х= —У^2, минимум при х= ^2.при х= ^, минимум при х = 0 и х= 1.л5при х = —, минимум при х= —л.при х= —У^2, минимум при х= ^2.МаксимумМаксимумМаксимумМаксимум4. Максимум4. Максимум§ 74. 1. Максимум при х =2, минимум при х = 3.
при х= ^, минимум при х = 0 и х= 1.л5
при х = —, минимум при х= —л.
при х= —У^2, минимум при х= ^2.
при х= ^, минимум при х = 0 и х= 1.л5
при х = —, минимум при х= —л.
при х= —У^2, минимум при х= ^2.
Максимум
Максимум
Максимум
Максимум
4. Максимум
4. Максимум
3
а = —— (т + n); b = 3 тп; с — произвольное число, л л2л
Ькстр I = /> при t = --V — к, /? = 0, 1, 2, 3,...; —период. гсосо
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава I. Введение
Понятие множества 5
Действия над множествами 7
Числовые множества 9
Абсолютная величина 14
Глава II. Функция
Определение функции.......24
Примеры некоторых функций 31
Задание функции, ее область определения и ранг34
Наибольшее и наименьшее значения функции. . .39
Геометрическое изображение функции 44
Арифметические действия над функциями 50
Образование сложной функции 54
Понятие о функции нечислового аргумента 57
Глава III. Простейшие способы исследования функций
Монотонные функции 61
Ограниченные и неограниченные функции 66
Четные и нечетные функции 68
Периодические функции * 72
Понятие об обратной функции 78
О существовании обратной функции 81
График обратной функции 83
Обратные тригонометрические функции 88
Простейшие преобразования графиков 95
Сложение и вычитание графиков 97
Умножение графиков и их растяжениеотосиабсцисс99
Графики функций у = f (х + с) и у=/ (Z?x)...103
Применение графиков функций к решению уравнений
и неравенств 109
Разные задачи 113
Глава IV. Пределы
Числовая последовательность 116
Ограниченные и неограниченные последовательности 119
Монотонные последовательности 121
Арифметические действия над последовательностями 124
Предел числовой последовательности 126
Бесконечно малые последовательности 132
Некоторые свойства бесконечно малых последовательностей 135
Теоремыопределах последовательностей 137
Существование предела у монотонных последовательностей 141
Число е.Натуральные логарифмы 143
О стремлении аргумента к числу а* . . .147
Бесконечно малые функции 151
Предел функции в точке 155
Предел функции в точке и значение функции в точке. 159
Основные теоремы о пределах функций 160
Предел функции при х->+оои при х->—оо . . .163
sin х
Предел отношения при х -> 0 166
х
Применение предела в приближенных вычислениях 168
Некоторые геометрические и физические приложения теории пределов 170
Глава V. Непрерывность функции
Понятие о непрерывности функции 182
Приращение аргумента и функции 184
Другая форма определения непрерывности функции185
Некоторые свойства непрерывных функций. . . .187
Свойства функции, непрерывной на сегменте....190
Глава VI. Производная
Средняя и мгновенная скорость прямолинейного движения 194
Линейная плотность стержня 198
Среднее и мгновенное значение величины тока...201
Скорость изменения функции, понятие производной203
Непосредственное вычисление производных 205
Геометрический смысл производной 209
В каждой ли точке функция имеет производную?..214
Производная суммы и разности функций 217
Производная произведения и частного 219
Таблица производных 222
Производная сложной функции 226
Формула бинома Ньютона 229
Применение формулы бинома Ньютона в приближенных вычислениях 232
Понятие о производных высшего порядка 234
Понятие о дифференциале функции 235
Применение дифференциала в приближенных вычислениях 240
Глава VII. Исследование функций с помощьюпроизводной
Признакивозрастанияиубывания функцил . . . .244
Интервалымонотонности 248
Максимуми минимумфункции 251
Необходимое условие существования экстремума функции 255
Достаточные условия существования экстремума . .258
Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции 266
Дальнейшие примеры 269
Отыскание экстремума функции с помощью второй производной 278
Построение графиков функций с помощью производной 280
Доказательство неравенств 285
Ответы 288
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРАДЛЯ УЧАЩИХСЯ
Бакушинский А. В. и Власов В. К. Элементы высшей математики и численных методов. М., «Просвещение», 1968.
Виленкин Н. Я. и др. Математический анализ. М., «Просвещение», 1968; их же. Алгебра. М., «Просвещение», 1968.
Зельдович Я. Б. Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике. М., «Наука», 1965.
Кириллов А. А. Пределы. M.t «Наука», 1968.
Мирра Александровна ДоброхотоваАлексей Николаевич Сафонов
ФУНКЦИЯ, ЕЕ ПРЕДЕЛИ ПРОИЗВОДНАЯ
Редактор И. С. КомиссароваХудожественный редактор В. С. ЭрденкоТехнический редактор М. И. СмирноваКорректор В. Г. Соловьева
Сдано в набор 5/П 1968 г. Подписано к печати17/VII 1969 г. 84х108*/з2. Типографская № 2. Печ.л. 15,96 (9,5), Уч.-изд. л. 12,09. Тираж 100 тыс.экз. (Тем. пл 1968 г. № 348).
Издательство «Просвещение» Комитета по печатипри Совете Министров РСФСР, Москва, 3-й проездМарьиной рощи, 41.
Саратовский полиграфический комбинат Росглав-полиграфпрома Комитета по печати при СоветеМинистров РСФСР Саратов, ул. Чернышевского, 59.
Заказ № 219
Цена без переплета 30 к., переплет 18 к.
Отпечатано с матриц в типографии изд-ва «Ураль-ский рабочий», г. Свердловск, пр. Ленина, 49.Заказ 461
Из таблицы 4 видно, что для отрицательных значений
1 < — < —.(3)
sinx cosx
Так как limcosx = cosa(§ 39), то при а = 0 получаем равенство
lim cosx = cos 0 = L х-+0
3. у = sin 2х, если 0 < х < л.
5. у = 1 + х + tg х.
6. у = 5 + Зх + sin2 х.
7
+ 0,0008) % 0. 3. f (0,0001) % у . 4. f (—0,0002) % л. 5. f (0,0001)% «2. 6. f (1,9995) % 8.
§ 45. 1. кв. ед. 2. 4002,24 (m).
§48. 1. a) Непрерывна; б) непрерывна; в) непрерывна.
ФУНКЦИЯ.
М. А. ДОБРОХОТОВА
А. Н. САФОНОВ
ЕЕ ПРЕДЕЛ
И ПРОИЗВОДНАЯ
М. А. ДОБРОХОТОВА, А. Н. САФОНОВ
ФУНКЦИЯ,
ЕЕ ПРЕДЕЛ
И ПРОИЗВОДНАЯ
Пособие для учащихся
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ» МОСКВА 1969
ПособиеПособие5172(075)5172(075)
Пособие
Пособие
5172(075)
5172(075)
Доброхотова М. А. и Сафонов А. Н.
Д56 Функция, ее предел и производная, для учащихся. М., «Просвещение», 1968.
302 с. с илл, 100 000 экз. 48 к.
Авторы книги в доступной учащимся форме и в то же время с достаточной глубиной рассматривают важнейшие понятия математического анализа — понятия функции, предела, производной, сопровождая изложение теоретического материала интересными примерами.
Книга предназначается для учеников старших классов средней школы и для школьных математических кружков.
2—2—2 348—68